tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
חוקי טיס – כלי טיס יכול לפעול על פי חוקי ניווט ראייה (VFR) או חוקי ניווט מכשירים (IFR) או במצב ביניים המכונה חוקי ניווט ראייה מיוחדים (SVFR).
סוג A – כל הפעילות האווירית תתנהל על פי חוקי ניווט מכשירים או ניווט ראייה מיוחד.
כל כלי הטיס כפופים לאישור הפיקוח אשר יקבע להם נתוני הפרדה.
סוג B – הפעילות האווירית תתנהל באמצעות כל אחת מאפשרויות הניווט.
סוג C – כמו סוג B, אך טיסות בניווט מכשירים או ניווט ראייה מיוחד יופרדו על פי הנחיות הפיקוח.
טיסות בניווט ראייה לא יופרדו באמצעות הפיקוח, אך יימסר להם מידע באשר לטיסות האחרות בניווט ראיה.
מרחב זה אופייני לרום טיסה.
סוג D – כמו סוג C אך לטיסות בניווט ראייה ימסר מידע על כל שאר הטיסות.
סוג E – טיסות בניווט מכשירים ובניווט ראייה מיוחד יפעלו תחת הפרדה ועל פי אישורי הפיקוח האווירי.
טיסות בניווט ראייה לא זקוקות לאישור הפיקוח האווירי אך הוא יספק מידע לגבי פעילותן.
סוג F – כל סוגי הטיסות מותרות.
אין צורך באישור הפיקוח האווירי אך לטיסות בניווט מכשירים הוא יספק מידע לגבי הפרדה בין כלי הטיס לפי הצורך
סוג G – כמו סוג F אך לא יימסר מידע לגבי הפרדה אלא לפי הצורך.
מדינות שונות עשויות לקבוע מפעם לפעם או באופן קבוע באזורים מסוימים, הגבלות על הפעילות במרחב האווירי שלהן.
בדרך כלל הכוונה היא לקביעת אזורים או מסלולים האסורים לטיסה אזרחית מטעמי בטיחות של כלי הטיס עצמם למשל מעל אזורים בהם מתחוללות שרפות גדולות או אזורים הנתונים לסכנה של זיהומים קשים כגון קרינה רדיואקטיבית.
בנוסף לכך נקבעות הגבלות טיסה באזורים מסוימים מטעמים של שמירה על סודיות עקב סיבות של ביטחון לאומי כגון מעל שטחים שבהם ממוקמים מתקנים צבאיים סודיים או בעלי חשיבות אסטרטגית.
התעבורה האווירית בישראל מפוקחת על ידי יחידות הבקרה האווירית של חיל האוויר.
יחידות הבקרה האווירית אוספות מידע ומייצרות את תמונת המרחב האווירי של מדינת ישראל, עומדות בקשר עם מגדלי הפיקוח האזרחיים והצבאיים הממוקמים בנמלי התעופה הצבאיים והאזרחיים השונים ומקיימות איתם תיאום מבצעי שוטף לגבי התנועה האווירית במרחב האווירי של המדינה.
בטופולוגיה, מרחב בלתי קשיר לחלוטין הוא מרחב טופולוגי שכל תת-קבוצה בו שאינה יחידון אינה קשירה.
באופן שקול, זהו מרחב שרכיבי הקשירות שלו הם היחידונים.
לפי ההגדרה כל יחידון הוא הן מרחב קשיר והן מרחב בלתי קשיר לחלוטין.
לכן יש המגדירים מרחב בלתי קשיר לחלוטין כבעל שתי נקודות לפחות.
במקרה כזה, כל מרחב בלתי קשיר לחלוטין הוא בפרט לא קשיר.
כל מרחב דיסקרטי הוא בלתי קשיר לחלוטין.
כל קבוצה בישר הממשי שאינה מכילה אף קטע לא טריוויאלי היא בלתי-קשירה לחלוטין (כי הקטעים הם הקבוצות הקשירות היחידות בישר).
כך למשל קבוצת המספרים הרציונליים, קבוצת המספרים אי-רציונליים וקבוצת קנטור, כולם בלתי קשירים לחלוטין.
שדה המספרים ה-p-אדיים עם הטופולוגיה הסטנדרטית הוא בלתי קשיר לחלוטין.
תת-מרחבים ומרחבי מכפלה של מרחבים בלתי-קשירים לחלוטין גם הם בלתי קשירים לחלוטין.
תמונה רציפה של מרחב בלתי-קשיר לחלוטין אינה בהכרח מרחב בלתי-קשיר לחלוטין.
למשל כל מרחב מטרי קומפקטי הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור .
מרחב שיש לו בסיס של קבוצות פתוחות-וסגורות הוא בלתי קשיר לחלוטין (ההפך אינו תמיד נכון).
מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית הוא בלתי קשיר לחלוטין אם ורק אם יש לו בסיס של קבוצות פתוחות וקומפקטיות.
מרחבים בלתי-קשורים לחלוטין הם מרחבי T1.
בטופולוגיה, n-קשירות (n-connectedness) היא תכונה טופולוגי של מרחב טופולוגי או של הומומורפיזם טופולוגי, המכלילה קשירות מסילתית ופשיטות קשר.
תכונה זו מוגדרת על ידי התאפסות חבורות ההומוטופיה הראשונות של המרחב, ובמקרה של הומומורפיזם – על ידי התאפסות חבורות ההומוטופיה של סיב ההומוטופיה המתאים להעתקה.
מרחב קשיר מסילתית הוא מרחב 0-קשיר, בעוד שמרחב פשוט קשר הוא מרחב 1-קשיר.
על כן, מונח זה מהווה הכללה למונחים המדוברים.
שימוש נפוץ במיוחד ב-n-קשירות הוא במשפט הורוויץ, המייצר איזומורפיזם בין חבורות ההומוטופיה לחבורות ההומולוגיה מסוימות של מרחבים n-קשירים.
מרחב טופולוגי נקרא n-קשיר (עבור ), אם הוא לא ריק, קשיר מסילתית וכל חבורות ההומוטופיה שלו עד מתאפסות:
יש לשים לב כי במקרה הכללי של חבורות ההומוטופיה עבור , יש משמעות לבחירת נקודת הבסיס.
עם זאת, למרחב פשוט קשר (עבורו ) בחירת נקודת הבסיס אינה משנה – שתי חבורות עם נקודות בסיסי שונות שוות (ולא רק איזומורפיות).
על כן, להגדרה לעיל אכן יש משמעות.
היות שהקבוצה נמצאת בהתאמה לרכיב הקשירות המסילתית של המרחב, הדרישה שהמרחב יהיה קשיר מסילתית שקולה לכך ש- טריוויאלי.
על כן, מרחב לא ריק הוא n-קשיר אם ורק אם לכל .
העתקה רציפה בין מרחבים טופולוגיים נקראת n-קשירה, אם סיב ההומוטופיה המתאים להעתקה הוא מרחב טופולוגי (n-1)-קשיר.
באופן שקול, הפונקציה היא n-קשירה אם ורק אם הפונקציה המושרית מהווה איזומורפיזם עבור , ומהווה העתקה על עבור .
השקילות בין ההגדרות נובעת מסדרה מדויקת הקושרת בין חבורות ההומוטופיה של סיב ההומטופיה ושל המרחבים:
מרחב הזרימה הוא הפשטה תרבותית ברמה גבוהה של המרחב והזמן, ותפיסה מחדש של צורות חדשות בתוך הסדרים מרחביים.
סוג חדש של מרחב המאפשר אינטראקציה סינכרונית מרוחקת בזמן אמת.
בעזרת מרחב הזרימה אפשר לתקשר בין מקומות רחוקים בחלל בזמן אמת בניגוד לתפיסה הטוענת שמהירות האור היא המהירות המקסימלית לתנועה במרחב.
מרחב הזרימה הוא שילוב של מרחב התנועה ומרחב הזמן ("מרחב המקומות") והוא מורכב משלושה יסודות עיקריים:
פריטים המתאימים לזרימה בתווך זה.
הצמתים שדרכם מנווטת זרימה זו.
מרחב הזרימה מציג את הפעולה האנושית ואת האינטראקציה המתרחשת באופן דינמי ומבוצע מרחוק.
הזרימה מתבצעת באמצעות טכנולוגיית תקשורת שמכילה זרימה רציפה של תקשורת רגישה לזמן, ושל צמתים של מערכות גלובליות (כנראה טכנולוגיות או מחשב).
זרמי מידע אלה מחברים בין אנשים לקהילה קיברנטית מתמשכת, בזמן אמת, השונה מהכפר הגלובלי, שכן מקום הקבוצות בזמן הופך לחשוב יותר ממיקומם הגאוגרפי.
הרעיון של מרחב הזרימה הועלה לראשונה על ידי הפילוסוף היווני הרקליטוס, אשר סיכם את הנושא וקרא לו πάντα ρεί (panta rei, "הכל זורם" ביוונית) שאמר שהכול זורם, שכל דבר כל הזמן עובר ממקום למקום.
כמו שלא תיכנס לאותם מים בנהר פעמיים.
הנושא התחיל להיחקר בשנת 1996 על ידי הסוציולוג מנואל קסטלס אשר חקר את הנושא של אפשרות תקשורת בין אנשים מכל מקום שהוא בזמן אמת על ידי מעגלים חשמליים בחלל המרחב והזמן.
הוא הוציא בנושא ספרים רבים.
כיום, אין עדויות לאנשים אשר ממשיכים לחקור את הנושא אך יש אנשים אשר מאמינים בו.
מרחב בטוח הוא המונח המתייחס למקומות שנוצרו עבור אנשים שחשים שוליות ורוצים להתכנס ביניהם כדי לחלוק את חוויותיהם כחלק מקבוצות שוליים.
מרחב בטוח הוא חלק מתהליך העצמה המאפשר למשתתפים להימנע, לזמן מה, מהתגובות השליליות שהם סופגים מהחברה הכללית.
מרחבים בטוחים נמצאים לרוב בקמפוסים באוניברסיטאות בעולם המערבי.
יוזמי המיזם היו חברי הקהילה הגאה בארצות הברית והוא פעל לראשונה בשנת 1989. מרחבים בטוחים פועלים מוסדות חינוך ברחבי העולם וגם בישראל.
המיזם עורר ביקורת בארצות הברית, בטענה שהוא נוגד את הזכות לחופש הדיבור.
