Portföy optimizasyonu

Portföy optimizasyonu, menkul kıymet analizi, portföy analizi ve portföy seçimi olmak üzere üç safhada gerçekleşmektedir. Portföy optimizasyonu işlemi, belli girdiler ve kısıtlar veri iken yatırımcının ihtiyaçlarım en iyi biçimde karşılayacak menkul kıymet birleşiminin bulunmasına yönelik matematiksel bir problemdir. Bu çalışma da portföy optimizasyonu yapılmasında kullanılan matematiksel modeller hakkındadır. Bu amaç doğrultusunda çalışma Harry Markowitz ve onun modeli ile başlamaktadır. Markowitz finansal ekonominin temelini oluşturan teoriyi geliştirmiş ve yatırım uygulamalarında bir devrim yaratmıştır. Yaptığı çalışmayla 1990 Ekonomi Dalı Nobel Ödülü'nü almıştır. Ekonominin temel dayanağı kaynakların kıtlığı nedeniyle tüm kararlar bir değiş tokuş ile alınır. Markowitz yatırımcının karşılaştığı değiş tokuşun risk ile getiri olduğunu belirlemiş, böylece yatırım alternatifini iki boyuta indirgemiştir. Analiz sırasmda yatırımcının tercihlerini göz önünde bulundurarak en yüksek faydayı sağlayacak optimal portföyü belirlemeye çalışır. Yatırım kararının hangi menkul kıymetlere sahip olmanın belirlenmesi değil, yatırımcının varlığının menkul kıymetler arasında nasıl bölünmesi gerektiği olduğunu tanımlamıştır. Bu noktada tüm yatırımcıların hemfikir olduğu iki amacı kullanmaktadır: 1. Getirinin yüksek olmasını isterler 2. Bu getirilerinin belirsizlikten uzak ve kesin olmasını isterler. Markowitz yatırım problemini istatistiğe dönüştürmüş ve kimi varsayımlar altında getiri düzeyinin varyansının anlamlı bir risk ölçüsü olduğunu göstermiş ve portföy varyansmı hesaplamak için formüller geliştirmiştir. Bu formül riski düşürmek için çeşitlendirmenin önemim belirtmesinin yanında, etkin çeşitlendirmenin nasıl yapılacağını da göstermiştir. Markowitz modeli yatırımcı davranışlarına ilişkin beş temel varsayıma dayanır: 1. Yatırımcılar, belli bir periyot için her yatırım alternatifinin beklenen getirişinin olasılık dağılımına sahiptir. 2. Yatırımcılar, bir periyotluk beklenen faydalarım maksimize ederler ve fayda fonksiyonları azalan marjinal faydaya sahiptir. 3. Yatırımcılar riski, beklenen getirinin değişkenliğine dayanarak tahmin ederler. 4. Yatırımcılar kararlarım, beklenen getiri ve riske göre alırlar. Bu nedenle fayda eğrileri beklenen getiri ve standart sapmanın fonksiyonudur. 5. Belli bir risk düzeyi için yatırımcılar yüksek getiriyi düşük getiriye tercih ederler. Benzer şekilde belli bir getiri düzeyi için düşük riski yüksek riske tercih ederler. XIBu varsayımlar portföyü oluşturan menkul kıymetlerin normal dağılıma sahip olmaları veya yatırımcının fayda fonksiyonunun kuadratik olması sonucunu doğurur. Bu özelliklere sahip Markowitz ortalama-varyans analizi portföyü oluşturan menkul kıymetlerin getirileri ile getirilerinin sapmasını girdi olarak alır. Menkul kıymetler arasındaki ilişkiyi ortaya koyabilmek için kovaryans da analizin girdisidir. Yapılan analizin girdileri, menkul kıymetlerin geçmişşte sağladığı performansa dayanabileceği gibi, analistlerin gelecekle ilgili beklentileri de olabilir. Ancak Markowitz, analizinde geçmişş getirileri kullanmaktadır. Geçmişte gerçekleşen gerililerin aritmetik ortalaması beklenen getiri olarak tanımlanmaktadır. Kritik hat algoritmasını geliştirmek üzere kuadratik programlama tekniklerini kullanmıştır. Kritik hat algoritması belli bir beklenen getiri düzeyi için standart sapma veya varyans ile ölçülen riski minimize eden ve belli bir risk düzeyi için beklenen getiriyi maksimize eden uygulanabilir portföyleri tanımlar. Bu portföyler beklenen getiri-standart sapma uzayında etkin sının oluştururlar. Etkin sınır, yatırımcının portföyünü belirlerken karşılaştığı risk ve getiri arasındaki değiş tokuşu ifade eder. Kritik hat algoritması sayesinde etkin sınır sonlu sayıdaki köşe portföy ile üretilebilmektedir. Etkin sınırın çoğunu iyi çeşitlendirilmiş portföyler oluşturur. Çünkü çeşitlendirme risk düşürmede önemli yere sahiptir. Böylece ortalama-varyans analizi 'Tüm yumurtalarını tek sepete koyma.' atasözünün matematiksel anlamını ortaya koymaktadır. Ortalama-varyans analizi sırasında kullanılan hesaplama işlemi oldukça güçtür. Ayrıca n adet menkul kıymet için kullanılacak 2n + n / 2 adet tahmin yapılmalıdır. Bu nedenlerle analiz basitleştirilmeye çalışılmıştır. Bu çalışmalar sonucun indeksli modeller geliştirilmiştir. William Sharpe'in geliştirdiği tek indeksli model gereken tahmin sayışım 3 n + 2 düşürmüştür. Ancak menkul kıymetlerin birlikte hareketlerinin tek nedeninin pazar olduğunu varsaymaktadır. Oysa, yapılan çalışmalar menkul kıymetlerin birlikte hareketine pazar dışındaki etkenlerin de neden olacağını ortaya koymuştur. Bu nedenle çok indeksli modeller ve endüstri indeks modelleri geliştirilmiştir. Bu modeller de tahmin sayısını azaltmaktadırlar. Çok indeksli modellerle analiz sırasında kullanılan indekslerin ilişkisiz hale dönüştürülmesi matematiksel olarak her zaman mümkündür. Ancak oluşturulan yeni ilişkisiz indekslerin ekonomik anlamlarını tanımlamak güçleşmektedir. Markowitz'in öğrencisi Sharpe'ın geliştirdiği ve indekse duyarlılık parametresinin risk ölçüsü olarak kullanıldığı analiz hesaplama işlemini ve etkin sınır yapışım oldukça basitleştirmektedir. Ancak indekse duyarlılık parametresinin belirlenmesi de geçmişşte gerçekleşen duyarlılığa dayanılarak yapılmaktadır. Gerek ortalama-varyans analizi ve gerekse indeks modelleri etkin sınırın belirlenmesinin ardından portföy seçim safhasında fayda fonksiyonunun ürettiği kayıtsızlık eğrileri yardımıyla optimum portföyü belirlerler. Ancak kişi ve kurumların faydasını formüle etmenin güçlüğü nedeniyle kimi alternatif portföy seçim modelleri geliştirilmiştir. Açığa düşüş yaklaşımı, etkin sımr üzerinden bir portföyün belirlenmesi sırasında fayda fonksiyonu kullanmamaktadır. Ancak bu, Markowitz analizinin özel bir durumudur. Yatırımcının seçtiği taban getiri düzeyi, risksiz menkul kıymetin getiri düzeyi olarak seçildiğinde açığa düşüş analizi Markowitz analizinde risksiz menkul kıymet bulunmasına eşdeğerdir. XIIGeometrik ortalama getirinin maksimizasyonu, aritmetik ortalama getiri maksimizasyonu ile varyans minimizasyonunu içerdiği için iyi bir yatırım amacı olabilir. Geometrik ortalama getirinin maksimizasyonu aynı zamanda varlığın nihai değerinin maksimizasyonuna eşdeğerdir. Ancak Markowitz analizinin de dayandığı varsayımlar düşünüldüğünde optimizasyon sonucu bulunacak portföy, yatırımcının faydasını maksimize etmelidir. Oysa geometrik ortalama getiri maksimizasyonu sırasında varlığın nihai değerinin maksimizasyonu ancak fayda fonksiyonu logaritmik ise fayda maksimizasyonunu sağlar. Önce güvenlik kriterlerinin farklı formları yatırımcının beklenen fayda hesaplamaları yapamayacağına dayanır ve kötü getirilerden uzak durmaya dayalı basit karar kriterleri kullanırlar. Kriterler gerililerin dağılımları ve fayda fonksiyonunun formu ile ilgili varsayımlarda bulunmazlar. Yatırımcının altına düşmekten çekindiği bir getiri düzeyi için analiz yaparlar. Roy, Kataoka ve Telser önce güvenlik kriterleri normal dağılım kısıtı altında Markowitz etkin sının üzerindeki bir portföyün optimum olarak seçilmesini sağlar. Yatırımcılar yüksek getiri sağlama olasılığı yüksek olan menkul kıymetleri tercih ederler. Bu nedenle pozitif çarpıklık, bir menkul kıymetin tercih edilmesini sağlayabilir. Ortalama, varyans ve çarpıklık ile menkul kıymetler arasındaki ilişkinin girdi olduğu bir analiz çok daha etkin portföyler oluşturabilir. Ancak bu çalışmalar öncelikle ilişkiler konusundaki basitleştirmeyi beklemektedirler. Stokastik baskınlık fayda fonksiyonunun davranışına dayanan daha katı koşullar altında etkin yatırım kümeleri tanımlar. Ortalama-varyans analizinden daha genel kurallara sahip olması nedeniyle bazı kısıtlar kullanıldığında ortalama-varyans analizi ile uyumludur ve aynı etkin kümeye ulaşır. Dolayısıyla portföy seçim safhasında çeşitli farklılıklar gösteren diğer portföy seçim modelleri henüz Markowitz modeline ciddi bir alternatif oluşturamarnaktadırlar. Üstelik hesaplama güçlüğü konusundaki problemler de bilgisayar dünyasındaki gelişmelerle alt edilmiş durumdadır. X111