tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לשיטתו, אם יופרדו המקורות זה מזה, תתקבלנה ארבע יחידות בעלות רצף סגנוני ונרטיבי אחיד, שכל אחת מהן חופשית מסתירות ויכולה לעמוד בפני עצמה כטקסט עצמאי.
כל אחת מן היחידות כוללת חטיבה סיפורית וחטיבה חוקית, בעלת מאפיינים מובחנים.
את מלאכת העריכה הייחודית הזאת, ששזרה זה בזה מקורות ספרותיים שונים מבלי להשמיט, לשנות או להתערב באופן משמעותי בתכנם ובלשונם, תלה ולהאוזן בקדושה שייחס העורך למקורותיו.
החלוקה למקורות לפי אסכולת ולהאוזן
תלמידיו, עמיתיו ורבותיו של ולהאוזן, כגון גונקל, אטקה, דה-וטה וגראף, זכו לכינוי "אסכולת ולהאוזן" של ביקורת המקרא.
המטרה שהציבו לעצמם הייתה לשוב ולחלק את הטקסט המקראי (ובייחוד את חמשת חומשי התורה) לתעודות השונות שמהן, להערכתם, הוא הורכב.
בין חברי האסכולה שררה הסכמה כי לפחות ארבעה מקורות בסיסיים שימשו כאבני הבניין של התורה.
מקורות אלה סומנו באותיות J, E, P ו-D.
המקור היהוויסטי (Jehovist – J) – לשיטת ולהאוזן, זה המקור הקדום ביותר.
הוא מכנה את האל בשמו המפורש ומייחס לו לעיתים קרובות תכונות אנושיות.
משערים כי מוצא החיבור בממלכת יהודה.
ולהאוזן תיארך אותו למאה ה-9 לפנה"ס, אך כיוון שהממצאים הארכאולוגיים אינם מעידים על אוריינות נרחבת ביהודה בתקופה זו, היו שהעדיפו לאחרו למאה ה-7 לפנה"ס.
קובץ החוקים שזוהה עם מקור זה הוא זה המובא ב, אך יש הטוענים שהחוקים מקורם בתעודה נפרדת, ששולבה בטקסט רק בשלב מאוחר יותר.
המקור האלוהיסטי (Elohist – E) – בשל האזכורים הרבים של שבטי הצפון ושל אתרים גאוגרפיים ופולחניים צפוניים במקור זה, מעריכים שמוצאו בממלכת ישראל.
משערים שהקובץ התחבר כמקור עצמאי, ובשלב מאוחר יותר שולב בטקסט על ידי העורך האלוהיסטי.
המקור הדברימי (Deuteronomist – D) – נתחבר ביהודה בתקופת המלכות המאוחרת, ונותן ביטוי אידאולוגי לרפורמה של יאשיהו.
בניגוד לשלושת המקורות האחרים, השזורים זה בזה בספרי התורה השונים, המקור הדברימי מהווה ברובו יחידה אחת המרוכזת בספר דברים.
תוכנו העלילתי מצומצם, והוא נשען במידה רבה על המקור האלוהיסטי.
חוקיו מדגישים את ריכוז הפולחן במקום אחד ולאל אחד, בהתאמה לרפורמה של יאשיהו.
המקור הכהני (Priestly – P) – מקור זה הוא המפותח והארוך ביותר, והוא כולל את רוב ספר ויקרא ופרקים רבים בבראשית, שמות, ובמדבר.
קיימות שתי סברות עיקריות באשר לזמנו ומוצאו.
להערכתו של ולהאוזן, שהיא ההשערה הרווחת בקרב מבקרי המקרא גם בימינו, מוצאו בתקופת גלות בבל או בימי בית שני, שכן הוא מבטא את אופי הפולחן הדתי שהנחילו הכוהנים לעם ישראל לאחר הגלות.
לעומת זאת, יחזקאל קויפמן, בחיבורו המונומנטלי "תולדות האמונה הישראלית", חלק על קביעתו של ולהאוזן כי המקור הכוהני מאוחר למקור המשנה-תורתי.
לטענתו, ס"כ קדום לס"ד, וככל יתר המקורות גם הוא נכתב בימי הבית הראשון.
לימים, קביעה זו התקבלה במחקר הישראלי באופן נרחב, בעיקר על בסיס מחקרו הלשוני של אבי הורביץ, שהציב קריטריונים להבחנה בין העברית המקראית הקדם־גלותית לעברית המקראית הבתר־גלותית, וזיהה את המקור הכהני כמשקף את העברית הקדם־גלותית.
האוחזים בתארוך זה מסבירים את הפער בין הפולחן הכהני לבין הפולחן המשתקף מהמקורות המקראיים המתארים את ימי בית ראשון בכך שס"כ אמנם נכתב בתקופה מוקדמת, אך לא פורסם ברבים, אלא שימש רק בקרב חוג הכהנים המצומצם שחיברו.
ולהאוזן ואנשי חוגו נשענו בהערכותיהם על תפיסה הגליאנית של התפתחות של הדת העברית.
לשיטתם, ארבעת המקורות משקפים שלושה שלבים נפרדים בהתפתחות הדתית של עם ישראל.
J ו-E משקפים את השלב הקדום ביותר, שלב שבו היה המונותאיזם בחיתוליו, והחגים והפולחן נקשרו עדיין לטבע ולעבודת האדמה (ר', למשל, ).
מקור D, שהתחבר לשיטתם בתקופת המלוכה המאוחרת, מייצג שלב ממלכתי וממוסד יותר, ומכאן נובעת נטייתו להפוך את החגים לסמלים לאומיים היסטוריים () ולרכז את הפולחן תחת מרכז שלטוני אחד.
P, לעומת זאת, משקף את ההתפתחות התאולוגית המאוחרת ביותר.
כיוון שנתחבר לאחר חורבן הבית, הוא משקף אידאולוגיה של קדושה שמנתקת את הפולחן והחגים הן מן הטבע והן מן השלטון הארצי.
נוסף לזיהוי המקורות שבבסיס התורה, בחנו המחזיקים בהשערת התעודות את זיקתם של מקורות אלה לספרי המקרא האחרים.
לשיטת ולהאוזן, ספר יהושע הוא חלק בלתי נפרד מן התורה, שבמקור כללה גם אותו.
ספרי שופטים, שמואל ומלכים נכתבו לשיטתו כבר בסביבות המאה ה-8 לפנה"ס (בתקופת התחברותו של E), אך עברו עריכה משמעותית על ידי העורך הדברימי בתקופת המלכות המאוחרת, ולפיכך משקפים את המגמות התאולוגיות שלו.
נביאים ראשונים מקיימים אף הם זיקה לאידאולוגיה הדברימית, ואילו יחזקאל ודברי הימים מגלמים את השקפת העולם של P.
ככל שהתפתחה ושוכללה התאוריה, הציעו חוקרים שונים לחדד את האבחנות וזיהו שכבות נוספות בארבע התעודות שצוינו לעיל.
יתר על כן, מלאכת עריכת המקורות ושזירתם זה בזה תוארה כתהליך הדרגתי, שנמשך לאורך דורות והיו מעורבים בו עורכים שונים.
לדעת רוב החוקרים, התעודות J ו-E מוזגו בשלב מוקדם יחסית לחיבור אחד (JE) על ידי עורך יהודאי שפעל לאחר נפילת ממלכת ישראל.
בהמשך, אם בתקופת מלכות יאשיהו אם בשלב מאוחר יותר, צורף JE ל-D, וכך התקבל חיבור המורכב משלושה מקורות (JED).
רק בשלב האחרון, בתקופת הגלות או בימי בית שני, צורפה לחיבור גם התעודה הכהנית (P), ונוצרה התורה במתכונתה הנוכחית.
חוקרים שונים זיהו רובדי עריכה נוספים בכל אחת מן התעודות גופה.
כך למשל, מעריכים רבים כי המקור הדברימי (D) מורכב אף הוא מכמה שכבות.
לפי סברה זו, בשלב הראשון (Dtn) כלל המקור את קובץ החוקים לבדו (-); בשלב השני (Dtr1), המתוארך לתקופת הרפורמה של יאשיהו, נערך הקובץ מחדש ונוספו לו ההקדמה הקושרת אותו לנאומי הפרידה של משה (-), ורשימת הברכות והקללות המובאת בסופו (-).
בתקופת גלות בבל נערך החיבור שוב (Dtr2), ונכללו בו קטעים נוספים, חלקם מבוססים על מקורות קדומים (למשל, שירת האזינו) וחלקם תוספות מאוחרות.
חוקרים אחרים ניסו להפריד בין שכבות עריכה שונות גם בתעודה היהוויסטית, והיה אף מי שהציע שהיא עצמה נשזרה משני מקורות עצמאיים.
החלוקות החוזרות ונשנות הללו והמחלוקות בין החוקרים היו לאחד ממוקדי הביקורת של מתנגדי השיטה.
עם התפתחות השערת התעודות, ובייחוד במרוצת המאה העשרים, קמו לה כמה וכמה גישות מתחרות.
מיעוט חוקרים ישראלים צידדו בהתנגדות המסורתית לעצם המסקנה שהתורה איננה אחידה.
טענה מרכזית המאפיינת גישה זאת, שהובעה למשל בידי משה צבי סגל (1876–1968), היא שזיהוי אי-האחידות בטקסט נובע מניתוח מוטעה, שנעשה על סמך קריטריונים ספרותיים מודרניים שאינם מייצגים את ציפייתו של קהל הקוראים הקדום.
לעיתים לטובת טענה זאת מוצעות מקבילות ספרותיות מהעולם העתיק המדגימות את ההבדלים בין הקריטריונים הספרותיים המודרניים והעתיקים, מתודולוגיה שמייצגה הבולט היה משה דוד קאסוטו (1883–1951).
מתודולוגיה חלופית שנעשה בה שימוש היא ניתוח הטקסט לפי אלגוריתמים ממוחשבים לבחינת אחידות סגנונית.
אלגוריתמים כאלה לא מצאו הבדלים סגנוניים מובהקים בין הקטעים המיוחסים לס"א לבין אלה המיוחסים לס"י, אם כי כן מצאו הבדלים כאלה בין הקטעים המיוחסים לס"א ולס"י לבין אלה המיוחסים לס"כ.
