Ayrık olasılık dağılımları

Olasılık kuramı içinde bir olasılık dağılımı eğer bir olasılık kütle fonksiyonu ile karakterize edilmiş ise ayrık olarak anılır. Böylelikle bir rassal değişken olan X için dağılım ayrık ise o zaman X bir ayrık rassal değişken olarak bilinir. Bu halde

olur ve burada u X için bütün mümkün değerler serisini ihtiva eder. Böyle bir rassal değişken ancak sonsuz sayılı veya sayılabilir sonsuz sayılı değerler alabildiği bu tanımdan ortaya çıkar. Eğer mümkün değerler sayılabilir sonsuz tane ise ve her birinin olasılık değerinin toplamları 1'e eşit olmasi gerekmekte olması bu olasılık sayılarının pek hızlı bir şekilde 0'a erişmesini gerektirmektedir. Örneğin eğer
her n = 1, 2, ..., için ise
olasılıkların toplamı şudur:
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1.
Klasik tanım
Olasılık kuramı geliştirilmesinin ilk safhalarında olasılık şans aletleri ile açıklanmakta idi. Şu şans aletleri sayılabilir: havaya atılan bir madeni paranın yazı-tura gelmesi, altı yüzlü bir zar atılması, üstü sektörel parçalara bölünmüş bir döner alet (örneğin rulet tekerleği), iskambil kağıtları, içinde belirli sayıda değişik nesne bulunan küp veya küp benzerleri. Bu halde belirtilmiş bir olay ortaya çıkması için olasılık, her mümkün sonucu eşit olasılıklı olan örneklem uzayında incelenmektedir. Bunlardan benzerlik çıkarılarak, olasılık incelenen olaya uygun sonuç sayısının toplam tüm sonuçlar sayısına oranı olarak tanımlanmıştı. Örneğin, incelenecek sorun "tek bir zar atılınca çift sayıların gelme olasılığı nedir" şeklinde olsun. Zar yansız olup her altı yüzü de eşit olasılıkla gelebileceği için, 2, 4, 6 sonuçları 3 tane olduğu ve toplam mümkün sonuç sayısı 6 yüze dayanarak 6 olduğu için, aranan olasılık
P( 2 veya 4 veya 6 ) =
olarak bulunur.
Modern tanım
Modern tanıma örneklem uzayı adı verilen bir küme ile başlanır; bu klasik tanımda kullanılan mümkün tüm sonuçlar seti ile aynı anlamlıdır; ve şu notasyon kullanılarak ifade edilir:
.
Sonra, içinde bulunan her matematik elemana bir olasılık değeri
bağlı olduğu varsayılır ve bu olasılık değerinin şu özellikleri bulunduğu kabul edilir:



Bu demektir ki olasılık fonksiyonu olan f(x) Ω örneklem uzayında bulunan her x değeri için 0 ile 1 arasında bulunmaktadır ve x için tüm mümkün değerler için f(x) değerlerinin toplamı tama tam 1e eşit olur. Bir olay örneklem uzayının herhangi bir altseti olarak tanımlanır. olayının 'olasılık değeri ise şöyle tanımlanır:
Buna göre tüm örneklem uzayının olasılığı 1e eşittir ve boş örneklem uzayı veya 0 olay için de olasılık 0a eşit olur.
Örneklem uzayındaki bir noktayı "olasılık" değerine eşleyen fonksiyona, yani
fonksiyonuna, olasılık kütle fonksiyonu adı verilir. Bir olasılık dağılımı eğer bir olasılık kütle fonksiyonu ile karakterize edilmiş ise ayrık dağılım olarak nitelendirilir. Bir X rassal değişkeni için dağılım ayrık ise, o halde X bir ayrık rassal değişken olarak tanımlanır ve Xin bütün mümkün değerler serisini ihtiva eden u için

olur.

