Çevre açı

Geometride, çevre açı, çember üzerinde iki sekant (kesen) çizgisi kesiştiğinde bir çember üzerinde oluşan açıdır. Çember üzerindeki bir nokta (açının tepe noktası) ile çember üzerinde verilen diğer iki noktanın oluşturduğu açı olarak da tanımlanabilir.
Eşdeğer olarak, bir çevre açı, bir bitiş noktasını paylaşan çemberin iki kirişiyle tanımlanır.
Çevre açı teoremi, bir çevre açının ölçüsünü, aynı yayı oluşturan merkezi açının ölçüsü ile ilişkilendirir.
Çevre açı teoremi, Öklid'in "Elementler" kitabının 3. kitabında Önerme 20 olarak görünür.
Teorem
Açıklama
Çevre açı teoremi, bir çember içine çizilmiş bir açısının, çember üzerindeki aynı yaya karşılık gelen (veya aynı yayı gören) merkezi açı 'nın yarısı olduğunu belirtir. Bu nedenle, tepesi çember üzerinde farklı konumlara taşındığında açı değişmez.
İspat
Bir kirişin çap olduğu çevre açılar
Şekilde görüldüğü gibi bir çemberin merkezi olsun. Çember üzerinde iki nokta seçelim ve bunlara ve diyelim. doğrusunu çizelim ve 'yu geçecek şekilde uzatalım, böylece noktasının çapa göre zıttı olan noktasında çemberle kesişir. Tepe noktası olan ve kenarları ve noktalarından geçen bir açı çizelim.
doğrusunu çizelim. Açı, bir merkez açıdır; buna diyelim. ve çizgilerinin her ikisi de çemberin yarıçaplarıdır, bu nedenle eşit uzunluklara sahiptirler. Bu nedenle, üçgeni ikizkenardır, öyle ise açısı (çevre açı) ve açısı eşittir; her birini olarak gösterelim.
ve açıları bütünlerdir. 'dan geçen çizgisi düz bir doğru olana kadar toplamları 'ye kadar artar. Bu nedenle, açısının ölçüsü olarak alınabilir.
Bir üçgenin üç açısının toplamının olduğu ve üçgeninin üç açısının:


.
Bu nedenle,

Her iki taraftan 180 çıkarırsak,

burada, yayını gören merkez açı ve, yayını oluşturan çevre açıdır.
Çemberin merkezi, açının içinde kalan çevre açılar
Merkezi noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta, ve alalım. ve doğrularını çizelim: açısı, bir çevre açıdır. Şimdi doğrusunu çizelim ve onu noktasında çemberle kesişecek şekilde noktasını geçecek şekilde uzatalım. açısı, çember üzerindeki yayını görür.
Bu yayın, içinde noktasını içerdiğini varsayalım. noktası, noktasının çapa göre karşısıdır. ve açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir.
Bu nedenle,

o zaman,



Böylece

ve doğrularını çizelim. ve açıları gibi açısı da merkezi bir açıdır ve




olsun, böylece

Birinci bölümden biliyoruz ki ve 'dir. Bu sonuçların denklem (2) ile birleştirilmesi aşağıdaki sonucu verir:

bu nedenle, denklem (1)'den aşağıdaki sonuç elde edilir:
Çemberin merkezi, açının dışında kalan çevre açılar
Önceki durum, çevre açının ölçüsünün, bu ispatın ilk bölümünde tartışıldığı gibi iki çevre açı arasındaki fark olduğu durumu kapsayacak şekilde genişletilebilir.
Merkezi noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta, ve seçilsin. ve doğrularını çizelim: açısı, bir çevre açıdır. Şimdi doğrusunu çizelim ve noktasında çemberle kesişecek ve noktasını geçecek şekilde uzatalım. açısı, çember üzerindeki yayını görür.
Bu yayın, içinde noktasını içermediğini varsayalım. noktası, noktasının çapa göre zıttıdır. ve açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1'deki teorem bunlara uygulanabilir.
Bu nedenle,
.
o zaman,



olsun, böylece

ve doğrularını çizelim. ve açıları gibi açısı da merkezi bir açıdır ve




olsun, böylece

Birinci bölümden biliyoruz ki ve şu. Bu sonuçların denklem (4) ile birleştirilmesi,

bu nedenle, denklem (3) ile aşağıdaki ifadeye ulaşılır:
Sonuç
Benzer bir argümana göre, bir kiriş ile onun kesişme noktalarından birinde teğet doğrusu arasındaki açı, kirişin kapsadığı merkezi açının yarısına eşittir. Ayrıca bkz. Çemberlere teğet doğrular.
Uygulamalar
Çevre açı teoremi, düzlemin temel Öklid geometrisinin birçok ispatında kullanılır. Teoremin özel bir durumu, bir çapın kapsadığı açının her zaman, yani bir dik açı olduğunu belirten Thales teoremidir. Teoremin bir sonucu olarak, kirişler dörtgeninin zıt açılarının toplamı 'dir ve tersine, bunun doğru olduğu herhangi bir dörtgen bir çember içerisine çizilebilir. Başka bir örnek olarak, çevre açı teoremi, bir çembere göre bir noktanın kuvveti ile ilgili birkaç teorem için temel oluşturur. Dahası, iki kiriş bir çember içinde kesiştiğinde, parçalarının uzunluklarının çarpımlarının eşit olduğunu kanıtlamaya izin verir.
Elipsler, hiperboller ve paraboller için çevre açı teoremleri
Çevre açı teoremleri elipsler, hiperboller ve paraboller için de mevcuttur. Temel farklar, bir açının ölçümleridir. (Bir açı, bir çift kesişen çizgi olarak kabul edilir.)
Elips
Hiperbol
Parabol