Boyut analizi

Boyut analizi fiziksel büyüklüklerin farklı çeşitlerinin karışımını içeren fiziksel durumları içeren ve sıklıkla fizik, kimya ve mühendislikte kullanılan kavramsal bir yöntemdir. Fizikçiler ve mühendisler tarafından türevli denklemlerin ve hesaplamaların olasılıklarının kontrolünde kullanılır. Ayrıca deneylerle veya kavramın daha karmaşık teorileriyle denenebilen karmaşık fiziksel durumlarla ilgili mantıklı hipotezler oluşturmak için de kullanılır.
Giriş
Bir fiziksel büyüklüğün boyutları M kütle, L uzunluk ve T zaman ile bağlatılıdır, bunların her biri de kuvvetleriyle orantılı olarak artar. Örneğin; fiziksel bir büyüklük olan hızın boyutu "uzunluk/zaman"dır (L/T) ve kuvvetin de boyutu "kütleivme" veya "kütle(uzunluk/zaman)/zaman"dır(ML/T2).
Fiziksel bir büyüklüğün birimi ile boyutu birbirleri ile bağlantılıdır fakat kesin tanımlayıcı kavramlar değillerdir. Fiziksel bir büyüklüğün birimleri geleneksel olarak tanımlanır ve bazı standartlarla ilişkilidir; örneğin uzunluğun birimi metre, feet, inch veya mikrometre olabilir; fakat herhangi bir uzunluk, onu ölçmek için keyfi olarak seçilen birimden bağımsız olarak daima L boyutuna sahiptir. Aynı fiziksel büyüklüğün iki farklı birimi çeşitli dönüştürme faktörleriyle birbirlerine dönüştürülebilirler. Örneğin; 1 inç = 2.54 cm; böylece (2.54 cm/in) dönüşüm faktörü olarak adlandırılır(yaygın bir büyüklüğün farklı birimleriyle gösterimlerinin arasındaki dönüşümü yapar) ve boyutsuzdur ve bire eşittir. Boyut sembolleri arasında dönüşüm faktörleri yoktur.
Boyut sembolleri, L gibi, matematiksel bir grup oluştururlar: buna göre şu özdeşlik yazılabilir, L0=1; Lnin tersi ise, ki bu 1/L veya L−1dir ve Lnin tüm oransal p kuvvetleri grubun bir üyesidir, tersi için de aynı şey geçerlidir L-p or 1/Lp. Grubun işlemi çarpımdır ve standart üslü işlemler uygulanır(Ln Lm = Ln+m).
Mekanikte, herhangi bir fiziksel büyüklüğün boyutu M, L ve T tabanlı terimlerle ifade edilebilir. Bu tek mümkün seçenek değildir, fakat en sık kullanılanıdır. Örneğin, bazıları kuvvet F, uzunluk L ve kütle M boyutlarını temel almaktadırlar. Bu sebepten temel boyutların seçimi kısmen gelenekle ilgilidir ve kullanışlılığı ve aşinalığı arttırır. Bununla birlikte boyutların seçiminin sadece bir gelenek olmadığını da fark etmek önemlidir; örneğin, uzunluğu, hızı ve zamanı temel boyut olarak kullanmak iyi bir seçim deildir; çünkü mass'i elde etmenin; veya force gibi, ondan türetilen hiçbir şeyi başka bir temel boyut eklemeden elde etmenin yolu yoktur ve hız uzunluk ve zamandan türetilebildiğinden bu temel boyutlar en iyi anlatımla tam kullanılmaz ve en kötüsü de uygunsuzdur(örneğin eğer hızın temel birimi uzunluğun temel biriminin zamanın temel birimine oranı olan 1'e eşit değilse).
Kolaylık açısından tüm bilim dünyasının aynı seçimleri yapması önemlidir. SI birim sistemi en geniş kullanılan birimdir ve gerekli şekilde karmaşadan ve çakışmadan çeşitli birim dönüşümleri ile sakınır(santimetre gram saniye birim sistemi).
