A computational approach to create aperiodic tilings through orthographic projection of the nd cube

İnsanlar, var oldukları sürece, sağlam nesneler oluşturmak ya da yapılarını süslemek için kaplamalar ve desenler üretmişlerdir. Bu insan yapımı kaplamalara ve desenlere, dünyanın her yerinde ve her toplumda rastlanabilir. Genel olarak dini yapılar ve prestij yapıları, özellikleri kültürden kültüre değişen kaplama örnekleri için zengin bir ortam sağlar. Örneğin, İslam mimarisi çoğunlukla çeşitli şekil ve renklerle oluşturulankarmaşık geometrik desenlerle süslenirken, Roma mimarisi çoğunlukla insanlar ve yaşam kesitleri içeren mozaiklerle süslenmiştir. Bu çalışmada ise matematikte de bir çalışma konusu olan geometrik kaplamalara odaklanılmıştır. Kaplama terimi, genellikle iki boyutlu düzlemin tamamını boşluklara neden olmadan ve örtüşmeden kaplayan desenleri tanımlamak için kullanılır. Çoğunlukla kaplamalaroldukça düzenli ve periyodiktir. Kaplamanın periyodikliğini görebilmek için üzerine bir paralelkenar yerleştirilir ve temel bir birim belirlenmeye çalışılır. Eğer kaplamaperiyodikse bu paralelkenarın ya da temel birimin her iki yönde de tekrarlanması ile oluşturulabilir. Her iki yönde tekrarlanabilecek bir paralelkenar ortaya çıkmazsa, kaplama periyodik olmayan olarak kabul edilir. Periyodik ve periyodik olmayankaplama örneklerine, Hollandalı sanatçı Escher'in eserlerinde çokça rastlanabilir. Oldukça düzenli periyodik yapılar ve düzensiz periyodik olmayan yapılara ek olarakaperiyodik yapılar da vardır. Aperiyodik kaplamalar periyodik değildir ancak çeşitlisimetrilerle uzun erimli düzenlere sahiptir. Aperiyodik kaplamalara örnek olarakmatematikçi Roger Penrose'un 1973'te keşfettiği karoları ve İslam Ortaçağ sanatındangeometrik kaplamalar verilebilir. Sanattaki ve matematikteki örneklerinin yanı sıra, doğada, kristal ve kuazi kristalyapılarında da periyodiklik vardır. Kristaller atomlar, iyonlar veya moleküller gibi yapı birimlerinden oluşan ve oldukça düzenli bir formasyona sahip katılardır. Üçüncüboyuttaki bu düzenlilik belirli periyodiklik ve simetri türlerine sebebiyet verir. 3 boyutlu uzaydaki bu periyodik yapı, kristallerin iç düzenlerinin x-ışını kırınım tekniği ile elde edilen 2 boyutlu temsillerinde de periyodik ve simetrik yapılar olarak kendini gösterir. Kristalin iç düzeninin neye benzediğini görmek için farklı açılarda kristalikeserek 3 boyutlu nesnenin 2 boyutlu düzleme projeksiyonuna dayanan bu teknikler 2 boyutlu mimari temsillere benzetilebilir. Kristal yapı taşlarının üç boyutlu uzaydaki formasyonu bilim adamlarının kabul ettiği ve doğada görülen belirli sayıdaki şekillerde oluşur. Bu yapı taşları, oluşum sırasında belirli periyodiklik ve simetri türleri ile tüm kristal hacmini doldururlar. Böylece, üç boyutlu uzaydaki bu periyodik düzen, iki boyutlu düzlemdeki temsillerinde de belirli bir periyodik düzen ve simetri türleri yaratır. Bu simetriler sadece 2 katlı, 3 katlı, 4 katlı ve 6 katlı dönme simetrileri olabilir. Dönme simetrisi, desenin tam bir dönüşütamamlayana kadar merkez nokta etrafında dönerken kendisiyle kaç kez eşleştiğinitanımlar. Ve bu simetriler, desenin temel bir birimin yer değiştirmesiyle oluşmasına izin verdiği için de translasyonel simetri olarak adlandırılır. Ancak, 1984'te Shechtmantarafından kuazi kristallerin keşfedilmesi, 5 katlı dönme simetrisine sahip bir kristaldüzenini gösterdi. Bu 5 katlı dönme simetrisi translasyonel simetri göstermiyordu yaniperiyodik değildi ancak uzun erimli düzene sebebiyet veriyordu ve bu yüzden deaperiyodik bir desen oluşturuyordu. Bu keşif, yıllar sonra 2011'de Shechtman'a Nobel Ödülü de kazandırdı. Üç boyutlu uzaydaki periyodik düzenlemeden elde edilemeyen bu aperiyodik desenlerin nasıl elde edilebileceğine dair güçlü yaklaşımlardan biri ise yüksek boyutlu periyodik bir oluşumun projeksiyonu olabilecekleriydi. Yaklaşıma göre, gerekli periyodik düzen üç boyutlu uzayda mevcut değilse, daha yüksek boyutlarda olmalı ve bu aperiyodik desenler daha yüksek boyutlu ve periyodik bir oluşumun yansıması olabilirler. Yüksek boyutlu geometrilerin düşük boyutlaraprojeksiyonu ile aperiyodik düzen elde edilmesine dair bu yaklaşım tezin konusunu daşekillendirdi. Bu çalışmada yüksek boyutlu geometrilerden düşük boyutlara ortografik projeksiyon yöntemiyle aperiyodik kaplamalar oluşturma olasılığı sorgulandı. İnsanlar 3 boyutlu uzaya ve nesnelere algıları 3 mekansal boyutla sınırlandığı içinalışkındırlar. Perspektif ilkeleri sayesinde resim ve fotoğraf gibi 3 boyutlu nesnelerin 2 boyutlu temsillerine de aşinadırlar. Zira insanlar gözleri vasıtasıyla 3 boyutludünyayı perspektifle 2 boyutlu olarak algılarlar. Ancak daha yüksek boyutlu uzaylarıve nesneleri anlamak 3 boyutlu uzayı ve 2 boyutlu temsillerini anlamak kadar kolay değildir. Yüksek boyutları idrak etmenin zorluğu bir yana, düşük boyutlu bir uzayı ve sakinlerini hayal etmek bile zordur. İnsanlar 3 boyutlu uzaya o kadar alışkındır ki, 2 boyutlu bir varlığın 2 boyutlu uzayda yaşamını onun gözünden üçüncü bir boyut dahil olmadan hayal etmek bilinçli bir çaba gerektirir. 3 boyutlu varlıkların 3 boyutlu uzaydagörüşleri 2 boyutlu olduğu gibi, 2 boyutlu varlıkların da 2 boyutlu uzayda görüşleri 1 boyutludur. Dolayısıyla birbirlerini ancak 1 boyutlu çizgiler olarak algılayabilirler. 2 boyutlu varlıkların üçüncü boyutta insanların sahip olduğu yükseklik boyutunaerişimleri yoktur. Dolayısıyla onların gözünden üçüncü bir boyutu hayal etmek de zordur. Aynı şekilde 4 boyutlu nesneleri ve uzayı hayal etmek, 3 boyutlu algı ile sınırlı olan insan zihnine gerçek bir meydan okumadır. Ancak insanların 3 boyutlu uzayın 2 boyutlu düzlemde temsilleri konusundaki tecrübesi sayesinde yüksek boyutları temsil etmek ve biraz da olsa algılamaya çalışmak mümkündür. Yüksek boyutları düşükboyutlarda temsil etmek için projeksiyon yöntemi kullanılabilir. Bu projeksiyonlar ve yüksek geometrilerin matematiksel temsilleri için boyutsal analojileri takip etmek gerekir. Yüksek boyutlu geometrileri algılamak insan zihninin ötesinde olsa da hesaplamalıteknikler sayesinde yüksek boyutlu geometriler tanımlanabilir ve hesaplanabilir. Hesaplama araçları, yüksek boyutlu geometrileri hesaplayabilme kapasiteleri ve yarattıkları deney ortamı ile öngörülemeyen geometrik sonuçların keşiflerine yol açabilir. Bu tezin vaka çalışmasında yüksek boyutlu geometrilere bir sınır getirmek ve boyutsal analojileri en iyi şekilde takip edebilmek amacıyla n boyutlu kübeodaklanılmıştır. n boyutlu küp, 2 boyutta karenin, 3 boyutta kübün her boyuttakikarşılığıdır ve eksenler ve boyut kavramı hakkında çok fazla anlayış sunan dikeyaçılara sahiptir. Geometrideki kısıtlamadan sonra, yüksek boyutta da kısıtlamayagidilmiş ve hem üçüncü boyuttan sonraki ilk basamak hem de olabildiğince hakimiyetkazanmak amacıyla 4 boyutlu uzaya odaklanılmıştır. Boyut kavramının ve teseraktolarak adlandırılan 4 boyutlu kübün matematiksel tanımının yapılması vekodlanabilmesi için n boyutlu küp matematiksel analojiler aracılığıyla incelenmiştir. Teseraktın 4 boyutlu uzayda tanımlanmasının ardından, önce ortografik projeksiyon yöntemi ile üç boyutlu modeli elde edilmiş daha sonra da bu 3 boyutlu model 2 boyutlu düzlemde perspektif projeksiyonla görüntülenmiştir. 2 boyutlu düzlemdeki bu çıktıların oluşumlarında çeşitlilik yaratmak için 4 boyutlu uzayda geometriyidöndürmek bir parametre olarak kullanılmıştır. İşlemler sırasıyla incelenecek olursa, ilk olarak 4 boyutlu geometri matematiksel olarak tanımlanmış ve kodlanmıştır. Daha sonra 4 boyutlu uzayda belirli düzlemler çevresinde belirli açılarda döndürülmüştür. Bu dönmüş durumları önce 3 boyutlu uzaya ortografik projeksiyonla aktarılmış daha sonra da perspektif projeksiyonla 2 boyutlu düzlemde gözlenmiştir. Çalışma önce tek bir teserakt çerçevesinden yapılmış ve farklı açılarda ve düzlem çevrelerindedöndürmelerle oluşan desenler incelenmiştir. Daha sonra kristalleri oluşturan yapı taşlarının bir kafes şeklinde düzenlenmesinden ve bunun 3 boyutta küplerden oluşan bir kafes ile temsil edilmesinden ilham alarak 4 boyutlu uzayda teseraktlardan oluşan bir kafes sistem kurulmuştur. Matematiksel analojilerle ilerleyerek 16 teseraktın 4 boyutlu uzayda kafes şeklinde dizilimi tanımlanmıştır. Bu 16 teseraktın 4 boyutlu uzaydaki döndürme deneylerinde ise tek teseraktın projeksiyon sonuçlarından yola çıkarak, periyodik olmayan ama aperiyodik olabilecek desenleri üretebilecekdöndürmeler üzerinde durulmuştur. Aperiyodiklik, desenin bir temel birimin yer değiştirmesi ile üretilemeyecek olmasını ama uzun erimli bir düzene sahip olmasını gerektirdiği için, ayna simetrisine sahip çıktılar veren döndürmeler üzerinde daha çok durulmuştur. Olası desen ve kaplamalar elde etmek için belirli açılarda ve düzlemler çevresinde 4 boyutlu uzayda döndürülmüş teseraktların iki kademeli projeksiyonları alınarak 2 boyutlu düzlemde temsiller elde etmenin amaçlandığı vaka analizinde hesaplamalı tasarım araçları kullanılmıştır. Çünkü bu araçlar, vaka analizinin çok boyutlu karmaşıkkonusu için 4 boyutlu geometrileri ve gerekli döndürmelerle projeksiyonlarıhesaplayabilme kapasitesine sahiptir. Kullanılan hesaplamalı tasarım aracı, bahsedilen geometrileri ve işlemlerihesaplayabilir ve oldukça da geniş bir kaynak kütüphaneye sahiptir. Ancak 4 boyutlu geometri ve orada gerçekleşecek işlemler için tanımlı fonskiyonları ve objeleri yoktur. Dolayısıyla vaka çalışmasının tüm ana konularının matematiksel olarak tanımlanması ve kodlanması gerekmiştir. 4 boyutlu geometrinin matematiksel tanımlanması için, n boyutlu küp 2 boyuttan başlanarak incelenmiş ve çeşitli analojilerle 4 boyutlu kübüngeometrisi çeşitli matematiksel işlemlerden yararlanılarak tanımlanmıştır. İki kademeli projeksiyon için ise, öncelikle 4 boyutlu geometrinin 3 boyutlu uzayaprojeksiyonu için ortografik projeksiyonun ve bu projeksiyonu sağlayacakmatematiksel işlemlerin yine boyutsal analojilerle çalışılması gerekmiştir. 3 boyutlu modelin 2 boyuta yansıtılması için ise vaka analizinde kullanılan hesaplamalı tasarım aracının kendi tanımlı 3 boyuttan 2 boyuta perspektif projeksiyon alan fonksiyonu kullanılmıştır. 4 boyuttaki rotasyonlar için ise 2 boyutlu ve 3 boyutlu uzaydakirotasyon için kullanılan trigonometrik işlemler çalışılmıştır. Sonrasında matematikselanalojilerle 4 boyuttaki döndürme işlemi için gerekli tanımlamalar yapılmıştır. Tesseraktların köşe noktalarının 4 boyutlu uzayda tanımlanması, 4 boyutlu uzaydan 3 boyutlu uzaya ortografik projeksiyon yapılması ve 4 boyutlu uzaydaki döndürmeişlemleri için matrisler ve matris çarpımı kullanılmıştır. Hesaplamalı tasarım aracı olarak, çoğunlukla görsel sanatlar yaratmak için kullanılanJava tabanlı bir programlama dili ve IDE olan Processing yazılımı kullanılmıştır. Bu çok boyutlu konuya hesaplamalı yaklaşımda tüm tanımlamalar ve işlemler bir dizitalimatla uygulanır. Bu talimatlar, koşullu ifadeler ve döngüler içeren matematiksel, geometrik ve mantıksal işlemlerden oluşur. Süreç girdi, işlem ve çıktı olarak formüleedilir. Girdiler, verilen tüm geometrik tanımlamalarla beraber projeksiyon ve döndürme işlemi için yazılan tüm fonksiyonları da içerir. İşlem kısmında isetalimatların bir sırayla çalışması ile tanımlı geometri sırasıyla rotasyon işlemine ve sonra projeksiyon işlemlerine tabii tutulur. Çıktı ise bahsedilen işlemler sonrasında elde edilen 2 boyutlu temsillerdir. Çıktılar vaka analizindeki ilk varsayımlardan, tanımlardan, işlemlerden ve diğer girdilerin değişikliklerinden etkilenir. 4 boyutlu geometrilerin insan zihni tarafından öngörülemeyen ama bilgisayarların hesaplayabileceği doğası nedeniyle çıktılar, talimatların toplamından daha fazladır. Hesaplamalı yaklaşım, tahmin ve keşif modelleri olarak tanımlanabilecek bu tür karmaşık tasarım problemlerine uygun ve yaygın olarak uygulanan bir çözümdür. Bu vaka çalışması öngörülemeyen geometrik çıktıların keşfine izin veren deneysel bir çalışma olarak düşünülebilir. Vaka çalışmasında görülmüştür ki, teserakt geometrisi 4 boyutlu uzayda sabit fiziksel özelliklere ve periyodik dizilime sahip olsa da 4 boyutta uygulanan döndürme işlemi 2 boyutlu düzlemde öngörülemeyen çıktılara sebebiyet vermektedir. Bu 2 boyutlu çıktılardan bazıları çeşitli simetrilerle beraber uzun erimlidüzenlerinde aperiyodiklik gösterdi. Yüksek boyutlu geometrilerin düşük boyutlaraprojeksiyonu ile temsili yaklaşımı yüksek boyutlu geometrileri tasavvur etmek ve olasıparametrelerle desen üretmek noktasında kayda değer potansiyel göstermiştir. Ayrıcaboyutları inceleyerek matematiksel analojileri çalışmak geometri ve onun temsili konusunda sağlam bir algı geliştirmeye yol açmıştır. Bu algı, geometrileri tasarlayan ve temsil eden mimarlar için oldukça faydalı bulunmuştur.