משמעות נוספת למונח מרחב בטוח היא התייחסות למרחב חינוכי שלא מתאפשרת בו אלימות, הטרדה או דברי שנאה.
אנשי חינוך המעוניינים להוביל את המיזם, תולים שלט עם הכיתוב "מרחב בטוח" ובו סמל המרחב הבטוח או דגל הקהילה הגאה וטקסט נלווה לו.
המרחב הפתוח באוניברסיטאות, בעיקר, נועד לחברי קהילת הלהט"ב ובהמשך גם למיעוטים נוספים, שאינם מרגישים בטוח לשהות במרחב בו הם מרגישים לא מוגנים ולייצר שם תחושה של קהילה.
מרחבים בטוחים מציעים נחמה וכבוד.
סמל המרחב הבטוח מורכב משולש ורוד ועיגול ירוק.
משולש ורוד הוא אחד מסמלי הגאוה כיום (במקור שימש לסימון הומוסקסואלים בגרמניה הנאצית) ועיגול ירוק, המסמל קבלה אוניברסלית.
בישראל, הסמל מורכב משישה משולשים המרכיבים את דגל הגאוה.
ארגון חוש"ן- ארגון מרכז החינוך וההסברה של קהילת הלהט"ב בישראל.
הארגון הוקם בשנת 2004, ומאז ועד היום עוסקים חברי הארגון במגוון רחב של פעילויות חינוך והסברה למען קהילת הלהט"ב.
האגודה למען הלהט"ב- אגודה אשר פועלת למען קידום מעמדה של קהילת הלהט"ב בישראל.
האגודה נוסדה בשנת 1975 והיא מוסד ללא כוונת רווח.
מאז היווסדה פועלת האגודה לקידום מעמד קהילת הלהט"ב בישראל למטרת שוויון זכויות מלא, לרווחה ולביטחון.
איגי - ארגון המעניק תמיכה לבני הנוער ולקהילה הגאה.
ארגון איגי הוקם בשנת 2001. הארגון מקים באופן שוטף קבוצות חברתיות לבני נוער להט"בים במתכונת דומה לתנועות נוער.
בנוסף לקבוצות הכלליות, הארגון כולל קבוצות נושא - כגון קבוצות לטרנסג'נדרים, לביסקסואלים, או לדתיים.
בית דרור- בית דרור ארגון הדואג לבית חם עבור ילדים שנפלטו מבתיהם בשל האוריינטציה המינית או המגדרית שלהם.
הארגון נוסד בשנת 2002 ומיועד לבני נוער להט"בים בגילאי 18-14. "בני הנוער השוהים בבית דרור חווים דחייה וניתוק על רקע האוריינטציה המינית או המגדרית שלהם.
חלקם עזבו או גורשו מהבית על- רקע היציאה מהארון ומצאו עצמם אבודים ברחוב.
אחרים הוצאו מחסות הוריהם על ידי רשויות הרווחה בשל אלימות פיזית או נפשית המתייחסת לנטייתם או לזהותם המינית והמגדרית."
ארצות הברית: פרויקט "מרחב בטוח" החל להתקיים לראשונה בארצות הברית בשנת 1989. המרחבים הבטוחים הראשונים היו בברים הומוסקסואלים.
בשנה זו פיתחו חברי הקהילה הגאה לראשונה את המיזם מרחב בטוח.
האירועים שלהם כללו שלל סדנאות הכשרה, ובהם העבירו מגנטים שעליהם משולש ורוד הפוך, מוקף עיגול ירוק, מה שמשמש לסמל של הפרויקט.
קנדה: יוזמות "מרחב בטוח" היו שכיחות במוסדות העל-תיכוניים ברחבי קנדה.
למשל : אוניברסיטת מערב אונטריו, אוניברסיטת מק'גיל, אוניברסיטת טורונטו, מכללת אלגונקין, אוניברסיטת קולומביה הבריטית ואוניברסיטת קווין.
בריטניה: בתחילת שנת 2015 האימוץ הגובר של המרחבים הבטוחים באוניברסיטאות בבריטניה עורר מחלוקת בטענה לעצירת חופש הדיבור והדעות הפוליטיות השונות.
מלזיה: למלזיה אין ארגון לאומי המחויב לזכויות הקהילה הגאה.
במקום זאת ישנה קואליציה רופפת של ארגונים לא ממשלתיים.
כמו אמנים ואנשים העוסקים בארגון פסטיבל הזכויות המיניות השנתי.
הפסטיבל מורכב משיחות, מהופעות, מהקרנות, מסדנאות ומפורומים לקידום הזכויות המיניות כזכות האדם, להעצמת יחידים וקהילות שוליים, ולייצור פלטפורמות למען תמיכה.
מלבד ארגון התוכניות של פסטיבל שנתי זה, חברי הקואליציה מעורבים בכתיבת המכתבים ובארגון הקרנות סרטים ודיונים רגילים, תמיכה אקדמית והדרכת מאמנים.
קבוצות המעורבות אף הן למען זכויות הלהט"ב במסגרת הסנגוריה של זכויות האדם הם ארגוני זכויות אדם מבוססים, כגון: ועדת זכויות האדם של הבר המלזי, קרני SUARAM, KRYSS, PT, יוזמת המועמדות לנשים, המעבדה הסגולה, ספרי מתאהארי וגלריית הנספחים.
מספר קבוצות נוספות, כמו אחיות באסלאם, ארגון הסיוע לנשים וארגון אמנסטי אינטרנשיונל עסקו בסוגיות של נטייה מינית במסגרת פעילותן בתחום הבריאות הציבורי מה שאפשר דיון ציבורי יותר על נטייה מינית, זהות מגדרית וזכויות אדם.
קרן PT, שנקראה במקור משולש ורוד, מתמקדת ב "מתן חינוך לאיידס, מניעה, טיפול, תוכניות תמיכה, מודעות מינית ותוכניות העצמה לקהילות פגיעות במלזיה".
הקהילות כוללות גייז, טרנסג'נדרים ואנשים החיים עם HIV וכדומה.
המיזם עורר ביקורת, בעיקר בארצות הברית, בטענה שהוא נוגד את הזכות לחופש הדיבור.
בשנת 2015, העיתונאי קונור פרידרסדורף מתח ביקורת על השימוש במרחבים בטוחים במרחב הציבורי משום שלדבריו הם חוסמים את הסיקור העיתונאי של מחאות הסטודנטים.
מרחב אולטרה-מטרי הוא מרחב שמוגדרת עליו מטריקה המקיימת את האקסיומה (פונקציה כזו נקראת אולטרה-מטריקה).
מטריקה היא אולטרה-מטריקה אם ורק אם כל משולש בה הוא שווה-שוקיים.
הדוגמה המרכזית של מרחבים כאלה מתקבלת מהערכות לא ארכימדיות של שדות.
אכן, כל מרחב אולטרה-מטרי ניתן לשיכון איזומטרי בשדה עם הערכה.
במרחב אולטרה-מטרי כל נקודה בכדור היא מרכז של הכדור.
כל כדור הוא פתוח וסגור.
אם שני כדורים אינם זרים, אז אחד מהם מוכל בשני.
קבוצת המרחקים בהשלמה של מרחב אולטרה-מטרי שווה לקבוצת המרחקים במרחב המקורי (זאת בניגוד לסתם מרחב מטרי, שבו נוצרים בהשלמה בדרך כלל מרחקים חדשים).
מרחב טופולוגי שהטופולוגיה שלו מושרית על ידי אולטרה-מטריקה הוא מרחב אולטרה-מטריזבילי.
מרחב טופולוגי הוא לא ארכימדי אם הוא האוסדורף ויש לו בסיס שבו כל שתי קבוצות שאינן מוכלות זו בזו הן זרות.
מרחב הוא אולטרה-מטריזבילי אם ורק אם הוא מטריזבילי ולא ארכימדי.
כל מכפלה בת-מניה של מרחבים אולטרה-מטריזביליים היא אולטרה-מטריזבילית.
קבוצת הכדורים מהווה בסיס של המרחב, ומכיוון שהכדורים במרחב אולטרה-מטרי הם פתוחים-וסגורים, המרחב בלתי קשיר לחלוטין (מאידך, מרחב מטרי שלם ובלתי קשיר לחלוטין אינו בהכרח אולטרה-מטריזבילי).
מרחב טופולוגי הוא אולטרה-מטריזבילי וספרבילי אם ורק אם הוא האוסדורף, מקיים את תכונת המניה השנייה ויש לו בסיס של קבוצות פתוחות-וסגורות.
מרחב אולטרה-מטרי קומפקטי הוא שלם וספרבילי.
כל חלוקה של מרחב כזה לקבוצות פתוחות-וסגורות מוכרחה להיות סופית.
מרחב אולטרה-מטרי קומפקטי מקומית הוא איחוד של כדורים קומפקטיים.
מרחב אולטרה-מטרי הוא ספרבילי אם ורק אם קבוצת הכדורים שלו בת מניה.
שדה המספרים ה-p-אדיים הוא אולטרה-מטרי.
בגרף לא מכוון עם משקלות חיוביים, משקל המסלול המיני-מקס (המסלול בעל משקל קשת מקסימלי הקטן ביותר) מגדיר אולטרה-מטריקה.
מרחב מטרי הוא שלם אם החיתוך של סדרה מקוננת של כדורים שרדיוסם שואף לאפס אינו ריק.
מרחב מטרי נקרא שלם-ספירית אם החיתוך של כל סדרה מקוננת של כדורים אינו ריק.
כל מרחב שלם-ספירית הוא שלם.
ההפך נכון אם 0 היא נקודת ההצטברות היחידה של ערכי המטריקה.
מרחב אולטרה-מטרי קומפקטי הוא שלם-ספירית.
אחת התכונות החשובות ביותר של מרחבים מטריים שלמים היא משפט הכיווצים של בנך: לכל פונקציה דוחסת (כזו המקיימת לכל , כאשר ) יש נקודת שבת יחידה.
בדומה לזה, במרחב שלם-ספירית, אפילו לכל פונקציה מכווצת (כזו המקיימת לכל ) יש נקודת שבת יחידה.
מרחב דו-ממדי הוא מרחב מתמטי או פיזיקלי, שיש לו שני ממדים, למשל אורך ורוחב.
בפיזיקה קלאסית משתמשים במרחב כזה לתיאור מבט על חפצים ממבט עליון (Top View) כמו דף או תרשים, כך שקיימים רק שני ממדים.
