tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לרעיונות מאחוריה יש, לעומת זאת, היסטוריה ארוכה ואפשר לייחס את מקורם לשילוב מוקדם של ידע אנושי, מחקרי ופילוסופי.
הסוציולוגיה התבססה על אלפי שנים של רעיונות שהלכו והתגבשו לאורך השנים.
כך, ניתן למצוא מקורות השראה למחשבה החברתית (שלימים תהפוך לסוציולוגית) ביוון העתיקה, במסורות אסלאמיות מסוימות, ואפילו בכתבי הנאורות.
גם במאה השבע עשרה, שיאה של העת החדשה המוקדמת, ניתן למצוא רעיונות בכתבי מקיאוולי, הובס ולוק.
כתבים הכוללים היבטים סוציולוגיים נכתבו כבר בימי יוון העתיקה.
המשורר והפילוסוף קסנופנס מתח ביקורת בשירתו על התפיסה המקובלת של האלים כעשויים בצלמו ובדמותו של האדם.
הוא טוען שכל עם מיחס לאלים את תכונותיו הגופניות שלו: התראקים מתארים את האלים כאדומי-שיער ותכולי-עיניים, ואילו האתיופים רואים אותם ככהי-עור ופחוסי-אף.
הוא הוסיף כי לו היו לסוסים ולשוורים ידיים לפסל בהם אלילים, היו יוצרים אלו את אליהם בדמות סוסים, ואלו – בדמות שוורים.
בכך גלומה הבנה לפיה האדם מחצין את תכונותיו ואת ערכיו, הן ברמת הפרט והן ברמת החברה בכללותה, באופן שמאוחר יותר יהיה מרכזי לאמיל דורקהיים שיבסס על מהלך דומה את הגדרתו לטוטם כמפתח להבנת החברה.
אבן ח'לדון, היסטוריון ערבי, כתב במאה ה-14 את ה"אקדמות למדע ההיסטוריה", אשר נחשב לאחד הספרים הראשונים המדברים במונחים של מדעי החברה המודרניים, במיוחד התייחד הספר בדיונים על לכידות חברתית ועל קונפליקט חברתי.
הספר רחב היריעה נכתב כ-150 שנה לפני שבכלל צצו מחקרים בתיאוריה פוליטית במערב, ובתוך זה כתביהם של הוגי הרנסאנס.
ח'לדון יהיה מהראשונים (שני רק ליוונים) לנסח אידיאלים ודרכי הנמקה קונקרטיות להסבר תופעות חברתיות, בכל הקשור בניתוח של יחסים חברתיים.
בה בעת, ח'לדון ביקש לנתח באמצעות מושגים אלה (לכידות וקונפליקט חברתיים), יחד עם מושגים רבים נוספים, את כל פניהן של החברות הערביות בנות זמנו, במישורים כמו פוליטיקה, חיים עירוניים, כלכלה וייצור ידע הניסיון להציע תיאור כולל ומלא של כלל החברה יישאר היעד של רבים מהמחקרים החברתיים גם מאות שנים קדימה.
ברנסאנס האיטלקי החל מעבר רעיוני מהתמקדות בשאלות מטאפיזיות לשאלות שעיקרן בהיסטוריה, פוליטיקה ורטוריקה.
כך, החלה חזרה באירופה לכתבים הפוליטיים של אפלטון ואריסטו, וכן גם לפיתוחיהם בכתבים דוגמת אלה של קיקרו ברומא הרפובליקנית.
כחלק מחזרה זו צמחה גם הגות פוליטית חדשה, שהמייצגים הטהורים ביותר שלה היו מקיאוולי ומאוחר יותר (עם תחילת הרנסאנס האנגלי כמאה שנים מאוחר יותר) תומאס הובס וג'ון לוק.
בכל אחד מהספרים הללו, שבמהותם כיוונו לפיתוח של תיאוריות פוליטיות, ניתן למצוא גם רעיונות חברתיים מוקדמים, למשל המקום של ה"פורטונה" בחיי הפרט בספרו של מקיאוולי, המודל של "מצב הטבע" בספרו של הובס ותפיסות בנוגע לאופייה של חברה אידיאלית ויחסי פרט-מדינה במקרה של לוק.
מקורות מאוחרים עוד יותר של הסוציולוגיה עלו בעידן הנאורות, שמתוכו הסוציולוגיה המדעית גם נולדת.
פילוסופים רבים – ביניהם מונטסקייה ומאוחר יותר גם ז'אן-ז'אק רוסו – החלו לעסוק במבנה החברה, בסיבות צמיחתה ובאפשרות קיומה של חברה אחרת.
בעוד שישנו ויכוח פרשני בנוגע לעד כמה (לפחות) חלק מהוגי הנאורות נבדלו מהסוציולוגים "המדעיים" שבאו אחריהם, אין כל ספק שהייתה להם השפעה על הסוציולוגיה המדעית-צרפתית של סיינט-סימון ושל אוגוסט קונט.
במובנים רבים, קונט ראה עצמו כממשיך שלהם.
בעקבות המהפכה המדעית, הרעיון של מדע העוסק בחברה, כדיסציפלינה נפרדת מהפילוסופיה, היה נפוץ מהמאה ה-19. אך הראשון שיישם רעיון זה בצורה מקיפה היה אוגוסט קונט, שאף טבע את המונח סוציולוגיה בשנת 1838 כהלחם המילה הלטינית socius, שמשמעותה חבר/עמית והמילה היוונית logia – תורה.
קונט קיווה לאחד את רוב תחומי המדע של הטבע האנושי – כולל פסיכולוגיה, היסטוריה, וכלכלה.
הסכמה הסוציולוגית שלו הייתה סטריאוטיפית למאה ה-19; הוא האמין כי כל חיי בני האדם עברו דרך אותם מכשולים היסטוריים ולכן, אם יוכל אדם לתפוס את התוכנית, הוא יוכל לדעת כיצד לתקן בעיות חברתיות.
במקביל לאוגוסט קונט, פעל באירופה קרל מרקס, שלא הגדיר עצמו כסוציולוג אך אבחנותיו לגבי החברה האנושית השפיעו על רבים מהסוציולוגים שבאו בעקבותיו.
הסוציולוגיה כתורה מדעית הגיחה בתחילת המאה ה-19 כתגובה אקדמית לאתגר המודרניות.
סוציולוגים קיוו לא רק להבין מה מחזיק קבוצות חברתיות יחד, אלא גם לפתח "תרופת נגד" להתרחקות החברתית.
הספרים הראשונים עם המושג "סוציולוגיה" בכותרתם נכתבו באמצע המאה ה-19 בידי הפילוסוף האנגלי הרברט ספנסר.
בארצות הברית ספר זה נלמד לראשונה בקורס "יסודות הסוציולוגיה" באוניברסיטת לורנס, קנזס ב-1890.
ספרו של הסוציולוג הישראלי פרופ' אורי רם, "הסוציולוגיה הישראלית", סוקר את ההיסטוריה הרעיונית של הסוציולוגיה הישראלית, מתחילת ההתיישבות הציונית בארץ בשלהי המאה ה-19 עד סוף העשור השני של המאה ה-21. הספר יצא לאור בשנת 2020 על ידי מכון בן-גוריון לחקר ישראל והציונות.
בשנת 1998 יצא לאור כתב העת "סוציולוגיה ישראלית" מייסודו של החוג לסוציולוגיה ואנתרופולוגיה, אוניברסיטת תל אביב.
כתב העת מוקדש למאמרים סוציולוגיים והוא משמש במה לנושאים העומדים על סדר היום הסוציולוגי שרלוונטיים למציאות בישראל, וכן למחקרים מתקדמים בסוציולוגיה העולמית, תוך התמקדות בישראל.
המחלקה הראשונה לסוציולוגיה בישראל הוקמה באוניברסיטה העברית בירושלים ב-1948–1949, לאחר מלחמת העצמאות, המייסד וראש המחלקה היה הפילוסוף מרטין בובר
המחלקה המלאה הראשונה באוניברסיטה בארצות הברית נפתחה ב-1892 באוניברסיטת שיקגו בידי אלביון וו.
סמול, שב-1895 ייסד את המגזין האמריקאי לסוציולוגיה.
המחלקה הראשונה לסוציולוגיה באירופה נוסדה ב-1895 באוניברסיטת בורדו בידי אמיל דורקהיים, שייסד אתL'Année Sociologique ב-1896.
ב-1919 נוסדה מחלקה לסוציולוגיה בגרמניה באוניברסיטת לודוויג מאקסימיליאן במינכן, בידי מקס ובר.
ב-1920 נוסדה מחלקה לסוציולוגיה בפולין בידי פלוריאן זנאניסקי.
מחלקות הסוציולוגיה הראשונות בבריטניה נוסדו לאחר מלחמת העולם השנייה.
ההיסטוריה של הספורט ראשיתה בפרה היסטוריה והמשכה עד היום.
ספורט נחשב לפיתוח ואימון של מיומנויות אנושיות בסיסיות – הן למטרות תועלתניות והן לשם האימון עצמו.
הדבר מצביע על כך כי ההיסטוריה של הספורט עתיקה כהיסטוריה האנושית בכללה, וכי הייתה זו דרך שימושית עוד מימי האדם הקדמון להגביר את השליטה של האדם על הטבע והסביבה.
המונח פרה-היסטוריה מתאר את ההיסטוריה האנושית לפני התפתחות הכתב, ובאזורים מסוימים בכדור הארץ, הפרה-היסטוריה למעשה מתמשכת עד להגעת האירופאים הראשונים, אשר תיעדו לראשונה את החברות המקומיות בכתב.
מספר ציורי מערות שהתגלו בין היתר בצרפת, אפריקה ואוסטרליה מצביעים על עדות לקשתות (שימוש בחץ וקשת) לצרכים טקסיים (ולא מעשיים).
חלק מן הציורים בני כ-30,000 שנים.
השימוש באמנות מצביע על עניין בכישורים אשר אינם קשורים לצורכי ההישרדות הבסיסיים ולעובדה כי היה קיים גם זמן פנוי בתקופה זו.
בציורים מוצגות פעילויות לא-תכליתיות, טקסיות, אחרות.
לפיכך, למרות שמדובר בעדות ישירה מצומצמת לעיסוק בספורט, ניתן להניח כי הייתה כבר בתקופה זו פעילות דמוית ספורט.
