ক্রিয়া (ভৌতবিজ্ঞান)

পদার্থবিজ্ঞানে ক্রিয়া একটি স্কেলার পরিমাণ, যা একটি ভৌত সিস্টেমের গতিশক্তি এবং অবস্থিশক্তির ভারসাম্য পথের সঙ্গে কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা বর্ণনা করে। ক্রিয়াকে গুরুত্বপূর্ণ বলে গণ্য করা হয় কারণ এটি নিশ্চল ক্রিয়া নীতির ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যা বহু বস্তুর গতিবিদ্যা বিশ্লেষণে সহজতা আনে। ফেইনম্যানের 'কোয়ান্টাম মেকানিক্স ফর্মুলেশন' এবং 'সাধারণ আপেক্ষিকতায়' ক্রিয়া এবং ভেরিয়েশন নীতির ব্যবহার হয়। যখন কোনো সিস্টেমের ক্রিয়ার মান প্ল্যাংক ধ্রুবকের সমতুল্য হয় তখন কোয়ান্টাম প্রভাবগুলো উল্লেখযোগ্য হয়ে ওঠে।

সরল ক্ষেত্রে, একটি কণা স্থির বেগে চললে (অর্থাৎ অভিন্ন সরল গতি সম্পন্ন হলে), ক্রিয়া হলো কণার ভরবেগ এবং তার অতিক্রান্ত দূরত্বের গুণফল যা পথ ধরে যোগ করা হয়। সমতুল্যভাবে বলা যায়, কার্য হলো কণার গতিশক্তি এবং তার স্থিতিশক্তির পার্থক্য, যা নির্দিষ্ট সময়ের জন্য ওই শক্তি ধরে রাখার সময়কাল দ্বারা গুণিত হয়। আরও আনুষ্ঠানিকভাবে ক্রিয়া হলো একটি গাণিতিক ফাংশনাল, যা কোনো সিস্টেমের গতিপথ (পথ বা ইতিহাস নামেও পরিচিত)কে তার যুক্তি হিসেবে গ্রহণ করে এবং একটি বাস্তব সংখ্যা ফলাফল হিসেবে প্রদান করে। সাধারণত, বিভিন্ন পথের জন্য কার্যের মান ভিন্ন হয়। এর কার্যের মাত্রা হলো শক্তি×সময় অথবা ভরবেগ×দৈর্ঘ্য। এবং এর এসআই একক হলো জুল-সেকেন্ড।

ভূমিকা 
প্রারম্ভিক পদার্থবিজ্ঞান সাধারণত নিউটনের গতি সম্পর্কিত সূত্র দিয়ে শুরু হয়, যা বল এবং গতি সম্পর্কিত। ক্রিয়া হলো একটি সম্পূর্ণ সমতুল্য বিকল্প পদ্ধতির অংশ, যার ব্যবহারিক এবং শিক্ষাগত সুবিধা রয়েছে। তবে, এই ধারণাটি নিউটনের পদ্ধতিকে প্রতিস্থাপন করতে অনেক দশক সময় নিয়েছিল এবং শিক্ষার্থীদের কাছে এটি পরিচিত করানো এখনও একটি চ্যালেঞ্জ।

সহজ উদাহরণ 
পৃথিবীর বায়ুতে একটি বলের গতিপথের জন্য, ক্রিয়া দুটি সময় বিন্দু 𝑡₁ এবং 𝑡₂ এর মধ্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা হলো গতিশক্তি (KE) মাইনাস স্থিতিশক্তি (PE), সময়ের সাথে একত্রিত করা।

ক্রিয়া গতিশক্তির বিপরীতে স্থিতিশক্তির ভারসাম্য তৈরি করে।

একটি বলের গতিশক্তি হলো (1/2)𝑚𝑣²; যেখানে বলের গতি v; স্থিতিশক্তি হলো 𝑚𝑔𝑥, এবং 𝑔 হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ। তারপর 𝑡₁ এবং 𝑡₂ এর মধ্যে ক্রিয়া হলো:

ক্রিয়ার মান বলটি 𝑥(𝑡) এবং 𝑣(𝑡) এর মাধ্যমে যে পথটি অনুসরণ করেছে তার উপর নির্ভর করে। এর ফলে, ক্রিয়া শক্তিশালী স্থির-ক্রিয়া নীতির জন্য ইনপুট হিসেবে কাজ করে, যা ধ্রুপদী এবং কোয়ান্টাম যান্ত্রিকতায় প্রযোজ্য। নিউটনের গতি সমীকরণগুলি ক্রিয়া ব্যবহার করে স্থির-ক্রিয়া নীতি থেকে উত্তোলন করা যায়, কিন্তু ক্রিয়া-ভিত্তিক গতিবিদ্যার সুবিধাগুলি কেবল তখনই স্পষ্ট হতে শুরু করে যখন নিউটনের সূত্র প্রয়োগ করা কঠিন হয়। বলের পরিবর্তে একটি ইলেকট্রন কল্পনা করুন: ধ্রুপদী যান্ত্রিকতা ব্যর্থ হলেও স্থির-ক্রিয়া কাজ করতে থাকে। সহজ ক্রিয়া সংজ্ঞায়, শক্তির পার্থক্য, গতিশক্তি মাইনাস স্থিতিশক্তি সাধারণীকৃত হয় এবং আরো জটিল পরিস্থিতিতে একে ল্যাগ্রাংজিয়ান বলা হয়।

প্ল্যাঙ্কের কর্মের কোয়ান্টাম 
প্ল্যাংক ধ্রুবক, যা  অথবা  হিসেবে লেখা হয়, যখন এতে 1/2𝜋 অন্তর্ভুক্ত থাকে, তখন তাকে ক্রিয়ার কোয়ান্টাম বলা হয়। ক্রিয়ার মতো, এই ধ্রুবকেরও একক হলো শক্তি×সময়। এটি সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ কোয়ান্টাম সমীকরণে ব্যবহৃত হয় (যেমন: অনিশ্চয়তা নীতি এবং ডি ব্রোগলি তরঙ্গদৈর্ঘ্য)। যখন ক্রিয়ার মান প্ল্যাংক ধ্রুবকের সমান বা তার কাছাকাছি চলে আসে, তখন কোয়ান্টাম প্রভাবগুলি গুরুত্বপূর্ণ হয়ে ওঠে।

ইতিহাস 
১৭৪০-এর দশকে পিয়ের লুই মপেরতুই এবং লিওনার্ড অয়লার ক্রিয়া নীতির প্রাথমিক ধারণা উন্নয়ন করেন। পরে জোসেফ লুই ল্যাগ্রাঞ্জ ভ্যারিয়েশনের ক্যালকুলাস উদ্ভাবনের মাধ্যমে এর গণিতিক কাঠামো আরও পরিষ্কার করেন। ১৮৫৩ সালে উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টন হ্যামিল্টনের নীতি প্রণয়ন করে একটি বড় অগ্রগতি সাধন করেন। এই নীতি ধ্রুপদী পদার্থবিজ্ঞানে বিভিন্ন ধরণের ক্রিয়ার গবেষণার ভিত্তি হয়ে ওঠে, যতক্ষণ না রিচার্ড ফেইনম্যান এবং জুলিয়ান শুইঙ্গার কোয়ান্টাম ক্রিয়া নীতিগুলি বিকাশ করেন।

সংজ্ঞা 
গাণিতিক ভাষায়, ভ্যারিয়েশনের ক্যালকুলাস ব্যবহার করে একটি পদার্থবৈজ্ঞানিক সিস্টেমের বিবর্তন (অর্থাৎ, কীভাবে একটি সিস্টেম এক অবস্থা থেকে অন্য অবস্থায় পরিবর্তিত হয়) ক্রিয়ার একটি স্থির বিন্দুর (সাধারণত সর্বনিম্ন বিন্দু) সঙ্গে সম্পর্কিত।

এর ক্রিয়ার মাত্রা হলো [শক্তি]×[সময়], এবং এর এসআই একক হলো জুল-সেকেন্ড, যা কৌণিক ভরবেগের এককের সমান।

পদার্থবিজ্ঞানে ক্রিয়ার বিভিন্ন সংজ্ঞা প্রচলিত। সাধারণত ক্রিয়াকে সময়ের উপর একটি সমাকলন হিসেবে প্রকাশ করা হয়। তবে ক্ষেত্র (field) সম্পর্কিত ক্রিয়ার ক্ষেত্রে এটি স্থানীয় চলকের উপরও সমাকলিত হতে পারে। কিছু ক্ষেত্রে ক্রিয়া সিস্টেমের অনুসৃত পথ বরাবর সমাকলিত হয়।

