tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
בדרך הים ברחובות, הקו פונה לדרך גד (סמוך לתחנת הרכבת רחובות – גבירול המתוכננת) ולרחוב מדרכי בשיסט, אל תחנת הרכבת רחובות – המשמשת נקודת קישור לקו הרכבת התחתית M1.
אורכו של הקו כ-30 ק"מ בסך הכל.
הוא קו ראשי במערכת, המיועד לחבר בין אשדוד לאשקלון.
לקו ישנה חלופה מקוצרת: .
הקו מתחיל באשדוד, ברחוב הבושם שבקריית איתנים.
משם הוא ממשיך מערבה ודרומה ברחוב הבושם ובשדרות הרצל.
בצומת התחנה המרכזית, הקו פונה מזרחה בשדרות מנחם בגין, ודרומה ברחוב חיים הרצוג ובדרך הרכבת אל קריית פרס ותחנת הרכבת אשדוד – עד הלום.
וממשיך בתוואי מקביל לכביש 4 ולמסילת לוד–אשקלון דרומה אל אשקלון.
הקו נכנס לאשקלון דרך שדרות יצחק שמיר, משם הוא פונה דרומה ועוטף את באר גנים ממזרח.
בשכונת נווה דקלים מתפצל הקו האדום לשני קווים, המסתיימים בנקודה משותפת בשדרות חיים בר-לב, באזור התעשייה הדרומי של אשקלון.
הקו האדום פונה דרומה אל תחנת הרכבת אשקלון, וממשיך משם דרך שדרות התעשייה אל שדרות בן-גוריון (שם הוא עובר בתחנה המרכזית של אשקלון וב"מרכז רפואי ברזילי").
הקו ממשיך דרומה בשדרות ההסתדרות, שדרות שפירא ורחוב אליעזר בן-יהודה.
הקו הכתום ממשיך מערבה בשדרות מנחם בגין, מדרים בשדרות יצחק רבין ופוגש את הקו הראשי בצומת עמק יזרעאל–אליעזר בן-יהודה–שפירא.
בצומת צומת עמק יזרעאל–אליעזר בן-יהודה–שפירא, שני הקווים מתאחדים וממשיכים דרומה אל נקודתם הדרומית ביותר, באזור התעשייה הדרומי של אשקלון.
כמו כן, בעוד שהקו הראשי נמתח מדרום אשקלון עד צפון אשדוד, הקו החלופי מתחיל בצידה המערבי של התחנה המרכזית של אשדוד (בצומת הגדוד העברי–צה"ל) ואינו עובר בשדרות הרצל.
במסגרת התוכנית, התחנה המרכזית של אשקלון, הממוקמת בצומת שדרות בן-גוריון–קיבוץ גלויות לאורך הקו, תועתק לצד המזרחי של הצומת, כאשר חזיתהּ תפנה לשדרות בן-גוריון.
ב-2023 החלו העבודות להקמת התחנה החדשה.
אורכו של הקו הראשי 35 ק"מ, ושל החלופה, 29 ק"מ.
הוא קו ראשי במערכת, המיועד לחבר בין יבנה לרחובות.
בשונה משאר הקווים הראשיים במערכת נפת אשקלון, הקו הטורקיז מתפרס כולו בשטח נפת רחובות.
הקו חופף לקו הכחול בתוואי שבין תחנת הרכבת יבנה – מזרח לצומת דרך הים ודרך גד עם קו יבנה–רחובות.
הקו הטורקיז מחבר את תחנות הרכבת של יבנה (מזרח ומערב) עם תחנת רחובות.
בשונה מהקו הכחול, הוא ממשיך בדרך הים ודרך אצ"ל בדרך לתחנת רחובות.
אורכו של הקו כ-14 ק"מ בסך הכל.
במסגרת התוכנית, מתוכננים נתיבי תחבורה ציבורית משלימים להזנת המערכת.
למשל, באשקלון מוצעים כ-49 ק"מ של צירי העדפה חדשים, והיא עצמה מתוכננת להתחבר לעיר שדרות באמצעות נת"צ.
התוכנית כוללת פיתוח רשת שבילי אופניים בין-עירונית לצורכי יוממות, בשם אופנידרום.
הרשת כוללת שבילים מוצעים וכן שבילים מתוכניות קיימות, יחד עם "תוכנית אב לשבילי אופניים ליוממים כחלק מרשת הדרכים הבין-עירונית" של נתיבי ישראל מ-2010.
מערכת מחווני טיסה אלקטרונית מערכת מחווני טיסה המתוכננת להציג נתוני מכשירים ומערכות על גבי צגים בתא הטייס כחלופה למכשירים אנלוגיים אלקטרו-מכניים או פנאומטיים.
מערכת זאת אופיינית למטוסים שתא הטייס שלהם עוצב בתפיסת קוקפיט מזכוכית.
לרוב המערכת כוללת תצוגה רב תכליתית (MFD), תצוגת נתוני הטיסה העיקריים (PFD), ותצוגת מערכות מנוע והתראה (EICAS).
לעיתים מערכת EFIS לא נקראת בשם זה או שמתייחסים אליה כחלק מהתצוגה הרב תכליתית של כלי הטיס.
הקו הצהוב הוא קו מערכת אוטובוסים מהירה עתידי שיחבר בין לוד, רמלה, באר יעקב, ראשון לציון, חולון, מזרח תל אביב, גבעתיים, רמת גן, בני ברק ורמת השרון.
הפרויקט קודם תחילה על ידי חברת נת"ע – נתיבי תחבורה עירוניים ותוכנן במקור כקו רכבת קלה כחלק מהדנקל.
שנה אחר כך בוצע שינוי בתוכנית, משיקולי תקציב, פוצל הקו לשנים, בצפון – ברעננה וכפר סבא, כקו מערכת אוטובוסים מהירה (BRT – Bus Rapid Transit) שקיבל את השם "הקו הוורוד" ואילו שאר התוואי כרכבת קלה "הקו הצהוב".
התכנון המפורט של הקו אושר ב-2010. במאי 2013 פרסמה "נת"ע" מכרז להקמת "הקו הוורוד", אך הפרויקט בוטל, עקב התנגדות חריפה של ראש עיריית רעננה, זאב בילסקי, למעבר הקו ברחוב אחוזה על חשבון נתיב נסיעה לכלי רכב פרטיים.
בשנת 2016 התוכניות להקמת הקו הצהוב הוקפאו, לאחר שמשרד התחבורה החליט לבצע תכנון מחדש של המערכת להסעת ההמונים בגוש דן עם חלופה חדשה המשלבת קווי רכבת תחתית.
בשנת 2020 פורסם כי נשקלת האפשרות להחיות מחדש את התוכניות הפעם כקו אוטובוסים מהירים שיתחיל בצומת חולון ויחבר בין רמת גן ובני ברק לרמת השרון.
באפריל 2025 פורסם כי אושרה התכנית הראשונית של הקמת הקו אשר יחל לפעול בשנת 2030 כקו אוטובוסים חשמליים מהירים וישרת אוכלוסייה של 115,000 תושבים וכן 44,000 עובדים במרחק של 500 מטרים מתוואי הקו.
לפי משרד התחבורה, התקציב להקמת הקו נאמד במעל מיליארד שקל.
מסלול הקו הצהוב מקשר בין תחנות הקווים האחרים, הוא פוגש בקו הירוק ובקו הכחול (M1) בתחנת צומת חולון, בקו הסגול בגבעתיים, בקו האדום בתחנת בן-גוריון, ושוב בקו הירוק בתחנת פנחס רוזן.
תוואי הקו מתחיל בצומת חולון וממשיך דרך רחוב הלח"י, משה דיין, דרך רבין, בן-גוריון, לקניון איילון.
דרך פנחס רוזן, דרך משה סנה, לכיוון הכפר הירוק.
באפריל 2025 פורסם כי הקו יוארך גם לתוך חולון והמסלול שלו ימשיך מצומת חולון למחלף וולפסון ובתוך חולון, הקו יעבור בצירים מרכזיים ביניהם גולדה מאיר, רחוב ההסתדרות ומפרץ שלמה.
מערכת נחיתת מכשירים היא השיטה הנפוצה בשדות תעופה להכוונת מטוסים הניגשים לנחיתה, אל עבר מסלול הנחיתה.
המערכת כוללת בדרך כלל משדרים קרקעיים המותקנים לצד המסלול ומשדרים אותות רדיו הנקלטים על ידי ציוד ייעודי במטוס.
אות אחד משמש להכוונה אופקית של המטוס, דהיינו, מסייע למטוס להתיישר מול מרכז מסלול הנחיתה, ואות אחר משמש להכוונה אנכית של המטוס, דהיינו, מסייע בהשגת גובה טיסה רצוי לצורך הגישה לנחיתה.
המערכת קיימת במטוסים קלים וגם במטוסי נוסעים גדולים.
במטוסי הסילון החדשים, תצוגת ה־ILS היא על גבי צגים אלקטרוניים.
במטוסי הסילון הישנים ובמטוסים קלים ניתן למצוא מידע ספציפי על כל גישת ILS בדפיות השדה כולל תהליך ההנמכה, תהליך החמצת נחיתה, מרחקים, כיוונים ועוד.
בדיקות של מערכת ה־ILS החלו בשנת 1929. בשנת 1932 הותקנה משדה התעופה טמפלהוף בברלין מערכת "לורנצבק" שפותחה על ידי חברת ק.
המערכת נתנה הכוונה אופקית בלבד.
הנחיתה הראשונה של טיסה מסחרית שהשתמשה במערכת ILS התקיימה ב־26 בינואר 1938 כאשר מטוס בואינג 247 נחת בפנסילבניה במהלך סופת שלגים כאשר הוא משתמש במערכת ה־ILS בלבד.
מערכת ה־ILS מורכבת משלושה רכיבים – שני רכיבים עיקריים ורכיב משני אחד:
מאתר (Localizer או LOC) – ה־LOC משודר מסוף המסלול ומטרתו לאפשר לטייס לדעת האם הוא מיושר עם מרכז המסלול.
אנטנת ה־LOC ממוקמת לרוחב קצה המסלול הנגדי.
לדוגמה, אנטנת ה־LOC של מסלול 12 בנמל התעופה בן-גוריון ממוקמת לרוחב המסלול ליד תחילת מסלול 30.
שיפוע גלישה (Glide Slope או GS) – ה־GS משודר בדרך כלל בזווית של 3 מעלות מהנקודה בה המטוס אמור לגעת בקרקע (TDZ).
