Kepler yörüngesi

Gök mekaniği olarak, Kepler yörüngesi (veya Keplersel yörünge) üç boyutlu uzayda iki boyutlu bir yörünge düzlemi oluşturan bir elips, parabol, hiperbol benzeri bir yörünge cismininin hareketini açıklar. (Kepler yörüngesi aynı zamanda düz bir çizgi de çizebilir). Kepler yörüngesi yalnızca nokta iki cismin nokta benzeri yerçekimsel çekimlerini dikkate alır, atmosfer sürüklemesi, güneş radyasyonu baskısı, dairesel olmayan cisim merkezi ve bunun gibi bir takım şeylerin diğer cisimlerle girdiği çekim ilişkileri nedeniyle ihmal eder. Böylece Kepler problemi olarak bilinen iki-cisim probleminin, özel durumlara bir çözüm olarak atfedilir. Klasik mekaniğin bir teorisi olarak, aynı zamanda genel görelilik etkilerini dikkate almaz. Kepler yörüngeleri çeşitli şekillerde altı yörünge unsurları içine parametrize edilebilir.
Çoğu uygulamalarda, tüm sistemin kütle merkezi olarak kabul edilen büyük bir merkezi cisim ve kütle merkezi vardır. Ayrıştırma yapılınca, iki objenin benzer kütleleri, ikisinin ortak kütle merkezinin Kepler yörüngesi ya da barisentileri olarak açıklanabilir.
Giriş
Eski çağlardan itibaren 16. ve 17. yüzyıllara kadar gezegenlerin hareketlerinin Antik Yunan filozofları Aristo ve Batlamyus tarafından öğretildiği gibi mükemmel dairesel jeosentrik yolları takip ettiğine inanılırdı. Gezegenlerin hareketler değişimleri (epidaire) üst üste küçük dairesel yollar şeklinde açıklanmıştır.. Gezegenlerin ölçümleri giderek daha kesin olmaya başladığında, bu teoriye revizyonlar önerilmiştir. Hala gezegenlerin güneş merkezli mükemmel dairesel yörüngede gittiğine inanılmasına rağmen 1543 yılında Nicolaus Copernicus, güneş sisteminin bir güneş merkezli modelini yayınladı.
Yasaların geliştirilmesi
1601 yılında Johannes Kepler, Tycho Brahe tarafından yapılan gezegenlerin kapsamlı ve titiz gözlemlerini elde etti. Kepler, sonraki beş yılı Mars gezegeninin gözlemlerini çeşitli eğrilere uydurmaya çalışarak geçirecekti. 1609 yılında Kepler, gezegensel hareketin üç yasasından ilk ikisini yayınladı. Birinci yasa şöyledir:
"Güneş sistemindeki bütün gezegenler, odaklarının birinde Güneş olan elips şeklindeki bir yörüngede hareket ederler."
Daha genel anlatımla, Kepler hareketini yapan bir nesnenin yolu elips olduğu kadar, parabol veya hiperbol de olabilir. Bu bir grup şekil konik kesitler olarak bilinir. Matematiksel olarak, merkezi bir cisim ile yörüngedeki bir cisim arasındaki mesafe şu şekilde ifade edilebilir:
mesafedir
yörüngenin boyutunu tanımlayan yarı büyük eksendir
yörüngenin şeklini tanımlayan dış merkezliktir
yörüngedeki nesnenin mevcut konumu ile yörüngedeki merkez cisme en yakın olduğu (enberi noktası olarak adlandırılan) konum arasındaki açı olan gerçek ayrıklıkdır.
Alternatif olarak, denklem şu şekilde ifade edilebilir:
Burada, eğrinin yarı özkirişi olarak adlandırılır. Denklemin bu formu, özellikle yarı büyük ekseni sonsuz olan parabolik yörüngelerle uğraşırken kullanışlıdır.
Bu yasaları gözlemleriyle geliştiren Kepler, hiçbir zaman bu hareketleri açıklayacak bir teori geliştirememiştir.
Isaac Newton
Isaac Newton, 1665 ve 1666 yılları arasında hareket, kütleçekim ve diferansiyel hesap ile ilgili çeşitli kavramlar geliştirdi. Bununla birlikte bu kavramlar, 1687 yılında hareket yasalarını ve evrensel kütleçekim yasasını ana hatlarıyla belirttiği Principia'ya kadar yayınlanmadı. Üç hareket yasasından ikincisi şöyle der:
Bir cismin ivmesi, cisme etki eden net kuvvetle paralel ve doğru orantılıdır. Net kuvvet yönündedir ve cismin kütlesi ile ters orantılıdır:
kuvvet vektörüdür
kuvvetin etki ettiği cismin kütlesidir
ivme vektörüdür, konum vektörünün ikinci zaman türevidir.

