tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מושג זה ניתן להגדיר גם באופן מקומי, כלומר עבור סביבה של נקודות.
כל שתי עקומות רגילות הן איזומטריות זו לזו.
אך עבור משטחים, לקיום איזומטריה מקומית כבר נדרשים כמה תנאים חזקים על המטריקות שלהם, כפי שהוכיח גאוס בTheorema Egregium שלו: עקמומיות גאוס של הנקודות המתאימות חייבת להיות זהה.
בממדים גבוהים יותר, גודל אינווריאנטי חשוב הקשור ליריעות רימאניות הוא טנזור העקמומיות של רימן המודד עד-כמה היריעה קרובה ללהיות שטוחה.
מחלקה חשובה של יריעות רימאניות הן המרחבים הרימאניים הסימטריים, ולהם עקמומיות קבועה.
הם הדבר הקרוב ביותר למישור ולמרחב ה"רגילים", בהם עוסקות הן הגאומטריה האוקלידית והן הגאומטריה הלא-אוקלידית.
גאומטריה פסאודו-רימאנית מהווה הכללה של הגאומטריה הרימאנית למקרה בו הטנזור המטרי אינו בהכרח חיובי לחלוטין.
מקרה פרטי הוא היריעה הלורנציאנית, המהווה את הבסיס המתמטי לתורת היחסות הכללית.
גאומטרית פינסלר היא הענף המתמטי העוסק בחקר יריעת פינסלר — יריעה דיפרנציאלית עם מטריקת פינסלר, כלומר, פונקציה חלקה המתאימה לכל נקודה ביריעה נורמה על המרחב המשיק.
מטריקת פינסלר היא מבנה הרבה יותר כללי ממטריקה רימאנית.
מבנה פינסלר על יריעה הוא פונקציה המקיימת:
לכל ב- ומספר ממשי : .
ההסיאן של הוא מטריצה חיובית לחלוטין.
גאומטריה סימפלקטית היא הענף המתמטי העוסק בחקר יריעות סימפלקטיות.
יריעה כמעט-סימפלקטית היא יריעה דיפרנציאלית עם התאמה חלקה של תבנית ביליניארית אנטי-סימטרית ולא-מנוונת המוגדרת על כל מרחב משיק; כלומר, דו-תבנית (תבנית דיפרנציאלית מדרגה 2) לא-מנוונת, , המכונה התבנית הסימפלקטית.
יריעה סימפלקטית היא יריעה כמעט-סימפלקטית עבורה התבנית הסימפלקטית היא תבנית סגורה: .
דיפאומורפיזם בין שתי יריעות סימפלקטיות המשמר את התבנית הסימפלקטית מכונה סימפלקטומורפיזם.
מכיוון שתבנית ביליניארית אנטי-סימטרית ולא-מנוונת יכולה להתקיים רק על מרחב וקטורי מממד זוגי, ליריעות סימפלקטיות בהכרח יש ממד זוגי.
בשני ממדים, יריעה סימפלקטית היא פשוט משטח עם אלמנט שטח, וסימפלקטומורפיזם הוא דיפאומורפיזם משמר שטח.
מרחב המופע של מערכת מכנית הוא יריעה סימפלקטית והן הופיעו באופן סמוי עוד בעבודתו של לגרנז' על מכניקה אנליטית, ומאוחר יותר בניסוח של יעקבי והמילטון למכניקה הקלאסית — המכניקה ההמילטונית.
בניגוד לגאומטריה רימאנית, שם העקמומיות מהווה אינווריאנט מקומי של יריעות רימאניות, משפט דארבּוּ מוכיח כי כל היריעות הסימפלקטיות הן איזומורפיות מקומית.
אם-כן, האינווריאנטים היחידים של יריעות סימפלקטיות הם גלובליים, וטופולוגיה ותכונות טופולוגיות משחקות תפקיד חשוב בגאומטריה סימפלקטית.
התוצאה המתמטית הראשונה שאפשר לייחס לגאומטריה סימפלקטית היא ככל-הנראה משפט פואנקרה-בירקהוף, שהתחיל למעשה כהשערה של פואנקרה והוכח ב-1912 על ידי בירקהוף.
באופן פשטני, המשפט קובע שאם מיפוי משמר שטח של טבעת לעצמה, מעביר נקודות בגבול הפנימי של הטבעת ונקודות בגבול החיצוני של הטבעת לכיוונים נגדיים, אז קיימות לפחות שתי נקודות שבת.
גאומטריית מגע עוסקת ביריעות מסוימות מדרגה אי-זוגית.
במובנים רבים, היא משלימה את הגאומטריה הסימפלקטית וכמוה, גאומטריית המגע התפתחה בעקבות שאלות במכניקה קלאסית.
גְּאוֹן הַיַּרְדֵּן הוא המדרגה התחתונה בבקעת הירדן המהווה את מישור ההצפה של הירדן.
גאון הירדן מצוי בחלקו הדרומי של הירדן, מדרום לכנרת.
השילוב של זמינות מים עם קרקע סחף פוריה, תורם ליצירת אזור עשיר בצמחייה שבו שוכנים בתי גידול לחים וסבוכים והוא מתאים לעיבוד חקלאי.
בתנ"ך גאון הוא שם עצם שמשמעותו עלייה והתרוממות.
המילה המקראית גאון קרובה למילה גאות ולפועל גאה, וכמותם היא משמשת בין השאר לציון עליית גלי הים.
סבך הצמחייה שעל גדות נהר הירדן נקרא גאון הירד, אולי על שם גאות המים באזור ואולי על שם גובהם הרב של הצמחים שבו.
הביטוי 'גאון ירדן' משמש בהוראת 'מקום גאות הירדן', שבו הנהר מלא על גדותיו בחורף.
הביטוי 'גאות הירדן', לעומת זאת, מתייחס למקום שבו גדל היער העבות של הירדן.
ביער זה צומחים עצי אשל, ערבה, צפצפה, הרדוף, קנה וסוף.
החי והצומח העשירים של האזור מוגנים בצידו הישראלי של גאון הירדן בחמש השמורות המרכיבות את שמורת גאון הירדן.
באזורים רבים הציבה מדינת ישראל את גדר הגבול מאות מטרים מהגבול הבין-לאומי העובר במרכז הנהר.
אזורים אלו אסורים בכניסה לאזרחים, למעט חקלאים וחוקרים, והתפתחו בהם שטחים של פארקים לא מתוכננים.
שמורת גאון הירדן הוא שם כולל לחמש שמורות טבע מוכרזות הנמצאות בחלקו הצפוני של גאון הירדן בעמק בית שאן.
השמורות משתרעות משער קיבוץ חמדיה שבצפון העמק, עד קיבוץ טירת צבי שבדרום העמק.
רוחבו הממוצע של השטח הוא כ-1,200 מטר אך במקומות רבים הוא מצטמצם ל-500 מטר ואף פחות.
גאון הירדן משתרע למרגלות המצוק של המדרגה העליונה בבקעת הירדן, היא "ככר הירדן" (ע'ור), שבה ממוקמים היישובים ושטחי החקלאות, ובה עובר כביש הבקעה (כביש 90).
מבנה זה קיים בשני צִדי הירדן, אלא שבצד המזרחי (הירדני) השטח לרוב רחב יותר כי הנחלים ממזרח גדולים יותר ונושאים סחף רב אל הירדן.
בין הע'ור לזור ישנם מדרונות תלולים שגובהם 15–25 מ' בצפון ועד 40 מטר ויותר בדרום ובתוכם יש אזור של בִּתְרוֹנוֹת (ה"כתרות") שרוחבו מ-1 ק"מ בצפון עד 3 ק"מ במרכז הבקעה, באזור שפכו של נחל יבוק ממזרח.
משם ודרומה הוא הולך וצר.
הירידה לטיילת גאון הירדן מותנית בתיאום צבאי וניתן לעשות אותה רק עם מדריך מהאתר.
הטיילת נמצאת בשטח שבין גדר המערכת עד לגבול העובר במימי הירדן באזור שכמעט אינו מופרע על ידי האדם ובו ניתן לחוות ולהנות מהטבע במלואו.
בסיור מודרך במקום, יש לעבור את הגדר אל השטח הנקרא גאון הירדן ששימש כנקודה חשובה לאורך ההיסטוריה של האזור.
מגדת הנהר ניתן לצפות בשלושת הגשרים ההיסטוריים הנטויים מעליו ובחאן דרכים ממלוכי מן המאה ה-14 שבו רחבת אבן יפהפייה מוקפת חדרים, 'מיחרב' ומגדל שמירה.
גאומטריה סינתטית היא ענף של הגאומטריה המתבסס על אקסיומות, משפטים וטיעונים לוגיים כדי להתוות את התפתחות הגאומטריה, זאת בניגוד לגאומטריה אנליטית וגאומטריה אלגברית אשר עושות שימוש באנליזה ואלגברה כדי לבצע חישובים גאומטריים ולפתור בעיות.
התהליך של סינתזה לוגית מתחיל מנקודת התחלה שרירותית אך שחייבת להיות מוגדרת.
רעיונות פרימיטיביים הם הרעיונות הבסיסיים ביותר.
הם כוללים אובייקטים ויחסים ביניהם.
בגאומטריה, האובייקטים הם דברים כמו נקודות, קווים ומישורים בעוד שהיחס היסודי הוא זה של חיתוך - האם שני אובייקטים נפגשים או לא.
אקסיומות הם טיעונים על הרעיונות הפרימיטיביים הללו, לדוגמה כל שתי נקודות ניתנות לקישור באמצעות קו ישר אחד בלבד (ניסוח חלופי: דרך כל שתי נקודות עובר רק קו ישר אחד).
עבור סט התחלתי של אקסיומות, סינתזה מתבצעת כתהליך הדרגתי וזהיר של בנייה לוגית.
כאשר תוצאה משמעותית מוכחת ריגורוזית, היא זוכה לשם משפט.
כל סט התחלתי של אקסיומות מוביל למערכת לוגית אחרת, ובמקרה של גאומטריה, סטים שונים של אקסיומות מובילים לגאומטריות שונות.
הגאומטריה של אוקלידס הייתה סינתטית, אף על פי שלא כל ספריו עסקו בגאומטריה טהורה.
החקר האקסיומטי האינטימי של הגאומטריה האוקלידית במאה ה-19 הוביל לגילוי של גאומטריות לא אוקלידיות, המתבססות על אקסיומות אחרות.
