Kesişme teoremi

Thales teoremi (aynı adı taşıyan başka bir teoremle karıştırılmamalıdır) veya temel orantı teoremi olarak da bilinen kesişme teoremi, kesişen iki çizginin bir çift paralelle kesilmesi durumunda oluşturulan çeşitli çizgi parçalarının oranları hakkındaki temel geometride önemli bir teoremdir. Benzer üçgenlerdeki oranlarla ilgili teoreme eşdeğerdir. Geleneksel olarak Yunan matematikçi Thales'e atfedilir.
Formülasyon
'nin iki çizginin kesişme noktası olduğunu ve, 'nin iki paralelle ilk çizginin kesişim noktası olduğunu varsayalım, öyle ki, 'den 'dan daha uzaktır ve benzer şekilde, ikinci doğrunun iki paralelle kesişimleridir, öyle ki, 'den 'den daha uzaktır.
1. İlk satırdaki herhangi iki doğru parçasının oranları, ikinci satırdaki ilgili doğru parçalarının oranlarına eşittir:
,
,
2. ile başlayan aynı çizgi üzerindeki iki doğru parçasının oranı, paralellerdeki doğru parçalarının oranına eşittir:
3. İlk ifadenin tersi de doğrudur, yani kesişen iki çizgi rastgele iki çizgi tarafından kesilirse ve
ise kesişen iki çizgi paraleldir. Ancak ikinci ifadenin tersi doğru değildir.
4. 'de kesişen ikiden fazla çizgi varsa, paraleldeki iki doğru parçasının oranı, diğer paraleldeki ilgili doğru parçalarının oranına eşittir:
,
Aşağıdaki ikinci grafikte üç çizgili duruma bir örnek verilmiştir.
İlk kesişim teoremi, çizgilerin bölümlerinin oranlarını gösterir, ikincisi, çizgilerin bölümlerinin oranları ile birlikte paralellerin bölümlerini, son olarak üçüncüsü, paralellerin bölümlerinin oranlarını gösterir.
İlgili kavramlar
Benzerlik ve benzer üçgenler
Kesişme teoremi, benzerlik ile yakından ilgilidir. Benzer üçgenler kavramına eşdeğerdir, yani benzer üçgenlerin özelliklerini kanıtlamak için kullanılabilir ve benzer üçgenler kesişme teoremini kanıtlamak için kullanılabilir. Özdeş açıları eşleştirerek, her zaman birbirine benzer iki üçgen elde edilebilir, böylece kesişme teoreminin uygulandığı durum elde edilmiş olur. Ayrıca tersine, kesişme teoremi durumu her zaman iki benzer üçgen içerir.
Vektör uzaylarında skaler çarpım
Normlu bir vektör uzayında, skaler çarpım ile ilgili aksiyomlar (özellikle ve ) kesişme teoreminin geçerli olmasını sağlar. Buradan da aşağıdaki sonuca ulaşılır:
Uygulamalar
Pergel ve cetvel çizimlerinin cebirsel formülasyonu
Yunanların pergel ve düz kenarlı cetvelle yapılan çizimler açısından ortaya koyduğu temel geometride üç ünlü problem vardır:
Daireyi kareyle çevreleme
Küpü iki katına çıkarma
Açıyı üçe bölme
Üçünün de 19. yüzyılda verilen araçlarla, o dönemde mevcut olan cebirsel yöntemlerle imkansız olduğunun gösterilmesi nihayet 2000 yıldan fazla sürdü.
Bunları cisim genişlemesi kullanarak cebirsel terimlerle yeniden formüle etmek için, cisim işlemlerini pergel ve düz kenarlı cetvelle yapılan çizimlerle eşleştirmek gerekir (Bkz. inşa edilebilir sayı).
Özellikle, verilen iki çizgi parçası için, uzunluğu diğer ikisinin uzunluklarının çarpımına eşit olacak şekilde yeni bir çizgi parçasının oluşturulabileceğinden emin olmak önemlidir. Benzer şekilde, uzunluğundaki bir doğru parçası için uzunluğunda yeni bir çizgi parçası inşa edilebilmelidir. Kesişme teoremi, her iki durumda da böyle bir yapının mümkün olduğunu göstermek için kullanılabilir.
Bir çizgi parçasını belirli bir oranda bölme
Ölçme ve tetkik
Keops piramidinin yüksekliği
Bazı tarihsel kaynaklara göre, Yunan matematikçi Thales, Keops piramidinin yüksekliğini belirlemek için kesişme teoremini uyguladı. Aşağıdaki açıklama, piramidin yüksekliğini hesaplamak için kesişme teoreminin kullanımını göstermektedir. Ancak, Thales'in kaybolan orijinal çalışmasını anlatmamaktadır.
Thales, piramidin tabanının uzunluğunu ve direğin yüksekliğini ölçtü. Sonra günün aynı saatinde piramidin gölgesinin uzunluğunu ve direğin gölgesinin uzunluğunu ölçtü. Bu şekilde aşağıdaki verileri elde etti:
direğin yüksekliği (A): 1,63 m
direğin gölgesi (B): 2 m
piramit tabanının uzunluğu: 230 m
piramidin gölgesi: 65 m
Bu verileri kullanarak;
olduğunu hesapladı. A, B ve C'yi bilerek, artık piramidin yüksekliğini hesaplamak için kesişim teoremi uygulanabilir.
Bir nehrin genişliğini ölçmek
Üçgen ve yamuklarda paralel doğrular
Kesişme teoremi, belirli bir çizimin paralel doğru (bölümleri) sağladığını kanıtlamak için kullanılabilir.
Teoremin ispatı
Teoremin temel bir kanıtı, oranlarla ilgili temel ifadeleri türetmek için eşit alanlı üçgenler kullanır (iddia 1). Diğer iddialar daha sonra ilk iddia ve çelişkiyi uygulayarak takip eder.
İddia 1
İddia 2
İddia 3
İddia 4
İddia 4, iki çizgi için kesişme teoremi uygulanarak gösterilebilir.