tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
אוסף האיברים בחוג הוא חבורה למחצה (ביחס לפעולת הכפל), גם כאשר זהו חוג בלי יחידה.
כל אידיאל בחוג הוא חבורה למחצה (ביחס לכפל).
בחבורה למחצה אפשר להגדיר איבר יחידה מימין (איבר המקיים את היחס לכל ) ואיבר יחידה משמאל (איבר המקיים את היחס לכל ).
בחבורה למחצה יכולים להיות כמה איברי יחידה מימין, או כמה איברי יחידה משמאל, אבל אם יש בה איבר יחידה מימין ואיבר יחידה משמאל, אז הם מוכרחים להיות שווים זה לזה.
חבורה למחצה שיש בה איבר יחידה נקראת מונואיד.
במונואיד אפשר למיין איברים לפי תכונות חד־צדדיות.
איבר הוא ההופכי מימין של אם , והוא ההופכי משמאל של אם .
יחסים אלה אינם נובעים זה מזה באופן כללי, ובמונואידים מסוימים יש איברים הפיכים מימין (או משמאל), שאינם הפיכים.
מאידך, אם יש לאיבר גם הופכי מימין וגם הופכי משמאל, אז הם שווים זה לזה, והאיבר הפיך; במקרה כזה, מסמנים את ההופכי ב־ .
אוסף האיברים ההפיכים במונואיד סגור לכפל (בגלל התכונה ), והוא מהווה לכן חבורה.
איבר המקיים לכל , נקרא איבר אפס.
יחסי גרין מוליכים למיון של אברי החבורה לפי האידיאלים (הימניים, השמאליים והדו־צדדיים) שהם יוצרים.
שלא כמו בחבורות או חוגים, המנה של חבורה למחצה מעל אידיאל (דו־צדדי) מתקבלת מכיווץ האידיאל לאיבר אחד, כששאר האיברים נשארים נבדלים כשהיו.
איבר בחבורה למחצה, המקיים את הזהות , נקרא אידמפוטנט.
בחבורה יש רק אידמפוטנט אחד (הלא הוא איבר היחידה), אבל בחבורות למחצה יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, ואפשר ללמוד מהם רבות על המבנה שלה.
את אוסף האידמפוטנטים בחבורה למחצה מקובל לסמן ב־ .
בין האידמפוטנטים מוגדר יחס שקילות: אם קיימים כך ש־ ו־ (היחס טרנזיטיבי משום שאם ו־, אז ו־).
אידמפוטנט e הוא פרימיטיבי אם לא קיים אידמפוטנט אחר f שעבורו fe=ef=f.
אחת הדרכים לפענח את המבנה של חבורה למחצה היא דרך התת־חבורות שלהן, שהן חבורות למחצה המוכלות במבנה המקורי, ומהוות, כשלעצמן, חבורות.
איבר היחידה של כל תת־חבורה כזו הוא אידמפוטנט.
כל חבורה למחצה בת־מניה אפשר לשכן בחבורה למחצה הנוצרת על ידי שלושה אידמפוטנטים.
אם הראשונה סופית, אפשר להניח שגם האחרונה כזו.
חבורה למחצה שכל אבריה אידמפוטנטים היא סופית־מקומית.
חבורה למחצה קומוטטיבית שכל אבריה אידמפוטנטים נקראת גם סריג למחצה.
במונואיד, אוסף האיברים ההפיכים מהווה חבורה.
בחבורה למחצה, בהיעדר איבר יחידה, לא ניתן אפילו להגדיר את המושג 'איבר הפיך' ־ ועל־כן מסתפקים במושג חלש יותר: הוא הופכי (או הופכי חלש) של אם ו־ (זהו כמובן יחס סימטרי).
ייתכן שלאותו איבר יהיו הופכיים רבים.
אם הופכי של , אז ו־ שניהם אידמפוטנטים.
אידמפוטנטים הפוכים זה לזה הם שקולים.
כל חבורה למחצה אינסופית כוללת תת־חבורה למחצה אינסופית מאחד הטיפוסים הבאים:
ממילא, כל חבורה למחצה קומוטטיבית אינסופית כוללת תת־חבורה למחצה אינסופית מאחד הטיפוסים הנ"ל למעט (5); וכל חבורה למחצה נילית כוללת תת־חבורה למחצה אינסופית מטיפוס (6).
חבורה למחצה היא רגולרית, אם לכל איבר קיים איבר , שעבורו .
במקרה כזה האיבר הוא הופכי של , ולכן אפשר גם להגדיר: חבורה למחצה היא רגולרית, אם כל האיברים בה הפיכים.
לדוגמה, החבורה למחצה של כל הפונקציות מקבוצה אל עצמה היא רגולרית.
אלגברת המטריצות , מעל כל שדה, היא חבורה למחצה רגולרית.
אם אלגברה ממימד סופי, אז החבורה למחצה של כל האיברים (ביחס לכפל) היא רגולרית אם ורק אם האלגברה פשוטה למחצה.
אם חבורה אלגברית מעל שדה סגור אלגברית , אז סגור זריצקי שלה, שהוא תת־חבורה למחצה של , הוא רגולרי אם ורק אם החבורה רדוקטיבית.
חבורה למחצה שכל אבריה הם אידמפוטנטים נקראת "רצועה" (band).
אם סופית, כל מודול אי־פריק של FS הוא חד־ממדי.
כל רצועה היא רגולרית (כל איבר הופכי לעצמו).
רצועה המקיימת את הזהות נקראת "רצועה רגולרית משמאל" (left־regular band).
לרצועות רגולריות יש שימושים בחקירת הילוכים על מבנים גאומטריים כגון אוסף התאים הנוצר מחלוקת המרחב באמצעות על־מישורים.
חבורה למחצה שבה לכל איבר יש הופכי יחיד (במובן שהוגדר לעיל), נקראת חבורה למחצה הפיכה (inverse semigroup).
בחבורה למחצה כזו מקובל לסמן את ההופכי של בסימון .
אם שני אידמפוטנטים בחבורה למחצה כזו הם שקולים, אז קיים איבר כך ש־ ו־.
חבורה למחצה היא הפיכה אם ורק אם היא רגולרית, וכל האידמפוטנטים מתחלפים זה עם זה.
יש גרסה של משפט קיילי מתורת החבורות, עבור חבורות למחצה הפיכות: כל חבורה למחצה הפיכה ניתנת לשיכון באוסף הפונקציות החלקיות החד־חד־ערכיות של קבוצה כלשהי, .
בחבורה למחצה הפיכה שהיא סופית, אם הוא אידמפוטנט אז היא תת־חבורה מקסימלית של (ואיבר היחידה שלה הוא ).
את תורת ההצגות של חבורה למחצה הפיכה אפשר לתרגם לשפה של גרופואידים: לכל חבורה למחצה הפיכה , קיים גרופואיד , ולכל שדה , האלגברות ו־ איזומורפיות.
תת־קבוצה לא ריקה של חבורה למחצה S היא אידיאל אם היא סגורה לכפל מימין ומשמאל באברי S.
למשל, אם ב־S יש איבר אפס 0, אז {0} הוא אידיאל.
חבורה למחצה היא פשוטה אם אין לה אידיאלים למעט עצמה.
כל חבורה למחצה אפשר לשכן בחבורה פשוטה.
את החבורה למחצה {0,1} (עם הכפל הרגיל) אי אפשר לשכן בחבורה למחצה פשוטה סופית.
חבורה למחצה פשוטה היא פשוטה לחלוטין אם יש לה אידמפוטנט פרימיטיבי (לדוגמה, אם היא סופית).
משפט ריס (Rees, 1940) מתאר את החבורות למחצה שהן פשוטות לחלוטין בתור אלו שמתקבלות מבניה מטריציאלית מסוימת ("Rees matrix semigroup" מעל חבורה).
פירוק על ידי סריג למחצה
סריג-למחצה הוא קבוצה סדורה שבה לכל שני איברים i,j יש חסם תחתון .
במונחי החבורות למחצה, סריג למחצה הוא רצועה קומוטטיבית.
אם Y הוא סריג למחצה, ולכל i ב־Y מתאימה חבורה למחצה כך ש־, קיבלנו פירוק של .
כל סריג אפשר לפרק באופן כזה, כאשר המרכיבים הם בלתי פריקים.
הסריג Y מהווה מנה של S לגבי קונגוראנציה מתאימה.
הקונגרואנציה הקטנה ביותר היא זו שבה ו־.
תהי U החבורה למחצה הכוללת שני איברים עם חוק הכפל xy=x, ואיבר יחידה.
משפט Krohn-Rhodes מראה שכל חבורה למחצה סופית היא מנה של תת־חבורה של מכפלת זר שגורמיה הם, לסירוגין, U וחבורות סופיות.
אוטומט הוא מנגנון בסיסי במדעי המחשב התאורטיים, המתואר בדרך כלל כגרף מכוון עם מידע נוסף על הקשתות, כגון אותיות הקלט והפלט של האוטומט.
אפשר לתאר אוטומט דטרמיניסטי עם מרחב מצבים Q ואלפבית גם כצמד פעולות: של המונויד (אוסף המלים הסופיות, עם פעולת ההדבקה) על Q, ושל Q על , באופן הבא.
מגדירים פעולה חלקית של על Q לפי כאשר האות a מעבירה מן המצב q למצב p.
הפעולה מוגדרת באופן חד־ערכי מכיוון שהאוטומט דטרמיניסטי (היינו יש לכל היותר חץ אחד מ־q שהקלט שלו הוא a), והיא שלמה כאשר האוטומט שלם (יש לכל הפחות חץ אחד מ־q שהקלט שלו הוא a).
פעולה זו מומשכת לפעולה (ימנית) של על ידי .
בדומה לזה מגדירים פעולה חלקית של Q על לפי כאשר המעבר מן המצב q עם הקלט a מחזיר את הקלט b.
גם פעולה זו מוגדרת באופן חד־ערכי כאשר האוטומט דטרמיניסטי, והיא שלמה כאשר האוטומט שלם.
פעולת Q מורחבת לפעולה לפי .
הפעולות מהוות כעת פונקציות חלקיות ממרחב המלים לעצמו.
החבורה למחצה הנוצרת על ידי הפונקציות האלה היא חבורה למחצה אוטומטית (לפעמים מגבילים את המונח הזה לאוטומט דטרמיניסטי שלם דווקא).
