Matematik felsefesi

Matematik felsefesi, matematiğin varlıksal, bilgisel ve yöntemsel sorunlarını inceleyen, matematiğin temelleriyle ilgili ana kavramları irdeleyen bir felsefe dalıdır.
Başlıca soruları matematik ve matematiğin konusu olan nesnelerin varlık ve bilgi kaynağı ile ilgilidir. Matematik felsefesinin ilgilendiği bazı soru şunlardır:
Bir matematiksel önermenin niteliği nedir?
Matematik ile mantık arasındaki ilişki nedir?
Matematiksel nesnelerin varlığı neye dayanmaktadır?
Matematiksel bilgiye nasıl erişiriz?
Matematiğin yöntemi nedir?
Matematiğe yeni aksiyomlar eklenmeli midir?
Hermenötiklerin matematikteki rolü nedir?
Matematiksel soruşturmanın nesnesi nedir?
Matematiğin arkasındaki insan özellikleri nedir?
Matematiksel güzellik nedir?
Matematiksel gerçeğin doğası ve kaynağı nedir?
Soyut matematikler dünyası ile materyal evren arasındaki ilişki nedir?
Matematiğin nesneleriyle ilgili üç temel görüş mevcuttur. Matematiksel realizm, ya da diğer adıyla Platonculuk, matematiksel nesnelerin dilden, duyulardan, akıldan ve bütün fiziksel dünyadan bağımsız şekilde bir Platonik evrende soyut nesneler olarak var olduklarını öne sürer. Realizm felsefesi, bilgisel yani epistemolojik alanda da yorumlanır. Realizmin bilgisel açıdan yorumlamasına göre, matematiksel önermelerin her şeyden bağımsız olarak mutlak bir doğruluk değeri olmak zorundadır. Matematiksel nesnelerin varlığıyla ilgili bir diğer görüş idealizm felsefesidir. Immanuel Kant'a dayanan bu görüşe göre, matematiksel nesneler sadece zihnin ürünüdür, zihindeki inşaların sonucunda ortaya çıkar. Buna göre zihin yoksa matematiksel nesneler de yoktur. 20. yy'da Kant'ın bu felsefesi bazı matematikçiler arasında karşılık bulmuş ve L. E. J. Brouwer tarafından sezgicilik akımı geliştirilmiştir. Sezgiciliğe göre, bir matematiksel nesnenin var olması demek o nesnenin inşa edilmiş olması demektir. Çeşitli mantık ilkelerinin reddine dayanan bu felsefede, matematiksel yöntem inşalardan, matematiksel nesneler ise inşa edilebilir şeylerden meydana gelir. Matematiksel nesnelerin varlığıyla ilgili üçüncü görüş, nominalizm adı verilen bir görüştür. Nominalizme göre soyut nesneler yoktur, ya da bütün matematiksel nesneler sadece isimlerden ibarettir. Matematiksel nesnelerin var olmadığını iddia eden nominalizm felsefesi kendi içinde farklı kollara ayrılabilir. Bu kolların her birinin matematiksel önermeleri yorumlama ve ele alış biçimi birbirinden farklı olabilmektedir.
Diğer önemli bir konu matematiksel bir kuramın gerçekliğidir.
Matematik (Doğa Bilimlerinden farklı olarak) deneysel olarak sınanamadığı için belirli bir matematik kuramını gerçek bulmak için nedenler aranmaktadır (Bkz. Epistemoloji). Luitzen E. J. Brouwerin temellerini attığı ve Arend Heyting'in takip ettiği Sezgici Matematik bu görüşün bilenen temsilcilerindedir. Mantıkçılık yaklaşımı ise Bertrand Russell ve Gottlob Frege tarafından savunulmuştur. David Hilbert ve Haskell Curry biçimselcilik akımının temsilcilerinden sayılmaktadır. Mantıkçılığın bir alt kolu olan mantıksal pozitivistler, Rudolf Carnap, Alfred Jules Ayer, Carl Hempel tarafından temsil edilmiştir. Matematiğin sadece kendisine ve bilime hizmet etmesi gerektiğini savunan ve matematiğin kendi kendine yettiğini ve kendi içinde evrildiğini öne süren felsefeye matematiksel doğalcılık denmiştir ve Penelope Maddy, Willard Van Orman Quine gibi felsefeciler tarafından savunulmuştur. Matematiksel nesnelerin yapılarla ilgili olduğunu ve nesnelerin sadece yapı içinde anlam kazandığını öne süren görüşe ise yapısalcılık denmiştir. Bu görüşe göre hiçbir matematiksel nesne kendi kendine bağımsız olarak var olamaz, ancak bir yapının içinde diğer nesnelerle olan ilişkisiyle var olabilir. Yapısalcılık felsefesi Stewart Shapiro, Michael Resnik ve Paul Benacerraf tarafından savunulmuştur.
Matematik felsefesindeki önemli konulardan biri de matematiği biçimselleştirme ve kesinliğe kavuşturma hatta matematiği "bilgisayarlaştırma" problemidir. Bu konuda Avusturyalı matematikçi ve mantıkçı Kurt Gödel'in Eksiklik Teoremleri önemli yere sahiptir.