Cebirsel topoloji

Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir kümeye bir ya da birkaç işlem konarak sayılar kuramı ya da cebir yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir topoloji koyaraksa topoloji ve, ayrıca uzunluk koyarsak, geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı (örneğin herhangi boyutlu bir Öklit uzayı) incelemek için kimi cebirsel, aritmetik veya topolojik değişmezler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin tıkızlık, bağlantılılık, sayılabilirlik bu tür değişmezlerdir. Topolojik eşyapısal (birbirlerine homeomorfik) iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez aynı değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır.
İnşa
Topolojik uzaylara cebirsel değişmezler inşasında amaç şudur: her bir uzayı için olarak gösterilecek bir cebirsel nesne kurulacak. Ayrıca uzayından uzayına sürekli bir gönderimi, uzaylara karşılık gelen bu yeni cebirsel nesneler arasında cebirsel yapıları gözeten ve olarak gösterilecek gönderimler (morfizmalar) tarif edecek. Yani, topolojik kategoriden cebirsel kategorilere izleç(fonktör) inşa edilecek. Örneğin bir grup/halka/cisim/modül olarak inşa edilmişse, gönderimi grup/halka/cisim/modül homomorfizması olacak. Üstelik, inşa gereği, bu cebirsel nesneler ve gönderimler şu özellikleri sağlayacak:
(1) ve için
olacak.
(1') Ya da 'nin cinsine göre
olacak.
(2) birim gönderimine karşılık gelen, birim gönderim olacak.
Topolojik uzaylara karşılık gelen ve bu koşulları sağlayan bir cebirsel nesnesi icat edilmiş olsun. Eğer, 'ten 'ye bir topolojik eşyapıysa, 'nin tersi vardır ( diyelim) ve de bir eşyapıdır. Dolayısıyla topolojik eşyapının tanımı gereği ve olur. Yukarıdaki (1) ve (2) koşullarından,
ve
elde edilir. Birinci eşitlikten örten ikinciden birebir olmak zorunda kalır. Yani bir cebirsel eşyapı olur.
Şunu göstermiş olduk: (1) ve (2) sağlandığı sürece eşyapısal topolojik uzayların cebirsel nesneleri (grup, halka vs.) de birbirlerine eşyapısal olacak.
Örnekler
Burada birkaç cebirsel topolojik değişmez inşası özetlenecek.
Temel grup
Topolojik uzaylara karşılık gelen en basit cebirsel değişmezdir. Bir uzayı ve içinde bir noktasına karşılık, olarak gösterilen bir gruptur.
Öncelikle, uzayında sürekli bir eğri, [0,1] kapalı aralığından 'e giden sürekli bir gönderimdir. ve iki eğri olsun. ile 'nin ucuca eklenmesiyle oluşan eğriyi olarak gösterelim. noktasından başlayan ve aynı noktada biten tüm eğrilerin kümesiniyse ile gösterelim. Eğer herhangi iki eğriyi anlatan gönderimler birbirlerine homotopikse bu iki eğriye denk eğriler diyeceğiz. Gösterilebilir ki bu ilişki üzerinde gerçekten bir denklik bağıntısıdır.
Böylece oluşturulan denklik sınıflarının kümesi üzerinde ucuca ekleme işlemi hala iyi tanımlıdır; yani eğer eğrisi 'ye eğrisi de 'ye homotopikse, ile
eğrileri de birbirine homotopiktir. Bu denklik sınıflarını eleman olarak ve ucuca eklemeyi de işlem olarak kabul eden cebirsel nesne, gösterilebilir ki bir gruptur.
ve verildiğinde böylece inşa edilen gruba 'in 'daki temel grubu denir ve
olarak gösterilir.
