tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
עם זאת, ניתן לתת למקרים אלה גם הסברים חלופיים, כגון ערכים משפחתיים חינוך מוצלח במיוחד לו זכו, והיותם של הוריהם דמויות מופת, ומעמד חברתי שכיוונו את הילדים אל תחומי העניין של הוריהם.
ההתנגדות להשערת הגאונות התורשתית נובעת גם מקיומם של מקרים של גאונות שהופיעה "יש מאין" מבחינה תורשתית - גאונים שהוריהם לא היו בעלי כישרון יוצא דופן בתחומם, כגון סריניוואסה רמנוג'אן ואייזק ניוטון.
קיימים גם מקרים של אנשים שפיתחו יכולות יוצאות דופן בתחומים ספציפיים לאחר תאונה או מחלה.
מכך ניתן לשער כי גאונות קשורה למבנה המוח המאקרוסקופי.
אך אין בכך תשובה חד משמעית לשאלה.
מבנה המוח יכול להיות מושפע מתורשה, מגורמים סביבתיים מתמשכים כגון חינוך ותזונה, או מאירועים חד פעמיים, ואין למדע עדיין הבנה של התהליכים המעורבים בכך ואף קיים ספק האם תתגלה ההבנה.
ניתן לראות סוגיה זו כחלק ממחלוקת רחבה יותר - השאלה אם אינטליגנציה היא תכונה תורשתית או נרכשת.
לשאלה זו אין תשובה חד משמעית, למרות שנים רבות של מחקרים ונתונים סטטיסטיים שנאספו לצורך אישוש כל אחת מההשערות, אך יש לה משמעויות פוליטיות בהקשר של מאבקים בין גזעיים ותרבויות.
עם התקדמות הבנת הגנום האנושי, טוענים מומחים בתחום הגנומיקה כיום כי מעבר בתורשה הוא מודל פשטני מדי לרוב התכונות האנושיות, רעיון התורשה במובנו הקלאסי אינו כלי שימושי, במיוחד עבור תכונות מורכבות כמו אינטליגנציה, והשימוש בו הוא חסר תוקף מדעי.
מאחר שגאונות היא מעצם הגדרתה אירוע נדיר ביותר, בלתי אפשרי להסיק מסקנות מתוך הדוגמאות הבודדות.
בעולם התחרותי המודרני, תדמיתו של אדם כגאון יכולה להיות תוצאה של נסיבות שאינן קשורות רק לכישוריו האינטלקטואליים, כגון יחסי ציבור, קשרים חברתיים, אופי (רדיפת פרסום, דבקות במטרה, הצלחה בהשגת תקציבים, יכולת מינוף עבודת אנשים אחרים, ועוד), ואף צירופי מקרים (הצלחה מקרית במחקר, חשיפה מקרית לרעיונות או לבעיות הדורשות פתרון).
גאומטריה היפרבולית היא גאומטריה לא אוקלידית שבה האקסיומה החמישית של אוקלידס, אקסיומת המקבילים, מוחלפת באקסיומה הבאה:
דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה.
במהלך השנים שאחרי פרסום הספר "יסודות" של אוקלידס (שלימים היווה את הבסיס לגאומטריה שנקראת על שמו: "גאומטריה אוקלידית"), הייתה מקובלת התחושה שאקסיומת המקבילים (הקובעת שדרך נקודה שמחוץ לישר עובר קו מקביל אחד ויחיד) אינה 'טבעית' ומובנת מאליה כמו יתר האקסיומות של הגאומטריה.
תחושה זו הביאה לניסיונות חוזרים ונשנים להוכיח את האקסיומה החמישית כמשפט גאומטרי.
כל הניסיונות מסוג זה כשלו, עד שבמאה ה-19, המתמטיקאים גאוס, בויאי ולובצ'בסקי הגיעו במקביל (כל אחד בנפרד) למסקנה שהאקסיומה החמישית אינה נובעת מן האקסיומות האחרות.
הם הגיעו להבנה, שניתן להחליף את האקסיומה המקובלת בזו המצוינת לעיל, ולקבל מבנה גאומטרי עשיר ומעניין, גם אם שונה מהגאומטריה האוקלידית המוכרת.
אחד ההבדלים הבולטים הוא שבגאומטריה היפרבולית, סכום הזוויות במשולש קטן מ-180 מעלות.
גאומטריה היפרבולית מישורית היא גם הגאומטריה שמתקיימת על פני משטחים "אוכפיים" בכל מקום או משטחים פסאודוספיריים, דהיינו משטחים עם עקמומיות גאוס שלילית קבועה.
הגאומטריה ההיפרבולית קרובה יותר לגאומטריה האוקלידית מכפי שנראה במבט ראשון: ההבדל האקסיומטי היחיד הוא באקסיומת המקבילים.
כאשר מסירים את אקסיומת המקבילים מהגאומטריה האוקלידית נוצרת גאומטריה הנקראת גאומטריה אבסולוטית.
ישנם שני סוגים של גאומטריה אבסולוטית: אוקלידית והיפרבולית.
כל המשפטים של הגאומטריה האבסולוטית, שכוללים את 28 הטענות הראשונות בספר הראשון של היסודות של אוקלידס, תקפים הן בגאומטריה אוקלידית והן בהיפרבולית.
טענות 27 ו-28 בספר הראשון של היסודות מציגות את התכונה של קווים מקבילים/לא נחתכים.
להבדל האקסיומטי בין הגאומטריה האוקלידית להיפרבולית יש השלכות רבות: מושגים שהם שקולים זה לזה בגאומטריה אוקלידית אינם שקולים בגאומטריה היפרבולית; מושגים חדשים חייבים להיות מוצגים.
יותר מכך, בגלל זווית ההקבלה, לגאומטריה ההיפרבולית יש קנה מידה אבסולוטי, שמכתיב קשר בין מדידות זוויות למרחקים.
לישרים יחידים בגאומטריה היפרבולית יש בדיוק אותן תכונות כמו קווים ישרים בגאומטריה אוקלידית.
לדוגמה, שתי נקודות מגדירות ישר היפרבולי יחיד, ישר זה הוא המסלול הקצר ביותר בין שתי הנקודות (מסילה גאודזית), וניתן להמשיך את הישרים (לשני הכיוונים) במידה אינסופית.
לזוג ישרים נחתכים יש בדיוק אותן תכונות כמו לזוג ישרים נחתכים בגאומטריה אוקלידית.
למשל, שני ישרים לעולם לא נחתכים ביותר מנקודה אחת, הזוויות הקודקודיות שנוצרות בנקודת החיתוך שוות, וכמו כן זוויות צמודות הן משלימות ל-180 מעלות.
כאשר מוסיפים ישר שלישי אז התכונות של ישרים היפרבוליים נחתכים הופכות שונות מאלו של ישרים נחתכים בגאומטריה אוקלידית.
לדוגמה, בהינתן 2 ישרים נחתכים ישנם אינסוף ישרים היפרבוליים שאינם חותכים את אף אחד מצמד הישרים הנתונים.
כל התכונות הללו אינן תלויות במודל של המישור ההיפרבולי בו משתמשים, אף על פי שהישרים עשויים להיראות שונים ביותר במודלים שונים.
לישרים לא נחתכים בגאומטריה היפרבולית יש תכונות ששונות מאלו של ישרים לא נחתכים בגאומטריה אוקלידית:
בעבור כל ישר R ונקודה P שלא נמצאת על R, אז במישור שמכיל את הישר R והנקודה P ישנם לפחות שני ישרים שונים דרך P שלא חותכים את R.
פירוש הדבר שדרך P ישנם אינסוף ישרים שנחים באותו מישור ואינם חותכים את R.
את הישרים הלא-נחתכים הללו נהוג לחלק לשתי קבוצות:
שניים מהישרים (x ו-y באיור משמאל) הם "מקבילים גבוליים" (limiting parallels): ישנו אחד כזה בכיוון של כל אחת מהנקודות האידיאליות (נקודות באינסוף) שב"קצוות" של R, וכל אחד כזה מתקרב אסימפטוטית ל-R, אך לעולם אינו פוגש אותו.
לכל אחד מהישרים הלא-נחתכים האחרים יש נקודה של מרחק מינימלי מ-R והם מתבדרים מן הישר בשני צידיה של הנקודה הזאת.
ישרים אלו מכונים "אולטרה-מקבילים" (ultraparallel), ולעיתים גם "מקבילים מתבדרים".
ישנם מחברים שמשתמשים במונח ישרים "מקבילים" כדי להתייחס ל"מקבילים גבוליים" ובמונח ישרים "בלתי נחתכים" כדי להתייחס לקווים "אולטרה-מקבילים".
המקבילים הגבוליים הללו יוצרים זווית θ עם PB; זווית זו תלויה רק בעקמומיות גאוס של המישור ההיפרבולי בו עוסקים ובמרחק PB והיא נקראת זווית ההקבלה.
בעבור קווים אולטרה-מקבילים, משפט הקווים האולטרה-מקבילים קובע כי ישנו ישר יחיד במישור ההיפרבולי שניצב לצמד ישרים אולטרה-מקבילים.
בשונה ממשולשים אוקלידיים, בהם הזוויות תמיד נסכמות ל-π רדיאנים (180 מעלות), בגאומטריה היפרבולית סכום הזוויות של משולש היפרבולי תמיד קטן מ-π רדיאנים.
את ההבדל מכנים מגרעת זוויתית.
באופן כללי יותר, המגרעת של מצולע היפרבולי קמור בעל הוא סכום זוויותיו המחוסר מ-.
השטח של משולש היפרבולי ניתן על ידי מכפלת המגרעת הזוויתית שלו (ברדיאנים) ב-R2 (כאן R הוא רדיוס העקמומיות המתאים למישור ההיפרבולי הנידון).
כתוצאה ישירה, לכל המשולשים ההיפרבוליים יש שטח שקטן או שווה ל-R2π.
השטח של משולש אידיאלי (משולש שכל צלעותיו אסימפטוטיות זו לזו) שבו כל הזוויות הן 0° שווה לחסם העליון הזה.
בכך נעוץ אחד ההבדלים המהותיים בין הגאומטריה ההיפרבולית לאוקלידית - לגאומטריה היפרבולית יש קנה מידה אבסולוטי טבעי; קיים קשר בין תוצאות מדידות של מרחק לתוצאות מדידת זוויות.
