tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לעיתים מסמנים אינטגרל קווי באופן זהה לזה של אינטגרל לא מסוים או בדומה לאינטגרל מסוים, כאשר בתחתית ה-S הארוכה מציינים את נקודת התחלת המסלול ובראשה את נקודת סיומו, בשני המקרים תוך ציון מילולי כי האינטגרציה נעשית לאורך העקום.
אינטגרציה היא שיטה לחישוב גדלים על ידי סכימת אלמנטים קטנים, שגודלם שואף לאפס ומספרם שואף לאינסוף.
האינטגרל המסוים של פונקציה בקטע נתון מחושב על ידי חלוקת הקטע לתת-קטעים קטנים, וסיכום כל המכפלות של ערכי הפונקציה ב"נקודה יציגה" שנבחרת בכל תת-קטע באורכי תת-הקטעים המתאימים.
סכום כזה נקרא "סכום רימן", על שמו של המתמטיקאי ברנהרד רימן.
לעיתים קרובות מתברר שאם מעדנים את החלוקה כך שתת-הקטעים נעשים קטנים יותר ויותר, סכומי רימן הולכים ומתקרבים לערך קבוע, ללא תלות באופן החלוקה ובנקודות שנבחרו בתת-הקטעים.
במקרה כזה נקרא הערך המתקבל - "אינטגרל רימן" של הפונקציה בקטע.
האינטגרל מחשב שטח: אם הפונקציה חיובית, האינטגרל שלה שווה לשטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין הציר של המשתנה שעל פיו מחושב האינטגרל.
באופן דומה, ניתן להגדיר אינטגרלים שבהם המכפלות המחושבות הן שונות.
בפרט, ניתן להגדיר אינטגרלים שבהם המכפלות הנסכמות הן מכפלות של ערכי פונקציה מסוימת באורכי חלקים קטנים של עקום נתון, או בהיטליהם על הצירים.
בחישוב אינטגרלים מסוג זה מתעורר קושי בחישוב אורכו של עקום, או חלק ממנו (ללא כלים של חשבון אינפיניטסימלי), משום שהגאומטריה הקלאסית אינה מספקת כלים לחישוב אורך עקום כלשהו במקרה הכללי.
לצורך ניתוח בעיית חישוב האורך, מבוצע על עקום רציף (כלומר – בשפה פשוטה – עקום שניתן לציירו "מבלי להרים את העיפרון מהדף") ההליך הבא: על העקום מוקצות מספר נקודות וכל שתי נקודות סמוכות מחוברות זו לזו על ידי מיתרים .
כך, מתקבל קו שבור שמהווה קירוב לעקום.
ככל שהחלוקה היא לנקודות צפופות יותר ויותר, כך מתקבל קו שבור אשר מקורב לעקום בצורה טובה יותר.
כשאורך המיתר הארוך ביותר שואף לאפס, מתקבל קו שבור המקרב את העקום בצורה מיטבית.
ניתן להשתמש בקירוב זה של העקום על מנת לחשב אינטגרל עבור ערכים של פונקציה המוגדרת לאורך העקום.
מבחינת הנדסית, כשם שבבניית האינטגרל המסוים מחושב השטח המכוון שבין גרף הפונקציה לציר ה-, כך המשמעות ההנדסית של האינטגרל הקווי היא השטח שבין גרף הפונקציה לעקום, כשאת תפקידו של ציר ה- ממלא בבנייה זו הקו העקום.
סימון: – זהו וקטור המקום המציג את שיעוריה של נקודה כלשהי במרחב.
הפונקציה היא שדה סקלרי במרחב בעל מספר ממדים כלשהו, המוגדר וחסום בתחום האינטגרציה.
על פונקציה זו מתבצעת האינטגרציה.
לעיתים נקראת פונקציה זו "פונקציית הצפיפות" שכן עבור שימושים רבים של האינטגרל הקווי מסוג זה, היא מבטאת צפיפות של גודל פיזיקלי מסוים.
העקומה עליה תתבצע האינטגרציה תסומן באות C.
על עקומה זו להיות חלקה למקוטעין, כלומר - מספר הנקודות בהן נגזרת הפונקציה המתארת את המסילה איננה קיימת – נקודות בהן גרף הפונקציה "מחודד" – הוא סופי.
ראו איור שלישי מלמעלה להמחשה.
המסילה מתוארת על ידי פרמטריזציה
כאשר מבטא את קטע המסילה C עליו אנו מבצעים את האינטגרציה.
כלומר, העקום מתואר על ידי משוואה פרמטרית המתאימה ערכים של הפרמטר לשיעורי נקודות על העקום.
משמעות היותה של C "חלקה למקוטעין" היא שבקטע הפונקציה המתארת את העקום רציפה וגזירה ברציפות בתחום האינטגרציה, למעט במספר סופי של נקודות.
על הפרמטריזציה של העקום להיות חד-חד ערכית ובעלת נורמה (בהקשר זה "גודל") שונה מאפס.
במקרה זה, משמעות הפרמטריזציה היא התאמה בין ערכי הפרמטר לבין נקודות על העקום.
כלומר, לכל ערך של בתחום האינטגרציה מתאימה נקודה על העקום נקודה על העקום מתאים ערך של בתחום .
כך, ישנה התאמה בין כל הערכים של בתחום לבין כל הנקודות של העקום.
בשפה פשוטה, העקום מתואר בשלמותו על ידי ערכים של בתחום .
על העקומה מבוצע ההליך של חלוקה למספר כלשהו של קטעים על ידי בחירה שרירותית של נקודות ומתיחת קווים ישרים ביניהן.
הצורה המתקבלת היא קו שבור המורכב ממיתרים ומקרב את העקום.
בכל חלק של הקו השבור נבחרת באופן שרירותי נקודה אשר תסומן .
הערך שמקבלת הפונקציה באותה נקודה הוא .
זהו "ערך מייצג" של הפונקציה באותו הקטע.
קירוב "סכום הערכים" שמקבלת הפונקציה בקטע מסוים נתון על ידי המכפלה כאשר הוא אורך הקטע המקרב את הקשת עליה הוא נשען.
סכימת כל המכפלות שמתקבלות מכל חלקי העקום, , נותנת בקירוב את "סכום הערכים" של הפונקציה על כל העקום המקורי.
את החלוקה מעדנים יותר ויותר על ידי בחירת נקודות נוספות ובנייה מחודשת של קטעים על פי כל הנקודות שנבחרות על העקום.
ככל שהליך זה נמשך, עולה רמת הדיוק של קירוב הקשת על ידי אוסף מיתרים.
עתה, מפעילים גבול במצב שבו אורך כל קטע ישר המקרב את העקום שואף לאפס: .
זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור ונקרא "אינטגרל קווי מסוג ראשון".
הערה: באופן דומה, במקום לחלק את הקטע, ניתן לפנות ישירות אל הגדרת האינטגרל על פי רימן ולפיכך להגדיר כאשר היא הפרמטריזציה של העקום לפי האורך.
חישובו של סכום זה ישירות איננו מעשי מפאת מורכבותו ולכן מקרבים אותו על ידי סכום אחר אשר חישובו ידוע, זהו הסכום האינטגרלי של רימן המגדיר את האינטגרל המסוים, אותו קל יותר לחשב בעזרת נוסחת ניוטון לייבניץ או בעזרת שיטות נומריות שונות.
בעזרת הפרמטריזציה הנתונה של העקום, ניתן להציג את הפונקציה בצורה .
אורך הקטע המקרב את הקשת מחושב על ידי הכללה של משפט פיתגורס בצורה
כאשר הוא שינוי קטן של אחד ממשתני הפרמטריזציה המגדירים את הקשת.
לאחר כפל וחילוק של כל שינוי כזה ב- ולאחר ארגון מחדש מתקבל
בהפעלת הגבול בו ערכה של החלוקה הגדולה ביותר שואף לאפס, השברים שואפים לנגזרות של המשתנים המגדירים את העקומה לפי הפרמטר .
כמו כן, הערך מוחלף בדיפרנציאל, המבטא שינוי קטן בערכו של .
הערך של שהתקבל הוא אמנם קירוב, אך ניתן להוכיח כי הגבול המתקבל עבור הערך המקורב והמקורי זהים, ולכן לצורך חישובים מעשיים ניתן להחליף את הערך המקורי בערך המקורב.
באופן זה, אם בקצוות תחום האינטגרציה מקבל הפרמטר את הערכים ו- , ניתן לחשב את האינטגרל הקווי על ידי הנוסחה הבאה:
ניתן להראות כי ערך האינטגרל הקווי מסוג ראשון אינו תלוי בפרמטריזציה שנבחרה.
אינטגרל קווי מסוג שני מתבצע על שדה וקטורי.
סימון: – זוהי פונקציה במרחב בעל n ממדים עליה מבוצעת האינטגרציה.
ניתן לחשוב על פונקציה זו כעל אוסף של n פונקציות סקלריות.
תחת ההנחה כי פונקציה זו רציפה, כאמור לעיל, נניח כי המסילה היא מסילה חלקה למקוטעין המוגדרת בקטע .
כיוון הסכימה החיובי מוגדר מ- אל .
כאמור לעיל, חוזרים על הליך חלוקת העקום למיתרים, כך שכל נקודה מייצגת מסומנת .
עבור כל היטל של השדה הווקטורי על הצירים, כופלים את ערכה של הפונקציה הווקטורית בנקודה המייצגת באורך ההיטל.
עבור ההיטל של הרכיב ה- () של הפונקציה הווקטורית ועבור הציר ה- , מתקבל .
סכימת כל החלקים, , נותנת בקירוב את "סכום הערכים" של היטלי הרכיב ה- של הפונקציה באותו הקטע.
באופן דומה, לאחר הטלת כל רכיבי הפונקציה על כל הצירים וסכימת הערכים המתקבלים, מתקבל .
בהשאפת אורך החלק המוטל הגדול ביותר לאפס, מתקבל .
לפי הגדרת המכפלה הסקלרית, סכום זה זהה לביטוי
זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור , כאשר הוא אלמנט אורך וקטורי.
סכום זה נקרא "אינטגרל קווי מסוג שני".
