tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
הדיווח המוקדם ביותר על עלייה לקבר שמואל הנביא הוא מהמאה ה-15. העלייה הייתה בכ"ח באייר, יום פטירתו של שמואל, ועד חג השבועות.
בדיווחים מתוארות הגעה מרחבי המזרח התיכון להשתחוות על הקבר, הדלקת מדורות, נרות והבערת שמן, תפילה, בכי, לימוד מספר שמואל ומהזהר, סעודה, שתייה ושירה, גילוח ראשי ילדים, הבאת ספר תורה מירושלים, גיוס תרומות, והילולה שנמשכת מספר ימים.
רעיון ההדלקה לציון פטירתו של צדיק, וכן של שריפת שמן וחפצי ערך, מקורה ככל הנראה במנהג קדום של שריפת גופות מלכים וחפציהם שהיה נהוג עוד בתקופת התלמוד.
במאה ה-16 נאסר על היהודים לקיים את הילולת שמואל הנביא.
ככל הנראה, הועברה ההילולה למירון בי"ח באייר, שהיה יום בעל משמעות, כאמור.
משם מנהגי ההילולה, וכן הייחוס של פטירת הקדוש ליום.
החל מהמאה ה-16 כבר לא קיימות עדויות על מנהגי מים.
חיזוק לכך ניתן למצוא בשיבושים שונים לאורך הדורות, שהפכו את אחד הדיווחים על ההילולה בירושלים לדיווח על הילולת הרשב"י בל"ג בעומר.
מדובר במקור שנוטים לראות בו באופן שגוי כמקור קדום יותר לקיומה של הילולה בקבר רשב"י, והוא מכתב מהמאה ה-15 ששלח רבי עובדיה מברטנורה.
במכתב הוא מספר לכאורה על ההילולה, אך למעשה מדובר בשיבוש שהוכנס במכתב מסוף המאה ה-19. במכתב כלל לא הוזכר התאריך ל"ג בעומר וקברו של רשב"י, אלא קברו של שמואל הנביא.
בתקופת המנדט הבריטי, עם השיפור באמצעי התחבורה, הלך וגדל מספר המשתתפים בהילולה השנתית, כאשר העיר חיפה שימשה לרבים תחנת מעבר בדרך למירון, דרך שנמשכה מעל יום.
ההילולה התקיימה מדי שנה, למעט במלחמת העצמאות בשנת 1948, אז נשלט הכפר הערבי ששכן במירון בידי צבא ההצלה של קאוקג'י.
על פי מקורות אחדים, חדרה לכפר בליל ל"ג בעומר כיתת חבלה מצפת, שפוצצה בית מרכזי בכפר כתחליף להילולה, אך לסיפור זה אין ראיות מהמקורות ההיסטוריים.
החל מ־1949 מתקיימת ברציפות ההילולה השנתית של ל"ג בעומר במירון, למעט בשנת 1967 שבו קוים האירוע באופן מצומצם ביותר, בעקבות ההאפלה ששררה בארץ בתקופת ההמתנה ערב מלחמת ששת הימים, ובשנת 2024 בשל מלחמת חרבות ברזל.
בשנים הראשונות נעשה ויסות במספר העולים בשל המצב הרעוע של המבנים במירון, אך כעבור מספר שנים הוסרה ההגבלה.
עם זאת, מספר העולים הרב לא התאים לתנאים במקום, ובאי ההילולה סבלו מבעיות סניטציה ניכרות.
לצד ההילולה התקיימו במקום תופעות שונות כדוגמת דוכני מסחר, שחיטה בלתי מפוקחת של בעלי חיים, ובמידה מצומצמת גם פשע, כייסות והימורים.
מספר ימים קודם להילולה הוקמו בסמוך למתחם אוהלים, שנועדו למגורי חלק מעולי ההילולה.
במשך השנים הושקעו במתחם כספים רבים של מדינת ישראל לצורך הסדרת המתחם, הדרכים המובילות אליו וההילולה, עם השנים נעלמו כמעט לגמרי נוהגי השחיטה השחורה, וההימורים.
לצד מירון נסללו חניוני ענק, המיועדים לשימוש אך ורק בהילולה, לצד חניונים מיוחדים נוספים באזורים רחוקים יותר.
בראשית המאה ה־21 הוכשרו מתחמי הדלקה וריקודים נוספים בסמוך למתחם הקבר, ונוספו הדלקות נוספות הנעשות על ידי רבנים ואדמו"רים שונים במהלך ליל ויום ל"ג בעומר, שחלקם באים יחד עם קבוצת חסידים גדולה.
מירון שוכנת באזור הררי ומובילים אליה כבישים צרים יחסית, המתקשים לשאת את כמות המבקרים הגדולה.
בשל עומסי תנועה ניכרים שאירעו באחת השנים, הוחלט כי הגישה להילולה תהיה באמצעות תחבורה ציבורית בלבד, בעוד כלי רכב פרטיים יחנו בחניונים קרובים מהם יופעלו הסעות.
מ־2014 הוחלט להרחיק עוד את הרכבים הפרטיים ואת האוטובוסים של המסיעים הפרטיים לחניונים מרוחקים, בשל עומסי תנועה ניכרים שנגרמו שנה קודם לכן באזור.
להילולה מופעלים קווי תחבורה ציבורית מיוחדים, שמוצאם (נכון ל־2016) הוא בריכוזי אוכלוסייה חרדים.
במשך ההילולה מופעלות אלפי נסיעות על ידי יותר מ־1,500 אוטובוסים המגויסים למבצע מכל רחבי הארץ ומחברות תחבורה ציבורית ומסיעים פרטיים שונים, והופכות אותו לאירוע התחבורה הציבורית השנתי הגדול בישראל.
כמות זו מחייבת התארגנות מיוחדת של מפעילי תחבורה ציבורית, שכוללת אף דילול של נסיעות רגילות ברחבי הארץ.
בשעות השיא של האירוע נחסמים כל הכבישים מסביב, למעט לתושבי האזור, ולאח"מים ובעלי תפקיד מיוחדים בעלי אישור.
על מנת להפריד בין תנועת הולכי הרגל לתנועת האוטובוסים נחפרה בשנת 2009 מנהרה מיוחדת להולכי רגל מתחת לכביש 866, המקשרת בין הכניסה למירון ובין חניון האוטובוסים ותחנות ההעלאה.
מנהרה זו נמצאת בשימוש בלעדי בל"ג בעומר (ובאירועים מצומצמים וקצרים במהלך השנה), בעוד במשך השנה כמעט ואין נעשה בה שימוש בשל כמות הולכי רגל זעומה במקום.
להסדרת כל האירועים הוקמה עמותת אור הרשב"י.
נכון ל־2016 נעשה שימוש בחניונים בכרמיאל, חצור הגלילית, צפת, צבעון (לכלי רכב פרטיים), ספסופה, עין זיתים, פרוד ועין הוזים (לאוטובוסים), כאשר חלק מהחניונים מיוחדים לאירועי ל"ג בעומר, ולא נעשה בהם שימוש במשך השנה.
במשך השנים גבר חלקו של הציבור החרדי בקרב העולים להילולה (ביחוד הציבור החרדי-חסידי), ונכון ל־2016 הוא מהווה חלק דומיננטי מציבור העולים להילולה.
בשנת 2020 - ה'תש"פ, בשל מגפת הקורונה, הגבילה המשטרה את מספר המשתתפים בהילולת רבי שמעון בר יוחאי ל־150 אנשים בלבד, והתקיימו שלוש הדלקות בלבד.
בהילולא בל"ג בעומר ה'תשפ"א - 2021, התרחש אסון הר מירון וההילולא הופסקה בידי המשטרה.
בהילולא בל"ג בעומר ה'תשפ"ב - 2022, בעקבות האסון ניהל את הילולא "פרויקטור מירון" צבי טסלר לממונה מירון על ידי השר לשירותי דת מתן כהנא.
כהנא החליט לבטל כליל את כל ההדלקות הנוספות מלבד ההדלקה המרכזית של חסידות בויאן; כניסה לאירוע הותנתה ברכישת כרטיס נסיעה שהיווה כרטיס שהייה בהר; השהות בהר הוגבלה ל-4 שעות מהזמן המשוער להגעת האוטובוס למירון; איסור על חלוקת המזון בהר; איסור הצבת דוכנים ובניית מאהלים סביב הקבר.
בהילולא בל"ג בעומר תשפ"ד - 2024 בעקבות המצב הביטחוני בצפון (מלחמת חרבות ברזל), הוחלט על סגירת כל אזור הר מירון והפיכתו לשטח צבאי סגור, בהר התקיימו שלוש הדלקות מצומצמות בהשתתפות שלושים איש בלבד בכל הדלקה.
אף על פי שהאזור הוכרז כשטח צבאי, מאות חרדים הגיעו ביום ל"ג בעומר באוטובוסים על מנת לנסות לעלות ולהתפלל בהר.
מהמקום הורחקו יותר מאלף בני אדם שלא הורשו להיכנס אליו, ואלפים נוספים נחסמו בכבישים המובילים לאתר.
בתיעודים שהופצו משם וחוללו סערה נראו כמה מקרים של אלימות משטרתית, באחד מהם נראה שוטר מג"ב דוחף קשיש חרדי שמוטח על הקרקע בעוצמה.
בתיעודים נוספים נראית שוטרת דוחפת אישה ובועטת בה, שוטר מג"ב שיורה באוויר וכן נראים צוותים רפואיים מטפלים באדם מחוסר הכרה שרוע על הקרקע, לאחר שהוכה בידי שוטרים.
במשטרה גינו כבר את התנהלות השוטרים, והודיעו על הרחקתם מפעילות מבצעית עד מיצוי הבירור בעניינם.
אך הבהירו כי גם השוטרים ספגו אלימות במהומות, ומסרו כי 19 שוטרים נפצעו ופונו לטיפול רפואי לאחר שהושלכו לעברם חפצים שונים.
שני שוטרי נחקרו במח"ש באזהרה, והם שוחררו בתנאים מגבילים
סדר ההילולה הוא מעמד ההדלקה על גג הקבר בליל ההדלקה; ההילולה בחצר רחבת הקבר באותו הערב; ההילולה בחצר למחרת ערב ההדלקה; טקס החלאקה.
ההדלקה המרכזית בקבר רבי שמעון
הוא עצמו לא זכה להגיע ארצה, אך צאצאיו, אדמו"רי בויאן (או באיאן, בכתיבה מסורתית) שירשו ממנו את זכות ההדלקה, הגיעו מדי פעם למירון וזכו לקיים את שירשו מאבותיהם.
