tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
את המטריצה ההופכית של מטריצה הפיכה מסדר 2 ניתן להציג באופן כללי על ידי הנוסחה הבאה:
זהו מקרה פרטי של הנוסחה הנכונה לכל מטריצה:
כאשר היא המטריצה המצורפת ל-ו-היא מטריצת היחידה.
כאשר הדטרמיננטה אינה אפס מתקבל מהנוסחה, על ידי העברת אגפים, שהמטריצה ההופכית היא המטריצה המצורפת חלקי הדטרמיננטה:
דרך נוספת למציאת מטריצה הפיכה היא לשרשר את מטריצת מימין למטריצה (מטריצה כזו נקראת לפעמים מטריצה מורחבת) ולמצוא קומבינציה ליניארית של השורות אשר תניב את המטריצה .
חיסור השורה הראשונה כפול 2 מהשורה השנייה, וחיבור השורה הראשונה לשורה השלישית:
חיבור השורה השנייה לראשונה, וחיסור השורה השנייה כפול 2 מהשורה השלישית:
חיבור השורה השלישית לשורה הראשונה, וחיסור השורה השלישית מהשורה השנייה:
יש להדגיש כי לא כל המטריצות הפיכות ואפשר לראות זאת באמצעות השיטה הזו.
המטריצה האחרונה אליה הגענו אינה ניתנת להפיכה למטריצה מן הסוג ועל כן המטריצה היא בלתי הפיכה.
הוכחה לשיטת הבלוקים: נשים לב שביצוע סדרת פעולות על שורות מטריצה (דירוג מטריצות) שקול לכפל במטריצה הפיכה B.
מאחר שמבצעים את אותן פעולות על A ו-I מקבלים: אבל אם מגיעים ל- הרי ש- וזו בדיוק המטריצה המתקבלת בבלוק הימני (כלומר: ).
כלומר אם אחד מתקיים, כולם מתקיימים:
אינה מחלק אפס בחוג המטריצות הריבועיות.
(כלומר, לכל מטריצה , מתקיים )
(כלומר, דטרמיננטת המטריצה שונה מ-0).
(כלומר, דרגת המטריצה שווה ל-n).
שקולת שורות ל-(כלומר, ניתן להגיע מאל באמצעות פעולות אלמנטריות).
היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.
למערכת המשוואות הליניאריות קיים רק פתרון אחד והוא הפתרון הטריוויאלי, כלומר (בניסוח אחר: מרחב הפתרונות מנוון).
למערכת המשוואות הליניאריות קיים פתרון לכל וקטור עמודה מסדר (פתרון זה יהיה יחיד).
עמודות המטריצה הן בלתי תלויות ליניארית.
שורות המטריצה הן בלתי תלויות ליניארית.
0 אינו ערך עצמי של המטריצה.
ההעתקה הליניארית מעבירה בסיס לבסיס.
ההעתקה הליניארית היא חד חד ערכית.
באופן שקול, הגרעין טריוויאלי ()
ממד מרחב השורות של A הוא n.
ממד מרחב העמודות של A הוא n.
מאפסת פולינום עם מקדם חופשי שונה מ-0.
יהיו A ו-B מטריצות הפיכות.
אם מטריצה הפיכה גזירה לכל (זוהי מטריצה התלויה בפרמטר t) אזי
לפי מה שכתוב לעיל, ניתן להציג את קבוצת כל המטריצות ההפיכות כקבוצת המטריצות שהדטרמיננטה שלהן לא מתאפסת:
מתכונות הכפליות של הדטרמיננטה (דטרמיננטה של מכפלה היא מכפלת הדטרמיננטות), או משיקולים כללים לגבי הפיכות בחוגים, מכפלת שתי מטריצות הפיכות היא מטריצה הפיכה - כלומר קבוצה זו סגורה תחת כפל.
לעומת זאת, חיבור וחיסור מטריצות הפיכות לא יניב בהכרח מטריצה הפיכה.
מסמנים את קבוצת כל המטריצות ההפיכות והיא נקראת החבורה הליניארית הכללית מעל השדה (ביחס לכפל מטריצות).
קבוצה זו היא אכן חבורה, לא קומוטטיבית, עם פעולת כפל מטריצות.
מבחינה טופולוגית קבוצה זו היא קבוצה פתוחה, כיוון שהיא מתקבלת כהעתקה ההפוכה של פונקציית הדטרמיננטה (שהיא פונקציה רציפה), של הקבוצה הפתוחה .
קבוצה זו צפופה במרחב המטריצות.
בגאומטריה דיפרנציאלית, קבוצה זו היא יריעה חלקה, ואף אנליטית מממד כאשר או .
בנוסף, יחד עם פעולת כפל מטריצות, קבוצה זו מהווה חבורת לי.
מטריצה נקראת הפיכה משמאל אם קיימת מטריצה כך ש .
ההופכית השמאלית אינה נקבעת ביחידות אם אינה ריבועית.
בדומה, מטריצה נקראת הפיכה מימין אם קיימת מטריצה כך ש .
מטריצה שהפיכה גם מימין וגם משמאל היא מטריצה הפיכה, ובפרט היא ריבועית.
מטריצה שהפיכה רק מצד אחד אינה ריבועית.
מושג המטריצה ההופכית הוכלל על ידי אליקים מור ורוג'ר פנרוז עבור מטריצות שאינן בהכרח ריבועיות; ראו .
מטריאליזם (בעברית: חוֹמרנוּת) היא גישה פילוסופית, אשר רואה בחומר את המציאות היחידה הקיימת, המרכיבה ומפעילה את היקום.
זו גישה מנוגדת לרוחניות הרואה את היקום כמורכב גם מישויות רוחניות ולאידיאליזם הרואה בחומר עצמו רק אידיאה או מושג (concept).
הדוגל בהשקפה הפילוסופית הזאת מכונה מטריאליסט.
הלשונאי והבלשן יצחק אבינרי הציע תחת המילה מטריאליסט את המילה גשמתן.
למטריאליזם ולפילוסופיה המערבית יש שורשים שווים.
הפילוסופים המכונים פרה-סוקרטים והנחשבים למייסדי הפילוסופיה המערבית, היו ביסודם מטריאליסטים.
הם ראו את העולם כמורכב מאחד או משילוב של חלק או של כל ארבעת החומרים הבראשיתיים - מים, אדמה, אש ואוויר.
אחד מהם היה האטומיסט דמוקריטוס שטען שכל הקיים מורכב מחלקיקים קטנים ובלתי ניתנים לחלוקה - אטומים - וזה כולל את האדם עצמו.
בין האטומים קיים ריק בלבד.
אפילו הנפש או רוח האדם מורכבת מאטומים קטנים וחלקים החודרים לתוך גוף האדם ונותנים לו חיים.
מכאן שדמוקריטוס שלל קיום כל ישות שאינה חומרית.
פילוסוף מטריאליסטי יווני נוסף היה אפיקורוס (EPICURUS) שחי במאות 4-3 לפנה"ס.
הוא טען שקיימים "גופים" וביניהם ריק.
הגופים יכולים להיות מורכבים או פשוטים, כמו למשל האטומים.
היות שהמרחב הוא אינסופי גם כמות האטומים היא אינסופית.
האטומים הללו נעים ומתנגשים ביניהם ומהתנגשויות אלו נוצרים הגופים המורכבים השונים.
אפיקורוס אינו שולל את מציאות הנפש אך טוען שגם היא חומרית, מורכבת מתערובת של אד מיוחד וחום המרחף בין אטומי הגוף.
מתוך הגופים נפלטים אטומים הפוגעים באברי החישה שלנו וגורמים לרשמי החושים כמו ראייה או שמיעה.
עם מותו של הגוף, לטענתו, האטומים נפרדים ואדי הנפש נעלמים.
פילוסוף אחר, הרקליטוס אמר: "כל דבר קיים ואינו קיים היות שכל דבר הוא בזרימה מתמדת, בשינוי מתמיד, נוצר וחולף".
על כן פילוסופים אלו היו לא רק מייסדי המטריאליזם אלא גם מבשרי המטריאליזם הדיאלקטי .
הנציג הבולט של המטריאליזם הרומי הוא הפילוסוף והמשורר לוקרטיוס שחי במאה הראשונה לפני הספירה.
כמתנגד חריף לאמונה באלים, הוא ביסס את המטריאליזם שלו כהנגדה לדת.
לדבריו, הסדר בעולם הוא מקרי היות שהאטומים יכולים להתנגש ביניהם וליצור גופים לפי אין ספור אפשרויות של סדר.
הוא האמין בקיום נפש ורוח האדם אך בכך שאלו הם גופים חומריים המורכבים מסוג מיוחד של אטומים קטנים ובעלי תנועתיות רבה ביותר.
התחושות הן רק גירויים של אטומים קיימים אלו ולא אטומים המגיעים מבחוץ כפי שטען אפיקורוס.
הנצרות שהשתלטה על אירופה, התנגדה נמרצות לכל גישה מטריאליסטית ואף ראתה במטריאליזם סוג של כפירה.
גישות מטריאליסטיות חזרו שוב רק לאחר ימי הביניים, בזמן הרנסאנס.
נציג בולט היה ג'ורדנו ברונו שטען שהחומר הוא היחיד היכול לייצר צורות וצורות אלו מחזיקות בתוכן את כל הקיים.
מכאן נובע שהחומר הוא הטבע וכל הקיים והחי בו.
התפתחותו המודרנית של המושג "מטריאליזם" החלה במאה ה-18 עם ההשכלה באירופה.
מבשריו היו שניים: האחד היה הרופא והפילוסוף הצרפתי דה לה מטרי (DE LA METTRIE) (1709-1751) אשר בספריו ובמיוחד בספרו "האדם-מכונה" שלל כל קיום של נפש ורוח לא גשמיות וראה באדם מכונה מכנית וחומרית בלבד.
גם אם דברים אלו קיימים, לטענתו, הם רק חלק מתכונות החומר שמרכיב את הגוף והם מתים ונעלמים עם מות הגוף.
מבשר אחר היה הברון ד'אולבאק (1723-1789), פילוסוף ואנציקלופדיסט גרמני שחי בפריס, הידוע בדעותיו האתאיסטיות.
בספרו הידוע "מערכת הטבע" הוא טוען שלא קיים דבר מעבר לטבע פרט ליצירות דמיון (כולל האל).