בדומה לגאומטריה כדורית או אליפטית, בגאומטריה היפרבולית אם שני משולשים דומים אז הם בהכרח חופפים.
בגאומטריה היפרבולית, ההיקף של מעגל בעל רדיוס r גדול יותר מ-.
יהי , כאשר היא עקמומיות גאוס של המישור.
בגאומטריה היפרבולית, העקמומיות שלילית, כך שהשורש הריבועי מקודם הוא מספר חיובי.
ההיקף של מעגל בעל רדיוס r שווה ל-:
והשטח של הדיסק התחום במעגל זה הוא:
לפיכך, בגאומטריה היפרבולית היחס בין היקף המעגל לרדיוסו תמיד גדול יותר מ-, על אף שניתן להתקרב ליחס זה באופן שרירותי באמצעות בניית מעגל קטן מספיק.
אם עקמומיות גאוס של המישור היא 1- אז העקמומיות הגיאודזית של מעגל בעל רדיוס r היא: .
בגאומטריה היפרבולית, אין ישר אשר כל נקודותיו הן שוות מרחק מישר אחר.
במקום זאת, המקום הגאומטרי של כל הנקודות המצויות באותו מרחק אורתוגונלי מישר נתון הוא עקום בשם היפר-מעגל.
עקום מיוחד אחר הוא ה"הורוצייקל", המכונה גם "מעגל גבולי", שהוא העקום אשר כל הקווים הנורמליים לו הם מקבילים גבוליים אחד של השני (כולם מתכנסים אסימפטוטית בכיוון אחד לאותה נקודה אידיאלית, שהיא גם מרכז המעגל הגבולי).
ניתן לראות בעקום זה מעגל שרדיוסו שואף לאינסוף; בפרט, כל ההורוצייקלים חופפים זה לזה.
בניית המעגל הגבולי ייחודית לגאומטריה ההיפרבולית, ומבדילה אותה מן הגאומטריה האוקלידית והכדורית - במישור האוקלידי מעגל שרדיוסו שואף לאינסוף הוא פשוט ישר; לעומת זאת, המעגל הגבולי של המישור ההיפרבולי אינו ישר ואינו מעגל, אלא סוג חדש של עקום.
באופן כללי, עבור עקומים בעלי עקמומיות גיאודזית קבועה במישור היפרבולי, רק החל מערך קריטי מסוים של (גדול מאפס) מתקבלות לולאות סגורות (מעגלים), כאשר עבור אותו ערך קריטי של מתקבל המעגל הגבולי (ערך קריטי זה תלוי בעקמומיות גאוס של המישור ההיפרבולי הנידון).
המקור להבדל מהותי זה מן המישור האוקלידי הוא בנטייה של קווים ישרים היפרבוליים "להתבדר" ולהתרחק אחד מהשני, כך שישרים משיקים לאותו עקום נוטים להתרחק זה מזה, וייתכן עקום עם עקמומיות קבועה שאינו נסגר על עצמו.
בהינתן שלוש נקודות שונות במישור ההיפרבולי, הן נחות על ישר, היפר-מעגל, הורוצייקל, או מעגל.
המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות שווה לאורכו של קטע הישר שמחבר ביניהן.
אורך הקשת של היפר-מעגל המחבר בין שתי נקודות גדול יותר מזו של הקו הישר שמחבר ביניהן וקטן יותר מזו של ההורוצייקל שמחבר ביניהן.
אם עקמומיות גאוס של המישור ההיפרבולי היא 1- אז העקמומיות הגאודזית של המעגל הגבולי היא 1 ושל היפר-מעגלים בין 0 ל-1. באופן כללי יותר, אם עקמומיות גאוס של המישור ההיפרבולי היא אז העקמומיות הגאודזית של המעגל הגבולי היא .
בדומה למישור האוקלידי ניתן לרצף את המישור ההיפרבולי באמצעות מצולעים משוכללים כאריחים.
ישנם אינסוף ריצופים אחידים של המישור ההיפרבולי על ידי משולשי שוורץ (p q r), כאשר p,q,r הם סדרי הסימטריה בשלושת הקודקודים של משולש התחום היסודי (זוויות המשולש הן ומתקיים ).
בנוסף על העניין הגאומטרי שהם מעוררים, לריצופים של המישור ההיפרבולי יש קשרים מעניינים לתורה של משטחי רימן ותבניות מודולריות.
מימוש המישור ההיפרבולי במסגרת מרחב אוקלידי
קיימים מגוון משטחים פסאודוספיריים אשר להם שטח סופי שלו עקמומיות גאוס שלילית קבועה, מה שגורר שישות דו-ממדית המקובעת לפני משטח כזה תחווה גאומטריה היפרבולית.
עם זאת, לפי משפט הילברט בגאומטריה דיפרנציאלית, לא ניתן להטביע איזומטרית מישור היפרבולי שלם (משטח רגולרי שלם גיאודזית בעל עקמומיות גאוס שלילית קבועה) במרחב אוקלידי תלת-ממדי.
כפועל יוצא ממשפט הילברט, לכל ניסיון לראות בפסאודוספירה משטח עליו מתקיימת גאומטריה היפרבולית (בדומה לכך שעל הספירה מתקיימת גאומטריה כדורית) נלווות בעיות מושגיות מסוימת: למשל, מסילות גאודזיות (שממלאות את תפקיד הישרים בגאומטריה היפרבולית) עשויות לחתוך את עצמן, והמשטח בכללותו שקול טופולוגית לגליל ולכן ייתכנו עקומים עליו שאינם כוויצים.
בנוסף, המישור ההיפרבולי נמשך במידה אינסופית לכל הכיוונים (ככל מישור באשר הוא) ולכן שטחו אינסופי, זאת בעוד שטח הפנים של משטח פסאודוספירי הוא סופי, ולכן משטח כזה לא יכול לייצג את המישור ההיפרבולי בשלמותו.
עם זאת, רחוק מהדיסקה הסינגולרית שבמרכזה, על הפסאודוספירה מתקיימים חוקים טריגונומטריים זהים לאלו של הגאומטריה ההיפרבולית, כפי שהראה אאוג'ניו בלטרמי, ולכן היא איזומטרית מקומית בלבד למישור ההיפרבולי.
הדרך הטובה ביותר להשתכנע שהתורה החדשה עקבית (כלומר, שאין בה סתירות) היא לבנות מודל שלה במסגרת תאוריה אחרת, מקובלת יותר.
פירושו של דבר, שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור ההיפרבולי, ומאפיינים את הנקודות ואת הקווים הישרים במישור זה.
כל שנדרש מן המודל הוא שהקווים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה.
באופן צפוי (אך אירוני), המודלים המקובלים לגאומטריה ההיפרבולית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית.
יש להבין, שקיומם של מודלים כאלה מוכיח כי אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה גם על הגאומטריה ההיפרבולית.
זו כשלעצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) בלתי תלויה באקסיומות הגאומטריות האחרות (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של תורת הקבוצות, דרך המודל הסטנדרטי של המרחב האוקלידי).
את המישור ההיפרבולי ניתן לאפיין, כמרחב עם תבנית דיפרנציאלית, כמשטח רימן שלם פשוט קשר בעל עקמומיות בכל נקודה.
מבחינה טופולוגית, הוא מהווה כיסוי אוניברסלי לכל משטח רימן בעל עקמומיות קבועה ושלילית.
למישור ההיפרבולי יש כמה מודלים מקובלים, שכולם ניתנים לתיאור ובנייה במסגרת הגאומטריה האוקלידית:
מודל הדיסק של פואנקרה (שהתגלה ב-1868 על ידי בלטרמי ), המישור ההיפרבולי הוא עיגול, ששפתו היא מעגל מסוים.
הקווים הישרים במודל זה הם כל הקשתות של מעגלים שהם מאונכים למעגל השפה, וכן הקטרים של העיגול.
במודל זה מוגדרת מטריקה היפרבולית לפי התבנית הדיפרנציאלית: ; אלמנט מרחק זה גדל עד לאינסוף ככל שמתקרבים לשפת העיגול, בהתאמה עם כך ששפת העיגול מייצגת את כל הנקודות האידיאליות ("נקודות באינסוף").
במודל של הנדריק לורנץ, המישור ההיפרבולי הוא המחצית העליונה של היריעה , כאשר כל קו ישר הוא חיתוך של היריעה עם מישור (אוקלידי) העובר דרך ראשית הצירים.
מגרסה תלת-ממדית של מודל זה אפשר לגזור את מודל הדיסק של קליין.
המודל הרביעי, גם הוא מיוחס לפואנקרה, הוא החשוב ביותר.
זהו מודל חצי המישור העליון, שבו המישור ההיפרבולי מזוהה עם החצי של המישור המרוכב, והקווים הישרים הם חצאי מעגלים המאונכים לציר ה-X, והישרים המקבילים לציר ה-Y.
במודל זה מוגדרת מטריקה היפרבולית לפי התבנית הדיפרנציאלית .
גאון חישוב הוא אדם הניחן ביכולת חישוב יוצאת דופן.
כלומר, ביכולתו לחשב פעולות חשבוניות רבות בעל פה, בזמן קצר וללא שימוש באמצעי עזר.
כך לדוגמה, יכול אדם לברר באיזה יום בשבוע חל תאריך כלשהו בשנה מסוימת.
נהוג לייחס לגאונים מתמטיים ומדענים סגולה זו, אך גם אנשים בעלי קשיי התפתחות אינטלקטואלית או נוירולוגית, כגון אוטיסטים, יכולים להיות גאוני חישוב.
קיימים שני סוגים עיקריים הנבדלים בגיל שבו פותח היכולת, ולאופן שבו היכולת נחשפה:
מוקדם – שמיעתי בסוג זה היכולת נחשפת בגיל צעיר מאוד, אף לפני רכישת מיומנות קריאה וכתיבה.
החישוב עצמו נעשה בדרך כלל בקול רם, תוך שהם מדברים לעצמם ומבצעים פעילות תנועתית מוגזמת.
את שיטת החישוב הם פיתחו בכוחות עצמם.
מאוחר – חזותי בסוג זה היכולת נחשפת בגיל העשרה, לאחר רכישת מיומנות הקריאה והכתיבה.
החישוב עצמו נעשה בדרך כלל בשקט, תוך שהם מבצעים את החישוב בעל פה באותו אופן שהחישוב נעשה על דף נייר.
המשותף לאנשים עם יכולת זו היא שכולם שולטים היטב בארבע פעולות החשבון, כולם זוכרים ומפתחים נוסחאות מורכבות ולכולם יש יכולת מוגברת במוח בתחום הזיכרון לטווח קצר וארוך.
ג'ורג' פארקר בידר (1806–1878), אחד המהנדסים המבריקים באנגליה במאה ה-19.
שקונטולה דווי (Shakuntala Devi) (1929-2013), ילדת פלא הודית שיכלה לכפול מספרים גדולים, להוציא שורשים ולבצע חישובי לוח שנה.
זכריה דייס, גאון חישוב גרמני שיכול לבצע פעולות חישוב עם מספרים גדולים בשניות.
אלכסיס למייר, קבע "שיא עולם" בחישוב השורש ה-13 של מספרים בני 100 ו-200 ספרות.
תומאס פולר, עבד אפריקאי שהתגלה כגאון חישוב בשלהי המאה ה-18.
בסרט "איש הגשם", שזכה בארבעה פרסי אוסקר, מגלם דסטין הופמן דמות של אוטיסט גאון חישוב.
בסרט "הכוכבים של שלומי", הדמות הראשית היא גאון חישוב.
גאומטריית נהגי המוניות הוא כינוי למרחב מטרי, שבו המרחק מושרה מנורמת L1 ולא מהנורמלה האוקלידית הרגילה.
באופן איטואיטיבי, זהו מרחב שבו מודדים את המרחקים על-פי אילוצי הנסיעה של נהג מונית, במקום ב"מעוף הציפור".
מקור שמה של גאומטריית נהגי המוניות (הידועה גם בשם "גאומטריית מנהטן") בתנועתו של נהג הנוסע בעיר הבנויה כולה מגושי בניינים מלבניים (כמנהטן), שכל כבישיה מאונכים ומקבילים אלה לאלה.
מאחר שלא יוכל לעבור דרך הבניינים, יאלץ הנהג לנסוע תמיד ברשת הכבישים בכיוון צפון-דרום או מזרח-מערב.
לכן, אורך המסלול אותו יעבור נהג כזה יהיה שווה בדיוק לסכום המרחקים אותם עבר בנסיעה מערבה והמרחקים אותם עבר בנסיעה צפונה.
בדומה למרחב האוקלידי, גאומטריה הזאת הופכת את המרחב למרחב גאודזי (ולכן גם מרחב אורכים), מרחב מטרי שלם (ולכן גם מרחב בנך), וכן הטופולוגיה המושרית ממנה הומאומורפית לטופולוגיה האוקלידית הסטנדרטית.
מרחב זה הוא מקרה פרטי של מרחב Lp עבור המקרה .
על אף שגאומטריית נהגי המוניות מוגדרת בדרך כלל על המרחב ותתי-קבוצות שלו, בדומה למרחבי Lp אחרים, ניתן להגדיר מטריקות מנהטן על מרחבי סדרות ומרחבי פונקציות.
מטריקת מנהטן על מוגדרת בין הנקודות על ידי כאשר היא נורמת L1. כפי שניתן לראות בתרשים לעיל, זהו בדיוק אורכו של כל "מסלול נסיעה" מינימלי ברשת כבישים המכילה כבישים מאונכים ומקבילים.
מצולעים ומעגלים בגאומטריית נהגי המוניות
עקב המטריקה השונה, ישנם הבדלים רבים בין מאפייני הקווים, המצולעים והמעגלים בין הגאומטריה האוקלידית לגאומטריית נהגי המוניות.
בעוד שבמרחב האוקלידי המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא קטע, והוא המסלול היחיד בעל אורך מינימלי זה, במרחב מנהטן ישנם מסלולים רבים בעלי אורך מינימלי שווה .
בכל מרחב מטרי אפשר להגדיר את המעגל כמקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת שווה לגודל נתון (רדיוס המעגל).
המעגל בגאומטריית נהגי המוניות הוא ריבוע (נקודות אדומות בתרשים) שמרחקן קבוע מן המרכז (נקודה כחולה).
על ידי הקטנת רזולוציית הרשת ניתן לראות שהמעגל מורכב בדיוק מנקודות אלו.
בגאומטריה האוקלידית אורכו של אלכסון הריבוע הוא (על פי משפט פיתגורס), ובגאומטרית נהגי מוניות אורך האלכסון הוא .
באופן דומה, היקף העיגול בגאומטריה אוקלידית הוא , אולם בגאומטרית נהגי מוניות היקף העיגול הוא .
מכאן שהיחס בין ההיקף לקוטר בגאומטריה זו הוא בעוד שבגאומטריה אוקלידית הוא .
דוגמאות נוספות למרחק נהגי המוניות
כלל הדוגמאות בסעיף זה ניתנות להבנה כמרחק מנהטן הרגיל בתתי קבוצות נבחרות של .
תנועתו של הצריח בשחמט מתבצעת במאונך ובמאוזן בלבד, ולכן, מרחקו מכל משבצת בלוח נמדד כבגאומטריית נהגי המוניות.
בדומה, גם תנועתו של הרץ (בסריג המשבצות מצבע נתון) מתבצעת גם היא בשני כיוונים המאונכים זה לזה.
לכל שתי מחרוזות בינאריות מאורך זהה, מוגדר 'מרחק המינג' כמספר המקומות בהן נבדלות שתי המחרוזות.
למשל, מרחק המינג בין שתי המחרוזות:
(המקומות בהן נבדלות שתי המחרוזות מסומנים בכחול)
מרחק זה נמדד כבגאומטריית נהגי המוניות במרחב (אוסף כל הסדרות הבינאריות מאורך ).
במודל אוטומט תאי, הגודל של סביבת פון נוימן נמדד באמצעות מטריקת מנהטן.
במתמטיקה, גאומטריה פרויקטיבית עוסקת בחקר התכונות הגאומטריות שנשארות ללא שינוי (כלומר, אינווריאנטיות) כאשר מבצעים העתקות פרויקטיביות.
בהשוואה לגאומטריה האוקלידית הרגילה, לגאומטריה פרויקטיבית ישנה מסגרת אחרת, המרחב הפרויקטיבי, ומושגים בסיסיים שונים מעט.
הרעיון האינטואיטיבי המרכזי הוא שבמרחב פרויקטיבי יש יותר נקודות מאשר במרחב האוקלידי באותה ממדיות, ושמותרות טרנספורמציות שמעבירות את ה"נקודות הנוספות" (הנקראות "נקודות באינסוף") לנקודות רגילות במרחב האוקלידי, ולהפך.
ניתן לראות את הגאומטריה הפרויקטיבית כגאומטריה לא אוקלידית, שבה אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת: כל שני ישרים במישור נפגשים בנקודה.
בעוד שהרעיונות של גאומטריה פרויקטיבית היו זמינים מוקדם יותר, היא התגבשה כתחום מחקר בעיקר במאה ה-19, בעקבות מחקרים של ז'אן-ויקטור פונסלה, גספאר מונז' ואחרים בסוף המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19.
ציירים ואדריכלים מתקופת הרנסאנס האיטלקי פיתחו ושכללו את השימוש בפרספקטיבה ליניארית כדי ליצור אשליה משכנעת של עומק ותלת־ממדיות על משטח דו־ממדי.
הם נעזרו ברעיונות ראשוניים של גאומטריה פרויקטיבית, כגון נקודות נעלמות וקווים מתכנסים, כדי לתאר באופן מתמטי כיצד אובייקטים קטנים ומתקרבים לנקודות באופק ככל שהם מתרחקים מהצופה.
באיור שמשמאל מתוארות הנחות היסוד לציור בפרספקטיבה.
הצייר ניצב מול בד ציור, ומצייר את הנראה לו מאחורי הבד.
כדי לצייר עצם בעולם, יש למתוח קו ישר מהעצם אל עין הצייר, ולחתוך את הקו ישר עם מישור הבד.
נקודת חיתוך זו, הנקראת נקודת המגוז, היא המקום על הבד בו צריכה להיות מצוירת הנקודה המקורית.
בגישה זו אין התייחסות להשפעה של שתי העיניים על הראייה.
צייר הניצב מול מושא הציור שלו יכול לצייר בדיוק יחסי גם בלא צורך בתאוריה מתמטית מורכבת.
הצייר יכול, למשל, למדוד בעין מרחקים במושא הציור שלו בעזרת סרגל המוחזק בידו הפשוטה קדימה, ולהעתיק מרחקים אלו אל הדף.
עם זאת, ציירי הרנסאנס ציירו תכופות את התמונות מדמיונם.
בפרסקו של מזאצ'ו "השילוש הקדוש" (משמאל) מתואר ישו הצלוב בחזיתו של מבנה בעל עיצוב מורכב (קמרון חבית שתקרתו מרוצפת בתיבות).
על מנת לצייר מבנה כגון זה בדיוק הנדרש היה על הצייר (כפי הנראה) לשרטט מראש מבנה כזה בתרשימי צד ובסיס.
לאחר מכן בנה הצייר תמונה של המבנה התלת-ממדי, בעזרת התרשימים הנ"ל, על ידי חישובים מתמטיים.
רעיונות מרכזיים של הגאומטריה הפרויקטיבית נולדו מתוך הצרכים המעשיים של אמני הציור.
בימי הביניים היה הציור רוחני וסמלי.
לקראת הרנסאנס עלתה קרנו של הציור המדויק – הדומה לנראה בעין.
החייאת הכתבים הקלאסיים והאמונה שבבסיס הטבע עומדים עקרונות מתמטיים, הובילה את הציירים והמתמטיקאים בני התקופה לנסות ולמצוא שיטה סדורה לציור העולם התלת-ממדי על בד ציור דו-ממדי.
האמנים הראשונים בתחום זה שמשנתם ידועה לנו היו פיליפו ברונלסקי ולאונה בטיסטה אלברטי, שחיבר את הטקסט הראשון (הידוע כיום) בנושא, שכותרתו "על הציור" – De pictura.
