tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
אינטואיטיבית, אם מפרשים את התנועה המסלולית של הגוף כתנועה הרמונית הן בציר x והן בציר y (הפרש המופע בין התנועות בשני הצירים הוא ), אז האנומליה האקצנטרית היא המופע של תנועת הגוף באחד הצירים.
כדי להבין את הקשר שלה לתנועה הרדיאלית של הגוף במערכת קוארדינטות שממורכזת במוקד האליפסה, נעזר במשפט פיתגורס כדי לחשב את אורך הקטע FP (הרדיוס וקטור):
לכן, הרדיוס (המרחק מהמוקד לנקודה P) קשור לאנומליה האקסצנטרית לפי הנוסחה:
אילו הגוף באמת היה נע בפוטנציאל הרמוני, את נוסחה זו ניתן היה לפרש כאילו הגוף מבצע תנודה רדיאלית הרמונית עם רדיוס ממוצע a, משרעת תנודה ae ומופע תנודה E.
הגדרת האנומליה האקצנטרית שואבת השראה מן הדימוי הזה.
כאשר M היא האנומליה הממוצעת, E היא האנומליה האקסצנטרית, ו-e היא האקסצנטריות.
כיוון שהאנומליה הממוצעת יחסית לזמן שחלף מרגע ייחוס מסוים, ואילו האנומליה האקסצנטרית קובעת את מיקום הגוף במסלולו, משוואת קפלר למעשה קושרת בין מיקומו במסלול של העצם הנע לבין הזמן.
את האנומליה הממוצעת ניתן לחשב לפי החוק השלישי של קפלר, שקובע כי זמן המחזור תלוי רק באורך הציר הראשי של האליפסה, בהתאם ליחס הפרופורציה .
האנומליה האקסצנטרית E היא שימושית בחישוב המיקום של נקודה שנעה במסלול קפלרי.
אם למשל, הגוף חולף על פני הנקודה הקרובה ביותר למוקד (אשר הקואורדינטות שלה הן (x = a(1-e ו-y = 0 ) בזמן t = t0, אז כדי למצוא את המיקום בכל זמן נתון, יש לחשב תחילה את האנומליה הממוצעת M מהזמן ומהתנועה הממוצעת n לפי הנוסחה
(M = n(t − t0, לאחר מכן יש לפתור את משוואת קפלר כדי לקבל את E, ולבסוף לחשב את הקואורדינטות ממנה:
כאשר a הוא חצי הציר הראשי ו-b הוא חצי הציר המשני.
משוואת קפלר היא משוואה טרנסצנדנטית מפני שפונקציית הסינוס היא פונקציה טרנסצנדנטית, ופירוש הדבר הוא שאם E הוא הנעלם, אז לא קיים לו פתרון אלגברי.
אנליזה נומרית ופיתוחים לטורים אינסופיים נדרשים באופן כללי כדי לקרב את E.
כדי לגזור את המשוואה, נתחיל מהקשר בין אורך הרדיוס וקטור (שמחבר נקודה על המסלול עם מוקד האליפסה) לאורך הציר הראשי, האקסצנטריות והאנומליה האקסצנטרית:
גזירת הביטוי לפי הזמן נותנת:
מצד שני, לפי משוואת האליפסה במערכת קואורדינטות גליליות הממורכזת באחד המוקדים, אורך הרדיוס וקטור מקיים:
כאשר היא זווית האנומליה האמיתית.
גזירת הביטוי האחרון לפי הזמן נותנת:
מחוק השטחים השווים נקבל: , כאשר n היא המהירות הזוויתית הממוצעת , ולכן:
השוואת הביטוי הזה עם הביטוי הראשון ל-'r נותנת:
מההגדרה של האנומליה האקסצנטרית נובע:
אולם , ולכן ביטוי זה שקול ל-:
אינטגרציה לפי הזמן של הביטוי הזה נותנת:
מכיוון ש-E = 0 ברגע שהגוף נמצא בנקודה הקרובה ביותר מקבלים לבסוף את משוואת קפלר:
משוואת סאקר-טטרוד היא ביטוי אבסלוטי לאנטרופיה של גז אידיאלי קלאסי מונואטומי.
המשוואה פותחה באופן עצמאי על ידי אוטו סאקר והוגו מארטין טטרוד בשנת 1912 בכמה מאמרים.
חשיבותה של משוואה זו היא בחישוב קבוע האנטרופיה במשוואה הידועה:
כאשר – אנרגיית המערכת, – מספר האטומים במערכת, – נפח המערכת, – קבוע בולצמן, – קבוע האנטרופיה
עד להופעתה של משוואת סאקר-טטרוד קבוע האנטרופיה חושב באופן אמפירי.
הישג זה עלול להתפרש כלא מרשים, אך כדי להשיגו נדרשו קונספטים חדישים ופורצי דרך מפיזיקה קוונטית ופיזיקה סטטיסטית.
משוואת סאקר-טטרוד ביחידות הטבעיות היא:
בגבול הקלאסי אכלוס רמות האנרגיה קטן בהרבה מאחד.
נרצה ששתי ההתפלגויות בוזה-איינשטיין ופרמי-דירק עבור בוזונים ופרמיונים בהתאמה יתלכדו להתפלגות אחת, כדי שלכל רמת אנרגיה ההתפלגות תהיה קטנה בהרבה מ-1 נדרוש:
- טמפרטורה ביחידות הטבעיות, - אנרגיה, - פוטנציאל הכימי
פונקציית ההתפלגות בגבול שתתקבל היא:
עבור גז מונואטומי ללא ספין, מספר הכולל של האטומים הוא סכום ממוצעי האטומים בכל רמות האנרגיה:
כאשר ומאחר שזיהינו ש כאשר פונקציית החלוקה הקנונית פר חלקיק חופשי בנפח , הריכוז הקוונטי, לפרטים נוספים ראי/ה פונקציית החלוקה הקנונית.
ריכוז הקוונטי מוגדר על ידי כאשר - מסת האטום, - קבוע פלאנק חלקי 2 פאי
בעזרת פיתוח אלגברי של משוואה 5 תתקבל:
הפוטנציאל הכימי מוגדר על ידי:
על ידי אינטגרציה על מספר האטומים, נקבל את האנרגיה החופשית של הלמהולץ:
חשוב להדגיש שבאופן פורמלי מכיוון שמספר החלקיקים בדיד עלינו לבצע את הסכום:
ששונה מהאינטגרל רק בביטוי כאשר משתמשים בזהויות של ln.
המעבר האחרון הוא קירוב סטרלינג עבור , זהו פתרון האינטגרל של ולכן השימוש באינטגרל מוצדק.
נשתמש בהגדרת האנטרופיה כנגזרת החלקית של האנרגיה החופשית של הלמהולץ לפי הטמפרטורה:
כאשר הסימון מסמל שמספר החלקיקים והנפח קבועים.
זו משוואת סאקר-טטרוד ביחידות טבעיות משוואה 2.
צורת אוילר של האנטרופיה היא:
כאשר – אנרגיית המערכת, – טמפרטורת המערכת, – לחץ במערכת, – נפח המערכת, מספר החלקיקים במערכת, - הפוטנציאל הכימי
ממשוואות המצב של גז אידיאלי נקבל את הקשרים:
כאשר - קבוע בולצמן, - קיבול החום בנפח קבוע של גז אידיאלי
נציב באגף ימין את נגזרות משוואות 13, 14 ונבצע אינטגרציה:
כאשר - קבוע כלשהו, נהוג לסמנו , - קבוע
הפוטנציאל הכימי לאחר מעט אלגברה הוא:
כאשר - קיבול חום בלחץ קבוע, בגז מונואטומו .
כך שזו משוואת האנטרופיה הקלאסית שמקבילה למשוואה 1.
בעזרת משוואת סאקר-טטרוד גילו את ערך הקבוע שהוא
מהחוק השלישי של התרמודינמיקה כאשר עלינו לקבל אך במשוואת סאקר-טטרוד נקבל שאיפה למינוס אינסוף.
תוצאה זו עלולה להתפרש כך שהנוסחא איננה נכונה, אך נשים לב שכאשר מקבלים ש ולכן ההנחה של גז אידיאלי קלאסי אינה תקפה יותר, וכפועל יוצא מכך, משוואת סאקר-טטרוד אינה קבילה.
האנטרופיה של גז ניאון בטמפרטורה בלחץ אחת אטמוספירה הוא:
האנטרופיה הנמדדת של גז חמצן בטמפרטורה בלחץ אחת אטמוספירה היא:
ניתן לראות שאכן תוצאות משוואת סאקר-טטרוד מתיישבת בצורה תקינה לתוצאות הניסיונית.
גזים אידיאליים עם דרגות חופש פנימיות
האנרגיה הכללית של חלקיק בעל דרגות חופש פנימיות היא:
כאשר - אנרגיית מרכז המסה, - אנרגיית דרגות החופש הפנימיות (ובריאציות, סיבובים)
נגדיר וסכום גיבס שיתקבל הוא:
כאשר , הוזנחו חזקות גדולות יותר של מכיוון שבגז אידיאלי האכלוס דליל מאוד.
בצורה דומה למשוואה 5 עבור כמות ידועה של אטומים:
כאשר מוגדר בצורה דומה למקודם.
לאחר אינטגרציה הגורם שיתווסף לאנרגיה החופשית של הלמהולץ הוא לכן התוספת לאנטרופיה היא:
משוואת סאקר-טטרוד במקרה זה תהיה:
עבור ספין נקבל לפיכך נקבל:
חשוב להדגיש שבמקרה של ספין, חישוב מספר האטומים N שונה ממשוואה 5 וזאת בשל הניוון שמתווסף עקב הספין כך שיש להכפיל בפקטור 2S+1 את צד ימין של משוואה 5.
במכניקת הזורמים, משוואת ריילי-פלסט (לחלופין, משוואת בסנט-ריילי-פלסט) היא משוואה דיפרנציאלית רגילה לא ליניארית, המתארת את הדינמיקה של בועה כדורית המצויה בזורם אי-דחיס:כאשר:
הוא מתח הפנים בממשק של הבועה והנוזל,
הפרש הלחצים, כאשר הוא הלחץ בתוך הבועה ו- הוא הלחץ החיצוני "רחוק" מהבועה.
בהנחה ש- ידוע ו־ נתון, משוואת ריילי-פלסט יכולה לשמש כדי למצוא את רדיוס הבועה המשתנה בזמן .
תוך שהוא מזניח את השינויים בלחץ בתוך הבועה, בסנט חזה שהזמן שייקח למלא את החלל הוא
כאשר חישוב האינטגרציה נעשה על ידי לורד ריילי ב-1917, שגזר את המשוואה ממאזן אנרגיה.
