Soliton

Matematikte ve fizikte, soliton sabit bir hızda yayılım gösterirken kendi şeklini koruyan ve kendi kendini güçlendiren tekil dalgalardır (dalga paketi ya da nabız dalgası). Solitonlar, boşluktaki dağıtıcı ve doğrusal olmayan etkilerin birbirini iptal etmesiyle oluşmuştur. (Dağıtıcı etkiler kavramı ile, dalgaların hızının frekansa göre değiştiği belirli sistemler kastedilmektedir.) Solitonlar, fiziksel sistemleri tanımlamak için kullanılan doğrusal olmayan dağıtıcı kısmi ayrımsal eşitlilklerin yayılma sınıfının çözümleri olarak bulunmuuştur.
Soliton terimi, ilk olarak 1834 yılında, İskoçya, Union Canalda yalnız yaşayan John Scott Russell tarafından tanımlanmıştır. John Scott Russell, dalga deposu adlı olguyu tekrar üretmiş ve buna çevrimli dalga adını vermiştir.
Tanımı
Solitona kararlaştırılmış tek bir tanım bulmak oldukça zordur. Drazin & Johnson solitonlara şu üç özelliği atfetmişlerdir:
Solitonlar kalıcı biçimlerdir;
Bölgeler dahilinde sınırlandırılmışlardır;
Diğer solitonlarla etkileşime geçebilirler ve patlamadan, faz kaymasına uğramaları dışında, değişmeden kurtulabilirler.
Daha resmi tanımlar vardır, ancak azımsanmayacak oranda matematik içerirler. Dahası, bazı bilim insanları soliton terimini bu üç özelliğe sahip olmayan bir olay olarak tanımlarlar (örneğin; doğrusal olmayan optikteki ışık mermileri, etkileşim anında enerji kaybettiklerinden soliton olarak adlandırılırlar.)
Açıklaması
Saçılım ve doğrusal olmama kalıcı ve yeri belirlenmiş dalga biçimlerini üretebilmek için etkileşebilirler. Cam içinde hareket eden ışığın eğilimini ele alalım. Bu eğilimin, farklı frekanslardaki ışığı içerdiği düşünülebilir. Cam, dağılım gösterdiğinden farklı frekanslar farklı hızlarda hareket edecek ve bu yüzden zamanla eğilim değişime uğrayacaktır. Ancak, Kerr etkisi de doğrusal olmayan bir etkidir: belirli bir frekansta, maddenin kırılma özelliğine sahip dizini ışığın genliğine ya da dayanımına bağlıdır. Eğer eğilim gereken şekle sahipe, Kerr etkisi dağılım etkisini iptal eder ve eğilimin şekli zamanla değişime uğramaz; bu da solitonu oluşturur. Daha detaylı bilgi için optikte solitonlar araştırılabilir.
Çözülebilir birçok model, Korteweg- de Vries ve doğrusal olmayan Schrödinger, birleştirilmiş doğrusal olmayan Schrödinger ve sinüs- Gordon eşitlikleri dahil çok fazla çözüme sahiptir. Soliton çözümleri tipik olarak saçılım dönüşümü ve dönüşümün kararlılığın alan eşitliklerinin tam olma niteliklerinin tersinin hesaplamalarıyla elde edilebilir. Bu eşitliklerin matematiksel kuramı, matematiksel araştırma alanlarında oldukça ortada ve aktif bir konudur.
Severn Nehri de dahil bazı nehir olaylarının dalgası, bazı gelgit oyuklarını oluşturur bunlar dalgalı sıçrama yaparlar: çözümleri dizisi tarafından takip edilen dalga cephesi. Denizin altındaki içsel dalgalar gibi okyanussal piklonikleri yayan deniz yatağı yerbetimi tarafından başlatılmış örneklerde ise başka çözümler oluşur. Ayrıca, doğrusal geniş tüp bulutlarını üreten evirtim katmanları sıcaklığında gezinen ve basınç çözümlerine sahip olan Carpentaria Körfezinin gündüzsefası bulutu gibi atmosferik çözümler de vardır. Sinirbilimindeki en yeni ve henüz kabul edilmemiş olan çözüm modeli nöronları sinyallerin taşınmasını sağlayan basınç solitonları olarak açıklamaya çalışır.
