tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
אוסף כל שלוש הנקודות במרחב הוא מרחב ליניארי 9 ממדי (בהנחה שבחרנו ראשית למרחב, אחרת מדובר במרחב אפיני).
גם במקרים שאוסף זה לא מהווה מרחב ליניארי, אפשר לחקור אותו בדרך כלל במונחים של אלגברה ליניארית (כמו בדוגמאות למעלה).
כמו כן, גדלים פיזיקליים רבים, לרבות מהירות, תנע, כוח, מהירות זוויתית, טנזור התמד, מומנט כוח ועוד הם וקטורים במרחבים ליניאריים מתאימים.
בשונה מפיזקה קלאסית בה אוסף המצבים לא תמיד מהווה מרחב ליניארי ויחסי הגומלין בין גורמים פיזיקליים שונים כמעט לעולם אינם ליניאריים, בפיזיקה קוונטית אוסף המצבים הקוונטיים של מערכת מהווה מרחב הילברט (זהו מרחב ליניארי עם מבנה נוסף) ויחסי הגומלין בין הרכיבים הפיזיקליים השונים כמעט תמיד מתוארים על ידי אלגברה ליניארית.
הדבר מתאפשר מכיוון שהמרחבים הליניאריים המדוברים הם בדרך כלל אינסוף ממדיים.
השימושים של האלגברה הליניארית במתמטיקה השימושית הופכים אותה לכלי חשוב במדע ובטכנולוגיה.
במאה ה-21, עם שיפור יכולת העיבוד ואיסוף הנתונים הפכו מדעי הנתונים לכלי מרכזי במדע והטכנולוגיה.
יחד איתם הפכה האלגברה הליניארית לכלי אפילו חשוב יותר ממה שהייתה קודם.
אלגברה ליניארית משומשת רבות גם בעיבוד קול, משחקי מחשב וחישוב קוונטי ונחשבת בין הנושאים המתמטים השימושיים ביותר.
אלגברה מופשטת היא ענף של האלגברה שבמסגרתו מוגדרים ונחקרים מבנים אלגבריים כגון שדות, חבורות וחוגים.
הענף נקרא כך כדי להבדילו מהאלגברה הבסיסית, הנלמדת בבתי ספר, שעוסקת במניפולציות טכניות של ביטויים ונוסחאות מתמטיות במספרים ממשיים ומרוכבים.
תחום חשוב באלגברה מופשטת הוא אלגברה ליניארית, שחוקרת את תכונותיהם של וקטורים, מרחבים וקטוריים, מטריצות, העתקות ליניאריות ומערכות של משוואות ליניאריות.
מבחינה היסטורית, המבנים הנחקרים באלגברה מופשטת צצו לרוב לראשונה בתחומים אחרים, ובמסגרת האלגברה זכו לאקסיומטיזציה מדויקת, ותכונותיהם נלמדו לעומק.
הענף החל להתפתח באופן עצמאי במאה ה-19 כאשר מתמטיקאים החלו לפתח יצירים מתמטיים, שאינם מספרים (כגון קווטרניונים, וקטורים, מטריצות, חבורות ועוד), והוא הפך לענף המרכזי של האלגברה במאה ה-20 כאשר מגוון המקרים עבר איחוד לתיאור מערכות אלגבריות באופן אקסיומטי או כבניה ממערכות אחרות.
היה זה שינוי בהבנת האלגברה מתחום העוסק בעיקר בפתרון של משוואות פולינומיות לתחום העוסק במבנים מופשטים המכונים מבנים אלגברים.
ספר הלימוד הראשון, שתיאר את האלגברה באופן החדש היה ספרו של ואן דר וארדן (van der Waerden) אלגברה מודרנית, שיצא בשנת 1930 בשני כרכים.
מרבית החלק השני של הספר מבוסס במידה רבה על עבודתה של אמי נתר.
היתרון שבשיטת עבודה זו, הוא היכולת להשיג תוצאות כלליות, שתהיינה תקפות למקרים רבים, על ידי התייחסות למספר תכונות בסיסיות המשותפות לכל אותם מקרים, תוך הזנחת המידע שאינו חיוני.
לדוגמה, התהליך שבו נבנים המספרים הרציונליים מתוך המספרים השלמים הוא למעשה מקרה פרטי לבנייה של שדה שברים מתוך חוג, ולכן ניתן לחזור עליו לכל חוג שמקיים מספר תכונות נפוצות.
שם התחום מגיע מההפשטה שמתבצעת לעצמים הנחקרים במסגרתו – רוב תכונותיהם מוזנחות, ומתייחסים אך ורק למספר תכונות בסיסיות – "אקסיומות", שמהן מופק המידע על העצמים.
לאחר מכן, כל עצם מתמטי שניתן להוכיח כי הוא מקיים את האקסיומות, יקיים את כל התכונות שנמצא שנובעות מאותן אקסיומות.
אלגברת לי (נקראת על שם סופוס לי) היא מבנה אלגברי אשר בין שימושיו העיקריים חקירת עצמים גאומטריים כגון חבורות לי ויריעות גזירות, כמו גם חבורות-p.
זוהי הדוגמה החשובה ביותר לאלגברה לא אסוציאטיבית.
אלגברת לי היא מרחב וקטורי מעל שדה (בדרך כלל, שדה הממשיים או שדה המרוכבים) ביחד עם פעולה ביליניארית הנקראת "סוגרי לי" (Lie bracket), המקיימת את התכונות הבאות:
מהתכונה הראשונה (בצירוף הפילוג של סוגרי לי מעל פעולת חיבור הווקטורים) נובע כי סוגרי לי הם אנטי-סימטריים, כלומר לכל ב-.
האנטי-סימטריות גוררת את התכונה הראשונה, בתנאי שהמאפיין של אינו 2.
המכפלה המוצגת על ידי סוגרי לי אינה אסוציאטיבית, כלומר: , אלא אם האלגברה נילפוטנטית מסדר שני, דהיינו לכל x,y,z.
כמו בתחומים אחרים באלגברה, הומומורפיזם של אלגברות לי הוא העתקה ליניארית ששומרת על הפעולה, כלומר .
תת-אלגברת לי היא תת-מרחב וקטורי שהוא סגור ביחס לפעולה.
אידיאל של אלגברת לי הוא תת-מרחב וקטורי המקיים לכל .
התמונה של כל הומומורפיזם היא תת-אלגברת לי.
הגרעין של כל הומומורפיזם הוא אידיאל.
אלגברת לי שאין בה אידיאלים פרט ל- ו-, נקראת פשוטה אם .
אלגברת לי קומוטטיבית: כל מרחב וקטורי הופך באופן טריוויאלי לאלגברת לי עם סוגרי לי השווים זהותית 0 ().
המרחב הווקטורי עם המכפלה הווקטורית הוא אלגברת לי.
בהינתן אלגברה אסוציאטיבית עם פעולת כפל אפשר להגדיר אלגברת לי עם הפעולה (פעולה הידועה בשם "קומוטטור").
מרחב השדות הווקטורים החלקים על יריעה גזירה מהווה אלגברת לי מממד אינסופי ביחס לפעולה שנוח מאוד לתאר כשמפרשים את שדות הווקטורים כאופרטורי גזירה על אוסף הפונקציות החלקות.
בשפה זאת, הפעולה מתאימה לזוג שדות ווקטורים את השדה הווקטורי המגדיר את האופרטור .
הצגה של היא מרחב וקטורי יחד עם העתקה ביליניארית
במילים אחרות, הצגה של במרחב וקטורי ניתנת על-ידי הומומורפיזם של אלגבראות לי ,
כאשר מבנה של אלגברת לי על ניתנת על-ידי קומוטטור של אופרטורים.
על האלגברה מגדירים את הפעולה המצורפת של איבר , לפי .
זוהי פונקציה , המהווה (לפי זהות יעקובי) הומומורפיזם של אלגברות לי.
אלגברת לי של חבורת לי
אלגברת לי של חבורת לי מתקבלת על ידי לקיחת המרחב המשיק של איבר היחידה: .
כל וקטור משיק מגדיר באופן יחיד את שדה הווקטורים על החבורה האינוואריאנטי ביחס לפעולה של על עצמה מצד שמאל.
אוסף שדות הווקטורים האינוואריאנטיים סגור ביחס לסוגרי לי של שדות הווקטורים; זה מגדיר את הסוגריים על .
בניה זו מגדירה פונקטור מקטגוריה של חבורות לי לזאת של אלגבראות לי.
ישנן חבורות לי שונות עם אותה אלגברת לי.
כך למשל, אלגברת לי מתאימה לחבורות לי , ו-.
עם זאת, לכל אלגברת לי ממשית בעלת ממד סופי מתאימה חבורת לי יחידה שהיא פשוטת קשר.
אם אלגברה אסוציאטיבית, אפשר להגדיר בה פעולה חדשה על ידי , והאלגברה המתקבלת, בעלת המבנה החיבורי של והמבנה הכפלי שמגדירה הפעולה החדשה, היא תמיד אלגברת לי, שאותה מסמנים ב-.
כל אלגברת לי ניתנת לשיכון באלגברת מהצורה (משפט פואנקרה-בירקהוף-וויט).
אם מממד סופי, קיימת כזו מממד סופי אף היא (Ado במאפיין אפס, Iwasawa במאפיין חיובי); אלגברה כזאת נקראת מעטפת אסוציאטיבית של .
לכל אלגברת לי קיימת מעטפת אסוציאטיבית אוניברסלית, .
המעטפת האוניברסלית היא תחום אינסוף-ממדי המשוכן בחוג עם חילוק, וכאשר מממד סופי (בתור מרחב וקטורי) אז בעלת ממד גלפנד-קירילוב השווה לממד של .
קטגוריה של מודולים מעל אלגברת לי שקולה
לקטגוריה של מודולים שמאליים מעל .
באופן כללי יותר, לכל אלגברה לא אסוציאטיבית אפשר להגדיר פעולת 'סוגרי לי' באותו אופן, אולם לא תמיד תתקבל אלגברת לי; אלגברה שהאלגברה המתקבלת ממנה היא אלגברת לי, נקראת Lie admissible.
מחלקה זו מוגדרת על ידי זהות חלשה ביותר של האסוציאטור: .
במאפיין שונה מ-2, משפחת האלגברות שהן גם Lie admissible וגם מקיימות את הזהות הגמישה מאופיינת על ידי הזהות , שממנה נובע .
