Ayrık Matematik Giriş Ayrık matematik ve ya diğer adıyla ayrık yapılar, matematiğin bir dalı olup, sürekli olmayan olaylarla ilgilenmektedir. Bilgisayar bilimlerinin temel yapı taşı olan ayrık matematik, Matematiksel mantık, Küme kuramı, Sayı kuramı, Algoritma, Bilgi kuramı ve kanıtlarından oluşturmaktır. Bilgisayar Bilimlerinde Ayrık Matematik adlı konular altında bu kavramların tanımı yapacağız. 1. Matematiksel Mantığın Kullanımı Matematiksel mantığın amacı, kullanmış olduğumuz ifadelere kesin bir anlam vermek, Geçerli ve ya Geçersiz argümanları tespit edebilmek, Doğru sonuca ulaşmamızı sağlamaktır. Fransızca, İngilizce, Türkçe gibi günlük hayatımızda kullandığımız diller bir çok belirsizlikler taşımaktadır. Örnek olarak, "Masadaki tatlıları yedik", "Bu çok güzel çorba". Doğal olarak bu tür cümleleri duyduğumuzda, Hangi masa, Hangi tatlılar gibi sorgularda bulunacaktık. Öyle ki bilgisayarlar, düşünen bir varlık olmadığı için, hesaplama sırasında problemlere yol açacaktır. Bu problemlere karşılaşmamak için veri tasarımlarında, devre tasarımlarında, yazılım testlerinde matemati mantıktan yararlanırız. 1.1. İfadeler Önermeler matığı, ifadeler ve doğru değerleri bulmak ile uğraşmaktadır. Bir ifade, önerilen sentezin doğru veya yanlış olduğu kanıtlamamız için kullanılmaktadır. Doğruluk değerlerimiz Doğru(1) ve yanlış (0) olmak üzere 2 tanedir. Örnek 1: 2 + 5 = 7 2 artı 5 eşittir 7, bizim için bir ifadedir. Doğruluk değeri doğru(1)'dir. Örnek 2: Dünya, salatalıktan yapılmıştır. Buda bir ifadedir ve doğruluk değeri yanlış (0) 'dır Bu durumda "Evet Git" cümlesi bizim için bir ifade midir? Tabiki de bu bir emir cümlesi, yani ifade değildir. "ALİ NERDE?" bu cümlede ifade cümlesi olmadığı gibi "y+5 = 8" de bizim için ifa değildir. Çünkü y bir belirsizliktir. " Recep, Ali nerede dedi " Sizce bu cümle ifademi? Tabiki de evet, bu cümle Recep'e bağlı bir ifadedir. 1.2. Bileşik İfadeler En basite indirgenmiş ifadeleri primitif ifadeler olarak adlandırılmaktadır. Bizler primitif önermeleri belirtirken, Önerme değişkenleri kullanırız. P, Q, R, S gibi. Primitif önermelerin doğruluk değerlerini bulmak içinde Matematiksel mantık bağlaçlarından yararlanırız. 1.3. Matematiksel Mantık Bağlaçları 1.3.1 Olumsuzluk Bağlacı Bir ifadenin olumsuzluğu gösterir. Örnek : P: "Bu aracın rengi kırmızıdır". P: "Bu aracın rengi kırmızı değildir." 