עם זאת, הרוב המכריע של חוקרי המקרא קיבלו את המסקנה העקרונית בדבר אי-אחידותה של התורה, אך הציעו הסברים שונים ודרכים אחרות לגשת לבעיה.
גישה זו הועלתה לראשונה כבר במחצית השנייה של המאה ה-18 על ידי התאולוג הסקוטי אלכסנדר גדס (1737–1802), ובעקבותיו, על ידי התאולוג והבלשן הגרמני, יוהאן סברין פאטר (1771–1826).
לשיטתם, התורה אינה מורכבת מארבע תעודות, אלא ממספר רב של מקטעים באורכים משתנים, שחוברו יחד בשלבים שונים.
החלקים הקדומים ביותר בתורה, לשיטת המחזיקים בגישה זו, הם קובצי החוק.
גישה זו מציעה שהתורה התבססה ברובה על מקור אחד, שהוא שהעניק לה את המבנה התמאטי הבסיסי שלה.
במרוצת הדורות נוספו למקור זה חומרים רבים ממקורות שונים, והוא עבר עריכות חוזרות ונשנות.
התוספות ומעשי העריכה הרבים הם האחראיים לריבוי הכפילויות והמתחים בטקסט, כמו גם למגוון הלשוני-סגנוני שלו.
חקר המסורות התפתח מתוך חקר הסוגות.
חקר הסוגות יוסד על ידי תלמידו של ולהאוזן, החוקר הגרמני הרמן גונקל (1862–1932).
גונקל קיבל את הנחות היסוד של השערת התעודות והציע את גישתו כנדבך נוסף בשיטת מורהו.
הוא גרס כי אין די בחלוקה לארבעת המקורות הספרותיים, וכי על מנת להבינם טוב יותר יש לתת את הדעת על היחידות המצומצמות יותר המרכיבות כל אחד מהם, אך נבדלות זו מזו מבחינת סוגתן: יחידות סיפוריות, יחידות פואטיות, יחידות חוק וכו'.
לטענת גונקל, כל יחידה כזו התפתחה באופן עצמאי ונמסרה בעל פה לאורך דורות לפני שהועלתה על הכתב.
ניתוח היחידות לסוגותיהן השונות יאפשר, לשיטתו, לעמוד על הרקע ההיסטורי והחברתי שעמד ביסוד היווצרותן.
גישתו של גונקל אומצה על ידי הוגו גרסמן (1877–1927), שבחן את הסיפורים העוסקים במשה, ועל ידי אלברכט אלט (1883–1956), שבחן את יחידות החוק ופיתח את האבחנה בין החוקים הקזואיסטיים לחוקים האפודיקטיים בתורה.
שיטה זאת הייתה המסד שמתוכו צמח חקר המסורות, אך עם התפתחותו, נזנחה למעשה החלוקה המקורית של התורה לתעודות עצמאיות.
השניים הניחו שהחומר העלילתי בתורה מורכב ממסורות בעל־פה שונות, ומיינו אותו לגושים סיפוריים על פי עקרונות תמטיים: סיפורי יציאת מצרים, סיפורי הכניסה לכנען, סיפורי ההבטחה לאבות וכן הלאה.
כל אחד מן הגושים הסיפוריים התפתח, לשיטתם, באופן עצמאי לחלוטין באזורים גאוגרפיים שונים, ורק לאחר מכן, הם חוברו יחד לכלל נרטיב אחד.
כך, לדוגמה, לשיטת נות, סיפורי יעקב נולדו באזור שכם ובית אל, סיפורי אברהם באזור חברון וסיפורי יצחק בבאר שבע.
שלוש המסורות העצמאיות הללו חוברו יחד עוד בשלב האוראלי באמצעות סכמה גנאלוגית, שקשרה זה לזה את שלושת הגיבורים בקשר משפחתי.
מטרת הניתוח הביקורתי בגישה זו היא לאתר את הגרעין הבסיסי ביותר של כל אחד מגושי הסיפורים, כדי לעמוד על הרקע ההיסטורי שבתוכו הוא נוצר ועל ההתפתחות שעבר בתהליכי המסירה.
מי שהמשיכו בקו זה, תוך ביקורת רבה על נות, היו רולף רנדטורף ובייחוד תלמידו, ארהרד בלום.
הם פירקו את הטקסט לגרעיני מסורות נפרדים, שיצרו להשערת בלום שכבה כהנית ושכבה דויטרונימיסטית שאוחדו באופן מגושם אי-שם בתקופה הפרסית.
מחקריו של האחרון בשנות ה-80 היו אחד הגורמים המכריעים בהוצאתה של השערת התעודות מן הקונצנזוס המחקרי, במיוחד באירופה.
עשרות שנים לאחר שירדה קרנה של השערת התעודות, בדור האחרון ישנה חזרה מסוימת במחקר, במיוחד בצפון אמריקה ובישראל, לגרסאות "מתוקנות" שלה.
אחד החוקרים הבולטים האוחזים בגישה מעין זאת הוא ריצ'רד אליוט פרידמן , הסבור כקויפמן שהמקור הכהני קדם לספר יחזקאל ולמקור המשנה-תורתי, וחובר בחצר המלך חזקיה.
אסכולה מחקרית נוספת, המכונה "השערת התעודות המחודשת", מזוהה עם החוקר הישראלי ברוך יעקב שורץ ותלמידיו.
לשיטה זאת, מעשה העריכה לא היה פעולה הדרגתית שנמשכה לאורך דורות, אלא אירוע חד-פעמי.
ארבע התעודות התקיימו כולן כמסמכים כתובים רצופים ונפרדים, עד שנשזרו זו בזו בימי שיבת ציון, שבהם עלה הצורך לאחד את הגולים השבים לירושלים סביב תורה אחת בעלת מעמד סמכותי.
לפי שיטה זו, הסתירות, הכפילויות, השברים ברצף העלילה והפערים הסגנוניים המצויים בתורה לכל אורכה אינם תולדה של עריכה רשלנית, אלא נובעים מרצונו המודע של המחבר לשמר ככל הניתן את מילותיהן של התעודות המקוריות, שאותן ראה כקדושות.
דוגמאות לניתוח הבדלים בין סיפורי המקרא ולסיווגם למקורות שונים
חומש בראשית נפתח בשני סיפורי בריאה, הנבדלים זה מזה באופן בולט הן בסגנונם והן בתוכנם.סגנונית, פרק א' הוא תיאורי, קצוב ומדויק; האירועים מתרחשים באופן מסודר כשביניהם מוטיבים חוזרים, כגון: "ויהי ערב ויהי בוקר יום אחד", או "ויהי כן".
לעומתו, פרק ב' כתוב בפרוזה.
כפי שניתן לראות, גם שמות האל שונים בשני הפרקים: בפרק א נעשה שימוש בשם "אלהים", ובפרק ב בשם "ה' אלהים".תוכנית, פרק א' הוא סיפור בריאה קוסמולוגי, שבני האדם נבראים בו דו-מיניים והמינים מוצגים בו באופן סימטרי.
לעומתו, בפרק ב' סיפור הבריאה מצומצם יותר וסובב סביב גן עדן, אינו מחולק לימים, וחוה נבראת רק בדיעבד, מצלעו של אדם וכעזר לנגדו.לדעת מבקרי המקרא, הסיבה להבדלים בין הסיפורים היא שכל אחד מהם נובע ממקור אחר: פרק א' מהמקור הכהני (P), ופרק ב' מהמקור היהוויסטי (J).
ספר בראשית פרק א - P המקור הכהני
ספר בראשית פרק ב - J המקור היהוויסטיהמבול
סיפור המבול רצוף כפילויות, סתירות, שברים ברצף העלילה והבדלים במינוח ובסגנון.
כאשר מפרידים את פסוקי הסיפור לפי הקריטריונים הללו, ומצרפים אותם מחדש בהתאמה לפי סדר העניינים המתואר בהם ולפי לשונם, מתקבלים שני סיפורים נפרדים, רצופים ועקיבים:
בסיפור הראשון, בשל רעת האדם ה' מחליט למחות את היקום אשר עשה.
הוא מורה לנח להכניס לתיבה זוג מכל חיה טמאה ושבעה זוגות מכל חיה טהורה, ולאחר מכן מוריד גשם כבד שנמשך ארבעים יום וארבעים לילה ומוחה את כל החי.
עם תום המבול נח שולח את היונה לבדוק האם יוכל לצאת מהתיבה, וכשמתברר שהאדמה יבשה, הוא יוצא ומקריב לה' קרבנות – מהחיות הטהורות הנוספות שלקח עמו.
ה' מחליט לא להשמיד שוב את החי בשל חטאי האדם.
בסיפור השני, היות שכל היצורים משחיתים את דרכם, אלהים מחליט להביא לגוויעתם.
הוא מורה לנח בפירוט כיצד לבנות את התיבה, ומורה לו להכניס לתוכה זוג מכל חיה באשר היא.
לאחר מכן נפתחות ארובות השמים ונבקעים מעיינות התהום, ומים שממלאים את העולם במשך מאה וחמישים יום מביאים לגוויעתם ולמותם של כל החיים.
תאריכים מדויקים מפרטים תהליך של שנה עד להתייבשות הארץ, תוך כדי שנח שולח את העורב לבדוק את מצב ההתייבשות.
לבסוף כשהאדמה יבשה ממים אלהים מצווה על נח לצאת מהתיבה, וללא קרבנות – שהרי אין חיות עודפות שניתן להקריב – אלהים כורת ברית דורות עם נח וצאצאיו שמבטיחה שלא ישנה מבול נוסף, וסימנה הקשת בענן.
את הסיפור הראשון ניתן לשייך לס"י, בין היתר לפי השימוש בשם ה', וההתייחסות האנתרופופתית לה' אשר ניחם ומתעצב אל לבו (ו ו–ז).
כמו כן, ישנה לסיפור זה רציפות עלילתית עם סיפור הבריאה של ס"י, למשל בכך שהחיות שנבראו לכתחילה בעבור האדם תלויות בו ומוכחדות בשל חטאיו.
את הסיפור השני ניתן לשייך לס"כ, בין היתר לפי השימוש בשם אלהים, התיאורים הטכניים המפורטים, השימוש בתאריכים מדויקים וההימנעות מתיאורים של הקרבת קרבנות בטרם בניית המשכן.
