tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
למלחמת מאה השנים, שהתחילה במאה ה-14 ונסתיימה במאה ה-15, היו עלויות גבוהות מאוד.
היא יצרה משבר פיסקלי בבריטניה.
באותה תקופה (1485–1603), מְגַדְּלֵי הצמר קיבלו ייצוג בפרלמנט, שקבע את גובה המס על הצמר.
לגבי מערכת האכיפה, הרי שהשופטים כבר לא קיבלו משכורת מהמלך, ולכן לא היה להם תמריץ לשרתו.
המלך לא הצליח לממן את עצמו, מה שהביא למשבר פיסקלי נוסף במאה ה-17. בתקופה זו הפרלמנט התחזק עוד יותר וקבע שהמשפט המקובל גובר על המשפט המסחרי.
באופן הזה, הפרלמנט הוציא את המלך מעמדת כוח.
מעבר לכך, בשנת 1628 הפרלמנט גם לקח מהמלך את הזכות לתת רישיון למונופול.
מקרה הבוחן הבריטי הזה ממחיש את האופן שבו מוסדות מצמצמים עלויות עסקה ומקדמים את הכלכלה, באמצעות הקמת מוסדות.
התוצאה הייתה, שהתפתחותם של המוסדות והכללים שנקבעו על ידי הפרלמנט ובאופן וולונטארי יצרו שגשוג כלכלי, שהביא להתרחבות הסחר.
התהוות התפיסה הליברלית מהמאה ה־19
בין השנים 1820-1875, עלה הסחר החופשי באירופה.
יש הטוענים כי המהפכה האידאולוגית הליברלית היא שהביאה לעליית הסחר החופשי.
בריטניה הייתה מודל חיקוי לכלל מדינות אירופה בכל הנוגע לסחר חופשי.
משנת 1776, הנאורות הסקוטית ואדם סמית' הליברליים עולים, ואחרי מלחמות נפולאון הליברליזם הופך לדוקטרינה המקובלת על השלטון ועל העלית הפוליטית.
הממשלה הבריטית הבינה שייבוא עשוי לייעל את התחרות ואת הייצור המקומי.
כמו כן, האריסטוקרטיה משתכנעת שגם חיסול חוקי הדגן ייטיב לה.
לכן, ממשלת בריטניה נקטה בשורה של רפורמות כלכליות המעידות על ליברליזציה בסחר.
בשנת 1832, חוק הרפורמה העביר כוח מהאדמה והכפר למפעל ולעיר.
החוק הזה משנה בעצם את חוקי המסחר שפגעו בחקלאות לטובת התעשייה.
בסוף שנות השלושים של המאה התשע עשרה, הוסרו המגבלות על ייצוא מכונות ובעלי מקצוע.
ברם, הרפורמה המשמעותית ביותר שבריטניה עשתה הייתה בשנת 1846, כאשר היא ביטלה את חוקי הדגן.
חוקי הדגן הטילו מיסים גבוהים על דגן, ולכן ייקרו את עלות המזון ולא העלו את השכר בחקלאות.
הממשלה הבריטית הבינה שכדי לייעל את הכלכלה הבריטית, עדיף לייבא דגן בזול ולאפשר לבריטים לשלם פחות מיסים.
ההנחה הייתה שגם החקלאים ייהנו מביטול חוקי הדגן.
מעבר לכך, הרפורמה הזו שירתה גם את התעשייה הבריטית, היות שהוזלה במזון מאפשרת לתעשיינים להוריד את שכרם של הפועלים.
ישנה טענה שהבריטים רצו לשמור על העליונות הטכנולוגית והתעשייתית שלהם באמצעות סחר חופשי.
הם חשבו שהם יוכלו לעכב את המדינות האחרות מלנקוט בצעדים לקראת סחר חופשי.
בשנת 1860, נחתם הסכם קובדן-שבלייה (Cobden–Chevalier Treaty, על שם ריצ'רד קובדן ומישל שבלייה) על הסרה הדרגתית של מכסים.
זה היה הסכם בין בריטניה לצרפת, ושתיהן הסכימו שכל הטבה שניתנת למדינה אחת משתיהן, תינתן גם למדינה השנייה.
כמו כן, כל הטבת סחר לצד שלישי תינתן גם למדינות החברות בהסכם (MFN, Most favoured nation).
לאחר ההסכם הזה נוצרו הסכמים דומים באירופה.
הולנד הייתה דומה לבריטניה מבחינה כלכלית.
לסוחרים היה מעמד כלכלי ופוליטי משמעותי.
הם התנגדו למיסים מעבר למינימום ההכרחי.
מלחמות נפולאון גרמו להולנד לאבד את המושבות שלה והיא נתקלה בקושי להתחרות בבריטים בסחר העולמי.
הסוחרים ההולנדים הפכו למתַווכים בין הספקים הבריטיים ללקוחות יבשתיים.
הולנד כבר לא התחרתה עם בריטניה על הסחר.
מעבר לכך, התחבורה העולמית הייתה בתהליך של התייעלות, כך שלהולנד לא היה כבר יתרון גם בנושא הזה.
אילו הולנד פנתה לכיוון של פרוטקציוניזם, היא הייתה שוקעת כלכלית באופן משמעותי.
לפיכך, הסוחרים ההולנדים הצליחו לשכנע את ממשלתם לאמץ מדיניות ליברלית בסחר.
בשנות העשרים של המאה התשע עשרה, מתחיל שינוי אידאולוגי בצרפת המוביל לכיוון של סחר חופשי.
השינוי הזה בא לידי ביטוי בתוך צרפת עצמה, כאשר היא פותחת את שוק הדגן לתחרות.
בתעשייה התלוננו שהתשומות על הברזל יקרות, ולכן הם ביקשו לפתוח את השוק הצרפתי ולאפשר להם לייבא, וכך העלויות שלהם יצטמצמו.
לפיכך, הם הפעילו לחץ על נפולאון.
גם יבואני משי ויצרני יין הפעילו עליו לחץ בעד פתיחת השוק.
מי שהיו בעד המשך מדיניות המכס היו יצרני הטקסטיל.
הלחץ על נפולאון, ביחד עם גורמים נוספים הביאו לליברליזציה בסחר מצדה של צרפת.
מישל שבלייה, שהיה כלכלן פוליטי, ביקר בארצות הברית והשתכנע שעל ארצו לפנות לכיוון של כלכלה ליברלית.
כמו כן, הצרפתים הובסו במלחמות נפולאון ונכנסו למשבר כלכלי.
אולם, כשהסחר החופשי שרת את האינטרסים של השלטון הצרפתי, הוא התאפשר.
כאשר סחר חופשי לא עלה בקנה מידה עם האינטרסים של הממשלה, היא לא אפשרה אותו.
במקרה של צרפת, הסחר החופשי היה תלוי בשלטון, ועדיין לא חדר בצורה אידאולוגית באופן משמעותי.
בשנת 1833, פרוסיה נקטה בצעד של איחוד מכסים בתוכה.
פרוסיה הייתה המדינה שהכתיבה את המכס כלפי צדדים שלישיים.
בשנת 1862, הייתה צמיחה כלכלית בפרוסיה שבאה לידי ביטוי בייצוא דגנים.
בשנת, 1863, פרוסיה חתמה על הסכם עם צרפת.
פרוסיה הרוויחה מפתיחת השוק, הן מבחינה כלכלית והן מבחינה פוליטית, בכך שיכלה לבודד יריבות פרוטקציוניסטיות.
יחד עם זאת, מדיניות המכס שירתה את האינטרסים הפוליטיים של אוטו פון ביסמרק.
דוגמאות בנות זמננו ליישום התפיסה הליברלית בכלכלה פוליטית בינלאומית
ארגון הסחר העולמי (WTO) הוקם בז'נבה בשנת 1995, בין היתר כתוצאה מהסכמים של סיבוב אורוגוואי (Uruguay Round Negotiations) שהתקיימו בין השנים 1986–1994. בארגון זה חברות 153 מדינות, הכוללות גם מעצמות כמו ארצות הברית ובריטניה.
ארגון הסחר העולמי מונע על ידי החברות בו והוא מעוגן בחוק.
כל ההחלטות בארגון מתקבלות על ידי הממשלות החברות בו, וכל הכללים בו הם תוצאה של משא ומתן בין החברות בארגון.
לארגון הסחר העולמי מספר תפקידים.
ראשית, הוא מנהל את הסכמי הסחר שנחתמים בחסותו.
כמו כן, הוא מהווה פורום למשא ומתן על נושא הסחר.
בנוסף, הוא מנסה ליישב סכסוכים בנושאים הקשורים לסחר.
הארגון גם מפקח על מדיניות של סחר לאומי, והוא גם מעניק סיוע טכני ואימון למדינות מתפתחות.
כמו כן, הארגון משתף פעולה עם ארגונים בינלאומיים נוספים בעניינים כלכליים.
תפקידי ארגון הסחר העולמי והפונקציות שהוא משמש ממחישים את העובדה, שגם כיום, מדינות רבות מיישמות את התפיסה הליברלית בכלכלה פוליטית בינלאומית באמצעות ליברליזציה בסחר בקנה מידה עולמי.
לאיחוד האירופי יש מדיניות משמעותית בנושא התחרות, כאשר הוא פועל לשם הבטחת תחרות הוגנת בין חברי הארגון.
האיחוד האירופי טוען כי תחרות יעילה לספק סחורות ושירותים מקצצת מחירים, מעלה את האיכות ומגדילה את האפשרויות בפני הצרכן.
לוועדה האירופית יש כוחות רחבים להבטיח שעסקים וממשלות ייצמדו לחוקי האיחוד האירופי של תחרות הוגנת.
בנוסף, בשנת 1986 נחתם בלוקסמבורג הסכם ה־SEA (Single European Act), שעל פיו חברי האיחוד האירופי פתחו את כל השווקים בכל הנוגע למוצרים, שירותים, הון ועובדים.
המטרה המרכזית של הסכם ה־SEA הייתה להוסיף מומנטום חדש לתהליך של הבנייה האירופית.
ממצא זה ממחיש את התהליכים הליברליים שהכלכלה האירופית עוברת.
פתיחת השווקים באופן מושלם מהווה את האידיאל של התפיסה הליברלית בכלכלה פוליטית בינלאומית.
בתורת ההסתברות, התפלגות בינומית שלילית היא התפלגות בדידה המתארת את מספר ההצלחות בסדרת ניסויי ברנולי בלתי תלויים לפני שמתרחשים מספר כישלונות קבוע נתון מראש, .
