tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
אחת התגליות המוקדמות ביותר הייתה שמירה של קרינה פלואורסצנצית של השלד החיצוני תחת קרינה אולטרה סגולה.
קרינה פלואורסצנצית זו אופיינית לעקרבים ולעיתים קרובות מנוצלת בעת לכידת עקרבים חיים.
עם זאת, הקרינה הפלואורסצנצית השמורה אינה מאפשרת תיארוך של הממצאים.
עקרבים באוספי מוזיאונים בני 150 עד 200 שנה גם הם זוהרים, בעוד שבמאובנים מתקופות הקרבון ועד הטריאס בני 250 עד 300 מיליון שנה, פני הגוף השתנו כימית ואינם זוהרים עוד.
רק מאמר שפורסם בשנת 2011 על ההיסטוריה הגאולוגית של מערת איילון ועל שינויים אנתרופוגניים במפלס מי התהום באזור המערה אפשר קביעה מדויקת יותר של הכחדת המין.
כחלק מהמחקר, שוחזרו מפלסי המים של אגם המערה מאז 1951. מיקום העקרבים המתים והשוואה עם מפלסי המים המשוחזרים במערה אפשרו לקבוע שהמין נכחד בין השנים 1960 ו-1991.
השלדים החיצוניים שנמצאו לא הראו סימנים לפגיעות חיצוניות, כאלה שהיו בלתי נמנעות בקרב עם טורף.
יתר על כן, לא התגלו במערה עקבות של בעלי חיים שעשויים לטרוף את העקרבים.
עקרבים אחרים השוכנים במערות נמצאים תמיד בראש שרשרת המזון במערכות האקולוגיות שלהם.
באזור מערת איילון, נרשמה ירידה של 13 מטרים במפלס מי התהום מאז 1951, הנגרמת משאיבת מי תהום.
כתוצאה מכך, שטח הפנים של אגם המערה ירד מכ-4,000 לכ-400 מטרים רבועים.
ייצור הביומסה המופחת הנובע מהצטמקות בית הגידול נחשב לסיבה אפשרית להכחדת העקרב, אשר בשל מיקומו בראש שרשרת המזון, נפגע במיוחד מהפרעות למערכת האקולוגית.
בתחילה, לא נמצאו במערה חיות טרף פוטנציאליות של עקרבים, כך שהתיאור הראשון התייחס למחסור במזון כסיבה אפשרית להכחדה.
עם זאת, ממצא זה סותר את היעדר פגיעות חיצוניות בבעלי החיים שנמצאו.
עקרבים מפגינים קניבליזם כאשר המזון נדיר, ולפחות חלק מהעקרבים המתים היו אמורים להראות סימנים תואמים.
הפרשנות של הצבתות המוארכות ודמויות הקרס כהסתגלות ללכידת סרטנאים מאגם המערה היא עדכנית יותר וטוענת גם נגד תאוריית אובדן המזון.
העקרבים שנמצאו במערת איילון היו בגילאים שונים בזמן מותם; היו בהם בוגרים פרטים צעירים יותר, אך לא צעירים ממש.
אף על פי כן, גילוי עובר באחד השלדים החיצוניים מצביע על אוכלוסייה מתרבה.
המצב הכללי במערה מצביע על מוות פתאומי של האוכלוסייה כולה, ולא על הצטברות שלדים חיצוניים ריקים במשך מספר דורות.
אירוע קטסטרופלי אפשרי יהיה שחרור כמות גדולה של מימן גופרתי מאגם המערה שגרם למותם של העקרבים.
את הישרדותם של פרוקי רגליים יבשתיים אחרים ניתן להסביר בקלות על ידי העובדה שאוכלוסיית העקרבים הייתה קטנה במספרה וממוקמת באזור הפגיע במיוחד של אגם המערה.
עֶקְרון האי־ודאות של הייזנברג הוא חוק יסוד במכניקת הקוונטים, שעל פיו לפיזור הסטטיסטי של ערכים של חלקיקי יסוד, כגון מיקום החלקיק והתנע של החלקיק, יש חסם עליון.
בדוגמת המיקום והתנע, ככל שסטיית התקן של מיקום החלקיק קטנה יותר, סטיית התקן של ערכי התנע גדולה יותר, ולהפך.
קבוע פלאנק מגדיר את החסם הזה.
עיקרון זה פורסם בשנת 1927 על ידי הפיזיקאי זוכה פרס נובל, ורנר הייזנברג, ונקרא מאז על שמו.
עיקרון זה מתייחס לזוגות של משתנים מדידים המקיימים ביניהם יחס מסוים, וקובע שככל שמצבו של אחד המשתנים בזוג כזה מוגדר בדיוק רב יותר, כך מצבו של בן זוגו מוגדר בדיוק קטן יותר.
לדוגמה, זוג המשתנים מיקום-תנע: ככל שמיקומו של חלקיק (למשל, אלקטרון) מוגדר בדיוק גדול יותר, כך התנע שלו מוגדר במידה קטנה יותר של דיוק (ולהפך).
עקרון האי-ודאות חל על כל הגופים, אולם הוא ניכר רק במדידות בסדר גודל של קבוע פלאנק, ומכאן שהוא משפיע בדרך כלל רק על אטומים וחלקיקים תת-אטומיים.
לכן, בפיזיקה קלאסית, העוסקת בגופים גדולים, האי-ודאות הנובעת משגיאות מדידה גדולה בדרך כלל בסדרי גודל מהאי-ודאות הנובעת מעקרון הייזנברג, ועקרון האי-ודאות נעשה זניח.
לעיתים מבלבלים מושג זה עם מושג אפקט הצופה או עם בעיית המדידה, המתייחסים לכך שעצם פעולת המדידה משנה את מצבו של האובייקט הנמדד.
באופן כמותי, עבור המיקום והתנע, ניתן לנסח את עקרון אי-הוודאות כך:
הוא סטיית התקן במדידת המיקום ("האי ודאות במקום")
הוא סטיית התקן במדידת התנע ("האי ודאות בתנע")
הוא קבוע פלאנק, ו- הוא קבוע פלאנק המצומצם.
הניסוח הכללי ביותר של עקרון אי-הוודאות הוא:
אם A ו-B הם שני אופרטורים שאינם חילופיים, כלומר ,
הוא ערך התצפית של .
זוגות של משתנים צמודים / אופרטורים שאינם חילופיים:
מיקום ותנע קווי של גוף באותו כיוון.
שני רכיבי תנע זוויתי בכיוונים שונים.
ניתן להכליל את העיקרון גם ליחס בין אנרגיה לזמן, אף על פי שזמן אינו אופרטור: עבור כל גודל מדיד שמיוצג על ידי אופרטור , מתקיים היחס:
פרשנות אחת של יחס זה היא שהאנרגיה של מערכת מוגדרת עד כדי השינוי היחסי של משתנה נמדד בזמן.
קביעתו של הייזנברג כי עקרון האי-ודאות אינו תוצאת בעיה של מדידה, שאולי תיפתר עם שכלול השיטות והמכשירים, אלא תכונה בסיסית ומהותית של הטבע, השפיעה עמוקות על הפיזיקה ועל הפילוסופיה של התודעה.
בתחום זה של הדעת הוא מעורר בעיות קשות ועמוקות של פרשנות, שכן נראה שלא ניתן עוד לדעת את המציאות באופן מדויק.
פרשנויות אלו עודן שנויות במחלוקת בקרב הפיזיקאים והפילוסופים.
ויכוח זה גרם לכך שעקרון האי-ודאות הוא אחד מהעקרונות הפיזיקליים המפורסמים ביותר.
בסרט "האיש שלא היה שם" מאת האחים כהן, משמש עקרון האי-ודאות מקור השראה לעו"ד פרדי רידנשניידר.
בספרי מדע בדיוני רבים (כגון: "החתול העובר דרך קירות" של רוברט היינליין) משתמשים בעקרון האי-ודאות כדי ליצור עולמות שנראים על פניהם דמיוניים ובהם מגיע העיקרון למימוש ברמה יום-יומית.
בסדרה "שובר שורות" (Breaking Bad באנגלית) מאת וינס גיליגאן, הדמות הראשית, וולטר ווייט, מכנה עצמו בשם "הייזנברג", כדי לרמוז על כך שהוא "לא צפוי" כמו עקרון האי-ודאות.
חשוב לשים לב כי "עקרון האי-ודאות" אינו מתייחס כלל לוודאות או להסתברות, אלא לדיוק ולרזולוציה הקיימת בעולם הפיזיקלי מעצם מבנהו.
מסיבה זו הייזנברג התרעם מאוד על כך שקראו לתגליתו בשם המעורר טענות כה רבות שאין להן קשר למדידה או לערכים של פרמטרים מדידים – "אי-ודאות".
עֶקְרוֹן הַהֲכָלָה וְהַהַפְרָדָה או עֶקְרוֹן הַהֲכָלָה וְהַהֲדָחָה הוא עיקרון קומבינטורי שלפיו, כדי לספור עצמים בקבוצה, אפשר לכלול ולהוציא את אותו עצם שוב ושוב, כל עוד בסוף ההליך נספר כל עצם פעם אחת.
עיקרון זה מתורגם לנוסחה שיש לה שימושים וגרסאות רבות בכל ענפי הקומבינטוריקה.
כוחו של עקרון ההכלה וההדחה בכך שהוא מאפשר להמיר בעיה קומבינטורית מסובכת הדורשת ניתוח של האינטראקציות בין כל הקבוצות בבת-אחת, בבעיות קלות יותר שבהן מספיק לספור את האיברים השייכים לקבוצות מסוימות, בלי שיהיה צורך לבדוק את מעמדם של האיברים האלה ביחס לשאר הקבוצות.
אז גודל האיחוד שווה לסכום המתחלף , כלומר: .
אם מסכימים שחיתוך אפס קבוצות שווה למרחב כולו, אפשר לקבל נוסחה אלגנטית למספר האיברים שמחוץ לאיחוד: .
במקרים רבים גודל החיתוך של כל k קבוצות הוא קבוע, ואז מתקבלת נוסחה פשוטה יותר, .
המקרה הפשוט ביותר מתייחס לספירת עצמים המקיימים אחת משתי תכונות, למשל: גדול או אדום.
מספר העצמים שהם גדולים או אדומים, שווה למספר העצמים הגדולים ועוד מספר העצמים האדומים.
פחות מספר העצמים שהם גם גדולים וגם אדומים.