אנשי מפתח מאוחרים יותר בתחום זה הם פיירו דלה פרנצ'סקה, לאונרדו דה וינצ'י, אלברכט דירר ואחרים.
המתמטיקאי ז'ראר דזרג (Gérard Desargues) היה ממניחי היסודות התאורטיים לגאומטריה הפרויקטיבית, ועסק בה יחד עם בלז פסקל.
באחד מחיבוריו מתאר דזרג מתכון שלם לציור עצם בפרספקטיבה מנקודת מבט מסוימת, מתוך תרשימי הבסיס והצד שלו.
הענף נזנח במשך כמאתיים שנים, בין היתר עקב ההתפתחויות המטאוריות של הגאומטריה האנליטית והחשבון האינפיניטסימלי באותה התקופה.
כתביהם של דזרג ושל פסקל אבדו.
ז'אן-ויקטור פונסלה נחשב למחיה הגאומטריה הפרויקטיבית.
הוא שרת כקצין בצבא נפוליאון, ונפל בשבי בזמן הפלישה לרוסיה.
בזמן שהותו בשבי, בשנים 1813–1814, שחזר פונסלה את אשר למד בתחום הגאומטריה ממורו גספר מוֹנז', והצליח לפתח תוצאות חדשות בגאומטריה פרויקטיבית.
מחקריו של פונסלה הובילו לחקר מחדש של הנושא, וממשיכיו העמיקו חקר מעבר לתוצאות של דזרג ופסקל.
בשנת 1845 נתקל המתמטיקאי הצרפתי מישֵל שָל (Michel Chales) בעותק שכוח בכתב יד של מאמר של דזרג בנושא (שעסק בחתכי חרוט).
כך נודע היקף עבודתו של דזרג בנושא.
בזמן זה שוחזרו כבר רוב תוצאותיו של דזרג בידי מתמטיקאים בני התקופה.
באותה עת תרמו לגאומטריה הפרויקטיבית גם יעקב שטיינר, לואיג' קרמונה וארתור קיילי.
גישתו של פליקס קליין לגאומטריה דרך סימטריות חיברה את הגאומטריה הפרויקטיבית לאלגברה.
בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20 תרמו לתחום גם דויד הילברט, אוסוולד ובלן וג'ון וסלי יאנג , שפיתחו את הגישה האקסיומטית.
גישתו של אוקלידס, ב"יסודות", הייתה לתאר את המבנה המורכב של הגאומטריה האוקלידית באמצעות אקסיומות.
באופן דומה אפשר לתת גם למישור הפרויקטיבי הגדרה אקסיומטית.
מנקודת מבט מודרנית, פירושו של דבר הוא שמערכת מתמטית הכוללת "נקודות" ו"ישרים", עם יחס חילה (הקובע אילו נקודות "נמצאות על" אילו ישרים), נקראת מישור פרויקטיבי, אם היא מקיימת את חמש האקסיומות הבאות:
דרך כל שתי נקודות שונות עובר ישר יחיד.
כל שני ישרים נחתכים לפחות בנקודה אחת.
על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות שונות.
אין ישר אשר כל הנקודות נמצאות עליו.
האקסיומה הראשונה והחמישית מונעות קבלת מערכות פתולוגיות (כגון: מישור שאין בו נקודות וישרים כלל, או מישור שיש בו ישר אחד בלבד) כמישורים פרויקטיביים.
למעשה, במישור הפרויקטיבי הקטן ביותר יש שבע נקודות ושבעה ישרים (זהו המישור הפרויקטיבי מעל השדה בן שני איברים, ראו להלן).
באמצעות האקסיומות שמקיים מישור פרויקטיבי ניתן להוכיח את הטענות הבאות:
כל שני ישרים שונים נחתכים בדיוק בנקודה אחת.
דרך כל נקודה עוברים לפחות שלושה ישרים שונים.
אין נקודה אשר כל הישרים עוברים דרכה.
ניתן לתאר גם מרחבים פרויקטיביים תלת-ממדיים (או יותר) באופן אקסיומטי, אלא שהדבר דורש אקסיומות נוספות לקביעת היחס בין ישרים שאינם שייכים לאותו מישור.
הדואליות בגאומטריה פרויקטיבית מתייחסת להחלפה של נקודות וישרים, תוך שמירה על יחס החילה (נקודה על ישר הופכת לישר שעליו נקודה).
המבנה הדואלי לישר שעליו ארבע נקודות הוא נקודה שדרכה עוברים ארבעה ישרים, וכן הלאה.
לדוגמה, אם נגדיר "משולש" כשלשה של נקודות שאינן על ישר אחד עם הישרים העוברים דרכן, נגלה שהמבנה הדואלי כולל שלושה ישרים שאינם נפגשים בנקודה, עם נקודות החיתוך שלהם - דהיינו, משולש.
חשיבותה של הדואליות בגאומטריה פרויקטיבית נובעת מכך שמערכת האקסיומות (יחד עם שלוש הטענות שנוסחו לעיל) היא דואלית.
הווה אומר, אם נחליף את כל הישרים בנקודות, ואת הנקודות בישרים, נקבל סידור מחדש של שמונה הפסוקים.
משתמע מכך, שהמושגים נקודה וישר הם דואליים בגאומטריה פרויקטיבית.
מכאן נובע שלכל משפט שניתן להוכיח בגאומטריה פרויקטיבית, נכון גם המשפט הדואלי (המתקבל מהחלפת ישרים ונקודות).
מרחב פרויקטיבי הוא מרחב המקיים את האקסיומות של הגאומטריה הפרויקטיבית.
המרחב הפרויקטיבי דומה למרחב האוקלידי, אולם כל שני ישרים נפגשים בו בנקודה.
כלומר, הוא אינו מקיים את האקסיומה החמישית של אוקלידס.
המרחב הפרויקטיבי הממשי ה-n-ממדי דומה למרחב האוקלידי ה-n-ממדי, בתוספת של "נקודות אינסוף".
נקודות אלו נוספות לכל כיוון במרחב, וכל שני ישרים בעלי אותו כיוון יחתכו בנקודת האינסוף של הכיוון.
העתקה פרויקטיבית היא העתקה במרחב פרויקטיבי שהיא הרכבה של מספר הטלות פרספקטיביות .
אינטואיבית, ההעתקה הפרויקטיבית תעביר בין ייצוגים שונים של קבוצות נקודות, מנקודת מבט שונה.
כלומר, ההעתקה תעביר בין הטלות שונות של עצם, המבוצעות מנקודות מבט שונות על טווחים שונים.
בהינתן מרחב פרויקטיבי P שנבנה מתוך מרחב וקטורי V, ההעתקות הפרויקטיביות על P תושרינה מתוך קבוצת ההעתקות הליניאריות על V.
ידוע כי בהינתן שתי n-יות של וקטורים בלתי-תלויים במרחב וקטורי V ישנה העתקה ליניארית יחידה המעבירה ביניהם.
המשפט היסודי של הגאומטריה הפרויקטיבית טוען כי בהינתן שתי n-יות של נקודות במצב כללי ב-P ישנה העתקה פרויקטיבית יחידה המעבירה ביניהן.
הוכחת המשפט נובעת באופן ישיר יחסית מהוכחת המשפט המקביל במרחב הווקטורי.
העתקה פרויקטיבית כללית אינה משמרת אורכים, זוויות או מקבילות.
מאידך גיסא היא מעתיקה ישרים לישרים ונקודות לנקודות, ומשמרת חילה של ישרים בנקודות.
גודל נוסף הנשמר על ידי ההעתקה הוא היחס הכפול שיפורט להלן.
משפט דזרג קובע שאם שני משולשים פרספקטיבים ביחס לנקודה, אז הם פרספקטיבים גם ביחס לישר.
המשפט הזה חל בכל מרחב פרויקטיבי מממד 3 או יותר, אבל הוא אינו מתקיים בכל מישור פרויקטיבי.
משפט פאפוס: בהינתן זוג ישרים הנחתכים ב-O.
וכן תהינה הנקודות , כשכל הנקודות שונות מ-O.
אזי, שלושת החיתוכים , , , הם על ישר אחד.
גם משפט פאפוס אינו נובע מהאקסיומות של הגאומטריה הפרויקטיבית.
יתרה מזאת, משפט פאפוס אינו נובע גם משילובם של משפט דזרג והאקסיומות, אך לפי משפט של גרהרד הסנברג, ניתן להוכיח את משפט דזרג באמצעות משפט פאפוס.
במשך תקופה ארוכה המתמטיקאים חפשו אחר שמורות של העתקות פרויקטיביות במישור.
לפי המשפט היסודי של הגאומטריה הפרויקטיבית, קיימת העתקה פרויקטיבית (יחידה) המעבירה בין שתי שלשות נתונות של נקודות שאינן על ישר.
לכן, לא תתכנה שמורות כאלה בקבוצות של שלוש נקודות, והן תופענה בקבוצות של ארבע נקודות לפחות.
בהינתן ישר פרויקטיבי, תהינה ארבע נקודות, כש- הן שונות.
מהמשפט היסודי של הגאומטריה הפרויקטיבית ידוע כי ישנה העתקה יחידה המקימת
נטען שהגודל נשמר תחת העתקות פרויקטיביות.
גודל זה נקרא היחס הכפול של רביעיית הנקודות, ומסומן .
תהינה ארבע נקודות המקימות כי ההעתקה מעבירה את הרביעייה הראשונה לרביעייה השנייה.
מהגדרת היחס הכפול ידוע , אולם וכך היחס הכפול של הרביעיות זהה.
ליחס הכפול ישנה משמעות גאומטרית.
כאמור, העתקות פרויקטיביות אינן משמרות ארכי ישרים, ואף היחס בין אורכים שונים אינו נשמר, שכן זוויות אינן נשמרות.
היחס הכפול של רביעיית נקודות הוא למעשה היחס בין היחסים של האורכים של ששת הקטעים שבין ארבע הנקודות הנ"ל.
ביטוי מפורש ליחס הכפול נתן למצוא בערך עליו.
את חתכי החרוט ב- ניתן למיין לשמונה מחלקות שונות:
המחלקות הנ"ל נשמרות תחת העתקות ליניאריות והזזות.
אם נמיין את השניוניות במישור הפרויקטיבי נקבל חמש מחלקות בלבד:
אליפסה / מעגל, היפרבולה ופרבולה.
