পঞ্চভুজ

জ্যামিতিতে, পঞ্চভুজ  ( ) যে কোনো পাঁচমুখী বহুভুজ বা পঞ্চকোণ। একটি সরল পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি ৫৪০°।

পঞ্চভুজ সরল বা স্ব-ছেদী হতে পারে। একটি স্ব-ছেদী সুষম পঞ্চভুজ (বা তারা পঞ্চভুজ ) কে পেন্টাগ্রাম বলা হয়।

সুষম পঞ্চভুজ 

সুষম  পঞ্চভুজের শ্লেফ্লি প্রতীক {5} এবং অভ্যন্তরীণ কোণ 108° হয়।

একটি সুষম  পঞ্চভুজের আলোর প্রতিসাম্যের পাঁচটি রেখা রয়েছে এবং পাঁচ ক্রমের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য রয়েছে (72°, 144°, 216° এবং 288° এর মধ্যে)। উত্তল সুষম পঞ্চভুজের কর্ণ এর বাহু সোনালী অনুপাতের মধ্যে থাকে। পঞ্চভুজের  বাহুর  দৈর্ঘ্যকে  এর উচ্চতা  (একবাহু থেকে বিপরীত শীর্ষের দূরত্ব), প্রস্থ  (দুটি দূরতম পৃথক বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব, যা তির্যক দৈর্ঘ্যের সমান  ) এবং পরিব্যাসার্ধ  দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

 

বাহুর দৈর্ঘ্যের সাহায্যে উত্তল সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল  দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

 

যদি একটি সুষম পঞ্চভুজের পরিব্যাসার্ধ   দেওয়া থাকে, এর বাহুর দৈর্ঘ্য  সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:

 

এবং এর ক্ষেত্রফল হল:

 

যেহেতু পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল  সুষম পঞ্চভুজ তার পরিবৃত্তের প্রায় 0.7568 অংশের সমান।

ক্ষেত্রফল সূত্রের ব্যুৎপত্তি 
যেকোনো সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল হল:

 

যেখানে P হল বহুভুজের পরিধি, এবং r হল অন্তঃব্যাসার্ধ (সমতুল্যভাবে অ্যাপথেম  )। P এবং r-এর জন্য সুষম পঞ্চভুজের মানগুলি প্রতিস্থাপন করলে সূত্রটি পাওয়া যায়:

 

এখানে বাহুর দৈর্ঘ্য t

অন্তঃব্যাসার্ধ 
প্রতিটি সুষম উত্তল বহুভুজের মতো, সুষম উত্তল পঞ্চভুজের একটি অন্তঃবৃত্ত থাকে। সুষম পঞ্চভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ r এর অ্যাপথেমটি বাহুর দৈর্ঘ্য t এর সাথে সম্পর্কিত

পরিবৃত্ত থেকে শীর্ষবিন্দু পর্যন্ত জ্যা 
প্রতিটি সুষম উত্তল বহুভুজের মতো, সুষম উত্তল পঞ্চভুজের একটি  পরিবৃত্ত থাকে। ক্রমাগত শীর্ষবিন্দু A, B, C, D, E সহ একটি নিয়মিত পঞ্চভুজের জন্য, যদি B এবং C বিন্দুর মধ্যে বৃত্তের কোন বিন্দু P হয়, তাহলে PA + PD = PB + PC + PE।

সমতলে বিন্দু 
পরিব্যাসার্ধ  সহ একটি সুষম পঞ্চভুজের সমতলে নির্বিচারে যেকোনো বিন্দুর জন্য , যার দূরত্ব সুষম পঞ্চভুজের ভরকেন্দ্র এবং এর পাঁচটি শীর্ষবিন্দু হতে যথাক্রমে  এবং , আমরা পাই 

 

যদি  একটি সুষম পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে তার পরিবৃত্তের যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব হয়, তাহলে

জ্যামিতিক অঙ্কন 
সুষম পঞ্চভুজ পেন্সিল কম্পাস এবং রুলার দিয়ে সহজেই অঙ্কনযোগ্য, কারণ ৫ একটি ফার্ম্যাট প্রাইম । সুষম পঞ্চভুজ অঙ্কনের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি প্রচলিত। নিচে কিছু আলোচনা করা হল।

রিচমন্ডের পদ্ধতি 

প্রদত্ত বৃত্তে সুষম পঞ্চভুজ নির্মাণের একটি পদ্ধতি রিচমন্ড  বর্ণনা করেছেন এবং আরও আলোচনা করা হয়েছে ক্রমওয়েলের পলিহেড্রায় । 