Fizik alanına bağlı olarak, boyut sembol setlerinden biri veya öbürünü seçmek avantajlı olabilir. Örneğin elektromagnetizmada M, L, T ve elektriksel yükü temsil eden Q boyutları kullanışlı olacaktır. Termodinamikte ise temel boyut setine sık sık sıcaklık için bir boyut eklenir. Kimyada moleküllerin sayısı da hesaba katılır ve bunun için bir boyut kullanılması da kullanışlı olur. Fiziğin farklı alanlarında kullanılacak boyutların veya hatta boyut sayısının seçimi daha çok keyfi olsa da kullanımdaki uyum ve iletişimdeki kolaylık en önemli husustur.
En ilkel formunda, boyut analizi fiziksel eşitliklerin olasılıklarını kontrol etmede kullanılabilir: herhangi bir eşitliğin iki tarafı da aynı ölçekte veya aynı boyutta olmalıdır, yani, eşitlik boyutsal olarak homojen olmalıdır. Bu gerekliliğin doğal bir sonucu olarak, fiziksel olarak anlamlı bir eşitlikte sadece aynı boyuttaki büyüklükler toplanabilir veya çıkarılabilir. Örneğin bir fare ile bir pirenin kütleleri birbirlerine eklenebilse de pirenin kütlesi ile farenin boyu anlamlı şekilde birbirine eklenemez. Farklı boyutlara sahip fiziksel büyüklükler birbirleriyle karşılaştırılamazlar da. Örneğin, "3 m > 1 g" anlamlı bir ifade değildir.
Sadece aynı boyuttaki büyüklükler toplanabilir, çıkarılabilir, karşılaştırılabilir veya eşitlenebilir. Farklı boyutlu büyüklükler "+", "-" ve "=" işaretlerinin tersi olarak görüldüğünde, o fiziksel eşitlik mümkün değildir, bunu kullanmadan önce hatalar düzeltilmelidir. Aynı veya farklı boyutlu büyüklükler çarpıldığında veya bölündüğünde, onların boyutsal sembolleri de çarpılır veya bölünür. Boyutlu büyüklüklerin üsleri alındığında ise aynı şey bunlara eklenen boyutsal sembollere de yapılır.
Üslü fonksiyonların, trigonometrik fonksiyonların, logaritmik ve diğer transandantal fonksiyonların skaler değişkenleri de boyutsuz olmalıdır. Bu gereklilik bu fonksiyonların Taylor açılımı alındığında açıklık kazanır. Örneğin, 3'ün logaritması neredeyse 0,477 iken 3 kg'ın logaritması tanımsızdır. ln3kg gibi bir hesap ise şu sonucu üretecektir

bu ise boyutsal olarak uyumsuzdur.
Boyutsal fiziksel bir büyüklüğün değeri onun biriminin ve boyutlu ve boyutsuz sayısal faktörlerin çarpımı şeklinde yazılır. Tam olarak, benzer boyutlu büyüklükler toplandığında, çıkarıldığında veya karşılaştırıldığında, bu boyutlu büyüklükler, sayısal büyüklükleri doğrudan toplanabilsin veya çıkarılabilsin diye, uyumlu birimlerle ifade edilmelidirler. Fakat, kavramsal olarak, farklı birimlerle ifade edilen aynı boyutlu büyüklükleri toplamada bir sorun yoktur. Örneğin, 1 metre 1 feet'e eklendiğinde bir uzunluk elde ederiz, fakat sonucu elde etmek için 1'e 1 eklemek yanlış olacaktır. Aynı boyutlu büyüklüklerin bir oranı olan ve boyutsuz bir sayıya eşit olan bir dönüşüm faktörüne gereksinim duyulur:
veya
Buradaki faktör boyutsuz 1'e özdeştir, böylece bu dönüşüm faktörünü kullanarak çarpım yapmak hiçbir şeyi değiştirmez. Aynı boyutta fakat farklı birimle ifade edilmiş iki büyüklüğü birbirine eklediğimizde, aslında 1'e eşit olan uygun dönüşüm faktörü, büyüklüklerin sayısal değerleri toplanabilsin veya çıkarılabilsin diye, birimleri özdeşleştirmek için dönüşüm yapmakta kullanılır.
{|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}
Sadece bu yolla farklı birimlerdeki büyüklükler birbirleriyle toplanabilirler.