ריילי זיהה גם שההנחה של לחץ קבוע בתוך החלל תהפוך לשגויה כאשר הרדיוס יקטן והראה, באמצעות חוק בויל, שאם רדיוס החלל קטן בפקטור של , אז הלחץ בסמוך לשפת החלל הופך גדול יותר מהלחץ באינסוף.
המשוואה יושמה לראשונה לבועות קביטציה נעות על ידי מילטון ספינוזה פלסט ב-1949 באמצעות הכללת אפקט של מתח פנים במשוואה.
גזירת המשוואה משימור מסה ואנרגיה
לורד ריילי פיתח גרסה ראשונית של המשוואה על סמך שיקולים של שימור אנרגיה ומסה.
נחזור שוב לבעיה כפי שתיאר אותה בסט: תהי בועה כדורית בעלת רדיוס משתנה בזמן המצויה בתוך נוזל בעל צפיפות קבועה .
אי דחיסות הנוזל גוררת שללא מעבר מסה בין הנוזל לבועה, שינוי בנפח של הבועה חייב להענות בשינוי זהה של נפח הנוזל.
תחת סימטריה כדורית ניתן להסיק: ומכאן ניתן להסיק כי
סך האנרגיה הקינטית של הזורם:
העבודה שנוצרת על ידי לחץ חיצוני היא:
פתרונות אנליטיים סגורים למשוואת ריילי-פלסט נמצאו הן עבור בועה ריקה ובועה מלאה בגז, והוכללו ל-N
המקרים שבהם מתח הפנים חשוב נחקרו לעומק גם כן.
בנוסף, בעבור המקרה המיוחד שבו ניתן להזניח את מתח הפנים והצמיגות, קירובים אנליטיים מסדר גבוה ידועים.
במקרה הסטטי, משוואת ריילי-פלסט מצטמצמת למשוואת יאנג-לפלס:
בקירוב ליניארי של תנודות קטנות ניתן לקבל ביטוי לתדירות העצמית של הבועה:
משוואת ריילי-פלסט בצורה המקורית מניחה שהנוזל בו מצויה הבועה איננו דחיס.
הנחה זו סבירה כל עוד מהירות הבועה נמוכה ביחס למהירות הקול בנוזל.
עבודות רבות נעשו במטרה להרחיב את משוואת ריילי-פלסט למקרה הדחיס.
כאשר ב-1986 הוצג פיתוח של המשוואה באמצעות תורת הפרעות.
דחיסות הנוזל מהווה מנגנון אובדן אנרגיה מרכזי (בצורת גלי קול) בקריסה מהירה של הבועה.
בפיזיקה, משוואת לַנזֶ'בָן (Langevin) היא משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית, המתארת התפתחות לפי זמן של מערכת בעלת דרגות חופש.
דרגות חופש אלו, מאופיינות בדרך כלל על ידי משתנים בעלי תכונות קולקטיביות הנעים בפרקי זמן ארוכים מאוד ביחס למשתנים אחרים במערכת, המתנהגים באופן מהיר מאוד או לא סדור.
לעיתים קרובות, ניתן לתאר באמצעות משוואה זו מערכות מקרוסקופיות בעלות חלק מיקרוסקופי, המשתנה בפרקי זמן קצרים מאוד ביחס למערכת הנמדדת.
משוואה זו נוסחה לראשונה על ידי פול לנז'בן ב-1908, בניסיונו לתאר תנועה בראונית, הכוללת תנועה אקראית של חלקיק בנוזל עקב תנודות תרמיות סביב שיווי משקל.
כיום, נעשה שימוש נרחב במשוואת לנז'בן, עבור מערכות בעלות משתנים סטוכסטיים בתחומי הפיזיקה הסטטיסטית, ביופיזיקה וכימיה בפרט.
התיעוד הראשון של תנועה בראונית הייתה על ידי רוברט בראון (בוטניקאי) ב-1827. בראון ראה, כי אבקנים שנעו על פני מים, תחת מיקרוסקופ, מבצעים תנועה לא יציבה ורנדומלית.
הראשון לתת הסבר מתמטי ופיזיקלי לכך היה אלברט איינשטיין, אשר הסביר זאת במאמרו ב-1905. באותו מאמר, תוך הנחת שיווי משקל בנוזל, שילב איינשטיין בין התפלגות מקסוול בולצמן לתהליך של הילוך מקרי.
איינשטיין טען, כי כאשר חלקיק נמצא בתוך נוזל, ולא חל עליו כוח גרר, אז בהינתן התנגשות עם מולקולה אחרת, מהירותו תשתנה.
לעומת זאת, אם תווך הנוזל הוא בעל רמה מספיקה של צמיגות, השינוי במהירות ידעך מהר מאוד, כך שסך התוצאה של ההתנגשות יצור שינוי בהעתק החלקיק בלבד.
למעשה, איינשטיין הסיק שתרומה של כל ההתנגשויות תביא ל"קפיצות" רנדומליות במיקום החלקיק הבראוני- כך שהחלקיק יבצע הילוך מקרי.
בלקיחת "קפיצות" אינפיטסימליות, הוא הגיע למשוואה דיפרנציאלית חלקית במימד אחד- שהיא משוואת דיפוזיה.
איינשטיין הצליח למצוא את הקשר בין קבוע הדיפוזיה המקרוסקופי, לתכונותיו האטומיות של החומר:
כאשר הוא קבוע הדיפוזיה, הוא קבוע בולצמן, מייצגת את הטמפרטורה, הוא מקדם הצמיגות של הנוזל, ו- הוא הרדיוס של החלקיק הבראוני.
אופי המשוואה הדיפרנציאלית החלקית אליה הגיע איינשטיין (כמו גם , שעל שמו נקראת המשוואה), היא מקרה פרטי של משוואה מסוג המוכר כמשוואות פוקר-פלאנק - המראות התפתחות בזמן של צפיפות הסתברות של מערכת.
בפתרונו, הצליח איינשטיין להראות כי הערך הממוצע של ריבוע העתק החלקיק הוא פרופורציונלי לקבוע של הדיפוזיה.
בכך הגיע איינשטיין לתוצאה מהפכנית, והראה (תוך שימוש בהתפלגות מקסוול-בולצמן בשיווי משקל), כי המשוואה עבור צפיפות ההסתברות תתפתח באופן ליניארי בזמן.
פרט זה חשוב במיוחד, מכיוון שכך התפתחות זו תלויה בטמפרטורה וצמיגות הנוזל בלבד.
התיאוריה שפיתחו סמולוכובסקי ואיינשטיין עבור התנועה הבראונית, נשענה כמעט לחלוטין על התפלגות צפיפות ההסתברות, ועל משוואות פוקר-פלאנק.
ב-1908, הציג פול לנז'בן במאמרו "על התיאוריה של תנועה בראונית", דרך שונה לפתרון בעיה זו.
לנז'בן, ניסח את הבעיה באמצעות משוואת כוחות ניוטונית, המכילה חלק "דטרמיניסטי" (המכיל את כוח הגרר של חלקיק הנמצא בנוזל, ופוטנציאלים נוספים וידועים) וחלק אקראי- אשר מייצג את ההתנגשויות של חלקיקי הנוזל בחלקיק הבראוני.
אותו חלק רנדומלי, בדיעבד אינו ניתן למדידה, עקב פרקי הזמן הקצרים ביותר בהם נעשות ההתנגשויות השונות.
גישתו של לנז'בן הייתה מהפכנית בזמנו, וקידמה משמעותית את נושא המחקר של משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות, הן בפיזיקה והן במתמטיקה.
בשנות ה-20 של המאה ה-20, נתן נורברט וינר את הניסוח המתמטי והגדיר תנועה בראונית, כמקרה פרטי של מערכת סטוכסטית.
כמו כן הוכיח שתנועה בראונית מוגדרת על ידי פונקציה רציפה, שאינה גזירה באף נקודה.
ב-1942, הגדיר קיושו איטו את האינטגרל הסטוכסטי- המבוסס גם הוא על תנועה בראונית.
משוואת לנז'בן אינרטית במימד אחד
משוואת לנז'בן במימד אחד, על פי החוק השני של ניוטון עבור תנועה של חלקיק בראוני בנוזל, היא:
כאשר החלק הדטרמיניסטי מכיל את האיברים:
– הכוח המאפיין פוטנציאלים שונים (כוח אלקטרומגנטי, כוח גרביטציוני וכו').
חלק זה אינו מופיע בפיתוח המשוואה עבור חלקיק בראוני בנוזל של לנז'בן, עקב תרומתן הזניחה של השפעות אלו.
– כוח הגרר בנוזל, בדרך כלל מאופיין על ידי חוק סטוקס, הקובע כי כוח הגרר מתכונתי למהירות החלקיק (ראה חוק סטוקס).
בצורה זו , כאשר הוא מקדם הצמיגות של התווך הנוזלי, ו- הוא רדיוס הכדורי של החלקיק.
החלק האקראי של המשוואה הוא , המייצג את ההתנגשות האקראית של חלקיקי הנוזל בחלקיק הבראוני.
לחלק זה המאפיינים נובעים מהשיקולים הפיזיקליים הבאים:
אינו תלוי במפורש ב- .
משתנה בפרקי זמן קצרים בהרבה מ .
מכיוון שהתנגשות חלקיקי הנוזל בחלקיק הבראוני היא אקראית ואיזוטרופית למרחב, ערך הממוצע של פונקציה זו על אנסמבל של חלקיקים שווה לאפס.
מכיוון ש- משתנה בפרקי זמן קצרים בהרבה בהשוואה למיקום, ניתן להניח שכל התנגשות היא מיידית.
שינוי מהיר זה ניתן לבטא כ:
כאשר היא הדלתא של דיראק, ו- היא הדלתא של קרוניקר.
שיקול זה נובע מהקירוב עבור הבדלי סדרי הגודל של פרק הזמן של פונקציה R(t) ל- ואף להעתק, והופך למדויק רק עבור טווחי זמן גדולים- המתארים תנועה עבור חלקיקים בראונים "מקרוסקופיים" (כאשר מסת החלקיק גדולה משמעותית ממסת חלקיקי הנוזל).
הסתכלות דיפרנציאלית על קשר הקורלציה אינו נכון לחלוטין, שכן גם מהירות החלקיק אינה מוגדרת היטב בגבול זה.
בטיפול במשוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות כגון משוואת לנז'בן, נהוג לקחת אינטגרל כך ש-
ההסתברות למציאת ערך כלשהו, מתפלגת התפלגות גאוסיאנית, כך ש-
החלק האקראי של המשוואה נקרא לעיתים כוח לנז'בן, ועבור חלקיק בראוני, חלק זה מראה כיצד שינויים בטמפרטורה מכתיבים את אופייה הסטוכסטי של התנועה הבראונית.