במתמטיקה, מבנים דו-ממדיים נחקרים במסגרת גאומטריה אוקלידית ואנליזה הווקטורית.
בפיזיקה הקלאסית, המרחב הדו-ממדי הוא הדרך להסתכל על כל הדברים ביקום בה חסר ממד העומק שבו מתרחשים כל האירועים הפיזיקליים.
לכל מאורע פיזיקלי אפשר לתת מקום מסוים (כלומר: אוסף קואורדינטות) במישור.
המרחב הפיזיקלי מאופיין בתכונות שאנו רגילים אליהן מניסיוננו היומיומי: הוא תרשים, שהוא בעל שני ממדים (אורך ורוחב) יש בו מושג של מרחק מנקודת הראשית (שמקובל לסמן באות O) בשני צירים, X,Y.
בתרשים ניתן למדוד מרחקים (ע"ע מטריקה) ואפשר לחבר בו דרכים (ליניאריות).
על כן, מבחינה מתמטית נהוג למדל את המרחב הפיזיקלי באמצעות מערכת צירים קרטזית דו-ממדית.
יצורים דו-ממדים (שאינם מציאותיים בעולם התלת-ממדי, כגון: דמות מצוירת) חווים את העולם כעולם דו-ממדי.
הנדסת המישור עוסקת בגופים דו-ממדיים, כגון ריבוע, מעגל, אליפסה.
באלגברה ובאנליזה, מרחב וקטורי המורכב מצירופים של שני וקטורי בסיס הוא מרחב שני-ממדים.
במרחב כזה, ובפרט במרחב הדו-ממדי, אפשר לתאר כל נקודה על ידי שני מספרים, ולצרכים מעשיים מקובל להשתמש במערכת צירים קרטזית.
בטופולוגיה, מרחב בר הוא מרחב טופולוגי שבו כל איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות עם פנים ריק הוא קבוצה עם פנים ריק.
למרחבי בר חשיבות רבה בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית, זאת בעקבות משפט הקטגוריה של בר הקובע כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הוא מרחב בר.
באמצעות מרחבים אלו ניתן להוכיח משפטים חשובים באנליזה פונקציונלית כגון משפט ההעתקה הפתוחה.
מרחב בר נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי רנה-לואי בר.
עבור מרחב טופולוגי עם טופולוגיה הקבוצה תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם הפנים של הסגור שלה ריק.
קבוצה תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא מהווה איחוד בן מניה של קבוצות דלילות.
לעומת זאת, הקבוצה תקרא קבוצה מקטגוריה שנייה אם ורק אם היא אינה קבוצה מקטגוריה ראשונה.
מרחב טופולוגי עם טופולוגיה ייקרא מרחב בר אם ורק אם הוא מקיים את אחד התנאים השקולים הבאים:
כל איחוד בן מניה של קבוצות סגורות עם פנים ריק הוא קבוצה עם פנים ריק.
כל חיתוך בן מניה של קבוצות פתוחות וצפופות צפוף גם כן.
לכל קבוצה מקטגוריה ראשונה יש פנים ריק.
כל קבוצה פתוחה לא ריקה היא קבוצה מקטגוריה שנייה.
המשלים של כל קבוצה מקטגוריה ראשונה הוא קבוצה צפופה.
הגדרה אלטרנטיבית באמצעות משחק שוקה
ניתן להגדיר את המונח מרחב בר באמצעות המשחק הטופולוגי משחק שוקה.
עבור מרחב טופולוגי , משחק שוקה משוחק על-ידי שני שחקנים אליס ובוב.
בתחילת המשחק אליס בוחרת קבוצה פתוחה ובוב בוחר בעקבותיה קבוצה פתוחה .
לאחר מכן אליס בוחרת קבוצה פתוחה נוספת ובוב ממשיך בבחירת קבוצה פתוחה .
המשחק נמשך עד לאינסוף כאשר לשני השחקנים אסור לבחור בקבוצה ריקה.
אליס מנצחת את המשחק אם .
ניתן להוכיח כי בוב יכול לשחק לפי אסטרטגיה מנצחת (כלומר, תוכנית פעולה שתבטיח את ניצחונו לכל בחירת פעולות של אליס) אם ורק אם המרחב הוא מרחב בר.
בכך, ניתן להגדיר באופן אלטרנטיבי מרחב בר להיות מרחב טופולוגי שבו יש לבוב אסטרטגיה מנצחת במשחק שוקה.
ממשפט הקטגוריה של בר נובע כי המרחבים עם הטופולוגיה הסטנדרטית הם מרחבי בר.
הישר של סורגנפריי ומישור מור הם מרחבי בר, זאת על אף שהם אינם מקיימים את משפט הקטגוריה של בר.
מרחב אילת הוא אחד משלושת המרחבים של מחוז הדרום של משטרת ישראל.
מרחב אילת חולש בדרום במעבר מנחם בגין, בצפון צומת מנוחה בכביש 90, במזרח צומת ציחור בכביש 40. מטה המרחב נמצא ברחוב ששת הימים 64, אילת.
מפקד המרחב הנוכחי הוא נצ"מ אליהו שמול.
מרחב אילת נחשב לאזור מיוחד היות שהוא כולל אתרי תיירות ומוקדי בילוי, אזורי סחר וכלכלה ואתרים לאומיים.
בגזרת המרחב אתרים כמו נמל תעופה רמון, מעבר מנחם בגין (גבול מצרים), מעבר יצחק רבין (גבול ירדן), קצצ"א, ונמל אילת.
בגלל המרחק הגאוגרפי ממרכז הארץ גורמי פשיעה פלילית מחשיבים את העיר אילת כ-"עיר מפלט" ועל כן המרחב מתמודד גם עם אתגר זה.
ב-2021 לאחר 50 שנים במשכנה, עברה משטרת מרחב אילת למבנה חדש וחדשני, שהוקם כחלק ממתחם חירום עירוני הכולל כל גופי החירום וההצלה ואת בית מעצר אילת.
+תחנהתחום גזרהאילתששת הימים 64בדרום במעבר טאבה, בצפון צומת מנוחה של כביש 90, במזרח צומת ציחור של כביש 40משטרת התיירותרחוב רחבעםהחוף הצפונינקודת רמוןנמל תעופה רמוןנמל תעופה ע"ש אילן רמון
יחידה תחת מג"ב דרום אשר ההתמחות שלה היא לוחמה בטרור וטיפול בפשיעה.
יחידת מג"ב אילת עוסקת בביטחון השוטף בעיר ומונעת ומצמצמת כניסה של גורמים חבלניים לעיר, הן מהגבול הימי בשיתוף עם חיל הים והן מהגבול היבשתי בשיתוף עם חטיבת יואב של צה"ל.
במסגרת הפעילות מפעילה הפלוגה סיורים וצוותים מסביב לשעון ומבצעת פעילות יזומה למיגור הפשיעה בעיר.
בתוך העיר מצטרפים כוחות מג"ב לפעילויות השוטפות עם השוטרים הכחולים של משטרת מרחב אילת ובכלל, הם מסיירים על קו החוף, בטיילת וברחבי העיר וגם בכביש 12 כדי לתת תחושת ביטחון לתושבי העיר ולתיירים.
יחידת הסיור המיוחדת (יס"מ) של משטרת מרחב אילת הוקמה בשנת 2018 במטרה לתת מענה מבצעי מהיר לאירועי פח"ע ואירועים פליליים חריגים המצריכים התערבות של כוח מבצעי לוחם והגדלת נוכחות השוטרים בכדי לשמור על שלום הציבור ולטעת תחושת ביטחון באזרחים.
מרחב אשר הוא אחד משלושת המרחבים במחוז חוף של משטרת ישראל.
המרחב מתפרס לאורך קו החוף, מראש הנקרה ועד חיפה.
המרחב חולש במערב באזור תעשייה קישון ובתי הזיקוק, בדרום קריית טבעון, במזרח אבו סנאן ובצפון ראש הנקרה.
מפקד המרחב הנוכחי הוא תת-ניצב אייל ראון
מרחב אשר מאגד 3 תחנות:
ב 2025 הודיעו על הקמתה של תחנת קריית אתא שעד אז הייתה באחרויותה של תחנת זבולון
מרחב דוד הוא אחד משלושת המרחבים של מחוז ירושלים של משטרת ישראל.
המרחב חולש על כל מרחב העיר העתיקה ועל כל רובעיה.
ייחודיות המרחב מתבטאת שבתחומו אתרים קדושים לשלוש הדתות: יהודים, מוסלמים ונוצרים, ובעל חשיבות לאומית ובינלאומית.
מטה המרחב נמצא בקישלה בסמוך לשער יפו.
מפקד המרחב הנוכחי הוא ניצב-משנה דביר תמים.
מרחב דוד נחשב לאחד המרחבים הרגישים ביותר של משטרת ישראל והרגיש ביותר במחוז ירושלים בתחום אחריותו האזור הרגיש של העיר העתיקה, על מורכבותו הפוליטית, הדתית והדמוגרפית.
כמו כן, בגזרת המרחב נמצאים אתרים קדושים לשלוש הדתות: הכותל המערבי, כנסיית הקבר, מסגד אל-אקצא, ורחבת הר הבית.
בנוסף, מתגוררים בתחומי המרחב תושבים משלוש דתות יהודים, מוסלמים ונוצרים, ובעיר העתיקה מבקרים מדי שנה כעשרה מיליון תיירים ומאמינים מישראל מכל רחבי העולם.
במרחב מתקיימים ממשקים הדוקים עם מנהיגי האוכלוסייה ונכבדי העדות השונות.
תחנהכתובתאחריות בגזרת התחנהמרחב דודרחוב הפטריארכיה הארמניתהרובע המוסלמי, הרובע הנוצרי, הרובע הארמנינקודת קבר דודרחוב שז"כ, ירושליםשער ציון, קבר דודנקודת הכותל המערביהכותל המערבירחבת הכותל המערבי והר הבית
מרחב גליל הוא אחד משלושת המרחבים במחוז צפון של משטרת ישראל.
מרחב גליל מתפרס על שטח מכרמיאל ועד לשפרעם.
מטה המרחב ממוקם בקריית אתא.
המרחב הוא הקטן ביותר במחוז, גם מבחינת השטח וגם במספר התחנות (5 לעומת 6 בכל אחד משני המרחבים האחרים).
תחנת מג'ד אל כרום, תחנת משגב (ממוקמת סמוך לרקפת), תחנת שפרעם, תחנת טמרה.
