tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
הנגזרת החלקית השנייה לפי ו- היא הנגזרת החלקית לפי של הנגזרת החלקית לפי .
כך אפשר להגדיר נגזרות חלקיות מכל סדר.
יהי אז הנגזרת החלקית של בנקודה בכיוון היא:
כאשר זה ווקטור היחידה במקום ה
מקרה פרטי של הגדרה זו כאשר פונקציה של 2 משתנים, יהי ויהי אז:
הנגזרת החלקית של בכיוון היא:
אם מסתכלים על הפונקציה בתור פונקציה של בלבד, כאשר קבוע, זוהי פונקציה של פולינום.
לעומת זאת, כאשר מסתכלים עליה בתור פונקציה של ועל בתור קבוע, זוהי פונקציה מעריכית.
על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן: .
לכאורה זוהי פונקציה במשתנה אחד, אך ניתן גם להתייחס אליה כפונקציה מרובת משתנים, כאשר היא קבועה לכל משתנה שאינו .
בדומה להיררכיה של פונקציות ממשיות במשתנה אחד, אפשר למיין גם פונקציות בכמה משתנים.
יש פונקציות רציפות בנקודה ללא נגזרות חלקיות, ופונקציות בעלות נגזרות חלקיות בנקודה שאינן רציפות.
פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה היא רציפה, ויש לה נגזרות חלקיות בנקודה זו לפי כל משתנה.
פונקציה בעלת נגזרות חלקיות רציפות בנקודה, היא דיפרנציאבילית (אבל יש פונקציות דיפרנציאביליות שהנגזרות החלקיות שלהן אינן רציפות).
הדיפרנציאל של f הוא התבנית .
אם פונקציה בשני משתנים F היא בעלת נגזרות חלקיות שניות רציפות בנקודה, אז הגזירות החלקיות מתחלפות: .
בכיוון ההפוך, אם P,Q הן פונקציות בעלות נגזרות חלקיות רציפות בנקודה, ומתקיים , אז קיימת פונקציה F (בעלת נגזרות חלקיות שניות רציפות בנקודה) שהדיפרנציאל שלה הוא .
עובדות אלו ניתנות כולן להכללה לכמה משתנים.
באנליזה וקטורית ובפיזיקה הנגזרת החלקית משמשת לאנליזה מתמטית של פונקציות המוגדרות מעל מרחב וקטורי, ומציאת תכונות שונות של אותן פונקציות.
נגזרת חלקית משמשת לכתיבת משוואות דיפרנציאליות חלקיות.
בדרך כלל הנגזרות החלקיות יצורפו לאופרטור דיפרנציאלי, כמו גרדיאנט, דיברגנץ או רוטור.
הגרדיאנט של פונקציה בנקודה מסוימת הוא וקטור הנגזרות החלקיות שלה באותה נקודה.
הגרדיאנט בנקודה כלשהי יוגדר כך:
הדיברגנץ של פונקציה וקטורית (ב-Rn) הוא פונקציה (ב-R1) המודדת את קצב השינוי במאונך לצירים.
במערכת צירים קרטזית הדיברגנץ הוא מכפלה פנימית בין אופרטור הגרדיאנט לפונקציה הווקטורית:
הרוטור הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת.
נגיעות הוא אלבומו הרביעי במספר של ברי סחרוף.
הוא יצא ב-3 בדצמבר 1998 בחברת התקליטים "קדמא", בהפקת ניצן זעירא.
האלבום הוא הנמכר ביותר מבין אלבומיו של סחרוף, והוא אף זכה בארבעה פרסי "תמוז".
ב-2019, לכבוד 20 שנה לאלבום, יצא סחרוף למופע בהאנגר 11, שכלל את הנגנים, ניר מנצור (תופים), בן הנדלר (גיטרה בס), אורן לוטנברג (גיטרה), גידי רז (גיטרה וסמפלר), יונתן דסקל (קלידים), ושי צברי (שירה).
התארחו במופע בין היתר פיטר רוט, חיים לרוז, מיכה שטרית ושושן.
אמיר קרטס - פנדר רודס (8), הפקה מוזיקלית (8), עיבודים (8)
גדי פוגטש - סינתסייזר (9), עיבודים (9)
אלי מגן - קונטרבס (1)
אבישי בר נתן - שנאי (1)
אסף אמדורסקי - נגיעות (4), מכונת תופים (7), עיבודים (7)
פליקס מזרחי - כינור מוביל (7)
סלים נדף - כינור (7)
שאול כהן - כינור (7)
ויקטור עידה - קאנון (7)
זוהר פרסקו - כלי הקשה (10)
יזהר אשדות - הפקה מוזיקלית (1)
נגיד בנק ישראל הוא האדם העומד בראש בנק ישראל.
הוא מתמנה על ידי נשיא מדינת ישראל ועל פי המלצת ממשלת ישראל לתקופה בת חמש שנים.
הנגיד אחראי לניהול המדיניות הכלכלית, בראש ובראשונה חתירה ליציבות מחירים במשק, באמצעות ניהול המדיניות המוניטרית, מדיניות שער החליפין וניהול יתרות המט"ח, וכן לפיקוח על הבנקים באמצעות מחלקת הפיקוח שבאחריותו.
הנגיד אחראי פורמלית גם לניהולו התקין של הבנק, אם כי בפועל מנוהל הבנק בידי מנכ"ל.
תפקיד חשוב נוסף של הנגיד הוא היותו, על פי חוק, היועץ הכלכלי לממשלה, ומתוקף תפקידו זה הוא משתתף בישיבות הממשלה בהן נדונים עניינים כלכליים בעלי חשיבות גבוהה.
נגיד בנק ישראל הראשון, דוד הורוביץ, החל לכהן בדצמבר 1954 מתוקף חוק בנק ישראל שאושר באוגוסט 1954.
נגזרת כימית היא מושג בו משתמשים בעיקר בכימיה אורגנית, המתאר תוצר הדומה במידה רבה לחומר המוצא.
תרכובת מוגדרת כנגזרת כימית של תרכובת אחרת כאשר היא דומה לתרכובת המוצא במידה כזו שבהחלפת אטום או קבוצה פונקציונלית ניתן, לפחות תאורטית, להגיע לתרכובת המקורית.
כיוון שרוב חלקי תרכובות המוצא והתוצר זהים, יש לשתי התרכובות תכונות כימיות דומות, אך עדיין יהיו הבדלים בין התכונות של החומרים.
במתמטיקה, הנגזרת הכיוונית היא ערך המייצג את קצב השינוי של פונקציה רבת משתנים בכיוון של וקטור נתון.
זוהי הכללה של הנגזרת החלקית, שבה כיוון הנגזרת הוא במקביל לאחד מהצירים הראשיים.
עבור מספר טבעי , פונקציה סקלרית ווקטורים ו-, מגדירים את הנגזרת הכיוונית של בכיוון בנקודה על ידי הגבול:
כאשר היא הנורמה של , כלומר .
אם נגזרת כיוונית זו קיימת אומרים כי גזירה בכיוון בנקודה .
תתכנה פונקציות אשר עבור נקודה כלשהי אינן גזירות לכל כיוון .
באופן דומה, תתכנה פונקציות אשר עבור כיוון כלשהו אינן גזירות בכל נקודה .
בהינתן זוג פונקציות גזירות בכיוון בנקודה , ובהינתן מתקיים כי:
כלומר, פעולת הנגזרת הכיוונית היא ליניארית.
בהינתן זוג פונקציות גזירות בכיוון בנקודה , מתקיים כי:
כלומר, הנגזרת הכיוונית מקיימת את כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה.
בהינתן הפונקציה הסקלרית ופונקציה ממשית , כאשר גזירה בכיוון בנקודה וכן גזירה בנקודה , מתקיים כי:
זאת כאשר היא הנגזרת של .
זוהי גרסה כיוונית של כלל השרשרת.
אם הפונקציה היא דיפרנציאבילית, ניתן לכתוב אותה בעזרת הגרדיאנט של באמצעות:
כאשר מציין מכפלה סקלרית, ו־ מציין את וקטור היחידה בכיוון .
נגיד מסדר יוחנן הקדוש של בית החולים בירושלים, שחבריו ידועים גם בכינוי הוספיטלרים וכיום הוא מכונה גם מסדר מלטה, הוא השליט הריבון והסמכות הדתית העליונה של המסדר.
הוא ממונה לכל חייו ועליו להקדיש את עצמו למען המסדר ולשמש דוגמה לעקרונות הנצרות ולחברי המסדר.
לנגיד מסורה הסמכות החקיקתית הבכירה במסדר, והוא מפעיל אותה ביחד עם המועצה הריבונית של המסדר.
הוא מחוקק חיקוקים בנושאים שאינם זוכים לכיסוי בחוקת המסדר, מנהל את אוצר המסדר, מאשרר הסכמים בינלאומיים ומכנס את האספה הכללית שהיא האספה הבכירה של המסדר.
נכון ל-2023, נגיד המסדר הוא האח ג'ון ט.
דאנלפ, המכהן בתפקיד מאז 3 במאי 2023, והוא הנגיד ה-81 במניין, מאז נוסדה המשרה בשנת 1100.
לפי מסורת המסדר, כאשר הנגיד מת או מסיים את תפקידו בשל פרישה, ממונה נגיד בפועל עד שהמועצה תבחר נגיד חדש.
ברוב הפעמים, הנגיד בפועל ייבחר גם לנגיד המסדר הקבוע.
מדינות שלהן יחסים דיפלומטיים עם המסדר, מכירות בנגיד כראש מדינה לכל דבר.
תוארו של הנגיד הוא "האח" (Friar), אך בפנייה אליו הוא מכונה "רום מעלתו".
תוארו המלא של הנגיד הוא:
הכנסייה הקתולית מכירה בנגיד כחשמן.
הנגיד נדד עם המסדר לאורך 900 שנות קיומו, וממקום מושבו הראשון בירושלים עבר אל מצודת קראק דה שבלייה בסוריה, ומשם לעכו, לקפריסין, לרודוס, למלטה ולבסוף לרומא, שם הוא מתגורר מאז שנת 1834. נגיד בודד התגורר בסנקט פטרבורג ואחד נוסף במסינה ובקטניה.
ארמון ראשי המסדר של אבירי רודוס
בעיר רודוס שוכן ארמון ראשי המסדר של אבירי רודוס (יוונית "Παλάτι του Μεγάλου Μαγίστρου") אשר הוקם במאה ה-14 במקום בו ניצבה מצודה ביזנטית קדומה מהמאה ה-7. המבנה דומה יותר למצודה הערוכה סביב חצר פנימית שלאורכה ארקאדה מאשר לארמון.