מטרת ה־GS היא להכווין את הטייס אל קו הגלישה הנכון ביחס למסלול.
אנטנת ה־GS מותקנת לצד המסלול בסמוך לנקודת הנגיעה.
מודד מרחק (DME) – ה־DME מותקן על סוף המסלול ומשדר למטוס את המרחק מן המסלול במיילים.
הוא אינו מותקן בכל מערכת.
כל רכיב במערכת הוא עצמאי, וניתן לבצע במערכת שימוש גם במקרה בו שניים מן הרכיבים אינם בשימוש.
אם אחד מרכיבי המערכת לא מתפקד, מחמירים את תנאי מזג־האוויר בהם מותר לבצע נחיתה.
מערכת נחיתת מכשירים מופעלת על ידי הטייס.
כאשר המטוס מגיע לנקודה מסוימת בנתיב הכניסה לשדה (STAR), הטייס מזין לרדיו הניווט את תדר ה־ILS של המסלול עליו הוא מתכנן לנחות, ומזין לטייס האוטומטי את כיוון המסלול.
כאשר המטוס נמצא במרחק של 15–20 מייל משדה התעופה, המערכת מתחילה לפעול.
כמו למכשירי ניווט אחרים במטוס, גם ל־ILS יש קוד מורס ועל ידי לחיצת כפתור, הטייס יכול לשמוע את קוד המורס של אותו ILS ולוודא שזהו המסלול שבו הוא מתכוון לנחות.
ברוב המקרים אין צורך בבדיקה זו וכיום טייסים לא נדרשים לדעת כיצד שיטת מורס במטוסים עובדת כדי לקבל רישיון טייס.
קיימים מספר סוגים שונים של ILS, ששונים זה מזה במזג האוויר בו ניתן לבצע נחיתה בטוחה.
המערכת על מסלול הנחיתה, הציוד במטוס והכשרת הטייסים חייבים להתאים על מנת לבצע גישות ונחיתות בסוג מסוים.
קטגוריה I – גובה החלטה מזערי של 200 רגל (61 מטר) וטווח ראייה מסלולי (RVR) מזערי של 550 מטר (1,804 רגל).
למטוסים בקטגוריה D, RVR מזערי של 350 מטר (1,149 רגל).
קטגוריה III – מחולקת לשלוש תת־קטגוריות:
תת־קטגוריה A – גובה החלטה מזערי של 100 רגל (30 מטר), או ללא גובה החלטה ו־RVR לא פחות מ־200 מטר (656 רגל).
תת־קטגוריה C – אין הגבלות על גובה החלטה ו־RVR.
סוגי מטוסים לפי מהירות נחיתה
כאשר לא בטוח להשתמש ב־GS סטנדרטי של 3 מעלות וגם לא בזווית חדה יותר מסיבות שונות (מכשולים גאוגרפיים, כמו הרים או מעשי ידי אדם, כמו אנטנות ובניינים), מבצעים שימוש בגישת LDA (Localizer type Directional Aid).
בגישת LDA רכיבי ה־LOC ו־GS מורכבים בזווית מציר המסלול, בניגוד לגישת ILS רגילה בה הרכיבים מותקנים על ציר המסלול.
כאשר המטוס מנמיך לגובה מסוים (בדרך כלל זהו יהיה גובה ההחלטה) הטייסים מכבים את הטייס האוטומטי, מבצעים פנייה לכיוון המסלול ומנחיתים את המטוס באופן ידני.
מערכת ניווט לוויינית גלובלית היא שם כללי למערכות ניווט המשתמשות בגלי רדיו שמשודרים ממספר לוויינים בחלל למציאת קואורדינטות מיקום בכדור הארץ.
בנוסף, המערכת מספקת מידע אודות מהירות וזמן ברמת דיוק של עשרות מיליארדיות השנייה.
כדי לקבל את המיקום די בקבלת אות משלושה לוויינים, או לחלופין ניתן גם לקבל אותות מתחנות רדיו רבות, אך לפתרון מיטבי המתמודד עם שגיאת תזמון צריך לקבל אות מארבעה לוויינים לפחות.
לרוב, על מנת להשיג כיסוי גאוגרפי יותר רחב של המערכת היא תכיל יותר מארבעה לוויינים בממערך לוויינים.
חלק ממערכות נתמכות על ידי תחנות קרקע - פסאודולייט.
המערכת הראשונה "טרנזיט" הופעלה על ידי חיל הים של ארצות הברית בשנת 1964 והיא פעלה עד לשנת 1993. במהלך שנות ה-70 של המאה ה-20 בברית המועצות הופעלו מערכות ציקלון לצרכים צבאיים וציקדה לצרכים אזרחיים.
הם התבססו על אותם הלויינים אך למערכת צבאיות היו מערכות קרקעיות שתמכו בהגדלת דיוק המערכת.
נכון לפברואר 2016, מערכות הניווט הלווייניות של ארצות הברית (GPS) של רוסיה (GLONASS) ושל האיחוד האירופי (גלילאו) היו היחידות שפעילות במלואן וניתן באמצעותן להגיע לדיוק של מטרים בודדים.
מערכות הניווט נוספות BeiDou הסינית, QZSS היפנית וIRNSS ההודית הופעלו בהמשך.
ניתן לקבל מדידות ממספר מערכות ניווט לוויניות שונות ולשלבן יחד באלגוריתם ניווט, לצורך שיפור הדיוק לצורך הגדלת הזמינות ויתירות.
גלילאו - מערכת הניווט אירופאית, בשליטה אזרחית מלאה.
מערכות הרחבה למערכות ניווט קיימות
מערכות אלו, שמספר הלוויינים המרכיב אותן קטן, נקראות DGPS (Differential GPS) או SBAS (Satellite Based Augmentation System), ונועדו להרחיב ולשפר את רמת הקליטה והדיוק של מערכת ה-GPS האמריקאית הקיימת.
הן מורכבות בעיקר מלוויינים נוספים בחלל, ותחנות קרקע, שמיקומן הגאוגרפי ידוע ברמת דיוק גבוהה מאוד.
תחנות הקרקע מנטרות באופן קבוע את ההפרש בין מיקומן הבדוק, למיקום המחושב המתקבל על ידי שימוש בלווייני ה-GPS, ושולחות ללוויינים, אחת לתקופת זמן קצרה, "פקטורי תיקוני סטייה" מעודכנים.
בעת קליטת אותות מהלוויינים הללו, נשלחים גם "פקטורי תיקון הסטייה" הללו, המאפשרים לתוכנות הניווט, לתקן בהתאם את המיקום הנקלט.
שימוש במערכות הרחבה אלו מדייקות את מציאת המיקום לסנטימטרים בודדים.
WAAS - מערכת אמריקאית שנועדה במקור לשמש את חיל האוויר האמריקאי, אך חופשית כיום גם לקליטה אזרחית.
EGNOS - מערכת אירופאית ובה שלושה לוויינים בחלל.
MSAS - מערכת יפנית, ובה שני לוויינים בחלל.
QZSS - מערכת יפנית עתידית, ובה שלושה לוויינים בחלל.
מרבית השימוש במערכות אלו הוא צבאי עבור כלי רכב, כלי טיס ואמצעי לחימה מתקדמים (טילים ומשגרים), אך כיום במכשירים אזרחיים רבים יש שימוש במערכות אלו (לרוב GPS).
ניווט מכונית - לרוב בשימוש במכשיר טלפון חכם ובעזרת אפליקציות שונות (כמו: Waze, iGo)
ניווט כלי טיס - מטוסים, מסוקים ורחפנים
ניווט להולכי רגל - לרוב בשימוש במכשיר טלפון חכם או שעון חכם בעזרת אפליקציות ייעודיות (כמו: גוגל מפות)
מציאות רבודה - הצגת מידע על סביבת המשתמש
מערכת משובצת מחשב היא מערכת או מכשיר, בו משולב מחשב (או, ליתר דיוק, מעבד) המבצע רק פונקציות ספציפיות המיועדות לתפעול המערכת או המכשיר.
אלו דורשות לעיתים ביצועי זמן-אמת.
זאת להבדיל ממחשב כללי כגון מחשב אישי המאפשר גמישות רבה יותר והתקנת מגוון תוכנות המבצעות פונקציות בהתאם לצורכי המשתמש.
תפוצתן של מערכות משובצות מחשב הולכת וגדלה, ובמערכות רבות, שפעלו בעבר ללא מחשב, משולב כיום מחשב לשם שיפור ביצועיהן.
לדוגמה, כיום משולבים מעבדים במערכת ההצתה של כלי רכב, ומגוון מכשירים ביתיים.
במטוסים מודרניים, משולבים מאות מעבדים האחראים על הפונקציות השונות של כלי התעופה.
מערכות אחרות התאפשרו רק הודות לאפשרות לשלב מעבד בפעולתן.
דוגמה מובהקת לכך הוא הטלפון הסלולרי, שפעולתו מצריכה לרוב מעבד ייעודי לטיפול בתקשורת הסלולרית.
פעולות שבוצעו בעבר באמצעות מנגנון מכני, או באמצעות מערכת אלקטרונית ייעודית, נעשות כעת באמצעות מעבד כללי, שהתוכנה המותקנת בו מתאימה אותו לייעודו הספציפי.
סיבות לתפוצתן ההולכת וגדלה של מערכות משובצות מחשב נעוצה במזעור גודלו של המעבד (המאפשר את שילובו במערכות קטנות), צריכת הספק קטנה (אין צורך לטעון את הסוללה לעיתים תכופות), מחיר נמוך ויכולות חישוביות מרשימות.
מערכות משובצות משולבות בתחומים רבים של החיים המודרניים וקיימות דוגמאות רבות לשימושים בהן.
מרכזיות וטלפונים ניידים הם דוגמאות למערכות טלקומוניקציה.
בתחום רשתות המחשבים ניתן למצוא מגוון נתבים וגשרי רשת.
אלקטרוניקה ביתית גם היא מקיפה מגוון שימושים ביניהם נגני מוזיקה, מצלמות דיגיטליות, נגן DVD, מקלטי GPS וטלוויזיות.
מערכות שליטה ובקרה ביתיות משלבות התקנים משובצי מחשב לצורכי חישה ובקרה של תנאי אקלים, תאורה ואבטחה.
בתחום התחבורה משולבות מערכות משובצות במטוסים ובמכוניות.
