উপযোগ অপেক্ষক



বাংলা শব্দ সমষ্টির প্রতিরূপ 
ভোক্তার ভোগ পছন্দকে গাণিতিক ভাবে ব্যাখ্যার জন্য নীচের বাংলা শব্দ সমষ্টির প্রতিরূপগুলো লক্ষ্য করুনঃ

খুব ভালভাবে করতে পারে  ~  Well Defined

পছন্দের কাঠামো নির্ধারণ  ~  Preference

একবারের বাজার সদাই   ~  Bundle

বিভিন্ন বাজার সদাই এর মাঝে তুলনা করে ক্রম নির্ধারণ করা  ~  Ranking of the bundles

সামর্থ্য থাকা সাপেক্ষে পছন্দের গাণিতিক কাঠামোগত রুপ  ~  Choice Structure

বাইনারী সম্পর্ক ~  Binary relation

সাধ্যের মধ্যে কার্যকর সমাধান, তাই এটি-ই সম্ভাব্য (সমাধান) ~ Feasible (Solution)

ভোক্তার ভোগ নির্ধারণকারী বান্ডেলের সেটকে গাণিতিক ভাবে সংজ্ঞায়িত করন 
ভোক্তার ভোগ নির্ধারণকারী বান্ডেলের সেটকে নীচের মত করে সংজ্ঞায়িত করা যায়। যদি বিভিন্ন পরিমাণ দ্রব্য  হয় তবে,  কে ভোক্তার ভোগ নির্ধারণকারী সেট হিসেবে গাণিতিক ভাবে প্রকাশ করা যায়। তাহলে,  একটি বান্ডেল। যেখানে  ।

 কে চাইলে দুইটি ভাগে ভাগ করা যায়। ধরা যাক, ভাগ দুইটি  এবং  ।

ভোক্তার ভোগ নির্ধারণকারী সেটকে ন্যূনতম নীচের গাণিতিক বৈশিষ্ট্য গুলো ধারণ করতে হয় :

1. 

2.  is closed

3.  is convex

4. 

যদি এমন একটি ক্রমজোড় থাকে, ধরা যাক  এবং , যেখানে , তবে ভোক্তা যে পছন্দের কাঠামো নির্ধারণ করেন তাকে বাইনারী সম্পর্ক  দ্বারা প্রকাশ করা সম্ভব।

গাণিতিক স্বতঃসিদ্ধ 
Axiom-1 : Completeness অর্থাৎ সম্পূর্ণ যৌক্তিক আচরণ

সকল  এর জন্য  অথবা  (অথবা উভয়ই) সত্য। অর্থাৎ ভোক্তার বাজার সদাই সম্পর্কে যথেষ্ট এবং পর্যাপ্ত জ্ঞান রয়েছে। সেজন্য ভোক্তা দুটো বান্ডেল এর মধ্যে তুলনা করতে পারেন এবং কোন বান্ডেলটি বেশি পছন্দনীয় সেই সিদ্ধান্ত নিতে পারেন।

Axiom-2 : Transitivity অর্থাৎ সক্রিয়তা
 
সকল  এর জন্য যদি  এবং  সত্য হয়, তবে  সত্য হবে। অর্থাৎ ভোক্তা বান্ডেলগুলোর মধ্যে যে পছন্দ ক্রম নির্ধারণ করেন তাতে সামাজ্ঞস্যতা রয়েছে।

Axiom-3 : Continuity অর্থাৎ ধারাবাহিক চলমান বৈশিষ্ট্য
 
সকল  এর জন্য  অথবা  উভয়ই  সমতলে বদ্ধ । অর্থাৎ ভোক্তা পছন্দের ক্রম নির্ধারণকারী কাঠামো একবার নির্ধারণ করলে, সেই পছন্দ নির্ধারণকারী কাঠামো তে পুনরায়, হঠাৎ ক্রমের বিন্যাস করে না।

Axiom-4' : Local Non-satiation অর্থাৎ নিকটবর্তী পরিসীমায় অপরিতৃপ্তি
   
সকল  এবং  এর জন্য এমন কিছু  এর অস্তিত্ব রয়েছে যাতে করে  সত্য হয়। এখানে  একটি উন্মুক্ত গোলক কে প্রকাশ করে যার ব্যাসার্ধ  এবং কেন্দ্র  ।
ভোক্তা যদি কোন একটি বান্ডেল পছন্দ করেন তবে, সেই বান্ডেলের নিকটবর্তী অন্তত ন্যূনতম আরো একটি বান্ডেল রয়েছে যা ভোক্তা আরো বেশি পছন্দ করেন।

