tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מודול הוא -פרויקטיבי, אם לכל פירוק (הסכום לאו-דווקא ישר), יש אנדומורפיזם כך ש- ו-.
כל מודול דמוי-פרויקטיבי הוא כזה, וכך גם כל מודול יוניסריאלי (מודול שבין כל שני תת-מודולים שלו אחד מכיל את השני).
מעל חוג השלמים, -פרויקטיביות שקולה לדמוי-פרויקטיביות.
חוג שמעליו כל מודול הנוצר על ידי שני איברים הוא -פרויקטיבי, הוא פשוט למחצה.
מודול פרויקטיבי מעל הוא "פרויקטיבי נאמנה" (faithfully projective) אם לכל אידיאל של (השווה למודול נאמן).
תכונה זו מועילה למשל כאשר הוא בעצמו חוג: אם הוא תת-חוג של , ו- הוא פרויקטיבי בנאמנות מעל , אז הוא מחובר ישר ב-
באלגברה, מודול חופשי הוא מודול שיש לו בסיס.
מודולים חופשיים משקפים את מבנה החוג הבסיסי באופן הטהור ביותר, ומכלילים באופן הפשוט ביותר את התורה הליניארית של מרחבים וקטוריים.
כל מודול חופשי הוא פרויקטיבי, אבל ההפך אינו נכון, אלא בחוגים מיוחדים.
מודול שמאלי מעל חוג , נפרש על ידי תת-קבוצה אם כל איבר אפשר לכתוב כסכום שבו הם מקדמים מהחוג ו- הם איברי הקבוצה.
אם ההצגה של כל איבר של באופן הזה היא יחידה, אז מהווה בסיס של .
בניגוד למצב במרחבים וקטוריים, לא לכל מודול יש בסיס (לדוגמה: חבורה אבלית סופית היא מודול מעל חוג השלמים, אבל לא יכולה להיות בה הצגה יחידה, משום שבחוג יש אינסוף סקלרים).
מודול שיש לו בסיס נקרא מודול חופשי.
עוצמת הבסיס של מודול חופשי נקראת הדרגה של המודול.
כל המודולים החופשיים מאותה דרגה הם איזומורפיים.
הדרגה של מודול מעל חוג קומוטטיבי מוגדרת היטב (כלומר: כל שני בסיסים של מודול חופשי מעל חוג קומוטטיבי הם בעלי אותה עוצמה).
מאידך, יש דוגמאות למודולים מעל חוגים לא קומוטטיביים עם בסיסים בגדלים שונים.
כל חוג אפשר לראות כמודול (שמאלי) מעל עצמו.
כאשר יש לחוג יחידה, הוא חופשי מדרגה , וכך הסכום הישר של עותקים, , הוא מודול חופשי מדרגה .
סכום ישר של מודולים חופשיים הוא חופשי (גם כאשר אין מדובר בסכום סופי).
מאידך, המכפלה הישרה בדרך-כלל אינה חופשית.
לדוגמה, המכפלה הישרה של מספר בן מניה של עותקים של החבורה , , אינה חופשית.
גם המכפלה הטנזורית של מודולים חופשיים היא מודול חופשי.
חוג שבו כל אידיאל שמאלי הוא חופשי בעל דרגה מוגדרת היטב, נקרא חוג אידיאלים חופשיים.
מודול (בעברית תקנית: פִּרְקָן) הוא תת-מערכת המהווה חלק מתוכנית מחשב ומבצעת פעולה מסוימת.
לעיתים מודול נקרא בשם אחר (חבילה, ספרייה ועוד).
מודול יכול להיות עצמאי (כלומר ניתן להרצה בנפרד) ואז הוא מכונה מודול ראשי או להוות חלק מתוכנית רחבה יותר הכוללת מודולים נוספים.
מודול מכיל לרוב יחידות קטנות יותר (פונקציות, מחלקות, משפטים וכיוצא באלו) והוא נכתב במרבית המקרים בקובץ נפרד (חלק מהשפות כמו שפת C משתמשות בכתיבה של קובץ נפרד כהגדרת מודול).
עם זאת ישנם מקרים בהם מודול מחולק על קבצים רבים (למשל בשפת ADA מורכב מודול לרוב משני קבצים - הגדרה ומימוש) או כתובים מספר מודולים בקובץ אחד (מצב שלרוב נחשב לבעייתי מבחינה יכולת התחזוקה של התוכנה אולם הוא חוקי).
לרוב ההתייחסות למודול היא כיחידה הקטנה ביותר הניתנת לבדיקה עצמאית (בדיקות של פרוצדורות ייתכנו אולם פרוצדורות שאינן ניתנות לקריאה מחוץ למודול לרוב לא ייבדקו כיחידות).
מודול הנפח הוא תכונה מספרית של חומר, המודדת באיזו מידה משתנה הנפח שלו כתוצאה מהפעלת לחץ אחיד.
מודול הנפח בדומה למודול יאנג, נמדד ביחידות של מאמץ (דהיינו, כוח ליחידת שטח, כגון פסקל).
מודול הנפח תלוי בטמפרטורה, ובפיזיקה מקובל לסמן אותו באות K.
מודול הנפח מוגדר על ידי הביטוי המתמטי
p - הלחץ הפועל על החומר
- נגזרת חלקית של פונקציית הלחץ ביחס לנפח
- נגזרת חלקית של פונקציית הלחץ ביחס לצפיפות
ערכים של מודול הנפח למספר חומרים שונים מים 2.2×109 פסקל (הערך עולה עם עליית הלחץ) אוויר 1.42×105 פסקל מודול נפח אדיאבטי אוויר 1.01×105 פסקל מודול נפח בטמפרטורה קבועה פלדה 1.6×1011 פסקל זכוכית 3.5×1010 עד 5.5×1010 פסקל הליום מוצק 5×107 פסקל (בקרוב)
מושג מודול הלחץ הוא מושג הפוך למושג הדחיסות.
מודול הנפח הוא אחד מהמודולים המתארים את האלסטיות של החומר והוא מציג את הקשר בין מאמץ לבין מעוות החומר.
מודול הנפח הוא מושג היכול להתאים לתיאור ההתנהגות של חומר שאיננו מוצק כמו זורם או נוזל, תחת לחץ.
הערך של מודול הנפח לחומר מסוים מושפע מהטמפרטורה של החומר.
אפשר להגדיר ולמדוד את מודול הנפח של החומר בטמפרטורה קבועה או בתהליך אדיאבטי.
מודול הנפח האדיאבטי לגז נתון בקרוב על ידי הביטוי:
- מודול הנפח בטמפרטורה קבועה
בזורמים, הערך של מודול הנפח וצפיפות החומר מגדירים את מהירות ההתפשטות של הקול באותו תווך.
c - מהירות הקול בתווך הזורם
מוֹדוּלַצְיָה היא תהליך של שינוי המרכז הטונאלי במהלך היצירה, כלומר עלייה או ירידה בסולם המוזיקלי.
למרות הקרבה במונחים, אין לבלבל בין מודולציה לטרנספוזיציה, שמשמשת להתאמה של יצירה או שיר לכלי נגינה או למנעד מסוימים.
המודולציה גורמת לתפנית במבנה היצירה.
ישנם מעברים חדים יותר וישנם פחות.
השינוי בסולם יכול לשמש ככלי בידי היוצר להבעת תכנים שונים:
הדגשת רגש מסוים (כמו פחד, עצב, דאגה, כאב, שמחה) ולהגביר את עוצמתו.
שינוי אווירה או גיוון ביצירה.
על ידי מודולציה, היוצר יכול לבטא את המסר העיקרי שהוא רוצה להעביר ביצירה יחד עם הרגש העוטף אותו בצורה חזקה וברורה מאוד ולתת לאותו מסר ולרגש המלווה אותו, לעבור בצורה ישירה יותר למאזין.
כאשר מתרחשות מודולציות רבות בטווח זמן קצר מתקבלת תחושה של חוסר יציבות ואף של סערה פנימית.
מודולציות קיימות, במידה זו או אחרת, ברוב התרבויות המוזיקליות שמשתמשות בסולמות מוזיקליים.
המוזיקה המערבית הטונאלית מתאפיינת בשימוש נרחב במודולציות על מנת להדגיש את המרכז הטונאלי של היצירה, באמצעות מעבר לסולמות חדשים וחזרה לסולם המקורי בסוף היצירה.
למעשה, ניתן למצוא מודולציות מלודיות במוזיקה המערבית כבר מימי הביניים.
אלה התפתחו בהדרגה למודולציות הרמוניות.
שהגיעו לשיא בקונצ'רטו גרוסו בסוף המאה ה-17 ובתחילת המאה ה-18.
ישנן מספר שיטות למעבר מסולם אחד לסולם אחר.
ככלל, מודולציה נעשית בין סולמות קרובים, כלומר סולמות שיש להם צלילים משותפים.
במוזיקה מערבית טונאלית — מוזיקה קלאסית, ג'אז ומוזיקה קלה — נהוג להשתמש במודולציות דיאטוניות, כלומר שימוש באקורד ציר שמבוסס על צלילים משותפים לשני הסולמות.
בג'אז נפוצה שיטה נוספת לביצוע מודולציה בעזרת אקורד מינורי או מוקטן המהווה דרגה שנייה של הסולם החדש, ולאחר מכן הדומיננטה של הסולם החדש המובילה לטוניקה שלו.
באלגברה ובתורת החוגים, מודול פשוט מעל חוג הוא מודול שאין לו תת-מודולים למעט מודול האפס ו- עצמו.
מודול האפס אינו נחשב פשוט.
מן המודולים הפשוטים אפשר במקרים רבים לבנות את כל המודולים (בעלי סדרת הרכב סופית) מעל החוג.
כל מודול ארטיני מכיל תת-מודולים פשוטים.
חוג המספרים השלמים, כמודול מעל עצמו, הוא דוגמה למודול שאין לו תת-מודולים פשוטים.
כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה ), וכל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה כאשר אידיאל שמאלי של .
המודול פשוט בדיוק כאשר אידיאל שמאלי מקסימלי (ולפי הלמה של צורן נובע מכאן שלכל חוג יש מודולים פשוטים).
המאפס של הוא האידיאל הדו-צדדי הגדול ביותר המוכל ב-; לכן חוג פרימיטיבי אם ורק אם יש לו אידיאל שמאלי שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי.