קפטן קוק דיווח ב-1778, שהילידים עסקו בגלישת גלים.
הילידים בהוואי התעסקו במשחקים וספורט עוד לפני הגעת האירופאים לאזור, כגון משחק דמוי-לקרוס, ריצה ופעילויות אתלטיות אחרות.
בני המאיה והאצטקים עסקו אף הם במשחקי כדור רציניים.
המגרשים עליהם שיחקו תרבויות אלו משמשים אותנו עד היום כבסיס למספר משחקים.
מראיות היסטוריות אלו ואחרות עולה כי הספורט התפתח במקביל להתפתחות החברה האנושית עצמה.
קיימים פרטי אומנות ומבנים הרומזים לכך שהסינים עסקו בספורט כבר בסביבות שנת 4000 לפנה"ס.
נראה כי מקור ההתפתחות של פעילויות ספורטיביות בסין היה קשור לעבודות הייצור, אמנות, מלחמה ובידור שבאותה תקופה.
התעמלות הייתה מאוד פופולרית בעברה של סין.
בייג'ינג ישנו מוזיאון המוקדש לנושא הספורט בסין וההיסטוריה שלו – מוזיאון הספורט הסיני.
אנדרטאות למלכי מצרים רומזות כי כבר לפני אלפי שנים התעסקו המצרים בספורט, ביניהם ענפי השחיה ודיג.
בין ענפי הספורט האחרים ניתן היה למצוא את ענף הטלת הכידון, קפיצה לגובה והתאבקות.
מתקופת יוון העתיקה ידוע על מגוון רחב של ענפי ספורט.
הנפוצים שבהם היו היאבקות, ריצה, אגרוף, קפיצה לרוחק, הטלת כידון, זריקת דיסקוס ומרוצי מרכבות.
מגוון זה מראה כי כמו גם בשאר התרבויות-הציוויליזציות גם ביוון השפיעה התרבות הצבאית על התפתחות הספורט ולהפך.
תחרויות ספורטיביות מתוארות באיליאדה, מהיצירות החשובות בתרבות יוון העתיקה.
סוגים שונים של תחרויות נערכים לכבוד מותו של פטרוקלס, מי שהיה ידידו בלב ובנפש של הגיבור אכילס.
התחרויות, שנקראו בשם "משחקי אבל", נוהלו על ידי אכילס, לאחר שפטרוקלס נהרג על ידי הקטור, בנו של פריאמוס מלך טרויה.
במשחקים אלה, שבהם נטלו חלק ידידיו המפקדים של ההרוג, באו ערכי רוח הצוות וחישול האופי לידי ביטוי.
אכילס, כמנהיג התחרויות הללו, מציע פרסים כמספר המשתתפים.
הפרסים היו חלק מרכושו ומכלי נשקו של החלל, ובנתינתם כפרס, הושג אפקט שימור שם הנפטר ופועלו.
המשחקים האולימפיים העתיקים נערכו כל ארבע שנים ביוון העתיקה.
היוונים הקפידו באדיקות רבה על מחזוריות זו מחד ועל רצף מחזורי המשחקים מאידך, בעיקר משום שיוחסו להם סימני לוואי אליליים-מקודשים, ואלה נערכו בחסות זאוס, ראש האלים ההלני.
המשחקים נקראו גם בשם "משחקי שנת החמש" מכיוון שספרו את שנת המשחק פעמיים: פעם כשנת משחק ופעם כשנה הפותחת את המחזור הבא.
המשחקים נערכו לא רק כאירוע ספורטיבי, אלא גם כחגיגה של המצוינות של היחיד, מגוון אומנותי ותרבותי וכן גם כאירוע תיירותי עבור חידושים בתחום האדריכלות והפיסול.
עקב אסירות תודה וכבוד כלפי האלים היוונים.
הוכרזה הפסקת אש בזמן אירועי המשחקים ועל כן פעולות צבאיות והוצאות להורג הושעו לפחות להלכה.
מדובר על כל "חודש השלום" (תקופה המקבילה לחודש אוגוסט) כשהמשחקים נערכו בסך הכול במשך חמישה ימים: יומיים לפני מחצית החודש, ויומיים לאחריה.
כל זאת על מנת לאפשר לאנשים להתקהל בשלום ולהשלים את האירוע בצורה מתורבתת.
המתחרים שהגיעו לאולימפיה מכל רחבי יוון ומכל העולם היווני, לרבות האורחים והצופים, נחשבו למקודשים ובעלי חסינות שחלילה מלפגוע בהם.
על רקע זה מסתברת היטב ההוראה האוסרת על הכנסת כלי נשק לאולימפיה.
כמו כן כל ספורטאי נאלץ להישבע מול פסלו של זאוס שהוא יווני, זכר, חופשי ומי שלא ביצע אף אחד מהפשעים הבאים: רצח, חילול הקודש והפרת כללי השלום.
הפעילות הגופנית הספורטיבית ברומא העתיקה הייתה נחלתם של מעטים: אנשי מקצוע מזה ושבויי מלחמה מזה.
את הספורט הרומאי אפיינו התכונות הבאות: נוקשות וקשיחות, שעשועיות, תועלתיות ופוליטיזציה.
צמד האטרקציות הרומיות – מרוץ המרכבות ושעשועי הדם (קרבות גלדיאטורים) – נועד לרכז את ההמונים ביציעי הצופים, למוסס את האגרסיות שלהם ולהגביר את תמיכתם במוסד הקיסרות.
על פי הידוע לנו, הספורט הקבוצתי מאפיין בעיקר את התרבויות המערביות.
ספורט יחידים, כגון התאבקות וקשתות, תורגל בכל רחבי העולם, אולם הספורט הקבוצתי המודרני צמח באירופה ובעיקר באנגליה.
ישנן מספר דוגמאות נגדיות שראוי לציינן, ביניהם קבדי שמוצאו בהודו וכן גם טלאצ'טלי.
הספורט הפך במידה הולכת וגוברת למאורגן ומסודר מתקופת המשחקים האולימפיים בעת העתיקה ועד לימינו.
פעילויות שהיו הכרחיות להשגת אוכל ולהישרדות, הפכו להיות פעילויות סדירות המתקיימות לבידור או תחרות, כגון ציד, דיג וגננות.
המהפכה התעשייתית והייצור ההמוני יצרו שעות פנאי רבות נוספות ואפשרו צפייה בתחרויות ספורט ונגישות גדולה יותר אליהן.
מגמות אלו נמשכו ואף גברו בעקבות התפתחות תקשורת ההמונים ותקשורת גלובלית.
המקצוענות הפכה להיות שכיחה ובכך הוסיפה לעלייה בפופולריות של הספורט.
הדבר מזכיר את האידיאל היווני לפיו ניצחון במשחקים היה מבוקש במיוחד ומתוגמל בענף זית, אות לכבוד הרב אותו היה המנצח מקבל בכל רחבי יוון ובמיוחד בעירו.
ההיסטוריה של המתמטיקה עוסקת במקורן של תגליות במתמטיקה, בשיטות מתמטיות וסימוני העבר.
לפני העידן המודרני והתפשטות הידע העולמית, דוגמאות כתובות של התפתחויות מתמטיות חדשות התגלו רק במקומות מעטים.
החל משנת 3000 לפני הספירה (לפנה"ס) החלו מדינות מסופוטמיה שומר, אכד ואשור, ואחריהן מצרים העתיקה ומדינת אבלה הלבנטינית להשתמש בחשבון, אלגברה וגאומטריה למטרות מיסוי, מסחר, וכן בתחום האסטרונומיה כדי לתעד זמן ולגבש לוחות שנה.
קיימות עדויות לשימוש במתמטיקה לצורך מנייה כבר אצל האדם הקדמון.
אחד הממצאים הקדומים שמעידים על כך הוא עצם אישינגו, שהיא עצם בבון שחרוטות עליה שתי שורות קווים.
על פי התיארוכים היא נוצרה לפני 20,000 שנה, ומעריכים שהיא שימשה למנייה של דבר מה.
ממצאים ארכאולוגיים לחישובים מתמטיים הם מאוחרים הרבה יותר, החל מהאלף השלישי והשני לפני הספירה במצרים העתיקה ובמסופוטמיה.
על לוח החרס פלימפטון 322 מבבל הקדומה, המתוארך ל-1822–1784 לפנה"ס, כתובות שורות של מה שנקרא מאוחר יותר שלשות פיתגוריות.
שיטת הספירה הבבלית הייתה על בסיס 60, ששריד ממנה נשאר במדידת זמן וזוויות.
על פפירוס רינד ממצרים המתוארך ל-1550 לפנה"ס כתובות עשרות דוגמאות לחישוב שברים.
שיטת הספירה המצרית הייתה על בסיס 10 שנשארה עד ההווה.
קפיצה בהתפתחות המתמטיקה חלה ביוון העתיקה, החל מהמאה ה-6 לפנה"ס עם האסכולה הפיתגוראית.
האסכולה הפיתגוראית ראתה במתמטיקה תחום חשיבה ולימוד בפני עצמו.
עד אז ההתקדמות בידע המתמטי נבעה מהצורך לפתור בעיות חישוביות מעשיות, כדוגמת חלוקה של שדות או חישוב זווית הדפנות של תעלה שנבנית.
פריצת הדרך של היוונים, פרט לתרומותיהם הגדולות לידע המתמטי, הייתה בלימוד המתמטיקה כשלעצמה מתוקף ערכה הרוחני.
חלק מהיוונים הקדמונים נתנו למתמטיקה יחס דתי.
האסכולה הפיתגוראית, למשל, האמינה כי המתמטיקה היא הבסיס לכל המושגים והרעיונות.
היוונים פיתחו גם את הפילוסופיה של המתמטיקה וגם את אופן ההוכחה של משפטים חדשים, ובכך הניחו את היסודות למתמטיקה כפי שהיא נתפסת בעולם המודרני.
הם פיתחו את הגאומטריה, שנחשבה לבסיס המתמטיקה כולה, ולמעשה יצרו את המבנה המתמטי הראשון.
היוונים היו הראשונים בהיסטוריה שעשו שימוש בהוכחות שיטתיות וריגורוזית של משפטים מתמטיים.
שיאן של התפתחויות אלו בחיבורו של אוקלידס, "יסודות" שעסק בצורה אקסיומטית בגאומטריה, וכן באלגברה ובתורת המספרים, ובכך נחשב לראשון שקיבץ באופן שיטתי את החוקים המתמטיים הידועים של זמנו.