האיברים בשלב השני נספרו פעמיים בשלב הראשון (פעם ראשונה כאדומים, פעם שנייה כגדולים) לכן יש להחסיר אותם.
באופן פורמלי, אם היא קבוצת העצמים האדומים, ו- היא קבוצת העצמים הגדולים, אז הגודל של האיחוד בניהן יְחוּשַּׁב כך: .
במקרה הכללי, העיקרון קובע שגודל האיחוד של כמה קבוצות שווה לסכום מתחלף: סכום הגדלים של כל הקבוצות, פחות סכום הגדלים של חיתוכים של שתי קבוצות, ועוד סכום הגדלים של חיתוכים של שלוש קבוצות, פחות סכום הגדלים של חיתוכים של ארבע קבוצות, וכן הלאה.
נוסחת ההכלה וההפרדה לגודל האיחוד של שלוש קבוצות היא .
נראה כיצד ניתן לחשב את מספר התמורות על איברים שבהן אף איבר אינו נשאר במקומו.
כדי להפעיל את עקרון ההכלה וההדחה, נסמן ב- את קבוצת התמורות שבהן האיבר ה-i דווקא נשאר במקומו.
השאלה היא כמה תמורות נמצאות מחוץ לכל הקבוצות, ומכיוון שמספר התמורות הכללי הוא , די לספור כמה תמורות שייכות לקבוצה אחת לפחות; כלומר, לחשב את .
בחיתוך של k קבוצות נמצאות התמורות שמשאירות את k האיברים המתאימים במקומם, בלי קשר לשאלה מה הן עושות בשאר האיברים.
לכן גודל החיתוך הוא , וזאת לכל אחת מ- הבחירות של האיברים השונים .
לפי עקרון ההכלה וההדחה, .
הסיכוי שתמורה אקראית תהיה שייכת לקבוצה הזאת הוא , שהוא קירוב טוב מאוד למספר .
כדי להוכיח את השוויון , נבדוק כמה פעמים נספר איבר x בשני האגפים.
אם x אינו שייך לאף קבוצה, אז הוא נספר פעם אחת באגף שמאל, ופעם אחת (במסגרת החיתוך הריק, עבור k=0) באגף ימין.
אחרת, נניח שהוא שייך בדיוק ל-m קבוצות, ומטעמי סימטריה אפשר להניח שאלו הן הקבוצות ; בפרט, x אינו שייך לקבוצות .
במקרה כזה האיבר נספר באגף ימין בדיוק פעמים לפי נוסחת הבינום של ניוטון, בדיוק כמו באגף שמאל.
באנליזה מרוכבת, עקרון הארגומנט מקשר בין מספר הקטבים והאפסים של פונקציה מרומורפית בתחום מסוים ובין השינוי בארגומנט שלה בעת מעבר על שפת התחום.
עיקרון זה הוא תוצאה חשובה של משפט השארית.
תהא פונקציה מרומורפית (בעלת מספר סופי של נקודות סינגולריות שכולן קטבים) בתחום כלשהו ששפתו היא מסילה פשוטה וסגורה, שעליה לא מקבלת אפסים וקטבים.
אז מתקיים , כאשר הוא מספר האפסים של , כולל ריבוי, ואילו הוא מספר הקטבים של , כולל ריבוי.
כמו כן, , כאשר הוא גודל השינוי בארגומנט של כאשר היא מקיפה את התחום על גבי שפתו.
לשם כך נשתמש במשפט השארית.
כדי לחשב את האינטגרל, די לחשב את סכום השאריות של הפונקציה בכל נקודות הסינגולריות שלה בתחום .
מכיוון ש- מרומורפית, לפונקציה יכולים להיות רק שני סוגים של נקודות סינגולריות: קטבים של ואפסים של .
באפס מריבוי של מתקיים , כאשר והולומורפית בסביבה של .
המחובר הימני הוא פונקציה הולומורפית, ולכן בפיתוח לטור נקבל טור טיילור (כלומר מקדם השארית הוא 0).
המחובר השמאלי הוא בדיוק האיבר שהמקדם שלו בטור לורן הוא השארית, ולכן בסך הכול השארית של הפונקציה סביב היא .
כלומר: השארית סביב אפס כלשהו היא הריבוי של אותו האפס.
עבור קוטב הרעיון דומה: בקוטב מריבוי של מתקיים , כאשר והולומורפית בסביבה של .
ולכן השארית שנקבל הפעם היא מינוס הריבוי של הקוטב.
על כן, סכום השאריות בכל הקטבים והאפסים ייתן בדיוק את סכום ריבויי האפסים פחות סכום ריבויי הקטבים.
תהי , צריך לחשב את
נשים לב כי האפסים של הם ו-.
מתוך האפסים האלו, רק נמצא בתוך העיגול:, כמו כן הוא "אפס פשוט".
נשים לב גם כי יש ל: רק קוטב אחד והוא: .
עֶקְרון האיסור של פאולי הוא עִיקָרון פיזיקלי בתורת הקוונטים הקובע ששני פרמיונים לא יכולים להימצא באותו מצב קוונטי, באותה מערכת קוונטית, בו-זמנית.
העיקרון נוסח על ידי וולפגנג פאולי בשנת 1925.
כיוון שהאלקטרונים הסובבים את גרעין האטום הם פרמיונים, עקרון האיסור של פאולי חל עליהם, ובכך הוא עוזר להבין את מבנה קליפות האלקטרונים באטום.
קליפות אלה קובעות בין היתר חלק מתכונות היסודות הכימיים ואת מבנה הטבלה המחזורית.
העיקרון חל גם על הנוקליאונים ומשפיע על מבנה הגרעין.
עקרון האיסור של פאולי הוא גם הבסיס לדחייה בין אטומים ומולקולות במרחקים קצרים, שמונעת מהם להתקרב זה לזה יתר על המידה.
בקירוב ניתן לתאר זאת כך: כאשר מסלולים מלאים של אלקטרונים בקליפות החיצוניות של אטומים שכנים מתקרבים זה לזה, על האלקטרונים באחד המסלולים לעבור למסלול אחר, בשל עקרון האיסור של פאולי.
בדרך כלל מסלול זה יהיה בעל אנרגיה גבוהה יותר, כיוון שהמסלולים בעלי האנרגיה הנמוכה יותר (או שווי האנרגיה) תפוסים כבר בידי אלקטרונים אחרים.
לפיכך, התקרבות מעבר למידה מסוימת עולה באנרגיה.
כמו כן מגדיר העיקרון את המושג של לחץ פרמי, כוח דחייה בין פרמיונים שמונע מהם להגיע לאותו מצב קוונטי, ובכך הוא מסייע להבין את המבנה ואת התכונות של ננסים לבנים ושל כוכבי נייטרונים.
מערכת רבת חלקיקים ועקרון הסימטריה
בפיזיקה קלאסית ניתן לעקוב אחרי חלקיקים לאורך כל תנועתם, לכן אם בשלב ראשוני מתייגים את החלקיקים בתגיות 'חלקיק 1' ו'חלקיק 2', ניתן להגיד בכל נקודת זמן מה המצב הפיזיקלי של כל אחד מהם בנפרד.
במכניקה קוונטית, המצב הפיזיקלי של חלקיק הוא אוסף מלא של גדלים קומיוטטיבים ניתנים לצפייה (לדוגמה רמת האנרגיה וכיוון הספין של האלקטרון באטום המימן).
לכן אי אפשר לתייג את החלקיקים בשמות 'חלקיק 1' ו'חלקיק 2'.
מאחר שכל מדידה של מיקום החלקיק משפיעה על המערכת, אי אפשר לעקוב אחרי מסלול החלקיקים באופן רציף.
חלקיקים קוונטיים הם בלתי ניתנים להבחנה באופן מהותי.
עובדה זו גורמת לכך שבמערכת עם מספר חלקיקים, גם אם ניתן לדעת את המצב העצמי המדויק של כל אחד מרכיבי המערכת (לדוגמה על ידי מדידת המיקום והספין של כל החלקיקים באותו זמן), המצב המלא של המערכת לא ידוע.
הוא סופרפוזיציה של מצבים בהם המדידות של חלקיק בודד נמצא באחד מערכי המדידות.
לדוגמה, אם נמדדו שני חלקיקים, ובוצעו שתי מדידות שגילו את המצבים אין דרך לדעת האם המערכת שכוללת את שני החלקיקים נמצאת במצב , במצב או במצב הכללי .
ניתן להניח באופן כללי שהסיכוי לסידור הראשון והשני שווה, אולם הנחה זו עדיין לא פותרת את בעיית הפאזה.
המצב הכללי של המערכת תחת הנחה כזו יהיה כשאין שום דרך אפריורית לדעת מה הערך של .
את המצבים האלה ניתן להרחיב למספר גדול יותר של חלקיקים.
עקרון האיסור של פאולי קובע שיש זן מסוים של חלקיקים, הנקראים פרמיונים, שמקיימים את הכלל הבא:
ניסוח חלש - שני פרמיונים לא יכולים להימצא באותו מצב קוונטי.
ניסוח חזק - מערכת מרובת חלקיקים היא אנטיסימטרית להחלפה בין כל זוג פרמיונים זהים במערכת.
הניסוח החלש נובע מתוך הניסוח החזק, עבור שני פרמיונים שנמצאים באותו מצב קוונטי המצב היחיד האנטיסימטרי להחלפה הוא:
אך אם שני הפרמיונים נמצאים באותו מצב קוונטי, הרי ש:
חלקיקים שלא מקיימים את עקרון האיסור מצייתים לכלל לפיו המערכת היא סימטרית להחלפה בין כל זוג חלקיקים זהים.
חלקיקים אלה נקראים בוזונים, ושני בוזונים כן יכולים להימצא באותו מצב קוונטי.
המצב שמייצג מערכת של פרמיונים הוא מצב אנטיסימטרי.
לכל מספר של חלקיקים, קיים רק מצב אנטיסימטרי אחד, שניתן להיבנות באופן פשוט מהמצבים הבודדים של כל אחד מחלקי המערכת.
אם סט המצבים שמתאר את כל אחד מחלקי המערכת הוא:
כך ש- היא מכפלה של מצבים של חלקיקים בודדים בסדר מסוים.
עבור פרמוטציה מסוימת של סדרת המספרים הקוונטיים .
