Limit

Limit kelimesi Latince Limes ya da Limites 'den gelmekte olup sınır, uç nokta anlamındadır. Öklid ve Arşimet tarafından eğrisel kenarlara sahip şekillerle ilgili olan teoremlerde kullanılmıştır. Limit kavramı, çok önceleri kullanılmasına rağmen sonra unutulmuş ve daha sonra Newton ile Leibniz'in eserlerinde görülmüştür. Mesela, diferansiyel hesapta bir eğri (daire gibi) sonsuz küçük uzunlukta sonsuz kenara sahip bir çokgen olarak kabul edilir. Limit kavramından ortaya çıkan diferansiyel hesap, pek çok fizik probleminin kolayca ele alınmasını sağlar.
Matematiksel tanımı
f(x) fonksiyonu bir açık aralıkta tanımlanmış olsun ve L bir gerçek sayı olsun. Bütün değerleri için, bir bulunabiliyor, öyle ki bütün sağlayan için, eşitsizliği doğru ise; L, f(x)'in a noktasındaki limitidir.
Bir fonksiyonun a'daki limiti (L):
şeklinde gösterilir.
Ve şöyle okunur "x a'ya giderken, f(x)'in limiti L'ye eşittir". x, a'ya yaklaşırken f(x) fonksiyonunun limit L'ye yaklaştığı sağ ok () ile gösterilir.
f(x) L
1821de Augustin Louis Cauchy, Karl Weierstrassı takiben yukarıdaki tanımlamadaki bir fonksiyonun limitinin tanımını şekillendirdi,19. Yüzyılda limitin (ε, δ) tanımlamasıyla tanınan hale geldi. ε tanımının kullanımı(Yunanca küçük epsilon harfi) her küçük pozitif sayıyı gösterir. Böylece f(x) isteğe bağlı olarak Lye yakın olur, sonuçta f(x) (L − ε, L + ε) aralığında yer alır demektir, aynı zamanda mutlak değer işareti kullanılarak da yazılabilir |f(x) − L| < ε. x cye yaklaşırken ifadesi, baktığımız cden uzak olan xlerin bir δ (Yunanca küçük delta harfi) pozitif sayısından küçük olduğunu gösterir. xlerin ya (c − δ, c) ya da (c, c + δ) içindeki değerleri 0 < |x − c| < δ ile ifade edilebilir. İkinci eşitsizlik x cnin δ uzaklığı içinde olduğunu ifade ederken, ilk eşitsizlik x ve c arasındaki uzaklık 0dan büyüktür ve x ≠ c demektir.
Yukarıdaki bir limitin tanımlamasının f(c) ≠ L olsa bile doğru olduğunu unutmayalım. Gerçekten f fonksiyonunun cde tanımlanmasına gerek yoktur.
böyleyse f(1) tanımlanmaz (bkz. sıfır bölü sıfır), henüz x istenildiği kadar 1e yakın hareket ederken, f(x) buna bağlı olarak 2ye yaklaşıyor.
Böylece, xi 1e yeterince yaklaştırarak, f(x) 2nin limitine istenildiği kadar yaklaştırılabilir.
Diğer bir deyişle,
Bu aynı zamanda cebirsel olarak da hesaplanabilir,
her gerçek sayılar için x≠1.
Bundan beri x+1, 1de xin içinde süreklidir, şimdi xe 1 yazabiliriz, böylece
Sonsuz değerlerde limitlere ek olarak, fonksiyonların aynı zamanda sonsuzda limitleri vardır.
Örneğin, şunu dikkate alalım,
f(100)=1.9900
f(1000)=1.9990
f(10000)=1.99990
x aşırı büyüyünce, f(x)in değeri 2ye yaklaşıyor, ve f(x)in değeri aynı zamanda istenirse sadece xi yeterince büyük seçerek 2ye tek olarak yakın yapılabilir. Bu durumda x sonsuza giderken f(x)in limiti 2 olur. Matematiksel gösterimde,
Dizilerin limiti
Şu diziyi ele alalım: 1.79, 1.799, 1.7999,... Dizinin limiti, sayılar 1,8e yaklaşıyor olarak gözlenebilir.
Biçimsel olarak, a1, a2, ... yı gerçek sayılardan bir dizi olarak varsayalım. Dizinin limiti gerçek sayı L olarak belirtilebilir, şöyle ki;
şöyle okunur
n sonsuza giderken an in limiti Lye eşittir
şu anlama gelir
her gerçek sayı için ε > 0, her n>N için bir N doğal sayısı vardır. |an − L| < ε.
Sezgisel olarak, bu demek oluyor ki; mutlak değer |an L| değeri, an ve L arasında olduğundan itibaren dizinin tüm elemanları limite istenildiği kadar yaklaşabilir. Her dizinin limiti vardır; eğer öyleyse ona yakınsak denir, eğer değilse ıraksaktır.
Önemli limitler
Limit teoremleri
Eğer ve ise o zaman aşağıdaki denklemler doğrudur:


, eğer.
Eğer ve, o zaman.
Gerçel analiz
Limitler
Diferansiyel kalkülüs