הערה: על הסכום , לאחר הפעלת הגבול, ניתן להסתכל גם כעל תבנית דיפרנציאלית כללית מדרגה ראשונה ולא כעל אוסף רכיבים של וקטור.
הגם שהפונקציה עליה מתבצעת האינטגרציה היא וקטורית, התוצאה היא סקלרית, שכן החישוב מתבצע על ידי סכימת המכפלות לעיל בכל אחד מהיטליה של הפונקציה הווקטורית, שהוא סקלר.
כאמור, ניתן להציג הסכומים האינטגרליים על ידי מכפלה סקלרית, אשר תוצאתה סקלר.
על מנת לחשב סכום זה, ננקטת גישה דומה לזו אשר יושמה בעת חישוב האינטגרל הקווי מהסוג הראשון.
על ידי שימוש בפרמטריזציה הנתונה של העקום, מבוטא כל רכיב של אלמנט האורך בצורה .
השדה הווקטורי מיוצג באופן .
כמו כן, את ניתן להחליף בדיפרנציאל.
כך, מתקבל אלמנט האורך הווקטורי
והנוסחה לחישוב מקבלת את הצורה
גם כאן, ניתן להראות כי ערך האינטגרל הקווי מסוג שני אינו תלוי בפרמטריזציה שנבחרה.
ההקפה (בלעז, סירקולציה) של שדה וקטורי , המסומנת לרוב באות , מוגדרת בתור
קרי: אינטגרל קווי של השדה על פני מסלול סגור.
להקפה שימושים רבים בפיזיקה, ובפרט היא מופיעה בניסוח האינטגרלי של משוואות מקסוול.
ראו הרחבה בנושא בהמשך, בפרק הדן בשימושים הפיזיקליים של האינטגרל הקווי.
יש לחשב את האינטגרל כאשר המסלול מתואר על ידי .
לפי הנוסחה לחישוב מפורש, ניתן לחשב אינטגרל זה על ידי חישוב האינטגרל המסוים .
התקבל אינטגרל מסוים אשר ניתן לחשב על ידי החלפת במשתנה אחר.
יש לחשב את האינטגרל כאשר הוא העקום עבור .
ניתן לכתוב הצגה זו גם בצורה .
בצורה זו, הפרמטר אשר על פיו מבוצעת האינטגרציה הוא (באותה המידה, ניתן היה גם לכתוב במקומו, או כל אות אחרת – לשמו של משתנה האינטגרציה אין כל משמעות מתמטית).
על פי הנוסחה לחישוב ישיר, מתקבל האינטגרל המסוים .
זהו אינטגרל מיידי שלאחר חישובו מתקבל .
האינטגרל הקווי מקיים תכונות של אדיטיביות וליניאריות כמו האינטגרל המסוים, זאת ניתן לראות מהגדרתו של כסכום.
בהינתן פונקציה חיובית, האינטגרל הקווי מהסוג הראשון איננו תלוי בכיוון ביצוע הסכימה כך שסכימה "מההתחלה אל הסוף" ו"מהסוף אל ההתחלה" תניב תוצאות זהות.
ניתן לתת לדבר אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה שאורך או מסה של עקום אינם תלויים בכיוון מהם אנו "מרכיבים" אותם.
בנוסחת החישוב המפורשת, הדבר מתבטא בכך שהסכום המופיע בה הוא של שלושה גורמים חיוביים: פונקציה חיובית, שורש ריבועי (חיובי בהכרח כאשר השדה מעליו עובדים הוא שדה המספרים הממשיים) והערך המוחלט של .
לעומת זאת, בהינתן אינטגרל קווי מסוג שני, החלפת סדר הסכימה תגרור החלפת סימן של האינטגרל.
לכך ניתן לתת אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה כי עבודה של כוח, למשל, תהיה שלילית אם הגוף עליו פועל הכוח נע בכיוון הפוך לכיוון הכוח המוגדר כ"חיובי".
בנוסחה הדבר מתבטא בהחלפת הסימן של .
באופן כללי, ערכו של אינטגרל קווי הוא תלוי מסלול, כך שעבור מסלולים שונים יתקבלו ערכי אינטגרל שונים.
אינטואיציה פיזיקלית לכך ניתנת, עבור אינטגרל מסוג ראשון, למשל, בדמות העובדה כי עבור צפיפות נתונה, גוף ארוך ישקול יותר מגוף קצר.
עבור אינטגרל קווי מסוג שני ניתן לתת אינטואיציה על סמך העובדה, למשל, שעבודתו של כוח החיכוך גדולה יותר בערכה המוחלט ככל שהמסלול ארוך יותר.
ייתכן מקרה מיוחד בו ערכו של אינטגרל מסוג שני לא יהיה תלוי בצורת מסלול האינטגרציה אלא בקצוות הקטע בלבד.
נושא זה נדון בהרחבה בפרק קשר בין אינטגרל קווי לשדה משמר בהמשך ערך זה.
בהינתן פרמטריזציה מסוימת המתארת את העקום שעל פניו מתבצעת האינטגרציה, ניתן לכתוב את האינטגרל הקווי גם על ידי פרמטריזציה אחרת המתארת גם היא את העקום הנתון, בלא שינוי בתוצאה המתקבלת.
באופן מעשי, כאמור, חישוב האינטגרל הקווי מתבצע על ידי החלפתו באינטגרל מסוים.
בהינתן שתי פרמטריזציות המתארות את אותו העקום, ניתן להחליף את הפרמטריזציות שעל פי הן נעשה החישוב על ידי הכללים המקובלים להחלפת משתנה בשלב חישוב האינטגרל המסוים.
כיוון שאינטגרל מסילתי מסוג שני הוא תלוי כיוון, ישנה חשיבות לכיוון שבו תתבצע האינטגרציה בעזרת הפרמטריזציה החדשה.
פרמטריזציה אשר שומרת על כיוון האינטגרציה המקורי נקראת "פרמטריזציה שומרת כיוון".
פרמטריזציה היא שומרת כיוון אם ורק אם היא מתוארת על ידי פונקציה מונוטונית עולה.
אם הפונקציה מונוטונית יורדת, אזי לאחר ביצוע האינטגרציה תתקבל תוצאה הפוכת סימן.
במקרים אחרים, מקובל לחלק את העקומה שעל פיה מתבצעת האינטגרציה למספר חלקים שבכל אחד מהם הפרמטריזציה מתוארת על ידי פונקציה מונוטונית.
משפטים חשובים הקשורים לאינטגרל קווי מסוג שני
משפטי סטוקס (משפט גרין, משפט סטוקס במרחב)
משפטי סטוקס הם קבוצת משפטים המהווה הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור יריעות חלקות.
משפטים אלו מאפשרים החלפה של אינטגרלים על תחום באינטגרלים מממד נמוך יותר על שפתם.
אחד ממשפטי סטוקס הוא משפט גרין המאפשר החלפת חישוב של אינטגרל כפול באינטגרל קווי על ידי נוסחה הנקראת "נוסחת גרין".
נוסחה זו מתקיימת עבור תחום פשוט קשר המוקף על ידי מסילה חלקה למקוטעין, סגורה, אשר לא חותכת את עצמה ובהינתן אוריינטציה חיובית המוגדרת כנגד כיוון השעון.
בעזרת נוסחה זו ניתן להמיר אינטגרלים קוויים במשטחיים ולהפך ובכך לפשט בעיות שונות.
נוסחת גרין היא מקרה פרטי של משפט סטוקס במרחב, על פיו במרחב הווקטורי , מתקיים:
כאשר A היא יריעה אוריינטבילית דו-ממדית, האגף השמאלי הוא אינטגרל קווי של השדה על שפת A, והאגף הימני הוא אינטגרל קווי על השטף של רוטור השדה דרך A.
קשר בין אינטגרל קווי לשדה משמר
בעזרת משפט גרין ניתן להוכיח את המשפט הבא, אשר נקרא לעיתים "המשפט היסודי של האינטגרל הקווי" ומהווה הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי:
משפט: שתי הטענות הבאות שקולות זו לזו – קרי, אם האחת מתקיימת, אזי מתקיימת גם השנייה, ולהפך:
ערכו של אינטגרל קווי מסוג שני של שדה וקטורי בין שתי נקודות, איננו תלוי בצורת המסלול המחבר אותן.
השדה הווקטורי הוא שדה פוטנציאלי – או, בשם אחר, "שדה משמר" – כלומר, קיימת פונקציה , הנקראת "פוטנציאל סקלרי", כך שהשדה הווקטורי הוא גרדיאנט שלה.
ערכו של האינטגרל שווה להפרש ערכי הפוטנציאל בקצוות המסילה עליה מתבצעת האינטגרציה.
משילובן של שתי טענות אלו, עולה מסקנה חשובה: עבור שדה פוטנציאלי, האינטגרל על כל מסילה סגורה מתאפס, שכן הוא שווה להפרש הפוטנציאלים בין קצותיה.
כיוון שאלה מתלכדים, ההפרש הוא זהותית אפס.
למסקנה זו שימושים רבים בעת דיון על כוחות משמרים.
הערה: בעת דיון באינטגרל קווי מסוג שני בהקשר של תבניות דיפרנציאליות, מוחלפת שאלת קיומו של שדה משמר בשאלה "האם התבנית הדיפרנציאלית מדויקת?" (במילים אחרות – האם קיימת פונקציה אחרת שתבנית זו היא הדיפרנציאל השלם שלה).
אם כן, אזי הפונקציה אשר התבנית הדיפרנציאלית שלה היא זו עליה מתבצעת אינטגרציה, מחליפה בהקשר זה את הפוטנציאל.
האינטגרל הקווי הוא כלי בסיסי באנליזה מרוכבת.
בהינתן עקומה סופית במישור המרוכב ובהינתן פרמטריזציה ו- פונקציה מרוכבת, אם גזירה ברציפות, ניתן לחשב את האינטגרל הקווי כאינטגרל של פונקציה של משתנה ממשי:
משפטים חשובים על אינטגרלים קוויים הם משפט אינטגרל קושי ונוסחת אינטגרל קושי, הקובעת כי מתקיים
עבור פונקציה הולומורפית בעיגול המוכל בתחום (קבוצה פתוחה וקשירה) במישור המרוכב, כאשר מגמת האינטגרל היא נגד כיוון השעון.