אלגברת פואסון היא אלגברה קומוטטיבית המצוידת במבנה פואסון, שהוא סוגריים המהווים סוגרי לי, ולכל ההעתקה מהווה דריבציה; במילים אחרות, לכל מתקיים .
לכל אלגברת לי ניתן להתאים מעטפת פואסון, שהמבנה שלה כאלגברה קומוטטטיבית היא האלגברה הסימטרית של , כלומר אלגברת פולינומים במשתנים פורמליים המתאימים לאיברי בסיס של , ומבנה הפואסון מושרה על ידי לכל שני איברי בסיס .
המבנה של אלגברות לי סוף-ממדיות
תורת המבנה של אלגברות לי ידועה בעקבות עבודות של אלי קרטן ואחרים.
לאלגברת לי מממד סופי יש רדיקל פתיר (אידיאל פתיר מקסימלי), ומודולו הרדיקל האלגברה פשוטה למחצה, ומתפרקת לסכום ישר של אלגברות לי פשוטות.
לכל אלגברת לי פשוטה למחצה קיימת תת-אלגברת קרטן , שהיא תת-אלגברה קומוטטיבית מקסימלית וכך שכל איבר שלה פועל על כאופרטור פשוט למחצה.
העתקה ליניארית השונה מ- נקראת שורש אם המרחב אינו אפס.
קבוצת השורשים סופית והיא מביאה לפירוק של לסכום ישר .
על קבוצת השורשים ביחס לתת-אלגברת קרטן של אפשר לחשוב כקבוצה של וקטורים במרחב הדואלי , שהוא מרחב מכפלה פנימית ביחס לתבנית קילינג של .
באופן כזה, מקיימת קבוצת השורשים מספר אקסיומות גאומטריות, ובראשן העובדה שהיא סגורה לשיקוף ביחס לכל אחד מן האיברים שלה (ראה מערכת שורשים).
מאקסיומות אלה נובע, למשל, שהזווית בין שני שורשים פשוטים יכולה להיות ישרה או קהה.
את הזוויות האלה אפשר לקודד במטריצת קרטן, שממנה אפשר לשחזר את לוח הכפל של כולה.
את אלגברת לי אפשר לתאר גם באמצעות דיאגרמות דינקין המקודדות את המבנה של מערכת השורשים של האלגברה.
התכונות המיוחדות למטריצות קרטן מאפשרות למיין את כל האלגברות הפשוטות מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין 0: ישנן ארבע משפחות אינסופיות , ועוד חמש אלגברות 'ספורדיות': .
מיון דומה מופיע גם בתחומים אחרים של המתמטיקה: חבורות קוקסטר, חבורות סופיות פשוטות, טיפוסי סינגולריות בגאומטריה אלגברית, ועוד.
תורת המבנה בממד סופי חלה במקרים רבים גם כאשר L מממד אינסופי, כאשר H היא אלגברת קרטן.
מודול V שהוא סכום ישר (על פני השורשים) של מרכיבי המשקל , נקרא מודול משקל (weight module).
מודול הוא חסום באופן אחיד אם מרכיבי המשקל בעלי ממד חסום, ומודול Harish-Chandra אם כולם מממד סופי.
יש אלגברות לי חשובות שידוע המיון של כל מודולי Harish-Chandra מעליהם.
תהי אלגברת לי מעל חוג קומוטטיבי שבו 2,3 הפיכים.
איבר שעבורו נקרא איבר ז'ורדן.
לכל איבר ז'ורדן ניתן לצייד את בפעולה חדשה: ; נסמן ב- את האלגברה עם הפעולה המושרית מ- על מנה זו.
זוהי אלגברת ז'ורדן, המקודדת חלק מן המידע הצפון ב-.
למשל, אם אלגברת לי עם זהות פולינומית, אז גם מקיימת זהות (ז'ורדן) פולינומית.
אלגברה לא אסוציאטיבית היא מבנה אלגברי המכליל אלגברות אסוציאטיביות, בו לא נדרשת אקסיומת האסוציאטיביות.
במילים אחרות, אלגברה לא אסוציאטיבית היא חוג לא אסוציאטיבי שבמרכזו חוג קומוטטיבי .
באלגברות אלו, תכונת האסוציאטיביות עשויה להתקיים גם כאשר היא אינה נדרשת על-פי האקסיומות, ולכן כל אלגברה אסוציאטיבית היא סוג של "אלגברה לא אסוציאטיבית".
תכונות והגדרות בסיסיות רבות של אלגברות אסוציאטיביות נשמרות גם במקרה הלא-אסוציאטיבי (כדוגמת הגדרת תת-אלגברות, אידיאלים, אלגברות פשוטות, משפטי האיזומורפיזם).
עם זאת, תורת המבנה של אלגברות לא אסוציאטיביות עשירה יותר מזו של האלגברות האסוציאטיביות, ובאותו הזמן גם מסובכת יותר.
תכונות מבנה בסיסיות של אלגברות אלו ידועות, אך משפטי מבנה ומיון חזקים כבתורה האסוציאטיבית אינם בנמצא בתורה הלא אסוציאטיבית הכללית.
אלגברות לי, אלגברות ז'ורדן, אלגברות אלטרנטיביות ואלגברות מלצב כולן משפחות חשובות של אלגברות לא אסוציאטיביות, שנחקרו רבות לאורך השנים.
בכל אחד מן המקרים האלה מניחים אקסיומות אחרות במקום אקסיומת האסוציאטיביות, המזכות משפחות אלגברות אלו בשם "אלגברות כמעט אסוציאטיביות".
במשפחות מוכרות רבות, ישנם משפטי מבנה בעלי אופי דומה לאלו שבתורה האסוציאטיבית.
הגרעין (nucleus) של אלגברה לא אסוציאטיבית A כולל את כל האיברים g המקיימים לכל x,y, כאשר הוא האסוציאטור; זוהי תת-אלגברה אסוציאטיבית של A.
המרכז מוגדר כאוסף האיברים של הגרעין, המתחלפים עם כל האיברים ב-A.
אלגברת הפעולות של A היא תת-האלגברה הנוצרות על ידי ההעתקות לכל , כאשר מקיימות ו-.
אלגברה זו פועלת על A, ויתרה מכך על כל אידיאל של A.
אם A היא סוף-ממדית ופשוטה למחצה או פשוטה, אז גם אלגברת הפעולות מקיימת תכונה זו.
ה-centroid של A הוא המֵרָכֶז של ב- ; כאשר לאלגברה יש יחידה, המרכז איזומורפי ל-centroid, על ידי ההעתקה .
עם זאת, באלגברות פשוטות כלליות ללא יחידה, ה-centroid הוא מונח כללי יותר (שכן המרכז הוא אפס במקרה זה), והאלגברה נלמדת לעיתים כאלגברה מעל מבנה זה.
אידיאל האסוציאטור של A הוא האידיאל כלומר הנוצר על ידי האיברים .
זהויות המתקיימות בכל אלגברה לא אסוציאטיבית מבטיחות שהאידיאל שווה ל- .
בדומה לתורה האסוציאטיבית, גם במקרה הלא אסוציאטיבי מוגדרים מונחי הנילפוטנטיות והפתירות, באופן המכליל את התורה המוכרת.
בהינתן אלגברה לא אסוציאטיבית A, מגדירים באינדוקציה , ו- .
ההגדרה של "תופסת" את כל סידורי הסוגריים האפשריים.
האלגברה נקראת נילפוטנטית אם קיים עבורו , ופתירה אם .
המספר המינימלי המקיים את התכונה נקרא אינדקס הנילפוטניות ואינדקס הפתירות, בהתאמה.
כל אלגברה נילפוטנטית היא ודאי פתירה.
סכום של כל שני אידיאלים פתירים (בתור אלגברות בפני עצמם) גם הוא אידיאל פתיר; כאשר האלגברה סוף ממדית, מוגדר הרדיקל הפתיר של A, בתור האידיאל הפתיר המקסימלי שלה.
אלגברת המנה לא מכילה אידיאלים פתירים אמיתיים.
כמו בתורה האסוציאטיבית, הרדיקלים מהווים כלי מחקר של האלגברות - ברגע שנמצא רדיקל מתאים למחלקת האלגברות, נחקרות האלגברות הרדיקליות - המקיימות , והאלגברואת הפשוטות למחצה, המקיימות .
הגדרת רדיקל כזה איננה פשוטה במקרה הכללי; כך למשל, הרדיקל הנילי לא מוגדר היטב באלגברות לי (בהן תופס את תפקיד הרדיקל החשוב ).
רדיקל חשוב נוסף הוא רדיקל הפשטות, המוגדר בתור האידיאל המינימלי , כך שהאלגברה מתפרקת לסכום ישר של אלגברות פשוטות.
רדיקל זה מוגדר לכל אלגברה סוף-ממדית, ומתלכד עם רדיקל הפתירות במשפחות שצוינו לעיל.
כמו בתורה האסוציאטיבית, גם במקרה זה מעניין לחקור תבניות ביליניאריות של האלגברה, כדי להבין טוב יותר את המבנה שלהן.
תבנית עקבה (trace form) של F-אלגברה לא אסוציאטיבית A היא תבנית ביליניארית סימטרית , המקיימת .
עבור כל תבנית עקבה כלעיל, וכל אידיאל B של A, מוגדר האידיאל האנכי ל-B מוגדר בתור , גם הוא אידיאל.
הרדיקל של התבנית מוגדר בתור האידיאל ; התבנית נקראת רגולרית אם הרדיקל שלה אפס.
המשפט המרכזי בהקשר זה הוא כלהלן: תהי A אלגברה לא אסוציאטיבית סוף-ממדית, בעלת תבנית עקבה רגולרית.
עוד נניח כי לכל אידיאל .
אזי A היא פשוטה למחצה, כלומר מתפרקת לסכום ישר (יחיד עד כדי סדר) של אידיאלים פשוטים.
שימוש נפוץ בתבנית עקבה הוא באלגברות לי, עליהן מוגדרת תבנית קילינג, אשר מהווה תבנית עקבה של האלגברה, בעזרתה חוקרים תכונות מבנה של האלגברה.
את האלגברה של הנגזרות הפורמליות של A, היינו אוסף ההעתקות שומרות החיבור המקיימות את הזהות (כלל לייבניץ), מסמנים ב-.