אופרטור השחלוף של אותה פרמוטציה פועל על המצב באופן הבא:
אופרטור האנטיסימטריזציה כולל סיכום על כל הפרמוטציות האפשריות ומוגדר באופן הבא:
המצב אנטיסימטרי של המערכת יקיים:
עניין מיוחד קיים במערכות בהן יש שני חלקיקים שיכולים להיות רק בשני מצבים .
במקרה כזה, קיים רק מצב אנטיסימטרי אחד שיכול לתאר את המערכת הכוללת: הסינגלט - .
לעומת זאת, קיימים שלוש מצבים סימטריים אפשריים: הטריפלט - .
אם למצבים יש רמות אנרגיה שונות, נקבל שבמקרה של הסינגלט יש רק אנרגיה אחת למערכת, ולעומת זאת למערכת הטריפלט קיימים שלושה ערכי אנרגיה אפשריים.
הוא גילה שקווי הפליטה מתפצלים בנוכחות שדה מגנטי התיאוריה הסבירה היטב את אפקט זימן באטום המימן, אולם עבור אטומים אחרים כמו אבץ ונתרן, קווי הפליטה פוצלו לשש או לארבע רמות, כאשר מודל זומרפלד חזה פיצול לשלוש רמות.
ב-1925, הציע פאולי את עקרון האיסור ביחס לאלקטרונים באטום.
הוא טען שהמצבים שכל אלקטרון בנפרד יכול לקבל מסביב לאטום דומים לפתרונות של אטום המימן.
לכן בכל רמת אנרגיה יש מצבים אפשריים.
פאולי שיער שלאלקטרונים יש עוד מצב עצמי חופשי פנימי שיכול לקבל שני ערכים שונים, וששני אלקטרונים לא יכולים להיות באותו מצב מלא כולל המצב הפנימי הזה.
לכן לפי התיאור של פאולי בכל רמת אנרגיה יש מצבים אפשריים.
פאולי הראה איך תיאור זה מסביר את קווי הפליטה של אטומים שונים, ואת מבנה הטבלה המחזורית.
המצב הפנימי החופשי התגלה כספין של החלקיק, וב-1927 פאולי הראה שיש לו מבנה של תנע-זוויתי קוונטי.
ב-1926 הייזנברג ודיראק הציגו את המבנה האנטיסימטרי של פונקציית הגל - כלומר ניסחו את הניסוח החזק של עקרון האיסור.
הם הראו שהניסוח החלש נובע מיידית מהניסוח החזק.
באותה שנה פרמי הציג את התפלגות פרמי-דיראק שמתארת את מצבי האנרגיה המתקבלים של חלקיקים המקיימים את עקרון האיסור וצמודים לאמבט טמפרטורות.
חלקיקים שמקיימים את העיקרון נקראו פרמיונים על שמו של פרמי.
מודלים אלו שימשו לתיאור האסטרופיזיקלי של ננסים לבנים, ולהסבר מדוע הם לא מוסיפים לקרוס, למרות הטמפרטורה הנמוכה בה הם נמצאים.
ב-1931 הרחיבו ארנפסט ואופנהיימר את העיקרון והחילו אותו גם על חלקיקים מורכבים שמכילים מספר אי זוגי של אלקטרונים ופרוטונים.
עם גילוי הנייטרון ב-1932 הייזנברג הראה שאפשר לתאר את הגרעין כמורכב מנייטרונים ופרוטונים שמתנהגים כמו אותו חלקיק, למעט ערך קוונטי נוסף שהייזנברג קרא לו אייזוטרופיק ספין.
החלקיקים בגרעין מקיימים את עקרון האיסור.
ב-1939 וב-1940 פאולי הציג יחד עם תלמידו את משפט ספין-סטטיסטיקה, וטען שכל חלקיק עם ספין חצי שלם הוא פרמיון שמציית לעקרון האיסור, בעוד חלקיקים עם ספין שלם הם בוזונים שלא מקיימים את עקרון האיסור.
המשפט והוכחתו נחשבים עד היום למסובכים להבנה, והתמונה שהם מספקים לא שלימה.
הוכחות עוקבות סובלות מהנחות לא מוצדקות, או שהן אף קשות יותר להבנה ולהצדקה.
ב-1945 קיבל פאולי את פרס נובל לפיזיקה על "גילוי עקרון האיסור הקרוי גם עקרון פאולי".
עקרון האיסור של פאולי חל רק על חלק מהחלקיקים הקוונטיים.
משפט ספין-סטטיסטיקה קובע שהעיקרון חל על כל חלקיק בעל ספין חצי שלם, כלומר כל חלקיק כזה הוא פרמיון.
לעומת זאת, המשפט לא חל על חלקיקים בעלי ספין שלם.
המשפט הוכח לראשונה על ידי פאולי ב-1940, והוא בעל חשיבות רבה בפיזיקה קוונטית ופיזיקה סטטיטית.
הלפטונים (כולל האלקטרון), הקווראקים הבאריונים והנייטרינו הם כולם חלקיקים בעלי ספין חצי, ולכן כולם יתנהגו לפי עקרון האיסור של פאולי.
חלקיקים לא יסודיים שמורכבים ממספר חלקיקים יסודיים יתנהגו בהתאם לספין הכולל של החלקיק.
לכן הליום 3 יתנהג כמו פרמיון ועקרון האיסור יחול עליו, והליום 4 יתנהג כמו בוזון.
האלקטרונים הם פרמיונים ועקרון האיסור חל עליהם.
בכל רמת אנרגיה יש אפשרויות לערך התנע-הזוויתי הכולל של האלקטרון (מסביב לגרעין), בכל רמה כזו יש אפשרויות לערך התנע-הזוויתי ביחס לציר ה-z.
בסה"כ לכל רמת אנרגיה באטום יש מצבים עצמיים של פונקציית הגל של מיקום האלקטרון מסביב לאטום.
בכל מצב עצמי כזה יכולים להיות שני אלקטרונים בלבד, אחד בעל ספין למעלה והשני בעל ספין למטה.
מתוצאה זו מתקבל שמספר האלקטרונים ברמות האנרגיה השונות מסביב לאטום הוא 2,8,18,32 וכן הלאה.
ההגבלה של מספר האלקטרונים בכל רמה, ובכל מצב תנע-זוויתי (אורביטל) קובעת את הסידור של האלקטרונים מסביב לגרעין, ובכך עיקרון האיסור משפיע על התכונות הכימיות של יסודות שונים.
לעקרון האיסור של פאולי חשיבות רבה גם במבנה הגרעין.
בגרעינים הפרוטונים והניטרונים מוחזקים יחד בזכות הכוח הגרעיני החזק קצר הטווח, אך פרוטונים דוחים זה את זה דחייה חשמלית.
לכן החלפה של פרוטון בנייטרון בתוך הגרעין מעלה את האנרגיה הכוללת של הגרעין, ולכן היא לא מתקיימת באופן ספונטני.
באסטרופיזיקה, עיקרון האיסור מקבל חשיבות רבה בתהליך מותם של כוכבים בעלי מסה גבוהה.
במהלך חייו של כוכב, האנרגיה של התגובה הגרעינית שמניעה אותו שומרת על הכוכב מקריסה תחת כוח הכבידה שהוא מפעיל על עצמו.
כאשר הדלק הגרעיני של הכוכב אוזל, הכבידה מתחילה להקריס את הכוכב כלפי פנים.
אם מסתו של הכוכב לא גדולה מדי, בשלב מסוים של הקריסה עיקרון האיסור של פאולי שאוסר על האלקטרונים בכוכב להיות באותו מצב קוונטי ייכנס לפעולה וימנע מהכוכב להמשיך לקרוס.
במצב זה השאריות של הכוכב ייצרו ננס לבן.
אם המסה של הכוכב גדולה ממסת צ'נדראסקאר אז הדחייה הקוונטית בין האלקטרונים לא תהיה חזקה מספיק כדי למנוע את קריסתו של הכוכב.
במצב זה, האלקטרון יילכדו בפרוטונים של גרעיני האטום, ויהפכו לנייטרונים תוך כדי פליטה של ניוטרינו.
תהליך זה יאפשר לכוכב להידחס עוד יותר תחת הכבידה העצמית שלו.
עבור כוכבים עם מסה גדולה ממסת צ'נדראסקאר אבל קטנה ממסת טולמן-אופנהיימר-וולקוף, הקריסה תיעצר כאשר עקרון האיסור יימנע מהנייטרונים להתקרב אחד לשני.
במצב כזה הכוכב יסיים את חייו ככוכב נייטרונים.
כאשר מסת הכוכב גדלה אף מגבול זה, הכוכב יקרוס לחור שחור, ולאחר הקריסה לסינגולריות נראה שעקרון האיסור מופר.
עם זאת, יש לזכור שאירועים שמתרחשים מעבר לאופק האירועים של חור שחור אינם משפיעים על צופה חיצוני, ולכן אין משמעות פיזיקלית לשאלה האם החומר בתוכו מקיים את עקרון האיסור או לא.
בהתאם לניסוח החזק של עקרון האיסור, פונקציית הגל המלאה של פרמיונים היא אנטיסימטרית.
המסלול והספין של החלקיקים הם קומוטטיבים, ולכן פונקציית גל אנטיסימטרית תהיה מכפלה של פונקציית גל סימטרית מרחבית באנטיסימטרית במרחב הספין, או להפך.
ערך התצפית של המרחק בין שני חלקיקים מושפעת רק מהחלק המרחבי של פונקציית הגל.
חישוב של ערך התצפית עבור מצב מרחבי סימטרי או אנטיסימטרי יתן .
אם ההימילטוניאן תלוי במרחק בין שני החלקיקים, למצב המרחבי האנטיסימטרי ולמצב המרחבי הסימטרי יש אנרגיות שונות.
במודלים כמו אטום ההליום, בו האלקטרונים דוחים אחד את השני, מתקבל שהמצב המרחבי הסימטרי מקבל אנרגיות גבוהות יותר מהמצב המרחבי האנטיסימטרי.
במצב כזה, המערכת תעדיף להיות במצב המרחבי האנטיסימטרי, כלומר במצב הספין הסימטרי, על אף שההמילטוניאן לא תלוי ישירות במצב הספין.
מצבי הספין מתקבלים מהאופרטור שמקבל ערך עצמי 1 למצבים סימטריים ומינוס אחד למצב האנטי סימטרי.
לכן יתקבל שהאנרגיה תלויה בפרמטר שמתכונתי ל-.
האינטראקציה הזו נקראת אינטראקציית חילוף, והכוחות שמתקבלים בין החלקיקים כתוצאה ממנה נקראים כוחות החילוף והם פועל יוצא של עקרון האיסור.