החבורה למחצה הנוצרת על ידי אוטומט בי־דטרמיניסטי (אוטומט דטרמיניסטי שנותר דטרמיניסטי גם כשהופכים את תפקידי הקלט והפלט) היא חבורה למחצה הפיכה .
החבורה למחצה הנוצרת על ידי אוטומט בי־דטרמיניסטי ובי־שלם (אוטומט שלם, הנותר שלם בהחלפת תפקידי הקלט והפלט) היא חבורה.
חבורה כזו נקראת חבורה אוטומטית.
בעיית המלה פתירה בחבורות אוטומטיות.
בתורת החבורות, חבורה היפרבולית היא חבורה נוצרת סופית, שגרף קיילי שלה הוא היפרבולי.
כיוון שהחלפת קבוצת היוצרים נותנת גרף קיילי קוואזי-איזומטרי לקודם, ומכיוון שהיפרבוליות נשמרת תחת קוואזי-איזומטריה, ההגדרה אינה תלויה בבחירת קבוצת היוצרים של החבורה.
את תכונת ההיפרבוליות של חבורה אפשר לנסח בדרכים שקולות רבות - בעיקר מתחום תורת החבורות הקומבינטורית והפעולה של חבורות על מרחבים מטריים.
לדוגמה, החבורה היסודית של כל משטח רימן קומפקטי מגנוס גדול מ-1 היא היפרבולית.
את המושג הגדיר מיכאיל גרומוב ב-1978.
הצגה של חבורה נקראת הצגת דן (על-שם מקס דן), אם היחסים הם כולם מהצורה , כאשר האורך של (במונחי היוצרים) קטן משל , וכל מילה שאינה מכילה אף אינה מייצגת את האיבר הטריוויאלי של החבורה.
בחבורה כזו, ההצגה נותנת אלגוריתם כמעט מפורש לבעיית המילה: החלף כל הופעה של ב-, עד שאין יותר תת-מילים מהצורה ; האיבר הוא טריוויאלי אם ורק אם התהליך הסתיים במילה הריקה.
בחבורה עם הצגה כזו, גם בעיית הצמידות פתירה.
חבורה נוצרת סופית היא היפרבולית אם ורק אם יש לה הצגת דן סופית.
בפרט, חבורה היפרבולית היא חבורה מוצגת סופית.
בעיית האיזומורפיזם פתירה עבור חבורות היפרבוליות לא מפותלות.
חבורה נוצרת סופית המקיימת את תנאי הצמצום הזעיר , או את התנאים ו-, היא היפרבולית.
במובן סטטיסטי מסוים, כמעט כל חבורה נוצרת סופית היא היפרבולית.
מרחב מטרי נקרא "הגון" (proper), אם כל הכדורים הסגורים הם קומפקטיים.
חבורה היא היפרבולית אם ורק אם היא פועלת נאמנה, כחבורה של איזומטריות, על מרחב מטרי הגון, כך שמרחב המנה ביחס לפעולה הוא קומפקטי.
בפרט, החבורה היסודית של כל יריעת רימן קומפקטית מעקמומיות שלילית היא היפרבולית.
כל החבורות הסופיות הן היפרבוליות.
חבורה מפותלת יכולה להיות היפרבולית רק אם היא סופית.
בחבורה היפרבולית יש מספר סופי של מחלקות צמידות של תת-חבורות סופיות.
כל תת-חבורה ציקלית אינסופית של חבורה היפרבולית היא בעלת אינדקס סופי בנורמליזטור שלה.
בפרט, לחבורה היפרבולית לא יכולה להיות תת-חבורה מהצורה .
כל תת-חבורה של חבורה היפרבולית, שאינה מכילה תת-חבורה חופשית לא אבלית, היא דמוי-ציקלית (כלומר, יש לה תת-חבורה ציקלית מאינדקס סופי).
המכפלה הישרה של חבורה היפרבולית בחבורה סופית היא היפרבולית, אבל המכפלה הישרה של שתי חבורות היפרבוליות אינסופיות אינה היפרבולית.
מאידך, המכפלה החופשית של שתי חבורות היפרבוליות היא היפרבולית.
תת-חבורה נוצרת סופית של חבורה היפרבולית חסרת פיתול מקיימת את תכונת Hopf: כל אפימורפיזם הוא איזומורפיזם.
השפה של חבורה היפרבולית (במובן של מרחבים היפרבוליים) איזומורפית למעגל , אם ורק אם החבורה פוקסיאנית.
טור הילברט של חבורה היפרבולית ( הוא מספר האיברים מאורך בחבורה, ביחס לקבוצת יוצרים ) הוא פונקציה רציונלית במשתנה .
משערים שכל חבורה היפרבולית היא residually finite, אבל הדבר אינו ידוע לאשורו.
אם היפרבולית, כל חבורות ההומולוגיה הן נוצרות סופית, וכמעט כל החבורות טריוויאליות.
אם חסרת פיתול, אז גם כמעט כל החבורות הן טריוויאליות.
חבורה ספרותית היא קבוצה של משוררים, סופרים ואנשי רוח המקיימים ביניהם קשרי יצירה וקשרים חברתיים.
בדרך כלל קיימת בין החברים הסכמה רחבה לגבי התכנים והשיטות הצורניות ליצירה ספרותית ושירית ולרוב הסכמה זו גם מנוסחת כמניפסט שלאורו יוצרים חברי הקבוצה.
לרוב עוסקים חברי החבורה הספרותית לא רק בספרות אלא גם בנושאים קרובים כאמנות פלסטית, פילוסופיה, פסיכולוגיה וכדומה.
החבורה הספרותית היא יצירה של המודרניזם אולם שורשיה נעוצים עוד במוסד הסלון הספרותי, שהיה כינוס של חבורת אינטלקטואלים לדיון מפרה בנושאים ספרותיים ופילוסופיים.
תופעה שרווחה בתקופת ההשכלה (במאות ה-17 וה-18) בצרפת ובגרמניה.
חבורות ספרותיות מודרניות (החל מסוף המאה ה-19) היו מקובלות בעיקר באנגליה, צרפת, רוסיה וגרמניה ומדינות שהושפעו מתרבותן של אלה.
עם החבורות הספרותיות המשפיעות ניתן למנות את קבוצת בלומסברי של הסופרים וירג'יניה וולף וא.מ.
פורסטר, הכלכלן ג'ון מיינארד קיינס ואחרים.
את החוג שהתקבץ סביב ז'אן-פול סארטר וסימון דה בובואר ואת החבורות הספרותיות של הספרות העברית ברוסיה ובארץ ישראל.
חוקרת הספרות נורית גוברין מונה מספר מאפיינים לחבורה ספרותית.
החבורה מורכבת מ"גרעין קשה" שמורכב ברובו מגברים.
סביב הגרעין הקשה, המונה בין ארבעה לשמונה חברים, מתקיימת "פריפריה" של חברים פחות מחויבים.
לרוב מונהגת החבורה על ידי גבר דומיננטי או זוג המקיים בינו לבין עצמו יחסי התמודדות.
החבורה מורכבת בדרך כלל מאנשים צעירים יחסית המאמינים כי הם יודעים היטב כיצד יצירה ספרותית צריכה להיראות ומנסחים את משנתם בביטחון עצמי רב.
פגישות החוג מתקיימות לעיתים מזומנות במקומות קבועים (בתי קפה, בתי חברים, סלון של אדם מבוגר ובעל מעמד המארח צעירים יצירתיים וכדומה).
החבורה דנה ביצירות האישיות של כל אחד מחבריה וביצירות אחרות בדרך של ביקורת.
לעיתים מתקיימת גם יצירה קבוצתית כגון ניסוח מאמר משותף, העלאת מופע קברט, תערוכה וכדומה.
לרוב החבורות הספרותיות יש כתב עת שבתוכו מתנסחת האידיאולגיה של החבורה ובו מתפרסמים חיבורי חבריה וחיבורי יוצרים קרובים לה בדעתם.
רוב החבורות הספרותית התקיימו כעשור והתפרקו על רקע חילוקי דעות ואף מריבות בין חבריהן, על רקע הבדלים בהשקפת עולם, שיקולי אגו ואף סכסוכים רומנטיים.
עם זאת, חלק מהחבורות נוטות "להתמוסס" ואינן מתפרקות בסכסוך גדול.
שם החבורה חברים בולטים שנות קיום כתב עת הוצאת ספרים מקומות מפגש תחומי עיסוק נוספים "חבורת אודסה" מנדלי מוכר ספרים, אחד העם, חיים נחמן ביאליק, שאול טשרניחובסקי, ש.
אנ-סקי סוף המאה ה-19 עד 1917 דביר בתיהם של אחד העם ושלום עליכם עסקנות ציונית "חבורת ביאליק" בתל אביב חיים נחמן ביאליק, שאול טשרניחובסקי, ש.
בן-ציון, י"ח רבניצקי, יעקב שטיינברג, יעקב פיכמן 1924–1933 מאזניים דביר בית הקפה "רצקי", שפת הים של תל אביב איסוף חכמת ישראל "חבורת יחדיו" אברהם שלונסקי, נתן אלתרמן, ישראל זמורה, יעקב הורוביץ, לאה גולדברג, אלכסנדר פן, אברהם חלפי.
"ערס פואטיקה" עדי קיסר, רועי חסן, תהילה חכימי, שלומי חתוכה, ישראל דדון, מתי שמואלוף 2013 - ערס פואטיקה גרילה תרבות ערבי "חאפלה" מזרחית הכוללים קריאת שירה, ריקודי בטן ועוד.
בתורת החבורות, חבורה מוצגת סופית (מ"ס) היא חבורה שיש לה הצגה עם מספר סופי של יוצרים ומספר סופי של יחסים.
חבורה כזו אפשר לראות כאוסף המילים בקבוצה סופית של אותיות, בכפוף למספר סופי של תנאים המגדירים אלו מילים שקולות זו לזו.
סימון מקובל ושימושי לחבורה מוצגת סופית הוא כאשר היא קבוצת יוצרים ו- קבוצה של יחסים.
לדוגמה את החבורה הציקלית מסדר ניתן לכתוב כ-.
חבורות מוצגות סופית מהוות מחלקה חשובה של חבורות נוצרות סופית, אבל לא כל חבורה נוצרת סופית אפשר להציג באופן סופי.
