tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
במהלך 30 השנים שבהן בילתה בהוראה בבית הספר הכוריאוגרפי של לנינגרד, ואגאנובה פיתחה טכניקת בלט ששילבה אלמנטים של טכניקה צרפתית, איטלקית ורוסית מוקדמת יותר, ושיטת אימון ללמד את הטכניקה.
עיקרי שיטת האימון כללו פיתוח כוח הגב התחתון והפלסטיות של הידיים, וכן את הכוח, הגמישות והסיבולת הנדרשים לבלט והיא שילבה תהליך הדרכה מפורט שציין מתי ללמד כל נושא וכמה זמן ללמד אותו.
בשנת 1934, ואגאנובה כתבה את "יסודות הריקוד הקלאסי", שנותר ספר לימוד סטנדרטי להדרכה של טכניקת בלט.
בשנת 1948, ואגאנובה חיברה ספר בשם The Foundation For Dance (הידוע יותר כעקרונות בסיסיים של ריקוד רוסי קלאסי) שהתוותה ותיארה את שיטת האימון שלה ואת טכניקת הבלט שלה.
לאחר מותה של ואגאנובה ב-1951, שיטת הלימוד שלה נשמרה על ידי מדריכים כמו ורה קוסטרוביצקאיה וורה וולקובה.
כיום שיטת ואגאנובה היא שיטת לימוד הבלט הנפוצה ביותר ברוסיה, והיא נמצאת בשימוש גם באירופה ובאמריקה הצפונית.
שיטת האימון של ואגאנובה מסתמכת על העיקרון הבא:
שניתן להקיף ולהציג את כל האימון במהלך גרנד פה דה דה אחד (הגראן פה דה דה (grand pas de deux) הוא פה דה דה בעל תבנית המורכבת בדרך כלל מחמישה חלקים).
התלמידים מאומנים להוכיח את העיקרון הזה בבחינת הגמר והסטודנטים המוכשרים ביותר מקבלים אז את פרס "הגראן פה דה דה" עבור הביצוע.
השלבים בסילבוס של ואגאנובה מתבססים על התקדמות שפותחה בקפידה, שבה שולטים בצורות ה"בסיסיות" או ה"הכנות" לפני שהרקדן עובר לצורות קשות יותר.
ניתן להבין זאת כגישה טכנית מתוכננת כאשר מלמדים אותה המורים המוסמכים על פי הסילבוס תוך מעקב מקרוב.
הסילבוס מבוסס על הרעיון שכאשר מלמדים רקדן שלב או צעד כלשהו הוא/היא כבר פיתחו את החוזק כדי שהתנועות שלהם יצליחו.
מובן שבניית כוח זו דורשת זמן ועבודה קשה ועקבית.
תלמידים בבתי ספר מבוססי ואגאנובה צפויים לקחת קורסים יומיים בבלט כמו גם בריקוד אופי (Character dance), במחול מודרני, בהתעמלות/חיזוק, וללמוד היסטוריה ומוזיקה.
בלט דורש רב צדדיות להבנתה של ואגאנובה ותלמידי בלט אינם יכולים להסתמך רק על לימוד הבלט הקלאסי.
שיטת הפלפול גג על גג היא שיטת לימוד שעוסקת במציאת דמיון בין שתי סוגיות תלמודיות והשוואה ביניהם, או בין התנ"ך והמדרש לסוגיות הלכתיות או אגדתיות.
בשיטה זו יש מקום ליצירתיות וחריפות המשמשות למציאת קישורים ואסוציאציות בין שני נושאים שאינם קשורים זה לזה.
השיטה התפתחה ב, הייתה נפוצה ביותר ואף עוררה התנגדות עזה, אך ב פסק השימוש בה כמעט לגמרי.
במאה ה-17 היה מקובל בקהילות יהודיות למנות אדם לתפקיד דרשן הקהילה, והדרשנות הייתה נפוצה ביותר.
הפלפול החריף מסוג זה של שזירת ויצירת מחרוזת של נושאים תלוים זה בזה, הם נקודת שיא אינטלקטואלית, הן בחריפותה והן בכושר ההמצאה הגלום בה.
שיטת לימוד זו שבתה את לב הלומדים, והתפשטה עד שדרשן שלא אמר פלפולים, לא עורר עניין בציבור.
ספרי דרוש בסגנון פלפול 'גג על גג'
ספרי דרוש שונים שיצאו בתקופה זו, מתייחדים בסגנון מאמרים בפלפול 'גג על גג'.
ספר חנוכת התורה מאת רבי השיל מקראקא - הספר עוסק בחידושים למדניים על פי סדר פרשת השבוע.
סמיכת חכמים מאת נפתלי הכהן כ"ץ
יערות דבש לרבי יהונתן אייבשיץ - ספר דרוש שהתפרסם, ונפוץ גם בימינו.
הספר מלא בביאור מאמרי חז"ל השונים בדרך הפלפול.
במיוחד התפרסם פלפולו של רבי יחזקאל לנדא בספרו דורש לציון שבדרשות שבת הגדול ושבת שובה, שקישר את סוגיות היע"ל קג"ם שבכולם אביי ורבא לשיטתם.
כמו יצאו לאור ספרי הדרכה רבים שמדגימות את השימוש בפלפול השוואה של גג על גג, כמו ספר לקט יוסף לרבי יוסף גינצבורג.
במאה ה-18 החל להתפשט דרך זו אף כדרך לימוד התלמוד, וראשי הישיבות החלו לומר פלפולים חריפים כדי לחדד את התלמידים בדרך גג על גג.
אך עדיין ניכרת הסתייגות מכתיבתם בספר או להשתמש בזה לפסק הלכה.
אך במשך הזמן זה נהיה יותר לגטימי כפרשנות מקובלת לתלמוד ואף בפסיקת ההלכה.
שיטה זו בולטת אצל רבי אברהם בורנשטיין מסוכטשוב בעל שו"ת אבני נזר, ותלמידיו כמו רבי מאיר דן פלוצקי בעל הכלי חמדה, וכן אצל רבי מאיר יחיאל מאוסטרובצה בספריו 'מאיר עיני חכמים', והרב מאיר שפירא מלובלין.
שיטה זו עוררה ביקורת חריפה.
למשל, רבי ברכיה בירך בן רבי יצחק אייזיק שפירא תקף את הדרשנים במילים אלו:
רבי יאיר חיים בכרך כתב:
עוד העבירו ביקורת על הדרשנים או לימוד בשיטה זו רבי יחיאל מיכל מגלוגא.
וכן בספרות המשכילית במאה ה-19 אנו מוצאים התקפות ישירות על הדרשות מסוג זה, לדוגמה המשכיל משה מנדלסון (סופר) חיבר ספר סאטירי 'פני תבל' שתוקף את בעלי שיטת הפלפול גג על גג.
בישיבת ישיבת חכמי לובלין התפתח פולמוס בין משגיח הישיבה רבי שמעון מזעליחוב שהתנגד ללימוד בשיטת הפלפול לבין ראש הישיבה הרב מאיר שפירא שתמך בשיטה זו ושעוריו וספריו היו בנויים על פלפולים חריפים גג על גג.
נגד הכנסת שיטה זו לפסיקת הלכה, כתב רבי יהודה לנדא, רבה של סדיגורה:
הודות להתנגדות העזה של שיטת הפלפול במשך הזמן הופסק השימוש בה.
לדוגמה הגר"א מווילנא הדריך את תלמידיו ללמוד על דרך הפשט ולעזוב את שיטת הפלפול, לדבריו נודע השפעה רבה בליטא ולפי זה עוצבה דרך הלימוד בישיבת וואלזין.
בנוסף במאה ה-19 התפתחו בישיבות ליטא קבוצת דרכי לימוד אנליטיות, החותרות להבנה של העקרונות המופשטים העומדים בבסיס הדיונים שבתלמוד.
כמו שיטת בריסק של הרב חיים הלוי סולובייצ'יק מבריסק שהיא דרך הלימוד הישיבתית הליטאית, וכיום היא מהווה דרך עיקרית בישיבות הליטאים, ואף ברוב הישיבות החסידיות ושל חרדים ספרדים.
עם זאת יש מקומות בימינו שבהם עדיין מקובלת דרך הפלפול גג על גג, כמו בחסידות צאנז שם נוהג האדמו"ר לומר בטיש בליל שבת פלפול בשיטת גג על גג הנמשך שעה ארוכה,.
שיטת חבר מביא חבר היא אסטרטגיה שיווקית וגיוסית המעודדת אנשים להפנות חברים או מכרים למוצר, שירות, או מקום עבודה.
דרך זו מנצלת את האמון הקיים בין אנשים המכירים זה את זה ופועלת ויכולה לתרום לגיוון והעשרה של המועמדים בתחומים שונים, החל מקמעונאות ועד להייטק.
היא מספקת יתרונות גם לממליצים וגם לממלצים עליהם, ובכך מעמיקה את הקשרים בין הצדדים לטובת שגשוג הארגון או העסק.
במגזר הקמעונאי, שיטת "חבר מביא חבר" פועלת על ידי הצעת הנחות, קופונים או תגמולים אחרים ללקוחות המזמינים חברים לקנות או להירשם לשירות.
לדוגמה, רשת חנויות אופנה עשויה להציע הנחה של 10% לכל לקוח שמביא חבר המבצע רכישה.
המודל הזה לא רק מגדיל את מספר הלקוחות, אלא גם מעמיק את הנאמנות של הלקוחות הקיימים, שכן הם מרגישים חלק מהמותג ומוערכים על ידיו.
השימוש בשיטת "חבר מביא חבר" בצבא, במיוחד ביחידות הטכנולוגיה והסייבר, הוא לא רק נפוץ אלא גם מהווה את אחד האסטרטגיות המרכזיות לגיוס כוח אדם מוכשר ומיומן לתעשיית ההייטק הישראלית.
חברות סטארט-אפ רבות, המהוות איים של קהילות מקצועיות, נבנות סביב בוגרי יחידות צבאיות מסוימות, ובכך ממחישות את הערך המוסף של הקשרים האישיים והמקצועיים שנרקמים במהלך השירות הצבאי.
חטיבת הצנחנים יצאה בקמפיין חבר מביא חבר בשנת 2019 שהמטרה היא לייצר רף סינון נוסף דרך בוגרי החטיבה שמכירים באופן אישי את הדרישות והמטרות שלה.
