tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
בין הדוגמאות החשובות, לצד אקסיומת הבחירה הרגילה, AC, אפשר למנות את:
DC (עקרון הבחירה התלויה): בכל קבוצה עם יחס r כך שלכל x קיים y כך ש-(x,y) ביחס, יש סדרה של נקודות שכל אחת מהן מתייחסת לקודמתה;
CC: אפשר לבחור מכל סדרה של קבוצות;
Fin: לכל קבוצה אינסופית X יש שיכון .
(AC(fin: אפשר לבחור ממשפחה של קבוצות סופיות;
KW (עקרון הבחירה של Kinna-Wagner): אם בכל הקבוצות שני איברים או יותר, אפשר לבחור בכולן תת-קבוצות אמיתיות לא ריקות;
(CC(fin: אפשר לבחור מסדרה של קבוצות סופיות;
לכל אלגברה בוליאנית יש אידיאל מקסימלי.
גרסאות חזקות יותר של אקסיומת הבחירה
קיימות אקסיומות אחרות של תורת הקבוצות שגוררות את אקסיומת הבחירה: למשל אקסיומת הבנייה, שמגבילה את עולם הקבוצות לאוסף מינימלי של קבוצות, גוררת את אקסיומת הבחירה.
אקסיומה זו גוררת את השערת הרצף המוכללת שגוררת בתורה את אקסיומת הבחירה.
למעשה, אקסיומת הבנייה גוררת תוצאה חזקה יותר ממה שמתקבלת רק מהתקיימות השערת הרצף המוכללת – היא גוררת שמתקיימת אקסיומת הבחירה הגלובלית: קיימת פונקציית בחירה על פני כל יקום הקבוצות שמוגדרת באמצעות נוסחה קבועה.
לא ניתן לנסח את אקסיומת הבחירה הגלובלית בשפה של ZFC, כיוון שלא ניתן לכמת על פני מחלקות (או נוסחאות) בשפה הזו.
בשפות שמרחיבות את השפה של ZFC ושמתירות כימות של מחלקות, אקסיומה זו ניתנת לניסוח, ולעיתים היא אף נובעת מאקסיומות חזקות יותר.
אקסיומת הבחירה מופיעה בתחומים רבים במתמטיקה, וכמה משפטים חשובים שקולים לה, דוגמת משפט הסדר הטוב, הלמה של צורן ועקרון המקסימום של האוסדורף.
ללא אקסיומת הבחירה מספר תוצאות בסיסיות באלגברה לא מתקיימות.
למשל, יש מרחב וקטורי ללא בסיס, יש חוג ללא אידיאל מקסימלי ועוד.
אקסיומת הבחירה נדרשת כדי להוכיח מספר תכונות בסיסיות בטופולוגיה של הישר הממשי, למשל את השקילות בין הגדרת מושג הרציפות של פונקציה באמצעות סדרות ובאמצעות סביבות.
בטופולוגיה כללית – משפט טיכונוף דורש את אקסיומת הבחירה.
ללא אקסיומת הבחירה לא ניתן להוכיח כי איחוד בן מנייה של קבוצות בנות־מנייה הוא בן מנייה.
אכן, יש מודל של ZF בו אקסיומת הבחירה נכשלת והממשיים מתפצלים לאיחוד בן מנייה של קבוצות בנות־מנייה.
במודל כזה אין משמעות לתורת המידה הרגילה.
מאידך, Solovay הראה שמן האקסיומה DC נובעת הסיגמא-אדיטיביות של מידת לבג, ותחת הנחות מעט יותר חזקות מ-ZFC (על מונים גדולים) קיים מודל (ללא אקסיומת הבחירה) בו כל קבוצה היא מדידה.
באנליזה פונקציונלית, משפט האן-בנך ומשפט בנך-אלאוגלו דורשים את אקסיומת הבחירה.
בתורת הקבוצות, אקסיומת הבחירה המלאה הכרחית כדי לטפל בהתנהגות העוצמות השונות.
ללא אקסיומת הבחירה יש עוצמות שאינן ניתנות להשוואה, בעוד שעם אקסיומת הבחירה מחלקת כל העוצמות סדורה היטב.
משפט טרסקי מדגים את ההשפעה של אקסיומת הבחירה על האריתמטיקה של העוצמות.
ללא אקסיומת הבחירה לא מובטח לנו כי המונים העוקבים הם סדירים.
לדוגמה, יש מודל של ZF בו (המונה שעוצמתו ) הוא חריג.
בדרך כלל, כאשר עוסקים במודלים של תורת הקבוצות ללא בחירה, מחליפים אותה באקסיומה חזקה אחרת.
למשל, אקסיומת הכריעות (AD) שלא מתיישבת עם אקסיומת הבחירה, מספקת מודל בו הקבוצות של המספרים הממשיים מתנהגות באופן מאוד סדיר (למשל כל קבוצה מדידה לבג וכל קבוצה שאיננה בת מנייה מכילה קבוצה מושלמת).
בתורת ההסתברות, אקסיומות ההסתברות הן תנאים שאנו דורשים כי פונקציה כלשהי תקיים כדי שנוכל לראות אותה כמתארת הסתברויות.
הבנייה המקובלת של תורת ההסתברות, וזו המוצגת בערך זה, מבוססת על אקסיומות קולמוגורוב (על שם המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב שניסח אותן לראשונה), אם כי ישנן אקסיומטיזציות נוספות, דוגמת זו של קוקס.
בצורה אינטואיטיבית האקסיומות מנוסחות כך: אחד מכל המאורעות האפשריים חייב להתקיים, וההסתברות שיתרחש מאורע המורכב מכמה מאורעות זרים שווה לסכום ההסתברויות של המאורעות הללו בנפרד.
אלו הן דרישות שנחשבות הגיוניות כאשר מנסים לנסח בצורה פורמלית את הרעיון האינטואיטיבי של הסתברות.
הקבוצה נקראת מרחב המדגם וכמו כן אנו דורשים כי (שדה המאורעות) תהא סיגמא-אלגברה.
מהפונקציה אנו דורשים את התכונות הבאות:
דרישה זו נובעת מכך שאנו תופסים הסתברות של מאורע בתור מספר ממשי בין ל-, ומצפים שלכל מאורע שמעניין אותנו (כלומר, ששייך לסיגמא-אלגברה) תהיה הסתברות מוגדרת וקבועה.
דרישה זו נובעת מכך שאנו מצפים שלפחות אחד מהאירועים הבסיסיים שבמרחב המדגם יתקיים תמיד, בכל ניסוי שנערוך.
לכל סדרה של מאורעות שאיבריה מקיימים לכל (כלומר זרים בזוגות) מתקיים .
תכונה זו מכונה סיגמא-אדיטיביות ופירושה שבהינתן אוסף בן מנייה של מאורעות זרים, ההסתברות של איחודם (כלומר, ההסתברות שיתרחש אחד מהאירועים הבסיסיים שבהם) שווה לסכום של ההסתברויות שלהם בנפרד.
בקצרה אפשר לנסח זאת כך: היא פונקציית מידה.
מידה זו נקראת "מידת הסתברות" (Probability Measure).
מהאקסיומות הללו נובעות מספר תוצאות שימושיות.
רובן הן תכונות כלליות של פונקציית מידה ואפשר למצוא פירוט עליהן בערך על תורת המידה, אך חלקן ייחודיות להסתברות.
הסתברות של מאורע משלים: תוצאה מיידית מהאקסיומות היא שעבור מאורע כלשהו מתקיים .
כלומר, ההסתברות שהמאורע לא יתקיים (ולכן משלימו ביחס ל- יתקיים) שווה פחות ההסתברות שהוא כן יתקיים.
כדי להיווכח בתכונה זו די לראות כי ולכן על פי האקסיומות השנייה והשלישית נקבל .
מונוטוניות: אם מאורעות, אז .
אכן, ניתן לרשום ומכיוון שזהו איחוד זר לקבל כי .
תוצאה זו ניתן לראות כאשר שמים לב כי וזהו איחוד זר.
תוצאה נוספת מהאקסיומות היא שלכל שני מאורעות (לא בהכרח זרים) יתקיים .
תוצאה זו היא מקרה פרטי של "עקרון ההכלה וההפרדה".
כדי לראות תכונה זו נשים לב כי וזהו איחוד זר.
כעת נקבל: ומכאן קיבלנו את התוצאה.
אקסיומות ההפרדה (נקראות גם "תכונות ההפרדה") הן תכונות של מרחב טופולוגי, הקשורות ביכולת של הטופולוגיה להפריד בין נקודות או קבוצות שונות במרחב.
ישנן כתריסר אקסיומות, שהחשובה שבהן היא תכונת האוסדורף, הקרויה גם תכונת .
לכמה מתכונות ההפרדה המרכזיות משתמשים בסימון , עבור ערכים שונים של .
מקורה של האות T בהקשר זה הוא במלה הגרמנית Trennung, שפירושה "הפרדה".
מרחבים מטריים מקיימים את כל אקסיומות ההפרדה, ולכן אפשר לראות באקסיומות ההפרדה מעין היררכיה של מרחבים טופולוגיים, המודדת עד כמה דומה מרחב נתון (מבחינת יכולת ההפרדה שלו) למרחב מטרי.
המינוח הקשור באקסיומות ההפרדה נודע כמינוח לא אחיד: בספרים שונים השתמשו באותם שמות כדי לתאר תכונות שונות, ולכן כשמצטטים תוצאות בתחום זה, חשוב לברר באיזו הגדרה השתמש המחבר.
נקודת המוצא היא האקסיומה הקרויה , שהיא דרישה פרימיטיבית באופן יחסי (כלומר, רוב המרחבים הטופולוגיים המופיעים בספרות, מקיימים אותה).
בוויקיפדיה אנו מאמצים את הגישה המודרנית יותר, לפיה התכונות ונגזרותיהן מכילות את ההנחה כחלק מההגדרה, בעוד שמרחבים רגולריים ומרחבים נורמליים, על הווריאציות של תכונות אלה , אינם נדרשים לקיים את התכונה הזו.
בעבר, ובפרט בספר החשוב "Counterexamples in Topology" (שכתבו Steen ו- Seebach ב-1970), היה מקובל היפוך של המונחים.
ישנן שתי תכונות בסיסיות שמקובל למנות בין אקסיומות ההפרדה, אף על פי שבעצם אינן כאלה.
מרחב טופולוגי מקיים את התכונה , אם לכל שתי נקודות שונות, קיימת קבוצה פתוחה המכילה אחת מהן אבל לא את השנייה.