המודולים של חוג המספרים השלמים הם החבורות האבליות; המודולים הפשוטים הם בדיוק החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
תת-המודולים הפשוטים של חוג (כמודול מעל עצמו) הם האידיאלים השמאליים המינימליים שלו, אם יש כאלה.
חוג מטריצות מעל חוג פשוט גם הוא פשוט.
הלמה של שור קובעת כי חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק, כלומר כל אנדומורפיזם של מודול פשוט שונה מאפס הוא איזומורפיזם.
באלגברה מופשטת, מודול ארטיני הוא מודול המקיים את תנאי השרשרת היורדת (DCC) על תת-המודולים שלו, ביחס לסדר ההכלה.
התכונה נקראת על שם אמיל ארטין.
חוג מוגדר כחוג ארטיני אם הוא ארטיני כמודול (שמאלי) מעל עצמו.
מעל חוג ארטיני, כל מודול נוצר סופית הוא מודול ארטיני.
לכל תת-מודול של מודול , המודול ארטיני אם ורק אם ו- ארטינים.
לפי משפט הופקינס-לויצקי, כל חוג ארטיני הוא גם נותרי.
מכיוון שמודולים נוצרים סופית מעל חוג נותרי הם נותרים, אז עבור חוג ארטיני , כל מודול נוצר סופית מעל הוא גם ארטיני וגם נותרי ולכן בעלי אורך סופי.
כל מודול ארטיני (או נותרי) אפשר לפרק לסכום ישר סופי של מודולים אי-פרידים (כאלו שאי אפשר לפרק אותם לסכום ישר).
בשונה מחוגים, מודול ארטיני אינו בהכרח נותרי.
מודול הוא בעל אורך סופי (כלומר בעל סדרת הרכב סופית) אם ורק אם הוא ארטיני ונותרי.
מעל חוג קומוטטיבי, כל מודול ארטיני ציקלי הוא גם נותרי, אבל מעל חוגים לא-קומוטטיביים, מודולים ארטיניים ציקליים יכולים להיות מאורך אינסופי.
במתמטיקה, ובפרט בתחום תורת המודולים, מודול פשוט למחצה הוא מודול המתפרק לסכום ישר של תת-מודולים פשוטים.
תכונה זו מאפשרת להחליף שאלות על המודול בשאלות דומות על תת-המודולים הפשוטים שלו, ולכן מודולים פשוטים למחצה הם אלו שעבורם תורת ההצגות, החוקרת את המודולים הפשוטים של חוג, היא הנגישה ביותר.
חוג שהוא פשוט למחצה כמודול מעל עצמו נקרא חוג פשוט למחצה.
לפי משפט ארטין-ודרברן, החוגים הפשוטים למחצה הארטיניים הם המכפלות הישרות של חוגי מטריצות מעל חוגי חילוק.
מודול מעל חוג הוא פשוט למחצה אם הוא שווה לסכום ישר של תת-מודולים פשוטים שלו.
עבור מודול התנאים הבאים שקולים:
הוא סכום של תת-מודולים פשוטים.
הוא בעל משלימים: לכל תת-מודול קיים משלים (היינו ).
משפחת המודולים הפשוטים למחצה סגורה תחת מעבר לתת-חוגים ולחוגי מנה, ותחת סכום ישר.
בתורת החוגים, מודול אינג'קטיבי הוא מודול מעל חוג , כך שלכל מודול ותת-מודול , כל הומומורפיזם מ- ל- ניתן להרחבה כך שיהיה מוגדר על כל .
הדוגמה הקלאסית למודול כזה היא אוסף המספרים הרציונליים מעל חוג המספרים השלמים .
חשיבותם של המודולים האלה נובעת בעיקר מכך שמבחינה קטגורית, מושגי האינג'טיביות והפרויקטיביות של מודולים דואליים זה לזה.
לצד הקשר ההדוק שיש למודולים אינג'קטיביים עם חוג המקדמים (המתבטא למשל בכך שכל מודול אינג'קטיבי הוא בפרט חליק), כל מודול מוכל במודול אינג'קטיבי מינימלי, הנקרא "הסגור האינג'קטיבי" שלו.
את התכונה אפשר להגדיר בכל קטגוריה (לאו דווקא של מודולים).
עם זאת, לא בכל קטגוריה קיימים אובייקטים אינג'קטיביים.
לדוגמה, בקטגוריה של חבורות רק החבורה הטריוויאלית היא אינג'קטיבית .
מודול שמאלי מעל חוג הוא אינג'קטיבי אם הוא מקיים אחד התנאים השקולים הבאים:
כל סדרה מדויקת מהצורה מתפצלת.
לכל מודול שמאלי , אם הוא תת-מודול של אז הוא מחובר ישר של , כלומר קיים ל- תת-מודול כך ש-.
אינו תת-מודול גדול באף מודול.
עבור מודולים שמאליים ו- ופונקציה חח"ע , כל פונקציה ניתנת להרחבה ל-, כלומר קיימת פונקציה כך ש-.
לחלופין, אם השורה העליונה בדיאגרמה הבאה מדויקת, אז ניתן למצוא פונקציה כך שהדיאגרמה תהיה קומוטטיבית
קריטריון Baer: בהגדרה לעיל מספיק להניח ש- הוא החוג , ו- אידיאל שמאלי שלו.
הפונקטור מקטגוריית ה- מודולים השמאליים לקטגוריית החבורות האבליות הוא פונקטור מדויק.
מודול אינג'טיבי ימני מוגדר באופן אנלוגי.
מכפלה ישרה של מודולים אינג'קטיביים היא אינג'קטיבית.
מחובר ישר במודול אינג'קטיבי הוא אינג'קטיבי.
מעל שדה כל מודול הוא אינג'קטיבי, כפי שאפשר להוכיח על ידי השלמת בסיס לתת-מודול לבסיס של המודול כולו.
המודול של המספרים הרציונליים מעל החוג של השלמים הוא אינג'קטיבי.
גם מודול המנה הוא אינג'קטיבי.
מעל חוג דדקינד , לכל אידיאל ראשוני (שאינו אפס), הגבול הישר הוא מודול אינג'קטיבי אי-פריד (indecomposable), וכל מודול אינג'קטיבי אי-פריד הוא כזה.
לפי משפט Matlis (1958), מעל כל חוג קומוטטיבי נתרי יש התאמה בין אידיאלים ראשוניים למודולים אינג'קטיביים אי-פרידים.
אפילו כאשר החוג לא קומוטטיבי, לכל מודול אינג'קטיבי אי-פריד אפשר להתאים ראשוני באופן הבא: הראשוני מתאים ל- אם יש ל- תת-מודול , כך ש- הוא המאפס של כל תת-מודול שונה מאפס של .
מודול שמאלי הוא חליק אם לכל סקלר בחוג ולכל וקטור , התכונה שקולה ל-.
כל מודול אינג'קטיבי הוא חליק.
מעל מחלקות מסוימות של חוגים, כגון מעל תחומי שלמות או באופן כללי יותר מעל כל תת-חוג של חוג עם חילוק, כל מודול חסר פיתול חליק הוא אינג'קטיבי.
מעל תחום אידיאלים שמאליים ראשי (PLID), כל מודול חליק הוא אינג'קטיבי.
כל מודול מעל חוג ניתן לשיכון במכפלה ישרה של עותקים של המודול האינג'קטיבי .
התכונות הבאות שקולות עבור מודול המוכל במודול :
הוא תת-מודול גדול של , אבל לא של אף מודול המכיל את ;
הוא תת-מודול גדול של , ו- אינג'קטיבי;
אינג'קטיבי ואין לו אף תת-מודול אינג'קטיבי המכיל את .
סגור אינג'קטיבי (injective hull) של הוא מודול המקיים את התכונות לעיל.
לכל מודול יש סגור אינג'קטיבי יחיד.
לדוגמה, הסגור האינג'קטיבי של השלמים (כמודול מעל עצמם) הוא מודול המספרים הרציונליים.
הסגור האינג'קטיבי של חוג המטריצות 2x2 המשולשיות-עליונות מעל חוג עם חילוק , הוא חוג כל המטריצות בגודל זה מעל החוג.
הסגור האינג'קטיבי של , כאשר חוג דדקינד ו- ראשוני, הוא המודול שהוגדר לעיל.
אפיון תכונות של חוגים באמצעות מודולים אינג'קטיביים
כל המודולים מעל אינג'קטיביים אם ורק אם חוג פשוט למחצה ארטיני (כלומר, סכום ישר סופי של מטריצות מעל חוגי חילוק); לשם כך מספיק שכל המודולים הציקליים מעל יהיו אינג'קטיביים (Osofsky).
סכום ישר סופי של מודולים אינג'קטיביים הוא אינג'קטיבי, אבל טענה זו אינה נכונה לסכום ישר כלשהו.
תכונה זו מתקיימת (למודולים שמאליים) אם ורק אם החוג נתרי (שמאלי).
בדומה לזה, כל מודול אינג'קטיבי מתפרק לסכום ישר של מודולים אי-פריקים אם ורק אם החוג נתרי.
כל מודול אינג'קטיבי מתפרק לסכום ישר של סגורים אינג'קטיביים של מודולים פשוטים, אם ורק אם החוג ארטיני.
באופן כללי תמונה הומומורפית של מודול אינג'קטיבי אינה בהכרח אינג'קטיבית.
תכונה זו מתקיימת אם ורק אם החוג תורשתי.
לכל מודול יש תת-מודול אינג'קטיבי גדול ביותר, אם ורק אם החוג תורשתי ונתרי.
חוג נקרא אינג'קטיבי לעצמו (self injective) אם הוא אינג'קטיבי כמודול מעל עצמו.
כל מודול אינג'קטיבי הוא פרויקטיבי, אם ורק אם כל מודול פרויקטיבי הוא אינג'קטיבי, אם ורק אם החוג אינג'קטיבי לעצמו מימין ומשמאל וארטיני (חוג כזה נקרא חוג קוואזי-פרובניוס).
חוג נקרא לא-סינגולרי (שמאלי) אם לכל איבר שונה מאפס יש איבר שונה מאפס , כך שאם אז .
כל חוג כזה משוכן בחוג רגולרי פון-נוימן (החוג כאשר הסגור האינג'קטיבי של כמודול מעל עצמו).
חוג לא-סינגולרי שהוא אינג'קטיבי לעצמו (שמאלי) הוא בעצמו רגולרי פון-נוימן.
