Çifte doğrusallık

Çifte doğrusallık, matematik'te, çiftdoğrusal işlemci her bir bağımsız dogrusal değişkenlerin üçüncü bir vektör uzayının bir öğesini elde etmek için iki vektör uzayı öğelerini birleştiren bir fonksiyonudur. Matris çarpimi bir örnektir.
Tanım
Eğer V, W ve X aynı tabanlı F alanı üzerinde üç vektör uzayı'ise bu çifte doğrusal gönderim bir fonksiyon ve
B : V W - X ise
herhangi W gönderim içindeki w için
v ↦ B(v, w)
bir doğrusal gönderim V den X 'adır, ve herhangi V içindeki v için gönderim
w ↦ B(v, w)
bir doğrusal gönderim W dan X adır.
Başka bir deyişle, biz sabit çifte doğrusal haritasının ilk girişi sabit tutar, ikinci girişin değişmesine izin verirsek, sonuç bir doğrusal işlemcidir, ve benzer şekilde eğer iki giriş sabit tutulursa ve eğer biz çarpımını bir vektör uzayı olarak kabul edersek, B ( olmadıkça veya ) vektör uzayının bir doğrusal dönüşüm değildir çünkü, örnek için.
Eğer ve bizim var bütün v için, V içindeki w, ise B ye simetrik'tir deriz.
Bu durumda X, Fdir, ve bizde bir çiftdoğrusal form var, özellikle yararlıdır (örnek için skaler çarpım, iç çarpım ve karesel form).
eğer bir F alanı üzerinde vektör uzayının yerine tanımında herhangi bir değişikliğe gerek olmadan çalışırsa, biz değişmeli halka R üzerinde modül kullanıyoruz. Ayrıca n-li fonksiyonlar kolayca genellenebilir, burada uygun terim çokludoğrusaldır.
bir değişmeli olmayan R halka tabanının durumu için ve bir sağ modül MR ve bir sol modül RN, biz bir çiftdoğrusal gönderim tanımlarız, burada T bir değişmeli grup'tur, ayrıca herhangi in N içindeki n için, bir grup homomorfizmidir, ve herhangi M içindeki m için, bir grup homomorfizmidir, ve
B(mt, n) = B(m, tn)
bütün M içindeki m N içindeki n ve R içindeki t için yeterlidir
Özellikler
Tanımının Bir ilk acil sonucu bu
her ne zaman olduğunda veya. (Bu yazılarak görülür sıfır vektör 0 olarak 00, doğrusallık ile B nin önyüzünde ve skaler 0 "dışına" taşınıyor.)
Bütün çiftdoğrusal haritaların L(V, W;X) kümesi uzayın (viz. vektör uzayı, modül) bir doğrusal altuzayı'dır.
Bir matris M bir gerçek çiftdoğrusal formun içindeki nedensel bir doğrusal harita, ise ikilik ve müzikal eşbiçim'in ilişkililik'i kullanılarak diğer üç olasılık giderilir.

Eğer V, W, X sonlu-boyutlu, ise L(V, W;X) böyledir. için, yani çiftdoğrusal formudur, Bu boşluğun boyutu dir (eğer doğrusal L(VW;F) formunun ). Bunu görmek için, Viçin bir taban seçebilirsiniz ve W; ise her çiftdoğrusal harita B(ei, fj) matrisi tarafından tekli gösterilebilir, ya da tam tersi.
şimdi, eğer X yüksek boyutlu bir uzaydır, tabii ki bizim var.
Örnekler
Matris çarpımı bir lineer haritadır.
Eğer gerçel sayı'lar R üzerinde bir vektör uzayı V bir iç-çarpım taşıyor, ise iç-çarpım bir çiftdoğrusal haritadır.
Genel olarak, bir vektör uzayı V üzerinde bir F alanı için, bir çiftdoğrusal form olarak V aynı bir çiftdoğrusal olarak.
Eğer V bir vektör uzayı ile ikili uzay V, ise uygulama operatörü, çiftdoğrusal harita 'dan alan tabanınadır.
Diyelimki V ve W vektör uzayı üzerinde aynı alanın tabanı F dir. eğer f V nin bir üyesi ve g W nin bir üyesi, ise bir lineer harita tanımlanır.
R'''3 içinde çapraz çarpım bir çiftdoğrusaldır 'dır.
Diyelimki bir çiftdoğrusal haritadır, ve bir doğrusal haritadır, eğer öyleyse is bir çiftdoğrusal harita olarak olur.
sıfır harita, ile tanımlanır bütün (v, w) için içinde yalnızca haritasından X 'adır bu çiftdoğrusaldır ve aynı zamanda doğrusaldır, gerçekten, eğer, ise eğer B doğrusaldır, eğer B'' çiftdoğrusaldır.