Particle MCMC for a time changed levy process

Finansal modelleme çalışmalarında karşılaşılan en temel problemlerden biri varlık yatlarının gözlenen özeliklerine uygun rassal süreçlerin elde edilmesidir. Stokastik oynaklık modelleri ve bunların sıçrama süreçleri ile genişletilmiş versiyonları, bu tür ampirik dinamikleri yakalayabilecek esnek bir model sınıfını oluşturmaktadır. Ancak bu zengin modelleme imkanı, modellerin tahmin edilmesine ilişkin çeşitli zorlukları da beraberinde getirmektedir. Bu esnek modellerin tahmin edilmesi, daha basit modeller için mevcut olmayan bazı ek zorluklar içermektedir. Bu tezde, stokastik oynaklık ve sıçrama süreçlerinin esnek yapısından hareketle, söz konusu modellerin tahmin edilmesinde kullanılmak üzere simülasyon bazlı Bayesci tahmin yöntemleri incelenmektedir. Bu çerçevede, öncelikle Markov Zinciri Monte Carlo yaklaşımları detaylı olarak incelenmiş ve basit bir stokastik oynaklık modeli için farklı MZMC algoritmaları oluşturulmuş ve uygulanmıştır. Daha sonra anlık tahmin yaklaşımları ele alınmış ve bu kapsamda parçacık ltresi yöntemleri incelenmiştir. Basit bir parçacık ltresi ile başlanılmış ve sonrasında ltreleme yönteminin geliştirilmesine ilişkin yaklaşımlar tartışılmıştır. Ayrıca incelenen stokastik oynaklık modeli için çeşitli parçacık ltrelerini uygulamak amacıyla Monte Carlo algoritmaları geliştirilmiştir. İncelenen stokastik oynaklık modelinin aksine, daha gelişmiş nansal modeller genellikle gözlenemeyen birçok rastgele değişken ve karmaşık olabilirlik fonksiyonları içerebilmekte ve dolayısıyla standart MZMC yöntemleri bu tür modelleri etkin bir şekilde tahmin etmekte yetersiz kalabilmektedir. Bu durumda daha etkin bir alternatif olarak kullanılmak üzere parçacık MZMC yaklaşımları (Particle Markov Chain Monte Carlo. Journal of the Royal Statistical Society: Seri B 72 (3), 2010, sayfa 269 -342) yakın zamanda literatürde önerilmiştir. Parçacık MZMC yaklaşımı, iki temel simülasyon bazlı Bayesci tahmin yöntemi olan MZMC ve parçacık ltresi yöntemlerini birleştirmekte ve karmaşık nansal modelleri tahmin etmek için güçlü bir yaklaşım sunmaktadır. Tezde parçacık MZMC yaklaşımına ilişkin teorik çerçeve ile literatürde önerilen çeşitli parçacık MZMC algoritmaları incelenmiştir. Tezin son bölümünde, zaman değiştirilmiş Levy süreçlerine dayalı bir hisse yat modeli için MZMC ve parçacık MZMC algoritmaları geliştirilmiştir. Modelde hisse yatlarının Heston türü bir stokastik oynaklık süreci izlediği ve ayrıca getirilerin varyans-gama türü sıçrama süreçleri içerdiği varsayılmıştır. Varyans gama süreci aritmetik Brownian sürecinin gama süreci ile zaman değiştirilmesi yoluyla elde edilmekte olup, sonsuz aktivite ve sonlu değişim içermektedir. Model bu yapısı ile oldukça esnektir ve hisse senedi yatlarının gözlenen özelliklerinin çoğunu yakalayabilme özelliğine sahiptir. Tezde bu esnek model için MZMC ve parçacık MZMC algoritmaları geliştirilmiştir. Tezin akademik literatüre ana katkısı Levy tabanlı bu model için geliştirilen etkin parçacık MZMC algoritmalarıdır. Model için geliştirilen MZMC ve parçacık MZMC algoritmaları, 15 yıllık veri ile S&P 500 endeksi üzerinde yapılan ampirik uygulamalarda karşılaştırılmıştır. Sonuçlar parçacık MZMC yaklaşımının, standart MZMC yaklaşımına göre daha etkin bir tahmin yöntemi olduğunu ve parçacık MZMC yaklaşımı ile elde edilen standart hata ve otokorelasyonların daha düşük olduğunu göstermektedir.