Genelleştirilmiş ortalama

Bir genelleştirilmiş ortalama Pisagorik ortalamalarını, yani aritmetik ortalama, geometrik ortalama ve harmonik ortalamayı, ayni tanım formülünde birleştirip kapsayan bir abstre genelleştirmedir. Güç ortalaması veya Holder ortalaması adları da verilmektedir.
Tanım
Eğer sıfır olmayan bir pozitif reel sayı ise, üslü genelleştirilmiş ortalama
ifadesine uyan pozitif reel sayılardır.
Özellikler
= 1 hali aritmetik ortalama, = - 1 harmonik ortalamasını ve t = 2 ise ortalama kare kökünü ortaya çıkartır. t limitte 0a yaklaşırsa, M(t) için verilen sayılar için limit o sayıların geometrik ortalamasını verir ve bu nedenle M(0) terimini geometrik ortalama olarak tanımlamak uygun olur. Bunun yanında t değerine limitte yaklaşmakta ise, M(t) verilen sayıların minimum değerine yaklaşım gösterir.
Birçok değişik ortalamalar gibi, genelleştirilmiş ortalama, argümanlarının bir homojen fonksiyonudur. Yani pozitif bir reel sayı ise, reel sayılarının üslü genelleştirilmiş ortalaması teriminin sayılarının genelleştirilmiş ortalamasına eşittir.
Yarı-aritmetik ortalamalar için uygulandığı gibi, ortalamanın hesaplanması birbirine eşit büyüklükte alt-blokların hesaplanması ile elde edilebilir.

Genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği
Genellikle, eğer olursa, o halde olur ve iki ortalama ancak ve ancak ise birbirine eşittir. Bundan şu sonuç ortaya çıkartılır:

ve bu Jensen'in eşitsizliğini kullanılarak ispat edilebilir.
Özellikle, ise genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği hem Pisagorik ortalamaların eşitsizliğini hem de aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliğini içermektedir.
Özel haller
- minimum,
- harmonik ortalama,
- geometrik ortalama,
- aritmetik ortalama,
- kuadratik ortalama,
- maksimum.
Kuvvet ortalamaları eşitsizliğinin ispatı
Karşıt işaretli ortalamalar arasındaki eşitsizlerin birbirine tıpatıp benzemesi
p ve q endeksli güç ortalamaları arasında bir ortalama bulunsun:
O halde:
(Bu pozitif reel sayılı kesinlikle azalan bir fonksiyon olduğu için) iki tarafın da -1 üssü alınabilir:
Böylece -p ve -q üsleri olan ortalamalar için bir eşitsizlik elde etmiş oluruz. Aynı mantığı tersten de kullana bilip eşitsizliklerin birbirine aynı olduğu ispat edilebilir. (Bu sonuç ileri de kullanılacaktır.)
Geometrik ortalama
Herhangi bir q değeri için, q üslü bir ortalama ile geometrik ortalama arasındaki eşitsizliğin şu yolla dönüşümü yapılabilir:
(Birinci eşitsizlik bir pozitif q için ispat edilmiş olması gerekir.)
Her iki tarafından q üssü alınırsa
olur. Her iki halde de silsilesi için ağırlıklı aritmetik ve geometrik ortalamalar arasındaki eşitsizlik ele geçirilir. Bu Jensen'in eşitsizliği ve logaritmik fonksiyonun konkav olduğu gerçeklerinden faydalanarak ispat edilebilir.
(Kesinlikle azalan) exp fonksiyonu her iki tarafa tatbik edilirse, şu eşitsizlik ortaya çıkar:
Böylece, herhangi bir pozitif q değeri için şu ifade önerilir:
Bu eşitsizlik herhangi bir q ne kadar küçük olursa olsun hep gerçek olacağı için, q limitte 0a yaklaştıkça, bu eşitsizliğin sol ve sağ tarafları geometrik ortalamaya yaklaşıklık gösterir. q 0a yaklaşım gösterdikçe, güç ortalaması limitte geometrik ortalamaya yaklaşır:
Herhangi bir güç ortalamaları çifti arasındaki eşitsizlik
Burada herhangi bir p<q için şu eşitsizliğin geçerli olduğu ispat edilecektir:
Eğer p negatif ise ve q pozitif ise, eşitsizlik yukarıda ispatı verilenin aynıdır:
Hem p pozitif hem de q pozitif ise ispat şöyle yapılır:
Önce şu fonksiyon tanımlanır:
.
Burada f bir güç fonksiyonudur; bu nedenle ikinci türevi bulunup şöyle ifade edilir:

Bu f sahası içinde kesinlikle pozitif olur; çünkü q > p olduğu için f konvekstir.
Bu sonucu ve Jensen'in eşitsizliğini kullanarak, şu ifadeler elde edilir:
Bunun her iki tarafının 1/q üssü alınırsa (1/q)'nin pozitif olması nedeniyle bunun bir artan fonskiyon görülür ve elde edilen eşitsizlik şu olur:
Bu eşitsizlik ise ispat gereken sonucudur.
Hem p negatif ve hem q negatif ise, daha önce gösterilenlere aynı olan ifadeler geçerlidir ve bunlara -p ve -q konulursa, ispatı istenilen eşitsizlik yine elde edilir.
Minimum ve maksimum
Minimum ve maksimum değerlerin üssel endeksleri
ve.
olan güç ortalamaları olduğu kabul edilsin. Böylece herhangi bir q değeri için
Maksimum için ispat şöyle yapılır:
Genelliği kaybetmeden xi dizisinin artan olmadığını ve ağırlığının sıfır olduğu kabul edilsin. Bu halde eşitsizlik şu ifadeyle aynıdır:
Bu ifadenin iki tarafının da q üssü alınırsa, (qnun işaretine bağlı olarak) şu iki ifadeden birisi elde edilir:
≤ eğer q>0, ≥ eğer q<0.
Her iki taraftan çıkartılırsa, elde edilen ifade
olur. Bu ile bölünürse, ortaya çıkan ifade şudur:
1 - w1 sıfır değildir, böylece
İki taraftan x1q çıkartırsak ortaya çıkan ifade
olur. Bu epeyce açıkça anlaşılır; çünkü x1 herhangi bir xi değerine eşit veya o değerden daha fazladır ve böylece
Minimum için de ispat nerede ise aynı şekilde yapılır; ancak x1, w1 yerine xn, wn kullanılır.
Genelleştirilmiş -ortalaması Genelleştirilmiş ortalama (veya güç ortalaması''') daha da genelleştirilip genelleştirilmiş f-ortalaması formülü ortaya çıkarılmıştır. Bu formül şöyledir:
Bu formüle göre güç ortalaması'' olarak elde edilir.
Uygulamalar
Sinyal üretilmesi
Bir güç ortalaması bir doğrusal olmayan hareketli ortalama hizmeti görür. Bu küçük için düşük sinyal değerlerine doğru kaydırma yapar ve büyük için yüksek sinyal değerlerine önem sağlar. Hareketli aritmetik ortalamanın etkin uygulaması (yani smooth uygulaması) gerçekse verilen şu Haskell koduna göre
powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
powerSmooth smooth p =
map ( recip p) . smooth. map ( p)
Bu büyük değerde için rektifiye edilmiş sinyal üzerinde bir zarf detektörü olarak hizmet görebilir.
Bu küçük değerde için kütle spektrumu üzerinde anahat detektörü olarak hizmet görebilir.