পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম

গণিতে, একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম হল একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির উপাদানগুলির একটি পাটিগণিতের অগ্রগতির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সাথে উপাদান দ্বারা উপাদান গুণনের ফলাফল। একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের n তম উপাদানটি একটি পাটিগণিত ক্রমটির n তম উপাদান এবং একটি জ্যামিতিক অনুক্রমের n তম উপাদানের গুণফল।  একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজ হল এমন একটি পদের সমষ্টি যা একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের উপাদান। অ্যারিথমেটিকো-জ্যামিতিক ক্রম এবং সিরিজগুলি বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশনে উদ্ভূত হয়, যেমন সম্ভাব্যতা তত্ত্বে প্রত্যাশিত মানের গণনা, বিশেষ করে বার্নোলি প্রক্রিয়াগুলিতে ।

উদাহরণস্বরূপ, ক্রম

 

একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম। গাণিতিক উপাদানটি লবটিতে (নীল রঙে) এবং জ্যামিতিকটি হর (সবুজ রঙে) প্রদর্শিত হয়। এই ক্রমটির অসীম উপাদানগুলির সিরিজ যোগফলকে গ্যাব্রিয়েলের সিঁড়ি বলা হয় এবং এটির মান 2।  সাধারণভাবে,

 

</br> পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক ক্রম উভয় বৈশিষ্ট্যের সমন্বয়ে বিভিন্ন বস্তুকে পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের লেবেলও দেওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, গাণিতিক-জ্যামিতিক অনুক্রমের ফরাসি ধারণাটি সেই ক্রমগুলিকে বোঝায় যা ফর্মের পুনরাবৃত্তি সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে। , যা সংজ্ঞায়িত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক একত্রিত করে  পাটিগণিত ক্রম এবং জন্য  জ্যামিতিক ক্রমগুলির জন্য। এই ক্রমগুলি তাই রৈখিক পার্থক্য সমীকরণের একটি বিশেষ শ্রেণির সমাধান: অবিচ্ছিন্ন প্রথম ক্রম রৈখিক পুনরাবৃত্তি সহ ধ্রুবক সহগ ।

উপাদান 
একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক অনুক্রমের উপাদান  একটি গাণিতিক অগ্রগতির উপাদানগুলির পণ্য  (নীল রঙে) প্রাথমিক মান সহ  এবং সাধারণ পার্থক্য ,  জ্যামিতিক অগ্রগতির সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির সাথে  (সবুজ রঙে) প্রাথমিক মান সহ  এবং সাধারণ অনুপাত ,  যাতে 

 

এই চারটি পরামিতি কিছুটা অপ্রয়োজনীয় এবং তিনটিতে হ্রাস করা যেতে পারে:  এবং

উদাহরণ 
ক্রম

 

পরামিতি সহ পাটিগণিত-জ্যামিতিক ক্রম , , এবং  .

সিরিজ

আংশিক যোগফল 
একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের প্রথম  পদের যোগফলের ফর্ম আছে

 

যেখানে  এবং  এগুলি যথাক্রমে পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক অনুক্রমের  তম উপাদান।

এই আংশিক যোগফলের বদ্ধ-ফর্ম অভিব্যক্তি আছে

ডেরিভেশন 
গুণ করা 

 

 দিয়ে দেয়

 

 থেকে  বিয়োগ করা, উভয় দিক দিয়ে ভাগ করা , এবং টেলিস্কোপিং সিরিজের কৌশল (দ্বিতীয় সমতা) এবং একটি সসীম জ্যামিতিক সিরিজের যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে (পঞ্চম সমতা) দেয়

 

যেমন দাবি করা হয়েছে।

অসীম সিরিজ 
যদি −1 < r < 1 হয়, তাহলে পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের যোগফল S, অর্থাৎ অনুক্রমের উপাদানগুলির আংশিক যোগফলের সীমা  দ্বারা দেওয়া হয়।

 

যদি r উপরের সীমার বাইরে হয়, b শূন্য নয়, এবং a এবং d উভয়ই শূন্য নয়, সীমাটি বিদ্যমান নেই এবং সিরিজটি ভিন্ন ।

উদাহরণ 
যোগফল

  ,

দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের সমষ্টি , , এবং , এবং এটি একত্রিত হয়  . এই ক্রমটি "টেইল" পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় মুদ্রা টসের প্রত্যাশিত সংখ্যার সাথে মিলে যায়। সম্ভাবনা  টসে প্রথমবার টেল পাওয়া নিম্নরূপ:

  .

অতএব, প্রথম "টেলস" পৌঁছানোর জন্য টসের প্রত্যাশিত সংখ্যা দেওয়া হয়

 

একইভাবে, যোগফল

 

দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি পাটিগণিত-জ্যামিতিক সিরিজের সমষ্টি , , , এবং , এবং এটি 6-এ রূপান্তরিত হয়। এই ক্রমটি একটি ডাই রোলে একটি নির্দিষ্ট মান পেতে প্রয়োজনীয় ছয়-পার্শ্বযুক্ত ডাইস রোলের প্রত্যাশিত সংখ্যার সাথে মিলে যায়, উদাহরণস্বরূপ "5"। সাধারণভাবে, সঙ্গে এই সিরিজ , , , এবং  "সাফল্যের সম্ভাবনা" সহ বার্নৌলি প্রক্রিয়াগুলিতে "প্রথম সাফল্য না হওয়া পর্যন্ত পরীক্ষার সংখ্যা" এর প্রত্যাশা দিন  . প্রতিটি ফলাফলের সম্ভাব্যতা একটি জ্যামিতিক বন্টন অনুসরণ করে এবং সিরিজের শর্তাবলীতে জ্যামিতিক ক্রম উপাদান প্রদান করে, যখন প্রতি ফলাফলের পরীক্ষার সংখ্যা শর্তাবলীতে গাণিতিক ক্রম উপাদান প্রদান করে।

তথ্যসূত্র

নোট 

 
 

গাণিতিক ধারা
পূর্ণ সংখ্যার ধারা
অপর্যালোচিত অনুবাদসহ পাতা