Gelmiş geçmiş en zor mantık bulmacası

L'indovinello più difficile del mondo (Gelmiş geçmiş en zor mantık bulmacası), Raymond Smullyan'dan esinlenilmiş ve İtalya'nın başlıca gazetelerinden La Repubblica'da yer almış şu mantık bulmacasına Amerikalı filozof ve mantıkçı George Boolos tarafından verilen ad:
Boolos şu açıklamaları yapar:
Tarihi
Boolos bulmacanın yaratıcısının mantıkçı Raymond Smullyan olduğunu ve 'da' ve 'ja' sözcüklerinin hangi anlama geldiğinin bilinmemesi kuralını ekleyerek bulmacayı zorlaştıranın John McCarthy olduğunu belirtir. Smullyan'ın eserlerinde benzer örnekleri bulmak mümkündür. Örneğin What is the Name of This Book? eserinde yerlilerinin yarısı (her zaman yalan söyleyen) zombilerden, yarısı ise (her zaman doğruyu söyleyen) insanlardan oluşan bir Haiti adasını tarif eder. Durumu karmaşıklaştıran ise, tüm yerlilerin İngilizceyi kusursuz şekilde bilmesine karşın, adada yerleşik eski bir tabu gereğince konuşmalarında kendi dillerinden olmayan sözcükleri kullanmalarının yasak olmasıdır. Yerliler kendilerine bir evet-hayır sorusu sorulduğunda 'Bal' ya da 'Da' şeklinde yanıt verirler. Bunlardan biri "yes", diğer "no" anlamına gelir; ancak hangi sözcüğün hangi anlama geldiği bilinmemektedir. The Riddle of Scheherazade kitabında da benzer örnekler vardır.
Daha genel anlamda bu bulmaca, Smullyan'ın ünlü Knights and Knaves (Şövalyeler ve Düzenbazlar) (Örneğin, kurmaca bir adada yaşayanların bir kısmı hep doğruyu söyleyen şövalyeler ya da hep yalan söyleyen düzenbazlardır. Bulmaca adaya gelen bir ziyaretçinin bilmesi gerekeni öğrenmek için belirli sayıda evet-hayır sorusu sormasını esas alır.) bulmacalarına dayanır. Bu bulmacaların bir versiyonu, 1980 yapımı fantastik film Labyrinth'in bir sahnesiyle popülerleşmiştir. İki kapıda iki muhafız vardır. Biri yalancı, diğeri değildir. Bir kapı kaleye, diğeri kesinlikle ölüme açılır. Amaç, muhafızlardan birine bir soru sorarak hangi kapının kaleye açıldığını bulmaktır. Filmde Sarah bunu "Diğer muhafıza sorsam, bana bu kapının kaleye açıldığını söyler mi?" sorusuyla yapar.
Çözüm
Boolos çözümünü bulmacayı ilk defa ortaya koyduğu makalesinde açıklar. Boolos, "ilk hamlenin kesinlikle Rastgele olmayan, Doğru ya da Yanlış olan tanrılardan birini bulmak üzere yapılacağını" belirtir. Bu sonucu verecek pek çok soru vardır. Stratejilerden biri, karmaşık mantıksal bağlaçları sorulacak sorularda kullanmak üzerinedir (birden fazla koşullular ya da eşit yapıdakiler).
Boolos'un sorusu şudur:
'Da'nın anlamı, senin ve yalnızca senin Doğru olman ve B'nin Rastgele olması koşuluna da bağlı olarak "evet" midir?
Şu cümleler arasında doğru olanların sayısı tek midir: Sen Yanlış'sın, 'ja' "evet" demek ve B Rastgele?
Bulmacanın çözümü "olmuş olsaydı" sorularıyla basitleştirilebilir. Çözümün anahtarı, bir evet-hayır sorusu olan Q için, Doğru ya da Yanlış'tan birine şunu sormaktır:
Eğer sana Q sorusunu sorsam, yanıtın 'ja' mı olurdu?
Q sorusunun yanıtı "evet"se bu sorunun yanıtı 'ja', Q sorusunun yanıtı "hayır"sa bu sorunun yanıtı 'da' olacaktır. Bu sorunun işe yarama nedeni 8 olası duruma bakıldığında görülebilir.
'Ja'nın "evet", 'da'nın "hayır" demek olduğunu düşünürsek,
(i) Doğru'ya sorulduğunda yanıtı 'ja' olacaktır. Doğruyu söylediğine göre Q'nun doğru yanıtı 'ja', yani "evet"tir.