גם בסיירת מטכ"ל פועלים בשיטה הזו תוך ההנחה שאנשים איכותיים מסתובבים במעגל החברתי שלהם עם אנשים איכותיים אחרים.
בתעשיית ההייטק, שיטת "חבר מביא חבר" משמשת כאחת האסטרטגיות המרכזיות והאפקטיביות ביותר לגיוס עובדים.
המחקרים המתוארים במאמר מדגישים כיצד גיוס דרך המלצות של חברים ועמיתים נחשב לגישה יעילה במיוחד, עם יתרונות ברורים בעלות, אפקטיביות זמן, ואריכות תקופת ההשארות בארגון.
בין יתרונותיה הבולטים של השיטה ישנו חיסכון משמעותי בעלות הגיוס בהשוואה למקורות אחרים, זאת בזכות תלות מופחתת בשירותי חברות גיוס והצורך בפרסום מודעות גיוס יקרות.
יתר על כן, האפקטיביות של התהליך מתבטאת בכך שהזמן הדרוש לגיוס עובד נמוך משמעותית, מאחר שהממליצים מציעים מועמדים אשר הם מכירים אישית ואותם הם סבורים שישתלבו היטב בתרבות הארגונית.
בנוסף, עובדים שהגיעו לארגון דרך המלצות של חברים נוטים להראות נאמנות ומחויבות גבוהה לעבודה, תוך שהם שוהים בחברה זמן רב יותר, מה שמחזק את הטענה כי זוהי אחת הדרכים המועדפות והיעילות ביותר לגיוס בסביבה ההייטקית.
שיטת ידיעות אחרונות היא סדרת תחקירים עיתונאיים שפורסמו באתר העין השביעית על מערכת העיתון ואתר האינטרנט של ידיעות אחרונות - מ-1940 ועד העשור השני של המאה ה-21 והעמדת ראש המערכת - ארנון מוזס - לדין פלילי במסגרת "תיק 2000" באשמת ניסיון מתן שוחד לראש הממשלה בנימין נתניהו.
על הפרויקט זה עבדו העיתונאים אורן פרסיקו ואיתמר ב"ז במשך למעלה מארבע שנים שבמהלכם ראיינו יותר ממאה אנשים.
איתמר ב"ז סיפר כי גורם כלשהו שמופיע בתחקיר (שאינו נוני מוזס) הציע להעביר לו תרומה כספית בדרך שלא תתועד עבור הסרת נושא מסוים מהתחקיר, אך הוא סירב להצעה.
לקראת פרסום התחקיר קיבל איום בתביעה ממוזס.
כמו כן, התחקיר מסקר שלל פרשות משפטיות מחייו של נוני מוזס בהן הוא היה מעורב.
ב-2023 זכתה מערכת "העין השביעית" בפרס סוקולוב, בין היתר בעקבות תחקיר זה.
התחקיר משרטט, באמצעות ראיונות ועיון במסמכי ארכיון ובפסקי דין, את הדרך בה הפך מוזס ל"יורש העצר" של אימפריית העיתונות המשפחתית וקיבל לידיו את הניהול בפועל תוך דחיקת בני משפחתו מעמדות הכוח.
לפי התחקיר - לאחר ההשתלטות על הקבוצה פעל מוזס לחזק את כוחה באמצעות בריתות חשאיות עם מתחרים בשוק העיתונות וטיפוח יחסי תן וקח עם פוליטיקאים.
התחקיר מספר על שיטה של "רשימות שחורות ולבנות" - עליה העידו עיתונאים בעיתון בהזדמנויות שונות לאורך השנים, בין השאר כעדים בבתי משפט.
לפי השיטה יש רשימות שכוללות בעיקר פוליטיקאים, ברשימה אחת אלה מהם שהמערכת הונחתה לספק להם סיקור אוהד, ובשנייה כאלה שההנחיה היא לסקר לאותם באופן עוין או פשוט להתעלם מהם.
לפי התחקיר - בשנות ה-90 טופחה מחלקת התחקירים, כשהתחקירים שפורסמו השתלבו במערך האינטרסים והבריתות של בעלי העיתון.
פוליטיקאים מתלוננים שהתחקירים הם חלק ממנגנון סחיטה שבאמצעותו יכול מוזס ללחוץ על הפוליטיקאים ולקדם את האינטרסים שלו.
פרק מיוחד מוקדש להאזנות סתר, שבוצעו על פי התחקיר לעורכים, מנהלים ובני משפחה.
לפי התחקיר - אחרי החקירות כנגד השחיתות בה היה מעורב אריאל שרון - גייס מוזס את המערכת למאבק בפרקליטות ובמשטרה - "כנופיית שלטון החוק", והעיתונאים שהקשו על שרון עזבו, מגמה שנמשכה בזמן החקירות הפליליות ומשפטו של אהוד אולמרט.
ידיעות אחרונות מסר תגובה לתחקיר ובו הוא מאשים גורמים שונים במתקפות על הקבוצה, שמטרתן לפגוע בהצלחתה, ובמשתמע בממצאי התחקיר.
בין הגורמים שהתגובה מזכירה - עיתונאים מתוסכלים, בעלי מניות שהפסידו במאבקי שליטה ופוליטיקאים שחוששים מביקורת שמנסים לפגוע בקבוצה.
במתמטיקה, שיטת הקרקטריסטיקות היא שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות.
בדרך כלל היא מיושמת לפתרון משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, אך ניתן להשתמש בה כדי לפתור גם משוואות דיפרנציאליות היפרבוליות ופרבוליות, שהן משוואות דיפרנציאליות חלקיות מסדר שני.
הרעיון המרכזי של השיטה הוא למצוא עקומים אופייניים (המכונים "קרקטריסטיקות") אשר המשוואה מתנהגת לאורכם כמשוואה דיפרנציאלית רגילה (כלומר כמשוואה דיפרנציאלית במשתנה יחיד) ולכן יכולה להיפתר בקלות רבה יותר, ומתוך הפתרונות הללו לבנות את הפתרון הכללי למשוואה המקורית.
במסגרת השיטה, הופכים את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית המקורית למערכת שקולה של משוואות דיפרנציאליות רגילות שפתרונן מאפשר למצוא את אותם קווים אופייניים.
יחד עם תנאי שפה מתאימים, התהליך מאפשר לבנות פתרון פרטי מתאים.
קרקטריסטיקות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות מסדר ראשון
בעבור מד"ח מסדר ראשון, שיטת הקרקטריסטיקות מגלה את העקומים האופייניים שלאורכם המד"ח הופכת למד"ר.
מרגע שהמד"ר נמצאה, אז ניתן לפתור אותה לאורך העקום האופייני.
למען הפשטות, נגביל את הדיון למקרה של פונקציה של שני משתנים בלתי תלויים x ו-y.
נניח לרגע שהפתרון z ידוע, ונתייחס לגרף המשטח z(x,y) ב-R3. וקטור הנורמל למשטח הזה נתון על ידי
כתוצאה, המד"ח שברצוננו לפתור שקולה לטענה הגאומטרית שהשדה הווקטורי
משיק לפני המשטח z(x,y) בכל נקודה, שכן על פני המשטח המכפלה הסקלרית של כל אחד מווקטורי השדה עם וקטור הנורמל המתאים היא אפס.
במילים אחרות, משטח הפתרון חייב להיות איחוד של קווי שדה של השדה הווקטורי הזה.
אם נצא מנקודה התחלתית מסוימת ונתקדם בכיוון קו השדה בתוך המישור המשיק לגרף הפונקציה אז נקבל התפתחות של z אשר תלויה בפרמטר יחיד , שהוא אורך קו השדה.
היטלי קווי השדה (המרחביים) הללו על מישור xy הם העקומים האופייניים המבוקשים, וניתן למצוא אותם על ידי פתרון המשוואות האופייניות:
וזוהי כאמור מערכת של משוואות דיפרנציאליות רגילות.
צורה נוספת של מערכת זאת היא משוואות לגראנז'-שארפט:
כדוגמה, נתייחס למקרה פרטי של משוואת ההסעה-דיפוזיה, אשר מייצגת באופן כללי מעבר של חומר ממקום למקום הנעשה על ידי שילוב של הסעה ודיפוזיה.
כאן נתייחס להסעה בלבד ללא דיפוזיה, ולמקרה של שינוי ריכוז חומר הנישא על גבי זורם שלו שדה מהירות אחיד במרחב ובזמן.
במקרה כזה, המשוואה מקבלת את הצורה:
כאשר הוא קבוע (המייצג את מהירות הזורם) ו- היא פונקציה של ו- המייצגת את ריכוז החומר המובל.
נרצה להמיר מד"ח מסדר ראשון זו למד"ר לאורך הקרקטריסטיקות המתאימות, דהיינו לקבל משוואה מהצורה:
כעת, אם נרשום ו- נקבל
וזהו האגף השמאלי של המד"ח עמה התחלנו.
לכן, לאורך העקום האופייני , המד"ח המקורית הופכת למד"ר .
פירוש הדבר הוא שלאורך העקום האופייני, הפתרון הוא קבוע.
לכן, כאשר הנקודות ו- נמצאות על אותו עקום אופייני.
לפיכך, כדי לקבוע את הפתרון הכללי, מספיק למצוא את העקומים האופייניים באמצעות פתרון מערכת המד"ר האופייניות:
, כך שבהנחת נקבל ,
במקרה זה, העקומים האופייניים הם קווים ישרים עם שיפוע , והערך של נשאר קבוע לאורך כל ישר אופייני כזה.
נשים לב שהפתרון מייצג גל נוסע במהירות הזורם ; זה לא מפתיע, שכן מראש הנחנו שאין שום מנגנונים שתורמים לפיזור החומר המובל פרט להסעה שלו על ידי הזרימה.
נתייחס כעת למקרה פרטי מורכב יותר של משוואת ההסעה-דיפוזיה, הנוגע לפיזור חומר הנישא על גבי זרימה סולנואידית דו-ממדית מסוימת, אך ללא דיפוזיה.
מאחר שהדיברגנץ של שדה כזה מתאפס, מזהויות של אנליזה וקטורית נובע שבמקרה כזה המשוואה מקבלת את הצורה:
ניקח כדוגמה את השדה הסולנואידי המעגלי .
המד"ח מקבלת לפיכך את הצורה:
נשים לב תחילה שמכיוון ש-u הוא פונקציה של שלושה משתנים (x,y,t), את משפחת העקומים האופייניים מאפיינים כעת שני פרמטרים: הפתרון הכללי יהיה מהצורה
ועקום אופייני מסוים שלאורכו ערכה של f קבוע יהיה החיתוך של שני המשטחים ו- (כאן הם שני קבועים).
