tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
ג'יימס גרפילד, שכיהן כנשיא ארצות הברית במחצית השנייה של המאה ה-19, חיבר בשנת 1876 (טרם בחירתו לנשיא) הוכחה יפה למשפט פיתגורס, המבוססת על הנחת שני עותקים של המשולש ישר-הזווית לאורכו של קו ישר כמודגם בציור משמאל.
מתקבל טרפז, שאת שטחו ניתן לחשב בשני אופנים:
מצד אחד, שטחו שווה ל-, כיוון ששטח טרפז שווה למכפלת גובהו במחצית סכום בסיסיו.
מצד שני, שטחו שווה ל- כי הוא שווה לסכום שטחם של שני המשולשים האפורים והמשולש הלבן שביניהם.
מהשוואת שני הביטויים, המייצגים את אותו שטח, מתקבל משפט פיתגורס.
כאמור, למשפט פיתגורס התפרסמו עשרות רבות של הוכחות המבוססות על שיטות שונות.
רובן הגדול של ההוכחות מבוסס על גאומטריה: חישוב של אותו שטח בשתי דרכים שונות, בחלקן תוך סידור מחדש של השטח; שימוש במשולשים דומים ובמשולשים חופפים; שימוש בקווים מיוחדים במעגל: רדיוס ומשיק.
הוכחות פחות שגרתיות מתבססות על כלים מתמטיים מתקדמים יותר, כמו חשבון דיפרנציאלי ואנליזה ממדית.
דרך אחת להוכחת המשפט היא חישוב שטח של צורה נתונה בשתי דרכים שונות, שההשוואה ביניהן נותנת את משפט פיתגורס.
דוגמה להוכחה בדרך זו, היא הוכחתו של הנשיא גרפילד שהוצגה לעיל.
וריאציה אחרת של שיטה זו, היא חישוב שטח של צורה מסוימת, סידור מחדש של השטח על ידי חיתוך והרכבה, חישוב מחדש של השטח, וכמו קודם, מהשוואת השטחים מתקבל משפט פיתגורס.
דוגמה להוכחה בשיטה זו, היא הוכחתו של לאונרדו דה וינצ'י.
דוגמאות נוספות לגישה זו, בהנפשות הבאות:
אחת הדרכים הנפוצות להוכחת המשפט היא שימוש בחפיפת משולשים, כמו בהוכחתו של אוקלידס, או שימוש בדמיון משולשים, כמו בדוגמה הבאה:
נתון משולש ישר-זווית ABC, כאשר היא הזווית הישרה.
מהקודקוד C מורידים גובה לצלע AB ומקבלים שלושה משולשים דומים: ACB, ADC, CDB.
את המשך ההוכחה ניתן לראות בציור משמאל.
פרשנים טוענים שההוכחה הייתה ידועה לאוקלידס כאשר כתב את "יסודות", אך כיוון שרצה לכלול את משפט פיתגורס כבר בכרך הראשון של ספריו, לפני המשפטים שעוסקים בדמיון משולשים, הוא השתמש בהוכחה מורכבת יותר.
בשימוש בתכונותיהם של הרדיוס והמשיק למעגל, כמו בדוגמה הבאה:
מעגל בעל רדיוס חסום במשולש ABC.
שטח המשולש שווה לסכום שטחי המשולשים הצבעוניים: .
מהשוואת נוסחה זו לנוסחה הרגילה לחישוב שטח משולש מתקבל: .
אורך הצלע c שווה ל .
מהשוואת שני הביטויים שהתקבלו המייצגים את מתקבל משפט פיתגורס.
בגישה זו, אורך אחד הניצבים הוא קבוע ובודקים כיצד משתנה אורך היתר בהתאם לשינוי באורך הניצב השני , כפי שניתן לראות בדיאגרמה משמאל.
באמצעות דמיון משולשים מקבלים את המשוואה: .
ואחרי העברת אגפים, מתקבלת המשוואה הדיפרנציאלית: .
התרתה של משוואה זו (באמצעות אינטגרציה של שני האגפים) מביאה לפתרון:
מכיוון שעבור המקרה שבו מתקבל כי , אזי הקבוע בפתרון הוא בדיוק .
הצבתו של הקבוע במשוואה מביאה לתוצאה הדרושה: .
את משפט פיתגורס ניתן להוכיח גם משיקולים של אנליזה ממדית.
זוויות המשולש הן חסרות ממד; אורכיהן של צלעות המשולש הן מממד L; שטח המשולש הוא מממד L2.
את שטח המשולש ניתן להביע כפונקציה של היתר ושל אחת מהזוויות החדות במשולש שתסומן באות היוונית .
מכיוון ש- חסר ממד, c מממד L והשטח מממד L2 הרי ששטח המשולש ABC שווה ל- .
הגובה מקודקוד C פוגש את הצלע AB בנקודה D.
מאותם שיקולי ממד מקבלים ששטח המשולש ACD שווה ל- ואילו שטח המשולש BCD שווה ל- .
לאחר צמצום בגורם ששונה מ 0 מתקבל משפט פיתגורס.
המשפט ההפוך למשפט פיתגורס נכון גם הוא:
כל משולש שצלעותיו מקיימות את המשוואה a2 + b2 = c2, הוא משולש ישר-זווית.
משפט זה מופיע גם כן בכרך הראשון של ה"יסודות" של אוקלידס, כמשפט 48.
ניתן להוכיח את המשפט באמצעות משפט הקוסינוסים , או באמצעות משפט פיתגורס עצמו, באופן הבא:
יהי ABC משולש שצלעותיו מקיימות את המשוואה
כדי להוכיח שהזווית בין הצלעות a ו-b היא זווית ישרה, בונים משולש ישר-זווית שארכי ניצביו הם a ו-b.
לפי משפט פיתגורס, אורך היתר במשולש החדש הוא c.
מכיוון שאורכי הצלעות במשולש המקורי שווים לאורכי הצלעות במשולש החדש, נובע בהכרח שהמשולשים חופפים ולכן גם הזוויות שלהן שוות.
לכן, המשולש המקורי הוא בהכרח ישר-זווית.
הכללתו של המשפט ההפוך, נותנת כלי פשוט לקביעה האם משולש שצלעותיו , כאשר c הצלע הארוכה ביניהן, הוא חד-זווית, ישר-זווית או קהה-זווית:
אם a2 + b2 = c2 אז המשולש הנתון הוא ישר-זווית.
אם a2 + b2 > c2 אז המשולש הנתון הוא חד זווית.
אם a2 + b2 < c2 אז המשולש הנתון הוא קהה זווית.
בניסוח קומפקטי, שנוסח על ידי אדסחר דייקסטרה, המבוסס על פונקציית הסימן:
שימושים יומיומיים במשפט פיתגורס יושמו עוד לפני שפיתגורס ניסח אותו.
הוכחות גאומטריות למשפטים מתמטיים שונים
משפט פיתגורס משמש בהוכחת משפטים רבים מתחום הגאומטריה, למשל נוסחת הירון או המשפט ההפוך למשפט פיתגורס.
בטריגונומטריה, משפט פיתגורס מהווה כלי חשוב בהוכחתן של זהויות.
למשל: במשולש ישר-זווית שאורך היתר שלו הוא 1, ואחת מזוויותיו החדות היא x, אורכי הניצבים הם .
ממשפט פיתגורס מקבלים את הזהות .
כמו כן, ניתן להשתמש במשפט פיתגורס כדי לתת הוכחה גאומטרית למשפטים מתחומים אחרים במתמטיקה, כמו המקרה של אי שוויון הממוצעים.
במרחב האוקלידי מגדירים את המרחק במערכת הקואורדינטות הקרטזיות באמצעות משפט פיתגורס:
בהינתן שתי נקודות (x1, y1), (x0, y0) ב-, המרחק האוקלידי ביניהן נתון על ידי הנוסחה:
את הנוסחה הנ"ל ניתן להרחיב גם למרחב האוקלידי ה-n ממדי באופן הבא:
בהינתן הנקודות , ב- , המרחק האוקלידי ביניהן נתון על ידי הנוסחה:
ציוד המרחב האוקלידי בפונקציית מרחק לפי משפט פיתגורס הופכת אותו למרחב מטרי שהמטריקה שלו קרויה "המטריקה האוקלידית".
מושג קרוב למרחק הוא אורך.
במרחב האוקלידי הסטנדרטי האורך מוגדר בדומה למרחק לפי משפט פיתגורס.
האורך האוקלידי של וקטור הוא .
זוהי הנורמה הסטנדרטית המושרת על המרחב האוקלידי כמרחב מכפלה פנימית עם מכפלה סקלרית.
הגדרה בסיסית זו של אורך של וקטור (שהוא קו ישר) מאפשר להגדיר אורך של כל עקומה בעלת אורך.
האורך של עקומה מתקבל על ידי חלוקת העקומה למקטעים ישרים, שאורך כל אחד מהם קטן מ , סכימת האורכים של המקטעים (המחושבים לפי פיתגורס) ולבסוף חישוב הגבול של אורך זה כאשר ערכו של שואף ל-0.
הערך המוחלט של מספר מרוכב מתקבל גם הוא ממשפט פיתגורס.
זהו האורך של המספר כווקטור במישור המרוכב.
בניית שורשים של שלמים בעזרת סרגל ומחוגה
לכל מספר טבעי n, משפט פיתגורס מאפשר לבנות קטע באורך בעזרת סרגל ומחוגה.
כדי לבנות את בונים את היתר של משולש ישר-זווית עם ניצבים באורך 1. כדי לבנות בונים את היתר של משולש יש זווית עם ניצב באורך 1 וניצב באורך וכן הלאה.
באופן כללי, נבנה את השורש של n באינדוקציה.
בהינתן שבנינו כבר את , אז נבנה משולש ישר-זווית עם ניצב באורך זה וניצב באורך 1, ולפי משפט פיתגורס נקבל יתר שאורכו: .
בנייה זו מעידה שהשורשים הריבועיים של המספרים הטבעיים נמצאים בשדה המספרים הניתנים לבנייה.
חישוב ערכים של הפונקציות הטריגונומטריות
משפט פיתגורס מאפשר למצוא ערכים פשוטים של פונקציות טריגונומטריות.
הערכים של קוסינוס וסינוס (ולכן גם טנגנס) בזוויות 30°,45°,60° מתקבלים ממשפט פיתגורס בקלות.
