বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য

বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য (যা ডালেমবার উপপাদ্য বা ডালেমবার-গাউস উপপাদ্য নামেও পরিচিত,) বলে: প্রতিটি অ-শূন্য, জটিল সহগ-যুক্ত, এক চলরাশি-বিশিষ্ট, n-ডিগ্রির বহুপদ সমীকরণের, অন্তত একটি জটিল বীজ থাকবে। এই উপপাদ্যের মধ্যে বাস্তব সহগ-যুক্ত বহুপদও পড়ে, কারণ বাস্তব সংখ্যা মাত্রেই জটিল সংখ্যা (যার কাল্পনিক অংশ শূন্য)।

এই উপপাদ্যকে এইভাবেও বর্ণনা করা চলে, যে-- প্রতিটি অ-শূন্য, জটিল সহগ-যুক্ত, এক চলরাশি-বিশিষ্ট, n-ডিগ্রির বহুপদ সমীকরণের, ঠিক n সংখ্যক জটিল বীজ থাকবে, যখন বীজগুলিকে মাল্টিপ্লিসিটি (multiplicity) সমেত ধরা হবে। ধারাবাহিক বহুবর্ষীয় বিভাগ বা দীর্ঘ ভাগ পদ্ধতি ব্যবহার করে দুটি বক্তব্যের সমতুল্যতা প্রমাণ করা যায়।

নামটি সত্ত্বেও, উৎপাদকের কোনও সম্পূর্ণ বীজগণিত প্রমাণ নেই, যেহেতু এই উপপাদ্যের যে কোনও প্রমাণের জন্যই বাস্তব সংখ্যার বিশ্লেষণাত্মক সম্পূর্ণতার কিছু রূপ ব্যবহার করতে হবে, যা কোনও বীজগাণিতিক ধারণা নয়। তাছাড়াও, এটি আধুনিক বীজগণিতের জন্য মৌলিক নয়; এর নামটি এমন সময়ে দেওয়া হয়েছিল যখন বীজগণিত সমীকরণের তত্ত্বের সমার্থক ছিল।

ইতিহাস 
পিটার রথ তার বই অ্যারিথমেটিকা ফিলোসফিকা বইতে (1608 সালে, জোহান ল্যান্টজেনবার্গার দ্বারা নর্নবার্গে প্রকাশিত) লিখেছিলেন, [২] লিখেছেন যে বাস্তব সহগবিশিষ্ট ডিগ্রি n এর একটি বহুপদ সমীকরণের n সংখ্যক সমাধান থাকা সম্ভব। অ্যালবার্ট জিরার্ড তার L'invention nouvelle en l'Algèbre  (১৬২৯ সালে প্রকাশিত) গ্রন্থে বক্তব্য রাখেন যে ডিগ্রি n এর একটি বহুপদ সমীকরণের n সংখ্যক সমাধান রয়েছে, তবে তিনি উল্লেখ করেননি যে বীজগুলিকে বাস্তব সংখ্যাই হতে হবে। তাছাড়াও, তিনি যোগ করেছিলেন যে তার বক্তব্যটি নিশ্চিতভাবে সত্যি হবে যদি "সমীকরণটি অসম্পূর্ণ না হয়", অর্থাৎ কোনও সহগ শূন্য না হয়। কিন্তু, তিনি যখন তাঁর বক্তব্যের অর্থ বিশদভাবে ব্যাখ্যা করেছেন, তখন স্পষ্টই বোঝা যায় যে তিনি সত্যই বিশ্বাস করেন যে তার দাবি সবসময় সত্য; উদাহরণস্বরূপ, তিনি দেখান যে  সমীকরণটি অসম্পূর্ণ হলেও এটির চারটি বীজ রয়েছে (মাল্টিপ্লিসিটি ধরে): (দুইবার), এবং .

যেমনটি নিচে আবার উল্লেখ করা হবে, এটি বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য থেকে এসেছে যে আসল সহগের সাথে প্রতিটি অ-ধ্রুবক বহুবচনকে বাস্তব সহগের সাথে বহুবর্ষের পণ্য হিসাবে রচনা করা যেতে পারে যার ডিগ্রি 1 বা 2 হয়। তবে, 1702 সালে লিবনিজ ভ্রান্তভাবে বলেছিলেন যে ধরনের কোন বহুপদী x4 +a4 (0 থেকে একটি বাস্তব এবং স্বতন্ত্র) এইভাবে লেখা যেতে পারে। পরবর্তীতে নিকোলাস বারনুলি বহুবর্ষ সম্পর্কে একই বক্তব্য রেখেছিলেন  x4 − 4x3 + 2x2 + 4x + 4, তবে তিনি ১৭৪২ সালে অয়লারের কাছ থেকে একটি চিঠি পেয়েছিলেন যেখানে এটি দেখানো হয়েছিল যে এই বহুপদীকে লেখা যায়

() ()

α = এর সাথেও, অয়লার তা উল্লেখ করেছেন

X4+a4= (x2 +a+a2) (x2 -a+a2 )

উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য প্রথম প্রচেষ্টা ডালেমবার 1746 সালে করেছিলেন, তবে তার প্রমাণ অসম্পূর্ণ ছিল। অন্যান্য সমস্যার মধ্যে এটি নিখুঁতভাবে একটি উপপাদ্য (বর্তমানে পুইজো-র উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত) ধরে নিয়েছিল যা এক শতাব্দীরও বেশি সময় পরে প্রমাণিত হবে না এবং ততোধিক প্রমাণটি বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যকে ধরে নিয়েছিল। অন্যান্য প্রচেষ্টা অয়লার (1749), ডি ফঁসনে (1759), ল্যাগ্রাঞ্জ (1772) এবং ল্যাপ্লাস (1795) দ্বারা করেছিলেন। এই শেষ চারটি প্রচেষ্টা গিরার্ডের বক্তব্যকে অনুমান করে চলেছিল; আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, সমাধানগুলির অস্তিত্ব ধরে নেওয়া হয়েছিল এবং যা প্রমাণ করা বাকি ছিল তা হ'ল তাদের ফর্মটি কিছু বাস্তব সংখ্যা a, b-এর জন্য a + bi ছিল। আধুনিক পরিভাষায়, অয়লার, ডি ফঁসনে, ল্যাগ্রাঞ্জ এবং ল্যাপ্লাস বহুভুজ পি (জেড) এর বিভাজন ক্ষেত্রের অস্তিত্ব ধরে নিয়েছিলেন।

আঠারো শতকের শেষের দিকে, দুটি নতুন প্রমাণ প্রকাশিত হয়েছিল যা শিকড়গুলির অস্তিত্ব ধরে নেয় না, তবে এর দুটিও সম্পূর্ণ ছিল না। এর মধ্যে একটি, জেমস উড এবং প্রধানত বীজগণিতের কারণে, 1798 সালে প্রকাশিত হয়েছিল এবং এটি সম্পূর্ণ উপেক্ষা করা হয়েছিল। কাঠের প্রমাণের একটি বীজগণিত ফাঁক ছিল। অন্য একটিটি গৌস দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল 1799 সালে এবং এটি মূলত জ্যামিতিক ছিল, তবে এটির একটি টপোলজিকাল ফাঁক ছিল, ১৯০১ সালে আলেকজান্ডার অস্ট্রোস্কির দ্বারা পূর্ণ, ১৯৮১ সালে আলোচিত (স্যামেল লিখেছেন, "... আমি উল্লেখ করতে চাই যে কি বিশাল ফাঁক গাউসের প্রমাণ রয়েছে। এটি আজও একটি সূক্ষ্ম বিষয় যা সত্য বীজগণিত বিমানের বক্ররেখা ছাড়াই কোনও ডিস্কে প্রবেশ করতে পারে না। বাস্তবে গৌস এই প্রমাণটিকে ৫০ বছর পরে পুনরায় সরিয়ে দিলেও ফাঁকটি রয়ে গিয়েছিল। ১৯০০ অবধি গৌস 'এই কথাটি করেননি প্রমাণ সম্পন্ন হয়েছিল। রেফারেন্সে গাউস, এ। অস্ট্রোস্কির একটি কাগজ রয়েছে যা এটি করে এবং সমস্যাটির একটি চমৎকার আলোচনাও দেয় ... ")। একটি কঠোর প্রমাণ প্রথম আর্গান্দ দ্বারা 1806 সালে প্রকাশিত হয়েছিল (এবং 1813 সালে পুনরায় দেখা হয়েছিল); এখানেই প্রথমবারের জন্য বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যকে কেবলমাত্র সহগের পরিবর্তে জটিল সহগের সাথে বহুবর্ষের জন্য বলা হয়েছিল। গৌস 1816 সালে আরও দুটি প্রমাণ এবং 1849 সালে তার আসল প্রমাণের আর একটি সংস্করণ তৈরি করেছিলেন।

