tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
טנהויזר שמשתתף בתחרות, שומע את שירי שאר המתמודדים, על אהבה, אושר וגן-עדן ומתמלא בזעם, על כך שהמשוררים שרים על נושאים שמעולם לא חוו את חוויתם, ופורץ בשירה על צביעותם ועליבותם של שאר המשוררים, וכך הוא חושף את סיפור אהבתו לוונוס.
הדבר נחשב לחטא נורא, ורק התערבותה של אליזבת מצילה את טנהויזר מחרבותיהם של האבירים.
שוב נשמעת שירת הצליינים וטנהויזר מסכים לעלות לרגל לרומא יחד עמם ולבקש את מחילתו של האפיפיור.
בתחרות השירה משתתפות דמויותיהם של מינזינגר מימי הביניים כגון ולטר פון דר פוגלווידה.
אליזבת מחכה לשובו של טנהויזר כשהיא מלווה בחברו הטוב וולפראם פון אשנבאך (גם הוא מינזנגר ודמות היסטורית).
נשמעת המקהלה המפורסמת של עולי הרגל השמחים לחזור למולדתם האהובה.
אליזבת הולכת ביניהם כדי למצוא את טנהויזר, אך הוא לא חזר.
וולפראם שר את הסרנדה המפורסמת על "כוכב הלילה" בה הוא מתפלל על נשמתה.
רק אז מגיע טנהויזר כשבגדיו קרועים.
האפיפיור אורבן החמישי לא סלח לו אלא קילל אותו לנצח.
הוא אמר שרק אם המטה שבידו (ביד האפיפיור) יפרח, תהיה גאולה לחוטא.
טנהויזר רוצה לחזור לוונוסברג ולהתנתק מן הארץ ורואה חזיונות של ונוסברג ואת קריאותיה של ונוס לשוב אליו, אך הוא מצליח להתגבר עליהם כשהוא קורא בשמה של אליזבת.
כשהוא רואה את לווית אליזבת, הוא מתרפק על גופתה ומבקש שתבקש בעבורו מחילה מאלוהים.
הוא מת ותוך כדי כך המלווים והצליינים מכריזים על נס - המטה שבידי האפיפיור פרח.
טנור הוא חלק ממנעד, הגבוה מבין הקולות הגבריים הטבעיים (היינו, מבלי להחשיב קסטראטי וקולות המשתמשים בטכניקת הפאלסטו) ומעל לקול הבריטון.
בהרמוניה המקהלתית המסורתית בארבעה קולות, זו האופיינית בעיקר לכורלים, הטנור הוא הקו המוזיקלי השני מלמטה, כלומר זה הבא לאחר קו הבס.
המנעד האופייני לקול הטנור משתרע מדו באוקטבה השלישית ועד לדו באוקטבה החמישית.
מקור השם "טנור" בימי הביניים; במוזיקה של ימי הביניים והרנסאנס התייחס השם טנור לתפקיד מסוים במוזיקה רב-קולית, בדרך כלל התפקיד הגבוה בדרגה אחת מן התפקיד הנמוך ביותר (תפקיד בס).
עד תקופת הרנסאנס זה היה התפקיד ששר או ניגן את המנגינה העיקרית (קנטוס פירמוס), ומכאן שמו - המילה "טנור" נגזרת מן המילה הלטינית "tenere", שפירושה "להחזיק".
כל תקופת הרנסאנס התייחס המונח "טנור" לתפקיד מוזיקלי ולא לכלי או קול מסוים, ורק בתחילת הבארוק התפתחה בהדרגה המשמעות המוכרת יותר כיום, של קול גברי גבוה.
פעמים רבות משתמשים במונח "טנור" גם בהקשר של כלי נגינה.
מינוח שכזה בא לציין את מנעדו של הכלי (כגון "סקסופון טנור") או את תפקידו המוזיקלי במאזן מנעדי סך הכלים המשתתפים; כך לדוגמה נוכל לשמוע כי ברביעיית מיתרים, הויולה מנגנת את תפקיד ה"טנור".
בתחום מוזיקת ה"ברברשופ" משתמשים במונח טנור, בשונה מאשר במוזיקה הקלאסית, לציון הקול הגבוה ביותר, אשר שר בטכניקת פלסטו, מעל לקול המוביל (ה-"lead").
בתחום האופרה לרוב נכתבים התפקידים הגבריים הראשיים לקולות טנור.
בתחום זה נהוג לקטלג תפקידי טנור וזמרי טנור על פי אופיים (צבע הקול, אופיו של התפקיד והדרישות הטכניות שהוא מציב בפני הזמר):
טנור לירי מלא - קול מלא ורך הנועד לתפקידים ליריים באופיים.
דוגמה: תפקיד רודולפו באופרה "לה בוהם" מאת ג'אקומו פוצ'יני.
טנור לירי לג'רו (לירי קל) - קול המאופיין בחן, בגמישות ובזריזות.
מנעדו בצלילים הגבוהים עולה על זה של שאר סוגי הטנור.
דוגמה: תפקיד הנסיך רמירו באופרה "לכלוכית" מאת ג'ואקינו רוסיני.
טנור דרמטי - קול חזק בעל איכויות תיאטרליות.
דוגמה: תפקיד אותלו באופרה הנושאת שם זה מאת ג'וזפה ורדי.
לעיתים יש נטייה לטעות ולחשוב שגוון הדרמטי הוא בריטון.
טנור הרואי (מכונה בגרמנית "Heldentenor") - טנור דרמטי בעל גוון אפל ונמוך יותר.
דוגמה: תפקיד "טנהויזר" באופרה הנושאת שם זה מאת ריכרד וגנר.
טנור בּוּפוֹ (מכונה בגרמנית שְׁפִּילטנור) - קול אשר לרוב אינו ניחן במנעד רחב במיוחד ואף לא בגוון ערב לאוזן.
דוגמה: תפקיד מונוסטטוס באופרה "חליל הקסם" מאת וולפגנג אמדאוס מוצארט.
טנור ספינטו (או "ליריקו-ספינטו") - טנור לירי בעל חספוס ובעל עוצמה רבה יותר מזה של הטנור הלירי המלא.
מעין סינתזה בין הטנור הלירי-המלא לטנור הדרמטי.
דוגמה: תפקיד "קאניו" באופרה "ליצנים" מאת רוג'רו לאונקוואלו.
קונטרה טנור הוא קול גברי גבוה המשתייך אל הקבוצה של קול הטנור, אך הגבוה מבין כולם.
הקונטרה טנור מקביל במנעדו הקולי לקול האלט והמצו-סופרן, ולעיתים נדירות אף לסופרן, בדרך כלל בשימוש בפלסט.
טנזור השדה האלקטרומגנטי הוא התיאור המתמטי של השדה האלקטרומגנטי בתורת היחסות הפרטית.
זהו טנזור מדרגה 2 המתאר את השדה החשמלי ואת השדה המגנטי כישות אחת, קו-ואריאנטית לורנץ.
בהינתן ה-4-וקטור של הפוטנציאל האלקטרומגנטי , או בצורתו הלורנץ-קו-ואריאנטית , טנזור השדה האלקטרומגנטי מוגדר כנגזרת החיצונית (חד-תבנית או דיפרנציאל דה-ראם) של 4-וקטור הפוטנציאל:
כאשר הוא הגרדיאנט ה-4 ממדי, A הוא הפוטנציאל הווקטורי ו- הוא הפוטנציאל הסקלארי.
באופן מפורש, נוכל לרשום את הטנזור F בצורת מטריצה 4 על 4 באופן הבא
כאשר E הוא השדה החשמלי, B השדה המגנטי ו-c היא מהירות האור.
טנזור השדה האלקטרומגנטי הוא אנטי-סימטרי, כלומר: .
מזהות זו נובעות משוואות מקסוול ההומוגניות: ו- .
הטנזור מקיים את משוואת התנועה הבאה: (ביחידות גאוס) או (ביחידות cgs) כאשר הוא ה-4-וקטור של צפיפות זרמים ומטענים.
משוואה זו שקולה לשתי משוואות מקסוול הלא הומוגניות.
הגודל הוא אינווריאנטי לורנץ (סקלר).
הגודל הוא אינווריאנטי לורנץ (פסאודו סקלר).
להבנת חלק זה של המאמר נדרש ידע מוקדם בגאומטריה דיפרנציאלית.
אל 4-וקטור הפוטנציאל האלקטרומגנטי אפשר להתייחס כאל חד-תבנית (one-form) הנתונה על ידי
כאשר נעשה כאן שימוש בהסכם הסכימה של איינשטיין.
האיברים הם בסיס למרחב החד-תבניות הצמוד לבסיס המרחב המשיק, כלומר: , כאשר היא הדלתא של קרונקר.
במקרה זה, את טנזור השדה האלקטרומגנטי
אפשר לרשום באמצעות דיפרנציאל דה-ראם על החד-תבנית A:
מאחר שזו "גזירה" אנטי-סימטרית, אפשר לקבל:
כאשר נתונים לעיל, ואילו המכפלה בין ל- היא מכפלת יתד (Wedge product) בין תבניות ששומרת על אנטי-סימטריות (באופן אינטואיטיבי ניתן לומר שכופלים את התבניות כדי לקבל תבנית חדשה ואז מבצעים לה אנטי-סימטריזציה כך שתהיה אנטי-סימטרית בכל זוג ארגומנטים).
אפשר לסכם ולומר ש- הוא טנזור קו-וריאנטי אנטי-סימטרי מסדר 2, או דו-תבנית.
משפט כללי בגאומטריה דיפרנציאלית קובע שדיפרנציאל דה-ראם מקיימת זהותית d2=0. מכאן נובע ש
וזו אחת ממשוואות מקסוול (זהות ביאנקי).
כעת, נגדיר את הטנזור הצמוד של Hodge לדו-תבנית F.
באופן כללי, דואליות הודג' מתאימה ל k-תבנית מעל מרחב וקטורי n-ממדי (n-k)-תבנית, שמוגדרת ביחס ל n-תבנית שנקבעה מראש, שהיא בדרך כלל היא תבנית ה"דטרמיננטה" האנטי-סימטרית בהחלט (בכתיב בקואורדינטות קרטזיות זהו טנזור לוי-צ'יויטה).
שהוא 4-וקטור צפיפות הזרם החשמלי .
נשים לב ש 4-וקטור זה מקיים באופן אוטומטי את משוואת הרציפות, שכן
יצוין שרכיביו של J והעובדה שהוא מייצג צפיפות מטען וזרם מוסקים פיזיקלית מהתכונות של השדה החשמלי E והשדה המגנטי B, אך העובדה ש-J הוא 4-וקטור שמקיים את משוואת הרציפות נובעת באופן אוטומטי מהצורה בה הוגדר והתכונות של דיפרנציאל דה-ראם.