כדי למצוא את הפונקציות נרשום:
נפעיל את משוואת לגראנז'-שארפט ונקבל:
פתרון המד"ר הנובעת מהשוויון הראשון הוא .
הצבת הפתרון בשוויון השני גוררת:
מכיוון שנרצה להציג את הפתרון הכללי בצורה "נקייה" וללא הקבועים עדיף לרשום את פונקציית הסינוס ההפוכה בתור ארקטנגנס מתאים:
ולפיכך הפתרון הכללי למד"ח המקורית הוא:
בגלל הסימטריה הגלילית של הבעיה, מבט בפתרון דרך קואורדינטות גליליות מסייע בהבנה איכותית של הקרקטריסטיקות והפתרון הכללי:
מאחר ש- מייצג גליל המקביל לציר הזמן t, החיתוך שלו עם מייצג למעשה סליל המוטבע על מעטפת הגליל הזה.
כלומר, העקומים האופייניים של המד"ח הם סלילים מרחביים שעליהם ערך f קבוע.
קרקטריסטיקות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות מסדר שני
המד"ח הכללית מסדר שני ובשני משתנים היא בעלת הצורה:
אם נסתכל במטריצת מקדמי הנגזרות הגבוהות
אז, באנלוגיה למיון הקלאסי של חתכי החרוט, המשוואה תיקרא אליפטית אם , פרבולית אם והיפרבולית אם .
דוגמה טיפוסית למשוואה אליפטית זוהי משוואת לפלס, למשוואה פרבולית זוהי משוואת החום, ולמשוואה היפרבולית זוהי משוואת הגלים.
דוגמה למד"ח שמפגינה התנהגות אליפטית, פרבולית והיפרבולית באזורים שונים במישור xy היא משוואת אוילר-טריקומי:
משוואה זו היא אליפטית בחצי המישור הימני x>0, פרבולית לאורך הציר האנכי x=0 והיפרבולית בחצי המישור השמאלי x<0. הקרקטריסטיקות שלה מקיימים את הקשר:
כאשר C הוא קבוע אינטגרציה.
הקרקטריסטיקות כוללות לפיכך שתי משפחות של פרבולות חצי-מעוקבות, עם נקודות חוד במיקומים שונים לאורך הציר האנכי x=0 (מיקום אשר נקבע לפי ערך הקבוע C).
שיטת כַּפַאלַה היא שיטה הקושרת מהגרי עבודה למעסיק מסוים, למשך כל תקופת שהותם במדינה.
השיטה, מחייבת כל עובד זר להיות תחת חסות של אזרח מקומי (לרוב, המעסיק) והוא אחראי על הוויזה והמעמד החוקי שלהם.
השיטה קיימת במדינות ערב רבות, בעיקר בחצי האי ערב, וכן בלבנון, ירדן וכווית.
מערכת דומה התקיימה גם בישראל עד 2006, אז בוטלה על ידי בית המשפט העליון.
מערכת זו ספגה וסופגת ביקורת מצד ארגוני זכויות האדם, בשל כך שהיא מאפשרת ניצול של עובדים.
מעסיקים רבים מחרימים את הדרכונים של העובדים, מתעללים בהם, מבלי שיהיה להם כל סעד משפטי.
ב-2014, העריכה קונפדרציית איגודי העובדים הבין-לאומית כי במדינות המפרץ הערבי והלבנט ישנם כ-2.4 מיליון עובדי משק בית משועבדים, המגיעים כמעט כולם ממערב אפריקה, דרום אסיה ודרום-מזרח אסיה.
בפסיקה האסלאמית המונח "כפאלה" מתייחס לאימוץ ילדים.
המונח המקורי הורחב וכלל גם מערכת של חסות על עובדים זרים שהועסקו כעבדים בשליית פנינים במפרץ הפרסי לפני ביטול העבדות במאה ה-20.
בתחילת המאה ה-21, מערכת העסקת מהגרי עבודה במדינות ערב, באמצעות חסות מקומית, החלה להיקרא גם באנגלית "kafala system".
בשנת 2009, הייתה בחריין המדינה הראשונה במועצת שיתוף הפעולה של מדינות המפרץ שהצהירה על ביטול מערכת הכפאלה.
שר העבודה השווה בפומבי את השיטה לעבדות.
על פי החוק מאוגוסט 2009 עובדים זרים נמצאים בחסות הרשות להסדרת שוק העבודה (Labour Market Regulation Authority) ויכולים לעבור בין מעסיקים עם הודעה מוקדמת של שלושה חודשים בלבד, ללא צורך באישור מהמעסיק הנוכחי.
עם זאת, בנובמבר 2009, ארגון Human Rights Watch דיווח שהרשויות "עושות מעט מאוד כדי לאכוף" את החוקים, ומעסיקים ממשיכים להחרים דרכונים ולעכב משכורות, אף על פי שמעשים אלה אינם חוקיים.
בישראל פעלה מערכת דומה לכפאלה (kafala) שנקראה "מערכת הכבילה", עד 2006. בדומה לשיטה הערבית, עובדים זרים היו קשורים למעסיק מסוים למשך כל תקופת שהייתם.
בתקופה זו, החרמת דרכונים וצורות ניצול נוספות היו נפוצות ונשארו לרוב ללא ענישה.
במרץ 2006, בג"ץ ביטל את המערכת בפסיקה תקדימית, קו לעובד נ' ממשלת ישראל, בנימוק של פגיעה בזכויות אדם.
עם זאת, מחקר של HRW מ-2015 מצא שעובדים זרים תאילנדים, חיים בקיבוצים בתנאים ירודים, אינם מקבלים ימי חופשה כנדרש, ומועסקים מעבר לשעות החוקיות ובשכר נמוך מהקבוע בחוק.
בשנת 2018, פרץ משבר דיפלומטי בין כווית לפיליפינים, שהסתיים בהסכם עבודה במאי 2018 שאסר על נהלים נפוצים במסגרת הכפאלה נגד עובדים זרים פיליפינים, כולל החרמת דרכונים והבטחת יום חופש אחד מהעבודה בשבוע.
על אף זאת, נכון ל-2025 השיטה עדיין נהוגה בכווית והממשלה מונעת יציאת עובדים זרים מהמדינה ללא הסכמת מעסיקיהם.
סוגיית זכויות העובדים הזרים בקטר ובתוך כך, שיטת הכפאלה זכו לתשומת לב מוגברת מאז זכייתה באירוח מונדיאל 2022 של פיפ"א.
תחקיר של עיתון הגרדיאן משנת 2013 העלה טענות קשות נגד קטר, ובהן מניעת מזון ומים מעובדים, החרמת מסמכי זהות, כפייה לעבודת כפייה ואי-תשלום שכר בזמן או בכלל, מה שהפך חלק מהם למעשה לעבדים.
הגרדיאן העריך כי ללא רפורמות במערכת הכפאלה, עלולים למות עד 4,000 עובדים מתוך כ-2 מיליון עובדים זרים, עקב ליקויי בטיחות וסיבות אחרות עד למועד התחרות.
טענות אלו התבססו על נתוני תמותה של עובדים נפאליים והודים מאז 2010.
בשנת 2015, צוות של עיתונאי BBC נעצר ונכלא ליומיים כשניסה לדווח על תנאי העובדים.
ה-Wall Street Journal דיווח, ביוני 2015, על טענת הקונפדרציה הבינלאומית של איגודי העובדים שלמעלה מ-1,200 עובדים מתו בפרויקטים הקשורים למונדיאל, טענה שנדחתה על ידי ממשלת קטר.
ה-BBC הבהיר מאוחר יותר כי נתון זה לא מתייחס רק לעובדי בנייה או לעובדים בפרויקטים של המונדיאל, אלא לכלל מקרי המוות בקרב עובדים הודים ונפאליים בקטר.
נשיא התאחדות הכדורגל ההולנדית המלכותית, מייקל ואן פראך (Michael van Praag), קרא לוועד המנהל של פיפ"א ללחוץ על קטר להבטיח תנאי עבודה טובים יותר.
במרץ 2016, אמנסטי אינטרנשיונל האשים את קטר בשימוש בעבודת כפייה, אילוץ עובדים לחיות בתנאים ירודים ומניעת שכר ודרכונים.
הארגון גם האשים את פיפ"א בכך שלא פעלה למנוע בניית אצטדיונים על בסיס הפרות זכויות אדם.
באוקטובר 2017, הקונפדרציה הבינלאומית של איגודי העובדים הודיעה כי קטר חתמה על הסכם לשיפור מצבם של למעלה מ-2 מיליון עובדים זרים, ובכלל זה רפורמות מהותיות במערכת העבודה, ביטול שיטת הכפאלה; העובדים לא יזדקקו עוד לאישור מעסיקיהם כדי לעזוב את המדינה או להחליף עבודה.
עם זאת, אמנסטי אינטרנשיונל הטיל ספק בכך שקטר תשלים את הרפורמות המובטחות לפני תחילת המונדיאל, וציין כי עדיין מתרחשות הפרות למרות הצעדים שננקטו.
במאי 2019, תחקיר של ה-Daily Mirror חשף כי חלק מ-28,000 העובדים באצטדיונים, מקבלים שכר נמוך של 750 ריאל קטרי לחודש (כ-99 פני לשעה) בשבוע עבודה של 48 שעות).
חברת הנדריקס גרזודן (Hendriks Graszoden), ספקית דשא למונדיאלים קודמים, סירבה לספק דשא לקטר, בין היתר בשל האשמות על הפרות זכויות אדם.
באפריל 2020, ממשלת קטר הקצתה 824 מיליון דולר לתשלום שכר לעובדים זרים שהיו בבידוד או בטיפול בשל מגפת הקורונה.
מאוחר יותר באותה שנה, הוכרז שכר מינימום חודשי של 1,000 ריאל קטרי (275 דולר ארצות הברית) לכל העובדים, עלייה משמעותית משכר המינימום הקודם של 750 ריאל.
חוקים חדשים אלו נכנסו לתוקף במרץ 2021. ארגון העבודה הבינלאומי ציין כי קטר היא המדינה הראשונה באזור שהציגה שכר מינימום שאינו מפלה, אך בעוד שקבוצת "זכויות מהגרי עבודה" (Migrant Rights) טענה כי שכר המינימום החדש נמוך מדי נוכח יוקר המחיה בקטר.
