Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar ya da oranlı sayılar, iki tam sayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayıların oluşturduğu kümedir. Rasyonel sayılar tam sayıların bir genişlemesidir ve ile gösterilir. kümesi genelde şöyle tanımlanır:
(a ve b tam sayı ve b sıfır olmamak üzere a/b şeklindeki sayılara rasyonel sayı denir)
ve veya eşdeğer rasyonel sayılardır. Dolayısıyla her rasyonel sayı sonsuz şekilde ifade edilebilir. Rasyonel sayıların en basit biçimi ve tam sayılarının ortak bölen'inin olmadığı ifadesidir.
Her tam sayı rasyonel sayıdır. Çünkü veya veya şeklinde yani Rasyonel sayı tanımına uygun biçimde yazılabilirler. Rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesi 'yi kapsar. Yani.
Daha ince bir tanımı ise tam sayılar üzerinden tanımlanacak bir denklik bağıntısıyla yapılabilir. Böylece her denklik sınıfı bir rasyonel sayı olarak anılır. kümesinden seçilmiş keyfi (a, b) ve (c, d) ögeleri için "~" bağıntısı olarak tanımlansın. Bunun bir denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu durumda, denklik sınıfları olurlar. Rasyonel sayı ise basitçe şeklinde tanımlanır. Tanımda paydanın sıfır olmama şartı ifadesinin tanımlanmamış olmasındandır. Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir. Pozitif rasyonel sayılar kümesi ile, negatif rasyonel sayılar kümesi ile gösterilir.
Örneğin
Yandaki şekilde, bir yuvarlak pasta 4 eş parçaya bölünmüş ve bu 4 eş parçalardan her birisi olarak görülmektedir. Ancak bir parça alınmış olduğundan kalan eksikdir. Geriye kalan, dört eşit parçaya bölünmüş bütünün üç tane parçası (yani 3'te 4 oranı) veya (kesiri)dir. Bu ifadesi şeklinde gösterilir. Burada ifadede kesir çizgisinin üstündeki değere (yani 3'e) pay, kesir çizgisinin altındaki değere (yani 4e) payda denir. Bu kesir, üç bölü dört ya da dörtte üç diye okunur.
Tanım
Rasyonel kelimesi İngilizcedeki rational olup İtalyanca quoziente, "quotient" kelimesinin başharfi olarak Q işareti ile gösterilir.
Rasyonel sayıların cebirsel özellikleri
olmak üzere:
Rasyonel sayılar aşağıda gösterildiği gibi birbirlerine eklenir:

Rasyonel sayılar arasındaki çarpma işlemlerinin kuralı aşağıdaki gibidir:
Rasyonel sayılar arasındaki bölme işlemi aşağıda gösterildiği gibidir:

Toplamaya ve Çarpmaya göre terslik özellikleri rasyonel sayılar içinde geçerlidir:
Rasyonel sayıların eşitliği
İki rasyonel sayının eşitliği, o sayıların pay ve paydalarının rasyonel olmasıyla anlaşılır. olmak üzere ve iki rasyonel sayı ise bu iki sayı ancak olduğunda eşittir.
Bu koşul, yukarıdaki tanımdan çıkartılabilir. İki rasyonel sayı aynı denklik sınıfındaysa birbirine eşittir, Denklik bağıntısı da zaten koşulunu içermekteydi.
Rasyonel sayıları karşılaştırma (büyüklük, küçüklük)
Paydaları eşit olan rasyonel sayılar
Paydaları eşit olan rasyonel oranlar için payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür.
Örneğin
Burada paydalar eşit ve yirmidir. Pay değerleri karşılaştırılınca soldaki pay 7 sağdaki pay 3'ten daha büyük olduğu için, soldaki rasyonel oran daha büyüktür.
Unutmamalıdır ki negatif paylar karşılaştırılırken sadece mutlak değerlerin karşılaştırılması hatalı olup negatif işaretlerinin de ele alınması ve :negatif sayılı pay değerlerde mutlak değeri büyük görünen sayının daha küçük olduğu hatırlanmalıdır:
Payda 20'ye eşit olup sağdaki negatif pay değeri -3, soldaki negatif pay değeri olan -7'den daha büyük olduğu için sağdaki oran daha büyüktür.
Payları eşit olan rasyonel sayılar
Payı eşit olan rasyonel sayılar için ise paydaları eşit olanın tam tersi bir kural uygulanır:
Paylar eşit olduğunda bölünen parça sayısı yani payda büyüdükçe oluşan parça boyutları daha küçük olur.
Ne payları ne de paydaları eşit olan rasyonel sayılar
Bu şekildeki durumlarda karşılaştırmadan evvel paydaların eşitlenmesi veya içler dışlar çarpımı yapılmasını gerektirir.
Paydaların eşitlenmesi
Her iki rasyonel sayının da birbirlerinin paydalarıyla genişletilmesini gerektirir.
Yukarıda görüldüğü gibi genişletme işleminden sonra oluşan paydaların ikisi de yani 40'tır. Yukarıda görüldüğü gibi karşılaştırılabilir.
İçler dışlar çarpımı
Birinci rasyonel sayının payının ikincinin paydasına, ikincinin paydasının ise birincinin payıyla çarpılmasıdır:
Arada olma
İki rasyonel sayı arasına bir ya da birkaç rasyonel sayı yerleştirme işlemine denir.