Eski kuantum teorisi

Modern
kuantum (nicem) mekaniğinden önce gelen eski kuantum (nicem) kuramı, 1900 ile
1925 yılları arasında elde edilen sonuçların birikimidir. Bu kuramın, klasik
mekaniğin ilk doğrulamaları olduğunu günümüzde anladığımız bu kuram, ilk
zamanlar tamamlanmış veya istikrarlı değildi. Bohr
modeli çalışmaların odak noktasıydı. Eski kuantum döneminde, Arnold
Sommerfield, uzay nicemlenimi olarak anılan açısal momentumun (devinimin)
z-bileşkesinde nicemlenim yaparak önemli katkılarda bulunmuştur. Bu katkı, electron yörüngelerinin dairesel yerine eliptik
olduğunu ortaya çıkarmıştır ve kuantum çakışıklık kavramını ortaya atmıştır. Bu
kuram, electron dönüsü hariç Zeeman etkisini açıklamaktadır.
Ana araç Bohr-Sommerfeld kuantizasyonudur (nicemlenimidir).
Bu da izin verilen durumlarda klasik tümlevlenebilir hareketin durumlarının
belirli ayrık takımlarını seçme prosedürüdür. Bunlar Bohr atom modelinde izin
verilen yörüngeler gibidir. Bu kuram kaotik hareketleri genişletmemektedir.
Temel İlkeler
Eski kuantum kuramındaki temel fikir, nicemlenmiş veya
ayrık bir atomik sistemdeki harekettir. Bu sistem bütün hareketler hariç olmak
üzere klasik mekaniğe uymaktadır. Eski kuantum kuramına uyan hareketler;
Denklemde, sistemin momentum (devinimi) ve de karşılık olan koordinatlardır (konsayılardır). Kuantum sayısı olan bir
tam sayıdır ve sabit enerjili hareketin
bir periyodunda tümlevlenir (integrali alınır). Bu tümlev, faz uzayındaki etki
olarak adlandırılan ve birimi Planck sabiti olan bir alandır. Bu nedenle,
Planck sabiti kuantum etkisi olarak da geçmektedir.
Eski kuantum durumlarının bir anlam ifade edebilmesi için
klasik hareketin ayırt edilebilir olması gerekmektedir. Bunun anlamı ayrık
koordinatlarının hareketinin periyodik olduğudur. Farklı hareketlerin
periyotlarının aynı olması gibi bir zorunluluk yoktur. Hatta bu hareketler
kıyaslanamaz bile olabilir. Fakat çoklu periyodik yöntemde hareketi çürüten bir
grup koordinat olmak zorundadır.
Eski kuantumum şartı karşılılık ilkesidir. Fiziksel
gözlemler göstermiştir ki nicemlenmiş miktar adiyabatik değişmiş olmalıdır.
Uyumlu salıngaç için geçerli olan Planck nicemlenimi (kuantizasyonu)
kuralı, genel bir sistemde, toplanır
sabite kadar olan herhangi bir durumu doğrular nitelikte olan klasik bir değeri
nicemler.
Örnekler
Uyumlu Salıngaç (Harmonik Osilatör)
Eski kuantum kuramındaki en basit sistem uyumlu
(harmonic) salıngaçdır. Bunun Hamiltonyan'ı;
Bu denklemde,
nin gruplarının seviyesi yörüngelerdir ve buradaki kuantum (nicem) durumu faz
boşluğunda, bir yörünge tarafından kapatılmış alandır ve bu alan bir
tam sayıdır. Planck kuralına göre, enerji nicemlenir;
Bu sonuç önceden de oldukça iyi bilinmekteydi ve eski
kuantum şartını formülize etmek için kullanılmıştır. Bu sonuç kuantum
mekaniğinin yardımlarıyla bulunan ile farklılık gösterir. Bu sabit, eski
kuantum kuramının türetimlerinde (türev almalarında) yok sayılırdır ve sabitin
değeri bu kullanılarak belirlenemez.
Nicemlenmiş bir salıngaçın (osilatörün) ısısal (termal)
özellikleri Boltzmann ağırlığı ile bağlanmış olduğunu varsaydığımız her bir
ayrık durgunun emerjilerinin ortalaması alınarak bulunabilir.
Bu denklemde, Boltzmann sabitinin mutlak sıcaklıkla
çarpımıdır. Buradaki sıcaklık daha çok enerjinin doğal birimlerinde ölçülür. Termodinamikte
(Isı Devinimde) miktarı sıcaklıktan daha temeldir çünkü enerjiyle ilişkili
termodinamik (Isı Devinim) potansiyelidir (gerilimidir).
Bu ifadeden anlaşılacağı üzere, kolaylıkla
görülür ki büyük değerlerinde, çok düşük sıcaklıklar için olmak kaydıyla,
Harmonik osilatördeki (Uyumlu Salıngaç) ortalama enerji süratle sıfıra
yaklaşır ve bu durum üssel (eksponent) olarak hızlıdır. Bunun arkasında yatan
sebep ise kTnin bir T sıcaklığında rastgele seçilmiş olan bir hareketteki
kendine özgü enerji olmasıdır. Ayrıca, dan küçük olduğunda, ortamda
salıngaca verilecek bir kuantum enerjisi bile yeterli derecede olmaz.
Dolayısıyla salıngaç taban durumunda kalmaya devam eder. Bunun anlamı, çok
düşük sıcaklıklarda betaya göre enerjideki değişim veya eşit bir biçimde
sıcaklığa göre enerjideki değişim üssel olarak küçüktür. Sıcaklığa göre
enerjideki değişim öz ısıdır. Dolayısıyla öz ısı, düşük sıcaklıklarda üssel olarak küçüktür ve sıfıra
doğru aşağıdaki gibi gitmektedir;
Küçük değerlerinde ve yüksek sıcaklıklarda, ortalama
enerji (U) ye eşittir. Bu klasik termodinamiğin eşbölüm kuramını tekrar
gündeme getirmektedir. Bu kuram Bir T sıcaklığında, her uyumlu salıngacın kT
enerjisi vardır ve bu enerji ortalamadadır der. Bunun anlamı, klasik mekanik de
herhangi bir salıngacın öz ısısı sabittir ve kya eşittir. Yaylarla bağlanmış
bir atom toplamı için, makul bir katı modeli olmak kaydıyla, toplam öz ısı
toplam salıngaç sayısının k ile çarpımına eşittir. Örnek vericek olursak
toplmada her atom için üç salıngacın olduğu bir yerde 3 boyutta bağımsız
salıngaçlar için 3 olası yön vardır. Dolayısıyla klasik bir katının öz ısısı
her zaman atom başına 3kdır veya Kimya birimleriyle açıklayacak olursak bir
mol atom için 3Rdır.
Oda sıcaklığında, tek atomlu katılar yaklaşık olarak atom
başına 3k ile aynı öz ısıya sahiptirler. Fakat bu durum düşük sıcaklıklarda
geçerli değildir. Daha düşük
sıcaklıklarda öz ısı da daha küçüktür ve sıfıra doğru gitmektedir. Bu bütün
materyal sistemleri için doğrudur ve bu gözlem termodinamiğin üçüncü yasası
olarak bilinir. Klasik mekanik üçüncü yasayı açıklayamaz çünkü klasik mekanikde
öz ısı sıcaklıktan bağımsızdır.
Klasik mekanik ve soğuk malzemelerin öz ısısı arasındaki
bu çelişkiyi 19. yüzyılda James Clerk Maxwell dikkate almıştır. 1906da Albert
Einstein bu problemi atomic hareketin nicemlenmiş olduğunu ileri sürerek
yeniden çözmüştür. Bu kuantum kuramının mekanik sistemlere uyarlanmış ilk
uygulamasaydı.
Çok kısa bir süre sonra, Peter Debye katıların öz ısıları
hakkında ortaya nicel bir kuram sunmuştur.
Tek Boyutlu Potansiyel (Gerilim): U=0
Tek boyutlu problemlerin oldukça basittir. Herhangi bir enerjisinde, momentum (devinim) değeri aşağıdaki formülle bulunabilir;
Momentumun (Devinimin) ortadan kaybolduğu yerde, klasik
dönüm noktaları arasındaki bütün değerleri tümlenmiştir. Uzunluğu kadar
olan bir kutudaki parçacık için bu integral en kolay halindedir ve formül şu
şekilde olur;
Bu formül bize momentumu da vermektedir;
Ve son olarak enerji seviyeleri
Tek Boyutlu Potansiyel (Gerilim): U=Fx
Eski kuantum kuramı ile kolayca çözülebilen bir başka husus ise pozitif (artı) yarı yoldaki doğrusal gerilimdir (lineer potansiyel). Buradaki olay girilemez bir duvara sabit ve sınırlı bir kuvvetli parçacığı bağlamaktır. Bu husus kuantum mekaniksel işlemlerde çok daha zordur. Ayrıca diğer örneklerin aksine burada kısmen klasik cevaplar kesin olmayan yaklaşık cevaplardır ve büyük kuantum numaralarında daha kesin olmaktadır.
dolayısıyla kuantum durumu şu şekilde olur;
Bu denklem enerji seviyelerini açıklar;
F=mg özel durumunda ise parçacık dünyanın yerçekimi potansiyeli tarafından sınırlandırılmıştır. Ayrıca burada "duvar" olarak yeryüzü kastedilmektedir.
Döner (Rotator)
Bir başka basit sistem ise dönerdir. Bir döner, iki boyutta kütlesiz R uzunluğundaki sabit bir çubuğun ucunda M kadar kütle ihtiva ettiğinde, bu dönerin Lagrangian'ı;
olur ve bu denklem polar (kutuplu) , açısı ile eşlenik olan açısal momentumu (devinimi)açıklar. Buna göre açısal momentum formülü. olarak tanımlanır. Eski kuantum durumu, açısal momentumun açısının periyodu ile çarpılmasını gerektirmektedir. Burada açısının periyodu Planck sabitinin birden fazla tam sayısıdır.
Bohr modelinde bu kısıtlama dairesel yörüngelerde bulunan enerji seviyelerini açıklamayı zorlamaktadır.
3 boyutta sabit bir döner ve açıları ile tanımlanabilir. Burada açısı rastgele seçilen bir z eksenindeki eğime karşılık gelirken, açısı ise x-y ekseninde bulunan döner açısına karşılık gelmektedir. Buna göre kinetik (devimsel) enerjinin Lagrangian'ı;
Bu durumda eşlenik momentum ve olur. için hareket denklemi belirsizdir ve bir sabittir;
olur ki bu da z bileşkesinin açısal momentumudur. Kuantum durumu sabitinin integraline (tümlevine) dayanır çünkü açısı ile arasında çeşitlilik gösterir;
Burada m manyetik (mıknatısal duygunluk) kuantum sayısı olarak anılır çünkü açısal momentumun z bileşkesi, z ekseni boyunca dönerin manyetik momentumudur. Bu eşitlik dönerin sonunda bulunan parçacığın yüklenmiş durumlarda geçerlidir.
3 boyutlu döner bir eksen etrafında döndüğü için toplam açısal momentum, 2 boyutlu dönerde olduğu gibi sınırlandırılmalıdır. İki kuantum durumunda toplam açısal momentumu ve gibi katsayı olan z bileşkesinin açısal momentumunu kısıtlamaktadır. Bu durum modern (günümüz) kuantum mekaniğinde yeniden türetilmiştir. Fakat eski kuantum kuramı döneminde bu durum bir paradoks (özçelişki) oluşmasına yol açmıştır. Bu paradoks " Rastgele seçilmiş bir z eksenine göre açısal momentumun yönü nasıl kuantize (nicemleme) edilebilir?"dir. Görülen o ki bu durum uzayda (boşlukda) bir yön çıkartmaktadır.
Bu fenomen bir eksen etrafında bulunan açısal momentumun kuantize edilmesi "boşluk kuantizasyonu" olarak adlandırılmıştır çünkü bu durum rotasyonel (dönüşsel) değişmezlik ile uyumsuz görünmüştür. Modern kuantum mekaniğinde açısal momentum aynı şekilde kuantize edilir fakat herhangi bir yöndeki açısal momentumun ayrık durumları diğer yönlerdeki durumların kuantum süper pozisyonudur (üstdüşümüdür). Dolayısıyla kuantizasyonun işlem süreci tercih edilen bir eksen çıkarmamaktadır. Bu nedenle "boşluk kuantizasyonu" ismi gözden düşmüş, onun yerine bu fenomen "açısal momentum kuantizasyonu" olarak anılmaya başlamıştır.
Hidrojen Atomu
Hidrojen atomunun açısal bölümü sadece bir dönerden
(rotator) ibarettir ve bu bize kuantum numaraları olan ve yi verir. Arda
kalan tek değişken ise radial koordinatdır (yarıçapsal konsayı). Toplam açısal momentum (devinimi) kadar
olan sabit bir değer için ki bu klasik bir Kepler problemidir (kütlenin ve
enerjinin birimi iki sabiti soğurmak absorbe etmek- için tekrar tanımlanmıştı),
Hamiltonyan şu şekilde olur:
Enerjiyi sabit bir değere oturtmak ve radial momentumu
(yarıçapsal devinim) çözmek için kuantum (nicem) durumu integrali (tümlevi)
aşağıdaki gibi olur:
Bu yalın bir denklemdir ve bize ile bağıntılı enerjiyi
tanımlayan kuantum numarasını
vermektedir.
Bu durumda enerjinin formülü aşağıdaki gibi olmaktadır:
Bu formül asıl kuantum sayısı 'e karşılık gelen ve 'nin toplamlarına dayanmaktadır. pozitif (artı) olduğu için herhangi bir değeri için değeri den büyük
olamaz. Bu enerjiler Bohr modelinde yeniden tanımlanmaktadır. Fakat bu
tanımlamada yüksek değerlerde bazı belirsizliklere sahip olan kuantum mekaniksel
çarpanlar hariç tutulmuştur.
Kısmen klasik olan hidrojen atomu Sommerfeld modeli
olarak adlandırılır ve ayrık eğimlerde bu atomun yörüngeleri farklı ölçülerde
ve eliptik olur. Sommerfeld modelinin tahminine göre bir atomun manyetik
momentu ancak ayrık değerler alacak bir eksen
boyunca ölçülebilir. Bunun ışığında yapılan ölçümler sonucu elde edilen
bir sonuç rotasyonal değişmezlik ile çelişkili görünmüştür ama bu sonuç Stern-Gerlach
deneyi ile onaylanmıştır. Bohr-Sommerfeld kuramı kuantum mekaniğin gelişiminin
bir parçasıdır ve atomik enerji seviyelerinin manyetik alanlar tarafından
yarılma ihtimalini tanımlayabilmektedir.
Relativistik (Göreli) Yörünge
Arnold Sommerfeld atomik enerji seviyelerinin relativistik (göreli) çözümlerini türeten kişidir. Bu türetmeye elektrik potansiyeldeki (gerilim) enerji için relativistik denklemle başlamak gerekmektedir;
değişimini yaptığımızda;
Momentum için, eşitliğini elde ederiz ve birbirlerine oranı olur. Bu durumda hareket denklemi (bkz. Binet Denklemi)
çözümüyle
Enberi noktasının (periapsis) açısal kayması devir başına şu şekilde olur;
Kuantum durumu ile ele aldığımızda
ve
Buradan enerjileri tanımlayabiliriz;
Bu denklemde ince yapı sabitine denk gelmektedir. Bu çözüm Dirac denklemiyle aynıdır.
De Broglie Dalgaları
1905 yılında, Einstein kısa dalga boyları için kutu içinde kuantize olmuş elektromanyetik (akımmıknatısal) olan osilatörlerinin (salıngaç) entropisinin (dağıntı) bir gazın noktasal parçacıklarının entropisine eşit olduğunu belirtti. Noktasal parçacıkların sayısı kuantaların (nicem paketlerinin) sayısına eşittir. Einstein bu kuantaya erişilebilir nesneler, ışık parçacıkalrı gibi davranabileceğine kanaat getirdi ve foton (ışıncık) olarak adlandırdı.
(bkz. sayfa 139/140).
