Primoriyel

[[Dosya:Primorial pn plot. png|küçükresim|upright=1.36|pn#'in n'''in fonksiyonu olarak logaritmik eğrisi.]]
[[Dosya:Primorial n plot. png|küçükresim|upright=1.36|n#'in nnin fonksiyonu diagramının (kırmızı noktalar) n!'le kıyası. Her iki eğri logaritmiktir.]]Primoriyel (İngilizce (=asal)'dan), matematikte ve bilhassa sayı teorisinde doğal sayılardan doğal sayılara tanımlanmış faktöriyele benzer şekilde art arda pozitif tam sayıları çarpacağı yerde sadece asal sayıları çarpar.
Birbiriyle çelişen iki tanımda kullanılan değişkenin manası farklı yorumlanmaktadır: birincisi değişkeni asal sayıların sıralaması olarak yorumlar, dolayısıyla monoton artar. İkinci yorumu değişkeni birbiriyle çarpılacak asal sayılara işaret eder ve dolayısıyla her bileşik sayı için bir önceki değerle aynı değeri alır. Bu maddenin devamında ikinci tanım kullanılacaktır.
Primoriyel adı, bu fonksiyonla faktöriyel arasındaki analojiye işaret eden Harvey Dubner tarafından verilmiştir; faktöryel nasıl faktörlere ilgiliyse primoriyel de asal sayılarla (İng. veya kısaca ) benzer şekilde ilgilidir.
Asal sayılar için tanımı
n'''inci asal sayı pn için primoriyel pn#, ilk n asalın çarpımı olarak tarif edilir:
Burada pk kinci asal sayıdır.
Mesela p5#, ilk beş asalın çarpımını gösterir:
İlk altı primoriyel pn# are:
1, 2, 6, 30, 210, 2310.
Diziye p0# = 1 de boş çarpım olarak eklenmiştir.
Asimtotik olarak primoriyel pn#,
fonksiyonuna göre artarlar. Burada küçük o gösterimidir.
Doğal sayılar için tanımı
Genelde n pozitif tam sayısı için n# ≤ n olan bütün asalların çarpımı olarak da tarif edilebilir:
Burada asal sayan fonksiyon olup ≤ n olan asal sayıların kaç tane olduğunu haber verir.
Bu tanım, aynı zamanda şuna da eşittir.
Mesela 12#, 12'den küçük asal sayıların çarpımıdır:
olduğundan bu değer
şeklinde hesaplanır.
Bu tanıma göre ilk 12 primoriyel n# şöyledir:
1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.
Görüldüğü gibi bileşik n için her terim n#, tarifinde de görüldüğü gibi bir önceki terimin eşidir (n − 1)#. Yukarıdaki örnekte 12 bileşik sayı olduğundan 12# = p5# = 11#'dir.
n#'nin tabii logaritması birinci Çebişev fonksiyonu olup veya şeklinde yazılır. Bu fonksiyon büyük n 'ler için lineer n 'ye yaklaşır.
n# primoriyeli
fonksiyonuna göre büyür.
Bütün bilinen asal sayıları çarpma fikri asal sayıların sonsuzluğu ile ilgili bazı ispatlarda geçmekte olup başka bir asal sayının varlığını türetmek için kullanılır.
Özellikler ve uygulamalar
Primoriyeller, aritmetik artışlarda asal sayıları aramada bir rol oynar. Mesela 2236133941 + 23# bir asal sayıdır ve on üç asal sayıdan oluşan bir dizinin başıdır. Bu dizi, yukarıdaki asal sayıya 23# eklemekle elde edilir, on üçüncü ve sonuncu elemanı da 5136341251'dir. 23#, aynı zamanda on beş ve on altı asalın aritmetik progresyonunda ortak farkı teşkil eder.
Her yüksek derecede bileşik sayı primoriyellerin çarpımıdır (mesela 360 = 2630).
Primoriyeller karesiz tam sayılar olup kendilerinden küçük herhangi bir sayıdan daha fazla farklı asal faktörleri vardır. Her primoriyel n için kesri, kendisinden küçük her tam sayı için olan kesirden küçüktür. Burada Euler'in totient fonksiyonudur.
Görünüm
Birden büyük pozitif tam sayılar için Riemann zeta fonksiyonu, primorieller ve Jordan'ın totient fonksiyonunu kullanarak hesaplanabilir:
Primoriyellerin tablosu