1.3.2 Ve İki ifadeyi bir birine bağlamaktadır. P: "Bu aracın rengi kırmızıdır" Q: Bu araç çelikten yapılmıştır. P ^ Q : Bu aracın rengi kırmızıdır ve Bu araç çelikten yapılmıştır. 1.3.3 Veya İki ifadeyi bir birine bağlar. P: "Bu aracın rengi Kırmızıdır" Q: "Bu aracın rengi mavidir" P ∨ Q : Bu aracın rengi kırmızı veya Mavidir. 1.3.4 İse bağlacı P: "Hava yağmurlu" Q: "şemsiye ıslaktır" P - Q : Hava yağmurlu ise, şemsiye ıslaktır. 1.3.5 Özel veya P: 1. kız sarışın değil. Q: 2. Kız sarışın değil P ⊕ Q : " Ne 1. kız Nede 2. kız sarışın değil " 1.3.5 Denlik P: " Kadın odada" Q: " aslan diğer odada" P↔Q: " odada kadın odada ise ancak ve ancak aslan diğer odadır 1.4 Doğruluk Tablosu Doğruluk değerlerini belirlenmesinde, primitif ifadelerin göz önünde bulundurularak çizilen tablodur. 1.4.1 Olumsuzluk Bağlacı Doğruluk Tablosu P P DOĞRU(1) YANLIŞ(0) YANLIŞ(0) DOĞRU(1) 1.4.2. Ve Bağlacı Doğruluk Tablosu P Q P^QDOĞRU(1)DOĞRU(1)DOĞRU(1)DOĞRU(1)YANLIŞ(0)YANLIŞ(0)YANLIŞ (0) DOĞRU(0)YANLIŞ(1)YANLIŞ(0)YANLIŞ (0) YANLIŞ(0) 1.4.3. Veya Bağlacı Doğruluk Tablosu P Q P v QDOĞRU(1)DOĞRU(1)DOĞRU(1)DOĞRU(1)YANLIŞ(0)DOĞRU(1)YANLIŞ (0) DOĞRU(0)DOĞRU(1)YANLIŞ(0)YANLIŞ (0) YANLIŞ(0) 1.4.4. Özel Veya Bağlacı Doğruluk Tablosu P Q P⊕ Q DOĞRU(1) DOĞRU(1) YANLIŞ(0) DOĞRU(1) YANLIŞ(0) DOĞRU(1) YANLIŞ(0) DOĞRU(0) DOĞRU(1) YANLIŞ(0) YANLIŞ (0) YANLIŞ(0) 1.4.5 İse Bağlacının Doğruluk Tablosu P Q P - Q DOĞRU(1) DOĞRU(1) DOĞRU(1) DOĞRU(1) YANLIŞ(0) YANLIŞ(0) YANLIŞ(0) DOĞRU(0) DOĞRU(1) YANLIŞ(0) YANLIŞ (0) DOĞRU(1) 1.4.6. Denklik Bağlacı Doğru Tablosu P Q P ↔ Q DOĞRU(1) DOĞRU(1) DOĞRU(1) DOĞRU(1) YANLIŞ(0) YANLIŞ(0) YANLIŞ(0) DOĞRU(0) YANLIŞ(0) YANLIŞ(0) YANLIŞ (0) DOĞRU(1) 1.5. Totoloji Eğer ki bileşik ifadenin doğruluk değişkeni Doğru ise, O ifade Totolojidir. Örnek: ∨ ifadesini Doğruluk Tablosu kullanarak, Totoloji olduğunu kanıtlayınız. P Q P - Q Q - P ∨ DOĞRU DOĞRU DOĞRU DOĞRU DOĞRU DOĞRU YANLIŞ YANLIŞ DOĞRU DOĞRU YANLIŞ DOĞRU DOĞRU YANLIŞ DOĞRU YANLIŞ YANLIŞ DOĞRU DOĞRU DOĞRU TABLODA GÖRDÜĞÜMÜZ GİBİ ∨ TÜM ÖNERMELERİ DOĞRU. BU YÜZDEN TOTOLOJİDİR. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -- - EKSTRA BİR ÖRNEK p - İFADESİNİN TOTOLOJİ OLDUĞUNU KANITLAYINIZ P Q Q p ∨ q p - DOĞRU DOĞRU YANLIŞ DOĞRU DOĞRUDOĞRU YANLIŞ DOĞRU DOĞRU DOĞRUYANLIŞ DOĞRU YANLIŞ YANLIŞ DOĞRUYANLIŞ YANLIŞ DOĞRU DOĞRU DOĞRU