מאוחר יותר, היה ארכימדס, גם הוא מגדולי המתמטיקאים בכל הזמנים, שהגיע לעשרות הישגים מתמטיים חשובים והקדים את זמנו במספר תחומים (כמו בתפיסת מושג האינסוף, בשימוש בתהליכי חישוב המבוססים על מושג הגבול ובפיתוח הפיזיקה המתמטית).
עם דעיכת יוון חלה האטה בהתפתחות המתמטיקה בשאר אירופה המערבית.
בימי הביניים, עיקרו של המחקר התקיים בהודו ובסין, שפיתחו תרבות מתמטית נפרדת משלהן, וכן בארצות האסלאם, שקלטו והרחיבו הישגים של תרבויות שונות, בעיקר היוונית וההודית, ופיתחו את האלגברה והטריגונומטריה.
הרנסאנס בישר על תחיית המתמטיקה האירופית, ומשכילי הרנסאנס השתעשעו בחידות מתמטיות, הוכיחו משפטים חדשים ובאופן כללי חידשו את העיסוק המדעי במתמטיקה תוך שאיבת השראה מתרבות יוון העתיקה.
הפיכת המתמטיקה לתורה מודרנית של ימינו מיוחסת לפילוסוף דקארט.
הוא קבע כי אופייה הלוגי הטהור של המתמטיקה הופך אותה לשיטה הטובה ביותר לחקר המציאות.
המדענים המודרניים הלכו בדרכו של דקארט, וקיימו את המתמטיקה כאבן היסוד לחקירותיהם המדעיות.
ב שבה המתמטיקה להתפתח בקצב מהיר, כשההישג הבולט ביותר של אותה מאה היה פיתוחו של החשבון האינפיניטסימלי בידי אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ (בנפרד).
במאות שלאחר מכן המשיכה המתמטיקה בהתפתחותה המהירה, ענפיה השונים הלכו והתרבו וכך גם קשריה עם מדעי הטבע.
סוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20 היו בסימן של "חזרה אל היסודות", וחקר יסודותיה הלוגיים והפילוסופיים של המתמטיקה התרחב, תוך קיום יחסי גומלין הדוקים בין תוצאות מתמטיות נקודתיות (כמו: הגאומטריה הלא-אוקלידית, משפטי האי-שלמות של גדל, הפרדוקס של ראסל) לרעיונות כלליים.
במהלך המאה ה־20 הוליד המחקר המתמטי, בין היתר, ענפים חדשים לחלוטין, כדוגמת מדעי המחשב ותורת המשחקים.
גם בימינו נמשכת התפתחותה המהירה של המתמטיקה, ונמצאים פתרונות לבעיות מתמטיות שהיו פתוחות זה מאות שנים.
עם הזמן חקר היסטוריה של מתמטיקה קיבל הכרה כתחום נפרד; החל משנת 1971 מתפרסם ירחון מדעי המוקדש לתחום Historia Mathematica: International Journal of History of Mathematics.
באותה שנה הוקמה גם האגודה הבריטית להיסטוריה של המתמטיקה.
ניתן להניח שפעולת הכימות של עצמים מוחשיים קדמה בהרבה להתפתחות תפיסתה של המתמטיקה כרעיון מופשט, ויכולת בסיסית להבחין בין כמויות נמצאה אפילו אצל בעלי חיים.
ב־1937 גילה הארכאולוג ממצא ארכאולוגי שתוארך לכ-30,000 לפני הספירה - עצם שועל שעליה חמישים וחמישה חריצים מסודרים בחמישיות, בה עשרים וחמישה חריצים מופרדים מהשלושים הנותרים על ידי חריץ שאורכו כפול.
ייתכן שהחריצים מסמלים איברי קבוצה, ונועדו לשמש כעזר למנייה של האדם.
בדיעבד, ניתן לקשר בין עצם השועל למושגים המודרניים התאמה חד חד ערכית ובסיס ספירה (5).
ממצא נוסף, שתוארך ל-25,000 לפני הספירה פחות או יותר, היו מערות בצרפת ובספרד שעליהן צורות גאומטריות.
ישנו מספר מוגבל של ממצאים מהתקופה הפרהיסטורית שמראים תפישה ברורה של פעולות החשבון, אך הממצא הברור ביותר מהתקופה הוא עצם האישנגו מאפריקה, שמתוארך לבין השנים 20,000-18,000 לפנה"ס, שעל פי אחת הפרשנויות מראה על היכרות עם פעולות החשבון, הבחנה בין מספרים זוגיים לאי-זוגיים ואף על הבנה בסיסית של מושג המספרים הראשוניים.
+<div style="text-align: center;">הסמלים בהם השתמשו המצרים כמספרים המספר: 9 8 7 6 5 4 3 2 1הסמל:Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1Z1משמעות הסמל:המספר הכתוב הוא כמספר הקווים הרשומים (קו אחד – 1, שני קווים – 2, וכן הלאה)המספר:1,000,000100,00010,0001,00010010הסמל:C11I8אוI7D50M12V1V20משמעות הסמל:אדם ושתי ידיו מורמותראשן או צפרדעאצבעשושנת מיםסליל חבלעול של בקר
במצרים העתיקה חלה התפתחות משמעותית במתמטיקה.
אמנם גם אז המתמטיקה נועדה לצרכים מעשיים בלבד, אך היא הייתה מורכבת יותר מבכל תקופה עד אז.
עם זאת, היא לא התפתחה בצורה משמעותית במשך כל השנים שבהן התקיימה התרבות המצרית.
לא נראה שהייתה קיימת במצרים מתמטיקה דדוקטיבית של ממש, אלא רק ניסוי וטעייה, שבעזרתם מגיעים לתוצאות קרובות לאמת עד כמה שאפשר.
ב-3,000 לפנה"ס לערך, פיתחו המצרים גרסה ראשונית של השיטה העשרונית, כשהיא מעורבבת עם השיטה האונרית.
דרכם הייחודית להצגת המספרים הייתה חיבורית, כלומר: כל ספרה ביטאה גודל מסוים, כשהגודל הכולל של המספר הוא סכום הגדלים של כל אחת מהן בנפרד, בלא תלות במיקום הספרה (בניגוד לשיטה העשרונית - בה כל ספרה מתארת גודל כלשהו כך שמיקום הספרה קובע את סדר הגודל).
בתקופה מאוחרת יותר, בעקבות המצאת הפפירוס, עברו המצרים לשיטת-סימון שונה, שקבעה לכל מספר מ-1 עד 9 סמל מיוחד, כמו גם סימון מיוחד לעשרות השונות, למאות וכולי.
כתוצאה מכך, שיטה זו קיצרה את מספר הסימנים בהם הוצגו המספרים.
למשל, כדי לכתוב את המספר 5,679 בכתב המצרי עלינו להשתמש רק בארבעה סימנים, במקום ב-27 סימנים.
אך גם לשיטה זו היו חסרונות; היא הייתה קשה לזכירה, משום שהיו בה 36 סימנים שונים, לעומת 7 סימנים בסיסיים בכתב הקודם.
המצרים היו הראשונים שהכירו את מושג השבר והשתמשו בו.
הייתה להם דרך סימון מיוחדת לשברים, אם כי היא הייתה אונרית: שברים שהמונה שלהם לא היה 1 הוצגו כסכומם של שברים אחרים בעלי המונה 1.
עד היום סוג השברים הזה נקרא שבר מצרי.
הממצאים העיקריים שיש בידינו כדי לדעת על התפתחותה של המתמטיקה המצרית הם פפירוס מוסקבה (1,850 לפנה"ס) ופפירוס רינד, או בשמו השני פפירוס אחמס (1,650 לפנה"ס).
הם מעידים על ידע בפתרון משוואות ליניאריות ומשוואות ריבועיות.
הנעלם נקרא "אה", כלומר ערימה.
בפפירוס רינד ישנה גם טבלה המציגה נוסחאות לפירוק שברים שמוניהם 2 ומכניהם אי זוגיים (אחרת השבר מצטמצם ב-2), לסכום שברים יסודיים (שברים שמוניהם שווים ל-1).
הידע מופגן לרוב בבעיות יומיומיות, העוסקות בנושאים כמו אפיית לחם או תשלום שכר לפועלים.
הגאומטריה המצרית, שאותה כינו "הרפדונפטה" (, מילולית: מותחי חבל), הגיעה גם היא להישגים.
המצרים השתמשו בגאומטריה למטרות מעשיות, כמו חפירת תעלות, חלוקת אדמות ועוד.
הם הכירו שיטות לחישוב שטחיהם של מלבנים, טרפזים ומשולשים ישרי-זווית או שווי-שוקיים, ואת נפחיהן של תיבות, אם כי לעיתים הם שגו.
כמו כן, הם הכירו קירוב לפאי: ששווה ל-3.16 לערך (לעומת הערך האמיתי שקרוב יותר ל-3.14), קירוב שנמצא בעקבות מדידות גאומטריות של היחס בין היקף המעגל לקוטרו, וכן שהיחס בין שטח עיגול להיקפו שווה ליחס בין שטח ריבוע החוסם אותו להיקפו.
במאה ה-19 לפנה"ס הצליחו המצרים ליצור דוגמה לחישוב נפח פירמידה בעלת בסיס ריבועי.
לא התקיימה הפרדה בין אריתמטיקה לגאומטריה במקורות המצריים.
אפילו ביוון העתיקה, ערש המתמטיקה הדדוקטיבית, מצרים נחשבה למולדתה של המתמטיקה ובמיוחד של הגאומטריה.
עדויות לכך ניתן למצוא בכתביהם של אריסטו, אפלטון והרודוטוס.
בסביבות שנת 3,500 לפנה"ס שלטו באזור מסופוטמיה האשורים, שעשו שימוש בכתב יתדות וערכו את חישוביהם בבסיס 60. בין השנים 2,300 ל-2,100 לפנה"ס שלטו באזור זה האכדים, שהשפיעו על התרבות האשורית.
הם הביאו עמם, בין היתר, את הגרסה שלהם לחשבונייה.
בשנת 1,900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו הבבלים את בירתם בבבל.
סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחות השימוש בה (להשערות בדבר בחירת המספר 60 כבסיס ראו: בסיס סקסגסימלי).