טנזור השדה כטנזור עקמומיות של קשר
בגישה אחרת מתייחסים ל-A כאל קשר אפיני מעל אגד וקטורי ואז מקבלים ש-F היא העקמומיות שלו.
במכניקה נהוג להסיק את משוואות התנועה של גופים מגודל הנקרא המילטוניאן שמהווה פונקציה של האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית כפי שהם מבוטאים על ידי התנע (ליתר דיוק: התנע הקנוני הצמוד) p והמקום x.
את ההמילטוניאן מסיקים מהלגראנז'יאן באמצעות טרנספורם לז'נדר.
כאשר יש פוטנציאל וקטורי נוכח, מגלים שאיבר האנרגיה הקינטית נתון על ידי
במכניקת הקוונטים התנע הוא אופרטור הגזירה .
במובן מסיים, אפשר להסתכל על הפוטנציאל כגודל שמעוות את היריעה ולכן הזזה מקבילה של פונקציית הגל ממקום אחד לשני לא תשמור עליה אם לא נוסיף תיקון שיבטל את ההשפעה של הפוטנציאל הווקטורי שמעקם את המרחב.
לכן, מגדירים אופרטור גזירה "קו-ואריאנטי" השומר על הווקטור ביריעה הנ"ל, וזאת על ידי
ואכן, הווקטור משמש כמקדמי הקשר.
לכל קשר אפשר להגדיר טנזור עקמומיות, טנזור זה מבטא את ההפרש בין וקטור ההתחלתי למה שמתקבל כאשר מזיזים אותו לאורך לולאה סגורה אינפינסיטימלית.
אם נבנה את הלולאה כמקבילון המורכב משני וקטורים נראה שמקדם העקמומיות כתלות בכיווני הווקטורים הוא אנטי-סימטרי ולמעשה יהיה מהצורה: .
כלומר, טנזור השדה האלקטרומגנטי הוא עקמומיות של קשר.
מכאן נובעת גם זהות ביאנקי כמקרה פרטי של תורת העקמומיות והקשרים המוגדרים מעל אגדי וקטורים.
טנזור הוא יישות גאומטרית ומתמטית, המהווה הכללה של מושגי הסקלר והוקטור, ומשמשת למיפוי יחסים ליניאריים בין גדלים במרחב.
בעוד שגדלים פיזיקליים פשוטים ניתנים לאפיון מלא על ידי ערך מספרי יחיד (סקלר, הנחשב לטנזור מדרגה 0), ואחרים דורשים אפיון של גודל וכיוון (וקטור, הנחשב לטנזור מדרגה 1), הטנזור מספק מסגרת לתיאור גדלים בעלי תלות כיוונית מורכבת יותר.
באופן פורמלי, ניתן להגדיר טנזור כמבנה אלגברי המקיים תכונות של מולטי-ליניאריות; כלומר, זהו אובייקט המקבל כקלט מספר וקטורים ומחזיר סקלר (או טנזור אחר), באופן התלוי ליניארית בכל אחד מהווקטורים בנפרד.
תכונה יסודית של הטנזור היא עצמאותו ביחס למערכת צירים הנבחרת.
הטנזור מיוצג במערכת קואורדינטות מסוימת על ידי מערך של רכיבים מספריים (הניתן לרוב לרישום כמטריצה רב-ממדית), אולם משמעותו הפיזיקלית או הגאומטרית נותרת קבועה גם כאשר מחליפים את מערכת הצירים.
המשמעות היא שכאשר מסובבים או משנים את הבסיס של המרחב, רכיבי הטנזור משתנים על פי חוקי טרנספורמציה מוגדרים היטב, המבטיחים שהקשר שהוא מתאר בין הגדלים השונים יישאר תקף ואובייקטיבי.
פיתוח זה, שהוביל לביסוס "החשבון הטנזורי" על ידי המתמטיקאים גרגוריו ריצ'י-קורבסטרו וטוליו לוי-צ'יוויטה בסביבות שנת 1900, הפך לכלי הכרחי בפיזיקה מודרנית.
ביישומים פיזיקליים, נהוג לחקור מצבים שבהם הטנזור משתנה ממיקום למיקום בתוך האובייקט או המרחב, מבנה הנקרא שדה טנזורי.
דוגמה בולטת לכך היא טנזור המאמצים במכניקת הרצף: הכוח הפועל בנקודה מסוימת בתוך חומר תלוי בכיוון המישור שדרכו הוא נמדד, ולכן נדרש טנזור מדרגה 2 (המוצג כמטריצה של 3X3) כדי למפות את הקשר הליניארי בין וקטור הכיוון לבין וקטור הכוח הנוצר.
דוגמאות נוספות קיימות באלקטרומגנטיות, שם המקדם הדיאלקטרי בחומרים מסוימים (כגון גבישים) אינו מספר קבוע אלא טנזור, המתאר כיצד השדה החשמלי משפיע על הקיטוב בכיוונים שונים.
בתורת היחסות הכללית, שדות טנזוריים משמשים לתיאור עקמומיות המרחב-זמן ותוכנו האנרגטי.
הבסיס המתמטי לאנליזה הטנזורית נוצר מתוך עבודתו של קרל פרידריך גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית, והושפע מתאוריות אלגבריות שהתפתחו באמצע המאה ה-19.
המונח "טנזור" עצמו נטבע ב-1846 על ידי המתמטיקאי ויליאם רואן המילטון, אך המילטון השתמש בו לתיאור גודל שונה (כיום "נורמה", הקשור לערך מוחלט במערכות אלגבריות מסוימות).
השימוש המודרני במונח הופיע לראשונה ב-1898 בעבודתו של הפיזיקאי וולדמר פויגט.
פויגט חקר את הפיזיקה של גבישים וביקש לתאר את הלחצים (Stress) והמעוותים בתוך חומר שאינו קשיח לחלוטין.
הוא הבין כי וקטור רגיל אינו מספיק לתיאור כוחות התלויים בכיוונים שונים בו-זמנית, והשתמש לשם כך במונח טנזור.
הפיתוח המתמטי השיטתי של התחום נעשה על ידי גרגוריו ריצ'י-קורבסטרו בסוף המאה ה-19, תחת השם "חשבון דיפרנציאלי אבסולוטי".
בשנת 1900 פרסם ריצ'י יחד עם תלמידו טוליו לוי-צ'יוויטה ספר יסוד שהנגיש את התחום לקהילה המדעית.
בשיטתם, הבחינו השניים בין שני סוגי רכיבים של וקטורים וטנזורים, בהתאם לאופן שבו הם משתנים במעבר בין מערכות צירים: רכיבים קונטרה-ווריאנטיים (המתנהגים כמו וקטור מהירות – משתנים "הפוך" לשינוי בקנה המידה של הצירים) ורכיבים קו-ווריאנטיים (המתנהגים כמו נגזרת כיוונית או גרדיאנט, משתנים "ביחס ישר" לשינוי בצירים).
אבחנה זו היא בסיסית בהבנת גדלים פיזיקליים במערכות עקומות.
במאה ה-20 זכה התחום לשם הכולל "אנליזה טנזורית".
חשיבותו המעשית התבררה עם פרסום תורת היחסות הכללית על ידי אלברט איינשטיין ב-1915, תורה המנוסחת כולה בשפה זו.
איינשטיין למד את החשבון הטנזורי בעזרת המתמטיקאי מרסל גרוסמן, כדי שיוכל לתאר את עקמומיות המרחב-זמן.
בעקבות הפרסום, ניהל לוי-צ'יוויטה התכתבות מדעית עם איינשטיין (1915–1917) ותיקן מספר אי-דיוקים בשימוש שעשה איינשטיין בטנזורים.
איינשטיין העריך מאוד את הכלים המתמטיים הללו וכתב ללוי-צ'יוויטה:
בהמשך המאה התרחב השימוש בטנזורים לתחומים נוספים.
בפיזיקה הם משמשים במכניקת הרצף לתיאור תכונות חומר.
במתמטיקה, מושגים בגאומטריה דיפרנציאלית (כמו הטנזור המטרי וטנזור העקמומיות של רימן) הם טנזורים.
כמו כן, תחום התבניות הדיפרנציאליות, שפותח בעיקר על ידי אלי קרטן, שולב באופן טבעי עם החשבון הטנזורי.
החל משנות ה-20 של המאה ה-20, הפכו הטנזורים לכלי בסיסי גם בטופולוגיה אלגברית ובאלגברה מופשטת, שם עברו הכללות נוספות (כגון הגדרת מכפלה טנזורית מעל חוגים ומבנים בתורת הקטגוריות).
אף על פי שקיימות גישות שונות להגדרת הטנזור, הנראות במבט ראשון שונות זו מזו, כולן מתארות למעשה את אותו אובייקט גאומטרי, אך ברמות הפשטה שונות ובשפות מתמטיות שונות.
אחת הדרכים האינטואיטיביות ביותר לתפוס טנזור היא כייצוג של מערך רב-ממדי של מספרים.
ניתן לחשוב על כך כהכללה:
סקלר הוא מספר בודד (מערך בממד 0).
וקטור במרחב -ממדי מיוצג על ידי שורה או עמודה של מספרים (מערך חד-ממדי), בהינתן מערכת צירים (בסיס) מסוימת.
באופן דומה, טנזור מיוצג על ידי מערך רב-ממדי של מספרים.
למשל, אופרטור ליניארי (כמו טרנספורמציה שמסובבת או מותחת מרחב) מיוצג על ידי מערך דו-ממדי (מטריצה ריבועית ).
המספרים המרכיבים את המערך נקראים רכיבי הטנזור.
נהוג לסמן אותם באמצעות אינדקסים המציינים את מיקומם במערך.
האינדקסים נכתבים ככתב תחתון או ככתב עליון לצד האות המייצגת את הטנזור.
לדוגמה, רכיביו של טנזור מסדר 2 יכולים להיכתב כ-, כאשר ו- הם אינדקסים הרצים מ-1 ועד (ממד המרחב).
הבחירה האם לכתוב את האינדקס למעלה () או למטה () אינה שרירותית; היא מעידה על האופן שבו הטנזור מגיב לשינוי במערכת הצירים (כפי שיפורט בהמשך).
סך כל האינדקסים הנדרשים כדי לזהות רכיב ספציפי בטנזור נקרא הסדר (Order) או הדרגה (Rank) של הטנזור.
לדוגמה, מטריצה היא טנזור מסדר 2 כי נדרשים שני אינדקסים (שורה ועמודה) כדי למצוא איבר ספציפי.
(הערה: המונח "דרגה" משמש לעיתים בהקשרים אחרים באלגברה ליניארית של מטריצות, אך בהקשר הטנזורי הכוונה היא למספר האינדקסים).
הנקודה החשובה ביותר בהגדרת הטנזור היא התנהגותו בעת שינוי מערכת צירים.
ממש כפי שאורך של שולחן אינו משתנה אם מודדים אותו בסנטימטרים או באינצ'ים, כך האובייקט הגאומטרי (הטנזור) נשאר קבוע.
אולם, המספרים המייצגים אותו (הרכיבים) משתנים בהתאם לבחירת הבסיס.
כל סוג של טנזור מצויד ב"חוק טרנספורמציה" המגדיר במדויק כיצד רכיביו משתנים.
כדי להבין זאת, נהוג להבחין בין שתי דרכים בהן רכיבים יכולים להשתנות:
קונטרה-וריאנטיות (Contravariant): תכונה אופיינית לוקטורים רגילים (כמו וקטור העתק או מהירות).
כאשר מקטינים את יחידות המידה של מערכת הצירים (למשל במעבר ממטרים לסנטימטרים, כלומר הכפלת הבסיס ב-0.01), הערכים המספריים של הווקטור יגדלו (יוכפלו ב-100) כדי לפצות על כך ולשמור על הגודל הפיזיקלי זהה.
השינוי הוא "הפוך" (קונטרה) לשינוי בבסיס.
רכיבים אלו מסומנים באינדקס עליון ().
קו-וריאנטיות (Covariant): תכונה אופיינית לנגזרות כיווניות או "קו-וקטורים" (כמו גרדיאנט).
במקרה זה, הרכיבים משתנים "ביחד" (קו) עם הבסיס.
רכיבים אלו מסומנים באינדקס תחתון ().
באופן פורמלי, אם נסמן את המטריצה המעבירה ממערכת צירים ישנה לחדשה ב-, ואת המטריצה ההופכית לה ב-, אזי:
רכיבי וקטור קונטרה-ווריאנטי במערכת החדשה יתקבלו על ידי כפל ב-:
רכיבי וקטור קו-ווריאנטי במערכת החדשה יתקבלו על ידי כפל ב-:
הערה לגבי כתיב: בפיזיקה ובמתמטיקה נהוג להשתמש בהסכם הסכימה של איינשטיין.
לפי הסכם זה, כאשר אינדקס מופיע באותו ביטוי פעם אחת למעלה ופעם אחת למטה, משמיטים את סימן הסכום () ומבינים שיש לסכום על כל הערכים האפשריים של האינדקס.
טנזור כללי יותר, מסדר גובה (כלומר בעל אינדקסים עליונים ו- אינדקסים תחתונים), ישתנה לפי שילוב של החוקים הנ"ל: כל אינדקס עליון "ידרוש" כפל במטריצה ההופכית, וכל אינדקס תחתון "ידרוש" כפל במטריצת המעבר הרגילה.
הגדרה זו, הדורשת שהמערך יציית לחוקי הטרנספורמציה הללו, היא ההגדרה ההיסטורית שמקורה בעבודותיו של ריצ'י.
גישה מודרנית, הנפוצה בגאומטריה דיפרנציאלית (לרוב ביחס למרחבים משיקים ליריעה), מגדירה טנזורים ללא תלות ישירה בבחירת בסיס, אלא כאופרטורים (פונקציות).
כדי להבין זאת, יש להכיר את מושג מרחב דואלי ().
אם הוא מרחב של וקטורים, המרחב הדואלי הוא אוסף כל הפונקציות הליניאריות שמקבלות וקטור ומחזירות סקלר.
לפי גישה זו, טנזור אינו סתם "אוסף מספרים", אלא העתקה מולטי-ליניארית: פונקציה המקבלת כקלט מספר וקטורים (מ-) ומספר קו-וקטורים (מ-), ופולטת סקלר (מספר).
המונח "מולטי-ליניארית" משמעו שהתוצאה תלויה באופן ליניארי בכל אחד מהקלטים בנפרד (לדוגמה: הכפלת אחד הווקטורים הנכנסים ב-2 תגרום להכפלת התוצאה ב-2).
לדוגמה, טנזור מטיפוס מוגדר כהעתקה:
כאשר מציבים בהעתקה זו את וקטורי הבסיס של המרחב, הפלט המתקבל הוא אותם המספרים המוכרים מהגישה הקלאסית כ"רכיבי הטנזור".
יתרונה של גישה זו הוא שהיא מגדירה את הטנזור כאובייקט העומד בפני עצמו, ללא תלות במערכת הקואורדינטות שנבחרה.
עבור יישומים מתמטיים מופשטים יותר, נהוג להגדיר טנזורים באמצעות מכפלה טנזורית ().
זוהי פעולה המאפשרת "להדביק" מרחבים וקטוריים זה לזה וליצור מרחב חדש וגדול יותר.
לפי הגדרה זו, טנזור מטיפוס הוא איבר במרחב המכפלה:
אוסף המכפלות של וקטורי הבסיס (למשל ) מהווה בסיס למרחב החדש, והמקדמים של הטנזור בבסיס זה הם, שוב, אותם "רכיבים" מוכרים.
גישה זו שקולה מתמטית לגישת ההעתקות המולטי-ליניאריות (במרחבים בעלי ממד סופי), ומספקת דרך אלגברית ריגורוזית לבניית טנזורים.
ביישומים רבים בפיזיקה (כגון בתורת היחסות או במכניקת זורמים), הטנזור אינו קבוע במרחב, אלא משתנה מנקודה לנקודה.
לדוגמה, המאמץ בתוך גשר משתנה בהתאם למיקום.
אובייקט כזה נקרא שדה טנזורי.
במקרה זה, רכיבי הטנזור אינם מספרים קבועים, אלא פונקציות של המיקום ().
חוקי הטרנספורמציה הופכים להיות תלויים בנגזרות החלקיות של שינוי הקואורדינטות (היעקוביאן), שכן שינוי מערכת הצירים עשוי להשתנות מנקודה לנקודה במרחב עקום.
יהי V מרחב וקטורי, ויהי *V המרחב הדואלי לו.
אזי טנזור מדרגה m על k (מסומן גם כ"טנזור מדרגה ") הוא העתקה מולטי-ליניארית שמקבלת m פונקציונלים (קו-וקטורים) ו-k וקטורים, ומתאימה להם מספר ממשי באופן יחיד.
כלומר, זוהי פונקציה שהיא ליניארית בכל אחד מהארגומנטים שלה.
קבוצת הטנזורים מהווה מרחב ליניארי ביחס לחיבור טנזורים וכפל בסקלר
אפשר להגדיר פעולות נוספות בין טנזורים, כגון מכפלה טנזורית, "כיווץ" (לקיחת עקבה על זוג אינדקסים עליון ותחתון) ונגזרת קו-וריאנטית שיוצרות טנזור חדש (בדרגה שונה בדרך כלל) מטנזור נתון.
הרבה פעמים נוח להציג את הטנזור כמערך רב-ממדי של רכיבים המתארים את הטנזור.
אנו נראה שהצגה כזו שקולה להגדרתו כהעתקה מולטי-ליניארית.
מאחר שרכיבי הטנזור תלויים בבסיס בו מייצגים את המרחב, עלינו לקבוע בסיס כלשהו למרחב הווקטורי ולמרחב הדואלי לו.
יהי בסיס למרחב הווקטורי V ויהי בסיס למרחב הדואלי, כך שמתקיים (כאשר היא הדלתא של קרונקר).
אזי כל טנזור ניתן להציג כמערך רב-ממדי של רכיבים באמצעות הגדרת פעולתו על כל אחד מאיברי הבסיס.
הצורה הכללית לעשות זאת תובהר מהדוגמה הבאה:
טנזור מדרגה 0 על 1, כלומר: , יוצג לפי רכיבים כ-
כאשר השתמשנו בליניאריות של T והגדרנו את רכיבי הטנזור T – .
טנזור כזה הוא בעצם פונקציונל על וקטור, או וקטור קו-וריאנטי.
טנזור כזה נקרא גם "חד-תבנית" או "one-form".
טנזור מדרגה 1 על 0, כלומר: , יוצג לפי רכיבים כ-
כאשר השתמשנו בליניאריות של S והגדרנו את רכיבי הטנזור S – .
טנזור כזה הוא בעצם פונקציונל על פונקציונל, כלומר וקטור קונטרה-וריאנטי (זאת כי ).
טנזור מדרגה 1 על 1, כלומר: , יוצג לפי רכיבים כ-
כאשר השתמשנו בליניאריות של R והגדרנו את רכיבי הטנזור R – .
מאחר שלטנזור זה יש שני אינדקסים, ניתן להציג את רכיביו כמטריצה שאליה נוח להתייחס כאל העתקה ליניארית המקבלת וקטור v ומחזירה וקטור אחר u הנתון על ידי (שכן u מקבל פונקציונל ומחזיר לו מספר ממשי).
באופן כללי, טנזור שמקבל כארגומנטים m פונקציונלים ו-k וקטורים יהיה בעל m אינדקסים עליונים ו-k אינדקסים תחתונים.
כל אינדקס עליון מתנהג כמו וקטור קונטרה-וריאנטי וכל אינדקס תחתון מתנהג כמו וקטור קו-וריאנטי.
עוד על התמרות של רכיבי טנזור, ראו בהתמרת קואורדינטות ורכיבי טנזור.
בעוד שבאלגברה ליניארית בסיסית נהוג לעסוק במרחבים "שטוחים" עם מערכת צירים קבועה (כמו רשת קרטזית ישרה), בפיזיקה מתקדמת נדרש לעיתים קרובות לתאר גדלים במרחבים עקומים (כמו פני כדור הארץ, או המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית).
במרחבים אלו, מערכת הצירים עשויה להשתנות מנקודה לנקודה.
כדי להגדיר טנזור בסביבה כזו, משתמשים במושג המרחב המשיק: עבור כל נקודה במרחב העקום, ניתן לדמיין "מרחב שטוח" קטן מאוד המשיק לה (כמו דף נייר המונח על כדור).
הווקטורים והטנזורים מוגדרים בתוך המרחב המשיק הזה.
כאשר עוברים ממערכת קואורדינטות אחת () למערכת קואורדינטות אחרת () במרחב כזה, הקשר בין המערכות אינו ליניארי פשוט, אלא תלוי במיקום.
לכן, את תפקידה של "מטריצת המעבר" ( שהוזכרה בפרק ההגדרות) תופסת מטריצה של נגזרות חלקיות, הנקראת מטריצת היעקוביאן.
ההיגיון נובע מכלל השרשרת בחשבון הדיפרנציאלי: אם יודעים כיצד גודל משתנה לפי , ויודעים כיצד תלוי ב-, אפשר לחשב את השינוי לפי באמצעות נגזרות.
לכן, וקטורי הבסיס במרחב המשיק מוגדרים לרוב באמצעות הנגזרות החלקיות של הקואורדינטות: .
באופן מעשי, כדי להמיר את רכיביו של טנזור ממערכת קואורדינטות למערכת , משתמשים בכללים הבאים (לפי הסכם הסכימה של איינשטיין):
עבור וקטור קונטרה-ווריאנטי (אינדקס עליון):
המרה זו משתמשת בנגזרת של הקואורדינטות החדשות לפי הישנות (כלומר, כמה המערכת "זזה").
עבור וקטור קו-ווריאנטי (אינדקס תחתון):
המרה זו משתמשת בנגזרת ההפוכה (של הקואורדינטות הישנות לפי החדשות), בדומה לגזירה של פונקציה מורכבת.
ניתן להכליל את הכלל לכל מספר של אינדקסים.
כל אינדקס עליון מוכפל בנגזרת "הישירה", וכל אינדקס תחתון מוכפל בנגזרת "ההפוכה".
לדוגמה, עבור טנזור מטיפוס (1,2) (אינדקס אחד עליון ושניים תחתונים), נוסחת המעבר תהיה:
נוסחאות אלו הן "כלי העבודה" המרכזיים של פיזיקאים העוסקים בתורת היחסות ובאנליזה על יריעות.
פיתוח מתמטי של חוקי הטרנספורמציה
תת-פרק זה מציג את הפיתוח האלגברי המלא של הנוסחאות שהוצגו לעיל.
הקריאה בו דורשת העמקה והבנה של כללי סכימה ונגזרות, אך היא אינה הכרחית להבנת הרעיון הכללי.
נצא מנקודת הנחה שהווקטור הוא גודל אינווריאנטי (אובייקט גאומטרי קבוע).
המשמעות היא שהביטוי המתמטי שלו שווה בשתי מערכות הקואורדינטות: הסכום של הרכיבים כפול וקטורי הבסיס במערכת הישנה (), חייב להיות שווה לסכום במערכת החדשה ().
נשתמש בכלל השרשרת כדי לבטא את וקטורי הבסיס של המערכת החדשה () בעזרת וקטורי הבסיס של המערכת הישנה:
כעת נציב את הביטוי שקיבלנו בחזרה למשוואת הווקטור המקורית:
נסדר את הסכום באגף ימין כך שנוכל להשוות את המקדמים של וקטורי הבסיס בשני הצדדים.
מאחר שווקטורי הבסיס הם בלתי-תלויים ליניארית, המקדמים שלהם חייבים להיות שווים זה לזה:
קיבלנו ביטוי לרכיבים הישנים כתלות בחדשים.
כדי לקבל את נוסחת הטרנספורמציה ההפוכה (המחפשת את ), נכפיל את שני האגפים בנגזרת ההפוכה ונשתמש בתכונות הדלתא של קרונקר (או פשוט נבצע את אותו תהליך בכיוון ההפוך), ונקבל את הנוסחה הסופית לוקטור קונטרה-ווריאנטי:
טנזורים משמשים בפיזיקה ובהנדסה לתיאור גדלים שאינם ניתנים לייצוג מלא על ידי סקלר (מספר) או וקטור (חץ) בלבד.
דרך נוחה לסווג אותם היא לפי מספר ה"כניסות" (הארגומנטים) שהם מקבלים וסוג הפלט שהם מחזירים.
הדוגמה הבסיסית ביותר לפעולה טנזורית היא מכפלה סקלרית.
ניתן לחשוב על המכפלה הסקלרית כעל פונקציה שמקבלת שני וקטורים () ומחזירה סקלר (מספר).
מבחינה טנזורית, זהו טנזור מדרגה 2 (ליתר דיוק, טנזור מטריקה), המתאר את הגאומטריה של המרחב (מרחקים וזוויות).
זוהי דוגמה לטנזור מטיפוס , כלומר כזה המקבל שני וקטורים כקלט.
דוגמה פיזיקלית הממחישה את ההכרח בשימוש בטנזור היא תיאור כוחות בתוך חומר מוצק או נוזל (כמו קורת בטון או מים בצינור).
כדי לתאר את הכוח הפועל בנקודה מסוימת בתוך החומר, לא מספיק להשתמש בווקטור בודד, משום שהכוח תלוי בכיוון החיתוך של החומר באותה נקודה.
למשל, הלחץ הפועל על משטח אופקי עשוי להיות שונה מהלחץ הפועל על משטח אנכי באותה נקודה בדיוק.
האובייקט המתאר מצב זה נקרא טנזור המאמצים ().
הוא מתפקד כפונקציה ליניארית המקבלת כקלט וקטור כיוון (הנורמל למשטח, ) ומחזירה את וקטור הכוח () הפועל על המשטח הזה:
או בכתיב רכיבים (כפל מטריצה בווקטור):
מסיבה זו, טנזור המאמצים הוא טנזור מדרגה 2 (מיוצג על ידי מטריצה ).
הטבלה הבאה מציגה טנזורים נפוצים בפיזיקה ובמתמטיקה, ממוינים לפי הטיפוס שלהם , כאשר הוא מספר האינדקסים העליונים (קונטרה-ווריאנטיים) ו- הוא מספר האינדקסים התחתונים (קו-ווריאנטיים).
סכום המספרים הוא הסדר הכולל של הטנזור.
+ טנזורים נפוצים לפי סדר וטיפוס סדר כולל טיפוס שם גאומטרי/אלגברי דוגמאות פיזיקליות 0 סקלר מסה, טמפרטורה, מטען חשמלי.
1 וקטור (קונטרה-ווריאנטי) העתק, מהירות, כוח.
קו-וקטור (או 1-תבנית) גרדיאנט של פונקציה (כמו פוטנציאל), מומנט דיפול.
2 תבנית ביליניארית מכפלה סקלרית, הטנזור המטרי (בגאומטריה), טנזור התמד (במכניקה).
אופרטור ליניארי טרנספורמציה ליניארית (מיוצגת כמטריצה), הדלתא של קרונקר.
בי-וקטור טנזור המאמצים (לעיתים מסווג גם כ-1,1), טנזור השדה האלקטרומגנטי (ביחסות פרטית).
3 3-תבנית דטרמיננטה (כפעולה על 3 וקטורים), הסימון של לוי-צ'יוויטה.
4 טנזור עקמומיות טנזור העקמומיות של רימן (המתאר את כוח הכבידה בתורת היחסות הכללית).
גדלים מסוימים, כמו מכפלה וקטורית, נראים כווקטורים אך אינם טנזורים "אמיתיים" (אלא פסאודו-וקטורים), שכן הם משנים סימן באופן שונה תחת שיקוף של מערכת הצירים.
כאמור, טנזור מוגדר ביחס לבסיס של המרחב הווקטורי בו הוא פועל.
בהינתן בסיס כזה (למשל, מערכת צירים קרטזית ), ניתן לייצג את הטנזור כמערך רב-ממדי של ערכים מספריים (רכיבים).
תכונתו המגדירה של הטנזור אינה הערכים המספריים עצמם (שכן אלו משתנים כאשר מחליפים בסיס), אלא חוק הטרנספורמציה שלהם: האופן המדויק שבו הערכים משתנים כתגובה לשינוי בבסיס.
חוקיות זו מבטיחה כי גדלים פיזיקליים מסוימים, המכונים אינווריאנטים, יישארו קבועים ללא תלות במערכת הצירים שנבחרה.
לא כל מערך מספרים הוא טנזור; מערך שרכיביו אינם משתנים לפי הכללים המתאימים בעת שינוי בסיס אינו מייצג טנזור תקני.
(לדוגמה, הסימון של לוי-צ'יוויטה אינו טנזור רגיל אלא "פסאודו-טנזור", משום שהוא משנה סימן תחת שיקוף של מערכת הצירים, בניגוד לטנזור רגיל).
מכיוון שרכיבים של וקטורים (קונטרה-ווריאנטיים) ושל קו-וקטורים (קו-ווריאנטיים) משתנים בצורות הפוכות בעת החלפת בסיס, נהוג לסווג טנזורים לפי מספר האינדקסים מכל סוג.
מספר האינדקסים הקונטרה-ווריאנטיים (מסומן ב-, אינדקסים עליונים) ומספר האינדקסים הקו-ווריאנטיים (מסומן ב-, אינדקסים תחתונים) מגדירים את הטיפוס (Type) של הטנזור, המסומן כזוג .
זוג זה מכתיב את חוק הטרנספורמציה המדויק של הטנזור.
הסכום של שני המספרים הללו, , נקרא הסדר (Order) או הדרגה (Rank) של הטנזור:
טנזור מסדר 0 הוא סקלר (מספר בודד).
טנזור מסדר 1 הוא וקטור (מערך חד-ממדי).
טנזור מסדר 2 הוא לרוב אופרטור ליניארי או תבנית ביליניארית (מיוצג כמטריצה).
באופן כללי, הסדר מציין את מספר האינדקסים הדרושים כדי לאתר רכיב ספציפי במערך, או את הממד של המערך הרב-ממדי המייצג את הטנזור.
ניתן לחשב את הסדר גם לפי הפעולה שהטנזור מבצע: הסדר הוא סכום סדרי הקלטים (הארגומנטים) שהטנזור מקבל, ועוד סדר הפלט שהוא מחזיר.
מכפלה סקלרית מקבלת שני וקטורים (כל אחד מסדר 1) ומחזירה סקלר (סדר 0).
לכן הסדר הכולל הוא .
טנזור המאמצים מקבל וקטור נורמל (סדר 1) ומחזיר וקטור כוח (סדר 1).
הסימון (במרחב תלת-ממדי) ממפה שני וקטורים לוקטור שלישי (מכפלה וקטורית), ולכן סדרו הוא .
אוסף כל הטנזורים המוגדרים מעל מרחב וקטורי מסוים יוצר מבנה מתמטי הנקרא אלגברה טנזורית.
מסגרת זו מאפשרת לבצע פעולות בין טנזורים, כגון חיבור, כפל בסקלר ומכפלה טנזורית.
אף על פי שפעולות פשוטות על טנזורים מסדר 2 ניתנות לביצוע באמצעות כללי כפל מטריצות (תוך שימוש בוקטורים שורה ועמודה), האלגברה הטנזורית מספקת כללים כלליים יותר (כגון מכפלה טנזורית וכיווץ טנזורי) התקפים לטנזורים מכל סדר ומכל טיפוס.
שם דרגה סימול אינדקסיאלי כלל טרנספורמציה סקלר 0 A וקטור 1 Ai מטריצה 2 Aij טנזור מדרגה 3 3 Aijk
המטריצה R מייצגת טרנספורמציה כלשהי, הנמצאת בחבורת הטרנספורמציות המותרות על הטנזורים.
את כלל הטרנספורמציה יש לפרש בהתאם להסכם הסכימה של איינשטיין.
את כלל הטרנספורמציה של אינדקס בעלי אינדקס תחתון אפשר לפתח באמצעות כלל הורדת האינדקסים , כאשר g היא המטריקה של המרחב מעליו מוגדרים הטנזורים.
עבור מטריקה אוקלידית, אין הבדל בין אינדקסים תחתונים ועליונים.
נגזרת טנזורית ובפרט נגזרת קו-ואריאנטית
טנזור העקמומיות של רימן וטנזור הפיתול
טנו אנפלו (אסטונית: Tõnu Õnnepalu, נולד ב-13 בספטמבר 1962) הוא סופר ומשורר אסטוני, המוכר גם בשם-העט אמיל טודה.
אֱנֶּפָּלוּ נולד בטאלין בירת אסטוניה.
בשנים 1980 עד 1985 למד ביולוגיה באוניברסיטת טרטו וסיים לימודיו בהצטיינות.
בשנים 1985 עד 1987 עבד כמורה לביולוגיה וכימיה בבית ספר באי היומאה.
בשנים 1989–1990 שימש כעורך כתב-העת האסטוני "קשת בענן" (Vikerkaar) לענייני תרבות.
לאחר מכן עבד כמתרגם, סופר והיסטוריון עצמאי.
הוא התגורר מספר שנים בפריז וניהל את "המכון האסטוני" שם.
אנפלו התחיל את דרכו הספרותית בשלושה ספרי שירה מעניינים: "הבית על גדת הנהר" (1985), "איתקה" (1988) ו"בארץ ההיא" (1990).
עם פרסומם עוררו ספריו עניין רב בקהל הקוראים של ארצו, ומבקריו ראו בו את "אחת ההבטחות הגדולות של השירה האסטונית החדשה".
לספרי השירה הקודמים שכתב נוסף בשנת 1996 הספר "מידה".
למרות הצלחתו זאת, לא קנה היוצר הצעיר את תהילתו בשיריו, אלא דווקא ביצירותיו בסיפורת.
מאז פרסום ספר הביכורים שלו בפרוזה, מעוררת כל יצירה חדשה שלו סקרנות, עניין והתלהבות.
באותה שנה הוציא לאור את הרומן האוטוביוגרפי "תרגילים" תחת שם העט "אנטון ניגוב" (Anton Nigov).
על ספרו מדינת גבול, שתורגם ליותר מתריסר שפות והוא הספר האסטוני הראשון שראה אור בעברית (תרגום: רמי סערי, סדרת "צפון", הוצאת הקיבוץ המאוחד, 2005), זכה היוצר בפרס הלאומי לספרות של הרפובליקה האסטונית, בפרס של מועצת המדינות הבלטיות ובפרס טוּפִּילָק על התרגום השוודי של הספר.
אנפלו תרגם סיפורת מצרפתית והוא חבר במועצת המנהלים של האוניברסיטה למדעי החיים בטרטו.
"הבית על גדת הנהר" (Jõeäärne maja) , 1985
"מדינת גבול" (Piiririik), 1993. יצא לאור במהדורה עברית בסדרת "צפון", הוצאת הקיבוץ המאוחד, 2005
טַנְהַא בשפת הפאלי היא תשוקה או צמא נפשי.
כאשר מדברים בבודהיזם על תשוקה, מתכוונים לניסיון למצוא סיפוק בדברים חולפים.
גאוטמה בודהה בארבע האמיתות האצילות לימד כי:
האמת הראשונה (דוקהה) היא בדבר קיומו של הסבל.
האמת השנייה היא בדבר מקורו של הסבל (סמודייה): יש גורם לסבל הזה, והוא המשיכה או התשוקה, הטנהא ששורשה בבורות וחוסר הבנה.
האמת השלישית היא בדבר סילוקו של הסבל.
האמת הרביעית היא בדבר הדרך לשחרור מסבל.
הטנהא עליה דיבר בודהה היא הצורך למצוא סיפוק בדברים חסרי ממשות אמיתית ולכן גם כאשר האדם משיג דברים אלו הוא אינו מגיע לסיפוק אמיתי ארוך טווח ולכן הוא אינו מרגיש שלמות והוא סובל.
התשוקה השלילית ביותר היא זו ההופכת לרכושנות, הרצון להיות בעלים של חפצים אינו בריא לדעתו של הבודהה.
סילוק הצורך הנפשי הזה היא מטרתו של הבודהיזם, ומי שיצליח להתגבר על הטנהא יוכל להגיע אל האושר.
הדרך המובילה לסיומו של הסבל ידועה כ"הדרך המתומנת הנאצלת" וכוללת הבנה נכונה, חשיבה נכונה, דיבור נכון, עשייה נכונה, סגנון חיים נכון, מאמץ נכון, מודעות נכונה והתבוננות נכונה.
ישנה גם השתוקקות חיובית, זו ההשתוקקות להארה והיא נקראת "צ'אנדה" אם כי גם התשוקה לידע צריכה להיות מבוקרת.
להבדיל מפילוסופיות אחרות, הבודהיזם לא דורש מהאדם לסגף עצמו או להימנע מעונג, ולכן גם השואפים להארה יכולים להינשא, לגדל ילדים ולעבוד.
מותר להם לרצות עונג פיזי, לחגוג וליהנות מחייהם.
אחת התשוקות ההרסניות ביותר לדעתו של בודהה היא התשוקה להיות צודק תמיד.
טנזור ההתמד (או טנזור האינרציה) הוא דרך נוחה וקצרה להציג את מומנטי ההתמד של הגוף.
כתיבת מומנט ההתמד כטנזור מאפשרת למצוא קשר נוח בין המהירות הזוויתית של גוף לתנע הזוויתי ולאנרגיה הקינטית שלו.
תנע זוויתי של גוף (אלמנט מסה) ביחס לציר מסוים מוגדר כמכפלה וקטורית של התנע הקווי במרחק מהציר:
הוא תנע זוויתי של אלמנט מסה
הוא וקטור המרחק של אלמנט המסה מציר הסיבוב.
במערכת צירים קרטזית הווקטור נתון על ידי
וקטור המהירות הזוויתית של אלמנט המסה.
נוכל לחשב את התנע הזוויתי בדרך של חישוב מכפלות וקטוריות בעזרת דטרמיננטות.
כעת כדי למצוא את התנע הזוויתי הכולל, נבצע אינטגרל מ0 עד M (כך ש-M היא המסה הכוללת של הגוף המסתובב):
, וכדי לפתור את האינטגרל יהיה עלינו רק לסכום את המכפלות הווקטוריות עבור כל רכיב בנפרד.
V הוא פונקציית הנפח של הגוף, ו-ρ, פונקציית הצפיפות.
המטריצה באגף השמאלי, היא וקטור התנע הזוויתי, המטריצה האמצעית היא טנזור ההתמד והמטריצה הימנית היא וקטור המהירות הזוויתית.
אם מדובר בגופים נקודתיים (לא גוף רציף), יש להחליף את האינטגרלים בסכומים.
הרכיבים על האלכסון הראשי הם מומנטי התמד של המסה ביחס לציר המערכת:
- הוא מומנט ההתמד של המסה סביב ציר ומוגדר כ:
ושאר האיברים הם מכפלות הנקראות מכפלות התמד של המסה ביחס לזוג צירים נתון:
- הוא מכפלת ההתמד של המסה ביחס לצירים ומוגדר כ:
יתרונות לשימוש בטנזור בחישובים על גופים קשיחים
בעזרת טנזור ההתמד נוח להציג את התנע הזוויתי של הגוף בכפל מטריצות: ונוח להציג את האנרגיה הקינטית של הגוף: .
ניתן לעבור מערכות צירים בעזרת הפעלת טרנספורמציה על טנזור ההתמד ללא צורך לחשב את מומנטי ההתמד מחדש במערכת הצירים החדשה.
אם היא מטריצת סיבוב, ו הוא טנזור ההתמד במערכת צירים ידועה, אז טנזור ההתמד במערכת הצירים המתקבלת על ידי הפעלת נתון על ידי
מערכת צירים ראשית של גוף קשיח
מערכת שבה מכפלות ההתמד של הגוף מתאפסות נקראת מערכת צירים ראשיים.
ובגלל העובדה שטנזור ההתמד הוא מטריצה סימטרית ניתן ללכסן אותו על ידי מערכת צירים אורתוגונלית.
זוהי מסקנה בעלת משמעות פיזיקלית חשובה כי כתוצאה מכך לכל גוף תלת־ממדי ניתן לבחור שלושה צירים ניצבים שיהוו עבורו צירים ראשיים.
כיוון שהתנע הזוויתי מתקבל ממכפלת טנזור האינרציה במהירות הזוויתית, מתקבלת תופעה מפתיעה - התנע הזוויתי לא חייב להיות מקביל למהירות הזוויתית.
תופעה זו גורמת לכך שגופים המסתובבים באופן חופשי, יכולים לבצע תנועה מסובכת למדי.
אם, לדוגמה, נזרוק עט באוויר כך שהוא מסתובב בערך סביב צירו, נגלה כי קצוות העט "מציירים" באוויר מעגלים קטנים.
תופעה זו מתקבל כיוון שחוק שימור התנע דורש כי התנע הזוויתי יישאר קבוע.
אם המהירות הזוויתית אינה מקבילה לתנע הזוויתי, מוכרח להתקיים שווקטור המהירות הזוויתי יקיף את וקטור התנע הזוויתי במעגלים.
תופעה זו נקראת נקיפה (פרצסיה) ומתוארת מתמטית בעזרת משוואות אוילר תוך שימוש בטנזור ההתמד במערכת צירים ראשית.
בטבלה מוצגים טנזורי מומנט ההתמד ביחס לצירים הראשיים של גופים פשוטים נוספים.
להצגת הטבלה לחצו על "הצגה".
טנזור איינשטיין הוא טנזור בתורת היחסות הכללית המתאר גודל הקשור לעקמומיות המרחב, ומבוטא על ידי טנזור ריצ'י, סקלר ריצ'י והטנזור המטרי הפסאודו-רימאני.
הטנזור מופיע במשוואת השדה של איינשטיין עבור כבידה.
הטנזור קרוי על שם הפיזיקאי אלברט איינשטיין.
בפיזיקה וגאומטריה דיפרנציאלית, טנזור איינשטיין הוא טנזור מדרגה 2 שמוגדר מעל יריעה פסאודו-רימאנית.
בכתיב ללא אינדקסים הוא מוגדר להיות
כאשר הוא טנזור ריצ'י, הוא הטנזור המטרי ו- הוא סקלר ריצ'י המהווה ביטוי סקלרי לעקמומיות של המרחב.
בכתיב עם אינדקסים, הגדרת טנזור איינשטיין היא
טנזור ריצ'י תלוי רק בטנזור המטרי ונגזרותיו, כך שניתן להגדיר את טנזור איינשטיין רק באמצעות הטנזור המטרי (ונגזרותיו).
ברם, ביטוי זה ארוך ומסובך, ולכן רק לעיתים נדירות נמצא בספרי לימוד.
ניתן לראות את המורכבות של ביטוי באמצעות הנוסחה לטנזור באמצעות סמלי כריסטופל:
כאשר הוא הדלתא של קרונקר ואנו משתמשים בהסכם הסכימה של איינשטיין ובנוסף אינדקסים שמופיעים אחרי פסיק הם קואורדינטות שלפיהם גוזרים ().
את סמלי כריסטופל ניתן לרשום באמצעות הטנזור המטרי, לפי הנוסחה הבאה:
לפני צמצומים, הנוסחה כוללת איברים.
במקרה הפרטי של מערכת ייחוס אינרציאלית לוקלית ליד נקודה, הנגזרות הראשונות של הטנזור המטרי מתאפסות, וניתן לפשט את הביטוי לטנזור איינשטיין:
כאשר סוגריים מרובעים מציינות אנטי-סימטריזציה על האינדקסים המוכלים בהם, כלומר:
העקבה של טנזור איינשטיין ניתנת לחישוב על ידי כיווץ אינדקסים במשוואה המגדירה את טנזור איינשטיין באמצעות הטנזור המטרי .
במקרה הפרטי של מרחב-זמן בעל 3 ממדי מרחב וממד זמן אחד, העקבה של טנזור איינשטיין היא מינוס העקבה של טנזור ריצ'י.
מסיבה זו נקרא טנזור איינשטיין לעיתים "טנזור ריצ'י בעל עקבה הפוכה".
טנזור איינשטיין מאפשר רישום קומפקטי של משוואת השדה של איינשטיין:
כאשר הוא טנזור המאמץ-אנרגיה, c היא מהירות האור בריק, G הוא קבוע הכבידה האוניברסלי ו- הוא הקבוע המתמטי פאי.
ביחידות גאומטריות בהן G=c=1 מקבלים ביטוי פשוט יותר:
מהביטוי המפורש לטנזור איינשטיין למעלה, ניתן לראות שטנזור איינשטיין הוא פונקציה לא-ליניארית של הטנזור המטרי אך ליניארי בנגזרות החלקיות של הטנזור המטרי.
כטנזור סימטרי מדרגה 2, טנזור איינשטיין הוא בעל 10 רכיבים בלתי-תלויים במרחב-זמן 4 ממדי.
מכאן עולה שמשוואת השדה של איינשטיין היא בעצם סט של 10 משוואות דיפרנציאליות חלקיות קוואזי-ליניאריות מסדר שני.
ניתן לבטא את זהות ביאנקי באמצעות טנזור איינשטיין:
זהות ביאנקי מבטיחה באופן אוטומטי את שימור טנזור המאמץ-אנרגיה.
החשיבות הגאומטרית של טנזור איינשטיין מודגשות באמצעות זהות זו.
במערכת קואורדינטות ביחס לתנאי הכיול הבא
ניתן לרשום חוקי שימור מדויקים עבור טנזור המאמץ:
תפקידו של טנזור איינשטיין הוא להבחין בין מערכות אלה.
את צורתו טנזור איינשטיין ניתן להסיק מעקרון הפעולה של המילטון (עקרון וריציוני) בהינתן הפעולה הבאה, הידועה כפעולת הילברט:
טנגריים (שם מדעי: Thraupini) הוא שבט של ציפורי שיר ממשפחת הפרושיים שמיניו נפוצים ביבשת אמריקה.
גודלם של הטנגרים קטן עד בינוני.
אורך גופם נע בין תשעה סנטימטרים (Conirostrum leucogenys) ועד 28 סנטימטרים (Cissopis leveriana).
שני הזוויגים (זכר ונקבה) דומים בגודלם ובמסתם.
צבעיהם בהירים על-פי רוב, אף שכמה מינים צבועים בשחור ובלבן.
צבעם של הטנגרים הצעירים שונה מזה של הבוגרים, והוא לרוב דהוי יותר.
צבעי הזכרים בהירים יותר מצבעי הנקבות.
כנפיהם של הטנגרים קצרות ומעוגלות.
רוב הטנגריים חיים בזוגות או בקבוצות קטנות המונות שלושה עד חמישה פרטים.
לעיתים קבוצות כוללות רק את התא המשפחתי, כלומר את זוג ההורים ואת צאצאיהם.
הטנגריים הם אוכלי כול, והרכב תזונתם משתנה ממין למין.
רובם ניזונים (בהרכב כזה או אחר) מפירות, מזרעים, מצוף, מחלקי פרחים ומחרקים.
חלקם מלקט חרקים מהענפים, חלקם מחפש חרקים בחלקיהם התחתונים של העלים, וחלקם ממתין בדממה לחרק חולף שיילכד במעופו.
מגוון זה מאפשר למינים המשתמשים בשיטות ציד שונות לאכלס אזורים חופפים, בלא שהתחרות ביניהם על המזון תהיה מרה.
תפוצתם של הטנגריים כוללת את יבשת אמריקה בלבד, ובעיקר את האזורים הטרופיים שבה.
כ-60% מהטנגריים חיים בדרום אמריקה, וכחצי מתוך אלו חיים בהרי האנדים.
רוב המינים הם אנדמיים לאזור קטן יחסית, כמו למשל פרושי דרווין שאנדמיים לאיי גלאפגוס.
כ-18 מינים שוכנים בצפון אמריקה ובאמריקה התיכונה במשך כל השנה.
ארבעה מינים הם מינים נודדים המקננים בצפון אמריקה.
עונת הרבייה מתחילה במרץ ומסתיימת בסוף יוני באזורים בעלי אקלים ממוזג, בעוד שבדרום אמריקה היא חלה בחודשים ספטמבר ואוקטובר.
מינים מסוימים הם טריטוריאליים, בעוד שאחרים בונים קנים סמוך אחד לשני.
הזכרים מציגים את נוצותיהם הצבעוניות לראווה על מנת למשוך בנות זוג אפשריות ולהרחיק זכרים יריבים.
נוהגי החיזור של כמה מן המינים כוללים קידת קידה והרמת זנב.
רוב הטנגריים בונים את קניהם השקערוריים על ענפי עצים.
קניהם של כמה מינים הם כמעט כדוריים בצורתם.
הכניסה לקן נמצאת בדרך כלל בצדי הקן.
זני העצים עליהם הם בונים את קניהם משתנים בין המינים.
רוב המינים מקננים באזורים המוסתרים בצמחייה עבותה.
גודל התטולה נע בין שלוש לחמש ביצים.
הנקבה דוגרת על הביצים ובונה את הקן לבדה, בעוד שחלקו של הזכר מסתכם לרוב בהאכלת הנקבה בזמן הדגירה.
על פי המיון המסורתי נמצאים בשבט כ-240 מינים, אולם הסיווג המודרני של חלק מן המינים נמצא בתהליכי שינוי מתמידים בעקבות מחקרים מולקולריים חדשים.
כך, נראה כי כמה מהמינים עשויים לעבור לחסותן של משפחות אחרות.
הסוגים Euphonia ו-Chlorophonia, שבעבר נחשבו לחלק ממשפחת הטנגריים, נחשבים כיום לחלק ממשפחת הפרושיים.
בדומה לכך, נראה כי הסוגים Piranga, Chlorothraupis ו-Habia משתייכים למשפחת הקרדינליים.
מינים נוספים עברו לכמה משפחות נפרדות כמו פסרליים, פאינקופיליים וטנגרי בננה.
סוג ומין יחיד פרוש עלווה זיתני (Certhidea olivacea)
סוג ומין יחיד Lamprospiza melanoleuca - ייתכן ששייך למשפחה עצמאית
Mitrospingus - ייתכן ששייך למשפחה עצמאית
סוג ומין יחיד Orthogonys chloricterus - ייתכן ששייך למשפחה עצמאיתOryzoborus
סוג ומין יחיד פרוש אי הקוקוס (Pinaroloxias inornata)
סוג ומין יחיד פרוש עב-מקור צמחוני (Platyspiza crassirostris)
סוג ומין יחיד Rhodinocichla rosea - לעיתים מסווג במשפחה עצמאית
Spindalis - ייתכן ששייך למשפחה עצמאית
מלאני טאנדיווה "טנדי" ניוטון היא שחקנית קולנוע וטלוויזיה אנגלייה, זוכת פרס באפט"א ופרס אמי על השתתפותה בסדרה "וסטוורלד" מבית רשת HBO.
עוד היא מוכרת בשל משחקה בסרטים "משימה בלתי אפשרית 2", "התרסקות", "המרדף לאושר", "נורביט" ו"2012".
ניוטון נולדה בלונדון, בתם של ניק וניישה ניוטון שהיגרה לאנגליה מזימבבואה.
שמה "טאנדיווה" פירושו "אהובה", ומקורו בשפת הזולו.
ניוטון למדה אנתרופולוגיה חברתית באוניברסיטת קיימברידג' וסיימה את לימודיה לתואר ב-1995.
ניוטון ערכה את הופעת הבכורה שלה בקולנוע ב-1991 בדרמת הנעורים האוסטרלית "פלירט" לצד השחקנית הצעירה ניקול קידמן.
בהמשך שיחקה בדרמת האימה מועמדת 2 פרסי אוסקר המבוססת על הרומן מאת אן רייס "ראיון עם הערפד"; ניוטון הופיעה בתפקיד משני בתור ווייבאט, עוזרת הבית של הערפד לואיס דו לאק (בראד פיט).
ב-1998 שיחקה ניוטון בדרמה "חמדת" המבוססת על הרומן זוכה פרס פוליצר של טוני מוריסון באותו השם; בסרט גילמה ניוטון צעירה בשם חמדת ההופכת לבת בית אצל סת' (אופרה וינפרי) אך מאיימת על שלוות נפשה.
בנוסף שיחקה ניוטון גם בדרמה של ברנרדו ברטולוצ'י "התקרבות".
בשנת 2000 הופיעה בסרט ההמשך למותחן הפעולה "משימה בלתי אפשרית", בו גילמה את ניה הול, גנבת מקצועית המצטרפת אל איתן האנט (טום קרוז) במשימה חשאית ומסוכנת ברחבי אוסטרליה.
ב-2004 השתתפה ניוטון בדרמת הפשע זוכת 3 פרסי אוסקר של פול האגיס, "התרסקות".
על הופעתה הדרמטית בסרט זכתה ניוטון לשבחי הביקורות וכן זכתה בפרס באפט"א.
בסרט גילמה ניוטון את דמותה של כריסטין ת'ייר, אשתו של במאי קולנוע (טרנס הווארד), המוטרדת מינית על ידי שוטר (מאט דילון), לאחר שזה עוצר את מכוניתם; יום מאוחר יותר מכוניתה מתהפכת בתאונת דרכים, וחייה ניצלים על ידי אותו שוטר.
בנוסף שיחקה ניוטון בסרט ההמשך למותחן הפעולה הבדיוני "פיץ בלאק", "רידיק: המסע מתחיל", בו גילמה את דיים ואקו, אשתו של מפקד כוחות האופל "הנקרומונגרים" (קארל אורבן).
ב-2006 שיחקה בדרמה "המרדף לאושר" וגילמה את לינדה, אשתו של כריס גרדנר (ויל סמית'), שעוזבת אותו ומשאירה אותו עם בנו.
ב-2007 הופיעה ניוטון בקומדיה "נורביט", בה גילמה את קייט תומאס, אליה נקשר בילדותו גיבור הסרט נורביט (אדי מרפי), בהמשך היא עוזבת אותו, וכשהוא מבקר בבית היתומים בו גדל - היא מבקרת שם במפתיע והאהבה הישנה מתעוררת לחיים.
ב-2008 גילמה ניוטון את דמותה הפוליטית של מזכירת המדינה של ארצות הברית קונדוליזה רייס בדרמה הביוגרפית "W.".
בנוסף שיחקה בסרט הפשע של גאי ריצ'י "רוקנרולה" וגילמה את סטלה, מנהלת החשבונות של המיליארדר הרוסי המאיים יורי אובומביץ'.
ב-2009 שיחקה ניוטון בתפקיד ראשי בסרט האסונות של רולנד אמריך "2012", בו גילמה את לאורה וילסון, בתו של נשיא ארצות הברית תומאס וילסון (דני גלובר).
ב-2013 שיחקה בסדרת הטלוויזיה "חוצה את הקווים".
מ-2016 משחקת בסדרת הטלוויזיה "וסטוורלד" של HBO בתפקיד מייב.
ב-2017 שיחקה בסדרת הטלוויזיה "שחיתות" של הבי.בי.סי בתפקיד רוז.
בשנת 1998 נישאה ניוטון לבמאי ומפיק הקולנוע אול פארקר, יש להם שלושה ילדים: הבנות ריפלי (ילידת 2000) וניקו (ילידת 2004), גם היא שחקנית, והבן בוקר ג'ומבה (יליד 2014).
ניוטון היא טבעונית וזכתה בתואר "הטבעונית הסקסית ביותר של 2014" מטעם ארגון PETA בבריטניה.
+שנהסדרהתפקידהערות1991Pirate Princeבקי ניוטוןסרט טלוויזיה1997In Your Dreamsקליירסרט טלוויזיה של BBC2003–2009ERמקמבה "קאם" ליקאסו.14 פרקים2006אבא אמריקאידיבוב; פרק: "Camp Refoogee"2013–2015חוצה את הקוויםגרייס "ג'קי" טראוויסתפקיד ראשי (עונות 1–2)
תפקיד חוזר (עונה 3); 24 פרקים2015הסטירה (אנ')איישהמיני-סדרה2016–2022וסטוורלדמייב מיילי (אנ')תפקיד ראשי (4 עונות); 36 פרקים
מועמדת פרס גילדת שחקני המסך על הופעה יוצאת מן הכלל של שחקנית בסדרת דרמה (אנ') (2016)2017שחיתותרוז הנטלייתפקיד ראשי (עונה 4); 6 פרקים2019–2023פה גדולמונהדיבוב; 27 פרקים2022–2023משאבי אנושדיבוב; 9 פרקיםTBAThe Wanted Man סדרה עתידית של אפל TV פלוס
במתמטיקה, טנזור אנטי-סימטרי הוא טנזור שעבורו החלפת זוג אינדקסים מחליפה את הסימן; לכן מתקיים לכל תמורה .
מטריצה אנטי-סימטרית היא טנזור אנטי-סימטרי דו-ממדי.
לדוגמה, טנזור לוי-צ'יויטה וטנזור השדה האלקטרומגנטי הם טנזורים אנטי-סימטריים.
טנדר או מטענית הוא כלי רכב קל להובלת מטען, שלפי התקן האמריקאי משקלו אינו עולה על 6,300 קילוגרם.
בארצות הברית וקנדה נחשב כלי רכב זה למשאית קלה (light truck).
השימוש במילה טנדר לתיאור כלי רכב זה קיים רק בעברית.
באנגלית משמשת המילה tender לסוגים שונים של כלי תחבורה המיועדים לצורכיהם של כלי תחבורה אחרים, ביניהם קרון מיוחד הרתום לקטר קיטור ונושא עבורו דלק ומים, ואונייה המשמשת למטרות אספקה לאוניות צי.
בתקופת מלחמת העולם הראשונה יצרה חברת קרוסלי הבריטית רכב עזר למטוסים עבור ה-Royal Flying Corps (ולימים גם עבור חיל האוויר המלכותי).
שמו של הרכב, בדומה לקרון ולאונייה, נקבע לפי תפקידו - טנדר קרוסלי (באנגלית Crossley Tender).
מאוחר יותר, בשנות ה-20 של המאה ה-20, השתמשה גם המשטרה הבריטית בטנדר קרוסלי, בין השאר בארץ ישראל.
שם הדגם חדר אז לשפה העברית כשם עצם והפך לשמו הגנרי של סוג הרכב.
השם העברי מִטְעָנִית נקבע במילון למונחי הנדסת דרכים שפרסמה האקדמיה ללשון העברית בשנת תש"ן (1990).
המילה חודשה על פי שמות כלי רכב רבים בסיומת ־ִית, ובהם מוֹנִית, מַשָּׂאִית, טִיּוּלִית, כַּבָּאִית ואף חֲלָלִית ומְכָלִית.
כל אלו נוצרו בהשראת המילה מְכוֹנִית, חידושו של איתמר בן אב"י בתחילת המאה ה-20.
ברוב הארצות דוברות האנגלית מכונה כלי רכב זה פיקאפ (בארצות הברית ובקנדה: pickup truck, light duty truck או truck; בבריטניה ובאירופה: pickup).
באוסטרליה ובניו זילנד מכונה כלי רכב זה ute, קיצור המילה utility.
בדרום אפריקה טנדר נקרא Bakkie, מקור המילה באפריקאנס.
הטנדר מורכב מתא נהג (קבינה) שמאחוריו ארגז פתוח או סגור למטען.
טנדרים אמריקאים מוצעים גם ללא ארגז מטען בכלל, ועם מרכב אחוד שמהווה חלק בלתי נפרד ממנו בדומה למשאית אחודה (טנדר עם מכלית או מכולה למשל).
מקובל לחלק את הטנדרים לקבוצות לפי גודל תא הנהג - בעלי תא נהג ובו שורה אחת של מושבים (חד-קבינה) לעומת בעלי תא נהג שבו שתי שורות מושבים (דאבל-קבינה), ולחלופין לפי הגודל - טנדר גדול, בינוני, או קטן.
השם טנדרון משמש לרכב מסחרי קטן יותר, בדרך כלל סגור, שאין בו חלוקה בין תא הנהג למטען.
הטנדר משמש בעלי עסקים קטנים, טכנאים, שיפוצניקים וחקלאים.
רוב הטנדרים הם גם רכב שטח, בעלי הנעה כפולה ומאפיינים נוספים של רכב שטח כמו נעילת דיפרנציאל, דבר שהופך אותם למתאימים לחקלאות (לצד הטרקטור הייעודי).
בישראל, טנדרים בעלי הנעה כפולה, משמשים תכופות לטיולי שטח ולא רק כרכבי עבודה.
בארצות הברית וקנדה, טנדרים משמשים בעיקר לחקלאות, כמשאית וכסמל סטטוס (הסיבה השלישית מסבירה מדוע פלח השוק של הטנדרים בארצות הברית וקנדה בכלל ובפרט פורד סדרה F, גבוה מזה של מכוניות הנוסעים).
ב-1936 הוקם המשמר הנע ככוח חמוש של משטרת היישובים העבריים, רכוב על טנדרים.
ההילה הרומנטית סביב המשמר הנע והשיר שנכתב עליו ב-1939: "הטנדר נוסע" (מילים יעקב אורלנד, לחן משה וילנסקי, הושר במקור בפי אסתר גמליאלית.
לאחר מכן ביצעו את השיר עוד זמרות כגון שושנה דמארי, יונה עטרי ועפרה חזה), עיגנו את הטנדר במודעות העברית.
טָנֵגַשִימָה (ביפנית: 種子島) הוא אי, חלק ממחוז קגושימה בדרום יפן.
האי הוא השני בגודלו בקבוצת איי אוסומי.
טנגשימה הוא אי נמוך מאורך, השוכן דרומית לאי קיושו.
אורכו 57.5 קילומטרים מצפון לדרום, ובין 5 ל-12 קילומטרים ממזרח למערב.
האורך הכולל של חופי האי הוא 186 קילומטרים, שטחו 445 קילומטרים רבועים וגובהו המקסימלי 282 מטרים.
יערות מנגרובים נפוצים בחלק מהאזורים.
באי מתגוררים 33,000 תושבים ויש בו יש עיר אחת: נישינוֹמוֹטֶה (西之表) השוכנת בנפה שעל שמה, ושתי עיירות: נקאטנֶה (中種子) ומינאמיטנה (南種子), השייכות לנפת קומגה.
האי מעובד באינטנסיביות ומרבית התושבים מתפרנסים מחקלאות ומדיג.
לאי ניתן להגיע במעבורות מקגושימה או בדרך האוויר.
ל"נמל התעופה החדש של טנגשימה" (), קוד יאט"א TNE מגיעות טיסות יומיות מקגושימה ומאוסקה
האקלים בטנגשימה הוא סובטרופי גשום, המאופיין בגשמים בכל השנה, כשמרבית המשקעים יורדים בתקופת האביב והקיץ.
החורף קר יחסית, אבל שלג כמעט שאינו יורד באי.
הטמפרטורה השנתית הממוצעת היא 19°C, הטמפרטורה המינימלית הממוצעת היא 1°C, המקסימלית היא 33°C, וכמות המשקעים נעה בין 2,000 ל-2,500 מ"מ גשם.
בדרום טנגשימה נתגלו כמה אתרים מהתקופה הפלאוליתית העליונה, בהם יוקומינה (Yokomine), טצ'יקירי (Tachikiri) ואוצובובאטה (Ōtsubobata).
באחרון נתגלו מלכדות ציד הקדומות ביותר שנתגלו ביפן המתוארכות לפני כ-30,000 שנים.
אתר קבורה שנתגלה בהירוטה (Hirota), גם היא בדרום האי מעיד על התרבות המפותחת יחסית והייחודית של שלהי תקופת יאיואי ותחילת תקופת קופון בסוף המאה הרביעית לספירה.
בצמוד למרבית מרבית הקבורים באתר נתגלו תליונים ומחרוזות עשויים מקונכיות שעברו סיתות ועיבוד.
ב-1184 הובס שבט טאירה (平), משפחה של סמוראים, על ידי מינאמוטו נו יוריטומו בקרב דאן נוֹ אוּרה.
בני השבט הוגלו לטנגשימה, מקיוטו שבה התגוררו.
זו הסיבה לכך שעד היום מדברים תושבי האי במבטא האופייני לקיוטו ולא במבטא של קיושו או קגושימה למרות הקרבה הגאוגרפית.
בני השבט לקחו עימם, אומנים ובעלי מלאכה מקיוטו.
החולות של טנגשימה עשירים בברזל, והאומנים שהגיעו מקיוטו פיתחו שיטות מקוריות לחישול והשחזה של המתכת.
ליכולות אלו הייתה חשיבות מיוחדת כאשר האירופאים הראשונים הגיעו ליפן במאה ה-16.
טנגשימה היה המקום הראשון ביפן אליו הגיעו אירופאים, אך אין הסכמה על המועד המדויק, האם היה זה ב-1542 או ב-1543. בספרו "טנגשימה: הגעתה של אירופה ליפן" טוען הפרופסור השוודי אולוף לידין (Olof G.
Lidin) כי לאחר שהצליב בין מקורות פורטוגזים למקורות היפניים הוא הגיע למסקנה כי האירופאים הראשונים שהגיעו ליפן היו צמד סוחרים פורטוגזים שנחתו בכף קדוקורה בקצה הדרומי של טנגשימה על סיפונה של ג'ונקה סינית ב-23 בספטמבר 1543. גם על שמם של השניים שהגיעו אין הסכמה.
המקור הידוע ביותר על הגעתם של הפורטוגזים לטנגשימה, אם כי הוא שנוי במחלוקת, התפרסם שבעים שנים אחר כך.
ב-1613 התפרסמו בליסבון זיכרונותיו של ההרפתקן, מגלה הארצות והסוחר פרנאו מנדש פינטו, בשם Peregrinaçam (מילולית "עלייה לרגל" בפורטוגזית עתיקה, אם כי מקובל לתרגם כ"מסעות").
פינטו, שמת 30 שנים לפני שיצא ספרו לאור, טען כי היה בין שלושת הפורטוגזים הראשונים שהגיעו לטנגשימה וכי שהו באי חמישה חודשים.
מרבית החוקרים סבורים כי סיפורו הוא בדיה, וכי שמע את הסיפור האמיתי והחליט לשלב את עצמו בו.
הספר מפרט שמות מקומות קיימים ונראה כי פינטו אכן היה בטנגשימה, אבל לא במפגש הראשון.
מכל המקורות שיש בידנו כיום ברור שהיפנים התרשמו במיוחד מהארקבוזים, מעין סוג מוקדם של רובה מוסקט, כלי הנשק שנשאו הפורטוגזים עמם.
אבק השרפה הומצא בסין וההמצאה הגיעה ליפן לפני שהגיעה לאירופה, אלא שהשימוש הצבאי שעשו היפנים באבק השרפה היה בהפעלת תותחים פרימיטיביים בלבד.
הם רכשו את הרובים מהפורטוגזים, ומכיוון שכאמור הייתה כבר באי תעשיית ברזל מפותחת, ואומנים מוכשרים, הם הצליחו להעתיק את הדגם הפורטוגזי.
תוך תקופה קצרה החל האי לייצא ליפן גופא את הרובים, שקיבלו עקב כך ביפן את הכינוי "טנגשימה".
המסורת של חישול פלדה והשחזתה נמשכת עד ימינו.
הסכינים תוצרת טנגשימה, המכונים "טנגשימה הוצ'ו" (סכיני טנגשימה) נמצאים בשימוש נרחב, ושפים רבים בקיוטו ובקנסאי משתמשים בהם.
בדומה, רבים מבין העוסקים באמנות הבונסאי מעדיפים להשתמש ב"טאנה-באסמי" (מספריים של טנגשימה).
המטה של הסוכנות היפנית לחקר החלל שוכן בנמל החלל של מרכז החלל טנגשימה (種子島宇宙センター) בחלקו הדרום מזרחי של האי.
מרכז החלל הוקם ב-1969 כאשר הוקמה הסוכנות והוא מנוהל על ידיה.
הפעילות המתרחשות במרכז כוללות הרכבה, ניסוי שיגור ועקיבה של לוויינים, כמו גם ניסויים במנועים רקטיים.
מרכז החלל כולל מוזיאון המוקדש לחקר החלל והוא האטרקציה התיירותית העיקרית באי.
טנה פרנץ' היא סופרת אירית ילידת ארצות הברית.
טנה פרנץ' נולדה בורמונט ארצות הברית, להלנה הוסטופ-לומברדי ודוד פרנץ'.
ילדותה עברה עליה במספר מדינות ביניהן: אירלנד, איטליה ורפובליקת מלאווי.
אביה היה כלכלן, שעבד בניהול משאבים, בעיקר עבור מדינות מתפתחות.
לכן עברה המשפחה ממדינה אחת לשנייה בהתאם לעבודת האב.
עובדה זו אפשרה לה להכיר ולספוג מגוון רב של תרבויות שהשפיעו על כתיבתה.
פרנץ' קבלה תואר בוגר מטעם קולג' טריניטי בדבלין במשחק ובאנגלית.
כשחקנית תיאטרון שחקה מגוון דמויות: מדמויות כמו טטיאנה, מעודדת ההופכת לרוצחת שכירה ועד לתפקיד של ילד בן עשר.
כמו כן השתתפה במספר סרטים.
משנת 1990 היא תושבת אירלנד וחיה עם בעלה ובתה בדבלין, בעלת אזרחות כפולה אמריקאית ואירית.
תחום כתיבתה העיקרי הוא ספרות מתח.
:ספרה הראשון "בלב היער", רב מכר של הניו יורק טיימס, עוסק בבלש (רוברט ריאן) העוסק בפתרון של חידת רצח נערה צעירה ועבודתו זו מעוררת בו זיכרונות כאובים מילדותו.
ספרה השני "דומות", גם הוא רב מכר של הניו יורק טיימס, מספר את סיפורה של הבלשית קאסי מדוקס המפענחת רצח בחורה צעירה הנראית ככפילה של הבלשית עצמה.
בית הקיסוס תרגום: ארז אשרוב הוצאת מודן, 2023
המקום הסודי תרגום: דורית בריל-פולק הוצאת מודן, 2019
חוף רפאים תרגום: מתי בן יעקב הוצאת מודן 2013
בית מספר שש עשרה תרגום: מתי בן יעקב הוצאת מודן 2012
דומות תרגום: מתי בן יעקב הוצאת מודן שנת הוצאה 2010
בלב היער תרגום: מתי בן יעקב הוצאת מודן, 2007.
פרס אדגר הרומן הטוב ביותר, עבור ספרה "בלב היער" - 2008
פרס אנתוני (Anthony Award) הרומן הטוב ביותר, עבור ספרה "בלב היער" - 2008
Macavity Award פרס ראשון לספרות המתח, עבור ספרה "בלב היער"
Barry Award הרומן הטוב ביותר - 2008
מועמד סופי מטעם הלוס אנג'לס טיימס עבור ספרות מתח ומסתורין - 2007
טנונטוזאורוס (שם מדעי: Tenontosaurus; משמעות השם: "לטאת גיד") הוא סוג דינוזאור מקבוצת האורניתופודים שחי באזור אמריקה הצפונית המערבית של ימינו מלפני 115 עד 108 מיליון שנים (תת-תור הקרטיקון התחתון).
בדומה לשאר האורניתופודים הוא היה אוכל צמחים.
נכון להיום ידועים שני מינים של טנונטוזאורוס: T.
הראשון הוא המין המייצג של סוג זה שהתגלה במגוון תצורות בארצות הברית, ואילו השני ידוע רק מתצורת הרי התאומים שבטקסס.
טנונטוזאורוס בוגר הגיע לאורך שנע בין 6.5 ל-8 מטר ולגובה מקסימלי של 3 מטר בעמידה על שתיים (בעמידה על כל ארבע רגליו גובה המותניים היה בין 1.5 ל-1.7 מטר).
הוא היה דינוזאור בינוני-גדול, כאשר משקלו נע בין 900 ל-2,000 ק"ג.
התכונה שייחדה את הטנונטוזאורוס מאיגואנודונטים אחרים הייתה זנבו, שהיה ארוך בהרבה מהרגיל אצל קבוצה זו (אורך הזנב מהווה יותר מחצי מהאורך הכולל של החיה) והיה עבה וקשיח מאוד בנוסף.
קשיחות הזנב התאפשרה על ידי סדרה של גידים עבים שעברו לאורכו שהתחילו מגב החיה.
מיני הטנונטוזאורוס היו בעלי מקור קשיח בצורת האות "U", ושיניו היו בעלי משטח זוויתי ששימש לחתיכת חלקי הצמחייה שהם אכלו.
מאובן הטננוטוזאורוס הראשון התגלה במחוז ביג הורן שבמונטנה בשנת 1903 על ידי משלחת של המוזיאון האמריקאי לתולדות הטבע.