Axiom-4 : Strict Monotonicity অর্থাৎ যথাযথ একই ধরন এবং রকম

সকল  এর জন্য যদি,  সত্য হয় তবে,  ও সত্য হবে। আর যখনই  সত্য হয় তখন  ও সত্য হবে।
একটি বান্ডেলকে অন্য বান্ডেলের সাথে তুলনা করলে, সেই বান্ডেলে অন্য বান্ডেলের ন্যূনতম একই পরিমাণ প্রত্যেকটি পণ্য রয়েছে।

Axiom-5' : Convexity অর্থাৎ উত্তলতা

যদি  সত্য হয় তবে,  এর জন্য  সত্য হবে।

Axiom-5 : Strict Convexity অর্থাৎ যথাযথ উত্তলতা
  
যদি  এবং  সত্য হয় তবে,  এর জন্য  সত্য হবে।

উপযোগ অপেক্ষকের অস্তিত্ব আসলেই কি রয়েছে ? 
যদি নিরপেক্ষ রেখার টুকরোর অংশ গুলো নেয়া হয়, তবে শেষ দুইটি (Axiom-5', Axiom-5) স্বতঃসিদ্ধ নিশ্চিত করে যে টুকরো গুলো উত্তল নয়। উপরের অন্তত প্রথম তিনটি (Axiom-1, Axiom-2, Axiom-3) স্বতঃসিদ্ধ যদি সত্য হয়, তবে ভোক্তার যে পছন্দের কাঠামো (Preference) রয়েছে, তাকে উপযোগ অপেক্ষক (Utility Function) দ্বারা প্রকাশ করা সম্ভব।  

ধরা যাক,  একটি উপযোগ অপেক্ষক।

গাড় কালিতে নির্দেশিত চলকগুলো ম্যাট্রিক্স কে নির্দেশ করছে।

ভোক্তার পছন্দের কাঠামো (Preference) যেহেতু উপযোগ অপেক্ষক (Utility Function) দ্বারা প্রকাশ করা সম্ভব, সেহেতু ধরে নেয়া যায় যে, ভোক্তা যুক্তিসঙ্গত আচরণ করছেন। সুতরাং  এবং  দুইটি বান্ডেলকে পছন্দের কাঠামোতে পছন্দের ক্রম নির্ধারণকারী বাইনারী সম্পর্ক  হলে,

 [ এখানে  একটি উপযোগ অপেক্ষক,  একটি normalized ভেক্টর, যার সব মান 1 ।  এর ব্যবহার করে  এর প্রেক্ষিতে বান্ডেল দুইটির পছন্দের কাঠামোতে  এর প্রতিরূপ নেয়া হয়েছে ]

সুতরাং  সত্য হলে  ও অবশ্যই সত্য হবে। আবার বিপরীত দিক থেকে ও গাণিতিক অসমতাটি সত্য।

মনে করি,

 [  কে ব্যবহার করে  কে পছন্দের কাঠামোতে প্রতিরূপ হিসেবে চিহ্নিত করা হয়েছে ]

 [ বান্ডেলের পছন্দ কাঠামোর সীমা নির্ধারণ করা হয়েছে ]

সুতরাং বিপরীত উপযোগ অপেক্ষক (Inverse Utility Function) ও হিসাব করে বের করা সম্ভব।

উপযোগ অপেক্ষক 

কিছু উপযোগ অপেক্ষকের কাঠামো লক্ষ্য করুন :

 [ এই উপযোগ অপেক্ষকটি ভোক্তার কোন একটি পছন্দ কাঠামোতে, কোন একটি বান্ডেলে থাকা দুইটি বিকল্প দ্রব্যের (দ্রব্য এবং পণ্যের মিশ্রণ ও থাকতে পারে) ভোগ হতে পাওয়া উপযোগকে নির্দেশ করে। ]

 [ একটি দ্রব্য আরেকটি দ্রব্যের পরিপূরক হলে (দ্রব্য এবং পণ্যের মিশ্রণ ও থাকতে পারে) ]

 [ কোয়াসি লিনিয়ার উপযোগ অপেক্ষক ]

 যেখানে,  [ কব ড্যগলাস উপযোগ অপেক্ষক ]

[ সি.ই.এস. উপযোগ অপেক্ষক। এই উপযোগ অপেক্ষকের পরিবর্তীত এবং বর্ধিত অনেক রূপ রয়েছে। ]

বিভিন্ন পাঠ্য পুস্তক এবং গবেষণা প্রবন্ধে আরো প্রচুর উপযোগ অপেক্ষক সম্পর্কে বিস্তর আলোচনা পাবেন (নিচে রেফারেন্স অনুচ্ছেদে কিছু পাঠ্য পুস্তকের নাম উল্লেখ করা আছে)।

মনে করি,  একটি উপযোগ অপেক্ষক এবং  নির্ভর করে  এর উপর। নিচের গাণিতিক কাঠামোটি লক্ষ্য করুন।

