Daha bitirmemiş olduğum lise matematiğime rağmen konuyu okurken zevk aldım. Umarım "Boyum uzar mı?" konuları yerine böyle konuları daha çok görürüz.

Eğlenmeniz güzel bir şey. Bu dünyada en ilgi görmesi gereken ama görmeyen tek şey matematiktir. Herkes kuantum fiziği ile ilgileniyor ama kompleks analiz ile ilgilenmiyor. Herkes yazılımlar ve bilgisayarlar ile ilgileniyor ama tensör analiz, vektörler, asal sayılar ve daha birçok konu ile ilgilenmiyor. Herkes saçma sapan popüler bilim sayfalarını, herkesin her yerde görebileceği şeyleri takip ediyor, ama kimse gerçek bilim olan matematikten korkuyor. Mesela internete e sayısının anlamını yazınca klasik faiz problemi geliyor ve bütün sayfalar aynı şeyi paylaşıyor. Ama herkes yanlış soruyu soruyor. Sorulması gereken soru bu kavram geliştirilirken çok önemli olduğu için geliştiriliyorsa ve şu anda da hala çok önemli ise, bunu geliştiren insanlar bunun ne için önemli olduğunu düşünüp geliştirdiler. Anlayacağınız lise seviyesinde matematiği bitirip bitirmemenizin bir önemi yok, önemli olan tek şey matematiğin somut ve kavramsal olarak anlayabilmektir. Bunu başarırsanız çoğu cevaba ulaşmış olursunuz.

Aslında aynı doğruluğa sahip şeyleri söylüyoruz. Siz direkt kabul ediyorsunuz, ben ise hesaplanan değerden her zaman fazla olacağını , artacağını söylüyorum Konuya ilgi gösterip cevap verdiğiniz için çok teşekkür ederim. Konuyu açtığımdan beri öne çıkarıyorum. Tek gerçek olan matematik ile kalın...

Matematikte uzay belli başlı dizilerin oluşturduğu kümelerdir. Hiyerarşik yapıda bulunabilirler. Ayrıca her uzay alt kümesinde bulunan bir uzayın bütün özelliklerini taşır.

Merhaba, Euclid geometrisi lineer uzaylarda geçerlidir. Dünya da lineer uzaya girmez, Riemann geometrisine girer. Dünyada bir yol üzerine çizeceğiniz üçgende Euclid geometrisi mükemmel bir şekilde çalışmaz. Biz dünya ile karşılaştırıldığımız zaman oldukça küçük varlıklarız. Eğer bu deneyi Jupiter de yapmaya kalkarsak daha yakın bir sonuç verir. Bunun sebebi biz ve üçgen Jupiter ile karşılaştırıldığımız zaman, Dünya ile karşılaştırıldığımızdan kat be kat küçük kalırız. Yani demem o ki üçgenin boyu küçüldükçe Pisagor Teoremi tam sonuca yaklaşıyor.

Dogru, 2D uzay demem gerekiyordu. Bence cok temel bir noktada ayrisiyoruz. PI sayisi gibi irrasyonel sayilar bir "sabit" tir. Bunun pek tartismaya acik oldugunu sanmiyorum ama yanlisim varsa memnun olurum. Sayinin degistigi ya da buyudugu yok. Sadece biz bu sayilari reprezente edemiyoruz rakamlarla. O yuzden pi, e gibi isimler veriyoruz. "Pi sayısı sonsuza kadar gitmiyor, her zaman bir ya da birden çok parametreye göre artıyor ve biz bu genel fonksiyona daha ulaşamadık. " -> Aslinda bu cumle kendi icinde celisiyor. Birden cok parametreye gore surekli artiyorsa, sonsuza gidiyor olmali. Fakat gercek bu degil. Deger constant, sadece biz yeni LSB kesfediyoruz. Farkli bir yaklasimla renkler uzerinde anoloji kurabilirim. Bir seyin kahverengi oldugu belli. Renkleri sayilarla ifade etmek icin gelistirdigimiz sistemde kahverengiyi RGB ile reprezente ediyoruz. Gelismis kameralar bulundukta, ayni rengi; daha yuksek bit ile ifade edebilir hale geliyoruz. (16 bit, 32 bit renk gibi ) Fakat tum bu surecte renk sabit. Sadece reprezentasyon degisiyor. PI icin de durum tam olarak bu.

Pek anlamadım ama 45-45-90 üçgeninin ikiz olan kenarlarını 1 cm olarak çizersek hipotenüs √2 olur ama bunu sorduğunuzu zannetmiyorum. Uzaydan kastınız ne bir de bu hangi seviyenin matematiği?