উপরের প্যানেলটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত পঞ্চভুজের বাহু অঙ্কন করতে রিচমন্ডের পদ্ধতিতে দেখায়। পঞ্চভুজটি একটি একক ব্যাসার্ধের বৃত্তে অন্তর্লিখিত। এর কেন্দ্রটি C বিন্দুতে অবস্থিত এবং একটি মধ্যবিন্দু M এর ব্যাসার্ধ বরাবর অর্ধেক পথ চিহ্নিত করা হয়েছে। এই বিন্দুটি D বিন্দুতে কেন্দ্রের উপরে উল্লম্বভাবে পরিধির সাথে যুক্ত হয়েছে। কোণ CMD দ্বিখণ্ডিত, এবং দ্বিখণ্ডকটি উল্লম্ব অক্ষকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। Q এর মধ্য দিয়ে একটি অনুভূমিক রেখা বৃত্তটিকে P বিন্দুতে ছেদ করে, এবং জ্যা PD হল খোদাই করা পঞ্চভুজের প্রয়োজনীয় দিক।

এই বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে, দুটি সমকোণী ত্রিভুজ DCM এবং QCM বৃত্তের নীচে চিত্রিত করা হয়েছে। পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং দুটি বাহু ব্যবহার করে বৃহত্তর ত্রিভুজের কর্ণ পাওয়া যায়  . ছোট ত্রিভুজের পার্শ্ব h তারপর অর্ধ-কোণ সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যায়:

 

যেখানে বৃহত্তর ত্রিভুজ থেকে ϕ এর কোসাইন এবং সাইন জানা যায়। ফলাফল হল:

 

যদি DP সত্যিই একটি নিয়মিত পেন্টাগনের পাশে হয়, , তাই DP = 2 cos(54°), QD = DP cos(54°) = 2cos 2 (54°), এবং CQ = 1 − 2cos 2 (54°), যা কোসাইন দ্বারা −cos(108°) সমান ডবল কোণ সূত্র । এটি 72° এর কোসাইন, যা সমান  ইচ্ছামত

কার্লাইল বৃত্ত 

কার্লাইল বৃত্তটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করার জন্য একটি জ্যামিতিক পদ্ধতি হিসাবে উদ্ভাবিত হয়েছিল।  এই পদ্ধতিটি একটি নিয়মিত পেন্টাগন নির্মাণের জন্য একটি পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে। ধাপগুলো নিম্নরূপঃ 

 একটি বৃত্ত আঁকুন যাতে পঞ্চভুজ খোদাই করা যায় এবং কেন্দ্র বিন্দু O চিহ্নিত করা যায়।
 বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে একটি অনুভূমিক রেখা আঁকুন। বৃত্তের সাথে বাম ছেদটিকে বি বিন্দু হিসাবে চিহ্নিত করুন।
 কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে একটি উল্লম্ব রেখা তৈরি করুন। বৃত্তের সাথে একটি ছেদকে বিন্দু A হিসাবে চিহ্নিত করুন।
 O এবং B এর মধ্যবিন্দু হিসাবে M বিন্দুটি তৈরি করুন।
 A বিন্দু দিয়ে M কেন্দ্রিক একটি বৃত্ত আঁকুন। অনুভূমিক রেখা (মূল বৃত্তের ভিতরে) দিয়ে এর ছেদকে W বিন্দু হিসাবে এবং বৃত্তের বাইরে এর ছেদটিকে V বিন্দু হিসাবে চিহ্নিত করুন।
 ব্যাসার্ধ OA এবং কেন্দ্র W এর একটি বৃত্ত আঁকুন। এটি পেন্টাগনের দুটি শীর্ষবিন্দুতে মূল বৃত্তটিকে ছেদ করে।
 ব্যাসার্ধ OA এবং কেন্দ্র V এর একটি বৃত্ত আঁকুন। এটি পেন্টাগনের দুটি শীর্ষবিন্দুতে মূল বৃত্তটিকে ছেদ করে।
 পঞ্চম শীর্ষবিন্দু হল মূল বৃত্তের সাথে অনুভূমিক রেখার ডানদিকের ছেদ।

পদক্ষেপ 6-8 নিম্নলিখিত সংস্করণের সমতুল্য, অ্যানিমেশনে দেখানো হয়েছে:

 6 ক. O এবং W এর মধ্যবিন্দু হিসাবে F বিন্দু তৈরি করুন।

 7 ক. F এর মাধ্যমে একটি উল্লম্ব রেখা তৈরি করুন। এটি পেন্টাগনের দুটি শীর্ষে মূল বৃত্তকে ছেদ করে। তৃতীয় শীর্ষবিন্দু হল মূল বৃত্তের সাথে অনুভূমিক রেখার ডানদিকের ছেদ।

 8 ক. কম্পাস এবং ধাপ 7a এ পাওয়া শীর্ষবিন্দুর দৈর্ঘ্য ব্যবহার করে অন্য দুটি শীর্ষবিন্দু তৈরি করুন।

