tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
נאמר על הפאוליקיאנים שהשתמשו בקאנון של כתבי קודש השונה מזה של הביבליה הנוצרית האורתודוקסית.
חוקרים ביזנטים טענו שהכת קיבלה את ארבע הבשורות (במיוחד את הבשורה על-פי לוקאס); ארבע-עשרה איגרות פאולוס; שלוש ; האיגרות של יעקב ויהודה; ו"האיגרת אל הלאודיקיאנים", שטענו שיש ברשותם.
לפי הדיווח הביזנטי, הפאוליקיאנים דחו את איגרת פטרוס הראשונה ואת כל התנ"ך העברי, הידוע גם כ.
במשותף עם הנסטוריאנים, נאמר על הפאוליקיאנים שדחו את התואר "תאוטוקוס" ("יולדת האל") עבור מרים וסירבו לכל סגידה שלה.
מקומות הפולחן של הכת נקראו ככל הנראה "מקומות תפילה" והיו חדרים קטנים בבתים צנועים, ולמרות נטיותיהם הסגפניות הפוטנציאליות, לא הבדילו במאכלים וקיימו נישואין.
בשל איקונוקלאזם משוער נטען שהכת דחתה את הצלב, הטקסים, הסקרמנטים, הפולחן וההיררכיה של הכנסייה הממוסדת, ובשל כך אדוארד גיבון ראה בהם "מבשרים ראויים של "הרפורמציה הפרוטסטנטית".
היסטוריונים מסוימים ראו בהם גם פרוטו-פרוטסטנטים.
בחיבור הפאוליקיאני או הטונדרקיאני המשוער "מפתח האמת", שהועתק במאה ה-18, הברית הישנה, הטבילה, הווידוי וההוחדה כולם מתקבלים.
דיווחים קתוליים מודרניים מוקדמים על הפאוליקיאנים שנותרו בבלקן טענו שהם היו איקונוקלסטים, הדוחים את הערצת התמונות והצלב, שהם השתמשו באש במקום במים בטבילה, ושהיה להם מושג פשוט יחסית של כהונה.
המנהג של טבילה באש על ידי פאוליקיאנים באזור לפני המרתם לקתוליות מאושש על ידי הדיפלומט האנגלי בן התקופה .
בשנות ה-40 של המאה ה-20 ראו חוקרים סובייטים בכת בעיקר תוצר של שמצא ביטוי באמצעות תנועה תאולוגית.
גרסויאן הסכימה שטענה זו נתמכת הן על ידי מקורות יווניים והן על ידי ארמניים, אך סברה שזהו רק תיאור מוגבל של הכת.
פַאוּנָה (מלטינית: Fauna) היא אוכלוסיית בעלי חיים המצויה במקום מסוים ובזמן מסוים.
המונח המקביל לצמחים נקרא "פלורה" ולפטריות "פונגה", ושלושתם נחשבים לחלק מהביוטה הטבעית.
מקור המילה "פאונה" הוא במיתולוגיה הרומית, משמה של אלת האדמה והפוריות פאונה, קרובתו של האל פאונוס, ומרוחות יער פאונים (המוכרים גם כסאטיר).
שלושת השמות מקורבים לפאן (Pan) מן המיתולוגיה היוונית (panis הוא המקביל היווני לפאונה).
ניתן לחלק פאונה לפי גודל:
מיקרופאונה (Microfauna) – בעלי חיים קטנים, בעיקר בגודל מיקרוסקופי.
מאקרו-פאונה (Macrofauna) – בעלי חיים שאורכם 4 עד 80 מילימטרים.
מגה-פאונה (Megafauna) – בעלי חיים גדולים.
פאוסט (Faust) הוא מחזה טרגי בשני חלקים מאת יוהאן וולפגנג פון גתה.
המחזה הוא יצירת הספרות המצוטטת ביותר בספרות הגרמנית והוא נחשב על פי רוב ליצירה הספרותית החשובה ביותר שנכתבה בשפה זו.
המחזה עוסק בסיפורו של דוקטור פאוסט, איש אשכולות שמוכר את נשמתו לשטן תמורת ידע אינסופי ותענוגות ארציים.
המחזה זכה לעיבודים רבים בספרות, במוזיקה ובתיאטרון בידי מחברים שונים, ומרחיב את הסיפור על פאוסט לכדי משל על המצב האנושי.
כתיבתו של המחזה העסיקה את גתה במהלך רוב חייו, והוא עצמו כינה אותה "summa summarum", דהיינו "סיכום הסיכומים" של חייו.
עובדה זו מוצאת את ביטויה בסגנונות השונים, ולעיתים אף הסותרים, של היצירה, וכן בהדגשים תוכניים שונים ומנוגדים של העלילה והדמויות.
גרסה חלקית וראשונה של המחזה התפרסמה בשנת 1772 ולאחר פרסומים חלקיים רבים לאורך השנים פורסמה היצירה השלמה שישים שנה מאוחר יותר בשנת 1832.
קשה לשייך את המחזה לסוגה ספרותית מסוימת.
יש בו מאפיינים של הזרם הקלאסי, של הסער והפרץ וכן של הרומנטיקה.
באחדות מן התמונות ישנם גם מאפיינים של סאטירה ושל מחזה-תעלומה.
לתמונות השונות במחזה קשר רופף יחסית זו לזו ולהתרחשות הכללית.
מקובל לחלק את המחזה ל"טרגדיית המלומד" ול"טרגדיית גרטכן", אך חלוקה זו איננה מוחלטת.
היצירה הראשונה המוקדשת לדמותו של פאוסט היא הספר העממי משנת 1587, אשר מגוללת את פרשת מעשיו הנפלאים והנוראים של ד"ר פאוסט, אשר התמכר לקסמים ולכישופים ולבסוף מכר את נשמתו לשטן כדי לזכות בעושר ובנעורים נצחיים.
אגדה זו התבססה כנראה על סיפור חייה של דמות היסטורית אמיתית, שחיה בגרמניה כמאה שנים קודם לכן בשם ד"ר יוהנס פאוסט (1480-1540).
ד"ר פאוסט היה איש אשכולות אשר עסק בפילוסופיה, אך גם באלכימיה, באסטרולוגיה ובכל מיני כישופים.
הוא הרצה במספר אוניברסיטאות, הרבה בנסיעות וקנה לעצמו שם של אדם חשוד ומפוקפק בעיני הממסד הנוצרי, הקתולי והלותרני כאחד, אך גם בחוגי ההומניסטים המשכילים.
אך העם הפשוט ראה במגמות אלה איום על האמונה הדתית המסורתית, ופירש את הכמיהה אל הדעת כבגידה שטנית בעקרונות המקודשים ביותר.
האגדה על ד"ר פאוסט, אשר נטש את לימודי התאולוגיה ויצא לתרבות רעה מתוך תשוקה עזה להכרת סודות הטבע, עד שהתמסר לשטן וויתר מרצונו על גאולת נפשו, מדגימה את כל המתחים האינטלקטואליים של תקופת הרנסאנס והרפורמציה.
בפתח המחזה שלושה קטעי מבוא, היוצרים מבנה מסגרת מסביב לגוף המחזה.
בהקדשה מתאר גתה את תהליך היצירה, בדגש על נקודת המבט האוטוביוגרפית.
אחרי ההקדשה מופיעה ההקדמה בתיאטרון, בה דנות שלוש דמויות: האמרגן, המשורר והבדחן בשאלת מהותו של התיאטרון.
לאמרגן חשובות במיוחד ההכנסות הגבוהות, הבדחן מבקש לעצמו תהילה כשחקן, בעוד שלמשורר חשובה איכות המחזה.
כפי שנעשה לרוב בעת שהמחזה מועלה על הבמה, דעותיהן של הדמויות בהקדמה מזכירות את הדמויות במחזה עצמו: הבדחן מזכיר את מפיסטופלס (מפיסטו), המשורר את פאוסט והאמרגן את וגנר.
הפרולוג בשמים (שורות 243–353) עוסק לראשונה בעלילה הראשית של המחזה.
בדומה להתערבות שבספר איוב המקראי מתערב מפיסטו עם אלוהים על נפשו של פאוסט.
השקפת עולמו הניהיליסטית של השטן מודגמת כאן בניגוד לגישתו הפוזיטיביסטית והמחייבת של אלוהים.
אלוהים נחוש בדעתו להוביל את פאוסט, אשר משרת אותו "במחשך", אל התובנה: "עינו חיש אפקח ולאור אוציאנו".
הסכמתו לכך שמפיסטו יפתה את פאוסט, כל עוד זה בין החיים, נועדה רק להעמיד את פאוסט במבחן.
אלוהים מכריז: "תועה אדם, כל עוד הוא שואף".
הפרולוג רומז כי פאוסט יעמוד במבחן, ומכאן שההתערבות היא רק התערבות מדומה: "איש טוב, ביצר לבו העמום, ידע את השביל הנכון לפניו".
מפיסטו מקבל רשות לפתות את פאוסט, כדי שזה יגיע אל האמת מתוך שגיאותיו.
לילה (807-354): גבולות ההכרה, מחשבת ההתאבדות
מתוך מונולוג של הגיבור הראשי למדים הצופים כי המלומד יוהאן פאוסט ניצב בפני מפנה בחייו: למרות ידיעותיו הרבות והשכלתו המקיפה הוא נותר מתוסכל מהכרתו את העולם.
הוא מבקש להגיע אל משמעות הקיום, אל הדבר אשר "מחזיק את העולם מבפנים".
מתוך ספקותיו וייאושו הוא מסיק כי "איננו יכולים לדעת דבר".
שיטות המדע נדמות בעיניו בלתי מספיקות למטרה זו.
הוא סבור כי הצליח למצוא את החוקים המאגיים של ההרמוניה הטבעית בספר של נוסטרדמוס.
הוא מזמן את רוח-האדמה, אשר לועגת לו ומשיבה אותו לממדיו: "הינך דומה לרוח שאתה תופס, לא לי!".
ידידו תאב-הלימוד של פאוסט, וגנר, בא אל חדרו וזוכה מצד פאוסט להתעלמות ודחייה.
וגנר מסמל את טיפוס המדען קר-המחשבה, הרציונליסט והפוזטיביסט, אשר מלקט את כל ידיעותיו מתוך ספרים.
הוא יהיר ומייצג בכך בורגנות משכילה ויומרנית.
בניגוד אליו, פאוסט מבקש לחוש את הטבע מקרוב, ואת צעדיו מכוונים הכמיהה אחר ידע אלוהי, רגש ואינטואיציה.
