You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS] » Oplos van kwadratiese vergelykings
Oplos van Kwadratiese Vergelykings'n Kwadratiese vergelyking, is 'n vergelyking waar die mag van die veranderlike hoogstens 2 is. Die volgende is voorbeelde van kwadratiese vergelykings.
(1)Kwadratiese vergelykings verskil van lineêre vergelykings daarin dat 'n lineêre vergelyking slegs een oplossing het, terwyl ‘n kwadratiese vergelyking hoogstens 2 oplossings het. Daar is spesiale gevalle waar 'n kwadratiese vergelyking slegs een oplossing het.
(2)Om op te los:
(3)moet ons in staat wees om 2x2-x-32x2-x-3 te herskryf as (x+1)(2x-3)(x+1)(2x-3), en ons weet reeds hoe om dit te doen.Ondersoek: Faktorisering van 'n Kwadratiese UitdrukkingFaktoriseer die volgende kwadratiese uitdrukkings:
As jy 'n kwadratiese uitdrukking kan faktoriseer, is jy een stap weg daarvan om 'n kwadratiese vergelyking op te los. Byvoorbeeld, x2-3x+2=0x2-3x+2=0 kan geskryf word as
(x-1)(x-2)=0(x-1)(x-2)=0. Dit beteken dat x-1=0x-1=0 of x-2=0x-2=0, wat x=1x=1 en
x=2x=2 gee as die 2 oplossings van die kwadratiese vergelyking x2-3x+2=0x2-3x+2=0.Metode: Oplos van Kwadratiese VergelykingsDeel heel eerste die hele vergelyking deur enige gemene faktore van die koëffisiënte, ten einde 'n vergelyking te kry van die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 waar aa, bb en
cc geen gemeenskaplike faktore het nie. Byvoorbeeld, 2x2+4x+2=02x2+4x+2=0 kan geskryf word as
x2+2x+1=0x2+2x+1=0 deur te deel met 2.
Skryf ax2+bx+cax2+bx+c in terme van sy faktore (rx+s)(ux+v)(rx+s)(ux+v).
Dit beteken (rx+s)(ux+v)=0(rx+s)(ux+v)=0.
Wanneer ons die vergelyking geskryf het in die vorm (rx+s)(ux+v)=0(rx+s)(ux+v)=0, volg dit dat die oplossing sal wees
x=-srx=-sr of x=-vux=-vu.
Vervang elke moontlike waarde van die oplossing in die oorspronklike vergelyking in om te toets of dit 'n geldige oplossing is.Oplossing (wortels) van Kwadratiese Vergelykings'n Kwadratiese vergelyking het 2 wortels omdat enige een van die 2 waardes die vergelyking kan bevredig. Figure 1Khan Akademie video oor vergelykings - 3Exercise 1: Oplos van Kwadratiese Vergelykings
Los op vir xx: 3x2+2x-1=03x2+2x-1=0.
SolutionStep 1. Kry die faktore van 3x2+2x-13x2+2x-1 : Ons het gesien die faktore van 3x2+2x-13x2+2x-1 is (x+1)(x+1) and (3x-1)(3x-1).
Step 2. Skryf die vergelyking in gefaktoriseerde vorm : (
Step 3. Bepaal die 2 wortels : Ons het
Dus, x=-1x=-1 of x=13x=13.
Step 4. Toets die antwoorde: As ons die antwoorde instel in die oorspronklike vergelyking in, vind ons die vergelyking is waar vir beide antwoorde. Step 5. Skryf die finale oplossing : 3x2+2x-1=03x2+2x-1=0 vir x=-1x=-1 of x=13x=13.
Dit mag nodig wees om een of meer van die volgende te doen:Vermenigvuldig weerskante: Byvoorbeeld,
ax+b=cxx(ax+b)=x(cx)ax2+bx=cax+b=cxx(ax+b)=x(cx)ax2+bx=c(7) Kry weerskante die resiproke: Dit beteken om beide kante te verhef tot die mag -1-1. Byvoorbeeld,
1ax2+bx=c(1ax2+bx)-1=(c)-1ax2+bx1=1cax2+bx=1c1ax2+bx=c(1ax2+bx)-1=(c)-1ax2+bx1=1cax2+bx=1c(8) Kwadreer weerskante: Dit beteken om weerskante te verhef tot die mag 2.
ax2+bx=c(ax2+bx)2=c2ax2+bx=c2ax2+bx=c(ax2+bx)2=c2ax2+bx=c2(9)Hierdie strategieë kan op verskillende wyses gekombineer word en die sekerste manier om jou intuïsie te ontwikkel oor wat die beste ding is om te doen, is om te oefen. 'n Gekombineerde stel bewerkings kan byvoorbeeld wees: 1
kry weerskante die resiprook
(10)Exercise 2: Oplos van Kwadratiese Vergelykings
Los op vir xx: x+2=xx+2=x.
