tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
הוא גם הורה לנקוט אמצעים להקמת הסדרי ביטחון כדי למנוע פגיעה באינטרסים הכלכליים של גרוזיה.
גמסחורדיה יצר קשרים עם במשטר הבדלני בצ'צ'ניה וממשלתו של הכירה במה שכונה על ידי הבדלנים הצ'צ'נים "הרפובליקה הצ'צ'נית של איצ'קריה", המדינה העצמאית שהקמתה הייתה הרקע לפרוץ מלחמת צ'צ'ניה הראשונה, מספר שנים לאחר מכן.
מתחילת נשיאותו של גמסחורדיה צבר גמסחורדיה מתנגדים, שהצביעו על התנהגות דיקטטורית, ששורשיה עוד בתקופה בטרם נבחר לנשיא.
ראש הממשלה הגאורגי תנגיז סיגואה ושני שרים אחרים, פרשו ב-19 באוגוסט 1991 במחאה כנגד מדיניותו.
שלושת השרים הצטרפו לאופוזיציה וכינו את גמסחורדיה "דמגוג וטוטליטרי", כשהם מתלוננים כנגד הקצב האיטי של הרפורמות הדמוקרטיות.
בשידור רגשני בטלוויזיה טען גמסחורדיה כי אויביו הם חבלנים ובוגדים.
באוגוסט 1991 אירעה במוסקבה הפיכת ינאייב, שהיוותה ניסיון מטעם גורמים שמרנים להשיב את גלגל הרפורמות בברית המועצות.
התנהגותו של גמסחורדיה במהלך ההפיכה הייתה מקור לתמיהות נוספות.
ב-19 באוגוסט פרסמו גמסחורדיה, הממשלה הגאורגית ונשיאות המועצה העליונה קריאה לאוכלוסייה הגאורגית להישאר שלווה ולהמשיך בעבודתה היום יומית.
למחרת קרא גמסחורדיה לקהילה הבינלאומית להכיר ברפובליקות שפרשו מברית המועצות והכריזו על עצמאותן.
ב-21 באוגוסט טען גמסחורדיה בפומבי כי גורבצ'וב עצמו עומד מאחורי ההפיכה על מנת להגביר את הפופולריות שלו לפני הבחירות לנשיאות ברית המועצות.
נשיא ארצות הברית, ג'ורג' בוש, טען כי טענה זו היא "מגוחכת".
התפתחות שנויה במחלוקת נוספת הייתה הסכמתו של גמסחורדיה עם צבא ברית המועצות, עליה דיווחה סוכנות הידיעות הרוסית אינטרפקס כי המשמר הלאומי הגאורגי יפורק מנשקו, וכי משרת מפקד המשמר תבוטל, וכי הוא יהפוך לגורם פנימי הכפוף למשרד הפנים הגאורגי.
מפקד המשמר המודח, תנגיז קיטובאני הוביל את כוחותיו אל מחוץ לטביליסי ב-24 באוגוסט.
בתאריך זה היה ברור כי הפיכת יאנייב כשלה, וגמסחורדיה בירך באופן פומבי את נשיא רוסיה בוריס ילצין על הצלחתו.
גאורגיה שרדה את האירועים ללא משבר אלים, אך מתנגדי גמסחורדיה טענו כי התנהגותו הייתה הפכפכה ולא החלטית.
גמסחורדיה הגיב לביקורת בזעם, והאשים כוחות אפלים במוסקבה הקושרים יחד עם אויביו מבית כנגד תנועת העצמאות הגאורגית.
הוא סגר את עיתון האופוזיציה "מולודיוז' גרוזיי", שלטענתו פרסם קריאה למרוד כנגד משטרו.
האופוזיציונר גיאורגי צ'נטוריה שמפלגתו "המפלגה הלאומית הדמוקרטית" הייתה אחת מקבוצות האופוזיציה הפעילות באותו הזמן, נעצר, והואשם בקשר עם מוסקבה להדיח את הממשלה החוקית.
ערוץ 2, תחנת שידור פופולרית, נסגר לאחר שחלק מעובדי הערוץ השתתפו בהפגנות כנגד הממשלה.
פעולות הממשלה עוררו מחלוקת מבית וביקורת מבחוץ.
משלחת של אנשי הקונגרס של ארצות הברית, אותה הנהיג סטני הוייר, דיווחה כי ישנן "בעיות זכויות אדם ניכרות בממשלה הנוכחית, והיא אינה מוכנה להכיר בהן או להודות כי יש לעשות בעניין זה דבר מה".
משקיפים אמריקנים ציינו כי עניין זכויות האדם הוא אחת מהסיבות העיקריות לכישלונה של גאורגיה להשיג הכרה בינלאומית בעצמאותה.
המדינה הוכרה כבר על ידי מספר מוגבל של מדינות (רומניה, טורקיה, קנדה, פינלנד, אוקראינה, המדינות הבלטיות, ואחרות), אך רק בחג המולד 1991, לאחר הדחת גמסחורדיה, הכירו בה ארצות הברית, צרפת, הודו ומדינות חשובות נוספות.
ב-2 בספטמבר הפך העימות הפנימי לאלים כאשר המשטרה פיזרה באלימות הפגנה בטביליסי.
התוצאה של אלימות המשטרה הייתה כי המשמר הלאומי הגאורגי התפצל לסיעות בעד ונגד הממשלה, כאשר הסיעה שנגד הממשלה התרכזה במחנה חמוש מחוץ לבירה.
עימותים אלימים בין שני הצדדים אירעו בטביליסי באוקטובר ונובמבר, וגבו מספר הרוגים.
מיליציות צבאיות, הידועה מביניהן כונתה "מחדריוני" ("הפרשים", או "האבירים"), הציבו בריקדות מסביב לעיר.
ב-22 בדצמבר 1991 ביצעו קבוצות אופוזיציה חמושות הפיכה אלימה והתקיפו מספר בניינים ממשלתיים לרבות בניין הפרלמנט הגאורגי בו ניסה גמסחורדיה עצמו למצוא מקלט.
נטען, אך לא הוכח מעולם, כי לקרמלין הייתה יד בהדחתו.
הלחימה נמשכה בטביליסי עד ל-6 בינואר 1992, וגבתה חייהם של לפחות 113 לוחמים משני הצדדים.
אז הציע כפתרון למשבר שמשאל עם בחסות האו"ם יקבע את עתידו.
גמסחורדיה וחברי ממשלתו הסתננו דרך קווי המורדים ומצאו את דרכם לאזרבייג'ן, שסירבה להעניק להם מקלט.
ארמניה איפשרה לו לשהות בתחומה תקופה קצרה, וסירבה לדרישת הממשלה הגאורגית החדשה להסגירו לגאורגיה.
המורדים טענו שעזב עם 700 מיליון רובל שגנב מקופת המדינה.
ב-16 בינואר חזר לזמן מה לעיירה זוגדיד במערב גאורגיה, בסיס התמיכה העיקרי שלו, וקרא לחסידיו לפתוח במלחמה נגד המועצה הצבאית שתפסה את השלטון.
אך זמן קצר אחר כך ברח שוב לארמניה.
על מנת שלא לסבך את יחסיהם עם גאורגיה הורו לו השלטונות הארמנים לצאת לצ'צ'ניה, היכן שקיבל מקלט מדיני ממנהיג ממשלת הבדלנים ג'וחר דודייב, שגמסחורדיה היה היחיד שהכיר בממשלתו.
גמסחורדיה הוחלף על ידי מועצה צבאית המורכבת ממתנגדיו, ראש הממשלה תנגיז סיגואה, מפקד המשמר הלאומי הגאורגי תנגיז קיטובאני ומפקד המיליציות ג'אבא יוסליאני.
השלושה הקימו ממשלה זמנית והורו על הדחתו הרשמית מתפקיד הנשיא.
הממשלה הזמנית הכריזה כי היא "מועצת המדינה" ומינתה את יריבו הוותיק אדוארד שוורדנדזה ליושב ראשה במרץ 1992. חילופי המשטר התבצעו ללא משאל עם או בחירות.
לאחר הדחתו המשיך גמסחורדיה לטעון כי הוא הנשיא הלגיטימי של גאורגיה, וכי נבחר לתפקידו ברוב מכריע של אזרחי גאורגיה, ולא הודח כדין מעולם, שלא כשוורדנדזה שמינה עצמו לנשיא.
כמה ממשלות וארגונים ברחבי העולם תמכו בטענתו זו, על אף שממשלת המורדים התקבלה באופן פרגמטי כגוף המושל במדינה.
בשנת 1992 ביקר בפינלנד בהזמנת קבוצת ידידי גאורגיה בפרלמנט הפיני, ובאוסטריה לשם הוזמן על ידי האגודה הבינלאומית לזכויות האדם.
בשתי הארצות נפגש עם פקידי ממשלה בכירים וחברי פרלמנט.
בגאורגיה נמשך העימות המזוין בין תומכי גמסחורדיה ומתנגדיו גם בשנים 1992 ו-1993. ב-24 ביוני 1992 תפסו תומכי גמסחורדיה את בניין הטלוויזיה הממשלתי, ושידרו תשדיר רדיו המצהיר כי "הממשלה הלגיטימית חזרה למשול.
בתוך כמה שעות גורשו תומכי גמסחורדיה מהבניין על ידי המשמר הלאומי.
מטרתם הייתה כפי הנראה לעורר התקוממות מזוינת כנגד ממשלת שוורדנדזה, אך מטרה זו כשלה.
ממשלת שוורדנדזה נקטה בצעדים קשים לדיכוי הזוויאדיסטים, וכוחות הביטחון בשיתוף עם מיליציית המחדריוני ביצעו מעצרים והטרדות של תומכי גמסחורדיה.
למרות הביקורת הבינלאומית שהביאו עמם צעדים אלו, יוקרתו האישית של שוורדנדזה, שזוהה עם צעדיו האמיצים של גורבצ'וב בתקופת הגלזנוסט והפרסטרויקה, הביאה לתמיכה בינלאומית בממשלתו.
בספטמבר 1992 נכנסו חיילים גאורגים לאבחזיה על מנת לדכא שם התארגנויות של תומכי גמסחורדיה בין האוכלוסייה הגאורגית בחבל, דבר שהביא להחרפת היחסים האתניים המתוחים ממילא באבחזיה.
בספטמבר 1993, פרצה מלחמה בין הכוחות הגאורגים והבדלנים האבחזים.
המלחמה הסתיימה בתבוסת הכוחות הגאורגים, שנאלצו לסגת מאבחזיה כשבעקבותיהם 300,000 פליטים גאורגים.
מעריכים כי המלחמה גבתה את חייהם של 10,000 הרוגים.
גמסחורדיה ראה בכישלונה של הממשלה במשבר האבחזי משום הזדמנות להדיח את שוורדנדזה.
ב-24 בספטמבר 1993 שב לגאורגיה, וייסד "ממשלה גולה" בעיר זוגדידי במערב גאורגיה.
הוא הכריז כי הוא ממשיך את "המאבק בדרכי שלום כנגד החונטה הצבאית הבלתי חוקית" והתרכז ביצירת קואליציה כנגד שוורדנדזה.
הוא השיג תמיכה באזורי סמגרלו (משם היה מוצא משפחתו של גמסחורדיה) ואבחזיה המורדת.
כן בנה גמסחורדיה כוח צבאי חזק יחסית, שהיה יעיל כנגד כוחותיה הנחלשים של הרפובליקה הגאורגית.
לאחר שדרש בחירות מיידיות, ניצל גמסחורדיה את חולשת הצבא הגאורגי על מנת להשתלט על כלי נשק רבים, שננטשו על ידי כוחות הממשלה הנסוגים.
באוקטובר 1993 הייתה כבר מערב גאורגיה נתונה במלחמת אזרחים בקנה מידה מלא.
כוחותיו של גמסחורדיה תפסו מספר ערי מפתח וצמתי תחבורה חשובים.
כוחות הממשלה נסוגו בחופזה, והדרך לטביליסי נותרה פתוחה בפני גמסחורדיה.
עם זאת, השתלטותו של גמסחורדיה על עיר הנמל פותי לחוף הים השחור, סיכנה את האינטרסים של רוסיה, ארמניה (מדינה לכודת יבשה התלויה בנמלי גאורגיה) ואזרבייג'ן.
שלוש הממשלות הביעו את תמיכתן בממשלת שוורדנדזה, שבתמורה הביע את נכונותו להצטרף לחבר המדינות, התארגנות פוליטית של מדינות שהיו בעבר חלק מברית המועצות, אשר עד אז נמנעה גאורגיה מלהצטרף אליו.
בעוד שתמיכת ארמניה ואזרבייג'ן נותרה במישור הפוליטי, שלחה רוסיה כוח של 2,000 חיילים לסייע לממשל שוורדנדזה.
התערבות זו הכריעה את המלחמה, וב-6 בנובמבר נפלה זוגדידי לידי כוחות הממשלה.
ב-31 בדצמבר 1993 מת גמסחורדיה בנסיבות שעדיין לא הובררו דיין.
ידוע שהוא מת בכפר חיבולה באזור סמגרלו במערב גאורגיה.
לפי מקורות בריטים גופתו נמצאה כשבה נקב כדור אחד בראשה.
יש המניחים שהמדובר בהתאבדות (כגרסת אלמנתו, שסיפרה שהתאבד כאשר הוקף בכוחות הממשלה ולא מצא דרך להימלט).
ממשלת צ'צ'ניה פרסמה מכתב שאמור היה להיות מכתב ההתאבדות שלו, וממשלת רוסיה תומכת בגרסה זו.
רוב המשקיפים מאמינים כי אכן נטל את חייו במו ידיו.
על פי גרסאות אחרות, אותן הפיצה ממשלת גאורגיה, הוא נרצח על ידי תומכיו.
מותו הוכרז על ידי הממשלה הגאורגית ב-5 בינואר 1994. הוא נשלח לקבורה בגרוזני בירת צ'צ'ניה.
ב-3 במרץ 2007 הודיע נשיא צ'צ'ניה, רמזן קדירוב כי קברו של גמסחורדיה, שאבד בין חורבות העיר גרוזני שנהרסה במלחמת צ'צ'ניה הראשונה ובמלחמת צ'צ'ניה השנייה, אותר במרכז העיר.
שרידיו זוהו על ידי מומחים, ונשלחו לגאורגיה, שם נטמנו בטקס ממלכתי, בו השתתפו אלפי בני אדם מרחבי גאורגיה, ב-1 באפריל 2007, לצד גדולי האומה הגאורגית בפנתאון מתאצמינדה.
נשיא גאורגיה מיכאיל סאקשווילי כינה את ההחלטה לטמון אותו בפנתאון, "הוגנת ונכונה".
לו ולאשתו השנייה מנאנה שני בנים.
ב-26 בינואר 2004, בטקס שנערך בכנסיית כשוותי של גיאורגי הקדוש בטביליסי, הכריז נשיאה החדש של גאורגיה, מיכאיל סאקשווילי על "טיהורו" של גמסחורדיה, על מנת לסיים את האפקט המתמשך של הדחתו, ולאחד את החברה הגאורגית.
הוא שיבח את תפקידו כ"מדינאי גדול ופטריוט", והכריז על מתן הרשות להחזיר את גופתו לאדמת אבותיו, וכי נטישת גופת נשיא גאורגיה באזור מלחמה בארץ זרה היא בושה וכלימה לאומה הגאורגית.
סאקשווילי קרא לרחוב חשוב בטביליסי על שם גמסחורדיה, ושחרר 32 מתומכיו שנעצרו עוד בשנים 1993–1994 על ידי אנשי שוורדנדזה, והוכרזו על ידי ארגוני זכויות אדם כעצירים פוליטיים.
תומכי גמסחורדיה ממשיכים לקדם את רעיונותיו במספר התאגדויות ציבוריות מורשות.
ב-1996 הוקמה אגודה חינוכית על שם גמסחורדיה בהולנד בעיר האג.
כיום אגודה זו פעילה במספר ערים אירופיות.
זוויאדיסטים (בגאורגית: ზვიადისტები, זוויאדיסטֶבּי) היה השם הלא רשמי שניתן לתומכי נשיא גאורגיה המודח, זוויאד גמסחורדיה, שהופל מהשלטון במהלך מלחמת האזרחים של גאורגיה בשנים 1992-1993.
גמסחורדיה שהיה הנשיא הראשון של גאורגיה סולק מהשלטון בהפיכת דמים שגרמה, בתקופה שנמשכה מה-20 בדצמבר 1991 ועד ה-6 בינואר 1992, לחורבן מרכז טביליסי.
תומכי הנשיא, הזוויאדיסטים, ערכו הפגנות מסיביות כנגד הממשל הצבאי שקם בראשות אדוארד שוורדנדזה, שהתקיימו במספר מקומות בגאורגיה.
בנוסף ארגנו הזוויאדיסטים קבוצות חמושות שעיכבו את השתלטות כוחות הממשלה על מחוז סמגרלו (במערב גאורגיה בשכנות לאבחזיה), שהיה מחוז הולדתו של גמסחורדיה.
ב-9 ביולי 1992, לקחו הזוויאדיסטים את סגן ראש ממשלת שוודנדזה, אלכסנדר קווסדזה בנפת צ'חורוצקו.
על המשך האירועים חלקות הדעות.
הנהגת השלטון (יוסליאני, קיטובאני, שוורדנדזה וסיגואה) החליטה על פעולה צבאית לשחרור החטופים וכיבוש המסילה.
כתוצאה מההחלטה נכנסו, בלילה של ה-13 באוגוסט 1992, כוחותו המשמר הלאומי הגאורגי של קיטובאני לרפובליקה הבדלנית שחררו את השבויים וגרשו את הזוויאדיסטים.
אולם קיטובאני לא הסתפק בזה והתקדם לכיוון סוחומי, פעולה שהביאה בסופו של דבר למלחמת אבחזיה בה הפסידו הגאורגים.
במהלך 1992-1993 התקיימו התנגשויות בין תומכי גמסחורדיה ומתנגדיו, שהתפתחות בסופו של דבר למלחמת אזרחים עם חזרתו של גמסחורדיה, בספטמבר 1993, למערב גאורגיה.
המורדים הזוויאדיסטים נוצחו וגמסחורדיה התאבד, כפי הנראה, בדצמבר 1993.
גופתו של גמסחורדיה נמצאה בכפר חיבולה בסמגרלו ומותו הוכרז על ידי הממשלה הגאורגית רק בינואר 1994. הוא נקבר בתחילה בגרוזני (צ'צ'ניה) ורק באפריל 2007 הועברה גופתו לפנתאון מתאצמינדה לצד גדולי האומה הגאורגית, על פי החלטתו של סאקשווילי.
לאחר מותו של גמסחורדיה, התפזרו הזוויאדיסטים בין המפלגות הפוליטיות והחברתיות השונות בגאורגיה.
חלק קטן מהם המשיך להאבק בממשלתו של אדוארד שוורדנדזה.
החלטתו של שוורדנדזה בשנים הראשונות שלאחר תום מלחמת האזרחים להסתמך על תמיכת הרוסים הביסה את הזוויאדיסטים אחת ולתמיד כאשר הרוסים הבטיחו לדכא את הזוואידיסטים שהגיעו לשטחה.
ג'ונתן ויאת'לי (2005), מתחייה לאומית למהפכת הוורדים, ,
זווייזדאן מיסימוביץ' (בבוסנית: Zvjezdan Misimović; נולד ב-5 ביוני 1982 במינכן) הוא כדורגלן עבר בוסני יליד גרמניה.
מיסימוביץ' החל את הקריירה שלו בקבוצת המילואים של באיירן מינכן, והשתתף בשלושה משחקים בלבד בסגל הבכיר של המועדון הבווארי.
בתחילת עונת 2004/2005 הוא הצטרף לבוכום, ושיחק שם במשך שלוש עונות.
מיסימוביץ' החל לשחק בנבחרת בוסניה והרצגובינה ב-2004.
הוא הצטרף לנירנברג בתחילת עונת 2007/2008, והבקיע שם עשרה שערים בעונתו היחידה.
בתחילת עונת 2008/2009 הוא עבר לוולפסבורג, שם הוא הרבה לשחק.
הוא חתם עם הנהלת וולפסבורג על חוזה שתוקפו עד 2012, וההנהלה שילמה 3.9 מיליון לירות שטרלינג תמורת כרטיס השחקן שלו.
ב-8 באפריל 2008 הוא הודיע על פרישתו מהנבחרת, והצהיר כי ברצונו להתמקד בקריירת המועדונים שלו.
ימים אחדים לאחר מכן הכריזה התאחדות הכדורגל של המדינה על כך שמיסימוביץ' חזר בו מהחלטתו.
הוא אף כיהן בעבר בתפקיד הקפטן של הנבחרת.
בקיץ 2010 עבר מיסימוביץ' לגלאטסראיי הטורקית.
מיסימוביץ' לא הטביע את חותמו בקבוצה, ובמרץ 2011 נרכש על ידי דינמו מוסקבה תמורת 4.5 מיליון יורו, שם שיחק עד ינואר 2013 עת חתם בגוויג'ואו רנה הסינית.
הוריו של מיסימוביץ' הם ממוצא בוסני-סרבי.
זווית ברוסטר (הנקראת גם זווית הקיטוב) היא זווית פגיעה מסוימת של גל אלקטרומגנטי הגורמת לשתי תופעות עיקריות:
אם הגל הפוגע מקוטב במקביל למישור ההתרחשות (איור 2) אז הוא יעבור במלואו ולא תהיה החזרה.
אם הגל הפוגע איננו מקוטב אז חלק מהגל יוחזר בקיטוב s וחלק יעבור בקיטוב חלקי.
תופעות אלו מתרחשות כשהגל עובר בין תווכים בעלי מקדמי שבירה שונים (איור 1).
זווית ברוסטר תלויה רק במקדמי השבירה של התווכים.
זווית זו נקראת על שם הפיזיקאי הסקוטי דייוויד ברוסטר (1781 – 1868) שטבע את חוק ברוסטר המתאר כיצד לחשב זווית זו ב-1811 או 1812. ברוסטר מצא כי הקרן המוחזרת והקרן הנשברת מאונכות זו לזו.
באופן כללי, כאשר קרינה אלקטרומגנטית עוברת בין שני תווכים (חומרים) בעלי מקדמי שבירה שונים, חלק מהקרינה מוחזר וחלקו עובר.
אך אם האור מקוטב בקיטוב p (ראה תיאור איור 2), ישנה זווית שבה ההחזרה היא אפס.
זווית זו נקראת זווית ברוסטר ומסומנת ב- .
תופעה זו מתרחשת כאשר הקיטוב הוא כזה שהשדה החשמלי של הקרינה נמצא במישור הפגיעה (המישור האפור באיור 2).
כאשר מאירים משטח בזווית ברוסטר בקרינה לא מקוטבת (איור 1), הקרינה שתוחזר תהיה מקוטבת, בקיטוב מאונך למישור הפגיעה, והקרן המועברת תהיה מקוטבת באופן חלקי בכיוון המקביל לו.
המנגנון הפיזיקלי מאחורי תופעה זו קשור לאופן התנודה של דיפולים חשמליים במשטח המגע בין שני התווכים.
באופן כללי, הקרינה הפוגעת במשטח המגע נבלעת, ודיפולים חשמליים המתנודדים באטומים הבולעים פולטים את הקרינה מחדש.
כל דיפול מקיים אינטראקציה עם קרינה המקוטבת בכיוון התנודות שלו, ולעולם אינו פולט אנרגיה בכיוון זה.
הואיל והשדה האלקטרומגנטי מתנודד תמיד במאונך לכיוון ההתקדמות שלו, הרי שאם הקרינה הפוגעת מתנודדת במישור הפגיעה, בזווית שעבורה הקרן הנשברת ניצבת לכיוון שבו אמורה להיות קרן מוחזרת, הקרן המוחזרת אמורה להיפלט בכיוון התנודות של הדיפולים.
מכיוון שדיפול אינו יכול לפלוט פוטונים בכיוון זה, שום קרינה לא תוחזר.
בעזרת טריגונומטריה פשוטה ניתן למצוא את הקשר בין זווית ברוסטר למקדם השבירה של שני התווכים.
הזווית בין הקרן הנשברת לכיוון שבו אמורה להיות הקרן המוחזרת היא זווית ישרה:
, כאשר היא זווית הפגיעה ו- היא זווית השבירה.
לפי חוק סנל, , כאשר הוא מקדם השבירה של התווך שבו מתקדמת הקרן הפוגעת ו- הוא מקדם השבירה של התווך שבו מתקדמת הקרן הנשברת.
כאשר הפגיעה היא בזווית ברוסטר, .
משוואה זו ידועה כחוק ברוסטר.
במעבר אור מאוויר לזכוכית, זווית ברוסטר היא בערך 56 מעלות, בעוד שבמעבר מאוויר למים היא בערך 53 מעלות.
בגלל שמקדמי השבירה תלויים באורך הגל של האור, גם זווית ברוסטר תלויה באורך הגל.
משקפיים מקטבים משתמשים בתוצא של זווית ברוסטר כדי להקטין את הבוהק מעצמים המחזירים את אור השמש.
במשקפיים כאלה נמצא מקטב פולרואיד הבולע אור מקוטב אופקית, וכך מקטינים השתקפויות אור ממשטחים אופקיים, בעיקר משטחים חלקים כמו מקווי מים.
במצלמות משתמשים באותו עיקרון לצילום תמונות של מים ללא השתקפויות של השמש, כדי לצלם עצמים שנמצאים מתחת לפני המים.
בבניית לייזרי גז משתמשים בדרך כלל ב"חלון ברוסטר" - חלון בקצוות המהוד שהגל המתנודד פוגע בו בזווית ברוסטר, כך שהקרן היוצאת מהלייזר היא מקוטבת ואינה מונחתת עקב החזרה מהחלון.
זווית אחרת היה אתר אינטרנט ישראלי שנסגר.
האתר נוסד בשנת 2005 כפרויקט משותף של סטודנטים בחוג להיסטוריה של המזרח התיכון ואפריקה באוניברסיטת תל אביב.
האתר החל בהבאת תרגומים איכותיים מערבית לשפה העברית מתוך מחשבה כי העולם הערבי מוצג בתקשורת הישראלית באופן חד-ממדי ולא-מלא וכי יש פערים גדולים שתרגומם של מאמרים ושל תוכניות טלוויזיה יכול לתרום לצמצומם.
בכך, "זווית אחרת" היה לאתר היחיד המביא תרגומים של מאמרים הנכתבים על ידי אינטלקטואלים ליברלים ערבים ונחשב למקור כמעט היחיד העומד לרשותו של הקורא הישראלי, כולל באקדמיה ובתקשורת, לנושא ייחודי זה.
חוקרים רבים של המזרח התיכון עומדים בשיתוף פעולה עם האתר ומפרסמים בו מאמרי תגובה למאמרים מתורגמים בנושאים שונים.
האתר נבחר לרשימת 25 הבלוגים הנבחרים של הבלוג אפלטון של אורי קציר לשנת 2007.
בשנת 2008 החל האתר לפרסם גם תרגומים של מאמרים מן השפה הפרסית וב-2009 תרגומים של מאמרים מן השפה הטורקית.
ביוני 2011 חודש האתר, זכה למתיחת פנים חזותית ותוכנית ומאז, נוסף על תרגומי המאמרים, הוא הציע תכנים מקוריים ובלעדיים וכן מאמרי-תגובה של מומחים בנושאים שונים, כדוגמת כלכלה אסלאמית וסוגיות בתרגום.
במאי 2012 האתר נסגר עקב היעדר יכולת של מנהליו לעמוד בתשומות הרבות הדרושות לתפעול האתר.
האתר מבקש להציע לקורא הישראלי זווית אחרת, חלופית, על העולם הערבי והמזרח התיכון; זווית חדשה, שבה החברה הערבית והאסלאמית ותהליכי העומק הפנימיים שבה – החברתיים, התרבותיים והפוליטיים – ניצבים במרכז ולאו דווקא הפוליטיקה, השלטון, ומערכת היחסים הבינלאומיים והבין-ערביים.
הזווית האחרת שמציע האתר על המזרח התיכון היא זווית ייחודית, מנקודת מבטם של אינטלקטואלים ערבים ומוסלמים ליברלים מארצות האזור ומן הגלות – עיתונאים, סופרים, משוררים, פילוסופים ואנשי-רוח.
דרך כתיבתם הליברלית, קריאתם הביקורתית והרפורמיסטית את המציאות ופרשנותם לאירועים במזרח-התיכון עשוי להיפתח לקורא הישראלי צוהר להשקפות שונות ולקולות מרעננים הרווחים בעולם הערבי.
מאז הקמתו, ריכז האתר מאמרים הנוגעים לנושא אחד במספר פרויקטים נושאיים:
פרויקט סאדאת (לרגל 30 שנה לביקורו של הנשיא סאדאת בישראל, נובמבר 2007).
פרויקט תחנות הלוויין הערביות (בוחן תגובות של ליברלים ערבים לתופעת ערוצי הלוויין).
פרויקט "הליברליזם הערבי - מאין ולאן" (בחינת הזרם הליברלי בעולם הערבי, התפתחותו, הישגיו ומגמות ההתפתחות האפשריות בעתידו).
פרויקט "המערכה בעזה - השלכות וביקורת" (בחינת התגובות בעולם הליברלי הערבי למבצע "עופרת יצוקה" בעזה).
פרויקט "איראן בטלטלה" (בחינת התגובות באיראן ובעולם הערבי לאירועים שהתחוללו באיראן בעקבות הזיופים בבחירות ביוני 2009).
פרויקט "הליברליזם הערבי - מאין ולאן?" (מבט-על על מצב הליברליזם בעולם הערבי ובמזרח התיכון מפי אינטלקטואלים בני האזור).
פרויקט "מצרים לקראת מהפכה" (מאגד מאמרים שהתריעו על המצב החברתי והכלכלי במצרים ועל האפשרות שבגינם תפרוץ מהפכה חברתית).
פרויקט "מצרים לאחר המהפכה" (ניתוח החברה המצרית והזירה הפוליטית המצרית לאחר מהפכת ינואר 2011).
מיום הקמתו התנהל אתר "זווית אחרת" בהתנדבות מלאה ולא נתמך כלכלית על יד אף גוף פוליטי או ארגון אחר.
עבודת התרגום באתר בוצעה בהתנדבות מלאה על ידי כ-20 מתרגמים, עורכי תוכן ועורכי תרגום מן הטובים בישראל בלא כל תמורה.
האתר ממשיך לקלוט לשורותיו כל העת מתרגמים מתנדבים מכל השפות המזרח תיכוניות, בעלי ניסיון ומוניטין וסטודנטים שעשו את צעדיהם הראשונים בתרגום והציע להם מעבר לחוויית התרגום וההתנסות המעשית גם אפשרות ללמוד ולהתפתח בלימודיהם וברכישת מיומנויותיהם.
האתר סופג מתחילת פעילותו ביקורת רבה מכיוונים שונים.
חרף העובדה שהאתר אינו מזוהה פוליטית בישראל מואשם האתר בלקיחת צד פוליטי.
אנשי שמאל האשימו את עורכי האתר בנטייה לימין ובהצגה שטחית של הערבים על ידי כותבים ערביים שיכולים להיות מוגדרים כ"אוריינטליסטים מבית", או גרוע יותר, כאלה המקבלים תמיכה ומימון מן המערב כדי להשמיע את קולם הביקורתי ובכך הופכים עצמם בלתי-רלוונטיים.
אנשי ימין האשימו את האתר בנטייה לשמאל ובניסיון להציג פן סובלני, מתון ושוחר שלום בעולם הערבי שקיים, אולי, רק ברמת האינטלקטואלים, אך אינו קיים בקרב הפוליטיקאים ודעת הקהל.
כותבים ערביים התייחסו גם הם לאתר באופן ביקורתי וחריף: הפובליציסט העיראקי סאיב ח'ליל מתח ביקורת חריפה על האתר ה"ציוני" ואמר כי הוא משרת את האינטלקטואלים הצבועים ומשוללי ההשפעה בעולם הערבי וכי הוא אינו משרת את "מקדמי הרפורמה בעולם הערבי" כפי שהוא טען, אלא את "הממסד הציוני הכובש".
בגאומטריה, בהינתן מצולע כלשהו, זווית חיצונית היא זווית בין צלע להמשך הצלע הסמוכה.
הגדרה זאת טובה לזוויות הקטנות מ-180 (כמו כל הזוויות במצולע קמור).
גודלה של זווית חיצונית לזוויות a הוא a-180, ולכן אם גודלה של הזווית הוא יותר מ-180, מתייחסים אל הזווית החיצונית כאל זווית שלילית.
במשולש, זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזווית הפנימיות שאינן צמודות לה.
תכונה זאת שקולה לאקסיומת המקבילים, ועל כן היא נכונה רק בגאומטריה האוקלידית.
תכונה חלשה יותר, לפיה זווית חיצונית גדולה משתי הזוויות האחרות, איננה דורשת את אקסיומת המקבילים ועל כן היא נכונה גם בגאומטריות הלא-אוקלידיות.
היא הוכחה בספרו של אוקלידס, יסודות, לפני שהוא החל להשתמש באקסיומה.
סכום הזוויות החיצוניות במצולע הוא 360 מעלות.
הוכחה: נניח שבמצולע יש n קודקודים, אז סכום כל הזוויות הפנימיות והחיצוניות הוא 180n (שהרי בכל קודקוד סכום הפנימית והחיצונית הוא 180) אבל סכום הזוויות הפנימיות הוא 180n-360 (הוכחה) ולכן סכום הזוויות החיצוניות הוא 180n-(180n-360) = 360.
זווית חיצונית למשולש, בגאומטריה האוקלידית, תמיד שונה מהזוויות בתוך המשולש שלא צמודות לה.
זוויחוסט (בפולנית: Zawichost; ביידיש: זאוויכאסט) היא עיירה במחוז סנדומייז' שבפרובינציית שוויינטוקז'יסקיה בפולין, במפגש הנהרות ויסלה וסאן, בה התקיימה עד השואה קהילה יהודית גדולה.
זוויחוסט נזכרת לראשונה בשנת 1148. בשנת 1205 התקיים בסמוך לה קרב בין נסיכות האליץ'-וולין ונסיכות פולין קטן.
עד אמצע המאה ה-13 הוענקו ליישוב זכויות עיר.
במאה ה-17 נהרסה העיירה כתוצאה מפלישת האימפריה השוודית והטרנסילבנים.
בחלוקת פולין השלישית בשנת 1795 נכללה העיירה בתחום אוסטריה, ובשנת 1815 נכללה בתחום פולין הקונגרסאית.
מעמדה העירוני של העיירה ניטל ממנה בשנת 1888, והושב לה בשנת 1936.
יהודים ישבו בעיירה מראשית המאה ה-18, ותרמו לפיתוחה הכלכלי.
מסוף המאה ה-19, וביתר שאת לאחר מלחמת העולם הראשונה, היגרו רבים מיהודי העיירה אל מעבר לים.
בין רבני העיר היו רבי יעקב יוסף, רבי יהודה אריה לייבוש פרנקל, רבי יהודה לייב מזקליקוב, ר' צבי אשכנזי בן רבי משה אפרים מקליש ורבי יעקב בן רבי יצחק פרביאז'.
כמו כן כיהן כרב ואדמו"ר רבי יעקב יצחק הורוויץ מחסידות בארנוב.
בין מלחמות העולם התקיימה בעיירה פעילות ציונית, לצד פעילות של הבונד ושל אגודת ישראל, ופעל בה בית ספר מרשת ציש"א.
מעת לעת אירעו בעיירה תקיפות אנטישמיות, ובשנת 1923 אף נרצח יהודי בעיירה באופן סתמי.
בתקופה זו נמנו בעיירה כ-1,500 יהודים, מתוך כ-4,000 תושבים.
ב-9 בספטמבר 1939 נכבשה העיירה בידי הגרמנים, ואלו החלו בחטיפת יהודיה לעבודות כפייה, והטילו עליהם גזירות שונות, ובהן חובת ענידת סרט זרוע, איסור הליכה על מדרכות ואיסור יצירת קשר עם לא יהודים.
יודנרט שהוקם בעיירה בתחילת 1940 נצטווה להעביר לשלטונות תשלומי כופר, ולספק באופן תדיר עובדים יהודים לעבודות כפייה, חלקן במחנות עבודה.
באוגוסט 1942 רוכזו כ-5,000 יהודי העיירה, ובהם פליטים רבים שהגיעו ושהובאו אליה, בגטו שהוקם בה.
ב-29 באוקטובר 1942 פשטו על הגטו אנשי ס"ס ושוטרים פולנים, והצעידו את כל יושביו מרחק של כ-10 ק"מ עד לתחנת הרכבת האזורית, בה הועמסו בצפיפות רבה בקרונות משא בדרך למחנה ההשמדה בלז'ץ.
בשעת האקציה נרצחו זקנים, ילדים וחולים יהודים עוד בשטח הגטו.
אחר עשרות יהודים שהצליחו להסתתר בעיירה ובסביבתה בשעת האקציה ערכו הגרמנים והפולנים מצוד, ומעט מאלו הצליחו לחבור ליחידות פרטיזנים.
זוויירצ'ה (בפולנית: Zawiercie; בגרמנית: Warthenau) היא עיר בפרובינציית שלזיה שבפולין, בה התקיימה עד השואה קהילה יהודית גדולה.
תחילתה של העיר בשני כפרים סמוכים, שהיו בבעלות משפחות אצולה.
בשנת 1847 צורף היישוב המאוחד למסילת הברזל שחיברה בין ורשה ווינה, והדבר הביא לפיתוחו, ולהפיכת היישוב למוקד תעשייה.
בשנת 1926 הוענק ליישוב מעמד עירוני.
קהילה יהודית מאורגנת התקיימה ביישוב מסוף המאה ה-19, ויהודי המקום נטלו חלק מרכזי בפיתוחו התעשייתי של היישוב.
בתקופה זו התקיימו ביישוב מספר בתי כנסת וישיבה.
טרם פרוץ מלחמת העולם הראשונה הופצה נגד יהודי היישוב עלילת דם, אשר בעקבותיה נערכו פרעות ביהודי המקום.
בשנים 1919 ו-1921 נערכו ביהודי היישוב שני פוגרומים, בם נרצחו מספר יהודים.
כמו כן, סבלו יהודי העיר מחרם על עסקיהם.
בין מלחמות העולם התגברה בעיר הפעילות הציונית, לצד פעילות של אגודת ישראל, ופעל בה בית ספר עברי מרשת תרבות.
בשנים אלה נמנו בעיר כ-7,000 יהודים, כרבע מתושביה.
בין רבני העיר היה הרב אריה צבי פרומר.
בעיר כיהנו באדמו"רות רבי אברהם פנחס שלום משושלת אפטא ורבי מנחם מנדל לנדא נכדו של רבי אברהם מטשכנוב, ורבי נתן נחום הכהן רבינוביץ האדמו"ר מקרימילוב.
ב-4 בספטמבר 1939 נכבשה העיר בידי הגרמנים, ואלו הטילו על יהודיה גזירות שונות, ובהן חובת תשלום סכומי כופר, חובת ביצוע עבודות כפייה והחרמת עסקים, וזאת תוך מעשי התעללות שונים.
באפריל 1940 הובאו לעיר כ-600 פליטים יהודים מאזור צ'שין.
בספטמבר 1941 רוכזו כל יהודי העיר בגטו שהוקם בה, אשר מעת לעת רצחו בו הגרמנים יהודים.
תוך זמן קצר הצטרפו לגטו יהודי קרומולוב.
באמצע שנת 1942 פשטו על הגטו שבעיר אנשי ס"ס ושוטרים פולנים, ושילחו כ-2,000 מיושביו לאושוויץ.
בסוף 1942 החלה לפעול בגטו שבעיר מחתרת יהודית של חברי השומר הצעיר, אשר סייעה בניסיונות הברחת יהודים מהגטו למעבר הגבול של סלובקיה.
במהלך השנה הובאו לגטו יהודי לאזי הסמוכה.
באוגוסט 1943 גירשו אנשי ס"ס ושוטרים פולנים את כ-6,000 עד 7,000 היהודים שנותרו בגטו שבעיר לאושוויץ, תוך רצח אנשי היודנרט במקום.
כ-500 עובדי כפייה שהושארו בגטו שולחו לאושוויץ ב-18 באוקטובר 1943.
זווית ביסטטית היא זווית כלשהי בנקודה בה יש מטרה, והתוחמת זווית β בין משדר (Tx), מטרה (Target), ומקלט (Rx), במערכת מכ"ם ביסטטי.
כאשר β שווה בדיוק לאפס.
המכ"ם נקרא מכ"ם מונוסטטי, כאשר היא קרובה לאפס, מכ"ם פסאודו-מונוסטטי, וכאשר היא קרובה ל-180 מעלות המכ"ם הוא מכ"ם פיזור קדמי.
עבור ערכי β אחרים, המכ"ם מכונה בפשטות מכ"ם ביסטטי.
הזווית הביסטטית β היא גורם חשוב בקביעת שטח חתך המכ"ם או RCS (ראשי תיבות של: Radar Cross Section) של המטרה.
במתמטיקה, זווית היפרבולית היא פרמטר שמאפיין גזרות של היפרבולה, בדומה לאופן שבו זוויות רגילות מאפיינות גזרות של מעגל.
הזווית ההיפרבולית מוגדרת ראשית בעבור "מיקום סטנדרטי", ולאחר מכן כמידה על אינטרוול של ענף היפרבולי.
זווית היפרבולית במיקום סטנדרטי היא הזווית ב- בין הקרן שעוברת ב- לקרן שעוברת ב- כאשר
x > 1; זווית זו שווה לארקטנגנס ההיפרבולי ההופכי ("ארקטנגנס היפרבולי") .
הזווית ההיפרבולית שלילית כאשר x בין 0 ל-1.
הזווית ההיפרבולית שווה לפעמיים השטח של הגזרה ההיפרבולית המתאימה, השווה ל- (הוכחה תובא בהמשך הערך), בדיוק כשם שהגודל של זווית מעגלית הוא השטח של הגזרה המעגלית המתאימה לזווית מרכזית זאת.
בניגוד לזווית מעגלית, הגודל של זווית היפרבולית אינו חסום.
נניח ש- ו- כאשר , כך שהנקודות ו- מגדירות אינטרוול על ההיפרבולה xy = 1. יש העתקה אפינית משמרת שטח הממפה את האינטרוול הזה לאינטרוול בין ל-.
חשבון שטחים פשוט מראה שהשטח תחת ההיפרבולה באינטרוול זה הוא גם השטח של הגזרה ההיפרבולית המתאימה לנקודות ו-.
לפי תוצאה של גרגואיר דה סנט וינסנט, לשטח זה תכונות לוגריתמיות.
הפונקציות ההיפרבוליות sinh, cosh ו-tanh נעזרות בזווית ההיפרבולית כמשתנה הבלתי תלוי שלהן, ומכיוון שהערכים שלהן ניתנים לחישוב באופן אנלוגי לפונקציות הטריגונומטריות המעגליות.
לכן המושג של "זווית היפרבולית" הוא שימושי ביותר בבעיות של חשבון אינפיניטסימלי במשתנה ממשי; המושג מקנה אינטואיציה כיצד להתיר בעיות בנושא.
למעגל היחידה יש גזרה מעגלית ששטחה חצי מהזווית המעגלית ברדיאנים.
באופן אנלוגי, להיפרבולת היחידה יש גזרה היפרבולית עם שטח ששווה למחצית הזווית ההיפרבולית.
הזווית ההיפרבולית מהווה יותר מהגדרה שרירותית המקבילה לזו של זווית מעגלית, אלא שהיא טומנת בחובה עומק רב; הרעיון הבסיסי של חיבור זוויות דרך תכונות של הנקודות המתאימות לזוויות האלו, תקף גם לזווית המעגלית וגם לזווית ההיפרבולית.
הבניות הבאות מראות את ההקבלה בין הזווית ההיפרבולית לזווית המעגלית:
זוויות מעגליות ניתנות לאפיון באופן גאומטרי באמצעות התכונה שאם לשני מיתרים ו- מתאימות זוויות ו- במרכז המעגל, אז הסכום שלהן + הוא הזווית המרכזית המתאימה למיתר שמקביל ל-.
אותה הבניה נכונה גם להיפרבולה: אם בוחרים , ו-, אז באמצעות חישוב שיפועים ניתן להראות שתנאי ההקבלה מכתיב ש- תהא הנקודה .
נקודה זאת מתקבלת גם מהגדרת הזווית ההיפרבולית כפונקציה לוגריתמית; הנקודה המתאימה לסכום הזוויות ההיפרבוליות שמתאימות לנקודות ו- היא, לפי הזהות , הנקודה .
הבעיה של תרבוע ההיפרבולה היא הבעיה של הערכת השטח של גזרה היפרבולית.
בעיה זאת נפתרה לראשונה על ידי גרגואיר דה סנט וינסנט ב-1647 בחיבורו החשוב Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni.
כפי שהיסטוריון אחד ניסח זאת:
"הוא ערך את התרבוע של ההיפרבולה ביחס לאסימפטוטות שלה, והראה שהשטח גדל בהתאם לטור חשבוני כאשר x גדל בטור גאומטרי."
de Sarasa, פירש מחדש את השטח הזה כלוגריתם והגדיר באופן גאומטרי את הלוגריתם הטבעי.
כאחת הדוגמאות הראשונות לפונקציות טרנסצנדנטיות, הלוגריתם מפורסם יותר מהרעיון שהתניע את גילויו, דהיינו הזווית ההיפרבולית.
הראשון שהרחיב את הישג ידה של הטריגונומטריה המעגלית כדי שתכלול גם את תכונות ההיפרבולות היה אוגוסטוס דה מורגן בספרו Trigonometry and Double Algebra.
ב-1914 פרסם Ludwik Silberstein את חיבורו על תורת היחסות החדשה, ובו הוא נתן פרשנות לתורה המתבססת על מושג הזווית ההיפרבולית.
בהמשך לעבודתו של הרמן מינקובסקי על האיחוד המתמטי של המרחב והזמן, Silberstein הראה שניתן לפרש את טרנספורמציות לורנץ כסיבוב בזווית היפרבולית של קואורדינטות המרחב-זמן; לאחר שמגדירים זווית היפרבולית a המקיימת tanh a = v/c, טרנספורמציות לורנץ למעשה מזיזות את הקואורדינטות המרחב-זמניות של אירוע לאורך היפרבולת האינטרוול כאשר מערכת הייחוס משתנה.
הזווית ההיפרבולית המוגדרת בדרך זאת מסייעת להבחין בין מערכות ייחוס הנמצאות במהירות יחסית אחת לשנייה, וניתן להראות את העקביות של הגדרת בדרך זאת:
אם נציב tanh a = v/c בטרנספורמציית לורנץ למעבר בין מערכות ייחוס נקבל:
הנוסחה לחיבור מהירות יחסותי היא תוצאה ישירה של האדיטיביות של הזווית ההיפרבולית ושל הזהות לטנגנס ההיפרבולי של סכום זוויות:
באותו חיבור, Silberstein נעזר גם במושג של זווית ההקבלה (angle of parallelism) של לובצ'בסקי (Π(a כדי להגיע לתוצאה cos Π(a) = v/c.
זווית היפרבולית כזווית מעגלית מדומה
הזווית ההיפרבולית מוצגת לעיתים כמספר מדומה; אם x הוא מספר ממשי ו-i2 = −1 אז:
כך שהפונקציות ההיפרבוליות cosh ו-sinh ניתנות להצגה באמצעות פונקציות מעגליות.
הזהויות האלו ניתנות להבנה גם במונחים של טורים אינסופיים.
הטור המייצג את הפונקציה האקספוננציאלית ( ) מורכב מאיברים עם חזקות זוגיות ואי זוגיות, כאשר טור החזקות הזוגיות מרכיב את פונקציית הקוסינוס ההיפרבולי () וטור החזקות האי זוגיות מרכיב את פונקציית הסינוס ההיפרבולי ().
הטור האינסופי לקוסינוס נגזר מהטור האינסופי לקוסינוס היפרבולי באמצעות הפיכתו לטור מתחלף.
בדרך דומה מתקבל גם הטור ל-sin מהטור ל-sinh, אלא שהפעם החזקות האי זוגיות בטור הופכות למדומות ולכן נדרש הפקטור i.
זוויות גוף מהוות תיאור של דרגות החופש לסיבוב גוף בשלושה ממדים.
השימוש הנפוץ של ייצוג זה הוא בכלי טיס (לרבות רחפנים) כאשר עלרוד (Pitch) הוא תזוזת אף המטוס למעלה או למטה, סיבוב על הציר העובר מכנף לכנף, סבסוב (Yaw) הוא תזוזת האף שמאלה או ימינה סביב ציר אנכי וגלגול (Roll) הוא סיבוב סביב ציר האורך של הגוף העובר מהאף לזנב.
ניתן לתאר מתמטית את זוויות הגוף באמצעות זוויות אוילר, קווטרניון או מטריצת סיבוב.
המחשה ויזואלית של שלושת צירי התנועה
רחפנים יכולים לבצע סיבוב שלם סביב כל אחד מהצירים במקום עצמו, בעוד שלמטוס (ולעוד כלי רכב אחרים) קיים רדיוס מעגל סיבוב.
בגאומטריה היפרבולית, זווית ההקבלה , שסימונה המקובל הוא , היא הזווית בקודקוד אחד של משולש היפרבולי ישר-זווית ששתיים מצלעותיו הן מקבילים אסימפטוטיים.
זווית זו תלויה באורך המקטע a שמחבר את הקודקוד של הזווית הישרה עם הקודקוד של זווית ההקבלה.
בהינתן נקודה מחוץ לישר, אם מורידים אנך לישר מהנקודה, אז a הוא המרחק לאורך המקטע האנכי הזה, ו-φ או היא הזווית הקטנה ביותר בה הקו המשורטט מהקודקוד בזווית הזו אינו חותך את הישר הנתון.
מכיוון ששתיים מצלעות המשולש הן מקבילים אסימפטוטיים, מתקיים:
ישנם חמישה ביטויים מתמטיים שקולים שקושרים את עם a:
כאשר sinh, cosh, tanh, ו-sech הן פונקציות היפרבוליות ו-gd היא פונקציית גודרמניאן.
המונח זווית ההקבלה והנוסחאות המקושרות אליו הוצג ופותח בהרחבה ב-1840 בחיבור "חקירות גאומטריות על התאוריה של קווים מקבילים" של המתמטיקאי ניקולאי לובצ'בסקי, ממגלי הגאומטריה הלא-אוקלידית.
יאנוש בולאי גילה בנייה גאומטרית אלגנטית ממנה ניתן לגזור את הנוסחה לזווית ההקבלה.
קרל פרידריך גאוס הציג בכתב לא מפורסם קצר "התאוריה של קווים מקבילים" הגדרה זהה; הוא הגדיר ישר מקביל גבולי דרך נקודה מחוץ לישר נתון כחתך בין הישרים שפוגשים את הישר הנתון לישרים שלא פוגשים אותו.
באותו חיבור הוא הוכיח גם כי יחס ההקבלה הוא יחס שקילות מעל אוסף הישרים ההיפרבוליים - הווה אומר שהוא חילופי (סימטרית) וטרנזיטיבי.
עובדות אלו הן טריוויאליות בגאומטריה אוקלידית, אולם מצריכות הוכחה דקדקנית בגאומטריה אחרת; פרטי ההוכחה טריקיים מאוד, ועשו שימוש ברעיונות המאוחרים יותר של מוריץ פש (Pasch).
זוחלים (שם מדעי: Reptilia) הם קבוצה פראפילטית (כלומר קבוצת יצורים חיים שבה כלול אב הטיפוס אך לא חלק מצאצאיו) של בעלי חוליות פויקילותרמיים (בעלי "דם קר"), הכוללת, נכון למאי 2025, כ-12,440 מינים.
מאפייניהם העיקריים של הזוחלים הם קשקשים עשויי קרטין המכסים את גופם, וויסות חום הגוף על ידי שינוי ההתנהגות.
אף על פי שהם נחשבים כאוהבי מקומות חמים ויבשים, הם מצויים במגוון בתי גידול ברחבי העולם.
מבחינה אקולוגית, הזוחלים חשובים הן כטורפים והן כנטרפים.
צבים – מונים 366 מינים.
מחודקי ראש – מונים את הסוג ספנודון (מין אחד).
קשקשאים (לטאות ו-נחשים) – מונים כ-12,040 מינים.
תנינאים – מונים 27 מינים.
אבותיהם הקדמונים הם דו-חיים, מהם התפתחו לפני כ-295 מיליון שנים, לאחר שפיתחו ביצה בעלת קליפה שאפשרה להם להתרבות מחוץ למים.
הזוחלים הקדמוניים אינם רק האבות של הזוחלים בני ימינו, אלא גם של היונקים והעופות.
הזוחלים החיים כיום התפתחו בעידן המזוזואיקון (התנינאים והצבים ראשונים) – תקופה בה שלטו בעולם יצורים אחרים, כמו הדינוזאורים על הקרקע, הפטרוזאורים באוויר והפלזיוזאורים במים – ומאז שרדו אירועי הכחדה נרחבים, כמו הכחדת קרטיקון-פלאוגן שהמיתה את הדינוזאורים כ-66 מיליון שנה לפני זמננו.
הזוחלים, ככל היצורים החיים, מאוימים על ידי סכנות שונות, ובהן: ציד של האדם בשביל עורם או כמקור מזון, הרס בתי גידול (Habitat destruction) וזיהום.
במיון עולם הטבע הקלאסי של קארולוס ליניאוס סווגה קבוצת הזוחלים כמחלקה, אך מחקרים עכשוויים הראו כי לזוחלים אין אב קדמון משותף הכולל את כל הזוחלים ורק אותם (ללא עופות), ולכן הם נחשבים קבוצה פרפילטית ולא מחלקה בעלת הצדקה טקסונומית.
בעבר היו זוחלים ענקיים באוויר, ביבשה ובים כמו האפטוזאורוס, הדיינוסוכוס, הקרונוזאורוס והפטרנודון, אך כולם נכחדו לאחר תקופת הקרטיקון ואת מקומם תפסו עופות ובעיקר יונקים ענקיים.
הזוחל הענק ביותר שחי אי-פעם היה הדינוזאור ארגנטינוזאורוס שהגיע לאורך של מטר ומשקל של 70–100 טונות.
הזוחל הגדול ביותר החי היום הוא תנין הים שיכול להגיע לאורך של ולמשקל של 1,500 ק"ג.
עם זאת, יש מספר מיני נחשים כמו אנקונדה ופיתון מרושת שהם ארוכים יותר אך שוקלים הרבה פחות.
הזוחל הקטן ביותר הוא זיקונית ננסית ממדגסקר שאורכה 30 מ"מ .
כיום רוב הזוחלים הגדולים ביותר הם התנינאים והסוג תנין בפרט.
שאר הזוחלים הם קטנים או בינוניים למעט מספר מינים של לטאות כגון כוח ענק ומספר מיני צבים כגון צב ים גלדי, צב גלאפגוס וצב אלדברה.
להלן רשימת ששת הזוחלים הגדולים ביותר וממדיהם, ממוינים לפי משקל ממוצע:
גוף הזוחלים מכוסה בעור השונה מעורם הלח של הדו-חיים, מעורם המנוצה של העופות, ומעורם השעיר של היונקים.
שכבת האפידרמיס בזוחלים מצופה בקשקשים העשויים בעיקר מבטא-קרטין, אותו החומר ממנו עשויים (בעיקר) הציפורניים והשיער.
הקשקשים מחוברים זה לזה באמצעות עור דק וגמיש.
שכבות העור והקשקשים משמשות כחיץ לשמירת נוזלי הגוף, סיוע בניהול גזים וחום גוף, הגנה מפגיעות חיצוניות וקרינה, הסוואה ואמצעי תקשורת.
תכונה זו של אטימות למים מאפשרת לזוחלים לחיות במקומות יבשים, בשונה מן הדו-חיים.
עור הזוחלים עני בבלוטות אקסוקריניות, הנפוצות בעור הדו-חיים, ובמינים מסוימים אף חסר אותן לגמרי.
אצל הצבים התפתח שריון, העשוי מעצמות רבות שהתאחו ומשכבה של קשקשים גדולים המכסה אותן (חוץ משריון הצבים הרכים – אשר כמשתמע משמם – הוא רך, ומכוסה בשכבת עור עבה).
כל הזוחלים מחליפים את שכבות העור הישן (הנקרא "נשל") בחדש יותר בתהליך הנקרא התנשלות (Moulting), אם כי באופנים שונים: הנחשים משלימים התנשלות על פני כל גופם בבת אחת, תוך פריצה מהעור הישן, בעוד שאר הקשקשאים משירים חתיכות גדולות מן העור.
התנינאים משירים את קשקשיהם הגדולים אחד אחד, והצבים משירים רק את השכבות העליונות בעוד ששכבות חדשות מתווספות לתחתונות (על פי מספרן ניתן לקבוע את גיל הצב).
יונקים ועופות "חמי דם" הם אנדותרמיים, כלומר מסוגלים לייצר חום גוף בעצמם, והומיאותרמיים, כלומר מסוגלים לשמור על תחום טמפרטורת גוף צר וקבוע.
אך הזוחלים "קרי הדם" – בשונה מהם ובדומה לשאר בעלי החיים – הם אקטותרמיים, כלומר חום גופם מגיע ממקורות חיצוניים כמו השמש, והטרותרמיים, כלומר טמפרטורת גופם משתנה לפי טמפרטורת הסביבה.
כתוצאה מכך, רוב הזמן טמפרטורת הגוף אצל זוחלים דומה לטמפרטורת הסביבה, ונמוכה מטמפרטורת הגוף האופיינית ליונקים ועופות.
במסגרת הגדרה זו, חלק מן הזוחלים נחשבים "סטנותרמיים" (stenothermic), כלומר יצורים חיים המסוגלים לעמוד בטווח טמפרטורות צר, ואחרים נחשבים "אאוריתרמיים" (eurythermic), כלומר יצורים המסוגלים לסבול טווח טמפרטורות נרחב.
באופן כללי, זוחלי הקרקע סטנותרמיים יותר מזוחלי הים והעצים.
היבטים רבים של הפיזיולוגיה של הזוחלים קשורים לטמפרטורה, ומכאן גם התנהגותם ובריאותם.
אם טמפרטורת גופם של הזוחלים עולה מעל או יורדת מתחת לתחום הרגיל – גופם יפסיק לתפקד כהלכה והם לא יוכלו לזוז.
האופן העיקרי בו זוחלים מווסתים את טמפרטורת הגוף שלהם הוא באמצעות התנהגותם (לפירוט ראו בסעיף התנהגות).
לעיתים קרובות הם נאלצים לשהות זמן מה באור שמש ישיר, או לחלופין על מצע כלשהו שחומם קודם בקרני השמש, עד שטמפרטורת הגוף שלהם תעלה לרמה מספקת לצורך פעילויות שונות.
מאידך, כאשר הסביבה הופכת חמה מדי הם נאלצים לשהות בצל או במאורה על מנת לקרר את גופם.
לכן רוב היבטי ההתנהגות, אורח החיים והתפוצה אצל זוחלים מוכתבים על ידי טמפרטורת הסביבה הרבה יותר מאשר אצל יונקים ועופות (לפירוט ראו בסעיף תפוצה).
מערכת החיסון של הזוחלים מגיבה באופן חלש יותר בחורף.
כמו כן, הם זקוקים לקרינת על-סגול כדי לייצר ויטמין D3, המסייע לספוג סידן דרך מערכת העיכול.
מחסור בקרינה זו, במיוחד מסוג "גל בינוני" (UV-B), יוביל ל-Metabolic bone disease.
בדומה לשאר בעלי-חיים "קרי דם", חילוף החומרים (מטבוליזם) אצל זוחלים בני-זמננו איטי באופן משמעותי מזה של יונקים ועופות "חמי דם", והם צורכים ומוציאים הרבה פחות אנרגיה ליחידת זמן.
לחילוף החומרים האיטי של הזוחלים ישנם יתרונות, כמו צריכת חמצן נמוכה יותר וצריכת מזון נמוכה יותר.
לדוגמה, תנין צורך 10% עד 20% בלבד ממסת המזון שצורך אריה בעל מסת גוף זהה, והוא עשוי לחיות במשך חצי שנה בלי לאכול כלל.
עם זאת, את מרביתו של זמן זה הוא מבלה ברביצה ללא תנועה.
גם זוחלים טורפים אחרים, כגון נחשים, שממיות וזיקיות, בדרך-כלל אינם מתרוצצים ומחפשים אחר טרפם באופן פעיל, אלא אורבים לו במקום אחד זמן רב.
רמת הפעילות הנמוכה אשר מוכתבת על ידי חילוף החומרים האיטי גורמת לכך שזוחלים בני-זמננו, בהשוואה ליונקים ועופות, ממעטים יותר לחקור את סביבתם, ללמוד דברים חדשים וליצור חיי חברה מורכבים.
חילוף החומרים האיטי יותר אצל זוחלים גם מגביל אותם בהוצאת אנרגיה גבוהה במיוחד ומאמצים גופניים קשים במיוחד, אשר אפשריים בבעלי-חיים חמי-דם, למשל תעופה בטפיחות כנפיים פעילות אצל עופות, או ריצה למרחקים ארוכים ביונקים.
חוקרים רבים כיום סבורים כי בשונה מן הזוחלים בני-ימינו, כמה זוחלים נכחדים היו "חמי דם" לפחות במידה מסוימת.
אף שלא ניתן לבדוק זאת ישירות בשלדים מאובנים, ראיות נסיבתיות רבות מצביעות על כך.
מאובני דינוזאורים רבים התגלו באזורי הקטבים (אשר בתקופתם היו קרירים למדי, אם כי הרבה פחות קרים מאשר כיום).
שלדי דינוזאורים רבים, למשל דיינוניכוס, רומזים שהם היו פעילים ומהירי ריצה, ופטרוזאורים היו מסוגלים לעוף.
דינוזאורים מנוצים היו מכוסים במעטה נוצות פלומתיות אשר שימשו ככל הנראה כבידוד תרמי, האופייני לבעלי-חיים חמי-דם.
כמו אצל שאר בעלי ארבע רגליים, גם בזוחלים יש מחזור דם כפול – מחזור קטן לריאות ומחזור גדול לשאר חלקי הגוף.
אך בדומה למצב בדו-חיים, גם בזוחלים עדיין אין הפרדה מוחלטת בין שני המחזורים: במקום חלוקה לחדר ימני וחדר שמאלי בלב ישנו רק חדר אחד, וכתוצאה מכך ייתכן ערבוב בין דם עשיר בחמצן המגיע מן הריאות לדם עני בחמצן המגיע משאר חלקי הגוף.
יוצאים מכלל זה הם התנינאים, שבלב שלהם יש מחיצה שרירית המחלקת את החדר למדור ימני ושמאלי, בדומה למצב בעופות וביונקים.
ואולם אפילו אצל התנינאים מחיצה זו עדיין איננה מושלמת לחלוטין, ונותר בה חור קטן (foramen of Panizza).{{הערה|שם=היקס2002|Hicks, J.
ההפרדה הבלתי-מושלמת בין מחזורי הדם בדו-חיים ובזוחלים מפורשת בדרך-כלל כשריד אבולוציוני של תהליך ההתפתחות מדגים בעלי מחזור הדם היחיד.
כמה חוקרים הציעו מנגנונים שונים של זרימת דם בחדרי הלב במיני זוחלים מסוימים, אשר בפועל מצליחים להפחית או למנוע ערבוב דם עשיר בחמצן עם דם עני בחמצן למרות ההפרדה הבלתי-מושלמת.
ייתכן גם שזוחלים רבים מסוגלים להשלים עם מידה מסוימת של ערבוב ופגיעה ביעילות מטבולית כתוצאה מכך, שכן קצב חילוף החומרים אצלם בדרך-כלל נמוך מזה של יונקים ועופות.
תופעה נוספת המפורשת כשריד של מצב עתיק בזוחלים ובדו-חיים היא התפצלות אבי העורקים לשני סעיפים גדולים, אחד לצד ימין של הגוף והאחר לצד שמאל שלו, אשר מתאחדים שוב באזור הגב לפני שהם מגיעים לשאר חלקי הגוף.
המעבר הכפול מוסבר כשריד של קשת הזימים הרביעית בדגים, אשר הפכה מיותרת עם המעבר לנשימה באמצעות ריאות והעלמות הזימים.
צד אחד של המעבר הכפול המיותר מתנוון ביונקים (הצד השמאלי) ובעופות (הצד הימני).
בדומה לשאר בעלי ארבע רגליים, הזוחלים נושמים באמצעות ריאות.
בניגוד לדו-חיים, שבתחילת מחזור חייהם במים הם נושמים באמצעות זימים, לזוחלים אין זימים פעילים בשום שלב של חייהם.
בדומה לדו-חיים, זוחלים קטני-גוף רבים סופגים חלק מן החמצן הדרוש להם מן האוויר ישירות דרך עורם, לעיתים באזורים מסוימים שלו שבהם העור חדיר יותר.
למרות זאת, לפחות חלק מן הנשימה מתבצע תמיד באמצעות הריאות.
שאיבת האוויר אל הריאות, שביונקים מונעת בכוח שרירי הסרעפת ובית החזה, מונעת בדרכים שונות בקבוצות שונות של זוחלים.
אצל הקשקשאים, השאיבה מונעת בכוח שרירי עמוד השדרה, אשר תפקידם העיקרי הוא בהתקדמות הגוף.
כתוצאה מכך, מרבית הקשקשאים נאלצים לעצור את נשימתם בעת ריצה מהירה.
בכמה מיני לטאות מגבלה זו נעקפה על ידי התפתחות שרירים גמישים בתחתית חלל הפה, אשר שואבים את האוויר כמו אצל דו-חיים.
אצל התנינאים התפתחה מחיצה שרירית דמויות-סרעפת, אך היא איננה הומולוגית לסרעפת היונקים, וממוקמת באגן ולא בתחתית בית החזה.
שלא כמו ביונקים ובעופות, למרבית הזוחלים חך משני קטן ובלתי-מפותח, כך שאין הפרדה בחלל הפה בין דרכי הנשימה ודרכי המזון.
כתוצאה מכך רבים מהם אינם מסוגלים לנשום דרך הראות בעת האכילה.
יוצאים מכלל זה התנינאים, שהם בעלי חך משני מפותח המאפשר להם לנשום בעת האכילה.
אצל הנחשים חך משני בלתי מפותח, אך החלק הקדמי של קנה הנשימה התארך קדימה והתחבר לנחיריים, מה שמאפשר לנחשים לנשום כאשר הם בולעים את טרפם, תהליך שעשוי להימשך אצלם זמן רב.
חוש הריח מפותח אצל מרבית הזוחלים, ויש להם מספר איברים הרגישים לגירויים כימיים באף ובחך.
בדומה לבעלי ארבע רגליים רבים, הזוחלים (חוץ מן הצבים) הם בעלי איבר יעקובסון – איבר הרחה נוסף לאף בתקרת הפה.
איבר יעקובסון מפותח אצל הלטאות, אך לשיא התפתחותו הגיע אצל הנחשים.
כאשר נחש קולט קול דרך הקרקע או כאשר ריח חזק מגרה את אפו, הוא מרים מעט את ראשו, משרבב את לשונו ומכניסה בחזרה במהירות מספר פעמים.
בכל החזרה של הלשון, קצה נוגע סמוך לפתח בחך המוביל לאיבר יעקובסון, ובכך היא מעבירה אליו חלקיקי ריח שדבקו בה.
רבים מן הזוחלים, כמו צפעיים גדולים וחומטיים, מסתמכים כמעט באופן בלעדי על איבר יעקובסון לאיתור ומעקב אחר טרף.
זוחלים אחרים, כמו התנינאים, נעזרים בו למציאת בן או בת זוג.
חוש השמיעה אצל מרבית הלטאות טוב, וחד אף יותר אצל תנינאים.
לעומתם נחשים, צבים ולטאות תת-קרקעיות רגישים בעיקר לתנודות בתדר נמוך, יכולת יעילה במיוחד לקליטת קולות המועברים דרך הקרקע.
לנחשים אין כלל עור תוף, וכתוצאה מכך הם אינם מסוגלים בדרך-כלל לשמוע קולות, אפילו חזקים למדי, אשר מועברים דרך האוויר.
לעומת זאת הם רגישים מאוד לתנודות בתדר נמוך המועברות דרך הקרקע, אותן הם קולטים באמצעות עצמות הגולגולת הישר אל האוזן הפנימית, בתהליך הנקרא "הולכת עצמות" (Bone conduction).
מינים רבים של נחשים, למשל מתת-משפחת העכסנים וממשפחות הפיתוניים והחנקיים (Boidae), מסוגלים לחוש בקרינת חום תת-אדומה, ולקלוט תמונת חום הנפלט מעצם במרחק של עד מטר מהם אפילו בחושך מוחלט (בדומה להדמאה תרמית).
יכולת זו מפותחת עד כדי לאפשר לנחש עיוור מלידה "לראות" תמונת חום של יצור העומד מולו, ולתקוף במדויק חלקי גוף פגיעים שלו.
חישת קרינה תת-אדומה מתבצעת ב"איברי גומה" (Pit organs), שהם שקעים קטנים בפניהם של הנחשים.
איברי גומה מצוידים בקולטני חישה רבים המכילים תעלות יונים מסוג TRPA1, אשר הנפתחות למעבר כאשר הן מגיעות לטמפרטורה מסוימת.
לדוגמה, אצל העכסנים התעלות נפתחות כשהן מגיעות לטמפרטורה של 28 מעלות צלזיוס בקירוב, המתאימה למכרסם קטן בטווח של כמטר.
צורתם, מספרם ומיקומם של איברים אלו שונים במיני נחשים שונים: לחנקיים יש שלושה איברים או יותר בין הקשקשים המקיפים את פיהם, בעוד שאצל העכסניים שני איברים המכוסים בקרום בין העיניים לנחיריים.
בנוסף לאיתור ומעקב אחר טרף, נמצא לאחרונה כי אצל שתי קבוצות, כמו העכסן האימתן (Crotalus atrox), איברים אלו מסייעים בוויסות חום הגוף.
חדות ראייתם של הזוחלים משתנה בהתאם למין: מזוחלים בעלי ראייה טובה, בעיקר אלו הפעילים בלילה, ועד זוחלים עיוורים או חסרי עיניים, כמו לטאת דיבמוס דלאי (Dibamus dalaiensis).
ראיית צבעים אינה תכונה נפוצה בקרב הזוחלים.
לכמה מיני זוחלים, כמו הספנודון ואיגואניים רבים, יש בחלק העליון של ראשם איבר הרגיש לשינויים בעוצמת האור שנקרא עין הקודקוד, ומוכר גם בשמות "עין שלישית" (Third eye) ו"עין האצטרובל" (pineal eye).
איבר זה מקושר לבלוטת האצטרובל, ומסייע לבעל החיים לווסת את השעון הביולוגי שלו וייצור הורמונים הקשורים להומיאותרמיות.
אצל מרבית מיני הזוחלים העפעף התחתון נע יותר מן העליון, חוץ מן התנינים אצלם מועדף העפעף העליון.
לנחשים אין עפעפיים נעים כלל, ובמקומם כל עין מכוסה בקשקש מגן קבוע ושקוף.
צורת האישון משתנה לפי מין הזוחל: מהעיגול המאפיין את הצבים וזוחלים רבים אחרים הפעילים ביום, דרך צורת החריץ האנכי של התנינים וזוחלי הלילה והחריץ האופקי של נחשי עצים אחדים, ועד קו הנקודות האנכי של מיני שממיות מסוימים.
מערכת העצבים של הזוחלים דומה ביסודה לזאת של שאר החולייתנים, ובכלל זה מוח שדרה, חלקי מוח ותריסר זוגות של עצבי גולגולת, שלהם תפקודים דומים לאלו של עצבי הגולגולת באדם, למשל.
המוח הגדול והמוח הקטן בזוחלים גדולים מעט יותר מאלו של הדו-חיים, אך קטנים בהרבה מאלו של יונקים ועופות.
המדד המשמש להערכת גודל המוח תוך ניכוי השפעת גודל הגוף הוא "מנת המוחיות" (Encephalization Quotient).
מנת המוחיות האופיינית לזוחלים בני זמננו הוא כעשירית מזו של יונקים ועופות, כלומר לזוחל טיפוסי יש מוח קטן פי עשרה ממוח יונק או עוף באותו גודל גוף.
בהתאמה לגודל המוח, הזוחלים נחשבים לאינטליגנטים פחות מן היונקים והעופות.
נחיתות הזוחלים בגודל המוח, בהשוואה ליונקים ועופות, נובעת קרוב לוודאי מהיותם "קרי דם".
רקמת עצב צורכת יותר אנרגיה ליחידת משקל מכל סוג אחר של רקמה, אפילו בעת מנוחה מוחלטת.
קצב חילוף החומרים האיטי של הזוחלים אינו מספק די אנרגיה להחזקת מוח גדול.
יוצאים מכלל זה היו מספר דינוזאורים קטני-גוף מן הקבוצות הקרובות ביותר לעופות, כמו טרודון ובמבירפטור.
מנת המוחיות שלהם, אותה ניתן למדוד מתוך הנפח הפנימי של הגולגולת במאובנים, דומה למנת המוחיות של עופות בני-ימינו.
זוהי ראייה עקיפה נוספת שדינוזאורים אלו היו חמי-דם.
אף על פי שהאב הקדמון של הזוחלים היה בעל ארבע רגליים, אצל מספר קבוצות זוחלים יש נטייה להתנוונות הגפיים ואף להיעלמותם.
במיני חומטים רבים, כמו הנחושית העינונית, הרגליים קטנות מאוד.
אצל לטאות ממשפחת הקמטניים ניתן למצוא מינים בעלי גפיים מפותחות ועד מינים דמויי-נחש החסרים גפיים לחלוטין, למשל קמטן החורש הנפוץ בארץ-ישראל.
לבני משפחת הביפדיים יש רק גפיים קדמיות המשמשות לחפירה.
קבוצות שלמות של זוחלים איבדו לחלוטין את גפיהם, כמו הנחשים המוכרים והטבעונים דמויי התולעת.
עם זאת, אפילו אצל זוחלים חסרי גפיים ניתן בדרך-כלל למצוא שרידים של עצמות הגפיים, הכתפיים או האגן, המעידים על מוצאם האבולוציוני מאב קדמון בעל גפיים.
בזוחלים בעלי רגליים, הירך והזרוע פרושות הצידה מן הגוף, ורק השוק ואמת הזרוע נוטות למטה.
כתוצאה מכך כפות רגליהם מוצבות לצידי הגוף, ולא מתחתיו כמו ביונקים ובעופות.
צורת גפיים זו מקנה לגוף יציבה "שרועה" – נוגעת בקרקע – ומכאן שמם "זוחלים".
מכאן גם דרך הילוכם של הזוחלים: הם מחזיקים אך במעט את גופם מורם מעל הקרקע, ומניעים אותו מצד לצד כדי להגדיל את אורך הצעד.
הליכה זו נראית בעיני ביולוגים אחדים כבלתי יעילה ומסורבלת.
אולם, צורה זו לא השתנתה כמעט במשך מיליוני שנים ומופיעה אצל רוב הזוחלים והדו-חיים, ועל כן ניתן לטעון כי אם הייתה מפריעה להם, הרי הייתה נעלמת.
כמו כן, יציבתם מותאמת לאורח חייהם המתבסס על שימור רב ככל הניתן של אנרגיה.
תנינאים צעירים או קלי משקל אף יכולים ללכת באופן דומה ליונקים – הליכה זו נקראת "הליכה גבוהה" ("high walk") והיא נעשית באמצעות הרמת עצמם מהקרקע ותנועה קלה מצד לצד – או אף "לדהור" באמצעות הנעת הגוף למעלה ולמטה .
לדינוזאורים היו רגליים מוצבות מתחת לגופם ויציבתם הייתה זקופה בדומה לזו של עופות ויונקים.
יכולות דאייה ואף תעופה פעילות התפתחו פעמים רבות באופן בלתי-תלוי אצל קבוצות זוחלים שונות במהלך האבולוציה.
זוחלים דואים החיים בימינו הם ברובם מינים קטני-גוף המטפסים על עצים וסלעים.
במינים כאלו, הגדלת שטח הפנים של הגוף מאפשרת צניחה איטית ובטוחה בעת קפיצה ממקום גבוה.
במינים מתקדמים יותר המשטחים האווירודינמיים גדלים ומשתכללים, ומאפשרים דאייה הדרגתית יותר ומבוקרת.
יכולת דאייה ידועה במספר זוחלים בני-ימינו (להלן סוגים, אך לא בהכרח כל המינים בסוג דואים):
הסוג דרקון דואה (Draco) ממשפחת החרדוניים – 41 מינים.
בסוג זה קרום התעופה הוא עור הנמתח בין צלעות מוארכות של בית החזה, ולא בין הגפיים כמו במרבית הקבוצות הדואות האחרות.
הדרקון מסוגל לפרוש או לקפל כרצונו את הצלעות והקרום המתוח ביניהן.
ישנם מקרים מתועדים של דרקונים שדאו למרחק של כ-60 מטרים – מרחק רב בהתחשב בעובדה שרובם באורך של כ-20 ס"מ.
הסוג Holaspis ממשפחת הלטאיים עצמותיהן החלולות והעובדה כי הן יכולות לשטח את גופן (בעיקר בטנן) עוזרות להן לדאות או לצנוח באיטיות.
הסוג שממית דואה (Ptychozoon) ממשפחת השממיתיים למינים בסוג יש קרומי העור לאורך גופם שעוזרים להם לדאות.
הסוג Luperosaurus ממשפחת השממיתיים דואים בצורה דומה שממיות הדואות.
הסוג Thecadactylus, דואים בצורה דומה לשממיות הדואות.
הסוג Cosymbotus ממשפחת השממיתיים, דואים בצורה דומה לשממיות הדואות.
נחש מעופף – מסוגל להכפיל את רוחבו על ידי שיטוח גופו, ולכווץ את אזור הבטן שלו פנימה בצורת פעמון, שמתפקד בדומה למצנח.
הנחש מסוגל לבקר את כיוון הדאייה הרצוי לו באמצעות פיתול גופו, ונעזר בזנבו לשמירה על האיזון.
איברי דאייה נמצאו גם במאובנים של מספר זוחלים נכחדים קטני-גוף מתור הטריאס, לפני למעלה מ-200 מיליון שנה.
ביניהם סוגים כמו איקרוזאורוס (Icarosaurus) וקואהנאוזאורוס (Kuehneosaurus), שכנפיהם התפתחו מצלעות מוארכות בדומה לאלו של הדרקון הדואה בן ימינו, אף שהם השתייכו לקבוצות אחרות לחלוטין.
בולט במיוחד הסוג שרוביפטריקס (Sharovipteryx), זוחל זעיר שהיה בעל כנף דלתא שנוצרה מקרום עור המתוח בין רגליו האחוריות.
בשתי קבוצות של זוחלים נכחדים – הפטרוזאורים והדינוזאורים – אף התפתחה תעופה פעילה בתנופות כנפיים.
שתי קבוצות אלו התפתחו בנפרד ובאופן בלתי-תלוי זו מזו, כפי שמעיד מנגנון התעופה השונה שלהם: אצל הפטרוזאורים התפתח קרום עור אשר נפרש בין הזרוע והאצבע החמישית הארוכה שלה ובין הרגל האחורית והזנב.
בדינוזאורים מנוצים, ובעופות שהשתלשלו מהם, נוצות תעופה ארוכות על הזרועות והזנב התפתחו מנוצות פלומה ששימשו ככל הנראה לבידוד תרמי.
עדיין לא ידוע כיצד בדיוק הופיעה התעופה אצל פטרוזאורים ואצל עופות, אך ההשערה המקובלת יותר היא שגם הם היו בתחילה זוחלים מטפסים שהתפתחה אצלם יכולת צניחה ודאייה.
תנועת נחשים וחסרי גפיים אחרים
חסרי הגפיים סיגלו לעצמם אופני תנועה שונים כדי להתגבר על חסרונם.
הנחשים פיתחו חמש דרכי הילוך עיקריות המשמשות אותם בהתאם לסוג המשטח עליו הם נעים, מהירות התנועה, משקל הפרט ועוד.
נחש יחיד יכול להשתמש ברוב או בכל החמש, ואף מסוגל להשתמש בשתי דרכים שונות בחלקי גוף שונים.
הם נעים באמצעות כיווץ שרירים היוצר traction בין קשקשיהם לבין המשטח עליו הם מחליקים, ודחיפת עצמם אחורה כנגד המשטח.
מספר רב של חוליות גמישות מאפשרות להם לנטות לכל כיוון ואף להתפתל סביב עצמים.
התנועה הבסיסית ביותר היא תנועה גלית (Undulatory locomotion).
היא משמשת את כל חסרי הגפיים, כולל נחשי הים.
התנועה מתחילה בראש, שם הנחש מכווץ את שריריו, מזיזו קדימה בכיוון אלכסוני לצד מסוים ובכך גורם לשאר גופו לעקוב אחריו.
לאחר מכן התהליך חוזר חלילה לצד השני.
תנועה שנייה, המשמשת גם נחשים מטפסים, היא תנועת כיווץ (Concertina).
בתנועה זה הנחש נע קדימה מבלי להזיז את גופו לצדדים, זאת באמצעות כיווץ גופו לכדי צורות S רבות, הזנקת חלקו הקדמי קדימה, הורדתו כלפי הקרקע, מציאת מקום אחיזה ומשיכת החלק הנותר.
תנועה בקו ישר משמשת לרוב נחשים גדולים, כמו פיתוניים.
בתנועה זו חלק מהבטן מורם מעט מעל הקרקע, נמתח קדימה, מורד ומוצא אחיזה בקרקע, מושך את שאר הגוף וחוזר חלילה עם חלקי גוף אחרים .
חוסר גפיהם של חסרי הגפיים אינו מהווה אבן נגף בפניהם, אלא ההפך הוא הנכון: הוא מאפשר להם להשתחל אל תוך חללים קטנים וצרים, כמו סדק בסלע וצמחייה צפופה.
כמו כן, חלק ממינים אלו נעים במהירות, כמו הממבה השחורה היכולה לנוע במהירות של עד כ-16 קמ"ש (הנחש המהיר בעולם).
ככל בעלי ארבע הרגליים (קיימים כיום: דו-חיים, יונקים, עופות והזוחלים עצמם), לזוחלים יש בליטה (Occipital Condyle) המחברת בין העצם האחורית והתחתונה של הגולגולת לבין עצם האטלס.