tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
המחלקה Grp המורכבת מכל החבורות הקיימות - אלו הן קבוצות שמשויכות להן פעולות בינאריות בין עצמי הקבוצה.
במקרה זה המורפיזמים הם ההומומורפיזמים של החבורות.
ההומומורפיזם של חבורה משמר את מבנה החבורה באופן מאוד מסוים: זהו "תהליך" הממפה חבורה אחת לשנייה באופן המעביר לחבורה השנייה אינפורמציה על מבנה החבורה הראשונה, בכך שתוצאה של הפעולה של החבורה האחת על איברים שלה תמיד עוברת אל תוצאת הפעולה של החבורה השנייה על "תמונות" האיברים בחבורה השנייה.
חקר ההומומורפיזמים משמש כלי לחקר תכונות כלליות של חבורות והשלכותיהן של אקסיומות החבורות.
תורת הקטגוריות נפוצה במיוחד בטופולוגיה אלגברית.
בפועל, תורת הקטגוריות התפתחה מטופולוגיה אלגברית, בה הבינו לראשונה את הקשרים בין מבנים שונים, כמו מרחבים טופולוגיים וחבורה.
כאשר מנסים להוכיח ששני מרחבים טופולוגיים הומיאומורפיים, ישנן מספר דרכים להפריך קיום הומיאומורפיזם: לבדוק האם שני המרחבים קשירים (קשירות נשמרת תחת הומיאומורפיזם), לבדוק את עוצמת הקבוצות, לבדוק קומפקטיות.
אלו הם תנאים הכרחיים ולא מספיקים, ולעיתים לא נראית לעין תכונה המפרידה שני מרחבים.
כאן נכנסת תורת הקטגוריות - על ידי פונקטור אנו מתאימים לכל מרחב טופולוגי חבורה, כמו החבורה היסודית - שלוקחת כל מרחב טופולוגי לחבורה המורכבת מכל הלולאות הסגורות שניתן ליצור במרחב עד כדי הומוטופיה ביחס לקצוות.
כך, קיבלנו עוד תנאי הכרחי לקיום הומיאומורפיזם בין מרחבים טופולוגיים - היות שמדובר בפונקטור - כלומר התאמה השומרת על איזומורפיזמים - אם החבורות היסודיות שלהם לא איזומורפיות אז הם לא הומיאומורפיים.
פונקטורים נוספים בטופולוגיה אלגברית הם חבורות ההומולוגיה וחבורות ההומוטופיה מסדרים גבוהים יותר.
תורת התורים היא תורה מתמטית העוסקת בתורי המתנה באמצעות מודל תורים, ונחשבת לענף בחקר הביצועים.
התורה כוללת מידול מתמטי של מספר תהליכים קשורים, כמו הגעה לסוף התור, המתנה בתור, ושירות בתחילת התור על ידי נותן השירות (למשל, השרת).
תורת התורים מאפשרת חישוב של מספר מדדי ביצועים כמו זמן המתנה ממוצע בתור, זמן המתנה משוער, זמן המתנה מקסימלי, והסבירות של התור להגיע למצב מסוים כמו תור ריק, תור מלא, זמן המתנה גבוה במיוחד וכו'.
המחקר בתחום עושה שימוש נרחב בסטטיסטיקה.
תורת התורים מיוחסת לחקר הביצועים, מכיוון שנעשה בה שימוש נרחב בקבלת החלטות עסקיות, על מנת לייעל את כמות המשאבים שצריך להקצות בתהליכים הכוללים תורים.
לדוגמה, כמה טלפנים וטלפניות יש להציב בכל משמרת במוקד תמיכה, כדי שלקוחות לא ימתינו למענה יותר משתי דקות, אך גם לא יהיו נותני שירות מחוסרי תעסוקה בזמן המשמרת (כדי למנוע בזבוז כספים של המעסיק).
את תוצאות המחקר בתחום ניתן ליישם בקשת רחבה מאוד של תחומים: עסקים, מסחר, תעשייה, הנדסה ומחשבים.
יישומים רבים של התורה ניתן לראות בתחומי המחשב, התקשורת והתחבורה, לרבות בנתבים (בהם הלקוחות הם חבילות מידע והשירות הוא ניתוב ברשת), מערכות הפעלה (בהן הלקוחות הן לרוב תהליכים ותהליכונים והשירות הוא לדוגמה הקצאת זמן מעבד), מערכות טלפוניה ועוד.
הבעיות המוקדמות ביותר שנחקרו בתורת התורים היו אלה של עומס תנועה בטלפון.
החוקר החלוץ היה המתמטיקאי הדני אגנר קרארוף ארלנג, אשר ב-1909 פרסם מאמר בשם "תורת ההסתברויות והשיחות טלפוניות".
העבודה על יישום התיאוריה לטלפוניה נמשכה לאחר ארלנג.
Molina פרסם את מאמרו "יישום תורת ההסתברות לבעיות התנעה טלפונית", ואחריו שנה לאחר מכן ספרו של תורנטון קרלה פריי Probability and Its Engineering Uses, שהרחיב חלק ניכר מעבודתו הקודמת של ארלנג.
בתחילת שנות ה-30, פליקס פולאצ'ק עשה עוד כמה עבודות חלוציות בנושא קלט פואסון, פלט שרירותי ובעיות חד ומרובה ערוצים.
עבודה נוספת נעשתה באותה תקופה ברוסיה על ידי קולמוגורוב ואלכסנדר חינצ'ין, בצרפת על ידי Crommelin, ובשוודיה על ידי פאלם.
העבודה בתורת התורים תפסה תאוצה די לאט בימיה הראשונים, אך הואצה בשנות ה-50, ומאז הייתה עבודה רבה בתחום.
דיסציפלינת תור קובעת את הסדר בה נותן שירות יספק שירות ללקוחות הממתינים ואת חלוקת המשאבים בין הלקוחות.
נכנס ראשון יוצא ראשון – לקוחות מקבלים שירות בזה אחר זה, לפי סדר הגעתם.
נכנס אחרון יוצא ראשון – הלקוח האחרון שמגיע מקבל שירות ראשון.
בגישה זו ייתכן מצב היפותטי בו אדם ממתין לשירות ולעולם לא יקבל אותו.
במדעי המחשב, מצב זה נקרא הרעבה.
תעדוף – מתן עדיפות ללקוחות מסוימים, על מנת להבטיח עבורם זמן המתנה נמוך יותר.
תורת הרשתות היא תחום מחקר במדעי המחשב המיושמת גם בפיזיקה, ביולוגיה, כלכלה, חקר ביצועים, ניהול וסוציולוגיה.
התורה עוסקת בחקר גרפים המהווים מודל בסיסי לייצוג יחסים סימטריים בין אובייקטים.
"רשת" מורכבת מישויות מקושרות, כאשר הישויות ברשת קרויים "צמתים" והקשרים "קשתות".
מדע הרשתות הוא תחום המחקר שאחראי על פיתוח תורת הרשתות, שעוסקת וממדלת רשתות "עולם אמיתי", כלומר, רשתות כפי שהן במציאות או בטבע.
זאת בניגוד למשל לתורת הגרפים, בה עוסקים במודלים מופשטים של גרפים.
הבדל נוסף בין גרפים לרשתות הוא שברשתות לצמתים ולקשתות יכולים להיות תכונות או תיוג, בשונה מגרפים בהם מידול זה כמעט לא קיים למעט signed graphs.
הרשת משמשת למידול תחומים רבים בטבע כגון: מבנה ופעילויות בארגון, קשרים בין אנשים, בין תכונות, בין חלבונים בתא ועוד.
באמצעות הרשת ניתן להגדיר את מהות קשרי הגומלין ואופיים של היחסים שבין מרכיבי המערכת.
תאוריות ומערכות ממוחשבות רבות מנסות לתאר ולחזות תפקוד והתפתחות של מערכות בסביבה דינמית, באמצעות רשתות.
הבסיס לתורת הרשתות הוא שקיימות נקודות דמיון מבחינת תכונות הרשת של מערכות כל כך שונות כמו כלכלה, האינטרנט או מערכת התאים בגוף.
הדבר נכון גם לרשתות תוצרי אדם (למשל, פייסבוק), לרשתות מתוכננות, למשל, רשת החשמל וגם לרשתות המתארגנות בכוחות עצמן (למשל, מערכת כלי הדם בגוף).
תורת הרשתות נשענת על מחקרים שנעשו בתורת הגרפים ובניתוח רשתות חברתיות במאה ה-20:
את הבסיס המתמטי למחקר על רשתות הניח אוילר ב-1736. הוא פתר את הבעיה הידועה כבעיית הגשרים של קניגסברג, בעזרתה פיתח את יסודות הגרף המהווה צירוף של צמתים וקישורים.
ב-1960 פיתחו שני המתמטיקאים, ארדש ורניי את תיאורית הרשתות האקראיות.
על-פי המודל שלהם, הקישורים מפוזרים באופן אקראי בין קדקודי הגרף.
רבות מתכונותיו של מודל זה נחקרו ונמצא כי כאשר מספר הקשתות (קשרים) קטן, יורכב הגרף כולו מאיים קטנים שאינם קשורים ביניהם.
אך כאשר מספר הקשתות גדול מחצי מספר הקדקודים, תהיה בגרף קבוצת קדקודים המקושרים ביניהם, המהווה חלק משמעותי מהגרף (ובנוסף לכך יהיו בו איים מבודדים קטנים).
אחד ממאפייני המודל האקראי של ארדש-רניי הוא שהתפלגות הקשרים של הצמתים בגרף היא גיאוסיינית או פואסונית, כלומר, למרבית הצמתים יש מספר קשרים הקרוב למספר הממוצע של הקשרים ברשת, עם סטיות תקן.
מדע הרשתות עושה שימוש במודלים אקראיים אלו למשל כדי להנגידם אל מול רשתות "עולם אמיתי" על מנת לבחון תקפות של תזות.
מחקרים של ניתוח רשתות חברתיות
בסוף שנות ה-60 של המאה ה-20 ערך סטנלי מילגרם, פסיכולוג חברתי, ניסוי מפורסם ברשתות חברתיות, שטבע את המושג "שש דרגות של הפרדה" בתרבות הפופולרית שמאחוריו התזה שכל אדם קשור לכל אדם בכשישה צעדים ברשת החברתית.
למרות שהניסוי בפועל לא הוכיח זאת, הנושא נתן השראה למחקרים בנושא
כך, במאמר שפורסם ב-1998 על ידי וואטס וסטרוגאטס הם הוכיחו כיצד נוצרת תופעת העולם הקטן.
חיווט מחדש של אחוז קטן של הקישורים במודל הרשת הרנדומית של ארדש ורניי יוצר את טופולוגיית העולם הקטן.
הטופולוגיה החדשה מאופיינת שני מדדים עיקריים: מצד אחר נשמרים הקשרים המקומיים של הצמתים הקרובים זה לזה, מדד המוכר בשם (Clustering coefficient).
לצד זאת, המרחקים ברשת בין הצמתים קטנים עם הצגתם של חיבורים חדשים, גם אם מעטים, בין קצוות הרשת.
תופעה זו זוהתה בהמשך ברשתות "עולם אמיתי".
ב-1973 הציג הסוציולוג מארק גרנובטר את מאמרו המפורסם "עוצמתם של קשרים חלשים" בו טען כי בתחומים כשיווק, כלכלה או פוליטיקה, קשרים חלשים מאפשרים גישה לאוכלוסיות שאינן נגישות דרך קשרים חזקים, ושקשרים חלשים אלו תורמים יותר להפצת מידע בין בני אדם.
כמו כן, המחקר בדק כיצד מבנה ופריסה של רשת חברתית הקיימת בין שני אנשים ומעבר להם עצמם, משפיעים על פריסה של הרשת החברתית עצמה ועל ההפצה של מידע אל מחוץ לאותה רשת חברתית.
- התגלית הראשונה של תכונות אוניברסליות של רשתות שאפשרה את מדע הרשתות, היא התגלית ב-1999 של אלברט-לסלו ברבאשי שהציג לראשונה את התהליך בו נוצרות רשתות אשר התפלגות הקשרים של הצמתים בהן אינה גאוסיינית אלא נראית כהתפלגות בעלת "זנב ארוך".
בהתפלגות זו, למעט מאוד צמתים ישנם קשרים רבים ברשת ולשאר הצמתים מספר מועט של קשרים.
ברבאשי הגדיר רשתות אלו בשם Scale Free Networks או רשתות חסרות סקאלה/נטולות קנה-מידה:
אם התפלגות הדרגה של הרשת (כלומר, ההסתברות שלצומת שנבחר באקראי יש מספר קשרים מסוים) מקיימת פונקציה מתמטית ייחודית הנקראת Power-Law , המרמזת כי להתפלגות הדרגה של הרשת אין קנה-מידה מאפיין.
מנגד, לרשת בעלת קנה-מידה יחידי ומוגדר ישנו דמיון מסוים לרשת סריג פשוטה, בכך שלכל צומת (בערך) אותו מספר קשר.
דוגמאות לרשתות בעלות קנה מידה יחיד הם מודל ארדש-רנה לגרף רנדומי והיפרקובייה.
ברשת בעלת התפלגות הדרגה נטולת קנה מידה, לחלק מן השיאים ישנה התפלגות הדרגה הגדולה בסדרי גודל מהממוצע - שיאים אלה נקראים נקודות-מוקד (Hubsֿ), על אף שמונח זה מעט מטעה, מכיוון שאין סף קבוע מעליו נחשב צומת לנקודת מוקד.
אם היה סף שכזה, לא הייתה הרשת נטולת קנה-מידה.
התעניינות ברשתות נטולות קנה-מידה התחיל בשנות ה-90 המאוחרות, עם הדיווחים על גילויים של התפלגויות Power-Law בעולם האמיתי, כגון World Wide Web, רשתות IP, רשתות-קשר בין חלבונים, ועוד.
מרבית מהדיווחים על "Power-Laws" בעולם האמיתי נכשלו במבחן סטטיסטי קפדני יותר, אך הרעיון הכללי של רשתות המראות התפלגויות זנב-עבה באופן מובהק, תופעה שקיימת ברשתות "עולם אמיתי", היה שונה לחלוטין ממה שהיה מצופה מרשת בעלת קצוות אקראיים ולא תלויים (כלומר, המקיימת את התפלגות פואסון).
בכדי להמחיש את רעיון התפלגות "הזנב הארוך", ניתן לדמיין שלעיתים (נדירות) היינו מטיילים ברחוב ופוגשים אדם בגובה 5 מטר...
ברבאשי חקר את מאפייני הרשתות הללו ואת התהליכים הגורמים להתפתחותן.
לתוצאות מחקריו חשיבות רבה כיוון שהן נוגעות לרשתות מציאותיות חשובות רבות, כגון רשת האינטרנט ורשתות גנטיות בתאים.
רכזות ברשת והתפלגות זנב ארוך
מחקרי המשך לתגליתו של ברבאשי הראו כי המבנה שלרשתות "עולם אמיתי" אינו תואם למודלים האקראיים של תורת הגרפים.
אחד מהמאפיינים הבסיסיים של רשתות כאלו הוא שישנם בהם מיעוט של צמתים "פופולרים" מאוד ברשת שנראה שהם "שולטים ברשת כולה".
דוגמאות לצמתים כאלו באינטרנט הם אתרים כמו Yahoo ו-Google.
ברשת של אנשים, מדובר באותם אלו שמכירים את כולם וכולם מכירים אותם.
ישנן רכזות בתא, ברשת המולקולות המחוברות באמצעות תגובות כימיות.
ישנם מספר נמוך של טלפונים שאחראים לאחוז גבוה של שיחות נכנסות ויוצאות ועוד.
עיקרון זה מזכיר את עקרון 80/20 של פארטו.
אך ברשת נהוג לתאר את ההתפלגות כקיצונית מ-80/20 ונוטה יותר ל-1/99, כלומר, כאחוז בודד מהרשת אוחז בקשרים רבים וכ-99% מהרשת הם צמתים עם קישורים בודדים.
המספרים אינם מדויקים והאחוז המדויק יישתנה מרשת לרשת.
קיימים מקרים אחרים בהם ניתן לתאר את הקשר בין מספר קישורים של כל צומת ברשת לבין ההסתברות למספר הקישורים הזה כקשר חזקתי, כלומר מתקיימת ברשתות התפלגות חזקתית (Power law).
חוק החזקה מבטא במונחים מתמטיים את טופולוגיית הרשת אליה התייחס אלברט-לסלו ברבאשי.
אפקט הרשת הוא מונח שמקורו בכלכלה הנשען על חוק החזקה של תורת הרשתות ומצביע על התרומה שיש לצרכן לערך של מוצר או שירות עבור צרכנים אחרים.
הרעיון הוא שככל שיש יותר משתמשים בשירות או יותר אנשים שצורכים מוצר מסוים, התועלת ממנו גדלה וכך גם הערך שלו.
דוגמה קלאסית היא הטלפון – ככל שיותר אנשים ישתמשו בטלפון, כך הערך שלו עבור המשתמש היחיד עולה, כיוון שהוא יכול ליצור קשר דרך הטלפון עם יותר ויותר אנשים.
באפקט הרשת מתרחשת תופעה של חיזוק לולאות משוב חיובי.
ניתן להסביר איטואיטיבית את מודל התפתחות הרשת שפורסם על ידי אלברט-לסלו ברבאשי על פי אפקט הרשת.
מודל התפתחות הרשת מציע תהליך בו ההסתברות שצומת חדש יבחר בצומת מסוים פרופורציונלית למספר הקישורים שיש כבר לצומת הנבחר.
כלומר, הצומת ייבחר להקשר לרשת דרך צומת דרכו ניתן להגיע ליותר צמתים ברשת.
העולם כולו בנוי מרשתות שפועלות על פי עקרונות מתמטיים דומים ולכן חוקרים מתחומים שונים בעולם מאמצים את חוקי הרשתות ומנסים לפתור בעיות רבות בעזרת הבנת תכונות הרשת וחוקיה.
להלן מספר דוגמאות מתחומים שונים העושים שימוש בתורת הרשתות:
רפואה - ניתן להשתמש ברשתות על מנת לאתר מגפות.
ניקולאס כריסטאקיס הוא חוקר ידוע בזכות מחקריו על הדרך שבה רשתות חברתיות נוצרות ופועלות בתחום הרפואה והסוציולוגיה.
באחד ממחקריו הוא טוען כי תופעות כמו השמנה מתפשטות בדומה למחלות מידבקות ברשת החברתית.
הניהול- בעזרת תורת הרשתות ניתן להציג את מבנה הארגון, כמו גם את תהליכי העבודה שלו, כ"רשת" ובאופן כזה מספקת המערכת מידע רב ובצורה ויזואלית ואפקטיבית יותר וכך מאפשרת לפתור בעיות ניהול.
כמו כן, רשתות חברתיות עסקיות שמורכבות מארגונים שונים יכולים לעזור לנו לעמוד על סיכויי ההצלחה של שיתופי פעולה עסקיים בין חברות שונות.
מערכות מידע – חוקרים בודקים את ההשפעה של רשת הארגון על הצלחת התהליך של הטמעת מערכות מידע בארגון
כלכלה- ישנם שימושים רבים לתורת הרשתות בתחום הכלכלה, למשל, חיזוי מידת הצלחה של קרן הון סיכון.
כדי לעשות זאת צריך להתבסס על ניתוח הקשרים בין קרנות הון סיכון לבין עצמן בשילוב של ניתוח בין חברות הסטארט-אפ בהן משקיעות החברות לבין עצמן.
דוגמה נוספת לבחינה של סיכונים פיננסיים בעזרת ההמרה לרשתות היא בדיקה האם בנקים מסוימים הם "מרכזיים" מדי בשביל להיכשל.
שיווק- ניתן להיעזר בתורת הרשתות כדי לאתר מובילי דעת בתחום השיווק או כדי ליצור "שיווק ויראלי".
אכיפת חוק- תורת הרשתות לסיוע מערכת אכיפת החוק ותפיסת כנופיות פשע וטרור.
תורת חב"ד לבני הישיבות הוא ארגון המסונף לצעירי אגודת חב"ד בישראל שבסיסו בכפר חב"ד, הפועל במטרה להפיץ את תורת חסידות חב"ד, בעיקר בקרב ישיבות המזוהות עם הציונות הדתית, בעזרת שיעורים, התוועדויות, הוצאה לאור של עלונים ושל ספרים ועוד.
הארגון הוקם בשנת תשס"א על ידי הרב משה שילת.
בתחילת דרכו קיים הארגון בעיקר שיעורי תורה והתוועדויות בישיבות הסדר.
בשנת 2004 נרשם הארגון כעמותה.
בחודש תמוז תשס"ח הקים הארגון את מרכז "נשמתא דאורייתא" בשכונת קריית משה בירושלים, הכולל ספריה וחדרי שיעורים לעילוי נשמת חללי הפיגוע בישיבת מרכז הרב.
משרדי הארגון ממוקמים ליד מרכז צעירי אגודת חב"ד בישראל, מאז תשפ"ג נקרא הבניין חב"ד לצעירים בישראל על שם יוסף ספרא.
נכון לשנת 2018, המחזור השנתי של העמותה עמד על כ-11 מיליון שקלים
ב-2015 התחיל הארגון להוציא סדרת אלבומים של ניגוני חב"ד בשם "צמאה".
האלבומים מופקים על ידי המוזיקאי נאור כרמי.
בביצוע הניגונים משתתפים זמרים ואמנים ידועים, דתיים וחילונים, בהם: רמי קלינשטיין, אברהם פריד, אהוד בנאי, אביתר בנאי, ברי סחרוף ואחרים.
נכון ל-2021 יצאו לאור שישה אלבומים.
אירועי י"ט בכסלו - יריד החסידות ומופעי צמאה
בשנים תשס"ה-תשס"ח ארגן הארגון התוועדות מרכזית לכל בני הישיבות בי"ט בכסלו בישיבת תומכי תמימים המרכזית בכפר חב"ד, בשנת ה'תשס"ז נערכה לראשונה התוועדות מרכזית בבנייני האומה בהשתתפות הרבנים מרדכי אליהו, יואל כהן ויצחק מנחם וינברג, בתשס"ח נערכו 130 התוועדויות בישראל, שבהן השתתפו כ-10,000 בני ישיבות.
משנת תשס"ט מתקיים אירוע מרכזי במרכז הקונגרסים בירושלים, שהפך עם השנים ל'שבוע החסידות', המוקדש לתורת החסידות.
בשבוע זה מתקיימים כנסים והתוועדויות לגברים ולנשים, בהשתתפות הרב יהושע שפירא, הרב שבתי סלבטיצקי, הרב מיכי יוספי, הרב יצחק גינזבורג, הרבנית ימימה מזרחי ועוד.
הרב יואל כהן השתתף בהתוועדויות עד לפטירתו בתשפ"א.
החל משנת תשע"א מתקיימת במקום גם מכירת ספרים בתחום החסידות, הכוללים סוגות שונות: אבות החסידות, החסידות לענפיה, חסידות חב"ד, הגות חסידית, סיפורת חסידית וספרי ילדים, במחירים אטרקטיביים לציבור.
בשנת תשע"ז נמכרו במהלך ימי המכירות קרוב ל-500,000 ספרים, משתתפים ביריד הספרים בעיקר יהודים דתיים וחרדים.
החל משנת ה'תשע"ד מתקיימות במסגרת האירועים מדי שנה כעשר הופעות מוזיקליות בשם 'צמאה', ונוטלים בהן חלק האמנים המשתתפים באלבומי צמאה, בשנת ה'תשפ"ג הופיעה לנשים הזמרת יובל דיין.
כמו כן התקיימו גם מספר מופעים של צמאה בקיץ לסטודנטים וכן אירוע בתל אביב.
בשנת תשע"א יסד הארגון תוכנית רב שנתית ללימוד עצמי בתורת חסידות חב"ד בשם לב לדעת.
התוכנית מיועדת לאברכים ולבחורי ישיבות.
יחידות הלימוד נערכו על ידי צוות בראשות הרב יואל כהן.
התוכנית כוללת מבחנים, ומי שעוברים אותם בהצלחה מקבלים מלגות ושוברי קנייה.
בתוכנית מופעלת רשת כוללי ערב לאברכים, ללימוד חסידות בעיון.
את הפעילות מנהל הרב מאיר אליאני.
במקביל מתקיימת תוכנית לימוד שנתית עבור בנות מכללות ואולפנות בשם "מעיינותייךְ".
בתוכנית שני מסלולים: לימוד ספר התניא, והמועדים בחסידות.
את הפעילות מנהלת חיה וולס.
החל משנת תשס"ד מוציא הארגון ארבע פעמים בשנה מגזין לבני הישיבות הציוניות בשם מעיינותיך - למחשבת חב"ד.
לציבור החרדי מוציא הארגון החל משנת תשע"ו ארבע פעמים בשנה את המגזין אור וחיות.
הארגון מפעיל בית הוצאה לאור בשם "הוצאת ספרים מעיינותיך" המוציא לאור ביוגרפיות, ספרי הגות ומחשבה מקוריים המבוססים על תורת חב"ד ומהדורות מבוארות של ספרי תורת אדמו"רי חב"ד.
בין השאר ראו אור הספרים:
תורת התשובה היא אחת מהמקורות המרכזיים בהם ניתן למצוא את דרכי המחשבה החדשים ואת עיקרי תורת המוסר אותם פיתחו חסידי אשכנז.
תורה זו אף ידועה כאחת מהתורות הסגפניות והקיצוניות ביותר שניתן למצוא בעולם היהודי.
חסידות אשכנז היא זרם רעיוני-דתי יהודי, שהתפתח באמצע המאה ה-12, בשנים קשות ליישוב היהודי באותו אזור.
לשיא פריחתה הגיעה חסידות אשכנז בין השנים 1150–1250. החל משנת 1096 אזור הריין היה תחת גזרות ורדיפות מצד הצלבנים, ועל כן כל אחד מראשי חסידות אשכנז חווה במהלך חייו בין שניים או שלושה גלים של רדיפות כלפי יהודים.
כך נוצרה אצלם תודעה היסטורית שמציאות זו של מסעי הצלב, הגזרות והמוות הרב על קידוש השם שהתלווה אליהן, כל אלו הן מציאות קבועה.
לתפיסתם, כך היה בעבר, כך יהיה גם בעתיד וזה הוא אופייה של ההיסטוריה.
חסידות אשכנז הונהגה על ידי שלושה הוגים מרכזיים, אשר השתייכו למשפחת קלונימוס, משפחה שהגיעה לאזור הריין מאיטליה והנהיגה את קהילות שפירא, וורמייזא ומגנצא (קהילות שו"ם).
שלושת מנהיגי החסידות היו ר' שמואל החסיד, בנו של קלונימוס משפירא (כונה "החסיד הקדוש והנביא"), אשר חי באמצע המאה ה-12 ורק מעט מכתביו שרדו.
בנו ר' יהודה החסיד מוורמייזא (כונה "החסיד") מת ב-1217. מספר מכתביו שרדו, אך רובם נחשבים לסיכומי דבריו שנרשמו על ידי תלמידיו.
הוא נחשב לדמות המרכזית בחסידות אשכנז ולמחברו העיקרי של "ספר חסידים", ספר שנחשב להיות החיבור העיקרי של תנועת חסידות אשכנז.
ר' אלעזר בן יהודה מוורמייזא (כינה עצמו "הקטן") מת בין השנים 1223–1232, ורבים מאוד מכתביו שרדו.
הוגים אלו יצרו תורת מוסר יהודית חדשה, ובנוסף עסקו בתורות סוד ודנו בסודות האלוהות, העולם והאדם.
בכתביהם ניתן לראות פעילות רחבה שמשלבת הלכה, עיון, מוסר וסוד.
שלושתם יחדיו מכונים "חוג משפחת קלונימוס".
מבחינה היסטורית הייתה חסידות אשכנז תופעה מכוננת בהתפתחות הדתית של יהדות אשכנז, ולמעשה התופעה הדתית המשמעותית היחידה בתולדותיה של יהדות גרמניה עד למאה השבע-עשרה.
אך נראה שהרעיונות התאולוגיים והפילוסופיים של החסידות היו בעלי השפעה מזערית על היהדות.
למעשה, מה שחדר בצורה חזקה ומשמעותית לעולם היהדות מהגותה של התנועה הוא הצד המעשי שלה, כלומר תורת המוסר, שיטת התשובה והמיסטיקה של התפילה.
לתפיסתם של חסידי אשכנז, החטא פועל על המציאות בשני אופנים: ראשית, החטא מהווה עלבון לאל ושנית הוא פוגע בנפשו של החוטא.
מאפיין נוסף של החטא, לתפיסתם, הוא שהחטא תמיד כרוך בהנאה.
כתוצאה ממאפיינים אלו של החטא נגזרות גם מטרות התשובה שהן: לפצות את האל על העלבון שנגרם לו בביצוע החטא ו"לתקן" את נפש החוטא.
שתי מטרות אלו מושגות באמצעות התשובה, שדרך עשייתה נקבעת בהתאם למידת ההנאה שנגרמה לחוטא מביצוע החטא.
ספר חסידים מחלק את שיטת התשובה לארבעה מושגים הידועים גם כ"סוגי תשובה" והם: "תשובת הגדר", "תשובה הבאה", "תשובת הכתוב" ו"תשובת המשקל".
ארבעת המושגים האלו נחלקים לשתי קבוצות כאשר כל עשיית תשובה מכילה מרכיב אחד מהצמד הראשון ומרכיב אחד מהצמד השני.
הצמד הראשון עוסק ביחס בין החוטא לחטא.
לאדם החוטא ישנן שתי אפשרויות פעולה: האחת היא "תשובת הגדר" והיא לעשות "סייג", כלומר גדר, בינו לבין החטא.
החוטא שהחליט לשוב בתשובה מקבל עליו מיני סייגים ופרישויות שמטרתן להרחיקו ממצב בו יעמוד שוב בפני האפשרות לחטוא.
אפשרות אחרת העומדת בפני החוטא היא לעשות את ההפך הגמור - "תשובה הבאה".
בצורת תשובה זו מעמיד עצמו החוטא באותם תנאים בהם עמד בעבר, נכשל וחטא.
הפעם מתגבר החוטא על יצרו, ומראה בכך את התשובה שעשה (לדוגמה: מתייחד עם אישה שחטא עימה בעבר ועומד בניסיון).
הצמד השני עוסק ביחס שבין החוטא לעונשו.
אם החוטא עבר עבירה עליה כתוב במפורש בתורה מהו העונש, עליו לבצע "תשובת הכתוב", כלומר לקבל על עצמו את העונש המבואר בתורה, למעט סייג אחד; שאין אדם רשאי ליטול את חייו.
לכן במקרה של עברה שעונשה מוות, ייסר עצמו החוטא ייסורים עזים כמוות מבלי ליטול נפשו.
במקרה שחטא בחטא עליו לא מפורט עונש בתורה, ישתמש החוטא ב"תשובת המשקל"; כלומר, שוקל את ההנאה שנהנה בחטא, ולפי משקלה מטיל על עצמו ייסורים.
על ידי כך, האמינו אנשי חסידות אשכנז, מפצה החוטא את האל על העלבון שגרם לו בביצוע העבירה.
בעשייה זו מבטא החסיד את מוכנותו לסבול ייסורים כנגד משקלה של הנאה אשר בעבר היה מוכן לעבור בעבורה על דברי האל.
במחקר כיום קיימת מחלוקת באשר למניעים שתרמו להיווצרות של תורת התשובה בחסידות אשכנז.
במחקר מצביעים על שישה גורמים שונים כעל מקור ההשפעה העיקרי להיווצרותה של תורת התשובה:
מסעות הצלב, הגזרות, הרדיפות והמוות הרב על קידוש השם שהתלוו אליהם יצרו בקרב קהילת אשכנז תודעה דתית ייחודית.
על בסיסה של תודעה זו נוצר האידיאל החסידי והתעצבה תורת התשובה הסגפנית והייחודית של חסידות אשכנז.
מסעות הצלב והגזרות שהתלוו אליהם, על אף שהשפיעו עמוקות על יהדות אשכנז במאה ה-12 ובמאה ה-13, לא יצרו נתק בין החברה היהודית לסביבתה הנוצרית, וחלק מהיהודים שמרו על קשר חזק ורציף עם שכניהם הנוצרים למרות האיבה העמוקה שנוצרה כתוצאה מהגזרות.
דבר זה התאפשר כיוון שברבים מהמקרים הנוצרים שפעלו כנגד היהודים היו צלבנים שהגיעו ממרחקים ולא התושבים מהסביבה הקרובה שנשארו בקשרים כלכליים ומסחריים טובים עם שכניהם היהודים.
מציאות זו אפשרה הפריה הדדית של רעיונות.
לטענת חלק מהחוקרים, הוגיה המרכזיים של חסידות אשכנז (בני משפחת קלונימוס) הכירו מקורות לטיניים וייתכן שהושפעו ישירות מדרשות וכתבים פרנציסקנים ודומיניקנים.
ישנם חוקרים המוצאים דמיון רב בין רעיונות בחסידות אשכנז לבין רעיונות סטואים דוגמת רעיון האטרקסיה (Atarxia) לטענתם של חוקרים אלו עברו הרעיונות הסטואים אל הנצרות ומשם חלחלו להגותם של חסידי אשכנז.
לטענתם של חלק מהחוקרים, הרעיונות העומדים בבסיס תורת התשובה בחסידות אשכנז כנראה התפתחו כתוצאה ממפגש של מושגים יהודיים בלבוש נוצרי עם שיטת כפרה שהייתה נהוגה בקרב העמים הגרמניים הברבריים.
יש חוקרים הסוברים שרבים מהרעיונות של חסידות אשכנז התעצבו כתוצאה מתגובת נגד ערכית ודתית לעולם הפלפול של בעלי-התוספות.
עולם הפלפול פרח באשכנז ובצרפת באותה תקופה, ועל כן ניתן להניח שתגובת נגד לפלפול היא אפשרית באותן שנים.
חלק מהחוקרים סוברים כי לא נמצאו הוכחות לאף אחת מחמש הסברות הקודמות, ולפיכך עלינו להבין את הרעיונות של חסידות אשכנז מתוך הגותם מבלי להזדקק למקורות חיצוניים.
לטענתם לרעיונות מסוימים של חסידות אשכנז ניתן למצוא מקבילות בספרות ההיכלות והמרכבה, ספרות שהייתה חלק מרכזי במסורתם של חסידי אשכנז.
ממדי קיומה בפועל של תורת התשובה
על השאלה באיזה היקף, אם בכלל, פעלו אנשים לאורן של שיטות התשובה וההגות של חסידות אשכנז ישנה מחלוקת במחקר.
ישנם חוקרים הסוברים שהריטואלים של תורת התשובה היו נפוצים ונהגו בממדים גדולים.
את טענתם הם מבססים לא רק על העדויות שיש בידנו מכתבי החסידים עצמם (אשר אליהן ניתן אולי להתייחס כהטפות מוסר תאורטיות בלבד), אלה אף על תיאורים רבים של אירועים שהתרחשו הלכה למעשה וגרמו לפרסום שמה של חסידות אשכנז.
סיפורים אלו מצויים בידנו במספר רב של מקורות אליהם לא ניתן להתייחס כהטפות מוסר תאורטיות בלבד.
לפיכך סבורים אותם חוקרים כי ריטואלים אלו של תורת התשובה אכן רווחו והתרחשו בפועל בצורה רחבה.
לעומתם ישנם חוקרים אשר טענתם הפוכה בתכלית.
חוקרים אלו סוברים שאל ריטואלים אלו יש להתייחס כריטואלים שנשארו בבחינת תאוריה בלבד, כ"נוסחאות" שעברו מספר לספר ומדור לדור מבלי שאי פעם מישהו אכן פעל על פיהן.
חוקרים אלו סומכים את טענתם על "כתבי התשובה" שמעידים באופן ברור שדווקא תעניות מבוקר עד ערב היו דרך התשובה שהייתה נהוגה בפועל.
לעומת זאת, בספר התשובה לא ניתן למצוא אזכורים להתגלגלויות בשלג וייסורים דומים, לא ביחס לתשובת הכתוב ולא ביחס לתשובת המשקל.
לטענתם הסיגופים המתוארים בסיפורים אלו היו אידיאל בלבד, ומעולם לא באמת ננקטו הלכה למעשה.
"תורת הרפואה של פליניוס" או "הכתבים הרפואיים של פליניוס" הוא קובץ לטיני מאת מחבר אנונימי של תרופות רפואיות, המתוארך לתחילת המאה ה-4 לספירה.
מלקט הקטעים בקובץ, באומרו שהוא מדבר מניסיון, מציע את החיבור כאמצעי קומפקטי לנוסעים, בהתמודדות עם רוכלים שמוכרים תרופות חסרות ערך במחירים מופקעים, או עם בורים שרק מעוניינים ברווח כספי.
החומר מוצג בשלושה ספרים בסדר הרגיל (a capite ad calcem, "מראש עד עקב"), הראשון עוסק בטיפולים הקשורים לראש ולגרון, השני בגוף העליון ובגפיים התחתונות, והשלישי במחלות מערכתיות, מחלות עור ורעלים.
הספר מכיל יותר מ-1,100 מתכונים פרמקולוגיים, רובם הגדול מהספר "תולדות הטבע" של פליניוס הזקן.
בין המקורות האחרים נמנים קלסוס, סקריבוניוס לארגוס ודיוסקורידס.
מרבית המתכונים מכילים מספר מצומצם של מרכיבים, ובניגוד לאוספים מורחבים ויסודיים יותר כמו De medicamentis liber של מרקלוס אמפיריקוס , מידות מדויקות בדראכמה, דנארי או יחידות אחרות, מצוינות עבור נוסחאות מעטות בלבד.
אולי מכיוון ששמו של פליניוס צורף אליו, הספר נהנה מפופולריות רבה והשפעה, עם גרסאות כתב-יד רבות מימי הביניים.
הוא שימש לעיתים קרובות כמדריך במרפאות של נזירים נוצרים.
האוסף נזכר גם בשם Medicina Plinii Secundi ("תורת הרפואה של פליניוס סקונדוס") או Plinii valeriani (של פליניוס ואלריאנוס), ומחברו מצוין לפעמים בשם "פסאודו-פליניוס".
הוא שימש כמקור עיקרי עבור הקובץ Physica Plinii ("הכתבים המדעיים של פליניוס"), אוסף רפואי מהמאה ה-5 או ה-6.
המרכיבים והשיטות ב"מדיקינה" אופייניים למדריכים פרמקולוגיים לטיניים.
חומרים עשויים להיות בוטניים, מבעלי חיים או מתכתיים; תהליכים כוללים הרתחה של צמחים , החלבה (ערבוב בין נוזלים), חימום לטמפרטורה מאוד גבוהה ותסיסה.
המרקחות ניתנות לשימוש באופן מקומי או באכילה.
מאפיין קבוע של המדריכים היה קסם, אותו ניתן אולי להשוות לריפוי באמונה.
להלן מרשם לעיניים אדומות, המופיע בספר הראשון: "השתמש בדם של יונה או תור כטיפות.
השתמש בהרתחה של אספלניום בדבש ותחבושת צמר טבולה בשמן או יין.
שימוש בשורש רוטה מסייע גם הוא."
בספר השלישי רשומים מספר טיפולים עבור קדחת quartanis (ככל הנראה מלריה).
הראשון דורש מסמר ששימש בצליבה, שצריך לקשור לראש ברצועת בד, או בחבל מצלב, ואז לפזר עליו זבל פרה שחומם בטמפרטורה גבוהה.
הפרק מסתיים בלחש קסם ובהוראות קפדניות למבצע:
"אתה כותב את הדברים הבאים על דף חדש של פפירוס, שעל החולה לענוד צמוד על פרק ידו הימנית: 'התרחקי מאיש זה גאיוס סיאוס, קדחת, שלמה רודף אותך'.
באותו האופן, קשור לחם ומלח בבד פשתן תלוי על חוט דק וקשור סביב עץ עם חוט דק והפצר בלחם והמלח שלוש פעמים: 'אורחי מגיעים מחר, שמרו עליהם'.
עליו לומר זאת שלוש פעמים."
הקסם הסימפתטי שמופעל כאן (עץ = אדם) דומה לקסמי הריפוי באמצעות עצים אצל קאטו הזקן ומרקלוס.
השם "גאיוס סיאוס" (או "גאיוס לוקיוס") היה המקבילה הלטינית ל"פלוני", והיה צריך להחליפו בשם המטופל.
לחשים וכתובות של קסמים רפואיים, כמו על קמעות, לעיתים קרובות מאנישים ופונים בדברים אל המחלה עצמה.
ההתייחסות לשלמה המלך אינה יוצאת דופן בהתחשב באופיו הסינקרטיסטי והבינלאומי של הקסם בעולם ההלניסטי; שלמה מזומן לעיתים קרובות בקסמי ריפוי או מתואר על קמעות כמגרש או מביס נגע.
כוחו נגד שדים נזכר ביוונית אצל יוסף בן מתתיהו, בספר החיצוני "צוואת שלמה" ועל גבי פפירוסים של קסמים וקמעות.
הצירוף המילולי המופיע כאן בלטינית Solomon te sequitur, נמצא על גבי קמעות ביוונית.
תיאורית שדה קלאסית היא תיאוריה פיזיקלית המנבאת כיצד שדה פיזיקלי אחד או יותר מבצעים אינטראקציה עם חומר באמצעות משוואות שדה, בלי לקחת בחשבון השפעות של קוונטיזציה; תיאוריות המשלבות מכניקת קוונטים נקראות תיאוריות שדה קוונטיות.
ברוב ההקשרים, המושג 'תורת שדות קלאסית' נועד במיוחד כדי לתאר אלקטרומגנטיות וכבידה, שניים מכוחות היסוד של הטבע.
ניתן לחשוב על שדה פיזיקלי כעל שיוך של גודל פיזיקלי לכל נקודה בזמן ובמרחב.
לדוגמה, בתחזית מזג אוויר, מהירות הרוח במהלך יום מסוים יכולה להיות מתוארת על ידי הקצאת וקטור לכל נקודה במרחב.
כל וקטור מייצג את כיוון תנועת האוויר באותה נקודה, כך שהקבוצה של כל וקטורי הרוח באזור מסוים ובנקודת זמן נתונה מהווה שדה וקטורי.
ככל שהיום מתקדם, הכיוונים שבהם מצביעים הווקטורים משתנים בהתאם לשינויים בכיווני הרוח.
תיאוריות השדה הראשונות, הכבידה הניוטונית ומשוואות השדות האלקטרומגנטיים של מקסוול פותחו בפיזיקה הקלאסית לפני הופעת תורת היחסות ב-1905, והיה צורך לשנותן כדי להתאים לתיאוריה זו.
כתוצאה מכך, תיאוריות שדה קלאסיות מסווגות בדרך כלל כ"רלטיביסטיות" וְכ"לא-רלטיביסטיות".
תיאוריות שדה מודרניות מתבטאות בדרך כלל תוך שימוש במתמטיקה של חשבון טנזורים.
פורמליזם מתמטי חלופי עדכני יותר מתאר שדות קלאסיים כחלקים של עצמים מתמטיים הנקראים אגדים וקטוריים (fiber bundles).
חלק מהשדות הפיזיקליים הפשוטים ביותר הם שדות כוח וקטוריים.
מבחינה היסטורית, הפעם הראשונה ששדות כאלו נלקחו ברצינות הייתה עם קווי הכוח של פאראדיי בעת תיאור השדה החשמלי.
שדה הכבידה תואר אז באופן דומה.
תורת השדות הראשונה של כוח הכבידה הייתה תורת הכבידה של ניוטון שבה האינטראקציה ההדדית בין שתי מסות מצייתת לחוק ריבוע הפוך.
תורה זו הייתה מאוד שימושית לניבוי תנועת כוכבי לכת מסביב לשמש.
לכל גוף מסיבי M יש שדה כבידה g המתאר את השפעתו על גופים מסיביים אחרים.
שדה הכבידה שיוצר הגוף M בנקודה r בחלל נמצא על ידי קביעת הכוח F ש-M מפעיל על מסת בדיקה קטנה m הממוקמת ב-r, ולאחר מכן חלוקה ב-m :
קביעה שהמסה של m קטנה בהרבה מהמסה של M מבטיחה שלנוכחות של m תהיה השפעה זניחה על התנהגותו של M.
על פי חוק הכבידה האוניברסלית של ניוטון, F ( r ) ניתן על ידי
כאשר הוא וקטור יחידה המצביע לאורך הישר שמחבר מ- M עד m, ו- G הוא קבוע הכבידה של ניוטון.
לכן, שדה הכבידה שיוצר M הוא:
הגילוי הניסיוני, שלפיו מסה אינרציאלית ומסה כבידתית הן שקולות, מובילה למסקנה שעוצמת שדה הכבידה למעשה זהה לתאוצה שחווה חלקיק.
זוהי נקודת המוצא של עקרון השקילות, המוביל לתורת היחסות הכללית.
עבור אוסף של מסות נקודתיות, M i, הממוקמות בנקודות, r i, שדה הכבידה בנקודה כלשהי r עקב המסות הוא
ואם יש לנו התפלגות של מסה רציפה ρ במקום זאת, הסכום מוחלף באינטגרל, כך:
נשים לב שכיוון השדה הוא מהמיקום r למיקום המסות r i ; זה מובטח על ידי סימן המינוס.
בקצרה, המשמעות היא שכל המסות מושכות.
בדומה לצורה הניוטונית, חוק הכבידה של גאוס הוא, בצורה האינטגרלית שלו,
לכן, ניתן לכתוב את שדה הכבידה g במונחים של גרדיאנט של הפוטנציאל הכבידתי :
זוהי תוצאה של העובדה שכוח הכבידה F הוא שדה וקטורי משמר.
בדומה לשדה הכבידה הקלאסית שתואר לעיל, קיימות תורות שמתארות שדות חשמליים ומגנטים שנוצרים מנוכחות של זרמים, מטענים, ומגנטים.
ניתן לתאר את השדות שנוצרים הן במנוחה (סטטיקה) והן בתנועה (דינמיקה).
חלקיק בדיקה טעון עם מטען q חווה כוח F המבוסס רק על המטען שלו.
לכן, אנו יכולים לתאר את השדה החשמלי E כך ש- .
באמצעות עובדה זאת ובאמצעות חוק קולון, השדה החשמלי הנובע מחלקיק טעון יחיד הוא
השדה החשמלי הוא שמרני, ולכן ניתן על ידי הגרדיאנט של פוטנציאל סקלרי, V ( r ):
חוק גאוס לחשמל הוא, בצורה אינטגרלית
זרם יציב המסומן באות I וזורם לאורך נתיב ℓ יפעיל כוח על חלקיקים טעונים בקרבת מקום השונה באופן כמותי מכוח השדה החשמלי שתואר לעיל.
הכוח שמפעיל I על מטען q סמוך עם מהירות v הוא
כאשר B ( r ) הוא השדה המגנטי, אשר נקבע מ- I על ידי חוק חוק ביו-סבר:
השדה המגנטי אינו שמרני באופן כללי, ומכאן שבדרך כלל לא ניתן לכתוב אותו במונחים של פוטנציאל סקלרי.
עם זאת, ניתן לכתוב זאת במונחים של פוטנציאל וקטורי, A ( r ):
חוק גאוס למגנטיות בצורה אינטגרלית הוא
הפרשנות הפיזיקלית לכך היא שאין מונופולים מגנטיים.
באופן כללי, בנוכחות גם צפיפות מטען ρ ( r, t ) וגם צפיפות זרם J ( r, t ), יהיה גם שדה חשמלי וגם שדה מגנטי, ושניהם ישתנו בזמן.
שני השדות נקבעים על ידי משוואות מקסוול, קבוצה של משוואות דיפרנציאליות המייחסות את E ואת B ישירות לצפיפות המטען החשמלי (מטען ליחידת נפח) ρ ולצפיפות הזרם (זרם חשמלי ליחידת שטח) J .
לחלופין, אפשר לתאר את המערכת במונחים של הפוטנציאלים הסקלרים והווקטוריים שלה V ו- A.
קבוצה של משוואות אינטגרליות הידועות בשם פוטנציאלים מעוכבים מאפשרת לחשב את V ואת A מ- ρ ו-J, ומשם נקבעים השדות החשמליים והמגנטיים באמצעות היחסים
לאחר שנמצא כי הכבידה הניוטונית אינה עולה בקנה אחד עם תורת היחסות הפרטית, אלברט איינשטיין ניסח תורת כבידה חדשה בשם תורת היחסות הכללית.
תיאוריה זו מתייחסת לגרביטציה כאל תופעה גאומטרית ("מרחב-זמן") הנגרמת על ידי מסות ומייצגת את שדה הכבידה באופן מתמטי על ידי שדה טנזורי הנקרא טנזור מטרי.
משוואות השדה של איינשטיין מתארות כיצד נוצרת עקמומיות זו.
הכבידה הניוטונית הוחלפה כעת על ידי התיאוריה של איינשטיין, שבה הכבידה נחשבת לעיקום המרחב-זמן על ידי המסות.
מתארות כיצד עקמומיות זו נוצרת על ידי חומר ואנרגיה.
במשוואה זו, הוא טנזור איינשטיין,
שנכתב במונחים של טנזור ריצ'י R ab וסקלר ריצ'י R = R ab g ab.
T ab הוא טנזור המאמץ-אנרגיה (stress-enegery tensor) ו- κ = 8πG/c 4 הוא קבוע.
הניסיונות ליצור תאוריית שדה מאוחדת המבוססת על פיזיקה קלאסית הן למעשה תיאוריות שדה מאוחדות קלאסיות.
במהלך השנים שבין שתי מלחמות העולם, הרעיון של איחוד כבידה עם אלקטרומגנטיות נמשך על ידי כמה מתמטיקאים ופיזיקאים כמו אלברט איינשטיין, תיאודור קלוצה, הרמן וייל, ארתור אדינגטון, גוסטב מי וארנסט רייכנבאכר.
ניסיונות מוקדמים ליצור תיאוריה כזו התבססו על שילוב של שדות אלקטרומגנטיים אל תוך הגאומטריה של תורת היחסות הכללית.
בשנת 1918, ניסיון ה"גאומטריזציה" הראשון של השדה האלקטרומגנטי הוצע על ידי הרמן וייל.
בשנת 1919, הרעיון של גישה חמישה-ממדית הוצע על ידי תיאודור קלוצה.
מתוך כך פותחה תיאוריה בשם תאוריית קלוצה-קליין.
התיאוריה מנסה לאחד את הכבידה והאלקטרומגנטיות, במרחב-זמן בעל חמישה ממדים.
ישנן מספר דרכים להרחיב את צורת הייצוג לתאוריית שדה מאוחדת אשר נשקלו על ידי איינשטיין וחוקרים אחרים.
הרחבות אלו באופן כללי מבוססות על שתי אפשרויות.
האפשרות הראשונה מבוססת על "הקלה" של התנאים המוטלים על הניסוח המקורי, והשנייה מבוססת על הכנסת אובייקטים מתמטיים אחרים לתיאוריה.
דוגמה לאפשרות הראשונה היא הקלה של ההגבלות למרחב-זמן הארבע-ממדי על ידי התחשבות בייצוגים בעלי ממדים גבוהים יותר.
דוגמה זו משמשת בתאוריית קלוצה-קליין.
עבור האפשרות השנייה, הדוגמה הבולטת ביותר נובעת מהמושג של הקשר האפיני (affine connection) שהוכנס לתורת היחסות הכללית בעיקר באמצעות עבודתם של טוליו לוי-צ'יוויטה והרמן וייל.
התפתחות נוספת של תורת השדות הקוונטיים שינתה את המיקוד של החיפוש אחר תורת השדות המאוחדת מתיאוריה קלאסית לתיאוריה קוונטית.
לכן, פיזיקאים תאורטיים רבים ויתרו על חיפוש אחר תורת שדות מאוחדת קלאסית.
תורת השדות הקוונטית תכלול איחוד של שני כוחות יסוד אחרים של הטבע, הכוח הגרעיני החזק והחלש הפועלים ברמה התת-אטומית.
קירוב הצפיפות המקומית היא שיטה חישובית בכימיה קוונטית, פיזיקת המצב המוצק ומדע החומרים שפותחה על ידי הפיזיקאים וולטר קוהן ולו ז'ו שאם בשנות ה-60 של המאה ה-20.
שיטות תורת הקירוב המקומית הן קבוצה של קירובים פונקציונליים לאנרגיית ההחלפה-קורלציה (Exchange-Correlation ובראשי תיבות XC) בתורה הכללית של פונקציונל הצפיפות.
קירובים אלו תלויים אך ורק בצפיפות המטען המרחבית, המסומנת .
ישנן גישות שונות לסוג כזה של קירובים, אך הנפוצה ביותר זו הנגזרת ממודל הג'ליום (Jellium), בו מניחים שצפיפות האלקטרונים אחידה בכל המערכת.
קירובים אלו, המבוססים על מודל הג'ליום, מאפשרים לחשב פונקציונליים כמו החלפה וקורלציה בצורה מדויקת, דבר שאינו אפשרי באמצעות תורת פונקציוניל הצפיפות הכללית.
בצורתה הכללית, עבור מערכות עם ספין לא מקוטב, ניתן לכתוב את אנרגיית ההחלפה-קורלציה בעזרת תורת הקירוב המקומית של הצפיפות באופן הבא:
כאשר היא צפיפות המטען בנקודה במרחב ו- היא אנרגיית ההחלפה-קורלציה, המהווה פונקציה של צפיפות המטען.
ניתן להכליל קירוב זה בצורה ישירה על ידי הכללת אינטראקציות ספיניות, אזי הוא נקרא Local Spin-Density Approximation:
אם לוקחים בחשבון גם את גרדיאנט הצפיפות, מקבלים את הקירוב המקומי הנוסף שנקרא Generalized Gradient Approximations:
אנרגיית ההחלפה-קורלציה ניתנת לכתיבה בצורה הבאה:
תורת הקירוב המקומית של הצפיפות, ובמיוחד הגרסה שמתייחסת לגרדיאנט הצפיפות (GGA), מצויה בשימוש רב בקרב פיזיקאים בתחומי המצב המוצק על מנת לבחון אינטראקציות אלקטרוניות ומגנטיות בחומרים מוליכים למחצה, ובכלל זה תחמוצות מוליכות למחצה.
בנוסף, משתמשים בתורה זו יחד עם תוכנות סימולציה בכדי לחזות את רמת פרמי ומבנה הפסים בתחמוצות מוליכות למחצה מסוימות.
תורת הקירוב המקומית של הצפיפות עובדת בצורה מדויקת למדי עבור מגוון רחב של חומרים.
בפרט, היא שימושית עבור חישובים של משוואות מצב, קבועים אלסטיים, מבנים אלקטרוניים ותכונות פיזיקליות נוספות של החומר.
הקירוב עבור תלוי רק בצפיפות וניתן לפתח אותו בדרכים רבות.
הגישה המוצלחת ביותר מבוססת על מודל גז האלקטרונים ההומוגני, שנבנה על ידי הצבת אלקטרונים בעלי אינטראקציה בתוך נפח , עם מטען רקע חיובי השומר על המערכת נייטרלית.
לאחר מכן נלקחים ו- לאינסוף, אך באופן כזה ששומר על הצפיפות () סופית.
זהו קירוב שימושי, שכן האנרגיה הכוללת מורכבת רק מהאנרגיה הקינטית, אנרגיית האינטראקציה האלקטרוסטטית ואנרגיית החלפה שנובעת מהאינטראקציה בין האלקטרונים.
פונקציית הגל ניתנת לביטוי במונחים של גלים מישוריים.
בפרט, עבור צפיפות קבועה, צפיפות אנרגיית ההחלפה מתכונתית ל-.
כשדנים באנרגיית ההחלפה במודל הג'ליום, ישנן גם משואות אנליטיות פשוטות יחסית, שניתן לכתוב כך:
לאנרגיית הקורלציה יש פתרון מדויק שמתקיים רק בגבולות של צפיפות גבוהה או נמוכה מאוד.
בגבול של צפיפות גבוהה, אפשר לכתוב את אנרגיית הקורלציה כך:
כאשר , המכונה פרמטר ויגנר-זייץ, הוא פרמטר חסר-ממדים שמוגדר כרדיוס של כדור שמקיף אלקטרון בודד, מחולק ברדיוס בוהר.
פרמטר ויגנר-זייץ קשור לצפיפות עצמה:
כמו כן, הוצע ביטוי אנליטי המשמש עבור כל טווח הצפיפויות, והמבוסס על תורת ההפרעות הרב-גופית.
אנרגיות הקורלציה המחושבות עולות בקנה אחד עם התוצאות של סימולציות מונטה קרלו קוונטיות עד כדי שגיאה של 2 מילי-הרטרי.
סימולציות מונטה קרלו מדויקות עבור האנרגיה של גז אלקטרונים הומוגני, מבוצעות עבור מספר ערכי ביניים של הצפיפות ומספקות בתורן ערכים מדויקים של צפיפות אנרגיית הקורלציה.
ההרחבה של פונקציונל הצפיפות גם למערכות מקוטבות-ספין היא מיידית עבור אנרגיית ההחלפה, שבה ה-scaling ע"פ הספין הוא ידוע, אולם עבור אנרגיית הקורלציה יש להשתמש בקירובים נוספים.
בתורת פונקציונל הצפיפות, מערכת מקוטבת-ספין עושה שימוש בשתי צפיפויות ספין, ו- , כאשר הצפיפות הכוללת היא סכום שלהן.
באשר לאנרגיית ההחלפה, התוצאה הסופית (ולא רק עבור קירובי צפיפות מקומית) ידועה במונחי הפונקציונל שלא כולל קיטוב ספין:
התלות הספינית של צפיפות אנרגיית הקורלציה ניתנת לכתיבה על ידי הגדרת קיטוב-הספין היחסי:
ניתן לראות כי מייצג מצב דיאמגנטי של אי-קיטוב-ספין, שבו ו- הן צפיפויות ספין זהות, בעוד מייצג מצב פרומגנטי שבו אחת מצפיפויות הספין איננה.
צפיפות אנרגיית הקורלציה הספינית עבור ערכים נתונים של הצפיפות הכוללת והקיטוב היחסי, המסומנת כ-, מחושבת כך שיהיה ניתן לבצע אינטרפולציה בין ערכי קצה.
צורות מסוימות של התלות הזו פותחו במקביל לפונקציונלי הקורלציה תחת קירוב הצפיפות המקומית.
פוטנציאל הקורלציה-החלפה מייצג את אנרגיית הקורלציה-החלפה בקירוב הצפיפות המקומית, והוא נתון ע"י:
במערכות סופיות, הפוטנציאל הזה דועך אסימפטוטית באופן מעריכי.
זוהי תוצאה שגויה; פוטנציאל ההחלפה-קורלציה האמיתי דועך לאט בהרבה, באופן קולומבי (כלומר היפרבולי).
הדעיכה המהירה המלאכותית מביעה עצמה במספר של אורביטלי קוהן-שאם שהפוטנציאל יכול לקשור (משמע, האורביטלים שהאנרגיה שלהם שלילית).
פוטנציאל זה לא יכול לתמוך בסדרת רידברג, והמצבים שהוא כן קושרים גבוהים מדי באנרגיה.
הדבר מביא לכך שאנרגיית אורביטל ה-HOMO גבוהה מדי, ולכן כל חיזוי לגבי אנרגיית היינון כנובע ממשפט קופמנס, אינו מדויק.
מעבר לכך, הקירוב מספר תיאור לא מדויק לצורונים עשירים באלקטרונים כגון אניונים, שבהם לעיתים קרובות לא ניתן לקשור אלקטרון נוסף; הקירוב גורס כי צורונים אלה יהיו בלתי יציבים.
במקרה של קיטוב-ספין, פוטנציאל ההחלפה-קורלציה דורש אינדקסי ספין.
אולם, אם רק מחשיבים את אנרגיית ההחלפה, ניתן לקבל פוטנציאל המלוכסן באינדקסי הספין:
תורת השמורות (גם תורת האינווריאנטים, בעקבות האנגלית: Invariant theory) היא ענף של אלגברה מופשטת העוסק בפעולות של חבורות על יריעות אלגבריות, ובפרט על מרחבים וקטוריים, מנקודת מבט של פעולת החבורות על מרחבי פונקציות על היריעות.
באופן קלאסי, התורה עסקה בשאלת התיאור המפורש של פונקציות פולינומיות שאינן משתנות, או שהן אינווריאנטיות, תחת איברי חבורה ליניארית נתונה.
יהיו חבורה ו- מרחב וקטורי מממד סופי מעל שדה (שבתורת השמורות הקלאסית היה בדרך כלל שדה המספרים המרוכבים).
כל משרה פעולת חבורה של על .
אם הוא על , אז פעולת החבורה של על משרה פעולה על לפי הנוסחה הבאה:
בפעולה זו טבעי להתייחס לתת-המרחב של כל הפונקציות הפולינומיות שהן אינווריאנטיות תחת פעולת החבורה, כלומר קבוצת הפולינומים כך ש- לכל .
מרחב זה של פולינומים אינווריאנטיים מסומן .
הבעיה הראשונה של תורת השמורות היא האם הוא אלגברה נוצרת סופית מעל ?
דוגמה: אם ו- הוא מרחב המטריצות הריבועיות, והפעולה של על ניתנת על ידי כפל משמאל, אז איזוצורפי לחוג פולינומים במשתנה יחיד, שנוצר על ידי הדטרמיננטה.
במילים אחרות, במקרה זה, כל פולינום אינווריאנטי הוא צירוף ליניארי של חזקות הפולינום הדטרמיננטי.
לכן, במקרה זה נוצר סופית מעל .
במקרה שבו החבורה , ומאפיין השדה הוא 0, התשובה חיובית, כלומר החוג נוצר סופית מעל .
אם התשובה חיובית, השאלה הבאה היא למצוא בסיס מינימלי.
שאלה אחרת שנשאלה היא: בהינתן בסיס בן n איברים, האם מודול היחסים הפולינומיים בין איברי הבסיס נוצר סופית מעל חוג הפולינומים ב n משתנים.
משפט הבסיס של הילברט גורר שהתשובה תמיד חיובית.
לתורת השמורות של חבורות סופיות יש קשרים הדוקים עם תורת גלואה.
אחת התוצאות העיקריות הראשונות הייתה המשפט העיקרי על הפונקציות הסימטריות שמתאר את האינווריאנטים של החבורה הסימטרית הפועלת על חוג הפולינומים על ידי תמורות של המשתנים.
באופן כללי יותר, מאפיין חבורות סופיות שאלגברת האינווריאנטים שלהן היא חוג פולינומים.
מחקר מודרני בתורת השמורות של חבורות סופיות מדגיש תוצאות "אפקטיביות", כגון גבולות מפורשים על דרגות היוצרים.
המקרה של מאפיין חיובי, הוא תחום של מחקר פעיל, עם קשרים לטופולוגיה אלגברית.
תורת השמורות של חבורות אינסופיות קשורה קשר הדוק להתפתחות האלגברה הליניארית, ובמיוחד לתורות של תבניות ריבועיות ודטרמיננטות.
נושא נוסף בעל השפעה הדדית חזקה היה גאומטריה פרויקטיבית.
אחד משיאי הקשר הזה הוא .
תורת ההצגות של שורשיה בתורת השמורות.
עבודתו של דויד הילברט על שאלת נוצרות סופית של אלגברת השמורות (1890) הביאה ליצירת דיסציפלינה מתמטית חדשה, אלגברה מופשטת.
מאמר מאוחר יותר של הילברט (1893) עסק באותן שאלות בדרכים קונסטרוקטיביות וגאומטריות יותר, אך נותר כמעט בלתי ידוע עד שדייוויד ממפורד החזיר את הרעיונות הללו לחיים בשנות ה-60 של המאה ה-20, בצורה כללית ומודרנית יותר, ב שלו.
במידה רבה הודות להשפעתו של ממפורד, נושא תורת השמורות נתפס ככולל את תורת הפעולות של חבורות אלגבריות ליניאריות על יריעות אלגבריות אפיניות ויריעות אלגבריות פרויקטיביות.
ג'אן-קרלו רוטה ואסכולתו פיתחו ענף נפרד של תורת השמורות, שראשיתו בשיטות הקונסטרוקטיביות והקומבינטוריות הקלאסיות של המאה התשע עשרה.
דוגמה בולטת למעגל רעיונות זה ניתנת על ידי .
הבעיה הארבע-עשרה של הילברט הייתה בעיה פתוחה בתורת השמורות, עד לפתרונה ב-1958 על ידי מסיושי נגטה.
דוגמאות פשוטות לתורת השמורות מגיעות מחישוב המונומים האינווריאנטיים מפעולת חבורה.
לדוגמה, נבחן את פעולת על :
כיוון ש- הם המונומים מהדרגה הנמוכה ביותר שהם אינווריאנטיים, נקבל ש-
דוגמה זו מהווה בסיס לביצוע חישובים רבים.
ארתור קיילי ביסס לראשונה את תורת השמורות במאמרו "On the Theory of Linear Transformations" ("על תורת הטרנספורמציות הליניאריות") מ-1845. בפתיחת מאמרו נותן קיילי קרדיט למאמר משנת 1841 של ג'ורג' בול (המאמר של בול נקרא Exposition of a General Theory of Linear Transformations).
את המונח Invariant טבע ג'יימס ג'וזף סילבסטר, שנמנה אף הוא עם מייסדי תורת השמורות.
באופן קלאסי, המונח "תורת השמורות" מתייחס לחקר פולינומים הומוגניים אינווריאנטיים לפעולתן של העתקות ליניאריות.
זה היה תחום מחקר מרכזי בחלק האחרון של המאה התשע עשרה.
תאוריות עכשוויות הקשורות לחבורה הסימטרית ולפונקציות סימטריות, אלגברה קומוטטיבית, מרחבי מודולים ו שורשיהם בתחום זה.
ביתר פירוט, בהינתן מרחב וקטורי V בעל ממד סופי n, נוכל לשקול את האלגברה הסימטרית S(Sr(V)) של הפולינומים מדרגה r מעל V, ואת הפעולה GL(V) עליו.
למעשה, מדויק יותר לשקול את האינווריאנטים היחסיים של GL(V), או הצגות של SL(V), אם אנחנו הולכים לדבר על אינווריאנטים: הסיבה לכך היא שמכפלה סקלרית של היחידה תפעל על טנזור בעל דרגה r ב-S(V) דרך 'משקל' החזקה ה-r של הסקלר.
הנקודה היא אז להגדיר את התת-אלגברה של האינווריאנטים I(Sr(V)) עבור הפעולה.
המקרה שנחקר הכי הרבה היה אינווריאנטים של צורות בינאריות כאשר n = 2.
עבודה נוספת כללה את זו של פליקס קליין בחישוב החוגים האינבריאנטיים של פעולות חבורה סופיות על (, המסווגות לפי ); אלו הם חוגי הקואורדינטות של .
חלוצים נוספים בפיתוח תורת השמורות הם פאול גורדן, אמי נתר, אלפרד קלבש ולואיג'י קרמונה.
עבודתו של דויד הילברט, שהוכיחה כי I(V) הוצג באופן סופי במקרים רבים, כמעט שמה קץ לתורת השמורות הקלאסית למשך מספר עשורים, אם כי התקופה הקלאסית בנושא נמשכה עד לפרסומים הסופיים של , יותר מ-50 שנה מאוחר יותר.
חישובים מפורשים למטרות מסוימות ידועים בעת המודרנית.
תורתו אֻמָּנותו הוא מונח תלמודי לתיאור אדם שכל זמנו מוקדש אך ורק ללימוד תורה, כך שהתורה היא מקצועו.
לאדם כזה מעמד מיוחד בהלכה.
באמצעי התקשורת בישראל משמש המושג בעיקר בהקשר של "הסדר תורתו אומנותו", שלפיו צעירים שעיסוקם היחידי הוא לימוד בישיבה, מקבלים דחייה של חובת השירות בצה"ל עד לאחר סיום לימודיהם.
למעשה, הסדר זה גורם לכך שרוב הגברים החרדים אינם משרתים בצבא כלל, או משרתים שירות קצר ביותר (ארבעה חודשי שירות חובה, הנקראים שלב ב').
במשך שנים היה ההסדר מעוגן בתקנה של שר הביטחון, אך בעקבות פסיקת בג"ץ, עוגן ההסדר בחוק טל, ובעקבות פסיקה נוספת בוטל.
כיום רוב הגברים היהודים שאינם מתגייסים לצה"ל נפטרים מכך באמצעות "הסדר תורתו אומנותו".
המונח תורתו אומנותו מתאר בתלמוד יחידי סגולה העוסקים אך ורק בלימוד תורה, ללא הפסקה.
כך מופיע במסכת שבת, שם רבי יוחנן מוציא את עצמו מכלל הלומדים ש"תורתם אומנותם": .
הרמב"ן מביא את דברי הר"י מיגאש בשם הרי"ף: בעקבות זאת פסק הטור: .
דברים אלו נפסקו גם בשולחן ערוך.
תורתו אומנותו לעומת תורה ועבודה
נושא תורה ועבודה נדון במסכת ברכות:
יש שלמדו מדברי אביי שההלכה היא כדברי רבי ישמעאל, ויש לשלב תורה ועבודה לשם פרנסה.
הרמב"ם, בהלכות תלמוד תורה, פוסק באופן גורף שיש לקיים תלמוד תורה עם דרך ארץ (עבודה).
טענות ביחס להסכם יששכר וזבולון, שלפיו חלק מן העם עוסקים בתורה וחלקו השני עוסק במסחר ותומך בלומדים, דוחה הרמב"ם בפירושו למשנה וטוען שמדובר רק במי שנותן מממונו לסוחרים כדי שיסחרו בממונו וירוויחו בשבילו, אבל להתפרנס מן הצדקה אסור.
לעומתו פסקו אחרים כי בדורנו, אם תנהג תורה עם עבודה, אין התורה מתקיימת, ולכן יש צורך לקיים את הסכם יששכר וזבולון, ומותר ללמוד בלי להתפרנס, ולהתקיים מן הצדקה, ואף מתשלומי מיסים הכפויים על הציבור.
כיום מעמד "תורתו אומנותו" נחשב לאידיאל של רוב לומדי התורה.
בתפילה הנאמרת בסיום לימוד מסכת אומרים "יהי רצון מלפניך שתהא תורתך אומנותנו".
בטור ובשולחן ערוך נפסק שתלמיד חכם ש"תורתו אומנותו" פטור מתשלומי מיסים ומחובות ביטחוניות, וכן פטור מעבודות חובה קהילתיות כמו חפירת בארות מים, אולם חייב לשלם לפועלים החופרים, אם נשכרו כאלה.
באופן פורמלי, ההסדר כולל כל גבר בגילאים 18–54 הכשיר לשירות צבאי, ותלמיד בישיבה גבוהה שגילו מעל 16, או סיים לימודים בישיבה תיכונית.
על פי החוק הקיים על תלמיד ישיבה, הרוצה להצטרף להסדר, להתחייב להקדיש 45 שעות שבועיות ללימוד תורה בישיבה או 40 שעות שבועיות לאברך הלומד בכולל.
צה"ל מאשר את המעמד לאחר חתימת ראש הישיבה ומזכיר ועד הישיבות ויש לחדשו מדי שנה.
בגיל 26 ניתן פטור מלא משירות ביטחון.
בשנת 2022 18.4% מהגברים היהודים לא גויסו בשל הסדר תורתו אומנותו.
זו הייתה הסיבה המובילה לאי-גיוס, יותר מכל הסיבות האחרות ביחד.
במתמטיקה, תורת שטורם-ליוביל עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאליות מסוימות ומציאת התנאים שבהם יש להן פתרון ששונה מהפתרון הטריוואלי, .
לתורה שימושים רבים במתמטיקה שימושית ובתורת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות.
תורת שטורם-ליוביל קרויה על שם המתמטיקאים הצרפתיים שארל שטורם וז'וזף ליוביל.
תורת שטורם-ליוביל עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאליות מהצורה:
כאשר הוא פרמטר, המהווה ערך עצמי של אופרטור גזירה הרמיטי מעל מרחב הילברט שמוגדר על ידי תנאי הקצה, וכל פתרון למשוואה הוא פונקציה עצמית.
תנאי ההרמיטיות מבטיח שהערכים העצמיים הם ממשיים.
במקרה שהמשוואה מוגדרת בקטע ממשי סגור ותנאי השפה הוא מהצורה וכן (כאשר אולי ), מובטח קיום סדרה של ערכים עצמיים שלכל אחד מהם פונקציה עצמית מתאימה יחידה, וכן אוסף פונקציות זה מהווה בסיס אורתוגונלי למרחב כל הפונקציות הרציפות על .
משוואת החום (נקראת גם משוואת הדיפוזיה) היא משוואה הבאה מעולם התרמודינמיקה ועוסקת במעבר חום דרך הולכה או פעפוע.
נפתור אותה עם תנאי התחלה:
נבצע הפרדת משתנים ולאחר העברת אגפים נקבל:
מאחר שאגף ימין תלוי רק ב- ושווה לאגף שמאל שתלוי רק ב- נובע שכל אגף שווה לקבוע (באופן כללי הקבוע יכול להיות שלילי, חיובי או אפס, אבל רק קבוע שלילי יתן דעיכה של הטמפרטורה בזמן, ולכן משיקולים פיזיקליים נכון לבחור בו), כלומר:
לכן, קיבלנו שתי משוואות דיפרנציאליות לכל קבוע הפרדה ובסה"כ מערכת של אינסוף משוואות.
נפתור כל משוואה דיפרנציאלית לחוד ונקבל:
אם נציב את תנאי השפה נקבל שהפתרון עבור יהיה מהצורה:
לכן, יש לנו רק מספר בן מנייה של קבועי הפרדה, והם נתונים על ידי:
לכן, קיבלנו סדרה של פתרונות מהצורה:
זהו בעצם בסיס טופולוגי למרחב הפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית החלקית.
ואכן, מכיוון שהמשוואה הדיפרנציאלית החלקית המקורית היא ליניארית, כל צירוף ליניארי של פתרונות הוא גם פתרון.
את הקבועים נמצא באמצעות תנאי ההתחלה ושיקולים של אורתוגונליות.
מציבים ואז מקבלים טור פורייה, שהוא פיתוח בבסיס ההרמוני (בסיס של סינוסים וקוסינוסים) בקטע .
מאחר שבידינו יש רק סינוסים בטור, נוכל לעשות המשכה אי-זוגית של הפתרון ותנאי ההתחלה ולמצוא את המקדמים כמקדמי הפיתוח של טור פורייה של תנאי ההתחלה.
כעת נפתור אותה עם תנאי התחלה:
שיטת הפתרון זהה למקרה הקודם, רק שהפעם סט הפתרונות שאנו מקבלים הוא סט רציף:
והפתרון במקרה זה הוא צירוף ליניארי אינטגרלי (ולא טור):
את המקדמים ניתן למצוא על ידי הצבת וביצוע התמרת פורייה על תנאי ההתחלה.
דוגמה לפתרון משוואה דיפרנציאלית חלקית בשיטת שטורם-ליוביל ניתן למצוא בערך משוואת שרדינגר.
כדי להבין את הסימונים מומלץ לעיין גם בערך על סימון דיראק.
תורת כיול היא ענף בתורת שדות קוונטית, שבעזרתו ניתן לתאר ולהראות בצורה מתמטית מהיכן נובעים שלושה מתוך ארבעת הכוחות היסודיים הידועים בטבע.
המושג הבסיסי בתורת השדות הקוונטית אינו חומר, אנרגיה או כוח אלא שדה.
לכן כדי להסביר את החלקיקים והכוחות השונים בתורת השדות הקוונטית השדות צריכים לקיים סימטריות שונות, בייחוד נחפש מתי האנרגיה של השדה (שמבוטאת מבחינה מתמטית בעזרת לגראנז'יאן) תישאר סימטרית.
זאת אומרת אילו פעולות אפשר לעשות על השדה ובכל זאת האנרגיה לא תשתנה.
בנוסף, פיזיקאים גילו שאפשר להגיע (כמעט) לכל הכוחות היסודיים בטבע בעזרת שבירה מסוימת של סימטריות האנרגיה הללו.
אם מתחילים מסימטריה מסוימת ומעוותים אותה מעט, כך שעדיין יש סימטריה אבל חלקית, מופיע כוח שמנסה להחזיר את הסימטריה המושלמת המקורית.
כוח זה יהיה בדיוק אחד הכוחות היסודיים בטבע.
לתהליך זה קוראים תורת כיול או סימטריית כיול וכך מקבלים את רוב הכוחות הידועים בפיזיקה מתוך תורת השדות הקוונטית.
הרעיון של תורת הכיול מבוסס על עיוות הסימטריה כך שבכל נקודה ונקודה הסימטריה מעט שונה.
התלות הזו של הסימטריה במיקום ובזמן מעוותת אותה.
ניתן להדגים את העיקרון המתמטי מאחורי תורות כיול בעזרת התמונה של המראה המעוותת.
בתמונה ניתן לראות קיר מלא שעונים דרך מראה רגילה ומראה מעוקמת.
כתוצאה מהמראה המעוותת, כל השעונים שיש להם סימטריה עגולה יפה (תמונה שמאלית) נראים לא עגולים ולא סימטריים יותר (תמונה אמצעית).
הסימטריה המקורית של השעונים התעוותה, כל העיגולים נראים מרוחים.
העיוות נוצר בגלל המראה העקומה, צורת השעון המשתקפת תלויה בעיוות המראה ששונה בכל נקודה ונקודה של המראה, ולכן כל נקודה מורחת ומזיזה את דמות השעון בצורה אחרת.
זאת אומרת שהסימטריה של צורת השעון נשברה כי היא תלויה בעיוות שיש בכל נקודה במראה.
יש סימטריה מתאימה לכל אחד מהכוחות הללו (נקראת סימטריה גלובלית) שנותנת, לפי משפט נתר, מטען נשמר.
כאשר מעוותים את הסימטריה הזו על ידי תלות במקום ובזמן מקבלים את שדה הכוח ואת חלקיקי הכוח המתאימים המנסים להחזיר את הסימטריה למצבה המלא.
לשיטה הזו קוראים סימטריית כיול (אנו מכיילים מחדש את הסימטריה שעוותה ומקבלים שדה כוח).
במקרה של הכוח האלקטרומגנטי, מתחילים מסימטריה גלובלית ששומרת על האנרגיה של השדה ומוסיפה לשדה מטען חשמלי קבוע ונשמר.
בעקבות עיוות של הסימטריה הזו מכיילים על ידי הוספת שדה אלקטרומגנטי (עושה את הכוח האלקטרומגנטי) אשר מחזיר את הסימטריה כך שהאנרגיה נשמרת למרות העיוות.
לסיכום, התחלנו משדה חומר, קיבלנו על ידי סימטריה את המטען החשמלי וע"י עיוות סימטריית המטען החשמלי וכיול קיבלנו את שדה הכוח האלקטרומגנטי המתאים למטען החשמלי.
בצורה דומה, על ידי סימטריות שונות, ניתן לקבל את שדה הכוח הגרעיני החזק ושדה הכוח הגרעיני החלש מתוך שדות חומר בעלי הסימטריה המתאימה.
כוח הכבידה (המתואר בעזרת תורת היחסות הכללית) הוא הכוח היחיד שאי אפשר לקבל מתוך שדות בעזרת תורות הכיול שיש בידינו כיום.
רעיון הכיול הגיע מתוך התיאור הקלאסי של שדה אלקטרומגנטי.
שם, השדה המגנטי מקיים את הנוסחה:
הפוטנציאל הווקטורי של שדה מגנטי נתון אינו נקבע באופן יחיד.
אם הוא פוטנציאל וקטורי לשדה אזי גם (עבור כל שדה סקלרי ) הוא פוטנציאל וקטורי הקובע את אותו השדה (כיוון ש ).
חופש הכיול מאפשר לבחור את הפוטנציאל הווקטורי באופן בו יהיה נוח להשתמש בו.
קיימות מספר בחירות מקובלות לכיול הפוטנציאל הווקטורי, ביניהן:
כיול קולון - בכיול זה בוחרים את כך שיקיים .
במקרה זה הפוטנציאל הווקטורי מקיים את משוואת פואסון (כאשר צפיפות הזרם, C מהירות האור), שפתרונה:
כיול לורנץ - כיול זה שימושי בבעיות דינמיות.
בכיול זה בוחרים את הפוטנציאלים הווקטורי והסקלרי כך שיתקיים (כאשר פוטנציאל החשמלי).
בכיול זה הפוטנציאל הווקטורי מקיים משוואת גלים מן הצורה:
כך ניתן לכייל את הפוטנציאל הווקטורי תוך שמירה על אותו שדה מגנטי.
מכאן שהשדה המגנטי נשאר קבוע תחת טרנספורמציית כיול ומשוואות מקסוול (המתארות את השדות המגנטיים והחשמליים) לא משתנות ולכן סימטריות תחת טרנספורמציית הכיול.
תורת השדות הקוונטית משתמשת ברעיון הכיול כדי להחזיר סימטריה שעוותה עקב טרנספורמציות לוקליות (תלויות במיקום ובזמן).
בתורת השדות, אנרגיית השדה מבוטאת בעזרת הלגראנז'יאן.