Pierre de Fermat

Pierre de Fermat ( French: [pjɛːʁ də fɛʁma]; 31 Ekim ve 6 Aralık 1607 arasında - 12 Ocak 1665), neredeyse eşitlik (adequality) tekniği de dahil olmak üzere sonsuz küçük hesaplara yol açan erken gelişmeler için yaptığı katkılarla bilinen bir Fransız matematikçiydi. Özellikle, eğri çizgilerin en büyük ve en küçük koordinatlarını bulmanın özgün bir yöntemini keşfetmesiyle tanınır; bu, o zamanlar bilinmeyen diferansiyel kalkülüsünkine benzer ve sayı teorisi üzerine yaptığı araştırmadır. Analitik geometri, olasılık ve optiğe kayda değer katkılarda bulundu. En çok ışık yayılımı hakkındaki Fermat ilkesi ve Diophantus'un Aritmeticasının bir kopyasının kenarındaki bir notta açıkladığı sayı teorisindeki Fermat'nın Son Teoremi ile tanınır. Aynı zamanda Fransa'nın Toulouse Parlamentosu'nda avukattı.
Fermat, memurluğunun yoğun işlerinden geriye kalan zamanlarında matematikle uğraşmıştır. Arşimet'in eğildiği diferansiyel hesaba geometrik görünümle yaklaşmıştır. Sayılar teorisinde önemli sonuçlar bulmuş, olasılık ve analitik geometriye de katkılarda bulunmuştur.
Günümüzde hatırlanmasının en önemli sebebi Fermat'nın son teoremi'dir. Modern sayılar kuramının kurucusu olarak kabul edilen 17. yüzyıl matematikçisi Pierre de Fermat'nın adını taşıyan bu teorem, şu şekilde ifade edilebilir:
Herhangi x, y, ve z pozitif tam sayıları için,
ifadesini sağlayan ve 2'den büyük bir doğal sayı n yoktur. Fermat, bu problemi çözmüş, kanıtı da Eski Yunan matematikçi Diophantus'un Arithmetika adlı kitabının kendindeki kopyasının sayfalarından birinin kenarına 1637'de şöyle yazmıştı:
Ancak bu kanıt bulunamamıştır. Fermat'tan sonra matematikçiler bu önermenin bir türlü içinden çıkamamışlardır. Fermat'nın bıraktığı defterler arasında teoremin kanıtına rastlayamadıkları gibi, kendileri de ne doğruluğunu ne yanlışlığını kanıtlayabilmişlerdir. Yıllar boyunca (300 yıl sonrasına kadar) bu konuda yapılan çalışmalar sonucu bu teoremin Shimura-Taniyama Konjektürü'nün bir özel durumu olduğu anlaşılmış, ardından da 1993'te İngiliz matematikçi Andrew Wiles, eski öğrencilerinden Richard Taylor'ın da yardımıyla ve cebirsel geometrinin çok karmaşık araçlarını kullanarak teoremi kanıtlamanın bir yolunu bulmuş ve bu kanıtı 1995'te Annals of Mathematics adlı dergide yayımlamıştır. Shimura-Taniyama Konjektürü'nün böylelikle ispatlanması sonucu Fermat'nın Son Teoremi de 1995'te ispatlanmış oldu.
Asal sayılar üzerinde çok durmuştur. Onun bu konuda çeşitli teoremleri vardır. Örneğin,
şeklinde yazılan bir asal sayı p, yalnızca bir tek şekilde iki karenin toplamı olarak yazılabilir.
Mesela en ufak asal sayılar p:
ve
dir. Bu teoremi daha sonra Euler kanıtlamıştır.
Biyografisi
Fermat, 1607'de Fransa'nın Beaumont-de-Lomagne kentinde doğduFermat'nın doğduğu 15. yüzyılın sonlarındaki malikane şimdi bir müze haline getirilmiştir. Babası Dominique Fermat'nın zengin bir deri tüccarı olduğu ve Beaumont-de-Lomagne'nin dört konsolosluğundan biri olarak birer yıllık üç dönem görev yaptığı Gaskonyalıydı. Annesi Claire de Long'du. Pierre'in bir erkek ve iki kız kardeşi vardı ve neredeyse kesin olarak doğduğu şehirde büyümüştür.
1623'ten itibaren Orleans Üniversitesi'ne girdi ve Bordeaux'ya taşınmadan önce 1626'da medeni hukuk alanında lisans derecesi aldı. Bordeaux'da ilk ciddi matematiksel araştırmalarına başladı ve 1629'da Apollonius'un De Locis Planisinin restorasyonunun bir kopyasını oradaki matematikçilerden birine verdi. Elbette Bordeaux'da Beaugrand ile temas halindeydi ve bu süre zarfında, matematiksel çıkarları Fermat ile açıkça paylaşan Etienne d'Espagnet'e verdiği maksimumlar ve minimumlar üzerine önemli çalışmalar yaptı. Orada François Viète'nin çalışmalarından çok etkilendi.
