You are here: Home » Content » Rasionale getalle
Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.This content is ...Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.FETMaths Tags10th Afrikaans Exercises Content This module is included inLens: Siyavula: Mathematics (Gr. 10-12)By: SiyavulaReview Status: In Review
FETWisk TagsThis module is approved and included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)By: SiyavulaReview Status: Approved
Module by: Wiehan Agenbag, Free High School Science Texts Project. E-mail the authors
Based on: Rational Numbers by Rory Adams, Free High School Science Texts Project, Mark Horner, Heather Williams Inleiding'n Getal (soos beskryf in die hersieningshoofstuk) is 'n manier om 'n hoeveelheid voor te stel. Die getalle wat op hoërskool gebruik sal word is almal reëel, maar daar is heelwat verskillende maniere om enige gegewe reële getal voor te stel.Hierdie hoofstuk beskryf rasionale getalle.Figuur 1Khan Academy video oor heelgetalle en rasionale getalle (in Engels)
Die oorhoofse beskouing van getalle
Die term "heelgetal" het nie 'n konsekwente definisie nie. Verskillende skrywers gebruik dit op verskillende wyses. Ons gebruik die volgende definisies:natuurlike getalle is (1, 2, 3, ...)
telgetalle is (0, 1, 2, 3, ...)
heelgetalle is (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....)
DefinisieDie volgende getalle is almal rasionaal
(1)Jy kan sien dat al die tellers en noemers heelgetalle is.Definition 1: Rasionale getal 'n Rasionale getal is enige getal wat geskryf kan word as:
waar aa en bb heelgetalle is en b≠0b≠0. leidraad: Slegs breuke wat 'n heeltallige teller en noemer het (wat nie 0 is nie), is rasionale getalle.Dit beteken dat alle heelgetalle rasionaal is, aangesien hulle geskryf kan word met 'n noemer van 1.Dus is
(3)nie voorbeelde van rasionale getalle nie, want in elke geval is óf die teller óf die noemer nie 'n heelgetal nie.'n Getal wat nie geskryf word in die vorm van 'n heelgetal gedeel deur 'n heelgetal nie kan nogtans 'n rasionale getal wees. Dit is omdat die vereenvoudigde resultaat wel as 'n kwosiënt van heelgetalle geskryf kan word. Die reël is dat indien 'n getal geskryf kan word as 'n kwosiënt van heelgetalle, dit rasionaal is, selfs al kan dit op 'n manier geskryf word wat nie so 'n kwosiënt is nie. Hier is twee voorbeelde wat dalk nie na rasionale getalle lyk nie, maar nogtans is, omdat daar ekwivalente vorms gevind kan word wat bestaan uit 'n heelgetal gedeel deur 'n heelgetal:
(4)Rasionale getalleIndien aa 'n heelgetal is, bb 'n heelgetal is en cc irrasionaal is, watter van die volgende is rasionale getalle?
Tabel 1(i) 5656(ii) a3a3(iii) b2b2(iv) 1c1c
Klik hier vir die oplossing Indien a1a1 'n rasionale getal is, watter van die volgende is geldige waardes vir aa?
Tabel 2(i) 1(ii) -10-10(iii) 22(iv) 2,12,1
Klik hier vir die oplossing
Vorme van rasionale getalleAlle heelgetalle en heeltallige kwosiënte is rasionaal. Daar is twee bykomende vorme van rasionale getalle.Ondersoek: Desimale getalleJy kan die rasionale getal
1212 skryf as die desimale getal 0,5. Skryf die volgende getalle as desimale getalle:
Beskou die getalle na die desimale komma. Kom hulle tot 'n einde of gaan hulle voort? Indien hulle voortgaan, is daar 'n herhalende patroon in die getalle?Jy kan 'n rasionale getal as 'n desimale getal skryf. Twee tipes desimale getalle wat as rasionale getalle geskryf kan word:Desimale getalle waarvan die nie-nul getalle na die komma tot 'n einde kom of termineer, byvoorbeeld die breuk 410410 kan geskryf word as 0,4.
Desimale getalle wat 'n nimmereindigende herhalende patroon van getalle na die komma het, byvoorbeeld die breuk 1313 kan geskryf word as
0,3˙0,3˙. Die dot beteken dat die 33'e repeteer, m.a.w.
0,333... = 0,3˙0,333... = 0,3˙.
