Felix Hausdorff

Felix Hausdorff (8 Kasım 1868 - 26 Ocak 1942), modern topolojinin kurucularından biri olarak kabul edilen ve küme teorisine, tanımlayıcı küme teorisine, ölçü teorisine ve fonksiyonel analize önemli katkılarda bulunan bir Alman matematikçi.
1938'de Kristallnacht'tan sonra Hausdorff ve ailesi için hayat zorlaştı. Ertesi yıl Amerika Birleşik Devletleri'ne göç etmek için çabalar başlattı, ancak bir araştırma bursu almak için anlaşma yapamadı. 26 Ocak 1942'de Felix Hausdorff, karısı ve yengesi ile birlikte, hakkında herhangi bir yanlış görüş olmamasına rağmen Almanların Endenich kampına taşınması yönündeki emirlerine uymak ve olası sonuçlardan mustarip olmak yerine aşırı doz veronal alarak intihar etti.
Hayatı
Çocukluk ve gençlik yılları
Hausdorff'un babası, Yahudi tüccar Louis Hausdorff (18431896), 1870 sonbaharında genç ailesiyle Leipzig'e taşındı ve zamanla keten ve pamuk ürünleri fabrikası da dahil olmak üzere çeşitli şirketlerde çalıştı. Eğitimli bir adamdı ve 14 yaşında Morenu (yüksek din eğitimi almış bir Yahudi için geleneksel bir dini unvan) olmuştu. Kaleminden, Talmud yasası perspektifinden İncil'in Aramice tercümeleri üzerine uzun bir çalışma da dahil olmak üzere birkaç inceleme vardır.
Hausdorff'un çeşitli belgelerde Johanna olarak da anılan annesi Hedwig (18481902) Yahudi Tietz ailesinden geliyordu. Bu ailenin bir başka şubesinden gelen Hermann Tietz, ilk mağazanın kurucusu ve "Hermann Tietz" denilen mağaza zincirinin sonradan ortak sahibiydi. Nazi diktatörlüğü döneminde ismini Hertie şeklinde "Aryanlaştırmıştı".
1878'den 1887'ye kadar Felix Hausdorff, insancıl eğitimin yuvası olarak ün yapmış bir müessese olan Leipzig'deki Nicolai Okulu'na katıldı. Mükemmel bir öğrenciydi, yıllarca sınıf lideriydi ve okul kutlamalarında sık sık kendi yazdığı Latince veya Almanca şiirleri okudu. 1887'deki mezuniyetinde (iki Oberprimen ile), en yüksek dereceye ulaşan tek kişi oydu.
Hausdorff için konu seçimi kolay olmadı. 1926-1932 yıllarında Bonn'da öğrenci olarak genellikle Hausdorff'un evinde misafir olan Magda Dierkesmann, 1967'de onun hakkında şunları bildirdi:
Lisede fen bilimleri okumaya karar verildi.
Diploma, doktora ve habilitasyon
1887 yaz döneminden 1891 yaz dönemine kadar Hausdorff, esas olarak ana vatanı Leipzig'de bir dönem Freiburg (1888 yaz dönemi) ve Berlin'de (1888/1889 kış dönemi) kesintiye uğrayarak matematik ve astronomi okudu. Diğer öğrencilerin günümüze ulaşan ifadeleri, onu, matematiksel ve astronomik derslere ek olarak, fizik, kimya ve coğrafya derslerine katılan ve aynı zamanda dil, edebiyat ve sosyal bilimler gibi felsefe ve felsefe tarihi üzerine dersler veren, son derece çok yönlü, ilgili genç bir adam olarak gösteriyor. Leipzig'de müzikolog Paul'ün müzik tarihi üzerine derslerini dinledi. Erken dönem müzik aşkı bir ömür sürdü; Hausdorff'un evinde, çeşitli katılımcılar tarafından yapılan tanık ifadelerine göre, ev sahibi ile piyanoda etkileyici müzik akşamları düzenlendi. Leipzig'de bir öğrenci olarak bile, Richard Wagner'in müziğinin hayranı ve uzmanıydı.
Hausdorff, çalışmalarının sonraki dönemlerinde Heinrich Bruns'a (18481919) yakındı. Bruns, Leipzig Üniversitesi'nde astronomi profesörü ve gözlemevi müdürüydü. Onun altında Hausdorff, 1891'de atmosferdeki astronomik ışık kırılması teorisi üzerine bir çalışma ile mezun oldu. Bunu aynı konu üzerine iki yayın izledi ve 1895'te habilitasyonunu atmosferdeki ışığın soğurulması üzerine bir tez izledi. Hausdorff'un bu erken astronomik çalışmaları -mükemmel matematiksel çalışmalarına rağmen- önem kazanmadı. Birincisi, Bruns'un altında yatan fikrin uygulanabilir olduğu kanıtlanmadı (astronomik ufka yakın kırılma gözlemlerine ihtiyaç vardı, ki bu -Julius Bauschinger'in ilerleyen zamanlarda gösterebileceği gibi- prensipte gerekli doğrulukla elde edilemedi). Öte yandan, atmosferik verilerin (hava balonu yükselmeleri) doğrudan ölçümündeki ilerleme, o zamandan beri kırılma gözlemlerinden elde edilen bu verilerin titiz doğruluğunu gereksiz kılmıştır. Doktora ile habilitasyon arasındaki dönemde Hausdorff, bir yıllık gönüllü askeri görevini tamamladı ve iki yıl boyunca Leipzig'deki gözlemevinde insan bilgisayarı olarak çalıştı.