সুতরাং  এর পরিবর্তনের ফলে,  এর পরিবর্তন কি পরিমাণে হয় তা বের করা সম্ভব।

পুরো পছন্দের কাঠামোতে, যে কোন একটি নির্দিষ্ট নিরপেক্ষ রেখাতে (যদি নিরপেক্ষ রেখার অস্তিত্ব এবং অবস্থান সঠিক ভাবে নিরূপণ করা সম্ভব হয়) উপযোগ স্থির থাকে (অন্তত পক্ষে কোন একটি ব্যান্ড পাওয়া গেলেও, সেখানে উপযোগ স্থির বলে ধরে নেয়া হয়) । সুতরাং নিচের গাণিতিক কাঠামোটি লক্ষ্য করুন।

 [ উপযোগ স্থির রাখতে সংশ্লিষ্ট নিরপেক্ষ রেখাতে এই শর্তটি পূরণ হতেই হবে ]

 ; যা  এর প্রেক্ষিতে  এর Marginal Rate of Substitution নামে পরিচিত।

আমাদের আশেপাশে যে বাজার ব্যবস্থা দেখতে পাই, সেখানে প্রধানত এবং সাধারণত পণ্য এবং দ্রব্যের দাম, ভোক্তার আয়, ভোগকৃত এবং/অথবা ভোগ যোগ্য পণ্য এবং দ্রব্যের পরিমাণ উপযোগ অপেক্ষকে অন্তর্ভুক্ত থাকে। ক্ষেত্র বিশেষে গাণিতিক পদ্ধতির সক্ষমতা সাপেক্ষে, আরো বহু চলক উপযোগ অপেক্ষকে অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে, যার মাঝে, এমনও হতে পারে যে অনেক চলকের উপর বাজার ব্যবস্থার নিয়ন্ত্রণ নেই।

একজন ভোক্তা যে কোন পণ্য-দ্রব্য বাজার থেকে ক্রয় করে ভোগ করার পরে, তার উপযোগ কতটুকু তা যদি আপনি জানতে আগ্রহী হন, তবে প্রথমত, আপনি হয়তবা ধারণা করার চেষ্টা করবেন। কারণ এই ক্ষেত্রে ভোক্তার তৃপ্তি নির্ধারণকারী চলকগুলোর মান কত তা আপনার জানা নাই। তবে, ভোক্তা কোন বান্ডেল ক্রয়ের জন্য কত মূল্য দিতে চান এবং ভোক্তার আয় কত, তার প্রায় নিকটবর্তী মান জানা সম্ভব। মনে রাখা দরকার, বাজার, ভোক্তার উপর দাম চাপিয়ে দেয় না, বরং ভোক্তা কে অবাধ স্বাধীনতা দেয় যাতে করে পরিশ্রমী ক্রেতা এবং বিক্রেতা উভয়ই, নিজেদের সামর্থ্য অনুযায়ী দর কষাকষির মাধ্যমে, কাঙ্ক্ষিত পণ্য-দ্রব্য কাঙ্ক্ষিত দামে ক্রয় এবং বিক্রয় করতে পারেন। দামের বিপরীতে শ্রমের মূল্য (Value) যতই বাড়তে থাকবে (অর্থাৎ পরিশ্রম তখন মূল্য (Value) তৈরি করে), বাজার ততই শক্তিশালী হতে থাকবে। শক্তিশালী বাজারে ভোক্তার উপযোগ থাকে বেশি।

ধরা যাক, ভোক্তার সামর্থ্য তার হাতে থাকা বাজেটে প্রকাশ পায়। ভোক্তার পছন্দ অনুযায়ী নির্ধারিত বান্ডেল এবং বাজেটের গাণিতিক কাঠামোটি লক্ষ্য করুন।

ভোক্তার Choice Structure  যেখানে,  অর্থাৎ ভোক্তার এই ক্ষেত্রে পছন্দ  বাজেট ।  কে এই ক্ষেত্রে একটু পরিবর্তন করে,  দ্বারা প্রকাশ করব, কারণ গঠনগত ভাবে, ভোক্তা যে পছন্দ কাঠামো নির্ধারণ করেছেন, তা গাণিতিক যৌক্তিক ক্ষেত্রে প্রকাশমান। অর্থাৎ যিনি গাণিতিক যুক্তিকে অনুধাবন করতে পারেন, তাঁর কাছে ভোক্তার পছন্দের গঠনগত ক্ষেত্রটির প্রতিরূপ প্রকাশ পায়।

