RSA (şifreleme yönetimi)

RSA, güvenliği tam sayıları çarpanlarına ayırmanın algoritmik zorluğuna dayanan bir tür açık anahtarlı şifreleme yöntemidir. 1978de Ron Rivest, Adi Shamir ve Leonard Adleman tarafından bulunmuştur. Bir RSA kullanıcısı iki büyük asal sayının çarpımını üretir ve seçtiği diğer bir değerle birlikte ortak anahtar olarak ilan eder. Seçilen asal çarpanları ise saklar. Ortak anahtarı kullanan biri herhangi bir mesajı şifreleyebilir, ancak şu anki yöntemlerle eğer ortak anahtar yeterince büyükse sadece asal çarpanları bilen kişi bu mesajı çözebilir. RSA şifrelemeyi kırmanın çarpanlara ayırma problemini kırmak kadar zor olup olmadığı hala kesinleşmemiş bir problemdir.
Tarihi
Birleşik Krallık haber alma teşkilatı GCHQda çalışan İngiliz matematikçi Clifford Cocks 1973te kurum içi bir dokümanda eşdeğer bir sistemi açıkladı. Fakat bu sistemi hayata geçirmek için epeyce pahalı bilgisayarların kullanılması gerekiyordu ve bilindiği kadarıyla hiç kullanılmadı. Fakat Cocksun buluşu 1998e kadar çok gizli olduğu gerekçesiyle açığa çıkarılmadı. Rivest, Shamir ve Adleman RSA yöntemini Cocksun çalışmasından bağımsız olarak tasarladılar.
RSA algoritması 1978de MITde Ron Rivest, Adi Shamir ve Leonard Adleman tarafından açıklandı. RSA harfleri soyisimlerinin baş harflerini temsil etmektedir.
Patent
MIT'e 20 Eylül 1983'te algoritmayı kullanan bir "Şifreleme iletişim sistemi ve yöntemi" için ABD Patenti 4,405,829 verildi. Patent 21 Eylül 2000'de sona erecek olsa da (patent süresi 17 yıldır), algoritma iki hafta önce 6 Eylül 2000'de RSA Security tarafından kamuya açıklandı. Algoritmanın ayrıntılı bir açıklaması Scientific American'ın Ağustos 1977 sayısında Matematik Oyunları sütununda yayınlandığından, patent başvurusunun Aralık 1977 dosyalama tarihinden önce dünyanın geri kalanının çoğunda düzenlemeler başka yerlerde ve sadece ABD patenti verildi. Cocks'un çalışmaları herkes tarafından biliniyor olsaydı, ABD'deki bir patent de yasal olmayacaktı.
DWPI'nin patent özetinden,
Sistem bir kodlama cihazına sahip en az bir terminale ve bir kod çözme cihazına sahip en az bir terminale bağlanmış bir iletişim kanalı içerir. Aktarılacak bir mesaj, önceden belirlenmiş bir kümede M sayısı olarak kodlanarak kodlama terminalindeki şifreli metne şifrelenir. Bu sayı daha sonra önceden belirlenmiş bir güce (istenen alıcı ile ilişkili) yükseltilir ve son olarak hesaplanır. Kalan veya kalıntı C, ... üssel sayı, önceden belirlenmiş iki asal sayının çarpımına (hedeflenen alıcı ile ilişkili) bölündüğünde hesaplanır.
İşlemler
RSA algoritması anahtar üretimi, şifreleme ve şifre çözme olmak üzere 3 basamaktan oluşmaktadır.
Anahtar Üretimi
RSA için bir ortak anahtar bir de özel anahtar gerekir. Ortak anahtar herkes tarafından bilinir ve mesajı şifrelemek için kullanılır. Bir ortak anahtarla şifrelenmiş mesaj sadece özel anahtarla çözülebilir. RSA anahtarları şu şekilde oluşturulur:
İki adet birbirinden değişik asal sayı seçin, bunların adını da ve koyalım.
Güvenlik amacıyla p ve q sayıları rastgele seçilmeli ve yakın uzunlukta olmalıdırlar. Bu sayılar asallık testi kullanılarak etkin bir şekilde bulunabilir.
hesaplayın.
özel ve ortak anahtarlar için mod değeri olarak kullanılacaktır.
Bu sayıların totientı olan hesaplayın.