(ii) Doğru'ya sorulduğunda yanıtı 'da' olacaktır. Doğruyu söylediğine göre Q'nun doğru yanıtı 'da', yani "hayır"dır.
(iii) Yanlış'a sorulduğunda yanıtı 'ja' olacaktır. Yalan söylediğine göre Q sorusuna 'da' yanıtını verecekti. Bu durumda Q'nun yanıtı 'ja', yani "evet"tir.
(iv) Yanlış'a sorulduğunda yanıtı 'da' olacaktır. Yalan söylediğine göre Q sorusuna 'ja' yanıtını verecekti. Bu durumda Q'nun yanıtı 'da', yani "hayır"dır.
'Ja'nın "hayır", 'da'nın "evet" demek olduğunu düşünürsek,
(v) Doğru'ya sorulduğunda yanıtı 'ja' olacaktır. Doğruyu söylediğine göre Q'nun doğru yanıtı 'da', yani "evet"tir.
(vi) Doğru'ya sorulduğunda yanıtı 'da' olacaktır. Doğruyu söylediğine göre Q'nun doğru yanıtı 'ja', yani "hayır"dır.
(vii) Yanlış'a sorulduğunda yanıtı 'ja' olacaktır. Yalan söylediğine göre Q sorusuna 'ja' yanıtını verecekti. Bu durumda Q'nun yanıtı 'da', yani "evet"tir.
(viii) Yanlış'a sorulduğunda yanıtı 'da' olacaktır. Yalan söylediğine göre Q sorusuna 'da' yanıtını verecekti. Bu durumda Q'nun yanıtı 'ja', yani "hayır"dır.
Bu veriler kullanılarak aşağıdaki gibi devam edilebilir.
B'ye "Sana 'A Ratgele mi?' diye sorsam, 'ja' mı derdin?" sorusu yöneltilir. B'nin yanıtı 'ja' olursa, ya B Rastgele'dir (ve rastgele yanıt vermektedir) ya da B Rastgele değildir ve Rastgele kesinlikle A'dır. İki durumda da C Rastgele değildir. B'nin yanıtı 'da' olursa, ya B Rastgele'dir (ve rastgele yanıt vermektedir) ya da B Rastgele değildir ve yanıta göre A da kesinlikle Rastgele değildir. İki durumda da A Rastgele değildir.
Bir önceki soruya verilen yanıttan Rastgele olmadığı anlaşılan tanrıya (Yani A'ya ya da C'ye) şu soru yöneltilir: "Sana 'sen Doğru musun?' diye sorsam, 'ja' mı derdin?" B Rastgele olmadığına göre, 'ja' yanıtı onun Doğru olduğunu, 'da' yanıtı ise onun Yanlış olduğunu gösterir.
Aynı tanrıya şu soru yöneltilir: "Sana 'B Rastgele mi?' diye sorsam, 'ja' mı derdin?" Yanıt 'ja' olursa, B Rastgele'dir, yanıt 'da' olursa, henüz kendisiyle konuşulmamış olan tanrı Rastgele'dir. Diğer tanrının kimliği ise, eleme yoluyla bulunur.
Rastgele'nin tutumu
Bulmacayı okuyanların çoğu Rastgele'nin kendisine yöneltilecek herhangi bir soruya tamamen rastgele yanıt vereceğini sanmıştır. Öte yandan, bulmacada aslında tam anlamıyla bu kastedilmemektedir. Gerçekten, Boolos'un üçüncü açıklaması bu varsayımı çürütmektedir.
Rastgele'nin doğruyu söyleyip söylememesi beynindeki gizli paranın yazı ya da tura gelmesine bağlıymış gibi düşünülmelidir: Yazı gelirse doğru, tura gelirse yanlış yanıt verecektir.
Buradan anlaşılan, Rastgele'nin rastgele şekilde doğrucu ya da yalancı gibi davranacağıdır, Rastgele'nin rastgele şekilde yanıt vereceği değil.
Yukarıdaki soruda yapılacak küçük bir değişiklik, Rastgele'den her zaman anlamlı bir yanıt alınmasını sağlayacaktır. Değişiklik şu şekildedir:
Sana Q sorusunu sorsam, şu anki akli durumunla yanıtın 'ja' mı olurdu?
Bu yolla Rastgele'nin içindeki doğrucu ya da yalancı seçilip ortaya çıkartılmış ve Rastgele bunlardan yalnızca biri olmaya zorlanmış olur. Bu da bulmacayı tamamıyla önemsizleştirmiş olur, zira artık dilediğimiz soruya doğru yanıt alabiliriz.
