Logaritmik fonksiyonların toplanabilir olmasının ispatı Merhabalar, bugun doğal logaritmalardan, logaritmanın ozelliklerinden ve ispatlarını yapacağız. Kısaca ozet gecmek gerekirse. Herhangi bir pozitif X sayısının Ln X olarak yazılan doğal logaritması bir integral olarak tanımlanır. X Tanım: Ln X = ∫ (1/t) dt formulu ile verilen bir fonksiyondur. 1 Kalkulus Temel Teoremi'nde ln X surekli bir fonksiyondur. Geometrik olarak, eğer x>1 ise ln X, t = 1'den t = X'e kadar y = 1/t eğrisinin altında kalan alanın negatif kısmını verir. Ayrıca belirli integraller icin sıfır genişlik aralık kuralı aşağıdaki gibi eşitliği vardır. 1 Ln 1 = ∫ (1/t). dt = 0. 1 Tanım: E sayısı, doğal logaritma fonksiyonun tanım kumesinde ln = 1 eşitliği sağlayan sayıdır. Y = ln X'in turevi. X D/dx lnx = d/dx ∫ (1/t). dt = 1/x. 1 Her pozitif X sayısı icin ln X'in turevi şoyledir. D/dx ln X = 1/x Ve zincir kuralı bu formulu pozitif u fonksiyonları ile genişletilebilir. D/dx ln = d/du ln u 1/u D/dx ln u = 1/u du/dx u>0'dan. Ornek: Ln(x^2+3)'in turevini allaım. D/dx ln (x^2+3) = 1/(x^2+3). 2X = 2x/(x^2+3) şeklinde bulunur. Logaritmanın tarihcesi ve ozellikleri Logaritmalar John Napier tarafından bulunmuştu. Modern bilgisayarlardan once aritmetik hesaplamalardaki en onemli tek gelişmeydi. Onların bu kadar kullanışlı yapan şey, pozitif sayılarının carpımını logairtmalarını toplayarak yapılabilinmesini, pozitif sayıların bolumunu logaritmalarını cıkararak yapılabilmesini ve bir sayının kuvvetini almayı sayının logaritmasını kuvvet ile carparak yapılabilmesini sağlayan ozelliklerdir. Teorem: Doğal logaritmanın cebirsel ozellikler; Herhangi b>0 ve x>0 sayıları icin doğal logaritma aşağıdaki kuralları sağlar Ln BX = lnb + lnx lnb/x = lnb lnx Ln 1/x = lnx Ln x^r = r lnx Carpım uzerinden ornekler. Ln 4 + Ln sinx = Ln (4sinx) Ln x+1/2x 3 = ln(X+1) ln(2X 3) ln bx'in = lnx + lnb olmasın ispatı; Ln bx'in turevi alınır. d/dx Ln bx = 1/bx. b = 1/x şeklindedir. ln bx = lnx + C 'idir. x = 1 icin Ln b.1 = ln1+ C elde edilir. Ln b = ln1 + C Ln b = 0 + C C = lnb Değeri yerine yazdığımızda Ln bx = ln x + ln b oluyor. Kaynak: Thomas Kalkulus.