উপপাদ্যের প্রমাণ সংবলিত প্রথম পাঠ্যপুস্তকটি ছিল কচির কোর্স ডি'ানালিজ দে ল'কোল রয়্যাল পলিটেকনিক (1821)। এটিতে আরগান্ডের প্রমাণ রয়েছে, যদিও এর জন্য আরগান্ড জমা হয় না।

এখনও পর্যন্ত উল্লিখিত প্রমাণগুলির মধ্যে কোনওটি গঠনমূলক নয়। উনিশ শতকের মাঝামাঝি সময়েই প্রথমবারের মতো উত্থাপিত ওয়েয়ারস্ট্রেস, বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের গঠনমূলক প্রমাণ খুঁজে পাওয়ার সমস্যা ছিল। তিনি তার সমাধানটি পেশ করেছিলেন, যা আধুনিক পরিভাষায় ডিওরান্দ-কার্নার পদ্ধতির সংযোগের সাথে মোটর গাড়ি চালিয়ে যাওয়ার নীতিটি 1891 সালে তৈরি করা হয়েছিল। এই জাতীয়তার আরও একটি প্রমাণ ১৯৪০ সালে হেলমথ কেনার দ্বারা পেয়েছিলেন এবং ১৯৮১ সালে তার পুত্র মার্টিন কেনার সহজতর করেছিলেন।

গণনামূলক পছন্দ ব্যবহার না করে, ডেডিকাইন্ড আসল সংখ্যার উপর ভিত্তি করে জটিল সংখ্যার জন্য বীজগণিতের মৌলিক উপপাদকে গঠনমূলকভাবে প্রমাণ করা সম্ভব নয় (যা গণনাযোগ্য পছন্দ ব্যতীত কাচির আসল সংখ্যার সাথে গঠনমূলকভাবে সমান নয় [6])। তবে ফ্রেড রিচম্যান কাজ করে এমন উপপাদ্যের একটি সংস্কারকৃত সংস্করণ প্রমাণ করেছিলেন|

প্রমাণ 
নিচে সমস্ত প্রমাণ কিছু বিশ্লেষণ জড়িত, বা কমপক্ষে বাস্তব বা জটিল ফাংশন ধারাবাহিকতার টপোলজিকাল ধারণা। কিছু কিছু পৃথক বা এমনকি বিশ্লেষণমূলক ফাংশন ব্যবহার করে। এই সত্যটি এই মন্তব্যটির দিকে নিয়ে গেছে যে বীজগণিতের মূল তত্ত্বটি মৌলিক নয়, বীজগণিতের উপপাদ্যও নয়।

তাত্ত্বিকের কিছু প্রমাণ কেবল প্রমাণ করে যে বাস্তব সহগের সাথে যে কোনও অ-ধ্রুবক বহুপদী কিছু জটিল মূল থাকে। সাধারণ ক্ষেত্রে এটি উপপাদ্য প্রতিষ্ঠার জন্য যথেষ্ট কারণ, জটিল সহগের সাথে একটি অ-ধ্রুবক বহুপদী পি (জেড) দেওয়া হয়েছে, বহুপক্ষীয়

কেবলমাত্র প্রকৃত সহগ রয়েছে এবং,  যদি  এর শূন্য হয়, তবে  বা এর সংযোগটি  এর মূল হয়।

উপপাদকের অ-বীজগণিত প্রমাণগুলির একটি বৃহত সংখ্যক সত্যটি (কখনও কখনও ‘বৃদ্ধি লেমমা’ নামে পরিচিত) ব্যবহার করে যে একটি এন-ত্র ডিগ্রি বহুপদী ফাংশন পি (জেড) যার প্রভাবশালী সহগ  হয় যখন  এর মতো আচরণ করে যথেষ্ট বড়। আরও সুনির্দিষ্ট বিবৃতিটি হল: এখানে কিছু ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যা রয়েছে যা

যখন

জটিল-বিশ্লেষণমূলক প্রমাণ 
|p(z)|>|p(0)| এর উৎসকে কেন্দ্র করে ব্যাসার্ধের একটি বদ্ধ ডিস্ক ডি সন্ধান করুন যখনই |z|r সর্বনিম্ন | p (z) | D তে, যা D কমপ্যাক্ট হওয়ার কারণে বিদ্যমান থাকতে পারে, তাই D এর অভ্যন্তরের কোনও কোনও সময়ে z0 এ অর্জন করা হয়, তবে এর সীমানার কোনও বিন্দুতে নয়। সর্বাধিক মডিউলাস নীতি (1/p(z)) এ প্রয়োগ করা) এর পরে বোঝা যায় যে pz0) = 0. অন্য কথায়, z0, p (z) এর 0|

এই প্রমাণের একটি পরিবর্তনের জন্য সর্বাধিক মডুলাস নীতি ব্যবহারের প্রয়োজন হয় না (আসলে, ছোটখাটো পরিবর্তনগুলির সাথে একই যুক্তি হোলোমর্ফিক ফাংশনগুলির জন্য সর্বাধিক মডুলাস নীতিটির প্রমাণ দেয়)। যদি আমরা দ্বিধায়নের দ্বারা ধরে নিই যে a: = p (z0) ≠ 0, তবে, z - z0 এর ক্ষমতায় p (z) প্রসারিত করে আমরা লিখতে পারি

p(z)=a+ck(z-z0)k ck+1(z-z0)k+1+......+cn(z-z0)n

এখানে, cj হ'ল বহুপদী z→p (z + z0) এর সহগ, এবং আমরা k কে ধ্রুবক পদের পরে প্রথম সহগের সূচক হিসাবে নির্ধারণ করি যা 0 নয়। তবে এখন আমরা দেখতে পাচ্ছি যে z এর জন্য z0 এর যথেষ্ট কাছাকাছি আচরণ রয়েছে সাধারণ বহুপদী q (z) =a+ck(z-z0)n

এই অর্থে যে ফাংশনটি (যাচাই করা সহজ)

||

z0 এর কিছু পাড়ায় কিছু ধনাত্মক ধ্রুবক M দ্বারা আবদ্ধ। সুতরাং আমরা যদি θ  এবং , তারপরে যেকোন পর্যাপ্ত সংখ্যক ধনাত্মক সংখ্যার জন্য (যাতে আবদ্ধ এম উল্লেখ করা হয়েছে) উপরের অংশটি ধারণ করে), ত্রিভুজ বৈষম্য ব্যবহার করে আমরা তা দেখতে পাই

  | p ( z ) | ≤ | q ( z ) | + r k + 1 | p ( z ) − q ( z ) r k + 1 | ≤ | a + ( − 1 ) c k r k e i ( arg ⁡ ( a ) − arg ⁡ ( c k ) ) | + M r k + 1 = | a | − | c k | r k + M r k + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}|p(z)|&\leq |q(z)|+r^{k+1}\left|{\frac {p(z)-q(z)}{r^{k+1}}}\right|\\[4pt]&\leq \left|a+(-1)c_{k}r^{k}e^{i(\arg(a)-\arg(c_{k}))}\right|+Mr^{k+1}\\[4pt]&=|a|-|c_{k}|r^{k}+Mr^{k+1}\end{aligned}}}

p যখন |p (z) | এর জন্য এই উপরের আবদ্ধ পর্যাপ্ত পরিমাণে 0 এর কাছাকাছি থাকে z0 এর সংজ্ঞার বিরোধী হিসাবে | a | এর চেয়ে কঠোরভাবে ছোট। (জ্যামিতিকভাবে, আমরা একটি সুস্পষ্ট দিকনির্দেশ পেয়েছি such0 এরকম যে কেউ যদি সেই দিক থেকে z0 এ যায় তবে কেউ | p(z0) | এর চেয়ে পরম মানে ছোট p(z) কম পেতে পারে))

|p(z) | যেহেতু পর্যবেক্ষণ করে এই চিন্তার ধারায় আরও একটি বিশ্লেষণাত্মক প্রমাণ পাওয়া যায় > | p(0) | ডি এর বাইরে, সর্বনিম্ন |p(z) | সম্পূর্ণ জটিল প্লেন z0 এ অর্জন করা হয়। যদি | p(z0) | > 0, তারপরে 1/p হ'ল প্রতিটি জটিল সংখ্যার z, | 1/p (z) জন্য সম্পূর্ণ জটিল প্লেনের একটি সীমাবদ্ধ হোমোমর্ফিক ফাংশন | ≤ | 1/p(z0) | লিউভিলির উপপাদ্য প্রয়োগ করা, যা উল্লেখ করে যে একটি সীমাবদ্ধ সম্পূর্ণ ফাংশন অবশ্যই ধ্রুবক হতে হবে, এটি বোঝায় যে 1/p ধ্রুবক এবং সেইজন্য p স্থির থাকে। এটি একটি বৈপরীত্য দেয় এবং তাই p(z0) = 0

