tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לאחר שהתברר שהנרצחת בגדה בבעלה עם אחד מתושבי העיר, יז'י שילר, עולה החשד שהרוצח הוא בעלה, גז'גוז' בודניק, חבר מועצת העיר, אך כעבור זמן קצר מתגלית גם גופתו, ומתברר שגם הוא נרצח באופן טקסי.
החשד מופנה אל שילר, מאהבה של בודניק, אך גם הוא נעלם, וגופתו נמצאת במנהרות שמתחת לעיר.
כל שלוש הרציחות משקפות סצנות בציור מאת הצייר האיטלקי קרלו דה-פּרֶבוֹ, בן המאה ה-18, התלוי בקתדרלה של סנדומייז', ומתאר רצח פולחני בידי יהודים.
בתחילת המאה ה-21 הוסתר הציור בכיסוי בד שעליו הונחה תמונת האפיפיור.
בעקבות מחקר גנאלוגי על אחדים מתושבי סנדומייז', שהזמין שצקי, הוא מגיע למסקנה שהרוצח הוא לאון וילצ'ור ועוצר אותו, משום שיש לו מניע – נקמה על מות אביו, אמו ההרה ועוברהּ, כתוצאה מאנטישמיות כלפיהם.
וילצ'ור טוען ששצקי טועה, ואף שאינו מנמק זאת, מצליח שצקי לפענח את הרצח וללכוד את הרוצח האמיתי.
שם הספר, "גרעין של אמת", מופיע פעמים אחדות לאורך הספר, בפיהם של אנשים הטוענים, ברצינות או בציניות, שבסיפורים האנטישמיים יש גרעין של אמת.
כך, למשל, כאשר לאחר הרצח השני עונה שצקי לעיתונאי "רצח ריטואלי הוא אגדה אנטישמית ותו לא", מגיב העיתונאי: בכל אגדה יש גרעין של אמת".
בחקירתו של שילר אומר שצקי בהתגרות: "אומרים שבכל אגדה יש גרעין של אמת".
רעיון זו מופיע גם במוטו של הספר, שבו מצוטטות האמירות "לכל אגדה גרעין של אמת" ולעומתה "חצי אמת היא שקר שלם".
הספר הראשון, "Uwikłanie" ("תסבוכת", לא תורגם לעברית), מתאר את חייו בוורשה, עם אשתו ובתו בת האחת-עשרה, עד לגירושיו בעקבות רומן שהיה לו עם עיתונאית.
בעקבות חקירת רצח של זונה חשף שצקי פעילות של סחר בנשים בסנדומייז'.
משהתברר לו שמשרת התובע בעיר פנויה ניצל את ההזדמנות להתרחק מגרושתו ועבר מוורשה לסנדומייז'.
"הכוכב של התביעה המשטרתית בעיר הבירה הפך להיות זר מעורר חשד בעיר קרתנית", מתאר הספר את השינוי.
בספר השלישי בסדרה, הנמצא בכתיבה, יעבור שצקי לאולשטין שבצפון פולין.
שצקי שולל בתקיפות את הטענות האנטישמיות המושמעות באוזניו, ובהן כאלה המייחסות את הרציחות לרצח פולחני בידי יהודים.
הוא אף מורה לעצור חבורה של 14 בני נוער פשיסטים הקוראים קריאות גזעניות.
במהלך הסיפור נגלים גם קשריו החברתיים של שצקי.
תוך כדי העלילה עולים לדיון האנטישמיות בפולין, ובפרט בסנדומייז'.
התובעת בשיה סובייראי מתארת: " סנדומייז' היא המרכז של עלילת הדם, וההיסטוריה של היחסים בין פולנים ויהודים היא דו-קיום חביב והטחת אשמות ופוגרומים שטופי דם לסירוגין." היא מוסיפה: " סנדומייז' היא הבירה העולמית של רצח פולחני.
פה הטענות על חטיפת ילדים וכתוצאה מהן הפוגרומים היו מחזוריים כמו עונות השנה.
כאן הם נעשו בחסות הכנסייה, כמעט בצורה ממוסדת.
כאן עד היום תלויה בקתדרלה תמונה שבה נראים יהודים רוצחים ילדים קתולים."
בעלילת הספר משתלב הציור מאת הצייר האיטלקי קרלו דה-פּרֶבוֹ, בן המאה ה-18, התלוי בקתדרלה של סנדומייז', שבמועד התרחשות העלילה היה מוסתר בכיסוי בד שעליו הונחה תמונת האפיפיור.
הציור מתאר רצח פולחני בידי יהודים, ונוצר הרושם ששלוש הרציחות בסנדומייז' משקפות את הציור.
הרושם מתחזק כאשר לרוחב הציור מופיעה הכתובת "עין תחת עין" בעברית.
אחד הנחקרים, יז'י שילר, פורשׂ באוזני שצקי את משנתו האנטישמית והאנטי-ישראלית: "פולני ויהודי שגרו בשכונות סמוכות לא יכלו לתקשר, כי הם דיברו בשפות שונות.
השכונות היהודיות לא היו בדיוק מוזיאונים פתוחים מטופחים של תרבות מעניינת.
בדרך כלל זה היה חור שחור במפת העיר.
הם היו אנשים שמאוד רצו לחיות בפולין המתפתחת, אבל לא היו מוכנים לעבוד ולהילחם למענה."
גם אירועי העבר עולים לדיון, כפי שאומר רומן מישינסקי לשצקי, בהתייחסו לאירועים שלאחר מלחמת העולם השנייה: "היו פולנים שהיו מסוגלים לרצוח משפחות שלמות של יהודים, והיו גם אחרים, שהיו מוכנים לסכן את החיים שלהם כדי להמשיך להסתיר את היהודים, הפעם מפני הפרטיזנים האנטי-קומוניסטים".
קיומה של האנטישמיות זוכה גם לתגובות ציניות מהמתנגדים לה.
כאשר מריה מישצ'יק, הבוסית של שצקי וסובייראי, שואלת "מה לגבי המוטיב של רצח פולחני?" עונה לה שצקי: "אנחנו כמובן אוספים את כל היהודים בסביבה".
כאשר שצקי מציין שיש למצוא את הדם של הנרצחת מגיב וילצ'ור: "הוא בתוך המצות".
כאשר עיתונאית טרדנית שואלת את שצקי האם הוא אנטישמי, הוא עונה: "אם את יהודייה, אז כן, אני אנטישמי".
הדמויות המתוארות בספר הן דמויות בדיוניות, וגם העלילה היא פרי דמיונו של המחבר.
עם זאת, יש בספר גרעין של אמת.
האתרים בסנדומייז' המתוארים בספר – הקתדרלה וציורו של דה-פּרֶבוֹ התלוי בה, בית הכנסת שהפך לארכיון העירוני, המנהרות שמתחת לעיר המשמשות כאתר תיירות – הם אכן חלק מהעיר.
הטבח בידוובנה ופוגרום קיילצה, כמו גם הרציחות בשנת 1976 של כריסטינה וסטניסלאב לוקשקו ומייצ'ו קָליטה, עליהם משוחחים שצקי ואנדז'יי שוט, אביה של בשיה סובייראי, אכן התרחשו במציאות.
סדרת הטלוויזיה "האב מטאוש" (Ojciec Mateusz), על כומר הפותר תעלומות בלשיות בסנדומייז', אכן שודרה בפולין.
"איגוד הפולנים בגרמניה", שסמלו הוא רודלו , אכן קיים.
כאשר מילושבסקי נשאל בריאיון על שילובם של פרטים עובדתיים בסיפורו, ענה שהוא מנסה לבנות תת-עלילה המבוססת על סיפורים אמתיים, משום שזה יוצר רקע טוב ותורם לאמינות של הסיפור.
גרעין פואסון הדו-ממדי מוגדר על ידי , כאשר .
זוהי העתקה חשובה באנליזה מרוכבת ובתורת הפונקציות ההרמוניות, העומדת בבסיס נוסחת פואסון, בעזרתה מוכיחים טענות שימושיות רבות באנליזה הרמונית, כמו למשל את השקילות שבין פונקציה הרמונית לפונקציה המקיימת את תכונת הערך הממוצע.
הפונקציה נקראת על שמו של סימאון דני פואסון.
בעזרת גרעין פואסון ניתן לפתור את משוואת לפלס הדו-ממדית על עיגול היחידה עם תנאי דיריכלה.
לגרעין פואסון יש גם שימושים בפיזיקה, כמו בתורת הבקרה ובאלקטרוסטטיקה.
גרעין פואסון הדו-ממדי על עיגול היחידה נתון על ידי מספר הגדרות שקולות:
גרעין פואסון מונוטוני יורד בקטע .
מתקיים במידה שווה על כל קטע לכל .
המשוואה הבסיסית והחשובה עבור גרעין פואסון בפונקציות מרוכבות היא:
משפט- כל פונקציה אנליטית ורציפה ב- מקיימת
כלומר, ערך הפונקציה בנקודה בתוך הדיסק נקבע על ידי ערכים על השפה, לפי קונבולוציה ביחס לגרעין פואסון.
כמסקנה ממשפט זה, מקבלים גרסה לפונקציות הרמוניות - אם פונקציה הרמונית ב- ורציפה ב-, מקיימת:
(כאשר ) נוסחה זו נקראת לרוב נוסחת פואסון.
בכיוון ההפוך, אם פונקציה ממשית רציפה על אז הפונקציה כנ"ל הרמונית.
יותר מכך, מקבלים את המשפט החזק הבא:
משפט- אם פונקציה ממשית רציפה על , אז ניתן להרחיב אותה לפונקציה הרמונית על (בעזרת נוסחה כנ"ל).
הפונקציה המוגדרת לעיל נקראת אינטגרל פואסון של הפונקציה .
באופן דומה לעיל, ניתן להגדיר את גרעין פואסון על כל כדור ע"י
ואינטגרל פואסון של הפונקציה הוא
נזכר שפונקציה המוגדרת בקבוצה פתוחה מקיימת את תכונת הערך הממוצע, אם לכל קיימת סדרה כך ש- .
משפט- אם מוגדרת בתחום פתוח, אז היא מקיימת את תכונת הערך הממוצע אם ורק אם היא הרמונית בו.
היות שחצי המישור העליון הוא מרחב פשוט קשר, אפשר, לפי משפט ההעתקה של רימן, למפות אותו קונפורמית לעיגול היחידה.
דוגמה לפונקציה מפורשות כזו היא .
בפרט, גרעין פואסון עובר מ- ל-.
היות שההעתקה הקונפרומית מעבירה גם שפת הדיסק לשפת חצי המישור (שהיא הישר הממשי), גם כאן מקבלים קונבולוציה בין ערכי הפונקציה על השפה לבין גרעין פואסון.
אם (מרחב Lp) פונקציה ממשית, אז לעיל היא הרחבה של כפונקציה המוגדרת רק על השפה (כלומר, פונקציה ממשית) לפונקציה הרמונית על , כמו במקרה של עיגול היחידה.
גרעין פואסון במרחב אוקלידי כללי
כהכללה של המקרה הדו-ממדי, מגדירים את גרעין פואסון על כדור :
כאשר ו- שטח המשטח , הנתון מפורשות על ידי .
בדומה למקרה הדו-ממדי, בהינתן פונקציה רציפה על , ניתן להרחיב אותה לפונקציה הרמונית לתוך הכדור בעזרת אינטגרל פואסון:
ניתן גם להרחיב פונקציות מוגדרות על אל חצי המרחב העליון , על ידי גרעין פואסון הכללי:
הקונבולוציה היא פתרון למשוואת לפלס בחצי המישור העליון.
גרעיני חמנית או גרעיני חמנייה, המכונים גם גרעינים שחורים, הם זירעוני צמח החמנית.
כל זירעון מכיל זרע אחד, והזרעים משמשים למאכל ולהפקת שמן.
בשימוש שנעשה בגרעיני חמנית למטרות מסחריות, נהוג לסווג אותם על פי הקליפה שלהם.
קליפה בצבע שחור חלק, מצביעה לרוב על זרעים המשמשים להפקת שמן החמניות.
זרעי חמניות עם פסים עליהם, משמשים בעיקר למאכל.
נהוג לאכול גרעיני חמנית כחטיף או כמרכיב במאכלים שונים וניתן לרכוש את הזרעים בקליפתם או מקולפים, קלויים או לא קלויים.
כאשר הגרעינים נרכשים בתוך קליפתם, נהוג לפצח אותם עם השיניים תוך הוצאת הקליפה ואכילת ליבת הגרעין בלבד.
גרעיני חמנית פופולריים במדינות הים התיכון ובהן ישראל, וכמו כן גם במדינות אסיה.
לעיתים נהוג להוסיף גרעיני חמנית ללחם ומאפים מגוונים.
גרעיני חמנית משמשים גם כמזון לחיות מחמד (במיוחד למכרסמים) ועופות בר.
גרעינים היא סדרת טלוויזיה ישראלית מסוג קומדיה המשודרת בערוץ הילדים החל מ-5 ביוני 2016.
העונה הראשונה של הסדרה הסתיימה ב-10 ביולי 2016, והעונה השנייה עלתה לשידור ב-4 בספטמבר 2016. והסתיימה ב-10 באוקטובר 2016.
ב-30 במאי 2019 העונה ה-1 ירדה משירות ה-VOD של HOT אך היא חזרה ב-23 בפברואר 2020 כחלק מספרית FOMO.
הסיטקום עוסק בחמישה גרעינים ובילדי העיר בה הם חיים.
חבורת בני הגרעין יאלצו להתמודד עם האיום התמידי המרחף מעל ראשם ולנסות להציל את המבנה בו הם שוהים מידיו של מנהל המתנ"ס המרושע, שיקלובר (חנוך דאום) שרוצה להרוס אותו ולהקים במקומו גורד שחקים יוקרתי.
רפאלה (דנה פרידר): גרעינה, רוחנית ואוהבת טבע.
כל פעם היא ב"טרנד" על משהו אחר: קארמה, אינדיאנים, גלגולי נשמות, ועוד.
בפרק אחד היא כמעט הפכה לאשת עסקים מעצה של נמרוד.
היא לא ידעה לרכב על אופניים עד שבן לימד אותה.
לא יודעת שבן מאוהב בה.
נמרוד ליכטנשטיין (מיכאל מושונוב): גרעין, קמצן ורודף כסף, מוכר לנדיר דברים חסרי ערך ומשקר לו שהם שווים.
איה מאמינה כי יש לו לב טוב, והיא מנסה לעודד אותו להיות אדם טוב.
התמודד בעבר על תפקיד המפקד ופרש.
פחד מליצנים בילדותו, ולא מוכן להודות שהוא עדיין מפחד מהם.
איה לוי (דאנה איבגי): גרעינה המנסה להציל את המתנ"ס משיקלובר שמנסה להרוס אותו.
דואגת לילדי המתנ"ס ולפעמים היא מוצאת את עצמה לבדה מכינה את הפעילויות לילדים.
רוב הסצנות שלה עם שיקלובר.
מאמינה כי לנמרוד יש לב טוב.
נדיר (דוד שאול): גרעין טיפש, קונה מנמרוד דברים חסרי ערך.
בפלאשבק בעונה השנייה מגלים כי נדיר היה חכם מאוד ורפאלה הפילה אותו והפכה אותו לטיפש.
התברר כי נדיר אסף מלא צווי הריסה למתנ"ס, וחשב שהם צבים.
בן (דניאל גד): חייל המגיע למתנ"ס והופך למפקד הגרעינים.
מתאהב ברפאלה ומנסה להשיג אותה, פעם אחר פעם, וכמעט נפגע שהיא לא מתייחסת אליו.
אלרגי לכל מה שמתחיל בח"ית.
הוא התפטר בסוף העונה הראשונה כמפקד אך חוזר.
חלומו הוא להתמנות לסגן הרמטכ"ל.
הצבע האהוב עליו הוא ירוק זית.
שיקלובר (חנוך דאום): מנהל המתנ"ס שרוצה להרוס אותו ולבנות במקומו גורד שחקים עם פנטהאוז משלו למעלה.
אדם אכזרי, טיפש ושונא ילדים, אדם לא-סימפתי.
קיבל צו הריסה למתנ"ס לקראת סוף העונה השנייה.
(בעונה)שם הפרקהערות11"הגרעינים"פיילוט22"על אהבה וצווי הריסה"33"לינת שטח"44"הקמע"55"נדיר השווה מיליונים"66"קו הייעוץ של נמרוד"77"כוכב נופל"88"הדמעות של נדיר"99"השן של בן"1010"שירה, ריקודים וגרעינים"1111"שטויות בסנדוויץ'"1212"האדם הקדמון"1313"החתול המצטיין"1414"עולם הרוחות הטיבטי"1515"ויפסנה ונפט"1616"מסיבת הפתעה לאמיצים"1717"ענקים, גמדים ושיקלובר"1818"הפצעון של בן"1919"על נמלים ועטלפים"חלק א 20 20 "מאחורי הקלעים"פרק ספיישל
(בעונה)שם הפרקהערות211"על נמלים ועטלפים 2"חלק ב222"זמן זה כסף"233"מסיבת חנוכה"244"מכת נמלים"255"האימה"266"ניגרים עם גישה"277"השוחט הנורדי"288"איש היתוש המדהים"299"ליצן, ליצן ליצן"3010"אפרים המדהים"3111"אסור להגיד קייטנה"3212"על מפקדים וכוכבים"3313"היסטוריה ושקרים אחרים"3414זומבים וכדורי לחץ"3515"לילה במתנ"ס"3616"יציאת מצרים"3717"נדיר הגיבור"3818"הסוף, סימן שאלה"חלק א3919"זה לא הסוף"חלק ב4020"הרגעים הכי טובים"פרק ספיישל
גרעין יריחו היה גרעין התיישבות שהוקם בסוף שנת תשל"ד, כדי להקים התיישבות יהודית בעיר יריחו.
בתחילת שנת תשל"ח, הוסבה פעילותו של הגרעין להקמת היישוב מצפה יריחו, ונפסקו המאמצים להתיישב ביריחו.
עמדת ממשלת ישראל בעניין התיישבות באזור יריחו
בשטחים ששוחררו במלחמת ששת הימים, הוקמו עד שנת 1973 יישובים, בגולן, בבקעת הירדן, בגוש עציון, בקריית ארבע וברצועת עזה, בהסכמת, ולפעמים בעידוד, ממשלת ישראל.
הממשלה לא הסכימה בשום אופן ליישב את גב ההר ביהודה ושומרון, כי שם הייתה אוכלוסייה ערבית גדולה.
הממשלה לא הסכימה גם ליישב את יריחו וסביבתה, בגלל האוכלוסייה הערבית שבה, וגם בגלל התוכנית המדינית של יגאל אלון.
על פי תוכנית יגאל אלון, החלק המרכזי של יהודה ושומרון, אזור גב ההר, הקרוב למרכז הארץ, היה אמור להימסר לערבים בהסכם קבע עתידי, ואילו החלק המזרחי, אזור בקעת הירדן (למעט יריחו), המרוחק יותר ממישור החוף, יועד להישאר בידי ישראל ולהיות מיושב על ידי ישראלים.
תוכנן למסור את אזור יריחו לירדנים, כפרוזדור מעבר בין חלקו הערבי של יהודה ושומרון למדינת ירדן.
הרצון להתיישב ביריחו, היה חלק מהרצון להתיישב בכל חלקי יהודה ושומרון, אך בשונה משאר המקומות, בהם היה רצון כללי להתיישבות, ולא דווקא במקום מסוים, גרעין יריחו היה ממוקד בעיר יריחו דווקא.
באחת התוכניות של גוש אמונים הייתה דרישה מהממשלה, א.
היו מספר סיבות מדוע להתיישב דווקא ביריחו לטענתם של המתיישבים:
סיבה דתית: יריחו היא המפתח לגאולת ישראל.
סיבה היסטורית: יריחו נודעה כעיר עברית בתקופת התנ"ך והמשנה, וגם אחר כך, עד המאה השמינית באופן רצוף, ובתקופות שונות נוספות.
גדולי ונביאי ישראל ישבו בה.
סיבה ביטחונית: יריחו נחשבה כבר מימי קדם ל"מנעולה של ארץ ישראל", והיא מהווה עד היום צומת דרכים מרכזית, וסמוכה לגבול המזרחי של המדינה.
סיבה מדינית: יש להתיישב ביריחו כדי למנוע את ביצועה של תוכנית אלון, ובפרט את הסכנה הקרובה לטענתם המתיישבים שתקרא בשל מסירת אזור יריחו לירדן.
יריחו נחשבה כבר בימי קדם למקום מגורים פורה ומבוקש.
ועד היום היא נווה מדבר שופע מים ומרובה צמחייה.
מתוך תזכיר שהגישו אנשי גרעין יריחו לממשלה:
בסוף שנת 1973, הוחל בניסיון להקים "ישיבה מתנחלת" ביריחו, על ידי אנשי הרב מאיר כהנא (לימים חבר כנסת) הרב כהנא קרא לתלמידיו להתנחל ביריחו מסיבה מדינית: "השלמת חלק ניכר של קו הגנה חדש מערבית ליריחו מבהירה שישראל וירדן הסכימו לנסיגה ראשונית.
אזור זה עלול להיות הראשון שיימסר למלך חוסיין ...".
מבחינה רוחנית, ראה את ההתיישבות ביריחו כהמשך דרכם של הנביאים אליהו ואלישע שפעלו באזור יריחו.
רעיון זה נרמז בשמה של הישיבה שרצו תלמידיו להקים ביריחו: "אדרת אליהו".
באופן סמלי, ההתיישבות הייתה אמורה להיות הרמת אדרתו של אליהו שנפלה עם עלייתו השמימה, והמשכת דרכו.
בתחילת יוני 1974, התקיים כנס יסוד לישיבה המתנחלת או להתנחלות הישיבתית ביריחו, שהוקמה על ידי הרב אריה יוליוס ומנחם כרמל.
התוכנית הייתה להתחיל בהקמת ישיבה בבית הכנסת העתיק "שלום על ישראל" ביריחו, בראשות הרב ריינמן, ובהמשך להתחיל גם בהתיישבות משפחות.
כמה ימים לאחר מכן שלחו אנשי הקבוצה מכתב לראש הממשלה יצחק רבין, ולשרים ישראל גלילי ושמעון פרס, ובו בקשו את עזרת הממשלה בהקמת ישיבה מתנחלת ביריחו.
בסופו של דבר מעט אחרי שליחת המכתב פורסמה מודעה הקוראת להצטרף לישיבה.
פרסום הכוונה להקים התיישבות יהודית ביריחו, זכה לתגובה מידית מצד ראש עיריית יריחו, שפיק באלי.
במכתב לראש הממשלה הוא דרש להרתיע את מי שהחשיב כקיצונים וזאת בנוסף לרצונו לפעול לשלום, שואפים להיחלץ מהכיבוש.
הרב כהנא חשב להסוות את הישיבה ביריחו כ'המכון ליחסי אנוש על שם הגברת אלברטה וד"ר מרטין לותר קינג', כדי למנוע את פינויה, אך תוכנית זו לא יצאה לפועל.
שמעון רחמים, היה מרכז ההתארגנות להקמת הישיבה, והוא שימש גם כאיש קשר עם אנשי גוש אמונים.
גרעין יריחו של גוש אמונים
זמן קצר אחר כך הוקם גרעין יריחו על ידי ראשי תנועת גוש אמונים..
חודשיים לאחר מכן התקיים כנס יסוד לגרעין זה, בהשתתפות 30 מחברי הגרעין ובנוכחות הרב משה לוינגר.
כמה שבועות לאחר הכנס כתב הרב כהנא: "לא הצלחתי לגייס מספיק תלמידים לישיבה ביריחו (אני מציע להעביר את הכסף שנאסף לשם כך למתנחלים של חנן פורת)".
רבים מאנשי הרב כהנא הצטרפו גם הם לגרעין יריחו של גוש אמונים
בספטמבר של אותה שנה התקיים גם במשרד גוש אמונים מפגש בהשתתפות נציגי שתי הקבוצות, קבוצת הישיבה המתנחלת וגרעין גוש אמונים.
לאחר מפגש זה, אוחדו השתיים לגרעין אחד.
רעיון הקמת ישיבה בשם "אדרת אליהו", הפך להיות חלק ממטרות הגרעין המשותף.
מזכיר הגרעין היה שמעון רחמים, ואחר כך היו חברי המזכירות: שמואל פרומר, הרב אריה יוליוס ואיש הלח"י והסופר עזרא יכין.
בחודשים הבאים הצטרפו רבים, חילונים ודתיים מכל הסוגים, ואנשי הרב כהנא הפכו למיעוט בגרעין.
על פי הנאמר בתזכיר של גרעין יריחו, היה הגרעין מורכב מ-3 תתי גרעינים:
גרעין להקמת ישיבה ומכללה תורנית.
כל חברי הגרעין הסכימו לפעול במשותף להקמת היישוב היהודי ביריחו.
הועלו כמה רעיונות למיקום אפשרי של התיישבות ביריחו:
ליד בית הכנסת "שלום על ישראל".
מחנה צבאי ירדני ממזרח לעיר.
בשכונת וילות חדשה שנבנתה על ידי הירדנים עבור קצינים זמן קצר לפני מלחמת ששת הימים, ולבסוף הוחלט לא ליישב אותה.
מאוחר יותר, הוצע להתיישב בשטח שליד ארמונות החשמונאים.
ביציאה של ואדי קלט אל המישור, היו שם כ-750 דונם שנחשבו אדמות מדינה, שיכלו להספיק גם לחקלאות.
הצעה זו הייתה העיקרית, והיא הייתה זו שהוצגה על מנת לקבל את אישורה של ממשלת בגין.
אנשי הנהגת גוש אמונים, היו בעד האפשרות האחרונה שרצו ליישב את גרעין יריחו ב-750 הדונמים, סמוך ליריחו, שם היה מקום בגודל סביר.
היו חלק מאנשי הגרעין שרצו להתיישב דווקא בתוך יריחו.
אך אנשי גוש אמונים ראו בזה רעיון לא ריאלי
חלק nחברי הגרעין רצו לבנות יישוב ביריחו בעצמם ואף ציפו שהממשלה לא תתערב בנושא.
וחלק אחר לא רצו לבנות בעצמם יישוב, אלא ללחוץ על הממשלה לבנות יישוב.
היה ויכוח בין חברי הגרעין מה יהיה שם ההתיישבות, היו שרצו בשם "יריחו יהודית", והיו שהעדיפו את השם "עיר התמרים", אם בגלל סיבות דתיות מחשש לקללת יהושע
לאחר עליית גרעין אלון מורה על הקרקע, היה גרעין יריחו הגדול והפעיל שבין גרעיני גוש אמונים.
הגרעין נרשם באופן רשמי כאגודה שבה היו כ-100 חברים.
פעילות הגרעין הייתה: אספות, שבתות גיבוש, סיורים ליריחו וניסיונות להתיישב ביריחו.
בסוף פברואר 1975, גרעין יריחו הוציא לאור חוברת המתארת את ההיסטוריה של יריחו כעיר עברית, ואת האפשרויות השונות הקיימות להתיישבות באזור יריחו.
החוברת נכתבה ברובה על ידי גדי קופל.
מעט לאחר מכן אנשי גרעין יריחו הכינו מכתב שנשלח לאישים שונים, ביניהם ראש הממשלה.
למכתב צורפו שני עמודים ובהם רשימת חברי הגרעין.
ברשימה הופיעו שמות 30 משפחות ו-47 רווקים ורווקות.
כמה מהשמות ברשימה היו של אנשים ידועים, שהובאו כדי לפאר את הרשימה, כמו פרופ' יוסף בן שלמה וחברת הלח"י ג'ולי טורנברג.
כמה מחברי הגרעין היו בחורים חרדיים, שלא הזדהו בשמם האמיתי, מחשש לתגובת הסביבה החרדית.
חברי הגרעין היו רובם דתיים ומיעוטם חילונים.
רק פחות מרבע מהמופיעים ברשימה הגיעו אחר כך להתגורר במצפה יריחו.
לבסוף הודיע חנן פורת לשר גלילי, כי הגרעין יהיה מוכן לקבל ב"לחץ כבד" של התנועה, פתרון ליישובו הזמני במלון קליה או ביישוב שיוקם עבורו מעל המצוקים בצומת יריחו.
אם לא, צופה חנן מאבק "חמור מקדום".
על פי דברי ותיקי הגרעין, נעשו 6 או 8 ניסיונות לעלייה על הקרקע ביריחו.
במוצאי שמחת תורה תשל"ה, "מבצע הקפות" של גוש אמונים.
מאות פעילים יצאו להקים "היאחזויות" בכמה מקומות ביהודה ושומרון.
הם עקפו רגלית את מחסומי צה"ל, או ניסו להגיע רגלית דרך ואדי קלט ובדרכים נוספות.
כמה מהם הצליחו להגיע אל מערב יריחו, וקבוצה גדולה הגיעה קרוב לקצהו של ואדי קלט שם נחסמה על ידי צה"ל.
קבוצות נוספות המשיכו לצאת לאזור במשך כמעט שבוע.
עשרות נעצרו על ידי המשטרה.
חלק מחברי הגרעין הגיעו ביום שישי, סמוך לשבת, למתחם הוילות נטושות שיועדו למגורי קצינים ירדנים ממזרח ליריחו, שהו בו כל השבת, ופונו במוצ"ש.
ביולי 1976, למעלה ממאה חברי גרעין יריחו ניסו להגיע ליריחו.
התוכנית הייתה לשהות במקום יומיים, להקים התיישבות סמלית, ולבצע פעולות שונות: הפעלת ישיבה במקום וסיור לקומראן.
כל זאת כמחאה על מניעת ההתיישבות במקום.
הם נתקלו במחסומים והצליחו להגיע עד סמוך לקרנטל.
הם הביאו איתם ציוד רב, כולל אוהלים, מזון, כלי מטבח ומשחקים לילדים.
הם פונו אחרי מספר שעות.
במוצאי יו"ט ראשון של סוכות תשל"ח, גרעין יריחו יצא לדרכו לאחר צאת החג כחלק ממבצע 11 הגרעינים של גוש אמונים.
בשיירה היה אוטובוס מלא בחברי גרעין ותומכים, ועוד מספר מכוניות פרטיות.
חלקי צריפים הוסעו על 2 משאיות.
היעד היה אזור אדמות מדינה ממערב ליריחו, לא רחוק מבניין הממשל הצבאי.
נראה היה שהפעם תתאפשר ההתיישבות ביריחו באישור הממשלה.
לקראת עלייה זו, הצטרפו לגרעין משפחות ורווקים חדשים, שנוספו לחברי הגרעין הוותיקים.
השיירה עצרה להתארגנות במישור אדומים, נקודת ההתיישבות האזרחית היחידה בין ירושלים ליריחו.
צה"ל ידע על הפעולה, והמושל הצבאי של יריחו הגיע למישור אדומים כדי לדבר עם חברי הגרעין.
המושל אמר שאין בידו הוראות כיצד להתייחס למבצע ההתנחלות ואחד מעוזריו אף אמר שלדעתו ההתיישבות ביריחו תתאפשר הפעם.
בשעה 1 אחרי חצות, השיירה יצאה שוב לדרכה, למרות החלטת גוש אמונים לעכב את היציאה, בגלל שעדיין לא הושגה הסכמה עם הממשלה.