במטוסים חשובה היכולת לשלוט על האוויוניקה ועל המיקום.
בתחום הרכב מחשבים שולטים על הזרקת הדלק למנוע, על מערכת ה-ABS לבלימה בטוחה, ועל מערכות נוספות.
בתחום המכשור הרפואי מספקות מערכות משובצות יכולת לעקוב אחר סימני חיים.
דוגמאות למערכות כאלה הן ה-CT וה-MRI.
אחת המערכות המשובצות הראשונות הייתה מחשב הניווט של האפולו שפותח ב־MIT על ידי צ'ארלס סטארק דרפר.
בעת ביצוע הפרויקט נחשב מחשב הניווט של האפולו כרכיב המסוכן ביותר להצלחת הפרויקט שכן הוא הכיל טכנולוגיה חדשה של מעגלים משולבים שמטרתם הייתה להפחית את הגודל והמשקל.
עוד מערכת ידועה שיוצרה בהיקף רחב החל משנת 1961 הייתה מחשב הניווט,"אותנטיקס D-17", אשר שלט בטיל המינוטמן.
המחשב נבנה ממעגלים ספרתיים והכיל כונן קשיח עבור הזיכרון הראשי.
בשנת 1966, הוחלט להחליף את מחשב הניווט בטיל החדש שכונה מינוטמן II.
מחשב הניווט היה דוגמה ראשונה לשימוש משמעותי במעגלים משולבים.
מאז אותן מערכות מוקדמות של שנות ה-60 של המאה ה-20, השתפרה יכולתן של המערכות משובצות המחשב.
מחירן ירד, כוח החישוב גדל והפונקציונליות התרחבה.
ירידת המחיר של מיקרו-מעבדים ומיקרו-בקרים האיצה את ההחלפה של רכיבים אנלוגיים מבוססי ידיות כגון נגדים משתנים וקבלים משתנים, בכפתורים מבוססי מיקרו-מעבדים.
עד אמצע שנות ה-80 כונסו רוב הרכיבים ההיקפיים של המעבד אל תוך המעבד והמיקרו-בקר החדש שהתקבל שולב כמעט בכל מכשיר אלקטרוני.
ניתן לתכנת מיקרו-בקר בעל יעוד כללי, כך שיבצע מגוון מטלות, כתחליף לביצוען באמצעות בניית מעגלים אנלוגיים ייעודיים.
רוב המורכבות ההנדסית טמונה במעבד עצמו אולם הוא מהווה קופסה שחורה כך שרוב המאמץ שיושקע בתכן ימוקד בבנית התוכנה.
הגמישות של התוכנה מאפשרת מידול ובדיקות פשוטים, זולים וידידותיים לסביבה בניגוד לעיצוב ובניה של מעגלים חשמליים ייעודיים.
למערכות משובצות שלושה מאפיינים עיקריים:
1. מערכות משובצות מתוכננות עבור מטלה מסוימת ואינן מהוות מחשב כללי עבור מטלות מגוונות.
לחלק מהמערכות המשובצות קיימות דרישות ביצועי זמן אמת בשל החיוניות של ביטחון בשימוש וקלות שימוש.
לחלק מהמערכות אין דרישות ביצועים כך שהחומרה של המערכת יכולה להיות פשוטה מאוד להוזלת עלויות.
2. מערכות משובצות אינן בהכרח התקנים בפני עצמם.
רוב המערכות המשובצות מכילות רכיבים ממוחשבים זעירים בתוך התקן גדול יותר שייעודו כללי יותר.
למשל הגיטרה הרובוטית של גיבסון מכילה רכיב משובץ לכיול המיתרים, אך זוהי רק תת-מערכת שמטרתה לשרת את יעודה הכללי של המערכת, שהוא ניגון מוזיקה.
3. קוד התוכנה עבור מערכות משובצות מכונה קושחה והוא מאוכלס בזיכרון שאינו ניתן לכתיבה או בשבבי זיכרון פלאש.
לעיתים הקוד רץ תחת הנחות מחמירות לגבי משאבי החומרה: זיכרון מועט והעדר מקלדת ו/או מסך.
במערכת משובצות מחשב לא תמיד יש ממשק משתמש.
מערכות פשוטות יכילו כפתורים ומסכים להצגה של גרפיקה או אותיות.
תיתכן גם תצוגה של תפריטים פשוטים.
במערכות מורכבות יותר עשוי להיות משולב מסך מגע וחיישנים.
ישנן מערכות שמאפשרות ממשק משתמש דרך חיבור רשת.
כך נחסך מחיר התצוגה ומתאפשר תפריט משתמש עשיר יותר.
במערכות פשוטות יש בקר פשוט (אחד או יותר) בלבד.
במערכות מורכבות הדורשות יכולות חישוביות גבוהות יותר, יותקן מעבד מורכב יותר.
נהוג להשתמש לרוב במעבדים עם צריכת אנרגיה נמוכה יחסית (אך בעלת ביצועים פחותים), כגון PowerPC, ARM ו־MIPS.
מערכות שמספקות ביצועי זמן-אמת הן לרוב מערכות משובצות מחשב.
לכן יש בלבול בין שני סוגי הסיווגים.
לדוגמה, המחשב ששולט על מכונית או על מטוס, חייב להגיב מהר למתרחש מסביבו ולכן הוא חייב להיות מערכת זמן אמת.
לעומת זאת, אין דרישה כזו מיחידת הבידור שבמכונית או במושבי המטוס.
טלפון סלולרי חייב לטפל בשיחות טלפון מהר, כדי לא לפגוע באיכות הקול ולכן נדרשת ממנו דרישת זמן אמת (רכה), אולם הצגת ממשק המשתמש והרצת יישומים שבו לא דורשת ביצועי זמן אמת.
לעומתם, ממערכת משובצת אשר משמשת כנתב או שרת קבצים אין דרישות זמן אמת.
פעמים רבות מצפים כי מכונות שבהן מערכות משובצות תמשכנה לרוץ שנים ללא שגיאות ולפעמים אף נדרש כי תוכלנה להתאושש אם שגיאה תתרחש.
לכן הבדיקות של תוכנה עבור מערכת כזו מוקפדות יותר מאלו של תוכנות עבור מחשבים אישיים.
הנטייה היא להימנע משימוש בחלקים מכניים נעים כמו כונני דיסקים, מתגים או כפתורים.
לא ניתן לכבות את המערכות בצורה בטוחה או שהמערכת פשוט לא נגישה לצורך תיקון.
דוגמה לכך הן מערכות חלל, כבלים תת-ימיים ורכבים.
המערכת חייבת להיות במצב ריצה בשל סיבות בטיחות.
דוגמאות הן מערכות ניווט מטוסים, מערכות לשליטה בכורים גרעיניים ובמפעלים כימיים ומנועי מטוסים.
הורדת המערכת תגרור אובדן כספי משמעותי.
הדבר משמעותי במרכזיות טלפונים ובמערכות פיננסיות.
שיטות מגוונות משמשות להתאושש משגיאות הנובעות גם מדליפות זיכרון או שגיאות תוכנה וגם משגיאות בחומרה:
קוצב-זמן (טיימר), המכוּנה "כלב שמירה", אשר מאתחל את המחשב, אלא אם התוכנה מעדכנת את ה"כלב" מעת לעת.
תת-מערכות בעלות רכיבים חלופיים שניתן להשתמש בהן כתחליף.
מעבר למצב תוכנה נח שבו רק חלק מהתפקוד זמין.
הפרדה לתת מערכות כך שתת-מערכת תקולה לא יכולה לשבש תת-מערכות אחרות.
הכימוס מאפשר למנוע מתקלות לזלוג והאמינות עולה.
ניתן גם לאתחל באופן בדיד תת-מערכות מסוימות ולהשאיר את האחרות במצב רץ.
מספר ארכיטקטורות תוכנה משמשות בתכן מערכות משובצות.
תכן שבו לולאה מרכזית אשר קוראת לשיטות, שכל אחת מהן מנהלת חלק מהחומרה או התוכנה.
מערכת הנשלטת על ידי פסיקות
מטלות המבוצעות על ידי המערכת מונעות על ידי אירועים (events) הנורים ממקומות שונים.
פסיקה (Interrupt) יכולה להיות מיוצרת למשל על ידי טיימר בעל תדר מוגדר מראש או על ידי בקר פורט סיריאלי שמקבל בייט.
מערכות נשלטות פסיקות משמשות כאשר יש צורך בתגובה מהירה לאירועים והקוד המטפל באירועים הוא קצר ופשוט.
לרוב מערכות כאלו יריצו גם מטלה פשוטה בלולאה ראשית אולם המטלה הזו לא יכולה להיות רגישה מאוד לעיכובים בלתי צפויים שיגרמו מטיפול באירועים שונים.
לפעמים מטפל הפסיקות ידאג לנתב מטלות ארוכות יותר לתור.
מאוחר יותר, כאשר מטפל הפסיקות סיים, יטופלו המטלות הארוכות על ידי הלולאה הראשית.
שיטה זו מביאה את המערכות קרוב יותר לגרעין (kernel) מרובה מטלות.
מערכת שהיא מערכת ריבוי משימות לא מקדים דומה למערכת בעלת חוג בקרה פשוט למעט העובדה שהלולאה חבויה בתוך ה-API.
המתכנת יכול להגדיר אוסף מטלות וכל מטלה מקבלת את הסביבה הפרטית שלה שבה היא יכולה לרוץ.
היתרון בגישה זו הוא שהוספת קוד חדש נעשית פשוטה יותר.
כל שצריך המתכנת לעשות הוא לכתוב מטלה חדשה.
במערכת כזו קוד נמוך רמה ממתג בין מטלות או חוטים באמצעות טיימר (המחובר לפסיקה).
ברמה הנמוכה הזו של המערכת בדרך כלל מצוי הגרעין (ה"קרנל") של מערכת ההפעלה.
הגרעין מכניס לתמונה את המורכבויות של ניהול מספר מטלות אשר רצות באופן תפיסתי במקביל.
מאחר שקוד של מטלות החולקות נתונים משותפים עשוי לגרור חוסר נכונות של הנתונים בעקבות תחרות, יש לדאוג לסנכרן את הגישה לנתונים המשותפים באמצעות סמפור או תור הודעות למשל.
על מנת לחסוך מהמתכנתים את הצורך לכתוב שירותים ברמות גרעין מערכת ההפעלה נפוץ בקרב ארגונים השימוש במערכות הפעלה בזמן אמת (RTOS).