האדם הוא חלק מהטבע ועל כן תכונותיו הרוחניות והמוסריות אינן תלויות בנשמה או נפש (שהן יצירי דמיון, כאמור) אלא בארגון חומרי, פנימי, של הטבע כמערכת כללית ומורכבת.
הפילוסופים הגרמנים של אותה תקופה יצאו נגד מטריאליזם קיצוני זה.
לייבניץ תקף את המטריאליזם אך טענותיו הן בתחום הספיריטואליזם ואינן מעוררות אמינות.
המתנגד החשוב ביותר למטריאליזם היה קאנט אשר הביא את הטיעון : "אנו מודעים לחומר רק דרך הכרתנו.
מכאן שהחומר אינו יכול להיות הסיבה להכרה (היות שהוא התוצאה) וההכרה (נפש, נשמה), כסיבה, קיימת בהכרח".
המטריאליסטים תקפו טיעון זה בחריפות: "אם החומר הוא יצירת ההכרה והנפש בלבד, אזי אין קיום לחומר מחוץ להכרה.
החומר, בהיותו תוצאה, אינו יכול להשפיע בשום צורה על הסיבה, דהיינו על ההכרה.
מכאן שכל המתרחש בחומר עצמו (למשל, תנועה) גם הוא נובע מההכרה.
המסקנה תהיה שלחומר אין שום משמעות וכאילו אינו קיים כלל".
זו מסקנה אבסורדית ועל כן שוללת את הטיעון האידיאליסטי של קאנט (גם אצל האידיאליסטים, שלילת החומר היא אבסורדית).
תומכי קאנט טענו שב"הכרה" קאנט אינו מתכוון לנפש או נשמה אלא לחשיבה והגיון.
רק החשיבה וההגיון יכולים להביא את מציאות ותכונות החומר להכרתנו ומכאן שמגוחך לטעון שקאנט אינו מכיר בחומר.
בשביל קאנט ההכרה (הנפש) היא רק כלי סובייקטיבי של ההבנה וסידור ניסיון החיים שלנו במוחנו.
נצחיות הנפש אינה אלא מעבר תוצאות ההגיון, החשיבה והניסיון שלנו לדורות הבאים (דבר שגם המטריאליסטים היו מוכנים להסכים לו).
האידיאליסטים הגרמנים הגדולים פיכטה, הגל ושלינג פיתחו את תורתו של קאנט בצורת תורת פנומנולוגיה.
דבר זה גרם למטריאליסטים לחפש את ההוכחות לגישה שלהם בתחום המדע שהתפתחותו הייתה אדירה באותה תקופה, בכל התחומים.
הם הציגו את חשיבותו של החומר על ידי חוקי הפיזיקה, הכימיה והאסטרונומיה והכוחות הנובעים מחוקים אלו.
חוקי הטבע והפיזיקה נותנים הסבר לכל דבר ללא צורך בעירוב השפעה של נפש או רוח.
חוקי השימור (שימור האנרגיה, שימור החומר, שימור התנע וכו') הראו שאנרגיה ותנועה הן תלויות חומר בלבד ולא נוצרת אנרגיה נוספת כתוצאה מישות נוספת כגון נפש או אל.
כמובן, לא כל אנשי המדע של אותה תקופה היו מטריאליסטים.
למשל, הפיזיולוג וחוקר המוח הידוע דיבואה ריימונד (DU BOIS REYMOND) כתב מאמר מפורסם מאוד בזמנו שבו הייתה רשימה של מספר תחומים (כמו הכרה, רגשות ועוד) שלא ניתן אז ולא יהיה אפשר גם בעתיד (לדעתו), להסביר אותם רק בעזרת אטומים והליכים פיזיקליים.
הדרוויניזם והאבולוציוניזם שמשו כמנוף אדיר לקידום המטריאליזם במאה ה-19. מוצא והתפתחות המינים כתוצאה מכוחות וחוקי טבע וללא שום צורך בהתערבות רוחנית שוללים, בהכרח, רעיונות אידיאליסטיים ודתיים.
מושג התפתחות הקיום מיצור חד תאי ועד לאדם המודרני השפיע גם על ההתפתחות הפוליטית-אידאולוגית והדרוויניזם הפך לחלק יסודי בתורות חברתיות ופוליטיות סוציאליסטיות וסוציאל-דמוקרטיות.
הכוחות המהפכניים, כמו הסוציאליסטים והאנרכיסטים, פיתחו את המטריאליזם לתורה מעשית המכונה פראקסיס אשר הביאה למהפכות של התחלת המאה ה-20.
אך המטריאליזם לא נשאר יחידי ומנצח בזירה ועדיין היו לו מתנגדים רבים.
פילוסופים רבים כמו פכנר, פאולסן, הקל ואחרים עדיין האמינו בדואליזם גוף-נפש כלומר בקיום ישות רוחנית-אידיאליסטית בצד החומר.
ויטאליסטים טענו שיש הבדל עצום בין אלקטרונים, אטומים ומולקולות אנאורגניות וקבוצה של מולקולות רבות המהווה יחדיו תא חי.
מולקולות "חיות" שונות לחלוטין ממולקולות "מתות", יש בהן "דבר נוסף" שגורם להן להחשב כחיות וה"דבר נוסף" האמור אינו חומר כי הוא אינו ניתן למדידה ותצפית.
היו שטענו שלאורגניזם החי יש תכונה של זיכרון.
גירויים חוזרים של אותו אורגניזם גורמים שהוא יתחיל בהתנהגות מסוימת משנית לאותו גירוי והתנהגות זו נשארת לאורך כל חייו של אותו אורגניזם.
הזיכרון הזה לא ניתן למדידה כמותית בשיטות של מדידת חומר ועל כן הוא אינו חומרי אלא מעבר לחומר.
האידיאליזם מאסכולות הגוף-נפש קיבלו עידוד עם התפתחות הפסיכולוגיה שטענה להוכחות של קיום הליכים גופניים והליכים פסיכולוגיים עם השפעה הדדית ביניהם.
הקיצוניים בגישה זו דגלו בגישה המכונה "פרלליזם (מקבילות) פסיכו-פיזי" כלומר קיימים החלק החומרי ובמקביל לו החלק הנפשי כאשר אין שום נקודת מגע ביניהם וכל חלק פועל במקביל לחברו ולפי חוקים שונים וייחודיים לו.
במחצית השנייה של המאה ה-19 עלתה במידה ניכרת חשיבותו של המטריאליזם בקרב חוגים מסוימים כמו החוגים הסוציאליסטיים.
המושגים הבולטים במיוחד הם המטריאליזם הדיאלקטי והמטריאליזם ההיסטורי.
הדיאלקטיקה היא צורה של חשיבה גבוהה, בהבדל מהחשיבה היומיומית המכונה לוגית.
החשיבה היומיומית היא חשיבה לוגית המשתמשת מזה כ-2400 שנה בלוגיקה האריסטוטלית.
לוגיקה זו יוצאת מתוך 3 אקסיומות שהן: X שווה תמיד ל-X, X אינו יכול להיות גם לא-X וגם- X באותו זמן.
או שישנו או שאיננו ואין דרך שלישית.
ניקח את האקסיומה הראשונה (X=X).
האם שני X שווים תמיד ובהכרח ביניהם?
ברמה התאורטית אמנם זה אכן נכון ומדויק, אבל אם ננסה ליישם את זה על עצמים עם תכונות X כלשהו בעולם המעשי- אם נבדוק בעזרת אמצעים מאוד מדויקים כמעט תמיד ימצא הבדל ביניהם.
יטענו שהכוונה אינה ששני X שווים אלא ש-X שווה לעצמו.
גם זה לא נכון כי כל דבר משתנה במשך הזמן ו-X של עכשיו שונה מ-X של עבר או של עתיד.
על כן יטענו ש-X שווה לעצמו ברגע מסוים.
אך "רגע מסוים" הוא מושג של זמן, ועל כן ה-X משתנה בזמן זה.
אם נטען שהזמן הוא 0 אזי נגיע לכשל לוגי, כי קיום הוא תלוי זמן.
דבר שמתקיים 0 זמן, אינו מתקיים.
מכאן הכשל הלוגי: X שווה לעצמו רק אם אינו קיים.
בחיי היומיום השינויים המזעריים האלו אינם רלוונטיים ועל כן הלוגיקה האריסטוטלית שימושית ומועילה, כמו גם בתחום התאורטי שבו עוסקים בעצמים מופשטים וממילא בלתי משתנים (למשל במתמטיקה).
אך לאורך זמן, שינויים חומריים וכמותיים אלו יכולים להפוך לשינויים איכותיים.
במקרים אלו עלינו לעבור לרמת חשיבה גבוהה יותר מהחשיבה הלוגית ולעבור לחשיבה דיאלקטית.
זו בנויה על היסוד הדיאלקטי - "כל דבר משתנה תמיד".
שינוי מחשבה זה (מלוגי לדיאלקטי) תקף גם לגבי ישויות אבסטרקטיות.
בחשיבה הלוגית מוסר שווה מוסר, חופש שווה חופש וקפיטליזם שווה קפיטליזם.
בחשיבה הדיאלקטית, כאמור, אין הדבר כך וכאשר אנו מודעים שהישיויות האלו (בדוגמה שלנו - מוסר, חופש וקפיטליזם) הן ישויות דינמיות ומשתנות בהתמדה, אנו חשים שהחשיבה הדיאלקטית מקרבת אותנו הרבה יותר למציאות, מרחיבה מציאות זו והופכת אותה לקונקרטית יותר.
במקום לראות את העולם כמו אלבום של תמונות דוממות אנו רואים אותו כעת בסרט דינמי.
הגל היה הפילוסוף החשוב ביותר ששם לב לצורת חשיבה זו במאה ה-19. הוא קבע חוקים של פירוק (אנליזה) נושא למרכיביו הנמצאים בתנועה מתמדת של השתנות (השתנות מכמות לאיכות, השתנות תוך כדי ניגודים, השתנות המאבק בין תוכן לצורה וכו').
מהתנועות והשינויים האלו מתפתחת מציאות חדשה (סינתזה) שגם היא תשתנה לאורך זמן.
קרל מרקס הושפע מאוד מרעיונות אלו של הגל.
אלא שמרקס לא ראה בהם רעיונות אידיאליסטיים (כפי שראה הגל) אלא רעיונות מטריאליסטיים.
