Lp uzayı

{{DISPLAYTITLE:Lp uzayı}}
Matematik'te Lp uzayı, sonlu boyutlu vektör uzayı için p-norm'un doğal bir genelleme kullanarak tanımlı fonksiyon uzayı'dır. Bazen Lebesque uzayı denir. İlk Frigyes Riesz (Riesz 1910) tarafından Bourbaki grubu olarak tanıtılmasına rağmen, Henri Lebesgue, adına ithaf edilmiştir. fonksiyonal analiz'de Banach uzayı'nın ve topolojik vektör uzaylarının önemli bir sınıfını Lp uzayı formu oluşturur. Lebesgue uzayının fizik, istatistik, finans, mühendislik ve diğer disiplinlerde uygulamaları var.
Sonlu boyutlu içinde p-norm
Öklid norm'u tarafından n-boyutlu gerçel vektör uzayı Rn içinde verilen bir vektörün uzunluğu x = (x1, x2, , xn) genellikle:
Öklid uzunluğu x ve y gibi iki nokta arasındaki düz çizginin uzunluğudur, birçok durum içinde, Öklid uzaklığı belirli bir alanda gerçek mesafeleri yakalamak için yetersizdir. örneğin, taksi sürücüleri için Manhattan uzunluk ölçüsü gitmesi gereken yerlere düz çizgi uzunluğu açısından değildir, ama Manhattan mesafesi terimlerinin içinde sokakların birbirine dik veya paralel olduğu dikkate alınır. p-norm sınıflarının genellemesi burada iki örnektir ve matematik, fizik ve bilgisayar bilimleri'nin birçok parçasının içindeki uygulamalar bolcadır.
Tanım
Bir gerçel sayı p ≥ 1 için, p-norm veya Lp-norm
tarafından x ın tanımıdır.
Yukarıdan Öklid norm bu sınıfa düşer ve 2-normdur ve 1-norm karşılık gelen norm Manhattan mesafesi'dir
L-norm veya en büyük norm (veya tektip norm) için Lp-normları limitidir. Bu limitin aşağıdaki tanım eşdeğer olduğu ortaya çıktı:
Bütün p ≥ 1 için, p-normlar ve maksimum norm olarak yukarıda tanımlanan gerçekten bir "uzunluk fonksiyonu" özelliklerini karşılayacak bir (veya normdur), normda şunlar vardır:
Sadece sıfır vektörü sıfır uzunluğu vardır
Vektör uzunluğu skaler çarpımına göre pozitif homojen olduğu, ve
İki vektör toplamının uzunluğu vektörlerin uzunlukları toplamından daha büyük değildir (üçgen eşitsizliği).
teorik olarak, bunun anlamı Rn ile beraber p-norm bir Banach uzayı'dır. Bu Banach uzayı Rn üzerinde bir Lp-uzayıdır.
p-normlar arasındaki ilişkiler
Bu iki nokta arasındaki grid uzaklığı ("Manhattan uzaklığı") aralarında çizgi parçasının uzunluğu asla daha kısa değildir bu sezgisel açıktır (mesafe "kuş uçuşu" Öklid veya), biçimsel olarak, herhangi bir vektör öklid norm olan 1-norm ile sınırlı olduğu anlamına gelir
Bu p-norm içerisinde p-normlar olduğu gerçeğini yaygınlaştırıyor herhangi bir x vektörün
p ile büyümez:
herhangi bir vektör x ve gerçek sayılar p ≥ 1 ve a ≥ 0 için. (Aslında bu 1>p>0 ve a ≥ 0 için doğru kalır.)
Ters yön için, 1-norm ve 2-norm arasında aşağıdaki ilişki bilinmektedir:
Bu eşitsizlik boyut temel vektör alanı n e bağlıdır ve aşağıdaki Cauchy-Schwartz eşitsizliği ile doğrudan,
genel olarak p > r > 0 için burada vektörler :
0 < p < 1 ise
için içinde, formül
için derece 1'in mutlak bir homojen fonksiyonu tanımlanır; bununla birlikte bir F-norm sonuç fonksiyon tanımlamaz, çünkü bu altoplamsal değildir. için içinde, için formül
bir altoplamsal fonksiyon tanımlıyor, bu bir F-norm tanımlıyor. Bu F-norm derecenin homojenidir.