כך המתכנתים מקדישים את רוב הזמן לפונקציונליות ההתקן.
כך הדבר לפחות במערכות גדולות ומורכבות.
במערכות קטנות לא ניתן להשלים עם היתירות שקיימת במערכת זמן אמת גנרית בשל מגבלות זיכרון ביצועים וזמן סוללה המאפיינות מערכות זעירות.
בחירת ה־RTOS היא אומנות בפני עצמה שכן לכל מערכת הפעלה מאפיינים ייחודיים לדוגמה ההבדל בין "זמן אמת רך" לבין "זמן אמת קשה".
בכימיה, מערכת מצומדת היא מערכת אטומים הקשורים קוולנטית אחד לשני בקשרים כפולים וקשרים יחידים, לסירוגין (לדוגמה: C=C-C=C-C), במולקולה של תרכובת אורגנית.
במערכת זו קיים אל-איתור של האלקטרונים לאורך אורביטלי p של האטומים, המקבילים זה לזה.
תופעת האל-איתור משפרת את יציבות המולקולה, כלומר מפחיתה את האנרגיה הכוללת שלה.
תופעת האל-איתור יוצרת תחום בו האלקטרונים אינם מוגבלים לקשר או אטום בודד, אלא לקבוצת קשרים או אטומים.
דוגמה לכך היא החומר פנול (C6H5OH; בנזן עם קבוצת הידרוקסיל), לו מערכת של 6 אלקטרונים מעל ומתחת לטבעת המישורית, וכמו כן סביב קבוצת ההידרוקסיל.
בשרטוט, המולקולה מסומנת כבעלת קשרים כפולים ויחידים לסירוגין, אך במציאות אין הבחנה בין הקשרים, והאלקטרונים משתתפים בכולם באופן דומה.
צימוד יכול להתרחש גם במקרים נוספים, מעבר למקרה הקלאסי של קשרים יחידים וכפולים לסירוגין.
כל עוד לכל אטום בשרשרת אורביטל p, השרשרת יכולה להיות מצומדת.
לדוגמה, פוראן (בשרטוט משמאל) הוא טבעת מחומשת, בעלת שני קשרים כפולים, ואטום חמצן בעמדה 1. לחמצן שני זוגות אלקטרונים בלתי קושרים; אחד מהזוגות תופס אורביטל p בכיוון המתאים לשאר המערכת, ובכך שומר על הצימוד.
נוכחות חנקן בטבעת או קבוצות בעמדת α לטבעת, כמו קרבוניל (C=O), אימין (C=N), ויניל (C=C) או אניון יכולים לשמש מקור לאורביטלי p, ליצירת מערכת מצומדת.
קיום קשרים כפולים ויחידם לסירוגין אינו תנאי מספיק לצימוד חזק במערכת.
קיימים פחמימנים טבעתיים, כמו ציקלואוקטטטראן, המקיימים תנאי זה, אך הצימוד בהם חלש.
הסיבה לכך היא המבנה המרחבי של המולקולה, בצורת "סירה", ולא בצורה מישורית.
כיוון שאורביטלי p של המולקולה אינם מקבילים, קשה לאלקטרונים לעבור ביניהם, ולכן הצימוד ביניהם חלש.
עדיין ניתן לומר שזוהי מערכת מצומדת, אך היא אינה ארומטית.
למערכות מצומדות תכונות מיוחדות, הנותנות לתרכובות צבעים חזקים.
בפיגמנטים רבים מערכות מצומדות, כמו השרשרת הפחמימנית המצומדת של בטא-קרוטן, היוצרת צבע כתום חזק.
כאשר אלקטרון בשרשרת בולע פוטון של אור באורך הגל המתאים, הוא מעורר לרמה אנרגטית גבוהה יותר .
ככל שאורך המערכת גדל, כך ההפרשים בין רמות האנרגיה קטנים, והחומר יבלע פוטונים באורכי גל ארוכים יותר (תדירויות נמוכות יותר).
רוב המעברים האלקטרונים הם מאורביטל פאי קושר לאורביטל פאי אנטי-קושר (π ל-*π), אך גם אלקטרונים לא-קושרים יכולים לבצע מעבר (n ל-*π).
מערכות מצומדות בעלות פחות משמונה קשרים כפולים מצומדים בולעים קרינה רק בטווח העל-סגול, ואין להם צבע נראה.
ניתן לכמת את בליעת האור בטווח העל-סגול והאור הנראה בעזרת ספקטרוסקופית UV/VIS.
בליעת האור מהווה את הבסיס לתחום הפוטוכימיה.
מערכות מצומדות מהוות את הבסיס לכרומופורים, שהם החלקים בולעי האור של מולקולה, וגורמים לה להיות צבעונית.
ניתן למצוא כרומופורים בתרכובות אורגניות שונות, ולעיתים גם בפולימרים צבעוניים או זוהרים בחושך.
הכרומופורים הם בדרך כלל מערכת מצומדות טבעתיות עם קשרים כמו C=O או N=N בנוסף לקשרי C-C המצומדים.
מערכת מרובת כוכבים היא מערכת בת מספר קטן של כוכבים הקשורים זה לזה באמצעות כוח הכבידה בצורה משמעותית.
כוכבים זוגיים הם הצורה הנפוצה ביותר ביקום של מערכת מרובת הכוכבים; ככל הנראה, כ-60% מן הכוכבים הם חלק ממערכת זוגית.
כיום ידוע על מערכות נוספות רבות בנות שלושה, ארבעה כוכבים ואף שבעה כוכבים.
כאשר מספר הכוכבים במערכת גדול (על פי החלטה שרירותית) המערכת תיקרא צביר כוכבים, והם מונים עשרות ומאות אלפי כוכבים.
דינמיקה של מערכות מרובות כוכבים
ניתוח התנועה של מערכות מרובות כוכבים דורש פתרון של בעיית גופים רבים.
בניגוד לבעיית שני הגופים, אותה ניתן לפתור בצורה אנליטית, בעיית שלושת הגופים ניתנת לפתרון רק בצורה נומרית וכך גם לגבי מערכות מורכבות יותר.
יתרה מכך, חישובים שבוצעו מצביעים על כך שמערכות מרובות כוכבים אלו לא תהיינה יציבות, דבר הנתמך בכך שככל שמספר הכוכבים במערכת עולה, מספר מערכות אלו יורד.
דרך אחת בה מערכות מרובות כוכבים מתייצבות היא חלוקתן לכוכבים זוגיים או בודדים אשר חגים סביב מרכז המסה המשותף במרחק גדול זה מזה.
מערכות אלו נקראות "בעלות היררכיה".
כאמור, מערכות כוכבים זוגיים נפוצות מאוד ביקום.
מן המפורסמים הם הכוכבים מיזר ואלקור כוכב כפול אופטי בקבוצה הדובה הגדולה.
מיזר הוא מערכת המורכבת משני צמדים של כוכבים זוגיים.
כוכב הצפון פולריס הוא, למעשה, מערכת של שלושה כוכבים, וכך גם אלפא קנטאורי.
AB בדג זהב כולל ארבעה כוכבים.
הכוכב קסטור בקבוצת תאומים מורכב ממערכת בת שישה כוכבים.
הגוף הפלנטרי הראשון שנתגלה במסלול סביב מערכת כוכבים משולשת בכליאה גרביטציונית הדוקה הוא HD 188753 Ab.
ענק גזים זה נתגלה על ידי צוות אסטרונומים שהשתמשו בטלסקופ Keck I שבמרומי מאונה קיאה שבהוואי.
באיור האמן ירח היפותטי המקיף כוכב לכת זה.
מתחת לקו האופק של ירח זה, ניתן להבחין באור מן הכוכב הראשי במערכת ומעליו צמד הכוכבים הנוסף.
כוכב לכת זה מקיף את הכוכב המרכזי HD 188753 A.
ספרי וסרטי מדע בדיוני רבים מתארים מערכות כאלו.
ביניהם: בסדרת הספרים חולית חלק גדול מן העלילה סובב סביב כוכב הלכת אראקיס שסובב סביב שתי שמשות, בספר מדריך הטרמפיסט לגלקסיה מתואר הכוכב ביטלג'וז כמערכת בת שמונה שמשות; בספר שקיעה מתואר כוכב לכת הנמצא במערכת של שש שמשות.
כמו כן, בסדרת הסרטים מלחמת הכוכבים, חלקים ניכרים מן העלילה מתרחשים בכוכב הלכת טטואין הסובב סביב שתי שמשות.
מערכת ניהול סוללות (Battery Management System - BMS) היא התקן אלקטרוני שנועד לנהל סוללה חשמלית יחידה או מארז סוללות.
המערכת מנטרת את מצב סוללה, מחשבת נתונים משניים, מדווחת על נתונים אלה, מייצבת אותם ומאזנת בין מצב הסוללה והסביבה.
המערכת יכולה, בנוסף לפעולת הטעינה והפריקה של הסוללה גם להציג נתונים באמצעות נוריות, מסך תצוגה, תקשורת נתונים קווית או אלחוטית.
מערכת כזאת עשויה לנטר את מצב הסוללה כפי שמיוצג על ידי מדדים שונים, כגון:
מתח חשמלי: מתח כללי, מתח של תאים בודדים, מתח מינימלי ומקסימלי, אופיין על פי תקופה.
טמפרטורה: טמפרטורה ממוצעת, טמפרטורת האוויר המוזרם או הנפלט, טמפרטורות של תאים בודדים.
מצב הטעינה או עומק הפריקה: כדי לדעת באיזו מידה הסוללה טעונה.
זרימת האוויר: על-מנת לשלוט בחום הסוללה וסביבתה (עבור סוללות שמצריכות זרימה שכזאת).
בנוסף, BMS יכול לחשב גם ערכים המבוססים על הנתונים לעיל, כגון:
זרם חשמלי מרבי, עבור הגבלת הזרם לטעינת הסוללה ולפריקתה.
סה"כ אנרגיה בסוללה מאז הייצור שלה.
סה"כ זמן עבודה של הסוללה, מאז הייצור שלה.
יתרת האנרגיה שנותרה בסוללה עד לצורך בטעינה חדשה.
המערכת יכולה להגן על הסוללה ולשפר את משך השימוש שלה על ידי הפעלתה בתחום של תנאים מיטביים, בעיקר זרמים, מתחים, טמפרטורות ולעיתים גם לחצים בטווח הרצוי.