מרחב דן הוא אחד משלושת המרחבים במחוז תל אביב של משטרת ישראל.
המרחב אחראי על הערים והיישובים רמת גן, בני ברק, גבעתיים, יהוד, אור יהודה, קריית אונו, גני תקווה, גבעת שמואל, רמת אפעל, כפר אז"ר, ורמת פנקס.
מטה המרחב ממוקם ברחוב הקישון 10, בני ברק.
מפקד המרחב הנוכחי הוא ניצב משנה אלעד קליין.
+שם התחנהכתובתגבולות גזרהבני ברקקישון 10 בבני ברקבני ברק
רמת גןגבעתייםויצמן 76, גבעתיים גבעתייםמסוביםדרך לוד, כביש 461, אור יהודה אור יהודה
תחנה זו משרתת את היישובים אור יהודה, קריית אונו, יהוד, סביון, גבעת שמואל, כפר אז"ר, רמת אפעל, נוה מונוסון, גני תקווה ורמת פנקס.
בטופולוגיה, מרחב מטרי נקרא מרחב אורכים אם אפשר לקרב בו את המרחקים על ידי מסילות.
מרחב אורכים נקרא גם מרחב מטרי פנימי (intrinsic).
מרחב אורכים שבו כל מרחק מתקבל על ידי מסילה נקרא מרחב גאודזי, או מרחב מטרי פנימי בחזקה (strongly intrinsic).
מרחב מטרי (X,d) הוא מרחב אורכים אם ורק אם לכל a,b ולכל יש מסילה מ-a ל-b שארכה קטן מ-.
נקודה x המקיימת נקראת נקודת -אמצע של a,b; ונקודת-אמצע אם .
מרחב מטרי שלם שיש בו נקודת אמצע לכל a,b, הוא גאודזי.
מרחב מטרי שלם שיש בו נקודת -אמצע לכל ולכל a,b הוא מרחב אורכים.
משפט Hopf-Rinow קובע כי מרחב אורכים קומפקטי מקומית שלם הוא קומפקטי בחסימות (כלומר, כל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית).
מרחב אורכים קומפקטי מקומית וקומפקטי בחסימות הוא מרחב גאודזי.
מרחב האורכים של מרחב מטרי
בכל מרחב מטרי קשיר מסילתית אפשר להגדיר מטריקת אורכים, בתור האינפימום של אורכי כל המסילות בין הנקודות.
המרחב המתקבל הוא מרחב אורכים, שהמרחקים שלו חסומים מלמטה על ידי המטריקה המקורית.
בניה זו היא אידמפוטנטית: מטריקת האורכים של מטריקת אורכים שווה לעצמה.
במתמטיקה, ובפרט באלגברה, מרחב אפיני הוא מבנה גאומטרי אשר מכליל את המושג המרחב האוקלידי בכך שהוא מקיים את התכונות של מרחב אוקלידי מבלי להגדיר מושגים כגון מרחק וגודל זוויות, אך תוך שימור תכונת היחסיות בין אורכי קטעים.
המרחב האפיני בנוי מאוסף נקודות ומרחב וקטורי המייצג את הכיוונים בין הנקודות השונות במרחב.
כך למשל, אפשר להגיד שהכיוון מנקודה לנקודה הוא אותו כיוון כמו מנקודה לנקודה אם אותו וקטור מייצג תנועה מנקודה ל- (קרי, ) ומנקודה ל- (קרי, ).
באופן דומה, המרחב האפיני מאפשר להגדיר מונחים כגון ישרים מקבילים בעזרת טרמינולוגיה מעולם האלגברה הליניארית.
בנוסף, במרחב האפיני לא קיימת ראשית צירים כמו במקרה של מרחב וקטורי, אלא כל נקודה במרחב יכולה לשמש כראשית צירים.
תכונה זו עומדת בניגוד למרחב הווקטורי, בו נקודה אחת מזוהה כראשית הצירים וכל שאר הנקודות מיוצגות כווקטורים היוצאים ממנה.
בערך זה נסמן ב- ו- קבוצות של נקודות.
נסמן ב- ו- מרחבים וקטוריים מעל .
מרחבים וקטוריים כמו אלו מהצורה יכולים לשמש לתיאור מרחב פיזי מנקודת מבטו של צופה אשר נמצא בראשית הצירים.
בתוך כך, תתי-מרחבים וקטורים באותו מרחב יכולים לתאר שדה ראייה מצומצם יותר בתוך אותו מרחב.
כך למשל, בתוך המרחב התלת־ממדי , תת-המרחב מתאר מישור בתוך אותו מרחב, אשר עובר כמובן דרך ראשית הצירים גם כן.
עם זאת, מרחבים וקטורים מוגבלים במבנים שאותם הם יכולים לתאר מכיוון שהם מתארים אך ורק מרחבים מנקודת מבטו של צופה בראשית הצירים.
מאידך, הם אינם מאפשרים לתאר תתי-מרחבים אשר אינם עוברים דרך ראשית הצירים.
כך למשל, מרחב וקטורי לבדו לא יכול לתאר מישור משיק ליריעה, מכיוון שייתכן שאותו מישור לא עובר דרך ראשית הצירים במרחב כפי שהוגדרה עבור היריעה.
די להסתכל במקרה של ספירה תלת-ממדית שמרכזה בראשית הצירים כדי לראות שאף אחד מהמישורים המשיקים לה לא עובר דרך ראשית הצירים, ולכן לא יכול להיות מתואר באופן מלא על-ידי מרחב וקטורי.
לשם כך, במקום להתייחס למרחב הווקטורי בלבד, במרחב האפיני מצרפים להגדרה גם את קבוצת הנקודות במרחב.
באופן זה, המרחב הווקטורי משמש כדי לתאר את הכיוונים השונים בין הנקודות במרחב אך לא את המרחב כולו.
בכך המרחב האפיני "שוכח" שישנה ראשית למרחב הווקטורי ומאפשר לכל נקודה במרחב לשמש כראשית.
יתרון נוסף של שימוש במרחב אפיני הוא שהוא מצליח לתאר מרחב אוקלידי מבלי להתייחס למונחים כגון "אורך" ו"זווית".
בכך המרחב האפיני יכול לתאר מבנים מתמטיים מורכבים ומופשטים יותר.
בהינתן קבוצת נקודות , מרחב וקטורי מעל , ופעולה , הזוג הסדור ייקרא מרחב אפיני אם ורק אם הוא מקיים את התנאים הבאים:
אסוציאטיביות: לכל ו- מתקיים ש-.
לכל זוג נקודות קיים וקטור יחיד כך ש-.
מסמנים את וקטור זה ב- או ב-
תנאי 3 שקול לכך שבהינתן נקודה כלשהי , ההעתקה מ- ל- היא העתקה הפיכה.
בהינתן מרחב אפיני , קבוצת נקודות ווקטור , מתקיימים השוויונים הבאים:
תכונת המקבילית: אם אז בהכרח
בהינתן מרחב אפיני , מספר טבעי , אוסף נקודות ואוסף סקלרים המקיימים , ניתן להוכיח שלכל זוג נקודות כלשהן מתקיים השוויון:
בשל כך, עבור כלשהו ניתן להגדיר את הנקודה להיות מרכז הכובד של לפי .
כאמור, נקודה זו אינה תלויה בבחירה של .
נהוג לסמן נקודה זו בסימון .
באופן שקול, מרכז הכובד של לפי הוא הנקודה כך שמתקיים .
ניתן להוכיח כי זה קיים תמיד וכי הוא יחיד.
בהינתן מרחב אפיני , תת-מרחב וקטורי ונקודה , ניתן להגדיר את הקבוצה:
קבוצה תקרא תת-מרחב אפיני של אם ורק אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים:
קבוצת הווקטורים מהווה תת-מרחב וקטורי של
קיים תת-מרחב וקטורי כך שלכל מתקיים ש-
קיים תת-מרחב וקטורי ו- כלשהו כך ש-
לכל מספר טבעי , אוסף נקודות ואוסף סקלרים המקיימים , מתקיים שמרכז הכובד שייך גם הוא ל-.
כלומר, סגור ללקיחת מרכז כובד.
עבור כל התנאים לעיל, המרחב הוא מרחב אפיני בפני עצמו ביחס לפעולת החיבור בין נקודה לווקטור כפי שהוגדרה עבור המרחב .
ניתן להוכיח כי כל חיתוך (סופי או אינסופי) של תת-מרחבים אפינים הוא תת-מרחב אפיני בפני עצמו.
בהינתן מרחב אפיני וקבוצה , מגדירים להיות חיתוך כל תת-המרחבים האפינים של המכילים את .
קבוצה זו היא תת-מרחב אפיני של בעצמה המכילה את והיא נקראת תת-המרחב האפיני הנפרס על-ידי .
אם , הקבוצה תקרא קבוצה פורסת של .
ניתן להוכיח כי קבוצה פורסת של אם ורק אם הקבוצה היא קבוצה פורסת של במונחים של אלגברה ליניארית.
אם היא קבוצה פורסת מינימלית (כלומר, שכל תת-קבוצה שלה איננה פורסת), תקרא בסיס אפיני של .
ניתן להוכיח כי העוצמה של כל הבסיסים של שווה, בדומה למרחבים וקטוריים.
הממד של מרחב אפיני מוגדר להיות הממד של המרחב הווקטורי שלו.
אם הממד של מרחב אפיני הוא ו- היא בסיס אפיני של המרחב, אזי .
כלומר, נדרשות נקודות כדי לפרוס את המרחב: נקודה אחת כראשית ו- נקודות שמגדירות וקטורים בלתי-תלויים מאותה ראשית.
בהינתן זוג מרחבים אפינים ו- מעל אותו שדה , העתקה תקרא העתקה אפינית אם ורק אם היא מקיימת את אחד התנאים השקולים הבאים:
קיימת העתקה ליניארית כך שלכל ו- מתקיים ש-
כלומר, לכל מספר טבעי , אוסף נקודות ואוסף סקלרים המקיימים , מתקיים ש:
ניתן להוכיח כי לכל העתקה אפינית, כפי שהוגדרה לעיל מוגדרת היטב ויחידה.
החשיבות של העתקה אפינית היא שהיא משמרת תכונות כגון קו-ליניאריות, ישרים מקבילים, וכו'.
תכונה זו באה לידי ביטוי בכך שלכל המקיימים מתקיים גם ש-.