তবুও আরেকটি বিশ্লেষণযোগ্য প্রমাণ যুক্তির নীতিটি ব্যবহার করে। R কে যথেষ্ট ধনাত্মক আসল সংখ্যা হিসাবে বড় করা যাক যাতে পি (z) এর প্রতিটি মূলের তুলনায় আর এর চেয়ে কম মূল্য থাকে; এই জাতীয় সংখ্যার অস্তিত্ব অবশ্যই থাকবে কারণ ডিগ্রি এন এর প্রতিটি অ ধ্রুবক বহুপদী ফাংশনটির সর্বাধিক n  0 থাকে। প্রতিটি r এর জন্য, সংখ্যাটি বিবেচনা করুন
     1 2 π i ∫ c (r) p ′ (z) p (z) dz, {\ displaystyle {rac frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {c (r) {{rac frac {p '(জেড)} {পি (জেড)}} d, ডিজেড,} {\ ফ্র্যাক {1} {2 \ পাই আই}} \ ইন্ট _ {সি (আর)} {rac ফ্র্যাক {পি' (জেড)} { পি (য)}} \, Dz,
যেখানে c (r )টি ব্যাসার্ধের উল্টোদিকে ব্যাসার্ধের সাথে 0 এ কেন্দ্রিক বৃত্ত; তারপরে আর্গুমেন্ট নীতিটি বলে যে এই সংখ্যাটি ব্যাসার্ধ r এর সাথে 0 কেন্দ্রে খোলা বলের p(z) এর জিরো সংখ্যা N, যা r> আর যেহেতু p(z) এর মোট শূন্যের সংখ্যা। অন্যদিকে, 2/i দ্বারা বিভক্ত c(r) বরাবর n/z এর অবিচ্ছেদ্য n এর সমান। তবে দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য

    1 2 π i ∫ c (r) (p ′ (z) p (z) - n z) d z = 1 2 π i ∫ c (r) z p ′ (z) - n p (z) z p (z) d z। \ \ ডিসপ্লেস্টাইল {\ frac {1} {2 \ পাই আমি}} \ ইন্ট _ {সি (আর) \ \ বাম ({rac frac {p '(z)} {পি (z)}} - {\ frac { n} {z}} \ ডান) dz = {\ frac {1} {2 \ পাই আমি}} \ আন্ত _ {সি (আর)} {rac frac {zp '(z) -np (z)} {zp (z)}} \, dz।} {\ frac {1} {2 \ pi i}}} int _ {c (r)} \ বাম ({\ frac {p '(z)} {p (z) }} - {\ frac {n} {z}} \ ডান) dz = {\ frac {1} {2 \ পাই i}} \ অন্ত _ {সি (আর)} {\ frac {zp '(z) - NP (য)} {ZP (য)}} \, Dz।

সংহত হওয়ার যুক্তিযুক্ত সংখ্যার সংখ্যার সর্বাধিক n - 1 ডিগ্রি এবং ডিনোমিনেটরের ডিগ্রি 1 + 1 হয় Therefore সুতরাং, উপরের সংখ্যাটি 0 r হিসাবে r → + ∞ হিসাবে প্রবণ হয় ∞ তবে সংখ্যাটি N - n এবং সুতরাং N = n এর সমান

কচির উপপাদ্যের সাথে রৈখিক বীজগণিতকে একত্রিত করে আরও একটি জটিল-বিশ্লেষণযোগ্য প্রমাণ দেওয়া যেতে পারে। N> 0 ডিগ্রিটির প্রতিটি জটিল বহুবর্ষের শূন্য রয়েছে তা প্রতিষ্ঠিত করার জন্য, এন আকার 0 এর প্রতিটি জটিল বর্গক্ষেত্রের মেট্রিক্সের একটি (জটিল) ইজেনভ্যালু রয়েছে পরের বক্তব্যের প্রমাণ দ্বন্দ্ব দ্বারা হয়।

এটিকে একটি ছোট বর্গ ম্যাট্রিক্স আকারের এন> 0 হতে দিন এবং একই আকারের ইউনিট ম্যাট্রিক্স হতে দিন। ধরুন এ এর কোনও ইগেনালু নেই। রেজলভেন্ট ফাংশনটি বিবেচনা করুন
     আর (জেড) = (জেড আই এন - এ) - 1, {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর (জেড) = (জেডআই_ {এন} -এ) ^ {- 1},} আর (জেড) = (zI_ {n} -A ) ^ {- 1},
যা ম্যাট্রিকেসের ভেক্টর স্পেসের মান সহ জটিল প্লেনে একটি মারমোর্ফিক ফাংশন। এ এর ইগেনালুগুলি হ'ল আর (জেড) এর খুঁটি les যেহেতু, অনুমান দ্বারা, এ এর কোনও আয়তন নেই, ফাংশন আর (জেড) একটি সম্পূর্ণ ফাংশন এবং কচী উপপাদ্যটি বোঝায় যে

    ∫ সি (আর) আর (জেড) ডিজে = 0. {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ ইন্ট _ {সি (আর)} আর (জেড) \, ডিজে = 0} {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ ইন্ট _ {সি (আর)} আর ( য) \, Dz = 0।}

অন্যদিকে, জ (জেড) জ্যামিতিক সিরিজ হিসাবে প্রসারিত:

    আর (জেড) = জে - 1 (আই এন - জেড - 1 এ) - 1 = জেড - 1 ∑ কে = 0 ∞ 1 জেড কে এ কে ⋅ {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর (জেড) = জেড ^ {- 1} (আই_ {) n} -z ^ {- 1} এ) ^ {- 1} = z ^ {- 1} \ যোগ _ {কে = 0} ^ {\ ইনফটি} {\ frac {1} {z ^ {কে}}} একটি ^ {কে} \ সিডট} {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর (জেড) = জেড ^ {- 1} (আই_ {এন} -জ ^ {- 1} এ) ^ {- 1} = z ^ {- 1} \ যোগ _ {কে = 0} ^ {\ ইনফটি} {\ frac {1} {z ^ {কে}}} এ ^ {কে} d সিডট}

এই সূত্রটি ius এ ‖ {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ | এ \ |} \ | এ \ | ব্যাসার্ধের ডিস্কের বাইরে বৈধ is (এ এর অপারেটর আদর্শ)। R> ‖ এ ‖ দিন ‖ {\ ডিসপ্লেস্টাইল r> \ | এ \ |।} {\ ডিসপ্লেস্টাইল r> \ | এ \ | |} তারপরে

    ∫ সি (আর) আর (জেড) ডিজে = ∑ কে = 0 ∞ ∫ সি (আর) ডিজেকি + 1 এ কে = 2 π আই আই এন {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ ইন্ট _ {সি (আর)} আর (জেড) ডিজে = \ যোগ _ {কে = 0} ^ {\ ইনফটি} \ ইন্ট _ {সি (আর)} {rac frac {dz} {z ^ {কে + 1}}} এ ^ {কে} = 2 \ পাই আইআই_ {n }} \ আন্ত _ {সি (আর)} আর (জেড) ডিজে = \ যোগ _ {কে = 0} ^ {\ ইনফটি} \ ইন্ট _ {সি (আর)} {\ ফ্র্যাক {ডিজে} {জে ^ {কে +1}}} এ ^ {কে} = 2 \ পাই আইআই_ {n}

