Kesirli analiz

Kesirli analiz, matematiksel analiz'in bir koludur. Kesirli analiz, D = d/dx ile gösterilen türev işlemcisi'nin ve J ile gösterilen integrasyon işlemcisi'nin kuvvetlerinin reel sayı veya karmaşık sayı değerler olabilme olanaklarını inceler.
Bu bağlamda bir üst cümlede kullanılan kuvvetleri terimi, doğrusal bir operatörün bir fonksiyona f 2(x) = f(f(x)) şeklinde peşpeşe uygulanmasını ifade eder.
Kesirli diferansiyel denklemler, diferansiyel denklemlerin kesirli analiz uygulanması yoluyla elde edilen bir genellemesidir.
Kesirli türevin doğası
Kesirli türevde diğer bir önemli nokta ise bir x noktasının tam sayı olmasının yalnızca yerel özellik olduğu; tam sayı olmayan durumlarda ise bir şekilde, tam sayı-kuvvet türev yapacak şekilde x a çok yakın f'in değerlerine bağlı bir f fonksiyonunun x'teki kesirli türevleri olduğunu söyleyemeyiz. Bu nedenle teorinin fonksiyon hakkında daha ileri bilgi içeren, sınır koşullarının bazı çeşitlerini içermesi beklenmektedir.
Bir mecaz kullanmak gerekirse kesirli türev, at gözlüklerini çıkartmayı gerektirir. Bildiğimiz kadarıyla böyle bir teorinin varlığı için ilk olarak, konunun temelleri Liouvillenin 1832'deki notlarında atılmıştır.
Artık, a dereceli bir fonksiyonun kesirli türevi genellikle Fourier veya Mellin integral dönüşümleri vasıtasıyla tanımlanmaktadır.
Sezgisel irdeleme
Burada oldukça doğal bir soru bir H işlemci'sinin var veya yarı-türev nin olup olmadigidir böylece
.
böyle bir işleç olduğu ortaya çıkıyor ve gerçekten herhangi a > 0 için burada var olan bir P işleci
,
veya dny/dxntanımı ile tutulan yöntem n nin tüm gerçek değerlerine uzanabilir.
Diyelimki f(x) , x > 0 için tanımlı bir fonksiyon olsun.0 dan x a tanımlı bu form:
.
olarak kodlanir ve
,
ise bu süreci yineler veya isteğe göre uzatılabilir. Tekrarlı integrasyon için Cauchy formülü:
Gerçek n için bir genelleme basit bir yol içinde yer alır. Faktöriyel fonksiyonunun gamma işlevini kullanarak ayrık doğasını ortadan kaldırmak bize integral işlemcinin kesirli uygulamaları için doğal bir aday verir.
Bu, aslında iyi tanımlanmış bir operatördür. Bunu basitçe göstermek için J operatörü doyurucudur
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
! Kanıtlama
|-
|
son adımda biz entegrasyon sırasını değiş tokuş ve t entegrasyonundan burada faktör f (s) çıkarılır. r değişken değiştirme tarafından tanımlanan
t = s + (x − s)r,
İçsel integral beta fonksiyonu bunun aşağıdaki tatmin edici özelliğidir :
Denklemin içine geriye koyma
α ve βnın birbirinin yerine kullanılabilmesi J operatörü içinde uygulandığı sıranın ilgisiz ve ispatı tamamlar olduğunu gösterir.
|}
Bu ilişkililiğe kesirli diferintegral operatörlerin yarı grup özelliği denir. Ne yazık ki türev operatörü D için karşılaştırılabilir süreç çok daha karmaşık, ancak gösterilebilir ki D genel içinde ne değişmeli ne de eklemelidir.
Bir temel kuvvet fonksiyonun kesirli türevi
varsayalımki f(x) bir formun tek terimlisi(monomiali)dir
İlk türev genel olarak
Bu tekrarlama daha genel sonuç verir
Yukarıdan gama fonksiyonu ile faktöriyel değiştirildikten sonra, bizi şuna götürür
for
için ve,
olarak fonksiyonunun yarı türevini elde ederiz
Bu süreci veren tekrarlama
Nitekim beklenen sonuçlar verecek şekilde
Negatif tam sayı kuvveti k için, gama fonksiyonu tanımsız ve aşağıdaki ilişkiyi kullanmak zorunda
for
Yukarıdaki diferansiyel operatörün bu uzantısı sadece gerçek güçlere kısıtlı örneğin, 2'nci türevi veren (1 − i)inci türevin, ayrıca a için
negatif değerler bağlamında integral veren fark olması gerekmez.