כתוצאה של משפט השאריות, אפשר לעיתים קרובות להשתמש באינטגרל על עקומה סגורה במישור המרוכב כדי למצוא אינטגרלים של פונקציות ממשיות של משתנה ממשי.
לדוגמה ניתן לקבל בשיטה זו את התוצאה:
מאפיינים פיזיים של גופים המיוצגים על ידי עקומה
מהתבוננות בהגדרת האינטגרל הקווי מסוג ראשון, ניתן לראות כי בבחירת פונקציה השווה זהותית לאחד, מתקבל הסכום .
משמעותו של סכום זה היא אורך העקומה עליה מתבצעת האינטגרציה.
כך, בהינתן עקום ניתן לחשב את אורכו בעזרת אינטגרל קווי.
בהינתן הגדרה אקסיומטית של מושג האורך של קטע, ניתן להשתמש בסכום זה על מנת להגדיר את המושג "אורך של עקום".
בהינתן פונקציה המבטאת צפיפות של גודל פיזיקלי כלשהו כפי שהיא משתנה לאורך העקום, כאשר העקום הוא מודל לגוף כלשהו (למשל, חוט), ניתן לחשב את כמות הגודל הכוללת לאורך אותו גוף על ידי אינטגרל קווי מסוג ראשון.
כך, למשל, בהינתן צפיפות מסה קווית, ניתן לחשב את מסתו של גוף ובהינתן צפיפות מטען קווית, ניתן לחשב את המטען החשמלי של גוף.
אחת הדוגמאות הבולטות לשימוש באינטגרל קווי מסוג שני היא חישוב עבודה.
עבודתו של כוח קבוע שפועל על מסה הנעה לאורך קו ישר מוגדרת כמכפלת היטלו של הכוח לאורך ציר התנועה במרחק אותו עברה המסה.
בכתיב מתמטי, מיוצגת העבודה לפי הנוסחה כאשר הוא הכוח ו- הוא וקטור ההעתק.
במקרה הכללי ביותר, כאשר הכוח הוא כוח משתנה והמסלול איננו בהכרח קו ישר, ניתן לקרב את המסלול על ידי חלוקתו לחלקים קטנים בהם המסלול הוא בקירוב ישר והכוח הוא בקירוב קבוע, לחשב את העבודה בכל אחד מהם ולסכום את סך כל העבודות המתבצעות בכל הקטעים.
הלכה למעשה, חישוב זה זהה במהותו לחישובו של אינטגרל קווי מסוג שני ולכן, בהינתן מסילה , מוגדרת העבודה לאורכה על ידי הנוסחה .
כיוון שאינטגרל של שדה משמר לאורך מסילה סגורה הוא אפס, גוף הנע במסלול סגור תחת השפעת כוח משמר וחוזר לנקודת ההתחלה, יחזור לאותו ערך של הפוטנציאל של שדה הכוח.
הפוטנציאל במקרה הזה מוגדר להיות האנרגיה הפוטנציאלית שמתאימה לאותו כוח משמר; למשל, האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית ביחס לכוח הכבידה.
כלומר – האנרגיה הפוטנציאלית של גוף לא משתנה כאשר הוא משלים מסלול סגור תחת השפעת כוח משמר, ולכן למעשה תלויה רק במיקום שלו.
בנוסף, בתנועה כללית של גוף בהשפעת כוח משמר (לאו דווקא במסלול סגור), ניתן להראות בעזרת החוק השני של ניוטון שכל שינוי באנרגיה הפוטנציאלית מתקזז עם שינוי הפוך באנרגיה הקינטית; במילים אחרות, סך האנרגיה של הגוף (קינטית ועוד פוטנציאלית) נשמר תמיד, כאשר הכוחות הפועלים על הגוף הם כוחות משמרים.
זהו למעשה המקרה הבסיסי של חוק שימור האנרגיה, ויש לו חשיבות רבה בפיזיקה והשלכות מרחיקות לכת.
אינטגרלים קוויים מופיעים, בין היתר, במקומות בהם מערכות פיזיקליות נידונות מתוארות על ידי פונקציות שדה.
אינטגרלים מסוג זה משמשים בתורה האלקטרומגנטית ומופיעים בניסוחים האינטגרליים של משוואות מקסוול, שם הם מתארים את הקפת השדה המגנטי והחשמלי.
חוק ביו-סבר, המהווה גרסה של חוק אמפר, מאפשר חישוב של שדות מגנטיים על ידי שימוש באינטגרל קווי.
מכניקת הזורמים, אשר בחלק מענפיה מתקיימת סימטריה מסוימת בין הניסוחים המתמטיים המתארים אותה לבין אלו של התורה האלקטרומגנטית, היא ענף פיזיקלי נוסף בו נעשה שימוש באינטגרלים קוויים.
כדוגמה, לחוק ביו-סבר שהוזכר לעיל, שימושים גם באווירודינמיקה, שם הוא משמש לחישובים של מהירות המושרית מקווי מערבולת.
כדוגמה נוספת, משפט קוטה-ז'וקובסקי קושר בין הקפת שדה המהירות של נוזל לבין כוח העילוי שהוא מפעיל.
על ידי שימוש במשפטי סטוקס, ובפרט במשפט גרין ובמשפט סטוקס במרחב, ניתן להחליף את חישוביהם של אינטגרלים משטחיים באינטגרלים קוויים על שפתם ולהפך.
כך, ניתן לפשט מספר חישובים.
כך, למשל, על סמך משפט גרין, עבור זוג פונקציות ו- המקיימות , האינטגרל הקווי נותן את השטח שכולאת העקומה .
לעיתים, חישוב זה נוח יותר מחישוב השטח באמצעות כלים אחרים (למשל, אינטגרל כפול).
כאמור, לאינטגרלים קוויים שימושים רבים גם באנליזה מרוכבת.
אינטגרטור מים היה מחשב אנלוגי אשר נבנה בברית המועצות בשנת 1936. הוא תפקד באמצעות העברה של מים דרך חדר מלא בצינורות ומשאבות מחוברים זה לזה.
גובה המים בתאים שונים (בדיוק של חלקי המילימטר) יצג מספרים אגורים.
קצב זרימת המים יצג פעולות מתמטיות.
המכונה הייתה מסוגלת לפתור משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות.
מחשבי מים אנלוגיים היו בשימוש בברית המועצות עד שנות ה-80 של המאה ה-20 עבור בניית מודלים ממוחשבים רחבי יריעה.
בחשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל לא אמיתי או אינטגרל מוכלל מהווה הכללה מתמטית של האינטגרל המסוים לקטעים לא סופיים ולפונקציות לא־חסומות בקטעים פתוחים או חצי פתוחים.
באופן אינטואיטיבי, שטח של פונקציה לא חסומה או של פונקציה בקטע אינסופי הוא שטח שמכסה קבוצה לא חסומה ולכן לא מדובר בשטח המוכר מחיי היומיום, אלא בגבול שמוגדר בתור השטח.
אם הגבול הזה קיים, האינטגרל מתכנס.
אינטגרלים לא אמיתיים של פונקציות לא חסומות
תהא פונקציה המוגדרת בקטע ובלתי חסומה שם.
אם אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע ואם קיים הגבול , אז נאמר כי אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של בקטע וסימונו יהיה .
כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס.
אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר.
דוגמה: חישוב האינטגרל הרחק מאפס מראה כי מתכנס אם ורק אם .
אם אינטגרבילית לפי רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע ואם האינטגרל מתכנס, אז נאמר ש- אינטגרבילית בהחלט בקטע.
כמו כן נאמר שהאינטגרל מתכנס בהחלט.
קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית.
תהא פונקציה המוגדרת בקטע .
אם אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע ואם קיים כך שהאינטגרלים , מתכנסים, נאמר ש- אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע .
באופן כללי מגדירים אינטגרביליות במובן המוכלל בקטע אם ורק אם ניתן לחלקו לקטעים חצי פתוחים בהם הפונקציה אינטגרבילית במובן המוכלל לפי ההגדרה הראשונה.
תכונת האדיטיביות של האינטגרל המסוים מאפשרת לבחון התכנסות אינטגרל על ידי מבחן קושי לקיום גבול של פונקציה:
תהא פונקציה המוגדרת בקטע בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע .
אז מתכנס אם ורק אם לכל קיים כך שלכל ממשיים בקטע מתקיים:
מתכונת המונוטוניות של האינטגרל וממבחן קושי נובע המבחן הבא:
תהיינה פונקציות המוגדרת בקטע ובלתי חסומות שם.
אם אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע ואם קיימת סביבה שמאלית של שבה מתקיים אז:
אם מתכנס אז גם מתכנס.
אם מתבדר אז גם מתבדר.
קיימות הכללות למשפט זה עבור , ועבור .
תהיינה פונקציות חיוביות המוגדרת בקטע ובלתי חסומות שם.
אם אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע ואם קיים הגבול והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים ו- מתבדרים ומתכנסים יחדיו.
במידה והגבול שווה ל-0 אז:
ואם הגבול הוא אינסוף אז:
אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים אינסופיים
תהא פונקציה המוגדרת בקטע , ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל.
אז אם קיים הגבול , אז נאמר כי אינטגרבילית בקטע והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של בקטע
אם אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע לעיל, ואם האינטגרל מתכנס, אז נאמר ש- אינטגרבילית בהחלט בקטע.
גם פה קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית (במובן המוכלל).
תהי פונקציה המוגדרת ב- ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור.
אם קיים ממשי כך שהאינטגרלים , מתכנסים, נאמר ש- אינטגרבילית ב-.
אז מתכנס אם ורק אם לכל קיים כך שלכל ממשיים מתקיים:
תהיינה פונקציות המוגדרת בקטע .
אם אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע ואם קיים כל שלכל מתקיים אז:
תהיינה פונקציות רציפות ואי-שליליות בקטע .
אם קיים הגבול והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים ו- מתבדרים ומתכנסים יחדיו.