Einstein'ın bu kuramsal argümanı termodinamiğe (ısıdevinimsel), durum numaralarını saymaya dayanıyordu ve tam olarak ikna edici değildi. Sonuç olarak Einstein'da ışığı hem parçacık hem de dalga olarak atfetmiştir. Daha açıkça frekanslı (tekrarsıklık) bir durağan elektromanyetik dalga kuantize seviyesi;
ile her biri enerjili n sayıda fotondan oluşmuştur. Einstein fotonların dalgalarla olan ilişkisini açıklayamamıştır.
Fotonlar enerji gibi momentumada sahiptir ve momentum elektromanyetik dalganın dalga sayısı olmak üzere 'ya eşit olmak zorundadır. Bu göreceliliğin gereğidir çünkü momentum ve enerji frekans ve dalga sayısı olmak üzere dört vektör (yöney) oluşturur.
1924 yılında, Doktora adayı Louis de Broglie kuantum durumuna yeni bir yöntem önerdi. Elektronları da fotonlar gibi ilişkilere uyacak dalga şeklinde tanımlayabilmiştir;
veya dalga boyu cinsinden yazıldığında;
Louis de Broglie sonrasında kuantum koşullarını şöyle belirtmiştir;
Klasik yörüngeyi takip eden dalga için faz değişimlerini sayar ve bu 'nin tam katı olmasını gerektirir. Dalga boyu cinsinden, klasik yörüngeyi takip eden dalga boylarının sayısı tam sayı olmak zorundadır. Bu yapıcı girişimin şartıdır ve kuantize yörüngelerin sebebini açıklar. Madde dalgaları sadece ayrık frekans ve enerjilerde durağan dalga oluşturur.
Örneğin, bir kutuda hapsedilmiş bir parçacık için bir durağan dalga duvarlarının arasındaki mesafenin iki katı dalga boyunun tam sayı katı olmak zorundadır. Bu şart aşağıdaki denklemle ifade edilir;
Dolayısıyla kuantize momentum;
olur. Eski kuantum enerji düzeylerini yeniden oluşturur.
Bu geliime Einstein tarafından daha matematiksel bir formda verilmiştir. Einstein dalgalar için faz fonskiyonunu (işlevini) şöyle belirtir:"Hamilton dahi dalga mekaniğinin kısa dalga boyu limiti (sınırı) için tanımladığı bir denklemi, mekanik bir sistemde Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümüyle tanımlamaktadır. Bu fikirler Schrödinger denkleminin keşfine yol açmıştır."
Kramers Geçiş Matrisi (Dizeyi)
Eski kuantum kuramı sadece periyodik olan hareket açı değişkenlerine ayrılmış özel mekanik sistemler için formüle edilmiştir. Işınım salınımı veya emilimiyle ilgilenmemişti. Yine de Hendrik Kramers emilim ve salınımın nasıl hesaplanması gerektiğini sezgisel olarak tanımlamıştır. Kramer, kuantum sisteminin yörüngelerinin Fourier analizlerinin yeni harmoniklerin yörünge frekanslarını katları şeklinde ayrıştırılmasıyla analiz edilmesini önermiştir.
İndeks (dizin) , yöründe kuantum numarasını tanımlar, o da Sommerfeld modelinde olacaktır. Frekans, Fourier modunun bir indeksi olmak üzere, yeni yörüngenin açısal frekansıdır. Bohr klasik hareketin k-th harmoniğinin, düzeyinden düzeyine geçişine karşılık geldiğini önerir.
Kramers durumlar arası geçişi ışınımın klasik salınımına benzerliğini ki bu yörünge frekansının katlarındaki frekanslarda gerçekleşir, önermiştir. Işınım salınımının oranı ile doğru orantılıdır. Bu klasik mekanikde de böyledir. Tanım yaklaşıktır çünkü Fourier bileşenleri düzeyler arası enerji boşlukları ile tam olarak uyuşmayan frekanslara sahip değildir. Bu düşünce matris mekaniğinin gelişmesine sebep olmuştur.
Eski Kuantum Kuramının Sınırları
Eski kuantum kuramı bazı sınırlamalara sahiptir:
Eski kuantum kuramı, spektral (tayfsal) çizgilerin şiddetlerini hesaplayamamıştır.