ইউক্লিডের পদ্ধতি 

একটি নিয়মিত পেন্টাগন একটি কম্পাস এবং সোজা প্রান্ত ব্যবহার করে গঠনযোগ্য, হয় একটি প্রদত্ত বৃত্তে একটিকে খোদাই করে বা একটি প্রদত্ত প্রান্তে একটি নির্মাণ করে। এই প্রক্রিয়াটি ইউক্লিড তার Elements circa 300 BC-তে বর্ণনা করেছিলেন।

ভৌত নির্মাণ পদ্ধতি 

 একটি সুষম পঞ্চভুজ কেবল একটি কাগজের ফিতা ব্যবহার করেই তৈরি করা সম্ভব। এর জন্য ফিতায় একটি উপরিভাগের গিঁট (overhand knot) বেঁধে, ধীরে ধীরে গিঁটটি চেপে সমতল করে ফিতার দুই প্রান্ত টেনে সোজা করতে হয়। পঞ্চভুজ তৈরি হওয়ার পর, ফিতার এক প্রান্ত ভাঁজ করে পঞ্চভুজের উপর দিয়ে রাখলে, পিছন থেকে আলো দিলে একটি পেন্টাগ্রাম দেখা যাবে।
শক্ত কাগজ বা কার্ডবোর্ডে একটি নিয়মিত ষড়ভুজ  তৈরি করুন। বিপরীত শীর্ষবিন্দুগুলোর মধ্যে তিনটি ব্যাস বরাবর ভাঁজ করুন। একটি শীর্ষবিন্দু থেকে কেন্দ্র পর্যন্ত কেটে একটি সমবাহু ত্রিভুজাকার ফ্ল্যাপ তৈরি করুন। এই ফ্ল্যাপটিকে তার পাশের অংশের নিচে স্থির করে লাগান। এভাবে একটি পঞ্চভুজাকার পিরামিড তৈরি হবে, যার ভিত্তি হবে একটি সুষম পঞ্চভুজ।

প্রতিসাম্য 

The regular pentagon has Dih5 symmetry, order 10. Since 5 is a prime number there is one subgroup with dihedral symmetry: Dih1, and 2 cyclic group symmetries: Z5, and Z1.

These 4 symmetries can be seen in 4 distinct symmetries on the pentagon. John Conway labels these by a letter and group order. Full symmetry of the regular form is r10 and no symmetry is labeled a1. The dihedral symmetries are divided depending on whether they pass through vertices (d for diagonal) or edges (p for perpendiculars), and i when reflection lines path through both edges and vertices. Cyclic symmetries in the middle column are labeled as g for their central gyration orders.

Each subgroup symmetry allows one or more degrees of freedom for irregular forms. Only the g5 subgroup has no degrees of freedom but can be seen as directed edges.

সুষম পেন্টাগ্রাম 
A pentagram or pentangle is a regular star pentagon. Its Schläfli symbol is {5/2}. Its sides form the diagonals of a regular convex pentagon – in this arrangement the sides of the two pentagons are in the golden ratio.

সমবাহু পঞ্চভুজ 

একটি সমবাহু পঞ্চভুজ হলো এমন একটি বহুভুজ, যার পাঁচটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। তবে, এর পাঁচটি অভ্যন্তরীণ কোণের মান বিভিন্ন হতে পারে, যার প্রত্যেকটি একেকটি পঞ্চভুজ (ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে)। এর বিপরীতে, একটি সুষম পঞ্চভুজ অনুরূপতার দৃষ্টিকোণ থেকে অনন্য, কারণ এটি সমবাহু এবং সমকোণী (এর পাঁচটি কোণ সমান)।

বৃত্তীয় পঞ্চভুজ 
একটি বৃত্তীয় পঞ্চভুজ হল এমন একটি পঞ্চভুজ যার সমস্ত পাঁচটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত যায়, যাকে পরিবৃত্ত বলা হয়। সাধারণ পঞ্চভুজ হল বৃত্তীয় পঞ্চভুজের একটি উদাহরণ। একটি বৃত্তীয় পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল, তা সাধারণ হোক বা না হোক, পঞ্চভুজের বাহুগুলির ফাংশন হিসাবে একটি সেপ্টিক সমীকরণ-এর মূলগুলির মধ্যে একটির বর্গমূলের এক চতুর্থাংশ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।

যেসব বৃত্তীয় পঞ্চভুজের বাহু এবং ক্ষেত্রফল মূলদ সংখ্যা হয়, তাদের রবিন্স পঞ্চভুজ বলা হয়। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে একটি রবিন্স পঞ্চভুজের কর্ণগুলি হয় সবই মূলদ হতে হবে অথবা সবই অমূলদ হতে হবে, এবং এটি অনুমান করা হয় যে সমস্ত কর্ণই মূলদ হবে।

সাধারণ উত্তল পঞ্চভুজসমূহ 

For all convex pentagons with sides  and diagonals , the following inequality holds:

.