(যার মধ্যে কেবল সমষ্টি কে = 0 এর ননজারো ইন্টিগ্রাল থাকে)। এটি একটি বৈপরীত্য, এবং তাই এ এর একটি পূর্বসূত্র রয়েছে।

পরিশেষে, রাউচের উপপাদ্যটি সম্ভবত উপপাদকের সংক্ষিপ্ত প্রমাণ দেয়।

টপোলজিকাল প্রমাণ 
ধরুন | সর্বনিম্ন | পি (জেড) | পুরো জটিল প্লেন z0 এ অর্জন করা হয়; লিউভিলির উপপাদ্যটি ব্যবহার করে এমন প্রমাণে এটি দেখা গিয়েছিল যে এই জাতীয় সংখ্যার উপস্থিতি অবশ্যই রয়েছে। আমরা z (z) কে z - z0 তে বহুবর্ষ হিসাবে লিখতে পারি: কিছু প্রাকৃতিক সংখ্যা কে আছে এবং কিছু জটিল সংখ্যার সিসি, সি কে + 1, ..., সিএন যেমন সি কে ≠ 0 এবং:

   পি (জেড) = পি (জেড 0) + সি কে (জেড - জেড 0) কে + সি কে + 1 (জেড - জেড 0) কে + 1 + ⋯ + সি এন (জেড - জেড 0) এন। {\ ডিসপ্লেস্টাইল পি (জেড) = পি (জেড_ {0}) + সি_ {কে} (জেড-জেড_ {0}) ^ {কে} + সি_ {কে + 1} (জেড-জেড_ {0}) ^ {কে +1} + \ সিডটস + সি_ {n} (জেড-জেড_ {0}) ^ {n}।} পি (জেড) = পি (জেড_ {0}) + সি_ {কে} (জেড-জেড_ {0}) ^ {কে} + সি_ {কে + 1} (জেড-জেড_ {0}) ^ {কে + 1} + \ সিডটস + সি_ {এন} (জেড-জেড_ {0}) ^ {n}}

যদি পি (জেড0) ননজারো হয় তবে এটি অনুসরণ করে যে a যদি −p (z0)/ck এর একটি Kth মূল হয় এবং যদি টি ইতিবাচক এবং পর্যাপ্ত পরিমাণে ছোট হয় তবে | পি (z0 + টা) | <| p (z0) |, যা অসম্ভব, যেহেতু | পি (জেড 0) | | পি | এর সর্বনিম্নতম ডি তে

দ্বন্দ্বের দ্বারা আরেকটি টপোলজিকাল প্রমাণের জন্য ধরুন, বহুপদী পি (জেড) এর কোনও শিকড় নেই এবং ফলস্বরূপ কখনই 0 এর সমান হয় না। বহুলোকটিকে জটিল প্লেন থেকে জটিল প্লেনের মানচিত্র হিসাবে ভাবেন। এটি কোনও বৃত্তের মানচিত্র | z | | = একটি বন্ধ লুপে একটি বক্ররেখা পি (আর)। R খুব বড় এবং যখন R = 0. যখন আর পর্যাপ্ত পরিমাণে পি (আর) এর বাতাসের সংখ্যার সাথে কী ঘটে তা আমরা বিবেচনা করব, যখন আর आर যথেষ্ট পরিমাণে সংখ্যক হয়, তখন পি (জেড) এর শীর্ষস্থানীয় টার্ম zn অন্যান্য সমস্ত পদকে প্রাধান্য দেয় মিলিত; অন্য কথায়,

   | z এন | > | a n - 1 z n - 1 + ⋯ + a 0 | । {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ বাম | z ^ {n} \ ডান |> \ বাম | a_ {n-1} z ^ {n-1} + d সিডটস + এ_ {0} \ ডান | |} {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ বাম | z ^ {n} \ ডান |> \ বাম | a_ {n-1} z ^ {n-1} + d সিডটস + এ_ {0} \ ডান |।}

Z যখন বৃত্তটি আর ei θ {\ ডিসপ্লেস্টাইল রে ^ {i \ theta}} {\ \ ডিসপ্লেস্টাইল রে ^ {i \ থিটা}} একবার ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে (0 ≤ θ ≤ 2 π), {\ ডিসপ্লেস্টাইল (0 \ লেক \ theta \ leq 2 \ pi),} {\ ডিসপ্লেস্টাইল (0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi),} তারপরে zn = R ein θ {\ ডিসপ্লেস্টাইল z ^ {n} = রে ^ {\ থিতা} { \ \ ডিসপ্লেস্টাইল z ^ {n} = রিটা ta {ইন থিটা} s বাতাস n বার ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে (0 ≤ θ ≤ 2 π n) \ \ ডিসপ্লেস্টাইল (0 \ লেক \ থিতা \ লেক 2 \ পাই এন)} { \ ডিসপ্লেস্টাইল (0 \ লেক \ থাটা \ লেক 2 \ পাই এন)} উৎস (0,0), এবং একইভাবে পি (আর) এর চারপাশে। অন্য চরম সময়ে, সাথে | জেড | = 0, কার্ভ পি (0) কেবলমাত্র একক পয়েন্ট পি (0), যা ননজারো হতে হবে কারণ পি (জেড) কখনই শূন্য হয় না। সুতরাং পি (0) অবশ্যই মূল (0,0) থেকে পৃথক হওয়া উচিত, যা জটিল বিমানে 0 টি বোঝায়। উৎপত্তি (0,0) এর চারপাশে পি (0) এর বাতাসের সংখ্যাটি 0 টি Now এখন অবিচ্ছিন্নভাবে পরিবর্তন করা লুপকে অবিচ্ছিন্নভাবে বিকৃত করবে। কিছু আর এ বাঁক সংখ্যা অবশ্যই পরিবর্তন করতে হবে। তবে কেবল তখনই ঘটতে পারে যদি কার্ভ পি (আর) এর কিছু আর এর জন্য মূল (0,0) অন্তর্ভুক্ত থাকে তবে তারপরে সেই বৃত্তের কিছু জেড | z | = আর আমাদের পি (জেড) = 0 রয়েছে, যা আমাদের আসল অনুমানের বিরোধিতা করে। সুতরাং, পি (জেড) এর কমপক্ষে একটি শূন্য রয়েছে।

বীজগণিত প্রমাণ 
5000/5000

Character limit: 5000

বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যটির এই প্রমাণগুলির জন্য অবশ্যই বাস্তব সংখ্যা সম্পর্কে নিম্নলিখিত দুটি তথ্য ব্যবহার করতে হবে যা বীজগণিত নয় তবে কেবলমাত্র একটি অল্প পরিমাণ বিশ্লেষণের প্রয়োজন (আরও স্পষ্টতই, উভয় ক্ষেত্রে মধ্যবর্তী মানের উপপাদ্য):
    বিজোড় ডিগ্রি এবং বাস্তব সহগ সহ প্রতিটি বহুপদী কিছু আসল মূল থাকে;

    প্রতিটি অ-নেতিবাচক আসল সংখ্যার একটি বর্গমূল থাকে।
চতুর্থ সূত্রের সাথে দ্বিতীয় সত্যটি বাস্তব চতুষ্কোণ বহুবচনগুলির উপপাদ্যকে বোঝায়। অন্য কথায়, মৌলিক উপপাদ্যের বীজগণিত প্রমাণগুলি প্রমাণ করে যে আর যদি কোনও বাস্তব-বদ্ধ ক্ষেত্র হয় তবে এর প্রসার সি = আর (− − 1) বীজগণিতভাবে বন্ধ রয়েছে।