יש רק אָלֶף אֶפֶס חבורות מ"ס, לעומת אלף חבורות נוצרות סופית.
משום כך, "כמעט כל" חבורה נוצרת סופית אינה ניתנת לתיאור באמצעות מספר סופי של יחסים.
תוצאות אלה הוכיח ב-1937 B.H.
Neumann, שגם נתן את הדוגמה המפורשת הראשונה לחבורה נוצרת סופית שאינה מ"ס.
לפי "משפט השיכון של Higman", חבורה נוצרת סופית אפשר לשכן בחבורה מוצגת סופית, אם ורק אם יש לה הצגה רקורסיבית.
מתברר שהתנאי על סופיות מספר היחסים אינו תלוי בבחירת היוצרים: אם חבורה מוצגת סופית, אז לכל קבוצת יוצרים סופית של קיימת קבוצת יחסים סופית המגדירה את החבורה.
קיומה של הצגה סופית היא תכונה גאומטרית: כל חבורה שהיא קוואזי-איזומטרית לחבורה מוצגת סופית, מוצגת סופית בעצמה.
כל הרחבה של חבורה מ"ס בחבורה מ"ס היא מ"ס בעצמה.
כל חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית היא מ"ס.
יתרה מזו, כל חבורה פולי-ציקלית נוצרת סופית היא מ"ס.
מאידך, יש חבורות פתירות נוצרות סופית, שאינן מ"ס.
החבורה היסודית של כל יריעה חלקה קומפטית היא מ"ס.
ולהפך: כל חבורה מ"ס היא החבורה היסודית של יריעה קומפקטית חלקה כלשהי מממד 4.
כל סריג בחבורת לי ממשית קשירה הוא מ"ס.
אינה מ"ס לכל חזקת ראשוני .
אם תת-חבורה מאינדקס סופי של חבורה , אז אחת מהן מ"ס אם ורק אם השנייה כזו.
התהליך לחישוב היחסים של מתוך היחסים של נקרא אלגוריתם ריידמייסטר-שרייר.
בחבורות מוצגות סופית פשוטות, בעיית המילה פתירה.
כך גם בכל חבורה מוצגת סופית שהיא residually finite; לעומת זאת יש חבורות נוצרות סופית עם הצגה רקורסיבית שהן residually finite אבל בעיית המילה בהן אינה פתירה.
לפי משפט דנוודי (Dunwoody, 1985), לחבורה מוצגת סופית יש פירוק סופי כגרף של חבורות סופיות, כלומר כמכפלת היתוך איטרטיבית סופית, מעל חבורות סופיות, של גורמים סופיים או בעלי קצה אחד.
קיימת "חבורה מוצגת סופית אוניברסלית", שהיא חבורה מוצגת סופית, שכל חבורה מוצגת סופית איזומורפית לתת-חבורה שלה.
יש גם חבורה מוצגת סופית שכל חבורה עם הצגה רקורסיבית משוכנת בה (Higman, 1961).
הדרגה של חבורה מוצגת סופית שווה למספר היוצרים הקטן ביותר האפשרי עבורה.
ידוע (Higman-Neumann-Neumann 1940) שכל חבורה מוצגת סופית אפשר לשכן בחבורה עם שני יוצרים ואותו מספר יחסים.
החיסרון (deficiency) של חבורה מוצגת סופית הוא, לפי ההגדרה, ההפרש הגדול ביותר האפשרי בין מספר היוצרים למספר היחסים שלה.
כל החבורות בעלות חיסרון חיובי הן אינסופיות.
כל חבורה בעלת חיסרון > 1 מכילה עותק של החבורה החופשית על שני יוצרים.
בתורת החבורות, חבורה מושלמת היא חבורה השווה לתת-חבורת הקומוטטורים של עצמה, כלומר, .
במילים אחרות, אלו הן החבורות שאין להן אף מנה אבלית לא טריוויאלית.
לדוגמה, כל חבורה פשוטה לא אבלית היא מושלמת.
מאידך, יש חבורות מושלמות שאינן פשוטות, כמו .
כל מנה של חבורה מושלמת היא מושלמת.
הרחבה מרכזית של חבורה היא חבורה עם אפימורפיזם שהגרעין שלו מוכל במרכז של .
הרחבה מהצורה (עם ההטלה על הרכיב הראשון), כאשר אבלית, היא טריוויאלית.
הרחבה מרכזית היא אוניברסלית אם היא מתפצלת דרך כל הרחבה מרכזית אחרת באופן יחיד, כלומר: לכל הרחבה מרכזית יש הומומורפיזם ההופך את הדיאגרמה המתאימה לקומוטטיבית; במובן מסוים, הרחבה אוניברסלית היא הרחבה גדולה ביותר, למעט תוספות טריוויאליות שכביכול אינן רלוונטיות (את ההרחבות המרכזיות האוניברסליות התחיל ללמוד ישי שור ב-1904).
מתברר שלחבורה יש הרחבה מרכזית אוניברסלית אם ורק אם היא מושלמת.
יתרה מזו, הרחבה מרכזית של היא אוניברסלית אם ורק אם מושלמת בעצמה, ואין לה הרחבות מרכזיות לא טריוויאליות.
את ההרחבה המרכזית האוניברסלית של חבורה מושלמת אפשר לחשב באופן ישיר, מן ההצגה שלה באמצעות יוצרים ויחסים: אם כאשר חבורה חופשית ו- חבורת היחסים, אז ההרחבה המרכזית האוניברסלית היא (ההטלה היא על משום ש-, שהרי מושלמת).
הגרעין של ההטלה הזו הוא - כופל שור של .
הכופל אינו תלוי בהצגה, משום שהוא איזומורפי לחבורת ההומולוגיה השנייה .
בין הדוגמאות החשובות לבניה הזו נמצא הפונקטור : לכל חוג , חבורת המטריצות האלמנטריות היא מושלמת, וההרחבה האוניברסלית שלה היא חבורת סטיינברג של החוג, .
הגרעין של ההטלה מן החבורה השנייה אל הראשונה הוא .
בתורת החבורות, חבורה היא חסרת פיתול אם הסדר של כל איבר שונה מ-1 הוא אינסופי.
כל חבורה סדורה היא חסרת פיתול, וכל חבורה אבלית חסרת פיתול ניתנת לסידור.
השערות קפלנסקי עוסקות באיברים של אלגברת החבורה (מעל שדה) של חבורה חסרת פיתול:
כל איבר הפיך של הוא כפולה בסקלר של איבר של החבורה;
באלגברת החבורה אין מחלקי אפס;
באלגברת החבורה אין אידמפוטנטים לא-טריוויאליים.
אלגברת החבורה היא סופית-דדקינד, כלומר אם xy=1 אז yx=1.
השערה (1) גוררת את (2) וזו גוררת את (3), מעל כל שדה ולכל חבורה חסרת פיתול.
להשערה (1) נמצאה דוגמה נגדית שבה החבורה כמעט-אבלית, מעל השדה מסדר 2. השערה (2) שקולה לכך שבאלגברת החבורה אין איברים נילפוטנטיים (פרט לאפס).
השערה (4) נכונה במאפיין אפס ועבור כל חבורה סופיתית.
בתורת החבורות, חבורה דיהדרלית היא חבורת הסימטריות של מצולע משוכלל אשר איבריה הם סיבובים ושיקופים שמעבירים את המצולע לעצמו.
הפעולה בחבורה היא הרכבה של שיקופים וסיבובים (ביצוע אחד מהם ולאחריו השני).
חבורה דיהדרלית נוצרת על ידי שני איברים, "איבר שיקוף" (שבדרך כלל מסומן כ-s), ו"איבר סיבוב" (שבדרך כלל מסומן כ-r) שמהווה "סיבוב" של המצולע רדיאנים בכיוון מוגדר (עם או נגד כיוון השעון).
באופן פורמלי, החבורה הדיהדרלית של מצולע משוכלל מסדר n מוגדרת על ידי ההצגה:
כאשר e הוא איבר היחידה של החבורה.
שלט עצור הוא מצולע משוכלל מסדר 8 (מתומן) עם כיתוב.
אם נגדיר את שיקוף השלט כאיבר s, וסיבוב של השלט 45 מעלות נגד כיוון השעון כ-r, נקבל את החבורה הדיהדרלית .
בתרשים, השורה הראשונה מתקבלת מהפעלת איבר הסיבוב r על השלט, והשורה השנייה מתקבלת מהפעלת איבר הסיבוב r על שיקוף השלט (האיבר s).
לכל חבורה דיהדרלית יש (לכל הפחות) שתי תתי-חבורות (לא טריוויאליות) ציקליות הנוצרות על ידי האיברים s ו-r, שסדריהן יהיו, בהתאמה, 2 ו-n.
מספר האיברים של חבורה דיהדרלית של מצולע משוכלל בעל n צלעות הוא 2n.
מספר תת-החבורות של חבורה דיהדרלית מסדר 2n הוא (d(n) + σ(n, כאשר (d(n הוא מספר המחלקים החיוביים של n ו-(σ(n היא פונקציית סכום המחלקים שלו.
לכל חבורה דיהדרלית יש תת-חבורה נורמלית הנוצרת על ידי האיבר r (מכיוון שהיא מאינדקס 2).
חבורה דיהדרלית היא מכפלה חצי ישרה של החבורה הציקלית מסדר n והחבורה הציקלית מסדר 2, כאשר האוטומורפיזם המותאם ל-1 הוא אוטומורפיזם ההיפוך.
עבור n=2 מתקבלת חבורת הארבעה של קליין, ועבור n=3 מתקבלת חבורת התמורות S3.
אחת ההכללות האפשריות לחבורה דיהדרלית למקרה האינסופי, היא החבורה הדיהדרלית האינסופית, בה לסיבוב סדר אינסופי: .
חבורה זו מייצגת מספר תופעות גאומטריות מעניינות.
חבורה פרו-סופית (ידועה גם בשם חבורה פרו-) היא חבורה טופולוגית, בדרך כלל אינסופית, הבנויה מאבני בניין סופיות בדרך של גבול טופולוגי.
חבורה פרו-סופית מאופיינת בכך שהיא קומפקטית (האוסדורף), ובלתי-קשירה לחלוטין.
חבורת גלואה של כל הרחבת שדות היא פרו-סופית.
כל חבורה פרו-סופית היא חבורה סופית-שאריתית (residually finite).
עיקר המוטיבציה ללמוד על תכונותיהן של חבורות פרו-סופיות מגיעה מתורת־גלואה של הרחבות אינסופיות.
ההגדרות הבאות שקולות זו לזו:
חבורה טופולוגית היא פרו-סופית אם ורק אם היא גבול הפוך של מערכת פרויקטיבית של חבורות טופולוגיות סופיות (המצוידות בטופולוגיה הדיסקרטית).
חבורה טופולוגית היא פרו-סופית אם ורק אם היא בעלת תכונת האוסדורף, קומפקטית ובלתי-קשירה לחלוטין.
חבורה טופולוגית היא פרו-סופית אם ורק אם היא חבורת גלואה של הרחבת שדות כלשהי.
גבול הפוך של מערכת פרויקטיבית של חבורות טופולוגיות סופיות הוא תת-מרחב סגור של מרחב המכפלה שלהן.
החבורות מצוידות בטופולוגיה הדיסקרטית, ולכן כל אחת מהן בלתי קשירה לחלוטין ובעלת תכונת האוסדורף.
תכונות אלו עוברות למרחבי מכפלה, ובירושה לתת-מרחבים.
מכאן שהגבול ההפוך הוא האוסדורף ובלתי-קשיר לחלוטין.
בנוסף, כיוון שכל החבורות קומפקטיות (משום שהן סופיות), גם המכפלה שלהם קומפקטית (לפי משפט טיכונוף); תת-מרחב סגור של מרחב קומפקטי הוא קומפקטי בעצמו, ולכן הגבול ההפוך קומפקטי.
מכאן שגבול הפוך במערכת פרויקטיבית של חבורות טופולוגיות סופיות הוא האוסדורף, קומפקטי ובלתי-קשיר לחלוטין.
תהי G חבורה טופולוגית בעלת תכונת האוסדורף, קומפקטית ובלתי-קשירה לחלוטין.
נתבונן בקבוצת הפונקציות הרציונליות שמקדמיהן בשדה מסוים, וקבוצת המשתנים שלהן היא איחוד חבורות המנה של החבורה המקורית על-פי תת-החבורות הנורמליות והפתוחות שלה.
החבורה המקורית פועלת על קבוצת פונקציות זו באופן טבעי, וניתן להתבונן בכל איבר שלה כאוטומורפיזם של קבוצת הפונקציות.
בהתאם, ניתן להגדיר את החבורה המקורית כחבורת גלואה של הרחבת שדות - כאשר ההרחבה היא קבוצת הפונקציות, והשדה המקורי הוא שדה השבת של החבורה.
חבורת גלואה מצוידת באופן טבעי בטופולוגית קרול (הקרויה על שם המתמטיקאי הגרמני וולפגנג קרול).
טופולוגיה זו מוגדרת על ידי כך שאוסף חבורות גלואה ששדות השבת שלהן הם הרחבות נורמליות וסופיות של השדה המקורי מהווה בסיס מקומי של היחידה.
כיוון שההרחבות סופיות, האינדקס שלהן בחבורה כולה סופי - ומכאן שחבורות המנה של החבורה המקורית מעליהן סופיות ודיסקרטיות.
נקבע את יחס ההכלה בין ההרחבות כיחס סדר על חבורות המנה שלהן, ונקבל מערכת פרויקטיבית של חבורות סופיות עם הטופולוגיה הדיסקרטית.
החבורה המקורית היא הגבול ההפוך במערכת.
כל חבורה סופית היא באופן טריוויאלי חבורה פרו-סופית, אם נציידה בטופולוגיה הדיסקרטית.
כל חבורת גלואה המצוידת בטופולוגית קרול היא חבורה פרו-סופית.
יתרה מכך, על ידי הסתמכות על טופולוגית קרול, ניתן להכליל את המשפט היסודי של תורת גלואה גם להרחבות ממימד אינסופי: ההתאמה המוגדרת במשפט נשמרת עבור תת-החבורות הסגורות של חבורת גלואה.
חבורת פרופר היא חבורה פרו-סופית, ומוגדרת כגבול ההפוך במערכת הפרויקטיבית הבנויה על חבורות המנה , כאשר היחס ביניהן מוגדר באופן הבא: אם ורק אם .
לכל חבורה אפשר להגדיר את ההשלמה הפרו-סופית שהיא הגבול הפרויקטיבי של מערכת חבורות המנה הסופיות.
אם חיתוך כל החבורות הנורמליות מאינדקס סופי ב- הוא טריוויאלי, אז ההעתקה משכנת את כתת-חבורה צפופה ב-.
ההשלמה הפרו-סופית היא חבורה בעלת תכונה אוניברסלית - לכל חבורה פרו-סופית והומומורפיזם , אז יש הומומורפיזם , כך ש-
חבורה פרו-סופית G מקיימת את תכונת המניה השנייה אם ורק אם יש בה סדרה יורדת G_i של תת-חבורות נורמליות עם חיתוך טריוויאלי.
בחבורה כזו אפשר להגדיר מטריקה: המרחק בין שני איברים הוא אחד חלקי הסדר של המנה האחרונה G/G_i שבה האיברים עדיין שווים.
כל חבורה פרו-סופית נוצרת סופית מקיימת את תכונת המניה השנייה.
בקטגוריה של חבורות טופולוגיות, מורפיזמים הם כאלו השומרים על המבנה הטופולוגי, ולכן התמונה של מורפיזם היא תת-חבורה סגורה.
בהתאם לכך, המונח "תת-חבורה" מתייחס בדרך כלל לתת-חבורה סגורה.
כל תת-חבורה סגורה של חבורה פרו-סופית היא פרו-סופית, וכל חבורת מנה של חבורה פרו-סופית, ביחס לתת-חבורה נורמלית סגורה, היא חבורה פרו-סופית.
גם המכפלה של חבורות פרו-סופיות היא פרו-סופית, והגבול ההפוך במערכת פרויקטיבית של חבורות פרו-סופיות (אפילו אם אינן סופיות) הוא חבורה פרו-סופית.
משפט נילסן-שרייר קובע שתת-חבורה של חבורה חופשית היא חופשית.
תכונה זו אינה נכונה במלואה עבור חבורות פרו-סופיות.
עם זאת, תת-חבורה (סגורה) של חבורה פרו-סופית חופשית היא חופשית, אם היא פתוחה, ובאופן כללי יותר אם היא תת-חבורה אמיתית פתוחה של תת-חבורה (סגורה) כלשהי; אם היא מכילה את תת-חבורת הקומוטטורים; ואם היא חיתוך אמיתי של שתי תת-חבורות נורמליות (סגורות) כלשהן.
במתמטיקה, חבורה פולי-ציקלית היא חבורה שיש לה סדרה תת-נורמלית עם מנות ציקליות.
אלו הן בדיוק החבורות הפתירות המקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות.
ההגדרה מציעה פרמטר של אורך לחבורות פולי-ציקליות.
חבורות פולי-ציקליות מאורך 1 הן ציקליות.
חבורה פולי-ציקלית מאורך 2 היא מטא-ציקליות (כלומר הרחבה של חבורה ציקלית בחבורה ציקלית).
ראו גם "אינדקס הירש", להלן.
כל חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית (ובפרט כל חבורה אבלית נוצרת סופית) היא פולי-ציקלית.
כל חבורה פתירה סופית היא פולי-ציקלית.
לכל חבורה פולי-ציקלית יש ייצוג סופי.
אנטולי מלצב הוכיח שכל תת-חבורה פתירה של היא פולי-ציקלית; Auslander ו-Swan הוכיחו שגם ההפך נכון: כל חבורה פולי-ציקלית (ואפילו ההולומורף של חבורה פולי-ציקלית) אפשר לשכן בחבורת המטריצות מעל השלמים.
חבורה שיש לה תת-חבורה פולי-ציקלית מאינדקס סופי נקראת פולי-ציקלית למעשה (virtually polycyclic).
לחבורה כזו יש תת-חבורה פולי-ציקלית נורמלית, ולכן היא מהווה הרחבה של חבורה סופית בחבורה פולי-ציקלית.
חבורות כאלה מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות, והן מוצגות סופית.
אינדקס הירש של חבורה פולי-ציקלית הוא מספר הגורמים האינסופיים בסדרה הנורמלית שגורמיה ציקליים.
לכל התת-חבורות הפולי-ציקליות מאינדקס סופי של חבורה יש אותו אינדקס הירש.
למרות שחבורה פולי-ציקלית למעשה אינה בהכרח פתירה, הירש הוכיח שלחבורות כאלה יש סדרה נורמלית סופית שכל המרכיבים שלה סופיים או ציקליים.
חבורות פולי-ציקליות למעשה הן residually finite.
יתרה מזו, הירש הוכיח (1946) שאם כל המנות הסופיות של חבורה כזו הן נילפוטנטיות, אז היא נילפוטנטית בעצמה.
ההשלמה הפרו-סופית של חבורה פולי-ציקלית למעשה, קובעת את החבורה עד כדי מספר סופי של מחלקות איזומורפיזם (Grunewald–Pickel–Segal, 1980).
לחבורות פולי-ציקליות למעשה יש חשיבות מיוחדת בתורת המבנה של אלגברות חבורה.
אלו הן הדוגמאות היחידות שאלגברת החבורה שלהן הוא חוג נותרי או בעל ממד אינג'קטיבי סופי.
חבורה אלגברית היא אובייקט שהוא בו זמנית גם חבורה וגם יריעה אלגברית, כך שההעתקות
הכפל: , המוגדרת על ידי ,
וההפכי: , המוגדרת על ידי ,
הן מורפיזמים (העתקות רגולריות) של יריעות אלגבריות.
יריעות אלגבריות מצוידות בטופולוגיית זריצקי, אך המבנה הזה לא נותן חבורה טופולוגית, שכן טופולוגיית זריצקי על המכפלה לא מסכימה עם טופולוגיית המכפלה.
הטופולוגיה הזו גם לא מבטאת את המבנה הגאומטרי של החבורה.
לעומת זאת אם על השדה מעליו מוגדרת החבורה נתונה טופולוגיה (למשל כאשר ) אז אנו מקבלים טופולוגיה עדינה יותר על החבורה (או ליתר דיוק על קבוצת ה -נקודות שלה ).