במילים אחרות, לא קיימות שתי נקודות שיש להן בדיוק אותן סביבות.
במרחב שאינו מקיים דרישה זו, ישנם זוגות של נקודות שאי אפשר להבחין ביניהן במשקפי הטופולוגיה.
התכונה היא תכונה מעט חזקה יותר, מעין גרסה סימטרית של התכונה הקודמת:
מרחב טופולוגי מקיים את התכונה , אם לכל שתי נקודות שונות, קיימת קבוצה פתוחה המכילה את זו ולא את זו, וכן להפך.
תכונה זו שקולה לכך שכל יחידון מהווה קבוצה סגורה.
כל מרחב הוא בפרט .
כדי להציג את אקסיומות ההפרדה השונות, נפתח בכמה דוגמאות.
מרחב האוסדורף, או מרחב , שהוזכר קודם לכן, הוא מרחב טופולוגי, המקיים את הדרישה הבאה:
לכל שתי נקודות , קיימות קבוצות פתוחות וזרות, שאחת מהן מכילה את p, והשנייה את q.
לתכונה זו קוראים "הפרדה בין נקודות על ידי קבוצות פתוחות", כאשר ה"הפרדה" פירושה שאפשר מתוך התבוננות בקבוצות הפתוחות להיווכח בכך שהנקודות שונות זו מזו (שהרי הקבוצות זרות).
אפשר לבחון תכונת הפרדה חזקה יותר, באמצעות סביבות סגורות:
מרחב אוריסון, או מרחב , הוא מרחב טופולוגי, המקיים את הדרישה כי לכל שתי נקודות , קיימות סביבות סגורות וזרות, שאחת מהן מכילה את p, והשנייה את q.
נזכיר שסביבה של נקודה היא קבוצה שהנקודה נמצאת בפנים שלה; בפרט, סביבה מכילה קבוצה פתוחה, המכילה את הנקודה שלנו.
ממילא ברור שהפרדה באמצעות סביבות סגורות היא תכונה חזקה יותר מהפרדה באמצעות קבוצות פתוחות.
יש תכונת הפרדה חזקה עוד יותר - באמצעות פונקציות רציפות.
מרחב האוסדורף לחלוטין (completely Hausdorff), הוא מרחב טופולוגי X, המקיים את הדרישה: לכל שתי נקודות , קיימת פונקציה רציפה , כך ש- ו- .
זוהי בוודאי הפרדה חזקה יותר מאשר באמצעות סביבות סגורות, משום שאת הנקודות 0 ו- 1 אפשר להפריד בסביבות סגורות על הישר הממשי, והמקורות של סביבות סגורות במרחב X (תחת פונקציה רציפה) הם סביבות סגורות.
אם כן, פגשנו שלוש רמות של הפרדה: הפרדה בקבוצות פתוחות (וזרות), הפרדה בסביבות סגורות (וזרות), והפרדה בפונקציה רציפה.
בכל המקרים מדובר היה בהפרדה בין זוג נקודות.
בהמשך נראה שיש סוג נוסף של הפרדה: הפרדה מדויקת באמצעות פונקציה (רציפה).
הפרדה בין קבוצה סגורה לנקודה
מרחב שבו אפשר להפריד בין קבוצה סגורה לנקודה (שאינה שייכת לקבוצה) באמצעות קבוצות פתוחות, נקרא מרחב רגולרי.
לא קשה להוכיח שבמקרה כזה, אפשר להפריד בין קבוצה סגורה לנקודה גם באופן החזק יותר של סביבות סגורות.
מרחב שבו אפשר להפריד קבוצה סגורה ונקודה באמצעות פונקציה רציפה נקרא מרחב רגולרי לחלוטין.
כמקודם, מרחב רגולרי לחלוטין הוא בפרט רגולרי.
במרחב טופולוגי כללי, נקודה אינה בהכרח קבוצה סגורה, ולכן היכולת להפריד קבוצות סגורות ונקודות אינה מלמדת אותנו על היכולת להפריד בין נקודות שונות.
לעומת זאת, אם מוסיפים את ההנחה , מופיע קשר בין התכונות החדשות לתכונות שראינו קודם לכן:
מרחב רגולרי שהוא גם נקרא מרחב .
כל מרחב כזה מקיים את התכונה , ולכן הם נקראים גם 'מרחבי האוסדורף רגולריים'.
אפשר לראות שכל מרחב רגולרי מקיים את התכונה , ולכן הוא מהווה מרחב .
מרחב רגולרי לחלוטין שהוא גם נקרא מרחב טיכונוף, או מרחב .
גם כאן, מרחב רגולרי לחלוטין שהוא מקיים את התכונה , ולכן הוא מהווה מרחב .
כל מרחב כזה הוא בפרט .
מרחב שבו אפשר להפריד בין שתי קבוצות סגורות וזרות באמצעות קבוצות פתוחות, נקרא מרחב נורמלי.
הלמה של אוריסון קובעת שבמרחב כזה, אפשר להפריד בין שתי קבוצות סגורות וזרות גם באמצעות פונקציה רציפה - ולכן שלוש הרמות הראשונות של הפרדה מתלכדות.
בדרך כלל הפרדה זו אינה הפרדה מדויקת (מושג שיוגדר בהמשך).
מרחב נורמלי המקיים בנוסף את התכונה , נקרא מרחב .
כל מרחב הוא בפרט (מרחב טיכונוף).
במרחב נורמלי, כפי שציינו לעיל, אפשר להפריד בין כל שתי קבוצות סגורות באמצעות פונקציה רציפה.
יש שתי דרכים לחזק את הדרישה הזו: לדרוש הפרדה בין יותר זוגות של קבוצות, או הפרדה באופן מוצלח יותר מסתם הפרדה באמצעות פונקציה.
'קבוצות מופרדות' הן קבוצות במרחב טופולוגי, שכל אחת מהן זרה לסגור של רעותה (ישנו קשר מסוים בין מונח זה לבין אקסיומות ההפרדה, אבל הוא אינו הדוק במיוחד).
כל שתי קבוצות סגורות וזרות הן מופרדות, ולכן הפרדה בין קבוצות מופרדות היא משימה קשה יותר (אפילו בהיעדר ההנחה ).
מרחב שבו אפשר להפריד כל שתי קבוצות מופרדות באמצעות קבוצות פתוחות, נקרא מרחב נורמלי לחלוטין, או מרחב נורמלי תורשתי.
במרחב כזה, כל תת-מרחב הוא נורמלי בטופולוגיה המושרית.
מרחב נורמלי לחלוטין שהוא גם , נקרא מרחב , או מרחב לחלוטין.
כל מרחב הוא בפרט מרחב .
בכיוון אחר, אומרים שאפשר להפריד בין הקבוצות A ו- B במרחב X הפרדה מדויקת באמצעות פונקציה, אם קיימת פונקציה רציפה , כך ש- ו- .
נעיר שבהפרדה רגילה אנו דורשים רק ו- .
קבוצות שאפשר להפריד ביניהן הפרדה מדויקת מוכרחות להיות קבוצות סגורות, שהרי הקבוצות ו- סגורות בעצמן.
מרחב שבו אפשר להפריד כל שתי קבוצות סגורות הפרדה מדויקת באמצעות פונקציה, נקרא מרחב נורמלי באופן מושלם (perfectly normal).
מרחב נורמלי באופן מושלם הוא נורמלי, ואף נורמלי לחלוטין (את זה קצת קשה יותר להוכיח).
במרחב נורמלי באופן מושלם, כל קבוצה סגורה היא קבוצת (או באופן שקול: כל קבוצה פתוחה היא קבוצת ).
תכונה זו מאפיינת מרחבים נורמליים באופן מושלם.
מרחב נורמלי באופן מושלם שהוא גם , נקרא מרחב באופן מושלם, או מרחב .
מרחב מטרי מקיים את התכונה , ולכן גם את שאר תכונות ההפרדה שמנינו.
מרחב בעל בסיס בן מניה הוא .
שתי הטענות הקודמות אינן נכונות בהכרח עבור מרחבי - למשל המרחבים ו הם נורמליים, אולם מכפלתם אינה נורמלית, ומכפלה זו היא בעצמה תת-מרחב של , שהוא מרחב נורמלי.
הטבלה מציגה את שמו של מרחב המקיים משימת הפרדה נתונה באופן נתון.
בסוגריים מצוין שמו של מרחב כזה, אם מניחים בנוסף את התכונה .
כל מרחב המופיע בטבלה מקיים גם את התכונה במשבצת שמתחת לזו בה הוא מופיע.
אם מניחים את התכונה , אז כל מרחב מקיים גם את התכונות שמשמאל למשבצת שבה הוא מופיע.
בכך בנינו מעין היררכיה בין אקסיומות ההפרדה.
אקסיומות המנייה הן הנחות המתייחסות לגודל של קבוצות מיוחדות במרחב טופולוגי, ובפרט להנחה שקבוצות אלו הן בנות מנייה.
מרחבים בעלי תכונות מנייה חזקות הם, במובן מסוים, קטנים יותר, ולכן קלים יותר לטיפול.
אקסיומת המנייה הראשונה קובעת שסביב כל נקודה במרחב הטופולוגי יש בסיס מקומי בן מנייה.
אקסיומה זו מתקיימת, למשל, בכל מרחב מטרי.
בניגוד לאופי המקומי של האקסיומה הראשונה, אקסיומת המנייה השנייה קובעת שלמרחב עצמו יש בסיס בן מנייה.
האקסיומה השנייה גוררת את האקסיומה הראשונה, והיא מתקיימת במרחב מטרי חסום כליל.
מצד שני, מרחב טופולוגי המקיים את האקסיומה השנייה וגם את אקסיומת ההפרדה T3 הוא מטריזבילי (כלומר, הטופולוגיה שלו מושרית ממטריקה מתאימה).
מרחב המקיים את אקסיומת המנייה הראשונה מכונה גם מרחב מנייה ראשונה (first-countable space), ובאופן דומה מרחב המקיים את אקסיומת המנייה השנייה מכונה גם מרחב מנייה שנייה (second-countable space).
בסיס ובסיס מקומי של טופולוגיה
'מרחב טופולוגי' כולל שני מרכיבים: מרחב, ואוסף של תת-קבוצות שלו, הנקראות 'קבוצות פתוחות'.