ক্রিয়া সাধারণত নিম্নলিখিত সমাকলন আকারে প্রকাশিত হয়, যা সিস্টেমের প্রাথমিক ও চূড়ান্ত সময়ের মধ্যে নেওয়া হয়:এখানে L হলো লাগ্রাঞ্জিয়ান। ক্রিয়া সমাকলনটি সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত হতে হলে সিস্টেমের পথটি সময় ও স্থানের মধ্যে সীমানাবদ্ধ হতে হবে।

ক্রিয়া (কার্যকর) 
সাধারণভাবে, এই শব্দটি একটি কার্যকরী S এর জন্য ব্যবহৃত হয় যা সময় এবং (ক্ষেত্রের জন্য) স্থান সম্পর্কিত একটি ফাংশনকে ইনপুট হিসেবে গ্রহণ করে এবং একটি স্কেলার আউটপুট প্রদান করে। ধ্রুপদী বলবিদ্যায়, ইনপুট ফাংশন হলো সিস্টেমের বিবর্তন q(t), যা t1​ এবং t2​ সময়ের মধ্যে ঘটে, যেখানে q প্রতিনিধিত্ব করে সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক। ক্রিয়া S[q(t)] এর সংজ্ঞা হলো ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান L এর সমাকলন, যা দুইটি সময় t1​ এবং t2​ এর মধ্যে সিস্টেমের বিবর্তনের জন্য:এখানে, বিবর্তনের প্রান্তবিন্দুগুলি স্থির থাকে এবং এগুলি এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: q1​=q(t1​) এবং q2​=q(t2​)

হ্যামিল্টনের নীতির মতে, প্রকৃত বিবর্তন qtrue(t) হলো একটি বিবর্তন, যার জন্য ক্রিয়া S[q(t)] স্থির থাকে (অর্থাৎ এটি একটি সর্বনিম্ন, সর্বোচ্চ অথবা স্যাডল পয়েন্ট হতে পারে)। এই নীতিই ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান বলবিদ্যার গতি সমীকরণগুলি নির্ধারণ করে।

সংক্ষিপ্ত ক্রিয়া (কার্যকর) 
ক্রিয়া ফাংশনাল ছাড়াও আরেকটি ফাংশনাল রয়েছে যা সংক্ষিপ্ত ক্রিয়া (abbreviated action) নামে পরিচিত। এই ফাংশনালে ইনপুট ফাংশন হলো শারীরিক সিস্টেমের পথ, তবে এটি সময়ের দ্বারা প্যারামিটারাইজড নয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি গ্রহের কক্ষপথ একটি উপবৃত্ত এবং একটি সমান ত্বরণশীল গুরুভারের ক্ষেত্রে কণার পথ একটি পারাবোলা; এই দুটি ক্ষেত্রেই, পথটির কণা কত দ্রুত চলাচল করছে তার ওপর পথটি নির্ভর করে না।

সংক্ষিপ্ত ক্রিয়া S0​ (যা কখনও কখনও W হিসেবে লেখা হয়) হলো সমাকলন যা জেনেরালাইজড মোমেন্টাম,এর সাথে সম্পর্কিত, যেখানে L হলো সিস্টেমের ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান এবং qi​ হলো সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক:এখানে q1​ এবং q2​ হলো শুরুর এবং শেষের স্থানাঙ্ক। মপেরটুইসের নীতির মতে, সিস্টেমের প্রকৃত পথ হলো এমন একটি পথ, যার জন্য সংক্ষিপ্ত ক্রিয়া স্থির থাকে।

হ্যামিলটনের বৈশিষ্ট্য ফাংশন 
যখন মোট শক্তি E রক্ষণাবেক্ষিত থাকে, তখন হ্যামিলট–জ্যাকোবি সমীকরণটি ভেরিয়েবলগুলির যোগফল বিচ্ছিন্নতার মাধ্যমে সমাধান করা যায়:এখানে W(q1, q2, ..., qN) হলো সময়-নিরপেক্ষ ফাংশন, যা 'হ্যামিলটনের বৈশিষ্ট্য ফাংশন' নামে পরিচিত। এই ফাংশনের শারীরিক গুরুত্ব বোঝার জন্য এর মোট সময় ডেরিভেটিভ নেওয়া হয়:এটি সমাকলন করা হলে,যা সংক্ষিপ্ত ক্রিয়া নামে পরিচিত।

