Dış açı teoremi

Dış açı teoremi, bir üçgenin bir dış açısının ölçüsünün, uzak iç açılarının ölçülerinden daha büyük olduğunu belirten Ökllid'in Elemanlar'ı Önerme 1.16'dır. Bu, mutlak geometride temel bir sonuçtur çünkü ispatı paralellik postülatına bağlı değildir.
Birkaç lise geometri incelemesinde, "dış açı teoremi" terimi farklı bir sonuca, yani Önerme 1.32'nin bir üçgenin dış açısının ölçüsünün uzak iç açıların ölçüleri toplamına eşit olduğunu belirten bölüme uygulanmıştır. Öklid'in paralelilk postülatına bağlı olan bu sonuç, onu Öklid dış açı teoreminden ayırmak için "Lise dış açı teoremi" (LDAT-HSEAT: High school exterior angle theorem) olarak anılacaktır.
Bazı yazarlar, dış açı teoreminin güçlü biçimi olarak "Lise dış açı teoremi" ve zayıf biçimi olarak "Öklid dış açı teoremi" olarak adlandırırlar.
Dış açılar
Bir üçgenin tepe noktası (verteks) adı verilen üç köşesi bulunur. Bir tepe noktasında bir araya gelen üçgenin iki kenarı (çizgi parçaları) iki açı oluşturur (üçgenin kenarlarının çizgi parçaları yerine doğrular olduğunu düşünürsek dört açı oluşturur). Bu açılardan sadece bir tanesi iç kısmında üçgenin üçüncü kenarı tarafında kalır ve bu açıya üçgenin iç açısı denir. Aşağıdaki resimde, ve açıları üçgenin üç iç açısıdır. Üçgenin kenarlarından birinin uzatılmasıyla bir dış açı oluşturulur; uzatılmış taraf ile diğer taraf arasındaki açı dış açıdır. Resimde açısı bir dış açıdır.
Öklid dış açı teoremi
Öklid tarafından verilen Önerme 1.16'nın ispatı, genellikle Öklid'in kusurlu bir kanıt sunduğu bir yer olarak gösterilmektedir.
Öklid, dış açı teoremini şu şekilde kanıtlar:
doğru parçasının orta noktasını bulun,
ışınını çizin,
noktasını ışını üzerinde çizin, böylece (aynı zamanda) ve 'nin orta noktası olur,
doğru parçasını çizin.
Eş üçgenler vasıtasıyla, = ve 'nin 'den daha küçük olduğu, = olduğu sonucuna varabiliriz, bu nedenle açısı, 'den küçüktür ve aynı şey açısı için 'yi ikiye bölerek yapılabilir.
Kusur, bir noktanın (yukarıda, ) "iç" açı () olduğu varsayımında yatmaktadır. Bu iddia için hiçbir neden belirtilmemiştir, ancak devamındaki diyagram, onu gerçek bir ifade gibi gösterir. Öklid geometrisi için tam bir aksiyom seti kullanıldığında (bkz. Geometrinin Temelleri) bu Öklid savı kanıtlanabilir.
Küresel geometride geçersiz
Dış açı teoremi, küresel geometride veya ilgili eliptik geometride geçerli değildir. Biri Kuzey Kutbu olan ve diğer ikisi ekvator üzerinde bulunan küresel bir üçgen düşünün. Kuzey Kutbu'ndan çıkan üçgenin kenarları (kürenin büyük çemberleri) her ikisi de ekvatoru dik açılarda karşılamaktadır, bu nedenle bu üçgenin uzak bir iç açıya eşit bir dış açısı vardır. Diğer iç açı (Kuzey Kutbu'nda) 90'den daha büyük yapılabilir, bu da bu ifadenin kusurunu vurgulamaktadır. Bununla birlikte, Öklid'in dış açı teoremi mutlak geometride bir teorem olduğundan, hiperbolik geometride otomatik olarak geçerlidir.
Lise dış açı teoremi
Lise dış açı teoremi (LDAT), bir üçgenin tepe noktasındaki dış açının boyutunun, üçgenin diğer iki köşesindeki iç açıların boyutlarının toplamına eşit olduğunu söyler (uzak iç açılar). Bu nedenle, resimde açısının boyutu açısının boyutu artı açısının boyutuna eşittir.
LDAT mantıksal olarak bir üçgenin açılarının toplamının 180 olduğu şeklindeki Öklid ifadesine eşdeğerdir. Bir üçgende açıların ölçülerinin toplamının 180 olduğu biliniyorsa, LDAT aşağıdaki şekilde ispatlanır:



Öte yandan, LDAT doğru bir ifade olarak alınırsa:



Bir üçgenin açılarının ölçülerinin toplamının 180 olduğunu kanıtlamak.
LDAT'nin Öklid kanıtı (ve aynı anda bir üçgenin açılarının toplamı üzerindeki sonuç) noktasından geçen tarafına paralel bir çizgi oluşturarak ve ardından sonucu resimdeki gibi elde etmek üzere karşılık gelen açıların özelliklerini ve paralel çizgilerin alternatif iç açılarını kullanarak başlar.
LDAT, bir üçgende bilinmeyen açıların ölçülerini hesaplamaya çalışırken son derece yararlı olabilir.