1630'da Fransa'daki Yüksek Adliye Mahkemelerinden biri olan Parlement de Toulouse'da bir meclis üyesi ofisini satın aldı ve Mayıs 1631'de Büyük Meclis tarafından yemin etti. Hayatının geri kalanında bu görevi sürdürdü. Böylece Fermat, adını Pierre Fermat'tan Pierre de Fermat'a değiştirme hakkına sahip oldu. 1 Haziran 1631'de Fermat, annesi Claire de Fermat'nın (kızlık soyadı de Long) dördüncü kuzeni Louise de Long ile evlendi. Ailenin sekiz çocuğu vardı ve bunlardan beşi yetişkinliğe kadar hayatta kaldı: Clément-Samuel, Jean, Claire, Catherine ve Louise.
Altı dili (Fransızca, Latince, Oksitanca, klasik Yunanca, İtalyanca ve İspanyolca) akıcı olarak kullanan Fermat, birkaç dilde yazdığı şiirleriyle övüldü ve Yunanca metinlerin düzeltilmesi konusunda tavsiyesi hevesle karşılandı. Çalışmalarının çoğunu mektuplarla arkadaşlarına iletti, çoğu zaman teoremlerinin çok az kanıtı veya hiç kanıtı yoktur. Arkadaşlarına yazdığı bu mektupların bazılarında, Newton veya Leibniz'den önce kalkülüsün temel fikirlerinin çoğunu araştırdı. Fermat, matematiği bir meslekten çok bir hobi haline getiren eğitimli bir avukattı. Yine de analitik geometri, olasılık, sayılar teorisi ve kalkülüse önemli katkılarda bulunmuştur. O zamanlar Avrupa matematik çevrelerinde gizlilik yaygındı. Bu doğal olarak Descartes ve Wallis gibi çağdaşlarla öncelikli anlaşmazlıklara yol açtı.
Anders Hald, "Fermat'nın matematiğinin temeli, Vieta'nın yeni cebirsel yöntemleriyle birleştirilmiş klasik Yunan incelemeleriydi" diye yazıyor.
Çalışmaları
Fermat'nın analitik geometrideki öncü çalışması (Methodus ad disquirendam maximam et minimam et de tangentibus linearum curvarum) 1636'da (1629'da elde edilen sonuçlara dayanarak), işi suistimal eden Descartes'ın ünlü La Geométriesinin (1637) yayınlanmasından önce el yazması biçiminde dağıtıldı. Bu el yazması ölümünden sonra 1679'da Varia opera mathematicada Ad Locos Planos et Solidos Isagoge (Düzlem ve Katı Konuma Giriş, Introduction to Plane and Solid Loci) olarak yayınlandı.
Methodus ad disquirendam maximam et minimam ve De tangentibus linearum curvarum adlı eserlerde Fermat, maksimum, minimum ve çeşitli eğrilerin teğetlerini belirlemek için diferansiyel hesaba eşdeğer olan bir yöntem (neredeyse eşitlik - adequality) geliştirdi. Bu çalışmalarda, Fermat çeşitli düzlem ve katı şekillerin ağırlık merkezlerini bulmak için bir teknik elde etti ve bu da kareleştirmede daha fazla çalışmasına yol açtı.
Fermat, genel kuvvet fonksiyonlarının integralini değerlendirdiği bilinen ilk kişidir. Yöntemi ile bu değerlendirmeyi geometrik serilerin toplamına indirgemeyi başardı. Ortaya çıkan formül Newton'a ve sonra Leibniz'e, bağımsız olarak kalkülüsün temel teoremini geliştirdiklerinde yardımcı oldu.
Sayı teorisinde Fermat, Pell denklemini, mükemmel sayıları, dost sayıları ve daha sonra Fermat sayıları olacak olanları inceledi. Mükemmel sayıları araştırırken Fermat'nın küçük teoremi keşfetti. Bir çarpanlara ayırma yöntemi - Fermat'nın çarpanlara ayırma yöntemi - icat etti ve n = 4 durumu için Fermat'nın Son Teoremi'ni içeren Fermat dik üçgen teoremini kanıtlamak için kullandığı sonsuz azalma ile ispatı popüler hale getirdi. Fermat, iki kare teoremini ve her sayının üç üçgensel sayı, dört kare sayı, beş beşgen sayı vb. toplamı olduğunu belirten çokgensel sayı teoremini geliştirdi.
Fermat, tüm aritmetik teoremlerini ispatladığını iddia etmesine rağmen, ispatlarının çok az kaydı günümüze ulaşmıştır. Gauss da dahil olmak üzere birçok matematikçi, özellikle bazı problemlerin zorluğu ve Fermat için mevcut olan sınırlı matematiksel yöntemler göz önüne alındığında, onun iddialarının birçoğundan şüphe duydu. Ünlü Son Teoremi ilk olarak oğlu tarafından, babasının Diophantus'un bir baskısının kopyasının kenar boşluğunda keşfedildi ve kenar boşluğunun ispatı içeremeyecek kadar küçük olduğu ifadesini içeriyordu. Görünüşe göre Marin Mersenne'e bu konuda yazmamış. İlk olarak 1994 yılında Sir Andrew Wiles tarafından Fermat'ta bulunmayan teknikler kullanılarak kanıtlanmıştır.
1654'teki yazışmaları sayesinde Fermat ve Blaise Pascal, olasılık teorisinin temellerinin atılmasına yardımcı oldular. Noktalar problemi üzerine bu kısa ama verimli işbirliği ile, şimdi her ikisi de olasılık teorisinin ortak kurucuları olarak görülmektedir. Fermat, şimdiye kadarki ilk kesin olasılık hesaplamasını yapmakla tanınır. İçinde, profesyonel bir kumarbaz tarafından, mademki iki zarın 24 atışında en az bir çift-altı atma bahisi kaybetmesine neden oluyor, bir zarın dört atışta en az altısını atacağına bahse girerse neden uzun vadede kazandığı sorulmuştu. Fermat bunun neden böyle olduğunu matematiksel olarak gösterdi.
Fizikteki ilk varyasyon ilkesi, Öklid tarafından Catoptrica'sında dile getirildi. Bir aynadan yansıyan ışığın yolu için geliş açısının yansıma açısına eşit olduğunu söylüyor. İskenderiyeli Heron daha sonra bu yolun en kısa ve en az zamanı verdiğini gösterdi. Fermat bunu, şimdi en az zaman ilkesi olarak bilinen "en kısa zaman yolu boyunca verilen iki nokta arasında ışık seyahatleri" olarak rafine etti ve genelleştirdi. Bunun için Fermat, fizikte en az eylem temel ilkesinin tarihsel gelişiminde kilit bir figür olarak kabul edilmektedir. Fermat prensibi ve Fermat fonksiyoneli terimleri bu rolün tanınmasıyla isimlendirilmiştir.
Ölümü
Pierre de Fermat, 12 Ocak 1665'te, bugünkü Tarn bölümündeki Castres'de öldü. Toulouse'daki en eski ve en prestijli liseye onun adı verilmiştir: . Fransız heykeltıraş Théophile Barrau, şimdi Capitole de Toulouse'da, Fermat'a bir övgü olarak Hommage à Pierre Fermat adlı mermer bir heykel yaptı.
Çalışmalarının değerlendirilmesi
Fermat, René Descartes ile birlikte 17. yüzyılın ilk yarısının önde gelen iki matematikçisinden biriydi. Peter L. Bernstein'a göre, 1996 yılında yayınlanan Tanrılara Karşı (Against the Gods) kitabında, "Fermat nadir güce sahip bir matematikçiydi. Analitik geometrinin bağımsız bir mucidiydi, kalkülüsün erken gelişimine katkıda bulundu, dünyanın ağırlığı üzerine araştırmalar yaptı ve ışık kırılması ve optik üzerinde çalıştı. Blaise Pascal ile uzun bir yazışma olduğu ortaya çıktığında, olasılık teorisine önemli bir katkı yaptı. Ama Fermat'nın en büyük başarısı sayılar teorisindeydi." şeklinde dile getirilmiştir.
Fermat'nın analiz çalışmalarıyla ilgili olarak, Isaac Newton kalkülüs hakkındaki kendi erken fikirlerinin doğrudan "Fermat'nın teğet çizme yönteminden" geldiğini yazdı.
20. yüzyıl matematikçisi André Weil, Fermat'nın sayılarla ilgili teorik çalışması hakkında şunları yazdı: "1. cinsin eğrileriyle uğraşma yöntemlerinde sahip olduğumuz şeyler dikkate değer ölçüde tutarlıdır; hala bu tür eğrilerin modern teorisinin temelidir. Doğal olarak iki kısma ayrılır; ilki..., haklı olarak Fermat'nın kendisine ait olduğu kabul edilen azalmanın aksine, uygun bir şekilde bir yükseliş yöntemi olarak adlandırılabilir. Fermat'nın yükseliş kullanımıyla ilgili olarak Weil şöyle devam etti: "Yenilik, Fermat'nın standart bir kübik üzerinde rasyonel noktaların grup teorik özelliklerinin sistematik kullanımıyla elde edeceğimiz şeyin en azından kısmi bir eşdeğerini vererek, Fermat'nın ondan yaptığı geniş kapsamlı kullanımından oluşuyordu." Sayıların birbiriyle ilişkileri konusundaki ve teoremlerinin çoğuna kanıt bulma yeteneği ile Fermat, esasen modern sayılar teorisini yarattı.