הוא טען ששינויים ותנועות אלו אינם מתרחשים בנפש האדם ובמישור הפילוסופי ואינם השתקפות של רצון האל (כפי שסבר הגל) אלא מתרחשים בטבע עצמו, והרי כל השינויים בטבע הם שינויים של חומר.
הדיאלקטיקה, שהיא צורת החשיבה על שינויים חומריים אלו, היא, על כן, מטריאליסטית.
ההוכחות הבולטות ביותר הן הדרוויניזם שראה בהתפתחות המינים, התפתחות חומרית עם שינוי איכותי וטבלת היסודות בכימיה המראה על אפשרות של שינוי יסוד אחד לאחר.
מרקס השתמש בדיאלקטיקה המטריאליסטית כדי להגיע לקלסיפיקציה של החברות האנושיות, להתפתחות כוחות הייצור שלהן ולמבנה הפנימי של השלד היוצר אנטומיה של חברה.
קלסיפיקציה זו החליפה את החשיבה החברתית הנמוכה יותר, לטענת מרקס, שקדמה לו, (וקיימת עדיין עד ימינו) המחלקת את החברה האנושית למדינות, גזעים, שבטים וכו'.
חוקי הדיאלקטיקה הם חוקי החשיבה המדעית המודרנית.
פרידריך אנגלס, שותפו של מרקס, אמר ש"עבור הדיאלקטיקה דבר אינו סופי, קדוש או מוחלט.
הדיאלקטיקה משקפת את האופי המשתנה והחולף של כל דבר, את התהליך הבלתי פוסק של היווצרות והעלמות ושל העלייה המתמדת מהנמוך אל הגבוה".
מה הם הגורמים והסיבות לתנועה ולזרימה הדיאלקטית המתמדת של החומר?
לפי הגל וממשיכיו (כולל מרקס) הסיבות הן אינהרנטיות (נובעות מהפנים) לדברים החומריים עצמם.
מדובר בייחוד בתנועה של ניגודים, ניגודים הקשורים יחדיו, התלויים זה בזה.
למשל, בחברה האנושית קיים אנטגוניזם בין מנצלים ומנוצלים.
אלו שני ניגודים שאינם יכולים להתקיים אחד ללא השני אך יחדיו הם גורמים לכוח מניע של תהליכים שונים המביאים לשינויים.
ביטול הניגודים הללו (מנצלים ומנוצלים) יביא ליצירת חברה חדשה שבה ניגודים אלו כבר לא יהיו קיימים אך בהכרח, יהיו בה ניגודים אחרים, חדשים.
ניגודים אלו יביאו אף הם להמשך הזרימה הדיאלקטית.
מכאן שאפילו המטריאליזם הדיאלקטי אינו סטטי אלא משתנה לאורך זמן.
לפי לנין שינוי זה תמיד מכוון לרמות גבוהות יותר של מציאות חומרית.
השינויים בחומר (למשל, המעבר מחברה של מנצלים ומנוצלים לחברה שוויונית) אינם מתבצעים בצורה הדרגתית אלא בקפיצות גדולות או על ידי מהפכות.
תהליכים אלו הם תהליכים כמותיים (החלטות רוב, השתלטות קבוצת מיעוט וכו').
כאשר תהליכים אלו מתנהלים על ידי חשיבה דיאלקטית גבוהה, השינויים הכמותיים הופכים, בשלב מסוים, לשינויים איכותיים.
נולד דבר חדש, במישור גבוה יותר, נוצרו אפשרויות ופוטנציאלים חדשים.
כמובן, טען טרוצקי, שמטריאליזם דיאלקטי אינו יכול לבוא במקום המחקר והמדע, אבל הוא יכול להדריך את המחקר והמדע לכוון הדרך הנכונה החופשית מחשיבה סטרילית, שמרנות, סכולסטיציזם וסובייקטיביזם.
כל השינויים האלו (התקדמות, שדרוג רמה, שינוי מכמות לאיכות) אינם מביאים לשלילת וביטול העבר.
חוק חשוב במטריאליזם הדיאלקטי ("החשוב ביותר", לפי אנגלס) הוא חוק "השלילה של השלילה" (מלשון "שולל").תנועה של התקדמות והתפתחות מביאה לשלילת העבר וליצירת הווה חדש.
אך למעשה, העבר אינו נשלל לחלוטין, חלק ממנו קם לתחיה חוזרת אך במופעים חדשים ועשירים יותר.
לדוגמה - החברה הקפיטליסטית קמה על חורבות החברה הפאודלית שקדמה לה ובזה היא שללה את החברה הפאודלית.
אך החברה הקפיטליסטית החדשה המשיכה לדגול ברכושנות פרטית, אך ברמה התפתחותית גבוהה יותר מאשר החברה הפאודלית.
בזה היא שללה חלק מהשלילה של החברה הפאודלית ועל ידי כך הביאה להתקדמות כללית של החברה.
המטריאליזם ההיסטורי הוא אחד משלושת המרכיבים העיקריים בתורתם של מרקס ואנגלס (יחד עם המטריאליזם הדיאלקטי והפראקסיס).
עקרונותיו מתחילים מהנחת היסוד שארגון חברתי הוא חיוני להשרדות האדם.
ארגון חברתי זה מתקיים בתחום העבודה ובתחום התקשורת החברתית.
בתחום העבודה, קשר חברתי זה מכונה יחסי ייצור.
יחסי ייצור אלו, בתורם, גורמים להיווצרות התקשורת החברתית והתודעה החברתית.
יחסי הייצור אינם ניתנים לשינויי והתפתחות הדרגתיים.
הם יכולים להשתנות איכותית או מהותית רק בדרכים של התקוממות חברתית, מהפכה או מהפכת-נגד.
יחסי הייצור מהווים גם את הבסיס עליו מוקם בנין העל של החוק, המדינה, האידאולוגיה, המוסר, הדת, האומנות, הפילוסופיה וכו'.
יחסי הייצור נוצרים מתוך צורות הייצור (פרימיטיבי, ביתי, תעשייתי וכו') ובהווצרם הם קובעים את היחסים בין המעמדות אך גם את היחסים בין הפרטים האינדיבידואלים.
אין זה אומר שהמטריאליזם ההיסטורי שולל את חופש הבחירה, הדעות וההבנות של הפרט.
המטריאליזם ההיסטורי אומר רק שחופש הפרט תלוי במסגרת החברתית שלו (אשר קובעת את חינוכו ואת ערכיו של אותו פרט) ובהשפעה של מיליוני הפרטים אחד על השני.
במילים אחרות, הבחירה החופשית היא תוצר של יחסים חברתיים ולא של פסיכולוגיה אישית.
מזה אנו רואים שגם הבחירה החופשית היא עניין חברתי, כלומר מעמדי.
ב"מניפסט הקומוניסטי" קובע מרקס שההיסטוריה האנושית היא היסטוריה של מלחמת מעמדות.
המעמד השליט נלחם תמיד לשם שמירה על המשך שליטתו והמעמד המנוצל נלחם תמיד כדי להקל על סבלו.
מכאן נובע שמלחמת המעמדות היא מתמדת והיא חלק בלתי נפרד מהחברה האנושית.
אך מה המטרה של מלחמת מעמדות זו?
המטרה היא תמיד כלכלית, מלחמה על חלוקת התוצרת בין המייצרים הישירים (המעמד המנוצל) ובין אלו שמשתלטים על מה שמרקס כינה "עודף תוצרת".
(סך הכל תוצרת מינוס התוצרת הנצרכת להאכלת המייצרים הישירים ולהשקעה באמצעי הייצור = עודף תוצרת)על ידי בעלות על עודף התוצרת, המעמד השליט שולט גם על בניין העל שהוזכר קודם וקובע, במידה רבה ולתועלתו, את דעותיו, מעשיו והחלטותיו.
ומדוע "במידה רבה" ולא "באופן מלא"?
אמנם בניין העל הוא תלוי באינטרסים של המעמד השליט, אך יש לו גם אוטונומיה מסוימת של עצמו הנובעת מחינוך, מחקר, ריבוי דעות וצורות חשיבה וכו'.
גם אחרי מהפכה, נשארים עדיין שרידים של מבנים חברתיים מהתקופה שלפני המהפכה, שגם אם כבר אינם שולטים, הם עדיין יכולים להשפיע - למשל גורמים כמו רוטינה, מסורת, ערכי דת, ערכי מוסר ועוד.
עם כל זה וכפי שמרקס קבע, האידאולוגיה השולטת בכל תקופה, היא האידאולוגיה של המעמד השליט.
מהפכות אשר משנות את המעמד השליט, משנות גם את האידאולוגיה השולטת.
לא תמיד ניתן לחזות בצורה מלאה את התוצאות הסופיות של מהפכה וזאת בגלל הגורמים המשפיעים שהוזכרו מעלה.
מהפכה גם נכשלת לעיתים קרובות.
לפי מרקס, כישלון זה נובע, בדרך כלל, בגלל שרוב החברה אינה מבינה את המבנה החברתי ואת הכוחות הפועלים בה בין מרכיביה.
רק הבנת מהותו של המטריאליזם ההיסטורי מסוגלת ללמד את ההמונים להתגבר על חוסר הבנה זה.
אך מה הפירוש של מהפכה מוצלחת?
מהפכה נחשבת למוצלחת כאשר האדם המחולל אותה מגיע לחופש.
חופש זה, לפי מרקס, אינו צבירת רכוש אלא צבירת זמן פנוי.
במושג "זמן פנוי" מתכוון מרקס לא לזמן של בטלה וחוסר מעש אלא לזמן המוקדש לפיתוח עצמי, פיתוח כישרונות, יכולות ורצונות העובד.
זמן פנוי זה ייווצר מהקטנת הזמן שהעובד יקדיש לייצור תוצרת המיועדת ברובה לסיפוק צרכיו של המעמד השליט והמנצל.
בחברה של מעמדות, חופש זה קיים רק בקרב המעמד השליט החופשי מכל חובות מלחמת הקיום וההשרדות.
כאשר יחסי הייצור ישתנו במידה שכל אחד יזכה בסיפוק כל צרכיו מצד אחד ובזמן פנוי כפי צרכיו מצד שני, יעלם גם הצורך בחברה המחולקת למעמדות.
אז תווצר חברה נטולת מעמדות שבה לכל אחד תהיה דרך פתוחה למידע, לידע ולסיפוק אינטלקטואלי.