לדוגמה, נסתכל פתרון של משוואת לנז'בן עבור חלקיק בראוני.
אם נכפיל את שני צידי המשוואה ב-:
בהצבה במשוואה, ולקיחת ערך ממוצע עבור אנסמבל חלקיקים, נקבל:
מכיוון שעבור החלק האקראי ערך ממוצע של אנסמבל חלקיקים מתאפס, חלק זה של המשוואה נופל.
מחוק החלוקה השווה אנו יודעים .
עבור פרקי זמן גדולים מ , הפתרון מתפתח ליניארית בזמן.
ובכך, הצטמצמנו למקרה הפרטי של פתרון איינשטיין לתנועה בראונית, ושהעתק החלקיק מתכונתי לשורש הטמפרטורה.
אפיון כללי של גישת לנז'בן
ניתן לתת למשוואות לנז'בן פורמליזם כללי יותר.
בהנחה וישנה מערכת שהתנהגותה המקרוסקופית ידועה, וניתן לראות כי חייב להתקיים בה תנודות מסוימות.
בשביל תיאור מלא של התנודות הללו יש לבצע את שלושת הצעדים הבאים:
צעד ראשון: יש לרשום את משוואות התנועה המקרוסקופיות של המערכת.
צעד שני: יש להוסיף כוח לנז'בן, המקיים את התכונות הבאות (חלקן אופיינו מוקדם יותר בפיתוח המקרה של תנועה בראונית):
במשוואת הכוחות ישנו גורם דטרמיניסטי, ליניארי עם מקדם ריסון, וגורם אקראי סטוכסטי () .
הגורם הסטוכסטי הוא אי-רגולרי, אך תכונותיו הממוצעות כאנסמבל חלקיקים פשוטות, בצורה שאפשר להניח: שהמרחקים בין החלקיקים המרכיבים אותו הוא גדול כך שאין אינטראקציה ביניהם או שהמדידות שנלקחות הם בפרקי זמן גדולים מספיק ביניהן.
התכונות הסטוכסטיות של ניתנות ללא קשר למהירות החלקיק, כך שהוא מתפקד ככוח חיצוני.
בצורה זו, הממוצע שלו מתאפס
הכוח הסטוכסטי מתבטא עקב שינויים מהירים מאוד בפרקי הזמן הנתונים, ולכן ניתן להתייחס לפונקציית הקורלציה שלו: .
באופן מעשי, פונקציית הדלתא צריכה להיות פונקציה של עם רוחב המתאים לזמן של התנגשות/ שינוי יחיד.
ניתן להתייחס לפונקציה זו כפונקציה זו כל פעולה זו קצרה משמעותית בכמה סדרי גודל מכל שאר סדרי הגודל הזמניים בבעיה.
היא פונקציה עם התפלגות גאוסיאנית, כך שהמומנטים החיוביים שלה מקיימים: באופן זה, R(t) מאופיינת כרעש לבן גאוסיאני.
צעד שלישי: יש לדרוש שהקבוע מתאים כך שהפתרון עבור תהליך סטוכסטי סטציונרי, ונותן בחזרה את ערכי ממוצע של התנודות כפי שהן ידועות ממכניקה סטטיסטית (או משיקולים פיזיקליים נוספים).
שלושת צעדים אלו מרכיבים את גישת לנז'בין, בה משתמשים בתחומים רבים בפיזיקה, כימיה וביולוגיה.
התנודות אינן בהכרח צריכות לנבוע מתנודות תרמיות או מטבעם הדיסקרטי של חלקיקים.
התנודות הסטוכסטיות יכולות לנבוע ממידול אות אקראי הנכנס לקו תמסורת, גדילה של מין ביולוגי תחת השפעת מזג אוויר, עומס אקראי על גשרים וכו'.
משוואת לנז'בן עבור פוטנציאל הרמוני
עבור חלקיק בעל מסה בממד אחד, הנע תחת פוטנציאל הרמוני () משוואות לנז'בן הם:
הכוח האקראי הוא תהליך אקראי גאוסיאני, עבורו:
בהסתכלות על צפיפות ספקטרום התדרים בהתמרת פורייה, נקבל:
אם נבצע את התמרת פורייה על משוואות לנז'בין ולא רק על קשר הקורולציה שלנו:
מכן ניתן לפתור עבור :
צפיפות ספקטרום התדרים היא פרופורציונלית ל- ולכן :
בהתמרה חזרה למרחב הזמן נקבל:
אינטגרל זה ניתן לפתור במישור המרוכב, תוך שימוש במשפט השאריות.
נשים לב שעבור , נקבל חזרה את חוק החלוקה השווה - .
אם נסתכל על מעגל חשמלי RC עם התנגדות ליניארית .
המטען על קבל (באופן מאקרוסקופי) חווה ריסון עקב ההתנגדות, אליו נוסיף חלק אקראי של רעש .
בשיווי משקל תרמי, האנרגיה האלקטרוסטטית הפוטנציאלית ידועה, כמו כן מחוק החלוקה השווה נקבל:
הטמפרטורה היא של המעגל כולו, אך ניתן להניח שזוהי הטמפרטורה של הנגד בלבד, שכן רק שם מיוצר הרעש התרמי.
אם כן, אפשר להסתכל על הנגד כמקור לתנודות בזרם המתווספות לזרם המקרוסקופי הכולל.
ניתן לראות כי ושקבוע צריך להיות שווה ל- .ולכן נוכל לראות את הקשר:
באופן דומה ניתן לבצע עבור המתח כך ש- משם ניתן לראות:
ואנחנו מקבלים באופן מיידי רעש ג'ונסון-נייקוויסט.
כפי שהוזכר, קשר הקורלציה עבור הוא פרופורציונלי לפונקציית דלתא של דיראק, אך אינו בהכרח פונקציית דלתא, אלא פונקציה בעלת עליה חדה עם רוחב המתאים לפרק זמן קצר ביותר () .
באופן כללי יותר, היא פונקציה סטוכסטית מוגדרת היטב, כך שנוכל להגדיר את משוואת לנז'בן גם בצורה לא ליניארית.
כל עוד אינה סינגולרית- ניתן לקחת את הגבול ללא בעיה.
כאשר פונקציית הדלתא בקשר הקורלציה, אשר מפורשת עבור קפיצה קטנה אך לא אינסופית, ניתן להשתמש באינטגרלי סטרטונוביץ'.
עבור שימוש באינטגרלי איטו, יש לדרוש מפורשות שפרק זמן זה הוא אפס.
(למידע נוסף ראה הלמה של איטו).
ישנם יתרונות לשימוש בגישת לנז'בן על פני שיטות דומות, כגון משוואת פוקר-פלאנק:
באופן כללי, קל יותר להבין באופן אינטואיטיבי את שיטה זו, שכן היא מבוססת על התפתחות בזמן של משתנה אקראי- במקום התפתחות בזמן של פונקציית צפיפות הסתברות של משתנה כלשהו.
לפעמים יש קושי מסוים בהפרדת משתנים במשוואות כגון משוואת פוקר-פלאנק, ויש צורך בהרחבה עם פונקציות אורתוגונליות המהוות פתרון (למשל פולינומי פורייה -הרמיט)
במתמטיקה, ובמיוחד בתהליכים הסטוכסטיים מרקוביים בתורת ההסתברות, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב היא זהות המתייחסת להתפלגויות ההסתברות המשותפות של קבוצות שונות של קואורדינטות בתהליך סטוכסטי.
המשוואה נגזרה באופן עצמאי במקביל הן על ידי המתמטיקאי הבריטי סידני צ'פמן והן המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.
נניח ש- הוא אוסף מאונדקס של משתנים אקראיים, כלומר תהליך סטוכסטי.
כפונקציית צפיפות ההסתברות המשותפת של ערכי המשתנים האקראיים עד .
נשים לב שעדיין לא הונח שום דבר לגבי הסדר הזמני של המשתנים האקראיים - המשוואה שלעיל חלה באותה מידה על דחיקה לשוליים של כל אחד מהם.
יישום לשרשראות מרקוב מורחבות זמן
כאשר התהליך הסטוכסטי הנדון הוא מרקוביאני, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב שקולה לזהות על צפיפות מעבר.
שבו ההסתברות המותנית היא הסתברות המעבר בין הזמנים .
אז, משוואת צ'פמן-קולמוגורוב נראית מהצורה:
באופן לא רשמי, זה אומר שניתן למצוא את ההסתברות לעבור ממצב 1 למצב 3 מההסתברויות לעבור מ-1 למצב ביניים 2 ולאחר מכן מ-2 ל-3, על ידי חיבור של כל מצבי הביניים האפשריים 2.
כאשר התפלגות ההסתברות על מרחב המצב של שרשרת מרקוב היא בדידה ושרשרת מרקוב הומוגנית, ניתן לבטא את משוואות צ'פמן-קולמוגורוב במונחים של כפל מטריצה (פוטנציאלית אינסופי ממדי), כך:
כאשר היא מטריצת המעבר של קפיצה , כלומר, היא המטריצה כך שמצב מכיל את ההסתברות שהשרשרת תעבור ממצב למצב ב- שלבים.
כתוצאה מכך נובע שכדי לחשב את מטריצת המעבר של קפיצה , מספיק להעלות את מטריצת המעבר של קפיצה אחת בחזקת , כלומר:
הצורה הדיפרנציאלית של משוואת צ'פמן-קולמוגורוב ידועה כמשוואת מאסטר.
המֶשְׁוֶּשׁ (המקוצר לעיתים קרובות במצרית עתיקה בשם מא (Ma).) היה שבט לובי קדום, ממוצא בֶּרְבֵּרִי יחד עם קבוצות אחרות כמו ליבו ו-Tehenu/Tjemehu, וגם כמה מגויי הים.
רישומים מוקדמים של משווש מתוארכים לשושלת השמונה עשרה של מצרים מתקופת שלטונו של אמנחותפ השלישי (בערך 1390-1350 לפנה"ס).
במהלך השושלות ה-19 וה-20 (בערך 1295–1075 לפנה"ס), היו בני המשווש בסכסוך כמעט תמידי עם המדינה המצרית.
במהלך השושלת ה-21 המאוחרת, מספר הולך וגדל של לוביים בני המשווש החל להתיישב באזור הדלתא המערבית של מצרים.
בסופו של דבר הם ישתלטו על המדינה במהלך השושלת ה-21 המאוחרת, תחילה תחת אוסורכון האב .