הרפורמות כללו גם חובה על מעסיקים לשלם 300 ריאל למזון ו-500 ריאל למגורים אם אינם מספקים אותם ישירות, וביטול ה-"No Objection Certificate" המאפשר לעובדים להחליף עבודה ללא הסכמת המעסיק הנוכחי.
רפורמות אלו ביטלו למעשה את מערכת הכפאלה והציגו מערכת חוזית.
תמותת עובדים והביקורת על פיפ"א
על פי תחקיר שערך ה-Guardian, מאז זכייתה של קטר באירוח המונדיאל (2010) ועד לסוף 2020, מתו בקטר מעל 6,500 עובדים זרים מהודו, בנגלדש, פקיסטן, נפאל וסרי לנקה.
הביקורת כוונה נגד קטר ונגד מארגנת המונדיאל, פיפ"א.
במרץ 2022, נשיא פיפ"א ג'אני אינפנטינו טען כי קטר מתקדמת בתחום זכויות העבודה וזכויות העובדים הזרים.
עם זאת, זמן קצר לפני הטורניר, פראנס 24 שידרה דו"ח שחשף כי חוקי רפורמה רבים, כלל לא נאכפו.
ב-20 באוקטובר 2022, אמנסטי אינטרנשיונל פרסם מאמר שבו מתח ביקורת על הרפורמות של קטר וקבע כי אינן שלמות, על אף שקטר עשתה צעדים חשובים בתחום זכויות העבודה בחמש השנים האחרונות.
ממשלת קטר הדגישה כי המונדיאל אינו קו הסיום של הרפורמות והן ימשיכו גם לאחר סיום האירוע.
ממשל קטר חיזקה את "מערכת הגנת השכר" שלה והוסיפה פלטפורמת חדשה ונגישה להגשת תלונות וכתוצאה מכך, ב-84% מהמקרים, בשנים 2021–2022, הוכרעו לטובת העובדים.
על פי דו"ח של ארגון HRW מ-2008, מערכת הכפאלה בערב הסעודית מעניקה למעסיק שליטה מלאה על העובד, בכך שהיא מחייבת את הסכמתו לכניסת העובד למדינה, לעבור עבודה או לעזוב את המדינה.
הארגון מצא כי היו מעסיקים שניצלו את השיטה כדי לכפות על עובדים להמשיך לעבוד בניגוד לרצונם, מה שיצר "תנאים הדומים לעבדות".
ב-2018, דווח כי מעסיקים השתמשו ברשתות חברתיות כמו טוויטר כדי "למכור" עובדי משק בית, במה שזכה לכינוי "עבדות 2.0" (slavery 2.0).
בין 2015–2018 הוצאו להורג מספר עובדות משק בית אינדונזיות בערב הסעודית.
באחד המקרים, ב-29 באוקטובר 2018, הוצאה להורג טוטי טורסילאוואטי (Tuti Tursilawati) בגין הריגת מעסיקה, לטענתה מתוך הגנה עצמית מפני התעללות מינית.
שר החוץ האינדונזי הגיש תלונה רשמית, מכיוון שההוצאה להורג בוצעה ללא התראה.
בין 1991 ל-2019, הגיעו כ-300,000 נשים מבנגלדש לערב הסעודית במסגרת מערכת הכפאלה.
בתגובה למקרים של התעללות קשה, כולל תקיפות מיניות ועינויים, שבהן היו מעורבות נשים כמו סומי אקטר (Sumi Akter) ונאזמה בגום (Nazma Begum), פרצו הפגנות בדאקה (Dhaka) בירת בנגלדש.
ב-4 בנובמבר 2020, במסגרת חזון 2030 של סעודיה, הוכרז על רפורמה בחוק העבודה.
החוק החדש, שנכנס לתוקף במרץ 2021, נועד לצמצם את מערכת הכפאלה על ידי דיגיטציה של חוזי עבודה וביטול הצורך באישור מעסיק כדי לקבל אשרת יציאה, כניסה חוזרת או להחליף מעסיק (בסוף החוזה).
עם זאת, ארגון HRW טען במרץ 2021 שהרפורמות אינן מפרקות את השיטה במלואה, ושהן אינן חלות על עובדי משק בית וחקלאים.
בנוסף, הצורך באשרת יציאה כדי לעזוב את המדינה נותר בגדר פגיעה בזכויות אדם.
לקראת מונדיאל 2034 בערב הסעודית הממלכה תעסיק אלפי עובדים זרים בבניית אצטדיונים ותשתיות.
אמנסטי אינטרנשיונל הזהירה כי מספר ההרוגים יהיה גבוה.
ב-12 במרץ 2025 דווח על מקרה המוות הראשון של עובד זר.
פועל מפקיסטן, נהרג בעת שעבד באצטדיון עראמקו בח'ובאר.
שיטת וסטמינסטר המכונה גם מערכת וסטמינסטר, או מודל וסטמינסטר, היא סוג של ממשל פרלמנטרי המבוסס על זה של הפרלמנט של הממלכה המאוחדת.
היבטים מרכזיים של השיטה כוללים רשות מבצעת המורכבת מחברי הרשות המחוקקת והאחראית בפני הרשות המחוקקת, נוכחות של מפלגות אופוזיציה, וראש מדינה במעמד טקסי בנפרד מראש הממשלה.
המונח נגזר מארמון וסטמינסטר, מושב הפרלמנט הבריטי.
שיטת וסטמינסטר ניתנת להשוואה למשטר נשיאותי, שמקורו בארצות הברית, ולמשטר חצי-נשיאותי המבוסס על ממשלת צרפת.
שיטת וסטמינסטר משמשת, או שימשה בעבר, בבתי המחוקקים הלאומיים והתת-לאומיים של רוב המושבות לשעבר של האימפריה הבריטית עם קבלת שלטון עצמי, החל מ ב-1848. עם זאת, מושבות רבות לשעבר אימצו מאז צורות ממשל אחרות.
מערכת הבנויה בשיטת וסטמינסטר עשויה לכלול כמה מהתכונות הבאות:
ריבון או ראש מדינה הפועל כבעל הסמכות המבצעת הנומינלית או החוקתית, ומחזיק בסמכויות רבות, אך תפקידיו היומיומיים מורכבים בעיקר מביצוע תפקידים טקסיים.
דוגמאות לכך כוללות את המלך צ'ארלס השלישי, המושלים הכלליים בממלכות חבר העמים הבריטי, או נשיאי מדינות רבות, ומושלים מדינתיים או מחוזיים במערכות פדרליות.
יוצאות מן הכלל הן אירלנד וישראל, שנשיאיהן מכהנים דה יורה ומעמדם טקסי בפועל.
ראש ממשלה (או ראש הרשות המבצעת).
בעוד שראש המדינה ממנה את ראש הממשלה, הנוהג החוקתי מציע שרוב חברי הפרלמנט הנבחרים חייב לתמוך באדם שממונה.
אם יותר ממחצית מחברי הפרלמנט הנבחרים משתייכים לאותה מפלגה, בדרך כלל ממונה לתפקיד מי שמכהן כמנהיג המפלגה.
רשות מבצעת בראשות ראש הממשלה, המורכבת בדרך כלל מחברי הרשות המחוקקת, ופועלת בהתאם לעקרון האחריות הקולקטיבית של הקבינט.
חברים כאלה מפעילים סמכות מטעם הרשות המבצעת הנומינלית או התאורטית.
שירות המדינה במסגרת אזרחית עצמאית ובלתי מפלגתית, שמייעץ ומיישם את החלטות הממשלה הנבחרת.
עובדי ציבור מחזיקים במינויים קבועים ויכולים לצפות לתהליכי מיון מבוססי כישורים ולהמשכיות בתעסוקה גם כאשר הממשלות משתנות.
אופוזיציה פרלמנטרית (במערכת רב-מפלגתית) עם מנהיג רשמי של האופוזיציה, שלרוב ממלא תפקיד עוין, ומציג טיעונים נגד מדיניות הממשלה.
במדינות מסוימות, מצופה ממנהיג האופוזיציה להיות מוכן להרכיב ממשלה אם תפקיד ראש הממשלה יתפנה.
בית מחוקקים, לעיתים דו-ביתי, עם לפחות בית נבחר אחד, אם כי קיימות גם מערכות חד-ביתיות.
מסורתית, הבית התחתון נבחר באמצעות שיטת FPTP ממחוזות חד-נציגיים, אם כי יש כאלה שמשתמשים במערכת של ייצוג יחסי (למשל ישראל, ניו זילנד, דנמרק), (למשל יפן, איטליה), או שיטת IRV (למשל פפואה גינאה החדשה, אוסטרליה).
בית תחתון של הפרלמנט שיש לו יכולת להדיח ממשלה על ידי דחיית התקציב, העברת הצבעת אי-אמון, או דחיית הצעת אמון.
פרלמנט שיכול להתפרק ולקיים בחירות בזק בכל עת.
חסינות פרלמנטרית, המאפשרת למחוקק לדון בכל נושא שהוא רואה כרלוונטי, ללא חשש מהשלכות הנובעות מהצהרות וכדומה.
פרוטוקולים של פגישות, כולל אפשרות לבית המחוקקים להסיר דיון מהפרוטוקולים הללו.
היכולת של בתי המשפט להתמודד עם מצב מעומעם בחוק דרך פיתוח המשפט המקובל.
קיימת מערכת מקבילה נוספת של עקרונות משפטיים הידועה גם כמערכת דיני היושר.
יוצאים מן הכלל לכך כוללים את הודו, קוויבק בקנדה, וסקוטלנד בבריטניה.
רוב הנהלים של שיטת וסטמינסטר מקורם במוסכמות, פרקטיקות ותקדימים שנוצרו בפרלמנט של הממלכה המאוחדת, המהווים חלק ממה שמכונה .
בניגוד לחוקה הבריטית הלא פורמלית, רוב המדינות המשתמשות בשיטת וסטמינסטר קיבעו את המערכת, לפחות בחלקה, בחוקה כתובה.
עם זאת, מוסכמות, פרקטיקות ותקדימים לא פורמליים ממשיכים למלא תפקיד משמעותי ברוב המדינות, שכן חוקות רבות אינן מפרטות מרכיבים חשובים.
לדוגמה, חוקות ישנות שהשתמשו בשיטת וסטמינסטר אינן מזכירות את קיומו של הקבינט או ראש הממשלה, משום שמשרות אלו נחשבו כמובנות מאליהן על ידי מחברי החוקות.
לעיתים סמכויות מסוימות מתנגשות בזמני משבר, ובזמנים כאלה עומדות במבחן החולשות של ההיבטים הלא כתובים של מערכת וסטמינסטר, כמו גם חוזקות הגמישות של שיטת וסטמינסטר.
כדוגמה להמחשה, במהלך המשבר החוקתי באוסטרליה (1975), המושל הכללי של אוסטרליה, סר ג'ון קר, פיטר את ראש הממשלה גוף ויטלם והחליפו במנהיג האופוזיציה מלקולם פרייזר.
דפוס התפקידים הביצועיים בשיטת וסטמינסטר מורכב למדי.
ראש המדינה, בדרך כלל מלך או נשיא, הוא דמות טקסית שהיא המקור התאורטי של הכוח הביצועי.
בפועל, דמות כזו אינה מפעילה באופן פעיל סמכויות ביצועיות, אף על פי שהסמכות המבצעת מופעלת על שמו.
ראש הממשלה, יקבל אידיאלית את תמיכת הרוב בבית האחראי, ובכל מקרה הוא חייב להיות מסוגל להבטיח שלא יהיה רוב מוחלט נגד הממשלה.
אם הפרלמנט מעביר הצעת אי-אמון, או מסרב להעביר חוק חשוב כמו התקציב, הממשלה חייבת או להתפטר כדי למנות ממשלה אחרת או לבקש פיזור של הפרלמנט כדי לקיים בחירות כלליות חדשות כדי לאשר מחדש או לדחות את המנדט של הממשלה.
הסמכות המבצעת בשיטת וסטמינסטר מופעלת דה יורה על ידי הקבינט כולו, אך למעשה, ראש הממשלה שולט ברשות המבצעת, שכן ראש הממשלה הוא בסופו של דבר האדם שממנו ראש המדינה יקבל ייעוץ (לפי הנוהג החוקתי) לגבי מימוש הסמכות המבצעת, כולל מינוי ופיטורין של חברי הקבינט.
כתוצאה מכך, חברי הקבינט עצמם למעשה משרתים לפי רצון ראש הממשלה.
בממלכה המאוחדת, הריבון מחזיק תאורטית בסמכות ביצועית, אף על פי שראש הממשלה והקבינט מיישמים למעשה את הסמכויות הביצועיות.
ברפובליקה פרלמנטרית כמו הודו, הנשיא הוא הרשות המבצעת דה יורה, אף על פי שהסמכויות הביצועיות למעשה מונהגות על ידי ראש הממשלה ומועצת השרים.
בישראל, לעומת זאת, הסמכות המבצעת נתונה דה יורה ובפועל לקבינט, והנשיא הוא דה יורה ובפועל רק דמות טקסית.
לדוגמה, ראש הממשלה והקבינט חייבים בדרך כלל לקבל אישור מראש המדינה בעת ביצוע של פעולות מסוימות.
אם, למשל, ראש ממשלת בריטניה רוצה לפזר את הפרלמנט כדי לקיים בחירות כלליות, הוא מחויב לבקש רשות מהריבון.
עם זאת, הריבון, בעידן המודרני, כמעט תמיד פועל לפי עצת ראש הממשלה שלו.
סמכות הריבון למנות ולפטר ממשלות, למנות שרים בממשלה, למנות דיפלומטים, להכריז מלחמה ולחתום על הסכמים ידועה כ, אשר בימינו מופעלת על ידי הריבון אך ורק על פי עצת ראש הממשלה.
מקרה יוצא דופן הוא בישראל וביפן, שם לראשי הממשלה יש סמכות חוקית מלאה ליישם החלטות ביצועיות, ואין צורך באישור נשיאותי (בישראל) או קיסרי (ביפן).
ראשי הממשלה של מדינות אלו הם המקור החוקי של הסמכות המבצעת, ולא ראש המדינה.
הסדר מנהלי כזה הופיע לראשונה בממלכה המאוחדת.
היסטורית, הריבון הבריטי החזיק והפעיל ישירות את כל הסמכות המבצעת.
ג'ורג' הראשון, מלך בריטניה (שלט בין 1714 ל-1727) היה המלך הראשון שהאציל סמכויות ביצועיות מסוימות לראש ממשלה ולקבינט השרים, בעיקר משום שהיה גם מלך הנובר בגרמניה ולא דיבר אנגלית שוטפת.
עם הזמן, הסדרים נוספים המשיכו לאפשר את ביצוע הסמכות בשם הריבון, ויותר ויותר כוח דה-פקטו עבר לידיו של ראש הממשלה.
רעיון זה התחזק בהחוקה האנגלית של וולטר בג'ט, שהבחין בין תפקידים "מכובדים" ו"יעילים" בממשל.
כאשר הריבון צריך להיות "מכובד", בעוד ראש הממשלה והממשלה מקבלים החלטות ביצועיות ואחראים ל"יעילות".
בשיטת וסטמינסטר, חלק מחברי הפרלמנט נבחרים בהצבעה עממית, בעוד אחרים ממונים.
כמעט כל הפרלמנטים בשיטת וסטמינסטר מחזיקים בבית תחתון עם סמכויות המבוססות על סמכויות בית הנבחרים (בשמות שונים), הכולל נציגים מקומיים ונבחרים של העם (למעט הכנסת בישראל, היוצא מן הכלל היחיד שנבחר כולו בשיטה של ייצוג יחסי ארצי).
לרובם יש גם בית עליון קטן יותר, שמורכב מחברים שנבחרו בדרכים שונות:
מינויים ללא כהונה, בין אם לכל החיים או עד לפרישה, על ידי ראשי הממשלה (כמו הסנאט של קנדה)
מינויים של ראש הממשלה ומנהיג האופוזיציה (כגון )
בחירה ישירה (כמו הסנאט האוסטרלי)
בחירה על ידי נציגים אלקטורליים או בתי מחוקקים תת-לאומיים (כגון רג'יה סבהה ההודית)
אצולה תורשתית (כמו בית הלורדים הבריטי עד )
שילוב של הדרכים השונות (כמו המלזי)
ראש ממשלה יכול להיבחר מבלי לזכות ברוב הקולות.
בבריטניה, הבית התחתון הוא הגוף המחוקק בפועל, בעוד שהבית העליון נוהג באיפוק במימוש סמכויותיו החוקתיות ומשמש בעיקר כגוף המספק ייעוץ.
עם זאת, במדינות אחרות הפועלות בשיטת ווסטמינסטר, הבית העליון יכול לעיתים להפעיל כוח רב, כפי שקורה בסנאט האוסטרלי.
חלק מהפרלמנטים שמקורם בשיטת ווסטמינסטר הם חד-ביתיים משתי סיבות:
הפרלמנט של ניו זילנד, והפרלמנטים של כמה מהפרובינציות הקנדיות ביטלו את הבתים העליונים שלהם.
הפרלמנטים של שאר המחוזות הקנדיים, הפרלמנט של מלטה, , המועצה המחוקקת של הונג קונג והכנסת הישראלית מעולם לא החזיקו בתים עליונים.
המערכת האוסטרלית חריגה במקצת, משום שהבית העליון נבחר במלואו והוא יכול לחסום את העברת התקציב.
יש הטוענים כי השיטה האוסטרלית מבוססת בחלקה על שיטת וסטמינסטר ובחלקה על השיטה הנשיאותית האמריקנית, מושג זה מתבטא בכינוי "מוטציית ושמינסטר".
לפרלמנט בשיטת וסטמינסטר יש מראה מובחן מאוד, בדרך כלל חדר מלבני ארוך, עם שתי שורות של מושבים ושולחנות משני הצדדים.
פרלמנטים רבים בנויים כאשר החברים יושבים מסביב לכיסא יושב הראש, לעיתים במבנה רבוע ולעיתים במבנה מעוגל.
בדרך כלל בחלוקה של אזורים לפי קואליציה ואופוזיציה וחלוקה מפלגתית.
טקסים המזוהים לעיתים עם שיטת וסטמינסטר כוללים נאום שנתי שבו ראש המדינה נושא נאום מיוחד לפרלמנט על המדיניות הצפויה בשנה הקרובה, למשל נאום מן הכס, וטקסי פתיחת פרלמנט ממושכים שלעיתים כוללים הצגת פטיש טקסי גדול.
חלק מבתי המחוקקים שומרים על צבעי הבתים של וסטמינסטר, כאשר הבתים העליונים מקושרים לאדום (כמו בית הלורדים) והתחתונים לירוק (כמו בית הנבחרים).
זה המצב בהודו, אוסטרליה, קנדה, ניו זילנד וברבדוס.
מדינות שמשתמשות בגרסאות שונות של שיטת וסטמינסטר, נכון ל-2023:
שיטת מונטה קרלו היא שיטה לפתרון בעיות חישוביות באמצעות מספרים אקראיים (בניגוד לאלגוריתמים דטרמיניסטיים הנהוגים בדרך כלל).
אלגוריתמי מונטה קרלו הם אלגוריתמים חישוביים שמגרילים מספרים אקראיים מספר גדול של פעמים ומבצעים חישובים על המספרים שהוגרלו.
לעיתים קרובות משתמשים באלגוריתמי מונטה-קרלו כדי לבצע סימולציות על מערכות פיזיקליות או מתמטיות מורכבות.
השימוש העיקרי בהם הוא כדי לפתור בעיות שאינן ניתנות לפתרון מתמטי מדויק, או כדי לחסוך בכוח חישוב.
אלגוריתמים אלו מוצלחים במיוחד עבור מערכות שבהן יש הרבה דרגות חופש שתלויות אחת בשנייה, כמו בהידרודינמיקה, מבנים תאיים ובפיזיקת חלקיקים.
שימוש נוסף חשוב שנעשה בהם הוא לצורך חישוב אינטגרלים רב ממדיים.
זו שיטה מצוינת לחישוב סיכונים, טובה יותר משיטות מתמטיות אחרות ומאינטואיציה אנושית.
השם "שיטות מונטה קרלו" (Monte-Carlo methods) ניתן לאלגוריתמים אלו על ידי פיזיקאים אמריקאיים במעבדה הלאומית לוס אלמוס.
שם זה נובע מהטכניקה האקראית שביסוד השיטה, ומהמוניטין שיצא לקזינו של מונטה קרלו, והוא ניתן לשיטה על ידי חלוציה: הפיזיקאי אנריקו פרמי והמתמטיקאים סטניסלב אולם, ג'ון פון נוימן וניק מטרופוליס.