גם כאן, לסיפור זה ישנה רציפות עלילתית עם סיפור הבריאה של ס"כ, בין היתר בתמונת העולם של קיומם של מים מתחת ומעל לשמים, שהופרדו בבריאה וכעת העולם מוכחד באמצעות התאחדותם המחודשת.
בספר בראשית מופיעים שלושה סיפורים על גבר שמציג את אשתו כאחותו: סיפור אברהם הראשון במצרים, ב; סיפור אברהם השני עם אבימלך מלך גרר ב, וסיפור יצחק ב.
סקינר הניח שמדובר בסיפור מקובל בעולם העתיק, והנהוג הוא לשייך את סיפור אברהם הראשון ל-J, את סיפור אברהם השני ל-E, ואת סיפור יצחק ל-J.
הסיפורים מסתמכים זה על זה, באופן שמראה שנערכו לא כלאחר יד - הסיפור השני לא מסביר מדוע אברהם מציג את שרה כאחותו, ומניח שהחשש שאברהם ייהרג בשביל לקיחת אשתו מובן מאליו, והסיפור השלישי מזכיר באגביות את הרעב מהסיפור השני - "ויהי רעב בארץ מלבד הרעב הראשון" ().
פרט לנושא תגובת הבעל, שלא מופיע בסיפור הראשון (לעומת , למשל) הסיפורים מבוססים על הראשון.
הסיבה מועתקת מהסיפור הראשון או לא מפורטת, וכך גם הצגת הבעיה, דברי הבעל הם מפורטים פחות ("אמרי נא אחתי את למען ייטב לי בעבורך" בסיפור הראשון, "אחתי הוא" בשני ובשלישי), בסיפור אבימלך ואברהם הלקיחה מתוארת באופן כמעט זהה ובסיפור יצחק רבקה לא נלקחת.
בשני הסיפורים הראשונים אברהם מקבל מתנות, אך בסיפור השלישי יצחק לא מקבל דבר.
ישנן שתי מערכות של ברכות לשבטים, האחת של יעקב לבניו () והשנייה של משה בסוף ימיו ().
לקורא הרגיל נראה שאין סתירה בין השתיים, והן מקבילות.
אמנם לדבריו של אברהם בר-יוסף ביחס לברכות לשמעון ולוי, בדברי יעקב לשמעון יש ביקורת בוטה ומפורשת: 'ארור אפם כי עז', ובדברי משה "נעלם" כביכול שבט שמעון, וקללת הפיזור של שבט לוי הופכת לברכה - "ברך ה' חילו".
מה הרקע לשינוי הגדול הזה שביניהם?
היכן נעלם שבט שמעון במדבר?
הפתרון המוצע להבדלים הוא הרקע ההיסטורי שבו נאמרו הברכות:
וכך הוא מציע לראות את כל השינויים בברכות השונות כתלויות בהקשר ההיסטורי שלהם.
השערת התעודות, יחד עם חלקים גדולים מגוף מחקר המקרא הביקורתי בכלל, נתקלה בדרך כלל בהתנגדות עזה בקרב רבנים ופרשנים.
מרבית המפרשים האורתודוקסים התנגדו להשערה זו או התעלמו ממנה לחלוטין.
ר' דוד צבי הופמן התנצח באופן ישיר עם תורת התעודות (בפירושו לספר ויקרא שיצא בימיו, וכן בפירושיו על בראשית, שמות ודברים שיצאו אחרי מותו, בתקופות שונות) ועם שיטתו של ולהאוזן בפרט (בספר "ראיות מכריעות כנגד וולהאוזן").
אף הרב הרפורמי ומבקר המקרא בנו יעקב התנגד נחרצות לאסכולת גרף-ולהאוזן ואחז בגישה שמרנית יותר לאופן התפתחות הטקסט.
לעומתם, בניגוד לדעה האורתודוקסית המקובלת, הרב מרדכי ברויאר ב"שיטת הבחינות" שלו קיבל חלקים מטענות הביקורת – את זיהויי הרצפים הסותרים בתורה; אך ראה הן את חיבור המקורות השונים והן את פעולת העריכה שצירפה אותם כמעשים שנעשו בידי ה', כביטויים לדרכי הנהגה שונות של ה' בעולם.
וריאציה של שיטת הבחינות היא שיטת הריבוד הספרותי, שרואה ברצפים סותרים העולים מהכפילויות והסתירות בתורה אמצעי ספרותי מכוון לביטוי מסרים מורכבים; תשתית זו מביאה לשינויים בקריטריונים של החלוקה, שהשיטה טוענת שהם בעלי יתרונות פרשניים על החלוקה של תורת התעודות ומולידים חלוקה קוהרנטית יותר.
לצד פרשנים שדחו את השערת התעודות, ישנם חוקרי מקרא אורתודוקסים האוחזים בה ושהתייחסו למשמעותה מבחינה דתית.
ברוך יעקב שורץ, אבי אסכולת "השערת התעודות המחודשת", מצביע על כך שחקר המקרא מלמד שהאמונה בה' וקיום מצוותיו בידי עם ישראל קדמו מבחינה היסטורית לחיבור התורה.
לפיכך, הוא גורס שהתורה שבכתב מלכתחילה לא הייתה הסיבה שממנה נולדה עבודת ה', ומכאן שהשערת התעודות איננה מעלה או מורידה לגבי תוקפן של האמונה או המחויבות ההלכתית.
השקפה קונסרבטיבית המאמצת את השערת התעודות הביע בנימין זומר, שלדעתו ההבנה שהתורה מורכבת מתעודות מצביעה על כך שהתורה עצמה היא אוסף פרשנויות אנושיות לציווי האלהי שניתן בסיני, פרשנות שהולכת ומתפתחת לאורך הדורות.
השערת הרצף היא טענה שהעלה אבי תורת הקבוצות, גאורג קנטור, לפיה עוצמת הרצף (מסומנת: או או ולעיתים ב- ) היא העוצמה הקטנה ביותר האפשרית של קבוצה שאינה בת מנייה (אומגה אחת).
במילים אחרות, שכל קבוצה אינסופית שאינה בת מנייה, היא לפחות בעלת עוצמת הרצף.
מן ההשערה עולה שהעוצמה של תת-קבוצה של מספרים ממשיים יכולה להיות בדיוק אחת משלוש אפשרויות: סופית, אלף אפס או עוצמת הרצף.
השערה זו הייתה הראשונה ב־23 הבעיות של הילברט.
אחרי עשרות שנים בהן הייתה בעיה פתוחה, הוכיחו קורט גדל ופול כהן כי היא אינה תלויה באקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות, אקסיומות צרמלו-פרנקל (העקביות של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם אם נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה).
עוצמה היא דרך מדויקת להתייחס ל'גודל' של קבוצות אינסופיות.
לשתי קבוצות יש אותה עוצמה אם אפשר לזווג את האיברים שלהן בזוגות: כל איבר בקבוצה אחת מתאים לאיבר בקבוצה השנייה.
קנטור הראה כי עוצמתה של קבוצת המספרים הטבעיים, שמסומנת , היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר.
עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, המכונה עוצמת הרצף ומסומנת (או ), שווה לעוצמה של קבוצת כל תתי הקבוצות של (קבוצת המספרים הטבעיים), אותה מסמנים .
קנטור הראה באמצעות שיטת האלכסון שפיתח, כי העוצמה גדולה יותר מ- .
אף על פי שניסה, לא הצליח קנטור לבנות קבוצה שעוצמתה גדולה מ- וקטנה מ-, ולכן העלה את השערת הרצף שלפיה קבוצה כזו אינה קיימת.
קנטור לא הצליח להוכיח השערה זו.
אות לחשיבות שהייתה לבעיה זו בקרב המתמטיקאים ניתן לראות בכך שהבעיה הייתה הראשונה מבין 23 הבעיות הפתוחות שהילברט הציג בשנת 1900 בתור הבעיות המתמטיות החשובות של המאה ה-20.
מצד שני, בשנת 1963 הוכיח פול כהן שגם הוספת אקסיומה השוללת את השערת הרצף אינה מביאה למערכת לא עקבית, ולכן השערת הרצף עצמאית במסגרת תורת הקבוצות - אין אפשרות להוכיח אותה או את שלילתה על פי האקסיומות של תורה זו.
כדי להוכיח משפט זה פיתח פול כהן את שיטת הכפייה (Forcing).
ב-1943 הוכיחו פאול ארדש ושיזו קקוטני שהשערת הרצף נכונה אם ורק אם אפשר לפרק את הממשיים למספר בן-מנייה של קבוצות, שכל אחת מהן היא קבוצה בלתי תלויה מעל הרציונליים.
תכונה זו אפשר לנסח גם כך: השערת הרצף שקולה לכך שקיימת צביעה של הממשיים במספר בן-מנייה של צבעים, כך שלמשוואה לא קיים פתרון במספרים ממשיים שווי-צבע ושונים.
השערת הרצף נחקרת בין השאר באמצעות עוצמות מוגדרות, שערכן תלוי במערכת האקסיומות.
כמה עוצמות כאלה מוגדרות באמצעות המבנה של אוסף תת-הקבוצות האינסופיות של המספרים הטבעיים.
אלו כוללות כתריסר מאפיינים קומבינטוריים, וכמה מוני-הערכה (add, cov, non, cof) של שני סיגמא-אידיאלים קנוניים של תת-קבוצות (האידיאל של הקבוצות מקטגוריה ראשונה, והאידיאל של הקבוצות בעלות מידת-לבג אפס).
למשל, אומרים שתת-קבוצה אינסופית מפצלת תת-קבוצה אינסופית , אם גם החיתוך וגם ההפרש הם אינסופיים.
המאפיין מוגדר כעוצמה הקטנה ביותר של אוסף תת-קבוצות אינסופיות, שיש בו חבר המפצל כל תת-קבוצה אינסופית נתונה.
המאפיין מוגדר כעוצמה הקטנה ביותר של אוסף תת-קבוצות אינסופיות שאין אף תת-קבוצה אינסופית המפצלת את כולן.
יש מודל של ZFC שבו .
דיאגרמת קיצ'ון מתארת את העוצמה המינימלית של קבוצת פונקציות (מהטבעיים לעצמם) שלכל פונקציה יש בה איבר העולה עליה אינסוף פעמים; ואת העוצמה המינימלית של קבוצת פונקציות שלכל פונקציה יש בה איבר העולה עליה בסופו של דבר.
בהשוואה למאפיינים מן הפסקה הקודמת, מתקיים ו-.
השערת הרצף המוכללת (GCH) אומרת שבין עוצמה אינסופית לעוצמת קבוצת החזקה (הגדולה ממנה לפי משפט קנטור), אין אף עוצמות אחרות.
השערת הרצף המוכללת חזקה די הצורך לגרור גם את אקסיומת הבחירה.
ההוכחה מתבססת על מספרי הרטוג.
השערת הרצף המוכללת מתקיימת במודל הקבוצות הניתנות לבנייה ולכן במובן מסוים "קל" להראות את העקביות שלה.
בנוסף, עבור מודל התחלתי כלשהו של ZFC, קיימת כפייה שמובילה למודל שמקיים את השערת הרצף.
במונים סדירים, משפט איסטון מראה כי ניתן באמצעות כפייה להפר את השערת הרצף כרצוננו כאשר האילוצים היחידים שצריכים להתקיים הם:
המונוטוניות של פונקציית הרצף: אם אז
משפט קניג: כאשר היא הקופינליות של הסודר.
הוכחת העקביות של הפרת השערת הרצף המוכללת, באופן לא טריוויאלי, במונים חריגים היא קשה בהרבה ודורשת הנחת מונים גדולים.
למשל כדי לבנות מודל בו מתקיים חייבים להניח קיום מונה חזק יותר ממונה מדיד.
השערת גאיה היא השערה פסאודו-מדעית לפיה היצורים החיים על פני כדור הארץ נמצאים באינטראקציה עם הסביבה האי-אורגנית ובכך יוצרים מערכת סינרגטית אשר מווסתת ומתקנת את עצמה כדי לשמר ולהנציח את התנאים המאפשרים חיים על פני הכוכב.
על פי ההשערה, הביוספירה והאבולוציה של היצורים החיים על פני כדור הארץ משפיעים על גורמים כגון ההתחממות הגלובלית, מידת המליחות של מי הים רמת החמצן באטמוספירה, ויצירת תהליכים מתקנים אשר משמרים את מערכת היצורים החיים כאשר נוצר חוסר איזון כלשהו.
ההשערה נוסחה לראשונה על ידי ג'יימס לאבלוק בספר The Ages of Gaia וכונתה על שם אלת האדמה גאיה במיתולוגיה היוונית.
ההשערה פותחה על ידי המיקרוביולוגית לין מרגוליס.
הגאולוגים, הביולוגים, ומדעני האטמוספירה מקבלים את השאלה כיצד אורגניזמים משפיעים על סביבתם הקרובה, משנים אותה ולפעמים אף מווסתים אותה, וכן את הדיון על השפעתם המצטברת על אקלים העולם כשאלה מחקרית תקפה.
אולם השערת גאיה בכללותה שנויה במחלוקת ונחשבת לפסאודו-מדע.
ביקורת נוספת נמתחת על ידי מדעני איכות סביבה הטוענים כי ההשערה פוטרת את המזהמים מאחריותם, היות שלפיה כדור-הארץ מרפא ומתקן בעצמו את הנזקים שגורמים להם המזהמים.
הגרסה החלשה של השערת גולדבך (נקראת גם השערת גולדבך האי־זוגית, השערת גולדבך המשולשת, בעיית שלושת הראשוניים והשערת גולדבך החלשה) היא משפט בתורת המספרים, שלפיו כל מספר אי־זוגי שגדול מ־5 הוא סכום של שלושה מספרים ראשוניים.
ההשערה הופיעה בהתכתבות בין כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר ב־1742, יחד עם השערת גולדבך הרגילה.
ההתקדמות המהותית הראשונה לעבר הוכחת ההשערה נעשתה ב־1922 על ידי הארדי וליטלווד.
ב־1937 הוכיח איוואן וינוגרדוב כי ההשערה מתקיימת עבור מספרים שגדולים מקבוע מסוים .
לאחר מכן מתמטיקאים רבים שיפרו את החסמים על הקבוע, עד שלבסוף ב־2013 הצליח הראלד הלפגוט לסגור את הפער בין החסם התאורטי לגבולות הבדיקה החישובית, ולהוכיח בכך את ההשערה.
השערת גולדבך החלשה נקראת כך כי קל להסיק אותה מהשערת גולדבך, שאומרת שכל מספר זוגי שגדול מ־2 הוא סכום של שני ראשוניים.
למעשה השערת גולדבך שקולה לטענה שכל מספר טבעי שגדול מ־5 הוא סכום של 3 ראשוניים.
מהשערת גולדבך החלשה נובע שכל מספר טבעי שגדול מ־7 הוא סכום של 4 ראשוניים.
להלן נספר דוגמאות להצגה של מספר אי-זוגי כסכום של 3 ראשוניים.
קל לראות שאם אחד המספרים בהצגה של כסכום של 3 ראשוניים הוא 2 אז גם מספר נוסף הוא 2. במקרה כזה הוא ראשוני ועוד 4 מה שנהיה נדיר למדי למספרים גדולים.
מאידך, מהטבלה רואים שבדרך כלל יש הצגה כסכום של שלושה ראשוניים שאחד מהם הוא 3. ואכן אם השערת גולדבך הרגילה נכונה אז זה המצב תמיד (הכול מ־7).
כמו כן, רואים מהטבלה, שכמגמה כללית, מספר הייצוגים גדל כשהמספר גדל, אך יש מקרים שבהם הוא קטן.
אכן כבר ההוכחה של וינוגרדוב מראה שמספר הייצוגים האלו שואף לאינסוף כש־ שואף לאינסוף.
אולם, אין די בעובדה זו כדי להוכיח את ההשערה במלואה, כי גם אם מספר הייצוגים שואף לאינסוף זה לא אומר שאין מספר סופי של מקרים שבהם מספר הייצוגים הוא .
השערת גולדבך החלשה נובעת מהשערת גולדבך הרגילה, האומרת שכל מספר זוגי שגדול מ־2 הוא סכום של שני ראשוניים.
ואומנם אם מספר אי־זוגי שגדול מ־5 אז הוא מספר זוגי שגדול מ־2 ולכן אם השערת גולדבך תקפה אז עבור ו־ ראשוניים ומכאן ש־.
באופן דומה קל להראות שהשערת גולדבך החלשה גוררת שכל מספר זוגי שגדול מ־6 הוא סכום של ארבעה ראשוניים (שהרי וכל מספר זוגי שגדול יותר אפשר להציג בצורה כאשר אי־זוגי שגדול מ־5).
הן הגרסה החלשה והן הגרסה החזקה של השערת גולדבך קשורות לקבוע שנירלמן, שהוא המספר הקטן ביותר כך שכל מספר טבעי שגדול מ־1 הוא סכום של לא יותר מ־ ראשוניים.
הקבוע נקרא על שם לב שנירלמן, שהוכיח (באמצעות צפיפות שנירלמן) שקיים קבוע כזה.
לאחר הוכחתו של שנירלמן, מתמטיקאים רבים שיפרו את הקבוע.
השערת גולדבך החלשה גוררת שקבוע שנירלמן לא עולה על 4. עד הוכחתו של הלפגוט החסם הטוב ביותר על קבוע שנירלמן היה 6 .
השערת גולדבך עצמה גוררת שקבוע שנירלמן שווה ל־3. ברור שקבוע שנירלמן לא יכול להיות קטן מ־3.
ישנה גרסה מעט חזקה יותר של השערת גולדבך החלשה, הטוענת כי כל מספר אי־זוגי שגדול מ־7 הוא סכום של שלושה מספרים ראשוניים אי־זוגיים.
הוכחתו של הלפגוט תקפה גם עבור גרסה זו.
מקור הטענה במכתב ששלח כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר ב־1742, ובו הועלתה האפשרות שניתן לכתוב כל מספר שלם כסכום של שלושה מספרים ראשוניים (לרבות, במשתמע, המספר 1, שבדרך כלל אינו נחשב ראשוני).
במכתב התשובה ציטט אוילר השערה אחרת של גולדבך, שעל־פי ניסוחה המקובל היום, ניתן להציג כל מספר זוגי כסכום של שני מספרים ראשוניים אי־זוגיים.
הגרסה החלשה נובעת מהשערת גולדבך, משום שאפשר לכתוב כל מספר אי־זוגי כסכום של הראשוני 3 ועוד מספר זוגי.
הבעיה תוארה על ידי אדמונד לנדאו ב־1912 כ"בלתי ניתנת להשגה".
ב־1925 נשא לנדאו בירושלים הרצאה תמציתית בנושא זה לרגל פתיחת מכון איינשטיין למתמטיקה באוניברסיטה העברית.
הוכחת ההשערה למספרים גדולים בהינתן השערת רימן המוכללת
ב־1922 הוכיחו הארדי וליטלווד שאם מניחים את השערת רימן המוכללת, אפשר להציג כל מספר אי־זוגי גדול מספיק כסכום של שלושה ראשוניים.
ההוכחה של הארדי וליטלווד לא נתנה חסם מפורש למספר שממנו ההשערה נכונה.
עם זאת ניתוח מאוחר יותר של הוכחתם מניב את החסם .
הוכחת ההשערה למספרים גדולים ללא תנאים
איוואן וינוגרדוב הצליח להסיר את הנחת השערת רימן המוכללת ב־1937. התוצאה הזו נקראת לעיתים משפט וינוגרדוב.
ההוכחה של וינוגרדוב לא נתנה חסם לערך שאחריו ההשערה נכונה.
תלמידו של וינוגרדוב, קונסטנטין בורוזדקין (Borozdkin), הצליח לתת כזה חסם ב־1939. החסם עמד על .
שיפור החסם על המספר ממנו ההשערה נכונה
ב־1956 שיפר בורוזדקין את הערך ל־.
החסם שופר ל־ ושוב ל־ .
לאחר מכן שופר החסם ל־ .
אולם הפער בין מספר זה לבין המספר הגדול ביותר שנבדק עד כה נותר גדול.
הוכחת ההשערה בהינתן השערת רימן המוכללת
ב־1997 הצליחו דשוילארס, אפינגר, רילה וזינובייב לסגור את הפער אם מניחים את השערת רימן המוכללת: זינובייב הוריד את החסם ל־ (בהנחת השערת רימן).
לאחר מכן דשוילארס ורילה בדקו בעזרת מחשב את השערת גולדבך הרגילה עד וארבעתם הסיקו מהבדיקה הזאת (שוב בהנחת השערת רימן) את נכונות השערת גולדבך החלשה עד .