টাইলিংয়ে পঞ্চভুজ 

একটি সাধারণ পঞ্চভুজ কোনো সাধারণ বহুভুজের টাইলিং-এ উপস্থিত হতে পারে না। প্রথমে, এটি প্রমাণ করে যে একটি পঞ্চভুজ সুষম টাইলিং গঠন করতে পারে না (যেখানে সমস্ত মুখ সর্বসম হয়, অর্থাৎ সমস্ত বহুভুজ পঞ্চভুজ হতে হবে), লক্ষ্য করা যায় যে  (যেখানে 108° হল অভ্যন্তরীণ কোণ), যা একটি পূর্ণ সংখ্যা নয়; সুতরাং, একটি শীর্ষবিন্দুতে কোনো পূর্ণসংখ্যার সংখ্যক পঞ্চভুজ শেয়ার করে এবং তাদের মধ্যে কোনো ফাঁক না রেখে টাইলিং সম্ভব নয়। আরও কঠিন হল এই প্রমাণ করা যে একটি পঞ্চভুজ সাধারণ বহুভুজ দ্বারা তৈরি কোনো প্রান্ত-থেকে-প্রান্ত টাইলিং-এ থাকতে পারে না:

সাধারণ পঞ্চভুজের সর্বাধিক পরিচিত প্যাকিং ঘনত্ব হল , যা ডাবল ল্যাটিস প্যাকিং দ্বারা অর্জিত হয়। 2016 সালে প্রকাশিত একটি প্রিপ্রিন্টে, থমাস হেলস এবং ওয়োডেন কুসনার ঘোষণা করেছিলেন যে সাধারণ পঞ্চভুজের এই ডাবল ল্যাটিস প্যাকিং (যা "পেন্টাগোনাল আইস-রে" চাইনিজ ল্যাটিস ডিজাইন নামে পরিচিত, আনুমানিক 1900 সালের) সমতলে সাধারণ পঞ্চভুজের সমস্ত প্যাকিংয়ের মধ্যে সর্বোত্তম ঘনত্ব রয়েছে।

4 বা তার বেশি সাধারণ বহুভুজ একটি শীর্ষবিন্দুতে মিলিত হয়ে একটি পঞ্চভুজ ধারণ করতে পারে না। 3টি বহুভুজের সংমিশ্রণের ক্ষেত্রে, যদি 3টি বহুভুজ একটি শীর্ষবিন্দুতে মিলিত হয় এবং একটির বাহুর সংখ্যা বিজোড় হয়, তবে অন্য দুটি সর্বসম হতে হবে। এর কারণ হল পঞ্চভুজের প্রান্তসমূহ স্পর্শ করা বহুভুজগুলি পঞ্চভুজের চারপাশে পর্যায়ক্রমে থাকতে হবে, যা পঞ্চভুজের বিজোড় সংখ্যক বাহুর কারণে অসম্ভব। পঞ্চভুজের জন্য, এটি এমন একটি বহুভুজ তৈরি করে যার কোণগুলি সবই । এই বহুভুজের বাহুর সংখ্যা খুঁজে বের করতে, ফলাফল হল , যা একটি পূর্ণ সংখ্যা নয়। সুতরাং, সাধারণ বহুভুজ দ্বারা তৈরি কোনো টাইলিং-এ একটি পঞ্চভুজ উপস্থিত হতে পারে না।

15 শ্রেণীর পঞ্চভুজ রয়েছে যা সমতলকে মনোহেড্রালভাবে টাইল করতে পারে। সাধারণভাবে এই পঞ্চভুজগুলির কোনো প্রতিসাম্য নেই, যদিও কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে দর্পণ প্রতিসাম্য থাকতে পারে।

বহুপৃষ্ঠক পঞ্চভুজ

প্রকৃতিতে পঞ্চভুজ

উদ্ভিদ

প্রাণী

খনিজ

অন্য উদাহরণ

আরও দেখুন 
 সোনালী অনুপাত
 জ্যামিতি
 পেন্টাগ্রাম
 পিথাগোরাসের উপপাদ্য
 পিথাগোরাসের ত্রিকোণমিতিক উপপাদ্য

টীকা ও তথ্যসূত্র

বহিঃসংযোগ 

 
 Animated demonstration constructing an inscribed pentagon with compass and straightedge.
 How to construct a regular pentagon with only a compass and straightedge.
 How to fold a regular pentagon using only a strip of paper
 Definition and properties of the pentagon, with interactive animation
 Renaissance artists' approximate constructions of regular pentagons 
 Pentagon. How to calculate various dimensions of regular pentagons.

প্রাথমিক আকার
গঠনযোগ্য বহুভুজ
অপর্যালোচিত অনুবাদসহ পাতা
বহুভুজ