שיטות אקראיות לביצוע חישובים היו בשימוש עוד לפני המצאת המחשב.
בשנת 1930 השתמש פרמי בשיטה כזו לחישוב תכונותיו של הנייטרון, שהתגלה באותה עת.
בפרט, שיטות אלה שימשו בהיקף נרחב בפרויקט מנהטן לפיתוח פצצת אטום.
שיטה דומה היא שיטת לאס-וגאס שבה האלגוריתמים מניבים תמיד תוצאה נכונה, אך זמן החישוב לרוב ארוך יותר.
ישנה קבוצה גדולה של אלגוריתמים שנמצאים בשימוש נרחב שנקראים אלגוריתמי מונטה-קרלו.
לרוב האלגוריתמים האלו במבנה הבא:
מוגדר מרחב של קלטים אפשריים לאלגוריתם.
הקלטים נבחרים על ידי מחשב מתוך מרחב הקלטים האפשריים על ידי שימוש בפונקציית הסתברות מסוימת המופעלת על מרחב זה.
על קלטים אלו מחושב חישוב דטרמיניסטי מסוים.
הסטטיסטיקה של כל התוצאות נאספת ומוצגת.
דוגמה: אלגוריתם מונטה קרלו לקירוב π
דוגמה פשוטה המממשת שיטה זו היא הדרך הבאה לחישוב ערך מקורב של π:
על לוח נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות.
נצייר מעגל חסום בריבוע - מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת.
לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו באופן אקראי.
פונקציית ההסתברות במקרה זה היא אחידה, כלומר יש הסתברות שווה לפגיעה בכל נקודה על פני הריבוע.
עבור כל חץ שפגע, בודקים האם הוא פגע בתוך העיגול או מחוץ לעיגול (אך בתוך הריבוע).
למשל, נבדוק האם המרחק בין כל נקודת פגיעה לבין הנקודה (0,0) גדול מרדיוס המעגל או לא, וכך נדע האם היא בתוך העיגול או מחוץ לעיגול (אך בתוך הריבוע).
פעולה זו היא החישוב הדטרמיניסטי.
נבדוק כמה חיצים היו בתוך העיגול מתוך כמות החצים הכוללת.
לאחר מספר רב של הטלות, היחס בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל, למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות, שהוא (משום שכאשר רדיוס העיגול הוא , שטח העיגול הוא ושטח הריבוע החוסם הוא ).
ככל שמטילים יותר חיצים, הערך של מספר החצים בתוך העיגול חלקי מספר החצים הכללי, ישאף לערך , ויש להכפיל פי 4 להערכת .
מימוש פיזי של שיטה זו, באמצעות הטלה של חצים מוחשיים, עלול להיות מייגע.
דרך מייגעת פחות תהיה כתיבת תוכנית מחשב שמבצעת סימולציה של פעולה זו.
לחישובו של קיימות שיטות פשוטות יותר ומדויקות יותר, אך לפתרונן של בעיות חישוביות מסובכות יותר עשויה שיטת מונטה-קרלו להיות הדרך הפשוטה והמהירה לקבלת תוצאה ברמת דיוק סבירה.
לשיטה זו חשיבות רבה בפיזיקה חישובית.
שיטת ניוטון-רפסון (או כלל ניוטון) היא אלגוריתם יעיל באנליזה נומרית, למציאת שורשים של פונקציה ממשית כלשהי, דהיינו נקודות בהן הפונקציה מתאפסת.
השיטה פותחה באופן בלתי תלוי בידי אייזק ניוטון וג'וזף רפסון.
השיטה מבוססת על הרעיון הבא: בהינתן פונקציה שאת השורש שלה אנחנו מחפשים, ואנו מגבילים את עצמנו לתחום בו יש לפונקציה רק שורש אחד, אם נבחר נקודה קרובה לשורש, השורש של המשיק לפונקציה באותה נקודה יהיה קרוב יותר לשורש שאנו מחפשים.
בכל איטרציה של הלולאה, יתקבל קירוב טוב יותר ויותר.
סדר הפעולות בשיטת ניוטון רפסון הוא:
בחירת נקודה קרובה לשורש המבוקש.
חישוב שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו; זוהי הנגזרת של הפונקציה באותה נקודה.
חישוב משוואת המשיק באמצעות גאומטריה אנליטית.
מציאת שורש המשיק, כלומר הנקודה בה המשיק חותך את ציר ה-x.
אם בחירת הנקודה ההתחלתית הייתה טובה, הנקודה החדשה שהתקבלה קרובה יותר ממנה לשורש, ויש לחזור על התהליך עם הנקודה החדשה כנקודת ההתחלה.
אם לא, הנקודה המתקבלת תחרוג מהתחום הנידון.
תחת תנאים מסוימים ניתן להבטיח שהשיטה תעבוד היטב, גם עבור נקודות התחלתיות רחוקות מאוד מהשורש.
תהי פונקציה גזירה בקטע .
נתחיל את האיטרציה מהנקודה .
שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא .
אם כך, אנחנו מחפשים את משוואת הישר שעובר דרך הנקודה ושיפועו .
זהו למעשה הקירוב הליניארי לפונקציה בנקודה .
על פי הגאומטריה האנליטית נקבל שמשוואה זו היא .
מאחר שאנו מחפשים את החיתוך של ישר זה עם ציר , נציב ונקבל, לאחר העברת אגפים:
כאשר הוא נקודת החיתוך המבוקשת.
נסתכל כעת בסדרה המוגדרת רקורסיבית על ידי
סדרה זו מתכנסת לשורש המבוקש, בהינתן בחירה מתאימה של .
נראה כיצד ניתן להשתמש בשיטה זו כדי לחשב בקלות שורשים.
נניח כי אנו רוצים לחשב את עבור כלשהו.
מספר זה הוא השורש החיובי של הפונקציה
בתור אבר ראשון באיטרציה נבחר את עצמו (ניתן להוכיח כי בבחירה זו מובטח שהשיטה תיתן את הפתרון).
כלומר, נביט בסדרה המוגדרת כך:
בעזרת משוואה זו, ניתן לחשב תוך לכל היותר 10 איטרציות ערך מדויק עד 10 ספרות אחרי הנקודה של כל מספר עד 1,000. במספר איטרציות גדול יותר, השיטה עובדת עבור כל מספר ממשי חיובי.
בתוך ארבע איטרציות הושג דיוק של 10 ספרות אחרי הנקודה.
לפעמים נוח יותר להוציא גורם משותף של חצי, ולהתייחס לחישוב כאל ממוצע בין שני ערכים, דבר שגם מסביר אינטואיטיבית את החישוב.
דוגמה נוספת, מעט יותר מסובכת: :
ושוב, לאחר ארבע איטרציות בלבד הושג דיוק של 10 ספרות אחרי הנקודה.
עבור פונקציות מסוימות, ניתן להוכיח ששיטת ניוטון-רפסון תתכנס לפתרון המבוקש, בהתחשב בנגזרת הראשונה והשנייה:
תהא גזירה פעמיים ברציפות בקטע , יש לה שורש יחיד בקטע זה - , ונניח שהנגזרת והנגזרת השנייה אינן משנות סימן בקטע.
אם כל הערכים הם חיוביים, או ששניים מהם שליליים והשלישי חיובי, אז האיטרציה מתכנסת לפתרון.
במקרים אלו ניתן גם לתחום את גודל השגיאה, על ידי אי השוויון
ההוכחה מתבססת על שימוש בטור טיילור מסדר שני.
נראה אותה עבור המקרה הראשון - עבור שאר המקרים הרעיון זהה.
תהי הסדרה המתקבלת מאיטרצית ניוטון.
כעת נפתח את טור טיילור של סביב , עם טעות מסדר שני:
כעת נשתמש בהגדרת הסדרה ונקבל:
כעת נזכור כי על פי הנתון ולכן הביטוי באגף ימין חיובי.
מכאן כי גם הביטוי באגף שמאל חייב להיות חיובי.
על פי הנתון, ולכן בהכרח מתקיים:
הראינו שהסדרה חסומה מלרע על ידי .
כעת נראה שזו סדרה יורדת: על פי הנוסחה ידוע כי .
הנגזרת חיובית, כלומר הפונקציה עולה בקטע, ומאחר ש- הרי ש- ולכן ומכאן שמתקיים .
משפט בסיסי באנליזה קובע כי סדרה יורדת וחסומה מלרע מתכנסת לגבול.
אז מתקיים: ולכן ונקבל מיידית .
מכיוון ש- הוא השורש היחיד בקטע, .
הראינו שהסדרה מתכנסת אל השורש המבוקש.
חלק ב': הוכחת הערכת השגיאה
נפתח הפעם את טור טיילור של סביב הנקודה :
כעת, לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' קיימת המקיימת:
בשנת 1879 פרסם המתמטיקאי ארתור קיילי לראשונה הכללה של השיטה לפונקציות מרוכבות.
כאשר עוסקים בפונקציות מורכבות, ניתן ליישם ישירות את שיטת ניוטון כדי למצוא את האפסים שלהן.
לכל אפס יש נקודת משיכה במישור המרוכב, קבוצת כל ערכי ההתחלה שגורמים לשיטה להתכנס לאפס המסוים הזה.
ניתן למפות קבוצות כאלה כמו בתמונה המוצגת.
עבור פונקציות מורכבות רבות, גבולות אגני המשיכה הם פרקטלים.
במקרים מסוימים ישנם אזורים במישור המורכב שאינם נמצאים באף אחד מאגני המשיכה הללו, כלומר האיטרציות אינן מתכנסות.
לדוגמה, אם משתמשים בתנאי התחלתי ממשי כדי לחפש שורש של , כל האיטרציות הבאות יהיו מספרים ממשיים ולכן האיטרציות לא יכולות להתכנס לאף אחד מהשורשים, מכיוון ששני השורשים אינם ממשיים.
במקרה זה כמעט כל התנאים ההתחלתיים האמיתיים מובילים להתנהגות כאוטית, בעוד שמצבים ראשוניים מסוימים חוזרים עד אינסוף או למחזורים חוזרים בכל אורך סופי.
המתמטיקאי קורט מקמלן הראה כי לכל אלגוריתם איטרטיבי אפשרי טהור הדומה לשיטת ניוטון, האלגוריתם יתפצל בחלק מהאזורים הפתוחים של המישור המורכב כשהוא מיושם על פולינום כלשהו בדרגה 4 ומעלה.
