Joseph-Louis Lagrange

Joseph-Louis Lagrange (d. 25 Ocak 1736, Torino - ö. 10 Nisan 1813, Paris) bir İtalyan Aydınlanma Dönemi matematikçisi ve astronomudur. Analiz, sayı kuramı ve klasik ve gök mekaniği alanlarında önemli katkıları olmuştur.
1776 yılında Euler ve dAlembertin tavsiyesi ile yirmi yıldan fazla yaşadığı, çalıştığı ve Fransız Bilim Akademisinden birçok ödül aldığı Berlin, Prusyada bulunan Prusya Bilim Akademisinde Eulerden devraldığı matematik yöneticiliği görevini üstlendi. Lagrangeın analitik matematik üzerine olan ve Newtondan sonra klasik mekaniğe en kapsamlı şekilde yaklaşan ve matematiksel fiziğin gelişimi için temel hazırlayan tezi (Mécanique Analytique, 4. ed., 2 vols. Paris Gauthier-Villars et fills, 1888-89) Berlinde yazıldı ve 1788 yılında yayımlandı.
1787de 51 yaşındayken Berlinden Parise taşındı ve Fransız Akademisinin bir üyesi oldu. Hayatının sonuna kadar Fransada kaldı. 1794 yılında Ecole Polytechnique açıldığında oradaki ilk analiz profesörü oldu. 1799 yılında ise Bureau des Longituesin kurucu üyesi ve senatör oldu.
Bilimsel Katkıları
İşlevsellerin maksimum ve minimumları için olan Euler-Lagrange denklemlerinin türetilmesi ile ortaya çıkan değişkenler kalkülüsünün yaratıcılarındandır. Bu yöntemi, muhtemel kısıtlamaları da hesaba katarak genişletmiş ve Lagrange çarpanlarını üretmiştir. Langrange türevsel denklemleri çözmek için bir yöntem olan değişken değiştirme yöntemini bulmuş, türevsel kalkülüsü olasılıklar kuramına uygulayarak denklem çözümleri alanında önemli çalışmalar ortaya koymuştur. Her doğal sayının dört adet sayının karesinin toplamı olduğunu kanıtlamıştır. Theorie des fonctions analytiquesadlı çalışması grup teorisini oluşturan temellerindendir. Kalkülüs alanında Taylor serilerine ve içkestirime özgün bir yaklaşım geliştirmiştir. Dünya, Ay ve Güneş için üç cisim problemi ve Jüpiterin uydularının hareketleri üzerinde çalışmıştır ve 1772 yılında, günümüzde Lagrange noktaları olarak bilinen kavramı içeren bu probleme özel durum çözümleri bulmuştur. En önemli katkıları mekanik alanında yaptıklarıdır. Newton mekaniğini bugün Lagrange mekaniği olarak bilinen analiz branşına dönüştürmüş ve mekanik prensipler olarak adlandırılan prensiplerin aslında değişkenler kalkülüsünün basit sonuçları olduğunu göstermiştir.
Biyografi
İlk Yılları
Langrange, Lodovico Lagrangia doğum adına sahip İtalyan ve Fransız kökenli bir bilim adamıdır. Büyük dedesi Torinoya taşınmış ve İtalyan bir kadınla evlenmiş bir Fransız ordusu subayıydı. Büyük dedesi gibi babası ve dedesi de İtalyan bir kadın ile evlendi. Annesi Torinonun kırsal kesimlerinden gelmektedir. Roma Katoliki olarak yetiştirildi ancak daha sonra Agnostik oldu.
Babası Kralın askeri hazinesinde yetkili ve Torinoda Bayındırlık ve Tahkimat Ofisi saymanı olarak görev yapıyordu. Toplumda iyi bir yere ve zenginliğe sahipti ancak oğlu henüz erişkinliğe ulaşmadan elindeki zenginliğin büyük bir kısmını kaybetti. Lagrange için babası tarafından belirlenen kariyer avukatlık oldu ve Langrange bunu istekli bir şekilde kabul etti. College of Turinde eğitim gördü ve en sevdiği ders klasik Latince idi. Başlarda matematiğe ilgisi yoktu hatta Yunan geometrisini sıkıcı buluyordu.