Bir ilingesel soliton, aynı zamanda, önemsiz çözüm denilen ilingesel kusurun çürümeye karşı kararlı, kısmi ayrımsal denklemlerinin bir dizi olarak çözümüdür. İlingesel sabitlere göre soliton kararlılığının tam olma niteliği alan eşitliklerine göre daha fazladır. The constraints arise almost always because the differential equations must obey a set of boundary conditions, and the boundary has a non-trivial homotopy group, preserved by the differential equations. Ayrımsal denklemlerin sınır koşulları bir dizi şarta uymak durumundadır, çünkü kısıtlamalar ayrımsal denklemler tarafından korunmuş herhangi bir önemsiz olmayan homotopi gruplarına sahip değildir. Böylece, ayrımsal denklem çözümleri homotopi sınıflarına ayrılabilir.
Homotopi sınıflarında, herhangi bir çözüm haritası gösterecek devamlı dönüşüm yoktur Çözümler birbirlerinden kesinlikle ayırılır ve aşırı büyük kuvvetlerle bile karşılaşsalar kendi bütünlüklerini sağlarlar. İlingesel soliton örnekleri, kristal kafesteki altüst olmuş vidaları içerir, Dirac sicimi ve elektromanyetizmdeki manyetik tek kutbu, kuantum alan kuramındaki Skyrmion ve Wess Zumino Witten modeli, sıkıştırılmış madde fiziğindeki manyetik skyrmion, kozmik sicimler ve kozmolojideki bilgi alanı duvarlarını içerir.
Tarihi
1834 yılında, John Scott Russell kendi dönüşüm dalgalarını açıklar. Scott Russellın kendi sözleriyle keşif şöyledir:
Geminin hareketini gözlemlerken aynı zamanda bir çift atın dar kanalda hızlıca sürüklendiğini de gözlemliyordum, bot bir anda durduğunda kanaldaki suyun kütlesi tekrar hareketi sağladı; şiddetli çalkaşlanma durumu geminin burun kısmında birikmişti, daha sonra bir anda su öbeği düzgünce geride kalmaya başladı ve bu da hızın küçülmesine ya da kanalda belirli belirsiz bir değişikliğe neden olmuştu. At sırtından onu takip ettim ve hala dönerken saatte sekiz ya da dokuz mil oranında bir hızla onu solladım, asıl şekil otuz fit uzunluğunda ve bir fite bir fit yarı uzunluğundaydı. Yüksekliği giderek azalmıştı ve bir ya da iki mil takipten sonra, kanalın dönemeçlerinde onu kaybetmiştim. Böylece, 1834 yılının Ağustos ayında, Dönüşüm Dalgası adını verdiğim tekil ve güzel olay hakkında ilk görüşmemi gerçekleştirmiş olmuştum.
Scott Russell bu dalgaların kuramsal ve pratik araştırmaları yapmak için biraz zaman geçirmiştir. Evinde dalga depoları inşa etmiş ve bazı anahtar özellikler keşfetmiştir:
Dalgalar kararlıdır ve çok uzak mesafeleri kat edebilirler. (normal dalgalar düzleşme eğilimindedirler, ya da dikleşme ve yuvarlanma.
Hız dalganın boyuna bağlıdır, genişlik ise dalganın derinliğine bağlıdır.
Asla birleştirilemeyecek dalgaların aksine iki dalganın birleşmesi durumu yerine çok küçük dalgalar daha büyük olan dalga tarafından geçilir.
Bir dalga, su derinliği için çok büyük ise, bu dalgayı iki büyük ve bir küçük parçaya böler.
