Grupoid

Matematikte, özellikle kategori teorisi ve homotopi teorisinde bir grupoid için (nadiren Brandt grupoidi veya sanal grup olarak da anılır) grup kavramı birden fazla eşdeğer yolla açıklanabilir. Bir grupoid şu iki şekilde genelleştirilir:
İkili işlemin yerini alan bir kısmi fonksiyon ilişkisindeki grup;
Her morfizmanın ters çevrilebilir olduğu kategorideki grup.
Grupoidler genellikle manifoldlar gibi geometrik nesneler hakkında akıl yürütmek için kullanılır. Heinrich Brandt (1927), Brandt yarı-grupları (Brandt Semigroup) aracılığıyla dolaylı olarak grupoidleri tanıtmıştır.
Tanımlar
Bir fonksiyonunu düşünelim. Boş kümeden farklı herhangi bir alt kümesi için şeklinde tanımlı fonksiyona kısmi fonksiyon denir.
Grup Teorisinde Grupoid
Bir grupoidi şeklinde tanımlı tekli işlem ile kısmi fonksiyonu ile tanımlanan ve her için aşağıdaki özellikleri sağlayan bir kümedir.
(i) Bileşim: Eğer ve tanımlı ise dir.
(ii) Tersinirlik: ve tanımlıdır.
(iii) Özdeşlik: Eğer tanımlı ise
,
.
Ek olarak da

özellikleri sağlanır.
Kategori Teorisinde Grupoid
Bir grupoid, içindeki her morfizmanın bir izomorfizma olduğu küçük ve bağlantılı bir kategoridir.
Tanımı daha açık bir şekilde görebilmek için rastgele bir kategorik teorisel grupoidi alalım. Bu grupoid aşağıdaki özellikleri sağlar.
(i) grupoidi, nesnelerden oluşan bir kümesi içermektedir.
(ii) grupoidi, her nesneleri için ten ye tanımlı morfizmaların oluşturduğu bir kümesini içerir. Bu kümeden alınan bir morfizması şeklinde gösterilir.
(iii) Her nesnesi için dir.
(iv) Her için ten ye giden ve den ye giden morfizmaların bileşkesi şu şekilde tanımlanır: öyle ki (v) Her için nesnesinden nesnesine giden morfizmaların tersi şu şekilde tanımlanır:ve fonksiyonu her, ve morfizmaları için aşağıdaki özellikleri sağlar:
ve.
.
ve.
Bağlı Grupoid
Kategori teorisel bir G grupoidi alalım. Eğer her için kümesi boş kümeden farklı ise ye bağlı grupoid denir.
Örnekler
Grup Olarak Grupoid
Her grup bir grupoiddir. Örnek olarak () grubunu düşünelim. Grupoidin grup teorisindeki tanımını kullanarak bu grubun bir grupoid olduğunu gösterelim. kümesini ve operatörünü ele alacağız. Rastgele alalım.
(i) Bileşim: ve nin tanımlı olduğunu biliyoruz. O halde +nın Z üzerinde bileşim özelliğini sağladığından elde edilir.
(ii) Tersinirlik: Her için vardır ve olur. Bunun yanı sıra, özellikleri de sağlanır.
(iii) Özdeşlik: tanımlı olduğu için
,
olur.
Sonuç olarak () bir grupoiddir.
Lineer Fonksiyonlar
Nesneleri vektör uzayları ve morfizmaları birebir ve örten lineer (doğrusal) fonksiyonlar olan bir kategorisi grupoid belirtir. Kategori teorisindeki grupoid tanımını kullanarak in bir grupoid olduğunu gösterelim.
(i) .
(ii)
(iii) Rastgele bir nesnesi alalım. Bariz bir şekilde birim fonksiyonu birebir, örten ve lineer olduğundan olur.
(iv) Herhangi üç nesneleri alalım. kümesinden ve şeklinde tanımlı iki morfizma düşünelim. ve nin birebir, örten ve lineer fonksiyonlar olduğunu biliyoruz. şeklinde tanımlı bileşke fonksiyonunun birebir, örten ve lineer olduğunu göstermeliyiz.
İki birebir fonksiyonun bileşkesi de birebir olacağından ve ile birebir olduğundan ötürü birebirdir.
İki örten fonksiyonun bileşkesi örten olduğundan örten bir fonksiyon olur.
İki lineer fonksiyonun bileşkesinin de lineer olduğu bilindiğinden de lineer bir fonksiyon olur.
Sonuç olarak olur ve dolayısıyla öyle ki; şeklinde tanımlanabilir.(v) Herhangi iki nesneleri ve rastgele bir morfizması ele alalım. birebir ve örten olduğundan vardır. lineer bir fonksiyon olduğundan de lineerdir. Sonuç olarak olur. Bu örnekte morfizmalar fonksiyon olduğundan rastgele alınan, ve morfizmaları için aşağıdaki özellikler de sağlanmaktadır:.
.
. Sonuç olarak bir grupoiddir.
Topolojik Uzay
Herhangi bir topolojik uzayı ele alalım. Bu uzaydaki bir noktadan başka bir noktaya giden yollar kategori teorisinde bir grupoid belirtir. Bu yolların kümesine diyerek nesneler ve morfizmalar kümelerini aşağıdaki gibi tanımlayalım:
(i)
(ii) .
Burada kümesi homotopi denklik sınıflarından oluşmaktadır. Rastgele bir aldığımızda bu eleman 'ye homotopik olan yolları içermektedir.
(iii) Rastgele bir nesnesi alalım. fonksiyonunun ten e giden bir morfizma olduğunu gösterelim. fonksiyonu bir yol olup bariz bir şekilde olur. Sonuç olarak denilir.
(iv) Rastgele alalım. Herhangi iki, morfizmalarını düşünelim. O zaman öyle ki iyi tanımlıdır, çünkü şeklinde uzayında bir yol belirtir. Sonuç olarak dir.
(v) Rastgele ve alalım. Bariz bir şekilde 'dir.
Tanımların denkliği
Grupoidin grup teorisindeki tanımı ile kategori teorisindeki tanımı birbirine denktir. İspatını yaparken, bir grupoidi, kategori teorisindeki gibi tanımlansın diyelim. Bu grupoidin grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını göstereceğiz.
grupoidi kategori teorisindeki tanıma göre ikisi de boş kümeden farklı nesneler kümesinden ve morfizmalar kümesinden oluşur. Bu kümelere sırasıyla ve diyelim. Rastgele bir nesnesi alalım. ten xe giden morfizmaların kümesi 'in bileşim, tersinirlik ve özdeşlik özelliklerini sağladığını gösterelim.(i) Bileşim: Rastgele alalım. nin kategori teorisindeki tanımına göre ve tanımlıdır. Yine kategori teorisindeki tanıma göre özelliği sağlanır.
(ii) Tersinirlik: Herhangi bir morfizması alalım. Kategori teorisindeki tanıma göre her morfizmanın tersi vardır. Dolayısıyla nin de tersi vardır ve olur. Bu yüzden. Tekrar kategori teorisindeki tanıma göre ve olur. Sonuç olarak tersinirlik özelliği sağlanır.
(iii) Özdeşlik: Herhangi iki morfizmaları alalım. olduğunu biliyoruz. O halde