מבחן דיריכלה מאפשר לבדוק התכנסות של פונקציות גם כאשר הן משנות סימן, ובזה כוחו.
מבחן אבל הוא מסקנה מיידית ממבחן דיריכלה.
על פי הנתונים נקבל כי:
כעת כפי שניתן לראות, מתכנס על פי מבחן דיריכלה ו- מתכנס על פי הגדרה.
אינטגרל רב-ממדי הוא הרחבה של אינטגרל מסוים לפונקציה בשני משתנים או יותר (פונקציה מהצורה למשל).
אינטגרל לא מסוים אינו מוגדר עבור פונקציה עם יותר ממשתנה אחד, כי לא מוגדרת פונקציה קדומה שלה, או פעולת גזירה שבעזרתה חוזרים לפונקציה המקורית.
את המקרה הכללי ביותר מספק משפט פוביני, המספק נוסחה לחישוב אינטגרל לבג רב-ממדי על מרחבי מידה כלליים (סיגמא-סופיים).
את האינטגרל של הפונקציה (אינטגרל כפול - פונקציה עם שני משתנים) בתחום מסמנים באמצעות:
כאשר מספר סימני האינטגרציה מותאם למספר המשתנים שעליהם היא מבוצעת.
לאינטגרלים רב-ממדיים משמעות גאומטרית ופיזיקלית: כפי שאינטגרל חד-ממדי יכול לחשב את השטח במישור בין שני עקומים, כך בעזרת אינטגרל דו-ממדי, הנקרא אינטגרל כפול, מחשבים את הנפח בין שני משטחים במרחב, ובממדים גבוהים יותר מחשבים היפר-נפח.
דוגמה נוספת היא חישוב מומנט התמד של גוף דו-ממדי או תלת-ממדי בעל צפיפות משתנה.
אינטגרל רב ממדי מוגדר על פונקציה המוגדרת בתחום , כלומר פונקציה מהצורה .
נתחיל מהמקרה בו D הוא קובייה, כלומר עבור כלשהם.
חלוקה של היא קבוצה של קטעים מהצורה המקיימים עבור כלשהו.
לכל סדרה של חלוקות שיש בה בדיוק איבר אחד לכל צלע של הקוביה D, נסמן את הסדרה בP (כחלוקה כללית).
מכפלה קרטזית של איבר אחד מכל איבר בחלוקה תיקרא קובייה בחלוקה.
נגדיר את הסכום העליון של החלוקה להיות כאשר הוא הנפח של הקוביה Q, ואת הסכום התחתון של החלוקה להיות .
נגדיר את האינטגרל התחתון של הפונקציה בתחום להיות , ואת האינטגרל העליון להיות .
אם מתקיים , נסמן את הערך המשותף ב- ונקרא לו האינטגרל ה-n ממדי של f בתחום D.
במקרה שבו D אינה קובייה, תהי קובייה כלשהי המכילה את D.
נגדיר : , ונגדיר .
למקרה של אינטגרלים דו-ממדיים ותלת-ממדיים יש סימון אחר: במקרה שבו האינטגרל הוא על פונקציה מתת קבוצה של , נכנה אותו אינטגרל כפול ונסמן .
במקרה שבו האינטגרל הוא מתת קבוצה של נכנה אותו אינטגרל משולש ונסמן .
מבחינה היסטורית, אינטגרל רימן שהוגדר על ידי המתמטיקאי ברנהרד רימן קודם לאינטגרל לבג שהוגדר על ידי אנרי לבג ופיתוחו דורש פחות ידע מתמטי מוקדם.
לעומתו, כדי להגדיר את אינטגרל לבג אמנם יש להשתמש במושגים מתורת המידה שפותחה לשם מטרה זו.
למרות זאת הטיפול המתמטי באינטגרל לבג נוח הרבה יותר מבאינטגרל רימן והוא גם כללי בהרבה.
כך, בתורת המידה, הגדרת אינטגרל כפול אינה שונה בדבר מהגדרת האינטגרל הרגיל וכמוהו תלויה רק בבניית פונקציית מידה מתאימה על המרחב הדו-ממדי.
מידה כזו ניתן לבנות על ידי המלבנים בדומה לבנייה של מידת לבג על הישר הממשי באמצעות הקטעים הסופיים.
בניגוד לאינטגרל על הישר הממשי, אותו ניתן לעיתים קרובות לחשב באמצעות המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי את האינטגרל הכפול לא ניתן לחשב בדרך זו ישירות.
במקרה המיוחד בו התחום עליו עורכים את האינטגרציה הוא מלבני, ניתן לבצע את האינטגרציה על ידי אינטגרציה כפולה של אינטגרל חד־ממדי בכל פעם:
למעשה, נוסחה זו היא מקרה פרטי של הנוסחה הבאה: בהינתן ותחום כך שמתקיים , וכן פונקציה , אז מתקיים , כאשר באגף ימין רואים את הפונקציה כפונקציה בm משתנים, ושאר n המשתנים הופכים להיות פרמטרים, וכך הפונקציה מוגדרת כפונקציה של n המשתנים החסרים.
במקרים בהם התחום אינו מלבני, נשתמש בדימויו של האינטגרל לסכום:
כלומר שאם המשתנה חסום בין שתי עקומות ו- המקיימות:
ניתן לחשב את האינטגרל בעזרת סכימת המשתנה מ- עד , וסכימת תוצר זה על כל ערכי .
אינטגרליזם ברזילאי (בפורטוגזית: Integralismo brasileiro) הייתה תנועה פשיסטית ברזילאית.
התנועה נוסדה באוקטובר 1932 בידי פליניו סאלגאדו (Plínio Salgado), דמות ידועה בקרב חוגי הספרות בברזיל, אשר התפרסם במהלך אירועי שבוע האמנות המודרנית ב-1922, שנערכו בסאו פאולו.
התנועה אימצה לעצמה מאפיינים של תנועות ההמונים באירופה באותן שנים, בפרט אלה של הפשיזם האיטלקי, אך בידלה עצמה מצורות פשיזם מסוימות בכך שסאלגאדו לא הטיף לגזענות.
התנועה אף אימצה לעצמה את הסלוגן "אחדות בין כלל הגזעים וכלל בני האדם".
עם זאת, נתגלעו בתנועה גם גילויי אנטישמיות.
היחס כלפי היהודים היה נושא שנוי במחלוקת בקרב מנהיגי התנועה.
סאלגאדו נרתע מאנטישמיות, אך גוסטבו בארוזו, ראש המיליציה האינטגרליסטית (ארגון פָרָא-צבאי), הפגין עוינות רבה כלפי יהודים.
לפחות בשני עיתויים, גרמה סוגיה זו לקרעים משמעותיים בתנועה: לראשונה ב-1935 ופעם נוספת ב-1936, כאשר סאלגאדו כמעט פרש מהנהגת התנועה.
העקרונות החשובים של האינטגרליסטים השתקפו דרך ביטויים כמו "תהפוכה פנימית" או "תהפוכת העצמי", אשר באמצעותם הטיפו להימנעות מדרך חיים אנוכית ונהנתנית, ואימוץ דרך חיים המקדשת את המולדת והמשפחה.
לתנועה הייתה גם זרוע פָרָא-צבאית, שחבריה לבשו חולצות ירוקות וענדו דרגות מעין-צבאיות וערכו מפגנים ומצעדים כמו-צבאיים, אימצו רטוריקה שכוונה נגד מרקסיזם וליברליזם ואף הצדיעו במועל יד.
הם דגלו בלאומנות שתביא לגיבושה של אומה הטרוגנית וסובלנית, המעוצבת על פי "ערכים נוצריים".
בדומה לפשיסטים באירופה, חברי התנועה השתייכו בעיקר למעמד הביניים.
בפרט, שאבה התנועה תמיכה מקציני צבא, במיוחד כאלה ששירתו בצי הברזילאי, והייתה פופולרית בעיקר בקרב ברזילאים ממוצא גרמני או איטלקי.
אינטגרל גאוסיאני הוא אינטגרל מסוים על פונקציית צפיפות של התפלגות נורמלית, כלומר:
באופן עקרוני, החלק הלא טריוויאלי באינטגרל זה הוא האינטגרל:
וברגע שיודעים לפתור אותו קל לפתור גם את האינטגרל הכללי יותר שמופיע למעלה.
אינטגרל זה מופיע בתחומים רבים במתמטיקה ופיזיקה (בהם התפלגות נורמלית, התפלגות מקסוול-בולצמן, פונקציית השגיאה, אינטגרלי מסלול, אוסצילטור הרמוני קוונטי ועוד) וניתן לחשבו במדויק בהנחה שגבולות האינטגרציה הם אינסופיים (אינטגרל לא אמיתי).
האינטגרל קרוי על שם המתמטיקאי קרל פרידריך גאוס.
הנוסחה הכללית עבור גאוסיאן במשתנה אחד היא כדלהלן:
את הנוסחה מוכיחים בשלושה שלבים:
מחשבים את באמצעות החלפת משתנים.
מחשבים את באמצעות השלמה לריבוע.
שכן עבור מתקיים והאינטגרלים והמקביל לו מתכנסים.
שנית, נציב , נכפול את באותו אינטגרל:
מחוקי אינטגרל כפול (משפט פוביני) וכפל אקספוננטים מקבלים ש
נשים לב שזוהי אינטגרציה על כל המישור .
נבצע החלפת משתנים לתיאור האינטגרציה בקואורדינטות קוטביות
ו- היא הזווית בין לציר ה-.
את אלמנט הנפח האינפיניטסימלי מחשבים באמצעות היעקוביאן של הטרנספורמציה , ומקבלים ש-.
את החלק הזוויתי קל לחשב, שכן האינטגרנד לא תלוי בזווית.
כעת נשים לב ש-, ולכן , ולכן .
לוקחים שורש ריבועי חיובי (כי האינטגרנד חיובי), ומקבלים
מבצעים את החלפת המשתנים הבאה:
האינטגרציה על הריבוע נותנת ואילו הגורם הקבוע באקספוננט כופל אותו.