זוהי תת-אלגברת לי של (ביחס לפעולת הקומוטטור).
נגזרת נקראת פנימית, אם היא שייכת לאלגברת-לי הנוצרת על ידי הפעולות ; זהו אידיאל של .
ידוע שבמאפיין אפס, כל נגזרת של אלגברה פשוטה למחצה מממד סופי, עם יחידה ימנית או שמאלית, היא פנימית.
אלגברה לא אסוציאטיבית עם חילוק
לעומת המקרה האסוציאטיבי, במקרה הלא אסוציאטיבי יש הבדל בין הפיכות מימין ומשמאל של איבר לבין קיום פתרונות למשוואה מהצורה (כאשר ).
לכן, מגדירים אלגברה לא אסוציאטיבית עם חילוק בתור אלגברה לא אסוציאטיבית המקיימת את אחד התנאים השקולים הבאים:
לכל קיימים ויחידים כך ש-.
לכל אופרטורי הכפל משמאל ומימין, , הפיכים (בתור אופרטורים).
כמו במקרה האסוציאטיבי, אלגברה עם חילוק היא תחום (כלומר - אין מחלקי אפס), ובממד סופי כל תחום הוא אלגברת חילוק.
המשפט הקטן של ודרברן נשאר נכון גם עבור מספר נרחב של מחלקות נפוצות של אלגברות לא אסוציאטיביות - כל אלגברה חילוק סופית אלטרנטיבית/עם חזקה אסוציאטיבית (ממאפיין לא 2) היא שדה.
את הטענה האחרונה הוכיח לראשונה אלברט תוך שהוא עובר על כל המקרים ממשפט המיון של אלגברות ז'ורדן; McCrimmon הציג מאוחר יותר הוכחה יונפירומית.
אפשר להגדיר מכפלה טנזורית של שתי אלגברות לא אסוציאטיביות - התוצאה היא תמיד אלגברה לא אסוציאטיבית, אבל לא בהכרח מאותה משפחה.
לדוגמה, המכפלה של שתי אלגברות אסוציאטיביות היא אלגברה אסוציאטיבית, אבל המכפלה של שתי אלגברות ז'ורדן בדרך כלל אינה אלגברת ז'ורדן.
כמו במקרה האסוציאטיבי, המכפלה הטנזורית של אלגברות לא אסוציאטיביות פשוטות מרכזיות גם היא פשוטה מרכזית.
אלגברת ז'ורדן היא אלגברה לא אסוציאטיבית (מעל חוג אסוציאטיבי), שבה פעולת הכפל, שנסמן כאן ב- , מקיימת את שתי האקסיומות ו-
בשפה של אופרטורי הכפל מימין ומשמאל, אפשר לבטא אקסיומות אלה כך: ו- .
כל אלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית היא אלגברת ז'ורדן, וכל אלגברת ז'ורדן היא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט.
מבנה זה הוגדר על ידי הפיזיקאי פסקואל יורדן (Pascual Jordan) בניסיון ליצור מסגרת מופשטת למכניקת הקוונטים, והוא קרוי על-שמו.
אף על פי שהניסיון נכשל, נמצא שאלגברות ז'ורדן קשורות למבנים חשובים אחרים במתמטיקה, ובפרט לאלגברות לי הספורדיות.
על-פי פרשנות קופנהגן של מכניקת הקוונטים, הגדלים הנצפים בטבע הם תוצאת הפעלתן של מטריצות הרמיטיות (או באופן כללי יותר, אופרטורים צמודים לעצמם על מרחב הילברט).
לאוסף הזה של מטריצות יש חיסרון בולט: המכפלה של שתי מטריצות הרמיטיות איננה הרמיטית.
בראשית שנות השלושים ניסה הפיזיקאי פסקואל יורדן לבנות מערכת אלגברית שאבריה יהיו שווי-הערך של המטריצות ההרמיטיות, ללא המעטפת של אלגברת המטריצות הסטנדרטית.
אם הן מטריצות הרמיטיות אז גם היא מטריצה הרמיטית.
יורדן הבחין שהפעולה החדשה מקיימת את האקסיומות שהוזכרו במבוא, וביקש לבנות אלגברות שיקיימו את האקסיומות האלה, בלי להיעזר בפעולת הכפל הרגילה, האסוציאטיבית.
מכל אלגברה אסוציאטיבית (ואפילו רק אלטרנטיבית מימין) A אפשר לבנות אלגברת ז'ורדן , על ידי פעולת האנטי קומוטטור שהוגדרה לעיל.
האלגברה פשוטה אם ורק אם A פשוטה, ונילפוטנטית אם ורק אם A נילפוטנטית.
(אם 2 אינו הפיך באלגברה, מגדירים , אף על פי שבמקרה זה הקשר בין האלגברה המקורית לחדשה אינו הדוק כל-כך).
אלגברות המשוכנות באלגברות מהצורה נקראות אלגברות מיוחדות (special).
(בדומה למשפט ארטין על אלגברות אלטרנטיביות, כל אלגברת ז'ורדן הנוצרת על ידי שני איברים היא מיוחדת).
מטרתו המיידית של יורדן הייתה למצוא אלגברות ז'ורדן שאינן מיוחדות; כדי לנסח מחדש את מכניקת הקוונטים, יורדן נזקק לאלגברות כאלה בעלות ממד שאינו חסום.
בניה נוספת מתקבלת מכל אלגברה אסוציאטיבית עם אינוולוציה: אוסף האיברים הסימטריים, שבדרך כלל אינו סגור לכפל, סגור תחת פעולת האנטי-קומוטטור.
המשפט החשוב הראשון בתחום זה התקבל ב-1934, כאשר יורדן כתב מאמר משותף עם פון נוימן וויגנר.
במאמר זה הם מוכיחים שכל אלגברת ז'ורדן מממד סופי שהיא גם ממשית באופן פורמלי (כלומר: אם אז בהכרח ), שייכת לאחת מחמש משפחות:
מטריצות הרמיטיות (מכל סדר) מעל השדה הממשי, השדה המרוכב או אלגברת הקווטרניונים הסטנדרטית;
מטריצות הרמיטיות מסדר 3 מעל אלגברת קיילי (ביחס לאינוולוציה הטבעית שלה);
האלגברות משלוש המשפחות הראשונות, כמו גם אלגברות הספין, כולן מיוחדות.
מאידך, אלגברת קיילי (ובאופן כללי יותר, כל אלגברת אוקטוניונים), היא אלגברה אלטרנטיבית שאיננה אסוציאטיבית, ולכן לא היה ברור האם האלגברה בקבוצה האחרונה היא מיוחדת (בכך שהיא מתקבלת מאלגברה אסוציאטיבית), או לא.
מעט אחר-כך הוכיח המתמטיקאי אדריאן אלברט שקבוצת המטריצות ההרמיטיות מסדר 3 מעל אלגברת אוקטוניונים איננה מיוחדת.
אלגברות אלה (ואלו ההופכות לכאלה לאחר הרחבת סקלרים) נקראות היום אלגברות אלברט, על-שמו.
כולן אלגברות פשוטות, ממימד 27.
מאוחר יותר, ב-1963, התברר שקיימות זהויות (ממעלה 8 או יותר) שאותן מקיימת כל אלגברה מיוחדת (ובפרט המטריצות ההרמיטיות), ואשר אלגברת אלברט אינה מקיימת
אם יורדן היה יודע על אקסיומות חדשות אלה וכולל אותן בהגדרה שלו, התוצאה הייתה שכל אלגברת ז'ורדן מממד סופי חייבת להיות מיוחדת.
אבל גם עם ההגדרה המקלה יותר, הממד הקטן של אלגברות אלברט אינו מאפשר להגשים את החזון של יורדן, לפתח תאוריה אלגברית נטולת מטריצות של המטריצות ההרמיטיות.
כמו בתורת המבנה של חוגים אסוציאטיביים, לאלגברת ז'ורדן מממד סופי יש רדיקל נילי, שהוא האידיאל הנילי הגדול ביותר; הרדיקל הנילי הוא נילפוטנטי, ולכן הרדיקלים שווים.
חוג המנה ביחס לרדיקל הוא סכום ישר של אלגברות ז'ורדן פשוטות.
באלגברות ז'ורדן מתקיימת גרסה של המשפט העיקרי של ודרברן: אם ספרבילית, אז יש תת-אלגברה B שהיא איזומורפית למנה, וכך ש- (סכום ישר של מרחבים וקטוריים).
המיון של אלגברות ז'ורדן פשוטות מממד סופי מעל שדה סגור אלגברית (ממאפיין שונה מ-2) הושלם בידי נתן ג'ייקובסון בשנות ה-50, והוא דומה באופיו לזה שהתקבל על ידי ז'ורדן, פון נוימן וויגנר.
בעשורים הבאים הוכיח ג'ייקבסון משפטי מיון נוספים, מעל שדה כללי (ממאפיין שונה מ-2).
משפטים אלה תארו כיצד לבנות אלגברה פשוטה מאלגברה עם חילוק, אבל לא הוסיפו פרטים על האלגברות עם חילוק עצמן.
נניח שבאלגברת ז'ורדן J יש אידמפוטנט e.
אז , כאשר , המרכיבים הם תת-אלגברות, ,
לדוגמה, אם A אלגברה אסוציאטיבית עם אידמפוטנט e, אז e הוא אידמפוטנט גם באלגברת ז'ורדן המתאימה ל-A, ומרכיבי הפירוק המתאימים הם .
בראשית שנות השמונים המשיך יפים זלמנוב את מלאכת המיון הרבה מעבר למה שהיה ידוע קודם לכן.
בהמשך קישר זלמנוב עבודות אלה לאלגברות לי ולחבורות מפותלות, ופתר את בעיית ברנסייד המצומצמת; על עבודה זו זכה זלמנוב במדליית פילדס.
באלגברות ז'ורדן מוגדרת פעולה טרנארית המכונה 'מכפלה משולשת': .
איבר המקיים כי וגם הוא "מחלק אפס מוחלט" (יש המכנים איברים אלו "איברים טריוויאליים").
במאפיין שונה מ-2, ניתן לאפיין מחלקי אפס מוחלטים כך: איבר הוא מחלק אפס מוחלט אם ורק אם וגם לכל .
אם קיימים מחלקי אפס מוחלטים, האלגברה מנוונת.