Kurallara bakılırsa, denklemin bu şekli yalnızca aşağıda yapılan basitleştirici varsayımlara dayalı olarak doğru olan sabit kütleli bir nesne için geçerlidir.
Newton'un kütleçekim yasası şöyle der:
Her nokta kütle, her iki noktayı kesen doğru boyunca işaret edilen bir kuvvetle diğer nokta kütleleri çeker. Kuvvet, iki kütlenin çarpımı ile orantılı ve nokta kütleler arasındaki uzaklığın karesi ile ters orantılıdır:
iki nokta kütlesi arasındaki kütleçekim kuvvetinin büyüklüğüdür.
kütle çekimi sabitidir
birinci nokta kütlesinin kütlesidir
ikinci nokta kütlesinin kütlesidir
iki nokta kütlesi arasındaki mesafedir
Newton, hareket yasaları ve evrensel kütleçekim yasasından astronomide yörünge hareketine özgü Kepler yasalarını türetebildi. Kepler yasaları gözlem verileriyle iyi bir şekilde desteklendiğinden, bu tutarlılık Newton'un genelleştirilmiş teorisinin ve birleşik göksel ve sıradan mekaniğin geçerliliğine güçlü bir destek sağladı. Bu hareket yasaları, 20. yüzyılın başlarında Albert Einstein özel ve genel görelilik kavramlarını ortaya koyana kadar modern gök mekaniğinin temelini oluşturdu. Çoğu kullanımda Kepler hareketi, gezegenlerin ve uyduların hareketlerini nispeten yüksek doğruluk derecelerine yaklaştırır ve astronomi ve astrodinamikte yaygın olarak kullanılır.
Sadeleştirilmiş iki cisim problemi
İki cisimli bir sistemde bir cismin hareketini çözmek için iki sadeleştirici varsayım yapılabilir:
Cisimler küresel olarak simetriktir ve nokta kütleler olarak ele alınabilir.
Cisimlere karşılıklı kütleçekimi dışında etki eden iç ve dış kuvvetler yoktur.
Büyük gök cisimlerinin şekilleri kürelere yakındır. Simetri ile, bir kütle noktasını homojen bir küreye doğru çeken net kütleçekim kuvveti, merkeze doğru yönlenmelidir. Kabuk teoremi (Isaac Newton tarafından da kanıtlanmış olan), kürenin yoğunluğu derinliğe göre değişse bile (çoğu gök cisimleri için olduğu gibi) bu kuvvetin büyüklüğünün, kütlenin tamamı kürenin ortasında toplanmış gibi aynı olduğunu belirtir. Bundan hemen sonra iki homojen küre arasındaki çekim, her ikisinin de kütlesi merkezinde yoğunlaşmış gibidir.
Asteroitler veya uzay araçları gibi daha küçük nesneler genellikle bir küreden güçlü bir şekilde ayrılan bir şekle sahiptir. Ancak bu düzensizlikler tarafından üretilen kütleçekim kuvvetleri, merkezi cismin kütleçekimi ile karşılaştırıldığında genellikle önemsizdir. Düzensiz bir şekil ile mükemmel bir küre arasındaki fark da mesafelerle azalır ve yörünge mesafelerinin çoğu, yörüngedeki küçük bir cismin çapıyla karşılaştırıldığında çok büyüktür. Bu nedenle bazı durumlar için şekil düzensizliği, kesinlik üzerinde önemli bir etki olmaksızın ihmal edilebilir. Bu etki, özellikle alçak yörüngelerde bulunan yapay Dünya uyduları için oldukça belirgindir.
Gezegenler değişen hızlarda dönerler ve bu merkezkaç kuvveti nedeniyle hafif basık bir şekil alabilirler. Böyle yassı bir şekille kütle çekimi, homojen bir küreninkinden bir miktar sapacaktır. Daha büyük mesafelerde bu yassılığın etkisi ihmal edilebilir hale gelir. Güneş Sistemindeki gezegensel hareketler, nokta kütleler olarak ele alınırsa yeterli hassasiyetle hesaplanabilirler.
Kütleleri ve olan iki nokta kütle nesnesi ve bazı eylemsiz referans çerçevesine göreceli konum vektörleri ve, kütleçekim kuvvetlerine maruz kalır:

burada, kütle 1'in kütle 2'ye göre göreceli konum vektörüdür ve şu şekilde ifade edilir:
, o yöndeki birim vektördür ve, bu vektörün uzunluğudur.
Kendi kütlelerine bölmek ve ikinci denklemi birinciden çıkarmak, birinci cismin ikinciye göre ivmesi için hareket denklemini verir:
, yerçekimi parametresidir ve eşittir
Birçok uygulamada, üçüncü bir sadeleştirici varsayım yapılabilir:
Merkezi cisim ile karşılaştırıldığında yörüngedeki cismin kütlesi önemsizdir. Matematiksel olarak, m1 >> m2, yani 'dir. Genellikle olarak gösterilen bu tür standart kütleçekim parametreleri, yörüngedeki uydularından çok daha büyük kütlelere sahip olan Güneş, büyük gezegenler ve Ay için yaygın olarak kullanılır.
Bu varsayım, sadeleştirilmiş iki cisim problemini çözmek için gerekli değildir, ancak özellikle Dünya yörüngesindeki uydular ve Güneş'in yörüngesindeki gezegenlerle ilgili hesaplamaları basitleştirir. Jüpiter'in kütlesi bile Güneş'inkinden 1047 kat daha azdır, bu da α değerinde %0,096'lık bir hata oluşturur. Dikkate değer istisnalar arasında Dünya-Ay sistemi (kütle oranı 81,3), Plüton-Charon sistemi (kütle oranı 8,9) ve ikili yıldız sistemleri sayılabilir.
Bu varsayımlar altında iki cisim problemi için diferansiyel denklem matematiksel olarak tamamen çözülebilir ve Kepler'in gezegensel hareket yasalarını takip ederek sonuçta oluşan yörüngeye "Kepler yörüngesi" denir. Tüm gezegenlerin yörüngeleri yüksek doğrulukta Güneş etrafındaki Kepler yörüngeleridir. Küçük sapmalar, gezegenler arasındaki çok daha zayıf kütleçekim etkilerinden ve Merkür durumunda genel görelilikten kaynaklanmaktadır. Dünya etrafındaki yapay uyduların yörüngeleri, makul bir tahminle Güneş, Ay ve Dünya'nın yassılığından dolayı küçük düzensizliklere sahip Kepler yörüngeleridir. Hareket denkleminin bütün kütleçekim ve kütleçekim olmayan kuvvetlerin (güneş radyasyon basıncı ve atmosfer direnci gibi) hesaba katılmasıyla sayısal olarak entegre edilmesi gereken yüksek doğruluktaki kullanımlarda, Kepler yörünge kavramları çok önemlidir ve yoğun olarak kullanılır.
Kepler yörünge öğeleri
Kepler yörüngesinin altı parametre ile tanımlanabilirliğinden söz etmek gerekir. Üç boyutlu uzayda hareket eden bir nesnenin hareket bir konum vektörü ve bir hız vektörü ile karakterize edilir. Her vektörün üç bileşeni vardır, bu yüzden uzayda bir yörünge tanımlamak için gerekli değerlerin toplam sayısı altıdır. Bir yörünge (Kepler Elementleri olarak bilinen) ve pozisyon ve hızına bağlı olarak ölçülebilen altı elementten oluşur ki bunların üçü daha önce gösterilmiştir. Bu altı uygun elementten beş tanesi yörünge için değişmezdir. (iki sürekli değişen vektöre bir tezat niteliğinde olmak üzere). Kendi yörüngesinde içindeki bir nesnenin gelecekteki konumu tahmin edilebilir ve yeni konum ve hız kolayca yörünge elemanları ile elde edilebilir.
Bunlardan ikisi eksenin boyutunu ve şeklin belirler:
Yarımajör eksen ()
eksantriklik ()
Üç tanesi yörünge alanının oryantasyonunu belirler:
eğim ()yörünge düzlemi ile referans düzlemi arasındaki açıyı tanımlar.
Yükselen nodun uzunluğu () Referans yönü ve referans düzlemi üzerinde yörüngeye yukarı kesişme (yükselen nod) arasındaki açıyı tanımlar.
Periapsis argüman() artan nod ve periapsis arasındaki açıyı belirler.
Ve son olarak:
Gerçek anomali ()periapsis ölçülen yörünge boyunca yörüngedeki cismin konumunu tanımlar. Çeşitli başka değerlerin yerine gerçek bir anomali kullanılabilir, bunlardan en sık kullanılanları mean anomoli olan ve periapsisden yana geçen süre olan dir.