כדי למצוא את ערכי הפונקציות בזווית 45° בונים משולש ישר-זווית שהוא גם שווה-שוקיים.
לשם הפשטות קובעים כי אורכי הניצבים הם 1. זוויות הבסיס במשולש שוות ולכן הן 45° (כי סכום הזוויות במשולש הוא 180°).
לפי משפט פיתגורס אורך היתר הוא , ולכן מהגדרת הפונקציות הטריגונומטריות במשולש נובע ש-
כדי למצוא את ערכי הפונקציה בזוויות 30° ו-60° מתחילים ממשולש שווה-צלעות שכל צלעותיו הן באורך 2. מכיוון שהמשולש שווה-צלעות כל זוויותיו הן בנות 60°.
כעת מורידים גובה מאחד הקודקודים.
הגובה הוא גם חוצה זווית ולכן מתקבל משולש שזוויותיו הן 90°-60°-30°.
הגובה הוא גם תיכון ולכן למשולש שהתקבל ניצב באורך 1 (מול הזווית 30°) ויתר באורך 2. לפי משפט פיתגורס אורך הניצב השני (מול הזווית 60°) הוא .
לכן מקבלים ש- וכן .
למשפט פיתגורס ישנן הכללות רבות, חלקן היו ידועות עוד בימי קדם.
הכללות חדשות ממשיכות להתגלות, כאשר מתמטיקאים בוחנים את ההוכחות השונות של המשפט ומנסים להכלילן.
הכללות אלו ניתן לסווג בשלוש קטגוריות:
הכללות של המשפט למשולש כלשהו, (לאו דווקא ישר-זווית) ולמצולעים שונים (לאו דווקא משולש).
משפטים דומים, בהם על צלעות המשולש בונים צורה גאומטרית כלשהי, (לאו דווקא ריבוע).
הכללות לגאומטריה אוקלידית מממדים גבוהים יותר (לאו דווקא גאומטריה מישורית).
הכללות למשולש כלשהו ולמצולעים שונים
ההכללה הידועה ביותר של משפט פיתגורס למשולש כללי היא משפט הקוסינוסים.
בגרסתו המוכרת, ניסוחו של משפט הקוסינוסים הוא:
כאשר היא הזווית מול .כאשר היא זווית ישרה, מתקבל משפט פיתגורס (כי )
למשפט גרסה מוקדמת יותר, המופיעה גם היא ב"יסודות" של אוקלידס ואינה כוללת פונקציות טריגונומטריות:
על כל אחת מהצלעות AB, BC, CA של משולש ABC מונחים ריבועים ABOM, BCIG, CAJL בהתאמה.
מכל קודקוד מועבר גובה לצלע ממול החותך גם את הריבוע המונח על צלע זו.
ניתן להציג שוויונות אלו במשולש חד זווית גם באופן הבא: .
(מכיוון ש מתקבל משפט הקוסינוסים בגרסתו המוכרת)
בגרסה זו ברור יותר הקשר בין משפט הקוסינוסים למשפט פיתגורס: אם הזווית ACB היא זווית ישרה, אז הישר KE מתלכד עם הישר LC ואילו הישר DH מתלכד עם הישר CI, כלומר ומתקבל משפט פיתגורס.
התיכון מהקודקוד A במשולש ABC חוצה את הצלע BC בנקודה D.
משפט התיכון קובע כי .
במקרה הפרטי שבו המשולש הוא שווה-שוקיים :
הכללה נוספת למשולש כללי, נתונה במשפט הבא המיוחס למתמטיקאי הערבי ת'אבת אבן קורה בן המאה התשיעית:
מקודקוד A יוצאים שני ישרים החותכים את הצלע BC בנקודות g, h, כך ש
(בציור משמאל, דוגמה עבור המקרה הפרטי שבו היא זווית קהה).
במקרה הפרטי, שבו הזווית היא זווית ישרה, הנקודות g, h מתלכדות, ואז ומתקבל משפט פיתגורס.
המתמטיקאי האמריקאי לארי היין פרסם בשנת 2000 משפט המכליל את משפט פיתגורס, במשולש שווה-שוקיים:
נתון משולש שווה-שוקיים שאורך השוק שלו הוא c.
ישר באורך a המחבר את זווית הראש והבסיס חוצה את הבסיס לשני קטעים שאורכיהם b, d.
במקרה הפרטי שבו הישר הפנימי הוא גובה (ולפי משפט ידוע בגאומטריה, גם תיכון),
מתקיים ש ומתקבל משפט פיתגורס.
הכללה למשפט פיתגורס, ניתן למצוא כבר ב"יסודות" של אוקלידס:
אם על צלעותיו של משולש ישר-זווית מונחות צורות דומות, אזי סכומם של שני השטחים הקטנים, שווה לשטח הגדול.
בצורה פורמלית יותר: אם על צלעות משולש ישר-זווית שאורכי צלעותיו הן בונים צורות ששטחיהן A,B,C כך ש , אזי .
משפט תלמי בגאומטריה קובע שאם מרובע ABCD הוא ציקלי, כלומר ניתן לחסום אותו במעגל,
במקרה הפרטי שבו המרובע הנדון הוא מלבן שאורכי צלעותיו ואלכסוניו הם: ,
, , מתקבל משפט פיתגורס.
מקביליות הבנויות על צלעות משולש כללי
על הצלעות AC ו-BC של משולש ABC, בונים מקביליות ACED ו-BCGF בהתאמה.
הקרנות DE ו-FG נחתכות בנקודה H.
על הצלע AB בונים מקבילית ABJI שצלעותיה AI, BJ, מקבילות לקטע CH ושוות לו באורכן.
הוכחה זו מופיעה בספר הרביעי בסדרת האסיף המתמטי של פאפוס מאלכסנדריה.
במקרה הפרטי, בו המשולש הוא ישר-זווית, והמקביליות הן ריבועים, מתקבל משפט פיתגורס.
המתמטיקאי האמריקאי ויליאם האזארד פרסם בשנת 1929 הכללה להוכחתו של המתמטיקאי ההודי אריאבהטה למשפט פיתגורס.
המקבילית ABCD חסומה במקבילית PNMQ, כלומר על כל אחת מצלעות המקבילית PNMQ מונח קודקוד של המקבילית ABCD.
מקודקוד A מעבירים ישר מקביל לקטעים MN, QP החותך את הצלע QM בנקודה S.
מקודקוד B מעבירים ישר מקביל לקטעים MQ, NP החותך את הצלע PQ בנקודה K.
הישרים AS, BK נחתכים בנקודה Y.
כאשר שתי המקביליות הן ריבועים, מתקבל משפט פיתגורס (כמו בהוכחתו של אריאבהטה).
גאומטריה מסדר גבוה יותר ומרחבים נורמיים
משפט דה גואה, על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ז'אן דה-גואה דה-מלבס, הוא הכללה של משפט פיתגורס לשלושה ממדים.
המשפט קובע שאם לפירמידה משולשת יש פינה ישרה, כלומר:
אז סכום ריבועי השטחים של הפאות היוצרות את הפינה הישרה, שווה לריבוע הפאה הרביעית, כלומר:
משפט אנלוגי קיים גם בממד רביעי ומעלה.
משפט פיתגורס במרחב מכפלה פנימית
אם u ו-v הם וקטורים אורתוגונליים (מאונכים) במרחב מכפלה פנימית, אזי
באמצעות אינדוקציה מתמטית, ניתן להרחיב את הכלל למספר סופי כלשהו של וקטורים, כך שכל שניים מהם מאונכים זה לזה:
יהיו v1, v2,…, vn וקטורים במרחב מכפלה פנימית כך ש
משפט פיתגורס בגאומטריה לא אוקלידית
הגאומטריה האוקלידית מבוססת על מספר אקסיומות (שנוסחו תחילה על ידי אוקלידס ותוקנו בהמשך על ידי דויד הילברט), בהן אקסיומת המקבילים, לפיה בהינתן ישר ונקודה P שאיננה על הישר, ניתן להעביר דרך P ישר אחד בלבד המקביל ל- .
משפט פיתגורס נובע מהאקסיומות של הגאומטריה האוקלידית.
למעשה, בגאומטריה האוקלידית, משפט פיתגורס שקול לאקסיומת המקבילים, כלומר: בהינתן האקסיומות של הגאומטריה האוקלידית ללא אקסיומת המקבילים ובתוספת משפט פיתגורס, ניתן להוכיח את אקסיומת המקבילים, ומכאן, גם את כל שאר המשפטים של הגאומטריה האוקלידית.
משפט פיתגורס, בניסוחו המוכר, לא תקף בגאומטריות שאינן אוקלידיות, אך יש לו גרסאות שמותאמות לגאומטריות אלו.
בגאומטריה הספירית אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה הבאה:
בהינתן ישר ונקודה P שאיננה על הישר, לא ניתן להעביר דרך P אף ישר המקביל ל- .
בגאומטריה הספירית, המשולשים (וכל שאר העצמים המתמטיים) נמצאים על פני ספירה.
כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא:
כדי להבין מדוע משפט זה אכן מהווה את המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה לטור מקלורן:
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הספירית", מקבלים:
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם , מקבלים את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית כאשר מאפשרים לרדיוס הכדור לשאוף לאינסוף ():
בגאומטריה ההיפרבולית, את אקסיומת המקבילים מחליפה האקסיומה: בהינתן ישר ונקודה P שאיננה על הישר, ניתן להעביר דרך P לפחות שני ישרים המקבילים ל- .
במישור היפרבולי בעל עקמומיות 1-, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא: כאשר cosh הוא הקוסינוס ההיפרבולי.
גם כאן, על ידי שימוש בטור מקלורן, כאשר מקבלים את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית.
בדיאלוג הסוקרטי "מנון", שכתב הפילוסוף היווני אפלטון שחי בין תקופתו של פיתגורס לזו של אוקלידס, מוצגת הבעיה של בניית ריבוע כפול בשטחו מריבוע נתון.
הפתרון הוא למעשה הוכחה למקרה הפרטי של משפט פיתגורס למשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים.
תחום עניין מעט יוצא דופן בפועלו של קרל פרידריך גאוס, היה חקר האפשרות של קיום חיים מחוץ לכדור הארץ.
גאוס העלה רעיון לזרוע במדבר סהרה שטח מוריק בן מאות קמ"ר בצורת תרשים של משפט פיתגורס.