לדוגמה, אם מטילים מטבע שוב ושוב, כישלון יוגדר כעץ, וסדרת ההטלות תיעצר כאשר יתקבל עץ בפעם השלישית (אם ), אז מספר ההצלחות (קבלת "פלי") יתפלג באופן בינומי שלילי.
אם ההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא וההסתברות לכישלון היא , אז מספר ההצלחות האקראי, , יתפלג התפלגות בינומית שלילית עם הפרמטרים ו־ ומסמנים זאת כך:
כאשר הביטוי בסוגריים הוא המקדם הבינומי ושווה:
תוחלת של משתנה מקרי בינומי שלילי היא והשונות
התפוררות התמדתו של הזיכרון (La desintegración de la persistencia de la memoria) (שמן על בד, 1952 עד 1954) הוא ציור של האמן הסוריאליסטי הספרדי סלבדור דאלי.
זוהי יצירה מחדש של יצירתו המפורסמת ביותר, "התמדתו של הזיכרון".
היצירה נודעה במקור בשם "הכרומוזום של עין דג צבעוני המתחיל את הפירוק ההרמוני של התמדתו של הזיכרון", והוצגה לראשונה בגלריית קרסטיירס בניו יורק ב-1954. כיום היא מוצגת במוזיאון דאלי שבסיינט פיטרסברג, פלורידה.
בגרסה זו, הנוף של היצירה המקורית, הוצף במים.
התפוררות, מציגה את ההתרחשות מעל ומתחת למים.
נופו של הקדאקס צף על פני המים.
המישורים מחולקים לצורות דמויות לבנים שצפות.
התפוררות זו מייצגת את פירוק החומר לאטומים, גילוי מתקופת מכניקת הקוונטים.
מאחורי הלבנים, הקרניים שנעות כלפי האופק מסמלות טילים אטומים, אשר מדגישים שלמרות הסדר הקוסמי ביקום, האדם יכול להביא להרס עצמו.
עץ הזית היבש, שעליו תלוי השעון שנוזל, החל להתפורר אף הוא.
מחוגי השעונים צפים, גופים קוניים סובבים את השעונים במבנה המקביל ללבנים.
שעון מותך נוסף (רביעי) התווסף ליצירה.
האדם המעוות מהציור המקורי החל להיהפך לדג המשונה שצף מעליו.
לפי דאלי, הדג הוא סמל החיים.
דאלי גילה עניין בפיזיקה גרעינית, ומאז הטלת פצצות האטום על הירושימה ועל נגסאקי באוגוסט 1945, תיאר את האטום כ"חומר למחשבה" המועדף עליו.
ההבנה שהחומר מורכב מאטומים, אשר לא נוגעים זה בזה, מוצגת ביצירה.
הוא שאף לשחזר תופעה זו ביצירותיו באותו הזמן - עצמים תלויים בנפרד אחד מהשני ללא שום כוח נראה לעין הקושר אותם יחד, ועם זאת נמנעים מלהיפרד.
דוגמה נוספת לכך היא יצירתו המדונה של פורט ליגאט.
נראה כי על פי דאלי, התמונה היא סימבולית, ומסמלת את הפיזיקה המודרנית, העולם הקוונטי שקיים בצורת חלקיקים וגלים.
יצירתו המקורית, "התמדתו של הזיכרון", יכולה להתפרש כהצגה של תורת היחסות של אלברט איינשטיין (למרות שדאלי עצמו הכחיש את הקשר לתאוריה).
נחשב לספר החשוב והמפורסם ביותר שכתב אלבוגן, והוא הספר המדעי הראשון שעיקרו מוקדש לתפילת הקבע ולא לפיוט.
במרכז הדיון של הספר עומד נוסח אשכנז אך הוא מתייחס גם למנהגי שאר העדות.
הספר אינו כולל דיון במנהגי השומרונים והקראים.
אל חקר התפילה הגיע אלבוגן במקרה, לאחר שבזמן לימודיו, בשנת 1898, בבית המדרש לרבנים בברסלאו הוכרזה תחרות לכתיבת חיבור על תפילת שמונה עשרה.
אלבוגן כתב את חיבורו (בגרמנית): "ההיסטוריה של שמונה עשרה הברכות" (Geschichte des Achtzehngebets), וזכה בגינו בפרס הראשון.
הזכייה הובילה אותו להמשיך ולחקור את תחום התפילה, ובהמשך לכתוב את הספר "התפילה בישראל".
מיד עם צאתו זכה הספר לביקורות חיוביות ולפופולריות רבה, ולמעשה עד היום אין כמעט מחקר או ספר היוצאים בתחום התפילה והפיוט שאינם מתבססים עליו או מאזכרים אותו, לרבות מחקרים וספרים שיצאו מתוך זרם היהדות האורתודוקסית ומחקרים מאת חוקרים לא יהודים.
לאור חשיבותו הרבה של הספר, הוא זכה לשלוש מהדורות בשפה הגרמנית, שתי מהדורות בשפה העברית ושתי מהדורות באנגלית.
כמו כן, יצא הספר בהדפסות נוספות, בגרמנית ובעברית.
פתח הספר: ביבליוגרפיה נבחרת על התפילה.
המחקרים המפורטים ברשימה הביבליוגרפיה מעודכנים לשנת הוצאת המהדורה העברית השנייה (1972).
מבוא (סעיפים 1 - 5): במבוא תוחם אלבוגן את הנושאים בם יעסוק ספרו - תפילה בציבור בקהילות ישראל, ארגון התפילה ובתי התפילה ואישים הקשורים בכך, ומוציא מתחום הספר את העיסוק בשאלות תאולוגיות הקשורות לתפילה, סדר הקורבנות (שבדרך-כלל נתלוו להם תפילות) ותפילות היחיד (כגון ברכת המזון וכו').
אחר-כך הוא משרטט בקווים כללים את ההתפתחות ההיסטורית של התפילה, ודן במושגים כלליים, כגון: "תפילה", "ברכה", "סידור", ו"מחזור", וכן מגדיר ומפרט את הנוסחים והמנהגים השונים לתפילה.
לבסוף הוא מפרט את המקורות לתולדות התפילה ומסביר את סדר כתיבת הספר.
חלק ראשון – תיאור סדר התפילה (סעיפים 6 - 33): עוסק בתפילות החול (תפילת שחרית, מנחה וערבית) על כל חלקיהן (בין היתר, קריאת שמע, תפילת העמידה, הקדושה, ברכת הכהנים וקדיש, שלו הוא מקדיש נספח מיוחד), ובתפילות לשבתות, לחגים ולימים מיוחדים (ראש חודש, תענית, חנוכה ופורים).
אלבוגן מברר מה הם חלקי הברכות והתפילות, כיצד נתחברו חלקים אלה, מה מקורם, התפתחותם במשך השנים, משמעותם, השוני בין הנוסחים וכן מה הן התוספות לימים המיוחדים.
כמו כן עוסק חלק זה בסדר קריאת התורה (וכן בתפילות שלפני ואחרי קריאת התורה), תרגום קריאת התורה, ההפטרה והדרשה, ולבסוף הוא דן בתוספות הפיוטיות.
חלק שני – תולדות התפילה בישראל (סעיפים 34 - 47): עוסק במקור ההיסטורי של התפילה מתקופת התנאים, קודם לחורבן הבית ולאחריו, התוספות לתפילה, הפייטנים ופיוטיהם, השפעות תורת הסוד על התפילה והרפורמים בעת החדשה (בתקופת חיי המחבר), בגרמניה ומחוצה לה.
חלק שלישי – ארגון התפילה היהודית (סעיפים 48 - 54): חלק זה דן בהתפתחות ההיסטורית של בתי הכנסת, תפוצתם, הארכיטקטורה של בתי הכנסת מהזמן הקדום עד לעת החדשה וכן הציוד בהם.
בנוסף, עוסק חלק זה בקהילה ובפקידיה (בעת העתיקה והחדשה).
ולבסוף הוא מברר את דרך ביצוע התפילה, על ידי שליח הציבור, הקהל והחזן.
הספר יצא לאור לראשונה בגרמנית, בשנת 1913, ומאז יצא בשתי מהדורות נוספות בגרמנית וכן במהדורות צילום, כדלקמן:
המהדורה הגרמנית הראשונה, משנת 1913, נושאת כאמור את השם: Der jüdische Gottesdienst in seiner geschichtlichen Entwicklung (בעברית: "התפילה היהודית בהתפתחותה ההיסטורית"), והיא יצאה לאור במסגרת סדרת ספרי יסוד במדעי היהדות מטעם החברה לקידום ההיסטוריה וחכמת ישראל (Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaft des Judentums), בברסלאו שבגרמניה.
מהדורה שנייה בשפה הגרמנית יצאה לאור בשנת 1924, בתוספת עמוד אחד של תיקונים.
כמו כן סודרו הערות השוליים בסידור חדש.
מהדורה שלישית יצאה לאור בשנת 1931; אולם מחמת המצב הכלכלי הקשה בגרמניה בשנות השפל הגדול, לא בוצע עדכון מהותי אלא נוספו מספר הערות בלבד.
מהדורת צילום של המהדורה השלישית של הספר יצאה לאור בשנת 1962. מהדורת הצילום, בכריכה רכה, יצאה לאור בשנת 1967, ופעם נוספת בשנת 1995.
ברוך קרופניק (קרוא), תלמידו של אלבוגן, תרגם את הספר לעברית בשנת 1924, על-פי המהדורה הגרמנית השנייה, והוא ראה אור בשם: תולדות התפלה והעבודה בישראל, מאת פרופ.
ד"ר יצחק משה אלבוגן, חלק ראשון, ירושלים – ברלין: הוצאת דביר, תרפ"ד.
מהדורה זו יצאה בעריכת אלבוגן, והיא כוללת רק את השער הראשון: סדר התפלה (המקביל ל"חלק ראשון: תיאורו של סדר התפילה", במהדורה העברית השנייה), אף שהספר תורגם במלואו, כפי שציין המחבר עצמו, בהקדמה למהדורה זו:
החוקר אברהם מאיר הברמן סבר כי אלבוגן הוא שעיכב את הוצאת שאר חלקי הספר, ולביסוס טענתו הוא מצטט, במאמר הביקורת שכתב על המהדורה החדשה, מכתב של חיים נחמן ביאליק (ממייסדי הוצאת הספרים "דביר") לאלבוגן, ביום כ"ד בחשוון תרפ"ו, שבו כותב ביאליק:
לאחר מלחמת העולם השנייה ביקשה בתו של אלבוגן, שושנה, להוציא את הספר כולו בעברית, אך הדבר לא יצא לפועל מיידית.
