Einstein ilişkisi (kinetik teori)

Fizikte (özellikle gazların kinetik teorisinde) Einstein ilişkisi; 1904'te William Sutherland'in, 1905'te Albert Einstein'ın ve 1906'da Marian Smoluchowski'nin Brown hareketi üzerine yaptıkları çalışmalarında bağımsız olarak ortaya koydukları önceden beklenmedik bir bağlantıdır. Denklemin daha genel biçimi:

burada;
D difüzyon katsayısıdır;
μ, "hareketlilik" veya parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir kuvvete oranıdır, μ = vd/F;
kB, Boltzmann sabitidir;
T mutlak sıcaklıktır.
Bu denklem, bir dalgalanma-dağılım teoreminin erken bir örneğidir.
İlişkinin sık kullanılan iki önemli özel biçimi şunlardır:
(elektriksel hareketlilik denklemi, yüklü parçacıkların difüzyonu için
(Stokes-Einstein denklemi, küresel parçacıkların düşük Reynolds sayılı bir sıvıdan difüzyonu için)
burada;
q, bir parçacığın elektrik yüküdür;
μq, yüklü parçacığın elektriksel hareketliliğidir;
η dinamik viskozitedir;
r, küresel parçacığın yarıçapıdır.
Özel durumlar
Elektriksel hareketlilik denklemi
Elektrik yükü q olan bir parçacık için, elektriksel hareketliliği μq, genelleştirilmiş hareketliliği μ ile μ = μq/q denklemiyle ilişkilidir. μq parametresi, parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir elektrik alanına oranıdır. Bu nedenle, yüklü bir parçacık durumunda denklem şu şekilde verilir:

burada;
difüzyon katsayısıdır ().
elektriksel hareketliliktir ().
parçacığın elektrik yüküdür (C, coulomb)
plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (K).
Sıcaklık, plazma için daha yaygın olan Volt cinsinden verilirse:

burada;
parçacığın yük sayısıdır (birimsiz)
plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (V).
Stokes-Einstein denklemi
Düşük Reynolds sayısı sınırında; hareketlilik μ, sürtünme katsayısı 'nın tersidir. Yayılan nesnenin ters momentum gevşeme süresi (atalet momentumunun rastgele momente kıyasla ihmal edilebilir hale gelmesi için gereken süre) için bir sönüm sabiti sıklıkla kullanılır. Yarıçapı r olan küresel parçacıklar için Stokes yasası:

burada ortamın viskozitesidir. Böylece Einstein-Smoluchowski ilişkisi Stokes-Einstein ilişkisi ile sonuçlanır:

Bu, sıvılarda öz-difüzyon katsayısını tahmin etmek için uzun yıllar boyunca uygulandı ve izomorf teorisi ile tutarlı bir versiyon, Lennard-Jones sisteminin bilgisayar simülasyonları ile doğrulandı.
Dönel difüzyon durumunda, sürtünme ve rotasyonel difüzyon sabiti :
Yarı iletken
Rastgele bir durum yoğunluğuna sahip bir yarı iletkende, yani deliklerin veya elektronların yoğunluğu ve karşılık gelen yarı Fermi seviyesi (veya elektrokimyasal potansiyel) arasındaki formunun bir ilişkisi, Einstein ilişkisi şöyledir:

burada elektriksel hareketliliktir. Durumların yoğunluğu için parabolik bir dağılım ilişkisini varsayan bir örnek ve genellikle inorganik yarı iletken malzemeleri tanımlamak için kullanılan Maxwell-Boltzmann istatistikleri hesaplanabilir:

burada, basitleştirilmiş ilişkiyi veren mevcut enerji durumlarının toplam yoğunluğudur:
Nernst-Einstein denklemi
Bir elektrolitin eşdeğer iletkenliğinin ifadelerinden katyonların ve anyonların elektrik iyonik hareketlilik ifadelerindeki difüziviteleri değiştirerek, Nernst-Einstein denklemi türetilir:
Genel durumun kanıtı
Einstein ilişkisinin kanıtı birçok referansta bulunabilir, örneğin bkz. Kubo.
Bazı sabit, harici potansiyel enerji 'nun, belirli bir konumunda bulunan bir parçacık üzerinde korunumlu bir kuvveti (örneğin, bir elektrik kuvveti) oluşturduğunu varsayalım. Parçacığın hızıyla hareket ederek tepki vereceğini varsayıyoruz. Şimdi konumun bir fonksiyonu olarak yerel derişim olan çok sayıda böyle parçacık olduğunu varsayalım. Bir süre sonra denge kurulacaktır: parçacıklar en düşük potansiyel enerji 'ya sahip alanların etrafında yığılacaktır, ancak yine de difüzyon nedeniyle bir dereceye kadar yayılacaktır. Dengede, parçacıkların net akışı yoktur: parçacıkların sürüklenme akımı olarak adlandırılan daha düşük 'ya doğru çekilme eğilimi, parçacıkların difüzyon nedeniyle yayılma eğilimini mükemmel bir şekilde dengeler ve buna difüzyon akımı denir (bkz. sürüklenme-difüzyon denklemi).
Sürüklenme akımı nedeniyle parçacıkların net akışı:

yani, belirli bir konumdan geçen parçacıkların sayısı, parçacık konsantrasyonu çarpı ortalama hıza eşittir.
Difüzyon akımı nedeniyle parçacıkların akışı, Fick yasasına göre,

burada eksi işareti, parçacıkların daha yüksek derişimden daha düşük derişime aktığı anlamına gelir.
Şimdi denge durumunu düşünün. İlk olarak, net akış yoktur, yani. İkincisi, etkileşmeyen nokta parçacıklar için, denge yoğunluğu yalnızca yerel potansiyel enerji 'nin bir fonksiyonudur, yani iki konum aynı 'ya sahipse, o zaman aynı 'ye de sahip olacaklardır (örneğin aşağıda tartışıldığı gibi Maxwell-Boltzmann istatistiklerine bakınız). Bunun anlamı, zincir kuralının uygulanması,

Bu nedenle, dengede:

Bu ifade her konumunda geçerli olduğundan, Einstein ilişkisinin genel biçimini ifade eder:

Klasik parçacıklar için ve arasındaki ilişki Maxwell-Boltzmann istatistikleriyle modellenebilir:

burada toplam parçacık sayısıyla ilgili bir sabittir. Bu nedenle:

Bu varsayım altında, bu denklemi genel Einstein ilişkisine dahil etmek şunları verir:

ki bu klasik Einstein ilişkisine karşılık gelir.