Hamilton optiği

Hamiltonyan optik ve Lagrange optiği, matematiksel formülasyonlarının büyük bir kısmını Hamilton mekaniği ve Lagrange mekaniği ile paylaşan Geometrik optiğin iki formülasyonudur.
Hamilton Prensibi
Fizikte, Hamilton ilkesi, bir sistemin evriminin, ve parametreleriyle belirtilen iki durum arasında genelleştirilmiş koordinatla tanımlanan bir sabit noktayla (varyasyonun sıfır olduğu bir nokta), hareket fonksiyonu, tanımlandığını belirtir. Başka bir deyişle,
olmak üzere,
koşulu ancak ve ancak iken Euler-Lagrange denklemleri

şartını sağladığında geçerlidir.
Momentum,
olarak tanımlandığında, iken Euler-Lagrange denklemleri,
şeklinde yeniden yazılabilir.
Bu problemin çözümüne farklı bir yaklaşım Hamiltonyen aşağıdaki gibi tanımlanmasını içerir (Lagrange denkleminin Legendre dönüşümünü alarak),
Lagrangeın parametre ya, konumlara ve konumların ya göre türevlerine nasıl bağlı olduğuna bakılarak yeni bir diferansiyel denklem seti üretilebilir. Bu türetme, Hamiltonyen mekaniğindeki ile aynıdır, ancak şimdi zamanı genel bir parametre ile değiştirilmiştir. Bu diferansiyel denklemler iken Hamilton denklemleridir.
Hamilton denklemleri birinci dereceden Diferansiyel denklemler iken, Euler-Lagrange denklemleri ikinci derecedir.
Lagrange optiği
Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Lagrange optiğine uygulanabilir. 3 boyutlu Öklid uzayında genelleştirilmiş koordinatlar artık Öklid uzayının koordinatlarıdır.
Fermat İlkesi
Fermat ilkesi, iki sabit nokta arasındaki ve arasındaki ışığın izlediği yolun optik uzunluğunun durağan bir nokta olduğunu belirtmektedir. Bu nokta maksimum, minimum, sabit veya dönüm (büküm) noktası olabilir. Genel olarak, ışık ilerledikçe, uzayda skaler konum alanının değişken kırılma indisi oluşturduğu bir ortamda ilerler yani 3D Öklid uzayında
yazılabilir. Şimdi ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediğini varsayarsak, bir ışık ışınının yolu noktasından başlayarak

noktasında bitmek üzere
ile parametrize edilebilir. Bu durumda Hamilton ilkesine kıyasla, genelleştirilmiş koordinatlar
nın rolünü
ve
koordinatları alırken,
ise
parametresinin rolünü alır yani parametre ve.
Diferansiyel kalkülüs bağlamında bu denklem,
tarafından verilen ışın boyunca alınan sonsuz küçüklükteki bir yer değiştirme olmak üzere,
olarak yazılabilir. olmak üzere optik Lagrange
şeklinde tanımlanır. Optik yol uzunluğu (OYU) şu şekilde tanımlanır:
burada n, A ve B noktaları arasındaki yol boyunca bir konumun fonksiyonu olarak yerel kırılma indisidir.
Euler-Lagrange denklemleri
Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Fermat prensibinde tanımlanan Lagrange denklemini kullanarak optiğe uygulanabilir. Fermat prensibine ve parametreleriyle uygulanan Euler-Lagrange denklemleri,
Sonucunu verir, burada, optik Lagrange ve
olarak tanımlanmıştır.
Optik momentum
Optik momentum aşağıdaki gibi tanımlanır:
ve optik Lagrangian
tanımından yola çıkılarak bu ifade
olarak yeniden yazılabilir. Vektör formatında bu denklem aşağıdaki gibi yazılabilir,
burada
bir birim vektördür ve açılar, ve, 'nin sırasıyla ve eksenlerine şekil optik momentum da gösterildiği gibi sırasıyla yaptığı açılardır. Bu nedenle optik momentum şu norma sahiptir
burada n, p'nin hesaplandığı kırılma indisidir. Vektör, ışığın yayılım yönünde işaret eder. Eğer ışık değişken indis optiğinde yayılıyorsa, ışık ışınının yolu eğridir ve vektörü ışık rayına teğettir.
