Ortogonal koordinatlar

Matematik'te, ortogonal koordinatlar q = (q1, q2, ..., qd) bir d koordinat kümesi olarak tanımlanır, hepsi koordinat yüzeyi içinde dik açılarla birleşir(not: üstsimge indis'tir, üstel değildir). Özel bir koordinat için Bir koordinat yüzeyi qk eğrilik, yüzey, veya hiperyüzey veya hangisiyse qk bir sabittir. örneğin, üç-boyut Kartezyen koordinatlar (x, y, z) bir ortogonal koordinat sistemidir. Bu koordinat yüzeyleri için x = sabit, y = sabit, ve z = sabit., yüzeyler dik açıda buluşurlar, bu örnek dik açı içindir. Ortogonal koordinatlar eğrisel koordinatlar'ın özel ama son derece yaygın bir durumudur.
Kartezyen olmayan koordinatların baş avantajı problemin simetri eşleştirmek için seçilebilir olmasıdır. Örneğin, bir patlama nedeniyle basınç dalgası Kartezyen koordinatlarda 3 boyutlu uzaya bağlıdır zemin (ya da diğer engeller) gibi, ancak basınç ağırlıklı olarak küresel koordinatlar sorunu çok olur, böylece, küresel koordinatlar'da öylesine sorun haline gelirki yaklaşık olarak bir boyutlu olur(bu
basınç dalgası baskısı sadece merkezden zaman ve mesafeye bağlı olduğundan). Başka bir örnek düz bir dairesel borudaki (yavaş) bir sıvıdır: Kartezyen koordinatlarda, bir kısmi diferansiyel denklem içeren bir (zor) iki boyutlu sınır değer sorunu çözmek için vardır, fakat silindirik koordinatlar sorunu ile tek boyutlu olur bir kısmi diferansiyel denklemin yerini, düzgün diferansiyel denklemi alır.
Alıştırma
Vektör işlemleri ve fiziksel yasalar normalde Kartezyen koordinatlar'da kolay olsa da non-kartezyen ortogonal koordinatlar sıklıka farklı problemlerin çözümünde kullanılır, kuantum mekaniğinin alan teorisi, akışkan, elektrodinamik ve kimyasal türlerin difuzyon'u veya ısı'da bu gibi ortaya çıkan özellikle sınır değer probleminde..
Kartezyen olmayan koordinatların baş avantajı problemin simetri eşleştirmek için seçilebilir olmasıdır. Örneğin, bir patlama nedeniyle basınç dalgası Kartezyen koordinatlarda 3 boyutlu uzaya bağlıdır zemin (ya da diğer engeller) gibi, ancak basınç ağırlıklı olarak küresel koordinatlar sorunu çok olur, böylece küresel koordinatlar'da öylesine sorun haline gelirki yaklaşık olarak bir boyutlu olur(bu basınç dalgası baskısı sadece merkezden zaman ve mesafeye bağlı olduğundan). Başka bir örnek düz bir dairesel borudaki (yavaş) bir sıvıdır: Kartezyen koordinatlarda, bir kısmi diferansiyel denklem içeren bir (zor) iki boyutlu sınır değer sorunu çözmek için vardır, fakat silindirik koordinatlar sorunu ile tek boyutlu olur bir kısmi diferansiyel denklemin yerini düzgün diferansiyel denklemi alır.
Ortogonal koordinatların tercih nedeni genel eğrisel koordinatlar'ın basitleşirilebilmesidir: koordinatları ortogonal olmadığı durumlarda birçok komplikasyonlar ortaya çıkar. örneğin birçok problem, ortogonal koordinatlarda değişkenlerin ayrılması ile çözülür. Değişkenlere ayırma bir matematik tekniktir bir kompleksd-boyutlu problem, d tek-boyutlu problemlere dönüştürülerek bilinen fonksiyonun içindeki terimler çözülebilir. Birçok denklem Laplace denklemi veya Helmholtz denklemine indirgenebilir. Laplace denklemi ile 13 ortogonal koordinat sistemine ve Helmholtz denklemi ile 11 ortogonal koordinat sistemine ayrılır.
