tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
בפסק הדין שניתן ביוני 1997 בית המשפט קבע שחלק מהטענות בעלון, בהן שמקדונלד'ס אחראית לרעב בעולם השלישי, השתמשה ברעלים כדי להשמיד יערות במרכז אמריקה ושמוצריה רעילים ומסרטנים שקריות ומהוות הוצאת דיבה, ועל כן נפסקו 60,000 לירות שטרלינג פיצויים למקדונלד'ס.
עם זאת, בית המשפט קבע שחלק מהטענות בעלון, כמו הטענות שהחברה מנצלת ילדים בפרסומות, טוענת לערך תזונתי שאין באוכל שהיא מוכרת, משלמת לעובדיה שכר נמוך, מפרסמת באופן הדוחף ילדים לבקש מהוריהם לקנות במסעדות הרשת, ואחראית לגידול חיות למאכל בתנאים קשים הוכחו כנכונות.
סטיל ומוריס הגישו ערעור שנדחה בתחילת 1999, אולם סכום הפיצויים הופחת ל-40 אלף לירות שטרלינג לאחר שנקבע שהטענות שלקוח קבוע של מקדונלד'ס הוא בעל סבירות גבוהה יותר לבעיות לב ושתנאי העבודה של עובדי החברה הם אינם טובים ושכרם נמוך.
למרות הניצחון במשפט, המשפט היה למבוכה לחברה, והחברה הצהירה שלא תפעל לגבות את הפיצויים המגיעים לה.
ביולי 2000 הגיעו סטיל ומוריס להסדר עם הסקוטלנד יארד על פיצוי של 10,000 לירות שטרלינג לאחר שהתברר שמידע עליהם הודלף ממחשבי המשטרה למקדונלד'ס.
לאחר מספר שנים, בית הדין האירופי לזכויות אדם הכריז כי היבטים שונים של המשפט היו הפרה של האמנה האירופית לזכויות אדם, בגלל שממשלת בריטניה לא העמידה בידי מוריס וסטיל את האמצעים הדרושים לצורך מאבק משפטי הוגן.
בשנת 2005 נעשה סרט מקיף על תהליך המשפט ועל הכרעת בית המשפט האירופאי לזכויות אדם.
בתורת השפות הפורמליות, משפט מייהיל-נרוד הוא משפט אשר מספק אפיון של משפחת השפות הרגולריות ומסייע להבנת המבנה של האוטומט המינימלי אשר מקבל אותן.
המשפט נקרא על שם אניל נרוד וג'ון מייהיל אשר הוכיחו אותו בשנת 1958.
המשפט מתבסס על יחס שקילות המוגדר בצורה הבאה: בהינתן שפה מעל אלפבית , היחס מוגדר מעל בצורה הבאה: אם ורק אם לכל המילים שייכות שתיהן לשפה או ששתיהן אינן שייכות לשפה .
מילה שאינה מקיימת תנאי זה נקראת מילה מפרידה או זנב מפריד בין .
משפט מייהיל-נרוד אומר כי מספר המצבים המינימלי באוטומט סופי דטרמיניסטי אשר מקבל את הוא כמספר מחלקות השקילות של .
בפרט, אם קיימות אינסוף מחלקות שקילות לא קיים אוטומט שכזה, ולכן השפה אינה רגולרית.
עבור שפת כל המילים שאורכן זוגי (כולל אורך אפס), קיימות עבור היחס בדיוק שתי מחלקות שקילות - מחלקה אחת היא קבוצת כל המילים מאורך זוגי, והמחלקה השנייה היא קבוצת כל המילים מאורך אי זוגי.
כדי לראות זאת די לשים לב כי אם הזוגיות של אורך המילים זהה, היא נותרת כזו גם כאשר מוסיפים לשתיהן סיפא כלשהי.
לכן, עבור כל שתי מילים בעלות זוגיות זהה מתקיים היחס .
(ועבור מילים בעלות זוגיות שונה, לא מתקיים היחס).
מכאן ניתן גם ללמוד שהאוטומט המינימלי שמקבל את השפה מכיל שני מצבים, שהראשון שבהם הוא מקבל, והאוטומט מחליף מצב עם כל אות שהוא קורא.
ישנן מספר הוכחות לכך שהשפה אינה רגולרית.
הוכחה המתבססת על משפט נרוד מראה כי עבור היחס קיימות אינסוף מחלקות שקילות.
לשם כך אין צורך למצוא את כל מחלקות השקילות או לכתוב אותן במפורש, אלא די להציג קבוצה אינסופית של מילים כך שאין שתי מילים מתוכה הנמצאות באותה מחלקת שקילות.
בהקשר של השפה הנוכחית, קבוצה כזו היא למשל .
כדי לראות זאת די להראות כי עבור שרירותיים השונים זה מזה, ו- אינם שייכים לאותה מחלקת שקילות - כלומר, קיימת מילה שמפרידה בינן.
דוגמה למילה שכזו היא , שכן ואילו .
אם מספר מחלקות השקילות של הוא סופי, האוטומט שהוצג לעיל שמצביו הם מחלקות השקילות של מקבל את .
כדי לראות זאת די להוכיח באינדוקציה כי לאחר קריאת המילה האוטומט יגיע למצב .
מכיוון שהמצבים המקבלים הוגדרו בתור המחלקות שמיוצגות על ידי המילים ששייכות לשפה, ומכיוון שאם במחלקה יש מילה השייכת לשפה כל המילים בה שייכות לשפה, הדבר מבטיח את נכונות האוטומט.
מינימליות מספר המצבים של האוטומט הזה מתבססת על שימוש ביחס שקילות נוסף.
בהינתן אוטומט כלשהו , היחס מתקיים עבור כל שתי מילים שקריאתן מביאה את האוטומט לאותו המצב.
מספר מצבי האוטומט הוא לפחות כמספר מחלקות השקילות של היחס , כי לכל מצב שניתן להגיע אליו באוטומט ניתן להתאים מחלקת שקילות שנציגתה היא מילה שמביאה את האוטומט למצב זה.
אם היא שפה רגולרית ו- אוטומט כלשהו שמקבל אותה, ניתן להראות כי היחס מעדן את היחס , כלומר .
מכך נובע שמספר מחלקות השקילות של קטן ממספר מחלקות השקילות של .
בפרט, הוא סופי, ומספר מצבי האוטומט שמושרה על ידי קטן או שווה למספר מצבי האוטומט .
האבחנה לפיה נובעת מכך שאם אז לאחר קריאת שתי המילים יגיע האוטומט לאותו מצב, ועל כן לכל סיפא שקורא האוטומט לאחר מכן הוא יגיע גם כן לאותו מצב.
כלומר, האוטומט יחזיר תשובה זהה על ועל לכל , ועל כן .
משפט נפוליאון הוא משפט גאומטרי הקובע כי בהינתן משולש כלשהו שעל צלעותיו בונים משולשים שווי-צלעות, כך שכולם אל מחוץ למשולש או לתוכו, מרכזי הכובד (שהם מפגשי התיכונים) של המשולשים שווי-הצלעות יוצרים משולש שווה-צלעות.
משולשים אלו, שקודקודיהם הם מרכזי הכובד של המשולשים שנבנו על הצלעות, מכונים משולשי נפוליאון (הפנימי והחיצוני, בהתאמה).
הקונפיגורציה המתקבלת מן המשפט מקיימת תכונות נוספות.
למשל, שלושת המעגלים החוסמים את המשולשים שנבנו על צלעות המשולש המקורי נפגשים בנקודה אחת.
קודקודיו של משולש נפוליאון הפנימי נמצאים על המעגלים החוסמים את המשולשים שווי הצלעות החיצוניים (ולהפך).
ההפרש בין שטח משולש נפוליאון החיצוני לבין שטח משולש נפוליאון הפנימי שווה לשטח המשולש המקורי.
המשפט קרוי על שם נפוליאון בונפרטה, קיסר צרפת בראשית המאה ה-19, אם כי הדעות חלוקות האם הוא מי שגילה או הוכיח אותו.
בונים על גבי הצלעות , ו- שלושה משולשים שווי-צלעות , ו- בהתאמה, כך ששלושת המשולשים הללו פונים החוצה מן המשולש .
מסמנים ב-, ו- את מרכזי הכובד של המשולשים , ו- בהתאמה.
אזי, המשולש הוא משולש שווה-צלעות.
משולש זה נקרא משולש נפוליאון החיצוני.
מסמנים ב- את שטח המשולש .
לפי נוסחת שטח משולש על בסיס זוג צלעות והזווית ביניהן, מתקבל ש:
מרכז הכובד של משולש נמצא בנקודת מפגש התיכונים שלו.
מכיוון שבמשולש שווה-צלעות כל התיכונים הם גם חוצי הזווית, ניתן להסיק שהזווית ו- שוות ל-.
בנוסף, מכיוון במשולש שווה-צלעות התיכונים הם גם אנכים, ניתן להשתמש במשפט פיתגורס ובעובדה שהתיכונים חוצים זה את זה ביחס של כדי לקבל ש- ו-.
לבסוף, לפי משפט הקוסינוסים על המשולש , מתקיים ש-.
כעת, ניתן להשתמש במשפט הקוסינוסים על המשולש ולקבל:
(בחישוב לעיל נעשה שימוש בזהות הטריגונומטרית הנוגעת לקוסינוס של סכום זוויות).
חישוב דומה על הצלעות ו- יראה שגם הן שוות ל-.
על כן, המשולש הוא שווה-צלעות.
משכנים את הדיאגרמה של הבעיה במישור המרוכב.
זה מקיים את הזהויות ו-.
ניתן להוכיח כי במישור המרוכב, הנקודות מהוות משולש שווה-צלעות אם ורק אם מתקיים ש-.
מכיוון והמשולשים , ו- הם שווי צלעות, מתקיים ש: , ו-.
לפי הנוסחה של מרכז כובד, מקבלים ש-, ו-.
משמע שהמשולש הוא משולש שווה-צלעות.
משפט נפוליאון עבור משולשים הפונים פנימה
משפט נפוליאון מתקיים גם כאשר במקום להפנות את המשולשים שווי-הצלעות החוצה, מפנים אותם פנימה אל עבר המשולש המקורי.
ההוכחה של מקרה זה באמצעות שיכון במישור המורכב נשארת זהה, אך במקום להשתמש ב-, משתמשים ב-, ששקול לסיבוב ב- בכיוון ההפוך מ-.