בשנת 1968, נתכנסה חבורה של תלמידיו לשעבר של אלבוגן בירושלים, במלאת עשרים וחמש שנים לפטירתו, וביקשה מחיים שירמן להכין מהדורה עברית חדשה "שתשקף את כל החידושים העיקריים שנתחדשו בתחומו (של הספר)".
הספר יצא לאור במימון הקרן על שם וורצוילר בארצות הברית.
במקום להוציא לאור את הספר בתרגום הקיים (של קרופניק) הוחלט לתרגמו מחדש.
המהדורה העברית החדשה יצאה בסופו של דבר רק בשנת 1972, ובשם חדש: התפילה בישראל בהתפתחותה ההיסטורית.
את שני המפתחות בסוף הספר הכין אביגדור שנאן.
מלבד החידושים בחקר התפילה, צוינו במהדורה זו ההבדלים בין מנהג ארץ ישראל (בזמן כתיבת המהדורה העברית החדשה) לבין מנהג חו"ל (שרק אליו מתייחסת המהדורה הגרמנית).
בנוסף, הוחזרו במהדורה עברית זו הערות הספר לסוף הספר, כפי שיצאו במקורן במהדורה הגרמנית, ובניגוד למהדורה העברית הראשונה.
במאמר הביקורת על המהדורה החדשה, טען הברמן, כי ניתן היה להשתמש בתרגום של קרופניק, בעריכה קלה, ואף מדגים מספר דוגמאות בהן לדעתו תרגומו של קרופניק עדיף על התרגום החדש.
המהדורה העברית השנייה זכתה לפופולריות רבה ויצאה לאור בהדפסה השנייה, בשנת תשל"ה.
הדפסה נוספת, בכריכה רכה, יצאה לאור בשנת 1988. בשנת 2006 יצאה לאור מהדורה דיגיטלית של מהדורה זו.
העבודות הוגשו להיברו יוניון קולג', אך לא יצאו לאור בהוצאת ספרים אקדמית או מסחרית.
שם הספר במהדורה האנגלית המודפסת הוא: Jewish Liturgy, A comprehensive history by Ismar Elbogen (בעברית: "ליטורגיה היהודית, היסטוריה מקיפה").
הוא תורגם לאנגלית, בתרגום חדש, על ידי ריימונד פ' שיינדלין (Raymond P.
Scheindlin), על-פי המהדורה הגרמנית השלישית (הדפסה שנייה משנת 1967), ובעיקר על פי התרגום העברי של המהדורה השלישית (המהדורה העברית השנייה).
אף שחלפו למעלה מעשרים שנה מאז פרסום המהדורה העברית השנייה, לא שולבו במהדורה האנגלית עדכונים בתחום חקר התפילה.
עם זאת תוקנו שגיאות דפוס שנמצאו במהדורות הגרמנית והעברית, הובא אינדקס ברכות בשפה האנגלית, וכן שולבו הסברים מאת המתרגם לקורא שאינו מצוי בטקסט התפילה.
ההוצאה הגרמנית, כוללת שלוש מהדורות ושלוש הדפסות צילום, כדלקמן:
ההוצאה העברית, כוללת מהדורה אחת חלקית, מהדורה אחת מלאה, שלוש הדפסות צילום ומהדורה דיגיטלית, כדלקמן:
המהדורה העברית הראשונה: תולדות התפלה והעבודה בישראל, תרגם מגרמנית, על פי המהדורה השנייה: ברוך קרופניק, חלק א', ירושלים: דביר, תרפ"ד.
המהדורה העברית השנייה: התפילה בישראל בהתפתחותה ההיסטורית, תרגם מגרמנית על פי המהדורה השלישית: יהושע עמיר, ערך והשלים: יוסף היינמן, בהשתתפות ישראל אדלר, אברהם נגב, יעקב פטוחובסקי וחיים שירמן; תל אביב: הוצאת דביר, תשל"ב-1972 (הדפסות נוספות: תשל"ה-1975; 1988, כריכה רכה; 1995, מהדורה דיגיטלית בהוצאת כנרת, זמורה - ביתן, דביר).
ההוצאה האנגלית, כוללת שתי מהדורות חלקיות ומהדורה אחת מלאה, כדלקמן:
עבודת דוקטורט הכוללת תרגום חלקי לאנגלית של עמ' 206 - 443, של המהדורה הגרמנית השלישית, וכן העדכונים שהוספו במהדורה זו.
התפלגות אחידה רציפה היא התפלגות רציפה בה כל הקטעים בעלי אותו אורך, הנמצאים בתומך שלה, הם בעלי הסתברות שווה.
תומך ההתפלגות האחידה הרציפה הוא קטע, ההתפלגות נתונה בעזרת שני פרמטרים, הקרויים לרוב ו- , ומציינים את קצוות הקטע המהווה התומך, ותסומן לרוב על ידי .
בהינתן משתנה מקרי פונקציית צפיפות ההסתברות שלו היא:
פונקציית ההתפלגות המצטברת של המשתנה המקרי היא:
תוחלתו ושונותו של המשתנה המקרי נתונות על ידי הנוסחאות:
הנוסחא למומנט מסדר של המשתנה המקרי היא:
בפרט ניתן לראות כי המומנטים הממורכזים מסדר אי-זוגי מתאפסים.
עובדה זו נובעת בקלות מהיות סימטרי סביב הממוצע.
הפונקציה יוצרת המומנטים של המשתנה המקרי נתונה על ידי:
בדומה, הפונקציה האופיינית של המשתנה המקרי היא:
מתוך משתנה מקרי אחיד ניתן לייצר כל התפלגות - עקרון דגימת ההעתקה ההופכית גורס שאם היא פונקציית התפלגות, ומגדירים את הפונקציה ההופכית המוכללת של על ידי ,אז למשתנה יש פונקציית התפלגות השווה ל- .
שימוש בשיטה זו יכול להיות קשה במקרים בהם קשה לחישוב.
לדוגמה, אם אז המשתנה מתפלג אקספוננציאלית עם פרמטר .
אם אז המשתנה מתפלג בטא - .
התפלגות משולשת היא התפלגות של סכום של שני משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים המתפלגים אחיד.
התפלגות אירווין-הול היא ההתפלגות של סכום של משתנים מקריים בלתי-תלויים, כל אחד מתפלג .
אם , אז גם למשתנה המקרי יש התפלגות משולשת.
ניתן להשתמש בטרנספורמציית בוקס-מולר כדי לקבל משתנים אקראיים נורמליים מתוך משתנים אקראיים רציפים המתפלגים אחיד.
בסטטיסטיקה, כשמשתמשים במבחן ערך-p לבדיקת השערת אפס פשוטה, וההתפלגות של המבחן הסטטיסטי רציפה, אז ערך ה-p מתפלג אחיד בין 0 ל-1 כאשר השערת האפס נכונה.
לשפות תכנות רבות יש את היכולת לייצר מספרים פסבדו-אקראיים שמתפלגים אחיד לפי התפלגות אחידה סטנדרטית, וזאת תוך שימוש במחולל מספרים פסבדו-אקראיים.
שימוש בעקרון דגימת ההעתקה ההופכית מאפשר כך למתכנת לקבל ערך אקראי המתפלג כרצונו.
כך למשל יכול מתכנת לסמלץ פעולות כמו הטלת מטבע או קובייה.
נניח שנתונה לנו פונקציה אינטגרבילית , ורוצים לחשב את האינטגרל .
אם לפונקציה יש פונקציה קדומה ידועה, ניתן לחשב את האינטגרל תוך שימוש במשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
כשאין זה המקרה, ניתן לחשב את האינטגרל על ידי האבחנה הבאה - האינטגרל שווה ל־ כאשר .
את ערך התוחלת ניתן לקרב תוך שימוש בחוק המספרים הגדולים - מגרילים סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ומחשבים את הממוצע האמפירי .
בשיטה זו נהוג להשתמש בסימולציה של מערכות מורכבות בפיזיקה, כימיה והנדסה.
לדוגמה, כאשר יש צורך להבין מהי ההסתברות שמערכת הנדסית תכשל, ניתן להריץ סימולציה של המערכת מספר רב של פעמים ולראות מה יחס מספר הפעמים בה המערכת נכשלה.
בעיבוד אותות שגיאת קוונטיזציה היא שגיאה הנובעת מקירוב של אות אנלוגי על ידי אות דיגיטלי.
עקב מספר הביטים הסופי באות הדיגיטלי, חייבת להיות שגיאה בקירוב זה - שגיאה הנובעת מעיגול או השמטה של הספרות האחרונות.
כאשר עוצמת האות המקורי גדולה הרבה יותר מהביט הזניח ביותר, הקורלציה בין השגיאה לגודל האות המקורי קטנה מאוד, וכתוצאה מכך השגיאה מתפלגת, בקירוב, בצורה אחידה.
המקרה הפרטי המתקבל מהגבלת הפרמטרים , נקראת התפלגות אחידה סטנדרטית, המסומנת על ידי .
עקרון דגימת ההעתקה ההופכית גורס כי מתוך התפלגות אחידה סטנדרטית ניתן להגיע לכל התפלגות שהיא, בהנחה ופונקציית ההתפלגות המצטברת ידועה.
בהסתברות וסטטיסטיקה, התפלגות F היא התפלגות רציפה שמופיעה פעמים רבות כהשערת האפס להתפלגות לסטטיסטי המבחן במבחנים סטטיסטים, ובפרט בניתוח שונות .
התפלגות F ידועה גם כהתפלגות פישר-סנדקור, על שם רונלד פישר וג'ורג' סנדקור.
כאשר משתנה מקרי מקבל ערכים לפי התפלגות F עם פרמטרים ו-, נהוג לסמן זאת כך: , ופונקציית צפיפות ההסתברות שלו מוגדרת:
עבור , כאשר היא פונקציית בטא.
בשימושים רבים נהוג שהמשתנים ו- מקבלים מספרים שלמים חיוביים, אך הפונקציה מוגדרת היטב לערכים ממשיים חיוביים.
פונקציית ההסתברות המצטברת נתונה על ידי
כאשר מסמנת את פונקציית בטא הלא שלמה הרגולרית.