במקרה שבו התחום והטווח של העתקה אפינית הם אותו המרחב , תקרא אנדומורפיזם.
שני מרחבים אפיניים יקראו מרחבים איזומורפיים אם ורק אם קיימת העתקה אפינית הפיכה מהאחד לשני.
באופן דומה למרחב וקטורי, שני מרחבים אפינים איזומורפיים הם בהכרח שווי-ממד.
ניתן להשתמש במבנה של המרחב האפיני כדי להגדיר מערכת קואורדינטות על המרחב.
מערכות קואורדינטות מאפשרות להגדיר באופן אלגברי כל נקודה ספציפית במרחב.
בהינתן מרחב אפיני מממד סופי , ישנם שני סוגים של מערכות קואורדינטות טבעיות למרחב זה:
בהינתן בסיס אפיני , ניתן להוכיח שלכל נקודה קיימים יחידים כך ש- ו-.
הווקטור יקרא הקואורדינטות הבריצנטריות של ביחס ל-.
בהינתן שני בסיסים אפינים ו- של המרחב, מעבר קואורדינטות בריצנטריות בין מערכת אחת לשנייה מתבצע על-ידי כפל במטריצה.
כלומר, קיימת מטריצה כך שלכל כלשהו שעבורו הקואודינטות הבריצנטיות שלו ביחס ל- הן וביחס ל- הן , מתקיים ש-.
ניתן להראות שבמקרה זה, לכל :
מסיבה זו, ניתן להראות שסכום האיברים של בכל עמודה שווה ל-1.
בהינתן נקודה ובסיס וקטורי , ניתן להוכיח כי לכל נקודה קיימים יחידים כך ש-.
הווקטור יקרא מערכת אפינית, והווקטור יקרא הקואורדינטות האפיניות של ביחס ל-.
יש לשים לב כי במקרה של קואורדינטות אפיניות לא נדרש כי סכום הקואורדינטות יהיה שווה ל-1, בניגוד לקואורדינטות הבריצנטריות.
בהינתן שתי מערכות אפיניות ו-, מעבר קואורדינטות אפיניות בין מערכת אחת לשנייה מתבצע על-ידי כפל מטריצה וחיבור בווקטור הסתה.
כלומר, קיימת מטריצה ווקטור עמודה כך שלכל כלשהו שעבורו הקואודינטות האפיניות שלו ביחס ל- הן וביחס ל- הן , מתקיים ש-.
ניתן לבנות מכל מרחב וקטורי מרחב אפיני על-ידי זיהוי הווקטורים שבו כנקודות.
כלומר, בהינתן מרחב וקטורי , הזוג הסדור יכול להתפרש כמרחב אפיני, כאשר פעולת החיבור של וקטור לנקודה היא פעולת החיבור בין שני וקטורים.
בהינתן מרחב אפיני כללי כלשהו , ניתן להוכיח כי הוא איזומורפי למרחב האפיני על ידי קביעת נקודה כלשהי והגדרת הפונקציה כך שלכל מתקיים ש-.
ניתן להוכיח כי היא העתקה אפינית הפיכה, ולכן שני המרחבים איזומורפים.
בהינתן שדה ומספר טבעי , אפשר להפריד בין שני סוגים של -יות על :
שהוא מרחב וקטורי מעל עם פעולת חיבור איבר-איבר וכפל בסקלר.
שהוא מרחב של -יות סדורות של שבהן אנו "שוכחים" שמדובר באיברי שדה ולא מגדירים פעולות חיבור וכפל בסקלר.
כאשר ברור מההקשר נהוג לסמן את המרחב הזה בתור .
באופן דומה למרחב הווקטורי שהוזכר לעיל, ניתן להגדיר מרחב אפיני שבו הוא מרחב הנקודות ו- הוא מרחב הווקטורים שבין הנקודות.
מרחב זה יקרא המרחב האפיני ה- ממדי מעל .
ניתן להוכיח שכל מרחב אפיני מעל מממד סופי איזומורפי ל-.
האיזומורפיזם מ- ל- מתבצע על-ידי לקיחת מערכת אפינית כלשהי של והעתקת כל לקואורדינטות האפיניות שלו .
ניתן להוכיח כי העתקה זו היא העתקה אפינית הפיכה.
כאמור, מרחב אפיני הוא למעשה מרחב אוקלידי ללא הגדרה של אורך ושל גודל זווית.
ניתן להגדיר מונחים אלו על-ידי הגדרה של מכפלה פנימית על המרחב הווקטורי.
בהינתן מרחב אפיני ומכפלה פנימית על , ניתן להגדיר את המרחק בין זוג נקודות כך ש-, כאשר היא הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית.
באופן זהה ניתן להשתמש באי-שוויון קושי-שוורץ כדי להגדיר זווית בין שני וקטורים.
בהינתן מרחב אפיני , נקודה ווקטור , ניתן להגדיר:
הקבוצה היא בעצם הישר העובר דרך בכיוון .
יחס כך ש- אם ורק אם
השלישייה הסדורה היא מערכת חילה המתארת גאומטריה אפינית, כאשר יחס ההקבלה מוגדר כך ש- מקיים אם ורק אם קיימים ו- כך ש- ו-.
בצורה זו ניתן לבנות מכל מרחב אפיני גאומטריה אפינית.
בהינתן שדה סגור אלגברית ומספר טבעי , מסמנים ב- את מרחב הפולינומים ב- משתנים מעל .
אם בוחרים קבוצה כלשהי של פולינומים , ניתן להגדיר את קבוצת האפסים של על ידי:
כאשר כזכור מייצג מרחב של -יות סדורות של ללא מבנה של מרחב וקטורי.
קבוצה מהצורה עבור כלשהי תקרא יריעה אלגברית אפינית.
יריעות אלגבריות אפיניות הן אחד המבנים המרכזיים הנחקרים במסגרת גאומטריה אלגברית.
במסגרת תחום זה נחקרים התכונות הגאומטריות של יריעות אלו.
כך למשל, כל ספירה -ממדית ברדיוס היא יריעה אלגברית אפינית מכיוון שהיא ניתנת לתיאור כקבוצת האפסים של הפולינום .
המרחב האפיני עצמו מהווה את הדוגמה הבסיסית ביותר של יריעה אלגברית אפינית.
כל מרחב אוקלידי הוא גם מרחב אפיני.
כל מרחב וקטורי יכול להחשב גם כמרחב אפיני אם מזהים את הווקטורים שבו גם כנקודות.
בהינתן מרחב וקטורי , תת-מרחב וקטורי ונקודה (לאו דווקא ב-), הזוג הסדור הוא מרחב אפיני.
בהינתן יריעה חלקה ונקודה , המרחב המשיק הוא מרחב אפיני.
בהינתן המרחב הווקטורי (מרחב הפונקציות הגזירות והרציפות פעמים), אופרטור ליניארי ופונקציה , הקבוצה היא תת-מרחב אפיני של .
המשמעות היא שבהינתן משוואה דיפרנציאלית ליניארית שאינה הומוגנית, מרחב הפתרונות הוא בעצם מרחב אפיני.
במתמטיקה, ובפרט בטופולוגיה, מרחב אחיד הוא קבוצת נקודות עם מבנה שמגדיר עליה טופולוגיה ובנוסף דרך להשוות קירבה בין נקודות באזורים שונים של המרחב.
במרחבים אחידים ניתן להשוות קירבה בין נקודות שונות במרחב מבלי להגדיר באופן מספרי מרחק בין נקודות.
הדבר מאפשר להגדיר מושגים כגון רציפות במידה שווה ושלמות באופן מופשט.
המושג נהגה לראשונה על-ידי המתמטיקאי אנדרה וייל בשנת 1937.
הדרך הטבעית להגדיר מרחקים בין נקודות במרחב כלשהו הוא על-ידי שימוש במטריקה.
כך, עבור מרחב כלשהו אפשר להגדיר פונקציית מרחק שמקיימת את התכונות המצופות ממרחק (מרחק 0 אם ורק אם הנקודות זהות, סימטריות ואי-שוויון המשולש).
עם זאת, ישנו צורך לנתח את הגאומטריה של מרחבים מסוימים ללא התייחסות למרחקים בין נקודות.
כדי לענות על צורך זה מגדירים על המרחב טופולוגיה המורכבת מקבוצת הקבוצות הפתוחות על המרחב.
אוסף קבוצות פתוחות אלו מספיק כדי לדון במושגים כמו התכנסות ורציפות שלא באופן הקלאסי על-ידי חישוב גבולות.
כך ניתן לתאר מבנים גאומטריים כדוגמת הספירה, טבעת מביוס, הטורוס ובקבוק קליין ללא צורך בהגדרת מרחק כלל.
על אף שבמקרים רבים המבנה הטופולוגי מספיק כדי לתאר באופן מלא את המרחב, הטופולוגיה אינה מסוגלת לספק השוואה בין קרבה של נקודות כלשהן.
כך למשל, הטופולוגיה מספיקה כדי לתאר שסדרה כלשהי מתכנסת ל-, אך היא לא מסוגלת לתאר שהסדרה הנ"ל מתכנסת מהר יותר מאשר סדרה אחרת .
כדי לענות על הצורך הזה יש להגדיר על המרחב מבנה אחידות.
מבנה זה מסוגל לנסח מתמטית טענות כגון "הנקודה קרובה לנקודה באותו סדר גודל כפי ש- קרובה ל-", זאת מבלי להגדיר מרחק כלל.
מטריקה על מרחב מגדירה מבנה אחיד עליו.
מבנה אחיד על מרחב מגדיר טופולוגיה עליו.
באופן דומה, העתקה בין מרחבים מטריים ששומרת את המטריקה (העתקות כאלה נקראות איזומטריות) גם שומרת את המבנה האחיד (העתקות כאלה נקראות העתקות רציפות במידה שווה).
כך גם העתקה ששומרת את המבנה האחיד שומרת גם את הטופולוגיה (העתקות כאלה נקראות העתקות רציפות).
בהינתן קבוצה כלשהי נסמן ב- את קבוצת תתי-הקבוצות של .
כמו כן, עבור יחסים נסמן:
כמו כן, נסמן ב- את יחס הזהות על (נקרא גם האלכסון של ), כלומר:
בהינתן קבוצה כלשהי הקבוצה תקרא מבנה אחידות על אם ורק אם היא מקיימת את כל האקסיומות הבאות:
אקסיומת החציה: לכל קיים כך ש-
במקרה זה, אם מגדירים כי ו- הן -קרובות.
הזוג הסדור יקרא מרחב אחיד או מרחב אחידות.
ניתן לראות כי מבנה האחידות הוא אוסף של יחסים.
האקסיומה הראשונה קובעת כי מבנה האחידות איננו ריק.
האקסיומה השנייה קובעת כי תחת כל פמליה, כל נקודה קרובה לעצמה.
האקסיומות השלישית והרביעית הופכות את למסנן לפי יחס ההכלה , ובתוך כך מגדירות שחיתוך סופי של פמליות הוא פמליה בעצמו ושכל יחס על שמכיל פמליה הוא פמליה בעצמו.
האקסיומה החמישית מוודאת כי אם קרובה ל- תחת פמליה כלשהי, אז ישנה פמליה אחרת שבה קרובה ל-.
האקסיומה השישית והאחרונה קובעת כי לכל פמליה יש פמליה שהיא "לכל היותר חצי ממנה".
פמליה תקרא פמליה סימטרית אם ורק אם .
ניתן לראות כי מבנה האחידות לא מבטיח שכל הפמליות סימטריות.
מבנה אחיד מושרה על תת-קבוצה
בהינתן מרחב אחיד ותת-קבוצה אפשר להגדיר מבנה אחיד על שנקרא המבנה המושרה מ- באופן הבא: נסמן ב- את המבנה האחיד על .
אוסף היחסים על שמתקבלים כך הם הפמליות ב-.
באופן פורמלי, המבנה האחיד המושרה על מוגדר על ידי:
מאחר ש- הוא מסנן, ניתן למצוא עבורו בסיס.
קבוצה תקרא בסיס של אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים:
מאחר שלכל מסנן כללי יש בסיס, גם למבנה אחידות יש בסיס.
קבוצה תקרא בסיס סימטרי של אם כל הפמליות בה סימטריות.
ניתן להוכיח כי לכל מרחב אחיד לא רק שיש בסיס, אלא קיים בסיס סימטרי.
זאת נעשה על-ידי לקיחת בסיס כלשהו לכל פמליה ידוע כי ולכן גם .
ניתן להיווכח כי היא פמליה סימטרית.
ניתן להוכיח כי הקבוצה היא בסיס, ולכן בסיס סימטרי.
בהינתן מרחב אחיד , פמליה ואיבר כלשהו, מגדירים:
מגדירים כי קבוצה היא פתוחה לפי מבנה האחידות אם ורק אם לכל קיימת פמליה כך ש-.
כלומר, היא קבוצת כל הקבוצות הפתוחות לפי .
על כן, ניתן להוכיח כי היא טופולוגיה, וטופולוגיה זו נקראת הטופולוגיה המושרית של .
יש להדגיש כי באופן כללי הקבוצות מהצורה כאשר היא נקודה ב- ו- פמליה אינן קבוצות פתוחות בהכרח לפי הטופולוגיה המושרית.
עם זאת, ניתן להוכיח כי כל מכילה קבוצה פתוחה שמכילה את .
בכך למעשה סביבה של לפי הטופולוגיה המושרית.
יתרה מכך, ניתן להוכיח כי , כאשר היא מערכת הסביבות של לפי הטופולוגיה המושרית.
בהינתן מרחב טופולוגי , אומרים כי המרחב בר-אחידות אם ורק אם קיים מבנה אחידות על כך ש- היא הטופולוגיה המושרית ממנו.
בעוד שלכל מבנה אחידות יש טופולוגיה מושרית אחת, לכל טופולוגיה ייתכנו מספרת מבני אחידות מותאמים.
עבור מרחב טופולוגי בר-אחידות, התכונות הבאות שקולות:
עבור כל מבנה אחידות מותאם , החיתוך של כל הפמליות ב- הוא יחס הזהות
עבור התנאי השקול מספר 4, חשוב להדגיש כי העובדה שחיתוך על הפמליות במבנה האחידות הוא יחס הזהות אינו מעיד על כך שיחס הזהות הוא איבר במבנה האחידות, זאת מכיוון שמבנה האחידות הוא סגור לחיתוך סופי של פמליות, אך יכול להכיל (ולרוב אף מכיל) מספר אינסופי של פמליות.
במילים אחרות, המסנן אינו בהכרח מסנן ראשי.
בהינתן קבוצה , כיסוי שלה וקבוצה כלשהי מגדירים את הכוכב של לפי באופן הבא:
כלומר, הכוכב של הוא איחוד כל האיברים בכיסוי שנחתכים עם .
בהינתן שני כיסויים שונים של , ו-, מגדירים כי הוא עידון-כוכב של אם ורק אם לכל קיים כך ש-, ומסמנים .
המשמעות של עידון-כוכב היא שעבור כל קבוצה ב-, כל הקבוצות ב- שנחתכות איתה מוכלות כולן בתוך קבוצה יחידה מתוך .
מכאן נובע כי עידון כוכב הוא למעשה גרסה חזקה יותר של עידון סטנדרטי, ועל כן כל עידון-כוכב הוא גם עידון.
בהינתן קבוצה כלשהי ואוסף של כיסויים , הקבוצה תקרא כיסוי אחיד של אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים:
הכיסוי הטריוויאלי נמצא ב-, כלומר
לכל כיסוי קיים כיסוי כך ש-
לכל זוג כיסויים קיים כיסוי כך ש- ו-.
תנאים 2 ו-3 הופכים כל כיסוי אחיד למסנן ביחס ליחס הסדר החלקי (כאשר משמעו ש- או )
ישנה התאמה בין כיסויים אחידים של קבוצה כלשהי ומבני אחידות של .
כלומר, מכל מבנה אחידות ניתן ליצור כיסוי אחיד ולהפך.
על כן, ניתן להשתמש בכיסוי אחיד כהגדרה אלטרנטיבית למרחב אחיד.
בניית מבנה אחידות מכיסוי אחיד
בהינתן קבוצה וכיסוי אחיד , לכל כיסוי מגדירים את הפמליה הבאה:
מגדירים את הקבוצה ומשתמשים בה כבסיס לבניית מסנן .
ניתן להוכיח כי הוא מבנה אחידות.
יש להדגיש כי אקסיומת החציה של (אקסיומה 6 לעיל) מתקיימת בזכות העובדה שלכל כיסוי ב- יש עידון-כוכבי.
העידון הכוכבי בעצם מאפשר לחצות את הפמליה.
בניית כיסוי אחיד ממבנה אחידות
בהינתן מרחב אחיד , לכל פמליה מגדירים את הכיסוי הבא:
ניתן להוכיח כי הוא כיסוי אחיד של .
בהינתן שני מרחבים אחידים ו-, פונקציה תקרא פונקציה רציפה במידה שווה אם ורק אם לכל פמליה קיימת פמליה כך שלכל מתקיים ש-.
כל פונקציה רציפה במידה שווה בין מרחבים אחידים היא פונקציה רציפה ביחס לטופולוגיות המושרות שלהם.
במקרה שבו שני המרחבים הם מרחבים מטריים ומבני האחידות נגזרים מתוך המטריקות , הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה של פונקציה רציפה במידה שווה של מרחבים מטריים.
אם היא פונקציה הפיכה כך שגם וגם הן רצפות רציפה במידה שווה, אז היא איזומרפיזם של מרחבים אחידים איזומרפיזם מ- ל-.
במקרה כזה אומרים ש- ו- הם מרחבים אחידים איזומרפיים.
תקרא שיכון אחיד של ב-.
אם היא איזומרפיזם לתמונה שלה (כשהמבנה האחיד על התמונה הוא המבנה האחיד המושרה מ- ).
אחד השימושים המרכזיים של מרחבים אחידים הוא כדי להרחיב את מונח השלמות של מרחבים מטריים.
בתוך כך, המרחב האחיד מאפשר להרחיב את המונח סדרת קושי בשתי דרכים: על-ידי רשת קושי ועל-ידי מסנן קושי.
בהינתן מרחב אחיד ורשת כלשהי (כאשר היא קבוצה מכוונת), הרשת תקרא רשת קושי לפי אם ורק אם לכל פמליה קיים כך שלכל מתקיים ש-.
באופן דומה, בהינתן רשת כלשהי (לאו דווקא קושי) ונקודה כלשהי , נאמר כי הרשת מתכנסת ל- לפי לכל פמליה קיים כך שלכל מתקיים ש-.
ניתן להוכיח כי אם הוא מרחב האוסדורף לפי הטופולוגיה המושרית, אז כל רשת מתכנסת לכל היותר לנקודה אחת בלבד.
בהינתן מרחב אחיד ומסנן (לפי יחס ההכלה ), המסנן ייקרא מסנן קושי לפי אם ורק אם לכל פמליה קיימת קבוצה כך ש-.
באופן דומה, בהינתן מסנן כלשהו (לאו דווקא קושי) ונקודה , מגדירים שהמסנן מתכנס ל- לפי אם ורק אם לכל פמליה מתקיים ש-.
ניתן להוכיח כי אם הוא מרחב האוסדורף לפי הטופולוגיה המושרית, אז כל מסנן מתכנס לכל היותר לנקודה אחת בלבד.
בהינתן מרחב אחיד , נאמר כי הוא מרחב שלם אם ורק אם הוא מקיים את אחד התנאים השקולים הבאים:
הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה של שלמות במובן של מרחבים מטריים כאשר המרחב האחיד נבנה מהמטריקה .
ניתן להוכיח כי בהינתן מרחב אחיד כלשהו , קבוצה צפופה (לפי המטריקה המושרית מן האחידות) ומרחב אחיד שלם , לכל שיכון אחיד קיימת הרחבה כך ש- היא פונקציה רציפה במידה שווה ולכל מתקיים ש-.
בהינתן קבוצה כלשהי עם מבנה האחידות , מתקבל מרחב אחיד שבו כל הנקודות הן באותה פמליה.
מרחב זה שקול למרחב הטופולוגי עם הטופולוגיה הטריוויאלית .
בהינתן מרחב מטרי , לכל מספר ממשי חיובי מגדירים את הפמליה:
משתמשים בבסיס כדי להגדיר מבנה אחידות .
מבנה אחידות זה הוא מבנה האחידות המושרה מהמטריקה.
ניתן להוכיח כי מושגים כגון שלמות ורציפות במידה שווה כפי שהוגדרו למרחבים אחידים מתלכדים עם ההגדרות למרחבים מטרים כאשר משתמשים במבנה האחידות המושרה מהמטריקה.
בהינתן חבורה טופולוגית , לכל סביבה של איבר היחידה מגדירים את הפמליה .
ניתן להוכיח כי קבוצת כל פמליות אלו היא מבנה אחידות.
מבנה אחידות זה נקרא מבנה האחידות הימני, זאת מכיוון שהפונקציה , כאשר קבוע, היא פונקציה רציפה במידה שווה מהמרחב לעצמו לפי מבנה אחידות זה.
ניתן להוכיח כי מבנה האחידות הימני הוא מבנה האחידות המותאם ל- היחיד שבו תכונה זו מתקיימת.
באופן דומה מגדירים את מבנה האחידות השמאלי.
עבור חבורות כלליות, מבנה האחידות הימנית ומבנה האחידות השמאלית אינם בהכרח זהים.
עם זאת, הטופולוגיה המושרית משניהם היא הטופולוגיה המקורית .
ניתן להוכיח כי שני מבני האחידות זהים אם ורק אם החבורה היא חבורה אבלית.
בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי הוא בהכרח חבורה טופולוגית ביחס לפעולת החיבור שלו, ולכן ניתן להגדיר עליו מבנה אחידות כפי שהוגדר לעיל.
מבנה זה איננו ימני או שמאלי מכיוון שפעולת החיבור קומוטטיבית.
למבנה האחידות על מרחבים וקטורים טופולוגים חשיבות רבה.
כך למשל מגדירים את מרחב פרשה להיות מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית, מטריזבילי ושלם ביחס למבנה האחידות הנ"ל.
למרחבי פרשה חשיבות רבה מכיוון שהם מהווים הכללה למרחבי בנך.
מרחב אורליץ הוא מרחב פונקציות המכליל את מרחבי Lp.
מרחבים אלה מוגדרים באמצעות פונקציה קמורה הקרויה "פונקציית אורליץ", במקום חזקה קבועה כמו ב-Lp.
מרחבי אורליץ מהווים חלק חשוב מהאנליזה הפונקציונלית ובתורת המידה, במיוחד כאשר נדרשת שליטה עדינה יותר על התנהגות הפונקציות מאשר מה שמציעים מרחבי Lp הרגילים.
המרחבים קרויים על שמו של המתמטיקאי הפולני ולדיסלב אורליץ , שעסק רבות בתורת הפונקציות ובמרחבים פונקציונליים.
מרחבי אורליץ הוצגו בשנת 1932 על ידי ולדיסלב אורליץ, כחלק ממחקריו באנליזה פונקציונלית.
מטרתו הייתה להרחיב את המסגרת התאורטית של מרחבי Lp, כך שתוכל להכיל פונקציות שהתנהגותן אינה ניתנת לתיאור מדויק על ידי חזקות קבועות.
אורליץ היה תלמידו של סטפאן מזורקביץ' והשפיע רבות על ההתפתחות של המתמטיקה בפולין בין שתי מלחמות העולם.
במהלך הקריירה שלו, פרסם מאות מאמרים, חלקם יחד עם מתמטיקאים מפורסמים נוספים כגון סטניסלב אולם.
פונקציית אורליץ (נקראת גם פונקציית N או Orlicz function) היא הכלי המרכזי בהגדרה של מרחבי אורליץ, והמאפיינים שלה הם אלה שמכתיבים את המבנה של המרחב.
פונקציית אורליץ היא פונקציה המקיימת את דרישות הבאות:
1. קמירות: לכל ולכל מתקיים
2. מונוטונית עולה: לכל מתקיים
3. חיוביות: לכל הפונקציה אי שלילית (על פי הגדרת הטווח) ומתקיים
פונקציה קמורה על קטע פתוח היא רציפה.
הנקודה נמצאת בקצהו השמאלי של הקטע, ולכן תיתכן אי-רציפות קפיצה בקצה ומכאן הפונקציה מקיימת רציפות מימין.
בנוסף, תכונות אלו גוררות אינטגרביליות רימן של .
לעיתים מוסיפים תכונות נוספות, בהתאם לתכונות שרוצים למרחב:
4. צמיחה מהירה מאפס מסביב לאפס:
תנאי זה חשוב, כי הוא מבטיח שמרחב אורליץ יהיה מרחב בנך.
עבור מרחב מידה , נגדיר את הקבוצה הבאה:
קבוצה זו אינה בהכרח מרחב וקטורי (מאחר שייתכן שאינה סגורה לכפל בסקלר).
נגדיר את מרחב אורליץ להיות המרחב הווקטורי הנפרש על ידי פונקציות ב- ונסמנו ב-.
במילים אחרות, מרחב אורליץ הוא המרחב המינימלי המכיל את , כלומר:
למרחב זה ניתן להגדיר נורמה הקרויה נורמת לוקסנבורג, או לחלופין נורמת אורליץ .
ישנו מרחב אורליץ נוסף הנקרא "מרחב אורליץ המצומצם" המוגדר באופן הבא:
שהוא המרחב הווקטורי המקסימלי המוכל ב-.
הנורמה במרחב אורליץ (נורמת לוקסנבורג), מוגדרת על ידי:
אוסף כל הפונקציות המדידות אשר הנורמה שלהן סופית, מסומן ב-.
מרחב אורליץ תלוי בבחירת פונקציית אורליץ שתגדיר את תכונות המרחב כולו.
דוגמאות למשפחות של פונקציות אורליץ נפוצות כוללות:
עבור פונקציות אורליץ אלו, מרחב אורליץ המתקבל הוא מרחב Lp הרגיל.
דוגמה זו לפונקציות אורליץ מובילה למרחבי הפונקציות עם גדילה אקספוננציאלית.
תכונות מרכזיות ושימושים של מרחב אורליץ
1. הכללה של מרחבי :
כל מרחב הוא מקרה פרטי של מרחב אורליץ כאשר .
2. יכולת גמישות גבוהה וגבולות אינטגרביליות:
במרחבים הקלאסיים , פונקציות הנמצאות במרחב נמדדות לפי האינטגרל .
המשמעות היא שאם פונקציה חורגת מ-, אז האינטגרל מתבדר, ואין לה "זכות קיום" באותו מרחב.
במרחבי אורליץ, במקום לבדוק רק , אנו בודקים ביטוי כללי יותר - , אם שיכולה לגדול בקצב שונה מקבוע חזקה.
זה מאפשר לכלול פונקציות שאינן שייכות לאף מרחב אך אינטגרביליות דרך פונקציות .
לכן מרחבי אורליץ "תופסים" התנהגויות גבוליות - איפה שמרחבי נופלים או מחמירים מידיי.
כך מתקבלת שליטה מעודנת על מידת האינטגרביליות - למשל על פונקציות שמתבדרות באיטיות או שגודלן משתנה לא בקצב אחיד.
3. מרחב נורמי ותחת תנאים מסוימים אף מרחב בנך:
מרחב אורליץ הוא מרחב נורמי ותחת תנאים מסוימים הוא אף מרחב בנך.
מרחב אורליץ הוא מרחב בנך, אם פונקציית אורליץ מקיימת את תנאי :
4.שימוש נרחב בכלים של ניתוח קמור והצמדה:
באנליזה פונקציונלית, לכל מרחב בנך יש מרחב דואלי שהוא קבוצת כל הפונקציונלים הליניארים הרציפים על .
במרחבי , ידוע ש (במובן של מרחבים איזומורפיים), כאשר (תנאי אי-שוויון הלדר).
במרחבי אורליץ שהם מרחבי בנך מתקיים באופן דומה:
כאשר היא הפונקציה הצמודה של , כלומר
תכונה זו מאפשרת ביצוע פעולות נרחבות, כגון:
לפתור בעיות וריאציוניות באמצעות המרחב הדואלי (למשל, למצוא מינימום לפונקציונל).
להשתמש בפונקציונליים הדואליים לחקור תכונות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות.
להגדיר נורמות דואליות בעזרת הפונקציה הצמודה, ולבנות מרחבים רפלקסיביים.
להשתמש בדואליות בכדי לבצע אינטרפולציה או לבדוק גבולות אינטגרביליות של סדרות פונקציות.
נורמת אורליץ של משתנה מקרי
יהי משתנה מקרי ממשי המוגדר על מרחב הסתברות , ויהי פונקציית אורליץ,
נאמר ש- שייך למרחב אורליץ (על פי ) אם קיים קבוע כך ש:
נורמת אורליץ של (המכונה גם נורמת לוקסנבורג) מוגדרת על־ידי:
נורמה זו היא פונקציה הומוגנית ומוגדרת כאשר הקבוצה אינה ריקה.
1. כאשר פונקציה מוגדרת להיות:
ישנה הקבלה למומנט ה-P של המשתנה המקרי.
2. כאשר פונקציה מוגדרת להיות:
אם נורמת סופית, אז המשתנה המקרי נקרא "תת-גאוסיאני".
אם נורמת סופית, אז המשתנה המקרי נקרא "תת-אקספוננציאלי".
בפרט ניתן לקבל את נורמת על ידי המונוטוניות החזקה של פונקציה יוצרת מומנטים.
לדוגמה: פונקציה היוצרת מומנטים של משתנה מקרי הנדגם מהתפלגות כי בריבוע עם K דרגות חופש היא: ובאמצעותו ניתן לחשב את ההופכי של נורמת ע"י:
באופן כללי, אם נורמת סופית מתקיים שזנב פונקציית הסתברות חסומה מלעיל על ידי .
ניתוח של התכנסות מרטינגלים ומשפטים חוקיים חזקים וחלשים
קביעת גבולות סטטיסטיים והתפלגויות זנב של סיכומים של משתנים מקריים
הערכת סטיות גדולות של פונקציות מקריות
אפיון מרחבים של משתנים מקריים בעלי אינטגרביליות גבוהה במיוחד או התנהגות חריגה בזנב
מרחב אורליץ קשור למספר מבנים מתמטיים חשובים:
מרחב אורליץ מהווה הכללה למרחבי .
מרחבי סובולב מסוימים ניתנים לשיכון במרחבי אורליץ:
תהי קבוצה המקיימת את תנאי משפט רליך-קונדרשוב (פתוחה, חסומה עם שפה ליפשיצית - שפת הקבוצה באופן לוקאלי מגדירה פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ).
עבור פונקציית אורליץ המוגדרת על ידי
באלגברה ליניארית, מרחב וקטורי (קרוי גם מרחב ליניארי) הוא מערכת מתמטית מעל שדה, שבה מוגדרות פעולות של חיבור שני איברים, וכפל של איבר בסקלר מן השדה.
המרחב האוקלידי התלת־ממדי, בו ניתן לסמן כל נקודה על ידי שלושה מספרים ממשיים, הוא מרחב וקטורי.
התכונות של המרחב הווקטורי קיימות במבנים מתמטיים רבים בתחומים שונים כגון אנליזה, אלגברה, מכניקה ותורת הקוונטים.
לעיתים וקטורים מסומנים בסימון מיוחד כדי להבדילם מסקלרים, למשל וקטור יכול להיות מסומן גם , , או .
בהנחת אקסיומת הבחירה, לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
כל הבסיסים של מרחב וקטורי הם בעלי אותו גודל, שהוא הממד של המרחב.
הממד הוא המאפיין היחיד של מרחב וקטורי: כל שני מרחבים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה.
מרחב וקטורי מעל שדה , הוא קבוצה שאבריה נקראים וקטורים;
עם פעולת חיבור שביחס אליה היא חבורה אבלית (מקיימת סגירות לחיבור, אסוציאטיביות, קומוטטיביות, קיום איבר נייטרלי , וקיום איבר נגדי לכל );
ועם פעולת כפל בסקלר , שמסמנים ב-, כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:
סגירות: לכל ו- מתקיים .
הוא איבר נייטרלי: , כך ש- מסמן את האיבר הנייטרלי של השדה עצמו.
קיבוציות כפל סקלרים בווקטור (חוק הקיבּוץ):
פילוגיות סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים):
דרישת החילופיות של החיבור ב- נובעת משאר האקסיומות (כפי שניתן לראות אם מפתחים את הביטוי , פעם אחת לפי פילוגיות של סקלרים, ופעם שנייה לפי פילוגיות של וקטורים).
אוסף הפתרונות למערכת משוואות הומוגנית הוא מרחב וקטורי.
המרחב של -יות המורכבות מאיברים בשדה כלשהו, כאשר החיבור הוא לפי קואורדינטות (חיבור איבר-איבר) וכך גם הכפל בסקלר.
האיבר הנייטרלי לחיבור הוא .
המרחב של -יות מספרים ממשיים מעל שדה הממשיים.
המרחב האוקלידי התלת-ממדי מעל שדה הממשיים.
זהו גם מרחב מכפלה פנימית ביחס למכפלה הסקלרית הסטנדרטית.
מרחב הפונקציות הממשיות מעל שדה הממשיים.
מרחב הפולינומים מעל שדה .
תת-המרחבים של מרחב זה המכילים פולינומים ממעלה n ומטה.
מרחב המטריצות הממשיות (או המרוכבות) בגודל נתון מעל שדה הממשיים (או המרוכבים).
מרחב כל ההעתקות הליניאריות מעל מרחב וקטורי נתון.
אוסף כל תת-הקבוצות של קבוצה כלשהי הוא מרחב וקטורי מעל השדה , כאשר פעולת החיבור היא פעולת ההפרש הסימטרי.
תלות ליניארית קיימת בקבוצת וקטורים אם ניתן להציג וקטור אחד מתוכה כצירוף ליניארי של האחרים.
פרוש (Span) של קבוצת וקטורים הוא קבוצת כל הצירופים הליניאריים של הווקטורים בקבוצה.
קבוצת וקטורים פורשת את המרחב אם המרחב שווה לפרוש שלה.
בסיס של מרחב וקטורי הוא קבוצה בלתי תלויה של וקטורים שפורשת אותו.
ממד המרחב הוא מספר הווקטורים בבסיס.
מכיוון שמספר זה איננו תלוי בבחירת הבסיס (כלומר שווה בכל הבסיסים במרחב), המושג מוגדר היטב.
ממד יכול להיות סופי או אינסופי.
במרחב וקטורי כללי מעל שדה F ניתן להגדיר קו ישר באופן הבא: יהיו שני וקטורים כאשר : ישר שכיוונו העובר דרך הנקודה ("ישר אפיני") מתואר על ידי
ישר העובר דרך הראשית () מתואר בפשטות על ידי
הגדרת ישר העובר בין שתי נקודות (שונות), המיוצגות על ידי הווקטורים
תת-מרחב וקטורי של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי.
תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי.
כדי לבדוק שתת-קבוצה של המרחב הווקטורי מעל השדה מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:
אינה ריקה (מספיק לדעת שווקטור האפס שייך ל־, כלומר ).
כלומר שלכל ו- מתקיים .
שאר הדרישות שבהגדרת מרחב וקטורי, נובעות ישירות מהיותם של כל איברי איברים גם של .
יריעת גרסמן מקוֹדדת את כל תת-המרחבים מממד נתון של
מרחב התפר הוא כינוי לתוכנית הגנה ביטחונית שמתבססת על נוכחות צבאית והקמת מכשולים באזור קו התפר, בין מדינת ישראל לבין הרשות הפלסטינית.
אזור קו התפר הוא האזור שעובר פיזית מעל סימון הקו הירוק, ירושלים ושכונותיה לבין גושי ההתיישבות הקרובים אליו.
תוכנית "מרחב התפר" נועדה להקטין את יכולת החדירה של מפגעים משטח הרשות הפלסטינית לשטח ישראל שמספרם עלה מאז פריצת האינתיפאדה השנייה בספטמבר 2000. עקב העצמת תופעה של מחבלים מתאבדים.
מפגעים אלו נכללים בתוך קבוצה רחבה וגדולה של שוהים בלתי חוקיים (שב"חים) המונה עשרות אלפי פלסטינים שעוברים מתוך שטחי הרשות הפלסטינית לשטחי ישראל באופן בלתי חוקי לצורכי פרנסה, מדי יום ביומו.
תוכנית "מרחב התפר" כוללת מספר אלמנטים ביטחוניים:
הקמת גדר מערכת לאורך קו התפר בהתאם לשיקולים ביטחוניים.
גדר זו ידועה בשם "גדר ההפרדה" והיא החלק העיקרי בתוכנית.
גדר ההפרדה הושלמה עד כה בחלק הצפוני של קו התפר וכרגע נבנית באזור ירושלים והמרכז.
פריסת כוחות מג"ב וצה"ל, בסיורי בט"ש באזור קו התפר.
הקמת רשת נקודות בידוק ביטחוני וחסימות כבישים ("מחסומים") על מנת לשלוט בתנועה של הפלסטינים ולמנוע תנועה חופשית של מחבלים ומכוניות תופת.
הקמת מכשולי ביטחון קדמיים כדי להקשות על חדירת מחבלים הן לתוך תחומי הקו הירוק והן ליישובים ישראלים שמחוצה לו (התנחלויות).
התומכים בגדר ההפרדה טוענים שעד כה זכתה התוכנית להצלחה רבה והצילה חיי אדם, למרות הביקורת הבינלאומית הרבה כלפיה, והשיגה את רוב מטרותיה.
הם מציגים סטטיסטיקות המאששות לדידם את יעילות הגדר: טענתם היא שמספר הפיגועים ירד היכן שהקימו את הגדר, ובנוסף, יש טוענים שעצם הקמתה של הגדר מעודדת את הרשות הפלסטינית להתגמש מבחינה מדינית.
1. פעילי שמאל הרואים בגדר פגיעה בלתי מוצדקת באוכלוסייה הפלסטינית, וטוענים כי הפקעת אדמות לצורך בניית הגדר, וכן יצירת בידוד בין תושבי מרחב התפר ושאר איו"ש, אינן פעולות מוצדקות, מאחר שלדבריהם אין צורך לבנות את הגדר דווקא בשטח איו"ש, אלא צריך לבנותה על תוואי הקו הירוק.
יש מתנגדים לגדר כדוגמת קבוצת אנרכיסטים נגד גדרות היוצאים מדי פעם למקומות בהם נבנית הגדר ומשתתפים בהפגנות מחאה פלסטיניות נגדה.
במהלך ההפגנות מופעלת פעמים רבות אלימות, לדוגמה: מפגינה בבלעין נהרגה משאיפת גז מדמיע, דוברת בצלם נפצעה מכדור גומי בכפר נבי סאלח ומן העבר השני איבד חייל את עינו באחת מזריקות האבנים.
פעילי אם תרצו טענו כי פעילי השמאל מסיתים את הפלסטינים להתקומם נגד חיילי צה"ל פעילי השמאל שהשתתפו בהפגנה הכחישו וטענו כי הצבא הוא שמפעיל את האלימות.
2. הימין רואה בגדר הכנה לקראת פינוי יהודים מיהודה ושומרון ללא שהתקבלה כל החלטה כזאת.
הטענות העולות מהימין הן שהגדר איננה אפקטיבית, אלא שרוב המחבלים נתפסים בעריהם עקב מידע מודיעיני, ולא בדרכם לפיגוע.
בניית הגדר מחלישה לדבריהם את אחיזת צה"ל בערים הפלסטיניות, ובמקרה של נסיגה אף תפגע קשות במודיעין, כך ששכרה של ישראל יצא בהפסדה.
לגבי הטענות של תפיסת מחבלים על הגדר הם טוענים שזה רק עקב הכוחות המרובים המפטרלים ליד הגדר ולא בגלל הגדר עצמה..
כמו-כן, בשנות ה-20 ניצפו מקרים רבים של מעבר המכשול באמצעות סולם חבלים ואמצעים דומים במקומות שלא הייתה נוכחות ביטחונית.
בטופולוגיה, מרחב טופולוגי הוא מושג שמאפשר להכליל מושגים כמו התכנסות, קשירות, רציפות והפרדה בין נקודות.
המרחבים הטופולוגיים מהווים הכללה והפשטה של המרחבים המטריים.
מרחב טופולוגי הוא קבוצה ומשפחה של תת קבוצות של המקיימת שלושה תנאים:
הקבוצה הריקה והקבוצה שייכים ל־.
סגורה תחת איחוד: איחוד של כל אוסף קבוצות מ־ שייך ל־.
חיתוך של שתי קבוצות מ־ שייך גם הוא ל־.
מתכונה זו נובע שכל חיתוך של מספר סופי של קבוצות מ- שייך לה, ויש המגדירים מראש כך.
(ייתכן שחיתוך של מספר אינסופי של קבוצות ממשפחה זו אינו שייך למשפחה.)
הקבוצות השייכות ל- ייקראו קבוצות פתוחות.
קבוצה שמשלימתה פתוחה תיקרא קבוצה סגורה.