tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
כל חוג אלטרנטיבי פשוט שאינו נילי ואינו אסוציאטיבי הוא אלגברת אוקטוניונים
כפי שאלגברת קווטרניונים מוגדרת על-פי שני קבועים מעל שדה הבסיס, אלגברת אוקטוניונים מוגדרת על-פי שלושה קבועים: האלגברה היא זו המתקבלת בבניית קיילי-דיקסון מאלגברת הקווטרניונים (ההצגה - בהנחה שהמאפיין שונה מ-2) על ידי סיפוח איבר z המקיים .
מעל כל שדה, יש אלגברת אוקטוניונים מפוצלת אחת, וכל שאר אלגברות האוקטוניונים הן אלגברות עם חילוק.
את אלגברת האוקטוניונים המפוצלת אפשר להציג באמצעות וקטורי צורן, , עם פעולת כפל הממשיכה את
, כאשר ברכיבים שמחוץ לאלכסון המכפלה היא המכפלה הווקטורית.
האינוולוציה מוגדרת כך שכל מטריצה בעלת עקבה אפס היא אנטיסימטרית.
אם יש באלגברת אוקטוניונים אידמפוטנט, אז היא מפוצלת, ושווה ל- כאשר Q אלגברת קווטרניונים כלשהי ו- .
אידמפוטנט, וביחס אליו המרכיבים בפירוק פירס הם , כאשר הוא מרחב האיברים בעלי עקבה 0 ב-Q.
תבנית הנורמה של אלגברת אוקטוניונים קובעת את האלגברה: לפי משפט של ג'ייקובסון, במאפיין שונה מ-2, שתי אלגברות אוקטוניונים הן איזומורפיות אם ורק אם תבניות הנורמה שלהן שקולות.
מעל שדות ממאפיין שונה מ-2 ו-3, אלגברת הנגזרות של אלגברת אוקטוניונים היא אלגברת לי פשוטה מטיפוס G2. במאפיין שאינו 2 או 3, כל נגזרת של האלגברה היא סכום של פעולות מהצורה .
במתמטיקה, אלגברה ריבועית היא אלגברה לא אסוציאטיבית (עם יחידה) שכל איבר שלה שייך להרחבה דו-ממדית של שדה הבסיס.
הדוגמה הבולטת לאלגברה כזו היא אלגברת הרכב, כגון אלגברת קווטרניונים, ובפרט אלגברת המטריצות .
באופן כללי יותר, כל אלגברה המתקבלת מבניית קיילי-דיקסון היא ריבועית.
ה"ריבועיות" של אלגברה אינה תלויה בשדה הבסיס, כלומר, היא נשמרת תחת הרחבת סקלרים, ואינה נולדת מהרחבה כזו.
כל אלגברה ריבועית היא אלגברה בעלת חזקות אסוציאטיביות במובן החזק.
כחלק מן ההגדרה, אלגברה ריבועית מצוידת במבנה נוסף: לכל איבר קיימים כך ש-.
אם המאפיין של שדה הבסיס הוא 2, דורשים שהפונקציה תהיה ליניארית.
הליניאריות הזו נובעת מן ההגדרה בכל מאפיין אחר, אבל במאפיין 2, יש אלגברות בוליאניות שכל איבר שלהן שייך להרחבה דו-ממדית, אבל אינן ריבועיות (משום שלא ניתן לבחור את כך שתהיה ליניארית).
כשהמאפיין אינו 2, הפונקציה היא תבנית ריבועית כפלית: , ואם היא אינה מנוונת, נעשית אלגברת הרכב.
אלגברה ריבועית אלטרנטיבית היא אלגברת הרכב אם ורק אם תבנית הנורמה אינה מנוונת.
נניח שהמאפיין של שדה הבסיס אינו 2. הליניאריות של מפרקת את האלגברה לסכום ישר , כאשר הוא אוסף הווקטורים ה"טהורים" של האלגברה.
יש התאמה בין אלגברות ריבועיות לבין זוגות סדורים של פעולה בינארית אנטי-סימטרית , ותבנית ביליניארית .
התאמה זו לאוסף "פרוע" של אובייקטים מראה שאין טעם לנסות למיין אלגברות ריבועיות, אלא אם הן מקיימות תכונות אלגבריות נוספות.
Osborn הראה שהממד של אלגברה ריבועית שבה כל האיברים הפיכים, ושבה כל שני איברים יוצרים תת-אלגברה מדרגה 2 או 4, הוא חזקת-2.
יהי מרחב וקטורי מעל שדה .
נסמן ב- את האלגברה הריבועית עם פעולת הכפל , כאשר:
ב-1962 הראה Osborn שבמאפיין שונה מ-2, כל אלגברת חילוק ריבועית היא מהצורה , כאשר:
לכל בלתי תלויים ליניארית, גם בלתי תלויים.
גם להפך, כל אלגברה הבנויה באופן כזה היא אלגברה ריבועית עם חילוק.
האלגברה מקיימת את הזהות הגמישה אם ורק אם ולכל מתקיים .
בתורת החוגים, אלגברה ספרבילית היא אלגברה מעל חוג קומוטטיבי, הפועלת על עצמה באופן מסוים (שיוגדר בגוף הערך).
זוהי הכללה של מושג הספרביליות של הרחבת שדות: הרחבת שדות מממד סופי K/F היא ספרבילית, אם ורק אם K אלגברה ספרבילית מעל F.
יהי C חוג קומוטטיבי, ותהי R אלגברה מעל C (כלומר, חוג המכיל את C במרכז שלו).
מגדירים , המכפלה הטנזורית מעל C, כאשר היא האלגברה המנוגדת.
מודולים מעל אינם אלא בי-מודולים מעל R שבהם שתי הדרכים לצמצם למודול מעל C מתלכדות.
בפרט, האלגברה פועלת על על ידי , באופן ההופך את למודול מעל .
האלגברה R היא ספרבילית, אם R הוא מודול פרויקטיבי מעל .
להלן כמה הגדרות שקולות לספרביליות של R מעל C:
הסדרה המדויקת מתפצלת, כאשר .
יש איבר המקיים ו-, כאשר .
איבר זה נקרא אידמפוטנט ספרביליות של מכיוון שהוא בהכרח אידמפוטנט.
כאשר הוא חוג קומוטטיבי, האידמפוטנט הזה יחיד.
הפונקטור , מהקטגוריה אל , הוא מדויק מימין (כאן ).
לכל בי-מודול M מעל R, כל נגזרת פורמלית של R (מעל C) עם ערכים ב-M (היינו, פונקציה אדיטיבית , הומוגנית מעל C, המקיימת ) היא פנימית: קיים כך ש-.
הממד הקוהומולוגי (ביחס לקהומולוגיית Hochschild) של R מעל C הוא אפס, כלומר, לכל R-בימודול M.
לדוגמה, אלגברת המטריצות ספרבילית מעל C (ובפרט C ספרבילית מעל עצמה).
החוג , כאשר , הוא ספרבילי מעל C אם ורק אם הפיכים ב-C.
אם אלגברה R היא ספרבילית מעל החוג C ופרויקטיבית כמודול מעליו, אז R נוצרת סופית כמודול.
את הקשר בין אידיאלים של אלגברה ספרבילית לאידיאלים מעל המרכז שלה מספקת העובדה השימושית הבאה: לכל אידיאל I של המרכז , מתקיים .
ספרביליות נשמרת תחת פעולות טבעיות רבות.
אם ספרביליות מעל C, אז גם המכפלה הישרה ספרבילית.
אם ספרביליות מעל בהתאמה, כאשר הן אלגברות קומוטטיביות מעל C, אז ספרבילית מעל , ובמקרה זה .
בפרט, המכפלה הטנזורית של אלגברות ספרביליות היא ספרבילית.
ספרביליות נשמרת תחת הרחבת סקלרים: אם R ספרבילית מעל C, אז לכל C-אלגברה , המכפלה הטנזורית היא ספרבילית מעל .
כל מנה של אלגברה ספרבילית (שהיא אלגברה מעל C) היא ספרבילית.
קל יותר להיות ספרבילי ככל שחוג הבסיס גדול יותר: אם R אלגברה מעל המכילה תת-חוג C, והיא ספרבילית מעל C, אז היא ספרבילית גם מעל .
מאידך, אם במקרה זה עצמה ספרבילית מעל C, אז גם ההפך נכון: אם R ספרבילית מעל , אז היא ספרבילית גם מעל C (הספרביליות של 'C מעל C מבטיחה גם שאם R פרויקטיבית מעל 'C אז היא פרויקטיבית גם מעל C).
עם זאת, לא כל תת-אלגברה של אלגברה ספרבילית היא ספרבילית (לדוגמה, אלגברת המטריצות מעל שדה F מכילה הרחבות לא-ספרביליות של F).
במקרים מסוימים אפשר 'לקלף' ספרביליות: אם המכפלה הטנזורית ספרבילית מעל C ואחד הגורמים הוא פרויקטיבי בנאמנות (כלומר, פרויקטיבי, ולכל אידיאל I של C, הכפל ב-I מחזיר תת-מודול אמיתי), אז הגורם השני ספרבילי.
אם ספרבילי מכל כאשר פרויקטיבית בנאמנות מעל C, אז R ספרבילי מעל C.
אם R ספרבילי מעל C ופרויקטיבי בנאמנות מעל C-אלגברה קומוטטיבית , אז ספרבילית מעל C.
אלגברה A היא ספרבילית מעל שדה F אם ורק אם A פשוטה למחצה וסוף-ממדית, כלומר, סכום ישר של מספר סופי של אלגברות פשוטות מממד סופי, והמרכז של כל מרכיב פשוט הוא הרחבה ספרבילית מממד סופי של F.
אם A ספרבילית מעל F, אז ספרבילית מעל K לכל הרחבת שדות K/F.
תכונות אלה נכונות לא רק במקרה האסוציאטיבי, אלא גם עבור אלגברות אלטרנטיביות.
בפרט, אלגברה קומוטטיבית (ואסוציאטיבית) היא ספרבילית מעל שדה אם ורק אם היא סכום ישר של הרחבות ספרביליות של שדות.
כך מתלכדות באלגברה ספרבילית שתי תכונות: אחת אריתמטית - הספרביליות של איברים, ואחת מבנית - התנאי שהאלגברה תישאר פשוטה למחצה לאחר הרחבת סקלרים.
הקשר בין שני התנאים נובע מכך שאם K/F הרחבה לא ספרבילית, אז ב- יש איברים נילפוטנטיים.
