Legendre polinomları

Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.
;
Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.
Özyineli tanımlama
Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir;
(Denklem I)
(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:
Bu ilk iki terim Legendre polinomudur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:
Çözümü
Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.
Burada L, Legendre operatörüdür.
Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.
ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}
Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:
olur. Genellenirse
Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için
şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak
şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.
Legendre polinomlarının ek özellikleri
Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyle ki
diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir, ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı
ve son noktada türev ile veriliyor
yukardaki soruda, Bonnetin yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi, bilinen Legendre polinomları ile uyumludur
ve
Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;
yukardakinden şu görülebilir
veya eşdeğeri
burada −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur
Bonnetin yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile
elde edilir. AskeyGasper eşitsizliği'nden Legendre polinomları için okunan
Legendre polinomlarının bir toplamı için ve için Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir
birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir
burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar ve var,
Asimptotiklik birimden yoksun eklentiler için
ve birimden büyük eklentiler için
burada ve Bessel fonksiyonlarıdır.
Legendre polinomlarının kayması
Kayan Legendre polinomları olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon (aslında, bu bir afin dönüşüm'dür) böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına vurgusu yapilan polinomları [0, 1] arasında bulunur:
kayan Legendre polinomu için bir
açık bağıntı ile veriliyor
kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu
ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:
Legendre fonksiyonları
Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu ikinci türün Legendre fonksiyonlarıdır, ile ifade edilir.
Diferansiyel denklem
genel çözümü var
,
burada A ve B sabitlerdir.
Kesirli derecenin Legendre fonksiyonları
Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tam sayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir, ama son noktasında bundan böyle düzenlidir. Asosiye Legendre polinomları P ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu Pn uyumludur.