בכל אלגברת ז'ורדן יש רדיקל לא מנוון (שנקרא לעיתים גם רדיקל מק'רימון), שהוא האידיאל הקטן ביותר שחוג המנה ביחס אליו אינו מנוון.
עבור אלגברות ז'ורדן ממימד סופי, הרדיקל הלא מנוון שווה לרדיקל הנילי, הוא סכום האידיאלים הניליים באלגברה.
כל אלגברת ז'ורדן לא מנוונת היא מכפלה תת-ישרה של אלגברות ז'ורדן ראשוניות לא מנוונות.
הרדיקל הלא מנוון של אלגברת ז'ורדן מכיל את הרדיקל הראשוני של J, ומוכל ברדיקל הפרימיטיבי למחצה שלה (חיתוך כל האידיאלים הפרימיטיביים).
מכאן אפשר להסיק שאלגברת ז'ורדן פשוטה אינה מנוונת.
תמיד מתקיים כי הרדיקל הראשוני מוכל ברדיקל מק'רימון, שמוכל ברדיקל הפרימיטיבי למחצה; זה האחרון נילי כאשר עוצמת שדה הבסיס גדולה מממד האלגברה כמרחב וקטורי מעליו (בדומה למתרחש באלגברות אסוציאטיביות).
אם A אלגברה אסוציאטיבית, אלגברת ז'ורדן המתאימה לה היא לא מנוונת, אם ורק אם A ראשונית למחצה, והרדיקל הלא מנוון של הוא הרדיקל הראשוני של A.
זלמנוב הוכיח שאלגברת ז'ורדן הפשוטה היחידה (לאו דווקא מממד סופי) שאינה מיוחדת, היא אלגברת אלברט מממד 27. הוא מיין אלגברות ז'ורדן פרימיטיביות, ולבסוף את האלגברות הראשוניות שאינן מנוונות.
הדיכוטומיה הנובעת ממיון זה קשורה קשר הדוק לדיכוטומיה המתקיימת עבור אלגברות אלטרנטיביות פשוטות: הן מיוחדות, או מממד 8 מעל המרכז.
מן המיון הזה נובע שכל אלגברת ז'ורדן ראשונית לא מנוונת היא מיוחדת, או חוג אלברט (כלומר, הופכת לאלגברת אלברט לאחר מיקום מרכזי).
בפירוט, אלגברת ז'ורדן ראשונית לא מנוונת משתייכת לאחת מבין ארבע המשפחות הבאות:
תת-אלגברה של כאשר אלגברה אסוציאטיבית המקיימת כי אידיאל של , ו- חוג השברים של Martindale המתאים ל-
תת-אלגברה של , אוסף האיברים ההרמיטיים ביחס לאינוולוציה , כאשר כבמשפחה הקודמת, פרט לכך שהפעם איזומורפית לאידיאל של .
סדר מרכזי באלגברת ז'ורדן המתאימה לתבנית ביליניארית סימטרית לא מנוונת (אלגברת ז'ורדן כזו היא מיוחדת, מאחר שמשוכנת באלגברת קליפורד המתאימה)
חוג אלברט - חוג ז'ורדן שמרכזו , איברי המרכז רגולריים ב- והמיקום הוא אלגברת אלברט מעל שדה השברים של
זלמנוב המשיך ותיאר אלגברות ז'ורדן ראשוניות לא מנוונות המקיימות זהויות פולינומיות.
עד כדי מיקום מרכזי, מדובר באלגברות ז'ורדן פשוטות מרכזיות או באלגברות ז'ורדן המתאימות לתבניות ביליניאריות סימטריות לא מנוונות.
מיון זה משחק תפקיד משמעותי בהוכחת הנילפוטנטיות המקומית של אלגברות לי המקיימות זהויות פולינומיות ונפרשות על ידי איברים נילפוטנטיים, תוצאה העומדת בבסיס פתרון בעיית ברנסייד המצומצמת.
משפטי מיון דומים תקפים גם לגבי זוגות ז'ורדן.
באלגברת ז'ורדן מסמנים (כאשר ).
זהו אופרטור 'הכפל החיצוני' באיבר, בהתאם למכפלה המשולשת שהוגדרה לעיל: .
איבר x הוא הפיך אם קיים איבר y כך ש-.
במקרה זה האופרטור הפיך, וההפכי y הוא האיבר .
אלגברת ז'ורדן שבה כל האיברים הפיכים היא אלגברה עם חילוק.
משפטי המיון של זלמנוב כוללים בין היתר את המיון של אלגברות ז'ורדן עם חילוק לארבע משפחות:
האלגברה כאשר D אלגברת חילוק אסוציאטיבית;
האלגברה כאשר D אלגברת חילוק אסוציאטיבית עם אינוולוציה *;
אלגברת ז'ורדן-קליפורד של תבנית ריבועית q כאשר לא איזוטרופית;
אלגברת אלברט של תבנית קובית לא איזוטרופית.
אלגברת ז'ורדן החופשית (על קבוצת משתנים כלשהי) היא האלגברה הלא-אסוציאטיבית החופשית המקיימת את זהויות ז'ורדן; כל אלגברת ז'ורדן היא תמונה הומומורפית של אלגברת ז'ורדן חופשית כלשהי.
שני אידיאלים חשובים של אלגברת ז'ורדן החופשית הם , של כל הזהויות של אלגברות מיוחדות ו-, של הזהויות של חוגי אלברט.
רדיקל מק'רימון של אלגברת ז'ורדן החופשית ביותר משני יוצרים איננו טריוויאלי (בפרט, אלגברת ז'ורדן החופשית על שלושה יוצרים ומעלה איננה תחום).
יתרה מזאת, הוא שווה לחיתוך .
המנה היא אלגברת ז'ורדן המיוחדת החופשית, ומתברר שהיא מיוחדת בעצמה.
אלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות מוגדרות על-פי התנאי שכל האופרטורים מתחלפים זה עם זה.
במאפיין שונה מ-2 נובע כי הפעולות מתחלפות כולן זו עם זו, ולכן יש לאלגברה חזקה אסוציאטיבית בהחלט.
כל אלגברה ריבועית גמישה (כגון אלגברות קיילי-דיקסון) היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית.
נניח שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2. האלגברה A היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית אם ורק אם היא גמישה, ו- (שבה מוגדר הכפל לפי ) היא אלגברת ז'ורדן (קומוטטיבית).
בכל אלגברה עם פעולה אנטי-סימטרית מתקיים ו- , ולכן כל אלגברה כזו היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית.
בפרט, כל אלגברת לי בינארית (ולכן כל אלגברת מלצב, ובוודאי כל אלגברת לי) היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית.
אף על פי שבאלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות ממד סופי יש רדיקל נילי, הן אינן מקיימות גרסה של המשפט העיקרי של ודרברן.
במאפיין אפס, כל אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית פשוטה היא (1) אלגברת ז'ורדן, (2) אלגברה גמישה ריבועית, או (3) אלגברה קוואזי-אסוציאטיבית (האחרונות מתקבלות מאלגברה אסוציאטיבית מהדפורמציה ).
כמו במקרה של אלגברות אסוציאטיביות או אלגברות לי, אפשר להגדיר סופר-אלגברות ז'ורדן, שהן אלגברות מדורגות על ידי Z/2Z עם תיקון מתאים של האקסיומות.
ויקטור כץ (וישי קנטור) מיינו את הסופר-אלגברות ז'ורדן הפשוטות מממד סופי מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין 0.
מאז שנות השישים של המאה העשרים הופיעו בספרות המחקר מערכות אלגבריות דומות לאלגברות ז'ורדן.
בין אלה אפשר למנות: אלגברות ז'ורדן ריבועיות (המאפשרות הכללה לחוג בסיס כלשהו, לרבות בעל מאפיין 2), מערכות ז'ורדן משולשות, זוגות ז'ורדן וסופר-אלגברות ז'ורדן.
במתמטיקה, אלגברת בנך היא מרחב בנך שהוא גם אלגברה (מעל שדה הסקלרים) כך שפעולת הכפל היא רציפה.
באופן פורמלי, מרחב בנך יחד עם העתקה ביליניארית
נקרא אלגברת בנך אם מתקיים:
לכל שני איברים באלגברה מתקיים .
אלגבראות בנך קרויות על שמו של סטפן בנך.
המספרים הממשיים, כמרחב בנך מעל עצמם ויחד עם פעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך.
בדומה, המספרים המרוכבים הם אלגברת בנך מעל עצמם.
המספרים המרוכבים, עם הערך המוחלט כנורמה ופעולת הכפל הסטנדרטית, הם אלגברת בנך מעל המספרים הממשיים.
אלגברת המטריצות מסדר היא אלגברת בנך ביחס לכל נורמה תת-כפלית.
אלגברת הקווטרניונים היא אלגברת בנך מעל הממשיים.
אוסף כל הפונקציות הרציפות ממרחב טופולוגי קומפקטי לשדה המרוכבים, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.
אוסף הפונקציות ההולומורפיות על קבוצה קומפקטית במישור המרוכב, יחד עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי של פונקציות, הוא אלגברת בנך.
אלגבראות בנך עם יחידה הן מסגרת נוחה לטיפול בתורה הספקטרלית.
לכל איבר באלגברת בנך ניתן להגדיר את הספקטרום של כאוסף כל הסקלרים כך ש איננו הפיך.
הספקטרום של איבר באלגברת בנך הוא תמיד קומפקטי ואם שדה הסקלרים הוא המספרים המרוכבים, הספקטרום איננו ריק.
באלגבראות בנך יש תחשיב פונקציונלי הולומורפי: לכל איבר ולכל פונקציה הולומורפית שמוגדרת על הספקטרום של , ניתן להגדיר את
במתמטיקה, אלגברת הקווטרניונים של המילטון, המסומנת , היא מבנה אלגברי שאבריו הם מספרים מהצורה כאשר הם מספרים ממשיים, ו- מקיימים: .
זוהי אלגברת קווטרניונים שמרכזה הוא שדה המספרים הממשיים.
את המבנה גילה ב-1843 המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון, אשר חיפש דרך לייצג נקודות במרחב בדרך המאפשרת לבצע על הנקודות פעולות חיבור וכפל, לפני המצאת הווקטור.
הקווטרניונים הם הרחבה של שדה המספרים המרוכבים לארבעה ממדים.