כל אלגברה ספרבילית היא חופשית למחצה במובן של Cuntz ו-Quillen.
בתורת החוגים, אלגברת אָזוּמַיָה מעל חוג קומוטטיבי היא מודול נאמן פרויקטיבי נוצר סופית , שעבורו ההעתקה הטבעית היא איזומורפיזם.
בפרט, כל אלגברת אזומיה היא ספרבילית, ובשל כך נקראו אלגברות אלה בעבר 'אלגברות ספרביליות מרכזיות'.
אם חוג הבסיס הוא שדה, אלגברות אזומיה אינן אלא אלגברות פשוטות מרכזיות.
הן מהוות, אם כך, הכללה של מושג יסודי זה באופן המאפשר את המניפולציות הסטנדרטיות של מעבר לחוג מנה וכדומה.
המושג הוצג לראשונה על ידי המתמטיקאי היפני גורו אזומיה במאמר מ-1951.
כל חוג פועל על עצמו על ידי כפל משמאל: היא הומומורפיזם של חוגים , כאשר .
עובדה זו נכונה גם כשרואים בחוג אלגברה מעל חוג קומוטטיבי .
באותה עת, האלגברה המנוגדת פועלת על על ידי כפל מימין, באופן המגדיר הומומורפיזם טבעי מן המכפלה הטנזורית לחוג האנדומורפיזמים, , לפי .
באופן כללי ההומומורפיזם הזה אינו חד-חד-ערכי (למשל, אם קומוטטיבי ומכיל ממש את , אז הטנזורים שונים זה מזה אבל פעולתם זהה), וגם אינו על (יש הומומורפיזמים שלא ניתן לממש כצירוף של פעולות כפל מימין ומשמאל).
התכונה העיקרית של אלגברות אזומיה היא שעבורן האלגברה מתארת את הפעולות על עצמה באופן מלא.
מכיוון ש- קומוטטיבי, חוג המנה הוא תחום שלמות לכל אידיאל ראשוני של , ויש לו שדה שברים .
לכל אלגברה שהיא מודול סופי מעל , הרחבת הסקלרים היא אלגברה מעל שדה, שיש לה כמובן ממד, שהוא "הדרגה של ב-".
בכל אלגברת אזומיה, הדרגה קבועה על מרכיבי הקשירות של הספקטרום של , והאלגברות כולן פשוטות מרכזיות, מממד סופי.
בפרט, כל המנות , עבור האידיאלים המקסימליים של , הן אלגברות פשוטות מרכזיות (הרי אם אידיאל מקסימלי חוג המנה הוא שדה, ו-).
ההנחה האחרונה כמעט מספיקה לאפיון אלגברות אזומיה: אם כל המנות הן אלגברות פשוטות מרכזיות, והדרגה קבועה, אז אזומיה (נעיר שהספקטרום קשיר אם ורק אם אין ב- אידמפוטנטים, ובמקרה כזה הדרגה הקבועה וההתנהגות מעל האידיאלים המקסימליים שקולים לתכונת אזומיה).
אם אזומיה מעל , אז שווה למרכז של .
כל אלגברת מנה של אלגברת אזומיה היא אזומיה.
כל הרחבת סקלרים (בחוג קומוטטיבי) היא אלגברת אזומיה.
המכפלה הטנזורית של שתי אלגברות אזומיה מעל אותו חוג היא אלגברת אזומיה.
לכל אידיאל של אלגברת אזומיה מעל מתקיים , ולכן יש התאמה מושלמת בין האידיאלים של האלגברה לבין האידיאלים של המרכז, לפי .
אלגברות אזומיה מקיימות את תכונת המרכֵּז הכפול: תהי אלגברת אזומיה מעל , שהיא תת-אלגברה של אלגברה כלשהי.
אם, בנוסף לזה, היא אלגברת אזומיה, אז .
כל הומומורפיזם של אלגברות אזומיה מעל (אותו חוג) הוא שיכון, ואם יש לאלגברות אותה דרגה (בכל מרכיב קשירות של הספקטרום), אז זהו איזומורפיזם.
אם כל מודול פרויקטיבי מדרגה 1 מעל הוא חופשי (תכונה זו מתקיימת כמובן אם הוא שדה), אז אלגברות אזומיה מקיימות את משפט סקולם-נתר: כל אוטומורפיזם של הוא פנימי (כלומר, הצמדה באיבר הפיך).
משפט ארטין-פרוצ'סי מאפיין אלגברות אזומיה בשפת הזהויות הפולינומיות: חוג הוא אזומיה, אם ורק אם הוא מקיים את כל הזהויות שמקיים חוג המטריצות , ואף תמונה הומומורפית שלו אינה מקיימת את כל הזהויות שמקיים חוג המטריצות .
כל אלגברת מטריצות מעל היא אלגברת אזומיה.
באופן כללי מעט יותר, אם מודול פרויקטיבי נאמן מעל , אז היא אלגברת אזומיה.
כדי להפטר מן הדוגמאות הטריוויאליות האלה, מגדירים יחס שקילות בין אלגברות אזומיה מעל : האלגברות ו- דומות אם יש מודולים פרויקטיביים ו- כך ש-.
המכפלה הטנזורית מוגדרת היטב על מחלקות השקילות של היחס הזה, ומאפשרת להגדיר את חבורת בראוור של כאוסף מחלקות השקילות, עם הכפל שהוא המכפלה הטנזורית.
המחלקה של היא איבר היחידה של המונויד המתקבל.
מכיוון ש- טריוויאלי לפי ההגדרה, האלגברה המנוגדת היא ההפכית של , ולכן חבורת בראוור היא חבורה, כמתחייב משמה, והיא אבלית, ואפילו מפותלת.
בפרט, אם הרחבה של חוגים קומוטטיביים, אז העתקת הצמצום היא הומומורפיזם .
הצמצום קשור למְרכְּזים באופן הבא: אם אלגברת אזומיה מעל , ו- תת-חוג קומוטטיבי של (שהוא אלגברה מעל ), כך ש- פרויקטיבי מעל , אז המרכז אזומיה מעל , ו-.
אם היא אלגברה ספרבילית מעל שהיא פרויקטיבית מדרגה קבועה , אז אפשר להגדיר העתקה בכיוון ההפוך, , וההרכבה (בסדר זה דווקא) אינה אלא פעולת הכפל ב-.
חבורת בראוור של תחום הערכה בדידה שלם שווה לזו של שדה השאריות.
במאמר פורץ דרך מ-2010, הציע טואן הכללה נגזרת של המושג אלגברת אזומיה.
בהינתן חוג קומוטטיבי סימפליצאלי , ואלגברה דיפרנציאלית מדורגת מעל , אומרים כי היא אלגברת אזומיה נגזרת מעל אם מתקיימים שני התנאים:
כאיבר של הקטגוריה הנגזרת , מתקיים כי הוא יוצר קומפקטי של .
ההעתקה הטבעית ב- היא איזומורפיזם.
אלגברה רלציונית (Relational algebra) או אלגברת היחסים או אלגברה טבלאית, היא פורמליזם המשמש לצורך כתיבת שאילתות על מסדי נתונים הבנויים בצורה של טבלאות.
הפורמליזם מבוסס על לוגיקה מסדר ראשון ועל תורת הקבוצות.
אלגברת היחסים דומה במעט לאריתמטיקה.
אריתמטיקה עוסקת בערכים מספריים, ומתירה עליהם פעולות חשבון.
אלגברת היחסים אף היא מאפשר להפעיל פעולות (אופרטורים) על ערכים, אלא שהערכים בהם עוסקת אלגברת היחסים הם "יחסים" (relations) או "טבלאות".
באלגברה ישנם שישה אופרטורים בסיסיים, אשר כל אחד מהם מקבל כקלט טבלה אחת או יותר, ומחשב מאלו טבלה חדשה, שבדרך כלל תהיה שונה מהטבלאות הנתונות בקלט.
טבלה היא קבוצה של ערכים מסוג רשומה.
האלגברה עוסקת בטבלאות עצמן, ואינה מאפשרת גישה לרשומות בודדות שבטבלה.
כל הרשומות שבטבלה חייבות להיות בעלות מבנה זהה: חייב להיות בהן אותו מספר שדות, ולשדות אלו חייבים להיות בדיוק אותם שמות.
לשני שדות שונים לא יכול להיות אותו שם.
מבנה הטבלה, הוא קבוצת שמות השדות של הרשומות המופיעים בה.
כך למשל, טבלה יכולה להיות רשימת קשר המשמשת להעברת פרטי התקשרות בין הוריהם של ילדים בכיתה מסוימת.
הרשומות שבטבלה מכילות מידע לגבי אותה רשימת השדות.
בדוגמת רשימת הקשר, סביר ששדות אלו יהיו: שם הילד, שם האב, שם האם, כתובת, מספר טלפון של האב, ומספר טלפון של האם.
הקבוצה המכילה את ששת השמות הללו, היא בדיוק המבנה של טבלת רשימת הקשר.
פורמלית, אסור שרשומות שונות תכלנה רשימת שדות שונה.
בדרך כלל, זו אינה מגבלה קשה מדי, בהתחשב בעובדה שנהוג להתיר ערך "ריק" לשדות.
רשימת הקשר תהיה עדיין טבלה תקינה גם אם לאחד מהורי הילדים אין טלפון משלו.
האופרטורים היסודיים על טבלאות המוגדרים באלגברת היחסים הם:
איחוד (union): בהינתן שתי טבלאות שהמבנה שלהם זהה, האופרטור מחשב את הטבלה שהיא האיחוד, במובן של תורת הקבוצות, של שתי הטבלאות.
בדוגמה שלנו, ניתן לחשב את האיחוד של רשימת הקשר של הילדים בכיתה, ושל הילדים בקייטנה.
איחוד זה יכיל רשומה אחת עבור כל ילד, אפילו אם הילד רשום גם לכיתה וגם לקייטנה.
סילוק הכפילויות דורש זהות מוחלטת בין הרשומות.
על כן, אם בעבור ילד מסוים, פרטי הקשר בשתי הטבלאות המקוריות הם שונים, תופענה שתי רשומות בטבלה המאוחדת.
חיסור (substraction), שעל אף שמו, שונה מפעולת החיסור האריתמטית: בהינתן שתי טבלאות שהמבנה שלהם זהה, האופרטור מחזיר את הטבלה הראשונה, לאחר שהסירו ממנה את הרשומות המופיעות בטבלה השנייה.
בדוגמה שלנו, אם נחסיר מרשימת הקשר המאוחדת את רשימת הקשר של ילדי הקייטנה, נקבל את רשימת הקשר של הילדים בכיתה אשר אינם משתתפים בקייטנה.
החלפת שם (renaming): אופרטור המקבל טבלה, שם של שדה שבה, ושם חדש לאותו שדה.
בדוגמה שלנו, אפשר להפעיל אופרטור זה על רשימת הקשר כך שבטבלה הנוצרת: השדה המכונה "שם האב" יקרא "שם הורה 1".
הפעלה נוספת של האופרטור על התוצאה, תוכל ליצור טבלה חדשה שבה השדות המכילים את שמות ההורים יקראו "שם הורה 1" ו"שם הורה 2".
הטלה (projection): אופרטור זה מקבל טבלה, ורשימה של שמות של שדות מתוכה, והוא מחזיר טבלה אשר בה מסולקות כל העמודות לבד מאלו המופיעים ברשימה הנתונה.
כך, אם נטיל את רשימת הקשר שלנו על השדות "שם הילד" ו "שם האב", נקבל טבלה חדשה שבה רק שתי עמודות אלו תופענה.
כיוון שטבלה מיוצגת כקבוצה, הרי אם בגן יש שני ילדים שגם שמם, וגם שם אביהם זהה, הרי הטבלה הנוצרת מההטלה תכיל רק רשומה אחת עבור שני ילדים אלו.
מכפלה קרטזית (Cartesian Product): בהינתן שתי טבלאות שהמבנה שלהן זר, כלומר שאין אף שם של שדה שמופיע בשתי הטבלאות יחד, אופרטור המכפלה הקרטזית יוצר טבלה חדשה המכילה את כל הצירופים האפשריים של רשומה מהטבלה הראשונה, ורשומה מהטבלה השנייה.
כדי להדגים את האופרטור בדוגמה שלנו, נשווה בנפשנו טבלה נוספת, שבה שתי עמודות בלבד: "רחוב" ו"מרחק מבית-הספר".
בטבלה זו נרשום את המרחק של כל אחד מרחובות העיר מהגן.
אם נכפיל טבלה זו בטבלת רשימת הקשר, נקבל טבלה ענקית, אשר המבנה שלה הוא קבוצת השמות: "רחוב", "מרחק מבית-הספר", " שם הילד", "שם האב", "שם האם", "כתובת", "מספר טלפון של האב", ו"מספר טלפון של האם".
בטבלה זו לכל ילד בכיתה, תהינה מספר רב של רשומות, אחת לכל רחוב בעיר.
בחירה (selection): בהינתן טבלה, ותנאי כלשהו על השדות שבה, פעולת הבחירה מיצרת טבלה חדשה בעלת מבנה זהה לטבלה הנתונה, והמכילה רק את הרשומות שבטבלה הנתונה שמקיימות את התנאי.
תנאי הבחירה יכיל בדרך כלל השוואות בין ערכי השדות, וצירופים לוגיים של אלו.
בדוגמה שלנו, התנאי "שם הילד זהה לשם האב או שם הילד זהה לשם האם" בהפעלתו כבחירה על רשימת הקשר, יתן את רשימת הקשר של הילדים הנקראים על שם אחד מהוריהם.
בעזרת ששת האופרטורים היסודיים, ובאמצעות אופרטורים נוספים, שאינם אלא קיצורי דרך להפעלת האופרטורים היסודיים, ניתן לבצע חישובים מורכבים ביותר על טבלאות.
כך למשל, אם נסתכל שוב על הטבלה הענקית שנוצרה באמצעות המכפלה הקרטזית של רשימת הקשר בטבלת מרחקי הרחובות מבית-הספר, ונבחר מתוכה באמצעות אופרטור הבחירה את הרשומות שבהם הכתובת מכילה את שם הרחוב, נקבל טבלה חדשה שתספק לנו מידע על המרחק של כל ילד מבית הספר.
אם נרצה, נוכל לסלק מטבלה זו שדות מיותרים באמצעות אופרטור ההטלה.
על אף הכח הרב של אלגברת היחסים, ישנן פעולות שאי אפשר לבצע בה.
בדוגמה שלנו למשל, אי אפשר לחשב את המרחק הממוצע של מגורי הילדים מבית הספר, וזאת משום שהאלגברה אינה כוללת אופרטורים לסיכום שדות המופיעים ברשומות שונות.
לא ניתן גם להשתמש באלגברה כדי לבחור ילד אקראי מהכיתה, משום שהאלגברה אינה עוסקת ברשומות בודדות.
אלגברת היחסים אינה מאפשרת יצירת ביטויים המפעילים אופרטור מסוים מספר בלתי חסום של פעמים.
כתוצאה מכך, לא ניתן להשתמש באלגברה כדי לייצר את רשימת כל הדרכים להקיף את העולם בטיסה, גם אם נתונות לנו טבלאות המתארות את כל הטיסות כולן.
הקושי הוא בכך שמספר הטיסות שבהן אפשר להקיף את העולם אינו חסום.
באלגברה מופשטת, אלגברת לי היא נילפוטנטית אם הסדרה המרכזית היורדת שלה מתאפסת החל ממקום מסוים.
לאלגברות לי נילפוטנטיות מקום חשוב בתורת המבנה של אלגברות לי, ובפרט במיון של אלגברות לי פשוטות למחצה.
הסדרה המרכזית היורדת של היא הסדרה המוגדרת על ידי .
היא נילפוטנטית אם הסדרה המרכזית היורדת שלה מתאפסת החל ממקום מסוים, כלומר קיים כך ש-.
כל אלגברת לי אבלית היא נילפוטנטית.
כל אלגברת לי נילפוטנטית היא גם פתירה, וההפך לא נכון.
כל תמונה אפימורפית ואלגברת מנה של אלגברת לי נילפוטנטית הם נילפוטנטיים.
המרכז של אלגברת לי נילפוטנטית לא ריק.
אם נילפוטנטית אז גם .
תנאי שקול לנילפוטנטיות הוא עבור ספציפי.
לפי משפט אנגל, אלגברת לי היא נילפוטנטית אם ורק אם כל איברי העתקת הצמוד שלה נילפוטנטיים.
באלגברה מופשטת, אלגברה ציקלית היא אלגברה פשוטה מרכזית המכילה תת-שדה (מקסימלי) המהווה הרחבת גלואה ציקלית מעל שדה הבסיס.
לאלגברה ציקלית מספר הגדרות שקולות.
תהי הרחבת גלואה ציקלית עם חבורת גלואה מסדר , ויהי .
נגדיר (כמרחב וקטורי עם בסיס ), עם פעולת הכפל:
בדיקה ישירה מראה שהפעולה מגדירה אלגברה פשוטה מרכזית הנקראת אלגברה ציקלית ומסומנת .
(להוכחת טענות אלו ראו [Row]).
תהי אלגברה פשוטה מרכזית מעל .
נאמר ש- אלגברה ציקלית אם קיים תת-שדה (מקסימלי) המהווה הרחבת גלואה ציקלית.
אלגברה ציקלית היא אלגברה בעלת הצגה על ידי יוצרים ויחסים: .
ההגדרה הראשונה שקולה לשנייה לפי המשפט:
משפט [Row, 24.45]: אלגברה פשוטה מרכזית היא אלגברה ציקלית (במובן ההגדרה הראשונה) אם ורק אם קיים עבורה תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית.
סקירת ההוכחה: בכיוון , תהי חבורת הגלואה.
לפי משפט סקולם-נתר, יש כך ש-, ולכן גם .
לכן , כלומר שייך למרכז שהוא , כלומר , ומתקיים .
שקילות ההגדרות השנייה והשלישית נובעת מהמשפט:
משפט [GS, 2.5.3]: אם אלגברה פשוטה מרכזית היא בעלת תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית, אז A איזומורפית לאלגברה מהצורה (סיגמא היוצר של חבורת הגלואה).
סקירת הוכחת המשפט: על פי משפט סקולם-נתר, האוטומורפיזם של K הוא הצמדה באיבר כלשהו : .
נגדיר , ונוכיח כי : משום ש-, כלומר ; הפעלת ההצמדה על מראה כי , ולכן .
כעת, קל לבדוק כי בלתי תלויים ליניארית, ולכן מקבלים הדרוש.
יהי שדה, ויהי הפיך בשדה.
עוד נניח כי מכיל שורש יחידה פרימיטיבי מסדר , נסמנו .
מקרה פרטי של הגדרה זו הוא אלגברת קווטרניונים, המתקבלת כאשר .
לפי משפט [GS,4.3.9], כל הרחבה ציקלית כנ"ל אפשר לרשום בצורה .
כל האלגברות הציקליות עבור הן בדיוק , עבור כל שורש יחידה -פרימיטיבי .
יהי שדה ממאפיין ראשוני , ויהי .
קל לראות שכל שורש של הפולינום מגדיר הרחבת גלואה ציקלית.
לפי משפט [GS,4.3.13], כל הרחבת גלואה ציקלית כנ"ל היא מהצורה עבור אלפא עם שורש מינימלי .
מעבר לכך, בתנאים הנ"ל, כל האלגברות הציקליות עבור הן מהצורה .
באלגברה מופשטת, אלגברת הטנזורים של מרחב וקטורי היא האלגברה (האסוציאטיבית עם איבר יחידה) החופשית מעליו.
אלגברת הטנזורים של היא , עם פעולת הכפל בתור המכפלה הטנזורית (מעל ).
מבנייה זו מתקבלת אלגברה אסוציאטיבית עם יחידה.
כאשר המרחב V הוא סוף ממדי עם בסיס , אלגברת הטנזורים היא האלגברה החופשית ביוצרים , כלומר אלגברת הפולינומים הלא-קומוטטיביים ביוצרים האלה.
החלפת בסיס משרה אוטומורפיזם של האלגברה.
כאמור, אלגברת הטנזורים היא האלגברה החופשית מעל .
פירושו של דבר הוא שהאלגברה מקיימת תכונה אוניברסלית: כל העתקה ליניארית מ- לאלגברה כלשהי "עוברת" דרך , כלומר קיים הומומורפיזם (יחיד) כך שהדיאגרמה הבאה מתחלפת:
כרגיל עם תכונות אוניברסליות, יש מבנה חופשי אחד לכל היותר, עד כדי איזומורפיזם; אלגברת הטנזורים היא המבנה החופשי הזה.
כל אלגברה מתקבלת כאלגברת מנה של האלגברה הטנזורית המתאימה למרחב וקטורי כלשהו.
בשל היותה האלגברה הכללית ביותר (כזו שלא מקיימת יחסים לא טריוויאליים, פרט לאלו שכל אלגברה אסוציאטיבית מחויבת לקיים), ניתן "לכפות" עליה יחסים ואף זהויות (כמו קומוטטיביות) ולקבל אלגברות ידועות אחרות.
דוגמאות מפורשות לאלגברות כאלה הן האלגברה הסימטרית (בה מוסיפים יחסים מהצורה ) - זוהי האלגברה החופשית הקומוטטיבית הכללית ביותר, ואלגברת קליפורד - בה מוסיפים יחסים מהצורה , עבור תבנית ריבועית .
אלגברת הטנזורים היא אלגברה מדורגת לפי אורך הטנזורים.
מפורשות, המרחבים (מכפלה k פעמים) הם המרכיבים ההומוגניים, והאלגברה אמנם מדורגת משום שהעתקת הכפל מוגדרת לטווח הנכון: על ידי מכפלה טנזורית.
ניתן גם להציג דירוגים אחרים, כדוגמת -דירוג, על ידי , כאשר החלק הזוגי של , ו- החלק האי-זוגי.
אלגברה פשוטה מרכזית היא אלגברה פשוטה מממד סופי מעל המרכז שלה.
האלגבראות הפשוטות הן אבני היסוד בתורת המבנה של אלגבראות, ומחקרן תורם להבנת המבנה הכללי של חוגים.
לאובייקטים אלו מבנה עשיר, הקשור גם לתחומים אחרים במתמטיקה, כמו תורת הקוהומולוגיה של מבנים אלגבריים שונים.
על פי משפט ודרברן-ארטין, כל אלגברה פשוטה מרכזית מעל שדה איזומורפית לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק ; חוג זה יחיד עד כדי איזומורפיזם, ומהווה אף הוא אלגברה פשוטה מרכזית (מעל אותו השדה).
נובע כי הממד של אלגברה פשוטה מרכזית הוא מספר ריבועי.
המכפלה הטנזורית של אלגבראות פשוטות מרכזיות אף היא פשוטה מרכזית (על פי משפט המרכז הכפול).
על פי משפט סקולם-נתר, כל אוטומורפיזם של אלגברה פשוטה מרכזית הוא אוטומורפיזם פנימי - כלומר, הצמדה באיבר מהאלגברה; משפט זה מאפשר להוכיח טענות רבות בתחום.
האינדקס של האלגברה הפשוטה המרכזית הוא הממד של חוג החילוק הליבתי שלה: .
בהינתן פירוק לגורמים ראשוניים של האינדקס, , ניתן לכתוב כאשר אלגברת חילוק מממד .
לכן, כל אלגברה פשוטה מרכזית ניתן להביא למבנה .
הדוגמה הבסיסית לאלגבראות פשוטות מרכזיות היא מעל שדה המספרים הממשיים , הכוללות את שדה הממשיים עצמו , שדה המספרים המרוכבים ואלגברת הקווטרניונים של המילטון , ואת כל חוגי המטריצות מעליהם.
כמסקנה ממשפט הורוויץ, המסווג תכונות של אלגבראות הרכבה מעל שדות ממאפיין לא 2, אלו הן האלגבראות הפשוטות (האסוציאטיביות) היחידות מעל שדה הממשיים.
דוגמאות מעט כלליות יותר לאלגבראות פשוטות מרכזיות הן האלגבראות ציקליות, המכילות תת-שדה גלואה מקסימלי המהווה הרחבה ציקלית מעל שדה הבסיס; מבנים אלו כוללים בפרט את כל אלגבראות הקווטרניונים - אלגבראות ציקליות מממד 4, הכוללות את כל האלגבראות הפשוטות המרכזיות מממד 4.
לאחר היכרות בסיסית עם מבנה האלגבראות הפשוטות המרכזיות, ניתן להגדיר את חבורת בראואר.
שתי אלגבראות פשוטות מרכזיות מעל אותו שדה הן שקולות לפי יחס בראואר אם יש להן אותה אלגברת חילוק ליבתית, כלומר ו-.
כעת, חבורת בראואר של השדה היא חבורה אשר איבריה הם מחלקות השקילות הללו, בה הפעולה היא מכפלה טנזורית והאיבר ההפכי הוא האלגברה המנוגדת.
בהינתן הרחבת גלואה , חבורת בראואר היחסית להרחבה זו היא החבורה המכילה את כל האלגבראות המפוצלות על ידי השדה .
איחוד על כל הרחבות הגלואה של חבורות הבראואר היחסיות נותן את חבורת בראואר של השדה.
חבורת בראואר היא אובייקט בעל מבנה עשיר ומעניין, הקשור גם לתורת הקוהומולוגיה של מבנים אלגבריים.
למידת מבנה החבורה ותכונותיה מאפשרת הסקת מסקנות אודות תיאורית המבנה של אלגבראות פשוטות מרכזיות.
הכללה - אלגבראות ספרביליות מרכזיות
הכללה טבעית למבנה זה היא למקרה שבו מבנה הבסיס איננו שדה; במקרה זה, חוקרים אלגבראות ספרביליות מרכזית - אלו הן אלגבראות נאמנות, ספרביליות ומרכזיות מעל חוג בסיס נתון.
תכונות מבנה רבות שמתקיימות בתורה שהוצגה לעיל, נשמרות גם כאשר עוברים למקרה הכללי יותר (כמו מכפלות טנזוריות, משפט המרכז הכפול).
בפרט, ניתן להגדיר את חבורת בראואר של חוג באופן דומה כלעיל.
במתמטיקה, אלגברת אלברט היא אלגברת ז'ורדן פשוטה מממד 27. אלגברות אלברט מוגדרות מעל כל שדה ממאפיין שונה מ-2, והן אלגברות ז'ורדן הפשוטות היחידות שאינן נספחות לאלגברה אסוציאטיבית.
תהי C אלגברת אוקטוניונים מעל שדה ממאפיין שונה מ-2. על אלגברת המטריצות בגודל 3x3 מעל C מוגדרת האינוולוציה של שחלוף והצמדת הרכיבים.
אוסף המטריצות הסימטריות ביחס לאינוולוציה זו, עם הפעולה x*y=(xy+yx)/2, הוא אלגברת ז'ורדן פשוטה מממד 27. כל אלגברה כזו נקראת אלגברת אלברט, בעקבות עבודתו של אדריאן אלברט מ-1934 שבה הוכיח שהן אכן פשוטות.
ב-1947 הראה אלברט שכל אלגברת ז'ורדן פשוטה מיוחדת (היינו כזו שאינה נספחת לאלגברה אסוציאטיבית) היא אלגברת אלברט.
לכל אלגברת אלברט שהיא אלגברת חילוק יש איזוטופ שהוא ציקלי, כלומר כזה המכיל הרחבה ציקלית תלת-ממדית של שדה הבסיס (Petersson-Racine אם שדה הבסיס מכיל שורש שלישי של היחידה; Petersson 1999 במאפיין 3; Maneesh Thakur 2022 במקרים הנותרים).
הקשר לאלגברות לי ולחבורות אלגבריות
מעל שדה ממאפיין אפס, אלגברת הנגזרות של אלגברת אלברט J היא אלגברת לי הפשוטה מטיפוס , וממדה 52. אם נסמן ב- את המרחב של פעולות הכפל של אברי J על האלגברה עצמה שהעקבה שלהן (כהעתקות ליניאריות) היא אפס, אז היא אלגברת לי פשוטה מטיפוס .
בניות דומות מובילות לאלגברות לי הפשוטות מטיפוסים ו- .
חבורת האוטומורפיזמים של אלגברת ז'ורדן היא חבורה אלגברית פשוטה, פשוטת קשר לחלוטין וקשירה מטיפוס .
החבורה (עד כדי איזומורפיזם של חבורות אלגבריות) קובעת את האלגברה (עד כדי איזומורפיזם של אלגברות).
טענה דומה נכונה גם עבור אלגברות אוקטוניונים (שם חבורת האוטומורפיזמים היא מטיפוס ).
במתמטיקה, אלגברת ז'ורדן ריבועית היא מבנה אלגברי, המכליל את אלגברת ז'ורדן.
יתרונו בכך שאפשר להגדיר אותו מעל חוג כלשהו, וכך לפתח את תורת המבנה גם כאשר 2 אינו הפיך בחוג הבסיס.
אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל k היא מודול J, עם העתקה (שמסמנים ) ואיבר מיוחד , כך שמתקיימות האקסיומות הבאות מעל כל הרחבת סקלרים של J:
ראשית, U היא העתקה ריבועית; כלומר, , ו- היא תבנית ביליניארית;
ושלישית, מתקיימות הזהות היסודית ,
באלגברת ז'ורדן ריבועית מסמנים ; זו תבנית טריליניארית, סימטרית להחלפת המשתנים החיצוניים.
מן הזהויות נובע שהפעולה היא ביליניארית וקומוטטיבית.
מנקודת המבט של התבנית הטריליניארית, הן פעולות של האלגברה על עצמה, ובכך הן מכלילות את אלגברת האופרטורים המופיעה בכל סיטואציה לא אסוציאטיבית.
כאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, כל אלגברת ז'ורדן ריבועית מגדירה אלגברת ז'ורדן לפי הפעולה ; ולהפך, כל אלגברת ז'ורדן מגדירה אלגברת ז'ורדן ריבועית על ידי (כאשר ), ואז (בפרט, אם A אלגברה אסוציאטיבית, אז באלגברת ז'ורדן שהיא מגדירה מתקיים ).
זהויות אלו הפוכות זו לזו, ומראות שכאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, התאוריה של אלגברות ז'ורדן ריבועיות מתלכדת עם זו של אלגברות ז'ורדן.
אם A אלגברה אלטרנטיבית מעל k, ההגדרה הופכת את A לאלגברת ז'ורדן ריבועית, שאותה מסמנים ב-.
תת-אלגברה של אלגברה כזו (כאשר A אסוציאטיבי) היא מיוחדת; כל אלגברת ז'ורדן ריבועית שאינה מיוחדת היא יוצאת דופן.
איבר x הוא הפיך אם הפונקציה המתאימה לו הפיכה.
האיבר המקיים הוא ההפכי של x, ומתקיים .
אלגברה שבה כל האיברים (פרט ל-0) הפיכים היא אלגברת ז'ורדן ריבועית עם חילוק.
באלגברה איבר הוא הפיך במובן של אלגברות ז'ורדן אם ורק אם הוא הפיך כאיבר של A; בפרט אלגברת ז'ורדן ריבועית עם חילוק אם ורק אם A אלגברה עם חילוק.
תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל חוג קומוטיבי k.
תת-מודול I מעל k הוא אידיאל אם .
אם I אידיאל אז אפשר להגדיר את אלגברת המנה J/I.
האלגברה פשוטה אם אין לה אידיאלים, ופשוטה לחלוטין אם היא נותרת פשוטה אחרי כל הרחבת סקלרים.
המרכז של אלגברה פשוטה הוא שדה.
(בממד סופי ומעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אלגברה היא פשוטה לחלוטין אם ורק אם היא פשוטה מרכזית).
תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית, ויהי p איבר הפיך.
אז J עם איבר היחידה והפעולות , גם היא אלגברת ז'ורדן ריבועית, איזוטופית לאלגברה המקורית, המסומנת ב-.
(אלגברות איזוטופיות אינן בהכרח איזומורפיות, אבל יש להן אותם איברים הפיכים).
לפי סימון זה, אם p,q הפיכים אז .
אוסף האיזומורפיזמים מ-J לאיזוטופים שלו נקרא חבורת המבנה של J.
לכל האיזוטופים של J יש אותה חבורת מבנה, וחבורה זו פועלת על האיזוטופים לפי כאשר (כאן ההפכי מחושב ב-).
אוסף ההעתקות ההפיכות יוצר תת-חבורה הנקראת חבורת המבנה הפנימית, וגם חבורה זו היא אותה חבורה לכל האיזוטופים.
חבורת המבנה, וחבורת המבנה הפנימית, הן אינווריאנטים של מחלקת האיזוטופיה.
חבורת המבנה הפנימית היא תת-חבורה נורמלית של חבורת המבנה.
באלגברה, אלגברה צירית היא אלגברה לא אסוציאטיבית הנוצרת על ידי איברים מיוחדים הקרויים צירים.
ציר הוא אידמפוטנט שפעולות הכפל מימין ומשמאל בו פשוטות למחצה ומתחלפות (אופטרטור הוא פשוט למחצה אם הפולינום המינימלי שלו מתפצל).
מהנחות אלה נובע שהאלגברה מתפרקת לסכום ישר של המרחבים , וזאת ביחס לכל ציר e בנפרד.
ציר e הוא פרימיטיבי אם המרחב העצמי חד־ממדי, כלומר נפרש על ידי e עצמו.
אלגברה מממד סופי היא אלגברה מעל שדה, שהיא בעלת ממד סופי.
הממד הסופי מאפשר להפעיל שיקולים אלגבריים כלליים בקלות יחסית, ולכן תורת המבנה של אלגברות מממד סופי, לרבות תיאור המודולים מעליה, מפותחת היטב.
לפי משפט ארטין, אלגברה פשוטה מממד סופי היא אלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק.
תהי A אלגברה מממד סופי מעל שדה F.
נסמן ב-rad(A) את הרדיקל של האלגברה (מכיוון שהממד סופי, כל הרדיקלים המוכרים מתלכדים).
אלגברת המנה A/rad(A) פשוטה למחצה, כלומר, היא מתפרקת לסכום ישר של אלגברות פשוטות, שכולן כמובן מממד סופי.
האלגברה A מפוצלת אם כל המרכיבים בפירוק הזה הם מטריצות מעל F (זו הדרך להבטיח שמספר המרכיבים לא יגדל תחת הרחבה של שדה הבסיס).
כל אלגברה אפשר לפצל באמצעות הרחבה סופית של שדה הבסיס.
האלגברה בסיסית אם כל המרכיבים בפירוק הם חוגים עם חילוק.
בפרט, האלגברה מפוצלת בסיסית אם המנה A/rad(A) היא סכום ישר של עותקים של F.
כל אלגברה מפוצלת שקולה במובן מוריטה לאלגברה מפוצלת בסיסית.
לפי משפט קרול-שמידט, כל מודול שמאלי מממד סופי מעל A מתפרק באופן יחיד (עד כדי סדר) לסכום ישר של מודולים אי-פרידים (מודולים שאי אפשר לפרק כסכום ישר של תת-מודולים).
משום כך, בכל משפחה משמעותית של מודולים, המודולים האי-פרידים הם האטומים שבאמצעותם אפשר להציג כל מודול אחר.
שלוש המשפחות העיקריות הן של מודולים פרויקטיביים, פשוטים ואינג'קטיביים.
כל מודול פרויקטיבי מעל A אפשר להציג בצורה כאשר e אידמפוטנט; המודול אי-פריד אם ורק אם האידמפוטנט פרימיטיבי.
האלגברה A מתפרקת לסכום ישר של מודולים אי-פרידים כמודול מעל עצמה.
המרכיבים בפירוק הם המודולים הפרויקטיביים האי-פרידים, ומכאן שמספרם של אלו סופי.
אפשר לתאר את הפירוק באמצעות מערכת מקסימלית של אידמפוטנטים אורתוגונליים (היינו, כאשר האידמפוטנטים פרימיטיביים).
כל המערכות המקסימליות של אידמפוטנטים אורתוגונליים צמודות זו לזו (על ידי איבר הפיך של האלגברה).
עבור כל פירוק של A לסכום של מרכיבים אי-פרידים, יש מערכת מקסימלית של אידמפוטנטים כך ש- לכל i; ולהפך, מערכת מקסימלית של אידמפוטנטים משרה פירוק של A לפי אותה נוסחה.
הרדיקל rad(M) של מודול M מוגדר כחיתוך תת-המודולים המקסימליים שלו.
אם M מממד סופי, המנה M/rad(M) פשוטה למחצה, כלומר סכום של מודולים פשוטים.
אם P מודול פרויקטיבי אי-פריד, אז P/rad(P) מודול פשוט, וכל מודול פשוט מתקבל כך באופן יחיד.
זוהי התאמה חד-חד-ערכית בין המודולים הפרויקטיביים האי-פרידים של A, לבין המודולים הפשוטים.
העתקה ממודול פרויקטיבי למודול אחר היא "כיסוי פרויקטיבי" אם הגרעין שלה מוכל ברדיקל.
העתקה ממודול כלשהו לתוך מודול אינג'קטיבי היא "מעטפת אינג'קטיבית" אם התמונה היא תת-מודול גדול (כזה שנחתך עם כל תת-מודול).
לכל מודול פרויקטיבי , יש מודול פשוט ומודול אינג'קטיבי כך שבשרשרת ההעתקה הראשונה היא כיסוי פרויקטיבי והשניה מעטפת אינג'קטיבית.
כל מודול אינג'קטיבי אי-פריד מתקבל כך באופן יחיד.
אם כך, יש התאמה חד-חד-ערכית בין מודולים פשוטים, פרויקטיביים אי-פרידים, ואינג'קטיביים אי-פרידים.
אלגברות מסילה (path algebra) מספקות כלי קומבינטורי יעיל לתיאור אלגברות מממד סופי.
אלגברת המסילה של קוויבר Q (קוויבר אינו אלא גרף מכוון) היא האלגברה הנפרשת על ידי כל המסלולים ב-Q (לרבות המסלולים באורך 0), עם פעולת הכפל לפי הרכבת מסלולים כאשר תחנת הסיום של המסלול הראשון מתלכדת עם תחנת המוצא של המסלול השני (המכפלה היא אפס אם התחנות לא מתלכדות).
אלגברה מפוצלת בסיסית היא תורשתית (כלומר, כל תת-מודול של מודול פרויקטיבי הוא פרויקטיבי; שקול לזה - הממד הגלובלי הוא 0 או 1) אם ורק אם היא אלגברת המסילות של קוויבר נטול מעגלים.
כל אלגברה מפוצלת בסיסית A אפשר לתאר כמנה FQ/I כאשר FQ היא אלגברת המסילה של קוויבר (יחיד) Q, ו-I אידיאל המוכל באידיאל המקסימלי J של FQ ומכיל חזקה כלשהי של J.
האידיאל I (על אף שאינו יחיד) מספק את היחסים בייצוג של A לפי Q.
אלגברת טמפרלי-ליב היא אלגברת דיאגרמות מממד סופי, שיש לה שימושים אלגבריים וקומבינטוריים.
הוגדרה ב-1971 על ידי Neville Temperley ו-Elliott Lieb, במסגרת עבודתם על מודלים במכניקה סטטיסטית.
יהי R חוג קומוטטיבי עם איבר .
אלגברת טמפרלי-ליב היא אלגברה אסוציאטיבית עם איבר יחידה מעל R, הנוצרת על ידי איברים המקיימים את היחסים
באמצעות היחסים האלו אפשר להביא כל מונום לצורת ג'ונס נורמלית, , כאשר ו-.
האיברים בצורה הנורמלית מהווים בסיס לאלגברת טמפרלי-ליב.
הממד של אלגברת טמפרלי-ליב הוא מספר קטלן: .
האלגברה היא תת־אלגברה של אלגברת בראואר
(אלגברת החבורה של מונויד בראוור), ולכן גם של אלגברת החלוקות .
מעל המרוכבים, אלגברת טמפרלי-ליב מסדר n היא חוג פשוט למחצה לכל מחוץ לקבוצה סופית ידועה.
כל אלגברות טמפרלי-ליב מסדר n הפשוטות למחצה איזומורפיות זו לזו.
אפשר לפרש את היוצרים של אלגברת טמפרלי-ליב בתור דיאגרמות, באופן הבא.
נאמר שסבך פשוט הוא מלבן ש-n נקודות מסומנות על צד שמאל ועל צד ימין שלו, והנקודות שלו מחוברות בזוגות בקשתות שאינן חוצות זו את זו.
איבר היחידה הוא הסבך הפשוט שבו כל נקודה מחוברת לזו שמולה.
היוצר הוא הסבך הפשוט שבו הנקודות i,i+1 מחוברות זו לזו (גם מימין וגם משמאל), ושאר הנקודות מחוברות לנקודות שמולן.
הכפל של שני סבכים פשוטים נעשה על ידי הצבתם זה לצד זה, כאשר כל לולאה סגורה המתקבלת מן ההצמדה מוחלפת בקבוע .
המודולים הפשוטים של האלגברה הם עבור המקיימים .
ידוע בסיס דיאגרמטי למודולים הפשוטים.
ידועים גם כללי ההסתעפות של המודולים הפשוטים של אלגברת בראוור עבור אלגברת טמפרלי-ליב.
אלגוריתם הוא דרך שיטתית, אבסטרקטית וחד-משמעית לביצוע של משימה מסוימת, במספר סופי של צעדים, המכסה את כלל האפשרויות הרלוונטיות.
מתכון להכנת עוגה דומה לאלגוריתם, אך הוא לא תמיד חד-משמעי (למשל, מה בדיוק המשמעות של "לערבב עד שמתקבל מרקם אחיד") ואינו מכסה את כל האפשרויות הרלוונטיות (למשל, מה עושים כשחסר מרכיב).
אלגוריתם תקין חייב להיות מתוכנן כך שלא יצריך חשיבה אנושית או יצירתיות, גם במקרים של תקלות, שגיאות או מקרי קצה.
בדרך-כלל משמש מונח זה לכינוי שיטת פתרון בעיות במתמטיקה או במדעי המחשב ובעיקר ביחס לנתונים תוויים כלשהם.
האלגוריתם הוא אבסטרקטי במובן זה שהוא מתייחס למתמטיקה נתונה אבל לא לשפת תכנות מסוימת או למקרה גשמי מסוים, אלא ניתן לתיאור וליישום על בסיס אותה מתמטיקה במגוון שפות ודרכים ועבור מגוון מקרים רלוונטיים.
כל תוכנית מחשב היא אלגוריתם, או אוסף של אלגוריתמים.
בתיאור זה של האלגוריתמים יש עמימות מסוימת.
כדי לפזר עמימות זו הגה טיורינג את "מכונת טיורינג", שהיא "מכונה" תאורטית המסוגלת, עקרונית, לבצע כל אלגוריתם.
במקביל לטיורינג, הגו עוד מתמטיקאים ולוגיקנים הגדרות למושג האלגוריתם והתברר שכל ההגדרות שלהם היו שקולות זו לזו.
לכן, היום אלגוריתם הוא מה שכל אחת מההגדרות האלו מתארות, ובפרט, מה שמכונת טיורינג מסוגלת לבצע.
קיימות משימות מוגדרות שלא קיים פתרון אלגוריתמי עבורן, וכבר טיורינג הוכיח זאת (ענף מדעי המחשב העוסק בסוגיה זו קרוי חישוביות).
מצד שני, לביצועה של משימה מסוימת ייתכנו אלגוריתמים אחדים, מצב שמצדיק בחינה של יעילות האלגוריתמים, בהתאם למדדי יעילות נאותים.
במסגרת מדעי המחשב נבחנת יעילותם של אלגוריתמים (בענף הקרוי סיבוכיות חישובית) על-פי הזמן והזיכרון הנדרשים לביצוע האלגוריתם כפונקציה של גודל הקלט לאלגוריתם.
דהיינו, ככל שזמן הריצה של האלגוריתם ביחס לגודל הקלט קטן יותר, האלגוריתם ייחשב טוב יותר.
מקובל להגדיר אלגוריתמים כ"יעילים" אם זמן הריצה שלהם פולינומי בגודל הקלט שלהם.
תיאור ויזואלי באלגוריתמיקה ניתן באמצעות תרשים זרימה.
מקור המילה בהגייה לטינית של שם המתמטיקאי הפרסי המוסלמי בן המאה התשיעית, מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי.
כאשר ספרו על שיטות חישוב תורגם ללטינית, נכתב שמו של אל ח'ואריזמי כ"אלגוריתמי" (ככל הנראה שיבוש בתעתיק שנגרם מהחלפת האות خ-ח', באות ج -ג, ולאחר מכן החלפת האות ز-ז באות ذ-ד' -שבשפות אירופיות נהגית כ-th וכך "אל-ח'ואריזמי" הפך ל"אל-גורית'מי"), והקוראים טעו לחשוב שמדובר בצורת רבים של המושג שיטת חישוב.
המילה אלגברה נלקחה מספר אחר שלו – "חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה".
על פי הספר, פעולת ההשלמה, אל-ג'אבר, היא אחת משתי הפעולות שניתן לבצע על משוואה על מנת לפשט אותה.
בהגדרתו הבסיסית, נדרשות מאלגוריתם שתי דרישות שמבטיחות את איכות ביצועיו: נדרש כי לכל קלט שהוא מקבל האלגוריתם יגיע אל סופו בשלב כלשהו, וכי לאחר שיסיים, התשובה אותה יחזיר היא התשובה הנכונה.
טיורינג הוכיח כי קיימות בעיות כדוגמת בעיית העצירה שאותן לא מסוגל המודל של מכונת טיורינג לפתור בהינתן דרישות אלו.
עדיין נהוג לדרוש מאלגוריתם לעצור עבור כל קלט, אחרת תוכניות המחשב שמממשות את האלגוריתם עשויות להיקלע ללולאה אינסופית.
עם זאת, קיימות תוכניות מחשב שאמורות להיות מסוגלות לרוץ לנצח (למשל, מערכת ההפעלה של המחשב) וניתן להגדיר גם אלגוריתמים שרצים לנצח ומוציאים פלט בצורה מתמדת תוך כדי הריצה.
דרך נוספת לקטלג אלגוריתמים היא חלוקתם לאלגוריתמים דטרמיניסטיים ולאלגוריתמים אקראיים (רנדומליים, באנגלית: randomized algorithm).
הקטגוריה הראשונה מתייחסת לאלגוריתמים אשר פעולתם תלויה בקלט בלבד (כלומר, שתי הפעלות של האלגוריתם על קלט זהה יניבו תמיד את אותה התוצאה), ואילו הקטגוריה השנייה מתייחסת לאלגוריתמים אשר עשויים "להטיל מטבעות", דהיינו: לקבל החלטות באקראי (ולפיכך ייתכן ששתי הפעלות של האלגוריתם על אותו הקלט יניבו תוצאות שונות).
ישנם שני סוגים עיקריים של אלגוריתמים אקראיים: אלגוריתמי מונטה קרלו, אשר מאפשרים סיכוי קטן לטעות בתשובה שהם מחזירים (למשל, אלגוריתם מילר-רבין), ואלגוריתמי לאס וגאס אשר אין סיכוי שיטעו, אך קיים סיכוי קטן שזמן הריצה שלהם יהיה ארוך מאוד.
בשתי המחלקות ישנם אלגוריתמים רבים שהסיכוי לבעיות בהרצתם הוא אפסי, מה שהופך אותם לשימושיים מאוד בפועל.
משפחות נוספות של אלגוריתמים מוגדרות על פי "שיטת פעולתם", או במילים אחרות, הכללה של הטכניקה שלהם.
משפחות אלה כוללות: אלגוריתמים רקורסיביים בכלל ואלגוריתמי הפרד ומשול (divide and conquer), אלגוריתמים חמדנים, אלגוריתמי תכנות דינמי .
ככלל, מטרתם של אלגוריתמים למצוא פתרון אופטימלי לבעיה נתונה, אולם אלגוריתמים רבים, המוגדרים כאלגוריתמי קירוב (approximation algorithms באנגלית) מוצאים פתרון שאינו פתרון אופטימלי – על פי רוב על מנת לקצר את זמן הריצה של האלגוריתם או על מנת לחשב באופן יעיל בעיה שאחרת היא קשה לחישוב (ולרוב: NP-קשה).
אלגוריתם אוקלידס, למציאת מחלק משותף מקסימלי, מופיע בספרו של אוקלידס, "היסודות", ונחשב לאלגוריתם הקדום ביותר.
הנפה של ארטוסתנס, למציאת מספרים ראשוניים.
אלגוריתם מילר-רבין – הבודק בצורה אקראית ומהירה יחסית האם מספר נתון הוא ראשוני.
אלגוריתמים שונים לפירוק לגורמים של מספר שלם.
אלגוריתם הסימפלקס, המשמש לפתרון בעיות של תכנון ליניארי.
שיטת החילוץ של גאוס – אלגוריתם למציאת פתרונות של מערכת משוואות ליניאריות.
אלגוריתם למציאת הקמור של קבוצת נקודות במישור, למשל אלגוריתם הסריקה של גראהם.
האלגוריתם של דייקסטרה למציאת מסלול בעל משקל מינימלי מצומת כלשהו בגרף ממושקל בעל משקלים אי שליליים לשאר הצמתים בו.
אלגוריתמים למיון של נתונים וחיפוש ברשימות ממוינות (יש אלגוריתמים רבים למטרות אלה).
שיטת ניוטון-רפסון למציאת שורש של פונקציה ממשית.
זהו תהליך המתקרב אסימפטוטית לתוצאה המדויקת, וכדי להופכו לאלגוריתם יש להוסיף לו תנאי עצירה, כגון "הפסק כשהשגיאה קטנה מ-".
אלגוריתם חיפוש – אלגוריתם רשויות ורכזים
אלגוריתם קורי העכביש (COBWEB) משמש לסידור מערכת גדולה שבה קיימת היררכיה של קיבוץ קונספטואלי.
טכניקה נפוצה למימוש של אלגוריתמים היא כתיבת תוכנית מחשב העושה זאת.
מבני הנתונים, הפקודות ומבני הבקרה של שפת תכנות נתונה משפיעים על מידת הקושי במימושו של אלגוריתם נתון בשפה זו.
כשלב ביניים במעבר מהגדרה מילולית של אלגוריתם למימושו בשפת תכנות משמש לעיתים פסאודו קוד – תיאור המשתמש בקונבנציות של שפות תכנות, אך מיועד לקריאה של בני אדם ולא לקריאה על ידי מחשב.
תזת צ'רץ'-טיורינג קושרת בין ההגדרה הפורמלית של אלגוריתם כהליך שניתן לביצוע על ידי מכונת טיורינג, לבין אלגוריתם הממומש על ידי תוכנית מחשב.
התזה קובעת שכל אלגוריתם ניתן למימוש כתוכנית מחשב, וכל תוכנית מחשב מממשת אלגוריתם.
אלגוריה היא יצירה שיש לה משמעות מעבר לתוכן הגלוי והמפורש שמצוי בה.
אלגוריה היא השאלה, מטפורה מורחבת.
היא נועדה להעביר מסר או מוסר השכל באמצעות סיפור, לרוב תוך שימוש באנלוגיה לחיים ולמציאות.
אלגוריה היא לרוב יצירה ספרותית, אך היא יכולה להיות מועברת גם באמצעות אמנות חזותית, כגון ציור, פיסול, צילום, קולנוע, תיאטרון או כל סוג אחר של יצירה אמנותית.
בסיפור האלגורי קיימים שני רבדים – הרובד הגלוי והרובד הסמוי.
הרובד הגלוי הוא מפורש וחד משמעי, ואילו את הרובד הסמוי ניתן לפרש במספר אופנים.
הרובד הסמוי הוא שמכיל את המסר של היצירה.
ישנם מספר כלים שאופייניים לאלגוריות בספרות:
אנלוגיות – יוצרות הקבלה בין אלמנטים ברובד הגלוי לבין הרובד הסמוי, הן לרוב המפתח להבנת העומק ביצירה.
מטפורות – נותנות ערך מוסף לצורת היצירה ולא רק למשמעותה, בדומה לדימוי.
הרמזים – כמעט בכל האלגוריות הכתובות ישנם ארמזים רבים המקשרים בין היצירה לבין יצירות אחרות.
האלגוריה בנויה על כך שבגלל הקשרים תרבותיים יקבל סיפור מסוים בעל משמעות מסוימת, משמעות אחרת.
הארמז מקשר את היצירה לשאר התרבות ומחזק את הפן התרבותי ביצירה, ובכך מדגיש את הרובד הסמוי.
הזרה – בכל אלגוריה יהיה אפקט של הזרה, היצירה תמיד תראה לקורא משהו שהוא מכיר מהמציאות, אך מהיבט שונה לחלוטין.
יש מספר סוגים של טקסטים, בהם השימוש באלגוריות נפוץ במיוחד:
משל – סיפור אלגורי קצר המוביל למוסר השכל אחד מוגדר.
נבואה – רוב הנבואות נכתבו כאלגוריות.
מסה פילוסופית – בטקסטים פילוסופיים נהוג להשתמש באלגוריות לשם פישוט הרעיונות והמחשתם.
מיתולוגיה – המיתוסים הם פעמים רבות אלגוריות המלמדות ערכים ותרבות.
כיפה אדומה – "כיפה אדומה" הוא סיפור עם, שדן באופיים של בני אדם ובשאלות מוסר עקרוניות.
הגלגול – "הגלגול" של קפקא עוסק במערכות יחסים בין אנשים בכלל.
משמעות האלגוריה היא שהסיפור לא תקף רק למשפחה אחת.
הזר – ספרו של אלבר קאמי, "הזר" הוא יצירה המזרה את כל הטבע האנושי, ומאפשרת לנו לבחון את החברה האנושית כולה דרך סיפורו של אדם אחד.
שיר השירים – מְגִלַּת שִׁיר הַשִּׁירִים היא סדרה של שירי אהבה בין בני זוג, הדוד והרעיה, אשר ספרות חז"ל מפרשת אותם כמשל ליחסי אלוהים ועם ישראל.
אלגואס (בפורטוגזית: Alagoas) היא מדינה קטנה בצפון-מזרח ברזיל השוכנת בין המדינות פרנמבוקו וסרז'יפה; נוגעת במדינת באהיה בחלק מגבולה הדרום-מערבי.
גבולה הדרומי של אלאגואס נקבע על־פי הנהר סאו פרנסיסקו.
מקור שמה של המדינה באגמים שבסמוך לחופה של העיר מסייאו.
הקולוניאליזם הפורטוגזי חלחל בהדרגה לאלגואס במהלך המאה ה-16 וה-17. בתחילה הפורטוגזים הקימו התיישבויות, ולאחר מכן החלו להעביד את המקומיים.
בשנים 1630-1646 האזור נשלט על ידי האימפריה ההולנדית.
לאלגואס צורה של רצועה צרה וארוכה בניצב לחוף האוקיינוס האטלנטי.
לאורך קו החוף ניתן למצוא שוניות אלמוגים ואזורי חוף חולי.
מאחורי החופים, לעיתים במרחק של כמה מאות מטרים מקו החוף, משתרעות גבעות ירוקות המתמרות בתלילות מעל החוף, ושיורדת בהן כמות גשם רבה.
בעבר, גדל בגבעות אלו יער הגשם האטלנטי ולאחר מכן שימשו הגבעות לגידול קנה סוכר על ידי המתיישבים הקולוניאליסטים של ברזיל.
כיום הגבעות משמשות בעיקר לחקלאות, אך נותרו בפסגות הגבוהות והתלולות שלהם שרידים נדירים של יער הגשם האטלנטי.
יותר פנימה נמצא אזור של סרטאו, האופייני לצפון-מזרח ברזיל.
הסרטאו הוא אזור גבוה ויבש מלא בסבך שיחי קטינגה קוצניים.
כלכלת המדינה מבוססת על חקלאות ומסתמכת בעיקר על קנה סוכר ובמידה פחותה מכך על טבק.
קנה סוכר הווה את הבסיס לתעשיית הכוהל אשר נמצאת בשפל.
תעשייה מקומית נוספת היא של מי־מלח הנשאבים מבארות עמוקות שבשולי מסייאו.
משנות ה-80 של המאה ה-20 התפתח ענף התיירות באלגואס, דבר שהפך את חופי מסייאו מנמל קטן ורדום בעל עצי קוקוס לחופים המלאים בבתי מלון גבוהים.
בחוף הצפוני מתחילים להופיע מקומות נופש המושכים אנשים מהדרום וחלק מאירופה.
אִלְגּוּן (או: ציפוי אנודי, אנודייז, אִנּוּד), הוא תהליך פסיבציה אלקטרוליטי שמטרתו הגדלת שכבת התחמוצת על פני חלקים ממתכת.
בעזרת שיטה זו ניתן להקנות למתכת עמידות גבוהה יותר לשיתוך ולשחיקה מכנית, ולשנות את טיב פני השטח.
התהליך קיבל את שמו "אנודייז" מהעובדה שהחלק שעובר את הטיפול מתפקד במהלכו כאנודה של מעגל חשמלי.
על אף הדמיון ביניהם, אלגון איננו ציפוי.
אלגון נפוץ בשימוש כדי להגן על אלומיניום וטיטניום משיתוך ומפגיעה וגם כדי לאפשר צביעה במגוון רחב של צבעים.
תהליך האלגון נפוץ בעיקר בתעשיית האלומיניום כאשר ניתן למצוא אותו במגוון מוצרים נרחב בזכות התכונות האסתטיות שלו.
ציפוי האלומינה, תחמוצת אלומיניום, הוא קשה ביותר.
מסיבה זו הוא אינו נוטה להתפורר או להתקלף כמו צבע.
לאלומינה גם יכולת בידוד חשמלי גבוהה ביותר.
לעיתים כאשר רוצים לצפות רק חלק מרכיב האלומניום באלומינה כגון במקרה שבו חלקו צריך להישאר מוליך חשמל מכסים את החלק שמעוניינים שלא יצופה בלכה ובסוף תהליך האלגון מסירים אותה.
ברוב חלקי האלומיניום המשמשים לתעשיית התעופה יש רכיבים שעברו אלגון לפני הרכבתם וצביעתם.
אלומיניום שעבר אלגון הוא בחירה פופולרית גם ביצור פנסים.
כאשר אלומיניום נחשף לאטמוספירה, נוצרת עליו שכבת תחמוצת בשם אלומינה.
שכבה זו בעלת חיבור חזק למתכת האלומיניום כיוון שהיא יוצרת קשר עם הקשר המתכתי ונצמדת אל מתכת הבסיס.
בשונה מחלודה בברזל, התחמוצת קשה ביותר ואינה מתפוררת.
אלומיניום בצורה טהורה, אם כן, מוגן באופן טבעי בפני שיתוך, אבל הסגסוגות שלו, בעיקר הסגסוגות מסדרת 6000 המכילות מגנזיום, הרבה יותר רגישות לשיתוך, וניתן לבצע בהן אלגון כדי למנוע זאת.
לפני הטיפול באלגון, האלומיניום היצוק צריך לעבור ניקוי בחום או בתמיסה, ולעיתים גם צורבים אותו בסודיום הידרוקסיד (בדרך כלל עם תוספת סודיום גלוקונאט), אמוניום ביפלואוריד או שילוב חומצות אחרות.
באלגון אלומיניום, שכבת האלומינה מתעבה על ידי העברת זרם ישר דרך תמיסת חומצה גופריתית, כאשר עצם האלומיניום משמש כאנודה.
התהליך משחרר מימן בקתודה וחמצן על פני האנודה.
באלגון במתח של 12 וולט זרם ישר, חתיכת אלומיניום בעלת שטח של 100 סנטימטר רבוע תצרוך זרם של 1 אמפר.
בשימושים מסחריים המתח נע בין 15 ל-21 וולט.
תנאים כמו: ריכוז החומצה, טמפרטורת התמיסה והזרם חייבים להיות תחת בקרה כדי ליצור אחידות בתהליך החמצון.
התחמוצת יוצרת מבנה מיקרוסקופי בצורת צינורות משושים חלולים כאשר גם החלל הוא בצורת משושה.
לפני אטימתם, אפשר להספיג בתוך חללים אלה חומרים שונים, כגון: צבע, הכנה לדבק, טפלון להפחתת חיכוך, ועוד.
אלגון טיטניום משמש בשתלים דנטליים מתקדמים.
האלגון יוצר שכבה עבה יותר של טיטניום דו-חמצני (עובי השכבה בין מיקרון אחד ל-2.5 מיקרונים בהשוואה לפחות ממיקרון אחד עבור טיטניום שלא עבר אלגון) ומשנה את טופוגרפיית פני השטח.
מעריכים ששני הפרמטרים הללו משפרים את תכונות היציבות והעמידות של שתלים דנטליים, אבל טכנולוגיה זו עדיין חדשה וחסרת מידע ניסויי רפואי כדי לאמת הערכות אלו.
בנוסף נטען כי אלגון מעניק עמידות בפני שחיקה עבור חלקים מושחלים.
אלגון טיטניום יוצר מגוון רחב של צבעים ללא צביעה.
הצבע שיופיע תלוי בעובי התחמוצת (שנקבע על פי המתח החשמלי שבו בוצע האלגון); תופעה זו מתרחשת עקב שינוי החזר האור מפני שטח התחמוצת והאור שחודר דרך התחמוצת ומוחזר מפני שטח המתכת.
ניתן גם ליצור ציפוי טיטניום ניטריד שהוא בעל צבע חום או מוזהב ובעל אותם תכונות מכניות המתקבלות באלגון.
אלגון הניאוביום דומה לאלגון הטיטניום כאשר במקרה של הניאוביום ישנו מגוון גדול של צבעים הניתנים להשגה על ידי האלגון.
כמו בטיטניום הצבע נקבע על פי עובי שכבת התחמוצת שנקבעת על פי המתח שבו התרחש התהליך.
שימושים עיקריים בתעשיית התכשיטים והמדליות.
כאשר מראה חיצוני חשוב, פני שטח התחמוצת ניתנים לצביעה לפני שלב אטימה, כאשר הצבע נכנס אל תוך המיקרו-חורים בפני שטח התחמוצת.
הצבעים שבשימוש נוטים להשתנות בהתאם למתכת הבסיס.
למרות שיש המעדיפים צבעים בהירים, בפועל הגעה לצבע בהיר עלולה להיות קשה בחלק מהסגסוגות כגון סגסוגות צורן בעלות אחוז גבוה של נחושת.
לא ניתן לצבוע בלבן אלגון אלומיניום.
אלגון גורם להתרחבות פני השטח, כיוון שהתחמוצת בעלת נפח גדול יותר מאשר מתכת הבסיס.
גורם זה יכול להיות בעייתי במקרים בהם נדרשת התאמה מכנית בין חלקים שונים כגון בחורים המיועדים להברגת ברגים, במקרה שכזה האלגון יגרום לברגים להתקע ויהיה צורך לקדוח מחדש את החורים.
אם מתכננים מראש ניתן להכין מלכתחילה את החורים במידה גדולה יותר כך שהאלגון יגרום להם לקטון למידה המתאימה.
חמצון אלקטרוליטי בפלזמה הוא תהליך דומה לאלגון, אלא שמסופק מתח גבוה יותר.
המתח הגבוה גורם ליצירת ניצוצות והתוצאה היא שמבנה ציפוי התחמוצת הוא הרבה יותר גבישי.
במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, אלגברת סי כוכב (או אלגברת *-C) היא אלגברת בנך A מעל שדה המספרים המרוכבים עם אינוולוציה מסוג שני , כך ש- לכל .
כל אלגברת סי-כוכב איזומורפית לתת אלגברה של אלגברת האופרטורים החסומים על מרחב הילברט (זהו משפט גלפנד-נאימרק).
כל אלגברת סי-כוכב קומוטטיבית היא מהצורה עבור מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית X, יחיד עד כדי הומיאומורפיזם; המרחב X קומפקטי אם ורק אם לאלגברה יש איבר יחידה.
עובדה זו, שהיא תוצאה של משפט ההצגה של גלפנד, מזהה אלגברת סי-כוכב קומוטטיבית עם מרחב טופולוגי.
בשל כך, אלגברות סי כוכב כלליות נקראות גם מרחבים טופולוגיים לא קומוטטיביים.
לאלגברות סי-כוכב חשיבות רבה במכניקת הקוואנטים.
אלגברת האופרטורים הליניארים החסומים מעל מרחב הילברט עם לקיחת צמוד הרמיטי היא אלגברת סי כוכב.
אוסף כל האופרטורים הקומפקטים על מרחב הילברט הוא אלגברת סי כוכב.
זוהי תת-אלגברה של אלגברת האופרטורים הליניארים החסומים.
איברים הפיכים וספקטרום של איבר
כמו בכל אלגברת בנך, לכל איבר באלגברת סי-כוכב (עם יחידה) אפשר להגדיר ספקטרום שהוא קבוצה קומפקטית לא-ריקה של מספרים מרוכבים, המכלילה את קבוצת הערכים העצמיים מן התאוריה של טרנספורמציות ליניאריות מממד סופי.
הספקטרום של a (המסומן ב ) שווה, על-פי ההגדרה, לאוסף המספרים המרוכבים כך שהאיבר אינו הפיך באלגברה.
אלגבראות סי כוכב קומוטטיביות וטופולוגיה לא קומוטטיבית
נניח כי X הוא מרחב טופולוגי שהוא האוסדורף וקומפקטי באופן מקומי (כלומר לכל נקודה יש סביבה קומפקטית).
נניח כי f היא פונקציה רציפה על X המקבלת ערכים מרוכבים, כלומר .
נאמר ש-f "מתאפסת באינסוף" אם לכל קיימת קבוצה קומפקטית כך שלכל מתקיים .
את אוסף כל הפונקציות הרציפות המתאפסות באינסוף על X נסמן ב.
ניתן להוכיח שזוהי אלגברת סי-כוכב, כאשר פעולות החיבור והכפל הן חיבור וכפל רגילים של פונקציות ופעולת הכוכב היא הצמדה של מספרים מרוכבים.
בפרט, פעולת הכפל היא קומוטטיבית.
לאלגברת סי כוכב שבה פעולת הכפל היא קומוטטיבית קוראים אלגברת סי כוכב קומוטטיבית.
משפט הייצוג של גלפנד קובע כי בהינתן אלגברת סי כוכב קומוטטיבית A קיים מרחב טופולוגי האוסדורף קומפקטי באופן מקומי X כך ש.
נוסף על כך ניתן להוכיח שאם X ו-Y הם שני מרחבים טופולוגיים אז X הומיאומורפי ל-Y אם ורק אם האלגברה איזומורפית לאלגברה .
מסיבה זאת ניתן לזהות מרחבים טופולוגיים "סבירים" (כלומר שהם האוסדורף וקומפקטיים באופן מקומי) עם אלגבראות סי כוכב קומוטטיביות, ולפיכך ניתן לראות באלגבראות סי כוכב כלליות הכללה למושג מרחב טופולוגי, ועקב החוסר בקומוטטיביות, נהוג לקרוא להן מרחבים טופולוגיים לא קומוטטיביים.
חלקים נרחבים מהפיתוח של אלגבראות סי כוכב מתבססים על הכללה של שיטות טופולוגיות למרחבים שאינם קומוטטיביים.
לעיתים ההכללה למרחבים לא קומוטטיביים היא למעשה פשוטה יותר ובכך מפשטת שיטות טופולוגיות קלאסיות.
לדוגמה, תורת K של מרחבים טופולוגיים נותנת אינווריאנטה אלגברית (החבורות ו-) למרחבים טופולוגיים על ידי שקילויות בין אגדים וקטורים (שהם אובייקט מסובך יחסית) מעליהם.
הכללתה של תורת-K לאלגבראות סי כוכב מתבצעת על ידי מחלקות שקילות של הטלות (במקרה של חבורת ) או של איברים אוניטריים (במקרה של חבורת ) באלגבראות סי כוכב.
איבר באלגברת סי כוכב נקרא הטלה אם הוא מקיים .
איבר באלגברת סי כוכב נקרא אוניטרי אם הוא מקיים .
בתורת המספרים, אלגוריתם רו של פולרד הוא אלגוריתם הסתברותי לפירוק מספר שלם לגורמים, שפותח ב-1975 על ידי ג'ון פולרד.
האלגוריתם מוצא גורם ראשוני אחד, בדרך כלל את הקטן ביותר, וסיבוכיות הריצה שלו מסדר הגודל של שורש הגורם הראשוני.
זאת בניגוד לאלגוריתם הפירוק הנאיבי מחד, שסיבוכיות הריצה שלו מסדר גודל של שורש המספר שאותו מבקשים לפרק, ולאלגוריתמים המודרניים לפירוק מאידך, שסיבוכיות הריצה שלהם תת-אקספוננציאלית בלוגריתם של המספר.
ב-1981 שימש האלגוריתם (בגרסה משופרת שלו) לפירוק מספר פרמה השמיני (כ-77 ספרות עשרוניות), ונמצא שיש לו גורם ראשוני קטן.
אלגוריתם rho של פולרד מבוסס על אלגוריתם פלויד למציאת מחזוריות, המטפל בפונקציה מקבוצה סופית אל עצמה.
איבר התחלתי מגדיר באינדוקציה את סדרת הערכים שהפונקציה מקבלת, .
מכיוון שזו סדרה של ערכים בקבוצה סופית, היא מוכרחה לחזור על עצמה, והמסלול שהיא מתארת יהפוך למחזורי מאותו זמן והלאה.
שיטת פולארד נקראת "שיטת ", בגלל צורת האות היוונית הדומה לתיאור סכמתי של המחזור.
עקרון שובך היונים מבטיח חזרה בתוך צעדים, ולא פחות; עם זאת, אם הפונקציה f אקראית, אז פרדוקס יום הולדת מביא לחזרה בתוך זמן קצר בהרבה - צעדים, בתוחלת.
בעיית המחזוריות מבקשת למצוא התנגשות מפורשת; קרי, למצוא, ביעילות, אינדקסים שעבורם .
הדרך הנאיבית היא לאחסן את הרצף בזיכרון (למשל באמצעות טבלת גיבוב) ולחפש בכל צעד כפילויות עם הערכים הקודמים.
שיטה זו דורשת זיכרון מסדר הגודל של מספר הערכים שיתקבלו עד להתנגשות הראשונה, ובמקרים רבים זו דרישה בלתי מעשית.
ב-1960 פיתח רוברט פלויד אלגוריתם אלגנטי המוצא התנגשות תוך שימוש בזיכרון זניח בלבד: בחישוב סדרת הערכים, מחשבים במקביל גם את אותה סדרה במהירות כפולה.
היינו, מתחילים בזוג ערכים , ובכל צעד מחליפים את הזוג בזוג
, ומשווים את שני הרכיבים.
ברגע שמתקבל השוויון , נמצאה התנגשות.
כדי למצוא גורם ראשוני של מספר נתון n, הציע פולארד לבחור פונקציה אריתמטית כמו , המחושבת מנקודת התחלה אקראית מודולו n.
ההיוריסטיקה קובעת שפונקציה כזו מתנהגת כמו פונקציה אקראית.
בהתאם לאלגוריתם של פלויד, מחשבים שני רצפים במקביל, לאורך אותם ערכים, כשהאחד נע במהירות כפולה מחברו.
השוואת בני הזוג אינה מתבצעת מודולו n, אלא על ידי חישוב המחלק המשותף המרבי של ו-.
הרעיון הוא שסדרת הערכים , המחושבת מודולו n, מוגדרת מודולו כל גורם ראשוני p של n (גם אם p אינו ידוע), ולכן היא מהווה גם סדרה של ערכים במרחב של p השאריות בחלוקה ל-p.