Hamilton yolu

Hamilton Yolu, yönlü veya yönsüz bir grafikte Hamilton yolu veya Hamilton devresinin olup olmadığının kararının verilmesinin problemidir.
Yönlü ve yönsüz Hamilton devresi problemi Karpın 21 NP-tam probleminden ikisidir. Garey ve Johnson, 1974 senesinde düzlemsel grafikler için yönlü hamilton devresi probleminin ve kübik düzlemsel grafikler için yönsüz hamilton devresi probleminin değişmeden NP-tam kalacağını kısaca göstermişlerdir.
Hamilton yolları, yaygın olarak Gezgin satıcı problemi'nin çözümü için kullanılmaktadır.
İddia
Bir graftaki Hamilton yollarının bulunması NP-tam bir işlemdir.
Çözüm fikri
Hampathin NP bir problem olduğu zaten bilinmektedir.
3SAT HAMPATH indirgemesinin doğrulanması durumunda iddia ispatlanmış olacaktır.
İspat
Her 3cnf formülü için, s ve t düğümleri ile yönlü graf Gnin nasıl oluşturulacağı gösterilecektir.
Eğer şartları sağlıyorsa, s ve t arasında bir hamilton yolu bulunmaktadır.
k adet clausedan oluşan 3cnf formülü :
Denklemde yer alan her p, q, r ; xi veya xi olmak üzere
nın l adet değişken içerdiği varsayılacak olursa denklemde yer alan değişkenler : x1 xl
nın graf Gye dönüştürülmesi işleminde; graf G, nın içerisindeki değişkenler ve clauselardan oluşacaktır.
Her değişken xi, aşağıdaki illüstrasyondada olduğu gibi yatayda dizilmiş düğümlerden oluşan elmas şeklindeki bir yapı ile temsil edilecektir. Daha sonra, yatay sırada gözüken düğümlerin sayısı belirlenecektir.
Değişken xinin elmas içerisinde tasvir edilmesi
daki her claseun tek bir düğüm ile tasvir edilmesi
Aşağıdaki figür, Gnin global yapısını göstermektedir. İllüstrasyon, değişkenlerin clauselar ile olan ilişkileri haricinde Gnin tüm elemanları ve ilişkilerini göstermektedir.
Graf Gnin Global Yapısı
Ardından, değişkenleri temsil eden elemanlarla clauseları temsil eden düğümlerin nasıl ilişki içerisinde oldukları gösterilecektir. Yatay sırada 3k+1 adet düğüm ve bunlara ilavaten iki adet başta ve sonda bulunan elmasa dahil düğüm bulunmaktadır. Bu düğümler, her clause için bitişik düğümler oluşturacak şekilde gruplanacak ve bu çiftlerden sonra ekstra ayırıcı bir düğüm bulunacaktır. Tıpkı şekilde de görüldüğü gibi:
Elmas yapısında yer alan yatay düğümler
Eğer değişken xi, clause cj içerisinde yer alıyorsa; i. değişkendeki j. çift ile j. clause ilişki içerisindedir. Clause cj nin xi yi içermesi durumundaki ilave kenarlar
Eğer xi, clause cj içerisinde yer alıyorsa; i. değişkendeki j. çift ile j. clause ilişki içerisindedir. Clause cj nin xi yi içermesi durumundaki ilave kenarlar
Her clauseda her xi veya xi nin var oluşuna göre eklenecek kenarlar ile, Gnin yapısı tamamlanmış olacaktır. Yol sden başlayacak, her elmasa sırasıyla uğrayacak tde son bulacaktır. Elmasta izlenecek yolun bulunması için, yı sağlayan değerlerden belirlenmek üzere yol ya soldan sağa doğru zig-zag yapacak ya da sağdan sola doğru zag-zig yapacaktır. Şayet xi DOĞRU olarak belirlenmişse yol elmas boyunca zig-zag yapacak, YANLIŞ olarak belirlenmişse yol elmas boyunca zag-zig yapacaktır. Her iki ihtimalde takip eden figürde gösterilmiştir.
Elmas boyunca zig-zag veya zag-zig yapılması denklemde şartları sağlayan değerler tarafından belirlenmektedir.
Böylelikle arzu edilen Hamilton yolu oluşturulmuş olur. Geriye gösterilmesi kalan tek şey Hamilton yolunun normal olmak zorunda olduğudur. Normallik sadece bir yol clausea bir elmastan girip, clause çıkışında farklı bir elmasa gidiyorsa başarısız olacaktır. Tıpkı illüstrasyonda betimlendiği gibi:Bu Durum Gerçekleşemez
Yol a1den Cye gider, ancak aynı elmastaki a2ye dönmesi gerekirken, farklı bir elmastaki b2ye döner. Eğer bu durum olursa, ya a2 ya da a3 ayırıcı düğüm olmak zorundadır. Şayet a2 ayırıcı düğüm olsaydı, a2ye giren kenarlar yalnızca a1 ve a3ten olurdu. Eğer a3 ayırıcı düğüm olsaydı, a1 ve a2 aynı clause çifti içerisinde yer alırdı. Bundan ötürüde a2ye giren kenarlar yalnızca a1, a3 ve cden olabilirdi. Her iki durumda da, yol a2 düğümünü içermezdi. Yol a2ye c veya a1den giremez çünkü yol bu düğümlerden başka bir yere gitmektedir. Yol a2ye a3ten giremez çünkü a3, a2nin işaret ettiği tek mevcut düğüm. Bu yüzden, yol a2den a3 vasıtasıyla çıkmak zorundadır.
İş bu nedenle, hamilton yolu normal olmak zorundadır. Bu indirgeme açık olarak polinomsal zamanda işler ve ispat tamamlanmış olur.