שיטת הספירה הבבלית הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: בדומה לשיטה העשרונית בימינו, הבבלים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת (שיטה פוזיציונלית), אם כי בסיס הספירה שלהם היה, כאמור, 60. כדי למנוע את הצורך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית .
למספר 0 לא יוחד סימן משלו עד לתקופה מאוחרת יחסית (300 לפנה"ס לערך), ופעמים רבות ניתן היה להבדיל בין לבין , למשל, רק בעזרת ההקשר.
בטבלאות אשר נמצאו על הפרת ומתוארכות לשנת 2,000 לפנה"ס נמצאו ריבועי המספרים עד 59 וחזקותיהם השלישיות של המספרים עד 32. הבבלים עשו שימוש בזהויות: או ובטבלאות המתוארות לעיל, כדי לפשט את חישוביהם.
לבבלים לא היה אלגוריתם לחילוק מספר גדול, לכן השתמשו בעובדה שמתקיים ובטבלה של מספרים הופכיים לחילוק.
פלימפטון 322 הוא לוח חרסית שמקורו בבבל, והוא מתוארך לשנים 1,900 לפנה"ס עד 1,600 לפנה"ס.
הפרשנויות באשר ללוח זה חלוקות.
על פי חלק מהפרשנויות, הלוח שימש לייצור שלשות פיתגוריות או לחישוב ערכה של פונקציה טריגונומטרית, ובכך הוא מעיד על רמה מתמטית גבוהה של התרבות הבבלית, ומתבלט ביחס לשאר הממצאים מסוגו.
על פי פרשנות אחרת, הלוח שימש ככלי עזר בהוראת חשבון, ואין בו ייחוד רב ביחס לממצאים הדומים לו.
בכל אופן, סביר להניח כי העדויות על פתרון בעיות מתמטיות מורכבות יחסית אינם מעידים על קיומם של אלגוריתמים אלגבריים מגובשים, וכי פתרונם של אלה נעשה על ידי התבוננות בטבלאות.
ובכל זאת, יש הרואים בבבל את ראשית האלגברה.
אכן, הבבלים הציגו חישובים שדומים לאלגברה המודרנית בחלק מעקרונותיה, וחלק מהבעיות יכלו להיפתר בעזרת משוואה ממעלה שנייה.
התגלתה, לדוגמה, טבלה המציגה את ערכי בעבור כל טבעי עד 30. כמו כן נמצאה על אחת מלוחיות החימר מהתקופה הבבלית בעיה שניסוחה הוא: "החסרתי את הצלע של הריבוע מהשטח, וזה ", ופתרונה הוא שצלע הריבוע היא (פתרון נוסף הוא ).
את המשוואה אפשר לתרגם בכתיב מודרני ל-.
יש ויכוח בקרב החוקרים אם אכן הבבלים חשבו על המספרים בצורה מתמטית מופשטת, או שה"אלגברה" שלהם הייתה מבוססת על הסתכלות בטבלאות ותו לא, ושראייתה כאלגברה היא אנכרוניסטית.
לבבלים היו גם מספר הישגים בגאומטריה.
הקירוב לפאי שהוזכר לרוב בכתביהם היה אמנם , פחות מדויק מהקירוב המצרי, אך הם מצאו קירוב טוב ביותר לשורש ריבועי של 2, שהוא היחס בין צלע של ריבוע לאלכסון שלו:
קירוב בדיוק של ארבע ספרות סקסגסימליות, שהן כשש ספרות עשרוניות.
מכיוון שהשורש הריבועי של 2 מקבל את משמעותו הגאומטרית על פי משפט פיתגורס, ובשל ממצאי לוח פלימפטון - ייתכן שהבבלים הכירו את המשפט, אך לא סביר שהם ידעו להוכיחו (או להוכיח כל משפט אחר).
הגאומטריה הבבלית הייתה יישומית ולא מופשטת, וודאי שלא דדוקטיבית.
בכל אופן, יש ראיות לכך שהם ידעו לחשב את שטחיהם של מצולעים משוכללים בני שלוש עד שבע צלעות, וכן להשוות בין שטחם לשטח של מרובעים הבנויים על צלעותיהם.
אחת מתרומותיה החשובות של יוון העתיקה לאנושות היא פיתוח המתמטיקה.
היוונים נחשבים ליוצרי השיח המדעי ומושג ההוכחה המתמטית, וכן לראשונים שעסקו במתמטיקה לשם עצמה, כלומר כתחום מחקרי עיוני ומופשט ולא רק כעזר שימושי.
עם זאת, לצדה של המתמטיקה העיונית התפתחה מתמטיקה שימושית, ששימשה לצרכים יומיומיים ולקידום המדע (ובמיוחד האסטרונומיה).
לאורך רובה המוחלט של ההיסטוריה של המתמטיקה ביוון, היוונים נהגו לבטא כמעט את כל המתמטיקה במונחים גאומטריים; לדוגמה, מספרים אי-רציונליים (שהיוונים היו הראשונים לעסוק בהם) נקראו "קטעים חסרי מידה משותפת".
למסורת זו הייתה השפעה על מתמטיקאים רבים לאורך מאות שנים.
המונח מתמטיקה יוונית קלאסית מתייחס למתמטיקה שהייתה קיימת עוד לפני התקופה ההלניסטית, כאשר מתמטיקה נכתבה בשפה היוונית רק בתחומי יוון.
מאז תחילת התקופה ההלניסטית, בסוף המאה הרביעית לפני הספירה, התפשטה השפה היוונית, ומלומדים כתבו בשפה זו בכל חלקו המזרחי של אגן הים התיכון.
זרימת הרעיונות הביאה לכך שהמתמטיקה היוונית ספגה ובלעה את המתמטיקה המצרית והבבלית; המתמטיקה בת תקופה זו נקראת מתמטיקה הלניסטית.
מרבית הטקסטים המתמטיים שנכתבו ביוונית נמצאו ביוון, מצרים, מסופוטמיה, אסיה הקטנה, סיציליה ודרום איטליה.
שיטת הספירה הראשונה שבה השתמשו היוונים מבוססת על בסיס עשרוני.
הסמל של כל מספר היה האות הראשונה של אותו מספר ביוונית, אלא אם כן המספר היה מורכב מיותר מיחידת בסיס אחת (יחידות הבסיס היו המספרים בין 1 ל-9).
כך למשל, המספר 5 סומן באות פאי.
שיטה זו נקראה השיטה האטית, על שם האזור ממנו השיטה התפתחה - אטיקה.
בתקופה מאוחרת יותר, השתמשו היוונים בשיטת סימון מתקדמת יותר, שבה הוצגו המספרים לפי 22 אותיות האלפבית היווני.
לסימון המספרים בין 1 ל-9 נקבעו תשע האותיות הראשונות, בתוספת גרש (') בצד ימין של האות, למעלה; תשע האותיות הבאות ייצגו את העשרות מ-10 עד 90, והאותיות שלאחריהן ייצגו את המאות.
המתמטיקאי הבולט הראשון ביוון העתיקה, ויש האומרים בתולדות האנושות, הוא תאלס (624 לפנה"ס – 546 לפנה"ס בקירוב).
לא יהיה זה משולל יסוד להניח שהוא האדם הראשון שהוכיח משפט מתמטי, ולא רק גילה אותו.
תאלס הוכיח בין השאר (אם כי ההוכחות שלו אינן פורמליות כמו אלו המודרניות), שהקוטר מחלק את המעגל לשני חלקים שווים, שזוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות זו לזו וששני משולשים השווים זה לזה באורכים של שתי צלעות בהתאמה ובזווית שביניהן, הם חופפים.
שני משפטים שהוכיח קיבלו את השם "משפט תאלס": "ישרים מקבילים חותכים מצד אחד של שוקי זווית קטעים בעלי יחסים שווים" הוא משפט תאלס הראשון ו"הזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה" הוא משפט תאלס השני.
מיוחסות לו גם שיטות למדידת גובהן של הפירמידות בעזרת מדידת הצל שלהן; ולקביעת מיקומה של ספינה הנראית מן החוף (בגלל כדוריות פני הים).
בשנים 582 לפנה"ס עד 496 לפנה"ס, בקירוב, חי מתמטיקאי חשוב במיוחד - פיתגורס.
המקורות הראשוניים עליו מועטים, וההיסטוריונים מתקשים להפריד את העובדות משכבת המסתורין והאגדות שנקשרו בו.
ידוע שסביבו התקבצה האסכולה הפיתגוראית, מעין כת פסבדו-מתמטית שהאמינה ש"הכל מספר", או ליתר דיוק הכל ניתן לכימות, וייחסה למספרים משמעויות מיסטיות.
ככל הנראה הפיתגוראים ידעו לבנות את הגופים האפלטוניים, הכירו את הממוצע האריתמטי, הממוצע הגאומטרי והממוצע ההרמוני והגיעו להישגים חשובים נוספים.
בין סוגי המספרים שהתעניינו בהם הם מספרים מצולעים (משולשיים, ריבועיים וכולי) ומספרים משוכללים, שני סוגי מספרים שככל הידוע הפיתגוראים היו הראשונים לעסוק בהם באופן מדעי.
ניתן לומר שהפיתגוראים גילו את היותו של השורש הריבועי של 2, שהוא גם האלכסון בריבוע שאורך צלעותיו 1, אי רציונלי, אך תגליתם הייתה למעשה רק שהקטעים הם "חסרי מידה משותפת", ומושג המספר האי רציונלי נוצר מאוחר יותר.
משפט פיתגורס, שהיה ידוע להם, קיבל את שמו מפיתגורס, אף על פי שכמעט ודאי שהוא היה ידוע עוד קודם, ואין ראיות לכך שהפיתגוראאקסים ידעו להוכיח אותו.
השפעתם של הפיתגוראים ניכרה גם בכתבי הפילוסוף החשוב אפלטון (427-8 לפנה"ס – 347 לפנה"ס), שהוקסם מההרמוניה שמצא במתמטיקה, וסבר שיש ללמדה הן למען פיתוח החשיבה והבנה מעמיקה יותר של העולם, והן לצרכים מעשיים.
על שער האקדמיה האפלטונית רשם: "הא-גאומטרי [חסר הידע בגאומטריה] בל ייכנס לכאן".
הוא לא הגיע להישגים מתמטיים בעצמו, אך עודד מתמטיקאים וכונה "יוצר מתמטיקאים".
תלמידו, הפילוסוף הנודע אריסטו, הלך בדרך מורו ורומם את המתמטיקה בכתביו כ"עומדת באמצע הדרך בין פיזיקה לבין מטאפיזיקה".