1. A'ya "Sana 'Sen Rastgele misin?' diye sorsam, şu anki akli durumunla 'ja' mı derdin?" sorusu yöneltilir.
A'nın yanıtı 'ja' olursa, A Rastgele'dir:
2a. B'ye "Sana 'Sen Doğru musun?' diye sorsam, 'ja' mı derdin?" sorusu yöneltilir.
B'nin yanıtı 'ja' olursa, B Doğru ve C Yanlış'tır.
B'nin yanıtı 'da' olursa, B Yanlış ve C Doğru'dur. Her iki durumda da bulmaca çözülmüş olur.
A'nın yanıtı 'da' olursa, A Rastgele değildir:
2b. A'ya "Sana 'Sen Doğru musun?' diye sorsam, 'ja' mı derdin?" sorusu yöneltilir.
A'nın yanıtı 'ja' olursa, A Doğru'dur.
A'nın yanıtı 'da' olursa, A Yanlış'tır.
3. A'ya "Sana 'B Rastgele mi?' diye sorsam, 'ja' mı derdin?" sorusu yöneltilir.
A'nın yanıtı 'ja' olursa, B Rastgele'dir ve C A'nın tam tersidir.
A'nın yanıtı 'ja' olursa, C Rastgele'dir ve B A'nın tam tersidir.
Boolos'un bulmacası Rastgele'nin gerçekten rastgele davranacağı şekilde değiştirilebilir. Bu durumda üçüncü açıklama şöyle olacaktır:
Rastgele'nin 'ja' ya da 'da' yanıtlarını vermesi beynindeki gizli paranın yazı ya da tura gelmesine bağlıymış gibi düşünülmelidir: Yazı gelirse 'ja', tura gelirse 'da' yanıtını verecektir.
Bu değişiklikle birlikte bulmacanın çözümü, Çözüm bölümünün sonunda verilenden daha dikkatli bir tanrı sorgulamasına ihtiyaç duyar.
Tanrıların kafalarının infilakı
A simple solution to the hardest logic puzzle ever, makalelerinde B. Rabern ile L. Rabern, tanrıların vereceği yanıtların 'ja' ve 'da'dan ibaret olmadığını belirterek bulmacayı geliştirdi. Buna göre, tanrıların soruyu yanıtlayamaması da mümkündü. Örneğin "Bu soruya kendi dilinde "hayır" anlamına gelen sözcükle mi yanıt vereceksin?" sorusunun Doğru'ya sorulması halinde, doğru şekilde yanıt alınamaz. (Yazıda bu durum "kafanın infilak etmesi", "... bunlar şaşmaz tanrılar! Böyle bir soruyla onlara başvurulduğunda kafaları infilak edecektir." ifadeleriyle açıklanmıştır.) "Kafaların infilak" edebilirliği, bulmacaya (hem özgün, hem geliştirilmiş versiyonlarına) üç soru yerine iki soruyla yeni bir çözüm yolu olasılığı getirmiştir. Yazarlar bulmacanın iki sorulu çözümünü desteklemek amacıyla daha basit benzer bir bulmacayı yalnızca iki soruyla çözmüştür.
A, B ve C denilen üç tanrının adları Zephyr, Eurusve ve Aeolus'tur. Tanrılar her zaman doğruyu söylemektedir. Göreviniz, A, B ve C'nin kimliğini, her biri doğrudan tanrılardan birine yöneltilecek üç evet-hayır sorusuyla ortaya çıkarmaktır. Tanrılar Türkçe bilir ve soruları Türkçe yanıtlar.
Bu bulmaca üç soruyla basitçe çözülebilir. Ayrıca bulmacayı iki soruyla çözmek için şu yardımcı önerme de ispatlanmıştır:
"Islah Edilmiş Yalancı" Yardımcı Önermesi. A'ya "bu senin {[bu soruya "hayır" yanıtı vereceğin bir durum mu VE (B de Zephyr)] YA DA (B de Eurus)}?" sorulduğunda, yanıtı "evet" ise, B Eurus'tur, yanıtı "hayır" ise, B Aeolus'tur ve kafanın infilakı B'nin Zephyr olduğunu gösterir. Dolayısıyla B'nin kimliği tek bir soruyla ortaya çıkarılabilir.
Bu yardımcı önermeyi kullanarak bulmacayı iki soruda çözmek kolaydır. Benzer bir kurnazlık (yalancıyı ıslah etme paradoksu) özgün bulmacayı iki soruda çözmek için de kullanılabilir.