Batlamyus eşitsizliği

Öklid geometrisinde, Batlamyus eşitsizliği, düzlemde veya daha yüksek boyutlu bir uzayda dört nokta tarafından oluşturulan altı uzunluğu ilişkilendirir. Herhangi bir, , ve noktası için aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olduğunu belirtir:
.
Adını Yunan astronom ve matematikçi Batlamyus'tan almıştır.
Dört nokta, her biri için zıt kenarların çarpımlarının toplamı en az köşegenlerin çarpımı kadar büyük olan üç farklı dörtgen oluşturmak için üç farklı yoldan herhangi biriyle (ters dönüşleri farklı saymayarak) sıralanabilir. Böylece, eşitsizlikteki üç çarpım terimi, bunlardan herhangi birini eşitsizliğin sağ tarafına yerleştirmek için ek olarak değiş tokuş edilebilir, bu nedenle, dörtgenlerden herhangi birinin zıt kenarlarının veya köşegenlerinin üç çarpımı, üçgen eşitsizliğine uymalıdır.
Özel bir durum olarak, Batlamyus teoremi, eşitsizliğin bir daire üzerinde dört nokta döngüsel sırayla (kirişler dörtgeni) yer aldığında bir eşitlik haline geldiğini belirtir. Diğer eşitlik durumu, dört nokta sırayla eşdoğrusal olduğunda ortaya çıkar. Eşitsizlik, Öklid uzaylarından keyfi metrik uzaylara genellenmez. Geçerli kaldığı uzaylara Ptolemaik uzaylar denir; iç çarpım uzaylarını, Hadamard uzaylarını ve Ptolemaik graflarda en kısa yol uzaklıklarını içerir.
Varsayımlar ve türetme
Batlamyus eşitsizliği genellikle özel bir durum için ifade edilir, burada dört nokta konveks bir dörtgenin köşeleri olup döngüsel sırayla verilir. Ancak teorem daha genel olarak herhangi bir dört nokta için geçerlidir; oluşturdukları dörtgenin dışbükey, basit veya hatta düzlemsel olması gerekli değildir.
Düzlemdeki noktalar için, Batlamyus eşitsizliği, dört noktadan birinde merkezlenmiş bir evirtim (inversiyon) ile üçgen eşitsizliğinden türetilebilir. Alternatif olarak, karmaşık sayı özdeşliği kullanılarak dört noktanın karmaşık sayılar olarak yorumlanmasıyla

kenar uzunlukları verilen dörtgenin kenarlarının çarpımı olan bir üçgen oluşturmak ve üçgen eşitsizliğini bu üçgene uygulamak için türetilebilir. Noktaların karmaşık izdüşüm çizgisine ait olduğu da görülebilir, eşitsizliği noktaların iki çapraz oranının mutlak değerlerinin toplamı en az bir şeklinde ifade edilebilir ve bunu çapraz oranların kendilerinin tam olarak bir ilavesi olduğu gerçeğinden çıkarılabilir.
Üç boyutlu uzayda noktalar için eşitsizliğin bir kanıtı, düzlemsel duruma indirgenebilir, herhangi bir düzlemsel olmayan dörtgen için, köşegen etrafındaki noktalardan birini dörtgen düzlemsel hale gelene kadar döndürmenin mümkün olduğunu gözlemleyip diğer köşegenin uzunluğu artırarak ve diğer beş uzunluğu sabit tutarak, düzlemsel duruma indirgenebilir. Üçten daha yüksek boyutlu uzaylarda, herhangi bir dört nokta üç boyutlu bir alt uzayda bulunur ve aynı üç boyutlu ispat kullanılabilir.
Aynı çember içinde bulunan dört nokta
Bir çember etrafında sıralanan dört nokta için, Batlamyus eşitsizliği, Batlamyus teoremi olarak bilinen bir eşitlik haline gelir:
.
Batlamyus eşitsizliğinin evirtime dayalı ispatında, dört eşdöngü noktasını, birine merkezlenmiş bir evirtim ile dönüştürmek, diğer üçünün eşdoğrusal olmasına neden olur, bu nedenle bu üç nokta için üçgen eşitliği (Batlamyus eşitsizliğinin türetilebileceği) eşitlik olur. Diğer dört nokta için, Batlamyus eşitsizliği mutlaktır.
Genel metrik uzaylarda
Batlamyus eşitsizliği daha genel olarak herhangi bir iç çarpım uzayında geçerlidir ve gerçek bir normlu vektör uzayı için doğru olduğunda, bu uzay bir iç çarpım uzayı olmalıdır.
Diğer metrik uzay türleri için eşitsizlik geçerli olabilir veya olmayabilir. İçinde bulunduğu uzaya Ptolemaik denir. Örneğin, tüm kenar uzunlukları 1'e eşit olacak biçimde şekilde gösterilen dört köşe döngü çizgesini düşünün. Karşıt tarafların çarpımlarının toplamı 2'dir. Bununla birlikte, çapraz olarak zıt köşeler birbirinden uzaktadır, bu nedenle köşegenlerin çarpımı 4'tür ve kenarların çarpımlarının toplamından daha büyüktür. Bu nedenle, bu grafikteki en kısa yol mesafeleri Ptolemaik değildir. Uzaklıkların Batlamyus eşitsizliğine uyduğu çizgeler, Ptolemaik çizgeler olarak adlandırılır ve keyfi çizgelerle karşılaştırıldığında sınırlı bir yapıya sahiptir; özellikle, gösterilen gibi üçten daha uzun indirgenmiş döngülere izin vermezler.
Ptolemaik uzaylar tüm CAT (0) uzaylarını ve özellikle tüm Hadamard uzaylarını içerir. Tam bir Riemann manifoldu Ptolemaik ise, bu mutlaka bir Hadamard uzayıdır.