শব্দের সংরোধ

শব্দের সংরোধ এবং নির্দিষ্ট শব্দের সংরোধ হলো একটি ব্যবস্থার সেই প্রতিরোধের পরিমাণ, যা সেটিতে প্রয়োগ করা শব্দের চাপের ফলে সৃষ্ট শব্দের প্রবাহকে বাধা দেয়। শব্দের সংরোধের এসআই একক হলো প্যাসকেল-সেকেন্ড প্রতি ঘন মিটার (Pa·s/m³), এবং এমকেএস পদ্ধতিতে রেইল প্রতি বর্গ মিটার (Rayl/m²)। নির্দিষ্ট শব্দের সংরোধের এসআই একক হলো প্যাসকেল-সেকেন্ড প্রতি মিটার (Pa·s/m), এবং এমকেএস পদ্ধতিতে রেইল (Rayl)। এটি তড়িৎ সংরোধের অনুরূপ, যেখানে কোনো ব্যবস্থায় প্রয়োগ করা নির্দিষ্ট বিভবের ফলে তা বিদ্যুৎ প্রবাহের কতটা প্রতিরোধ গঠন করে তা নির্ধারিত হয়।

গাণিতিক সংজ্ঞা

শাব্দিক সংরোধ 

 

অথবা সমতুল্যভাবে,

 

যেখানে,

 p হলো শব্দচাপ
 Q হলো শব্দের আয়তন প্রবাহ হার
 ∗ হলো কনভল্যুশন অপারেটর
 R হলো সময়-ডোমেইনে শব্দ প্রতিরোধ
 G=R^(-1) হলো সময়-ডোমেইনে শব্দ পরিবাহিতা [R^(-1) হলো R-এর কনভল্যুশনের বিপরীত]
শব্দের সংরোধ, যা Z দ্বারা চিহ্নিত, হলো ল্যাপ্লাস রূপান্তর, ফুরিয়ে রূপান্তর, অথবা সময় ক্ষেত্রের শব্দ প্রতিরোধের বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপনা:

যেখানে,

 𝐿 হলো ল্যাপ্লাস রূপান্তর অপারেটর;
 𝐹 হলো ফুরিয়ে রূপান্তর অপারেটর;
 "𝑎" সাবস্ক্রিপ্ট হলো বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপন অপারেটর;
 𝑄^−1 হল 𝑄-এর কনভল্যুশন বিপরীত।

শব্দের সংরোধ, যা R দ্বারা চিহ্নিত, এবং শব্দ প্রতিক্রিয়া, যা X দ্বারা চিহ্নিত, যথাক্রমে শব্দ ইম্পিডেন্সের বাস্তব অংশ এবং কাল্পনিক অংশ:

এখানে:

 𝑖 হলো কাল্পনিক একক;
 𝑍(𝑠)-এ, 𝑅(𝑠) হলো সময় ডোমেইনের শব্দ প্রতিরোধ, 𝑅(𝑡)-এর ল্যাপ্লাস রূপান্তর নয়, বরং এটি 𝑍(𝑠) ;
 𝑍(𝜔)-এ, 𝑅(𝜔) হলো সময় ডোমেইনের শব্দ প্রতিরোধ, 𝑅(𝑡)-এর ফুরিয়ে রূপান্তর নয়, বরং এটি 𝑍(𝜔) ;
 বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপনার সংজ্ঞা অনুযায়ী, 𝑍(𝑡)-এ, 𝑅(𝑡) হলো সময় ডোমেইনের শব্দ প্রতিরোধ এবং 𝑋(𝑡) হলো 𝑅(𝑡)-এর হিলবার্ট রূপান্তর।

ইন্ডাকটিভ শব্দ প্রতিক্রিয়া XL​ দ্বারা চিহ্নিত, এবং ক্যাপাসিটিভ শব্দ প্রতিক্রিয়া XC​ দ্বারা চিহ্নিত, যথাক্রমে শব্দ প্রতিক্রিয়ার ধনাত্মক অংশ এবং ঋণাত্মক অংশ।

Y দ্বারা চিহ্নিত শব্দ অ্যাডমিট্যান্স হলো ল্যাপ্লাস রূপান্তর, ফুরিয়ে রূপান্তর, অথবা সময় ডোমেইনের শব্দ পরিবাহিতার বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপনা।

এখানে:

 Z−1 হলো Z-এর কনভল্যুশন বিপরীত;
 p−1 হলো p-এর কনভল্যুশন বিপরীত।

শব্দ পরিবাহিতা G এবং শব্দ সংবেদনশীলতা B যথাক্রমে শব্দ অ্যাডমিট্যান্সের বাস্তব অংশ এবং কাল্পনিক অংশ:

এখানে:

 Y(s)-এ, G(s) সময় ডোমেইন শব্দ পরিবাহিতার G(t)-এর ল্যাপ্লাস রূপান্তর নয়, বরং এটি Y(s);
 Y(ω)-এ, G(ω) সময় ডোমেইন শব্দ পরিবাহিতার G(t)-এর ফুরিয়ে রূপান্তর নয়, বরং এটি Y(ω);
 বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপনার সংজ্ঞা অনুসারে, Y(t)-এ, G(t) হলো সময় ডোমেইন শব্দ পরিবাহিতা এবং B(t) হলো সময় ডোমেইন শব্দ পরিবাহিতার G(t)-এর হিলবার্ট রূপান্তর, ।

শব্দের সংরোধ শব্দ তরঙ্গের শক্তি স্থানান্তরকে প্রকাশ করে, যেখানে চাপ ও গতিবেগ একই ধাপে থাকে, ফলে তরঙ্গের সামনে মাধ্যমের ওপর কাজ সম্পন্ন হয়। অন্যদিকে, শব্দের প্রতিক্রিয়া সেই চাপকে প্রকাশ করে, যা গতিবেগের সাথে কোনো ধাপে থাকে না এবং গড় শক্তি স্থানান্তর ঘটায় না।

উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি বন্ধ বাল্ব একটি অর্গান পাইপের সাথে সংযুক্ত থাকে, তবে বাতাস এতে প্রবাহিত হবে এবং চাপ সৃষ্টি হবে, কিন্তু তারা এক ধাপে থাকবে না, ফলে কোনো নিট শক্তি স্থানান্তরিত হবে না। যখন চাপ বৃদ্ধি পায়, বাতাস প্রবাহিত হয়, এবং যখন চাপ কমে, বাতাস বের হয়ে যায়। তবে বাতাস প্রবাহিত হওয়ার সময় ও বের হওয়ার সময় গড় চাপ একই থাকে, ফলে শক্তি সাময়িকভাবে প্রবাহিত হলেও কোনো গড় শক্তি স্থানান্তরিত হয় না।

একটি বিদ্যুৎগত তুলনা হিসেবে, যদি একটি ক্যাপাসিটর পাওয়ার লাইনের সাথে সংযুক্ত থাকে, তবে তাতে প্রবাহিত তড়িৎ ভোল্টেজের সাথে এক ধাপে থাকে না, ফলে এতে নিট শক্তি স্থানান্তরিত হয় না।

নির্দিষ্ট শব্দের সংরোধ 
একটি রৈখিক ও সময়-অপরিবর্তনশীল সিস্টেমের জন্য প্রয়োগকৃত শব্দচাপ এবং সেই চাপের দিকের প্রয়োগস্থলে সৃষ্ট কণার গতিবেগের মধ্যে সম্পর্ক হলো:

অথবা সমতুল্যভাবে,

যেখানে:

 p হলো শব্দচাপ,
 v হলো কণার গতিবেগ,
 r হলো সময় ডোমেইনে নির্দিষ্ট শব্দের সংরোধ,
 g=r^−1 হলো সময় ডোমেইনে নির্দিষ্ট শব্দ পরিবাহিতা,(যেখানে r^−1 হলো r-এর কনভল্যুশন বিপরীত)।

নির্দিষ্ট শব্দ প্রতিবন্ধকতা (z) হলো সময় ডোমেইনে নির্দিষ্ট শব্দ প্রতিরোধের লাপ্লাস রূপান্তর, ফুরিয়ার রূপান্তর বা বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপন।

যেখানে v^−1 হলো v-এর কনভল্যুশন বিপরীত।

নির্দিষ্ট শব্দের সংরোধ (r) এবং নির্দিষ্ট শব্দ প্রতিক্রিয়া (x) যথাক্রমে নির্দিষ্ট শব্দ প্রতিবন্ধকতার বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ:

যেখানে,

 z(s)-এ, r(s) সময় ডোমেইনে নির্দিষ্ট শব্দ প্রতিরোধের লাপ্লাস রূপান্তর নয়; বরং, z(s) নিজেই সেটি।
 z(ω)-এ, r(ω) সময় ডোমেইনে নির্দিষ্ট শব্দ প্রতিরোধের ফুরিয়ার রূপান্তর নয়; বরং, z(ω) নিজেই সেটি।
 বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপনার সংজ্ঞা অনুযায়ী, z(t)-তে, r(t) হলো সময় ডোমেইনে নির্দিষ্ট শব্দের সংরোধ, এবং x(t) হলো তার হিলবার্ট রূপান্তর।
নির্দিষ্ট প্রেরণধর্মী শব্দীয় রিয়াক্ট্যান্স (xL) এবং নির্দিষ্ট ধারক শব্দীয় রিয়াক্ট্যান্স (xC) যথাক্রমে নির্দিষ্ট শব্দীয় রিয়াক্ট্যান্সের ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অংশ:

নির্দিষ্ট শব্দীয় অনুমতিত্ব (y) হলো লাপ্লাস রূপান্তর, ফুরিয়ে রূপান্তর বা সময় ডোমেইনের নির্দিষ্ট শব্দীয় পরিবাহিতার বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপনা:

যেখানে,

 z−1 হলো z-এর ভাঁজ বিপরীত।
 p−1 হলো  p-এর ভাঁজ বিপরীত।

নির্দিষ্ট শব্দীয় পরিবাহিতা (g), এবং নির্দিষ্ট শব্দীয় সাসেপ্ট্যান্স (b), যথাক্রমে নির্দিষ্ট শব্দীয় অনুমতিত্বের বাস্তব অংশ এবং কল্পনা অংশ:

যেখানে,

 y(s)-এ, g(s) হলো সময় ডোমেইনের শব্দীয় পরিবাহিতা g(t)-এর লাপ্লাস রূপান্তর নয়, বরং y(s)-এর লাপ্লাস রূপান্তর।
 y(ω)-এ, g(ω) হলো সময় ডোমেইনের শব্দীয় পরিবাহিতা g(t)-এর ফুরিয়ে রূপান্তর নয়, বরং y(ω)-এর ফুরিয়ে রূপান্তর।
 বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপনার সংজ্ঞা অনুসারে, y(t)-এ, g(t) হলো সময় ডোমেইনের শব্দীয় পরিবাহিতা এবং b(t) হল সময় ডোমেইনের শব্দীয় পরিবাহিতার হিলবার্ট রূপান্তর।

নির্দিষ্ট শব্দীয় প্রতিবন্ধিতা z হলো একটি নির্দিষ্ট মাধ্যমের (যেমন, বায়ু বা পানির z নির্দিষ্ট করা যেতে পারে) একটি তাত্ত্বিক গুণ; অপরদিকে, শব্দীয় প্রতিবন্ধিতা Z হল একটি নির্দিষ্ট মাধ্যম এবং ভৌগোলিক অবকাঠামোর একটি ব্যাপক গুণ (যেমন, একটি বিশেষ নল যা বায়ু দ্বারা পূর্ণ, তার Z নির্দিষ্ট করা যেতে পারে)।

শাব্দিক ওহম 
শাব্দিক ওহম হলো শব্দীয় প্রতিবন্ধিতা পরিমাপের একক। চাপের এসআই একক হল প্যাসকেল এবং প্রবাহের এসআই একক হল ঘনমিটার প্রতি সেকেন্ড, তাই শাব্দিক ওহম হলো ১ Pa·s/m³ এর সমান।

শাব্দিক ওহম শব্দতত্ত্বের ক্ষেত্রের বাইরেও তরল প্রবাহে প্রয়োগ করা যেতে পারে। এমন ব্যবহারের জন্য হাইড্রোলিক ওহম একটি একে অপরের সমান সংজ্ঞা সহ ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি হাইড্রোলিক ওহম পরিমাপ হবে হাইড্রোলিক চাপের সাথে হাইড্রোলিক ভলিউম প্রবাহের অনুপাত।

সম্পর্ক 
একটি একমাত্রিক তরঙ্গ যখন একটি অ্যাপারচার দিয়ে চলে, যার এলাকা A, তখন শব্দীয় পরিমান প্রবাহ হার Q হলো প্রতি সেকেন্ডে অ্যাপারচার দিয়ে মধ্যস্থলের যে পরিমাণ ভলিউম প্রবাহিত হয়; যদি শব্দীয় প্রবাহ একটি দুরত্ব dx=vdt চলে, তাহলে মধ্যস্থলের যে ভলিউমটি প্রবাহিত হয় তা হবে dV=Adx, তাই:

যদি তরঙ্গ একমাত্রিক হয়, তবে এটি প্রদান করবে:

বৈশিষ্ট্যগত শাব্দিক সংরোধ

বৈশিষ্ট্যগত নির্দিষ্ট শব্দের সংরোধ 
একমাত্রিক ননডিসপারসিভ লিনিয়ার অ্যাকুস্টিক্সের সূত্র চাপ এবং প্রসারণের মধ্যে একটি সম্পর্ক প্রদান করে:

যেখানে

 p হলো মধ্যস্থলে শব্দীয় চাপ;
 ρ হলো মধ্যস্থলের আয়তনিক ভর ঘনত্ব;
 c হলো শব্দ তরঙ্গের গতিবেগ;
 δ হলো কণার স্থানচ্যুতি;
 x হলো শব্দ তরঙ্গের প্রচারণা দিশায় স্থান চলক।

এই সমীকরণটি তরল এবং কঠিন উভয়ের জন্য বৈধ।

তরলে, ρc^2=K (যেখানে K হলো বাল্ক মডুলাস); কঠিন পদার্থে, লম্বা তরঙ্গের জন্য ρc^2=K+34​G (যেখানে G হলো শিয়ার মডুলাস) এবং ট্রান্সভার্স তরঙ্গের জন্য ρc^2=G।

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র যখন স্থানীয়ভাবে মাধ্যমের মধ্যে প্রয়োগ করা হয়, তখন আমরা পাই:

এই সমীকরণটি আগের সমীকরণের সাথে মিলিয়ে একমাত্রিক তরঙ্গ সমীকরণ পাওয়া যায়:

এখন, সমতল তরঙ্গগুলো:

এই তরঙ্গ সমীকরণের সমাধানগুলি হল দুটি বিকাশমান সমতল তরঙ্গের সমষ্টি, যা একে অপরের বিপরীত দিকে এবং একই গতিতে x-এর বরাবর চলাচল করে:

এখন, আমরা থেকে নির্ধারণ করতে পারি:

এবং

প্রগতিশীল প্লেন তরঙ্গগুলির জন্য:

অবশেষে, নির্দিষ্ট শব্দীয় সংরোধ z হলো:

এবং

এবং

এই নির্দিষ্ট শব্দীয় সংরোধ-এর পরম মানকে সাধারণত "চরিত্রগত নির্দিষ্ট শব্দীয় সংরোধ" বা z0​ বলে অভিহিত করা হয়:

এই সমীকরণগুলি এছাড়াও দেখায় যে:

তাপমাত্রার প্রভাব 
তাপমাত্রা শব্দের গতি এবং ভর ঘনত্বের ওপর প্রভাব ফেলে, ফলে নির্দিষ্ট শব্দীয় সংরোধ-এও প্রভাব পড়ে।

বৈশিষ্ট্যগত শব্দের সংরোধ 
একটি একমাত্রিক তরঙ্গ যদি একটি আ্যপারচারের মাধ্যমে প্রবাহিত হয়, যার ক্ষেত্রফল A, তাহলে শব্দের সংরোধ Z হবে Z=z/A​, যেখানে z হলো নির্দিষ্ট শব্দীয় সংরোধ। যদি তরঙ্গটি একটি প্রগতিশীল সমতল তরঙ্গ হয়, তবে:

এই শব্দীয় সংরোধ-এর পরম মান সাধারণত "চরিত্রগত শব্দীয় সংরোধ" বা Z0​ হিসেবে পরিচিত:

এবং চরিত্রগত নির্দিষ্ট শব্দীয় সংরোধ হবে:

যদি আ্যপারচারের ক্ষেত্রফল A একটি পাইপের শুরু হয় এবং একটি সমতল তরঙ্গ পাইপে পাঠানো হয়, তবে আ্যপারচারের মাধ্যমে প্রবাহিত তরঙ্গটি একটি প্রগতিশীল সমতল তরঙ্গ হবে যদি প্রতিফলন না থাকে। তবে পাইপের অন্য প্রান্ত থেকে সাধারণত প্রতিফলন ঘটে, যা উন্মুক্ত বা বন্ধ থাকলে এক প্রান্ত থেকে অন্য প্রান্তে চলাচলকারী তরঙ্গগুলির সমষ্টি হয়। (এটি সম্ভব যে পাইপটি অত্যন্ত দীর্ঘ হলে প্রতিফলন থাকে না, কারণ প্রতিফলিত তরঙ্গগুলি ফিরে আসতে দীর্ঘ সময় নেয় এবং পাইপের প্রাচীরে ক্ষতির কারণে তাদের ক্ষয় ঘটে।) এই ধরনের প্রতিফলন এবং ফলস্বরূপ স্থায়ী তরঙ্গগুলি সঙ্গীত বাজানোর যন্ত্রগুলির ডিজাইন এবং কার্যক্রমে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

তথ্যসূত্র

বহিঃসংযোগ 
 শব্দের জন্য তরঙ্গ সমীকরণ
 শব্দের সংরোধ কি এবং কেন এটি গুরুত্বপূর্ণ?

শব্দ (ধ্বনি)