ניתן לבטא משתנה מקרי עם התפלגות F ופרמטרים ו- כמנה של שני משתנים מקריים המתפלגים לפי כי בריבוע:
כאשר ו- הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, אשר מתפלגים לפי כי בריבוע עם ו- דרגות חופש, בהתאמה.
ביישומים שבהם משתמשים בהתפלגות F, למשל בניתוח שונות, משתמשים לעיתים במשפט קוצ'רן כדי להראות אי תלות של ו-.
התוחלת, השונות ומאפיינים נוספים של התפלגות F ניתנים בתיבת המידע.
עבור , הגבנוניות של התפלגות F היא
המומנט ה-k של התפלגות קיים, והוא סופי רק כאשר .
הפונקציה האופיינית מופיעה בצורה שגויה במקורות סטנדרטים מסוימים (למשל ).
כאשר היא הפונקציה ההיפרגאומטרית הקונפלואנטית מהסוג השני.
התפלגות ארלנג היא משפחה של התפלגויות הסתברותיות רציפות עם שני פרמטרים ותומך .
פרמטר הצורה שהוא מספר שלם חיובי.
פרמטר זה גם נקרא מספר השלבים.
פרמטר הקצב שהוא מספר ממשי חיובי.
לפעמים משתמשים במקדם חלופי בשם השיעור עם סימן , שמיצג את ההופכי של הקצב.
באופן אינטואיטיבי ניתן להבין את התפלגות ארלנג כסכום של -משתנים מקריים מעריכים, בלתי-תלויים עם תוחלת .
כאשר מספר השלבים בהתפלגות גדול (שואף לאינסוף) אז התפלגות שואפת להתפלגות מנוונת מרוכזת סביב הנקודה .
לפיכך כאשר פרמטר הצורה הוא 1, מתקבל מקרה פרטי בו ההתפלגות היא למעשה התפלגות מעריכית.
מצד שני התפלגות גמא מהווה הכללה של התפלגות ארלנג בה ניתן לשבץ ערכים ממשים בפרמטר מספר השלבים .
התפלגות ארלנג נקראת על שמו של אגנר קרארוף ארלנג שפיתח אותה במסגרת עבודתו על גרסה מוקדמת של תורת התורים.
ארלנג התמודד עם הצורך המעשי להעריך את מספר שיחות הטלפון שעשויות להתקבל בו זמנית על ידי מפעילי תחנות מיתוג במערך תקשורת.
מאוחר יותר כאשר הורחבה עבודתו של ארלנג בתחום הנדסת תעבורה טלפונית, הוכללה ההתפלגות כך שיתאפשר גם חישוב של זמני המתנה במערכות תורים.
כיום משמשת ההתפלגות ארלנג גם בתחומים כגון תהליכים סטוכסטיים, אקטואריה וביומתמטיקה.
פונקציית צפיפות ההסתברות של משתנה מקרי מסוג ארלנג ניתנת על-פי:
כאמור נקרא פרמטר הצורה, ו- נקרא פרמטר הקצב.
צורה שקולה לכתיבת פונקציית צפיפות ההסתברות על ידי פרמטריזציה חלופית בה נעשה שימוש ב-:
בצורה זו משתמשים ב- פרמטר גודל, כאשר ().
בצורה זו ניתן לראות בנקל כי כאשר שווה ל 2, ההתפלגות זהה להתפלגות כי בריבוע בעלת דרגות חופש.
ולכן התפלגות ארלנג היא הכללה להתפלגות כי בריבוע עבור דרגת חופש זוגית, ואכן לעיתים נקראת התפלגות זו התפלגות ארלנג-k.
פונקציית ההסתברות המצטברת של משתנה ארלנג היא:
כאשר גמא בנוסחה הנ"ל היא פונקציית גמא הלא שלמה.
ניתן גם לרשום את פונקציית ההסתברות המצטברת של משתנה ארלנג כפיתוח לטור:
נוסחת ארלנג מהווה הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית:
עם תנאי שפה: (התפלגות פואסון)
קיים פיתוח אסימפטוטי לפי נוסחה של רמנוג'אן עבור הערך החציון של התפלגות ארלנג עבור הפיתוח הזה ניתן לחשב את הקבועים וההגבלות הידועים.
והערך החציון לפי הקרוב הוא פחות מהתוחלת, שערכה הוא: .
ניתן להפיק מספרים אקראיים בהתפלגות-ארלנג ממספרים אקראיים התפלגות אחידה () באמצעות הנוסחה הבאה:
מודל תהליך פואסון מאפשר ייצוג של סדרת אירועים בלתי תלויים, בעלי קצב עם תוחלת סופית.
במצב זה ניתן להעריך את זמן ההמתנה לסיומם של k אירועים כאלו על ידי התפלגות ארלנג.
השאלה המקבילה: "מהו מספר האירועים הצפוי בפרק זמן נתון?" מתואר על ידי התפלגות פואסון.)
ניתן להשתמש בהתפלגות ארלנג להערכת זמן בין שיחות נכנסות, בשילוב עם אורכם הצפוי של שיחות נכנסות על מנת לייצר מידע על עומס התנועה נמדד ביחידות על שם ארלנג.
ניתן להעריך לפי שיטה זו את ההסתברות לנפילת חבילות מידע ברשת מחשבים ועיכוב, על פי הנחות שונות לגבי אופן טיפול בשיחות שנחסמות.
כאשר שיחות שנחסמות מבוטלות ניתן להשתמש בנוסחת ארלנג ב', וכאשר שיחות חסומות נאגרות בתור עד שהם נענות ניתן לחשב לפי נוסחת ארלנג ג'.
נוסחות ארלנג-ב ו-ג עדיין משמשות מהנדסים ברמה יומיומית כמודלים של תעבורה.
יישומים לנוסחאות אלו הם בתכנון מוקדים שרות טלפוניים ומערכות הזמנה לשירותים מכוונים ומערכות מעכב פרסום טלפוני.
כמו כן, נעשה שימוש בהתפלגות ארלנג בתחום כלכלת עסקית בבניית מודלים לתיאור משך זמן בין רכישות.
סכומם של שני משתני ארלנג ו הוא משתנה ארלנג עם פרמטרים
סכומם של מספר משתנים מעריכים בעלי פרמטר (λ) הוא משתנה ארלנג עם פרמטרים
התפלגות ארלנג היא מקרה פרטי של התפלגות פירסון מסוג שלישי.
כאשר k הוא מספר שלם: (התפלגות גמא) אז
כאשר מחלקים משתנה מעריכי במשתנה ארלנג אז התוצאה היא משתנה פארטו
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות בטא היא משפחה של התפלגויות רציפות, המוגדרות על הקטע [0,1] ובעלות שני פרמטרים המשפיעים על צורת ההתפלגות: α ו-β.
קבוע הנרמול של פונקציית צפיפות ההסתברות הוא פונקציית בטא של הפרמטרים, ומכאן שמה של ההתפלגות.
להתפלגות בטא תפקידים רבים בבחינת התנהגות של משתנים מקריים המוגבלים למרווחים סופיים בדיסציפלינות רבות.
הרחבה של ההתפלגות נקראת התפלגות דיריכלה, על שמו של המתמטיקאי הגרמני-צרפתי יוהאן דיריכלה.
עבור ועבור הפרמטרים , פונקציית הצפיפות של ההתפלגות מוגדרת כך:
כאשר היא פונקציית גמא ו-B היא פונקציית בטא.
פונקציית הצפיפות המצטברת מוגדרת על ידי הנוסחה:
כאשר היא פונקציית הבטא הלא שלמה.
התוחלת של ההתפלגות היא פונקציה של היחס β/α:
כאשר הפרמטרים שווים, התוחלת שווה ל-1/2, מה שאומר כי במקרה זה ההתפלגות היא סימטרית והתוחלת היא מרכז התפלגות.
השונות של ההתפלגות מוגדרת כך:
התפטרות היא סיומם של יחסי עובד-מעביד ביוזמת העובד, בדרך של פרישה מעבודתו כשכיר, זאת בשונה מפיטורים הנעשים ביוזמת המעסיק.
התפטרות קיימת גם בקרב נושאי משרה שאינם שכירים, כגון חברי דירקטוריון ושרים.
סיבה נפוצה להתפטרות היא מעבר למקום עבודה אחר, אך בנוסף קיימות שלל סיבות אחרות, כגון התפטרות מחמת מצב בריאות לקוי או מחמת הגירה למדינה אחרת.
עובד שמתפטר חייב למסור הודעה מוקדמת, לפיה התפטרותו אינה מיידית, אלא תיכנס לתוקף בתום תקופה מסוימת שבה נקב.
התפטרות של שכיר מזכה בפיצויי פיטורים רק כאשר היא נעשית בנסיבות מיוחדות, כגון התפטרות של הורה לשם טיפול בתינוקו.
קורה שעובד מתפטר לאחר שמעסיקו הבהיר לו שזה הצעד המצופה ממנו, ושאם לא יקבל הצעה זו – יפוטר.
התפטרות זו מכונה בסלנג גם הִתפּוּטר (הלחם הבסיסים "התפטר" ו"פוטר") מצבים נפוצים שנחשבים כעובד ש"התפוטר" כוללים עובד שנקט בתנהגות לא נאותה שעלולה להמיט עליו קלון פומבי אם תיחשף, וההנהלה מאפשרת לו להתפטר מתפקידו, בתמורה לאי-חשיפת הפרשה שהיה מעורב בה.
דוגמה לכך היא עובד שנתפס במעילה, ומקבל הצעה להתפטר תוך החזרת כספי המעילה, ואם לא יעשה כך, יתחיל המעסיק בהליך פלילי שיוביל לפיטוריו.
בעסקה זו יש יתרון לעובד – נחסך ממנו הקלון שבפרסום מעשיו, ויש יתרון למעסיק – קיצור ההליכים של החזרת הכספים.
דוגמה שונה היא מצב שבו מתמנה מנכ"ל חדש המעוניין לאייש את סוללת הבכירים בחברה באנשיו, וכדי להשיג זאת משכנע את הבכירים הנוכחיים להתפטר תוך הבטחת זכויותיהם כאילו פוטרו.
הביטוי החל להופיע בעיתונות העברית בסוף שנות ה-40 של המאה ה-20, תחילה במירכאות.
הבלשן יצחק אבינרי הזהיר ב-1951 מפני החידוש, ובמקומו הציע להשתמש בבניין הנדיר "הותפעל", אשר מופיע במספר מקומות בתנ"ך.