Metrik tensör içindeki off-diagonal terimler asla ortogonal koordinatlar değildirler
Diğer bir deyişle, sonsuz kare uzunluğu ds2 her zaman kare sonsuz koordinat yer değiştirmelerinin bir ölçekli toplamı olarak yazılabilir
burada d boyuttur ve ölçek fonksiyonudur (veya ölçek faktörüdür)
metrik tensör çapraz bileşenlerinin karekök veya aşağıda açıklanan yerel bazda vektörlerin uzunlukları eşittir.
Burada ölçekleme fonksiyonu hi yeni koordinatlarda, gradient, Laplacian, diverjans ve curl. gibi diferansiyel operatörleri hesaplamak için kullanılıyor
Kartezyen koordinat (x, y) standart bir iki boyutlu grid konformal haritalaması iki boyutlu ortogonal koordinat sistemleri üretmek için basit bir yöntemdir.
Bir karmaşık sayı z = x + iy, gerçek koordinatlar x ve y ile oluşturulabilmektedir. i kare kök -1'i temsil eder.
ortaya çıkan karmaşık sayı w = u + iv olarak yazılmış ise herhangi bir holomorfik fonksiyonu w = f(z) sıfır olmayan karmaşık türev ile bir konformal haritalama üretecektir. Daha sonra sabit bir u ve v, sabit x ve y egrilerinin özgün çizgilerinin yaptığı gibi dik açıda kesişir.
iki boyutlu bir koordinat sisteminden üç ve daha yüksek boyutlarda ortogonal koordinatlar ya da (silindirik koordinatlar) içine çıkıntı yapan ya da kendi simetri ekseni yaklaşık bir iki boyutlu bir sistem döndürülerek, ortogonal yeni bir boyut oluşturulabilir.
Ancak, bu tür iki boyutlu bir sistemin, çıkıntı veya çevirerek elipsoidal koordinatlar elde edilemeyen üç boyutlu diğer ortogonal koordinat sistemleri vardır.
Daha genel olarak dik koordinatlar bazı gerekli koordinat yüzeyleri ve dik yörüngeleri dikkate alınarak elde edilebilir.
Taban vektörler
Kovaryant taban
Kartezyen koordinatlarda taban vektörleri sabitlenir; daha genel çerçeve olan eğrisel koordinatlarda ise bu vektörler, uzayda nokta koordinatları ile belirtilir ve genellikle bu tür noktalarla taban vektörler kümesi sabit değildir: Bu genel olarak eğrisel koordinatlara özgüdür ve çok önemli bir kavramdır. ortogonal koordinatları ayıran temel vektörler farklı olsa da, her zaman birbirlerine göre ortogonal dir, yani diğer bir deyişle,
eğriliği tanjant vektörler tarafından tanımlanir ve bu taban vektörler diğerlerini sabit tutmak ve bir koordinati değiştirmek sureti ile elde edilir :
Burada r bir qi noktasında taban vektörlerin elde edildiği koordinattır. Sabitlenmemiş koordinat bir parametrik eğri olarak zengindir ve parametreye (değişen koordinat) göre eğrinin türevi koordinatı olduğu için taban vektördür, başka bir deyişle, bir A eğrisi hariç tüm bir koordinat sabitleme ile elde edilmektedir
Vektörlerin eşit uzunlukta olması gerekmediği unutulmamalidir, normalize taban vektörleri bir şapka ile noktaya ve uzunluğu ile bölünmesi ile elde edilir:
Bir vektör alanı baz vektörleri veya normalize baz vektörleri ile ilgili bileşenleri tarafından belirtilebilir. Normalize tabanda bileşenlerin niceliklerinde netlik (örneğin, bir teğet hız yerine teğet hız kez ölçek faktörü ile uğraşmak isteyebilirsiniz) uygulamaların en yaygın, daha karmaşık olduğu türevlerde normalize tabanlarda daha az yaygın görülür.
Kullanılan bu fonksiyonlar ölçek faktörü olarak bilinir (bazen Lamé katsayıları olarak adlandırılan ve bu biraz daha iyi bilinen doğrusal elastisite içinde aynı adı taşıyan katsayilardan kaçinilmalidir) koordinatların basit uzunluğu taban vektörlerin uzunluğudur.(aşağıdaki tabloya bakınız).
Kontravaryant taban
Yukardaki taban vektörler kovaryant taban vektörler (çünkü bunlar birlikte "eş-değişir" vektörler)dir. Ortogonal koordinatlar, kontrvaryant taban vektörleri bildirdiğinden vektörleri aynı doğrultuda olarak karşılıklı uzunluğu bulmak kolaydır. (bu nedenle, birbirine göre iki taban vektörleri kümesinin karşılıklı olduğu söylenir ):
Bu, tanım gereğinin gerçek bir sonuçtur, , Kronecker delta kullanılıyor.
Şimdi yaygın olarak ortogonal koordinatlardaki üç farklı taban vektörlerini tanımlamak için kullanılan kümelerle karşı karşıyayiz: kovaryant taban ei, kontravaryant taban ei, ve normalize tabana ei. Bir vektörün kimliği herhangi bir koordinat sisteminden bağımsız, yani bir nesnel miktar iken, diğer bir vektörün vektör içeri bilesenleri gösterimi tabana bağlıdır.
Kafa karışıklığını önlemek için, x vektörünün bileşenleri ile sırasıyla ei taban gösterimi olarak xi ve ei taban gösterimi olarak
xi dir:
İndis gösteriminin pozisyonu bileşenler ile şöyle hesaplanıyor(Üs üst indisi ile karıştırılmamalıdır). Burada toplam sembolünün Σ ( büyük sigma) olduğunu unutmayalım ve tüm vektörler üzerinden toplam olarak belirtilen (i = 1, 2, ..., d) sıklıkla ihmal edilir. Bileşenler basitçe aşağıdaki gibidir:
Normalize tabana göre herhangi bir vektör bileşeni için kullanılan yaygın indis gösterimi vardır, bu yazıda vektör bileşenleri için indisleri kullanma ve bileşenler normalize bazında nasıl hesaplanır buna dikkat edeceğiz.
Vektör cebri
Vektör ekleme ve olumsuzlama gibi herhangi bir komplikasyonda kartezyen koordinatlarda akıllı-bileşen olacaktır.
Ekstra hususlar diğer vektör işlemleri için gerekli olabilir
Tüm bu işlemler için, bir vektör alanında iki vektörün (diğer bir deyişle, vektörlerin kuyrukları denk) aynı noktaya bağlı olduğunun varsayıldığı unutulmamalıdır. İki vektör bileşenleri uzayda farklı noktalarda hesaplanarak ilave edildiği takdirde taban vektörler genel olarak, ortogonal koordinatlar değiştigi için, farklı taban vektörleri olarak düşünülmesi gerekir
Nokta çarpım
Kartezyen koordinatlarda nokta çarpım (Öklid uzayı ile ortonormal taban kümesi) basit bileşenlerin çarpımlarının toplamıdır. Dik koordinatlarda, x ve y iki vektörün nokta çarpım vektörlerin bileşenleri normalize bazında hesaplanan ailevi form halini alır:
Bu noktada normalize edilmiş olarak ortonormal baz grubu bir Kartezyen koordinat sistemi oluşturma gerçeğinin bir sonucudur :
Kovaryant veya kontrvaryant tabanlardaki bileşenler için
Bu kolaylıkla elde edilebilir, bileşen formu içindeki vektörleri dışarı yazma temelinde taban vektörleri normalize ve nokta çarpım alarak elde edilebilir. Örneğin, 2D:
burada normalize kontravaryant ve kovaryant üsleri eşit olduğu gerçeği kullanılmıştır.