גאוס, בויאי ולובצ'בסקי גילו במקביל את הגאומטריה ההיפרבולית, בה אקסיומת המקבילים האוקלידית מוחלפת באחרת.
פואנקרה גילה את המודל הגאומטרי הפיזיקלי הראשון של הגאומטריה ההיפרבולית, הידוע כמודל הדיסק של פואנקרה.
תור הזהב של הגאומטריה הסינתטית היה במאה ה-19, כאשר שיטות אנליטיות מורכבות שהתבססו על קואורדינטות וחשבון אינפיניטסימלי נזנחו כמעט לחלוטין בידי גאומטרנים כמו יאקוב שטיינר, זאת לטובת התפתחות סינתטית טהורה של גאומטריה פרויקטיבית.
גאומטריה פרויקטיבית היא למעשה הביטוי הפשוט והאלגנטי ביותר של כל מערכת גאומטרית אפשרית.
דוגמה אחרת היא התפתחותה של שיטת האינוורסיה באמצעות לודוויג עמנואל מגנוס, אשר היא סינתטית ברוח שלה.
הפעולה של היפוך מבטאת אנליזה של המישור.
מאידך, התאוריה של תורת היחסות הפרטית התפתחה במקורה באופן אנליטי; דרך האלגברה הליניארית של טרנספורמציות לורנץ, ורק ב-1912 גילברט ניוטון לואיס ואדווין בידוול ווילסון פיתחו גישה סינתטית לתאוריה, אשר נתנה אמון רב יותר ביסודות התאוריה של המרחב-זמן.
בצמידות לגאומטריה חישובית, ענף הגאומטריה סינתטית חישובית נוצר, ויש לו קשרים, למשל, עם תורת המטרואיד.
גאומטריה דיפרנציאלית סינתטית היא יישום של תורות הטופוס לביסוס יסודות התאוריה של יריעות חלקות.
במתמטיקה, ובפרט בגאומטריית חילה, גאומטריה אפינית היא גאומטריה עם נקודות וישרים, המקיימת מספר אקסיומות קבועות.
הגאומטריה האפינית מכלילה כמה מהתכונות של גאומטריה אוקלידית, כאשר היא שומטת את ההגדרות של אורך וגודל של זווית.
מערכת חילה היא שלישייה סדורה כך ש- ו- הן קבוצות זרות המהוות קבוצת הנקודות וקבוצות הישרים בהתאמה, ו- הוא יחס שמשמעו נקודה על ישר או ישר העובר דרך נקודה.
מערכת חילה תקרא ליניארית אם לכל שתי נקודות כך ש- קיים ישר יחיד כך ש-.
שלוש נקודות ייקראו קו-ליניאריות אם קיים ישר כך ש-.
יחס שקילות על ייקרא יחס הקבלה אם לכל ישר ולכל נקודה , קיים ישר יחיד כך ש - ו-.
תת-מערכת חילה תקרא סגורה להקבלה אם לכל ישר ונקודה אשר אינה על הישר, הישר המקביל ל- ועובר דרך המוגדר לפי שייך גם הוא ל-.
בהינתן מערכת חילה ליניארית וקבוצה לא ריקה , תת-מערכת החילה תקרא המערכת הנפרסת על-ידי אם ורק אם היא מערכת החילה המינימלית המוכלת ב-, כך ש- והיא מקיימת ליניאריות.
מערכת חילה עם יחס הקבלה תקרא גאומטריה אפינית אם ורק אם:
כל תת-מערכת חילה הנפרסת על-ידי שלוש נקודות שאינן קו-ליניאריות, סגורה להקבלה.
המערכת תקרא מישור אפיני אם בנוסף היא עצמה נפרסת על-ידי שלוש נקודות שאינן קו-ליניאריות.
סילוק ישר אחד ממישור פרויקטיבי מניב מישור אפיני, ולהפך, כל מישור אפיני אפשר לשכן במישור פרויקטיבי על ידי הוספת ישר אחד (המכונה "הישר באינסוף") והרחבה מתאימה של יחס החילה.
באופן כללי יותר, אם מסירים ממרחב פרויקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבלת גאומטריה אפיני; וכל גאומטריה אפינית מתקבלת כך, באופן יחיד (עד כדי איזומורפיזם).
ההתאמה בין תת-מרחבים אפיניים לתת-מרחבים פרויקטיביים מאפשרת להגדיר במרחב האפיני ממד.
העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של גאומטריה אפינית לקבוצת הנקודות של מרחב ליניארי נקראת קולינאציה אם היא מעבירה ישרים לישרים, וקולינאציה שומרת הקבלה אם ישרים מקבילים עוברים לישרים מקבילים.
אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אז קוליניאציה שומרת תמיד הקבלה.
כל קולינאציה שומרת הקבלה משרה העתקה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצות הישרים של המרחבים, ומעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים.
כמו כן היא שומרת תת-מרחבים אפיניים, ושומרת על בסיסים וממדים.
מרחבים אפיניים שיש ביניהם קולינאציה הם איזומורפיים.
קולינאציה בין מרחבים פרויקטיביים משרה קולינאציה בין מרחבים אפיניים המתקבלים מהם על ידי הסרת על-מישור, ולהפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרויקטיביים שהם מגדירים.
קולינאציה שומרת הקבלה a ממרחב אפיני לעצמו היא הזזה אם יש מחלקת הקבלה שהישרים שלה נשמרים, ואין ל-a נקודות שבת (גם הזהות נקראת הזזה).
קולינאציה שומרת הקבלה היא הומולוגיה אם יש לה נקודת מרכז (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a).
קולינאציה מאחד משני הסוגים האלו נקראת קולינאציה מרכזית.
גאומטריית חילה היא תחום בגאומטריה שבו חוקרים מבנים גאומטריים כלליים בגישה קומבינטורית-מופשטת.
את מקומן של הנקודות והישרים, המשחקים בדרך כלל תפקיד מרכזי בגאומטריה, תופס בגאומטריית החילה היחס בין נקודות וישרים הקובע איזו נקודה נמצאת על איזה ישר.
קדם-גאומטריה היא קבוצת איברים שלכל אחד מהם טיפוס מוגדר (כגון: "נקודות", "ישרים" ו"מישורים"), עם יחס חילה שהוא יחס רפלקסיבי וסימטרי המוגדר כך שעצמים שונים מאותו טיפוס אינם חלים זה בזה.
קבוצה של עצמים החלים זה בזה נקראת דגל; לדוגמה, דגל עשוי להיות מורכב ממישור, ישר במישור ונקודה על הישר; או ממישור ונקודה עליו; וכדומה.
דגל שיש בו נציג לכל טיפוס נקרא חדר (chamber).
מספר הטיפוסים הוא הדרגה של הקדם-גאומטריה.
קדם-גאומטריה היא גאומטריה אם אפשר להשלים כל דגל לחדר.
גאומטריה קבוצתית היא גאומטריה עם הטיפוסים (איברים מטיפוס 0 נקראים "נקודות"), שבה איברים A,a חלים זה בזה אם הטיפוס של a קטן משל A וכל נקודה החלה ב-a חלה גם ב-A.
בגאומטריה כזו אפשר לראות כל אובייקט כאילו הוא מורכב מקבוצת הנקודות החלות בו, וכך להמיר את יחס החילה בהכלה בין הקבוצות.
המישור האפיני והמישור הפרויקטיבי הם מן הדוגמאות הבסיסיות בגאומטריה.
הגישה האקסיומטית של גאומטריית חילה מטפלת במקרים אלו באופן הבא.
במקום לומר על נקודה וישר שהם "מקיימים את יחס החילה", אומרים שהנקודה נמצאת על הישר, והישר עובר דרך הנקודה.
גאומטריה עם הטיפוסים "נקודה" ו"ישר" נקראת מרחב ליניארי אם דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, ויש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים.
קבוצת נקודות במרחב ליניארי היא תת-מרחב אם לכל שתי נקודות x,y בקבוצה, כל הנקודות על הישר xy נמצאות בה.
חיתוך כל תת-המרחבים המכילים קבוצת נקודות S הוא תת-המרחב הנוצר על ידי S.
תת-המרחב הנוצר על ידי שלוש נקודות x,y,z שאינן על ישר אחד נקרא מישור.
מרחב ליניארי נקרא מישור פרויקטיבי אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, וכל שני ישרים נפגשים בנקודה.
כל מישור פרויקטיבי הוא מישור.
מרחב ליניארי המקיים את אקסיומת המקבילים (דרך כל נקודה שאינה על ישר t, עובר ישר יחיד שאינו נחתך עם t) נקרא מישור אפיני.
אם יש במישור האפיני A ישר בן שלוש נקודות, אז הוא מישור.
המישור האפיני היחיד שאינו מישור הוא בן 4 נקודות.
מושגים אלו ניתנים להכללה לממד גבוה.
מרחב פרויקטיבי מוגדר כמרחב ליניארי המקיים את אקסיומת ובלן-יאנג: אם הישרים ab ו-cd נחתכים, אז גם ac ו-bd נחתכים.
אם U הוא תת-מרחב של מרחב פרויקטיבי שיש בו לפחות שני ישרים, אז U מרחב פרויקטיבי בעצמו.
אם U תת-מרחב של מרחב פרויקטיבי P ו-p נקודה מחוץ לו, אז איחוד הישרים pu (עבור הנקודות u על U) הוא תת-המרחב הנוצר על ידי U ו-p; תת-המרחב הזה נוצר על ידי U וכל נקודה שלו שמחוץ ל-U.
מרחב ליניארי הוא מרחב פרויקטיבי אם ורק אם כל מישור שלו הוא מישור פרויקטיבי.
בדומה להגדרות באלגברה ליניארית, המבנה האקסיומטי שתואר עד כה מאפשר להגדיר בסיס של מרחב פרויקטיבי P כקבוצה S שהיא פורשׂת (כלומר S יוצרת את P) ובלתי תלויה (אף תת-קבוצה אמיתית של S אינה פורשת את P).
קבוצה היא בסיס אם ורק אם היא פורשת מינימלית, אם ורק אם היא בלתי תלויה מקסימלית.
לכל מרחב פרויקטיבי יש בסיס (עובדה זו מצריכה את הלמה של צורן).
