tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
יתר על כן, ייתכן ש-, ובכל זאת לא יהיו קיימות פונקציות חד כיווניות.
(כיוון שנדרש מהן שהיפוכן קשה במקרה הממוצע ולא רק במקרה הקשה).
דרך פרקטית להגדיר פונקציה חד-כיוונית היא פונקציה חד-כיוונית חישובית המבוססת על ההשערה שלא קיים אלגוריתם פולינומי המסוגל להפוך אותה ביעילות.
הדוגמה הטובה ביותר היא בעיית פירוק לגורמים ראשוניים של מספר שלם, שהיא מקור טוב לפונקציה חד-כיוונית בהנחה שפירוק לגורמים היא בעיה מעשית קשה.
מצד אחד בהינתן שני מספרים שלמים פונקציית הכפל שלהם קלה, מצד שני בהינתן מספר אי-זוגי שהוא כפולה של שני מספרים ראשוניים גדולים, מציאת הגורמים הראשוניים שלו היא בעיה קשה.
יש לשים לב שלא תמיד הבעיה קשה, אם זוגי או שגורמיו קטנים קל להפוך את הפונקציה.
הצפנת RSA מבוססת על הנחה זו.
דוגמה אחרת היא בעיית תרמיל הגב שאינה קשורה ישירות לתורת המספרים שידועה כבעיה NP-קשה עליה מבוססת הצפנת תרמיל.
נתונה סדרה של שלמים לא בהכרח בסדר עולה ונתון שלם כלשהו, בעיית התרמיל היא למצוא תת-סדרה של שסכומה הוא .
החד כיווניות נובעת מהעובדה שבעוד שבחירת תת-סדרה וחישוב סכומה היא משימה קלה, הרי שבכיוון ההפוך בהינתן ערך כלשהו, מציאת תת-הסדרה שסכומה שווה לערך זה בדיוק, היא משימה קשה.
אין זו הוכחה ש- וזה לא מעיד בהכרח שפונקציה חד-כיוונית קיימת, אלא שבעיית התרמיל לא ניתנת לפתרון במקרה הגרוע בזמן פולינומי, בעוד שפונקציה חד-כיוונית נדרשת שתהיה בלתי הפיכה "כמעט תמיד".
הטענה שפונקציית תרמיל-הגב האמורה חד-כיוונית מסתמכת רק על כך שלא ידוע על אלגוריתם טוב הפותר את הבעיה בזמן פולינומי ולא על ההנחה שהבעיה הכללית היא NP-קשה.
כיום ידוע שלבעיית התרמיל קשר הדוק לתורת הסריגים.
למעשה כל אלגוריתם שפותר את בעיית הווקטור הקצר ביותר יכול לשמש לפתרון בעיית התרמיל.
למשל אלגוריתם LLL נחשב לאלגוריתם הטוב ביותר לפתרון בעיות בתורת הסריגים.
אלגוריתם זה למעשה היה בסיס להתקפה קריפטוגרפית על כמה מערכות ההצפנה שהתבססו על בעיית התרמיל.
הצפנה בשיטת מפתח ציבורי שמכונה גם הצפנה א-סימטרית, היא בעצם פונקציה חד-כיוונית עם דלת צונחת.
לפונקציות אלה התכונה שישנו מידע אשר ידוע רק לנמען המורשה של ההודעה (המפתח הפרטי) שבעזרתו קל לחשב את הפונקציה ההופכית, כלומר לבצע את פענוח ההודעה המוצפנת.
מי שאין בידו המידע הזה ומנסה לפענח את ההודעה המוצפנת, עומדת לפניו משימה חישובית קשה מאוד.
אלגוריתם RSA הנזכר לעיל עושה שימוש בפונקציה מסוג זה.
מקובל להשתמש בפונקציית גיבוב חד-כיוונית כדי להעביר סיסמה למחשב המאמת (השרת).
דוגמה: השרת המאמת שולח משפט למחשב ברשת, זה האחרון לוקח את המשפט, מוסיף אליו את הסיסמה לאימות ומעביר אותם לפונקציית גיבוב חד-כיוונית.
את הפלט (המהווה הסיסמה המוצפנת) הוא שולח לשרת.
השרת מבצע את אותה הפעולה בדיוק.
אם שני הפלטים זהים - יאשר השרת כי הסיסמה נכונה.
במתמטיקה, בתחום תורת המידה, פונקציה מדידה היא פונקציה שהתחום והטווח שלה הם מרחבים מדידים, והמקור תחת הפונקציה של קבוצה מדידה, הוא קבוצה מדידה.