עם זאת, במשך רוב השנים הייתה ההדלקה מתקיימת על ידי רבני העיר צפת בתורת "שליח" של האדמו"ר מבויאן, החל מרבי שמואל הלר ואחריו צאצאיו הרבנים לבית זילברמן.
בדור האחרון היה מדליק הרב שמחה קפלן רבה של צפת, ואף כשהחל האדמו"ר הנוכחי מבויאן להדליק, היה עושה זאת יחד עם הרב קפלן כשהם מחזיקים את הלפיד יחדיו.
מאז פטירת הרב קפלן, מדי שנה בשנה, מדליק את ה"הדלקה" האדמו"ר מבויאן, רבי נחום דב ברייאר, נין-נכדו של האדמו"ר מרוז'ין.
במקביל להדלקה המרכזית על גג הציון, החלו בשנים האחרונות רבנים ואדמורי"ם נוספים לערוך הדלקות, וזאת בשטחים שהוכשרו סביב לציון הרשב"י, במעלה ההר.
הוותיקים שבהם הם הדלקת הציבור הספרדי על ידי הראשון לציון והאדמורי"ם מקרלין וזוויהל.
מאמצע העשור הראשון של המאה ה-21 גם חסידות תולדות אהרן החלה לערוך אירוע גדול במירון, במוצאי ל"ג בעומר.
הדלקה זו למעשה מסכמת את סדרת אירועי החג ונועלת באופן סופי את הילולת הרשב"י.
בבוקר שלאחר ה"הדלקה" בחצר שליד מקום ציון קברו של רשב"י, נוהגים לערוך את טקס החלאקה, בו נוהגים לספר לראשונה, בטקס חגיגי, את שערות ראשם של הילדים שהגיעו לגיל שלוש, את הטקס מלווה בדרך כלל נגינה של כליזמרים.
מלבד ל"ג בעומר נוהגים לעשות חלאקה במירון במשך כל השנה כולה.
הרב שמואל עבו, אבי משפחת עבו, רכש בכסף מלא את חלקת הקבר של הרשב"י במירון במחצית הראשונה של המאה ה-19, שנים ספורות לאחר עלייתו.
הוא גידר את חלקת הקבר והקים שם את מבנה בית הכנסת ההיסטורי הקיים עד עצם היום הזה.
בערב ל"ג בעומר 1833 הובל ספר תורה על שמו בחגיגיות מביתם של משפחת עבו בצפת אל קבר הרשב"י במירון, ומאז נהוגה תהלוכה זו.
ההילולה מאופיינת בנגינה ובריקודים רבים.
במאה ה-19 היו הריקודים מזרחיים, ומילותיהם בעיקר בערבית.
בתקופה זו נכנסו לראשונה ריקודי חרבות, שהועתקו ככל הנראה ממנהגי הערבים.
כמו כן הריקודים תוארו כמעורבים.
ההילולה נחגגה אז בעיקר על ידי ספרדים.
עם הזמן, גם החסידים (האשכנזים) אימצו את הריקודים המזרחיים, אך עם פזמוני בר יוחאי עבריים.
הריקודים בוצעו במעגל, ובמרכזו רקד "המנצח על המחולות", שתפקידו להוביל את הריקוד ולהלהיב את הרוקדים.
על פי דיווח מסוף המאה ה-20, במעמד ההדלקה, הריקודים החסידיים נעשים סביב עמוד ההדלקה, וקיים בהם תפקיד "המנצח על המחולות והזמרה".
תפקיד זה עשוי להתחלף באופן ספונטני.
הריקודים הם תוך אקסטאזה גדולה.
בליל ההדלקה, לאחר מכן, הריקודים הם ריקודי מעגל המוניים בחבורות חסידיות.
בהמשך, נוספים ניגוני כליזמרים, ותוך כדי מתבצעים "ריקודי הופעה" ספונטניים של רקדנים מצטיינים.
ריקודי מעגל נוספים, קטנים יותר, מתבצעים בבוקר שלמחרת ליל ההדלקה.
בהמשך היום סובבים מעגלי הריקוד סביב אבות ובנים המשתתפים בחלאקה.
במהלך המאה ה-20 נוסדו ניגונים מסוימים שהובאו מהתפוצות השונות, שיוחדו למירון, באופן עממי.
ריקודי החסידים פרחו, והפכו לדומיננטיים.
גם ביום שלמחרת ההדלקה, בו נעשתה החלאקה, התקיימו ריקודים נוספים עם אבוקות, והליכה לקבר ר' יוחנן הסנדלר.
באותה התקופה, זו הייתה הדלקה משנית אותה ביצעו האשכנזים.
הריקודים והשמחה הותירו רושם רב על המבקרים במקום, כדוגמת תיאורו של ש"י עגנון על ההילולה:
ההדלקה בקבר רבי יוחנן הסנדלר
לאחר ההדלקה על גג ציון קברו של רשב"י, נהוג לקיים הדלקה שנייה, בשעה 2 בלילה, סמוך לקברו של רבי יוחנן הסנדלר.
לאחריה, הכליזמרים מנגנים עד תפילת הנץ החמה.
מנהג ההדלקה קדום, והוא חודש על ידי יצחק צבי (הערשל) הרץ שקיימו החל משנת תרמ"ה.
לאחר פטירתו בשנת תשכ"ג מילא את מקומו חתנו אברהם (אברום) שפר עד תשע"ג (כמה ימים לפני ל"ג בעומר תשע"ד הוא נפטר).
חגיגה זו שקטה באופיה, אין רוקדים בה, אלא יושבים ומאזינים לנגני הכליזמר המנגנים את ניגוני מירון המסורתיים.
בשנת 1911, התמוטט מעקה מרפסת, תוך כדי ההילולה ושבעה אנשים נהרגו.
בהילולה של שנת ה'תשפ"א, 30 באפריל 2021, התרחש אסון במקום בו נהרגו 45 אנשים עקב תדחוקת קהל, ונפצעו למעלה ממאה וחמישים איש.
היה זה אירוע רב-נפגעים האזרחי הגדול ביותר בתולדות מדינת ישראל.
בעקבות האסון, הקימה ממשלת ישראל ועדת חקירה ממלכתית.
בראש הוועדה עמדה, עד לפטירתה, נשיאת בית המשפט העליון בדימוס מרים נאור, ומראשית פברואר 2022 עמדה בראשה השופטת בדימוס דבורה ברלינר.
לחברי הוועדה מונו ראש עיריית בני ברק לשעבר, הרב מרדכי קרליץ, ואלוף במילואים שלמה ינאי.
ממסקנות הוועדה: מקור האסון בניהול לקוי של האתר עצמו ושל האירוע, כאשר לחצים פוליטיים השפיעו לרעה על הליך קבלת ההחלטות ומנעו ניסיונות לשפר את מצבו.
מנהגי שמחה בל"ג בעומר שכללו השחתת רכוש בהשלכתו לאש, למול מנהגי האבלות הקשורים בספירת העומר (במהלכו חל האירוע), עוררו ביקורת מאז תחילתה ועד ימינו.
בין השאר מיוחסת התנגדות להילולה לרב יוסף קארו, התנגדות שנבלמה על ידי האר"י.
לאחר שהחל היום להתפשט בעם, התנגדו רבים מחכמי ישראל להפיכת ל"ג בעומר ליום טוב, והחת"ם סופר כותב: לדעת החת"ם סופר אין לעלות כלל למירון בל"ג בעומר, משום שלא ייתכן עוד מקום שיעשו אליו עלייה לרגל חוץ מירושלים.
גם המנהג לשרוף בגדים היה שנוי במחלוקת, משום איסור "בל תשחית".
ביקורת על האירוע ומנהגיו הובעה גם על ידי תיירים שהגיעו מחוץ לארץ, על ידי יחיאל מיכל פינס, על ידי צבי שרפשטיין שביקר במקום בשנת 1926 ובמכתב לאשתו, כתב דברי ביקורת על מה שבעיניו היו אמונות תפלות ותפילות והשתטחויות נלהבות עד כדי אקסטזה של נשים וגברים.
וכן בתקופה המודרנית על ידי תושבי מירון ועיתונאים לנוכח נזקים שנגרמו למקום בהילולה, ומאפיינים בעייתיים שונים כדוגמת שחיטה ללא פיקוח, שתיית אלכוהול רבה, שמצאו מקומם בשולי ההילולה.
הילוך מקרי (מכונה גם "הילוך שיכור" ומהלך אקראי) הוא סוג של תהליך סטוכסטי, המתאר תנועה אקראית לאורך זמן בדיד או רציף.
הילוך מקרי הוצג לראשונה על ידי קרל פירסון בשנת 1905.
לדוגמה, המצב הכספי של מהמר המשתתף בהימורים רבים בזה אחר זה ניתן למידול כהילוך מקרי.
מודלים של הילוך מקרי משמשים בתחומים רבים: אקולוגיה, כלכלה, פסיכולוגיה, מדעי המחשב, פיזיקה, כימיה וביולוגיה.
הילוכים מקריים יכולים להיות על גרפים, על ישר, במישור ובכלל בממדים גבוהים יותר, כמו גם על גבי משטחים.
הילוכים מקריים מתוארים כתלויים במשתנה של זמן, בדיד או רציף.
תהא סדרה של משתנים מקריים, בלתי תלויים ושווי-התפלגות.
אז סדרת המשתנים המקריים היא הילוך מקרי בזמן בדיד.
כאשר סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות המייצגים את ה"קפיצות", ו- הוא מספר הצעדים בקטע , כלומר מספר הצעדים שהתרחשו עד לזמן .
משפחת המשתנים המקריים היא הילוך מקרי בזמן רציף.
באופן מדויק יותר, הילוך מקרי רציף בו הקפיצות בלתי-תלויות, מכונה ספרבילי.
ישנה גם הגדרה להילוך מקרי בזמן רציף שאינו ספרבילי דווקא.
נשים לב כי פונקציית הצפיפות של ההילוך בזמן עבור ערך כלשהו, היא סכום על כל , של האפשרות לקבל ב- צעדים את הערך , בהינתן שהתבצעו צעדים אחרי זמן .
עם השאלות הטבעיות שניתן לשאול על הילוך מקרי במרחב אינסופי עם שורש מוגדר (כגון הילוך מקרי על חבורה), אפשר למנות את קצב הגידול של המרחק מהשורש, האנטרופיה של המקום וקצב הדעיכה של הסתברות החזרה (אותו אפשר לקשור לאמנביליות לפי משפט של Kesten).
