ট্র্যাচেনবার্গ সিস্টেম

ট্র্যাচেনবার্গ সিস্টেম হল দ্রুত গণনার একটি মানসিক পদ্ধতি। কিছু সংখ্যক কৌশল আয়ত্ত্বে এনে বড় বড় পাটিগাণিতিক গননা খুব দ্রুত সম্পন্ন করা যাবে এই পদ্ধতিতে। জ্যাকো ট্র্যাচেনবার্গ, একজন রাশিয়ান প্রকৌশলী, নাৎসি কনসেনট্রেশন ক্যাম্পে থাকার সময় নিজের মনকে ব্যস্ত রাখার জন্য এটি উদ্ভাবন করেছিলেন।

এই নিবন্ধের বাকি অংশে উপস্থাপন করা হয়েছে ট্র্যাচেনবার্গের উদ্ভাবিত কিছু পদ্ধতি। তাঁর উদ্ভাবিত কিছু অ্যালগরিদমের মধ্যে রয়েছে সাধারণ গুণ, ভাগ এবং যোগ করার পদ্ধতি। এছাড়াও, ট্র্যাচেনবার্গ সিস্টেমে রয়েছে 5 থেকে 13 এর মধ্যকার ছোট ছোট সংখ্যাকে গুণ করার কিছু বিশেষ কৌশল।

গণিতের এই অধ্যায়টিতে রয়েছে গণনা যাচাইয়ের একটি কার্যকরী পদ্ধতি, যা সহজে গুণ করার ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যায়।

সাধারণ গুণ 
এই নিয়মের সাধারণ গুণন পদ্ধতি হল, স্বল্প সংখ্যক মান স্মৃতিতে ধারণ করে  গুণন প্রক্রিয়া সম্পন্ন করা। যা করা হয়  গুণিতকগুলির শেষের অঙ্কগুলো একটি নির্দিষ্ট নিয়মে গুণ করে গুনফলের একক স্থানীয় অঙ্কটি ফলাফলের সর্বশেষ সংখ্যা হিসেবে নির্ধারিত হয়। দশক স্থানীয় অঙ্কটি একটি অস্থায়ী ফলাফল হিসাবে গৃহীত হয়। ফলাফলের শেষ অঙ্কের আগের অঙ্কটি খুঁজে পেতে, একইভাবে এর আগের সংখ্যাকে গুন করে তার একক স্থানীয় সংখ্যার সাথে পরের সংখ্যার গুনফলের দশক স্থানীয় সংখ্যা যা অস্থায়ী মান হিশেবে রাখা হয়েছিল এবং তার সাথে গুনিতকের আগের সংখ্যার গুনফলের একক স্থানীয় সংখ্যা যোগ করে যোগফলের একক স্থানীয় সংখ্যাটি বসাতে হবে। এভাবে গণনাটি সঞ্চালিত হয়ে চুড়ান্ত ফলাফল প্রদর্শন করবে।

সাধারণত, মুল ফলাফলের প্রতিটি  পদের জন্য, সবকটি  যোগ করা হয়ে থাকে।

 

যে কেউ এই অ্যালগরিদমটি শিখতে পারে এবং এই নিয়মে মনে মনে চার-অঙ্কের সংখ্যাগুলিকে গুণ করে - শুধুমাত্র চূড়ান্ত ফলাফলটি লিখতে পারে। তারা ফলাফল-সংখ্যাটির ডানদিকের অঙ্ক দিয়ে শুরু করে ক্রমান্বয়ে বামতম অঙ্ক দিয়ে শেষ করবে।

ট্র্যাচেনবার্গ এই অ্যালগরিদমটিকে এক ধরনের জোড়াভিত্তিক গুণন নামে সংজ্ঞায়িত করেছেন যেখানে দুটি অঙ্ককে একটি অঙ্ক দ্বারা গুণ করা হয়, কেবল ফলাফলের মাঝের অঙ্কটি অপরিহার্য রেখে। উপরের অ্যালগরিদমটি এই জোড়াভিত্তিক গুণন পদ্ধতিতে সম্পন্ন করা হয়, এমনকি স্বল্প অস্থায়ী ফলাফলগুলি হাতে রেখে।

উদাহরণ: 

উত্তরের প্রথম (ডানতম) অঙ্কটি খুঁজে পেতে, গুণ্য ও গুণকটির প্রথম অঙ্ক দুটি দিয়ে শুরু করতে হবে।