Optik yol uzunluğu ifadesi optik momentumun bir fonksiyonu olarak da yazılabilir. olduğunu hesaba katarak, Lagrange denklemi yeniden şöyle yazılabilir,
Ve optik yol uzunluğunun formülü ise aşağıdaki gibi yazılır,
Hamilton denklemleri
Hamilton mekaniğinde olduğu gibi, optikte de Hamilton denklemi için yukarıda karşılığı verilmiş
ve denklemleriyle şu şekilde tanımlanır,
Bu ifadeyi Lagrange için
ifadesiyle karşılaştırmak aşağıdaki sonucu verir,
Ve σ =x3 and k=1,2 parametreleriyle optiğe uygulanan Hamilton denklemleri,
şeklinde yazılabilir. Burada
and
olarak alınmıştır.
Uygulamalar
Işığın ekseni boyunca ilerlediği varsayıldığında, yukarıdaki Hamilton denkleminde, ve koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken, σ parametresinin rolünü alır. Yani, parametre ve.
Kırılma ve yansıma
Eğer düzlemi, aşağıda ve altında kırılma indisine sahip medyaları ayırırsa, kırılma indisi bir basamak fonksiyonu ile verilir
ve Hamilton denklemlerinden k=1,2 olmak üzere aşağıdaki denklem elde edilir,
Ve böylece
ya da
çıkarımları yapılabilir.
Gelen bir ışık ışını kırılma öncesinde ( düzleminin altında) momentumuna ve kırılma sonrasında ( düzlemi üzerinde) momentumuna sahiptir. Işık ışını kırılmadan önce ekseni (kırıcı yüzeyin normali) ile açısı ve kırılma sonrası ekseni ile açısı yapar. Momentumun ve bileşenleri sabit olduğu için yalnızca 'dan 'ye değişir.
Şekil "kırılma", bu kırılmanın geometrisini gösterir; bu kırılma
.
ve
olduğundan, son ifade aşağıdaki gibi yazılabilir
bu ifade Snell kırılma yasasını verir.
Kırılma şeklinde görüldüğü üzere, kırıcı yüzeyin normali ekseninin ve
vektörünün yönündedir. Daha sonra
birim normal vektörü aşağıdaki ifadeden elde dilebilir.
burada i ve r, gelen ışın ve kırılmış ışın yönlerindeki birim vektörlerdir. Ayrıca, giden ışın ( yönünde) gelen ışın ( yönünde) ve yüzey normali ile aynı düzlemdedir.
Benzer bir argüman, dik açılı yansımalarda yansıma yasası türetilmesinde kullanılabilmektedir, ancak şu an eşitliği, ile sonuçlanmaktadır. Ayrıca, ve, sırasıyla gelen ışın ve kırılmış ışın doğrultusunda birim vektörlerse, yüzeye karşılık gelen normal, kırılma ile aynı ifadeyle, ancak ile verilir
Vektör formunda, eğer, gelen ışın yönünde işaret eden bir birim vektör ise ve, yüzeyin normali ise, kırılan ışınının yönü şöyledir:
burada aşağıdaki ifadeye eşittir.
