Öklid

Öklid ( MÖ 330 - 275 yılları arasında yaşamış, İskenderiyeli bir matematikçidir. Megaralı Öklid'den ayırmak için bazen İskenderiyeli Öklid olarak anılır, genellikle "geometrinin kurucusu" veya "geometrinin babası" olarak anılan bir Yunan matematikçiydi. Ptolemy I (MÖ 323283) döneminde İskenderiye'de aktifti. Elemanlar, yayınlandığı zamandan 19. yüzyılın sonlarına veya 20. yüzyılın başlarına kadar matematik (özellikle geometri) öğretimi için ana ders kitabı olarak hizmet veren, matematik tarihindeki en etkili çalışmalardan biridir. Elemanlarda, Öklid, küçük bir aksiyom setinden, şimdi Öklid geometrisi olarak adlandırılan şeyin teoremlerini çıkardı. Öklid ayrıca perspektif, konik kesitler, küresel geometri, sayı teorisi ve matematiksel kesinlik üzerine eserler yazdı.
Öklid gelmiş geçmiş matematikçiler içerisinde adı geometri ile en çok özdeşleştirilen kişidir. Geometri dünyasında kapladığı bu seçkin yeri kendisinin büyük bir matematikçi olmasından çok, geometrinin başlangıcından kendi zamanına kadar bilinen ismi ile Öğeler adını taşıyan kitabında toplamasına borçludur. Öklid derlemesinin tutarlı bir bütün olmasını sağlamak için, kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler olarak 5 aksiyom ortaya koyar. Diğer bütün önermeleri bu aksiyomlardan çıkarır.
Eğitimini Akademi'de tamamladıktan sonra İskenderiyede büyük bir matematik okulu kuran Öklid, çağlar boyu matematikle ilgilenen hemen herkesin gözdesi olmuştur. Geometriyi ispat ve aksiyomlara dayalı bir dizge olarak işleyen 13 ciltlik kitabı Elementler bu alandaki ilk kapsamlı çalışmaydı. Kendinden önceki Tales, Pisagor, Platon, Aristoteles gibi matematikçi ve geometricilerin çalışmalarını temel alan Öklidin bu yapıtı, iki bin yıl boyunca önemli bir başvuru kaynağı olarak kullanılmıştır. Düzlem geometrisi, aritmetik, sayılar kuramı, irrasyonel sayılar ve katı cisimler geometrisi Öklidin kitabında ele aldığı başlıca konulardı. Öklidin her önermeyi daha önceki önermelerden çıkarma yöntemi, kendisine atfedilen geometrinin babası sözünü de haklı kılar. Kitapta yer alan aksiyomlara, teoremlere ve ispatlara dayanan sentez yöntemlerinin Batı düşüncesi üzerindeki etkisinin Kitabı Mukaddes'ten sonra ikinci sırada yer aldığı söylenir. Russell, Öğeler'in bugüne kadar yazılmış en büyük kitap olduğunu ileri sürer. Einstein ise Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline kapılmasın der.
Öklid geometrisi 19. yüzyılın başına kadar rakipsiz kaldı. Hatta 20. yüzyılın ortalarına kadar bile orta öğretimde geometri, Öklid'in öğelerine bağlı olarak okutuldu.
Öklid'in yaşamı konusunda hemen hemen hiçbir şey bilinmiyor. Önceleri bir Yunan kenti olan Megara'da doğduğu sanıldıysa da, sonradan Megaralı Öklid'in, Öğeler'in yazarı İskenderiyeli Öklid'den yüzyıl kadar önce yaşamış olan bir felsefeci olduğu ortaya çıkmıştır.
Öklid üzerinde çalıştığı proje hakkında diyor ki: "bir doğru istenildiği kadar uzatabilir." ve "İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer."
Etimoloji
İngilizce adı Euclid, "ünlü, şanlı" anlamına gelen Yunanca Εὐκλείδης adının İngilizceleştirilmiş halidir.