Genel bir fonksiyon f(x) ve 0 < α < 1 için, tam kesirli türev
dir
keyfi α, için dolayısıyla gama fonksiyonu böyle bileşen için tanımlanamaz ve gerçek kısmı bir negatif tam sayıdır, Bu uygulama için gerekli kesirli türev sonrası
tam sayı türevi gerçekleştirilmiştir. Örneğin,
Laplace dönüşümü
Ayrıca sorudan Laplace dönüşümü
yoluyla alınabilir
ve
vs, ters laplace;
.
örneğin beklenildiği gibi
dir. Yani, evrişim kuralı ile
dir.
ve özetle p(x) = xα − 1 için şunu buluruz
Yukarıdakiler Cauchy tarafından bize verilmiştir.
Laplace nispeten az sayıda fonksiyonlar üzerinde "iş" dönüştürür, ancak sık sık kesirli diferansiyel denklemlerin çözümü için yararlıdır.
Kesirli integraller
RiemannLiouville kesirli integrali
Kesirli analizin klasik formu RiemannLiouville integrali tarafından veriliyor, bu esasen yukarıda tanımlanmıştır. Teori periyodik fonksiyonlar için (bir periyod sonra yinelenen 'sinir değerler' içerir) Weyl integralidir. Bu Fourier serisi üzerinde tanımlanıyor ve Fourier katsayılarının kaybolması gereklidir (böylece, 0 için birim çember üzerindeki fonksiyonlar integrallerin evrimi için uygulanıyor).
GrünwaldLetnikov türevi karşıtlığı ile integralin yerine türev ile başlıyor.
Hadamard kesirli integrali
Hadamard kesirli integral'i J. Hadamard tarafından tanıtılmış ve formül aşağıda verilmiştir,
t > a içindir
Kesirli türevler
Klasik Newton türevleri gibi, bir kesirli türev bir kesirli integrali üzerinden tanımlanamaz
RiemannLiouville kesirli türevi
Karşılık gelen türev diferansiyel operatörler için Lagrange kuralı kullanılarak,(n − α) derecenin integrali üzerinden n-inci dereceli türev hesaplanır, α dereceli türevi elde edilir. Bu n ifadesinin önemi α dan büyük tam sayıya yakındır
Caputo kesirli türevi
Kesirli türevleri hesaplamak için başka bir seçenek;1967 makalesinde M. Caputo tarafından tanıtılan Caputo kesirli türevidir. Caputo'nun tanımlaması kullanılarak diferansiyel denklem çözerken Riemann Liouville kesirli türev aksine, bu kesirli mertebeden başlangıç koşullarını tanımlamaya gerek yoktur. Aşağıdaki gibi Caputo tanımı gösterilmiştir.
Genelleme
ErdélyiKober işlemcisi ErdélyiKober işlemcisi bir integral işlemci olup Arthur Erdélyi ve Hermann Kober tarafından 1940'ta tanıtıldı ve aşağıdaki gibi verilir:
bunun genellemesi Riemann kesirli integrali ve Weyl integralidir. Yeni bir genelleme ise aşağıdadır ve bununh genellemesi Riemann-Liouville kesirli integrali ve Hadamard kesirli integralidir. Bu ile
x > a için verilen
Fonksiyonel hesap
fonksiyonel analizin konuları içinde, fonksiyonların f(D) daha genel kuvvetlerinde spektral teorinin fonksiyonel hesabı içindeki çalışmalardır. Sözde-diferansiyel işlemcilerin teorisi D'nin kuvvetlerini ayrıca düşünmemizi sağlar. Ortaya çıkan operatörler tekil integral işlemcilerin örnekleridir; ve yüksek boyutlar için klasik teorinin genelleştirilmesine Riesz potansiyellerinin teorisi denir. Böylece bu çağdaş tutarlı teoride bir sayıdır ve bununla birlikte kesirli hesap tartışılabilir. Ayrıca ErdélyiKober işlemcisi, , 'nin özel fonksiyon teorisi içinde önemlidir
Uygulamalar
Kesirli kütle korunumu
Tanıtım olarak Wheatcraft ve Meerschaert (2008) tarafından, kütle denkleminin bir kesirli korunumu kontrol hacmi sıvı akışını modellemek için gerekli olduğunda heterojenliğin ölçeğine göre yeterince büyük değildir ve kontrol hacmi içinde akı olduğunda doğrusal değildir. Başvuru yapılan yazıda, sıvı akışı için kütle denkleminin kesirli korumasi :
Kesirli adveksiyon dağılım denklemi
Bu denklemin, heterojen gözenekli ortam içinde kirletici akışı modellemek için kullanışlı olduğu gösterilmiştir. Benson, D., Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2000). "The fractional-order governing equation of Lévy motion." Water Resources Res 36, 14131423.
Zaman-uzay kesirli difüzyon denklemi modelleri
Karmaşık ortamda anormal difüzyon süreçleri kesirli-dereceli difüzyon denklem modelleri kullanılarak karakterize edilebilir. Chen, W., Sun, H. G., Zhang, X., Korosak, D., (2010). "Anomalous diffusion modeling by fractal and fractional derivatives." Computers and Mathematics with Applications, 59(5), 1754-1758. Zaman türevi terimi uzun süre ağır kuyruk çürümesi ve yerel olmayan difüzyon için uzay türevine karşılık gelir. Uzay-zaman kesirli difüzyon yönetim denklemi olarak yazılabilir.
Kesirli türevin basit bir uzantısı değişken dereceli kesirli türev, α, β ifadeleri α(x, t), β(x, t) içinde değişir. Anormal difüzyon modelleme uygulamaları için kaynak bulunabilir.
Yapısal sönümleme modelleri
Kesirli türevler polimerler gibi bazı malzeme türlerinde viskoelastik sönümlemeyi modellemek için kullanılır.
Karmaşık ortam için akustik dalga denklemleri
Kompleks ortamlarda, örneğin biyolojik dokuda akustik dalgaların yayılımı, yaygın bir frekans-güç yasalarına uymanın zayıflaması anlamına gelir. Bu tür olgular, kesirli zaman türevlerini içeren nedensel bir dalga denklemi kullanılarak tarif edilebilir:
Ayrıca buradaki referanslara bakınız. Bu tür modeller birden fazla gevşeme fenomeni ölçülen karmaşık ortamlarda zayıflama doğuran, yaygın olarak tanınan hipotez ile bağlantılıdır. Bu bağlantı ayrıca içindeki tanım ve araştırma makalesinde, akustik zayıflamada ayrıca yazılıdır.
Kuantum teorisinde kesirli Schrödinger denklemi
Kesirli Schrödinger denklemi kesirli kuantum mekaniği nin Nick Laskin tarafından incelenen bir temel denkleminin formu aşağıdaki gibidir:<ref>N. Laskin, (2002), Fractional Schrödinger equation, Physical Review E66, 056108 7 pages. (also available online: http://arxiv.org/abs/quant-ph/0206098 )</ref>
burada dalga fonksiyonu denkleminin çözümü olması için verilen bir durum vektörüne ψ(r, t) - kuantum mekaniksel parçacık için r olasılık genliği var t herhangi verilen zaman ve ħ indirgenmiş Planck sabitidir. Potansiyel enerji fonksiyonu sistemi üzerinden V(r, t) bağımlıdır.
Ayrıca, = 2/r'''2 Laplace işlemcisidir ve Dα fiziksel boyut ile bir skala sabitidir.[Dα] = erg1 − αcmαsec−α, (m kütlenin parçacığı için α = 2 de, D2 = 1/2m) ve (−ħ2)α/2 işlemci is the 3-boyutlu kesirli kuantum Riesz türevi ile tanımlanır
Kesirli Schrödinger denkleminde α indisi Lévy indisi, 1 < α ≤ 2.