tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לפי סידני, בעיה מרכזית בטיעון של פילמר היא המחשבה שאלוהים (והטבע) לא הותירו לאדם כל בחירה באשר לצורת הממשל הראויה.
אם היה זה נכון, כל אלה שניסו אי פעם לחשוב על צורת הממשל הראויה לפי עקרונות התבונה, הצדק, והמידה הטובה טעו לחשוב שקיימת בפניהם בחירה כלשהי בעניין זה.
עבור סידני, טענה זו היא חסרת שחר.
אלוהים יצר את בני האדם חופשיים ותבוניים, כדי שיוכלו לשפוט, בין השאר, מהי צורת הממשל הטובה ביותר עבורם.
"בנותנו לכל בני האדם מידה מסוימת של יכולת לשפוט מה טוב עבור עצמם, הוא [אלוהים] נתן לכולם גם את החירות להמציא צורות [ממשל] כאלה שמספקות אותם באופן הטוב ביותר".
שימור החירות הוא הדבר החשוב ביותר לבני האדם.
השאלה שעומדת בפניהם היא, אם כן, לא איזו צורת ממשל בחר אלוהים בשבילם, אלא מהו הטבע של החירות, מדוע היא בעלת ערך, ומהי צורת הממשל שמגנה על החירות ומקדמת אותה באופן הטוב ביותר.
על פי סידני חירות משמעה עצמאות מרצונו של אחר, ועבדות היא התלות המוחלטת ברצון של אחר.
הגדרה פשוטה זו היא פתח לדיון מורכב יותר באשר לטבעה של החירות.
בתגובה לטענה של פילמר שהתשוקה לחירות היא המקור לנפילת האדם, מבחין סידני בין חירות לבין הפקרות: החירות "אינה ההפקרות של עשיית כל מה שמתחשק...
כנגד הציווי של אלוהים; אלא פטור מכל החוקים של בני האנוש, אשר להם הם לא נתנו את הסכמתם".
המקור להבחנה זו בין חירות להפקרות - הבחנה שגם לוק אימץ - הוא התאוריה של משפט הטבע של הוגו גרוטיוס.
לפי סידני, משמעות נפילת האדם אינה שהאדם נידון, באופן חסר תקנה, לחיים של חטא ורוע; אלוהים העניק לאדם חירות כדי שבני אדם ועמים יוכלו למשול בעצמם בהתאם לתבונה ולנסות, ככל האפשר, לחזור לטבע המקורי והטוב שלהם לפני הנפילה.
בעוד שתמיד קיימת האפשרות שבני אדם ישתמשו לרעה בחירותם ויחטאו לטבעם ולאלוהים, ללא חירות אין לאדם סיכוי להתקדם מוסרית.
ההבחנה בין חירות להפקרות קשורה להבחנה בין התנהגות רציונלית, בהתאם לחוקי התבונה, לבין התנהגות בהתאם לתשוקות המשתנות של האדם.
בני אדם חופשיים באמת מקשיבים לתבונתם ואינם עבדים לתשוקותיהם.
בנוסף, עם שלא מצליח להשתלט על תשוקותיו, לא יצליח לשמור על חירותו מתלות באחרים למשך זמן רב.
הטבע האנושי אינו לבקש חירות חסרת מעצורים.
תחת זאת, טבע האדם הוא שאהבתו לחירות ממותנת על ידי תבונתו.
ממשל לגיטימי ממתן את אהבת החירות באמצעות התבונה שמתבטאת בחוקים כלליים.
החוק, כותב סידני, הוא "נטול תשוקה ופחד, תאווה וכעס.
עבור חלק מפרשניו של סידני קיים מתח עקרוני ולא פתור בין תפיסת החירות כאי-תלות ברצון האחר לבין תפיסת החירות כחופש משעבוד לתשוקות הנמוכות של האדם.
סידני הכיר בכך שכאשר אדם מסכים להיות חלק מחברה, חירותו מוגבלת על פי שיקולים של הטוב המשותף ועל ידי האיסור לעשות דברים שפוגעים באחרים.
אולם, "מבלי לפגוע בחברה שאליה אני נכנס...
אני שומר לעצמי את החירות לעשות מה שטוב בעיני בכל הדברים הקשורים לעצמי באופן ייחודי".
נובע מכך שגם תחת ממשל קיים תחום נרחב של חירות.
בניגוד לחברה של בני חורין, במצב של עבדות לא קיימת הבחנה בין הפרטי לבין הציבורי - אפילו הנחלה הפרטית, כפי שמתאר זאת פילמר, היא חלק מהנחלה המורחבת של השליט.
בחברה של אנשים חופשיים, הדרך היחידה בה לגיטימי להגביל חירות היא דרך ההסכמה, וקיים בה קשר בין חירות לבין השתתפות פוליטית בחקיקה.
תחום נוסף של חופש בחברה הוא חופש המצפון, שכולל גם חופש דת.
נקודת המוצא של סידני, אותה הוא הבהיר גם במשפטי החצר, היא שלא ניתן להכריח אדם להאמין לדבר בכוח, ושגם אם היה ניתן לעשות זאת, אמונה שמקורה בהכרח לא הייתה מקובלת על אלוהים.
אמונה היא דבר פרטי, שלא ניתן לנהל באופן ציבורי.
בנוסף, חוקי המדינה אינם חוקיו של אלוהים ואינם חוקים טבעיים, אלא חוקים שנוצרו על ידי אנשים בשר ודם בהתאם לתבונתם ולנסיבות בהם חיו: "החוקים שלנו לא נשלחו מהשמיים, אלא נוצרו בידי אבותינו על פי האור שהיה להם, ולפי הנסיבות הנוכחיות שלהם".
טבע האדם ותכלית הממשל המדיני
שלא כלוק, סידני נמנע מלהשתמש במושג "מצב הטבע" לתיאור המצב הקדם-מדיני.
עם זאת, הוא מתאר בקווים כלליים את טבעו של האדם לפני יצירת הקהילייה המדינית, ותאור זה משמש אותו כבסיס לקביעות לגבי ההסכמה שמתוכה הפרטים יוצרים ממשל, התכלית של אותו ממשל, והתנאים ללגיטימציה שלו.
סידני טוען שהטבע הוא התבונה, ובפרט טבע האדם הוא תבוני.
"כיוון שתבונה היא הטבע שלנו, מה שאינו רציונלי אינו יכול להיות טבעי לנו".
בנוסף, האדם הוא בן חורין ואוהב חירות מטבעו.
סידני מתאר שני סוגים של שוויון טבעי בין בני אדם.
השוויון הבסיסי ביותר נובע מהחירות הטבעית, ומשמעותו היא שכולם אדונים לעצמם ואף אחד לא עבד לרצונו של אחר.
בני האדם שווים כולם אחד לשני מבחינה מוסרית, ומבחינת היחס בינם לבין אלוהים, גם אם קיימים ביניהם הבדלים ביכולות, תכונות, וכדומה.
שוויון מסוג אחר הוא העיקרון המריטוקרטי של שוויון בין שווים.
לפי רעיון זה, שמקורו בפילוסופיה של אפלטון, אריסטו וריצ'רד הוקר , התבונה מקנה כוח שווה לבעלי יכולות שוות.
המצב הקדם-מדיני מעורר אי-נוחות, שבגינה בני האדם בוחרים לכונן קהיליות מדיניות על דרך ההסכמה ההדדית ביניהם.
"האדם לא יכול להמשיך לעד ובאופן מלא להגשים את החירות שאלוהים נתן לו.
חירותו של האחד מסוכלת על ידי זו של האחר; ובעוד שהם תמיד שווים, איש מהם לא ייכנע לאחר, אלא באמצעות הסכמה כללית".
מעבר לפתרון אי-נוחות זו, התכלית של הממשל המדיני היא לקדם את "הטוב הציבורי".
תכלית זו כוללת הגנה על הפרטים, חירותם וקניינם, כמו גם קידום הצרכים של בני הקהיליה, אושרם, העושר והכוח המשותף שלהם, הכנתם למלחמה וכדומה.
ממד נוסף של תכלית הממשל המדיני הוא קידום הצדק בחברה והמוסריות והמידות הטובות של הפרטים.
כאמור, מאז נפילת האדם קיים בכל אדם ובכל עם מאבק בין שני חלקים של הנפש: זה הנמשל על ידי התשוקות ומוביל לחטא, וזה הנמשל על ידי התבונה והמידה הטובה, המאפשר לבני האדם לפעול על פי משפט הטבע ולהתקרב לטבעם המקורי והטוב.
כאשר בני האדם חוברים יחד לכינון קהיליה מדינית המוגבלת על ידי החוק ונמשלת בדרך התבונה והמידה הטובה, הם יוצרים מסגרת בה ניתן להגביל ולמתן את החלק בהם שנמשל על ידי התשוקות.
היצירה של הקהיליה היא, אם כן, הדרך בה עושה האדם שימוש בתבונה שנתן לו אלוהים כדי לקדם שיפור עצמי וקולקטיבי.
מכאן שתכלית המדינה על פי סידני חורגת הרבה מעבר למדינת שומר הלילה ושמירה על מידת החירות שקיימת להם מטבעם; תחת זאת, הקהיליה הפוליטית מקדמת ומעצבת את האדם כיצור תבוני ומוסרי, ובאופן זה היא מאפשרת לו לממש חירות אמיתית.
הדיון של סידני על צורות הממשל הלגיטימיות יוצא מההנחה (המנוגדת לזו של פילמר) שאלוהים לא קבע עבור בני האדם מהי צורת הממשל הטובה, אלא הותיר בידם את האפשרות להחליט בעצמם, בהסכמה ובהתאם לנסיבות בהם הם חיים, מהי צורת הממשל הטובה ביותר עבורם.
בהתאם, סידני עצמו משאיר את השאלה "מהי צורת הממשל הטובה ביותר?" פתוחה, אף כי פרשניו מצאו במאמרים על הממשל העדפה ברורה לממשל דמוקרטי או דמוקרטי למחצה וסלידה ממונרכיה.
בכל מקרה, התבונה וההיגיון הבריא מורים שעל הממשל להיות בידיים של בעלי המידות הטובות ביותר - האנשים בעלי הכישרון והיכולת הטובים ביותר לניהול את ענייני הציבור.
הטענה שעל הטובים ביותר לשלוט מסייעת לסידני בטיעון נגד העברת השלטון בירושה, שכן יכולות ויתרון מוסרי - ולא לידה - הם הבסיס לבחירה בשלטון.
עם זאת, קיים לכאורה קושי ליישב טענה זו עם התמיכה בממשל פופולרי המכונן בהסכמה.
סידני נדרש לבעיה זו בין השאר כיוון שפילמר ומלוכנים אחרים טענו שאריסטו, המזוהה עם רעיון המידה הטובה, העדיף מלוכה כצורת הממשל הטובה ביותר.
לטענה זו השיב סידני שפילמר מעוות את דבריו של אריסטו וכושל בפרשנותו.
לפי סידני, אריסטו לא אמר שהמלוכה היא צורת הממשל הטובה ביותר, אלא שעל המלך להיות הטוב ביותר מכל בני האדם.
יוצא מכך שאין להמליך אדם כמונרך יחיד, אלא אם אותו אדם הוא נעלה על כל השאר במידותיו הטובות ובתבונתו: "בהראותו מי מתאים להיות מונרך ואת מי ניתן להמליך, מבלי להפר את משפט הטבע, הוא [אריסטו] מראה מי לא יכול להיות מונרך".
סידני מודה שקיימת אפשרות תאורטית לקיומו של אדם כזה, אך המכלול של טיעונו מצביע על כך שזוהי אפשרות רחוקה ובעלת סבירות נמוכה, שחובת ההוכחה היא על המלך, ושמכל מקום המונרכים הקיימים באירופה אינם עונים על דרישות התפקיד.
לפי סידני יש סיבה לוגית לכך שממשלים עממיים מצליחים יותר ממונרכיות: ממשל עממי נסמך על המידות הטובות של האזרחים, ולכן הוא מטפח אותן; מונרכיות לא נסמכות על האזרחים והן תלויות בחולשה של העם ולכן הן לא מטפחות את המידות הטובות אלא את השחתתן.
סידני מביא דוגמאות היסטוריות רבות, אותן הוא שואב בעיקר מהתנ"ך, מיוון העתיקה ומההיסטוריה הרומית, כדי להוכיח את טענתו.
שני מקורות מרכזיים לידיעותיו הם הכתבים של טיטוס ליוויוס והדיונים של מקיאוולי.
מבחן מרכזי בו הוא משתמש כדי להעריך הצלחה של ממשלים מדיניים הוא הצלחה במלחמה, שמהווה לתפיסתו גם מדד לחלק מהמידות הטובות של האזרחים.
הוא מנסה להוכיח ששיטת הממשל הרפובליקנית ושיטות ממשל מעורבות כהלכה מצליחות טוב יותר בשימור שלום ובעשיית מלחמה.
סידני חידש את הדיון על צורות ממשל בכך שהוסיף לצורות שמונה אריסטו גם את צורת הממשל הפרדלית, אותה הוא זיהה בשווייץ ובפרובינציות המאוחדות.
במאה השמונה-עשרה, מונטסקייה פיתח את הדיון על שיטת ממשל זו, באופן שהשפיע על הפדרליזם בארצות הברית, תוך הכרה בתרומתו של סידני לפיתוח זה.
בדומה ללוק, הטיעון של סידני לגבי זכות האזרחים למרוד בשלטון מסמך על תאוריית המלחמה הצודקת של הוגו גרוטיוס.
גרוטיוס דן ב"על חוק המלחמה והשלום" בעיקר ביחסים בינלאומיים, תחום בו כל מדינה נמצאת מחוץ לתחום החוק הפוזיטיבי של המדינות האחרות.
החידוש של סידני (ובאופן עצמאי גם של לוק) הוא השימוש ברעיון זה בהקשר של עניינים פנימיים שבין האזרחים לבין השלטון, כדרך להצדקה של מרד ומרי אזרחי כנגד שלטון שסרח.
סידני טען שמונרכים אבסולוטיים מעמידים עצמם מחוץ לגבולות החוק, כך שמרד כלפיהם מוצדק באותו האופן שבו מוצדקת מלחמה כנגד כוח חיצוני:
לפי סידני האפשרות למרוד במלוכה אבסולוטית אינה רק זכות, אלא חובה של האזרחים.
בנוסף, הוא כותב במפורש שחובה זו מתקיימת במצב הנוכחי, באופן שקל לפרש כקריאה ברורה למרד בצ'ארלס השני.
לפי סידני, לפרלמנט האנגלי יש את הזכות להמליך מלכים ולפטרם מתפקיד זה.
המלך כפוף לאלוהים, לעם, ולפרלמנט, שכנציג של העם יש לו את הזכות לשפוט את המלך על פי חוק.
אם המלך לא מציית להחלטה של הפרלמנט, עליו להיות מוכן לנקמה מצד אלו שבהם הוא בגד.
סידני היה מודע לכך שבאנגליה למלך יש זכות חוקתית לכנס ולפזר את הפרלמנט, כך שבפועל גם אם לפרלמנט הייתה זכות לפטר את המלך, המלך יכול היה למנוע זאת.
כתגובה למצב זה כתב סידני שהכוח לכנס ולפזר את הפרלמנט אינו של המלך במובן הפשוט: מלכים יכולים לעשות זאת, אך כאשר הם בוגדים בעם, כל אזרח שחש בסכנה יכול לפעול כדי לכנס אספה של אזרחים.
טיעונים אלה שימשו כנגד סידני במשפטו.
לאחר מותו זכה סידני למוניטין של מרטיר רדיקלי, ולוחם למען חירות האדם.
לעובדה שסידני מת בעבור עקרונותיו הייתה השפעה רבה על התקבלותו בקרב קוראים באנגליה ובקולוניות אמריקה הצפונית.
המאמרים על הממשל היה אחד הטקסטים המשפיעים ביותר על התפתחות המחשבה המדינית.
לפי ג'ונתן סקוט, "באנגליה, לעבודה של סידני [המאמרים] הייתה השפעה רבה מזו של לוק בחצי הראשון של המאה השמונה עשרה, וכך גם בצרפת ובאמריקה בחצי השני".
בפוליטיקה האנגלית המחשבה של סידני השפיעה במיוחד על עיצוב העקרונות של המפלגה הוויגית, אך עד סוף המאה היא הפכה להנחת מוצא משותפת של ויגים וטורים כאחד.
למאמרים הייתה השפעה על מגוון רחב של הוגים, פוליטיקאים ואנשי ספרות, כגון מונטסקייה, ז'אן-ז'אק רוסו, אדמונד בורק, בנג'מין פרנקלין, תומאס ג'פרסון, פרסי שלי, קולרידג', לורד ביירון וג'ון קיטס.
הכלכלן פרידריך האייק פתח את ספרו "חוקת החירות" באפיגרף עם ציטוט של אלג'רנון סידני:
מידת ההשפעה של סידני על הנוסח הסופי של החוקה של פנסילבניה היא נושא במחלוקת בקרב היסטוריונים.
שתי העדויות המרכזיות לכך שהייתה לו השפעה רבה הם מכתב של פן לסידני מ-1681 והערה של בנג'מין פרנקלין מ-1769, שלפיה סידני ולוק היו אחראים לכתיבת ה"צ'רטרים" של קרוליינה ופנסילבניה (במקרה של לוק ההתייחסות היא לחוקה היסודית של פרובינציית קרוליינה, שבכתיבתה הוא היה מעורב).
פן היה אחראי גם להזמנת שני העותקים הראשונים של המאמרים על הממשל ב-1700 לאמריקה, זמן קצר אחרי שהודפסו באנגליה.
עותקים נוספים הגיעו למושבות, ומחקרים הראו שרק שני ספרים ("מכתבי קאטו" מאת טרנצ'רד וגורדון ו"שתי מסכתות על ממשל מדיני" של ג'ון לוק) היו נפוצים יותר בספריות אמריקאיות בתחילת המאה השמונה-עשרה.
פרנקלין היה אחד מאלה שהזמינו את הספר מאנגליה.
ב-1754 הוא ציטט ממנו בהרחבה במאמר שכתב כתמיכה בתוכנית אולבני ליצירת ממשל מאוחד של שלוש עשרה המושבות.
באותו מאמר הוא ציטט גם את המוטו של סידני שהפך ב-1775 למוטו של מדינת מסצ'וסטס.
כאשר החלה להתעורר התסיסה במושבות כנגד שלטון האימפריה הבריטית, במיוחד לאחר חוק הבולים של 1765, החלו אישים אמריקאים להיעזר בכתביו של סידני לצורך גיבוש עמדתם.
ב-1765 מנה ג'ון אדמס את סידני כאחד מהמלומדים שמהם יכולים האמריקאים ללמוד "בנושאים של כוח וזכות, כך שלא נובל מכוסי עיניים להרס חסר תקנה".
הוא נטול חשקים ופחד, תאווה וכעס...'".
לאשתו, אביגייל אדמס, הוא כתב ב-1777: "מי לא היה מעדיף להיות אמיץ, אפילו אם אומלל, למען החירות?
מי לא היה מעדיף להיות סידני ולא מונק ?"
גם תומאס ג'פרסון הושפע מכתביו של סידני.
במכתב להנרי לי הוא כתב על הצהרת העצמאות של ארצות הברית, שכל סמכותה נובעת מ"יצירת ההרמוניה בין הסנטימנטים של היום, בין אם הם באים לידי ביטוי בשיחות, במכתבים, במאמרים כתובים, או בספרים היסודיים על צדק ציבורי, כמו אריסטו, קיקרו, לוק, סידני וכו'".
ג'פרסון כלל את המאמרים של סידני בסילבוס שיצר ללימודי משפטים.
סידני המשיך להיות דמות מוכרת בלימודי פילוסופיה פוליטית במהלך המאה ה-19. בשנים 1885–1945 הוא נשכח, והתמעט העניין בו.
בחצי השני של המאה ה-20 החל להתעורר עניין מחודש בכתביו.
העניין בו גבר החל מ-1985, ומאז התעשרה מאוד הספרות על חייו וכתביו.
בעקבות ההערצה בארצות הברית לאלג'רנון סידני הפך השם "סידני" (והקיצור "סיד") לפופולרי בארצות הברית.
קיימים בארצות הברית מחוזות, ערים ורחובות על שמו, בעיקר בניו אינגלנד ובמערב התיכון.
בעקיפין, העיר סידני בניו סאות' ויילס, אוסטרליה, והעיר סידני בנובה סקוטיה, קנדה, חבות את שמן לאלג'רנון סידני.
במרץ 1783 קיבל תומאס טאונסנד תואר ברון מג'ורג' השלישי.
הוא בחר לעצמו את השם סידני (באיות Sydney) כאות כבוד לאלג'רנון.
טאונסנד קיבל בהמשך את התואר ויקונט סידני הראשון, והיה למזכיר הפנים של הממלכה המאוחדת.
ב-1785 מושל נובה סקוטיה קרא לעיר הקנדית על שמו.
ב-1788, מושל ניו סאות' ויילס, ארתור פיליפ, קרא לעיר האוסטרלית על שמו.
כך, באופן לא ישיר, נושאות שתי הערים את שמו של אלג'רנון.
במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה, אלגברה חופשית למחצה (Quasi-free) היא אלגברה אסוציאטיבית (לא בהכרח קומוטטיבית) בעלת ממד קוהומולוגי לכל היותר 1. לאלגברות אלו חשיבות גאומטרית, מפני שהן חלקות פורמלית (formally smooth) בקטגוריה של אלגברות לא קומוטטיביות: כל הרחבה שלהן באידיאל נילפוטנטי מתפצלת.
המושג הוגדר על ידי Joachim Cuntz ודניאל קווילן ב-1995 כמדד לאי-סינגולריות לא-קומוטטיבית, ונדון מאז בהקשרים שונים.
תהא אלגברה אסוציאטיבית עם יחידה (לא בהכרח קומוטטיבית) מעל שדה .
ל--בימודול ניתן להגדיר תורת קוהומולוגיה הנקראת קוהומולוגיית הוכשילד:
הממד הקוהומולוגי של אלגברה הוא האינדקס הגבוה ביותר כך שחבורת הקוהומולוגיה מאינדקס זה אינה מתאפסת לכל בימודול.
חשיבות מיוחדת נודעת לחבורת הקוהומולוגיה השנייה, המתארת הרחבות לא מתפצלות.
ביתר פירוט, נניח כי הוא -בימודול.
נאמר כי אלגברה היא הרחבה של באמצעות אם איזומורפי (כבימודול) לאידיאל של
, שהוא נילפוטנטי מדרגה 2 (כלומר: ) וכך ש- (איזומורפיזם של אלגברות).
אומרים כי הרחבה כזו מתפצלת אם קיים חתך (section) של לתוך , הסוגר דיאגרמה קומוטטיבית עם ההטלה של מודולו , כאשר מזהים את עם .
לפיכך, פירושה שכל הרחבה של באמצעות מתפצלת.
כל אלגברה ספרבילית היא מממד קוהומולוגי אפס, ולכן חופשית למחצה.
אכן, המשפט הראשי של ודרברן קובע כי כל אלגברה מממד סופי מעל שדה מושלם היא סכום ישר (כמרחבים וקטוריים) של הרדיקל הנילפוטנטי שלה ושל המנה הפשוטה למחצה המקסימלית של האלגברה המקורית.
ניתן לראות משפט זה באופן הבא: כל אלגברה פשוטה למחצה מממד סופי מעל שדה מושלם היא ספרבילית, ובפרט חופשית למחצה.
מצד שני, כל אלגברה חופשית היא חופשית למחצה (ולא ספרבילית).
חוג הפולינומים בשני משתנים הוא דוגמה לאלגברה חלקה בקטגוריה של אלגברות קומוטטיביות, שאיננה חופשית למחצה, דהיינו, חלקה פורמלית בקטגוריה של אלגברות אסוציאטיביות לאו דווקא קומוטטיביות.
גבול ישר של שרשרת בת-מנייה של אלגברות ספרביליות הוא אלגברה חופשית למחצה.
כל אלגברה חופשית למחצה היא תורשתית (ימנית ושמאלית).
מכפלה חופשית ומכפלה ישרה של אלגברות חופשית למחצה היא חופשית למחצה (אך מכפלה טנזורית של אלגברות חופשיות למחצה איננה בהכרח חופשית למחצה; אם בנוסף אחד מן הגורמים ספרבילי, המכפלה הטנזורית כן חופשית למחצה).
חופשיות למחצה היא שמורת מוריטה.
תהי הרחבת שדות מממד אינסופי.
אזי, לפי תוצאות של רוזנברג וזלינסקי, הוא אלגברה חופשית למחצה מעל אם ורק אם ההרחבה ספרבילית, או ספרבילית מממד סופי מעל שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה יחיד .
רוזנברג וזלינסקי הוסיפו וחישבו את הממד הקוהומולוגי במובן Hochschild של הרחבות שדות, במונחים של ספרביליות ודרגת טרנסצנדנטיות.
אלגברה לִינֵאָרִית היא ענף של האלגברה העוסק במערכות של משוואות ליניאריות כמו ובהעתקות ליניאריות כמו והצגותיהן בעזרת מטריצות ומרחבים וקטוריים.
אלגברה ליניארית היא תחום מרכזי במתמטיקה והשימוש בה נפוץ בתחומים רבים אחרים.
למשל, אלגברה ליניארית חיונית להצגה מודרנית של גאומטריה, שכן היא מספקת הגדרה של מונחי היסוד הגאומטריים: נקודה, ישר ומישור, באמצעות מונחים אלגבריים.
הגדרה זו מאפשרת גם להגדיר מרחבים אוקלידיים בעלי ממד גדול מ-3. נעשה שימוש נרחב באלגברה ליניארית במסגרת האלגברה המופשטת, האנליזה הפונקציונלית והגאומטריה האנליטית.
כמו כן נעשה שימוש באלגברה ליניארית גם במסגרת מדעי הטבע, מדעי המחשב, הנדסה ומדעי החברה.
אחד מיסודות האלגברה הליניארית הונחו על ידי רנה דקארט שפיתח את מערכת הצירים הקרטזית (הקרויה על שמו) ב-1637 לתיאור המישור והשתמש בה במסגרת הגאומטריה האנליטית לתקוף בעיות של הגאומטריה הקלאסית.
על מנת לציין נקודה במישור, השתמש בסימון של זוג סדור .
עוד יסוד של האלגברה הליניארית הונח על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ, שהשתמש במושג הדטרמיננטה לפתרון מערכות משוואות ב-1693. לאחר מכן, ב-1750, פיתח גבריאל קרמר נוסחה לחישוב פתרון של מערכת משוואות, הנקרא כיום כלל קרמר.
מאוחר יותר, השתמש המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס בשיטת החילוץ של גאוס (הנקראת גם שיטת הדירוג של גאוס) לפתרון מערכות משוואות.
האלגברה הליניארית המודרנית החלה את דרכה בשנים 1843 ו-1844. ב-1843 גילה ויליאם רואן המילטון (שטבע את המונח וקטור בהקשרו האלגברי) את אלגברת הקווטרניונים.
ב-1844 פרסם הרמן גראסמן את ספרו "על אלגברה ליניארית".
ב-1857 הגדיר ארתור קיילי את המטריצה, אחת מאבני היסוד של האלגברה הליניארית.
למרות התקדימים האלו, מרבית האלגברה הליניארית המודרנית פותחה במאה ה-20.
כל דיון באלגברה ליניארית מתחיל בקביעת שדה, שלאיבריו קוראים סקלרים.
הם משחקים תפקיד של מספרים.
ואכן במקרים רבים שדה זה הוא אוסף המספרים מסוג מסוים, למשל שדה המספרים הממשיים, שדה המספרים המרוכבים או שדה המספרים הרציונליים.
שדה הוא מבנה אלגברי הכולל לפחות שני איברים, 0 ו-1 בעל שתי פעולות בינאריות, המסומנות ב-"" ו-"" (חיבור וכפל) המקיים לכל ב-:
(0 הוא איבר נייטרלי לחיבור)
לכל קיים כך ש- (לכל איבר קיים איבר נגדי)
לכל שונה מ-0 קיים כך ש- (קיום איבר הופכי)
מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות, כדוגמת יחידוּת של האיברים הנייטרליים (מכיוון שהתכונה ' לכל ' ייחודית לאיבר האפס, וכן בכפל לאיבר היחידה), יחידות האיבר הנגדי וההפכי, והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.
האלגברה הליניארית אינה עוסקת בשדות עצמם (לשם כך נועדה תורת השדות).
רוב השאלות הבסיסיות באלגברה ליניארית אינן רגישות לשדה, וההתנהגות תהיה דומה למדי עבור שדות שונים.
אולם חלק מההגדרות והתוצאות דורשות טיפול שונה בשדות עם מציין חיובי (בעיקר עבור מציין 2).
כמו כן חלקים מתקדמים יותר של התורה תלויים בכך שהשדה סגור אלגברית, ובפרט בכך שהוא שדה המספרים המרוכבים, ושונים מהותית עבור שדות שאינם כאלה.
מערכת משוואות ליניארית זו מערכת משוואות מהצורה:
כאשר הם המשתנים, הם המקדמים של המשתנים ו- הם המקדמים החופשיים.
כל אלה הם איברים בשדה , ולרוב השדה הזה הוא המספרים הממשיים.
אם מקיימים את המשוואות, הם והצגתם כ- נקראים פתרון.
הבעיה המכוננת של האלגברה הליניארית היא לתאר ולחקור את המבנה והסימטריות של אוסף הפתרונות למערכת משוואות כזאת.
מערכת משוואות בה המקדמים החופשיים מתאפסים נקראת הומוגנית.
שתי מערכות של משוואות ליניאריות נקראות שקולות אם יש להן אותם פתרונות.
אפשר "להגיע" ממערכת ליניארית אחת למערכת ששקולה לה באמצעות עשיית מספר סופי של כל אחד מ-3 הסוגים הבאים של פעולות שורה עליה:
החלפת השורות של שתי משוואות
כפל בסקלר שונה מ-0 של כל המקדמים (גם החופשיים)
הוספת שורה מוכפלת בסקלר לשורה אחרת
ביצוע של כל אחד מ-3 הסוגים האלה של פעולות על מערכת משוואות ליניארית יצור מערכת משוואות ששקולה לה.
נאמר שמערכת משוואות היא מדורגת קנונית אם:
בכל שורה המקדם הפותח (המקדם הראשון בכל שורה שהוא לא 0) שווה ל-1.
המקדם הפותח של כל שורה נמצא משמאל למקדם הפותח של השורה שמתחתיה (מכאן המילה "מדורג").
בכל עמודה בה אחד המקדמים הוא פותח, כל שאר המקדמים שווים ל-0.
אחד המשפטים הבסיסיים של אלגברה ליניארית מראה שמכל מערכת משוואות ליניארית ניתן ליצור מערכת מדורגת קנונית יחידה ששקולה לה , ומכאן נובעות תכונות רבות של מערכות משוואות ליניאריות.
ביניהן התכונה שלכל מערכת ליניארית מעל שדה אינסופי יש 0, 1, או אינסוף פתרונות.
כאמור פתרון של מערכת משוואות ליניאריות הוא n-יה של מספרים ב-F (סדרה של n מספרים, או וקטור).
ניתן לאגד את אוסף כל ה־n-יות האלה לקבוצה אחת המסומנת ב-.
ניתן לחשוב על כעל אובייקט גאומטרי.
למשל, עבור מקבלים את הישר, המישור והמרחב (בהתאמה).
הקבוצה מהווה אבטיפוס בסיסי למרחבים הווקטוריים.
ההגדרה של מרחב וקטורי נוטלת מקבוצה זאת את המבנה והתכונות שלה והופכת אותם למושג מופשט.
אוסף הפתרונות של מערכת משוואת הומוגנית
אוסף הפתרונות של מערכת משוואת הומוגנית הוא תת-קבוצה של המהווה גם היא דוגמה למרחב וקטורי.
דוגמה זאת מספקת צעד נוסף לקראת ההגדרה הכללית של מרחב וקטורי.
מרחב וקטורי (או בשמו הנוסף מרחב ליניארי) מעל שדה (כגון שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים) זהו מבנה אלגברי בעל 2 פעולות בינאריות "" ו-"" המקיים מספר תכונות.
איברי המרחב הווקטורי נקראים וקטורים ואיברי השדה נקראים סקלרים.
הפעולה הראשונה נקראת "חיבור וקטורי" והשנייה נקראת "כפל בסקלר", מכיוון שהפעולה הראשונה היא והשנייה .
המבנה (עבור כלשהו) הוא חבורה אבלית, כלומר: החיבור אסוציאטיבי וקומוטטיבי, (הנקרא "וקטור האפס", לא בהכרח האיבר הנייטרלי של ) הוא איבר נייטרלי של , ולכל איבר יש נגדי;
לכל כאשר 1 הוא איבר היחידה בשדה .
לדוגמה, הוא מרחב וקטורי מעל .
כל מרחב וקטורי מממד סופי איזומורפי למרחב מצורה זו.
תת-מרחב ליניארי, בצורה לא פורמלית, הוא מרחב וקטורי שמוכל בתוך מרחב וקטורי אחר וסגור ביחס לאותן שתי הפעולות הבינאריות.
כלומר, עבור 2 איברים בתת-המרחב, סכומם יהיה שייך לתת-המרחב ויהיה שווה לסכומם במרחב עצמו; באופן דומה עבור כפל בסקלר.
מכיוון שפעולות אלו הן אותו דבר במרחב ובתת-המרחב, הן כבר מקיימות את כל האקסיומות של קומוטטביות, אסוציאטיביות, וכו', מה שאומר שהתכונות שצריכות להתקיים בתת-קבוצה של מרחב וקטורי כדי שהוא יהיה תת-מרחב ליניארי הן: לכל : ו־.
תכונות אלו נקראות "סגירות ביחס לחיבור" ו"סגירות ביחס לכפל בסקלר" בהתאמה.
בפרט הוא כולל גם את וקטור האפס של המרחב המקורי.
במרחב וקטורי מעל שדה , הווקטור מוגדר להיות צירוף ליניארי של אוסף הווקטורים אם עבור כלשהם (המקדמים).
הפרישה (span) של סדרת (אוסף) וקטורים כזו היא אוסף כל הצירופים הליניאריים שלה, מה שיוצר תת-מרחב.
בהינתן סדרת וקטורים , ניתן להציג את כצירוף ליניארי שלהם על ידי מקדמי 0. אם זאת הדרך היחידה שבה ניתן להציג את כצירוף ליניארי של הסדרה, הסדרה תיקרא בלתי תלויה ליניארית.
בסיס של מרחב וקטורי הוא סדרת וקטורים בת"ל (בלתי תלויה ליניארית) שגם פורשת את .
כתוצאה מהיותם של בסיסים האיזון הדק שבין קבוצה פורשת לקבוצה בת"ל, כל קבוצה פורשת של וקטורים ניתן לצמצם לבסיס וכל קבוצת וקטורים בלתי תלויה ליניארית ניתן להשלים לבסיס.
לכל שני בסיסים (בהנחה שהם סופיים) של מרחב וקטורי יש אותו גודל, המוגדר להיות הממד של , ומסומן ב- או ב-.
בהינתן בסיס של מרחב וקטורי מעל שדה , נוכל ליצור קואורדינטות: הווקטור עם הקואורדינטות יהיה הווקטור .
לכל וקטור יש קואורדינטות מפני שהסדרה פורשת, והקורדינטות הן יחידות משום שהסדרה בת"ל.
לכן, קורדינאטות מוגדרות ביחידות לכל וקטור, מה שנותן דרך לייצג כל וקטור כ- סקלרים.
עבור שני תת-מרחבים של , ו-, נגדיר את סכומם להיות , ובצורה כללית יותר, עבור תתי מרחבים, סכומם יהיה .
סכום של תתי-מרחבים הוא תת-מרחב בעצמו.
הגדרה זו שונה מאיחוד של קבוצות, שכן איחוד כולל רק את איברי הקבוצות עצמם, וסכום כולל גם וקטורי סכום שאינם נמצאים באף אחד מתתי-המרחב לבדם.
בניסיון לחישוב ממד של סכום תתי מרחבים, נמצאה נוסחה הנקראת משפט הממדים:
בהינתן שני מרחבים וקטוריים ו- מעל אותו שדה , העתקה ליניארית (הנקראת גם טרנספורמציה ליניארית או אופרטור ליניארי) מ- ל- היא פונקציה שהיא סגורה ביחס לחיבור ולכפל בסקלר, כלומר:
אם העתקה ליניארית היא חח"ע ועל, נאמר שהיא איזומורפיזם, ושהמרחבים ו- הם איזומורפיים זה לזה.
אם שני מרחבים (מעל אותו שדה) הם איזומורפיים זה לזה, הדבר שקול להיותם שווי ממד.
לכל העתקה ליניארית מוגדרים שני תת-מרחבים: גרעין ההעתקה (כל הווקטורים שנשלחים ל-0), ותמונת ההעתקה (כמו תמונה של פונקציה רגילה).
שניהם תת-מרחבים ליניאריים, הגרעין תת-מרחב של תחום הפונקציה והתמונה תת-מרחב של טווח הפונקציה.
יש קשר בין הממדים שלהם, הנקרא משפט הממדים:
ההעתקה T היא חד-חד ערכית אם גרעינה מתאפס.
היא על אם ורק אם תמונתה היא כל W.
בהינתן שני מספרים טבעיים ו־, מטריצה A בגודל על (מעל שדה ) היא פונקציה מהקבוצה לסקלרים ב-.
הפונקציה הזו מוצגת בעזרת טבלה בת שורות ו־ עמודות, כאשר במקום ה־ בטבלה רשום הערך A(i,j) (שמקובל לסמן ב־ או ב־).
דוגמה פשוטה למטריצה מעל שדה המספרים הממשיים היא .
כאן, במקום ה־ מופיע הערך 6, כלומר A_{2,1} = 6, ובמקום ה־ מופיע הערך 2, כלומר A_{1,2} = 2. שמות המטריצות לרוב מסומנות באותיות לטיניות גדולות.
שני שימושים בולטים של מטריצות הם הצגה של העתקה ליניארית לפי בסיס מסוים באמצעות מטריצות, והצגה של תבנית ריבועית באמצעות מטריצה סימטרית.
כמו כן, אפשר לסמן מערכת משוואות ליניאריות באמצעות מטריצה אחת.
לכל העתקה ליניארית, כך ש- ו-, בהינתן שני בסיסים קבועים ל- ו-, אפשר להתאים להעתקה הליניארית מטריצה מסדר באמצעות וקטורי הבסיס של .
בהרבה מקרים מתעניינים בהעתקות כך שהמטריצה ריבועית.
ניתן גם להשתמש באותו הבסיס פעמיים.
באופן הזה, כל מושג שמוגדר להעתקות ליניאריות ניתן להגדיר למטריצות ולהפך.
ההתאמה בין העתקה ליניארית למטריצה תלויה בבסיס שבו משתמשים.
דבר זה יוצר מצב שבו העתקה אחת יכולה להתאים למטריצות רבות, ומטריצה אחת יכולה להתאים להעתקות רבות.
כדי להתמודד עם הבעיה הזאת הוגדר מושג נוסף: 2 מטריצות ריבועיות נקראות דומות אם הן מייצגות אותה העתקה ליניארית בבסיסים שונים (בכל הצגה של ההעתקה הליניארית משתמשים פעמיים באותו בסיס למרחב הווקטורי , שהוא התחום של ההעתקה וגם הטווח שלה).
הייצוג הזה יוצר קשר עמוק מאוד בין העתקות ליניאריות ומטריצות.
למשל, בהינתן שתי העתקות ליניאריות כך שהמטריצה שמייצגת את היא ואת מייצגת , אז המטריצה היא המטריצה שמייצגת את ההרכבה (ביחס לבסיסים הנתונים).
אחרי חישוב קל, מוצאים גם נוסחה מפורשת עבור כפל מטריצות.
חישוב כפל מטריצות באמצעות הנוסחה המפורשת, מאפשר להגיע בקלות למטריצה המייצגת של הרכבת ההעתקות.
מושג מרכזי בתורת המטריצות היא הדטרמיננטה.
דטרמיננטה היא פונקציה מקבוצת המטריצות הריבועיות לשדה מעליו הן מוגדרות.
מבחינה גאומטרית, אם ניקח מטריצה ונשרטט את הווקטורים (שורות המטריצה) ב-, נוכל להשלים אותם למקבילון.
הדטרמיננטה של המטריצה היא "הנפח המכוון של המקבילון" (זוהי ההגדרה של נפח מכוון).
במקרים רבים, דטרמיננטה מספקת תשובות לשאלות בפיזיקה, מדעי מחשב ובתחומי מדע נוספים.
גם במסגרת האלגברה הליניארית יש לה משמעות, בשל התכונה שמטריצה ריבועית היא מטריצה הפיכה אם ורק אם .
מזה נובע, שסדרת וקטורים (שאורכה הוא כמו גודל ממד הווקטורים) היא בלתי תלויה ליניארית אם ורק אם הדטרמיננטה של מטריצה ששורותיה הן הווקטורים לא מתאפסת.
בניה חשובה במרחבים ליניאריים היא "המרחב הדואלי".
בניה זאת מתאימה לכל מרחב ליניארי מרחב אחר.
הבניה מהווה ארכי-טופוס למושג דואליות שמופיע בתחומים רבים של המתמטיקה.
בהינתן מרחב V, נתן להגדיר מבנה טבעי של מרחב ליניארי על אוסף ההעתקות הליניאריות מ-V לשדה F.
מרחב זה נקרא המרחב הדואלי של V ומסומן ב־.
ההתאמה המתאימה ל-V את המרחב היא פנקטור קונטרא-ווריאנטי.
זאת אומרת שבהינתן ההעתקה בין מרחבים ליניאריים להגדיר באופן טבעי את ההעתקה הדואלית .
אם נתון בסיס ל ניתן לבנות ממנו באופן טבעי בסיס ל- הנקרא הבסיס הדואלי.
אם נתונה על ידי מטריצה (בבסיסים נתונים) אז נתונה על ידי המטריצה המוחלפת בבסיסים הדואליים.
המטריצה המוחלפת מתקבלת מהמטריצה המקורית על ידי החלפת סדר האינדקסים i,j של המטריצה.
אם V מממד סופי אז איזומורפי (קנונית) ל-V.
אחרת ניתן לראות ב-V תת-מרחב של .
במילים אחרות קיים שיכון טבעי של פנקוטורים מהזהות להרכבת פנקטור הדואליות עם עצמו, ושיכון זה הוא איזומורפיזם עבור מרחבים מממד סופי.
בהינתן מרחב ליניארי V ותת מרחב שלו W ניתן להגדיר את מרחב המנה V/W.
זהו מרחב ליניארי שאיבריו הם תתי-קבוצות של V מהצורה v+W, זאת אומרת תת-קבוצות שמתקבלים מ-W על ידי הזזה בווקטור מ-V.
דרך אחרת לראת בניה זאת היא אוסף כל אברי V כאשר אנו מזהים את כל עברי W עם 0, ובהתאם אנו מזהים שני וקטורים ב-V זה עם זה אם הפרשם נמצא ב-W.
העתקות ליניאריות יכולות להיות מאוד מסובכות.
בדיקה על ממדים קטנים מראה סוגים מרובים שלהם.
וקטורים עצמיים מפשטים חישובים על העתקות ליניאריות ועל מטריצות.
בהינתן העתקה ליניארית , וקטור עצמי הוא וקטור עם ערך עצמי המקיימים:
העתקה ליניארית תיקרא לכסינה אם קיים בסיס של וקטורים עצמיים.
אם נייצג את ההעתקה במטריצה בבסיס של הווקטורים העצמיים, המטריצה תהיה מטריצה אלכסונית עם הערכים העצמיים באלכסון.
עבור מטריצות, מטריצה תיקרא לכסינה אם היא מייצגת העתקה ליניארית לכסינה, כלומר, היא דומה למטריצה אלכסונית.
אם מטריצה או העתקה ליניארית היא לכסינה, זה יקל מאוד על חישובים.
כפל מטריצות, דטרמיננטה ומטריצה הופכית הם דוגמאות לדברים שנוח לחשב כשמטריצה או העתקה ליניארית היא לכסינה.
אפשר למשל, באמצעות לכסון, למצוא נוסחה מפורשת לאיברי סדרת פיבונאצ'י (ולמעשה כל סדרה רקורסיבית דומה).
באלגברה ליניארית תבנית היא פונקציה שמקבלת מספר משתנים וקטוריים ומחזירה סקאלר.
בדרך כלל התבניות הן ליניאריות על פי כל אחד מהמשתנים בנפרד.
המקרה הפשוט ביותר של תבניות הוא 1-תבניות.
1-תבניות על מרחב היא פשוט פונקציונל ליניארי על .
במילים אחרות, העתקה ליניארית מ־ לשדה.
אוסף כל ה-1-תבניות על הוא המרחב הדואלי .
תבנית ביליניארית על מרחב וקטורי היא העתקה ליניארית על פי כל אחד מהמשתנים ב־.
תבנית ביליניארית נקראת לא מנוונת (מימין) אם לכל קיים כך ש: .
באופן דומה מגדירים תבנית לא מנוונת משמאל.
עם מממד סופי אז שני המושגים האלה שקולים.
חקר התבניות הבי-ליניאריות מתחלק בדרך כלל ל-2:
תבניות סימטריות – תבנית המקיימת
תבניות אנטי-סימטריות – תבנית המקיימת
במאפיין שונה מ-2 כל תבנית ניתן לכתוב באופן יחיד כסכום של תבנית סימטרית ואנטי-סימטרית.
אוסף התבנית הבי-ליניאריות על מרחב נתון הוא מרחב ליניארי.
אוספי התבניות הסימטריות והאנטי-סימטריות מהווים תתי-מרחבים שלו.
בהינתן תבנית בי-ליניארית ניתן להגדיר פונקציה על-ידי
פונקציות שמתקבלו בצורה זאת נקראות תבנית ריבועיות.
במציין שונה מ-2 יש התאמה חד-חד ערכית ועל בין תבניות ריבועיות ותבניות בי-ליניאריות סימטריות.
אוסף התבנית הריבועיות על מרחב נתון הוא מרחב ליניארי.
תבנית עם מספר רב יותר של משתנים שהן ליניאריות על-ידי כל אחד מהם בנפרד נרקאת תבניות פולי-ליניאריות.
אוסף התבנית הפולי-ליניאריות על מרחב נתון במספר נתון של משתנים הוא מרחב ליניארי.
מקרה פרטי מעניין של תבניות פולי-ליניאריות הוא תבניות אנטי-סימטריות.
תבנית פולי-ליניארית נקראת אנטי-סמטרית אם כשמחליפים שניים ממשתניה במקומותיהם ערכה מחליף את סימנו.
גרסה של תבניות אלה שמשתנה כתלות בפרמטר חשובה במיחד בגאומטריה דיפרנציאלית לצורך אינטגרציה.
גרסה זו נקראת תבנית דיפרנציאלית.
מספר המשתנים בתבנית פולי-ליניארית אנטי-סמטרית לא טריוויאלית לא עולה על ממד המרחב.
אוסף התבנית הפולי-ליניאריות אנטי-סימטריות על מרחב נתון, במספר נתון של משתנים הוא מרחב ליניארי.
מקרה פרטי מעניין של תבניות פולי-ליניאריות אנטי-סימטריות הוא כשמספר המשתנים שווה לממד המרחב.
תבניות אלה נקראות תבניות פולי-ליניאריות אנטי-סמטריות עליונות.
ממד מרחב התבניות הפולי-ליניאריות אנטי-סמטריות עליונות הוא 1. מרחב זה שימושי לצורך הגדרת הדטרמיננטה.
לעיתים מתעניינים בתבניות שאינן בדיוק ליניאריות אלא בעלות תכונה מעט שונה.
תכונה זאת מעניינת במיוחד כאשר שדה הבסיס שלנו הוא .
במקרה זה העתקה כאשר הוא מרחב וקטורי מעל נקראת ליניארית למחצה (לעיתים גם אנטי ליניארית) אם היא מקיימת:
לעיתים מתעניינים בתבניות שהן ליניאריות רק בחלק מהמשתנים וליניאריות למחצה ביתר המשתנים.
מקרה פרטי חשוב הוא תבנית ב-2 משתנים, ליניארית על-פי הראשון וליניארית למחצה על-פי השני.
תבניות כאלה נקראות ססקיו ליניאריות (Sesqui בלטינית זה אחד וחצי).
תבניות ססקיו ליניאריות לא יכולות להיות סימטריות, אולם הן יכולות להיות סימטריות למחצה.
תבניות ססקיו ליניאריות סימטריות למחצה נקראות תבניות הרמיטיות.
התורה של תבניות הרמיטיות דומה למדי לתורה של תבניות ביליניאריות סימטריות.
אוסף התבנית הססקיו על מרחב ליניארי מעל הוא מרחב ליניארי מעל אך לא מעל מעל .
אוסף התבנית ההרמיטיות הוא תת-מרחב של מרחב זה.
ניתן להגדיר תבניות ססקיו ליניאריות ותבניות הרמיטיות גם מעל שדות אחרים.
לשם כך יש לקבוע אוטומורפיזם של השדה מסדר 2. אוטומורפיזם זה מחליף את התפקיד של ההצמדה המרוכבת בהגדרות מעלה.
בהתאם אוספי התבניות הססקיו ליניאריות והתבניות ההרמיטיות אינם מרחבים ליניאריים מעל שדה הבסיס אלא מרחבים ליניאריים מעל תת-השדה של נקודות השבת של .
אלגברה ליניארית חוקרת גם מרחבים וקטוריים עם מבנה נוסף הנקרא מכפלה פנימית.
במקרה הממשי המכפלה הפנימית היא מקרה פרטי של תבנית ביליניארית והיא נותנת למרחב הווקטורי מבנה גאומטרי בכך שהיא מאפשרת להגדיר אורך וזווית.
עבור מרחב וקטורי מעל , מכפלה פנימית היא פונקציה
מוגדרת חיובית: שוויון אם ורק אם .
עבור המרחב הווקטורי , המכפלה הפנימית הסטנדרטית (שנקראת גם מכפלה סקלרית ואין לבלבל בינה לבין כפל בסקלר) ניתנת על ידי הנוסחה:
הנוסחה מקיימת את כל שלושת התנאים בבירור.
עבור מכפלה פנימית זו, ניתן להוכיח באמצעות משפט הקוסינוסים כי למעשה , כאשר היא הזווית בין הווקטורים.
הוכחה זו נעזרת באורך של וקטור וגם בזווית בין שני וקטורים, דברים שמוגדרים ב- אך לא במרחב וקטורי כללי.
אבל, גם אורך וגם זווית ניתנים להגדרה עבור מרחב וקטורי כללי.
מפה, ניתן להגדיר אורך של וקטור על ידי ולהוכיח את אי-שוויון קושי-שוורץ האומר כי לכל שני וקטורים,
ברישום אחר, האי-שוויון אומר כי , מה שנותן לנו את האפשרות לסמן גודל זה בקוסינוס בין הזוויות.
ניתן להגדיר את המושג של מרחב מכפלה פנימית גם מעל המספרים המרוכבים.
במקרה כזה המכפלה הפנימית צריכה להיות תבנית הרמיטית במקום תבנית בי-ליניארית סימטרית.
את האי-שוויון בתנאי המוגדרות חיובית בתור דרישה שהערך יהיה ממשי וחיובי.
באופן מפורש, מכפלה פנימית על מרחב וקטורי מעל מכפלה פנימית היא פונקציה
בהינתן שני מרחבים וקטוריים ו־ ניתן להגדיר מרחב וקטורי כך שאוסף התבניות הבי-ליניאריות יהיה איזומורפי קנונית לאוסף הפונקציונלים על .
באופן כללי יותר, עבור כל מרחב וקטורי אוסף ההעתקות הביליניאריות איזומורפי קנונית לאוסף ההעתקות הליניאריות .
המרחב נקרא המכפלה הטנזורית של ו־.
במקרה ש־ ו־ מממד סופי ניתן להגדיר את בתור המרחב הדואלי של מרחב התבניות הביליניאריות .
בהינתן איבר ואיבר , ניתן להגדיר איבר מתאים ב־.
איבר זה מסומן ב־ ונקרא המכפלה הטנזורית של איבר ואיבר .
איברים במכפלה הטנזורית נקראים טנזורים.
בדרך כלל המלה טנזור מיתיחסת לאיברים במרחב
מספר ההופעות של נקרא הקונטרה-וריאנטיות של הטנזור ומספר ההופעות של נקרא הקו-וריאנטיות שלו.
הסכום של שני מספרים אלה נקרא דרגת הטנזור.
בהינתן שני טנזורים ו־, ניתן להכפיל אותם טנזורית ולקבל טנזור:
בדומה להעתקות ליניאריות, גם טנזורים ניתן ליצג על ידי טבלאות של מספרים, אך בשונה מהעתקות ליניארית טבלאות אלה יהיו רב ממדיות (הממד הוא כמעלת הטנזור).
בהקשרים מסוימים (בעיקר בפיזיקה ומדעי הנתונים) המלה טנזור מתייחסת לטבלאות אלה.
הקשר בין מושג זה של טנזור והמושג שהוצג מעלה הוא כמו הקשר בין מטריצה לבין העתקה ליניארית.
בדומה לתבניות, גם טנזורים יכולים להיות סימטריים ואנטי-סימטריים.
תכונת הסימטריה והאנטי-סימטריה של הטנזור יכולה להתייחס לחילוף של כל זוג קומפוננטות של הטנזור מאותה וריאנטיות.
אוסף כל הטנזורים הסימטריים (לכל חילוף) הקונטרה וריאנטיים מדרגה על מרחב נקרא החזקה הסימטרית ה־ של ומסומן ב־.
אוסף כל הטנזורים האנטי-סימטריים (לכל חילוף) הקונטרה וריאנטיים מדרגה על מרחב נקרא החזקה החיצונית ה־ של ומסומן ב־.
קיימות גרסאות של מכפלה טנזורית של טנזורים עבור טנסורים סימטריים ואנטי-סימטריים.
הן נקראות מכפלה סימטרית ומכפלה חיצונית בהתאמה.
לכל מערכת משוואות ליניאריות הומוגניות עם פחות משוואות מנעלמים יש פתרון לא טריוויאלי (לא כל הנעלמים אפסים).
זוהי למה בסיסית באלגברה ליניארית, שניתן להוכיח למשל על ידי דירוג.
משפטים רבים באלגברה ליניארית מתבססים על למה זאת.
במרחב ליניארי, גודל קבוצת וקטורים בלתי תלויה לעולם לא יעלה על גודלה של קבוצת וקטורים פורשת.
קל להסיק טענה זאת מהטענה הקודמת.
כל שני בסיסים במרחב ליניארי הם באותו הגודל.
לכל מרחב ליניארי יש בסיס.
אם למרחב הליניארי יש קבוצה פורסת סופית אז הוא נקרא מרחב מממד סופי וטענה זאת קלה להוכחה.
אחרת ההוכחה יותר מסובכת והוכחתה משתמשת באקסיומת הבחירה.
שתי הטענות האחרונות גוררות שהמושג של ממד של מרחב ליניארי מוגדר היטב.
מיון של מרחבים ליניארים עד כדי איזומורפיזם: כל מרחב ליניארי מממד n מעל שדה איזומורפי ל-.
משפט זה מנוסח בדרך כלל עבור מרחבים ממד סופי אך תקף (בהנחת אקסיומת הבחירה) גם למרחבים מממד אינסופי.
מיון של העתקות ליניאריות בין שני מרחבים נתונים: לאחר שבוחרים בסיס בשני המרחבים, אוסף ההעתקות האלה מזדהה עם אוסף המטריצות מהגודל המתאים.
נוסחת החלפת בסיס: בהינתן שני מרחבים ו־, הזיהוי הנ"ל תלוי בבחירת הבסיסים של ו־.
שינוי בסיס באחד המרחבים יגרום לכך שהמטריצה שמייצגת את האופרטור תוכפל מאחד הצדדים (בהתאם למרחב בו אנו משנים את הבסיס) במטריצה הנקראת מטריצת מעבר בין הבסיסים.
מיון של העתקות ליניאריות בין שני מרחבים נתונים עד כדי שינוי בסיס בכל אחד מהמרחבים.
מיון זה מאפשר להבין את המבנה הפנימי של ההעתקות השונות.
קל להסיק מיון זה מדירוג מטריצות.
המבנה של ההעתקה במובן זה נקבע על ידי הדרגה שלה, זאת אומרת מממד התמונה שלה.
במילים אחרות: שתי העתקות בעלות אותה דרגה מתקבלות זו מזו על ידי הכפלת הבסיס בתחום ובטווח.
משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות שהוזכר למעלה.
מיון של העתוקות ליניאריות בין שני מרחבים נתונים עד כדי שינוי בסיס באחד מהמרחבים.
מיון זה נובע בקלות מדירוג.
המיון מאפשר להבין את אוסף תתי המרחבים של מרחב נתון.
פירוק מטריצה למטריצות אלמנטריות: כל מטריצה (ריבועית) הפיכה ניתן לכתוב כמכפלה של מטריצות אלמנטריות (ריבועיות).
באופן כללי יותר, כל מטריצה ניתן לכתוב כמכפלה של מטריצות אלמנטריות מטריצה מהצורה
ניתן להסיק תוצאה זאת בקלות מדירוג.
התנהגות תחת פעולות שורה: הוספה של שורה אחת לאחרת לא משנה את הערך של הדטרמינטה.
כפל של שורה בסקלר מכפילה את הדטרמיננטה באותו סקלר.
תכונה זאת (יחד עם הזהות ) מגדירה את הדטרמיננטה ביחידות.
התנהגות תחת פעולת עמודות אנלוגית לחלוטין להתנהגות תחת פעולת שורות.
קריטריון הפיכות: מטריצה הפיכה אם"ם הדטרמינטה שלה לא מתאפסת.
את כל התכונות ניתן להסיק מהתכונה הראשונה ומפירוק מטריצה למטריצות אלמנטריות.
מיון של ההעתקות הליניאריות ממרחב ליניארי (מממד סופי) לעצמו, עד כדי שינוי בסיס.
כאשר מחליפים בסיס במרחב ליניארי המטריצה של אופרטור ליניארי מהמרחב לעצמו עוברת הצמדה, קרי כפל במטריצה מימין ובהופכית שלה משמאל.
מעל שדה סגור אלגברית מיון זה נתון על ידי צורת ז'ורדן.
במקרה הכללי הוא נתון על ידי הצורה הרציונלית הקנונית.
פירוק ז'ורדן-שבלה : מעל שדה מושלם, כל אופרטור ניתן להציג באופן יחיד כסכום של שני אופרטורים מתחלפים, כאשר האחד פשוט למחצה (זאת אומרת הוא ניתן לליכסון מעל הסגור האלגברי של השדה) והשני נילפוטנטי.
פירוק ז'ורדן-שבלה הכפלי: מעל שדה מושלם, כל אופרטור הפיך ניתן להציג באופן יחיד כמכפלה של שני אופרטורים מתחלפים, כאשר האחד פשוט למחצה והשני אוניפוטנטי (זאת אומרת אופרטור הזהות פלוס אופרטור נילפוטנטי).
מעל שדה סגור אלגברית ניתן להסיק בקלות את פירוק ז'ורדן-שבלה (בשתי גרסאותיו) מצורת ז'ורדן.
מעל שדה מושלם כללי ניתן לההסיק את הפירוק מהמקרה הסגור אלגברית.
משפט קיילי-המילטון: המשפט מראה שהפולינום האופייני של מטריצה מאפס אותה.
מכאן שהפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה.
למשפט זה שימושים רבים באלגברה.
ניתן להסיק אותו בקלות מהצורה הקנונית של המטריצה וגם יש לו מספר הוכחות ישירות.
מיון של מרחבי מכפלה פנימית (מעל או ) עד כדי איזומורפיזם: לכל מרחבי מכפלה פנימית יש בסיס אורתונורמלי.
מכאן שכל שני מרחבי מכפלה פנימית מאותו ממד איזומורפיים.
האלגוריתם למציאת בסיס אורתונורמלי נקרא תהליך גרם-שמידט.
המשפט הספקטרלי להעתקות נורמליות: במרחב מכפלה פנימית מממד סופי כל אופרטור נורמלי ניתן לליכסון על ידי מטריצה אורתגונלית/אוניטרית.
למשפט יש גרסאות כלליות יותר באנליזה פונקציאנלית.
מיון של תבניות ריבועיות (או באופן שקול תבניות ביליניאריות סימטריות) עד כדי חפיפה: שתי תבניות נקראות חופפות אם אפשר לעבור מאחת לשנייה על ידי החלפת בסיס.
במילים אחרות, אם יש איזומורפיזם שמעביר תבנית אחת לשנייה.
מעל משפט סילבסטר נותן מיון כזה.
למשפט גם גרסאות לשדה כללי.
מיון של תבניות הרמיטיות: מיון זה אנלוגי למיון של תבנית ריבועיות.
מיון של תבניות אנטיסימטריות עד כדי חפיפה: מעל כל שדה דרגה, של תבנות אנטיסימטרית חייבת להיות זוגית.
כל שתי תבניות אנטיסימטריות בעלות אותה דרגה חופפות, וכל מספר זוגי הקטן מממד המרחב יכול להיות דרגה של תבנית על מרחב זה.
מלבד הפירוקים שהוזכרו מעלה, יש עוד מספר פירוקים חשובים ושימושיים של מטריצות למכפלת מטריצות מצורה מסוימת.
רובם מתייחסים למטריצות ריבועיות אך לחלקם יש גרסאות גם למטריצות מלבניות.
פירוק ברוהה (Bruhat) – כל מטריצה הפיכה אפשר לכתוב כמכפלה של מטריצה משולשית עליונה, מטריצת תמורה ומטריצה משולשית עליונה.
פירוק זה הוא מקרה פרטי של פירוק בעל אותו שם התקף כאשר מחליפים את חבורת המטריצות ההפיכות בכל חבורה רדוקטיבית.
פירוק LU – מפירוק ברוהה קל להסיק שכמעט כל מטריצה נתנת להצגה כמכפלה של מטריצה משולשית תחתונה ומטריצה משולשית עליונה.
בהקשר זה הביטוי "כמעט כל" אומר "עבור קבוצה זריצקי פתוחה וצפופה של מטריצות".
אם שדה הבסיס הוא שדה מקומי (לדוגמה , או ) אז מכאן נובע שהטענה מתקיימת עבור קבוצה פתוחה צפופה של מטריצות בטופולגיה "הרגילה" (ז"א בטופולוגיה המושרית מהשדה).
פירוק QR – כל מטריצה מרוכבת (או ממשית) ניתן להציג כמכפלה של מטריצה משולשית ומטריצה אוניטרית (או אורתוגונלית, במקרה הממשי).
קל להסיק את פירוק זה מתהליך גרם-שמידט – לפירוק זה הכללות עבור חבורת רדוקטיביות מעל שדות מקומיים, הנקראות פירוק איווסווה ופירוק קרטן.
פירוק לערכים סינגולריים – כל מטריצה ממשית אפשר לפרק למכפלה של מטריצה אורתוגונלית, מטריצה אלכסונית שעברי האלכסון בה עולים, ושוב מטריצה אורתוגונלית.
לפירוק זה גם אנלוג למקרה המרוכב בעל אותו שם.
הפירוק נקרה לעיתים בקיצור פירוק SVD (ראשי תיבות של השם באנגלית: Singular Value Decomposition).
לפירוק גם גרסה כללית התקפה לחבורה רדוקטיבית מעל שדה מקומי, הנקראת פירוק קרטן.
פירוק פולרי – כל מטריצה ממשית ניתן לפרק באופן יחיד למכפלה של מטריצה אורתוגונלית ומטריצה סימטרית חיובית לחלוטין.
לפירוק גם גרסה למטריצות מרוכבות.
ניתן לראות בפירוק זה הכללה של קואורדינטות קוטביות במישור המרוכב.
קל להסיק את קיומו של פירוק SVD מפירוק זה.
פירוק פולרי למטריצות נורמליות – אם המטריצה היא נורמלית אז הפירוק הוא לשתי מטריצות מתחלפות.
אם ו־ מממד סופי אז שיכון זה הוא איזומורפיזם.
באופן כללי יותר, התמונה של שיכון זה הוא אוסף האפרטורים מדרגה סופית (זאת אומרת שהתמונה שלהם מממד סופי).
אלגברה ליניארית היא תחום בסיסי ביותר במתמטיקה.
חלק ניכר מהמתמטיקה מתבסס על אלגברה ליניארית באופן כלשהו.
האלגברה הליניארית לצידה של החדו"א הם התחומים המתמטיים השימושיים ביתר מחוץ למתמטיקה.
הסיבה המרכזית לשימושיות של האלגברה הליניארית היא הבסיסיות שלה.
בעוד שכמעט אין בעיות במתמטיקה ומחוצה לה שנפתרות באופן בלעדי על ידי כלים מאלגברה ליניארית, במגוון עצום של בעיות האלגברה הליניארית היא השלב הראשון לעבר הפתרון.
אלגברה ליניארית משמשת דוגמה בסיסית לתחומים רבים באלגברה.
ההתנהגות של מרחבים ליניאריים, פשוטה בהרבה מההתנהגות של אובייקטים אלגבריים אחרים, והיא מהווה צעד ראשון להבנתם.
לדוגמה מודולים מעל חוג הם הכללה של מרחבים ליניאריים מעל שדה.
חלק גדול מחקר מודולים מנסה לענות על השאלה "עד כמה הם שונים ממרחבים ליניאריים?".
מאידך ניתן לחקור מודולים על ידי בניית מרחבים ליניאריים מהם (בדרך כלל על ידי הכפלה טנזורית שלהם עם שדה מעל חוג ההגדרה).
רובה של תורת ההצגות מהווה חקר של הפעולה של אובייקטים אלגבריים על מרחבים ליניאריים.
ניתן לתאר חבורת רבות באמצעות האלגברה הליניארית.
החבורה הבסיסית ביותר שניתן לתאר כך היא החבורה הליניארית הכללית .
חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מרחב ליניארי ־ממדי.
באופן שקול אפשר להגדיר חבורה זו בתור חבורת המטריצות ההפיכות .
חבורות רבות ניתנות לשיכון בתוך .
חבורה שניתנת לשיכון לתוך נקראת חבורה ליניארית.
מספר ענפים בתורת החבורות עוסקים בחקר החבורות הליניאריות מנקודות מבט שונות.
מספר חבורות ליניאריות חשובות ניתנות לתיאור בתור תתי החבורות של ששומרות על מבנה מסוים על המרחב הווקטורי.
להלן הדוגמאות המרכזיות לחבורת אלה:
– החבורה הליניארית המיוחדת – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על תבנית נפח.
באופן שקול חבורת המטריצות עם דטרמינטה 1.
– החבורה האורתוגונלית – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על הנורמה האוקלידית, שהיא תבנית ריבועית.
באופן כללי יותר אפשר להגדיר את החבורה האורתוגונלית לכל תבנית ריבועית לא מנוונת.
– החבורה האורתוגונלית המיוחדת – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על תבנית ריבועית ועל תבנית נפח.
באופן שקול חבורת המטריצות האורתוגונליות עם דטרמיננטה 1. זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 ב־.
– החבורה הסימפלקטית – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על תבנית אנטי-סימטרית (לא מנוונת).
החבורה הסימפלקטית קיימת רק במרחבים מממד זוגי מכיוון שתבניות אנטי-סימטרית (לא מנוונת) יש רק בממד זוגי.
אם היא קיימת אז היא יחידה (בהינתן שדה וממד).
– החבורה האוניטרית – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על תבנית הרמיטית (לא מנוונת).
בדומה לחבורות אורתוגונליות יש למעשה מספר חבורות כאלה.
– החבורה האוניטרית המיוחדת – חבורת האוטומורפיזמים השומרים על תבנית הרמיטית (לא מנוונת) ועל תבנית נפח.
חבורות אלו נקראות חבורת ליניאריות קלאסיות (או סתם חבורות קלאסיות) אם עובדים מעל שדה סופי החבורת המתקבלות הן סופיות.
בדרך כלל החבורת שמתקבלות כך אינן פשוטות אך קרובות מאוד ללהיות פשוטות.
ניתן לקבל מחבורת אלו חבורות הפשוטות הנקראת חבורת פשוטות קלאסיות, והן מהוות את חלק הארי של החבורת הפשוטות הסופיות.
מרחב ליניארי (בדרך כלל מממד סופי מעל ) הוא אחד האובייקטים הגאומטריים הבסיסיים ביותר.
אובייקטיים גאומטריים רבים נחקרים באמצעות מרחבים ליניאריים, למשל על ידי שיכונם לתוך מרחבים ליניאריים או הדבקתם ממרחבים ליניאריים.
ניתן לראות באלגברה הליניארית "גאומטריה אלגברית ממעלה 1": בעוד שהגאומטריה האלגברית עוסקת בקבוצות הפתרונות של מערכות משוואות פולינומיות, האלגברה הליניארית עוסקת בקבוצות הפתרונות של מערכות משוואות פולינומיות ממעלה 1, זאת אומרת מערכות משוואות ליניאריות.
מנקודת מבט זאת, האלגברה הליניארית היא צעד ראשון לקראת הגאומטריה האלגברית.
למעשה חלקים באלגברה הליניארית עוסקים גם בפולינומים ממעלה יותר גבוהה.
למשל תבניות ריבועיות הן פולינומים ממעלה שנייה, ולכן מיון של תבניות ריבועיות הוא חלק חשוב במיון השנייוניות.
אובייקטים גאומטריים רבים נראים בקרוב כמרחבים ליניאריים בסביבה של נקודה נתונה, כך ניתן לחקור בעיות גאומטריות באמצאות בעיות מאלגברה ליניארית שמקרבות אותם מקומית.
דרך נוספת לחקור אובייקטים גאומטריים באמצאות אלגברה ליניארית, היא באמצאות מרחב הפונקציות על אובייקט גאומטרי נתון .
גם אם רחוק מאוד מלהית מרחב ליניארי, מרחב הפונקציות מ־ לשדה (למשל ) הוא תמיד מרחב ליניארי.
במקרים רבים ניתן לתרגם בעיות גאומטריות על לבעיות הקשורות לאלגברה הליניארית של מרחבי פונקציות על (זאת אומרת מרחבי פונקציות מ־ לשדה).
לדרך חקר זאת יש מחיר.
המרחבים הליניאריים המתקבלים בדרך זאת מ־ גדולים בהרבה מ-.
כך לדוגמה, גם אם סופית, מרחב הפונקציות עליו אינסופי.
ואם איסופית מרחב הפונקציות עליו אינסוף ממדי, גם אם מממד סופי.
אחד הרעיונות המכוננים באנליזה הוא הקירוב של פונקציה כללית על ידי פונקציה ליניארית.
במקרה של פונקציות במשתנה אחד, פונקציה ליניארית מאופיינת על ידי השיפוע שלה, ולכן קירוב זה מוביל למושג הנגזרת.
אולם במקרה של משתנים רבים (וערכים רבים), פונקציות ליניאריות הן מרכבות יותר ולא ניתן לגלם אותן על ידי מספר אחד.
חקר של פונקציות ליניאריות עם מספר ערכים במספר משתנים הוא למעשה האלגבה הליניארית.
שימוש נוסף של האלגברה הליניארית באנליזה הוא האנליזה הפונקציונלית.
האנליזה הפונקציונלית חוקרת מרחבי פונקציות במקום להתמקד בפונקציה בודדת.
מרחבי הפונקציות בהם עסקת האנליזה הפונקציונלית הם בדרך כלל מרחבים וקטוריים טופולוגיים אינסוף ממדיים.
בכך אפשר לראות באנליזה פונקציאונלית הרחבה של האלגברה הליניארית העוסקת במרחבים וקטוריים שעליהם נתונה גם טופולוגיה.
אחד ממושאי המחקר הבסיסיים בתורת ההסתברות הוא משתנים מקריים והתפלגויתהם.
משתנה מקרי הוא פונקציה על מרחב ההסתברות.
בהתאם, אוסף כל המשתנים המקריים (עם ערכים בשדה או במרחב ליניארי) הוא מרחב ליניארי.
יתר על כן, ההתפלגות של משתנה מקרי היא פונקציה ממרחב הערכים של המשתנה ל־.
כך שאוסף ההתפלגויות הוא תמיד מרחב ליניארי.
חלק מהפעולות בתורת ההסתברות (כמו למשל התוחלת) הן ליניאריות.
רבות אחרות (כמו שונות), אינן ליניאריות, אך קשורות לאלגברה הליניארית.
שימושים אלה בהסתברות מתורגמים לשימושים בסטטיסטיקה.
שאלות אלגוריתמיות רבות במדעי המחשב מתמקדות בבעיות חישוביות באלגברה ליניארית.
דוגמה נפוצה לבעיות אלה היא ביצוע יעיל ומדיוק של פירוקי המטריצות השונים שהוזכרו מעלה.
התחום העוסק בשאלות אלה נקרא אלגברה ליניארית חישובית שהוא חלק מתחום האלגוריתמים המהווה את אחד מהתחומים המרכזיים במדעי המחשב התאורטיים.
אלגברה ליניארית מעל שדה סופי שימושית בקריפטוגרפיה, מכיוון שאפשר להציג כל מידע בתור וקטור במרחב ליניארי מעל שדה סופי, ופעולות כמו הצפנה או קידוד הופכות להעתקות בין מרחבים ליניאריים מעל שדה סופי.
אמנם לא תמיד די בהעתקות ליניאריות, אך אלה מהוות נקודת התחלה טובה.
בחישוב קוונטי, את תפקיד הסיביות מוחליפות סיביות קוונטיות.
מצבה של סיבית קוונטית מתואר על-ידי וקטור ב־.
מצבן של סיביות קוונטיות מתואר על-ידי וקטור המכפלה הטנזורית של העתקים של .
כל הפעולות שמחשב קוונטי יכול לבצע (מלבד המדידה שקוטעת את החלק הקוונטי של החישוב), הן למעשה אופרטורים ליניאריים על מרחבים וקטוריים אלה.
באופן פשטני, אפשר לתאר חלק ניכר מהמתמטיקה השימושית כך: יש לנו מידע עקיף על אובייקט מסוים ואנחנו רוצים לקבל מידע ישיר עליו.
מידע על אובייקטים רבים נתן לתאר על ידי רשימת מספרים.
את הקשר בין המידע העקיף לישיר אפשר לתאר בתור פונקציה.
כך שבמקרים רבים הבעיה לובשת את הצורה הבאה: נתונה פונקציה יש לנו ידע על ואנו מעוניינים לבמידע לגבי .
במילים אחרות, אנו מעוניינים בפתרון המשוואה .
אם הפוקנציה היא אופרטור ליניארי אז הבעיה הופכת למערכת משוואות ליניאריות שזאת אחת הבעיות המכוננות של האלגברה הליניארית.
באופן מעשי, נדירות הן הבעיות שבהן זה המצב.
עם זאת, פונקציות רבות ניתנות לקירוב מקומי על ידי פונקציות ליניאריות, וחקר מערכת משוואות ליניאריות הוא כמעט תמיד צעד ראשון בחקר הפתרונות של כל משוואה.
מדע הנתונים עוסק במציאת תבניות על נתונים.
בדרך כלל ניתן להתאים לכל נתון ערך מספרי (למשל אחוז הסוכר בדמו של חולה).
בדרך כלל הנתונים מאוגדים לרשומות מתאימות (למשל, אם אנו מעוניינים לנתח תוצאות בדיקות רבות של חולים רבים, ניתן לאגד את כל הבדיקות שנעשו עבור חולה נתון ברשומה אחת).
כל רשומה מתאימה לווקטור ב־.
וסך כל הנתונים מתאימים לקבוצת נקודות ב־.
כך שמנקודת מבת זאת ניתן לנסח את הבעיה המכוננת של מדעי הנתונים בתור מציאת תבניות בקבוצות נקודות ב־.
אחת התבניות הפשוטות ביותר שניתן לדמין היא קשר ליניארי בין הנקודות.
לדוגמה כל הנקודות נמצאות באותו תת-מרחב ליניארי של .
במציאות, קשר כזה כמעט לעולם לא מתקיים.
אולם תבניות רבות אחרות מבוססות על קשר ליניארי באופן זה או אחר.
למידת מכונה מבוססת על ניסיון לבנות מערכת שתתאים למשימה כלשהי או הרבה משימות שונות באופן הבא: המערכת מקבלת קלט, מעבדת אותו ופולטת פלט.
צורת העיבוד תלויה בפרמטרים רבים, שאינם חלק מהקלט, אך ניתנים לשינוי.
הרעיון הוא שניתן, לפי ביצועי המערכת, לטייב את בחירת הפרמטרים עד לקבלת ביצועיים מיטביים.
בדרך כלל, הן הפרמטרים, הן הקלט והן הפלט מורכבים ממספרים.
כך שאפשר לחשוב על כל אחד משלושת אלה כעל וקטור במרחב ליניארי.
הקשרים בין השלושה בדרך כלל לא ליניאריים כלל, אולם גם כאן קשר ליניארי הוא אחד הקשרים הפשוטים ביותר שאפשר לדמיין והוא מהווה בסיס לקשרים מורכבים יותר.
דוגמה מרכזית למכונה לומדת היא רשת נוירונים.
ברשת נוירונים הפונקציה שמקשרת בין הקלט לפלט בנויה מהרכבה לסירוגין של אופרטורים ליניארים (או ליתר דיווק אפיניים) והעתקות לא ליניאריות פשוטות מאוד שפועלות על כל קואורדינאטה בנפרד.
הפרמטרים של רשת נוירונים הם האופרטורים הליניאריים בהרכבה.
מכיוון שאוסף האופרטורים הליניאריים בין שני מרחבים וקטוריים מממד סופי מהווה גם הוא מרחב וקטורי מממד סופי, מספר הפרמטרים גם הוא סופי.
במבט ראשון יכול להראות שהפונקציה שמספקת רשת נוירונים דומה לפונקציה ליניארית.
"חוסר הליניאריות" היחיד מתבטא בפונקציה קבועה ופשוטה שפועלת על כל קואורדינטה בנפרד.
אולם, העובדה שההרכבה מתבצעת לסירוגין, מאפשרת לקבל פונקציות מגוונות בהרבה מאשר סתם פונקציות ליניאריות.
ואכן, במאה ה-21 התברר שרשתות נוירוניות עם מספר קטן יחסית של שלבי הרכבה (בדרך כלל פחות מ-20) מצליחות להתמודד עם משימות מורכבות ביותר.
מאידך העובדה שרשתות נוירונים מורכבות בעיקרן מהעתקות ליניאריות מקלה על המחקר שלהן באמצעות האלגברה הליניארית.
אחת המשימות הבסיסיות בגרפיקה ממוחשבת היא הצגת עולם תלת-ממדי בתמונה דו-ממדית.
העולם התלת-ממדי מתואר על ידי המרחב בעוד שהתמנה הדו-ממדית מתוארת על ידי המרחב .
כך שהגרפיקה הממוחשבת עוסקת רבות בהעתקות בין ל־.
אומנם העתקות אלה לא תמיד ליניאריות אך הן כמעט תמיד מבוססות על העתקות ליניאריות.
מנקודת מבט דיגיטלית, תמונה היא רשימת מספרים (עוצמת צבע של כל פיקסל בכל אחד מערוצי הצבע).
באופן דומה גם אות הוא רשימת מספרים (עצמת האות בכל רגע שנדגם).
לכן אוסף כל התמונות (בגודל נתון) הוא מרחב וקטורי.
זה גם המצב עבור אוסף כל האותות.
לכן כל פעולת עיבוד תמונה או עיבוד אותות היא למעשה העתקה ממרחב וקטורי אחד למשנהו.
חלק גדול מההעתקות החשובות בעיבוד תמונה ועיבוד אותות הן ליניאריות (למשל התמרת פוריה או קונבולוציה עם גרעין נתון).
גם ההתמרות הלא ליניאריות מבוססות במקרים רבים על התמרות ליניאריות.
אוסף כל המצבים של מערכת פיזיקלית מהווה מוקד עניין בפיזיקה.
במקרים רבים אוסף זה הוא מרחב ליניארי.
לדוגמה, אם אנחנו מתעניינים בשלושה כוכבי לכת הנעים בחלל, מצבו של כל אחד מהם מתואר לצורך העינין על ידי נקודה במרחב (מרכז הכובד שלו).