מספרים מרוכבים שימשו לייצוג נקודות במישור הדו-ממדי באופן המאפשר ביצוע פעולות חיבור וכפל, והמילטון חיפש דרך לייצג באופן דומה נקודות במרחב התלת-ממדי.
ניסיונות אלו כשלו, אולם הרחבה למרחב של ארבעה ממדים נמצאה בדמות הקווטרניונים.
השימוש בקווטרניונים חייב את נטישת חוק החילוף, דבר שהיה מהפכני באותם ימים.
בהמשך, פותחו הווקטור והמטריצה והשימוש בקווטרניונים לצורכי הצגה גרפית דעך.
עם זאת, עדיין קיימים שימושים בקווטרניונים, למשל בגרפיקת תלת־ממד.
הקווטרניונים הומצאו על ידי המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון ופורסמו על ידו בשנת 1843. קדמו לגילוי של המילטון זהות סכום ארבעת הריבועים של אוילר משנת 1748, ונוסחת אוילר-רודריגז לתיאור סיבובים משנת 1840 שמכילה למעשה את עיקר התיאור של הקווטרניונים.
קרל פרידריך גאוס הציג את הנוסחאות לכפל קווטרניונים ברשימה קצרה מ-1819 תחת הכותרת "Mutationen des Raumes", שלא פורסמה עד אחרי מותו.
המילטון שאב השראה מההקבלה בין מספרים מרוכבים לבין נקודות על מישור דו-ממדי.
ההקבלה מבוססת על כך שמספר מרוכב ניתן לכתוב בתור:
ואותו ניתן לייחס לנקודה שהקורדינטות שלה הם (x,y).
באופן דומה ניתן לתאר פעולות גאומטריות באמצעות פעולות אלגבריות על מספרים מרוכבים.
לדוגמה סיבוב של נקודה בזווית מתבצעת על ידי הכפלה:
בהתבסס על הקבלה זאת חיפש המילטון הכללה של המספרים המרוכבים שתאפשר לתאר גאומטריה תלת-ממדית.
חיפושיו של המילטון לנוסחה שתאפשר הכפלה של שלשות מספרים עלו בתוהו.
ב-16 באוקטובר 1843, בעת טיול עם אשתו לאורך התעלה המלכותית בדבלין, בעת שהשניים עברו בסמוך לגשר ברום (Brougham Bridge) מצא המילטון את הבסיס לנוסחת הכפל של רביעיות מספרים.
התלהבותו של המילטון מהתגלית הייתה כה גדולה עד כי, במעשה שכונה מאוחר יותר 'אקט של ואנדליזם מתמטי', הוא חרט על הגשר את הנוסחה הבסיסית לכפל קווטרניונים:
המילטון כינה את המספרים שגילה בשם 'קווטרניונים' והקדיש למחקר וההפצה של הרעיון את שארית חייו.
ספרו האחרון והארוך ביותר של המילטון 'יסודות הקווטרניונים' התפרסם לאחר מותו, ב-1863.
תלמידיו וממשיכי דרכו של המילטון, פיטר טייט ובנג'מין פירס הרחיבו על האופן שבו ניתן להשתמש בקווטרניונים לתיאור פרקים בגאומטריה ובפיזיקה.
כך לדוגמה הם הראו שאת משוואות מקסוול ניתן לכתוב באופן פשוט באמצעות קווטרניונים.
בסוף שנות ה-80 של המאה ה-19 התנהל ויכוח מדעי ער בין התומכים בשימוש בקווטרניונים לתיאור גאומטריה תלת-ממדית, לבין התומכים בשימוש באנליזה וקטורית.
בין היתר בזכות תמיכתם של פיזיקאים ומתמטיקאים כמו ג'וסיה וילארד גיבס ואוליבר הביסייד הפך השימוש באנליזה וקטורית למקובל על הרוב המכריע של הקהילה המדעית.
תמיכה זאת נבעה בין היתר מכך שתיאור של גאומטריה אלגברית על ידי וקטורים נחשבה לפשוטה ואינטואיטיבית יותר, ומשום שהיא ניתנת להכללה לכל מספר שהוא של ממדים.
לקראת סוף המאה ה-20 החל מתגבר השימוש בקווטרניונים לתיאור מצב זוויתי וסיבובים כתחליף לשימוש בזוויות אוילר.
זאת נעשה במגוון תחומים כגון: ניווט, גרפיקה ממוחשבת, אווירודינמיקה, תורת הבקרה, עיבוד אותות, פיזיקה וביואינפורמטיקה.
משחק המחשב טומב ריידר משנת 1996 נחשב למשחק המסחרי הראשון שהמנוע הגרפי שלו מבוסס על קווטרניונים, והיום נעשה בקווטרניונים שימוש במרבית משחקי המחשב המסחריים.
כמו כן, במערכות טוס על חוט (fly by wire) המשמשות לבקרת גובה במטוסים בעלי יציבות אווירודינמית שלילית, הפקודות לייצוב האווירודינמי של המטוס נשלחות כקווטרניונים (קווטרניון כל חלקיק שנייה).
מתוך השוויון נובעים השוויונות הבאים:
קווטרניונים אלה יוצרים את חבורת הקווטרניונים.
כאמצעי עזר חזותי לזכירת כללי הכפל של הקווטרניונים ניתן להציב את במעגל באופן כזה שהמעבר מכל קווטרניון יסודי לקווטרניון היסודי הבא מתבצע בכיוון השעון.
לאור הבנייה הזאת, כפל קווטרניונים יסודיים מתבצע בצורה הבאה: כפל של כל שניים מהם ייתן את השלישי, עם סימן חיובי כאשר האיבר הימני נמצא צעד אחד בכיוון השעון ביחס לאיבר השמאלי, ועם סימן שלילי כאשר ההפך הוא הנכון.
החיבור של שני קווטרניונים הוא:
הכפל מתקבל לאחר פתיחת הסוגריים ושימוש בזהויות שלעיל.
תחת פעולות אלה של חיבור וכפל, הקווטרניונים מהווים חוג.
באופן מפתיע, לכל קווטרניון (פרט לקווטרניון האפס) יש איבר הפכי, ומה שמונע מהקווטרניונים להיות שדה הוא דווקא אי-קיום תכונת הקומוטטיביות (חילופיות): עבור קווטרניונים , בדרך כלל .
באנלוגיה למספרים מרוכבים, מגדירים צמוד של קווטרניון: - וערך מוחלט של קווטרניון:
בהתאם לזהות ארבעת הריבועים, .
דרך אחרת לייצג קווטרניונים היא בייצוג מטריציוני:
במקרה זה, החיבור והכפל של שני קווטרניונים נעשים לפי הכללים של חיבור וכפל מטריצות.
דרך נוספת להצגת קווטרניונים היא כזוג סדור של סקלר ווקטור תלת-ממדי: .
במקרה זה, פעולות החיבור והכפל הן:
מכאן רואים את הסיבה לאי-חילופיות הכפל בקווטרניונים - אי-חילופיות המכפלה הווקטורית.
כמו-כן מנוסחה זו נובעות הזהויות הבאות:
- מזהות זו נגזרו מאוחר יותר הגדרות המכפלה הסקלרית
הקווטרניונים ממלאים את יעודם המקורי, לסובב את המרחב התלת-ממדי, על ידי פעולת ההצמדה: החבורה של הקווטרניונים מנורמה 1 פועלת על ידי הצמדה על תת-המרחב התלת-ממדי ; פעולה זו מגדירה איזומורפיזם לחבורת הסיבובים (שהיא חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1).
אוסף הקווטרניונים מהצורה עבור נקרא מסדר ליפשיץ ואילו האוסף הכולל את אלו יחד עם הקווטרניונים שבהם נקרא מסדר הורוויץ.
מסדר הורוויץ מהווה מסדר מקסימלי יחיד (עד כדי הצמדה) באלגברת הקווטרניונים הרציונליים , והוא אוקלידי (מימין ומשמאל) ביחס לפונקציית הנורמה.
אפשר להיעזר בכך כדי לקבל הוכחה קלה למשפט ארבעת הריבועים של לגרנז'.
מסדר ליפשיץ הוא "כמעט אוקלידי": אפשר לחלק כל בכל בכל עם שארית r המקיימת .
אלגברת הקווטרניונים של המילטון מתפצלת בכל השלמה של המספרים הרציונליים, פרט ל- ו- .
במתמטיקה ובפרט בתורת המידה ואלגבראות בוליאניות, אלגברה של קבוצות (נקראת גם: שדה של קבוצות) מעל קבוצה היא אוסף של תת-קבוצות של המקיים את תכונות הסגירות הבאות:
האוסף כולל את הקבוצה הריקה ואת .
האוסף סגור ללקיחת משלים ביחס ל-.
האוסף סגור ביחס לאיחוד סופי: אם אז .
משתי הדרישות האחרונות ומכללי דה-מורגן נובע גם כי אלגברה של קבוצות סגורה לחיתוך באורך סופי.
דוגמה לאלגברה של קבוצות מעל , היא אוסף כל האיחודים הסופיים של קטעים ממשיים מהצורה .
סיגמא-אלגברה היא סוג מיוחד של אלגברה, המקיימת בנוסף גם סגירות לאיחוד של מספר בן מנייה של קבוצות.
אם היא סיגמא-אלגברה מעל , הזוג הסדור נקרא מרחב מדיד (מרחב מדיד יחד עם פונקציית מידה נקרא מרחב מידה).
במתמטיקה, אלגברות קיילי-דיקסון הן האלגברות המתקבלות באמצעות בניית קיילי-דיקסון (עם הקבוע 1-) מן השדה של המספרים הממשיים.
האלגברה הראשונה בסדרה היא שדה המספרים המרוכבים.
אחר-כך מקבלים את אלגברת הקווטרניונים של המילטון ואת אלגברת האוקטוניונים, שאלטרנטיבית אך לא אסוציאטיבית.
בהמשך הסדרה מתקבלות אלגברות לא אלטרנטיביות (ובפרט לא אסוציאטיביות) נוספות פשוטות ממימד 16, 32, 64, וכן הלאה.
לכל אלגברת קיילי-דיקסון יש אינוולוציה המכלילה את פעולת הצמוד המרוכב, ובאמצעותה מוגדרת תבנית נורמה: הנורמה של איבר היא מכפלתו בצמוד שלו.