Eski kuantum kuramı, müstesna Zeeman tesirini açıklayamamıştır. (Burada elektron spinleri göz ardı edilemez)
Eski kuantum kuramı, kaotik sistemleri kuantize edemez. Yani hareketli sistemlerin yörüngeleri ne yakındır ne periyodiktir ne de analitik form oluşturabilir.
Bu, ünlü kütle çekimsel 3-parça problemine, klasik kaotik benzeri olan 2 elektronlu atom kadar kolay sistemler için dahi sorular ortya çıkarır.
Fakat bu, Zeeman etkisi ile tek elektrondan fazla elektronları bulunan atomları tanımlamak için kullanılabilir. Sonradan, eski kuantum kuramı aslında kaotik kuantum mekaniğinin kısmen klasik varsayımları olduğunu öne sürmüştür fakat bu sınırlar hala araştırılmaktadır.
Tarihi
Eski kuantum kuramı Max Planck tarafından ışığın salınımı ve soğurulması üzerine ortaya çıkarılmış ve Albert Einstein'ın katıların öz ısısı üzerine çalışmasından sonra dikkate alınmıştır. Einstein, daha sonradan Debye, atomların hareketinin kuantum prensiplerine uygulamış ve öz ısı anormalliklerini açıklamıştır. 1913 yılında, Bohr benzerlik prensibini tanımlamış ve çizgi tayfını açıklayan, hidrojen atomu modelini formüle etmek için kullanmıştır. Birkaç yıl içerisinde Arnold Sommerfeld gelişigüzel tümlevlenebilir sistemlerin Einstein ve Lorentz tarafından tanımlanmış kuantum sayılarının yalıtılmış değişmezliğinin prensiplerini kullanarak genişletmiştir. Sommerfeld modeli, modern kuantum mekaniğine Bohr'unkinden daha yakındır.
1910 ve 1920'li yıllar boyunca olduğu gibi birçok problem karışık sonuçlarla eski kuantum kuramı kullanılarak çözümlenmeye çalışılmıştır. Moleküler dönüşler ve titreşimler tayfı anlaşılmış ve elektron spinleri keşfedilmiştir. Bu yarım katlarda bulunan kuantum sayıları karmaşasına yol açmıştır. Max Planck sıfır nokta enerjisini tanımladı ve Arnold Sommerfeld relativistik hidrojen atomunu kısmen klasik olarak kuantize etmiştir. Hendrik Kramers, Stark etkisini açıkladı. Bose-Einstein'da fotonların doğru kuantum istatistiklerini verdi.
Kramers kuantum durumların hareketin Fourier bileşkesi cinsinden olanlarının arasındaki geçiş ihtimallerini hesaplamaya yönelik bir yönergede bulunmuştur. Bu fikir Werner Heisenberg'in işbirliği ile kısmen klasik matrise kadar genişletilmiştir. Unutulmamalıdır ki kısmen klasik matris atomik geçiş ihtimallerinin tanımına benzer. Heisenberg, bu matris mekaniğini yaratarak bütün kuantum kuramını bu geçiş matrisleri cinsinden yeniden formülize etmiştir.
1924 yılında, Louis de Broglie maddenin dalga kuramını ortaya sunmuştur. Bu kuram kısa süre sonra Albert Einstein tarafından madde dalgaları için kısmen klasik denklemler kullanılarak genişletilmiştir. 1926'da Erwin Schrödinger tamamıyla doğru olan bir kuantum mekaniksel dalga denklemi bulmuştur. Bu buluş eski kuantum kuramının başarılarını belirsizlik ve tutarsızlık olmaksızın yeniden sunmuştur. Schrödinger'in dalga mekaniği, Schrödinger ve diğer bilim insanları iki yöntemin aynı deneysel tesadüflere sahip olacağını kanıtlayana kadar matris mekaniğinden ayrı olarak gelişmiştir. Daha sonra Paul Dirac, 1926 yılında iki yönteminde daha kapsamlı bir yöntem olan dönüşüm kuramı ile elde edilebileceğini yazmıştır.