כדי לחסוך בתיאור אוסף הקבוצות הפתוחות, אפשר להסתפק בתיאור של בסיס: אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס לטופולוגיה הנתונה, אם כל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של קבוצות מן הבסיס; במילים אחרות, סביב כל נקודה בכל קבוצה פתוחה , קיימת קבוצה מן הבסיס הכוללת את הנקודה ומוכלת בקבוצה.
אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס מקומי בנקודה , אם כל קבוצה פתוחה המכילה את מכילה קבוצה מן האוסף המכילה את .
מכאן נובע שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס אם ורק אם הוא בסיס מקומי בכל נקודה.
מרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המנייה הראשונה אם לכל נקודה שלו יש בסיס מקומי בן מנייה.
תכונה זו, הנקראת גם "תכונת ", מתקיימת בכל מרחב מטרי (הכדורים ברדיוס סביב נקודה מהווים בסיס מקומי), ולכן אפשר לראות בה תנאי ל"התנהגות מטרית" באופן מקומי.
קיומו של בסיס בן מנייה מאפשר לסדר את אברי הבסיס, ולבנות סדרות בעלות תכונות שונות באינדוקציה.
המרחב מקיים את אקסיומת המנייה השנייה אם יש לו בסיס בן מנייה.
תכונה זו מסמנים גם ב-.
כל מרחב הוא בפרט (כדי לקבל בסיס מקומי סביב , מספיק לבחור את איברי הבסיס המכילים את ).
מרחב מטרי חסום כליל הוא .
לאלה אפשר להוסיף תכונה קרובה:
מרחב טופולוגי הוא מרחב ספרבילי, אם יש בו קבוצה צפופה בת מנייה.
כל מרחב הוא ספרבילי (כדי לקבל קבוצה צפופה בת מנייה מספיק לבחור נקודה אחת מכל קבוצה בבסיס).
במרחב מטרי גם ההפך נכון, דהיינו, כל מרחב ספרבילי הוא .
נזכיר שמרחב קומפקטי הוא מרחב שבו לכל כיסוי קיים תת-כיסוי סופי.
יש שתי תכונות חלשות יותר: תכונת לינדלף קובעת שלכל כיסוי יש תת-כיסוי בן מנייה, ולעומתה קומפקטיות מנייתית היא הדרישה שלכל כיסוי בן מנייה יש תת-כיסוי סופי (ביחד הן כמובן שקולות לקומפקטיות).
בנוסף לזה, מרחב קומפקטי בו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת נקרא לפעמים קומפקטי סדרתית.
במרחב מטרי קומפקטיות סדרתית שקולה לקומפקטיות.
מרחב הוא קומפקטי מנייתית אם ורק אם הוא קומפקטי סדרתית (ועל כן זה נכון בפרט במרחב מטרי).
כל מרחב מקיים את תכונת לינדלף (זוהי הלמה של לינדלף).
במרחב מטרי גם הכיוון ההפוך נכון: תכונת לינדלוף גוררת .
המשפט המרכזי על מרחבי הוא משפט המטריזציה של אוריסון, שלפיו מרחב כזה, המקיים גם את תכונת ההפרדה T3, הוא מטריזבילי.
אֶקְסְטְרַפּוֹלַצְיָה (בעברית: חִיּוּץ) היא שיטה להעריך בקירוב נתונים לא ידועים על סמך נתונים ידועים.
בתחום האנליזה הנומרית, אקסטרפולציה הוא שמו של התהליך המתאר יצירת נקודות חדשות מחוץ לתחום סופי של נתונים ידועים.
התהליך דומה לאינטרפולציה, שזהו התהליך ליצירת נקודות בתוך התחום הנתון, אולם הוודאות והדיוק של האקסטרפולציה חלשים יותר מאלה של האינטרפולציה.
כמו כן באקסטרפולציה עצמה, ככל שהנקודה החדשה רחוקה מתחום המדידה, כן פוחתת ודאותה.
אחת הדרכים הבסיסיות לביצוע אקסטרפולציה היא יצירת פונקציה על מסד הנתונים הקיימים והצבה של ערכים מחוץ לתחום בפונקציה שהתקבלה.
אקסטרפולציה ליניארית נעשית על ידי לקיחת הערכים האחרונים בתחום, יצירת ישר העובר ביניהם והמשכתו אל מחוץ לתחום.
שיטה זו יעילה בעיקר למקרים שהגרף של הנתונים קרוב לקו ישר, והמרחק של הערכים החדשים מהנתונים הוא קטן.
ניתן לשפר את הדיוק של האקסטרפולציה על ידי חישוב השיפוע הממוצע בין הערכים הנתונים, או בין חלק מסוים של ערכים נתונים.
דרך אחת לחשב את הפולינום היא באמצעות השיטה שמכונה "הפולינום בצורת לגראנז'": עבור אוסף הנקודות, הפולינום בצורת לגראנז' המתאים הוא:
קל לראות כי לכל מתקיים וכן: .
לכן ברור כי: , כלומר הפולינום שהוגדר בצורת לגראנז' אכן עובר דרך הנקודות הנתונות.
שיטה זו מניבה אותו הפולינום שהניבה שיטת לגראנז', אך השימוש בה יעיל יותר; כדי להוסיף נקודה נוספת לאקסטרפולציה די לחשב את האיבר החדש שמוסיפים לסכום, ואין צורך לחשב את הסכום כולו מחדש.
במדעים המדויקים כמו אסטרונומיה, קוסמולוגיה ופיזיקה, משתמשים לרוב באקסטרפולציה לשם הכללת נתונים נצפים לטווח זמן גדול יותר או למרחבים יותר גדולים.
ההנחה בפיזיקה היא שחוקי הכבידה מתקיימים לא רק במקומות בו צפו בהם אלא גם בכל מקום שהוא ביקום.
ההנחה בקוסמולוגיה היא שאם התפשטות היקום כרגע היא בקצב מסוים ניתן לחשב אחורה בעזרת אקסטרפולציה את גיל היקום, ואת התחלתו מנקודה בודדת בתהליך המכונה המפץ הגדול.
אקסיומת הבנייה היא אקסיומה הטוענת, שכל קבוצה "ניתנת לבנייה"; או בנוסח המקורי: שמחלקת הקבוצות היא מחלקת-הקבוצות בנות-הבנייה.
מגמתה של האקסיומה זו - היא, "למזער-אונטולוגית" את מחלקת הקבוצות - עד למינימום - ולמעשה עד למחלקת-הקבוצות הנוצרת ממערכת אקסיומות צרמלו פרנקל לבדן.
מובנה האינטואיטיבי של האקסיומה הוא אפוא, שכל קבוצה יכולה להיבנות ממערכת זו.
מבחינה זו: יחסה של תורת הקבוצות לאקסיומת הבנייה, מקביל אל יחסה של האריתמטיקה לאקסיומת האינדוקציה - שאף היא מיועדת למזער למינימום (ולמעשה עד לקבוצת המספרים הטבעיים) את האונטולוגיה של האריתמטיקה.
הראשון שרמז לאקסיומה הזו - בכנותו אותה "אקסיומת ההגבלה" - היה המתמטיקאי אברהם הלוי פרנקל, בשנת 1922; עם זאת, הוא ניסח אותה בשפת-על (בלתי פורמלית) - כזו הכרוכה במונחים חיצוניים (כגון המונח "אקסיומות" וכדומה).
המתמטיקאים של זמנו אף הסתייגו ממנה, וקראו לה "אקסיומה אד-הוק".
הראשון שניסח את האקסיומה - ללא שימוש במונחים חיצוניים - אלא על ידי ניסוח תקני בשפה הפורמלית הרגילה של מערכת צרמלו-פרנקל (באופן מקביל אל תקניות הניסוח של אקסיומת האינדוקציה באריתמטיקה), היה המתמטיקאי והלוגיקן האוסטרי קורט גדל, בשנת 1935.
כמו כן, אקסיומת הבניה גוררת את אקסיומת היסוד, המהווה באופן מסורתי חלק בלתי נפרד מתורת הקבוצות האקסיומטית.
חשיבותה של אקסיומת הבניה התגלתה בשנת 1940, כשגדל הוכיח כי - אם מערכת צרמלו פרנקל עקבית - אז היא תישאר כזו גם אם אליה תתווסף אקסיומת הבניה.
תגלית זו איפשרה לגדל להוכיח, לראשונה, כי - אם מערכת צרמלו פרנקל עקבית - אז היא תישאר כזו גם אם אליה תתווסף השערת הרצף (מסקנה מקבילה תהיה תקפה גם לגבי כל ההשערות האחרות המוכרעות לחיוב על ידי אקסיומת הבניה).
הגד דומה הועלה בזמנו כנגד גרסתה המיושנת יותר: "אקסיומת ההגבלה" .
האופן המקובל לסמן את מה שטוענת אקסיומת הבניה, הוא: V=L, זאת כאשר V מסמן את מחלקת הקבוצות, בעוד ש-L מסמן את מחלקת הקבוצות הניתנות לבניה.
המחלקה L מוגדרת באינדוקציה טרנספיניטית על פני כל הסודרים: מוגדר להיות אוסף כל הקבוצות הגדירות מתוך איברים של , במודל .
בסודרים גבוליים לוקחים את איחוד כל השלבים הקודמים.
אפשר לראות כי קבוצה גדירה בתוך מודל מהצורה אם ורק אם היא תת-קבוצה של A שמתקבלת באמצעות הפעלה בסדר מסוים של הפעולות הבאות על הקבוצות ההתחלתיות (האינדקסים רצים על כל המספרים הטבעיים):
חיתוך של זוג קבוצות (מקביל להפעלת הקשר הלוגי "וגם").
לקיחת משלים ביחס ל-An המתאים (מקביל להפעלת הקשר הלוגי שלילה).
הטלה לפי קואורדינטה מסוימת (מקביל להפעלת הכמת "קיים").
כלומר ניתן לבנות אותה מתוך הקבוצה המקורית באמצעות אוסף מצומצם של פעולות בסיסיות, ומכאן השם.
אקסיון פראנסז היא תנועה פוליטית צרפתית בעלת אוריינטציה ימנית מלוכנית בגוון סמכותני.
היא החלה את דרכה בסוף המאה ה-19 כהתארגנות פוליטית שראתה בצרפת מלוכה קתולית.
התנועה הייתה ימנית, אנטישמית ואנטי-רפובליקנית.
היא קמה בתקופה של פרשת דרייפוס והוציאה לאור גם כתב עת בעל אותו שם, שביטא את עמדות ההתארגנות.
לאחר שחדלה לפעול בעקבות מלחמת העולם השנייה היא נבנתה מחדש ופעילה כיום.
