Pro sonlu grup

Pro sonlu gruplar, Matematikte ilk olarak sayılar kuramında görülmüştür. 19. yüzyılın sonlarına doğru kongurans sistemlerini çalışmak için Alman matematikçi Hensel tarafından bulunan p-sel tamsayılar halkası Zp, pro-sonlu grupların en temel örneklerinden birisidir. Sonrasında Krull herhangi bir sonsuz Galois genişlemesinin Galois grubunun doğal bir şekilde pro-sonlu grup yapısına sahip olduğunu gördü. Böylece, aslında yapının sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla belirlendiğini gösterdi. Daha sonra, cebirsel geometri alanında Grothendieck, şemaların temel gruplarını birer pro-sonlu grup olarak tanıttı.
Tanım

Ayrık topoloji ile donatılmış bir takım sonlu grupların oluşturduğu projektif sistemin projektif limitine izomorf olan topolojik gruplara pro-sonlu grup denir. Bahsi geçen sistem, yönlü bir küme (yani, her sonlu altkümesinin bir üst sınıra sahip olduğu yarı-sıralı küme) olmak üzere; sonlu gruplardan oluşan bir ailesi ile aşağıdaki kosulları sağlayan şeklindeki grup homomorfizmaların ailesinden oluşur:
Her için
Her için (yani üzerine birim fonksiyondur.)
Böyle bir sistemin projektif limiti
şeklinde bir küme ile tanımlanır. (Projektif limitin tanımı sağladığı evrensel özellikle daha soyut olarak verilebilir.) Bu küme üstündeki topolojik grup yapısı en doğal haliyle gelir. Sonlu grupları, ayrık topoloji ile donatılırsa projektif limit çarpım topolojisinden inen topolojiyle bir topolojik uzay olur. Ayrıca çarpım grubunun ikili işlemi olan noktasal toplama ile birlikte limit aynı zamanda bir grup yapısına sahiptir.
Pro-sonlu grupların sağladığı bir takım topolojik özellikleri bakımından daha sade bir başka karakterizasyonu mevcuttur. Her pro-sonlu grup aslında Hausdorff, kompakt ve tümden bağlantısız (yani, tek nokta altkümelerinden başka bağlantılı altkümesi yoktur) bir topolojik gruptur. Tersine bir topolojik grubu bu üç özelliğe sahip ise bir pro-sonlu gruptur. Nitekim, bölüm gruplarının nin açık ve normal olan tüm altgrupları üzerinden projektif limiti, topolojik grubuna topolojik grup olarak izomorftur. Burada her bir bölüm grubu sonlu grup olduğundan limit bir pro-sonlu gruptur. Dolayısıyla topolojik grubu bu izomorfizma vasıtasıyla pro-sonlu grup olarak görülür.
Pro-sonlu tamlanış
Verilen bir gruptan doğal bir şekilde pro-sonlu grup elde etmenin bir yolu, o grubun sonlu bölüm gruplarının projektif limitini almaktır. Nitekim bir grubunun sonlu indeksli normal altgrupları kümesi, kapsama ilişkisi ile birlikte bir yönlü küme oluşturur. Sıralama şeklindedir. Bu durumda kümesiyle ile tanımlı grup homomorfizmaları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin projektif limitine grubunun pro-sonlu tamlanışı denir ve ile gösterilir. Daha açık bir ifadeyle pro-sonlu tamlanış,
şeklinde verilir. Burada ile arasında ile tanımlı doğal bir grup homomorfizması mevcuttur. grubunun altındaki imgesi içinde yoğundur. Bu homomorfizmanın birebir olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. Özel olarak yerine tamsayılar grubunu alırsak, homomorfizması tamsayılar grubunu pro-sonlu tamlanışı içine gömer. Dolayısıyla tamsayılar kendi tamlanışı içinde yoğun bir şekilde yaşar. Bu tamlanışın elemanlarına pro-sonlu tamsayılar denir.
Örnekler
Tüm ayrık sonlu topolojik gruplar pro-sonludur.
Toplamsal p-sel tamsayılar grubu, sonlu gruplarının projektif limitine topolojik grup olarak izomorftur. Doğal sayılar kümesi üzerindeki doğal sıralama göz önüne alınırsa, olmak üzere, sonlu gruplarının oluşturduğu aile ile birlikte; her doğal sayıları için ile tanımlı grup homomorfizmaları ailesi bir projektif sistem verir. Buradaki projektif limitin topolojisi, üzerindeki p-sel normun ürettiği topoloji ile aynıdır.
Her Galois grup bir pro-sonlu gruba izomorftur. Nitekim bir (sonlu veya sonsuz) Galois genişlemesi olsun. sonlu Galois genişlemesi olacak şekilde, tüm ara cisimleri kapsama ilişkisi ile birlikte yönlü bir kime oluşturur. Çünkü üzerine sonlu Galois genişlemesi olan iki tane ara cismin kompozitumu yine üzerine sonlu Galois genişlemesidir. Bu durumda, buradaki sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla her için, kısıtlama fonksiyonları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin limiti grubuna kanonik bir şekilde izomorftur. Aralarındaki grup izomorfizması ile tanımlı fonksiyonu ile verilir. Verilen izomorfizma sayesinde, projektif limit üstündeki topoloji grubuna taşınır ve bu topolojiye Krull topoloji denir. Öte yandan, her pro-sonlu grup bir Galois genişlemesinin Galois grubuna izomorftur (). Ancak burada cismi kontrol edilememektedir. Dahası altta verilen birçok K cismi için tüm sonlu grupların elde edilebileceği dahi bilinmemektedir. (Her sonlu grubun rasyonel sayılar ciminin sonlu bir Galois genişlemesi olup olmadığı ters Galois problemi olarak bilinir.)
Özellikler
Bir topolojik grubun pro-sonlu olması için gerek ve yeter koşul Hausdorff, kompakt ve tümden sınırlı olmasıdır.
Pro-sonlu grupların (sonlu veya sonsuz) direkt çarpımı yine pro-sonludur. Üstündeki topoloji çarpım topolojisi ile aynıdır.
Pro-sonlu grupların kapalı altkümeleri pro-sonludur. Üstündeki topoloji altuzay topolojisi ile aynıdır. Eğer, bir pro-sonlu grubunun kapalı normal bir altgrubu ise bölüm grubu da pro-sonludur. Üstündeki topoloji bölüm topolojisi ile aynıdır.
Her pro-sonlu grup kompakt bir Hausdorff uzay olduğundan üstünde Haar ölçüsü tanımlanabilir. Dolayısıyla üstünde bir takım olasılıklar hesaplanabilir, üzerinde tanımlı fonksiyonların integrali alınabilir.
Pro-sonlu bir grubun altgrubunun açık olması için gerek ve yeter koşul kapalı ve sonlu indeksli olmasıdır.
Bakınız
Pro-p grup
Pro-sonlu tamsayılar
p-sel sayılar
Sonsuz Galois teorisi