Bir tam sayı üretin ve adını da koyun. Bu sayı, koşuluna uygun olmalı ve ile en büyük ortak böleni 1 olmalıdır (başka bir deyişle ve kendi aralarında asal olmalıdır).
ortak anahtar olarak açıklanır.
Bit uzunluğu kısa olan ve küçük Hamming Ağırlığına sahip değerleri (yaygın olarak 0x10001 = 65,537) daha verimli şifreleme sağlarlar. Fakat küçük değerleri (örneğin 3) bazı durumlarda güvenliği azaltabilir.
olacak şekilde bir 'yi belirleyin.
özel anahtar üssü olarak saklanır.
değeri genellikle Genişletilmiş Öklid Algoritması kullanılarak hesaplanır.
Ortak anahtar mod değeri olan den ve ortak üs olan den oluşur. Özel anahtar ise mod değeri olan den ve özel üs olan ve gizli kalması gereken den oluşur. ( ve değerleri de gizli kalmalıdır çünkü yi hesaplamada kullanılırlar.)
Şifreleme
Alice ortak anahtarı ( )yi Boba gönderir, özel anahtarını gizli tutar. Bob mesajını Alicee göndermek istediği zaman ilk olarak yi ters çevrilebilir bir protokol ile (dolgu şeması) olacak şekilde bir tam sayısına dönüştürür. Daha sonra şifrelenmiş mesaj yi olacak şekilde hesaplar. Bunu karesini alarak üs alma yöntemiyle hızlı bir şekilde hesaplayabilir. Bob yi Alicee iletir.
Şifre Çözme
Alice mesajını özel anahtarı olan yi kullanarak şifreli mesaj den şu şekilde hesaplar:
Alice yi bulduktan sonra dolgu şemasının tersini alarak orijinal mesaj yi elde eder.
Örnek
İki farklı asal sayı seçelim. ve olsun.
değerini hesaplayalım. 61 53 = 3233.
Totient değerini hesaplayalım. .
1 ile 3120 arasında 3120 ile aralarında asal olan bir değeri seçelim. değerini asal seçersek sadece 3120nin böleni olup olmadığını kontrol etmemiz gerekir. olsun.
yi nin mod deki çarpmaya gore tersi olarak hesaplayalım. .
Ortak Anahtar: . Herhangi bir mesajı için şifreleme fonksiyonu (mod 3233).
Özel Anahtar: . Herhangi bir şifreli mesajı için şifre çözme fonksiyonu (mod 3233).
Örneğin i şu şekilde şifreleriz: .
ın şu şekilde şifresini çözebiliriz:
Tüm bu hesaplamalar karesini alarak üs alma yöntemiyle hızlı bir şekilde gerçekleştirilebilir.
Düz RSA karşısındaki Saldırılar
Küçük şifreleme üssü (örn. = 3) kullanıldığında şifrelenen mesajı da küçükse, değeri den küçük bir değere karşılık gelir. Bu durumda şifreli mesajlar tam sayılardaki dereceden kökleri alınarak kolayca çözülebilirler.
Eğer bir mesaj aynı şifreleme üssü ve farklı değerleri ile birden çok kişiye gönderiliyorsa, bu mesaj Çin Kalan Teoremi kullanılarak kolayca çözülebilir.
RSA algoritması herhangi bir rastsallık içermediği için bazı düz mesajlar şifrelenip herhangi bir şifreli mesaja eşit olup olmadığı kontrol edilebilir. Dolayısıyla dolgu kullanılmayan RSA anlamsal güvenliğe sahip değildir.
RSA yönteminde iki şifreli mesajın çarpımı, kendilerine karşılık gelen düz mesajların çarpımının şifrelenmiş haline eşittir. Yani, Bu çarpımsal özelliğinden dolayı RSAe seçilmiş şifreli mesaj atağı gerçekleştirilebilir. Örneğin, bir şifreli mesaj olan 'nin çözümünü elde etmek isteye bir saldırgan rastgele bir değeri seçip, özel anahtara sahip kişiye şüpheli gözükmeyen mesajını gönderip deşifre etmesini isteyebilir. Çarpımsal özellikten dolayı, 'in şifreli halidir. Eğer saldırgan atakta başarılı olursa değerini elde eder ve ile çarpıp kolayca m değerini bulur.