, ve sadece yörünge düzlemi içinde nesnenin hareketini tartışırken referans çerçevesinde yörünge yönünü tanımlayan açısal ölçümlerdir ve kesin olarak gerekli değildir. Burada tamamlanmışlık adına belitilmişlerdir ancak aşağıdaki ispatlar için gerekli değillerdir.
Yukarıdaki diferansiyel denklemin () matematiksel çözümü
Herhangi bir merkez kuvveti altında yani r bir kuvvet paraleli ve hareket için, belirli bağıl açısal momentumu sabit kalır:

Pozisyonun çapraz ürünü vektör ve onun hızı olduğu için sabit kaldığından, aynı düzelmde bulunmak zorundadırlar. (ye ortogonal). Bu vektör, fonksiyonun, bir düzlem eğrisi olduğu anlamına gelir. Denklemin kökeni etrafında simetri vardır, çünkü kutupsal koordinatlarda çözmek kolaydır. Bununla birlikte, bu denklem dikkat etmek önemlidir doğrusal ivmeye refere eder, açısalın karşıtı olarak yahut radyal ivmelenme. Bu nedenle, denklemi değiştiren kişinin dikkatli olması gerekir. Şimdi kartezyen koordinat sistemine ve kutupsal birim vektörlere düzlemi octoganelinde bakalım :


Şimdi vektör fonksiyonunu yeniden yazabiliriz ve diferansiyali şöyledir as:

(Vektör calculusunu inceleyiz). Bunları yerine yazarsak şunu buluruz: ()

Bu sıradan olmayan polar diferansiyel denklem verir:



Bu denklemi çözmek için, öncelikle her zaman diferansiyel lineerini ortadan kaldırmak gerekir. Şuna ulaşırız:


()ün zaman diferansiyalinii aldığımız zaman, şuna ulaşırız:

() ve (}) denklemleri ın diferansiyellerini elememize izin verir.. In order to eliminate the time derivatives of ın zaman diferansiyellerini ellimine etmek için uygun kısaltmaları bulmak bunun için de zincir kuralı kullanmamız gerekir.