Leipzig'de Doçent
Hausdorff, habilitasyonuyla Leipzig Üniversitesi'nde öğretim görevlisi oldu ve çeşitli matematiksel alanlarda kapsamlı bir öğretime başladı. Matematik öğretmek ve araştırmanın yanı sıra edebi ve felsefi eğilimleriyle devam etti. Farklı ilgi alanlarına sahip, eğitimli, son derece duyarlı ve gelişmiş bir adam olarak Leipzig döneminde, Hermann Conradi, Richard Dehmel, Otto Erich Hartleben, Gustav Kirstein gibi birçok ünlü yazar, sanatçı ve yayıncıyı sık sık ziyaret etti. Max Klinger, Max Reger ve Frank Wedekind. 1897'den yaklaşık 1904'e kadar, edebi ve felsefi yaratıcılığının en yüksek noktasına ulaştı; bu sırada, bir şiir kitabı, bir oyun, bir epistemolojik kitap ve bir aforizma kitabı da dahil olmak üzere 22 eserinden 18'ini takma adla yayınlandı.
Hausdorff, 1899'da Yahudi doktor Siegismund Goldschmidt'in kızı Charlotte Goldschmidt ile evlendi. Üvey annesi, ünlü süfrajet ve okul öncesi öğretmeni Henriette Goldschmidt'ti. Hausdorff'un tek çocuğu, kızı Lenore (Nora) 1900'de doğdu; Nasyonal Sosyalizm çağını atlattı ve 1991'de Bonn'da ölene kadar uzun bir hayat yaşadı.
İlk profesörlük
Aralık 1901'de Hausdorff, Leipzig Üniversitesi'ne yardımcı doçent olarak atandı. Hausdorff'un Göttingen'den bir çağrı aldığı ve reddettiği sık sık tekrarlanan bir iddia olmasına rağmen doğrulanamaz ve muhtemelen yanlıştır. Dean Kirchner, Leipzig'e başvurduğunda, Heinrich Bruns'un yazdığı meslektaşları tarafından çok olumlu bir oylamaya götürülmüş ve yine de şu sözlerle:
Bu alıntı, özellikle 1873'teki Gründerkrach'tan sonra Alman İmparatorluğu boyunca keskin bir yükselişe geçen, aleni anti-Semitizmi vurguluyor. Leipzig, özellikle öğrenciler arasında anti-Semitik hareketin merkeziydi. Hausdorff'un Leipzig'de kendini rahat hissetmemesinin nedeni bu olabilir. Diğer bir neden ise belki de Leipzig profesörlerinin hiyerarşik duruşundan kaynaklanan streslerdi.
Hausdorff, habilitasyonundan sonra optik, Öklid dışı geometri ve hiper karmaşık sayı sistemleri üzerine başka bir çalışma ve olasılık teorisi üzerine iki makale yazdı. Bununla birlikte, ana çalışma alanı kısa sürede küme teorisi, özellikle de sıralı kümeler teorisi haline geldi. Başlangıçta felsefi bir ilgiydi ve onu 1897 civarında Georg Cantor'un çalışmalarını incelemeye yöneltti. Aynı zamanda 1901 yaz döneminde Hausdorff küme teorisi üzerine bir konferans verdi. Bu, küme teorisi üzerine ilk derslerden biriydi; Ernst Zermelo'nun Göttingen Koleji'nde 1900/1901 kış döneminde verdiği dersler biraz daha önceydi. O yıl, dereceli sıra türleri adı verilen iyi sıralamaların bir genellemesini incelediği ve segmentlerinden ikisi aynı sıra türünü paylaşmıyorsa bir doğrusal sıra olarak derecelendirdiği, sıra türleri üzerine ilk makalesini yayınladı. Sayılabilir sıra türleri koleksiyonunun Sürekliliğin sayallığına sahip olduğunu söyleyen ve tüm dereceli eş güçlülük (idempotent) sayallık (kardinalite) türlerinin toplamının 2 sayallığa sahip olduğunu gösteren Cantor-Bernstein teoremini genelleştirdi.
1910 yaz dönemi için Hausdorff, Bonn Üniversitesi'ne profesör olarak atandı. Bonn'da 1912 yaz döneminde tekrarladığı, büyük ölçüde gözden geçirip genişlettiği küme teorisi üzerine bir derse başladı.
1912 yazında, Küme teorisinin temelleri (Basics of set theory) kitabı olan başyapıtı üzerinde çalışmaya başladı. Hausdorff'un yaz dönemi için 1913'te tam profesör olarak atandığı Greifswald'da tamamladı ve Nisan 1914'te yayımlandı.
Greifswald Üniversitesi, Prusya üniversitelerinin en küçüğüydü. Ayrıca matematik enstitüsü küçüktü; 1916 yaz döneminde ve 1916/17 kış döneminde Hausdorff, Greifswald'daki tek matematikçiydi. Bu, temel dersleri öğretmekle neredeyse tamamen meşgul olmasına neden oldu. Hausdorff 1921'de Bonn'a atandığında bu, akademik durumunda önemli bir gelişme oldu. Burada tematik olarak geniş kapsamlı bir öğretim geliştirebilir ve her zaman en son araştırmalar üzerine ders verebilir durumdaydı. Bu teoriyi ölçü-teorik aksiyomatik teoriye dayandırdığı 1923 yaz döneminde olasılık teorisi (NL Hausdorff: Kapsül 21: Fasz 64) üzerine özellikle dikkate değer bir konferans verdi ve bu, A. N. Kolmogorov'un "Temel olasılık teorisi kavramları (Basic concepts of probability theory)" (toplu çalışmalarda tamamı yeniden basılmıştır, Cilt V). Hausdorff, Bonn'da Eduard Study'ye ve daha sonra Otto Toeplitz gibi meslektaşları ve arkadaşlarının yanı sıra seçkin matematikçilerile çalıştı.
Nazi diktatörlüğü altında ve intihar
Ulusal Sosyalist partinin devlet doktrini, anti-Semitizmi ve iktidarı ele geçirmeyi sağladı. Hausdorff, 1914'ten önce Alman bir yetkili olduğu için 1933'te kabul edilen " Profesyonel Kamu Hizmetinin Restorasyonu Yasası (Law for the Restoration of the Professional Civil Service)" ile başlangıçta ilgilenmemişti. Ancak, derslerinden biri Nazi öğrencileri tarafından yarıda kesildiği için tamamen kaçınamadı. 1934/1935 kış dönemi Kalkülüs III kursunu 20 Kasım'da durdurdu. Bu süre zarfında, Bonn Üniversitesi'nde, dönem için tema olarak "Irk ve Etnisite (Race and Ethnicity)"yi seçen Ulusal Sosyalist Alman Öğrenci Birliği'nin (NSDStB-National Socialist German Student Union) bir çalışma oturumu vardı. Varsayım, bu olayın Hausdorff'un sınıfının iptal edilmesiyle ilgili olduğudur, çünkü aksi takdirde, bir üniversite öğretmeni olarak uzun kariyeri boyunca asla bir sınıfı durdurmadı.
31 Mart 1935'te, bazıları gidip geldikten sonra Hausdorff'a nihayet emeritus (bir üniversitede emekli öğretim görevlisine verilen unvan) statüsü verildi. Alman yüksek öğretim sistemindeki 40 yıllık başarılı çalışma için hiçbir teşekkür edilmedi. Yorulmadan çalıştı ve küme teorisi üzerine çalışmasının genişletilmiş baskısına ek olarak, hepsi Polonya dergilerinde yayınlanan topoloji ve tanımlayıcı küme teorisi üzerine yedi eser yayınladı: biri Studia Mathematicada, diğerleri Fundamenta Mathematicaede.
Onun Nachlass'ı (akademide el yazmaları koleksiyonunu tanımlamak için kullanılan Almanca bir kelimedir), Hausdorff'un giderek zorlaşan bu zamanlarda matematiksel olarak hala çalıştığını ve güncel gelişmeleri takip ettiğini gösteriyor. O sırada, Hausdorff'un artık Yahudi olarak girmesine izin verilmeyen enstitünün Kütüphanesinden kitaplar ve dergiler alan Hausdorff ailesinin sadık bir arkadaşı olan Erich Bessel-Hagen tarafından özverili bir şekilde desteklendi.
Hausdorff ve ailesinin özellikle 1938'de Kristallnacht'tan sonra maruz kaldığı aşağılanmalar hakkında, Bessel-Hagen'in mektupları gibi birçok farklı kaynaktan çok şey biliniyor.
Hausdorff, 1939'da matematikçi Richard Courant'tan ABD'ye göç edebilmek için bir araştırma bursu istedi.
1941'in ortalarında Bonn Yahudileri, rahibelerin kovulduğu Endenich'teki "Sürekli Hayranlığa (To Perpetual Adoration)" Manastırına gönderilmeye başlandı. Doğudaki ölüm kamplarına nakiller daha sonra gerçekleşti. Felix Hausdorff, karısı ve (onlarla birlikte yaşayan) karısının kız kardeşi Edith Pappenheim'a Ocak 1942'de Endenich kampına taşınmaları emrini verdikten sonra, 26 Ocak 1942'de aşırı doz veronal alarak intihar ettiler. Son dinlenme yerleri Bonn'daki Poppelsdorfer mezarlığında bulunuyor. Geçici kamplara yerleştirilmeleri ile intiharı arasında, el yazısıyla Nachlassı, evinin bir bomba ile yıkılmasına rağmen mümkün olduğunca çoğunu kurtaran Mısırbilimci ve papaz Hans Bonnet'e verdi.
Yahudi arkadaşlarından bazıları Endenich kampı hakkında hayallere kapılmış olabilir, ancak Hausdorff değil. E. Neuenschwander, Hausdorff'un Yahudi avukatı Hans Wollstein'a yazdığı veda mektubunu Bessel-Hagen arazisinde buldu. İşte mektubun başı ve sonu:
Arkadaşlarına teşekkür ettikten, cenazesi ve vasiyetiyle ilgili son dileklerini büyük bir soğukkanlılıkla ifade ettikten sonra Hausdorff şöyle yazar:
Ne yazık ki bu arzu yerine getirilmedi. Hausdorff'un avukatı Wollstein, Auschwitz'de öldürüldü.
Hausdorff'un kütüphanesi, damadı ve tek varisi Arthur König tarafından satıldı. El yazısı Nachlass, Bonn Mısırbilimci Hans Bonnet adlı bir aile dostu tarafından muhafaza edilmek üzere kabul edildi. Nachlass şu anda Bonn Üniversitesi ve Eyalet Kütüphanesi'nde kataloglanmıştır.
Çalışmaları ve resepsiyon
Filozof ve yazar olarak Hausdorff (Paul Mongré)
Hausdorff'un 1897'de yayınlanan aforizmalar cildi, Paul Mongré takma adıyla yayınlanan ilk çalışmasıydı. Sant 'Ilario. Thoughts from the landscape of Zarathustra (Zerdüşt manzarasından düşünceler) olarak adlandırılır. Sant 'Ilario'nun "Zerdüşt manzarasından düşünceler" alt başlığı, ilk olarak Hausdorff'un kitabını Cenova'nın Ligurian sahilinde bir kurtarma gezisi sırasında tamamlamış olduğu ve aynı alanda Friedrich Nietzsche'nin ilk ikisini yazdığı gerçeğiyle hareket eder. Böyle Buyurdu Zerdüşt'ün (Thus Spoke Zarathustra) bazı bölümleri; aynı zamanda Nietzsche'ye manevi yakınlığından da bahsediyor. Haftalık Die Zukunft gazetesinde Sant 'Ilario hakkında bir makalede Hausdorff, açık bir şekilde () Nietzsche'ye olan borcunu kabul etti.
Hausdorff, Nietzsche'yi kopyalamaya hatta aşmaya çalışmıyordu. Çağdaş bir inceleme "Nietzsche taklidinin izi yok" diyor. Bireysel düşünceyi özgürleştirme, modası geçmiş standartları sorgulama özgürlüğünü alma girişiminde Nietzsche'yi takip eder. Hausdorff, Nietzsche'nin son dönem çalışmalarına kritik mesafeyi korudu. Nietzsche Arşivi'nde bırakılan notlardan derlenen Güç İstenci (The Will to Power) kitabı üzerine yazdığı denemede şöyle diyor:
Nietzsche'nin kendisinden aldığı kritik standardı,
1898'de, yine Paul Mongré takma adıyla, Hausdorff'un epistemolojik deneyi Kozmik seçimde Kaos (Chaos in cosmic selection) ortaya çıktı. Bu kitapta öne sürülen metafizik eleştirisi, Hausdorff'un Nietzsche'nin ebedi yineleme fikri ile yüzleşmesinde başlangıç noktasına sahipti. Nihayetinde her türlü metafiziğin yıkılmasına neden olur. Hausdorff'un ifade ettiği gibi aşkın dünya çekirdeğinden, dünyanın kendisinden hiçbir şey ama hiçbir şey bilmiyoruz. "Dünyanın kendisini" belirsiz ve belirlenemez, salt bir kaos olarak kabul etmeliyiz. Deneyimlerimizin dünyası, kozmosumuz, her zaman içgüdüsel olarak anlayış ve daha fazlasını yapma olanaklarımıza göre yaptığımız seçimin sonucudur. Bu kaostan başka düzenler, muhtemelen diğer Kosmoi de görülebilecek. her halükarda, kozmosumuzun dünyasından, aşkın bir dünyanın varlığı sonucuna ulaşamazsınız.
1904'te The New Rundschau dergisinde Hausdorff'un tek perdelik oyunu Şerefine doktor (The doctor in his honor) oynadı. Gelişmekte olan burjuva toplumda giderek anakronik hale gelen Prusya subay birliklerinin düello ve geleneksel onur ve asalet kavramları üzerine kaba bir hicivdir. Şerefine doktor Hausdorff'un en büyük edebi başarısıydı. 1914-1918'de otuzdan fazla şehirde çok sayıda performans sergiledi. Hausdorff daha sonra oyuna bir son söz yazdı, ancak o zaman oynanmadı. Ancak 2006 yılında bu son sözün prömiyeri, Bonn'daki Alman Matematik Derneği'nin yıllık toplantısında yapıldı.
Hausdorff, yukarıda bahsedilen çalışmaların yanı sıra, dönemin önde gelen edebiyat dergilerinden bazılarında çıkan sayısız makale ve Ecstasy (1900) isimli bir şiir kitabı yazdı. Şiirlerinden bazıları, Avusturyalı besteci Joseph Marx tarafından bestelendi.
Sıralı kümeler teorisi
Hausdorff'un sıralı setlerin kapsamlı bir incelemesine girmesi, kısmen Cantor'un süreklilik probleminden kaynaklandı: serisinde kardinal sayısı hangi sırada yer alıyor? 29 Eylül 1904'te Hilbert'e yazdığı bir mektupta, bu problemden bahsediyor, "neredeyse bir monomani gibi rahatsız etti". kümesinde probleme saldırmak için yeni bir strateji gördü. Cantor 'den şüphelenmişti ama sadece 'in sayılabilir bir kümenin olası iyi sıralamalarının "sayısı" olduğunu göstermişti. bir sayılabilir kümenin olası iyi sıralamalarının "sayısı"dır; artık böyle bir miktardaki olası tüm sıraların "sayısı" olarak ortaya çıkmıştı. Bu nedenle, genel düzenlerden daha özel, ancak iyi sıralamalardan daha genel olan sistemleri incelemek doğaldı. Hausdorff, 1901'deki ilk cildinde, "derecelendirilmiş kümeler" teorik çalışmalarının yayınlanmasıyla tam da bunu yaptı. Kurt Gödel ve Paul Cohen'in sonuçlarından, süreklilik problemini çözmek için bu stratejinin, Cantor-Bendixson prensibini kapalı kümeler için genel sayılamaz kümelere genelleştirmeyi amaçlayan Cantor stratejisi kadar etkisiz olduğunu biliyoruz.
1904'te Hausdorff, kendi adını taşıyan özyinelemeyi yayınladı:
Sınırsız her ordinal için eşitliğine sahibiz.
Bu formül, Hausdorff tarafından ortaya atılan sonraki eş sonluluk kavramı ile birlikte, Alef üssü için tüm diğer sonuçların temeliydi. Hausdorff'un bu tür dizilimin problemlerine ilişkin mükemmel bilgisi, Julius König'in 1904'te Heidelberg'deki Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde verdiği konferanstaki hatayı ortaya çıkarma çabalarıyla da güçlendirildi. Orada König, sürekliliğin iyi düzenlenemeyeceğini, dolayısıyla sayallığının (kardinalitesinin) Alef olmadığını ve bu nedenle büyük bir heyecan yarattığını iddia etmişti. Hatayı açıklığa kavuşturanın Hausdorff olduğu iddiasının özel bir ağırlığı var çünkü Heidelberg'deki olayların 50 yılı aşkın süredir tarihsel literatürde yanlış bir imaj çizildi.
1906-1909 yıllarında Hausdorff, temel çalışmalarını düzenli kümeler üzerinde yaptı. Kısaca sadece birkaç noktaya dokunulabilir. Hausdorff'un ortaya koyduğu eş sonluluk (cofinality) kavramı, tüm teori için temel öneme sahiptir. Bir ordinal, daha küçük bir ordinal ile eş sonlu ise düzenli olarak adlandırılır; aksi takdirde tekildir. Hausdorff'un, endeksli normal sayılar olup olmadığı sorusu, bir limit ordinal indeksi, erişilemeyen kardinaller teorisinin başlangıç noktasıydı. Hausdorff, eğer varsa, bu tür sayıların "aşırı yüksek boyutta" olması gerektiğini çoktan fark etmişti.
Hausdorff'un aşağıdaki teoremi temel öneme sahiptir: her sınırsız sıralı yoğun küme için benzersiz olarak belirlenmiş iki normal başlangıç sayısı vardır, öyle ki ile eş sonlu (cofinal) ve eş başlangıç (coinitial) ( Ters sıralamayı gösterir)'dir. Bu teorem, örneğin, sıralı kümelerdeki öğeleri ve boşlukları karakterize etmek için bir teknik sağlar. Böylece Hausdorff, kendisi tarafından sunulan boşluk karakterlerini ve öğe karakterlerini kullandı.
Eğer önceden belirlenmiş bir karakter kümesi (eleman ve boşluk karakterleri) ise, karakter seti tam olarak olan sıralı kümelerin olup olmadığı sorusu ortaya çıkar. için gerekli bir koşul kolayca bulunabilir. Hausdorff, bu durumun da yeterli olduğunu göstermeyi başardı. Bunun için zengin bir sıralı kümeler deposuna ihtiyaç vardır; Hausdorff bunu genel çarpımlar ve kuvvetler teorisiyle yaratmıştı.
Bu depoda, Hausdorff'un genelleştirilmiş süreklilik hipotezini ilk olarak formüle ettiği Hausdorff normal tipler gibi ilginç yapılar bulunur. Hausdorff's -kümeler, doymuş yapının önemli model teorisinin incelenmesi için başlangıç noktasını oluşturdu.
Hausdorff'un genel çarpanları ve kardinalite kuvvetleri, onu kısmen sıralı küme kavramına götürdü. Kısmen sıralı bir kümenin herhangi bir sıralı alt kümesinin maksimal sıralı bir alt kümede yer alıp almadığı sorusu, iyi sıralama teoremi kullanılarak Hausdorff tarafından olumlu olarak yanıtlandı. Bu, Hausdorff maksimal ilkesi'dir. Bu, yalnızca iyi sıralama teoreminden (veya (buna eşdeğer) seçim aksiyomundan değil), aynı zamanda, ortaya çıktığı gibi, seçim aksiyomuna bile eşdeğerdir.
Daha 1908'de Arthur Moritz Schoenflies, küme teorisi hakkındaki raporunun ikinci bölümünde, yeni sıralı kümeler teorisinin (yani, Cantor'un genişlemelerinden sonra ortaya çıkan) neredeyse tamamen Hausdorff'tan kaynaklandığını buldu.
"Magnum Opus": "Küme teorisinin ilkeleri"
Önceki fikirlere göre, küme teorisi sadece genel küme teorisini ve nokta kümeleri teorisini değil, aynı zamanda boyut ve ölçü teorisini de içeriyordu. Hausdorff'un çalışması, tüm küme teorisini bu geniş anlamda, sistematik ve tam ispatlar ile sunan ilk ders kitabıydı. Hausdorff, insan zihninin ne kadar kolay hata yapabileceğinin ve aynı zamanda kesinlik ve gerçeği aradığının farkındaydı. Bu yüzden çalışmanın önsözünde şunları önerdi:
Bu kitap, bilineni ustaca betimlemesinin çok ötesine geçti. Ayrıca, yazarın yalnızca aşağıda ima edilebilecek bir dizi önemli orijinal katkılarını da içeriyordu.
İlk altı bölüm, genel küme teorisinin temel kavramlarını ele alıyor. Hausdorff başlangıçta, bazı öncü yeni kavramlarla (fark zincirleri, küme halkaları ve küme cisimleri, - ve -sistemleri). Kümeler ve bağlantıları hakkındaki bu giriş paragrafları, örneğin, modern küme-teorik fonksiyon kavramını içeriyordu. Daha sonra 3. ve 5. bölümlerde klasik kardinal sayıları, sıra türleri ve sıra sayıları teorisi takip etti. Altıncı bölümde "Sıralı ve iyi sıralı kümeler arasındaki ilişkiler" ile Hausdorff, diğer şeylerin yanı sıra, sıralı kümeler üzerine yaptığı araştırmanın en önemli sonuçlarını sundu.
"Nokta kümeleri" (topolojik bölümler) ile ilgili bölümlerde Hausdorff, bilinen komşuluk aksiyomlarına dayanarak ilk kez geliştirdi, topolojik uzayların sistematik teorisine ek olarak daha sonra onun adını taşıyan ayırma aksiyomunu ekledi. Bu teori, diğer matematikçilerin önceki yaklaşımlarının ve Hausdorff'un uzay problemi üzerine kendi düşüncelerinin kapsamlı bir sentezinden ortaya çıkar. Klasik nokta küme teorisinin kavramları ve teoremleri -olabildiğince genel- duruma aktarılır ve böylece yeni oluşturulan genel veya küme-teorik topolojinin bir parçası haline gelir. Ancak Hausdorff sadece bu "dönüşüm işini" yapmakla kalmadı, aynı zamanda çekirdeklenme (iç, kendi içinde yoğun çekirdek) ve kabuk oluşumu (kapanış) gibi temel topolojinin yapım yöntemini de geliştirdi ve açık küme (kendisi tarafından "alan" olarak adlandırılır) ve Fréchet tarafından sunulan tıkızlık kavramının temel önemini işledi. Ayrıca, özellikle "bileşen" ve "yarı bileşen" terimlerinin başlangıcıyla bağlantılı küme teorisini kurdu ve geliştirdi.
Birinci ve en sonunda ikinci Hausdorff sayılabilirlik aksiyomları ile, dikkate alınan uzaylar kademeli olarak daha da uzmanlaşmıştır. Sayılabilir ilk aksiyomu karşılayan büyük bir uzay sınıfı metrik uzaylardır. 1906'da Fréchet tarafından "(E) sınıfları" adı altında tanıtıldılar. "Metrik uzay" terimi Hausdorff'tan gelmektedir. İlkelerde (Principles), metrik uzaylar teorisini geliştirdi ve bir dizi yeni kavramla sistematik olarak zenginleştirdi: Hausdorff metriği, tam, toplam sınırlılık, -bağlantı, indirgenebilir kümeler. Fréchet'in çalışması çok az fark edilmişti; yalnızca Hausdorff'un İlkeleri aracılığıyla metrik uzaylar matematikçinin ortak özelliği haline geldi.