একটি সাধারণীকৃত স্থানাঙ্কের ক্রিয়া 
একটি ভেরিয়েবল Jk​, যা সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক qk​-এর ক্রিয়া হিসেবে পরিচিত, একটি একক সাধারণীকৃত গতিশক্তির মাধ্যমে ফেজ স্পেসে একটি বন্ধ পথের চারপাশে সমাকলন করে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যা ঘূর্ণায়মান বা স্পন্দনশীল গতি উপস্থাপন করে:Jk এর সাথে সম্পর্কিত ক্যাননিকাল চলক হলো তার কোণ wk​, যা 'অ্যাকশন-অ্যাঙ্গল স্থানাঙ্কে' বিস্তারিতভাবে বর্ণিত হয়েছে। এই সমাকলনটি শুধুমাত্র একটি চলক qk​-এর উপর হয়, যা উপরে বর্ণিত সংক্ষেপিত ক্রিয়া সমাকলনের একীভূত ডট পণ্যের মতো নয়। Jk ভেরিয়েবলটি Sk(qk)-এর পরিবর্তন সমান, যখন qk​-কে বন্ধ পথে পরিবর্তন করা হয়। বেশ কিছু শারীরিক সিস্টেমের জন্য, Jk সাধারণত একটি ধ্রুবক থাকে বা খুব ধীরে পরিবর্তিত হয়; এর ফলে, Jk​ ভেরিয়েবলটি প্রায়শই 'পের্টুর্বেশন গণনা' এবং 'অ্যাডিয়াবেটিক ইনভেরিয়েন্ট নির্ধারণে' ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, এগুলি গ্রহ এবং উপগ্রহ কক্ষপথের গণনায় ব্যবহৃত হয়।

একক আপেক্ষিক কণার ক্রিয়া 
যখন আপেক্ষিক প্রভাবগুলি গুরুত্বপূর্ণ, তখন একটি বিন্দু কণার ক্রিয়া, যার ভর m, একটি বিশ্বরেখা C-এ চলতে থাকে এবং সঠিক সময় τ-এ প্যারামিটার করা হয়, তা হবে:যদি পরিবর্তে, কণাটি কোঅর্ডিনেট সময় t-এ প্যারামিটার করা হয় এবং সময়টি t1​ থেকে t2​-এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, তাহলে ক্রিয়া হবে:এখানে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান হলো:

ক্রিয়া নীতি এবং সম্পর্কিত ধারণা 
শারীরিক আইনগুলি প্রায়ই পার্থক্য সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশিত হয়, যা বর্ণনা করে কীভাবে শারীরিক পরিমাণ অবস্থান এবং গতি, সময়, স্থান বা এর কোনো সাধারণীকরণের সঙ্গে ধারাবাহিকভাবে পরিবর্তিত হয়। পরিস্থিতির জন্য প্রাথমিক এবং সীমানা শর্ত দেওয়া হলে, এই সমীকরণগুলির সমাধান হলো এক বা একাধিক ফাংশন যা সিস্টেমের আচরণ বর্ণনা করে, এবং এগুলোকে গতি সমীকরণ বলা হয়।

ক্রিয়া হলো এই গতি সমীকরণ খুঁজে বের করার একটি বিকল্প পন্থা। ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সে এটি প্রস্তাব করা হয় যে, একটি শারীরিক সিস্টেম যে পথে চলে, তা হলো সেই পথ যেখানে ক্রিয়া সর্বনিম্ন বা আরও সাধারণভাবে, স্থির থাকে। অন্য কথায়, ক্রিয়া একটি বৈচিত্র্য মূলক নীতির অধীনে সন্তুষ্ট হয়: স্থির ক্রিয়ার নীতি (নীচে আরও দেখুন)। ক্রিয়া একটি সমাকলনের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত হয়, এবং সিস্টেমের ক্লাসিক্যাল গতি সমীকরণগুলি সেই সমাকলনের মান কমিয়ে আনার মাধ্যমে উদ্ভাবিত হতে পারে।

ক্রিয়া নীতি পদার্থবিজ্ঞানে গভীর অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে এবং আধুনিক তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানে একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। বিভিন্ন ক্রিয়া নীতি এবং সংশ্লিষ্ট ধারণাগুলি নিচে সারাংশ করা হয়েছে।

মপেরতুইসের নীতি 
ধ্রুপদী গতিবিজ্ঞানে মপেরতুইসের নীতি (পিয়ের লুই মপেরতুইসের নামে) অনুসারে একটি শারীরিক ব্যবস্থা সেই পথ অনুসরণ করে যার দৈর্ঘ্য সবচেয়ে কম (পথ ও দৈর্ঘ্যের একটি উপযুক্ত ব্যাখ্যার ভিত্তিতে)। এই নীতিতে একটি পথের দুই সাধারণীকৃত বিন্দুর মধ্যে সংক্ষিপ্ত ক্রিয়া (abbreviated action) ব্যবহৃত হয়।

হ্যামিলটনের মূল নীতি 
হ্যামিলটনের নীতি বলছে যে, যেকোনো শারীরিক সিস্টেমের গতির পার্থক্য সমীকরণগুলো একটি সমতুল্য ইনটেগ্রাল সমীকরণের মাধ্যমে পুনঃগঠন করা যেতে পারে। এর মাধ্যমে গতিশাস্ত্রের মডেল তৈরির দুটি ভিন্ন পদ্ধতি পাওয়া যায়।

হ্যামিলটনের নীতি শুধুমাত্র একক কণিকার ধ্রুপদী গতিবিজ্ঞানে প্রযোজ্য নয়, এটি বিদ্যুতিক এবং মাধ্যাকর্ষণ ক্ষেত্রের মতো শারীরিক ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। হ্যামিলটনের নীতি কুইন্টাম মেকানিক্স এবং কুইন্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বেও সম্প্রসারিত হয়েছে—বিশেষত কুইন্টাম মেকানিক্সের পথ ইনটেগ্রাল সূত্রে এটি ব্যবহৃত হয়, যেখানে একটি শারীরিক সিস্টেম সমস্ত সম্ভাব্য পথ অনুসন্ধান করে এবং প্রতিটি পথের জন্য সম্ভাবনা অ্যাম্প্লিটিউডের ফেজ তার ক্রিয়া দ্বারা নির্ধারিত হয়; শেষে সমস্ত পথের সম্ভাবনা অ্যাম্প্লিটিউড এবং ফেজ যোগ করে একটি চূড়ান্ত মান পাওয়া যায়।

হ্যামিলটন–জাকোবি সমীকরণ 
হ্যামিলটনের প্রধান ফাংশন S = S(q, t; q0, t0) কেবল অ্যাকশন ফাংশনাল 𝑆 থেকে প্রাপ্ত হয়, যেখানে প্রাথমিক সময় 𝑡0 এবং প্রাথমিক এন্ডপয়েন্ট 𝑞0 নির্ধারিত থাকে, আর উপরের সময় সীমা 𝑡 এবং দ্বিতীয় এন্ডপয়েন্ট 𝑞 পরিবর্তন হতে দেয়। হ্যামিলটনের প্রধান ফাংশন হ্যামিলটন–জাকোবি সমীকরণ মেনে চলে, যা ধ্রুপদী গতিবিজ্ঞানের একটি রূপ। শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সঙ্গে এর সাদৃশ্যের কারণে, হ্যামিলটন–জাকোবি সমীকরণ কুইন্টাম মেকানিক্সের সঙ্গে সবচেয়ে সরাসরি সংযোগ প্রদান করে।

ইউলার–লাগ্রাঞ্জ সমীকরণ 
লাগ্রাঞ্জীয় গতিবিজ্ঞানে, যখন অ্যাকশন ইন্টিগ্রালটি ছোট পরিবর্তনের ক্ষেত্রে স্থিতিশীল থাকে, তখন এটি একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সেটের সমান (যা ইউলার–লাগ্রাঞ্জ সমীকরণ নামে পরিচিত), যা পরিবর্তন গণনার পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া যায়।

শাস্ত্রীয় ক্ষেত্রসমূহ 
অ্যাকশন নীতিটি ক্ষেত্রসমূহের গতিবিধি নির্ধারণে সম্প্রসারিত করা যেতে পারে (যেমন: বৈদ্যুত্‍চুম্বকীয় ক্ষেত্র বা মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র)। ম্যাক্সওয়েল সমীকরণগুলি স্থিতিশীল অ্যাকশনের শর্ত হিসেবে প্রাপ্ত করা যায়।

আইনস্টাইন সমীকরণটি আইস্টাইন–হিলবার্ট অ্যাকশন ব্যবহার করে ভ্যারিয়েশনাল নীতির অধীনে নির্ধারিত হয়। মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের মধ্যে একটি বস্তুর পথ (স্পেসটাইমে গমনপথ) অ্যাকশন নীতির মাধ্যমে পাওয়া যায়। একটি মুক্ত পতিত বস্তুর জন্য, এই পথটি একটি জিওডেসিক।

সংরক্ষণ আইন 
অ্যাকশন নীতি এবং তার মাধ্যমে প্রাপ্ত ইউলার–লাগ্রাঞ্জ সমীকরণগুলির মাধ্যমে একটি শারীরিক পরিস্থিতিতে সিমেট্রির প্রভাবগুলি নির্ধারণ করা যায়। এর একটি উদাহরণ হলো নোথারের উপপাদ্য, যা বলে যে একটি শারীরিক পরিস্থিতিতে প্রতিটি ধারাবাহিক সিমেট্রির সাথে একটি সংরক্ষণ আইন সম্পর্কিত থাকে (এবং এর বিপরীতও সত্য)। এই গভীর সম্পর্কটি নিশ্চিত করার জন্য অ্যাকশন নীতির প্রয়োজন।

কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্বের পথ একত্রীকরণ 
কোয়ান্টাম মেকানিক্সে, সিস্টেম একটি একক পথ অনুসরণ করে না, যার অ্যাকশন স্থির থাকে, বরং সিস্টেমের আচরণ সব অনুমোদিত পথের উপর নির্ভর করে এবং তাদের অ্যাকশনের মানের ওপর ভিত্তি করে। বিভিন্ন পথের জন্য অ্যাকশন ব্যবহার করে পথ একত্রীকরণ হিসাব করা হয়, যা বিভিন্ন ফলাফলের সম্ভাব্য অ্যামপ্লিটুড নির্ধারণ করে।

যদিও ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সে নিউটনের আইনের সঙ্গে সমান, অ্যাকশন নীতি সাধারণীকরণের জন্য আরও উপযুক্ত এবং আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানে এক গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। প্রকৃতপক্ষে, এটি পদার্থবিজ্ঞানের অন্যতম বড় সাধারণীকরণ। এটি কোয়ান্টাম মেকানিক্সে সবচেয়ে ভালোভাবে বোঝা যায়, বিশেষত রিচার্ড ফেইনম্যানের পথ একত্রীকরণ ফর্মুলেশনে, যেখানে এটি কোয়ান্টাম অ্যামপ্লিটুডের ধ্বংসাত্মক হস্তক্ষেপের মাধ্যমে উদ্ভূত হয়।

আধুনিক সম্প্রসারণ 
অ্যাকশন নীতিটি আরও ব্যাপকভাবে সাধারণীকৃত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, অ্যাকশন অবশ্যই একত্রীকরণ হতে হবে না, কারণ ননলোকাল অ্যাকশনও সম্ভব। কনফিগারেশন স্পেসও একটি ফাংশনাল স্পেস না হতে পারে, যদি কিছু নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য যেমন ননকমিউটেটিভ জিওমেট্রি থাকে; তবে, এই গাণিতিক সম্প্রসারণগুলির শারীরিক ভিত্তি এখনো পরীক্ষামূলকভাবে প্রতিষ্ঠিত হতে বাকী রয়েছে।

তথ্যসূত্র

আরো পড়ুন 
 The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, .
 Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, Schaum's Outline Series (McGraw-Hill, 1967) , A 350-page comprehensive "outline" of the subject.

বহিঃসংযোগ 
 পারস্পরিক ব্যাপ্রে ন্যূনতম ক্রিয়া নীতি - ওয়েবপেজে ইন্টারেক্টিভ ব্যাখ্যা

পদার্থবিজ্ঞান
কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব