Libor market model

Sabit döviz kuruna dayalı, 1944 yılında oluşturulan Bretton Woods sisteminin 1971 yılında çökmesi ile dünya hızlı bir değişim sürecine girmiştir. Dünya ticaret hacminin hızla genişlemesi nedeniyle, bu değişim sürecinde finansal piyasa katılımcılarının uluslararası piyasalara entegre olmaları gerekmiştir. Bu nedenle, piyasa katılımcıları, finansal piyasalardaki belirsizlik ve oynaklıktan kaynaklanan finansal riskten kaçmak, bu riski azaltmak ya da riski başkalarına transfer etmek amacıyla yeni finansal risk yönetim araçlarına ihtiyaç duymuşlardır. Yapılan finansal yenilikler sonucunda oluşan finansal araçlar arasında en önemlisi türev ürünlerdir. Türev ürünler, değişen piyasa koşullarına karşı korunmada, piyasaların istikrar kazanmasında ve finansal piyasalara güven unsurunun yerleşmesinde kullanılan finansal risk yönetimi araçlarındandır. Ayrıca, finansal teknolojinin hızla gelişmesi nedeniyle türev ürünlerin işlem hacmi, hızı ve kalitesi giderek artmaktadır. Türev ürünlerinin, ülkemizin uluslararası finansal piyasalarda gittikçe ağırlaşan rekabet koşullarına direnç sağlaması ve bu piyasalara entegre olması açısından, aktif ve bilinçli bir şekilde kullanması çok önemlidir. Değerleri, diğer bazı temel varlıkların değerlerine bağlı olarak türetilen finansal araçlara türev ürünler denilmektedir. Spot piyasası olan her ürün, türev ürünü olabilir. Böylece, türev ürünler, spot piyasalarda işlem konusu olan varlıkların türevi konumundadırlar. Türev ürünler ile ilgili işlemlerin gerçekleştiği ve türev ürünlerin alım/satımının yapıldığı piyasalara türev piyasalar denilmektedir. Tez çalışmasında, faiz haddi türev ürünlerin LİBOR piyasa modeli altında fiyatlandırılması incelenmiştir. Faiz haddi türevleri, finansal piyasaların en geniş alanlarından birisidir. Özellikle faiz haddi türev ürünleri piyasası son 30 yıl içerisinde büyük oranda gelişmiş, türev kullanıcılarının ihtiyaçlarını gidermek amacıyla ticareti yapılan faiz haddi türevleri her gün daha da karmaşıklaşmıştır. Bu çalışmada, finansal piyasalarda birçok faiz haddi türev ürünleri olmasına karşın, en çok ticareti yapılan ve faiz haddi opsiyonlarından olan faiz haddi tavan sözleşmeleri, faiz haddi taban sözleşmeleri ve Avrupa-tipi swap opsiyonlarının fiyatlandırılması üzerinde durulmuştur. Faiz haddi tavan sözleşmesi, bir borçlunun sahip olduğu değişken faiz haddi üzerinden yaptığı faiz haddi ödemelerine bir üst sınır getirerek, kararsız piyasa koşullarında ani ve beklenmedik faiz haddi yükselmelerine karşı bu borçluyu koruma altına almakta ve faiz haddi düşmelerinden de yararlanma olanağı sağlamaktadır. Faiz haddi taban sözleşmesi ise, faiz hadlerinde önemli düşüşlerin gerçekleşeceği beklentisi içinde olan veya kararsız piyasa koşulları içinde ani ve beklenmedik faiz hadleri düşüşlerinden korkan bir borç verenin veya bir yatırımcının, değişken faiz haddi üzerinden elde edeceği gelecek değişken faiz haddi getirilerine bir alt sınır getirerek, kendisini faiz haddi düşmelerine karşı koruma ve aynı zamanda faiz haddi yükselmelerinden de yararlanma olanağı sağlamaktadır. Bunun üzerine, belirli bir fiyat karşılığında faiz haddi tavan/taban sözleşmesi satın alınmaktadır. Faiz haddi tavan sözleşmesi, sahibine/alıcısına herhangi bir tarihten itibaren belirli bir süre boyunca sözleşmede belirlenen sabit bir faiz haddi üzerinden borçlanma hakkı vermektedir. Faiz haddi taban sözleşmesi ise, sahibine herhangi bir tarihten itibaren belirli bir süre boyunca sözleşmede belirlenen sabit bir faiz haddi üzerinden faiz haddi getirisi sağlama hakkı vermektedir. Faiz haddi tavan/taban sözleşmeleri sırasıyla, faiz haddi alım/satım opsiyonlarından oluşmakta ve bu opsiyonların fiyatlarının toplamı sırasıyla faiz haddi tavan/taban sözleşmelerinin fiyatlarını vermektedir. Bu sözleşmelerde, anapara transferi yapılmamaktadır. Değişken faiz haddi sözleşmede belirlenen sabit faiz haddini aşarsa, faiz haddi tavan sözleşmesi karda olduğundan kullanılırken, faiz haddi taban sözleşmesi zarara geçmesinden dolayı kullanılmamaktadır. Avrupa-tipi swap opsiyonları ise, gelecekte belirli zamanda bir faiz haddi swap sözleşmesine girme ya da bu tür bir sözleşmeden çıkma hakkı tanıyan bir faiz haddi türevidir. Faiz haddi swap sözleşmesi, iki tarafın belirli bir zaman dönemi için anlaştıkları varsayımsal bir anapara tutarına bağlı olarak hesaplanan sabit faiz haddi ile değişken faiz haddi ödemelerinin aynı para birimi üzerinden karşılıklı olarak değiştirdikleri bir faiz haddi türevidir. Avrupa-tipi swap opsiyon, opsiyonun kullanım tarihinde belirlenen bir faiz haddi swap sözleşmesine sabit faiz ödeyen ya da sabit faiz elde eden taraf olarak girme hakkı vermektedir. Bu durumda iki tür Avrupa-tipi swap opsiyon söz konusudur. Bunlar, Avrupa-tipi ödeme hakkı sağlayan swap opsiyon ve Avrupa-tipi tahsilat hakkı sağlayan swap opsiyondur. Değişken faiz hadlerinin, Avrupa-tipi ödeme hakkı sağlayan swap opsiyonda belirlenen sabit faiz haddini aşması durumunda, bu sözleşme alıcısı tarafından kullanılır. Diğer taraftan, Avrupa-tipi tahsilat hakkı sağlayan swap opsiyonda, değişken faiz hadlerinin sözleşmede belirlenen sabit faiz haddinin altına düşmesi durumunda, bu sözleşme alıcısı tarafından kullanılacaktır. Faiz haddi türevlerinin fiyatlandırılmasında en iyi tahminin elde edilmesi amacıyla, bu türev ürünlerin bağlı oldukları faiz hadlerinin hareketlerini açıklayacak ve aynı zamanda faiz haddi türev ürünleri kullanıcılarının ihtiyaçlarını karşılayacak gelişmiş faiz haddi modellerine ihtiyaç duyulmuştur. Faiz haddinin farklı yaklaşımlar altında incelenmesi sonucunda birçok farklı faiz haddi modeli oluşturulmuştur. Bunlar temel olarak, kısa dönem faiz haddi modelleri ve vadeli faiz haddi modelleri altında yer almaktadır. Bu modellerin karşılaştıkları sorunları ortadan kaldırmak amacıyla, ilk olarak Brace, Gaterek, Musiela (1997) tarafından ve sonrasında Jamshidian (1997), Musiela ve Rutkowski (1997) ve Miltersan, Sandmann ve Sondermann (1997) tarafından 'Piyasa Modelleri' geliştirilmiştir. Piyasa Modelleri iki ana gruptan oluşmaktadır. Bunlar, LİBOR piyasa modeli ve swap piyasa modelidir. LİBOR piyasa modeli, vadeli LİBOR faiz hadlerinin hareketlerini modellemektedir. Swap piyasa modeli ise, vadeli swap faiz haddi hareketlerini açıklamaktadır. Piyasa modelleri, vadeli LİBOR faiz haddine veya vadeli swap faiz haddine bağlı faiz haddi türevlerinin fiyatlandırılmasında ve bu türev ürünler aracılığıyla gelcekteki fiyat riskine karşı korunmada kullanılmaktadır. Bu çalışmada, faiz haddi türevlerinin fiyatlandırılmasında kullanılan, faiz haddi modelleri arasında en yeni ve teorisi en kuvvetli model olan LİBOR piyasa modeli üzerinde durulmuştur. Daha önceki faiz haddi modellerinin en önemli dezavantajı, bu modellerin ilgilendikleri faiz hadlerinin piyasada direkt olarak gözlemlenemiyor olmaları ve piyasada faiz haddi opsiyonlarının fiyatlandırılmasında standart formül olarak kullanılan, 1973 yılında Fisher Black tarafından oluşturulan Black modeline uyum sağlamamalarıdır. Bu durum, bu faiz haddi modellerinin gerçek piyasa verilerine kalibrasyonunu oldukça zorlaştırmaktadır. Her bir vadeli LİBOR faiz haddi ile her bir vadeli swap faiz haddi, kendilerine ait bellirli olasılık ölçüleri altında log-normal dağılıma sahiptir. Black modeli, herhangi bir faiz haddi opsiyonunun bağlı olduğu ilgili faiz haddinin belli bir olasılık ölçüsü altında log-normal dağılıma sahip olduğunu varsaymakta ve faiz haddi opsiyonunu bu olasılık ölçüsü altında fiyatlandırmaktadır. Bu durumda, LİBOR piyasa modeli ve swap piyasa modeli, Black modeli ile uyum sağlayan ilk faiz haddi modelleridir. LİBOR piyasa modeli ve swap piyasa modeli, sırasıyla faiz haddi tavan/taban sözleşmelerinin ve Avrupa-tipi swap opsiyonlarının fiyatlandırlmasında Black modeli ile uyumludur. Ayrıca, LİBOR oranları ve swap faiz hadleri piyasada doğrudan gözlemlenebilmektedirler. Bu nedenlerle, piyasa modellerinin gerçek piyasa verilerine kalibrasyonu oldukça kolaydır. Ancak, vadeli swap faiz haddinin hareketlerini modelleyen swap piyasa modelinin teorisi LİBOR piyasa modelininkine kıyasla daha karmaşıktır ve swap piyasa modelinin piyasa verilerine kalibrasyonu LİBOR piyasa modelinin piyasa verilerine kalibrasyonundan daha zahmetlidir. Fakat, LİBOR piyasa modeli kullanılarak vadeli swap faiz haddine bağlı olan türev ürünlerinin fiyatlandırılması gerçekleştirilebildiğinden, bu durum çok fazla sorun yaratmamaktadır. Piyasa modellerinin, önceki faiz haddi modellerine baskın olan diğer bir yönü ise, önceki faiz haddi modellerinin bazılarının ilgilendikleri faiz hadlerinin negatif değerler almasına neden olmalarıdır. Negatif faiz haddi elde etme sorununu ortadan kaldırmak amacıyla faiz hadlerinin log-normal dağıldığı varsayımı getirilmiştir. Fakat, bu durum bazı faiz haddi modellerinde elde edilen faiz hadlerinin çok büyük çıkmasına, türev ürünlerin fiyatlandırılması sürecinde hesaplanan beklenen değerlerin sonsuza gitmesine ve piyasalarda arbitrajın oluşmasına neden olmuştur. Piyasa modelleri ise arbitraja izin vermekte ve vadeli LİBOR faiz hadleri ile vadeli swap faiz hadlerinin tutarlı değerler almalarını sağlamaktadırlar. Ayrıca, Monte Carlo gibi sayısal yöntemlere başvurmak yoluyla, çok karmaşık faiz haddi türev ürünlerinin fiyatlandırılmasında piyasa modelleri rahatlıkla kullanılmaktadır. Bu çalışmada, LİBOR piyasa modelinin teorik yapısının detaylı olarak incelenmesiyle birlikte finansal piyasalarda en çok işlem gören faiz haddi türev ürünlerinden faiz haddi tavan sözleşmelerinin ve Avrupa-tipi ödeme hakkı sağlayan swap opsiyonların LİBOR piyasa modeli tarafından fiyatlandırılması amaçlanmıştır. LİBOR piyasa modelinin teorisini, faiz haddi türev ürünlerin fiyatlandırılma sürecini daha iyi kavramak ve çalışmanın kendi içinde yeterli olabilmesi için öncelikle finansal matematik ve türev ürünleri piyasasına ait temel konular ve tanımlar verilmiştir. Bunlardan en önemlileri, sürekli stokastik süreçler için martingale kavramı, Brown hareketi tanımı ve özellikleri, Brown hareketi gibi sürekli stokastik süreçler için Japon matematikçi Kiyoshi Ito tarafından oluşturulmuş olan Ito calculus, analitik çözümü bulunmayan stokastik diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümlerini elde etmek amacıyla kullanılan numerik çözüm yöntemlerinden Euler yöntemi, fiyatlandırılması yapılacak olan faiz haddi türevlerinin tanımları, olasılık ölçüleri arasında geçişi sağlayan pozitif rastlantı değişkeni Radon-Nikodym derivative'in tanımı, numeraire kavramı, arbitrajın izin verilmediği ortamda fiyatlandırılmayı sağlayan martingale fiyatlandırma formülü ve finansal piyasalarda faiz haddi opsiyonlarının fiyatlandırılmasında standart formul olarak kullanılan Black modelidir. Tez çalışmasında temel olarak, LİBOR piyasa modelinin teorisine odaklanılmıştır. LİBOR piyasa modelinin gürültü kısmını modelleyen Brown hareketlerinin birbirleriyle ilişkili olup olmamasına göre, LİBOR piyasa modeli tam-ranklı ve indirilmiş-ranklı formlarda elde edilmiştir. Ardından, vadeli LİBOR faiz hadlerinin hareketleri farklı olasılık ölçüleri altında incelenmiş, arbitrajın izin verilmediği bir ortamda LİBOR piyasa modeli farklı olasılık ölçüleri altında oluşturulmuştur. Ayrıca, swap piyasa modeli kendi olasılık ölçüsü altında tanıtılmış ve vadeli swap faiz haddine bağlı olan türev ürünlerin LİBOR piyasa modeli aracılığıyla fiyatlandırılması teorik olarak incelenmiştir. Avrupa-tipi ödeme hakkı sağlayan swap opsiyonların, Monte Carlo yöntemini kullanmaksızın LİBOR piyasa modeli tarafından analitik olarak fiyatlandırılabilmesi için, Rebonato (1998) ile Jackel ve Rebonato (2003) tarafından önerilen bu opsiyonun sahip olduğu Black volatilitenin LİBOR piyasa modeli parametreleri cinsinden yaklaşık değeri elde edilmiştir. Daha sonrasında, LİBOR piyasa modelinin parametreleri olan vadeli LİBOR faiz hadleri arasındaki anlık korelasyon miktarları ile vadeli LİBOR faiz hadlerinin anlık volatilitelerini veren fonksiyonel formlar tanıtılmış ve bu fonksiyonel formlar için aranan özellikler belirtilmiştir. Ayrıca, LİBOR piyasa modelinin parametrelerinin piyasa verilerine kalibrasyonu anlatılmıştır. Tez çalışmasında, vadeli LİBOR faiz hadlerine ait olan anlık korelasyon matrisi için önerilen fonksiyonel formların içerdikleri parametrelerin analitik olarak nasıl elde edilebileceği üzerinde de durulmuştur. Vadeli LİBOR faiz hadleri arasındaki korelasyon miktarı bilindiği durumda, Avrupa-tipi ödeme hakkı sağlayan swap opsiyonların fiyatlandırılmasında etkili olan LİBOR piyasa modeli parametrelerinden vadeli LİBOR faiz hadlerine ait volatilitelerin cascade kalibrasyonu ile elde edilişi detaylı bir şekilde anlatılmıştır. En son olarak, faiz haddi tavan sözleşmelerinin ve Avrupa-tipi ödeme hakkı sağlayan swap opsiyonların fiyatlandırılması amacıyla LİBOR piyasa modelinin uygulanmasına yer verilmiştir. LİBOR piyasa modeli, kompleks ve stokastik bir yapıya sahip olmasından dolayı analitik olarak çözümlenememektedir. Numerik yöntemlerden biri olan Euler yöntemi yardımıyla LİBOR piyasa modelinin tahmini sonucu elde ediltikten sonra faiz haddi türevlerinin fiyatları Monte Carlo yöntemi ve varyans azaltma tekniklerinden karşıt değişken yöntemi kullanılarak LİBOR piyasa modeli tarafından tahmin edilmiştir. Uygulamada, bir tane faiz haddi tavan sözleşmesi ve farklı vade sonu tarihlerine sahip üç tane Avrupa-tipi ödeme hakkı sağlayan swap opsiyon fiyatları, LİBOR piyasa modeli tarafından tahmin edilmiştir. Faiz haddi tavan sözleşmesinin LİBOR piyasa modeli tarafından elde edilen tahmin fiyatı, Black modeli tarafından bu sözleşme için elde edilen fiyatla karşılaştırılarak gerekli yorumlar yapılmıştır. Ayrıca, Rebonato (1999) ile Schoenmakers ve Coffey (2000) tarafından vadeli LİBOR faiz hadleri arasındaki anlık korelasyon miktarı için önerilen fonksiyonel formların kullanılmasıyla elde edilen Avrupa-tipi ödeme hakkı sağlayan swap opsiyon tahmin fiyatları karşılaştırılmıştır. LİBOR piyasa modelinin uygulanması için C bigisayar programlama dilinde geliştirilen bir kod kullanılmış ve faiz haddi türev ürünlerinin fiyat tahminleri elde edilmiştir.