התפטרות של נושא משרה ציבורית
התפטרות היא החלטה אישית לעזוב משרה ציבורית, שנעשית לעיתים בעקבות לחץ ציבורי מבחוץ.
למשל, נשיא ארצות הברית ריצ'רד ניקסון שהתפטר באוגוסט 1974, בעקבות פרשת ווטרגייט, כאשר הוא היה כמעט בטוח שהוא יודח על ידי הקונגרס של ארצות הברית.
התפטרות היא המקבילה של ויתור על הכס של מלך מכהן, אפיפיור, או אדם אחר בעל תפקיד דומה שהתקבל בירושה.
התפטרות יכולה לשמש לצורך ביצוע מהלכים פוליטיים.
למשל, כאשר עשרה שרי הקבינט של הפיליפינים התפטרו ביולי 2005 כדי ללחוץ על נשיאת הפליפינים גלוריה מקפגל ארויו לפרוש בעקבות האשמות של הונאה בבחירות.
ב-1995 התפטר ראש ממשלת בריטניה, ג'ון מייג'ור מתפקיד המנהיג של המפלגה השמרנית על מנת להתמודד בבחירות על הנהגת המפלגה במטרה להשתיק את מבקריו בתוך המפלגה.
פקידי ממשלה לעיתים מציעים את התפטרותם, בעקבות התרחשות אירוע בעל השלכות שליליות.
אולם לעיתים התפטרותם לא מתקבלת, וזה מהווה הבעת תמיכה בהם.
למשל, סירובו של נשיא ארצות הברית ג'ורג' ווקר בוש לקבל את התפטרותו של מזכיר ההגנה דונלד רמספלד בעקבות שערוריית ההתעללות בכלא אבו גרייב.
במקרים נדירים סירוב לקבל התפטרות יכול לנבוע מהרצון לנהל הליך הדחה משפיל, כפי שקרה בעקבות ניסיון התפטרותו של אלברטו פוג'ימורי מתפקיד נשיא פרו, אבל התפטרותו נדחתה על מנת שהקונגרס של פרו יפעל להדיחו.
עבור אנשי ציבור רבים, בעיקר פוליטיקאים, ההתפטרות היא הזדמנות להעביר מסרים שלהם באמצעות נאום התפטרות, שבו הם יכולים להבהיר את הנסיבות שלהם לפרישה.
אקט ההתפטרות לרוב מוסיף עוצמה ותשומת לב ציבורית לנאום.
התפטרות שר בממשלה יכולה לשמש כלי פוליטי רב השפעה, במיוחד כאשר, לאחר התפטרות השר, הוא כבר אינו מחויב לאחריות המשותפת והוא יכול להתבטא בחופשיות רבה יותר.
התפטרות מתפקיד פוליטי במקרים מסוימים נכנסת לתוקף רק אחרי 24 או 48 שעות ממועד קבלת ההודעה, בהתאם להוראות החוק.
בישראל עובד זכאי לפיצויי פיטורים אם הוא פוטר.
עם זאת חוק פיצויי פיטורים, תשכ"ג–1963 מונה שורה של מקרים, שבהם דינו של העובד המתפטר הוא כדין מפוטר, כלומר הוא זכאי לפיצויי פיטורים, אף שהפסקת העבודה נעשתה ביוזמתו.
בין המקרים שהחוק מפרט: התפטרות של העובד לרגל מצב בריאות לקוי שלו או של בן-משפחתו, התפטרות מחמת הרעה מוחשית בתנאי העבודה ועוד.
כמוכן נוצרת זכאות לפיצויי פיטורים בעת פטירת המעסיק או פטירת העובד.
חוק הודעה מוקדמת לפיטורים ולהתפטרות קובע כי עובד המבקש להתפטר מעבודתו ייתן למעסיקו הודעה מוקדמת להתפטרות, לפי הוראות חוק זה, ואם לא עשה כן, ישלם למעסיקו פיצוי בסכום השווה לשכרו הרגיל בעד התקופה שלגביה לא ניתנה ההודעה המוקדמת.
אורך תקופת ההודעה המוקדמת נקבע בחוק לפי הוותק של העובד, והוא עד חודש ימים.
בהסכמי עבודה נקבעת לעיתים תקופת הודעה מוקדמת ארוכה יותר.
עובד שהודיע על התפטרותו בשעת כעס (בעידנא דריתחא), בלי שבאמת התכוון לכך, רשאי לחזור בו מהתפטרותו תוך זמן סביר, ואם המעביד יסרב לקבלו בחזרה לעבודה, יראו זאת כפיטורים, בהתאם לפסיקה.
לפי חוק יסוד: הממשלה אם ראש ממשלת ישראל מתפטר, ממשלתו גם מתפטרת והופכת לממשלת מעבר.
הוא ממשיך במילוי תפקידו עד שתיכון הממשלה החדשה.
בניגוד לעבר, השרים בממשלת מעבר יכולים להתפטר.
שר רשאי להתפטר מן הממשלה על ידי הגשת כתב התפטרות לראש הממשלה; כהונתו בממשלה נפסקת כעבור 48 שעות לאחר שכתב ההתפטרות נמסר לראש הממשלה, זולת אם חזר בו השר מהתפטרותו קודם לכן.
חוק יסוד: הכנסת קובע כי חבר הכנסת רשאי להתפטר מכהונתו; ההתפטרות תהיה בהגשה אישית של כתב התפטרות על ידי המתפטר ליושב ראש הכנסת.
חברותו בכנסת נפסקת כעבור ארבעים ושמונה שעות לאחר שכתב ההתפטרות הגיע לידי יושב ראש הכנסת, זולת אם חזר בו מהתפטרותו לפני כן.
חוק יסוד: נשיא המדינה קובע כי נשיא מדינת ישראל רשאי להתפטר מכהונתו על ידי הגשת כתב התפטרות ליושב-ראש הכנסת, ומקומו יתפנה לאחר שכתב ההתפטרות הגיע לידי יושב-ראש הכנסת.
"התפייסות" הוא שיר ילדים מאת המשוררת והסופרת שלומית כהן-אסיף.
השיר התפרסם לראשונה בשנת 1982 בספר "אחרי שלבשתי פיג'מה" עם איוריה של אורה איתן, בהוצאת שוקן לילדים.
השיר פורסם גם בספר "נשיקה בכיס ועוד נשיקה: דברים למי שאוהבים" עם איוריה של הילה חבקין בהוצאת הקיבוץ המאוחד, 2017.
בשיר ישנן שורות ארוכות ושורות קצרות.
השיר מתאר את מצוקתו של הדובר בגלל הריב שנוצר בינו לבין חברו.
הדובר רוצה להתפייס אך אינו יודע איך לעשות זאת.
הוא מתלבט ומהסס, הוא נבוך ולחוץ אך יודע כי הוא רוצה להתפייס.
מצד אחד בולט רצונו העז של הדובר בשיר להתפייס אך מצד שני, בכל ניסיונותיו (האם לטלפן, האם לכתוב מכתב, מתהלך בחדר) מורגשת הססנות.
השורות הארוכות בשיר מבטאות את הרצון של הדובר להתפייס והשורות הקצרות מבטאות הססנות, בושה, לחץ והתלבטות.
השיר נלמד במערכת החינוך היסודית והגיל הרך, בנושא חברות, סכסוך בין חברים, התפייסות ובקשת סליחה.
נושאים אלה משותפים לרוב הילדים ומעסיקים אותם בחיי היום יום.
השיר זכה למספר ביצועים, המוכר ביותר הוא של הזמר אריק איינשטיין, בלחנו של יוני רכטר.
השיר הופיע באלבום שירי ילדים של השניים - "הייתי פעם ילד", בשנת 1989. ביצוע אחר של השיר הוא של השחקן רמי ברוך.
התפוצצות מכלית הדלק בפריטאון הוא אסון שאירע ב-5 בנובמבר 2021 בעיר פריטאון שבסיירה לאון.
התנגשות בין מכלית דלק למשאית גרמה לפיצוץ ולשרפה שהרגו לפחות 144 אנשים ופצעו רבים נוספים.
ההתפוצצות התרחשה ב-5 בנובמבר 2021, בסביבות השעה 22:00, באזור התעשייה של שכונת וולינגטון בעיר פריטאון, בירתהּ של סיירה לאון.
בצומת רחובות מרכזיים התנגשו מכלית דלק שנשאה בנזין ומשאית שנשאה גרניט, וגרמו לדליפת דלק.
שני הנהגים יצאו מרכביהם וביקשו מהסובבים להתרחק מהמקום.
למרות זאת, מקומיים רבים ניגשו אל המכלית והחלו לאסוף דלק במכלים שהביאו איתם.
הפיצוץ שהתרחש זמן קצר לאחר ההתנגשות פגע באנשים האוספים דלק, בעוברי אורח ובנוסעים ונהגים שהתעכבו בשל הפקק שיצרה ההתנגשות.
ראש עיריית פריטאון, איבון אקי-סוייר, טענה כי עוצמת הפיצוץ הוגברה בשל אותם אנשים שאספו את הדלק הדולף והניחו אותו במכלים בסמוך לזירת ההתנגשות.
רבים מהקרבנות נלכדו ברכביהם ונשרפו למוות, כולל אוטובוס מלא באנשים שנשרף בעוצמה וכל נוסעיו נהרגו.
חנויות ושווקים סמוכים עלו באש לאחר שהדלק נשפך לרחובות.
צילומים ששודרו על ידי כלי תקשורת מקומיים הראו גופות חרוכות המקיפות את המכלית.
בתחילה אושר כי לפחות 99 בני אדם נהרגו באסון ויותר מ-100 אחרים נפצעו.
מספר ההרוגים עלה ל-131 חמישה ימים לאחר הפיצוץ.
ב-13 בנובמבר דווח כי מספר ההרוגים הגיע ל-144.
מנהל הסוכנות הלאומית לניהול אסונות אמר כי מאמצי החילוץ נמשכו עד 16:45 ביום המחרת.
נשיא סיירה לאון, יוליוס מאדה ביו, ששהה באותה עת בוועידת האומות המאוחדות לשינוי אקלים בגלאזגו הביע תנחומים והבטיח סיוע ממשלתי למשפחות הנפגעים.
סגן הנשיא, מוחמד ג'ולדה ג'אלו, ביקר בחלק מבתי החולים אליהם פונו הנפגעים.
