Catalan sayıları

Katalan sayıları, kombinatorik matematikte birçok problemin çözümünde kullanılabilen özel bir sayı dizisi. Adını Belçikalı matematikçi Eugène Charles Catalan(1814-1894)dan alan bu dizinin terimleri,
formülüyle bulunur.
Alternatif bir formül olan
in bir doğal sayı olduğunu bir önceki formülden daha açık bir şekilde gösterir.
Katalan sayılarının her biri, kendinden önceki terimlere bağlıdır. Yani : alınır ve diğerleri için
uygulanır.
Hesaplamayı kolaylaştıran bir başka formül ise
'dir.
Örnekler
1. 3 çift parantez, bir cümle içinde kaç farklı şekilde bulunabilir?
Cevap olacak ve parantezler şu şekillerde kullanılabilecektir:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
2. 3 düğümlü bir ikili ağaç, kaç farklı şekilde çizilebilir?
Cevap yine tir.
3. 4x4lük, karelere bölünmüş bir alanda, sol alt köşeden sağ üst köşeye kaç farklı şekilde çıkılabilir?
4. Bir altıgen, köşegenler yardımıyla oluşturulmuş üçgenlere kaç farklı şekilde ayrılabilir?
5. 1den 4e kadar olan sayılar, sıralı bir üçlü oluşturmamak kaydıyla kaç farklı şekilde yan yana getirilebilir?
{1432, 2143, 2413, 2431, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4132, 4213, 4231, 4312,4321}
6. 4 basamaklı bir merdiven, 4 karoyla kaç farklı şekilde kaplanabilir?
7. nxn boyutlu bir A matrisinde, her ise, o matrise Hankel matrisi denir ve determinant, boyuttan bağımsız olarak daima 1dir.
Katalan sayılarının sayma problemlerindeki (Kombinatorik) uygulamaları
Bu dizinin terimleri, kombinatorik matematiğin problemlerini çözmede fayda sağlar. Yukarıda gördüğümüz örnekler bunlardan bazılarıdır. Farklı başlangıç değerleri için problemin cevabı, başlangıç değerini n yerine yazarak elde edilen Katalan sayısına eşit olur.
;
n çift parantezin kaç farklı şekilde düzgün konumlanabileceğini, (düzgün konumlanmakla kastedilen, açılan her parantezin kapanması ve bir parantez açılmadan kapatma parantezi konmamasıdır.)
n+1 dallı bir ikili ağacın kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini,
nxn karelik bir alanda, diagonalin üzerine çıkmayacak şekilde, sol alt köşeden sağ üst köşeye kaç farklı şekilde ulaşılabileceğini,
n+2 kenarlı bir konveks çokgenin, köşegenler aracılığıyla kaç üçgene bölünebileceğini,
1den ne kadar olan sayıların, sıralı üçlü oluşturmamak koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebileceğini,
n basamaklı bir merdivenin, n tane karoyla kaç farklı şekilde kaplanabileceğini,
{1,, n} kümesinin kesişmeyen kısımlarının sayısını,
2xn boyutlu bir standart Young tablosunun kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini,
Ve bunlara benzer sayma problemlerinin nasıl çözülebileceğini gösterir.,
Formülün İspatları
1. İspat
Bu ispat, Dyck kelimelerinin(baştan sona doğru nereden bölünürse bölünsün, Xlerin sayısının Ylerden az olmadığı, X ve Yden oluşan kelimeler) yazılışına dayanır. Bu durumda, kurala uygun şekilde yazılmış kelimelerin sayısıdır. Bu kurala uygun, c ve c+ lardan oluşan, (boş da olabilen) bir kelime oluşturur ve cyi c=[c1]c2 şeklinde yazarsak, c+ için uygun olan yerlerin toplamı,
b de dengeli, yani eşit sayıda c ve c+ içeren, 2n uzunluğunda bir kelime ve olsun.
Yukarıda olduğu gibi, dengeli bir kelime de [c]b ya da ] c+ [b olarak yazılabilir, öylseyse
Yanlış fakat dengeli olan bir kelime de c] ile başlar, dolayısıyla,
Bu eşitlikten ve Bi = di Ci den faydalanarak : elde edilir. Katsayılar Cn için verilen ilk formülle karşılaştırılınca di = i + 1 bulunur. O halde,
2. İspat
Bu ispat da Katalan sayılarının üçgenleme tanımını kullanarak Cn ve Cn+1 arasında bir bağıntı kurmamızı sağlar. n+2 kenarlı bir P çokgeninin bir kenarını temel olarak alalım. P çokgeni üçgenlenebiliyorsa 2n+1 kenarından birini seçip devam edebiliriz. Bu şekilde oluşturulabilecek (4n+2) Cn farklı durum vardır.
Bir de n+3 kenarlı bir Q çokgeni verilsin. Yine bir kenarını temel aldığımızda, Q üçgenlenebilir bir çokgense, ilkinden farklı bir kenar daha seçebiliriz. Bu kez oluşturabileceğimiz (n+2) Cn+1 farklı durum vardır.
Şimdi bu ikisi arasında bir geçiş yapabiliriz: ya Q çokgenini, bir kenarı işaretli olan bir üçgenini çıkararak küçülteceğiz ya da Pnin işaretli kenarının yerine bir üçgen koyarak Pyi genişletip bir kenarını işaretleyeceğiz.
Öyleyse ;
in binom formülü,: başlangıç koşulu ve bu bağıntı yoluyla doğrudan elde edilebilir.