אז יעלם גם הצורך במדינה.
לפי מרקס ואנגלס המדינה אינה תוצאה של "חברה מאורגנת", "חברה תרבותית" או "אמנה חברתית".
המדינה היא מכשיר שתפקידו לאפשר תפקוד נאות של החברה למרות המאבק בין המעמדות ובאותו הזמן גם לשמר מבנים קיימים ולמנוע את שינויים (למשל על ידי מהפכה).
על כן, בחברה נטולת מעמדות אין מקום למכשיר המכונה מדינה.
במקום מדינה יתקיים ניהול עצמי ומנגנוני המדינה הקודמים ילכו ויתפוגגו.
בתקופת המעבר בין המדינה ובין החברה נטולת המעמדות (ונטולת מדינה, כאמור)יהיה צורך, באופן זמני, למה שמרקס מכנה "דיקטטורה של הפרולטריון".
דיקטטורה זו היא, כאמור, זמנית והיא תפקח על מעבר חלק ומלא ממדינה מעמדית לחברה נטולת מעמדות.
מכל האמור, אנו מבינים כיצד המטריאליזם ההיסטורי מסביר את מקורות החברה האנושית, הכוחות והתהליכים הפועלים בתוכה ואת עתידה ההיסטורי.
הביקורת על המטריאליזם כהשקפת עולם היא למעשה ביקורת על השקפה לפיה הכל רק פיזיקלי ולפיכך היא ביקורת על הפיזיקליזם.
הפילוסוף האמריקאי, תומאס נייגל, טוען שלמטריאליזם אין הסברים מספקים לתודעה, ולכן גם לא לחיים עצמם.
מאחר שהתודעה, ההיגיון והערכים הם ההתפתחויות האחרונות של אותו תהליך שהוביל להיווצרותם של תופעות ביולוגיות בסיסיות, כל הסבר מספק צריך להראות שהתפתחויות אלו היו תוצאה צפויה של אותו תהליך.
באלגברה ליניארית, מטריצה ממשית סימטרית A היא מטריצה חיובית (positive) אם התבנית הריבועית היא חיובית, כלומר אם לכל וקטור (ממשי) .
המטריצה היא חיובית לחלוטין (positive definite; בשימוש גם הביטוי השגוי "מטריצה מוגדרת חיובית") אם התבנית חיובית לחלוטין: לכל (זו כמובן תכונה חזקה יותר).
התכונה המקבילה לסימטריות עבור מטריצות מרוכבות, היא תכונת ההרמיטיות.
מטריצה הרמיטית מרוכבת היא חיובית אם לכל וקטור (מרוכב) מתקיים , וחיובית לחלוטין אם לכל וקטור מתקיים .
תנאים אלה שקולים לכך שכל הערכים העצמיים של המטריצה יהיו ממשיים וחיוביים (ובהתאמה, חיוביים ממש), ומשום כך מטריצות חיוביות מתנהגות מהרבה בחינות כמו מספרים ממשיים חיוביים.
לדוגמה, מטריצה בגודל היא הרמיטית רק כאשר ממשי.
המטריצה חיובית אם , וחיובית לחלוטין אם .
תכונות של מטריצות חיוביות וחיוביות לחלוטין
אוסף המטריצות החיוביות סגור לחיבור ולכפל בסקלר חיובי.
כך גם אוסף המטריצות החיוביות לחלוטין.
בנוסף לזה, מטריצה חיובית היא חיובית לחלוטין אם ורק אם 0 אינו ערך עצמי שלה, כלומר אם ורק אם היא הפיכה.
לבסוף, ההפכית של מטריצה חיובית לחלוטין גם היא חיובית לחלוטין.
שני האוספים סגורים גם לפעולה .
מאחר שכל הערכים העצמיים של מטריצה חיובית הם חיוביים, מתקבל כי אם מטריצה חיובית אז ו-.
מעבר לכך, אם מטריצות חיוביות מתקיים כי .
כאמור, מטריצה הרמיטית M היא חיובית אם לכל מתקיים .
על ידי הפרדת הווקטור z לרכיב ממשי ורכיב מדומה אפשר לראות שמספיק לבדוק את תכונת החיוביות לווקטורים ממשיים .
אם חיוביות אז גם מכפלת אדמר חיובית; זהו "משפט המכפלה של שור".
קריטריון לבדיקה האם מטריצה היא חיובית הוא קריטריון סילווסטר (Sylvester's criterion).
כידוע, לכל מספר מרוכב , הנורמה המרוכבת היא מספר ממשי חיובי.
ההכללה של עובדה פשוטה זו למטריצות קובעת שלכל מטריצה (מרוכבת) , המטריצה היא חיובית; אם הפיכה, אז חיובית לחלוטין.
בעזרת משפט הלכסון האוניטרי, אפשר להראות שגם ההפך נכון: כל מטריצה חיובית אפשר לפרק בצורה עבור מטריצה מתאימה.
יתרה מזו, אם (סימטרית) ממשית, אפשר לדרוש שגם תהיה ממשית.
בדרך דומה אפשר להוכיח גם ש(כמו במספרים ממשיים חיוביים) אם חיובית, אז לכל n טבעי קיימת מטריצה חיובית כך ש- .
במרחב מכפלה פנימית, טרנספורמציה הרמיטית T היא חיובית אם לכל וקטור x, וחיובית לחלוטין אם לכל וקטור .
הגדרה זו מתיישבת עם ההגדרה עבור מטריצות, אם בוחרים כמרחב המכפלה הפנימית את (או ), עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית, ורואים את המטריצה A כטרנספורמציה של כפל ב- A.
במרחב , התבנית היא הרמיטית אם ורק אם המטריצה הרמיטית, והיא מכפלה פנימית אם ורק אם M מטריצה חיובית לחלוטין.
גם ההפך נכון: כל מכפלה פנימית במרחב V ניתנת להצגה כזו על ידי מטריצה חיובית לחלוטין.
תהי פונקציה ממשית של n משתנים, שכל נגזרותיה החלקיות מסדר שני הן רציפות.
תנאי זה מבטיח שמטריצת ההסיאן שלה (דהיינו מטריצת הנגזרות השניות) תהיה מטריצה סימטרית (בגודל ).
תנאי הכרחי לכך שנקודה תהיה נקודת קיצון, הוא שכל הנגזרות החלקיות יתאפסו, כלומר הגרדיאנט הוא אפס .
במקרה זה, הפיתוח לטור טיילור מראה שמטריצת ההסיאן קשורה קשר הדוק להתנהגות של הפונקציה בסביבות הנקודה: אם חיובית לחלוטין, אז מינימום מקומי במובן החזק (כלומר: קיימת סביבה של , שבה לכל ).
ואם מינימום מקומי במובן החלש (כלומר: קיימת סביבה של , שבה לכל ), אז היא מטריצה חיובית.
הכיוון ההפוך אינו נכון בשני המקרים.
המתמטיקאי הגרמני קרל גוסטב יעקב יעקובי מצא דרך לבדוק את החיוביות של מטריצה בעזרת המינורים הראשיים שלה: מטריצה היא חיובית לחלוטין אם ורק אם כל המינורים הראשיים שלה חיוביים.
על ידי הצמדה במטריצת תמורה, נובע מכאן שאם כל המינורים הראשיים חיוביים, אז כל המינורים חיוביים.
(לתכונות נוספות, ראו משפט יעקובי על שקילות למטריצה אלכסונית).
הדטרמיננטה של מטריצה חיובית לחלוטין מקיימת את "אי-שוויון פישר", שגילה E.
כאן הוא המינור המתקבל ממחיקת כל השורות והעמודות שאינן בקבוצת האינדקסים , ו- הוא המשלים של הקבוצה .
אי-שוויון זה מכליל אי-שוויון מפורסם אחר, שגילה אדמר ב-1893: .
בדומה לתכונת החיוביות, אומרים שמטריצה הרמיטית היא מטריצה שלילית אם כל הערכים העצמיים שלה שליליים, ושלילית לחלוטין אם הערכים העצמיים שליליים ושונים מאפס.
מטריצה (הרמיטית) שיש לה ערכים עצמיים חיוביים ושליליים, אינה מוחלטת (indefinite).
בשל הקרבה בין המונח האנגלי definite לשורש define, יש שקוראים למטריצה חיובית לחלוטין "מוגדרת חיובית", ולמטריצה שאינה מוחלטת, "לא מוגדרת".
בניתוח של מטריצות סטוכסטיות קוראים למטריצה ממשית completely positive אם היא חיובית לחלוטין, ויש לה פירוק בצורה שבו כל הרכיבים של B חיוביים.
באלגבראות סי-כוכב, בהינתן אלגברת סי-כוכב A, אומרים שאיבר הוא חיובי אם קיים איבר כך ש .
באופן שקול - a הוא חיובי אם ורק אם הספקטרום שלו מורכב רק מאיברים ממשיים אי שליליים.
מִטרייה היא חפץ המשמש להגנה מפני גשם.
שמשייה היא חפץ דומה המשמש להגנה מפני השמש.
בעברית שמות עצם אלו גזורים מהשמות "מטר" ו"שמש", בהתאמה.
מטריות בנות ימינו הן קלות לקיפול וקומפקטיות, לרוב יש להן מוט טלסקופי, מנעולים למצב קיפול ופריסה, והן עשויות בדי כותנה, ניילון ופלסטיק שבאו במקום המשי.
מאידך זרועותיהן הדקות ומנעוליהן מתעקמים או נשברים תדיר.
בסין העתיקה החלו להשתמש במטריות כבר לפני 3,000 שנה, אבל לא להגנה מפני הגשם אלא כסמל למעמדו החברתי של בעל המטרייה, והיו משתמשים בה ללא קשר לשמש או לגשם.
מטריות אלה היו מסגרות עץ שכוסו בעלים או בעורות, וקושטו בסמלים.
בתחריטים שנמצאו בנינוה נראות שמשיות, כאשר משרתים נושאים שמשיה שתגן על המלך.
בעת העתיקה השתמשו נשים בשמשיות בעיקר כאביזר אופנה המסוכך מפני השמש ולא כמטריות.
בשנת 1730 בערך, בצרפת החלו נשים להשתמש במטריות כהגנה מפני הגשם.
בתקופה זו גברים נמנעו מלהשתמש במטרייה כיוון שהדבר נחשב לא מכובד.