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, "সত্যিকারের সহগ সহ প্রতিটি অ-ধ্রুব বহিরাগত পি (জেড) এর একটি জটিল মূল রয়েছে" এই বিবৃতিটি পরীক্ষা করার পক্ষে এটি যথেষ্ট। এই বিবৃতিটি সবচেয়ে বড় অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার কে যেমন 2 কে পি (জেড) এর ডিগ্রি এনকে ভাগ করে তোলে তা অন্তর্ভুক্ত করে প্রমাণিত হতে পারে। একটি পি (জেড) এর zn এর সহগ হবে এবং এফ সি এর উপর p (z) এর বিভাজন ক্ষেত্র হোক; অন্য কথায়, ক্ষেত্রের এফ এ সি থাকে এবং এফ এ z1, z2, ..., zn উপাদান থাকে
    p (z) = a (z - z 1) (z - z 2) ⋯ (z - z n)। {\ ডিসপ্লেস্টাইল p (z) = a (z-z_ {1}) (z-z_ {2}) \ সিডটস (z-z_ {n})} পি (জেড) = এ (জেড-জেড_ {1}) ) (z-z_ {2}) d সিডটস (z-z_ {n})।
যদি কে = 0 হয়, তবে n বিজোড় হয়, এবং p (z) এর প্রকৃত মূল থাকে। এখন, ধরুন যে এন = 2 কিলোমিটার (এম বিজোড় এবং কে> 0 সহ) এবং উপপাদ্যটি ইতোমধ্যে প্রমাণিত হয়েছে যখন বহুবর্ষের ডিগ্রিতে 2k - 1 মিটার ′ এম ′ বিজোড় ফর্ম থাকে। একটি আসল সংখ্যার জন্য, সংজ্ঞা দিন:
    q t (z) = ∏ 1 ≤ i <j ≤ n (z - z i - z j - t z i z j)। {\ ডিসপ্লেস্টাইল Q_ {t} (z) = \ প্রোড _ {1 \ লেক আই <জে \ লেক এন} \ বাম (z-z_ {i} -z_ {j} -tz_ {i} z_ {j} \ ডান )।} {\ ডিসপ্লেস্টাইল Q_ {t} (z) = \ প্রোড _ {1 \ লেক আই <জে q লেক এন} \ বাম (জেড-জেড_ {i} -z_ {জে} -tz_ {i} z_ {j } \ ডান)।}
তারপরে কিউটি (জেড) এর সহগগুলি হ'ল বাস্তব সহগের সাথে জিগুলিতে প্রতিসম বহুমাত্রিক। অতএব, তারা প্রাথমিক প্রতিসামগ্রী বহুপদীতে অর্থাৎ −a1, a2, ..., (−1) নানে আসল সহগের সাথে বহুবচন হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে। সুতরাং qt (z) এর প্রকৃত সহগ রয়েছে। তদুপরি, Qt (z) ডিগ্রিটি n (n - 1)/2 = 2k k 1m (n - 1), এবং m (n - 1) একটি বিজোড় সংখ্যা। সুতরাং, আনয়ন অনুমান ব্যবহার করে, qt এর কমপক্ষে একটি জটিল মূল রয়েছে; অন্য কথায়, zi + zj + tzizj {1, ..., n from থেকে দুটি আলাদা উপাদান i এবং j এর জন্য জটিল} জোড় (আই, জে) এর চেয়ে বেশি আসল সংখ্যা যেহেতু পাওয়া যায়, ততই আলাদা আলাদা আলাদা আলাদা টি এবং এর সন্ধান করতে পারে যে zi + zj + tizizj এবং zi + zj + szizj জটিল (একই আই এবং জে)। সুতরাং, zi + zj এবং zizj উভয়ই জটিল সংখ্যা। প্রতিটি জটিল সংখ্যার একটি জটিল বর্গমূল রয়েছে তা যাচাই করা সহজ, সুতরাং ডিগ্রি 2 এর প্রতিটি জটিল বহুবর্ষে চতুর্ভুজ সূত্রের দ্বারা একটি জটিল মূল থাকে। এটি অনুসরণ করে যে zi এবং zj জটিল সংখ্যা, যেহেতু এগুলি মূলত চতুর্ভুজ বহুপদী z2 - (zi + zj) z + zizj।

জোসেফ শিপম্যান ২০০ 2007 সালে দেখিয়েছিলেন যে বিজোড় ডিগ্রি বহুপদীগুলির শিকড় রয়েছে এমন ধারণা প্রয়োজনের তুলনায় আরও শক্তিশালী; প্রাইম ডিগ্রির বহুভুজ শিকড়ের যে কোনও ক্ষেত্রটি বীজগণিতভাবে বন্ধ রয়েছে (সুতরাং "বিজোড়" "বিজোড় প্রাইম" দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে এবং তদুপরি এটি সমস্ত বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্র ধারণ করে)। [9] বীজগণিতভাবে বন্ধ ক্ষেত্রগুলির অডিওম্যাটাইজেশনের জন্য, এটি সর্বোত্তম সম্ভব, কারণ একটি একক প্রাইমকে বাদ দেওয়া হলে সেখানে প্রতিবিম্ব উদাহরণ রয়েছে। তবে এই পাল্টে উদাহরণগুলি বর্গমূলের উপর নির্ভর করে −1 এর উপর। যদি আমরা এমন ক্ষেত্র গ্রহণ করি যেখানে −1 এর কোনও বর্গমূল নেই, এবং ডিগ্রিটির প্রতিটি বহুপদী N ∈ আমার একটি শিকড় আছে, যেখানে আমি বিজোড় সংখ্যার কোনও নির্দিষ্ট অসীম সেট, তবে বিজোড় ডিগ্রির প্রতিটি বহুপদী f (x) এর মূল থাকে ( যেহেতু (x2 + 1) কেএফ (এক্স) এর মূল রয়েছে, সেখানে কে বেছে নেওয়া হয়েছে যাতে ডিগ্রি (চ) + 2 কে ∈ আই)। মহসেন আলিয়াবাদী ২০১৩ সালে শিপম্যানের ফলাফলকে সাধারণীকরণ করেছেন [সন্দেহজনক - আলোচনা করুন], একটি স্বতন্ত্র প্রমাণ সরবরাহ করেছেন যে একটি স্বেচ্ছাসেবী ক্ষেত্রের (যে কোনও বৈশিষ্ট্যযুক্ত) বীজগণিতভাবে বন্ধ করার জন্য পর্যাপ্ত শর্ত হ'ল এটি প্রাইম ডিগ্রির প্রতিটি বহুপদী জন্য একটি মূল রয়েছে। [10]

গ্যালোইস তত্ত্ব ব্যবহার করে মৌলিক উপপাদ্যের আর একটি বীজগণিত প্রমাণ দেওয়া যেতে পারে। এটি দেখানোর পক্ষে যথেষ্ট যে সি এর কোনও সঠিক সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের এক্সটেনশন নেই ১১ কে/সি একটি সীমাবদ্ধ এক্সটেনশন হতে দিন। যেহেতু কে ওভার আর এর স্বাভাবিক বন্ধন এখনও সি (বা আর) এর উপর সসীম ডিগ্রি রয়েছে, তাই আমরা সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই ধরে নিতে পারি যে কে আর এর একটি সাধারণ বর্ধন (তাই এটি একটি গ্যালোইজ এক্সটেনশন, ক্ষেত্রের প্রতিটি বীজগণিত এক্সটেনশন হিসাবে) বৈশিষ্ট্য 0 এর বিভাজ্য)। জি এই এক্সটেনশনের গ্যালোইস গোষ্ঠী হোক এবং এইচকে জি এর একটি সিলো 2-উপ-গোষ্ঠী হতে দিন, যাতে এইচ এর ক্রম 2 হয় এবং G এর মধ্যে H এর সূচকটি বিজোড় হয়। গ্যালোইস তত্ত্বের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, কে/আর এর একটি আত্মবিশ্বাসের এল উপস্থিত রয়েছে যেমন গাল (কে/এল) = এইচ। [এল: আর] = [জি: এইচ] বিজোড় এবং এখানে কোনও অরেখযোগ্য অপরিবর্তনীয় বাস্তব নেই বিজোড় ডিগ্রির বহুভুজ, আমাদের অবশ্যই এল = আর থাকা উচিত, সুতরাং [কে: আর] এবং [কে: সি] 2 এর শক্তি কে: সি> 1 এর দ্বন্দ্বের মাধ্যমে ধরে নেওয়া, আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে 2-গ্রুপ গাল (কে/সি) সূচক 2 এর একটি উপগোষ্ঠী রয়েছে, সুতরাং সেখানে ডিগ্রি 2 এর একটি সুবেশন এম উপস্থিত থাকে তবে যাইহোক, সি এর ডিগ্রি 2 এর কোনও এক্সটেনশন নেই, কারণ উপরে উল্লিখিত হিসাবে প্রতিটি চতুর্ভুজ জটিল বহুবর্ষের একটি জটিল মূল রয়েছে। এইটা দেখানো

জ্যামিতিক প্রমাণ 
জে.এম.আলমীরা এবং এ। রোমেরোর কারণে বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের কাছে যাওয়ার আরও একটি উপায় রয়েছে: রিমানিয়ান জ্যামিতিক যুক্তি দ্বারা। এখানে মূল ধারণাটি প্রমাণ করে যে জিরোস ব্যতীত একটি অ-ধ্রুবক বহুপদী p (z) এর অস্তিত্বটি গোলক এস 2 এর উপরে একটি সমতল রিমনিয়ান মেট্রিকের অস্তিত্বকে বোঝায়। গোলকটি সমতল না হওয়ায় এটি একটি বৈপরীত্যের দিকে পরিচালিত করে।

একটি রিমানিয়ান উপরিভাগ (এম, জি) সমতল হতে পারে যদি এর গাউসিয়ান বক্রতা, যা আমরা কেজি দ্বারা চিহ্নিত করি, এটি একইভাবে শূন্য হয়। এখন, গস – বনেট উপপাদ্য, যখন গোলক এস 2-তে প্রয়োগ করা হয়েছে, তখন সে দাবি করেছে
    ∫ এস 2 কে জি = 4 π, {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ ইন্ট _ {\ ম্যাথবিএফ {এস} ^ {2}} কে_ {জি} = 4 \ পাই,} {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ অন্তঃ _ {\ ম্যাথবিএফ {এস} ^ { 2}} কে_ {জি} = 4 \ পাই,
যা প্রমাণ করে যে গোলকটি সমতল নয়।

আসুন আমরা এখন ধরে নিই যে এন> 0 এবং
    p (z) = a 0 + a 1 z + an + anzn ≠ 0 {\ displaystyle p (z) = a_ {0} + a_ {1} z + d cdots + a_ {n} z ^} n} \ neq 0 } {\ ডিসপ্লেস্টাইল পি (z) = a_ {0} + এ_ {1} জেড + d সিডটস + এ_ {n} z ^ {n} \ নেক 0}
প্রতিটি জটিল সংখ্যা z এর জন্য। আমাদের সংজ্ঞা দিন
    p ∗ (z) = z n p (1 z) = a 0 z n + a 1 z n - 1 + ⋯ + a n। {\ ডিসপ্লেস্টাইল পি ^ {*} (z) = z ^ {n} পি \ বাম ({\ tfrac {1} {z}} \ ডান) = a_ {0} z ^} n} + a_ {1} z {{n-1} + \ cdots + a_ {n}।} {\ ডিসপ্লেস্টাইল পি ^ {*} (z) = z z {n} পি \ বাম ({\ tfrac {1} {z}} \ ডান) = a_ {0} z ^ {n} + a_ {1} z ^ {n-1} + d সিডটস + এ_ {n}।}
স্পষ্টতই, সি এর জন্য সমস্ত জেডের জন্য পি * (জেড) ≠ 0 বিবেচনা করুন বহুপদী f (z) = p (z) পি * (জেড)। তারপরে প্রতিটি সি এর জন্য z (z) ≠ 0 করুন
    f (1 w) = p (1 w) p ∗ (1 w) = w - 2 n p ∗ (w) p (w) = w - 2 n f (w)। {\ ডিসপ্লেস্টাইল এফ ({\ tfrac {1} {w}}) = পি \ বাম ({\ tfrac {1} {w}} \ ডান) পি ^ {*} \ বাম ({f tfrac {1} {w }} \ ডান) = w ^ {- 2n} পি ^ {*} (ডাব্লিউ) পি (ডাব্লিউ) = ডাব্লিউ ^ {- 2 এন 2 ফ (ডাব্লিউ)।} {\ ডিসপ্লেস্টাইল এফ ({\ tfrac {1} {w }}) = পি \ বাম ({f tfrac {1} {w}} \ ডান) পি ^ {*} \ বাম ({f tfrac {1} {w}} \ ডান) = w ^ {- 2n} p ^ {*} (W) পি (W) = W ^ {- 2n} চ (W)}।
আমরা এই কার্যকরী সমীকরণটি জি দ্বারা প্রমাণিত করতে ব্যবহার করতে পারি by
    g = 1 | f (w) | 2 এন | d w | 2 {\ ডিসপ্লেস্টাইল g = {\ frac {1} {| f (ডাব্লিউ) | ^ {\ frac {2} {n}}} \, | ডিডব্লিউ | ^ {2}} জি = {rac frac {1} {| চ (ডাব্লিউ) | ^ {\ frac {2} {n}}}} \, | ডিডব্লিউ | ^ {2}
সি এর জন্য ডব্লিউ, এবং
    g = 1 | f (1 ডাব্লিউ) | 2 এন | d (1 ডাব্লিউ) | 2 {\ ডিসপ্লেস্টাইল g = {\ frac {1} {\ বাম | চ \ বাম ({f tfrac {1} {w}} \ ডান) \ ডান | ^ {\ frac {2} {n}}}} \ বাম | d \ বাম ({\ tfrac {1} {w}} \ \ ডান) \ ডান | ^ {2}} {\ ডিসপ্লেস্টাইল g = {\ frac {1} {\ বাম | চ \ বাম ({f tfrac { 1} {w}} \ ডান) \ ডান | ^ {\ frac {2} {n}}}} \ বাম | ডি \ বাম ({f tfrac {1} {w}} \ ডান) \ ডান | ^ { 2}}
ডাব্লিউ। এস 2 \ {0} এর জন্য, গোলক এস 2 এর উপরে একটি সুস্পষ্ট সংজ্ঞায়িত রিমানিয়ান মেট্রিক (যা আমরা প্রসারিত জটিল প্লেন সি ∪ {∞} দিয়ে শনাক্ত করি)।

এখন, একটি সাধারণ গণনা এটি দেখায়
    ∀ w ∈ C: 1 | f (w) | 1 এন কে জি = 1 এন Δ লগ ⁡ | f (w) | = 1 এন Δ রে (লগ ⁡ এফ (ডাব্লিউ)) = 0, \ \ mathbf {C \ মধ্যে \ \ ডিসপ্লেস্টাইল \ forall ডাব্লিউ: \ ক্বোয়াড {rac frac {1} {| চ (ডাব্লিউ) | ^ {\ frac { 1} {n}}}} K_ {g} = {\ frac {1} {n}} \ ডেল্টা \ লগ | চ (ডাব্লিউ) | = {rac frac {1} {n}} \ ডেল্টা {\ পাঠ্য { রে}} (\ লগ চ (ডাব্লিউ)) = 0,}} {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ ফোরাল ডাব্লিউ \ ইন th ম্যাথবিএফ {সি}: \ ক্বোয়াড {rac frac {1} {| চ (ডাব্লিউ) | ^ {\ frac {1 } {n}}}} K_ {g} = {\ frac {1} {n}} \ ডেল্টা \ লগ | চ (ডাব্লিউ) | = {rac frac {1} {n}} \ ডেল্টা {\ পাঠ্য {পুনরায় }} (\ লগ এফ (ডাব্লিউ)) = 0,
যেহেতু বিশ্লেষণমূলক ফাংশনের আসল অংশটি সুরেলা। এটি প্রমাণ করে যে কেজি = 0।

অনুসিদ্ধান্ত 
যেহেতু বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যটি বিবৃতি হিসাবে দেখা যায় যে জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রটি বীজগণিতভাবে বন্ধ রয়েছে, সুতরাং এটি অনুসরণ করে যে বীজগণিতভাবে বন্ধ ক্ষেত্র সম্পর্কিত যে কোনও উপপাদ্য জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রয়োগ হয়। এখানে উপপাদ্যের আরও কয়েকটি পরিণতি রয়েছে যা প্রকৃত সংখ্যার ক্ষেত্র বা বাস্তব সংখ্যাগুলির ক্ষেত্র এবং জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে:

 জটিল সংখ্যার ক্ষেত্র হ'ল আসল সংখ্যার ক্ষেত্রের বীজগণিত বন্ধ।
 জটিল সহগের সাথে একটি ভেরিয়েবল z এর প্রতিটি বহুপদী একটি জটিল সহ ধরনের z + a ফর্মের একটি জটিল ধ্রুবক এবং বহুবর্ষের পণ্য।
 বাস্তব সহগের সাথে একটি ভেরিয়েবল এক্স-এর প্রতিটি বহুত্ববধি অনন্যভাবে ফর্ম x + a এর একটি ধ্রুবক, বহু, এবং এক এবং বি রিয়েল এবং এ 2 - 4 বি সহ ফর্ম x2 + অক্ষ + বি এর বহুবর্ষের পণ্য হিসাবে রচনা করা যেতে পারে <0 (যা বহিরাগত x2 + কুড়াল + বি এর বাস্তব শিকড় নেই বলে একই জিনিস)। (আবেল-রুফিনি উপপাদ্য অনুসারে, বহুসংখ্যার সহগ, মৌলিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ এবং এন-থার্ড শিকড়ের নিষ্কর্ষের ক্ষেত্রে প্রকৃত সংখ্যা a এবং b অগত্যা প্রকাশযোগ্য নয় are) এর দ্বারা বোঝা যায় যে অ-বাস্তবের সংখ্যা জটিল শিকড়গুলি সর্বদা সমান এবং তাদের সংখ্যাবৃদ্ধির সাথে গণনা করা অবধি থাকে 
 এক ভেরিয়েবল এক্স-এর প্রতিটি যুক্তিযুক্ত ফাংশন, আসল সহগ সহ, এক/(x - বি) এন (যেখানে এন একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা, এবং a এবং b প্রকৃত হয়) ফর্মের যুক্তিযুক্ত ফাংশন সহ বহুবচনীয় ফাংশনের যোগফল হিসাবে রচনা করা যেতে পারে সংখ্যা), এবং (অক্ষ + বি)/(x2 + সিক্স + ডি) এন (যেখানে এন একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা, এবং a, b, c, এবং d) এর আসল সংখ্যা যেমন সি 2 - 4 ডি <0 )। এর একটি প্রকোপ হ'ল এক পরিবর্তনশীল এবং বাস্তব সহগের প্রতিটি যুক্তিযুক্ত ফাংশনটির প্রাথমিক প্রাথমিক থাকে
 আসল ক্ষেত্রের প্রতিটি বীজগণিত এক্সটেনশন হয় বাস্তব ক্ষেত্রের বা জটিল ক্ষেত্রের মধ্যে আইসোমোরফিক।

বহুসত্তার জিরোয় সীমাবদ্ধ 
মূল নিবন্ধ:বহুবর্ষীয় শিকড়ের বৈশিষ্ট্য

বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য যখন একটি সাধারণ অস্তিত্বের ফলাফল বলে থাকে, তাত্ত্বিক থেকে এবং ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে প্রদত্ত বহুবর্ষের শূন্যগুলির অবস্থান সম্পর্কিত তথ্য পাওয়া কিছুটা আগ্রহী। এই দিকের সরল ফলাফলটি মডিউলাসের উপর আবদ্ধ: একটি মনিক পলিনোমিয়াল zn + an - 1 zn - 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 {\ ডিসপ্লেস্টাইল z ^ {n} + a_ {n- এর সমস্ত জিরো ζ 1} z ^ {n-1} + \ সিডটস + এ_ {1} জেড + এ_ {0}} {\ ডিসপ্লেস্টাইল z ^ {n} + a_ {n-1} z ^ n-1} + d সিডটস + a_ {1} z + a_ {0} an একটি বৈষম্য সন্তুষ্ট | ζ | ≤ আর, কোথায়
    আর ∞: = 1 + সর্বোচ্চ {| a 0 | ,…, | a এন - 1 | । \ \ ডিসপ্লেস্টাইল আর _ {\ ইনফটি}: = 1+ \ সর্বাধিক {{| a_ {0} |, \ ldots, | a_ {n-1} | \}।} {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর _ {\ ইনফটি}: = 1+ \ সর্বোচ্চ \ {| a_ a 0} |, d ldots, | a_ {n-1} | \}।
লক্ষ্য করুন যে, যেমনটি বলা হয়েছে, এটি এখনও কোনও অস্তিত্বের ফলাফল নয় বরং এটি প্রাইরি বাউন্ড নামে অভিহিত যাকে বলে তার উদাহরণ: এটি বলে যে যদি সমাধান হয় তবে তারা কেন্দ্র এবং বর্গ ব্যান্ডের ব্যাসার্ধের ডিস্কের ভিতরে থাকে the যাইহোক, একবার বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের সাথে মিলিত হয়ে এটি বলে যে ডিস্কটিতে আসলে কমপক্ষে একটি সমাধান থাকে। আরও সাধারণভাবে, সহগের এন-ভেক্টরের যেকোন পি-আদর্শের ভিত্তিতে একটি বাউন্ড দেওয়া যেতে পারে a: = (a 0, a 1,…, an - 1), \ \ ডিসপ্লেস্টাইল a: = (a_ {0 }, a_ {1}, d ldots, a_ {n-1}),} {\ ডিসপ্লেস্টাইল a: = (a_ {0}, a_ {1}, \ ldots, a_ {n-1}),} তা | ζ | ≤ আরপি, যেখানে আরপি হ'ল 2-ভেক্টর (1, ‖ a ‖ পি), {\ ডিসপ্লেস্টাইল (1, \ | একটি \ | _ {পি}),} {\ ডিসপ্লেস্টাইল (1, of | একটি \ | _ {পি}),} q পি, 1 পি + 1 কিউ = 1, {\ ডিসপ্লেস্টাইল {\ tfrac {1} {p}} + {f tfrac {1} {কিউ} 1 = 1, 1 {\ \ ডিসপ্লেস্টাইল {f tfrac {1} {পি}} + {f tfrac {1} {কিউ}} = 1, any যে কোনও 1 ≤ পি ≤ ∞ এর জন্য ∞ সুতরাং, যে কোনও সমাধানের মডুলাসটিও বদ্ধ হয়
    আর 1: = সর্বোচ্চ {1, ∑ 0 ≤ কে <এন | a কে | }, {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর_ {1}: = \ সর্বোচ্চ \ বাম \ \ 1, \ যোগ _ \ 0 \ লেক কে <এন} | a_ {কে} | \ ডান \},} {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর_ R 1}: = \ সর্বোচ্চ \ বাম \ \ 1, \ যোগ _ {0 \ লে কে কে <এন} | এ_ a কে} | \ ডান \},}
    আর পি: = [1 + (∑ 0 ≤ কে <এন | আক | পি) কিউপি] 1 কিউ, {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর_ {পি}: = \ বাম [1+ \ বাম (\ যোগ _ {0 \ লেক কে < n} | a_ {k} | ^ {p} \ ডান) ^ {\ frac {q} {p}} \ ডান] ^ {rac frac {1} {কিউ}},} {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর_ {পি}: = \ বাম [1+ \ বাম (\ যোগ _ {0 \ লে কে কে <এন} | এ_ {কে} | ^ {পি} \ ডান) ^ {rac frac {q} {পি}} \ ডান] ^ {\ frac {1} {q}},}
1 <পি <∞ এর জন্য এবং বিশেষত
    আর 2: = ∑ 0 ≤ কে ≤ এন | a কে | 2 {\ ডিসপ্লেস্টাইল আর_ {2}: = {\ স্কয়ার্ট {\ যোগ _ {0 q লেক কে q লেক এন} | এ_ {কে} | ^ {2}}}} আর_ {2}: = {\ স্ক্রিট {\ যোগ _ {0 \ লেক কে \ লেক এন} | এ_ {কে} | ^ {2}}}
(যেখানে আমরা 1 এর অর্থ একটি সংজ্ঞায়িত করি, যা যুক্তিযুক্ত যেহেতু 1 হ'ল আমাদের বহুত্ববর্ণের n-th সহগ)। ডিগ্রি এন এর জেনেরিক বহুবর্ষের ক্ষেত্রে,
    পি (জেড): = আনজান + আন - 1 জেএন - 1 + ⋯ + এ 1 জেড + এ 0, {\ ডিসপ্লেস্টাইল পি (জেড): = a_ {n} z ^ {n} + a_ {n-1} z ^ {n-1} + \ সিডটস + এ_ {1} জেড + এ_ {0},} {\ ডিসপ্লেস্টাইল পি (জেড): = a_ {n} z ^ {n} + a_ {n-1} z ^ { n-1} + \ সিডটস + এ_ {1} জেড + এ_ {0},}
অবশ্যই একটি সোনিকের ক্ষেত্রে হ্রাস করা হয়, সমস্ত সহগকে একটি ≠ 0 দিয়ে বিভাজন করে এছাড়াও, যদি 0 টি মূল হয় না, তবে a0 ≠ 0, নিচে থেকে শিকড়ের উপরের সীমানা - তত্ক্ষণাত 1 থেকে উপরের সীমা হিসাবে অনুসরণ করুন ζ {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ f tfrac {1} {\ zeta}}} {\ \ displaystyle {f tfrac \ 1} {\ zeta}}}, এর শিকড়
    a 0 z n + a 1 z n - 1 + ⋯ + a n - 1 z + a n। {\ ডিসপ্লেস্টাইল a_ {0} z ^ {n} + a_ {1} z ^ {n-1} + \ সিডটস + এ_ {n-1} z + a_ {n}।} {\ ডিসপ্লেস্টাইল এ_ {0} z ^ {n} + a_ {1} z ^ {n-1} + \ সিডটস + এ_ {n-1} z + a_ {n}।}
অবশেষে, দূরত্ব | ζ - ζ 0 | {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা - \ জেটা _ {0} |} | eta জেটা - \ জেটা _ {0} | শিকড় থেকে কোনও বিন্দুতে ζ 0 {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ জেটা _ {0}} eta জিতা _ {0 নিচে এবং উপরে থেকে অনুমান করা যায়, - ζ 0 {\ ডিসপ্লেস্টাইল \ জেটা - eta জেটা _ {0} } \ জেটা - \ জেটা _ {0 the বহুপদী পি (z + ζ 0) {\ ডিসপ্লেস্টাইল পি (z + \ জেটা _ {0})} পি (জেড + \ জেটা _ {0}) এর জিরো হিসাবে, যার সহগ z = ζ 0 এ পি (জেড) এর টেলর সম্প্রসারণ। {\ ডিসপ্লেস্টাইল z = \ জেটা _ {0}।} z = \ জেটা _ {0}}

