Hurwitz zeta fonksiyonu

Matematik'te, Hurwitz zeta fonksiyonu, adını Adolf Hurwitz'ten almıştır, çoğunlukla zeta fonksiyonu denir. Formel tanımı için kompleks değişken s 'in Re(s)>1 ve q 'nun Re(q)>0 yardımıyla
Bu serinin tanımı verilen s ve q değerleri için mutlak yakınsaktır. Meromorf fonksiyon'a genişletilebilir. Bütün s≠1 değerleri için geçerlidir. Riemann zeta fonksiyonu için ζ(s,1)dir.
Analitik devamlılık
Hurwitz zeta fonksiyonu için analitik devamlılık genişletilirse meromorf fonksiyon olarak tanımlanır, bütün kompleks sayılar için s ile s ≠ 1. s = 1 bir basit kutup vardır. artık 1. Sabit terimlerle verilirse
burada Γ Gama fonksiyonu'dur ve ψ digama fonksiyonu'dur.
Seri Gösterimi
q > −1 ve herhangi kompleks s ≠ 1 için bir yakınsak seri gösterimi tanımı 1930'da Helmut Hasse tarafından verildi.:
Bu yakınsak seri s-düzleminde tam fonksiyon'un tekdüze tıkız altküme'sidir. Burada n inci ileri fark iç toplamı olarak görülebilir; bu şöyledir,
Burada ileri fark operatorü'dür. Böylece, yazmak istersek,
Integral Gösterimi
Bu fonksiyonun integral gösterimi Mellin dönüşümü'nün terimleri içindedir
için and
Hurwitz formülü
Hurwitz formülü bu teoremdir:

burada

Bu gösterim aralığı ve değerleri içindir, burada, polilogaritma'dır.
Fonksiyonel denklem
Zetanın kompleks düzlemde sağ sol yarı düzlemde fonksiyonel denklem'le ilişkili değerleri tam sayıları için
bütün s değerleri için geçerlidir..
Taylor serisi
İkinci değişken bir zeta türevi ve bir shift(kayma)'dır:
Böylece, Taylor serisi'nin eşik formu vardır:
Kapalılık ilişkisi Stark-Keiper formülüdür:
tam sayı değerleri için N değişke için s tir. Bakınız Faulhaber formülü tam sayıların kuvvet serisi sonlu toplamı için benzer bir ilişki.
Fourier dönüşümü
Hurwitz zeta fonksiyonunun ayrık Fourier dönüşümü'nde skonulduğunda Legendre chi fonksiyonu olur.
Bernoulli polinomları ile ilişkisi
fonksiyonunun genelleştirilmiş şekli Bernoulli polinomları'dır:
burada z reel kısmı gösterir. Karşıt olarak,
Özel olarak, değeri için
Jacobi teta fonksiyonu ile ilişkisi
fonksiyonuna Jacobi teta fonksiyonu denir, burada
ise ve z kompleks ise, ama bir tam sayı değilse.. z=n tam sayısı için, bu basitçe
Burada ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradaki ikinci formun fonksiyonel denklem'in orijinali Riemann tarafından verilen Riemann zeta fonksiyonu olduğu unutulmamalıdır. z ayrık tabanlı bir tam sayı olmalıdır ve burada z nin için Jacobi teta fonksiyonunun Dirac delta fonksiyonu'na yakınsaması hesaplanamaz.
Dirichlet L-fonksiyonu ile ilişkisi
Dirichlet L-fonksiyonu ile Hurwitz zeta fonksiyonu lineer kombinasyon olarak ifade edilebilir. aynı şekilde:ζ(s) eşitlik q=1, q=1/2 ve q=n/k ve bunun yanında k>2, (n, k)>1 ise 0<n<k ise.(2s-1)ζ(s), ya gider Hurwitz zeta fonksiyonu, Riemann zeta fonksiyonu ile çakışır ve, sonuç olarak
Dirichlet karakteri her zaman mod k 'dır. Ters yönde de bizim lineer kombinasyonumuz var
Burada çarpım teoremi
şöyle bir genelleştirme kullanılabilir
(Bu son formda q değeri bir doğal sayıdır ve 1-qa doğal sayı değildir.)
Sıfırlar
Eğer "q" = 1 ise Hurwitz zeta fonksiyonu kendini Riemann zeta'ya indirger, q = 1 / 2 durumunda ise basit bir fonksiyonun s karmaşık argümanı çarpımı ile Riemann zeta fonksiyonuna indirgenir (s için yukarıya bakınız), her durumda Riemann zeta fonksiyonunda sıfır ile çalışmak zordur. Özellikle, burada daha gerçel kısmı 1 veya daha büyük ve hiçbir sıfır olmayacaktır. Ancak, Hurwitz's zeta fonksiyonu için 0 <q <1 ve q ≠ 1 / 2, olduğunda ise o zaman 1<Re(s)<1+ε aralığında ε gerçeldir. . Bu Davenport ve Heilbronn tarafından [2] rasyonel ve cebirsel olmayan irrasyonel q ve Cassels tarafından [3]ise cebirsel irrasyonel q için ispat edildi.
Rasyonel değerler
The Hurwitz zeta function occurs in a number of striking identities at rational values (given by Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, reference below). In particular, values in terms of the Euler polynomials :
ve
Bir de şu var:
değeri için. Burada, ve ifadesiLegendre chi function anlamına gelir as
ve
For integer values of ν, these may be expressed in terms of the Euler polynomials. These relations may be derived by employing the functional equation together with Hurwitz's formula, given above.
Uygulamalar
Hurwitz zeta fonksiyonu'nun birçok disiplin içinde uygulamaları vardır. En yaygın, sayı teorisi'nde ortaya çıkar, ve gelişmiş derinleşmiş teoridir.. Bunun yanında, fraktal'ler ve dinamik sistemler'in derinlemesine araştırılmasında kullanılır. istatistik uygulamalarında ;Zipf's kanunu ve Zipf-Mandelbrot kanunu'nda.. parçacık fiziği'nde; Julian Schwinger'in bir formülünün içindeki dirac'ın bir oranı düzgün elektrik alanındaki elektron çift üretimi için kesin sonuç verir.
Özel durumlar ve genellemeler
Hurwitz zeta fonksiyonunun genelleştirilmiş şekli poligama fonksiyonu'dur:
Hurwitz zeta'nın genelleştirilmiş şekli Lerch transandant'ıdır :
ve böylece
Hipergeometrik fonksiyon
Meijer G-fonksiyon