tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
את כל מופע של הספרה 2 נחליף בספרה 1. נקרא את הביטוי שקיבלנו כמספר בבסיס בינארי (בסיס 2) והמספר שנקבל יהיה .
בסימונים: אם , אז .
בבסיס טרינארי , ולכן .
כעת נרחיב את לנקודות שאינן בקבוצת קנטור.
אם נקודה x אינה בקבוצת קנטור, אז היא הוסרה מקטע היחידה באחד מהשלבים של בניית הקבוצה.
נניח למשל שהיא נמצאת בקטע הראשון שמוסר, .
נחשב את הערך של פונקציית קנטור בקצוות הקטע.
קיבלנו ש- מקבלת ערכים זהים בקצוות הקטע שהוסר.
הדבר מתרחש בכל קטע שמוסר במהלך בניית קבוצת קנטור, כי לקצוות הקטע הצגה טרינארית זהה מלבד הספרה האחרונה שהיא 1 בראשית הקטע ו-2 בסופו.
על כן לכל נקודה x שאינה בקבוצת קנטור נוכל להגדיר את כערך של פונקציית קנטור בקצוות הקטע שהוסר ומכיל את x.
פורמלית נוכל להגדיר לכל את בתור .
נוכל לסכם זאת באופן הבא:
לכל x בקטע יוגדר באופן הבא:
מציגים את x בבסיס טרינארי.
אם 1 מופיע בהצגה הטרינארית של x, מחליפים את כל הספרות אחרי ה-1 הראשון ב-0.
מחליפים כל 2 ב-1 וקוראים את הביטוי כמספר בבסיס בינארי.
התמונה של קבוצת קנטור תחת היא הקטע כולו, שכן כל מספר x בקטע ניתן להציג בצורה בינארית ולהחליף את כל המופעים של 1 ב-2 ולקבל (בהצגה טרינארית) איבר של קבוצת קנטור שתמונתו x.
פונקציית קנטור עולה במובן החלש (לא יורדת).
מספיק להראות שהטענה נכונה לאיברי קבוצת קנטור, כי נקודות שאינן בקבוצת קנטור מוכלות בקטע בו הפונקציה קבועה וקצוותיו בקבוצת קנטור.
ואכן אם בקבוצת קנטור, אז הספרה הראשונה בהצגה טרינארית בה x ו-y לא מתלכדים מופיע 2 בהצגה של y ו-0 בהצגה של x, ולכן יופיע 1 בהצגה הבינארית של ו-0 בהצגה הבינארית של ומכאן ש-.
זה נובע מיידית מהעובדה שהיא עולה מ-0 ל-1 והיא על הקטע (כי נקודת אי-רציפות של פונקציה מונוטונית היא תמיד מסוג קפיצה).
ניתן גם להראות זאת ישירות.
נבחר n גדול מספיק כך ש-.
לכל אם אז x ו-y מתלכדים ב-n הספרות הטרינאריות הראשונות ולכן ו- מתלכדים ב-n הספרות הבינאריות הראשונות, ועל כן: .
מכאן שהפונקציה רציפה במידה שווה בקבוצת קנטור, ומכיוון שהיא קבועה בין נקודות קבוצת קנטור, אז היא רציפה במידה שווה בכל הקטע.
קבוצת קנטור היא קבוצה ממידה אפס (במהלך הבנייה שלה הסרנו קטעים שאורכם הכולל הוא 1 ולכן ה"אורך" שלה הוא 0).
מכיוון ש- אנו מקבלים דוגמה למקרה בו תמונה רציפה של קבוצה ממידה אפס היא קבוצה ממידה חיובית (קטע באורך 1).
כל נקודה שאינה בקבוצת קנטור מוכלת בקטע פתוח שבו קבועה, ולכן הנגזרת של בנקודה היא אפס.
מכיוון שקבוצת קנטור היא ממידה אפס, נקבל שהנגזרת של היא 0 כמעט בכל מקום.
זאת על אף שמדובר בפונקציה עולה.
מסקנה מיידית היא שפונקציית קנטור אינה מקיימת את נוסחת ניוטון לייבניץ, היא אינה שווה לאינטגרל (לבג) לא מסוים של הנגזרת שלה (אין זה משנה מה הנגזרת בקבוצת קנטור, מכיוון שאינטגרל אינו מושפע מקבוצות ממידה אפס):
זאת מכיוון שפונקציית קנטור אמנם רציפה במידה שווה, אך אינה רציפה בהחלט בקטע.
ידוע שפונקציה היא אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלה אם ורק אם היא רציפה בהחלט.
כל אינטגרל לא מסוים הוא רציף בהחלט, ולכן פונקציית קנטור אינה אינטגרל לא מסוים של אף פונקציה.
התפלגות קנטור מוגדרת כהתפלגות שפונקציית קנטור היא פונקציית ההצטברות שלה.
לפי האמור לעיל, זו דוגמה להתפלגות רציפה שאין לה פונקציית צפיפות.
מאי-שוויון המשולש נובע שהאורך של גרף של פונקציה לא יורדת החסומה בריבוע היחידה, חסום על ידי 2. קל למצוא פונקציה כזו שאורך הגרף שלה קרוב כרצוננו ל-2, אבל לא קל למצוא פונקציה כזו שאורך הגרף שלה הוא 2 בדיוק.
פונקציית קנטור היא דוגמה לפונקציה כזו, שכן ניתן לקרב אותה על ידי סדרת פונקציות פוליגוניות שהולכות ומתקרבות למדרגות.
פונקציית קנטור מחלקת את ריבוע היחידה לשני חלקים חופפים, ולכן .
בנייה של קבוצה מדידה לבג שאינה קבוצת בורל
נשתמש בפונקציית קנטור כדי לבנות קבוצה מדידה לבג שאינה קבוצת בורל.
זוהי פונקציה רציפה (כסכום של פונקציות רציפות) שעולה חזק מ-0 ל-1 ( עולה חלש ו- עולה חזק, ולכן מחצית סכומן עולה חזק).
מכאן שזוהי פונקציה חד-חד-ערכית ועל (והפיכה) מקטע היחידה לעצמו.
מכיוון ש- רציפה ועולה לכל קטע מתקיים .
בכל קטע שמוסר בעת בניית קבוצת קנטור הפונקציה קבועה ולכן האורך של הוא: .
סכום אורכי הקטעים שהוסרו ביצירת קבוצת קנטור הוא 1, ולכן סכום אורכיהם לאחר הפעלת הוא חצי (סיגמא-אדיטיביות של האורך).
מכאן שהקבוצה המשלימה לתמונת איחוד הקטעים, הלא היא תמונת קבוצת קנטור, היא ממידה .
מצאנו ש- היא קבוצה ממידה חיובית.
לכן לפי משפט ויטלי קיימת קבוצה שאינה מדידה לבג (ובפרט אינה קבוצת בורל).
כמובן ולכן P ממידה אפס כתת-קבוצה של קבוצה מדידה אפס, ובפרט היא מדידה לבג.
נוכיח כי P אינה קבוצת בורל.
מכאן שהמקור של קבוצת בורל לפי היא קבוצת בורל.
אבל המקור של P היא E שאינה קבוצת בורל, ולכן P אינה קבוצת בורל.
במהלך ההוכחה קיבלנו ש- היא הומאומורפיזם בין לקבוצה ממידה חיובית .
פונקציית קנטור משמשת בהוכחת משפט פאנו הקובע שקיימת מסילה רציפה שממלאת את כל ריבוע היחידה (עקומת פאנו).
פונקציית קנטור היא פונקציה רציפה מקבוצת קנטור על קטע היחידה.
לכן הפונקציה המוגדרת לפי היא פונקציה רציפה על ריבוע היחידה.
נקח את הקבוצה עם הטופולוגיה הדיסקרטית.
הפונקציה היא הומאומורפיזם בין מרחב המכפלה ל-.
מקיבוציות המכפלה נובע ש- הומאומורפי ל- ולכן הומאומורפי ל-.
משמע קיימת פונקציה שהיא רציפה ועל.
ההרכבה היא פונקציה רציפה מ- על ריבוע היחידה.
נשלים את F לקטעים שאינם בקבוצת קנטור באופן ליניארי לפי הערכים שמתקבלים בקצוות שלהם.
F שקיבלנו היא עקומת פאנו.
בגלל שפונקציית קנטור היא פונקציה מונוטונית עולה מ-0 ל-1, ניתן להתייחס אליה כאל פונקציית התפלגות.
ככזו, ניתן לבנות מידת הסתברות המתאימה להתפלגות זו.
לכל מגדירים משתנה מקרי המקבל את הערכים 0 או 2 בהסתברות שווה (0.5 לכל אחד), כך שכל ה- בלתי תלויים זה בזה.
מגדירים משתנה מקרי חדש .
את המידה מגדירים להיות מידת ההסתברות המתאימה למשתנה המקרי (כלומר, המידה עבור קבוצה מדידה כלשהי תהיה שווה להסתברות ש- בקבוצה זו).
אם מגדירים את פונקציית ההתפלגות כך ש- מקבלים ש- היא פונקציית קנטור.
לפי ההגדרה של מתקבל שהוא יכול לקבל אך ורק ערכים מקבוצת קנטור, כלומר כאשר היא קבוצת קנטור.
מאחר ש- היא קבוצה ממידה אפס על-פי מידת לבג, מתקבל ש- היא מידה סינגולרית (ובפרט מידה סינגולרית רציפה) ביחס למידת לבג.
התהליך הסטוכסטי נקרא תהליך ברנולי עם .
פונקציית קנטור היא הדוגמה הסטנדרטית לפונקציה סינגולרית - פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה ולא קבועה שנגזרתה מתאפסת כמעט בכל מקום.
פונקציית קנטור מראה שקטע היחידה הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור.
זהו מקרה פרטי של משפט בסיסי בטופולוגיה הקובע שכל מרחב מטרי קומפקטי הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור.
ההוכחה מבוססת על בניית פונקציית קנטור מוכללת.
הבנייה מנצלת את העובדה שמרחב מטרי קומפקטי הוא חסום כליל.
תחילה מכסים את המרחב בכדורים סגורים ברדיוס חצי, אחר כך מכסים כל כדור בכדורים סגורים ברדיוס רבע, ובאופן כללי בשלב ה-n מכסים את הכדורים ברדיוס באמצעות כדורים סגורים ברדיוס וכך ממשיכים עד אינסוף.