İlk olarak on yedi yaşında matematiğe ilgi göstermeye başladı. Bu ilgisi tamamen rastlantı eseri karşılaştığı Edmund Halleyin bir çalışması sonucu ortaya çıktı. Tek başına ve hiçbir yardım almadan matematik alanında çalışmaya başladı. Çalışmalarına başladığı yılın sonunda başarılı bir matematikçi haline gelmişti. III. Charles Emmanuel Lagrangeı Sostituto del Maestro di Matematica (yardımcı matematik profesörü) unvan ile kalkülüs ve Piedmontese ordusunun Benjanim Robins ve Leonard Eulerin balistik kuramlarını ilk uygulamalarına destek olması için mekanik dersi vermesi amacıyla 1755 yılında Kraliyet Teorik ve Pratik Topçuluk Akademisi ne tayin etti. Lagrange bir mühendislik okulunda kalkülüs dersi veren ilk kişiydi. Akademinin ünlü askeri komutanı ve topçuluk teorisyeni Papacino DAntoniye göre Lagrange, ihmalkar öğretme şekli, soyut kanıtlamaları ve topçuluk ve istihkam mühendisliği uygulamalarında gösterdiği sabırsızlık nedeniyle sorun yaratan bir profesör olmuştu.
-Değişkenler Kalkülüsü
Lagrange değişkenler kalkülüsünü ortaya çıkaranlardan biriydi. 1754 yılından itibaren önce Tautochrone eğrisi üzerinde çalıştı daha sonra da işlevsellerin maksimize ve minimize edilmesi için bir işlevselin en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için kullanılan yönteme benzer bir yol keşfetti. Lagrange 1754 ve 1756 yılları arasında Leonard Eulere bulduğu sonuçları anlatan mektuplar yazdı. Daha sonradan bulunacak olan Euler-Lagrange değişkenler kalkülüsü denklemlerinin önünü açan ve Eulerin daha önceki analizlerini basitleştiren δ-algoritmasını özetledi. Lagrange bu çalışmalarını klasik mekanik problemlerine uyguladı ve Euler ve Maupertiusun sonuçlarını genelleştirdi.
-Miscellanea Taurinensia
1758 yılında öğrencilerinin de yardımı ile daha sonradan Torino Bilim Akademisi olarak adlandırılan bir topluluk kurdular. İlk zamanlarda yazdığı yazıların birçoğu bu topluluğun tutanaklarının beş cildinde bulunmaktadır. Bu yazılar oldukça ayrıntılı şekilde yazılmışlardır. İlk cilt, sesin yayılımı ile ilgili kuramı barındırır. Bu yazılarda Lagrange, Newtonun yaptığı bir hataya dikkat çeker ve hareket için türevsel bir denklem bulur ardından bu denklemin düzgün doğrusal hareket için integralini alır. Bu cilt ayrıca enine titreşen yay probleminin tam çözümünü de içermektedir. Çalışmalarında Euler, Brook Taylor, DAlembert tarafından ortaya atılan çözümlerdeki genellenebilirlik eksikliğinden söz eder ve herhangi bir t anında eğrinin şeklinin eşitliği ile bulunacağını gösterir. Makalesi vuruş ve yankılar hakkında ustaca bir tartışma ile sona erer. Bu ciltteki diğer makaleler, yinelenen seriler, olasılık ve değişkenler kalkülüsü üzerinedir.
İkinci cilt, değişkenler kalkülüsü üzerine yazılmış ve birinci ciltte bulunan birkaç makalenin sonuçlarını, kuramlarını ve gösterimlerini içeren uzun yazılardan oluşmaktadır. Ayrıca değişkenler kalkülüsünün az eylem prensibine ve bazı dinamik problemlerine uygulanışını da içermektedir.
Üçüncü cilt değişkenler kalkülüsü kullanılarak çözülmüş dinamik problemlerini ve integral kalkülüsü üzerine bazı yazılar içermektedir. Ayrıca yukarıda bahsi geçen Fermatın problemine, tam kare olmayan bir n tam sayı ele alarak x2n + 1 ifadesini tam kare yapan x değerini bulduran bir çözüm ve karşılıklı etkileşimler altında hareket eden üç cisim için genelleştirilmiş türevsel denklemler bulundurmaktadır.
Yayımladığı bir diğer çalışması 1764 yılına aittir içeriği, ayın salınım hareketi ve neden sürekli aynı yüzünün göründüğüdür. Bu çalışmalarında görsel içerikler yer almaktadır. Bu çalışmaları daha sonra 1780 yılında ispatlayacağı genel hareket denklemlerinin temellerini atması açısından önemlidir.