Eğer i⋅n<0 ise hesaplamalarda −n kullanılmalıdır. olduğunda, ışık tam iç yansıma gösterir ve yansıyan ışının yansıma ifadesi şu şekilde yazılabilir,
Işınlar ve Dalga cepheleri
Optik yol uzunluğunun tanımından
iken Euler-Lagrange denklemlerinden yararlanılarak,
İfadesi yazılabilir. Ayrıca Hamilton denklemlerinin sonuncusunu, yukarıda kanıtlanan eşitliğini ve
denklemini momentum 'nin bileşenlerini dikkate alarak birleştirmek aşağıdaki sonucu verir:
, ışık ışınlarına teğet vektörü olduğundan, Sabit yüzeyler bu ışık ışınlarına dik olmalıdır. Bu yüzeylere Dalga Cephesi denir. Şekil "ışınlar ve dalga cepheleri" bu ilişkiyi göstermektedir. Ayrıca bir ışık ışınına tanjant ve dalga cephesine dikey olan optik momentum gösterilmiştir.
Vektör alanı korunan vektör alanıdır. Gradyan teoremi daha sonra optik yol uzunluğuna (yukarıda verilen şekilde) uygulanabilir ve sonuç olarak
elde edilir ve ve noktaları arasındaki eğrisi boyunca hesaplanan optik yol uzunluğu, sadece ve uç noktalarının bir fonksiyonudur ve aralarındaki eğrinin şekli değildir. eğri kapalı ise, özellikle, bu başlar ve aynı noktada sona erer başka bir deyişle olur böylece
sonucuna ulaşılır.
Bu sonuç "optik yol uzunluğu" şekli gibi kapalı bir yoluna uygulanabilir ve aşağıdaki denklem elde edilir,
Eğri doğru parçası için optik momentum, eğrisi boyunca bir yer değiştirmesine diktir yani
Aynı şey doğru parçası için de geçerlidir. doğru parçası için optik momentum, yer değiştirme ile aynı yöndedir ve

doğru parçası için, optik momentum, yer değiştirme ile zıt yönde ve
Ancak integral yönünü tersine çevirerek integralin A'dan D'ye çekilmesi, ds yönü tersine çevirilirse elde dilen eşitlik olur. Bunlar hesaba katıldığında
ya da
sonuçlarına varılır ve bunları birbirine bağlayan ışın boyunca ve noktaları arasındaki optik yol uzunluğu, ve noktaları arasındaki ışın boyunca optik yol uzunluğu ile aynıdır. Optik yol uzunluğu, dalga cepheleri arasında sabittir.
Faz uzayı
Şekil "2D faz uzayı", üst tarafında iki boyutlu uzayda bazı ışık ışınlarını göstermektedir. Burada olduğundan ışık düzlemi doğrultusunda artan değerleriyle ilerlemektedir. Bu durumda, ve olduğundan ışınının yönü momentumun bileşeni tarafından tamamen tanımlanır
verilirse, hesaplanabilir (kırılma indisi değeri verilirse) ve bu nedenle, ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. Işının seyahat ettiği ortamın kırılma indisi ifadesiyle belirlenir.
Örneğin, ışın eksenini, konumunda ortalayan yarıçapı olan bir çember üzerinde ucu bulunan optik bir momentum ile koordinatından kesmektedir. Koordinatını ve momentum 'nin yatay koordinatını, ışını 'yi, eksenini keserken tamamen tanımlar. Bu ışın daha sonra, şeklin alt kısmında gösterildiği gibi uzayında bir nokta ile tanımlanabilir. Uzay 'e faz uzayı denir ve farklı ışık ışınları bu alanda farklı noktalardan temsil edilebilir.
Bu durumda, en üstte gösterilen ışın, alttaki faz uzayında bir nokta ile temsil edilir. ve Işınları arasında bulunan koordinatında ekseni geçen tüm ışınlar, faz uzayında ve noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Buna göre, ve ışınları arasında bulunan koordinatında eksenini geçen tüm ışınlar, faz uzayında ve noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Genel olarak, ekseni ve arasında geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir hacmi ile gösterilir. hacminin sınırındaki ışınlara kenar ışınları denir. Örneğin, ekseni koordinat 'da, ışınlar ve, diğer ışınlar bu ikisi arasında bulunduğu için kenar ışınlarıdır.