ve
özellikleri sağlanır.
Şimdi de grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağlayan grupoidinin kategori teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını gösterelim. operatörünü fonksiyon bileşkesi olarak düşünerek nesneler ve morfizmalar kümesini oluşturalım. olacak şekilde; (i)
(ii) kümeleri grupoidinin sırasıyla nesneler ve morfizmalar kümeleridir. Böylece, kategori teorisindeki grupoid tanımına göre (i) ve (ii) sağlanmış olur.
(iii) Rastgele bir nesnesi olsun. şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyonun kümesinin bir elemanı olduğunu gösterelim. nin grup teorisindeki grupoid tanımından dolayı ve özellikleri sağlanacağından olur.
(iv) Herhangi üç nesnelerini ele alalım. Rastgele iki, morfizmaları olsun. nın olduğunu gösterelim. olduğundan olur dolayısıyla ve elde edilir. Sonuç olarak, olur.
(v) Rastgele nesneleri ve morfizmasını ele alalım ve olduğunu gösterelim. , grup teorisindeki grupoid tanımını sağladığından olmaktadır. olduğundan ve sağlanmaktadır. Yine nin sağladığı tanımdan dolayı ve olduğu görülür. Sonuç olarak sağlanarak elde edilmiş olur.
Öte yandan kümesi üzerinde olacak şekilde bir ilişkisi vardır.
Sonuç olarak bir kategoridir.
Önermeler
Denklik bağıntısı ile ilişkisi
ilişkisi, üzerinde bir denklik bağıntısıdır. Kanıtını şöyle açıklayabiliriz: olan rastgele bir alalım. Bariz bir şekilde olur. Dolayısıyla dir. Böylelikle bağıntısının simetri özelliğini sağladığı görülür. Rastgele alalım. ve olduğunu varsayalım ve olduğunu gösterelim.
ve olduğundan; ve olur. Buradan da eşitliğine ulaşılır. Dolayısıyla dir. Sonuç olarak ilişkisi kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır.
Morfizma Kümesi ve Grup İlişkisi
Kategori teorisel herhangi bir grupoidi alalım. Her nesnesi için kümesi bir gruptur. Kanıtını açıklayalım;
Kapalılık: Rastgele alalım. bileşke fonksiyonu da ten e giden bir morfizma olacağından kümesi bileşke işlemi altında kapalıdır.
Bileşim: Herhangi alalım. grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre eşitliği sağlandığından bileşke işlemi kümesi içinde bileşim özelliğini sağlar.
Birim eleman: grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre her nesnesi için olduğundan ve özellikleri sağlandığından birim eleman vardır ve tektir.
Ters eleman: Rastgele bir alalım. nin kategori teorisindeki tanımından dir ve ve olmaktadır.
Morfizma Kümesi ve Grup İzomorfizma İlişkisi
bağlı bir grupoid olsun. Rastgele alalım.
Bir morfizması için öyle ki bir grup izomorfizmasıdır. Yani:
(i) bir grup homomorfizmasıdır.
(ii) birebirdir.
(iii) örtendir.
Kanıtını şöyle açıklayabiliriz:
Rastgele alalım. O halde,
Sonuç olarak bir grup homomorfizmasıdır.
Herhangi iki alalım ve olsun. O halde,
Buradan da elde edilir. O halde birebirdir.
Görüntü kümesinden yani den bir elemanı alalım. O halde öyle bir arıyoruz ki olsun. O halde alırsak;
olur. O halde örtendir.
Sonuç olarak bir grup izomorfizmasıdır.
Temel gruba geçiş
Rastgele bir için grubuna grupoidinin temel grubu adı verilir.
Cebir
Kategori teorisi
Grup teorisi