בתקופה הוויקטוריאנית מטריות היו עשויות משי על מסגרת עץ או עצמות לווייתן וכשנרטבו קשה היה לקפלן.
סמואל פוקס, תושב אנגליה היה הראשון שייצר מטריות בייצור המוני.
המטריות שייצר נאטמו והורכבו על מסגרת פלדה, שיוצרו על פי פטנט שנרשם בשנת 1852. במהלך השנים נרשמו פטנטים רבים על מטריות מתקפלות שיהיה ניתן לקפל לגודל יותר קטן.
בשנת 1928 הוקמה חברה שהחלה להפיץ את המטריות המתקפלות של האנס האופט בגרמניה.
ב-30 בספטמבר 1938, נפגש ראש ממשלת אנגליה נוויל צ'מברלין במינכן עם היטלר במטרה לעצור את הידרדרות אירופה למלחמה כוללת.
נוויל נשא את מטרייתו השחורה על זרועו וכך היא הפכה יחד עמו לסמל של כישלון שיחות שלום.
במלחמת העולם השנייה, כאשר הנאצים בהולנד החרימו רכוש יהודי הם גם החרימו מטריות.
יצרן המטריות היהודי פיליפ כהן מפנלו, שהמפעל שלו הועבר לידי הולנדי לא יהודי, הגה רעיון לתפור כובעי גשם עבור היהודים.
הוא נתן לבתו מרתה לחבריה מילו ואחותו סרה אנשדדט גלילים של בד חסום גשם, הם תפרו כובעי גשם והתפרנסו ממכירתם.
אחת הבעיות הנפוצות בשימוש במטרייה מודרנית, היא תופעת 'התהפכות' המטרייה.
מכיוון שפעמים רבות הגשם מלווה גם ברוחות, קימור המטרייה מתהפך כלפי מעלה, כשפעמים רבות הדבר גורם לנזק בלתי הפיך למטרייה.
מכיוון שהרוח גורמת להתהפכות המטרייה גם אם היא מנשבת מעל המטרייה ולא מתחתיה, וזאת בהתאם למשוואת ברנולי, התופעה נפוצה ביותר.
ישנם כמה סוגי מטריות אשר באים להתמודד עם בעיה זו:
מטרייה חזקה: היא מטרייה המאופיינת במוטות חזקים, עבים או כפולים, אשר אמורים למנוע בכוחם את הלחץ הגורם להתהפכות המטרייה.
חסרונם של מטריות אלו הוא משקלם הגדול יותר יחסית, ושבדרך כלל אינן מתקפלות, וכן שבמקרה בו המטרייה כן התהפכה, הם ניזוקים מכך פעמים רבות באופן בלתי הפיך.
מטרייה חלשה: שיטה שונה דווקא מייצרת מטרייה בעלת מוטות דקים וחלשים, שהפיכתם על ידי הרוח אינה גורמת להם לשבירה או פירוק, כך שניתן פשוט 'להפוך' את המטרייה חזרה למצבה התקין.
מטריות אלו הם בדרך כלל מתקפלות, נמתחות בקלות באמצעות קפיץ, ונפוצות ביותר.
יתרונם הוא מחירן הנמוך, והקלות שבניודן, אולם רוח חזקה גורמת פעמים רבות לשבירה של מוטות המטרייה, מה שמונע את המשך השימוש בה.
מטריית פטריה: מטרייה זו בעלת קימור חזק, קרוב יותר לחצי כדור, ומתוחה ביותר.
עיצוב זה מונע אפשרות טכנית של היפוך המטרייה, אולם המתיחה החזקה והעיצוב הקמור אינם מאפשרים את פתיחת המטרייה באמצעות קפיץ בלבד.
השימוש הנפוץ למטרייה זו הוא בקרב ילדים, כשבדרך כלל חופת המטרייה עשויה חומר שקוף אשר מאפשר ללכת בצורה שהמטרייה מגנה בתוכה על הראש והכתפיים.
מטרייה בעלת חופה כפולה: טכניקה נוספת היא יצירת מטרייה בעלת חופה כפולה, כשהחופה התחתונה, הגדולה יותר, היא בעלת חור גדול באמצעה, מה שמאפשר מעבר מהיר של אוויר לשחרור לחץ האוויר הנוצר תחתיה.
החופה העליונה, מכסה את החור של זו התחתונה, כשחופה זו רפויה ביותר ומתרוממת ויורדת חזרה בקלות.
מטריות אלו בדרך כלל יקרות יותר.
צורה נוספת להתמודד עם בעיית ההתהפכות, היא נשיאה של המטרייה בקצה העליון של מוט המטרייה, והפניה מהירה של המטרייה מול כיון נשיבת הרוח, כך שהרוח תמנע מלחץ האוויר לגרום להתהפכותה.
שיטה זו קשה לביצוע ברוח סוערת המתאפיינת בשינויי כיוון רבים, וכן היא כרוכה במאמץ גדול בהרמת היד למשך זמן.
באנגליה המטרייה היא סמל תרבותי, ממאפייניה של לונדון הגשומה תדיר.
מרי פופינס, האומנת הבדיונית, מרחפת באמצעות מטרייתה.
נילי המאירי, "המטריה הגדולה של אבא" מסיפורי לוין קיפניס.
'מטריה בשניים' מילים ולחן נעמי שמר, נכתב ובוצע לראשונה על ידי להקת הנח"ל.
הפוסקים דנו בשימוש במטרייה בשבת וכתבו שאסור לפותחו, לסוגרו ולהשתמש בו מכיוון שהוא מעין אוהל.
מטריצה אלכסונית היא מטריצה ריבועית שבה כל האיברים שאינם באלכסון הראשי שווים לאפס.
ניתן גם לתאר מטריצה אלכסונית בקיצור, למשל, עבור המטריצה הנ"ל, הצורה המקוצרת תהיה (diag מלשון diagonal, אלכסוני באנגלית).
מטריצה אלכסונית היא גם מטריצה משולשית עליונה ותחתונה, וגם מטריצה סימטרית.
במקרה שכל האיברים באלכסון הראשי של המטריצה שווים, המטריצה נקראת מטריצה סקלרית.
ניתן לקבל מטריצה אלכסונית על ידי סוג של חיבור מטריצות הנקרא סכום ישר.
כפל מטריצות אלכסוניות פשוט ביותר, שכן התוצאה של הכפל היא מטריצה אלכסונית, שבה כל איבר באלכסון הראשי הוא כפל של שני האיברים המתאימים באלכסונים הראשיים של המטריצות הכופלות.
לעיתים משמש המונח "מטריצה אלכסונית" לתיאור "מטריצה אלכסונית מלבנית", שהיא מטריצה מממד m×n שבה רק הערכים di,i יכולים להיות שונים מאפס.
במתמטיקה, מטריצה ריבועית ממשית היא מטריצה דו-סטוכסטית, אם כל רכיביה אי-שליליים, וסכום האיברים בכל שורה ובכל עמודה שלה הוא 1.
מטריצה היא מטריצה דו-סטוכסטית אם ורק אם שתי המטריצות ו- הן מטריצות סטוכסטיות.
יהי מספר טבעי ו- מטריצה ריבועית ממשית מגודל .
תקרא מטריצה דו-סטוכסטית אם ורק אם היא מקיימת את שלושת התנאים הבאים:
כל איבריה בין 0 ל-1: לכל מתקיים כי .
סכום האיברים בכל עמודה שווה ל-1: לכל מתקיים כי .
סכום האיברים בכל שורה שווה ל-1: לכל מתקיים כי .
נובע ישירות מההגדרה כי דו-סטוכסטית אם ורק אם המטריצה המשוחלפת שלה היא מטריצה דו-סטוכסטית.
כל מטריצת תמורה היא מטריצה דו-סטוכסטית.
בפרט, מטריצת היחידה היא מטריצה דו-סטוכסטית.
בהינתן מספר טבעי ו- מטריצות דו-סטוכסטיות מתקיים כי כפל המטריצות היא מטריצה דו-סטוכסטית.
בהינתן מספר טבעי, ו-, המטריצה היא מטריצה דו-סטוכסטית.
בהינתן מספר טבעי ו- ניתן להוכיח כי ממייר את אם ורק אם קיימת מטריצה דו-סטוכסטית כך ש-.
פאון בירקהוף ומשפט בירקהוף-פון נוימן
אם מתייחסים ל- כמרחב וקטורי ממדי, ניתן להתייחס לאוסף המטריצות הדו-סטוכסטיות מסדר כפוליטופ (פאון מממד כללי כלשהו) מממד .
פוליטופ זה נקרא פאון בירקהוף, על שם המתמטיקאי גארט בירקהוף.
משפט בירקהוף-פון נוימן קובע כי לכל פאון בירקהוף הוא פאון קמור שקודקודיו הם מטריצות התמורה ה- ממדיות.
בניסוח מתמטי, לכל מטריצה דו-סטוכסטית קיימים , ו- כך ש:
המשפט ההפוך נכון גם הוא: מטריצה היא דו-סטוכסטית אם ורק אם היא נמצאת בפאון הקמור שקודקודיו הם מטריצות התמורה.
המשפט נקרא על שם גארט בירקהוף וג'ון פון נוימן.
תקציר הוכחת משפט בירקהוף-פון נוימן
אם היא מטריצת תמורה, הוכחת המשפט טריוויאלית.
אחרת, מגדירים ובונים גרף דו-צדדי המקשר בין קבוצת שורות המטריצה לקבוצת עמודות המטריצה, כאשר מותחים קשת בין שורה לעמודה אם מתקיים .
בגלל ש- מטריצה דו-סטוכסטית, ניתן להוכיח כי היא מקיימת את התנאי של משפט החתונה ולכן ניתן לבנות שידוך בין כל שורה לעמודה.
עבור שורה מסמנים ב- את העמודה המשודכת לה.
מגדירים , ומסמנים את השורה המתאימה ל- ב-, כך ש-.
מתוך תכונות המטריצה הדו-סטוכסטית ואופן בחירת השורות והעמודות מתקיים כי .
בנוסף, בונים מטריצה שכל איבריה מתאפסים למעט בקואורדינטות , שם היא מקבלת את הערך 1. מכיוון שאוסף הזוגות הוא שידוך, היא מטריצת תמורה.
