İç içe kökler

Matematikte iç içe kökler kök içinde köklü ifadelerin bulunması durumudur.
İç içe sonsuz kökler
genel denklemi için:
yandaki denklemde her iki tarafın n dereceden kökü alınırsa şeklinde düzendi.
denkleminde sol tarafta x ve sağ tarafta kökün içinde x vardır. Her ikisi de x tir. Sol taraftaki x kök içindeki kökün içine bir defa yazılırsa olur.
İki defa yazılırsa olur. Burada -x/a ve -b/a şeklinde bir tekrarlanma var.
Sol taraftaki x kök içindeki kökün sonsuz defa yazılırsa : şeklinde bir içe sonsuz kökler meydana gelir. İç içe sonsuz köklerin kaynağı buradan gelmektedir.
Bunun tersi de doğrudur. Birinci kökün içindeki -b/a nın çarpım durumunda olan köklü ifadeye denilirse elde edilir.
Çünkü : içe içe sonsuz kökün her tarafın n ninci kuvveti alınırsa şeklinde olur işleme devam edilirse oldu sağ taraftaki ifade zaten x e eşitti. ve ispat tamamlanmış olur.
Genel Sonuç : dir.
Eğer denklem şeklinde ise : Burada c sabit sayısı yoktur.
şekline dönüşür. Sol taraftaki x kök içindeki x yerine bir defa yazılırsa olur. İki defa yazılırsa şeklinde olur. Burada içe içe kök içinde -b/a lar devam eder. Bu işlem sonsuz defa uygulanırsa iç içe sonsuz kökler meydana gelir. şeklinde sonsuza gider. Bunun tersi de doğrudur.
Tersi için denkleminin her iki tarafının n dereceden kuvveti yani üssü alınırsa devam edilirse bu denklemde ise sağ taraf x e eşitti. yerine x yazılırsa olur. Bu denklem düzenlenirse denklemi elde edilir. denkleminde Şimdi iç içe köklü ifadelerin içindeki ikinci köklü ifadeye neden x denildiği ispatlandı.
Genel Sonuç 2 : ve olur.
Genel Sonuç 2 için ikinci yol: bu ifadede c=0 alınırsa sonuç 2 : yine elde edilir. Çünkü c=0 olması durumunda denkleminde artık sabit sayı olmaz.
şeklinde olur.
Bölüm durumundaki iç içe sonsuz kökler
İspatlar dan sonra bir ispat daha
şeklinde gösterilen iç içe kökler denir. işlemin sonucuna m denilirse şeklinde bir denkleme dönüşür. (Çünkü ikinci köklü ifadede sezgisel olarak m ye eşit oluyor. İspatı yukarıda yapıldı) olur işleme devam edilirse eşit olur. Her iki tarafın dereceden kökü alınırsa eşit olur. eşitti. O zaman eşitliğinde doğrudur.
Genel sonuç 3
İkinci dereceden denklemin iç içe köklerle ilişkisi
Yukarıda ispatlar yapıldı. Genel iç içe kökler oluşturuldu.
denkleminde eşitti. alınması durumunda denklemi ve oluşur.
Sonuç olarak eşittir.
İkinci dereceden denklemin bir kökü dır. O zaman x ler aynı olduğundan eşitleme yapılır. eşitliği yazılabilir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta iç içe köklü ifadenin pozitif bir sonucu olması. Negatif sonuçlar çözüm kümesine alınamaz. (Bir ispat daha yapıldı.)
İkinci dereceden denklemde sabit sayı yok ise :
şeklinde bir denklem oluşur. Yandaki denklem denkleminin için özel bir durumudur. denkleminde eşitti. Burada için
olur. x ler eşit olduğundan dolayı eşitliği yazılabilir.
Sonuç 1
eşittir.
ve dönüşümleri yapılırsa: işleme devam edilirse
eşitliğine dönüşür. Daha da düzenlisi her iki tarafı ile çarpılırsa iç içe Karekökler genel sonucu olur. Burada olduğuna dikkat ediniz.
Sonuç 2
dönüşümü yapılırsa: olur.
İç içe kökler
,
şeklinde olan köklere iç içe kökler denir.
Kökler üssü ifadelerin kesirli biçimidir.
şeklindeki ifade üssü sayıların bir özelliğidir. İç içe köklerde aynı şekildedir. Kök sembolü aslında kesirli üsler için özel bir parantezdir. Aslında aynılar.
En önemli özelliği : bu ifade köklü ifadeleri ve üslü ifadeleri birbirine bağlayan bir eşitliktir. Bu özellikten yola çıkarak şeklindeki ifadeyi üssü ifadeye çevirmek mümkün.
burada ilk olarak şeklinde olur. Devam edilirse aynı şekilde şeklinde olur. özelliği uygulanırsa olur.
Sıra ifadesinde biçimine dönüşür. Bu da aynı şekilde olur. Aynı özellik uygulanırsa sonucuna ulaşılır. ifadesi formundada yazılabilir.
Sonuç
A-) köklü ifadesi için denilirse her iki tarafın karesi alınırsa şekline dönüşür.
ifadesinin her iki tarafının karekökü alınırsa şeklinde olur. denilmişti. O zaman eşitliği olur.
Sonuç
B-)
ise denilirse her iki tarafın karesi alınırsa şekline dönüşür.
ifadesinin her iki tarafının karekökü alınırsa şeklinde olur. denilmişti. O zaman eşitliği olur.
Sonuç
Not: Bu işlemler ispata dayalıdır. İçerisinde ezbere dayalı bir işlem yoktur. Tamamen mantık üzerinedir.
Matematik taslakları
Cebir