הבסיסים של מרחב פרויקטיבי P מקיימים את למת ההחלפה של שטייניץ, וכתוצאה מכך לכל הבסיסים אותו גודל - וזהו, על-פי ההגדרה, הממד של P.
הממד מקיים את נוסחת הממדים .
בגאומטריה הפרויקטיבית (מממד d) שהוגדרה לעיל יש רק שני טיפוסים: נקודה וישר.
מושג הממד מאפשר לספח לה אובייקטים נוספים, מממדים שונים: אם מגדירים את הטיפוס של תת-מרחב להיות הממד שלו, אז אוסף כל תת-המרחבים של P מהווה גאומטריה קבוצתית מדרגה d.
לכל חוג עם חילוק D ולכל מרחב וקטורי שמאלי V מעל D, אפשר לבנות את המרחב הפרויקטיבי באמצעות קואורדינטות הומוגניות, כאשר הנקודות הן המרחבים החד-ממדיים והישרים הם המרחבים הדו-ממדיים .
באופן כללי יותר, תת-מרחבים מממד i במובן של גאומטריה פרויקטיבית מתאימים לתת-מרחבים של V מממד i+1 במובן של אלגברה ליניארית.
כל מרחב פרויקטיבי שנבנה באופן כזה מקיים את משפט דזרג.
יחס הקבלה הוא יחס שקילות על הישרים של מרחב ליניארי, כך שלכל ישר g ולכל נקודה x, יש ישר יחיד הכולל את x ומתייחס ל-g.
במרחב ליניארי L עם יחס הקבלה, תת-מרחב U הוא סגור להקבלה אם לכל ישר g ונקודה ב-U, הישר המקביל ל-g דרך הנקודה מוכל כולו ב-U.
תת-מרחב של L נקרא תת-מרחב אפיני אם הוא סגור להקבלה.
החיתוך של תת-מרחבים אפיניים הוא תת-מרחב אפיני, וכך מוגדר תת-המרחב האפיני הנוצר על ידי קבוצת נקודות S, כחיתוך כל תת-המרחבים האפיניים המכילים אותה.
מרחב אפיני הוא מרחב ליניארי שיש עליו יחס הקבלה, כך שכל תת-מרחב אפיני הנוצר על ידי שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, מהווה מישור אפיני.
במרחב אפיני שבו יש שלוש נקודות על כל ישר, כל תת-מרחב הוא תת-מרחב אפיני (אבל יש מרחבים אפיניים שבהם שתי נקודות על כל ישר, ושם כל תת-קבוצה של הנקודות מהווה תת-מרחב, וחלק מאלו אינם אפיניים).
תת-מרחב מקסימלי (כזה שבהוספת נקודה אחת הוא יוצר את המרחב כולו) נקרא על-מישור.
אם מסירים ממרחב פרויקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבל מרחב אפיני; וכל מרחב אפיני מתקבל כך, באופן יחיד (עד כדי איזומורפיזם).
ההתאמה בין תת-מרחבים אפיניים לתת-מרחבים פרויקטיביים מאפשרת להגדיר במרחב האפיני L ממד.
בדומה למקרה הפרויקטיבי, אם מגדירים את הטיפוס של תת-מרחב אפיני להיות הממד שלו, אוסף כל תת-המרחבים של L מהווה גאומטריה קבוצתית מדרגה השווה לממד של L.
כמו במקרה הפרויקטיבי, מרחב ליניארי שכל המישורים בו אפיניים מהווה מרחב אפיני, בתנאי שעל כל ישר יש לפחות ארבע נקודות (משפט Buekenhout).
העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב ליניארי לקבוצת הנקודות של מרחב ליניארי נקראת קולינאציה אם היא משרה העתקה (חד-חד-ערכית ועל) בין קבוצות הישרים.
אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אז קולינאציה שומרת גם על הקבלה, על תת-מרחבים אפיניים, על בסיסים וממדים.
מרחבים פרויקטיביים או אפיניים שיש ביניהם קולינאציה הם איזומורפיים.
אם p נקודת שבת של קולינאציה a, אז a מהווה קולינאציה של הגאומטריה השאריתית ב-p.
קולינאציה a ממרחב פרויקטיבי לעצמו היא מרכזית אם יש לה נקודת מרכז (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a; במקרה זה הקולינאציה של הגאומטריה השאריתית היא טריוויאלית).
תכונה זו שקולה לקיומו של ציר (על-מישור שכל נקודותיו נשמרות).
מבדילים בין שני טיפוסי קולינאציות, לפי שייכותה או אי-שייכותה של נקודת המרכז לציר.
אוסף הקולינאציות עם מרכז נתון p וציר נתון H מהווה חבורה.
קולינאציה ב- נקבעת על ידי התמונה של כל נקודה שאינה ב-; אם המרחב דסרגי, אז החבורה פועלת טרנזיטיבית על החלק שמחוץ ל- של כל ישר דרך p.
(ראה מישור פרויקטיבי לדיון בקולינאציות של המישור הפרויקטיבי הקלאסי).
מרחב פולרי הוא מבנה גאומטרי המשלב תת-מרחבים פרויקטיביים באופן שבין כל שני תת-מרחבים מקסימליים מחברת שרשרת של מרחבים מאותו סוג, וכך שהחיתוך בין כל שני תת-מרחבים מקסימליים הוא בעל קו-ממד 1. לדוגמה, אוסף הנקודות במרחב פרויקטיבי המאפסות תבנית ריבועית הומוגנית, עם הישרים המאפסים את התבנית, מהווה מרחב פולרי.
יש שלושה טיפוסים ידועים של מרחבים פולריים, וכל מרחב פולרי שייך לאחד הטיפוסים.
נניח ש-F הוא דגל בגאומטריה, וחסרים בו אובייקטים מקבוצת הטיפוסים J (כלומר, יש ב-F אובייקט מכל טיפוס שאינו ב-J).
הגאומטריה השאריתית של F כוללת את האובייקטים שהוספתם ל-F יוצרת דגל.
לדוגמה, בגאומטריה שיש בה נקודות, ישרים, מישורים ומרחבים, אם F כולל ישר t ומרחב w (המכיל את t), אז הגאומטריה השאריתית שלו כוללת את כל הנקודות המוכלות ב-t והמישורים המכילים את t ומוכלים ב-w.
לדוגמה, בגאומטריה פרויקטיבית d-ממדית, הגאומטריה השאריתית של נקודה היא פרויקטיבית d-1-ממדית, וכזו היא גם הגאומטריה השאריתית של כל תת-מרחב מממד d-1. לעומת זאת, בגאומטריה אפינית d-ממדית, הגאומטריה השאריתית של נקודה היא (שוב) פרויקטיבית d-1-ממדית, והגאומטריה השאריתית של תת-מרחב מממד d-1 היא אפינית מממד זה.
חשיבות מיוחדת יש לגאומטריה השאריתית של דגל שחסרים בו רק שני טיפוסים, וזאת משום שאם יש בגאומטריה אובייקטים משלושה טיפוסים או יותר, אפשר לתאר אותה, ולו באופן חלקי, באמצעות המבנה ההדדי של האובייקטים מכל שני טיפוסים בנפרד.
נאמר שלטיפוסים i,j יש גאומטריה מסוימת X (בת שני טיפוסים), אם *כל* גאומטריה שאריתית של דגל שחסרים בו בדיוק שני הטיפוסים האלה עונה לקריטריונים המגדירים את X (ייתכן כמובן שהגאומטריה השאריתית של חלק מהדגלים מקיימת אקסיומות מסוימות, ואילו הגאומטריה השאריתית של דגלים עם אותם טיפוסים אינה מקיימת אותן).
כאן יש שלוש דוגמאות חשובות: המישור הפרויקטיבי, המישור האפיני, ו"הגאומטריה המלאה" שבה כל אובייקט מטיפוס i חל בכל אובייקט מטיפוס j.
למשל, בדוגמה שנתנו קודם לכן הגאומטריה השאריתית של F הייתה מלאה, משום שכל מישור המכיל את הישר t מכיל גם כל נקודה השייכת ל-t.
באמצעות הגאומטריות השאריתיות המתארות כל שני טיפוסים, אפשר לבנות לגאומטריה מרובת טיפוסים את דיאגרמת Bukenhout שלה, שהיא גרף שקודקודיו הם הטיפוסים השונים.
בדיאגרמה, *אין* מחברים שני טיפוסים i,j בקו, רק כאשר יש להם הגאומטריה המלאה.
גאומטריה קווית היא גאומטריה שהדיאגרמה המתאימה לה היא מסלול (כלומר, יש לה טיפוסים 0,1,...,d, ולכל שני טיפוסים שאינם סמוכים יש הגאומטריה המלאה).
נניח שבגאומטריה יש הטיפוס "נקודה"; אומרים שהיא מופרדת על ידי נקודות אם לכל שני אובייקטים, יש באחד מהם נקודה שאין בשני, וכאשר האובייקטים אינם חלים זה בזה, יש גם נקודה בשני שאינה בראשון.
כל גאומטריה קבוצתית היא קווית, וכל גאומטריה קווית המופרדת על ידי נקודות היא קבוצתית.
למשל, גאומטריה פרויקטיבית d-ממדית היא קווית, ויתרה מכך, לכל שני טיפוסים סמוכים יש הגאומטריה של המישור הפרויקטיבי.
גאומטריה אפינית d-ממדית היא קווית, ויתרה מכך, לכל שני טיפוסים סמוכים יש הגאומטריה של המישור הפרויקטיבי, פרט לטיפוסים 0,1 שלהם יש הגאומטריה של המישור האפיני.
בגאומטריה קשירה-שאריתית שבה על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אם יש לה הדיאגרמה של גאומטריה פרויקטיבית d-ממדית, אז היא כזו.
בגאומטריה קשירה-שאריתית שבה על כל ישר יש לפחות ארבע נקודות, אם יש לה הדיאגרמה של גאומטריה אפינית d-ממדית, אז היא כזו.
(גאומטריה היא קשירה אם כל אובייקט מחובר לכל אובייקט אחר בשרשרת של אובייקטים שבה כל שני איברים סמוכים חלים זה בזה; וקשירה-שאריתית אם כל גאומטריה שאריתית של דגל החסר לפחות שני טיפוסים, היא קשירה).
גאומתה (המאה ה-6 לפנה"ס) הידוע יותר בשמו היווני סמרדיס, היה אמגוש (כהן בדת זרתוסטרה) פרסי שהתחזה לברדיה ושלט כמלך פרס עד שהודח בידי דריווש הראשון.
כשיצא כנבוזי השני מלך פרס למסע מלחמה כנגד מצרים מינה את אחיו ברדיה (ידוע לעיתים גם בשם סמרדיס) לעוצר.
על פי כתובת ביסותון שהשאיר דריווש הראשון, כנבוזי שחשש שאחיו ימרוד בו הורה להרוג את ברדיה.
אם כי על פי הרודוטוס הרצח נעשה רק מאוחר יותר כיוון שכנבוזי קינא באחיו.
דבר הרצח נודע אך למעטים.
גאומתה היה אותה תקופה אמגוש כהן בדת זרתוסטרה, וסביר להניח שהוא לא היה פרסי אלא מדי.
כנבוזי מינה אותו לסוכן הבית, ועל פי המסופר הוא היה דומה דמיון מפליא לברדיה המת, והרודוטוס אף טוען ששמו היה כשם הנרצח, סמרדיס.
הוא הוסת בידי אחיו פתזיטיס להתחזות לנרצח, ובשנת 520 לפנה"ס גאומתה הכריז על מרד נגד כנבוזי.
כאשר כנבוזי שמע על כך הוא כה זעם עד שקפץ על סוסו במהירות וחרבו נתקעה בגופו.
אם כי על פי כתובת ביסותון הוא התאבד בכוונה תחילה.
גאומתה הפך למלך, הוא התחתן עם נשותיו של כנבוזי השני, ובינן אטוסה, הוא הקל מעול המיסים והסתגר בארמונו.
על פי המסופר הוא קבע כבירתו את העיר Sikayauvati, בצפון מערב איראן המודרנית, כמעט הכי רחוק שאפשר מפרס עצמה.
טענה זו מחזקת את הסברה כי לא היה אהוד בקרב הפרסים.
כמו כן הוא לקח לו גם את נשותיו של המלך הקודם.
על פי המסופר המזימה נחשפה בידי אציל בשם אוטאנס, שחשד בתרמית כיוון שהמלך החדש מעולם לא יצא מהארמון.
הוא ביקש מבתו פידימי שהייתה אשת כנבוזי ואחר כך אשתו של גאומתה, שתבדוק האם לבעלה חסרה אוזן, שכן אחת מאוזניו של גאומתה נכרתה בעבר.
מנהג מקובל בקרב מלכי פרס.
היא השיבה שאכן חסרה לו אוזן.
אוטאנס החל לארגן קשר, הוא יצר קשר עם שישה אצילים נוספים, גובריאס, אספתינס, מגבזוס, הידרנס, אינטפרנס ודריווש.
אוטאנס רצה להמתין ולתכנן היטב את הקשר, אולם גובריאס ודריווש דחקו לבצע אותו במהירות האפשרית.
אותו זמן ניסו גאומתה ופתזיטיס לשכנע את פריכסספס, אחד מאנשי סודו של כנבוזי שהיה זה שרצח את ברדיה האמיתי, להצהיר ברבים שהמלך הנוכחי הוא אכן ברדיה האמיתי.
פריכסספס הסכים בתחילה אולם התחרט והתאבד.
הקושרים ששמעו על כך, פרשו זאת כסימן טוב.
הם התפרצו לארמון ובעוד חמישה מהם נאבקים בפתזיטיס דלקו דריווש וגובריאס אחרי גאומתה.
גובריאס וגאומתה נאבקו ללא הכרעה עד שדריווש הנחית את מכת המוות.
סך הכל מלך גאומתה שמונה שנים.
לאחר מותו של גאומתה הפך דריווש למלך.
ישנם חוקרים הטוענים שלמעשה סיפור ההתחזות בשקר יסודו.
וכי ברדיה האמיתי מרד בכנבוזי ועלה לשלטון, ודריווש שהיה זקוק לעילה מתאימה כדי למרוד ולעלות לשלטון המציא את הסיפור.
עם זאת, המקור הפרסי הרשמי לסיפור, שעליו הסתמכו ככל הנראה המקורות המאוחרים יותר, הוא כתובת ביסותון.
הכתובת מקובעת אל צלע ההר בגובה של 100 מטר מעל הקרקע, ולא ניתן להגיע אליה ללא עזרת פיגומים מאחר שחלקים מצלע ההר סולקו לאחר כתיבתה במטרה להבליטה.
גובהה 15 מטר ורוחבה כ-25 מטר.
דריווש חקק לפיכך את סיפורו במקום שבו איש מלבד האלים לא יכל לקרוא אותו, ואלא אם כן מקבלים את ההנחה הבלתי סבירה שדריווש ניסה לשקר לאלוהיו אהורה מזדא, ככל הנראה דריווש כתב אמת.
גאון על הירקון הוא אלבומו של הזמר יהורם גאון, שיצא בשנת 1995 בהפקה מוזיקלית של דני מוסקו.
בשנת 1995 הוציא יהורם גאון את האלבום "גאון על הירקון" שכולל הקלטות חדשות לשירי שלישיית גשר הירקון שהוא עצמו היה חבר בהרכב הראשון שלה.
האלבום יצא על גבי תקליטור (CD) וקלטת כרום.
עיבודים: שירים: 1–3 - אלדד שרים, שירים: 4–6 - עמיקם קימלמן, שירים: 9–10 - אורי חודורוב, שיר 7 - ננסי ברנדס, שיר 8 - אורי קריב, שיר 11 - ירון גוטפריד, שיר 12 - ירוסלב יעקובוביץ'.
הפקה מוזיקלית, ניהול וארגון הקלטות: דני מוסקו.
גאון של אבא היא תוכנית טלוויזיה ישראלית ששודרה בטלוויזיה החינוכית הישראלית בין השנים 2009–2012, בהנחיית יהורם גאון.
התוכנית הייתה מועמדת לפרס האקדמיה הישראלית לטלוויזיה בקטגוריית תוכנית ילדים ונוער הטובה ביותר בשנת 2012. התכנית ירדה בעת מונה אלדד קובלנץ למנכ"ל החינוכית בעקבות כך שאלדד ביקש להוריד את הדמות של תשבי התיש אך גאון מצדו לא הסכים לוותר והעדיף להוריד את כל התכנית מאשר להשאירה ללא הדמות.
פורמט התוכנית היה מבוסס על התוכנית מסיבת גן ששודרה בערוץ הראשון מ-1989 ועד סוף 1994, בהנחיית ירון לונדון.
מדי פרק נפגש יהורם גאון עם שלושה ילדים ומשוחח עימם על נושא מסוים מעולמם.
כמו כן בפרק משולבים קטעים הקשורים לנושא הפרק ובהם משתתפים יהורם גאון ותשבי התיש (דור צויגנבום).
הפרק נחתם בשיר אשר שר יהורם גאון (את השירים לתוכנית כתבה שלומית כהן-אסיף).
הסדרה מנסה להתחקות אחר האירועים והאנשים שעמדו מאחורי ניסיון כושל אך יוצא דופן של שוד בנק בארצות הברית.
ניסיון השוד בוצע על-ידי בראיין וולס, שליח פיצה מאירי שבפנסילבניה, שנעצר על-ידי שוטרים זמן קצר לאחר שיצא מסניף הבנק.
בעת מעצרו גילו השוטרים על גופו התקן מכני גדול שבראיין טען שהוא פצצה שחוברה לגופו על-ידי מתכנני השוד וכי הוא עצמו אולץ להשתתף בשוד תחת האיום כי הפצצה תופעל באמצעות שעון, אם לא ימסור את שלל השוד בזמן לידי המתכננים.
בראיין נאזק על-ידי השוטרים, שעיכבו אותו במקום המעצר בהמתנה לצוות חבלנים משטרתי, כדי שאלה יבדקו את ההתקן ויסייעו בהסרתו.
בזמן שהמתינו להגעת החבלנים, התפוצץ ההתקן שנשא בראיין והרגו.
הסדרה מנסה לפתור את סבך האירועים, הדמויות והקשרים ביניהם, שהביאו בסופו-של-דבר לניסיון השוד ולמותו של בראיין.
באתר Rotten Tomatoes דורגה הסדרה ב-80%, עם ממוצע של 6.45/10, בהתבסס על 30 ביקורות.
הסרט "30 דקות או פחות" מבוסס באופן רופף על סיפורו של בראיין וולס.
גאון היא סדרת דרמה היסטורית, אנתרופולוגית אמריקאית שהופקה בידי נואה פינק וקנת בילר ושודרה לראשונה ב-25 באפריל 2017 בערוץ נשיונל ג'יאוגרפיק.
היא מציגה את דמותם של אנשים גאונים או מצליחים במיוחד ואת מסעות חייהם.
הסדרה זכתה בפרס החברה האמריקאית של צלמי הקולנוע לשנת 2017, וזכתה פעמיים בטקס פרס אמי לבידור בפריים טיים ה-69 לשנת 2018 וכן הועמדה לפרסים רבים.
הביקורות על הסדרה היו חיוביות בעיקרם לעונה הראשונה אך בינוניות על העונה השנייה.
העונה הראשונה של התוכנית שודרה בין אפריל ליוני 2017 והיא מציגה את חייו של אלברט איינשטיין (בגילומו של ג'פרי ראש) ואת הדילמות עמם התמודד ראשית בתור בוחן פטנטים בדרכו להוראה ולדוקטורט ובהמשך את צורת חשיבתו על תורת היחסות הידועה.
העונה השנייה של התוכנית שודרה בין אפריל ליוני 2018 ומציגה את חייו של פבלו פיקאסו (בגילומו של אנטוניו בנדרס), בתחילה כאשר הוא מגלה את כישרונו יוצא הדופן ובהמשך כאשר הוא נאלץ לשרוד בעולם של פשיזם ולצעוד באור התהילה.
יוצרי התוכנית הודיעו שבמשך 2020 תעלה עונה שלישית שתעסוק בחייה של זמרת הנשמה אריתה פרנקלין (בגילומה של סינתיה אריבו).
ואולם הצילומים התעכבו עקב מגפת הקורונה והעונה עלתה לאוויר במרץ 2021. בדצמבר 2020, עוד לפני עליית העונה השלישית לשידור, מפיקי הסדרה הודיעו שהם עובדים על עונה רביעית שתעלה ברשת אפל TV פלוס; והיא תעסוק בחייהם של מרטין לותר קינג ומלקולם אקס.
ג'פרי ראש - אלברט איינשטיין
ג'וני פלין - אלברט איינשטיין הצעיר
סמנתה קולי - מילבה מאריץ'
ריצ'רד טופול - פריץ הבר
מיכאל מקלהטון - פיליפ לנארד
אמילי ווטסון - אלזה איינשטיין
גוונדולין אליס - אלזה איינשטיין הצעירה
ראלף בראון - מקס פלאנק
אניה בוקשטיין - מרגריטה קוננקובה
אנטוניו בנדרס - פבלו פיקאסו
אלקס ריץ' - פבלו פיקאסו הצעיר
אלסיו סקלזוטו - פבלו פיקאסו בגיל 14
טימותי ליונס - פבלו פיקאסו בגיל 9
קלמנס פואסי - פרנסואז גילו
סמנתה קולי - דורה מאר
סינתיה אריבו - אריתה פרנקלין
סאנאי ויקטוריה - אריתה פרנקלין הצעירה
קורטני ב' ואנס - ס.
דייוויד קרוס - ג'רי וקסלר
מלקולם בארט - טדי וייט
פטריס קובינגטון - אמה פרנקלין
קימברלי הברט גרגורי - רות' בואן
רבקה נעמי ג'ונס - קרולין פרנקלין
פרסתאריךקטגוריהעבורתוצאהמקורפרס המוזיקה במדיה של הוליווד2024שיר מקורי – סדרת טלוויזיה/מיני-סדרה"Jericho"
גאון אחזקות בע"מ, או גאון אחזקות, היא חברת החזקות והשקעות ישראלית בשליטת קרן ההשקעות ויולה.
גאון אחזקות היא חברה ציבורית שמניותיה נסחרות ב.
גאון אחזקות נוסדה באפריל 1998 על ידי איש העסקים בני גאון, לאחר שפרש מתפקיד מנכ"ל קונצרן כור תעשיות.
גאון מונה למנכ"ל כור בשנת 1988, לאחר שהקונצרן נקלע לקשיים ועמד בפני הסדר חוב.
גאון יישם תוכנית הבראה שכללה תהליכים קשים של פיטורי עובדים (כ-30% מכלל העובדים), שינויים מבניים ומכירת חלק מהמפעלים והחברות שהצילו אותו מהתמוטטות.
גאון מצא קונצרן עם חובות בסך 1.4 מיליארד דולר, בעיקר לבנק לאומי ובנק הפועלים, הון עצמי שלילי והפסדים של מעל ל-400 מיליון דולר, והפך את הקונצרן שנית לתאגיד מוביל בכלכלה הישראלית, עם שווי שוק של 2 מיליארד דולר ומכירות שנתיות של כ-4 מיליארד דולר.
גאון פרש מכור ב-1998, בעקבות רכישתה בידי קרן ההשקעות "קלארידג'" הקנדי בראשות צ'ארלס ברונפמן, ומינוי יונתן קולבר ליושב ראש.
קולבר ביקש לשנות את האסטרטגיה העסקית שהתווה גאון, לפרק את הקונצרן ולמכור או לבצע ספין-אוף של העסקים הנותרים.
חלק מחברות אלו רכשה אחר כך גאון אחזקות, בעיקר חברות תעשייה מסורתית.
בין המשקיעים הראשונים בחברה היו אריסון השקעות, גד זאבי (באמצעות חברת "כלל סחר"), קונצרן אי.די.בי, ואנשי העסקים מרכוס כץ, סמי שמעון וגד רונן.
בשנה הראשונה בוצעה בחברה פעילות מועטה, מאחר שגאון מונה ליושב ראש חברת "דלק", והמשיך בתפקיד יושב ראש קואופ הריבוע הכחול בו החזיק קודם.
הרכישה הראשונה שביצע החברה הייתה בסוף שנת 1998 כאשר בשותפות עם קבוצת תעבורה, נרכשה השליטה בחברת "המשביר השקעות" מידי האגודה השיתופית המשביר המרכזי.
באותה עת הייתה ל"משביר השקעות", מחזור מכירות שנתי של כ-850 מיליון שקל, באמצעות החזקה במספר חברות בת, ביניהן המשביר סוכנויות, המשביר לחקלאי, המשביר מזון, המשביר מחסני אופנה, וחברת ממסר, יבואנית משאיות איווקו וטרקטורים מתוצרת ג'ון דיר.
ביוני 2007, הפכה גאון אחזקות לחברה ציבורית, לאחר שגייסה 250 מיליון שקל בהנפקת אג"ח ומניות.
במרץ 1999, נרכשה קבוצת "כור מימון" מידי קונצרן כור, תמורת 48 מיליון שקל, בשיתוף עם חברת מנורה.
קבוצת "כור מימון" החזיקה בחברות "כור שוקי הון", "כור בית השקעות, "נתיבות קרן פנסיה", וכ"כור גמל".
זמן קצר לאחר שנרכשה התגלתה מעילה בחברה.
בנובמבר 2000, הקימה מנורה גאון בית השקעות, בשיתוף אתר וואלה, חברה למסחר מקוון בניירות ערך.
בשנת 2003, רכשה מנורה גאון את מלוא הבעלות בחברת הבת "גאון שוקי הון" (לשעבר "גור שוקי הון"), כאשר רכשה 20% שהוחזקו בידי בנק הפועלים (באמצעות בנק הספנות).
בינואר 2005, השלימה גאון אחזקות את רכישת השליטה ב"מנורה גאון בית השקעות", כשרכשה 65% מהמניות שהיו מחוזקים בידי מנורה.
חצי שנה אחר כך שונה שם החברה ל "גאון בית השקעות".
במרץ 2009, מוזגה "גאון בית השקעות" לתוך חברת מיטב דש.
לאחר מכן מכרה בהדרגה את חלקה בחברה הממוזגת.
בשנת 2000 הוקמה חברת הבת "גאון אגרו", שרכשה מידי כור את חברת "צינורות המזרח התיכון".
החברה נרכשה בשותפות עם קרן ההשקעות בתעשייה הבריטית "3i" לפי שווי חברה של 107 מיליון שקל.
היקף ההשקעה של שתי החברות עמד אז על 82 מיליון שקל.
עד סוף 2003 חילקה החברה דיבידנדים בהיקף כולל של 95 מיליון שקל והם כיסו למעשה תוך 3 שנים את רוב השקעתם בחברה.
בפברואר 2004, מכרה 3i אתר רוב מניותיה, "גאון אגרו" עלתה להחזקה של 53% מהחברה ואיש העסקים סמי שמעון רכש 20%.
במאי 2000, הוקמה חברת הבת "גאון סחר" שעסקה בקמעונאות, ייבוא ושיווק מוצרי צריכה וייצג מותגים בינלאומיים בישראל במאי 2001, רכשה 26% מיבואנית המזון פרופ, ו-66% מיצרנית העוגיות קוקימן ישראל מידי קיבוץ עין שמר.
בשנת 2001, רכשה גאון אחזקות, באמצעות "המשביר השקעות", 41% מהון המניות וכ-50% מזכויות ההצבעה של חברת הקוסמטיקה AHAVA לפי שווי שוק של 12 מיליון דולר.
בשנת 2007, ניסתה קבוצת גאון להנפיק את חברת AHAVA בבורסת AIM בלונדון אך הדבר לא יצאה לפועל.
בפברואר 2008 רכשה קבוצת שמרוק 16.9% מהחברה לפי 72 מיליון דולר.
באוקטובר 2001 רכשה 50% מכפר השעשועים רשת חנויות צעצועים וחנויות הכל בדולר, שהמפעילה בזכיינות עשרות סניפים ברחבי המדינה, מידי מייסדי החברה ברשות אבי כץ.
ביולי 2002, הוקמה רשת מוצרי תינוקות פיפו בייביז כחברת בת של רשת כפר השעשועים.
ואחרי שנתיים מוזגה עם רשת רב קט.
בנובמבר 2002 החלה רשת "הכל בדולר" גם למכור מזון (עד אז מכרה בעיקר מוצרי צריכה שוטפים).
בתחילת 2005 "גאון סחר" מכרה את חלקה ברשת כפר השעשועים וחברות הבת שלה חזרה לקבוצת המייסדים.
בינואר 2006, בעקבות פשיטת רגל של איש העסקים גד זאבי, הציע כונס הנכסים של חברת ההחזקות שלו, למכירה את רשת אייס.
את החברה רכשה גאון החזקות בשותפות עם ושלמה זבידה.
הם הנפיקו את החברה בבורסה לניירות ערך בתל אביב בנובמבר 2007. ב-2012 רכשה אלקטרה מוצרי צריכה את השליטה בחברה.
ביולי 2008, החלה חברת "גאון סחר" לייצג בישראל את רשת חנויות הצעצועים אימג'ינריום הספרדית.
הפרויקט היה יוזמה של יואב גאון, בנו הצעיר של בני גאון שגם הצטרף לחברה באות עת.
לאחר שהוקמו 8 חניות של הרשת בישראל, הפעילות בישראל נמכרה ביוני 2012 לרשת אימג'ינריום הספרדית, בעלת המותג.
חנויות הרשת בישראל נסגרו במרץ 2016.
ביוני 2008, לאחר מותו של בני גאון, מונה בנו משה גאון ליושב ראש.
משה גאון עזב את התפקיד ב-2012. בינואר 2011 מונה אבי הוכמן למנכ"ל.
במהלך 2009 הפרידו משפחת לבנת וגאון אחזקות את ההחזקות המשותפות שלהם, כאשר משפחת לבנת קיבלה את הבעלות המלאה על רשת H&O (לשעבר המשביר מחסני אופנה).
בפברואר 2013, קרן ויולה רכשה כ-56% ממניות החברה והפכה לבעלת השליטה בה, תמורת 70 מיליון שקל שהוזרמו לחברה.
לאחר הרכישה מכרה קרן ההשקעות ויולה את רוב החזקות הקבוצה למעט הפעילות בתחום המים התשתיות והחקלאות, המרוכזת בחברת הבת קבוצת גאון (לשעבר חברת "צינורות המזרח התיכון").