בין התופעות אותן יכולה המערכת למנוע:
בנוסף, המערכת יכולה לתת התראה על תקלה, צורך בהחלפה של סוללה או מארז לקראת תום התפקוד ועל סיום התפקוד של סוללה.
מערכת ניווט אינרציאלית (בראשי תיבות: מנ"א; באנגלית: Inertial Navigation System, בראשי תיבות: INS) היא עזר ניווט המאפשר ניווט לפי חישוב עיוור, כלומר חישוב רציף של מיקום, מהירות ומצב זוויתי ללא כל צורך במידע חיצוני, למעט תנאי התחלה.
מערכת ניווט אינרציאלית עושה שימוש במחשבים וביחידות מדידה אינרציאליות, והיא פועלת כמכלול חיישני תנועה אינרציאליים.
מערכות ניווט אינרציאליות משמשות בספינות, בצוללות, בכלי טיס, בטילים מונחים, בחלליות ובכלי רכב אוטונומיים.
מערכות ניווט אינרציאליות פותחו במקור עבור רקטות.
חלוץ הטילים האמריקאי רוברט גודרד בחן מערכות ג'ירוסקופיות בסיסיות שעוררו עניין רב בבני תקופתו, דוגמת מדען הטילים הגרמני ורנר פון בראון.
במלחמת העולם השנייה, כללו טילים גרמניים מסוג V-2, מערכת ניווט הנחיה שהורכבה משני ג'ירוסקופים, מד תאוצה בציר הרוחב ומחשב אנלוגי פשוט.
המערכת ניטרה את כיוון הטיסה של הטיל ותיקנה אותו בעזרת אותות אנלוגים מהמחשב שהניעו ארבעה מסיטי סילון בזנב הטיל.
עם סיום מלחמת העולם השנייה, נכנעו לאמריקאים פון בראון וכ־500 מעמיתיו והסגירו עימם גם רכיבי טילים.
ב־1945 הועברו הגרמנים למתקן צבאי בטקסס בשם פורט בליס וב־1950 להאנטסוויל באלבמה.
בתחילת שנות ה־50 התבקשה מעבדת המכשור של המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס (MIT) בראשות צ'ארלס סטארק דרייפר לספק לטיל האטלס מערכת הנחיה פנימית כמערכת גיבוי.
מערכת ההנחיה של האטלס תוכננה כשילוב של מערכת אוטונומית על גבי הטיל ושל תחנת מעקב ושליטה קרקעית.
בסופו של דבר, המערכת האוטונומית תפסה מקום מרכזי בטילים בליסטיים, והשילוב בינה לבין תחנה קרקעית נותר בשימוש בחקר החלל.
הלקום ליינינג פתרונות ממוחשבים להנחיה.
לנינג, בסיועם של פיל הנקינס וצ'ארלי ורנר, פיתח שפת מחשב אלגברית בשם MAC ל־IBM 650 שהושלמה באביב 1958. שפת המחשב של פרויקט מעבורת החלל, HAL/S, פותחה על בסיס MAC.
ב־1954 החלו לנינג ובטין לנתח את בעיית ההנחיה הפנימית של האטלס.
יחד איתם עבדו על הפרויקט המהנדס הראשי צ'ארלי בוסרט וולטר שווידצקי, ראש קבוצת ההנחיה.
שווידצקי עבד עם פון בראון במהלך מלחמת העולם השנייה.
בגרסה הראשונית, העריכה מערכת ההנחיה "דלתא" את הפער בין המיקום לבין המסלול המתוכנן.
היא חישבה את המהירות הנדרשת לתיקון המסלול מתוך שאיפה לאפס את המהירות הנדרשת לתיקון.
תקפותה של שיטת החישוב לא סייעה להשמשת המערכת שכן היכולות המעשיות של מחשבים אנלוגיים ומדי התנועה לא אפשרו את ישומה.
הפתרון נוצר במערכת ההנחיה Q.
מערכת ההנחיה Q הציגה נגזרות חלקיות של המהירות תוך התייחסות לווקטור המיקום.
חישובי המערכת יכלו לשמש ישירות להנחיית הטייס האוטומטי, טכניקה שכונתה "ניהוג מכפלה וקטורית" (cross-product steering).
מערכת Q הוצגה במהלך הכנס הטכני הראשון לטילים בליסטיים שנערך בתאגיד רמו־ולדריג' (Ramo-Wooldridge Corporation, היום מכונה ) בלוס אנג'לס ב־21 וב־22 ביוני 1956. המידע על המערכת נשאר מסווג במהלך שנות ה־60. מערכות המבוססות על מערכת Q נמצאות גם בטילים בני ימינו.
מערכת ניווט אינרציאלית (מנ"א) כוללת לכל הפחות מחשב ויחידה המכילה מדי תאוצה, ג'ירוסקופים או חיישני תנועה אחרים.
עם הפעלת המערכת מזינים לתוכה את המיקום, המהירות והמצב הזוויתי ההתחלתיים.
מאותו רגע משתמשת המערכת בנתוני התנועה הנמדדים על ידיה על מנת לחשב באופן רציף את המיקום, המהירות והמצב הזוויתי.
לאחר הפעלתה פועלת מנ"א ללא תלות בנקודות ייחוס חיצוניות ומכאן חסינותה לאמצעי שיבוש והטעיה, אך אף על פי כן היא צוברת שגיאות שגדלות בכל צעד ניווט, כתלות בזמן, מיקום, אופי תנועה ועוד.
המערכת יכולה לזהות שינויים במישורי תנועה שונים (כגון תנועה למעלה או תנועה צפונה), במהירות (גודל המהירות וכיוונה) ובאוריינטציה (כגון סבסוב או עלרוד).
השינויים מחושבים לפי מדידות של תאוצות קוויות או מהירויות זוויתיות.
ג'ירוסקופים מודדים שינויים בכיוון ושינויים בזווית בין מצבו ההתחלתי של המכשיר לבין מצבו החדש.
נתון זה משולב במהירות הזוויתית ובכיוון ההתחלתי של המערכת וכך מתאפשר חישוב של מהירות זוויתית וכיוון נוכחי.
חיישני תאוצה קווית מודדים את תאוצת המערכת בכיוונים שונים, אבל נקודת ההתייחסות שלהם היא המערכת עצמה והם חסרים התייחסות לאוריינטציה שלה.
אינטגרציה של נתוני חיישני התאוצה עם נתוני הג'ירוסקופים מאפשרת לחשב את כיוון התאוצה הקווית, ממנה נגזרת מהירותה של המערכת ומיקומה.
מערכת ניווט אינרציאלית סובלת משגיאות מצטברות שהולכות וגדלות ככל שחולף זמן מהפעלת המערכת וככל שהמערכת מתרחקת מנקודת המוצא שלה.
דוגמה לשגיאה שגדלה עם הזמן היא שגיאת מהירות בהשפעת שגיאת היסט של מד תאוצה.
שגיאה שעולה ככל שהמרחק גדל היא שגיאת המיקום כתוצאה משגיאת זווית התחלתית, לדוגמה.
שגיאות מערכת הניווט האינרציאלית מורכבות משגיאות במדידה, שגיאות מודל ומשגיאות חישוביות.
שגיאת מדידה היא שגיאה הנובעת מאי דיוק במדידת הגודל הפיזיקלי, אשר משפיעה על אי דיוק המערכת כולה.
סחיפת סביבון, לדוגמה, היא שגיאת מדידה.
שגיאת מודל היא שגיאה שנובעת מידע מוקדם, אך לא מדויק, על המערכת.
דוגמה לשגיאת מודל היא שימוש בערך שגוי של תאוצת כבידה במיקום הנוכחי.
שגיאה חישובית היא שגיאה שנובעות בעיקר מכך שהחישוב והמדידות אינם רציפים, אלא בדידים.
דוגמה לשגיאות חישוביות הן שגיאת קוונטיזציה ושגיאת קונינג .
טעויות קטנות בתנאי ההתחלה או חוסר דיוק במדידות החיישנים גוררים הצטברות של שגיאות במיקום, במצב הזוויתי ובמהירות שמחשבת המערכת.
המערכת מסתמכת בכל רגע על מיקומה המחושב הקודם כבסיס למיקומה המחושב הנוכחי.
בהיעדר תיקונים לנתונים, כל טעות נשמרת לאורך זמן ונצברת עם טעויות חדשות.
טעות של מנ"א נמדדת בהרבה מקרים במיל ימי לשעת עבודה.
טעות של 1.7 מיל ימי לשעת עבודה פירושה שלאחר שעה של פעולה שגיאת המנ"א היא 1.7 מיל ימי.
בשעה השנייה לפעולתה, אותה מנ"א שצברה 1.7 מיל ימי תצבור שגיאות גדולות יותר.
מערכת המדויקת בשיעור שגיאה של 0.6 מיל ימי לשעה במיקום ושל עשיריות מעלה לשעה באוריינטציה, נחשבת למדויקות.
מנ"א אינה תלויה בנקודות ייחוס חיצוניות, למעט בעת האתחול, ולכן חוסר הדיוק הופך אותה מתאימה יותר למערכת משלימה למערכת ניווט ראשית אחרת.
על הקרקע אפשר לצמצם את גודל טעויות המערכת בעזרת עדכון מהירות, עצירת הרכב ועדכון המערכת לגבי ערך המהירות השווה לאפס.
שימוש נפוץ במנ"א נעשה בשילוב עם מערכת ניווט לוויינית (כגון GPS) המשלב את יתרונותיהן של שתי המערכות; מצד אחד דיוקה של מערכת הניווט הלווייני ומצד שני אוטונומית מערכת הניווט האינרציאלית.
כך המנ"א מתעדכנת תדיר מנתוני שידור הלוויינים ומתקנת את השגיאות המצטברות שלה.
כאשר קיימת הפרעה בקליטת האותות מהלוויינים, נסמכת המערכת המשולבת על הנתונים המחושבים על ידי המנ"א.
את תהליך הניווט האינרציאלי ניתן לתאר באופן מתמטי על ידי משוואות הניווט.
משוואות אלו הן משוואות דיפרנציאליות והן מוצגות באופן הבסיסי כך:
כלומר, נגזרת המיקום היא המהירות.
כלומר, נגזרת המהירות היא התאוצה הקווית.
התאוצה הנמדדת בקיזוז תאוצת הכובד המקומית (התלויה במיקום).