אם יבחינו החוצנים בטלסקופים שלהם בצורה הזאת, הם יבינו כי הסבירות שהיא מקרית נמוכה ביותר ויסיקו שיצרה אותה ציוויליזציה מתקדמת.
משפט פיתגורס זוכה לאזכורים רבים בסדרות טלוויזיה ובסרטי קולנוע.
בסרט "הקוסם מארץ עוץ", כאשר הדחליל מקבל מוח מהקוסם, הדבר הראשון שהוא עושה הוא לצטט את משפט פיתגורס.
הוא מצטט את המשפט עם שגיאות מרובות, אך המסר ברור: מי שיודע את משפט פיתגורס לא יכול להיות חסר מוח (סצנה זו אינה קיימת בספר).
משפט פריז, המכונה במקורות היהודים גם "ויכוח פריז" או "ויכוח רבינו יחיאל מפאריש", היה דיון משפטי שהתקיים בארמון לואי התשיעי מלך צרפת ב־12 ביוני 1240. הוא עסק בהאשמה של היהודים על הכתוב בתלמוד ובסופו, חבר השופטים הנוצרי מצא את התלמוד אשם בדין וגזר על שריפת התלמוד.
בשנת 1215 התכנסה הכנסייה לוועידה מכרעת בשאלת היהודים והמוסלמים – ועידת לטראנו הרביעית.
בהחלטות נקבע שיש לאסור על יהודים לעסוק בתפקידים ציבוריים וכן שיהודים ומוסלמים ילבשו בגד מיוחד שיזהה אותם ויבדילם מן הנוצרים.
עקב כך חויבו היהודים לשאת על בגדיהם טלאי בצבעי אדום ולבן.
בהתאם להחלטות ועידת הכנסייה, החליט האפיפיור לפעול ביד קשה כנגד המוסלמים והיהודים וגם כנגד הנוצרים שסטו מהדוגמה הקתולית, המינים.
באותה תקופה העבירו יהודים מומרים לעיונם של מלומדים נוצריים כמו פייר המכובד קטעים מהתלמוד ומהברייתא, הצביעו לפניהם על מספר רב של אגדתות המכילות הגשמת אלוהים ועל דינים שבהם יחס שלילי ביותר למי שאינם יהודים.
גם דברי האגדה שבהם מוטחים דברים קשים בישו ובנוצרים זכו לתשומת לב.
בה בעת, התחזקו שני מסדרים נוצריים חשובים, של הפרנציסקנים ושל הדומיניקנים, שהרבו לעסוק בפעולות של הטפה וכפייה דתית והיו בעלי מאפיינים של שנאת היהדות.
בוועידה הוחלט להעמיד את היהודים לדין על הכתוב בתלמוד.
הנוצרים לא יכלו לשפוט את היהודים על הכתוב בתנ"ך, הואיל והתנ"ך הוא גם חלק מכתבי הקודש הנוצריים.
רק מלך צרפת, לואי התשיעי, הסכים לשתף פעולה עם דרישותיו של האפיפיור.
המשפט התנהל בפריז בחודש יוני שנת 1240, לעיני מלך צרפת.
בראש חבר השופטים ישבה המלכה בלאנש מקסטיליה ולצידה אנשי כמורה בכירים כמו ההגמונים מפריז ומסנס (Sens), האינקוויזיטור מקלן, נשיא האוניברסיטה וניקולס דונין.
את היהדות ייצגו ארבעה נציגים של יהודי צרפת ובראשם רבי יחיאל מפריז ועימו רבי משה מקוצי, מחבר ספר מצוות גדול, רבי יהודה ב"ר דוד ממילון ורבי שמואל ב"ר שלמה משאטא-טיער (Château-Thierry).
ייתכן שאת כתב ההגנה חיבר רבי יוסף בן נתן אופיציאל (Official) בעל ספר יוסף המקנא.
בין שאר ציטוטיו, השתמש דונין באמרה "טוב שבגוים הרוג", ובאמרה "אסור ליתן לגוי מתנת חנם משום 'לא תחנם', ואסור ליהודי לומר כמה נאה גוי זה".
לגבי הדברים בגנותו של ישו, השיבו הרבנים כי המדובר הוא באדם אחר ששמו ישו: , וביססו את תשובתם על כך שישו מוזכר בתלמוד כתלמידו של יהושע בן פרחיה, שחי כמה דורות לפני תקופת ישו על פי הכרונולוגיה הנוצרית.
בגלל אופיו של המשפט וזהותם של השופטים, הרבנים המשיבים היו מוגבלים בחופש הביטוי, ונזקקו לעיתים לפרשנות חופשית ויצירתית על מנת להדוף את הטענות שהוטחו בהם.
ההבחנה בין גויים שבתלמוד לבין נוצרים שבה הסבירו הרבנים את אי הרלוונטיות של הדינים שציטט דונין אפשר שהייתה טקטית לצורך המשפט בלבד.
הספרות ההלכתית לא מבדילה ברובה בין עובדי עבודה זרה לבין הנוצרים הקתולים.
אומנם יש מקורות שהשתמשו בהבחנה זו באופן חלקי, אך הרבנים המתווכחים עשו בה שימוש גורף.
עם זאת, יש חוקרים שטענו שהצורך להצטדק במשפט גרם להפנמה כנה של השקפות סובלניות, דבר שהחוקרים מנסים לאפיין בו במיוחד את רבי מנחם המאירי, חמישים שנה אחר כך.
בסיום המשפט מצא חבר השופטים את התלמוד אשם בדין, ודן אותו לשריפה.
ניסיונותיהם של היהודים למנוע את ביצוע גזר הדין נכשלו וכל כתבי היד של התלמוד הוחרמו.
בשנת 1244 שרפו הצרפתים בפריז במשך כשתי יממות את כל כתבי היד של התלמוד.
על פי דברי מהר"ם מרוטנבורג, נשרפו באותו מאורע 24 קרונות עמוסים בספרי תלמוד.
ההשלכה של המשפט הייתה ברורה וחדה.
הנוצרים עשו דבר שנמנעו ממנו במשך כל הדורות עד אז – והתערבו בתפיסה ובאמונה היהודית עצמה, בלי להשלים איתה מתוך ראיית היהודים כעדים לאמיתות הנצרות באומללותם הנוכחית או בהתנצרותם לעתיד לבוא.
המשפט ושרפת התלמוד שבעקבותיו היו צעד משמעותי בהיסטוריית רדיפת היהודים במערב אירופה במאות האחרונות של ימי הביניים, והביאו לתסיסה אנטישמית קשה.
משפט צבאי הוא המשפט החל על אנשים המשרתים בצבא.
על פי כללי המשפט הבין־לאומי, משפט צבאי יכול לחול גם על תושבים הנמצאים תחת ממשל או משטר צבאי, או במצב של כיבוש.
מערכת משפט צבאי הנפרדת מהמשפט האזרחי הרגיל, קיימת בכמעט כל מדינות העולם, כאשר חריג בולט היא גרמניה בה בוטל המשפט הצבאי בעקבות מלחמת העולם השנייה.
לרוב המשפט הצבאי מתחלק למשפט צבאי פלילי (בו מועמדים לדין החיילים על עבירות "רגילות") ולמשפט משמעתי בו נשפטים החיילים על עבירות משמעת שלרוב אינן מהוות עבירות במשפט האזרחי.
במדינת ישראל הדין הצבאי מבוסס על פירמידת נורמות המשלבת בין חוקי מדינת ישראל ומערכת דינים ספציפית של הצבא: חוקי יסוד> חוק השיפוט הצבאי, חוק שירות ביטחון, חוק שירות מילואים> הוראות פיקוד עליון >פקודות מטכ"ל > הוראות כלליות.
במדינת ישראל חל על המשרתים בצה"ל חוק השיפוט הצבאי, התשט"ו-1955, המעניק סמכות בעניין עבירות המבוצעות על ידם לבתי דין צבאיים.
בתי דין צבאיים דנים בהרכב בו יושבים קצינים שהוסמכו לכך אך הם חסרי השכלה משפטית, וכן קצינים משפטנים.
בכך הוא דומה לבית הדין לעבודה בו יושבים נציגי ציבור לצד שופט או שהוא משפטן בהשכלתו.
להוציא את בתי הדין הצבאיים קיימות ערכאות שיפוט נוספות בצבא.
שיפוט בפני קציני שיפוט בהליך משמעתי.
כל קצין בדרגת סגן ומעלה נחשב קצין-שיפוט, בתנאי שקיבל הסמכת קצין-שיפוט מהפרקליט הצבאי הראשי (פצ"ר), או מקצין אחר שהפצ"ר האציל לו את סמכות האישור.
קצינים מקבלים הסמכה כזו לאחר שעברו בהצלחה קורס ובוחן דין משמעתי (שלרוב גם הוא מבוצע במסגרת קורס צבאי אחר כגון קורס מ"פים).
קציני שיפוט נחלקים לקש"ז (קצין שיפוט זוטר - עד דרגת סרן) ולקש"ב (קצין שיפוט בכיר - מדרגת רב-סרן ואילך).
קצין בעל סמכות כמתואר לעיל יכול לשפוט חייל.
המשפט מתנהל על גבי טופס שנקרא "טופס 630".
החייל חייב להיכנס כשהוא מלווה בחייל נוסף (המכניס אותו למשפט) אשר נשאר איתו כל עת המשפט כדי למנוע מצב בו יעשו דברים שאינם חוקיים.
במידה והחייל העומד לדין נמצא אשם, חייב הקצין לגזור עליו עונש כלשהו: התראה, ריתוק לבסיס, נזיפה, נזיפה חמורה, קנס, או ימי מחבוש (מאסר).
בחשבון אינפיניטסימלי, משפט פרמה של פייר דה פרמה לפיו אם פונקציה גזירה, אז ערך הנגזרת בנקודת קיצון מקומית שווה לאפס.
כלומר, שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא אפס.
ההפך לא תמיד נכון – נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת.
בנוסף, נקודת קיצון יכולה להתקיים גם במקרה בו הנגזרת לא מוגדרת.
כלומר, בנקודה בה הפונקציה אינה גזירה.
נוכיח במקרה שבו היא נקודת מקסימום מקומי.
מאחר ש- נקודת מקסימום מקומי, הרי שקיימת סביבה המוכלת כולה בקטע , כך שלכל מתקיים .
