Merhabalar, bugün doğal logaritmalardan, logaritmanın özelliklerinden ve ispatlarını yapacağız. Kısaca özet geçmek gerekirse. Herhangi bir pozitif X sayısının Ln X olarak yazılan doğal logaritması bir integral olarak tanımlanır. X Tanım: Ln X = ∫ (1/t) dt formülü ile verilen bir fonksiyondur. 1 Kalkülüs Temel Teoremi'nde ln X sürekli bir fonksiyondur. Geometrik olarak, eğer x>1 ise ln X, t = 1'den t = X'e kadar y = 1/t eğrisinin altında kalan alanın negatif kısmını verir. Ayrıca belirli integraller için sıfır genişlik aralık kuralı aşağıdaki gibi eşitliği vardır. 1 Ln 1 = ∫ (1/t). dt = 0. 1 Tanım: E sayısı, doğal logaritma fonksiyonun tanım kümesinde ln = 1 eşitliği sağlayan sayıdır. Y = ln X'in türevi. X D/dx lnx = d/dx ∫ (1/t). dt = 1/x. 1 Her pozitif X sayısı için ln X'in türevi şöyledir. D/dx ln X = 1/x Ve zincir kuralı bu formülü pozitif u fonksiyonları ile genişletilebilir. D/dx ln = d/du ln u 1/u D/dx ln u = 1/u du/dx u>0'dan. Örnek: Ln(x^2+3)'in türevini allaım. D/dx ln (x^2+3) = 1/(x^2+3). 2X = 2x/(x^2+3) şeklinde bulunur. Logaritmanın tarihçesi ve özellikleri Logaritmalar John Napier tarafından bulunmuştu. Modern bilgisayarlardan önce aritmetik hesaplamalardaki en önemli tek gelişmeydi. Onların bu kadar kullanışlı yapan şey, pozitif sayılarının çarpımını logairtmalarını toplayarak yapılabilinmesini, pozitif sayıların bölümünü logaritmalarını çıkararak yapılabilmesini ve bir sayının kuvvetini almayı sayının logaritmasını kuvvet ile çarparak yapılabilmesini sağlayan özelliklerdir. Teorem: Doğal logaritmanın cebirsel özellikler; Herhangi b>0 ve x>0 sayıları için doğal logaritma aşağıdaki kuralları sağlar Ln BX = lnb + lnx lnb/x = lnb - lnx Ln 1/x = -lnx Ln x^r = r lnx Çarpım üzerinden örnekler. Ln 4 + Ln sinx = Ln (4sinx) Ln x+1/2x-3 = ln(X+1) - ln(2X-3) ln bx'in = lnx + lnb olmasın ispatı; Ln bx'in türevi alınır. d/dx Ln bx = 1/bx. b = 1/x şeklindedir. ln bx = lnx + C 'idir. x = 1 için Ln b.1 = ln1+ C elde edilir. Ln b = ln1 + C Ln b = 0 + C C = lnb Değeri yerine yazdığımızda Ln bx = ln x + ln b oluyor. Kaynak: Thomas Kalkülüs. Son düzenleyen: Moderatör: 16 Şubat 2022