Çizimler bölümü ve ölçü ve entegrasyon teorisine yer veren İlkelerin son bölümü, malzemenin genelliği ve sunumun orijinalliği ile zenginleştirilmiştir. Hausdorff'un olasılık için ölçü teorisinin öneminden bahsetmesi, özlü kısalığına rağmen, büyük bir tarihsel etkiye sahipti. Bu bölümde, Emile Borel'in büyük sayıların güçlü yasasının ilk doğru kanıtı bulunur. Son olarak, ek, tüm kitabın en muhteşem sonucunu, yani Hausdorff'un () 'in tüm sınırlı alt kümeleri için bir hacim tanımlayamayacağına dair teoremini içerir. Kanıt, Hausdorff'un çarpımı seçim aksiyomunu gerektiren paradoksal top ayrıştırmasına dayanmaktadır.
20. yüzyılda, aksiyomatik küme teorisi üzerine matematiksel teoriler inşa etmek standart hale geldi. Genel topoloji gibi aksiyomatik olarak kurulup genelleştirilmiş teorilerin yaratılması, diğer şeylerin yanı sıra, çeşitli özel durumlar veya bölgeler için ortak yapısal çekirdeği ayırmaya ve ardından tüm bu parçaları özel durumlar olarak içeren soyut bir teori kurmaya hizmet etti. Bu, sadeleştirme ve uyumlaştırma biçiminde büyük bir başarı getirdi ve sonuçta kendisiyle birlikte düşünce ekonomisini de getirdi. Haussdorf kendisi ilkelerinde bu yönünü vurgulamıştır. Topolojik bölüm temel kavramlar metodolojik olarak öncü bir çabadır ve modern matematiğin gelişiminin yolunu göstermiştir.
Küme teorisinin ilkeleri (Principles of set theory), Birinci Dünya Savaşı'nın arifesinde zaten gergin bir zamanda ortaya çıktı. Ağustos 1914'te, Avrupa'daki bilim hayatını da önemli ölçüde etkileyen savaş. Bu koşullar altında, Hausdorff'un kitabı ortaya çıktıktan sonraki ilk beş ila altı yıl içinde pek etkili olamazdı. Savaştan sonra, yeni nesil genç araştırmacılar, bu çalışmaya dahil edilen önerileri bu kadar bol miktarda genişletmek için yola çıktılar ve şüphesiz topoloji ilgi odağıydı. Fundamenta Mathematicae dergisi, Hausdorff'un 1920'de Polonya'da kurulan fikirlerinin el alınmasında özel bir rol oynadı. Küme teorisi, topoloji, gerçek fonksiyonlar teorisi, ölçü ve entegrasyon teorisi, fonksiyonel analiz, mantık ve matematiğin temellerine özel vurgu yapan ilk matematik dergilerinden biriydi. Bu yelpazede, genel topoloji özel bir odak noktasıydı. Hausdorff'un İlkeleri, Fundamenta Mathematicae'de ilk ciltten itibaren dikkate değer bir frekansta mevcuttu. 1920'den 1933'e kadar ilk yirmi ciltte yer alan 558 eserden (Hausdorff'un kendi üç eseri hesaplanmadı) 88'i İlkelerden alıntı yapmıştır. Hatta Hausdorff'un kavramları gittikçe yaygınlaştıkça, bu kavramların onlardan açıkça bahsetmeyen birkaç çalışmada da kullanıldığını hesaba katmak gerekir.
Paul Alexandroff ve Paul Urysohn tarafından kurulan Rus topoloji okulu, ağırlıklı olarak Hausdorff'un İlkelerine dayanıyordu. Bu, Hausdorff'un Urysohn'la Nachlass'ında ve özellikle Alexandroff ve Urysohn'un Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes adlı Urysohn'un geliştirdiği boyut teorisi ve İlkelerin 60'tan daha az alıntı yapılmadığı bir kitap boyutundaki eseri ile sürdürülen yazışmalarla gösterilmiştir.
İkinci Dünya Savaşı'ndan uzun süre sonra Hausdorff'un kitabına güçlü bir talep vardı ve Chelsea'de 1949, 1965 ve 1978'den üç yeni baskı yaptı.
Tanımlayıcı küme teorisi, ölçü teorisi ve analizi
1916'da Alexandroff ve Hausdorff, Borel kümeleri için süreklilik problemini bağımsız olarak çözdü: Tam ayrılabilir bir metrik uzaydaki her Borel kümesi ya sayılabilir ya da sürekliliğin temel özelliğine sahiptir. Bu sonuç, böyle bir ifadenin 'in kapalı kümeleri için geçerli olduğu Cantor-Bendixson teoremini genelleştirir. Doğrusal kümeleri için William Henry Young sonuçları 1903'te ispatladı, kümeleri için Haussdorf 1914 yılında İlkelerde karşılık gelen bir sonuç elde etti. Alexandroff ve Hausdorff teoremi, tanımlayıcı küme teorisinin daha da geliştirilmesi için güçlü bir itici güçtü.
Hausdorff'un Greifswald zamanında yaptığı yayınlar arasında 1919'dan itibaren Boyut ve dış ölçü (Dimension and outer measure) çalışması özellikle göze çarpmaktadır. Son derece güncel kaldı ve daha sonraki yıllarda muhtemelen 1910'dan 1920'ye kadar olan on yılda en çok alıntı yapılan matematiksel orijinal çalışma oldu. Bu çalışmada, artık Hausdorff ölçüsü ve Hausdorff boyutu olarak bilinen kavramlar tanıtıldı.
Hausdorff boyutu kavramı, "oldukça düzensiz miktarların (highly rugged quantities)" karakterizasyonu ve karşılaştırılması için kullanışlıdır. Boyut ve dış ölçü kavramları, dinamik sistemler teorisi, geometrik ölçüm teorisi, kendine benzeyen kümeler ve fraktallar teorisi, stokastik süreçler teorisi, harmonik analiz, potansiyel teorisi ve sayı teorisi gibi birçok alanda uygulama ve ileri gelişmeler yaşamıştır.
Hausdorff'un önemli analitik çalışması Bonn'da ikinci kez gerçekleşti. 1921'de Toplama yöntemleri ve moment dizileri I (Summation methods and moment sequences I)de, bugün Hausdorff yöntemleri olarak adlandırılan ıraksak seriler için bütün bir toplama yöntemleri sınıfı geliştirdi. Hardy'nin klasik Divergent Series adlı eserinde, bir bölümün tamamı Hausdorff yöntemine ayrılmıştır. Hölder ve Cesàro'nun klasik yöntemlerinin özel Hausdorff yöntemi olduğunu kanıtlandı. Her Hausdorff yöntemi bir moment dizisi ile verilir; bu bağlamda Hausdorff, sürekli kesirler teorisini atlayarak, sonlu bir aralık için moment probleminin zarif bir çözümünü verdi. 1923'te Sonlu bir aralık için moment problemleri (Moment problems for a finite interval)nde, yoğunluk oluşturmak için, yoğunluğu oluşturmak için belirli kısıtlamalara sahip olanlar, örneğin gibi daha özel moment problemlerini ele aldı. Çözülebilirlik kriterleri ve moment problemlerinin belirlenmesi, Hausdorff'u Nachlass'ın yüzlerce sayfalık çalışmasının da kanıtladığı gibi yıllarca meşgul etti.
Yirmili yıllarda ortaya çıkan fonksiyonel analize önemli bir katkı, Hausdorff'un 1923 yılındaki Parseval teoreminin Fourier serileri üzerine bir uzantısı (An extension of Parseval's theorem on Fourier series) çalışmasında Riesz-Fischer teoreminin uzaylarına uzatmasıydı. Kendisinin ve W. H. Young'ın adını verdiği eşitsizlikleri kanıtladı. Hausdorff-Young eşitsizlikleri büyük ve yeni gelişmelerin başlangıç noktası oldu.
Hausdorff'un Küme Teorisi (Set Theory) adlı kitabı 1927'de yayınlandı. Bu, İlkelerin ikinci baskısı olarak ilan edildi, ancak aslında tamamen yeni bir kitaptı. Ölçek, Goschen'in öğretim kütüphanesinde görünmesi nedeniyle önemli ölçüde küçültüldüğünden, sıralı kümeler ve ölçü teorisinin ve entegrasyon teorisinin büyük bölümleri kaldırıldı. "Okuyucu bu silme işlemlerinden daha çok pişman olacaktır" (dedi Hausdorff önsözde), "noktasal küme teorisinde daha fazla yer kazanmak için, ilk baskının görünüşe göre pek çok arkadaş edindiği topolojik bakış açısını terk ettim, kendimi daha kolay metrik uzaylar teorisiyle sınırladım".
Aslında bu, çalışmayı inceleyen bazı eleştirmenlerin açık bir pişmanlığıydı. Bir tür telafi olarak Hausdorff, tanımlayıcı küme teorisinin o zamanki mevcut durumunu ilk kez gösterdi. Bu gerçek, kitabın özellikle Fundamenta Mathematicae'de İlkeler kadar yoğun bir resepsiyonu sağladı. Ders kitabı olarak çok popülerdi. 1935'te genişletilmiş bir baskı yayınlandı ve bu 1944'te Dover tarafından yeniden basıldı. 1957'de, 1962 ve 1967'de yeniden basılmış bir İngilizce çevirisi yayınlandı.
Ayrıca kısmen sadık bir çeviri ve kısmen Alexandroff ile Kolmogorov tarafından yeniden çalışılmasına rağmen bir Rusça baskısı da (1937) vardı. Bu çeviride topolojik bakış açısı yine ön plana çıktı. 1928'de Hans Hahn'ın kaleminden Küme Teorisi (Set Theory)nin bir incelemesi çıktı. Belki de Hahn, bu tartışmayı şu cümleyle kapatırken kafasında Alman anti-Semitizmi tehlikesini taşıyordu:
Son çalışmaları
Son çalışması Erweiterung einer stetigen Abbildungda Hausdorff, 1938'de bir metrik uzay 'nin kapalı bir alt kümesinden bir sürekli fonksiyonun tüm 'ye genişletilebileceğini gösterdi (görüntünün uzatılması gerekse de) Özel bir durum olarak, 'den gelen her homeomorfizm, 'den bir homeomorfizme genişletilebilir. Bu çalışma daha önceki yılların sonuçlarını ortaya koydu. Hausdorff, 1919'da Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerungda Tietze genişleme teoreminin başka bir kanıtı verdi. 1930'da Erweiterung einer Homöomorphie (Bir Homeomorfizmi Genişletmek, Extending a Homeomorphism)de şunları gösterdi: metrik bir uzay, kapalı bir alt küme olsun. Eğer topolojiyi değiştirmeden verilen yeni bir metrik ise, bu metrik topolojiyi değiştirmeden tüm uzaya genişletilebilir. Gestufte Räume çalışması 1935'te ortaya çıktı. Hausdorff burada, sadece eş güçlülük (idempotans) aksiyomuna kadar Kuratowski kapanış aksiyomlarını yerine getiren boşlukları tartıştı. Bunları derecelendirilmiş uzaylar olarak adlandırdı (genellikle kapalı uzaylar olarak da adlandırılır) ve Fréchet sınır uzayları ile topolojik uzaylar arasındaki ilişkilerin incelenmesinde kullandı.
Adını Hausdorff'dan alan şeyler
Hausdorff adı matematikte birçok yerde bulunur. Diğerlerinin yanı sıra, bu kavramlara onun adı verilmiştir:
Hausdorff uzayı
Hausdorff ölçüsü
Hausdorff boyutu
Hausdorff tamamlaması
Hausdorff yakınsaması
Hausdorff metriği
Hausdorff maksimal ilkesi
Hausdorff-Young eşitsizliği
Baker-Campbell-Hausdorff formülü
Hausdorff paradoksu
Bonn ve Greifswald üniversitelerinde, aşağıdakilerin isimleri onun onuruna verildi:
Bonn'daki Hausdorff Matematik Merkezi,
Bonn'daki Hausdorff Matematik Araştırma Enstitüsü ve
Greifswald'daki Felix Hausdorff Internationale Begegnungszentrum.
Bunların yanı sıra, Bonn'da ilk yaşadığı Hausdorffstraße (Hausdorff Caddesi) vardır. (Haus-Nr. 61). Greifswald'da, diğerleri arasında Biyokimya ve Fizik Enstitülerinin bulunduğu bir Felix-Hausdorff-Straße vardır. 2011'den beri Leipziger Ortsteil Gohlis'in ortasında bir "Hausdorffweg" (Hausdorff Yolu) vardır.
Asteroid 24947 Hausdorff onun adını aldı.
Yazıları
Paul Mongré olarak
Burada yalnızca metinde yer alan makalelerin bir kısmı gösterilmektedir:
Sant'Ilario. Gedanken aus der Landschaft Zarathustras. Verlag C. G. Naumann, Leipzig 1897.
Das Chaos in kosmischer Auslese Ein erkenntniskritischer Versuch. Verlag C. G. Naumann, Leipzig 1898; Reprinted with foreword by Max Bense: Baden-Baden: Agis-Verlag 1976,
Massenglück und Einzelglück. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), S. 6475.
Das unreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), S. 443452.
Ekstasen. Volume of poetry. Verlag H. Seemann Nachf., Leipzig 1900.
Der Wille zur Macht. In: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902), S. 13341338.
Max Klingers Beethoven. Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13 (1902), S. 183189.
Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), S. 12331258.
Der Arzt seiner Ehre, Groteske. In: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), S. 989-1013. New edition as: Der Arzt seiner Ehre. Komödie in einem Akt mit einem Epilog. With 7 portraits and woodcuts by Hans Alexander Müller after drawings by Walter Tiemann, 10 Bl., 71 S. Fifth printing by Leipziger Bibliophilen-Abends, Leipzig 1910. New edition: S. Fischer, Berlin 1912, 88 S.
Felix Hausdorff olarak
Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math.-phys. Classe 53 (1901), S. 152178.
Über eine gewisse Art geordneter Mengen. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math.-phys. Classe 53 (1901), S. 460475.
Das Raumproblem (Inaugural lecture at the University of Leipzig on 4. July 1903). Ostwald's Annals of Natural Philosophy 3 (1903), S. 123.
Der Potenzbegriff in der Mengenlehre. Annual report of the DMV 13 (1904), S. 569571.
Untersuchungen über Ordnungstypen I, II, III. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math.-phys.\ Klasse 58 (1906), S. 106169.
Untersuchungen über Ordnungstypen IV, V. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math.-phys. Klasse 59 (1907), S. 84159.
Über dichte Ordnungstypen. Annual report of the DMV 16 (1907), S. 541546.
Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen. Math. Annalen 65 (1908), S. 435505.
Die Graduierung nach dem Endverlauf. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Leipzig. Math.-phys. Klasse 31 (1909), S. 295334.
Grundzüge der Mengenlehre. Verlag Veit & Co, Leipzig. 476 S. mit 53 Figuren. Further printings: Chelsea Pub. Co. 1949, 1965, 1978.
Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen. Math. Annalen 77 (1916), S. 430437.
Dimension und äußeres Maß. Math. Annalen 79 (1919), S. 157179.
Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung. Math. Zeitschrift 5 (1919), S. 292309.
Summationsmethoden und Momentfolgen I, II. Math. Zeitschrift 9 (1921), I: S. 74-109, II: S. 280299.
Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen. Math. Zeitschrift 16 (1923), S. 163169.
Momentprobleme für ein endliches Intervall. Math. Zeitschrift 16 (1923), S. 220248.
Mengenlehre, second reworked edition. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 285 S. with 12 figures.
Erweiterung einer Homöomorphie (PDF; 389 kB) Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 353360.
Mengenlehre, third edition. With an additional chapter and several appendices. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 307 S. mit 12 Figuren. Nachdruck: Dover Pub. New York, 1944. Englisch edition: Set theory. Translated from the German by J. R. Aumann et al. Chelsea Pub. Co., New York 1957, 1962, 1967.
Gestufte Räume. (PDF; 1,2 MB) Fundamenta Mathematicae 25 (1935), S. 486502.
Erweiterung einer stetigen Abbildung (PDF; 450 kB) Fundamenta Mathematicae 30 (1938), S. 4047.
Nachgelassene Schriften. 2 volumes. Ed.: G. Bergmann, Teubner, Stuttgart 1969. From the Nachlass, Volume I includes fascicles 510543, 545559, 561577, Volume II fascicles 578584, 598658 (all fascicles given in facsimile).
Hausdorff on Ordered Sets. Trans. and Ed.: Jacob M. Plotkin, American Mathematical Society 2005.
Derlenmiş çalışmaları
E. Brieskorn tarafından düzenlenen "Hausdorff Sürümü" (), F. Hirzebruch (), W. Purkert (tümü Bonn), R. Remmert () (Münster) ve E. Scholz (Wuppertal), yirmiden fazla matematikçi, tarihçi, filozof ve akademisyenin işbirliğiyle, Kuzey Ren-Vestfalya Bilimler, Beşeri Bilimler ve Sanatlar Akademisi'nin yorum ve ek materyallerle Hausdorff'un çalışmalarını sunmak için devam eden bir projesidir. Planlanan dokuz cilt, Springer-Verlag, Heidelberg tarafından yayımlanıyor. 2019 itibarıyla, cilt I IA ve cilt IB olarak bölünmüş sekiz cilt yayınlanmıştır. Mevcut durumu ve daha fazla bilgi için Hausdorff Projesinin Hausdorff Edition (Almanca) web sitesine bakın. Öngörülen ciltler:
Band IA: Allgemeine Mengenlehre. 2013, .
Band IB: Felix Hausdorff Paul Mongré (Biographie). 2018, .
Band II: Grundzüge der Mengenlehre (1914). 2002,
Band III: Mengenlehre (1927, 1935); Deskriptive Mengenlehre und Topologie. 2008,
Band IV: Analysis, Algebra und Zahlentheorie. 2001,
Band V: Astronomie, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2006,
Band VI: Geometrie, Raum und Zeit.
Band VII: Philosophisches Werk. 2004,
Band VIII: Literarisches Werk. 2010,
Band IX: Korrespondenz. 2012, .