Scott Russellın deneysel çalışmaları, Newtonnın ve Daniel Bernuollinin hidrodinamik kuramlarına göre farklılıklar göstermiştir. Scott Russellın deneysel gözlemleri su dalgası kuramlarının varlığı tarafından açıklanamadığından, George Biddell Airy ve George Stokes bu çalışmaları anlamakta güçlük çekmiştir. Çağdaşları ise bu kuramı genişletebilmek için girişimlerde bulunmuşlar ancak Joseph Boussinesq ve Lord Rayleighin 1870li yıllarda yayımladığı kuramsal çözümlemelere kadar bu konuda herhangi bir başarı sağlanamamıştır. 1895te Diederik Korteweg ve Gustav de Vries, Kortewegde Vries eşitlikleri olarak bilinen ve tekli dalga ve periyodik knoydial dalga çözümlemeleri çalışmalarını yayımlamışlardır.
1965 yılında, Bell Laboratuvarlarından Norman Zabusky ve Princeton Üniversitesinden Martin Kruskal ilk olarak, sonlu fark yaklaşımını kullanarak Kortewegde Vries eşitliklerindeki ortamın soliton davranışlarını ispat etmişlerdir. Ayrıca, bu davranışın Fermi, Pasta ve Ulamın çalışmalarını nasıl açıkladığını da göstermişlerdir.
1967 yılında, Gardner, Greene, Kruskal ve Miura ters saçılım dönüşümünü, KdV eşitliğinin analitik çözümü ile sağlamışlardır. Peter Laxın Lax çiftleri ve Lax eşitliğindeki çalışmaları da birçok bağlantılı soliton ve üretim sistemlerine kadar genişletilmiştir.
Dikkat edilmelidir ki, solitonlar tanımsal olarak; başka solitonların hız ve şekil olarak değiştirilmemiş hallerinin çarpışmasıyla oluşur. Yani, su yüzeyindeki tekli dalgalar tam olarak soliton değillerdir iki adet tekli dalganın etkileşimi sonucunda genliklerinde küçük bir değişim olur ve titreşimli kalıntı ise geride kalır.
Fiber optikte solitonlar
Biyolojide solitonlar
Solitonlar DNA ve proteinlerde oluşabilirler. DNA ve proteinlerdeki düşük frekanslı toplu hareketlerle alakalıdır. Son zamanlarda sinirbiliminde geliştirilmiş olan model, nöron sinyallerinin, solitonlar biçiminde davranışlar sergiledikleri söylemektedir.
Mıknastıslardaki solitonlar
Mıknatıslarda da değişik tiplerde solitonlar ve doğrusal olmayan dalgalar vardır. Bu manyetik solitonlar, klasik düzlemsel olmayan ayrımsal eşitliklerin kesin çözümleridirler. manyetik eşitlikler; Landau- Lifshitz eşitliği, uzay-zaman Heisenberg modeli, Ishimori eşitliği, doğrusal olmayan Schrödinger eşitliği ve diğerleri
Biyonlar
İki solitonun birbirine bağlı halleri biyon ya da bağlı sistemlerin belirli aralıklarla sallandığı ara sistemleri olarak adlandırılabilir.
Alan kuramında, Biyonlar genellikle Born-Infeld modelinin çözümü olarak anılır. Bu isim G. W. Gibson tarafından, geleneksel çözümlerden Born Infeld modelinin çözümünü ayırt etmek için ortaya atılmış ve bazı fiziksel sistemlerdeki ayrımsal denklemlerin sonlu enerji ve düzenli çözümleri olarak anlaşılmıştır. Düzen kelimesi burada kaynak taşımadan düzgün bir çözüm bulma anlamında kullanılır. Ancak, Born-Infeld modelinin çözümü Dirac-delta fonksiyonunun kaynaklarının orijindeki biçimi olarak yayımlanır. Bunun sonucu olarak orijin noktasında tekillik olarak açığa çıkarlar (elektrik alanı her yerde düzenli olmasına rağmen). Bazı fiziksel içeriklerde (örneğin sicim kuramı)soliton sınıflandırmasındaki özel isimleri tanıtma yarayabilecek olan bu özellik önemli olabilir. Öte yandan, kütleçekimi eklendiğinde (yani Born-Infeld modelinin eşleşmesini genel görelilikte incelediğimizde) buna karşılık gelen solitonun ismi Ebiyondur, E Einsteinın Esi anlamında kullanılmıştır.