בעזרת כוחות אלו ניתן למשל להבין את תופעת הפרומגנטיזם (מודל אייזינג).
עֶקְרוֹן הייתה עיר קדומה בארץ ישראל שיושבה לראשונה על ידי הכנענים בתקופת הברונזה.
בתקופת הברזל, עם פלישתם של גויי הים למישור החוף, הפכה לעיר פלשתית חשובה.
בשלהי המאה ה-8 לפנה"ס כבשו האשורים את עקרון והשתלטו עליה.
באותה תקופה נודעה העיר כיצרנית שמן זית בהיקף גדול.
בשנת 603 לפנה"ס הוחרבה העיר כליל על ידי האימפריה הנאו-בבלית בראשות נבוכדנצר השני.
מעט לאחר מכן התקיים במקום יישוב קטן בעיר התחתונה, ולאחר זמן קצר ננטש אף הוא, ומאז לא יושבה העיר יותר.
האתר מזוהה כיום עם התל הארכאולוגי תֵּל מִקְנֶה, הסמוך לקיבוץ רבדים.
בתקופת הברונזה התיכונה השנייה, סביב המאה ה-17 לפנה"ס, נושב התל לראשונה (שכבה XI) על ידי אוכלוסייה כנענית בראש התל (העיר העליונה) ולמרגלותיו (העיר התחתונה).
סביב התל הוקמה סוללה שהקיפה הן את העיר העליונה והן את העיר התחתונה.
בתקופת הברונזה המאוחרת התדלדל היישוב בכל האזור, וגם כאן התקיים רק יישוב כנעני קטן לא מבוצר בעיר העליונה בלבד (שכבות VII-X).
מתקופה זו נמצאו בתל כלים המיובאים מקפריסין וממיקנה, כמו כן נמצאו באתר חותם וחרפושית מצרית מתקופת השושלת ה-19. שכבות אלו חרבו בשריפה.
שכבה IX – המאה ה-14 לפנה"ס עד המחצית הראשונה של המאה ה-13 לפנה"ס.
שכבה VII – מהמחצית השנייה של המאה ה-13 לפנה"ס.
על פי המקרא, בחלוקת הארץ, עקרון יועדה לבני שבט יהודה (; פסוקים י"א, מ"ה-מ"ו), אולם במקורות מקראיים אחרים (שם ) היא יועדה לבני שבט דן.
עקרון מוזכרת בהקשרים נוספים במקרא, לאחר שארון הברית נפל לידי הפלשתים, חששו בני עקרון להכניסו לעירם ושלחו אותו לבית שמש.
כמו כן לאחר מות גוליית נאמר שהפלשתים ברחו עד שערי עקרון.
תושבי עקרון מוזכרים במקרא כמי שסגדו במקדשם לבעל זבוב, האל שגם אחזיה מלך ישראל דרש בו כשהיה חולה.
העיר עקרון מוזכרת גם במקורות חוץ מקראיים, כמו באנלים האשוריים של מלכי אשור: אסרחדון, אשורבניפל וסנחריב (מנסרת סנחריב).
על פי הכרוניקות האשוריות, בשנת 721 לפנה"ס לכד את העיר סרגון השני והציב בה וואסל אשורי בשם פָּדִי, שהוסגר לאחר מכן לחזקיהו מלך יהודה בידי אנשי עקרון.
בשנת 701 לפנה"ס נכבשה העיר שוב, הפעם על ידי סנחריב מלך אשור, שחילץ את פדי מירושלים והמליכו מחדש על עקרון.
פדי היה מלך עקרון, עיר במדינת פלשת.
הוא נשבע אמונים למלך האשורי סנחריב, אך בגד בו.
הפקידים והאצילים של עקרון תמכו במרידה של פדי נגד האשורים.
הם ביקשו עזרה צבאית ממצרים וממלך כוש (אתיופיה), שהביאו כוחות גדולים של רגלים, פרשים ומרכבות.
סנחריב ניהל מלחמה נגד הכוחות המצרים והכושים בסביבות העיר אלתקה.
בקרב הגדול הוא ניצח והשתלט על השבויים המצרים והכושים.
לאחר מכן הוא כבש במצור את הערים עקרון ותמנה ולקח שלל רב.
סנחריב הרג את הפקידים והאצילים המורדים מעקרון ותלה את גופותיהם על עמודים בעיר.
את תושבי העיר המורדים הוא לקח בשבי.
את מי שלא השתתף במרידה הוא שחרר.
ופדי המלך המורד הוחזר על ידי סנחריב למלוך בעקרון כמלך נאמן.
לאחר החורבן הבבלי לא יושבה עוד העיר העליונה.
יישוב דל התקיים במשך תקופה קצרה במאה ה-6 לפנה"ס בעיר התחתונה, אולם לאחר זמן מועט ננטש אף הוא.
בתקופה ההלניסטית התקיים יישוב בשם "עקרון", אולם לא באתר זה, אלא באתר המזוהה כיום עם הכפר הערבי עאקיר.
על פי ספר מקבים א' העניק אלכסנדר באלאס, המלך היווני-סורי, את עקרון (ההלניסטית) סביב שנת 150 לפנה"ס ליונתן הוופסי משליטי בית חשמונאי כגמול על הכותו את צבא יריבו, דמטריוס הראשון.
באונומסטיקון של אוסביוס, מראשית המאה ה-4 לספירה, נזכרת עקרון כ"כפר גדול של יהודים".
במשך שנים ארוכות לא היה ברור זיהויה המדויק של עקרון הקדומה: חוקר ארץ ישראל במאה ה-19, יהוסף שוורץ, כתב בספרו "תבואות הארץ" שעקרון המקראית וקיסרי (קיסריה) הן אותה עיר.
אדוארד רובינסון זיהה את עקרון ליד הכפר הערבי עאקיר, ובהתאם לכך נקראה מזכרת בתיה בשם "עקרון".
אולם לאחר שלא נמצאו בעאקיר חרסים מתקופת הברזל, הציע ויליאם פוקסוול אולברייט לזהות את עקרון בתל קטרה שליד גדרה ובתל מקנה הוא זיהה את אלתקה.
בנימין מזר חלק על זיהוי זה בטענה שעל פי התנ"ך עקרון נמצאת יותר מזרחה, ועל כן זיהה את עקרון בתל בטש.
חבר קיבוץ רבדים נתן אידלין ששוטט בשדות הקיבוץ, היה הראשון שהעלה את ההצעה לזהות את חרבת אל מוקנע, ובעברית – תל-מקנה, כעקרון.
במקום נמצאה חומה ועיר גדולה וחרסים פלישתיים רבים.
זיהוי זה התקבל על דעת רבים, אולם הזיהוי היה עדיין שנוי במחלוקת והיו שטענו שעקרון נמצאת בתל צפית.
כדי לבדוק את העניין, נערכו חפירות ארכאולוגיות בתל מקנה.
מציאת "כתובת עקרון", כתובת המתארת בנייה של מקדש שנמצאה במקום, ובה מופיע התואר "שר עקרון", שנמצאה בשנת 1996, שמה קץ לספיקות, והביאה לזיהויו הוודאי של האתר כעקרון המקראית.
החפירות נערכו החל משנת 1981 בראשות טרודה דותן יחד עם עמיתה סימור גיטין במשך מספר עונות.
במסגרת החפירות נחשפו בתי בד רבים, שהקנו לעיר הפלשתית מעמד מרכזי בתעשיית ייצור השמן.
שם היישוב ההלניסטי (שייתכן ששימר את שם היישוב המקראי) נשתמר בשמו של הכפר הערבי עאקיר.
המושבה מזכרת בתיה הסמוכה, נוסדה בשם "עקרון" ב-1883 על אדמות שנרכשו מהכפר.
לאחר מלחמת העצמאות נבנתה על חורבותיו קריית עקרון.
עֶקְרון ההכבדה הוא עִיקָרון שניסח הזואולוג הישראלי אמוץ זהבי, כדי להסביר אופני תקשורת בעולם החי.
לפי העיקרון, כדי שמסר יהיה אמין, חייבת להתקיים התאמה בין המסר לסימן המעביר אותו, כך שהונאה תהיה בלתי משתלמת.
במקרים רבים, מטרת המסר היא להפגין את בריאותו או כושרו של פרט מסוים, והסימן מתבטא בצורות שונות של הכבדה, שהיא בלתי כדאית לרמאי, כלומר למי שאינו בריא או כשיר.
כדי שהסימן יהיה אמין ויקשה על פרט אחר לזייפו, האות צריך להיות יקר מבחינה אבולוציונית ולהקשות על יכולת ההישרדות של הפרט.
כך, אם פרט מזייף אות שעלותו גבוהה, כלומר, מפגין תכונה שלמעשה אין לו, ושאינו יכול לעמוד בעלותה, מכיוון שכשירותו המעשית נמוכה, הדבר יעלה לו ביוקר, לעיתים עד כדי כישלון בהשגת מזון, בפוריות או בהתחמקות מטורפים.
זהבי פרסם את הרעיון לראשונה במאמר בשנת 1975, אולם הוא נדחה על ידי הקהילה המדעית מכיוון שנראה היה כי הוא סותר הנחות יסוד של תורת האבולוציה.
היחס לרעיון של זהבי השתנה כ-15 שנה מאוחר יותר, לאחר שאלן גרייפן הראה באופן פורמלי שעקרון ההכבדה הוא אסטרטגיה יציבה מבחינה אבולוציונית.
כיום רוב החוקרים בתחום מכירים בכוחה להסביר לפחות חלק מהתופעות הנצפות של תקשורת בקרב בעלי חיים.
אחת הדוגמאות המפורסמות ליישומו של עקרון ההכבדה היא בהסברת התנהגותו של צבי: לא פעם, כשצבי מבחין בטורף, הוא נעמד ומתחיל לרקוע ברגליו ולנבוח, כשהוא מישיר מבט לעבר הסכנה.
אם הטורף מתקרב, הצבי מפנה את אחוריו אל הטורף ומתחיל לנתר כלפי מעלה, באמצעות כל ארבע רגליו.
קשה להסביר התנהגות זו, המסכנת את הצבי הן בחשיפתו לטורף, שאולי לא היה מודע לקיומו והן בכך שהיא גוזלת ממנו זמן ומאמץ יקרים שהיו יכולים לשמש אותו במנוסתו.