קל לראות כי אף היא מטריצה דו-סטוכסטית אשר מתאפסת בכל הקואורדינטות שבהן מתאפסת ובנוסף מתאפסת גם בקואורדינטה לפחות.
אם היא מטריצת תמורה, מסיימים.
אחרת, חוזרים על התהליך עם וממשיכים תוך איפוס איבר נוסף בכל צעד, עד שמגיעים למטריצת תמורה .
לבסוף, על-ידי חישוב לאחור מתקבל כי כל המטריצות ניתנות לייצוג כסכום ממושקל של מטריצות תמורה, ובפרט .
המשפט ההפוך נובע ישירות מהתכונות שהוזכרו לעיל.
למטריצות דו-סטוכסטיות יש כמה תכונות ויישומים חשובים במתמטיקה, פיזיקה ומדעי המחשב.
בתורת ההסתברות, מטריצות דו-סטוכסטיות משמשות לייצוג מעברים בין מצבים או אירועים שונים, וניתן להשתמש בהן למודל של התנהגות של שרשראות מרקוב.
במכניקת הקוונטים משתמשים במטריצות דו-סטוכסטיות לתיאור התפתחות מצבים קוונטיים, והן קשורות למושג של מנהור קוונטי.
במדעי המחשב, מטריצות דו-סטוכסטיות משמשות באלגוריתמים ללמידת מכונה וניתוח נתונים, והן יושמו בתחומים כמו עיבוד שפה טבעית, זיהוי עצמים ומערכות המלצות.
הם משמשים גם באופטימיזציה קומבינטורית וניתוח רשת, שם ניתן להשתמש בהם כדי לייצג את המשקלים או החוזקות של קשרים בין צמתים שונים בגרף.
מטריארכיה (הלחם: לטינית: mater - אם, יוונית: archen - שלטון; בעברית: אִמְּהָתָנוּת) היא שלטון האם, וכמושג סוציולוגי רחב יותר היא שיטת ארגון חברתי שבה הסמכויות מרוכזות בידיהן של הנשים, המעבירות את השלטון ביניהן.
הכוח נשאר ונשמר תמיד בידי הנשים נותנות הטון, וכולל זכויות יתר על הגברים.
חברות מטריארכליות הן חברות המונהגות בידי אימהות, ובהן לאימהות יש סמכות לקבל החלטות, שליטה באדמה ובאמצעי הייצור, וכן הן הדמויות המנהיגות.
כיום קיים מספר קטן של חברות כאלה ביבשות שונות שהמפורסמת שבהן היא חברת המוסו בסין.
חברות מטריארכליות הן אינן חברות היררכיות, והנשים בהן נושאות תפקיד שונה מזה של הגברים בחברה הפטריארכלית המוכרת.
המטריארכיה שונה ממצב של שושלת אמהית, שבה שמו של הצאצא נקבע על פי אמו ולא על פי אביו.
כמו כן, אין מדובר בחברות שבהן הסמכות האמהית היא הדומיננטית ביחסים הביתיים, כשבן הזוג עובר לגור עם משפחתה של בת זוגו לאחר נישואיהם.
המטריארכיה היא שילוב של שני המרכיבים האלו.
החברה מאורגנת בקְלֶאנִים המבוססים על יחסי משפחה, על בסיס הורות נשית (כלומר אמא, צאצאיה, צאצאי צאצאיה, אחיותיה וצאצאיהן).
נשים חיות בבית אמם ולא עוברות לבתי בני זוגן.
בחברה מטריארכלית הנשים עומדות בראש החברה ושולטות באמצעי הייצור, חלקן גם מטריליניאליות, כלומר שושלת בין-דורית של נשים ובנותיהן אשר הבעלות על אמצעי הייצור עוברת בה בירושה.
בחברות המטריארכליות מקיימים נישואים בין קְלֶאנִים שונים בתוך הכפר או עם קלאנים מכפרים שכנים כך שקשר דם קיים בין כל המשפחות המטריארכליות באזור.
לאחר הנישואין הגבר בא לישון אצל האישה, אך לא עובר לגור אצלה, אלא נשאר לגור אצל אמו ומחויב לעבוד את אדמתה בהמשך חייו.
לאבהות ביולוגית אין כל משמעות: האימהות מגדלות את הילדים בלי כל התחשבות באב הביולוגי שלהם.
הגברים מגדלים את הילדים של אחיותיהם.
אלה חברות לא היררכיות, אופקיות, של קרבה משפחתית על פי השושלת האימהית.
תהליך קבלת ההחלטות הפוליטיות מתבצע באופן פְרַקְטָלִי של מעגלים מתרחבים: בתוך הקְלֶאן מתבצעת החלטה בהסכמה במעגל המכיל את כל הקלאן.
המבנה של מועצת הכפר מורכב משליחי הקלאנים, והשליחה היא בדרך כלל הסבתא המבוגרת בקלאן.
השליחה רשאית לייצג רק את מה שבני הקלאן שלה כבר הסכימו עליו, ובשום פנים ואופן לא ניתן לה לקבל החלטות שלא הוסכמו על ידי שולחיה.
אין החלטות בכפר שאינן מוסכמות על כל הכפר.
במקרה של חוסר הסכמה חוזרים לשולחן הדיונים.
קיימות גם מועצות אזוריות בין-כפריות.
גם גברים נשלחים לייצג את הקלאנים ובמיוחד בוועידות בין-כפריות אשר ההשתתפות בהן דורשת לצאת ממשק הבית לכמה ימים.
נשים הן מקבלות ההחלטות המרכזיות, אך כל המבוגרים משתתפים בקבלת ההחלטות עד להגעה להסכמה.
אין צבירה של כוח ואין שליטים.
נוצר מצב חברתי שבו המערכת אינה מדכאת את הפרט.
מבחינת השקפת העולם, יש בחברות המטריארכליות אמונה עמוקה בלידה מחדש.
החיים והמוות נתפשים כחוזרים על עצמם שוב ושוב במחזור הישות.
הרעיון של לידה מחדש הוא קונקרטי: פירושו לחזור לתוך אותה חמולה, לכן הקְלֶאנִים מטפחים פולחנים חזקים של אמהות ואבות קדמונים, והילדים נתפשים כאבות ואמהות קדמוניים שנולדו מחדש.
הם סוגדים לאמא אדמה ולאלת היקום; העולם כולו נתפש כאלוהות נשית.
מאחר שהכול קדוש, הכול בחיים הוא חלק ממערכת סמלים.
אם כן, אלה חברות פולחניות המקיימות את תרבות האלילה.
כל אישה מאמינה שאחרי מותה היא תיוולד מחדש; מחזוריות החיים והמוות והמחזוריות של הטבע הן חלק מעולם האמונות והסמלים ההיולי והראשוני אשר מהווה מעין דת.
האם הקדומה היא המניעה את גרמי השמיים ובוראת החיים.
הקיום האנושי הוא המשך ישיר למעגליות החיים והטבע, וההפרדה בין הטבע לתרבות היא טעות פטריארכלית.
בפרספקטיבה המטריארכלית מוות מוביל לחיים, וחיים מובילים לטוב, התכתשות בין טוב לרע איננה קיימת, אין יחס לאף סוג / מין כחלש יותר או חזק יותר.
אין דואליות של טוב ורע באותו הסמל.
הקדושה מפוזרת במרכיבי חיים שונים: כל דבר מסמל משהו, כל בית הוא קדוש, כל מעשה ביום יום הוא בעל משמעות קדושה.
כלכלתן של חברות מטריארכליות מבוססת על חקלאות זעירה וסחר חליפין.
בעבר החקלאות הייתה בעיקרה גידול פירות וירקות בגינות, אך במאה האחרונה ישנה גם חקלאות שלחין.
הנשים הן הבעלות של האדמה, כלומר, יש להן שליטה על אמצעי היצור.
התוצר מחולק על פי מערכת שוויונית, שפועלת בדומה לחלוקה תוך משפחתית, כולם נהנים יחד מהתוצר.
עקרונות השיתוף והשוויון פועלים באופן מודע.
היתרונות והחסרונות הקשורים בקניית סחורות מושפעות מחוקים חברתיים: אם העושר מתחיל להתפתח אז מתבצעת חלוקה מחדש ביוזמת המתעשרות וזאת באמצעות חלוקת משאבים.
לדוגמה: אירועים בהם השבט שקיבל הכי הרבה יבול מארח את הפסטיבל ומחלק בו את העודפים.
הערך המוביל את הפעולות הכלכליות השונות, ומקביל לתחרותיות בעולם המודרני, הוא הנתינה.
מטריות שרבורג הוא סרט מחזמר/אופרה צרפתי בבימויו של ז'אק דמי שיצא בשנת 1964.
כל משפט ומשפט בסרט מולחן ומושר, כמו באופרה.
ברוב הסרט הזמרה הוקלטה על ידי זמרים ולא על ידי השחקנים.
המוזיקה למחזמר נכתבה על ידי מישל לגרן.
גברת אמרי ובתה ז'נבייב מוכרות מטריות בבוטיק שלהן בשרבורג.
ז'נבייב (קתרין דנב) בת ה-17, מתאהבת בגִי (נינו קסטלנובו, בצרפתית: Guy), מכונאי רכב במוסך.
גי גר עם הסנדקית שלו אליז החולה ועם המטפלת המסורה שלה מדלן.
ז'נבייב וגי מאוהבים מאוד ואף מתחילים לבנות תוכניות לעתיד שבהם כלולים: חתונה, ילדה שתקרא פרנסואז ותחנת דלק פרטית משלהם שתהיה עסק מצליח.
בנובמבר 1957 מקבל גי זימון מהצבא לשרת באלג'יריה, שם מתרחשת מלחמה.
במרץ 1958 מגלה ז'נבייב, לאחר ביקור אצל רופא, שהיא בהריון מגי.
היא מיואשת מכך שלא קיבלה מכתבים חדשים מגי ובעצת אמה היא נישאת לרולן קסאר, סוחר תכשיטים עשיר.
במרץ 1959 גי חוזר מאלג'יריה ומגלה כי ז'נבייב התחתנה, ונעשה אדם ממורמר.
אליז נפטרה לאחר שראתה כי הוא שב.
בעזרת הירושה שנותרה לו ממנה הוא קונה תחנת דלק.
גי מתחתן עם מדלן, המטפלת של אליז, אשר עזרה לו בתקופה הקשה לאחר שנודעה לו הבשורה אודות אהובתו.