Berlin
1756 yılında Euler ve Maupertius, Lagrangeın matematik alanındaki yeteneğini fark edip onu Berline gelmesi konusunda ikna etmeye çalıştılar. Ancak Lagrangeın böyle bir niyeti yoktu ve bu teklifleri utangaç bir şekilde reddetti. 1756 yılında dAlembert, Lagrange için II. Friedrich e Lagrangedan Berlinde daha saygın bir konuma gelmesi amacıyla Torinodan ayrılmasını istemesi için bir mektupla yalvardı fakat Lagrange bu teklifi tekrar reddetti. DAlemberte verdiği cevap
M. Euler orada bulunduğu sürece Berlin benim için uygun bir yer gibi görünmemektedir.
şeklindedir. 1766 yılında Euler, Saint Petersburga gitmek için Berlini terk etti ve Fredrich Lagrangea Avrupadaki en büyük Kral olarak Avrupanın en büyük matematikçisini evinde ağırlamak isteğini belirttiği kendisi tarafından yazılmış bir mektup gönderdi. Lagrange sonunda ikna oldu ve önündeki yirmi yılı sadece yaptığı ufak çalışmalarla değil aynı zamanda çok önemli çalışması olan Mécanique Analytique i de ortaya çıkararak geçirdi. 1767 yılında Lagrange kuzeni Vittoria Conti ile evlendi.
Lagrange kendisine sık sık hayatın mükemmel düzenliliğinin avantajları hakkında söylevler veren Kralın gözdesiydi. Lagrange bu söylevlerden gereken dersi çıkardı ve o zamandan itibaren beynini ve vücudunu bir makine olarak görmeye başladı ve dayanabileceği son noktaya kadar yapabileceği iş miktarını bulmaya çalıştığı deneyler yaptı. Her akşam bir sonraki gün için kendine görevler belirledi ve tamamladığı her çalışmanın ardından geliştirilebilecek yerlerini görmek amacıyla çalışmasına kısa analizler yazdı. Çalışmalarını bir araya getirmeden önce onları kafasında toparlayıp kağıda dökmeye başladığında hiçbir düzeltme ve silme gereği duymadan yazmaktaydı.
Buna rağmen Lagrangeın sağlığı pekiyi değildi. Hatta eşi ondan daha kötü durumdaydı ve 1783 yılında hayatını kaybetti. Bu durum Lagrangeı çok ağır bir depresyon sürecine soktu. 1786 yılında II. Fredrich hayatını kaybetti ve Berlin Lagrange için sıkıntılı ve üzücü bir hale geldi.
Paris
1786 yılında Fredrichin ölümünden sonra Lagrange İspanya ve Napoliyi de içeren ülkeler tarafından benzer davetler aldı ve XVI. Louisin davetini kabul ederek Parise taşındı. Fransada ona şöhretini ve üstünlüğünü yansıtması için bütün imkanlar sağlanmıştı. Louvreda kendisi için özel evler ayarlandı ve Fransız Bilim Akademisine üye yapıldı. Paristeki ilk yıllarında sürekli melankoli atakları geçirmekteydi ve neredeyse çeyrek yüzyıl boyunca üzerinde çalıştığı Mécanique Analytique bile iki yıl boyunca kapağı dahi açılmadan masasında durdu. Fransız ihtilaline karşı duyduğu merak onu bu durumundan kurtardı ancak ihtilalin giderek büyümesi ile bu merak paniğe dönüştü.
1792 yılında yaşadığı büyük hüzün ve çekingenlik, bir astronom olan arkadaşı Pierre Charles Le Monnierin kızı 24 yaşındaki Renée-Françoise-Adélaide Le Monniere karşı bir aşka dönüştü. Renée Lagrange ile evlenmek konusunda oldukça ısrarlıydı ve daha sonra kendisini, ona daha da bağlı hale gelen kocasına adamış bir eş olarak kanıtladı.