Diferansiyel denklem () değişken değişimi ile analitik çözülebilir
Bu verilenleri kullanarak, in ()deki tüm zaman diferansiyelleri yoksayılabilir, ve bizi.
() ve ()da belirtilenleri ve için kullanarak

genel bir sonuca ulaşılır.
e ve un başlangıçtaki s ve n başlangıç değerlerinin integral sabitleri olursa, integralinin sabitini kullanmak yerine birim vektörleri kullanıma alınır ve seçilen yörünge alanındaki koordinat sistemini belirler, böylece sıfır değerini alır ve e is pozitiftir. Bu şu anlama gelir: in maksimum olduğu yerde sıfırdır ve böylece minimumdur. p parametresini olarak tanımlarsak şu ortaya çıkar.
Alternatif türevi
Bu denklemi polar diferansiyel denklemini kullanmadan çözmenin bir diğer yolu şöyledir:yu bir birim vektör olarak tanımlayın, örneğin, and gibi. Burdan yola çıkarak

Şimdi şunu değerlendiriniz

(Üçlü vektör ürünü). Şunu dikkate alınız
Bu verileri bir önceki denkleme yerleştirdiğimizde

İki tarafın da integralini alırsak
Burada 'c sabit vektördür. Bunu r ile birleştirmek ortaya ilginç bir sonuç çıkarır
Burada ve arasındaki açıdır. rye göre çözersek

Dikkat ediniz ki vektör fonksiyonunun polar koordinatlarıdır. Verilenleri yerine koyarsak ve, şu denkleme ulaşırız

Bu fokal noktada merkezi olan bir konik bölmenin polar koordinatlarının denklemidir. Argümanına gerçek anomali denir.
Yörünge denkleminin özellikleri
ise bu çapı p olan bir dairedir.
ise bu aşağıdakine sahip bir elipstir.

ise fokal uzunluğu olan bir dairedir.
ise bir aşağıdakine sahip bir hiperboldür.

Sonraki görsel, bir elipsi (kırmızı), bir paraboolü (yeşil) ve bir hiperbolü (mavi) gösterir.

Yatay çizgi üzerinde nokta odak noktasından sağa doğru çıkıyorsa nokta odak noktasına olan minimum uzaklık değerini alır (pericentre) . Elips için de odak uzaklığı maksimum değerini aldığı bir apocentre vardır. Hiperbol için nın aralığı:
Bir parabol için aralık;
Diferansiyelin zinci kuralını kullanarak (), () denklemi ve pnin tanımı olmak üzere radyal hız elemanı şudur.


ve teğetsel bileşen olan (hız bileşeni )ye dik )

Polar argümanı ve zaman t arasındaki bağlantı elips ve hiperbolik yörüngeler için küçük değişiklikler gösterebilir.
Elips şeklindeki bir yörünge için, dış merkezli anomali olan Eye geçeriz ve burdan

ve sonuç olarak.
açısal momentum H olmak üzere
Zamana göre entegrasyon olan t ile şu sonuca ulaşılır.

zaman varsayımını yaparak integral sabiti 0 olur.
p nin tanımı gereği
şu şekilde yazılabiir

Hiperbolik bir yörünge için parametre yaratmak için hiperbolik fonksiyon kullanılır.
bu durumda şuna ulaşılır


açısal momentum H olmak üzere
Zamana göre entegrasyon olan t ile şu sonuca ulaşılır.

örneğin
tnin hangi zamanda belirli bir gerçek anomaliye () ne ulaştığını bulmak için, buna uyan parametre olan Enin () ile zamana olan bağını hesaplaması, elips için () ile bağını ve hiperbolik yörünge için.
Dikkat ediniz ki () ve () bu aralıkta bir yer belirler.
Bazı ilave formüller