İkili arama ağacı

İkili arama ağacı, verileri organize etmek için kullanılan bir çeşit ikili ağaçtır. İkili ağaçtan temel farkı, verilerin sıralanmış bir şekilde tutulmasıdır, bu sayede ikili arama algoritmasının kullanılmasına imkan verir.
İkili arama ağaçlarında; her düğümün sağ çocuğu kendisinden büyük, sol çocuğu ise kendisinden küçüktür. Bu ağaçlarda çalışan arama algoritması önce kökten başlar, eğer aranan eleman kökten büyükse sağ çocuğa, kökten küçükse sol çocuğa ilerler. Böylece, eleman bulunana yapraklara kadar yinelemeli bir şekilde ilerleme sağlanır.
İşlemler
İkili arama ağacı üzerinde; arama, ekleme, silme işlemleri yapılabilir.
Arama
Kökten başlanarak arama işlemi yapılır. Eğer aranan eleman o anki düğümden büyükse sağa, küçükse sola ilerlenir. Bu algoritma bir döngü içinde ya da özyinelemeli şekilde uygulanabilir. Python kodu şu şekildedir:def search_recursively(key, node):
if node is None or node. key == key:
return node
if key < node. key:
return search_recursively(key, node. left)
# key > node. key
return search_recursively(key, node. right)def search_iteratively(key, node):
current_node = node
while current_node is not None:
if key == current_node. key:
return current_node
elif key < current_node. key:
current_node = current_node. left
else: # key > current_node. key:
current_node = current_node. right
return current_node
Ekleme
Eleman ekleme işlemi her zaman yapraklara ya da tek çocuğu olan düğümlere yapılır. Bunun için öncelikle eklenecek elemanın konumu bulunmalıdır, konum bulma işlemi arama kısmında olduğu gibi büyükse sağa, küçükse sola ilerle şeklinde yapılır. Bu algoritma da bir döngü içinde ya da özyinelemeli şekilde uygulanabilir. C++ kodu şu şekildedir:Node insert(Node & root, int key, int value) {
if (! root)
root = new Node(key, value);
else if (key < root->key)
root->left = insert(root->left, key, value);
else // key >= root->key
root->right = insert(root->right, key, value);
return root;
Silme
Silme işlemi üç başlık altında incelenebilir. Eğer,
Silinecek düğümün çocuğu yoksa: basitçe düğüm silinir.
Silinecek düğümün tek çocuğu varsa: düğüm silinir ve tek çocuk silinen düğümün yerine taşınır.
Silinecek düğümün iki çocuğu varsa: silinecek düğüme D diyelim, D'yi silmeden önce D'den büyük en küçük eleman bulunur (inorder successor) buna da E diyelim. E ile D yer değiştirilir ve ardından D silinir.
Bir elemandan büyük en küçük eleman, o elemanın sağ alt ağacının en solundaki elemandır ve bunu bulmak için ekstra metot yazmak gerekir. Bu yüzden, silme algoritması ekleme ve arama algoritmalarına göre daha uzundur. Python kodu şu şekildedir:def find_min(self): # Gets minimum node in a subtree
current_node = self
while current_node. left_child:
current_node = current_node. left_child
return current_node
def replace_node_in_parent(self, new_value=None):
if self. parent:
if self == self. parent. left_child:
self. parent. left_child = new_value
else:
self. parent. right_child = new_value
if new_value:
new_value. parent = self. parent
def binary_tree_delete(self, key):
if key < self. key:
self. left_child. binary_tree_delete(key)
elif key > self. key:
self. right_child. binary_tree_delete(key)
else: # delete the key here
if self. left_child and self. right_child: # if both children are present
successor = self. right_child. find_min()
self. key = successor. key
successor. binary_tree_delete(successor. key)
elif self. left_child: # if the node has only a left child
self. replace_node_in_parent(self. left_child)
elif self. right_child: # if the node has only a right child
self. replace_node_in_parent(self. right_child)
else: # this node has no children
self. replace_node_in_parent(None)
Dengeli ikili arama ağaçları
Bir ağaçtaki tüm düğümlerin sağ alt ağaçları ve sol alt ağaçları arasındaki yükseklik farkı en fazla 1 ise, o ağaç dengeli olarak tanımlanır. Ağaçların dengeli olması onların yüksekliğini azaltarak ağaç üzerinde çalışan algoritmaların performansını arttırır. Örneğin boş bir ikili arama ağacına 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 elemanlarını sırayla eklediğimizi düşünelim. Bu durumda elemanlar hep sağ tarafa ekleneceği için ağaç esasen bir bağlı listeye dönüşür. Halbuki, aynı elemanlar, yüksekliği 3 olan bir ağaca da yerleştirilebilirlerdi. Bu durum, dengeli ikili arama ağaçlarının icadına yol açmıştır. AVL ağacı, 2-3-4 ağacı ve kırmızı-siyah ağaçlar dengeli ağaçlara örnektir.
İkili ağaçlar
Veri tipleri
Arama ağaçları