Ferdinand Georg Frobenius

Ferdinand Georg Frobenius (26 Ekim 1849 - 3 Ağustos 1917), en çok eliptik fonksiyonlar teorisine, diferansiyel denklemlere, sayı teorisine ve grup teorisine yaptığı katkılarla tanınan bir Alman matematikçi. Frobenius-Stickelberger formülleri olarak bilinen, eliptik fonksiyonları yöneten ve bikuadratik formlar teorisini geliştiren ünlü determinantal özdeşlikleriyle tanınır. Ayrıca, fonksiyonların rasyonel yaklaşımları kavramını (günümüzde Padé yaklaşımları olarak bilinir) ilk ortaya atan oydu ve Cayley-Hamilton teoremi için ilk tam kanıtı verdi. Ayrıca, adını modern matematiksel fizikte Frobenius manifoldları olarak bilinen bazı diferansiyel geometrik nesnelere verdi.
Hayatı
Ferdinand Georg Frobenius 26 Ekim 1849'da Berlin'in bir banliyösü olan Charlottenburg'da Protestan bir papaz olan babası Christian Ferdinand Frobenius ve annesi Christine Elizabeth Friedrich'in çocukları olarak doğdu. Joachimsthal Gymnasium'a 1860'ta neredeyse on bir yaşındayken girdi. 1867'de mezun olduktan sonra, üniversite eğitimine başladığı Göttingen Üniversitesi'ne gitti, ancak burada Kronecker, Kummer ve Karl Weierstrass'ın derslerine katıldığı Berlin'e dönmeden önce sadece bir dönem çalıştı. Doktorasını Weierstrass gözetiminde 1870'te aldı. Tezi diferansiyel denklemlerin çözümü üzerineydi. 1874'te, ilk olarak Joachimsthal Gymnasium'da ortaokul düzeyinde öğretmenlik yaptıktan sonra, sonra Sophienrealschule'de, Berlin Üniversitesi'ne bir matematik profesörü (extraordinarius) olarak atandı. Frobenius, Eidgenössische Polytechnikum'da sıradan bir profesör olarak randevu almak için Zürih'e gitmeden bir yıl önce ancak Berlin'deydi. Frobenius, 1875 ile 1892 arasında on yedi yıl boyunca Zürih'te çalıştı. Orada evlendi, ailesini büyüttü ve matematiğin çok farklı alanlarında çok önemli işler yaptı. Aralık 1891'in son günlerinde Kronecker öldü ve bu nedenle Berlin'deki sandalyesi boşaldı. Frobenius'un Berlin'i matematiğin ön saflarında tutacak doğru kişi olduğuna şiddetle inanan Weierstrass, Frobenius'un atanması için hatırı sayılır nüfuzunu kullandı. 1893'te Prusya Bilimler Akademisi'ne seçildiği Berlin'e döndü.
Çalışmaları
Grup teorisine katkıları
Grup teorisi, Frobenius'un kariyerinin ikinci yarısındaki başlıca ilgi alanlarından biriydi. İlk katkılarından biri, soyut gruplar için Sylow teoremlerinin kanıtıydı. Daha önceki kanıtlar permütasyon grupları içindi. İlk Sylow teoremini (Sylow gruplarının varlığına ilişkin) kanıtı, bugün sıklıkla kullanılanlardan biridir.
Frobenius ayrıca aşağıdaki temel teoremi kanıtlamıştır: Eğer pozitif bir n tam sayısı, bir G sonlu grubunun |G| sırasını bölerse, ardından xn =1 denkleminin Gdeki çözüm sayısı bazı pozitif k tam sayıları için knye eşittir. Ayrıca şu problemi de ortaya koydu: Eğer, yukarıdaki teoremde, k = 1 ise, xn = 1 denkleminin çözümleri Gde bir alt grup oluşturur. Yıllar önce bu problem çözülebilir gruplar için çözüldü. Ancak 1991 yılında, sonlu basit grupların sınıflandırılmasından sonra, bu problem genel olarak çözüldü.
Daha da önemlisi, grupların yapısını incelemek için temel araçlar olan grup karakterleri ve grup temsilleri teorisini yaratmasıydı. Bu çalışma, Frobenius karmaşıklığı kavramına ve şimdi Frobenius grupları olarak adlandırılan grupların tanımlanmasına yol açtı. Aşağıda ifade edilen şeklinde bir H < G alt grubu varsa, G grubunun bir Frobenius grubu olduğu söylenir:
hepsi için.
Bu durumda küme,

Gnin etkisiz elemanı ile birlikte John G. Thompson'ın 1959'da gösterdiği gibi nilpotent (üstelsıfır) olan bir alt grup oluşturur. Bu teoremin bilinen tüm kanıtları karakterlerden yararlanır. Frobenius, karakterler hakkındaki ilk makalesinde (1896), tüm tekil asal sayılar p için, (1/2) (p3 - p) dereceli grubunun karakter tablosunu oluşturdu (Bu grup p > 3 için basitçe sağlanır). Simetrik ve alternatif grupların temsil teorisine de temel katkılarda bulundu.
Sayı teorisine katkıları
Frobenius, Q üzerinden Galois gruplarında asal sayıları eşlenik sınıflarına dönüştürmenin kanonik bir yolunu tanıttı. Özellikle eğer K/Q sonlu Galois genişlemesi ise, Kde dallanmayan her (pozitif) asal pye ve Kde pnin üzerinde uzanan her bir asal ideal Pye g (x) = xp (mod P) koşulunu sağlayan K'nin tüm x tam sayıları için benzersiz bir Gal (K/Q) öğesi vardır. P'nin p'ye göre değiştirilmesi, gyi bir eşleniğe (ve g'nin her eşleniği bu şekilde oluşur) dönüştürür, bu nedenle Galois grubundaki g'nin eşlenik sınıfı kanonik olarak p ile ilişkilidir. Buna, pnin Frobenius eşlenik sınıfı adı verilir ve eşlenik sınıfının herhangi bir öğesi, pnin Frobenius öğesi olarak adlandırılır. K için Galois grubu Q üzerinden modulo m birimleri olan m'inci siklotomik cismi alırsak (ve dolayısıyla abelyen, böylece eşlenik sınıflar elemanı olur), p için myi bölmemek için Galois grubundaki Frobenius sınıfı p mod mdir. Bu bakış açısına göre, Galois gruplarındaki Frobenius eşlenik sınıflarının Qya (veya daha genel olarak herhangi bir sayı cismi üzerindeki Galois gruplarına) dağılımı, Dirichlet'in aritmetik ilerlemelerde asal sayılar hakkındaki klasik sonucunu genelleştirir. Qnun sonsuz dereceli genişlemelerinin Galois gruplarının incelenmesi, önemli ölçüde Frobenius elemanlarının bu yapısına dayanır ve bu, bir anlamda ayrıntılı çalışma için erişilebilir olan yoğun bir eleman alt kümesi sağlar.