מכאן כי עבור כל שעבורו מתקיים .
מאחר שהפונקציה גזירה בנקודה הרי שמתקיים ולכן בהכרח .
ניתן להכליל את המשפט למקרה של פונקציה סקלרית מרובת משתנים .
אם לפונקציה יש מקסימום בנקודה כלשהי, בפרט יהיה לה מקסימום כאשר נסתכל על הפונקציה כפונקציה של משתנה יחיד ונתייחס לשאר המשתנים בתור קבועים, ועל כן על פי משפט פרמה הנגזרת החלקית על פי משתנה זה תתאפס.
ניתן לעשות זאת עבור כל המשתנים, ועל כן הנגזרת החלקית עבור כל אחד מהמשתנים מתאפסת בנקודה זו.
פירוש הדבר הוא שהגרדיאנט של הפונקציה בנקודת הקיצון יהיה וקטור האפס.
המשפט הפלילי הוא ענף מתחום המשפט הציבורי, שתכליתו שמירה על המוסר, והסדרת חיי החברה על ידי הגדרת התנהגויות שליליות מסוימות כבלתי-חוקיות, שמירת זכויות אדם, וזאת באמצעות כללי עשה ואל-תעשה.
אדם המפר כללים אלה יואשם בביצוע עבירה פלילית, ועשוי לעמוד לדין ולהיענש בהתאם לעונשים הקבועים בחוק העונשין.
המשפט הפלילי חל על תחום רחב ומגוון של התנהגויות אשר הוגדרו בחוק כפליליות, והוא נועד כדי למנוע התנהגויות אלו באמצעות הרתעה, העמדה לדין, ענישה וקלון.
המשפט הפלילי מאופיין בכך שאכיפתו מוטלת קודם כל על המדינה, באמצעות התביעה הכללית, אף במקרים שהנפגע העיקרי מההתנהגות הפלילית יהא מתלונן פרטי אחר בחברה.
המשפט הפלילי מסדיר יחסים בין פרטים בחברה, שמירה על הסדר הציבורי והגדרת דרכי התנהגות מקובלים גם כאשר יש סכסוכים בין אדם לחברו, אך למעשה מתנהל בין המדינה (כישות קולקטיבית) לבין הפרט (למשל: חשוד, נאשם, אסיר).
התנהגות פלילית היא התנהגות המנוגדת לדין הפלילי, אשר מעוגן בחוק העונשין ובשורת חיקוקים נוספים.
יש סוגים שונים של התנהגויות פליליות, וההגדרות של מעשה או מחדל כ'פליליים' משתנות ממדינה למדינה ומחברה לחברה.
עם זאת, ישנם מספר מעשים המוגדרים כעבירות פליליות במרבית המדינות והחברות האנושיות, כגון: רצח, גנבה ואונס.
שתיים מן הקטגוריות המרכזיות של העבירות הפליליות הן עבירות אלימות (למשל: רצח, הריגה, תקיפה וחבלה) ועבירות רכוש (למשל: גנבה, שוד ופריצה).
בחלק מהמדינות, כולל מדינת ישראל, עבירות תנועה ו עבירות בנייה אף הן עבירות פליליות.
בהקשר הפלילי, תפקידה של מערכת המשפט הוא לקבוע ממצאים עובדתיים, לפרש את הדין הפלילי, לקבוע האם התנהגות מסוימת המובאת בפניה (באמצעות כתב אישום) היא פלילית ואם לאו, ולגזור את עונשם של עבריינים מורשעים.
קביעה כי התנהגות היא פלילית נקראת הרשעה וקביעה כי הנאשם לא עבר את העבירה הפלילית בה הואשם נקראת זיכוי.
בשיטת המשפט המקובלת הנסמכת על תקדימים, החלטות כאלו מרחיבות ומפתחות את החוק ואת פרשנותו המחייבת.
לעומת זאת, במסגרת שיטת המשפט הקונטיננטלי, אין לתקדים השיפוטי משקל משמעותי, ולכן אין להכרעת בית המשפט מעמד מחייב, והיא תקפה רק במקרה הנדון.
במקרים רבים נדרש בית המשפט להכריע גם בסוגיות ערכיות מורכבות.
דוגמה לכך היא סעיף 431 לחוק העונשין הישראלי: 'עבירת העושק', שמתגבשת כאשר אדם "מנצל את המצוקה, החולשה הגופנית או השכלית, חוסר הניסיון או קלות הדעת של הזולת לאחת מאלה, דינו – מאסר שלוש שנים...".
הקושי הטמון בהגדרת עבירת העושק (אשר מעוגנת גם במשפט הפלילי של חלק ממדינות המשפט הקונטיננטלי), היא שעושק במובן זה קיים, במידה זו או אחרת, בכל עיסוק מסחרי שבו אחד הצדדים מפיק תועלת עודפת מן העסקה.
על כן נדרש בית המשפט להכריע האם מקרה נתון מהווה 'עושק' פלילי, או שהוא מהווה עיסוק מסחרי לגיטימי (אשר ייתכן שיכלול גם הפקת תועלת חד צדדית, ואפילו קיצונית, מן העסקה).
הקודקס הפלילי הראשון בארץ ישראל היה הקודקס הפלילי העות'מאני, שהושפע מתערובת של משפט מוסלמי וקודקס צרפתי.
בשנת 1936 ביטלו שלטונות המנדט הבריטי את הקודקס הפלילי העות'מאני, והחילו את פקודת החוק הפלילי, 1936, המבוססת על המשפט הפלילי האנגלי.
צעד זה יצר את הקשר בין המשפט הפלילי האנגלי למשפט הפלילי הישראלי, קשר אשר היווה מסגרת ומקור השראה לאורך שנים רבות.
עם הקמת מדינת ישראל, קבע סעיף 11 לפקודת סדרי השלטון והמשפט כי תחול המשכיות של המערכת החוקית שהייתה קיימת ערב הקמת המדינה.
מאז הקמת המדינה נעשו בחוק הפלילי תיקונים לא מעטים.
רוב התיקונים והשינויים נעשו בחלק הספציפי של החוק, אשר מתייחס לעבירות השונות; ולא נגעו לחלק הכללי אשר קובע את עקרונות המשפט הפלילי בישראל.
לאורך השנים הוחלף פרק הענישה, שבחלק הכללי, ולפעמים בוטלו עונשים מסוימים והוספו חדשים.
בשנת 1977 אישרה ועדת חוקה חוק ומשפט של הכנסת את פקודת החוק הפלילי מחדש, וביצעה קודיפיקציה לדיני העונשין.
במסגרת זו שולבו התיקונים השונים בדבר חקיקה אחד, תהליך שהוביל ליצירת חוק העונשין, התשל"ז-1977, שהוא נוסח חדש ונוסח משולב של דבר החקיקה שקדמה לו.
לאורך השנים, חוק העונשין המשיך לעבור שינויים רבים, הן בשל היקפו והן בשל רגישות הנושאים שבהם הוא עוסק.
בשנת 1994 נכנס לתוקפו התיקון המרכזי לחוק העונשין, תיקון 39. במסגרת תיקון זה הוחלף לגמרי החלק הכללי של חוק העונשין (סעיפים 1–34 לחוק בוטלו, ובמקומם נחקקו סעיפים חדשים).
בעיצוב ובניסוח החוק השתתפו מומחים רבים, גם מן האקדמיה, ובהם פרופ' שניאור זלמן פלר ופרופ' מרדכי קרמניצר.
בתחילת שנת 2006 אישרה הכנסת את תיקון מספר 90 לחוק.
עקרון החוקיות: לפיו אין עבירה ואין עונש אלא בחוק או על-פי חוק או מכוח חוק.
הערך המרכזי שעיקרון זה מעגן הוא שלא ניתן לסווג מעשה כפלילי ולא ניתן להטיל עונש בגין מעשה, אלא אם הרשויות הדמוקרטיות והמוסמכות של המדינה הגדירו את המעשה כפלילי.
עיקרון זה מוצא ביטויו בסעיף 1 לחוק העונשין ונגזר מחוק יסוד: כבוד האדם וחירותו.
עקרון אי ענישה למפרע (איסור על ענישה רטרואקטיבית): חיקוק היוצר עבירה לא יחול על מעשה שנעשה לפני יום תחילתו; חיקוק הקובע לעבירה עונש חמור מזה שנקבע לה בשעת ביצוע העבירה, לא יחול על מעשה שנעשה לפני תחילתו.
לעומת זאת, חוק אשר מבטל עבירה או מקל בעונש, יחול למפרע - קרי לחוק מקל יש תחולה רטרואקטיבית.
עקרון היסוד העובדתי (=Actus Reus): קובע כי אין להטיל אחריות פלילית על אדם אלא אם ישנו יסוד פיזי של התנהגות פלילית, משמע סכנה של ממש לאינטרס הציבורי.
לא די בכוונה פלילית, או מחשבה פלילית כדי להטיל אחריות פלילית - ויש צורך, קודם כל, בהתנהגות פלילית.
לפיכך, אין מטילים אחריות פלילית על מידה מינימלית של פגיעה באינטרס הציבורי, ואין מענישים על כוונות בלבד ועל מחשבות בלב בלבד (לבד מעבירות נגד ביטחון המדינה, כגון רצון לבגוד וכדומה).
אין עבירה ללא אשמה: על מנת להטיל אחריות בפלילים יש צורך שההתנהגות תישא 'אשמה פלילית', הכוללת ארבעה רכיבים מצטברים, שחובה שיתקיימו במלואם.
בהיעדר אחד מהמרכיבים - העושה פטור מאחריות פלילית:
אחריות אישית: כל אדם נושא באחריות אך ורק על חטאו האישי, ואין אחריות קולקטיבית.
עם זאת, הרחבת האחריות הפלילית אל מעבר למבצע העיקרי של העבירה מתעוררת כשהתנהגות של מספר בני אדם פוגעת באופן ממשי באינטרס הציבורי - כגון: השותף לדבר עבירה, המשדל, המשלח, המסייע, בעלי מניות בתאגיד עבריין.
כשרות פלילית: הכוונה לאדם בגיר שיש לו חופש בחירה ויכול לשאת באשמה פלילית.
כך למשל, הפועל ללא הכרה ומתוך אוטומטיות, או קטין, או חולה נפש, אינם נושאים באחריות פלילית משהדין מייחס להם אי-כושר לבחור בדרכי התנהגות חלופיות.