Bununla birlikte, fonksiyon
bir metrik tanımlıyor. Metrik uzay lnp ile ifade ediliyor.
Gerçi bu metrik içinde çıkış Bnp çevresinde -birim top "içbükey"dir, topoloji metrik ile üzerinde tanımlanır ve 'nın topolojisi genel vektör uzayıdır, bu nedenle lnp bir yerel dışbükey topolojik vektör uzaydır. Bu niteliksel beyanı ötesinde, lnp'in dışbükeyliğinin eksikliğini ölçmeye bir nicel yol -birim top'un C Bnp gibi çoklu ile ifade edilen en küçük sabiti Bnp'nin dışbükey gövdesini içerir. Bn1 ya eşittir. sabitlemek için aslında elimizde
var. Bu da gösteriyorki aşağıda tanımlanan sonsuz-boyutlu dizi uzay artık yerel dışbükeydir.
p = 0 ise
Burada bir l0 normdur ve diğer fonksiyon l0 "norm" udur(tırnak işaretleri ile).
norm l0 'ın matematiksel tanımı Banach tarafından Doğrusal Operasyon Teorisi ile kurulmuştur. Bu uzayı dizisinin F-norm tarafından sağlanan bir tam metrik topolojisi idi.
, Metrik Doğrusal Uzaylar içinde Stefan Rolewicz tarafından verilen derslerdir. Bu l0-normlu uzay fonksiyonel analizde çalışılmıştır, olasılık teorisi, ve harmonik analizde.
Diğer fonksiyon l0 "norm" olarak adlandırılmıştı David Donoho tarafından tırnak işareti olan bu fonksiyonun uygun bir norm olmadığına gösterir x vektörünün sıfır-olmayan sayı girişidir. Birçok yazarın tırnak işaretleri atlanması ile kötü terminoloji'dir.00 = 0 tanımı, xın sıfır "norm"u ya eşittir. Bu bir norm değildir.(B-norm, "B" ile Banach için)çünkü homojen değildir. Matematiksel bir norm olarak bu hatalarına rağmen, sıfır-dışı sayılabilir "norm" bilimsel hesaplamalar, bilgi teorisi, ve istatistikler özellikle sıkıştırılmış algılama'da işaret işleme'de ve bilişimsel harmonik yerel analiz'de kullanımı vardır.
p-sayılabilir sonsuz boyutlarda norm
p-norm bileşenlerin sonsuz sayıda vektörleri genişletilebilir, alanı sağlar ki, bu gibi özel durumlarda içerir:
, seri dizilerinin uzayı mutlak yakınsaktır,
, kare-toplanabilir uzayın dizisi, bu bir Hilbert uzayı'dır, ve
, sınır dizinin uzayı.
Dizilerin uzayı koordinat toplama ve skaler çarpımın koordinatlara uygulanmasıyla doğal bir vektör uzayı bir yapıya sahip olur.
açıkça, (gerçel veya karmaşık) sayıların bir sonsuz dizi'si için vektör toplamı olarak tanımlanır
yardımıyla skaler hareket verilirken
p-normun tanımı
Burada, bir komplikasyon ortaya çıkar, yani bu seri;gerçekten her zaman yakınsak değildir, örneğin, tek olanlar dizisi oluşur, Her sonlu p ≥ 1 için (1, 1, 1, ), p-norm (uzunluk) sonsuz olacaktır. lp uzayı ardından p-norm sonlu olduğu gibi gerçek (ya da karmaşık) sayıların tüm sonsuz sıraları kümesi olarak tanımlanır.
Bir bu kadar kontrol edebilirsiniz p artar, lp kümesi büyüdükçe. Örneğin, dizi
l1 içinde değildir, ama p > 1 için lp içindedir, seri olarak
p = 1 için ıraksak (harmonik seri), ama p > 1 için yakınsaktır.
Bir de supremum kullanarak -norm tanımlamaktadır:
ve Tüm sınırlı dizilerin l karşılık gelen uzayı. Bu çıkıyor ki
Böylece, sağ taraf sonlu ya da sol taraf sonsuz ise lp için 1 ≤ p ≤ alanları dikkate alacaktır.
p-norm böylece lp üzerinde tanımlı gerçek bir normdur, ve lp ile beraber bu norm bir Banach uzayıdır. Tam genel olarak Lp uzayı elde edilir. aşağıda görüldüğü gibi, sonlu ya da sayılabilir-sonsuz birçok bileşenleri değil sadece vektörleri dikkate alınarak, fakat " keyfi birçok bileşen"; başka bir deyişle, fonksiyonları. Bir integral bunun yerine bir p-norm toplamı tanımlamak için kullanılır.
Lp uzayları
Diyelim ki 1 ≤ p < ve (S, Σ, μ) bir ölçü uzayı olsun, tüm ölçülebilir fonksiyon'ların kümesini düşünün S den C ye(veya R) olan mutlak değer yükseltilmiş p-inci kuvvetten sonlu integral idi, veya eşdeğeri, şudur
Bu fonksiyonlar kümesi aşağıdaki doğal işlemleri ile, her skaler λ için bir vektör uzayı oluşturur:
Bu ikisinin toplamı S integrallenebilir fonksiyonların gücü yine pi güç integrallenebilir aşağıdaki eşitsizliğinden |f + g|p ≤ 2p-1 (|f|p + |g|p). Aslında, daha doğrudur Minkowski eşitsizliği denilen üçgen eşitsizliği içinde geçerlidir
p. Böylece pinci güç integrallenebilir fonksiyonların kümesi, ile birlikte bu fonksiyon p, bir yarınorm'lu vektör uzayıdır, ile ifade edilir.
Bu standart bir şekilde bir normlu vektör uzayı içine yapılabilir; biri sadece bölüm uzayı alır sırası ile p' nin çekirdeği'dir durum bu iken herhangi ölçülebilir fonksiyon f için, bizim fp = 0 var, yalnız ve yalnız f = 0 hemen hemen her yerde, p'in çekirdeği bağlı değildir p,
Bölüm Uzayda, iki fonksiyon f ve g ayrı ayrı eğer f = g ise hemen hemen her yerdedir. Sonucu normlu vektör uzayının, tanımından,
p = için, the space L(S, μ) uzayı aşağıda tanımlanmıştır. Tüm ölçülebilir fonksiyonların seti ile başlarız S den C ye (veya R ye) temelde sınırlıdır, yani ölçümü sıfır olan bir küme ile sınırlanmış. Yine iki tür fonksiyonlar ayrıştırlırsa bu hemen hemen her yerde eşittir. Bu kümeyi gösterelim L(S, μ). L(S, μ) içindeki f, bu zorunlu üstünlük uygun bir norm olarak sunulmaktadır:
Daha önce olduğu gibi, elimizdeki
bazı q < için f ∈ L(S, μ) ∩ Lq(S, μ)ise,
1 ≤ p ≤ , Lp(S, μ) için Banach uzayıdır. Gerçek şu ki Lp tam dır sık sık Riesz-Fischer teoremi ne başvurulur. Tamlık Lebesgue integral için yakınsama teoremleri kullanılarak kontrol edilebilir. Temel ölçüm aralığı S anlaşıldığı zaman, Lp(S, μ) genellikle kısaltılmıştır Lp(μ) veya sadece Lp. Yukarıdaki tanımlar Bochner uzayı'na genellenebilir.
Özel durumlar
p = 2; ise l2 gibi uzay, bu uzay L2 yalnızca bu sınıfın Hilbert uzayı'dır. Karmaşık durumda, iç-çarpım olarak L2 tanımlanırsa,
Ek iç çarpım yapısı uygulamaları ile daha zengin bir teori sağlar, örneğin, Fourier serileri ve kuantum mekaniği.
L2 içindeki fonksiyonlara integrallenebilir kare fonksiyonlar denir, 'karesi integrallenebilir fonksiyonlar veya''' 'toplanabilir kare fonksiyonlar- ama bazen bu koşulları, Riemann integrali böyle bir anlamında diğer bazı anlamda karesi integrallenebilir işlevleri, için ayrılmıştır.
Eğer karmaşık-değerli fonksiyonlar kullanıyorsak, L uzayı noktasal çarpım ve birleşme ile bir birleşmeli C -cebri'dir. Birçok ölçüm uzayları için, tüm sigma-sonlu olanlar dahilinde, bu aslında bir birleşmeli bir von Neumann cebri'dir. L nin ögesiyle çarpımı herhangi Lp uzayı üzerinde bir sınır operatör tanımlar.
lp uzayı (1 ≤ p ≤ ) Lp uzayının bir özel durumudur, S ise, N pozitif tam sayı kümesidir ve μ ölçüsü N in sayılabilir ölçüm 'üdür. Daha genel olarak, L p uzayının sayılabilir ölçüm sonuçlarının kümesi ile S beraber düşünüldüğünde lp(S) ile ifade edilir. örneğin, lp(Z) uzayı tam sayılarla indislenmiş uzaydır ve öyleyse bir uzay olarak p-norm tüm tam sayılar üzerinde bir toplamları ile tanımlanır lp(n) uzayı, burada n ögeli bir kümedir, Rn ile p-norm olarak yukarıda tanımlanmıştır. Herhangi bir Hilbert uzayı olarak, her L2 uzayı doğrusal uygun bir için izometrik l2(I), burada özel olarak L2 nin bir keyfi Hilbertyen tabanının I kümesi önemlidir
Lp uzayın özellikleri
Çift uzay Lp(μ)'nin çift uzayı (sürekli doğrusal tüm fonksiyonellerin uzayı) 1 < p < için Lq(μ) ile doğal bir izomorfizm idi., burada q 1/p + 1/q = 1 sağlar, g ∈ Lq(μ) ile κp(g) yi ilişkilendiren fonksiyonel ∈ Lp(μ)∗ tanımı ile aşağıdadır.
Aslında κp(g) si iyi tanımlanmış ve sürekli Hölder eşitsizliği aşağıdadır. κp göndermesi Lq(μ)'den Lp(μ)∗ ye doğrusal gönderme içindedir, Hölder eşitsizliği ile bir izometrisi sıra dışı durumdur. Bunu (RadonNikodym teorem'i ile göstermek de mümkündür, bkz) bu herhangi G ∈ Lp(μ)∗ bağıntısı ile gösterilebilir:yani, bu κp üzerindedir. böylece κp üzerinde ve izometrik ve bir Banach uzayı'nın bir izomorfizm'idir. Birlikte bu (izometrik:şekil değiştirme yok) izomorfizmi hatırlayın, basitçe söylemek gerekirse Lp nin çifti Lq
"dir" ise 1 < p < , Lp(μ) uzayı yansıtılabilir. Diyelimki κp yukarıdaki gönderme ve diyelimki κq doğrusal izometri olsun
karşılığı Lp(μ) den Lq(μ)∗üzerinedirLp(μ)'dan Lp(μ)∗∗ 'ya, bir düzen ile elde edilir κq ile κp'nın birbirlerinin tersidir. Devrik (veya eşlenik), Lp(μ) nin sıklığı ile kanonik gömme J kendi ikinci sıra duali içine, dahası, jp göndermesi üzerinedir, iki üzerine izometrinin uyumu olarak, ve bu yansıtılabilirliği kanıtlıyor.
Eğer ölçü μ olarak S sigma-sonlu ise L1(μ) dualdir L(μ)'ya izometrik izomorftur(daha doğrusu, κ1 haritasıp = 1 karşılar bir izometridir L(μ)'dan L1(μ)∗) üzerinedir. L'nin bu çifti zekicedir. (L(μ))∗'nin ögesi ayrıştırılabilir ile sınır işareti sonluluk toplamsal ölçüsü olarak S bu mutlak süreklilik ile sırası μ yedir, daha detay için bak ba uzayı. Biz seçimin aksiyomu varsayarsak, L1(μ) içinde bazı önemsiz durumlar dışında bu uzay çok daha büyüktür. Ancak, Zermelo-Fraenkel küme teorisi nispeten tutarlı uzantıları vardır ve lnin duali l1dir. Bu, Shelah'nın bir sonucudur. Eric Schechter'in dersleri içinde Analizin el kitabı ve temelleri'dir
Gömmeler
Halk dilinde olan bir terim, eğer 1 ≤ p < q ≤ , Lp(S, μ) ise daha yerel tekil olan işlevler içerir, Lq(S, μ) elemanları ise daha yayılmış olabilir. (0, ) yarım satırı üzerinde Lebesgue ölçümü düşünün. L1 içindeki sürekli bir fonksiyondur,0'a yakınsa havaya uçurmak gerekir ama sonsuza doğru yeterli oranda hızlı çürüme gerekir. Öte yandan, L içindeki sürekli fonksiyonlardır, hiç çürümeye gerek yok ama şişirmeye izin verilir. Kesin bir teknik sonuç şudur:
Diyelimki 0 ≤ p < q ≤ . Lq(S, μ) içeriyor yani Lp(S, μ) ancak ve ancak S içindedir, keyfi büyük ölçüde kümeleri içermez ve,
Diyelimki 0 ≤ p < q ≤ . Lp(S, μ) içeriyor Lq(S, μ) S ancak ve ancak sıfırdan küçük keyfi ölçüde kümeleri içermez.
Özellikle, bağlı olan etki alanı S ise sonlu ölçü, (Jensen eşitsizliği'nin bir sonucu)Lq uzayının anlamı Lp içinde kesintisiz gömülüdür. Demek ki, kimlik operatörü sınırlı doğrusal harita Lq dan Lp ye'dir. Yukarıdaki eşitsizlik görünen sabit en uygunudur, I : Lq(S, μ) - Lp(S, μ) is kesin olarakf = 1 a. e.[μ]. eşitlik durumu tam olarak ne zaman elde ediliyor?
Yoğunluk altuzayı
1 ≤ p < Bu bölüm boyunca. olduğu kabul edilmektedir
Diyelimki (S, Σ, μ) be bir uzay uzunluğudur. Bir integrallenebilir basit bir fonksiyon f olarak S formunun biridir
burada aj skalerdir ve Aj ∈ Σ sonlu ölçü idi, j = 1, , n için. integral'inin yapısı tarafından, Lp(S, Σ, μ) içinde integrallenebilir basit fonksiyonların vektör uzayında yoğundur.
Dahası S bir metriklenebilir topolojik uzay ve Σ dır. Bu Borel σcebri'dir, yani, S alt kümesinin daraltılmış σcebrinin açık kümesi'ni içeriyor.
Varsayalımki V S bir açık küme ile μ(V) < dir. Her Borel kümesi için sağlanabilir V içinde, A ∈ Σ içeren ve her ε > 0 için, burada bir kapalı küme F vardır ve bir açık küme U dur böylece
Bu S sürekli φ var olduğunda aşağıdaki şöyledir
Eğer açık kümelerin sonlu ölçüde artan dizisi tarafından karşılanabilir (Vn) S var, ise pintegrallenebilir sürekli fonksiyonlar uzayının Lp(S, Σ, μ) içindeki yoğunluktur, daha doğrusu, açık kümelerin bir Vn dışında kaybolan sınırlı sürekli fonksiyonları kullanılabilir.
Bu özellik geçerli olduğunda S = Rd ve eğer μ Lebesgue ölçüsü ise, sürekli ve tıkız desteklenen fonksiyonlar uzayı Lp(Rd) yoğundur. Benzer şekilde, integrallenebilirlerin uzayı basamak fonksiyonu dur. Lp(Rd) içindeki yoğunluktur. Bu uzay sınırlı aralıkların göstergesinin fonksiyonlarının doğrusal süresi d = 1 ise, sınırlı dikdörtgenlerin d = 2 ise ve daha genel olarak sınırlı aralıklarının çarpımları ise; Genel fonksiyonları çeşitli özellikleri Lp(Rd) içindedir. İlki (bazen basamak fonksiyonlar için) sürekli ve tıkız desteklenen işlevler için kanıtlandı, sonraki tüm fonksiyonlara yoğunluk tarafından genişletilmiştir. Örneğin, ötelemenin sürekli olduğu Lp(Rd) şeklindede kanıtlanmıştır aşağıdaki anlamda:her f ∈ Lp(Rd), içint ∈ Rd ise 0'a gider, burada tarafından çevrilen fonksiyon olarak tanımlanır.
Uygulamalar Lp uzaylar yaygın olarak matematik ve uygulamalarında kullanılır.
HausdorffYoung eşitsizliği
Fourier dönüşümü için gerçek çizgi(sırası ile. periyodik fonksiyonlar için, cf. Fourier serisi) haritaları Lp(R) ya Lq(R) (resp. Lp(T) ya lq), burada 1 ≤ p ≤ 2 ve 1/p + 1/q = 1. Bu, Riesz-Thorin interpolasyon teoremi'nin bir sonucudur ve Hausdorff-Young eşitsizliği ile hassas yapılır.
buna karşılık eğer p > 2, Fourier dönüşümü Lq haritası içine olmuyor
Hilbert uzayı
Hilbert uzayı birçok uygulamanın merkezindedir, kuantum mekaniği'nden rassal hesabı'na kadar. Bu L2 ve l2 her iki uzay Hilbert uzayıdır. aslında seçilen bir Hilbert tabanın, l2(E) tüm Hilbert uzayları için izometrik olduğu görülür burada E uygun bir önem düzeyi olan bir kümedir.
İstatistik
İstatistikde, bu, ortalama, medyan ve standart sapma olarak merkezi eğilim ve istatistiksel dağılım ölçüleri Lp ölçümleri açısından tanımlanır ve merkezi eğilim ölçüleri varyasyonel sorunlara çözüm olarak karakterize edilebilir.
0 < p < 1 için Lp
Diyelimki (S, Σ, μ) bir ölçü uzayıdır. eğer 0 < p < 1, ise Lp(μ) aşağıdaki tanımlanabilir: ölçülebilir böyle fonksiyonların vektör uzayı f böylece
.
Daha önce olduğu gibi, p-norm'u tanıtabiliriz f p = Np(f)1/p,
ama || ||p bu durumda, üçgen eşitsizliği doyurucu değildir, ve yalnızca bir kuazi-norm tanımlıyor.
(a + b)p ≤ ap + bp eşitsizliği, a ≥ 0 için değeri ve b ≥ 0 implies that
ve böylece fonksiyon
bir Lp(μ) bir metrik ve sonuç olarak tam metrik uzaydır doğrulama ailevi duruma benzer ise p ≥ 1 dir. Lp çerçevesi içerisinde bir ters Minkowski eşitsizliği uygundur böylece u ve v için in LpBu sonuç kullanıcıya Clarkson eşitsizliğini sağlar, which are in turn used to establish the tektip dışbükeylik of Lp uzayının 1 < p < için.
0 < p < 1 Lp uzayı için bir F-uzayı şudur:o bir tam öteleme-değişmezi metrik sırasıyla vektör uzayı için süreklilik operasyonu olduğunu kabul eder o ayrıca yerel sınır gibidir daha çok p ≥ 1 durumu gibidir. Bir F-uzayının prototip örneğidir ;en mantıklı ölçüm uzayı için, yerel dışbükey değildir: lp içinde veya Lp([0, 1]), her açık dışbükey küme 0 fonksiyon içeren p-sözde-norm için sınırlıdır; bu nedenle 0 vektör dışbükey komşuluğun bir temel sistemine sahip değildir. Özel olarak, bu pozitif ölçümün sonlu kümelerinin parçalarının bir sonsuz ailesi dahilinde ise S ölçüm uzayı doğru ölçülebilir. Lp([0, 1]) içinde yalnızca boş olmayan açık kümenin tüm uzaydır. Belirli bir sonucu olarak, burada are no nonzero linear functionals on Lp([0, 1]): dual uzayı sıfır uzaydır. Doğal sayılar (dizi uzayı üreten Lp(μ) = lp) üzerinde sayılabilir ölçünün durumu içinde sınırlı doğrusal fonksiyoneller lp olarak tam olarak budur ve l1 sınırdır, yani bu verilen l içindeki dizi tarafından verilen lp ye rağmen önemsiz olmayan dışbükey açık kümeler içermektedir, bunların topolojisine yeteri kadar bir taban vermek için başarısız.
Doğrusal olmayan fonksiyonların durumu analiz yapma amaçları için son derece istenmeyendir. Rn olarak Lebesgue ölçüsünün durumu içinde yerine X yerine çalışan daha 0 < p < 1 için Lp, Hardy uzayı Hp ile çalışmak olasılığı daha sıktır, Bu pek çok doğrusal fonksiyonellerde olduğu gibi: birbirinden ayırt etmek için yeterli sayıdadır. Ancak, HahnBanach teoremi Hp içinde p < 1. için hala başarısız
L0, ölçülebilir fonksiyonların uzayı
(sınıfının eşdeğeri) ölçülebilir fonksiyonların vektör uzayı (S, Σ, μ) olarak L0(S, Σ, μ) ifade edilir. . Tanımıyla, bu tüm Lp, yi içerir ve ölçüm içinde yakınsaklık topolojisi ile donanımlıdır, ise μ bir olasılık ölçüsü (yani., μ(S) = 1), dür. Bu yakınsaklığın modu olasılık içinde yakınsaklık olarak adlandırılır. Bu tanım μ ye yakın ise sonludur.
Eğer μ bir sonlu ölçü olarak (S, Σ), ise bu 0 fonksiyon bir ölçüde yakınsama komşuluğunda aşağıdaki temel sistem için kabul ediliyor
Topoloji d şeklinde herhangi bir metrik tarafından tanımlanabilir
burada φ sınırlı sürekli içbükey ve azalmayan olarak [0, ), ile φ(0) = 0 ve φ(t) > 0 ise t > 0 dır. (örnek için, φ(t) = min(t, 1)). Böyle bir metrik L0 için Lévy-metrik- olarak adlandırılır. L0 bu metrik uzayı altındadır ve tamdır. (o tekrar bir F-uzayıdır). Bu uzay L0 genel içindeki yerel sınır değildir, ve yerel içbükey değildir.
Rn için sonsuz Lebesgue ölçüsü λ olarak, komşuluğundaki temel sistemin tanımı değiştirilmiş olarak aşağıdaki olabilir
Nihai uzay L0(Rn, λ) sıklık olarak topolojik vektör uzayı ile L0(Rn, g(x) dλ(x)) için herhangi pozitif λintegrallenebilir yoğunluk g 'dir.
Zayıf Lp
Diyelimki (S, Σ, μ) be bir uzay ölçüsü, ve f bir ölçülebilir fonksiyon ile gerçek veya karmaşık değerler olarak S. f 'in dağılım fonksiyonu t > 0 için tanımı aşağıdadır
Eğer Lp(S, μ) içindeki f(tir) için bazı p ile 1 ≤ p < , ise Markov eşitsizliği ile,
Bir f fonksiyonu eğer burada bir sabit C > 0 ise zayıf Lp(S, μ) uzayı içinde veya Lp, w(S, μ) olduğu söylenir, böylece, bütün t > 0 için,
En iyi C sabiti bu eşitsizlik için f içindeki Lp, w-normudur, ve şu ifade ile gösteriilir
Zayıf Lp sıklığı ile Lorentz uzayı Lp,, öyle ki bu gösterim ayrıca bunları belirtmek için kullanılır. Lp, w-norm doğru bir norm değildir, dolayısıyla üçgen eşitsizliği korunamıyor. yine de Lp(S, μ) içinde f için
ve özel olarak Lp(S, μ) Lp, w(S, μ). kuralı altındaki iki işlev eğer onlar μ hemen hemen her yerde eşit, ise uzayı Lp, w tamdır..
Herhangi 0 < r < p için ifadeLp, w-norm ile karşılaştırılabilir. durum içinde daha fazla p > 1, bu bir norm ifade eder eğer r = 1. Bundan dolayı p > 1 için zayıf Lp uzayı Banach uzayı'dır.
Kullanılan bir büyük sonuç Lp, w''-uzayı Marcinkiewicz interpolasyon teoremi'dir, harmonik analiz ve tekil integral çalışmalarında geniş uygulama alanı vardır
Ağırlıklı Lp uzayları
Daha önce olduğu gibi, bir ölçü uzayı düşünelim. Diyelimki bir ölçülebilir fonksiyon olsun. -ağırlıklı uzayı olarak tanımlanıyor, burada ölçüsü tanımı ile
veya RadonNikodym türevselin terimleri içinde, norm için açıkçadır
-uzayları olarak, ağırlıklı uzaylar özel değildir, dahası ya eşittir. Ama bu harmonik analiz içinde bazı sonuçlar için doğal çerçevedir; bu Muckenhoupt teoremi içinde örnek için görüntüsü: için, klasik Hilbert dönüşümü üzerinde tanımlanan burada ifadesi birim çember ve Lebesgue ölçüsüdür;(doğrusal olmayan) HardyLittlewood maksimal operatörü üzerinde sınırlıdır. Muckenhoupt'un teoremi böylece üzerinde ve Hilbert dönüşümü izleri üzerinde maksimal operatörü w ağırlıkları tanımlar.
Lp uzayı olarak manifoldlar
bir manifold olarak uzaylarda tanımlayabiliriz, manifoldun iç Lp'' uzayı''' adını alır, yoğunlukları kullanılıyor.