יש לציין שהפונקציה עליה מחושב האינטגרל היא פונקציה זוגית ולכן
ניתן לחשב את האינטגרל גם כאשר האינטגרנד נכפל בחזקה של ,
אינטגרל של n משתנים בתבנית ביליניארית:
כאשר A היא מטריצה סימטרית חיובית לחלוטין.
אינטגרל גאוסיאני עם מקדם מדומה
כאשר המקדם של הוא עדיין אפשר לחשב את האינטגרל.
השיטה הנכונה היא לבצע זאת באמצעות מסילה במישור המרוכב.
במתמטיקה, אינטגרל הנסטוק הוא הגדרה אפשרית לאינטגרל של פונקציה, המהווה הכללה להגדרה של אינטגרל רימן וכן בשימושים מסוימים יעיל יותר מאינטגרל לבג.
ההגדרה של אינטגרל הנסטוק כמעט זהה לזו של אינטגרל רימן (ולכן פשוטה בהרבה מזו של אינטגרל לבג), ונקבעת כך:
תהי פונקציה ממשית ותהי P חלוקה מסומנת של הקטע , נניח:
נגדיר את סכום רימן של החלוקה להיות:
I הוא ערך האינטגרל של f בקטע, אם ורק אם לכל קיימת פונקציה כך שלכל חלוקה מסומנת P המקיימת
ואז נגיד גם ש- אינטגרבילית בקטע לפי הנסטוק.
קל לראות שהגדרה זו כמעט זהה לזו של אינטגרל רימן, למעשה אם דורשים שהפונקציה , תהיה קבועה, מקבלים את אינטגרל רימן כפי שהוא.
מה שמראה בקלות שכל פונקציה שאינטגרבילית לפי רימן אינטגרבילית לפי הנסטוק (נקח דלתא כפונקציה קבועה).
ניתן להראות גם שאין צורך בהגדרה מיוחדת ל"אינטגרלים לא אמיתיים" בקטע סופי - כל פונקציה אינטגרבילית (באופן לא אמיתי) לפי רימן בקטע, אינטגרבילית (כרגיל, לא באופן מיוחד) לפי הנסטוק, וערך האינטגרלים זהה.
מעבר לכך - הגדרה זו גם מכלילה את זו של אינטגרל לבג.
למעשה - פונקציה אינטגרבילית לבג אם ורק אם היא אינטגרבילית לפי הנסטוק וגם הרכבת הערך המוחלט עליה אינטגרבילית לפי הנסטוק.
תכונה חשובה נוספת של אינטגרל הנסטוק הוא הקשר למשפט היסודי של החשבון האינפינטסימלי:
תהי פונקציה גזירה בכל מקום ב- אז מתקיים
אינטגרינים (Integrin) הם קולטנים המתווכים בחיבור תאים לרקמות הסובבות אותם, היכולות להיות תאים אחרים או מטריצה חוץ-תאית.
לאינטגרין יש חשיבות גם בתקשורת בין-תאית, ובאמצעות זאת הוא מגדיר את צורת התא, תנועת התא ומבקר את מחזור התא.
לרוב קולטנים מיידעים את התא על מולקולות בסביבתו, והתא מעורר תגובה.
תפקידו של האינטגרין אינו מוגבל רק לאיתות בין חוץ התא לפנים התא, אלא אחראי על אופן הפעולה בין פנים לחוץ התא.
האינטגרין מעביר אפוא מידע מהמטריצה החוץ תאית אל התא, וחושף את מצב התא כלפי חוץ, ומאפשר תגובות מהירות וגמישות לשינויים בסביבה, כדוגמת קרישת דם על ידי הטסיות.
ישנם סוגים רבים של אינטגרין, ולתאים רבים יש על פניהם סוגים שונים של אינטגרין.
אינטגרין חיוני לבעלי חיים, ונמצא בכל בעלי החיים שנחקרו, מספוגיים ועד יונקים.
לצד אינטגרינים ישנם חלבונים אחרים בהם קדהרינים, cell adhesion molecules וסלקטינים המשתתפים בתקשורת תא-תא ותא-מרווח בין תאי.
אינטגרל אליפטי הוא פונקציה מהצורה:
כאשר מספר קבוע, היא פונקציה רציונלית של שני משתנים ו- היא פולינום ממעלה 3 או 4.
אינטגרל אליפטי אינו פונקציה אלמנטרית.
פונקציות מסוג זה נקראות אינטגרל אליפטי כי הן הופיעו לראשונה בניסיונות לחשב היקף של אליפסה.
אינטגרלים אליפטיים נחקרו לראשונה על ידי ג'וליו פניאנו ולאונרד אוילר בסביבות 1750.
באופן כללי, אינטגרלים בעלי הצורה הזאת אינם ניתנים לביטוי כצירופים של פונקציות אלמנטריות, אך חריגות מן הכלל הזה קורות כאשר ל- שורשים מרובים, או כאשר אינה מכילה חזקות אי-זוגיות של .
אחד המשפטים החשובים בנוגע לחישוב אינטגרלים אליפטיים קובע שכל אינטגרל אליפטי ניתן להביא לצורה שמערבת אינטגרלים של פונקציות רציונליות עם אינטגרלים של אחת משלוש הצורות הקנוניות של לז'נדר (אינטגרלים אליפטיים מהסוג הראשון, השני והשלישי).
אינטגרלים אליפטיים לא שלמים הם פונקציות של שני משתנים; לעומת זאת, אינטגרלים אליפטיים שלמים הם פונקציות של משתנה יחיד.
המשתנים הללו ניתנים לביטוי במגוון של דרכים שונות אך שקולות (הן מתארות את אותו האינטגרל).
רוב הטקסטים נצמדים למינוח הבא:
הוא המודולוס האליפטי או האקסצנטריות.
כל אחד משלושת הגדלים שהוזכרו לעיל נקבע בהינתן כל אחד מהשניים האחרים.
את המשתנה השני מסמנים לעיתים קרובות באות , והוא מכונה האמפליטודה של האינטגרל האליפטי.
האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג הראשון מוגדר כ:
זוהי הצורה הטריגונומטרית של האינטגרל; אם מציבים ו- אז מקבלים את צורת יעקובי של האינטגרל:
האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג השני בצורתו הטריגונומטרית הוא:
כשמציבים ו- מקבלים את צורת יעקובי:
האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג השלישי הוא:
כאשר המספר נקרא המאפיין ויכול לקבל כל ערך, ללא תלות במשתנים האחרים.
כל אחד מהאינטגרלים האליפטיים שהוזכרו מקודם נקראים שלמים כאשר האמפליטודה מקיימת או .
למשל, האינטגרל האליפטי השלם מהסוג הראשון הוא:
אינטבולציה , מונח שמקורו במילה האיטלקית intavolatura, מתייחס לעריכה של יצירה, הכתובה להרכב קולי או אינסטרומנטלי, לכלי מקלדת, לאוטה או כלי מיתר אחר, בטבלטורה.
היה זה נוהג מקובל בכתיבה לכלי מקלדת וללאוטה בתקופה שבין המאה ה-14 למאה ה-16. האפקט הישיר של אינטבולציה היה אחד היתרונות הראשוניים של כלי המקלדת, היכולת לבצע מוזיקה לכלים אחדים בכלי יחיד.
מקור האינטבולציה הקדומה ביותר הוא בקודקס רוברטסברידג' מן המאה ה-14, שהוא גם אחד המקורות הראשונים למוזיקת מקלדת שעודנו קיים כיום.
יותר ממחצית מן הקטעים שבו הם אינטבולציות.
כתב יד בוקסהיים מכיל בעיקר אינטבולציות, רובן של מלחיני התקופה הבולטים, בהם ג'ון דאנסטפל, ז'יל בנשואה, וולטר פריי וגיום דופאי.
המונח "אינטבולציה" שמר על מעמדו הפופולרי במהלך המאה ה-16, אבל יצא משימוש בראשית המאה ה-17, אף כי הנוהג נמשך.
יוצאות מכלל זה יצירות המקלדת האיטלקיות מן המאות ה-16 וה-17, שכללו מוזיקה ווקאלית ואינסטרומנטלית כאחת.
אינטבולציות כוללות, ברוב המקרים, את כל הקווים הווקאליים של יצירה פוליפונית, אף כי במקרים מסוימים הם משולבים או מחולקים מחדש, כדי שיישמעו טוב יותר בכלי שלו נועדה האינטבולציה, ולעיתים מוסיפים להם קישוטים אידיומטיים.
במתמטיקה, אינטגרל משטחי הוא הכללה של אינטגרל רב-ממדי לאינטגרציה על משטחים.
אפשר לחשוב על אינטגרל משטחי כאנלוגיה של אינטגרל קווי עבור אינטגרל כפול.
בהינתן משטח, ניתן לבצע עליו אינטגרציה של שדה סקלרי (שהוא פונקציה המחזירה סקלרים), במקרה זה האינטגרל נקרא לפעמים אינטגרל משטחי מסוג ראשון, או של שדה וקטורי (שהוא פונקציה המחזירה וקטורים), במקרה זה האינטגרל נקרא לפעמים אינטגרל משטחי מסוג שני.
לאינטגרלים משטחיים שימושים רבים בפיזיקה, בפרט בתחום של אלקטרומגנטיות קלאסית.
אינטגרל משטחי של שדה סקלרי
כדי למצוא ביטוי מפורש לאינטגרל המשטחי, אנחנו צרכים לבצע פרמטריזציה למשטח ,, לשם כך יש להגדיר מערכת קואורדינטות על המשטח, בדומה לקווי אורך וקווי רוחב בכדור.
תהי (x(s,t פרמטריזציה כזאת כך ש-(s, t) משתנים בתוך תחום,T, במישור.
כאשר הביטוי: ידוע בתור אלמנט שטח.
למשל, אם נרצה למצוא את שטח הפנים של משטח כלשהו: נקבל: כאשר: , ומכאן נקבל: , ו- .
שהיא הנוסחה הסטנדרטית עבור שטח של משטח המתואר בצורה זו.
ניתן לזהות את הווקטור שנמצא בביטוי הלפני אחרון בתור הווקטור המאונך למשטח (הווקטור הנורמלי למשטח).
בשל המכפלה הווקטורית, הנוסחה הנ"ל מתאימה רק למשטחים במרחב התלת־ממדי.
אינטגרל משטחי של שדה וקטורי
נניח שקיים שדה וקטורי v על משטח , כך שלכל x ב-, הוא וקטור.
ניתן להגדיר את האינטגרל המשטחי רכיב רכיב (של השדה הווקטורי) - לכל רכיב על ידי שימוש בהגדרה של אינטגרל משטחי עבור שדה סקלרי, כאשר התוצאה הסופית תהיה וקטור.
משתמשים בדרך זו למשל כאשר רוצים לחשב את השדה החשמלי בנקודה מסוימת במרחב כתוצאה ממשטח טעון חשמלי, או את כוח הכבידה בנקודה במרחב כתוצאה ממשטח של חומר.
לחלופין, אם נבצע אינטגרציה עבור הרכיב הניצב של השדה הווקטורי, נקבל סקלר.
כדי להמחיש זאת ניתן לדמיין נוזל שזורם דרך המשטח כך ש- היא מהירות הזרימה שלו בנקודה x.
השטף מוגדר להיות כמות החומר שעוברת דרך המשטח ליחידת זמן.
דוגמה זו מראה שאם השדה הווקטורי מקביל למשטח בכל נקודה, השטף יהיה אפס, זאת מכיוון שהנוזל יזרום במקביל למשטח ולא יחצה אותו.
בנוסף, אם לשדה v יש גם רכיב מאונך וגם רכיב מקביל ל-, רק הרכיב המאונך יתרום לשטף.
בהתבסס על תובנה זו, על מנת לחשב את השטף העובר דרך המשטח, נאלץ לקחת את המכפלה הסקלרית של השדה, v, עם וקטור יחידה נורמלי למשטח, בכל נקודה, ועל השדה הסקלרי שנקבל נוכל לבצע אינטגרל כי שמתואר בפסקה הקודמת.
המכפלה הווקטורית בביטוי זה היא הנורמל למשטח בהתאם לפרמטריזציה.
הנוסחה הזו מגדירה את האינטגרל המופיע בשורה הראשונה.
תוצאות שימושיות שונות עבור אינטגרלים משטחיים מתקבלות בעזרת שימוש בגאומטריה דיפרנציאלית ואנליזה וקטורית, למשל:
נשים לב שהגדרנו את האינטגרל המשטחי בעזרת פרמטריזציה של המשטח.
לשטח נתון עלולות להיות מספר פרמטריזציות שונות.
למשל, אם נזיז את המיקום של הקוטב ודרומי והקוטב הצפוני של כדור, קווי האורך והרוחב ישתנו עבור כל הנקודות על הכדור.
טבעי לשאול האם אינטגרל משטחי מושפע מבחירה בפרמטריזציה ספציפית.
עבור שדה סקלרי התשובה ברורה, מכיוון וערכי השדה לא משתנים כתוצא משינוי הפרמטריזציה (ולכן התשובה היא לא).
עבור אינטגרל של שדה וקטורי המצב מסובך יותר, מפני שמעורב בכך הנורמל למשטח.
ניתן להוכיח שעבור שתי פרמטריזציות שונות של אותו המשטח, שהנורמלים שלהם מצביעים לאותם כיוונים, האינטגרל ייתן את אותה התוצאה עבור שתי הפרמטריזציות.
אם, לעומת זאת, הנורמלים מצביעים בכיוונים מנוגדים, נקבל שתי תוצאות עם גדלים זהים, אבל עם סימן הפוך (מינוס עבור פרמטריזציה אחת, ופלוס עבור השנייה).
נובע מכך, שבהינתן משטח, אנו לא תלויים בפרמטריזציה ספציפית, אלא, יש לקבוע ראשית את הכיוון של הנורמל ואז ניתן לבחור בכל פרמטריזציה הנותנת כיוון זה.
בעיה נוספת היא שלפעמים למשטחים אין פרמטריזציה שמכסה אותם בשלמותם, למשל, עבור גליל בעל גובה סופי.
הפתרון הפשוט הוא לחלק את המשטח לכמה חלקים (שעבור כל אחד מהם קיימת פרמטריזציה שמכסה אותו), לחשב את האינטגרל על כל חלק ואז לחבר את כל התוצאות.
גם במקרה זה יש להיזהר כשעובדים עם שדות וקטוריים ולדאוג לכך שכיווני הווקטורים הנורמלים למשטחים יהיו עקביים כאשר מחברים את הכל ביחד.
למשל, עבור הגליל, אם החלטנו עבור המעטפת שהווקטור הניצב יצביע החוצה, הנורמל עבור שני הבסיסים העגולים צריך גם כן להצביע החוצה.
לבסוף, ישנם משטחים להם לא ניתן להגדיר נורמל בכל נקודה בצורה עקבית (למשל, טבעת מביוס).
אם נחלק משטח כזה לקטעים ונבחר עבור כל אחד מהם נורמל, נמצא שכאשר נבוא לחבר מחדש את החלקים, כיווני הנורמלים של החלקים השונים לא יהיו עקביים.
זה אומר שבתפר מסוים בין שני חלקים נקבל וקטורים נורמליים המצביעים לכיוונים מנוגדים.
משטחים כאלה נקראים משטחים לא מכוונים ועבור משטחים כאלו לא ניתן לדבר על אינטגרלים משטחיים.
אינטגרטור כדור ודיסקה הוא רכיב מפתח של מחשבים מכניים מתקדמים רבים.
באמצעים מכניים פשוטים, הוא מבצע אינטגרציה רציפה של הערכים של קלט כלשהו.
שימושים נפוצים באינטגרטור כזה היו לצורך מדידה של שטח או נפח ביישומים תעשייתיים, ובכוונות פצצה טכיומטריות ביישומים צבאיים.
גם במערכות ניווט אינרציאליות, המשמשות בטילים בליסטיים, נעשה שימוש באינטגרטורי כדור ודיסקה.
המצאת האינטגרטור והשימוש המוקדם בו
הקונספט הבסיסי של אינטגרטור הכדור והדיסקה תואר לראשונה על ידי ג'יימס תומסון, אחיו של המדען המפורסם ויליאם תומסון.
ויליאם נעזר ברעיון כדי לבנות את המנתח ההרמוני שלו ב-1886. המערכת הזאת שימשה לחישוב המקדמים של טור פורייה.
לאחר פיתוחו של תומסון, מספר מכונות דומות הופיעו.
ראויות לציון היו המכונות שנבנו על ידי Leonardo Torres y Quevedo, פיזיקאי ספרדי אשר בה מספר מכונות למציאת שורשים ממשיים ומרוכבים של משוואות פולינומיות, והמכונות שנבנו על ידי מיכלסון וסטראטון, אשר המנתח ההרמוני שלהם ביצע אנליזת פורייה, אבל באמצעות שימוש במערך של 80 קפיצים במקום באינטגרטורים של קלווין.
עבודה זו הוליכה להבנה המתמטית של תופעת גיבס, הקשורה להתנהגות של טורי פורייה ליד אי-רציפויות.
עם תחילת המאה ה-20, ספינות קרב החלו לכוון את התותחים אל טווחים שמעבר לאופק.
במרחקים כאלו, צופים שהוצבו במגדלים של הספינה לא יכלו להעריך את הטווח באופן מדויק, מה שהוביל לבנייה של מערכות מציאת טווח מורכבות ביותר.
בנוסף, התותחנים לא יכלו לראות ישירות היכן המטחים שלהם פגעו, ונדרשו להסתמך על המידע שהעבירו אליהם הצופים.
בערך באותה תקופה המהירות של הספינות גדלה, ושברה בהדרגה את מחסום ה-20 קשר לאחר ההצגה של ספינת הדרדנוט ב-1906. אמצעי בקרת אש הופיעו תוך זמן קצר כדי להתמודד באופן אוטומטי עם קצב זרימת המידע וביצוע החישובים, אבל גם אז חישוב פתרון הירי עדיין היה בעיה מורכבת.
הפתרון הופיע בלוח של Dreyer, אשר נעזר באינטגרטור כדור ודיסקה גדול כאמצעי להשוואת התנועה של המטרה ביחס לאוניה, וכך לחשב גם את הטווח שלה ומהירותה.
הפלט נכתב על גיליון נייר.
המערכות הראשונות הוצגו ב-1912 והותקנו ב-1914. בחלוף הזמן, למערכת ה-Dreyer נוספו עוד ועוד פרמטרים, כך שהיא התחשבה גם באפקט של הרוח, תיקונים הנגזרים מההבדל בין מהירות וכיוון הרוח האמיתית ומהירות וכיוון הרוח הנמדדת בהתבסס על תנועת האוניה, וחישובים דומים.
כשמערכת ה- Mark V הותקנה על ספינות אחרי 1918, מעל 50 איש עבדו בשיתוף פעולה כדי להפעיל אותה.
מכשירים דומים הופיעו תוך זמן קצר בחילות ים אחרים ולצורך תפקידים שונים.
צי ארצות הברית נעזר במכשיר פשוט יותר שנקרא שולחן בקרת אש, שבחלוף הזמן עבר פיתוח מתמשך ובסופו של דבר הפך למערכת בעלת תחכום המשתווה או עולה על הגרסאות הבריטיות שלה.
מחשב דומה שימש בסיס למחשב טורפדו (Torpedo Data Computer), אשר פתר את הבעיה התובענית יותר של כיוון ירי הטורפדו בתרחישי ירי ממושכים יותר.
דוגמה ידועה לשימוש באינטגרטור כדור ודיסקה היא כוונת הפצצה של נורדן, אשר השתמשה בווריאציה קלה על התכנון הבסיסי בה הכדור הוחלף בדיסקה נוספת.
במערכת הזו האינטגרטור שימש לחשב את התנועה היחסית של עצמים על הקרקע בהתבסס על הגובה, מהירות האוויר והכיוון.
באמצעות השוואת הפלט המחושב עם התנועה האמיתית של עצמים על הקרקע, ניתן היה לקבוע במדויק את ההשפעה של הרוח על המטוס.
באינטגרטורי כדור ודיסקה נעשה שימוש במחשבי הנחיה אנלוגיים של טילים בליסטיים עד אמצע שנות ה-70. הטיל הבליסטי פרשינג 1 נעזר במערכת ניווט והנחיה המשתמשת בדגם Bendix ST-120 כפלטפורמה אינרציאלית בשילוב עם מחשב מכני אנלוגי, כדי להשיג הנחיה מדויקת.
במקרה זה, הדיסק המסתובב מייצג את ציר הזמן, והוא סובב בקצב קבוע.
כשהכדור נע ממרכז הדיסקה החוצה, הוא מסתובב מהר יותר, ביחס ישר למרחק מרכזו ממרכז הדיסקה.
מהירות סיבוב הכדור מייצגת את מהירות הטיל, ומספר הסיבובים של הכדור מייצג את המרחק שעבר הטיל.
מערכת כזאת מותקנת בכל אחד מצירי התנועה הקווית של הטיל, כאשר המידע המסופק ממד תאוצה מניע את הכדור החוצה ממרכז הדיסקה ( בכל מדידה הכדור נע מרחק רדיאלי שיחסי לערך התאוצה שנמדד).
בדרך כלל המידע המסופק על ידי מד התאוצה משודר לזרוע הרדיאלית המניעה את הכדור, שגורמת לו לנוע באופן מתאים.
המצבים המכניים של המערכת משמשים כדי לתזמן אירועים שונים במהלך מעוף הטיל, כמו כיבוי דחף והפרדת הראש הקרבי מגוף הטיל.
השימוש הידוע הראשון במערכת כזאת היה בטיל ה-V2 שפותח על ידי הצוות של ורנר פון בראון בפנמינדה.
התכנון הבסיסי שופר מאוחר יותר במפעל הרדסטון ויושם בטיל הרדסטון ומאוחר יותר הפרשינג 1.
בדיוק כשם שרכיבים מכניים אחרים אחראים על ביצוע פעולות מתמטיות מסוימות כגון חיבור וחיסור, כפל, וחילוק, כך אינטגרטור הכדור והדיסקה אחראי למעשה על ביצוע פעולת האינטגרציה של קלט משתנה.
בדרך כלל הדיסקה המסתובבת ממונעת בכוח חשמלי ונעזרת בסוג כלשהו של וסת מהירות כדי להבטיח שהיא מסתובבת במהירות קבועה.
במתמטיקה, אינטגרלי פרנל, הם שתי פונקציות טרנסצנדטליות הנקראות על שם אוגוסטן ז'אן פרנל, אשר השתמש בהם למחקר באופטיקה.
הפונקציות הללו קרובות לפונקציית השגיאה, ומוגדרות כך:
הפונקציות הם גם הייצוג הפרמטרי של ספירלת אוילר, מכיוון שניתן להגדיר את הספירלה על ידי כאוסף הנקודות (x,y) כך שעבור t מסוים, מתקיים (x, y) = (C(t), S(t)).
הפונקציות הם פונקציות אי זוגיות.
ניתן לראות שככל ש- אז ניתן להגדיר את הפונקציות בצורה אסימפטוטית בדרך הבאה:
ניתן להגדיר את הפונקציות על ידי טור אינסופי ואף להכליל אותם עבור ערכים מרוכבים וניתן להגדיר את הכללתם על ידי פונקציית השגיאה.
ההכללה של הפונקציות הופכת אותם לפונקציות אנליטיות ושלמות בכל המישור, דבר שנעשה בדרך הבאה:
הפונקציות מתכנסות בתנאי בתחום הלא-שלילי של מישר הממשי.
אינטגרביליות במידה שווה הוא מושג יסודי באנליזה פונקציונלית ובתורת המידה וההסתברות.
המושג משמש רבות בתאוריה של מרטינגלים, וחשיבותו העקרונית באה לידי ביטוי במשפט ההתכנסות של ויטלי.
יהי מרחב מידה בעל מידה לא טריוויאלית, יהי מרחב הפונקציות המדידות ובעלות אינטגרל סופי במרחב המידה הנתון, ותהי משפחה של פונקציות כלשהן.
אומרים כי היא אינטגרבילית במידה שווה, אם לכל קיים , כך שלכל , לכל קבוצה המקיימת , מתקיים .
אם נתרגם את ההגדרה שבתורת המידה למרחב הסתברות , אומרים כי משפחה של משתנים מקריים בעלי תוחלת סופית היא אינטגרבילית במידה שווה, אם לכל קיים , כך שלכל , לכל מאורע המקיים , מתקיים
עם זאת, בהקשר של תורת ההסתברות נהוג להוסיף את הדרישה כי התוחלת של כל המשתנים המקריים ב- תהיה חסומה במידה שווה.
כלומר שלא רק תהיה סופית, אלא שיהיה חסם כך שלכל יתקיים .
תחת הדרישה הנוספת לגבי חסימות התוחלות במידה שווה, ניתן להראות כי ההגדרה ההסתברותית לאינטגרביליות במידה אחידה שקולה להגדרה הבאה: משפחה של משתנים מקריים בעלי תוחלת סופית היא אינטגרבילית במידה שווה, אם לכל קיים , כך שלכל מתקיים .
הצורה השקולה להגדרה ההסתברותית לאינטגרביליות במידה שווה, מובילה לתוצאה כי אם משפחה של משתנים מקריים היא אכן אינטגרבילית במידה שווה, הרי שלכל קיים כך שמתקיים .
הקשר להתכנסות בממוצע ולהתכנסות בהסתברות
ניתן להראות כי סדרת משתנים מקריים מתכנסת בממוצע למשתנה מקרי , אם ורק אם היא מתכנסת בהסתברות לאותו גבול, וגם אינטגרבילית במידה שווה (במובן ההסתברותי).
טענה זו נובעת מידית ממשפט ההתכנסות של ויטלי, והיא למעשה מהווה הכללה של משפט ההתכנסות הנשלטת.
באנליזה ממשית, אינטגרל רימן, שנוצר על ידי ברנהרד רימן, היה ההגדרה המדוקדקת הראשונה של אינטגרל כפונקציה של קטע.
רעיון זה הוצג בפני הפקולטה באוניברסיטת גטינגן בשנת 1854, אך לא פורסם בכתב עת עד שנת 1868. עבור פונקציות רבות ויישומים פרקטיים, ניתן להעריך את אינטגרל רימן על ידי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי או לבצע קירוב באמצעות שיטות נומריות.
תהי פונקציה אי-שלילית בעלת ערך ממשי בקטע , ויהי האזור מתחת לגרף הפונקציה ומעל המרווח (דוגמה באיור מימין).
נמדוד את שטח ואחר כך נסמנו כך: .
הרעיון הבסיסי בשיטה של רימן הוא להשתמש בקירובים פשוטים מאוד לשטח של באמצעות מלבנים.
ככל שמחלקים את הקטע ליותר תתי-קטעים, ישנם יותר מלבנים, ובכך הקירוב מדויק יותר.
כאשר מספר המלבנים שואף לאינסוף, ניתן לומר שהשטח של סכום כל המלבנים שווה לשטח שמתחת לגרף.
נשים לב כי יכולה להיות חיובית או שלילית, ההגדרה של משתנה כך שהאינטגרל תואם את האזור התחום מתחת לגרף של : כלומר, האזור שמעל ציר פחות השטח שמתחת לציר .
ניתן להסתכל על האינטגרל אם כן כדרך חישוב ל"שטח עם סימן".
אינטגרל רימן אינו מתאים להרבה שימושים תאורטיים.
שיטה מקבילה, אינטגרל רימן-סטילטג'ס , היא בעלת דיוקים טכניים המגשרת מעל החסרונות באינטגרציה של רימן, ורובם נעלמים בשיטת אינטגרל לבג, אף על פי שלאחרון אין טיפול מספק באינטגרלים לא אמיתיים.
אינטגרל הנסטוק הוא הכללה של אינטגרל לבג שדומה יותר לאינטגרל רימן.
תיאוריות כלליות יותר מאפשרות טיפול בפונקציות "משוננות" יותר או "מתנודדות מאוד" מה שאינטגרל רימן אינו מספק; אך התיאוריות נותנות ערך זהה לאינטגרל של רימן כאשר הוא קיים.
חלוקה של קטע היא רצף של נקודות ב- המקיימות: .
כל נקרא תת-קטע של החלוקה.
פרמטר החלוקה או הנורמה של מסומן ב- ומוגדר כאורכו של התת-קטע הארוך ביותר שלה.
תהי פונקציה ממשית על הקטע .
סכום רימן של ביחס לחלוקה המיוצגת על יחד עם בחירת נקודות כאשר הוא .
כל איבר בסכום הוא מכפלת הערך של הפונקציה בנקודה נתונה עם אורך הקטע בה היא נמצאת.
כתוצאה מכך, כל איבר מייצג את השטח של מלבן בעל גובה ורוחב .
סכום רימן הוא סכום של כל שטחי המלבנים.
לפי הגדרת רימן, פונקציה אינטגרבילית בקטע אם קיים ממשי כך שלכל קיים כך שלכל חלוקה של הקטע המקיימת כל סכום רימן המתאים לאותה חלוקה מקיים .
אם קיים העומד בדרישות אלו ניתן להוכיח שהוא יחיד, וערך האינטגרל של ב-מוגדר להיות (כלומר ).
מושגים הקשורים זה לזה הם סכומי דרבו התחתונים והעליונים.
אלה דומים לסכומי רימן, אך ערך הפונקציה בנקודה מוחלף על ידי אינפימום וסופרמום (בהתאמה) של בכל תת-קטע:
אם רציפה, סכומי הדרבו התחתונים והעליונים עבור חלוקה לא מסומנת שווים לסכום רימן עבור אותה חלוקה.
אינטגריטי ואינטגריטי-178B הן מערכות הפעלה זמן אמת (RTOS) המיוצרות ומשווקות על ידי חברת גרין הילס.
אינטגריטי מוסמכת POSIX ומיועדת לשימוש במערכות משובצות 32 סיביות או 64 סיביות.
ארכיטקטורות מחשבים נתמכות כוללות וריאנטים של: ARM, Blackfin, ColdFire, MIPS, PowerPC, XScale ו-x86. כמו כן אינטגריטי נתמך על ידי ספריות SSL/TLS פופולריות כגון wolfSSL.
אינטגריטי-178B היא גרסה תואמת התקן התעופתי DO-178, של אינטגריטי.
משתמשים בה בכמה מטוסי צבא כמו ה-B-2 -16, F-22 ו-F-35, וכלי הטיס המסחרי איירבוס A380. תכנון הליבה שלה מבטיח זמני מחשוב מוגבלים על ידי ביטול תכונות כגון הקצאת זיכרון דינמית.
יכולות הביקורת והנדסת האבטחה אפשרו לה להשיג את דירוג הערכת הבטחת הערכה (EAL) ברמה 6, על ידי הסוכנות לביטחון לאומי (NSA).
אולם יש לציין כי הערכת האבטחה (TOE) של ארכיטקטורת היעד של לא כוללת רכיבים כמו מערכת קבצים ותקשורת, ומתמקדת כמעט אך ורק בליבה.
מערכות הפעלה אחרות, כגון Windows, MacOS או Linux, אף שהן מוערכות ברמות אבטחה נמוכות יותר, כוללות בדרך כלל יכולות אלה בתוך ה-TOE שלהן.
חבילת התמיכה בארכיטקטורה (ASP) של אינטגריטי מספקת תמיכה למשפחות מעבדים רבות:
במתמטיקה, ישנם מספר אינטגרלים הנקראים אינטגרל דיריכלה, על שם המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה, ואחד מהם הוא האינטגרל הלא אמיתי של פונקציית sinc על הישר הממשי החיובי:
האינטגרל הזה אינו מתכנס בהחלט, מה שאומר ש- אינה אינטגרבילית לפי לבג, כך שאינטגרל דיריכלה אינו מוגדר במובן של אינטגרציית לבג.
עם זאת, הוא יכול להיות מוגדר כאינטגרל רימן לא אמיתי.
אף על פי שהפונקציה הקדומה של פונקציית ה-sinc אינה פונקציה אלמנטרית, ערך האינטגרל (במובן של רימן) יכול להיות מחושב במגוון דרכים, ביניהן שימוש בהתמרת לפלס, גזירה תחת סימן האינטגרל, ואנליזה מרוכבת.
אינטגרל דיריכלה חושב לראשונה לראשונה על ידי לאונרד אוילר במאמר שעסק בחישוב ערכים של אינטגרלים לא אמיתיים מסוימים.
הוא מופיע במגוון תחומים, במיוחד בתורה של טורי פורייה, במסגרתה הוא הופיע בהוכחה של דיריכלה (1829) להתכנסות נקודתית של טורי פורייה.
מאוחר יותר דיריכלה עשה בו שימוש גם בהצדקה למשפט הגבול המרכזי שתיאר בהרצאותיו מ-1846.
גזירה תחת סימן האינטגרל (טריק פיינמן)
תחילה נרשום את האינטגרל כפונקציה של משתנה נוסף , פונקציה שהיא למעשה התמרת לפלס של .
כדי לחשב את אינטגרל דיריכלה, יש בעצם לקבוע את הערך של .
הרציפות של ניתנת להצדקה בעזרת משפט ההתכנסות הנשלטת לאחר אינטגרציה בחלקים.
גזירה לפי המשתנה הנוסף והפעלת כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל (שיטת פיינמן) מניבה:
כעת, בעזרת נוסחת אוילר ניתן לרשום את פונקציית הסינוס כסכום של שני אקספוננטים מרוכבים,
האינטגרל המקורי (אינטגרל דיריכלה) ניתן לחישוב כעת בעזרת אינטגרציה של הביטוי האחרון ביחס למשתנה בתוספת קבוע אינטגרציה שיש לקבוע אותו.
כאשר הוא קבוע האינטגרציה שיש לקבוע.
מכיוון ש- מקבלים שערך הקבוע הוא .
זה אומר שבעבור מתקיים .
במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל רימן-ליוביל הוא אופרטור אשר מייצג פעולת אינטגרל חוזר עבור מספר פעמים שאיננו שלם (רציונלי) או מרוכב.
אינטרל רימן-ליוביל מבוסס על נוסחת האינטגרל החוזר של קושי והוא מהווה דוגמה לאינטגרל שברי בחשבון אינפיניטסימלי שברי.
האינטגרל נקרא על שמם של המתמטיקאים ברנהרד רימן וז'וזף ליוביל.
בהינתן זוג מספרים ממשיים מסמנים ב- את מרחב הפונקציות האינטגרביליות לפי לבג על הקטע .
עבור מגדירים אופרטור להיות אופרטור האינטגרציה שראשתו ב-.
עבור כזו ומספר טבעי , בשנת 1823 הוכיח אוגוסטן קושי שלכל מתקיים השוויון הבא:
אינטגרל רימן-ליוביל מרחיב את נוסחה זו ומחליף את המספר הטבעי במספר מרוכב עם חלק ממשי חיובי.
מאחר שלא מדובר כעת במספר טבעי, פעולת העצרת מוחלפת בפונקציית גמא שמרחיבה אותה.
הרחבה זו מאפשרת להגדיר פעולות כדוגמת "חצי אינטגרל" () או "שליש אינטגרל" ().
הגדרת האופרטור תקפה גם אם מחליפים את תחום הפונקציה מהקטע לקטע חצי סופי או ל- כולו.
עם זאת, בכל המקרים הללו עדיין נדרש להגדיר כלשהו להיות ראשית האינטגרל, אך ניתן להגדירו גם להיות או במקרה והתחום אינו חסום מלמעלה או מלמטה בהתאמה.
בהינתן תחום ממשי קמור (קטע סופי, חצי סופי או כולו), מספר ממשי (או במקרה והתחום אינסופי כלפי מעלה או מטה) ומספר מרוכב בעל חלק ממשי חיובי (), אופטור רימן-ליוביל מסדר הוא האופרטור כך שלכל פונקציה ולכל :
באופן דומה לפעולות האינטגרל והנגזרת, אופרטור רימן-ליוביל הוא אופרטור ליניארי.
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע כי הפעלת נגזרת על אינטגרל מחזירה את הפונקציה המקורית.
הדבר נכון באופן שקול גם לאופרטור רימן-ליוביל:
ניתן להוכיח כי אוסף האופרטורים מסוג רימן ליוביל סגורים להרכבה.
כלומר, עבור זוג מספרים מרוכבים עם חלק ממשי חיובי מתקיים:
בכך מהווים אופרטורי רימן-ליוביל חבורה למחצה.
חסימות, רציפות, והרחבה לסדר אפס
מסמנים ב- מסמל את מרחב Lp בתחום זה עבור ותחום ממשי כלשהו.
עבור כל מספר מרוכב עם חלק ממשי חיובי, ניתן להוכיח כי האופרטור הפועל על הוא אופרטור חסום ועל כן רציף.
יתרה מכך, ניתן להוכיח כי לכל , מתקיים:
כלומר, סדרת הפונקציות שואפת ל- כאשר כמעט בכל מקום.
מסיבה זו טבעי להגדיר כאשר הוא אופרטור הזהות.
עבור הפונקציה המוגדרת לכל המספרים הממשיים ניתן לחשב את איטנגרל רימן-ליוביל מסדר כלשהו:
על ידי החלפת משתנים מתקבל:
כאשר הפונקציה היא פונקציית בטא.
תוצאה זו מתלכדת עם תוצאת האינטגרל השלם, כצפוי.
זאת באופן דומה לכך ש-.
על אף שהפעולה ההפוכה לאינטגרל היא הנגזרת, ועל אף ש- () הוא אופרטור האינטגרציה, לא ניתן להציב באינטגרל רימן-ליוביל ולקבל את פעולת הנגזרת (למעשה, הצבה מסוג זו תוביל להתבדרות האינטגרל).
באופן כללי, לא ניתן להציב באינטגרל רימן-ליוביל ערכים עם ערך ממשי שלילי (ובפרט מספרים שליליים).
עם זאת, ניתן להרחיב את הגדרת אינטגרל רימן-ליוביל כדי שתכלול גם נגזרות.
עבור מספר ממשי ניתן להגדיר את להיות נגזרת רימן-ליוביל מסדר כך שלכל פונקציה אינטגרבילית לפי לבג ולכל בתחום שלה:
זאת כאשר היא פונקציית התקרה.
כלומר, מבצעים את אינטגרל רימן-ליוביל מסדר כלשהו בין 0 ל-1 המשלים את למספר שלם, ולאחר מכן גוזרים מספר פעמים.
עבור טבעי, הגדרה זו מתלכדת עם הגדרת הנגזרת הסטנדרטית.
באופן כללי, ניתן להרחיב את נגזרת רימן-ליוביל עבור כל ממשי:
באופן דומה לאינטגרל רימן-ליוביל, גם נגזרת רימן-ליוביל מקיימת ליניאריות, הרכבה, רציפות ואת המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
נגזרת רימן-ליוביל היא נגזרת שברית, כלומר פעולת נגזרת-אינטגרל אשר מקבלת את כל הערכים הממשיים.
במתמטיקה, ובפרט באנליזה מתמטית, אינטגרל רימן-סטילטיס (נקרא גם אינטגרל סטילטיס) הוא הרחבה של אינטגרל רימן.
אינטגרל זה נהגה לראשונה על-ידי המתמטיקאי תומאס יוהנס סטילטיס בשנת 1894.
לאינטגרל רימן-סטילטיס חשיבות רבה במיוחד בתחום ההסתברות והוא משמש לחישוב תוחלת ומומנטים של משתנה מקרי.
יהי זוג מספרים ממשיים וזוג פונקציות .
תהי חלוקה של הקטע כך ש-.
בנוסף, יהי תגיות של כך שלכל מתקיים ש-.
אזי, אינטגרל רימן-סטילטיס של לפי מוגדר להיות המקיים:
כלומר, הוא אינטגרל רימן-סטילטיס של לפי אם ורק אם לכל קיים כך שלכל חלוקה של המתקיימת ולכל תגיות של מתקיים ש-.
ניתן להוכיח כי אם זה קיים הוא יחיד ומסמנים אותו ב- או ב-.
במקרה זה תקרא האינטגרנד ו- תקרא האינטגרטור.