1793 yılının Eylül ayında Terör Dönemi başladı. Kendisi ve diğer birçok akademisyen ile birlikte Akademiden atılmış olan Antonie Lavosierin araya girmesi ile Lagrange, Ekim 1793te çıkarılan yabancıların Fransayı terkine dair emirden muaf tutuldu. 4 Mayıs 1794 yılında Lavoisier ve diğer 27 iltizam vergicisi ölüm cezasına çarptırıldı ve mahkemenin yapıldığı günün akşamında giyotine gönderildiler. Lagrange Lavoisierin ölümü üzerine:
Bu kafanın düşmesi sadece bir an sürdü ve yüzyıllar bir benzerini üretmek için yeterli olmayacak.
yorumunu yapmıştır. Lagrange Fransadan kaçmaya çalışmasına rağmen o dönemlerde hiçbir zaman bir tehlike altında olmamıştı. Farklı devrimci hükumetler onu övgü ve şöhret ile onurlandırdılar. Lagrangeın bu şansının ve güvenli durumun yıllar önce açıkladığı hayat görüşü nedeniyle ortaya çıktığı düşünülmektedir."İnanıyorum ki genel olarak her akıllı adamın ilk prensibi yaşadığı ülkenin yasalarına, mantıksız olsalar dahi, sıkı bir şekilde uymaktır."
Lagrangea duyulan saygını en etkili örneği 1796 yılında İtalyada bulunan bir Fransız vekilin Lagrangeın babasını ziyaret edip oğlunun başarıları adına kutlanmasının emredilmesidir. Napoleon başa geçtiği zaman ülkedeki bilimsel çalışmaları büyük bir ilgi ile destekçisi olmuştu. Lagrange 1700 yılında senatörlük görevini aldı ve doğduğu toprakları Fransaya katan Sénatus-consulteyi ilk imzalayan kişi oldu. Bunun sonucunda Fransız vatandaşlığı hakkı kazandı.
-Ölçüm Birimleri
Lagrange 1790larda ölçümler için yeni bir birim sistemi oluşturma çalışmalarında yer aldı. Fransadan kaçmayı planladığı sıralarda la Commission des Poids et Mesures ın başkanlık görevi ona teklif edildi. Lavoiserin 1794 yılındaki ölümünden sonra metre ve kilogram birim sisteminin ve ondalık basamak sisteminin 1799 yılında komisyon tarafından kabulünde en büyük pay Lagrangeın oldu. Ayrıca Lagrange 1795 yılında kurulan Bureau des Longitudes ın kurucularındandır.
- Ecole normale
1795 yılında Lagrange yeni kurulan ve sadece dört ay boyunca çalışmaktan zevk aldığı Ecole normalede matematik öğretmenliğine atandı. Derslerinin oldukça temel konuları içermesine ve özel bir öneme sahip olmamalarına rağmen profesörlerin halkın temsilcilerine ve kendilerine karşı hiçbir zaman sadece akıllarından tekrarlamayacaklarına ve bir yerden okumayacaklarına dair söz vermeleri nedeniyle bu dersleri de yayımlandı ve yaptığı söylevler çıkarılan emir gereği kayıt altına alındı.
- Ecole Polytechnique
1794 yılında Lagrange profesör olarak Ecole Polytechniquee atandı ve dersleri kendinden ders alma şansına sahip matematikçiler tarafından mükemmel olarak nitelendiriliyordu. En basit konulardan başlayarak neredeyse öğrencileri için tamamen bilinmez olan konulara geliyordu. Konuların bu derece ilerlemesini sağlayan öğrencilerin kendisiydi. Hepsinden önemlisi öğrencilerini simetrik gösterimle ifade edilen genel yöntemleri kullanmanın avantajı konusunda etkilemesiydi.
- Sonraki Yıllar
1810 yılında Lagrange, Mécanique Analytique üzerinde bazı yenilemelere gitti ancak 1813 yılındaki ölümünden önce sadece üçte ikilik bir kısmını tamamlayabildi. Ölümünden iki gün önce Napolyon onu Grand Croix of the Ordre Impérial de la Réunion unvanı ile onurlandırdı. Aynı yıl Paristeki Panthéona gömüldü.
Berlindeki Çalışmaları
Lagrange, Berlinde geçirdiği yirmi yıl boyunca bilimsel çalışmalar açısından oldukça aktifti. Başyapıtı Mécanique Analytique i yayımlamasının yanı sıra katkıda bulunduğu veya kendi yayımladığı yüz ila iki yüz çalışmayı Torino Akademisi, Belin Akademisi ve Fransız Akademilerine gönderdi. Bunlardan bazıları tam bir bilimsel eser niteliği taşıyordu ve hepsi tam anlamıyla mükemmeldiler.