בחג המולד בשנת 1963 עוברת בתחנת הדלק מכונית ובה ז'נבייב עם בתה (שהיא גם בתו של גי).
היא נפגשת עם גי ומגלה כי הוא נשוי וכי יש לו ילד.
הוא לא מעוניין לדבר עם בתו, פרנסואז, שנותרה במכונית.
ניכר כי הוא עדיין אוהב אותה, אך הוא נותר נאמן לבחירתו.
הסרט מסתיים בכך שתוך כדי עזיבתה של ז'נבייב, גי משחק עם בנו, פרנסואה, בשלג.
הסרט זכה בפסטיבל קאן בפרס הסרט הטוב ביותר (פרס דקל הזהב), והיה מועמד לפרס האוסקר בחמש קטגוריות וביניהן הסרט הזר הטוב ביותר והסיפור והתסריט הטוב ביותר.
באלגברה ליניארית, מטריצה אוניטרית היא מטריצה ריבועית מעל המספרים המרוכבים המקיימת את התנאי
כאשר היא מטריצת היחידה, ו־ הוא הצמוד ההרמיטי של מטריצה A.
מטריצה אוניטרית היא מקרה פרטי של מטריצה נורמלית.
מטריצה אורתוגונלית היא מקרה פרטי של מטריצה אוניטרית שכל רכיביה הם מספרים ממשיים.
מטריצה אוניטרית שומרת מכפלה פנימית: (כאן נעזרנו בתכונות הצמוד ההרמיטי במכפלה פנימית)
מטריצה אוניטרית שומרת על נורמה, כלומר .
כתוצאה מכך, הערך המוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1, ולכן כל ערכיה העצמיים של מטריצה אוניטרית נמצאים על מעגל היחידה של המישור המרוכב.
אם A אוניטרית אז ו־ הן גם אוניטריות.
מטריצה מעל שדה היא אוניטרית אם ורק אם שורותיה הן בסיס אורתונורמלי של ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית בו.
קבוצת המטריצות האוניטריות מסדר n מהווה חבורה כאשר הפעולה הבינארית של החבורה היא כפל מטריצות ומסומנת .
תת-חבורת המטריצות האוניטריות עם דטרמיננטה השווה ל-1 נקראת "חבורת המטריצות האוניטריות המיוחדות" ומסומנת .
באלגברה ליניארית, מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה ריבועית שרכיביה ממשיים ומקיימת את התנאי , כאשר היא מטריצת היחידה, ו- היא המטריצה המשוחלפת של .
למטריצות כאלו יש דטרמיננטה שהיא 1+ או 1-.
לכפל במטריצה כזו יש תכונה חשובה: הוא שומר על אורך של וקטורים, וגם על הזווית ביניהם.
העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות בסיס אורתונורמלי למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית.
למטריצות אורתוגונליות ישנן מספר הגדרות שקולות, החשובות בהן הן:
, כלומר שהכפל של וקטורים ב-משמר מכפלה סקלרית.
העמודות של המטריצה הן בסיס אורתונורמלי.
השורות של המטריצה הן בסיס אורתונורמלי.
2 הקריטריונים האחרונים דומים זה לזה והם שקולים מאחר שאם אורתוגונלית, כך גם .
אוסף המטריצות האורתוגונליות בגודל מעל שדה F סגור לכפל, והוא מהווה חבורה אלגברית שמקובל לסמן ב- .
מעל שדה המספרים הממשיים, היא חבורה קומפקטית.
המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1 נקראות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות", והן מרכיבות את תת-החבורה של .
בשדה ממאפיין שונה מ-2, היא תת-חבורה מאינדקס 2 (מעל שדה ממאפיין 2, שתי החבורות שוות).
המטריצות הסקלריות האורתוגונליות הן , ומגדירים את חבורות המנה ו- .
המטריצה שייכת ל- אם ורק אם n זוגי.
לכן, כאשר n זוגי, ארבע החבורות שונות זו מזו, ואילו כאשר n אי זוגי, ו- .
מעל שדה המספרים הממשיים, כוללת את מטריצות הסיבוב בכל זווית אפשרית.
חבורה זו, שהיא אבלית, איזומורפית לחבורה המעגלית של המספרים המרוכבים בעלי נורמה 1, וגם לחבורת המנה .
ליפוף כפול של המעגל (כלומר, זיהוי הקצוות ) נותן את אותה חבורה, ולכן .
החבורה כוללת איבר נוסף, , המתאים לשיקוף סביב ציר ה-x, ואת כל המכפלות של בסיבובים.
מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה אוניטרית מעל הממשיים.
מטריצה אוניטרית מקיימת: כאשר ותכונה הנובעת מזה היא שעמודותיה ושורותיה פורשות את .
מטריצה אוניטרית שומרת על נורמה, .
כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
אם A אוניטרית ו- גם הן אוניטריות.
מטריאליזם היסטורי היא גישה מתודולוגית לחקר החברה, התרבות, הכלכלה וההיסטוריה.
מטריאליזם היסטורי מחפש אחר הסיבות להתפתחות ושינויים בחברות אנושיות, באופן בו אנשים, באופן קולקטיבי, מנהלים את המשאבים שלהם (ומכאן השם "מטריאליזם").
הגישה גורסת כי הכלכלה היא הגורם המרכזי בהתעצבותה של החברה - שאר מאפייני החברה כגון מעמדות חברתיים, דפוסים אורבניים, צורות משטר, אידאולוגיות ותרבות הפנאי נועדו לתמוך במבנה הכלכלי, תוך דגש על שימור מעמדם של העשירים ובעלי האמצעים.
הגישה נוסחה לראשונה על ידי קרל מרקס, אף כי לא השתמש במושג זה כי אם התייחס לזה כ"מטריאליזם פילוסופי".
מונח זה מבחין בין הפילוסופיה לבין מה שהוא כינה "מטריאליזם פופולרי".
מאז מותו של מרקס הגישה הורחבה ופותחה על ידי אלפי מחקרים אקדמיים וכך הפכה לאבן דרך בדוקטרינה הקומוניסטית המודרנית.
לפי עקרון היסוד בגישתו של מרקס, על פי רעיון זה, היסטוריה מתפתחת על פי אופן הייצור המרכזי בחברה:
בשלב הראשון החברה הורכבה מציידים ומלקטים: אין השפעה על הטבע.
בשלב השני החברה האגרארית: הפעלת מניפולציה על הטבע.
בשלב השלישי החברה תעשייתית: המניפולציה על הטבע גדלה באופן משמעותי, הכלכלה התעשייתית יוצרת שינוי אדיר בשגרת החיים של בני האדם (למשל עיור).
מרקס טען שבכל שלב יש מעמד מנצל ומעמד מנוצל: בחברה העתיקה: אדון ועבד.
בחברת ימי הבינים: אדון וצמית ובחברה התעשייתית: בעל ההון/בורגני והפועל/הפרולטריון.
מבנה העל הוא החלק השני של המטריאליזם ההיסטורי.
הוא בא לשימור הבסיס - יחסי הייצור.
מבנה העל הוא המבנה של החברה והגורמים המשפיעים שלה.
הוא מורכב מחוקים, לאומיות, אידאולוגיה, תקשורת, דת וכל גורם אחר המשפיע על הנתין – מסיט את המעמדות המנוצלים, מהאמת שהם בעצם מנוצלים.
מבנה העל כיום יוצר צרכים ומספק אותם ובכך מסיח את דעת החברה מהניצול של יחסי הייצור.
מטריית קוקטייל היא מטרייה או שמשייה קטנה העשויה נייר או קרטון וקיסם עץ.
מטריות אלה משמשות לעיטור מזון - ובעיקר לעיטור קינוחים וקוקטיילים.
ניתן לפתוח את המטרייה ולסגור אתה כפי שפותחים מטרייה רגילה.
הדבר מתבצע באמצעות צלעות המטרייה המחוברות לגליל סביב מקל המטרייה.
מקורן של מטריות אלה, ככל הנראה במזרח הרחוק, בסין או ביפן והם פיתוח של האוריגמי היפני.
השימוש הראשון שנעשה במטריות לעיטור משקאות היה ברשת המסעדות בסגנון הפולינזי טריידר ויק (Trader Vic) בקליפורניה, ביוזמת הבעלים של הרשת, ויקטור ברגרון (Victor J.
Bergeron), במטרה לעורר אווירה אקזוטית בסגנון פולינזי.
המטריות הופיעו גם ברשת המסעדות Don the Beachcomber, אף היא בסגנון פולינזי, שם הם שמשו לעיטור מזון (לא משקאות).
הרעיון נלקח ממסעדות סיניות שפעלו בקליפורניה, שם עיטרו המטריות מאכלים סיניים.
מַטריוֹשקָה (; נגזר מהשם מטריונה שהיה אחד מהשמות הנפוצים בתחילת המאה העשרים.
בישראל מכונה גם בבושקה, מרוסית: Бабушка, סבתא) היא סדרה של בובות חלולות, עשויות עץ, הנתונות זו בתוך זו.
המטריושקה החיצונית היא הבובה הגדולה ביותר, ובתוכה בובה נוספת, קטנה ממנה במקצת כך שתוכל להיכנס בתוך הבובה הגדולה.
בתוך המטריושקה הקטנה יותר נמצאת בובה קטנה קצת יותר, וכן הלאה.
כל אחת מן הבובות, פרט לפנימית ביותר עשויה משני חלקים: עליון ותחתון.
החלק העליון מעוגל ומזכיר צורה של ראש וכתפיים, החלק התחתון שטוח ומאפשר עמידה יציבה של הבובה על השולחן.
במטריושקה טיפוסית יש בין ארבע לשבע בובות הנתונות זו בתוך זו.
הבובה הפנימית ביותר (שהיא גם הקטנה ביותר) אינה חלולה.
המטריושקה המסורתית היא בדמות של אישה החובשת על ראשה מטפחת.
המטריושקה, שצורתה החיצונית מבוססת על בובה יפנית, נחשבת לסמל בעיני העם הרוסי.
בשלהי המאה ה-19 החלו לייצר אותה גם ברוסיה.
בובת מטריושקה הוצגה לראשונה בתערוכה העולמית בפריז בשנת 1900. במהלך שנות ה-20 של המאה ה-20 התגבש עיצובה הנוכחי.
