Aritmetiğin temel teoremi

Matematik'te aritmetiğin temel teoremi, aynı zamanda benzersiz çarpanlara ayırma teoremi ve asal çarpanlara ayırma teoremi olarak da adlandırılır, şunu belirtir: 1'den büyük her tamsayı, benzersiz bir şekilde asal sayıların üslerinin çarpımı olarak gösterilebilir.
Örneğin,
Teorem bu örnekle ilgili iki şey söylüyor: birincisi, 1200 asal sayıların çarpımı olarak temsil edilebilir ve ikincisi, bu nasıl yapılırsa yapılsın her zaman tam olarak dört 2, bir 3 ve iki 5 olacaktır ve sonuç bunların dışında başka asal sayı içermeyecektir.
Çarpanların asal olması gereklidir: bileşik sayıları içeren çarpanlara ayırmalar benzersiz olmayabilir (örneğin, ).
Bu teorem 1'in asal sayı olarak kabul edilmemesinin ana nedenlerinden biridir: eğer 1 asal olsaydı, asal sayılara ayırma benzersiz olmazdı; örneğin,
Teorem, bir alan üzerinde benzersiz çarpanlara ayırma alanı olarak adlandırılan ve temel ideal alanları, Öklid alanlarını ve polinom halkalarını içeren diğer cebirsel yapılara genelleştirilir. Ancak teorem cebirsel tamsayılar için geçerli değildir. Benzersiz çarpanlara ayırmadaki bu başarısızlık, Fermat'ın Son Teoremi'nin ispatının zorluğunun nedenlerinden biridir. Cebirsel tamsayı halkalarında benzersiz çarpanlara ayırmanın örtülü kullanımı, Fermat'ın ifadesi ile Wiles'ın kanıtıdır.
Tarihçe
Temel teorem, Öklid'in Elementler'inin Kitap VII, 30, 31 ve 32. önermelerinden ve IX. Kitap, 14. önermesinden türetilebilir.
(Modern terminolojide: Eğer bir asal p ab çarpımını bölüyorsa, o zaman p ya ayı ya da byi ya da her ikisini de böler.) Önerme 30'a gönderme yapılır. Öklid lemması olarak ve aritmetiğin temel teoreminin ispatında gereklidir.
(Modern terminolojide: birden büyük her tam sayı bir asal sayıya eşit olarak bölünür.) Önerme 31 doğrudan sonsuz bölünebilme kanıtı ile kanıtlanır.
Önerme 32, önerme 31'den türetilmiştir ve çarpanlara ayırmanın mümkün olduğunu kanıtlamaktadır.
(Modern terminolojide: birkaç asal sayının en küçük ortak katı herhangi bir başka asal sayının katı değildir.) Kitap IX, önerme 14, Kitap VII, önerme 30'dan türetilmiştir ve çarpanlara ayırmanın benzersiz olduğunu kısmen kanıtlar. André Weil. Aslında bu önermede üsler hepsi bire eşit olduğundan genel durum için hiçbir şey söylenmiyor.
Asal çarpanlara ayırmanın varlığına giden yolda ilk adımı Öklid atarken, son adımı ise Kamāl al-Dīn al-Fārisī attı ve aritmetiğin temel teoremini ilk kez belirtti.
Gauss' Disquisitiones Arithmeticae Madde 16'sı, modüler aritmetik kullanan erken modern bir ifade ve kanıttır.
Uygulamalar
Pozitif bir tam sayının kanonik gösterimi
Her pozitif tamsayı asal kuvvetlerin çarpımı olarak tam olarak tek bir şekilde temsil edilebilir:
burada asal sayılardır ve pozitif tam sayılardır. Bu gösterim, boş çarpım'ın 1'e eşit olduğu kuralıyla genel olarak 1 dahil tüm pozitif tam sayılara genişletilir (boş çarpım 'a karşılık gelir) .
Bu temsile ''nin kanonik temsili' of, or the standard formdenir.. Örneğin,
999 = 3337,
1000 = 2353,
1001 = 71113.
