tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
נניח בשלילה ש- מקיימת את (4).
נגדיר: כך: בהמיספירה הימנית ובהמיספירה השמאלית .
הפונקציה מוגדרת היטב בחיתוך בין ההמיספרות ("קו המשווה") כי זהו שפת שם אנטיפודית.
שקילות עם (5): ראו בערך משפט לוסטרניק-שנירלמן.
ידועות הוכחות רבות למשפט בורסוק-אולם.
ההוכחה הסטנדרטית עושה שימוש בהומולוגיה.
ידועות גם הוכחות קומבינטוריות, למשל באמצעות הלמה של טאקר השקולה למשפט בורסוק-אולם.
נתאר כאן גישה הומולוגית להוכחת משפט בורסוק-אולם (גרסה (3) שלו).
נניח בשלילה כי העתקה אנטיפודית.
אם מזהים את המרחב הפרויקטיבי כמרחב מנה של הספירה על ידי זיהוי נקודות אנטיפודליות, זיהוי זה משרה העתקה .
ניתן להראות כי ההעתקה בתורה משרה איזומורפיזם של החבורות היסודיות המתאימות.
ההומומורפיזם הוא זה המושרה מפנקטור החבורה היסודית, וניתן להראות כי הוא איזומורפיזם על ידי שימוש בכך שהחבורה היסודית של המרחב הפרויקטיבי נוצרת על ידי איבר יחיד, והעתקה זו מעבירה יוצר ליוצר.
עבור המקרה ההוכחה מסתיימת כאן, כי ידוע ולכן מתקבלת סתירה.
עבור , ניתן להראות כי מושרה איזומורפיזם על חוגי הקוהומולוגיות של המרחבים הפרויקטיביים המתאימים.
הסתירה מתקבלת על ידי שימוש בעובדה הלא-טריוויאלית כי המבנה החוגי של הקוהומולוגיה במקדמים מהשדה בעל שני האיברים של המרחב הפרויקטיבי, הוא .
נתאר כאן גישה גאומטרית להוכחת משפט בורסוק-אולם (גרסה (2) שלו).
תהי ההטלה צפון-דרום המוגדרת לפי .
נסתכל על המרחב - פני השטח של "גליל" שבסיסו הספירה (גאומטרית, הוא משוכן במרחב ).
ככל שעולים במעלה הגליל F משתנה באופן ליניארי מ-f ל-g עד שבסיס העליון .
מכיוון ש-f ו-g אנטיפודיות F מקיימת (כלומר היא אנטיפודית על כל חתך שמקביל לבסיס).
נניח בשלילה ש-f לא מתאפסת.
נחקור את הקבוצה המורכבת מכל הנקודות ב-X שעוברות ל-0. אם מתנהגת "נחמד" מספיק, מצופה שהקבוצה הזו תורכב מעקומות (יריעות חד-ממדיות) המטיילות על פני הגליל (האפסים של מתווים קו רציף כש-t משתנה).
העקומות הללו צריכות להיסגר על עצמן או שנקודות הקצה שלהן נמצאות על הבסיסים.
ל- יש שני אפסים בדיוק: הקוטב הצפוני והדרומי: .
לכן העקומה שיוצאת מהקוטב הצפוני של הבסיס העליון (שחייבת להסתיים בנקודת קצה אחרת על בסיס) חייבת להסתיים בקוטב הדרומי של הבסיס העליון.
אולם היא קבוצה סימטרית תחת אנטיפודיות ( אם ורק אם ), ולכן העקומה שמטיילת מהקוטב הצפוני לדרומי עושה זאת באופן סימטרי על פני הגליל, מה שבבירור לא ייתכן.
כדי להשלים את ההוכחה לטיעון ריגורוזי יש להראות שכל פונקציה f ניתן לשנות קצת באופן שיהפוך אותה ל"נחמדה" בלי לייצר אפסים חדשים.
מסקנה מיידית מהמשפט היא שהספירה ה-n-ממדית אינה הומאומרפית לתת-מרחב של המרחב האוקלידי ה-n ממדי.
משפט נקודת השבת של בראואר, הקובע שלכל פונקציה רציפה יש נקודת שבת, נובע בקלות ממשפט בורסוק-אולם.
נניח בשלילה של- אין נקודת שבת.
אז לכל הקרן היוצאת מ- לכיוון מוגדרת היטב.
נסמן ב- את הנקודה על שפת הכדור דרכה עוברת הקרן.
היא העתקה רציפה ששומרת על איברי במקומם (רטרקט) ובפרט אנטיפודית על , בסתירה לגרסה (4) של משפט בורסוק-אולם.
משפט נוסף הנובע ממשפט בורסוק-אולם הוא משפט הכריך (Ham sandwich theorem) הקובע כי ניתן לחצות n מסות במרחב ה-n ממדי לשני חצאים שווי מסה באמצעות על-מישור יחיד.
משפט זה מאפשר לפתור את בעיית חלוקת השרשרת בקומבינטוריקה.
ב-1978 הוכיח לסלו לובאס את השערת קנזר בתורת הגרפים באמצעות משפט בורסוק-אולם.
הוכחה מפתיעה זו נחשבת להולדתו של תחום הקומבינטוריקה טופולוגית שמנצל כלים טופולוגיים לפתרון בעיות קומבינטוריות.
בתורת הגרפים, משפט ארדש-צ'באטאל הוא משפט המספק תנאי מספיק לקיום מעגל המילטון בגרף נתון.
את המשפט הוכיחו פאול ארדש וווצלאב צ'באטאל , במאמר שפרסמו יחדיו.
יהי גרף פשוט עם לפחות 3 קודקודים.
יהי מספר האי תלות של (גודל הקבוצה הבלתי תלויה הגדולה ביותר) ויהי הקשירות הקודוקדית של G (המספר הקטן ביותר של קודקודים שיש להסיר מ־G על מנת להפוך אותו לגרף לא קשיר).
המשפט אומר שאם מתקיים , אז מכיל מעגל המילטון.
אז אם נקבל כי ולכן .
לכן בין כל שני קודקודים ב יש צלע ולכן קליקה.
לכן נוכל להניח כי .
יהי המעגל בעל האורך הגדול ביותר ב.
מאחר ש (כאשר הדרגה המזערית ב), מתקיים כי מכיל לפחות קודקודים.
נסתכל בגרף (כלומר ב בלי הקודקודים של והצלעות שנוגעות בקודוקדים אלה).
נניח בשלילה כי הוא אינו ריק.
יהי רכיב קשירות בגרף זה.
אז בגרף המקורי , קבוצת קודקודי מחוברת ל שכנים שונים ב – אחרת נוכל לנתק את מהמעגל על ידי הסרת פחות מ קודקודים, בסתירה לכך שהקשירות הקודקודית של היא .
נכוון את צלעות המעגל לכיוון אחיד.
תהי סדרת השכנים השונים שיש ל על המעגל , מסודרים לפי סדר הופעתם במעגל.
לכל נסמן ב את השכן של ב וב את האיבר המופיע מיד אחרי במעגל .
נשים לב כי איברי שונים אחד מהשני, מכיוון שאיברי שונים אחד מהשני.
נטען כי הקבוצה היא קבוצה בלתי תלויה.
זה יגרור סתירה, כי זו קבוצה בלתי תלויה בגודל , כאשר הנחנו שהקבוצה הבלתי תלויה הגדולה ביותר היא בגודל לכל היותר .
נראה ראשית שאין צלע בין ל כאשר .
לו הייתה כזו, יכולנו ליצור מעגל באורך גדול יותר ב בצורה הבאה: נתחיל ב, נמשיך לאורך עד שנגיע ל, משם נמשיך ל וממנו ל (זה אפשרי כי ו באותו רכיב קשירות) ומ נמשיך ל משם נלך על בכיוון הנגדי עד ל ומשם לבסוף ניקח את הצלע כדי לחזור ל.
בנוסף, נראה שאין צלע בין ל-, לו הייתה כזאת יכולנו לקבל מעגל ארוך יותר באופן הבא: נתחיל ב, נמשיך לאורך עד אשר נגיע ל נמשיך ל ומשם ל (זה אפשרי כי באותו רכיב קשירות) ולבסוף ניקח את הצלע כדי לחזור ל.
לכן קיבלנו כי הקבוצה היא קבוצה בלתי תלויה באורך , סתירה.
במכניקת הקוונטים, משפט ארנפסט (על שם הפיזיקאי פאול ארנפסט) הוא משפט המקשר בין הנגזרת של ערך התצפית של אופרטור פיזיקלי כלשהו, עם הקומוטטור שלו עם ההמילטוניאן של המערכת.
כאשר הוא אופרטור פיזיקלי, ו- הוא ערך התצפית שלו.
משפט ארנפסט מופיע רבות בתמונת הייזנברג בתור ערך התצפית של משוואת התנועה של הייזנברג.
כמו כן, הוא מהווה תמיכה מתמטית לעקרון ההתאמה של בוהר.
משפט ארנפסט דומה מאוד למשפט ליוביל על המילטוניאנים , כאשר מחליפים את הקומוטטור בסוגרי פואסון.
לפי כלל האצבע של דיראק, טענות במכניקת הקוונטים שמכילות קומוטטור מתאימות לטענות מהמכניקה הקלאסית כאשר מחליפים בין הקומוטטור וסוגרי פואסון, מוכפלים ב- iħ.
תהי מערכת קוונטית הנמצאת במצב קוונטי .
נרצה לחשב את הנגזרת בזמן של ערך התצפית של האופרטור A, והיא לפי הגדרה:
כאשר האינטגרציה היא על כל המרחב.
כשנפעיל את משוואת שרדינגר, נקבל:
והיות ואופרטור ההמילטוניאן הרמיטי, מתקיים גם
כשנציב את שתי המשוואות האחרונות במשוואה הראשונה, נקבל את המשפט:
במקרים בהם האופרטור A אינו תלוי בזמן, האיבר האחרון מתאפס.
תמונת הייזנברג מקדמת בזמן את המערכת באמצעות אופרטורים ולא מצבים על ידי משוואת התנועה של הייזנברג:
ניתן להוכיח מכאן את משפט ארנפסט בקלות באמצעות הפעלת נגזרת האופרטור באופן הבא:
ניתן להוציא את הנגזרת מהביטוי הראשון היות שווקטורי מצב בתמונת הייזנברג הם בלתי תלויים בזמן.
עבור חלקיק גדול הנע בפוטנציאל V, ההמילטוניאן הוא
כאשר x הוא מיקום החלקיק.
נרצה לחשב את השינוי הרגעי בתנע p.
נעשה זאת תוך שימוש במשפט ארנפסט:
כאשר המעבר השני נובע מכך שאופרטור התנע חילופי עם עצמו ואינו תלוי מפורשות בזמן..
נפעיל על הביטוי השני את כלל לייבניץ ונקבל:
וזהו החוק השני של ניוטון.
זוהי דוגמה לעקרון ההתאמה של בוהר.
באופן דומה, ניתן לבדוק את השינוי בזמן של ערך התצפית של המקום:
אכן, שוב קיבלנו התאמה לעקרון מהמכניקה הקלאסית.
באנליזה מרוכבת, משפטי בלוך-לנדאו הם משפטים בדבר פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת .
המשפט הוא אחד השלבים המרכזיים בהוכחת משפט פיקארד הקטן.
הם נקראים על שמם של המתמטיקאים אנדרי בלוך ואדמונד לנדאו.
משפט בלוך - תהי פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת .
אזי קיים קבוע כך שהפונקציה הפיכה בכדור הפתוח ברדיוס .
כלומר, קיימת פונקציה הולומורפית כך ש- היא הזהות על כדור כנ"ל.
הקבוע האופטימלי שמקיים את משפט בלוך נקרא קבוע בלוך, וערכו לא ידוע עד היום.
בכל זאת, ידוע חסם לא רע - .
משפט לנדאו (לעיתים גם משפט בלוך-לנדאו) - תהי פונקציה הולומורפית בעיגול היחידה המקיימת .
אזי תמונת מכילה כדור ברדיוס חיובי .
הקבוע האופטימלי המקיים את משפט לנדאו נקרא קבוע לנדאו; ניתן להוכיח דיי בקלות כי , וטיעונים מסובכים יותר מראים כי בערך.
גם הערך של לא ידוע.
המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ג'ורג ואלירון.
משפט זה הביא את בלוך להוכיח את המשפט בנוסח לעיל.
משפט ואלירון - אם פונקציה שלמה לא קבועה, אז קיים עיגול ופונקציה אנליטית כך ש-.
למעשה, משפט ואלירון מתאים למשפט בלוך, לפי עקרון בלוך.
במשפט פיקארד הקטן יש שימוש במסקנה ממשפט בלוך-לנדאו:
משפט: אם פונקציה שלמה לא קבועה, אז תמונתה מכילה עיגול ברדיוס 1.
הוכחה: לא קבועה, תהי עבורה .
אז מקיימת את תנאי משפט לנדאו, ולכן מכילה כדור ברדיוס , ולכן מתקיים הדרוש.
בתורת השדות, משפט ארטין-שרייר קובע כי שדה הוא ניתן לסידור אם ורק אם איננו סכום של ריבועים בשדה, או בשקילות שהרמה שלו היא אינסוף.
המשפט נקרא על שמם של המתמטיקאים אוטו שרייר ואמיל ארטין, והוא מהווה משפט חשוב בתורת השדות הסדורים, ובעל שימושים במספר תחומים קרובים, ביניהם תבניות ריבועיות.
נאמר ששדה (ממאפיין לא 2) הוא ממשי פורמלית אם איננו סכום של מספר סופי של ריבועים בשדה, אחרת נאמר שהוא לא ממשי פורמלית.
בשקילות, שדה הוא ממשי פורמלית כאשר הרמה שלו אינסופית.
משפט ארטין-שרייר קובע כי השדה הוא ממשי פורמלית אם ורק אם הוא ניתן לסידור.
יותר מכך, לכל איבר בשדה שאיננו סכום ריבועים, קיים סדר בו איבר זה שלילי.
בתורת השדות, משפט ארטין שרייר נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך שחבורת גלואה של הרחבה סופית מעל שדה ממציין תהיה ציקלית מסדר .
בכך הוא מצטרף למשפט קומר שעושה זאת על הרחבות מסדר זר למציין השדה.
תהי הרחבת שדות לא טריוויאלית, כאשר .
אז היא גלואה וחבורת גלואה שלה מעגלית מסדר אם ורק אם עבור המקיים .
כיוון אחד: נניח מעגלית מסדר .
ולכן ממשפט 90 של הילברט, יש כך ש-.
אז כי , וכיוון ש- אז ולכן
ולכן נמצא בשדה השבת , כלומר: .
אז לכל j מתקיים לפי המשפט הקטן של פרמה.
הוא גם פולינום ספרבילי כי הוא זר לנגזרת שלו (שהיא 1-) ולכן הרחבת גלואה.
כל איבר בה, , הוא K-אוטומורפיזם של ולכן מעביר את לשורש כלשהו של , .
לכן אפשר להגדיר פונקציה המקיימת .
כאן הוא השדה הראשוני מסדר p אבל אנו מסתכלים עליו כעל החבורה האבלית עם חיבור מודולו p.
נראה ש- הוא איזומורפיזם של חבורות: יהיו .
תמונתו היא תת-חבורה של , לכן טריוויאלית או כולה.
אבל אם היא הייתה טריוויאלית גם ההרחבה הייתה טריוויאלית, בסתירה להנחה.
כמו כן הגרעין של הוא לכן הוא איזומורפיזם.
לכן החבורה מעגלית מסדר כרצוי.
משפט ארבעת הריבועים של יעקובי נותן נוסחה לגבי מספר הדרכים בהן מספר n ניתן להצגה כסכום של ארבעה ריבועים.
המשפט הוא הרחבה של משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' בכך שהוא מראה לא רק שהצגה כזאת תמיד קיימת, אלא גם מניב מידע על מספר ההצגות של מספר כסכום של ארבעה ריבועים.
המשפט הוכח ב-1834 על ידי קרל גוסטב יעקב יעקובי.
שתי הצגות נחשבות לשונות אם הסדר של האיברים בהן שונה או אם המספרים השלמים שמעלים בריבוע שונים (לא רק ערך הריבוע עצמו); למשל, אלו הן 3 מתוך 8 ההצגות האפשריות של 1 כסכום של ארבעה ריבועים:
המשפט של יעקובי קובע שמספר ההצגות של n כסכום של ארבעה ריבועים שווה לשמונה פעמים סכום המחלקים של n אם n אי-זוגי ול-24 פעמים סכום המחלקים האיזוגיים של n אם n זוגי:
באופן שקול, זהו 8 פעמים סכום המחלקים של n שלא מתחלקים ב-4,כלומר :
ההוכחה עושה שימוש בשיטות מתורת הפונקציות האליפטיות כדי להראות שפונקציית תטא המקושרת לסריג Z4 היא תבנית מודולרית מרמה מסוימת, ולכן שווה לצירוף ליניארי של טורי איזנשטיין.
הטכניקות הללו אפשרו ליעקובי לגזור את הזהות הקריטית , כאשר הפונקציה היוצרת (אגף ימין של הזהות) של החזקה הרביעית של פונקציית תטא (אגף שמאל של הזהות) היא כזו שהמקדם ה-i בה שווה למספר ההצגות של i כסכום של ארבעה ריבועים .
קבלת הנוסחה המפורשת של יעקובי מן הזהות:
כאשר מקבלים זהות זאת כנכונה, התוצאה של יעקובי נובעת אז מביצוע מניפולציות מסוימות על אגף ימין; מתקיים:
, כאשר המעבר נובע מנוסחת הסכימה לטור הנדסי אינסופי (כאשר q < 1).
המקדם של החזקה ה-i בטור המתקבל מתקבל כמובן מכל אותם מחוברים מהצורה: כאשר b מספר שלם כלשהו.
כעת נבחין כי עבור כל n, הביטוי מניב רק מחוברים שהמעריך שלהם מתחלק ב-n.
זה מרמז על כך שהתרומות למקדם של נעשות רק על ידי מחוברים מהצורה כאשר n מחלק את i (שכן ).
לכן מתקבל שבשקלול שתי הסכימות, המקדם של שווה ל-:
כעת נראה כי הביטוי הזה נותן את הנוסחה המפורשת שהופיעה לעיל.
נוכיח באינדוקציה על p שהביטוי הזה נותן את הנוסחה המפורשת של יעקובי עבור
כאשר i אי זוגי כל מחלקיו אי זוגיים, לכן תמיד ולפיכך הסכום הוא על כל המחלקים של i, ובכך תמו הוכחת החלק הראשון של הנוסחה של יעקובי ובדיקת בסיס האינדוקציה (p = 0).
עבור כל מחלק אי זוגי o של i ניתן לייצר מחלקים זוגיים של i על ידי הכפלתו בחזקות של 2 עם מעריך שקטן או שווה ל-p.
מבדיקת זוגיות המעריך של 1- נקבל, שפרט למקרים של , עבור כל המחלקים הזוגיים שנוצרים על ידי מחלק אי זוגי פרימיטיבי o המעריך של 1- הוא אי זוגי, לכן מתקבלת התוצאה למספר ההצגות:
באנליזה מתמטית, משפט בוהר מולרופ הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא באמצעות משוואה פונקציונלית.
המשפט קרוי על שם הארלד בוהר ויוהאנס מולרופ שהוכיחו אותו.
לפי המשפט, פונקציית גמא היא הפונקציה הלוג-קמורה היחידה שמקיימת לכל x>0 וכן מקיימת .
כמו כן מאינטגרציה בחלקים נקבל כי .
על מנת להראות שפונקציית גאמא היא לוג קמורה נקבע קבועים .
מאי שוויון קושי שוורץ נקבל:
כאשר נשאיף בנוסחה נקבל .
נוציא לוג ונקבל כי וקיבלנו בסה"כ שפונקציית גאמא היא לוג קמורה.
בכיוון השני, תהי f פונקציה המקיימת את הדרישות של המשפט.
מהדרישה נקבל באינדוקציה כי .
בפרט לכל n טבעי נקבל (כי נתון ש-).
נסמן ב את שיפוע הקו המחבר בין הנקודות .
לפי ההנחה f לוג קמורה, ולכן S היא עולה בכל אחד משני המשתנים עבור x<y.
לכן לכל ולכל n מס טבעי נקבל:
נציב את הערך של f למספרים טבעיים:
ln היא פונקציה עולה לכן נוכל לבצע אקספוננט ולקבל:
נציב את הביטוי שקיבלנו עבור ונקבל:
נשים לב כעת ששני האי שוויונים נכונים לכל ערך של n.
בפרט הם נכונים גם עבור n+1 לכן אם נחליף באי שוויון השמאלי את n ב n+1 האי שוויונות יישארו נכונים ונקבל:
מתקיים ולכן הגבול של חסום משני הצדדים על ידי סדרה ששואפת ל וממשפט הסנדוויץ' מתכנס אליו.
הואיל והגבול הוא יחיד, f מוגדרת ביחידות לכל .
אבל מהדרישה רואים שאפשר להרחיב את f באופן יחיד לכל x>1. לכן יש f יחידה כזאת ונסיים.
המתמטיקאי Wielandt הוכיח כי פונקציית גאמא היא הפונקציה ההולומורפית בחצי המישור הימני היחידה שמקיימת את הדרישות לעיל כאשר במקום הלוג-קמירות דורשים חסימות ברצועה .
משפט בוכנוואלד או ארצות הברית נגד יוזיאס, נסיך הכתר של ולדק ופירמונט ואחרים.
(המכונה גם תיק 000-50-9) היה משפט על פשע מלחמה, שנערך על ידי צבא ארצות הברית שהקים בית דין צבאי למשפטי דכאו, באזור הכיבוש האמריקאי.
המשפט התקיים בין 11 באפריל ל-14 באוגוסט 1947 במחנה המעצר של דכאו, שבו שכן מחנה הריכוז דכאו עד סוף אפריל 1945. במשפט זה הואשמו 31 אנשים בגין פשעי מלחמה הקשורים למחנה הריכוז בוכנוואלד ומחנות הלוויין שלו.
משפט בוכנוואלד היה חלק ממשפטי דכאו, שהתקיימו לאחר תום מלחמת העולם השנייה והשואה בין 1945 ל-1948.
"החזירים באורוות ה-SS קיבלו מזון טוב יותר, בהשוואה למזון האסירים."
—  פיטר זנקל, אסיר בוכנוואלד לשעבר, עדות במשפט בוכנוואלד מאמצע אפריל 1947.כשהגיעו כוחות אמריקאים למחנות הריכוז של הרייך הגרמני בשלבים האחרונים של מלחמת העולם השנייה, הם לא היו מוכנים, בין השאר בגלל הלחימה המתמשכת, להתמודד עם הזוועות במחנות הריכוז.
הטיפול ב"מוזלמנים" הכחושים והחולים וקבורתם של אלפי אסירים שנספו מרעב או מירי בצעדות המוות היוו משימה קשה עבור צבא ארצות הברית.
לאחר לכידת מחנה הריכוז אוהרדרוף, תת-מחנה של בוכנוואלד, ועוד לפני שחרור מחנה הריכוז בוכנוואלד ב-11 באפריל 1945, צילמו החיילים האמריקנים תמונות הממחישות את הנסיבות הנוראיות של פינוי המחנה.
כבר ב-12 באפריל 1945 המפקד העליון של כוחות בעלות הברית, דווייט אייזנהאואר, ביקר במחנה הריכוז אוהרדרוף.
בגלל תנאי המחנה הנוראים, ביקש מפוליטיקאים אמריקאים ובריטים, נציגי האו"ם והעיתונות האמריקאית, שיבואו לצפות במחנה.
ב-16 באפריל 1945, 1,000 איש מוויימאר, תחת פיקוד אמריקאי, חויבו לבקר בבוכנוואלד, שם חזו בעקבות ההשמדה ההמונית.
במקום אחר נאלצו התושבים הסמוכים לקבור את הקורבנות מצעדות הפינוי.
בהקשר זה, כחלק מתוכנית המשפט של ארצות הברית לפשעי מלחמה, תוכנית ארצות הברית ליצירת סטנדרטים משפטיים ומערכת משפט להעמדה לדין של פשעי מלחמה בגרמניה, החלו חוקרים אמריקאים מיד בחקירה כדי לזהות את האחראים לפשעים אלה.
עד מהרה נתפסו עבריינים ונעצרו, כולל המפקד האחרון של מחנה הריכוז בוכנוואלד, הרמן פיסטר, שנעצר ביוני 1945 על ידי חיילים אמריקאים במינכן.
צוות הפיקוד נכלא במחנה שבויים בבאד אייבלינג ונחקר זמן קצר לאחר סיום המלחמה ב-1945 על ידי חיל המודיעין.
לפחות 450 אסירים לשעבר בבוכנוואלד זומנו כעדים, כולל הרמן בריל, וחומר תיעודי ממפקדת המחנה, בהיקף שהועלה על שתי משאיות, שימש כראיות.
בגלל פרוטוקולי ועדת הייעוץ האירופאית (ה-EAC, ר"ת של European Advisory Commission), שהתקיימה בין השנים 1943–1945, העביר ב-1 ביולי 1945 הצבא האמריקני בתורינגיה חומר זה לידי הממשל הצבאי הסובייטי בגרמניה (SMAD).
לאחר חקירות ראשוניות נגד יותר מ-6,000 בני אדם עד סתיו 1945, נעצרו כ-250 חשודים.
עם זאת, לעיתים קרובות עדים לא היו זמינים עוד לזיהוי או שתמונות מפלילות לא הוקצו כראוי, וכמה חשודים הצליחו לברוח.
לברית המועצות היו הכי הרבה קורבנות (כ-15,000) בבוכנוואלד בהשוואה לשאר המדינות המעורבות, וככל הנראה חשודים אחרים שהו באזור הכיבוש הסובייטי או היו שם במעצר, הממשל הצבאי האמריקאי בגרמניה (OMGUS) שקל להותיר את ברית המועצות אחראית על ההליך המשפטי.
ב-9 בנובמבר 1945, הגיש סגן המושל הצבאי לושיוס קליי הצעה לראש הממשל הצבאי הסובייטי בגרמניה, וסילי סוקולובסקי, להעביר את משפט בוכנוואלד לממשלה הסובייטית.
לאחר משא ומתן ממושך ובדיקה בתיקי החקירה, הצד הסובייטי הביע עניין בהליך רק ביחס להרג ההמוני בגרדלגן , שם נשרפו 1,000 אסירים בחיים.
לאחר העברת החקירה של 22 הנאשמים לשלטונות הצבא הסובייטיים, הוסכם לבצע אותו הליך עבור הנאשמים במחנה הריכוז בוכנוואלד ובדורה-מיטלבאו, לשעבר מחסן מרכזי בוכנוואלד ומאוקטובר 1944 מחנה ריכוז עצמאי.
3 בספטמבר 1946 נקבע כתאריך להעברת העצורים והראיות הנרחבות לגבי בוכנוואלד ודורה-מיטלבאו.
נציגים של הממשל הצבאי הסובייטי לא הופיעו בנקודת המפגש באזור הגבול.
לאחר 14 שעות של המתנה, האסירים והראיות נלקחו חזרה לבית המעצר בדכאו.
ייתכן שהסובייטים לא נענו להצעה מכיוון שהשתמשו במחנה הריכוז לאחר ההשתלטות כ"מחנה מיוחד 2" ואולי חששו מהאשמות עתידיות בפשעי מלחמה בעצמם.
משא ומתן בנוגע לתקפותם של הליכי בוכנוואלד התעורר בגלל הביקורת הבינלאומית המעוכבת.
ועדת האומות המאוחדות לפשעי מלחמה, ועדה של מדינות בעלות הברית לתביעה בעוון פשעי מלחמה שבוצעו על ידי כוחות הציר, דרשה כבר בתחילת 1946 משפט עבור סגל בוכנוואלד בפני בית משפט בינלאומי.
לאחר שרשויות הצבא הסובייטי לא גילו עניין, הודיעו רשויות המשפט הצרפתיות והבלגיות על רצונן לבצע את המשפט.
אפשרות זו נדחתה על ידי הצד האמריקאי בהתחשב בעבודת התרגום העצומה שהייתה צריכה להיעשות.
החוקר הראשי בצבא ארצות הברית כפה את תחילת התהליך.
עד סוף דצמבר 1946 הושלמה ההכנה לתהליך.
רוב הנאשמים היו חברי סגל המחנה, אך גם נגד מפקד האס אס והמשטרה יוזיאס, נסיך הכתר של ולדק ופירמונט הוגש כתב אישום, משום שמחנה הריכוז בוכנוואלד היה בשטח השיפוט שלו.
נגד מפקד המחנה, הרמן פיסטר, ואנשי צוות הפיקוד, וכן אלמנתו של המפקד הראשון, אילזה קוך, הוגשו כתבי אישום.
כמו כן, שלושה מרופאי המחנה וקציני הרפואה הבכירים של האס אס נאלצו לעמוד לדין.
הועמדו לדין גם מנהיגי בלוק, מפקדי יחידות, שלושה פונקציונרים אסירים ועובד אזרחי.
הבסיס המשפטי של התהליך היה "מנהל המשפט והעונשין" ממרץ 1947, המבוסס על צווי הממשל הצבאי.
חוק מועצת הבקרה מס' 10 מיום 20 בדצמבר 1945, לפיו ניתן להרשיע כל אדם שהוגש נגדו כתב אישום בגין פשעי מלחמה, פשעים נגד השלום ופשעים נגד האנושות, לא מילא תפקיד משמעותי בתהליך זה.הנאשמים בתמונות צבא ארצות הברית מאפריל 1947
בגאומטריה, משפט בוטמה הוא משפט הנוגע לבניית ריבועים על גבי משולש כלשהו.
המשפט קרוי על שם המתמטיקאי ההולנדי אונה בוטמה.
בונים על גבי הצלע את הריבוע ועל גבי הצלע את הריבוע כך ששני הריבועים פונים אל חוץ המשולש.
מותחים קטע ומסמנים ב- את נקודת האמצע שלו ().
משפט בוטמה קובע כי בהינתן שהנקודות ו- קבועות, הנקודה אינה תלויה בבחירת הנקודה , עד כדי בחירת חצי המישור (מעל או מתחתיו).
כלומר, תהיה באותו חצי המישור של ביחס לישר , אך מלבד זאת אינה תלויה במיקומו המדויק של .
יתר על כן, הנקודה היא הנקודה היחידה בחצי מישור זה המקיימת את התכונות הבאות:
כלומר, המשולש הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים.
באמצעות משפט הסינוסים במשולש ניתן להגיע לשוויון .
באופן דומה, באמצעות משפט הקוסינוסים במשולש ניתן להגיע לשוויון .
כעת, מורידים שלושה אנכים אל הישר מהנקודות , ו- שפוגשות את הישר בנקודות , ו- בהתאמה.
מאחר שהישרים ו- מאונכים לאותו ישר, הם בהכרח מקבילים זה לזה, משמע הוא טרפז ישר-זווית.
על ידי חישובים של זוויות צמודות וסכום זוויות במשולש מקבלים ש- ו-.
מאחר שהמשולשים ו- הם ישרי זווית, מתקבל ש- ו-, אך כאמור , משמע .
בנוסף, הנקודה חוצה את הקטע ו- מקבילה לשני בסיסי הטרפז ו-, משמע ש- הוא קטע אמצעים בטרפז , ולכן בהכרח הוא חוצה את הצלע השנייה, כלומר .
על ידי חיסור קטעים שווים מתקבל ש-.
כעת, על-פי נוסחת אורך קטע אמצעים בטרפז:
כלומר, הקטע מאונך ל-, חוצה אותו ושווה למחצית אורכו.
כל זה מתקיים רק במקרה בו המשולש הוא ישר-זווית ושווה-שוקיים.
הערה חשובה: ההוכחה לעיל נכונה רק כאשר הזוויות ו- הן זוויות חדות.
אם אחת מהן קהה, אז הריבוע הנשען עליה יורד מתחת לישר .
במקרה זה, המשוואות הטריגונומטריות נשארות זהות, אך ההצדקה שלהן משתנה מעט.
מציבים את תרשים הבעיה במישור המרוכב כך שהנקודה נמצאת ב-.
מסמנים את הנקודות ו- ב- ו- בהתאמה.
מאחר שהנקודה נמצאת באותו מרחק מ- כמו ובזווית של ביחס ל- נגד כיוון השעון, היא נמצאת ב-.
מאחר שהנקודה נמצאת באותו מרחק מ- כמו ובזווית של ביחס ל- עם כיוון השעון, הקטע המכוון שווה ל-, משמע נמצאת ב-.
הנקודה נמצאת במרכז הקטע לכן:
כלומר, תלויה רק ב- שהיא הנקודה , ולא תלויה ב- שהיא הנקודה (היא כן תלויה ב- שנבחרה שרירותית להיות ב-).
ניתן לשים לב כי , לכן נמצאת בזווית של ביחס ל- ואורכה קטן פי ממנה.
כל זאת יכול לקרות רק כאשר המשולש הוא ישר-זווית ושווה-שוקיים.
משפט בנך-שטיינהאוס, הידוע גם בשם עקרון החסימות במידה שווה, הוא משפט מתמטי יסודי וחשוב באנליזה פונקציונלית.
עיקרון זה טוען עבור משפחה של העתקות ליניאריות רציפות על מרחב בנך, שאם יש חסם משותף לכל האופרטורים במשפחה בכל נקודה של המרחב, אז יש חסם אחיד על הנורמה שלהם.
משפט זה, יחד עם משפט האן-בנך ומשפט ההעתקה הפתוחה, נחשב לאחת משלוש אבני היסוד של האנליזה הפונקציונלית.
גרסה מוקדמת של המשפט הופיעה במאמר של סטפן בנך והוגו שטיינהאוס ב-1927. המשפט הוכח באותו זמן גם על ידי האנס האן.
יהי מרחב בנך ויהי מרחב נורמי כלשהו.
תהי משפחה של העתקות ליניאריות רציפות .
אם לכל הקבוצה חסומה, אז גם קבוצת הנורמות חסומה.
למשפט חשוב זה יש הוכחה קצרה המסתמכת על משפט הקטגוריה של בר (Baire).
לכל מספר טבעי , נגדיר .
לפי ההנחה, קיים חסם משותף בכל נקודה, ולכן .
הקבוצות הן קבוצות סגורות, משום שהקבוצות סגורות לכל בגלל הרציפות של , ולכן החיתוך גם הוא סגור.
בתור מרחב מטרי שלם, הוא מרחב בר ("מרחב מקטגוריה שנייה"), ולכן אחת מהקבוצות מכילה כדור פתוח: יש ו- כך שאם אזי .
נותר לתרגם את העובדה הזו לחסם המבוקש.
תהי נקודה כך ש-, אז לפי אי-שוויון המשולש , וזאת לכל .
מכאן נובע שלכל מנורמה , מתקיים , כלומר .
זהו חסם אחיד על הנורמות של ההעתקות הליניאריות במשפחה .
הוכחה זו מספיקה גם אם מחלישים את ההנחה המקורית, ומניחים רק שקבוצת הנקודות שעבורן חסומה, היא קבוצה מקטגוריה שנייה.
באנליזה וקטורית, משפט גאוס או משפט הדיברגנץ מקשר בין השטף של שדה וקטורי על פני משטח סגור לדיברגנץ של השדה בתוך המשטח.
המשפט נקרא על שם קרל פרידריך גאוס שגילה אותו בשנת 1813 (והוכיח אותו למקרים פרטיים), אך רק בשנת 1831 מיכאיל אוסטרוגרדסקי הוכיח את המשפט במלואו, לכן לעיתים קוראים לו משפט גאוס-אוסטרוגרדסקי.
למשפט יש שימושים חשובים בפיזיקה ובפרט באלקטרוסטטיקה.
משפט סטוקס הוא הכללה של משפט גאוס למימד כללי.
יהי תחום חלקי ל- סגור ובעל שפה חלקה למקוטעין, ויהי שדה וקטורי גזיר ברציפות בסביבת , אזי מתקיים:
כאשר הוא שפת התחום , ו-
הוא וקטור בעל גודל אלמנט שטח אינפיניטסימלי ובעל כיוון ניצב למשטח כלפי חוץ (לעיתים מסמנים , כאשר הוא הנורמל הפונה החוצה מהמשטח ), וכאשר
במתמטיקה, משפט גומורי הוא המשפט שלפיו אם נסיר מלוח שחמט שתי משבצות בצבעים שונים, עדיין יהיה ניתן לרצף את הלוח באמצעות אבני דומינו בגודל 2×1. המשפט הוכח על ידי רלף גומורי.
משפט גומורי מבוסס על חידת שחמט ידועה: האם ניתן לרצף באמצעות אבני דומינו לוח שחמט שהוסרו ממנו שתי משבצות פינתיות נגדיות.
התשובה לחידה היא שלילית, משום ששתי משבצות פינתיות נגדיות בלוח שחמט הן תמיד באותו צבע, כך שלאחר ההסרה יהיו יותר משבצות מצבע אחד, מאשר משבצות מהצבע השני.
ברור שכל אבן דומינו תכסה בהכרח משבצת אחת לבנה ומשבצת אחת שחורה, ולכן לא ניתן לרצף לוח באבני דומינו אם אין עליו מספר שווה של משבצות לבנות ומשבצות שחורות.
בפתרון חידה זו, אנו מוכיחים למעשה, שאם הסרנו שתי משבצות מלוח שחמט, היותן בצבעים שונים הוא תנאי הכרחי לכך שיהיה ניתן לרצף את המשבצות שנותרו באבני דומינו.
משפט גומורי מוכיח שתנאי זה הוא גם תנאי מספיק.
הוכחת המשפט מתבססת על העובדה שקיים מסלול מעגלי על לוח שחמט, שעובר מכל משבצת למשבצת סמוכה (בעלת צלע משותפת), ועובר בכל משבצת פעם אחת בלבד.
כאשר מסירים שתי משבצות, אחת שחורה ואחת לבנה, מחלקים למעשה את המסלול לשני "שבילים".
אורך כל שביל הוא זוגי, מאחר שקצה אחד שלו סמוך למשבצת הלבנה שהסרנו (ולכן הוא שחור) והקצה השני שלו סמוך למשבצת השחורה שהסרנו (ולכן הוא לבן).
כדאי גם לשים לב, שאורך אחד השבילים עשוי להיות אפס.
כל שביל ניתן לרצף באבני דומינו בקלות, אם מתחילים מאחד הקצוות שלו, ומכסים כל זוג משבצות באבן דומינו.
משפט בנך-אלאוגלו (Banach-Alaoglu theorem) הוא משפט מתמטי באנליזה פונקציונלית.
משפט זה אומר שכדור יחידה במרחב הדואלי הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה עליה.
הוכחה שהמשפט מתקיים במרחב ספרבילי נורמי ניתנה בשנת 1932 על ידי סטפן בנך, ובשנת 1940 ניתנה הוכחה כוללת על ידי לאונידס אלאוגלו.
כיוון שהוכחת המשפט נעשית באמצעות משפט טיכונוף, היא מתבססת על אקסיומת הבחירה.
הטופולוגיה החלשה-* המוגדרת על המרחב הדואלי למרחב וקטורי טופולוגי
יהי X מרחב וקטורי טופולוגי נורמי (למשל מרחב בנך), ויהי המרחב הדואלי שלו.
נשים לב כי כל מרחב X כנ"ל, משוכן באופן קנוני במרחב הדואלי למרחב הדואלי , על ידי אופרטורי הערכה בנקודה.
כלומר לכל , נגדיר אופרטור שיפעל על באופן הבא - לכל יתקיים .
קל לראות כי פונקציונל ליניארי רציף, וההתאמה
הטופולוגיה החלשה-* (קרי חלשה-כוכב,weak-star באנגלית) על המרחב הדואלי , מוגדרת כטופולוגיה החלשה ביותר כך שאופרטורי הערכה בנקודה המתוארים מעלה רציפים.
באופן שקול, ניתן לכל אופרטור הערכה כזה להגדיר סמינורמה על על ידי , לכל , והטופולוגיה החלשה-* היא הטופולוגיה המושרית על ידי משפחת הסמינורמות הללו.
נשים לב כי טופולוגיה זו חלשה מהטופולוגיה המקורית, כלומר כל קבוצה פתוחה בטופולוגיה החלשה-* היא אכן פתוחה בטופולוגיה המקורית.
כדור היחידה הסגור של המרחב הדואלי , ביחס לטופולוגיה הנורמית שלו (המתקבלת מהנורמה האופרטורית), הוא קומפקטי ביחס לטופולוגיה החלשה-*.
לכל נגדיר אינטרוול ונסתכל במרחב מכפלת טיכונוף שלהם .
לומר שפונקציונל f נמצא בכדור היחידה זה שקול לומר שהגרף של הפונקציונל הליניארי f עובר בתוך כל אינטרוול ולא יוצא ממנו, כלומר: הגרף של f הוא "קו" שנמצא כולו בין קצוות ה"רצועה" שנוצרה על ידי האינטרוולים.
בנוסחה, כאשר D מסמל את כדור היחידה.
לכן אפשר לשכן את כדור היחידה D בתוך K.
לפי משפט טיכונוף K הוא קומפקט (קבוצה קומפקטית סגורה) כמכפלה של מרחבים קומפקטיים (כל אינטרוול הוא קומפקט כי מדובר בקבוצה סגורה וחסומה במרחב האוקלידי).
כדי להוכיח ש-D הוא קומפקט מספיק להראות שזו קבוצה סגורה, אך זה ברור מאחר שלינאריות היא תכונה סגורה וכל פונקציונל ניתן להגדיר על ידי חיתוך כל התנאים הסגורים מהצורה .
באנליזה מרוכבת, משפט גאוס-לוקאס, חוסם את שורשי הנגזרת של פולינום P במונחי השורשים של P עצמו.
קבוצת השורשים של פולינום ממשי או מרוכב היא קבוצת נקודות במישור המרוכב.
המשפט קובע כי כל השורשים של נמצאים בתוך הקמור של השורשים של P, כלומר בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את השורשים של P.
המשפט, הקרוי על שמם של קרל פרידריך גאוס ופליקס לוקאס, דומה ברוחו למשפט רול.
בין המסמכים שהותיר מאחוריו קרל פרידריך גאוס (1777 - 1855) נמצאה מחברת אשר הוא החל לכתוב בספטמבר 1813. בעמוד 76 במחברת הוא כתב את הטענה שנודעה כמשפט גאוס-לוקאס.
מספר מכתבים שלו שנשלחו לשומאכר מעידים שהוא חשב על המשפט לראשונה ביוני 1836 ושהוא הכיר היטב את ההשלכות הנובעות ממנו.
מאוחר יותר, פליקס לוקאס ניסח משפט דומה, אם כי בגרסה מעט חלשה יותר, במאמר מ-1868. המשפט נתגלה מחדש באופן בלתי תלוי על ידי Legebeke ב-1882, בעזרת שיקולים גאומטריים.
אם P הוא פולינום בעל מקדמים מרוכבים, כל האפסים של נמצאים בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את האפסים של P (במישור המרוכב).
קל לראות שאם הוא פולינום ממעלה שנייה, השורש של הוא הממוצע החשבוני של השורשים של P.
במקרה זה, הקמור הוא הקטע הישר ששני השורשים של P הם קצותיו, וברור שהממוצע של שני השורשים הוא אמצעו של הקטע הזה.
במקרה של פולינום ממעלה שלישית P (פולינום מעוקב) עם שלושה שורשים שונים, משפט מרדן קובע שהשורשים של 'P הם נקודות המוקד של אליפסת שטיינר , שהיא האליפסה היחידה המשיקה לצלעות המשולש ששורשי P הם קודקודיו, בנקודות האמצע שלהן.
אם לפולינום ממעלה n עם מקדמים ממשיים יש n שורשים ממשיים שונים אז ניתן לראות, דרך משפט רול, ששורשיו של פולינום הנגזרת מצויים כולם באינטרוול , שהוא הקמור של שורשי הפולינום המקורי.
מן המשפט היסודי של האלגברה, נובע כי ל-P קיים פירוק יחיד מעל שדה המספרים המרוכבים: , כאשר המספרים הם השורשים של P.
יהי Z מספר מרוכב עבורו .
נבצע בפולינום נגזרת לוגריתמית ונקבל:
באופן ספציפי, אם Z הוא שורש של ועדיין , אז: או: .
הביטוי האחרון יכול להיכתב גם כ-: .
ניתן לראות כי Z הוא סכום משקלים בעל מקדמים חיוביים, או מרכז כובד של המספרים המרוכבים ולכן הוא נמצא בתוך המצולע הקמור הקטן ביותר המכיל את האפסים של P, מש"ל.
משפט בן שמן היה אחד המשפטים הבולטים של שלטונות המנדט הבריטי נגד אנשי "ההגנה".
כפר הנוער בן שמן נוסד בשנת 1927 על ידי איש החינוך ד"ר זיגפריד להמן.
כפר הנוער, על 450 התלמידים ו-150 המבוגרים, היה מנותק משאר היישובים היהודיים.
ד"ר להמן היה איש תנועת ברית שלום ודגל בדו-קיום עם הערבים.
הוא קיים יחסי ידידות עם נכבדי הכפרים הערביים בסביבה והשתדל להסביר להם כי אין זה נאה לפגוע בכפר שרוב תושביו הם ילדים.
חרף זאת, במאורעות תרצ"ו-תרצ"ט נערכו יותר מ-100 התקפות ירי על הכפר ושני שומרים נהרגו.
בקשתו של ד"ר להמן מהשלטונות הבריטים להקים במקום נקודת משמר צבאית נדחתה.
על כן, כדי להגן על הכפר, הבריחו למקום כלי נשק והטמינום בסליקים.
כן נרכש בעזרת מטה "ההגנה" משדר אלחוטי, באמצעותו קויים קשר קבוע עם מרכז "ההגנה" בתל אביב.
ב-22 בינואר 1940 עם חשיכה, הגיעו לבן שמן שוטרים ובלשים רבים בפיקודו של הקצין ג'פרי מורטון (שהרג כעבור שנתיים את אברהם שטרן), כשהם מצוידים במידע מודיעיני מדויק.
הם פרצו את שער החומה שהקיפה את הכפר והחלו מיד בחיפושים.
תלמידי המוסד ועובדיו ניעורו לקול הרעש ונתבקשו להיכנס לחדר האוכל ולא לצאת משם עד להוראה נוספת.
יחידה אחרת נגשה למקום שבו היו חברי "ההגנה" ועצרה אותם מיד.
השוטרים דרשו מחברי "ההגנה" לגלות את כל מחבואי הנשק בכפר.
האלחוטנית הספיקה לשדר לתל אביב על הנעשה ונתפסה מיד לאחר מכן.
הבריטים הצליחו לחשוף שלושה מתוך חמישה מחסני הנשק ובהם 27 רובים, 5 תת-מקלעים ו-38 מחסניות למקלעים, 5,000 כדורי רובה, 23 רימונים מתוצרת התע"ש, מדוכות רימונים, אלפי כדורי אקדח, חומר נפץ, אבק שרפה ועוד.
הבריטים עצרו 12 איש ובראשם ד"ר להמן.
ב-15 באפריל 1940 נפתח במחנה אלנבי בירושלים משפטם של 12 מורים ועובדים מכפר הנוער ובראשם ד"ר להמן.
המשפט ארך שבוע ועורר התעניינות עצומה בקרב היישוב היהודי בארץ ישראל.
ב-22 באפריל 1940 הוצא פסק הדין: ד"ר להמן ומפקד ההגנה במקום, ישראל (שורה) פרנקל, נידונו לשבע שנות מאסר.
האלחוטנית ציפורה לישיצקי נידונה לשנתיים מאסר בבית הכלא לנשים בבית לחם.
מיד לאחר פרסום פסק הדין פרסמו חברי הנהלת הוועד הלאומי, הסוכנות היהודית והרבנים הראשיים כרוז ובו נכתב:
ארגון "ההגנה" העביר בקרב היישוב כתב הזדהות עם אסירי "ההגנה" ואסירי בן שמן, שעליו חתמו 125,000 איש.
לחץ כבד הופעל על ממשלת בריטניה מצד הסוכנות היהודית ואישים בעלי שם ברחבי העולם ובראשם אלברט איינשטיין.
מאסרו של ד"ר להמן, שהיה ידוע כפציפיסט מושבע וכאיש "ברית שלום", שם ללעג את פסק הדין והדבר הובא לדיון בבית הנבחרים הבריטי.
כתוצאה מהלחץ הציבורי הוחלף כעבור שלושה שבועות מאסרו של ד"ר להמן ושנים מעוזריו בהנהלת המוסד לקנס של 800 לא"י והופחתה תקופת מאסרם של שאר הנאסרים.
המשוחררים התקבלו בפרחים ובשירה על ידי כל תושבי כפר הנוער.
החניכים והעובדים הסתדרו בשתי שורות ביניהן עברו המשוחררים עד לבמה מקושטת עליה נגנה תזמורת הכפר לכבודם.
משפט ברטראן בפיזיקה, דן בתנאים לקיומם של מסלולים סגורים יציבים עבור תנועת גוף בהשפעת פוטנציאל מרכזי.
על פי המשפט, הפוטנציאלים היחידים עבורם המסלולים החסומים סגורים עבור כל תנאי התחלה הם הפוטנציאל הגרביטציוני/אלקטרוסטטי או הפוטנציאל ההרמוני .
המשפט הוצג בידי הפיזיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן בשנת 1873.
נתון גוף, הנע בהשפעת כוח הנגזר מפוטנציאל מרכזי - .
מסלול הגוף (כלומר פתרון משוואות התנועה) כפונקציה של הזמן הוא .
כיוון שהגוף נע בהשפעת כוח מרכזי, מסלול תנועתו מוגבל למישור וניתן לתאר אותו על ידי שימוש בקואורדינטות פולריות .
מסלול הגוף הוא חסום אם קיים כך ש לכל זמן t (כלומר הגוף אינו מתרחק לאינסוף, אלא נשאר בסביבת מקור הכוח).
מסלול הגוף הוא סגור אם קיים כך (במקרה זה הגוף מבצע תנועה מחזורית עם זמן מחזור ).
המסלול הסגור הפשוט ביותר הוא מסלול בצורת מעגל, עבורו .
מסלול כזה קיים עבור כל כוח מושך, והוא מתקבל כאשר הכוח הפועל על הגוף מתקזז בדיוק עם ה"כוח הצנטריפוגלי", כלומר כאשר:
בנוסף, עבור מסלול מעגלי, האנרגיה של הגוף שווה למינימום של הפוטנציאל האפקטיבי (ציור 3).
לסיכום, ניתן לקבל מסלול מעגלי סגור עבור כל כוח מרכזי מושך, אך על מנת לקבל מסלול שכזה יש צורך בתנאי התחלה מיוחדים.
הסעיפים הבאים ידונו בקיום מסלול סגור במקרים בו התנאים הנ"ל אינם מתקיימים.
כדי לבחון את המתרחש עבור מסלול שאינו מעגלי, יש להשתמש במשוואת המסלול שפתרונה נותן את צורת המסלול .
את משוואת המסלול נוח לכתוב עבור המשתנה :
עבור, סטייה קטנה ממסלול מעגלי , ניתן לבצע ליניאריזציה של המשוואה ולקבל כי הפתרון הוא מן הצורה , כלומר אוסצילציות קטנות סביב המסלול המעגלי [ציור 1 (2)].
המסלול יהיה סגור אם ורק אם הוא מספר רציונלי.
ניתוח של משוואת המסלול מראה כי רציונלי יתקבל רק עבור כוח מן הצורה:
כלומר, רק עבור כוחות מן הצורה הנ"ל, כאשר רציונלי, סטייה קטנה מן התנאים למסלול מעגלי תוביל אף היא למסלול סגור (דוגמת זה המופיע בחלק 2 של ציור 1).
סטיות גדולות ממסלול מעגלי - משפט ברטראן
כאשר הסטייה ממסלול מעגלי אינה קטנה לא ניתן להסתפק בגרסה הליניארית של משוואת המסלול אלא יש צורך בניתוח מעמיק יותר.
מניתוח זה עולה כי הכוחות היחידים עבורם מתקבל מסלול סגור עבור תנאי התחלה כללי (לאו דווקא קרוב למסלול מעגלי) הם:
הכוח הריבועי ההפוך , דוגמת כוח הגרביטציה, או הכוח החשמלי, המתאים לפוטנציאל .
אוסצילטור הרמוני איזוטרופי - הכוח , דוגמת כוח אלסטי של קפיץ (חוק הוק), המתאים לפוטנציאל הרמוני .
בשני המקרים הנ"ל צורת המסלול המתקבלת היא אליפסה.
משפט ברטרנד שופך אור על הייחוד של אופי המסלולים בשתיים מן הבעיות החשובות במכניקה - בעיית קפלר ובעיית האוסצילטור ההרמוני.
העובדה כי בבעיות אלו מתקבלים מסלולים סגורים אינה טריביאלית והיא תלויה בצורה המיוחדת של הכוח הפועל בבעיות אלו.
ניתן להראות כי בבעיות אלו קיימים גדלים שמורים ייחודיים, בנוסף לגדולים השמורים הקיימים בכל בעיית כוח מרכזי (אנרגיה ותנע זוויתי).
קיום הגדלים הנ"ל גורם לכך שהמסלולים המתקבלים סגורים.
כך לדוגמה, בבעיית קפלר וקטור לפלס-רונגה-לנץ הוא וקטור שמור המצביע בכיוון הציר הראשי של האליפסה.
העובדה כי זהו וקטור קבוע, שומרת על האליפסה קבועה, מונעת ממנה לבצע פרצסיה ולפיכך מתקבל מסלול סגור.
כאשר ישנן סטיות מן הכוח הריבועי ההפוך הווקטור הנ"ל כבר אינו שמור, האליפסה מבצעת פרצסיה (ציור 2) והמסלול המתקבל כבר אינו סגור.
סטיות כאלו, אמנם קיימות עבור תנועת כוכבי הלכת במערכת השמש (כתוצאה מתיקונים יחסותיים והשפעות הדדיות בין כוכבי הלכת) והדבר אכן גורם לפרצסיה במסלולם.
את היחוד של בעיית קפלר ובעיית האוסצילטור ההרמוני, ניתן להציג בדרכים נוספות:
בתנועה חסומה המתקבלת בבעיית כוח מרכזי כללית, הגוף מבצע תנועה מחזורית בשתי הקואורדינטות .
באופן כללי תדירות התנודה בשתי הקואורדינטות תהיה שונה.
אולם בבעיית קפלר ובבעיית האוסצילטור ההרמוני, קיים ניוון - שתי התדירויות שוות ולפיכך מתקבל מסלול סגור.
בבעיית קפלר ובעיית האוסצילטור ההרמוני יש סימטריה גדולה יותר מאשר בבעיית כוח מרכזי כללית.
בבעיית כוח מרכזי כללית קיימת סימטריה לסיבובים, כלומר המערכת אינווריאנטית תחת טרנספורמציה מתוך חבורת הסימטריה .
לעומת זאת עבור בעיית קפלר חבורת הסימטריה היא ועבור האוסצילטור ההרמוני .
משפט גרין הוא משפט באנליזה מתמטית המגדיר קשר בין אינטגרל קווי של פונקציה על עקום סגור ופשוט לבין האינטגרל הכפול על השטח החסום על ידי העקום.
משפט גרין הוא מקרה פרטי דו-ממדי של משפט סטוקס.
הוא נקרא על שם המתמטיקאי האנגלי ג'ורג' גרין.
למשפט שימושים רבים במתמטיקה ובהנדסה.
לדוגמה, הבסיס המתמטי לפעולת הפלנימטר, שהוא מכשיר המודד שטח של צורה מישורית כלשהי, הוא משפט גרין, או נוסחת הסקטור של לייבניץ כמקרה פרטי שלו.
ממשפט גרין נובעת נוסחת השרוך.
המשפט: תהי מסילה פשוטה סגורה, מכוונת חיובית (נגד כיוון השעון) וגזירה למקוטעין החוסמת שטח ב-, ונסמן ב- את השטח החסום על ידי המסילה .
אם , פונקציות בעלות נגזרות חלקיות רציפות עד סדר ראשון בסביבה המכילה את , אזי:
כאשר הביטוי משמאל מגדיר אינטגרל קווי על עקום סגור (ולכן סימון העיגול על סימן האינטגרל) ומימין מבוטא האינטגרל הכפול עבור שטח התחום הסגור .
מקרה שימושי במיוחד הוא כאשר הפונקציות הן רכיבים של שדה וקטורי: .
במקרה זה המשפט מקשר בין האינטגרל המשטחי על שטף הרוטור של השדה הווקטורי, לבין האינטגרל המסילתי של השדה.
אם נסמן ב- את הווקטור הניצב למשטח, וב- את אלמנט המסילה המקיפה את המשטח, ניסוח המשפט יהיה
בניסוח הזה, המשפט הוא כללי יותר.
הוא תקף לא רק כאשר התחום מוכל במישור, אלא גם במקרה כללי שבו הוא יריעה חלקה דו-ממדית פשוטת קשר, והעקום הוא שפת היריעה (שצריכה להיות גזירה למקוטעין).
שימוש לדוגמה: שדה מגנטי מסביב לתיל נושא זרם
נניח כי נתון לנו תיל ישר, אינסופי, הנושא זרם .
הקשר בין הזרם לשדה המגנטי נתון (במקרה הסטטי) על ידי חוק אמפר:
כאשר הוא השדה המגנטי, הוא צפיפות הזרם, ו- הוא קבוע הפרמיאביליות של הריק.
נבנה משטח מעגלי מאונך לתיל ברדיוס , שמרכזו נמצא על התיל (כמו קווי השדה האדומים בתמונה).
נסמן את המשטח ב- ואת העקום שמקיף אותו ב-.
מכיוון שהמערכת סימטרית לסיבוב סביב התיל, השדה המגנטי לאורך קבוע.
משיקולים אחרים ניתן לקבל שכיוון השדה המגנטי משיק ל- בכל נקודה.
לכן, האינטגרל המסלולי על השדה המגנטי שווה פשוט ל:
כעת נשתמש במשפט גרין ובחוק אמפר כדי לחשב את גודל השדה:
לפי הגדרה, האינטגרל על צפיפות הזרם הוא הזרם, ולכן קיבלנו , או בניסוח המקובל יותר:
עבור שהוא תחום פשוט מסוג 1 - תחום חסום על ידי שני ישרים מאונכים לציר x ושתי פונקציות גזירות של (כמתואר בתמונה).
נחשב את האינטגרל הכפול ב-(1):
כעת נחשב את האינטגרל הקווי ב-(1): ניתן לרשום את כאיחוד ארבעת העקומים: , , , .
עבור נשתמש בהצגה הפרמטרית: , ,
עבור , הערך של x זהה בשני גבולות האינטגרציה, ולכן
התוצאות במשוואות (3) ו-(2) זהות, ובכך קיבלנו את השוויון ב-(1).
באופן דומה ניתן להוכיח כי מתקיים:
עבור שהוא תחום פשוט מסוג 2 - חסום על ידי שני ישרים מאונכים לציר y ושתי פונקציות גזירות של y.
משילוב (1) ו-(4) מתקבל כי עבור תחום מלבני (שהוא תחום פשוט מסוג 1 וגם תחום פשוט מסוג 2) מתקיים
על ידי שימוש בתכונות של אינטגרלים (אדיטיביות על תחומים זרים, והיפוך סימן בהיפוך כיוון) ניתן לראות כי המשפט תקף עבור כל שטח שניתן לחלוקה למספר סופי של תחומים מלבניים.
משפט גיבארד-סטרת'ווייט (על-שם Allan Gibbard ו- Mark Satterthwaite) הוא משפט בתורת ההצבעות, המתייחס למערכת שבה כל מצביע מדרג את המועמדים ותוצאת ההצבעה היא בחירה של מועמד אחד.
המשפט קובע שאם יש יותר משני מועמדים, כל שיטת בחירות שאינה דיקטטורית והנותנת לכל מועמד אפשרות לזכות, חשופה להצבעה טקטית; כלומר, בתנאים מסוימים, יש מצביעים שכדאי להם להצביע אחרת מן ההעדפה האמיתית שלהם.
גרסאות חזקות יותר של המשפט מראות שהתוצאה חלה אפילו כאשר מרשים למצביעים לדרג רק באופן חלקי (ולהשאיר אפשרויות שקולות).
לשם השוואה, משפט אי-האפשרות של ארו מתייחס למערכות הצבעה שבהן התוצאה היא דירוג של המועמדים (ולא מועמד זוכה יחיד), וקובע שאין מערכת הצבעה הוגנת שאינה דיקטטורית.
משפט דוגן-שוורץ עוסק במערכות הצבעה שבהן התוצאה היא קבוצה (לא ריקה) של זוכים, ללא דירוג פנימי; ואילו משפט הולמשטרום מגביל, באופן דומה למדי, את המערכות האפשריות לתמרוץ סוכנים.
תהי A קבוצת האפשרויות לבחירה, ויהי וקטור בחירות, כאשר היא קבוצת הבוחרים.
אם , ואם היא פונקציית בחירה חברתית המקיימת את עקרונות המונוטוניות ואת עקרון הפה אחד, אז דיקטטורית.
לפי נגדיר פונקציית רווחה חברתית .
נראה ש- מקיימת את עקרונות האי תלות באפשרויות לא רלוונטיות, ופה אחד.
לפי משפט ארו נקבל ש- היא דיקטטורה, ובעזרתה נראה שגם היא דיקטטורה.
יהיו , שני יחסי העדפות חזקים.
נסמן ב את יחס ההעדפות המוגדר באופן הבא:
כל האפשרויות ב מדורגות לפני האפשרויות שאינן ב .
את האפשרויות ב מדרגים לפי .
את האפשרויות שאינן ב מדרגים לפי .
דוגמה: נניח שקבוצת האפשרויות היא , ו- .
אם יחסי ההעדפות ו- מוגדרים באופן הבא:
אז היחס יהיה מוגדר כך:
תהי פונקציית בחירה חברתית מונוטונית.
זה נובע מהגדרת המונוטוניות (לא הרענו את מצבו של ב- ביחס למצבו ב- ).
מסקנה: אם וגם , אז נקבל ש- .
תהי פונקציית בחירה חברתית המקיימת את עקרונות המונוטונית והפה אחד.
יהיו נתונים , (יש עוד מועמדים).
הוכחה: נסמן , ונסתכל על .
אז בגלל עקרון הפה אחד: .
מהמסקנה של משפט עזר 1, נסיק ש- .
יהי פרופיל העדפות חזקות כלשהו, קבוע לאורך כל ההוכחה.
לכל פרופיל העדפות חזקות נגדיר יחס בינארי באופן הבא:
לכל שתי אפשרויות שונות מתקיים:
כדי שהיחס יהיה רפלקסיבי, נגדיר בנוסף:
נראה ש- היא פונקציית רווחה חברתית
על מנת להראות ש היא פונקציית רווחה חברתית, יש להראות שהיחס הוא שלם וטרנזיטיבי.
כל האפשרויות השונות מ- ו- מועדפת פחות מ- על ידי כל הבוחרים, לכן לפי משפט עזר 2, אף אחת מאפשרויות אלה אינה יכולה להיות .
לפי הגדרת היחס הבינארי נקבל שלכל זוג אפשרויות , שונות זו מזו ב , מתקיים: או , כלומר, הוא יחס העדפות שלם על .
נשים לב גם שאין אדישות ב- , כלומר, או שהחברה מעדיפה ממש את על , או שהחברה מעדיפה ממש את על .
נניח בשלילה כי היחס אינו טרנזיטיבי, כלומר קיימים כך ש:
(האפשרות לא תיתכן, משום שלפי הגדרת , שני איברים הם שקולים אם ורק אם הם שווים, ובמקרה זה נקבל שגם וגם מתקיימים ביחד, וזו סתירה להגדרה .)
נשים לב לזהות הבאה: .
על יחס הסדר נקבע בשני המקרים על ידי , ועל המשלים של יחס הסדר נקבע בשני המקרים על ידי .
מכך ש- נובע כי , ולפי הזהות הקודמת, נקבל ש- .
בפרט נקבל ש- , ולפי משפט עזר 1, נסיק כי .
באופן דומה, מכך ש , נקבל ש- .
סך הכל קיבלנו ש- .
מצד שני, לכל , מתקיים: .
הסבר: לכל כזה מתקיים , ולפי משפט עזר 2 נקבל ש- .
אבל אם כך, מתקבל ש- , וזה בסתירה להגדרת הבחירה החברתית .
מכאן שהנחת השלילה שהיחס אינו טרנזיטיבי אינה נכונה, ולכן היחס כן טרנזיטיבי.
הראינו שהיחס הוא שלם וטרנזיטיבי, לכן היא פונקציית רווחה חברתית.
נותר להראות ש- מקיימת את עקרון הפה אחד, ואי תלות באפשרויות לא רלוונטיות.
נראה ש- מקיימת את עקרון הפה אחד
לשם כך יש להוכיח ש- .
אכן, נשים לב שביחסים , ממוקם במקום הראשון לכל .
כיוון ש- מקיימת את עקרון הפה אחד, אז השוויון מתקיים.
לכן מקיימת את עקרון הפה אחד.
נראה ש- מקיימת את עקרון האי תלות באפשרויות לא רלוונטיות
יהיו , , , המקיימים:
יש להוכיח ש- , או באופן שקול: .
ואכן זה מתקיים משום ש- , ולכן מקיימת את עקרון האי תלות באפשרויות לא רלוונטיות.
ממשפט ארו, נקבל ש- היא דיקטטורית, כלומר קיים כך ש- מתקיים .
סיום ההוכחה – נראה ש- היא דיקטטורית, עם אותו דיקטטור
יהי כלשהו, ותהי האפשרות בעדיפות ראשונה לפי של בוחר .
נניח בשלילה ש- , אז לפי משפט עזר 1 מתקיים ש- .
לכן, לפי הגדרת נקבל שהחברה כולה מעדיפה את על פני , או באופן שקול: , וזאת בסתירה לכך ש- דיקטטור לפי .
לכן קיבלנו שגם היא דיקטטורית, עם אותו דיקטטור .
בחשבון אינפיניטסימלי, גרסאות דיסקרטיות של משפט גרין מתארות את הקשר בין אינטגרל כפול של פונקציה ב"תחום מלבני מוכלל" D (תחום שנוצר מאיחוד סופי של מלבנים במישור), וצירוף ליניארי של הפונקציה הקדומה של פונקציה נתונה, בפינות התחום.
ערך זה מציג גרסה של משפט גרין הדיסקרטי
, המכלילה את אלגוריתם טבלת שטח מסוכם מתחום מלבני לאיחוד של כמה מלבנים.
המשפט נקרא על שם המתמטיקאי האנגלי ג'ורג' גרין, לאור הדמיון בינו לבין משפט גרין: שני המשפטים מתארים קשר בין אינטגרציה לאורך עקום, ואינטגרציה על תחום החסום על ידי העקום.
משפט גרין הדיסקרטי מיושם בהקשרים של חישובי שטחים מהירים, החל מאפליקציות ממוחשבות כגון זיהוי אובייקטים בתמונה, וכלה בחישוב יעיל של הסתברויות.
תהי f פונקציה אינטגרבילית במישור, ותהי:
יהי D תחום מלבני מוכלל במישור R2. אזי ניסוח המשפט הוא:
כאשר היא קבוצת הפינות של התחום הנתון D, ו - הוא פרמטר דיסקרטי עם ערכים אפשריים {0, ±1, ±2}, אשר נקבע על פי סוג הפינה, בהתאם לציור משמאל.
כדי להוכיח את המשפט ניתן להפעיל את הנוסחא מהאלגוריתם טבלת שטח מסוכם על המרובעים שמרכיבים את התחום המלבני המקורי:
כפי שניתן לראות בתמונה לעיל, מקדמי הפונקציה הקדומה (+\-) מקזזים זה את לאורך המרובעים, מלבד פינות התחום המקורי.
בהינתן פונקציה f שמוגדרת ב - R2, תהי F הפונקציה הקדומה שלה.
יהי D התחום שצבוע בירוק בתמונה הבאה:
אזי טענת המשפט לגבי התחום המלבני, היא:
פאם ושותפיו הציעו הכללה לתחומים פוליגוניאליים על ידי תכנון דינמי.
במתמטיקה, משפט גלפונד-שניידר הוא משפט הקובע תחת אילו תנאים העלאת מספר אלגברי בחזקת מספר אלגברי נותנת מספר טרנסצנדנטי.
המשפט הוכח על ידי המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר גלפונד בשנת 1934 ובאופן בלתי תלוי על ידי המתמטיקאי הגרמני תאודור שניידר בשנת 1935.
המשפט קובע כי אם מספרים אלגבריים כך ש-, ו- אי-רציונלי, אז טרנסצנדנטי.
המשפט לא מוגבל למספרים ממשיים ותקף גם למספרים מרוכבים.
במספרים מרוכבים חזקה היא פונקציה רב-ערכית וייתכן יותר מערך אחד ל-.
המשפט תקף לכל ערך נבחר.
המשפט קובע תנאים מספיקים לכך שאלגברי בחזקת אלגברי יהיה טרנסצנדנטי.
עוד קודם לכן היה ידוע כי אלו גם תנאים הכרחיים:
אם או אז ו- בהתאמה, ולכן התוצאה אלגברית.
אם רציונלי אז מכיוון ששדה המספרים האלגבריים סגור אלגברית, גם אלגברי.
ההגבלה ש- יהיה אלגברי נחוצה גם היא.
אם נדרוש רק ש- יהיה אי-רציונלי, קל למצוא דוגמה נגדית למשפט: .
משפט גלפונד-שניידר משמש להוכחת הטרנסצנדנטיות של קבוצה רחבה של מספרים.
קבוע גלפונד-שניידר, והשורש שלו, .
קבוע גלפונד, (לפי זהות אוילר).
לפי המשפט אם אלגבריים אז טרנסצנדנטי או רציונלי (אחרת דוגמה נגדית למשפט).
למשל אינו רציונלי (נובע מכך ש-2 ו-3 ראשוניים), ולכן טרנסצנדנטי.
בתורת המספרים האלגברית, משפט גרונוולד-ואנג קובע שפרט ליוצאי דופן ידועים, איבר של שדה מספרים הוא חזקת- של מספר אחר, אם ורק אם הוא חזקת- כמעט בכל השלמה .
למשל, מספר רציונלי הוא ריבוע אם ורק אם הוא ריבוע כמעט בכל שדה מספרים p-אדי.
למשפט יש גם גרסאות המאפשרות לבנות הרחבות ציקליות של באמצעות מידע על השדות המקומיים המתאימים לו.
המשפט פורסם לראשונה על ידי המתמטיקאי הגרמני וילהלם גרונוולד בשנת 1933 ותוקן על ידי המתמטיקאי הסיני ואנג בשנת 1948.
גרונוולד, שהיה סטודנט של הלמוט הסה, פרסם ב-1933 את הטענה שאיבר בשדה מספרים הוא חזקת-n אם ורק אם הוא חזקה כזו כמעט בכל השלמה של השדה.
ב-1948 מצא ואנג דוגמה נגדית: 16 הוא חזקה שמינית בכל שדה מספרים -אדי עבור אי-זוגי, אבל אינו כזה בשדה המספרים ה-2-אדי (וגם לא בשדה המספרים הרציונליים).
בתזת הדוקטורט שלו, שנכתבה (ב-1950) תחת הנחייתו של אמיל ארטין, מצא ואנג גרסה נכונה למשפט, שבה מטפלים בגורמים ה-2-אדיים באופן מיוחד.
המספר 16 אינו יכול להיות חזקה שמינית ב-, משום שהערך ה-2-אדי שלו, 4, אינו מתחלק ב-8. מעל כל שדה , 16 הוא חזקה שמינית אם ורק אם לפולינום
קיים שורש בשדה, כלומר, אם ורק אם בשדה יש שורש לאחד המספרים .
לפי התכונות הבסיסיות של שאריות ריבועיות, אחד המספרים האלה מוכרח להיות ריבוע מודולו , וזאת לכל ראשוני .
לפי הלמה של הנזל, מקיום הפתרון מודולו , כאשר אי-זוגי, נובע שיש פתרון גם ב-.
נסמן את שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר .
לכל , השדה הציקלוטומי מסדר הוא השדה .
נאמר ששדה הוא -מיוחד, אם הוא כולל את , אבל אינו כולל אף אחד מהמספרים .
יהי שדה מספרים, עם קבוצה סופית של ראשוניים , ויהי מספר שלם.
משפט גרונוולד-ואנג קובע שכל מספר שהוא חזקה -ית בכל השלמה עבור , פרט למקרה המיוחד שבו מתקיימים התנאים המצטברים הבאים: קיים עבורו
, הוא -מיוחד, ו- כולל את כל "הראשוניים המיוחדים", שהם הראשוניים שעבורם הוא -מיוחד (ראשוניים אלה הם בהכרח 2-אדיים, ולכן מספרם סופי).
אפילו במקרה המיוחד, העיקרון הלוקאלי-גלובלי נכשל רק באופן סופי: חבורת המנה של חזקות--מקומיות מודולו חזקות- היא מסדר 2.
לדוגמה, נתבונן שנית בדוגמה הנגדית של ואנג.
שדה המספרים הרציונליים הוא 2-מיוחד, מכיוון שהוא מכיל את , אבל לא אף אחד מהמספרים .
הראשוני המיוחד היחיד הוא 2. לכן, מעל הרציונליים, המקרה המיוחד מתרחש רק אם מתחלק ב-8 ו- כולל את הראשוני 2. משום כך ייתכנו מספרים שהם חזקת-8 בכל השלמה אי-זוגית, ואינם כאלה מעל השדה עצמו.
אפשר לתקן את הטענה גם כך: כל מספר שהוא חזקה -ית *בכל* השלמה (לרבות ה-2-אדית), הוא חזקת- רציונלית.
מן הדוגמה הנגדית של ואנג נובע שלא קיימת הרחבה ציקלית מממד 8 של הרציונליים, שבה 2 הוא "אינרטי לחלוטין" (כלומר מממד 8).
משפט גולדבך-אוילר הוא משפט הקובע כי הסכום האינסופי של כל המספרים מהצורה כאשר s הוא חזקה מושלמת (ראה למטה), שווה 1. המשפט פורסם על ידי לאונרד אוילר במאמר "Variae observationes circa series infinitas" משנת 1737. אוילר מייחס את גילוי המשפט לכריסטיאן גולדבך, שכתב על התוצאה במכתב לאוילר.
חזקה מושלמת הוא מספר טבעי מהצורה כאשר m ו-k מספרים טבעיים גדולים מ-1 (במקרה הזה איננו כוללים בהגדרה את המספר 1).
למשל מספר ריבועי הוא מקרה פרטי של חזקה מושלמת בו k=2. החזקות המושלמות הראשונות הם:
נסמן את קבוצת החזקות המושלמות ב-S.
חשוב להדגיש כי בטור לא מופיעים איברים כפולים.
למשל על אף ש-16 ניתן לכתיבה בשתי דרכים שונות כחזקה מושלמת (), המספר מופיע בסכום רק פעם אחת.
כמו מרבית ההוכחות בתחום הטורים האינסופיים בנות התקופה, הוכחתו של אוילר אינה ריגורוזית מספיק כדי להיחשב הוכחה קבילה בימנו.
במהלך ההוכחה אוילר מייחס "ערך" לטור ההרמוני, ומבצע עליו פעולות אריתמטיות, על אף שידע כי טור זה מתבדר לאינסוף.
ראשית מסמן אוילר ב-x את סכום הטור ההרמוני:
כעת הוא מחסיר מהשוויון את איברי הטור ההנדסי הכולל את כל ההופכיים של החזקות של 2:
באופן דומה מחסירים את הופכיי החזקות של 3, , ומקבלים:
נמשיך לפי בתהליך הזה למספרים גדולים יותר.
לא נחסיר את הטור ההנדסי של הופכיי 4, כי אלו כבר הוסרו עם הופכיי 2. נמשיך ונסיר את הופכיי 5, 6, 7, אך לא נחסיר את הופכיי 8, 9 כי אלו כבר הוחסרו עם הופכיי 2 והופכיי 3 בהתאמה.
וכך באופן כללי בכל שלב מסירים איברים רק במקרים שאינם חזקה מושלמת, ואילו על המקרים של החזקות המושלמות מדלגים, משום שהם כבר הוסרו בשלבים של שורשיהם.
בסוף התהליך, לאחר אינסוף שלבים, יוחסרו כל האיברים באגף ימין מלבד האיבר הראשון 1. באגף שמאל מוחסר בשלב ה-t, שאינו חזקה מושלמת, סכום הטור ההנדסי שהוא .
האיברים שיעדרו מההחסרה הם בדיוק האיברים כאשר s חזקה מושלמת.
כלומר בסוף התהליך מקבלים את השוויון:
נחסיר מהשוויון שממנו התחלנו את השוויון האחרון ונקבל:
ניתן להפוך את הוכחת אוילר להוכחה קבילה אם מחליפים את הטור ההרמוני האינסופי בסכומים החלקיים שלו (הידועים כמספרים הרמוניים ), חוזרים על הוכחת אוילר במקרה הסופי הזה, ומראים שההפרש בין 1 לסכום הטור בכל מקרה סופי שואף לאפס כאשר n שואף לאינסוף.
כהכנה להוכחת המשפט נוכיח תוצאה העומדת בפני עצמה: טור ההופכיים של החזקות המושלמות עם חזרות מתכנס ל-1. במקרה הזה אנו מתירים חזרות של איברים בטור.
למשל יופיע פעמיים, פעם אחת לכל הצגה כחזקה מושלמת.
הוכחת הטענה פשוטה ומתבססת על הצגת הטור כטור טלסקופי:
בשוויון השני השתמשנו בנוסחה לסכום טור הנדסי.
נסמן ב- את קבוצת המספרים הטבעיים, מלבד 1, שאינם חזקה מושלמת.
נבחין כי כל חזקה מושלמת s ניתנת להצגה בצורה יחידה כ- כאשר ו-k טבעי גדול מ-1 (k הוא המחלק המשותף המקסימלי של החזקות בפירוק של s לגורמים).
בשוויון האחרון השתמשנו שוב בנוסחה לסכום טור הנדסי.
כל מספר טבעי m, מלבד 1, ניתן להצגה בצורה יחידה כ- כאשר t אינו חזקה מושלמת ו-i טבעי (כולל 1).
טור ההופכיים של החזקות המושלמות ללא חזרות מתכנס לערך:
כאשר p מספר ראשוני, היא פונקציית זטא של רימן ו- היא פונקציית מביוס.
משפט בני הערובה, ובשמו הרשמי: ארצות הברית נגד וילהלם ליסט ואח' נערך בין 8 ביולי 1947 ל-19 בפברואר 1948 והיה השביעי מבין שנים-עשר משפטי נירנברג הנוספים אשר התנהלו בפני בית דין צבאי אמריקאי בהיכל הצדק בנירנברג, גרמניה.
משפט בני הערובה מכונה אף "התיק הדרום-מזרחי" כיוון שהנאשמים היו כולם גנרלים שהובילו כוחות בחזית הדרום-מזרחית באירופה בעת המערכה בבלקנים, ביוון, אלבניה ויוגוסלביה של אותה העת.
אנשי הצבא הגרמנים הואשמו באחריות לנטילת בני ערובה מקרב אזרחים וכן הוצאה להורג של אזרחים אלה ושל פרטיזנים יוגוסלבים, אשר בוצעו החל משנת 1941.
המשפט התנהל בפני הרכב שופטי בית הדין הצבאי בו ישבו, צ'ארלס פ.
ונרסטרום, עורך דין מאיווה, ג'ורג' ג'.
כתב האישום הוגש לבית המשפט ב-10 במאי 1947 והמשפט התנהל מה-8 ביולי 1947 ועד ה-19 בפברואר 1948. מבין 12 הנאשמים שהועמדו לדין, פרנץ במה התאבד בטרם הקראת כתב האישום ומקסימיליאן פון וייכס שוחרר מן המשפט בגלל מצבו הרפואי.
מתוך עשרת הנאשמים הנותרים, שניים זוכו והאחרים נידונו לעונשי מאסר שבין שבע שנים למאסר עולם.
הנאשמים הואשמו בארבעה סעיפי אישום על ביצוע פשעי מלחמה ופשעים נגד האנושות:
רצח, עינויים, הגלייה ומשלוח למחנות ריכוז של אזרחים יוונים, אלבנים ויוגוסלבים.
כל הנאשמים הועמדו לדין בכל סעיפי האישום וכולם הכחישו את האישומים.
על שופטי בית הדין היה להתמודד בהליך זה עם שתי שאלות מפתח:
האם פרטיזנים הם לוחמים לגיטימיים ועל כן ראויים למעמד של שבויי מלחמה?
האם נטילת בני ערובה ופעולות תגמול נגד אזרחים כ"הגנה" מפני פעולות גרילה הן פעולות לגיטימיות?
על שאלת מעמדם של פרטיזנים בית הדין הכריע כי במסגרת דיני מלחמה (אמנת האג משנת 1907), לא ניתן לראות בפרטיזנים בדרום-מזרח אירופה כוח לוחם לגיטימי בהתאם לסעיף 1 לאמנה.
בעניינו של ליסט קבע בית הדין:
אשר לנטילת בני ערובה, בית הדין הגיע למסקנה כי תחת נסיבות מסוימות, נטילת בני ערובה ואפילו הרג כפעולת תגמול עשוי להוות קו פעולה מותר נגד התקפות גרילה.
לדעת בית הדין, מעשה של נטילת בני ערובה (והריגתם בתגובה להתקפת גרילה) כפוף לתנאים מספר.
הרכב בית הדין אף העיר כי "המדריך הבריטי לדיני צבא" ו"המדריך הבסיסי להתנהגות בשדה (כללי מלחמת יבשה)" התירו פעולות תגמול נגד אוכלוסייה אזרחית (בעוד שהמדריך הבריטי לא הזכיר הרג, המדריך האמריקאי כלל אף הרג כפעולת תגמול אפשרית).
למרות זאת, בית הדין מצא את רוב הנאשמים אשמים בסעיף אישום מספר 1 בכתב האישום כיוון שמצא כי פעולות התגמול שבוצעו על ידי הכוחות הגרמנים התבצעו בנסיבות שבהן לדעת בית הדין נטילת בני ערובה ופעולות תגמול של הרג אזרחים היו לא חוקיות.