כעת לכל כדור מתאימים סדרה סופית של ספרות 0 ו-2 כך שכל רישא שלה הותאמה לכדור המכיל אותו.
לכל מגדירים את בתור האיבר הנמצא בכל הכדורים המתאימים לרישא של כסדרה של ספרות טרינאריות.
מרחב מטרי קומפקטי הוא שלם ולכן (מכיוון שרדיוס הכדורים הולך וקטן) לפי הלמה של קנטור קיים ויחיד.
הפונקציה על כי הכדורים מכסים את המרחב כולו והיא רציפה כי איברי קבוצת קנטור קרובים מספיק יתחילו באותו רצף ספרות ולכן יכללו יחד באותו כדור קטן.
פונקציית קנטור מתקבלת מההוכחה במקרה בו המרחב המטרי הקומפקטי הוא קטע היחידה ובכל פעם מכסים כל כדור (שהוא קטע סגור) באמצעות שני כדורים.
באופטימיזציה, פונקציית רוזנברוק היא פונקציה לא קמורה המשמשת לבדיקת ביצועים של אלגוריתמי אופטימיזציה.
פונקציית רוזנברוק קרויה על שם הווארד הארי רוזנברוק שהציג אותה במאמר שהתפרסם ב-1960.
המינימום הגלובלי של פונקציה זו נמצא בתוך "בקעה" צרה וארוכה שצורתה פרבולית.
מציאת ה"בקעה" היא משימה פשוטה יחסית, אולם התכנסות למינימום הגלובלי קשה.
פונקציית רוזנברוק מוגדרת על ידי המשוואה: .
נקודת המינימום הגלובלית היא ובה .
ערכים מקובלים לפרמטרים a ו-b הם ו .
פונקציית תעדוף היא פונקציה שמטרתה לדרג יעדים שונים ולתת עדיפות לטיפול בהם.
במערכות הגנה אקטיביות מפני טילים.
הפונקציה מקבלת את נתוני המטרות וקובעת מספר חיובי לכל מטרה שקובע את מידת האיום שמטרה זו מהווה.
פונקציית התעדוף מאפשרת לדרג מטרות לפי חומרת האיום שהן מהוות וכך לתת עדיפות ליירוט מטרות מסוימות על פני אחרות.
פונקציה זו חשובה מכיוון שיש מספר מגבלות על שיגור טילים מיירטים אל עבר המטרות.
מספר הטילים בכל משגר טילים מוגבל, ויש לחכות זמן twait בין כל שיגור למשנהו, דהיינו הפרדה בזמן בין שני שיגורים עוקבים.
פונקציית התעדוף הבסיסית עבור מטרות שנעות במהירות זהה לכיוון אזור ההגנה היא:
כלומר העדיפות פרופורציונלית הפוך למרחק מהמערכת המיירטת.
ניתן לראות דוגמה פשוטה לפונקציית תעדוף זו במשחקי מחשב בהם יריבים רבים (זומבים למשל) מתקרבים אל השחקן והשחקן נדרש לחסל אותם.
במקרה זה, בעצם בחירתו של השחקן לירות ביריבים הקרובים יותר הוא בוחר למעשה פונקציית תעדוף.
בקריפטוגרפיה, פונקציית ספוג (sponge function) היא דרך להרחיב פונקציית גיבוב לפונקציה קריפטוגרפית כללית שהקלט והפלט שלה באורך משתנה.
פונקציית ספוג מיישמת מבנה ספוג (sponge structure) שהוא מבנה איטרטיבי פשוט המבוסס על תמורה או טרנספורמציה פנימית הפועלת על קלט באורך קבוע, שמקבל קלט באורך משתנה ומפיק פלט באורך משתנה.
פונקציית ספוג מאוד גמישה ויכולה לשמש כצופן זרם שבו נדרש קלט קצר ופלט ארוך או כפונקציית גיבוב וקוד אימות מסרים שבהם הקלט ארוך והפלט קצר.
מהיבט תאורטי פונקציית ספוג משמשת כמודל למבנה קונקרטי של פונקציית גיבוב עם גישה לזיכרון פנימי.
פונקציית ספוג אקראית מקבילה לאורקל אקראי, למעט אפקט הזיכרון הסופי (התנגשויות הן בלתי נמנעות).
לכן יכולה לשמש כחלופה למודל אורקל אקראי כדי לבטא טענת ביטחון.
הרעיון נולד במהלך פיתוח RadioGatun שהיא פונקציית גיבוב המקבלת קלט באורך שרירותי ומפיקה פלט בכל אורך רצוי.
המפתחים נתקלו בבעיה בניסיון לבטא את ביטחון האלגוריתם במונחים של סיבוכיות זמן.
כאשר הפלט קבוע אפשר לטעון שפונקציית הגיבוב טובה לפחות כאורקל אקראי שהפלט שלו נחתך ל- סיביות.
לכן בגלל התקפת יום הולדת סיבוכיות התקפה בסיסית למציאת התנגשות היא מסדר גודל של .
אולם כאשר הפלט באורך משתנה אין לטענה זו משמעות, כביכול אפשר להגיע לביטחון אינסופי אם מאריכים את הפלט מאוד.
לכן המפתחים הגיעו למודל שונה שבו מצהירים ביטחון במונחים של אורקל אקראי שנקרא כאן "פונקציית ספוג אקראית", שהוא מבנה תאורטי כמו אורקל אקראי למעט העובדה שהוא מוגבל בזיכרון לכן התנגשויות בלתי נמנעות.
הממצאים פורסמו לראשונה ב-2007 בסמינר Dugstuhl בגרמניה ולאחר מכן בסדנת Ecrypt בברצלונה.
פונקציית ספוג התגלתה ככלי יעיל לבניית פרימיטיבים קריפטוגרפיים רבים.
אפשר לנצל מבנה ספוג ותאומו הנקרא "מבנה דופלקס" (duplex construction), כדי ליישם מגוון רחב של פרימיטיבים קריפטוגרפיים, כולל פונקציית גיבוב, מחולל פסאודו-אקראי, הצפנה סימטרית, אימות מסרים והצפנה מאומתת, עם ובלי וקטור אתחול ובאורכים משתנים לפי לצורך.
בדרך זו נהנים מפונקציונליות רבה בפונקציית תמורה יחידה ומפשטים את תהליך הפיתוח והיישום מבלי לדאוג למרכיבים אחרים כמו תהליך הכנת מפתח.
האטרקטיביות של מבנה זה נובעת מהעובדה שאפשר להתבסס על פרמוטציה מתאימה שזה יותר קל מלפתח צופן בלוקים או פונקציית דחיסה.
קיימים כמה אלגוריתמים חדשים שמסתמכים על מבנה ספוג מהם Keccak, Quark, Photon, Spongent וכן Spritz.
מראה כללי של מבנה ספוג הוא:
תחילה הקלט מרופד לפי כלל ריפוד מתאים (בהמשך), לאחר מכן התוצאה נספגת לתוך המצב הפנימי באמצעות הפונקציה הפנימית באורך סיביות.
היא יכולה להיות כל PRP או PRF בטוח לפי בחירה.
ואז הפלט נסחט בהתאם לאורך הרצוי , הפלט יכול לשמש כמפתח הצפנה או ערך גיבוב.
באופן כללי אמור להיות קשה למצוא מסלול מ- ל-.
התנגשות פירושה ש- כאשר וכן אם מתקבל פירושו שהמבנה מכיל מעגליות ולכן הפלט יחזור על עצמו.
היות שהקלט באורך משתנה יש להפעיל כלל ריפוד מתאים כדי לחלק את הקלט ל- בלוקים בגודל סיביות כל אחד, באופן שיהיה קל להסיר את הריפוד עם קבלת המסר בצד השני מבלי לדעת מה היה אורך המסר.
סכמת הריפוד הפשוטה והנפוצה ביותר היא כלומר מוסיפים את הסיבית "1" בסוף הקלט ומרפדים באפסים, כאשר הכוכבית מציינת שמספר האפסים הנדרש תלוי באורך הקלט ובגודל הבלוק, כך שהאורך הכולל צריך להתחלק ב-.
כלל הריפוד חייב לקיים שלושה תנאים:
הריפוד צריך להיות קל להסרה.
מחרוזת הריפוד לא יכולה להיות ריקה.
הבלוק האחרון חייב להיות שונה מאפס.
הסימון של כלל הריפוד עבור בלוק באורך סיביות מסומן בקיצור:
מבנה ספוג הוא מבנה איטרטיבי פשוט ליצירת פונקציה המקבלת קלט מהתחום ומפיקה פלט בטווח .
היא מבוססת על תמורה או טרנספורמציה הפועלת על סיביות.
הוא כולל מצב פנימי (זיכרון) באורך סיביות, כאשר נקרא "קצב" (bitrate) ו- נקרא "קיבולת" (capacity).
המצב הפנימי מאותחל באפסים, הקלט מרופד כאמור ומחולק לבלוקים של סיביות ומשם ממשיכים בשני שלבים:
שלב הספיגה, בשלב זה הבלוקים של הקלט מועברים בפונקציה ומשולבים ב-XOR עם הסיביות הראשונות של המצב הפנימי.
כאשר מסיימים לקלוט את כל הבלוקים עוברים לשלב הבא.
בשלב זה הסיביות הראשונות של המצב מועברות שוב בפונקציה והתוצאה מוחזרת למשתמש.
מספר הבלוקים שהפונקציה מחזירה תלוי במשתמש.
הסימון פירושו שאת פלט הפונקציה חותכים ל- הסיביות הראשונות.
כאשר הסיביות הנותרות של המצב לעולם לא מושפעות מבלוקים של הקלט ולעולם אינן נכללות בפלט במהלך הסחיטה.
להלן פסאודו-קוד המתאר מבנה הספוג:
בפונקציית גיבוב עם פלט קבוע מקובל היה בדרך כלל להשוותה מול אורקל אקראי, אולם זה השתנה בעקבות גילויים חדשים בעשור האחרון.
יש לזכור שהיות שהמצב הפנימי סופי והפונקציה איטרטיבית - היא מעבדת את הקלט בלוק אחר בלוק, בהכרח שיהיו התנגשויות, זאת לעומת אורקל אקראי תאורטי שאצלו לא קיים מושג "מצב" ואין לו התנגשויות.
מסיבה זו אי אפשר להשוות ישירות למודל אורקל אקראי.
אלטרנטיבה טובה למודל אורקל אקראי בהקשר זה היא מבנה ספוג אקראי שהוא מבנה תאורטי שהפונקציה הפנימית שלו היא פרמוטציה אקראית שנבחרה באופן אחיד מטווח הפרמוטציות האפשריות מעל סיביות.
למעט האפקט שנובע עקב מגבלת הזיכרון הסופי.
מהיבט תאורטי כשמנתחים ביטחון פונקציית ספוג לפי מודל זה מביאים בחשבון גם את הפרמטרים קצב וקיבולת.
במצב אידיאלי אומרים שביטחון הפונקציה הוא במונחים של הקיבולת , כלומר התקפה גנרית שאינה מנצלת חולשות ספציפיות בפונקציה הפנימית תהיה בסיבוכיות לפחות.
במילים אחרות מוכיחים שכל התקפה מוצלחת נגד המבנה עצמו משליכה בהכרח שניתן להבחין בין תוצאת הפרמוטציה שהמבנה משתמש בה לבין מחרוזת אקראית ומכאן שהיא אינה טובה לשימוש.
באופן דומה מבנה משתמש בטרנספורמציה או תמורה פנימית , כלל ריפוד מתאים ופרמטר .
אך בשונה מפונקציית ספוג שהיא חסרת מצב בין הקריאות לפונקציה, מבנה דופלקס הוא אובייקט שיכול לקבל קלט נוסף ולהפיק מחרוזת פלט שהיא תוצאה של הקלט שהתקבל עד כה.
במילים אחרות מבנה דופלקס דומה לרצף קריאות חוזרות של פונקציית ספוג עם קלט שונה.
אובייקט דופלקס מכיל מצב בגודל סיביות, בשלב האתחול המצב הפנימי מאופס, ומכאן ואילך אפשר להפעיל את הפונקציה שוב ושוב עם קלט שאורכו צריך להיות קצר מספיק כדי שיתקבל בלוק אחד לאחר ריפוד.
הפלט הוא באורך שהוא לכל היותר סיביות.
בכל קריאה המבנה תחילה מרפד את הקלט לפי כלל הריפוד שנבחר, מחבר את הקלט ב-XOR עם חלק החיצוני של המצב הפנימי ואז מיישם את הפונקציה על המצב ומחזיר את הסיביות הראשונות של המצב.
הוכח שמבנה דופלקס בטוח כמבנה ספוג, היות שמבנה דופלקס בעצם מקביל למבנה ספוג שהקלט שלו חולק למקטעים בגודל שכל אחד מהם מרופד בנפרד ואז הם משורשרים לרצף אחד ארוך.
הצפנה מאומתת היא דרך להצפין ולאמת מידע יחד עם מידע נלווה המשויך אליו אם ישנו.
הרעיון שימושי במיוחד בפרוטוקול תקשורת שבו חלק מחבילת מידע אמור להיות סודי בעוד שחלק אחר שנקרא בהקשר זה כותר (header) אמור להישאר קריא (משמש את השרת המקבל).
המצפין רוצה להבטיח מלבד סודיות שהמסר והמידע הנלווה אליו אותנטיים וכי לא שונו על ידי גורם זר או בשל תקלה בשידור, באופן שמסכן את החלק הסודי של החבילה.
אפשר ליישם הצפנה מאומתת באמצעות מבנה דופלקס.
האובייקט SpongeWrap להלן, משתמש באובייקט דופלקס D עם הפרמטרים אותו הוא מאתחל ומעביר אליו את המפתח .
כדי להצפין ולאמת קוראים לפונקציה W.wrap עם הפרמטרים כאשר הוא המידע הנלווה, הוא המסר המיועד להצפנה והפרמטר מייצג את אורך תג האימות בסיביות.
הפונקציה מחזירה את הטקסט המוצפן שהוא כאשר הוא הערך החוזר מהפונקציה duplexing ואת תג האימות .
לפענוח קוראים לפונקציה W.unwrap עם הפרמטרים והיא אמורה להחזיר את או "Error" אם אחד הערכים אינו תקין.
לפני הקריאה לאובייקט D לביצוע duplexing תחילה מרפדים את כל האלמטים בסיבית אחת נוספת שנקראת frame-bit (1 חוץ מהבלוק האחרון).
הערך נקרא קצב והוא קובע את גודל הבלוק, כלומר כמות הסיביות שאפשר להצפין ולאמת בקריאה אחת.
לכן הערך המקסימלי שלו הוא כי יש להביא בחשבון את הסיבית הנוספת.
במתמטיקה, פונקציית הפוליגמא מסדר m היא פונקציה מרומורפית אשר מוגדרת על ידי הנגזרת ה- של הלוגריתם של פונקציית גמא:
כאשר, פונקציית הפוליגמא מסדר 0 הנקראת גם פונקציית דיגמא היא:
פונקציית הפוליגמא היא פונקציה הולומורפית בתחום .
+ גרפים של פונקציית הלוג של גמא ושל כמה פונקציות פוליגמא הראשונות במישור המורכב:
אפשר להגדיר את פונקציות הפוליגמא על ידי אינטגרלים:
וגם על ידי נוסחת נסיגה
לכל טבעי ( הוא הקבוע של אוילר-מסקרוני).
טורי טיילור של פונקציות הפוליגמא הם:
אשר מתכנס כאשר לכל בעל ערך מוחלט קטן מ-1. במקרה זה היא פונקציית הזטא של רימן.
במתמטיקה, פונקציית קסי של רימן (מסומנת באות ) היא וואריאנט של פונקציית זטא של רימן המקיימת משוואה פונקציונלית פשוטה.
הפונקציה נקראת על שם ברנהרד רימן.
בעקבות אדמונד לנדאו, פונקציית קסי מוגדרת על ידי:
עבור , כאשר היא פונקציית גמא ו- היא פונקציית זטא של רימן.
ההגדרה המקורית, שכיום מסומנת ב-, היא:
כאשר מציין את מספר ברנולי ה--י'.
כאשר ρ מוגדרת להיות השורשים הלא-טריוויאליים של פונקציית זטא של רימן.
הטור למעלה חשוב מאוד לקריטריון לי, אשר אומר שהשערת רימן שקולה לכך ש- לכל חיובי.
כאשר מוגדרת להיות השורשים של .
פונקציית קיטום במדעי המחשב מוכרת בשם Trunc, קיצור של Truncate.
במתמטיקה, פונקציות תטא הן פונקציות מיוחדות עם מספר משתנים מרוכבים.
הן נדבך חשוב בתחומים רבים, כולל התאוריות Abelian varieties ו moduli spaces של תבניות ריבועיות.
הן יושמו גם בתאוריית סוליטון.
כאשר מוכללות לאלגברה גרסמנית (Grassmann algebra), הן מופיעות גם בתורת השדות הקוונטית.
הצורה הנפוצה ביותר של פונקציית תטא היא זו צורתה תאוריה של פונקציות אליפטיות.
ביחס לאחד המשתנים המרוכבים (בדרך כלל מסומן באות ), לפונקציה תטא תכונה המבטאת את התנהגותה ביחס לתוספת בפונקציה האליפטית הרלוונטית, והופכת אותה לפונקציה קואדרו-פריודית.
באופן מופשט זה נובע מתנאי "line bundle" של דעיכה.
פונקציית ריבוי היא פונקציה בפיזיקה סטטיסטית המתארת את מספר המצבים המיקרוסקופיים של מערכת תרמודינמית עבור מצב מקרוסקופי יחיד.
בקצרה, מצב מיקרוסקופי הוא מצב המאופיין בהתאם למיקום ולתנע של כל חלקיק במערכת, ועל כן ניתן לקבוע את כל דרגות החופש שלו.
מצב מקרוסקופי מאופיין בתכונות המדידות במערכת, כטמפרטורה, לחץ וכו'.
ההנחה היסודית של הפיזיקה הסטטיסטית מגדירה כי עבור מערכת סגורה בצבר המיקרוקנוני, כל המצבים המיקרוסקופיים האפשריים הם שווי הסתברות.
כלומר, בזמן בה מתבצעת מדידה בשיווי משקל, ההנחה היא שהמערכת הספיקה לעבור דרך כל המצבים המיקרוסקופיים שלה.
מצבים אלו נקראים לעיתים מצבים "זמינים" של המערכת, ועל כן ההסתברות שהמערכת תמצא במצב אחר שאינו מקיים את תנאיה היא אפס.
בהתאם לכך, הוגדרה פונקציית הריבוי, המסומנת לרוב באותיות או , אשר באמצעותה ניתן להציג את הסיכוי הסטטיסטי של המערכת להיות במצב מיקרוסקופי כלשהו עבור מצב מקרוסקופי יחיד.
כלומר, אם למערכת יש מצבים "זמינים", הסיכוי שהיא תמצא באחד מהם הוא .
באופן מתמטי, ניתן למנות את כל המצבים המיקרוסקופיים האפשריים של המערכת באמצעות חישוב כל התמורות (פרמוטציות) האפשריות.
כלומר, יש לספור את כל האפשרויות של המערכת להימצא במצב מיקרוסקופי מסוים עבור מצב מקרוסקופי נתון.
עבור מערכות תרמודינמיות עם מספר רב של חלקיקים זהים, אשר יכולות להיות מצויות במצבים מיקרוסקופיים שונים, חישוב פונקציית הריבוי יעשה בהתאם לנוסחה:
כאשר מייצג את מספר החלקיקים הזהים במערכת, מייצג מצב מיקרוסקופי כלשהו, ו - מייצג מצב מקרוסקופי מסוים.
על כן, ההסתברות של מערכת להיות במצב מיקרוסקופי מסוים כפי שהוסבר היא עבור מצב כלשהו.
באופן שקול, אם למצב מקרוסקופי מסוים יכולים להיות מצבים מיקרוסקופיים, אז ההסתברות שהמערכת תימצא במצב היא
אם נסכום על כל ההסתברויות של המצבים השונים, נקבל את הקשר מכיוון שההסתברות הכוללת שהמערכת תהיה במצב מסוים מתפלגת בהתאם להתפלגות אחידה.
עבור תכונה פיזיקלית כלשהי, אותה נגדיר ב - , נוכל למצוא את התוחלת בהתאם להסתברויות המתאימות:
בפיזיקה, פונקציית הריבוי מתקשרת לתופעה הנקראת ניוון.
על כן, לעיתים נהוג לקרוא לפונקציית הריבוי בשם "פונקציית ניוון".
תופעה זו מתארת מקרה פיזיקלי כלשהו אשר יכול להתקבל על ידי מספר מצבים שונים.
כלומר, מצב מקרוסקופי של מערכת נתונה יכול להתקבל על ידי מספר מצבים מיקרוסקופיים שונים, בהתאם להגדרה של הצבר המיקרוקרנוני.
למשל, במערכת בה יש מולקולות גז רבות, ישנן מספר דרכים שונות לסדר את מולקולות הגז כשחלק מהן יהיו בצד אחד של המערכת וחלק מהן יהיו בצד השני.
בהתאם להגדרה של תופעת הניוון, ניתן להסיק כי ההסתברות שמערכת תהיה במצב מקרוסקופי מסוים שווה לסכום כל ההסתברויות של המצבים המיקרוסקופיים המתאימים לה, כפי שהוסבר בפירוש המתמטי.
כלומר, המצב המקרוסקופי המסתבר ביותר בכל הצבר המיקרוקנוני הוא זה שמתאימים לו מספר רב ביותר של מצבים מיקרוסקופיים.
מצב זה נקרא מצב שיווי משקל במערכת התרמודינמית.
בהתאם לכך, במצב של שיווי משקל תרמודינמי, לפונקציית הריבוי יש מקסימום כאשר המצב הוא מצב שיווי המשקל.
בנוסף, הסיכוי לסטייה משיווי משקל קטן ככל שהמערכת גדולה.
נקודת המקסימום של שיווי המשקל ניתנת לתיאור על ידי גיאוסיאן, בהתאם להתפלגות הסטטיסטית של המערכת התרמודינמית.
נגדיר שתי מערכות הנמצאות בצימוד תרמי כך שהן יכולות להחליף חום אחת עם השנייה, אך הנפח ומספר החלקיקים בכל מערכת נשאר קבוע.
בנוסף, בהתאם לחוקי התרמודינמיקה, ידוע כי שתי המערכות יחליפו אנרגיה עד אשר הן יגיעו למצב של שיווי משקל תרמודינמי.
במצב זה לא יעבור חום בין המערכות והאנרגיה בכל מערכת תגיע לערך הקיצון שלה.
במצב של צימוד תרמי, נבחין כי שתי המערכות מוגדרות כמערכת אחת בצבר המיקרוקנוני, ועל כן נוכל להגדיר את פונקציית הריבוי הכללית של המערכת המשותפת בתור מכפלה של שתי פונקציות הריבוי עבור כל מערכת בנפרד.
נגדיר את המצבים עבור המערכת הראשונה בתור ועבור המערכת השנייה בתור ובהתאם לכך עבור המערכת המצומדת נקבל כי מספר המצבים הוא:
בדרך כלל נגדיר את מספר המצבים הכולל בתור ולכן נוכל להגדיר את פונקציית הריבוי הכללית עבור המערכת המצומדת בתור: .
כיום ידוע כי לא ניתן למדוד בניסוי את פונקציית הריבוי, שכן במערכות תרמודינמיות יש מספר רב של חלקיקים.
עם זאת, ניתן לאמת אותה משיקולים תאורטיים או לבדוק מסקנות המתקבלות בצורה ניסיונית.
בצבר המיקרוקנוני, נוכל להביא שתי מערכות ל-צימוד תרמי, כלומר, שתי מערכות הרשאיות להחליף חום אחת עם השנייה, ללא שינוי של מספר החלקיקים ושל הנפח עבור כל מערכת.
מערכות הנמצאות בצימוד תרמי יחליפו אנרגיה עד אשר המערכת המורכבת מחיבור של שתי המערכות תגיע למצב של שיווי משקל תרמודינמי.
במצב שיווי המשקל, חום יפסיק לעבור בין המערכות, בהתאם לחוק השני של התרמודינמיקה, ועל כן האנרגיה בכל המערכת תגיע לערך קיצון.
כלומר, בעת צימוד תרמי של שתי מערכות שונות, חום יזרום מהמערכת החמה יותר למערכת הקרה יותר עד אשר הטמפרטורות של שתי המערכות יהיו שוות.
על ידי בידוד של שתי המערכות המובאות לידי צימוד תרמי, בהתאם להגדרת מערכת סגורה, אנרגיה יכולה לעבור בין המערכות אך סך האנרגיה של שתי המערכות יחדיו צריכה להישמר.
כאשר , מייצגים את האנרגיות של מערכת , בהתאמה ו - זאת האנרגיה הכוללת, אחרי ולפני ההגעה לשיווי משקל.
בהתאם לשיווי משקל בין שתי המערכות בצימוד תרמי, נפתח את הביטוי לאנטרופיה.
נגדיר את פונקציית הריבוי עבור כל אחת מהמערכות בנפרד:
עבור מערכת , ועבור מערכת , .
בהתאם להגדרה של הצימוד התרמי, ידוע כי מספר החלקיקים והנפח אינם משתנים עבור כל מערכת בהתאמה.
נסתכל על פונקציית הריבוי המשולבת של המערכת הכללית:
כאשר המערכות בלתי תלויות ולכן עבור ספירת המצבים הזמינים בשתי המערכות, בהתאם לקומבינטוריקה, נכפול בין שתי פונקציות הריבוי ונעבור על כלל מצבי האנרגיה האפשריים.
נניח כי קיימת אנרגיה אשר מגדירה שיווי משקל במערכת, כאשר שאר התרומות של זניחות.
בנוסף, נשתמש במשוואה (1) כדי לקבל את הקשר:
בהתאם להגדרה עבור מערכת סגורה.
כדי להגיע לנקודת שיווי המשקל, נגזור את הביטוי לפי ונשווה לאפס:
נקבל את הביטוי: בהתאם לנגזרות חלקיות של פונקציית הריבוי המשולבת ומשוואה (1).
על כן, בהתאם לארגומנט של פונקציית הריבוי המשולבת מתקבל התנאי:
ניתן לבטא תנאי זה בהתאם לזהויות לוגריתמים:
על כן, האנטרופיה תוגדר בהתאם ללוגריתם של פונקציית הריבוי: .
כלומר, האנטרופיה מוגדרת עבור מצב מקרוסקופי מסוים כלוגריתם טבעי של מספר המצבים המיקרוסקופיים השונים בהם הוא מתקיים.
הריבוי הוא הריבוי במצב של שיווי משקל, כאשר ההנחה היא שזה המצב ההסתברותי הגדול ביותר במערכת המצומדת.
האנטרופיה מוגדרת כגודל חסר ממדים ועל כן נהוג להגדירה בקשר , כאשר הוא קבוע בולצמן.
על כן, את הקשר בין האנטרופיה לפונקציית הריבוי ניתן להגדיר בהתאם לנוסחת האנטרופיה של בולצמן, .
כידוע, קיים קשר בין הטמפרטורה לאנטרופיה.
על כן, באמצעות ההגדרה של האנטרופיה ניתן להגדיר את הטמפרטורה:
בנקודת שיווי המשקל במערכת הכוללת את מערכת ומערכת בעת הצימוד התרמי, הטמפרטורה נשארת קבועה.
על כן, ניתן להגדיר אותה בהתאם לשינוי באנטרופיה במערכת:
האיבר מייצג את טמפרטורת המערכת המשולבת בשיווי משקל.
מתוך ההגדרה של הטמפרטורה באמצעות האנטרופיה, ניתן לחלץ גדלים תרמודינמיים נוספים, למשל קיבול חום או לחץ.
בהתאם להגדרה של הטמפרטורה, ניתן להציג את הקשר בין הסטטיסטיקה של המערכת לתרמודינמיקה שלה:
כאשר נשתמש בהגדרה של הטמפרטורה לייצג את פונקציית הריבוי והאנטרופיה.
ניתן להגדיר את החוקים הבסיסיים של התרמודינמיקה בהתאם להגדרה של פונקציית הריבוי:
חוק האפס של התרמודינמיקה - חוק זה מסביר כי אם מערכת כלשהי נמצאת בשיווי משקל תרמי עם מערכת , וגם מערכת כלשהי נמצאת בשיווי משקל תרמי עם מערכת , אז מערכת נמצאת בשיווי משקל תרמי עם מערכת .
בהתאם להגדרה של האנטרופיה בהתאם לשיווי משקל תרמודינמי, ניתן מיד לראות כי ההגדרה של פונקציית הריבוי מסבירה חוק זה.
החוק הראשון של התרמודינמיקה - חוק זה מכליל את חוק שימור האנרגיה עבור שינוי של חום במערכת, ולא רק של עבודה.
כלומר, אם חום הוא סוג של אנרגיה אשר מועבר בין מערכות בעת צימוד תרמי, אז תיגרם עליה במספר המצבים המיקרוסקופיים הכולל עבור מצב מקרוסקופי יחיד.
מכאן שגם האנטרופיה של המערכת תעלה, כאשר זו הוגדרה בהתאם לפונקציית הריבוי.
באופן פורמלי: , כאשר היא האנרגיה הפנימית של המערכת, היא העבודה של המערכת אשר מבוצעת, ו - הוא החום שהועבר למערכת.
החוק השני של התרמודינמיקה - החוק הבסיסי ביותר של התרמודינמיקה.
חוק זה מגדיר כי חום אינו יכול לעבור באופן ספונטני ממערכת קרה למערכת חמה.
ניסוח שקול של חוק זה מגדירה כי האנטרופיה ב-מערכת סגורה לעולם לא יכולה לרדת.
כלומר, בהתאם להגדרה של האנטרופיה על ידי פונקציית הריבוי, יתקבל שיווי משקל תרמודינמי רק עבור מספר מקסימלי של מצבים מיקרוסקופיים.
החוק השלישי של התרמודינמיקה - חוק זה מסביר כי לא ניתן לקרר מערכת תרמודינמית לטמפרטורה של 0 קלווין בזמן סופי כלשהו.
נגיד כי בטמפרטורה של 0 קלווין האנרגיה של המערכת במצב היסוד הקוונטי שלה.
המערכת אינה יכולה להעביר חום למערכת אחרת גם אם קיים צימוד תרמי ביניהם.
כלומר, נקבל כי קיים מצב מיקרוסקופי יחיד עבור אנרגיה במצב היסוד, ובהתאם להגדרה של פונקציית הריבוי יתקבל הקשר:
אם קיים ניוון במצב היסוד במערכת יתקבל הקשר:
פיתוח פונקציית החלוקה בצבר המקרוקנוני
במערכות פיזיקליות רבות, לא תמיד ניתן להניח כי מתקיימות כל ההגבלות של הצבר המיקרוקנוני.
כלומר, ישנן מערכות רבות בהן האנרגיה, הנפח או מספר החלקיקים משתנים ואינם קבועים.
כדי לתאר את הצבר המקרוקנוני, נצמיד את המערכת למאגר גדול מאוד, .
מאגר זה מדמה מערכת נוספת, גדולה מאוד ובעלת כמות גדולה מאוד של חום וחלקיקים בהתאם לנדרש.
בניגוד לצבר המיקרוקנוני, בצבר המקרוקנוני המערכות יכולות להחליף ביניהן אנרגיה, כך שהאנרגיה של כל אחת מהמערכות יכולה להשתנות.
עם זאת, סכום האנרגיה המשותף של המערכות קבוע.
כלומר, סך האנרגיה של המערכת המצומדת והמאגר קבועה אך האנרגיה של המערכת יכולה להשתנות.
ניתן לקבל את התפלגות בולצמן, אשר מתארת את המשקל ההסתברותי המתאים למצבים שונים של האנרגיה במערכת.
באופן כללי, ניתן להסתכל על המערכת ועל האמבט כמערכת אשר נמצאת בצבר המיקרוקנוני ועל כן לנתח את התכונות בהתאם לה.
על כן, אפשר להגדיר את פונקציית החלוקה של הצבר המקרוקנוני בהתאם לפונקציית הריבוי של הצבר המיקרוקנוני:
בהתאם להגדרה של הצבר המקרוקנוני, נניח כי המאגר גדול מאוד ביחס למערכת .
על כן, אם המאגר מוסר חום למערכת אז הטמפרטורה שלו לא משתנה.
המערכת המצומדת המכילה את המאגר ואת המערכת מהווה מערכת סגורה, אך המצבים המיקרוסקופיים עבור מצב מקרוסקופי מסוים רק במערכת אינם שווי הסתברות, בניגוד לצבר המיקרוקנוני.
אם המערכת נמצאת במצב מקרוסקופי עם אנרגיה , אז האנרגיה של המאגר היא: .
על כן, מספר המצבים הזמינים עבור המאגר במצב מוגדרת באמצעות פונקציית הריבוי: .
על כן, הסיכוי למצוא את המערכת במצב מיקרוסקופי מסוים עבור מצב מקרוסקופי פרופורציוני לפונקציית הריבוי של המאגר עם האנרגיה:
כאשר היא האנרגיה הכללית והיא קבועה במערכת הסגורה.
אם המאגר מאוד גדול, כך ש - , פונקציית הריבוי גם כן מאוד גדולה (בהתאם למספר האפשרויות עבור המצבים המיקרוסקופיים השונים), ועל כן ניתן להגדיר את ההסתברות בהתאם לאנטרופיה של המאגר על ידי הקשר:
, כאשר היא האנטרופיה של המאגר .
כעת ניתן לפתח לטור טיילור סביב כיוון שהמאגר גדול מאוד:
נזכיר כי הטמפרטורה הוגדרה עבור .
כמו כן, בהתאם לחוק שימור האנרגיה נראה כי:
נוכל להזניח איברים מסדר שני, , שכן על פי ההנחה בעת בניית המאגר , הטמפרטורה לא משתנה.
בנוסף, נציין כי שכן האנטרופיה של המאגר ידועה לפני החיבור למערכת .
הפיתוח של טור הטיילור בוצע עבור הפונקציה ולא עבור פונקציית הריבוי שכן הפיתוח עבור פונקציית הריבוי בטור טיילור אינו בהכרח מקיים את תנאי ההתכנסות של הטור.
מכאן נראה כי ביטוי מתמטי מהצורה: ידוע בתור פקטור בולצמן בהתאם להתפלגות בולצמן.
בהתאם להגדרה זו ניתן להגדיר את פונקציית החלוקה:
והסיכוי למצוא את המערכת במצב מיקרוסקופי כלשהו נתונה על ידי:
באופן דומה, ניתן לפתח את פונקציית החלוקה הגרנד קנונית בהתאם לפונקציית הריבוי, עבור מערכת המצומדת למאגר גדול עם טמפרטורה ופוטנציאל כימי קבועים.
בהתאם לכך, פונקציית הריבוי של המאגר תוגדר בהתאם לשינוי האנרגיה ומספר החלקיקים במערכת:
ועל ידי פיתוח טור טיילור סביב נקבל את פונקציית החלוקה הגרנד קנונית בהתאם לפקטור גיבס:
כאשר מוגדר להיות פקטור גיבס בדומה לפקטור בולצמן.
נציין כי פיתוח זה זהה לפיתוח עבור הצבר המקרוקנוני, בהתאם להגדרה עבור מאגר בעל פוטנציאל כימי קבוע בנוסף לטמפרטורה.
מודל פרומגנט - אוסף של ספינים
נניח כי קיימים אתרים שונים במערכת כלשהי, המתוארים על ידי אוסף של ספינים במישור.
לצורך פשטות, נגדיר שני מצבים נפרדים (מודל בינארי) בלבד לכל ספין באמצעות חיצים:
חץ הפונה למעלה מייצג מומנט מגנטי של , וחץ הפונה למטה מייצג מומנט מגנטי של
על כן, נוכל לייצג את אוסף הספינים בהתאם לייצוג: עבור אתרים, כאשר כל ספין בכל אתר יכול להיות מיוצג על ידי או
כידוע, אוסף של ספינים מייצג מודל של פרומגנט בהתאם לתכונות החומר.
מספר המצבים המיקרוסקופיים הכולל, בהתאם לחוקי קומבינטוריקה הוא
נמצא כעת את מספר המצבים המקרוסקופיים:
נגדיר את כמות הספינים עם חץ הפונה למעלה בתור: ואת כמות הספינים עם חץ הפונה למטה בתור:
מספר האתרים הכולל נתון על ידי:
נגדיר מספר המייצג את השינוי בספין בכל אתר ועל כן נוכל להגדיר: ו -
נוכל להגיע לביטוי מתמטי עבור הספין על ידי התייחסות למספר המצבים בכל אתר.
אם נסתכל על כל אתר בתור מגנט, אז כשנסובב את המגנט המופנה כלפי מעלה לכיוון המנוגד, כלפי מטה, אז השינוי בכמות משתנה פי .
כלומר, באופן פורמלי נקבל: ו - כאשר מייצג את הספין של כל אתר.
בהתאם לכך נגדיר את הספין העודף במערכת:
בהתאם לניוון עבור כיוון הספין, נקבל כי כמות המצבים המקרוסקופיים של אוסף הספינים הוא
כלומר, לכל מצב מקרוסקופי קיימים מספר רב של מצבים מיקרוסקופיים, כיוון ש - עבור .
כעת נוכל למצוא את פונקציית הריבוי של אוסף ספינים:
נסתכל על המצב של כל אתר בהתאם לכיוון החץ על ידי הביטוי כפי שהוסבר לעיל.
בהתאם לנוסחת הבינום של ניוטון ובהתאם להגדרת הכיוון של הספין לכל האתרים נתאר את מספר המצבים המיקרוסקופיים הכולל:
נגדיר את פונקציית הריבוי בהתאם למספר המצבים המיקרוסקופיים הזמינים לאוסף של ספינים:
בהתאם לכך, הסיכוי להיות במצב עודף ספין מסוים הוא:
נוכל לקרב את פונקציית הריבוי אם וגם בהתאם לנוסחת סטרלינג על ידי שימוש ב - :
ועל כן נוכל להציב בנוסחה עבור פונקציית הריבוי ולקבל:
נוכל לפשט את הביטוי על ידי פיתוח טור טיילור עבור ביטוי מהצורה והצבה בביטוי שהוגדרו עבור ו - :
נציב את הביטויים שהתקבלו בביטוי הלוגריתמי של פונקציית הריבוי ולבסוף נקבל:
כאשר זוהי התפלגות גיאוסיאן סביב אפס, בהתאם למשפט הגבול המרכזי.
מספר מאפיינים של התפלגות זו:
הסטייה מערך שיווי המשקל נתונה על ידי: כאשר בהתאם לסימטריה של הפונקציה.
רוחב הגיאוסיאן מתקבל בהתאם לסטיית התקן: כאשר עבור נקבל
שתי מערכות ספינים בצימוד תרמי
כפי שהוגדר לעיל, עבור שתי מערכות בצימוד תרמי נוכל להגדיר את פונקציית הריבוי המשולבת.
על כן, עבור שתי מערכות של אוסף ספינים פונקציית הריבוי של שתי המערכות היא מכפלה של כל פונקציות הריבוי:
כאשר נגדיר עבור המערכת הראשונה ו- עבור המערכת השנייה.
אם נצמיד את המערכות כך שכמות החלקיקים לא ישתנו, ונגדיר את כמות הספינים במערכת עבור קבוע בתור נקבל את פונקציית הריבוי:
כעת הסיכוי למצוא את המערכת המצומדת עם ספין הוא:
עבור , ההתפלגות שהתקבלה מאוד צרה סביב קונפיגורציית שיווי המשקל שלה, כאשר זו הקונפיגורציה המסתברת ביותר.
נניח כי אוסף הספינים נמצא מושפע על ידי שדה מגנטי .
עבור השדה המגנטי, האנרגיה של כל ספין נתונה על ידי: כאשר הוא המגנטון של בוהר.
האנרגיה הכוללת של מערכת הספינים:
כאשר פונקציית הריבוי תישאר זהה עבור כלל המצבים המיקרוסקופיים השונים.
פתרון הבעיה עבור האוסילטור ההרמוני, אשר מוגדרת בספרות לעיתים בתור מוצקי איינשטיין (Einstein Solid), ניתנה על ידי מקס פלאנק בהתאם לפיתוח התאורטי עבור קרינת גוף שחור, אשר הובילה לפיתוח תורת הקוונטים.
נמצא את פונקציית הריבוי של אוסילטור הרמוני:
למצבים הקוונטיים של אוסילטור הרמוני יש ערכים עצמיים המוגדרים על ידי: .
בהתאם לפיתוח ההמילטוניאן של אוסילטור הרמוני עבור משוואת שרדינגר, נקבל כי הערכים העצמיים הללו הם האנרגיות העצמיות עבור המצבים השונים.
כאשר נגדיר את המצב הקוונטי בתור , ואת בתור התדירות הזוויתית של האוסילטור.
מספר המצבים הוא מספר בר מנייה, ועל כן ישנן אינסוף מצבים קוונטיים עבור האוסילטור ההרמוני.
עם זאת, פונקציית הריבוי עבור אוסילטור הרמוני יחיד היא , בהתאם לניוון במערכת.
כעת נתבונן במערכת של אוסילטורים הרמוניים, כאשר לכל אוסילטור יש את אותה התדירות הזוויתית .
סך האנרגיה של כלל המערכת נתון על ידי:
כפי שהוזכר לעיל, פונקציית הריבוי עבור אוסילטור הרמוני יחיד היא: .
כדי לפתור את הבעיה, נמצא את הפונקציה היוצרת של הסדרה:
על כן, עבור אוסילטורים הרמוניים, הפונקציה היוצרת היא:
ובהתאם לקומבינטוריקה בסיסית נוכל להגדיר את התוצאה שהתקבלה עבור פונקציית הריבוי של אוסילטורים הרמוניים:
באופן דומה נוכל לפתח את פונקציית הריבוי עבור אוסילטור הרמוני קוונטי.
האנרגיה של אוסילטור הרמוני קוונטי נתונה על ידי .
נפתח את פונקציית הריבוי של גז אידיאלי עבור התפשטות ספונטנית במערכת.
לצורך פשטות, נניח כי הגז חד - אטומי, למשל הליום ().
האנרגיה הפנימית הכללית במערכת תהיה סכום האנרגיה הקינטית של כל האטומים.
לצורך כך, נניח כי ישנם אטומים עם מסה כל אחת.
ידוע כי עבור בעיה תלת־ממדית, לכל אטום יש שלושה כיוונים עבור המיקום והתנע.
כלומר, סך הכל ישנם רכיבי תנע ומיקום עבור כלל המערכת, אותם נגדיר כ - בהתאמה כאשר .
על כן, האנרגיה הכללית במערכת נתונה על ידי:
כיוון שהאנרגיה הקינטית עבור כל אטום נתונה על ידי .
המצב המקרוסקופי מתקבל על ידי קיבוע של הגדלים התרמודינמיים במערכת:
- האנרגיה הפנימית מאלצת את התנעים של האטומים במערכת.
- הנפח מאלצת את המיקומים של האטומים במערכת.
על כן, המצבים המיקרוסקופיים של המערכת יוגדרו בתור כל הערכים של המיקומים ושל התנעים עבור האטומים בהתאם לאילוצים של ו - .
האנרגיה הכללית של גז אידיאלי נתונה על ידי הביטוי: כאשר הוא קבוע בולצמן ו- הוא הטמפרטורה.
בצבר המיקרוקנוני, המערכת סגורה ועל כן האנרגיה אינה משתנה.
בהתאם לכך, הטמפרטורה קבועה: .
עם זאת, במהלך ההתפשטות לא ניתן לעקוב אחר הטמפרטורה והאנטרופיה שכן הם אינם משתנים בצורה ליניארית בהכרח.
נניח כי המצב ההתחלתי לפני ההתפשטות והמצב הסופי לאחר ההתפשטות הם מצבי שיווי משקל, אשר מוגדרים באופן יחיד במערכת.
בהתאם לפונקציה התרמודינמית בצבר המיקרוקנוני והדיפרנציאל השלם שלה נוכל לחשב את האנטרופיה הסופית של המערכת בהתאם לתהליך הפיך אחר:
=> כאשר - האנרגיה הפנימית, - טמפרטורה, - אנטרופיה, - הלחץ על האטומים במערכת, - הנפח של המערכת.
בהתאם לאנרגיה של גז אידיאלי נקבל את הקשר:
ונבצע אינטגרל בהתאם למצב ההתחלתי והמצב הסופי:
כאשר מגדירים את הנפח והאנטרופיה ההתחלתית במערכת בהתאמה, ו - מגדירים את הנפח והאנטרופיה הסופית במערכת בהתאמה.
ובהתאם להגדרה של פונקציית הריבוי בהתאם לאנטרופיה: , נמצא את היחס בין פונקציית הריבוי במצב הסופי לפונקציית הריבוי במצב ההתחלתי:
למשל, אם במהלך התפשטות ספונטנית הנפח של המערכת גדל פי , אז נקבל: .
פונקציית קפא () היא חלק מקבוצת פונקציות השוואה המשמשות, בין היתר בתורת הבקרה לבדיקת היציבות של מערכות לא-אוטונומיות (בטופולוגיה מערכות אלה מייצגות פונקציות דינמיות על מרחב חלק, שמקומית מהווה מרחב מכפלה, אך גלובלית יכול להיות בעל מבנה טופולוגי שונה .
הן משמשות בנוסף למידול נתונים.
קיימת בהן שימוש נרחב גם בפיזיקה.
מערכות חלקיקים קלאסיות נמצאות בשיווי משקל תרמי כאשר פונקציית החלוקה המתארת את וקטור המהירות שלהן מתייצבת לפי התפלגות מקסוול-בולצמן.
מנגד, מערכות חלקיקים ללא אינטראקציה בניהם מאופיינות בהתנהגות לא מקסווליאנית, המתוארת בדרך כלל על ידי פונקציות התפלגות קפא (או: פונקציית החלוקה קפא).
פונקציות אלה משמשות כיום בעיקר בחקר החלל ובתיאור פלזמות חלל.
פונקציות קפא שייכות למשפחה הבאה:
הגדרה: פונקציה רציפה שייכת למחלקה אם:
זו למעשה הגדרת הנורמה פרט לאי-שוויון המשולש.
המקור הסטטיסטי של התפלגות קפא
הבנת המקור הסטטיסטי של התפלגות קפא היא אבן יסוד בהתפתחויות ויישומים עיוניים הכוללים בין היתר את:
המשמעות הפיזיקלית של טמפרטורה, לחץ תרמי ופרמטרים תרמודינמיים אחרים
המשמעות הפיזיקלית של אינדקס קפא וקשרו לדרגות החופש והמתאם ביניהם
משוואת סאקר-טטרוד עבור התפלגויות קפא
תיאור רב חלקיקי של התפלגויות קפא
התפלגות הקפא של המילטוניאן עם פוטנציאל רדיאלי או זוויתי שונה מאפס
הצורך בהגדרת אינדקס קפא נובע מניסיון לתאר את המצב הפיזיקלי בו נמצאות בין היתר פלזמות חלל.
היה ידוע כי שיווי משקל תרמי הוא מצב עמיד מסוים בו זרימת חום יציבה.
מערכות בשיווי משקל תרמי כזה מאופיינות על ידי 2 מאפיינים סטטיסטיים: (1) מהירות החלקיקים שלהם מתוארות על ידי פונקציות התפלגות סטציונריות, (2) הפונקציות הסטציונריות הללו הן פונקציות התפלגות מקסוול.
בהתבוננות על פלזמות חלל נראה כי הן נמצאות במצב עמיד אבל התפלגות מקסוול הקלאסית כמעט ולא קיימת שם, כלומר הפלזמות מחוץ לשיווי משקל תרמי.
בסיס הפיתוח הוא הגדרת האקספוננט על פי אוילר (Euler):
בסיס הפורמליזם של המכניקה הסטטיסטית מורכב מהאנטרופיה ופונקציית החלוקה הקנונית (תחת האילוצים של האנסמבל הקנוני).
פונקציית החלוקה נתונת על ידי אקספוננט האנרגיה על פי אוילר והאנטרופיה S על ידי פונקציית צפיפות ההסתברות p מהאקספוננט הנ"ל:
ניתן להביע את אינדקס קפא באמצעות q:
מן הפיתוח למעלה התקבלה האנטרופיה והמכניקה הסטטיסטית הלא אקסטנסיבית של צאליס (על שם המפתח קונסטנטינו צאליס, פיזיקאי ממוצא יווני), שהיא הכללה של המכניקה הסטטיסטית של גיבס-בולצמן.
ופונקציית ההתפלגות קפא היא מסקנה שנבעה מתוך סטטיסטיקה זו.
התפלגות בולצמן היא הגבול בו אינדקס קפא הולך לאינסוף והאנטרופיה בגבול זה היא האנטרופיה הקלאסית במצב של שיווי משקל תרמי.
הרעיון העיקרי היה להכליל את משוואת האנטרופיה למשוואה של פרמטר יחיד, q, על הסתברות ההתפלגות.
ומתקבלות מערכות חדשות המתוארות באמצעות פונקציית ההסתברות החדשה ואנטרופיה חדשה
תחת הסטטיסטיקה של צאליס מתקבלת גרסה חדשה עבור האנרגיה הפנימית U:
מכאן נובע עיקרון מקסימום האנרגיה החופשית החדשה של גיבס (הכללה של האנרגיה החופשית של גיבס)
וכל המשך הפיתוח באופן זהה לפי המכניקה הסטטיסטית הרגילה.
במכניקה הלא אקסטנסיבית, האנטרופיה היא פונקציונאל של התפלגות מהירות החלקיקים במערכות מחוץ לשיווי משקל תרמי.
התפלגות קפא מהווה את הפונקציה הספציפית עבורה נקבל את מקסימום אנטרופיית צאליס ומוגדרת מחדש להיות הפונקיונאל של האנטרופיה הזו.
– מסת הזורם העובר דרך יחידת שטח אינפיניטסימלית ליחידת זמן (ספיקה) מממד
– מספר דרגות החופש של האנרגיה הקינטית.
היחידות של צפיפות התפלגות המהירויות p הן הופכיות ליחידות של הספיקה, דבר שנובע מהדרישה לנירמול .
נובע מכך כי ואילו מתוך משוואת האנטרופיה מתקבל כי .
כלומר מתקבל כי האנטרופיה תלויה ביחידות המהירות.
המקור לבעיית היחידות נובע משימוש לא נכון של צפיפות ההסתברות כהסתברות חסרת ממדים פשוטה.
הפתרון לפרדוקס מגיע מתוך התייחסות לסקאלת מהירות קטנה שמאפיינת את המערכת, בה ניתן לקרב את צפיפות ההסתברות לערך קבוע, כך שהצפיפות בטווח הקטן תירשם כ- .
– סקאלת אורך של המערכת.
– אורך דביי, כאשר תחומי דבאי מלאים בחלקיקים קשורים
b – המרחק בין החלקיקים כאשר אין ביניהם אינטראקציה.
בהתבסס על פונקציית התפלגות קפא הבאה :
עבור אינדקס קפא המינימלי והקריטי , פונקציית ההתפלגות קורסת והטמפרטורה לא מוגדרת.
כל אינדקס גדול מהערך הקריטי קובע את המדרון של ספקטרום האנרגיה עבור חלקיקים סופר-תרמיים (בעלי אנרגיה גדולה מזו הקשורה לישות דומה שנוצרת על ידי עירור תרמי) שיוצרים את הזנב של פונקציית ההתפלגות בתמונה.
+טבלת השוואה בין מושגים פיזיקליים לפי התפלגות מקסוול ולפי התפלגויות קפאפרמטרמקסוולקפאצפיפות המספרטמפרטורהשטף הבריחה
– האנרגיה הפוטנציאלית (מכילה את השפעות הכבידה, הכוח האלקטרוסטטי והצנטריפוגלי) התלויה במרחק הרדיאלי
– מהירות תרמית (מהירות החלקיקים בחומר במצב מסוים)
– צפיפות המספר של החלקיקים
מתוך הביטויים לשטף הבריחה שמופיע בטבלה ניתן לומר כי בהתחשב בחלקיקים הנמלטים כרוח פלנטרית או כוכבית, התפלגות קפא מניבה שטף גבוה יותר מאשר הביטוי המקסווליאני, מכיוון שיותר חלקיקים סופר-תרמיים מסוגלים לברוח.
דוגמה נוספת היינה התפלגות קפא עם אינדקס הנותנת התאמה נכונה בהתבוננות על נתוני לוויין עבור רוח השמש, המגנטוספירה וגיליון הפלזמה על כדור-הארץ, יריעות פלזמה (יריעות בתוך המגנטוספירה המכילות פלזמה צפופה וחמה מאוד עם שדה מגנטי חלש ליד קו המשווה השמימי), חגורות ואן אלן וכו'.
פונקציית ההתפלגות קפא ה-4 פרמטרית, K4D
פונקציית ה-K4D היא הכללה מאוד גנרית שכוללת בתוכה מספר מקרים מיוחדים של התפלגויות הסתברות והמכלילה, בין היתר, את התפלגות הקפא עם שלושה פרמטרים של P.W.
את פונקציית הקפא הזו ניתן להתאים עם ארבעה פרמטרים לנתונים ניסיוניים או להשתמש בה כמקור לנתונים מלאכותיים במחקרי סימולציה, ובצירוף עם האינפורמציה של פישר ליצור מודלים, לדוגמה מקסימום שנתי של משקעים.
אף על פי שהיא הומצאה על מנת למדל נתונים הידרולוגיים ניתן ליישם אותה במגוון רחב של תחומים הנעים בין אקטואריה, כלכלה, רפואה ותאוריית ערך הקיצון.
פיתוח וקשר בין K4D לאינפורמציה של פישר
פונקציית צפיפות ההסתברות של K4D מוגדרת עבור לפי:
כאשר וכאשר עבור והמקרה הפרטי של כלולים באופן עקיף כגבול הרציף של .
– פרמטר צורה (פרמטר שאינו פרמטר מיקום או סולם)
עבור נתוני תצפית תחת הנחה כי ניתן להגדיל את פונקציית הנראות הלוגריתמית השלילית עבור כך:
מכאן מטריצת האינפורמציה של פישר מתקבלת על ידי סכימה מ־i=1 ועד ל-n עבור כל אלמנט של מטריצת ההסיאן של לפי .
פונקציית רמפה או פונקציית כבשׁ היא פונקציה ממשית, , שהגרף שלה נראה כמו רמפה.
לפונקציה שימושים רבים במתמטיקה, סטטיסטיקה ובינה מלאכותית.
כמו פונקציית מדרגה, עיקר השימוש בפונקציה זאת הוא להגדרת פונקציות אחרות בתחומים מסוימים בעזרת כפל בפונקציית הרמפה.
פונקציית רמפה היא כל פונקציה בעלת שיפוע חיובי קבוע.
את הפונקציה ניתן להגדיר בעזרת כמה דרכים.
להלן חלק מהדרכים להגדיר פונקציית רמפה עם שיפוע 1 לכל .
הגדרה בעזרת פונקציה מוגדרת למקוטעין:
עבור שיפוע כלשהו ו- כלשהו, פונקציית הרמפה תוגדר כך:
הגדרה בעזרת פונקציית מדרגה: .
עבור שיפוע כלשהו ו- כלשהו, פונקציית הרמפה תוגדר כך: .
הגדרה בעזרת אינטגרל לא אמיתי על פונקציית המדרגה:
נגזרת פונקציית הרמפה היא פונקציית מדרגה.
הנגזרת השנייה של פונקציית רמפה היא פונקציית דלתא של דיראק.
התמרת לפלס של פונקציית הרמפה:
פונקציית קרמייקל, המסומנת ב-λ(n), נותנת את הסדר של חבורת הכפל של המספרים השלמים מ-1 עד n-1 ביחס לחיבור מודולו n.
במילים אחרות, היא נותנת את מספר המספרים השלמים הקטנים מ-n שחופפים ל-1 מודולו n.
פונקציית קרמייקל קשורה קשר הדוק לפונקציית אוילר, המסומנת ב-φ(n), נותנת את מספר המספרים השלמים הקטנים מ-n שחופפים ל-1 מודולו n.
ההבדל בין שתי הפונקציות הוא שפונקציית אוילר סופרת רק מספרים זרים ל-n, בעוד שפונקציית קרמייקל סופרת את כל המספרים הקטנים מ-n שחופפים ל-1 מודולו n.
הטבלה הבאה מציגה את 36 הערכים הראשונים של פונקציית קרמייקל λ ופונקציית אוילר φ.
רשימה של מספרים אלו זמינה ב-OEIS: A033949.
במתמטיקה, פונקציית קדלג או càdlàg (ראשי תיבות מצרפתית: continue à droite limite à gauche) היא פונקציה המוגדרת על המספרים הממשיים (או תת-קבוצה שלהם) ובכל נקודה בתחום ההגדרה הפונקציה רציפה מימין ויש לה גבול משמאל.
פונקציות קדלג חשובות במחקר של תהליכים סטוכסטיים שיש בהם קפיצות, בניגוד לתנועה בראונית, שיש לה נתיבים רציפים.
אוסף פונקציות הקדלג עבור תחום נתון ידוע כמרחב סקורוקוד.
נתון מרחב מטרי , ו-.
הפונקציה נקראת פונקציית קדלג אם, לכל ,
הגבול הימני קיים ושווה ל- .
כלומר, היא רציפה מימין עם גבול משמאל.
כל הפונקציות הרציפות על תת-קבוצה של המספרים הממשיים הן פונקציות קדלג על אותה תת-קבוצה.
כתוצאה מהגדרתן, כל פונקציות ההתפלגות המצטברות הן פונקציות קדלג.
הנגזרת מימין של כל פונקציה קמורה המוגדרת על קטע פתוח, היא פונקציית קדלג מונוטונית עולה.
קבוצת כל הפונקציות הקדלג מ - ל - תסומן לעיתים קרובות על ידי (או בפשטות ) ונקרא מרחב סקורוקוד על שם המתמטיקאי האוקראיני אנטולי סקורוקוד.
ניתן להתאים למרחב סקורוקוד את הטופולוגיה הבאה:
לשם הפשטות, נבחר ו - ראו את בלינגסלי לבנייה כללית יותר.
נגדיר כקבוצת כל הפונקציות החד-חד-ערכיות ועל, רציפות ומונוטוניות ממש מ- לעצמה.
כנורמה האחידה של פונקציות על .
נגדיר את מטריקת סקורוקוד עַל על ידי
ניתן להראות שמטריקת סקורוקוד הוא אכן מטריקה.
הטופולוגיה הנוצרת באמצעות נקראת הטופולוגיה של סקורוקוד על .
הוגדרה באופן בלתי תלוי בתורת הבקרה לניתוח של מערכות מיתוג.
המרחב של פונקציות רציפות על הוא תת-מרחב של .
הטופולוגיה של סקורוקוד ביחס ל- עולה בקנה אחד עם הטופולוגיה האחידה שם.
ניתן להראות שלמרות ש - אינו מרחב שלם ביחס למטריקת סקורוקוד , יש מטריקה שקולה מבחינה טופולוגית שעבורה הוא שלם.
המרחב הוא מרחב ספרבילי גם עבור וגם עבור .
לכן, מרחב סקורוקוד הוא מרחב פולני.
שבו האינפימום עובר על כל החלוקות , עם .
ההגדרה הזו מתאימה גם עבור שאינה קדלג וניתן להראות כי היא קדלג אם ורק אם .
על ידי יישום של משפט ארצלה-אסקולי, אפשר להראות שסדרה של מידות הסתברות במרחב סקורוקוד היא הדוקה אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
תחת הטופולוגיה של סקורוקוד וסכום (נקודתי) של פונקציות, איננה חבורה טופולוגית, כפי שניתן לראות בדוגמה הבאה:
נתונים קטע חצי פתוח ו- להיות סדרה של פונקציות מציינות.
למרות העובדה ש- בטופולוגיה של סקורוקוד, הסדרה לא מתכנסת ל-0.
בפיזיקה, פונקציית פיזור ריילי, הקרויה על שם הלורד ריילי, היא פונקציה המשמשת במכניקה אנליטית בטיפול בכוחות חיכוך פרופורציונליים למהירות.
המשוואה הוצגה לראשונה בשנת 1873. אם נתון כוח חיכוך על חלקיק עם מהירות ניתן לכתוב כ , ניתן להגדיר את פונקציית פיזור של ריילי עבור מערכת של חלקיקים:
כאשר, מייצג את מחצית מקצב איבוד האנרגיה של המערכת דרך חיכוך.
כוח החיכוך הוא שלילי למהירות, , אנלוגי לכוח השווה לגרדיאנט השלילי של הפוטנציאל.
קשר זה מיוצג במונחים של הקואורדינטות המוכללות: .
בזמן שחיכוך הוא אינו כוח משמר, הוא מסומן כ- במשוואות לגראנז',
יישום ערכו של כוח החיכוך המתואר על ידי קואורדינטות מוכללות במשוואות אוילר-לגראנג' ייתן:
ריילי ניסח את הלגראנז'יאן כאנרגיה קינטית מינוס האנרגיה הפוטנציאלית , אשר מניב את השוויון הבא
מאז שנות ה-70 פונקציית הפיזור ידועה יותר בתור פוטנציאל הפיזור של ריילי.
פונקציית פיזור נקודה (, בראשי תיבות: PSF) היא התגובה של מערכת דימות אופטית ממוקדת למקור אור נקודתי או לעצם נקודתי.
מונח כללי יותר ל־PSF הוא פונקציית התגובה להלם (IRF – Impulse Response Function) של מערכת דימות אופטית ממוקדת (focused optical imaging system).
במובנים רבים ניתן לחשוב על ה־PSF כעל כתם חסר־צורה בתמונה, שאמור לייצג עצם נקודתי יחיד.
אפשר לראות זאת כפונקציית תגובה להלם מרחבית.
במונחים פונקציונליים, זוהי הגרסה המרחבית (כלומר, התמרת פורייה ההפוכה) של פונקציית התמסורת האופטית (OTF) של מערכת דימות.
זהו מושג שימושי באופטיקת פורייה, דימות אסטרונומי, דימות רפואי, מיקרוסקופיית אלקטרונים, טכניקות דימות אחרות כגון מיקרוסקופיה תלת־ממדית (למשל במיקרוסקופיה קונפוקלית סורקת לייזר) ומיקרוסקופיה פלואורסצנטית.
מידת הפיזור (הטשטוש) בתמונת עצם נקודתי במערכת דימות היא מדד לאיכות מערכת הדימות.
במערכות דימות לא־קוהרנטיות, כגון מיקרוסקופים פלואורסצנטיים, טלסקופים או מיקרוסקופים אופטיים, תהליך יצירת התמונה הוא ליניארי לעוצמת התמונה ומתואר בתורת המערכות הליניאריות.
פירוש הדבר הוא שכאשר שני עצמים A ו־B מודמתים בו־זמנית על ידי מערכת דימות לא־קוהרנטית, התמונה המתקבלת שווה לסכום התמונות של כל אחד מהם בנפרד.
במילים אחרות: הדימות של A אינו מושפע מהדימות של B ולהפך, בשל תכונת חוסר־האינטראקציה של פוטונים.
במערכות שמורות מרחבית (space-invariant), כלומר מערכות שבהן ה־PSF זהה בכל מקום במרחב הדימות, התמונה של עצם מורכב מתקבלת על ידי קונבולוציה של אותו עצם עם ה־PSF.
את ה־PSF ניתן לגזור מאינטגרלי עקיפה (diffraction integrals).
בתורת המספרים, פונקציית פון מנגולד היא פונקציה אריתמטית בעלת מגוון שימושים, כגון בהוכחת משפט המספרים הראשוניים ובניסוח השערת רימן.
הפונקציה היא מעין גרסה ממושקלת של ההפונקציה המציינת של קבוצת המספרים הראשוניים.
הפונקציה מוגדרת על קבוצת הטבעיים ומתאפסת על מספרים שאינם חזקות של ראשוניים.
חקר פונקציית פון מנגולד מהווה חוליה מקשרת בין פונקציית זטה של רימן ובין חקר התפלגות המספרים הראשוניים.
הפונקציה נקראת על שם המתמטיקאי הגרמני האנס פון מנגולד.
בערך זה נסמן ב-, ו- את קבוצת המספרים הטבעיים (בערך זה אנחנו מניחים שהמספרים הטבעיים לא כוללים את המספר 0), המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים בהתאמה.
הפונקציה היא פונקציית הלוגריתם הטבעי ו- היא פונקציית הערך השלם.
מגדירים את הפונקציה כך שלכל :
כלומר, אם היא חזקה של מספר ראשוני, היא הלוגריתם הטבעי של המספר הראשוני הזה.
כך לדוגמה, ו-, אבל .
לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס מתקיים:
כאשר השוויון הימני נובע מתכונות אריתמטיות של פונקציות הלוגריתם ומכך ש- לכל .
נוסחת לז'נדר קובעת כי לכל מספר טבעי מתקיים ש:
(בנוסחה זו עובר רק על מספרים ראשוניים).
אם לוקחים לוגריתם על שני הצדדים מתקבלת הנוסחה:
קשר לפונקציית זטא של רימן
ניתן להוכיח כי מתקיים הקשר הבא לפונקציית זטא של רימן:
על ידי גזירת שני האגפים מתקבל כי הנגזרת הלוגריתמית של פונקציית זטא של רימן בתחום היא:
פונקציה זו נקראת פונקציית צ'בישב השנייה.
ניתן להשתמש בפונקציה זו כדי להוכיח את משפט המספרים הראשוניים, זאת על על-ידי כך שמוכיחים כי ו-.
בנוסף, על-ידי שימוש בקשר שתואר לעיל לפונקציית זטא של רימן, ניתן להוכיח כי:
כאשר הוא הריבוי של כאפס של .
אם אז הריבוי הוא 0. בפועל משערים שהריבוי לעולם לא עולה על כך שהסכום המתקבל הוא סכום לפי האפסים של זטא.
נוסחה זו נקראת הנוסחה המפורשת של רימן פון מנגולד.
ארץ פונת (במצרית: 𓊪𓃹𓈖𓏏𓈉, בתעתיק לאותיות לטיניות: pwnt, נהגה כנראה "pwenet") היא חבל ארץ קדום שהיה בקשרי סחר עם מצרים העתיקה, ונקראה גם תא נצ'ר (tꜣ-nṯr), כלומר "ארץ האל".
האזור עשיר במחצבים ובתופעות אקזוטיות, זהב, שרפים ריחניים, שנהב, וחיות בר.
המידע על פונת נמצא ברישומים מצריים עתיקים שנרשמו על ידי משימות מסחר, שנשלחו לאזור זה.
האזכור הקדום ביותר של משלחת מצרית שנשלחה לפונת אורגנה על ידי הפרעה סחו רע מהשושלת החמישית (המאה ה-25 לפנה"ס).
לאחר מכן, במהלך מלכותו של מנתחתפ השלישי (בסביבות שנת 1950 לפנה"ס), קצין הנקרא האנו ארגן כמה משלחות לפונת, אך לא ידוע אם הוא היה חלק מהמשלחות בפועל.
המשלחת הידועה ביותר שהגיעה ממצרים לפונת יצאה תחת שלטונה של המלכה חתשפסות במאה ה-15 לפנה"ס על מנת להשיג את בושם המור.
דיווחים על הנסיעה הזו שרדו, ואלה נמצאו במקדש הקבר של חתשפסות בדיר אל-בחרי.
התבליט מזכיר את שמות המלך והמלכה של פונת בעת המשלחת.
כמה מהיורשים של המלכה חתשפסות, הכוללים גם את תחותמס השלישי ארגנו משלחות לפונת.
טקסטים מצריים עתיקים קושרים את מיקומה של פונת עם חופי הים האדום, אך אין הסכמה מלאה על מיקומה המדויק.
החוקרים המודרניים ממקמים את פונת בצפונה של אתיופיה או אריתריאה, או ארצם של הבאג'אים בצפון-מזרחה של סודאן.
על פי החוקר קנט קיטצ'אן, המיקום של פונת הוא האזור של אתיופיה הצפונית, אריתריאה וצפון-מזרח סודאן.
נמצאו שרידים של טף בפירמידות של השושלת הרביעית בדאשאר מה שתומך בתאוריה זו, משום שהדגן הזה גדל רק ברמות של אתיופיה ואריתריאה, מהן שופע נהר הנילוס.
עצי מור ממשלחות הסחר של המלכה חתשפסות נמצאים בפירמידת הקבר שלה בדיר אל-בחרי מוכיח שעצים אלה שנטעו במקדש בדאיר אל-באהרי נמצאו ברמת אתיופיה.
בספר השיוט בים האריתראי שתורגם על ידי החוקר ג.וו.ב.
האנטינגפורד קושר את השם פונת עם השם אופונה, אזור מסחר חופי הנמצאת דרומית לכף גוארדאפוי, ומזהה בכך את פונת ואופונה עם חאפון.
המצריים הקדמונים התייחסו לפונת גם בשם טא נאטג'אר, תרגום "ארץ האלוהים".
אז נראה שפונת נחשבה בעיניהם כמעין "ארץ הקודש" והשתמשו בשם זה לתיאור אל השמש, כלומר אזורים בכיוון זריחת השמש.
האזורים המזרחיים האלה בורכו במוצרים יקרים, אהבו קטורת והשתמשו בהם במקדשים.
המונח שימש לא רק בקשר לפונת הנמצאת דרום מזרחית למצרים, אבל גם בקשר לאזורים במזרח אסיה וצפון-מזרחה של מצרים, כמו לבנון, שהייתה המקור של עצים לבית המקדש של ממלכת ישראל המאוחדת.
פונטלנד היא ישות מדינית בצפון סומליה שאימצה שם זה, על שם פונת הקדומה (באנגלית Punt, בתעתיק לעברית מאנגלית "פונט") במהלך המאה ה-20.
פוסה טבעתית (שם מדעי: Pusa hispida) ובשפה האסקימוסית ידוע כנטסיק או נטיק, הוא מין יונק ימי מהסוג פוסה שבמשפחת כלבי הים החי באוקיינוס הארקטי.
המין נפוץ ברחבי אוקיינוס הקרח הצפוני.
ניתן למצוא אותו בים הבלטי, בים ברינג ובמפרץ הדסון.
בית המחיה המועדף על הפוסה הטבעתית הם אזורים הקופאים לקרח במהלך החורף.
הפוסה הטבעתית חי מתחת לשכבת קרח במשך מספר חודשים בשנה.
הם שוכנים במאורות בקרח ובשלג, שאותן הם בונים באמצעות הסנפירים הקדמיים שלהם.
מאורות אלו משמשות להם מקלט מפני טורפים ומחסה מפני הקור.
הם מסוגלים לתחזק חורי נשימה בקרח בעובי של עד שני מטרים, אשר מאפשרים להם להשתכן במקומות שכלבי ים אחרים לא מסוגלים להתגורר בהם.
צבעו של הפוסה הטבעתית אפור בהיר עם נקודות שחורות, שמוקפות לעיתים קרובות בסימון טבעתי בהיר, תכונה אשר הקנתה לפוסה הטבעתית את שמו המקומי.
ראשם קטן, וחוטמם קצר וצר.
קיימים מספר תת-מינים של פוסה טבעתית.
אורך הגוף של הפוסה הטבעתית מתת-המין P.
hispida (תת המין הארקטי) ומתת המין P.