 এর অর্থ হচ্ছে, এখানে অন্তত কিছু বাজেট  রয়েছে এবং এই বাজেট গুলোর জন্য,

 সত্য হবে।

 অথবা  অথবা উভয়ই সত্য হবে।

বাইনারী সম্পর্ক  দ্বারা Revealed Preference প্রকাশ পাচ্ছে।

ধরা যাক, ভোক্তা বাজারে দাম  এর মুখোমুখি হয় এবং একই সময়ে ভোক্তার কাছে থাকা সম্পদের পরিমাণ । আরো ধরা যাক, ভোক্তার পছন্দ কাঠামোতে থাকা পছন্দ গুলো Feasible । যদি এই অবস্থা সত্য হয় তবে, ওয়ালরাস এর উপস্থাপিত বাজেট সেট এর গাণিতিক কাঠামোটি লক্ষ্য করুন,

স্বতঃসিদ্ধ monotonicity এর কারণে, উপযোগ অপেক্ষকের নিচের বৈশিষ্ট্য টি প্রকাশ পায়।

সুতরাং বাজেট সমীকরণকে, উপযোগ সমীকরণের সাথে যুক্ত করে, উপযোগ সমীকরণকে বাজেট সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে রূপান্তর করা সম্ভব।

নিচের, ল্যাগরেঞ্জ অপেক্ষকটি লক্ষ্য করুন,

 যেখানে, বাজেট সমীকরণ হল, 

এক্ষেত্রে উপযোগ সর্বোচ্চ করতে, গাণিতিক সমাধান করে প্রাপ্ত ফলাফলকে (কিছু হিসাব করতে হয়) নিচের মত করে প্রকাশ করা যায়।

এবং,

আনুপাতিক সম্পর্ক নিয়ে পাই,

 এবং এখান থেকে উপযোগ সর্বোচ্চ করতে, ভোগের পরিমাণ এবং  হিসাব করে পাওয়া সম্ভব,

যেখানে,  এবং  হল, মার্শালিয়ান চাহিদা অপেক্ষক।

ভোগের পরিমাণ এবং  হতে পরোক্ষ উপযোগ অপেক্ষক পাওয়া সম্ভব।

ধরা যাক, পরোক্ষ উপযোগ অপেক্ষকটি 

সুতরাং  সত্য এবং সম্ভব।

তথ্যসূত্র এবং প্রাসঙ্গিক পাঠ্য বই 
 JEHLE, A., GEOFFREY, and PHILIP J. RENY (2011), ‘Advanced Microeconomic Theory’, Third Edition, Chapter-1,2: 3-39, Pearson Education Limited, ISBN 978-0-273-73191-7.
 MAS-COLELL, ANDREU, MICHAEL D. WHINSTON, and JERRY R. GREEN (1995), ‘Microeconomic Theory’, Chapter-1: 3-41, OXFORD UNIVERSITY PRESS, ISBN-13 978-0-19-507340-9: 978-0-19-510268-0(pbk.).
 R. VARIAN, HAL (1992,1984,1978), ‘Microeconomic Analysis’, Third Edition, Chapter-7: 94-104, W. W. Norton & Company, Inc., Library of Congress Cataloging-in-Publication Data ; ISBN 0-393-95735-7.
 M. Wooldridge, Jeffrey (2013,2009), ‘Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data’, Chapter: 1-9: 1-349, The MIT Press Cambridge, Massachusetts, London, England.
 C. Chiang, Alpha (1984,1974,1967), ‘Fundamental Methods of Mathematical Economics’, Third Edition, Chapter: 1-12: 7-432, McGraw - Hill, Inc., ISBN 0-07-010813-7.
 এম, এস, বাসার, ‘গাণিতিক অর্থনীতি ও পরিসংখ্যান, প্রথম খণ্ডে, গাণিতিক অর্থনীতি’, ব্যষ্টিক অর্থনীতি সহ ; প্রথম সংস্করণঃ ফেব্রুয়ারি, ১৯৮৪, দ্বিতীয় সংস্করণঃ অক্টোবর, ১৯৮৭ ; মুহম্মদ ব্রাদ্রার্স, ৩৮ বাংলা বাজার, ঢাকা - ১, স্টুডেন্ট ওয়েজ, ৯ বাংলা বাজার, ঢাকা - ১.

উইকিপিডিয়ার অন্যান্য আর্টিকেলের সংযুক্তি 
 https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus
 https://en.wikipedia.org/wiki/Automatic_differentiation
 https://en.wikipedia.org/wiki/Concave_function
 https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_function
 https://en.wikipedia.org/wiki/Walras%27s_law
 https://en.wikipedia.org/wiki/Marshallian_demand_function
 https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier
 https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Utility_function_types
 https://en.wikipedia.org/wiki/Revealed_preference
 https://en.wikipedia.org/wiki/Karush%E2%80%93Kuhn%E2%80%93Tucker_conditions
 https://en.wikipedia.org/wiki/Optimization_problem
 https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_optimization_software

অর্থনীতি
গণিত
অর্থমিতি
পদার্থবিজ্ঞান