Ki-kare dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında ki-kare dağılım (x2 dağılımı) özellikle çıkarımsal istatistik analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur.
Bu dağılım, gamma dağılımından elde edilir.
x, ve n parametreleri ile gamma dağılımına sahip olsun:
olur.
Burada ve alınırsa, elde edilen yeni dağılıma, serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımı denir ve ile gösterilir.
x, serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına sahip ise:
ki-kare 1 n(0.1)'e eşittir
olur.
Teorem 1
ise olur.
Teorem 2
rassal değişkenler N(0,1) dağılımına sahip olsun.
ise olur.
Teorem 3
varyansı bilinen, dağılımına sahip rastgele örneklem ve örneklem varyansı olmak üzere:
olur.
Karakteristikleri
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Ki-kare dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şu olur:
Burada bir Gamma fonksiyonu bulunduğunu gösterir ve bu yarım-tamsayılar için özel değerler gösterir.
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Ki-kare dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:
burada aşağı kısmı tamamlanmamış Gamma fonksiyonu ve ise tanzim edilmiş Gamma fonksiyonu olur.
Ki-karenin için verilen tablolar (biri aşağıda verilmiştir) yığmalı dağılim fonksiyonundan elde edilmektedir. Bu tablolar birçok değişik kaynaklardan bulunabilir. Örneğin bu fonksiyon için tablolar spreadsheet ve istatistik program paketlerinde bulunmaktadır.
Karakteristik fonksiyonu
Ki-kare dağılımının karakteristik fonksiyonu şöyle yazılır:
Özellikleri
Ki-kare dağılımı cikarimsal istatistik analizde epeyce kullanış alanı bulmuştur. Parametrik istatistik olarak varyans değeri güvenlik aralığı ve hipotez testi, parametrik olamayan uygunluk iyiliği testi, olumsallık tablosu üzerinde bağımsızlık testi ve ki-kareye bağlı ortaklılık katsayıları, uzaklık ölçüleri vb.
Varyanslar analizinde F-dagiliminin iki ki-kare dağılımının oranından ortaya çıkması dolayışıyla önemli rol oynamaktadır.
Normal yaklaşım
Eğer ise, limitte sonsuzluğa yaklaştıkça normal dağılıma yaklaşır. Ancak bu eğilim (çarpıklık ve basıklık fazlalığı olduğundan dolayı) yavaş gelişmektedir. Ki-kare dağılımının iki değişik dönüşüm fonksiyonu normalliğe çok daha hızla yaklaşma göstermektedir:
Fisher ispat etmiştir ki ifadesi, yaklaşık olarak ortalaması olan ve varyans değeri 1 olan bir normal dağılım gösterir.
Aynı normal yaklaşım sonucuna moment karşılaştırması yapılarak da erişilebilir. Bunu görmek için ki-dağılım gösteren rassal değişken in ortalaması ve varyansı izlensin. Bunlar sırasıyla şöyle verilir:

ve
Burada bir Gamma fonksiyonudur. ifadeli gamma fonksiyonunun özel oranı (particular ratio) şu seri halinde açılabilir :
olduğu halde bu oran için şöyle yaklaşım bulunur:
Sonra basitleşen moment karşılaştırılması sonuçları şu yaklaşık dağılımı verirler;
,
Bundan da şu ifade hemen çıkartılabilir\:
.
Wilson ve Hilferty [1931] göstermiştir ki ifadesi, ortalaması ve varyansı olan bir normal dağılıma yaklaşıktır.
serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı gösteren bir rassal değişken için beklenen değer olur. Aynı dağılımın medyan değeri yaklaşık olarak şu ifade ile verilir:
Eğer serbestlik derecesi 2 ise üstel dağılım ile aynı dağılımdır.
Enformasyon entropisi
Enformasyon entropisi ifadesi şöyle verilir:
Burada bir Digamma fonksiyonudur.
İlişkili dağılımlar
Serbestlik derecesi 2ye eşit olan için bir üstel dağılım olur.

Normal dağılım gösteren ve birbirinden bağımsız olan değişkenleri için ise, bir ki-kare dağılımı gösterir.
Eğer dağılımlarının sıfır olmayan ortalamaları varsa, o halde bir merkezsel olmayan ki-kare dağılımndan çıkartılmıştır.
olduğundan dolayı, ki-kare dağılımı bir gamma dağılımının özel halidir.
Eğer verilmiş serbestlik dereceleri ile ve birbirinden bağımsız iken ise, bir F-dağılımı gösterir.
ifadesi için değişkenleri bağımsız ve ise, o halde ifadesi bir ki-kare dağılımı gösterir.
Eğer ki-kare dağılımı gösterirse, o halde ifadesi de ki-kare dağılımı gösterir.
Özellikle, eğer (yani 2 serbestlik derecesi gösteren ki-kare ise), o halde ifadesi Rayleigh dağılımı gösterir.
Eğer bağımsiz ama aynı dağılımlı, yani hepsi normal dağılım gösteren, rassal değişkenlerse, o halde
olur; burada dir.
Eğer, ise, o halde olur.
Ki kare kritik değerler tablosu
g serbestlik derecesi için yukarı kuyruk alanının (olasılığın) α olmasına karşıt olan ki2 kritik değeri
+++
| \ α| |
| \ | 0.995 0.91 0.925 0.95 0.90 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 |
|g \ | |
+++
| 1 | 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88 |
| 2 | 0.01 0.02 0.05 0.10 0.21 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60 |
| 3 | 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84 |
| 4 | 0.21 0.30 0.48 0.71 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 |
| 5 | 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75 |
| 6 | 0.68 0.87 1.24 1.64 2.20 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55 |
| 7 | 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 |
| 8 | 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95 |
| 9 | 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 |
| 10 | 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19 |
| 11 | 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 |
| 12 | 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30 |
| 13 | 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 |
| 14 | 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 |
| 15 | 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80 |
| 16 | 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27 |
| 17 | 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 |
| 18 | 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 |
| 19 | 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58 |
| 20 | 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00 |
| 21 | 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40 |
| 22 | 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80 |
| 23 | 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18 |
| 24 | 9.89 10.86 12.40 13.85 15.66 33.20 36.42 39.36 42.98 45.56 |
| 25 | 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93 |
| 26 | 11.16 12.20 13.84 15.38 17.29 35.56 38.89 41.92 45.64 48.29 |
| 27 | 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11 36.74 40.11 43.19 46.96 49.64 |
| 28 | 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99 |
| 29 | 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34 |
| 30 | 13.79 14.95 16.79 18.49 20.60 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67 |
+++
Kaynak: Kritik değerler İtalyanca Wikipedia için R (software) serbest programının qchisq(1:30) fonksiyonu kullanılarak bulunmuştur.
Serbestlik derecesi g>30 olursa kritik değerleri bulmak için şu ifadeyi kullanmak yeterli olacaktır.
χ2α, g = 1/2 ( zα + (2g-1) )2
Burada zα Standart Normal N(0,1) için kritik değerdir (örneğin z0,95 = 1,645 olur.)