Çapraz çarpım
çapraz çarpım 3D kartezyen koordinatlarda:
bileşenleri normalize tabanda hesaplanır, yukarıdaki formül daha sonra ortogonal koordinatlarda geçerli kalır
Kovaryant veya kontravaryant üsleri ile dik koordinatlarda çapraz çarpımı oluşturmak için yine basitçe taban vektörlerin normalizesi gerekir
Örneğin:
açılımı yazılırsa,
Ortogonal olmayan koordinatların daha yüksek boyutlara basitleştirilmiş genellemesi çapraz çarpım için kısa ve öz gösterimi
Levi-Civita tensörü ile mümkündür bu ölçek faktörlerin biri değilse diğer bileşenleri bir ve sıfır olacaktır.
Taban vektör formülleri
dr ve normalize edilmis taban vektörler ei den, aşağıda inşa edilmiştir.
{| class="wikitable"
|-
! scope=col width="10px"| değişken eleman
! scope=col width="200px"| Vektörler
! scope=col width="200px"| Skalerler
|-
|Doğrusal eleman
||koordinat eğrisinin tanjant vektörü qi:
|| sonsuz uzunluk

|-
|yüzey elemanı
|| Normal koordinat yüzeyiqk = sabit:
|| sonsuzyüzey
|-
|Hacim elemanı
||N/A
||sonsuz hacim
|-
|}
burada
Jacobian determinant tır, Bu hacimdeki deformasyondan sonsuzküçük küb dxdydz ye ortogonal koordinatlar içinde sonsuz eğrilik hacminin geometrik karşılaştırma idi.
İntegral
Bir koordinatla başlanıp açıklanan yüzey alanı için bir sonsuz eleman qk sabittir:
Benzer şekilde, hacim elemanı:
Burada büyük Π indisi (sapkali Pi) bir çarpım benzer şekilde büyük Σ indisi toplam sembolüdür. Unutmadan tüm ölçek faktörlerinin çarpımları Jakobiyen determinanttir.
Bir örnek olarak bir vektör fonksiyonu F in üzerinde q1 = sabit yüzey 3D içinde yüzeysel integral i :
dir
Not olarak F1/h1 normal yüzeyinin F bileşenidir.
Üç boyutlu diferansiyel operatörler
Bu işlemler uygulamada yaygın olduğu için, bu bölümdeki tüm vektör bileşenleri normalize esasına göre sunulmaktadır.
{| class="wikitable"
|-
! Operator
! Expression
|-
| bir skaler alan Gradyan
|
|-
bir vektör alanı'nın Diverjans'ı
|
|-
| Bir vektör alanının Curl
|
|-
| Bir skaler alanın Laplasyen i
|
|}
Ortogonal koordinatlar tablosu
Her zamanki kartezyen koordinat yanı sıra, birkaç diğerleri aşağıda verilmiştir. Aralıklı gösterim koordinatların sütunda yer kaplaması için kullanılır.
{| class="wikitable"
|-
! scope=col width="20px"| Eğrisel koordinatlar (q1, q2, q3)
! scope=col width="200px"| Kartezyenden dönüşüm(x, y, z)
! scope=col width="200px"| ölçek çarpanı
|-
| Küresel kutupsal koordinatlar
|
|
|-
| Silindrik kutupsal koordinatlar
|
|
|-
| Parabolik silindrik koordinatlar
|
|
|-
| Paraboloidal koordinatlar
|
|
|-
| Eliptik silindrik koordinatlar
|
|
|-
| Yayvan küresel koordinatlar
|
|
|-
| Yatık küresel koordinatlar
|
|
|-
| Elipsoidal koordinatlar
|
where
|
|-
| Bipolar koordinatlar
|
|
|-
| Toroidal koordinatlar
|
|
|-
| Konikal koordinatlar
|
|
|-
|}