Karmaşık sayı

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:
Karmaşık sayılar kümesi C şeklinde gösterilir. . özelliğini sağlayan sanal birime denir. Kimi zaman özellikle elektrik mühendisliğinde yerine, kullanılır.
Ayrıca matematikte bu sayıların uzayı olarak gösterilir. Bu harfin seçilmesinin nedeni İngilizcede karmaşık sözcüğünün karşılığı olarak complex sözcüğünün kullanılmasıdır, nitekim bazı Türkçe kaynaklarda complex sözcüğünden devşirilen kompleks sözcüğüne de raslanabilir. Karmaşık sayılara böyle bir adın verilmesinin nedeni ise aşağıda da göreceğimiz gibi gerçel ve sanal kısımların bir arada durmasıdır.
Bütün gerçel sayılar sanal kısımları sıfıra eşit olan birer karmaşık sayı olarak düşünülebilir. Diğer bir deyişle gerçel sayılar, karmaşık sayı düzleminde gerçel sayılar ekseni üzerinde bulunurlar.
Bir z karmaşık sayısının gerçel ve sanal parçaları sırasıyla Re(z) ve Im(z) fonksiyonlarıyla gösterilir. Bütün bu tanımları ve özellikleri bir örnekte gösterelim.
sayısı gerçel kısmı Re(4-7i)=4, sanal kısmı Im(4-7i)=-7 olan uzayında bir karmaşık sayıdır. Bunun dışında karmaşık sayıların başka özellikleri de vardır. Örneğin bir karmaşık sayı düzlemde bir vektör olarak temsil edilebilir.
Tanım
Karmaşık sayılar kümesi birçok şekilde tanımlanabilir. Aşağıdaki tanımların hepsi birbirine eşyapısaldır, yani yapısal olarak biri diğerinin yerine kullanılabilir. Bu yüzden aslında içerik olarak farklı olan aşağıda tanımlanan tüm kümeleri aynı harfle gösterdik, . Ayrıca bu simge, sadece karmaşık sayılar dediğimiz öğeleri içeren bir küme olmaktan ötedir, üzerine tanımlayacağımız iki tane ikili işlemi olan bir cisimdir. Üstelik bu cisim, gerçel sayıların en büyük cisim genişlemesidir, yani gerçel sayıları bundan daha fazla genişletemeyiz. Gerçel sayılarla karmaşık sayıların aynı kardinaliteye (öğe sayısına) sahip olduğunu da unutmayalım.
Kartezyen uzay tanımı
Gerçek sayılar kümesinde her sayıyı ile çarparsak elde ettiğimiz kümesi önceki kümesine eşyapısaldır. Karmaşık sayılar cismi ise buradan hareketle
olarak tanımlanmış olur. Bu 2 boyutlu kartezyen uzay, Argand düzlemi olarak anılır. Eğer yerine tam sayılar cismi alınırsa oluşan karmaşık tam sayılar Gauss düzlemindedir. Bu sayılara da Gauss sayıları denir.
Karmaşık sayılar, bu tanımla aşağıdaki gibi ifade edilir:
olmak üzere;

Burada açıkça ve dir.
Cisim genişlemesi tanımı
Karmaşık olmayan sayılar, gerçel sayılar cisminin bir cisim genişlemesidir. sayısı polinomunun köklerinden biridir ve diğer kökü de olur. Bu iki öğenin gerçel sayılarla olan genişlemesinin eşyapısal olduğu kolaylıkla görülebilir:
Bu durumda
olarak tanımlanır. Daha açık olarak, karmaşık sayılar gerçel sayılar polinom halkasının polinomuyla üretilen bölüm halkasıdır:
Bu bölüm halkasında X öğesinin görüntüsü karmaşık birimidir. Bu sayede karmaşık sayılar halkası cebirsel olarak kapalı olur ki bu, gerçel sayıların cebirsel kapanışıdır. Cebirin temel teoremi bunu gerektirir, n dereceli her polinomun tam n kökü vardır. Biz, her karmaşık sayının olarak ifade edildiği bu tanıma daha aşinayız.
Karmaşık düzlem

Karmaşık sayı, iki boyutlu kartezyen koordinat sisteminde, nokta veya konum vektörü olarak gösterilebilir. Sayılar alışıla geldiği gibi yatay bileşen gerçel kısmı ve düşey (dikey) bileşende sanal kısmı olarak çizildi (Şekil 1'e bakınız). Bu iki kısım karmaşık bir sayıyı ifade etmek için kullanılır ve bu yüzden Kartezyen-, dikdörtgensel- veya cebirsel form olarak adlandırılır.
İşlemlerin geometriksel açıklaması

Cebirsel olarak ifade edilen işlemler yukarıdaki karmaşık düzlem kullanılarak gösterilebilir.
Sonuç olarak kutupsal formlar kökleri bulmak içinde kullanılabilir. z herhangi karmaşık sayı olmak üzere ve n pozitif tam sayı için zn = c olarak gösterilebilir. Bu da cnin n. kökü diye okunur. Eğer c sıfır değilse, tam n tane farklı c nin kökü vardır (cebirin temel teoremine göre). r > 0 için, c = re iφ'de c nin n. kökleri:
Burada, pozitif reel sayı olan r nin genellikle pozitif olan n. kökünü ifade eder. Eğer c = 0, ise c nin tek bir kökü vardır, o da 0'dır.
Karmaşık sayılarda işlem
Karmaşık sayılarda cebirsel işlemler gerçel sayıların genişlemesidir. Öncelikle iki karmaşık sayının eşitliğini verelim.
Eşitlik
Bir ve karmaşık sayıları için
ancak ve iken geçerlidir. bu doğru bir kavramdır...
Toplama
Bir ve karmaşık sayıları için
Çarpma
Bir ve karmaşık sayıları için
Eşlenik
Bir karmaşık sayısı için eşlenik ifadesi dönüşümüdür ve
ya da matrislerde
olarak tanımlanır.
Eşleniğin cebirsel özellikleri




ancak z gerçel sayı olduğunda geçerlidir.
Çarpımsal ters
Bir karmaşık sayısının tersi ancak
olarak ya da bir matrisin tersine uygun olarak
olduğu görülür.
Karmaşık sayının karekökü
burada İşaret fonksiyonudur.
Karmaşık sayının n dereceden kökü
Kök derecesi iki den büyük olan karmaşık sayıların genel denklemi uzundur. n sayısı artıkça genel denklemde uzar. Trigonometrik ve üstel biçim daha uygundur.
için tam sayı olmak üzere
Üstel biçim :
Trigonometrik biçim :
kök derecesinin bir eksiği kadar sıfırdan başlayarak tam sayılar verilebilir. Bu da n dereceden alınan karmaşık sayının köklerini verir.