ביוני 2025 הושלמה רכישת הקבוצה על ידי איש העסקים והיזם עופר גלבוע, שותפו קברניט אשל חפץ, ומנכ"ל קבוצת גאון, גיא רגב.
גלבוע וחפץ הם מייסדי ובעלי השליטה בקבוצת צ'אלנג', המתמחה בשינוע מטענים אוויריים מורכבים ובמתן פתרונות לוגיסטיים מתקדמים.
גאומנסיה היא שיטת ניחוש, המפרשת סימונים על הקרקע או את הדפוסים שנוצרו על ידי השלכת חופן אדמה, אבנים או חול.
הצורה הרווחת ביותר של גאומנסיה כוללת פרשנות לסדרה של 16 דמויות שנוצרו על ידי תהליך אקראי ואחריו ניתוח שלהן, ולרוב מתווספת לו פרשנות אסטרולוגית.
בעברית היא מכונה לעיתים קרובות גורל החול או גורל דניאל, והיא מופיעה אצל סופרים כמו חיים ויטאל, שלום שבזי, ויוסף אלבו.
גאומנסיה הייתה אחת הצורות הפופולריות ביותר של ניחוש ברחבי אפריקה ואירופה, במיוחד בימי הביניים והרנסאנס, על ידי אנשים מכל המעמדות החברתיים.
בכישוף של הרנסאנס, הגאומנסיה סווגה כאחת משבע "האמנויות האסורות", יחד עם אוב, קריאה בכף היד, אירומנסיה, הידרומנסיה, פירומנסיה, נקרומנסיה, וספטולמנסיה.
המילה "geomancy", מיוונית מאוחרת geōmanteía, מתורגמת מילולית ל"ראיית הנולד על ידי עפר"; זהו תרגום מילולי למונח הערבי "פילם אל-רמל", או "מדע החול".
תרגומים יווניים מוקדמים יותר של מילה זו השאילו את המילה הערבית raml ("חול") ישירות, והפכו אותה לרמפיון או לרבוליון.
שמות ערביים אחרים לגאומנטיות כוללים ח'אט אל-רמל ודרב אל-רמל.
השמות המקוריים של הדמויות בגאומנטיות במזרח התיכון ניתנו באופן מסורתי בערבית, למעט מקור פרסי.
ההתייחסות בטקסטים הרמטיים שיוחסו לטומטום אל-הינדי המיתולוגי מצביעה אולי על מקור הודי, אם כי סקינר חושב שזה לא סביר.:17 סביר יותר שמקורם איסלאמי או ערבי, שכן מסלולי הסחר הנרחבים של סוחרים ערבים הקל על חילופי התרבות והידע.
חוקרים ואוניברסיטאות אירופיות החלו לתרגם טקסטים ועבודות ערביות בימי הביניים המוקדמים, כולל אלה העוסקים בגאומנסיה.
560 - 636) מונה גאומנסיה עם שיטות ניחוש אחרות - כולל פירומנסיה, הידרומנסיה, אירומנסיה ונקרומנסיה - בלי לפרט כיצד היא נערכה.
: 88 אפשר ואיזידור מסביליה התייחס לשיטות של צפייה בחזיונות בעזרת היסודות, ולא לשיטה המוכרת כגאומנסיה.
השיר "Experimentarius" המיוחס לברנרדוס סילווסטריס, שכתב באמצע המאה ה-12, היה תרגום שורה לשורה לטקסט על גאומנסיה אסטרולוגית.
אחד הספרים הראשונים על גאומנסיה שתורגמו ללטינית היה "Ars Geomantiae" של יו מסנטלה (תחילת המאה ה-12).
בשלב זה, גאומנסיה הייתה בוודאות מערכת ניחוש נפוצה באזורים דוברי ערבית באפריקה ובמזרח התיכון.
מתרגמים אחרים, כמו ג'רארדו דה קרמונה (c.
1114 - 1187), הפיקו תרגומים חדשים בנושא גאומנסיה ששילבו אלמנטים אסטרולוגיים וטכניקות שעד אז זכו להתעלמות.
: 94–97 מכאן ואילך, עוד ועוד חוקרים אירופיים למדו והשתמשו בגאומנסיה, וכתבו עבודות רבות בתהליך.
הנרי קורנליוס אגריפס (1486–1535), כריסטופר קטאן (La Géomancie du Seigneur Christofe de Cattan (1558)) וג'ון היידון (1629 - c.
1667), כמו גם פילוסופים, תאולוגים, ואוקולוטיסטים נוספים, כתבו מסות שצוטטו ונלמדו רבות על גאומנסיה.
במאה ה-17 פחת העניין בתורת הנסתר והחיזוי החל להתדלדל בגלל עליית המהפכה המדעית ועידן הנאורות.
גאומנסיה זכתה לתחייה במאה ה-19, עם התעוררות עניין מחודש בנסתר בעקבות עבודותיהם של רוברט תומאס קרוס (1850–1923) ושל אדוארד בולוור-ליטון (1803–1873).
פרנץ הארטמן פרסם את ספרו, "The Principles of Astrological Geomancy", (תרגום לאנגלית: 1889) אשר דרבן עניין חדש במערכת הניבוי.
המסדר ההרמטי של שחר המוזהב (שנוסד בשנת 1887) התבסס על ספר זה, וכמה ספרים ישנים יותר, החיה את הידע על גאומנסיה, יחד עם נושאים נסתרים אחרים.
אליסטר קראולי (1875–1947) פרסם את עבודותיו, בהן שילב גאומנסיה עם תחומי ידע נסתר נוספים.
עם זאת, בגלל הזמן הקצר שחברי שחר הזהב רצו ללמוד, לתרגל וללמד את האמנויות הנסתרות הישנות, נאלצו לדחוס שיטות מורכבות רבות של הגדת עתידות וטקסים, ורידדו את הטכניקות הגאומנטיות מאמנות מורכבת של פרשנות ומיומנות לזיהוי דפוסים וחיפוש תשובות שהוגדרו מראש על סמך זוגות דמויות.
כמו שיטות ניחוש אחרות, גם לגאומנסיה יש אסוציאציות מיתולוגיות.
על פי טקסט הרמטי, מלאך ג'יבריל נגלה לאידריס (או הרמס טריסמגיסטוס) בחלום.
אידריס ביקש הארה, וג'יבריל נענה בציור דמות גאומנטית.
לאחר שנשאל לפשר מעשיו, לימד ג'יבריל את אידריס גאומנסיה.
אידריס שמר על הסוד, וחיפש את טומטום אל-הינדי, מלך הודי, שכתב ספר על גאומנסיה.
ספר זה הועבר דרך חוגים חשאיים לידיו של חלף אל-ברברי, שנסע למדינה ואוסלם ידי הנביא מוחמד עצמו.
הוא התוודה על ידיעת הגדת עתידות, הסביר כי נביאים טרום אסלאמיים ידעו גאומנסיה, וכי על ידי לימוד גאומנסיה, אפשר "לדעת את כל מה שהנביא ידע".
טקסטים אחרים מהעת העתיקה מזהים את אידריס עם הנביאים דניאל או עם חנוך במטרה לתת לגאומנסיה מעמד לגיטימי כמתת ומיומנות מאלוהים, ויש ספרי גורלות עבריים המכנים את הגאומנסיה גורל דניאל, או מייחסים אותו לראב"ע.
עם זאת, היו מי שהתנגדו לגאומנסיה, כמו אבן ח'לדון במוקדימה שלו (1377), בטענה שמדובר במערכת ידע טרום-אסלאמית, שהפכה למיושנת עם גילוי הקוראן.
במהלך האבולוציה והנדידה של הגאומנסיה מתרבות לתרבות, שילבו פרטים שלה בסיפורים ומחזות שונים.
באחד הסיפורים מסיפורי אלף לילה ולילה, גם הקוסם האפריקאי וגם אחיו משתמשים בגאומנסיה כדי למצוא את אלאדין במטרה להזיק לו.
האזכור הראשון של גאומנסיה בדפוס נמצא בויליאם לנגלנד של פירס חורש, שהשווה אותה לאסטרולוגיה והעביר עליה בקורת בשל רמת המומחיות הדרושה עבורה.
בשנת 1386 לגלג צ'וסר על הגאומנסיה ב"סיפורו של פארסון" מסיפורי קנטרברי: "מה נאמר על מאמינים בגורלות כמו גאומנסיה".
שייקספיר ובן ג'ונסון ידועים גם הם כמי שהשתמשו בגאומנסיה לצורך הקלה קומית.
הקומדיה האלוהית של דנטה אליגיירי (תחילת המאה ה-14) מתייחסת באופן אגבי לגאומנסיה.
יצירת המפה הגאומנסית מתחילה בציור שש-עשרה של נקודות או סימנים בלי לספור, וליצור שישה עשר מספרים אקראיים המספקים את המנגנון האקראי לכאורה הדרוש לרוב צורות הניבוי.
לאחר ציור השורות, יש למחוק את הנקודות זוג זוג עד שתישאר בכל שורה נקודה אחת או שתיים.
זה זהה, מתמטית, להשארת שתי נקודות אם המספר זוגי, ונקודה אחת אם הוא אי זוגי.
לאחר מכן מקבצים את הנקודות שנותרו מכל ארבע שורות כדי לקבל את ארבע הדמויות הגאומנטיות הראשונות, המהוות בסיס לייצור הדמויות הנותרות.
חלק זה מהווה את שלב ה"השראה" של הקריאה הגאומנטית; ומכאן והלאה המפה נעשית באופן אלגוריתמי.
גאומנסיה נערכת באופן מסורתי על ידי סימון הנקודות בידיים או עם מקל בחול על משטח חלק, אך ניתן לסמן את הנקודות עם עט על לוח שעווה או נייר; יש המשתמשים גם בחפצים טקסיים.
יש המסמנים את הנקודות מימין לשמאל, בעקבות המסורת הערבית לצייר אותן בכיוון הכתיבה של ערבית, אבל אין זה הכרחי.
שיטות מודרניות ליצירת ארבע הדמויות הגאומנטיות הראשונות, בנוסף לדרכים המסורתיות, כוללות מחוללי מספרים אקראיים ממוחשבים, השלכת עצמים, וספירת העיניים על תפוחי אדמה.
יש מי ששולפים קלפים עם דמויות גאומנטיות, אחת על כל קלף, מחבילה; במקרה זה, רק שולפים רק ארבעה קלפים לאחר ערבוב החבילה.