Boyut analizi ayrıca birinin anlamak ve karakterize etmek istediği özel kavramların içinde bulunan fiziksel büyüklüklerin arasındaki ilişkileri türetmekte kullanılır. İlk kez 1872 yılında, gökyüzünün neden mavi olduğunu anlamaya çalışan Lord Rayleigh tarafından kullanılmıştır.
Basit bir örnek
Yerçekimi kuvveti dolayısıyla asılı kalan, sabitli yaya bağlı kütlesinin salınımının periyodu nedir?
Bu dört büyüklüğün boyutları şöyledir: [T]; [M]; [M/T^2]; ve [L/T^2]. Buradan seçilen değişkenlerin kuvvetlerinin çarpımı olan boyutsuz tek bir sonuç elde ederiz, = . Değişkenlerin kuvvetlerinin çarpımı olan bu boyutsuz sonuç bazen boyutsuz değişken grubu olarak adlandırılır, fakat bu grup, , matematiksel bir grup olmaktan çok bir "topluluk" anlamındadır. Sık sık boyutsuz sayılar olarak da adlandırılırlar.
'nin k, m, T, ile veya sadece g ile kuvvetlerinin çarpımlarını içeren başka boyutsuz çarpımların oluşturulamayacağına dikkat ediniz, çünkü g sadece L'yi içermektedir. Boyut analizi bazen bir problemdeki bazı büyüklüklerin alakasızlığı ile ilgili veya ek değişkenler ekleme ile ilgili güçlü ifadeleri açığa vurur. Problemi doğru şekilde tanımlamak için yeterli değişken seçtiysek, bu argümandan yola çıkarak yay üzerindeki kütlenin periyodunun gden bağımsız olduğu sonucuna varabiliriz: Dünya'da ve Ay'da sonuç aynıdır. Problemimiz için kuvvetlerin çarpımının varlığını gösteren denklem eşdeğer bir yolla şöyle yazılabilir: , bir boyutsuz sabit için.
Analizimizin durumun fiziksel tanımına ait olduğuna emin olduğumuz bir değişkeni reddetmesi ile karşılaştığımızda(burada g), reddedilen değişkenin durumla alakalı olduğunu ve bizim durumla alakalı başka değişkenleri, reddedilen değişkenle beraber bir kombinasyonla boyutsuz bir büyüklük oluşturabilecek, sildiğimiz ihtimalini düşünebiliriz. Ancak burada durum o şekilde değildir.
Sadece kuvetlerin bir boyutsuz çarpımını içeren problemlerde boyut analizi ile sonuca ulaştığımızda, burada olduğu gibi, bilinmeyen fonksiyon yoktur ve çözüm "tamam"dır denir.
Daha karmaşık bir örnek
l [] uzunluğunda ve A [] genliğiyle titreyen bir teli göz önüne alalım. Telin lineer yoğunluğu ρ'dur [] ve s [] gerilimine maruzdur ve bizde tel üzerindeki enerji, E'yi bulmak istiyoruz. Şimdi kolayca seçilen değişkenlerin kuvvetlerinin çarpımları olan iki boyutsuz çarpım elde edebiliriz, ve. Belki şaşırtıcı bir şekilde, yukarıda verilen g ile ilgili basit örnekte, lineer yoğunluk söz konusu değildir.
Bulunan bu iki grup aşağıdaki denkleme dönüştürülebilir
burada F bilinmeyen bir fonksiyondur, veya, eşit şekilde
burada f bilinmeyen başka bir fonksiyondur. Burada bilinmeyen fonksiyon çözümümüzün tamamlanmadığı anlamına gelir, fakat boyut analizi bize açık olmayan bazı şeylerde vermişti:Enerji gerilmenin ilk kuvvetiyle orantılıdır. Daha ileri analitik analiz haricinde, bilinmeyen f fonksiyonunu bulmak için deney de yapabiliriz. Fakat deney yapmak eğer boyut analizi mümkün değilse daha kolaydır. Enerjinin gerilmeyle orantılı olduğunu kanıtlamak için hiçbir şey yapamazdık. Veya belki enerjinin 'e orantılı olduğunu tahmin edebilirdik, ve şu sonuca varabilirdik. Boyut analizinin deneylere yardımcı olma ve hipotez yaratma gücü kanıtlıdır.