אם המציין של הוא 0, אז ניתן להראות ש G יריעה חלקה, ולכן, כאשר , על יש מבנה של חבורות לי.
כל חבורה סופית היא חבורה אלגברית עם הטופולוגיה הדיסקרטית.
עקומים אליפטיים: עקום במרחב הפרויקטיבי עליו מוגדרת פעולת חבורה.
הדוגמאות השימושיות והחשובות ביותר - חבורות אלגבריות ליניאריות: החבורה הליניארית הכללית - חבורת המטריצות ההפיכות מסדר מעל שדה k.
תת-החבורות האלגבריות שלה: (מטריצות בעלות דטרמיננטה 1) (מטריצות אורתוגונליות), (מטריצות אורתוגונליות עם דטרמיננטה 1), (מטריצות אוניטריות) ועוד.
טורוס: חבורת המטריצות האלכסוניות ההפיכות מסדר n.
כל שיכון של חבורה אלגברית בחבורה נקרא "הצגה ליניארית" של החבורה.
חבורה אלגברית שקיימת לה הצגה נאמנה כתת-חבורה סגורה של נקראת חבורה אלגברית ליניארית או "חבורה אלגברית אפינית".
הדרגה של חבורה אלגברית חוסמת את רמת המורכבות שלה.
לפי משפט קלאסי של קמיל ז'ורדן, לכל n יש קבוע N כך שלכל תת-חבורה של יש תת-חבורה נורמלית אבלית מאינדקס N לכל היותר.
נראה דוגמה מפורטת של חבורה אלגברית: .
זו חבורה עם הפעולה של כפל מטריצות.
זו יריעה אלגברית, שניתן להציגה כיריעה הסגורה כאשר אנו מזהים כל מטריצה כ- ואז ; קיומו של מספר t כך ש- שקול לכך ש-.
הפונקציות הרגולריות הבסיסיות על יריעה זו הן המחזירות את הקואורדינטה בשורה ה-i ובעמודה ה-j במטריצה A, וכן הפונקציה (למעשה זו הפונקציה שמחזירה את ה"קואורדינטה" t).
יהיו ו-, אז למשל ולכן כפל מטריצות הפיכות היא העתקה רגולרית.
וקל לראות שגם זו פונקציה רגולרית (השבר שכופל את המטריצה שווה לאחד חלקי הדטרמיננטה ולכן הוא פונקציה רגולרית!), ומכאן שגם פונקציית ההפכי רגולרית.
בסך בכל נובע ש-G היא חבורה שהיא גם יריעה אלגברית כך שפעולות הכפל וההפכי הן פונקציות רגולריות ולכן היא חבורה אלגברית.
תת-חבורה אלגברית H של חבורה אלגברית G היא תת-חבורה מופשטת, שמהווה גם תת-יריעה של G והיא סגורה בטופולוגיית זריצקי.
ניתן להגדיר גם את המנה .
אם H היא תת-חבורה אלגברית של G אז למרחב הקוסטים G/H קיים מבנה יחיד של יריעה קוואזי-פרויקטיבית שעבורו הפעולה של G על G/H היא רגולרית (למעשה, ניתן לזהות את H, כמייצב של וקטור במרחב פרויקטיבי שעליו פועלת G).
אם G היא אפינית ו H תת-חבורה נורמלית אז המנה G/H היא חבורת מנה אפינית - כלומר: חבורה אלגברית ויריעה אלגברית אפינית.
בנוסף רוב מושגי היסוד בתורת החבורת קיימים גם עבור חבורות אלגבריות.
זה כולל את המושגים: הרחבה, מרכז, החבורה הנגזרת, מכפלה ישרה.
כל חבורה סופית היא חבורה אלגברית, ביחס למבנה הדיסקרטי של יריעה אלגברית על קבוצה סופית.
קל לראות שכל חבורה סופית היא גם חבורה ליניארית.
מעל שדה סגור אלגברית אין הבדל בין חבורה סופית וחבורה אלגברית סופית.
מעל שדה כללי יש הבדל אבל הוא מינורי (לחבורה המוגדרת מעל שדה כללי יש מבנה נוסף; אם השדה מושלם מבנה זה מתבטא בפעולת חבורת גלואה האבסולוטית של השדה).
לכן המחקר של חבורות אלגבריות כמעט ולא עוסק בחבורות סופיות.
חבורה אלגברית G נקראת "אי-פריקה" אם כיריעה היא יריעה אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי.
עבור חבורה אלגברית ניתן להראות ש-G היא אי-פריקה אם ורק אם היא קשירה (בטופולוגיית זריצקי).
לכן עבור חבורות אלגבריות בדרך כלל משתמשים במינוחים חבורות קשירות וחבורות אי-פריקות לחלופין.
לעומת זאת, יש מתמטיקאים שמשתמשים במונח "אי-פריקות" ביחס לטופולוגיית זריצקי ואילו במונח "קשירות" ביחס לטופולוגיה
המוגדרת על ידי הטופולוגיה על השדה (בעיקר במקרים ).
לחבורה אלגברית G כמו לכל יריעה אלגברית יש מספר סופי של מרכיבים אי-פריקים.
הרכיב האי-פריק של G המכיל את איבר היחידה מסומן ונקרא identity component.
הרכיב הקשיר של איבר היחידה הוא תת-חבורה נורמלית סגורה של G.
המנה עומדת בהתאמה לקבוצת רכיבי הקשירות של ונקראת חבורת רכיבי הקשירות של .
מכאן מקבלים שכל חבורה אלגבית היא הרחבה של חבורה סופית וחבורה קשירה.
לכן עיקר העיסוק בחבורות אלגברית מתמקד בחבורות קשירות.
חבורה אלגברית קשירה נקראת יריעה אבלית אם בתור יריעה אלגברית היא יריעה שלמה.
זה גורר שהיא גם יריעה פרויקטיבית וגם חבורה קמוטטיבית.
בהקשרים מסוימים מדברים גם על יריעות אבליות לא קשירות.
במקרה כזה, נהוג להוסיף את דרישת הקומוטטיביות כדרישה נוספת משום שהיא לא נובעת אוטומטית מדרישת השלמות.
הפרויקטיביות, נובעת מהשלמות גם במקרה הלא קשיר.
אם שדה ההגדרה הוא אז קבוצת הנקודות של יריעה אבלית (קשירה) איזומורפית כחבורת לי לטורוס מממד זוגי (פעמיים ממד הירעה האבלית).
יריעות אבליות מהוות תחום מחקר חשוב בגאוטריה אלגברית, אולם, מכיוון שהן קומוטטיבוית, הן אינן מהוות מוקד עינין משמעותי מנקודת מבט של תורת החבורות ותורת ההצגות.
למרות שמן יריעות אבליות אינן סוג של יריעות אלגבריות אלא סוג של חבורות אלגבריות.
חבורה נקראת אפינית, אם היא אפינית כיריעה אלגברית.
ניותן להראות כי במקרה זה היא ניתנת לשיכון (כתת-חבורה) ב (עבור איזה שהוא טבעי).
לכן קראים לחבורות כאילו גם חבורות ליניאריות.
לפי משפט המבנה של שבלה כל חבורה אלגברית קשירה היא הרחבה של חבורה ליניארית ויריעה אבלית (כאשר החבורה הליניארית היא תת-חבורה של החבורה האלגברית).
חבורה ליניאריות G נקראת פתירה אם קיימת סדרה יורדת של תת-חבורות נורמליות ב-G כך שהמנות העוקבות הן חבורות קומוטטיביות (בדומה למושג המקביל בתורת החבורות).
הרדיקל (הפתיר) של חבורה ליניארית היא הרכיב הקשיר של איבר היחידה של תת-החבורה הנורמלית הפתירה המקסימלית שלה.
חבורה ליניארית קשירה נקראת פשוטה-למחצה אם הרדיקל הפתיר שלה טריוויאלי.
הרדיקל האוניפוטנטי של חבורה ליניארית הוא תת-החבורה האוניפוטנטית הגדולה ביותר של הרדיקל הפתיר.
חבורה ליניארית שהרדיקל האוניפוטנטי שלה טריוויאלי נקראת חבורה רדוקטיבית.
כל חבורה פשוטה-למחצה היא רדוקטיבית.
חבורה ליניארית קשירה G נקראת פשוטה אם היא לא קומוטטיבית וגם אין לה תת-חבורות נורמליות קשירות סגורות לא טריוויאליות.
היא נקראת כמעט פשוטה אם יש לה מרכז סופי Z והחבורה G/Z היא פשוטה.
חבורה אלגברית קשירה נקראת חבורה אלגברית פשוטת קשר אם היא לא מנה של חבורה אלגברית בתת-חבורה לא טריוויאלית.
זה שקול לכך שהיא פשוטת קשר כיריעה אלגברית (זאת אומרת שהיא לא תמונה של העתקת אטל נאותה שאיננה איזומורפיזם).
אם שדה ההגדרה הוא אז זה גם שקול לכך שקבוצת הנקודות של החבורה היא פשוטת קשר בטופולגיה האנליטית (המושרית מ - )
כל חבורה אלגברית פשוטת קשר היא ליניארית.
עץ מיון של חבורות אלגבריות
חבורה סדורה (משמאל) היא חבורה שמוגדר עליה יחס סדר ליניארי, באופן כזה שאם אז גם .
חבורה היא ניתנת לסידור אם אפשר להגדיר עליה סדר ההופך אותה לחבורה סדורה.
חבורה ניתנת לסידור משמאל אם ורק אם היא ניתנת לסידור מימין.
כל חבורה סדורה היא חבורה חסרת פיתול.
כל חבורה אבלית חסרת פיתול ניתן לסדר.
כל חבורת-קשר (חבורה יסודית של המשלים של קשר) ניתן לסדר.
לכל חבורה בת-מניה הניתנת לסידור יש "מימוש דינמי", כלומר שיכון בחבורת ההומיאומורפיזמים שומרי הסדר של הישר הממשי.
המושג "חבורה סדורה" עשוי להתייחס גם לחבורה עם סדר חלקי (הנשמר תחת כפל מאחד או משני הצדדים).
אחת המחלקות החשובות מסוג זה היא של חבורות שהסדר עליהן מהווה סריג .
המכפלה החופשית של חבורות סדורות ניתנת לסידור (Vinogradov, 1949).
