Kalıntı (karmaşık analiz)

Karmaşık analizde kalıntı veya rezidü, bir meromorf fonksiyonun bir tekillik etrafındaki çizgi integrallerinin davranışını açıklayan bir karmaşık sayıdır. Kalıntılar oldukça kolay bir şekilde hesaplanabilir ve bilindiklerinde kalıntı teoremi sayesinde çok karışık gerçel integrallerin belirlenmesi yolunu açarlar.
Tanım
Meromorf bir fonksiyonunun korunmalı bir tekilliğindeki kalıntısı, ki genelde ile gösterilir, ifadesini delikli diskinde analitik terstüreve sahip yapan biricik değeridir. Dönüşümlü olarak, kalınıtılar bazen Laurent serisi açılımları bulunarak da hesaplanabilir ve bazen de bu seri açılımları bağlamında tanımlanırlar.
Motivasyon
Örnek olarak, C 'nin 0 civarında Jordan eğrisi olduğu
integralini ele alalım.
Bu integrali elimizde var olan standard integral teoremlerini kullanmadan bulalım. ez 'nin Taylor serisini bildiğimiz için, bunu integrali alınan ifadeye (integranda) koyalım. O zaman integral
halini alır. 1/z5 'i de içeriye atarsak, integral şu hale gelir:
Şimdi integral daha basit bir biçim aldı.
olduğunu hatırlayalım. Böylece, cz−1 biçiminde olmayan her terimin C etrafındaki integrali sıfır olur ve integral de şu hale gelir:
1/4! değeri ez/z5 'in z = 0 'daki kalıntısıdır ve şu hallerde gösterilir.
Karmaşık düzlemde D = {z : 0 < |z - c| < R} delikli diski verilmiş olsun ve f de (en azından) D üzerinde holomorf bir fonksiyon olsun. f nin c noktasındaki kalıntısı olan Res(f, c), f 'nin c noktasındaki Laurent serisi açılımında (z - c)−1 ifadesinin a-1 katsayısıdır. Bir basit kutupta, kalıntı
ile verilir.
Cauchy integral formülüne göre,
olmaktadır. Burada γ, c etrafında saat yönünün tersine yönde bir çember çizmektedir. γ'yı c etrafında istediğimiz kadar küçük yapabileceğimiz bir ε yarıçaplı çember olarak seçebiliriz.
g ve h 'nin c 'nin bir komşuluğunda h(c) = 0 ve g(c) ≠ 0 olacak şekilde holomorf fonksiyonlar olduğu f(z)=g(z)/h(z) fonksiyonunun bir c basit kutbundaki kalıntısı
ile verilir. Daha genel olarak, f 'nin mertebesi n olan bir z = c kutbundaki kalıntısı
formülü ile bulunabilir.
Eğer fonksiyon { z : |z - c| < R } diskinde holomorf olan bir fonksiyona devam ettirelebiliyorsa, o zaman Res(f, c) = 0 olur. Bunun tersi de genel de doğru değildir.
En son formül, düşük mertebeli kutuplardaki kalıntıları bulmak için faydalı olabilir. Yüksek mertebeli kutuplar için seri açılımını kullanmak daha kolaydır.
Seri yöntemleri
Bir fonksiyonun bir parçası veya tümü Taylor serisi veya Laurent serisi şeklinde açılabiliyorsa, o zaman kalıntıyı hesaplamak diğer yöntemlerden epeyce daha kolaydır.
Örnek olarak, bazı belli kontür integrallerini bulmaya yarayabilecek,

fonksiyonunun tekilliklerindeki kalıntılarını bulalım. Bu fonksiyonun açık bir şekilde z = 0 noktasında tekilliği vardır. Bununla birlikte, payda çarpanlarına ayrılıp

şeklinde yazılırsa, bu tekilliğin kaldırılabilir tekillik olduğu açıktır ve bu yüzden bu z = 0 noktasındaki kalıntı 0'dır.
Diğer tek tekillik ise z = 1 noktasındadır. Bir g(z) fonksiyonunun z = a noktasındaki Taylor serisinin ifadesinin

olduğunu hatırlayalım. O zaman, g(z) = sin z ve a = 1 için şunu yazabiliriz:

Ayrıca, g(z) = 1/z ve a = 1 için

yazabiliriz.
Bu iki seriyi çarparak ve 1/(z - 1) ifadesini koyarak

açılımını elde ederiz. Böylece, f(z) 'nin z = 1 noktasındaki kalıntısı sin 1 olur.