Eğer bir rassal değişken aralıklı ise, sıfır-olmayan olasılık taşıyan her değerin seti, bir sonsuz olmayan, veya sayılabilir şekilde sonsuz olan, sayıda bir settir. Bu mümkün değerler seti topolojik olarak ayrık bir settir çünkü set içindeki her nokta tek tekdir; diğerlerinden ayrılmıştır ve bu noktalar sayılabilir.
Ayrık dağılımlar arasında en iyi bilinenleri Poisson dağılımı, Bernoulli dağılımı, binom dağılım, geometrik dağılım, negatif binom dağılımıdir.
Değişik bir tanımlama
Yukarıda verilen tanıma benzer olarak, fakat değişik bir bakışla, bir ayrık rassal değişken için yığmalı dağılım fonksiyonu yalnızca sıçrama devamsızlığı göstererek büyüme gösterir. Bu demektir ki yığmalı dağılım fonksiyonu daha büyük değere sıçrama yaptığı zaman büyüme gösterir ve bu sıçramayı yapmadan sabit kalır. Sıçrama yapılan noktalar aynen rassal değişkenin değer aldığı noktalardır. Bu türlü sıçramalar ya sonludur veya sayılabilir sonsuz olurlar. Bu sıçrama noktalarının konumu topolojik olarak ayrık olmayabilir; örneğin yığmalı olasılık dağılımı her rasyonel sayıda sıçrama gösterebilir.
Gösterge fonksiyonları terimleri ile ifade edilme
Bir ayrık rassal değişken X için u0, u1, ... sıfır olmayan olasılık değerler aldığı varsayılan sayılar olsun. Şu fonksiyon gösterilsin
Bunlar kopuk setlerdir ve formül (1) nedeniyle
Bundan çıkarılır ki Xin u0, u1, ... dışında alabileceği herhangi bir değer için olasılık 0 olur. O halde, sıfır olasılıklı değerler setinin dışında X şöyle yazılabilir:
Burada ve, A için bir gösterge fonksiyonudur. Bu sonuç da ayrık rassal değişkenleri tanımlama için bir alternatif olarak kullanılabilir.
Örnekler
Örnek olarak şu önemli ayrık olasılık dağılımlar verilmektedir. Bu liste mümkün olan tüm ayrık olasılık dağılımları ihtiva etmemektedir:
Ayrık tekdüze dağılım: Bir sonlu set içinde bulunan tüm elemanlar aynı eşit olabilirliktedirler. Bu teorik olarak bir hilesiz madeni para, bir kusursuz zar, bir kumarhane rulet tekerleği veya iyice karılmış iskambil kağıtları için uygun olan olasılık dağılımıdır. Bilgisayarların yaygın olarak kullanılması sonucu özel veya genel işlerde kullanılan bilgisayarlar sözde-rassal-sayı üreticiler olarak kullanılıp ayrık tekdüze rassal değişken sayıları üretilmektedir.
Bernoulli dağılımı: 1 değeri için p olasılığı ve 0 değeri için q = 1 - p olasılığı alır.
Binom dağılım: Bir seri bağımsız Evet/Hayır (Başarılı/Başarısız) sonuçlu deneylerdeki başarılılık sayısını tanımlar.
Poisson dağılımı: Belli bir zaman aralığında (veya belirli bir birim aralık içinde) teker teker, az olabilirlikli olarak ortaya çıkan çok büyük sayıda olayları tanımlar.
Geometrik dağılım: Bir seri Evet/Hayır sonuçlu denemelerde birinci başarıyı elde etmek için gerekli deneme sayısının olasılığını açıklar.
Hipergeometrik dağılım: Eğer toplam başarılılık sayısı bilinirse, n tane bağımsız Evet/Hayır (Başarılı/Başarısız) deneylerde ilk m sayıda başarılılık olasılığını tanımlar.
Bozulmuş dağılım: Sadece x0da bulunur. Burada X mutlaka hiç olasılıksız x0 değeri alır. Bu rassal gibi gözükmez ama matematikte verilen rassal değişken tanımlamasına uygunluk gösterir. Bu dağılım belirli deterministik değişkenler ile rassal değişkenlerinin ayni matematiksel biçimde incelenmesine imkan verir.