SolutionStep 1. Kwadreer beide kante van die vergelyking : Beide kante van die vergelyking behoort gekwadreer te word om die vierkantswortelteken te verwyder.
Step 2. Skryf die vergelyking in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 : x
af van beide kante )
deel weerskante deur -
Step 3. Faktoriseer die kwadratiese drieterm : x
Die faktore van x2-x-2x2-x-2 is (x-2)(x+1)(x-2)(x+1).
Step 4. Skryf die vergelyking met die faktore : (
Step 5. Bepaal die 2 oplossings : Ons het
Dus, x=-1x=-1 of x=2x=2.
Step 6. Kontroleer of die oplossings geldig is : Vervang x=-1x=-1 in die oorspronklike vergelyking x+2=xx+2=x:
Daarom LK ≠≠ RK. Die twee kante van 'n vergelyking moet altyd balanseer; 'n moontlike oplossing wat NIE die vergelyking bevredig nie, is nie geldig nie. In hierdie geval balanseer die twee kante van die vergelyking nie.
Stel nou x=2x=2 in die oorspronklike vergelyking in x+2=xx+2=x:
Dus, LK = RK
Dus x=2x=2 is die enigste geldige oplossing.
Step 7. Skryf die finale antwoord neer : x+2=xx+2=x vir x=2x=2 alleenlik.
Exercise 3: Oplos van Kwadratiese Vergelykings Los die vergelyking op: x2+3x-4=0x2+3x-4=0.
SolutionStep 1. Kontroleer of die vergelyking in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 : Die vergelyking is in die verlangde vorm, met a=1a=1.
Step 2. Faktoriseer die kwadratiese drieterm : Jy benodig die faktore van 1 en 4 sodat die middelterm +3+3 is.
So, die faktore is:
Step 3. Los die kwadratiese vergelyking op : x
Dus x=1x=1 of x=-4x=-4.
Step 4. Toets die oplossings: 12+3(1)-4=012+3(1)-4=0(20)(-4)2+3(-4)-4=0(-4)2+3(-4)-4=0(21)Beide oplossings is geldig.
Step 5. Gee die finale oplossing : Dus, die oplossing is x=1x=1 of x=-4x=-4.
Exercise 4: Oplos van Kwadratiese Vergelykings Vind die wortels van die kwadratiese vergelyking 0=-2x2+4x-20=-2x2+4x-2.
SolutionStep 1. Bepaal of die vergelyking in die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 is met geen gemeenskaplike faktore : Daar is 'n gemeenskaplike faktor: -2.
Dus, deel weerskante van die vergelyking deur -2.
Step 2. Faktoriseer x2-2x+1x2-2x+1 : Die middelterm is negatief. Dus, die faktore is (x-1)(x-1)(x-1)(x-1).
As ons uitvermenigvuldig (x-1)(x-1)(x-1)(x-1), kry ons x2-2x+1x2-2x+1.
In hierdie geval is die kwadratiese uitdrukking 'n volkome vierkant, so daar is net een oplossing vir xx: x=1x=1.
Step 4. Toets die oplossing: -2(1)2+4(1)-2=0-2(1)2+4(1)-2=0
Step 5. Skryf die finale oplossing neer : Die wortel van 0=-2x2+4x-20=-2x2+4x-2 is x=1x=1.
Oplos van Kwadratiese VergelykingsLos op vir xx: (3x+2)(3x-4)=0(3x+2)(3x-4)=0 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: (5x-9)(x+6)=0(5x-9)(x+6)=0 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: (2x+3)(2x-3)=0(2x+3)(2x-3)=0 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: (2x+1)(2x-9)=0(2x+1)(2x-9)=0 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: (2x-3)(2x-3)=0(2x-3)(2x-3)=0 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: 20x+25x2=020x+25x2=0 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: 4x2-17x-77=04x2-17x-77=0 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: 2x2-5x-12=02x2-5x-12=0  Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: -75x2+290x-240=0-75x2+290x-240=0 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: 2x=13x2-3x+14232x=13x2-3x+1423 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: x2-4x=-4x2-4x=-4 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: -x2+4x-6=4x2-5x+3-x2+4x-6=4x2-5x+3 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: x2=3xx2=3x Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: 3x2+10x-25=03x2+10x-25=0 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: x2-x+3x2-x+3  Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: x2-4x+4=0x2-4x+4=0 Kliek hier vir die oplossing Los op vir xx: x2-6x=7x2-6x=7 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: 14x2+5x=614x2+5x=6 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: 2x2-2x=122x2-2x=12 Kliek hier vir die oplossing
Los op vir xx: 3x2+2y-6=x2-x+23x2+2y-6=x2-x+2 Kliek hier vir die oplossing
« Previous module in collection Strategie vir die vergelykings op te los en op los van lineêre vergelykings
Next module in collection » Eksponensiële vergelykings
This work is licensed by Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Aug 4, 2011 8:14 am -0500. Add to a lens