התנועה נוסדה ב-1898 על ידי הפילוסוף אנרי ווז'וא (Henri Vaugeois) והעיתונאי מוריס פוז'ו (Maurice Pujo), על מנת להביע את הדעות הימניות קיצוניות, אנטי-רפובליקניות, אנטי-פרוטסטנטיות ואנטישמיות, בהשראת המחלוקות בפרשת דרייפוס.
בהשפעתו של שארל מוראס, שהפך לאידאולוג הראשי שלה, אקסיון פראנסז הפכה למונרכיסטית, לאומנית ומוכוונת נגד השיטה הפרלמנטרית.
אידאולוגיית התנועה הייתה אנטישמית מובהקת.
יסוד האנטישמיות היה על בסיס העיקרון פוליטי והנוסחה לאיחוד שדרות הלאום.
היהודי (הקפיטליסט, הקוסמופוליטי) נתפס כמי שמתסיס, זורע פירוד ומפלג את ההמון ואנטישמיות הייתה הגרעין סביבו יכול היה להתגבש הרגש הלאומי.
שארל מוראס ניסח את הדוקטרינה של הלאומיות האינטגרלית, שדגלה בשיקום המלוכה, מתוך אמונה כי זהו המוסד היחיד המסוגל לאחד את החברה הצרפתית המסוכסכת.
פעילות התנועה נתמכה ברובה על ידי הקתולים (הגם שהקתוליות שלה הייתה יותר פוליטית מאשר דתית), אנשי העסקים הקטנים ואנשי המקצוע, ולמרות שהתנועה התבססה על חזרה אל העבר, היא הייתה מהפכנית בקידום הפלתה האלימה של הרפובליקה השלישית הפרלמנטרית (1871-1940).
הטקטיקות המפריעות של התנועה וקבוצת הנוער שלה, "שוחרי המלך", הביאו אותו לגדולה בקרב קבוצות הימין לפני מלחמת העולם הראשונה.
ב-1899 התחיל להופיע כתב עת בשם Revue d'Action française, שנערך על ידי ווז'וא ופוז'ו והופץ מתוך בית קפה פריזאי.
הפופולריות של כתב העת גדלה בהתמדה וב-21 במרץ 1908 הפך לעיתון בניהולו של מוראס.
הגיליון הראשון של העיתון נשא את השם l'Action française והוא הופץ ב-30,000 עותקים.
העורך של העיתון היה לאון דודה.
כאשר מחזאי יהודי צעיר, אנרי ברנשטיין, העלה מחזות, שזכו לתשומת לב ניכרת,וב-1911 העלה התיאטרון הלאומי קומדי פראנסז את מחזהו Après moi, הגדישה ההחלטה את הסאה עבור החוגים האנטישמיים ובמיוחד עבור אקסיון פראנסז, שיצאו למאבק נגד הצגת מחזה של יהודי בתיאטרון לאומי.
ההתקפות היו על עצם היותו יהודי ועל היותו עריק.
התנועה הגיעה לשיא כוחה לאחר מלחמת העולם הראשונה, כאשר רעיונותיה היו פופולריים באירופה.
גינוי של האפיפיור ב-1926 צינן את התלהבות האוהדים הקתוליים.
התנועה נחלשה לאחר מלחמת העולם השנייה בגלל הקשרים שקיימה בעת המלחמה עם ממשלת וישי.
ואולם, היא שבה לפעול ב-1971 תחת השם "אקסיון פרנסז החדשה" ואף זכתה לחיוניות מחודשת לקראת סוף המאה ה-20, שבאה לידי ביטוי בהוצאת כתב העת החדש "ל'אקסיון פרנסז 2000".
בין השנים 2022-2013 הנהיג את התנועה פרנסואה בל-קר.
תחת מנהיגותו התנערה התנועה במידה רבה מן האנטישמיות המסורתית שלה, והיא אף תמכה במועמדותו של המדינאי היהודי אריק זמור לנשיאות צרפת.
במניפסט העכשווי של התנועה אין כל אזכור ליהודים או לדת הקתולית.
כיום עומד בראש התנועה אוליביה פרסבל.
היא מונה כמה אלפי פעילים ומגלה נוכחות בזירה הפוליטית והתרבותית, אך ללא השפעה מרובה.
בתורת הקבוצות, אקסיומת היסוד היא אקסיומה במערכת תורת הקבוצות האקסיומטית (ZFC), שהוצגה לראשונה על ידי ג'ון פון נוימן.
האקסיומה מבטיחה שקבוצות פתולוגיות מסוימות לא קיימות, למשל שאין קבוצה שמכילה את עצמה או קבוצות דומות.
באופן פורמלי, אקסיומת היסוד היא האקסיומה הבאה:
לכל קבוצה x אם x לא ריקה אז יש איבר , כך שלכל מתקיים .
במילים אחרות, לכל קבוצה x, ליחס הסדר החלקי שמוגדר על איברי x יש איבר מינימלי.
אקסיומת היסוד שונה מהאקסיומות האחרות של ZFC בכך שהיא מגבילה את האפשרויות לקבוצות שמופיעות במודל, בניגוד לשאר האקסיומות שמאפשרות לבנות קבוצות מתוך קבוצות קיימות.
אקסיומה זו משמשת בעיקר לטיפול בתכונות של סודרים ולאפשר הגדרות באינדוקציה על פני כל הקבוצות.
אין סדרת שייכות יורדת אינסופית
מאקסיומת היסוד נובע שאין סדרה אינסופית יורדת של קבוצות: .
הסיבה היא שהקבוצה תסתור את אקסיומת היסוד.
מצד שני, בהנחת גרסה מוחלשת של אקסיומת הבחירה (אקסיומת הבחירה התלויה), גם הכיוון ההפוך נכון – מתוך כל דוגמה לקבוצה שסותרת את אקסיומת היסוד אפשר לבנות סדרת אינסופית יורדת.
במילים אחרות יחס השייכות מבוסס היטב.
נעיר כי יכולה להיות במודל של אקסיומת היסוד סדרת שייכות אינסופית יורדת, כל עוד המודל לא "מכיר" אותה.
לדוגמה, אם ניקח מודל של ZFC (כולל אקסיומת היסוד), M, ונסתכל על העל חזקה שלו ביחס לעל מסנן לא ראשי על הטבעיים.
המודל המתקבל יקיים את אקסיומת היסוד (כמו כל טענה מסדר ראשון), אך יש בתוכו סדרת שייכות יורדת אינסופית:
נגדיר את להיות מחלקת השקילות בעל חזקה של הפונקציה (זהו מספר טבעי לא סטנדרטי).
כעת לפי משפט Łoś כיוון שהאוסף שייך לעל המסנן הטענה מתקיימת בעל החזקה, לכל n.
זו אינה סתירה כיוון שהסדרה היא לא איבר של על החזקה.
נניח כי יש לנו טענה בשפה של תורת הקבוצות ואנחנו יכולים להוכיח שלכל קבוצה x, אם הטענה מתקיימת על כל האיברים של x אז היא מתקיימת גם על x.
אז בהינתן אקסיומת היסוד – הטענה הזו מתקיימת על כל הקבוצות.
כי נניח בשלילה שיש x שלא מקיים את הטענה.
על ידי הגדלת x אם יש צורך, נניח כי x סגור טרנזיטיבית, כלומר אם אז (כאן אנחנו משתמשים באקסיומת האינסוף ובאקסיומת ההחלפה).
לפי אקסיומת ההפרדה, יש תת-קבוצה y שמכילה את כל האיברים של x שאינם מקיימים את הטענה.
קבוצה זו אינה ריקה (אחרת x היה מקיים את הטענה), ולכן, לפי אקסיומת היסוד, יש בה איבר מינימלי לפי יחס השייכות z.
כל האיברים של z נמצאים ב-x אבל לא ב-y ולכן הם מקיימים את הטענה, ומכאן גם z מקיים את הטענה – בסתירה.
גם הכיוון ההפוך נכון – אם אקסיומת האינדוקציה על פני כל הקבוצות מתקיימת, אז גם אקסיומת היסוד מתקיימת.
תחת אקסיומת היסוד ניתן להגדיר את הסודרים להיות בדיוק אוסף הקבוצות הטרנזיטיביות שאיבריהן סדורים קווית תחת יחס השייכות.
האקסיומה מתרגמת במקרה הזה לכך שלכל תת-קבוצה לא ריקה יש מינימום.
אקסיומת היסוד לא פותרת את הפרדוקס של ראסל.
באופן כללי, לא ייתכן כי – אף על פי שאוסף מסוים של אקסיומות אינו עקבי – הוספת אקסיומה מסוימת תהפוך אותו לעקבי.
ספציפית, במונחים מודרניים, הפרדוקס של ראסל מראה כי מחלקת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן, לא יכולה להיות קבוצה.
מאקסיומת היסוד נובע רק שהמחלקה הזו מכילה את כל הקבוצות.
אקסיומת היסוד שקולה גם לעובדה שכל הקבוצות מופיעות בבנייה האינדוקטיבית של פון-נוימן (וזה היה הניסוח המקורי של האקסיומה).
הבנייה היא באינדוקציה טרנספיניטית על פני הסודרים:
– כאשר האיחוד נעשה על פני כל הסודרים.
אקסיומת היסוד שקולה לטענה ש-V ממצה את כל הקבוצות בעולם.
תחת ההנחה הזו נגדיר את הדרגה של קבוצה x להיות הסודר הראשון בו .
נעיר כי ניתן להגדיר את הדרגה (ולהוכיח את שקילות ההגדרות) גם באינדוקציה על פני כל הקבוצות:
כך, למשל, אפשר לראות את השקילות בין אקסיומת היסוד וסכימת האינדוקציה.
המחלקה V מוגדרת בכל מודל שמקיים את אקסיומת ההחלפה, אקסיומת האיחוד ואקסיומת קבוצת החזקה.
לכן, גם אם אנחנו מתחילים עם מודל של ZF ללא אקסיומת היסוד, V יהיה מודל של אקסיומת היסוד (בנוסף לשאר האקסיומות של ZF).
מהסיבה הזו אם ZF ללא אקסיומת היסוד עקבית אז גם אקסיומת היסוד עקבית.
הלמה של מוסטובסקי טוענת כי תחת הנחות רחבות, מודלים פנימיים מבוססים היטב של שפת תורת הקבוצות איזומורפיים לקבוצות טרנזיטיביות עם יחס השייכות הסטנדרטי.
למה שימושית זו מדגימה את החשיבות של הביסוס-היטב של מודלים של ZF.