חבורה היא ניתנת לדו-סידור (biorderable) אם יש עליה יחס סדר ליניארי כזה שאם אז לכל מתקיים וגם .
(תכונה זו נשמרת תחת הרחבה מרכזית בתת-חבורה חסרת פיתול).
חבורה היא בעלת אינדקסים מקומית (locally indicable) אם לכל תת-חבורה נוצרת סופית שלה יש הטלה על החבורה הציקלית האינסופית.
כל חבורה הניתנת לדו-סידור היא בעלת אינדקסים מקומית.
כל חבורה בעלת אינדקסים מקומית, ניתנת לסידור (אבל לא בהכרח לדו-סידור).
כל חבורה פתירה (ואפילו אמנבילית) ניתנת לסידור היא בעלת אינדקסים מקומית.
חבורה ניתנת לסידור היא בעלת שורשים יחידים (אם אז ).
חבורה מקיימת את תכונת המכפלה היחידה אם לכל שתי תת-קבוצות לא ריקות יש במכפלה איבר הניתן להצגה כ- באופן יחיד.
כל חבורה ניתנת לסידור היא בעלת תכונת המכפלה היחידה, וההפך אינו נכון.
כל חבורה בעלת תכונת המכפלה היחידה היא חסרת פיתול, וההפך אינו נכון.
עם זאת, חבורה נילפוטנטית חסרת פיתול ניתנת לדו-סידור, ובפרט יש לה תכונת המכפלה היחידה.
חבורה סדורה היא ארכימדית אם כל שני איברים חיוביים שלה הם ברי-השוואה (כלומר אחד מהם קטן מחזקה כלשהי של האחר; זו תכונת ארכימדס).
חבורה סדורה ארכימדית מוכרחה להיות אבלית.
תכונת המכפלה היחידה (הנכונה כאמור בכל חבורה סדורה) גוררת את תכונת האיברים ההפיכים של קפלנסקי (לפיה באלגברת החבורה כל האיברים ההפיכים הם כפולות בסקלר של אברי החבורה).
תכונת האיברים ההפיכים גוררת כי אלגברת החבורה היא תחום, וממילא היא נטולת אידמפוטנטים.
מעל שדה ממאפיין אפס, אם אלגברת החבורה נטולת אידמפוטנטים אז החבורה בהכרח חסרת פיתול.
אפשר לתאר את יחס הסדר דרך קבוצת האיברים החיוביים: חבורה ניתנת לסידור משמאל אם יש בה תת-קבוצה P הסגורה לכפל כך שהחבורה מתפרקת לאיחוד זר (כאשר ).
במקרה זה הסדר מוגדר לפי הכלל: אם ורק אם .
חבורה ניתנת לדו-סידור אם יש בה קבוצה נורמלית כזו.
חבורה G ניתנת לסידור משמאל אם ורק אם לכל רשימה של איברים לא טריוואליים אפשר להחליף חלק מהאברים בהפכיים שלהם כך שתת-החבורה-למחצה הנוצרת אינה מכילה את היחידה (Navas, 2010).
הדרגה של חבורה אבלית סדורה
תת-חבורה היא קמורה אם לכל מתקיים .
אם תת-חבורה קמורה, על המנה מושרה יחס סדר, ההופך גם אותה לחבורה סדורה.
אוסף תת-החבורות הקמורות מהווה שרשרת, שגובהה הוא הדרגה .
בחבורה הסדורה שרשרת תת-החבורות הקמורות היא , ודרגתה היא 1. לחבורה אבלית סדורה יש דרגה 1 אם ורק אם ניתן לשכן אותה בחבורה החיבורית של שדה המספרים הממשיים.
באופן כללי יותר, כל חבורה אבלית סדורה מדרגה n אפשר לשכן ב- עם הסדר הלקסיקוגרפי.
חבורה סדורה היא דיסקרטית אם יש לה שיכון דיסקרטי ב- (עם הטופולוגיה הסטנדרטית); החבורות הדיסקרטיות היחידות הן מהצורה (עם הסדר הלקסיקוגרפי).
מכאן מתקבלת דיכוטומיה: חבורה אבלית סדורה היא או תת-חבורה של , או שהיא מכילה עותק של (עם הסדר הלקסיקוגרפי).
החבורה האבלית , שגם היא סדורה, נקראת הסגור החילוקי (divisible hull) של .
הדרגה של הסגור החילוקי שווה לזו של החבורה המקורית.
אלגברה סדורה (מעל שדה סדור) הוגדרה על ידי Kopytov ב-1972.
חבורה מפותלת (מאנגלית: Torsion Group) היא חבורה בה לכל איבר יש סדר סופי.
כל חבורה סופית היא מפותלת, אך קיימות גם חבורות אינסופיות מפותלות.
בעיית ברנסייד עוסקות בחבורות מפותלות נוצרות סופית.
בעיות נוספות בנושא זה הן אודות מציאת חסמים לסדרים ולאקספוננט של חבורות מוכרות.
חבורה נקראת מפותלת אם אין לה איברים מסדר אינסופי.
כלומר, לכל קיים כך ש-.
עבור חבורה מפותלת, מגדירים את האקספוננט בתור הכפולה המשותפת המינימלית של סדרי האיברים בחבורה.
האקספוננט יכול להיות אינסוף; במקרה והוא סופי, זהו המספר הנמוך ביותר המקיים לכל .
לכל חבורה אבלית , מגדירים את תת-החבורה המפותלת שלה, בתור תת-החבורה המכילה את כל האיברים מסדר סופי.
חבורה היא חסרת פיתול אם תת-החבורה המפותלת שלה טריוויאלית.
כל חבורה סופית היא מפותלת; האקספוננט שלה מחלק את סדר החבורה.
כל חבורת פרופר היא חבורת פיתול אינסופית.
חבורת בראואר של כל שדה (ואפילו חוג קומוטטיבי) היא חבורת פיתול.
במתמטיקה, ספציפית בתורת החבורות, חבורה חליקה היא חבורה אבלית בה אפשר לחלק כל איבר בכל מספר טבעי.
חבורות חליקות הן חבורות חשובות בהבנת תורת החבורות האבליות, וזאת בעיקר משום שכל חבורה אבלית היא סכום ישר של חבורה חליקה וחבורה מצומצמת , ומשום שכל חבורה אבלית אפשר לשכן בחבורה חליקה.
חבורה אבלית היא חליקה אם לכל איבר יש שורש מכל סדר.
בכתיב חיבורי, הכוונה היא שלכל ולכל טבעי יש עבורו .
כלומר, לכל טבעי מתקיים .
עבור ראשוני, אומרים כי חבורה היא p-חליקה אם לכל יש עבורו .
באופן דומה לחליקות, חבורה היא p-חליקה אמ"מם ורק אם .
מהגדרה זו מקבלים גם תנאי שקול נוסף לחליקות - חבורה היא חליקה אם ורק אם היא p-חליקה לכל ראשוני.
חבורה היא חבורה מצומצמת אם אין לה אף תת-חבורה חליקה פרט לתת-החבורה הטריוויאלית.
אם G חליקה אז כל מנה שלה היא חליקה.
סכום ישר של חבורות הוא חליק אם ורק אם כל מרכיב שלו הוא חליק.
חבורה אבלית נוצרת סופית אינה יכולה להיות חליקה (אלא אם היא טריוויאלית).
חבורה אבלית היא חליקה אם ורק אם אין לה תת-חבורה מקסימלית.
תת-חבורה חליקה היא מחובר ישר בחבורה כולה, כלומר, קיימת תת-חבורה כך ש-.
גם להפך: אם D מחובר ישר בכל חבורה אבלית המכילה אותה, אז היא חליקה.
הרציונליים עם פעולת החיבור היא חליקה.
באופן כללי יותר, החבורה החיבורית של מרחב וקטורי מעל היא חליקה.
לכל ראשוני , החבורה עם פעולת החיבור מודולו 1 היא חליקה.
חבורה זו נקראת חבורת-, או .
החבורה הכפלית של המרוכבים היא חליקה.
כל מנה של חבורה חליקה היא חליקה.
לכל חבורה אבלית יש תת-חבורה חליקה מקסימלית (כזו שמכילה את כל תת-החבורות החליקות).
מכאן שכל חבורה אבלית אפשר לפרק באופן יחיד לסכום ישר של חבורה חליקה וחבורה מצומצמת.
כל חבורה חסרת פיתול וחליקה היא מרחב וקטורי מעל (ולכן היא סכום ישר של עותקים של החבורה החיבורית ).
לחבורות מפותלות יש מחובר ישר שהוא או ציקלי מסדר ראשוני או חבורת- עבור ראשוני כלשהו, ומכאן שחבורה מפותלת ניתנת להפרדה לא טריוויאלית אם ורק אם היא ציקלית מסדר חזקה של ראשוני או חבורת-.
במקרה המיוחד בו החבורה היא חבורת-p, מקבלים גם כי כל תת-חבורה ציקלית מסדר מקסימלי היא מחוברת ישרה של החבורה כולה.
אם החבורה היא חבורת-p שלכל איבר אפשר להוציא שורש , בהכרח יש לה תת-חבורה שהיא .
במקרה של חבורת-p שהיא גם חליקה, מקבלים כי החבורה היא סכום ישר של חבורות-.
בעזרת כל אלו אפשר להגיע למשפט פירוק כללי לחבורות חליקות.
כל חבורה חליקה G היא סכום ישר של חבורה חליקה ומפותלת, וחבורה חליקה וחסרת פיתול.
המרכיב הראשון הוא תת חבורת הפיתול של G, שמסמנים ב-, והוא יחיד (היינו, מופיע בהכרח כמרכיב המפותל בכל פירוק כנ"ל).
המרכיב השני יחיד עד כדי איזומורפיזם.
כל חבורה מפותלת מתפרקת לסכום ישר של מרכיבים פרימריים.
המרכיב ה-p-פרימרי של חבורה חליקה הוא סכום ישר של עותקים של החבורה (שמסמנים ב-).
הצגה זו אמנם אינה יחידה, אבל מספר המרכיבים מכל סוג קבוע.
בספרות המתמטית נעשו מספר ניסיונות להכליל את המושג של חבורה חליקה למודולים.
ההגדרות הבולטות שניתן למצוא בספרות למודול חליק מעל חוג הן:
לכל סקלר (לעיתים נדרש גם ש- אינו מחלק אפס, ולעיתים נדרש גם ש- יהיה תחום).