האלגברות המתקבלות במהלך הבניה מאבדות תכונות חשובות בזו אחר זו: השדה הממשי הוא האלגברה היחידה שכל איבריה סימטריים; השדה המרוכב הוא האלגברה הקומוטטיבית האחרונה; אלגברת הקווטרניונים היא האלגברה האסוציאטיבית האחרונה; ואילו אלגברת האוקטוניונים היא האלגברה האלטרנטיבית האחרונה, וגם האחרונה שאין בה מחלקי אפס.
עם זאת, כולן ריבועיות ומקיימות את הזהות הגמישה.
הן פשוטות, והמרכז שלהן שווה לשדה הבסיס.
אפשר להכליל את הבניה כך שתעבוד מעל כל שדה בסיס.
באופן כזה מתקבלות בצעד השני של הבניה כל אלגברות הקווטרניונים, ובצעד השלישי כל אלגברות האוקטוניונים -- ראו בניית קיילי-דיקסון.
המספרים המרוכבים יכולים להירשם כזוג סדור של מספרים ממשיים ו-, עם חיבור שמוגדר רכיב רכיב ומכפלה שמוגדרת כך:
מספר מרוכב שהרכיב השני שלו שווה לאפס מתלכד עם מספר ממשי: המספר המרוכב הוא המספר הממשי .
על המספרים המרוכבים אפשר להגדיר אופרטור הצמדה, לפי .
, כך שכפל של מספר בצמוד שלו נותן תמיד מספר ממשי אי שלילי.
בדרך זו, הצמדה מגדירה נורמה, שהופכת את המספרים המרוכבים למרחב נורמי מעל המספרים הממשיים: הנורמה של מספר מרוכב היא:
הצמוד מאפשר לחשב את ההפכי של כל מספר מרוכב שונה מאפס: .
אפשר לראות בפעולת ההצמדה הכללה של פונקציית הזהות על הממשיים.
במובן זה, תכונת המספרים הממשיים להיות צמודים לעצמם אבדה בתהליך, והיא אינה נכונה עוד במספרים המרוכבים.
אלגברת הקווטרניונים של המילטון מתקבלת מן המספרים המרוכבים באופן דומה.
החיבור של זוגות סדורים הוא לפי רכיבים, ואת פעולת הכפל מגדירים לפי הנוסחה ; מכיוון ש-, המרוכבים מהווים תת-חוג של האלגברה החדשה, שאינה קומוטטיבית.
גם לאלגברת הקווטרניונים יש אינוולוציה, המוגדרת לפי , ומקיימת .
מכיוון שתוצאת הכפל היא מספר ממשי הפיך, כל איבר שונה מאפס הוא הפיך ולכן האלגברה היא אלגברה עם חילוק.
אותה נוסחת כפל עבור זוגות סדורים של קווטרניונים, , מגדירה אלגברה חדשה הנקראת אלגברת קיילי, שאינה אסוציאטיבית (הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברת קיילי היא אלגברת האוקטוניונים).
האלגברה הזו מקיימת זהות חלשה יותר: היא אלטרנטיבית.
תבנית הנורמה שלה, בתור מרחב וקטורי מממד 8 מעל הממשיים, היא סכום של שמונה ריבועים.
הנורמה כפלית, ונותנת נוסחת כפל לסכומים מסוג זה (שאינה קיימת בממדים גבוהים יותר).
אותה נוסחת כפל, המיושמת לזוגות סדורים של אוקטוניונים, נותנת אלגברה מממד 16, הנקראת "אלגברת הסדניונים".
באופן כזה אפשר להמשיך לבנות אלגברות מממד לכל n.
לפי משפט שהוכיח ריצ'רד שייפר (בשנת 1954), אלגברות אלו מקיימות כולן את הזהות הגמישה, .
תבנית הנורמה של אלגברת קיילי-דיקסון מממד היא סכום של ריבועים כמספר הזה.
מעל שדה סדור זוהי תבנית אנאיזוטרופית, ולכן כל האיברים באלגברות קיילי-דיקסון הם הפיכים, כלומר לכל איבר קיים כך ש-.
עם זאת, באלגברת קיילי-דיקסון מממד 16 יש מחלקי אפס, והיא אינה אלגברת חילוק: לא לכל המשוואות יש בה פתרון יחיד.
זאת אינה סתירה שכן יכול להתקיים .
באלגברה, אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית היא אלגברה לא אסוציאטיבית, שבה החזקות מוגדרות היטב, ללא צורך בסוגריים; למשל , וכן הלאה.
למחלקה זו שייכת המשפחה הרחבה של אלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות, הכוללת את כל האלגברות האלטרנטיביות (ובכללן האלגברות האסוציאטיביות), אלגברות ז'ורדן, ואלגברות לי.
בכל אלגברה לא אסוציאטיבית אפשר להגדיר את החזקות באינדוקציה: , כאשר .
לאלגברה יש חזקה אסוציאטיבית (ח"א) אם מתקיים לכל .
במאפיין אפס, הזהות הכללית נובעת משתי הנחות אלה.
במאפיין שאינו 2, 3 או 5, כל אלגברה קומוטטיבית המקיימת את הזהות היא אלגברה (קומוטטיבית) עם חזקות אסוציאטיביות; במאפיין 3 ו-5 יש צורך גם בזהויות מדרגה 5 או 6 כדי להגיע לאותה מסקנה.
באלגברה יש חזקה אסוציאטיבית אם כל תת-אלגברה הנוצרת על ידי איבר אחד היא אסוציאטיבית.
לשם השוואה, אלגברה היא אלטרנטיבית אם כל תת-אלגברה הנוצרת על ידי שני איברים היא אסוציאטיבית.
לאלגברה יש חזקה אסוציאטיבית בהחלט (strictly power-associative) אם יש לה חזקה אסוציאטיבית לאחר כל הרחבת סקלרים, כלומר כל האלגברות הן בעלות חזקה אסוציאטיבית (כאשר הרחבת שדות כלשהי).
במאפיין שאינו 2, 3 או 5, כל אלגברה קומוטטיבית בעלת חזקה אסוציאטיבית היא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט.
במאפיין שונה מ-2, אפשר להגדיר פעולה חדשה על המרחב הווקטורי של האלגברה , לפי .
באלגברה בעלת חזקה אסוציאטיבית, האלגברה המתקבלת, המסומנת ב-, היא קומוטטיבית ובעלת חזקה אסוציאטיבית.
מכיוון שלשתי האלגברות אותו מבנה חיבורי, אפשר להעביר תכונות שונות של גם ל-.
לאלגברות בעלות חזקה אסוציאטיבית מממד סופי יש רדיקל נילי (היינו, אידיאל נילי מקסימלי יחיד), ; הרדיקל הנילי הוא נילפוטנטי.
הרדיקל הנילי מכיל את הרדיקל הפתיר של האלגברה.
בעיית אלברט שואלת האם הרדיקל הנילי שווה לרדיקל הפתיר בכל אלגברה קומוטטיבית עם חזקה אסוציאטיבית; בניסוח אחר, האם אלגברה קומוטטיבית עם ח"א שהיא נילית, היא בהכרח פתירה (דוגמה נגדית מינימלית לזה היא פשוטה).
אלגברה קומוטטיבית פתירה ונילית עם חזקה אסוציאטיבית אינה בהכרח נילפוטנטית (Suttles, 1972, מצא דוגמה מממד 5).
אם , האלגברה היא פשוטה למחצה, ואם הוא האלגברה כולה, זוהי אלגברה נילית.
לדוגמה, כל אלגברת לי היא אלגברה נילית.
במאפיין אפס, כל אלגברה קומוטטיבית בעלת ח"א שהיא פשוטה למחצה, היא אלגברת ז'ורדן.
בכל מאפיין שאינו שתיים, אלגברה קומוטטיבית בעלת ח"א בהחלט, שהיא פשוטה ואינה נילית, ושקיימת לה הרחבת סקלרים עם שלושה אידמפוטנטים אורתוגונליים, היא אלגברת ז'ורדן.
במאפיין שונה מ-5, לאלגברה עם חזקה אסוציאטיבית שיש לה תבנית ביליניארית סימטרית אסוציאטיבית (בדומה לאלגברות פרובניוס) כך ש- אם הוא אידמפוטנט ו- אם נילפוטנט, אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית, כאשר הוא הרדיקל של התבנית.
בכל אלגברה עם ח"א מממד סופי, שאינה נילית (ואפילו אם אין מניחים שיש בה איבר יחידה), יש אידמפוטנטים (איברים המקיימים את השוויון ).
קיומם של אלה מאפשר לפרק את האלגברה למעין מרחבים עצמיים, כמו במקרה האסוציאטיבי, כפי שיוסבר להלן.
כל אידמפוטנט של הוא גם אידמפוטנט של , והפירוק של מתקבל מפירוק מקביל של .
על-כן נניח בהמשך הסעיף שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2. אם אידמפוטנט, אז אפשר לפרק את האלגברה לסכום ישר , כאשר ; למעשה
בעוד ש- (ולכן הוא איבר יחידה שם).
במקרה הקומוטטיבי, מרכיבי הפירוק מקיימים את היחסים הבאים: ,
לשם השוואה, בפירוק פירס של אלגברת ז'ורדן (שהיא תמיד קומוטטיבית ובעלת חזקה אסוציאטיבית) מתקיים היחס החזק יותר, עבור .
בנוסף לזה, אם מסמנים ב- את ההיטל על המרכיב המתאים בפירוק לעיל, אז מגדיר הומומורפיזמים של אלגברות, מ- לאלגברת ז'ורדן המיוחדת , כאשר .
באלגברת חילוק מממד סופי שהיא בעלת ח"א בהחלט, יש איבר יחידה.
במאפיין שונה מ-2, 3 ו-5, לא קיימת אלגברת חילוק סופית בעלת ח"א, שאינה שדה.
תוצאה זו נכונה גם במאפיין 3 או 5 אם מניחים ח"א בהחלט
במתמטיקה, אלגברת האוקטוניונים היא אלגברת החילוק האלטרנטיבית היחידה מממד 8 מעל שדה המספרים הממשיים.
אלגברה זו, שאינה אסוציאטיבית, היא אלגברת האוקטוניונים הידועה ביותר.
מקובל לסמן את המבנה באות .
אלגברת האוקטוניונים קשורה למספר מבנים מתמטיים יוצאי דופן, ובהם חבורות לי מטיפוס .