Dolgu Şemaları
Tüm bu problemleri ortadan kaldırmak için kullanılan RSA uygulamaları şifrelemeden önce düz mesaj olan ye rastsallaştırılmış dolgu uygularlar. Bu dolgu yi güvensiz düz metin aralığında olmaktan korur ve in sabit bir şifreli mesajı olmasını engeller. Dolgulama için tasarlanan PKCS#1 standardının ilk versiyonlarının adaptif seçilmiş şifreli mesaj atağına karşı dayanıksızlığı ortaya çıkınca sonraki versiyonlar bu atağı engellemek için OAEP içermekteler.
Mesaj İmzalama
RSA ayrıca mesajları imzalamak için de kullanılabilir. Alicein Boba imzalanmış bir mesaj göndermek istediğini düşünelim. Alice kendi özel anahtarını kullanarak bunu gerçekleştirebilir. Mesajın özet değerini hesaplayıp mod de kuvvetini alır ve imza olarak mesaja iliştirir. Bob mesajı aldığı zaman aynı özetleme algoritmasıyla mesajın özetini hesaplar. Bob ayrıca mesajın imzasının mod de kuvvetini alır ve mesajın özetiyle karşılaştırır. Eğer iki değer birbirine eşitse mesajın Aliceden geldiğini anlar. RSA ile imza gerçekleştirilirken de RSA-PSS gibi güvenli dolgu şemaları kullanılması gereklidir. Ayrıca güvenlik açısında şifrelemede ve imzada aynı anahtar kullanılmamalıdır.
Doğruluk İspatları
Fermatnın Küçük Teoremi ile İspatı
Fermat'nın küçük teoremi asalı ve nin bölmediği bir tam sayısı için denkliğinin doğru olduğunu belirtir.
Her mesajı için (me)d m denkliğinin doğru olduğunu göstermek istiyoruz.
olduğunu biliyoruz. Yani negatif olmayan bir tam sayısı için yazabiliriz. Eğer med m mod p ve med m mod q olduğunu gösterirsek Çin Kalan Teoreminden med m mod pq olduğunu ispatlamış oluruz.
med m mod p olduğunu göstermek için m 0 mod p ve m 0 mod p durumlarına bakalım. İlk durumda med, p 'nin katı olduğundan med 0 m mod p. İkinci durumda da mp-1' in Fermatnın küçük teoreminden dolayı 1e denk olmasını kullanarak ispatı yapabiliriz:
. med m mod q olduğunu da benzer şekilde gösterip algoritmanın doğruluğunu ispatlamış oluruz.
Euler teoremi ile ispatı
Rivest, Shamir ve Adleman orijinal makalelerinde RSA yönteminin çalışmasını açıklarken Fermatnın küçük teoremini kullanmalarına rağmen genellikle ispatlarda Euler teoremi kullanılır.
Her mesajı için (me)d m denkliğinin doğru olduğunu göstermek istiyoruz. ed 1 mod olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla negatif olmayan bir tam sayısı için çarpımını şeklinde yazabiliriz. ve nin aralarında asal olduğunu varsayarsak

Son eşitlik Euler teoreminin bir sonucudur. Eğer ve aralarında asal değilse bu argüman doğru olmaz. m 0 mod p vem 0 mod q'' durumları yukarıdaki ispatta olduğu gibi gösterilebilir.