בשנת 1998 חזר Yannick Saouter על הסקת נכונות השערת גולדבך החלשה עד ללא שימוש בהשערת רימן.
בשנים 2012 ו־2013 הוכיח הראלד הלפגוט את השערת גולדבך החלשה בשלושה מאמרים.
ההוכחה התבססה בין היתר על חישוב שביצע יחד עם פלאט באותו הזמן.
מאמרים אלו לא התבססו על השערת רימן.
במאמר האחרון הוכיח הלפגוט את ההשערה למספרים שגדולים מ־ (בגרסה של המאמר מ־2014 החסם שופר ל־) ללא הנחת השערת רימן המוכללת, ובכך סגר את ההשערה באופן מלא.
להלן טבלה המסכמת את התוצאות המיטביות הנוגעות לבעיה במהלך השנים.
הטבלה מבוססת על סקירה היסטורית בספרו של הלפגוט.
ייתכנו תוצאת היסטוריות שלא מופיעות בה.
התוצאות המודגשות בכל שורה הן אלה שהוכחו בשנה המתאימה.
הגרפים הבאים מסכמים את התוצאות שבטבלה:
סקירה זו של הרעיונות בהוכחה מבוססת על המבוא בספר שכתב הלפגוט לאחר שהוכיח את ההשערה.
ההוכחה של הלפגוט, כמו גם כמעט כל ההוכחות החלקיות הקודמות, מבוססת על השיטה הבאה: בוחרים על הטבעיים ומנסים להעריך את הסכום
כדי להראות ש הוא סכום של 3 ראשוניים די להראות ש .
שיטת ההערכה מבוססת על טור פורייה.
התוצאה המתקבלת היא מהצורה כאשר היא פונקציה מפורשת כלשהי ו־ הוא איבר השגיאה החסום על ידי פונקציה מפורשת .
מכאן שהשערת גולדבך נכונה כאשר .
מוכיחים שזה קורה עבור אי־זוגי כאשר קבוע מסוים ואז בודקים את ההשערה עד .
החלק העמוק והמרכזי בהוכחה הוא ההערכה של בעוד שבדיקת ההשערה עד היא משימה חישובית ביסודה.
עם זאת שני החלקים דרשו הן רעיונות מתמטיים והן חישוב מסיבי בעזרת מחשב.
שיטות להוכחת ההשערה למספרים גדולים
השיטה להערכת נקראת שיטת המעגל של הארדי וליטלווד.
היא מבוססת על הערכת טור החזקות על מעגל היחידה במישור המרוכב.
קל לראות ש כאשר לכן די להעריך את על מעגל היחידה.
למעשה עובדים עם גרסאות של הפונקציה שבהן הסכום הוא לא רק על ראשוניים אלא עלֹ מחלקה רחבה יותר של מספרים, למשל חֲזקות של ראשוניים.
הערכה של גרסאות אלה יוביל להערכת מספר הדרכים (המשוקלל) שבהן ניתן להציג מספר כסכום של 3 מספרים מהמחלקה המתאימה.
אז נותר להוכיח שהתרומה של המספרים שאינם ראשוניים זניחה.
ההוכחה המקורית של הארדי וליטלווד התבססה על ניתוח של הערך של בשורשי יחידה.
ניתוח זה מצריך ידע על התפלגות ראשוניים בסדרות חשבוניות.
השערת רימן המוכללת נותנת ידע כזה.
למעשה יש צורך בהשערת רימן הקאלסית ובהשערת רימן המוכללת עבור פונקציות זטא של דדקינד עבור הרחבות ציקלוטומיות של .
לפי משפט הקירוב של דיריכלה ניתן לכסות את מעגל היחידה בקשתות שמרכזיהן הם שורשי יחידה ורדיוסיהן הם כאחד חלקי סדר השורש בריבוע.
בהתבסס עלֹ זה הצליחו הארדי וליטלווד להרחיב את ההערכה של לכל מעגל היחידה.
הרעיון בהוכחה של וינוגרדוב היה לחלק את ההערכה לשני חלקים:
הערכת סביב שורשי יחידה ממעלה נמוכה.
קשתות אלה נקראות "הקשתות גדולות" ואיחודן מסומן בדרך כלל ב .
קבוצת נקודות אלו נקראת "הקשתות הקטנות" ומסומנת בדרך כלל ב־.
וינוגרדוב מצא דרך אחרת להתמודד עם הקשתות הקטנות, המבוססת על .
כיוון שמספר הקשתות הגדולות סופי, נדרשת הערכה פחות מדויקת עבורן.
לכן ניתן להחליף את השערת רימן המוכללת במשפטים אודות אי־התאפסות של פונקציות זטא (של רימן ושל דדקינד) באזורים מסוימים במישור המרוכב.
ההוכחה המקורית של וינוגרדוב הסתמכה על תופעת דורינג–הילברון , לפיה קיום של אפס המהווה דוגמה נגדית להשערת רימן המוכללת מבטיח אי־התאפסות של פונקציות זטה מסוימות בתחומים מסוימים.
כך שאפשר לחלק את ההוכחה לשני מקרים:
אם השערת רימן המוכללת נכונה, משתמשים בהוכחה של הארדי וליטלווד.
אם השערת רימן המוכללת איננה נכונה, משתמשים באפס המהווה דוגמה נגדית להשערת רימן המוכללת כדי לקבל תחומי אי־התאפסות של פונקציות זטה שבהם משתמשים כדי לחסום את התרומה של הקשתות הגדולות.
החיסרון בשיטה זו הוא שאין דרך לדעת איפה נמצא ולכן תחומי האי־התאפסות אינם מפורשים.
זו הסיבה שהוכחה זו אינה נותנת חסם על המקום שממנו השערת גולדבך החלשה מתקיימת.
בהוכחות מאוחרות יותר הוחלף השימוש בתופעת דורינג–הילברון במשפטים אחרים הנותנים תחומים מפורשים של אי־התאפסות, ולכן הן נותנות חסמים מפורשים (אם כי גבוהים מאוד).
אחד החידושים בהוכחה של הלפגוט הוא שבהוכחתו הוא משתמש, בנוסף לאֲזורי האי־התאפסות שהשתמשו בהם בהכחות הקודמות גם בעובדה שלפונקציית זטא אין אפסים לא טריוויאליים מחוץ לישר הקריטי בעלי ערך מדומה קטן (בערכו המוחלט) מקבוע מסוים (סדר גודל של ; עבור כ־ פונקציות זטא שונות).
בדיקה של אי־התאפסות זו התבצעה בשנת 2011 על ידי פלאט בעזרת מחשב.
בהתבסס על כך הצליח הלפגוט לשפר את החסמים על הקשתות גדולות.
כמו כן הלפגוט שיפר את החסמים על הקשתות הקטנות.
שיטות לבדיקת ההשערה למספרים קטנים
המספרים שעד אֲליהם צריך לבדוק את השערת גולדבך הם גדולים למדי ( בהוכחה של הלפגוט).
לא ניתן לעבור על כמות כזאת של מספרים במחשב מודרני בהשקעה סבירה.
קשה עוד יותר לבצע חישוב לא טריוויאלי כלשהו בשבילם.
לכן אסטרטגיית הבדיקה צריכה להיות מתוחכמת יותר:
בשלב הראשון מבצעים בדיקה של השערת גולדבך הרגילה עד למספר גדול יחסית .
בדיקה זאת מתבצעת על ידי גרסאות של נפת ארטוסתנס.
השיא הנוכחי הושג ב־2013 על ידי אוליברה, סילבה הרצוג ופראד ועומד על .
כדי להסיק את השערת גולדבך החלשה עד קבוע די להראות שההפרש המקסימלי בין שני ראשוניים עוקבים עד קטן מ .
אם מניחים את השערת רימן קל יחסית לקבל תוצאה כזאת עבור מסדר גודל קרוב ל־.
בשביל ו־ מסוימים די לבדוק את השערת רימן עד לגובה מסוים במישור המרוכב.
עבור ו־ בהוכחה של הלפגוט, הגובה שעד אליו צריך לבדוק את השערת רימן הוא כ־.
ניתן לבצע זאת באמצעות מחשב וזאת הייתה אחת הדרכים שבהן השתמש הלפגוט בהוכחתו.
אם מניחים השערות חזקות בנוגע לפערים בין שני ראשוניים עוקבים אז ניתן להסתפק בערכים קטנים יותר של כדי להבטיח את תקפות ההשערה עד קבוע שגדול בהרבה מ־.
לדוגמה השערה מרחיקת לכת של Firoozbakht גוררת שאם השערת גולדבך נכונה עד אז השערת גולדבך החלשה נכונה עד .
לכן כבר ב־1989 הערך שעד אליו נבדקה השערת גולדבך היה מספיק (בהנחת השערת Firoozbakht) כדי להבטיח את נכונותה של השערת גולדבך החלשה עד לערך ממנו הוכחה.
גישה נוספת היא למצוא באופן מפורש סדרה של ראשוניים שההפרש בין שני איברים עוקבים שלה קטן מ־.
בשביל זה ניתן להגריל מספרים בסדרי הגודל המבוקשים ולבדוק את ראשוניותם.
לפי משפט המספרים הראשוניים סביר להניח שמספר המספרים שצריך להגריל גדול רק פי ממספר הראשוניים שצריך למצוא, כלומר בסך־הכול .
אמנם מאז 2002 ניתן, במבחן AKS לראשוניות, לבדוק את ראשוניותו של מספר בזמן פולינומי במספר הספרות, אך עדיין מדובר באלגוריתם איטי למדי ולא פרקטי במקרה זה.
אולם ניתן להגריל מספרים מסוג מסוים שקל יותר לבדוק את ראשוניותם.
הסוג שנבחר על ידי הלפגוט ופלאט הם מספרי פרות .
מספר פרות הוא מספר מהסוג כאשר .
בזכות קל מאוד לבדוק את הראשוניות של מספר כזה.
ההוכחה התבססה בין היתר על חישוב מסיבי בעזרת מחשב.
כך שבנוסף לשאלות רגילות הנוגעות לאמינות הטיעונים והתוכנה הנבחנות בכלים הרגילים של ביקורת עמיתים וקבלה על ידי הקהילה, עלתה גם שאלת אמינות החישוב עצמו ורגישותו לטעויות חומרה.
הסבירות שמחשב יטעה בחישוב נמוכה מאוד אך לא אפסית.
לכן כשמבצעים כמות גדולה כל כך של חישובים טעויות כאלה קורות.
הלפגוט נדרש לשאלה זאת, ולכן בחר להסתמך על חישובים שהתבצעו פעמיים, ובמקרה (הנדיר) שהניבו תוצאות שונות נבדקו פעם שלישית.
כמו כן הוא העדיף חישוב שהתבצע על ידי מחשב-על מאשר על ידי חישוב מבוזר במחשבים רגילים.
הוא מצא שבעוד שבמחשבים רגילים היו מספר מקרים של תוצאת שלא התאימו זו לזו, ההתאמה במחשבי העל הייתה מושלמת.
באופן כללי, סיבה מרכזית לטעויות חומרה היא הקרינה קוסמית.
קל יותר להגן על מחשב על אחד מקרינה קוסמית מאשר על מספר רב של מחשבים רגילים.
כמו כן, ככל שכל טרנזיסטור קטן יותר ומהיר יותר (כמו במחשבי-על) הסבירות לטעות בחישוב בודד נמוכה יותר.
בתורת המספרים, השערת הראשוניים התאומים קובעת שישנם אינסוף זוגות של ראשוניים תאומים, כלומר מספרים ששניהם ראשוניים.
השערה זו היא אחת מן הבעיות הפתוחות המפורסמות בתורת המספרים ובמתמטיקה בכלל.
מתמטיקאים מאמינים שאכן ישנם אינסוף זוגות של ראשוניים תאומים, בגלל שורה של נימוקים היוריסטיים המבוססים על תכונות סטטיסטיות של המספרים הראשוניים, ובגלל עדויות מספריות התומכות בהשערת הארדי-ליטלווד הראשונה .
עם זאת, להשערה עדיין אין הוכחה.
ידוע שאם מסכמים את ההופכיים של כל המספרים הראשוניים, , הטור מתבדר וסכומו אינסופי.
ליתר דיוק, הסכום שווה בקירוב ל- .
תוצאה זו מתאימה למשפט המספרים הראשוניים, שלפיו ישנם כ- ראשוניים הקטנים מ- .
בניגוד לכך, הראה ויגו ברון בשנת 1915, באמצעות פיתוח של שיטת הנפה המודרנית, שמספר המספרים הראשוניים התאומים הקטנים מ-x אינו עולה על עבור קבוע מסוים C > 0. מכאן נובע שאם מסכמים את ההפכיים של הראשוניים התאומים בלבד, הטור מתכנס לגבול סופי, הנקרא קבוע ברון.
לו הטור היה מתבדר, הייתה בידינו הוכחה של השערת המספרים הראשוניים התאומים.
אבל מכיוון שהטור מתכנס, לא ידוע עדיין אם קיימים אינסוף מספרים ראשוניים תאומים או לא.
קבוע ברון יכול להיות מספר אי רציונלי אם יש מספר אינסופי של תאומים ראשוניים.
ההערכה הטובה ביותר עד כה לערכו של קבוע זה ניתנה ב-2002 על ידי סכימת כל התאומים הראשוניים עד 1016 והוא:
בשנת 2013, ארעה פריצת דרך חשובה, כאשר זאנג יטנג הצליח להוכיח שיש אינסוף זוגות של ראשוניים שהפרשם קטן מ-70,000,000. זאנג זכה בעקבות כך בפרס אוסטרובסקי לשנת 2013 ובפרס קול לשנת 2014.
טרנס טאו יזם ב-2013 את Polymath8 מרובה המשתתפים בעקבות עבודתו של זאנג.
פרויקט זה הצליח להוריד את החסם על ההפרש ל-4680 ולאחר מכן ל-246. הוא עשה זאת על ידי שילוב של תוצאותיו הקודמות עם שיטותיו של , אשר עוד קודם הוריד את החסם ל-600 באמצעות עידון של משפט בומביירי-וינוגרדוב.
יתירה מכך בהנחה שהשערת אליוט-הלברשטאם וצורתה המוכללת נכונות, הוויקי של Polymath8 קובע שהחסם הוא 12 עבור השערת ו-6 עבור הכללתה.
הכללה של שיטות אלה מאפשרת להראות שלכל m, יש אינסוף רווחים באורך הכוללים m ראשוניים.
בעוד שהשערת הראשוניים התאומים קובעת רק שישנם אינסוף זוגות של תאומים, השערת הארדי-ליטלווד הראשונה מנבאת את ההתפלגות של מספר הזוגות, בצורה אנלוגית למשפט המספרים הראשוניים.
ממשפט המספרים הראשוניים נובע שהסיכוי של מספר טבעי להיות ראשוני, כאשר בוחרים אותו באקראי מבין המספרים מ-1 עד x, הוא .
אם הראשוניות של המספר a ושל המספר a+2 היו מאורעות בלתי תלויים, אז אפשר היה לצפות שהסיכוי של a להיות הקטן מבין צמד של ראשוניים תאומים הוא .
מתברר שניתוח זה הוא פשטני מדי: הוא מתעלם מכך שאם a הוא הקטן מבין ראשוניים תאומים, אז יש לו p-2 שאריות אפשריות בחלוקה במספר ראשוני קטן p, בעוד שאם a הוא ראשוני סתם, יש לו p-1 שאריות אפשריות.
הארדי וג'ון ליטלווד הציעו בשנת 1923 את ההשערה הבאה.
נסמן ב- את מספר זוגות הראשוניים התאומים הקטנים מ־x; אז , כאשר C2 הוא קבוע המספרים הראשוניים התאומים המוגדר כמכפלה אינסופית .
גם להשערה זו ישנה גרסה כמותית שנסחו הארדי וליטלווד.
ב-2004 הוכיחו בן גרין וטרנס טאו שישנן אינסוף שלשות של ראשוניים מהצורה a,a+d,a+2d (כאשר a ו- d אינם קבועים מראש), וגם אינסוף רביעיות, וכן לסדרות בכל אורך.
עם זאת, השיטות שלהם אינן מסייעות בפתרון הבעיה שהוזכרה בפסקה הקודמת.
השערת הראשוניים התאומים מבקשת, בניסוח אחר, להציג את המספר 2 כהפרש של זוג ראשוניים, באינסוף דרכים.
בשנת 1849 העלה אלפונס דה פוליניאק השערה כללית יותר, שלפיה כל הפרש זוגי מתקבל אינסוף פעמים.
כמו השערת התאומים הראשוניים, גם השערה זו נראית סבירה על-פי העדויות המספריות.
ויגו ברון הראה, בנוסף לתוצאות שלו שהוזכרו קודם לכן, שכל מספר זוגי אפשר להציג באינסוף דרכים כהפרש של שני מספרים בעלי לכל היותר תשעה גורמים.
צ'ן ג'ינגרון (Chen Jing Run) פרסם תוצאה חשובה נוספת - קירוב להשערת פוליניאק המוכיח שלכל מספר שלם זוגי חיובי h, ישנם אינסוף ראשוניים p כך ש-p + h הוא ראשוני או מכפלת שני ראשוניים.
עבור h = 2 זה קירוב להשערת המספרים הראשוניים התאומים.
שיטתו של צ'ן אפשרה לו להוכיח תוצאה דומה גם עבור השערת גולדבך.
נסמן ב- את ההפרש בין הראשוני לבין הראשוני הבא אחריו.
לפי השערת התאומים הראשוניים, הערך אמור להתקבל אינסוף פעמים.
נסמן ב- את הגבול התחתון של הסדרה .
ממשפט המספרים הראשוניים נובע שהערך הממוצע של הוא , ובמלים אחרות .
פול ארדש הוכיח ב-1940 ש- , וזאת לאחר שהארדי וליטלווד עצמם הראו, עוד ב- 1926, ש- אם מניחים את השערת רימן המוכללת.
בעשורים הבאים הוכיחו כמה תוצאות על הערך של קבוע זה, עד שב- 1986 הראה Maier ש- .
בשנת 2005 הראו Goldston ואחרים, באמצעות וריאנט של שיטת הנפה שפיתח אטלה סלברג, שלמעשה .
השערת Bateman-Horn (מ-1962) עוסקת במספר הערכים של n שעבורם הפולינומים מקבלים כולם ערכים ראשוניים, ומבוססת על אותה היורסיטיקה כמו שאר אחיותיה.
בתורת המספרים, השערת הארדי-ליטלווד השנייה (על שם המתמטיקאים הבריטים גודפרי הרולד הארדי וג'ון אדנזור ליטלווד) מתייחסת למספר המספרים הראשוניים בקטעים מסוימים.
ההשערה קובעת כי לכל , כאשר פונקציית המספרים הראשוניים.
כלומר, מספר הראשוניים בקטע שאורכו אינו עולה כאשר הקטע זז במעלה ציר המספרים.
הוכח שהשערה זו סותרת את השערתם הראשונה על -יות של ראשוניים, שממנה נובע שאם קיימות דוגמאות נגדיות להשערה השנייה, אזי ערכו של צריך להיות גדול מאוד ביחס ל-.
בפיזיקה, השערת דה ברויי קובעת שלחלקיקי החומר אופי גלי (עקרון דואליות גל-חלקיק) ומובילה להגדרת אורך גל של חלקיק, הנקרא אורך גל דה ברויי.
את הקביעות האלו ניסח לואי דה ברויי בשנת 1923 ועליהן קיבל פרס נובל לפיזיקה בשנת 1929, ובכך היה לאדם הראשון שזכה בפרס נובל עבור עבודת דוקטורט שכתב.
קשרי דה ברויי מראים כי אורך הגל עומד ביחס הפוך לתנע החלקיק ותדירות הגל פרופרציונית לאנרגיה הקינטית שלו.
כיום קביעות אלו הן כבר לא בגדר השערות בפיזיקה אלא תאוריות מוכחות, אך דה ברויי גילה תעוזה בכך שחשב על דואליות זו.
הוא שיער, מתוך נימוק של סימטריה, שאם לגלים יש תכונות חלקיקיות, הרי הגיוני שלחלקיקים תהיינה תכונות גליות.
– מסת המנוחה של החלקיק
ככל שהאנרגיה גדולה יותר, כך גדלה התדירות, ואורך הגל מתקצר.
בהתחשב בקשר בין תדירות לאורך גל, ניתן להסיק כי אורכי גל קצרים אנרגטיים יותר מאורכי גל ארוכים.
משוואת דה ברויי השנייה מקשרת בין תדירות החלקיק לאנרגיה:
כאשר היא התדירות, ו- היא אנרגיית החלקיק.
לעיתים כותבים את שתי המשוואת כך:
כאשר הוא קבוע פלאנק המצומצם, מספר הגל, ו- התדירות הזוויתית.
אחד האישושים הבולטים ביותר להשערה זו היא העובדה כי אורכי הרדיוסים המותרים לאלקטרון בתנועתו סביב גרעין האטום, הם רק הרדיוסים שבהם היקף המעגל שווה לכפולה שלמה של אורך גל האלקטרון.
באופן הזה גל האלקטרון לא מתאבך עם עצמו בהתאבכות הורסת, אלא נשאר במצב קבוע.
בשנת 1927 במעבדות בל, קלינטון דייוויסון ולסטר גרמר כיוונו אלקטרונים איטיים לעבר מטרת ניקל גבישי.
התלות הזוויתית של עוצמת האלקטרונים המוחזרים נמדדה, ונמצא כי היא מצייתת לאותה תבנית התאבכות שויליאם לורנס בראג ואביו, ויליאם הנרי בראג חזו עבור קרני רנטגן.
לפני קבלת השערת דה ברויי, הניחו כי התאבכות היא תכונה של גלים בלבד.
על כן, המצאות תופעות התאבכות בחומר (אלקטרונים) מדגימה את האופי הגלי של החומר.
כאשר אורך גל דה ברויי הוכנס לתנאים של בראג, התאימה התאוריה לתבנית ההתאבכות שהתקבלה, ובכך קיבלה השערת דה ברויי אישוש ניסיוני עבור אלקטרונים.
הייתה זו תוצאה מרכזית בהתפתחות מכניקת הקוונטים.
בדיוק באותו זמן שארתור קומפטון הדגים את האופי החלקיקי של האור, ניסוי דייויסון-גרמר הראה את האופי הגלי של החומר, והשלים את התאוריה של דואליות גל-חלקיק.
עבור פיזיקאים התוצאה הייתה חשובה במיוחד, עקב היכולת ליישם משוואות גלים לתיאור תופעות בחומר, תוך שימוש באורך גל דה ברויי.
מאז ניסוי דיידויסון-גרמר עבור אלקטרונים, השערת דה ברויי אושרה עבור חלקיקים אלמנטריים נוספים.
ניסויים מהעת האחרונה הדגימו את נכונות ההשערה אפילו בעבור מולקולות-ענק.
ב-1999 קבוצת מחקר אוסטרית הדגימה תופעות התאבכות עבור מולקולות גדולות כפולרנים.
אורך הגל של עצמים גדולים
באופן תאורטי, לכל העצמים יש אופי גלי, בהתאם להשערת דה ברויי.
למרות זאת, במקרה של עצמים מאקרוסקופיים (שניתנים לראייה בעין בלתי מזוינת) לא ניתן, כיום, לצפות בתופעות גליות.
כדור בייסבול במסה 0.15 ק"ג נזרק על ידי שחקן במהירות 40 מטר לשנייה.
אורך גל דה ברויי של הכדור ניתן על ידי:
אורך הגל שהתקבל קטן בהרבה מקוטר פרוטון, והוא קרוב יותר לאורך פלאנק.
על כן, שום מכשיר מדידה אינו יכול לצפות בתופעה גלית באורך גל כזה.
השערת ברץ' וסווינרטון-דייר היא השערה מרכזית על האריתמטיקה של עקומים אליפטיים, שנוסחה ב-1963 על ידי המתמטיקאים בראיין ברץ' (Birch) ופיטר סווינרטון-דייר (Swinnerton-Dyer).
השערה זו היא בין הבעיות הפתוחות החשובות בתורת המספרים, והיא זכתה להכרה כאחת מ"שבע בעיות המילניום" של מכון קליי למתמטיקה.
ההשערה קושרת תכונות של פונקציית L של העקום, המוגדרת לפי התנהגות ההיטלים של העקום לשדות הסופיים מסדר ראשוני, עם מערכת הפתרונות הרציונליים של העקום עצמו.
אחד הרעיונות היסודיים באריתמטיקה הוא שאפשר ללמוד אובייקט נתון על-פי ההתנהגות של היטלים שלו.
במקרה של עקום אליפטי, כגון , ההיטל מודולו מספר ראשוני p הוא אוסף הנקודות בשדה הסופי , המקיימות את אותה משוואה.
אחת התוצאות הבסיסיות בהקשר זה, החסם של הסה, חוסמת את מספר הפתרונות למשוואה בשדה סופי, וקובעת שמבין הזוגות האפשריים, מספר הפתרונות עומד בין לבין .
במילים אחרות, אם הוא מספר הפתרונות (זהו "הגודל של העקום האליפטי "), אז הסקלר מקיים .
תיאור זה נכון עבור כל מספר ראשוני, פרט למספר סופי של יוצאי דופן (המחלקים את הדיסקרימיננטה של העקום).
לעקום אליפטי אפשר לצרף פונקציית L, שהיא מעין פונקציית זטא של העקום.
את הבניה תארו לראשונה הלמוט הסה והרמן וייל, ולכן הפונקציה נקראת על שמם.
בדומה למכפלת אוילר של פונקציית זטא של רימן, , המתכנסת כאשר , פונקציית L של העקום E מוגדרת כך: .
מכפלה זו מתכנסת כאשר .
עם זאת, ההתנהגות של המכפלה חשובה דווקא בסביבת 'הנקודה הקריטית' .
במקרה של פונקציית זטא של רימן, קל ליצור המשכה אנליטית של מכפלת אוילר, ולחקור את הערכים של הפונקציה לאורך 'הישר הקריטי' .
בניגוד לכך, לפונקציית L של עקום אליפטי קשה מאוד לבנות המשכה אנליטית, וידועה דרך ישירה לעשות כן רק כאשר העקום הוא מודולרי.
השערתם של ברץ' וסווינרטון-דייר חולקה באופן מסורתי לשלושה חלקים.
הראשון בהם הוא ההשערה שאפשר יהיה לבנות המשכה אנליטית עד הנקודה הקריטית לכל עקום.
חלק זה של ההשערה נובע מיידית מהשערת טניאמה-שימורה, שלפיה כל עקום אליפטי המוגדר מעל הרציונליים הוא מודולרי.
השערה זו הוכיח אנדרו ויילס, ב-1995, עבור עקומים 'יציבים למחצה', ואז, ב-1999, התברר שהיא נכונה באופן מלא.
בכך הושלמה הוכחת החלק הראשון של השערת ברץ' וסווינרטון-דייר.
דרגת העקום והחלקים האחרים של ההשערה
משפט מורדל-וייל קובע שאוסף הנקודות הרציונליות על העקום E הוא חבורה אבלית נוצרת סופית.
לחבורה זו יש מרכיב מפותל, קטן יחסית, והמרכיב הנותר הוא חופשי, כלומר מן הצורה .
במילים אחרות, לעקום ישנם r פתרונות יסודיים, שאפשר להרכיב מהם (על ידי פעולת החבורה של העקום) את כל הפתרונות האחרים (עד כדי פיתול).
לערכו של הקבוע r יש חשיבות עצומה בהבנת המבנה הרציונלי של העקום.
אם , יש על העקום רק מספר סופי של נקודות רציונליות.
אם , אז מספר הנקודות אינסופי.
הרעיון המנחה את השערת ברץ' וסווינרטון-דייר הוא שמספר הנקודות הרציונליות אמור להיות קשור למספר הנקודות מעל השדות הסופיים: אם , אפשר לצפות שיהיו מעט נקודות מעל כל שדה סופי, בעוד שבמקרה האחר, אינסוף הנקודות הרציונליות יוטלו לכל שדה סופי, וייצרו שפע של נקודות בכל מקום.
כדי לכמת רעיונות אלה, מתבוננים במכפלה המגדירה את פונקציית L של העקום בנקודה :
למרות שמכפלה זו אינה מתכנסת, אפשר ללמוד ממנה על העקום מעל שדות סופיים: היחס קרוב הרי ל-1 (לפי חסם הסה), וכשמכפילים את היחסים האלה אפשר לצפות שיתקבל מספר קטן בדיוק כאשר, באופן ממוצע, מספר הנקודות בכל היטל סופי גדול מן הצפוי.
החלק השני של ההשערה קובע, על-פי שיקולים אלה, שההמשכה האנליטית מתאפסת ב- אם ורק אם הדרגה ; ליתר דיוק, ההשערה קובעת שסדר האפס שווה ל- r.
המרכיב השלישי, והאחרון, בהשערה, קושר תכונות נוספות של העקום עם התנהגות עדינה יותר של פונקציית L שלו בנקודה הקריטית.
עד כה הוכיחו את החלקים השני והשלישי בהשערה במספר מקרים חשובים, אך איש אינו יודע עדיין איך להוכיח את המקרה הכללי.
השערת הצנזורה הקוסמית היא השערה שהועלתה בשנת 1969 על ידי הפיזיקאי הבריטי רוג'ר פנרוז, לפיה כל סינגולריות כבידתית נמצאת מאחורי אופק אירועים, כלומר בתוך חור שחור.
בשנת 1965 הוכיח פנרוז, בשיטות טופולוגיות, כי בתוך כל חור שחור יש לפחות נקודה סינגולרית אחת, שצפיפות החומר בה אינסופית.
בהתאם למשפט זה, כל כוכב שקורס לחור שחור, סופו ליצור סינגולריות.
עקב אופי המרחב-זמן בתוך חורים שחורים, הסינגולריות נמצאת בעתידו של כל עצם אשר חצה את אופק האירועים מבחוץ פנימה, או שהיה בתוך אופק האירועים מלכתחילה.
במילים אחרות, בתוך אופק האירועים תתרחש תנועת חומר אל הסינגולריות.
לאחר הוכחת היותו של כל חור שחור "בית-קיבול" לסינגולריות, נותרה פתוחה השאלה אם כל סינגולריות בהכרח מוקפת באופק אירועים מסביבה, אשר מונע מצופה חיצוני לצפות בה או לחוש בנוכחותה.
בהתאם ל"משפט האין-שיער" התקף לחורים שחורים, כל המידע שצופה חיצוני, מעבר לאופק האירועים יכול להבחין בו לגבי החור השחור הוא מסתו, מטענו והתנע הזוויתי שלו.
לכן, מבחינת צופה חיצוני אין משמעות לקיומה של הסינגולריות.
בתוך אופק אירועים קיים מרחב-זמן (מטריקה) מיוחד, שבו זמן ומרחב "משנים תפקיד".
כשם שמחוץ לחור השחור "מחר בשעה 12 בצהריים" הוא זמן שכל אחד מאיתנו יגיע אליו תוך מעבר מרחק סופי ממיקומו באותו רגע, כך עבור עצם שנמצא פנימה לאופק האירועים, הסינגולריות היא מקום שהעצם יגיע אליו תוך זמן סופי.
קיומה של סינגולריות שאיננה מוקפת באופק אירועים, הקרויה גם סינגולריות עירומה, יגרום לפרדוקס, הנובע מכך ש"המטריקה ההפוכה" תהיה תקפה בכל מקום ביקום.
את הפרדוקס ניתן להדגים בצורה הבאה.
נניח שעצם מסוים יגיע לסינגולריות תוך זמן סופי t.
מתורת היחסות הכללית נובע שהזמן עבורו ייעצר בסינגולריות, ושעונו יראה שם רק זמן t.
כעת נניח שעצם אחר מגיע לסינגולריות בזמן מאוחר יותר - T, ועל כן בסינגולריות שעונו יעצר על זמן T.
יש לשים לב שלא הייתה בעיה כל עוד שני העצמים היו בנקודות מרחב שונות, אבל ברגע בו העצם השני מגיע גם הוא לסינגולריות אז מערכות הייחוס שלהם מתלכדות.
האם שני העצמים נפגשו בסינגולריות?
אם התשובה חיובית, אז כיצד זה ייתכן שהעצמים נוגעים זה בזה אבל נמצאים בזמנים שונים?
אם התשובה שלילית, אז לאן נעלם העצם הראשון שהיה בסינגולריות?
ההשערה של פנרוז, לפיה "סינגולריות עירומה" לא תיתכן, מונעת את הפרדוקס, לפחות עבור צופים חיצוניים מחוץ לאופק האירועים.
השערה זו מכונה גם השערת הצנזורה הקוסמית החלשה.
יש להעיר, שסינגולריות שלפניה (או אחריה) הזמן לא מוגדר, כמו המפץ הגדול, אינה גורמת לפרדוקס, ואין צורך ב"צנזורה קוסמית" כדי להגן עלינו מפניה.
הגרסה החלשה של השערת הצנזורה הקוסמית, אשר מונעת את הפרדוקס מחוץ לאופק האירועים עדיין מאפשרת אותו ליד הסינגולריות, פנימה לאופק האירועים.
כדי למנוע היווצרות מצב פרדוקסלי במקום כלשהו ביקום העלה פנרוז בשנת 1978
את השערת הצנזורה הקוסמית החזקה, שטוענת כי שום צופה שמשוואת איינשטיין תקפה לגביו אינו יכול לראות "סינגולריות עירומה".
כלומר, גם גוף שנמצא בתוך אופק האירועים לא יוכל להבחין ב"סינגולריות עירומה", אלא אם משוואת איינשטיין, כלומר תורת היחסות הכללית, אינה תקפה שם.
השערה זו שומרת על העקביות של תורת היחסות הכללית בכל מקום, ואפילו בתוך חורים שחורים, אבל היא מצריכה תאוריה חדשה שתסביר את אשר מתרחש בקרבת הסינגולריות.
תאוריה עתידית כזו מכונה כיום כבידה קוונטית.
אפשרות נוספת, המסתדרת אפילו עם הגרסה החזקה של הפרדוקס, היא אי-קיומן של נקודות סינגולריות מלבד סינגולריות התחלתית (המפץ הגדול) וסינגולריות סופית (הקריסה הגדולה).
אפשרות זו פחות מקובלת על החוקרים, עקב ריבוי הראיות לקיומם של חורים שחורים ביקום.
הן הגרסה החלשה הן הגרסה החזקה מהוות אתגר גדול לפיזיקה התאורטית, ועד היום (2010) לא נחזתה פריצת דרך בהוכחת או בהפרכת כל אחת מהגרסאות.
ההישג היחיד היה בתחום ההדמיות הממוחשבות.
כך למשל, בשנת 1993 הצליחו חוקרים לדמות מצב של יצירת סינגולריות עירומה, כאשר לצורך ההדמיה נבחר פיזור של חלקיקים סקלריים (בעלי ספין אפס) וחסרי מסה שהיו מפוזרים במרחב בפיזור סימטרי כדורי.
נקודת החולשה וחוסר הכלליות של ההדמיה נבעו מכך שתנאי השפה שנבחרו היו מיוחדים מאוד - הם לא היו תנאי התחלה גנריים, כלומר לא ניתן היה למצוא קבוצה פתוחה של תנאי שפה שיאפשרו את יצירת הסינגולריות העירומה.
למעשה, אם היו משנים את מיקומו של חלקיק בודד, אז ההדמיה לא הייתה מובילה ליצירת סינגולריות עירומה.
בהתערבות מפורסמת משנת 1991 טען סטיבן הוקינג בזכות השערת הצנזורה הקוסמית, ולעומתו טענו הפיזיקאים ג'ון פרסקיל וקיפ תורן נגד ההשערה.
נקבע שהמפסיד ירכוש עבור המנצח בגד ("על-מנת שהמנצח לא יהיה עירום").
עם פרסום תוצאות ההדמיות הממוחשבות דרשו פרסקיל ותורן את הפרס.
הוקינג נכנע רק בשנת 1997 וטען שההפסד נבע מעניינים טכניים בלבד, כלומר נוסח ההתערבות לא היה מדויק.
בכל זאת הוא שלח לידידיו חולצת טי ועליה הכתובת "Nature Abhors a Naked Singularity" ("הטבע בוחל בסינגולריות עירומה"), כפרפרזה למשפט מפורסם של אריסטו ("הטבע בוחל בוואקום").
באותה שנה נערכה התערבות חדשה, אלא שהפעם נדרש, מצד אחד - שתנאי ההתחלה יהיו גנריים, ומהצד השני - שההודאה בהפסד תהיה כנה.
השערת ביל היא בעיה פתוחה בתורת המספרים, המכלילה את המשפט האחרון של פרמה.
ההשערה קובעת כי אם מתקיים השוויון , כאשר מספרים שלמים ו- , אזי למספרים יש מחלק משותף מקסימלי גדול מ-1. משפט פרמה הוא מקרה פרטי של השערה זו, בה .
את ההשערה ניסח ב-1993 הבנקאי ואיש העסקים אנדרו ביל (Andrew Beal).
ב-1997 הקצה ביל פרס בסך $5,000, למי שיוכיח או יפריך את ההשערה.
מאז העלה את סכום הפרס כמה פעמים, עד לסכום של מיליון דולרים.
סמוך לזמן בו ניסח ביל את ההשערה, היא הוצעה באופן בלתי תלוי על ידי המתמטיקאי אנדרו גרנוויל (Andrew Granville).
השערת ההיגיינה טוענת כי חוסר בחשיפה בשלבי הילדות המוקדמת לגורמים מידבקים, מיקרואורגניזמים סימבוטים (כגון חיידקים פרוביוטיים) וטפילים, משפיעה על התפתחות מערכת החיסון כך שישנה עלייה בפגיעות למחלות אלרגיות.
ההשערה הועלתה לראשונה על ידי דייוויד פ.
סטרכן בכתב העת British Medical Journal בשנת 1989, במטרה להסביר את העובדה כי ילדים למשפחות מרובות ילדים פיתחו פחות קדחת השחת ואקזמה (שתיהן מחלות אלרגיות) מילדים ללא אחים.
על פי ההשערה, החשיפה הגדולה יותר לגורמים מידבקים אצל ילדים במשפחות גדולות היא שגרמה להם להיות חסינים יותר להתפתחות המחלות האלרגיות.
מאז, ההשערה מהווה מושא למחקר מתמשך בקרב אימונולוגים ואפידמיולגים.
ניתן להסביר באמצעות ההשערה את העלייה בהופעת מחלות אלרגיות מאז המהפכה התעשייתית ואת שכיחותן הגבוהה יותר במדינות מפותחות, בהן מקובל לשמור על רמת היגיינה גבוהה סביב תינוקות.
מחלות אלרגיות נגרמות מתגובה חיסונית "שגויה" כנגד אנטיגנים בלתי מזיקים דרך תאי T מסייעים מסוג 2 (TH2).
חיידקים ווירוסים רבים גורמים להפעלת תגובה חיסונית דרך תאי TH1 הכוללת עיכוב של מנגנון התגובה דרך TH2. מנגנון הפעולה הראשונה שהוצע להשערת ההיגיינה הוא כי חוסר הפעלה של התגובה דרך TH1 גורם לעודף פעילות התגובה דרך TH2 ולהופעת אלרגיות.
השערת האפס היא עמדת מוצא בניסוי או מחקר, שלפיה אין השפעה, אין קשר, או שאין הבדל מובהק בין משתנים או קבוצות.
כלומר, היא מניחה שכל הבדל נצפה נובע מתנודות מקריות במדגם, ולא מהשפעה ממשית.
השערת האפס נשארת בתוקף כל עוד לא הוכח אחרת (בדומה לעקרון של חזקת החפות במשפט פלילי).
מטרת הניתוח הסטטיסטי במסגרת בדיקת השערות, היא לבחון האם יש די ראיות לדחות את השערת האפס – ובכך לתמוך בקיומה של השפעה מממשית בין שתי תופעות.
השערת ברטראן (על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן) טוענת כי לכל מספר טבעי קיים לפחות מספר ראשוני אחד .
גרסה חלשה יותר לטענה: לכל קיים לפחות מספר ראשוני אחד .
ברטראן העלה השערה זו לראשונה ב-1845, ואף וידא את תקפותה לכל .
למעשה השם "השערה" אינו מתאר נכונה טענה זו, שכן בשנת 1850 הציג המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב הוכחה מלאה לטענה, ועל כן היא בגדר משפט.
לפיכך, היא נקראת לעיתים "משפט ברטראן–צ'בישב" או "משפט צ'בישב".