পিছনে-সামনে পদ্ধতি (গণিত)

গণিতের গণিতীয় যুক্তি, বিশেষ করে সেট তত্ত্ব এবং মডেল তত্ত্ব-এ, পিছনে-সামনে পদ্ধতি (Back-and-Forth Method) একটি পদ্ধতি যা নির্দিষ্ট শর্ত পূরণকারী গণনাযোগ্য অনন্ত কাঠামোদের মধ্যে আইসোমরফিজম প্রমাণ করতে ব্যবহৃত হয়। বিশেষ করে এটি ব্যবহার করা যায় প্রমাণ করতে যে:

কোনো দুটি গণনাযোগ্য অনন্ত ঘনভাবে আদেশিত সেট (অর্থাৎ, সুতরাং যে কোনও দুটি সদস্যের মধ্যে অন্য একটি সদস্য থাকে) যার কোনো প্রান্তবিন্দু নেই, তা একে অপরের সাথে আইসোমরফিক। রৈখিক আদেশগুলির মধ্যে একটি আইসোমরফিজম সাধারণত একটি কঠোরভাবে বাড়ানো বিজেকশন (এক-এক এবং পূর্ণ মানচিত্র) হয়। এই ফলাফলটি, উদাহরণস্বরূপ, প্রমাণ করে যে, সব যৌক্তিক সংখ্যা এবং সমস্ত বাস্তব আলজেব্রিক সংখ্যা এর মধ্যে একটি কঠোরভাবে বাড়ানো বিজেকশন রয়েছে।
কোনো দুটি গণনাযোগ্য অনন্ত বুলিয়ান অ্যালজেব্রা একে অপরের সাথে আইসোমরফিক।
কোনো দুটি সমতুল্য গণনাযোগ্য আটমিক মডেল একটি তত্ত্বের আইসোমরফিক।
এর্দোস–রেনি মডেল যাদুকরি গ্রাফগুলির, যখন এটি গণনাযোগ্য অনন্ত গ্রাফগুলিতে প্রয়োগ করা হয়, প্রায় নিশ্চিতভাবেই একটি একক গ্রাফ উৎপন্ন করে, যা রাডো গ্রাফ নামে পরিচিত।
কোনো দুটি অনেক-কমপ্লিট পুনঃগণনা যোগ্য সেট একে অপরের সাথে গণনাযোগ্য আইসোমরফিক।

ঘন আদেশিত সেটগুলিতে প্রয়োগ 
 একটি উদাহরণ হিসেবে, পিছনে-সামনে পদ্ধতি ব্যবহার করে ক্যান্টরের আইসোমরফিজম উপপাদ্য প্রমাণ করা যায়, যদিও এটি জর্জ ক্যান্টর এর আসল প্রমাণ ছিল না। এই উপপাদ্যটি বলে যে দুটি অপ্রান্তিত গণনাযোগ্য ঘন রৈখিক আদেশ আইসোমরফিক।
ধরা যাক,

 (A, ≤A) এবং (B, ≤B) দুটি রৈখিকভাবে আদেশিত সেট;
 এরা উভয়ই অসীম সীমাবদ্ধ, অর্থাৎ A বা B-এর কোনটি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন নয়;
 এরা ঘনভাবে আদেশিত, অর্থাৎ যেকোন দুটি সদস্যের মধ্যে অন্য একটি সদস্য থাকে;
 এরা গণনাযোগ্য অসীম।

নির্দিষ্ট করে দেই (কোনও পুনরাবৃত্তি ছাড়া) প্রতিটি সেটের তালিকা:

A = { a1, a2, a3, ... },
B = { b1, b2, b3, ... }।

এখন আমরা একটি একে অপরের সাথে কঠোরভাবে বাড়ানো একটি এক-এক সম্পর্ক তৈরি করব। প্রথমে A এর কোন সদস্যকে কোন সদস্যের সাথে জোড়া দেওয়া হয়নি।

 (1) ধরা যাক i হলো সর্বনিম্ন সূচক যেটি জন্য ai এখনও কোন B সদস্যের সাথে জোড়া হয়নি। ধরা যাক j হলো এমন একটি সূচক যেটি জন্য bj এখনও কোন A সদস্যের সাথে জোড়া হয়নি এবং ai কে bj এর সাথে জোড়া দেয়া যাবে কঠোরভাবে বাড়ানোর শর্ত অনুযায়ী। ai কে bj এর সাথে জোড়া দিন।

 (2) ধরা যাক j হলো সর্বনিম্ন সূচক যেটি জন্য bj এখনও কোন A সদস্যের সাথে জোড়া হয়নি। ধরা যাক i হলো এমন একটি সূচক যেটি জন্য ai এখনও কোন B সদস্যের সাথে জোড়া হয়নি এবং bj কে ai এর সাথে জোড়া দেয়া যাবে কঠোরভাবে বাড়ানোর শর্ত অনুযায়ী। bj কে ai এর সাথে জোড়া দিন।

 (3) ধাপে (1) এ ফিরে যান।

এখন এটি পরীক্ষা করা উচিত যে ধাপে (1) এবং (2) এ যে পছন্দগুলো করা হয়েছে তা আসলেই শর্ত অনুযায়ী করা যেতে পারে। ধাপ (1) এর উদাহরণ হিসেবে:

যদি ইতিমধ্যেই ap এবং aq এর সাথে bp এবং bq জোড়া দেওয়া থাকে এমনভাবে যে, ap < ai < aq এবং bp < bq, তখন আমরা bj কে bp এবং bq এর মধ্যে ঘনত্ব ব্যবহার করে পছন্দ করি। অন্যথায়, আমরা একটি উপযুক্ত বড় বা ছোট উপাদান B থেকে নির্বাচন করি, যেহেতু B এর কোন সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন উপাদান নেই। ধাপ (2) এ করা পছন্দগুলোও দুভাবে সম্ভব। অবশেষে, গঠনটি গণনাযোগ্য অসীম ধাপ পর সম্পন্ন হয় কারণ A এবং B উভয়ই গণনাযোগ্য অসীম। লক্ষ্য করুন যে, আমরা সব প্রয়োজনীয় শর্তগুলি ব্যবহার করেছি।

ইতিহাস 
হডগস (১৯৯৩)-এর মতে:
ব্যাক-এন্ড-ফোর্থ পদ্ধতিগুলি প্রায়শই ক্যান্টর, বার্ট্রান্ড রাসেল এবং সি. এইচ. ল্যাংফোর্ড এর প্রতি আক্রান্ত হয় [...], কিন্তু এ ধরনের কোন প্রমাণ নেই।
যদিও গণনাযোগ্য ঘনভাবে আদেশিত সেটগুলির উপর উপপাদ্যটি ক্যান্টরের (১৮৯৫) ছিল, এখন যা প্রমাণ করা হয়েছে এমন ব্যাক-এন্ড-ফোর্থ পদ্ধতি প্রথমে এডওয়ার্ড ভারমিলিয় হান্টিংটন (১৯০৪) এবং ফেলিক্স হাউসডর্ফ (১৯১৪) দ্বারা বিকাশ করা হয়েছিল। পরবর্তীতে এটি অন্যান্য পরিস্থিতিতে প্রয়োগ করা হয়েছিল, সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে রোল্যান্ড ফ্রাইসে দ্বারা মডেল তত্ত্ব-এ।

আরও দেখুন 
 এহরেনফেইচ্ট–ফ্রাইসে খেলা

সূত্র

গাণিতিক প্রমাণ
মডেল তত্ত্ব