הפעם המחלקות נשמרות תחת העתקות פרויקטיביות.
ניתן לעבור בין זוג ישרים מקבילים ובין זוג ישרים נחתכים.
זאת מכיוון שגם זוג ישרים מקבילים נחתך במישור הפרויקטיבי בנקודת האינסוף.
לכן, העתקה פרויקטיבית המעבירה נקודה סופית כלשהי לנקודת אינסוף כלשהי, תעביר זוג ישרים הנחתכים בנקודה הסופית לזוג ישרים מקבילים, וכן בכיוון השני.
ניתן להעביר אליפסה במישור הפרויקטיבי לפרבולה או להיפרבולה.
כל העתקה פרויקטיבית מעבירה בין ישרים.
בפרט, ישנו ישר כלשהו המועתק לישר האינסוף במישור הפרויקטיבי.
אם ישר זה משיק לאליפסה, נקודת ההשקה שעליו תעבור לנקודת אינסוף כלשהי, וכך האליפסה תועתק לפרבולה.
באופן דומה, אם ישר זה חותך את האליפסה, שתי נקודות החתוך שעליו תועברנה לשתי נקודות אינסוף, ובכך תתקבל היפרבולה.
גאומטריית היגוי ברכב היא הגאומטריה שלפיה ממוקמים ההגה, המנוע והגלגלים זה ביחס לזה, בזוויות שונות שנועדו למספר תפקידים שונים.
בניגוד למחשבה המקובלת, גלגלי הרכב אינם מקבילים זה לזה.
אם מסתכלים על המכונית מלפנים, רואים שהגלגלים אינם מקבילים זה לזה.
אם המרחק בין החלק העליון של הגלגלים גדול מהמרחק שבין החלק התחתון של הגלגלים – השפיעה חיובית.
דבר זה מאריך את חיי המסבים, מפחית כשלים פתאומיים ובנוסף לכך, מקל את ההיגוי.
אם המרחק בין החלק העליון של הגלגלים קטן מהמרחק שבין החלק התחתון של הגלגלים – השפיעה שלילית.
במקרה של זווית שפיעה לא מכוונת יישחקו חריצי הצמיג.
למשל, בזווית חיובית גבוהה מדי יישחק החלק החיצוני.
בנוסף לכך, זווית שפיעה מוגזמת תגרום לבלאי מהיר של חלקי המתלה, כגון: המסבים.
אם זווית השפיעה שונה בשני הצדדים – הרכב "ימשוך" לצד שבו הזווית חיובית יותר.
בכלי רכב רבים, בעלי הנעה קדמית בעיקר, זווית השפיעה היא קבועה.
לכן, אם הזווית אינה מכוונת הרי הרכב שחוק או עקום, אולי כתוצאה מתאונה — דבר המחייב החלפה או תיקון.
בכלי רכב רבים משתנה הזווית במהירויות שונות, כתוצאה מכוחות אווירודינמיים המשנים את גובה הרכב (ודרך כך את הזווית).
לכן, כיוון הזווית נעשה כך שבנסיעה מהירה תהיה שחיקה מעטה של הצמיגים.
בעבר הייתה המגמה הרווחת לכוון את הזווית כך שתהיה אפס או חיובית מעט, על מנת לקזז את המשקל שיועמס על הרכב.
המגמה הרווחת כיום היא כיוון זווית שלילית, על מנת להעניק לרכב יציבות נוספת (שטח המגע של הצמיג גדל בפניה).
קדם אופן (גלגילון – Caster)
ציר ההיגוי של הגלגלים אינו ניצב לקרקע אלא מוטה באלכסון.
אם החלק העליון של הציר מופנה לאחור, אז קדם האופן הוא חיובי.
הדבר מסייע בשמירת כיוון הנסיעה בקו ישר.
משום שציר ההיגוי חותך את הקרקע לפני הגלגל (בדומה לעגלת קניות), כך שהגלגל מאולץ לנוע מאחורי הציר ועל ידי כך לשמור על הכיוון.
זווית חיובית מנסה ליישר את הגלגלים, וזו אחת הסיבות שההגה חוזר מעצמו למקומו לאחר פנייה.
אם החלק העליון של הציר מופנה לפנים, אז קדם האופן הוא שלילי, מה שמעניק לנהג היגוי רך יותר.
כיום מתכננים את קדם האופן שיהיה חיובי.
אם הרכב נוסע לאחור, אז קדם האופן הוא שלילי (כי כיוון הנסיעה התהפך).
במקרה זה מורגש היגוי רך יותר, אך ההגה לא מתיישר לבד כמו בנסיעה קדימה.
אם קדם האופן לא מכוון עלול להיווצר קושי בשמירה על נסיעה בקו ישר.
אם קדם האופן לא שווה בשני הצדדים – הרכב "ימשוך" לצד שבו קדם האופן פחות חיובי.
אם קדם האופן שווה אבל שלילי מדי, ההגה יהיה רך, והרכב עלול לסטות ממסלולו.
כי יהיה קשה לשמור על קו ישר.
ככל שקדם האופן גדול יותר (וחיובי) גדל המרחק האופקי בין שני הכוחות (נקודה עליונה ותחתונה של הציר), דבר המגדיל את שטח המגע של הצמיג.
אם קדם האופן חיובי אך גדול מדי יהיה ההיגוי קשה (בגלל הגדלת שטח המגע של הצמיג עם הקרקע).
בנוסף, תגרם רגישות יתר בצמיג לפגמים קטנים בכביש.
במקרה של קדם אופן נייטרלי לא תהיה המכונית יציבה, כי כל הכוח מופעל על נקודה אחת.
בדומה לזווית שפיעה, בכלי רכב רבים בעלי הנעה קדמית לא ניתן לכוון את קדם האופן.
לכן, אם אינו מכוון, משהו ברכב שחוק או עקום, אולי כתוצאה מתאונה, דבר המחייב החלפה או תיקון.
לפני שנת 1975 נהגו לתכנן מכוניות עם קדם אופן שלילי, משתי סיבות:
הייתה דרישה מקרב הנהגים להגה רך.
הגה כוח לא היה בנמצא, כך ששינוי קדם האופן היה פתרון אפשרי.
הצמיגים לא היו רדיאליים (צורת מבנה הצמיג), ולכן הם היו מתעוותים בזמן נסיעה מהירה, ורוב הצמיג היה נסרח מאחורי הציר (ושטח המגע היה מאחורי הציר), כך שקדם האופן האפקטיבי היה חיובי.
אם רוצים להרכיב צמיגים רדיאליים בכלי רכב ישנים יש לשנות את קדם האופן לחיובי, כדי שהרכב יוכל לשמור על מסלולו במהירות גבוהה.
לקדם האופן השפעה מעטה על שחיקת הצמיגים.
כאשר מסתכלים על המתלה מלפנים, רואים את הזווית הנוצרת בין המתלה לבין הצמיג.
הזווית הזו בתוספת זווית השפיעה (יחד הן נקראות הזווית הכוללת- Included Angle), גורמת להרמה קלה של הרכב כאשר הגלגלים אינם במרכז.
דבר זה גורם ליישור הגלגלים על ידי משקל הרכב, לאחר ביצוע פנייה (בנוסף לקדם האופן).
כינוס גלגלים והתבדרותם (Toe-in, Toe-out)
כאשר מסתכלים על הרכב מלמעלה, רואים שהגלגלים אינם מקבילים זה לזה.
מצב בו המרחק בין החלק הקדמי של הגלגלים קטן מהמרחק שבין חלקיהם האחוריים נקרא כינוס (Toe–in).
דבר זה מונע מהגלגלים לנטות החוצה בהאצות חזקות או במהירויות גבוהות (אז מקבילים הגלגלים זה לזה).
מצב בו המרחק בין החלק הקדמי של הגלגלים גדול מהמרחק שבין חלקיהם האחוריים נקרא התבדרות (Toe–out).
דבר זה מונע מהגלגלים לנטות פנימה בפניות המתבצעות במהירות.
אם ה-Toe אינו מכוון עלולה להיות שחיקה מהירה ושווה בשני הצמיגים.
Toe מתכוונן תמיד בזוג הגלגלים הקדמיים (גם בכלי רכב בעלי הנעה קדמית) ובכלי רכב מסוימים אף בגלגלים האחוריים.
כמו זווית השפיעה, גם ה-Toe משתנה במהירויות שונות, כתוצאה מכוחות אווירודינמיים המשנים את גובה המרכב (ועל ידי כך את ה-Toe) – בהתאם למוטות ההיגוי ולמערכת המתלים.
ה-Toe מכוון כך שבמהירות גבוהה הוא אפס, כדי להגיע לשחיקת צמיגים מינימלית.
כאשר הגלגלים מופנים יש הבדל בין הזוויות שלהם: הגלגל הפנימי הוא בעל זווית גדולה יותר, מכיוון שהגלגל הפנימי פונה ברדיוס קטן יותר מהגלגל החיצוני (בנוסף, הגלגל הפנימי עובר פחות מרחק).
לכן, הגלגל הפנימי פונה בזווית גדולה יותר.
מתן זוויות שונות מתבצע על ידי זרועות ההיגוי.
אילו הייתה לגלגל הפנימי זווית זהה לשל הגלגל החיצוני, היה מחליק ומשתפשף והדבר היה גורם לחימום הצמיג ולשחיקתו.
גאומטריה אלגברית היא ענף במתמטיקה המשלב אלגברה מופשטת (בעיקר אלגברה קומוטטיבית) עם גאומטריה.
כפי שמרמז שמה, הגאומטריה האלגברית עוסקת בעקומות או משטחים (או הכללות שלהם) שניתן לראותם הן כאובייקטים גאומטריים והן כפתרונות של משוואות אלגבריות (פולינומיות).
היא התפתחה כתת-התחום של גאומטריה אנליטית בו חוקרים מערכות של משוואות פולינומיליות (בניגוד למשוואות כלליות).
בגאומטריה אלגברית לרוב חוקרים מערכות משוואות שיש להן אינסוף פתרונות ומנסים להבין את מכלול הפתרונות ולא למצוא פתרון מסוים.
למטרה זו זווית הראיה הגאומטרית שימושית מאוד.
המבנים המתמטים המרכזיים בגאומטריה אלגברית הם יריעות אלגבריות (algebraic varieties) והכללות שלהן, סכמות (schemes).
התאפסות בו זמנית של מספר פולינומים
בגאומטריה אלגברית קלאסית, האובייקטים המרכזיים שנחקרים הם קבוצות ההתאפסות של אוסף של פולינומים.
לדוגמה, הספירה הדו-ממדית במישור האוקלידי התלת-ממדי ניתנת להגדרה כאוסף הנקודות המקיימות:
דוגמה נוספת היא קבוצת הפתרונות המשותפת של שני הפולינומים ו-.
קבוצה זו היא אוסף הנקודות מהצורה .
נניח כי k הוא שדה.
בגאומטריה אלגברית קלאסית הניחו כי השדה הוא – שדה המספרים המרוכבים, אך רוב התוצאות נשארות נכונות גם אם k הוא שדה סגור אלגברית כלשהו.
נסמן ב (או בקיצור אם ברור מיהו k) את הקבוצה , ונקרא לה המרחב האפיני ה-n ממדי מעל k.
המטרה של ההגדרה ה"לכאורה מלאכותית" הזאת היא להדגיש את העובדה ש- הוא בסך הכול אוסף נקודות, ושאנו "שוכחים" מהמבנה של כמרחב וקטורי.
פונקציה נקראת רגולרית אם היא ניתנת לכתיבה בתור פולינום.
כלומר, אם קיים פולינום כך שלכל נקודה מתקיים .
פונקציות רגולריות על המרחב האפיני ה-n ממדי הן, אם כן, בדיוק פולינומים ב-n משתנים מעל k.
את אוסף הפונקציות הרגולריות על נסמן ב-.
נניח כי S היא קבוצה של פולינומים ב-.
קבוצת ההתאפסות של S, המסומנת ב-(V(S (ישנם ספרים בהם קיים גם הסימון (Z(S), מוגדרת להיות אוסף כל הנקודות במרחב האפיני שבהן כל הפולינומים ב-S מתאפסים.
תת קבוצה נקראת קבוצה אלגברית אם קיימת קבוצה כך ש-.
שאלה טבעית לשאול בשלב זה היא השאלה הבאה: בהינתן תת-קבוצה , האם ניתן לשחזר את קבוצת הפולינומים המתאפסים על U?
אם U היא תת-קבוצה כלשהי של , נגדיר את להיות אוסף כל הפונקציות הרגולריות המתאפסות על כל U.
נשים לב כי אם f ו-g מתאפסות בכל נקודה ב-U אז כך גם f+g, וכן אם f מתאפסת בכל נקודה ב-U ואם h היא פונקציה רגולרית כלשהי, אז גם מתאפסת בכל נקודה ב-U.
לפיכך, לכל תת-קבוצה U של , הקבוצה היא אידיאל בחוג .
כעת עולות שתי שאלות טבעיות:
בהינתן תת-קבוצה U של , האם מתקיים ?
בהינתן קבוצת פולינומים S, האם מתקיים ?
על מנת להשיב על השאלה הראשונה מגדירים את טופולוגית זריצקי (על שם אוסקר זריצקי).
זוהי טופולוגיה על המשקפת ישירות את המבנה האלגברי של .
ההגדרה של טופולוגית זריצקי היא שתת-קבוצה היא קבוצה סגורה אם ורק אם A היא קבוצה אלגברית.
ניתן להראות ש- אם רק אם U היא סגורה בטופולוגית זריצקי.
התשובה לשאלה השנייה ניתנת על ידי משפט האפסים של הילברט.
אחת הדרכים לנסח את משפט האפסים היא ש שווה לרדיקל האידיאל הנוצר על ידי S.
הרדיקל של אידיאל I (מסומן ב-) מוגדר להיות אוסף כל האיברים שחזקה כלשהי שלהם נמצאת ב-I, כלומר
האינטואיציה ללקיחת הרדיקל של האידיאל היא כדי לבודד את הגורמים המאפסים את הקבוצה האלגברית בכפליות של 1, כי אם פולינום בחזקה כלשהי מתאפס על קבוצה של ערכים אז גם הפולינום עצמו יתאפס על אותה הקבוצה.
לעיתים נוח יותר לעבוד עם תתי קבוצות של האידיאל היוצר את U, ועל פי משפט הבסיס של הילברט כל אידיאל ב הוא נוצר סופית.
קבוצה סגורה במרחב טופולוגי נקראת אי פריקה אם לא ניתן להציגה כאיחוד של שתי תתי קבוצות סגורות המוכלות בה ממש.
קבוצה אלגברית אי פריקה נקראת יריעה אלגברית.
ניתן להראות שקבוצה אלגברית היא יריעה אלגברית אם ורק אם קבוצת הפולינומים שמאפסים אותה היא אידיאל ראשוני.
בדומה לכך שההעתקות הטבעיות על מרחבים טופולוגיים הן פונקציות רציפות, והעתקות הטבעיות על יריעות חלקות הן פונקציות חלקות, ישנה קבוצה של העתקות טבעיות על קבוצות אלגבריות, הנקראות פונקציות רגולריות.
פונקציה רגולרית על תת-קבוצה אלגברית V של מוגדרת להיות צמצום של פונקציה רגולרית על במובן שהוגדר לעיל (כלומר צמצום של פולינום).
ייתכן שתחילה הדרישה שכל פונקציה רגולרית תהיה ניתנת להרחבה על המרחב כולו נראית לא טבעית, אך למעשה המצב דומה מאוד למרחבים טופולוגים נורמלים, שם משפט ההרחבה של טיצה מבטיח שפונקציה רציפה על קבוצה סגורה ניתנת להרחבה לפונקציה רציפה על המרחב כולו.
בדומה לכך שאוסף הפונקציות הרגולריות על יוצרות חוג חילופי, כך גם אוסף הפונקציות הרגולריות על קבוצה אלגברית V כלשהי.
חוג זה מסומן ב-, ונקרא חוג הקואורדינטות של V.
מכיוון שפונקציות רגולריות על V הן צמצומים של פונקציות רגולריות על המרחב כולו, הרי שקיים קשר בין חוגי הקואורדינטות שלהם.
באופן מפורש, שתי פונקציות רגולריות f ו-g על V הן שוות אם הן מזדהות על V.
כלומר, f=g אם לכל נקודה מתקיים , או .
לכן, אם ורק אם ולפיכך ניתן לזהות את חוג הקואורדינטות על V עם חוג המנה .
בעזרת פונקציות רגולריות מיריעות אפיניות ל נוכל להגדיר פונקציות רגולריות בין שתי יריעות אפיניות.
תחילה נגדיר פונקציות רגולריות מיריעה אפינית למרחב האפיני: נניח כי V היא יריעה אפינית ב.
נבחר m פונקציות רגולריות על V ונסמנן ב-.
נאמר שפונקציה f מ-V ל- היא פונקציה רגולרית אם לכל מתקיים
אם W היא יריעה אפינית ב, נאמר ש-f היא פונקציה רגולרית מ-V ל-W אם התמונה של f מוכלת ב-W.
הקטגוריה של יריעות אפיניות מוגדרת להיות הקטגוריה שהאובייקטים שלה הם יריעות אפיניות והמורפיזמים הם פונקציות רגולריות.
המשפט הבא מאפיין את הקטגוריה של יריעות אפיניות:
הקטגוריה של יריעות אפיניות היא הקטגוריה ההפוכה (כלומר אותם אובייקטים ומורפיזמים הפוכים) לקטגוריה של k-אלגבראות נוצרות סופית שהן תחומי שלמות.
אם נצייר אותה נקבל פרבולה.
כאשר המשתנה x גדל, שיפועו של הישר העובר דרך הראשית ודרך הנקודה הולך וגדל.
לעומת זאת, כאשר x קטן, שיפועו של הישר הזה הולך וקטן.
אם נשווה זאת ליריעה , נראה שכאשר x גדל השיפוע גדל כמקודם, אך כאשר x קטן, השיפוע שוב גדל.
לפיכך ההתנהגות "באינסוף" של שונה מההתנהגות "באינסוף" של .
ישנו קושי להגדיר את המושג "התנהגות באינסוף" במרחב האפיני.
הפתרון לבעיה זו הוא הצגת המרחב הפרויקטיבי.
המרחב הפרויקטיבי מתקבל מהמרחב האפיני על ידי הוספה של "נקודות באינסוף".
המרחב הפרויקטיבי הוא האנלוג של הגאומטריה האלגברית למרחבים שהם האוסדורף קומפקטים.
באמצעות הוספה של נקודות באינסוף למרחב, נוספות נקודות באינסוף גם ליריעות האפיניות, ומתקבלות יריעות פרויקטיביות.
הנקודות באינסוף מאפשרות לקבל מידע נוסף על היריעה.
מבחינה אלגברית, על מנת לטפל ביריעות פרויקטיביות מגדירים את המושג של קואורדינטות הומוגניות, המאפשרות להשתמש בטכניקות אלגבריות בגאומטריה פרויקטיבית.
הצגתו של המרחב הפרויקטיבי גרמה לכך שטענות רבות בגאומטריה אלגברית הפכו פשוטות יותר.
לדוגמה, משפט בזו קובע שמספר נקודות החיתוך של שתי יריעות פרויקטיביות שווה בדיוק למכפלת הממדים של היריעות.
למשפט זה אין אנלוג כה מוצלח במרחב האפיני.
לפיכך, למרחב הפרויקטיבי חשיבות רבה בגאומטריה האלגברית.
הגישה המודרנית לגאומטריה האלגברית מגדירה מחדש את האובייקטים הבסיסיים בתחום.
יריעות (אפיניות או פרויקטיביות) מהוות מקרה פרטי של מושג הסכמה שהומצא על ידי אלכסנדר גרותנדיק.
תורת הסכמות מתחילה בהבחנה שאם k-אלגבראות נוצרות סופית שהן תחומי שלמות מהוות אובייקטים גאומטריים, אז אולי ניתן לראות בחוגים קומוטטיביים כלשהם מבנים גאומטריים.
בכך מהוות סכמות מבנים גאומטרו-אלגבריים כלליים יותר, ודרך נוחה לעבודה עם חוגים קומוטטיביים.
שפת הסכמות הוכחה כשפה יעילה מאוד לעבודה עם אובייקטים גאומטריים והפכה לאבן פינה בגאומטריה האלגברית המודרנית.
המתמטיקאי הפרסי עומר ח'יאם (נולד ב־1048) המציא שיטות כללית לפתרון משוואות ממעלה שלישית על ידי חיתוך של פרבולה ומעגל.
עומר ח'יאם אף שילב את השימוש בטריגונומטריה ותורת הקירובים על מנת למצוא פתרונות למשוואות אלגבריות באמצעות כלים גאומטריים.
העיסוק המודרני בגאומטריה אלגברית החל באמצע המאה ה-19, עם תוצאות של יוליוס פלוקר ואחרים.
פלוקר הוכיח (ב-1839) שלכל עקום ב- המוגדר על ידי פולינום הומוגני ממעלה רביעית, כדוגמת עקום פרמה , יש בדיוק 28 ישרים המשיקים אליו פעמיים.
תוצאה דומה מאותו זמן: לכל עקום ב- המוגדר על ידי פולינום הומוגני ממעלה שלישית, יש בדיוק תשעה ישרים המשיקים לו השקה משולשת (ישר משיק השקה משולשת למשטח, אם לצמצום של משוואת המשטח אל הישר יש שורש משולש).
ארתור קיילי הראה ב-1849 שכל משטח חלק ב- המוגדר על ידי פולינום הומוגני ממעלה שלישית (כגון ) מכיל בדיוק 27 ישרים.
קבוצת חוקרים איטלקים המשיכה את המחקר של עקומים ומשטחים במחצית הראשונה של המאה ה-20. סגנונם היה אינטואיטיבי ולא עמד בדרישות הריגורוזיות של המתמטיקה המודרנית.
בשנות ה-30 וה-40 של המאה ה-20, הבינו אוסקר זריצקי, אנדרה וייל ואחרים שיסודות הגאומטריה האלגברית צריכות להיבנות על אלגברה קומוטטיבית ותורת ההערכות.
אלגברה קומוטטיבית פותחה על ידי דויד הילברט, מקס נתר, עמנואל לסקר, אמי נתר, וולפגנג קרול ואחרים.
במשך זמן רב לא היו יסודות אחידים לגאומטריה האלגברית.
בשנות ה-50 וה-60 ז'אן-פייר סר ואלכסנדר גרותנדיק בנו את היסודות מחדש בעזרת תורת האלומות.
לאחר מכן, בשנות ה-60, רעיון הסכמה נולד, ובצמידות לו השימוש בשיטות הומולוגיות.
לאחר עשור של התפתחות מאסיבית, התחום התייצב בשנות ה-70, ושימושים חדשים נמצאו, הן בתורת המספרים והן לשאלות קלאסיות על יריעות אלגבריות.
אחת מקבוצות היריעות אשר לא ניתן להבין ישירות מהמשוואות המגדירות אותן היא היריעות האבליות, שהן יריעות פרויקטיביות שהנקודות שלהן הן גם חבורות אבליות.
הדוגמאות הידועות ביותר ליריעות אבליות הן עקומים אליפטים, שהם בעלי תאוריה עשירה מאוד, והיוו כלי חשוב בהוכחת המשפט האחרון של פרמה, ובעלי שימושים גם בקריפטוגרפיה .
רובה של הגאומטריה האלגברית עוסקת בטענות מופשטות לגבי יריעות, אך שיטות אפקטיביות לביצוע חישובים קונקרטיים בפולינומים תוך שימוש בטכניקות של גאומטריה אלגברית פותחו אף הן.
הטכניקה החשובה ביותר היא בסיסי גרובנר הממומשים בכל המערכות האלגבריות הממוחשבות.
גאומכניקה היא מדע הנדסי העוסק בהתנהגות הפיזיקלית של קרקעות וסלעים.
הגאומכניקה עוסקת בסיווג קרקעות על פי תכנותיהן המכניות, דוגמת חוזק, גמישות, יכולת ספיגת מים, משקל סגולי וחדירות.
השימוש העיקרי בגאומכניקה הוא בהנדסה אזרחית על ידי אפיון של יחסי הגומלין בין הקרקע והסלע הטבעיים לבין מבנים מלאכותיים דוגמת בניינים, סכרים וגשרים במטרה לתכנן אותם באופן שיוכלו להתמודד עם העומסים העשויים להיות מופעלים עליהם.
הבסיס לתכנון הנדסי על גבי סוג כלשהו של קרקע הוא הכרת תכונות הקרקע וסיווג סוג הקרקע לפי תכונות אלו, תכונות הקרקע נמצאות בקשר ישיר לכמות המים והאוויר בקרקע וגודל גרגירי הסלע.
מנת החללים היא היחס בין נפח המים והאוויר באדמה (Vv) לנפח הקרקע המוצקה (VS).
תכונה זאת נמדדת באחוזים, למשל מנת החללים בקרקע מסוג חרסית היא בין 24 ל-40 אחוזים.
מנת החללים מוגדרת בגאומכניקה בסימן e.
נקבוביות היא היחס בין נפח המים והאוויר באדמה (Vv) לנפח כל מדגם האדמה (V).
דרגת הרוויה היא החלק היחסי של נפח המים (Vw)מתוך נפח האדמה שהוא לא קרקע (Vv) .
בקרקע מוצפת לחלוטין תהיה דרגת הרוויה תהיה שווה ל-1, ולקרקע שיובשה לגמרי בתנור ממים תהיה 0.
משקל יחסי של קרקע מוגדר כיחס בין צפיפות הקרקע המוצקה לצפיפות הנוזל בקרקע (הרוב מים), משקל יחסי של קרקע נע הרוב בין 2.6 (אדמה חולית) ל - 2.9.
צפיפות הקרקע מוגדרת כיחס בין משקל הקרקע לנפח שלה.
הצפיפות מוגדרת ביחידות כמו גרם לסנטימטר מעוקב, או ק"ג למטר מעוקב.
צפיפות הקרקע הטבעית נעה בין 1 ל 3 גרם לסמ"ק.
זווית החיכוך הפנימית היא הזווית המקסימלית מהמישור שיוצרת ערימה של עפר תחוח.
לכל סוג קרקע - זווית חיכוך פנימית משלו.
זווית החיכוך הפנימית משמשת לחישוב העומסים האופקיים שמפעיל המשקל העצמי של הקרקע.
כדי לבצע תכנון דרכים או יסודות מבנים, יש צורך לדעת פרמטרים רבים לגבי הקרקע באזור הבניה.
לצורך מציאת הפרמטרים הדרושים, יש לבצע שורה ארוכה של בדיקות קרקע מסוגים שונים.
הבדיקות כוללות אפיון שכבות הקרקע באזור, מציאת עומק מי תהום, בדיקות של תכולת אוויר ותכולת רטיבות בקרקע, בדיקת חוזק לגזירה וחוזק ללחיצה ועוד.
ככל שהמבנה המתוכנן הוא גדול יותר ומורכב יותר, כך הבחינות של הקרקע בסביבתו נדרשות להיות מדויקות ומפורטות יותר.
דגימות של בדיקות אלו מבוצעות על ידי חפירת בורות או קידוח של הקרקע בשיטות שונות התלויות בשיקול הנדסי באזור הבנייה המתוכנן.
לצורך הגדרת קרקע וסיווגה, נלקחות דגימות קרקע עליהן מתבצעות בדיקות מעבדה שונות, שבסופן ניתן להגדיר את הקרקע לפי קבוצה מסוימת שלה יותאם התכנון ההנדסי של המבנה
במדינת ישראל משתמשים בעיקר במיון קרקע על פי השיטה של האגודה האמריקאית לכבישי מדינה ותעבורה (AASHTO).
בשיטה זאת מעבירים את הקרקע המוצקה דרך מגדל מסננות המורכב ממספר מסננות שגודל רשת הסינון בהם הולך וקטן ככל שיורדים מטה במגדל.
לאחר הסינון ניתן לדעת כמה קרקע מכל גודל יש במדגם, למשל אם יש בה יותר גרגירים דקים (חול) או סלעים.
התקן הישראלי העוסק במיון קרקעות הוא ת"י 253 של מכון התקנים הישראלי.
ניתן לחלק את החישובים הגאומכניים לשני סוגים:
נקודת המוצא של תכנון היסודות היא העומסים שמפעיל המבנה על הקרקע.
לאחר קבלת העומסים האלו ממהנדס המבנה, יש צורך לאפיין את הקרקע, לבדוק את החוזק האופייני ועל פיו לקבוע את גודל היסודות הדרוש ואת שיטת הביסוס.
מבנה תמך הוא מבנה שנועד להפעיל כוחות על הקרקע ולעצב אותה, כמו קיר תומך, קיר כובד, סוללה או סכר.
כדי לבנות מבנה כזה, על המתכנן לבדוק קודם כל את הקרקע ולאפיין אותה מבחינת חוזק ותכונות מכניות אחרות כגון צפיפות או ספיגות ולפי הנתונים האלו הוא יכול לתכנן את הגודל הגאומטרי של מבנה התמך.
בדיקות הקרקע מאפשרות לבצע אפיון לקרקע והאפיון הזה מאפשר למתכנן לקבוע מהם המאמצים המקסימליים שהקרקע יכולה לספוג בלי לשקוע או להיהרס.
בעניין זה יש לציין כי לעיתים קרובות הקרקע מתחת לביסוס מתחלקת למספר רבדים שלכל אחד מהם תסבולת שונה.
יש לבצע בדיקות הקרקע של כל רובדי הקרקע הרלוונטיים, כדי להגיע לאפיון קרקע מספיק לתכנון.
באופן כללי, התפלגות המאמצים בקרקע עקב הפעלת עומס מסוים היא פונקציה של המרחק ממקום הפעלת העומס.
זאת אומרת ככל שהמרחק ממקום הפעלת העומס גדל, כן המאמץ פוחת.
המודל התאורטי של התפלגות המאמצים בקרקע, תואר לראשונה על ידי החוקר הרוסי בוסינסק והדיאגרמה של קווי התפלגות המאמצים נקראת על שמו דיאגרמת בוסינסק.
לפי מודל כזה ניתן לחשב את המאמץ בקרקע עקב עומסי היסודות של מבנה נתון ותכנן את גודל היסודות בהתאם.
כשל קרקע במאמץ הוא מצב בו התפלגות המאמצים הנוספים עקב היסוד ועוד המאמצים בקרקע עקב משקלה העצמי ולחץ הידרוסטטי גדול מתסבולת הקרקע.
כאשר נוצר מצב בו עומס היסודות הנתונים של המבנה גורם לכשל קרקע ניתן לתכנן מחדש את ביסוס המבנה או לחלופין להחליף את שכבת הקרקע הבעייתית.
גאומטריה סיסטולית היא ענף בגאומטריה המודרנית, העוסק ב"היקף הסיסטולי" של יריעות ופאונים, ובהקשרים אריתמטיים, טופולוגיים וארגודיים של מושג זה.
ראשיתה של הגאומטריה הסיסטולית בעבודות של צ'ארלס לוונר (Charles Loewner 1893-1968), ובין המתמטיקאים הבולטים שעסקו בה מאז אפשר למנות את מיכאיל גרומוב, מרסל ברגר (שטבע את המונח systole), ואחרים.
ההיקף הסיסטולי של מרחב מטרי קומפקטי X הוא אינווריאנט מטרי, המוגדר בתור האורך הקצר ביותר של מסילה סגורה לא כוויצה ב-X.
אם X הוא גרף, ההיקף הזה נקרא (מאז מאמרו של ויליאם טאט William T.
Tutte בנושא, 1947), ה"מותן" של הגרף, והוא שווה לאורך המעגל הקצר ביותר.
ההיקף הסיסטולי מודד בכמה "זיכרון" יש להצטייד כדי להוכיח שהמרחב אינו פשוט קשר: כל מסלול סגור שאורכו אינו מגיע להיקף הסיסטולי, מוכרח להיות כוויץ.
שטחו הכולל של משטח בעל היקף סיסטולי נתון אינו יכול להיות קטן מדי, משום שהמשטח חייב להכיל די חומר כדי לתמוך בלולאה סגורה שלא ניתן לקצרה.
ב-1949 הוכיח לוונר שבכל מטריקה על הטורוס, השטח S וההיקף הסיסטולי L מקיימים את אי-השוויון האיזוסיסטולי .
יתרה מזו, שוויון מתקבל רק עבור המטריקה השטוחה, היינו זו שבה הטורוס מתקבל מקיפול המישור האוקלידי למרחב מנה בצורה , כאשר .
ההוכחה מסתמכת על משפט ההצגה הקונפורמית.
לאחר מכן, בשנת ב-1952, הוכיח סטודנט של לוונר בשם P.M.
Pu אי-שוויון דומה עבור המישור הפרויקטיבי: כאן ; ושוויון מתקבל עבור המטריקה הרגילה של המרחב (זו שיש לה עקמומיות גאוס קבועה), ורק עבורה.
בדומה לאי-השוויון האיזופרימטרי, כל משפט המשווה שני אינווריאנטים מטריים שונים, מספק מידע חשוב על המבנים האפשריים של המרחב.
העובדה שאי-השוויונות האיזוסיסטוליים הידועים הם חדים (כלומר, הקבוע הנתון בהם אופטימלי), מגדילה את חשיבותם אף יותר.
כדי להוכיח אי-שוויונות כאלה, משווים זהות אינטגרלית הקשורה לשטח, מחד, עם האנרגיה הממוצעת של משפחה של לולאות סגורות, מאידך.
לפי אי-שוויון קושי-שוורץ, האנרגיה חוסמת את ריבוע האורך, וכך מתקבל קשר בין השטח לריבוע האורך.
את התוצאה הראשונה עבור משטחים בעלי גנוס כללי השיגו Accola ו-Blatter, שחסמו את ריבוע האורך ככפולה של השטח בקבוע, שערכו שאף לאינסוף כשהגנוס גדל.
בראשית שנות השמונים הראו Hebda ו-Burago (בנפרד) שאפשר להסתפק בקבוע שערכו אינו תלוי בגנוס.
קשה הרבה יותר להראות שהקבוע יורד לאפס כשהגנוס גדל.
תוצאה זו נובעת משיטות חדשות שהציג גרומוב ב-1983. הערך המדויק של קבועים אלה (לכל גנוס) אינו ידוע (פרט לשתי הדוגמאות שניתנו לעיל, ולבקבוק קליין), אבל כן ידוע שהקבוע יורד כמו , כאשר g הוא הגנוס.
עבודתו העיקרית של גרומוב בתחום זה היא ההכללה ליריעות מממד גבוה מ-2, והוא הוכיח משפטים איזוסיסטוליים לכל יריעה "עיקרית" (כזו שבה המסילות הלא-כוויצות ממלאות את היריעה בכל הכיוונים), ובפרט למרחבים הפרויקטיביים .
גאומטריה ספֵירִית היא סוג של גאומטריה לא אוקלידית, העוסקת בתכונות של ישרים על ספירה, דהיינו מעטפת של כדור.
כאשר רדיוס הכדור שואף לאינסוף מתקבלת הגאומטריה המישורית, האוקלידית.
בגאומטריה הספירית הקווים הישרים הם "מעגלים גדולים" - כאלה שרדיוסם שווה לרדיוס הכדור (אלו הם הקווים הגאודזיים במטריקה הסטנדרטית של הספירה).
משום כך, כל שני ישרים נחתכים, והגאומטריה אינה אוקלידית.
היחס "בין", המשחק תפקיד מרכזי באקסיומטיקה של הילברט לגאומטריה האוקלידית, אינו קיים בגאומטריה הספירית.
גאומטריה אוקלידית גאומטריה ספירית אקסיומת המקבילים: דרך כל נקודה עובר ישר אחד ויחיד המקביל לישר נתון.
סכום הזוויות במשולש שווה ל 1800 סכום הזוויות במשולש גדול מ 1800 קיימים מלבנים.
קיימים משולשים דומים שאינם חופפים שני משולשים השווים בשלוש זוויותיהם הם חופפים.
לכל שלוש נקודות על אותו ישר, בדיוק אחת מהן נמצאת בין שתי האחרות.היחס "בין" לא קיים.
כאמור, במשולש ספירי מתקיים: וברדיאנים: .
שטח המשולש נתון על ידי הנוסחה: .
באופן כללי, אם נסמן את המגרעת של מצולע בעל n צלעות:
כאשר הן זוויות המצולע, אזי שטח המצולע שווה ל .
המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה זו:
גאומטריה חישובית היא תחום במתמטיקה ובמדעי המחשב העוסק במבני נתונים ובאלגוריתמים לפתרון בעיות גאומטריות באמצעות מחשב.
הבעיות הנדונות בתחום זה נוגעות לעצמים גאומטריים כמו נקודות, קטעים ומצולעים במישור, או לנקודות, לקטעים, למשטחים וכדומה במרחב מממד גבוה יותר.
המחקר העיוני בגאומטריה חישובית מיושם בתחומים אחרים במדעי המחשב, כגון: ראייה ממוחשבת, גרפיקה ממוחשבת, רובוטיקה ומערכות תיב"ם וכן בתחומים שאינם נמנים עם מדעי המחשב, כגון: הנדסה, סטטיסטיקה, מערכת מידע גאוגרפי וביולוגיה מולקולרית.
בעיית הגלריה לאמנות העוסקת במספר הקטן ביותר של שומרים בגלריה כך שיוכלו מבלי לעזוב את משמרתם להשגיח על כל נקודה בגלריה שקירותיה ישרים.
הסריקה של גראהם שהוא אלגוריתם למציאת הקמור של קבוצת נקודות במישור.
שילוש דלוני של קבוצת נקודות במישור הוא שילוש של קבוצת הנקודות כך שאף נקודה אינה נמצאת בתור המעגל החוסם אחד מהמשולשים.
התכונה אחרונה גורמת לשילוש להיות אופטימלי, מבחינות מסוימות, משום שהיא מבטיחה שהמשולשים שירכיבו את השילוש יהיו עבים ושמנים, ולא ארוכים ודקים.
גאומטריה דיפרנציאלית היא ענף מתמטי העושה שימוש בכלים של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי כדי לבחון בעיות בגאומטריה.
הענף פותח לראשונה במאות ה-18 וה-19 על בסיס התאוריה של עקומות במישור ובמרחב והתאוריה של משטחים במרחבים אוקלידים תלת-ממדיים.
מאז סוף המאה ה-19 גאומטריה דיפרנציאלית עוסקת בעיקר במבנים גאומטריים על יריעות דיפרנציאליות.
הגאומטריה הדיפרנציאלית קשורה במובנים רבים לענף טופולוגיה דיפרנציאלית ולהיבטים הגאומטריים של תורת המשוואות הדיפרנציאליות.
גריגורי פרלמן, שהשתמש בזרימת ריצ'י כדי להוכיח את השערת פואנקרה, סיפק דוגמה אקטואלית לכוחה של הגאומטריה הדיפרנציאלית בפתירת שאלות בטופולוגיה והדגים את חשיבותן של השיטות האנליטיות.
גאומטריה רימאנית עוסקת ביריעות רימאניות, שהן יריעות חלקות עם מטריקה רימאנית — מושג המבטא מרחק באמצעות התאמה המתאימה לכל נקודה ביריעה, תבנית ביליניארית סימטרית וחיובית לחלוטין על המרחב המשיק.
גאומטריה רימאנית מכלילה את הגאומטריה האוקלידית למרחבים שאינם בהכרח שטוחים, אך עדיין דומים למרחב האוקלידי בכל נקודה באופן "אינפיניטסימלי", כלומר, בדרגה הראשונה של קירוב.
להרבה מושגים המבוססים על אורך, כגון אורך הקשת של עקומה, השטח של תחום במישור והנפח של גופים, יש מושגים מקבילים בגאומטריה רימאנית.
גם לרעיון של נגזרת כיוונית של פונקציה מרובת משתנים יש מקבילה בגאומטריה הרימאנית — נגזרת קו-וריאנטית של טנזור.
באופן כללי, טכניקות ורעיונות רבים מתחומי האנליזה והמשוואות הדיפרנציאליות הוכללו ליריעות רימאניות בהצלחה מרובה.
דיפאומורפיזם משמר מרחק בין יריעות רימאניות מכונה איזומטריה.