כאשר חוג קומוטטיבי, כל המודולים הפשוטים שלו אינג'קטיביים אם ורק אם הוא רגולרי פון-נוימן.
מודול הוא קוואזי-אינג'קטיבי, אם לכל תת-מודול שלו, , כל הומומורפיזם מ- ל- ניתן להרחבה כך שיהיה מוגדר על כל .
כל מודול אינג'קטיבי הוא קוואזי-אינג'קטיבי, אבל ההפך אינו נכון (החבורה הציקלית מסדר 4 קוואזי-אינג'קטיבית אבל לא אינג'קטיבית).
כל מודול פשוט-למחצה הוא קוואזי-אינג'קטיבי.
מודול הוא קוואזי-אינג'קטיבי אם ורק אם הוא אינווריאנטי לחלוטין בסגור האינג'קטיבי שלו (כלומר, כל אנדומורפיזם של הסגור האינג'קטיבי נושא את לעצמו).
אם קוואזי-אינג'קטיבי אז גם המחוברים כאלה (אבל ההפך אינו בהכרח נכון).
למודולים קוואזי-אינג'קטיביים יש חוג אנדומורפיזמים מעניין: רדיקל ג'ייקובסון שלו כולל את האנדומורפיזמים שהגרעין שלהם עיקרי, וחוג המנה ביחס אליו הוא רגולרי, אינג'קטיבי לעצמו, ואפשר להרים ממנו מערכות בנות-מניה של אידמפוטנטים אורתוגונליים בחזרה אל חוג האנדומורפיזמים.
למודול קוואזי-אינג'קטיבי אי-פריק יש חוג אנדומורפיזמים מקומי יוניפורמי (היינו כל שני אידיאלים שמאליים שונים מאפס - נחתכים).
חוג האנדומורפיזמים של מודול קוואזי-אינג'קטיבי ולא-סינגולרי הוא רגולרי ואינג'קטיבי לעצמו.
מודול הוא skew-injective אם כל אנדומורפיזם של תת-מודול שלו, ניתן להרחבה לאנדומורפיזם של המודול כולו.
כל מודול קוואזי-איג'קטיבי הוא skew-injective, וההפך נכון עבור מודולים ארטיניים למחצה (מודול הוא ארטיני למחצה אם לכל מנה לא טריוויאלית שלו יש תת-מודול עיקרי שהוא פשוט למחצה).
תכונה חלשה עוד יותר נקראת -אינג'קטיביות.
מודול הוא -אינג'קטיבי אם כל אנדומורפיזם אידמפוטנטי של תת-מודול שלו, ניתן להרחבה לאנדומורפיזם של המודול כולו.
בחבורות אבליות, תכונה זו שקולה ל-skew-injectiveness.
מודול הוא יוניפורמי (כל שני תת-מודולים שונים מאפס - נחתכים) אם ורק אם הוא אי-פריק ו--אינג'קטיבי.
מעל חוג נתרי, כל מודול -אינג'קטיבי הוא סכום ישר של מודולים יוניפורמיים.
אם כל מודול מעל הנוצר על ידי שני איברים הוא -אינג'קטיבי, אז פשוט למחצה ארטיני.
אם כל מודול ציקלי מעל הוא -אינג'קטיבי, אז הוא מכפלה ישרה של חוג פשוט למחצה ארטיני, וחוג יוניפורמי.
במשפט העברי, מודה במקצת, הוא נתבע המודה בנכונות חלק מטענתו של התובע.
התורה מחייבת נתבע שהודה במקצת להישבע על נכונות טענתו הנתונה במחלוקת עם התובע, על מנת שטענתו תתקבל כנכונה על ידי בית הדין.
ואין פוטרים אותו משבועה מטעם מיגו, שהייתה לו טענה טובה יותר שיכול היה לכפור בחוב כולו, שכן קיימת לנו חזקה שאין אדם מעיז פניו בפני בעל חובו.
בימינו נוהגים בתי הדין להימנע ככל האפשר מלחייב נתבע בשבועה, ולכן מקובל שבית הדין מציע פשרה בין הצדדים, בה באה לידי ביטוי העובדה שהנתבע היה מחויב עקרונית בשבועה.
בתורה שבעל פה למדו מגזרה שווה לפסוק "שְׁבֻעַת ה' תִּהְיֶה בֵּין שְׁנֵיהֶם אִם לֹא שָׁלַח יָדוֹ בִּמְלֶאכֶת רֵעֵהוּ", שהמילים: "ונקרב בעל הבית אל האלוקים" מתייחסים לחובת שבועה.
כן לומדים, מהמילים "אשר יאמר כי הוא זה": שחיוב השבועה חל על אדם שאומר "כזה אני חייב ולא יותר".
המלבי"ם מסביר שהמילה "הוא" משמשת בלשון ניגוד, כלומר: בניגוד לטענת התובע על סך מסוים, השומר טוען שסך קטן יותר "הוא" הפיקדון.
פסוקים אלו עוסקים בפיקדון, אבל ההלכה משליכה מכאן לנושאים אחרים השנויים במחלוקת בין התובע לנתבע, כגון בהלוואה.
על פי דעה אחרת בתלמוד, של רבי יוחנן ורמי בר חמא, הפסוק "אשר יאמר כי הוא זה" מתייחס לפרשה בה הוא כתוב, פרשת הפיקדון.
לפי דעה זו הרחבת הדין גם להלוואה היא על פי לימוד בבניין אב מפיקדון למלווה, מאחר שהסברה נותנת שאין הבדל ביניהם בעניין זה.
טעם חיוב המודה במקצת בשבועה
רש"י כותב שבפיקדון השומר חייב להישבע אפילו אם כפר לגמרי בטענת התובע ("כופר הכל").
הסיבה להבדל זה בין הלוואה לפיקדון מוסברת בתלמוד: מאחר שהמלווה עשה טובה בהלוואתו, קיימת חזקה שאין אדם מעיז פניו בפני בעל חובו, ולכן הכופר בכל פטור, כי מן הסתם לא היה מעיז לכפור לגמרי בחוב אלא אם כן הצדק עמו.
לעומת זאת כאשר הוא מודה במקצת ייתכן לשער שהוא מנסה להשתמט ולהתחמק באופן זמני מתשלום החוב במלואו, ולכן התורה הטילה עליו להישבע, כדי לזרז אותו לשלם הכל ומיד.
אולם בפיקדון המפקיד לא עשה טובה לשומר, ולכן השומר מסוגל להעיז פניו ולהכחיש לגמרי את קיומו של הפיקדון, ולפיכך ראוי שיישבע אפילו כשכפר בכל.
בעלי התוספות חולקים על רש"י, והוכיחו שגם בפיקדון הכופר בכל פטור משבועה.
במשנה נקצב ערך מינימלי לטענה שבה הנתבע כופר: שתי כסף, ואילו ההודאה צריכה להיות בערך מינימלי של פרוטה.
נמצא שלקיום דין מודה במקצת התביעה המקורית צריכה להיות בסכום של לפחות שתי כסף ופרוטה.
"שתי כסף" הם שתי מעות כסף, כל אחת מהן מקבילה למטבע המקראי "גרה".
משקלן יחד: כשלושים ושתיים גרגירי שעורה, 1.4 גרם כסף.
על פי ערך הכסף בימינו מדובר בסכום פעוט (כ- 2 ₪, נכון ל-2010), אך בימי קדם היה למטבעות אלו כח קנייה ניכר.
ה"פרוטה" היא מטבע נחושת, שערכו ככסף במשקל חצי שעורה (1/40 גרם, נכון להיום - כמה אגורות חדשות).
המקור לסכום המינימלי לכפירה הוא הפסוק הנ"ל: "כי יתן איש אל רעהו כסף או כלים".
מלשון הרבים "כלים" למדו חכמים שגם "כסף" האמור כאן יש בו ריבוי, שתי מטבעות כסף לפחות.
סכום ההודאה לא נלמד מן הפסוק, אלא מן הדין הכללי שאין ערך לפחות משוה פרוטה.
בפסוק נמנו דוגמאות לחפצים שעליהם נסובה התביעה: כסף, כלים, בעלי חיים, ועוד.
מדוגמאות אלה למדו חכמים שאין משביעים אלא על חפצים ניידים ושיש להם ערך ממוני ממשי, בניגוד לקרקע, עבדים (שהושוו בלשון התורה לקרקע במובנים מסוימים), ושטרות חוב שאין להם ערך ממשי אלא רק כאסמכתא.
רש"ר הירש מסביר טעמה של הלכה זו: השבועה איננה רק אמצעי הרתעה, אלא מובנה מסירת הדין לידי שמים, שה' יתערב ויעשה דין בחפציו של זה אם שיקר בשבועתו.
ממילא, הדבר אפשרי לגבי חפצים הטפלים לאדם ונחשבים כחלק ממנו ונתונים לשימושו ואף לכילויים על ידו, אם ירצה בכך.
קרקע, לעומת זאת, איננה טפלה לאדם מסוים ונעשית כחלק מאישיותו; אדרבה, הוא עושה בה שימוש זמני, עד שיעבירנה לדור הבא.
כמו כן העבד הוא אישיות בפני עצמו ואי אפשר להישבע עליו כאילו היה חפץ של אדונו.
כאשר הנתבע מודה בדבר שאינו כלול בתביעה - אינו כמודה במקצת.
באשר למי שטענו בחיטים והודה לו בשעורים נחלקו תנאים: רבן גמליאל מחייב, וחכמים פוטרים.
הדעה המקובלת היא שרבן גמליאל חולק על הכלל שנדרשת הודאה ממין הטענה.
ברם, מהקשר המשנה משתמע שאף הוא מודה לכלל זה, וחייב בשעורים משום שהחשיב את החטים והשעורים כאותו מין לעניין זה, מאחר ששניהם מין תבואה.
כאשר המודה במקצת מוסר מיד את החלק שהוא מודה בו לידי התובע, נחלקו הדעות האם דינו כמודה במקצת.
דעת רבי חייא שאף זהו מודה במקצת, והעובדה שמסר מיד את החלק שהודה בו איננה משנה את דינו.
לעומת זאת רב ששת פוטר את הנתבע מלהישבע, מפני שכאשר הוא מוסר מיד את מה שהודה בו נמצא שחלק זה לא נזקק כלל להליך של תביעה והתדיינות בבית הדין, והדיון מתמקד רק במה שלא מסר לידי התובע, ובזה הרי הוא כופר בכל.