Mükemmel bir örnek olmuş.

Merhaba, Ciddiye alıp cevap verdiğiniz için teşekkür ederim. Ancak hatalarınız var. Her şeyden önce çemberi bir boyutlu uzayda gösteremeyiz. Ayrıca Pi sayısı belli orandır ve oranlar asla değişmez. Pi sayısını mühendisler 3 alırken her zaman bir hata oluşuyor. Bahsettiğim bu hatanın sebebi yukarıdaki makro/mikro kavramlarından geliyor. Pi sayısı sonsuza kadar gitmiyor, her zaman bir ya da birden çok parametreye göre artıyor ve biz bu genel fonksiyona daha ulaşamadık. Pi sayısını sorgularken sorulması gereken soru şudur: Bu sayıyı keşfeden, sezgisel olarak hisseden kişi/kişiler ne için önemli olduğunu düşünüyorlardı. Bunun cevabını şimdilik yazmayacağım. Konuya gelirsek virgülden sonra 0 dışında yazacağımız her rakam sayıyı büyütür. √2'nin değeri sabit olsaydı, bugün kimse 1,414 diye almazdı. Buradan da benim yukarıda yazdığım limit yaklaşımımın doğru olduğunu düşünmeye başlıyorum. Burada herkes oransal olarak düşünebilir, ancak ortada √2 dışında sonsuza kadar artan bir nicelik yok.

Tartismayi gereksiz uzatiyorum sanki ama boyle konulari bulmak zor o yuzden yazacagim. Sayi dogrusunda 2 sayisi ne kadar sabitse, pi sayisi da oyle. 3 ile 4 arasindaki sonsuz noktadan birini pi saniyoruz. Sonra hesapliyoruz ki 3.1 ile 3.2 arasinda bi yerde. Bu araliktaki sonsuzdan biri olmali. Sonra daha incelikli hesapliyoruz ve 3.14 ile 3.15 arasi sonsuz noktadan biri oldugunu anliyoruz. Burada fikirlerimizin farklilastigi nokta beliriyor. Aslinda pi nin noktasi degismiyor. Biz ona yaklasiyoruz. Elimizde ezik cetvel var. 10 cm lik cubuk olcuyoruz. Sonra daha hassas cetvelle bakiyoruz meger 10.4 cm mis. Daha da hassas olcum aletleriyle bakiyoruz ki 10.38574 mis. Biliyoruz ki asla olcemeyecegiz kesin bir sekilde. Ama basindan beri uzunlugu sabit, biz yeterince hassas degiliz problem burada. 2 ne kadar sabitse, pi de o kadar sabit. Sadece reprezente edemiyoruz Artan sey sayi degil, yeni kusurat kesfettikce bizim hata payimiz azaliyor o kadar. Hatamizin limiti de zaman sonsuza giderken sifira yakinsayacak.