נבנו גם מכונות להפקת מפות גאומנטיות.
כל דמות גאומנטית ממוקמת על גבי טבלה מיוחדת, המכונה תרשים המגן, הממחישה את התהליכים הרקורסיביים המזכירים את קבוצת קנטור לפיהם יוצרים את הדמויות.
ארבע הדמויות הראשונות נקראות אמהות (matres בלטינית), מהן יוצרים את שאר הדמויות במפה; הן ממוקמות בארבעת הבתים הראשונים בפינה הימנית העליונה – הראשונה נמצאת בקצה הימני ביותר, האם השנייה משמאלה, וכך הלאה (המשך מסורת הכתיבה מימין לשמאל).
ארבע הדמויות הבאות, הבנות (filiae בלועזית), נוצרות על ידי סידור מחדש של הקווים המשמשים את האמהות: הבת הראשונה נוצרת מסידור הקו הראשון של כל אחת מארבע האימהות אחת מעל השנייה, השנייה מסידור הקו השני של כל אחת מארבע האימהות, וגו'.
הבנות ממוקמות בארבעת הבתים הבאים בסדר באותה שורה כמו האמהות.
לאחר יצירת שמונה האימהות והבנות, יוצרים ארבעה אחיינים (בני בנים) או אחייניות (nepotes בלועזית) על ידי חיבור זוגות הדמויות שמעל בתי האחייניות המתאימים.כך האחיינית הראשונה נוצרת מסכום האימהות הראשונה והשנייה, האחיינית השנייה מהאימהות השלישית והרביעית, וגו'.
הסכום מחושב על ידי חיבור הנקודות בכל אחת מארבע השורות וצמצום כפי שנעשה כדי ליצור את האימהות - אם הסכום זוגי, לשורה של הדמות המתקבלת יהיו שתי נקודות, ואם הסכום אי זוגי, לשורה תהיה נקודה אחת.
מבחינה רעיונית, זהו אותו הליך בלוגיקה מתמטית כמו XOR, שבו משתמשים בשורה עם שתי נקודות במקום "שקר" ושורה עם נקודה אחת במקום "אמת".
מארבע האחייניות יוצרים את שני העדים (testes בלעז) באותה צורה: את עד ימין מסכום שתי האחייניות הראשונות, ועד שמאל משתי האחייניות האחרונות.
משני העדים יוצרים באותה צורה את השופט (judex בלועזית).
לבסוף, יוצרים את הדמות השש עשרה, הרב הגדול (reconciler או superiudex בלועזית) מסכום השופט והאם הראשונה, אם כי השימוש בו פחת בתקופה המודרנית.
תרשים המגן שימש, ככל הנראה, ככלי עזר חזותי מוקדם ליצירת הדמויות, והפרשנות התמקדה בדמויות החמש עשרה ושש עשרה, השופט והרב הגדול.
גאומנסרים מיומנים מתבוננים בטבלה השלמה, ומפרשים את משמעויות הדמויות בהקשר של מיקומם בטבלה, המשמעות המספרית של מספר הנקודות הכולל, וכך הלאה.
באופן כללי, השופט מייצג את התשובה לשאלה, עד הימין מתאר את צד השואל, עד השמאל מייצג את נושא השאלה, והרב הגדול מייצג את השפעת התוצאה (או השופט) על השואל.
הגאומנסר המיומן יכול להסיק את הגורם הראשוני לסיטואציה, השפעות נסתרות, התוצאה והשפעותיה, ומגמות ואירועים כלליים בחייו של השואל באמצעות פירוש הטבלה.
חלוקה אחת של טבלת המגן לצורכי פרשנות היא לשלשות של דמויות.
כל שלשה מכילה שתי אמהות או שתי בנות, והאחיינית שנוצרה מהסכום שלהן.
ניתן לפרש אותם באופן אנלוגי לפירוש העדים והשופט, בכך שההורה הימני מייצג את העבר, הילד (האחיינית) את ההווה, וההורה השמאלי את העתיד; דרך אחרת לפרש שלישייה כזו מתייחסת להורה הימני כאל צד השואל, בני בריתו, המשאבים והדעות שלו, ההורה השמאלי כצד השאלה, והילד כאינטראקציה של שני הצדדים.
שלשה דמויות מעורבות פרשנות שלשה ראשונה אמא ראשונה, אמא שנייה, אחיינית ראשונה מצבו הבריאותי של השואל, אופיו, השקפותיו, והרגליו.
שלשה שנייה אמא שלישית, אמא רביעית, אחיינית שנייה ההשפעות על חייו של השואל בזמן הקריאה.
גורמים המעצבים את חייו וההקשר של השאלה.
שלשה שלישית בת ראשונה, בת שנייה, אחיינית שלישית המקומות שאליהם הרוב ביותר מבקר, כולל הבית ומקום העבודה.
אנשים וחפצים שנמצאו באותם מקומות.
המשפחה, השותפים ובן הבית של הקווינר.
שלישייה רביעית בת שלישית, בת רביעית, אחיינית רביעיתחברים, שותפים, עמיתים לעבודה, וקולגות של השואל, כמו גם אנשים שהשואל כפוף לסמכותם.
שיטה נוספת לפירוש טבלה גאומנטית היא לסכום את כל הנקודות ב-16 דמויות בטבלת המגן.
פייטרו ד'אבנו הציע להשוות את הסכום למספר הנקודות בשש עשרה הדמויות הגאומנטיות, שהוא 96. אם הסכום הוא 96, השאלה תבוא על פתרונה באופן "מהיר, ולא איטי ולא מוטל בספק;" במילים אחרות, כל הסוגיות הקשורות לשאלה יבואו על פתרונן ללא דיחוי, אך גם לא לפני המועד.
אם הסכום נמוך מ־96, הן יבואו על פתרונן במהירות יחסית להפרש בין 96 לסכום, ולהפך.
גאומנסרים אירופאים יצרו שיטת פירוש נוספת באמצעות מפת הבתים האסטרולוגיים, תוך שימוש במפה המרובעת בה מקובל להשתמש באסטרולוגיה מסורתית.
הסדר בו דמויות מועתקות מטבלת המגן למפה משתנה בין חוגי מיסטיקנים שונים.
המפה האסטרולוגית שימשה את הגאומנסרים האירופאיים כדי להעשיר את התשובות שלהם בעזרת בטכניקות אסטרולוגיות.
המשמעות של המצוין מזוהה על סמך מוקד השאילתה: זה מבוסס על היחס בין השאילתה לבתים האסטרולוגיים.
יש שאלות שדורשות יותר משני משמעותים, למשל בשאילתה הכוללת כמה גורמים עיקריים (למשל, שני צדדים מתקוטטים על עזבון).
לשאלות שיש להן תשובה כן או לא, או אפשרי בלתי אפשרי, ניתן לענות בקלות בעזרת מצבי השלמות הללו.
אם התרשים מושלם, התשובה היא "כן".
אחרת, במקרה של הכחשת השלמות, "לא".
מכיוון שכל דמות מורכבת מארבע שורות בינאריות, יש 16 דמויות גאומנטיות אפשריות.
מכיוון שכל טבלת מגן נוצרת מארבע האימהות, יש 164, או 65,536, טבלאות אפשריות.
האלגוריתם ליצירת הטבלה מכתיב שרק דמויות עם מספר זוגי של נקודות יכולות להיות שופט; לכן כל אחד משמונת השופטים מופיע ב-8,192 טבלאות מגן.
העוסקים המסורתיים בגאומנסיה משתמשים בעובדה זאת כסוג של בדיקת זוגיות כדי לוודא שלא נפלה טעות ביצירת הטבלה.
אם בוחנים את כל שש-עשרה הדמויות (ארבע האמהות, ארבע הבנות, ארבע האחייניות, העדים, השופט והרב הגדול) בטבלה, לפחות שתיים מהן חייבות להיות זהות.
מכיוון שהרב הגדול אופציונלי בדרך כלל, 16 השילובים האפשריים של אימהו דמויות יכולים להניב תרשים שבו האימהות, הבנות, האחייניות, העדים והשופט שונים זה מזה.
הדמות קהילה (populus בלועזית) לא יכולה להופיע בטבלאות אילו, כי, מתמטית, היא יכולה להיווצר רק משתי דמויות זהות, או גורמת להופעה חוזרת של הדמות אליה מחברים אותה.
בטבלאות כאילו השופט יהיה בהכרח חיבור (conjunctio בלועזית), ממון יוצא (amissio בלועזית), סוהר (carcer בלועזית), או ממון נכנס (acquisitio בלועזית).
שישה-עשר הצירופים של אמהות, לפי האמא, לפי הסדר מהראשונה לאחרונה, הם
נער (puer בלועזית), ראש התלי (caput draconis בלועזית), שפל ראש (Tristitia בלועזית), לבן (albus בלועזית)
חיבור (conjunctio בלועזית), נערה (puella בלועזית), כבוד נכנס (fortuna major בלועזית),שפל ראש
לבן, שפל ראש, נערה, נערה
נערה, זנב התלי (cauda draconis בלועזית),שפל ראש, לבן
אדום (rubeus בלועזית), נשוא ראש (laetitia בלועזית), נערה, נער
אדום, נשוא ראש, ראש התלי, נערה
אדום, נשוא ראש, ראש התלי, זנב התלי
אדום, נשוא ראש, זנב התלי, נער
ממון נכנס (acquisitio בלועזית), נערה, לבן, כבוד נכנס
נשוא ראש, כבוד יוצא (fortuna minor בלועזית), נער, חיבור
נשוא ראש, כבוד יוצא, ממון נכנס, קאודה דרקוניס
קאודה דרקוניס, ראש התלי, שפל ראש, לבן
ראש התלי, ממון יוצא (amissio בלועזית), כבוד נכנס, שפל ראש
ראש התלי, סוהר (carcer בלועזית), לבן, כבוד נכנס
כבוד יוצא, אדום, נער, ממון יוצא
כבוד יוצא, אדום, סוהר, זנב התלי
במסורת הערבית יוצרים את ארבע האימהות משרטוט שש עשרה שורות אקראיות של נקודות בחול.
התהליך נשאר כמעט ללא שינוי בזמן כניסתו לאירופה בעידן ימי הביניים, ועד היום במדינות ערביות שונות.
Sikidy וצורות אחרות של ניחוש אפריקאי משתמשות גם הן בטכניקות שנותרו כמעט ללא שינוי.
דרך מסורתית באפריקה היא לזרוק חופן עפר באוויר והסתכלות בתבנית שנוצרת מפיזורו על הקרקע.
דרך זאת עשויה להשתמש בעכבר גם כסוכן רוח האדמה.
Ifá, אחת מהצורות העתיקות ביותר של גאומנסיה, שמקורה במערב אפריקה, משתמשת באותן שש עשרה דמויות גאומנטיות כמו הגאומנסיה הערבית והמערבית עם שמות ומשמעויות שונים; התהליך מקוצר לשימוש בשתי דמויות בלבד.
בסין, הקורא עשוי להיכנס לטראנס ולעשות סימנים באדמה המפורשים על ידי שותף (לעיתים קרובות נער צעיר או אנאלפבית).
המקור למידע אודות תולדות הגאומטריה ביוון העתיקה הם טקסטים מתמטיים העוסקים בגאומטריה, שנכתבו במקור בין השנים 624–200 לפנה"ס ביוון העתיקה.
מפתחי התחום הנודעים והמשפיעים ביותר מאותה תקופה הם תאלס, פיתגורס, אפולוניוס, אוקלידס וארכימדס.
עבודתם המתמטית־גאומטרית הובילה להתהוות התחום, והניחה את התשתיות לתחומים נוספים כמו הנדסה, פיזיקה ואסטרונומיה.
ליוונים מיוחסת התרומה המשמעותית ביותר לתחום עד זמנם, משום שהם שקבעו לראשונה כי יש לבססו על אקסיומות, ועיגנו את רעיון ההוכחה המתמטית הריגורוזית והסדורה כתנאי הכרחי לתקפות המשפטים שמפותחים על גביהן.
תאלס היה פילוסוף ומתמטיקאי יווני שחי בין השנים 624 לפנה"ס ו-546 לפנה"ס.
על אף שהוכחותיו המקוריות לא שרדו, מוכרות מספר בעיות שפתר.
הבעיה הראשונה שפתר הייתה בעיית מדידת מרחקה של ספינה מחוף הים על ידי שימוש במשפט צלע-זווית-צלע לחפיפת משולשים.
הבעיה השנייה שפתר הייתה מדידת גובה הפירמידות שבמצרים באמצעים הנדסיים, באמצעות מדידת אורך צל הפירמידה והשוואתו לאורך הצל של מקל שאורכו ידוע.
תאלס פיתח משפט גאומטרי העוסק בדמיון משולשים אשר נקרא משפט תאלס, שכלל שתי הרחבות.
בנוסף, הוא הוכיח שזוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות.
תרומה נוספת לגאומטריה הייתה העיסוק בשוויון זוויות והקביעה שכל הזוויות האנכיות שוות זו לזו.
תאלס הוכיח ששוויון זוויות הוא תכונה רפלקסיבית.
כמו כן, הוא הוכיח שכל קוטר של מעגל חוצה את המעגל לשני חלקים שווי שטח.
במהלך חייו של פיתגורס - שחי בשנים 572-497 לפנה"ס - נאספו סביבו תלמידים שנקראו "הפיתגוראים".
הפיתגוראים נחשבו לקבוצה דתית אשר יצרה אסכולה פילוסופית והאמינה כי המספרים הם הבסיס לכל.
בנוסף, האמינו הפיתגוראים כי לכל אובייקט ביקום יש מספר ייחודי המתאר אותו.
מכיוון שהפיתגוראים האמינו שהמספרים הם הבסיס ליקום, הם האמינו כי ניתן למדוד הכול, כולל אורכים.
כדי למדוד אורכים, נדרשת מידה מסוימת.
לכן, הפיתגוראים הגדירו "מידה" שבעזרתה ניתן למדוד הכל כיחידה אשר אינה ניתנת לחלוקה.
הפיתגוראים הניחו כי ניתן למצוא מידה משותפת לצלע הריבוע ולאלכסון הריבוע.
כלומר שצריכה להיות יחידת אורך (מספר טבעי) הנכנסת פעמים באלכסון ו פעמים בצלע.
הפיתגוראים גילו שהטענה שגויה, והסיקו כי צלע ואלכסון הריבוע הם גדלים חסרי מידה משותפת (incommensurable magnitude).
בשפה המודרנית, התוצאה שקולה לכך ש- הוא מספר אי רציונלי.
בכתיבה מתמטית, אם נתבונן במשולש שווה-שוקיים וישר-זווית שאורך השוק שלו הוא , נקבל ממשפט פיתגורס כלומר והמשמעות היא שאין מספרים טבעיים כך ש וגם .
בנוסף, איננו יודעים כיצד הפיתגוראים גילו תגלית זו, אך לפי אריסטו אנו יודעים כי הפיתגוראים פעלו בשיטה הבאה: "כך, למשל, מוכיחים את אי קיומה של מידה משותפת בין הצלע לאלכסון, על ידי כך שמניחים את המידה המשותפת ומוכיחים שהמספרים האי-זוגיים הופכים לזוגיים".
ההוכחה המקובלת כיום היא להניח בשלילה כי הוא מספר רציונלי ולהגיע לסתירה.
ההוכחה מתחילה בהנחה שהשורש של 2 הוא רציונלי, ולכן ניתן לכתוב כאשר ל- אין גורמים משותפים.
מכאן מסיקים ש- ומקבלים ש-, לכן הוא זוגי ו- הוא זוגי, משמע .
מכאן ולכן ולכן זוגי ולכן גם זוגי וגם זוגי בסתירה לכך ש ל- אין גורמים משותפים.
ישנם היסטוריונים שטוענים כי זה אכן מה שהפיתגוראים עשו, אולם בבחינה ביקורתית היסטורית עולות שתי בעיות.
הבעיה הראשונה היא שאין סימוכין טקסטואליים לכך – אין טקסט במתמטיקה היוונית המראה כי זו אכן הייתה דרך ההוכחה.
הבעיה השנייה היא שסגנון ההוכחה הזה לא מקובל במתמטיקה היוונית.
במתמטיקה היוונית לא היו משוואות, לא הייתה העברת אגפים, ולא היה מקובל לסמן משתנים באותיות.
כתוצאה מהבעיות הוצעה אינטרפרטציה חלופית להוכחה, שמתאימה לסוג המתמטיקה שבו השתמשו היוונים, אולם אין סימוכין טקסטואליים המראים שזו אכן הייתה דרך ההוכחה.
ההוכחה מתחילה בהנחה ש- ו- הם גדלים בעלי מידה משותפת, ולכן השטח של הוא פעמיים השטח של , ומכאן ש- הוא מספר זוגי.
צלע זו מייצגת מספר זוגי ולכן הריבוע הוא כפולה של 4. אבל שטחו חצי מריבוע , אז שטחו הוא כפולה של 2 ולכן זוגי.
מכאן הצלע חייבת להיות זוגית.
אבל זו סתירה להנחת היסוד ש- או אי זוגי ולכן שני הישרים חסרי מידה משותפת.קורט פון פריץ, היסטוריון גרמני בן המאה ה-20, נתן השערה לדרך שבה הפיתגוראים גילו את הגדלים חסרי מידה משותפת.
ההשערה מסתמכת על אלגוריתם אוקלידס כדי למצוא את המכנה המשותף הגדול ביותר בין שני גדלים ומניחה שהאלגוריתם תמיד עובד עבור מספרים טבעיים.
כמו כן, ההשערה מסתמכת על "חתך הזהב" - בהינתן גודל מסוים, ניתן לחתוך את הגודל כך שהגודל יהיה הממוצע הגאומטרי בין ל- כלומר , השקול ל-.
פון פריץ טען כי סביר שהמתמטיקאים היוונים הניחו שהיחס בין צלע מחומש לבין אלכסון המחומש הוא גודל בעל מידה משותפת.
לכן, בהינתן מחומש ניתן להראות את הדברים הבאים: הוא חתך הזהב של .
כמו כן, , ומכאן מסיקים ש- הוא חתך זהב של ואז הוא חתך הזהב של .
כלומר מביצוע של תהליך אינסופי כזה ניתן להסיק שאין מידה משותפת בין צלע המחומש לאלכסון שלו.
אוקלידס היה מתמטיקאי שחי בין השנים 365 לפנה"ס ו-275 לפנה"ס.
הוא פרסם ספר בשם "היסודות" או "האלמנטים של אוקלידס" המורכב מ-13 כרכים.
כרכים 1–6 ו-10–13 עוסקים בגאומטריה וכרכים 7–9 עוסקים באריתמטיקה.
ספרו הראשון של האלמנטים של אוקלידס
בספרו הראשון בנה אוקלידס את יסודות הגאומטריה, והוא נפתח ברשימה של עשרים ושלוש הגדרות המהוות בסיס לגאומטריה כולה.
אוקלידס ממשיך על ידי הנחת עשר אקסיומות שחמש מהן אקסיומות גאומטריות וחמש הן דעות מקובלות.
לאחר שאוקלידס ניסח את האקסיומות ואת הדעות המקובלות, הוא הוכיח טענות אשר מתבססות זו על גבי קודמתה, ולבסוף הוא הוכיח את משפט פיתגורס בהתבסס על הטענות שהוכיח לאורך הספר.
הגדרה 1: לנקודה אין חלקים.
הגדרה 2: לקו אין רוחב.
הגדרה 3: הקצוות של קווים הם נקודות.
הגדרה 10: כאשר קו ישר ניצב לקו ישר אחר, אז הזוויות הסמוכות שוות זו לזו וכל זווית היא ונאמר כי הישרים ניצבים.
הגדרה 11: זווית קהה היא זווית הגדולה מ.
הגדרה 12: זווית חדה היא זווית הקטנה מ.
חמש האקסיומות שהניח אוקלידס בספר:
אפשר להעביר קו ישר מכל נקודה לכל נקודה אחרת.
אפשר ליצור קו ישר סופי באופן רציף.
בשפה מודרנית: ניתן להאריך ישר ללא הגבלה.
אפשר לתאר מעגל על ידי מרכז ומרחק.
בשפה מודרנית: ניתן לשרטט מעגל באמצעות בחירת נקודה כלשהי כמרכז ואורך רדיוס כלשהו.
כל שתי זוויות ישרות שוות זו לזו.