Sonlu alan

Cebirde sonlu alan veya Galois alanı (Evariste Galois'e ithaf edilsin diye bu adla adlandırıldı), sonlu sayıda elemandan oluşan bir cisimdir. Herhangi bir alan olarak düşünülürse sonlu alan, değişme, çarpma, toplama, çıkarma ve (sıfırdan farklı) bölme işlemlerinin tanımlandığı bir kümedir. Sonlu alanlara yaygın örnek, Z/3Z veya Z/7Z gibi tam sayı olan asal tam sayılar modülü verilebilir.
Sonlu alanlar yalnızca, ( bir asal sayı ve pozitif tam sayı olan) asal kuvveti için geçerlidir. Her bir asal kuvvet için bu boyuta sahip tek sonlu alan vardır. Bu boyuttaki tüm alanlar izomorfiktir. boyutuna sahip bir alanın karakteristiği dir. Bu, sonuç sıfır olana kadar her elemanın kopyalanarak ye eklenmesi anlamına gelir. Örneğin; Z/2Z (tam sayı mod 2), 1 + 1 = 0 olduğunda karakteristiği 2 olur. Z/5Z, 0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = vb. olduğunda karakteristiği 5 olur.
q kuvvetine sahip bir sonlu alanda polinomunun tüm ögeleri, onun kökleri olur. Böylece q farklı doğrusal faktörleri elde edilir.
Sonlu alanlara, sayılar teorisi, cebirsel geometri, Galois teorisi, sonlu geometri, kriptografi ve kodlama kuramı da dahil matematik ve bilgisayar biliminde çok sık rastlanır.
Bazı küçük sonlu alanlar
F2
F3
F4
F8
Matris tam sayıları modül 2'yi ifade eden sekiz ögeli alan
öge (0) öge (1) öge (2) öge (3)
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1
öge (4) öge (5) öge (6) öge (7)
1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0
1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0
+/ (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(0) 0 1 2 3 4 5 6 7
(1) 1 0 4 7 2 6 5 3
(2) 2 4 0 5 1 3 7 6
(3) 3 7 5 0 6 2 4 1
(4) 4 2 1 6 0 7 3 5
(5) 5 6 3 2 7 0 1 4
(6) 6 5 7 4 3 1 0 2
(7) 7 3 6 1 5 4 2 0
x/ (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(0) 0 0 0 0 0 0 0 0
(1) 0 1 2 3 4 5 6 7
(2) 0 2 3 4 5 6 7 1
(3) 0 3 4 5 6 7 1 2
(4) 0 4 5 6 7 1 2 3
(5) 0 5 6 7 1 2 3 4
(6) 0 6 7 1 2 3 4 5
(7) 0 7 1 2 3 4 5 6
F9
Matris tam sayıları modül 3'ü ifade eden 9 ögeli alan
öge (0) öge (1) öge (2)
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 1 1
öge (3) öge (4) öge (5)
1 1 1 2 2 0
1 2 2 0 0 2
öge (6) öge (7) öge (8)
0 2 2 2 2 1
2 2 2 1 1 0
+/ (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(0) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(1) 1 5 3 8 7 0 4 6 2
(2) 2 3 6 4 1 8 0 5 7
(3) 3 8 4 7 5 2 1 0 6
(4) 4 7 1 5 8 6 3 2 0
(5) 5 0 8 2 6 1 7 4 3
(6) 6 4 0 1 3 7 2 8 5
(7) 7 6 5 0 2 4 8 3 1
(8) 8 2 7 6 0 3 5 1 4
x/ (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(0) 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
(2) 0 2 3 4 5 6 7 8 1
(3) 0 3 4 5 6 7 8 1 2
(4) 0 4 5 6 7 8 1 2 3
(5) 0 5 6 7 8 1 2 3 4
(6) 0 6 7 8 1 2 3 4 5
(7) 0 7 8 1 2 3 4 5 6
(8) 0 8 1 2 3 4 5 6 7
F16
F16,
a + b x + c x2 + d x3 polinomu ile ifade edilir.
a, b, c ve d tam sayı modül 2 dir.
Polinomlar, x4 = 1 + x kuralı kullanılarak x kuvvetleri ile elde edilir.
.
ö ( 0) ö ( 1) ö ( 2) ö ( 3)
[ 0 0 0 0] [ 1 0 0 0] [ 0 1 0 0] [ 0 0 1 0]
ö ( 4) ö ( 5) ö ( 6) ö ( 7)
[ 0 0 0 1] [ 1 1 0 0] [ 0 1 1 0] [ 0 0 1 1]
ö ( 8) ö ( 9) ö (10) ö (11)
[ 1 1 0 1] [ 1 0 1 0] [ 0 1 0 1] [ 1 1 1 0]
ö (12) ö (13) ö (14) ö (15)
[ 0 1 1 1] [ 1 1 1 1] [ 1 0 1 1] [ 1 0 0 1]
+/ 0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_
0_ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1_ 1 0 5 9 15 2 11 14 10 3 8 6 13 12 7 4
2_ 2 5 0 6 10 1 3 12 15 11 4 9 7 14 13 8
3_ 3 9 6 0 7 11 2 4 13 1 12 5 10 8 15 14
4_ 4 15 10 7 0 8 12 3 5 14 2 13 6 11 9 1
5_ 5 2 1 11 8 0 9 13 4 6 15 3 14 7 12 10
6_ 6 11 3 2 12 9 0 10 14 5 7 1 4 15 8 13
7_ 7 14 12 4 3 13 10 0 11 15 6 8 2 5 1 9
8_ 8 10 15 13 5 4 14 11 0 12 1 7 9 3 6 2
9_ 9 3 11 1 14 6 5 15 12 0 13 2 8 10 4 7
10_ 10 8 4 12 2 15 7 6 1 13 0 14 3 9 11 5
11_ 11 6 9 5 13 3 1 8 7 2 14 0 15 4 10 12
12_ 12 13 7 10 6 14 4 2 9 8 3 15 0 1 5 11
13_ 13 12 14 8 11 7 15 5 3 10 9 4 1 0 2 6
14_ 14 7 13 15 9 12 8 1 6 4 11 10 5 2 0 3
15_ 15 4 8 14 1 10 13 9 2 7 5 12 11 6 3 0
x/ 0_ 1_ 2_ 3_ 4_ 5_ 6_ 7_ 8_ 9_10_11_12_13_14_15_
0_ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1_ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2_ 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1
3_ 0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2
4_ 0 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3
5_ 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4
6_ 0 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5
7_ 0 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6
8_ 0 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7
9_ 0 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8
10_ 0 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11_ 0 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12_ 0 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
13_ 0 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
14_ 0 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
15_ 0 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
F25
F25, a + b2 sayıları ile ifade edilir.
a ve b, tam sayı modül 5 dir.
2 + 2 kuvvetleri ile elde edilir.