  এর একক স্থানীয় অঙ্ক  , প্রাপ্ত যোগফলের একক স্থানীয় অঙ্ক  মূল উত্তরের প্রথম অঙ্ক হিসেবে বসবে এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক  মনে বা হাতে রাখা হবে না।

উত্তরের দ্বিতীয় অঙ্কটি খুঁজে পেতে, গুণ্যের দ্বিতীয় সর্বশেষ অঙ্ক থেকে শুরু করতে হবে:

  এর একক স্থানীয় অঙ্ক,  এর দশক স্থানীয় অঙ্ক এবং  এর একক স্থানীয় অঙ্কের যোগফল।
 
 প্রাপ্ত যোগফলের একক স্থানীয় অঙ্ক  মূল উত্তরের দ্বিতীয় অঙ্ক হিসেবে বসবে এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক  তৃতীয় অঙ্কের সাথে যোগ হবে।

উত্তরের তৃতীয় অঙ্কটি খুঁজে পেতে, গুণকটির তৃতীয় অঙ্ক থেকে শুরু করতে হবে:

  এর একক স্থানীয় অঙ্ক,  এর দশক স্থানীয় অঙ্ক,  এর একক স্থানীয় অঙ্ক,  এর দশক স্থানীয় অঙ্ক এবং  একক স্থানীয় অঙ্কের যোগফল।
 
 প্রাপ্ত যোগফলের একক স্থানীয় অঙ্ক  মূল উত্তরের তৃতীয় অঙ্ক হিসেবে বসবে এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক  চতুর্থ অঙ্কের সাথে যোগ হবে।

উত্তরের চতুর্থ অঙ্কটি খুঁজে পেতে, গুণ্যটির চতুর্থ অঙ্ক থেকে শুরু করতে হবে:

  এর একক স্থানীয় অঙ্ক,  এর দশক স্থানীয় অঙ্ক   এর একক স্থানীয় অঙ্ক,  এর দশক স্থানীয় অঙ্ক,  এর একক স্থানীয় অঙ্ক  এর দশক স্থানীয় অঙ্ক।
 
 যার 1 অঙ্কটি তৃতীয় সংখ্যা থেকে নেয়া।
 
 উত্তরের চতুর্থ অঙ্ক হল  এবং বহন  পরের অঙ্কে।

উত্তরের অবশিষ্ট অঙ্কগুলি পেতে একই পদ্ধতি চালিয়ে যেতে হবে।

ট্র্যাচেনবার্গ একে 2 আঙুল পদ্ধতি বলেছেন। চতুর্থ অঙ্ক বের করার গণনা পদ্ধতি ওপরের উদাহরণ অনুযায়ী ডানদিকের চিত্রে দেখানো হয়েছে।  অঙ্কটি থেকে তীর চিহ্নটি সর্বদা গুণ্যের অঙ্কগুলির দিকে নির্দেশ করবে এবং আপনি যে উত্তরটি জানতে চান সেই অঙ্কের সরাসরি উপরে, অন্যান্য তীরগুলির সাথে প্রতি একটি সংখ্যার ডানদিকে নির্দেশ করবে। প্রতিটি তীরের মাথা একটি UT জোড়া বা গুণফলের জোড়ার দিকে নির্দেশ করে। উল্লম্ব তীরটি সেই দিকে নির্দেশ করে যেখানে আমরা প্রাপ্ত গুণফল বা জোড় সংখ্যাটির একক অঙ্ক পাব এবং ঢালু তীরটি নির্দেশ করে যেখানে আমরা প্রাপ্ত গুণফল বা জোড় সংখ্যাটির দশক অঙ্ক পাব। যদি তীর কোন অঙ্কবিহীন স্থানের দিকে নির্দেশ করে তাহলে সেই তীরের কোন হিসাব হবে না। আপনি প্রতিটি অঙ্ক সমাধানের পর প্রতিটি তীরকে পরবর্তী গুণ্যের উপরে এবং এক ঘর বামে নিয়ে যাবেন, যতক্ষণ না সমস্ত তীরগুলি উপসর্গযুক্ত শূন্যের দিকে নির্দেশ করে।