Üç boyutlu geometride momentum

with ve verilirse, hesaplanabilir (kırılma indisinin değeri verilir) ve bu nedenle ve ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. ekseni boyunca ilerleyen bir ışın daha sonra düzleminde bir nokta ve bir yönde tanımlanır. Daha sonra, dört boyutlu faz uzayı 'deki bir nokta ile tanımlanabilir.
Etendue korunması
Şekil "hacim değişimi" (hacmin varyasyonu), alanı ile sınırlanmış bir hacim 'yi gösterir. Zamanla, sınırı hareket ederse, hacmi değişebilir. Bilhassa, sonsuz küçük alan birimi dışa doğru işaret eden bir birim normali doğrultusunda hızı ile hareket ettiğinde, hacim değişimine şu şekilde yol açar:
Gauss teoreminden yararlanarak, uzayda hareket eden toplam hacminin zaman içerisinde değişimi:
En sağdaki terim, hacim V üzerindeki hacim integrali ve orta terim, hacim 'nin sınır 'sı üzerindeki yüzey integralidir. Ayrıca, , noktalarının hangi hareket ettiği hızdır.
Optikte
zamanın rolünü üstlenir. Faz uzayında ışık ışını hızı ile ilerleyen bir nokta ile tanımlanır. Burada nokta e göre türevi temsil eder.
koordinatında koordinatında koordinatında ve koordinatında üzerine yayılmış bir ışık ışını seti, faz uzayında hacmini kaplar. Genel olarak, geniş bir ışın grubu Gauss teoreminin uygulanabileceği faz uzayında büyük bir hacim yi kaplar,
Ve Hamilton denklemlerini kullanarak,
sonucuna varılır. Yani,
ve
bu, ışık bir optik sistem boyunca ilerledikçe faz alan hacminin korunması anlamına gelir.
Faz uzayında bir dizi ışın tarafından kullanılan hacim, yönündeki optik sistemde ışık ışınları ilerledikçe korunan etendue olarak adlandırılır. Bu Liouville teorisine karşılık gelir ve bu da Hamilton mekaniği için de geçerlidir.

Bununla birlikte, mekanikte Liouville teoremi anlamı, eminin korunması teorisinden oldukça farklıdır. Liouville teoremi aslında doğasında istatistikseldir ve aynı özelliklere sahip, ancak başlangıç koşulları farklı mekanik sistemlerin bir topluluğunun zaman içindeki evrimini ifade eder. Her sistem, faz uzayında tek bir nokta ile temsil edilir ve teorem, faz uzayındaki noktaların ortalama yoğunluğunun zaman içinde sabit olduğunu belirtir. Buna bir örnek, konteynerde dengede mükemmel bir klasik gaz molekülü olacaktır. Bu örnekte boyutlarına sahip olan, faz uzayındaki her nokta, , molekül sayısıdır ve temsil eden noktaların yoğunluğunun istatistiksel bir ortalamasını almaya yetecek kadar büyük bir topluluk olan aynı kapların bir grubunu temsil eder. Liouville teoremine göre, tüm kaplar dengede kalırsa puanların ortalama yoğunluğu sabit kalır.
Görüntüleme ve görüntülemesiz optik
Şekil "etendue korunumu" solda, ve olduğu diyagramsal iki boyutlu bir optik sistemi gösterir, bu nedenle ışık x3 değerleri artan yönünde ilerler.
Noktanın noktasındaki optik giriş alanını geçen ışık ışınları giriş alanının (şeklin sağ alt köşesi) faz uzayında ve noktaları arasındaki dikey bir çizgi ile temsil edilen kenar ışınları ve arasında bulunur. Giriş alanını geçen tüm ışınlar faz uzayında bir bölge ile temsil edilir.
Ayrıca, noktanın x1 = x0 noktasındaki optik çıkış açıklığından geçen ışık ışınları, çıkış açıklığının faz uzayında ve noktaları arasında dikey bir çizgi ile gösterilen kenar ışınları ve arasında bulunur (sağ üst köşe şekli). Çıkış açıklığından geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir bölge ile gösterilir.