הנשיא הורה על שלושה ימי אבל לאומיים, על הורדת דגלי המדינה לחצי התורן ועל הקמת ועדת חקירה שתחקור את מחדלי המקרה ותספק המלצות למניעת טרגדיות דומות בעתיד.
התפוצצות מכלית הדלק בקפירידזאנג' הוא אסון שאירע ב-17 בנובמבר 2016 בעיר קפירידזאנג' שבמוזמביק.
פיצוץ מכלית דלק הרג לפחות 80 אנשים ופצע למעלה ממאה נוספים.
מכלית הדלק, שנשאה כ-30,000 ליטרים של בנזין, הייתה בדרכה למלאווי, לפני שהתהפכה מסיבה בלתי ידועה, כשאחת הטענות שנחקרו היא כי המכלית נקלעה למארב.
יממה לאחר ההתהפכות, בעת שתושבים מקומיים החלו לגנוב ולשאוב דלק מהמכלית, היא התפוצצה.
ב-19 בנובמבר הכריזה ממשלת מוזמביק על שלושה ימי אבל לאומיים כדי לחלוק כבוד לקרבנות האסון.
התפוצצות מכלית הדלק בקיריקירי הוא אסון שאירע בשעה 22:30 ב-7 בינואר 2014 בכפר קיריקירי שבמדינת לאגוס, ניגריה.
פיצוץ מכלית דלק והשרפה שפרצה בעקבותיו הרגו לפחות 15 אנשים, ורבים נוספים נפצעו.
נהג מכלית דלק, שהכילה 33,000 ליטרים של בנזין, איבד שליטה על המכלית כשהגיע לעיקול חד, וזו התנגשה בשורת כלי רכב חונים, התהפכה ועלתה בלהבות.
דליפת הדלק גרמה לשרפת ענק, ששרפה כ-60 חנויות, סניף בנק ולפחות 11 כלי רכב.
השרפה גרמה לפיצוץ, שהרג 13 נוסעים באוטובוס שנסע מאחורי המכלית.
הכרזת הממשלה הרשמית היא כי נמצאו 15 גופות, אם כי עדי ראייה סיפרו שהמספר גבוה הרבה יותר, משום שישנן גופות שנשרפו כליל.
עדי ראייה טענו כי עוצמת האש הייתה חזקה כל כך, עד שכוחות ההצלה עמלה כ-40 דקות על מנת להסיר את גופתו של נהג המכלית, שנדבקה למושב.
השרפה כובתה לאחר כשלוש שעות.
התפוצצות מכלית הדלק בריאד היא אסון שאירע ב-1 בנובמבר 2012 בעיר ריאד שבערב הסעודית, ובו מעורבות של מכלית דלק בתאונת דרכים גרמה לפיצוץ ולשרפה שבהם נהרגו 26 אנשים ונפצעו 135 נוספים.
ההתפוצצות התרחשה ב-1 בנובמבר 2012, בסביבות השעה 07:20, בצומת בעל הפרדה מפלסית במזרח העיר ריאד, בירתהּ של ערב הסעודית.
מכלית הדלק מלאת הבנזין פגעה במגדל תומך של גשר בצומת בעל הפרדה מפלסית, וההתנגשות גרמה לדליפת דלק שלאחר מכן הוצת והוביל להתפוצצות.
לפי הדיווחים הראשוניים בפיצוץ ובשרפה נהרגו 22 אנשים ונפצעו 111 נוספים, ולמחרת הודיע משרד הבריאות הסעודי כי ישנם 26 הרוגים וכ-135 פצועים.
מעוצמת הפיצוץ נפלה משאית נוספת, שהייתה במפלס העליון.
הנזק לרכוש הוערך בכ-300 מיליון ריאל סעודי.
זירת הפיצוץ סמוכה לאוניברסיטאות ולמבני ממשל, ובשל כך החשד המיידי שעלה הוא שמדובר בפיגוע טרור, אך חשד זה נשלל במהרה.
משטרת ריאד טענה כי התנועה בזמן הפיצוץ הייתה מועטת בשל חג הקורבן, וכי אם הפיצוץ היה מתרחש ביום רגיל מספר הנפגעים היה מזנק משמעותית.
המשטרה גם ביקשה מהציבור להתרחק מאזור הפיצוץ, לאחר שכ-10,000 אנשים הגיעו לזירה בתוך שעה מזמן הפיצוץ.
התפוצצות מכלית הדלק בסאנגה היא אסון שאירע ב-2 ביולי 2010 בעיר סאנגה שברפובליקה הדמוקרטית של קונגו, השוכנת סמוך לגבול עם בורונדי.
בפיצוץ מכלית דלק ובשרפה שפרצה בעקבותיו נספו לפחות 230 אנשים, ונפצעו כ-200 נוספים.
נהג מכלית הדלק איבד שליטה על המכלית לאחר שנהג במהירות מופרזת וניסה לעקוף אוטובוס.
המכלית התהפכה, וההתהפכות גרמה לדליפת דלק.
נהג המכלית ביקש מהמקומיים להתרחק והזהיר אותם מהבאות, אך אלו התקרבו למכלית והחלו לשאוב ולגנוב דלק.
על פי הדיווחים, בין הבוזזים היו גם חיילים קונגולזים.
כפי הנראה, השרפה פרצה בעקבות סיגריה שהדליק אחד התושבים בזירת ההתהפכות.
השרפה שפרצה הציתה בקלות את בקתות הקש ובתי הבוץ שבזירת ההתהפכות, ופגעה בעיקר בהמון שהתאסף לשאוב את הדלק, אך גם בקהל שהתאסף בבתים לצפות במשחק רבע גמר המונדיאל בין נבחרות הכדורגל של ו.
בהרוגים היו 36 נשים ו-61 ילדים.
הפצועים פונו לבתי החולים כשבגדיהם דבוקים לעורם, אך ברוב בתי החולים המקומיים לא היו אמצעים לטפל בפצועים קשה.
משלחת האו"ם והממשלה המקומית דיווחו על 230 הרוגים ו-196 פצועים, אך על פי חלק מהדיווחים, מספר ההרוגים עלה על 300. קורבנות הפיצוץ והשריפה נקברו ב-3 ביולי בקברי אחים במרחק של קילומטרים ספורים מהעיר בסיוע הצלב האדום.
ב-4 ביולי הכריז נשיא המדינה, ז'וזף קבילה, על שני ימי אבל לאומיים לזכר קרבנות האסון.
התפוצצות מכלית הדלק בקאפ-האיסיין היא אסון שאירע ב-14 בדצמבר 2021 בצפון העיר קאפ-האיסיין שבהאיטי.
מכלית דלק, שניסתה להימנע מהתנגשות באופנוע התהפכה, דבר שגרם לפיצוץ ולשרפה שהרגו 90 בני אדם ופצעו לפחות 120 נוספים.
בעת האירוע, האיטי הייתה בעיצומו של מחסור בדלק, בשל השתלטות כנופיות על חלוקת הדלק.
כנופיות רבות חטפו מכליות דלק, חטפו את נהגיהן, וחסמו את חלוקת הדלק.
המחסור בדלק גרם להשבתת בתי חולים, בתי ספר ועסקים, אשר הסתמכו על גנרטורי בנזין בשל אי-יציבות אספקת החשמל בהאיטי.
מכליות הדלק חזרו לבצע משלוחים כחודש בלבד לפני האסון.
מכלית דלק שנשאה כ-34,000 ליטר של דלק, אשר ניסתה להימנע מהתנגשות באופנוע, התהפכה, והדלק שנשאה נשפך.
חלק מקורבנות הפיצוץ היו אזרחים, שניסו לאסוף את הדלק כאשר התפוצץ.
הפיצוץ גרם לשרפת כעשרים בתים, ולנזקים לעסקים ולרכבים.
כבאים הוזעקו למקום האירוע, אך נאלצו לקרוא לתגבור בשל מחסור במים.
לאחר הפיצוץ, נפצעו מספר אנשים כתוצאה מרמיסה.
קורבנות האירוע הובהלו לבתי חולים קטנים יותר ומצוידים פחות, לאחר שבתי החולים הגדולים בעיר הושבתו בחודש נובמבר, בעקבות התקפת כנופיות.
בתי החולים אליהם נשלחו הקורבנות לא הצליחו להתמודד עם כמות הקורבנות, בשל מחסור בציוד בסיסי.
בעיר הוקמו מספר בתי חולים שדה.
קרן החירום הבין-לאומית של האומות המאוחדות לילדים שלחה ציוד רפואי לטיפול בכוויות.
ראש ממשלת האיטי, אריאל אנרי, הכריז על שלושה ימי אבל לאומיים בשל האירוע.
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, ההתפלגות הבטא-בינומית היא משפחה של התפלגויות הסתברות בדידות עם תומך סופי של מספרים שלמים לא שליליים.
נתונה סדרה עם מספר קבוע מראש של ניסויי ברנולי בלתי תלויים כאשר ההסתברות ל"הצלחה" בסדרת הניסויים היא אקראית ולקוחה מההתפלגות בטא.
המשתנה המקרי הבטא-בינומי הוא מספר ה"הצלחות" בסדרה.
המשתנה המקרי הבטא-בינומי משמש לעיתים קרובות בסטטיסטיקה בייסיאנית, בשיטות בייס אמפיריות ובסטטיסטיקה קלאסית, כאשר יש פיזור יתר בנתונים בהשוואה למשתנה בינומי.
ההתפלגות הבטא-בינומית היא גרסה חד-ממדית של התפלגות דיריכלה-מולטינומית, זאת בהמשך לכך שההתפלגויות הבינומית והביתא הן גרסאות חד-ממדיות של ההתפלגויות המולטינומית ודיריכלה בהתאמה.
מקרה מיוחד שבו הפרמטרים α ו- β הם מספרים שלמים ידוע גם בתור ההתפלגות ההיפרגאומטרית השלילית.
ההתפלגות הבטא-בינומית היא התפלגות מורכבת (מהתפלגות בטא והתפלגות בינומית).
נניח שמשתנה מקרי לקוח מהתפלגות בטא, ואז בהינתן , המשתנה מקרי לקוח מהתפלגות בינומית, .
במקרה כזה הוא משתנה מקרי בטא-בינומי ונכתוב .
נוכל לקבל באופן הבא את פונקציית ההסתברות של .
נשתמש בתכונות של פונקציית בטא, כדי לקבל
ניתן למדל משתנה מקרי בטא בינומי במקרה שבו הפרמטרים α ו- β הם שלמים חיוביים באמצעות המודל המכונה הכד של פוליה.
נתון כד המכיל כדורי α אדומים וכדורי β שחורים, ובכל פעם מוציאים כדור אקראי מהכד.
אם הוצא כדור אדום, אז שני כדורים אדומים מוחזרים לכד.
באופן דומה, אם הוצא כדור שחור, אז שני כדורים שחורים מוחזרים לכד.
אם חוזרים על תהליך ההוצאה וההחזרה n פעמים ומגדירים משתנה מקרי כמספר הפעמים שמוצא כדור אדום מהכד, אז הוא משתנה מקרי בטא-בינומי, .
לעומת זאת, אם מוציאים מהכד כדורים אקראיים עם החזרה (מחזירים רק את הכדור שהוצא), אז מספר הפעמים שמוצא כדור אדום מהכד הוא משתנה מקרי בינומי.
בנוסף, אם מוציאים את הכדורים ללא החזרה, אז מספר הכדורים האדומים שמוצא מהכד הוא משתנה היפרגאומטרי.
כאשר היא ההתפלגות האחידה הבדידה .
כאשר ו- ו- היא ההתפלגות הבינומית .
כאשר היא ההתפלגות הבינומית השלילית .
בתורת ההסתברות וסטטיסטיקה התפלגות גאמבל משמשת כמודל הסתברותי של ערכי קיצון (מקסימום או מינימום) של מספר דגימות של התפלגויות.
ניתן להשתמש בהתפלגות כמודל הסתברותי של הערך המקסימלי של הזרימה בנהר בשנה מסוימת בהינתן ערכי המקסימום בעשר השנים האחרונות או לאומדן הסיכון לרעידת אדמה קיצונית, שיטפון או אסון טבע אחר.
היישום של התפלגות גאמבל לייצוג התפלגות ערכי מקסימום קשור לתאוריית ערכים קיצוניים.
התפלגות גאמבל היא מקרה פרטי של התפלגות הערכים הקיצונית המוכללת (הידועה גם בשם התפלגות פישר-טיפט).
היא ידועה גם בשם התפלגות לוג-ווייבול והתפלגות מעריכית כפולה (מונח שמשמש לפעמים במקום התפלגות לפלס).
התפלגות גאמבל נקראת על שמו של אמיל יוליוס גאמבל (1891 – 1966).
פונקציית צפיפות ההסתברות של ההתפלגות גאמבל היא
ופונקציית ההתפלגות המצטברת שלה היא
התפלגות גאמבל סטנדרטית מוגדרת כהתפלגות גאמבל עם פרמטרים ו , כלומר פונקציית צפיפות הסתברות שלה היא
במקרה זה השכיח הוא 0, החציון הוא , הממוצע הוא ( קבוע אוילר-מסקרוני), וסטיית התקן היא .
השכיח הוא μ, החציון הוא והתוחלת נתונה על ידי , כאשר הוא קבוע אוילר-מסקרוני.
סטיית התקן היא כלומר .
בנקודת השכיח, , הערך של הוא , ללא קשר לערך של .
אִם הם משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות המתפלגים גאמבל עם פרמטרים אז הוא משתנה מקרי המתפלג גאמבל עם פרמטרים .
אִם הם משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות כך שלמשתנה יש אותה התפלגות כמו לכל המספרים הטבעיים , אז מתפלג גאמבל עם פרמטר קנה מידה .
אִם מתפלג גאמבל, אזי ההתפלגות המותנית של Y = − X בהינתן ש- Y חיובי, או לחלופין בהינתן ש- X שלילי, יש התפלגות גומפרץ.
פונקציית ההתפלגות המצטברת, G, של Y קשורה לפונקציית ההתפלגות המצטברת, F, של X, על ידי הנוסחה עבור y > 0. כתוצאה מכך, הצפיפויות קשורות זו לזו על ידי : צפיפות גומפרץ פרופורציונלית לתמונת הראי של פונקציית צפיפות התפלגות של גומבל המוגבלת לחצי הישר הממשי החיובי.
אם X הוא משתנה מקרי מתפלג מעריכית עם תוחלת 1, אז log( X ) מתפלג התפלגות גאמבל סטנדרטית.
אִם ו והם בלתי תלויים אז להפרש שלהם התפלגות לוגיסטית .
גאמבל הראה שהערך המקסימלי במדגם של משתנים מקריים המתפלגים התפלגות מעריכית בחיסור של הלוגריתם הטבעי של גודל המדגם שואף להתפלגות גאמבל ככל שגודל המדגם גדל.
באופן קונקרטי, תהי התפלגות ההסתברות של ו ההתפלגות המצטברת שלו.
אז הערך המקסימלי מבין דגימות של קטן מ אם ורק אם כל הדגימות קטנות מ .
אז ההתפלגות המצטברת של הערך המקסימלי מקיים
וכן, לערכי גדולים, צד הימני מתכנס ל .
בהידרולוגיה, לפיכך, התפלגות גאמבל משמשת לניתוח משתנים כמו ערכי מקסימום חודשיים ושנתיים של כמות גשם יומית וספיקה של זרימת מים בנהר, וכן לתיאור של בצורות.
גמבל גם הראה שהאומד עבור ההסתברות לאירוע, כאשר r הוא הדירוג של הערך הנצפה בסדרת הנתונים ו- n הוא המספר הכולל של התצפיות, הוא אומד לא מוטה של ההסתברות המצטברת סביב השכיח של ההתפלגות.
התפלגות גאמבל מופיעה גם בבעיית אוסף הקופונים.
בלמידת מכונה, לעיתים משתמשים בהתפלגות גאמבל כדי ליצור דוגמאות מההתפלגות הקטגוריאלית.
ספציפית, יהיו ממשיים אי- שליליים, לא כולם אפס, ותהיינה דגימות בלתי-תלויות מהתפלגות גאמבל סטנדרטית.
על ידי אינטגרציה מתקבל כלומר,
לחלופין בהינתן , נוכל לדגום מהתפלגות בולצמן על ידי משוואות קשורות כוללות:
כלומר, התפלגות גאמבל היא משפחת התפלגויות מקסימלית יציבה.
כיוון שפונקציית השברונים (הפונקציה ההופכית לפונקציית התפלגות מצטברת), , של התפלגות גאמבל נתונה על ידי
הווריאט מתפלג גאמבל עם פרמטרים ו כאשר המשתנה המקרי נדגם מהתפלגות אחידה רציפה על האינטרוול .
בתורת ההסתברות, התפלגות בינומית של פואסון היא התפלגות בדידה של סכום משתנים מקריים בעלי התפלגות ברנולי, כאשר המשתנים המקריים לא בהכרח מתפלגים בהתפלגות זהה.
ההתפלגות נקראת על שמו של סימאון דני פואסון שהציג אותה לראשונה במאמר בשנת 1837.
ההתפלגות מתארת את מספר ההצלחות ב-n ניסויי ברנולי בלתי תלויים, עם תוצאה הצלחה או כישלון כאשר ההסתברות להצליח בניסוי ה-i היא , ואינו תלוי בניסויים אחרים.
ההתפלגות הבינומית היא מקרה פרטי של התפלגות בינומית של פואסון, בו כל הסתברויות ההצלחה זהות בין הניסויים, כלומר .
ההסתברות לקבל מספר הצלחות k מתוך n ניסוי ברנולי מתוארת על ידי הסכום
כאשר היא קבוצת כל תתי הקבוצות בגודל k שניתן לבחור מתוך .
כל קבוצה A כוללת בחירה של k ניסויים מתוך ה-n האפשריים.
היא הקבוצה המשלימה ל-A וכוללת את כל הניסויים מתוך ה-n האפשריים שלא נבחרו לקבוצה A.
הגודל של קבוצה זו הוא בהתאמה .
הוא ההסתברות להצלחה בניסוי ה-i.
פונקציית ההסתברות ופונקציית ההסתברות הצוברת עבור 30 ניסויים.
השוואה בין התפלגות בינומית של פואסון כך שההסתברות להצלחה בכל ניסוי מוגרלת בהתפלגות אחידה לבין התפלגות בינומית עם הסתברות הצלחה שהיא ממוצע הסתברויות ההצלחה שהוגרלו לבין התפלגות פואסון עם קבוע שהוא סכום הסתברויות ההצלחה שהוגרלו.
במקרים בהם מספר הניסויים גדול, היא קבוצה גדולה לחישוב ישיר של ההסתברות.
דרך נוספת לחישובה, במקרה שאף אחת מההסתברויות להצלחה לא שווה ל-1 היא באמצעות נוסחת רקורסיה
נוסחה זו אינה יציבה נומרית, ולא כדאי להשתמש בה עבור ערכי גדולים (ככלל אצבע אפשר להשתמש עד ).
חישוב באמצעות אלגוריתם הפרד ומשול
שיטת חישוב נוספת היא באמצעות אלגוריתם הפרד ומשול.
כאשר היא ההתפלגות הבינומית של פואסון לניסויים i עד j עם הסתברויות להצלחה, .
השיטה כוללת חישוב קונבולוציה של וקטורים עם הסתברות הצלחה וכישלון .
שיטה זאת ניתנת ליישום באלגוריתם הקונבולוציה הישירה (direct convolution (DC) algorithm).
האלגוריתם מחזיר את ההסתברות לכל ובהתאמה עבור k ספציפי ההסתברות מתקבלת ב-PMF[k].
אלגוריתם זה הוא יעיל ומהיר גם ל-n גדול (עד בערך ) והוא יכול להיות מהיר גם ל-n גדול יותר כתלות ב-.
חישוב באמצעות התמרת פורייה בדידה
דרך נוספת לחישוב ההסתברות היא באמצעות התמרת פורייה בדידה
פונקציית ההסתברות המצטברת מחושבת על ידי
כאשר היא קבוצת כל תתי הקבוצות בגודל של ניסויים שניתן לבחור מתוך סך n הניסויים.
מכיוון שפונקציית ההסתברות המצטברת ל-k היא סכום ההסתברויות לקבל ערכים שקטנים מ-k, ניתן להיעזר בשיטת החישוב עם אלגוריתם DC ולסכום את כל התוצאות מהאינדקס הראשון 0 ועד ל-k (כולל).
התוחלת של משתנה בינומי של פואסון הוא סכום התוחלות של כל משתני הברנולי המייצגים את n הניסויים.
