Elektromanyetizmanın eşdeğişim formülasyonu

Klasik manyetizmanın eşdeğişimli formülasyonu klasik elektromanyetizma kanunlarının(özellikle de, Maxwell denklemlerini ve Lorentz kuvvetinin) Lorentz dönüşümlerine göre açıkça varyanslarının olmadığı, rektilineer eylemsiz koordinat sistemleri kullanılarak özel görelilik disiplini çerçevesinde yazılma sekillerini ima eder. Bu ifadeler hem klasik elektromanyetizma kanunlarının herhangi bir eylemsiz koordinat sisteminde aynı formu aldıklarını kanıtlamakta kolaylık sağlar hem de alanların ve kuvvetlerin bir referans sisteminden başka bir referans sistemine uyarlanması için bir yol sağlar. Bununla birlikte, bu Maxwell denklemlerinin uzay ve zamanda bükülmesi ya da rektilineer olmayan koordinat sistemleri kadar genel değildir.
Bu makalede tensörlerin uzaysal birleşenleri için (vektörler de dahil) SI birimleri kullanılmıştır, tensörlerin klasik kullanımı ve geleneksel Einstein toplamı ve Minkowski metriği (+1, −1, −1, −1) şeklindedir. Denklemlerin vakum koşullarına göre özelleştirildiği yerde, onlara Maxwell denklemlerinin toplam yük ve akım cinsinden formülasyonu olarak bakılabilir.
Eşdeğişimli cisimler
Hazırlık 4-vektör
Arka plan bilgi maksadıyla, elektromanyetizmaya direkt olarak bağlı olmayan, fakat bu makalenin anlaşılması için yararlı olacak dört boyutlu vektörden üçünü sunuyoruz:
Metre cinsinden, "pozisyon" yahut "koordinat" dört boyutlu vektörü
Metresaniye−1 cinsinden, hız dört boyutlu vektörü (başka bir deyişle dört boyutlu hız vektörü)
γ(u) 'nin Lorentz çarpanı olduğu yerde üç boyutlu hız vektörü u 'dur.
kilogrammetresaniye−1 cinsinden, bir parçacığın dört boyutlu momentum vektörü (başka bir deyişle momentum dört boyutlu vektörü)
p üç boyutlu momentum olduğu yerde, E kinetik enerjidir, vem parçacığın durgun kütlesidir.
metre−1 cinsinden the dört boyutlu eğim
Metre cinsinden−2 d'Alembertian operatörü: şeklinde gösterilir.
Sıralanan tensör analizlerindeki işaretler tensörler için geleneksel bir kullanımdır. Buradaki geleneksel kullanım Minkowski tensörüne tekabül eden + kullanımıdır:
Elektromanyetik tensör
Elektro manyetik tensör manyetik ve elektrik alanların bir eşdeğişimli antisimetrikmetrik tensörün içindeki kombinasyonudur. voltsaniyemetre−2 cinsinden, alan kuvvet tensörü alanlar cinsinden şu şekilde yazılır:
ve dizinlerinin yükseltilmesinin sonucu
'dur.
E 'nin enerjiyi gösterdiği yerde elektrik alan, B 'dir ve c ışık hızıdır.
dört boyutlu Akım Vektörü
dört boyutlu akım vektörü elektrik akım yoğunluğu J ile elektrik yük yoğunluğunu ρ birleştiren kontravaryant dört boyutlu vektörüdür. ampermetre−2 cinsinden,
şeklinde gösterilir.
dört boyutlu Potansiyel
voltsaniyemetre−1 cinsinden, elektromanyetik dört boyutlu potansiyel bir eşdeğişimli dört boyutlu vektördür ve elektriksel potansiyeli (başka bir deyişle skaler potansiyel) φ ve manyetik vektör potansiyeli (başka bir deyişle vektör potansiyeli) A içerir ve şu şekilde formüle edilir:
Elektromanyetik alanla elektromanyetik ilişki arasındaki ilişki bu denklemle gösterilir:
Elektromanyetik gerilimenerji tensöru
The elektromanyetik gerilimenerji tensörü dört boyutlu mometum vektörünün akısı (yoğunluğu) olarak düşünülebilir ve elektromanyetik alanların toplam gerilimenerji tensörüne katkısı olan bir kontravaryant si tensördür. joulemetre−3 cinsinden şu şekilde gösterilir
ε0 vakumlu ortamın elektrik geçirgenliği olduğu yerde, μ0 da vakumlu ortamın manyetik geçirgenliğidir, Poynting vectorü wattmetre−2 cinsinden
'dir.
ve Maxwell gerilim tensörü in joulemetre−3 cinsinden şu şekilde gösterilir
The elektromanyetik alan tensörü F elektromanyetik gerilimenerji tensörünü T aşağıdaki formülle oluşturur:
η'nin Minkowski metrik tensörü olduğunu düşünürsek. Fark edilmesi gereken önemli bir nokta ise burada Maxwell denklemleri tarafından tahmin edilen
ilişkisini kullandığımızdır.
Vakum koşullarında Maxwell denklemleri
Vkum koşullarında (yahut mikroskopik denklemler için, makroskopik materyal tanımlarını içermeyen) Maxwell denklemleri iki tensör denklemi olarak yazılabilir.
İki homojen olmayan Maxwell denklemi, Gauss yasası ve Amper yasası (Maxwell denklemlerinin düzeltmeleriyle) (+ metriği ile) birleştiler :
homojen denklemler Faraday'ın indüksiyon yasası ve Gauss'un manyetizma yasaları şunları oluşturmak için birleşirken:
Fαβ 'nin elektromanyetik tensör olduğu yerde, Jα dört boyutlu akımdır, εαβγδ Levi-Civita sembolüdür ve indeksler geleneksel Einstein toplamına göre davranır.
İlk tensör denklemi β'nin her değeri için bir tane olmak üzere dört skaler denkleme karsılık gelir. İkinci tensör denklemi aslında 43 = 64 farklı skaler denkleme karşılık gelir, fakat yalnızca dördü birbirinden bağımsızdır. elektromanyetik alanın antisimetrikmetrisini kullanarak hem bir tanımlamayı indirgenebilir (0 = 0) hem de λ, μ, ν = bunlardan herhangi biri 1,2,3 or 2,3,0 or 3,0,1 or 0,1,2 haricindeki tüm gereksiz denklemleri eleyebiliriz.
Kısmi türev için antisimetrikmetrik tensör notasyonunu ve virgül notasyonunu kullanarak f (Ricci kalkülüsüne bakın), daha uygun ikinci bir denklem şu şekilde yazılabilir:
Kaynakların yetersizliğinde, Maxwell denklemleri suna indirgenir:
ve bu da alan kuvvet tensöründe yer alan elektromanyetik dalga denklemidir.
Lorenz ölçüsünde Maxwell denklemleri
Lorenz ölçü koşulları Lorentz varyanssız ölçü koşullarıdır. (Bu diğer ölçü koşullarıyla karşılaştırılabilir Coulomb ölçü koşulları gibi; eğer bir eylemsiz referans sisteminde tutarsa genel olarak diğer eylemsiz referans sistemlerinde de tutar.)dört boyutlu potansiyel çinsinden aşağıdaki gibi gösterilir:
Lorenz ölçülerinde, mikroskopik Maxwell denklemleri şu şekilde gösterilir:
Lorentz kuvveti
Yüklü parçacık
qyüklü hareket eden ve anlık hızı v olan bir parçacık üstündeki. The electric alan E ve manyetik alan B uzay ve zamanda değişir.
Lorentz kuvvetine göre elektromanyetik (EM) alan elektrik yüklü maddelerin hareketini etkiler. bu yolla, elektromanyetik alanlar tespit edilebilir (parçacık fiziğindeki uygulamalar ile ve doğal oluşumları ile Auroralarda olduğu gibi). Rölativistik formda, newton cinsinden Lorentz kuvvet alan kuvvet tensörünü şu şekilde kullanır.
Koordinat zamanı cinsinden ifade edilmiş t 'nin saniye cinsinden ölçüldüğü gösterim:
pα 'nin yukarıda görüldüğü gibi dört boyutlu momentum olduğu koşulda, q coulomb cinsinden elktrik yüküdür, vexβ metre cinsinden pozisyonu ifade eder.
Hareketli referans sisteminde, bu alanlar dört kuvvet olarak adlandırılır
Yukarıda görüldüğü gibi uβ 'nun dört boyutlu hız olduğu yerde ve τ 'nin parçacığın koordinat zamanıyla dt = γdτ bağıntısıyla bağlandığı zamanıdır.
Yükün devamlılığı
Sürekli bir ortamda, üç boyutlu kuvvet yoğunluğu eşdeğişimli dört boyutlu vektörü oluşturmak için güç yoğunluğuyla birleşir, fμ. Uzaysal kısım küçük hücreler (üç boyutlu uzayda) üstündeki kuvvetin hücrenin hacmiyle bölünmesinin sonucudur. Zaman bileşeni 1/c çarpı hücreye transfer edilen güçün hücrenin hacmine bölümüdür. Lorentz kuvvetinin yoğunluğu elektromanyetizmadan kaynaklanan kuvvet yoğunluğunun bir parçasıdır. Uzaysal bölümü şöyledir
.
Açıkça eşdeğişimli notasyonu şu şekle gelir:
Lorent kuvveti ve elektromanyetik enerji-gerilim tensörü arasındaki ilişki şöyledir
Korunum yasaları
Elektrik yükü
Devamlılık denklemi:
toplam yükün korunumunu açıklar.
elektromanyetik enerjimomentum
Maxwell denklemlerini kullanarak, sıradaki elektromanyetik tensörü ve dört boyutlu akım vektörünü ilişkilendiren diferansiyel denklemi sağlayan gerilimenerji tensörlerini görebilir (yukarıda tanımlandığı gibi)
yahut
Bu da lineer momentumun ve enerjini elektromanyetik etkileşimlerde korunduğunu ifade eder.
Madde içimdeki eşdeğişimli objeler
Serbest ve bağlı dörtlü akımları
Burada verilen elektromanyetizma denklemlerini çözmek için, elektrik akımının nasıl hesaplandığıyla ilgili ek bilgiye ihtiyaç vardır, Jν Çoğunlukla, akımı farklı denklemlerle modellenen iki parçaya ayırmak gelenekselleşmiştir, serbest akım ve bağlı akım;
olduğu zaman
Maxwell's makroskopik denklemleri kullanılmıştır, ek olarak elektriksel yerdeğiştirmenin D (coloumbmetre−1 cinsinden) tanımları the definitions of the electric displacement ve manyetik şiddet H (ampermetre−1 cinsinden):
M manyetizasyon (amperemetre−2 cinsinden) veP electriksel polarizasyon (coulombmetre−2 cinsinden) olduğu.
Manyetizasyon-polarizasyon tensörü
Bağılı akım antikontravaryant manyetizasyon-polarizasyon tensörü (ampermetre2) oluşturan P veM alanlarından türetilmiştir
ve bağlı akım su sekilde belirlenir
Elektriksel yerdeğiştirme tensörü
Eğer elektriksel yerdeğiştirme tensörü Fμν birleşirse D veH alanlarını aşağıda olduğu gibi birleştiren antisimetrikmetrik kontravaryant elektromanyetik yerdeğiştirme tensörü elde edilir (ampermetre−1 cinsinden) :
Üç alan tensörü şu şekilde ilişkilendirilmiştir:
Bu da D veH alanlarının yukarıda verilen tanımlarına denktir.
Madde içinde Maxwell denklemleri
Sonuç Amper yasası,
,
ve Gauss's yasası,
,
bir denklemde birleştirirsek:
The bound current vefree current as defined above are automatically veseparately conserved
Geleneksel Denklemler
Vakum
Vakumlu bir ortamda alan ve yerdeğiştirme tensörleri arasındaki geleneksel ilişki şöyledir:
Antisimetri 16 denklemi sadece 6 bağımsız denkleme indirger. Çünkü Fμν ifadesini
ile ifade etmek gelenekseldir.
Vakum koşullarında geleneksel denklemler Gauss-Ampère yasasıyla birleştirildiğinde şu sonuç açığa çıkar:
Elektromanyetik gerilimenerji tensörü yerdeğiştirme cinsinden:
δαπ Kronecker delta olduğu yerde. Üst indeks η ile düşürüldüğü zaman, simetrik olur ve yerçekimi alanı kaynağının bir parçası olur.
Madde
Böylece akımı modelleme işini ikiye indirdik, Jν daha kolay modeller serbest akımı modellemek, Jνfree ve manyetizasyonla polarizasyonu, . Örnek olarak, düşük frekanslı en basit malzemelerden anlık hareketli referans sisteminde yer alan bir tanesi buna sahip;
σ onun elektrik iletkenliği, χe onun elektrik hassalığı ve χm onun manyetik hassaslığıdır.
ve F tensörleri arasındaki geleneksel ilişki, Hermann Minkowski tarafından lineer malzemeler için ortaya konmuştur (yani, E ile D doğru orantılı veB de H ile doğru orantılı),:
u 'nun maddenin dört boyutlu hızı olduğu yerde, ε ve μ maddenin geçirgenliğidir
(i. e. in rest frame of material), vedenotes the Hodge dual.
Klasik elektrodinamik için Lagrangian
Vakum
Klasik elektrodinamik için Lagrangia (Lagrangian yoğunluğu) (joulemetre−3 cinsinden) şöyledir;
Etkileşim cinsinden, dört boyutlu akım diğer yüklü alanların elektrik akımlarını kendi değişkenleri cinsinden ifade eden pek çok terimin kısaltılması olarak anlasılmalıdır, dört boyutlu akımın kendisi temel bir alan değildir.
Elektromanyetik Lagrangian yoğunluğu için EulerLagrange denklemi ilerleyen basamaklarda olduğu gibi gösterilebilir:
Not
,
kare parantezlerin içindeki ifade
İkinci terim
Bununla birlikte, hareketin elektromanyetik alan denklemi budur;
Görüldüğü üzere bu da yukarıdaki Maxwell denklemlerinden bir tanesidir.
Madde
Serbest akımları bağlı akımlardan ayırmak, başka bir deyişle Lagrangian yoğunluğunu yazmanın bir başka yolu aşağıdaki gibidir:
EulerLagrange denklemini kullanarak, hareket denklemleri için ifadesi türetilebilir.
Rölativistik olmayan vektör notasyonunda denk ifade
Aynı zamanda bunlara da bakmanız yararlı olacaktır (Kaynaklar İngilizcedir)
Relativistic electromagnetism
elektromanyetik wave equation
LiénardWiechert potential for a charge in arbitrary motion
Nonhomogeneous elektromanyetik wave equation
Moving magnet veconductor problem
elektromanyetik tensör
Proca action
Stueckelberg action
Quantum electrodynamics
WheelerFeynman absorber theory