לאחר שווגנר עוזבו לנפשו, מבקש פאוסט להתאבד בשתיית רעל, כצעד ייאוש של ניסיון אחרון להתעלות על מגבלותיו האנושיות.
צלצולי הפעמונים של חג הפסחא מניאים אותו משליחת יד בנפשו, לא בשל משמעותם הנוצרית אלא בשל הזכרונות שהם מעוררים מימי הילדות המאושרים: "הזיכרון ורגשו הילדותי / מונעים ממני את הצעד האחרון".
בניגוד לבדידות של חדר העבודה שלו, יוצא פאוסט ביום המחרת בחברת וגנר אל הטבע האביבי שבחוץ, שבו מטיילים רבים להנאתם ולשם מפגש חברתי.
באידיליה זו של הטיול בטבע חושף פאוסט בפני וגנר את צמאונו הרוחני והנפשי, את השסע הפנימי שלו: "שתי נשמות דרות, האח, בחזי....".
כלב פודל משונה מתלווה אל פאוסט ווגנר ועוקב אחריהם.
פאוסט עוסק בתרגום הבשורה על-פי יוחנן, ומתלבט קשות על אופן תרגום פתיחת הספר.
לבסוף הוא מחליט לתרגם את הפתיח "בראשית היה הדבר/המילה" לפסוק "בראשית היה המעשה".
המעשה והעשייה הופכים מעתה למורי דרכו.
הוא מוצא את הגשמתו העצמית בשירות לציבור (בתור מהנדס סכרים).
בהשפעת לחשי הכישוף של פאוסט, הופך כלב הפודל בדרך של מטמורפוזה למפיסטו בתחפושת של תלמיד נודד, המציג עצמו בפני פאוסט כ"חלק מאותו כוח / השואף תמיד לרע ויוצר תמיד את הטוב" ובתור "הרוח השוללת תמיד".
פאוסט מציע לשטן ברית, אך מפיסטו הכלוא בחדרו של פאוסט בשל הנסיבות איננו רוצה עדיין לקבל את הצעתו.
הוא מרדים את פאוסט ומשתחרר מהשפעתו הקסומה.
מהתמונה הבאה במחזה מובן כי מפיסטו שב לבסוף לפאוסט.
פאוסט מקלל את קיומו על פני האדמה, ואז מציע לו מפיסטו את הברית.
פאוסט מבקש את "מעמקי התבונה", ומפיסטו אמור לעזור לו להגיע אליהם במהלך כל ימי חייו.
מפיסטו מבטיח לו "מסע בעולם הקטן, אז בעולם הגדול" בתמורה לשירותיו של פאוסט בעולם הבא.
בנוסף מתערב פאוסט, כי לא יעלה בידו של מפיסטו להביאו ל"רגע עליון" זה.
פאוסט מקבל את ההצעה, ובהתאם למסורת הברית נחתמת בדם.
התמונות הבאות במחזה מציגות את המסע בעולם "הקטן" ובעולם "הגדול".
הן מאשרות את אשר היה ברור לפאוסט שהעריך יתר על המידה את כוחו: הוא איננו יכול להפסיד בהתערבות, מפני שלעולם לא יהיה שבע רצון ולפיכך אותו "רגע עליון" לא יגיע אף פעם.
נדמה כי מפיסטו אינו יכול לקיים את הברית, שכן איננו רוצה למלא את מבוקשו של פאוסט אלא להסיח את דעתו ב"עולמו שלו".
הוא אף פעם אינו מספק לפאוסט את אשר זה מבקש, אלא מנסה תמיד לטמטם את רוחו בהנאות שטחיות ולאחר מעשה גם לסבך אותו בחובות כבדים.
מפיסטו מעורר בעזרת קסמי-יין אימה בקרב סטודנטים שיכורים, שאמורים לבדר את פאוסט בתחנה הראשונה במסע-העולמות שלו (בתמונה "מרתף אאורבך"), אבל פאוסט רק משתעמם.
ניסיון הפיתוי הראשון של מפיסטו נכשל, מפני שפאוסט מצפה ממנו לדברים אחרים.
בתיווכו של מפיסטו הופך פאוסט לצעיר לאחר שתיית שיקוי במאורתה של מכשפה.
גרטכן היפה הניבטת בפניו מראי קסמים, הופכת אותו לחולה אהבה.
לאחר שפאוסט מבחין במרגרטה (גרטכן) ברחוב בעיר קטנה, עת היא שרה שיר אודות מלך תּוּלֶה, הוא דורש ממפיסטו להשיג לו אותה.
מפיסטו נתקל בקשיים בשל תומה של גרטכן.
הוא טומן קופסת תכשיטים בארונה של גרטכן, אשר מעוררת את סקרנותה; היא מביאה אותה אל אמה, וזו מוסרת אותה לכומר.
השטן נאלץ עתה להטמין תכשיט חדש.
גרטכן מראה לשכנתה מרתה שוורדטליין את התכשיט החדש וזו מציעה לה להביא אותו אליה בחשאי.
מפיסטו מודיע למרתה את הידיעה הכוזבת כי בעלה שנעלם מת.
באמתלה שיש ביכולתו להביא לכך עד נוסף, הוא קובע להיפגש עם מרתה בחצר, ובפגישה אמורה גם גרטכן להשתתף.
בתמונה הבאה מסרב תחילה פאוסט לשקר בעדותו.
רק שכנועיו המיומנים של מפיסטו מביאים אותו להתאהב (או לחשוק) כל כך בגרטכן, עד שהוא מוכן לשקר רק על מנת לפגוש בה.
בפגישה מחזר מפיסטו באירוניה אחר מרתה ודוחה בחוצפה את כל הצעותיה הרומנטיות הברורות.
גרטכן מתוודה בפני פאוסט על אהבתה, אבל חשה בצורה אינסטינקטיבית כי למחזרה יש מניעים נסתרים.
גרטכן שואלת את פאוסט את שאלת-גרטכן הנודעת: "אמור נא, מה לך ולדת?" [המונח 'Gretchenfrage' נגזר מכאן והפך למטבע-לשון, לכל שאלת-זהות המביכה את הנשאל, שהיה מעוניין להתחמק מתשובה גלוית-לב].
גרטכן אמנם רוצה להביא את פאוסט לחדרה, אבל חוששת מפני אמה.
פאוסט נותן לה בקבוקון ובו סם-שינה, שמתגלה למרבה הטרגדיה כרעל.
בתמונות הבאות חשה גרטכן לראשונה כי היא בהיריון.
בחלק השני הסיפור הרומנטי של פאוסט וגרטכן מונח בצד, ופאוסט מתעורר בשדה של פיות כדי ליזום מחזור חדש של הרפתקאות ותכלית.
היצירה מורכבת מחמש מערכות, שכל אחת מהן מייצגת נושא אחר.
במערכה הרביעית, למשל, פאוסט מוצא את עצמו נלקח מארקדיה לפסגת הר בגרמניה.
כשהוא מתבונן בענן המתחלק לשני חלקים, הוא מזהה את הלן בחלק אחד ואת גרטכן בחלקו השני.
הענן עם צורת הלן נע מזרחה, בעוד הענן של גרטשן עולה לשמיים.
ואז מפיסטו, שהשאיר מאחוריו את הופעתו היוונית, מצטרף שוב לפאוסט.
מפיסטו מעורר מחלוקת על יצירת פני השטח היבשתיים ובמיוחד על אזור ההר.
לאחר מכן, פאוסט קובע אותו כייעד גבוה יותר חדש שלו, שהוא רוצה להחזיר אדמה חדשה.
מאחורי רצונו עומד הרעיון לשלוט באלמנטים או אפילו להיכנע לטבע.
לאחר מכן, פאוסט מתמקד בשליטה בים, שממנו הוא מחזיר קרקע חדשה על ידי סכרים ותעלות ניקוז.
אבל אז פורצת מלחמה בין הקיסר לקיסר יריב, שבאמצעותה נקטעות תוכניותיו של פאוסט.
מפיסטו מציג את שלושת הגברים האדירים ששמותיהם הם ראופבול, האבאלד והאלטפסט.
שלושתם אמורים לעזור לדכא את המרד וליישם את הפרויקט השאפתני של פאוסט.
בעזרת שלושתם פאוסט משי את הניצחון של הקיסר.
השלושה חושפים התנהגות מפוקפקת כבוזזים, המטילים צל ארוך על שירותיהם העתידיים.
כפרס על שירותו הצבאי פאוסט מקבל מחוז בחוף לניהול.
במערכה האחרונה פאוסט עולה לגן עדן.
הוא הפסיד את ההימור שלו מול מפיסטו, שלעולם לא יבקש להישאר ברגע טרנסצנדנטי ולהאריך אותו לנצח.
עם זאת, אלוהים זכה בהימור שלו מהפרולוג (ועל כן זכה גם בנשמתו של פאוסט) שכן הרגע הטרנסצנדנטי נגזר מעיסוקיו הנכונים.
מלאכים, המגיעים כשליחי רחמים אלוהיים, מכריזים בסוף מערכה ה': "מי שמתאמץ וחי להתאמץ / עדיין יכול לזכות בגאולה" (V, 11936–7).
המלחין הצרפתי הקטור ברליוז הושפע מגתה, וכתב יצירה מוזיקלית בשם "קללת פאוסט", והמלחינים שארל גונו, לואי שפור, אריגו בויטו ופרוצ'ו בוזוני כתבו אופרות על נושא זה (בהתאמה: "פאוסט", "פאוסט", "מפיסטופלה", "דוקטור פאוסטוס").
ייחוסים שונים לפאוסט מופיעים ביצירותיו של פרנץ ליסט, שכתב את "סימפוניית פאוסט", הסונטה לפסנתר המבוססת על עלילת המחזה, וכן סדרת "מפיסטו ולס".
ביצירותיו של המלחין רוברט שומאן (לרבות האינטרמצו השני באופ.
4), ובחלקה השני של הסימפוניה השמינית ("סימפוניית האלף") מאת המלחין גוסטב מאהלר שהלחין את הסצנה האחרונה של המחזה למקהלה ותזמורת בביצועם של כאלף משתתפים.
ריכרד וגנר הלחין פתיחה שנקראת "הפתיחה פאוסט", וכך עשתה גם המלחינה אמילי מאייר.
מאז נכתבו עשרות ספרים על פאוסט ויצירות עם וריאציות שונות על הדמות שלא נלאים מלנתח אותה לאורך ולרוחב.
מכל אלה ראויה לציון יצירתו של הסופר הגרמני תומאס מאן בשם "דוקטור פאוסטוס" (אף בנו, קלאוס מאן, כתב רומאן בנושא זה בשם "מפיסטו"), ואף יצירתו של הסופר הרוסי מיכאיל בולגקוב, "האמן ומרגריטה", בה הגיבור הראשי, האמן, הוא במידה רבה וריאציה של פאוסט.
תימוכין לטענה זו ניתן למצוא בעובדה שבגרסאות המוקדמות של הרומן נקרא הגיבור "פאוסט" ולא "האמן".
כמו כן ידועה טרילוגיית הסרטים הגרמנית, בבימוי אישטוואן סאבו ההונגרי, העוסקת בתחום ומתרחשת בתקופת מלחמת העולם השנייה.
הסרטים: "מפיסטו", "הנוסן", "קולונל ראדל".
קדם ליצירתו של גתה מחזהו הטרגי של המחזאי האנגלי כריסטופר מארלו, "דוקטור פאוסטוס", שנכתב והוצג לראשונה ככל הנראה בין השנים 1588 לבין 1590. מארלו היה למעשה הראשון שהפך את סיפורו של פאוסט ("אגדת פאוסט") למחזה טרגי.
יוהאן וולפגנג פון גתה נחשף לגרסה גרמנית של מחזהו של מארלו רק בשנת 1818, ושיבח אותה מאוד.
המחזה תורגם שבע פעמים לעברית:
מתרגם: מאיר הלוי לעטעריס, הוצאת י.
שלוסברג, וינה, 1865. בתרגום זה מי שמכר נשמתו לשטן הוא אלישע בן אבויה.
מתרגם: משה שולבוים (Moses Schulbaum), [תרגום מן המחצית השנייה של המאה הי"ט לחלק הראשון], ראה אור בסדרת "סְדָר - לספרות גנוזה", הוצאת 'דחק', 2022.
מתרגם: יעקב כַּהַן, הוצאת שוקן, ירושלים, 1943. תרגום רק של החלק הראשון.
(על תרגום זה זכה לפרס טשרניחובסקי בשיתוף עם י"ל ברוך בשנת 1952)
מתרגם: זאב ז'בוטינסקי, 1947. תרגום פרגמנטים אחדים שנדפסו בעיתונות במהלך שנות השלושים, ורוכזו בכרך ב' של כתבי ז'בוטינסקי בהוצאת ערי ז'בוטינסקי.
מתרגם: י"ל ברוך, הוצאת טברסקי, 1952. תרגום מלא של שני החלקים.
(על תרגום זה זכה לפרס טשרניחובסקי בשיתוף עם יעקב כהן בשנת 1952)
מתרגם: יצחק כפכפי, הוצאת דביר, 1975. תרגום מלא של שני החלקים.
מתרגמת: ניצה בן-ארי, ההוצאה לאור של אוניברסיטת תל אביב, 2006. תרגום מלא של שני החלקים עם ביאורים.
בגאומטריה של המרחב, פֵּאוֹן משוכלל הוא גוף קמור המוגבל על ידי מצולעים משוכללים חופפים, כך שבכל קודקוד שלו נפגש מספר שווה של מקצועות ולכל פאה מספר שווה של פאות שצמודות לה.
קיימים חמישה פאונים משוכללים: ארבעון, קובייה, תמניון, תריסרון ועשרימון; למרות שהשמות האלה (למעט קובייה) יכולים לציין פאונים לא משוכללים, בערך זה הם יתייחסו לפאונים המשוכללים בלבד.
חמשת הפאונים המשוכללים במרחב התלת-ממדי הם:
ארבעון (טטרהדרון) – פאון משוכלל בעל 4 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות (פירמידה משולשת).
קובייה (הקסהדרון) – פאון משוכלל בעל 6 פאות שכל אחת מהן היא ריבוע.
תמניון (אוקטהדרון) – פאון משוכלל בעל 8 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות (שווה ערך לשתי פירמידות ריבועיות המחוברות בבסיסן).
תריסרון (דודקהדרון) – פאון משוכלל בעל 12 פאות, שכל אחת מהן היא מחומש שווה-צלעות.
עשרימון (איקוסהדרון) – פאון בעל 20 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות.
גופים אלו מכונים גם "הגופים האפלטוניים" או "הגופים המשוכללים של אפלטון", וזאת משום שהם מוזכרים בדיאלוג האפלטוני טימאיוס, אם כי הם היו ידועים עוד לפני זמנו של אפלטון.
התריסרון התגלה על ידי הפיתגוראים, שהכירו גם את יתר הגופים.
אוקלידס הראה בספרו "יסודות" איך לבנות את הגופים האלה והביא את הוכחתו של תאטטוס שאלה הפאונים המשוכללים היחידים בשלושה ממדים.
הסיבה לכך שחמשת אלו בלבד הם הפאונים המשוכללים האפשריים במרחב התלת־ממדי, היא העובדה שכל קודקוד של פאון כזה צריך להפגיש יותר משני קודקודים של מצולע משוכלל וליצור מהם משטח לא מישורי.
קודקוד כזה של פאון, אפשר ליצור בחמש דרכים: הצמדת קודקודים של שלושה משולשים שווי צלעות (כמו בארבעון), הצמדת קודקודים של ארבעה משולשים שווי צלעות (כמו בתמניון), הצמדת קודקודיהם של חמישה משולשים שווי צלעות (כמו בעשרימון), הצמדת קודקודיהם של שלושה ריבועים (כמו בקובייה) והצמדת קודקודיהם של שלושה מחומשים (כמו בתריסרון).
יצירת פאון שבכול קודקוד שלו יש יותר מחמישה קודקודים של משולשים שווי צלעות, אינה אפשרית כי שישה קודקודים כאלו יוצרים משטח מישורי לחלוטין ויותר משישה אינם ניתנים להצמדה.
אותו הדין לגבי קודקודים של יותר משלושה ריבועים ויותר משלושה מחומשים משוכללים.
לגבי מצולעים שיש להם יותר מחמש צלעות, שלושה משושים יוצרים מישור וקודקודיהם של שלושה מצולעים משוכללים עם כל מספר אחר של צלעות אינם ניתנים להצמדה.
חבורות הסימטריה של הפאונים המשוכללים הן (חבורת התמורות הזוגיות מסדר 4) לארבעון, (החבורה הסימטרית מסדר 4) לתמניון ולקוביה, ו- לדודקהדרון ולאיקוסהדרון.
השימוש הטכנולוגי הכמעט יחידי בפאונים המשוכללים, בעיקר בקובייה, הוא ליצירת קוביות משחק.
הפאונים המשוכללים מתאימים לשימוש זה, משום שקוביות כאלה תהיינה הוגנות – לכל פאה יהיה אותו סיכוי להופיע בהטלת הקובייה.
הקוביות הסטנדרטיות של משחק התפקידים מבוכים ודרקונים הן חמשת הגופים המשוכללים בתוספת גוף אחד שאינו משוכלל, אף כי הוא מורכב מעשר פאות זהות: פאותיו מהוות דלתונים, ולא מצולעים משוכללים.
בטבע, ניתן למצוא פאונים משוכללים, בעיקר במבנים של מולקולות פשוטות, של גבישים ושל מעטפות חלבוניות של נגיפים.
למולקולת האמוניה, למשל, יש צורה של טטראהדרון ולנגיף הפוליו יש מעטפת חלבונית בצורה של איקוסהדרון.
טימאוס מלוקרי, מראשוני הפיתגוראים, ערך התאמה מיסטית בין ארבעת הפאונים הראשונים ובין ארבעת היסודות שהיו מקובלים ביוון העתיקה (אש, אוויר, מים ואדמה).
אפלטון, בדיאלוג טימאוס העוסק בקוסמולוגיה, אימץ התאמה שונה מעט: הוא שייך את הארבעון לאש, את הקובייה לאדמה, את התמניון לאוויר ואת העשרימון למים, וקישר את התריסרון לגלגל המזלות – כשם שלתריסרון יש 12 פאות, כך בשמיים יש 12 מזלות.
להשלמת ההקבלה הוסיף מאוחר יותר אריסטו יסוד חמישי לרשימה, אתר.
פאצ'ולי, בחיבורו על הפרופורציה האלוהית, קישר את התריסרון ליסוד החמישי, וקישר בינו לבין יחס הזהב, הלא הוא "הפרופורציה האלוהית".
כמעט אלפיים שנה מאוחר יותר, בסוף המאה ה-16, קישר יוהאנס קפלר את הגופים המשוכללים לכוכבי הלכת שהיו ידועים אז (מלבד כדור הארץ): כוכב חמה, נוגה, מאדים, צדק ושבתאי, כשהציע שהיחסים בין הגופים המשוכללים החוסמים את אותו כדור, קובעים את המרחקים היחסיים של כוכבי הלכת אל השמש, הצעה שהתגלתה לימים כשגויה.
את ההגדרה הגאומטרית שהובאה בראש הערך אפשר לנסח גם מנקודת המבט של הסימטריות, התקפה בכל ממד.
פאון רגולרי (או משוכלל) הוא פאון שחבורת הסימטריות שלו פועלת טרנזיטיבית על הדגלים המקסימליים (כלומר השרשראות הכוללות נקודה, צלע העוברת דרכה, פאה העוברת דרך הצלע, וכן הלאה עד לגוף הפאון עצמו).
יש ארבע משפחות אינסופיות של פאונים רגולריים:
המצולעים המשוכללים (כולם מממד 2),
יש רק חמישה פאונים רגולריים נוספים: הדודקהדרון והאיקוסהדרון שהוזכרו לעיל בממד 3, ועוד שלושה גופים במרחב הארבעה ממדי.
בפרט, בכל ממד גדול מארבע יש בדיוק שלושה פאונים רגולריים.
שלושת הפאונים הרגולריים במרחב הארבעה ממדי הם:
האוֹקְטַפְּלֶקְס, בעל 24 תאים אוקטהדריים, 96 פאות משולשות, 96 מקצועות ו-24 קודקודים;
גוף בעל 600 תאים טטראדריים, 1,200 פאות משולשות, 720 מקצועות ו-120 קודקודים;
גוף בעל 120 תאים דודקהדרוניים, 720 פאות מחומשות, 1,200 מקצועות ו-600 קודקודים.
האוקטפלקס דואלי לעצמו, ושני הגופים האחרים דואליים זה לזה.
פֵּאוֹן (או ביוונית: פוליהדרון, באנגלית: Polyhedron) הוא גוף תלת-ממדי המורכב מפאות, היוצרות יחד גוף קשיר, חסום וסגור.
המונח "פאון" מתייחס גם לגופים בעלי תכונות דומות מממד גבוה יותר (הגם שבאנגלית גוף תלת-ממדי נקרא polyhedron, ופאון כללי הוא polytope).
ישנם 5 סוגי פאונים משוכללים (תלת-ממדיים), הנקראים גם "פאונים משוכללים": ארבעון (פירמידה משולשת בעלת 4 פאות משולשות) קובייה (בעלת 6 פאות ריבועיות), תמניון (בעל 8 פאות משולשות), תריסרון (בעל 12 פאות מחומשות) ועשרימון (בעל 20 פאות משולשות).
קבוצת נוספת של פאונים הדומים לפאונים האפלטוניים היא הפאונים הארכימדיים.
בקבוצה זו יש שלושה-עשר פאונים, מהם שניים בעלי כיווניות ימנית או שמאלית, וביחד 15 פאונים שונים (עד כדי דמיון במרחב).
מנסרה, פירמידה מרובעת ופאונים נוספים אינם נחשבים פאונים משוכללים משום שאינם בנויים מפאות זהות.
הפאונים האפלטוניים והארכימדיים, יחד עם כל המנסרות והאנטי-מנסרות הם משוכללים למחצה.
הבעיה השלישית של הילברט שואלת האם אפשר לעבור מפאון נתון לכל פאון שווה שטח אחר, באמצעות חיתוך והרכבה.
בעיה זו נפתרה זמן קצר אחר-כך על ידי תלמידו, מקס דן, שהוכיח כי התשובה שלילית.
הטרמינולוגיה המיוחדת לפאונים, כגון האיקוסידודקהדרון הקטום וההקסגון המסותת, היא עניין סבוך ומבלבל.
השמות נגזרים בדרך כלל מיוונית ומלטינית, והם נסמכים על הכללים שקבע קפלר, שגילה (מחדש) את הפאונים הארכימדיים ועסק רבות בתחום.
בהכללה מן המקרה הדו-ממדי, שבו נקרא כל מצולע על-פי מספר הצלעות שלו, שמו של פאון אמור להציג בראש וראשונה את מספר הפאות.
תוספות לשם מתארות משהו מן המבנה המרחבי, או מצביעות על קשר בין הפאון המדובר לפאון פשוט יותר.
הבסיס לכל שם הוא מספר הצלעות, הנגזר מן התחיליות היווניות, והסיומת הקבועה '-הדרון'.
כדי לבטא מספרים אחרים, מחברים תחיליות.
כך למשל דודקהדרון הוא פאון בן 12 פאות, ולאיקוסידודקהדרון יש 20+10+2=32 פאות.
הצירוף -קונט- מבטא קבוצות של עשר, כך שלטטרקונטהדרון יש 40 פאות.
בעברית מקובלים גם שמות אלו, שנגזרו מיוונית, וגם השמות המעוברתים ארבעון (טטרהדרון), תריסרון (=דודקהדרון), עשרימון (איקוסהדרון), וכדומה.
במקרה הדו-ממדי, המונח "מתומן" עשוי לתאר כל מצולע בן 8 צלעות, בעוד ש"מתומן משוכלל" הוא מתומן שכל זוויותיו שוות.
באופן דומה, "דודקהדרון" עשוי להיות כל פאון בן 12 צלעות, ו"דודקהדרון משוכלל" הוא דודקהדרון שכל פאותיו מצולעים משוכללים.
בפאונים, רמת השכלול שניתן להגיע אליה מורכבת יותר: ייתכן שכל הזויות המרחביות יהיו חופפות, שכל הפאות יהיו משוכללות וחופפות זו לזו, וכדומה.
כל אחת מתכונות אלה עשויה לזכות את הפאון בתואר "משוכלל", ולעיתים קרובות נדרש ביאור נוסף כדי לאפיין את הפאון באופן חד-משמעי.
הקובייה, אם-כך, אינה אלא הקסהדרון משוכלל.
סיומות אחרי המלה מציגות את מבנה הפאות, במקרה שאלו אינן משוכללות.
למשל, "איקוסיטטרהדרון מחומש" הוא פאון בן 24 פאות, שכולן מחומשות (בדרך כלל הכוונה היא למחומשים משוכללים).
ל"דודקהדרון מעוין" יש 12 פאות בצורת מעוין (בשפות הלטיניות מקובלת במקרה כזה התחילית רומבי-).
הצורה "דלתוני" מתארת פאון שבו כל פאה היא בצורת דלתון; באנגלית מקובלת כאן התחילית טרפזו-, בהתאם למינוח האנגלי, ולא האמריקאי).
סיומת המתארת את צורת הפאה עשויה לאפיין את הפאון כחבר במשפחה אינסופית מוכרת.
לדוגמה, "מנסרה מתומנת" היא מנסרה, שהבסיסים שלה מתומנים.
ה"דו-פירמידה המתושעת" מתקבלת מהדבקת שתי פירמידות, שלכל אחת מהן בסיס מתושע ותשע פאות משולשות, בבסיסיהן.
פאונים מעניינים רבים מתקבלים בדרכים שונות מפאונים אחרים.
במקרה כזה המינוח עשוי להתייחס לפאון-האב, תוך ציון האופן שבו נוצר הפאון החדש.
הצירוף -קיס- (-kis-) מתאר פירוק כל אחת מן הפאות של הפאון הישן למשולשים, הנפגשים כולם בנקודה אחת, במרכז הפאה.
אם פעולה זו נעשתה בפאות הריבועיות של קובייה, הפאון הנוצר נקרא "קובייה קיסית", או "קובייה טטרקיסית" (משום שהפאות שהוחלפו היו טטרגונים, היינו מרובעים).
"דודקהדרון קיסי" (או "פנטקיסי") מתקבל מדודקהדרון, על ידי החלפת כל פאה מחומשת בחמישה משולשים הנפגשים בנקודה.
המונח קטום (truncated) מתייחס לתהליך של קיטום הפינות, כבאיור משמאל.
הקיטום מוסיף פאה במקומו של כל קודקוד (מספר הצלעות בפאה החדשה שווה למספר הפאות שנפגשו בקודקוד), ומכפיל את מספר הצלעות של כל פאה.
קיים גם קיטום עמוק יותר, שבו מישורי החיתוך של הפינות נפגשים, ומכל פאה משוכללת נשארת פאה משוכללת בעלת אותו מספר צלעות.
גם התוצאה של חיתוך כזה מתוארת במונח "קטום".
מתאר תהליך שבו מוחלף כל מקצוע של הפאון בזוג משולשים.
בקוביה המסותתת (משמאל), הפאות הישנות נותרות במקומן, ו-12 המקצועות מוחלפים ב-24 משולשים משוכללים; גם שמונה הקודקודים הופכים למשולשים.
זהו תהליך כיווני, משום שבזמן הוספת המשולשים יש לקבוע לאיזה כיוון יסתובבו הפאות הקיימות; לכן יש שתי צורות לא-חופפות של קובייה מסותתת.
סיתות האוקטהדרון, שהוא הפאון הדואלי של הקוביה, מביא לאותה תוצאה: שמונה הקודקודים הופכים לשמונה ריבועים, בעוד ש-12 המקצועות הפכו ל-24 פאות משולשות.
מסיבה זו מקובל לקרוא לקוביה המסותתת (שהיא הקסהדרון מסותת, וגם אוקטהדרון מסותת) בשם "קובוקטהדרון מסותת".
סיתות הפאונים הדואליים דודקהדרון ואיקוסהדרון מביא גם הוא לאותה צורה, הנקראת איקוסידודקהדרון מסותת.
השם "איקוסידודקהדרון" מציין שילוב בין דודקהדרון (12) לאיקוסהדרון (20) הדואליים, ואין לו קשר לפאון בן 32 צלעות, כפי שהשם עלול לרמוז.
פאון מכוכב הוא כזה שבו חלק מהמקצועות (או כולם) נמשכים כלפי חוץ, עד שהם נפגשים פעם נוספת.
פאונים כאלה אינם קמורים, כמובן.
יש דרכים רבות לככב את אותו פאון (לדוגמה, יש 59 איקוסהדרונים מכוככבים).
פאון הוא מוגדל אם עבר תהליך דומה, שבו ממשיכים את הפאות (ולא את המקצועות).
המילה "פאון" משמשת בעברית גם לתיאור גוף מממד כלשהו (מ-2 ואילך) המורכב מפאות (באנגלית polytope, להבדיל מפאון תלת-ממדי, הקרוי polyhedron).
את מספר הפאות מממד i של פאון P מסמנים ב-.
לכל פאון בעל n קודקודים מתקימים החסמים , כאשר הוא הפאון המגובב בממד d עם n קודקודים, המתקבל מגיבוב סימפלקס על אחת הפאות של ; ו- הוא הפאון הציקלי, שהוא הקמור של n נקודות (כלשהן) על העקום .
לדוגמה, לפאון הציקלי יש פאות i-ממדיות עבור i<d/2.
נוסחת אוילר קושרת בין מספר פאותיו, מספר המקצועות ומספר הקודקודים של פאון תלת־ממדי.
הנוסחה היא V - E + F = 2, כאשר V הוא מספר הקודקודים של הפאון, E הוא מספר המקצועות ו-F הוא מספר הפאות.
נוסחת אוילר היא מקרה פרטי של נוסחת אוילר-פונקארה עבור מֵמד d=3.
נוסחת אוילר היא תנאי הכרחי על הערכים V,E,F של פאון תלת־ממדי (אבל לא מספיק), אמנם על ידי הוספת שני תנאים נוספים אפשר להגיע גם לתנאי מספיק.
לכל פאון תלת־ממדי נסמן ב- את מספר הפאות ממֵמד כלומר מספר הקודקודים הוא , מספר הצלעות הוא ומספר הפאות הוא .
נגדיר: להיות ה"-וקטור" של הפאון.
משפט: וקטור של ערכים שלמים אי שליליים הוא -וקטור של פאון תלת־ממדי אם ורק אם מתקיימים 3 התנאים הבאים:
משפט קושי קובע שפאון קמור תלת-ממדי הוא קשיח, כלומר אי אפשר לשנות את צורתו בלי לשנות לפחות אחת מפאותיו.
ניתן לבנות פאון שאינו קמור, כך שיהיה פאון גמיש , כלומר ניתן לשנות את צורתו ללא שינוי של פאותיו.
פאון גמיש שאינו חותך את עצמו נבנה לראשונה בשנת 1977 על ידי רוברט קונלי , והוא כלל 18 פאות.
בהמשך נבנה פאון גמיש שלו 14 פאות משולשות.
בגאומטריית המרחב, פאון משוכלל למחצה הוא פאון קמור שכל הפאות שלו הן משוכללות, ואשר הקודקודים שלו חופפים זה לזה (במובן הבא: חבורת הסימטריות פועלת באופן טרנזיטיבי על הקודקודים).
ישנן שתי משפחות אינסופיות של פאונים משוכללים למחצה, המנסרות הקמורות והאנטי-מנסרות הקמורות, עוד שלושה-עשר פאונים ארכימדיים (שלהם לפחות שתי פאות לא חופפות), וחמשת הפאונים האפלטוניים (שבהם כל הפאות חופפות).
במונח "פאון משוכלל למחצה" עשה לראשונה שימוש E.
Gosset (ב-1912), כדי לתאר מה שקרוי היום פאון אחיד (פאון שחבורת הסימטריות שלו פועלת טרנזיטיבית על הקודקודים, וכל הפאות שלו אחידות; מצולע אחיד נדרש להיות משוכלל).
קוקסטר פסק שההגדרה הזו מלאכותית ורחבה מדי.
בהגדרות מאוחרות יותר נכללו פאונים נוספים, לרבות פאונים כוכביים והפאונים הדואליים לאלו המנויים לעיל.
בין הספרים העוסקים בנושא אין הסכמה חד-משמעית באשר לתכולת הקבוצה של הפאונים המשוכללים למחצה: מחברים אחדים כוללים בה את פאוני קטלן, בעוד שאחרים משמיטים ממנה את הפאונים האפלטוניים; לעיתים נשמטת גם ההנחה על קמירות.
כל אחד מן הפאונים המשוכללים למחצה ניתן לתיאור מלא על ידי תבנית הקודקודים שלו, הכוללת את טיפוסי המצולעים הנפגשים בקודקוד, לפי סדרם.
כך למשל התבנית 3.5.3.5 מתארת את האיקוסידודקהדרון, שבו נפגשים בכל קודקוד משולש ומחומש, משולש ומחומש; והתבנית 3.3.3.5 מתארת את האנטי-מנסרה המחומשת, שבה נפגשים בכל קודקוד שלושה משולשים ומחומש משוכלל אחד.
הכלי הבסיסי למיון פאונים קמורים הוא השוואה בין זוויות מישוריות זוויות מרחביות.
הזווית של מצולע משוכלל בן n צלעות היא (רדיאנים).
אם בקודקוד נפגשים פאונים שלהם צלעות האחד, אז סכום הזויות שלהם, , חייב להיות קטן מן הזווית הכוללת סביב נקודה, השווה כמובן ל- .
הזווית הקטנה ביותר במצולע משוכלל היא זו של משולשים (שכל זווית שלהם גודלה ), ולכן ; כלומר, מספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד הוא .
מצד שני בקודקוד של פאון נפגשות לפחות שלוש פאות, ולכן .
יתרה מזו: מנימוקים הנוגעים למדידת זוויות על פני כדור נובע כי כאשר מסכמים את ההפרשים על פני כל הזויות של הפאון, מתקבלת הזווית המרחבית (השווה לשטח פני כדור בעל רדיוס 1).
מכאן שמספר הקודקודים בפאון משוכלל למחצה, N, שווה ל-
מספר זה חייב, כמובן, להיות שלם.
הפתרונות למשוואה (*) כוללים שלוש משפחות אינסופיות, ועוד 101 פתרונות מבודדים (בספירה מניחים ש- ).
פתרונות אלה מחולקים באופן הבא:
כאשר k=5 יש שלושה פתרונות: , כאשר ;
כאשר k=4 יש משפחה אינסופית של פתרונות, , ועוד 11 פתרונות;
כאשר k=3 יש שתי משפחות אינסופיות של פתרונות, ו- , ועוד 87 פתרונות.
רבים מפתרונות אלה אינם יכולים לייצג פאון תלת-ממדי מסיבות גאומטריות שונות.
למשל: אם בכל קודקוד נפגשות k=3 פאות, אז סביב כל פאה צריכות להיות מסודרות הפאות משני הסוגים האחרים, לסירוגין.
בפרט, אם לאחת הפאות מספר אי-זוגי של צלעות, אז שתי הפאות האחרות חייבות להיות שוות.
עקרון פשוט זה פוסל את רוב הפתרונות המספריים, ומשאיר (כאשר k=3) את המשפחה ועוד תשעה פתרונות.
נימוקים אחרים, מורכבים יותר, פוסלים חלק מהפתרונות במקרה k=4, ומשאירים את המשפחה האינסופית ועוד 4 פתרונות.
חמישה הפאונים המשוכללים: העשרימון שתבנית הקודקודים שלו (3,3,3,3,3) (כלומר: חמישה משולשים נפגשים בכל קודקוד); התמניון, בעל התבנית (3,3,3,3) (ארבעה משולשים בכל קודקוד); הארבעון (3,3,3); הקובייה (4,4,4); והתריסרון (5,5,5).
משפחת המנסרות המשוכללות, בעלות החתימה ; משפחה זו כוללת את הקוביה (n=4).
משפחת האנטי-מנסרות המשוכללות, בעלות החתימה ; משפחה זו כוללת את התמניון (n=3).
בגאומטריית המרחב, פאון ארכימדי הוא פאון קמור משוכלל למחצה, שאינו מנסרה או אנטי-מנסרה, ושלא כמו בפאונים האפלטוניים, לא כל פאותיו חופפות.
בפרט, כל הפאות של פאון ארכימדי חופפות לאחד משני מצולעים משוכללים או יותר, אשר כולם בעלי אותו אורך צלע.
כמו כן, כל הקודקודים זהים, כלומר, כל הפאות הנפגשות בקודקוד אחד חופפות לפאות הנפגשות בכל קודקוד אחר.
את הפאונים הארכימדיים אפשר לבנות מחבורת הסימטריות שלהם באמצעות בניות ויטהוף.
הפאונים הארכימדיים נקראים על שם ארכימדס, שעסק בהם בספר שכל עותקיו אבדו.
בתקופת הרנסאנס, אמנים ומתמטיקאים העריכו "צורות טהורות", וגילו מחדש את הפאונים הללו.
החיפוש הושלם בסביבות 1619, כאשר יוהאנס קפלר הגדיר את המנסרות, אנטי-מנסרות והגופים הבלתי-קמורים הידועים בשם פאוני קפלר-פוינסוט.
יש שלושה-עשר פאונים ארכימדיים, מהם שניים בעלי כיווניות ימנית או שמאלית, וביחד 15 פאונים שונים (עד כדי דמיון במרחב).
פאון ארכימדי מאופיין על ידי תבנית הקודקודים, המכתיבה אלו מצולעים נפגשים בכל קודקוד.
לדוגמה, בפאון שתבניתו 4.6.8 נפגשים בכל קודקוד ריבוע, משושה משוכלל, ומתומן משוכלל.
שם(תבנית קודקודים) דמות שקופה דמות אטומה פריסה פאות מקצועות קודקודים טיפוס חבורת הסימטריה ארבעון קטום או טטרהדרון קטום
4 משושים 18 12 Td קובוקטהדרון
6 ריבועים 24 12 Oh קובייה קטומה או הקסהדרון קטום
6 מתומנים 36 24 Oh תמניון קטום או אוקטהדרון קטום
8 משושים 36 24 Oh רומביקובוקטהדרון
(3.4.4.4) (אנימציה) 26 8 משולשים18 ריבועים 48 24 Oh קובוקטהדרון קטוםאו רומביקובוקטהדרון גדול
6 מתומנים 72 48 Oh קובייה מסותתת
6 ריבועים 60 24 O איקוסידודקהדרון
12 מחומשים 60 30 Ih תריסרון קטום או דודקהדרון קטום
12 מעושרים 90 60 Ih עשרימון קטום או איקוסהדרון קטום
20 משושים 90 60 Ih רומביקוסידודקהדרוןאו רומביקוסידודקהדרון קטן
12 מחומשים 120 60 Ih איקוסידודקהדרון קטוםאו רומביקוסידודקהדרון גדול
12 מעושרים 180 120 Ih דודקהדרון מסותתאו איקוסידודקהדרון מסותת(2 צורות כיווניות)
הקוביה המסותתת והדודקהדרון המסותת הם כיווניים, משום שיש להם גרסה ימנית (בלטינית - levomorph) וגרסה שמאלית (dectromorph).
צורות אלה הן תמונות מראה זו של זו.
זוגות בעלי תכונה זו נקראים (למשל בכימיה) אננטימורפיים.
הפאונים הדואליים לפאונים הארכימדיים נקראים פאוני קטלן.
יחד עם הדו-פירמידות והטרפזוהדרונים, אלו הם הפאונים שכל הפאות שלהם חופפות (גם אם אינן משוכללות).
פאונטיין הילס היא עיר במחוז מריקופה, אריזונה, ארצות הברית.
לפי מפקד התושבים של שנת 2007 חיו בעיר 25,316 תושבים.
בשנות ה-90 הייתה פאונטיין הילס העיר השמינית בקצב גידול התושבים באריזונה.
פאונטיין הילס היא המזרחית בין הערים במטרופולין של פיניקס.
ממזרח לה מדבר סונורה וממערב היא גובלת בסקוטסדייל.
במזרח העיר שוכן אגם מלאכותי גדול ובמרכזו מזרקה שמימיה מגיעים עד לגובה של 170 מטרים.
המזרקה פועלת מדי שעה עגולה למשך 15 דקות ומהווה אטרקציה המושכת תיירים מכל רחבי ארצות הברית ומהעולם.
המזרקה מופעלת באמצעות שלוש טורבינות בעלות 450 כוחות סוס כל אחת.
כאשר שלוש הטורבינות פועלות המזרקה יכולה להגיע לגובה המרבי, אך בדרך כלל רק שתי טורבינות פועלות והמזרקה מגיעה לגובה של 91 מטרים.
כאשר נבנתה בשנת 1970 הייתה זו המזרקה הגבוהה בעולם.
פאוסט (Фауст) הוא סרטו של אלכסנדר סוקורוב, זוכה פרס "אריה הזהב" של פסטיבל הסרטים של ונציה.
הסרט כולו צולם בגרמנית, חרף היותו סרט רוסי והקרנת הבכורה שלו נערכה במהלך פסטיבל הסרטים של ונציה.
הסרט נחשב לסרט החותם של סדרת סרטים בת ארבעה סרטים אודות אישים היסטוריים, מאת סוקורוב.
הסרט מבוסס על החלק הראשון של פאוסט מאת גתה.
הסרט מוקדש לפאוסט ולעולם שהעניק לו את רעיונותיו.
זהו עיבוד עדכני, פילוסופי ואכזרי המתרחש בעולם מלוכלך של תאוות בצע.
פאוסטו פרווידינו (באיטלקית: Fausto Paravidino, נולד ב-15 ביוני 1976 בפיימונט) הוא מחזאי, שחקן ובמאי איטלקי.
את ילדותו הוא עבר באלסנדריה.
לאחר סיום בית הספר הוא עבר לג'נובה בה למד משחק.
כבר בשנת 1996 כתב את המחזה הראשון Trinciapollo.
בשנת 1999 הוא הצטלם בסרטו הראשון.
בשנת 2004 הוא זכה בפרס עבור המחזה שכתב.
בשנת 2005 פאוסטו פרווידינו לראשונ הביים סרט.
הסרט הוצג בפסטיבל הסרטים של ונציה וזכה בפרס.
בסרט זה ובסרטים נוסף השתתף ריקרדו סקאמרצ'ו, שבאותה התקופה היה סמל מין באיטליה.
מספר מחזות שלו הוצגו בצרפת ובגרמניה.
פאונד פאפיס היא סדרת הנפשה אמריקאית-קנדית שמבוססת על זיכיון הבובות "Pound Puppies" שבבעלות הסברו.
הסדרה שודרה במקור בערוץ The Hub החל מ-10 באוקטובר 2010 עד 16 בנובמבר 2013. בישראל הסדרה שודרה בדיבוב עברי בערוץ הילדים.
זוהי הסדרה השנייה שמבוססת על זיכיון הבובות, לאחר סדרה בעלת אותו שם משנת 1986.
לאקי (Lucky)- כלב זכר, "ראש החבורה", ומפקד עליון של מתקן תת-קרקעי של כלבים.
קוקי (Cookie)- כלבה נקבה, יד ימינו של לאקי, קצת קשה לה לדבר אבל מסתדרת.
ניבלט (Niblet)- כלב רועים אנגלי, ענק ומסורבל, בעל לב גדול ונדיבות.
שטרודל (Strudel)- כלבת תחש, נבונה מאוד עם מבטא גרמני שיוצרת המון המצאות.
ספורט (Squirt)- כלב צ'יוואווה, הקטן שיותר בקבוצה ובעל "חוכמת רחוב" (שפת רחוב וכו'), בהמשך הסדרה גילה שנולד במכלאת הובוקן, ניו ג'רזי.
ריבאונד (Rebound)- נראתה רק בעונה השנייה, אחותו הצעירה של ניבלט, צעירה וזריזה, היא נמצאת בבעלות אגפה מקליש.
קאפקייק (Cupcake)- גורה, הבת המאומצת של קוקי, היא חברה במועדון סודי של כלבים בשם "פפי קלאב".
פאטצ'ס (Patches)- נראה רק בעונה השנייה, מעריץ את חבורת הכלבים ומנהל את מועדון הכלבים "פפי קלאב".
לאנרד מקליש (Lenard McLeish)- הוא מנהל קצר רוח של מכלאה 17 הוא שונא את העבודה שלו ורוצה עבודה אחרת, אין לו מושג על פעילות הכלבים.
אולף הגלסוורף (Olaf Hugglesworth)- עובד במכלאה 17, הוא אחראי על הכלבים.
אגפה מקליש (Agatha McLeish)- אימו של לאנרד, היא שנאה כלבים עד שפגשה את ריבאונד.
בגאומטריית המרחב, פאון קָטָלָן הוא פאון תלת-ממדי קמור שחבורת הסימטריות שלו פועלת טרניזיטיבית על הפאות, אבל לא על הקודקודים.
לכן כל הפאות שלו חופפות זו לזו, אך אינן משוכללות.
פאון כזה דואלי לפאון ארכימדי, שחבורת הסימטריות שלו פועלת טרנזיטיבית על הקודקודים (ולא על הפאות).
הוא נקרא על שם אז'ן שרל קטלן.
יש שלושה-עשר פאונים ארכימדיים, ובהתאם לכך, שלושה-עשר פאוני קטלן.
שניים מהם בעלי כיווניות ימנית או שמאלית, וביחד 15 פאונים שונים (עד כדי דמיון במרחב).
פאון קטלן מאופיין על ידי תבנית פאות, המכתיבה כמה פאות נפגשות בכל קודקוד של פאה מסוימת.
לדוגמה, לפאון שתבניתו היא V4.6.8 יש פאות משולשות (כי יש שלושה מספרים בתבנית), ולכל פאה שלו יש קודקוד אחד שנפגשות בו ארבע פאות, קודקוד אחד שנפגשות בו שש פאות וקודקוד אחד שנפגשות בו שמונה פאות.
תבנית הפאות של פאון קטלן זהה לתבנית הקודקודים של הפאון הדואלי שלו.
שם(תבנית פאות) דמות שקופה דמות אטומה פרישה פאות מקצועות קודקודים טיפוס חבורת הסימטריה פאון דואלי טטרהדרון טריאקיסי
(V3.8.8) 24 36 14 Ohקובייה קטומה הקסהדרון טטראקיסי
(V3.5.3.5) 30 60 32 Ihאיקוסידודקהדרון איקוסהדרון טריאקיסי
(V5.6.6) 60 90 32 Ihעשרימון קטום הקסקונטהדרון דלתואידי
איקוסידודקהדרון קטום הקסקונטהדרון מחומש(2 צורות כיווניות)
פאוסטו סלסאנו (באיטלקית: Fausto Salsano; נולד ב-19 בדצמבר 1962, קאווה דה טירני, איטליה) הוא כדורגלן עבר איטלקי ששיחק בעמדת הקשר, וכיום עוזר מאמן נבחרת איטליה בכדורגל.
פאוסטו הוא בוגר האקדמיה של מועדון הכדורגל "פיסטוייזה".
ב-1979 הוא חתם על חוזה עם "סמפדוריה", שבו הוא שיחק עבור קבוצת הנוער.
לאחר מכן הוא שיחק בהשאלה בסרייה C1 — עונה אחת ב"אמפולי" ושתי עונות ב"פארמה".
ב-1984 הוא חזר בהשאלה לסמפדוריה והחל לשחק באופן קבוע בהרכב הפותח, במחצית השנייה של שנת 1980 והפך לשחקן חשוב בקישור של הקבוצה.
ב-1990 עבר ל"רומא", שם שיחק במשך שלוש עונות, ועמה העפיל לגמר גביע אופ"א 1991. בקיץ 1993 עבר לגור בסמפדוריה ושיחק בקבוצה העירונית במשך חמש שנים בסרייה א'.
פאוסטו סלסאנו שיחק בליגה העליונה באיטליה במשך 14 שנים, הופיע ב-351 משחקים וכבש 21 שערים.
עם סמפדוריה הוא זכה בגביע מחזיקות הגביע (1989/1990) וסיים במקום השלישי בליגה בעונת 1993/94.
בשנת 1987, הוא שיחק ארבעה משחקים עבור נבחרת איטליה (עד גיל 21).
בסוף שנות התשעים של המאה העשרים, סלסאנו המשיך להופיע במועדונים מהליגות התחתונות — "ספציה", "ססטרזה" ו"אימפריה".
במועדון "אימפריה", שבה סיים את קריירת המשחק שלו, הוא היה לשחקן-מאמן.
בתחילת העשור הראשון של המאה העשרים ואחת, פאוסטו היה לעוזר מאמן במועדונים "קטניה" ו"פיורנטינה".
בפיורנטינה סלסאנו החל לעבוד עם רוברטו מאנצ'יני, איתו שיחק בהרכב סמפדוריה.
מאוחר יותר המשיך לעבוד עם מאנצ'יני במועדונים אחרים כדוגמת "אינטר" (איטליה), "מנצ'סטר סיטי" (אנגליה), "גלאטסראיי" (טורקיה) ו"זניט" (רוסיה), ולבסוף בנבחרת איטליה.
פאונדלינג הוספיטל בלונדון, אנגליה, נוסד בשנת 1739 על ידי הנדבן קפטן תומאס קוראם.
היה בית ילדים שהוקם עבור "חינוך וקיום ילדים צעירים עזובים ונטושים".
המילה "בית חולים" שימשה במובן כללי יותר מכפי שהיא משמשת כיום.
למעשה זה היה מוסד חינוכי עבור ילדים שהיה להם פחות מזל בחיים.
אף על פי כן, אחד הנושאים החשובים ביותר בניהול "פאונדלינג הוספיטל" היה בריאות הילדים, שכן הם נלחמו באותה תקופה באבעבועות שחורות, חום, דיזנטריה וזיהומים מפעילויות יומיומיות, כמו בקיעת שיניים, שהביאו לעלייה בשיעור התמותה וסיכון למגפות.
צוות המוסד התמקד בשמירה על סביבה נקייה.
הנהלת המוסד הקדישה פחות תשומת לב לפיתוח החינוך לילדים.
הדבר נבע מהבעיות הכלכליות שהיו קיימות במוסד במשך שנים רבות, על אף הנכונות ההולכת וגדלה לתת תרומות למוסד.
המייסד, תומאס קוראם, הציג את בקשתו הראשונה להקמת בית החולים למלך ג'ורג' השני ב-1735. הבקשה נחתמה על ידי 21 נשים בולטות ממשפחות אריסטוקרטיות, ששמותיהן לא רק העניקו כבוד לפרויקט שלו, אלא הפכו את העמותה של קוראם לאחת מעמותות הצדקה האופנתיות ביותר עד היום.
בשנת 1737 הוצגו שתי בקשות נוספות, עם חתימות מאנשי אצולה, אנשים מקצועיים, ואנשים מהרשות השופטת.
הילדים הראשונים התקבלו ב-25 במרץ 1741, לבית זמני שהיה ממוקם ב"הטון גרדן".
בתחילה לא נשאלו שאלות על הילד או ההורה, אבל ההורה התבקש להשאיר "מכתב מסוים, או סימן הבחנה אחר או אסימון" שעשויים היו לשמש מאוחר יותר לזיהוי הילד, אם ירצו שהוא יוחזר.
אלה היו לעיתים קרובות מטבעות מסומנות, תכשיטים, חתיכות של בד או סרט, קלפי משחק, כמו גם פסוקים והערות שנכתבו על פיסות נייר.
ב-16 בדצמבר 1758 החליט מנהל בית החולים לתת קבלות לכל מי שהביא ילד, דבר שימנע את אסימוני הזיהוי.
למרות זאת, רשומות הקבלה מראות כי האסימונים נותרו.
הבגדים של הילד נרשמו בקפידה כאמצעי נוסף לזהות של ילד לעתיד.
כמות האסימונים הפכה לעצומה ולא תפקדה כראוי ולכן עברו למערכת של זיהוי עם כדורים אדומים, לבנים ושחורים.
מהרשומות הארכיון עולה כי בין 1 בינואר 1750 לדצמבר 1755, 2523 ילדים הובאו למוסד, אבל רק 783 נלקחו פנימה.
המימון הפרטי לא היה מספיק כדי לענות על הביקוש הציבורי.
בין 1 ביוני 1756 ו-25 במרץ 1760, ובתמיכה כספית של הפרלמנט, אימץ המוסד תקופה של אפשרות כניסה בלתי מוגבלת בשעריו.
שיעורי ההרשמה זינקו לשיאים של 4000 ילדים בשנה.
ילדים התקבלו למוסד רק לעיתים רחוקות לאחר גיל 12 חודשים, למעט יתומי מלחמה.
מדלפק הקבלה נשלחו הילדים אל נשים מניקות באזורים הכפריים, שם נשארו עד גיל ארבע או חמש שנים.
בשל העובדה כי רבות מן הנשים הללו התגוררו מחוץ ללונדון היה צורך לערב רשת של פקחים, שהיו נציגים של המוסד.
אף על פי שלמנהלי המוסד לא הייתה תוכנית ספציפית מי יהיו הפקחים האלה, בפועל היה זה לעיתים קרובות אנשי כמורה מקומיים שעשו את התפקיד הזה.
בגיל שש-עשרה הנערות היו בדרך כלל מוכשרות במשך ארבע שנים למלא תפקיד של משרתות.
מגיל ארבע-עשרה, הנערים היו מתמחים במגוון עיסוקים, בדרך כלל במשך שבע שנים.
הייתה קרן קטנה גם לחניכים מבוגרים.
למוסד הלונדוני קדמו מוסדות דומים באירלנד - בדבלין, שהוקם ב-1704, ובעיר קורק, שנוסד בשנת 1737, שניהם היו ממומנים על ידי הממשלה.
בספטמבר 1742 הונחה אבן הפינה למוסד החדש על אדמה שנרכשה מהדוכס מסאליסברי במגרש של לאמב-קנדייט בבלומסברי, אזור לא מפותח ששכן מצפון לרחוב גרייט אורמונד וממערב לגרייס אין ליין.
המבנה תוכנן על ידי תיאודור ג'ייקובסן כבניין לבנים פשוט עם שני אגפים וקפלה, שנבנתה סביב חצר פתוחה.
האגף המערבי הסתיים באוקטובר 1745. ואגף המזרחי נוסף בשנת 1752 "כדי שהנערות תשארנה בנפרד מהנערים".
בית החולים החדש תואר כ"אנדרטה אחת מרשימה ביותר שהוקמה על ידי הערכים החברתיים של המאה ה-18".
ב-1756 החליט בית הנבחרים כי צריך לקבל את כל הילדים המוצעים וכי יש להבטיח את הכספים בפומבי.
הוגבל גיל הקבלה המרבי מחודשיים לשתים-עשרה חודשים.
מבול של ילדים זרם מאזורים כפריים.
בתוך פחות מארבע שנים הוצעו כ-15 אלף ילדים, וגדל הסחר בילדים בקרב נוודים, שלפעמים הציגו את עצמם כאנשי העמותה, המבטיחים להביא ילדים מהכפר לבית החולים, תמורת תשלום.
משימה שהם לא ביצעו לעיתים קרובות או ביצעו באכזריות רבה.
סך ההוצאה הייתה כ-500,000 ליש"ט, אשר הפחידה את בית הנבחרים.
לאחר שבטלו הצעת חוק שהציעה לגייס את הכספים הדרושים על ידי מערכת המיסים הכללית, הם הגיעו למסקנה כי הכניסה למוסד ללא הבחנה צריכה להפסק.
המוסד -"פאונדלינג הוספיטל" - שהיה צריך לממן את עצמו אימץ שיטה של קבלת ילדים רק תמורת סכומי כסף ניכרים, מה שהוביל לפעמים למצב שהיו מחזירים את הילדים אל ההורה.
לבסוף הופסק נוהג זה בשנת 1801 שממנה ואילך הפך לכלל יסודי שלא נדרש כסף כתנאי לקבלה למוסד.
באותו הזמן, לידה מחוץ לנישואים נשאה סטיגמה עמוקה, במיוחד עבור האם, וגם עבור הילד.
לכן נקבע כי כל הילדים "בבית החולים פנדלינג" יהיו של נשים לא נשואות, וכולם היו הילדים הראשונים של אמותיהם.
העיקרון היה למעשה זה שניסח הסופר הנרי פילדינג ב"תולדות טום ג 'ונס" (1749) "אני חושש כי נשים רבות הפכו לנטושות ושקעו לזנות כי לא ניתן היה לאחזר את הטעות הראשונה שלהן." הכוונה שיילדו מחוץ לנישואים.
"פאונדלינג הוספיטל" הפך למוסד צדקה מאוד אופנתי, ונתמך על ידי דמויות רבות בחברה הגבוהה ומתחומי האמנויות.
נדבנים אלה כללו מספר אמנים ידועים בעיקר הודות לאחד המשפיעים ביותר באותו הזמן הצייר והקריקטוריסט ויליאם הוגארת.
הוגארת, שהיה חסר ילדים, היה בעל קשר ארוך עם המוסד והיה נדבן מייסד.
הוא תכנן את המדים לילדים ואת הסמל של המוסד.
הוגארת גם החליט להקים תערוכה קבועה לאמנות בבניינים החדשים, ולעודד אמנים אחרים לתרום עבודות עבור בית החולים.
על ידי יצירת האטרקציה הציבורית, הפך הוגארת את בית החולים לאחד מארגוני הצדקה האופנתיים ביותר בלונדון, כאשר המבקרים נהרו לראות יצירות אמנות.
באותו זמן, גלריות לאמנות לא היו ידועות בבריטניה, ויוזמת הגיוס של הוגארת נחשבת כהקמת הגלריה הציבורית הראשונה בבריטניה לאמנות.
כמה אמנים אנגלים בני זמנם עיטרו את קירות המוסד ביצירותיהם, כולל סר ג'ושוע ריינולדס, תומאס גיינסבורו, ריצ'רד וילסון ופרנסיס היימן.
הוגארת עצמו צייר דיוקן של המייסד תומאס קוראם והוא גם תרם את הציור שלו "משה לפני בת פרעה".
ציור נוסף "המשמר בדרך לפינצ'לי", התקבל גם הוא על ידי המוסד לאחר שהוגארת תרם כרטיסי לוטו למכירת יצירותיו והמוסד זכה בו.
פריט נוסף ראוי לציון הוא פסל חזהו של הנדל שפיסל הפסל הצרפתי רוביליאק.
ב"פאונדלינג הוספיטל" ישנם גם כמה ציורים שהדגימו את החיים במוסד, שצוירו על ידי אמה בראונלו, בתו של מנהל בית החולים.
בקאפלה, המזבח היה נראה במקור יותר מדי קתולי על ידי מנהלי המוסד והוחלף על ידי תמונה של ישו המציג ילד קטן.
התערוכות של שנערכו במוסד ואורגנו על ידי אגודת משכילים לונדונית, הובילו להקמת "האקדמיה המלכותית" בשנת 1768. את אוסף האמנות של "פאונדלינג הוספיטל" ניתן לראות היום במוזיאון המצוי באתר הראשון של המוסד.
במאי 1749, המלחין הנדל ערך מופע קונצרטים בקפלה של המוסד לגיוס תרומות למען הצדקה, וביצע את היצירה המקהלתית המיוחדת שלו "המנון פאונדלינג הוספיטל".
היצירה כללה גם את קטע המקהלה "הללויה" של האורטוריה המורכבת האחרונה שלו "המשיח", שהופיעה לראשונה בדבלין ב-1742.
ב-1 במאי 1750, הנדל ביים שוב מופע של "המשיח" כדי לציין את סיום בניית האורגן האמונד בקפלה.
ההופעה הראשונה הייתה הצלחה גדולה והנדל נבחר לקבל תואר כבוד של המוסד.
לאחר מכן, הנדל המשיך בביצוע שנתית של "המשיח", אשר סייעה לפופולריזציה של היצירה בקרב קהלים בריטיים.
הוא הוריש למוסד עותק מקורי של היצירה.
המקהלה ששרה הייתה מורכבת מילדים עיוורים בלבד.
בשנת 1774 עשה ד"ר צ'ארלס ברני וסיניור ג'יארדיני ניסיון לא מוצלח ליצור במקום בית ספר ציבורי למוזיקה, בחיקוי של מוסד דומה בוונציה, איטליה.
עם זאת בשנת 1847, יסדו "להקת נעורים" במוסד.
ההשפעות החינוכיות של המוזיקה היו מצוינות, והמוסד סיפק מוזיקאים רבים לתזמורות צבאיות.
לאחר מלחמת העולם הראשונה, החליטה הנהלת "פאונדלניג הוספיטל" לעבור למקום בריא יותר באזור הכפרי.
הצעה להעביר את המבנים לשימוש אוניברסיטאי נפלה, והם נמכרו בסופו של דבר לאיש נדל"ן בשם ג'יימס וייט בשנת 1926. הוא קיווה להעביר את השוק של קובנט גארדן למקום, אבל התושבים המקומיים התנגדו בהצלחה וטרפדו את התוכנית.
בסופו של דבר נהרס בית החולים המקורי.
הילדים הועברו לרדהיל, סארי, שם מנזר עתיק שימש כאכסניה זמנית לילדים.
ב־1935 הם עברו למבנה חדש, שנבנה בברקהמסטד, הרטפורדשייר.
כאשר בשנות החמישים השתנה החוק הבריטי, בעניין מסירת ילדים עזובים, והוחלף בפתרונות משפחתיים כגון אימוץ ואומנה, הפסיק "בית החולים" את מרבית פעילותו.
בנייני המוסד החדש, נמכרו למועצת המחוז כדי לשמש בית ספר.
מוסד "פאונדלינג הוספיטל" שינה את שמו ל"קרן תומאס קוראם לילדים".
למוסד "פאונדלינג הוספיטל" ישנה עדיין מורשת על האתר המקורי.
שבעה דונם נרכשו לשימוש כמגרש משחקים לילדים, בתרומה הכספית של בעל העיתון לורד Rothermere.
המוסד עצמו רכש קרקע ב-1937 בשטח של כ-2.5 דונם, ובנה מטה חדש ומרכז לילדים.
הבניין הישן שוחזר בסגנון דומה לבית החולים המקורי והיבטים חשובים של אדריכלות הפנים נשמרו שם.
כיום הוא מאחסן את מוזיאון "בית החולים פונדלינג", שהוא ארגון צדקה עצמאי, שבו ניתן לראות את אוסף האמנות ואת תולדות המוסד במהלך מאות השנים של קיומו.
פאוסטו מאסנאדה (באיטלקית: Fausto Masnada; נולד ב-6 בנובמבר 1993) הוא רוכב אופני כביש איטלקי בקבוצת הקונטיננטל פרו ההונגרית MBH Bank CSB Telecom Fort.
ב-2016, רכב מאסנאדה בקבוצת למפרה בתור סטאז'ר, אך לא הצליח להשיג חוזה קבוע בקבוצה.
בעקבות כך, חתם ב-2017 בקבוצת "אנדרוני–ג'יאקטולי" האיטלקית מדרג הפרו קונטיננטל.
באותה עונה סיים שלישי ב, 24 שניות אחרי דייגו אוליסי המנצח.
את 2018 פתח מאסנאדה בארגנטינה, כשסיים במקום ה-11 בוואלטה אה סאן חואן.
הוא סיים שישי במרוץ קופי אה ברטלי ושלישי בג'ירו דל'אפנינו, לאחר שהפסיד לג'וליו צ'יקונה המנצח ואמארו אנטונש בספרינט הסיום.
במאי, מאסנאדה ערך את הופעת הבכורה שלו בגרנד טור כשנבחר לג'ירו ד'איטליה, הוא לא התבלט במרוץ וסיים במקום ה-26, שהיה הראשון מתוך בני קבוצתו.
הוא סיים תשיעי בטור של הונגריה וניצח את קטגוריית ההרים בטור של סלובניה.
לקראת סוף העונה, הוא ניצח את הטור של האיינאן בסין, לאחר שגם ניצח את הקטע השמיני במרוץ.
ב-2019, סיים שלישי בג'ירו די סיציליה וניצח את קטגוריית ההרים במרוץ.
מאסנאדה התחרה ב שהיווה עבורו הכנה לקראת הג'ירו ד'איטליה, ובלט מאוד במרוץ לאחר שניצח 2 קטעים מתוך חמישה וסיים במקום החמישי, 1:13 אחרי פאוול סיבאקוב.
לאחר מכן סיים שני בג'ירו דל'אפנינו, כשבן קבוצתו מאטיה קטאנאו מקדים אותו.
בג'ירו ד'איטליה, בקטע השישי, מאסנאדה היה חלק מקבוצת בריחה גדולה ששרדה עד הסיום, בשלב מסוים התנתקו מהקבוצה הוא וולריו קונטי ועברו לקדמת המרוץ, בסיום גבר מאסנאדה על קונטי וניצח את הקטע.
בנוסף לכך מאסנאדה סיים שלישי בקטע ה-16, אחרי ג'וליו צ'יקונה ויאן הירט, ורביעי בקטע ה-17. הוא סיים שני בקטגוריית ההרים, אחרי ג'וליו צ'יקונה.
מאסנאדה סיים רביעי בקטגוריית הנקודות.
הוא סיים את המרוץ במקום ה-20, שהיה הראשון מתוך בני קבוצתו.
מאסנאדה גם זכה בקטגוריית הרוכב האגרסיבי ביותר של המרוץ.
לאחר תום הג'ירו, הוא סיים שביעי בטור של סלובניה ושמיני בקופה אגוסטוני.
ב-2020, עבר מאסנאדה לקבוצת CCC הפולנית.
ב-19 באוגוסט 2020 פרסמה קבוצת דקונינק קוויק-סטפ הבלגית שמאסנאדה חתם אצלה עד סוף עונת 2021 ויתחיל לרכוב אצלה החל מעונת 2020, זאת בשל סגירתה הצפויה של קבוצת CCC.
אנג'לו פאוּסטו קוֹפּי (באיטלקית: Fausto Coppi; 15 בספטמבר 1919 – 2 בינואר 1960) היה רוכב אופניים איטלקי, שזכה לתהילה בשנים שלאחר מלחמת העולם השנייה.
הצלחותיו זיכו אותו בתואר "אלוף האלופים" (Il Campionissimo).
הוא זכה בתארים בכל סוגי המרוצים, בהם מרוץ אופני כביש, מרוץ נגד השעון וספרינטים וטיפוסים.
קופי זכה בג'ירו ד'איטליה חמש פעמים, בטור דה פראנס פעמיים, ובאליפות העולם בשנת 1953. כמו כן זכה בג'ירו די לומברדיה חמש פעמים, במילאנו – סן רמו שלוש פעמים, ניצח בפריז–רובה ובלה פלש ואלון, וקבע את שיא השעה (45.798 ק"מ) בשנת 1942.
קופי ביצע מהפך בתחום מרוצי האופניים.
הוא הגדיר תזונת ספורט שמותאמת לתחום, קידם שכלולים טכנולוגיים, שיטות אימון ורפואת ספורט.
פאוסטו קופי מת בשנת 1960, בגיל 40, לאחר שנדבק במלריה בוולטה עילית.
קופי נולד בשנת 1919 בכפר קסטלניה, הסמוך לעיר אלסנדריה במחוז פיימונטה.
בילדותו נהג לחמוק מבית הספר לעיתים קרובות.
בגיל 8 מצא אופניים חלודות וללא בלמים במרתף המשפחתי, ובילה שעות ברכיבה.
בגיל 13 נשר מהלימודים והחל לעבוד בקצביה בכפר סמוך, אליה רכב הלוך ושוב על אופניו, וכך פגש רוכבי אופניים אחרים, שעודדו אותו לקנות אופניים איכותיות.
הכסף לרכישת אופניים אלו הגיע מאביו ומדודו, שנקרא גם הוא פאוסטו קופי.
על רכישה זו סיפר קופי:
בגיל 15 השתתף לראשונה במרוץ לנוער, וניצח.
הוא זכה בפרס הראשון: 20 לירות וכריך סלמי.
בתחילת 1938 קיבל רישיון להשתתף במרוצי אופניים מקצועיים, וניצח במרוץ הראשון בו השתתף, בכפר קסטלטו ד'אורבה, הסמוך לקצבייה בה עבד.
הוא זכה בשעון מעורר, אותו העניק במתנה לאימו.
בשנת 1939 החל להשתתף במרוצים רבים בצפון איטליה, וניצח מספר פעמים.
כמעט בכל תחרות בה השתתף עד 1954 הוא נהג להתנתק משאר הרוכבים ולדהור לניצחון.
קופי ניצח פעמיים, בשנים 1949 ו-1952, בג'ירו ד'איטליה ובטור דה פראנס באותה שנה.
הוא היה הראשון שעשה זאת.
הוא זכה בג'ירו חמש פעמים, שיא שרק ואדי מרקס רשמו לזכותם.
במהלך הג'ירו של 1949 הוא הוביל על פני ג'ינו ברטלי בפער של 11 דקות בין קונאו לפינרולו.
קופי זכה בטור דה פראנס בשנת 1949 בפער של כחצי שעה על פני כולם חוץ מברטלי.
בקטע מתחילת הרי הפירנאים ועד סוף המרוץ בהרי האלפים, קופי סגר את הפער של 55 הדקות בהן הוביל .
הוא ניצח גם בפריז–רובה ובלה פלש ואלון (1950), ובשנת 1953 ניצח באליפות העולם באופני כביש.
בשנת 1952 הוכללה פסגת האלפ ד'ואז לראשונה בטור דה פראנס.
קופי ניצח גם בקטע זה וגם במרוץ כולו.
הוא ניצח בפער של 28 דקות ו-27 שניות, ואמרגן התחרות נאלץ להכפיל את הפרסים למקומות הנמוכים יותר כדי לעודד את הרוכבים האחרים.
פאוסטו קופי ניצח ב-118 מרוצי אופניים, בכל תחומי הרכיבה, בהם מרוץ אופני הרים, מרוץ אופני כביש, מרוץ נגד השעון וספרינטים.
הוא שקע בדיכאון בשנת 1951 לאחר שאחיו הצעיר, סרסה קופי, התרסק בספרינט בג'ירו דל פיימונטה ומת בזרועותיו בתוך זמן קצר מדימום תוך-גולגולתי.
לאחר מכן הקריירה שלו דעכה.
הוא המשיך להתחרות, אבל הוא נפצע לעיתים קרובות והתקשה לנצח.
מתחילת הקריירה שלו התחרה קופי בג'ינו ברטלי, ואוהדי הספורט באיטליה נחצו בין השניים.
הם היו שונים לגמרי באופיים: ברטלי היה שמרן, דתי, ומוערך במיוחד בכפרים של דרום איטליה, ואילו קופי היה חילוני, איש העולם הגדול, שהגדיר משטר תזונה ושיטות אימונים חדשניות, והיה אהוד במיוחד בצפון איטליה.
היריבות ביניהם החלה ב-7 בינואר 1940, כששניהם התחרו בקבוצת וקופי הפתיע את כולם כשעקף את ברטלי וניצח במרוץ.
מאותו רגע הם התחרו זה בזה בכל הזדמנות.
רגע השפל ביריבות ביניהם היה בשנת 1948, באליפות העולם שנערכה בעיירה ולקנבורג בהולנד.
הם נפגעו, ובמקום לעזור האחד לשני העדיפו לפרוש מהמרוץ.
האירוע כונה "הבושה של ולקנבורג" והם הושעו מאיגוד האופניים האיטלקי לשלושה חודשים על התנהגות לא ספורטיבית.
היריבות ביניהם הייתה נושא לסיקור אינטנסיבי והוסיפה עניין רב במרוצים בהם השתתפו, אך לאחר התקרית בוולקנבורג הם השלימו חלקית, ואף חלקו בקבוק שתייה בתחרות שנערכה בשנת 1952 והתראיינו בצוותא לתוכניות טלוויזיה.
פאוסטו קופי נהג ליטול אמפטמינים לפני כל מרוץ, ולא הסתיר את זה.
באותה תקופה זה היה מקובל, ורק באמצע שנות ה-60 התפתחה המודעות להשפעות השליליות ולסכנות של אמפטמינים בעקבות מספר מקרי מוות.
כחלק ממשטר תזונה מיוחד שהרכיב עבור רוכבי אופניים, המציא קופי קוקטייל בשם "לה בומבה" שמרכיביו הם קפה, קוקה קולה וכדורי אמפטמין.