לאחר תקופת ביניים של 38 שנים, שבמהלכן תפסו המלכים המצריים הילידים סיאמון ופסוסנס השני את כס המלוכה, שלטו המשווש במצרים לאורך כל השושלות ה-22 וה-23 תחת פרעונים רבים כמו שושנק הראשון, אוסורכון הראשון , אוסורכון השני , שושנק השלישי ואוסורכון השלישי .
העובדה שהמשוושים היו ממוצא לובי נאמר במפורש באילן היוחסין שבמצבת פסנחור (מתוארכת לתקופת שלטונו של שושנק החמישי ), שם מצוינים שליטי המשווש הגדולים (כולל מלכי השושלת ה-22) צאצאיו של "בויוואווה הלובי".
המוצא הלובי-ברברי של המשווש מצוין גם בשמותיהם האישיים (כגון אוסורכון, טקלוט, נמלוט, שושנק וכו') ובקומץ כותרים שאינם מצריים המשמשים אנשים אלו הקשורים לשפות הברבריות.
לאחר שהמצרים, היוונים, הרומאים והביזנטים הזכירו שבטים שונים נוספים בלוב.
שמות שבטים מאוחרים יותר שונים מהשמות המצריים, אך, כנראה, מספר שבטים נקראו במקורות המצריים וגם אלה המאוחרים יותר.
שבט משווש מייצג הנחה זו.
מספר חוקרים טוענים שהיה זה אותו שבט שנקרא מזייס (Mazyes) על ידי הקטאיוס ממילטוס ומקסייס (Maxyes) על ידי הרודוטוס, בעוד השבט נקרא Mazices and Mazax במקורות לטיניים.
המשווש מוכרים בכתבים מצריים עתיקים כבר בשושלת ה-18, שם הם מוזכרים כמקור לבקר שסופק לארמון המלך אמנחותפ השלישי במלכתא .
זה מצביע על כך שייתכן והיו יחסי מסחר בין המשווש למצרים באותה תקופה.
לכל הפחות ניתן לומר שהמצרים הכירו את המשווש.
במשך שאר תקופת השושלת ה-18, המידע על משווש או הלובים באופן כללי הוא מצומצם.
עם זאת, יש ייצוגים של לובים (אולי משווש) מתקופת שלטונו של אחנתון, כולל פפירוס יוצא דופן המתאר קבוצת לובים ההורגים מצרי.
עם זאת, הפפירוס מקוטע, ולכן לא ידוע מה היה ההקשר ההיסטורי.
המשווש או מא היו פסטורליסטים של ציידים-נוודים, שחיו מהעיזים, הגמלים ושאר בעלי החיים שלהם תוך כדי ציד וליקוט בו-זמנית.
חלב, בשר, עורות וצמר נאספו מהבהמות שלהם למאכל, לאוהלים ולבגדים.
המקורות המצריים העתיקים הראשונים תיארו את אנשי המשווש עם קעקועים ושיער ארוך בעל קווצות שיער ארוכים יותר בצדדים וחלק הקדמי המכסה את המצח.
מאות שנים מאוחר יותר הם מופיעים עם שיער קצר יותר, בהשפעה מצרית, אך קלוע ועם חרוזים מופרדים בקפידה משני צידי רקותיהם ומעוטר באחת או שתי נוצות המחוברות לרצועות עור סביב עטרת הראש.
הם עדיין השתמשו באותן גלימות כמו בעבר.
מעטה דק של עור אנטילופות, צבוע ומודפס, חוצה את אחת מכתפיהם ויורד עד אמצע השוק כדי ליצור גלימה פתוחה על חלציים עם נדן פאלוס מעוטר, שהוא היוצא מן הכלל היחיד.
התוספת החדשה של קילט מעל הברכיים וזנב חיה בנוסח המצרי של המלך נערמר ועיטור הפאלוס מעליו.
גברים היו בעלי שיער פנים גזוז למעט בסנטרם והגברים המבוגרים שמרו על ציצי הסנטר הארוכים יותר שלהם קלועים.
נשים לבשו את אותן גלימות כמו גברים, שיער קלוע ומעוטר ושני המינים ענדו תכשיטים כבדים.
איורים מאוחרים יותר הראו שהם קיבלו ואימצו מספר טוניקות יווניות או מקדוניות.
כלי הנשק כללו קשתות וחצים, גרזנים, חניתות ופגיונות.
היחסים בין הלובים למצרים בתקופת השושלת ה־22 היו בדרך כלל של עימות מתמיד.
תבליטי קרב בכרנכ מתקופת שלטונו של סתי הראשון מתארים את המלך בלחימה עם המוני לוב; אולם הטקסט רק מתאר את הלובים כ-Tjehenu, אחד המונחים הגנריים ל"לוב" בשפה המצרית, ולא כינוי שבטי ספציפי.
לאחר מכן, בתקופת שלטונו של רעמסס השני, בנו המצרים סדרה של מבצרי חוף המשתרעים מערבה לאזור מרסא מטרוח, כולל באל-עלמיין וזוואיאת אום אל-רחם.
נוכחותם של מבצרים אלו מעידה על איום רציני מהגבול המערבי, ורעמסס אכן טען בכתבים רטוריים שונים שהפיל את הלובים.
עם זאת, כמו סתי הראשון, הוא אינו מפרט אם משווש היו מעורבים או לאו.
בתקופת שלטונו של מרנפתח נראה שמערכת האזהרה המוקדמת מתקופת אביו הוזנחה, מכיוון שהתרחשה פלישה לובית בלתי צפויה לדלתת הנילוס ולנאות המדבר המערביים בשנה החמישית לתקופת שלטונו.
בניגוד לקודמיו, בתגליפים על קירות המקדשים בכרנכ המתארים את הקרבות שניהל מרנפתח הוא מציין כי היה זה בעיקר שבט הליבו שהוביל את המאבק, אך היו מעורבים גם בעלי ברית כמו המשווש וגויי הים.
ואכן, מרנפתח טוען כי "9,100 חרבות המשווש" נתפסו.
(סכסוך זה מתואר גם במצבת מרנפתח).
כעשרים וחמש שנים מאוחר יותר, בתקופת שלטונו של רעמסס השלישי, הסכסוך ההולך וגובר בין המצרים והלובים הגיע לשיאו.
הפעם, המשווש הם אלה שהניעו את הסכסוך, אם כי שבטים אחרים בלוב ובני בריתם של גויי הים היו מעורבים בלחימה בשני מסעות עיקריים נגד המלך המצרי, בשנים 5 ו-11 לשלטונו של רעמסס השלישי.
עם זאת, רעמסס טען לניצחון, ויישב את המשווש במחנות ריכוז צבאיים במצרים התיכונה כדי לכפות את הטמעתם בתרבות המצרית ולדחוף אותם לשירות צבאי עבור המדינה המצרית.
לפי פפירוס האריס א, רעמסס "הושיב [אותם] במעוזי המלך המנצח, הם שומעים את שפת העם [המצרי], משרת את המלך, הוא גורם לשפתם להיעלם".
טקסט מתקופת הביניים השלישית מזכיר את קיומם של לפחות חמישה "מבצרים של המשווש" באזור הרקליאופוליס מגנה.
אלה היו כנראה המבצרים שהקים רעמסס.
במהלך השושלת ה-20, כתבים שונים על אוסטרקונים ופפירוסים מזכירים התקפות של בני שבט המשווש, דרומה עד תבאי, שם נאלצו פועלי דיר אל-מדינה לחפש הגנה בתוך מקדש המתים של מדינת האבו.
במהלך תקופת הביניים השלישית המאוחרת, הוקמו בדלתת הנילוס ארבעת המפקדות הגדולות של המשווש, כל אחת נשלטה על ידי "המפקד הגדול של המא", ומושבות השלטון שלהם היו בערים מנדס , סבניטוס , בוסיריס ופר-סופדו בהתאמה.
מפקדות נמוכות-דרג אחרות, בראשות "המפקד של המא" פשוט, היו ממוקמים בסאיס ובפרבאיתוס .
בתורת המספרים, משוואת לז'נדר (גם משפט לז'נדר) היא משוואה דיופנטית מהצורה:
המשוואה נקראת על שם אדריאן-מארי לז'נדר, שניסח ב-1785 תנאי הכרחי ומספיק שמקדמיה a,b,c צריכים לקיים על מנת שיהיה לה פתרון לא-טריוויאלי במספרים שלמים x,y,z:
תנאי לז'נדר: למשוואת לז'נדר יש פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם bc,-ca- ו-ab- הם שאריות ריבועיות מודולו a,b ו-c, בהתאמה, כאשר המקדמים a,b,c כולם שונים מאפס, לא כולם חיוביים או שליליים, ללא מחלק ריבועי, וזרים בזוגות.
מכיוון שמשוואת לז'נדר היא תבנית ריבועית, כלומר סוג של פולינום הומוגני ממעלה שנייה, קיום פתרון במספרים שלמים גורר קיום פתרון במספרים רציונליים.
הודות לקשר ההדוק של המשפט של לז'נדר לנקודות רציונליות על חתכי חרוט, המשפט משך את תשומת לבם של מתמטיקאים גדולים רבים מאז, ביניהם קרל פרידריך גאוס ויוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה, אשר הוכיחו אותו בטכניקות חדשות.
בעוד הוכחתו המקורית של לז'נדר הייתה הוכחת קיום אלגנטית, בספרו "מחקרים אריתמטיים" גאוס סיפק הוכחה קונסטרוקטיבית למשפט דרך תורת התבניות הריבועיות הטרנריות שפיתח, שתיארה "מתכון" כללי לקבלת פרמטריזציה של פתרונות המשוואה, בדומה לפרמטריזציה של שלשות פיתגוריות.
הצדקה למגבלות על מקדמי המשוואה
ההגבלה על המקדמים a,b ו-c נועדה להבטיח את "קנוניות" המשוואה ואינה מגבילה את כלליות המשפט.
למשל, ברור שממילא אין למשוואת לז'נדר פתרונות כאשר כל מקדמיה חיוביים או שליליים.
ההצטמצמות למקדמים ללא מחלק ריבועי לא משנה את אופי המשוואה, שכן אם לאחד המקדמים יש מחלק ריבועי, ניתן "להבליע" אותו בנעלם המתאים למקדם.
כלומר, הכפלה של אחד המקדמים במשוואת לז'נדר קנונית בריבוע שלם לא משנה את פתירות המשוואה.
ההצדקה לעובדה שהדרישה שמקדמי המשוואה יהיו זרים בזוגות אינה מגבילה את כלליות המשפט מורכבת יותר, ונביא כאן למה מתוך מאמר 298 במחקרים אריתמטיים של גאוס.