çarpanları, değeri değiştirilmeden eklenebilir (örneğin, ). Aslında, herhangi bir pozitif tam sayı, tüm pozitif asal sayıların üzerine alınan bir sonsuz çarpım olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir;
burada sonlu sayıda pozitif tamsayılardır ve diğerleri sıfırdır.
Negatif üslere izin vermek, pozitif rasyonel sayılar için kanonik bir form sağlar.
Aritmetik işlemlera ve b iki sayısının en büyük ortak bölen (OBEB) ve en küçük ortak kat (EKOK) çarpımının kanonik gösterimleri basitçe şu şekilde ifade edilebilir: a ve bnin kanonik temsilleri:


Bununla birlikte, özellikle büyük sayıların tamsayı çarpanlara ayırma işlemleri, ürünlerin, EBOB'ların veya EKOK'ların hesaplanmasından çok daha zordur. Dolayısıyla bu formüllerin pratikte kullanımı sınırlıdır.
Aritmetik fonksiyonlar
Birçok aritmetik fonksiyon kanonik gösterim kullanılarak tanımlanır. Özellikle, toplama ve çarpım fonksiyonlarının değerleri, asal sayıların kuvvetleri üzerindeki değerlerine göre belirlenir.
İspat
İspat, Öklid lemmasını (Elementler VII, 30) kullanır: Eğer bir asal sayı iki tam sayının çarpımını bölüyorsa bölüyorsa, bu tam sayılardan en az birini bölmelidir.
Varlık
'dan büyük her tam sayının ya asal ya da asal sayıların çarpımı olduğu gösterilmelidir. Birincisi, asaldır. Daha sonra, güçlü tümevarım yoluyla, bunun 'dan büyük ve 'den küçük tüm sayılar için doğru olduğunu varsayalım. Eğer asalsa kanıtlayacak başka bir şey yoktur. Aksi takdirde, ve tamsayıları vardır; burada ve. Tümevarım hipotezine göre, asal sayıların çarpımıdır.
Benzersizlik

Teoremin tersine, iki farklı asal çarpanlara ayırmaya sahip bir tamsayı olduğunu varsayalım. {math|n}} böyle bir en küçük tamsayı olsun ve her bir ve asal olduğu yazalım. 'nin yi böldüğünü görürüz. Böylece by Öklid'in tezi'ne göre bazı leri böler. Genelliği kaybetmeden, i böler diyelim. ve her ikisi de asal olduğundan, böylece olur. 'yi çarpanlara ayırmamıza dönersek, gerçekleşmesi için bu iki çarpanı sadeleştirebiliriz. Böylece elimizde kesin olarak 'den küçük iki asal tamsayı çarpan var ve bu da 'nin küçüklüğü ile çelişiyor.
Öklid'in tezi olmadan benzersizlik
Aritmetiğin temel teoremi, Öklid tezi kullanılmadan da kanıtlanabilir. Aşağıdaki kanıt, Öklid'in Öklid algoritması orijinal versiyonundan esinlenmiştir.
'in asal sayıların iki farklı çarpımı olan en küçük pozitif tamsayı olduğunu varsayalım. Bu, eğer varsa, 'in 'den büyük bileşik sayı olduğu anlamına gelir.
Böylece,
yazılabilir.
Her 'den farklı olmalıdır. Aksi takdirde, eğer dersek, 'den küçük bazı pozitif tamsayı çarpanları olacaktır. Gerektiğinde iki çarpan değiştirilerek olduğu da varsayılabilir.
ve olarak ve olarak, ayrıca, olduğundan olarak seçilir ve takiben
elde edilir.
'den küçük pozitif tamsayıların benzersiz bir asal çarpanlara ayırmaya sahip olduğu varsayıldığından, , 'in ya da 'nun çarpanları arasında yer almalıdır. 'den küçük olduğundan, benzersiz asal çarpanlara sahip olmalıdır ve her için için farklı olduğundan ikinci durum mümkün değildir. Eğer, 'in böleni ise, 'in de böleni olacağından ve farklı asal sayılar olacağından ilk durum da mümkün değildir.
Böylece, tek bir farklı asal çarpanlara ayırmadan daha fazlasına sahip en küçük bir tam sayı olamaz. Her pozitif tamsayı ya benzersiz bir şekilde çarpanlara ayrılacak bir asal sayı ya da asal sayıları benzersiz bir şekilde çarpanlara ayıran bir bileşik ya da tamsayısı durumunda herhangi bir asal çarpanı olmayan bir bileşik olmalıdır.
Genellemeler
Teoremin ilk genellemesi Gauss'un dördüncü dereceden karşıtlık üzerine ikinci monografisinde (1832) bulunur. Bu makale, şimdi Gauss tamsayı'larının halka olarak adlandırılan tüm karmaşık sayı'lar a + bi kümesini tanıttı; burada a ve b tam sayılardır. Artık ile gösterilmiştir. Bu halkanın sıfırdan farklı ±1 ve ±i dört birimine sahip olduğunu, birim olmayan sayıların asal sayılar ve bileşik sayılar olmak üzere iki sınıfa ayrıldığını ve bileşik sayılarrın asal sayıların bir ürünü olarak benzersiz çarpanlara ayırmaya sahip olduğunu gösterdi.
Benzer şekilde, 1844'te kübik karşıtlık üzerinde çalışırken, Eisenstein halkasını tanıttı; burada birliğin (küp)köküdür. Bu, Eisenstein tamsayılarının halkasıdır ve kendisi bunun altı birimi olduğunu ve benzersiz çarpanlara ayırmaya sahip olduğunu kanıtladı.
Ancak benzersiz çarpanlara ayırmanın her zaman geçerli olmadığı da keşfedildi. Örnek olarak verilmiştir. Bu halkada
vardır.
Bunun gibi örnekler "asal" kavramının değişmesine neden oldu. 'de yukarıdaki faktörlerden herhangi birinin bir çarpım olarak temsil edilebilmesi durumunda kanıtlanabilir, örneğin 2 = ab ise a veya bden biri bir birim olmalıdır. Bu, "asal"ın geleneksel tanımıdır. Bu faktörlerin hiçbirinin Öklid tezine uymadığı da kanıtlanabilir; örneğin 2, çarpımları 6'yı bölmesine rağmen ne (1 + ) ne de (1 − )'ı bölmez. Cebirsel sayılar teorisinde 2 'de indirgenemez olarak adlandırılır (kendisine ve birim sayıya bölünebilir) ancak asal değildir (çarpımı bölüyorsa çarpanlardan birini de bölmelidir). 'in belirtilmesi gereklidir çünkü 2 asaldır ve 'de indirgenemezdir. Bu tanımları kullanarak bir asal sayının indirgenemez olduğu kanıtlanabilir. Öklid'in klasik tezi " tamsayılar halkasında her indirgenemez asaldır" şeklinde yeniden ifade edilebilir. Bu aynı zamanda ve için de doğrudur ancak için geçerli değildir.
İndirgenemezler çarpanlara ayırmanın benzersiz olduğu yerlerde halkalara benzersiz çarpanlara ayırma alanı denir. Önemli örnekler, tamsayılar üzerindeki veya bir alan üzerindeki polinom halka'ları, Öklid alan'ları ve temel ideal alan'larıdır.
1843 yılında Kummer ideal sayı kavramını ortaya attı, bu kavram Dedekind tarafından 1876'da, halkaların özel bir alt alanı olan modern idealler teorisine geliştirildi. Burada idealler için çarpma tanımlanır ve bunların benzersiz çarpanlara ayrıldığı halkalara Dedekind alanları adı verilir.
sıra sayıları için benzersiz çarpanlara ayırmanın bir versiyonu vardır, ancak benzersizliği sağlamak için bazı ek koşullar gerektirir.