לכל אידיאל ראשי שמאלי , כל הומומורפיזם מ- ל- אפשר להרחיב להומומורפיזם מ- ל-.
לכל אידיאל שמאלי נוצר סופית , כל הומומורפיזם מ- ל- אפשר להרחיב להומומורפיזם מ- ל-.
כשבוחנים את הגדרות אלו, יש לשים לב שלעיתים הגדרות אלו מתלכדות אחת עם השנייה אם עם הגדרות אחרות בספרות.
לדוגמה אם הוא תחום, שלוש ההגדרות מתלכדות.
אם הוא חוג ראשי שמאלי, אז ההגדרה של מודול חליק מתלכדת עם ההגדרה של מודול אינג'קטיבי.
בנוסף אם הוא תחום קומוטטיבי, אז המודולים האינג'קטיביים מתלכדים עם המודולים החליקים אם ורק אם הוא חוג דדקינד.
במתמטיקה, ובפרט בתורת החבורות, חבורה אוליגומורפית היא חבורה הפועלת על מרחב סופי או בן-מנייה , כך שמספר המסלולים בפעולתה הטבעית (לפי רכיב) על הוא סופי לכל טבעי.
חבורות אוליגומורפיות מכלילות חבורות של תמורות בכך שהן מתירות למרחב שהן פועלות עליו להיות אינסופי, ובכך מאפשרות להכליל תכונות חשובות גם למקרה האינסופי.
לחבורות אוליגומורפיות יש יישומים במספר תחומים במתמטיקה, ביניהם תורת המודלים וקומבינטוריקה ספרתית.
תהי חבורת תמורות הפועלת על קבוצה סופית או בת-מנייה .
תיקרא חבורה אוליגומורפית אם לכל טבעי, ל- יש מספר סופי של מסלולים בפעולה שלה על , כאשר הפעולה היא לפי רכיבים, כלומר .
כל חבורות תמורות טרנזיטיבית סופית ניתן לפרק למרכיבים פרימיטיביים במספר סופי של צעדים.
אי אפשר להכליל זאת באופן ישיר למקרה האינסופי, אבל התנאי שחבורה אוליגומורפית מקיימת מבטיח שאפשר לפרק אותה לרכיבים פרימיטיביים בזמן סופי (כל רכיב בחלוקה של שנשמר תחת הוא איחוד של מסלולים, ויש מספר סופי של מסלולים).
מכפלת זר היא מכפלה חשובה של חבורות תמורות (שאפשר להגדיר לחבורות באופן כללי).
תהי חבורת תמורות על , ו- חבורת תמורות על .
נגדיר , נתייחס אליו כאל סיבים של , ונסמן .
לכל ניקח עותק של הפועל על .
כעת המכפלה הקרטזית פועלת על לפי רכיב, והיא תת-חבורה נורמלית.
פועלת גם היא על על ידי הפעלת תמורות על הסיבים .
נגדיר את מכפלת הזר להיות המכפלה החצי-ישרה .
תיקרא הבסיס של המכפלה ו- תיקרא ראש המכפלה.
אם חבורה טרנזיטיבית אבל לא פרימיטיבית הפועלת על , יהי בלוק של הנשמר תחת פעולת , ותהי חבורת התמורות המושרה מהמייצב שלו.
תהי קבוצת הבלוקים ו- חבורת התמורות המושרה על דרך פעולת .
אז משוכנת באופן טבעי כחבורת תמורות במכפלת הזר .
מכפלת זר, יחד עם מכפלה ישרה, מאפשרת לבנות חבורות אוליגומורפיות מיחידות קיימות.
הסימון כאשר שמופיע בהגדרה, הוא אוסף הסדרות מאורך עם חזרות ועם חשיבות לסדר.
מתברר שדרישת סופיות המסלולים על הסדרות, שקולה לסופיות של מספר המסלולים על חליפות מאורך (בלי חזרות) או צירופים מאורך (בלי חזרות ובלי חשיבות לסדר).
הטענה הזו נובעת מכמה חסמים על מספר המסלולים מכל סוג, שאפשר להוכיח בעזרת טיעונים קומבינטוריים פשוטים.
מסמנים ב-, ו- את מספר המסלולים של ׂG על n-צירופים, n-חליפות ו-n-סדרות, מימין לשמאל בהתאמה.
קל לראות כי , שהרי כל צירוף בן איברים ניתן לסדר ב- חליפות, הנמצאות בין 1 ל- מסלולים שונים.
לכן סופי אם ורק אם סופי.
בנוסף מתקיים כי , כאשר הוא מספר סטרלינג מסוג שני.
לכן סופי לכל אם ורק אם סופי לכל .
בעזרת פונקציות מספר המסלולים ניתן להכליל בקלות תכונות מוכרות.
חבורה אוליגומורפית G תיקרא n-הומוגנית אם , ו-n-טרנזיטיבית אם .
אם G היא n-הומוגנית או n-טרנזיטיבית לכל n טבעי, G תיקרא על-הומוגנית או על-טרנזיטיבית בהתאמה.
(הגדרות אלו מתיישבות עם הגדרות מוכרות).
לפי החסם על מספרי המסלולים, כל חבורה על-טרנזיטיבית היא על-הומוגנית.
לדוגמה, החבורה הסימטרית היא על-טרנזיטיבית (כל תמורה נמצאת בה) ולכן גם על-הומוגנית.
חבורת התמורות ששומרות על הסדר של , המסומנת , היא על-הומוגנית אבל לא על-טרנזיטיבית.
יהיו , שני n-צירופים, נסדרם כך שיהיו עולים ממש.
נוכל לשלוח כל ל-, וכל קטע לקטע על ידי כפל והזזה במספר רציונלי מתאים.
נרחיב את התמורה לכל וקיבלנו איבר של החבורה.
אז , זה נכון לכל n ולכן החבורה על-הומוגנית.
מצד שני היא לא על-טרנזיטיבית, כי תמורה שומרת סדר לא יכולה להחליף בין שני מספרים שונים, ולכן .
עבור חבורה על-טרנזיטיבית, כמסקנה מהחסם הקודם מתקיים , כאשר הוא מספר בל.
פונקציות מספר המסלולים הן מונוטוניות עולות.
לכל חבורה אוליגומורפית, , ומתקיים שוויון אם ורק אם .
טענה קצת פחות טריוויאלית היא שמתקיים גם .
אם , חבורות אוליגומורפיות, אז , וכן , כי מורידים איברים ב-H שמצמצמים את מספר המסלולים.
יתרה מכך, , כלומר קצב הגידול של מספר המסלולים בתת-חבורה הוא גדול יותר.
ניתן לנסח באלגנטיות טענות על פונקציות מספר המסלולים על ידי שימוש בפונקציות יוצרות.
עבור אין חשיבות לסדר, ולכן לכל G ניתן להשתמש בפונקציה היוצרת .
עבור יש חשיבות לסדר, ולכן אפשר להתבונן בפונקציה היוצרת המעריכית .
עבור מכפלה ישרה, מתקיים , וכן .
לדוגמה, אם H על-הומוגנית, אז , כלומר היא סדרת הסכומים החלקיים של .
בפרט, אם S היא החבורה הסימטרית, ניתן להוכיח (באינדוקציה על k) כי .
עבור מכפלת זר, המצב מורכב יותר.
בניגוד למכפלה ישרה, את אי אפשר לחשב באופן ישיר מהפונקציות המתאימות של המרכיבים במכפלת זר, אבל ניתן לחשב זאת בכלים קומבינטוריים.
סדרות קומבינטוריות מפורסמות מתבררות להיות פונקציות מספר המסלולים של חבורות אוליגומורפיות.
למשל, הוא מספר פיבונאצ'י ה-n, ו- כאשר הוא מספר החלוקות של n, ו-S היא החבורה הסימטרית.
ניתן להגדיר באופן טבעי טופולוגיה על חבורת התמורות הפועלות על כאשר הוא בן-מנייה.
נאמר שסדרה של תמורות מתכנסת ל- נקודתית אם ורק אם לכל k טבעי, עבור כל n גדול מספיק, מתקיים .
כעת ניתן להגדיר על את הטופולוגיה של התכנסות נקודתית.
(כלומר הטופולוגיה המושרית על התמורות של מטופולוגיית המכפלה של ).
בטופולוגיה הזו פעולת הכפל וההיפוך הן רציפות, ולכן כל חבורה אוליגומורפית G היא חבורה טופולוגית.
G פתוחה ב- אם ורק אם היא מכילה את המייצב (הנקודתי) של קבוצה סופית.
הקבוצות , כאשר , הן חליפות מאותו גודל, מהוות בסיס לטופולוגיה.
אלו קוסטים של מייצבים (אם החליפות נמצאות באותו מסלול, אחרת זו קבוצה ריקה).
אפשר להגדיר מטריקה על חבורת התמורות באופן הבא –
המטריקה הזו משרה את הטופולוגיה שהגדרנו, ומשמעותה – שתי תמורות קרובות יותר ככל שהן מסכימות על רישא ארוכה יותר.
מרציפות ההיפוך, גם המטריקה משרה את אותה טופולוגיה.
היתרון שלה הוא שהיא הופכת את למרחב מטרי שלם.
לכל תת-חבורה של G יש טופולוגיה המושרה מהטופולוגיה של G.
העובדה ש- הוא מרחב מטרי שלם מאפשרת להשתמש במשפט הקטגוריה של בר, משפט שימושי להוכחות לא קונסטרוקטיביות בטופולוגיה.
לחבורות אוליגומורפיות יש שימושים רבים בתורת המודלים.
הודות למשפט לוונהיים-סקולם היורד, מותר להניח כי הוא בן-מנייה מבלי לאבד טענות חזקות.
אם G חבורת תמורות מעל , אז יש מבנה מעל שפה יחסית (חסרת קבועים) M כך שמתקיים , וכן ל-G ול- יש את אותם מסלולים על , לכל n.
נוכל לפרק את למסלולים ,.
לכל מסלול נגדיר יחס עם n משתנים אם .
כעת נפרש את מעל המודל (איחוד המסלולים) להיות .
כעת, כל -יה המספקת את עושה זאת לערך יחיד של , לכן אם ו- נמצאים באותו מסלול תחת , הם מספקים את אותו ולכן נמצאים באותו מסלול ב-G.