טענה: יהיו הריבועים השלמים הגדולים ביותר שמחלקים ו-, בהתאמה.
הם מספרים שלמים ללא מחלק ריבועי וזרים בזוגות; והמשוואה פתירה במספרים שלמים אם ורק אם פתירה במספרים שלמים.
הוכחה: נסמן , כך ש- הם שלמים ללא מחלק ריבועי.
, וכתוצאה מכך ולכן בהכרח שלם.
יהי המחלק המשותף המרבי של ו-.
אז ו- יהיה זר ל- ול- (מפני של-s אין מחלק ריבועי).
מכך נובע , כך ש- מחלק את , דבר שאינו אפשרי אלא אם .
באופן דומה, גם ו- יהיו שלמים.
מכיוון של- אין מחלק ריבועי, בהכרח זר ל-; באופן דומה, יהיה זר ל- ו-.
לבסוף, אם מקיימים את המשוואה החדשה, אז המשוואה המקורית פתירה על ידי ; באופן הפוך, אם מקיימים את המשוואה המקורית, אז מקיימים את המשוואה החדשה, כך שפתירות המשוואה במקדמים שקולה לפתירות המשוואה במקדמים (הנתונה בצורה הקנונית של משוואת לז'נדר).
נוכיח בדרך השלילה שאם הוא פתרון לא-טריוויאלי למשוואת לז'נדר, אז : אילו היה ל- ו- מחלק ראשוני משותף אז הוא היה מחלק גם את , אך לא את (מכיוון ש-).
מכאן ש- ו- מחלק את , ולכן, מכיוון של- אין מחלק ריבועי, כמו גם את ו-.
מכיוון שהטיעון הזה תקף גם לכל פתרון, ובפרט לפתרון פרימיטיבי עבורו , קיבלנו סתירה.
אם ו- זרים, אז קיים מספר שלם כך ש-, ולכן, מכיוון ש- , נובע ש-, כלומר הוא שארית ריבועית מודולו .
בדומה לכך, ו- הם שאריות ריבועיות מודולו ו-, בהתאמה.
כלומר, הראינו שאם קיים פתרון לא טריוויאלי למשוואת לז'נדר, הוא בהכרח מקיים את תנאי לז'נדר.
העובדה שתחת התנאים הנכונים יש למשוואת לז'נדר פתרון, היא מקרה פרטי של עקרון הסה, החל על תבניות ריבועיות בכל ממד.
לפי עקרון הסה, אם למשוואה ריבועית הומוגנית עם מקדמים רציונליים יש פתרון מעל הממשיים, ופתרון מעל כל שדה p-אדי, אז יש לה פתרון כבר מעל המספרים הרציונליים (בכל אלה, פתרון - שונה מאפס).
מכיוון שלא כל המקדמים במשוואת לז'נדר שווי סימן, יש לה פתרון מעל הממשיים.
יש לה פתרון מודולו p, ולכן גם פתרון p-אדי, עבור כל הראשוניים p שאינם מחלקים את abc, משום שלכל תבנית תלת-ממדית עם מקדמים שונים מאפס יש פתרון מעל שדה סופי (זהו שיקול של "שובך יונים" המבוסס על כך שמחצית האיברים בשדה הם שאריות ריבועיות).
עבור הראשוניים המחלקים את המכפלה abc, הפתרון מודולו p קיים לפי התנאי על השאריות הריבועיות, ושוב אפשר להרים אותו לפתרון p-אדי.
הרמת הפתרונות נעשית בעזרת הלמה של הנזל, שחלה כאן בקלות לכל ראשוני אי-זוגי, ובמאמץ נוסף גם עבור p=2. אם כך, עקרון הסה קובע שיש למשוואה הזו גם פתרונות רציונליים.
רבי משולם בן יעקב הכהן מלוניל (או רבינו משולם הכהן; נפטר ב-1170) היה מגדולי חכמי פרובנס בצרפת.
לפי תיאוריו של רבי בנימין מטודלה, היו בניו של רבי משולם בן יעקב מלוניל עשירים וחכמים, וגם הוא עצמו היה עשיר מאוד והחזיק בית מדרש גדול ומפורסם מאוד.
סביב משפחה זו התרכזו "חכמי לוניל", שפרסמה את לוניל כמרכז תרבותי תורני חשוב.
משולם בן יעקב מלוניל היה מגדולי חכמי ההוראה בפרובאנס ובדרום צרפת.
הוא חי במאה ה-12 ונראה שנפטר בשנת 1170. הנוסע רבי בנימין מטודלה פגש בו בעת ששהה בלוניל בסביבות שנת 1159 והוא מציין אותו ואת חמשת בניו.
משולם בן יעקב היה בן תקופתו של רבי יצחק בן מרואן הלוי מנרבונה.
משולם בן יעקב היה רב וחבר לראב"ד ובנו אהרון יצא להגנת הרמב"ם מול רבי מאיר בן טודרוס הלוי אבולעפיה.
הוא חיבר הרבה ספרים המוזכרים בפירושים שונים אם כי בימינו מצוי רק אחד מהם "איסור משהו" בדיני כשרות.
הוא פעל ביחד עם רבי יהודה אבן תיבון.
היה מורו של הראב"ד השלישי בעל ההשגות.
בנו, אשר, היה חכם ידוע בפני עצמו.
לר' משולם מלוניל נולדו חמישה בנים: יוסף, יצחק, יעקב, אהרן ורבי אשר (מכונה הרא"ש מלוניל, ואשר כונה על ידי רבי בנימין מטודלה רבי אשר הפרוש) - חיבר הלכות יום טוב.
נכד בנו רבי יוסף הוא אבא מארי הירחי.
חתנו של רבי משולם היה רבי משה ב"ר יהודה, אביו של רבי משולם מבדרש בעל ספר ההשלמה.
רבי משולם זוסיל מאניפולי (בכתיב יידי: אניפאלי; ידוע בכינוי "הרבי ר' זוּשֶׁא"; ה'ת"ץ, 1730 – ב' בשבט ה'תק"ס, 28 בינואר 1800) היה צדיק חסידי בהאנופיל שבווהלין בראשיתה של תנועת החסידות, תלמידו של המגיד ממזריטש ואחיו של רבי אלימלך מליז'נסק.
נולד בטרנוב לרבי אליעזר ליפמאן, תלמיד חכם, עשיר ובעל קרקעות.
אין מידע רב על ראשית חייו: בצעירותו עסק בעיקר בלימוד קבלה, והיה בנעוריו תלמידו של המגיד מזלוטשוב.
נהג לצאת עם אחיו, הרב אלימלך, למסעות נדודים ("גלות").
על פי המנהג, היו ה"גולים" יוצאים בלי כסף ובלי אוכל למשך זמן רב.
עוד נהגו שלא לישון באותו מקום יותר מלילה אחד.
במסעותיהם פגשו האחים את המגיד ממזריטש, והיו לתלמידיו המובהקים.
רבי זושא כיהן כאדמו"ר בעיירה אניפולי.
בין תלמידי המגיד הפך רבי זושא לסמל של תמימות, ענווה וטוב לב.
על כך כותב הרב יהודה לייב מימון בספרו "שרי המאה":
"הרים לא עקר בפילפולו, פילים לא חיבר בקופא דמחטא, ספרים לא חיבר, שאלות ותשובות ופסקי הלכה לא ערך, אבל הוא היה צדיק תמים, חסיד ועניו, ואת עמו אהב אהבה בלי מיצרים".
רבי זושא חי בדוחק רב.
נהג ללמוד ליד האח על רצפת בית המדרש.
מסופר כי רבים מהאנשים ששמעו את שמו ובאו מרחוק להיוועץ בו, הופתעו מבגדיו הבלויים ומצורת חייו הפשוטה.
לפי סיפור נודע, כשבאו האחים רבי שמעלקה מניקלשבורג ורבי פנחס הורוביץ אל המגיד ושאלו איך אפשר לברך על הרעה כשם שמברכים על הטובה (כמובא במשנה האחרונה במסכת ברכות), הפנה אותם לרבי זושא.
הם מצאו אותו מאחורי התנור ואמרו לו שהמגיד שלח אותם.
הוא ענה להם: נראה שלא שמעתם נכון, אינני יכול להסביר לכם זאת מכיוון שמעולם לא היה לי רע.
הוא נהג לדבר על עצמו בגוף שלישי, "זושא אומר", ונימק זאת בכך שרק הקב"ה יכול לומר אני, כלשון הדיבר הראשון מעשרת הדיברות "אנוכי ה' אלוקיך".
אמרתו הידועה: "אם ישאלו אותי בשמיים למה לא הייתי משה רבינו - אדע מה להשיב.
אבל אם ישאלו אותי למה לא הייתי זוסיא - יסתתמו טענותי".
בסיפורי חסידים מוצג רבי זושא כמי שהחזיר אלפים בתשובה על ידי שהוכיח אותם בצורה מתוחכמת, כאשר היה מתוודה כביכול על חטאיו שלו בפניו של אדם שבאמת חטא בחטאים אלו, ובעקבות כך היו בני שיחו חוזרים בתשובה.
מסופר כי בעל התניא, שקיבל ממנו הסכמה על ספרו, אמר עליו: "עבודתו הייתה ביראה עילאה כל כך, עד שגם בהיכל היראה הייתה יראתו לפלא".
נודע באהבת-ישראל שלו ופעל רבות לפדיון שבויים.
הוא נקבר בעיר אניפולי ליד רבו, המגיד ממזריטש.
בתחילה היה כתוב על מצבתו: "פה נטמן הקדוש...
עובד אלוהים באהבה והשמח בייסורים ורבים השיב מעוון".
לאחר זמן נכתבה המצבה מחדש ועליה כתוב אך: "הרבי ר' זושא".
שם אשתו הראשונה לא ידוע וממנה התגרש וממנה נולד לו בנו הבכור.
מאשתו השנייה הניה נולדו לו בנו ובתו האחרים.
בנו רבי צבי מנחם אוירבך - מילא את מקום אביו כאדמו"ר מאניפולי.
בנו רבי ישראל אברהם מזל מצ'רני-אוסטראה, היה חתנו של רבי זאב וולף מצ'רני-אוסטראה.
מילא את מקום חמיו אחר עלייתו של זה לארץ ישראל.
לאחר פטירתו שימשה אשתו, ציזיא חנה, באדמו"רות במקומו.
חתנו רבי מנחם נחום שגר באניפולי.
כאמור, רבי זושא לא חיבר ספרים בעצמו, אולם לאחר מותו נכתבו אודותיו שני ספרים:
"מנורת זהב" - תולדות ותורותיו - נדפס לראשונה בוורשה ב-1902, עם הסכמות הרב שלום מרדכי שבדרון והרב חיים חזקיהו מדיני
את שני הספרים ערך הרב נתן נטע דונר מקולבייל.