כמו הסברים רבים אחרים המתבססים על טובת הכלל, ההסבר המקובל, לפיו הצבי מזהיר את חבריו ללהקה, אינו מספק, כיוון שגן "אנוכי" היה מגדיל את הסיכוי של בעליו לשרוד, וכך היה מתפשט באוכלוסייה (גם אם בסופו של דבר היה גורם להכחדתה).
היום יש תמימות דעים בין חוקרי האבולוציה כי יש להעדיף הסבר המתאר מצב יציב מבחינה אבולוציונית, כלומר מצב שבו גן מוטנטי אינו יכול להשיג יתרון על הגן השכיח.
כך נפסלים מרבית ההסברים המבוססים על ברירת קבוצות (זהו המונח המקצועי להסברים המבוססים על "טובת הכלל").
תחת הסבר זה מציע עקרון ההכבדה הסבר אחר: התקשורת אינה מכוונת אל הפרטים האחרים בקבוצה – היא מכוונת אל הטורף.
לטורף כדאי לשים לב לאותות אלה, ולהעדיף מרדף משתלם יותר, אחר אחד הפרטים החלשים.
ניבוי זה זכה לאישוש בתצפיות שטח, שבהן נראה שהטורף מעדיף לרדוף אחר הפרטים שהחלו במנוסה ולא אחר הצבי המקפץ.
עקרון ההכבדה יכול להסביר גם התנהגות זולתנית (אלטרואיסטית) מובהקת יותר.
בניגוד להסבר של ברירת הקבוצות (לפיו הפרט מקריב את עצמו למען טובת הכלל) מציע עקרון ההכבדה הסבר המבוסס על כך שההשקעה בקבוצה מעלה את יוקרתו של הפרט, משום שהיא מהווה סימן אמין למעלותיו.
באמצעות תצפיות מפורטות בהתנהגותם החברתית של הזנבנים הצליחו זהבי ושותפיו לבסס את הטענה שההתנהגות הזולתנית קשורה קשר אמיץ למדרג החברתי.
לכל קבוצת זנבנים יש שומר שנמצא במקום גבוה ומתריע בפני סכנה.
השומר עסוק במשרתו, ובכך לא יכול ללקט מזון, לנוח וכדומה, אך עדיין בוחר להישאר בעמדתו.
מאבקי ה"כבוד" על עמדת השמירה מתבטאים בהבאת מזון ופיתויים לשומר על מנת שירד וייתן הזדמנות לזנבן חדש.
נראה שלעיתים קרובות מאוד העזרה "נכפית" על הפרט החלש על ידי הפרט החזק, כדי לפרסם את עליונותו בקרב חברי הקבוצה.
המקרה של שיפוד מזון על ידי החנקן הגדול על קוצי השיזף הוא דוגמה נוספת של עקרון ההכבדה.
זכר החנקן נוהג לשפד בעלי חיים קטנים (חרקים, ציפורים או יונקים קטנים) על הקוצים של השיזף וניתן לחשוב שבכך הוא מייצר "מזווה" בטבע בו הוא אוגר מזון.
אולם מחקר שערך ראובן יוסף על החנקנים הגדולים באזור שדה בוקר העלה שלעיתים נותר הטרף המשופד על העץ במשך זמן רב עד שאיבד את ערכו כמזון.
בנוסף נמצא כי נקבות של חנקנים גדולים בוחרות את הזכרים לפי כמות ואיכות הטרף המשופד על העצים.
כך השיפוד של בעלי חיים קטנים הופך לפרסומת עבור זכרים חזקים אף כי הוא מכביד עליהם.
מחוץ לעונת הקינון, חנקנים נוהגים לשפד את הטרף סמוך מאוד לגבולות הטריטוריה שלהם, וכך משתמשים בשיפוד כפרסומת בפני שכניהם.
ניתן ליישם את עקרון ההכבדה גם להתנהגות האנושית.
למשל, עקרון ההכבדה יכול להסביר כיצד התפתחו סמלי הסטטוס.
לכאורה, הבזבוז הוא התנהגות לא-רציונלית, והאדם הבזבזן מפסיד ממנה.
אך למעשה, סמלי הסטטוס מהווים סימן אמין לעושרו של אדם, יותר מאשר הצהרות שיכולות להתברר ככוזבות.
אמנם המחיר של מכונית פרארי קבוע ומפורסם, אך אותו מחיר יכול להיות נסבל עבור אדם עשיר, בעוד שאדם עני לא יוכל לשלמו, או שיצטרך להסתכן בגוויעה ברעב לשם כך.
כלומר המחיר במונחים אבולוציוניים של אותה המכונית הוא למעשה שונה עד מאוד.
כיוון שלעיתים לאדם יש עניין ממשי בפרסום מידת העושר שלו, הרי שבזבזנות יכולה להיות מאוד משתלמת.
בספר שכתבו אמוץ זהבי ואשתו, אבישג זהבי, "טווסים, אלטרואיזם, ועקרון ההכבדה – חברה ותקשורת בעולם החי" מתואר עקרון ההכבדה דרך שלל תופעות בעולם החי, החל במיני הקישוטים, הקולות והריחות המשמשים לתקשורת אצל יצורים רב-תאיים, דרך התקשורת הכימית הבין-תאית, וכלה בהתנהגויות שונות, ובפרט מיני התנהגויות זולתניות שסותרות לכאורה את טובת הפרט.
בפילוסופיה של המדע, עקרון האחידות הוא עיקרון הגורס כי כל תהליך טבעי המתרחש כעת התקיים גם בעבר ובקצב אחיד – מהירותו בעבר שווה למהירותו בהווה.
העיקרון מנוסח לעיתים קרובות במשפט "ההווה הוא המפתח לעבר".
עיקרון זה נוסח במאה ה-18 ומהווה עקרון יסוד לכל הקשור במחקר הגאולוגי המודרני.
עיקרון זה מהווה מרכיב חשוב בענפים רבים ושונים במדע המודרני.
המחקר הגאולוגי לפני עידן עקרון האחידות
עד המאה ה-18 התמקד המחקר הגאולוגי בחקר עיצוב פני הנוף (גאומורפולוגיה).
המחקר הגאולוגי הושפע רבות מהתפיסה התאולוגית הרווחת באירופה, ולא סתר את הקביעות הדתיות ביחס למועדי יצירת היקום וכדור הארץ.
כמו כן הניח המחקר הגאולוגי כי עיצוב כדור הארץ נעשה על ידי תהליכים חד-פעמיים המוזכרים בכתבי הקודש.
קיומם של מאובנים על ראשי הרי האלפים יוחס למבול הגדול המוזכר בספר בראשית, וגיל כדור הארץ היה מעט יותר מ-6,000 שנה.
על פי גישה זו, כדור הארץ עבר מספר שינויים בודדים, ומאז מצבו סטטי.
עם תחילת הביקוש לפחם ותחילתן של עבודות כרייה רבות באנגליה, נתקלו הגאולוגים בממצאים שהטילו ספק באמיתויות התאולוגיות.
הגאולוג הסקוטי ג'יימס האטון (James Hutton), שצפה בפעולת הרוחות על אדמת חוותו, הסיק כי פני השטח נתונים לבליה מתמשכת ותמידית.
האטון גם צפה בשכבות גאולוגיות שאינן מסודרות על פי חתך סטרטיגרפי אחיד, והניח שהפעולות הגורמות לכך הן אחידות ודורשות זמן רב.
לביסוס טענתו בדבר הזמן הדרוש לתהליכים אלו להשפיע על הנוף, הביא כראייה את שימורן הטוב של הדרכים הרומיות באירופה.
ביסוד השקפתו נמצאה ההנחה שהתהליכים המעצבים את פני כדור הארץ הם איטיים ואחידים (אוניפורמיים).
גישתו של האטון זכתה לקבלת פנים צוננת בקרב הגאולוגים הבריטים, שדחו כל רעיון חדשני ונטו לשמרנות בעקבות המהפכה הצרפתית שהתרחשה באותה תקופה.
בין התוקפים העזים ביותר היו אלו שטענו שגישתו של האטון, כאילו עמקי הנהרות נוצרו על ידי ארוזיה, אינה עולה בקנה אחד עם גיל כדור הארץ (שהיה, לדעתם, 6,000 שנה).
רק לאחר מחקרו של הגאולוג צ'ארלס לייל (Charles Lyell) זכה עקרון האחידות להכרה מדעית.
על פי תצפיותיו ומחקריו של לייל, אותם ריכז בספרו "עקרונות הגאולוגיה", ניתן היה לבאר אירועים רק באמצעות גורמים טבעיים ולהוכיח כי התהליכים שפעלו בעבר זהים לתהליכים הפועלים כיום וכי המנגנונים בטבע הם כוללניים מטבעם.
מכאן, שהמנגנונים הגאולוגיים (ארוזיה נחלית, גאות ושפל, זרמים ימיים, תנועות קרחונים וכו') פעלו בעבר באותה צורה שהם פועלים כיום וצייתו לאותם החוקים.
על פי מחקריו, לא הייתה שום אפשרות להסבר מדעי של העבר מבלי לעשות אנלוגיה לאירועים מודרניים.
השפעות עקרון האחידות על תחומי מדע אחרים
לאחר שהתבסס רעיון האחידות, היה ברור שהעולם עתיק הרבה יותר מכפי שחשבו, ושהתהליכים המתרחשים על פניו איטיים בקנה מידה אנושי.
קביעות אלו הובילו לפריצת דרך במדעי החיים.
ב-1831 יצא צ'ארלס דרווין (Charles Darwin) להפלגה באוניית הוד מלכותו "ביגל" כדי לערוך תצפיות סביבתיות בדרום אמריקה.
רעיון עיקרון האחידות תרם להבנתו שתהליכי השינוי מתרחשים גם באורגניזמים חיים, וכי השינוי בהם הוא איטי ותמידי.
הקביעה התאולוגית בדבר בריאת האדם ביום השישי סתרה את תצפיותיו של דרווין והובילה אותו למסקנה כי המינים החיים על פני כדור הארץ הם המשכם הישיר והמתמיד של מינים שנכחדו זה מכבר.
בעקבות מסע זה ומחקרים נוספים פרסם דרווין את מוצא המינים והביא למהפכה בתחום החשיבה המדעית.
מול חסידי עקרון האחידות ניצבים חסידי הקטסטרופיזם.
זרם זה טוען שבניגוד לתהליכים אחידים תמידיים ואיטיים, עיקר עיצוב הנוף נעשה על ידי אירועים קטסטרופליים (אירועים חד-פעמיים, אלימים, ומהירים) כגון רעידות אדמה חזקות, צונאמי, נפילת מטאוריטים והתפרצויות הרי געש.
הקטסטרופיזם טען כי ההווה אינו המפתח לחקר העבר, וכי התהליכים המעצבים את פני הנוף הם כה נדירים וכה חזקים עד כי לא ניתן להניח לגביהם שום הנחה על פי צפייה בתהליכים עכשוויים.
כיום, רוב הגאולוגים מאמינים כי השילוב בין שתי התאוריות הוא הנכון, וכי אין סתירה ממשית ביניהן.
ייתכן מצב שבו תהליכים אחידים יגרמו להתרחשות של תהליכים קטסטרופליים.
לייל סבר כי בעוד 10,000 שנה יגרמו תהליכי הבליה במפלי ניאגרה להצפה קטסטרופלית של שטחים רחבים בצפון אמריקה על ידי המים מימת אירי.
וגם להפך: ייתכן שמטאוריט יגרום לשינוי רשת הזרימה באזור הנפילה ויגרום לשינוי בתהליכים האחידים.
עקרון הארדי-ויינברג, הידוע גם כשיווי משקל הארדי-ויינברג, הוא מודל מתמטי יסודי בביולוגיה מודרנית המתאר מיקרו-אבולוציה על דרך השלילה באוכלוסייה המתרבה באופן זוויגי.
כלומר, הוא מציג את התנאים העקרוניים בהם תדירויות האללים באוכלוסייה יישארו קבועים מדור לדור.
המודל פותח ב-1908 במקביל על ידי המתמטיקאי האנגלי גודפרי הרולד הארדי והרופא הגרמני וילהלם ויינברג באופן בלתי תלוי זה בזה.
המודל הניח את היסודות לתחום הנקרא גנטיקה של אוכלוסיות, והיווה בסיס למודלים מורכבים ומציאותיים יותר של אבולוציה.
על אף פשטותו הרבה, מודל זה הצביע על כוחות נוספים על הברירה הטבעית המניעים את האבולוציה הביולוגית: מוטציה, סחיפה גנטית, זרימת גנים ורבייה בלתי-אקראית.
בכך המודל סלל את הדרך למיזוג רעיונותיהם של צ'ארלס דרווין וגרגור מנדל מאוחר יותר לכדי תורת האבולוציה המודרנית (הסינתזה המודרנית).
ההגדרה של אבולוציה היא השינוי הגנטי באוכלוסייה של אורגניזמים לאורך דורות.
בגנטיקה מתייחסים לאוכלוסייה כמאגר גנטי (gene pool) – מושג מקביל המתייחס לאוסף האללים המצויים באוכלוסייה אקולוגית שפרטיה מקיימים יחסי רבייה זה עם זה.
מכאן נגזרת ההגדרה לאבולוציה בפרספקטיבה של גנטיקה של אוכלוסיות: השינוי בתדירויות האללים של מאגר גנטי לאורך דורות.
כמו כל מודל במדע, תפקידו של מודל זה לפשט את המורכבות הרבה שבעטיה אנו מתקשים להבין את המציאות.
פישוט זה נעשה על ידי הנחות שהופכות את המודל בהכרח ללא-מציאותי, אך מאפשרות לזקק מרכיבים עקרוניים הפועלים במציאות.
כדי להבין מודל באמת, חשוב להיות ערים להנחות שהונחו.
לפעמים, ובעיקר במודלים על דרך השלילה כמו מודל הארדי-ויינברג, ההישג המדעי נובע דווקא מבחינתן של ההנחות ושל התרחישים הנובעים מביטולן.
לא נתייחס כאן לכולן, אך ההנחות המודגשות הן החשובות להבנת המשמעות העיקרית של המודל לגבי תהליך האבולוציה, בעיקר לאור העובדה שהן לרוב אינן מתקיימות בטבע.
המבנה הגנטי של התכונה הנחקרת
התכונה הנחקרת מתבססת על לוקוס אחד בכרומוזום אוטוזומלי.
מופעי התכונה נגזרים מצירוף של שני אללים בתוך לוקוס זה.
לא מתרחשות מוטציות בלוקוס זה.
הגמטות נוצרות במיוזה רגילה ותוצריה נקבעים על פי החוק הראשון של מנדל (חלוקה שווה).
אין השפעות אימהיות או אבהיות על התורשה.
האם והאב זהים בתפקידם התורשתי.
כלומר, בני האוכלוסייה אינם בקשר רבייתי עם בני אוכלוסייה אחרת.
הארדי הניח שבני האוכלוסייה חד ביתיים, כלומר כל פרט הוא גם זכר וגם נקבה ויכול להפרות את עצמו.
ויינברג הניח שהזוויגים נפרדים אך עדיין בעלי תפקוד תורשתי זהה, וכן שתדירויות הגנוטיפים זהות בין הזכרים והנקבות.
כלומר, הסיכוי לזיווג של שני גנוטיפים הוא מכפלת התדירויות שלהם.
גודל האוכלוסייה (מספר הפרטים שבה) הוא אינסופי (הנחה לצורך פשטות מתמטית).
כלומר, דור נולד, מתרבה ומת לפני שהדור הבא מתרבה, כמו בצמחים חד-שנתיים (הנחה לצורך פשטות מתמטית).
הפנוטיפים הנגזרים מכל הגנוטיפים האפשריים זהים מבחינת שרידתם, יכולתם להזדווג ופוריותם כלומר, אין ברירה טבעית במערכת.
כאמור, המודל פותח במקביל ובאופן בלתי תלוי על ידי הארדי ועל ידי ויינברג.
נסמן את שני האללים האפשריים בלוקוס כ- a ו- A.
מכאן הגנוטיפים האפשריים באוכלוסייה הם: AA, Aa, aa.
סט התדירויות של שלושת הגנוטיפים הללו (GAA, GAa, Gaa) מתאר את כלל הפרטים באוכלוסייה הבוגרת .
כלל הגמטות שנוצרות באוכלוסייה זאת היא המאגר הגנטי .
גמטה יכולה להיות או מסוג A או מסוג a.
התדירויות של שני טיפוסי הגמטות האלה (או תדירות האללים במאגר הגנטי) נקבעות הן על ידי התדירויות של הגנוטיפים של ההורים והן על ידי לפי החוק הראשון של מנדל.
נסמן את התדירות של A באות p, ואת התדירות של a באות q.
לפי הנחותיו של הארדי לגבי אופן ההזדווגות, צאצא נוצר מאיחודן של שתי גמטות שנבחרות מהמאגר הגנטי באופן אקראי ובלתי-תלוי.
כך ניתן לקבוע את התדירות של כל גנוטיפ באוכלוסיית הצאצאים על ידי מכפלת התדירויות של הגמטות המרכיבות אותו.
הסימון 'G מציין את התדירות של גנוטיפ באוכלוסיית הצאצאים:
מפאת ההנחה שאין ברירה טבעית, אותן תדירויות של גנוטיפים של צאצאים מגיעות לבגרות (ולכן אין שינוי בין השורה השלישית והרביעית באיור 1).
כעת הצאצאים בגרו ומוכנים לתרום גמטות להעמדת הדור השלישי.
נסמן את המאגר הגנטי של הדור השני (שורה חמישית באיור 1) בתדירויות האללים 'p ו-'q, ולאחר הפעלת החוק הראשון של מנדל, כמו בתחילת התהליך, נראה ש- p'=p וכן q'=q.
כלומר, אין שינוי בתדירויות האללים בין המאגר הגנטי של הדור הראשון לבין המאגר הגנטי של הדור השני.
על פי הגדרת האבולוציה (השינוי בתדירויות האללים של מאגר גנטי לאורך דורות) לא מתרחשת אבולוציה במודל זה, ויחסי התדירויות של הגנוטיפים לעולם יישארו: p2, 2pq, q2.
מערך זה של תדירויות גנוטיפים יציב נקרא שיווי משקל הארדי-ויינברג.
אין שום הנחה לגבי תדירויות הגנוטיפים של הדור הראשון במודל זה, והתדירויות ההתחלתיות (GAA, GAa, Gaa) אינן בהכרח שוות לסופיות (G'AA, G'Aa, G'aa).
משמעות הדבר היא שתחת ההנחות שהונחו כל אוכלוסייה תגיע לשיווי משקל הארדי-ויינברג לאחר דור אחד של רבייה אקראית ולא תתרחש בה יותר אבולוציה.
איור 2 מתאר את תדירויות הגנוטיפים בשיווי משקל הארדי-ויינברג כפונקציות של תדירויות האללים באוכלוסייה.
ויינברג פיתח המודל שלו באופן דומה, למעט מנגנון איחוד הגמטות (הזדווגות).
ויינברג לא הניח שבני האוכלוסייה חד ביתיים, כלומר שכל פרט הוא גם זכר וגם נקבה ויכול להפרות את עצמו.
הוא הניח שהזוויגים נפרדים ומבחינתו המשמעות של רבייה אקראית היא שההסתברות ששני גנוטיפים יזדווגו הוא מכפלת התדירויות שלהם.
הנחה סמויה נוספת במודל שלו היא שתדירויות הגנוטיפים זהות בין הזכרים והנקבות.
הנחה סמויה זאת אינה נדרשת בגישה של הארדי, אך התוצאות של שלב זה (התפלגויות הגנוטיפים של הצאצאים) זהות בשני המודלים.
מודל פשוט זה היווה עמוד תווך מרכזי בהתפתחות תחום הגנטיקה בתחילת המאה העשרים.
זמן קצר לאחר שפרסומיו של מנדל לגבי אופן התורשה התגלו על ידי הקהילה המדעית החל ויכוח בין תומכיו ומתנגדיו של מנדל.
מודל הארדי-ויינברג הכריע את הוויכוח סופית לטובת מנדל.
חשוב מכך, המודל קידם את ההבנה של תהליך האבולוציה.
בבסיס המודל עומדות חמש הנחות חשובות שאינן מתקיימות בטבע ברוב המקרים:
מאגר גנטי סגור, או העדר זרימת גנים.
ביטולן של כל אחת מהנחות אלה מובילות לתדירויות גנוטיפים השונים מאלה המקיימים את שיווי משקל הארדי ויינברג ולקיום תהליך של אבולוציה מדור לדור.
כך מוכח באופן מתמטי שכל אחד מהגורמים הבאים מניע אבולוציה באוכלוסייה: מוטציות, זרימת גנים על ידי נדידת פרטים בין אוכלוסיות פתוחות, רבייה בלתי-אקראית, גודל אוכלוסייה סופי ובעיקר אוכלוסיות קטנות המביאים לסחף גנטי, וקיומה של ברירה טבעית על הפנוטיפים של הפרטים.
המודל שימש בסיס לבניית מודלים מורכבים ומציאותיים יותר שביטלו את אחת או יותר מההנחות הנ"ל, כמו גם את ההנחה החשובה של לוקוס בודד.
התפתחויות אלה סללו את הדרך לכדי פיתוחה של תורת האבולוציה המודרנית (הסינתזה המודרנית) במהלך המחצית הראשונה של המאה העשרים.
בנוסף להתפתחויות מדעיות אלה, מודל זה והרחבותיו משמשים עד היום בגנטיקה רפואית, בייעוץ גנטי ובניתוח של התפוצה והדינמיקה של מחלות בעלות מרכיב תורשתי.
בתורת המשחקים, במשחק מיקוח בו ישנם יותר משני שחקנים, פתרון מקיים את עקרון האנונימיות אם כאשר משנים את שמות השחקנים הפתרון המוצע על ידי בורר משתנה בהתאם לשינוי השמות.
כלומר, הפתרון אינו מפלה שחקן בגלל שמו.
נסמן משחק מיקוח ב- כאשר יש שחקנים במשחק (יותר משניים).
פתרון היא פונקציה המתאימה לכל משחק מיקוח נקודה .
נקודה זו היא תוצאת המשא ומתן רק כאשר כל השחקנים החליטו לשתף פעולה.
לא נלקחת בחשבון האפשרות שקואליציה של שחקנים תשתף פעולה ותשיג לעצמה תוצאה שעדיפה לה על פני - נקודת אי-הסכמה.
פתרון מקיים את עקרון האנונימיות אם לכל משחק מיקוח ולכל פרמוטציה
כל פתרון המקיים את עקרון האנונימיות מקיים את עקרון הסימטריה.
על עקרון הסימטריה מדברים כאשר במשחק מיקוח יש שני שחקנים.
עקרון ההערכה של דוביי הוא מושג בתחום תורת המשחקים.
ערך שפלי מקיים את העקרונות הבאים: יעילות, סימטריה, שחקן אפס וחיבוריות.
כיוון שהמוטיבציה של העיקרון האחרון אינה משכנעת, ובמקרים רבים לא ברור מדוע עיקרון זה סביר, ישנם אפיונים נוספים לערך שפלי שאינם משתמשים בעקרון החיבוריות.
תנאים: תהי קבוצת המשחקים הפשוטים המונוטונים שמשתתפים בהם N שחקנים.(משחק נקרא מונוטוני אם לכל שתי קואליציות ו-, , מתקיים: ).
מכיוון שסכום של משחקים ב- אינו ב-, עקרון החיבוריות אינו מתאים למשפחה זאת.
לשם כך הגדיר Dubey בשנת 1975 את עקרון ההערכה (valuation axiom) הבא:
מושג פתרון עבור המשפחה מקיים את עקרון ההערכה אם לכל שני משחקים (N;v) ו-(N;w) ב- מתקיים:
לכל שני משחקים על אותה קבוצת שחקנים (N;v) ו-(N;w) נגדיר את משחק המקסימום :
נגדיר את משחק המינימום :
ערך שפלי הוא מושג הפתרון היחיד עבור המשפחה המקיים את עקרונות היעילות, הסימטריה, שחקן האפס וההערכה.
עיקרון האופקיות המקורית הוא אחד מעקרונות היסוד בגאולוגיה המשמשים לקבוע את גילן היחסי של שכבות סלע ואת זמן ואופן היווצרותן ומהווים כלים חשובים בסטרטיגרפיה.
עיקרון זה קובע כי ההרבדה המקורית של שכבות משקע תהיה תמיד אופקית, או כמעט אופקית.
על-פי העיקרון, יש להניח כי שכבות כאלה תהיינה שבורות, מקומטות או נטויות רק לאחר שחלו עליהן תהליכים מאוחרים להרבדה, אחרי שהשכבות התמצקו והתלכדו לסלע.
כיום מקובל כי עיקרון זה מהווה קירוב כללי אך מדויק מספיק.
ניסוח העיקרון מיוחס לניקולאוס סטנו, מלומד דני בן המאה ה-17. סטנו למד רפואה ואנטומיה בקופנהגן והמשיך בלימודיו בליידן ואמסטרדם.
סטנו ניתח את ראש הכריש ופרסם את ממצאיו ב-1667. בחינה של שיני הכריש הראתה דמיון מפתיע לעצמים מסוימים עשויים מאבן שנמצאו בסלעים, שהמלומדים בני-זמנו כינו "גלוסופטראה" (glossopetrae), כלומר: "לשונות אבן".
בניגוד למקורות קדומים ששיערו כי אבנים אלה נפלו מהשמיים או מהירח או כי המאובנים גדלו באופן טבעי בתוך הסלעים, טען סטנו גופים אלה נראים כשיני כריש מפני ש"היו פעם שיני כריש".
הוא סבר כי השיניים הגיעו מפיותיהם של כרישים קדומים, ובמשך הזמן נקברו בבוץ או בחול שעכשיו הוא יבשה.
סטנו טען כי תוך כדי תהליך הפיכת השיניים למאובנים השתנה הרכבם הכימי אבל צורתם נשמרה.
מחקרו זה של סטנו הוביל אותו לשאלה כיצד קורה שגוף מוצק אחד מצוי בשלמותו בתוך גוף מוצק אחר: סלע או שכבת סלעים.
המחקר – שפורסם ב-1669 בשם " De solido intra solidum naturaliter contento dissertationis prodromus" – הביא לייחוס כמה מעקרונות היסוד בגאולוגיה הנוגעים לסטרטיגרפיה, בהם עיקרון האופקיות המקורית.
תצפיותיו בשכבות סלע הובילו את סטנו להסיק כי כדור הארץ לא היה סטטי וכי כוחות עצומים פעלו עליו לאורך תקופות ארוכות – מסקנות שהובילו במאה ה-20 לפיתוח מדע הטקטוניקה ולהבנה כי תנועת הלוחות והתנגשותם גורמים לשבירה, קימוט והטיית השכבות.
עיקרון האופקיות המקורית לא התקבל מיד, אולם הפך למקובל בקרב גאולוגים כמאה שנים לאחר ניסוחו.
כאמור, העיקרון מהווה קירוב כללי אך מדויק מספיק.
סטנו יצא מתוך הנחה כי כל המשקעים מורבדים תמיד אופקית, אולם ידוע כי שכבות עשויות לשקוע בנטייה, למשל: משקעי נחלים וחוליות היוצרים שיכוב צולב אינם שוקעים אופקית אלא בזווית השיפוע הטבעי של אותם חומרים – הזווית המרבית לשיפוע יציב של החומר ברמת לחותו הטבעית.
זווית זו נקבעת על-פי מידת החיכוך בין הגרגירים, צורתם ומידת ההידבקות ביניהם.
גם משקעים השוקעים מעל שטח נטוי – למשל בדלתה של נהרות גדולים או סביב שונית – ישקעו בנטייה, הנקראת "נטייה התחלתית".
עקרון ד'אָלֶמְבֶּר (D'Alembert), הידוע גם כעקרון לגרנז'-ד'אלמבר (Lagrange–d'Alembert), הוא משפט על חוקי התנועה הבסיסיים של המכניקה הקלאסית.
המשפט קרוי על שם מגלו, הפיזיקאי הצרפתי ז'אן לה רון ד'אלמבר.
העיקרון קובע כי סכום ההפרשים בין הכוחות הפועלים על המערכת לבין הנגזרת הזמנית של התנע, לאורך כל העתקה וירטואלית המצייתת לאילוצי המערכת, הוא אפס.
| || הם הכוחות המופעלים על המערכת,
| || הם ההעתקים הווירטואליים המצייתים לאילוצי המערכת,
| || הם מסות החלקיקים במערכת,
| || הם תאוצות החלקיקים במערכת,
| || ביחד מייצגים את הנגזרת הזמנית של התנע,
| || הוא מספר טבעי המייצג משתנים השייכים לחלקיקים שונים.
משפט זה הוא המקביל הדינמי למשפט העבודה הווירטואלית והוא כללי יותר מעקרון המילטון, שכן הוא אינו מוגבל למערכות הולונומיות.
הגבלה הולונומית היא הגבלה התלויה רק בקואורדינטות ובזמן.
העתקה וירטואלית היא שינוי הקונפיגורציה של המערכת, כך שבניגוד להעתקה אמיתית של המערכת, הנעשית בזמן dt, העתקה וירטואלית נעשית מידית.
כידוע מחוקי ניוטון, סכום הכוחות על חלקיק שווים לנגזרת הזמנית של התנע שלו:
נבדיל בין כוחות ממשיים לכוחות אילוצים :
כאשר האיבר השני אשר עוסק בעבודה וירטואלית אשר מתבצעת על ידי כוחות אילוצים, חייב להתאפס.
לדוגמה חלקיק המוגבל לנוע על משטח- כוחות האילוצים פועלים בהכרח בניצב למישור, בעוד ההעתקים הווירטואליים חייבים להיות משיקים לו.
הטיפול שלנו לא מתייחס למערכות בהן פועלים כוחות כגון חיכוך לאורך המשטח.
למרות זאת במקרים מסוימים, כמו גלגול ללא החלקה, התנאי של אי קיום עבודה עדיין מתקיים.
אנו רוצים עכשיו לאפס בנפרד את המקדים של כל ההעתקות הווירטואליות, אך קיום האילוצים במערכת כופה תלות בין הקוארדינטות השונות.
לכן נרצה לעבור לקואורדינטות מוכללות, בלתי תלויות אחת בשנייה.
נתאר את מעבר הקוארדינטות בעזרת מערכת משוואות:
באופן כללי מספר הקוארדינטות המוכללות שונה ממספר הקוארדינטות הממשיות (כל אילוץ מוריד את מספר הקוארדינטות המוכללות הבלתי תלויות).
ההעתקה הווירטואלית קשורה להעתקה הווירטואלית על ידי:
על ידי קשר זה נוכל להגדיר את הכוחות המוכללים
שים לב כי היחידות הפיזיקליות של הכוחות המוכללים אינם חייבים להיות של כוח.
המגבלה היחידה עליהם היא שהמכפלה שלהם עם הקוארדינטה המוכללת תהיה בעלת יחידות של עבודה.
עוד איבר במשוואה עוסק בעבודה הנעשית על ידי הכוחות המדומים.
נזכור כי אינם תלויים באופן מפורש ב ולכן:
נציב ביטוים אלו באיבר התנע ונפתח:
כאשר T היא האנרגיה הקינטית מבוטאת בקואורדינטות המוכללות.
אם הכוח במערכת הוא משמר, ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית סקלרית אשר מקיימת:
לכן בקואורדינטות מוכללות איבר הכוחות נראה כך:
והכוח המוכלל ניתן על ידי:
כאשר הם העתקים וירטואליים שרירותיים.
לכן מתקיים לכל איבר בסכום:
ברוב הבעיות האנרגיה הפוטנציאלית אינה תלויה ב.
לכן על ידי הוספת איבר שמתאפס נוכל לבטא מחדש את המשוואה כ:
נגדיר את פונקציית הלגרנז'יאן כ
ובכך קיבלנו את משוואת אוילר לגרנז':
עקרון האדישות הוא עקרון מתורת המשחקים המסייע בין השאר למציאת שיווי משקל נאש, במשחק בצורה אסטרטגית.
עיקרון האדישות מתייחס לשיווי משקל באסטרטגיות מעורבות במשחק בצורה אסטרטגית.
העיקרון אומר כי אם, בשיווי משקל, שחקן משתמש בשתי אסטרטגיות טהורות בהסתברות חיובית, אזי תוחלת התשלום שלו, אם הוא משחק את האחת, שווה לתוחלת התשלום אם הוא משחק את השנייה, בהינתן ששאר השחקנים משחקים את שיווי המשקל.
במשחק באסטרטגיות מעורבות, שימוש בעיקרון זה מאפשר למצוא שיווי משקל נאש באמצעות מציאת וקטור אסטרטגיות עם פונקציית תשלומים, שהיא תוחלת התועלת של האסטרטגיות הטהורות.
יהי σ שיווי משקל בצורה אסטרטגית, ותהיינה ו- שתי אסטרטגיות טהורות של שחקן i.
הסיבה לכך שהמשפט מתקיים פשוטה:
אם תוחלת התשלום לשחקן i, כאשר הוא משחק את , גבוהה מתוחלת התשלום כאשר הוא משחק את , עדיף לו להגדיל את ההסתברות לשחק את על חשבון ההסתברות לשחק את .
נניח בשלילה כי המשפט אינו מתקיים, ובלי הגבלת הכלליות נניח כי .
תהי האסטרטגיה של שחקן i המוגדרת באופן הבא:
השוויונים הראשון והשלישי נובעים מהגדרת , והאי שוויון נובע מ -, אך זוהי סתירה לכך ש היא שיווי משקל, שכן עבור שחקן הסטייה לאסטרטגיה מגדילה את התשלום שלו, כלומר היא סטייה כדאית.
שמו של המשחק בא מהתיאור הבא:
האפשרויות העומדות בפניו הן: קונצרט או צפייה במשחק כדורגל .
הגבר מעדיף צפייה במשחק כדורגל, בעוד האישה מעדיפה להאזין לקונצרט.
כאשר שניהם מעדיפים להיות יחד, גם אם הבילוי המשותף הוא הפחות עדיף ביניהם.
במשחק זה יש אסטרטגיות ש"מ טהורות: עם תשלום , ו- עם תשלום .
האישה מעדיפה את , ואילו הגבר מעדיף את .
כאמור שתי האפשרויות הן ש"מ באסטרטגיות טהורות.
נשים לב כי לא קיים שיווי משקל כאשר רק אחד מהשחקנים מערב אסטרטגיות.
לכן נקבל כי שיווי המשקל יהיה באסטרטגיות מעורבות לחלוטין, אסטרטגיה שבה כל אחת משתי האסטרטגיות הטהורות נבחרות בהסתברות חיובית.
נניח כי הגבר משחק .
אם האישה תשחק , התשלומים יהיו , ואם תשחק יתקיים .
באותו האופן, אם האישה תשחק , התשלומים יהיו ו- .
לכן, מכיוון שתנאי עקרון האדישות מתקיימים (האסטרטגיות מעורבות לחלוטין), נקבל כי בשיווי משקל, בהכרח, הגבר אדיש בין ל-, וגם האישה אדישה בין ל-.
לכן, אם שיווי המשקל הוא נקבל:
כלומר, נקבל את הש"מ הבא: , .
בשימוש בעקרון האדישות נשים לב כי בחישוב שיווי המשקל המעורב, השחקן משחק כך שהשחקן השני יהיה אדיש בין שתי האסטרטגיות הטהורות שלו (ולכן לשחקן השני לא תהיה הסטייה כדאית).
האסטרטגיה של שחקן נקבעת על ידי התשלומים של השחקן האחר, בניגוד לאסטרטגיית המקסמין של השחקן, הנקבעת על ידי התשלומים שלו עצמו.
עקרון הבחירה המוגבלת (באנגלית Principle of restricted choice) הוא עיקרון סטטיסטי במשחק הברידג' לפיו כאשר שחקן משחק קלף, קטנה ההסתברות שהוא מחזיק בקלף שווה ערך.
העיקרון מבוסס על חוק בייס, לפיו הסתברות התרחשות אירועים מתעדכנת על פי מידע שמצטבר.
קלפים שווי ערך הם קלפים צמודים ברצף הערכים של קלפים במשחק הברידג', כגון: KQ, AK ו-QJ באותה סדרה.
כך למשל אם שיחקנו קלף בסדרה ואחד המגנים זכה ב-A, על פי העיקרון ההסתברות ששותפו מחזיק ב-K גדלה וההסתברות שהשחקן שהחזיק ב-A, מחזיק גם ב-K קטנה.
העיקרון מאפשר לשחקנים המכירים אותו, להגדיל את ההסתברות להצלחה בביצוע חוזים באמצעות משחק המבוסס על ההנחה, שקלפים מכובדים מחולקים בין שני היריבים (Split Honnors).
ההיסק הסטטיסטי של עקרון הבחירה המוגבלת דומה להיסק הסטטיסטי של בעיות ביסייאניות בתחומים אחרים כגון: בעיית מונטי הול.
ניתן להרחיב את העיקרון גם למצבים בהם מדובר בשלושה קלפים שווי ערך, אבל במקרה זה המודל הופך למודל הרבה יותר מורכב.
הדוגמה מתייחסת לסדרת ה .
נציג בה רק קלפים בסדרה זו.
בידו של צפון הקלפים הבאים: AJ1096.
בידו של דרום הקלפים הבאים: 8754.
בידי מזרח ומערב ארבעה קלפים בסדרה: KQ32. לכרוז בצפון לא ידוע כיצד הם מתחלקים בין מזרח למערב.
הכרוז שיחק את ה-4. מערב שיחק את ה-3. הכרוז כיסה עם ה-J ומזרח זכה עם ה-K.
הכרוז נכנס שוב לידו של דרום באמצעות קלף בסדרה אחרת ושיחק את ה-5 ומערב את ה-2.
הדילמה שניצבת בפני הכרוז היא: האם לשחק את ה-A בהנחה שהקלפים בסדרה מתחלקים 2-2 ואז מזרח חייב לשחק את ה-Q או לשחק את ה-10 ולהניח שה Q היא קלף שלישי בסדרה בידו של מערב?
על פי עקרון הבחירה המוגבלת, הכרוז צריך להניח שההסתברות שה Q נמצאת במערב גבוהה יותר ולשחק את ה-10. אם יזכה בלקיחה, עליו להמשיך ב-A שיפיל את ה-Q של מערב.
חישוב סטטיסטי מראה כי ההסתברות שה Q נמצאת במערב גבוהה בערך פי 2 מההסתברות שהוא נמצא במזרח.
הטבלה להלן מציגה את כל האפשרויות לחלוקת קלפי ה בין מערב למזרח בדוגמה לעיל:
+ חלוקות ארבעה קלפי בין מזרח ומערב לאחר שה K התגלה במזרח2-2 חלוקה3-1 חלוקהחלוקה 4-0מערבמזרחמערבמזרחמערבמזרחKQ32KQ32KQ32–K3Q2KQ23–KQ32K2Q3K32QQ3K2Q32KQ2K3KQ3232KQQK323KQ22KQ3 שימו לב שבטבלה מוצגות 16 אפשרויות לחלוקת קלפי ה .
מודגשות באותיות מובלטות שתי האפשרויות הרלוונטיות להחלטתה האם לזכות ב-A או לשחק את ה-10, לאחר שבפעם הראשונה ששוחקה הסדרה, שיחק מזרח את ה-K ומערב קלף קטן.
נצא מההנחה שאם שחקן מחזיק ב-K וב Q הוא ישחק את אחד מהם באופן רנדומלי.
משחק אחד מהקלפים שווי הערך הוא האסטרטגיה הטובה ביותר.
מנקודת מבטו של דרום ההסתברות שמערב מחזיק בשלושה קלפים כולל ה-Q גבוהה מההסתברות שמזרח החזיק KQ.
זאת משום שבחצי מהמקרים, שבהם הוא היה מחזיק בשני קלפים אלה הוא היה משחק את ה-Q ולא את ה-K.
כך שב 2/3 מהמקרים ה-K במזרח הוא קלף בודד ורק בשליש מהמקרים הוא אחד משני קלפים, כולל ה-Q.
שיטות חישוב מדויקות יותר של ההסתברויות בדוגמה
שיטות החישוב מתייחסות לדוגמה שהובאה בפיסקה הקודמת.
הן מנסות להיות מדויקות יותר מהשיטה שתוארה בפיסקה הקודמת.
שיטה 1: חישוב ההסתברויות אפריוריות והאפוסטריוריות
שתי העמודות הימניות בטבלה מתארות את ההסתברויות האפיריוריות לחלוקת ארבעת הקלפים.
כך למשל ההסתברות ששלושה מהקלפים נמצאים ביד אחת והרביעי ביד השנייה היא 49.1%.
העמודה השלישית מכילה את מספר החלוקות הספציפיות, בתוך כל חלוקה של מספר קלפים.
מהטבלה בפיסקה הקודמת אפשר להבין, כיצד קיבלנו את המספרים בעמודה זאת.
כך למשל ניתן לראות שיש רק שתי חלוקות שבהן ארבעה קלפים באחת הידיים.