RSA algoritması
RSA çok büyük tam sayılarla işlem yapmanın zorluğuna dayanan bir tekniktir. Yani, RSA algoritmasını kullanan kişi 2 büyük asal sayı seçer ve bunları saklar. Bu iki asal sayının çarpımı elde edip, random seçtiği başka bir değer ile birlikte ortak anahtar olarak belirler. Ortak anahtarı kullanan başka bir kullanıcı şifreleme yapabilir bu durumda bu mesajın şifresinin çözülüp anlamlı hale getirilebilmesi için ortak anahtar yeterince büyük olduğundan bu büyük sayının ortak çarpanlarının bilinmesi gerekir. Yani aslında RSA çarpanlara ayırma ile birebir ilişkilidir ki bu algoritma açık anahtarlı şifrelemeyi kullanır. Açık anahtarlı şifrelemede (asimetrik şifreleme) açık anahtarla şifreleme ve gizli anahtarla deşifreleme yapılmasını kolayca gerçekleştirilirken; yalnızca açık anahtarı (iki sayının çarpımını) bilerek gizli anahtarın bulunmasını zor kılar (büyük olan bu sayının çarpanlarının bilinmesi gerekir). RSA 3 basamakta gerçekleştirilir. Bunlar: anahtar üretimi (2 büyük asal sayının çarpımı ve random seçilmiş bir sayı ile ortak anahtar üretilmesi), şifreleme (Oluşan ortak anahtarı kullanan başka bir kullanıcı şifreleme yapabilir) ve şifre çözmedir (Şifrenin çözülmesi için ortak anahtarın çarpanlarının bilinmesi gerekir). Özet olarak; tamamen random olarak ve birbirine yakın iki asal sayı seçilir. Bu sayılar tutulur. Mod n olacak şekilde ; n=p q ve m(=(p-1) (q-1) çarpımları hesaplanır. 1<e<m arasında bir e tam sayısı seçilir. Öyle ki e ve mnin en büyük ortak böleni 1 olsun. Genel üs olarak kullandığımız e ve m sayıları kullanılarak gizli üs d hesaplanır (1<d<m) (Örneğin ed≡1(mod m)). Genel anahtar (n, e) ve özel anahtar (n, d)dir. p, q ve m değerleri de gizli tutulmalıdır. . NET framework teknolojisinde kullanan RSA algoritmasına bakacak olursak:
byte[] dataToEncrypt = ByteConverter. GetBytes("Sifrelenecek Veri");
Şifrelenmiş ve deşifrelenmiş olan verilerin tutulduğu veri tanımları yapılır.
byte[] encryptedData;
byte[] decryptedData;
1024 uzunluğunda RSACryptoServiceProvider sınıfından nesne üretilir.
RSACryptoServiceProvider RSAalg = new RSACryptoServiceProvider(1024);
Aşağıdaki RSAEncrypt metodu veriyi şifrelemeyi sağlar. Metottaki ilk parametre şifrelenecek veridir. Byte array şeklindedir. Metottaki ikinci parametre (RSAalg. ExportParameters(false)) anahtar bilgisinin dışa verilip verilmeyeceğini ifade eder. False olarak değer atanmışsa public anahtar dışa verilir, true olarak değer atanmışsa public ve private anahtarlar dışa verilir. Kodumuzda false olarak değer atandığı için sadece public anahtar dışa verilir. Metottaki üçüncü parametre boolean bir değerdir. Padding mode olarak isimlendirilir. Padding boolean değerinin kullanılması gereklidir çünkü metoda gönderilen verinin şifrelenecek verinin tamamının olup olmadığını bu flag değerinden anlarız. Şifrelenecek veri çok büyük boyutlarda olabilir bu da verinin bloklara bölünmesini gerektirir. Bloklara bölünen verinin tamamının şifrelendiği bu flag değerden anlaşılır. Eğer padding değeri true ise bu halde gelişmiş OAEP 16 kullanılır. Aksi takdirde geleneksel PKCS 1 v1.5 kullanılır.
encryptedData = RSAEncrypt(dataToEncrypt, RSAalg. ExportParameters(false), false);
Aşağıdaki decryptedData metodu veriyi deşifrelemeye sağlar. Metottaki ilk parametre deşifrelenecek veridir. Byte array şeklindedir. Metottaki ikinci parametre (RSAalg. ExportParameters(true))anahtar bilgisinin dışa verilip verilmeyeceğini ifade eder. False olarak değer atanmışsa public anahtar dışa verilir, true olarak değer atanmışsa public ve private anahtarlar dışa verilir. Kodumuzda true olarak değer atandığı için private ve public anahtar dışa verilir. Metottaki üçüncü parametre boolean bir değerdir. Padding mode olarak isimlendirilir. Padding boolean değerinin kullanılması gereklidir çünkü metoda gönderilen verinin şifrelenecek verinin tamamının olup olmadığını bu flag değerinden anlarız. Şifrelenecek veri çok büyük boyutlarda olabilir bu da verinin bloklara bölünmesini gerektirir. Bloklara bölünen verinin tamamının şifrelendiği bu flag değerden anlaşılır. Eğer padding değeri true ise bu halde gelişmiş OAEP 16 kullanılır. Aksi takdirde geleneksel PKCS 1 v1.5 kullanılır.
decryptedData = RSADecrypt(encryptedData, RSAalg. ExportParameters(true), false);