מכיוון שהניסויים בלתי תלויים והתוחלת ליניארית התוחלת של המשתנה תהיה סכום התוחלות של כל משתנה ברנולי עם הסתברות להצלחה .
באותו אופן גם השונות תהיה סכום השונויות של כל משתני הברנולי
אין נוסחה פשוטה לחישוב האנטרופיה, אך מחקרים קודמים מצאו תכונות שיכולות לסייע במקרים מסוימים.
האנטרופיה של התפלגות בינומית של פואסון חסומה התפלגות בינומית עם אותו מספר הפרמטרים (אותו מספר הניסויים) עם אותה התוחלת.
השערת הקעירות של שפ-אולקין (Shepp–Olkin concavity conjecture), שהוצגה על ידי לורנס שפ ואינגרם אולקין בשנת 1981, והוכחה על ידי ארוואן היליון ואוליבר ג'ונסון בשנת 2015, מראה כי האנטרופיה היא פונקציה קעורה של הסתברויות ההצלחה של כל אחד מהניסויים .
השערה נוספת מאותו המאמר המכונה השערת המונוטוניות של שפ–אולקין (Shepp–Olkin monotonicity conjecture) מראה כי כאשר כל האנטרופיה היא פונקציה מונוטונית עולה ב-, גם השערה זאת הוכחה על ידי היליון וג'ונסון בשנת 2019.
נניח ניסוי שבו נערך מבחן בכיתה בה 30 תלמידים, כל תלמיד יכול לעבור את המבחן או להיכשל בו.
במקרה שבו הכיתה זהה לגמרי כך שההסתברות להצלחה של כל תלמיד להצליח זהה ובלתי תלויה באחרים, נוכל לתאר את הניסוי על ידי התפלגות בינומית.
במקרה בו ההסתברות של כל תלמיד להצליח במבחן שונה וגם אינה תלויה בתלמיד אחר, כלומר לכל תלמיד הסתברות הצלחה שונה, נתאר את הניסוי בעזרת התפלגות בינומית של פואסון.
נניח שלתלמיד ה- יש הסתברות הצלחה של .
נחשב את התוחלת של ההתפלגות:
כלומר מספר התלמידים הצפוי לעבור את המבחן במקרה שנבצע את הניסוי מספר רב של פעמים הוא 27.
נשווה למקרה בו הכיתה הייתה מתפלגת בינומית, וההסתברות של כל תלמיד להצליח הוא ממוצע ההסתברויות מההתפלגות המקורית, כלומר
במקרה זה התוחלת של הניסוי הייתה .
נשים לב כי קיבלנו תוחלת זהה להתפלגות הבינומית של פואסון, כלומר מספר העוברים (במקרה של ביצוע הניסוי מספר רב של פעמים) זהה בין ההתפלגויות ושווה לבערך 27. זה לא מקרי שכן אופן החישוב של תוחלת ההתפלגות הבינומית הוא מכפלת כמות התלמידים בהסתברות להצלחה.
אך הסתברות זאת היא בדיוק סכום הסתברויות ההצלחה של ההתפלגות הבינומית של פואסון (שהוא התוחלת של התפלגות זאת) לחלק למספר הניסויים.
נחשב את השונות של ההתפלגות:
בנוסף נחשב במקרה של ההתפלגות הבינומית המתאימה
נשים לב כי השונות גבוהה יותר במקרה של ההתפלגות הבינומית הסטנדרטית.
במקרה שתיארנו ככל שנבצע יותר ניסויים נתקרב למספר תלמידים שהצליחו כמו התוחלת שיצאה זהה בשני המקרים.
אך בהתפלגות הבינומית של פואסון, שבמקרה זה נותנת להרבה תלמידים הסתברות גבוהה יותר להצליח לעומת ההסתברות להצליח במקרה הבינומי, נקבל שונות נמוכה יותר שמצביעה על פיזור נמוך יותר ביחס לתוחלת.
ההתפלגות הבינומית הסטנדרטית היא מקרה פרטי של ההתפלגות הבינומית של פואסון כאשר ההסתברות להצלחה בכל הניסויים זהה.
כתוצאה מכך את ההתפלגות הבינומית של פואסון ניתן לשערך באמצעות התפלגות בינומית סטנדרטית כאשר ההסתברות להצלחה בכל הניסויים זהה ושווה לתוחלת של ההתפלגות הבינומית של פואסון, כלומר התוחלת של .
כמו כן, השונות של ההתפלגות הבינומית של פואסון ניתנת לחישוב על ידי השונות של ההתפלגות הבינומית הרגילה על ידי המרחק של כל הסתברות להצלחה מהתוחלת ובפרט
המקסימום של השונות מתקבל כאשר לכל i, ובפרט כאשר ההתפלגות זהה להתפלגות הבינומית.
הקשר בין השונויות מאפשר לשים חסם על מרחק השונות הכוללת של ההתפלגות הבינומית וההתפלגות הבינומית של פואסון מה שבעצם מאפשר לחסום את השגיאה בהערכת ההתפלגות הבינומית של פואסון בעזרת ההתפלגות הבינומית הסטנדרטית.
נגדיר את כאשר היא התוחלת של כל ה- ואת להיות המרחק השונות הכוללת בין ההתפלגויות ואז
מכאן שהמרחק שואף ל-0 אם ורק אם שואף ל-1.
ההתפלגות הבינומית של פואסון (נסמן ב-) ניתנת לשערוך באמצעות התפלגות פואסון עם תוחלת .
ברבור והול הראו שניתן לחסום את המרחק שונות הכוללת בין התפלגויות אלו על ידי
במקרה זה ניתן לראות שככל ש- קטנים יותר כך גם מרחק השונות הכוללת בין ההתפלגויות ובפרט השערוך של התפלגות פואוסן את ההתפלגות הבינומית של פואסון.
בנוסף, ניתן לחסום את השונות של ההתפלגות הבינומית של פואסון על ידי השונות של התפלגות פואסון.
השונות של התפלגות פואסון היא והשונות של התפלגות בינומית של פואסון היא
ונשים לב כי אכן מתקיים .
במתמטיקה, התפלגות גאוס-קוזמין היא התפלגות בדידה המתארת את השכיחות האסימפטוטית של המקדמים בפיתוח לשבר משולב פשוט של משתנה מקרי המתפלג באופן אחיד בקטע (1, 0).
ההתפלגות נקראת על שם קרל פרידריך גאוס, שגזר אותה בסביבות 1800, ורודיון קוזמין, אשר הוכיח חסם עליון על קצב ההתכנסות שלה ב-1929. היא נתונה על ידי פונקציית ההסתברות
הפיתוח לשבר משולב פשוט של המשתנה המקרי x, המתפלג באופן אחיד בקטע (1, 0).
באופן שקול, יהי הזנב ה-n של השבר המשולב המייצג את x,
מתכנס לאפס כאשר n שואף לאינסוף.
שתי הגרסאות השקולות של משפט גאוס-קוזמין מתייחסות לפונקציות ההתפלגות (הבדידה) של מקדמי השבר המשולב ולפונקציות ההתפלגות המצטברת (הרציפה) של זנב השבר המשולב (בין 0 ל-s), בהתאמה.
הגרסה הראשונה נובעת מן השנייה מכיוון שהשכיחות של המספר הטבעי בשבר המשולב היא בדיוק ההסתברות ש- יימצא בין ל-.
ב-1928, קוזמין הוכיח את החסם
מאוחר יותר, אדוארד וירסינג הראה שבעבור ...λ = 0.30366 (קבוע גאוס-קוזמין-וירסינג), הגבול
קיים בעבור כל s ב-[1, 0], ושהפונקציה Ψ(s) היא אנליטית ומקיימת Ψ(0) = Ψ(1) = 0. חסמים נוספים הוכחו על ידי K.
התפלגות מקסוול-בולצמן היא התפלגות המשמשת בפיזיקה ובכימיה לתיאור התפלגות גודל של וקטור, שכל אחד מרכיביו מתפלג באופן נורמלי ובלתי תלוי.
השימוש הנפוץ ביותר שלה הוא לתיאור התפלגות המהירויות של חלקיקים בגז אידיאלי, אך היא יכולה לתאר, בשינוי הפרמטרים, גם, לדוגמה, את התפלגות התנע או האנרגיה שלהם.
ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאי הסקוטי ג'יימס קלרק מקסוול והפיזיקאי האוסטרי לודוויג בולצמן.
באופן פורמלי, אם הם משתנים מקריים נורמליים בלתי-תלויים בעלי תוחלת 0 וסטיית תקן אז המשתנה המקרי המוגדר על ידי מתפלג לפי התפלגות מקסוול-בולצמן עם פרמטר .
במקרה זה, מתפלג התפלגות כי בריבוע עם שלוש דרגות חופש.
נוסחת צפיפות ההסתברות הכללית להתפלגות מקסוול-בולצמן מובאת בטבלה, אך לרוב משתמשים בווריאציה המתארת את התפלגות גודל המהירות בגז אידיאלי:
התפלגות מקסוול-בולצמן משמשת כבסיס לתיאור תופעות מקרוסקופיות של גז, כגון טמפרטורה, לחץ או דיפוזיה.
ניתן להסיק את ההתפלגות תוך שימוש בכלים של מכניקה סטטיסטית, תחת ההנחות שהגז בנוי מכמות גדולה של חלקיקים כדוריים קשיחים שאינם משפיעים אחד על השני פרט להתנגשויות ביניהם, ובהזנחת אפקטים קוונטיים.
הנחות אלו הן קירוב טוב להתנהגות של גזים אמיתיים בתנאים רגילים, שבהם הלחצים נמוכים והטמפרטורות נמוכות.
ואכן, מדידות בתנאים רגילים מראות התאמה טובה מאוד של התפלגות המהירויות לצפי התאורטי.
עבור המהירות כווקטור, ההתפלגות היא:
ניתן גם להסיק מתוך התפלגות מקסוול-בולצמן של המהירויות את התפלגות האנרגיה.
בדוגמה שלהלן מובא חישוב עבור גז המכיל חלקיקים מסוג אחד בלבד, כך שלכל החלקיקים ישנה אותה מסה.
אם ההסתברות למצוא מולקולה בטווח מהירויות עד היא:
התפלגות נורמלית היא התפלגות חשובה ביותר בסטטיסטיקה תאורטית וביישומיה בכל תחומי המדע.
חשיבותה הרבה נובעת ממשפט הגבול המרכזי, לפיו הממוצע של משתנים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, לאחר תקנון מתאים, מתכנס בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית.