İstatistiksel yayılma ve sapma

İstatistiksel yayılma ve sapma (diğer adlarıyla istatistiksel değişkenlik veya varyasyon) istatistik biliminde bir sayısal kantitatif değişkenin ölçülen veya ölçülebilen değerlerinin veya bir olasılık dağılımı'nın genel olarak veya bir merkez noktasından yaygınlığı veya değişebilirliği özelliğidir. İstatistiksel yayılma veya sapma kantitatif değişkenlerin veya rassal değişkenlerin diğer bir özelliği olan merkezsel konum ölçüleri ile birlikte istatistikçilerin en çok ilgilendikleri konulardır. Genel olarak günlük hayatta en çok kullanılan yayılma ölçüsü açıklık olmakla beraber, bunun gayet bariz olarak aykırı değerlerden çok etkilenmesi dolayısı ile çeyrekler açıklığı, standart sapma ve varyans gibi diğer çok kullanılan yayılma ölçüleri geliştirilmiştir.
İstatistiksel yayılma
Eğer bir değişkenin tüm değerleri veya gözlemlenen değerleri birbirine özdeş olarak tek ve sadece tek bir değer alırsa istatistiksel yayılım sıfırdır. Değişken değerleri daha farklı değerler almaya başladıkça yayılma artmaya başlayarak yayılma ölçüsü sıfırdan başka değerler alır.
İstatistiksel yayılma ölçüleri için değişik sınıflama şekilleri vardır. Bir çeşit sınıflama yayılımın ölçümünün herhangi bir belli merkezsel noktaya referansla yapılıp yapılmadığına göredir. Açıklık veya çeyrekler açıklığı yayılım ölçüleri için herhangi bir diğer merkezsel noktaya referans verilmez. Ortalama mutlak sapma, standart sapma veya varyans için ise belirli bir merkezsel konum noktası, aritmetik ortalama, bir çapa noktası gibi bir referans noktası olur ve yayılma bu merkezsel referans noktasından sapmalar ile ölçülür.
Diğer bir sınıflama yayılma ölçülerinin ölçülme birimlerinin özelliklerine dayanır:
Bazı yayılım ölçleri boyutsuz olup ölçülmeleri için hiçbir birimi olmayıp sade ve sade hiçbir birimi olmayan bir saf sayı olarak ifade edilirler. Ama bu halde değişken verileri için boyut veya birim bulunmamaktadır. Bunlara örnek:
varyasyon katsayısı;
dorttebirlik yayılma katsayısı
relatif ortalama fark. Bu Gini katsayısı değerinin iki katıdır.
Yayılım ölçülerinin çok büyük bir kısmı için "yayılım ölçüsü değişkenin ölçüldüğü birim" ile ölçülür. Örneğin değişkenler metre veya dakika ile ölçülmekte ise yayılma ölçüleri de ayni birimde olan metre veya dakika ile ölçülürler. Bunlara örnek:
Açıklık
Çeyrek açıklığı
Ortalama mutlak sapma
Standart sapma
Ortalama fark
Bu türdeki istatistiksel yayılma ölçüleri sadece değişmez-birimli olmayıp değişmez konumluluk" ve boyuta göre doğrusal olma özelliklerine de sahiptirler. Böylece bir rassal değişken olan X için SX olan yayılım ölçüsü ise, bunun bir doğrusal dönüşümü olan
Y = aX + b a ve b reel sayıları için
ifadesi için de yayılım ölçüsü
SY = |a|SX
olur.
Diğer istatistiksel yayılım ölçüleri değişken değerleri ile ilgili ama değişik birimlerdedir. Varyans standart sapmanın karesi olduğu için, değişkenin ölçme biriminin karesi birimindedir. Örneğin değişken metre ile ölçülürse varyans metre kare birimlidir. Bu nedenle varyansın konumu değişmez ama boyuta göre doğrusal değildir.
Bazı yayılma ölçüleri özel maksatlarla geliştirilmişlerdir. Bunlar arasında (saatler, osiloskoplar, amplifikatörler vb için) ve frekanslarla ilgili olarak "Allan varyansı" ve "Hadarmand varyansı" kayda değer yayılım ölçülerdir.
Kategorik değişkenler için yayılma ve sapmanın tanımlanıp ölçülmesi kavramsal olarak daha zor açıklanmaktadır ve genellikle fen ve teorik matematik temelli istatistikçiler tarafından kategorik veri yayılma ölçüleripek kullanılmamakta olduğu için geldirilmemişlerdir. Ancak kategorik veriler ile çok uğrasan sosyal bilimler içinde bu çeşit kalitatif yayılma ölçüleri geliştirilmiştir.
İstatistiksel yayılmanın kaynakları
Fiziksel bilimlerde yayılma ve değişkenlik ölçülme hatalarının rassal olmalarından doğmaktadır. Ölçüm enstrümanları hiçbir zaman hiç kusursuz ve tam mükemmel değildirler. Bu bilimlerde ölçülen kantitenin sabit ve hiç değişmediği genellikle kabul edilir ve böylece değişkenlik ölçümlerin arasında farklardan, yani gözlem hatası nedeni ile ortaya çıkar.
Bu varsayım biyolojik bilimlerde doğru değildir. Gözlemlenen fenomen incelenen fenomenin kendine özel karakteri dolayısıyla diğerlerinden farklıdır ve anakütlenin değişik üyeleri birbirlerinde çok genel ayrılıklar gösterirler.
Sosyal bilimlere gelince biyolojik bilimlerden çok daha fazla sayıda değişkenlik doğuran faktörler (tarihsel, fizyolojik, psikolojik, politik, sosyal) nedenlerle incelenen karakterlerde büyük yayılma gösterebilirler.
Dipnotlar