המצב הזוויתי מחושב לפי זוויות הגימבלים.
מסומן כ־ המייצג מטריצת סיבוב בין מערכת הצירים של הגוף הנושא את מערכת הניווט לבין מערכת הצירים של מערכת הניווט.
ניתן לרשום את אותן המשוואות באופן בדיד:
כלומר, המיקום הנוכחי שווה למיקום הקודם בתוספת המהירות הנוכחית כפול מרווח הזמן האחרון.
כלומר, המהירות הנוכחית שווה למהירות הקודמת בתוספת התאוצה הקווית הנוכחית כפול מרווח הזמן האחרון.
כלומר, התאוצה הקווית היא התאוצה הנמדדת מקוזזת בתאוצת הכובד המקומית (התלויה במיקום).
במערכות מקובעות, נוספים למשוואות הניווט שני צעדים.
האחד הוא חישוב המצב הזוויתי על סמך מדידות מהירות זוויתית.
השני הוא המרת מדידות התאוצה מצירי גוף הפלטפורמה לצירי הניווט.
קידום המצב הזוויתי נעשה באופן מקורב מכיוון שמשוואת הקידום האמיתית אינה ליניארית.
כאשר היא מטריצה אנטי סימטרית של וקטור המהיריות הזוויתיות.
מערכות ניווט אינרציאליות כוללת מדי מהירות זוויתית ומדי תאוצה קווית.
חלקן כוללות ג'ירוסקופים המאפשרים התייחסות לאוריינטציה המוחלטת, כלומר לכיוון אליו פונה המערכת.
מדי המהירות הזוויתית מודדים את המהירות הזוויתית של המערכת ביחס למערכת אינרציאלית.
לרוב יימצא בכל מישור תנועה לפחות מד מהירות זוויתית אחד.
התנועות הסיבוביות במישורי התנועה הן עלרוד (חרטום עולה או יורד), סבסוב (חרטום פונה ימינה או שמאלה) וגלגול (סיבוב בציר המקביל לכיוון ההתקדמות).
קיימים מדי מהירות זוויתית או מדי מצב זוויתי מגוונים כגון ג'ירוסקופ תנודות, ג'ירוסקופ כיפת תהודה, ג'ירוסקופ מבוסס טבעת לייזר, ג'ירוסקופ סיב אופטי ועוד.
התאמת סוג המדיד לשימוש הקצה
בדרך כלל, ככל שהמדיד קטן יותר הוא זול יותר ואילו המדידים הגדולים הם מדויקים יותר ויקרים יותר.
נכון ל-2024, במטוסים ואוניות מקובל להשתמש בג'ירוסקופ מבוסס טבעת לייזר, מדידים בטכנולוגיה זו מאוד אמינים, אין להם חלקים נעים, הם בגודל של עשרות סנטימטר ועלותם היא בסדר גודל של עשרות אלפי דולר.
בלוויינים, טילים קטנים (כמו טילי אוויר אוויר) וכלי טיס בלתי מאוישים וכדומה, משתמשים בג'ירוסקופ סיב אופטי
במכשירים בתפוצה המונית, בשוק הקמעונאי, כמו טלפונים סלולריים, שלטים במשחקי מחשב וכדומה, מקובל להשתמש ברכיבי MEMS, ג'ירוסקופ מבנה רוטט.
רכיבים אלה עשויים מצב מוצק, הם מאוד אמינים ומאוד זולים - אבל יש להם סחיפות כאלה שהשימוש בהם מחייב פתרון משולב עם לוויני ניווט או מכשירי ניווט רדיו.
מדי תאוצה קווית מודדים את תאוצת המערכת.
למנ"א יש מד תאוצה קווית לכל אחד משלושת צירי התנועה: מעלה ומטה, ימינה ושמאלה וקדימה ואחורה.
במערכת ניווט אינרציאלית, תפקיד המחשב הוא לחשב בקצב קבוע את מיקומה, מהירותה ומצבה הזוויתי.
ראשית, המצב הזוויתי החדש מחושב על בסיס המדידות ממדי המהירות הזוויתית.
במערכות מגומבלות המצב הזוויתי לא מחושב אלא נשמר יציב פיזית, ולכן אין צורך למדוד אותו.
לאחר מכן מחושבת המהירות על בסיס מדידות מדי התאוצה הקווית ובקיזוז כוחות שלא נמדדים כגון כוח הכבידה המקומי, המשוערך על בסיס ידיעת המיקום.
לאחר מכן משולבת גם המהירות על מנת לחשב את המיקום הנוכחי.
במערכות המשלבות מעדכנים חיצוניים (ניווט משולב), משולבת המנ"א עם מערכות חיצוניות, כמו מערכת ניווט לוויינית בעזרת סינון דיגיטלי אשר מתבצע במחשב המערכת.
המנ"א מספקת מידע מיידי, והמערכת הלוויינית מתקנת את הטעויות המצטברות של המנ"א.
היעדרו של מחשב מקשה על בניית מנ"א ולכן הצורך בהנחיה אינרציאלית לתוכנית אפולו ולטיל הבליסטי הבין־יבשתי מיניטמן הביא לניסיונות הראשונים למזעור מחשבים.
אחת הדרכים לסידור חיישני תאוצה היא הצבת מדי התאוצה הקווית על פלטפורמה מיוצבת ג'ירוסקופים מגומבלת (Gimbaled Gyrostabilized Platform).
ג'ירוסקופ הוא שלוש, לפעמים ארבע, טבעות המחוברות זו לזו דרך מיסבים המונחים בדרך המציבה את הטבעות בזווית ישרה זו לזו.
הגימבלים מאפשרים לפלטפורמה במרכזן להסתובב לכל כיוון (או במבט אחר, לרכב שאליו מחוברת הפלטפורמה להסתובב לכל כיוון מסביב לפלטפורמה, בלי שישפיע על כיוונה).
על הפלטפורמה נמצאים בדרך כלל שני ג'ירוסקופים כדי לייצב אותה.
לג'ירוסקופים מהירות ותאוצה שווים והם מותקנים בזווית ישרה המביאה לביטול הדדי של תופעת הנקיפה.
מדידת הזוויות של המערכת (בסבסוב, בגלגול ובעלרוד) נעשית ישירות במיסבי הגימבלים.
הוספת התאוצות הקוויות לחישוב נחשבת פשוטה יחסית שכן כיוון מדי התאוצה הקווית אינו משתנה ביחס למערכת האינרציאלית הראשונית.
ישנם שני חסרונות מרכזיים למערכת:
חלקים מכניים הדורשים עיבוד והרכבה מדויקים, מה שמייקר את הייצור, וכן חלקים נעים הנוטים לבלאי ולמעצורים.
נעילת גימבל חסרון זה הוא טכני ונכון גם למערכת מגומבלת מושלמת מבחינה מכנית.
משמעות נעילת הגימבל היא שמדי התאוצה שמותקנים במרכז הגימבלים ישנו את מצבם הזוויתי ביחס למערכת האינרציאלית הראשונית וכל חישובי הניווט יפתחו שגיאה גדולה מאוד.
מערכת ההנחיה העיקרית של חלליות אפולו השתמשה בפלטפורמת גימבל תלת־צירית שהעבירה נתונים למחשב ההנחיה של החללית.
תמרוני החללית תוכננו בדרך כזו שלא תביא למצב של נעילת גימבל.
פלטפורמה מיוצבת ג'ירוסקופים תלויה בנוזל
אחד הפתרונות למגבלות התמרון בשל נעילת גימבל ולשימוש במיסבים ובטבעות הנוטים להישחק, הוא פלטפורמה מיוצבת ג'ירוסקופים הצפה על מיסבי נוזלים או גז (Fluid-suspended gyrostabilized platform).
למערכת זו רמות דיוק גבוהות והיא מאפשרת חישוב פשוט של התאוצות הודות לשמירה על כיוונם של חיישני התאוצה הקווית.
מיסבי נוזלים עשויים מרפידות מחוררות, דרך החורים עובר גז אינרטי או נוזל בלחץ המופעל נגד הפלטפורמה הכדורית של המערכת.
למיסבים מקדם חיכוך נמוך במיוחד המאפשר לפלטפורמה לנוע בחופשיות.
מערכת כזו כוללת בדרך כלל ארבעה מיסבים בתצורה של ארבעון התומכים בכדור.
במערכות בעלות איכות גבוהה חיישני התנועה הסיבובית הם מערך של סלילים המורכבים על הספירה הכדורית ומחוץ לה.
שינוי בכיוונה של הפלטפורמה והסלילים שעליה משפיע על השדה המגנטי סביב לה.
השינוי משרה זרמים חשמליים בסלילים החיצוניים ומדידת הזרמים מספקת מידע על תנועת הפלטפורמה.
מערכות זולות יותר כוללות ברקוד למדידת תנועה ותא סולרי או סליל בודד להעברת כוח לפלטפורמה.
מידע מהפלטפורמה החוצה מועבר דרך סלילים או בעזרת דיודה פולטת אור (LED) המאירה פוטודיודה.
מערכת מקובעת (Strapdown system) היא מערכת ניווט אינרציאלית בה ה־IMU מחובר באופן קבוע ויציב לגוף אותו רוצים לנווט, כך שכל תנועה של הגוף, ובפרט תנועה סיבובית, מתרחשת גם ב־IMU באופן פיזי.
זאת בניגוד למערכת המגומבלת שבה ה־IMU עצמו לא נע באופן סיבובי יחד עם הגוף אותו רוצים לנווט.
במערכות מקובעות, במקום שמירה על מצב זוויתי קבוע של מדי התאוצה (כפי שקורה במערכות מגומבלות), מתבצע חישוב של המצב הזוויתי הנוכחי וסיבוב של וקטור התאוצה (תוצר של מדידת מדי התאוצה).
חישוב זה דורש עבודה דיגיטלית בקצב גבוהה ולכן רק הופעתם של מחשבים דיגיטליים קלי משקל איפשרו הקמת מערכות ניווט אינרציאליות מקובעות.
במערכות מקובעות יש פחות חלקים ממערכות מגומבלות ולכן הן זולות יותר; הן אינן פגיעות לנעילת גימבל והפעלתן דורשת פחות כיול ויש בהן פחות חלקים נעים ולכן אמינותן עולה.
העלויות הנמוכות של יצור מחשבים מודרניים ומהירות החישוב הגבוהה שלהם, מאפשרות ייצור המוני של מערכות מקובעות.