Byvoorbeeld, die rasionale getal 5656 kan in desimale notasie geskryf word as 0,83˙0,83˙ en soortgelyk kan die desimale getal 0,25 soos volg as 'n rasionale getal geskryf word: 1414.leidraad: Notasie vir repeterende desimale: Jy kan 'n kol oor die herhalende desimale aanbring om aan te dui dat die desimaal repeterend is.
Omskakeling tussen terminerende desimale getalle en rasionale getalle'n Desimale getal het 'n heeltallige deel en 'n breukdeel. Byvoorbeeld 10,58910,589 het 'n heeltallige deel van 10 en 'n breukdeel van 0,5890,589 omdat 10+0,589=10,58910+0,589=10,589. Die breukdeel kan geskryf word as 'n rasionale getal, m.a.w. met 'n teller en 'n noemer wat heelgetalle is.
Elke syfer na die desimale komma is 'n breuk met 'n noemer wat 'n vermeerderende mag van 10 is. Byvoorbeeld:110110 is 0,10,1 11001100 is 0,010,01Dit beteken dat:
(5)BreukeSkryf die volgende as breuke:
Tabel 3(a) 0,10,1(b) 0,120,12(c) 0,580,58(d) 0,25890,2589
Omskakeling tussen repeterende desimale breuke en rasionale getalleWanneer die desimaal repeterend is, is daar 'n bietjie meer werk nodig om die breukdeel van die desimale getal as 'n breuk te skryf. Ons sal verduidelik aan die hand van 'n voorbeeld.Indien ons 0,3˙0,3˙ in die vorm abab wil skryf (waar aa en bb heelgetalle is), sal ons soos volg te werk gaan:
vermenigvuldig met 10
aan beide kante
(trek die tweede verg. van die eerste verg. af)
(6)Nog 'n voorbeeld sou wees om
4˙ 3˙ 2˙ 5,
4˙ 3˙ 2˙ as 'n rasionale breuk te skryf.
vermenigvuldig met 1 000
(7)In die eerste voorbeeld is die desimaal vermenigvuldig met 10 en in die tweede voorbeeld is dit vermenigvuldig met 1000. Dit is omdat daar in die eerste voorbeeld slegs een repeterende syfer (nl. 3) was, terwyl die tweede voorbeeld drie repeterende syfers (nl. 432) gehad het.In die algemeen, as jy een repeterende syfer het, vermenigvuldig jy met 10. As jy twee repeterende syfers het, vermenigvuldig jy met 100. Met drie syfers vermenigvuldig jy met 1000. Kan jy al die patroon raaksien?Die aantal nulle is dieselfde as die aantal repeterende syfers.Nie alle desimale getalle kan as rasionale getalle geskryf word nie. Hoekom nie? Irrasionale desimale getalle soos
kan nie geskryf word met 'n heeltallige teller en noemer nie, omdat daar geen patroon van repeterende syfers is nie. Jy behoort egter, so ver moontlik, eerder rasionale getalle of breuke as desimale getalle te gebruik.Repeterende desimale notasieSkryf die volgende in repeterende (herhalende) desimale notasie:
0,11111111...0,11111111... 0,1212121212...0,1212121212... 0,123123123123...0,123123123123... 0,11414541454145...0,11414541454145...
Klik hier vir die oplossing Skryf die volgende in repeterende desimale notasie:
2323 13111311 456456 219219
Klik hier vir die oplossing Skryf die volgende in breukvorm:
0,6333˙0,6333˙ 5,313131¯5,313131¯ 0,999999˙0,999999˙
OpsommingReële getalle is óf rasionaal óf irrasionaal. 'n Rasionale getal is enige getal wat geskryf kan word as
waar aa en bb heelgetalle is en b≠0b≠0 Die volgende is rasionale getalle:
Breuke waarvan beide die teller en die noemer heeltallig is
Desimale getalle wat eindig
Desimale getalle wat repeteer
OefeningeIndien aa 'n heelgetal is, bb 'n heelgetal is en cc irrasionaal is, watter van die volgende is rasionaal?
5656 a3a3 b2b2 1c1c
Skryf elkeen van die volgende as 'n onegte breuk:
0,50,5 0,120,12 0,60,6 1,591,59 12,277˙12,277˙
Wys dat die desimaal 3,211˙8˙3,211˙8˙ 'n rasionale getal is.
Druk 0,78˙0,78˙ as 'n breuk abab uit waar a,b∈Za,b∈Z (wys alle stappe).
This work is licensed by Wiehan Agenbag and Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Aug 4, 2011 7:07 am -0500. Add to a lens