הרעיון הוא שאם הוא מודל של שפת תורת הקבוצות שמקיים את אקסיומת ההיקפיות, יחס השייכות בו מבוסס היטב ולכל x בתוכו האוסף הוא קבוצה, אז ניתן להגדיר את האיזומורפיזם הבא, הנקרא מיטוט מוסטובסקי:
ההגדרה היא הגדרה רקורסיבית, ולכן נכונותה מתבססת על הביסוס-היטב של היחס E ב-M – הנחה חזקה יותר מהתקיימות אקסיומת היסוד ב-M, כמו שצוין לעיל.
בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת ההחלפה היא סכימה של אקסיומות שמבטיחות כי תמונה של הפעלת פונקציה גדירה על קבוצה היא גם קבוצה.
הרעיון מאחורי האקסיומה הוא שכל האובייקטים ה"קטנים" ביקום של תורת הקבוצות, הן קבוצות; ובפרט, כל אובייקט שעוצמתו קטנה מקבוצה - הוא קבוצה בעצמו.
כיוון שב-ZFC אנחנו לא יכולים לכמת על פני אובייקטים שהם אינם קבוצות, אנחנו מגבילים את האקסיומות לאוסף כל הפונקציות אותן אנחנו יכולים להגדיר באמצעות נוסחה.
נניח כי עבור קבוצה , הנוסחה מגדירה פונקציה חד חד ערכית לאובייקטים .
כלומר, לכל איבר של קיים יחיד בו מתקיים ; אקסיומת ההחלפה תטען כי התמונה של הפונקציה הזו היא גם כן קבוצה:
אקסיומת ההחלפה איננה אקסיומה בודדת כיוון שלא ניתן לכמת על פני הנוסחאות - זהו אוסף אינסופי רקורסיבי של אקסיומות.
אקסיומת ההחלפה לא הייתה חלק ממערכת האקסיומות המקורית אותה הציע צרמלו ב-1908. מערכת האקסיומות של צרמלו, Z, הכילה את אקסיומת ההפרדה, החלשה יותר.
אקסיומת ההחלפה הוספה על ידי פרנקל בשנת 1922 ומערכת האקסיומות החדשה נקראה ZF.
אקסיומת ההחלפה הוצעה באופן בלתי תלוי, מאוחר יותר באותה שנה, גם על ידי סקולם.
אקסיומת ההחלפה מגדילה באופן ניכר את החוזק של ZF במובן של המשפטים אותם ZF יכולה להוכיח לעומת Z.
כך למשל, ב-ZF יש מודל עבור Z - (בסימונים של ההיררכיה של פון-נוימן).
בנוסף, התורה Z אינה יכולה להוכיח כי המונה קיים, בעוד שבתורה ZF ניתן להוכיח כי לכל סודר קיים .
נעיר, כי חלק משמעותי מהמתמטיקה הסטנדרטית ניתנת לפיתוח כבר בתורה Z, ללא אקסיומת ההחלפה, אך קיימות תכונות משמעותיות של קבוצות של המספרים הממשיים אותן לא ניתן להוכיח ללא אקסיומת ההחלפה.
דוגמה מפתיעה היא הכריעות של קבוצות בורל - כדי להוכיח את המשפט המודל חייב להכיל את קבוצת החזקה ה- של הטבעיים, לכל סודר בן-מנייה.
בתחום של תורת הקבוצות קיימות תוצאות בסיסיות בהרבה שלא ניתן להוכיח ללא אקסיומת ההחלפה.
כך, למשל, לא ניתן להוכיח כי הסודר קיים במובן של פון-נוימן (כלומר כקבוצה שיחס הסדר שלה הוא יחס השייכות).
זהו הסודר הראשון שלא ניתן להוכיח את קיומו במסגרת Z.
נעיר כי ב-Z יש קבוצה סדורה היטב שטיפוס הסדר שלה הוא אבל לא ניתן להמיר אותה לצורה הסטנדרטית ללא שימוש באקסיומת ההחלפה.
לעומת זאת, בהינתן אקסיומת ההחלפה טיפוס הסדר של מחלקת הסודרים הוא במובן מסוים אי נשיג (למעט העובדה שהוא לא מונה) - אין שום דרך להגדיר סדרה לא חסומה של סודרים שאורכה הוא סודר, כיוון שאז באמצעות ההחלפה ואקסיומת האיחוד נוכל למצוא סודר שגדול יותר מכל הסדרה.
אקסיומת האוסף היא הכללה של אקסיומת ההחלפה, בה אנחנו לא דורשים שהנוסחה תגדיר פונקציה אלא רק יחס, R, בו לכל איבר של x מתאים לפחות איבר אחד ביחס R.
במקרה הזה היא מבטיחה שיש קבוצה z בה לכל איבר של x יש לפחות איבר אחד שמתאים לו ביחס R.
הצמצום של אקסיומה זו למקרים בהם הנוסחה מגדירה פונקציה ייתן בדיוק את אקסיומת ההחלפה.
מצד שני, ZF (ללא אקסיומת הבחירה) מוכיחה את הנכונות של אקסיומת האוסף.
אקסיומת ההפרדה היא סכימת אקסיומות שמכילה עבור כל נוסחה (עם פרמטרים) את הטענה שלכל קבוצה A קיימת קבוצה B שמורכבת בדיוק מאוסף כל האיברים של A שמקיימים את הנוסחה.
אקסיומת ההפרדה נובעת מאקסיומת ההחלפה (בהנחה שקיימת קבוצה ריקה).
נניח כי A קבוצה ואנחנו רוצים להראות שיש קבוצה B כך שיתקיים: (עבור קבוצה u מסוימת כפרמטר).
אם אין איבר של x שמקיים את הנוסחה, אז , והנחנו שזו קבוצה.
אם יש איבר כזה, z, אז נגדיר את הפונקציה שעל קלט y תחזיר את y אם הוא מקיים את הנוסחה ואחרת את z.
כעת, תמונת A תחת הפונקציה שהגדרנו היא בדיוק הקבוצה הרצויה.
כיוון שאקסיומת ההפרדה נובעת מאקסיומת ההחלפה יש ספרים מודרניים בתורת הקבוצות שמשמיטים אותה מרשימת האקסיומות.
מצד שני, ניתן להחליש את אקסיומת ההחלפה, ולדרוש רק שנוכל לחסום את תמונת כל פונקציה גדירה שמופעלת על קבוצה על ידי קבוצה אחרת.
באופן הזה אנחנו עדיין נדרשים לאקסיומת ההפרדה.
אקסיומת הזוג הלא סדור נובעת מאקסיומת ההחלפה, בהנחה שקיימת קבוצה כלשהי עם לפחות שני איברים שונים.
נניח כי A מכילה איבר a ולפחות עוד איבר ששונה מ-a.
נפעיל על A את אקסיומת ההחלפה עם הפונקציה שמעבירה את a ל-x וכל איבר שאינו a ל-y.
תמונת A תחת הפונקציה הזו היא הזוג הלא-סדור {x,y}.
קיום קבוצה עם לפחות שני איברים נובעת מאקסיומת האינסוף.
בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת קבוצת החזקה היא אקסיומה במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (ZF) שמבטיחה את קיום קבוצת החזקה של כל קבוצה.
כלומר, לכל קבוצה A, קיימת קבוצה P (קבוצת החזקה) כך שלכל קבוצה z מתקיים: z שייכת ל-P אם ורק אם כל איבר ב-z הוא גם איבר ב-A.
אקסיומת קבוצת החזקה הכרחית לבניית המספרים הממשיים, בכל בנייה שנבחר עבורם.
למשל, המודל שמורכב מכל הקבוצות שהן בנות מנייה תורשתית, מקיים את כל האקסיומות של ZFC למעט אקסיומת קבוצת החזקה.
לפי משפט קנטור מודל זה לא יכול להכיל שום ייצוג של המספרים הממשיים.
באופן מפתיע, גם במודל בו הממשיים מוגדרים, התכונות שלהם מושפעות מהיכולת להפעיל את אקסיומת קבוצת החזקה אינסוף פעמים.
דוגמה נוספת לשימוש באקסיומת קבוצת החזקה היא בניית המכפלה הקרטזית של זוג קבוצות: עבור זוג קבוצות X,Y, אם נשתמש בהגדרה הסטנדרטית של זוג סדור: נקבל ש-.
במקרה הזה השימוש באקסיומת קבוצת החזקה אינו הכרחי וניתן להמיר אותו בשימוש באקסיומת ההחלפה ובאקסיומת האיחוד: ניתן על ידי אקסיומת ההחלפה להראות כי הקבוצה קיימת לכל .
שימוש נוסף באקסיומת ההחלפה יאפשר לאגד את כל הקבוצות האלו בקבוצה אחת, עליה נפעיל את אקסיומת האיחוד.
בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת האיחוד היא אקסיומה שמבטיחה שאיחוד האיברים של כל קבוצה הוא קבוצה.
העובדה שקיים חיתוך של כל אוסף (לא ריק) של קבוצות נובע מאקסיומת ההפרדה – נבחר איבר של אוסף הקבוצות ונקבל:
אקסיומת האיחוד היא אקסיומה מקובלת מאוד וכל מערכת אקסיומות סבירה של תורת הקבוצות מכילה אותה או גוררת את נכונותה.
אקסיומת האיחוד מאפשרת לאחד כל זוג קבוצות .
לפי אקסיומת הזוג הלא-סדור היא קבוצה.
הפעלת אקסיומת האיחוד על הקבוצה הזו תתן את .
אם אנחנו משתמשים בקונבנציה של פון נוימן להגדרת הסודרים (סודרים הן קבוצה שסדורה קווית על ידי יחס השייכות), אז אקסיומת האיחוד, יחד עם האקסיומות שמבטיחות כי כל זוג סודרים ניתן להשוואה, מבטיחה לנו שלכל קבוצת סודרים יש חסם עליון מינימלי – שהוא האיחוד שלהם.
מהסיבה הזו, אוסף כל הסודרים אינו קבוצה – אחרת היה סודר מקסימלי, בסתירה לכך שקיים לו עוקב.
בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת ההפרדה היא סכימת אקסיומות שמבטיחה שכל תת קבוצה ניתנת להגדרה של קבוצה היא גם קבוצה.
באופן פורמלי, סכימת האקסיומות מורכבת מאקסיומה אחת עבור כל נוסחה עם פרמטרים בשפה מסדר ראשון של תורת הקבוצות שמבטיחה כי לכל קבוצה יש קבוצה שאיבריה הם בדיוק כל איברי שמקיימים את הנוסחה:
כאשר הוא פרמטר של הנוסחה.
כלומר אקסיומת ההפרדה מורכבת מקבוצה רקורסיבית אינסופית של אקסיומות.
האינטואיציה מאחורי סכימת האקסיומות היא שמחלקה (כלומר אוסף גדיר של איברים) היא גדולה ולכן לא יכולה להיות מוכלת בקבוצה.
אקסיומת ההפרדה נובעת מאקסיומת ההחלפה יחד עם אקסיומת הקבוצה הריקה .
למרות זאת יש שכוללים את אקסיומת ההפרדה ברשימת האקסיומות של ZFC משיקולים היסטוריים, או משיקולי נוחות.
בתורת הקבוצות הנאיבית, לכל נוסחה שהיא אוסף כל הקבוצות שמקיימות את הנוסחה הוא קבוצה.
הגדרה זו מובילה לפרדוקסים רבים, למשל הפרדוקס של ראסל, כיוון שהיא מאפשרת קיום של קבוצות מאוד גדולות (למשל קבוצת כל הקבוצות).
אקסיומת ההפרדה (בדומה למקבילתה החזקה יותר - אקסיומת ההחלפה), היא הגבלה של ההגדרה של תורת הקבוצות הנאיבית: אוסף האיברים שמקיים תכונה מסוימת הוא קבוצה רק במקרים בהם הוא כבר מוכל בקבוצה אחרת.
באופן הזה אנחנו מונעים את היווצרותן של הקבוצות הפרדוקסליות, אך מאבדים גם את רוב היכולת של בניית האובייקטים שהתאפשרה לפני כן.
קבלת אקסיומת ההפרדה במקום האקסיומה הנאיבית היוותה את תחילת הפיתוח של תורת הקבוצות האקסיומטית.
למעשה רוב האקסיומות האחרות במערכת ZF נועדו להתמודד עם ההגבלה של אקסיומת ההפרדה.
באותו הקשר, אקסיומת ההפרדה יכולה לשמש כדי להוכיח כי אוספים מסוימים אינם קבוצות.
כך למשל אוסף כל הקבוצות איננו קבוצה, כי אילו היא הייתה קבוצה הרי שהקבוצה של ראסל (קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן) גם כן הייתה קבוצה לפי אקסיומת ההפרדה.
בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת ההיקפיות היא אקסיומה במערכת ZF.
האקסיומה גורסת כי אם לכל איבר x, הוא שייך לקבוצה הראשונה אם ורק אם הוא שייך לקבוצה השנייה, אז שתי הקבוצות שוות.
משמעות האקסיומה היא שיחס השייכות מגדיר חד משמעי את הקבוצה.
בפרט, האקסיומה שוללת את קיומם של האטומים - שהם אובייקטים שונים זה מזה חסרי איברים, כיוון שהיא מבטיחה שכל אובייקט כזה יהיה שווה לקבוצה הריקה.
אקסיומות הנובעות למושג השוויון בתחשיב הפרדיקטים מבטיחות את הכיוון השני - אם A=B אז יש להם את אותם איברים.
אקסיומת ההיקפיות יכולה להיחשב גם כהגדרה של מושג השוויון בין זוג קבוצות.
במובן הזה, ניתן לעבוד בשפה שאיננה מכילה את סימן השוויון ולהגדיר אותו בהתאם לאקסיומה.
במקרה הזה יש לשנות את האקסיומה: אם לכל x מתקיים x שייך ל-A אם ורק אם x שייך ל-B, אז לכל C יתקיים ש-A שייך ל-C אם ורק אם B שייך ל-C.
בכל מודל של האקסיומה הזו אמנם ייתכן שיהיו שני איברים שונים בעלי אותם איברים, אבל ההתנהגות שלהם תהיה זהה לחלוטין (הם יקיימו את אותן נוסחאות).
באופן היסטורי, תורת הקבוצות אפשרה קיום של אטומים, כלומר איברים שאינם הקבוצה הריקה ולא מכילים שום איבר.
בעקבות התפתחות תורת הקבוצות, אובייקטים אלו נזנחו ואקסיומת ההיקפיות אומצה.
למרות זאת, לתורת הקבוצות עם אטומים (לעיתים מסומנת ZFA) יש שימושים.
למשל, ב-ZFA קל לבנות מודלים בהם אקסיומת הבחירה נכשלת, כולל שליטה במידת הכישלון (כלומר האם גרסאות חלשות יותר של אקסיומת הבחירה או תוצאות מסוימות שלה מתקיימות או לא).
מודלים אלו עמדו בבסיס הבנייה של כהן, המבוססת כפייה, של מודלים של ZF ללא אקסיומת הבחירה.
ניתן להתאים את אקסיומת ההיקפיות לתורה שמכילה אטומים בשני אופנים.
אפשר להוסיף יחס חד-מקומי A, כך ש-A(x) כאשר x אטום, ולהגביל את אקסיומת ההיקפיות רק לאיברים שאינם ביחס A.
מצד שני, אפשר להימנע מהוספת סימן יחס, ולהגביל את אקסיומת ההיקפיות רק לקבוצות שמכילות איברים.
בתורת הקבוצות, אקסיומת מרטין היא אקסיומה שמבטיחה כי המודל יחסית סגור (במובן שיתואר בהמשך) תחת הפעלות של כפיות מסוימות.
אקסיומות מהצורה הזו נקראות באופן כללי אקסיומות כפייה.
אקסיומת מרטין, שהוצעה על ידי דונלד מרטין ורוברט סולוביי ב-1970, הייתה האקסיומה הראשונה מהצורה הזו, והוכחת העקביות שלה במסגרת ZFC היא דוגמה לעוצמה של שיטת החזרה על כפייה.
במובנים מסוימים, אקסיומת מרטין מאפשרת לבצע בניות באורך עד לעוצמת הרצף, שבאופן סטנדרטי ניתן לבצע אותם רק עד לאורך .
יחס סדר חלקי P מקיים את תנאי אנטי-השרשרת בת המנייה (c.c.c) אם בכל אוסף לא בן מנייה של איברים של P יש זוג איברים r,s שיש להם המשכה משותפת, כלומר יש ב-P איבר t, .
אם לזוג איברים יש המשכה משותפת נאמר שהם "מתיישבים".
בשיטת הכפייה אנחנו מצרפים למודל הבסיס מסנן גנרי על P, כלומר קבוצת איברים G שמוכלת ב-P, כל שני איברים בה מתיישבים והיא נחתכת עם כל הקבוצות הצפופות של P שנמצאות במודל הבסיס.
קבוצה כזו תהיה חיצונית למודל הבסיס, למעט במקרים טריוויאליים.
הקבוצה G תיקרא D-גנרית, (כאשר D אוסף של קבוצות צפופות) אם היא נחתכת עם כל קבוצה מתוך האוסף D.
כאשר D היא קבוצה קטנה יותר מאוסף כל הקבוצות הצפופות, ייתכן שתהיה קבוצה D-גנרית כבר בתוך מודל הבסיס.
אקסיומת מרטין (MA) גורסת כי:
אם P מושג כפייה (כלומר יחס סדר), המקיימת c.c.c.
ו-D היא אוסף של קבוצות מעוצמה הקטנה מעוצמת הרצף, אז יש תת-קבוצה של P שהיא מסנן D-גנרי.
באופן דומה, ניתן לנסח את האקסיומה MA(k) כאשר k הוא מונה כלשהו בין לעוצמת הרצף, כקיום אותו התנאי עבור קבוצות D מעוצמה k.
כלומר, MA היא למעשה הדרישה שיתקיים MA(k)lrm; לכל k שקטן מהרצף.
זה אפשרי לפי ההגדרה של קבוצה צפופה.
מצד שני, לא יכול להתקיים , כיוון שהוספת ממשי כהן היא כפייה המקיימת c.c.c והיא בעלת רצף קבוצות צפופות.
כל מסנן שנחתך עם כל הקבוצות הצפופות יוסיף בהכרח מספר ממשי חדש למודל, ולכן יהיה חיצוני למודל הבסיס.
לאקסיומת מרטין יש מספר גדול מאוד של מסקנות, וביניהן:
עוצמת הרצף היא מונה סדיר.
איחוד של פחות מעוצמת הרצף קבוצות ממידה אפס, היא קבוצה ממידה אפס.
עצי סוסלין לא קיימים (למעשה הוכחת העקביות של אקסיומת מרטין היא וריאציה על הכפייה שמראה את העקביות של אי קיום עצי סוסלין).
מכפלה של שני יחסי סדר המקיימים c.c.c מקיימת גם כן c.c.c.
אם X מרחב האוסדורף קומפקטי שעוצמתו קטנה מעוצמת הרצף, אז הוא קומפקטי סדרתית, כלומר לכל סדרה בו יש תת-סדרה מתכנסת.
לכל אוסף בגודל קטן מהרצף של סדרות של טבעיים קיימת סדרה של טבעיים שגדולה יותר מכל סדרה מהאוסף באינסוף קואורדינטות.
נדגים את השימוש באקסיומת מרטין לגבי התוצאה האחרונה.
נניח כי יש לנו אוסף A של סדרות של מספרים טבעיים.
אנחנו רוצים להראות שיש סדרה f (שנחשוב עליה כפונקציה מהטבעיים אל הטבעיים), כך שלכל איבר g של A, .
נשתמש במושג כפייה הבא (השקול להוספת ממשי כהן): כאשר כרגיל הוא אוסף המספרים הטבעיים.
יחס הסדר על P יהיה יחס ההכלה ההפוכה כלומר p חזק מ-q אם p מכיל את q (כלומר למעשה p מרחיב את הפונקציה q).
אוסף הקבוצות הצפופות איתן נדרוש שהמסנן הגנרי ייחתך הוא:
כל אחת מהקבוצות היא צפופה כיוון שבהינתן תנאי p, כדי לקבל תנאי q חזק מ-p בתוך הקבוצה הזו, אפשר פשוט להרחיב את p עד מעבר ל-n (על ידי הוספת ערכים שרירותיים), אם יש צורך, ואז לבחור m>n שעדיין לא קבענו את ערכו ולקבוע את p(m) להיות גדול יותר מ-a(m).
אקסיומת מרטין מבטיחה לנו קיום מסנן D-גנרי G.
מסנן זה מגדיר סדרה , וכיוון שהמסנן נחתך עם כל קבוצה ב-D - היא תקיים את התכונה הרצויה ותנצח כל סדרה מ-A אינסוף פעמים.
נעיר כי את אותה תוצאה לגבי A בת מנייה ניתן להשיג באופן ישיר על ידי ליכסון.
הוכחת ההתיישבות של אקסיומת מרטין ביחס ל-ZFC, כאשר עוצמת הרצף יכולה להיות גבוהה כרצוננו, נעשית באמצעות טכניקה הנקראת חזרה על כפייה.
הטכניקה הזו ממירה שרשרת ארוכה של כפיות עוקבות בכפייה יחידה במודל הבסיס.
כדי לכפות את התקיימות אקסיומת מרטין נרצה לעבור על כל יחסי הסדר שמקיימים c.c.c.
ולכל אחד מהם לכפות מסנן גנרי.
כיוון שבתהליך נוצרים יחסי סדר חדשים שמקיימים c.c.c., אנחנו צריכים להמשיך לכפות מסננים גנריים גם ליחסים החדשים שנוצרו וכן הלאה.
שיטת החזרה על כפייה מאפשרת לאחד את שרשרת הכפיות האינסופית הזו לכפייה בודדת במודל הבסיס, ומבטיחה גם כי אנחנו "תופסים את הזנב", כלומר כל יחס סדר שנוצר במהלך התהליך כבר טופל בשלב מתקדם מספיק של התהליך.
מרכיב קריטי להצלחת התהליך הוא ההגבלה של העוצמה של אוסף יחסי הסדר בהם צריך לטפל.
ניתן להראות שכדי שאקסיומת מרטין תתקיים, למעשה מספיק לטפל רק ביחסי סדר שעוצמתם קטנה מעוצמת הרצף.
בחינה של מושג הכפייה שמתקבל מראה כי הוא גם מקיים c.c.c ולכן הוא לא ממוטט מונים.
לאקסיומת מרטין יש מספר הרחבות, כלומר אקסיומות כפייה אחרות שמחלישות את תנאי ה-c.c.c.
ובכך משיגות סגירות של המודל תחת מחלקה רחבה יותר של כפיות.
בדרך כלל, לא ניתן לבסס את העקביות של ההרחבות האלו רק מתוך ZFC, ולשם כך נדרשים מונים גדולים.
שאלות לגבי חוזק ההתיישבות המדויק של אקסיומות הכפייה השונות הן שאלות מרכזיות בתחום המונים הגדולים בתורת הקבוצות.
הרחבה רבת עוצמה של אקסיומת מרטין היא PFA - אקסיומת הכפייה הנאותה, הגורסת את אותם תנאי הסגירות עבור מחלקה רחבה של כפיות (הכפיות הנאותות), כאשר אנחנו מגבילים את גודל קבוצת הצפופות D ל-.
כדי להראות את העקביות של האקסיומה הזו נעשה שימוש במונה על-קומפקטי.
הרחבה חזקה עוד יותר היא MM - המקסימום של מרטין, שדורשת את תנאי הסגירות עבור כל הכפיות שמשמרות את קבוצות השבת של .
גם העקביות של האקסיומה הזו הוכחה ביחס לקיום מונה על-קומפקטי.
אקסיומה זו היא מקסימלית, במובן שלא ניתן להניח את קיום תנאי הסגירות עבור כפיות שלא משמרות קבוצות שבת - לכל כפייה שהורסת קבוצת שבת של , יש אוסף צפופות D בגודל כך שאין במודל הבסיס מסנן D-גנרי.
אקסיון הוא חלקיק יסודי (אלמנטרי) היפותטי, שקיומו משוער כפתרון לבעיית שבירת הסימטריה החזקה CP (עולם בעל סימטריית CP יכיל כמויות שוות של חומר ואנטי חומר אך היקום מכיל כמות גדולה בהרבה של חומר מאשר של אנטי-חומר).
לפי התאוריה, מסתו היא בין לבין (eV/c2), מטענו 0 והספין שלו 0. ההשערה לקיומו של חלקיק זה הועלתה ב-1977 על ידי רוברט פסיי והלן קווין.
אם אקסיונים אכן קיימים ויש להם מסה נמוכה בתוך טווח מסוים, הם יכולים להוות רכיב תאורטי של חומר אפל קר, ביחד עם חלקיקי Wimps וגופי הילה קומפקטיים מסיביים .
בשנת 1977 רוברט פסיי והלן קווין העלו את הפתרון כי אקסיונים הם אלו אשר נותנים תשובה לבעיית שבירת הסימטריה החזקה CP.
ב-1983 התאים פייר סיקיבי את משוואות מקסוול לאקסיונים והראה כי ניתן לזהות אקסיונים על כדור הארץ על ידי הפיכתם לפוטונים בעזרת שדה מגנטי חזק.
ניסוי ADMX מנסה למצוא אקסיונים בשיטה זו.
ישנם ניסוים רבים אשר מנסים להוכיח את קיומם והשפעותיהם של אקסיונים, ביניהם:
הניסוי האיטלקי, PVLAS, אשר מנסה למצוא את שינוי קיטוב הגל של אור בתוך שדה מגנטי.
ניסוי נוסף הוא ניסוי ה-ADMX אשר מנסה בעזרת שדה מגנטי חזק להפוך אקסיונים לפוטונים.
ישנה שיטה שונה לגילוי אקסיונים בה מנסים להפוך פוטונים לאקסיונים.
ניסויים כגון GammeV, ALPS-I, ALPS-II, QSQAR ניסו לגלות אקסיונים בשיטה זו אך ללא הצלחה עד כה.
בשנת 2014 דווח כי קיימת אפשרות כי זיהו שינוי בין העונות השונות בקרינת הרנטגן המגיעה מהשמש אל כדור הארץ, משערים כי שינוי זה נגרם בגלל השפעת השדה המגנטי של כדור הארץ על האקסיונים אשר מגיעים מהשמש.
במחקר שארך 15 שנה, קבוצת מחקר מאוניברסיטת לסטר ראתה כי אכן קיימים שינויים בקרינת הרנטגן המגיעה אל כדור הארץ אך לא היה להם הסבר תאורטי מקובל.
אחד ההסברים האפשריים להסבר תופעה זו היא גרימת השינויים על ידי אקסיונים בשמש.
בשנת 2016, קבוצה מ-MIT נתנה דרך חדשה לגילוי אקסיונים בה אמורים לצפות ברעד אשר מתקשר למסתו של האקסיון.
תאוריה אחת של אקסיון הקשורה לקוסמולוגיה שיערה שלאקסיון יהיה מטען חשמלי 0, מסה מאוד קטנה (פי מיליון קטנה מזו של האלקטרון) ואינטראקצית חתך הפעולה נמוכה עבור כוחות חזקים וחלשים.
בגלל תכונותיהם של האקסיונים, הם מבצעים אינטראקציה מינימלית עם חומר רגיל.
בשדה מגנטי אקסיונים יהפכו לפוטונים ולהפך.
בתיאורית הסופר-סימטריה לאקסיון יש גם שותף-על שהוא סקלר וגם שותף-על שהוא פרמיון.
שותף העל הפרמיוני של האקסיון נקרא אקסינו, שותף העל הסקלרי נקרא סקסיון או דילטון.
כל שותפי העל מקובצים בסופר-שדה-כיראלי.
קיימת תאוריה שאומרת כי האקסיון נוצר בכמות גדולה מאוד בזמן המפץ הגדול.
מכיוון שנוצרה כמות כה גדולה, דבר זה יכול להסביר את בעיית החומר האפל בפיזיקה קוסמולוגית.
עדיין לא הוכח כי אקסיונים הם אלו אשר מסבירים את בעיית החומר האפל.
בנוסף לכך, יכולה להיות לאקסיונים השפעה על הכבידה בין גלקסיות.
אקסיום ספייס היא חברה פרטית בתחום תשתיות החלל, שבסיסה ביוסטון, טקסס, ארצות הברית.
החברה נוסדה בשנת 2016 על ידי מייקל סופרדיני וקם גפריאן.
הטיסה הראשונה של החברה לחלל בוצעה בשנת 2022. Axiom Mission 1, הייתה טיסת החלל הפרטית הראשונה שכללה צוות מסחרי לתחנת החלל הבין-לאומית.
החברה שואפת להחזיק ולהפעיל את תחנת החלל המסחרית הראשונה בעולם עד שנת 2025. עובדי החברה כוללים את מנהל נאס"א לשעבר צ'ארלס בולדן והאסטרונאוטים מייקל לופז-אלגריה וברנט וו.
לחברה היו 110 עובדים נכון לפברואר 2021, עם משרדים ביוסטון ובלוס אנג'לס.
הטיסה השנייה לחלל יצאה עם Axiom Mission 2 במאי 2023. שתי טיסות נוספות מתוכננות לנובמבר 2023 ולאמצע 2024.
מנכ"ל אקסיום ספייס, מייקל סופרדיני, היה בעבר מנהל התוכנית של תחנת החלל הבינלאומית בין השנים - 2005 ל-2015. לאחר פרישתו מנאס"א, סופרדיני וקם גפריאן הקימו את אקסיום ספייס כדי לקדם את שוק טיסות החלל המסחריות המתפתח.
גפריאן הוא מהנדס ויזם שמכר את החברה שלו, שהייתה קבלן של נאס"א, לחברת KBR ב-2018.
החברה נבחרה על ידי נאס"א לספק את מודול היעד המסחרי הראשון בתחנת החלל הבינלאומית.
בנוסף אקסיום ספייס הכריזה במרץ 2020 על חוזה עם SpaceX להטסת אסטרונאוטים מסחריים לתחנת החלל הבינלאומית באמצעות פאלקון 9 ודרגון 2 ; השיגור הראשון התרחש ב-8 באפריל 2022 והצוות חזר ב-25 באפריל.
חוזה של נאס"א עבור תחנת החלל הבין-לאומית
בשנת 2020, כחלק מהיוזמה הרחבה יותר של Next Space Technologies for Exploration Partnerships (NextSTEP), העניקה נאס"א לאקסיום ספייס חוזה בשווי 140 מיליון דולר על מנת שזו תספק לפחות חללית אחת ראויה למגורים שתתחבר לתחנת החלל הבינלאומית.
אקסיום ספייס הייתה החברה היחידה שהגישה הצעה כחלק מתהליך שהתחיל ב-2019. ביגלו איירוספייס לא הגישה הצעה ולאחר מכן הפסיקה את פעילותה.