Biyografi
Öklid'e yapılan çok az orijinal referans günümüze ulaşmış olup hayatı hakkında çok az şey biliniyor. Muhtemelen MÖ 325 civarında doğmuştur, ancak hem doğumunun hem de ölümünün yeri ve koşulları bilinmemekle birlikte, yalnızca onunla anılan diğer insanlara göre tahmin yürütülebilir. Nadiren de olsa, Archimedes ( MÖ 287 - MÖ 212)'den itibaren diğer Yunan matematikçiler tarafından ismiyle anılır ve genellikle "ὁ στοιχειώτης" ("Elemanlar'ın yazarı") olarak söz edilir). Öklid'e yapılan birkaç tarihsel referans Proclus ( MS 450) tarafından yazılmış olup Öklid'in yaşadığı dönemden sekiz yüzyıl sonrasına aittir.
Öklid'in ayrıntılı bir biyografisi Arap yazarlar tarafından verilmiştir, örneğin Tyre'in doğduğu bir şehirden bahseder. Bu biyografinin genellikle hayali olduğuna inanılmaktadır. İskenderiye'den gelmiş olsaydı, İskenderiye Serapeumu'nu ve İskenderiye Kütüphanesi'ni bilirdi ve o zamanlarda orada çalışmış olabilirdi. Öklid'in İskenderiye'ye gelişi, Büyük İskender tarafından kuruluşundan yaklaşık on yıl sonra, yani MÖ 322'lerde olmalıdır.
Proclus, Elementler Üzerine Yorum adlı eserinde Öklid'i yalnızca kısaca tanıtır. Proclus'a göre, Öklid sözde Platon'un "mezhebine" dahildi ve Knidoslu Eudoxus ve Platon'un birkaç öğrencisinin (özellikle Theaetetus ve Opuslu Philip) önceki çalışmalarından yararlanarak Elementleri bir araya getirdi. Proclus, Öklid'in bunlardan çok daha genç olmadığına ve Arşimet tarafından bahsedildiği için Ptolemy I ( MÖ 367 - MÖ 282) zamanında yaşamış olması gerektiğine inanıyor. Arşimet'in Öklid'e yaptığı açık alıntının, daha sonraki editörler tarafından bir ara değerleme olarak değerlendirilmesine rağmen, yine de Öklid'in eserlerini Arşimet'ten önce yazdığına inanılmaktadır. Proclus daha sonra, Batlamyus'a geometri öğrenmek için Öklid'in Elementlerinden daha kısa bir yol olup olmadığını sorduğumda, "Öklid, geometriye giden asil bir yol olmadığını yanıtladı" diye bir hikaye anlatır. Bu anekdot, Menaechmus ve Büyük İskender hakkında anlatılan bir hikayeye benzediği için sorgulamaya açıktır.
Öklid, MÖ 270'de muhtemelen İskenderiye'de öldü. Öklid'e yapılan diğer tek önemli referansta, İskenderiyeli Pappus ( MS 320), kısaca Apollonius'dan "İskenderiye'de Öklid'in öğrencileriyle çok uzun zaman geçirdi ve böylece bir bilimsel düşünce alışkanlığı edindi."( MÖ 247222), şeklinde bahsetti.
Biyografik bilgi eksikliği, dönem için olağandışı olduğundan (Öklid'den birkaç yüzyıl önce ve sonra en önemli Yunan matematikçileri için kapsamlı biyografiler mevcuttur), bazı araştırmacılar Öklid'in tarihi bir şahsiyet olmadığını ve eserlerinin Öklid adını Megaralı Öklid'den alan bir grup matematikçi tarafından (tıpkı Bourbaki gibi) yazıldığını öne sürdüler. Bununla birlikte, bu hipotez bilim insanları tarafından makul kabul edilmemektedir ve lehine çok az kanıt bulunmaktadır.
Elementler
Elementlerdeki sonuçların çoğu daha önceki matematikçiler tarafından elde edilmiş olsa da, Öklid'in başarılarından biri bunları tek, mantıksal olarak tutarlı bir çerçevede, kullanımı ve referansı kolay hale getirerek, 23 yüzyıl sonra dahi matematiğin temeli olarak kalan kesin bir matematiksel kanıt sistemi içerisinde sunmasıydı.
Elementlerin geriye kalan en eski kopyalarında Öklid'den söz edilmez. Kopyaların çoğu "Theon'un baskısından" veya "Theon'un konferanslarından" olduklarını söylerken, Vatikan tarafından tutulan ve birincil olarak kabul edilen metinde yazardan bahsedilmemektedir. Proclus, Elementleri Öklid'e bağlayan tek referansı sağlar.
En iyi geometrik sonuçlarıyla bilinmesine rağmen, Elementler ayrıca sayı teorisi'ni de içerir. Mükemmel sayılar ve Mersenne asal sayıları (Öklid-Euler teoremi olarak bilinir) arasındaki bağlantıyı dikkate alır, asal sayıların sonsuzluğu, çarpanlara ayırma hakkındaki Öklid lemması (asal çarpanlara ayırma'nın benzersizliği hakkındaki aritmetiğin temel teoremine götürür) ve iki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için Öklid algoritmasını da içerir.
Elementde tanımlanan geometrik sistem uzun zamandır basitçe geometri olarak biliniyordu ve mümkün olan tek geometri olarak kabul edildi. Ancak bugün, bu sistem, 19. yüzyılda keşfedilen diğer sözde Öklidyen olmayan geometrilerden ayırt etmek için sıklıkla Öklid geometrisi olarak anılır. Oliver Byrne'in resimli versiyonu ve David Hilbert'in modern aksiyomlaştırması da dahil olmak üzere Elementlerin birçok basımı, çevirisi ve uyarlaması yapıldı.
Fragmanlar
Oxyrhynchus Papirüs 29 (P. Oxy. 29), Grenfell ve Hunt tarafından 1897'de Oxyrhynchus'da ortaya çıkarılan Öklid'in Öğelerinin ikinci kitabının bir parçasıdır. Daha yeni araştırmalar, MS 75-125 tarihlerini işaret etmektedir.
Fragman, 2. Kitabın 5. önermesinin ifadesini içerir, ki Thomas L. Heath şunları okur:
Öklid'in aksiyomları
Öklid toplam 13 kitaptan oluşan Elementler'in ilk kitabında 10 tane aksiyomdan bahsetmektedir. Bunlardan 5'i ortak kanı şeklinde ifade edilmektedir 5'i de postülatlar olarak nitelendirilmektedir. Bunlardan yola çıkarak Geometrinin diğer önermelerini ispat etmektedir.
Öklid'in postülatları:
Herhangi bir noktadan herhangi başka bir noktaya bir düz doğru çizmek mümkündür.
Bir tane doğru parçasını her iki yöne de sürekli bir şekilde uzatmak mümkündür.
Herhangi bir merkez ve herhangi bir yarıçap ile bir çember tanımlamak mümkündür.
Bütün dik açıların birbirine eşit olduğu doğrudur.
Eğer iki doğru ile kesişen bir doğru çizilirse, iki doğrunun birbirine bakan tarafında yer alan ve onları kesen doğrunun bir tarafında kalan iki açının toplamı iki dik açıdan küçükse bu iki doğru açıların toplamının iki dik açıdan az olduğu tarafta uzatılmaya devam ederlerse ileride bir noktada kesişecekleri doğrudur. (Bu postula paralel doğrular kesişmez şeklinde bilinen postuladır.)
Ortak kanılar:
Bir şeye eşit olan başka şeyler birbirlerine de eşittirler.
Eğer eşit miktarlara eşit miktarlar eklenirse, elde edilen bütünler de birbirlerine eşittir.
Eğer eşit miktarlardan eşit miktarlar çıkarılırsa, kalanlar da birbirlerine eşittir.
Birbirleriyle çakışan (özelikleri açısından örtüşen) şeyler birbirlerine eşittir.
Bütün parçadan büyüktür.
Diğer çalışmaları
Elementlerin yanı sıra Öklid'in en az beş eseri günümüze ulaşmıştır. Bu eserler de tanımlar ve ispatlanmış önermelerle Elementler ile aynı mantıksal yapıyı takip eder.
Data geometrik problemlerde "verilen" bilgilerin doğası ve sonuçları ile ilgilenir; konu, Elementlerin ilk dört kitabıyla yakından ilgilidir.
Arapça çevirisinden yalnızca kısmen varlığını sürdüren Şekillerin Bölünmeleri Üzerine (On Divisions of Figures), geometrik şekillerin iki veya daha fazla eşit parçaya veya belirli oran'larda parçalara bölünmesiyle ilgilidir. İskenderiyeli Heron'un MS birinci yüzyıldaki çalışmasına benzer.