הוא כתב על פילוסופיה של המתמטיקה, וכן תרם תרומות למתמטיקה, בין השאר בהבחנה החדה בין אקסיומות לבין פוסטולטים (טענות הישימות רק לתחום ידע מסוים).
בתקופה שלאחר פיתגורס פעל היפוקרטס מכיוס (בקירוב 470 לפנה"ס עד 410 לפנה"ס), שתרם תרומות חשובות לגאומטריה היוונית, במיוחד בנושאי הצורות החסומות.
בתקופתו, פחות או יותר, נהגו הבעיות הגאומטריות של ימי קדם: בניית קובייה שנפחה בדיוק כפול מזה של קובייה נתונה, שילוש זווית (חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים), תרבוע העיגול (בניית ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון) ובניית מצולע משוכלל בן שבע צלעות - כל אלו באמצעות סרגל ומחוגה בלבד.
רק במאה התשע עשרה הוכח בעזרת תורת גלואה שהבעיות הללו בלתי פתירות, אך הניסיונות לפתרן תרמו תרומה עצומה להתפתחות המתמטיקה בכלל והמתמטיקה היוונית בפרט.
להיפוקרטס מכיוס היו מספר תובנות חשובות על הבעיות האלו.
מעט אחרי היפוקרטס חי אאודוקסוס מקנידוס (ככל הנראה 408 או 410 – 347 או 355 לפנה"ס), שחקר יחסים בין מספרים ופיתח שיטה למציאת שטחו של עקום.
תרומה יוצאת דופן להתפתחות המתמטיקה תרם אוקלידס מאלכסנדריה, שחי, לפי המשוער, בין 365 ל-275 לפני הספירה.
הוא כתב מספר חיבורים, אך החשוב שבהם הוא ללא ספק הספר "יסודות", מהספרים המתמטיים המשפיעים ביותר בכל הזמנים.
הספר, בן שלושה עשר הכרכים, עוסק בגאומטריה ובאריתמטיקה, ותורם תרומות חשובות בשניהם.
למעשה הוא בנוי במתכונת של ספר לימוד, וקשה להפריד מה בו מקורי ומה תוצר עבודתם של מתמטיקאים קודמים.
המתמטיקה בו היא ריגורוזית יותר מאי פעם - ההוכחות לא רק מדוקדקות באופן חסר תקדים לזמנו, אלא גם מבוססות על הגדרות יסודיות למושגים בסיסיים כמו נקודה וקו ישר, ועל הנחות יסוד שאין צורך להוכיחן.
למעשה, בניגוד לזמננו, הנחות היסוד מחולקות לפוסטולאטים, שהן טענות הישימות רק לתחום ידע מסוים, במקרה זה מתמטיקה (לדוגמה: "דרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קו ישר, ורק אחד") ולאקסיומות שנכונות לכל תחומי הידע (לדוגמה: "שני גדלים השווים לגודל שלישי, שווים ביניהם").
בין הגילויים המופיעים בספר לראשונה: ההוכחה המפורסמת לקיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, שהתבססה על הוכחה חשובה אחרת למשפט היסודי של האריתמטיקה; ההוכחה לכך שכל מספר מהתבנית , (שבה הוא מספר ראשוני) - הוא משוכלל; ההוכחה לכך שחמשת הגופים האפלטוניים הם הפאונים המשוכללים היחידים שניתן לבנות; ועוד משפטים חשובים רבים.
זהו ספר היסוד של הגאומטריה.
שתי אגדות על אוקלידס מתמצתות את השינוי המחשבתי האדיר שחל במתמטיקה היוונית לעומת קודמותיה.
על פי האחת, אוקלידס הסביר הוכחה קשה למלך מצרים תלמי הראשון, ולאחר שסיים להסביר, שאל אותו המלך: "האם אין דרך קצרה ומהירה יותר ללמוד גאומטריה?" על כך, על פי האגדה, ענה אוקלידס: "הוד מלכותך, אין 'דרך המלך [דרך קצרה]' לגאומטריה".
אגדה אחרת מספרת על מתלמד ששאל אותו מהם היתרונות המעשיים בלימוד המתמטיקה.
בתגובה לכך ביקש אוקלידס ממשרתו לתת לנער מטבע כסף, באומרו שהוא "חייב להרוויח מכל דבר אותו הוא לומד", ושילחו לדרכו.
אגדות אלו נותנות יחס של כבוד למתמטיקה, אף שקשה להבינה בלי קשר ליישומיה המעשיים.
בין השנים 287 – 212 לפנה"ס חי ארכימדס, שנחשב לאחד מגדולי המדענים של העת העתיקה, אם לא הגדול שבהם.
מלבד הישגים רבים בפיזיקה, כגון גילוי חוק ארכימדס וההצגה הראשונה של רעיון מרכז הכובד, ארכימדס תרם רבות גם למתמטיקה.
הוא הגה את שיטת המיצוי, שיטה דמוית-אינטגראציה שבעזרתה ניתן לחשב שטחים ונפחים שונים.
בשיטות המבוססות על העיקרון של שיטת המיצוי הוא חישב שטחים ונפחים של מצולעים ושל פאונים.
הוא גם גילה ששטח העיגול שווה לפאי כפול ריבוע הרדיוס.
הוא הוכיח שהשטח הכלוא על ידי פרבולה וקו ישר שווה ל-4/3 כפול שטחו של המשולש בעל גובה ובסיס שווים, ובמהלך הפתרון סיכם לראשונה את הטור גאומטרי האינסופי בעל מנה 1/4:
בכך, כמו בשיטת המיצוי, הוא הקדים בכמה אלפי שנים את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ואת האנליזה המתמטית שמושג הגבול ובפרט גבול של סדרה הוא בסיסי מאוד בהן.
הישגים מתמטיים נוספים אליהם הגיע ארכימדס: אומדן מדויק למדי לשורש הריבועי של 3, הוכחה שהיחס בין נפחו לבין שטח פניו של כדור שווה לשני שלישים מהיחס המקביל בגליל החוסם את הכדור, תרבוע העיגול (בשימוש באמצעי שאינו סרגל ומחוגה), ועוד.
ההיסטוריון של המתמטיקה אריק טמפל בל מנה אותו כאחד משלושת המתמטיקאים הגדולים בכל הזמנים, ובוודאי הוא שייך לשורה הראשונה של המתמטיקאים בעת העתיקה בפרט ובתולדות המתמטיקה בכלל.
אחד החיבורים המתמטיים החשובים ביותר שנכתבו ביוון העתיקה הוא "קוניקות" של אפולוניוס מפרגה (כמשוער, בין 262 ל-190 לפנה"ס), שהוא חיבור מדורג ודדוקטיבי בסגנון "יסודות" של אוקלידס העוסק בחתכי חרוט, שהם: המעגל, הפרבולה, ההיפרבולה והאליפסה.
הוא מכיל שמונה ספרים, מהם שבעה נשתמרו עד ימינו (ארבעה במקור היווני ושלושה בתרגום).
בחיבור זה מראה לראשונה אפולוניוס שחתכי חרוט מתקבלים לא רק מחיתוך בין מישור אנכי לבין חרוט חד-זווית, ישר-זווית או קהה-זווית - אלא כולם יכולים להתקבל מחרוט אחד אם נשנה את זווית החיתוך.
כנראה בשל איכותו ותרומתו, לא נותר עוד זכר כמעט לחיבורים אחרים על חתכי חרוט מהתקופה שלפני ה"קוניקות".
לאחר אפולוניוס חלה האטה מסוימת בפוריות המתמטיקאים היוונים.
היפרכוס (מוערך 120 – 190 לפנה"ס), מנלאוס מאלכסנדריה (מוערך 70–140) ותלמי (85–165 לערך) היו ממפתחי הטריגונומטריה הספירית.
הרון מאלכסנדריה (10–70 לספירה) הציג והוכיח את נוסחת הרון.
פאפוס מאלכסנדריה, מתמטיקאי שפעל בתחילת המאה ה-4 לספירה, כתב את ה"סינגוגה" (מילולית: אוסף), חיבור אנציקלופדי העוסק בגאומטריה, שבין השאר הוא מקור הידיעה הכמעט בלעדי שלנו על האנליזה היוונית, וגם מכיל הוכחה לכך שהמצולע המשוכלל הוא הגדול ביותר בשטחו מבין המצולעים בעלי אותו היקף ואותו מספר צלעות.
הפילוסוף הנאופלאטוני פרוקלוס (411–485) כתב פירוש מפורסם מאוד ל"יסודות" של אוקלידס, שמספק ידע רב מאוד על ההיסטוריה של המתמטיקה ביוון.
מעל כולם ישנו דיופנטוס (200–284), וספרו רב ההשפעה "אריתמטיקה", שהיו שהקבילו אותו ל"יסודות" מבחינת המבנה וההשפעה ("יסודות" בגאומטריה ו"אריתמטיקה" באריתמטיקה).
ב"אריתמטיקה" דן דיופנטוס במשוואות מהמעלה הראשונה והשנייה, ומפתח שיטת סימון הקרובה יחסית לזו של האלגברה המודרנית.
התרבות הרומית לקחה השראה רבה מתרבות יוון העתיקה בתחומים כמו אמנות ופילוסופיה, ופיתחה את הרעיונות שנלקחו משם, אולם במתמטיקה הם לא חוללו התקדמות משמעותית.
גם המתמטיקה הלא מפותחת שהייתה בידי הרומים נלקחה בעיקר מהאטרוסקים וממקורות אחרים, קדומים ליוון העתיקה.
באופן כללי, לא נרשם ברומא עניין רב בנושאים מדעיים שאינם קשורים לחיי היום יום באופן ישיר, וכך המתמטיקה שלהם הייתה לא מפותחת ובעיקרה מעשית.
הבעיות המתמטיות המעטות התייחסו למקרים ספציפיים ולוו בסיפור רקע, וריגורוזיות ודאי שלא הייתה.
בהקשר המתמטי, רומא זכורה בעיקר בשל הספרות הרומיות.
שיטת הספירה ברומא מכילה 7 אותיות לטיניות, שבעזרתן בוטא כל מספר:
השיטה היא לא פוזיציונלית, כלומר ערכה של ספרה לא משתנה בהתאם למקומו במספר.