Berlinde yaptığı çalışmalara ilk olarak Miscellanea Taurinensia nın dört ve beşinci ciltlerine yaptığı önemli katkılar ve bunların arasında en önemlileri olarak görülen Miscellanea Taurinensia ya eklenen birçok astronomik gözlemi tartıştığı yazıları örnek olarak verilebilir. Ayrıca Torino Akademisinde bulunan topluluk tutanaklarının ilk iki cildine yaptığı akışkanların hareketi ve sonsuz seriler konularında yaptığı katkılar da önemli çalışmaları arasındadır.
Parise gönderilen yazılarının çoğu astronomik sorular üzerineydi. Bu yazıları arasında bahsedilmesi gerekenler, 1766 yılında Jovian sistemi üzerine, 1772 yılında üç cisim problemi üzerine, 1773 yılında ayın köksel denklemi üzerinde ve 1778 yılında kuyruklu yıldızların yörüngelerindeki sapmalar üzerine olanlardır. Her bir çalışması bir ödüle layık görülmüştür.
Lagrange mekaniği
1772 ve 1788 yılları arasında Lagrange, formülleri basitleştirmek ve hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla Klasik/Newton mekaniğini yeniden düzenledi. Lagrangeın yaptığı düzenlemeleri içeren mekaniğe Lagrange mekaniği adı verilir.
Cebir
Bu süreçte yayımlanan ve Prusya Bilim Akademisine gönderilen çalışmalarının çoğu cebir alanındaki sorular üzerineydi. Çalışmaların içerikleri:
Tam sayıların ikinci dereceden ve daha genel cebirsel şekillerde gösterilmesi. (1760-1770)
Eleme Kuramı üzerine bir yazı. (1770)
Lagrange Kuramı
1770 ve 1771 yılları arasındaki çalışmaları herhangi bir cebirsel denklemi Langrange çarpanları ile çözmeyi içermekteydi. Bu yöntem beşinci ve daha yüksek dereceden denklemleri çözerken genel bir çözüm ortaya çıkarmak konusunda başarısız oluyordu çünkü yardımcı denklem ilkinden daha büyük dereceden oluyordu. Bu yöntemin önemi ikinci, üçüncü ve dördüncü dereceden denklemlerin çözümü için bilinen formüllerin tek bir prensibe dayandığını göstermesi ve Galois kuramının temellerini oluşturmasıdır.
Sayı Kuramı
İlk çalışmalarından bazıları sayı kuramı ile ilgili sorular üzerineydi.
Lagrange, Pells denkleminin kare olmayan n doğal sayıları için tam sayılarda aşikar olmayan bir sonucu olduğunu kanıtlayan ilk kişidir. (1766-1769)
Bachet tarafından herhangi bir doğrulama olmadan ortaya atılan her pozitif tam sayının dört adet karenin toplamı olduğu kuramını kanıtlamıştır. (1770)
n değerinin yalnızca (n − 1)! + 1 ifadesinin n in bir katı olduğunda asal olduğunu söyleyen Wilson kuramını kanıtladı.
1773, 1775, 1777 yılındaki çalışmaları Fermat tarafından açık bir şekilde ifade edilmiş ancak kanıtlanmamış sonuçlara örnekler içermekteydi.
Recherches dAritmétique adlı eserinde ikili ikinci dereceden sistemler için herhangi bir tam sayı şeklinde olduğu zaman kullanılacak genel bir kuram geliştirdi.
Sonsuz kesir kuramına birçok katkıları oldu.
Diğer matematiksel çalışmaları
Lagrange ayrıca analitik geometrinin birçok alanı ile ilgili çalışmalar yapmıştır. 1792 ve 1793 yıllarında yayımladığı çalışmalarının ikisinde konik denklemlerini doğal hallerine dönüştürdü.
1772 ve 1785 yılları arasında kısmi türevsel denklemler denilen alanı ortaya çıkaran çalışmalar yaptı. Lagrangeın bu çalışmalarının büyük bir kısmı Eulerin 1794 yılında yayımlanan integral kalkülüsünde bir araya getirildi.
Astronomi
Lagrange, astronomi alanını ilgilendiren konular ve problemler üzerine de çalışmalar yapmıştır. Bunlardan en önemlileri:
Üç cisim problemini çözmeye yönelik çalışmalar. Bu çalışmaların sonucunda bugün Lagrange noktaları olarak bilinen kavramı ortaya çıkarmıştır.
Ayın köksel denklemi üzerine çalışmalar ve potansiyel kavramının ilk kez ortaya atılması. Bir cismin herhangi bir noktadaki potansiyelinin cismin her bileşeninin kütlelerinin toplamının noktaya olan uzaklığa bölünmesi ile elde edildiğini öne sürdü. Lagrange ayrıca dışarıdaki bir noktada bulunan bir cismin potansiyeli biliniyorsa, herhangi bir noktadaki çekim kuvvetinin bulunabileceğini gösterdi.
Bir gezegenin yörüngesindeki düğümlerin hareketleri üzerine çalışmalar yaptı.
Gezegenlerin yörüngelerindeki kararlılıklar hakkında çalıştı.
Bir kuyruklu yıldızın yörüngesinin belirlenmesine dair, yaptığı gözlemlerden yola çıkarak iki adet makale yazdı.
İçkestirim yöntemi hakkında üç adet makale. (1783, 1792, 1793) Bu yöntemin büyük bir kısmı günümüzde Lagrangeın bıraktığı şekliyle kullanılmaktadır.
Mécanique analytique
Bu çalışmalarından en büyüğü ve en önemlisi, değişkenler kalkülüsü yardımıyla etki yönündeki iş yasasını ortaya koyduğu ve bu sayede katı ve akışkan mekaniklerinin en temel prensiplerini ortaya çıkardığı Mécanique analytique adlı kitabıdır.
Bu kitabın amacı konunun tek bir prensibe dayandığını göstermek ve istenilen herhangi bir sonucun elde edilebileceği formüller ortaya koymaktır. Bu sonuçları elde ettiği genelleştirilmiş konsayılar yöntemi, belki de bu analizin en mükemmel sonucudur. Euler ve DAlembertin daha önceleri yaptığı gibi cisimlerin hareketini tek tek kısımlara bölerek incelemek yerine eğer hareketin biçiminin yeterli miktarda ve sistemin izin verdiği kadar dereceye sahip değişkenlerle belirtilmesi durumunda potansiyel ve kinetik enerjinin bu değişkenler cinsinden gösterilebileceğini ve hareketin türevsel denklemlerinin basit bir türev alma işlemi ile ortaya çıkarılabileceğini gösterdi. Örneğin, Katı bir cismin dinamik sistemi ile ilgili bir problemi ele alarak bu probleme getirilen yaklaşımı günümüzde T nin kinetik enerjiyi, V nin de potansiyel enerjiyi temsil ettiği
şeklinde gösterilen genel bir formülle değiştirmiştir. Daha sonra da ilk yayımlanma amacı bu denklemi çözmek olan ve Lagrange çarpanları olarak bilinen yöntemi üretti. Bütün bu analiz o kadar şık ve zarifti ki Sir William Rowan Hamilton bu çalışmayı bilimsel bir şiire benzetmiştir. Lagrange, mekaniğin tıpkı dört boyutlu geometriye benzer olarak soyut matematikten oluştuğunu iddia etmekteydi ve buna kanıt olarak eserinde tek bir çizim dahi olmaması ile gururlanıyordu. İlk başlarda bu kitabı basacak kimseyi bulamamıştı ancak daha sonra Legendrenin Paristeki bir şirketi bu işi alması konusunda ikna etmesi sonucunda Laplace, Cousin, Legendre ve Condorcetin denetlemeri altında 1788 yılında yayımlandı.
Fransadaki Çalışmaları
Türevsel kalkülüs ve değişkenler kalkülüsü
Lagrangeın Ecole Polytechniquete verdiği dersler daha sonradan ortaya koyacağı 1797 yılında yayımlanan Théorie des fonctions analytiques adlı eserinin temelini oluşturdu. Bu çalışma 1772 yılında Berline gönderdiği bir başka çalışmasının genişletilmiş haliydi ve cebirin genelleştirilmesi prensibine dayanıyordu.
Lagrangeın bu çalışmasına oldukça benzer bir başka eser de John Laden tarafından 1758 yılında Redidual Analysis adı altında yayımlandı. Lagrange, filozofların birçoğunun türevsel kalkülüs alanında sıklıkla kullandığı sonsuz küçük ve sonsuz büyüklükteki miktarları kullanarak karşılaştığı zorlukların üstesinden gelebileceğine inanıyordu. Kitap üç bölümden oluşmaktaydı. İlk bölüm, işlevsellerin genel kuramı üzerineydi ve Taylor kuramına geçerliliği tartışmaya açık cebirsel bir ispat sunmaktaydı. İkinci kısım çalışmasının geometriye, üçüncü kısım da mekaniğe uygulanmasını anlatıyordu.
Aynı konuları ele alan Leçons sur le des fonctions 1804 yılında yayımlandı. İki yıl sonra da ikinci baskısı yayımlandı. Bu kitapta Lagrange, ünlü yöntemi Lagrange çarpanlarını formüle döktü. Lagargeın bu alanda yaptığı çalışmalar Cauchy, Jacobi ve Weierstrassın çalışmalarının temelini oluşturduğu söylenenilir.
Sonsuz küçükler
Daha sonraki dönemlerde Lagrange, sonsuz küçükleri, türevsel kalkülüs alanında çalıştığı sırada tekrar kullanıma kazandırdı. 1811 yılında yayımlanan Mécanique Analytique in ikinci basımının önsözünde sonsuz küçüklerin kullanımının doğruluğundan şu sözlerle bahseder:
Sonsuz küçüklerin ruhuna sıkıca tutunduğumuzda ve sonuçlarının kesinliğini hem ilk ve nihai geometrik yöntemlerle hem de türevlenmiş işlevsellerin analitik yöntemi ile doğruladığımızda, sonsuz küçükleri, ispatlarımızı kısaltmak ve basitleştirmek adına emin bir şekilde kullanabiliriz.
Sayı Kuramı
Résolution des équations numériques adlı eseri 1798 yılında yayımlandı ve bu eser Ecole Polytechniquete verdiği derslerin meyvesiydi. İçeriği, sonsuz kesirler ile bir denklemin gerçel köklerini yaklaşık olarak bulma ve birçok diğer kuramdan oluşmaktaydı. Kitabın sonunda Fermatın küçük teoreminin
ap−1 − 1 ≡ 0 (mod p)
p nin asal ve a nın p den önce geldiği durumlarda herhangi bir ikiterimli denklem için tamamen cebirsel sonuçlar vermesi için nasıl uygulanabileceğini gösteren bir not bulunmaktadır. Ayrıca bu notta köklerinin, köklerin farkının karesine eşit olan denklemin köklerin yeri ve doğası hakkında bilgi almak için kullanılabileceğinden bahsetmekteydi.
Gök mekaniği
Gezegen hareketleri Lagrangeın Berlinde yaptığı çalışmaların temelini oluşturmuştur. 1806 yılında bu konular Poisson tarafından tekrar gündeme getirilmiştir ve Lagrangeın kuramlarının gezegenlerin yörüngelerindeki kararlı olmaları belirli sınırların olduğunu gösterdiğini belirtmiştir. Lagrage, 1808 yılında Akademiye yazdığı bir mektup ile rastgele seçilmiş sabitlerin değiştirilmesi ile karşılıklı etkileşen sistemlerin yinelenen ya da köksel eşitsizliğinin nasıl belirlenebileceğini açıkladı.
Ödüller ve Şöhreti
Euler, Lagrangeı Berlin Akademisi seçimlerinde aday gösterdi ve Lagrange 2 Eylül 1756 yılında Akademi başkanlığına seçildi. Ayrıca 1790 yılında Edinburgh Kraliyet Topluluğuna, 1806 yılında İsveç Kraliyet Bilim Akademisine yabancı üye olarak seçildi. 1808de Lagrangea birçok onur rütbesi ve unvan verdi.
1764 yılında Fransız Bilim Akademisi tarafından Ayın salınımı üzerine yaptığı çalışmalar sonucunda ödüle layık görüldü. 1766 yılında ise Jüpiterin uydularının hareketine dair yaptığı çalışma ile tekrar ödüllendirildi. Ayrıca 1772, 1774 ve 1778 yıllarında verilen ödülleri de başkaları ile paylaşmıştır.
Lagrange, Eiffel Kulesine adları işlenen 72 ünlü Fransız bilim insanı arasında yer almaktadır. Paristeki bir sokağa ve Aydaki bir kratere Lagrange adı verilmiştir.