Merhabalar, İrrasyonel sayıları çoğunuz biliyordur. Tam kesir olarak gösterilemezler ve sonsuza kadar kendini tekrar etmeden giderler. Peki ortogonal uzaylarda oldukça bilinen bir teorem olan: "bir dik üçgenin, dik kenarlarının karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir" göre iki soru soracağım. 1) √2 bir üçgende nasıl gösterilebiliyor? Sonuçta üçgenin hipotenüsü ya da diğer kenarları pozitif bir tam sayı olduğu sürece belli bir tek boyutlu uzayda gösterilebilir ancak √2 sayısı tek boyutlu uzay da gösterilemez, en az iki boyut şart. İrrasyonel katlı hipotenüsümüzü doğru parçası olarak da gösteremeyiz çünkü tam değeri yok. Işın olarak da gösteremeyiz çünkü bir alan yaratıyoruz ve noktasal olarak birleşmeleri gerekiyor. O zaman üçgenimizin de sürekli olarak değişmesi gerekmez mi? Üçgenin kenarları arasındaki orandan kaynaklı değişim olmuyor ve böyle gösterebiliyoruz, diyebilirsiniz. Ancak diğer iki kenarda herhangi bir değişim söz konusu değil. Kendi fikrim: Makro anlamda bu değişim önemsiz kalıyor. Sadece mikro anlamda önem kazanıyor. Bu yüzden kuantum mekaniği gibi konularda önemi çoktur diye düşünüyorum. 2) Pisagor'un teoremi ortogonal uzaylarda geçerli. Yani dünyamız ve evrende somut olarak geçerli olamaz. Çünkü evren Riemann Geometrisi ile çalışır. Ayrıca dünyamızda küre seklinde. Buna göre dünyada yere bir üçgenin çizdiğimiz zaman, Pisagor teoremi geçersiz kalır ama yakın bir sonuç verir. Bunun sebebi dünyamızın ortogonal uzaya girmemesi. Peki biz bu üçgenin dik kenarlarını dx ve dy şeklinde alırsak tam sonuca ulaşmaz mıyız? Demem o ki kenarlar 0'ra yaklaştıkça doğru sonuca da aynı zamanda yaklaşmaz mıyız? Kendi fikrim: Son önermemin kesinlikle doğru olduğunu düşünüyorum. Bunu burada şimdilik açıklamayacağım. Ama karşı bir teziniz varsa lütfen belirtin. Son olarak da şunları eklemek istiyorum. İlk soruda ki fikrim doğrunun sonsuz yakın sayıda noktadan oluştuğunun kanıtındaki temel fikirlerden biri bana göre. Ayrıca baktığımızda zaman sonsuz dediğimiz şey sürekli artmak zorunda değil midir? Buradan da integral kalkülüsünün neden kesin cevabı vermediğini de anlayabiliyorum. Burada ki varsayımlarım hepsi kanıtlanmış önermelerdir. Yani sonradan gelip "bu neden böyle, bunu sen mi böyle kabul ettin." tarzı cümleler kurmayın lütfen. Bizim kesin kabul ettiğimiz değerler (1, 2, 3, vb...) Tek boyutlu uzayda gösterilebiliyor ve üçgensel olarak da yazılabiliyor. Yani aslında bu değerleri, sayı doğrusunda bu sayılara yaklaştıkça hangi kesinliğin geleceğini bildiğimiz için mi noktasal olarak gösterip tanımlarken böyle mi düşünmeliyiz? Yani kısacası matematiğin kesinliği, belli belirsizliğinden mi kaynaklanıyor? Sonuçta teoride tek kesin şey sıfırıncı boyutlu noktadır. Doğru, alan, hacim... Hepsi bir alttakinin sonsuz sayıda oluşmasında oluşuyor. Tabii ki ben burada mikro anlamda konuşuyorum. Makro anlamda önemi olmuyor. Ama tabii makro da mikroya bağlı bir olgu. Tek bir noktayı 1 sayısı olarak kabul et diyebiliriz ve o zaman da iki noktayı birleştirdiğimizde 1 boyutlu olan bir çizgi elde ederiz ve bu çizgi makro anlamda gerçek bir çizgidir. Buraya şimdilik bu kadar yazacağım. Sorularımı cevaplayıp, fikrini gösterenlere şimdiden teşekkür ederim.

Evet. Asal sayılar uzayı, doğal sayılar uzayı...

Burada demek istediğiniz küre şeklinde bir cismin üzerine doğruları tam mükemmel bir üçgenin çizilememesi mi? Non-Euclidean bir üçgenden bahsediyorum.

Cember cizdigin anda, pi sayisini da 1D uzayda reprezente etmis oluyorsun. sqrt(2) ifadesinin de karsilik geldigi uzunluk aslinda sabit bir uzunluk. Sadece biz sonlu rakamlarla bunu ifade edemiyoruz. 3.1415... seklinde gidiyor PI ve hic bir zaman durmuyor. Fakat bu karsilik geldigi "seyin" de surekli degerinin degistigi anlamina gelmiyor. Deger fixed, sadece biz gosteremiyoruz cunku rakamlar yetersiz.

Aynen sizin gibi düşünüyorum. Şu an öğrenmekte olduğumuz formüllerin, kuralların nedenini sorguladığımdan, çözdüğüm bir soruda kafamda oluşan en ufak soru işaretini bile çözmek istediğimden dolayı insanlar beni garip karşılıyor. Oysa benim istediğim; matematiği YKS için öğrenmek değil, sevdiğim için, merak ettiğim için öğrenmek. Matematik gerçekten çok ilgimi çekiyor ama çevremdeki çoğu kişinin tek amacı net kasmak. Ayrıca bilim sayfaları ile ilgili söylediğiniz şey de çok doğru. İki tane kuantum fiziği videosu izlemiş adam temel hatlarıyla bile bilmediği bir konu üzerinden kendi egosunu tatmin ederken işin içine girmeye veya işin matematiğine girmeye korkuyor. Son düzenleyen: Moderatör: 17 Kasım 2021

Rasyonel sayılar, doğal sayılar gibi mi yani?

@bitwise'ın dediğine katılıyorum. Sayılar yetmediği için yaklaşık değer veya limit alarak işlem yapmak zorunda kalıyoruz.