Yukarıdakilere benzemeyen, daha kompleks, içerdiği değişkenlerin belirsiz olduğu ve temel denklemlerinin umutsuzca karmaşık olduğu durumlara uygulandığında; boyut analizinin gücü gerçekten belirginleşir. Örneğin, bir nehir yatağındaki küçük bir çakıl taşını düşünelim. Eğer nehir yeterince hızlı akıyorsa, çakıltaşı yükselir ve su içinde yüzer. Peki kritik hız nedir?Tahmin edilen değişkenleri çözmek daha öncekiler kadar kolay değildir. Fakat boyut analizi bunun gibi problemleri anlamakta yardımcı olabilir ve temel denklemlerin zr anlaşıldığı, karmaşık problemlerde uygulanacak ilk elemandır.
Huntley toplamı
Huntley (Huntley, 1967) boyut kavramımızı zaman zaman rafine etmemizin verimli olacağını iddia etmiştir. İki olası rafinasyon şunlardır:
Bir vektörün bileşenlerinin büyüklüklerinin boyutsal olarak farklı olduğu düşünülmelidir. Örneğin, For example, farklılaştırılmamış bir uzunluk birimi Ldense, gibi x yönün deki uzunluğu gösteren bir boyutu kullanabiliriz, diğer yönlerde de bu geçerlidir. Bu gereklilik temel olarak, fiziksel olarak anlamlı bir denklemin her bir bileşeninin(skaler, vektör veya tensör) boyutsal olarak uyumlu olması gerekliliğine dayanır.
Bir büyüklük ölçüsü olarak kütle, bir atalet ölçüsü olan kütleden boyutsal olarak farklı düşünülmelidir.
İlk rafinasyonun kullanışlılığının bir örneği olarak, dikey ve yatay hızıyla fırlatılan bir topun(topun yatay bir yüzeyden ateşlendiğini düşünelim) uçuş mesafesini hesap etmek istediğimizi varsayalım. Yönlü uzunlukları kullanmadığımızı düşünürsek, ilgilendiğimiz büyüklükler, 'dir ve ikisinin de boyutu 'dir, R, topun gittiği mesafe, boyutu L ve g aşağıya doğru yerçekimi ivmesidir, boyutu 'dir.
Bu dört büyüklükle, R menzille ilgili aşağıdaki denkleme ulaşabiliriz:
veya boyutsal olarak
buradan bir katsayıyı tanımsız bırakan ve 'yi çıkarabiliriz. Bu beklenmelidir çünkü iki temel büyüklük L ve T'''miz var ve bir denklemde dört değişkenimiz var.
Bununla birlikte eğer yönlü uzunluk boyutlarını kullanırsak, o zaman 'in boyutu, 'nin boyutu, Rnin boyutu ve gnin boyutu da olur. Boyutsal denklem şu hale gelir:
ve şu sonuca varırız, ve. Yönlü boyutlar kullanılarak elde edilen çıkarım gücü açıkça görülmektedir.
Benzer şekilde, ataletsel kütle ile maddesel kütleyi birbirinden ayırmak(örneğin akışkanlar mekaniği ve termodinamikte) zaman zaman kullanışlı bulunabilir. Örneğin, Poiseuille Yasası'nın türetilmesini düşünelim. Silindirik bir boru içinde viskoz bir akışkanın kütle akış oranını bulmak istiyoruz. Eğer ataletsel ve maddesel kütleyi birbirinden ayırmazsak ilgili şu değişkenleri seçebiliriz
; boyutlu kütle akış oranı
; boyutlu boru boyunca basınç gradyanı
; boyutlu yoğunluk
; boyutlu dinamik akışkan viskozitesi
; boyutlu boru yarıçapı
Üç temel değişken vardır bu yüzden yukarıdaki beş eşitlik iki boyutsuz değişkene uyum sağlar; ve ve boyut denklemini şöyle ifade edebiliriz
burada C ve a belirsiz sabitlerdir. Eğer ataletsel kütle(boyutu ) ve maddesel kütle(boyutu ) arasındaki farkı düşünürsek, kütle akış oranı ve yoğunluk maddesel kütleyi kütle parametresi olarak kullanırve burada basınç gradyanı ve viskozite katsayısı ataletsel kütleyi kullanır. Şimdi dört temel parametremiz var ve bir tane de boyutsuz sabitimiz var, böylece boyutsal denklemi şöyle yazabiliriz:
burada C belirsiz sabittir(boyut analizi dışındaki metotlarla olarak bulunur). Bu denklem Poiseuille Yasası kullanılarak kütle akış oranı için çözülebilir.
Engelleri ve Geliştirilmesi: Yönelimsel çözümleme
Huntley toplamının bazı ciddi engelleri vardır. Ne çapraz çarpım içeren vektör denklemleri ile uğraşır ve ne de açıları fiziksel değişkenler olarak iyi şekilde kullanır. Ayrıca genellikle ilgilenilen problemlerde L'yi, , , olarak göstermek de oldukça zordur. Huntley fiziksel problemlerde "simetri"'yi içeren bir prosedürü hatırlatmaktadır. Bu ise genellikle güvenilir şekilde uygulamak için çok zordur: "simetri" kavramını içeren problemin hangi parçasının çağrılacağı açık değildir. Bu kuvvetlerin üzerine etkidiği fiziksel gövdenin simetrisi midir veya kuvvetlerin uygulandığı noktaların, çizgilerin veya alanların simetrisi midir?Peki ya farklı simetrilerde birden fazla gövde işin içindeyse?Silindirik tüpe eklenmiş küresel bir balonu düşünelim, burada havanın akış oranını basınç değişiminin bir fonksiyonu olarak iki parçada isteriz. Bağlı parçalarda taşınan havanın viskozitesinin genişletilmiş Huntley boyutları nelerdir?Bu iki parçanın basıncının genişletilmiş boyutları nelerdir?Bu zorluklar Huntley toplamının gerçek problemlere uygulamasındaki kısıtlamalardan sorumludur.
Açılar geleneksel olarak boyutsuz değişkenler olarak düşünülmektedirler ve bu yüzden boyut analizinde açıların fiziksel değişken olarak kullanımı daha az anlamlı sonuçlar verir. Örneğin, yukarıdaki top örneğini düşünelim. Düşünün ki, x- ve y- ilk hız bileşenleri yerine, hızın büyüklüğü v ve fırlatılış açısı 'yı seçelim. Açı geleneksel olarak boyutsuz olarak düşünülür ve bir vektörün büyüklüğü yönle ilgili bir bilgi taşımamaktadır, bu yüzden g, v, R, ve değişkenlerindenhiçbir boyutsuz değişken oluşturulamaz. Geleneksel analiz doğru şekilde g ve vnin kuvvetlerini verir, fakat boyutsuz açı ile ilgili hiçbir bilgi vermez.
Siano (Siano, 1985-I, 1985-II) Huntley'in yönlü boyutlarının, vektörlerin yönlerini ve yönelimsiz sembol 'i ifade etmek için yönelimsel semboller 'i önermiştir. Böylece Huntley'in 'si L ile haline gelir; uzunluk boyutunu belirtir ve 'de yönelimi belirtir. Siano daha sonra yönelimsel sembollerin kendi cebirleri olduğunu göstermiştir. gerekliliği ile birlikte, aşağıda yönelim sembollerinin çarpım tablosu gösterilmiştir:
Yönelimsel sembollerin matematiksel grup oluşturduğuna dikkat edin. Bu sistemde, skalerler, "problemin simetrisi"nden bağımsız olarak, daima aynı yönelimi tanımlayıcı eleman olarak bulundurur. Vektör olan fiziksel büyüklükler ise şu yönelimlere sahiptirler: x-yönlü bir kuvvetin veya hızın yönelimi 'dir. Açılar için, z düzleminde bir açısı düşünün. z düzleminde açılarından biri olan bir dik üçgen çizin. Dik üçgenin açımızın yanındaki kenarının yönelimi olur ve diğer kenarında yönelimi olur. Sonra, tan() = ly/lx = + ... olduğundan xy düzlemindeki bir açının / = yönelimine sahip olduğu sonucuna varırız ki bu da oldukça mantıklıdır. Benzer şekilde sin()'nın yönelimi ve cos()'nın yönelimi de 'dır. Bunlar farklıdır, bu yüzden a ve b skalerken a sin() + b cos() şeklindeki fiziksel eşitlklerin çözümü olmadığı sonucuna varan biri doğru bir sonuç bulmuş olur.
Fiziksel büyüklüklerin yönelimsel sembollerinin görevleri ve fiziksel denklemlerin yönelimsel olarak homojen olma gereklilikleri gerçekte boyut analizine, fiziksel problemlerin kabul edilebilir çözümleri hakkında çok az bilgi türetme açısından benzerdir. Bu sebepten boyutsal denklemi kurduğumuzda ancak yapabildiğimiz kadarını çözeriz. Eğer bir fiziksel değişkenin en düşük kuvveti kesirli ise, çözümün her iki tarafı da tğm kuvvetlerin integrali alınmış gibi bir kuvvete yükselir. Bu da denklemi "normal form"'a getirir. Daha sonra yönelimsel denklem, yönelimsel sembollerin bilinmeyen kuvvetlerine daha kısıtlayıcı şartlar koymak için çözülür ve boyut analizinin tek başına verdiği sonuçtan daha tam bir sonuca ulaşılır. Sıklıkla, eklenen bilgi belli bir değişkenin kuvvetlerinden birinin tek mi çift mi olduğudur.
Örneğin, fırlatma probleminde, yönelimsel sembolleri kullanırsak, , x-y düzleminde olacaktır ve boyutu olacaktır ve menzil R şöyle olacaktır:
bunun anlamı şudur
Boyutsal homojenlik şimdi doğru şekilde a=-1 ve b=2'yi sağlar ve yönelimsel homojenlik cnin bir tek tam sayı olmasını gerektirir. Aslında 'nın gereksinilen fonksiyonu olacaktır ve bu da 'nın tek kuvvetlerinin bir serisidir.
Yukarıdaki çarpım tablosunu kullandığımızda, ve 'nın Taylor serileri yönelimsel olarak homojendir, ve 'nin Taylor serileri homojen değildir ve fiziksel olmadıkları varsayılır.
Yönelimsel semboller için kullanılan çarpım kuralının iki vektörün çapraz çarpımı kuralıyla aynı olduğu açıktır. İki özdeş vektörün çapraz çarpımları sıfırdır, nitekim özdeş iki yönelimsel sembolün çarpımı da özdeş elemandır.
Felsefi temel
Sonuç olarak, boyut analizi ve fiziksel eşitliklerin boyutsal olarak homojen olması gerekliliği fizik kanunlarının fiziksel büyüklükleri ölçmekde kullanılan birimlerden bağımsız olduğu fikrini yansıtır. Yani, örneğin, eğer SI sistemi, İngiliz birim sistemi, cgs sistemi veya herhangi başka bir uygun birim sistemi kullanıldığında F = ma denklemi doğrudur. Yönelimsel analiz ve fiziksel denklemlerin yönelimsel olarak homojen olması gerekliliği de fizik denkleminin kullanılan koordinat sisteminden bağımsız olmasını gerektirdiği fikrini yansıtır.
Boyutsuz sabitler
Poiseuille'in kanunundaki C ve yukarıda tartışılan yay problemi ile ilgili gibi, ulaşılan sonuçlardan elde edilen boyutsuz sabitler temelde yatan fiziğin daha detaylı analizinden elde edilir ve sıklıkla bazı diferansiyel denklemlerin integre edilmesiyle bulunur. Boyut analizinin bu sabitlerle ilgili fazla söyleyebileceği bir şey yoktur fakat basamak birliği büyüklüğünü öğrenmekte kulanışlıdır. Bu gözlem bize bazen ilgilendiğimiz problemle ilgili çok zor hesaplamaları yapmakda izin verir ve böylece ölçüm yapacağımız veya önemli olup olmadığına karar vereceğimiz deneyleri daha verimli tasarlamamıza olanak sağlar.
Buckingham π teoremi
Buckingham π teoremi boyut analizinin temelini oluşturan bir yöntemdir. Bu teorem n adet değişken içeren her anlamlı fiziksel denklemin n − m boyutsuz parametreli denklemle yeniden yazılabileceğini söyler, burada m'' kullanılan temel boyutların sayısıdır. Dahası, ve daha önemlisi, teorem bu boyutsuz değişkenleri verilen değişkenlerden hesaplamak için bir yöntem sağlar.