לעומת זאת, לעיתים ספרות מסמנות, בהתאם למקומן במספר, שיש לחסר את ערכן מהסכום ולא להוסיפו.
שיטת הספרות הרומית התפשטה והפכה לשיטת הספירה המקובלת ביותר בזמנה, עד שהוחלפה בשיטה ההודית-ערבית, שבה אנו משתמשים עד היום.
הספרות הרומיות עודן משמשות לקישוט (למשל בשעונים) ולמספור (למשל: פרקים בספרים).
חשיבות אחרת שיש לתרבות הרומית בהיסטוריה של המתמטיקה היא חשיבות תרבותית.
ברומא העתיקה הוכללו לראשונה האריתמטיקה והגאומטריה כחלק משבע האמנויות החופשיות, שעל כל רומאי משכיל לדעת.
כמו כן, בכתבי ההיסטוריה הרומיים, כמו אלו של פליניוס הזקן, מופיעים לא מעט הסברים על ההיסטוריה של המתמטיקה, שלמרות חלקיותם מהווים מקור פורה להיסטוריונים של ימינו.
המאיה היא תרבות אינדיאנית שפרחה באמריקה המרכזית במאות ה-3 עד ה-16 לספירה, ובמיוחד במאות ה-8 וה-9. תרבותם המפותחת ועניינם הרב באסטרונומיה היוו כר פורה לפיתוח שיטת ספירה מתקדמת ביותר לתקופתה.
תרבות המאיה פיתחה, כשש מאות שנה לפני השיטה העשרונית ההודית, שיטה פוזיציונלית משלה.
בסיס השיטה הוא 20, ויש רק 3 סימני ספרות: 0, 1 ו-5, בעזרתן ניתן לבטא כל מספר.
בכתבי המאיה התגלו מספרים בסדר גודל של מיליונים הכתובים בשיטה זו.
רוב הספרות ייצגו כמות גדולה פי 20 מהספרה שקדמה להן, ואילו הספרה השלישית ייצגה כמות גדולה פי 18 מהשנייה.
כך, הספרה הראשונה מודדת אחדות, השנייה מודדת "עשרימיות", השלישית "שלוש מאות ושישימיות" (20*18), הרביעית "שבעת אלפים מאתימיות" (20*18*20), וכך הלאה.
תכונה זו נגזרה, כמעט בוודאות, מלוח השנה "האב", שבו יש 18 חודשים בני 20 יום כל אחד, ועוד חודש אחד בן חמישה ימים שנחשב למביא מזל רע.
מעבר לכך, ככל הידוע, לא הגיעה המתמטיקה של המאיה להישגים של ממש.
שיטת הספירה סייעה בידם של האסטרונומים, שלהם היו הצלחות מרשימות ביחס לתקופתם, וכן לחישובים הקשורים ללוח השנה המקומי המתוחכם והמתקדם.
החל מ-1200 לערך עד 1532, עת נכבשה בידי האימפריה הספרדית, התקיימה באמריקה הדרומית אימפריה בשם "אינקה", שמו של העם שעמד בבסיס האימפריה, אך התקיים עוד לפניה.
במאה ה-15 הרחיבו הקיסר "פַּאצַ'אקוּטִי" ולאחריו בנו ויורשו טופאק אינקה יופאנקי את תחומי האימפריה, והפכו אותה לגדולה שבאימפריות באמריקה בתקופה הפרה-קולומביאנית, או במילים אחרות לפני הגעת האירופאים ליבשת.
מאות שבטים, על מנהיגיהם ושפותיהם השונות, התאחדו ויצרו תרבות ענפה שאליה השתייכו כעשרה מיליון בני אדם.
תרבות זו כללה ממשל ציבורי, צבא, אדריכלות, דת (המיתולוגיה של האינקה) ועוד.
לאינקה, באופן יוצא דופן לאימפריה כה גדולה ומפותחת תרבותית, לא היה כתב.
לשם שמירת המידע הכמותי, בני האינקה השתמשו במתקן הנקרא קיפו.
מכשיר זה מכיל חבל ועליו תלויים חבלים קטנים ממנו.
כמותם ומיקומם של קשרי החבלים ייצגו מספרים בשיטה עשרונית.
צבעם ומיקומם של החבלים, וכן סוג הקשר ומבנה הקשרים, הפרידו בין המספרים השונים בקיפו אחד.
הכובשים הספרדים השאירו אחריהם שלל תיאורים ואיורים של הקיפו.
אינקה גרסילאסו דה לה וגה, בנם של אב ספרדי ואם בת האינקה, כתב:
ההנחה לפיה הקיפו שימש רק לתיעוד כמויות התערערה עם מחקרם של החוקרים רוברט ומרשיה אשר, ארכאולוג ומתמטיקאית, אשר שיערו שכ-20% מהקיפו שבידינו הם "בבירור לא מספריים".
כיום יש מחלוקת בנושא זה.
הפרואני פליפה גואמן פומה דה איילה כתב כרוניקה רחבת היקף, בה ניסה לסכם את ההיסטוריה של תרבויות האנדים, מהאנשים הראשונים עד לאינקה (שמוצאם מהאנדים) ולכיבוש הספרדי של אימפריית האינקה, ושלח לפליפה השלישי, מלך ספרד.
בכרוניקה נכללים איורים רבים, כולל כמה של קיפו, וכן של "לוח ספירה" שנקרא "יופאנה", מעין חשבונייה.
היסטוריונים חלוקים בדעתם אכן האם מדובר במכשיר של האינקה, או שמא ייתכן כי הוא הגיע עם הכובשים הספרדים.
כומר ספרדי שחי בקרב בני האינקה בשנים 1571–1586 כתב כי הם ביצעו חישובים מורכבים, ש"למחשב (אדם העוסק בחישוב) מוכשר יידרשו נייר ועט כדי לחשבם", בעזרת גרעינים.
אין הרבה עדויות על פיהן אפשר לקבוע את מידת העומק של חשיבתם המתמטית של בני האינקה.
החוקר גרי אורטון, מומחה לתרבויות האנדים, טען בספרו "חייהם החברתיים של המספרים: אונטלוגיה קצ'ואית של המספרים ופילוסופיה של האריתמטיקה" כי לאינקה לא היה מושג מספר מופשט הנפרד מעצמים מכומתים.
להודו הייתה השפעה משמעותית על התפתחות המתמטיקה, כשהתרומה הידועה והחשובה ביותר היא פיתוח השיטה העשרונית הפוזיציונלית (מיקומית) והגדרת מושג ה־0. עם זאת, בהשוואה למתמטיקה היוונית, שהייתה מאופיינת בריגורוזיות לוגית ובערך פילוסופי, המתמטיקה ההודית התמקדה יותר בפתרונות מעשיים ולעיתים הייתה פורמלית פחות מבחינה לוגית.
המתמטיקה ההודית נכתבה ברובה בחרוזים ובסגנון מיסטי.
בין השנים 3300 לפנה"ס עד 1300 לפנה"ס התקיימה, בחלק משטחי הודו של ימינו, תרבות עמק האינדוס.
בחפירות ארכאולוגיות נמצאו שרידים המראים שימוש ביחידת מידה של 3.35 ס"מ אשר מהווה באורכה עשירית מיחידת הרגל, וכן ביחידת מידה אחרת שאורכה 0.932 ס"מ ומהווה מאית מיחידת הפסע.
כשירדה קרנם של תושבי עמק האינדוס, תפסו את מקומם ההינדו-אריאנים.
ספרי הקודש שלהם, הוודה, כללו בין השאר את ה"שולבה סוטרא" - ספר קודש העוסק בבניית מזבחות לשם הקרבת קורבנות.
ספר זה הוא דתי בעיקרו, אך מציג מתמטיקה מתקדמת.
בין השאר נמצאים בו נוסח של משפט פיתגורס ("האלכסון במלבן יוצר שטח השווה לסכום השטחים ששתי צלעות המלבן יוצרות בנפרד"), בעיית בניית מזבח מרובע ששטחו שווה למעגל נתון (בעיה מקבילה לבעיית "תרבוע העיגול" של היוונים), וקירוב מדויק לשורש הריבועי של 2: , מדויק עד הספרה החמישית אחרי הנקודה.
אין זכר להוכחות בטקסט זה.
בסביבות המאה ה-3 לפנה"ס הופיעו הספרות הברהאמיניות.
במובן מסוים הן המקור לשיטה העשרונית המודרנית, אך הן אינן מפותחות כמו שיטת הספירה ההודית המאוחרת יותר.
עם שקיעתה של הדת ההודית, החלו להתבסס דתות אחרות.
הג'ייניזם שהתפתחה במאה השישית לפני הספירה על בסיס ההינדואיזם, הייתה אחת מהן.
הקוסמולוגיה הג'יינית והצורך בתחזיות אסטרונומיות (למשל, לכתיבת לוחות שנה) היוו כוח מניע להתפתחויות מתמטיות רבות.
כך, למשל, הביאו סוגיות בקוסמולוגיה לפיתוח רעיונות בנושא האינסוף, שלא נשקלו בשנית עד לעבודותיו של גאורג קנטור.
במאות ה-5 עד ה-7 לספירה חיו שני מתמטיקאים חשובים במיוחד: אריאבהטה ובראהמגופטה.
אריאבהטה (476–550 לספירה) הוא אחד מגדולי המתמטיקאים ההודים.
הוא נחשב לאבי השיטה העשרונית.
עבודתו ה"אריאבהטיה" שפרסם בגיל 23 השפיעה רבות על המתמטיקה ההודית.
בין השאר נמצאים בחיבור: אלגוריתם להוצאת שורש ריבועי ושלישי, הנוסחה לאורך צלע משושה משוכלל, רעיון הרדיאן, הוכחה בעזרת דמיון משולשים, משפט פיתגורס, והנוסחאות לחישוב סכום האיברים בסדרה חשבונית, או לחלופין מספר האיברים, אם ידועים סכום הסדרה והאיבר הראשון.
הקירוב המוצג ל-π הוא "חבר ארבע למאה אחת, הכפל בשמונה, והוסף שוב ששים ושניים אלף, התוצאה היא ערכו בקירוב של π כאשר הקוטר הוא עשרים אלף", כלומר בדיוק 3.1416, שהוא קירוב בדיוק של אלפית.
תוצאות אלו מראות על הבנה מתמטית מרשימה לתקופתו.
עם זאת, במדידת הנפחים נפלו כמה טעויות.
נראה שהוא הושפע מהמתמטיקה יוונית.
פרשן בולט שלו הוא בהסקרה הראשון (600–660 בקירוב).
בשנים 598–668 חי המתמטיקאי והאסטרונום החשוב בראהמגופטה.
הוא עבד כאסטרונום הראשי של מצפה הכוכבים בעיר אואז'ין.
עבודתו החשובה, "המערכת המתוקנת של ברהמה" (Brahmasphutasiddhanta), עוסקת בעיקרה באסטרונומיה ובחישובים אסטרונומיים (ככל הידוע לנו הוא החוקר ההודי הראשון שהשתמש באלגברה לצרכים אסטרונומיים), אך כוללת ארבעה פרקים (מתוך עשרים ושלושה) של מתמטיקה עיונית, שהם הפרקים המשפיעים ביותר בספר.
הוא הושפע רבות ממתמטיקאים ואסטרונומים הודים קודמים, כמו וורהמירה ואריאבהטה, ולרוב הגיע להישגים טובים משלהם.
הוא עסק במשוואות (לדוגמה משוואות פל), בכדוריות, במדידת נפחים (בנושא זה היו לו טעויות לא זניחות) ועוד.
למרות הגיוון בנושאיו, החידוש הגדול בספר הוא שבו הופיע לראשונה האפס כמספר בפני עצמו, ולא רק כמציין מקום חסר, ואף הגדיר אותו כתוצאת חיסור מספר מעצמו.
הוא ניסח את כללי הפעולות עם אפס: "אם מוסיפים או מורידים ממספר אפס הוא נשאר ללא שינוי, אם מכפילים מספר באפס התוצאה היא אפס".
כמו כן, בספרו התקיימו המספרים השליליים ("חוב") וההפרדה בינם לבין החיוביים ("הון"), נרשמו כללים לפעולות במספרים חיוביים, שליליים ובאפס המזכירים את אלו המודרניים, והוא אף הכליל פתרונות שליליים כפתרונות קבילים למשוואותיו.
עבודתו של בראהמגופטה היוותה הבסיס לשני תחומים מרכזיים, אם לא שני התחומים המרכזיים, במתמטיקה ההודית, "מתמטיקה של אלגוריתמים" המקבילה בקירוב לאריתמטיקה, ו"מתמטיקה של משוואות" המקבילה בקירוב לאלגברה.
בראהמגופטה השפיע רבות על המתמטיקה ההודית.
מהווירה, בן המאה התשיעית, פיתח את רעיונותיו.
במאות ה-9 עד ה-11, בכל אופן, לא היו תרומות מתמטיות רבות מלבד פרשנויות לספרים מוקדמים יותר וחישובים אסטרונומיים למיניהם.
במאה ה-12 הייתה התקדמות מה במתמטיקה ההודית, ובעיקר השפיע ספרו של בהסקרה השני "כתר השיטה האסטרונומית", שבו נכללו גם כללי כפל וחילוק למספרים חיוביים ושליליים.
ספר זה נחשב לשיא הרמה אליה הגיעה המתמטיקה ההודית.
בכל אופן, תרומה משמעותית כזו של אריאבהטה ובראהמגופטה לא חזרה על עצמה מעולם בספר בודד.
מסיבות גאוגרפיות (ההרים והים שגרמו לבידוד יחסי) והיסטוריות (כובשי סין העדיפו להתמזג לתרבות המקומית ולא לשנות אותה) התרבות הסינית התפתחה במשך שנים רבות כמעט בלי קשר לתרבויות אחרות.
לפיכך, גם המתמטיקה הסינית שונה מהאחרות, ובמיוחד מהמתמטיקה היוונית.
בניגוד אליה, המתמטיקה הסינית לא בוססה על אקסיומות ולא עמדה בדרישת הריגורוזיות היוונית.
אלא, התבססה רבות על חידות מתמטיות ופתרונן, ולא על משוואות כלליות.
יתר על כן, היא הייתה בעיקרה מתמטיקה מעשית, שהונעה בשל נושאים כלוח השנה וגביית מסים.
אף על פי כן, היו בה פיתוחים חשובים ורעיונות מתמטיים מתקדמים.
הידע שלנו על המתמטיקה הסינית שלפני המאה ה-1 לספירה מוגבל, בין השאר בשל שריפות הספרים העתיקים והוצאתם להורג של מלומדים בתקופתו של צ'ין שה-חואנג.
בשנת 1100 לפנה"ס בקירוב נכתב "צ'ו פאי", חיבור שממנו אפשר ללמוד רבות על הידע המתמטי בזמן זה, למשל מהדיאלוג הבא:
חיבור מתמטי אחר שידוע לנו הוא ה"גּ'וֹּבִּי סְוַּאנְגִּ'ינְגּ", או "המדריך של ג'ואו למדידת צללים", המתוארך לתקופה בין 100 לפנה"ס ל-100 לספירה.
הוא מכיל ידע מתמטי מורכב לתקופתו, למשל גרסה למשפט פיתגורס.
הסינים החלו להשתמש בשיטה עשרונית בערך במאה הראשונה לספירה.
הם השתמשו בקני במבוק אדומים כדי לסמן מספרים חיוביים ובקני במבוק שחורים כדי לסמן מספרים שליליים ("מוטות מנייה").
ספרות היחידות והמאות הונחו לרוחב, בעוד ספרות המאות והאלפים הונחו לאורך.
מאות שנים לאחר מכן השיטה התנתקה מהמוטות והפכה לשיטה כתובה המבוססת בעיקרה על קווים אופקיים ואנכיים.
הספר החשוב ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה הסינית הוא תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה (סינית מסורתית: 九章算術).
ספר זה מכיל 216 בעיות מעשיות שדרכן מוצגים הרעיונות המתמטיים.
הוא תוצאת התפתחות מתמטית בת מאות שנים, וחיברוהו מלומדים רבים.
השפעתו על המתמטיקה של זמנו עצומה, בדומה לזו של "יסודות" במתמטיקה היוונית.
בין השאר ניתן למצוא בספר: שיטות למדידת שטחים (בין השאר המשולש, הטרפז והעיגול, פעולות החשבון בשברים, משפט פיתגורס, אלגוריתם למציאת מחלק משותף מקסימלי, פתרון משוואות ליניאריות, רעיונות המקדימים את החשבון האינפיניטסימלי, אחוזים ועוד נושאים רבים.
השפעה גדולה מאוד יש גם לפרשנותו של לִי חְוֵי, שחי כנראה במאה השלישית לספירה, ל"תשעת הפרקים".
הוא העיד על עצמו שקרא את היצירה בעודו ילד, והתעמק בה בבגרותו.
הוא התאמץ יותר מקודמיו להצדיק באופן עקרוני את חישוביו, ובכך התקרב באופן יחסי לתקופתו למתמטיקה הריגורוזית והמופשטת המודרנית.
בחיבור מאוחר יותר, "המדריך המתמטי של איי הים", שבמקור היה תוספת לפרשנות הנ"ל אך הפך לטקסט נפרד ורב השפעה, הוא בין השאר השתמש במשפט פיתגורס כדי לחשב את גובהו ומרחקו מנקודת המבט של עצם שלא ניתן לחשב נתונים אלו עליו ישירות.
התקדמותו של חְוֵי הייתה כה משמעותית, עד שבמשך דורות לאחר מכן, מעטים היו הגילויים החדשים.
בספרו של סוּן דְזְה מהמאה השלישית עד החמישית לספירה, "המדריך המתמטי של סוּן דְזְה", לא נמצאים גילויים רבים שלא נמצאו בספרים קודמים, אך בכל זאת יש לו חשיבות לא מבוטלת.
נכלל בו חומר בנושאי ארבע פעולות החשבון והוצאת שורש ריבועי, ואף ניתן למצוא בו מעט אלגברה (על אף שהיא שונה מהאלגברה המודרנית).
בו הופיע לראשונה משפט השאריות הסיני החשוב.
בספרו של שְׂיַה-הוֹאו יַאנְגּ, שבו בעיות מסחר וממשל מלוות בפתרונן, בלי כללים ועם הסברים חלקיים, נמצאת שיטת ספירה עשרונית.
הוא ובנו, דְּזוּ גֶּנְגּ, ניסחו יחד את הנוסחה לחישוב נפח ספירה (גאומטריה), בהתבסס על רעיון מקביל לעקרון קאוואליירי.
לאחר שְׂיַה טונְגּ המתמטיקה הסינית לא התקדמה רבות לאורך זמן רב.
אף על פי שהיו עוד שיפורים קטנים, במשך מאות שנים, עד סוף המאה ה-12, לא היו חיבורים ראויים לציון.
השינוי העיקרי שהתרחש בתקופה זו היה תרבותי: המתמטיקה הפכה ללימוד חובה עבור פקידים, שהיו נבחנים על מתמטיקה מתוך 12 ספרים נבחרים מההיסטוריה של המתמטיקה הסינית, שכונו, למרות מספרם, "10 הקלאסיקות".
אמנם במאה ה-12 היו מתמטיקאים בעלי הישגים נכבדים, כגון גְּ'יַה שְׂיֵן ושֶׁן קְוַּה, אך הם היו זניחים למדי ביחס להתקדמויות העבר.
ובכל זאת, יש להזכיר שהסינים פתרו משוואות ממעלה שנייה ואף ממעלות גבוהות יותר, וכן ייחדו סימן לאפס (שכנראה הגיע מן המתמטיקה ההודית).
קפיצת מדרגה נעשתה במאה ה-13, שהייתה תקופת שגשוג למתמטיקה הסינית.
בין השאר פרסם מחדש את משפט השאריות הסיני, גילה מחדש אל נוסחת הרון היוונית לחישוב שטח משולש על פי צלעותיו ועבד עם משוואות בעלות מקדם משתנה.
לִי גְּ'ה כתב ב-1248 את ספרו "מראת הים של מידות המעגל" שכלל שיטה לטיפול במשוואות פולינומיות וב-1259 את ספרו "צעדים חדשים בתורת החישובים" שהכיל פתרון לבעיות גאומטריות בעזרת אלגברה.
יַאנְגּ חְוֵי (1191–1279) העלה רעיונות חשובים על נושאים ככפל וחילוק, הוצאת שורשים, חישובי שטחי צורות ומשוואות מסוגים אלו ואחרים.
גְּווֹ שוֹוּגִּ'ינְגּ (1231–1316) עסק בין השאר בפתירת משוואות ובטריגונומטריה ספירית.
גּ'וּ שְׁה-גְּיֵה (1260–1320) פתר פולינומים עם ארבעה איברים, כמו גם מערכות ליניאריות בנות ארבע עשרה משוואות, וחישב סכומים של סדרות, הישג מרשים לכל הדעות.
שה-גיה הוא, ניתן לומר, אחרון המתמטיקאים מ"תור הזהב" של המתמטיקה הסינית במאה ה-13, תקופה שלאחריה המתמטיקה הסינית הפסיקה להיות מהמתקדמות בעולם.
האסלאם נולד במאה השביעית ועד 732 כבר שלטו המוסלמים על שטח רחב ממדים שכלל בין השאר את מסופוטמיה, מצרים, פרס, ספרד וצפון אפריקה.
בימי הביניים כוחה הרב של הכנסייה הקתולית פגע בפעילות המדעית אך בארצות האסלאם המדע והתרבות התפתחו והגיעו להישגים רבים ומרשימים.
המוסלמים ספגו רבות מהתגליות של יוון העתיקה וקידמו רעיונות אלה.
בין המאה ה-8 למאה ה-15 גדלה במיוחד השפעתה של המתמטיקה המוסלמית.
המתמטיקה המוסלמית זכורה גם כזו שדרכה עברה השיטה ההודית-ערבית, כולל הרעיונות החדשים שהתלוו לה: השיטה הפוזיציונלית והאפס כמסמן מקום וכמספר, מהודו לאירופה (את רעיון האפס הם אף פיתחו).
לימים טען המלומד והפילוסוף המוסלמי אל-בירוני (973–1048), שביקר למשך מספר שנים בהודו, שבני עמו הכירו מספר שיטות ספירה הודיות, ובחרו את זו שנראתה להם היעילה ביותר.
למעשה, ההיסטוריה של שיטת הספירה המוסלמית סבוכה ביותר, ואינה מסתכמת רק בהחלטה מושכלת קולקטיבית שכזו.
לפני מוחמד, הערבים סימנו מספרים במילים בלבד.
הניהול הכספי של הארצות הכבושות עודדו שימוש בספרות.
תחילה היה שימוש בכל ארץ כבושה בספרותיהם של הנכבשים, ואולם בהמשך במשך תקופות ארוכות התקיימו באימפריה המוסלמית, במקביל, לפחות 3 בסיסי ספירה: בסיס אונרי, שכלל סימון עבור כל יחידה והיה נפוץ בשימוש עסקי; בסיס סקסגסימלי, שהיה נפוץ בחישובים אסטרונומיים, והשיטה העשרונית שמכונה השיטה ההודית-ערבית.
הגיוון בשיטות שרד זמן רב גם לאחר שהשיטה העשרונית הייתה ידועה.
איש העסקים אבו אל-וואפה כתב כי "לא מצאתי לה שימוש בקרב חוגי אנשי העסקים והאוכלוסייה של הח'ליפות המזרחית במשך זמן רב".
סימני הספרות עצמם השתנו משמעותית מאז, אך העיקרון נשאר זהה.
רעיון אחר שהעבירו ההודים למוסלמים הוא רעיון השבר, והם ממציאיו של קו השבר.
בתקופת בית אומיה (661–750) לא התפתחה המתמטיקה, סביר להניח שבשל הזמן הקצר מאז הפך האסלאם מקבוצת תומכים במוחמד לתרבות מגובשת של ממש.
מרבית ההתפתחות המתמטית נעשתה בתקופת בית עבאס, שעודד את המדעים ובראשם האסטרונומיה, הרפואה וגם המתמטיקה, והזמין לחצר המלך מומחים ממקומות שונים.
הח'ליפה השני לבית עבאס, אל-מנסור (שלט 754–775), נחשב למייסד תור הזהב של האסלאם.
מלומדים ממקומות רחוקות הגיעו אל חצרו של אל-מנסור.
בחיבור שנכתב סביב סוף המאה ה-12, אך נשען על מקורות עתיקים יותר, מתואר מלומד הודי שהפגין יכולת מרשימה מול אל-מנסור, והאחרון הורה לתרגם לערבית את הספר עליו התבסס.
בהתאם לתיאור, סביר להניח שמדובר בספר בראהמספהוטסידהאנטה של בראהמגופטה.
כלומר, הדבר מבטיח שבידי הערבים היה עוד אז ספר שבו ספרות הודיות.
ב-763, עלה לשלטון הארון א-רשיד.
כמו אצל אל-מנסור, גם בתקופתו הייתה פריחה תרבותית ומדעית, ובפרט במתמטיקה.
במאה התשיעית הח'ליפה אל-מאמון הקים את "בית החוכמה" בבגדאד.
היה זה מכון לתרגום ולמחקר ובו ספרייה.
כתבי יד מדעיים רבים נלקחו מרחבי האימפריה ותורגמו לערבית.
המוסלמים שלטו על מעצמות מתמטיות, בהן יוון העתיקה והודו, וחיבוריהן החשובים תורגמו בבית החוכמה.
לדוגמה, חמש מעבודותיו של אוקלידס (כולל "יסודות"), שתיים של ארכימדס, כל כתבי אפולוניוס מפרגה ו"האריתמטיקה" מאת דיופנטוס.
התרגומים לא הוגבלו למתמטיקה עיונית; כך תורגם, למשל, הטקסט האסטרונומי "אלמגסט" שכתב תלמי.
"בית החוכמה" היה גם מקור של מחקר מקורי.
ייתכן מאוד שמלומדים הודיים ששכנו שם העבירו למוסלמים את רעיון האפס.
גדול החוקרים שהניב המוסד הוא אבו ג'עפר מוחמד אל-ח'ואריזמי שחי בסביבות השנים 780–845. הוא כתב מספר חיבורים שמהם ידועים שניים.
האחד הוא "Algoritmi de numero Indorum" ("אלגוריתמי על אמנות החישוב ההודית").
בתרגום ללטינית מן המאה ה-12, שהוא המהדורה היחידה ששרדה (אפילו השם המקורי בערבית לא שרד), שובש שמו של אל-ח'ואריזמי לאלגוריתמי, מה שיצר את המונח אלגוריתם.
תרומתו העיקרית של הספר הייתה הצגה מתקדמת במיוחד של שיטת הספירה ההודית, כולל האפס, וכללים אריתמטיים שונים.
יצירתו הבולטת השנייה, "חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה" ("חשבון ו"), חשובה אף יותר ונתנה לו מוניטין של מייסד האלגברה.
"חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה" נחשב לספר מכונן בתולדות האלגברה (ממנו נגזר שמה) והייתה לו השפעה מאות שנים לאחר כתיבתו.
הספר מחולק לשני חלקים, שרק את הראשון אפשר לכנות "אלגברי" במובנה המודרני של האלגברה, והשני כולל הצדקות גאומטריות לחישובים מהחלק הראשון.
הוא כולו כולל תיאורים רטוריים ללא סימון מתמטי, וניכר כי כותבו מעדיף את שיטות ההסקה ההודיות הגמישות מאשר ההוכחות הקפדניות של היוונים, אף כי ברור שהוא מושפע מהישגי שתי התרבויות.
בתחילתו נכלל הסבר כיצד לכתוב מספרים בבסיס 10. ניתנים כללים לביצוע פעולות החשבון - הן בשלמים והן בשברים.
לעומת זאת, המספרים השליליים לא אומצו לא כביטויים ולא כפתרונות למשוואות.
מפני שנמנע השימוש במספרים שליליים, נאלץ הכותב לחלק את המשוואה שידועה היום כמשוואה ריבועית ל-6 קטגוריות שונות, בשעה שלמעשה מדובר בייצוגים שונים של אותה משוואה.
הדוגמאות המובאות לכך הן אלגוריתמיות, כלומר "מתכוניות", מכילות סדרת צעדים מספריים המובילים לתוצאה, בלי התייחסות למקרה הכללי.
אותן דוגמאות בדיוק הוא מראה גם בייצוג גאומטרי.
מתמטיקאי חשוב נוסף מ"בית החוכמה" הוא ת'אבת אבן קורה, שהיה גם אסטרונום בעל השפעה.
הוא היה מתרגם נחשב, ותרגם את כתבי אוקלידס, ארכימדס, אפולוניוס מפרגה ותלמי.
גם תרומותיו המקוריות הן בעלות חשיבות רבה.
הוא המשיך במסורת ההודית, ועסק בריבועי קסם, נושא שהיה פופולרי בהודו ובסין אך לא זכה להתייחסות בארצות ערב.
הוא מצא נוסחה לגילוי מספרים ידידים, אם כי לא את כולם.
גילוי חשוב נוסף שלו היא הכללת אבן קורה למשפט פיתגורס עבור משולש כללי.
אבו כאמל (בערך 850-בערך 930) הרחיב את הישגי אל-ח'ואריזמי.
הוא השפיע על מתמטיקאים חשובים שבאו אחריו, כמו: לאונרדו מפיזה (פיבונאצ'י) האירופאי, ואל-קאראג'י המוסלמי.
אל-קאראג'י (953- בערך 1024) התרחק אף יותר מאל-ח'ואריזמי מהמסורת הגאומטרית.
הוא הגדיר את הביטויים , ואף את , ונתן כללים להכפלתם זה בזה.
בכלליו אלו כמעט וניסח גרסה שקולה לנוסחה המודרנית , אך לא הגדיר את כ-1. כל זאת עשה ללא שימוש בכללים גאומטריים.
בנוסף, הוא ייסד מוסד לימודי שהתקיים מאות שנים לאחר מותו.
אל-ח'ואריזמי ואל-קאראג'י הביאו את האלגברה לשלב התפתחות מתקדם במיוחד, וניכר כי הם היו קרובים יותר מכל קודמיהם לאלגברה המודרנית.
איבן אל-היית'ם (955–1040) נחשב לאחד ההוגים המשפיעים ביותר בהיסטוריה של המחשבה האנושית, ובפרט במדעי הטבע - גם בהישגיו הרבים וגם בגישתו המדעית המדוקדקת המקדימה את זמנה.
נודע בעיקר כפיזיקאי ובייחוד כאופטיקן, אך תרומתו השתרעה על פני מגוון רחב של נושאים, בהם: פסיכולוגיה, פילוסופיה, אדריכלות, אסטרונומיה וגם מתמטיקה.