עוד הסבר לפטור של רב ששת בהילך, הוא, שכאשר הנתבע משלם מיד מקצת מהכסף, אין לנו סברת "אישתמוטי קמישתמיט", והנתבע מחויב בשאר בגלל החזקה אין אדם תובע ולא לו (מאירי).
להלכה התקבלה הדעה ש"הילך" פטור.
בהגדרה המדויקת של "הילך" נחלקו הדעות: לדעת רש"י מדובר במקרה שהנתבע מודה בחוב ואף אומר שלא השתמש כלל בכסף ההלוואה, והוא שמור אצלו.
כשעדים מעידים על מקצת הטענה
כאשר הנתבע כופר בכל הטענה ועדים מאשרים את מקצתה (אך לא מכחישים את טענת התובע לגבי שאר התביעה), התובע זכאי לקבל את החלק שאותו אישרו העדים.
לגבי שאר תביעתו, נחלקו בגמרא האם הדבר שקול כמודה במקצת, ולפיכך הנתבע ישבע על מנת להיפטר משארית התשלום, או שדינו ככופר הכל: מצד אחד עדותם של עדים היא הראיה החזקה ביותר, העדיפה על פני הודאת בעל הדין.
מאידך, מאחר שהוכח שהנתבע שקרן ואף מעיז לכפור בכל התביעה, אין ערך לשבועתו ואף עדיף שלא להשביעו, מחשש שישבע לשקר.
הבאים להתדיין בפני בית דין רבני חותמים מראש על הסכם לפיו הם מסמיכים את בית הדין להציע פשרה ביניהם, וכאשר בית הדין מחליט שעל פי דין התורה היה כאן צורך בשבועת מודה במקצת - הוא מציע פשרה בין הצדדים שבה יינתן משקל לעובדה שנדרשה כאן שבועה.
בין הפוסקים ישנם שסברו שהפשרה היא בגובה מחצית התביעה (בניגוד לשבועת היסת, שבה הפשרה המקובלת היא שליש התביעה בלבד).
פוסקים אחרים סוברים שגם בפשרה על שבועה כזו הפשרה היא כשליש מהתביעה, ויש שסברו שגובה הפשרה נקבע על פי התרשמות בית הדין מאמיתות הטענות, למרות שאין בידו ראיות מכריעות לכאן או לכאן.
במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, מודול שטוח מעל חוג הוא מודול מעל , שעבורו פונקטור המכפלה הטנזורית ב- הוא מדויק.
מרחבים וקטורים מעל שדה הם מודולים שטוחים.
באופן כללי יותר, מודולים חופשיים, ואף מודולים פרויקטיבים הם מודולים שטוחים.
מאידך, כל מודול שטוח הוא חסר פיתול.
חוג הוא פון-נוימן רגולרי אם ורק אם כל המודולים מעליו שטוחים (משפט Harada-Auslander), ומושלם אם ורק אם כל מודול שטוח הוא פרויקטיבי.
מודולים שטוחים הוגדרו לראשונה על ידי ז'ן-פייר סר (Serre) במאמרו המפורסם "Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique", אשר יצא לאור בשנת 1956.
יהי מודול (שמאלי) מעל החוג .
לכל מודול (ימני) אפשר לבנות את המכפלה הטנזורית , שהיא החבורה האבלית הנוצרת על ידי הסמלים הפורמליים (כאשר ), המקיימים כמה חוקים טבעיים.
אם , מוגדרת העתקה הרואה כל סמל כאילו הוא חי ב-.
התהליך הזה עלול להיות הרסני: למשל, מעל חוג השלמים , אם , אז המכפלה שווה למודול המנה .
אם נתבונן בהכלה , נגלה שהמנה היא חבורה בת איברים, בעוד שהמנה שווה לאפס, כך שאין הכלה .
היכולת הזו להרוס הכלות משתקפת במבנה של המודול , ובמקרה זה היא באה לידי ביטוי בכך שהוא מפותל.
במקרים אחרים (למשל, אם חופשי) מובטח שהמכפלה הטנזורית ב- תשמור על הכלה.
בגלל חשיבותה של התכונה הזו, הציע סר מונח מיוחד למודולים שעבורם
אם , אז ההעתקה היא שיכון (לכל ולכל ):
מודול המקיים תכונה זו נקרא מודול שטוח.
כדי שהמודול יהיה שטוח מעל , די בכך שההעתקה היא שיכון לכל שהם אידיאלים שמאליים נוצרים סופית של .
כל תת-המודולים של הם שטוחים אם ורק אם כל תת-המודולים הנוצרים סופית הם שטוחים.
יהי חוג קומוטטיבי, ויהי מודול מעל .
נגדיר פונקטור מהקטגוריה של מודולים מעל לעצמה על ידי .
אפשר להראות כי הפונקטור הוא מדויק מימין.
כלומר, בהינתן סדרה מדויקת של -מודולים , הפעלת על הסדרה תיתן סדרה מדויקת .
עם זאת, ההעתקה אינה מוכרחה להיות חד חד ערכית.
אם הפונקטור הוא מדויק, נאמר כי הוא -מודול שטוח.
לאור הדיון לעיל, הוא שטוח אם ורק אם לכל העתקה חד חד ערכית של -מודולים, ההעתקה המתקבלת על ידי מכפלה טנזורית עם , היא חד-חד-ערכית.
מן ההגדרה נובע שמעל חוג חלופי, מכפלה טנזורית של מודולים שטוחים היא שטוחה
במקרה הכללי, כש- אינו בהכרח חילופי, הפונקטור דלעיל עדיין מוגדר על מודולים ומחזיר חבורות אבליות.
למרות זאת, ההגדרה נשארת זהה - מודול נקרא שטוח אם הפונקטור כפונקטור מהקטגוריה של -מודולים לקטגוריה של חבורות אבליות הוא פונקטור מדויק.
חוג הוא רגולרי פון-נוימן אם ורק אם כל מודול שמאלי או ימני הוא שטוח, אם ורק אם לכל , המודול הוא שטוח.
כאשר החוג קומוטטיבי, כל המודולים שטוחים אם ורק אם החוג הוא מצומצם (אין בו איברים נילפוטנטיים) וסריג תת-המודולים של כל מודול הוא דיסטריבוטיבי.
גם ללא הנחת הקומוטטיביות, אם החוג מצומצם וכל אידיאל חד-צדדי הוא דו-צדדי, אז כל המודולים שטוחים אם ורק אם סריג תת-המודולים של כל מודול הוא דיסטריבוטיבי.
כל סכום ישר של מודולים שטוחים הוא שטוח, וכל מחובר ישר במודול שטוח הוא שטוח בעצמו.
כל מודול פרויקטיבי הוא שטוח.
בפרט, כל מודול חופשי הוא שטוח.
מאידך מודול שטוח עם הצגה סופית הוא פרויקטיבי, ולכן עבור מודולים נוצרים סופית מעל חוג נתרי, מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא פרויקטיבי.
המספרים הרציונליים, כמודול מעל השלמים, הם דוגמה למודול שטוח שאינו פרויקטיבי.
אם הוא חוג חילופי נתרי מקומי, אז כל מודול שטוח נוצר סופית מעל הוא מודול חופשי.
מודול שיש לו כיסוי פרויקטיבי (היינו, הוא מנה של מודול פרויקטיבי ביחס לגרעין קטן) הוא שטוח אם ורק אם הוא פרויקטיבי בעצמו.
כל המודולים השטוחים מעל חוג הם פרויקטיביים, אם ורק אם החוג מושלם (מחלקה זו כוללת כל תת-חוג (עם יחידה) של חוג פשוט למחצה, וכל מקומי למחצה עם הרמת אידמפוטנטים מ-).
התכונה "כל מודול שטוח נוצר סופית הוא פרויקטיבי" חלשה בהרבה; למשל, היא כוללת את כל תחומי השלמות, ואת כל החוגים המקומיים-למחצה הקומוטטיביים (מעל חוג קומוטטיבי, תכונה זו שקולה לכך שכל מודול ציקלי שטוח הוא פרויקטיבי).
המודול מעל הוא שטוח אם ורק אם אינג'קטיבי מעל .
כל מודול שמאלי שטוח הוא אינג'קטיבי אם ורק אם כל מודול ימני שטוח הוא אינג'קטיבי, אם ורק אם החוג ארטיני ואינג'קטיבי.
כל מודול שטוח הוא חסר פיתול.
מעל חוג השלמים , מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חסר פיתול.
לתחום שלמות יש התכונה הזו (שכל מודול חסר פיתול הוא שטוח) אם ורק אם הוא תחום פרופר (היינו תחום שלמות שבו כל האידיאלים הנוצרים סופית הם הפיכים).
מודול שמאלי נקרא חסר-פיתול לפי האטורי (Hattori torsion-free, להלן חפ"ה) אם כל אימת ש- (עבור במודול וסקלר ) אפשר לכתוב כאשר .
כל מודול כזה הוא חסר פיתול.
את הפיתול לפי האטורי אפשר לאבחן בעזרת אידיאלים ראשיים: מודול הוא חפ"ה, אם ורק אם לכל בחוג, ההעתקה הטבעית היא איזומורפיזם.
בפרט, כל מודול שטוח הוא חפ"ה.
לכן מחלקת המודולים חסרי הפיתול לפי האטורי היא מחלקת ביניים, הכוללת את כל המודולים השטוחים, ומוכלת בזו של המודולים חסרי הפיתול.
מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חפ"ה ומתקיים לכל שני אידיאלים (נוצרים סופית) ימניים .
מעל חוג המקיים את תכונת בזו מימין (כל אידיאל נוצר סופית הוא ראשי), מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חפ"ה; ומעל חוג ללא מחלקי אפס המקיים את תכונת בזו מימין, מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חסר פיתול.
מיקום, גבולות, מכפלות ישרות, פולינומים
מעל חוגים נתריים שטיחות היא תכונה מקומית, כלומר מודול מעל חוג חילופי הוא שטוח אם ורק אם לכל אידיאל ראשוני , המיקום שטוח מעל .
מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא מתקבל כגבול ישר של מודולים חופשיים נוצרים סופית.
אין בכך מגבלה על גודלו של מודול שטוח, שכן כל מודול הוא גבול ישר של אוסף כל תת-המודולים הנוצרים סופית שלו.
