Asal sayı

Asal sayılar, sadece iki pozitif tam sayı böleni olan, kendisine ve 1 sayısına kalansız bölünebilen, 1'den büyük sayma sayılarıdır. ile gösterilir. En küçük asal sayı 2'dir.
Öklid'den beri asal sayıların sonsuz olduğu bilinir. Asal sayılar hakkındaki pek çok soru günümüzde hala cevaplanamamaktadır.
Asırlardır asal sayılar üzerinde birçok teorem ortaya atılmış ve ispat edilmiştir. Asal sayıların bulunması için çeşitli formüller üretilmeye çalışılmış, fakat bunların hiçbiri bir sonuca varamamıştır. Sayılar Teorisi'nin en önemli uğraşısı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır. Asal sayılar ayrıca kriptografi alanında yapı taşlarıdır.
1 sayısı
1 sayısı günümüzde ne asal ne de bileşik kabul edilir ve özel bir durumu vardır. Geçmişte pek çok matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyordu. 1'in asal olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hala sürdürmektedir: Stern ve Zeisel'in çalışmaları gibi. Henri Lebesgue, çalışmalarında 1'i asal olarak ele alan son profesyonel matematikçi olarak bilinir. 1 asal olarak ele alındığında bazı teoremlerde değişikliğe gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif tam sayıların "yalnız bir şekilde" asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen aritmetiğin temel teoremi, geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir.
Asal oturanlar
Aritmetiğin temel teoremi 1'den büyük tüm tam sayıların asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini, üstelik yazımın da (asal çarpanların değişik sıralanması hariç) yalnız bir şekilde (teklik) olacağını söyler. Bir sayının asal çarpanlara ayrılmasında bir asal sayı birden fazla tekrar edebilir. Dolayısıyla asal sayılar, doğal sayıların "temel inşa taşları" olarak düşünülebilir.
Örneğin, 23244'ü şu şekilde asal çarpanlarına ayırabiliriz:23244 = 22 3 13 149
ve 23244'ün diğer asal çarpanlara ayırış şekilleri yukarıdaki ile aynıdır, fakat asal sayıların sıralaması değişik olabilir. Büyük sayılar için değişik asal çarpanlara ayırma algoritmaları vardır.
İkiz asallar
Aralarındaki fark iki olan asal sayılar hakkındaki ikiz asallar konjektürü.
Örneğin:
(3, 5)
(5, 7)
(11, 13)
(17, 19)
(29, 31)
(41, 43)
(59, 61)
(71, 73)
(101, 103)
(107, 109)
Chen asalları
Bir a asal sayısı (a+2) biçiminde yazıldığında asal ya da yarı asal oluyorsa a değeri, Chen asalı olarak adlandırılmaktadır. İkiz asallarda, küçük sayı aynı zamanda Chen asalıdır.
Asal örnekler:
a = 5 5 + 2 = 7
a = 11 11 + 2 = 13
Yarı asal örnekler:
a = 2 2 + 2 = 4 2 2 = 4
a = 7 7 + 2 = 9 3 3 = 9
Mersenne asalları
Bir a doğal sayısı (2a 1) biçiminde yazıldığında hesaplanan değer Mersenne sayısı, asal oluyorsa aynı zamanda Mersenne asalı olarak adlandırılmaktadır. Mersenne asalları hesaplanırken, a sayısı da asal olarak alınmaktadır. Ancak a sayısının asal olarak alındığı bazı durumlarda, bileşik Mersenne sayıları hesaplanabilmektedir. Bilinen en büyük asal sayı olan 282,589,933 − 1, Mersenne asalıdır.
Mersenne asalları:
22 1 = 3
25 1 = 31
Bileşik Mersenne sayıları:
211 1 = 2047
Goldbach hipotezi
Asal sayılarla ilgili Goldbach hipotezi, doğru gözükmesine rağmen halen ispatlanamamıştır. "Her çift (2 hariç) sayı iki asal sayının toplamı mıdır?"
Örneğin:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11
16 = 3 + 13
18 = 5 + 13
20 = 3 + 17
22 = 3 + 19
24 = 5 + 19
26 = 7 + 19
28 = 5 + 23
30 = 7 + 23
32 = 3 + 29
34 = 5 + 29
36 = 7 + 29
Riemann hipotezi
Asal sayıların doğal sayılar içerisindeki dağılımı hakkındaki hipotezdir.