ফার্দিনান্দ জর্জ ফ্রোবেনিয়াস

ফার্দিনান্দ জর্জ ফ্রোবেনিয়াস (২৬ অক্টোবর ১৮৪৯ - ৩ আগস্ট ১৯১৭) হলেন একজন জার্মান গণিতবিদ, যিনি উপবৃত্তাকার ফাংশন তত্ত্ব, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, সংখ্যা তত্ত্ব এবং গ্রুপ তত্ত্বে তাঁর অবদানের জন্য সর্বাধিক পরিচিত। তিনি বিখ্যাত নির্ধারক পরিচয়ের জন্য পরিচিত, যা ফ্রোবেনিয়াস-স্টিকেলবার্গার সূত্র নামে পরিচিত, যা উপবৃত্তাকার ফাংশন পরিচালনা করে এবং দ্বিঘাত রূপের তত্ত্ব বিকাশের জন্য পরিচিত। তিনিই প্রথম ফাংশনের যুক্তিসঙ্গত আনুমানিকতার ধারণা (যা বর্তমানে Padé approximants নামে পরিচিত) প্রবর্তন করেন এবং Cayley-Hamilton উপপাদ্যের জন্য প্রথম পূর্ণাঙ্গ প্রমাণ প্রদান করেন। তিনি আধুনিক গাণিতিক পদার্থবিদ্যায় কিছু ডিফারেনশিয়াল-জ্যামিতিক বস্তুর নামকরণ করেছিলেন, যা ফ্রোবেনিয়াস ম্যানিফোল্ড নামে পরিচিত।

জীবনী
ফার্দিনান্দ জর্জ ফ্রোবেনিয়াস ১৮৪৯ সালের ২৬ অক্টোবর বার্লিনের শহরতলী শার্লটেনবার্গে জন্মগ্রহণ করেন  । তার পিতা ক্রিশ্চিয়ান ফার্দিনান্দ ফ্রোবেনিয়াস, একজন প্রোটেস্ট্যান্ট ধর্মযাজক ছিলেন এবং মাতার নাম ক্রিস্টিন এলিজাবেথ ফ্রিডরিখ। ১৮৬০ সালে প্রায় এগারো বছর বয়সে তিনি জোয়াকিমস্থাল জিমনেসিয়ামে প্রবেশ করেন।  ১৮৬৭ সালে, স্নাতক শেষ করার পর, তিনি গোটিনজেন বিশ্ববিদ্যালয়ে যান যেখানে তিনি তার বিশ্ববিদ্যালয়-এর পড়াশোনা শুরু করেন, কিন্তু বার্লিনে ফিরে আসার আগে তিনি সেখানে মাত্র একটি সেমিস্টারের জন্য পড়াশোনা করেন, যেখানে তিনি ক্রোনেকার, কুমার এবং কার্ল ওয়েয়ারস্ট্রাসের বক্তৃতাগুলিতে অংশ নেন। ১৮৭০ সালে তিনি ওয়েইয়ারস্ট্রাসের তত্ত্বাবধানে ডক্টরেট (সম্মান সহকারে ভূষিত) লাভ করেন। তার থিসিস ছিল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের উপর। ১৮৭৪ সালে, প্রথমে জোয়াকিমস্থাল জিমনেসিয়ামে এবং তারপর সোফিনরিয়ালশুলে মাধ্যমিক বিদ্যালয়ে শিক্ষকতা করার পর, তিনি বার্লিন বিশ্ববিদ্যালয়ে গণিতের একজন অসাধারণ অধ্যাপক হিসেবে নিযুক্ত হন।  ফ্রোবেনিয়াস মাত্র এক বছর বার্লিনে ছিলেন এবং তারপর তিনি জুরিখে Eidgenössische Polytechnikum-এ একজন সাধারণ অধ্যাপক হিসেবে যোগ দিতে যান। ১৮৭৫ থেকে ১৮৯২ সালের এই সতেরো বছরে, ফ্রোবেনিয়াস জুরিখে কাজ করেছিলেন। সেখানেই তিনি বিয়ে করেন, পরিবার লালন-পালন করেন এবং গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে অনেক গুরুত্বপূর্ণ কাজ করেন। ১৮৯১ সালের ডিসেম্বরের শেষ দিকে ক্রোনেকার মারা যান এবং এর ফলে বার্লিনে তার পদটি খালি হয়ে যায়। ওয়েইয়ারস্ট্রাস, দৃঢ়ভাবে বিশ্বাস করতেন যে ফ্রোবেনিয়াসই বার্লিনকে গণিতে এগিয়ে নিয়ে জন্য সঠিক ব্যক্তি, তাই তিনি ফ্রোবেনিয়াসকে নিয়োগের জন্য তার যথেষ্ট প্রভাব ব্যবহার করেছিলেন। ১৮৯৩ সালে তিনি বার্লিনে ফিরে আসেন, যেখানে তিনি প্রুশিয়ান একাডেমি অফ সায়েন্সেসের সদস্য নির্বাচিত হন।