המשולש שווה-הצלעות הנוצר משלושת משלושת מרכזי הכובד נקרא משולש נפוליאון הפנימי.
חישוב דומה לזה של משולש נפוליאון החיצוני יוכיחו כי אורך הצלע של משולש זה היא (כאשר הוא סכום ריבועי אורכי צלעות המשולש המקורי ו- הוא שטח המשולש המקורי, כפי שהוגדרו בהוכחה הטריגונומטרית).
הנוסחה לחישוב שטח משולש-שווה-צלעות היא , כאשר היא אורך צלע המשולש.
חישוב של שטח משולשי נפוליאון החיצוני והפנימי יראה שהפרש השטחים הוא שטח המשולש המקורי .
כאמור לעיל, אורך הצלע של משולש נפוליאון הפנימי הוא .
מאחר שמשולש נפוליאון הפנימי קיים עבור כל משולש כללי כלשהו, הביטוי שבתוך השורש הריבועי חייב להיות חיובי תמיד, אחרת השורש הוא בלתי מוגדר.
אחרי העברת אגפים והכפלה בגורם משותף, מתקבל כי אי-השוויון מתקיים לכל משולש כללי.
זהו אי-שוויון ויצנבק הקובע כי לכל משולש כלשהו, שטח המשולש קטן פי מסכום שטחי הריבועים הנחים על צלעותיו.
אי-שוויון ויצנבק הופך לשוויון אם ורק אם רק המשולש הוא משולש-שווה-צלעות.
במקרה זה משולש נפוליאון הפנימי מנוון והופך לנקודה ומשולש נפוליאון החיצוני מתלכד עם המשולש המקורי.
משפט נפוליאון מרמז על כך שניתן להשתמש בשלושה משולשים שווי-צלעות והמשולש הנוצר משלושת אורכי צלעותיהם כדי לרצף את המישור.
בגלל שהמרחק בין מרכזי הכובד של כל זוג משולשים שווי צלעות נשאר זהה, הצפיפות של המשולשים נשארת קבועה כאשר מזיזים את הדיאגרמה במרחב.
מתחילים מהתרשים לעיל עם הנקודות .
התרשים בנוי משלושה משולשים שווי צלעות ומשולש אחד כללי.
מזיזים את התרשים כולו בכפולות שלמות של שני וקטורי בסיס של סריג: ו-.
את ה"חורים" שנוצרים בריצוף ממלאים באמצעות סיבובים ב- של המשולש המקורי (שאינו שווה-צלעות).
לריצוף זה שתי סימטריות בסיסיות:
סימטריה להזזה לפי שני וקטורי הבסיס של הסריג.
סימטריה לסיבוב ב- סביב מרכזו של אחד המשולשים שווי הצלעות.
הדיאגרמה של משפט נפוליאון מאפשרת להגדיר מספר נקודות חשובות הנוגעות למשולש כלשהו.
בהינתן משולש כלשהו, נקודת פרמה של המשולש מוגדרת להיות הנקודה שממנה סכום המרחקים לשלושת קודקודי המשולש הוא המינימלי.
בהינתן הדיאגרמה של משפט נפוליאון עם משולשים שווי-צלעות הפונים החוצה מן המשולש, ניתן למצוא את נקודה זו באמצעות הדיאגרמה של משפט נפוליאון בשתי דרכים:
חוסמים כל משולש שווה-צלעות במעגל.
ניתן להוכיח כי שלושת המעגלים הללו החתכים בנקודה יחידה, ושנקודה זו היא נקודת פרמה.
מותחים קטע מכל קודקוד של משולש שווה-צלעות שאינו נוגע במשולש הפנימי אל הקודקוד הנגדי לו במשולש הפנימי.
ניתן להוכיח כי שלושת הקטעים הללו נחתכים בנקודה אחת, ושנקודה זו היא נקודת פרמה.
בהינתן משולש כלשהו, בונים עליו שלושה משולשים שווי-צלעות הפונים החוצה ממנו, כפי שמתואר במשפט נפוליאון.
מכל מרכז של משולש שווה-צלעות מותחים קטע לקודקוד הנגדי לו במשולש המקורי.
ניתן להוכיח כי שלושת הקטעים הללו נפגשים בנקודה אחת.
נקודה זו נקראת נקודת נפוליאון הראשונה.
אם מבצעים את אותה הבנייה עם משולשים הפונים פנימה, מקבלים גם כן כי שלושת הקטעים הסופיים נחתכים בנקודה אחת, אך עבור משולש כללי נקודה זו שונה מנקודת נפוליאון הראשונה.
נקודה זו נקראת נקודת נפוליאון השנייה.
שתי נקודות נפוליאון מהוות ההצמדה האיזוגונלית אחת של השנייה.
משפט פטר-דאגלס-ניומן (פד"ן בקיצור) עוסק בבניית משולשים שווי-שוקיים על גבי מצולע בעל קודקודים ( הוא מספר טבעי).
המשפט קובע שבהינתן מצולע עם קודקודים, בונים על גבי כל צלע שלו משולש שווה-שוקיים שזווית הראש שלו היא עבור (הזווית נמדדת ברדיאנים) כלשהו.
לוקחים את כל קודקודי הראש של המשולשים הללו ויוצרים מצולע חדש בעל קודקודים.
חוזרים על התהליך פעמים, כל פעם עם ערך אחר של , עד ש- קיבל את כל הערכים בין ל-.
מרכזי הכובד של כל המצולעים שנוצרו בתהליך שווים למרכז הכובד של המצולע הראשון.
המצולע האחרון בשרשרת הוא מצולע משוכלל.
משפט נפוליאון הוא משפט פד"ן עבור .
יש לשים לב שבמשפט PDN בוחרים את קודקוד המשולש ולא את מרכז הכובד שלו.
המשפטים שקולים עבור מכיוון שזווית הראש של המשולשים במשפט פד"ן היא , ולכן היא מזהה את מרכז המשולש של המשולשים שווי-הצלעות, שבהם זווית הראש היא .
משפט נפוליאון עבור משולשים שאינם שווי-צלעות
במקרה של משפט נפוליאון עבור משולשים הפונים החוצה, ניתן להכליל את המשפט למשולשים שאינם שווי-צלעות.
במקרה זה, לוקחים שלושה משולשים דומים אשר שונים אחד מהשני על-ידי סיבוב ושינוי קנה-מידה בלבד (ללא שיקוף).
ומצמידים אותם זה לזה כך שכל צלע דומה נבחרת פעם אחת ומרכיבים משולש פנימי כלשהו.
לוקחים את מרכזי הכובד של שלושת המשולשים הדומים.
אזי, משפט נפוליאון קובע שהמשולש הנוצר על-ידי שלושת מרכזי הכובד הללו דומה לשלושת המשולשים.
מסמנים את הנקודות , ו- להיות מרכזי הכובד של המשולשים , ו- בהתאמה.
אזי המשולש דומה לשלושת המשולשים החיצוניים.
משפט נורטון למעגלים חשמליים ליניאריים קובע שכל צירוף של מקורות מתח, מקורות זרם ונגדים בעלי שני הדקים שקול חשמלית למקור זרם יחיד ונגד יחיד המחובר אליו במקביל.
עבור מעגלי AC הפועלים בתדירות יחידה המשפט ניתן ליישום גם לגבי אימפדנסים כלליים, ולא רק לנגדים.
שקול נורטון משמש לניתוח רשתות חשמליות של מקורות ואימפדנסים ליניאריים בתדירות נתונה.
המעגל כולל מקור זרם אידיאלי במקביל לאימפדנס אידיאלי (או נגד למעגלים לא ריאקטיביים).
משפט נורטון הוא הרחבה של משפט תבנין והוא הוצג ב-1926 בנפרד על ידי שני אנשים: החוקר האנס פרדיננד מאייר (1895–1980) והמהנדס אדוארד לארי נורטון (1898–1983) ממעבדות בל.
במציאת שקול נורטון יש להבחין במעגל המקורי בין חלק המעגל שאותו רוצים להחליף בשקול, לבין חלק המעגל המוגדר כעומס, ואותו אין מחליפים.
העומס אינו משפיע על השקול המתקבל, וההשפעה היחידה שלו היא בצורת החיבור של שני הדקיו לחלק המעגל שאותו מחליפים.
לעיתים (כמו בציור שלעיל), העומס אינו מופיע במפורש, אבל הדקיו חייבים להיות מוגדרים בצורה ברורה.
כדי לחשב את המעגל השקול יש לבצע את השלבים הבאים:
חישוב זרם ההדקים בתנאי קצר, כלומר כאשר ההדקים מקוצרים – התנגדות אפס.
חישוב מתח ההדקים בתנאי נתק, כלומר כאשר לא מחובר נגד עומס בין ההדקים – התנגדות אינסופית.
המעגל השקול הוא מקור זרם שזורם דרכו במקביל לנגד שהתנגדותו .
את תנאי 2 ניתן גם לחשב באופן הבא:
החלפת מקורות מתח אידיאליים בקצר ומקורות זרם אידיאליים בנתק.
מקורות בעלי התנגדות פנימית מוחלפים בהתנגדות הפנימית שלהם.
חישוב ההתנגדות הכוללת של המעגל בין שני ההדקים.
סך הזרם נתון על ידי:
חישוב הזרם השקול, כלומר הזרם דרך העומס, תוך שימוש במחלק זרם:
שקול תבנין כולל מקור מתח ונגד המחובר אליו בטור.
שקול תבנין קשור לשקול נורטון על ידי המשוואות הבאות:
משפט משועבד (נקרא גם פסוקית, משפט טפל, איבר טפל או איבר משועבד) הוא חלק ממשפט מורכב.
הוא בא במקום אחד מחלקיו התחביריים של האיבר העיקרי של המשפט המורכב, למשל במקום הנושא, הנשוא, מושא, לוואי וכיוצא בזה, ומשלים תחבירית את האיבר העיקרי.
בדומה לרוב שפות העולם, גם בתחביר העברי התפתחה הפסוקית כדי לענות על הצורך התקשורתי להעשיר ולדייק את ההבעה, שכן השפה לא תמיד מאפשרת להביע באמצעות מילה אחת כל אחד מחלקי המשפט: הנושא, הנשוא, המושא, תואר השם או תואר הפועל, ולעיתים נדרש משפט שלם כדי להביע אחד מהם.
