Richard Dedekind

Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 Ekim 1831 - 12 Şubat 1916), sayılar teorisi, soyut cebir (özellikle halka teorisi ve aritmetiğin aksiyomatik temelleri) konularına önemli katkılarda bulunan bir Alman matematikçiydi. En iyi bilinen katkısı, Dedekind kesimi kavramı aracılığıyla reel sayıların tanımıdır. Ayrıca modern küme teorisi ve Mantıkçılık' olarak bilinen matematik felsefesi'nin gelişiminde öncü olarak kabul edilir.
Yaşamı
Dedekind'in babası, Braunschweig'deki Collegium Carolinum'un yöneticisi Julius Levin Ulrich Dedekind'di. Annesi, Collegium'daki bir profesörün kızı Caroline Henriette Dedekind'dir (evlenmeden önceki soyadı Emperius). Richard Dedekind'in kendisinden büyük üç kardeşi vardı. Bir yetişkin olarak, Julius Wilhelm isimlerini asla kullanmadı. Hayatının çoğunu yaşadığı ve öldüğü Braunschweig'de (İngilizcede genellikle "Brunswick" olarak adlandırılır) doğdu.
İlk olarak 1848'de Collegium Carolinum'a katıldı ve 1850'de Göttingen Üniversitesi'ne transfer oldu. Orada, Dedekind'e sayı teorisi konularını profesör Moritz Stern öğretti. Gauss, çoğunlukla ilkokul düzeyinde olmasına rağmen hala öğretmenlik yapıyordu ve Dedekind onun son öğrencisi oldu. Dedekind doktorasını 1852'de Über die Theorie der Eulerschen Integrale ("Euler integralleri Teorisi Üzerine") başlıklı teziyle aldı. Bu tezde, Dedekind'in sonraki yayınlarında sergilediği yeteneği görünmüyordu.
O zamanlar Göttingen değil Berlin Üniversitesi, Almanya'daki matematiksel araştırmaların ana merkeziydi.
Böylece Dedekind, çağdaşı olan ve birlikte 1854'te habilitasyon ile ödüllendirilecek olan Bernhard Riemann ile iki yıllık eğitim almak için Berlin'e gitti. Dedekind, olasılık ve geometri üzerine dersler vererek Privatdozent olarak öğretmenlik yapmak üzere Göttingen'e döndü. Peter Gustav Lejeune Dirichlet ile bir süre çalıştı ve iyi arkadaş oldular. Matematik bilgisindeki kalıcı zayıflıklar nedeniyle, eliptik ve abelyen fonksiyonlar üzerinde çalıştı. Yine de Göttingen'de Galois teorisi ile ilgili konferans veren ilk kişiydi. Bu sıralarda, cebir ve aritmetik için gruplar kavramının önemini anlayan ilk kişilerden biri oldu.
1858'de Zürih'teki Politeknik okulunda (şimdiki ETH Zürih) öğretmenliğe başladı. Collegium Carolinum 1862'de Technische Hochschule (Teknoloji Enstitüsü)'ne yükseltildiğinde, Dedekind, hayatının geri kalanını Enstitü'de ders vererek geçirdiği memleketi Braunschweig'e döndü. 1894'te emekli oldu, ancak ara sıra öğretmenlik yaptı ve yayın yapmaya devam etti. Hiç evlenmedi, bunun yerine kız kardeşi Julia ile yaşadı.
Dedekind, Berlin ve Roma Akademilerine (1880) ve Fransız Bilimler Akademisi'ne (1900) seçildi. Oslo, Zürih ve Braunschweig Üniversitelerinden fahri doktora aldı.
Çalışmaları
Polytechnic okulunda ilk kez kalkülüs öğretirken, Dedekind artık reel sayılar kavramın standart bir tanımı olan Dedekind kesimi (Almanca: Schnitt) olarak bilinen kavramı geliştirdi. Kesim fikri, bir irrasyonel sayının rasyonel sayıları iki sınıfa (kümelere) ayırmasıdır, bir sınıfın (daha büyük) tüm sayıları diğer (daha küçük) sınıfın tüm sayılarından kesinlikle daha büyüktür. Örneğin, karekök 2, kareleri 2'den küçük olan tüm negatif olmayan sayıları ve negatif sayıları küçük sınıfa ve kareleri 2'den büyük olan pozitif sayıları büyük sınıfa tanımlar. Sayı doğrusu sürekliliğindeki her konum ya bir rasyonel ya da irrasyonel sayı içerir. Böylece boş konumlar, boşluklar veya süreksizlikler yoktur. Dedekind, irrasyonel sayılar ve Dedekind kesimleri konusundaki düşüncelerini Stetigkeit und irrationale Zahlen ("Süreklilik ve irrasyonel sayılar") adlı broşüründe yayınlamıştır; modern terminolojide, Vollständigkeit yani tamlık.
Dedekind, iki kümeyi birebir örten olduğunda "benzer" olarak tanımladı. sonsuz kümenin ilk kesin tanımını vermek için benzerliğe başvurdu: Bir küme, "kendisinin uygun bir parçasına benzer" olduğunda; modern terminolojide, uygun altkümelerinden biriyle eş sayılı ise sonsuzdur. Böylece doğal sayıların N kümesinin, üyeleri Nnin her üyesinin karesi olan N alt kümesine benzer olduğu gösterilebilir, (N - N2):
Dedekind'in bu alandaki çalışması, genellikle kümeler teorisi'nin kurucusu olarak kabul edilen Georg Cantor'un çalışmasını öngördü. Benzer şekilde, matematiğin temelleri'ne yaptığı katkılar, Gottlob Frege ve Bertrand Russell gibi Mantıkçılık'ın önde gelen savunucuları tarafından yapılan daha sonraki çalışmaları tahmin ediyordu.

Dedekind, Lejeune Dirichlet, Gauss ve Riemann'ın toplu eserlerinin editörlüğünü yaptı. Dedekind'in Lejeune Dirichlet'in çalışması üzerine çalışması, onu daha sonraki cebirsel sayı cisimleri ve idealler üzerine yaptığı çalışmasına götürdü. 1863'te Lejeune Dirichlet'in sayılar teorisi hakkındaki derslerini Vorlesungen über Zahlentheorie ("Sayı Teorisi Üzerine Dersler") olarak yayınladı ve hakkında şöyle yazıldı:
Vorlesungen'in 1879 ve 1894 basımları, halka teorisi için temel olan bir ideal kavramını tanıtan ilaveleri içeriyordu. (Daha sonra Hilbert tarafından tanıtılan "halka" kelimesi Dedekind'in çalışmasında geçmiyor.) Dedekind, ideal'i, tamsayı katsayılı polinom denklemlerini sağlayan cebirsel tamsayılardan oluşan bir dizi sayının alt kümesi olarak tanımladı. Kavram Hilbert'in ve özellikle Emmy Noether'in elinde daha da geliştirildi. İdealler Ernst Eduard Kummer'in ideal sayı'larını genelleştirir, Kummer'in 1843 Fermat'nın Son Teoremi'ni kanıtlama girişiminin bir parçası olarak tasarlanmıştır. (Böylece Dedekind'in Kummer'in en önemli öğrencisi olduğu söylenebilir.) 1882 tarihli bir makalede, Dedekind ve Heinrich Martin Weber idealleri, Riemann yüzeylerine uygulayarak RiemannRoch teoreminin cebirsel bir kanıtını verdi.
1888'de, Was sind was sollen die Zahlen? ("Sayılar nedir ve ne işe yararlar?" Ewald 1996: 790) başlıklı, sonsuz küme tanımını içeren kısa bir monografi yayınladı. Ayrıca, ilkel kavramları sayı bir ve ardıl fonksiyonu olan doğal sayılar için aksiyomatik bir temel önerdi. Ertesi yıl, Giuseppe Peano, Dedekind'den alıntı yaparak, eşdeğer fakat daha basit ve şimdi standart olan bir aksiyomlar kümesi formüle etti.
Dedekind cebir'e başka katkılarda da bulundu. Örneğin 1900 civarında modüler kafesler üzerine ilk makale yazdı. 1872'de Interlaken'de tatildeyken Dedekind, Georg Cantor ile tanıştı. Böylece kalıcı bir karşılıklı saygı ilişkisi başladı ve Dedekind, Cantor'un sonsuz kümelerle ilgili çalışmasına hayran olan ilk matematikçilerden biri oldu ve Cantor'un Leopold Kronecker ile felsefi olarak Cantor'un sonlu ötesi sayılara karşı olan anlaşmazlıklarında değerli bir müttefik olduğunu kanıtladı.
Bibliyografya
İngilizce birincil literatür;
1890: "Letter to Keferstein" in Jean van Heijenoort, 1967. A Source Book in Mathematical Logic, 18791931. Harvard Univ. Press: 98103.
1963 (1901): Essays on the Theory of Numbers. Beman, W. W., ed. and trans. Dover. Contains English translations of Stetigkeit und irrationale Zahlen and Was sind und was sollen die Zahlen? 1996: Theory of Algebraic Integers. Stillwell, John, ed. and trans. Cambridge Uni. Press. A translation of Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen.
Ewald, William B., ed., 1996. From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols. Oxford Uni. Press.
1854: "On the introduction of new functions in mathematics," 75461.
1872: "Continuity and irrational numbers," 76578. (translation of Stetigkeit...)
1888: What are numbers and what should they be?, 787832. (translation of Was sind und...)
187282, 1899: Correspondence with Cantor, 84377, 93040.
Almanca birincil literatür;
Gesammelte mathematische Werke (Complete mathematical works, Vol. 13). Erişim tarihi: 5 Ağustos 2009.