Çift merkezli dörtgen

Öklid geometrisinde, bir çift merkezli dörtgen, hem bir iç teğet çembere hem de çevrel çembere sahip olan bir dışbükey (konveks) dörtgendir. Bu çemberlerin çevreleri, yarıçapları ve merkezlerine sırasıyla iç çap (inradius) ve çevrel çap (circumradius), iç merkez (incenter) ve çevrel merkez (circumcenter) denir. Tanımdan, çift merkezli dörtgenlerin hem teğetler dörtgeninin hem de kirişler dörtgeninin tüm özelliklerine sahip olduğu anlaşılmaktadır. Bu dörtgenler için diğer isimler kiriş-teğet dörtgeni ve iç teğet ve dış teğet dörtgenidir. Ayrıca nadiren çift çemberli dörtgen ve çift işaretlenmiş dörtgen olarak adlandırılmıştır.
İç içe iki çember, çift merkezli bir dörtgenin iç teğet çemberi ve çevrel çemberiyse, çevrel çemberdeki her nokta, aynı iç teğet çembere ve çevrel çembere sahip çift merkezli bir dörtgenin tepe noktasıdır. Bu, Fransız matematikçi Jean-Victor Poncelet (17881867) tarafından kanıtlanan Poncelet doğal sonucunun (porizminin) bir sonucudur.
Özel durumlar
Çift merkezli dörtgenlerin örnekleri, kareler, dik deltoidler ve ikizkenar teğet yamuklardır.
Tanımlama
Kenarları, , , olan bir dışbükey dörtgen, ancak ve ancak karşı kenarlar teğetler dörtgeni için Pitot teoremini ve zıt açıların bütünler olduğu kirişler dörtgeni özelliğini sağlıyorsa çift merkezlidir; yani,

Diğer üç nitelendirme, teğetler dörtgenindeki iç teğet çemberin kenarlara teğet olduğu noktalarla ilgilidir. Çember, sırasıyla, , , 'de, , , kenarlarına teğet ise, teğetler dörtgeni ancak ve ancak aşağıdaki üç koşuldan herhangi biri geçerliyse aynı zamanda kirişler dörtgenidir:
, 'ye diktir.


Bu üçünden ilki, temas dörtgeni WXYZ'nin bir ortodiyagonal dörtgen olduğu anlamına gelir.
, , , sırasıyla, , , 'nin orta noktaları ise, teğetler dörtgeni, ancak ve ancak dörtgeni bir dikdörtgense aynı zamanda kirişler dörtgenidir.
Başka bir nitelendirmeye göre, eğer, karşıt kenarların uzantılarının ve 'de kesiştiği bir teğetler dörtgenindeki iç teğet çemberin merkezi ise, o zaman dörtgen de, ancak ve ancak bir dik açı ise kirişler dörtgenidir.
Yine bir başka gerekli ve yeterli koşul, teğetler dörtgen 'nin, ancak ve ancak Newton doğrusu, temas dörtgeni 'nin Newton doğrusuna dik olması durumunda kirişler dörtgeni olmasıdır. (Bir dörtgenin Newton doğrusu, köşegenlerinin orta noktaları tarafından tanımlanan doğrudur.)
Çizim
Çift merkezli bir dörtgen oluşturmak için basit bir yöntem vardır:
Merkez etrafında yarıçaplı iç teğet çemberi ile başlar ve daha sonra iç teğet çemberi içinde birbirine dik iki ve kirişleri çizilir. Kirişlerin uç noktalarında, iç teğet çembere, , ve teğetleri çizilir. Bunlar, çift merkezli bir dörtgenin köşeleri olan dört, , ve noktasında kesişir. Çevrel çemberi çizmek için, çift merkezli dörtgen sırasıyla ve kenarlarına iki dik açıortay ve çizilir. Dikey açıortaylar ve, çevrel çember 'nin merkezi 'da iç teğet çember 'nin merkezi arasındaki mesafede kesişir. Çevrel çember, merkez etrafında çizilebilir.
Bu yapının geçerliliği, bir teğetler dörtgeni 'de, temas dörtgeni 'nin, ancak ve ancak teğetler dörtgeninin aynı zamanda kirişler dörtgeni olması durumunda dikey köşegenlere sahip olduğu nitelendirmesinden kaynaklanmaktadır.
Alan
Dört nicelik cinsinden formüller
Çift merkezli bir dörtgeninin alanı, dörtgenin dört niceliğiyle (kenar uzunlukları) birkaç farklı şekilde ifade edilebilir. Kenarlar, , , ise, alan

Bu, Brahmagupta formülünün özel bir halidir. Ayrıca bir teğetler dörtgeninin alanı için trigonometrik formülden doğrudan türetilebilir. Tersinin geçerli olmadığına dikkat edin: Çift merkezli olmayan bazı dörtgenler de alanına sahiptir. Böyle bir dörtgene bir örnek, kare olmayan bir dikdörtgendir.
Alan ayrıca teğet uzunlukları, , , cinsinden de aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

İç teğet çemberin merkezi olan çift merkezli dörtgen 'nin alanı için bir formül aşağıdaki gibidir:

Çift merkezli bir dörtgenin teğet kirişleri, ve köşegenleri, varsa, alanı aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

Eğer, teğet kirişleri ve, dörtgenin bimedyanlarıysa, alan aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir.