כל מכפלה ישרה של מודולים (שמאליים) שטוחים היא מודול שטוח, אם ורק אם כל מכפלה ישרה של עותקים של החוג היא שטוחה, אם ורק אם החוג הוא קוהרנטי משמאל.
כל תת-מודול (שמאלי) של כל מכפלה ישרה של עותקים של החוג הוא שטוח, אם ורק אם כל אידיאל ימני נוצר סופית הוא פרויקטיבי.
חוג המנה (הקומוטטיבי) שטוח כמודול מעל , אם ורק אם האידיאל של הנוצר על ידי המקדמים של הוא מחובר ישר ב-.
רזולוציות שטוחות ומכפלה טנזורית נגזרת
בהינתן מודול , רזולוציה שטוחה שלו היא קומפלקס מדויק אשר מורכב ממודולים שטוחים, המרוכז בדרגות שליליות, ביחד עם קוואזיאיזומורפיזם .
בעזרת רזולציות שטוחות ניתן להגדיר את הפונקטור הנגזר משמאל של פונקטור המכפלה הטנזורית: לכל מודול נבחר רזולוציה שטוחה .
בהינתן זוג מודולים מעל חוג חילופי , המכפלה הטנזורית הנגזרת שלהם מוגדרת להיות .
בניה זו תלויה לכאורה בבחירת הרזולוציה השטוחה, אך ניתן להראות כי בחירת רזולוציה אחרת תוביל לקומפלקס קוואזיאיזומורפי.
ההומולוגיות של המכפלה הטנזורית הנגזרת שוות לפונקטור Tor.
ניתן להכליל את מושג המודול השטוח למקרה של קומפלקס שאינו חסום.
לכל זוג קומפלקסים ו- מעל חוג , מוגדרת המכפלה הטנזורית .
אם הפונקטור הוא מדויק, אומרים כי הוא קומפלקס -שטוח.
אם קומפלקס חסום מלמעלה אז הוא -שטוח אם ורק אם כל אחד מהמודולים המרכיבים אותו הוא שטוח.
באופן כללי, אם קומפלקס -שטוח כלשהו אז הוא קוואזי-איזומורפי לקומפלקס שכל המודולים המרכיבים אותו הם שטוחים, אך ההפך אינו נכון באופן כללי, כלומר ייתכן שקומפלקס שאינו חסום מלמעלה יהיה מורכב ממודולים שטוחים, אך הקומפלקס לא יהיה -שטוח.
מעל חוג נתון, לכל קומפלקס קיימת רזולוציה -שטוחה, כלומר קיים קומפלקס -שטוח שהוא קוואזי-איזומורפי לו.
בעזרת רזולציות אלו אפשר להרחיב את פונקטור המכפלה הטנזורית הנגזרת לכל הקטגוריה הנגזרת של קטגורית המודולים מעל חוג נתון, ללא הגבלת חסימות.
הומומורפיזם של חוגים נקרא שטוח אם הוא הופך את למודול חופשי מעל .
גרותנדיק הוכיח שכל העתקה חלקה פורמלית בין חוגים נתריים היא שטוחה.
בפרט, כל העתקה אטל-פורמלית (Formally étale) (העתקת כיסוי אלגברית) היא שטוחה.
בפרט, לוקליזציה והשלמה הן העתקות שטוחות.
הנחת הנתריות הכרחית בהוכחת השטיחות להעתקות חלקות פורמלית.
לדוגמה, יהי שדה, ויהי חוג הפולינומים בחזקות רציונליות חיוביות של .
ניתן להראות כי ההעתקה השולחת את ל-0 היא העתקה אטל-פורמלית, אך היא אינה העתקה שטוחה.
דוגמה זו אינה סותרת את משפטו של גרותנדיק, משום שהחוג איננו חוג נתרי.
בתורת החוגים, מודול נאמן הוא מודול מעל חוג , שהמאפס שלו
אם מודול מעל חוג מנה , אז הוא גם מודול מעל , ושם המאפס שלו מכיל את .
לכן, כאשר מודול נאמן, מובטח שהוא אינו מוגדר מעל חוג מנה אמיתי של , אלא רק מעל עצמו.
במתמטיקה, מודול מוצלב הוא מבנה מתמטי המורכב מ-2 חבורות G ו-H, כאשר G פועלת על H (ניתן לדון במקרה של פעולה שמאלית או פעולה ימנית ), ויש הומומורפיזם של חבורות
שמכבד את פעולת ההצמדה של G על עצמה
ומקיים את זהות פייפר (Peiffer):
כאשר מגדירים מודול מוצלב עם פעולה ימנית , רושמים במקום:
המודול המוצלב הטריוויאלי הוא מודול מוצלב ימני עם הפעולה ושמאלי עם .
תהי תת-חבורה נורמלית ו- הומומורפיזם השיכון.
זהו מודול מוצלב (ימני) עם הפעולה .
הנורמליות מבטיחה ש- ולכן הפעולה מוגדרת היטב.
כאשר d על והגרעין של d מרכזי, כלומר: .
יהי כאשר d שולח כל איבר לאוטומורפיזם הפנימי בחבורות האוטומורפיזמים , והפעולה היא הפעולה הטבעית של האוטומורפיזם: (פעולה ימנית).
אזי הוא מודול מוצלב (ימני).
הנושא הוזכר לראשונה על ידי ג'ון וייטהד בשנת 1941 ובעבודתו משנת 1946 הוא לראשונה השתמש בשם "מודול מוצלב".
למודולים מוצלבים יש שימושים בחישוב קוהומולוגיות באלגברה הומולוגית ובפרט עם גישת חבורות-2 וגרופואידים.
כמו כן, למושג זה קשר חזק לטופולוגיה אלגברית וחבורות הומוטופיה.
מודו (Modu) הייתה חברת חומרה ישראלית שפיתחה טלפון סלולרי הנושא את שמה.
החברה הוקמה ב-2007 על ידי דב מורן.
שם החברה מתייחס בין השאר למילים "modularity", "modem".
החברה פיתחה טלפון סלולרי קטן ומודולרי המתאפיין בפרסונליזציה של החומרה.
הקונספט של המכשיר היה שימוש ב"חליפות" (Jackets) להרכבת הטלפון והרחבת יכולותיו.
דגם הטלפון "מודו T" טלפון מדור 3.5 בעל מסך מגע נמכר בהודו.
הוא היה הסלולרי הקטן בעולם.
החברה עוד ניסתה לגייס כספים בבורסת תל אביב בהנפקה, אך כשלה גם בכך.
בשלהי 2010 פיטרה החברה, שעד אז צברה חוב של 123.5 מיליון דולר למשקיעים ובעלי המניות, את כל 130 עובדי החברה והיא נסגרה.
בדצמבר 2010 מונה לה כונס נכסים.
כ-120 מיליון דולר של המשקיעים ובעלי המניות אבדו.
בתורת המודולים, מודול ציקלי הוא מודול הנוצר סופית על ידי איבר אחד.
למודולים ציקליים תפקיד חשוב בתורות המודולים, בעיקר בתכונות של מודולים מעל תחום ראשי וכן במשפטי פירוק לגורמים מעל תחומים אלו.
יהיו חוג, ו- מודול מעל .
נאמר ש- ציקלי, אם קיים כך ש-, כאשר היא הפעולה של החוג על המודול.
כל מודול מהצורה לכל הוא ציקלי.
אם נביט ב- כמודול מעל עצמו, אז כל אידיאל שמאלי ראשי הוא מודול ציקלי.
כל מודול ציקלי איזומורפי למודול המנה של מעל המאפס של .
במחשבים, מודול גרעין נטען (או בפשטות מודול גרעין) הוא קובץ המכיל קוד להרחבת פעולת הגרעין, או מה שנקרא ליבת הבסיס, של מערכת הפעלה.
מודול גרעין נטען משמש בדרך כלל כדי להוסיף תמיכה בחומרה או מערכת קבצים, או להוספת קריאות מערכת.
כאשר אין עוד צורך בפונקציונליות הניתנת על ידי המודול, ניתן לפרוק אותו כדי לפנות זיכרון ומשאבים אחרים.
רוב מערכות ההפעלה המבוססות על יוניקס, וכן חלונות, תומכות במודולי גרעין נטענים, למרות שהן עשויות להשתמש במונחים שונים.
כך לדוגמה הם נקראים בחלונות (החל מחלונות NT ואילך) בשם "Kernel-mode drivers", במק בשם "Kernel Extentions" ("הרחבות גרעין") וב-FreeBSD בשםkernel loadable modules (בקיצור kld).
ללא מודולי גרעין הניתנים לטעינה, מערכת הפעלה תצטרך להכיל בתוכה מראש את כל התכונות שהיא עשויה להצטרך להן, מורכבות ישירות בליבת הבסיס.
הרבה מהתכונות הללו תשבנה בזיכרון מבלי שייעשה בהן שימוש - בזבוז זיכרון שלא יהיה זמין לשימושים אחרים, ובנוסף משתמשים יצטרכו לבנות מחדש את ליבת הבסיס בכל פעם שהם זקוקים לפונקציונליות חדשה.
אחת הבעיות העלולות להיווצר בגרעין שכזה, לעומת גרעין "סטטי", היא בעיית הקיטוע (Fragmentation).
ליבת הבסיס נטענת אל תוך קטע זיכרון רציף בזמן האתחול.
כאשר המערכת נכנסת למצב בו ניתן לטעון אליה מודולים, לדוגמה: לאחר טעינת מערכת הקבצים המכילה את המודולים, סביר להניח שטעינת המודולים לאחר מכן תגרום לקיטוע בזיכרון, דבר העשוי לגרור פגיעה מינורית בביצועים בגלל שימוש במספר רב של חוצצי זיכרון לתרגום כתובות (TLB, Translation lookaside buffer).
בלינוקס, טעינת המודולים מהזיכרון והסרתם מתבצעת באמצעות הפקודה modprobe, שנועדה להחליף את פקודות insmod ו-rmmod הוותיקות יותר.
המודולים ממוקמים בתיקיית /lib/modules ומאז גרסת הגרעין 2.6, מקבלים את הסיומת .ko (גרסאות קודמות הצמידו למודולי גרעין את הסיומת .o).
באמצעות הפקודה lsmod המשתמש יכול לסקור את רשימת המודולים הטעונים במערכת.