לשם הדגמה, ניתן להשוות את המשפט הפשוט: "אתמול פגשתי ילד חביב", שבו שם התואר "חביב" הוא לוואי המתאר את שם העצם "ילד", למשפט המורכב "דן הוא הילד שפגשתי אתמול", ובו המשפט "פגשתי אתמול" הוא פסוקית לוואי המתארת את שם העצם "ילד".
הפסוקית היא משפט הכולל נושא ונשוא, אבל בדרך כלל היא לא יכולה לעמוד בפני עצמה כמשפט נפרד, מפני שהיא מתייחסת לאיבר העיקרי של המשפט המורכב ונשענת עליו.
בדוגמה לעיל, הפסוקית "פגשתי אתמול" היא משפט הכולל נושא (מובלע במקרה זה: אני) ונשוא (פגשתי), אבל היא נותרת חלקית וחסרת פשר כשהיא עומדת בנפרד מההקשר ל"ילד" שבאיבר העיקרי של המשפט המורכב.
נוסף לכך, פסוקית אינה מבע עצמאי גם כיוון שעל פי רוב היא מקושרת למשפט המורכב שהיא חלק ממנו באמצעות מילת יחס או אות יחס המוצבות בראשיתה, למשל ש הזיקה, אותיות בכל"מ, אשר, כי, אל, אם, כי, וכיוצא בזה.
פסוקית יכולה לבוא בתחילתו של משפט מורכב, באמצעו או בסופו.
בעבר נהוג היה להוסיף פסיק לפני ואחרי פסוקית הבאה באמצע משפט מורכב (ובהתאם רק אחרי פסוקית הבאה בראש המשפט, ורק לפני פסוקית הבאה בסופו).
כיום, לפי כללי הפיסוק העדכניים של האקדמיה ללשון העברית, ניתן לוותר על פסיק לפני פסוקיות מרוב הסוגים, שכן מילת היחס שבראש הפסוקית מספיקה בדרך כלל כדי להבהיר לקורא את ההפרדה בינה לבין חלק המשפט המורכב שבא לפניה.
כמו כן הכללים מתירים שיקול דעת לוותר על פסיק גם אחרי פסוקית אם היא קצרה, או להוסיף פסיק גם לפני פסוקית אם היא ארוכה.
יוצאת מכלל זה פסוקית לוואי, ופסוקיות אלה נחלקות לשני סוגים.
הסוג האחד הוא פסוקית לוואי מצמצמת.
שם העצם שאותו היא מתארת מציינת קבוצה כללית, והפסוקית מגדירה חלק או פרט מתוך הקבוצה, כמו בדוגמה לעיל: "הילד שפגשתי אתמול".
אחרי פסוקית כזאת אין צורך להוסיף פסיק, אלא אם היא ארוכה.
הסוג האחר הוא פסוקית לוואי שאינה מצמצמת, כלומר פסוקית שגם בלעדיה ברור כלפי מה או כלפי מי מכוון השם שלפניה, כמו במשפט "ראש העיר, שהוא גם בן דודו של הנאשם, התייצב אף הוא בבית המשפט".
פסוקית כזאת ראוי להפריד משאר המשפט בפסיקים, ובמיוחד אם היא עלולה להתפרש בטעות כלוואי מצמצם.
הואיל ובמשפט המורכב באות הפסוקיות במקומם ובתפקידם של חלקים שונים במשפט הפשוט, הן נושאות את שמם של החלקים שבמקומם באו ועונות על אותן השאלות כמותם.
פסוקית נושא (נקראת גם משפט נושאי או איבר נושאי, ובאנגלית: subjective noun clause) היא משפט הבא בתפקיד נושאו של האיבר העיקרי במשפט מורכב.
בדומה לתפקידו של נושא במשפט פשוט, כך גם פסוקית הנושא היא הדבר העיקרי שהמשפט מספר משהו לגביו.
היא עונה על השאלה במי או במה עוסק המשפט, מי או מה ביצע את הפעולה שבנשוא, או הוא זה שהנשוא מספק לקורא מידע חדש לגביו.
דוגמה למשפט עם פסוקית נושא (מובלטת בגופן מודגש): "ידוע שהעישון מזיק לבריאות."
כדי לוודא שפסוקית היא פסוקית נושא, אפשר לנסות להחליף אותה בשם עצם מתאים, למשל "דָּבָר".
אם לאחר ההחלפה שם העצם הזה מקבל את תפקיד הנושא במשפט, הרי שהפסוקית היא פסוקית נושא.
למשל בדוגמה לעיל, לאחר ההחלפה יתקבל המשפט: "ידוע הדבר".
במשפט זה "ידוע" הוא הנשוא ו"הדבר" – נושא.
מכאן שהפסוקית היא פסוקית נושא.
פסוקית נושא נפתחת באות קישור או במילת קישור שמחברת אותה לאיבר העיקרי של המשפט המורכב, בדרך כלל ש...
לחלופין היא עשויה להיפתח במילת שאלה, כמו בדוגמה: "אין לדעת מתי הם יגיעו."
פסוקית נשוא (נקראת גם משפט נשואי או איבר נשואי, ובאנגלית: predicate noun clause) היא משפט הבא בתפקיד הנשוא של האיבר העיקרי במשפט מורכב.
בדומה לתפקידו של נשוא במשפט פשוט, כך גם פסוקית הנשוא היא החידוש העיקרי שהמשפט מספר לגבי הנושא.
היא עונה על השאלה מה הוא הנושא או מה הוא עושה.
פסוקית נשוא תחליף רק נשוא שמני, ואינה יכולה להחליף נשוא פועלי.
היא נפתחת בכינוי גוף בתפקיד אוגד ואחריו באה אות קישור או מילת קישור, למשל: ש..., ה..., אשר.
דוגמה למשפט עם פסוקית נשוא: "הנשיא הוא העומד בראש המדינה." נוודא את סוג הפסוקית באופן שתואר לעיל, כלומר נחליף את הפסוקית במילה חלופית מתאימה, ונקבל לדוגמה: "הנשיא הוא זקן".
כך נוודא שמדובר בפסוקית נשוא.
פסוקית מושא (נקראת גם משפט מושא או איבר מושא, ובאנגלית: objective noun clause) היא משפט הבא בתפקיד המושא הישיר או המושא העקיף של האיבר העיקרי במשפט מורכב.
בראש פסוקית מושא תוצב אות או מילת קישור.
בפסוקית שמחליפה מושא ישיר יוצבו בדרך כלל את, ש..., כי, או מילת שאלה.
בראש פסוקית שמחליפה מושא עקיף – למי ש..., לאשר, ל..., אל, על וכיוצא בזה.
דוגמה למשפט עם פסוקית מושא ישיר: "הודיעו לנו שהתחילה שביתה."
דוגמה למשפט עם פסוקית מושא עקיף: "הודיעו ליושבים באולם את ההודעה."
דוגמה למשפט עם פסוקית לוואי: "הילד שיושב שם הוא אחי".
הפסוקית היא פסוקית תוכן, כיוון שהיא מוסיפה מידע.
שים לב: פסוקית לוואי תוכן אינה מסתיימת בפסיק.
חשוב לזכור: ישנם שני סוגים של פסוקיות לוואי: פסוקית לוואי תוכן ופסוקית לוואי זיקה.
פסוקית לוואי תוכן מספקת לנו מידע הכרחי ולכן אינה מופרדת בפסיקים.
פסוקית לוואי זיקה מספקת לנו מידע נוסף לא הכרחי ולכן מופרדת בפסיקים - יש פסיק גם בתחילתה וגם בסופה.
פסוקיות תיאור מתארות פעולות, ועשויות אף לתאר תיאורים – תואר השם ותואר הפועל.
כמספר סוגי התיאורים כך מספר סוגי פסוקיות התיאור.
לדוגמה, במשפט המורכב: "כאשר תדע – תעדכן אותי." הפסוקית עונה על השאלה: מתי תעדכן?
לדוגמה, במשפט המורכב: "באשר תהיי – אהיה." הפסוקית עונה על השאלה: איפה אהיה?
בראשה תבוא מילת קישור כדוגמת: במידה ש..., ככל ש..., יותר ממה ש..., עד כמה ש...
לדוגמה, במשפט המורכב: "נמלטנו משם מהר ככל שיכולנו." הפסוקית עונה על השאלה: כמה מהר?
לדוגמה, במשפט המורכב: "שתיתי קפה מפני שהייתי עייף." הפסוקית עונה על השאלה: מדוע שתיתי?
בראשה תבוא מילת קישור כדוגמת: כדי ש..., על מנת ש..., למען.
לדוגמה: "כבד את אביך ואת אימך, למען יאריכון ימיך." הפסוקית עונה על השאלה: לאיזו תכלית לכבד?
עונה על השאלות: לכדי איזו תוצאה?
עד כדי מה?בראשה תבוא מילת קישור כדוגמת: עד ש..., עד כי, עד אשר, לכדי.לדוגמה, במשפט המורכב: "הוא רזה כל כך עד שהיה קשה להכיר אותו." הפסוקית עונה על השאלה: מה הייתה התוצאה מכך שרזה?
עשויה לציין תנאי ממשי שעדיין עשוי להתקיים, או תנאי מדומה שכבר אינו יכול להתקיים.
פסוקית תנאי עונה על השאלות: באיזה תנאי?
בראש פסוקית תנאי ממשי תבוא מילת קישור כדוגמת: אם..., במקרה ש..., בתנאי ש...
ובראש פסוקית תנאי מדומה תבוא מילת קישור כדוגמת: לו..., אילו..., לולא...
לדוגמה, במשפט המורכב: "אם אשכחך ירושלים, תשכח ימיני." הפסוקית עונה על השאלה: באיזה מקרה תשכח ימיני?
פסוקית ויתור מתארת מצב שמנוגד לצפוי או לשכל הישר.
היא עונה על השאלות: אפילו באיזה מצב?
למרות מה?בראשה תבוא מילת קישור כדוגמת: אפילו, אם כי, הגם ש..., אף על פי ש..., אף על פי שלדוגמה, במשפט המורכב: "גם כי אלך בגיא צלמוות, לא אירא רע." הפסוקית עונה על השאלה: למרות מה לא אירא?
עונה על השאלה: באיזה מצב?
בראשה תבוא מילת קישור כדוגמת: כש..., מבלי ש...
לדוגמה, במשפט המורכב: "הגענו הביתה כשאנחנו ספוגים מים." הפסוקית עונה על השאלה: באיזה מצב הגענו?
עונה על השאלות: באיזה אופן?
לדוגמה, במשפט המורכב: "עשה כפי שתמצא לנכון." הפסוקית עונה על השאלה: באיזה אופן תעשה?
משפט משקה (Maschke) הוא אבן הפינה של תורת ההצגות של חבורות סופיות.
את המשפט הוכיח המתמטיקאי הגרמני היינריך משקה ב-1898.
המשפט קובע שאם חבורה סופית ו- שדה שהמאפיין שלו אינו מחלק את סדר החבורה, אז אלגברת החבורה פשוטה למחצה.
פירושו של דבר הוא שכל מודול מעל אלגברת החבורה מתפרק לסכום ישר של מודולים אי-פריקים, ובמלים אחרות, כל הצגה של החבורה מתפרקת לסכום ישר של הצגות אי-פריקות.
עובדה זו הופכת את ההצגות האי-פריקות להצגות היחידות שיש צורך ללמוד, משום שדרכן אפשר לפענח כל הצגה אחרת.
ככל אלגברה פשוטה למחצה ממימד סופי, כאשר המאפיין אינו מחלק את סדר החבורה, אלגברת החבורה עצמה מתפרקת לסכום ישר של חוגים פשוטים ארטיניים, שהם לפי משפט ודרברן אלגברות מטריצות מעל אלגברות חילוק.
בפרט, אלגברת החבורה מעל שדה המספרים המרוכבים (או כל שדה סגור אלגברית אחר) היא סכום ישר של אלגברות מטריצות מעל שדה הבסיס עצמו, ומן הפירוק הזה אפשר לקרוא ישירות את ממדי ההצגות האי-פריקות.
משפט משקה נכון גם כאשר הפעולה באלגברת החבורה איננה טריוויאלית.
אלגברת החבורה בעלת הכפל המעוות היא האלגברה בעלת המבנה של אלגברת החבורה, פרט לכפל הנתון על ידי , עבור 2-קו-ציקלוסים המקיימים .
כעת, משפט משקה המוכלל קובע כי כאשר הפיך ב-, האלגברה היא פשוטה למחצה.
אם המאפיין של השדה מחלק את סדר החבורה אז אלגברת החבורה לעולם אינה פשוטה למחצה, ובמקרה זה, המכונה "המקרה המודולרי", תורת ההצגות אכן מסובכת בהרבה.
לדוגמה, באלגברת החבורה של חבורה ציקלית מסדר ראשוני מעל שדה ממאפיין , יש איבר נילפוטנטי מסדר :
בגאומטריה אוקלידית, משפט מנלאוס נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך ששלוש נקודות על צלעות משולש או המשכיהן תהיינה מונחות על ישר אחד.
המשפט קובע (לפי הסימונים שבשרטוטים בצד שמאל) שהנקודות D,E,F נמצאות על ישר אחד (בשרטוט - הישר הסגול) אם ורק אם מתקיים:
(כאשר היחסים מסומנים על-פי הכיוון).
נטיל את שלוש הנקודות לישר המאונך לישר DE; נסמן כל נקודה בהיטל באות של הנקודה המקורית עם תג (').
על-פי משפט תאלס, משפט מנלאוס שאנו רוצים להוכיח שקול לקביעה ש-D' ו-F' מתלכדות אם ורק אם: .
נוסחה זו שקולה ל , השקולה ל- .
ברור שהשוויון האחרון מתקיים אם ורק אם D',ו-F' מתלכדות.
משפט ניקומאכוס הוא משפט בתורת המספרים הקובע כי הזהות הבאה מתקיימת לכל מספר טבעי n:
כלומר שסכום n המספרים המעוקבים הראשונים (חזקות שלישיות) שווה לריבוע סכום n המספרים הראשונים.
המשפט קרוי על שם המתמטיקאי היווני בן המאה ה-1, ניקומאכוס, שכתב אודותיו.
הזהות של ניקומאכוס נתגלתה באופן בלתי תלוי פעמים רבות במהלך ההיסטוריה.
בין השאר גילו אותה ההודי אריאבהטה (המאה ה-5), הפרסי אל-קאראג'י (המאה ה-10), היהודי צרפתי רלב"ג (המאה ה-14) וההודי נילקנטה סומיאג'י (המאה ה-15).
מבחינה פורמלית משפט ניקומאכוס קובע שלכל n טבעי מתקיים:
סכום המספרים הטבעיים מ-1 עד n נקרא המספר המשולשי ה-n, והוא מסומן .
ישנה נוסחה מפורשת למספרים משולשיים: , ובאמצעותה ניתן לתאר את משפט ניקומאכוס גם כך:
קודם להצגתן נציין שלוש זהויות שישמשו לשם קיצור ואסתטיות.
את שלוש הזהויות ניתן להוכיח בפשטות בדרך אלגברית מתוך הנוסחה המפורשת למספר משולשי.
עם זאת, לכולן ישנן גם הוכחות גאומטריות וקומבינטוריות.
(נובע ישירות מההגדרה של מספר משולשי)
(הוכחה קומבינטורית; לפשר הסימון ראו מקדם בינומי)
כמו כן נניח כי (כפי שאכן משתמע מכל הנוסחאות והזהויות).
ההוכחה הסטנדרטית למשפט היא באינדוקציה.
בסיס האינדוקציה הוא המשוואה .
נניח כי ונראה כי :
נציב את הנחת האינדוקציה ואת הנוסחה למספר משולשי ונקבל:
נבחין בזהות הבאה הנובעת מזהויות (1) ו-(2):
כעת נוכל להציג את הסכום המבוקש כטור טלסקופי:
נגדיר קבוצה שאיבריה הם רביעיות סדורות של מספרים בין 0 ל-n (כולל), כך שהאיבר הרביעי בכל רביעייה גדול ממש משלושת האיברים האחרים.
לכל k קבוע, h, i ו-j נבחרים בחופשיות מבין המספרים מ-0 עד k-1. כלומר יש רביעיות כאלו.
ובסך הכל בכל הקבוצה A מספר האיברים הוא:
נגדיר עתה קבוצה שאיבריה הם זוגות סדורים של תת-קבוצות בנות שני איברים של קבוצת המספרים מ-0 עד n.
כל תת-קבוצה כזו ניתן לאפיין למעשה כזוג סדור עם המגבלה שהאיברים בזוג שונים והגדול יותר נמצא בימין.
B מורכבת מזוגות של תת-קבוצות עם שני איברים הנבחרים בחופשיות, ולכן מהגדרת המקדם בינומי ומזהות (3) נובע:
כעת נציג התאמה חד-חד-ערכית ועל מ-A ל-B:
הפונקציה בוודאי חד-חד-ערכית, והיא על כי לכל זוג סודר חוקי ניתן לבנות רביעייה מתאימה.
ההתאמה מעידה כי שתי הקבוצות שוות בגודלן, כלומר:
בספר "Proofs Without Words" () מובאות שבע הוכחות גאומטריות שונות למשפט.
אחת מהן מודגמת באיור הבא:
בכל צבע צבועים ריבועים עם צלע באורך .
כלומר כל צבע מכסה שטח השווה ל- (כאשר במקרים הזוגיים אחד הריבועים מפוצל לשניים).
כאשר מסדרים את כל השטחים יחדיו לכל נוצר ריבוע עם צלע באורך , ולכן שטחו .
ראשית נבחין בכך ש- הוא הסכום של מספרים אי-זוגיים עוקבים שהממוצע החשבוני שלהם הוא .
כעת נבחן את סכום האי-זוגיים מ-1 עד :
למשל סכום האי זוגיים מ-1 עד 19 הוא:
מצד שני את סכום האי-זוגיים מ-1 עד ניתן לחשב בעזרת הנוסחה לסכום טור חשבוני (או באמצעות טיעון גאומטרי) ולקבל שהוא שווה ל- כנדרש.
יאקוב ברנולי מצא נוסחה כללית לחישוב סכום חזקות כלשהן של n המספרים הראשונים:
כאשר הוא מספר ברנולי ה-i.
כאשר m אי-זוגי, הסכום הוא תמיד פולינום, ללא מקדם חופשי, ב-.
באלגברה, משפט נגטה-היגמן הוא משפט הקובע שכל אלגברה אסוציאטיבית (בלי יחידה) מעל שדה ממאפיין 0, שהיא נילית מדרגה חסומה, היא נילפוטנטית.
לכל קיים קבוע כך שאם לכל , אז לכל , המכפלה שווה לאפס.
הקבוע נמצא בטווח , ומשערים שהוא שווה לחסם התחתון, אבל ערכו המדויק אינו ידוע.
המשפט, כפי שנוסח כאן, נכון גם כאשר המאפיין חיובי וגדול מ-, אבל במקרה הכללי הוא ידוע רק כאשר נוצרת סופית.
למעשה מתקיים העידון הבא: לכל ולכל יש קבוע
כך שכל אלגברה עם יוצרים, מעל שדה ממאפיין , שכל אבריה נילפוטנטיים מדרגה לכל היותר, היא נילפוטנטית מדרגה לכל היותר.
גם כאן הערך המדויק של אינו ידוע; ל- קבוע קיים תת-מעריכי מהצורה , ואם מגבילים את המאפיין לטווח , ידוע גם חסם פולינומי ב- (אך דרגת הפולינום תלויה - לוגריתמית - ב-).
מעל שדה אינסופי (ממאפיין שרירותי) ישנו חסם פולינומי שניתן על ידי דומוקוש: .
את המשפט הוכיחו ב-1943 Dubnov ו-Ivanov, אלא שמן הגרסה שלהם, שהתפרסמה באמצע המלחמה בכתב-עת רוסי, התעלמו עד שהתגלתה מחדש כארבעים שנה מאוחר יותר.
הוכיח Nagata את קיומו של חסם עליון, עצום בגדלו, למספרים , ובכך הוכיח את המשפט.
הוא הראה גם שהמשפט אינו נכון, כלשונו, במאפיין חיובי.
הוכיח גרהם היגמן את המשפט למאפיין חיובי גדול מ-, ומצא חסם עליון טוב יותר, מעריכי, וגם חסם תחתון ריבועי.
ב-1975 שיפר Kuzmin את החסם התחתון ל-, ושער שזהו שוויון (במאפיין אפס).
השערה זו נבדקה ונמצאה נכונה עבור .
בשפה של תורת הזהויות, המשפט קובע (במאפיין אפס) שלכל קיים כך ש- נמצא ב-T-אידיאל של ; כלומר, שייך לאידיאל של האלגברה החופשית הנוצר על ידי כל החזקות .
תרגום הבעיה לשפת המטריצות הגנריות אִפשר ל-Razmyslov להוכיח את החסם , שהוא הטוב ביותר הידוע כיום.
משפט מיטאג-לפלר הוא משפט באנליזה מרוכבת, הקובע את קיומן של פונקציות מרומורפיות עם קטבים שנקבעו מראש.
המשפט קרוב ברוחו למשפט הפירוק של ויירשטראס הקובע קיומן של פונקציות הולומורפיות עם אפסים שנקבעו מראש.
המשפט נקרא על-שם המתמטיקאי השוודי גוסטה מיטאג-לפלר .
בתורת החבורות, משפט נילסן-שרייר קובע שכל תת-חבורה של חבורה חופשית היא חופשית בעצמה.
טענה מקבילה לחבורות אבליות, שכל תת-חבורה של חבורה אבלית חופשית היא אבלית חופשית, הוכחה על ידי ריכרד דדקינד.
יאקוב נילסן הוכיח ב-1921 שהמשפט נכון לכל תת-חבורה נוצרת סופית.
אוטו שרייר הוכיח את המשפט במלואו בהביליטציה שלו ב-1926.
להוכחת המשפט נחוצה אקסיומת הבחירה, וקיימים מודלים של ZF ללא אקסיומת הבחירה בהם המשפט לא נכון.
בהינתן אקסיומות צרמלו-פרנקל (ZF), המשפט גורר גרסה חלשה של אקסיומת הבחירה, לקבוצות סופיות.
להבדיל מתת-החבורות, שכולן חופשיות, חבורת מנה של חבורה חופשית עשויה להיות כל חבורה שהיא.
הוכחה קצרה המבוססת על טופולוגיה אלגברית נמצאה על ידי ריינהולד בר ופרידריך לוי.
נסתכל על המולטיגרף עם צומת אחד ועם קשתות המחברות את הצומת לעצמו.
זהו מרחב טופולוגי המתקבל מלקיחת מעגלים והדבקתם זה לזה בנקודה אחת משותפת לכל המעגלים.
החבורה היסודית של המולטיגרף היא - כל לולאה המקיפה את אחת הקשתות פעם אחת היא יוצר (נובע ממשפט ואן קמפן).
כל תת-חבורה של החבורה היסודית היא חבורה יסודית של מרחב כיסוי.
קל לראות שכל מרחב כיסוי של מולטיגרף הוא גם מולטיגרף.
מכאן שאם נוכיח שהחבורה היסודית של מולטיגרף היא תמיד חופשית, נקבל את משפט נילסן-שרייר.
נבחר עץ פורש של המולטיגרף (להוכחת קיומו נחוצה אקסיומת הבחירה, אם הגרף אינסופי) ונמשוך את ענפיו לתוך השורש באופן רציף.
פורמלית, אנחנו מסתכלים על העתקת המנה של מרחב המנה של המולטיגרף מודולו העץ הפורש (כל הנקודות על העץ מזוהות כנקודה אחת).
באופן כזה נקבל מולטיגרף שקול הומוטופית למולטיגרף המקורי שיש לו צומת אחד.
החבורה היסודית נשמרת תחת שקילות הומוטופית וכבר קבענו שהחבורה היסודית של מולטיגרף עם צומת אחד היא חבורה חופשית, ומכאן שכל חבורה יסודית של מולטיגרף היא חופשית.
נביא הוכחה נוספת, דומה אך קומבינטורית יותר (ללא שיקולים כלל מטופולוגיה אלגברית)
תהי חבורה חופשית הנוצרת על ידי ותהי תת-חבורה שלה.
נבנה גרף בצורה הבאה: הקודקודים יהיו המחלקות השמאליות של , ותהיה קשת מהקודקוד עם הסימן לקודקוד (קל לראות שזה מוגדר היטב) כיוון שהכפלה ב- היא פרמוטציה על המחלקות, לכל קודקוד נכנסת בדיוק קשת אחת עם כל יוצר ויוצאת בדיוק קשת אחת.
(למרות שתהיה חשיבות לכיוון של הקשתות, כללית נתייחס לגרף כלא מכוון, כלומר הילוכים בגרף יוכלו לעבור בקשתות גם נגד כיוונן)
לכל קודקוד ולכל איבר מ-, "ללכת על האיבר" פירושו יהיה: אם האיבר הוא , לעבור לקודקוד כך שיש קשת מ- ל- עם הסימן , ואם האיבר , לעבור לקודקוד כך שיש קשת מ- ל- עם הסימן , ואם האיבר .
(מוגדר היטב כי ראינו שלכל יוצר וקודקוד יש קשת אחת נכנסת ואחת יוצאת מכל סימן) כמו כן למילה נגדיר "ללכת על המילה" ללכת אחד אחד על איבריה.
קל לראות באינדוקציה שאם נצא מהקודקוד ונלך על המילה נגיע לקודקוד .
מכאן נובע מייד שהגרף קשיר כי כדי להגיע מהקודקוד לקודקוד אפשר ללכת על המילה .
כיוון שהגרף קשיר, יש לו עץ פורש.
נתבונן בקשתות שלא נמצאות עליו ונסמנן .
מטרתנו תהיה להראות ש- איזומורפית לחבורה החופשית הנוצרת מאיברי .
נקרא למסלול בגרף "מסלול טוב" אם הוא מתחיל ונגמר ב-, ואין בו מעבר פעמיים רצוף על אותה קשת בכיוונים הפוכים ("פניית פרסה").
נסמן את קבוצת המסלולים הטובים ב-.
ראשית נראה התאמה חח"ע ועל בין ל-: בכיוון אחד, לכל מילה ב- נתאים את המסלול שלה (בצורתה המצומצמת) שיוצא מ-.
הוא חוזר ל- בסוף כי המילה ב-, והוא גם לא כולל פניות פרסה כי מילים בצורה מצומצמת לא כוללות איבר ומייד לאחר מכן ההופכי שלו.
בכיוון ההפוך, נתאים למסלול טוב את המילה שלו, והיא ב- כי המסלול התחיל ונגמר ב-.
כעת נראה התאמה חח"ע ועל בין לחבורה החופשית הנוצרת על ידי : בכיוון אחד, יהי מסלול טוב, אז נתאים לו את המילה מעל שמורכבת מכל הקשתות ב- שעברנו עליהן במהלך המסלול הזה (אם עברנו נגד הכיוון זה יהיה האיבר ההופכי).
בכיוון ההפוך, בהינתן מילה מ-, נבנה את המסלול הטוב בצורה הבאה: אם המילה היא , כצעד ראשון נלך מ- להתחלה של הקשת (או לסוף אם היא ) בלי לעבור בקשתות מ-.
קיימת דרך יחידה לעשות זאת, כי הגרף ללא הוא עץ (בעץ יש מסלול יחיד בין כל שני קודקודים) לאחר מכן נלך מהסוף של להתחלה של , שוב בלי לעבור ב- (אפשרי מאותה סיבה) נעשה זאת על כל איברי המילה, ולבסוף נחזור מסוף חזרה ל- מבלי לעבור ב-.
יחד עם הקשתות עצמן, קיבלנו מסלול טוב שהקשתות מ- שהוא עובר בהן הן בדיוק .
סה"כ הרכבת ההתאמות נותנת התאמה חח"ע ועל מ- לחבורה החופשית הנוצרת מאיברי .
קל לראות שזה הומומורפיזם (הכפלת איברים מ- עוברת לשרשור מסלולים טובים, שעובר לשרשור מילים מעל ) ולכן זה גם איזומורפיזם, ולכן חופשית כרצוי.
משפט מפלגת התעשייה - משפט שהתנהל בברית המועצות נגד קבוצה של מהנדסים ומומחים בתחום התעשייה.
על ספסל הנאשמים ישבו שמונה אנשים, מהם חמישה נשפטו להוצאה להורג.
בהתאם לכתב האישום הארגון היה קשור לאיגוד התעשיינים הרוסים בפריז ולמודיעין הצרפתי.
בהתאם לנתוני החקירה חברי הארגון (שלא היה קיים כלל) פעלו לגרימת נזק לתעשייה הסובייטית במהלך השנים 1925–1930. בראש הארגון הועמד פרופסור לאוניד רמזין שהיה הנאשם הראשי ועל עדותו התבסס המשפט.
לפי טענותיו היה מתוכנן להקים ממשלה חדשה ובראשה פיוטר פלצ'ינסקי (שהוצא להורג עוד לפני המשפט).
שר הפנים של הממשלה אמור היה להיות פאבל ריאבושינסקי, אך במהלך המשפט התברר שהוא נפטר בפריז עוד לפני 1925. לשר החוץ לכאורה היה מיועד ההיסטוריון יבגני טארלה, שלא הועמד למשפט כלל.
המשפט החל במוסקבה ב-25 בנובמבר 1930 והסתיים ב-7 בדצמבר.
הישיבות הוכרזו כמושב מיוחד של בית המשפט העליון ונוהלו בראשות אנדריי וישינסקי.
על הגנת הנאשמים הופקדו שני עורכי דין, אך בניגוד למשפט שאחטי הם לא פעלו באופן נמרץ לטובת הנאשמים.
בראש התביעה עמד ניקולאי קרילנקו (בשנת 1938 הוצא להורג כאויב העם).
בכתב האישום צוין שחברי המפלגה פעלו ל:
גרימת נזק לתוכניות פיתוח של התעשייה
ביצוע משימות ריגול בהתאם להנחיות מצרפת
פעילות בקרב מפקדי הצבא האדום במטרה להקל על מתקפה צבאית קרובה
הכנות פיגועים במהלך המלחמה הקרובה
למרות שהתביעה לא הציגה שום מסמך המוכיח את הטענות והכול היה מבוסס על עדותו של לאוניד רמזין והודאות יתר הנאשמים על הכרה באשמה המשפט הסתיים באישום.
במהלך המשפט סביב הבניין נערכו הפגנות שדרשו עונש מוות ל"מתנגדי המשטר והמרגלים".
חמישה נאשמים נשפטו לעונש מוות ושלושה נוספים לעשר שנות מאסר.
בהמשך, עונש המוות הומר לעשר שנות מאסר וליתר הנאשמים תקופת המאסר קוצרה.
בשנת 1936 קיבלו חלק מהנאשמים חנינה, אך במהלך הטיהורים הגדולים נעצרו שוב והוצאו להורג.
הנאשם הראשי, לאוניד רמזין קיבל אישור להמשיך בפעילות מחקרית בתחום התמחותו.
בשנות ה-40 הוא שוחרר ועשה קריירה מדעית מוצלחת - בשנת 1943 הוא אף קיבל פרס סטלין על תרומתו לפיתוח התעשייתי.
בהמשך למשפט המרכזי נערכו משפטי משנה הקשורים לענפי תעשייה ספציפיים.
בסך הכול נעצרו כאלפיים אנשים ורובם נשפטו.
משפט מנהלי הוא הענף המשפטי אשר מסדיר את אופן פעולתם של גופים שלטוניים המצויים תחת הרשות המבצעת, ומהווים רשויות מנהליות.
המשפט המנהלי שייך לתחום המשפט הציבורי, ומהווה את דיני המינהל הציבורי.
המשפט המנהלי עוסק בסמכותן של הרשויות המנהליות, בהליך המנהלי החל על עבודתן ובהפעלת שיקול הדעת המנהלי בהחלטות ובמעשים המתבצעים על ידן.
כללי המשפט המנהלי מסדירים את המבנה ואת היחסים הפנימיים של המינהל הציבורי, למשל, היחסים בין הממשלה לשר פלוני, או היחסים בין שר לבין הדרג המקצועי במשרד עליו הוא ממונה.
בנוסף, המשפט המנהלי מסדיר את היחסים שבין הרשות המנהלית לפרט (האזרח), ובין הרשות המנהלית לעסקים ולתאגידים.
בעוד שבעבר התמקד המשפט המנהלי בעיקר מערכת היחסים שבין המדינה לאזרח.
כיום המשפט המנהלי עוסק גם בהסדרת פעילותם של עסקים ושל תאגידים פרטיים, במסגרת תהליך הרגולציה.
משפט מנהלי אינו מאפשר לתובע לקבל פיצוי כספי על עוול שנגרם לו.
ההליך נועד לספק תגובה או פתרון.
כמו כן, פרק הזמן בו ניתן לפעול במסגרת הליך מנהלי מוגבל, שכן שיהוי יכול להוביל לביטול ההליך ופסילתו.
התחום הקרוב ביותר למשפט המנהלי הוא המשפט החוקתי, אך בעוד שהמשפט החוקתי מגדיר את שיטת המשטר והיחסים בין שלוש הרשויות, המשפט המנהלי עוסק באופן פעולתה של הרשות המבצעת (הגדולה מבין שלוש הרשויות).
על כן, המשפט המנהלי מבטא עקרונות דמוקרטיים (כמו הבטחת הגינות ושוויון), לצד כללים פורמליים דוגמת היקף התשתית העובדתית הנדרשת לקבלת החלטה מנהלית.
בעוד שהמשפט החוקתי מתמקד בזכויות אדם המשפט המנהלי רחב הרבה יותר: הוא מגן על אינטרסים של יחידים ושל קבוצות חברתיות גם כאשר אלו אינם מוגנים כזכויות.
באנליזה מרוכבת, משפט נושירו-ורשבסקי (Noshiro–Warschawski theorem) (לעיתים קריטריון נושירו-ורשבסקי) נותן תנאי מספיק להיותה של פונקציה הולומורפית אוניוולנטית, כלומר גם חד חד ערכית, בתחום הגדרתה.
ממנו נובע משפט אלכסנדר (Alexander), המדבר על פונקציות אוניוולנטיות בעיגול היחידה.
המשפט נקרא על שמם של המתמטיקאים סטפן ורשבסקי ונושירו.
תהי פונקציה הולומורפית בתחום קמור .
המשפט קובע כי אם קיים כך ש- לכל , אז אוניוולנטית ב-, כלומר גם חד חד ערכית.
נבצע אינטגרל קווי על הקו , המוכל בתחום כי הוא קמור.
האגף הימני שונה מאפס, כי נתון .
מקרה פרטי חשוב של המשפט הנ"ל הוא:
משפט אלכסנדר: אם פונקציה הולומורפית כזו ש-, אז חד חד ערכית ב-.
כדי להוכיח שהפונקציה היא חד-חד-ערכית ב-, נשים לב ש-; זוהי העתקה קונפורמית ממעגל היחידה לחצי המישור הימני, ולכן , ולכן לפי המשפט חד חד ערכית.
הדרישה שהתחום יהיה קמור היא הכרחית.
Tim הוכיח בשנת 1951 כי לכל תחום לא קמור ופשוט קשר בעל לפחות 2 נקודות שפה, קיימת פונקציה הולומורפית כזו ש- אך היא איננה חד-חד-ערכית.
גודמן הוכיח גרסה כללית יותר של המשפט עבור פונקציות p-ולנטיות (לפרטים ראו בקריאה נוספת):
משפט: אם פונקציה הולומורפית בתחום קמור , וקיים מספר טבעי ומספר ממשי כך ש-, אז היא לכל היותר p-ולנטית ב-.
במתמטיקה, משפט ניוטון על עקומים סגורים קובע שהשטח הנחתך על ידי קו ישר מתחום מישורי קמור אינו יכול להיות פונקציה אלגברית של המקדמים המגדירים את הישר.
אייזק ניוטון קבע את הטענה הזו כלמה (טענת עזר) 28 של החלק השישי של הכרך הראשון של ספרו פרינקיפיה, והשתמש בה כדי להראות שהמיקום של כוכב לכת במסלולו אינו יכול להיות פונקציה אלגברית של הזמן (לפי החוק השני של קפלר, השטח שמקצה הרדיוס וקטור של הכוכב פרופורציונלי לזמן).
למרות ההוכחה המחוכמת והפשוטה, המסתמכת במידת מה על הטופולוגיה של משטחי רימן (שיומצאו רק באמצע המאה ה-19), טענה זו לא התקבלה על דעתם של המתמטיקאים בני דורו של ניוטון, וגם אחר-כך עוררה מחלוקת.
ניוטון ניסח את המשפט עבור "ovals", כלומר תחומים מישוריים קמורים, אבל לא הציג את ההנחות שלו לגבי העקום התוחם, ואף נדרש להבהיר אותן במהדורה השנייה של הספר.
לייבניץ סבר שהלמניסקטה של ברנולי מהווה דוגמה נגדית למשפט, אבל זה מפני שהיא חותכת את עצמה.
בשנת 1989, ארנולד ו-Vasilyev הצביעו על כך שאם "oval" פירושו "עקום קמור וגזיר אינסופית", אז הטענה של ניוטון נכונה והטיעון שלו מכיל את הצעדים ההכרחיים עבור הוכחה ריגורוזית.
הלמה של ניוטון (בתרגום מן המקור בלטינית) קובעת כדלקמן:
"לא קיים תחום (oval) אשר השטח הנחתך ממנו על ידי קו ישר ניתן לחישוב באופן אוניברסלי באמצעות משוואות כלשהן בעלות מספר סופי של איברים וממדים סופיים".
בשפה מתמטית מודרנית, ניוטון למעשה הוכיח את המשפט הבא:
"לכל תחום מישורי המוגבל על ידי עקום קמור וחלק (חלק פירושו גזיר אינסוף פעמים), שטח הגזרה הנחתכת מן התחום על ידי ישר שמשוואתו ax + by = c אינו יכול להיות פונקציה אלגברית של a,b,ו-c (הווה אומר, לא קיים פולינום F כך ש-, כאשר V הוא שטח הגזרה)."
כלומר לפי המשפט של ניוטון, אם קיימת פונקציה אלגברית של המקדמים המבטאת את השטח התחום במקטע של העקום, אז בהכרח יש לו נקודות סינגולריות (singular points) – נקודות שבהן הוא אינו חלק, אלא גזיר רק מספר סופי של פעמים.
כפי שניוטון הראה, הטענה נכונה אפילו אם מדובר רק בישרים העוברים דרך הראשית.
במקרה כזה הישר מוגדר על ידי הזווית שלו ביחס לציר ה-x, והלמה קובעת ששטח הגזרה אינו פונקציה אלגברית של קוסינוס הזווית.
אם מניחים שהעקום עצמו מוגדר על ידי משוואה אלגברית, אז נקודת החיתוך של הישר עם העקום היא פונקציה אלגברית של המקדמים, ואז אפשר לנסח את הטענה גם כך: "שטח הגזרה, עם בסיס קבוע, אינו פונקציה אלגברית של הנקודה הקובעת את הגזרה".
זהו הניסוח שהיה נחוץ לניוטון על-מנת להראות שאין קשר אלגברי בין הזמן לבין מקומו של כוכב לכת במסלולו.
לדוגמה, הלמה של ניוטון קובעת ששטח הגזרה של עיגול אינו תלוי אלגברית בקוסינוס הזווית של הגזרה.
אכן, שטח הגזרה פרופורציונלי לזווית עצמה, והקוסינוס באמת אינו פונקציה אלגברית של הזווית.
ניוטון קבע את ראשית הצירים P כנקודה פנימית של העקום, והתבונן בספירלה של הנקודות (r,θ) בקואורדינטות פולריות אשר המרחק שלהן r מ-P הוא השטח המוקצה מהעקום הקמור על ידי הגזרה התחומה בקווים הישרים היוצאים מ-P בזוויות 0 ו-θ.
בכל פעם שהישר מסתובב ועובר סיבוב שלם, השטח המצטבר גדל בקבוע.
אם כך, עבור כל שיפוע m של ישר y = mx (העובר דרך P), יש לספירלה הזאת אינסוף נקודות חיתוך עם הישר הזה, ולכן r לא יכול להיות פונקציה אלגברית של m.
זה נובע מהסתכלות על (r(m כעל פונקציה רב-ערכית - פונקציה היא אלגברית אם ורק אם הפונקציה ההופכית לה היא אלגברית, וכיוון שהפונקציה (ההופכית) (m(r מקבלת כל ערך אינסוף פעמים, יש לה מספר אינסופי של שורשים.
אולם לכל פונקציה פולינומית מספר השורשים שלה לא יכול לעלות על הדרגה של הפולינום, ולכן השטח שנחתך על ידי ישר כלשהו לא יכול להיות פונקציה אלגברית של המקדמים של הישר.
כהערת שוליים יש לציין שבטיעון המקורי שלו ניוטון הגדיר את הספירלה כעקום הנוצר על ידי נקודה הנעה לאורך ישר המסתובב בקצב קבוע סביב נקודה, ובקצב תנועה רדיאלי שפרופורציונלי ל- כאשר הוא אורך הרדיוס מנקודה P בזווית θ בעקום המקורי.
אם ניקח למשל הדוגמה של מעגל, אז אם מגדירים את כך שתחזור לערכה ההתחלתי אחרי סיבוב שלם, גם השטח יחזור לערכו ההתחלתי, שכן יהיה שלילי בנקודת הקפיצה, כך שלא ניתן לטעון לאי תלות אלגברית.
ניוטון הראה לפיכך שמהסגירות והחלקות של העקום נובעת אי תלות אלגברית שלו בשטח שמוקצה על ידי ישר עם פרמטרים מסוימים.
הדרישה לחלקות העקום היא הכרחית - הטענה שקיום אינסוף שורשים גורר אי אלגבריות נובעת מהחלקות של הפונקציה; אחרת הספירלה עשויה להיות איחוד אינסופי של חתיכות של עקומים אלגבריים שונים.
זה מה שקורה במגוון הדוגמאות הנגדיות למשפט של ניוטון בעבור עקומים לא חלקים.
לדוגמה, בלמינסקטה של ברנולי , שטח הגזרה (המוגבל בין העקום, ציר ה-x והישר המחבר את הראשית עם הנקודה (x,y)) הוא , שהיא פונקציה אלגברית!
במקרה זה ההוכחה אינה תקפה, משום שכאשר הישר מסתובב, ערך השטח עובר לענף אנליטי אחר של הפונקציה, היות שהעקום אינו חלק בראשית.
משפט ניוטון על מסלולים סובבים במכניקה קלאסית מזהה את סוג הכוח המרכזי הדרוש כדי להכפיל את המהירות הזוויתית של חלקיק בתנועה מסלולית בגורם k מבלי להשפיע על התנועה הרדיאלית שלו (איורים 1 ו-2).
ניוטון יישם את המשפט הזה כדי להשיג הבנה של הרוטציה הכוללת של מסלולים (פרצסיה אפסידית, איור 3) שנצפית אצל תנועת הירח וכוכבי הלכת.
המונח "תנועה רדיאלית" מתייחס לתנועה פנימה או החוצה ממרכז הכוח, בעוד התנועה הזוויתית היא מאונכת לתנועה הרדיאלית.
אייזק ניוטון גזר את המשפט הזה בטענות 43–45 של הספר הראשון של עבודתו "עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע", שפורסמה ב-1687. בטענה 43, הוא הראה שהכוח שצריך להוסיף חייב להיות כוח מרכזי, כלומר כוח שגודלו תלוי אך ורק במרחק r בין החלקיק ונקודה קבועה במרחב (מרכז הכוח).
בטענה 44, הוא גזר את הנוסחה לכוח, והראה שזהו כוח היפוך-מעוקב, היינו כוח שמשתנה כמו ההופכי לחזקה השלישית של r.
בטענה 45, ניוטון הרחיב את המשפט שלו לחוקי כוח שרירותיים תחת ההנחה של מסלולים קרובים למעגליים (בעלי אקסצנטריות נמוכה).
כפי שהאסטרופיזיקאי סוברהמניאן צ'נדראסקאר הבחין בסיכום שכתב ב-1995 על הפרינקיפיה של ניוטון, המשפט הזה נותר לא ידוע למרבית הקהילה המדעית ולא מפותח במשך יותר משלוש מאות שנה.
מאז 1997, המשפט נלמד על ידי דונלד לינדן בל ושותפיו למחקר, וההכללה המדויקת הראשונה שלו ניתנה בשנת 2000 בעבודתם של Mahomed ו־Vawda.
התנועה של גרמי השמיים נחקרה בשיטתיות וקפדנות במשך אלפי שנים.
התצפיות הראשונות ביותר הראו שהכוכבים סובבים באחידות, ותמיד משמרים את אותם מיקומים יחסיים אחד לשני.
אף על פי כן, גופים אחרים שנצפו נדמו כנודדים למול הרקע הנצחי של הכוכבים הקבועים; רוב הגופים האלו נקראו פלנטות על שם המילה היוונית "πλανήτοι" ("נודדים").
אף על פי שבדרך כלל הם נעים באותו הכיוון במסלול לאורך השמיים (מישור המילקה), כוכבי לכת אינדיבידואלים לפעמים משנים לקצרה את כיוון התנועה שלהם, ומפגינים תנועה אחורית (retrograde motion).
כדי לתאר את התנועה קדימה-ואחורה הזו, אפולוניוס מפרגה (262 לפנה"ס - 190 לפנה"ס), פיתח את המושג של אפיציקלים ו־deferents, שלפיו כוכבי הלכת נישאים על מעגלים מושלמים מסתחררים אשר הם עצמם נישאים על מעגלים מסתחררים אחרים, וכך הלאה.
כל מסלול ניתן לתיאור על ידי בחירה שקולה של מספיק אפיציקלים – גישה הזאת שקולה לטרנספורם פורייה המודרני.
בערך 350 שנה מאוחר יותר, תלמי פרסם את ספרו אלמגסט, בו הוא פיתח את המערכת הזאת כך שתתאים לתצפיות האסטרונומיות המדויקות ביותר של העידן שלו.
כדי להסביר את האפיציקלים, תלמי אימץ את המודל הגאוצנטרי של אריסטו, לפיו כוכבי הלכת היו מקובעים בתנועתם לכדורים מושלמים וקונצנטריים שמסתובבים.
מודל זה של היקום היה המודל השלט במשך 1500 שנה.
ההבנה המודרנית של התנועה הפלנטרית נוצרה בעקבות מאמציהם המשולבים של האסטרונום טיכו ברהה והפיזיקאי יוהאנס קפלר במאה ה-16. לטיכו נזקף הקרדיט על תצפיות מדויקות במיוחד של התנועות הפלנטריות, ומהם קפלר היה מסוגל להסיק את החוקים שלו על תנועת כוכבי הלכת.
לפי החוקים האלו, כוכבי הלכת נעים באליפסות (לא אפיציקלים) מסביב לשמש (לא כדור הארץ).
החוק השני והחוק השלישי של קפלר מנבאים תחזיות כמותיות ספציפיות: כוכבי הלכת מכסים שטחים שווים בזמנים שווים (כלומר הרדיוס וקטור), והריבוע של זמן המחזור המסלולי שלהם שווה לקבוע מסוים כפול החזקה השלישית של חצי הציר הראשי של המסלול האליפטי שלהם.
תצפיות מאוחרות יותר על מסלולי כוכבי הלכת הראו שהציר הארוך של האליפסה (הנקרא גם קו האפסיד) גם מסתובב בהדרגה בזמן; הסיבוב הזה ידוע גם כפרצסיה אפסידית.
האפסידים של מסלול הם הנקודות בהם הגוף הסובב הוא קרוב ביותר או רחוק ביותר ממרכז הכוח המושך; בעבור כוכבי לכת שמקיפים את השמש, האפסידים תואמים לפריהליון (הנקודה הקרובה ביותר) והאפהליון (הנקודה הרחוקה ביותר).
עם הפרסום של הפרינקיפיה שלו בערך שמונים שנה מאוחר יותר (1687), אייזק ניוטון סיפק תאוריה פיזיקלית שנתנה הסבר לכל שלושת חוקי קפלר, תאוריה שהתבססה על חוקי התנועה של ניוטון וחוק הכבידה העולמי שלו.
ניוטון הציע שהכוח הכבידתי בין כל שני גופים הוא כוח מרכזי שמשתנה לפי היפוך הריבוע של המרחק r ביניהם.
בהתבסס על חוקי התנועה שלו, ניוטון הראה כי המסלול של כל חלקיק שפועל עליו כוח כזה הוא תמיד חתך חרוט, גם כאשר האליפסה לא נמשכת לאינסוף.
אף על פי כן, המסקנה הזאת תופסת רק כאשר שני גופים קיימים (הבעיה הדו-גופית); התנועה של שלושה גופים או יותר תחת ההשפעה הכבידתית ההדדית שלהם (בעיית n הגופים) נשארה לא פתורה במשך מאות שנים אחרי ניוטון, אף על פי שפתרונות למספר מקרים מיוחדים נתגלו.
ניוטון הציע כי המסלולים של כוכבי הלכת מסביב לשמש הם בעיקרם אליפטיים מכיוון שהכבידה של השמש היא דומיננטית; כקירוב ראשון, הנוכחות של כוכבי הלכת האחרים ניתנת להזנחה.
באנלוגיה לכך, המסלול האליפטי של הירח מסביב לכדור הארץ נשלט על ידי הכבידה של כדור הארץ; בקירוב ראשון, הכבידה של השמש וזאת של גופים אחרים במערכת השמש ניתנת להזנחה.
למרות זאת, ניוטון טען שהפרצסיה האפסידית ההדרגתית של מסלולי כוכבי הלכת ומסלול הירח היא אודות לאפקט של האינטראקציות הכבידתיות הזניחות האלו; באופן ספציפי הוא טען שהפרצסיה של מסלול הירח היא אודות לאפקטים הפרטורבציוניים של האינטראקציות הכבידתיות עם השמש.
משפט ניוטון על מסלולים סובבים היה הניסיון הראשון שלו להבין את הפרצסיה האפסידית באופן כמותי.
לפי משפט זה, ההוספה של סוג מסוים של כוח מרכזי - כוח היפוך מעוקב - יכולה להפיק מסלול מסתובב; המהירות הזוויתית מוכפלת בגורם k, בעוד התנועה הרדיאלית נותרת ללא שינוי.
אף על פי כן, המשפט הזה מוגבל לסוג מסוים של כוח שעשוי לא להיות רלוונטי; נדמה כי ההשפעה של מספר אינטראקציות כבידתיות היפוך ריבועיות (כמו אלו של כוכבי לכת אחרים) לא מסתכמת במדויק לכוח היפוך מעוקב.
כדי להפוך את המשפט שלו לבר-יישום לסוגים אחרים של כוח, ניוטון מצא את הקירוב הטוב ביותר של כוח מרכזי שרירותי (F(r שצריך להוסיף לכוח היפוך מעוקב בגבול של מסלולים קרובים למעגליים, כלומר מסלולים עם אקסצנטריות נמוכה, קירוב הנכון למרבית המסלולים הפלנטריים במערכת השמש.
כדי למצוא את הקירוב הזה, ניוטון פיתח טור אינסופי שניתן לראות אותו כמבשר של השיטה של טור טיילור.
קירוב זה אפשר לניוטון להעריך את קצב הפרצסיה בעבור חוקי כוח שרירותיים.
ניוטון יישם את הקירוב שלו כדי לבחון מודלים שונים של הכוח שגורם לפרצסיה האפסידית של מסלול הירח.
עם הזאת, הבעיה של תנועת הירח היא מורכבת ביותר, וניוטון מעולם לא פרסם מודל גרביטציוני מדויק של הפרצסיה האפסידית של הירח.
אחרי מודל מדויק יותר של קלרו ב-1747, מודלים אנליטיים של תנועת הירח פותחו בשלהי המאה ה-19 על ידי Hill, Brown ו־Delaunay.
המשפט של ניוטון הוא יותר כללי מאשר משפט שרק מסביר את תופעת הפרצסיה האפסידית.
הוא מתאר את האפקטים של הוספת כוח היפוך מעוקב לכל כוח מרכזי (F(r, לא רק לכוחות היפוך ריבועיים כמו אלו שבחוק הכבידה העולמי של ניוטון או בחוק קולון.
המשפט של ניוטון מפשט בעיות מסלוליות במכניקה קלאסית בכך שהוא מביא תוצאה מיידית לאפקט של כוחות היפוך מעוקבים.
בערך 230 שנים אחרי פרסום הפרינקיפיה של ניוטון, אלברט איינשטיין נעזר במשפט ניוטון על מסלולים סובבים כדי להסביר את הפרצסיה של מסלול כוכב הלכת חמה.
במקרה זה, איינשטיין הראה כי האפקטים היחסותיים שפועלים על מסלול כוכב הלכת חמה שקולים מתמטית לתוספת של כוח מרכזי שמשתנה לפי היפוך החזקה הרביעית של המרחק r מהשמש - F C/r4, כלומר תוספת של כוח מרכזי כזה נוסף על הכוח ההיפוך ריבועי הניוטוני.
עקרונות תורת היחסות הכללית שלו אפשרו לו לחשב במדויק את ערך הקבוע C, והוא לאחר מכן נעזר במשפט של ניוטון כדי לחשב את קצב הפרצסיה הצפוי של מסלול חמה, והראה שהניבוי של התאוריה תואם את התצפיות.
זהו היה אחד האישושים הראשונים של תורת הכבידה החדשה של איינשטיין, והוא הדגים את הכוח של המשפט של ניוטון, גם בבעיות שלא נחשבות חלק מהמכניקה הקלאסית.
נתייחס לחלקיק הנע בהשפעת כוח מרכזי שרירותי (F1(r אשר גודלו תלוי רק במרחק r בין החלקיק ונקודה קבועה.
כיוון שהתנועה של החלקיק תחת הכוח המרכזי נחה במישור, המיקום של החלקיק ניתן לתיאור על ידי קואורדינטות פולריות (r, θ1), הרדיוס והזווית של החלקיק יחסית למרכז הכוח.
שתי הקואורדינטות האלו, (r(t ו-(θ1(t, משתנות בזמן t כאשר החלקיק נע.
נדמיין כעת חלקיק שני עם אותה המסה m ועם אותה התנועה הרדיאלית (r(t, אבל שהמהירות הזוויתית שלו היא k פעמים מהירה יותר מזה של החלקיק הראשון.
במילים אחרות, הזוויות האזימוטליות של שני החלקיקים קשורות זו לזו בקשר המתמטי (θ2(t) = k θ1(t.
ניוטון הראה כי ניתן ליצור את התנועה של החלקיק השני על ידי הוספת כוח היפוך - מעוקב לכל כוח (F1(r שפועל על החלקיק הראשון:
כאשר L1 הוא הגודל של התנע הזוויתי של החלקיק הראשון, שהוא קבוע תנועה (גודל שמור) בעבור כוחות מרכזיים.
ניוטון הראה לפיכך כי הכוח ההיפוך המעוקב הוא המפתח להבנת בעיות הקשורות בפרצסיה של מסלולים.
התוצאה הזו נובעת ישירות מהתייחסות אל הכוח הצנטריפוגלי (בתנועה מעגלית, הכוח הצנטריפוגלי שווה בגודלו והפוך בכיוונו מהכוח הצנטריפטלי, כלומר הוא מכוון החוצה ממרכז המעגל) ככוח דחייה "אפקטיבי" שמשתנה לפי היפוך החזקה השלישית של המרחק ממוקד הכוח .
ההוספה של כוח היפוך מעוקב גם משנה את המסלול שהחלקיק מבצע.
כשמדברים על המסלול שהחלקיק מתווה לא מתייחסים לתלות בזמן של התנועות הרדיאליות והזוויתיות, כמו (r(t ו- (θ1(t; בשונה מכך, המסלול מקשר את משתני הרדיוס והזווית אחד לשני.
למטרה זו, משתנה הזווית הוא לא מוגבל ויכול לגדול באופן שרירותי כשהחלקיק מסתובב מסביב לנקודה המרכזית מספר פעמים.
לדוגמה, אם החלקיק מסתובב פעמיים מסביב לנקודה המרכזית וחוזר למיקום ההתחלתי שלו, הזווית הסופית שלו היא לא כמו הזווית ההתחלתית שלו; היא גודלת ב-2×360° = 720°.
באופן פורמלי, משתנה הזווית מוגדר כאינטגרל של המהירות הזוויתית:
הגדרה דומה תופסת גם ל-θ2, הזווית של החלקיק השני.
אם המסלול של החלקיק הראשון מתואר בצורה (r g(θ1, המסלול של החלקיק השני ניתן על ידי הפונקציה
(r g(θ2/k, כיוון ש- θ2 k θ1. לדוגמה, נניח שהמסלול של החלקיק הראשון הוא אליפסה:
כאשר A ו-B הם קבועים; אז המסלול של החלקיק השני ניתן על ידי:
במקרה של החלקיק השני, המסלול שיתואר על ידו אינו בהכרח מסלול סגור, אלא דווקא מסלול דמוי-שושנה - מסלול שמבצע פרצסיה.
אם k קרוב, אבל לא שווה, לאחד, המסלול השני דומה מאוד לראשון, אבל סובב בהדרגה מסביב למרכז הכוח; תכונה זו נקראת פרצסיה מסלולית (איור 3).
אם k גדול יותר מאחד, המסלול מבצע פרצסיה באותו כיוון כמו כיוון התנועה של הכוכב (איור 3); אם k קטן מאחד, המסלול יבצע פרצסיה במגמה הפוכה למגמת הסיבוב של הכוכב.
אף על פי שהמסלול באיור 3 נראה כאילו הוא סובב במהירות אחידה, כלומר במהירות זוויתית קבועה, תנועה אחידה כזאת נכונה רק למסלולים מעגליים.
אם המסלול סובב במהירות זוויתית Ω, המהירות הזוויתית של החלקיק השני מהירה יותר או נמוכה יותר מזה של החלקיק הראשון ב-Ω; במילים אחרות, המהירויות הזוויתיות יקיימו את הקשר: .
בנוסף, משפט ניוטון על מסלולים סובבים קובע שהמהירויות הזוויתיות קשורות זו לזו על ידי יחס ההכפלה:, כאשר k הוא קבוע.
שילוב שתי המשוואות האלו מניב את התוצאה שהמהירות הזוויתית של הפרצסיה שווה ל-: .
מכך נובע גם ש-Ω קבוע רק אם קבוע.
לפי חוק שימור התנע הזוויתי משתנה עם הרדיוס r לפי:
כאשר m ו-L1 הם המסה והתנע הזוויתי של החלקיק הראשון, בהתאמה, ושניהם קבועים.
מכך נובע איפוא, ש-ω1 הוא קבוע אם ורק אם הרדיוסr, כלומר כאשר המסלול הוא מעגל.
במקרה זה, המסלול לא משתנה כאשר הוא מבצע פרצסיה.
ההמחשה הפשוטה ביותר למשפט של ניוטון מתרחשת כאשר אין כוח מרכזי התחלתי, כלומר כאשר F1(r) = 0. במקרה זה החלקיק הראשון נמצא במנוחה או נע בקו ישר.
אם הוא נע בקו ישר שלא עובר דרך ראשית הצירים (מרכז הכוח), המשוואה של ישר כזה ניתנת לכתיבה בקואורדינטות פולריות (r, θ1) כך:
כאשר θ0 היא הזווית בה המרחק ממרכז הכוח מגיע למינימום.
המרחק המינימלי נקרא פרמטר פגיעה (Impact parameter), שמוגדר גם כאורך האנך המורד מהמרכז הקבוע לקו של התנועה.
ניתן להפיק את אותה התנועה הרדיאלית כאשר מוסיפים כוח היפוך מעוקב.
לכוח היפוך מעוקב (F2(r יש את הצורה:
כאשר המונה μ עשוי להיות חיובי (כוח דחייה) או שלילי (כוח משיכה).
אם כזה כוח היפוך מעוקב מוסף, המשפט של ניוטון קובע שלפתרונות המתאימים תהיה צורה שנקראת ספירלת קוטס (כלומר הפתרון למסלול שמתקבל כאשר פועל על חלקיק אך ורק כוח היפוך מעוקב הוא ספירלת קוטס).
ספירלות אלו הם עקומים המוגדרים על ידי המשוואה:
כאשר החלק הימני באגף ימין של המשוואה האחרונה הוא מספר חיובי, הפתרון שמתארת המשוואה נקרא אפיספירלה.
כאשר הארגומנט θ1 – θ0 שווה ±90°×k, הקוסינוס שואף לאפס והרדיוס שואף לאינסוף.
לכן, כאשר k הוא פחות מאחד, הטווח של זוויות אפשריות הוא קטן והכוח הוא דחייתי (העקום האדום שבצד ימין באיור 7).
מצד שני, כאשר k גדול יותר מאחד, טווח הזוויות האפשריות גדל, ומתאים לכוח משיכה (העקום הירוק, ציאן וכחול שבצד שמאל באיור 7); המסלול יכול להקיף את המרכז מספר פעמים.
הערכים האפשריים של הפרמטר k נעים בין אפס לאינסוף, והם מתאימים לערכים של μ שנעים מאינסוף שלילי עד לגבול החיובי העליון, שהוא L12/m.