Dörtgen bir dik deltoid ise bu formül kullanılamaz, çünkü bu durumda payda sıfırdır.
ve köşegenlerin orta noktaları ve ve karşıt kenarların uzantılarının kesişme noktaları ise, çift merkezli bir dörtgenin alanı şu şekilde verilir:

burada iç teğet çemberin merkezidir.
Üç nicelik cinsinden formüller
Çift merkezli bir dörtgenin alanı, iki karşıt kenar ve köşegenler arasındaki açısı cinsinden ifade edilebilir.

İki komşu açı ve iç teğet çemberin yarıçapı cinsinden, alan aşağıdaki formül ile verilmiştir.

Alan, çevrel çemberin yarıçapı ve iç teğet çemberin yarıçapı cinsinden aşağıdaki şekilde verilebilir.

burada, köşegenler arasındaki açıdır.
ve köşegenlerin orta noktaları ve ve karşıt kenarların uzantılarının kesişme noktaları ise, alan da şu şekilde ifade edilebilir:

burada, iç teğet çemberin merkezinden geçen doğrusuna dik olan ayağıdır.
Eşitsizlikler
Eğer ve sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevresel çemberin yarıçapı ise, alanı aşağıdaki eşitsizlikleri sağlar

Sadece dörtgen bir kare ise her iki taraf için de eşitlik söz konusudur.
Alan için bir başka eşitsizlik ise
'dir.
burada ve sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapıdır.
Alan için bir öncekinden daha keskin bir üst sınır veren benzer bir eşitsizlik ise
'dir.
eşitlik ancak ve ancak dörtgen bir dik deltoid ise geçerlidir.
Ek olarak, , , , ve yarı çevre kenarları ile:
Açı formülleri
, , , sırasıyla, , , çift merkezli dörtgenin kenarlarına karşılık gelen uzunluklar ise, tepe açıları tanjant fonksiyonu ile hesaplanabilir:


Aynı gösterimleri kullanarak, sinüs ve kosinüs fonksiyonları için aşağıdaki formüller geçerlidir:




Köşegenler arasındaki açısı aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:
İç yarıçap (inradius) ve dış yarıçap (circumradius)
Çift merkezli bir dörtgenin iç teğet çemberinin yarıçapı, aşağıdaki ifadeye göre, , , kenarlarıyla belirlenir.

Çevrel çemberin yarıçapı, Parameshvara formülünün özel bir durumu olarak aşağıda verilmiştir.

İç teğet çemberin yarıçapı, aşağıdaki formüle göre ardışık teğet uzunlukları, , , cinsinden de ifade edilebilir:

Bu iki formül gerçekte, iç teğet çemberinin yarıçapı olan bir teğetler dörtgeninin kirişler dörtgeni olması için gerekli ve yeterli koşullardır.
Çift merkezli bir dörtgenin dört kenarı, , , , dördüncü dereceden denklemin dört çözümüdür.

burada yarı çevre, ve ise sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapıdır.
Teğet uzunlukları, , , ve iç teğet çemberinin yarıçapı olan çift merkezli bir dörtgen varsa, teğet uzunlukları, , , ve iç teğet çemberinin yarıçapı olan çift merkezli bir dörtgen vardır, burada herhangi bir gerçel sayı olabilir.
Çift merkezli bir dörtgen, aynı kenar uzunluk dizisine sahip diğer herhangi bir teğetler dörtgenine göre daha büyük bir yarıçapa sahiptir.
Eşitsizlikler
Çevrel çemberin yarıçapı ve iç teğet çemberin yarıçapı aşağıdaki eşitsizliği sağlar:

Bu eşitsizlik, L. Fejes Tóth tarafından 1948'de kanıtlanmıştır. Sadece iki çember eş merkezli olduğunda (birbirleriyle aynı merkeze sahip olduklarında) eşitlik geçerli olur; o zaman dörtgen bir karedir. Eşitsizlik, yukarıdaki alan için çifte eşitsizlik kullanılarak birkaç farklı şekilde kanıtlanabilir.
Önceki eşitsizliğin bir uzantısı

burada ancak ve ancak her iki tarafta da eşitlik olduğu zaman dörtgen bir karedir.
Bir çift merkezli dörtgenin yarı çevresi, aşağıdaki eşitsizliği sağlar:

burada ve sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapıdır.
Ayrıca,

ve
İç teğet çemberin merkezi (incenter) ve çevrel çemberin merkezi (circumcenter) arasındaki uzunluk
Fuss teoremi
Fuss teoremi, herhangi bir çift merkezli dörtgenin iç teğet çemberinin yarıçapı ve çevrel çemberinin yarıçapı ile iç teğet çemberinin merkezi ve çevrel çemberinin merkezi arasındaki uzunluğu arasında bir ilişki verir. Bu ilişki, aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

veya eşdeğer olarak,

1792'de Leonhard Euler'in öğrencisi olan İsviçreli matematikçi Nicolaus Fuss (17551826) tarafından türetilmiştir. Denklemi için çözersek;

Üçgenler için Euler teoreminin analogu olan çift merkezli dörtgenler için Fuss teoremi, eğer bir dörtgen çift merkezli ise, iki ilişkili çemberin yukarıdaki denklemlere göre birbiriyle ilişkili olduğunu söyler. Aslında, tersi de geçerlidir: Fuss teoremindeki koşulu sağlayan merkezler arasında ve yarıçaplı ve iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık mesafeli iki çember (biri diğerinin içinde) verildiğinde, bunlardan birini çevreleyen ve diğerine içeriden teğet olan bir dışbükey dörtgen vardır. (ve sonra Poncelet kapanma teoremine göre, sonsuz sayıda vardır).
Fuss teoreminin ifadesinde in ve cinsinden ifade edilerek uygulanması, yukarıda belirtilen eşitsizliği olarak elde etmenin başka bir yoludur. Bir genelleme aşağıdaki şekilde yapılabilir:
Carlitz özdeşliği
İç teğet çember ve çevrel çemberin merkezleri arasındaki mesafe için bir başka formül, Amerikan matematikçi Leonard Carlitz (1907-1999) tarafından verilmiştir. İfade aşağıdaki gibi yazılır:

burada ve, sırasıyla iç teğet çemberin ve çevrel çemberin yarıçapları ve
'dir.
Burada, , , , çift merkezli dörtgenin kenarlarıdır.
Teğet uzunlukları ve kenarlar için eşitsizlikler
Teğet uzunlukları, , , için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir:

ve

burada iç teğet çemberin yarıçapı, çevrel çemberin yarıçapı ve, iç teğet çemberin merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki mesafedir. , , , kenarları aşağıdaki eşitsizlikleri sağlar

ve
İç teğet çemberin merkezinin diğer özellikleri
Çevrel çemberin merkezi, iç teğet çemberin merkezi ve çift merkezli dörtgenin köşegenlerinin kesişimleri aynı doğru üzerindedir yani doğrusaldır.
iç teğet çemberin merkezinden bir çift merkezli dörtgeninin dört köşesine olan dört mesafe ile ilgili aşağıdaki eşitlik söz konusudur:

burada iç teğet çemberin yarıçapıdır.
Eğer, iç teğet çemberinin merkezi olan bir çift merkezli dörtgen 'nin köşegenlerinin kesişme noktası ise aşağıdaki eşitlik geçerlidir.

Bir çift merkezli dörtgen içinde, iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapı ye ilişkin bir eşitsizlik aşağıdaki şekilde yazılabilir.

burada, iç teğet çemberin merkezidir.
Köşegenlerin özellikleri
Çift merkezli bir dörtgende köşegenlerin uzunlukları, sırasıyla kirişler dörtgeni ve teğetler dörtgeninde sağlanan formüller olan kenarlar veya teğet uzunlukları cinsinden ifade edilebilir.
Köşegenleri ve olan çift merkezli bir dörtgende, aşağıdaki özdeşlik geçerlidir:

burada ve sırasıyla iç teğet çemberin yarıçapı ve çevrel çemberin yarıçapıdır. Bu eşitlik, aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

veya köşegenlerin çarpımı için ikinci dereceden bir denklem olarak çözerek, aşağıdaki biçim elde edilir:

Çift merkezli bir dörtgende ve köşegenlerin çarpımı için bir eşitsizlik aşağıdaki gibidir:

burada, , , kenarlardır. Bu eşitsizlik, 1967'de Amerikan matematikçi Murray S. Klamkin tarafından kanıtlanmıştır.
Bir çember üzerinde yer alan dört iç teğet çember merkezi
bir çift merkezli dörtgen ve, çevrel çemberin merkezi olsun. O zaman, , , gibi dört üçgenin iç teğet çemberlerinin merkezleri bir çember üzerinde yer alır.