במקרי חירום (לדוגמה, מערכת שמסרבת להיטען בשל מודול פגום), המשתמש יכול לערוך את רשימת המודולים הנטענים על ידי שימוש במנהל האתחול של מערכת ההפעלה.
מנקודת מבטם של מתחזקי ליבת לינוקס, מודולי הגרעין הם יצירה נגזרת של הגרעין עצמה.
בעוד שהם מוכנים לקבל גם מודלים קנייניים, הם מאפשרים ייצוא של Symbols (פונקציות "חיצוניות" של המודול, שאינן עוסקות באתחולו או בסיום פעולתו) כך שייפעלו רק במודולים חופשיים (תחת הרישיון הציבורי הכללי של גנו, בקיצור GPL).
טעינה של מודול קנייני, או של מודול שיצא ברישיון שאינו GPL, תגרום לקרנל להיות במצב taint.
המשמעות של tainted kernel היא שבאגים שייוצרו במהלך ריצתו לא ייבדקו היטב על ידי המתחזקים.
מודולי גרעין עבור FreeBSD עשויים להישמר או בתיקיית /boot/kernel/, במקרה של מודולים שהגיעו עם מערכת ההפעלה, או בתיקיית /boot/modules/ במקרה של מודולים שהגיעו ממקורות חיצוניים, למשל כאלו שהגיעו ממנהל החבילות או שהותקנו ידנית, או מודולים קנייניים.
בדומה ללינוקס, גם כאן הם נשמרים תחת הסיומת .ko.
ניתן לטעון מודולים על ידי הפקודה kldload, להסירם מהזיכרון על ידי הפקודה kldunload, ולצפות ברשימת המודולים הפועלים כעת על ידי הפקודה kldstat.
ניתן גם לטעון מודולי גרעין עוד לפני טעינת הגרעין עצמה, הן על ידי שימוש במנהל האתחול או ידנית.
במערכת ההפעלה macOS, מודולי גרעין, הנקראים "הרחבות גרעין" נטענים אוטומטית או ידנית על ידי שימוש בפקודות kextload.
גם כאן ניתן לצפות ברשימת ההרחבות הטעונות, על ידי שימוש בפקודה kextstat.
המערכת תומכת גם ב"אריזת" מספר הרחבות לקובץ אחד (bundle) בסיומת .kext.
הרחבות שהגיעו עם מערכת ההפעלה נשמרות בתיקיית /System/Library/Extensions, בעוד שהרחבות שהגיעו ממקורות צד שלישי (מנהלי התקן חיצוניים למשל) נשמרות בתיקיות המתאימות להם (תלוי במקור ממנו הגיעו).
בסולאריס ניתן לשנות את הנתיב אליו מגיעים המודולים.
כברירת מחדל, המודולים פזורים בין 3 תיקיות שונות: /kernel, או /platform/`uname -i`/kernel, או /usr/kernel.
בעוד שהתיקיות מכילות את כל המודולים (כולל מודולים מצד שלישי) הנחוצים עבור מערכת מלאה ומתפקדת, התיקייה הראשונה מכילה רק את המודולים הדואגים לכך שהמערכת תיטען כיאות.
כאשר מריצים את הגרעין במצב DEBUG, היא תנסה להסיר "בכוח" מודולים לא נחוצים.
רוב מערכות ההפעלה המודרניות, ובכללן חלונות, macOS ו-FreeBSD מספקות API ו-ABI מסודרים.
בלינוקס המצב שונה - ללינוקס אין API מסודר עבור מודולי גרעין.
המשמעות היא שעשויות להיווצר בעיות תאימות כאשר עובדים עם גרסאות שונות של אותה הגרעין, למשל כאשר כותבים מודול עבור גרסת גרעין מסוימת ומנסים לטעון אותו לגרסה אחרת של הגרעין.
כדי להתמודד עם בעיה זו, ניתן להשוות את הגרסאות בעזרת modinfo.
במידה ומספרי הגרסאות אינם תואמים זה לזה, המודול לא ייטען.
מודה סנטר הוא היכל הממוקם בעיר פורטלנד שבאורגון, ארצות הברית, המשמש לאירועי ספורט ובידור.
האולם מכיל 19,393 מקומות ישיבה ומשמש בתור אולמה הביתי של קבוצת ה-NBA פורטלנד טרייל בלייזרס וקבוצת ההוקי פורטלנד וינטרהוקס.
האולם נבנה בעלות של כ-262 מיליון דולרים ונפתח ב-12 באוקטובר 1995.
באלגברה, מודול יוצר (generator module) הוא מודול בו סכומי פונקציונלים מהמרחב הדואלי יוצרים את כל חוג הבסיס.
מודול פרו-יוצר (progenerator module) הוא מודל יוצר, פרויקטיבי ונוצר סופית.
למודולים המקיימים תכונות אלו תפקיד מבני בתורת המודולים, והם מהווים עזר באפיון מושגים שונים באלגברה: בעזרתם ניתן לאפיין באופן מבני את שקילות מוריטה; הם מהווים חלק מהגדרת איברים טריוויאליים בחבורת בראואר של חוגים.
יהי חוג, ויהי מודול מעל החוג.
נסמן ב- את ההמרחב הדואלי של , כלומר אוסף ההומומורפיזם
אידיאל העקבה (trace ideal) של מוגדר כך:
כלומר, הוא מכיל סכומי פעולות של פונקציונלים על החוג.
בדיקה ישירה מראה שזהו אכן אידיאל דו צדדי של (נובע בין השאר מכך ש- מודול ימני מעל ).
המודול נקרא יוצר יוצר אם אידיאל זה שווה לכל החוג: (או בשקילות, ).
המודול נקרא פרו-יוצר אם הוא בנוסף פרויקטיבי ונוצר סופית מעל .
להלן מספר תכונות שקולות להיותו של מודול יוצר:
בפרט, נובע שהתכונה ניתנת לאפיון באופן קטגורי, ולכן נשמרת בין אובייקטים שקולים קטגורית.
כל -מודול הוא תמונה של ב-.
אזומיה הוכיח כי מודול מעל חוג קומוטטיבי שהוא פרויקטיבי ונוצר סופית הוא יוצר (ולכן פרו-יוצר) אם ורק אם הוא נאמן.
בפרט, נובע כי כאשר חוג הבסיס קומוטטיבי ואין לא אידמפוטנטים פרט ל-0 ו-1, כל מודול פרויקטיבי ונוצר סופית הוא פרו-יוצר.
בנוסף, עבור מודול פרויקטיבי ונוצר סופית מתקיים , כאשר הוא המאפס של המודול.
למודולים יוצרים ישנו קשר חשוב לשקילות מוריטה של חוגים - שני חוגים הם שקולים מוריטה אם ורק אם יש שקילות קטגורית בין המודולים הימניים שלהם.
מסתבר שתנאי זה שקול לתנאי מבני על החוגים - משפטי מוריטה קובעים כי חוגים הם שקולים מוריטה אם ורק אם אחד מהם הוא חוג אנדומורפיזמים מעל מודול פרו-יוצר של השני.
שקילות זו מוכחת על ידי בניית Morita context לכל מודול פרו-יוצר.
מודה בקנס פטור הוא כלל הלכתי הפוטר מתשלום אדם שהודה במעשה שיש בו כדי לחייבו קנס אילו היו מעידים עליו עדים בבית דין.
הפטור חל רק כאשר אין עדים על המעשה, ולפי דעת רב שנפסקה להלכה, גם כאשר יש עדים, בתנאי שהנאשם הקדים והודה לפני שבאו העדים, ובתנאי שהודאתו של הנאשם מחייבת אותו ממון.
מאז ביטול הסמיכה כלל זה אינו מעשי, כיוון שבתי הדין אינם מוסמכים לדון בדיני קנסות, והם אינם מחייבים אף אדם בקנס.
מקור ההלכה ש"מודה בקנס" נפטר מתשלומי הקנס מבוסס על דרשת הפסוק האמור לגבי הקנס ההלכתי של תשלומי כפל המושת על גנב: .
ודרשו חז"ל: אשר ירשיעון אלוהים (=הדיינים), פרט למרשיע את עצמו.
שהמרשיע את עצמו אינו חייב בתשלומי הקנס.
בהתאם לדין זה מורה המשנה במסכת כתובות:
בתלמוד נידון מקרה שבו לאחר שהודה בקנס באו עדים לחייבו בקנס.
בנושא זה הובאה מחלוקת אמוראים: רב ושמואל נחלקו אם ההנחיה של מודה בקנס פטור מחריגה את המודה בקנס בשל עצם ההודאה או שרק נאמר שאי אפשר לבסס הרשעה בקנס על הודאה, בשונה מחיובי ממון שבהם מתקבלת הודאת בעל דין להטלת חיוב גמור.
הראשונים פירשו שהסיבה לכך שהודאה אינה קבילה במשפטי קנסות היא ההלכה שאין אדם משים עצמו רשע, ולכן רק בחיובים ממוניים שביד האדם לתת ביוזמתו את כספו לתובע מקובלת הודאת בעל דין.
ואולם יש מן האחרונים שהוכיחו שבעלי התוספות נקטו שהחסרון אינו בקבילות ההודאה בתחום הקנסות, והפטור מקנס במקרה של הודאה נובע מכך שלאדם אין בנוגע לעצמו נאמנות לגבי העובדות אלא לגבי עצם החיוב, ולכן הודאת בעל דין תקפה רק במקרה שההודאה מבססת ידיעה על חיובו של המודה.
שונה הדבר בדיני קנסות מאחר שקנס אינו חיוב ממשי אלא סנקציה שאותה מטיל בית הדין על החייב, עד לפסיקת בית הדין אין חיוב כלשהו על הנתבע ומאחר והודאתו אינה קבילה בהתייחס לעובדות ואינו יכול להודות בחיוב שעתיד להיווצר בפסיקת בית הדין, לא ניתן לבסס חיוב קנס על הודאה.
ויש מן האחרונים שכתבו שהודאה בקנס אינה פועלת שלא לאפשר את ההרשעה והטלת הקנס, אלא שהתורה הורתה לקבל את ההודאה במקום תשלום, וכמי ששילם את הקנס.
להלכה זו ישנם תנאים והגבלות,
הודאה המחייבת ממון: אין הודאה פוטרת אלא אם כן, מחמת הודאתו התחייב ממון.