הם הגיעו לשטח המתוכנן להתיישבות, ב-750 הדונם של אדמות המדינה ליד מוצא ואדי קלט.
עד היום לא ברור אם הפרו ביודעין את החלטת גוש אמונים, או שלא ידעו עליה.
לפי אחת העדויות, לאחר שיצאה השיירה לדרכה ממישור אדומים, הגיעה הודעה מגוש אמונים על עיכוב המבצע, רכב יצא לרדוף אחרי חברי הגרעין כדי להודיעם על ההחלטה, אך הם כבר הגיעו ליעדם בלא שידעו על ההחלטה.
אנשי גוש אמונים שארגנו את עליית 11 הגרעינים, ראו באנשי גרעין יריחו פורקי עול.
כל הגרעינים פועלים בצורה אחראית וממושמעת, ורק גרעין יריחו עושה כרצונו, אך חברי הגרעין טענו בתוקף שלא ידעו על ההחלטה, אלא רק למחרת שמעו עליה ברדיו.
המתנחלים הגיעו ליעדם ביריחו ללא כל הפרעה, אך כעבור רבע שעה הגיעו למקום כוחות צה"ל בראשות המושל, שבינתיים כבר קיבל הוראות, ובקשו מהם להתפנות.
בשלב זה, חסם הצבא את הצומת ולא איפשר לחברי גרעין נוספים להגיע.
התנהל משא ומתן שבסופו עברו חברי הגרעין למבנה הממשל הצבאי שבמחנה חנן הסמוך.
השהות במחנה הצבאי, הוגדרה על ידי חלק מהנוכחים כמעצר, ואחרים ראו בה פשרה של התפנות מרצון מהשטח אך השארות ביריחו.
למחרת בבוקר, הגיעו ליריחו ראשי גוש אמונים, ולפני הצהרים, לאחר שיחות ודיונים, הסכים הצבא, מצדו, לשחרר את אנשי הגרעין מהמעצר, והם מצדם הסכימו להתפנות מיריחו.
השיירה המאוכזבת חזרה למישור אדומים להתייעצות על המשך הדרך.
חברי מזכירות הגרעין, שמואל פרומר, ישעיהו בשן, דוד זוהר, אבי זד ודרורה גרוס, נצטוו להתייצב בהמשך היום בתחנת המשטרה במגרש הרוסים, ושם נעצרו לזמן קצר.
אחרי הצהריים השתחררו העצורים, לאחר התערבות ראשי גוש אמונים, והצטרפו לגרעין במישור אדומים.
לאחר ההתפנות מיריחו, חברי הגרעין הוותיקים היו מתוסכלים, וחלק מהם האשימו את ראשי גוש אמונים בקבלת "פשרה בזויה".
ההחלטה שלא לעלות להתיישבות נגד החלטת הממשלה, התפרשה כהסכמה להצעת הממשלה, להעלות רק חלק מהגרעינים בתקופה הקרובה, וחלק זה לא כלל את גרעין יריחו, שהיה גרעין הדגל של גוש אמונים.
בפני הגרעין עמדו עתה שתי אפשרויות פעולה: לדבוק במטרה להתיישב ביריחו, ולהמשיך להתעמת עם צה"ל כל פעם מחדש, עד לניצחון, כמו שהיה בעליות לסבסטיה, או לוותר בינתיים על יריחו ולהישאר במישור אדומים, עד אשר ימצא מקום התיישבות זמני באזור, שיוסכם על ידי הממשלה.
התקיימה אספת חירום כדי להחליט על המשך הדרך.
באספה הוחלט: לא חוזרים הביתה.
הגרעין יישאר במישור אדומים, ו-"תוקם בהקדם נקודת הכשרה זמנית, באזור המשתרע ממישור אדומים עד שפת ים המלח, אשר מיקומה המדויק יקבע בתיאום עם השלטונות".
השיקול להחלטה זו היה, שאם יחזרו עכשיו איש לביתו, יתפרק הגרעין.
כמו כן קיוו שהשארותם במישור אדומים תגרום ללחץ על הממשלה ליישבם במקום כלשהו באזור יריחו, כפי שאכן קרה.
לאחר האספה, עלו חלק מחברי הגרעין לירושלים, וקיימו שביתת רעב מול משרד ראש הממשלה, בדרישה לאפשר התיישבות ביריחו.
בשלב זה עזבו את הגרעין חלק גדול מהחברים, שלא ראו טעם בהתיישבות במקום אחר מלבד יריחו.
לאחר הפינוי מיריחו וההחלטה שלא לשוב הביתה, עלו חברי הגרעין להמתנה להמשך הדרך, בחצר ישיבת ההסדר מעלה אדומים, שקמה זמן קצר לפני כן.
המקום היה במרחק כמה עשרות מטרים מצפון מזרח ליישוב הזמני מעלה אדומים, שהיה במקום שנקרא כיום בשם גבעת המייסדים.
על פי מה שפורסם בעיתון, תושבי מעלה אדומים נאותו "לארחם כל עוד יהיה צורך בכך, אך בתנאי מפורש - המשכן הזמני לא ישמש בסיס להתארגנות לפעולות התנחלות שלא על דעת הממשלה".
מסביב למבנה הישיבה הוצבו פחונים, קרוואנים נגררים ואוהלים למגורים.
במקום הורכב צריף עץ גדול, שקודם לכן תוכנן להקימו ביריחו, וכן הותקן מגדל מים.
רק משפחות הורשו להשתמש במבני המגורים של הישיבה.
עלות השהות במקום מומנה על ידי הלוואה מגוש אמונים.
במוצאי שמחת תורה התקיימו במקום הקפות שניות אליהן הוזמן הציבור הרחב.
הגרעין שהה במקום שבועיים, עד א' בחשון.
במשך חול המועד הוחל בחיפוש מקום להתיישבות, המוסכם על הממשלה.
השר שרון שלח את עוזרו, אורי בראון, שהציע לגרעין להתיישב במקום המכונה טיבק ריאש, או בשמו המשובש טבק ריש.
למקום זה היו כמה יתרונות: מעמד משפטי של אדמות מינהל, קרבה לכביש וגישה נוחה, ונוף הצופה ישר על יריחו.
אנשי הגרעין הקהילתי של מעלה אדומים (שהקימו אחר כך את כפר אדומים) חשבו כבר מזה זמן על מקום זה, כמקום אפשרי לבנות בו את יישוב הקבע שלהם, אך עתה נראה הדבר כפתרון אפשרי לבעיית גרעין יריחו.
אנשי מעלה אדומים ויתרו על המקום למען גרעין יריחו הנמצא במצב בעייתי, ואף מסרו באופן סמלי את תוכניותיהם להתיישבות בטבק ריש לאנשי הגרעין.
מלבד טבק ריש, הועלו שמות מקומות נוספים כאפשרויות להתיישבות: טבק קוטיף שעל הגבעות שממערב לטבק ריש, ומחנה ירדני נטוש ליד קליה.
אנשי הגרעין התקשו להחליט, גם בגלל שעדיין לא התייאשו מהאפשרות להתיישב ביריחו.
סגן שר הביטחון מרדכי ציפורי, הודיע כי אנשי גרעין יריחו הסכימו לוותר על התיישבות ביריחו, ובמקום זאת להתיישב במישור אדומים, בשכונה שתבנה עבורם.
ביום ה' א' בחשון תשל"ח, יצאה משלחת של אנשי הגרעין יחד עם חנן פורת להיפגש עם שר החקלאות שרון, יו"ר ועדת השרים לענייני התיישבות.
מטרת הפגישה הייתה לברר כיצד אפשר להמשיך במאמץ להתיישב ביריחו, וגם לבקש פתרון למצבם הבעייתי.
שרון קידם את פניהם בשאלה: "מה, אתם עוד לא בטבק ריש?" החלטיותו של שרון הבהירה להם שאין עוד טעם להתלבט.
שרון הסביר לתקשורת כי אין כאן סתירה להחלטת הממשלה, כי מדובר בסך הכל בפרבר של מעלה אדומים.
אנשי גרעין יריחו סיפרו אחר כך ששרון הציע להם "לזחול לכיוון יריחו".
באותו יום, א' חשון תשל"ח, החלו ההכנות למעבר לטיבק ריאש, הוא מיקומו הנוכחי של היישוב מצפה יריחו.
עד לערב הובא למקום ציוד, וחברי הגרעין נשארו לישון במקום.
גרעין יריחו הפך ליישוב מצפה יריחו.
באנליזה מתמטית, גרעין פייר , הנקרא על שם המתמטיקאי ההונגרי־יהודי ליפוט פייר, הוא שמו של גרעין סכימה המוגדר להיות סיכום צזארו של גרעין דיריכלה.
גרעין פייר מוגדר בדרך כלל להיות סדרת הממוצעים החשבוניים של גרעין דיריכלה: , כאשר הוא האיבר ה־־י בגרעין דיריכלה המוגדר על ידי: .
ניתן להציב את הביטוי המפורש של גרעין דיריכלה בהגדרת גרעין פייר, על מנת לקבל הצגה של גרעין פייר כפולינום טריגונומטרי באופן מפורש:
על מנת לקבל נוסחה סגורה לגרעין פייר, נשתמש בהצגה של גרעין פייר כפולינום טריגונומטרי, תוך שימוש בנוסחה לסכום של סדרה הנדסית ובזהות הטריגונומטרית :
גרעין פייר הוא "גרעין טוב", כלומר הוא מקיים את שלושת התכונות הבאות:
בדומה לגרעין דיריכלה, לכל מתקיים , כלומר עיקר המסה מתרכזת בקטע .
תכונתו המרכזית של גרעין פייר, המבדילה אותו מגרעין דיריכלה, היא היותו אי שלילי, תכונה הגורמת לחסימות של האינטגרל המוחלט שלו: , ובפרט, חסום.
גרעין השביט הוא חלקו הפנימי, המוצק של שביט.
הגרעין מורכב מסלע, אבק וגזים קפואים, וגודלו בין 1 ק"מ לעשרות ק"מ בודדים.
גרעין השביט מורכב מחלקים שווים בערך של קרח נדיף, אבק סיליקט דק וחומרים אורגניים.
הקרח מורכב בעיקר מקרח מים (כ-80 אחוז מסך הקרח) אך כולל גם פחמן חד-חמצני, פחמן דו-חמצני, פורמלדהיד ומתנול קפואים.
ככל הידוע, קוטרם של רוב גרעיני השביט אינו גדול מ-16 קילומטרים.
לשביט האלי גרעין בצורת תפוח אדמה, שגודלו (15 × 8 × 8 ק"מ) והוא מכיל כמויות שוות בערך של קרח ואבק.
במהלך מסעה בספטמבר 2001, חללית Deep Space 1 צפתה בגרעין של השביט בורלי ומצאה שגודלו כמחצית מגודלו (8×4×4 ק"מ) של גרעין השביט האלי.
גם הגרעין של בורלי היה בצורת תפוח אדמה, ושטח הפנים שלו שחור כהה.
כמו השביט של האלי, השביט בורלי שחרר גז רק מאזורים מצומצמים שבהם חורים בשטחו החיצוני חשפו את הקרח לאור השמש.
קוטר גרעין השביט הייל-בופ הוערך ב-60 ± 20 ק"מ.
הייל-בופ נראה בהיר לעין בלתי מזוינת, מכיוון שהגרעין הגדול במידה חריגה שלו פלט כמויות גדולות של אבק וגז.
קוטרו של הגרעין של הוא כנראה רק כ-100–200 מטר
קטריהם של הקנטאורים הגדולים ביותר שמסווגים גם כשביטים, מוערכים ב-250 ק"מ עד 300 ק"מ.
לשביטים המוכרים צפיפות ממוצעת של כ-0.6 גרם לסמ"ק.
להלן רשימה של מספר שביטים שיש עבורם אומדני גודל, צפיפות ומסה.
בעבר סברו שהגרעין מורכב בעיקר מקרח מים.
על פי מודל זה, אבק נפלט כאשר הקרח מתאדה.
בהתאם, כ-80% מהרכב השביט האלי, יהיה קרח מים, ופחמן חד-חמצני קפוא מהווה עוד כ-15%.
חלק גדול מהשאר הוא פחמן דו-חמצני, מתאן ואמוניה קפואים.
מדענים סבורים שכוכבי שביט אחרים דומים מבחינה כימית לשביט האלי.
גם הגרעין של השביט של האלי הוא שחור כהה.
מדענים חושבים כי פני השטח של השביט, ואולי רוב השביטים האחרים, מכוסים בקרום שחור של אבק וסלע המכסה את רוב הקרח.
שביטים אלה משחררים גז רק כאשר חורים בקרום זה מסתובבים לכיוון השמש, וחושפים את הקרח הפנימי לקרינת השמש.
התברר כי הרכב הקומה, הילת הגז העוטפת את הגרעין, אינו מייצג את הרכב הגרעין, מכיוון שהיא מועשרת בגזים נדיפים, ומדוללת בחומרים אורגניים כבדים.
וככל הנראה אחוז החומר הסלעי בגרעין גבוה בהרבה ממה שסברו תחילה; ההערכות האחרונות מראות כי המים הם אולי רק 20-30% מהמסה בגרעינים טיפוסיים.
במקום זאת, שביטים עשויים בעיקר מחומרים אורגניים ומינרלים.
שכיחות הדאוטריום בקרח השביט ניתנת למדידה באמצעות שיטות ספקטרוסקופיות.
התגלה כי בשביטים היחס בין שכיחות הדאוטריום למימן גבוה פי 2–3 מהיחס במי האוקיינוסים של כדור הארץ.
לפיכך לא סביר שהמים על פני כדור הארץ הגיעו משביטים.
בכוכב השביט צ'וריומוב-גרסימנקו חלק מאדי המים הנוצרים עלולים לברוח מהגרעין, אך 80% מהם מתעבים מחדש בשכבות מתחת לפני השטח.
תצפית זו מרמזת על כך שהשכבות הדקות העשירות בקרח שנחשפות קרוב לפני השטח עשויות להיות תוצאה של פעילות השביט והאבולוציה, ושהשיכוב לא מתרחש בהכרח בשלב מוקדם בהיסטוריה של היווצרות השביט.
מדידות שבוצעו על ידי הנחתת פיליי על צ'וריומוב-גרסימנקו, מצביעות על כך ששכבת האבק עשויה להיות בעובי של עד 20 ס"מ.
מתחת לשכבה זו קרח קשה, או תערובת של קרח ואבק.
נראה שהנקבוביות גדלה לכיוון מרכז השביט.
בעוד שרוב המדענים חשבו שכל העדויות הצביעו על כך שמבנה הגרעינים של שביטים הוא ערימות שברים של כוכבי לכת קרח קטנים יותר מדור קודם, משימת רוזטה הפריכה את התיאוריה הזו.
התאחיזה של גרעין השביט עלולה להיות רופפת, כפי שמתברר ממספר מקרים בהם התפרקו שביטים למספר חלקים.
שביטים שהתפרקו כוללים את שביט ביאלה ב-1846,שומייקר לוי 9 ב-1992, ו מ-1995 עד 2006. ההיסטוריון היווני אפורוס דיווח על התפצלות של שביט בחורף 372–373 לפני הספירה.
שביטים מתפרקים כתוצאה של מתח תרמי, לחץ גז פנימי, כוחות גאות או פגיעה.
השביטים 42P/Neujmin ו-53P/Van Biesbroeck הם ככל הנראה שברים של שביט אב שהתפרק לשניים.
ניתוח נומרי של מסלוליהם הראה ששני השביטים חלפו בינואר 1850 בסמוך לצדק, ושלפני 1850 שני המסלולים היו כמעט זהים.
גרעיני שביט הם מהעצמים האפלים ביותר הקיימים במערכת השמש.
הגשושית ג'וטו גלתה שגרעין השביט האלי מחזיר כ-4% מהאור הנופל עליו, וחלל עמוק 1 גילה שמשטחו של השביט בורלי מחזיר רק 2.5–3.0% מהאור הנופל עליו; לשם השוואה, אספלט טרי מחזיר כ-7% מהאור הנופל עליו.
נהוג לחשוב שתרכובות אורגניות מורכבות מהוות את החומר הכהה על פני גרעין השביט.
חימום השמש מאדה תרכובות נדיפות, ומותיר חומרים אורגניים בעלי שרשראות מולקולריות ארוכות, הנוטים להיות כהים מאוד, כמו זפת או נפט גולמי.
האלבדו הנמוך של פני השביט מאפשר לו לספוג את החום הדרוש כדי לגרום להמראת הגזים של השביט.
המשימה הראשונה שהתקרבה לגרעין שביט הייתה הגשושית ג'וטו.
ב-1986 חלפה ג'וטו במרחק 596 ק"מ מגרעין השביט האלי.
זו הייתה הפעם הראשונה שגרעין שביט צולם מקרבה כזו.
הנתונים הראו לראשונה את סילוני הגז הפורצים מגרעין השביט, את פני השטח הכהים ואת התרכובות האורגניות.
במהלך הטיסה, נפגעה ג'וטו לפחות 12,000 פעמים מחלקיקים, כולל פגיעה של שבר של 1 גרם, שגרם לאובדן זמני של התקשורת עם יחידת הבקרה בדרמשטאדט.
חישוב מראה כי האלי פולט כשלושה טונות של חומר בשנייה, משבעה סילונים, מה שגורם לו להתנדנד לאורך פרקי זמן ארוכים.
בשנת 1990 חלפה ג'וטו במרחק של כ-200 ק"מ מגרעיון השביט גריג-סקילרופ.
הגשושית רוזטה והנחתת פיליי גילו שלגרעין צ'וריומוב-גרסימנקו אין שדה מגנטי, מה שמרמז שייתכן שמגנטיות לא מילאה תפקיד בהיווצרות מוקדמת של פלנטסימלים.
גרף של פונקציה הוא אוסף כל הזוגות הסדורים של משתנה מסוים עם ערך הפונקציה המתאים לו, כלומר גרף הפונקציה אמור להתבסס על פי שתי אותיות [X+Y] המסמנות את הגרף עצמו.
בתרגיל מסוים של משוואות ה-x תקדים את ה-y עבור פונקציה מסוימת.
לרוב הכוונה היא לציור של אוסף זה בתור נקודות במישור לפי מערכת צירים קרטזית, אולם צורת הצגה זו אפשרית רק עבור פונקציות ממשיות במשתנה יחיד; עם זאת, מושג הגרף קיים גם עבור פונקציות במספר משתנים.
במערכת צירים דו־ממדית את ציר איברי תחום הפונקציה לרוב נהוג לסמן כ- ואת ציר איברי הטווח נהוג לסמן כ-.
בנקודה (זוג סדור) בגרף במערכת צירים דו־ממדית, האיבר הראשון (שיעור X של הנקודה) בזוג נקרא גם אבסציסה (Abscissa) והשני (שיעור Y) נקרא גם אורדינטה (Ordinate).
בהינתן פונקציה שתחומה , גרף הפונקציה היא הקבוצה של הזוגות הסדורים .
נשים לב כי עבור פונקציה ממשית ב- משתנים, גרף הפונקציה הוא תת-קבוצה של המרחב האוקלידי .
המקרה הפרטי המוכר הוא זה של פונקציה במשתנה יחיד, אז הגרף הוא תת-קבוצה של המישור – .
ישר – גרף שמייצג פולינום ממעלה ראשונה () שיפועו, כלומר טנגנס הזווית שלו עם ציר ה-, הוא והוא חותך את ציר ה- בנקודה .
פרבולה – מייצגת פולינום ממעלה שנייה.
נראית כמעין קשת מתרחבת ( כאשר a אינו אפס) אם חיובי הפרבולה פתוחה כלפי מעלה (כלומר קמורה) ואם הוא שלילי, אז היא פתוחה כלפי מטה (קעורה).
היפרבולה – מייצגת פונקציה מהסוג
נקודות מיוחדות על גרפים של פונקציות ממשיות:
מינימום ומקסימום – הנקודות הגבוהות והנמוכות ביותר בסביבה כלשהי של הנקודה, כלומר ערכי ה- הגדולים והקטנים ביותר יחסית לסביבתם בהתאמה.
אם הפונקציה גזירה בנקודות אלו – הנגזרת תתאפס.
נקודת פיתול – נקודת מעבר מקמירות לקעירות.
כאשר הגרף חותך את ציר ה-X.
כדי למצוא אותו משווים את הפונקציה ל-0.
כאשר הגרף חותך את ציר ה-Y.
כדי למצוא אותו מציבים בפונקציה X=0.
נקודת שאיפה – נקודה ב-X שלא מוגדר לה Y ולכן הפונקציה שואפת אליה משני צדדיה (כגון אסימפטוטות בהיפרבולה), או נקודה ב-Y שהפונקציה לא תגיע אליה מעולם אבל שואפת אליה.
רלוונטי לדוגמה בפונקציות בהן X נמצא במכנה- נקודת השאיפה היא הנקודה בה תוצאת המכנה שווה ל-0.
גרפולוג הוא אדם העוסק בגרפולוגיה, כלומר בניתוח כתב יד.
פעילות זו נעשית לשתי מטרות שונות בתכלית:
ניתוח אופיו, התנהגותו ותכונות נוספות של אדם, בעיקר לשם קביעת התאמתו למשרה מסוימת (אבחון תעסוקתי), או התאמתו בתחומים אחרים.
ניתוח כתב יד כדי לזהות האם אדם מסוים הוא כותבו של מסמך מסוים או חתום על מסמך מסוים.
ניתוח זה משמש בעיקר בבתי משפט (כולל בתי משפט בישראל).
גרפולוגים עוסקים במקצועם בעיקר כעצמאיים, או במכון לשירותי גרפולוגיה המאגד גרפולוגים אחדים.
הכשרה של גרפולוגים נעשית בעיקר במכונים העוסקים בגרפולוגיה.
ישנם גרפולוגים העוסקים בהוראת המקצוע.
לגרפולוג העוסק באבחון תעסוקתי יש עוצמה רבה: בכוחו להשפיע, ואולי אף להכריע, למי תינתן משרה מסוימת.
חרף זאת, גרפולוג אינו נדרש בישראל להסמכה או לרישוי.
רבים מהגרפולוגים בישראל מאוגדים במסגרת "האגודה לגרפולוגיה מדעית בישראל", שהוקמה בשנת 1977. הצטרפות לאגודה מותנית במעבר מבחני קבלה.
בתורת הגרפים, גרף בלתי מכוון נקרא קשיר אם קיים מסלול בין כל שני צמתים בגרף.
גרף מכוון נקרא קשיר היטב (או קשיר חזק) אם קיים בו מסלול מכוון מכל צומת לכל צומת אחר.
פורמלית, גרף ייקרא קשיר אם לכל זוג צמתים ו- ב- קיימת סדרה של קשתות ב- כך שאם לכל אז:
דהיינו, המסלול מתחיל בצומת .
דהיינו, המסלול מסתיים בצומת .
דהיינו, סדרת הקשתות מהווה מסלול בגרף.
יש לשים לב כי ההגדרה הנ"ל משתנה קלות כאשר מדובר בגרפים לא מכוונים או בגרפים מכוונים.
במקרה הראשון, קשת היא קבוצה בת שני צמתים, ואילו במקרה השני, קשת היא זוג סדור של שני צמתים.
במתמטיקה באופן כללי, ובעיקר בטופולוגיה, קשירות של קבוצה מציינת שכל הקבוצה היא "בחתיכה אחת".
בתורת הגרפים קשירות מתבטאת בכך שכל צומתי הגרף מחוברים יחד, במובן זה שניתן להגיע מכל צומת לכל צומת אחר.
קשירות היא דרישה בסיסית מגרפים, על מנת שיקיימו תכונות נוספות.
למשל, כדי שיהיה בגרף מסלול אוילרי, הכרחי שהוא יהיה קשיר (עד כדי צמתים שאינם מחוברים כלל לקשתות).
קשירות היא גם דרישה בסיסית מעץ.
רכיב קשירות של גרף הוא תת-גרף קשיר מקסימלי, כלומר, קבוצת קודקודים שיש מסלול בין כל שני קודקודים שלה, והכוללת עם כל קודקוד גם את השכנים שלו; יחד עם הקשתות המחברות את הקודקודים האלה.
כל גרף מתפרק באופן יחיד לרכיבי קשירות.
דרך נוספת להגדיר רכיבי קשירות היא: נתבונן ביחס על הקודקודים בגרף "יש מסלול ביניהם" זהו יחס שקילות (כאשר בין קודקוד לעצמו יש תמיד את המסלול הריק) אז רכיב קשירות הוא מחלקת שקילות.
גרף מכוון נקרא קשיר היטב (או קשיר בחוזקה) אם קיים מסלול מכל צומת שבו אל כל צומת אחר.
עבור גרף מכוון כללי, ניתן תמיד לפרק את הגרף לרכיבים קשירים היטב - תתי-גרפים מקסימליים של הגרף המקורי (גם: רק"ח - רכיבי קשירות חזקה), שכל אחד מהם הוא גרף קשיר היטב בפני עצמו.
פירוק זה מהווה חלוקה של הגרף למחלקות זרות - שני רכיבים שונים לא יכולים להכיל צומת משותף.
גרף מכוון חסר מעגלים (גמ"ל - DAG): גרף בו כל צומת (וקשתותיו היוצאות) מהווה רק"ח יחיד, ויש קשת מכוונת בין שני צמתים אם ורק אם יש קשת בין הרכיבים בגרף המקורי.
אלגוריתמים רבים בתורת הגרפים מניחים שהגרף עליו הם פועלים קשיר היטב, ועל כן מפעילים אותם על כל רכיב קשיר היטב בנפרד.
גרף מכוון בו עבור כל שני קדקודים קיים מסלול מ- ל- או מ- ל- נקרא קשיר למחצה.
גרף מכוון הנעשה קשיר לאחר הסרת הכיווניות נקרא קשיר חלש.
אלגוריתם למציאת רכיבים קשירים היטב
אלגוריתם Kosaraju הוא דרך פשוטה יחסית למציאת הרכיבים הקשירים היטב בגרף שזמן ריצתו ליניארי בגודל הגרף.
האלגוריתם מתבסס על שימוש כפול באלגוריתם חיפוש לעומק - פעם אחת על הגרף עצמו, ופעם על הגרף ה"משוחלף" המתקבל מהיפוך כל כיווני הקשתות.
ראשית מפעילים את אלגוריתם חיפוש לעומק על , ועבור כל צומת זוכרים את זמן היציאה ממנו.
הדבר ניתן לביצוע בזמן ליניארי.
כעת מפעילים את אלגוריתם חיפוש לעומק שנית, הפעם על .
מתחילים את ריצת האלגוריתם מהצומת בעל זמן היציאה הגבוה ביותר מבין אלו שחושבו בשלב 1, וכאשר האלגוריתם מסיים את הסריקה שהחלה מהצומת הזה ועליו לבחור צומת חדש, בוחרים את הצומת בעל זמן היציאה הגבוה ביותר מבין אלו שנשארו, וכן הלאה.
תוצאת האלגוריתם שהופעל בשלב 3 היא יער.
כל אחד מהעצים שביער הוא אחד מהרכיבים הקשירים היטב שבגרף, וכולם מופיעים בו.
מוציאים אותם כפלט, בהתאם למבוקש (תוצאות החיפוש לעומק בלבד אינן מספיקות, שכן הוא בוצע על הגרף המשוחלף).
על כן, בגרף המשוחלף , לא קיימת קשת מ- אל (כי הקשתות הפכו את כיוונן).
מכיוון שאלגוריתם החיפוש לעומק בשלב 3 מתחיל את ריצתו מהרכיב שמכיל את הצומת בעל זמן היציאה הגדול ביותר שהוא נמצא בהכרח ב- , ולכן מרכיב זה לא ניתן להגיע לרכיבים אחרים, והאלגוריתם יחשב אותו בלבד.
לאחר שהאלגוריתם פעל על רכיב זה צמתיו מסומנים כך שהאלגוריתם לא ייכנס אליהם שוב, ולכן מובטח כי גם המשך פעולת האלגוריתם תחזיר את התוצאה הנכונה.
גרף נקרא k-קשיר (בקודקודים) אם הוא נותר קשיר לאחר הסרת פחות מ-k קודקודים, ו-k-קשיר-קשתות אם הוא נותר קשיר לאחר הסרת פחות מ-k-קשתות.
גרף "1-קשיר-קשתות" אינו אלא גרף קשיר.
משפט מנגר קובע כי גרף הוא k-קשיר אם ורק אם בין כל שני קודקודים בגרף קיימים k מסלולים זרים בקודקודים והוא k-קשיר-קשתות אם ורק אם בין כל שני קודקודים בגרף קיימים k מסלולים זרים בקשתות.
גרף ממושקל הוא גרף עבורו לכל קשת בגרף משויך "משקל" - לרוב מספר ממשי.
מבחינה פורמלית, זהו גרף ופונקציית משקל .
הצמדת משקל לקשתות בגרף מאפשרת למדל בעיות מעניינות רבות, ובכללן עץ פורש מינימלי, מציאת המרחק הקצר בגרף בין שני צמתים, מציאת כל המרחקים הקצרים ביותר בגרף, ועוד.
מקרה פרטי של גרף ממושקל הוא גרף מטרי, שהוא גרף ממושקל מלא אשר פונקציית המשקל שלו משרה מרחב מטרי, דהיינו – מתקיים אי-שוויון המשולש, כלומר לכל שלושה צמתים בגרף מתקיים - כאשר הוא המרחק בין ל-, או משקל הקשת וכן מתקיים כי עבור כל שני קודקודים בגרף.
בתורת הגרפים, גרף מישורי הוא גרף שניתן לצייר במישור מבלי שהקשתות תחתוכנה זו את זו (חוץ מאשר בצומתי הגרף).
לגרפים כאלה יש חשיבות מיוחדת באלגוריתמים הקשורים בראייה ממוחשבת וביישומים של תורת הגרפים בתעשייה, למשל לתכנון מעגלים חשמליים.
גרף מישורי הוא גרף שאפשר לשכן במישור.
שיכון של גרף במישור הוא מודל גאומטרי שלו, שבו הצמתים הם נקודות במישור והקשתות הן עקומות שלא חותכות את עצמן או אף עקומה אחרת (חוץ מאשר בקודקודי הגרף).
כל גרף ניתן לשיכון במרחב האוקלידי התלת-ממדי .
פאות של גרף משוכן במישור הן רכיבי הקשירות (הטופולוגיים) שנקבל במישור אם נסיר את הצלעות (האזורים שנתחמים על ידי הקשתות).
האזור שמחוץ לצורה שיוצר הגרף הוא הפאה היחידה שאינה חסומה.
מקובל לסמן את מספר הצמתים (vertices) של הגרף באות v, את מספר הקשתות (edges) ב- e, ואת מספר הפאות (faces) באות f.
הוכחה: באינדוקציה על מספר הפאות, אם f = 1 אז אין בגרף מעגלים, לכן (הגרף קשיר) מדובר בעץ ומתקיים e = v - 1. אם f > 1 יש בגרף מעגל.
כל קשת במעגל מהווה שפה לשתי פיאות בדיוק ואם נסיר אחת נקטין את מספר הקשתות והפאות באחת.
עבור גרף מישורי עם k רכיבי קשירות נכליל:
הוכחה: (שימו לב שהפאה החיצונית משותפת לכל רכיבי הקשירות)
באופן כללי יותר, אם במקום לצייר את הגרף במישור מציירים אותו על-פני משטח קומפקטי כלשהו, הצירוף הוא קבוע, השווה למאפיין אוילר של המשטח.
לנוסחה זו יש גם פירוש הומולוגי.
הגרף השלם והגרף הדו-צדדי השלם אינם מישוריים , ואם כך גם החלוקות שלהם אינן מישוריות.
מתברר שזהו ההסבר היחיד לאי-מישוריות: כל גרף שאין לו תת-גרף שהוא חלוקה של אחד משני הגרפים הבעייתיים, הוא גרף מישורי.
זהו תוכנו של משפט קורטובסקי (Kuratowsky).
ניסוח שקול של התנאי שניתן בידי וגנר (Wagner) מדבר על מינורים של הגרף (גרפים המתקבלים מהגרף המקורי על ידי סדרה של מחיקת צמתים ואיחוד זוגות צמתים המחוברים בקשת) - גרף הוא מישורי אם אין לו מינור שהוא אחד משני הגרפים הבעייתיים.
משפט קורטובסקי מדגים את משפט המינורים (Robertson-Seymour), שלפיו כל תכונה של גרפים הנשמרת במעבר ממינור לגרף מוסברת בכך שגרף מקיים את התכונה אם ורק אם אין לו מינורים בקבוצה סופית מתאימה של תת-גרפים "בעייתיים".
לדוגמה, אפשר לומר שגרף הוא k-מישורי אם אפשר לשכן אותו במישור, באופן שיש לכל היותר k חיתוכים בין קשתות (גרף 0-מישורי הוא גרף מישורי במובן שהוגדר לעיל).
אז לכל k קיימת קבוצה סופית של גרפים 'אסורים', כך שכל גרף שאינו k-מישורי מכיל תת-גרף אסור.
נציג כמה תנאים הכרחיים למישוריות, הנובעים משיקולים פשוטים יחסית.
משפט: בגרף מישורי פשוט וקשיר בעל מתקיים
הוכחה: כל קשת גובלת בשתי פאות לכל היותר ופאה נתחמת על ידי שלוש קשתות לפחות, כלומר ויחד עם נוסחת אוילר יתקבל: .
מסקנה: הגרף השלם בן חמישה קודקודים אינו מישורי ().
מסקנה נוספת: בגרף מישורי כאשר הוא הדרגה המינימלית של קודקוד בגרף.
משפט: בגרף מישורי כאשר g הוא מותן הגרף (אורך המעגל הפשוט הקצר ביותר בגרף).
הוכחה: זהו חידוד של המשפט הקודם, כאשר הפעם כל פאה נתחמת על ידי g קשתות לפחות.
מסקנה: הגרף הדו צדדי השלם אינו מישורי (כאן המותן שווה ל-4).
הוכחה נוספת לכך ש אינו מישורי:
לגרף 6 קודקודים ו9 צלעות.
לכן יש לגרף 5 פאות.
לכל פאה יש לפחות שלוש צלעות, וכל צלע יכולה להשתתף בשתי פאות לכל היותר.
מספר הצלעות הממוצע בכל פאה.
לכן חייבת להיות פאה עם לכל הפחות 3 צלעות ולכל היותר 3.6 צלעות - כלומר פאה בעלת 3 צלעות.
קיבלנו סתירה מאחר ש הוא גרף דו צדדי שלא מכיל משולשים מאחר שכל מעגליו באורך זוגי.
ניתן לפתור את הבעיה הגאומטרית: לכמה שטחים אפשר לחלק מעגל באמצעות פיזור n נקודות על פניו במרחקים שווים, וחיבור כל זוג נקודות בקו.
אם אי-זוגי לא ייתכן שנחתכים יותר משני אלכסונים בנקודה.
נתייחס לכל נקודת חיתוך כאל קודקוד.
הגרף המתקבל הוא מישורי ומכאן מקיים את נוסחת אוילר.
יש קודקודים על שפת המעגל ו קודקודים בתוך המעגל.
(בין כל 2 צלעות זרות יש נקודת חיתוך) נשתמש בנוסחת אוילר:
מספר הצלעות שווה לסכום הדרגות של כל הקודקודים לחלק ל - 2. על שפת המעגל דרגת כל קודקוד היא ובתוך המעגל - 4.
כשקרטוגרף מצייר מפה מדינית, הוא משתדל לצבוע מדינות שכנות בצבעים שונים, כדי להקל על ההבחנה ביניהן.
הדרך הטבעית לחקור מצבים כאלה בתורת הגרפים היא להגדיר את הגרף הדואלי למפה, שבו הצמתים הם המדינות, וזוג צמתים מחוברים בקשת רק כאשר המדינות המתאימות שכנות זו לזו.
מכיוון שהמפה המקורית היא מישורית (או כדורית, אם מדובר במפה כלל-עולמית), הגרף המתקבל הוא גרף מישורי.
המשימה של הגאוגרף היא לצבוע את צומתי הגרף, באופן שזוג צמתים מחוברים ייצבעו בצבעים שונים.
משפט ארבעת הצבעים מבטיח שתמיד ניתן לעשות זאת בארבעה צבעים או פחות.
בלשון אחרת, המשפט מבטיח שלכל גרף מישורי יש 4-צביעה.
בתורת הגרפים, גרף דו-צדדי (נקרא גם גרף דו-חלקי) הוא גרף שבו ניתן לחלק את הקודקודים לשתי קבוצות זרות, כך שלא קיימת קשת בין שני קודקודים השייכים לאותה הקבוצה.
גרף דו-צדדי מלא הוא גרף דו-צדדי, אשר מכיל את כל הקשתות האפשריות.
גרף כזה מסומן (אם יש לו n קודקודים בצד אחד ו-m בשני) ויש לו mn קשתות.
גרפים דו-צדדיים מועילים במידול בעיות התאמה.
למשל, אם יש לנו קבוצה של אנשים וקבוצה של עבודות ואנו רוצים לבצע חלוקת עבודה, נוכל בתור מודל לתאר את האנשים והעבודות כגרף דו-צדדי שקבוצת קודקודים אחת בו היא והשנייה , ויש קשת בין אדם המתאים לעבודה מסוימת ועבודה זו.
גרף הוא דו-צדדי אם ורק אם אין בו מעגל באורך אי-זוגי.
גרף הוא דו-צדדי אם ורק אם הוא 2-צביע.
משפט החתונה מספק אפיון של גרפים דו-צדדיים שבהם ניתן לבחור קבוצה של קשתות לא נוגעות שמכסות את כל צומתי הגרף.
כל עץ הוא גרף דו-צדדי.
בגרף דו-צדדי מתקיים משפט קניג: גודלו של הכיסוי המינימלי שווה לגודלו של השידוך המקסימלי.
בתורת הגרפים, גרף שלם (או "גרף מלא") הוא גרף פשוט לא מכוון אשר כל שני צמתים בו מחוברים על ידי קשת.
נהוג לסמן גרף שלם בעל צמתים ב-.
גרף שלם מהווה דוגמה לקוגרף.
גרף שלם הוא הקליקה (clique) של עצמו.
קליקה בגרף לא מכוון היא תת-קבוצה של הצמתים שבה כל שני צמתים מחוברים בקשת.
בגרף שלם בעל צמתים ישנן קשתות והוא גרף רגולרי מדרגה .
בגרף שלם רכיב הקשירות של הגרף הוא הגרף עצמו.
בנוסף, הגרף המשלים של גרף שלם הוא גרף ריק.
אם כל אחד מקשתות הגרף תקבל כיוון, הגרף שיתקבל יקרא גרף תחרות.
ניתן לפרק גרף ל- עצים, , כאשר כל העץ כולל צמתים.
מספר המסלולים השונים בין שני צמתים מסוימים ב נתון על ידי
כאשר הוא קבוע אוילר ו
מספר הזיווגים בגרף שלם , הידוע גם כ"מספרי טלפון", הוא
בתורת הסיבוכיות הוכח שבעיית מציאת תת-גרף שלם הגדול ביותר בגרף נתון נכללת בקטגוריה NP-קשה, והצגתה כבעיית הכרעה ("האם קיים תת-גרף שלם מסדר הגדול מ-k?") היא בקטגוריה NP-שלמה.
חיפוש של קליקה שקול לחיפוש של קבוצה בלתי תלויה (קבוצת צמתים אשר אין זוג מהם המחוברים בקשת) בגרף המשלים (שקבוצת הקשתות שלו משלימה את קבוצת הקשתות של הגרף הנתון).
לכן האלגוריתמים הידועים לשתי הבעיות הם בעלי סיבוכיות זהה וכן תוצאות הקושי לקירוב.
גרף שלם עם צמתים מייצג את הקודקודים של סימפלקס ממימד .
מבחינה גאומטרית, יוצר את קבוצת הקודקודים של משולש, יוצר ארבעון וכו'.
הגרפים עד הם גרפים מישוריים, אבל הגרף השלם הוא אחד משני הגרפים היחידים שאינם מישוריים.
הגרף השני הוא – הגרף הדו צדדי המלא בעל 3 צמתים בכל צד.
משפט קורטובסקי קובע שגרף מישורי אם ורק אם אינו כולל תת-גרף שהוא חלוקה של או .
גרפים שלמים בעלי צמתים, עבור בין 1 ל-12, מוצגים להלן ביחד עם מספר הקשתות:
במתמטיקה, גרף מרחיב (מכונה גם אקספנדר) הוא גרף "קשיר ביותר", במובן זה שכדי לפרק אותו לשני רכיבי קשירות גדולים יש להוציא ממנו מספר רב של צלעות.
לגרפים מרחיבים שהדרגה שלהם קטנה יש שימושים רבים בקומבינטוריקה ובמדעי המחשב.
מכיוון שכל גרף סופי הוא מרחיב במידה מסוימת, עיקר העניין הוא בסדרות של גרפים שכולם מרחיבים במידה קבועה.
למרות שמבחינה הסתברותית רוב הגרפים הם מרחיבים, לא קל לבנות משפחות כאלה במפורש.
גרף רגולרי בעל קדקדים ודרגה נקרא -מרחיב אם לכל קבוצה של קודקודים מתקיים
כאשר מסמנים ב- את קבוצת הקודקודים שאינם ב- אבל מחוברים לקודקוד ששייך ל-.
קל לראות שכל גרף קשיר הוא -מרחיב עבור קטן מספיק.
לכן מתייחס לפעמים השם "גרף מרחיב" למשפחה אינסופית של גרפים שכולם מרחיבים עם אותו קבוע (ואותו ), ולא לגרף בודד.
בהינתן גרף רגולרי כאמור לעיל, מטריצת השכנות שלו היא מטריצה בגודל כך שהתא במיקום מכיל את הערך 1 אם קודקוד מחובר לקודקוד , ואת הערך 0 אחרת.
הערך העצמי המקסימלי של מטריצת שכנות של גרף k-רגולרי הוא תמיד ואם הגרף דו צדדי, גם הוא ערך עצמי.
ערכים עצמיים אלה נקראים טריוויאלים.
אומרים שהגרף הוא -מרחיב (במובן הספקטרלי) אם לכל ערך עצמי לא טריוויאלי מתקיים .
הגדרה זו של גרפים מרחיבים שקולה להגדרה הקודמת, כלומר לכל k ולכל יש כך שכל גרף שהוא -מרחיב לפי ההגדרה הספקטרלית, הוא גם -מרחיב בהגדרה הקומבינטורית ולהפך.
קיום ובניה של גרפים מרחיבים
על ידי שיקולי ספירה קל להראות שיש גרפים מרחיבים.
ליתר דיוק, אם ואם מגרילים גרף מקרי k-רגולרי על קדקדים, אז כאשר שואף לאינסוף, ההסתברות שהגרף הוא -מרחיב שואפת ל-1. בפרט, יש גרפים מרחיבים מכל סדר גדול מספיק.
בניה מפורשת של גרפים מרחיבים, לעומת זאת, איננה בעיה קלה.
הבניה הראשונה ניתנה על ידי גריגורי מרגוליס בשנת 1975. הגרפים שנבנו היו גרפי קיילי של חבורות מטריצות מעל שדות סופיים.
ההוכחה שגרפים אלה הם אכן מרחיבים משתמשת בתורת ההצגות (האינסוף ממדית!) של חבורות לי פשוטות.
בשנת 1988 אלכס לובוצקי ופיטר סרנק בנו דוגמה מפורשת לגרפי רמנוג'אן שהם אקספנדרים אופטימליים.
הבנייה נעזרה בהוכחה של השערת רמנוג'אן על ידי פייר דלין בתורה של תבניות מודולריות, כתוצאה מהוכחת השערות ווייל.
כיום ידועות מספר שיטות לבניית גרפים מרחיבים.
השיטות המודרניות נעזרות בתחום הקומבינטוריקה האריתמטית, ונסמכות על עבודות של הלפגוט, בורגיין-גמבורד-סרנק, בורגיין-ואריו וגרין-טאו-ברוליארד.
לגרפים מרחיבים שימושים רבים במתמטיקה ובמדעי המחשב.
בניה של מרחבים מטריים סופיים שקשה לשכן במרחבים אוקלידיים.
אלגוריתמי רבים משתמשים בגרפים מרחיבים.
בניות של פונקציות ערבול בקריפטוגרפיה.
הוכחת משפט ה-PCP משתמשת בגרפים מרחיבים.
קבוע צ'יגר (Cheeger) הוא מדד מספרי האם גרף מכיל "צוואר בקבוק".
הקבוע מוגדר על ידי (מהי קבוצת הקודקודים בגודל של עד חצי ממספר הקודקודים, שעבורה מספר הקשתות שיצאו ממנה ביחס לגודל שלה יהיה מינימלי).
עבור גרף G שהוא d רגולרי קיים קשר בין הפער הספקטרלי ( ) לקבוע זה, שהוכח על ידי טנר, ובאופן בלתי תלוי על ידי נוגה אלון וויטלי מילמן:
בתורת הגרפים, גרף מקרי הוא גרף הנוצר על ידי תהליך אקראי, או נבחר מתוך התפלגות על מרחב הגרפים.
תורת הגרפים האקראיים עוסקת בתכונות של הגרף המתקיימות בהסתברות 1, ובהתפלגויות של תכונות של הגרף.
ישנם מודלים רבים לתהליך היוצר גרף מקרי.
את המודל הראשון הציעו ריי סולומונוף ואנאטול רפופורט ב-1951, אך זה לא זכה להתייחסות רחבה בספרות.
את המודל השימושי והנפוץ ביותר הציגו פול ארדש ואלפרד רניי בסדרה של 8 מאמרים שפורסמו בשנים 1959-1968. לפי מודל ארדש-רניי, גרף הוא גרף בן קודקודים, שבו בוחרים עבור כל קשת, בסיכוי ובאופן בלתי תלוי, האם הקשת קיימת בגרף.
המודל בוחר, לפיכך, גרף אחד מבין הגרפים האפשריים, וההסתברות של גרף מסוים בן קשתות היא .
כאשר , למרחב יש התפלגות אחידה בדידה.
המודל מתאר מרחב הסתברות אחיד על כל הגרפים עם קדקודים ובדיוק קשתות.
ישנם גם מספר מודלים לגרפים רגולריים מקריים (גרף רגולרי הוא גרף שבו מכל קדקוד יוצא אותו מספר של קשתות).
מודל נוסף שהציגו ארדש ורניי הוא של גרף על מספר בן מניה ולא סופי של קודקודים.
במודל זה כל זוג קודקודים מחובר בהסתברות (ולמעשה אפשר לבחור כל ).
מתברר כי תהליך זה מוביל בהסתברות לטיפוס איזומורפיזם יחיד המכונה "גרף רדו".
לגרף זה תכונות אוניברסליות חשובות, וכך למשל כל גרף בן מניה משתכן בו.
יש תכונות של הגרף שאותן אפשר לחשב בקלות.
לדוגמה, תוחלת מספר המשולשים בגרף היא , משום שיש שלשות של קדקודים, וכל אחת מהווה משולש בסיכוי של .
לעומת זאת, ניתוח של תכונות גלובליות כמו קשירות או מספר הצביעה עשוי להיות סבוך ביותר, והתאוריה עוסקת בעיקר בתכונות כאלה.
במאמריהם שהוזכרו לעיל פיתחו ארדש ורניי תיאור "אבולוציוני" של גרף מקרי, הסוקר את ההתפתחות של הגרף - בהסתברות 1 - כאשר n גדל לאינסוף, עבור ערכים משתנים של p.
כאשר הדרגה הממוצעת קבועה, מבנה הגרף תלוי ב-c: בעידן c<1 כל רכיבי הקשירות הם פשוטים וקטנים: כלומר עצים או עצים עם קשת עודפת אחת, וגודלם .
יש הסתברות חיובית לכך שכל רכיבי הקשירות הם עצים.
בעידן c>1 יש רכיב קשירות גדול, שמספר קודקודיו ליניארי ב-n, ושאר הרכיבים פשוטים וקטנים, באותו מובן.
הזמן c=1 הוא "מעבר הפאזה", שבו גודל הרכיב הענק הוא (כתמיד, בהסתברות 1), .
הגרף נעשה קשיר כשהדרגה הממוצעת מגיעה ל-.
חוקי אפס אחד לגרפים מקריים
רונלד פייגין הראה ב-1976 כי לתכונות מסדר ראשון (בשפה שבה היחס היחיד הוא יחס השכנות בגרף) יש יכולת הפרדה חלשה מאד: הסיכוי של כל תכונה כזו, כאשר n שואף לאינסוף והגרפים מוגרלים על-פי המודל , הוא או אפס או אחד, באופן שאינו תלוי בקבוע p (כל עוד ).
שהרן שלח וג'ואל ספנסר הוכיחו ב-1988 שתכונות מסדר ראשון מקיימות את "חוק ה-0-1" (שלפיו ההסתברות של התכונה שואפת לאפס או לאחד כאשר n שואף לאינסוף) עבור אם אינו רציונלי, ולעומת זאת אם רציונלי אז יש תכונות שההסתברות שלהן (התלויה ב-n) אינה שואפת לאף גבול.
בהוכחה מסתכלים על התורה המתקבלת מכל הפסוקים המתארים תכונה בהסתברות 1. מראים שלתורה זו יש מודל אחד בן מנייה (זהו הגרף המקרי האינסופי שהתכונה המרכזית שלו היא שלכל שתי קבוצות סופיות זרות של קודקודים, קיים קודקוד המחובר לכל הקודקודים בקבוצה הראשונה, ולאף אחד מאלו שבקבוצה השנייה).
כמסקנה ממשפט לוונהיים-סקולם מקבלים שהתורה שלמה, ולכן כל תכונה מסדר ראשון או שהיא נובעת מהתורה והסתברותה 1, או ששלילתה נובעת, והסתברותה 0.
גרף עמודות או דיאגרמת עמודות (קרויה גם דיאגרמת מוטות או דיאגרמת מקלות) היא צורת הצגה גרפית של נתונים מספריים.
בהצגה של התפלגות משמש גרף עמודות להצגת נתונים לפי שכיחותם - עמודות בגבהים שונים מייצגות שכיחויות מתאימות של הנתונים.
ציר אחד (אופקי או אנכי) מתאר את ערך המשתנה והציר המאונך לו מתאר את שכיחותו היחסית של אותו ערך בכלל הנתונים.
גובהה של העמודה מייצג את שכיחותו היחסית של אותו ערך.
דיאגרמת עמודות שימושית לתיאור משתנה כמותי בדיד ומשתנה מסולם מדידה שמי או אורדינאלי.
רוצים לנתח אוכלוסייה ביישובים שונים (זוהי הכמות הנבחנת), ניתן להציג גרפית את מספר האנשים ביישוב בקבוצות גיל (הקטגוריות) שבין 0 ל-18 שנים, בין 19 ל-35, בין 36 ל-50, או מעל 51 שנה (בחירת הקטגוריות היא שרירותית).
בדוגמה זו ניתן תוצגנה ארבע עמודות, אחת לכל קבוצת גיל, וגובהה של כל עמודה ייצג את סך האנשים בתחום הגילים המסוים.
על אותו גרף ניתן להציג זה לצד זה, או בצבעים שונים, את התפלגות מספר האנשים ביישובים שונים.
אפשר להציג התפלגויות של אותה הכמות (מספר האנשים) לפי משתנים אחרים (למשל מינם, השכלתם, הכנסתם, שטח דירתם וכדומה).
כל התפלגות כזו היא גרף עמודות בפני עצמה.
הייצוג הגרפי של הטבלה לעיל - שילוב שתי דיאגרמות עמודות בתרשים אחד - התפלגות האוכלוסייה לפי גילים בשני היישובים:
ההצגה הגרפית מאפשרת הסקת מסקנות מהירה.
מעיון בדיאגרמה עולה מיד כי למרות שבשני היישובים המוצגים כמות האוכלוסייה הכוללת היא דומה, הרי שביישוב א' (המסומן בסגול) האוכלוסייה צעירה בהרבה מאשר ביישוב ב' (המסומן בכחול).