Diyofantus

İskenderiyeli Diophantus ( Türkçe okunuşu: Diofantos ho Aleksandrevs; muhtemelen MS 200 ile 214 arasında doğdu; 84 yaş civarında, muhtemelen MS 284 ile 298 arasında öldü.) cebirin babası olarak tanımlanan, cebir denklemleri ve sayılar teorisi üzerine Arithmetika adlı eserin yazarı olan Yunan matematikçi. Değişkenleri sadece tam sayılar olan ve kendi adını taşıyan Diophantus Polinom Denklemleri'yle de bilinir.
İskenderiyeli bir matematikçiydi ve çoğu artık kaybolmuş olan Arithmetica adı verilen bir kitap dizisinin yazarı idi. Metinleri cebirsel denklemleri çözmekle ilgilidir. Claude Gaspard Bachet de Méziriac'ın Diophantus'un Arithmetica baskısını okurken Pierre de Fermat, Diophantus tarafından ele alınan belirli bir denklemin çözümü olmadığı sonucuna vardı ve ayrıntıya girmeden kenar boşluğunda "bu önermenin gerçekten harika bir kanıtını" bulduğunu kaydetti. Bu anekdot, Fermat'nın Son Teoremi olarak anılır ve sayı teorisinde muazzam ilerlemelere yol açarak Diophantine denklemlerinin ("Diophantine geometrisi") ve Diophantine yaklaşımlarının incelenmesi, matematiksel araştırmanın önemli alanları olmaya devam ediyor. Diophantus, yaklaşık bir eşitliği ifade etmek için παρισότης (parisotes) terimini icat etti. Bu terim Latince'de adaequalitas olarak çevrildi ve Pierre de Fermat tarafından fonksiyonlar için maksimumlar ve eğrilere teğet doğrular bulmak için geliştirilen yeterlilik tekniği haline geldi. Diophantus, kesirleri sayı olarak tanıyan ilk Yunan matematikçiydi; böylece katsayılar ve çözümler için pozitif rasyonel sayılara izin verdi. Modern kullanımda, Diophantine denklemleri genellikle tam sayı çözümleri aranan tam sayı katsayılı cebirsel denklemlerdir.
Yaşamı
Diophantus'un hayatı hakkında maalesef oldukça az bilgi mevcuttur. Hangi dönemde yaşadığıyla ilgili yapılan çıkarımlar ancak 500 yıllık bir döneme indirgenebilmiştir. Kendisinin Poligon sayılarla ilgili çalışmasında, MÖ 2. yüzyılda yaşamış olan İskenderiyeli Hypsicles'ten bahsetmiş olmasının yanı sıra, MS 4. yüzyılda yaşamış olan İskenderiyeli Theon'un da Diophantus'tan alıntı yapmış olması, Diophantus'un MÖ 2. yüzyılla MS 4. yüzyıl arasında bir dönemde yaşamış olduğunu düşündürmüştür. Diophantus'un kaç yaşında öldüğüyle ilgili bilgiye ise, MS 5. yüzyılda yaşamış olan Metodorus'un, çeşitli matematik bilmecelerini derlediği, Yunan Antolojisi adlı eserinden ulaşıyoruz. Bu eserde Diophantus'un öldüğü yaş ile ilgili bilmece şöyledir:
Diophantus hayatının 1/6'nda ergenliğe erişmiştir.
Hayatının 1/12'sini tamamladığında sakal bırakmaya başlamıştır.
Hayatının 1/7'sini tamamladığında evlenmiştir.
5 yıl sonra bir oğlu olmuştur.
Oğlu, Diophantus'un hayatının yarısı kadar yaşamıştır.
Oğlunun ölümünden 4 yıl sonra da Diophantus ölmüştür.
Eğer D Diophantus'un öldüğü yaşı belirtirse, bu bilmecenden aşağıdaki denklem türetilir:
.
Bu denklemin çözümü de Diophantus'un 84 yaşında öldüğü sonucunu verir.
Bilimsel katkıları
Diophantus her ne kadar cebirin yaratıcısı olarak tanımlansa da Diophantus'un yaşadığı dönemdeki Yunan Matematikçiler, Antik Mısır cebirinden haberdardılar. Tek bilinmeyenli cebir problemleri ve çözümleri MÖ 1650 yılında yazılmış olan Rhind Papirüsü'nde de geçmektedir. Dolayısıyla Diophantus'un en önemli katkısı, kendisinden önce gelen matematikçilerin çalışmalarını bir arada toplayıp, bunların uygulama alanlarını genişletmesidir. Ayrıca bir diğer katkısı da matematiksel gösterimleri sadece semboller yardımıyla yapmış olmasıdır.
Arithmetika
Arithmetika, Diophantus'un 13 cilten oluşan ve sadece 6 cildinin günümüze ulaşabildiği, yazarın opus magnumudur. 19. yüzyılda yaşamış olan Matematik tarihçisi Hankel'in tanımlamasına göre, "Arithmetika 5 farklı kategoride 130 problemi içerir." Hankel ayrıca bu problemleri çözümlenişlerine göre iki gruba ayırır:
1) Tek çözümü olanlar (Determinate)
2) Genel çözümü olanlar (Indeterminate).
1. cilt tek çözümlü cebir problemlerini içerirken, 2, 3, 4 ve 5. ciltler genel çözümlü cebir problemlerini içerir. 6. cilt ise dik üçgenle ilgili aritmetik problemleri içerir. Diophantus Arithmetika'daki problemleri analitik bir şekilde, değişkenleri ve bilinmeyenleri semboller yardımıyla ifade etmiştir.
Diophantus'un ölümünden sonra Arithmetika ve diğer çalışmaları batı dünyasında (Avrupa'nın Karanlık Çağ'a girmesinden dolayı) unutulmuştur. Arithmetika'nın büyük bölümünün bugüne ulaşabilmesinin sebebi, Arap alimlerin bu eser üzerinde tafsilatlı bir şekilde çalışmasıdır.
Arithmetika'nın Latinceye ilk çevirisi Bombelli tarafından 1570 yılında yapılmış fakat basılmamıştır. Bununla birlikte Bombelli, Diophontos'un çalışmasının bir kısmını kendi cebir çalışmasında kullanmıştır. Arithmetika'nın en bilinen Latince çevirisi ise Bachet tarafından 1621 yılında yapılmıştır. Arithmetika'nın 1621 baskısı, Fermat'ın meşhur Son Teorem'ini yazmasından sonra daha da bir önem kazanmıştır.
Diophantus denklemi
Diophantus denklemi, çözümü tam sayı olan ve içindeki tüm değişkenlerin de tam sayı olduğu denklemlerdir. Diophantus bu denklemlerde çıkarma işlemi, bilinmeyen değişkenler ve sayının üs değişkenleri için semboller kullanmıştır. Bu denklemlere en basit örnek (modern sembollerle) aşağıdaki gibidir;
- a ve b tam katsayılar, X ise bir tam sayı bilinmeyendir.
İki değişkenli örnek:
Bu eşitlikte her bir X değeri için tek bir Y çözümü vardır (). Bu eşitliğin çözüm kümesi ise şudur:
Her X ∈ Z için (X, 1 − X)
Diğer çalışmaları
Diophantus, Arithmetica dışında başka birkaç kitap daha yazdı, ancak çok azı hayatta kaldı. Diophontus'un diğer bilinen çalışmaları, Porizmler () isimli bir eser ve çokgensel sayılar üzerine yazılmış olan başka bir eserdir. Çokgensel sayılar üzerine olan çalışmalarının bazı fragmanları bugüne ulaşmıştır fakat Porizmler isimli eseri tamamen kaybolmuştur.
Porizmler
Diophantus'un kendisi, The Porisms (veya Porismata) adlı lemmalardan oluşan bir esere atıfta bulunur, ancak bu kitap tamamen kaybolmuştur.
Porizmler adlı eser kaybolsa da, Diophantus Arithmeticada bunlardan bahsettiği için orada bulunan üç lemmanın olduğunu biliyoruz. Bir lemma, iki rasyonel sayının küplerinin farkının diğer iki rasyonel sayının küplerinin toplamına eşit olduğunu belirtir, yani olmak üzere herhangi bir ve verildiğinde, hepsi pozitif ve rasyonel olan öyle ve vardır ki aşağıdaki eşitliği sağlar:
.
Çokgensel sayılar ve geometrik ögeler
Diophantus'un Pisagor ve Pisagorcular için büyük ilgi gören bir konu olan çokgensel (poligonal) sayılar üzerine de yazdığı bilinmektedir. Çokgensel sayılarla ilgili bir kitabının parçaları mevcuttur.
Preliminaries to the Geometric Elements adlı bir kitap, geleneksel olarak İskenderiyeli Heron'a atfedilmiştir. Son zamanlarda, Heron'a atıfta bulunmanın yanlış olduğunu ve gerçek yazarın Diophantus olduğunu öne süren Wilbur Knorr tarafından incelenmiştir.
Etkileri
Diophantus'un çalışmaları tarihte büyük bir etkiye sahipti. Arithmeticanın baskıları on altıncı yüzyılın sonlarında ve 17. ve 18. yüzyıllarda Avrupa'da cebirin gelişimi üzerinde derin bir etki yaptı. Diophantus ve eserleri de Arap matematiğini etkiledi ve Arap matematikçiler arasında büyük ün kazandı. Diophantus'un çalışması cebir üzerine çalışmak için bir temel oluşturdu ve aslında ileri matematiğin çoğu cebire dayanmaktadır. Hindistan'ı ne kadar etkilediği tartışma konusudur.
Diophantus genellikle "cebirin babası" olarak adlandırılır çünkü sayı teorisine, matematiksel gösterime büyük katkıda bulunmuştur ve Arithmetica senkoplu gösterimin bilinen en eski kullanımını içermektedir.
Diyofantus analizi
Günümüzde, Diophantine analizi, denklemler için tam sayı çözümlerinin arandığı çalışma alanıdır ve Diophantine denklemleri, yalnızca tam sayı çözümlerinin arandığı tam sayı katsayılı polinom denklemleridir. Belirli bir Diophantine denkleminin çözülebilir olup olmadığını söylemek genellikle oldukça zordur. Arithmeticadaki problemlerin çoğu ikinci dereceden denklemlere dönüşür. Diophantus, 3 farklı ikinci dereceden denklem tipini ele aldı: , , and. İkinci dereceden denklemlerle ilgili bugün tek bir durum varken Diophantus'un üç durumu (yukarıdaki üç durum) olmasının nedeni, sıfır fikrine sahip olmaması ve verilen, , sayılarının her birinde pozitif olduğunu düşünerek negatif katsayılardan kaçınmasıdır. Diophantus her zaman rasyonel bir çözümden memnundu ve tam sayıya ihtiyaç duymuyordu, bu da kesirleri problemlerine çözüm olarak kabul ettiği anlamına geliyordu. Diophantus, negatif veya irrasyonel karekök çözümlerini "yararsız", "anlamsız" ve hatta "saçma" olarak değerlendirdi. Spesifik bir örnek vermek gerekirse, denklemini 'absurd' olarak adlandırır çünkü bu için negatif bir çözüm değerine yol açar. İkinci dereceden bir denklemde aradığı tek sonuç bir çözümdü. Diophantus'un ikinci dereceden bir denklemin iki çözümü olabileceğini bile fark ettiğini gösteren hiçbir kanıt yoktur. Eşzamanlı ikinci dereceden denklemleri de düşünmüştür.
Matematiksel gösterim
Diophantus, matematiksel gösterimde önemli ilerlemeler kaydetti ve cebirsel gösterimi ve sembolizmi kullandığı bilinen ilk kişi oldu. Ondan önce herkes denklemleri tamamen yazdı. Diophantus, sık sık meydana gelen işlemler için kısaltılmış bir gösterim ve bilinmeyen ile bilinmeyenin kuvvetleri için bir kısaltma kullanan cebirsel bir sembolizm getirdi. Matematik tarihçisi Kurt Vogel şöyle der:
Diophantus, sembolizmde önemli ilerlemeler kaydetmiş olsa da, daha genel yöntemleri ifade etmek için hala gerekli gösterime sahip değildi. Bu, çalışmalarının genel durumlardan çok belirli sorunlarla ilgilenmesine neden oldu. Diophantus notasyonunun bazı sınırlamaları, yalnızca bir bilinmeyen için notasyonunun olması ve problemler birden fazla bilinmeyeni içerdiğinde, Diophantus'un kelimelerle "ilk bilinmeyen", "ikinci bilinmeyen" vb. ifadelere indirgenmesidir. Ayrıca genel bir sayısı için bir sembolü yoktu. Biz yazdığımızda, Diophantus, "... on iki artırılmış altı kat sayı, sayının karesinin üçe geçtiği farka bölünür" gibi yapılara başvurmak zorundadır.
Çok genel problemlerin yazılabilmesi, kısa ve öz bir şekilde çözülebilmesi için cebirin hala kat etmesi gereken çok yol vardı.