לדוגמה, אם הנאשם מודה שגנב, ובכך מתחייב לשלם את הקרן, הרי הוא נפטר מתשלומי כפל, אך אם לאחר שהגיעו עדים שגנב, מודה הגנב שבנוסף לגניבה גם טבח או מכר את השור, הגנב אינו נפטר מתשלומי ארבעה וחמישה, שהרי אין הודאה זו שטבח מחייבת את הגנב ממון.
בחלק מהמקרים נחלקו הפוסקים, האם נפטר המודה:
האם גם בקנסות שהושתו בידי חכמים ואינם מדאורייתא נאמרה הלכה זו שהמודה בחיובו בהם, נפטר מתשלום.
יש מן האחרונים שכתבו שגם בקנסות מדרבנן המודה בקנס פטור והראו שכך היא דעת כמה מן הראשונים, ומאידך יש מן האחרונים שכתבו שבקנסות מדרבנן גם המודה בקנס חייב וגם לשיטה זו סימוכין בדברי ראשונים.
מודוגה היא שפה דראווידית דרומית שבטית.
השפה מושפעת בעיקר מקאנדה וטולו.
אוצר המילים של השפה דומה בכ-82% לשפה קורומבה אטאפדי.
כמו כן דוברי השפה משתמשים בשפת האם שלהם כאשר הם פונים לדוברי קורומבה אטאפדי כיוון שהשפות קרובות באופן יחסי.
השפה מדוברת על ידי שבטי מודוגה בעמק אטאפדי שבדרום גבעות נילגיריס שבקרלה.
במתמטיקה, מודול אי-פריד הוא מודול שאינו מתפרק לסכום ישר של שני תת-מודולים.
מודולים אלה הם אבני היסוד של תורת ההצגות של אלגברות.
כל מודול ארטיני או נתרי הוא סכום ישר של מספר סופי של מודולים אי-פרידים.
מודול בעל אורך סופי אפשר לפרק לסכום ישר של מודולים אי-פרידים באופן יחיד עד כדי סדר (משפט קרול-רמק-שמידט).
מודולים אי-פרידים שהם אינג'קטיביים אפשר לתאר באמצעות האידיאלים הראשוניים של החוג.
זהו גם מספרם של המודולים האינג'קטיביים האי-פרידים, ושל המודולים הפרויקטיביים האי-פרידים.
עם זאת, מספרם של המודולים האי-פרידים עשוי להיות אינסופי.
אומרים שלאלגברה יש טיפוס הצגות סופי אם יש לה מספר סופי של מודולים אי-פרידים מממד סופי.
לדוגמה, כל אלגברה פשוטה למחצה היא בעלת טיפוס הצגות סופי.
לפי משפט Auslander, כל מודול אי-פריד של אלגברה סוף-ממדית מטיפוס סופי הוא מממד סופי.
לפי משפט Roiter, אם האורך של מודולים אי-פרידים של אלגברה סוף-ממדית הוא חסום, אז היא מטיפוס סופי.
לאלגברה יש טיפוס הצגות מבוית (tame) אם לכל , כל ההצגות האי-פרידות מממד שייכות למספר סופי של משפחות חד-פרמטריות.
(הגדרה זו כוללת גם את האלגברות בעלות טיפוס סופי).
הדוגמה היסודית היא חוג הפולינומים במשתנה אחד, בהתאמה למיון של העתקות ליניאריות לפי צורות ז'ורדן.
גם ל- יש טיפוס הצגות מבוית (קרונקר, 1896; תורת ההצגות שקולה למיון של זוגות מטריצות עד כדי שקילות סימולטנית).
לאלגברה יש טיפוס הצגות פראי (wild) אם תורת ההצגות שלה אינה כריעה חישובית.
במקרה זה קטגוריית ההצגות של כל אלגברה מממד סופי משוכנת בזו של , כך שאין תקווה למיין את ההצגות של .
לדוגמה, לאלגברה יש טיפוס הצגות פראי, וממילא כך גם לאלגברה החופשית ולאלגברת הפולינומים (בשני יוצרים או יותר), שהרי היא מנה שלהם.
לכל אלגברה מממד סופי יש טיפוס הצגות סופי, מבוית או פראי (Drozd, 1977).
טיפוס ההצגות של אלגברת חבורה
לאלגברת חבורה יש טיפוס הצגות סופי אם ורק אם המאפיין הוא אפס, או שהמאפיין הוא ותת-חבורות p-סילו של הן ציקליות.
אם אינסופי, ל- יש טיפוס הצגות מבוית אם ורק אם המאפיין הוא 2, ותת-חבורות 2-סילו הן ציקליות, דיהדרליות, דיהדרליות-למחצה או קווטרניונים מוכללים (Higman).
טיפוס ההצגות של אלגברת קוויבר
מסיבות היסטוריות, גרף מכוון (עם לולאות וקשתות מרובות) נקרא בתורת ההצגות קוויבר (quiver).
אלגברת הקוויבר היא המרחב הנפרש על ידי כל המסלולים בגרף (לרבות מסלולים באורך 0, היינו קודקודים), עם פעולת הכפל על ידי הדבקת מסלולים (אם המסלולים אינם ממשיכים זה את זה, מכפלתם אפס).
אלו אלגברות בסיסיות (כל מודול פשוט הוא חד-ממדי).
כל אלגברה מממד סופי שקולת-מוריטה למנה של אלגברת קוויבר.
משפט גבריאל (1972) ממיין את טיפוס ההצגות של אלגברות קוויבר: לאלגברה יש טיפוס הצגות מבוית אם ורק אם (כאשר שוכחים את כיווני החצים) הוא איחוד זר של גרפים שהם דיאגרמות דינקין מהטיפוסים , , או (עבור ).
מוֹדוּלה־2 היא שפת תכנות מערכות מובנת ופרוצדורלית עם טיפוסיות חזקה וסטטית שפותחה על ידי ניקלאוס וירת בין השנים 1977–1988 במכון הטכנולוגי של ציריך.
מודולה־2 הורחבה במקור מפסקל, והיא ירשה את הפיתוח של מודולה.
מודולה־2 באה לתת מענה מקיף לכל החסרונות של פסקל.
בשנת 1976 וירת ביקר במעבדת פארק, היכן שתפס את ההשראה לפיתוח של מודולה־2 משפת התכנות מֶסַה.
בשנת 1977 וירת התחיל את הפיתוח של מודולה־2 כהמשך לפיתוח של מודולה, וכתחליף לפסקל.
מודולה הראשונה הייתה שפת תכנות נסיונית, והיא מעולם לא פותחה מעבר לשלבי הניסוי שלה אחרי שנת 1975. וירת תכנן את מודולה־2 שתהיה שפת תכנות מערכות ושפת תכנות כללית במחשבי DISER Lilith.
תחביר השפה היה דומה יותר לזה של מודולה מאשר לפסקל, לכן וירת החליט לקרוא לה מודולה־2.
בשנת 1978 פורסמה המהדורה הראשונה של הדו"ח של אפיון השפה.
בשנת 1979 נוצר היישום השימושי הראשון של השפה עבור מחשבי ה־PDP-11 בשימוש פנימי של המכון הטכנולוגי של ציריך.
בשנת 1980 פורסמה המהדורה השנייה של הדו"ח של האפיון השפה.
בשנת 1981 מהדר השפה שוחרר בפעם הראשונה לציבור הרחב.
מיד לאחר מכן השפה צברה פופולריות ונוצר עניין ציבורי בפרסום מדריך רשמי עבור השפה.
בשנת 1982 פורסמה הגרסה הראשונה של מדריך השפה מאת ניקלאוס וירת על ידי הוצאת שפרינגר.
בשנת 1983 פורסמה הגרסה השנייה של השפה (PIM2).
בין השנים 1983–1985 וירת החליט לפתח מהדר משלו עבור השפה.
המהדר של וירת היה מהיר ויעיל בהרבה מהמהדרים שהוצעו עד כה לשפה.
בשנת 1985 פורסמה הגרסה השלישית של השפה (PIM3).
בשנת 1988 פורסמה הגרסה הרביעית של השפה (PIM4).
בשנת 1989 וירת פרסם מאמר בו התייחס לתכנות מונחה עצמים במודולה־2, למרות שבמקור לא עוצבה לכך.
במאמר וירת הציע פתרון לחיקוי הורשה במודולה־2 באמצעות היכולת של השפה להתעלם מאכיפת טיפוסיות בתכנות מערכות.
בשנת 1996 ארגון התקינה הבין־לאומי (ISO) פרסם תקן מקיף לשפת התכנות מודולה־2. מכיוון שהיו בו שינויים מזעריים אך מחייבים בשפה, הוא נחשב לניב נוסף של השפה.
בשנת 2010 שוחררה הגרסה הראשונה של המימוש החופשי GNU Modula-2 עבור המהדר GCC לציבור הרחב מטעם מיזם גנו.
בשנת 2011 שוחררה הגרסה הראשונה של המהדר החינמי ADW Modula-2 לציבור הרחב אחרי שירש את הפיתוח של המהדר Stony Brook Modula-2.
מדריך השפה יצא לאור בארבע מהדורות בין השנים 1982–1988. המהדורות שיקפו על שינויים בשפה.
סקירת השפה פורסמה באופן חופשי לקהל הרחב בגרסת PDF מתוך מדריך השפה.
הסקירה כוללת בה אפיון מלא של השפה.
גרסת ה־PDF שפרסמה הוצאת שפרינגר כוללת בה גם את ארבעת הנספחים האחרונים בספר: הגדרת תחביר השפה בסימון EBNF , תיאור ספריית הליבה של מודולה־2, טבלת תוי ASCII, ותרשימי זרימה לתחביר השפה.
הדוגמה הבאה מוצאת את המחלק המשותף המריבי בין המונה a למכנה b בשבר פשוט שהמשתמש קולט לתוכם, ואז מדפיסה אותו במסוף.
וירת עיצב את מודולה־2 כדי לתת מענה מקיף לכל החסרונות של פסקל, והכתיר אותה להיות היורשת.
מודולה־2 היא שפת תכנות מערכות, ולמרות זאת, המודלריות שלה מאפשרת לתוכניות לעבור הידור מוצלח בלי שינויים נוספים עבור ארכיטקטורות מחשבים שונות, מכיוון שיישום השפה (המהדר והמודולים שלו) דואג לספק מודולים מערכתיים עם ממשק זהה ויישום מותאם לכל ארכיטקטורה שהוא מכיר בה.