গ্রুপ তত্ত্বে অবদান

ফ্রোবেনিয়াসের কর্মজীবনের দ্বিতীয়ার্ধে গ্রুপ তত্ত্ব ছিল তার অন্যতম প্রধান আগ্রহের বিষয়। তার প্রথম অবদানগুলির মধ্যে একটি ছিল আবস্ট্রাক্ট গ্রুপের জন্য সাইলো উপপাদ্যের প্রমাণ। পূর্ববর্তী প্রমাণগুলি বিন্যাস গ্রুপের জন্য ছিল প্রযোজ্য ছিল। তার প্রথম সাইলো উপপাদ্যের (সাইলো গ্রুপের অস্তিত্বের উপর) প্রমাণ আজকাল প্রায়শই ব্যবহৃত উপপাদ্যগুলির মধ্যে একটি।

 ফ্রোবেনিয়াস নিম্নলিখিত মৌলিক উপপাদ্যটিও প্রমাণ করেছেন: যদি একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n একটি সসীম গ্রুপ G এর ক্রম | G | কে ভাগ করে, তাহলে x n   =  1 সমীকরণের সমাধানের সংখ্যা G- তে kn এর সমান  যেখানে k যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার। তিনি নিম্নলিখিত সমস্যাটিও উত্থাপন করেছিলেন: যদি, উপরের উপপাদ্য অনুসারে, k = 1, তবে x n  = 1 সমীকরণের সমাধানগুলি G- তে একটি উপগোষ্ঠী(সাবগ্রুপ) গঠন করে। বহু বছর আগে এই সমস্যাটি সমাধানযোগ্য গোষ্ঠীর জন্য সমাধান করা হয়েছিল।  শুধুমাত্র ১৯৯১ সালে, সসীম সরল গ্রুপের শ্রেণীবিভাগের পর, এই সমস্যাটি সাধারণভাবে সমাধান করা হয়েছিল।

আরও গুরুত্বপূর্ণ ছিল তার তৈরি গ্রুপের চরিত্র এবং গ্রুপের উপস্থাপনার তত্ত্ব, যা গ্রুপের কাঠামো অধ্যয়নের জন্য মৌলিক উপকরণ। এই কাজটি ফ্রোবেনিয়াস রেসিপ্রসিটির ধারণার দিকে পরিচালিত করে এবং বর্তমানে ফ্রোবেনিয়াস গ্রুপ নামে পরিচিত বিষয়গুলির সংজ্ঞা দেয়। একটি গ্রুপ G কে একটি ফ্রোবেনিয়াস গ্রুপ বলা হয় যদি এর একটি উপগোষ্ঠী H < G হয় যাতে

   এর জন্যে

সেক্ষেত্রে, সেটটি

 

G এর আইডেন্টিটি উপাদানের সাথে মিলিত হয়ে একটি উপগোষ্ঠী(subgroup) তৈরি করে যা nilpotent, যেমন জন জি. থম্পসন ১৯৫৯ সালে দেখিয়েছিলেন।  সেই উপপাদ্যের সমস্ত পরিচিত প্রমাণ ক্যারেক্টারের ব্যবহার করে। ক্যারেক্টার সম্পর্কে তার প্রথম গবেষণাপত্রে (১৮৯৬), ফ্রোবেনিয়াস  সকল বিজোড় মৌলিক সংখ্যা p এর জন্য (1/2)(p³ - p) অর্ডারের  গ্রুপের চরিত্র সারণী তৈরি করেছিলেন।(এই গ্রুপটি সিম্পল গ্রুপ বলে যখন  p > 3)। তিনি প্রতিসম(symmetric) এবং বিকল্প(alternative) গ্রুপের প্রতিনিধিত্ব(রিপ্রেজেনটেশন) তত্ত্বেও মৌলিক অবদান রেখেছিলেন।