Catoptrics, aynaların matematiksel teorisiyle, özellikle düzlem ve küresel içbükey aynalarda oluşturulan görüntülerle ilgilidir. Bununla birlikte, İskenderiyeli Theon'u daha muhtemel bir yazar olarak adlandıran J. J. O'Connor ve E. F. Robertson tarafından atıf, kronolojik olarak hatalı kabul edilir.
Küresel astronomi üzerine bir inceleme olan Olaylar (Phaenomena), Yunanca olarak günümüze ulaşmıştır; MÖ 310 civarında yıldızı parlayan Çandarlılı Autolycus tarafından yazılan On the Moving Sphere adlı esere oldukça benzer.
Optics perspektif üzerine günümüze ulaşan en eski Yunan incelemesidir. Tanımlarında Öklid, görmenin gözden yayılan ayrık ışınlar tarafından meydana geldiğine dair Platoncu geleneği takip eder. Önemli bir tanım dördüncüdür: "Daha büyük bir açıyla görülenler daha büyük, daha küçük bir açıyla görülenler daha küçük, eşit açılar altında olanlar eşit görünür." Takip eden 36 önermede Öklid, bir cismin görünen boyutunu gözden uzaklığıyla ilişkilendirir ve farklı açılardan bakıldığında silindir ve konilerin görünen şekillerini araştırır. 45. önerme ilginçtir, herhangi iki eşit olmayan büyüklük için, ikisinin eşit göründüğü bir nokta olduğunu ispatlar. Pappus bu sonuçların astronomide önemli olduğuna inanıyordu ve Öklid'in Optik (Optics)ini ve Olaylar (Phaenomena)ı, Claudius Ptolemy'nin Syntaxis ('Almagest)'den önce incelenecek daha küçük çalışmaların bir özeti olan Küçük Astronomi (Little Astronomy)ye dahil etti.
Kayıp eserleri
Diğer eserler güvenilir bir şekilde Öklid'e atfedilir, ancak kaybolmuştur.
Konikler (Conics) konik kesitler üzerine bir çalışmaydı ve daha sonra Pergalı Apollon tarafından konuyla ilgili ünlü eserine genişletildi. Apollonius'un çalışmasının ilk dört kitabının doğrudan Öklid'den gelmesi muhtemeldir. Pappus'a göre, "Apollonius, Öklid'in dört konik kitabını bitirdikten ve dört tane daha ekledikten sonra, koniklerle ilgili sekiz ciltlik bir eser verdi." Apollonius'un Konikleri hızla eski çalışmanın yerini aldı ve Pappus zamanında, Öklid'in çalışması zaten kaybolmuştu.
Porism, Öklid'in konik kesitli çalışmasının bir sonucu olabilir, ancak başlığın tam anlamı tartışmalıdır.
Pseudaria veya Yanlışlıklar Kitabı (Book of Fallacies), akıl yürütme'deki hatalar hakkında temel bir metindi.
Gezenek Yüzeyi (Surface Loci) ya yüzeyler üzerindeki loci (nokta kümeleri) ile ya da kendileri yüzey olan lokuslarla ilgiliydi; ikinci yorum altında, çalışmanın Kuadrik yüzeyler ile ilgili olabileceği varsayılmıştır.
Mekanik üzerine birçok çalışma, Arap kaynakları tarafından Öklid'e atfedilmektedir. Ağır ve Hafif Üzerine (On the Heavy and the Light) dokuz tanım ve beş önermede Aristoteles'in hareket eden cisimler ve özgül ağırlık kavramını içerir. Denge Üzerine (On the Balance) kaldıraç teorisini, bir tanım, iki aksiyom ve dört önerme içeren benzer bir Öklid tarzında ele alır. Hareketli bir kaldıracın uçlarıyla tanımlanan daireler üzerindeki üçüncü bir parça, dört önerme içerir. Bu üç eser, Öklid tarafından mekanik üzerine yazılmış tek bir risalenin kalıntıları oldukları ileri sürülecek şekilde birbirini tamamlamaktadır.
Mirası
Avrupa Uzay Ajansı (ESA)'nın Öklid uzay aracı onuruna isimlendirilmiştir. Ay krateri Öklid ve küçük gezegen 4354 Öklid onun adını almıştır.