আসুন yn বহুবর্ষের মূল হয়ে উঠি
    z n + a n - 1 z n - 1 + ⋯ + a 1 z + a 0; {\ ডিসপ্লেস্টাইল z ^ {n} + a_ {n-1} z ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} z + a_ {0};} z ^ n + a_ {n-1} z ^ ; n-1} + \ সিডটস + a_1z + a_0;
বৈষম্য প্রমাণ করার জন্য | ζ | P আরপি আমরা অবশ্যই ধরে নিতে পারি, | ζ | > 1. সমীকরণ হিসাবে লিখছি
    - ζ n = an - 1 ζ n - 1 + ⋯ + এ 1 ζ + a 0, {\ ডিসপ্লেস্টাইল - \ জেটা ^ {n} = এ_ {n-1} eta জেটা ^ {n-1} + d সিডটস + a_ {1} \ জেটা + এ_ {0},} - eta জেটা ^ n = a_ {n-1} \ জেটা ^-n-1} + d সিডটস + এ_1 \ জেটা + a_0,
এবং হোল্ডারের অসাম্য ব্যবহার করে আমরা খুঁজে পাই
    | ζ | n ≤ ‖ a ‖ p ‖ (ζ n - 1,…, ζ, 1) ‖ কিউ। {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | ^ {n} q লেক \ | একটি \ | _ {পি} \ বাম \ | \ বাম (\ জেটা ^ {n-1}, \ ldots, \ জেটা, 1 \ ডান) \ ডান \ | _ {কিউ}।} {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | ^ {n} q লেক \ | একটি \ | _ {পি} \ বাম \ | \ বাম (\ জেটা ^ {n-1}, d ldots, \ জেটা, 1 \ ডান) \ ডান \ | _ {কিউ}।
এখন, পি = 1, এটি হয়
    | ζ | n ≤ ‖ a max 1 সর্বোচ্চ {| ζ | n - 1,…, | ζ | , 1} = ‖ a ‖ 1 | ζ | n - 1, {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | ^ {n} q লেক \ | আ \ | _ {1} \ সর্বাধিক \ বাম \ {| eta জেটা | ^ {n-1}, d ldots, | eta জেটা | , 1 \ ডান \} = \ | a \ | _ {1} | \ জেটা | ^ {n-1},} {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | ^ {n} q লেক \ | আ \ | _ {1} \ সর্বাধিক \ বাম \ {| \ জেটা | {{n-1}, d ldots, | | জেটা |, 1 \ ডান \} =\ | এ \ | _ {1} | eta জেটা | ^ 1 n-1 ,}
এইভাবে
    | ζ | ≤ সর্বোচ্চ {1, ‖ a ‖ 1}} {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | q লেক \ সর্বোচ্চ \ {1, \ | একটি \ | _ {1} \}।} {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | q লেক \ সর্বোচ্চ \ 1, \ | একটি \ | _ { 1} \}।}
ক্ষেত্রে 1 <পি ≤ ∞, জ্যামিতিক অগ্রগতির জন্য সারসংক্ষেপ সূত্রটি বিবেচনায় নিয়ে আমাদের আছে
    |
ζ | n ≤ ‖ a ‖ পি (| ζ | কিউ (এন - 1) + ⋯ + | ζ | কিউ + 1) 1 কিউ = ‖ এ ‖ পি (| ζ | কিউএন - 1 | ζ | কিউ - 1) 1 কিউ ‖ A ‖ p (| ζ | qn | ζ | q - 1) 1 কিউ, {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | ^ {n {q লেক \ | আ a | _ {পি} \ বাম (| eta জেটা | ^ {) q (n-1)} + \ cdots + | \ জেটা | ^ ^ কিউ} +1 \ ডান) ^ {\ frac {1}} q}} = \ | a \ | _ {পি} \ বাম ({\ frac {| \ zeta | ^ {qn} -1} {| \ জেটা | ^ {q} -1}} \ \ ডান) ^ {{frac {1} {কিউ}} q লেক \ | a \ | _ {পি \ \ বাম ({\ frac {| \ জেটা | ^ {qn}}} | eta জেটা | ^ {কিউ} -1} \ \ ডান) ^ {\ frac {1} {q}},} | \ জেটা | ^ n \ লেক \ | a \ | _p \ বাম (| \ জেটা | ^ {কিউ (এন -1)} + \ সিডটস + | \ জেটা | ^ কিউ +1 \ ডান) ^ {\ ফ্র্যাক {1} {কিউ} } = \ | a \ | _p \ বাম (\ frac {| \ জেটা | ^ {qn} -1} {| \ জেটা | ^ কিউ -1} \ ডান) ^ ^ \ frac {1} {q}} \ leq \ | a \ | _p \ বাম (\ frac {| \ জেটা | ^ {qn}} {| \ জেটা | ^ কিউ -1 \ \ ডান) ^ {\ frac {1} {q}},

এইভাবে
    | ζ | n q ≤ ‖ a ‖ p q | ζ | q n | ζ | q - 1 {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | ^ {এনকিউ} q লেক \ | ক \ | _ {পি} ^ {কিউ} \ ফ্রেস {| \ জেটা | ^ {কিউএন}} | \ জেটা | ^ {কি } -1}}} | \ জেটা | ^ {এনকিউ} q লেক \ | ক \ | _পি ^ কিউ \ ফ্র্যাক {| eta জেটা | ^ {কিউএন} {| \ জেটা | ^ কিউ -1}
এবং সরলকরণ,
    | ζ | q ≤ 1 + ‖ a ‖ p q। {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | ^ {কিউ} \ লেক 1+ \ | আ \ | _ {পি} ^ {কিউ}।} | eta জেটা | ^ কিউ \ লেক 1+ \ | একটি \ | _পি ^ কিউ।
অতএব
    | ζ | ≤ ‖ (1, ‖ a ‖ পি) ‖ কি = আর পি {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | \ লেক \ বাম \ | \ বাম (1, \ | a \ | _ {পি} \ ডান) \ ডান \ | _ {q} = আর_ {পি}} {\ ডিসপ্লেস্টাইল | \ জেটা | \ লেক \ বাম \ | \ বাম (1, \ | একটি \ | _ {পি} \ ডান) \ ডান \ | _ {কিউ} = আর_ { পি}}
সমস্ত 1 ≤ পি ≤ ∞ এর জন্য ধারণ করে ∞

তথ্যসূত্র 

জটিল বিশ্লেষণের উপপাদ্য