সংখ্যা তত্ত্বে অবদান

গ্যালোয়া গ্রুপগুলিতে Q এর উপরে মৌলিক সংখ্যাগুলিকে সংযুক্তি শ্রেণীতে রূপান্তর করার জন্য ফ্রোবেনিয়াস একটি ক্যানোনিকাল পদ্ধতি চালু করেছিলেন। বিশেষ করে, যদি K / Q একটি সসীম গ্যালোয়া এক্সটেনশন হয় তবে প্রতিটি (ধনাত্মক) মৌলিক সংখ্যা p যা K তে বিভক্ত হয় না এবং K তে p এর উপরে প্রতিটি মৌলিক আইডিয়াল P এর সাথে Gal( K / Q ) এর একটি নির্দিষ্ট উপাদান g থাকে যা g ( x )  = xp (mod P ) এই শর্ত পূরণ করে K এর সকল পূর্ণসংখ্যা x এর জন্য। P কে p এর উপর পরিবর্তন(ভ্যারি) করলে g একটি কনজুগেটে রূপান্তরিত হয় (এবং g এর প্রতিটি কনজুগেট এইভাবে আসে), তাই গ্যালোয়া গ্রুপে g এর কনজুগেসি ক্লাসটি ক্যানোনিকালভাবে p এর সাথে যুক্ত। এটিকে p এর ফ্রোবেনিয়াস কনজুগেসি ক্লাস বলা হয় এবং কনজুগেসি ক্লাসের যেকোনো উপাদানকে p এর ফ্রোবেনিয়াস উপাদান বলা হয়। যদি আমরা K এর জন্য m তম সাইক্লোটমিক ক্ষেত্র গ্রহণ করি, যার Q এর উপরে গ্যালোয়া গ্রুপ হল মডুলো m একক (এবং যেহেতু এটি অ্যাবেলিয়ান, তাই কনজুগেসি ক্লাসগুলি এখানে উপাদান), তাহলে p কে m ভাগ না করার জন্য গ্যালোয়া গ্রুপে ফ্রোবেনিয়াস ক্লাস হল p মোড(mod) m . এই দৃষ্টিকোণ থেকে, গ্যালোয়া গ্রুপগুলিতে Q (অথবা, আরও সাধারণভাবে, যেকোনো সংখ্যা ক্ষেত্রের উপর গ্যালোয়া গ্রুপ) এর উপর ফ্রোবেনিয়াস কনজুগেসি ক্লাসের বন্টন গাণিতিক অগ্রগতিতে মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে ডিরিচলেটের ধ্রুপদী ফলাফলকে সাধারণীকরণ করে। Q- এর অসীম-ডিগ্রি এক্সটেনশনের গ্যালোয়া গ্রুপগুলির অধ্যয়ন ফ্রোবেনিয়াস উপাদানগুলির এই গঠনের উপর অত্যন্ত নির্ভরশীল, যা এক অর্থে উপাদানগুলির একটি ডেন্স উপসেট প্রদান করে যা বিশদ অধ্যয়নের জন্য সহজলভ্য।

আরও দেখুন
ফার্দিনান্দ জর্জ ফ্রোবেনিয়াসের নামে নামাঙ্কিত বিষয়ের তালিকা

প্রকাশনা

De functionum analyticarum unius variabilis per series infinitas repraesentatione (in Latin), Dissertation, 1870
Über die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 73, 1–30 (1871)
Über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, deren Coefficienten rationale Functionen einer Variablen sind (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 74, 254–272 (1872)
Über den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der linearen Differentialgleichungen (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 236–270 (1873)
Über die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 214–235 (1873)
Über die Determinante mehrerer Functionen einer Variablen (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 77, 245–257 (1874)
Über die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der linearen Differentialgleichungen (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 78, 93–96 (1874)
Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maaßes (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 79, 185–247 (1875)
Über algebraisch integrirbare lineare Differentialgleichungen (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 183–193 (1875)
Über das Pfaffsche Problem (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 82, 230–315 (1875)
Über die regulären Integrale der linearen Differentialgleichungen (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 317–333 (1875)
Note sur la théorie des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables (in French), Comptes rendus de l'Académie des sciences Paris 85, 131–133 (1877)
Zur Theorie der elliptischen Functionen (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 83, 175–179 (1877)
Über adjungirte lineare Differentialausdrücke (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 85, 185–213 (1878)
Über lineare Substitutionen und bilineare Formen (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 84, 1–63 (1878)
Über homogene totale Differentialgleichungen (in German), Journal für die reine und angewandte Mathematik 86, 1–19 (1879)
Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen (in German), Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 26, 456—477 (1912)

তথ্যসূত্র

 Review

বহিরাগত সূত্র

G. Frobenius, "Theory of hypercomplex quantities" (English translation)

1849 births
1917 deaths
19th-century German mathematicians
20th-century German mathematicians
Group theorists
Linear algebraists
Members of the Prussian Academy of Sciences
Scientists from Berlin
People from the Province of Brandenburg
University of Göttingen alumni
Humboldt University of Berlin alumni
Academic staff of the Humboldt University of Berlin
Academic staff of ETH Zurich
People from Charlottenburg
Mathematicians from the German Empire