מערכות אלו נפוצות במערכות מסחריות ובמערכות צבאיות כגון מטוסים וטילים, אך נדירות יותר במערכות בהן רמת הדיוק הנדרשת גבוהה, כמו צוללות וטילים בליסטיים בין־יבשתיים.
האוריינטציה של מערכת ניווט אינרציאלית מקובעת יכולה להיקבע בעזרת מעקב אחרי נתוני הניווט של הפלטפורמה הנושאת אותה, בהנחה שכיוון התנועה של הפלטפורמה הוא כיוונה של המנ"א.
הנחה זו לא בהכרח תקפה, למשל במקרים הבאים:
מטוס שפועלת עליו רוח צד יפתח זווית החלקה ביחס לכיוון התנועה – הבדל בזווית הסבסוב.
מטוס שינוע בזווית התקפה ביחס לכיוון התנועה על מנת להשיג כוח עילוי – הבדל בזווית העלרוד.
מנ"א המצויה במערכת התלויה בזווית צידוד על כנף מטוס שפועלים עליו מאמצי פיתול וכפיפה ביחס למבנה המטוס – הבדל בשלושה צירים.
בדרך זו נעשה כיול המערכת תוך כדי תנועת הרכב באוויר או ביבשה.
רשות התעופה הפדרלית של ארצות הברית (FAA) מאשרת את השימוש באוריינטציה מבוססת תנועה לטיסות מסחריות הנמשכות עד 18 שעות.
במתמטיקה, מערכת משוואות ליניאריות היא אוסף של משוואות ליניאריות באותם משתנים.
פתרון של המערכת הוא ערכים עבור המשתנים, שהצבתם בכל אחת מהמשוואות תיתן פסוק אמת.
במסגרת האלגברה הליניארית פותחה תאוריה מלאה של מערכות מסוג זה, ויש אלגוריתמים מהירים ויעילים לפתרון שלהן.
מערכת כללית של m משוואות עם n נעלמים (או משתנים) יכולה להיכתב בצורה הבאה:
כאשר הם המקדמים של הנעלמים/משתנים ו- הם המקדמים החופשיים במשוואות.
בדרך כלל המקדמים והמשתנים שייכים לשדה (למשל שדה הממשיים, המרוכבים, או הרציונליים), או לחוג כדוגמת חוג השלמים.
ניתן להציג את המערכת בצורה של משוואה וקטורית, כצירוף ליניארי של וקטורי עמודה:
הצגה כזאת מאפשרת שימוש בתכונות של מרחב וקטורי.
לדוגמה, האוסף של הצירופים הליניארים של הווקטורים בצד שמאל נקרא הקבוצה הפורשת שלהם, ולמערכת יש פתרון רק כאשר הווקטור בצד ימין נמצא בקבוצה הזאת.
במקרה כזה, הפתרון הוא מקדמי ההצגה.
הבחנה זו מובילה למשפט רושה קפלי, הקובע שלמערכת יש פתרון אם ורק אם דרגת המטריצה של המקדמים שווה לדרגת המטריצה שלה מוסיפים את הווקטור הקבוע.
אם אפשר להציג כל וקטור (להביע אותו) כצירוף ליניארי של הווקטורים בצד שמאל, אז כל פתרון הוא ייחודי.
בכל מקרה, למערכת יש בסיס של וקטורים שאינם תלויים ליניארית שמבטיחים בדיוק ביטוי אחד, ומספר הווקטורים בבסיס אינו יכול להיות גדול מ-m או n, אך יכול להיות קטן מהם.
מערכת משוואות ליניאריות ניתנת גם להצגה בעזרת מטריצות.
מספר הווקטורים בבסיס הקבוצה הפורשת מבוטא כעת על ידי הדרגה של המטריצה.
פתרון של מערכת הוא ערך לכל אחד מהמשתנים, שאם מציבים בכל אחת מהמשוואות מתקבל פסוק אמת.
הקבוצה שמכילה את כל הפתרונות נקראת קבוצת הפתרונות של המשוואה, ומשפט רושה-קפלי מספק אפיון לקיום ומספר הפתרונות של המערכת.
קיימות שלוש אפשרויות למספר הפתרונות של המערכת:
למערכת קיימים אינסוף פתרונות (או סופי אבל יותר מאחד במקרה של פתרון מעל שדה סופי)
למערכת אין פתרון (הקבוצה הריקה)
מערכת משוואות נקראת הומוגנית אם כל המקדמים החופשיים שווים לאפס:
מערכת כזאת ניתנת לייצוג באמצעות המשוואה , כאשר A היא מטריצת המקדמים, x הוא וקטור עמודה של המשתנים, ו-0 מסמל את וקטור האפס.
לכל מערכת הומוגנית יש פתרון הנקרא פתרון טריוויאלי, ובו כל המשתנים שווים ל-0 (כלומר: ).
לשאר הפתרונות יש תכונות נוספות:
אם ו- הם וקטורים המייצגים פתרונות של המערכת, אז גם וקטור הסכום מייצג פתרון (אדיטיביות).
אם הוא וקטור המייצג פתרונות של המערכת, אזי לכל סקלר גם הווקטור מייצג פתרון (הומוגניות).
שתי העובדות הללו מבטאות את העובדה שמרחב הפתרונות של מערכת הומוגנית הוא מרחב וקטורי.
אבחנה זו מאפשרת לתאר את הפתרון הכללי ביותר למערכת הומוגנית בעזרת בסיס למרחב הפתרונות.
הממד של מרחב הפתרונות שווה למספר המשתנים, פחות הדרגה של מטריצת המקדמים.
הדרגה שווה למספר המשוואות הבלתי-תלויות.
משפט: מעל שדה אינסופי, אם למערכת הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי, אז יש לה אינסוף פתרונות.
מעל שדה בגודל q, מספר הפתרונות הוא תמיד חזקה של q.
למשל כאשר מדובר בשדה סופי במרחב מממד 2 אז מס' הפתרונות יהיה 9=32, כלומר q בחזקת המימד הוא מס' הפתרונות.
פתרון של מערכת לא הומוגנית
במקרה של מערכת לא הומוגנית , מרחב הפתרונות הוא מרחב אפיני (או ישריה), כלומר: מרחב וקטורי + קבוע.
במקרה זה הפתרון הכללי שווה לצירוף ליניארי כלשהו של פתרונות ממרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית ועוד (ה)פתרון (ה)פרטי של המערכת הלא-הומוגנית.
משפט: מעל שדה אינסופי, למערכת לא הומוגנית יכולים להיות אינסוף פתרונות, פתרון יחיד או שלא קיים פתרון בכלל.
משפט: אם הפתרון יחיד אזי מטריצת המקדמים A היא מטריצה הפיכה משמאל כלומר קיימת מטריצה P מסדר כך ש והפתרון נתון על ידי .
קיימות דרכים שיטתיות למציאת הפתרונות של מערכת משוואות ליניארית, המבוססות על הצגת המערכת בעזרת מטריצות.
לא לכל מערכת יש פתרון יחיד - יש מערכות עם אינסוף פתרונות, ויש מערכות שאין להן פתרון.
דוגמה: המקרה הדו-ממדי (פירוש גאומטרי)
במערכת של שתי משוואות בשני נעלמים x ו-y, כל משוואה מייצגת ישר, ושני הישרים נמצאים באותו מישור.
פתרון למשוואה הוא וקטור (x,y) שמקיים את המשוואה הראשונה וגם את המשוואה השנייה, כלומר זהו וקטור שנמצא גם על הישר הראשון וגם על הישר השני.
במילים אחרות, קבוצת הפתרונות היא החיתוך של שני הישרים שכל אחת מהמשוואות מייצגת.
החיתוך הזה יכול להיות ישר (אם יש התלכדות בין שני הישרים), הקבוצה הריקה (אם הישרים מקבילים, ולכן לא נחתכים), או נקודה (כמו בתמונה).
כשיש במערכת שלושה משתנים מציגים כל אחד מהם בתור מישור במרחב תלת-ממדי אחד, והפתרון הוא החיתוך.
כאן קבוצת הפתרונות יכולה להיות מישור, ישר, נקודה או הקבוצה הריקה (ישנם שני סוגים של אינסוף פתרונות).
עבור מערכת עם משתנים, כל משוואה מייצג מרחב ממדי, המשוכנים במרחב -ממדי אחד.
מערכת ליניארית של שתי משוואות בשני נעלמים אפשר בדרך כלל להביא לצורה הבאה:
כל משוואה כזו (מעל הממשיים) מגדירה ישר במישור האוקלידי, ופתרון המערכת הוא נקודת החיתוך בין שני הישרים.
למערכת אין פתרון אם שני הישרים שונים אך מקבילים זה לזה, ולפיכך אינם נחתכים.
במצב זה שיפועי הישרים שווים, כלומר , אך .
למערכת אינסוף פתרונות אם שני הישרים מתלכדים, כלומר, שתי המשוואות מייצגות את אותו ישר.
במצב זה , וגם .
למערכת פתרון יחיד בכל מקרה אחר, כלומר כאשר .
במקרה זה שני הישרים נחתכים בנקודה אחת שהיא נקודת הפתרון, וערכה הוא .
הישרים יכולים או להיחתך בנקודה אחת או להתלכד או להקביל אחד לשני.
מצב הישרים ישפיע על מספר הפתרונות של המערכת.
עבור מערכת הנתונה בצורה המפורשת מספר הפתרונות נקבע ע"פ התנאים הבאים:
פתרון אחד - כאשר הישרים חותכים אחד את השני בנקודה אחת למערכת יהיה פתרון אחד ויחיד, והמשמעות הגאומטרית היא שיש לישרים שיפוע שונה.
אף פתרון - כאשר הישרים מקבילים למערכת לא יהיה פתרון, והמשמעות הגאומטרית היא שלשני הישרים שיפוע זהה אך הם אינם חותכים את ציר ה-y באותה נקודה.
אינסוף פתרון - כאשר הישרים מתלכדים למערכת יהיו אינסוף פתרונות, והמשמעות הגאומטרית היא שלשני הישרים שיפוע זהה והם חותכים את ציר ה-y באותה נקודה.
באופן כללי, התנהגות המערכת נקבעת על פי היחס בין מספר הנעלמים למספר המשוואות:
בדרך כלל, למערכת עם יותר נעלמים מאשר משוואות, יהיו אינסוף פתרונות (או סופי אבל יותר מאחד במקרה של פתרון מעל שדה סופי).