בנוסף, לאוקטוניונים יש שימושים בתחומים כגון תורת המיתרים ותורת היחסות הפרטית.
את האוקטוניונים גילה בשנת 1843 ג'ון ט.
גרייבס, חבר של ויליאם המילטון, לאחר שהלה בנה את אלגברת הקווטרניונים של המילטון; גרייבס קרא להם אוקטבות, ושם זה עדיין נמצא בשימוש.
ארתור קיילי גילה את האוקטוניונים באופן בלתי תלוי, ופרסם אותם לראשונה בשנת 1845. האוקטוניונים מוכרים לעיתים כמספרי קיילי.
האוקטוניונים הם, כאמור, אלגברה מממד 8 מעל שדה המספרים הממשיים.
כל אוקטוניון הוא צירוף ליניארי של אוקטוניוני היחידה , כלומר, כל אוקטוניון אפשר לכתוב בצורה , כאשר הם מקדמים ממשיים.
חיבור אוקטוניונים מתבצע על ידי חיבור המקדמים.
הכפל נקבע לפי לוח הכפל של אוקטוניוני היחידה (הגורמים משמאל הוא זה המוצג בראש השורה):
כך אפשר לראות שאלגברת האוקטוניונים אינה קומוטטיבית () ואינה אסוציאטיבית ().
בחירת הבסיס אינה קנונית - בסיסים סטנדרטיים אחרים נבדלים מן הבסיס שהוצג לעיל בסדר האיברים ובסימן המכפלות.
אפשר לבנות את האוקטוניונים באופן שיטתי, מאלגברת הקווטרניונים של המילטון, באמצעות בניית קיילי-דיקסון.
בבניה זו, כפי שמספרים מרוכבים הם זוגות של מספרים ממשיים וקווטרניונים הם זוגות של מספרים מרוכבים, כל אוקטוניון הוא זוגות של קווטרניונים.
החיבור, כתמיד, הוא לפי רכיבים.
כפל של שני זוגות קווטרניונים ו- מתבצע כך:
כאשר מסמל את הצמוד של הקווטרניון .
הגדרה זו שקולה לקודמת, כאשר אוקטוניוני היחידה הם:
עזר זיכרון נוח שמאפשר לזכור את המכפלות של אוקטוניוני היחידה נתון בדיאגרמה שלהלן.
דיאגרמה זו בעלת 7 נקודות ו-7 קווים (המעגל בין i, j ו-ij נחשב כקו) נקראת מישור פאנו.
לקווים יש כיוון בדיאגרמה זאת.
שבע הנקודות מתאימות לשבעת גורמי הבסיס של .
כל זוג נקודות נמצא על קו יחיד, ועל כל קו יש בדיוק שלוש נקודות.
ניקח בתור שלישיית נקודות שנמצאות על קו ומסודרות לפי כיווני החצים.
מגדירים לגמרי את מבנה הכפל של האוקטוניונים.
כל קו יוצר תת-אלגברה של שהיא איזומורפית לאלגברת הקווטרניונים.
למעשה, כל תת-אלגברה של היא אחת מאלגברות ההרכב , , או .
ההצמדה היא אינוולוציה: , ו- .
החלק הממשי של מחושב על ידי , והחלק המדומה (השבעה-ממדי) - על ידי .
הנורמה באלגברת האוקטוניונים מוגדרת לפי , וזהו תמיד מספר ממשי לא-שלילי: .
(לפעמים מעוניינים בשורש של הנורמה האלגברית, שהוא האורך של הווקטור במרחב האוקלידי השמונה-ממדי).
למרות שהאלגברה אינה אסוציאטיבית, הנורמה היא פונקציה כפלית, וכך נעשית אלגברת האוקטוניונים אלגברת הרכב.
עובדה זו אחראית במידה רבה לנוסחת הכפל הפולינומית עבור סכומים של שמונה ריבועים .
הנורמה גם מאפשרת לחשב את ההפכי לכל איבר: ההופכי של נתון על ידי: .
באלגברה מופשטת, אלגברת הרכבה היא מבנה אלגברי הכולל אלגברה, שאינה בהכרח אסוציאטיבית מעל שדה F, עם תבנית ריבועית לא מנוונת N, המקיימת את תנאי ההרכבה .
בגלל תכונת הכפל, התבנית N נקראת גם נורמה.
הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברה כזו היא שדה המספרים המרוכבים, כאלגברה מעל הממשיים, שם התבנית היא .
ידוע שהממדים האפשריים לאלגברת הרכב, בין אם יש לה איבר יחידה ובין אם אין איבר כזה, הם 1, 2, 4 או 8. (זוהי תוצאה של משפט הורוויץ על תבניות ריבועיות כפליות).
יתרה מזו, ידוע שכל אלגברת הרכבה עם איבר יחידה היא אחד מן הבאים: שדה הבסיס, סכום ישר של שני עותקים שלו, הרחבה ריבועית של שדה הבסיס, אלגברת קווטרניונים, או אלגברת קיילי.
בפרט, אלגברת הרכבה עם יחידה היא אלטרנטיבית וריבועית.
מן התבנית הריבועית N אפשר לחשב תבנית בי-ליניארית סימטרית , הנקראת התבנית הפולרית של N.
במאפיין שונה מ-2 אפשר לשחזר את N מתוך B, באמצעות הנוסחה .
התנאים הבאים שקולים זה לזה, עבור אלגברה עם יחידה:
C מממד 2 או יותר, וקיימת תבנית ביליניארית N ההופכת את C לאלגברת הרכבה;
C היא אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית מדרגה 2;
C היא אלגברה אלטרנטיבית, עם אינוולוציה כך ש- , , והתבנית הריבועית N אינה מנוונת.
אם C אלגברת הרכבה עם יחידה, אפשר להגדיר את האינוולוציה האמורה לפי הנוסחה , כאשר B התבנית הפולרית של N.
אלגברות הרכבה עם יחידה מתקבלות מן הצעדים הראשונים בתהליך קיילי-דיקסון.
כל אלגברת הרכבה עם יחידה מעל שדה F היא אחת מן האלגברות הבאות:
השדה F עצמו (עם הנורמה ) (ממד 1);
הסכום הישר , עם הנורמה (ממד 2);
הרחבת שדות ריבועית ספרבילית (ממד 2);
אלגברת קווטרניונים שמרכזה F (ממד 4);
או אלגברת קיילי שמרכזה F (ממד 8).
אלגברות אלו נקראות אלגברות הורוויץ.
אלגברת הרכבה היא אלגברת חילוק אם ורק אם תבנית הנורמה שלה אנאיזוטרופית.
תבנית הנורמה של אלגברת הורוויץ היא תבנית פיסטר, כלומר, תבנית ריבועית עם מקדמים בממד 2, מקדמים בממד 4, ומקדמים בממד 8. אם תבנית כזו היא איזוטרופית (היינו, מייצגת את 0 באופן לא טריוויאלי), אז היא תבנית ריבועית היפרבולית.
שתי אלגברות הורוויץ הן איזומורפיות אם ורק אם יש איזומטריה בין תבניות הנורמה שלהן.
מכאן נובע שיש בדיוק אלגברת קווטרניונים אחת שאינה אלגברת חילוק - הלוא היא אלגברת המטריצות ; כמו כן, יש בדיוק אלגברת אוקטוניונים אחת שאינה אלגברת חילוק - אלגברת האוקטוניונים המפוצלת.
כרגיל בתורת החוגים, "אלגברה הרכבה בלי יחידה" היא מערכת המקיימת את כל האקסיומות שהוזכרו במבוא, למעט הדרישה לקיום איבר יחידה.
בסעיף זה נכתוב "אלגברת הרכבה", ונתכוון לכאלו שבהן אין מניחים קיומו של איבר יחידה.
כל אלגברת הרכבה מממד סופי איזוטופית לאלגברת הרכבה עם יחידה, במובן הבא: אם M אלגברת הרכבה עם תבנית ריבועית N, אז קיים איבר כך ש- ; אז פעולות הכפל מימין ומשמאל ו- הפיכות, והפעולה הופכת את M לאלגברת הרכבה עם יחידה (ביחס לאותה נורמה N).
מכאן נובע שהממד של אלגברת הרכבה מממד סופי (גם ללא איבר יחידה) הוא 1, 2, 4 או 8. כל איזומורפיזם בין אלגברות הרכבה עם יחידה הוא גם איזומטריה של תבניות הנורמה, ומכאן נובע שכל אלגברות ההרכבה עם יחידה הדומות ל-M, איזומורפיות זו לזו.
עם זאת, יש אלגברות הרכבה בלי יחידה מממד אינסופי.
אלגברת הרכבה (בלי יחידה) היא סימטרית, אם התבנית היא אסוציאטיבית, כלומר, .
תכונה זו מתקיימת אם ורק אם האלגברה מקיימת את האקסיומה (השוויון באגף שמאל הוא הזהות הגמישה).
כל אלגברת הרכבה המקיימת את הזהות הגמישה היא סימטרית או בעלת איבר יחידה.
מעל שדה בן יותר מ-2 איברים, אפילו האקסיומה מספיקה לשם כך.
אלגברות הרכבה סימטריות כמעט לעולם אינן בעלות חזקה אסוציאטיבית (פרט לשדה F עצמו, הדוגמה היחידה היא מממד 2 מעל השדה הסופי ).
למעשה, באלגברת הרכבה סימטרית מממד 2 ומעלה אין איבר יחידה.
אם C אלגברת הורוויץ עם אינוולוציה , אפשר להגדיר עליה פעולת כפל חדשה .
ביחס לפעולה זו, C הופכת להיות אלגברת הרכבה סימטרית (ומאבדת את איבר היחידה שלה).
האלגברה המתקבלת באופן זה נקראת אלגברת פָּרה-הורוויץ (וכך מוגדרות, בפרט, אלגברות פרה-קווטרניונים ואלגברות פרה-קיילי).
אלגברת הרכבה סימטרית היא אלגברת פרה-הורוויץ אם ורק אם יש בה אידמפוטנט e המקיים לכל איבר x כך ש- .
כהכללה של הבניה הקודמת, אם הוא אוטומורפיזם של אלגברת הורוויץ C המקיים , אז אפשר להגדיר פעולת כפל חדשה לפי (אם , מתקבלת אלגברת פרה-הורוויץ).
גם אלו אלגברות הרכבה סימטריות, הנקראות אלגברות Petersson.
אלגברת הרכבה סימטרית היא אלגברת Petersson אם ורק אם יש בה אידמפוטנט.
בכל אלגברת הרכבה סימטרית אפשר למצוא אידמפוטנט לאחר הרחבת סקלרים מממד 3.
תהי R אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית (עם יחידה), ונניח ש- הוא הפולינום המינימלי הגנרי של R.
בפרט, R היא אלגברה מדרגה 3. אם יש בשדה הבסיס F שורשי יחידה מסדר 3, אפשר להגדיר על האוסף של איברים בעלי עקבה 0 ב- R, פעולת כפל חדשה, .
האלגברה המתקבלת היא אלגברת הרכבה סימטרית, עם תבנית הנורמה .
אם אין ב- F שורשי יחידה מסדר 3, מחליפים את R באוסף האיברים הסימטריים באלגברה אלטרנטיבית ספרבילית מעל ההרחבה הריבועית , ביחס לאינוולוציה אוניטרית.
מתברר שבניות אלה מכסות את כל אלגברות ההרכבה הסימטריות:
מעל שדה ממאפיין שונה מ-3, כל אלגברת הרכבה סימטרית שייכת לאחת המחלקות הבאות:
, כאשר L שדה הרחבה ספרבילי מממד 3, או כאשר K ריבועי ספרבילי, או ;
אם יש ב- F שורשי יחידה מסדר 3 - האלגברה , כאשר A אלגברה ציקלית מדרגה 3 מעל F;
אם אין ב- F שורשי יחידה מסדר 3 - האלגברה , כאשר אלגברה ציקלית מדרגה 3 מעל , אינוולוציה אוניטרית של B, ו- אוסף האיברים הסימטריים (שהוא מממד 9 מעל F).
מאלה, האלגברות בקבוצה הראשונה הן מממד 2, האלגברות בקבוצה השנייה מממד 4, והאחרונות מממד 8.
אלגברה קומוטטיבית היא הענף באלגברה מופשטת העוסק בתכונות של חוגים קומוטטיביים, באידיאלים שלהם, ובמודולים המוגדרים מעליהם.
האלגברה הקומוטטיבית משמשת ככלי הבסיסי לבניה של הן הגאומטריה אלגברית והן תורת המספרים האלגברית.
הדוגמאות העיקריות לחוגים חילופיים הן חוגי פולינומים מעל שדה, והמנות שלהם, וחוגי שלמים אלגברים של שדות מספרים.
בנוסף, אלגברה קומוטטיבית היא הכלי העיקרי בחקר תכונות מקומיות של סכמות.
במתמטיקה, אלגברה מדורגת היא אלגברה (אסוציאטיבית או לא אסוציאטיבית), שיש לה מבנה נוסף, הנקרא דירוג.
מבנים כאלה שכיחים בגאומטריה אלגברית, בתורת החוגים, באלגברה הומולוגית ובקומבינטוריקה.
אלגברה מדורגת היא אלגברה שיש לה פירוק לסכום ישר של מרחבים וקטוריים, באופן שמתיישב עם פעולת הכפל: .
כל אחד מן המרכיבים נקרא מרכיב הומוגני, והאיברים של המרכיבים האלה הם איברים הומוגניים.
כל איבר של האלגברה אפשר לפרק לסכום (סופי) של איברים הומוגניים מדרגות שונות.
הדרגה של איבר הומוגני ב- היא .
את ההנחה על פעולת הכפל אפשר לכתוב כך: לכל שני איברים הומוגניים .
מחלקות מסוימות בתורת החוגים אפשר להכליל למקרה המדורג, אם מגבילים את הדרישות לאיברים הומוגניים.
כך למשל, אלגברה מדורגת קומוטטיבית שבה כל האיברים ההומוגניים הפיכים היא שדה מדורג.
הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברה מדורגת היא אלגברת הפולינומים מעל השדה, .
האלגברה הזו מתפרקת לסכום ישר , כאשר הוא אוסף המונומים ממעלה .
פונקציית הדרגה מתאימה לפונקציית המעלה המוכרת, לפחות עבור איברים הומוגניים: .
את התיאור הזה אפשר להכליל לאלגברות פולינומים בכמה משתנים: מדורגת למרכיבים, כאשר הוא המרחב של כל הפולינומים ההומוגניים ממעלה (כוללת) ; למשל, כאשר , .
כמקודם, הדירוג מבוסס על העובדה שאם שני פולינומים הומוגניים, אז הדרגה של המכפלה שווה לסכום המעלות.
באופן כללי יותר, אפשר לקבוע לכל משתנה "משקל" אחר; למשל, אפשר לדרג את באופן שהדרגה של היא 2, והדרגה של היא 3 (הדרגה של כל מונום מחושבת לפי הנחות אלה: ).
הדרגות היסודיות משנות את הדירוג, וכעת הוא .
אלגברה חופשית (בכל יריעה של אלגברות שהזהויות המגדירות אותה הן הומוגניות) ניתנת לדירוג טבעי, בדומה לזה של פולינומים.
כל אלגברה אפשר לדרג דירוג טריוויאלי, אם בוחרים ו- לכל .
דירוג כזה אינו מוסיף מידע על האלגברה, אבל הוא מראה שהתאוריה של אלגברות מדורגות מכילה, במובן מסוים, את התאוריה הכללית של אלגברות.
אלגברה נקראת מדורגת באופן סופי (finitely graded) אם הממד של כל רכיב הומוגני הוא סופי.
אלגברה מדורגת נקראת קשירה אם הממד של הרכיב ההומוגני המתאים לאבר הטריוויאלי הוא חד-ממדי.
בהגדרה שניתנה לעיל, האינדקסים של המרכיבים ההומוגניים הם המספרים הטבעיים, והדרגה מתאימה לחיבור של מספרים טבעיים.
באופן כללי יותר, אפשר להגדיר אלגברה מדורגת ביחס ל-, כאשר הוא מונואיד (בדרך-כלל דורשים שיהיה קומוטטיבי), כאלגברה המתפרקת לסכום ישר , כאשר בהתאם לפעולת החיבור במונואיד.
המקרים החשובים ביותר הם דירוג ביחס למספרים הטבעיים, דירוג ביחס ל- (אלו נקראות בדרך-כלל סופר-אלגברות), ודירוג ביחס לחבורת המספרים השלמים.
הנחות נוספות על המונויד משפיעות על התאוריה של האלגברות המדורגות לפיו.
בפרט, יש הבדלים תאורטיים בין דירוג ביחס לחבורה לדירוג ביחס למונויד סדור.
בדירוג ביחס לחבורה מבחינים בין כמה סוגים: האלגברה מדורגת חזק (strongly graded) אם (שוויון, ולא הכלה סתם); האלגברה נקראת מכפלה משולבת אם כל מרכיב הומוגני כולל איבר הפיך; הדירוג נקרא עדין אם המימד של מרכיב הומוגני הוא 0 או 1 (אם כל הממדים 1, האלגברה מוכרחה להיות מכפלה משולבת).
לדוגמה, כל אלגברת חבורה מדורגת באופן עדין ביחס לחבורה המתאימה.
אידיאל של אלגברה מדורגת הוא אידיאל הומוגני, אם הוא מתפרק לסכום ישר ; במילים אחרות, הוא נוצר על ידי איברים הומוגניים.
במקרה כזה, גם חוג המנה הוא מדורג, .
לכל אידיאל ניתן להגדיר את הליבה ההומוגנית שלו בתור סכום האידיאלים ההומוגניים המוכלים בו, או באופן שקול בתור האידיאל ההומוגני המקסימלי המוכל בו.
האידיאל ההומוגני נקרא ראשוני אם לכל שני אידיאלים מדורגים מתקיים או אם .
אוסף האידיאלים הראשוניים המדורגים של החוג הוא הספקטרום הראשוני של החוג, ומסמנים - הרדיקל הראשוני המדורג.
החוג נקרא מדורג ראשוני למחצה אם , וכמו במקרה הלא מדורג, זה קורה אם ורק אם אין לו אידיאלים מדורגים נילפוטנטיים.
משפט של Bahturin-Sehgal-Zaicev מאפיין את כל הדירוגים האפשריים של אלגברה פשוטה מממד סופי ביחס לחבורה סופית.
מודול מדורג שמאלי מעל חוג מדורג , הוא מודול מהצורה , כך שכל היא תת-חבורה של , ו-.
איברי תתי החבורות נקראים איברים הומוגניים.
תת-מודול הוא תת-מודול מדורג אם מתקיים , ובמקרה זה על מודול המנה מוגדר מבנה מדורג לפי .
הומומורפיזם מודולים מדורגים הוא הומומורפיזם מודולים כך שמתקיים .
מודולים מדורגים שמאליים וההומומורפיזמים שלהם יוצרים את הקטגוריה של המודולים המדורגים השמאליים.
בקטגוריה זו ניתן להגדיר מונחים מקבילים לתורת המודולים הרגילה, כמו סכום ישר, תת-מודול גדול, מודול פרויקטיבי, מודול אינג'קטיבי וכו'.
כאשר מתעלמים ממבנה הדירוג הם עדיין נשארים כאלה.
ישנן תכונות שנשמרות באופן מלא כששוכחים מהדירוג, כמו היותו של תת-מודול גדול, או היותו מחובר ישר.
מודול מדורג הוא פשוט אם אין לו תת-מודולים מדורגים פרט לטריוויאליים, ופשוט למחצה אם הוא סכום ישר של פשוטים.
תת-מודול מדורג הוא מקסימלי אם הוא מדורג פשוט.
התשתית (אלגברה) של מודול מדורג היא סכום תתי המודולים המדורגים הפשוטים שלו, ומסומנת .
היא שווה לחיתוך כל תת-המודולים הגדולים, ומתקיים .
כל מודול פשוט איזומורפי לתת-מודול מדורג של מודול מדורג כלשהו (מעל אותו החוג עם דירוג סופי).
רדיקל ג'ייקובסון של מודול-מדורג, המסומן , הוא חיתוך כל תתי-המודולים המדורגים המקסימליים.
מתקיימת למת נקאימה בגרסה המדורגת - אם מודול מדורג שמאלי נוצר סופית, אז .
אם מודול מעל עצמו, מתקיים , וכן .