Vektör hesabı özdeşlikleri

Bu madde Vektör Analizi'ndeki önemli özdeşlikleri içermektedir.
Operatörlerin Notasyonu
Gradyan
Ana madde:Gradyan
3 boyutlu kartezyen koordinatlarında verilen 3 değişkenli fonksiyonunun gradyanı bir vektör alanı verecektir. Notasyon olarak;
veya ile gösterilir.
olarak ifade edilir. Görüldüğü üzere elde artık 3 boyutlu bir vektör alanı vardır.
Burada x, y ve z eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir. Genel bir biçimde düşündüğümüzde n değişkenli bir skaler fonksiyonu ele alırsak bu fonksiyonun gradyanı bize bir n boyutlu bir vektör alanı verecektir:
satır matris formunda yazılan ya da rankı 1 olan tensör yani vektör gibi bir vektör alanı için gradyan ya da kovaryant türevi Jacobian matrisi ile temsil edilir:
Genellersek herhangi bir k ranklı bir tensörünün gradyanı k+1 değerinde bir tensör alanı verir.
Diverjans
Ana madde:Diverjans
Kartezyen koordinatlarında sürekli ve türevlenebilir bir vektör alanının diverjansı bir skaler değerli fonksiyon verecektir. Notasyon olarak;
veya ile temsil edilir.
olarak ifade edilir.
Gradyanda olan mantık burada da geçerlidir. Yani k boyutlu bir tensör alanının diverjansı (), k-1 boyutlu bir tensör alanı verir.
Rotasyonel
Ana madde;Rotasyonel
Kartezyen koordinat sisteminde bir vektör alanının rotasyoneli yine bir vektör alanı verir. Notasyon olarak;
ya da ile temsil edilir.
= olarak ifade edilir. Burada x, y ve z koordinat eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.
Vektör ya da daha genel anlamda tensörlerin rotasyoneli Einstein toplama kuralı esas alınarak tensör dili ile yazılabilir;
vektör alanının rotasyoneli;
Burada Levi-Civita Permütasyon Sembolü'dür.
Laplasyen
Ana Madde:Laplace Operatörü
Kartezyen koordinatlarında skaler değerli bir fonksiyonunun laplasyeni;
Genel anlamda tensörünün laplasyeni şöyle yazılabilir;
Rank bakımından tensöre bu operatör uygulandığında tensörün rankı değişmeyecektir. Fonksiyonun laplasyeni 0'a eşit ise fonksiyon özel bir fonksiyon olan harmonik fonksiyon niteliğine sahip olur.
İlk Türev Özdeşlikleri
Notasyon bakımından skaler alanlar için ve vektör alanları için ve kullanacağız.
Dağılma Özellikleri
Skaler ile Çarpılırken Çarpım Kuralı
Tek değişkenli klasik kalkülüsten bildiğimiz çarpım kuralını burada da genelleştirebiliriz.
Skalere bölünürken Bölme Kuralı
İkinci Türev Özdeşlikleri
Rotasyonelin diverjansı sıfıra eşittir
Bir vektörün rotasyonelinin diverjansı sıfırdır:
Gradyanın diverjansı Laplasyen operatörüne eşittir
Diverjansın diverjansı tanımsızdır
=Tanımsız
Sebebi diverjansı alınan vektör skaler olacağı için tekrar diverjans alınamaz.
Not=Bu durum sadece vektörler için geçerlidir.
Gradyanın rotasyoneli sıfıra eşittir
Rotasyonelin rotasyoneli vektör Laplasyeni'ne eşittir
Diverjansın rotasyoneli tanımsızdır
Sebebi diverjansı alınan vektörün skalere dönüştüğünü düşündüğümüzde yeni skalerin rotasyonelinin alınamayacağıdır.
=Tanımsız
Önemli Özdeşliklerin Özeti
Diferansiyasyon
Gradyan
Diverjans
Rotasyonel
İkinci Türev


(skaler laplasyen)
(vektör laplasyen)




(Green vektör özdeşliği)
Üçüncü Türev
İntegrasyon
'''' sembolü burada bir yüzeyin sınırlarını ifade eder.
Yüzey-Hacim İntegralleri
Yüzey-Hacim İntegral teoremlerini takip ettiğinizde genelde sembolü görürsünüz. Bunun anlamı eğer A, 3 boyutlu bir çokkatlı ise sınırlarını yani 2 boyutlu bir yüzeyi temsil eder.
(Diverjans teoremi)


(ilk Green özdeşliği)

(ikinci Green özdeşliği)
Bir eğri üstündeki çizgi integrali
(Stokes Teoremi)

Burada şu anlaşılmalıdır ki saat yönü negatif taraftır ve saat yönünün tersi üzerinde alınan integral saat yönünde alınan integralin negatifine eşittir.
Matematik listeleri
Vektör hesabı