הרב משולם בן נתן ממלון (בקרבת פריז.
בצרפתית: Melun) (1120 - ?) היה מחכמי צרפת, חבר בית הדין של פריז, ובר פלוגתא של רבנו תם.
נולד בנרבונה בשנת 1120. היה חבר בית הדין של רבי טודרוס בן משה ורבי אברהם אב בית דין הידוע כ"בעל האשכול", שניהם מגדולי נרבונה.
אחר כך עבר צפונה לכהן כרב העיר מלון.
היה בעל דעות עצמאיות בהלכה, ויצא נגד מנהגים מקובלים רבים בצרפת.
כמו כן הביא לצרפת הצפונית הכרעות הלכתיות ונוסחאות שונות בתלמוד שנהגו בפרובאנס בה גדל.
ידוע בעיקר בשל מחלוקתו עם רבנו תם, שהתנהלה בהתכתבות ארוכה ביניהם, שחלקה שרד בתוך ספר הישר.
רבנו תם תוקף אותו בחריפות על הגהותיו בנוסח הגמרא, וכאשר שמע שהתיר מנהגים מקובלים בצרפת אף איים שיחרים את השומעים לדבריו.
רבי משולם השיב שאינו מתקן גרסאות אלא מציג את הגרסאות השונות זו לצד זו, ודווקא חכמי צרפת מחקו גרסאות בתלמוד.
בדומה הוא מזכיר הלכות בהם רבנו תם עצמו הקל, והוא לא יצא כנגדו כיוון שכל רב קהילה הוא "מרא דאתרא" במקומו.
רבנו תם לא קיבל את טענותיו והדגיש שיש הבדל בין מקרים מיוחדים, למנהגים מפורסמים ומקובלים בין ההדיוטות.
רבי משולם בן קָלוֹנִימוּס (ידוע גם בכינויים רבנו משולם, "משולם הגדול", "משולם הרומי" וגם בכתיב חסר "משלם"; סביב 950 - סביב 1010, נולד בלוּקָא, איטליה, או במגנצא, גרמניה) היה פוסק בן תקופת הגאונים, פרשן המשנה ופייטן.
השמות "קלונימוס" ו"משולם" חוזרים ומופיעים בשושלת משפחת קלונימוס (ואף בכינוי "הגדול").
מקובל על רוב החוקרים שרבי משולם דנן הוא בנו של קלונימוס בן משה.
משערים שמשה בן קלונימוס הוא בן המשפחה שהיגר מלוקא למגנצא, בערך בין השנים 900 ל-926, ועל כן ייתכן שרבי קלונימוס ובנו, רבי משולם, פעלו ממגנצא והיו מראשוני החכמים של יהדות גרמניה.
עם זאת, יש לציין שיש גם מקורות לטענה שהם פעלו בלוקא.
גם לגבי שנת לידתו ושנת מותו הדעות חלוקות.
צונץ מקדים את זמן מותו לשנת 975, אך מקובל היום להניח שנפטר בין השנים 1000 ל-1010.
על פי איגרת מרבי שמואל בן דנאן, מן הדור השני של מגורשי ספרד, כשהיה רבנו משולם בן ארבע עשרה, נלקח מאביו על ידי סוחרים שהוליכו אותו עמם לבבל.
שם מכרוהו לנשיא וראש הישיבה שבבבל.
בתחילה רבנו משולם היה אחראי על מטבחו, ובסתר היה מגיה בכתביו של ראש הישיבה על פי מה שלמד מאביו.
שני תלמידים נשארו בסתר לגלות את זהות המגיה, וכשגילו שזהו רבנו משולם הושיבוהו עמם בישיבה.
בשלב מסוים אף הוצעה לו בתו של הנשיא לאשה, אך רבנו משולם סירב להנשא שלא ברשות אביו.
על פי האיגרת, רבנו משולם חזר למגנצא ונשא שם קרובתו והוליד ממנה בן ושמו תודרוס.
והיה רבי תודרוס ראש ישיבה במגנצא אחר פטירת אביו.
בנו, רבי קלונימוס בן משולם הוא הידוע מהאגדה על רבי אמנון ממגנצא כמי שקיבל בחלום את התפילה ונתנה תוקף מפי מחברה.
קדם בדור לפוסקים הראשונים שחלקם חיו בתקופתו, כגון: רבנו גרשום מאור הגולה, הפייטן רבי שמעון בן יצחק (בן למשפחת "אבון" שהייתה מקושרת בקשרי נישואין למשפחת "קלונימוס"), ונחשב לגדול חכמי אשכנז בתקופתו.
מיצירתו נמצאו שרידים רבים באופן יחסי לבני תקופתו, בעיקר בגניזת קהיר.
היא כוללת מספר תחומים: פסיקות במסגרת "שאלות ותשובות" (שו"ת), פיוטים ופירוש למסכת אבות.
איגרת ידועה שלו ליהודי קושטא עוסקת בהתמודדות מול הקראים.
רבנו משולם היה מוכר בקהילות רבות וקיבל פניות מרחבי אשכנז.
תשובותיו עוסקות בכל תחומי החיים, אך מתבלטים בהם שני נושאים: דיני ממון ומסחר (לדוגמה: דיון ב"מערופיה" - ציבור לקוחות, "קליינטורה") וסדרי הקהילה (כגון: סכסוך בין קהילת יהודי אַרְלְ - Arles שבצרפת לבין מסתפחים אל הקהילה).
העיסוק בנושאים אלה נובע מהתעוררות חיי הקהילה היהודית באשכנז בתחילת האלף השני לספירה.
בתשובותיו הסתמך רבות על התנאים ועל הגאונים בני דורו.
הוא הפנה שאלות לרב שרירא גאון ולבנו הרב האי גאון.
תשובותיו נכתבו ברובן בעברית וחלקן בארמית.
חלק מתשובותיו מופיעות בספר הקדום "בשר על גבי גחלים".
שנים עשר פיוטים שלו נשתמרו.
הם כוללים, בין השאר, קרובה (קדושתא) ליום כיפור הפותחת "אימיך נשאתי", שנאמרת במנהג אשכנז בשחרית של יום כיפור (בין חלקי הקרובה הם הפיוטים "מעשה אלהינו אין מי בשחק" ו'על ישראל אמונתו"), ושני סדרי עבודה "אמיץ כח" (שהתקבל במנהג אשכנז), ו"אשוחח נפלאותיך" שנאמר בימי הביניים בקצת קהילות.
הוא חיבר גם מערכת יוצר מקיפה לפסח הפותחת "אפיק רנן" ובנויה על סדר שיר השירים (כחיקוי למערכת של רבי שלמה הבבלי "אור ישע מאושרים").
המערכת התקבלה במנהג אשכנז ואף בקצת קהילות צרפת ליום שני של פסח, ושתי זולתות על שעבוד מלכיות.
נוסף על כך, ישנן מספר סליחות החתומות בשמו, אך ייחוסן אליו אינו ודאי.
פיוטיו שייכים לאסכולה האיטלקית-אשכנזית היונקת מהפיוט שמקורותיו בארץ ישראל.
מפירושו למסכת אבות הגיעו אלינו חלקים מועטים בלבד.
מחלקים אלה ניתן להסיק באופן עקיף שהפירוש הקיף את כל המסכת.
בפירושו זה עולה בקיאותו הרבה במקרא.
משוט הוא כלי המשמש להנעת כלי שיט על ידי חתירה.
המשוט בנוי ממוט ארוך אשר בקצהו האחד משטח המכונה כף או להב.
החותר אוחז בקצה השני של המוט.
המשוט בדרך כלל מחובר לדופן הסירה באמצעות מלגז, אשר מעביר את הכוח המופעל על המשוט אל הסירה.
במערכת זו (הידועה כמנוף מהסוג השני), המים משמשים כנקודת משען.
החותר יושב בדרך כלל כאשר פניו אל ירכתי כלי השיט, רוכן כלפי הירכתיים, ואז נועץ את להב המשוט במים.
אז נשען החותר לאחור ומושך את ידית המשוט לכיוון החרטום, פעולה אשר גורמת ללהב לגרוף מים לכיוון הירכתיים, ובכך לספק לכלי השיט דחף קדימה.
סוג אחר של משוט, הידוע בעברית בכינוי משוט אינדיאני, אינו מחובר לכלי השיט.
למשוט מסוג זה כף אחת או שתיים, החותר אוחז בו בשתי ידיו, וחותר כאשר פניו קדימה.
במשוט זה משתמשים לדוגמה בקיאק (עם שתי כפות) או בקאנו (עם כף אחת).
באנגלית יש הבחנה שמית בין שני סוגי המשוטים: משוט רגיל הוא , בעוד משוט אינדיאני הוא .
במשך אלפי שנים היו כלי שיט מונעים בכוח הרוח על ידי מפרשים, או בכוח השרירים על ידי משוטים.
כלי שיט עתיקים מסוימים נעזרו בשני אמצעי ההנעה, כתלות במהירותה וכיוונה של הרוח (ראה ספינת משוטים).
כיום נפוץ השימוש במשוטים לכלי שיט המשמשים לפעילות פנאי, תחרויות ספורט, או בסירות קטנות המשמשות להצלה או תחבורה למרחק קצר.
משוטים היו בשימוש החל מהתקופה הנאוליתית.
משוטים מעץ, המתוארכים כ-6,000-6,500 שנה לפני זמננו, נמצאו באתר ארכאולוגי המיוחס לתרבות ה"המודו" (()) בסין.
בשנת 2010 נמצא בקוריאה הדרומית משוט עשוי עץ אורן באורך 181 ס"מ, אשר תוארך לכ-7,000 שנה לפני זמננו.
המשוטים הקדומים ביותר היו כנראה משוטים אינדיאנים אשר שימשו לחתירה בסירות קאנו אשר נוצרו על ידי ריקון גזעי עץ.
חוקרים משערים שישוב האיים הגדולים בים התיכון בתקופת האבן (לפני כ-10,000 שנה) הצריך ספינות מורכבות אשר עשו שימוש במשוטים אינדיאניים וכנראה גם במפרשים.
בשנת 1926 נמצא במחוז דובנסי אשר בגרמניה משוט אינדיאני שאורכו 52 ס"מ, אשר נחשב לאחת העדויות המוקדמות ביותר לשימוש בכלי שיט בתקופה המזוליתית.
תיארוך פחמן-14 שנעשה בשנת 2008 מגלה שמשוט זה נוצר לפני כ-8,500 שנה.
עדויות רבות לשימוש במשוטים (בהם החתירה עם פנים לירכתיים) בספינות נהר, נמצאו בצורת ציורים, תחריטים, ומודלים, מהממלכה המצרית הקדומה.
עדויות אלו מתוארכות החל מהמאה ה-27 לפני הספירה.
מהעת העתיקה ועד ימי הביניים שימשו ספינות משוטים כספינות המלחמה העיקריות בים התיכון.
באופן מסורתי, משוטים היו עשויים מעץ.
צורתו של המשוט היא כשל מוט ארוך אשר בסופו להב שטוח.
המקום בו מתחבר המשוט לסירה נקרא צוואר, ובו נמצאת טבעת מעובה הנקראת קולר, אשר מונעת מהמשוט מלהשמט מבעד למלגז.
החותר אוחז בידית המשוט אשר לה קוטר נוח לאחיזה.
לעיתים נוהגים לעטוף את צוואר המשוט, הבא במגע רצוף עם המלגז, בציפוי עור הנקרא "עורית".
ציפוי זה מגן על צוואר המשוט מפני שחיקה ומשפר את אחיזת המשוט במלגז.
במשוט מאוזן, מוסיפים לחלק אשר נמצא בתוך הסירה, בין הידית לצוואר, משקולת אשר גורמת לזרוע וללהב להרגיש הרבה יותר קלים.
לדוגמה, במשוט באורך 2 מטרים נמצא מרכז הכובד כ-30 ס"מ מחוץ לסירה.
יש מספר דרכים לבנות את המשקולת: אחת היא לעבות את המשוט באזור זה בשכבת עץ, השנייה היא לקדוח חור בתוך מוט המשוט ולהכניס לתוכה משקולת עופרת.
משוט מאוזן הוא נוח יותר לחתירה לטווח ארוך.
כיום משוטים משמשים לתחבורה בסירות קטנות בלבד.
משוטים אלה משתנים באורכם ועיצובם, אורכם הוא כ-2-3 מטרים, והם עשויים עץ, אלומיניום, פלסטיק, או חומרים מרוכבים כגון פיברגלס.
בעת העתיקה ספינות משוטים אשר שימשו לתחבורה או מלחמה צוידו במשוטים ארוכים ביותר, אשר הגיעו עד 12 מטרים.
לעיתים אוישו משוטים ארוכים כאלה על ידי יותר מחותר אחד.
בחתירה ספורטיבית מקובלים שני סגנונות: "חתירת משוטים" - בה אוחז כל חותר בשני משוטים, ו"חתירה בהינף" בה אוחז כל חותר במשוט אחד בשתי ידיו.
אורכם של המשוטים המשמשים בחתירת משוטים נע בין 275 ל-292 ס"מ.
משוטים המשמשים בחתירה בהינף ארוכים יותר ואורכם נע בין 362 ל-378 ס"מ.
רוחבו של להב המשוט הוא כ-25 ס"מ ואורכו כ-50 ס"מ.
נקודת החיבור של המשוט למלגז נמצאת בכ- 1/3 האורך בין הידית לקצה הלהב.
בנקודה זו נמצא שרוול מחומר פלסטי (ורוד בתמונה משמאל) ועליו מותקן הקולר (חום בתמונה משמאל).
בעבר היו המשוטים עשויים עץ, אולם כיום הם עשויים מחומרים מרוכבים כגון פלסטיק (אפוקסי או פוליאסטר) המחוזק בסיבי זכוכית (פיברגלס) או סיבי פחמן.
השימוש בחומרים מרוכבים אפשר להקטין את משקל המשוט באופן משמעותי.
במקביל, השימוש בחומרים מרוכבים חולל התפתחות במבנה הלהב.
עד שנות החמישים מבנה הלהב היה צר וארוך (כיום הוא נקרא הלהב ה"סטנדרטי").
בשנת 1959 הוצג בתחרות בעיר מאקון אשר בצרפת עיצוב חדש על ידי נבחרת החתירה של מערב גרמניה.
להב זה הוא יותר רחב ופחות ארוך, ונראה כפרח הצבעוני (טוליפ - Tulip).
להב זה נודע מאז כלהב ה"מאקון" או "טוליפ", ושלט בחתירה הספורטיבית עד 1991, אז הוצג על ידי חברת Concept2 מבנה להב חדש, אסימטרי, הידוע בכינויו "להב גרזן" (Cleaver או Hatchet).
השימוש בלהב הגרזן שיפר את מהירות הסירה במרבית התנאים, ואימוצו היה מיידי.
באולימפיאדת ברצלונה ב-1992 כבר השתמשו כל הצוותים שעלו לגמר בתחרויות החתירה בלהב זה.
כיום כל צוותי החתירה התחרותיים משתמשים בלהב הגרזן.
בלהב המאקון משתמשים לעיתים מתלמדים ומתחילים כיוון שהוא נוח יותר לשימוש.
משוט אשר אותו אוחז החותר בשתי ידיו ומשמש להנעת כלי שיט ללא שימוש בנקודת משען בגוף הסירה, מכונה בעברית משוט אינדיאני (באנגלית - Paddle).
משוטים כאלה משמשים בחתירה בקיאק ובקאנו, לדוגמה.
משוט מסוג זה בנוי ממוט אשר בקצהו האחד כף ובקצהו השני ידית (כמו בקאנו), או ממוט אשר בשני קצותיו מותקנת כף (כמו בקיאק).
השימוש במשוט מסוג זה נעשה בישיבה, כריעה, או עמידה, כאשר פניו של החותר לכיוון התקדמות כלי השיט (זאת בניגוד לסירת משוטים שם גבו של החותר פונה לכיוון ההתקדמות).
בקיאק ינעץ החותר את הכפות לסירוגין בצד ימין ובצד שמאל על מנת לשמור על כיוון ההתקדמות.
בקאנו ינעץ החותר את המשוט לסירוגין בצד ימין ובצד שמאל על מנת לשמור על כיוון ההתקדמות.
לעומת זאת, בקאנו תחרותי החתירה מתבצעת רק בצד אחד על מנת לשמור על מהירות החתירה.
על מנת לשמור על הכיוון עושים פיתול עם המשוט.
לדוגמה, המשוט המשמש בגלשן חתירה בעמידה (סאפ\SUP) בנוי מכף אחת, מוט, וידית בצורת T.
אורכו של המוט צריך להיות מותאם לגובהו של החותר.
המוט והכף עשויים בדרך כלל מפלסטיק (אפוקסי) מחוזק בסיבי זכוכית או סיבי פחמן.
במשוטים זולים עשוי המוט מאלומיניום והכף מפלסטיק PVC.
במהלך החתירה אוחזת יד אחת בידית בראש המשוט, בעוד היד השנייה אוחזת במוט, כ-60 ס"מ נמוך יותר.
מנח הידיים תלוי בצד אשר בו ננעצת הכף: כאשר חותרים עם הכף בצד ימין, יד שמאל אוחזת בידית ויד ימין אוחזת במוט.
כאשר חותרים עם הכף בצד שמאל, מנח הידיים הפוך.
רבי משה משולם בן שמשון איגרא מהעיר טיסמניץ (תקי"ב – י"ח בתשרי תקס"ג) היה רב, פוסק, ומגאוני דורו בגליציה.
נולד בבוצ'אץ' בשנת 1752 לר' שמשון ואשתו רייזל, בתו של ר' אפרים פישל אב"ד קולומיא (נפטר בשנת תקמ"ג).
משולם התייתם בגיל צעיר וגדל אצל סבו בקולומיאה.
כבר בתור ילד קטן התפרסם בחריפותו ושנינותו.
מסופר כי בגיל תשע ניצח את ר' יצחק הלוי הורוויץ בוויכוח הלכתי, וכאשר אשתו של רבי יצחק באה אל בעלה בטרוניה על שהשפיל עצמו בפני ילד קטן, ענה לה כי הלוואי ואותו ילד יהיה חתנו.
ואכן, בגיל 13 נישא לבת הגביר שמואל ביק, אולם כעבור זמן קצר התגרשו.
ובגיל 16 נישא לרבקה אסתר – בתו של הרב בברודי ר' יצחק הורוויץ.
לאחר נישואיו התגורר זמן קצר בברודי, ולמד ב"קלויז" המפורסם.
כעבור כשנה, בגיל 17 בלבד התקבל כרב במחוז סטניסלב, והתיישב בעיר טיסמניץ, בה כיהן כרב וראש ישיבה.
מסופר כי בטיסמניץ התגורר אחד מתלמידיו של הבעל שם טוב, ושמו רבי יעקב קופיל חסיד, שהזהיר את חסידי העיר לבל יזלזלו בכבודו של רבי משולם, אך לאחר פטירת רבי יעקב יעקב קופיל חסיד, בשנת 1787, החלו החסידים להשיב מלחמה נגד רבי משולם.
טרם הגיעו לפרשבורג פנו פרנסי העיר לרבי יצחק חריף מסמבור בבקשה כי יבוא לכהן בעירם, אולם משלא נענה הלה פנו לרבי משולם.
מסופר כי רבי משולם לא נתרצה עד שנסע אל רבי יצחק חריף על מנת לשמוע במו אוזניו כי אכן הוא מסרב לקבל עליו את הכהונה.
בשיחתם הסתבר כי חריף לא קיבל כלל את פניית פרנסי פרשבורג, לכן הציע לו רבי משולם את הכבוד, אולם חריף טען כי מאחר שהמכתב לא הגיע לידיו, סימן כי משמים מעוניינים ברבי משולם למשרה.
בפרשבורג כיהן רבי משולם כרב וראש ישיבה כשמונה שנים עד לפטירתו בשנת 1801. לאחר פטירתו, מילא את מקומו רבי משה סופר (החת"ם סופר) כרב העיר וכראש הישיבה.
בסוף שו"ת רבי משולם איגרא מודפס הספדו של החת"ם סופר על רבי משולם.
כן כתב עליו כי "שתי זרועותיו כשני ספרי תורה...
אי אפשר לשער גודל בקיאותו ומהירות חריפותו אשר חוברו בו יחדיו".
חידושי תורתו נדפסו שנים רבות לאחר פטירתו, והם ידועים בעמקותם ובקושי הרב בהבנתם.
רבי אריה לייב הלר, בעל "קצות החושן".
רבי יעקב לורברבום מליסא, בעל "נתיבות המשפט".
משוחח עם כסא הוא אלבום הבכורה של הלהקה הישראלית "ג'ירפות", שיצא בשנת 1999.
האלבום זכה לאהדה והערכה רבה, ובו יצאו הלהיטים "וואו!", "סטריאו", "יש לו בחורות כמו מים" ו"רמי מואשם באחזקת סמים קלים".
האחרון אף עורר מהומה קלה עקב נושאו, זכה להתעלמות מצד הרדיו וניתן היה להורידו מהאינטרנט בחינם.
לאחר צאת האלבום יצא הסינגל "747" שלא נכלל באלבום.
האלבום הופק מוזיקלית על ידי אמיר צורף, וכל השירים בו נכתבו על ידי גלעד כהנא והולחנו על ידי יאיר קז וכהנא, מלבד השיר "יש לו בחורות כמו מים" שהולחן על ידי קז, כהנא ודידי ארז.
בשנת 2018 נבחר האלבום כאחד מ-40 האלבומים האלטרנטיביים הישראלים הטובים ביותר על ידי תחנת הרדיו כאן 88. כמו כן, הגיע האלבום למעמד "אלבום זהב" על מכירת 20,000 עותקים.
גלעד כהנא - שירה, קולות, מילים, טמבורין, פעמון, מבירה, בונגוס, משולש, תיכנות תופים, סימפולים
יאיר קז - בס, חלילים, גיטרות, תכנותים וקולות
דידי ארז - תופים, גיטרה קלאסית, גיטרה אקוסטית וקולות
רותם דרור - פסנתר, מלודיקה, טמבורין, קולות
ארז ובמן - ווקודר קונגס (ב"הוציא מהמהפייכה")
אמיר צורף - הפקה מוזיקלית
הרב משולם דוד סולובייצ'יק (י"ט בתשרי ה'תרפ"ב, 21 באוקטובר 1921 – י"ח בשבט ה'תשפ"א, 31 בינואר 2021) היה ראש אחת מישיבות בריסק בירושלים.
נולד לרב יצחק זאב הלוי סולובייצ'יק, רב העיר בריסק (אז בתחומי פולין וכיום בבלארוס), ולאלטע הענדיל לבית אויערבאך.
בקיץ ת"ש (1940), נדד לווילנה עם כמה מאחיו ואחיותיו, לאביו ששהה מחוץ לבריסק בפרוץ מלחמת העולם השנייה, והתאחד עמם בווילנה.
בשנת תש"א עלה לארץ ישראל בתקופת מלחמת העולם השנייה והתגורר עם אביו בירושלים.
בי"ח בסיוון תשט"ו נישא ליהודית בת הרב אשר שטרנבוך מלונדון ונכדת הרב שלמה זלמן פינס מציריך שהיה דור שישי לגאון מווילנא (אחותו של הרב משה שטרנבוך).
עוד בחיי אביו מסר שיעור לתלמידיו.
בין משתתפי השיעור היו הרב ברוך מרדכי אזרחי, הרב משה שפירא והרב שמעון משה דיסקין.
בתשכ"א פתח את ישיבתו, בתחילה השיעורים נמסרו בביתו והתלמידים למדו בבתי כנסת באזור, בהמשך עבר השיעור לדירה ברחוב צפניה, בשנת התשנ"ז עברה הישיבה לבנין קבע בשכונת גבעת משה בירושלים.
היה קרוב בעמדותיו לאנשי העדה החרדית.
בשנותיו האחרונות עמד בקשר עם אנשי הפלג הירושלמי.
בשנת 1955 מונה כחבר ועד בבית היתומות בית לפליטות בירושלים.
בשנתו האחרונה עבר מביתו ברחוב עמוס לשכונת גבעת משה ליד הישיבה.
שלא כאביו ואחיו (שנהגו שלא להפיץ את שיעוריהם מחוץ לישיבה) נדפסו בחייו בהסכמתו שיעורי רבנו משולם דוד על התורה ועל מסכתות מסדר קודשים.
העניק הסכמות לספרים חדשים רק לעיתים נדירות.
נפטר בביתו בי"ח בשבט ה'תשפ"א בגיל 99. לווייתו נערכה בהשתתפות כעשרת אלפים אנשים.
נטמן בהר המנוחות בירושלים, צמוד לקבר אביו.
בנו בכורו הרב יצחק זאב מונה בהלוויה למלא את מקומו בראשות הישיבה.
בנו, הרב יצחק זאב, נישא לחוה, בת הרב ברוך דב פוברסקי.
בתו הנדל נשואה לרב נחמיה קפלן, ראש ישיבת שער התלמוד.
בנו, הרב אשר שלמה זלמן, נפטר בגיל 54 בכ"ב בניסן ה'תשפ"ד.
הרב עזרא בנימין שוחט ראש ישיבת אור אלחנן חב"ד בלוס אנג'לס
הרב שריאל רוזנברג - ראש בית דין צדק בני ברק ורב שכונת "רמת דוד" בבני ברק
הרב משה מרדכי הלוי שולזינגר - רב בית המדרש "ירחי כלה" בבני ברק
הרב יוסף חברוני ראש ישיבת חברון
הרב זאב ברלין, ראש ישיבת גאון יעקב
הרב יצחק ליכטנשטיין ראש ישיבת תורה ודעת בניו יורק
בנו הרב יצחק זאב סולובייצ'יק ראש ישיבת בריסק
הרב שלמה יהודה פלצינסקי ראש ישיבת בית אריה
הרב אליהו חיים סוורדלוף ראש ישיבת פטרסון ניו ג'רזי
הרב יהודה ליב פישר ר"מ ישיבת תלמידי טעלז ריוורדייל
הרב שלמה שטסמן אב בית הדין הרבני בתל- אביב
הרב זאב שפירא מראשי ישיבת בית מאיר בבני ברק
בחייו נדפסו בידי תלמידיו סיכומים משיעוריו:
שיעורי רבנו משולם דוד הלוי, על מסכתות זבחים, מנחות, בכורות, ערכין, תמורה, מעילה, נזיר וסוטה (16 כרכים), ירושלים ה'תשנ"ט–ה'תשע"ח
שיעורי רבנו משולם דוד הלוי, על התורה (2 כרכים), ירושלים ה'תשע"ד
שיעורי רבנו משולם דוד הלוי: ענייני דרוש ואגדה, ביאורי תפילה, עובדות וענייני השעה, ירושלים ה'תשע"ד
לאחר פטירתו, החלו להדפיס חידושים וכתבים שהשאיר:
חידושי רבנו משולם דוד הלוי, על משנה תורה לרמב"ם, ספרי עבודה וקרבנות, בצירוף מכתבים, ירושלים ה'תשפ"ב
משולם וולף (בליטאית: Sulimas Volfas; 19 ביולי 1877 – 1942) היה עסקן ציבור ותעשיין יהודי ליטאי, מראשי הציונים בליטא.
התחנך בגימנסיה רוסית, למד מדעי הטבע באוניברסיטת סנקט פטרבורג וחקלאות באוניברסיטת ברלין.
שימש כיושב ראש ועד הקהילה וחברת "עזרה".
נבחר כחבר מועצת העירייה (miesto tarybos narys) של קובנה ב-1920, 1924 ו-1931. בבחירות למועצה בשנת 1921 נבחר לתפקיד יושב ראש מועצת העירייה (באותן הבחירות נבחר יהודי אחר, יוסף רוגינסקי, לתפקיד סגן ראש העירייה).
במאי 1923 נבחר לסיימאס השני של ליטא (ליט') מטעם הסיעה היהודית.
היה חבר מרכז של רשת החינוך העברית הציונית "תרבות" בליטא ועמד בראש אגודת "אור", שתמכה בגימנסיה הריאלית העברית בקובנה.
יחד עם ד"ר צמח פלדשטיין, מנהל הגימנסיה, וד"ר דוד מרדכי שוורץ, ראש ועד ההורים ויושב ראש הדירקטוריון של הגימנסיה, נחשב לפעיל מרכזי בפרויקט הקמתו של הבניין החדש לגימנסיה הריאלית ברחוב קסטוצ'יו 59 (Kęstučio; כיום מס' 85).
בשנות ה-30 התגורר עם משפחתו בתל אביב ושימש כשופט עירוני.
ואולם, מטעמים חומריים נאלץ לפני פרוץ מלחמת העולם השנייה לחזור לליטא.
בתקופת הכיבוש הסובייטי של ליטא, נאסר והוגלה לפנים רוסיה כשבוע לפני הפלישה הנאצית, שם נפטר במחנה גירוש.
אחיו צבי-הירש (גריגורי הנס) וולף (1869–1942) היה בנקאי ועסקן ציבורי.
יליד קובנה, התחנך בגימנסיה הרוסית ולמד משפטים באוניברסיטת מוסקבה.
הוא היה ממנהלי הבנק היהודי המרכזי בקובנה ומראשי "קרן היסוד" בליטא.
עם הכיבוש הנאצי גורש לגטו קובנה, שימש חבר מועצת הזקנים בגטו ושם גם נפטר.
רבי משולם זוסיא השיל (ה'תקע"ג - ג' באלול ה'תרכ"ד) היה אדמו"ר חסידי.
נולד בזינקוב לרבי יצחק מאיר השיל, האדמו"ר השני מאפטא-ז'ינקוב, ולמירל בת רבי חיים יעקב שטרום מדוקלה.
נישא לסימא בת רבי ישראל חתנו של רבי משה צבי מסאווראן ושימש לאחר נישואיו כמגיד מישרים בזינקוב.
עם פטירת אביו בא' באדר ה'תרט"ו התמנה לאדמו"ר השלישי מאפטא-זינקוב.
בשנת ה'תרכ"ג הדפיס את ספרו של סבו רבי אברהם יהושע השיל מאפטא וקראו בשם "אוהב ישראל".
רבי משולם זוסיא נפטר בג' באלול ה'תרכ"ד.
את מקומו מילא במז'יבוז' בנו בכורו רבי אברהם יהושע השיל כאדמו"ר הרביעי מאפטא-זינקוב, ובנו הצעיר רבי חיים מנחם השיל מילא את מקומו ברבנות זינקוב, אך לא כיהן כאדמו"ר.
רבי אברהם יהושע העשיל (מז'יבוז'), האדמו"ר הרביעי מאפטא-ז'ינקוב (נפטר ה'תרמ"א)
רבי חיים מנחם השיל, רב בז'ינקוב (נפטר ה'תרנ"ג)
רבי שמואל השיל מקרילוביץ חתנו של רבי אברהם מטריסק.
רבי יחיאל השיל מקרילוביץ חתנו של רבי יהושע רוקח מבעלז (נפטר ה'תרע"ו)
חיה שרה השיל (נפטרה ה'תרס"ו), אשת רבי יצחק יואל רבינוביץ' מקנטקוזבה,
סאשה ביילה, אשת רבי משה שפירא מסלאוויטא
רחל השיל, אשת רבי אהרן לייב ברונפמן משיטובו