Örneğin gerçel sayı doğrusunun () herhangi bir noktasındaki temel grubu tırışka (aşikar) gruptur; yani tek elemanlı gruptur. Oysa çemberin () herhangi bir noktasındaki temel grubu grubuna izomorfiktir. Dolayısıyla, ile birbirlerine topolojik eşyapısal olamazlar. Bunu daha önceden de biliyorduk; çünkü kompakt değildir ama kompakttır.
Yukarıdaki örneklerin aksine, genelde değişmeli bir grup değildir. Daha genel olarak, verilen her grup icin temel grubu o grup olan bir uzay inşa etmek mümkündür.
Homoloji grupları
Homoloji grupları ile gösterilen gruplardır. Temel grubun aksine homoloji gruplarının inşaları zor, hesaplanabilirlikleri kolaydır. Her uzayına, ile gösterilen bir zincir kompleksi denk gelir. Zincir kompleksi, tanım gereği, bir değişmeli grup dizisinden ibarettir. in elemanları ile gösterilir. Bu zincir kompleksinin ardıl koordinatları, ile gösterilen sınır morfizmazları ile bağlanmıştır. Başka bir ifadeyle,
ifadesi i göstermektedir. Bu gönderimlerinin temel özelliği olmasıdır. Yani, sınır morfiması art arda iki kere uygulandığında 0 morfizmasını verir. Bu özelliğin bir sonucu olarak, bir morfizmanın imaj kümesi bir sonraki mozfizmanın 0 kümesinin, yani çekirdeğinin, içindedir. İmaj gruplarını ve çekirdekleri ile gösterirsek, grubu in e bölümü ile bulunur.
Yukarıda tanımlanan grupları, ̇gruplarının fonksiyonları olduklarından, değiştirildiğinde farklı grupları elde edilir. in inşasına göre, lere değişik isimler verilir. grubu, uzayının tekil fonksiyonları kullanılarak tanımlanmış ise, elde edilen homoloji teorisine tekil homoloji teori denir. Benzer şekilde basit homoloji, demet homolojisı gibi farklı homoloji teoreleri elde etmek mümkündür. Bu teorilerin birçoğu kategorisinde aynı sonucu verir. Bazı özel homoloji teorileri, mesela Borel-Moore homoloji teorisi, lokal tıkız uzaylar için dizayn edilmiştir.
Genel olarak, topolojik kategori üzerindeki homoloji teorisi, o topolojik kategori ile değişmeli bir kategori arasında bir izleç tir. ile objeleri olan ve okları sürekli gönderimler olan topolojik kategoriyi gösterelim. izleci her ikilisine bir basamaklı değişmeli grup ve her sürekli gönderim ye de bir morfizma atar. Ayrıca, ile arasında doğal geçiş izleçleri vardır. nin bir homoloji teorisi olması için, aşağıda listelenen beş koşulun sağlanması gerekir. Bu koşul listesine Eilenberg-Steenrod-Milnor koşulları denir.
(1) Homotopy Koşulu: haritaları homotopik iseler, bunlara denk gelen morfizmalar aynı olmalıdırlar.
(2) Tamlık Koşulu: ve, doğal alt uzaylık haritaları ise,
tamdır.
(3) Kesme Koşulu: açık kümesinin kapanışı nın içinde ise, dahil olma haritası ya denk gelen morfizma birerbir ve örten olmalıdır.
(4) Boyut Koşulu: Sadece bir noktası olan uzayın bütün homoloji grupları 0 olmalıdır.
(5) Toplamsal Koşul: Uzayların topolojik toplamlarının homolojisi, homolojilerinin dik toplamı olmalıdır.
Bazı homoloji teorileri yukarıda verilen bütün koşulları sağlamayabilir. Tekil homoloji bu koşulların hepsini sağlar ve homoloji gruplarının hesaplanabilirliği Kesme Koşulunun bir sonucudur. Tekil homolojinin, kesme koşulunu sağladığı gösterilirken altbölüm tekniği kullanılır.