מודולים מערכתיים אלה עוברים הידור נפרד ובלתי־תלוי בשאר התוכנית של המשתמש.
אחריות זו מוטלת על יישום השפה.
חידושיה המרכזיים של מודולה־2 על פני פסקל הם:
פִּירְקָן (או ) כיחידת קוד מקור שעוברת הידור נפרד משאר הקוד.
תחביר חינוכי ואחיד שמעודד את למידת השפה תוך כדי הקריאה.
שִׁגְרַת הֶמְשֵׁךְ (או ) כמנגנון ליישום וניהול תהליכים בו־זמניים .
גישה למבני נתונים ללא אכיפת טיפוסיות בתכנות מערכות.
זה שימוש בעיקר לפיתוח מערכת ההפעלה של DISER Lilith.
כמו שפות אימפרטיביות אחרות, גם מודולה־2 משתמשת בתחום הכרזה לקסיקלי.
כלומר, שמות משתנים חייבים להיות מוכרזים לפני השימוש בהם באותו התחום.
בנוסף, על מנת להשתמש במשתנה בביטוי, חייבים להקצות לו ערך כלשהו.
מודולה־2 מכירה בשישה טיפוסי נתונים : מספר שלם, מספר טבעי, מספר ממשי, בוליאני (אמת או שקר), תו, ומערך ביטים .
לא ניתן לשנות טיפוס של משתנה לאחר הכרזתו, וניסיון להקצות ערך שאינו הולם את טיפוסיות המשתנה יגרום לשגיאת הידור עוד לפני הריצה של התוכנית.
אי לכך, מודולה־2 היא שפת תכנות עם טיפוסיות חזקה וסטטית.
בנוסף, טיפוס הנתונים של המשתנה מגדיר את הפעולות האפשריות עליו.
מודולה־2 מאפשרת למתכנת להגדיר הרכבות של טיפוסי נתונים מתקדמים יותר בעזרת ששת הטיפוסים הבסיסיים.
לא רק משתנים נושאים עימם טיפוסיות, אלא גם קבועים, פונקציות, ותוצאות של פעולות.
בנוסף, מודולה־2 לא מבצעת המרת טיפוסים בלי הוראה מפורשת.
לדוגמה, פעולת חשבון בין מספר טבעי ומספר ממשי תדרוש המרה מפורשת של אחד מהם לטיפוס של האחר בעזרת FLOAT(n) או TRUNC(x).
אחד מחידושיה המרכזיים של מודולה־2 הוא פיצול התוכנית למודולים כיחידות קוד מקור שעוברות הידור נפרד.
במודולה־2, מודול מוגדר בשני רבדים: הכרזת הממשק, ויישום המודול.
בדומה לשפת C, הכרזת הממשק של המודול נמצאת בקובץ נפרד שמכריז על השגרות הזמינות באותו מודול, על סוגי המשתנים שהן קולטות ופולטות.
הכרזת המודול היא שימושית בעיקר למהדר, ואין צורך לספק אותה למשתמש התוכנית.
לעומת זאת, יישום המודול עובר הידור לשפת מכונה כי הוא מכיל בו קוד אימפרטיבי שמתאר את אופן הפעולה והביצוע של השגרות והתכנית.
התחביר של מודולה־2 מורכב מפקודות אימפרטיביות.
פקודות מופרדות בעזרת נקודה ופסיק ;, ולעיתים קרובות הן גם מכילות ביטויים שעוברים חישוב.
פקודות וביטויים מורכבים מאסימונים שנוצרים מרצף תווי ASCII.
המהדר מבצע בדיקת דקדוק תחבירי, ניתוח סמנטי, וניתוח לקסיקלי, ואז מתרגם פקודות לשפת סף.
אסימונים מוכרים מייצגים בין היתר מילים שמורות, ערכים, מחרוזות, הערות, מזהים (שמות של משתנים, קבועים, שגרות, ומודולים), פעולות, ופיסוק.
'Hello world'תחבירפעולהכל הופעה של תו המייצג פעולה (ראה פעולות).+מילה שמורהכל רצף תווים שיוצר מילה מרשימת המילים השמורות.IFהערהכל רצף שנפתח ב־ ונסגר ב־.(* Comment *)
למודולה־2 קיימות ארבעים מילים שמורות.
בדומה לשפות תכנות רבות, פקודות במודולה־2 מאפשרות תכנות אימפרטיבי בכך שהן מורות בקרת זרימה והקצאת ביטויים לתוך משתנים, בעוד שהביטויים עצמם הם רצפים של פעולות ואופרנדים שעוברים חישוב לפי סדר פעולות מתמטי, או סדר פעולות שהמתכנת מגדיר בעזרת סוגריים עגולים.
מודולה־2 מכירה באחד־עשר סוגי פקודות:
הקצאה (קליטת ערך למשתנה) :=
מודולה־2 מאפשרת למתכנת להכריז ערכים קבועים.
ערכים אלה אינם משתנים במהלך התוכנית, וערכם נקבע על ידי המהדר לפני הריצה של התוכנית.
הכרזה של קבוע נעשית בעזרת הסימן =, והמילה CONST מאפשרת הכרזה של כמה קבועים ברצף כמו בדוגמה למטה.
הכרזה של משתנה נעשית בעזרת הסימן : כשמשמאל שם המשתנה, ומימין טיפוס המשתנה.
בדומה לקבועים, ניתן להכריז מספר משתנים ברצף בעזרת המילה VAR.
מהיותה שפת תכנות מבנית, חלק מסוגי הפקודות יכולות להכיל בתוכן תת־פקודות.
לדוגמה, תנאי IF יכול להיות מוכל בתוך תנאי IF אחר, שגם הוא יכול להיות מוכל בתוך לולאת WHILE, וכך בעצם נוצרת בקרת זרימה.
במודולה־2, הסימן נקודה ופסיק ; הוא מפריד בין פקודות ומגדיר את סדר הביצוע בתוכנית.
מודולה־2 מציעה ארבעה סוגי לולאות: LOOP, WHILE, REPEAT, ו־FOR.
כמו בשפות אחרות, הלולאות WHILE, REPEAT, ו־FOR הן תלויות בתנאי כלשהו.
לעומת זאת, הלולאה LOOP היא אין־סופית ומתקיימת ללא תנאים.
לכן, היא דורשת יציאה ידנית באמצעות הפקודה EXIT בתוכה.
ובכל אופן, הפקודה EXIT יודעת לעצור לולאה מכל סוג.
בלולאת WHILE, כל עוד התנאי מתקיים, הלולאה תמשיך לחזור על עצמה.
בלולאת REPEAT, הבדיקה נעשית בסוף המחזור, והמחזור הראשון מתקיים ללא תנאי.
התנאי לעצירה צריך להתקיים על מנת שהלולאה תיעצר.
בלולאת FOR ישנה הכרזה של משתנה ייעודי.
ברירת המחדל, הלולאה מקדמת את המשתנה שלה ב־1 כל מחזור, אבל אפשר להגדיר את קצב ההתקדמות או להפוך אותה להתקדמות שלילית בעזרת BY בפקודת FOR:
במודולה־2, הפקודה IF מאפשרת בקרת זרימה לפי תנאים.
אם התנאי הראשון נכשל, ניתן לשרשר מספר תנאים נוספים אחריו בעזרת ELSIF, ומצב ברירת מחדל באמצעות ELSE.
בשרשרת תנאים הבדיקה היא לפי סדר הופעתם.
לכן, ברגע שתנאי אחד מתקיים, כל השאר אחריו מדולגים.
תחביר של תנאי מלא יראה כך:
מודולה־2 מציעה שמונה סוגים בסיסיים של טיפוסי נתונים:
טיפוס ערך (לדוגמה, משתנה המחזיק בו ערך של מספר ממשי)
קבוצה (דומה למושג קבוצה במתמטיקה)
טיפוס פונקציה (טיפוס נתונים שיודע להחזיק בו כתובת של פונקציה או שגרה באופן דומה לתכנות פונקציונלי)
בעזרת הטיפוסים הבסיסיים בשפה ניתן להרכיב טיפוסי נתונים חדשים עבור מבני נתונים מורכבים יותר כגון מערך דו־ממדי.
לאחר הכרזת הטיפוסים החדשים ניתן להמשיך להרכיב בעזרתם טיפוסים מורכבים אף יותר.
באופן דומה להכרזת משתנים, הכרזת מערכים תיעשה בעזרת המילה ARRAY, טווח האיברים מוגדר בעזרת שתי נקודות ..
בין סוגריים מרובעים, וטיפוסיות האיברים תבוא בסוף הפקודה אחרי המילה OF.
גישה למערכים נעשית בעזרת סוגריים מרובעים A[i], ובמערכים רב־ממדיים מפרידים בין הממדים בעזרת פסיק ,: A[i, j].
שלא כמו בשפות אחרות, הקצאה בין משתנים שמחזיקים מערכים היא בפועל מעתיקה את המערך בינם ולא רק את המצביע.
מתכנת מתחיל היה עושה זאת בעזרת לולאה, ומעתיק איבר־איבר, אך במודולה־2 מספיק להקצות את כל המערך למשתנה חדש, והוא למעשה יוצר מערך נפרד עם אותם איברים.
במודולה־2 אפשר להכריז על מערכים רב־ממדיים לאיברים מאותו טיפוס בעזרת שני תחבירים:
במודולה־2 ניתן להגדיר בעזרת רשימת מזהים בסוגריים עגולים.
בדומה לטיפוס התו (CHAR), ניתן לבקש את המספר הסידורי של כל איבר במניה בעזרת הפונקציה ORD(item).
בנוסף, הטיפוס הבוליאני (BOOLEAN) במודולה־2 הוא מקרה פרטי של טיפוס נמנים מהצורה: 1=BOOLEAN = (FALSE, TRUE).
השימוש בטיפוסי נמנים הוא כשאר הטיפוסים בשפה.
כלומר, משתנה מאותו טיפוס נמנים יכול להכיל בו אחד מהפריטים במנייה.
במודולה־2 ניתן להגדיר טיפוס נתונים חדש שמגביל את טווח הערכים המותר בטיפוס ערכי בלתי־רציף (כלומר, טיפוס מספרי שאינו מספר ממשי) או טיפוס נמנים קיים.
לדוגמה, טווח משנה אופייני של ימי עסקים וסוף שובע בישראל בתוך ימי השבוע יוגדר כך: