If the derivative y'=f' of a function y = f is itself diffrentiable at x, we can calculate its derivative, which we can call the second derivative of f and denote by y''=f'' . As is the case for first derivatives, second derivatives can be denoted by various notations depending on the context. Some of the more common ones are bir y = f fonksiyonun türevi y'=f ' x göre türevlenmişse, bizler onun 2. türevini hesaplaya biliriz. Birinci türevinde oldugu gibi. İkinci türev içeriğine bağlı olarak farklı gösterilebilir. en yaygın gösterimleri : y''=f '' = d^2y/dx^2 = d/dx. d/dx f = d^2/dx^2 =D^2xy=D^2xF . Similarly, you can consider third-, fourth-, and in general nth-order derivatives. The prime notations is incovenient derivatives of high order, so we denote the order by a superscript in parentheses : the nth derative of y = f is Benzer olarak, sizlerde 3,4 ve genel olarak n mertebenden türevleri düşünebilirsiniz. n derecen türevin gösterimi aşagıdaki gibidir. y^=f^ =d^n. y/dx^n= . f To give an expamle: Bir örnek vermek gerekirse : y=x^3 se y'=3x^2, y'' = 6x, y''' =6, y^4 =0 and higher derivatives are zero (4 ve 4 ten sonraki bütün mertebenden türevi 0dir. ) example 1: find the nth derivative, y^, of y = 1/1+x 1 / 1+x =(1+x)^-1=y y'=-(1+x)^-2 y''=2(1+x)^-3 y'''=-6(1+x)^-4 y''''=4!(1+x)^-5 in this case y^n =(-1)^n. n!(1+x)^-n-1 we have not yet actually proved that the above formula is correct for every n, although its clearly correct for n = 1,2,3 and 4. To complete the proof we use mathematical induction. Suppose that the formula is valid for n = k, where k is some positive integer. Consider y (k+1) : Henüz aslında yukaridaki ifade her n için dogru bir formul degil. n =1,2, 3,4 için kesinlikle dogru gözüksede, kanıtlamak icin matiksel indüksiyon kullanacaz. n=k ise, k pozitif tamsayı oldugu yerde, y^(k+1) düşün y^(k+1) = . y^k =d/dx((-1)^k. k!(1+x)^-(k+1)) = (-1)^k. k!(-k-1)(1+x)^-k-2 =(-1)^(k+1).(k+1)!(1+x)^-(k+1)-1. Find a formula for f^n , given that f =sin (sin fonksiyonun n. derecen türevinin formulunu bulunuz) solution : f' = a. cos f'' =-a^2. sin f''' =-a^3. cos f^4= a^4. sin f^5 = a^5. cos so that if n=2K+1 = (-1)^k. a^n. cos if n=2k =(-1)^k. a^n. sin Son düzenleyen: Moderatör: 13 Ocak 2014