Alef sayısı

Alef sayıları, matematikte, daha ayrıntılı söylemek gerekirse kümeler teorisinde, iyi sıralı olabilen sonsuz kümelerin kardinalitesini göstermek için kullanılan sayılardır. Alef sayısı ismini sembolünden, İbranice alef harfinden alır. Bazı eski matematik kitaplarında yanlışlıkla alef sembolü ters basılmıştır.
Doğal sayılar kümesinin kardinalitesi א0'dır (alef sıfır diye okunur), ondan sonraki kardinalite ise א1 yani alef 1'dir, ondan sonra א2, ve bu şekilde devam eder. Bu şekilde devam edilerek her a ordinal sayısı için bir אa kardinal sayısı bulmak mümkündür.
Fikir ve notasyon Georg Cantor'a aittir, kendisi sonsuz kümelerin değişik kardinalitelere sahip olabileceğini keşfetmiştir.
Alef sayıları genellikle cebir ve kalkülüste bulunan sonsuzluktan () farklıdır. Alefler kümelerin büyüklüklerini ölçer, sonsuzluk ise genellikle fonksiyonlarda ve serilerde "sonsuza yaklaşır" denildiğinde reel sayılar doğrusunun sınırı olarak, genişletilmiş reel sayılar doğrusunda ise uç nokta olarak ifade edilir.
Alef sıfır
Alef sıfır doğal sayılar kümesinin kardinalitesidir (büyüklüğü). Alef sıfır en küçük sonsuz sayıdır. Sonsuz kardinal sayılar dizisinin ilk üyesidir. א0 sembolü ile gösterilir.
א0 doğal sayılar kümesinin kardinalitesidir ve sonsuz bir kardinaldir. Bütün ordinallerin kümesinin kardinalitesi de ki buna veya 0 denir, (burada Yunan alfabesinden küçük omega harfidir) א0'dır. Bir kümenin kardinalitesi ancak ve ancak sayılabilir sonsuzlukta ise א0'dır, bu da küme ile doğal sayılar kümesi arasında bir birebir örten fonksiyon olduğu anlamına gelir. Bu kümelere örnek olarak şunlar verilebilir:
Tüm tam kare sayıların kümesi, tüm kübik sayıların kümesi, tüm dördün kuvvetlerinin kümesi, ...
Tüm mükemmel kuvvetli sayıların kümesi, tüm asal kuvvetli sayıların kümesi,
Tüm çift sayıların kümesi, tüm tek sayıların kümesi,
Tüm asal sayıların kümesi, tüm asal olmayan sayıların kümesi,
Tüm tamsayıların kümesi,
Tüm rasyonel sayıların kümesi,
Tüm inşa edilebilen sayıların kümesi,
Tüm cebirsel sayıların kümesi,
Tüm tanımlanabilir sayıların kümesi,
Tüm sınırlı bir uzunluğa sahip ikili dizilerin kümesi ve
Bir sınırsız kümeye ait tüm sınırlı alt kümelerin kümesi.
,+1, 2,2, gibi sonsuz ordinaller de sayılabilir sonsuzlukta kümelerle çalışır. Örneğin, ordinalitesi 2 olan ve bütün pozitif tek sayılardan sonra bütün pozitif çift sayıların gelmesiyle oluşan
{1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10...}
kümesi kardinalitesi א0 olan doğal sayılar kümesinin bir dizilişidir.
Alef bir
Alef bir, doğal sayılar kümesinin kuvvet kümesi'nin (doğal sayılar kümesinin elemanları ile oluşturulabilecek tüm kümelerin kümesi) kardinalitesidir (büyüklüğü).
א1 bütün sayılabilen ordinal sayıların kümesinin kardinalitesidir ve sayılamaz sonsuzluktadır. Bu yüzden א1, א0'dan farklıdır. א1'in tanımına göre (Zermelo-Frankel küme teorisine göre, seçim aksiyomu olmadan dikkate alınırsa), א0 ile א1 arasında hiçbir kardinal sayı yoktur. Seçim aksiyomu kullanılırsa, א1 in en küçük ikinci sonsuz kardinal sayı olduğu kanısına ulaşılabilir.
Süreklilik hipotezi
Reel sayılar kümesinin kardinalitesi (sürekliliğin kardinalitesi) dir. Alef sayıların arasında bu sayının hangi aralıkta olduğu ZFC (seçim aksiyomu olmadan Zermelo-Frankel küme teorisi) kullanılarak belirlenemez. Fakat ZFC kullanılarak süreklilik hipotezinin şu eşitlik anlamına geldiği bulunabilir:
Süreklilik hipotezine göre tam sayılar kümesinin kardinalitesi ile reel sayılar kümesinin kardinalitesi arasında kardinalite yoktur. Süreklilik hipotezi ZFC'den bağımsızdır: aksiyom sistemine bakılarak ne doğruluğu ispatlanabilir ne de yanlışlığı ispatlanabilir.