השם Матрёшка ("מטריושקה") נגזר מהשם הרוסי נשי Матрёна ("מטריונה").
מקור שם זה הוא מן המילה הלטינית «mater», שפירושה "אמא".
דמות המטריושקה מעוצבת כמו אמא טובת לב, בריאה ושמנמנה.
בעברית ישראלית הבובה קרויה לעיתים "בבושקה" (סבתא ברוסית).
שם זה לבובה קיים במספר שפות סלאביות כמו קרואטית, סלובנית וסרבית.
בסדרת הטלוויזיה "החפרפרת" השתמשו היוצרים במטריושקה שהולכת ונפתחת, וכל בובה זועמת יותר מקודמתה.
בכך המחישו היוצרים את מורכבות העלילה, המורכבת מהונאה על גבי הונאה על גבי הונאה.
עלילת סדרת ההנפשה "גיבורי העיירה" עסקה בעיירה שכל תושביה היו מטריושקות.
המשוררת דליה קווה השתמשה במילה בבושקה בשירה "שורת נשים שקטה" כדימוי לשרשרת הדורות.
משחק הווידאו "Stacking" מתקיים בעולם בו יצורים חיים וחפצים הם מטריושקות, ומגולל את סיפורו של בן למשפחת מנקי ארובות שחיה בזמן המהפכה התעשייתית.
מטריצה חוץ-תאית, או משתית חוץ-תאית , היא החלק ברקמות בעלי חיים שמקיף את התאים ומספק להם תמיכה מבנית.
מעבר לפונקציה המבנית של המטריצה היא משמשת למגוון תפקידים, כגון הפרדת רקמות אחת מהשנייה ובקרה על תקשורת בין-תאית.
בנוסף, היא מעכבת טווח רחב של גורמי גידול ומהווה מעין מחסן עבורם.
שינויים בתנאים הפיזיולוגיים יכולים להפעיל פרוטאזות שישחררו את הגורמים ללא צורך בסינתזה שלהם מחדש.
יצירת המטריצה החוץ-תאית חיונית עבור תהליכים כמו גדילה, ריפוי פצעים ופיברוזיס (יצירת רקמת חיבור).
ידע על מבנה המטריצה עוזר להבין את התהליכים המורכבים של פלישת גידולים, משום שיצירת גרורות תלויה בדרך כלל בהרס המטריצה החוץ-תאית על ידי אנזימים כמו סרין ותראונין פרוטאזות ומטריקס מתלופרוטינאז.
בתורת ההסתברות, מטריצה אקראית היא מטריצה שרכיביה הם משתנים מקריים בעלי התפלגות נתונה.
מטריצות אקראיות משמשות מודל למערכות פיזיקליות חשובות, כמו קיבול החום של גבישים או ספקטרום הפליטה של גרעין האטום, ומשמשות לניתוח מערכות כאוטיות, ובכאוס קוונטי.
בנוסף לשימושיהן בתחומים שונים בפיזיקה, יש למטריצות אקראיות שימושים בהסתברות, סטטיסטיקה, אנליזה נומרית, תורת האופרטורים, תורת המספרים האנליטית, כמו גם קשרים להשערת רימן.
התוצאה הבסיסית בתורת המטריצות האקראיות היא חוק חצי המעגל של ויגנר, שלפיו לערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית אקראית (כשלהתפלגות הרכיבים יש מומנטים מכל סדר ושחוץ מדרישת הסימטריה, הרכיבים בלתי תלויים) יש התפלגות שצורתה כחצי עיגול: אם בוחרים ערך עצמי אקראי של מטריצה מסדר n, אז
במודל זה, הערכים העצמיים תלויים זה בזה, וההפרשים בין ערכים עצמיים סמוכים, שהם הרבה יותר קשים לניתוח, מצייתים להתפלגות ויגנר-דייסון.
מחקר המטריצה האקראית החל על ידי , שעסק באנליזת מידע, והמשיך אצל יוג'ין ויגנר במסגרת מחקרו על גרעין האטום באטומים כבדים.
בראשית שנות ה-60 של המאה ה-20 פותחה תורה מתמטית, עצמאית משימוש ספציפי, של מטריצות אקראיות.
אחד החוקרים הנודעים בתחום הוא הישראלי עפר זיתוני.
מטריצה דלילה היא מטריצה שמרבית איבריה בעלי ערך אפס.
למטריצה דלילה חשיבות ליעילותם של חישובים נומריים שונים שבהם ניתן להסתפק במעבר רק על איברי המטריצה שאינם בעלי ערך אפס ולקומפקטיות באחסון מידע בינארי.
ישנם מספר פורמטים לאחסון מטריצה דלילה, כאשר ניתן להבדיל בין פורמטים תומכי עדכון יעיל של המטריצה, כגון: DOK, LIL, COO ופורמטים התומכים בפעולות מטריצה יעילות (כפל מטריצות, שחלוף וכו'), כגון: CSR ו-CSC.
לרוב נעשה שימוש בפורמטים תומכי פעולה יעילה.
המימוש הטריוויאלי של מבנה נתונים המייצג מטריצה מסדר m על n, (כאשר n,m הם מספרים טבעיים) הוא מערך דו־ממדי בעל ממדים מתאימים n,m כאשר כל תא במטריצה נגיש במערך באמצעות האינדקסים j,i.
כדי לייצג מטריצה מסדר m×n בזיכרון נדרש להקצות זיכרון בגודל לפחות m×n פעמים גודל האיבר הבודד.
בהרבה מטריצות מסדרים גבוהים שכאלו ויותר שמרבית תאיהן מכילות את הערך 0 נתקל בעת פתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות.
כאשר מדברים על מטריצה דלילה מדברים על מטריצה בה רוב התאים מכילים את הערך 0, אך ניתן (לרוב לא רצוי) להחיל את העיקרון על כל ערך קבוע.
יכולת זו לא נתמכת באופן מוחלט מאחר שיש לערך השפעה על האופן בו מחשבים פעולות על מטריצות דלילות, אך בעבור מטריצה A וערך c קבוע A - c = B כאשר B היא מטריצה בה הערך 0 החליף את ערכי c כנדרש.
נחלק את השיטות השונות לאחסון מטריצה דלילה לשתי קבוצות:
בהרבה מקרים ההבדל בביצועים הוא משמעותי ויהיה צורך לבנות את המטריצה הדלילה כמטריצה מהקבוצה הראשונה ובהמשך להמיר אותה למטריצה מהקבוצה השנייה במקום לבחור בשיטה אחת.
נדגים את השיטות המצוינות למטה באמצעות המטריצה הבאה:
שיטות המאפשרות שינוי יעיל של המטריצה
DOK היא שיטה לייצוג התאים השונים מ-0 במטריצה כמיפוי זוג סדור המכיל את המיקום של התא במטריצה הקונקרטית המקבילה לערך באמצעות מפה.
LIL היא שיטה לייצוג התאים השונים מ-0 במטריצה באמצעות הקצאת רשימה עבור כל שורה, כאשר כל תא בשורה מאחסן ערך ומספר עמודה בה היה התא במטריצה הקונקרטית המקבילה.
COO היא שיטה לייצוג התאים השונים מ-0 במטריצה כמערך של שלישיות סדורות המכילות את המיקום והערך של תא במטריצה הקונקרטית המקבילה.
שיטות המאפשרות פעולות יעילות על המטריצה
אם יש צורך לבנות את המטריצה הדלילה באופן דינאמי, יש לבנותה עם אחת השיטות DOK,LIL,COO ואז להמירה לאחת מהשיטות הבאות:
שיטת Yale מאחסנת מטריצה דלילה מסדר m×n בתצורת שורה (משמע ע"פ שורה, שורה ואז טור) באמצעות 3 מערכים, A, IA, JA.
A, בגודל nz, הוא המערך המכיל את הערכים השונים מאפס סדורים לפי השורה והטור (משמאל לימין ואז מלמעלה למטה).
IA, בגודל m+1 (מספר השורות + 1), מכיל את מספר האינדקס המכיל את הערך הראשון השונה מאפס במערך A בשורה שהאינדקס שלה הוא אינדקס התא הנוכחי.
JA, בגודל nz, הוא המערך המכיל את מספרי הטור של כל אחד מהערכים השונים מאפס לפי סדרם ב-A.
שיטת CSR למעשה זהה לשיטת Yale, מלבד שמערך הטורים מאוחסן לפני מערך השורות, משמע (val, col_ind, row_ptr).
שיטה זו יעילה עבור פעולות ארתמטיות, גזירת שורות ספציפיות ומכפלת מטריצה-וקטור.
שיטת CSC דומה לCSR, ההבדל טמון בכך שבעוד CSR היא בתצורת שורה, CSC היא בתצורת טור, משמע במקום לשמור מערך המכיל מצביעים אל תחילת כל שורה במערך הערכים, יהיה מערך המכיל מצביעים אל תחילת כל טור במערך הערכים (ובהתאמה המערך הנוסף המייצג את הקורדינאטה הנוספת).
בשיטה זו אופן מילוי המערך A (מערך הערכים) יהיה מלמעלה למטה ואז מימין לשמאל.
מטריאכאנטוזאורוס (שם מדעי: Metriacanthosaurus) הוא סוג של דינוזאור טורף ממשפחת המטריאכאנטוזאוריים ובו מין יחיד Metriacanthosaurus parkeri.
המטריאכאנטוזאורוס הוא תרופוד ופירוש שמו הוא "לטאה בעלת מפרש בינוני".
הוא חי בסוף תקופת היורה מלפני כ-160 מיליון שנה.
הוא נתגלה לראשונה ב-1923 ואורכו הממוצע כ-6 מטרים.
בסדרת סרטי פארק היורה, שם המטריאכאנטוזאורוס מוזכר בגרסה מ-1993. שמו רשום על אחד הבקבוקונים בחדר הקירור של העוברים, אותם גונב נדרי.
המטריאכאנטוזאורוס נראה גם בסרט עולם היורה בתוך מחשב, אך אינו מופיע על המסך.
המטריאכאנטוזאורוס מופיע בסדרת המשחקים היפנית "מלך הדינוזאורים", ובמשחקי המחשב Jurassic World Evolution, במשחק "בעולם היורה" וב-Jurassic World Evolution 2.
מטריינית אמזונית (שם מדעי: Cephalopterus ornatus) היא עוף טרופי החי בטבע ביערות גשם באמריקה הדרומית.