מבחינים בין מי שנשלל ממנו חופש הבחירה באופן מוחלט (הפועל באיבוד הכרה) למי שנשלל ממנו חופש הבחירה באופן יחסי (אדם הפועל בכורח אילוץ וכדומה).
היסוד הנפשי (Mens Rea): על מנת שתוטל אחריות פלילית, נדרש 'יסוד נפשי' להרשעה בעבירה.
החריג הוא עבירות קפידה (המכונות גם 'עבירות אחריות חמורה') בהן לא נדרש יסוד חיובי של מחשבה פלילית.
העדר סייג לאחריות הפלילית: החוק מתחשב בנסיבות מסוימות, המשמשות הגנה מפני הטלת אחריות בפלילים:
'הגנה עצמית' בהתאם לסעיף 34 בחוק העונשין: טענת הנאשם כי פעל כלפי תוקף במטרה להדוף תקיפה שלא כדין.
וזאת בכפוף למספר קריטריונים שנקבעו בסעיף 34 כסייגים להגנה עצמית.
'כורח' - סעיף 34 יב' לחוק העונשין: טענת נאשם כי פעל תחת איום של פגיעה חמורה בחייו, בחירותו, בגופו או ברכושו של עושה המעשה או של זולתו.
'צידוק' - סעיף 34 י"ג: הגנה של נאשם אשר ביצע עבירה - כאשר היה חייב או מוסמך לפעול, או בשל ציות לרשות מוסמכת, אלא אם מדובר בפעולה בלתי חוקית בעליל.
'זוטי דברים' - סעיף 34 י"ז: הגנה של נאשם, כשלאור טיבו של המעשה, נסיבותיו, תוצאותיו ניתן להגדירו כקל ערך.
חוק העונשין הישראלי אינו מגדיר את מטרות המשפט הפלילי ואת מטרות הענישה.
בחקיקה הישראלית ניתן למצוא שיקולים תועלתנים וגמולניים מעורבבים, וכך גם דעות השופטים.
מטרה עיקרית של דיני העונשין היא הרתעה.
קיימים שני סוגי הרתעה: אישית (העבריין עצמו לומד לקח) וכללית (שאר הציבור לומד לקח –יראו ויראו).
חולשתה העיקרית של גישת ענישה לצורך הרתעה היא שלפיה, בעת שאדם מבצע עבירה, הוא מבצע אומדן של העונש הצפוי ביחס להנאה שיפיק.
מחקרים שונים שבוצעו בתחום הצביעו על כך שענישה מרתיעה יותר את הפרטים הנורמטיביים בחברה ומרתיעה יותר בעבירות מסוימות.
בעבירות אינסטרומנטליות (רכוש), ההרתעה אפקטיבית יותר.
לעומת זאת, בעבירות אקספרסיביות (רגש), הרתעה אפקטיבית פחות.
למשל, יש ספק אם ענישה מהווה הרתעה אפקטיבית כלפי רוצחים, בעלים מכים, עבירות אלימות וכדומה – ציבור לא נורמטיבי ומבצעי עבירות אקספרסיביות.
מאחורי מטרה זו עומדת הגישה כי יש לדיני העונשין מטרה עמוקה יותר מהרתעה.
לפי תאוריה זו, מטרתם העיקרית היא לשמש כלי לחינוך הציבור ולהתוות את גבול המותר והאסור בחברה.
על פי גישה זו דיני עונשין שואפים לגרום לפרט להפנים את הנורמות הרצויות ולנהוג על פיהן, במנותק מהחשש מפני סנקציה.
תורות ענישה מסוימות מייחסות למשפט הפלילי, בנוסף להרתעה, גם מטרה של תיקון העבריין.
תורות אלה שמות דגש על הפן השיקומי במקום על הפן ההרתעתי, ומצביעות על תכליתו של המשפט הפלילי להפוך את העבריין לאזרח מתפקד ומועיל לחברה.
בהתאם לכך, המטרה העיקרית של המשפט הפלילי היא לקדם את שילובו של העבריין בחברה כאזרח שומר חוק.
יש אף מלומדים שסוברים כי, במודל ענישה שיקומי, על השופט להתאים את העונש לעבריין יותר מאשר לעבירה.
המניעה מטרתה להפסיק התנהגות לא חוקית או סוטה של העבריין, על ידי הרחקתו מהחברה והגבלת יכולתו הפיזית לבצע עבירות נוספות.
במרכז המודל המניעתי עומדים שיקולים של הגנה על שלום הציבור על ידי הרחקת העבריין המסוכן מהחברה.
בימינו מטרות אלה מושגות באמצעות עונשי המאסר.
לפי גישה זו, ההנחה היא ששיעור הפשיעה קטן, כל עוד העבריין כלוא.
תאוריות שונות בדיני הענישה טוענות כי תפקידו של המשפט הפלילי הוא להטיל על העבריין עונש שיהווה גמול צודק למעשהו.
בניגוד לגישות האחרות, אין למטרת הגמול היבט תועלתני.
אין לה עניין בשינוי התנהגות העבריין.
עיקרה לגמול לעבריין על העבירה מידה כנגד מידה.
פקודת החוק הפלילי קבעה "אין עונשים אלא על פי חוק מפורש" (כלומר: לא במשתמע).
בהתאם לכך התבצעה פרשנות דווקנית.
דוגמה בולטת מהווה פס"ד הירש ברנבלט, בו זוכה איש היודנראט שסייע לנאצים למנוע בריחת יהודים, בנימוק שהחוק לעשיית דין בנאצים ובעוזריהם לא התייחס במפורש למצב כזה.
פסק דין מזרחי היווה נקודת מפנה בפרשנות החוק במשפט הפלילי.
בפסק דין זה נידון עניינו של אסיר שלא שב מחופשה.
ההגנה טענה שלא ניתן להרשיעו על סמך החוק שאוסר בריחה מ"משמורת חוקית", אך השופט אהרן ברק קבע שבמקום לבחון את לשונו היבשה של החוק, נכון יותר לבחון את מטרת החוק ולפרש את החוק על פיה (פרשנות תכליתית), ובהתאם לכך נפסק שגם בריחה מ"משמורת רעיונית" מהווה עבירה פלילית.
מאוחר יותר תוקן חוק העונשין, ונקבע בו במפורש, בסעיף 34כא: .
מחד, חקיקה זו תואמת את עמדת ברק לפיה יש לאמץ פרשנות תכליתית.
מאידך, חקיקה זו שוללת את תפיסתו העקרונית של ברק, לפיה יש רק פרשנות תכליתית אחת.
"אין עבירה ללא מעשה" ("nullum Crimen sine Actus"), כשהיסוד העובדתי מבטא התרחשות אובייקטיבית במציאות, ומורכב משלושה רכיבים:
רכיב התנהגותי - המתבטא בהתנהגותו של העבריין (סעיף 18 ב) ב"מעשה - לרבות מחדל":
מחדל - הימנעות מעשייה שהיא חובה לפי כל דין או חוזה.
להבדיל מהתנהגות פאסיבית - חוסר מעש עדיין לא עושה דבר למעשה, חודל, עדיין לא גובש יסוד עובדתי (פס"ד מרחבי).
רכיב נסיבתי - המבטא את הנסיבות הרלוונטיות הדרושות להפיכת ההתנהגות לאסורה.
רכיב תוצאתי - המבטא את התוצאה שגורמת ההתנהגות העבריינית.
יש לציין כי רכיב תוצאתי אינו מתקיים בכל עבירה, כי אם רק בעבירות תוצאתיות (ולא בעבירות התנהגותיות).
היסוד הנפשי מבטא את העמדה הנפשית הסובייקטיבית של העבריין כלפי ההתרחשות, קרי היסוד העובדתי.
כל עבירה דורשת יסוד נפשי שונה, כשהיסודות הנפשיים הנדרשים בדרך כלל לגיבוש עבירה הם מסוג: מחשבה פלילית או רשלנות.
אדם מבצע עבירה רק אם עשה במחשבה פלילית, זולת אם נקבע בהגדרת העבירה כי רשלנות היא היסוד הנפשי הדרוש לשם התהוותה; או כי העבירה היא מסוג העבירות של אחריות קפידה.
"רשלנות" - הכוונה לאי מודעות לטיב המעשה, לקיום הנסיבות או לאפשרות הגרימה לתוצאות המעשה, הנמנים עם פרטי העבירה, כשאדם מן היישוב יכול היה, בנסיבות העניין, להיות מודע לאותו פרט.
רשלנות יכול שתיקבע כיסוד נפשי מספיק רק לעבירה שאיננה מסוג פשע.
(רשלנות מחולקת לשני תתי קטגוריות: 1. מישור הכרתי, 2. מישור חפצי.)
מהיסוד הנפשי נגזרים גם סוגי העבירות, והם:
עבירה התנהגותית - היסוד הנפשי הדרוש להוכיח כל אחד מהרכיבים היא המודעות.
מודעות לרכיב ההתנהגותי והנסיבתי ואף יש פעמים שנדרשת הוכחת מודעות לתוצאות כמו בסעיף 245 - עברה התנהגותית.
לדוגמה: העושה דבר בכוונה לשבש הליכי משפט - יש להוכיח שאותו אדם היה מודע לאפשרות שמעשיו יובילו אותו לעיוות דין.
עבירה תוצאתית - יש צורך להוכיח את היחס הנפשי של העושה כלפי התוצאה (-המישור החפצי).ישנן מספר אפשרויות:
יחס של כוונה תחילה - העושה חפץ מאוד בקרות התוצאה.
יחס של כוונה - העושה רוצה להשיגה.
פזיזות - אדישות או קלות דעת (פחות חמורה) לגבי התוצאה.
דוגמה לעבירת אחריות קפידה: נסיעה בלילה ללא אורות.
בעבירות תוצאתיות נדרשת הוכחת 'קשר סיבתי' בין היסוד העובדתי לתוצאתו, כאשר מבחינים בין קשר סיבתי 'עובדתי' ל'משפטי':
קשר סיבתי עובדתי - הוא דרישת "מבחן האלמלא".
השאלה היא האם אלמלא התנהגות הנאשם הייתה מתרחשת התוצאה העובדתית באופן שבו התרחשה בפועל.
