Matematiksel problem

Matematik problemi, matematik yöntemleriyle temsil edilmeye, analiz edilmeye ve muhtemelen çözülmeye yatkın bir problemdir. Bu, güneş sistemindeki gezegenlerin yörüngelerini hesaplamak gibi gerçek dünya problemi veya Hilbert problemleri gibi daha soyut doğası olan bir problem, ya da Russell Paradoksu gibi matematiğin doğasına atıfta bulunan bir problem de olabilir.
Çözülen matematik probleminin sonucu resmi olarak gösterilir ve incelenir.
Gerçek dünya problemleri
Gayri resmi "gerçek dünya" matematik problemleri, "Adem'in beş elması vardır ve Can'a üç tane verdi. Kaç tane elması kaldı?" gibi somut bir ortamla ilgili sorulardır. Bu tür soruları çözmek, problemi çözmek için gerekli matematiği bilse bile, genellikle "5 - 3" gibi normal matematik egzersizlerinden daha zordur. Kelime problemleri olarak bilinen bu problemler, matematik eğitiminde öğrencilere gerçek dünyadaki durumları matematiğin soyut diline bağlamayı öğretmek için kullanılır.
Genel olarak, gerçek dünyadaki bir problemi çözmek için matematiği kullanmak amacıyla ilk adım, problemin bir matematiksel modelini oluşturmaktır. Bu, problemin ayrıntılarından soyutlamayı içerir ve modelleyici, orijinal problemi matematiksel bir probleme çevirirken gerekli yönleri kaybetmemeye dikkat etmelidir. Matematik dünyasında problem çözüldükten sonra, çözüm orijinal problemin bağlamına geri çevrilmelidir.
Dışarıdan bakıldığında, gerçek dünyada basitten karmaşığa çeşitli fenomenler vardır. Bazıları mikroskobik gözlemle karmaşık bir mekanizmaya sahipken, basit dış görünüşe sahiptirler. Gözlemin ölçeğine ve mekanizmanın kararlılığına bağlıdır. Sadece basit model tarafından açıklanan basit olgunun durumu değil, aynı zamanda basit modelin karmaşık olguyu açıklayabileceği durum da vardır. Örnek modellerden biri, kaos teorisinin bir modelidir.
Soyut problemler
Matematiğin tüm alanlarında soyut matematik problemleri ortaya çıkar. Matematikçiler genellikle kendi istedikleri için onları incelerken, böyle yaparak matematik alanı dışında uygulama bulan sonuçlar elde edilebilir. Teorik fizik tarihsel olarak zengin bir ilham kaynağı olmuştur ve olmaya devam etmektedir.
Klasik geometrinin sadece pusula ve düz kenarlı yapılarını kullanarak çemberin karesini almak ve açıyı üçe bölmek ve genel beşinci dereceden denklemi cebirsel olarak çözmek gibi bazı soyut problemlerin çözülemeyeceği kesin olarak kanıtlanmıştır. Ayrıca çözümsüzlüğü kanıtlanamaz, Turing makinelerinin durma problemi gibi karar verilemeyen problemler de mevcuttur.
Pek çok soyut problem rutin olarak çözülebilir, diğerleri henüz tam bir çözüme yol açmadan bazı önemli ilerlemeler kaydedildiğinden, büyük bir çabayla çözüldü ve yine de Goldbach varsayımı ve Collatz varsayımı gibi bazıları tüm çözüm girişimlerine direndi. Nispeten yakın zamanda çözülen bazı iyi bilinen zor soyut problemler, Dört renk teoremi, Fermat'ın Son Teoremi ve Poincaré varsayımıdır.
Hayal gücümüzde yeni bir ufuk oluşturan matematiksel yeni fikirlerin tümü gerçek dünyaya uymuyor. Bilim, diğer her şeye karşı gelse bile, yalnızca yeni matematiği araştırmanın bir yoludur. Modern matematiğin görüşüne göre, bir matematik problemini çözmenin, satranç (veya shogi veya go) gibi belirli kurallarla kısıtlanan bir sembol işlemine resmen indirgenebileceğini düşünmüştür. Bu anlamda, Wittgenstein matematiği bir dil oyununa çevirir (de: Sprachspiel). Yani gerçek problemle ilgisi olmayan bir matematik problemi matematikçi tarafından önerilmekte veya çözmeye çalışılmaktadır. Ve matematikçinin kendisi için matematik çalışma ilgisi, eğer matematik bir oyunsa, matematiksel çalışmanın değer yargılarında yenilikten veya farklılıktan fazlasını yapmış olabilir. Popper, matematikte kabul edilebilen ancak diğer bilim alanlarında kabul görmeyen bu bakış açısını eleştirir.
Bilgisayarların, matematikçilerin yaptıklarını yapmak için herhangi bir motivasyon hissetmelerine gerek yoktur. Biçimsel tanımlar ve bilgisayar kontrollü çıkarımlar matematik biliminin kesinlikle merkezindedir. Bilgisayarla kontrol edilebilir, sembol tabanlı metodolojilerin canlılığı, yalnızca kuralların doğasında değil, hayal gücümüze de bağlıdır.
Problemlerinin egzersizlere indirgenmesi
Değerlendirme için problem çözmeyi kullanan matematik eğitimcileri Alan H. Schoenfeld tarafından ifade edilen bir soruna sahiptir:
Çok farklı problemlerin kullanıldığı yıldan yıla test puanları nasıl karşılaştırılabilir? (Benzer problemler her yıl kullanılırsa, öğretmenler ve öğrenciler ne olduklarını öğrenecekler, öğrenciler bunları uygulayacaklar: problemler alıştırmaya dönüşecek ve test artık problem çözmeyi değerlendirmeyecektir).
Aynı sorun neredeyse iki yüzyıl önce Sylvestre Lacroix tarafından da dile getirilmişti:
... öğrencilerin birbirleriyle iletişim kurabilecekleri soruları çeşitlendirmek gerekir. Sınavda başarısız olsalar da daha sonra geçebilirler. Bu nedenle, soruların dağılımı, konuların çeşitliliği veya cevaplar, adayları bire bir kesin olarak karşılaştırma fırsatını kaybetme riski taşır.
Problemlerin alıştırmalara bu şekilde indirgenmesi, tarihteki matematiğin karakteristiğidir. Örneğin, 19. yüzyılda Cambridge Mathematical Tripos'un hazırlıklarını anlatan Andrew Warwick, şunları yazdı:
... o zamanlar standart problemlerin çoğu ailesi, 18. yüzyılın en büyük matematikçilerinin yeteneklerini başlangıçta zorlamıştı.