Kohomoloji grupları
Homotopi grupları
Yukarıda anlatılan temel grup kısmında tanımlandı. Burada, noktası sabitlenmişti ve başlangıç bitiş noktaları olan eğrilerin homotopi sınıfları kullanılmıştı. Başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan eğrilere döngü denir. Bu eğriler tipinde sürekli fonksiyonlardır. Homotopi kavramı, in teki döngülerinin sürekli değişimini izah etmek icin dizayn edilmiştir. yerine çok boyutlu kürelerini kullanırsak, "döngü" ler "çok boyutlu döngüler" e dönüşürler. Örnek olarak, çember (yani ) ve küre (yani ) yi düşününüz. Çemberin bir noktasından başlayan döngüler çemberin kendisidir veya tam katlarıdır. Kürenin bir noktasından başlayan döngüler çember şeklindedirler fakat küre nin yüzeyi üzeyinde ki her noktadan bir küre daha, yani çok boyutlu döngü, başlamaktadır. Benzer şekilde 3-boyutlu küre üzerindeki her nokta için 1-boyutlu döngülerin, 2-boyutlu kürelerin ve 3-boyutlu kürelerin homotopik değişimleri incelenebilir.
grubu 1-boyutlu döngülerin sürekli değişim(homotopi) sınıflarının grubu iken grubu boyutlu kürelerin sürekli değişim grubudur. k sayısı biren büyük ise değişmelidir. Örnek olarak, , , ve için verilebilir.
Bu cebirsel gruplar arasındaki en temel ilişki, lifli fonksiyonlara (fibrasyon) tayin edilen tam-uzun homotopi zinciridir. lifi verilsin. Doku kümesini ile gösterelim. Bu durumda, homotopi grupları arasında şöyle bir münasepet vardır:
Bu tam-uzun zincirde kullanılan morfizması tarafından belirlenir. morfizması doku kümesini uzayına gömen tarafından belirlenir. ise bağlantı morfizmasıdır. için bir gruptur fakat bir grup değildir. Bundan dolayı, yukarıda verilen zincirin 0-ıncı basamağındaki "tam" lığı sadece tanım ve değer kümelerinin örtüşmesine denk gelir. Yandaki şekilde bir fibrasyon örneği izah edilmiştir. Resimde uzayı olarak alınmıştır. uzayı, dörtgensel uzayın, yani nin, içine çizilmiş siyah bölgedir.
Cebirsel Topolojinin Temel Teoremleri
Bu kısımda ikilisinin verildiğini kabul ediyoruz. ı hesaplamak için kullanılan en temel teorem, Seifert- Van Kampen teoremidir. Bu teoremin kullanılabilmesi için, uzayının kesişimleri boş olmayan iki açık kümenin birleşimi şeklinde yazılabiliyor olması gerekmektedir. Ayrıca, bu altuzayların ve kesişimlerinin temel gruplarının bilinmesi gereklidir.
Teorem : (Seifert-Van Kampen) , ve kümeleri içerisinde açık olsunlar. Ayrıca, ve kümeleri yol bağlantılı olsunlar. Bu durumda, ilaveli çarpım grubuyla grubu izomorfturlar.
Bu teoremin homoloji versiyonu Mayer-Vietoris teoremidir.
Teorem : (Mayer-Vietoris) uzayı gibi iki altuzayın içlerinin birleşimi olsun. , ve gömmeleri
tam zincirini üretir. Bu tam zincir ise aşağıdaki tam-uzun homoloji zincirini üretir:

ve uzaylarının homoloji modülleri biliniyorsa, Mayer-Vietoris zincirinin tamlık özelliği kullanılarak uzayının homoloji modülleri elde edilebilir.
Homotopi ve homoloji grupları arasındaki münasepet Hurewicz teoremi olarak bilinmektedir:
Teorem : (Hurewicz Teoremi) olsun. ile eşyapılıdırlar. Bu izomorfizm ile doğal izomorfizma ile aynıdır.
Bu teoremin en aşikar örneği, değişmeli olduğunda olmasıdır.