מבנה זה נקרא המבנה היחסי הקנוני של G.
המודל היחסי הקנוני של חבורה אוליגומורפית שופך אור נוסף על הטופולוגיה שלה.
תת-חבורה G של היא סגורה אם ורק אם עבור מבנה M על .
לא כל שכן, הסגור של חבורת תמורות G בטופולוגיה של , הוא חבורת האוטומורפיזמים של המבנה הקנוני שלה.
פיתוח הכלים של חבורות אוליגומורפיות בתורת המודלים ובטופלוגיה מובילים לתוצאות חזקות.
אפיון אחד חשוב הוא גרסה של משפט Ryll-Nardzewski - מבנה בן-מנייה M הוא -קטגורי (כלומר מבנה מעל תורה -קטגורית) אם ורק אם היא חבורה אוליגומורפית.
במתמטיקה, ובמיוחד בתורת החבורות, חבורה סופיתית (sofic; נהוג לכנות בעברית 'סופית' במלעיל) היא חבורה שניתנת לקירוב על ידי חבורות סופיות בצורה מסוימת.
המושג הוגדר לראשונה על ידי מיכאיל גרומוב ובנימין ווייס.
מקור השם (שהוצע על ידי וייס) בשם התואר העברי 'סופי'.
תהי החבורה הסימטרית על n עצמים.
נגדיר מרחק המינג בין תמורות בתור .
תהי חבורה ותהי תת-קבוצה סופית.
יהי ; פונקציה היא -כמעט הומומורפיזם אם מתקיים:
ישנו כך שלכל שונים זה מזה,
כעת, סופיתית אם לכל תת-קבוצה סופית ולכל ישנו -כמעט הומומורפיזם .
תהי מולטי קבוצה של מספרים טבעיים ויהי על-מסנן לא ראשי על .
במכפלה הישרה נביט בתת-החבורה של אותן סדרות תמורות שהגבול של מרחק המינג שלהן ביחס ל- מהאיבר הנייטרלי הוא אפס, דהיינו, .
על חבורת המנה (המכונה על-מכפלה מטרית) מושרית פונקציית מרחק המינג ('גבול של מרחקי המינג ביחס ל-').
חבורה היא סופיתית (ביחס להגדרה שלעיל) אם ורק אם היא משוכנת בחבורת מנה כזו.
כל חבורה אמנבילית (ובפרט, כל חבורה סופית וכל חבורה פתירה) היא סופיתית.
כל חבורה סופית שאריתית (ובפרט, חבורות חופשיות) היא סופיתית.
מכפלה ישרה ותתי-חבורות של חבורות סופיתיות היא סופיתית.
הרחבת HNN של חבורה סופיתית ביחס לחבורה אמנבילית היא סופיתית.
אומרים כי חבורה משוכנת מקומית בחבורות סופיות (LEF - locally embeddable into finite groups) אם לכל תת-קבוצה סופית ישנה פונקציה חד-חד-ערכית לתוך חבורה סופית כך שלכל מתקיים כי ("הומומורפיזם חלקי").
באופן שקול, חבורה היא LEF אם ורק אם היא משוכנת בעל-מכפלה (לא מטרית) של חבורות סופיות.
ניתן להרחיב את ההגדרה למשפחות אחרות של חבורות, למשל, LEA - locally embeddable into amenable groups (כאשר החבורות אמנביליות אך לא בהכרח סופיות).
כל חבורה LEA (ולכן כל חבורה LEF) היא סופיתית, אך ההפך אינו נכון.
מן הסעיף הקודם נובע כי כל חבורה סופית מקומית (כזו שכל תת-חבורה נוצרת סופית שלה היא סופית) וכל חבורה אמנבילית מקומית (מוגדר באופן דומה) היא סופיתית.
לא ידוע האם קיימת חבורה שאינה סופיתית.
בפרט, לא ידוע האם חבורת תומפסון F היא סופיתית, והאם חבורת ברנסייד חופשית (עבור גדולים דיים) סופיתית.
אוטומט תאי מעל חבורה הוא פונקציה (כאשר אלפבית סופי) שהיא רציפה (ביחס לטופולוגיית המכפלה, והטופולוגיה הדיסקרטית של ) ואקוויוריאנטית לפעולת , היינו, כאשר פועלת על אוטמט תאי באמצעות הזזת האינדקסים.
חבורה היא סרג'נקטיבית אם כל אוטומט תאי מעליה שהוא חד-חד-ערכי, הוא גם על.
מושג זה הוגדר על ידי גוטשלק, ששיער כי כל חבורה היא סרג'נקטיבית; גרומוב ווייס הוכיחו כי חבורה סופיתית היא סרג'נקטיבית, ולפיכך דוגמה נגדית להשערת גוטשלק תהווה בפרט חבורה לא סופיתית.
נאמר כי חוג הוא סופי ישר (directly finite), או סופי-דדקינד, אם כל שני איברים בו המקיימים מקיימים גם .
קפלנסקי שיער כי אלגברת החבורה של כל חבורה היא סופית ישרה.
אלק וסבו הוכיחו את השערת קפלנסקי לחבורות סופיתיות ומכאן שאלגברות החבורה של חבורות סופיתיות הן stably finite.
חבורה היא סופיתית חלשה אם היא משוכנת בעל-מכפלה מטרית (בדומה לבנייה שתוארה לעיל עבור מרחק המינג על חבורות תמורות) של אוסף כלשהו של חבורות סופיות עם מטריקות בי-אינווריאנטיות.
חבורה היא סופיתית ליניארית אם היא משוכנת בעל-מכפלה מטרית של חבורות מטריצות כאשר את מקומו של מרחק המינג תופסת הדרגה המנורמלת: .
כל חבורה סופיתית היא סופיתית ליניארית, וכל חבורה סופיתית ליניארית היא סופיתית חלשה; דוגמות נגדיות בכיוונים ההפוכים אינן ידועות.
ההגדרה האחרונה מזמינה הגדרה אנלוגית של אלגברה סופיתית ליניארית, ואמנם, חבורה היא סופיתית ליניארית אם ורק אם אלגברת החבורה שלה היא סופיתית ליניארית.
חבורה נקראת היפרלינארית אם היא משוכנת בעל-מכפלה מטרית של חבורות אוניטריות, המצוידות במטריקת הילברט-שמידט המנורמלת: .
כל חבורה סופיתית היא היפרלינארית.
קיימות חבורות שלא משוכנות בעל-מכפלה מטרית של חבורות אוניטריות כאשר מציידים את החבורות האוניטריות במטריקת הילברט-שמידט לא מנורמלת (נקראת גם מטריקת פרובניוס): .
במתמטיקה, חבורה למחצה שאינה קומוטטיבית בשום מקום היא חבורה למחצה S כך שלכל a ו-b ב-S, אם ab = ba אז a = b.
חבורה למחצה S אינה קומוטטיבית בשום מקום אם ורק אם כל שני איברים של S הם הופכיים זה לזה (במובן החלש).
אפיון של חבורות למחצה שאינן קומוטטיביות בשום מקום
חבורות למחצה שאינן קומוטטיביות בשום מקום ניתן לאפיון בכמה דרכים שונות.
אם S היא חבורה למחצה, התנאים הבאים שקולים:
S אינה קומוטטיבית בשום מקום.
עבור כל a ו- b ב-S, מתקיים: aba=a.
עבור כל a, b ו- c ב-S, מתקיים: a²=a וגם abc=ac.
במתמטיקה, ובפרט בתורת החבורות האלגבריות, חבורה אלגברית ליניארית היא תת-חבורה אלגברית סגורה של החבורה הליניארית הכללית.
חלק גדול מתורת החבורות האלגבריות מוקדש לעיסוק בחבורות אלגבריות ליניאריות.
בפרט רוב תורת ההצגות של חבורות אלגבריות מתמקדת בחבורות אלגבריות ליניאריות.
דוגמאות רבות של יריעות אלגבריות מבוססות על חבורות אלגבריות ליניאריות.
כמו כן בניות רבות של חבורות, חבורות טופולוגיות וחבורות לי מבוססות על חבורות אלגבריות ליניאריות.
מעל שדה סגור אלגברית, ניתן להגדיר חבורה אלגברית ליניארית באופן יחסית אלמנטרי (לא דורש את מושג היריעה האלגברית והחבורה האלגברית באופן כללי) כדלקמן:
יהי שדה סגור אלגברית למשל שדה המספרים המרוכבים.
תת-קבוצה של מרחב המטריצות מעל נקראת חבורה אלגברית ליניארית אם מתקיים
היא מכילה את מטריצת היחידה
היא חבורה ביחס לכפל מטריצות
קיימים פולינומים ב- משתנים, כך שאם אנו חושבים על המשתנים שלהם בתור מקדמי מטריצה אז אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות שמהווים מטריצות הפיכות הוא .
החיסרון של הגדרה זו הוא שהיא דורשת שיכון ספציפי של החבורה במרחב המטריצות.
כמו כן הגדרה זו מזהה בין החבורה האלגברית (שהיא למעשה יריעה אלגברית) לאוסף הנקודות שלה (שהוא קבוצה).
לכן היא תקפה רק לשדה סגור אלגברית.
ניתן להגדיר את המושג חבורה אלגברית ליניארית באופן אבסטרקטי כמקרה פרטי של חבורה אלגברית.
אוסף המטריצות ההפיכות מעל הוא תת-קבוצה של מרחב המטריצות המהווה מרחב ליניארי מממד .
תת-קבוצה זאת היא קבוצה פתוחה בטופולוגיית זריצקי.
מכאן שיש על קבוצה זו מבנה טבעי של יריעה אלגברית.
כפל מטריצות מגדיר מבנה של חבורה אלגברית על יריעה זאת.
החבורה הליניארית הכללית מעל השדה .
חבורה אלגברית ליניארית היא חבורה אלגברית שאיזומורפית לתת חבורה סגורה של , ז"א תת-יריעה סגורה של שמהווה תת-חבורה.
חבורה אלגברית אפינית היא חבורה אלגברית שבתור יריעה אלגברית מהווה יריעה אלגברית אפינית.
קל לראות שכל חבורה אלגברית ליניארית היא אפינית.
משפט: אם חבורה אלגברית אז היא ליניארית אמ"ם היא אפינית.