Fourier dönüşümü

Fourier dönüşümü, sürekli ve ayrık olarak ikiye ayrılabilir. İki dönüşüm de bir nesneyi ortogonal iki uzay arasında eşler. Sürekli nesneler için dönüşüm:
ve
şeklinde verilir. Yukarıdaki dönüşümde görüleceği üzere x uzayındaki bir nesne k uzayında tanımlanmıştır. Bu dönüşüm diferansiyel denklemlerin çözümünde çok büyük rahatlık sağlar zira bu dönüşüm sayesinde x uzayındaki diferansiyel denklemler k uzayında lineer denklemler olarak ifade edilirler. K uzayında bu denklemin çözümü bulunduktan sonra ters dönüşümle x uzayındaki karşılığı elde edilir, ki bu diferansiyel denklemin çözümüdür. Birinci dönüşümdeki ifade ikinci dönüşümde yerine oturtularak,
,
ifadesine ulaşılır. Parantez içindeki ifadenin olduğu görülebilir. Anlaşıldığı üzere eşlemesine Fourier Dönüşümü, eşlemesine de Ters Fourier Dönüşümü denir ve bu eşlemeler (mapping) yapılırken baş harfleri büyük yazılarak gösterilir (FD ve TFD). Parantez içindeki ifadenin Delta fonksiyonunun temsili olması ise açıkça bir düz ve bir ters Fourier dönüşümü yapılan bir ifadenin kendine eşit olmasından kaynaklanır. Dönüşüm uzayları keyfi seçilebilir ancak fizikte, konum uzayından momentum uzayına ve zaman uzayından enerji uzayına De Broglie-Einstein denklemleriyle geçişler tanımlanmıştır.
Giriş
Örnek
Aşağıdaki görüntülerde Fourier dönüşümünün veren bir görsel ilüstrasyon sağlama ölçümü olan bir frekans bir özel fonksiyon içinde mevcuttur. Fonksiyon f(t) = cos(6πt) e−πt2 3 hertz'te salınım göstermektedir (eğer t ölçüsü saniyeler ise) ve 0 a doğru hızla gitme eğilimdedir. (bu denklem içinde saniye faktörü bir zarf fonksiyonu ve bir kısa vuruş içinde sürekli sinüzoidal şekillerdir. Bunun genel formu bir Gauss fonksiyonudur). Bu fonksiyon özel seçilmiş idi var olan bir gerçek Fourier dönüşümü için kolayca çizilebilir. İlk görüntü bu grafı içerir. hesaplamak için sırayla e−2πi(3t)f(t) integrali olmalıdır. İkinci görüntü bu fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını gösterir. İntegrand'ın gerçel kısmı hemen hemen her zaman pozitif, çünkü eğer f(t) negatif ise, e−2πi(3t)'nin gerçek kısmı da negatiftir. Çünkü bu aynı kesirde salınıyorsa eğer f(t) pozitif ise, böylece e−2πi(3t)'nin gerçel kısmıdır. Sonuç olarak eğer integrandın gerçek kısım integrali ise bir göreceli büyük sayı alıyorsunuz (0.5 durumu içinde). Diğer taraftan, eğer bir frekans ölçüsü için deniyorsanız bu mevcut değildir, da gördüğümüz durumu içindeki gibi yeterince salınan integrand gibi integral çok küçüktür. Genel durum bundan bir parça daha karışık olabilir, ama bu ruh içinde bir tek frekansın o kadar çok ölçüsü Fourier dönüşümü ve bir fonksiyon f(t) içinde mevcuttur.
Temel özellikler
Fourier dönüşümünün temel özellikleri aşağıdadır: .
Doğrusallık
Herhangi karmaşık sayılar a ve b için, eğer h(x) = af(x) + bg(x), ise
Öteleme
Herhangi gerçek sayı x0 için, eğer ise
Modülasyon
Herhangi gerçek sayı ξ0 için eğer ise
Ölçekleme
bir sıfır-dışı gerçek sayılar a için, eğer h(x) = f(ax), ise Durum a = −1 zaman-ters özellik için yer alır, bu durum: eğer h(x) = f(−x), ise
Birleşim
Eğer then
Özel olarak, eğer f gerçek, ve tek gerçeklik durumu var ise, şöyle ki, bir Hermisyen fonksiyondur.
Ve eğer f saf sanal, ise
İntegrasyon
Yerine koyma tanımı içinde, elde edilen
İşte böyle, başlangıç noktası içinde Fourier dönüşümünün evrimi () tüm domenin üzerinde tüm f in integralinin eşitidir.
Önemli Fourier dönüşümlerinin tabloları
Aşağıdaki tablolar, bir kapalı bir şekilde Fourier dönüşümleri kaydedebilir. f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlar için burada ile Fourier dönüşümü, sırasıyla, ve ile ifade edilir. Sadece en yaygın üç kural dahildir. Bu, bu giriş 105 Fourier Fourier dönüşümü ile ve ters olarak düşünülebilir bir fonksiyonun ve orijinal fonksiyonunun dönüşümü arasında bir ilişki veren fark için yararlı olabilir.
Fonksiyonel ilişkiler
Bu tabloda Fourier dönüşümleri bulunabilir veya.
Kare-integrallenebilir fonksiyonlar
bu tablo içinde Fourier dönüşümleri içinde bulunabilir, , veya in eki.
Dağılımlar
Fourier dönüşümleri bu tablo () içinde bulunabilir veya in eki.
İki-boyutlu fonksiyonlar
Açıklamalar
400 için: Değişkenler ξx, ξy, x, y, νx ve νy gerçek sayılardır.
Integraller tüm düzlem üzerinde alınır.
401 için: Her iki fonksiyon birim hacmine sahip olmayabilen Gauss vardır.
402 için: Fonksiyon circ(r)=1 0≤r≤1 ile tanımlanır, ve 0 diğerleridir. Bu Airy dağılımıdır, ve J1 bağıntısı kullanılır (ilk tür'ün derece 1 Bessel fonksiyonu).
Genel n-boyutlu fonksiyonlar için formüller
Açıklamalar
501 için: Fonksiyon aralığının gösterge işlevi. Fonksiyonu Γ(x) gama fonksiyonudur. fonksiyonu için ile, birinci tür bir Bessel işlevidir. alınması ve 402 üretir.
502 için: Riesz potansiyeline bakınız. Formül Analitik devamlılığı ile tüm için tutar, ama sonra fonksiyonu ve onun Fourier dönüşümlerinin uygun düzenlilestirmeye katkılı dağılımları olarak anlaşılması gerekir - formül aynı zamanda tüm α ≠-n,-n için de geçerlidir. Homojen dağılıma bakın.
503 için: Bu, 0 ortalama ile 1 normalize bir çok değişkenli normal dağılım için formül Bold değişkenler vektörler ve matrislerdir. Anılan sayfa ifadenin ardından, and
504 için: Burada. Bakınız