Optik sistemdeki etenduenin korunması, giriş alanındaki tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacmin (veya bu iki boyutlu durumda olan alanın) çıktı alanındaki tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacim ile aynı olması gerektiği anlamına gelir.
Görüntülenen optikte giriş diyaframını 'de geçen tüm ışık ışını olarak çıkış deliğine doğru yönlendirilir. Bu, girişte bir büyütme ile çıktıda bir görüntü oluşturulmasını sağlar. Faz uzayında, bu, girişteki faz uzayındaki dikey çizgilerin çıktıda dikey çizgiler haline dönüştüğü anlamına gelir. Bu, 'da dikey çizgi 'nin 'da dikey çizgi 'ye dönüştürüldüğü durumda olurdu. Görüntüsüz optikte amaç, bir görüntü oluşturmak değil yalnızca giriş ışık aralığından çıkış diyaframına tüm ışığı aktarmaktır. Bu, 'nın kenar ışınları 'yi 'nun kenar ışınlarına dönüştürerek başarılır. Bu, kenar ışınları prensibi olarak bilinir.
Genelleştirmeler
Yukarıdaki Hamilton ilkesinde, ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediği farz edildi,
ve koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken, parametre rolünü üstlenir, yani parametre ve 'dir. Bununla birlikte, genelleştirilmiş koordinatların kullanımı kadar, ışık ışınlarının farklı parametrizasyonları da mümkündür.
Genel ışın parametrizasyonu
Bir ışık ışınının yolunun, σ'nın genel bir parametre olduğu

olarak parametrize edildiği daha genel bir durum düşünülür. Bu durumda, yukarıdaki Hamilton ilkesine kıyasla, ve koordinatları, genelleştirilmiş koordinatlarının olduğu rolünü üstlenirler. Bu durumda optikte Hamilton ilkesinin uygulanması,
ve şimdi


ve bu Fermat ilkesinin formuna uygulanan Euler-Lagrange denklemleri aşağıdaki sonucu verir,
burada ve optik Lagrangedır. Bu durumda da optik momentum şu şekilde tanımlanır:
ve Hamilton denklemlerinde, yukarıda tanımlanan ve için verilen ve fonksiyonlarına karşılık gelen ifade ile tanımlanır.
Ve iken Hamilton denklemlerinin optiğe uyarlanmış hali,
burada ve olarak alınır. Optik Lagrange aşağıdaki gibidir,
ve açıkça parametre 'ya bağlı değildir. Bu nedenle, Euler-Lagrange denklemlerinin tüm çözümleri ışık ışınları için mümkün olmayacaktır, çünkü türevleri optikte meydana gelmeyen üzerine 'nin açık bir bağımlılığa sahiptir.
Optik momentum bileşenleri aşağıdaki yoldan elde edilebilir,
burada ve Lagrange ifadesi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir,
için bu ifadeyi Hamilton ifadesi ile karşılaştırıldığında,
sonucuna ulaşılır. nın bileşenlerinden yararlanılarak optik momentum aşağıdaki gibi bulunur,
Başka şekilde seçilebilecek olsa da Optik Hamilton aşağıdaki gibi seçilmiştir:
ve ile tanımlanan Hamilton denklemleri, olası ışık ışınlarını tanımlar.
Genelleştirilmiş koordinatlar
Hamilton mekaniğinde olduğu gibi Hamilton optik denklemlerini genelleştirilmiş koordinatlar ve genelleştirilmiş momenta ve Hamilton işlevi açısından yazmak mümkündür:
burada optik momentum aşağıdaki şekilde verilmiştir:
ve, ve birim vektörlerdir.
Özel bir durum bu vektörlerin ortonormal baz oluşturduğunda görülür. Ortonormal bazda bütün temel birim vektörler birbirine diktir.
Bu durumda optik momentum ile birim vektör arasındaki açının kosinüsü ifadesine eşittir.