עם זאת, מקמולן נתן אלגוריתם מתכנס בדרך כלל לפולינומים בדרגה 3.
ניתן להכליל את שיטת ניוטון-רפסון גם לשדות וקטורים על ידי החלפת השימוש בנגזרת לשימוש ביעקוביאן:
בהינתן פונקציה וקטורית נרצה למצוא וקטור כך ש-.
כלומר, לפתור מערכת של m משוואות (לא בהכרח ליניאריות) ב-k נעלמים.
אם k=m, נוכל לעשות זאת באמצעות כלל הנסיגה,כאשר היא מטריצת היקוביאן של בנקודה .
אם m>k, מטריצת היעקוביאן בהכרח איננה הפיכה ולכן אין לה מטריצה הופכית.
במקרה זה נחליף את המטריצה ההופכית בנוסחה לעיל במטריצה:
מטריצה זו מהווה תחליף טוב למטריצה ההופכית בהקשר זה.
במקרים רבים, אופטימיזציה מצריכה מציאת נגזרת של פונקציה והשוואתה לאפס.
דרך אחת לבצע זאת היא על ידי שיטת ניוטון-רפסון לנגזרת.
במילים אחרות, תחת קיומה של נגזרת שנייה ל- ותנאים טכניים נוספים, הסדרה שמוגדרת על ידי כלל הנסיגה
מתכנסת לנקודת קיצון של .
קיימת הרחבה גם של שיטה זו לממדים גבוהים יותר.
יתרונה הגדול של שיטת ניוטון-רפסון הוא סדר ההתכנסות הריבועי.
לא תמיד ניתן לחשב את הנגזרת ולעיתים החישוב מסורבל.
כדי להתגבר על החסרון הראשון, משתמשים לעיתים בשיטה אחרת, המבטיחה התכנסות (למשל שיטת החצייה), כדי להגיע לסביבת השורש, ושם מפעילים את שיטת ניוטון-רפסון.
אם לא ניתן לחשב את הנגזרת, או שחישוב הנגזרת גוזל משאבי חישוב, משתמשים בשיטת המיתר, שסדר ההתכנסות שלה הוא קרוב לזה של שיטת ניוטון-רפסון.
כדי להתגבר על החסרון השני משתמשים בשיטות קוואזי-ניוטוניות כדוגמת שיטת ברוידן אשר דורשות חישוב יחיד של הנגזרת (או היעקוביאן) ולאחר מכן שיערוך של היעקוביאן בנקודה הבאה ע"פ הנקודה הנוכחית.
שיטות מסוג זה נמצאות בשימוש רחב באלגוריתמי אופטימזציה ממוחשבים.
אם השורש הוא בעל ריבוי גדול מ-1, השיטה תתכנס, אך קצב ההתכנסות לא יהיה ריבועי, אלא ליניארי (סדר ההתכנסות הוא 1).
אם השורש הוא מסדר השיטה האיטרטיבית המוגדרת על ידי תתכנס, וקצב ההתכנסות יהיה ריבועי.
שיטת ספירה היא שיטה להצגתם של מספרים באמצעות קבוצה נתונה של סימנים, הקרויים ספרות.
שיטת הספירה המקובלת ביותר בימינו היא השיטה העשרונית המשתמשת בספרות הודיות-ערביות, אך בעבר היו מקובלות שיטות ספירה אחרות.
מחשבים משתמשים בשיטת ספירה בינארית, המתאימה יותר למערכות האלקטרוניות שלהם.
המספר המוכר לנו 12, למשל, מוצג בספרות רומיות כ-XII, בספרות עבריות בתור י"ב, בספרות בינאריות הוא 1100, ובספרות הקסדצימליות הוא C.
צורות ההצגה השונות אינן משנות את מהותו של המספר, ומבחינה מתמטית אין משמעות לבחירת הסימון.
השיטות המודרניות משתמשות במספר קטן מאוד של ספרות, אולי בתוספת מעט סימנים נוספים, על מנת להציג תחום רחב מאוד של מספרים.
עיקרן בהצגה שבה למיקום היחסי של כל ספרה במספר יש חשיבות לקביעת הערך המוצג.
בחלק מהשיטות הקדומות יותר יש ערבוב, או אף חוסר שימוש, במיקום של הספרה כדי לקבוע את ערכו של המספר.
יתרונן של השיטות המודרניות הוא בתמציתיות, באחידות, וביכולת ההרחבה בהן ניתן להציג את המספרים.
אך שיטת מיקום כזו דורשת לימוד, כי היא פחות טבעית.
שיטת המיקום היא יתרונה העיקרי של מערכת ספרות הודיות-ערביות על מערכות אחרות.
שיטת סטניסלבסקי היא שיטת משחק בתיאטרון שפותחה על ידי הבמאי הרוסי קונסטנטין סטניסלבסקי.
אלמנט מרכזי בגלגולה המוקדם של השיטה היה "זיכרון רגשי/חושים" והיה מבוסס על הרגש.
כך למשל, אם השחקן צריך לבכות, הוא חושב על דבר עצוב שקרה לו או למישהו קרוב לו, ואם השחקן צריך לצחוק או לגחך, הוא חושב על דבר מצחיק וכך הלאה.
סטניסלבסקי הגדיר את שיטת המשחק המזויפת והשלילית כ"הרגשה שחקנית" - אמצעים מזויפים בהם משתמש השחקן כדי להציג או להראות את מצביה הרגשיים והפנימיים של הדמות.
לדוגמה: שחקן המשחק דמות תמימה מעמיד פני תמים, מדבר בקול ילדותי או מציג עיניים ילדותיות-תמות.
את ההרגשה הנכונה ששחקן צריך להרגיש, ההרגשה אליה שיטת המשחק שלו שואפת, הגדיר סטניסלבסקי כ"הרגשה יצירתית" - מצב נפשי בו השחקן מתנהג באופן מציאותי יותר ו"רחובי" או "בגובה העיניים" יותר.
ב"הרגשה היצירתית" מתנהג השחקן כך ש"אילו במציאות הייתי הדמות בסיטואציה הזו, ככה הייתי מתנהג".
פיתוח מיומנות של "התבוננות במציאות" (בצורה של צופה מהצד, פסיבי)
עבודה על קולו וגופו של השחקן (שיהיו דומים לדמות)
עיבוד טכניקה נפשית שמאפשרת לשחקן "הרגשה יצירתית"
הגדרת המניע העיקרי של הדמות (הטריגר שמוביל אותה בסצנה או במחזה)
לימוד והתחקות אחר אנשים הדומים לדמות
השחקן צריך להיכנס לנעליה של הדמות באמצעות "זיכרון חושי" ו"זיכרון רגשי"
על מנת להשיג יעדים אלו לפי שיטת סטניסלבסקי, על השחקן הצעיר להופיע לפני קהל רק כאשר הוא מפנים עקרונות אלו.
תלמידו של סטניסלבסקי, ריצ'רד בולסלבסקי, הביא את השיטה לארצות הברית והשפיע על שחקנים, במאים ומורים למשחק, אשר הקימו ביחד את קבוצת תיאטרון (Group Theater) ממנה צמח בשנות ה-40 בית הספר "אולפן השחקנים" (The Actor's Studio).
ב-14 השנים האחרונות של חייו שינה סטניסלבסקי כיוון והכניס לשיטת העבודה שלו כלי שעד אז לא הוזכר בה - ניתוח טקסט ואימפרוביזציה כדרך לבניית תפקיד.
הוא זנח את "הזיכרון הרגשי/החושי", ואף התכחש אליו בכמה הזדמנויות.
במקום רגשות הוא התמקד עתה בעולם הדימויים אותו יוצר השחקן כמעיין ליצירתיות ואף לביטוי רגשי.
את כיוון העבודה הזה שנודע כשיטת הפעולות הפיזיות המשיכו לפתח יורשיו.
בין הידועים בהם היו תלמידתו מריה קנבל, מהפדגוגיות המשפיעות ביותר על עולם התיאטרון הרוסי בתקופה הסובייטית, ותלמידה אנטולי וסילייב, מחשובי הבמאים של אירופה בימינו.
בקריפטוגרפיה, בניית מרקל-דמגרד (Merkle-Damgård Construction) היא שיטה לבניית פונקציית גיבוב קריפטוגרפית חסינת-התנגשויות באמצעות פונקציית תמצות חד-כיוונית, שהוצעה לראשונה על ידי רלף מרקל ואיוון דמגרד ב-1979 והוכחה על ידם כבטוחה.
דהיינו אם משתמשים בסכמת ריפוד מתאימה ופונקציית הכיווץ הפנימית היא חד-כיוונית וחסינת התנגשויות אזי הבנייה כולה איתנה.
בנייה זו נוצלה במספר אלגוריתמים פופולריים כמו MD5, SHA-1 ו-SHA-2.
בשל העובדה שפונקציית התמצות הפנימית חייבת לקבל בלוק קלט באורך קבוע ומוגדר מראש (512 או 1024 סיביות), בעוד שהמסר המיועד לגיבוב בדרך כלל גדול משמעותית מאורך הבלוק, הפתרון הישיר הוא לחלק את המסר לבלוקים בגודל קבוע ולעבדם עם הפונקציה הפנימית באופן איטרטיבי.
מתחילים עם וקטור אתחול קבוע ידוע מראש, שנקרא גם IV (קיצור של Initialization Vector) ואז בכל סבב פונקציית הכיווץ הפנימית מקבלת כקלט את הבלוק הבא ואת תמצית הבלוק הקודם ומפיקה תמצית חדשה.
כך פלט סבב אחד הופך קלט לסבב הבא וכן הלאה עד לעיבוד כל הבלוקים.
אם המסר אינו מתחלק יפה בגודל הבלוק, מרפדים את הבלוק האחרון בשיטת הריפוד של תמצית המסרים (בקיצור MD) של רונלד ריבסט שתתואר בהמשך.
ההנחה המונחת בבסיס הרעיון היא שאם הפונקציה הפנימית טובה, הפעלתה באופן זה אינו מחליש את ביטחון האלגוריתם בכללותו.
הנחה זו אינה אוטומטית ולא תמיד נכונה, כיוון שייתכן שהמתקיף יוכל לנצל פרצות במבנה כדי לשבור את האלגוריתם, מה שלא היה אפשרי כנגד הפונקציה הפנימית באופן נפרד.
הרעיון של מרקל ודמגרד אותו הם הוכיחו הוא שאפשר לחזק את המבנה המתואר על ידי הוספת בלוק המייצג את גודל המסר, אותו מעבדים בסוף.
באופן זה לא ניתן יהיה לתקוף את האלגוריתם על ידי הוספת בלוקים (מה שקרוי התקפת הרחבה המובאת להלן).
ההוכחה שלהם אומרת באופן תמציתי שאם הפונקציה הפנימית עמידה מפני התנגשויות, מבנה מרקל-דמגרד בכללותו גם הוא עמיד מפני התנגשויות.
נתונה פונקציה שממפה קלט באורך סיביות לפלט באורך סיביות.
ממנה אפשר לבנות פונקציית גיבוב כדלהלן:
מחלקים את הקלט באורך סיביות ל- בלוקים בני סיביות כל אחד.
אם הבלוק האחרון קטן מ- סיביות, מוסיפים '1' ומרפדים באפסים עד שמתקבל בלוק בגודל סיביות.
מוסיפים בלוק שבו מקודדים את אורך המסר בסיביות ומרפדים באפסים.
מגדירים וקטור אתחול קבוע שערכו תלוי ביישום ספציפי.
עבור כל כאשר מחשבים כאשר ל- קוראים ערך-ביניים (chaining value).
כדי לחזק את המבנה עוד יותר התוצאה האחרונה היא פלט פונקציה מסיימת (finalisation).
הפונקציה האחרונה יכולה לשמש גם לכיווץ נוסף של התוצאה הפנימית לפלט באורך הרצוי כמו גם לחיזוק המבנה.
פונקציות הגיבוב הנפוצות מורכבות בדרך כלל מפונקציית דחיסה פנימית איטרטיבית, כשהמטרה היא השגת שלושה מאפיינים עיקריים מהקל אל הכבד: קושי בהיפוך (מקור ראשון), עמידות מפני מציאת מקור שני ועמידות מפני התנגשויות.
האיטרציה אפשרית בכמה דרכים כשמבנה מרקל-דמגרד המתואר היה במשך שנים הפופולרי ביותר והוא הבסיס של סדרת פונקציות התמצות MD וכן של SHA.
כמו כן ההנחה היא שמציאת מקור ראשון או שני בכוח גס היא מסדר גודל של כאשר הוא אורך הפלט בסיביות ומציאת התנגשות היא בסדר גודל בגלל פרדוקס יום ההולדת.
הוכח שמבנה מרקל-דמגר משמר את המאפיין האחרון - עמידות בפני התנגשויות והדעה הרווחת הייתה בעבר שהוא משמר גם את שני המאפיינים האחרים אם כי זה לא הוכח.
בעקבות קריפטואנליזה חדשה הסתבר שההנחה הייתה שגויה.
הממצא הראשון היה של ריצ'רד דין שגילה ב-1999 התקפה נגד מבנה מרקל-דמגרד שנקראת התקפת נקודות שבת (להלן), המתמקדת בנקודות השבת של הפונקציה הפנימית ומאפשרת בתנאים מסוימים גילוי מקור שני בסיבוכיות של זמן ומקום כאשר הוא אורך התמצית של פונקציית הגיבוב.
מאוחר יותר חוקרים שיפרו את ההתקפה בעזרת טכניקה של Joux מ-2004 שנקראת התקפת רב-התנגשויות (multi-collisions attack) המתוארת להלן והראו שעם חישוב מוקדם אפשר להפוך את הפונקציה בסיבוכיות של עם מסרים יחסית קצרים.
להלן תקציר קריפטואנליזה של מבנה מרקל-דמגרד.
מבנה מרקל דמגרד מחוזק בדרך כלל על ידי ריפוד המסר והוספת קידוד האורך שלו בסופו.
ללא תוספת זו המתקיף יכול לפעול כדלהלן: בהינתן פונקציית גיבוב של מסר ארוך והתמצית של המסר שהיא בעצם ערך הביניים או המצב הפנימי האחרון של הפונקציה.
המתקיף מעוניין למצוא מסר אחר כך שיתקיים .
תחילה הוא בוחר אקראית בלוקים שונים כלשהם עד שנמצא בלוק כזה שהתמצית שלו זהה לאחד מ- ערכי הביניים של המסר .
אם נמצא בלוק כזה הוא יכול לחבר ל- רק את הבלוקים של מהנקודה שבה נמצאה ההתנגשות, כך יתקבל מסר חדש שהתמצית שלו זהה למסר המקורי אך באורך שונה.
התקפה זו מסוכלת על ידי תוספת אורך המסר.
אפשר לעקוף את שיטת הריפוד של מרקל דמגרד בהתקפה מתוחכמת שנקראת התקפת נקודות-שבת (fixed-points attack).
אחד הממצאים מהמחקר הוא המאפיין הבא: אפשר להוכיח שאם יהיה קל להפוך את מבנה מרקל דמגרד יהיה אפשר למצוא מקור לפונקציה הפנימית עם התקפת יום הולדת.
אך ההפך אינו נכון, כלומר גם אם ניתן להוכיח שהפיכת מבנה מרקל דמגרד היא בסיבוכיות פעולות, עדיין פונקציית הגיבוב הפנימית אינה יכולה להציע ביטחון טוב יותר מ-.
ריצ'רד דין הראה שאם פונקציית הדחיסה הפנימית של פונקציית הגיבוב היא כזו שקל למצוא בה נקודות שבת, דהיינו קל למצוא מסר ותמצית כך שמתקיים אזי קל יותר לשבור את מבנה מרקל דמגרד.
קיומן של נקודות שבת היה ידוע למומחים רבים אך לא נחשב בעבר כאיום ממשי כשלעצמו.
דוגמה לפונקציית גיבוב שקל למצוא בה נקודות שבת היא מבנה דוויס-מאייר שהוא מבנה גנרי של פונקציית גיבוב המבוסס על צופן בלוקים.
בהינתן צופן בלוקים המקבל מסר באורך סיביות ומפתח באורך סיביות, פונקציית הגיבוב מבצעת: .
במקרה כזה נקודת השבת עבור כל היא כי מתקיים:
כלומר עבור כל בלוק מסר קיים בלוק מיוחד המקיים וקל לחשב אותו.
פונקציות התמצות SHA-1 ו-SHA-2 פועלות על עיקרון דומה למבנה דוויס-מאייר עם חיבור שלמים במקום XOR.
התקפת נקודות שבת של ג'ון קלסי וברוס שנייר לשבירת מבנה מרקל-דמגרד פועלת בשלושה צעדים בסיסיים:
מוצאים נקודות שבת כאלו מסמנים אותם על ידי .
בוחרים בלוקים כלשהם ומחשבים את ערך הביניים שלהם.
אותם מסמנים על ידי .
מחפשים התנגשויות בין ערכי הביניים ונקודות השבת.
כלומר כניסות זהות ב- ו-.
אם נמצא ערך ביניים ונקודת שבת זהים, נניח שהבלוק המתאים ב- נקרא כלומר וכן הבלוק המתאים ל- ב- הוא כלומר .
המתקיף חוזר על התקפה זו כשהוא מתחיל משרשור של שני הבלוקים כלומר מנסה להוסיף בלוקים שגורמים לערך ביניים להיות זהה למסר המקורי, בונה שוב רשימות כמו בסעיפים 1 ו-2 ומחפש התאמות ביניהן.
אם נמצא מסר כזה שערכי הביניים מתאימים לנקודות השבת אזי למתקיף קל להרחיב את המסר לאורכו המקורי על ידי הוספת נקודות שבת לפי הצורך עד שמגיע לאורך הרצוי.
ובכך לקבל תוצאת גיבוב זהה ואם אורך המסר זהה קידוד הארוך בסופו מניב תוצאה זהה ובכך למעשה המתקיף הערים על שיטת הריפוד.
כמובן שההתקפה מניחה שקל למצוא נקודת שבת, אולם שנייר וקלסי הראו שאפשר לבצע את ההתקפה גם אם קשה למצוא נקודות שבת על ידי שימוש בטכניקה של Joux שנקראת רב-התנגשויות.
הם צמצמו את סיבוכיות ההתקפה האמורה ל- עם מקום בסדר גודל של .
ג'ון פיליפ אמסון שיפר את ההתקפה הזו אף יותר עד לסיבוכיות של וללא צריכת זיכרון משמעותית.
Joux גילה את העובדה שבפונקציות איטרטיביות מציאת התנגשויות מרובות, כלומר רשימה של מסרים המייצרים תמצית גיבוב זהה קלה כמעט כמו מציאת התנגשות אחת.
ההתקפה שלו נקראת התקפת רב-התנגשויות.
הרעיון הוא שאמנם במבנה מרקל-דמגרד קשה למצוא התנגשות עבור כל בלוק בנפרד, אבל בהנחה שמוצאים התנגשויות (כל אחת מתחילה מערך הביניים של ההתנגשות הקודמת) אפשר לבנות מסרים עם ערך גיבוב זהה על ידי צירופים של בלוקים מתנגשים.
לפני התגלית של Joux מומחים היו סבורים שמציאת התנגשויות בפונקציית גיבוב איטרטיבית עם התקפת יום הולדת היא בסיבוכיות אופטימלית של , אולם Joux הוכיח שמציאת התנגשויות מרובות אפשרית ב- פעולות.
המסקנה מההתקפה שלו היא שאם מחברים שתי פונקציות גיבוב זו אחר זו לא מקבלים ביטחון כפול נגד התנגשויות כפי שעשויים לחשוב.
החיבור בטוח רק כמו הפונקציה החזקה מבין השתיים.
באופן כללי התקפת רב-התנגשויות פועלת כדלהלן.
כדי לחשב התנגשויות מתוך התנגשויות בודדות, תחילה מחשבים את הזוג כך שמתקיים , כאשר הוא וקטור האתחול.
לאחר מכן מוצאים זוג נוסף עם התכונה הבאה: .
כך ממשיכים כאשר כל תוצאה מהווה וקטור אתחול לחישוב הבא, עד שמגיעים ל- כאשר הוא וקטור האתחול.
משנמצאו ערכים כאלו ניתן לבנות מהם מסרים שונים שלהם תמצית זהה.
אם נקרא למסר אחד אזי לכל אחד מ- המסרים שניתן לבנות יש ערכי ביניים מרשימת ההתנגשויות ומהם אפשר ליצור מסרים כאלו על ידי צירופים שונים והוספת בלוקים לפי הצורך.