ট্র্যাচেনবার্গ সিস্টেমে গুণের মত করেই ভাগ করা হয় তবে যোগের পরিবর্তে বিয়োগের সাহায্যে। ভাজ্যকে ছোট ছোট অংশে বিভক্ত করে, তারপর ওই আংশিক ভাজ্যকে ভাজকের কেবল বামতম অঙ্ক দিয়ে ভাগ করলে এক অঙ্কের উত্তর পাওয়া যাবে। আপনি উত্তরের প্রতিটি অঙ্ক সমাধান করার পর পরবর্তী আংশিক ভাজ্য খুঁজে পেতে আংশিক ভাজ্য থেকে জোড়া-অঙ্ক (UT জোড়া) এবং NT জোড়া (দশক) বিয়োগ করবেন। প্রাপ্ত উত্তর এবং ভাজকের মধ্য থেকেই সাধারণত জোড়া-অঙ্ক পাওয়া যায়। যদি বিয়োগের ফলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি ঋণাত্মক হয় তবে আপনাকে (আগের সংখ্যা থেকে ধার নিতে হবে) এক সংখ্যা পেছনে যেতে হবে এবং উত্তরের সেই সংখ্যাটি এক বাদ দিতে হবে। পর্যাপ্ত অনুশীলনের মাধ্যমে এই পদ্ধতিতে আপনি ভাগ নির্ণয় করে ফেলতে পারবেন মনে মনে।

সাধারণ সংযোজন 
সংখ্যাগুলির কলাম যুক্ত করার এবং প্রথম অপারেশনটি পুনরাবৃত্তি না করে ফলাফলটি সঠিকভাবে পরীক্ষা করার একটি পদ্ধতি৷ একটি মধ্যবর্তী যোগফল, সংখ্যা দুটি সারি আকারে, উত্পাদিত হয়. উত্তরটি একটি এল-আকৃতির অ্যালগরিদমের সাথে মধ্যবর্তী ফলাফলের যোগফল গ্রহণ করে প্রাপ্ত হয়৷ একটি চূড়ান্ত পদক্ষেপ হিসাবে, যে চেকিং পদ্ধতিটি সমর্থন করা হয় তা উভয়ই কোনও মূল ত্রুটি পুনরাবৃত্তি করার ঝুঁকি সরিয়ে দেয় এবং সঠিক কলামটি সনাক্ত করে যেখানে একটি ত্রুটি একবারে ঘটে এটি চেক (বা অঙ্ক) যোগফলের উপর ভিত্তি করে, যেমন নয়-অবশিষ্ট পদ্ধতি.

পদ্ধতিটি কার্যকর হওয়ার জন্য, প্রতিটি পর্যায়ে ব্যবহৃত ক্রিয়াকলাপকে আলাদা রাখতে হবে, অন্যথায় একটির সঙ্গে অন্যটি মিলে যাওয়ার ঝুঁকি রয়েছে।

অন্যান্য গুণন অ্যালগরিদম 
অন্যান্য গুণন সূত্রগুলির যে কোনও একটি সম্পাদন করার সময় নিম্নলিখিত "পদক্ষেপগুলি" প্রয়োগ করা উচিত।

উত্তর অন্তত উল্লেখযোগ্য অঙ্ক থেকে শুরু এবং বাম চলন্ত একটি সময়ে এক অঙ্ক পাওয়া আবশ্যক. শেষ গণনা বহুগুণ এর নেতৃস্থানীয় শূন্য হয়.

'অর্ধেক' অপারেশন ট্র্যাচেনবার্গ সিস্টেমের জন্য একটি বিশেষ অর্থ আছে. এর অর্থ "অর্ধেক অঙ্ক, বৃত্তাকার নিচে" কিন্তু গতির কারণে ট্র্যাচেনবার্গ সিস্টেম অনুসরণ করে এমন লোকদের এই অর্ধেক প্রক্রিয়াটি তাৎক্ষণিক করতে উত্সাহিত করা হয় সুতরাং "সাতটির অর্ধেক সাড়ে তিন, তাই তিন" ভাবার পরিবর্তে এটি পরামর্শ দেওয়া হয় যে কেউ "সাত, তিন"ভাবেন এই যথেষ্ট হিসাব গতি আপ. একইভাবে 10 বা 9 থেকে সংখ্যা বিয়োগ করার জন্য টেবিলগুলি মুখস্থ করতে হবে৷

পাটিগণিত