לחלופין, אם התוצאה הייתה מתרחשת אף אלמלא התנהגות הנאשם, ניתן להחיל את מבחן הדיות ולפיו היה די בהתנהגות הנאשם כדי להוביל לתוצאה.
הקשר הסיבתי המשפטי - זהו מבחן מורכב, שבחלקו בוחנים את הצפיות מהמעשה של הנאשם - האם הנאשם יכול וצריך היה לצפות את התרחשות התוצאה?
כמו כן, בוחנים אם התוצאה נגרמה באופן ישיר ממעשי הנאשם, או שמא יש התערבות של גורמים זרים אשר מנתקים את הקשר הסיבתי המשפטי ומונעים הטלת אשמה בפלילים?
המבחנים מעניקים גמישות לכל מקרה ונסיבותיו, לפי מהות המעשה, לעומת אופי התוצאה ומידתה.
מבחן זה לובש צורות שונות, וצורתו נקבעת על פי סוג העבירה:
עבירות מסוג מחשבה פלילית - בעבירות אלה קשר סיבתי משפטי יתקיים אילו לנאשם הייתה מודעות לאפשרות גרימת תוצאות העבירה.
עבירות רשלנות - בעבירות אלה ממילא לא נדרשת מודעות, ועל כן המבחן יתקיים אילו לנאשם לא הייתה מודעות לאפשרות גרימת התוצאות, אולם אדם מן היישוב, בנסיבות העניין, יכול היה להיות מודע אליהן.
עבירות אחריות קפידה - בעבירות אלו, לא זו בלבד שלא נדרשת מודעות, אלא שאף אם אדם מן היישוב לא יכול היה להיות מודע לאפשרות גרימת התוצאות, עדיין ניתן להרשיע את הנאשם אילולא הוכיח כי עשה כל שניתן כדי למנוע את העבירה.
לפיכך, בעבירות אלו מבחן הקשר הסיבתי המשפטי יתקיים אילו הנאשם לא היה מודע לאפשרות גרימת תוצאות התנהגותו, גם אדם מן היישוב לא יכול היה להיות מודע, אולם הנאשם לא נקט את כל האמצעים הסבירים כדי למנוע את התרחשות התוצאות שנבעו ממעשיו.
הדין הפלילי מכיר בעקרון של אחריות אישית.
לכלל זה ישנן הרחבות אם בסוג העבירות ואם בסוג המבצעים:
עבירת הניסיון היא עבירה בה אדם מנסה לעבור עבירה, במטרה לבצעה, ועשה מעשה שאין בו הכנה בלבד, והעבירה לא הושלמה; לעניין עבירת הניסיון, אין זה משנה כלל אם עשיית העבירה לא הייתה אפשרית מחמת מצב דברים שהמנסה לא היה מודע לו או טעה לגביו.
בעקבות תיקון 39 שנכנס לתוקף בשנת 1995 וסימן מעבר של שיטת המשפט הפלילית בישראל לשיטה דאונטולוגית הורחבה האחריות הפלילית על 'המנסה', והעונש המוטל עליו זהה לעונשו של המבצע את העבירה במלואה.
עם זאת, פעמים רבות בפועל התיקון לא מיושם בשל נטייתם האינטואיטיבית של השופטים להתייחס בקלות יחסית כאשר הניסיון לא הגיע לכדי ביצוע.
כאשר מדובר בעבירה דו-צדדית, שהשלמתה מצריכה שיתוף פעולה מצדו של אדם נוסף ההופך גם הוא לעבריין, יש במאמץ לשכנע אדם כאמור לשיתוף פעולה, כדי להוות 'ניסיון' לעבור את העבירה המושלמת (ע"פ 7399/95 נחושתן תעשיות מעליות בע"מ ואח' נ' מדינת ישראל, פ"ד נב(2) 105 (1998), בעמ' 129).
הדין הפלילי מרחיב את חבות היחיד כ'מבצע עבירה בצוותא', כך שרואים את אלה המשתתפים בביצוע עבירה תוך עשיית מעשים לביצועה, אם הם מבצעים אותם בצוותא, ואין זה משנה אם כל המעשים נעשו ביחד, או שחלקם בידי אחד וחלקם בידי אחר.
הוא הדין לגבי 'מבצע באמצעות אחר' - דהיינו אדם שתרם לעשיית המעשה, באמצעות אדם אחר שביצעו, ככלי בידיו, הנתון במצב של קטינות או אי שפיות הדעת; העדר שליטה; ללא מחשבה פלילית; טעות במצב דברים; כורח או צידוק.
המביא אדם אחר לידי עשיית עבירה - בין בשכנוע, בין בעידוד, בין בדרישה, בין בהפצרה ובין בכל דרך שיש בה משום הפעלת לחץ, הוא משדל לדבר עבירה.
העבירה מוגדרת בסעיף 29(ג) לחוק העונשין.
מדובר באדם שלא מבצע בעצמו את היסוד העובדתי של עבירה מסוימת, אלא הוא משתמש באדם אחר כדי לבצע עבירה (הופך אדם אחר ל"כלי בידיו").
האחר, שהוא המבצע הישיר של העבירה, נתון באחד מהמצבים הבאים:
לא מדובר ברשימה סגורה וייתכנו מצבים נוספים שלא צוינו לעיל בהם יוכל להימצא האחר, כשהמשותף לכולם הוא היעדר כשרות פלילית בשעת העשייה.
ישנו מבצע שיש לו פטור מאחריות פלילית ולכן לא ניתן להרשיעו ויש אדם שהשתמש באחר כדי לבצע עבירה מסוימת, שאותו ניתן להרשיע בעבירה על ידי ביצוע באמצעות אחר.
הדוקטרינה היא כלי המאפשר הטלת אחריות על שותפים עקיפים במקרים שבהם המבצע העיקרי לא נושא באחריות פלילית.
היחסים בין המבצע באמצעות אחר לבין המבצע ("האחר") הם יחסים לא שוויוניים ויש בהם משום ניצול של האחר.
בנוסף קיימים פערי ידע ושליטה - למבצע באמצעות אחר יש את השליטה על פעולותיו של האחר והאחר לא מבצע את העבירה מתוך בחירה חופשית.
1. המבצע באמצעות אחר לא מבצע בעצמו את היסוד העובדתי של העבירה.
מעשהו מוגדר בסעיף כ"תרומה לעשיית מעשה".
תרומתו יכולה להיות מכל סוג שהיא (הפצרה, שידול, סיוע וכיוצא בזאת).
2. יש צורך שה"אחר" יבצע את המעשה האסור המוגדר בעבירה.
3. נסיבה הכרחית לקיום הדוקטרינה היא קיומו של אדם אחר המשמש ככלי בידי המבצע ונתון במצב של היעדר אחריות, בעיקר ע"פ המצבים הנזכרים בסעיף.
-יש הסבורים כי לעיתים יהיו מצבים בהם יהיה ניתן להרשיע גם את המבצע באמצעות האחר וגם את המבצע העיקרי, למשל במקרה של ציות חייל לפקודה בלתי-חוקית בעליל שנתן לו מפקדו.
היסוד הנפשי של המבצע באמצעות אחר הוא כפול:
1. יסוד נפשי של העבירה המושלמת, אותה מבצע האחר.
2. מודעות (לפחות עצימת עיניים) לכך שהאחר נמצא במצב של נחיתות, בדרך כלל לפי המצבים המנויים בסעיף 29(ג) לחוק העונשין, ולכך שהוא נמצא כ"כלי בידו" במהלך העשייה.
העונש של המבצע באמצעות אחר שווה לעונש של מבצע עיקרי של אותה העבירה.
ישנו ויכוח לגבי חומרת מעשיו של המבצע באמצעות אחר:
יש הסבורים שמעשיו חמורים יותר משל מבצע ישיר - כיוון שגרם לאדם אחר לבצע עבירה.
לא רק חטא אלא גם החטיא אדם אחר.
יש הסבורים שמעשיו חמורים פחות משל מבצע ישיר - לא מסוגל לבצע בעצמו את העבירה ולכן משתמש באחר.
משום כך יש הסבורים שרמת המסוכנות שלו נמוכה יותר.
כל אדם אשר עשה מעשה כדי לאפשר להקל או לאבטח את ביצוע העבירה, בין לפני עשייתה ובין בשעת עשייתה - או למנוע את תפיסת המבצע, גילוי העבירה או שללה, או כדי לתרום בדרך אחרת ליצירת תנאים לשם עשיית העבירה, הוא מסייע ונשוא באחריות פלילית.
פטור החרטה - קובע כי משדל או מסייע לעבירה לא יישאו באחריות פלילית (לשידול, הסיוע או הניסיון לשידול) אם מנעו את עשיית העבירה או השלמתה, או הודיעו מבעוד מועד לרשויות על העבירה לשם מניעת עשייתה או השלמתה ועשו למטרה זו כמיטב יכולתו בדרך אחרת.
אין הם ברי עונש אם העבירה - נשוא הניסיון, השידול, הניסיון לשידול או הסיוע - היא מסוג חטא.
עבירה נוספת ושונה שבוצעה בידי שותף
כשאחד השותפים עשה עבירה שלא תוכננה מראש, כשיש 4 תנאים מצטברים - יש "אחריות שותף למעשים שונים ונוספים שנעשו על ידי שותפו (34א): 1. נעשה עבירה בידי "מבצע בצוותא".
עם זאת, ניתן להרשיע את השותף בעבירה הכוללת יסוד נפשי של פזיזות לכל היותר.
ניתן אף להרשיע את המסייעים והמשדלים בעבירה שונה או נוספת (34א (א)2), ואולם רק בעבירה הכוללת יסוד נפשי של רשלנות.
ברוב המדינות המתוקנות הרשעת אדם בעבירה פלילית מותנית בבגירות, בבגרות דעתו, מסוגלותו להתנהג בהתאם לכללים חברתיים, וכושרו להבין משמעות מעשיו.
ללא סגולות אלו אין הוא נחשב בר-עונשין.
הדרישה המזערית להטלת אחריות פלילית צריכה להיות שבעת ביצוע פעולה הוא מבין את האלטרנטיבות שלרשותו, והבין את משמעות הבחירה בקו פעולה פלילי.
לפיכך קיימות מספר נסיבות המהוות סייגים לאחריות פלילית והם:
בישראל נקבע גיל של 12 שנים כמינימלי לצורך אחריות פלילית.
העדר שליטה כחוסר שפיות, פעולה שהתבצעה בגלל כוח חיצוני עודף (כרוח חזקה).
אוטומטיזם שפוי - מעשים פליליים לא-רצוניים שאדם מבצע במצב של חוסר הכרה עקב מקרים שהביאוהו לאי שליטה על תנועותיו, כגון - רפלקסים בלתי נשלטים, מקרי הלם, היפנוזה, קומה דיאבטיס, תגובות גופו של אדם לגירויים חיצוניים.
היפנוזה - מקובל לראות את האדם שנמצא תחת היפנוזה בהיעדר שליטה.
כורח - לחץ ואיומים של אדם אחר.
לעיתים, אדם רשאי לעשות מעשה הנחשב עבירה אך עקב הנסיבות ניתן לו פטור ומוכרת לו הגנה מפני הרשעה בפלילים:
הגנה עצמית - הגנה אשר ניתנת כאשר הפעולה הפלילית נעשתה כדי להתגונן מפני תוקף.
מבחינה עקרונית ההגנה ניתנת כיוון שכאשר אלמוני תוקף את פלוני בניגוד לחוק, אלמוני התיר את דמו וויתר על ההגנות שהחוק מעניק לו (הגנות אשר אוסרות על פלוני לתקוף את אלמוני).
מבחינה פרקטית יש בעיה לדרוש מאדם שלא להתגונן כאשר הוא מותקף, כמו כן יש לזכור שלא אחת מדובר בתגובה אינסטינקטיבית.
הגנת הצורך - כאשר אדם עושה פעולה פלילית סבירה כדי להימנע מאירוע הרבה יותר חמור ולא הייתה לו דרך אחרת להימנע מהאירוע היותר חמור.
צידוק - הגנת הצידוק מערטלת את המעשה הפלילי מאי חוקיותו ומכשירה אותו אם נעשה על פי נורמה משפטית, ציות לצו של רשות מוסמכת, נורמה חברתית מקובלת ומקרים נוספים המנויים בסעיף 34 י"ג לחוק העונשין.
מדובר בהתנהגות המגבשת יסודות של עבירה פלילית, אך עם זאת בעלת ערך חיובי לחברה, שכן היא נעשית בנסיבות אשר בהם מעניקה החברה עדיפות לערך חברתי אחר על פני זה של העמדת העושה לדין.
גם כאן קיימים חוקים שלא מחילים את ההגנה (חוק עשיית דין בנאצים).
זוטי דברים - הגנה הקובעת כי ייתכנו מקרים אשר בהם מתמלאים כל יסודות העבירה, והעושה עבר על החוק, אך עם זאת מדובר בעבירה פעוטת ערך אשר אינה עולה כדי פגיעה ממשית בערך המוגן על ידי העבירה.
בהגנת זוטי דברים יש לבחון את המעשה אותו ביצע העבריין ולקבוע באיזו רמה חומרה של העבירה הוא ממוקם.
אם המעשה ממוקם מתחת לרמה המינימלית אנטי חברתית - תחול ההגנה.
טעות במצב דברים - כאשר אדם עובר עבירה מתוך טעות כנה לגבי מצב דברים, רואים את מעשהו באספקלריה של הטעות שלו, ומעמידים את המציאות המדומה שלו במקום המציאות האובייקטיבית האמיתית ועל פי המציאות המדומה הוא נותן את הדין.
אם המציאות המדומה אינה מגבשת כל עבירה, או שהיא מגבשת עבירה, אך גם מקימה לה הגנה המבטלת אותה, יוצא פטור.
אך אם המציאות המדומה מגלמת עבירה פלילית פלונית יחוב אותו אדם בגין אותה עברה, וזאת אפילו שהמציאות האמיתית מגלמת עבירה פלילית אלמונית.
העדר קנטור: בעבירות הרצח, נוספה טענת הגנה שאינה קיימת בעבירות אחרות, הרציונאל העומד בבסיס טענת ההגנה הוא כי: "עבירת ההמתה בוצעה, לאחר התגרות בתכוף למעשה, שבגינה מבצע העבירה, היה בסערת רגשות משמעותית ובתוך סערת הרגשות ביצע את עבירת ההמתה"
טעות במצב משפטי - האם יש משמעות לטענה שאי ידיעת החוק אינה פוטרת?
פרופ' פלר תוחם את העבירות הפליליות כניתנות לחלוקה לשני סוגים :
רע שלעצמו - עברות שמטבע ברייתן .
רע כי נאסר - העברות בשל האיסור החל עליהן .
אשר לעבירות מן הסוג הראשון, המודעת ליחס החברה על כל היקפה להן גורמת לכך שאיש לא יעלה על דעתו שאינן אסורות על פי חוק.
נאשם בעבירה של שוד, רצח, אינוס, זיוף כספים, מרמה, גנבה וכיוצא בזה עבירות, לא יכול להעלות את הטענה כי לא ידע שהחוק הפלילי מגדיר מעשים כאלו כעבירות פליליות.
ביחס לעבירות מסוג זה, החוק מזדהה עם התודעה המשפטית של הציבור ובאמצעותה יודע כל פרט כי המעשה הוא בלתי חוקי, לכן לא תעמוד לאדם הטענה של אי ידיעת החוק.
אשר לסוג העבירה השנייה, אלה עברות שיש להבטיח בגינן את שלום הציבור בתחומים שונים.
ייתכן שלא תמיד ידע הציבור בפירוט את כל ההסדרים הללו והפרותיהם שהוגדרו כעבירות פליליות.
אך אין מחלוקת, שכאשר אדם קרוב לתחום, הוא נותן דעתו לכך שחייבים להיות הסדרים מיוחדים באותו תחום, והוא אף מוזהר על ידי כללים השוררים בדרך כלל באותו תחום בצורה ממשית ביותר.
לדוגמה, תמרורים, רמזורים ושלטי האזהרה אשר על הפרט לכבדם.
למעשה עבור הציבור שיש לו נגיעה לתחום האמור הופכות העבירות הטכניות על הכללים המסדירים אותן ל-mala in se, והן נשארות בגדר mala prohibita לגבי מי שהדבר אינו נוגע לו, אך במקרה זה אין חוק ועל כן אין צורך בטענה של אי ידיעתו כסיבה להפרה.
הגנה מן הצדק - הגנה המאפשרת לבית המשפט לעכב הליך פלילי המתנהל לפניו או לזכות את הנאשם מטעמים שונים של פגם קשה אשר נפל בהליך הפלילי, ואשר הופך את הרשעת הנאשם לבלתי הוגנת ובלתי צודקת.
מקור ההגנה במשפט האנגלי אשר קבע שלבית המשפט סמכות טבועה שלא לדון בהליכים אשר נעשה שימוש לרעה בהליך הפלילי או הטרדה בלתי מוצדקת של הנאשם.
ראשית ההגנה באנגליה היה בביטול כתב אישום עקב אי יכולת להרכיב חבר מושבעים אשר דעתם לא תהא משוחדת כנגד הנאשם וכן במקרים של רדיפה קשה של הנאשם, התמשכות הליכים, עינויי-דין ופרוצדורה קלוקלת.
הגנה תרבותית - הגנה הקובעת כי ייתכנו מקרים אשר בהם מתמלאים כל יסודות העבירה, והנאשם עבר על החוק, אך יש לזכות או להפחית בעונשו של הנאשם מן הטעם שמעשהו בוצע על רקע תרבותו או ערכי הקבוצה אליה הוא שייך או מנהגיה.
בארצות הברית הוכרה הגנת הפח היקוש - הגנה המאפשרת לנאשם להתגונן בטענה כי הודח למעשה העבירה על ידי סוכן רשות ומאחר שכך יש להסיר ממנו אחריות פלילית.
הטעם העיקרי להגנה הוא שיש טעם לפגם בכך שהרשות אשר אחראית על מניעת פשעים וגילויים, תהא זו אשר יוצרת אותם.
ההגנה טרם נתקבלה בישראל, אולם בארצות הברית היא מהווה הגנה מהותית מפני אישום פלילי.
על פי מסילת ישרים ספר מוסר בסיסי ביהדות, על האדם לאמץ קודם את מידת הזהירות וללמוד קודם מהתורה(מצוות לא תעשה) מה לא לעשות ולהימנע מהחטא, ועליו לפקח על מעשו ולהתבונן בהם.
חוק העונשין מתבסס ברובו על מצוות לא תעשה מהתורה.
משפט פועלי הוא משפט בשפה, אשר הנשוא שלו הוא פועל, וניתן בדרך כלל להטותו בזמנים השונים.
במשפט פועלי, נושא המשפט יהיה בדרך כלל מבצע הפעולה, או, כאשר הפועל סביל , זה שהפעולה בוצעה כלפיו.
סוג זה של משפטים עומד בניגוד למשפט השמני, משפט נעדר פועל, שהנשוא שלו הוא שם עצם.
דוגמה למשפט פועלי: נורית זרקה את הפרח בחצר.
משפט פרוצדורלי, או "ההליך המשפטי", הוא ענף במשפטים העוסק בכללים בדבר ניהול המשפט, בשיטות משפט השונות, בין אם אדוורסריות ובין אם אינקוויזיטוריות.
כללי המשפט הפרוצדורלי עוסקים באספקט המנהלי של המשפט – להבדיל מהמשפט המהותי, העוסק בזכויות והחובות המהותיות של אנשים – ומהווים, בידי בית המשפט והשופט היושב בדין, כלי-עזר הכרחיים ועיקריים בניהול המשפט המובא בפניו, עד להכרעתו.
הוראות המשפט הפרוצדורלי קובעות כללים לביצוע, בכל שלב משלבי המשפט, החל מהגשת המסמכים הדרושים לפתיחת התיק ועד סיומו בפסק דין ובערעור עליו.
הן עורכות, בכל שלב של המשפט, מאזן של האינטרסים המתחרים והמתנגשים בין הצדדים למשפט ובינם לבין בית המשפט, ומורות כיצד יש לנהוג, תוך הגנה על זכויות כל צד במשפט.
מטיבו וטבעו, אין המשפט הפרוצדורלי קובע, או מתיימר לקבוע, את זכויותיהם המהותיות של האנשים – חשודים, נאשמים, תובעים ונתבעים – במשפט הנערך, אלא רק את הדרך שבה ינוהל המשפט ויבורר.
משום כך, הגישה הרווחת היא כי אין לראות בכללים הפרוצדורליים סד-נוקשה חסר פשרות, בבחינת "יקוב הדין את ההר".
ואולם, כאשר צד אחד או יותר למשפט אינו פועל כהלכה לפי כללי המשפט הפרוצדורלי החלים בעניינו, יכול הדבר לגרור סנקציות ואף להגיע לעיתים עד כדי הכרעת המשפט.
ישנם כללים פרוצדורליים אשר עשויים להחזיק זכויות יסוד מהותיות של ממש.
כך למשל, כאשר נקבעים כללים דיוניים המגבילים זכות חוקתית של גישה לערכאות (כגון גביית אגרה, או זכות עמידה בבג"ץ), ראוי להתחשב בהשפעותיהם על מידת קיומו של ההליך הנאות.
ההבחנה בין הדין הפרוצדורלי לבין הדין המהותי מקובלת במשפט מקדמת דנא.
מקובל לייחס את מקור ההבחנה לג'רמי בנת'ם אולם ייתכן כי הקטגוריות של פרוצדורה ומהות הוצגו קודם לכן על ידי ויליאם בלקסטון.
יש הסבורים כי מקור ההבחנה מוקדם יותר ושהיא הוצגה כבר במאה השלוש־עשרה על ידי המלומד האיטלקי Balduinus Jacobus .
הגישה המסורתית במשפט ראתה בכללי הפרוצדורה כללים שנועדו לשרת את המשפט המהותי, אך גם בשיטות שהתנהלו על-פי הגישה המסורתית, התאפיינה הגישה המסורתית במידה רבה של אחידות ואי־תלות של הנורמות הפרוצדורליות בדין המהותי הספציפי.
כמו-כן, בהכרעותיהם של בתי המשפט, ניתנה קדימות דווקא לנורמות הפרוצדורליות, וזאת חרף אותה קדימות עקרונית.
בהתאם להיגיון זה, הכרעה שיפוטית בשאלה משפטית קונקרטית נתפסת כהכרעה שצריכה להיעשות בכפוף לאילוצים שמכתיבה הפרוצדורה המיועדת להכריע בשאלות מאותו סוג.
מקובל לזהות מחויבות זו של השיטה המשפטית לקדימות הפרוצדורה בעיקר עם האידאולוגיה בבסיס השיטה האדברסרית, בעוד האידאולוגיה בבסיס השיטה האינקוויזטורית תיטה לבטל קדימות זו ולשאוף להשגת ערכי הדין המהותי באופן ישיר.
מקובל לקבוע כי המגמות העכשוויות במשפט נוטות לטשטש את ההבחנה בין פרוצדורה למהות, וזאת הן כחלק מהגישה הכללית לכרסום בשיטה האדברסרית, והן משום ההבנה שלפרוצדורה עשויה להיות השפעה מרחיקת לכת על תוכן הזכויות המהותיות ועל היקפן, ואין מקום להתייחס בנפרד לפרוצדורה ולמהות.
מגמה זו מלווה בתלות גוברת של נורמות פרוצדורליות בדין המהותי, בהגמשת הכללים הפרוצדורליים ובהקטנת משקלם בהליך המשפטי, ובהרחבת שיקול הדעת השיפוטי לסטות מכללי הפרוצדורה.
בהקשר של דיני הראיות, מגמה זו בעיה לידי ביטוי בשחיקת מגבלות הקבילות ואימוץ במקומן דוקטרינה של 'הוכחה חופשית', במסגרתן קביעת העובדות נעשית בעיקר על ידי הכרעה בשאלות של 'משקל' ו'ערך ראייתי'.
יש הוגים הטוענים לקיומה של פרוצדורה בתחומים אחרים ובתוך כך גם במוסר, אך תחום זה נחשב לכזה שטרם נחקר לעומקו.
עמדה הדוגלת בקדימות מטאפיזית של הפרוצדורה על פני המהות לגבי כל הטענות של תחום דיון מסוים מבטאת גישה של קונסטרוקטיביזם (כתזה מטאפיזית) בנוגע לאותו תחום דיון.
ככלל, נהוג לחלק את ענף המשפט הפרוצדורלי לכמה סוגי דינים משניים, שהמשותף להם הוא אופיים ההסדרי-מינהלי והם: סדרי דיון, דיני הראיות ודיני התיישנות.
מאחר שבאופן כללי, המשפט המהותי מתחלק לשלוש קבוצות עיקריות, קרי המשפט האזרחי, המשפט הפלילי והמשפט המנהלי, חלים בעניינו של כל ענף משפטי מהותי כללי פרוצדורה ייחודיים.
סדרי דין במשפט האזרחי – בעיקר בתקנות סדר הדין האזרחי התשמ"ד 1984 - המכונים "דיון אזרחי"; ובתקנות בית הדין לעבודה (סדרי דין), התשנ"ב - 1991.
סדרי דין במשפט הפלילי – בחוקי סדר הדין הפלילי – המכונים "דיון פלילי".
דיני ראיות – בין השאר בפקודת הראיות (נוסח חדש) תשל"א 1971 – המאגד הוראות לקבילותן של ראיות במשפטים, הן אזרחיים והן פליליים, וכן שורת חוקים ופסקי דין רבים נוספים העוסקים בדיני הראיות בהליכים השונים.
דיני התיישנות נפרדים להליך הפלילי מאלו של ההליך האזרחי.
באופן כללי, ניתן לומר כי "סדרי הדין" הם כל אוסף הכללים המורים כיצד יתנהל המשפט, בין אם הפלילי, האזרחי או המנהלי (כיצד יוגש ההליך, בפני איזה בית משפט, באיזה מחוז וכדומה), בעוד "דיני הראיות" קובעים אילו ראיות יהיו קבילות ותחת אילו תנאים.
"דיני ההתיישנות" קובעים, מבחינה דיונית, אלו משפטים יובאו ויתבררו בפני בית המשפט בהיותם רלוונטיים וכמי שלא אבד עליהם הכלח, להבדיל מאלה שעבר זמנם ואין עוד לציבור עניין בבירורם בשל חלוף זמן רב מהתהוותם.
משפט צ'בה הוא משפט יסודי בגאומטריה האוקלידית, הנותן תנאי לכך ששלושה קטעים היוצאים מקודקודי משולש ייפגשו בנקודה משותפת.
היינו: במשולש ABC, אם בוחרים נקודות F,D,E על הצלעות AB,BC,CA (או המשכיהן) בהתאמה, אז הקטעים AD, BE ו-CF נפגשים בנקודה אם ורק אם מכפלת יחסי החלוקה שווה ל-1. לצורך זה יחס החלוקה מחושב עם סימן; המשפט נכון גם לגבי חלוקה חיצונית, כאשר היחס שלילי.
ניסוח נוסף של המשפט מספק תנאי שקול המכונה "משפט צ'בה הזוויתי": .
ניתן להוכיח שהניסוחים שקולים בעזרת שימוש במשפט הסינוסים.
המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי האיטלקי ג'ובאני צ'בה שחי במאות ה-17 וה-18, ופרסם הוכחה למשפט בשנת 1678. בשנת 1985 התגלתה עבודתו מהמאה ה-11 של יוסוף אל-מוא'תמן איבן הוד , מלך סרגוסה, ובה הוכחה למשפט זה.
משפטים ידועים על נקודות מיוחדות של משולש הם מסקנות ממשפט צ'בה:
העובדה ששלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה היא מקרה פרטי, שבו כל היחסים שווים לאחד.
העובדה ששלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה נובעת ממשפט צ'בה באמצעות משפט חוצה הזווית (חוצה זווית מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס ששווה ליחס בין שוקי הזווית).
העובדה ששלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה נובעת ממשפט צ'בה שכן היחס שבו מחלק הגובה את הצלע אליה הוא מורד שווה ליחס הטנגנסים של הזוויות האחרות במשולש.
שלשה של נקודות F,D,E כמתואר במשפט נקראת שלשת צ'בה.
לדוגמה, אמצעי הצלעות מהווים שלשת צ'בה (זהו המשפט על מפגש התיכונים בנקודה).
גם נקודות ההשקה של המעגל החסום מהוות שלשת צ'בה (מפגש הקטעים האלה נקרא נקודת גרגון של המשולש).
יש למשפט כמה וכמה הוכחות גאומטריות, אבל ההוכחה בשיטות של גאומטריה אנליטית היא כנראה הפשוטה מכולן.
מכיוון שהנקודות A,B,C אינן על קו ישר אחד, כל נקודה במישור, ובפרט O היא ממוצע משוקלל שלהן, כלומר, קיימים משקלים , שסכומם 1, כך שמתקיים: .
מכיוון שהנקודה D נמצאת על ישר אחד עם O ו-A, ועל ישר אחר עם B ו-C, מתקיים: .
כלומר, טענת המשפט היא ש- , והטענה הזו טריוויאלית.
משפט פון נוימן-מורגנשטרן בתורת ההחלטות הוא משפט האפיון של פונקציית התועלת, והוא קובע שאם לשחקן יחס ההעדפות שלם וטרנזיטיבי, ואם יחס ההעדפות מקיים ארבע אקסיומות מסוימות, אז ניתן לתאר את יחס ההעדפות של השחקן באמצעות פונקציית תועלת ליניארית.
פונקציה פשוטה כזו נוחה מאוד בניתוח משחקים בעלי תוצאות לא ודאיות, מכיוון שהתועלת של כל הגרלה L תהיה שווה לתוחלת התועלת של התוצאות לפי L.
תחילה אנו מניחים שמקבל ההחלטות עומד בפני מצב עם מספר סופי של תוצאות אפשריות: .
כדי לנתח סיטואציות שבהן תוצאת המשחק אינה ודאית, כלומר היא הגרלה על קבוצת התוצאות, יש להרחיב את יחס ההעדפות של השחקן להתפלגויות על O.
הגרלה שבה כל תוצאה אפשרית יכולה להתקבל בהסתברות תסומן על ידי , וקבוצת ההגרלות על :
כאשר השתמשנו בסימון של הסימפלקס ה-K ממדי: .
מתברר שכדי להוכיח את המשפט עלינו להרחיב את יחס ההעדפות של השחקן להגרלות על הגרלות.
הגרלה מורכבת שבה כל הגרלה יכולה להתקבל בהסתברות תסומן על ידי , וקבוצת ההגרלות המורכבות על :
כעת נגדיר את העדפותיו של השחקן.