כיום משמש המקום כמוזיאון לתולדות העיר.
בוולטה, בירת מלטה, שוכן ארמון נגיד ההוספיטלרים שהושלם בשנת 1571 (מלטזית "il-Palazz" - "הארמון").
בארמון התגוררו 21 נגידים מ-1575 עד הכיבוש הצרפתי ב-1798. ב-1800 היה הארמון למקום מושבו של המושל הבריטי, וכיום הוא משמש כפרלמנט של מלטה וכמשכנו הרשמי של נשיא המדינה.
נָגִילָה הַלְלוּיָהּ (נקרא גם: נָגִילָה הַלְלוּיָהּ נָגִילָה) הוא פיוט שחובר על ידי הפייטן אשר מזרחי (חי במאה ה-20).
לפיוט שני לחנים, אחד מאת רחמים עמר והשני מאת משה אליהו.
הפיוט מבטא את הצפייה הרבה והגדולה לקראת הגאולה האמורה לבוא.
כך לדברי השורה המרכזית ולדברי הפזמון בפיוט; "נָגִילָה הַלְלוּיָהּ נָגִילָה, בָּא זְמַן הַגְּאֻלָּה".
השורה מבטאת את השמחה לגאולה שהגיעה ולגאולה שעתידה לבוא על העולם ועל עם ישראל בפרט.
השיר הפך לפופולרי עד מאוד אצל רבים מיוצאי עדות המזרח.
בדרך כלל שרים שיר זה בליל שבת.
הוא ספר ילדים מאת מרים רות.
הספר יצא לאור בהוצאת עם עובד בשנת 1985 ואויר על ידי יעקב עברי.
גיבור הספר הוא ילד בגיל הגן בשם תור.
הגן נמצא בקצהן של מדרגות היוצאות מביתו.
כל פעם מחדש תור מתקשה לעלות על המדרגות הרבות והדרך אל הגן אינה קרובה לסיומה.
תור, שאינו מרגיש בנוח עם הדרך הקשה, נוהג להפעיל את דמיונו ולשחק ב"משחק החלומות" בו הוא משתמש במילות-קסם: "נגיד ש..." ומכאן שם הספר.
בכל פעם הוא משנה את המשך המשאלה עקב הדבר אותו הוא מוצא בדרכו.
בסיפור הוא פוגש בפעם הראשונה בחיפושית משה-רבנו ומדמיין שהוא עף עליה לגן, בפעם השנייה הוא פוגש בחתול מנומר ומדמיין שהחתול הוא למעשה נמר מטיל-אימה הנאמן לתור השולט בו ובפעם השלישית הוא נתקל בשלולית רחבה ומדמיין שהיא למעשה ים-סוף והוא עצמו צוללן.
המקרה הרביעי חל ביום-הולדתו החמישי של תור והוא הולך לגן מפני שמחכה לו שם מסיבה לכבודו.
תור מדמיין שהוא נסיך והכל מחכים לו בארמון.
במקרה הזה הדבר שדמיין היה יחסית דומה למה שאירע במציאות.
משפחתו חיכתה לו בכניסה ושמחה לראותו.
נגזרת חלשה היא מושג בחשבון אינפיניטסימלי המהווה הכללה של מושג הנגזרת של פונקציה, ומתייחס גם לפונקציות לא-גזירות, שהן אינטגרביליות לפי לבג.
הגדרה רחבה זו נעשית באמצעות פונקציית מבחן - פונקציה חלקה עם תומך קומפקטי המתאפסת מחוץ לקטע חסום כלשהו.
הנגזרת החלשה של פונקציה גזירה שווה לנגזרת המקורית (החזקה) של הפונקציה, ובמובן זה נגזרת חזקה היא מקרה פרטי של נגזרת חלשה.
תהא פונקציה בתת-מרחב אנו אומרים ש- ב היא נגזרת חלשה של אם,
לכל הפונקציות הדיפרנציאביליות בתחום בלתי מוגבל אם .
הגדרה זו נובעת משילוב של טכניקת האינטגרציה בחלקים.
הכללה ל- ממדים: אם ו - הן במרחב של פונקציות אינטגרביליות באופן מקומי עבור חלק מהקבוצה הפתוחה , ואם הוא רב מדד (מולטי אינדקס ), אנו אומרים כי היא - נגזרת חלשה של אם,
לכל , כלומר, לכל הפונקציות הדיפרנציאביליות בכל התחום והנתמכות קומפקטית ב-.
אם ל- יש נגזרת חלשה, נגזרת זו לעיתים קרובות נכתבת כך: , מכיוון שנגזרות חלשות הם ייחודיות (לפחות, עד לקבוצה ממידה אפס, ראה להלן).
לפונקציית הערך המוחלט |u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, שאינה דיפרנציאבילית ב-t = 0, יש נגזרת חלשה-v שידועה כפונקציית הסימן שניתנת על ידי:
למעשה, כל פונקציה הזה לפונקציה v בכ נקודה פרט לנקודה 0 היא נגזרת חלשה של u, כלומר, ניתן להחליף את הערך בנקודה 0 והפונקציה ניתן להחליף את ערך הפונקציה v בנקודה 0 בכל ערך והפונקציה תישאר נגזרת חלשה של u.
זאת ועוד, v איננה הנגזרת החלשה היחידה של u: כל פונקציה w השווה ל-v כמעט בכל מקום מהווה גם היא נגזרת חלשה של u.
בדרך כלל, זו אינה בעיה, מאחר שבתאוריה של במרחבי Lp וחללי Sobolev, שניהם ממלאים תפקידים דומים כמעט בכל מקום מזוהה.
הפונקציה האופיינית של המספרים הרציונליים, , אינה גזירה באף נקודה אך יש לה נגזרת חלשה.
היות שמידת לבג של המספרים רציונליים היא אפס, כלומר, מתקיים: ניתן להתעלם מהם ולקבל נגזרת חלשה , תוצאה שאינה מפתיעה היות שבמרחב Lp, מזוהה עם הפונקציה אפס.
אם שתי פונקציות הם נגזרות חלשות של אותה פונקציה, הן שוות עד כדי קבוצה עם מידת לבג אפס, כלומר, הם שוות כמעט בכל מקום.
אם ניקח בחשבון כיתות שקילות של פונקציות, שבו שתי פונקציות הן שווה ערך אם הם שוות כמעט בכל מקום, אזי הנגזרת החלשה היא ייחודית.
כמו כן, אם U גזירה במובן המקובל אז הנגזרת החלשה שלה זהה (במובן שניתן לעיל) לנגזרת (חזקה) הקונבנציונלית שלה, ולכן הנגזרת החלשה היא הכללה של הנגזרת הרגילה.
יתר על כן, הכללים הקלסיים לנגזרות של סכומים ומכפלות של פונקציות תקפים גם לנגזרת החלשה.
מושג זה מעה את ההגדרה של פתרונות חלשים במרחבי Sobolev, השימושיים בפתרון בעיות משוואות דיפרנציאליות ובאנליזה פונקציונלית.
"נגיעה בגבול" הוא מיצג שערך האמן הישראלי פנחס כהן גן בשנת 1974. מרכזו של המיצג כלל הטמנה של ארבעה מטילי מתכת ועליהם נתונים דמוגרפיים על מדינת ישראל בגבולות המדינה, במקום בו נעצרו על ידי כוחות הביטחון הישראליים.
ב-7 בינואר 1974, בשעה 12:00, הגיעו ארבעה אנשים, שנשלחו על ידי כהן גן, אל גבולותיה השונים של מדינת ישראל ובידיהם מטילים עשויים עופרת.
עם הארבעה נמנו גבי קלזמר ושרון קרן.
על המטילים הוטבעה אינפורמציה דמוגרפית על המדינה שנלקחו מכתבה של כתב העת "טיים מגזין" מתאריך ה-15 באוקטובר 1973. במקום בו נעצרו השליחים על ידי צה"ל הטמנו מטילי העופרת באדמה.
בנוסף, נשלחו מכתבים אל אגודות אמנים בלבנון, סוריה, ירדן ומצרים, ובהם בקשה לבצעה פעולה דומה בשטחם.
בשיחה עם יונה פישר, אוצר במוזיאון ישראל, שהציג את תיעוד המיצג בתערוכה בשנת 1974, הסביר כהן גן כי הנקודות שבהן נעצרו השליחים הן הגבול.
"נקודות אלה אינן קבועות, וכפופות לתנאים מדיניים ולמצבים שונים מדי יום ביומו.
הפעולה 'נגיעה בגבול' משמעותה רוחנית גרידא.
הגבול שבין אוכלוסיית ירושלים כמוהו כגבול הבין-עדתי בישראל.
'נגיעה בגבול' היא הצבת שאלה".
תצלומים תיעודיים של המיצג נמצאים באוסף מוזיאון תל אביב והם הוצגו בכמה תערוכות במהלך השנים.
המרכזיות ביניהן היו התערוכה "גבולות" (1980) במוזיאון ישראל והתערוכה "העיניים של המדינה, אמנות חזותית במדינה ללא גבולות" (1998) במוזיאון תל אביב לאמנות.
אוצרת התערוכה בתל אביב, אלן גינתון, הדגישה במאמרה את הקשר של עבודה זו ואחרות אל שאלות של הגירה, פליטות ומצבים נפשיים ביצירתו של כהן גן.
בעוד התוכן הגלוי מרמז לשאלות פוליטיות הרי שגינתון טענה כי "השאלה העדתית" בישראל מהווה את תוכנו הסמוי.
יגאל צלמונה טען בהקשר למכלול פעולותיו של כהן גן בתקופה זו כי מהווה ניסיון לעסוק באמנות כמדע או "לכל הפחות לחבר בין התחומים ולהבין באמצעות גופי ידע מדעיים את המציאות ואת מקומו של ה'אני' במציאות".
באלגברה, נגזרת פורמלית (או סתם נגזרת) היא פונקציה אדיטיבית מחוג אל עצמו, המקיימת את חוק לייבניץ לנגזרת של המכפלה, .
נגזרת של אלגברה מעל שדה צריכה, בנוסף, להיות העתקה ליניארית.
אם נגזרות של חוג R (גם אם אינו אסוציאטיבי), אז גם סוגרי לי שלהן היא נגזרת.
עובדה זו הופכת את אלגברת הנגזרות (שאבריה הם הנגזרות של R) לאלגברת לי, ומקשרת את תורת המבנה של חוגים (לרבות שאינם אסוציאטיביים) לתורת המבנה של אלגברות לי.
דוגמה לנגזרת פורמלית היא הפונקציה הגוזרת פולינומים לפי הכללים הרגילים של חשבון דיפרנציאלי, כלומר: .
זוהי נגזרת פורמלית על חוג הפולינומים באשר K הוא שדה.
הנגזרת הפורמלית של הפולינומים שימושית בתורת גלואה: פולינום אי-פריק הוא פולינום ספרבילי אם ורק אם הנגזרת שלו אינה מתאפסת.
באופן כללי יותר, הנגזרת הרגילה, כמו גם נגזרות כיווניות, מהוות נגזרת פורמלית של אלגברת הפונקציות.
אופרטור הוא נגזרת אם ורק אם , אם ורק אם (כאשר הם אופרטורי הכפל באלגברה).
תכונות רבות בהן ניחנה הנגזרת המוכרת בחוג פונקציות גזירות, נשמרות עבור נגזרות פורמליות.
בין היתר, מתקיימות שתי התכונות הבסיסיות הבאות
כאשר הם איבר האפס ואיבר היחידה בחוג (בהאתמה).
בתנאי שהחוג הוא תחום שלמות, הנגזרת מקיימת את כלל המנה הידוע.
כלומר, לכל שני איברים בחוג עבורם המנה מוגדרת, ניתן להרחיב את הנגזרת לנגזרת של שדה השברים של החוג באופן יחיד, כך שיתקיים .
מחוק לייבניץ נובע, באינדוקציה, ש-.
יהי A חוג, עם נגזרת .
איבר שהנגזרת שלו היא אפס נקרא סקלר.
הנגזרת מגדירה את חוג הסקלרים , שהוא אכן תת-חוג עם יחידה של A (ואפילו סגור רציונלית: ההפכי של סקלר שהוא הפיך ב-A הוא בעצמו סקלר).
התוצאה היא שאפשר לראות את A כאלגברה מעל חוג הסקלרים, והנגזרת מקיימת את החוק לכל סקלר .
נניח, אם כן, ש-A אלגברה קומוטטיבית מעל שדה K.
מסמנים ב- את האלגברה של הנגזרות של A שכל אברי K הם סקלרים שלהן.
זהו מודול מעל A, לפי הפעולה .
חוג האופרטורים הדיפרנציאליים הוא תת-החוג של הנוצר על ידי A ועל ידי הנגזרות ; בתור מודולים מעל , אפשר לפרק .
בניה זו מכלילה את הדוגמה החשובה של אלגברת וייל, שהיא .
כפי שגוזרים אלגברה קומוטטיבית A עם ערכים ב-A, אפשר לגזור את A עם ערכים בכל מודול M מעל A (נגזרת כזו היא פונקציה אדיטיבית המקיימת את האקסיומה ).
גם אוסף הנגזרות האלה, , הוא מודול מעל A.
מודול הדיפרנציאלים (האוניברסלי) הוא המודול הנוצר באופן חופשי על ידי הסמלים לכל , מודולו היחסים לכל ולכל .
הפונקציה המוגדרת לפי היא אכן גזירה; וכל גזירה עם מקדמים במודול M מתפצלת דרכה באופן יחיד.
למעשה, לכל מודול M יש איזומורפיזם
מכאן ברורה החשיבות של בהבנת הנגזרות של A.
במקרה שבו A הוא חוג הפונקציות על יריעה, מודול הדיפרנציאלים משחק תפקיד יסודי בגישה האלגברית לגאומטריה דיפרנציאלית.
במכניקת הרצף הנגזרת החומרית/מלווה מתארת את קצב ההשתנות בזמן של גודל פיזיקלי (כמו טמפרטורה ותנע) עבור חומר נזיל הנתון לשדה מהירות תלוי זמן ומרחב.
הנגזרת המלווה יכולה להוות קשר בין התיאורים של אוילריאן ולגראנז'יאן לעיוות המרחב.
לדוגמה: בדינמיקת נוזלים, ניקח מקרה בו שדה המהירות הוא מהירות הזרימה עצמה והתכונה הנבדקת היא טמפרטורת הנוזל, אז הנגזרת המלווה מתארת את השתנות הטמפרטורה בזמן, של כמות נוזל הנעה לאורך קו מסלול.
הנגזרות החומריות של שדה סקלרי (φ(x,t ושל שדה וקטורי (u(x,t מוגדרות בהתאמה:
כאשר מדובר במקרה של נגזרת חומרית הפועלת על שדה וקטורי, ניתן לפרש את הביטוי v•∇u כ- (v•(∇u או ( v•∇)u כאשר בשני המקרים נגיע לאותה תוצאה.
במערכת צירים קרטזית תלת־ממדית , הביטוי v•∇φ שווה:
באופן מטעה משתמשים בביטוי נגזרת מלווה עבור הביטויים v•∇φ או v•∇u כשלמעשה השימוש נכון רק במקרים בהם D/Dt הזרימה אינה תלויה בזמן.
ניקח פונקציה סקלרי (φ = φ( x, t כאשר x הוא המיקום ו-t הוא זמן.
הפונקציה מתארת גודל פיזיקלי כלשהו כגון טמפרטורה, גובה וכו'.
הגודל הפיזיקלי קיים בתוך נוזל שאת מהירותו ניתן לייצג על ידי שדה וקטורי (v( x, t.
נשתמש בכלל השרשרת על מנת לגזור את הפונקציה (φ( x, t :
נגזרת הפונקציה (φ( x, t תלויה בווקטור:
המתאר קו מסלול נבחר במרחב.
לדוגמה, אם המסלול הנבחר הוא נגזרת הפונקציה תהיה שווה לנגזרת החלקית לפי זמן.
במקרה הזה הזמן הוא המשתנה והמרחב הוא קבוע.
המצב הנ"ל בו המיקום קבוע מוגדר כנגזרת אוילריאן.
דוגמה הממחישה מצב זה, הוא אדם העומד במיקום קבוע בתוך אגם, ומרגיש שינויים בטמפרטורה הנגרמים כתוצאה מהתחממות המים על ידי השמש.
לחלופין אם המסלול של השחיין (x(t אינו קבוע, הנגזרת בזמן של φ עשויה להשתנות בהתאם למסלול.
למשל, נתונה בריכה מקורה עם מים עומדים.
שני הקצוות של הבריכה מוחזקות בטמפרטורות קבועות כאשר הקצה האחד חם והשני קר.
שחיין השוחה מצידה האחת לצידה השני של הבריכה ירגיש עם הזמן שינוי בטמפרטורה וזאת למרות שהטמפרטורה נשארת קבועה בכל נקודה במרחב.
הסיבה לשינוי בטמפרטורה היא ביצוע המדידות במיקומים שונים.
הנגזרות החומריות מתקבלת, כאשר המסלול (x(t נבחר כמסלול בעל מהירות השווה למהירות הנוזל:
מסלול זה עוקב אחר זרם הנוזל ומתואר על ידי שדה מהירות של הנוזל v.
כך שהנגזרת המלווה של הסקלר φ היא:
דוגמה למקרה זה הוא גוף קל משקל הצף באופן טבעי ונסחף בנהר זורם שהטמפרטורה בו משתנה (חלק מהנהר מוצל וחלקו חשוף לשמש) ובנוסף טמפרטורת המים עולה עם התקדמות בזמן.
השינויים בעקבות תנועת החלקיק (הנגרמת מתנועת הזורם) נקראים אדבקציה או קונבקציה במקרה של הזזת הווקטור dx/dt.
ההגדרה הנ"ל מניחה את הטבע הפיזיקלי של זרם הנוזל, עם זאת אין הסתמכות על חוקי הפיזיקה (למשל, אין כל הוכחה שחלקיק קל משקל הנע בזרם נהר, ינוע במהירות המים).
יחד עם זאת מסתבר כי ניתן להיעזר בנגזרות החומריות לתיאור תופעות פיזיקליות שונות.
המקרה הכללי של אדבקציה מסתמך על חוקי שימור מסה בזרם הנוזל, אך כאשר מדובר בתווך לא משמר המצב שונה.
עד כה התייחסנו לגודל הפיזיקלי כסקלר.
במקרה בו מדובר בווקטור, הגרדיאנט יהפוך לנגזרת של טנזור.
עבור השדה הטנזורי בנוסף לתזוזה של מערכת הקואורדינטות בעקבות תנועת הנוזל יש גם לקחת בחשבון את הרוטציה והמתיחה.
הרכיב ה- j של הנגזרת בקואורדינאטות האורתוגונאלית:
כאשר ה- מוגדרים על ידי מטריצה טנזורית:
נגיף DNA הוא נגיף אשר החומר התורשתי שלו הוא DNA, ומשתכפל בידי האנזים DNA פולימראז.
חומצת הגרעין היא לרוב סליל DNA דו-גדילי אבל יכולה גם להיות סליל DNA חד-גדילי.
לפי סיווג בולטימור לנגיפים שייכים נגיפי DNA לקבוצה 1 או לקבוצה 2. סליל DNA חד-גדילי בדרך כלל מתפתח לסליל דו-גדילי בתאים מזוהמים.
על אף שקבוצה 7 של נגיפים (כמו הפטיטיס B) מכילים גן DNA, הם לא נחשבים נגיפי DNA לפי סיווג בולטימור, אלא נחשבים "רטרו וירוסים" כיוון שהם משתכפלים דרך ה-RNA.
מחלות כמו אבעבועות שחורות, הרפס ואבעבועות רוח נגרמות על ידי נגיפי DNA.
קבוצה 1 - נגיפי DNA חד-גדילי
הסידור הגנטי בקבוצה זו הוא מגוון ביותר.
נגיף DNA שהדביק ארכאון תואר לראשונה ב-1974. מספר נגיפים נוספים תוארו מאז: רובם בעלי צורת ראש-זנב ובעלי סליל דו-גדילי ליניארי.
כמו כן, תוארו נוספים בעלי מאפיינים שונים - עגולים, בצורת מוט, ועוד.
סדרים בקבוצה זו מפורשים על בסיס המורפולוגיה של הנגיף יותר מאשר על צירוף ה-DNA.
סביר להניח שהמורפולוגיה של הנגיף משתמרת טוב יותר מאשר רצף הגנים או הסידור הגנטי, שהוא מגוון למדי.
שלושה סדרים ו-31 משפחות כבר התגלו.
סדר רביעי - מגאויראלי - הוצע עבור נגיפי DNA נוקלאיטוציטופלסמים.
ארבעה סוגים נוספים מוכרים אשר עדיין לא שויכו לאף משפחה.
הנגיף "סולפולובוס" שונה מאוד מכל שאר הנגיפים המתוארים, ולכן כנראה ישויך למשפחה חדשה בקרוב.
לבקטריופאג'ים (נגיפים התוקפים חיידקים) השייכים למשפחות "טקטיביריד" ו"קורטיקובירד" ישנה מעטפת שומן סביב קופסית החלבון וכן סביב הגן עצמו.
הגנום בקבוצה זו הוא רחב ביותר, בערך בין 10 קילו-בסיסים ליותר מ-2.5 מגה-בסיסים.
הבקטריופאג' הגדול ביותר נודע בשם "קלבסילה פאג'", אשר לו 346 קילו-בסיסים.
קבוצה 2 - נגיפי DNA דו-גדילי
על אף שבקטריופאג'ים תוארו לראשונה ב-1927, רק ב-1959 התגלה ה-DNA הבודד.
למרות גילוי זה, עד לאחרונה, היה נהוג לחשוב כי רוב נגיפי ה-DNA שייכים לסוג הדו-גדילי.
מחקרים עדכניים הצביעו על כך שייתכן שהנחה זו אינה נכונה, ואף כי סלילי DNA חד-גדיליים קיימים ברוב הנגיפים שנמצאו במי ים, מים מתוקים, משקעים, אדמה ועוד.
רבים מהנגיפים ה"סביבתיים" הללו, שייכים למשפחה "מיקרובירד".
בכל אופן, הרוב המוחלט עדיין לא סווג לקבוצות קטנות יותר.
כיוון שרוב הנגיפים הללו אינם קשורים (או קשורים חלקית) לנגיפים מוכרים נוספים - סווג חדש ייווצר עבורם.
הוצעה בעבר חלוקה של סלילי ה-DNA החד-גדילי ל-4 סוגים.
חלוקה זו משקפת את היחסים הפילוגנטים שלהם.
גנים מסוג 1 מאופיינים בגן DNA קטן ועגול.
סוג 2 מאופיינים במאפיינים ייחודיים של 2 מסגרות קריאה נבדלות.
גנים מסוג 3 כוללים 2 מסגרות קריאה עיקריות באותו הכיוון.
לגנים מסוג 4 יש את הגנום הגדול ביותר - כמעט 4 קילו-בסיסים, עם יותר מ-8 מסגרות קריאה.
סוג זה של גנום נמצא ב"אינוביריד" וב"מיקרוביראד".
למשפחות "בידנבירד" ו"פרבובירד" יש גנים ליניארים בעוד שלמשפחות האחרות של גנים עגולים.
למשפחת ה"בידנביראד" יש גן בעל 2 חלקים והוא תוקף את חסרי החוליות.
ה"אינובירד" וה"מיקרוביראד" הם נגיפים מזהמים.
נגיפים קטנים עם RNA או DNA בתור החומר הגנטי שלהם הדורש מנגיף נוסף להשתכפל.
קיימים שני סוגי נגיפי DNA לוויניים: "אלפא" ו"בטא".
נגיפי הלווין אינם מסווגים לקבוצות קטנות יותר.
יחסים פילוגנטים בין המשפחות הללו קשים להגדרה.
הגנום משתנה באופן משמעותי בסדר ובארגון.
רוב המחקרים שניסו להוכיח את מערכות היחסים הללו מבוססים על חלבוני DNA או על מאפייני מבנה נפוצים.
באופן כללי, רוב מערכות היחסים המוצעות הן ניסיוניות.
בעוד שקשה לקבוע את היחס הפילוגנטי בין מגוון קבוצות הנגיפים, במספר מאפיינים נראה כי נגיף ההרפס וcaudoviruses קשורים זה לזה.
בעוד ש-3 המשפחות הקשורות להרפס הוויראלי קשורות זה לזה באופן ברור (במובנים מורפולוגיים), הוכח כי קשה לקבוע את השוני ביניהן בעקבות העדר שימור גנים.
במאפיינים מורפולוגיים נראה כי הם קשורים לבאקטריופאג'ים - במיוחד ל-Caudoviruses.
נגיבּ אונסי סאווירס הוא מיליארדר מצרי נוצרי קופטי.
נאגיב אונסי סאוויריס נולד בקהיר, מצרים.
אמו היא יוסריה לוזה סאוויריס ואביו הוא איש העסקים אונסי סאווירס , שהקים את קבוצת "Orascom", ולו שני אחים צעירים יותר, נאסף וסמיח, שניהם גם מיליארדרים.
הוא למד בתיכון בבית הספר האוונגלי הגרמני בגיזה, ואחר כך למד הנדסת מכונות וקיבל תואר שני בניהול טכני מהמכון הטכנולוגי של ציריך.
הוא דובר ערבית, אנגלית, צרפתית וגרמנית.
לאחר שהצטרף בשנת 1979 לחברת "אורסקום", חברת הבנייה שהקים אביו, הוא הוביל את הצמיחה והרחבת תחומי פעילותה והיא הפכה לאחד התאגידים הגדולים ביותר במצרים והמעסיקה הגדולה ביותר במגזר הפרטי במדינה.
בין השאר הוביל סאווירס את כניסתה לתחומי הרכבות, טכנולוגיית המידע והתקשורת.
"אורסקום טלקום הולדינג" הוקמה בשנת 1997, ולאחר מכן "אורסקום טלקום מדיה וטכנולוגיות", בשנת 2011, עד למיתוג מחדש האחרון כ"אורסקום השקעות הולדינג" (OIH), בה הוא משמש כמנכ"ל.
סאווירס הרחיב את פעילות "אורסקום טלקום" תוך שנים ספורות והיא הפכה למפעילת רשת התקשורת הסלולרית בטכנולוגיית GSM הגדולה במזרח התכיון ואפריקה, והיו לה מיזמים משותפים בירדן, סוריה, תימן, אלג'יריה, פקיסטן, חוף השנהב ובמדינות נוספות באפריקה; בנוסף להיותה חברת הסלולר הגדולה במצרים.
ביולי 2000 ביצעה הנפקה ראשונה לציבור וגייסה 320 מיליון דולר בבורסות קהיר ולונדון, לפי שווי שוק של 2.1 מיליארד דולר.
במאי 2005 רכשה "אורסקום טלקום" את חברת הטלקום האיטלקית "וינד" תמורת 12.1 מיליארד יורו.
בדצמבר 2005 רכשה "אורסקום טלקום" כ-20% מחברת "האצ'יסון טלקום" שבבעלות תאגיד "האצ'יסון ומפואה" מהונג-קונג, תמורת 1.3 מיליארד דולר.
בסוף 2010, סאוויריס מכר את חלקו בחברות התקשורת שלו לחברה הרוסית וימפל קום, תמורת יותר מ-6.5 מיליארד דולר.
באוגוסט 2012, סאוויריס מונה ליו"ר לה מנצ'ה הולדינג.
בתחילת 2015, קנה סאוויריס נתח שליטה בערוץ הטלוויזיה הפאן-אירופי Euronews.
הוא נותר בעל המניות העיקרי עד שהחל בתהליך מכירת חלקו לאלפאק קפיטל בדצמבר 2021.
בספטמבר 2015, הוא הציע לקנות אי מול חופי יוון או איטליה כדי לסייע למאות אלפי פליטים הנמלטים מהסכסוך בסוריה.
עם זאת, הוא הודה שהתוכנית עלולה להתמודד עם אתגרים מבחינת תחומי שיפוט ורגולציה של מכס.
במאי 2016, מכר סאוויריס את חלקו בערוץ הטלוויזיה ONTV שבסיסו במצרים לאחמד אבו חשימה.
בדצמבר 2016, סאוויריס התפטר מתפקידו כמנכ"ל Orascom Telecom Media & Technolog.
ביוני 2022, בראיון לערוץ CNBC, תקף במילים חריפות את נשיא רוסיה ולדימיר פוטין והפלישה לאוקראינה ואמר: "פוטין הוא היטלר נוסף בהתהוות...אדם מטורף מתעורר יום אחד ומחליט לפלוש למדינה שומרת שלום ללא כל אזהרה".
בעקבות האביב הערבי במצרים ב-2011 אמר מצרים בסכנה להפוך לאיראן אם המפלגות המוסלמיות יזכו בבחירות לפרלמנט של מצרים בנובמבר 2011. הוא הקים מפלגה פוליטית חדשה בשם "מפלגת המצרים החופשיים", אולם הוא נמנע מלהשתתף בהפגנות שאותן ארגנה המפלגה מחשש לחייו.
"הייתי שמח להשתתף, אבל הבעיה היא שמאיימים על חיי", אמר.
המפלגה תומכת בעקרונות של סדר פוליטי ליברלי, דמוקרטי וחילוני במצרים.
במהלך הבחירות הפרלמנטריות במצרים 2011–2012 הצטרפה לקבוצת מפלגות תחת "הגוש המצרי" אך בבחירות זכתה מפלגת החופש והצדק שלהאחים המוסלמים במקום הראשון ומפלגת א-נור הסלפית במקום השני.
סאווירס נכנס לפעילות בישראל שרכש נתח בחברת "האצ'יסון טלקום", בעת שהחזיקה ב-52% מהמניות של פרטנר תקשורת הישראלית.
בעקבות הרכישה החזיקה בשרשור ב-9.99% ממניות פרטנר.
באפריל 2006 הודיעה "אורסקום טלקום" כי החליטה לממש את האופציה להגדלת האחזקה בחברת "האצ'יסון טלקום" מ-19.3% ל-23%.
עם מימוש האופציה, בעקבות זאצ היה אמור לגדול חלקה של האחזקה העקיפה של "אורסקום" ב"פרטנר" אל מעבר לרף 10% מהמניות, ועל כן היה צריך אישור מהגורמים הרגולטוריים בישראל.
לצורך אישור העסקה בישראל שכרה את שירותיו של עורך הדין רם כספי.
אולם בדצמבר 2006 משרד התקשורת והשב"כ מנעו מהחברה להגדיל אחזקתה ב"פרטנר".
בדצמבר 2025 בא לביקור בישראל, לאחר שהוצע כמועמד אפשרי לתפקיד יושב ראש הוועדה הלאומית לניהול עזה, במקום ראש ממשלת בריטניה לשעבר טוני בלייר שמועמדותו נפסלה על ידי מדינות ערב.
אך לבסוף מונה לתפקיד עלי שעת'.
נגיסה אושימה (ביפנית: 大島 渚; באנגלית: Ōshima Nagisa) היה במאי סרטים ותסריטאי יפני שחי בשנים 1932–2013. חלק מהסרטים עליו עבד הם אימפריית החושים, סרט ארוטי המתקיים בשנות ה-30 של יפן, וחג שמח, מיסטר לורנס, שמספר על מחנה שבויים יפני במלחמת העולם השנייה.
אושימה למד היסטוריה פוליטית באוניברסיטת קיוטו.
לאחר סיום הלימודים, החל לעבוד בחברת הסרטים שוצ'יקו, שם החל לביים סרטים משלו.
סרטו הראשון, עיר של אהבה ותקווה, יצא בשנת 1959.
הקריירה של אושימה והשפעתו התפתחו במהירות.
ב-1960 עבד על סרטים נוספים, סיפור אכזר של נעורים ולילה וערפל ביפן, שעסק ביאוש של אושימה מהשמאל הפוליטי והתסכול מהימין.
שוצ'יקו הוציאו את הסרט מתפוצה לאחר שבוע, מכיוון שעבורם היה סיכון בהקרנת הסרט אחרי ההתנקשות בראש הסוציאליסטים, ינג'ירו אסאמונה.
בעקבות כך, עזב אושימה את שוצ'יקו, והקים חברת הפקה עצמאית.
למרות זמן ההקרנה הקצר של לילה וערפל ביפן, הסרט זכה לשבחים על ידי מבקרים יפנים ומחוץ ליפן.
ב-1961 ביים את "התפיסה", המבוסס על נובל מאת קנזאבורו אואה, סרט על מערכת היחסים בין כפר יפני בזמן מלחמה וחייל אפרו אמריקאי.
בנוסף, החל עבודות עבור הטלוויזיה, בין היתר סרטים תיעודיים, וביניהם יומנו של יונבוגי, המבוסס על התבוננותו של אושמה על חייהם של ילדי רחוב בסאול בזמן שהותו בקוריאה.
אושימה ביים 3 סרטים נוספים ב-1968. הראשון, מוות בתליה, הציג סיפור על כישלון בהוצאה להורג של צעיר קוריאני שהואשם באונס ורצח, והיה בהשראת פשע והוצאה להורג אמיתיים שקרו ב-1958. הסרט התייחס לגזענות היפנית למיעוט הקוריאני שלה.
"מוות בתליה" זכה במקום שלישי בקינמה ג'אמפו על ידי מקברים יפנים וזכה ליחס גם מחוץ ליפן, והחל שרשרת סרטים העוסקים בנושאים אותם אושימה הציג בסרטיו, המרכזי ביניהם הוא הצורך בפקפוק במוסכמות חברתיות.
אחריו היה יומנו של גנב שינג'וקו, סרט שעוסק בחיבור בין רדיקליזם פוליטי ומיני, ונער (1969) שגם הוא מבוסס על מקרה אמיתי בו ילד זייף תאונה על מנת לקבל פיצויים מהנהגים.
ב-1976, עבר אושימה על הסרט "אמפריית החושים", סרט על אובססיה מינית קטלנית ביפן של שנות ה-30. אושימה התעקש שהסרט יכיל סצנות סקס לא מצונזרות ולכן נאלץ לסיים את הסרט בצרפת.
גרסה לא מצונצרת של הסרט עדיין לא זמינה ביפן.
גם בישראל נאסרה הקרנתו של הסרט במשך שנים רבות.
הוא הותר להקרנה ב-1997, לאחר עתירה לבבג"ץ, עם הגבלות ולאחר שמספר קטעים הוסרו ממנו.
במרבית שנות ה-80 וה-90 כיהן כנשיא גילדת הבמאים של יפן.
ב-1983 ביים את הסרט חג שמח, מיסטר לורנס, בו גילן הזמר דייוויד בואי חייל במחנה שבויים יפני במלחמת העולם השנייה.
ב-1996 סבל אושימה לראשונה משבץ, אך למרות זאת הצליח לחזור ולסיים את סרטו האחרון גוהאטו ב-1999. לאחר מכן המשיך מצבו הרפואי של אושימה להידרדר עד שלבסוף נפטר ב-2013 מדלקת ריאות.
1961 לילה וערפל ביפן , סיפור אכזר של נעורים - במאי חדש הטוב ביותר
1999 גוהאטו - במאי הטוב ביותר וסרט הטוב ביותר
1978 אימפריית החושים - במאי הטוב ביותר
1969 מוות בתליה - תסריט הטוב ביותר 1972 הטקס במאי הטוב ביותר, סרט הטוב ביותר ותסריט הטוב ביותר 1984 חג שמח, מיסטר לורנס - חביב הקוראים לסרט הטוב ביותר
愛が深まる本―「ほんとうの歓び」を知るために (תרגום של "עושים אהבה מלב אל לב במיטה" מאת ג'ון גריי)
נגינה בכפייה בשואה הייתה פעילות בתחום המוזיקה שיזמו הגרמנים על ידי הקמת תזמורות ברוב מחנות ההשמדה, מחנות העבודה ומחנות הריכוז הגדולים, שהיו מורכבות מנגנים יהודים ואחרים מקרב האסירים.
המוזיקה הושמעה בעת שהגיעו משלוחים של יהודים להשמדה עד לכניסתם לתאי הגזים, בעת הסלקציות, בהליכה המאורגנת של רבבות האסירים לעבודת כפייה ובשובם ממנה, וכן הושמעה בהופעות בפני אנשי הסגל הגרמני להנאתם.
במחנות אושוויץ-בירקנאו היו שש תזמורות, ובגדולה שבהן, באושוויץ, היו בין 100 ל-120 נגנים (לפי גרסה אחרת: 50 נגנים).
השנייה בגודלה הייתה תזמורת הנשים שמנתה 36 מוזיקאיות ועוד 8 שעסקו בהכנת התווים.
תזמורות קטנות יותר היו במחנות טרבלינקה, מיידנק, בלז'ץ וסוביבור.
בעדותו במשפט אייכמן, סיפר לאון ווליצ'קר-וולס שבכניסה למחנה ינובסקה ניגנה תזמורת גדולה.
בתשובה לשאלה המשיך וסיפר שגם במחנה "יולאג" וגם במחנה הריכוז ינובסקה היו תזמורות שניגנו בוקר וערב בצאת האסירים לעבודה ובשובם מהעבודה, וגם כאשר הוליכו אנשים ביריות ניגנה תזמורת.
עוד סיפר שהתזמורת בינובסקה הייתה גדולה מאוד, והיו בה שישים נגנים.
בתשובה לשאלה מי נתן את ההוראה להקים את התזמורת ולהפעיל אותה, השיב וולס: "סבורני שלא היה זה רעיונו של אדם אחד, של וילהאוז [מפקד המחנה], אלא שהייתה בכך שיטה.
כי תזמורת הייתה גם ב'יולאג', גם בבריגדת המוות וגם במחנה הריכוז.
בכל אחד משלושה מקומות אלה מצאתי תזמורת.
ויש להניח שהייתה זו הכוונה מרכזית."
התזמורת במחנה ינובסקה-לבוב הוקמה על ידי קצין אס אס משוגע לדבר, ריכרד רוקיטה, בעידודו של מפקד המחנה גוסטב וילהאוז, היות שהישג כזה העלה את קרנו כמפקד.
רוקיטה, שהיה סגנו של וילהאוז, היה לפני המלחמה כנר בתזמורת ג'אז בקטוביץ.
מבין אסירי המחנה ומגטו לובלין הובאו נגנים ומלחינים רבים ששרדו מן האקציות.
היו אלה הכנר ליאון שטריקס - מורה בקונסרבטוריון בלבוב, מנצח האופרה יוסף מונד, המלחין זיגמונד שלכטר, פרופסור לבובסקי - מנהל הקונסרבטוריון הממשלתי שטילס ורבים אחרים.
רוקיטה דאג לשכנם בצריף מיוחד, סיפק להם מזון ודאג לתנאיהם הפיזיים.
הוא נהג לציין בגלוי באוזני הנגנים, כי יש בכוחו של קטע מוזיקלי המבוצע היטב להשפיע על החלטותיו.
הוא נהג לומר לשטריקס: "יש לך נשק בטוח נגדי.
לא אני שולט בך עכשיו אלא אתה בי".
ואכן הנגנים נהגו לרצותו ולפייסו בשעות זעם, במטרה למנוע המתות נוספות.
נגינת התזמורת ליוותה את מסעות העינויים וההוצאות להורג.
באחד הימים ציווה רוקיטה על המלחין זיגמונד שלכטר לחבר קטע מוזיקלי מיוחד, שעתיד היה להיות מנוגן בעת ביצוע האקציות במחנה ובעת הובלת האסירים אל "החולות" (בשטחי החולות שבסביבת המחנה הוצאו להורג ביריות אלפים מבין היהודים שנשלחו אליו, בעיקר שארית הפליטה של יהודי גטו לבוב).
השם שבחר רוקיטה לקטע זה לא הסתיר דבר: "טנגו המוות".
הוא הושמע בפקודה במשך חודשי האביב והקיץ של 1943 במהלך ההוצאות להורג בתלייה, בעוד שבמהלך העינויים הנגנים נצטוו לנגן פוקסטרוט.
נגני התזמורת שניגנה אותו ראו כיצד קהל השומעים הולך ומצטמק וכיצד יותר ויותר קבוצות אסירים יצאו מן המחנה ולא שבו אליו עוד.
היות שרוקיטה היה נגן לפני פרוץ המלחמה, הוא היה מסוגל להאזין באוזן של מוזיקאי לנגינת היהודים בתזמורת, וכאשר אחד הנגנים זייף בנגינה, הוא היה יורה בו והורג אותו במקום.
התזמורת ניגנה בדרך כלל שירי לכת.
לפעמים בערב הורו ללהקה לנגן מתחת לחלונו של מפקד המחנה למשך שעות, ובימי ראשון, בהם נהג מפקד המחנה לקבל אורחים בביתו שבמחנה, ניגנה התזמורת לכבודם יצירות של וגנר, באך וגריג.
על סף שחרור לבוב על ידי יחידות הצבא האדום, הועמדו ארבעים מנגני התזמורת במעגל ונצטוו לנגן את "טנגו המוות", כשהם מוקפים על ידי שומרי המחנה.
הם נקראו זה אחר זה להיכנס לתוך המעגל, להניח את כלי הנגינה על הארץ ולהתפשט לגמרי, ואז הוצאו להורג ביריות בראשיהם, בזמן שחבריהם המשיכו לנגן.
בהתחלה נורה מנצח התזמורת מונד.
הנגן האחרון סיים את הקטע עד סופו וגם הוא נורה.
תמונות התזמורת היו אחד ממסמכי העדות במשפטי נירנברג.
ניסיונות לשחזר את "טנגו המוות" לא צלחו, כי התווים לא נשמרו, וכמה מהאסירים ששרדו וניסו לשחזר את המנגינה מזיכרונם נכנסו לטראנס או שפרצו בבכי מר.
שיעור ההתאבדויות בקרב נגני התזמורות במחנות היה גבוה יותר מאשר בקרב קבוצות עובדים אחרות במחנות, פרט לעובדי הכפייה שהועסקו בתהליך ההשמדה.
גם המוזיקאי היהודי-פולני לאופולד קוזלובסקי-קליינמן סיפר שבמחנה יאקטורוב (Jaktorów) אילצו אותו הנאצים לחבר מנגינה בשם "טנגו מוות" ולנגן אותה בעת שיהודים הובלו אל מותם.
סופר שמנגינת הטנגו הפולני שהתפרסם בעולם "To Ostatnia Niedziela" ("יום ראשון האחרון"; בגרסתו העברית: "שבת אחרונה"; בגרסתו הרוסית: "Утомлённое солнце" - "שמש עייפה", תורגם לעברית: "שמש בוגדנית") נוגנה במחנות הריכוז וההשמדה כאשר האסירים הובלו אל מותם בתאי הגזים ובמשרפות.
בדצמבר 1942, כאשר גטו טרנופול עמד לפני חיסול, הגיע מהעיר לבוב אונטרשטורמפירר אס אס ריכרד רוקיטה (המוזכר לעיל כסגן מפקד מחנה ינובסקה) והקצה חלק משטחו של הגטו להקמת מחנה עבודה.
שמונה מאות אנשים צעירים ומוכשרים נבחרו למטרה זו.
מ"מחנה רוקיטה" יצאו קבוצות לעבודות חוץ שונות בצד ה"ארי", כשמלווים אותן אנשי המיליציה של המחנה.
המחנה היה סגור ומסוגר, מוקף גדר תיל ושמור בקפידה.
בבוקר ובערב נערך מסדר לבדיקת הנוכחות, בליווי צלילי תזמורת שארגן רוקיטה, שכאמור היה לפני המלחמה כנר במקצועו.
לאחר ביקורו של היינריך הימלר במחנה מאוטהאוזן בסתיו 1942, הוא הורה להקים בו תזמורת.
וילהלם הקמן, היה אחד האסירים שהשתתפו בהקמתה ושימש כזמר התזמורת וכנגן אקורדיון (הוא נראה בתמונות ממאוטהאוזן עם האקורדיון הקטן).
בתמונה התחתונה מצד שמאל נראית התזמורת המלווה הובלה להוצאה להורג של אסיר שניסה להימלט.
האסיר מובל על גבי עגלה שעליה מונח גם הארגז שבאמצעותו ניסה להימלט.
בעדות של אסיר ספרדי מהאירוע סופר שהתזמורת ניגנה את השיר "J'attendrai ton retour" ("אני אחכה לשובך").
שיר נוסף, שיר הילדים הגרמני הידוע "Alle Vögel sind schon da" ("כל הציפורים כבר כאן"), נוגן ממש לפני ההוצאה להורג.
לאחר ההוצאה להורג ניגנה התזמורת את "פולקת חבית הבירה".
המוזיקאי לסלו רוט, שגם הוא צורף לתזמורת במחנה מאוטהאוזן כאקורדיוניסט, העיד: "מוזיקה אמורה לעשות את האנשים מאושרים, אבל אנחנו ניגנו בהוצאות להורג של אנשים שניסו לברוח מהמחנה".
מוזיקאי הג'אז והסווינג הגרמני ממוצא יהודי היינץ יעקב (קוקו) שומאן נשלח ב-1944 לאושוויץ ועמד פנים אל פנים מול ד"ר מנגלה ששלח אותו לחיים בזכות מקצועו הנוסף: שרברב.
באושוויץ מצא את דרכו המוזיקלית כשמצא גיטרת סלמור והקים להקה בשם "The Happy Five" עם עוד כמה מוזיקאים שהגיעו למחנה.
במהרה החלה הלהקה לנגן במחנה באופן רשמי עבור אנשי אס אס וגם עבור מי שנשלחו לתאי הגזים.
על התקופה הזאת אמר שומאן: "ניגנו מוזיקה בגיהנום".
נגייש (בהונגרית: Négyes) הוא כפר קטן במחוז בורשוד-אבאוי-זמפלן שבצפון מזרח הונגריה.
אוכלוסיית נגייש קטנה משמעותית מ-378 תושבים בשנת 1990 עד 236 תושבים בשנת 2018 (ירידה של 142 תושבים).
בנגייש חיו מעט יהודים ובבית הקברות המקומי קיימות מספר מצבות של יהודים.
נגיפי RNA הם נגיפים שהגנום שלהם מבוסס RNA.
בדרך כלל הגנום עשוי RNA חד-גדילי (ssRNA), אך בנגיפים שונים RNA דו-גדילי (dsRNA).
מחלות בולטות באדם נגרמות על ידי נגיפי RNA, כדוגמת הצטננות, שפעת, אדמת, חצבת, הפטיטיס C, הפטיטיס E, מחלות נגיפי קורונה (כדוגמת סארס), כלבת, קדחת מערב הנילוס, שיתוק ילדים ומחלת נגיף אבולה.
הוועדה הבין-לאומית לטקסונומיה של נגיפים מסווגת כנגיפי RNA את הנגיפים המשתייכים לקבוצה III, קבוצה IV, וקבוצה V בסיווג בולטימור, ולא מחשיבה רטרו-וירוסים כנגיפי RNA, אף על פי שגם להם גנום RNA מפני שבמהלך ההכפלה שלהם מתבצע שעתוק לאחור ל-DNA.
מונח מקביל לקבוצה נגיפית זו, שממעט במפורש את הרטרו-וירוסים הוא ריבו-וירוסים (ribovirus).
וירואידים ונגיפי לווייניים, קרובים לנגיפי ה-RNA, אך אינם נחשבים לחלק מקבוצת נגיפי ה-RNA.
ניתן לחלק נגיפי RNA החד-גדילי על פי קריאוּת הגדיל (Sense), לנגיפי RNA בעלי גדיל בודד חיובי (), ולנגיפי RNA בעלי גדיל בודד שלילי ().
גדיל RNA עם קריאות חיובית דומה ל-RNA-שליח ויכול להיות מתורגם ישירות לחלבון על ידי התא הפונדקאי.
לעומת זאת, RNA בעל קריאות שלילית אינו יכול להיתרגם ישירות ונצרכת יצירת RNA קריא על ידי RNA רפליקאז לפני התרגום לחלבון.
לכן החדרת RNA נקי של נגיף עם קריאות חיובית לתאים עשוי לגרום להדבקה, אם כי אולי יהיה מידבק פחות ביחס לחדירת נגיף שלם, ואילו החדרת RNA נקי של נגיף עם קריאות שלילית אינה מידבקת כשלעצמה.
אצל נגיפי ambisense-RNA (דו-קריאות) חלק מהגנום עם קריאות חיובית ועשוי להיות מתורגם ישירות, וחלק עם קריאות שלילית וזקוק ל-RNA רפליקאז שייצר את הגדיל הקריא המקביל.
נגיפי RNA דו-גדילי משתייכים לקבוצה מגוונת של נגיפים שלה מנעד רחב של מאכסנים (בעלי חיים ובכללם האדם, צמחים, פטריות וחיידקים), של מספר מקעי הגנום (1–12), ומבני הוויריון.
כמה מחברי הקבוצה, ובכללם ה-Rotavirus, ידועים כגורמים השכיחים ביותר לדלקות קיבה ומעיים בילדים קטנים.
ו-Picobirnavirus כנגיף השכיח ביותר בצואת אדם ובעלי חיים ללא סימני שלשול.
נגיפי Bluetongue הוא פתולוג בעל משמעות כלכלית גדולה בבקר ובצאן.
בשנים האחרונות נעשתה התקדמות גדולה בהבנת המבנה המולקלורי של חלבוני מפתח של קפסיד הוויריון בנגיפים דו-גדיליים, ומצאו תכונות מבניות משותפות בתהליך ההכפלה של נגיפים רבים מקבוצה זו.
באופן כללי, לנגיפי RNA יש קצב מוטציות גבוה ביחס לנגיפי DNA משום שלפולימראזות RNA אין יכולת הגהה (proofreading) שלא כמו נגיפי DNA.
זו אחת הסיבות לכך שקשה ליצור חיסונים למחלות הנגרמות על ידי נגיפי RNA.
גם לרטרו-וירוסים יש קצב מוטציות גבוה, אף על פי שיש להם DNA כחומר ביניים, משום ששגיאות הנוצרות במהלך השעתוק לאחור, נכנסות לשני גדילי ה-DNA עוד לפני שעובר אינטגרציה לגנום המאכסן.
לכמה מהגנים בנגיפי RNA יש תפקיד קריטי בתהליך ההכפלה, ומוטציות בהן לא יאפשרו הכפלה תקינה, ולכן רצפים אלה בגנום שמורים יחסית.
נגיפי RNA דו-גדילי מכילים 1–1 מקטעי RNA, שכל אחד מהם מקודד לחלבון נגיפי אחד או יותר.
בנגיפי RNA חד-גדילי חיובי, הגנום עובר בריבוזום התאי תרגום ישיר לחלבון בודד שביחד עם חלבונים תאיים ונגיפיים יוצר מגוון חלבונים הנחוצים להכפלה.
אחד מחלבונים אלה הוא RNA רפליקאז שמשכפל את ה-RNA הנגיפי ויוצר מבנה דו-גדילי שמביא ליצירת עותק חדש של הגנום הנגיפי.
נגיפי RNA שלילי, זקוקים ל-RNA רפלקאז כדי להיתרגם לחלבון, ולכן RNA רפליקאז חייב להיות כלול בוויריון החודר למאכסן.
ה-RNA רפלקיאז יוצר גדיל קריא, שמתורגם לחלבונים בריבוזום של התא המאכסן.
רטורו-וירוסים, שלהם גנום RNA חד-גדילי, אף שנהוג לא לסווגם כנגיפי RNA, מכפלים באמצעות ריברס-טרנסקריפטאז, המבצע שעתוק לאחור, ויוצר עותק DNA דו-גדילי שעובר אינטגרציה לגנום המאכסן באמצעות החלבון הנגיפי, אינטגראז, ביטוי של הגנים המקודדים נחוץ ליצירת ויריון חדש.
מיון וסיווג נגיפי RNA מהווה בעיה קשה, בין השאר בגלל קצב המוטציות הגבוה.
מיון בסיסי נעשה על בסיס סוג גנום (דו-גדילי, חד-גדילי חיובי, חד-גדילי שלילי), מספר הגנים, וארגון הנגיף.
כיום מוכרות 5 סדרות ו-47 משפחות של נגיפי RNA.
יש גם סוגים ומינים רבים של נגיפי RNA שאינם מסווגים למשפחות ולסדרות.
מחקר של אלפי נגיפי RNA הראה על לפחות 5 קבוצות עיקריות:
נגיף RNA חד-גדילי חיובי ssRNA virus) הוא נגיף RNA בעל גנום RNA חד גדילי, אשר מתאפיין בכך שהחומר הגנטי שלו הופך בתא המודבק לחלבון באופן ישיר, כלומר החומר הגנטי שלו דומה ל-RNA שליח.
בניגוד לנגיפים הללו, נגיפי RNA חד-גדילי שליליים, מתאפיינים בכך שגדיל ה-RNA שלהם ראשית עובר שלב ביניים בו מסונתז הגדיל המשלים שלו, ורק ממנו ניתן לסנתז את החלבונים אשר משמשים את הנגיף.
גדילים של חומצות גרעין מתאפיינים בכיווניות, וכל גדיל שאינו מעגלי מכיל קצה אחד שנקרא קצה 5' וקצה 3', וזאת בהתאם למספר הפחמן הפנוי בטבעת הסוכרית של חומצת הגרעין.
תאים קוראים גדילי חומצות גרעין מקצה 3' לקצה 5' ויוצרים גדילים מקצה 5' לקצה 3'.
נגיפי RNA חד גדיליים מסווגים כשליליים או חיוביים על פי כיווניות מסגרת הקריאה של ה-RNA:
מסגרת קריאה אשר מתחילה מ-5' ל-3' נחשב כחיובי,
מסגרת קריאה של גדיל RNA.
RNA אשר החלבונים שאמורים להתבטא נמצאים על הגדיל המשלים שלו נקרא RNA שמסגרת קריאתו מצד-3' לצד -5'.
RNA כזה נקרא RNA שלילי.
הגנום של נגיף RNA חד-גדילי חיובי מכיל גנום שמסגרת הקריאה שלו היא מ-5' ל 3'.
כתוצאה מכך הגנום יכול להיכנס ישירות לריבוזום ולהתרגם ישירות לחלבונים בתאי האורגניזם המאכסן.
תכונה זו גורמת לגנום מסוג זה להיות אקוויבלנטי ל RNA שליח המיתרגם גם הוא ישירות.
נגיפים אלו לא צריכים את החלבון RNA פולימראז כחלק ממרכיבי הנגיף, עם זאת ה-RNA פולימראז יבוטא בין החלבונים הראשונים בתא המאחסן כיוון שהוא נצרך לשם תהליך השכפול של גנום הנגיף.
לפי סיווג בולטימור, שיטת סיווג נגיפים המחלקת נגיפים לקבוצות לפי סוג הגנום שלהם (dsRNA ssRNA וכו') ולפי שיטת השכפול שלהם, נגיפי RNA חד-גדילי חיובי משתייכים לקבוצה IV.
הגנום של נגיף ה-RNA החד-גדילי החיובי יוצר עותקי RNA נגיפי משלים (vcRNA) של עצמו.
עותקי ה-RNA משמשים תבנית ליצירת גדיל שלילי וליצירת mRNA.
גנום חיובי, כלומר RNA חיובי, למשל זה שיש בנגיף SARS-CoV-2, הוא RNA שיכול לשמש ישירות כ-mRNA, כלומר אפשר לתרגם אותו לחלבונים בלי שינוי.
אבל כדי להתרבות, הנגיף צריך להכפיל את הגנום שלו.
לכן הוא יוצר עותק משלים של הגנום, vcRNA או RNA שלילי.
העותק הזה משמש כתבנית ליצירת עוד RNA חיובי, כלומר עוד גנום נגיפי ועוד mRNA לתרגום חלבונים.
הגנום החיובי הוא המקור ויוצרים ממנו עותק הפוך כמו נגטיב של תצלום.
מהעותק ההפוך יוצרים עוד עותקים של הגנום המקורי, גם לשימוש כ-mRNA וגם כדי לארוז אותם בוויריונים חדשים, כלומר וירוסים פעילים.
גנום חיובי יוצר גדיל שלילי.
כשהנגיף נכנס לתא, הגנום החיובי שלו משתחרר.
התא לא יודע לשכפל RNA, ולכן הנגיף מביא איתו או גורם ליצירת האנזים RNA-dependent RNA polymerase (בקיצור RdRp).
האנזים הזה משתמש בגנום החיובי כתבנית כדי ליצור גדיל שלילי, עותק משלים.
הגדיל השלילי משמש כתבנית ליצירת עוד גדילים חיוביים.
יצירת הגדיל השלילי היא שלב קריטי בהתרבות של נגיפי RNA חיובי.
כך הנגיף מייצר מספיק עותקים של עצמו כדי להדביק תאים נוספים.
נגיפי RNA חד-גדילי חיובי מהווים חלק ניכר מהנגיפים המוכרים ומחוללי מחלות ובהן נגיף דנגי מחולל קדחת דנגי, נגיף מערב הנילוס מחולל קדחת מערב הנילוס, נגיפי קורונה (SARS-CoV, MERS-CoV, SARS-CoV-2) וכן נגיפים רבים הגורמים להצטננות.
נגיאלאשון (בהונגרית: Nagyalásony) הוא כפר במחוז וספרם שבמרכז הונגריה.
כמו כפרים רבים באירופה גם בנגיאלאשון מספר התושבים נמצא בירידה.
בנגיאלאשון חיו יהודים בתקופות זמן שונות:
נגייסטרגאר (בהונגרית: Nagyesztergár) הוא כפר במחוז וספרם שבמרכז הונגריה.
כמו יישובים רבים באירופה גם בנגייסטרגאר מספר התושבים נמצא בירידה.
בשנת 1984 אוחד הכפר עם זירץ וקיבל את עצמאותו מחדש בשנת 1994.
בנגייסטרגאר חיו יהודים בתקופות זמן שונות.
נגיאר (בהונגרית: Nagyar) הוא כפר במחוז סבולץ'-סטמאר-ברג על גדות נהר טיסה שבצפון מזרח הונגריה.
בדומה ליישובים רבים באירופה, גם אוכלוסיית נגיאר קטנה משמעותית בעשרות השנים האחרונות, מ-743 תושבים בשנת 1990 עד 630 תושבים בשנת 2020.
יהודים חיו בנגיאר בתקופות זמן שונות.
נגיוט (בהונגרית: Nagyút) הוא כפר במחוז הווש בצפון מזרח הונגריה למרגלות הרי מאטרה.
האזור היה מיושב עוד מהמאה ה-5 לפנה"ס.
וישנו תיעוד לסרמטים שחיו באזור.
החל מהמאה ה-14 הכפר מיושב, הוא מוזכר לראשונה בתעודות משנת 1301.
יהודים חיו בנגיוט לפני השואה וישנו תיעוד ליהודי מהכפר שנרצח בשואת יהודי הונגריה.
כמו ביישובים רבים באירופה, גם בנגיוט מספר התושבים נמצא בירידה.
נגיף אבעבועות הקוף (MPV, MPXV, hMPXV) הוא זן של נגיף DNA דו-גדילי שגורם לאבעבועות הקוף בבני אדם ובחיות אחרות.
הנגיף הוא מסוג Orthopoxvirus ממשפחת נגיפי האבעבועות.
נגיף אבעבועות הקוף הוא אחד מנגיפי הOrthopoxvirus האנושיים יחד עם הנגיפים שגורמים לאבעבועות שחורות, אבעבועות הפרות ווקסיניה.
הנגיף הוא לא אב קדמון ישיר או צאצא ישיר של וירוס הVariola שגורם לאבעבועות שחורות.
אבעבועות הקוף דומה לאבעבועות שחורות אך הוא גורם לפריחה קלה יותר ושיעור התמותה ממנו נמוך יותר.
נגיף אבעבועות הקוף נישא על ידי בעלי חיים כולל פרימטים.
הנגיף זוהה לראשונה על ידי פרבן פון מגנוס בקופנהגן, דנמרק ב-1958 בקופים מסוג מקוק הסרטנים שישמשו כחיות מעבדה.
בהתפרצות הנגיף בארצות הברית ב-2003 המקור לנגיף היה חולדות אוגרות גמביאניות שיובאו מאקרה, בירת גאנה.
הנגיף זוהה לראשונה אצל בני אדם ב-1970.
נגיף אבעבועות הקוף גורם למחלה גם אצל פרימטים וגם אצל אחרים.
הנגיף נמצא בעיקר באזורי יערות הגשם הטרופיים של מרכז ומערב אפריקה.
הנגיף מדבק גם מבעלי חיים וגם מאנשים.
הדבקה של אדם על ידי בעל חיים יכולה להתרחש בנשיכה או במגע ישיר עם נוזלי גוף של בעל חיים נגוע.
הנגיף יכול לעבור מאדם לאדם על ידי מגע ישיר עם הפריחה המדבקת הנגרמת ממנו, נוזלי גוף, בעקיפין על ידי נגיעה בחפצים (כגון בגדים) שבאו במגע עם הפריחה של אדם חולה או עם נוזלי גוף של אדם חולה.
נשים בהריון יכולות להעביר את הנגיף לעובר שלהן דרך השליה.
תקופת הדגירה של הנגיף היא בין 10 ל-14 ימים.
תסמינים מקדימים למחלה כוללים נפיחות של בלוטות הלימפה, כאבי שרירים, כאבי ראש, וחום שמופיעים עוד לפני הופעת הפריחה.
במתמטיקה, נגזרת פרשה היא הרחבה של מונח הדיפרנציאל עבור מרחב בנך כללי.
נגזרת זו נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי רנה מוריס פרשה.
באמצעות נגזרת פרשה ניתן לתאר דיפרנציאלים של מרחבי מטריצות או פונקציות.
עובדה זו הופכת את נגזרת פרשה לשימושית במיוחד בתחום של חשבון וריאציות.
בהמשך ערך זה נסמן ב-, ו- מרחבי בנך כלשהם מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים, ו- קבוצות פתוחות.
כמו כן נסמן ב- את מרחב כל האופרטורים הליניארים החסומים מ- ל-.
פונקציה תקרא גזירה לפי פרשה בנקודה אם ורק אם קיים אופרטור ליניארי חסום כך שמתקיים:
ניתן להוכיח כי אם כזו קיימת, היא בהכרח יחידה, לכן ניתן להגדיר .
נקראת נגזרת פרשה בנקודה .
בהינתן שתי פונקציות גזירות לפי פרשה בנקודה וזוג סקלרים (ממשים או מרוכבים), ניתן להראות כי הפונקציה אף היא גזירה לפי פרשה בנקודה ומתקבל:
נגזרת פרשה מקיימת גרסה שקולה לכלל השרשרת: עבור גזירה לפי פרשה ב- ו- גזירה לפי פרשה ב-, ניתן להראות כי גזירה לפי פרשה בנקודה ומתקיים:
בהניתן נורמות השקולות לנורמות בהתאמה, ניתן להחליף את הנורמה בהגדרת נגזרת פרשה מבלי לשנות את תוצאת הנגזרת.
על כן, במקרה שבו ו- שניהם מממד סופי, הגדרת נגזרת פרשה אינה תלויה בבחירת הנורמה, זאת מכיוון שכל הנורמות שקולות עבור מרחב מממד סופי.
במקרה שבו כאשר או , ניתן להראות כי גזירה לפי פרשה אם ורק אם היא גזירה לפי הנגזרת הסטנדרטית.
כלומר, נגזרת פרשה תהיה פונקציית הכפלה בסקלר , כאשר היא הנגזרת הסטנדרטית של בנקודה .
קשר עם נגזרת כיוונית וחלקית
במקרה שבו ( מספרים טבעיים שונים מ-0), ניתן להוכיח כי נגזרת פרשה קיימת בנקודה אם ורק אם הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה זו.
במקרה זה, ניתן להגדיר את מטריצת היעקוביאן:
ולבטא באמצעותה את נגזרת פרשה של בנקודה .
כאשר הביטוי מימין מייצג כפל מטריצה בווקטור עמודה.
למעשה הביטוי זהה לנגזרת הכיוונית של בנקודה ובכיוון .
בעוד שנגזרת פרשה מהווה הרחבה של הנגזרת הסטנדרטית, היא באותה מידה מהווה מקרה פרטי של נגזרת גאטו.
בעוד שנגזרת פרשה מחויבת להיות אופרטור ליניארי חסום, נגזרת גאטו אינה בהכרח ליניארית.
ניתן להראות כי כל פונקציה גזירה לפי פרשה היא גזירה לפי גאטו, ובמקרה זה שתי הנגזרות תהיינה זהות.
יתרה מכך, במקרה שבו נגזרת גאטו ליניארית וחסומה, היא שווה לנגזרת פרשה.
עם זאת, ישנם מקרים שבהם נגזרת גאטו אינה ליניארית ומקרים נוספים שבהם היא ליניארית אך אינה חסומה.
בשני מקרים אלו נגזרת פרשה לא תתקיים.
בהינתן פונקציה אשר גזירה לפי פרשה בכל , מתקבלת פונקציה חדשה .
מאחר שכל האיברים ב- הם אופרטורים חסומים, ניתן להגדיר עליהם את הנורמה האופרטורית ובכך להפוך את למרחב בנך.
כלומר, היא פונקציה בין שני מרחבי בנך, ועל כן ניתן להגדיר עליה נגזרת פרשה.
בהינתן ש- גזירה לפי פרשה ב- מתקבל כי:
ניתן להגדיר באופן שקול פונקציה ביליניארית כך ש:
פונקציה זו היא הנגזרת השנייה לפי פרשה בנקודה .
ניתן בצורה דומה להגדיר את נגזרת פרשה עבור מעלות גבוהות יותר.
בהינתן אופרטור ליניארי חסום ניתן להראות כי הוא גזיר לפי פרשה בכל נקודה ושנגזרת זו שווה לעצמו.
קל להראות זאת מכיוון ש:
נגדיר פונקציה כאשר הוא מרחב המטריצות הריבועיות מממד כך שלכל :
ניתן להראות כי גזירה לפי פרשה בכל מקום וכי לכל :
הליניאריות של נובעת מתכונות כפל מטריצות.
כמו כן פונקציה זו חסומה מכיוון שהמרחב הוא מממד סופי.
על-מנת להוכיח כי אכן פונקציה זו היא נגזרת פרשה של בנקודה מגדירים כך ש- לכל .
כמו כן, מאחר שכל הנורמות על שקולות ניתן לבחור נורמה תת-כפלית עבורה לכל .
מכל זה מתקבל כי ולכן היא נגזרת פרשה בנקודה .
נגינה בפסנתר בארבע ידיים היא סוג של דואט לפסנתר הכולל שני פסנתרנים המנגנים באותו הפסנתר בו-זמנית.
התווים של מוזיקה המיועדת לפסנתר בארבע ידיים מסודרים בדרך כלל כך שהעמודים בצד שמאל כוללים את תפקיד הפסנתרן היושב משמאל, והעמודים בצד ימין כוללים את תפקיד הפסנתרן היושב מימין.
התפקיד המנוגן בקלידים הגבוהים של הפסנתר, על ידי הפסנתרן היושב מימין, נקרא "פרימו", ואילו התפקיד המנוגן בקלידים הנמוכים של הפסנתר על ידי הפסנתרן היושב משמאל נקרא "סקונדו".
על אף שכוח הביצוע של שני פסנתרנים גדול מזה של אחד, ומהווה תמריץ אפשרי למלחינים לכתוב יצירות להרכב כזה, רק אחוז קטן מאוד מהיצירות לפסנתר נכתבו לארבע ידיים.
ייתכן שמקור הרעיון של כתיבה לשני מבצעים (לא על כלי אחד) היה של יוהאן סבסטיאן באך, שכתב שלושה קונצ'רטי לשני צ'מבלו, שלושה קונצ'רטי לשלושה צ'מבלו, ואחד לארבעה, כולם בליווי כלי מיתר.
עם זאת, עד לשנת 1770 המקלדת של הכלים לא עלתה על חמש אוקטבות, ולכן פחות התאימה לנגינה של שני מבצעים על אותו הכלי.
היצירות המוכרות המוקדמות ביותר לארבע ידיים פורסמו בלונדון בינואר 1777, כאשר צ'ארלס ברני הוציא לאור חוברת שכללה ארבע יצירות לפסנתר בארבע ידיים, עם הקדמה המסבירה את המהלך שאז נחשב לחריג.
עוד לפני כן, בשת 1961, כתב ארנסט וילהלם וולף , מנהל מוזיקלי בויימאר, סונטה לשני פסנתרנים אך זו פורסמה לאחר מותו.
בצעירותו כתב מוצרט מספר יצירות לארבע ידיים כדי שיוכל לנגן עם אחותו.
אחת מהמוכרות שבהן היא הסונטה K.381 ברה מז'ור שכתב בשנת 1772, כשהיה בן 16. מתוך תשעת הדואטים שכתב מוצרט לפורטה-פיאנו, שניים, האדג'יו והאלגרו בפה מינור והפנטזיה בפה מינור נכתבו במקור עבור שעון עוגב מכני, ולאחר מכן עובדו לפסנתר על ידי בן אדם שזהותו לא ידועה.
היידן ובטהובן מיעטו להלחין לארבע ידיים.
היידן כתב רק יצירה אחת כזו שמעולם לא פורסמה, ומאוחר יותר פורסמו שתי סונטות אחרות בשמו, אופוס 81 ו-86, אך הוכך שהן מזויפות ושהמלחין לא כתב אותן.
בטהובן כתב סונטה אחת לארבע ידיים אופ.
45, ושתי קבוצות של וריאציות.
מבין המלחינים המוכרים, שוברט השתמש בצורה בולטת ביכולות הייחודיות שמאפשרת הכתיבה לארבע ידיים.
יצירותיו כוללות את הסונטה בדו מז'ור לפסנתר בארבע ידיים D 812 ופנטזיה בדו מינור לפסנתר בארבע ידיים D 940 .
בנוסף לאלה כתב ארבעה עשר מארשים, שישה פולונזים, ארבעה מקבצי וריאציות, שלושה רונדו, סונטה אחת, סט ריקודים אחד וארבעה יצירות נפרדות נוספות.
בין המלחינים הרומנטיים הגרמנים, היצירות בארבע ידיים של שומאן וברהמס הן הבולטות ביותר.
מנדלסון כתב רק יצירה מקורית אחת מהסוג, אם כי הוא עצמו עיבד כמה מהיצירות שכתב לפסנתר, בין היתר יצירות לתזמורת, אוקטט , ואת הווריאציות בלה מז'ור לפסנתר אופ.
83. מעבר לכתיבה של מספר יצירות קטנות לשני פסנתרנים, קיבץ שומאן בספרוSpanische Liebeslieder (אופ' 138), עשרה קטעים לארבעה קולות שכוללים שירים, דואטים ורביעייה, עם ליווי של פסנתר בארבע ידיים.
רעיון דומה בוצע מאוחר יותר על ידי ברהמס, שכתב שני סטים של ואלסים לארבע ידיים ולארבעה קולות (Libeslieder Walzer אופ' 52 , ו-Neue Liebeslieder אופ' 65).
בין קטעי ארבע הידיים האינסטרומנטליים שלו, הידוע ביותר הוא קובץ הכולל 16 ואלסים, אופ' 39 .
המלחין הרומנטי הצרפתי פורה כתב גם הוא יצירה לארבע ידיים, סוויטת דולי .
חלק קטן מהרפרטואר לפסנתר בארבע ידיים נכתב במקור על ידי המלחין לארבע ידיים.
רוב הרפרטואר מורכב מעיבודים של יצירות תזמורתיות, של יצירות קוליות ושל הרכבים קאמריים.
יצירות מוכרות רבות עובדו לפסנתר בארבע ידיים, כאשר השימוש בשני נגנים מאפשרת לשמר את הדקויות של היצירה המקורית, בדרך כלל בצורה טובה יותר מאשר עיבוד לפסנתר סולו.
ישנם עיבודים גם ליצירות שנכתבו במקור לעוגב וליצירות שנחשבות מאתגרות לפסנתר סולו, על מנת להנגיש אותן לנגנים מתחילים.
עיבודים כאלה היו פופולריים במיוחד לפני התפתחות טכנולוגיית ההקלטה, מכיוון שהם עזרו להנגיש מוזיקה שלא היה אפשר לשמוע בכל זמן שבו אין תזמורת נגישה.
"נגיד" (המוכר גם בשם "נגיד שאני הולכת לטיול") הוא שיר ילדים לפורים, שכתבה והלחינה נעמי שמר.
השיר יצא לאור בשנת 1975, באלבום "כיצד שוברים חמסין", בו גם ביצעה נעמי שמר את כל השירים.
מלבד נעמי שמר, ביצעו את השיר גם זמרים וכוכבי ילדים, כגון יפה ירקוני, דליה פרידלנד, נירה רבינוביץ', שושיק שני ואריק לביא, דורית ראובני, רוחמה רז וחנה לסלאו, ומיקי קם.
הדוברת בשיר מתארת את מפגשיה עם דמויות שונות (חתול, קרפדה, עכבר ואריה).
החיות בשיר, משוחחות עם המספרת ואף דורשות בשלומה.
בהמשך השיר המספרת מסבירה, כי כל המפגשים אירעו בגלל חג הפורים, בו הילדים התחפשו לבעלי-חיים.