מודל פופולרי הוא של הילוך מקרי על סריג, בו בכל שלב הסמן קופץ לאתר אחר בהתאמה להתפלגות מסוימת.
במקרה של הילוך מקרי פשוט, הסמן יכול לנוע רק אל אתרים שכנים על פני הסריג.
במקרה פשוט של הילוך מקרי סימטרי על סריג בו מספר השכנים של כל קודקוד סופי, ההסתברות זהה עבור קפיצה לכל אחד מהשכנים.
כלומר, בכל קודקוד, הצעד הבא מפולג אחיד על פני הקודקודים השכנים.
הדוגמה היסודית ביותר היא של הילוך מקרי על הסריג השלם ה-d-ממדי (המכונה לעיתים סריג על קובייתי) .
הילוך מקרי על סריג חד-ממדי
דוגמה יסודית היא הילוך מקרי על ציר המספרים השלמים (), אשר מתחילה ב-0 ובכל שלב נעה 1+ או 1- בהסתברות שווה.
ניתן לתאר הילוך זה באופן הבא: סמן ממוקם על ציר המספרים השלמים בנקודה ומטבע הוגן מוטל.
אם המטבע נוחת על עץ, הסמן מועבר לנקודה , ואם על פלי, הסמן מועבר לנקודה .
ראו איור להלן להמחשה של התוצאות האפשריות של 5 הטלות.
כדי להגדיר הילוך זה באופן פורמלי, נתבונן בסדרת משתנים מקריים בלתי תלויים , כאשר כל משתנה הוא בעל ערך של 1 או 1- בהסתברות שווה, ונקבע כי ו- .
הסדרה נקראת הילוך מקרי על .
התוחלת של () היא אפס.
כלומר, הממוצע של כל הטלות המטבע שואף לאפס כגידול במספר הטלות.
זה נובע מתכונת האדיטיביות של התוחלת:
חישוב דומה הנעזר בחוסר התלות של המשתנים המקריים והעובדה ש מראה כי:
מה שמרמז כי , מרחק ההזזות הצפוי לאחר n צעדים, צריך להיות מסדר גודל של .
תוצאה זו מראה כי דיפוזיה אינה יעילה לערבוב, בגלל הדרך שבה השורש הריבועי מתנהג עבור גדול.
נשאלת השאלה "כמה פעמים ההילוך המקרי יחזור לנקודת ההתחלה לו נאפשר לו להימשך לנצח?".
הילוך מקרי פשוט ב- יחצה כל נקודה מספר אינסופי של פעמים בהסתברות 1. לתוצאה זו ישנם שמות רבים: "תופעה חוצת רמות", "הישנות" או "חורבן המהמר".
הסיבה לשם האחרון היא כדלקמן: מהמר עם כמות סופית של כסף בסופו של דבר יפסיד בעת שישחק משחק הוגן כנגד "הבית", לצורך העניין עם כמות אינסופית של כסף.
הכסף של המהמר יבצע הילוך מקרי שבשלב מסוים יגיע לאפס ויסיים את המשחק.
אם a ו-b הם שלמים וחיוביים, אזי המספר הצפוי של צעדים עד שהילוך מקרי פשוט חד-ממדי המתחיל ב-0 יגיע לנקודה b או a- הוא .
ההסתברות שהילוך מקרי זה יגיע ל-b לפני a- היא , טיעון שיכול למשל לנבוע מהעובדה שהילוך מקרי פשוט הוא מרטינגל.
חלק מהתוצאות שהוזכרו לעיל ניתן להסיק ממאפייני משולש פסקל.
מספר ההליכות השונות בעלי n צעדים בהם כל צעד הוא אורך אחד, ימינה או שמאלה, הוא 2n.
עבור הילוך מקרי פשוט, כל אחת מההליכות האלו סבירה באותה מידה.
על מנת ש- Sn יהיה שווה למספר k הכרחי ומספיק עבורנו שמספר הפעמים אשר יתבצע צעד ימינה יעלה על אלה ששמאלה ב-k פעמים.
מספר ההליכות אשר מקיים שווה למספר הדרכים של בחירת n + k)/2) אלמנטים מתוך n, כלומר :.כדי שהביטוי הנ"ל יהיה שונה מאפס, יש צורך שיתקיים כי n + k יהיה מספר זוגי.
לכן, ההסתברות ש שווה ל.
על ידי ייצוג ערכים של משולש פסקל במונחים של עצרת ושימוש בנוסחת סטרלינג, אפשרי לקבל אומדנים טובים להסתברויות הבאות לערכים גדולים של .
אם המרחב מוגבל רק למספרים הטבעיים +, מספר הדרכים שבהן הילוך מקרי ינחת על כל מספר נתון בחמש הטלות יכול להיות מוצג כ־{0,5,0,4,0,1}.
יחס זה עם משולש פסקל בא לידי ביטוי עבור ערכים קטנים של n .
באפס הטלות, האפשרות היחידה תהיה להישאר באפס.
בהטלה אחת, יש אפשרות אחת של נחיתה על 1- ואפשרות אחת של נחיתה על 1. בשתי הטלות, סמן הנמצא ב-1 יכול לזוז עד 2 או חזרה לאפס.
לכן, יש סיכוי אחד של נחיתה על 2-, שני סיכויים של נחיתה על אפס, וסיכוי של נחיתה אחת על 2.
משפט הגבול המרכזי ו-law of the iterated logarithm מתארים היבטים חשובים של התנהגות של הילוך מקרי פשוט ב-.
בפרט, משפט הגבול המרכזי טוען כי כאשר n גדל, ההסתברות (פרופורציונלי למספרים בכל שורה) מתקרבת להתפלגות נורמלית.
כהכללה ישירה, אחד יכול לשקול הילוך מקרי על סריג גבישי.
למעשה זה אפשרי לקיים את משפט הגבול המרכזי ומשפט הסטייה הגדול בהגדרה זו.
הילוך מקרי חד-ממדי הוא גם מודל של שרשרת מרקוב, אשר מרחב המצבים שלה ניתן על ידי השלמים עבור מספר כלשהו p אשר מקיים , הסתברויות המעבר (ההסתברות של Pi,j לעבור ממצב i למצב j) נתון בתור: .
ניתן לחשוב על שיכור שהולך בצורה אקראית בעיר.
העיר היא בגודל אינסופי ומסודרת ברשת ריבועית, ובכל צומת השיכור בוחר אחד מארבעת המסלולים האפשריים (כולל האחד שממנו בא) בהסתברות שווה.
האם השיכור יחזור לביתו מהבר?
זו מקבילה בשני ממדים של הבעיה שדנו בה לעיל.
במקרה של הילוך מקרי 2-ממדי, התשובה היא כמעט בוודאות כן.
אבל עבור 3 ממדים או גבוהים יותר, ההסתברות של חזרה למקור יורדת ככל שגדל מספר הממדים.
בשלושה ממדים, ההסתברות יורדת לכ-34%.
המסלול של הילוך מקרי הוא אוסף האתרים שבהם הוא ביקר, האתרים נחשבים כסט עם התעלמות ל"מתי" ההילוך הגיע לנקודה.
בממד אחד, המסלול הוא פשוט כל הנקודות בין הגובה המינימלי והמקסימום שההילוך השיג (שניהם בממוצע מסדר גודל של √n).בממדים גבוהים יותר לסט יש מאפיינים גאומטריים מעניינים.
המתמטיקאי שיזואו קאקוטאני נודע כמי שהתייחס לתוצאה זו עם הציטוט הבא: "אדם שיכור ימצא את דרכו הביתה, אולם ציפור שיכורה עלולה ללכת לאיבוד לנצח".
תהליך וינר הוא תהליך סטוכסטי עם התנהגות דומה לזו תנועה בראונית (לפעמים תהליך וינר נקרא "תנועה בראונית", אם כי מדובר בבלבול בין תופעה למודל המתאר אותה).
תהליך וינר הוא גבול הסקאלה של הילוך מקרי בממד 1. זה אומר שאם לוקחים הילוך מקרי עם צעדים קטנים מאוד, מתקבל קירוב לתהליך וינר (ופחות מדויק, לתנועה בראונית).
לייתר דיוק, אם גודל הצעד הוא ε, צריך לבצע הילוך באורך L/ε2 לעורך וינר משוער של L .
ככל שגודל הצעד נוטה ל-0 (ומספר הצעדים גדל באופן יחסי) הילוך מקרי מתכנס לתהליך וינר.
באופן פורמלי, אם B הוא המרחב של כל הנתיבים באורך L עם הטופולוגיה המרבית, ואם M הוא המרחב של המדידה מעל B עם טופולוגיה הנורמה, אז ההתכנסות היא במרחב M .
באופן דומה, תהליך וינר בכמה ממדים הוא גבול קנה המידה של הילוך מקרי באותו מספר הממדים.
הילוך מקרי הוא פרקטל בדיד (פונקציה עם ממדים שלמים; 1,2,...), אבל מסלול תהליך וינר הוא פרקטל אמיתי, ויש קשר בין שניהם.
לדוגמה, ביצוע צעדים מהילוך מקרי עד אשר המסלול עושה מעגל ברדיוס r·l (כאשר l הוא אורך הצעד).
המספר הממוצע של צעדים אשר הוא מבצע הוא r2. עובדה זו היא גרסה דיסקרטית של העובדה שתהליך וינר הוא פרקטל של ממד האוסדורף.
בשני ממדים, המספר הממוצע של הנקודות אשר לאותו ההילוך יש על השפה של מסלולו הוא r4/3. זה מתאים לעובדה שהגבול של המסלול בתהליך וינר הוא פרקטל של ממד 4/3, עובדה שחזה בנואה מנדלברוט בעזרת שימוש בסימולציות אבל הוכח רק בשנת 2000 על ידי ג'ורג לורל, עודד שרם, וונדלין ורנר.
תהליך וינר נהנה מהרבה סימטריות על פני הילוך מקרי.
לדוגמה, תהליך וינר הוא אינווריאנטי לסיבובים, בעוד הילוך מקרי לא, שכן הרשת הבסיסית היא לא (הילוך מקרי הוא אינווריאנטי לסיבובים ב-90 מעלות, אבל תהליכי וינר הם בלתי משתנה לסיבובים כללים, למשל, 17 מעלות).
משמעות הדבר היא כי במקרים רבים, בעיות של הילוך מקרי קלות יותר לפתור על ידי תרגומם לתהליך וינר, לפתור את הבעיה שם, ולאחר מכן לתרגום בחזרה.
מצד השני, כמה בעיות קלות יותר לפתור עם הילוכים מקריים בשל אופייה הבדיד.
הילוך מקרי ותהליך וינר יכולים להיות מצומדים, זה בא לידי ביטוי כאשר שניהם באותו מרחב ההסתברות באופן תלוי שמאלץ אותם להיות די קרובים.
הצימוד הפשוט ביותר הוא הטבעת Skorokhod, אבל צימודים אחרים, מדויקים יותר קיימים גם כן.
ההתכנסות של הילוך מקרי כלפי תהליך וינר נשלטת על ידי משפט הגבול המרכזי.
לחלקיק במיקום ידוע בt = 0, המשפט אומר לנו כי לאחר מספר רב של צעדים בהילוך מקרי עם עצמאות סטטיסטית, המיקום של החלקיק מתפלג לפי התפלגות נורמלית עם שונות:
כאשר t הוא הזמן שחלף מאז תחילת ההילוך המקרי, הוא גודל הצעד של ההילוך המקרי, ו הוא הזמן שחלף בין שני שלבים רצופים.
זה מתאים לפונקציית גרין של משוואת דיפוזיה אשר שולטת בתהליך וינר, מה שמוכיח כי, לאחר מספר רב של צעדים, מרחק ההילוך המקרי מתכנס לתהליך וינר.
בשלושה ממדים, השונות המקבילה לפונקציית גרין של משוואת דיפוזיה היא:
על ידי השוואת כמות זו עם השונות הקשורה למצב של הילוך מקרי, מקבלים את מקדם הדיפוזיה אשר מתאים לתהליך וינר אסימפטוטי אשר עבורו ההילוך המקרי מתכנס לאחר מספר רב של צעדים:
נשים לב כי בשני הביטויים של השונות מעל מתאימים להתפלגות הקשורה לווקטור המקשר את שני קצוות של ההילוך המקרי, בתלת־ממד.
השונות הקשורה לכל רכיב , or היא רק שליש מערך זה (עדיין בתלת־ממד).
הילוך מקרי אשר גודל הצעד בו משתנה כתלות בהתפלגות נורמלית, משמש כמודל לנתונים בזמן אמת כגון שווקים פיננסיים.
מודל בלק ושולס למשל, מציג נוסחה לאפיון מחירי אופציות המשתמשת בהילוך מקרי גאוסיאנית כהנחת בסיס.
כאן, גודל הצעד היא ההתפלגות נורמלית מצטברת ההפוכה כאשר 0 ≤ z ≤ 1 הוא מספר אקראי מפוזר באופן אחיד, וμ וσ הם הסטיות הממוצעת והסטנדרטיות של ההתפלגות הנורמלית, בהתאמה.
אם μ אינו אפס, ההילוך המקרי ישתנה בצורה ליניארית.
אם vs הוא הערך ההתחלתי של ההילוך המקרי, הערך הצפוי לאחר n צעדים יהיו vs + nμ.
למקרה המיוחד שבו μ שווה לאפס, אחרי n צעדים, התפלגות ההסתברות של מרחק ההזזה ניתנת על ידי N(0, nσ2), שכאשר N() הוא הסימון בהתפלגות הנורמלית, n הוא מספר הצעדים, וσ הוא משתנה של ההתפלגות הנורמלית המצטברת ההפוכה כמו שניתן לעיל.
הוכחה: הילוך מקרי גאוסיאני יכולה להיות מיוצג כסכום של סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים ואשר מתפלגים באופן זהה, Xi מההתפלגות הנורמלית המצטברת ההפוכה עם תוחלת ששווה לאפס ו-σ של הפוך המקורי מצטברים התפלגות נורמלית:
אבל יש לנו את התפלגות עבור הסכום של שני משתנים בלתי תלויים אשר מתפלגים נורמלית, Z = X + Y, והוא ניתן על ידי:
ולכן עבור n צעדים יש לנו:
לצעדים שהתפלגו על פי כל ההתפלגות עם תוחלת אפס ושונות סופיות (לא בהכרח רק התפלגות נורמלית), שורש ממוצע הריבועים עבור מרחק ההזזה לאחר n צעדים מתקבל כ:
אבל להילוך מקרי גאוסיאני, זה רק סטיית התקן של ההתפלגות של מרחק ההזזה לאחר n צעדים.
לפיכך, אם μ שווה לאפס, ומאחר ושורש ממוצע ריבועים (RMS) מרחק ההזזה הוא סטיית תקן אחת, יש הסתברות 68.27% שהמרחק ההזזה rms אחרי n צעדים ייפלו בין ± σ.
כמו כן, יש הסתברות של 50% שהמרחק ההזזה לאחר n צעדים ייפלו בין .
במערכות בעלות חוסר סדר כגון פרקטלים לא יכולה להיות פרופורציונלית ל אלא ל.
המעריך נקרא מעריך הדיפוזיה האנומלית ויכול להיות גדול יותר או קטן יותר מ-2.
דיפוזיה אנומלית יכולה גם לבוא לידי ביטוי כ-σr2 ~ Dtα כאשר α הוא פרמטר אנומליה.
מספר האתרים השונים אשר ביקר בהם מהלך בודד נחקר בהרחבה עבור סריג מממדים 2 ו-3, כמו כן עבור פרקטלים.
כמות זו שימושית לניתוח של בעיות של מילכוד ותגובות קינטית.
כמו כן כמות זו קשורה גם לצפיפות הרטט של המצבים
ההכללה של הבעיה הזו למספר האתרים השונים בהם ביקרו הילוכים, , לאחרונה נלמדה עבור d ממדים בסריג אוקלידי.
מספר האתרים השונים בהם ביקרו N הולכים אקראיים לא קשור בצורה פשוטה למספר האתרים השונים אשר ביקר בהם כל אחד מההולכים.
מספר סוגים של תהליכים סטוכסטיים אשר דומים להילוכים מקריים טהורים כבר נידונו, אבל במקרים של מבנה פשוט מותר להיות כלליים יותר.
המבנה הטהור יכול להיות מאופיין על ידי צעדים אשר מתפלגים בצורה עצמאית וזהה.
הילוך מקרי באורך K על גרף אינסופי G עם שורש 0 היא תהליך סטוכסטי עם משתנים מקריים כך ש ו- הוא קודקוד הנבחר באופן אקראי מהשכנים של .
לאחר מכן המספר הוא ההסתברות שהילוך באורך k המתחילה מv' מסתיימת בW.
בפרט, אם G הוא גרף עם שורש 0 , היא ההסתברות שלאחר צעדים ההילוך המקרי יחזור ל0.
נניח כעת שהעיר שלנו היא כבר לא רשת ריבוע מושלמת.
כאשר השיכור שלנו מגיע לצומת מסוימת הוא בוחר בין הכבישים הזמינים השונים בהסתברות שווה.
לכן, אם יש לצומת שבע יציאות השיכור יבחר בכל אחת עם הסתברות של שביעית.
האם השיכור שלנו יגיע לביתו?
מתברר שבתנאים לא כל כך קשים, התשובה היא עדיין כן.
לדוגמה, אם באורכים של כל אבני הם בין a ו-b (כאשר a ו-b הם כל שני מספרים חיוביים סופיים), אז השיכור כמעט בוודאות יגיע לביתו.
נשים לב שאין הנחה שהגרף הוא גרף מישורי, כלומר העיר עשויה להכיל מנהרות וגשרים.
דרך אחת להוכיח תוצאה זו היא באמצעות הקשר לרשתות חשמל.
ניקח מפה של העיר ונמקם נגד אחד של 0 אוהם בכל אזור.
עכשיו נמדוד את "ההתנגדות בין נקודה ואינסוף".
במילים אחרות, נבחר מספר R וניקח את כל הנקודות ברשת החשמל עם מרחק גדול יותר מ-R מהנקודה שלנו ונחבר בניהם.
זוהי עכשיו רשת חשמל סופית ואנו יכולים למדוד את ההתנגדות מהנקודה שבחרנו לנקודות המקושרות אם ניקח את R עד אינסוף.
המגבלה נקראת "ההתנגדות בין נקודה ואינסוף".
מתברר שהנ"ל הוא אמיתי (ניתן למצוא הוכחה יסודית בספרו של דויל וסנל - Doyle and Snell):
משפט: גרף הוא בתנועה (לש"מ), אם ורק אם ההתנגדות בין נקודה ואינסוף היא סופית.
זה לא חשוב שהנקודה נבחרה אם הגרף מחובר.
במילים אחרות, מערכת בתנועה (לש"מ), צריך רק להתגבר על התנגדות סופית להגיע לאינסוף מכל נקודה.
במערכת חוזרת ונשנית, ההתנגדות מכל נקודה לאינסוף היא אינסופית.
אפיון זה של מערכת חוזרת ונשנית ומערכת בתנועה הוא מאוד שימושי, ובמיוחד זה מאפשר לנו לנתח את המקרה של עיר אשר משורטטת במישור עם מרחקים מוגבלים.
הילוך מקרי על גרף הוא מקרה מיוחד של שרשרת מרקוב.
שלא כמו שרשרת מרקוב כללית, הילוך מקרי בגרף מקיים סימטרית זמן או הפיכות.
באופן כללי, התכונה הזו המכונה גם "תנאי איזון מפורט", משמעותן היא כי ההסתברויות לעבור דרך בכיוון אחד או אחר מקיימת קשר פשוט מאוד בין השניים (אם הגרף הוא גרף רגיל, ההסתברויות שוות).
יש למאפיין זה השלכות חשובות.
החל בשנת 1980, מחקר רב הושקע בחיבור תכונות של הגרף להילוכים מקריים.
בנוסף לחיבור לרשת החשמל שתואר לעיל, יש קשרים חשובים לאי-שוויון איזופרימטרי, אי-שוויון פונקציונלי כגון סובולב (סובולב אי שוויון) ופואנקרה (אי שוויון פואנקרה) והמאפיינים של הפתרונות של המשוואה לפלס.
חלק משמעותי של מחקר זה התמקד בגרף קיילי.
לדוגמה, ההוכחה דייב באייר ו פרסי דיאקוניס כי 7 ערבובי ריפל שאפל מספיקים כדי לערבב חפיסת הקלפים היא תוצאה על הילוך מקרי על החבורה הסימטרית , שמשתמשת באלגברה.
במקרים רבים תוצאות בדידות אלה נגזרות מהיריעה וחבורת לי.
הילוך מקרי עם אינטראקציה עצמית
ישנם מספר מודלים מעניינים של הילוכים מקריים בהם כל צעד תלוי בעבר באופן מסובך.
כולם מורכבים מידי לפתרון אנליטי מאשר ההילוך המקרי הרגיל; עדיין, ההתנהגות של כל מודל של הילוך מקרי היא בת השגה באמצעות מחשבים.
הילוך תוך כדי הימנעות עצמית.
הילוך מקרי תוך הימנעות עצמית באורך n ב־Z^d היא נתיב בן n צעדים אקראיים המתחיל בראשית, עושה מעברים רק בין אתרים סמוכים ב־Z^d, לא מבקר באותו אתר פעמיים, ונבחר באופן אחיד בין כל השבילים הללו.
בשני ממדים, בשל המילכוד העצמי, המרחק של הימנעות עצמית אופיינית הוא מאוד קצר, ואילו בממד גבוה יותר הוא גדל מעבר לכל גבול.
מודל זה לעיתים קרובות נעשה שימוש בפיזיקת פולימרים (מאז 1960).
הילוך מקרי מוחק לולאה (Gregory Lawler).
הילוך מקרי מחוזק (Robin Pemantle 2007).
הילוך מקרי ארוך טווח עם קורלציה
הילוך מקרי ארוך טווח עם קורלציה נמצא בהרבה מערכות ביולוגיות, אקלימיות וכלכליות.
סדרת זמן התנודתיות של מניות
אם נחזור על הניסוי עם עוד חלקיקים, N בסה"כ.
מה נוכל לומר על ההתפלגות של של החלקיקי השונים?
ראשית, לכל חלקיק בנפרד ברור כי מיקומו אחרי הצעד ה-n יהיה במרחק δ+ או δ– ממיקומו אחרי הצעד ה-(n-1), כלומר: .
כאשר אנו מצפים כי עבור מספר גדול של חלקיקים, לכחצי מהם יתאים סימן + ולכחצי סימן - .עכשיו נמצע על כל החלקיקים:
ניתן לראות שהממוצע על δ± נותן אפס, כי לחצי מהחלקיקים יש + ולחצי יש -.
המיקום הממוצע של החלקיקים איננו משתנה עם התקדמות הצעדים, והוא כמובן שווה לאפס, כי הבעיה סימטרית לגמרי.
אך מה לגבי הממוצע של ריבוע המרחק מהראשית?
שוב נבדוק את הקשר בין המצב אחרי הצעד ה-n למצב אחרי הצעד ה-(n-1):
ניתן לראות כי מטעמי סימטריה, אולם כעת האיבר השלישי באגף השמאלי אינו 0. ולכן נקבל:
הממוצע של המרחק בריבוע מהמרכז גדל בכל צעד ב-.
מאחר שאחרי אפס צעדים , נוכל לקבל כי .
המסקנה הזו מעניינת מאוד: בערך מוחלט, המרחק הממוצע מהראשית שחלקיק מגיע אליו ב-n צעדים הוא:
מעניין לראות כי חלקיק שעושה n צעדים שכולם באותו כיוון היה מגיע למרחק n·δ מהראשית.
משמעות הדבר שהיעילות של הילוך מקרי בהרחקת חלקיקים מהראשית מדוכאת פי יחסית לתנועה חופשית.
נבדק במקור על ידי מוריס קנדל (Maurice Kendall) בשנת 1953, התאוריה קובעת כי תנודות במחיר המניה אינן תלויות זה בזה להן את אותה התפלגות הסתברות, אבל על פני תקופה של זמן, המחירים ישמרו על מגמת עלייה.
כלומר, התייחסות של הילוך מקרי למחירי מניות, אומרת כי הסיכוי של המחיר העתידי של המניה לעלות זהה לסיכוי שלה לרדת.
השערת ההילוך המקרי היא תאוריה פיננסית, לפיה מחירי המניות בשוק מתפתחים בהתאם להילוך מקרי ולכן לא ניתן לחזות אותם.
זה עולה בקנה אחד עם תאוריית השוק היעיל.
את המושג ניתן לייחס לברוקר הצרפתי ז'יל רניו (Jules Regnault) שפרסם ספר בשנת 1863, ולאחר מכן למתמטיקאי הצרפתי לואי באשליה (Louis Bachelier) דוקטורנט אשר עבודתו שכותרתה "התאוריה של ספקולציה" (1900) כללה כמה תובנות ופרשנות ראויות לציון.
אותם הרעיונות פותחו מאוחר יותר על ידי בית הספר סלואן MIT של פרופסור פול קוטנר (Paul Cootner) בספר 1964 הוא "התווים אקראיים של מחירי שוק המניות".
המונח הפך לפופולרי בעקבות הספר, "הילוך מקרי בוול סטריט", 1973 על ידי ברטון מלכיאל (Burton Malkiel), פרופסור לכלכלה באוניברסיטת פרינסטון, והיה בשימוש קודם לכן במאמר של יוג'ין פאמה (Eugene Fama) ב-1965 "הילוך מקרי במחירי שוק המניות", שהיה גרסה פחות טכנית של תזת הדוקטורט.
התאוריה שמחירי המניות נעים באופן אקראי הוצעה קודם לכן על ידי מוריס קנדל (Maurice Kendall) במאמר ב-1953, "ניתוח של כלכלת סדרת הזמן, חלק 1: מחירים".
האקולוג הבריטי ג'ון סקלאם (John G.
Skellam) היה אחד הראשונים בספרות להשתמש בהילוכים מקריים למודל ספציפי של פיזור אוכלוסיות בעלי חיים.
סקלאם ולוין דנו בתוקף ובמגבלות של מודל ההילוך המקרי הפשוט והאיזוטרופיים, בפרט בבעיה של ריבוי אינסופי בסקלת זמן קטנה הנובעות מחוסר קורלציה, והעובדה שמודל זה לא יכול להסביר את אינטראקציה של יחידים או השתנות סביבה.
אוקובו (1980) דן במגוון רחב של בעיות דיפוזיה ביולוגית במגוון רחב של הגדרות, ומספק דיון מפורט בפיתוח והמגבלות של מודלים של הילוכים מקריים שונים.
מוריי (1993) נותן סקירה קצרה של כמה בעיות בדיפוזיה ביולוגית שיכולים למדל באמצעות מודלים של הילוך מקרי פשוט.
מילון מונחים שימושיים של מונחים הקשורים לתנועה מכוונת והילוכים מקריים על ידי טרנקוילו (Tranquillo) ואלט התפרסם בלט והופמן (1990), אשר מכיל הרבה מודלים אחרים של תנועה ביולוגית וכולל דיונים על מגבלות ניסיוניות של התבוננות בתנועה בקני מידה שונה.
תנועה של בעלי חיים ומיקרו-אורגניזמים כהילוך מקרי
פאטלק (Patlak) פיתח גרסה מורחבת של מודל ההילוך המקרי, אשר כלל קורלציה בין פעולות רצופות, לא הומוגניות בסביבה ובכוחות חיצוניים, וכמו כן אפשר למהירות ומרווח זמן בין שלבים להשתנות.
אך המודל הוא כלי כללי, ומעשי רק כאשר כמה הנחות מפשטות נעשות על התנועה.
"Siniff & Jessen" היה אחד הראשונים בספרות לשימוש במודל סימולציה של הילוך מקרי מתואם, שכלל את חלוקת פון מיזס כהתפלגות ההסתברות לזווית המפנה בכל שלב.
המשימה לשפוט את הדיוק הסטטיסטי של התוצאות של סימולציות בהשוואה לנתונים של תנועת שועל אשר נצפתה קשה מפני שאין קריטריון של טיב התאמה - הבעיה היא אחת מבעיות זיהוי תבנית.
לאבלי ודלקוויסט (1975) השתמש במודל של הילוך מקרי כדי לתאר את התנועה של חיידק Escherichia'' כאשר אין כיוון מועדף והראה כיצד להפיק מקדם הדיפוזיה לשטף של חיידקים.
הם דנו גם בכמה אמצעים סטטיסטיים בתפוצה רחבה כאשר יש כיוון מועדף, אבל לא קשר את זה למודל הילוך מקרי לתנועה של תאים בודדים.
הילוכים מקריים עם קורלציה כבר היו בשימוש על ידי הול (1977) כאשר לומד את התנועה של אמבה, Kareiva & Shigesada מודל פרפרי כרוב המטילים ביצים או בחיפוש לאתרי צוף, ועוד רבים אחרים.
Bovet & Benhamou הגדירו עד מודל סימולציה של הילוך מקרי עם קורלציה והציעו פיתולים כאמצעי המרחבי של המסלול שאינו תלוי באורך הדגימה שהוטל.
לאחרונה, באיירס (2000) השתמש בסימולציות של הילוכים מקריים מתואמים ללמוד פיזור חיפושיות קליפה ביערות, ובאיירס (2001) משתמש באותו מודל הסימולציה למצוא קורלציה בין שורש ממוצע הריבועים ומרחק פיזור.
בכלכלה פיננסית, "השערת ההילוך המקרי" משמשת מודל מחירי מניות וגורמים אחרים.
מחקרים אמפיריים מצאו כמה סטיות ממודל תאורטי זה, במיוחד בטווח קצר וקורלציות ארוכות טווח.
בגנטיקה של אוכלוסיות, הילוך מקרי מתאר את התכונות הסטטיסטיות של סחיפה גנטית.
בפיזיקה, הילוכים מקריים משמשים כמודלים מפושטים של תנועה בראונית ודיפוזיה כגון התנועה האקראית של מולקולות בנוזלים וגזים.
כמו כן, הילוכים מקריים, ובפרט כאלה עם אינטראקציה עצמית, משחקים תפקיד בתורת השדות הקוונטית.
באקולוגיה מתמטית, הילוכים מקריים משמשים לתיאור תנועות של בעלי חיים בודדים, כדי לתמוך באופן אמפירי בתהליכים של ביו-דיפוזיה, ומדי פעם למודל דינמיקת אוכלוסייה.
בפיזיקת פולימר, הילוך מקרי מתאר שרשרת אידיאלית.
זהו המודל הפשוט ביותר ללמוד פולימרים.
בתחומים אחרים של מתמטיקה, הילוך מקרי משמש לחישוב פתרונות למשוואת לפלס, להעריך את המידה ההרמונית, ועבור מבנים שונים בניתוח וקומבינטוריקה.
במדעי מחשב, הילוכים מקריים משמשים להעריך את הגודל של האינטרנט.
בכנס 2006 של "World Wide Web", בר-יוסף ואחרים פרסמו את הממצאים שלהם ואת האלגוריתמים שלהם לאותו הדבר.
בפילוח תמונה, הילוכים מקריים משמשים כדי לקבוע את התוויות (כלומר, "חפץ" או "רקע") כדי לקשר כל פיקסל.
בחקר המוח, הילוכים מקריים משמשים מודל של נוירונים במוח.
בראייה, תנועות עיניים ראייתית מתוארות היטב על ידי הילוך מקרי.
בפסיכולוגיה, הילוכים מקריים מתארים את היחס בין הזמן הדרוש כדי לקבל החלטה וההסתברות שהחלטה מסוימת תיעשה.
הילוכים מקריים יכולים לדגום משטח מדינה שגודלה אינו ידוע או גדול מאוד, לדוגמה לבחור דף אקראי מהאינטרנט.
הילוכים מקריים שימשו גם כדי לדגום גרפים מסיביים באינטרנט, כגון רשתות חברתיות באינטרנט.
ברשת אלחוטית, הילוך מקרי משמש למודל תנועת צומת.
הילוכים מקריים משמשים מודל להימורים.
באינטרנט, אתר טוויטר משתמש בהילוך מקרי כדי לתת הצעות אחרי מי לעקוב.
הילודיים (שם מדעי: Hylodidae) היא משפחה של דו-חיים מסדרת חסרי זנב.
בעבר משפחה זו הייתה חלק ממשפחת הלפטודקטיליים וממשפחת האלסודיים, אך עקב בדיקות הוחלט לשייכה למשפחה נפרדת.
צפרדעים אלה שוכנות יערות וחיות בטבע בברזיל, ארגנטינה ומדינות נוספות בדרום אמריקה.
למיניה יש לסת קצרה עם "אף" הפונה כלפי מעלה.
חלקם רעילות ובעלי צבעי אזהרה לטורפים.
בכך הם מזכירות את קרוביהם הרחוקים - הדנדרובטיים.
סוג Hylodes - בו 25 מינים
סוג Megaelosia - בו 7 מינים
הילטון מקריי הוא שחקן סקוטי שמופיע בתיאטרון, בקולנוע ובטלוויזיה.
לפני שסיים את לימודיו באוניברסיטת אדינבורו היה מקריי חבר בלהקת התיאטרון הרדיקלית 7:84. ב-1977 הצטרף ללהקה השייקספירית המלכותית.
הוא התרכז בעיקר באוונגרד ובתיאטרון פוליטי.
ב-1983 הופיע מקריי ללא קרדיט בתפקיד ארוול קריניד בסרט האמריקאי "מלחמת הכוכבים - פרק 6: שובו של הג'דיי".
בקולנוע הבריטי שיחק בין השאר בסרטים "אהובת הקצין הצרפתי" ו"גרייסטוק: אגדת טרזן".
מקריי שיחק במחזות זמר אחדים על במות התיאטרון בלונדון בהם "מאמה מיה!" ו"מיס סייגון" בו גילם את דמות המהנדס.
בהפקת הבכורה בבריטניה של המחזה "Caroline, or Change" שיחק מקריי בתפקיד מר סטופניק בתיאטרון המלכותי הלאומי, שזכה בפרס המחזמר הטוב ביותר של עיתון האיבנינג סטנדרד.
ב-2008 גילם מקריי את הדחליל בהפקה של "הקוסם מארץ עוץ" שהוצגה בסאות'בנק סנטר.
ב-2006 שיחק מקריי במחזה "Rabbit" מאת נינה ריין, שעלתה בתיאטרון אולד רד ליון, ואחר כך הועברה לטרפלגר סטודיוס בוייטהול.
ב-2009 קיבל מקריי ביקורות נלהבות על הופעתו בדרמה הטלוויזיונית "The Execution of Gary Glitter".
מקריי כיכב במחזה "סונאטת קרויצר" המבוססת על הנובלה מאת טולסטוי.
ההצגה עלתה ב-2009 בתיאטרון גייט בלונדון עם מקריי בהופעת סולו, והוצגה שוב בשנת 2012. ההפקה הוצגה גם בעיר ניו יורק.
הופעתו זכתה לשבחים הן בממלכה המאוחדת והן בארצות הברית בין השאר בניו יורק טיימס.
מקריי נשוי לשחקנית לינדזי דאנקן, ולהם בן בשם קאל מקריי (נולד בספטמבר 1991).
מקריי שהיה חבר קרוב וחבר ללימודים באוניברסיטה של איאן צ'ארלסון, כתב פרק בספר לזכרו "For Ian Charleson: A Tribute" שיצא לאור ב-1990.
מסעדת הילטל (Hiltl) היא מסעדה צמחונית בשווייץ.
המסעדה מחזיקה בשיא גינס על היותה המסעדה הצמחונית הפתוחה הוותיקה ביותר בעולם.
המסעדה ממוקמת בשדרת סיהלסטראסה שבציריך.
בשנת 1898 ייסדו מספר גרמנים את "Vegetaria AG".
שנה לאחר מכן נפתחה מסעדת "Vegetarierheim and abstinence Café" במיקום הנוכחי שלה שבסיהלסטראסה, ציריך.
ב-1898 הגיע החייט הגרמני אמברוסיוס הילטל לציריך.
בשנת 1901 הוא חלה קשות בשיגרון ולא יכול לממש את המקצוע שלו.
הוא התחיל לתרגל את הדיאטה הצמחונית שהציע מקסימיליאן בירכר-בנר.
הילטל החל לתמוך בדוקטרינת בירכר-בנר והפך לצמחוני.
בשנת 1903 הייתה Vegetarierheim AG במשברים כלכליים.
אמברוסיוס הילטל עלה לתפקיד מנכ"ל המסעדה ושינה את תדמית המקום למסעדה צמחונית.
המסעדה החלה לשגשג יותר, והרווח היומי עלה לכ-35 פרנק.
בשנת 1904 נישא הילטל למרתה גנאופל והזוג ניהל יחד את המסעדה.
בשנת 1907, הוא קנה את הנכס עם משפחתו, והפך לאזרח רשמי בשווייץ.
בשנת 1931 הפכה הילטל למסעדה הראשונה בציריך עם מטבח חשמלי.
המסעדה הועברה בסופו של דבר לבניו, וולטר ולאונרד.
תפריט המסעדה עבר שינויים משמעותיים כאשר אשתו של לאונרד, מרגריט הילטל נסעה להודו, השתתפו בקונגרס הצמחוני בניו דלהי ולמדה את המטבח ההודי בפירוט רב.
היא חזרה לשווייץ על מנת לכלול את המטבח ההודי בתפריט של המסעדה, הרעיון התקבל בברכה על ידי מנהלי המסעדה.
לפיכך, ראש ממשלת הודו דאז, מוררג'י דסאי, נהג לסעוד בהילטל בביקוריו הרשמיים בשווייץ.
בהמשך הועברה המסעדה הועברה לבנם של לאונרד ומרגריט, היינץ הילטל, והמשיך לעבור שינויים.
שמה של המסעדה שונה ל-Hiltl Vegi.
בשנות התשעים מסר היינץ את המסעדה לבנו רולף, שחידש את המסעדה באופן דיגיטלי.
הוא הרחיב את שעות הפתיחה עד השעה 23:00 והציג רשימת יינות חדשה, שהגבירה את הפופולריות בקרב הקהל הצעיר.
המסעדה הציגה מערכת הזמנות מקוונת וזכתה לביקורות חיוביות באתרי אינטרנט גדולים.
לאור עליית רווח המכירות ל-10 מיליון פרנק שווייצרי ב-1998, פרסמה המסעדה את הספר "Hiltl.
Virtouso Vegetarian" ובו רשימת המתכונים של מנות המסעדה.
נמכרו מספר מיליוני עותקים ושל הספר, והוא תורגם לאנגלית וצרפתית, עם למעלה מ-14 מהדורות.
בהמשך פרסם רולף הילטל ספר בישול חדש עבור יום השנה ה-111 של המסעדה - "Hiltl.
ב-1998 השתתפו האחים רטו, כריסטיאן ודניאל פריי במיזם Venture, תחרות עסקית שתוכננה על ידי המכון הטכנולוגי של ציריך ומקינזי והציגה תוכנית להקים מסעדה צמחונית מהמעלה הראשונה.
התוכנית העסקית זכתה למשוב חיובי בתחרות והם החליטו ליישם אותה.
האחים שתפו פעולה עם הילטל על מנת להוציא לפועל את Tibits, מסעדה צמחונית שפעלה בבזל, ברן, ציריך, וינטרטור ולונדון.
הילווי רומבין (בשוודית: Hillevi Rombin; 14 בספטמבר 1933 – 19 ביוני 1996) הייתה דוגמנית עבר ושחקנית שוודית, מיס שוודיה ומיס תבל לשנת 1955.
רומבין נולדה באופסלה, בצעירותה הייתה אתלטית מצטיינת בהתעמלות ובסקי והתחרתה בתחרויות של קרב עשר.
היא השתתפה בתחרות מיס שוודיה 1955 ונבחרה למקום הראשון, בעקבות כך נהייתה לנציגה השוודית במיס תבל 1955 בארצות הברית, גם בתחרות זו לקחה את המקום הראשון והוכתרה כמיס תבל השוודית הראשונה.
לאחר הזכייה קיבלה חוזה עם חברת ההפקות סרטי יוניברסל ועזבה את מולדתה לטובת הוליווד, היא למדה משחק ביחד עם קלינט איסטווד וברברה עדן.
בשנת 1956 הופיעה בסרט "סיפורו של בני גודמן", סרט ביוגרפי אודות הנגן בני גודמן.
ב-1957 שיחקה דיילת אוויר בסרט "איסטנבול" לצד ארול פלין.
במהלך נסיעותיה כמיס תבל היא פגשה את בעלה לעתיד, יורש עשיר למשפחת מלונאים ויועץ פוליטי של הסנאטור ג'וזף מקארתי, לזוג נולדו שישה ילדים, היא עזבה את קריירת המשחק על מנת להתמקד במשפחתה ובגידול ילדיה.
ב-19 ביוני 1996, בהיותה בת 62, נהרגה יחד עם בעלה ואחד מילדיהם בהתרסקות מטוס כתוצאה מכשל במנוע, זמן קצר לאחר ההמראה.
היא הייתה זוכת מיס תבל הראשונה שנפטרה.
הילונומוס (שם מדעי: Hylonomus; משמעות השם: "שוכן יערות") הוא סוג של יצור נכחד אשר חי בתקופת הקרבון הפנסילבני ונחשב כיום לראשון הזוחלים בעולם (הסוגים Westlothiana ו-Casineria קדמו לו ובעבר סברו שהיו ראשוני הזוחלים אך כיום הם נחשבים לדו-חיים שהטילו ביצים במים).
מאובניו נמצאו בצוקי מאובני ג'וגינס שבקנדה ותוארו ב-1860 בידי החוקר ג'ון ויליאם דוסון (John William Dawson) בעוד המין נקבע בידי החוקר הידוע צ'ארלס לייל.
המאובנים תוארכו ללפני 312 מיליון שנה מהיום.
בנוסף על מאובנים נמצאו טביעות רגליים של הזוחל באתר.
זוחל פרימיטיבי זה הגיע לאורך 20–25 ס"מ עם הזנב ודמה במראהו ללטאה קטנה.
הוא נחשב בעבר לדיאפסיד בעל מאפיינים פרימיטיבים בעוד כיום רואים בו יצור קדום יותר שהיה גם מאבותיהם של הסינאפסידים דמויי-היונקים.
ככל הנראה הוא היה צייד של חרקים ופרוקי-רגליים דומים אשר נע במהירות ביערות קנדה.
ככל הנראה קבוצות של זוחלים אלה נעו במזג אוויר קשה אל הצוקים המתפוררים, נלכדים שם וגוועים ברעב.
הילוך חוזר הייתה תוכנית אירוח ישראלית בהנחייתו של אהוד מנור שבה התארחו מגוון מפורסמים כגון: זמרים, שחקנים, כדורגלנים, סופרים, משוררים ועוד.
כמה שנים לאחר מכן נעשתה תוכנית בעלת רעיון דומה בערוץ הראשון בשם "כך היה" בהנחיית יגאל רביד.
התוכנית שודרה לראשונה בערוץ הראשון בשנת 1994. מנחה התוכנית שלה היה אהוד מנור, האורחת הראשונה בתוכנית הייתה עפרה חזה.
בפתיח התוכנית רואים תמונות של מפורסמים מעופפים באוויר בזמן שהן מתחלפות מתמונות ישנות שלהם לתמונות עדכניות.
בין המפורסמים שניתן למצוא בפתיח הם עזר ויצמן, שושנה דמארי, לאה ויצחק רבין, שולמית אלוני, בנימין נתניהו, יפה ירקוני, נחמן שי, גאולה כהן, שמעון פרס, יוסי שריד, מנחה התוכנית אהוד מנור ועוד.
נעימת הפתיחה היא "ארוחת בוקר" מתוך האלבום קווים.
בדרך כלל במהלך התוכנית נהג מנור להראות לאורחים בתוכנית סרטוני וידאו שלהם מן העבר (מכאן לקוח השם הילוך חוזר) או מן ההווה.
בסוף סרטון הווידאו היו האורחים בתוכנית מגיבים עליו.
בין המפורסמים שהתארחו בתוכנית הם:
הילוך מהיר היא טכניקת צילום שבה מהירות הצילום של הפריימים, (קצב פריימים) היא איטית ממהירות הצפייה בהם.
כאשר מריצים סרטון (שצולם בטכניקה הזו) במהירות הרגילה, הזמן בסרטון נראה מואץ.
לדוגמה, אם מצלמים סרטון בתדירות של פריים לשנייה, ולאחר מכן מריצים אותו ב-30 פריימים לשנייה, הסרטון יואץ פי 30. באופן דומה, ניתן להריץ סרט גם בקצב נמוך בהרבה מזה שבו הוא צולם.
תהליכים שהעין האנושית מתקשה לזהות מפאת איטיותם, כמו תנועת השמש והכוכבים או צמיחת צמחים, הופכים אפשריים למעקב כאשר מצלמים אותם בהילוך מהיר.
במקור, הנושאים שצולמו בהילוך המהיר כללו, בין השאר, צמחים ופרחים שמתפתחים וצומחים, פירות נרקבים, והתפתחות של אתרי בנייה.
הטכניקה הייתה בשימוש כדי לצלם קהלים, תנועה ואפילו שידורי טלוויזיה.
ההשפעה של צילום בהילוך מהיר של אובייקט מסוים שמשתנה לאיטו יוצרת תנועה חלקה.
אובייקט שמשתנה מהר מדי נראה כדבר הנע במהירות גבוהה, שקשה לעקוב אחריו.
צילום בהילוך מהיר פורסם לראשונה ב-1872, כשלילנד סטנפורד שכר את שירותיו של אדוארד מויברידג', כדי שיבדוק האם במהלך מרוצי סוסים קיים רגע שבו כל ארבע רגליהם של הסוסים נמצאות באוויר בעת ובעונה אחת.
הניסויים ערכו שש שנים, עד שב-1878 התקין מויברידג' סדרת מצלמות כל מספר מטרים של המסלול, שהופעלו על ידי הסוסים בכל פעם שאלה עברו לידם.
התמונות צולמו על ידי מספר מצלמות, ולאחר מכן הן סודרו לסדרת תמונות, שצילמו את הסוסים בעודם רצים.
השימוש הראשון בהילוך מהיר בסרטים היה בסרטו של ז'ורז מלייס מ-1897, "קארפור דה ל'אופרה".
המושג הילוך מהיר כולל בתוכו שתי טכניקות צילום שגורמות לאובייקטים לנוע יותר מהר על המסך מקצב תנועתם במציאות.
הטכניקה הראשונה היא צילום למשך זמן קצר, שבו האינטרוולים בין שתי פתיחות עוקבות של התריס איטיות יותר מאשר בצילום סרטון רגיל, כלומר פחות מ-24 פריימים בשנייה (fast motion).
הטכניקה השנייה היא צילום של תמונות סטילס מרובות שמרווחי הזמן ביניהן ארוכים, וחיבורן לסרטון בשלב העריכה (time lapse).
הילוך מהיר יכול להתפרס על פני טווח זמן בהתאם להחלטת הצלם, החל מקצב פריימים שמתקרב לקצב פריימים רגיל (בין 24 ו-30 פריימים לשנייה) ועד לפריים אחד ליום, פריים אחד לשבוע, ואפילו יותר.
הבחירה בקצב הצילום משתנה בהתאם לקצב התנועה של אובייקט המצולם ולתוצאה הסופית שרוצים להציג.
המושג הילוך מהיר יכול גם להתייחס לאינטרוולים בין פתיחת התריס, וככל שהתריס נפתח במרווחים קצרים יותר, כך גם המרווחים בין פריים לזה העוקב לו יהיו קצרים יותר.
בסרטים, משתמשים בשני סוגי הצילום בהילוך מהיר - בצילום פריימים בקצב איטי, ובפתיחת תריס במרווחי זמן.
כאשר ההילוך המהיר מתקרב לקצב הפריימים הרגיל נהוג לקרוא לו fast motion.
שימוש נוסף להילוך מהיר הוא בקטעים איטיים בתוכניות טלוויזיה, שללא השימוש בהילוך המהיר יגזלו זמן רב מדי.
סרטים מוקרנים בדרך כלל בקצב של 24 פריימים בשנייה.
כאשר מצלמים סרט שנועד להקרנה בקצב רגיל, המצלמה תצלם תמונות בקצב של 24 פריימים בשנייה, שכן מהירות ההקרנה ומהירות ההקלטה זהות.
אם המצלמה תוגדר לצלם במהירות איטית יותר, התמונות עדיין תוקרנה במהירות של 24 פריימים בשנייה, ולפיכך התמונה על המסך תנוע מהר יותר ממהירות התנועה שלה במציאות.
ניתן לחשב את השינוי בין מהירות התנועה במציאות לבין המהירות שבה תשודר התמונה על המסך באמצעות חלוקת מהירות ההקרנה במהירות המצלמה:
מהירות שידור &equals;מהירות ההקרנהמהירות המצלמה× מהירות אמיתית
סרט שצולם בקצב של 12 פריימים בשנייה יראה על המסך במהירות כפולה.
צילום במהירויות מצלמה שבין 8 לבין 22 פריימים לשנייה נופל בדרך כלל לקטגוריית fast motion, בעוד תמונות שצולמו במהירויות איטיות יותר נופלות יותר לתחום של time lapse.
רוב מצלמות הסרטים מאפשרות לצלם בקצב הסטנדרטי של 24 פריימים בשנייה.
במצלמות שאינן מאפשרות לשנות את קצב הצילום ניתן לצלם סרטי הילוך מהיר באמצעות צילום פריימים בודדים באופן ידני.
על מנת להשיג דיוק גבוה במרווחי הצילום ועקביות בשיעורי החשיפה, נהוג להשתמש במכשיר שמתחבר לתריס המצלמה הנקרא .
מד-האינטרוולים שולט על תנועת המצלמה לפי מרווח הזמן שהצלם קובע בין פריימים.
כיום, למצלמות דיגיטליות רבות יש מדי-אינטרוולים מובנים בחומרה או בתוכנה.
ניתן לחבר מדי-אינטרוולים למצלמה במספר צירים, על מנת לקבל אפקטים מיוחדים כאשר הסרט מוקרן בקצב רגיל.
הילוך מהיר בחשיפה קצרה וארוכה
בנוסף לשינוי מהירות המצלמה, נלקח בחשבון היחס בין מרווח התמונות לבין זמן החשיפה.
יחס זה אחראי על כמות הטשטוש בתנועה בכל פריים.
מצלמת קולנוע בדרך כלל מצלמת סרטונים במהירות של 24 פריימים לשנייה (fps).
במהלך כל 1⁄24 שנייה המצלמה נחשפת לאור במשך כמחצית מהזמן.
בשאר הזמן, האור מוסתר על ידי תריס המצלמה.
לפיכך, זמן החשיפה במצלמת קולנוע מחושב בדרך כלל כ-1⁄48 שנייה (לעיתים קרובות, זמן החשיפה מעוגל ל-1⁄50 שנייה).
התאמת זווית תריס המצלמה במצלמת קולנוע יכולה להוסיף או להפחית את כמות הטשטוש בתנועה.
בצילום בטכניקה של הילוך מהיר, המצלמה מצלמת תמונות במרווח איטי (למשל: פריים אחד כל שלושים שניות, 1⁄30 fps).
התריס פתוח בחלק מהזמן הזה.
בהילוך מהיר בחשיפה קצרה המצלמה נחשפת לאור למשך זמן החשיפה המקובל, על פני מרווח פריימים שונה מהמקובל בסרט רגיל.
לדוגמה, המצלמה תוגדר לחשיפת פריים למשך 1⁄50 שנייה כל 30 שניות.
הגדרה כזו תגרום לתריס להיפתח לפרקי זמן מדויקים מאוד, ותיצור אנימציית סטופ מושן.
ניתן לשלב הילוך מהיר ביחד עם טכניקות צילום אחרות כגון High Dynamic Range Imaging.
דוגמה לשיטה שבה ניתן לשלב HDR ביחד עם הילוך מהיר היא על ידי שימוש בתיחום (כלומר, צילום אותה תמונה תחת הגדרות מצלמה שונות) על כל פריים.
שלוש תמונות מצולמות ברמות חשיפה שונות באותו הזמן, על מנת ליצור קבוצה של תמונות לכל פריים המייצגות את ההדגשות, את הפרטים ואת הצללים.
כל קבוצה של שלוש תמונות כאלו משולבת על מנת ליצור פריים אחיד המורכב משלוש רמות החשיפה.
אותם פריימים נכנסים לאחר מכן לסרטון.
מעבר בין יום ללילה הוא אחת הסצנות התובעניות ביותר בצילום בהילוך מהיר.
השיטה המשמשת להתמודד עם המעברים הללו נקראת שיטת "הגביע הקדוש".
באזורים מרוחקים שלא מושפעים מזיהום אור, שמי הלילה חשוכים פי 10 מיליון משמיים ביום בהיר, דבר המתבטא בהבדל של 23 רמות חשיפה.
בימי הצילום האנלוגי, שיטות שונות למיזוג נוצרו על מנת לפתור את בעיית החשיפה - צילום אחד נעשה ביום, והצילום השני נעשה בלילה בדיוק מאותה זווית צילום.
כיום, צילום דיגיטלי מציע דרכים שונות על מנת להתמודד עם מעבר יום-לילה, כגון חשיפה ורגישות ISO אוטומטיים, שיטות להגברת תאורה, וכן פתרונות תוכנה המאפשרים שליטה במצלמה על ידי מחשב או סמארטפון.
הילופיטס או הילופיטים הן פסטה יוונית מסורתית העשויה מקמח, ביצים, חלב ומלח.
חתיכות הפסטה מוכנות בצורה של ריבועים קטנים או, באזורים מסוימים, רצועות דקות ארוכות (בדרך כלל נקראות בשמות שונים) בצורה זו הן הדומות לפטוצ'יני האיטלקי.
הפסטה מיוצרת באופן מסורתי על ידי רידוד הבצק לעלה דק, מקומח (בקמח דק) וחתוך פעמיים: תחילה לרצועות (כמו פטוצ'יני) דקות, ואז שוב חיתוך ב-90 מעלות לריבועים קטנים.
בעוד שההילופיטס המיוצרים באופן מסחרי הם בדרך כלל בגודל של 1 סמ"ר, ההילופיטס תוצרת הבית המסורתיים נחתכים בגודל הרבה יותר גדול.
שמות אזוריים אחרים לפסטה זו כוללים () באזורים מסוימים של פלופונסוס, ו- - בקפריסין.
כמה מאכלים נפוצים שנעשים עם הילופיטס הם מרקי אטריות עוף, עוף אפוי ברוטב אדום, או מנת פסטה מבושלת פשוטה עם שמן וגבינה.
הילוך איטי (Slow motion) הוא שיטה שבה פעולות מצולמות בקצב פריימים גבוה יותר מזה של הניתוב הרגיל, מה שגורם לפעולה להיראות איטית יותר.
לדוגמה, צילום ב-60 פריימים לשנייה וניתוב ב-24 פריים לשנייה יוצר אפקט של האטה פי 2.5. זה מאפשר לצופים לראות פרטים שלא ניתן לראות בזמן אמת, כמו טיפות מים מתפוצצות או תנועות ספורט מהירות.
המחקר מצביע על כך שהטכניקה פותחה על ידי אוגוסט מוסגר, כומר ופיזיקאי אוסטרי, בתחילת המאה ה-20. הוא פיתח מנגנון תוף מראות לסנכרון, שפוטנט ב-1904 והוצג לראשונה בגראץ, שטיריה ב-1907. בתקופת הקולנוע המוקדם, מצלמות נסובבו ביד, וצילום מהיר יותר (overcranking) יצר אפקט איטי.
עם הוספת הקול לסרטים, נקבע קצב פריימים סטנדרטי של 24 פריימים לשנייה בארצות הברית ו-25 במדינות אירופאיות, והילוך איטי המשיך להתפתח ככלי חשוב.
הילוך איטי הוא אפקט קולנועי המאפשר להציג תנועה באופן מואט, כך שהצופה יכול להבחין בפרטים שאינם נראים במהירות רגילה.
כדי להשיג אפקט זה, מצלמים את הסצנה בקצב פריימים גבוה מהרגיל, ולאחר מכן מקרינים אותה בקצב סטנדרטי, מה שיוצר את התחושה של תנועה איטית.
לדוגמה, אם מצלמים בקצב של 48 פריימים לשנייה ומקרינים ב-24 פריימים לשנייה, התנועה תוצג בהילוך איטי פי שניים.
זה נעשה באופן דומה על ידי הגדרת מצלמה לקצב פריימים גבוה, או על ידי שימוש בתוכנות עריכה להאטה והוספת פריימים (interpolation).
לדוגמה, מצלמות מודרניות כמו Sony Alpha a7S III תומכות בצילום בקצבים גבוהים להשגת אפקט זה.
טכניקה זו משמשת להדגשת רגעים חשובים, להעצמת דרמה או להוספת אפקטים ויזואליים מיוחדים.
הראשון שהציג הילוך איטי בסרטים היה הכומר האוסטרי אוגוסט מוסגר, שהשתמש באפקט כבר בתחילת המאה ה-20.
הילוך איטי משמש בתחומים שונים:
סרטים וטלוויזיה – להדגשת רגעים דרמטיים, כמו סצנות קרב או רגעים רגשיים, כפי שנראה בסרטים כמו מטריקס סצנת התחמקות מהכדורים.
שידורי ספורט – לניתוח משחקים, כמו בחזרות איטיות בכדורגל או כדורסל, כדי לראות פרטים כמו עבירות או שערים.
מחקר מדעי – לצפייה בתופעות מהירות, כמו התפוצצות בועות סבון או התנגשות חלקיקים, באמצעות מצלמות מהירות כמו סדרת i-SPEED.
אמנות וקליפי מוזיקה – ליצירת אווירה חלומית או סגנונית, כמו בקליפים של להקות פופולריות, להדגשת תנועות ריקוד.
מטריקס (1999) – הסרט הכיל את סצנות זמן הקליע בהן ניאו הצופה חווה אירועים שכביכול עוברים כהרף-עין (כגון ירי קליעים) בצורה איטית כאשר האובייקט מוקפא או זז בהילוך איטי ואילו המצלמה ממשיכה לנוע רגיל.
מרכבות האש (1981) – סצנות ריצה על החוף באיטיות, עם מוזיקה מפורסמת.
חבורת הפראים (1969) – סצנות ירי איטיות בבימויו של סם פקינפה.
הילטון נגד ארצות הברית 171, 1796) הוא אחד מפסקי הדין המוקדמים של בית המשפט העליון של ארצות הברית, שבו נקבע כי מס שנתי על החזקת כרכרות אינו מהווה מס ישיר לפי סעיף 2, וסעיף 9 בפרק הראשון לחוקת ארצות הברית, ולכן אינו חייב בחלוקה יחסית בין המדינות.
בית המשפט קבע כי מס על קרקע הוא דוגמה למס ישיר, ואילו המס הנדון אינו כזה.
פסק דין זה חשוב גם בשל היותו הפעם הראשונה שבה בית המשפט העליון עשה שימוש בביקורת שיפוטית, מנגנון אשר אושר פורמלית מאוחר יותר בפסק הדין המפורסם מרבורי נגד מדיסון (1803), לבדיקת חוקתיות חקיקה של הקונגרס.
אלכסנדר המילטון ייצג את הממשל בפני בית המשפט וטען כי המס מהווה שימוש חוקי בסמכות הקונגרס.
השופט ג'יימס אירדל כתב יומיים לאחר הטיעונים:
"מר המילטון נשא דברים בבית המשפט שלנו, בנוכחות הקהל הגדול ביותר שראיתי שם אי-פעם, עד כדי כך ששני בתי הקונגרס היו כמעט ריקים באותו זמן.
למרות מצבו הבריאותי הירוד, הוא דיבר בכישרון יוצא דופן ובאופן נעים ביותר, וזכה להקשבה מוחלטת.
באותה תקופה, במקום להוציא חוות דעת אחידה, כל אחד מהשופטים כתב דעת יחיד (seriatim):
השופט צ'ייס כתב: "מאחר שאינני סבור שהמס על כרכרות הוא מס ישיר, אני בעד אישור פסק דינו של בית המשפט המחוזי."
השופט פטרסון כתב: "כל המיסים על הוצאות או צריכה הם מיסים עקיפים.
מס על כרכרות הוא מסוג זה, ולכן אינו מס ישיר...
אני בעד אישור פסק הדין של בית המשפט המחוזי."
השופט אירדל כתב: "אני משוכנע בבירור שאין מדובר במס ישיר במובן החוקה, ולכן פסק הדין צריך להיות מאושר."
השופט וילסון כתב: "אסכם ואוסיף, כי דעתי בעד חוקתיות המס האמור לא השתנתה."
השופט צ'ייס התייחס גם לנושא הביקורת השיפוטית ואמר כי הוא מוכן להפעילה רק במקרים ברורים מאוד.
פרשנות בית המשפט כי מס על רכוש אישי אינו "מס ישיר" נמשכה עד לפסיקה בשנת 1895 בפרשת Pollock v.
Farmers' Loan & Trust Co., שבה נקבע שמיסים על רכוש אישי או על הכנסה ממנו הם מיסים ישירים.
פסק הדין Pollock ביטל למעשה את ההחלטה בעניין הילטון.
ב-1913 התקבל התיקון ה-16 לחוקת ארצות הברית, שביטל את פסיקת Pollock לגבי מס הכנסה, אך לא לגבי מיסוי רכוש אישי עצמו.