בדרך כלל, למערכת עם אותו מספר נעלמים ומשוואות יהיה פתרון יחיד.
בדרך כלל, למערכת עם יותר משוואות מאשר נעלמים לא יהיו פתרונות.
עבור האפשרות הראשונה, הממד של מרחב הפתרונות יהיה בדרך כלל מספר הנעלמים פחות מספר המשוואות.
דרך אחת לפתרון משוואות היא בידוד אחד מהמשתנים, הצבתו במשוואות האחרות וחזרה על התהליך עד לקבלת משוואה עם פתרון בודד, ואז גילוי שאר המשתנים.
שיטה זו משמשת בכל סוגי מערכות המשוואות.
מחלצים את מהמשוואה הראשונה ומקבלים .
מציבים במשוואה השנייה והשלישית ומקבלים:
מציבים במשוואה השנייה ומקבלים .
הצבת במשוואה השנייה נותנת , והצבת ו- במשוואה השלישית נותנת .
לכן הפתרון הוא השלשה .
ניתן לפתור את המשוואה על ידי ההצגה באמצעות מטריצה לעיל.
מבצעים על המטריצה פעולות עד לקבלת מטריצה מדורגת קנונית, שממנה הפתרון נובע באופן מיידי.
שיטה זו נקראת שיטת גאוס-ז'ורדן או "שיטת האלימינציה של גאוס".
שיטה זו לפתרון מערכת משוואות ליניאריות מבוססת על חיבור, חיסור והכפלה של משוואות בסקלר על מנת להגיע לצורה הקנונית (צורת המדרגות) בה פתרון המשוואות מיידי.
בשיטה זו מבודדים באופן שיטתי את המשתנים רק באמצעות פעולות ליניאריות על מערכת המשוואות שאינן משנות את קבוצת הפתרונות של המערכת: חיבור וחיסור משוואות, כפל משוואה בסקלר.
בהצגה מטריציונית פעולות אלה מתבטאות בחיבור או חיסור שורות, החלפת שורות, כפל שורה בקבוע מספרי והוספתה לשורה אחרת.
המטרה הסופית היא להגיע למטריצת מדרגות (קנונית) באמצעות פעולות אלה, ממנה אפשר לקרוא ישירות את הפתרון.
נוסחת קרמר היא שיטה לחישוב ישיר של פתרונות למערכת משוואות ליניאריות המשתמשת בדטרמיננטות.
שיטה זו טובה רק עבור מערכות של n משוואות ב-n נעלמים (כאלה עבורן מטריצת המקדמים ריבועית) עבורן קיים פתרון יחיד (כלומר, הדטרמיננטה של מטריצת המקדמים שונה מאפס).
נוסחת קרמר קובעת שאם היא המשוואה, אזי הרכיב ה- של וקטור הפתרון נתון על ידי
כאשר היא המטריצה המתקבלת על ידי החלפת העמודה ה- שבמטריצה בווקטור .
בנעלמים x ו y (מודגשים), הפתרון נתון על ידי הנוסחאות ו- .
כאשר המערכת נתונה בצורה שאין מספרים רק מקדמים,ׁ ניתן לנסח תנאים על המקדמים A, B ו- C מתוך הקשר בינם לבין המקדמים של המשוואה המפורשת, m ו- n:
על מנת שלמערכת יהיה פתרון יחיד צריך שיתקיים:
אם נכפיל משוואה זו ב-
אם היחס בין מקדמי המשתנים של x ו- y, שונה – למערכת פתרון יחיד
2. אף פתרון- על מנת שלמערכת לא יהיה פתרון כלל צריכים להתקיים שני תנאים :
דוגמה לחקירה היא התרגיל הבא:
תחום של פונקציה#תחום ההגדרה של התרגיל:
דרכי פתרון לפי רמות של מערכת משוואות ליניאריות עם פרמטרים
ברמה הראשונה של סוג המערכת הנ"ל מופיעים פרמטרים שאינם מוגבלים בערכים מסוימים.
לכן, הפתרון אינו דורש חקירה.
ברמה השנייה הפרמטרים מוגבלים בערכים מסוימים.
דרך פתרון ראשונה: אנחנו פותרים את המערכת וקובעים, במהלך הפתרון, תחומי הגדרה לפרמטרים.
בסוף הפתרון, אנחנו בודקים על ידי הצבה, מה קורה בערכים שפסלנו בדרך?
דרך פתרון שנייה: דרך זו מתאימה לשאלות בהן מתבקשת רק חקירה ללא מתן הפתרון .
מערכת ניהול תוכן היא יישום מחשב אשר מיועד לניהול, עריכה ופרסום תכנים באתר אינטרנט או אינטראנט (פנים ארגוני).
המערכת מאפשרת בדרך כלל הרשאות למספר משתמשים.
מערכת ניהול תוכן נועדה לפשט יצירה ותחזוקה של אתרי אינטרנט.
בעזרת CMS ניתן לערוך, ליצור ולנהל תוכן, ללא יכולות טכניות מורכבות.
מערכות אלה מאפשרות פרסום של דפי אינטרנט עשירים בתכנים, כגון: דפי חדשות, פוסטים, דפי ויקי, דפי מידע, רשימות, לוחות שנה דינמיים.
מלבד זאת, משמשות כפלטפורמות לאתרים כגון: בלוגים, אתרי תדמית, אתרים עסקיים, חנויות, פורטפוליו וכדומה.
תכונה חשובה שיש למערכות ניהול תוכן היא האופציה להוסיף MetaData – מידע אודות המידע, נמצא "מעל" הנתונים, מתאר את התכונות של הנתונים ברמת הפשטה גבוהה.
בעזרת מטא-דאטה ניתן לתייג קבצים, דפי אינטרנט וישויות נוספות.
מטא-דאטה מאפשר לנו לחפש בצורה חכמה יותר ולקטלג מידע בצורה קלה ואינטואיטיבית על ידי מילות מפתח (כמו שאנחנו עושים עם האש-טאגס ברשתות החברתיות, שהוא סוג של מטא-דאטה).
את מערכות ניהול התוכן ניתן לחלק לשתי קטגוריות: מוצרי מדף בקוד סגור (Wix, SharePoint) ומוצרי מדף בקוד פתוח (WordPress, ג'ומלה ו-Ghost).
אתרי אינטרנט עושים שימוש במערכות ניהול תוכן (מוצרי מדף סגורים, וכאלה אשר עושות שימוש בקוד פתוח).
המערכת הכי פופולרית מבחינת כמות משתמשים היא WordPress.
בעשור השני של המאה ה-21 נעשה מאמץ להנגיש את מערכות ניהול התוכן לציבור ולפשט את תהליך בניית האתרים.
חברות מסחריות רבות לקחו על עצמן את הצורך לפשט את תהליך בניית האתרים ויצרו מערכות Drag and Drop ("גרירה") לבניית אתרים.
אחת המערכות הפופולריות ביותר כיום היא Wix אשר מאפשרת בנייה של אתרים פשוטים במהירות.
מערכת ניהול תוכן שנעשה בה שימוש נרחב אצל גופים וחברות גדולות היא SharePoint המתאפיינת בפונקציונליות רבה, אינטגרציה לכלי "אופיס", רמת אבטחה גבוה ועמידה בעומסים.
בנוסף למערכות ניהול תוכן כלליות, המאפשרות שליטה נרחבת בתוכן האתר ובעיצובו, נפוצות גם מערכות ניהול תוכן ייעודיות, לניהול בלוגים, לניהול פורומים וכדומה.
מערכות ניהול תוכן מאפשרות יצירה ועריכה של דפי אינטרנט בלי להכיר את תגיות HTML שביסודן של דפים אלה, באמצעות ממשק משתמש נוח (לעיתים ממשק WYSIWYG המאפשר לערוך תוכן בצורה שבה המשתמש רואה את התוצר הסופי של איך התוכן יראה כמו בעורך תמלילים).
מערכת ניהול חבילות (מכונה גם מנהל חבילות) היא תוכנה המאפשרת לבצע אוטומטית התקנת והסרת חבילות תוכנה, וכן עדכונן והגדרתן.
מנהל החבילות מהווה יתרון בעת התקנת תוכנה בשל טיפולו בתחומי תאימות התוכנה לפלטפורמה עליה היא מותקנת, גרסתה, ומניעת בעיות נוספות.
המערכת מתכתבת על-פי-רוב עם בסיס נתונים תוכנתי העשוי להכיל מאות ואף אלפי חבילות תוכנה.
המערכת קיימת לרוב במערכות הפעלה מבוססות לינוקס או דמויות יוניקס (כגון הומברו ב-macOS) ומהווה חלק אינטגרלי מהן.
המערכת קיימת בדרך-כלל במערכות הפעלה התומכות כברירת מחדל בתפעול המחשב בצורה זו, ללא התקנה עצמאית של תוכנות, אך חלקן אינו חיוני ורק תורם לנוחות המשתמש.
מנהלי חבילות נפוצים בסביבת יוניקס:
מנהל החבילות pkgsrc, או בקיצור pkg.
מנהל חבילות זה נפוץ בעיקר בהפצות BSD, דוגמת NetBSD/FreeBSD, אך נפוץ גם בסולאריס ובמקינטוש.
מערכת APT לניהול חבילות deb בהפצת הלינוקס דביאן ונגזרותיה (אובונטו, לינוקס מינט וכדומה).
מנהל החבילות YUM שמאוחר יותר הוחלף ב-DNF לניהול חבילות RPM בהפצת הלינוקס פדורה וב-Red Hat.
pacman, מנהל החבילות של ארץ' לינוקס ושל מנג'רו לינוקס.
Portage, מנהל החבילות של ג'נטו לינוקס.
Zypper, מנהל החבילות של הפצת הלינוקס openSUSE לניהול חבילות RPM.
Flatpak, מאגר חבילות פופולרי להפצות לינוקס ו־BSD.
Snap, מערכת אריזה ופריסה של חבילות תוכנה שפותחה על ידי קנוניקל.
מערכת ניהול רשת היא מערכת משולבת תוכנה-חומרה המיועדת לניהול וניטור רכיבים ברשת מחשבים ופועלת בתצורת שרת-לקוח.
המערכת מנהלת את רכיבי הרשת הנקראים גם הרכיבים המנוהלים.
למערכת משימות שונות; הן משימות ניהול רכיבים והן משימות ניהול.