בתחילת יוני 2021, אקסיום ספייס הכריזה על עסקה עם SpaceX אשר הוסיפה שלוש טיסות צוות נוספות ל-תחנת החלל הבין-לאומית מה שיעמיד את מספר הטיסות של החברה על ארבע.
Axiom Mission 1 (או Ax-1) הייתה משימת חלל פרטית לתחנת החלל הבינלאומית (ISS).
המשימה הופעלה על ידי אקסיום ספייס מתוך מרכז בקרת המשימה של Axiom MCC-A ביוסטון, טקסס.
הטיסה שוגרה ב-8 באפריל 2022 ממרכז החלל קנדי בפלורידה.
החללית שבה נעשה שימוש הייתה SpaceX Crew Dragon.
הצוות כלל את מייקל לופז-אלגריה, אמריקאי יליד ספרד ואסטרונאוט שעבר הכשרה מקצועית שנשכר על ידי אקסיום, איתן סטיבה מישראל, לארי קונור מארצות הברית ומארק פאתי מקנדה.
Axiom Mission 2 (או Ax-2) היא משימת חלל פרטית מתוכננת לתחנת החלל הבין-לאומית.
הטיסה אמורה לצאת לדרך ב-9 במאי 2023 ותכלול צוות של ארבעה אנשים.
ב-25 במאי 2021, אקסיום ספייס הודיעה שהאסטרונאוטית לשעבר של נאס"א פגי ויטסון תהיה מפקדת המשימה וג'ון שופנר יהיה טייס המשימה.
ב-20 בספטמבר 2022 דווח כי סעודיה קנתה את שני המושבים הנותרים למשימה: רייאנה ברנאווי ועלי אלקרני.
Axiom Mission 3 (או Ax-3) היא משימת חלל פרטית מתוכננת לתחנת החלל הבין-לאומית.
הטיסה תשוגר לא לפני ינואר 2024 ותכלול צוות של ארבעה אנשים.
הצוות צפוי לכלול את ולטר וילדיי האיטלקי כטייס, מייקל לופז-אלגריה האמריקאי כמפקד המשימה, אלפר גזרבצי הטורקי ומרקוס ואנדט השוודי.
Axiom Mission 4 (או Ax-4) היא משימת חלל פרטית לתחנת החלל הבין-לאומית ב-הטיסה תשוגר לא לפני אמצע 2024 ותכלול צוות של ארבעה אנשים, כולל הזוכה בתוכנית הריאליטי גיבור החלל.
הצוות צפוי לכלול אסטרונאוט הונגרי.
בינואר 2022, מרכז בקרת הטיסה של אקסיום (ה - MCC-A) השלים את המשימה הראשונה שלו בשיגור לתחנת החלל הבין-לאומית.
ה-MCC-A, הממוקם במטה של אקסיום ביוסטון, טקסס, רשום כאתר תפעול.
תחנת אקסיום מתכוונת לשגר בנפרד את מודולי החללית שלה ולהרכיב אותם במסלול, ולהתחבר לראשונה לתחנת החלל הבינלאומית.
לפני העזיבה של תחנת החלל (וכניסה מחודשת לאטמוספירה), החברה מתכננת לנתק את המודולים שלה ולהתחיל להסתובב בעצמה כתחנת אקסיום.
תחנת אקסיום עשויה להמשיך את פעילותה לאחר הפסקת עבודתה של תחנת החלל הבין-לאומית בסוף שנות ה-2020. החברה מכוונת כעת לסוף 2025 להשקת המודול הראשון שלה לתחנה הבין-לאומית ולסוף שנות ה-2020 להשלמת התחנה.
אקסיום ספייס מתכננת לערוך הכשרת אסטרונאוטים לטיסות מסחריות, לארח ממשלות ושותפים מסחריים.
עד שלושה מודולי אקסיום ספייס יכולים להיות מחוברים לתחנת החלל הבינלאומית.
המודול הראשון יתחבר להרמוני, ולאחר מכן היא מתכננת לצרף עד שני מודולים נוספים למודול הליבה הראשוני, ולשלוח אסטרונאוטים פרטיים למודולים.
הפנים של תחנת אקסיום תוכנן בשנת 2018 על ידי האדריכל הצרפתי פיליפ סטארק.
בהדמיות של בית הגידולפנים בתחנה נראה תא עם קירות מכוסים בריפוד ומשובצים במאות נוריות לד בצבעים משתנים.
אקסיום ספייס הצהירה בפומבי על כוונה להחזיק לפחות אסטרונאוט אחד בתחנה ברציפות, שיוקצה לטפל בפרויקטי מחקר ותיקוני תחנות.
שירותים אילו יכללו Wi-Fi מהיר, מסכי וידאו, וכיפה עם קירות זכוכית.
אקסיום ספייס מתכוונת להשתמש לשם מחקר ופיתוח של מיקרו-כבידה, במעבדה הלאומית של תחנת החלל הבין-לאומית עד שהמודולים שלה יפעלו.
חוזה נאס"א לייצור חליפות חלל עתידיות
ב-1 ביוני 2022, נאס"א הודיעה כי בחרה באקסיום ספייס יחד עם המתחרה קולינס ארוספייס לפתח ולספק לאסטרונאוטים את הדור הבא של חליפת חלל ומערכות הליכת חלל.
אלו יבדקו תחילה בשימוש מחוץ לתחנת החלל הבינלאומית, אך הן מיועדות להליכה על פני הירח עבור צוות תוכנית ארטמיס, ובעתיד ישמשו למשימות אנושיות על מאדים.
משימה תאריך שיגור תאריך נחיתה צוות זמן בחלל רכב הערות Axiom Mission 1 8 באפריל 2022 25 באפריל 2022 מייקל לופז-אלגריה
17 ימים דרגון 2 טיסת Crew Dragon הראשונה של אקסיום ספייס.
הטיסה הפרטית ראשונה אי פעם לתחנת החלל הבין-לאומית Axiom Mission 2 17 במאי 2023 27 במאי 2023 פגי ויטסון
עלי אלקרני 10 ימים דרגון 2 טיסת Crew Dragon השנייה של אקסיום ספייס.
Axiom Mission 3 ינואר 2024 מייקל לופז-אלגריה
מרקוס ואנדט דרגון 2 Axiom Mission 4 אוגוסט 2024
אקסל אולריק (בדנית: Axel Olrik; 3 ביולי 1864 – 17 בפברואר 1917) היה אתנופואטיקן דני, מאבות האתנופואטיקה ההיסטורית-גאוגרפית.
אולריק פרסם ב-1908 את המחקר הקלאסי אודות החוקים האפיים בסיפור העממי, במסגרתו חקר אלפי סיפורי עם אירופיים.
במחקרו הצביע על מספר כללים אופייניים לז'אנר זה.
חוקיו מבוססים על מאות סיפורי העם שחקר ועל המאפיינים המשותפים שמצא בהם.
חוק הפתיחה - הסיפור נפתח בהתקדמות משלווה להתרגשות.
הפתיחה תהיה רוגעת ושלווה, יוצגו בה הדמויות, הזמן והמקום.
חוק הסיום - בסיום תהיה חזרה לעולם השלו שהוצג בפתיחה, הסיום בדרך כלל טוב והסדר שהופר חוזר על כנו.
חוק החזרה - החזרה בסיפור תבוא בדרך כלל להדגשת חשיבות המוזכר, כל מעמד מרשים המתרחש בסיפור – חוזר, החזרה יוצרת מתח ועוצמה בעלילה.
חוק השילוש - שלוש הוא מספר נוסחאי, מספר שהפך לסמל בחברה, הוא המספר הגדול ביותר של אנשים ועצמים המופיעים בסיפור המסורתי.
(שלוש דמויות, שלוש פעולות, שלושה עצמים ועוד)
המשאלה הכמוסה - הרצונות הכמוסים (החבויים, הנסתרים) של החברה המספרת את הסיפור.
המשאלה הכמוסה בדרך כלל אינה הגיונית ומתאימה למציאות, ולעיתים היא מתממשת בעולם הסיפורי בלבד בעזרת היסוד העל-טבעי.
חוק הניגוד (הקיטוב) - הסיפור העממי תמיד יציג עולם קוטבי ומנוגד – חזק מול חלש, יפה מול מכוער, עני מול עשיר, צעיר מול זקן, הניגוד חל לא רק על דמויות אלא אף על מעשים ותוצאותיהם.
חוק הירכתיים (ירכתיים – קצה, סוף, גבול) - חוק זה מתקשר לדמויות.
כשיש שלוש דמויות המוצגות בפתיחה לסיפור, הרי שהדמות שתוצג אחרונה תהיה המשמעותית ביותר, אהדת השומעים תהא נתונה לה והיא תצליח לזכות ברצוי לה בעקבות התפתחות העלילה.
עלילה - הסיפור העממי הוא תמיד סיפור עלילתי המאופיין בתיאורים דינמיים, קצב מהיר, ריבוי פעלים ועשייה.
במרכז העלילה סיבוך ופתרון (התרה), זה מול זה ניצבים שני גיבורים יריבים, האחד מייצג את הכוח השלילי שהמאזינים רוצים בכישלונו והאחר – את הכוח החיובי אשר המאזינים מזדהים עמו וחפצים בניצחונו.
היסוד העל-טבעי, היסוד הפלאי - כל יסוד שאין לו אחיזה במציאות הממשית.
חוק הדו-שיח: חוק זה נובע מהצורך להשפיע על המאזין.
כיוון שהמטרה היא לרתק את השומעים לסיפור המעשה, לשתפם בעלילה ולפתח בהם תחושת מעורבות במתרחש והרגשת הזדהות עם הדמויות, משנה המספר את קולו ומשחק את תפקידי שתי הדמויות הפועלות.
חוק העל-מקום והעל-זמן: בסיפור לא מוזכר מקום ולא מוזכר זמן.
חוק שמות הגיבורים: לדמויות אין שמות.
ויליאם ברוס רוז הבן, הידוע בשם הבמה ו.
אקסל רוז הוא זמר ומוזיקאי רוק כבד אמריקאי.
רוז התפרסם כסולן להקת Guns N' Roses שהחלה לפעול באמצע שנות ה-80 עד לאמצע שנות ה-90. לאחר שנים ספורות מחוץ לאור הזרקורים, חזר רוז להופיע עם הרכב שונה תחת אותו שם - Guns N' Roses.
ההרכב החדש התחיל להופיע עם רוז לראשונה בשנת 2001. ב-2016 הצטרפו ללהקה סלאש, דאף מקאגן (אשר היו בהרכב המקורי) ומליסה ריס.