Harmoniese analise is 'n vertakking van wiskunde wat handel oor die voorstelling van funksies of seine as die superposisie van basiese golwe , en die bestudering en veralgemening van die begrippe Fourier-reekse en Fourier-transformasies (dws 'n uitgebreide vorm van Fourier-analise ). In die afgelope twee eeue het dit 'n groot onderwerp geword met toepassings in gebiede so uiteenlopend soos getalleteorie , voorstellingsteorie , seinverwerking , kwantummeganika , getyanalise en neurowetenskap .
Die term " harmonieke " het sy oorsprong in die Oudgriekse woord harmonikos , wat "vaardig in musiek" beteken.  In fisiese eiewaardeprobleme het dit golwe begin bedoel waarvan die frekwensies heelgetal-veelvoude van mekaar is, asook die frekwensies van die harmonieke van musieknote , maar die term is veralgemeen buite die oorspronklike betekenis daarvan.
Die klassieke Fourier-transform op R N is nog 'n gebied van deurlopende navorsing, veral met betrekking tot Fourier transformasie op meer algemene voorwerpe soos gehard uitkerings . As ons byvoorbeeld 'n aantal vereistes aan 'n verspreiding f stel , kan ons probeer om hierdie vereistes te vertaal in terme van die Fourier-transformasie van f . Die stelling Paley – Wiener is 'n voorbeeld hiervan. Die stelling van Paley – Wiener impliseer onmiddellik dat as f 'n nie-nulle verspreiding van kompakte ondersteuning is (dit sluit funksies van kompakte ondersteuning in), dan word die Fourier-transformasie daarvan nooit kompak ondersteun nie (dws as 'n sein in een domein beperk is, is dit onbeperk in die ander). Dit is 'n baie elementêre vorm van 'n onsekerheidsbeginsel in 'n harmoniese analise-omgewing.
Fourier-reekse kan gerieflik bestudeer word in die konteks van Hilbert-ruimtes , wat 'n verband bied tussen harmoniese analise en funksionele analise . Daar is vier weergawes van die Fourier-transform, afhangend van die ruimtes wat deur die transformasie gekarteer word (diskreet / periodiek-diskreet / periodiek: Digital Fourier Transform, kontinu / periodiek-diskreet / aperiodies: Fourier-analise, diskreet / aperiodies-kontinu / periodiek : Fourier Synthesis, continous / aperiodic-continous / aperiodic: continous Fourier Transform).
Die harmonieke van kleur. Die harmoniese-ontledingskaart toon hoe die verskillende golflengtes met rooi lig in wisselwerking tree. Met 'n verskil van λ / 2 (halwe golflengte) is rooi perfek gesinkroniseer met sy tweede harmoniese in die ultravioletlig. Alle ander golflengtes in die visuele spektrum het minder as 'n λ / 2 verskil, wat harmoniese ossillasies in die gekombineerde golwe vorm. By λ / 14 draai die ossillasies elke 14de golf, terwyl hulle by λ / 8 elke 8ste fiets. Die onderste gedeelte wys hoe die λ / 4-harmonika in sigbare lig (groen en rooi) in wisselwerking tree, soos in 'n optiese woonstel afgeneem .
Abstrakte harmoniese analise
Een van die modernste takke van harmoniese analise, wat sy oorsprong in die middel van die 20ste eeu het, is die ontleding van topologiese groepe . Die kernmotiverende idees is die verskillende Fourier-transformasies , wat veralgemeen kan word tot 'n transformasie van funksies wat op Hausdorff plaaslik kompakte topologiese groepe gedefinieer word .
Die teorie vir abeliese plaaslik kompakte groepe word Pontryagin-dualiteit genoem .
Harmoniese analise bestudeer die eienskappe van daardie tweeledigheid en Fourier-transformasie en probeer om hierdie kenmerke uit te brei na verskillende instellings, byvoorbeeld vir nie-abeliese leuengroepe .
Vir algemene nie-abeliese plaaslik kompakte groepe is harmoniese analise nou verwant aan die teorie van eenheidsgroepvoorstellings. Vir kompakte groepe verduidelik die stelling Peter-Weyl hoe 'n mens harmonieke kan kry deur een onherleibare voorstelling uit elke ekwivalensieklas van voorstellings te kies. Hierdie keuse van harmonieke geniet van die bruikbare eienskappe van die klassieke Fourier-transform in terme van die dra van kronkels na puntprodukte, of andersins 'n sekere begrip van die onderliggende groepstruktuur . Kyk ook: Nie-kommutatiewe harmoniese analise .
As die groep nie abelies of kompak is nie, is daar tans geen algemene bevredigende teorie bekend nie ("bevredigend" beteken minstens so sterk soos die Plancherel-stelling ). Baie spesifieke gevalle is egter ontleed, byvoorbeeld SL n . In hierdie geval speel voorstellings in oneindige dimensies 'n deurslaggewende rol.
Bestudering van die eiewaardes en eievektore van die Laplacian op domeine , manifolds en (in mindere mate) grafieke word ook beskou as 'n vertakking van harmoniese analise. Kyk bv. Om die vorm van 'n trom te hoor . 
Harmoniese analise op Euklidiese ruimtes handel oor die eienskappe van die Fourier-transform op R N wat nie analoog aan algemene groepe. Byvoorbeeld, die feit dat die Fourier-transformasie rotasie-invariant is. Die ontbinding van die Fourier-transform in sy radiale en sferiese komponente lei tot onderwerpe soos Bessel-funksies en sferiese harmonieke .
Harmoniese analise van buisdomeine is gemoeid met veralgemenende eienskappe van geharde ruimtes tot hoër dimensies.
Toegepaste harmoniese analise
Basgitaar tydsein van oop snaar A noot (55 Hz)
Fourier-transformasie van baskitaar tydsein van oop snaar A noot (55 Hz) 
Baie toepassings van harmoniese analise in die wetenskap en ingenieurswese begin met die idee of hipotese dat 'n verskynsel of sein bestaan ​​uit 'n som van individuele ossillerende komponente. Getye op die see en vibrerende snare is algemene en eenvoudige voorbeelde. Die teoretiese benadering is om die stelsel te probeer beskryf deur 'n differensiaalvergelyking of stelsel vergelykings om die wesenlike kenmerke te voorspel, insluitend die amplitude, frekwensie en fases van die ossillerende komponente. Die spesifieke vergelykings hang van die veld af, maar teorieë probeer gewoonlik vergelykings kies wat die belangrikste beginsels voorstel wat van toepassing is.
Die eksperimentele benadering is gewoonlik om data te bekom wat die verskynsel akkuraat kwantifiseer. In 'n studie van getye sou die eksperimentele byvoorbeeld monsters van die waterdiepte verkry as 'n funksie van tyd met tussenposes wat nou genoeg is om elke oscillasie te sien en gedurende 'n lang genoeg tyd dat daar waarskynlik meerdere ossillerende periodes is. In 'n studie oor vibrerende snare, is dit algemeen dat die eksperimentele klankgolfvorm verkry word met 'n tempo van minstens twee keer die van die hoogste verwagte frekwensie en vir 'n tydsduur baie keer die tydperk van die laagste frekwensie wat verwag word.
Die boonste sein aan die regterkant is byvoorbeeld 'n klankgolfvorm van 'n baskitaar wat 'n oop snaar speel wat ooreenstem met 'n A-noot met 'n fundamentele frekwensie van 55 Hz. Die golfvorm lyk ossillerend, maar dit is ingewikkelder as 'n eenvoudige sinusgolf, wat dui op die teenwoordigheid van addisionele golwe. Die verskillende golfkomponente wat tot die klank bydra, kan aan die lig gebring word deur die toepassing van 'n wiskundige ontledingstegniek bekend as die Fourier-transform , waarvan die resultaat in die onderste figuur getoon word. Let daarop dat daar 'n prominente piek is by 55 Hz, maar dat daar ander pieke is by 110 Hz, 165 Hz, en by ander frekwensies wat ooreenstem met heelgetal veelvoude van 55 Hz. In hierdie geval word 55 Hz geïdentifiseer as die fundamentele frekwensie van die snaarvibrasie, en die heelgetal-veelvoude staan ​​bekend as harmonieke .
Konvergensie van Fourier-reekse
Skatting van spektraaldigtheid
Tate se proefskrif
^ "harmonies" . Aanlyn etimologiewoordeboek .
^ Terras, Audrey (2013). Harmoniese analise oor simmetriese ruimtes-euklidiese ruimte, die sfeer en die boonste halfvlak van Poincaré (2de uitg.). New York, NY: Springer. bl. 37. ISBN 978-1461479710. Besoek op 12 Desember 2017 .
^ Bereken met https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/ .
Elias Stein en Guido Weiss , Inleiding tot Fourier-analise oor Euclidiese ruimtes , Princeton University Press , 1971. ISBN 0-691-08078-X
Elias Stein met Timothy S. Murphy, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals , Princeton University Press, 1993.
Elias Stein , Onderwerpe in harmoniese analise wat verband hou met die Littlewood-Paley-teorie , Princeton University Press, 1970.
Yitzhak Katznelson , ' n Inleiding tot harmoniese analise , Derde uitgawe. Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-83829-0 ; 0-521-54359-2
Terence Tao , Fourier Transform . (Stel die ontbinding van funksies in onewe + ewe dele in as 'n harmoniese ontbinding bo ℤ₂.)
Yurii I. Lyubich. Inleiding tot die teorie van Banach-verteenwoordigers van groepe . Vertaal uit die Russies-uitgawe van 1985 (Kharkov, Oekraïne). Birkhäuser Verlag. 1988.
George W. Mackey , Harmoniese analise as die ontginning van simmetrie - 'n historiese opname , Bull. Amer. Wiskunde. Soc. 3 (1980), 543–698.
Harmoniese analiseby Wikipedia se susterprojekte
This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Harmonic_analysis" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to [email protected]