בניסוח פורמלי, אם הם מרחבים מדידים, אז היא פונקציה מדידה אם
אם נתון מרחב טופולוגי , ניתן להתייחס אליו בתור מרחב מידה עם אלגברת בורל, כלומר, קבוצת הפונקציות המדידות היא ה -אלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות.
לפונקציות אלה חשיבות רבה בתורת המידה ובאנליזה מתמטית, מכיוון שהן המועמדות היחידות להיות אינטגרביליות, ומסיבות דומות - גם בתורת ההסתברות (משתנים מקריים הם פונקציות מדידות ביחס למרחב הסתברות ולישר הממשי, בהתאמה).
ההרכבה של פונקציה מדידה על פונקציה רציפה, היא פונקציה מדידה.
פונקציה מדידה נקראת מדידת בורל כאשר הן אלגבראות בורל.
כל פונקציה רציפה היא מדידת בורל, אך לא כל פונקציה מדידת בורל היא פונקציה רציפה.
פונקציה מדידה נקראת מדידת לבג אם אלגברת בורל ו היא סיגמה אלגברה של לבג.
תהא f פונקציה , אז הפונקציה מדידה אם מתקיים אחד התנאים הבאים
אם הפונקציות , מדידות, אז ההרכבה שלהן היא פונקציה מדידה.
אם מדידות, אז הסכום והכפל שלהן מדיד.
אם אז גם הפונקציה מדידה.
אם מדידות אז גם מדידות.
אם קיים הגבול, אז גם מדידה.
אם ו- קבוצת תת-קבוצות של עבורה , אז מדידה אם ורק אם .
במילים, מספיק לבדוק מדידות ל"קבוצה פורשת" של הסיגמא-אלגברה.
פונקציה פשוטה היא פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים.
יהא מרחב ו קבוצות זרות במרחב, אז פונקציה ממשית פשוטה היא פונקציה מהצורה
אם מרחב מדיד ו קבוצות מדידות, אז נקראת פונקציה מדידה פשוטה.
משפט: לכל פונקציה מדידה , קיימת סדרה של פונקציות פשוטות מדידות, כך ש נקודתית.
אם ניתן לבחור את הסדרה כך ש ובאופן כללי ניתן לבחור את הסדרה כך ש
במתמטיקה, פונקציה יוצרת היא כלי המשמש לטיפול בסדרות של מספרים, בדרך של איחודן לאובייקט אלגברי ואנליטי אחד, שממנו אפשר לקרוא את הסדרה כולה.
הפונקציה היוצרת הסטנדרטית של הסדרה היא הטור , כאשר הוא משתנה.
מוגדרות גם פונקציות יוצרות מסוגים אחרים, בהתאם לשימוש הרצוי.
בשימושים קומבינטוריים מתייחסים לפונקציה היוצרת כאל אובייקט פורמלי, המוגדר גם כאשר הטור אינו מתכנס; הפונקציה אינה אלא "חבל כביסה, עליו אנו תולים סדרת מספרים לתצוגה".
במקרים אחרים, ובפרט בתורת המספרים האנליטית, משחקות התכונות האנליטיות של הפונקציה היוצרת תפקיד מרכזי.
דוגמאות בולטת לפונקציות יוצרות בהקשר זה הן פונקציות זטא מסוגים שונים, ופונקציות תטא של תבניות ריבועיות.
הפונקציה היוצרת הסטנדרטית של הסדרה (ולפעמים סתם "פונקציה יוצרת") היא טור החזקות .
בפונקציות כאלה משתמשים בקומבינטוריקה, וגם בתורת ההסתברות: אם X הוא משתנה מקרי שערכיו טבעיים (למשל, מספר השחפים המבקרים חופי אגם מסוים במשך יום), מצמידים לו פונקציה יוצרת-הסתברות לפי הנוסחה .
במקרה כזה , ומן הנגזרות של אפשר לקרוא את המומנטים: שווה לתוחלת של X, ובאופן כללי שווה לתוחלת של .
הפונקציה היוצרת הצמודה לסכום שווה למכפלת הפונקציות היוצרות: .
רעיונות אלה ניתנים להכללה גם למספר רב של משתנים.
למשל, הפונקציה היוצרת הסטנדרטית הצמודה למערך היא הפונקציה בשני משתנים, .
מפונקציה כזו אפשר לקרוא ישירות את אברי הסדרה, על ידי גזירה n פעמים והצבת 0: .
הנגזרת של הפונקציה המתאימה לסדרה היא הפונקציה המתאימה לסדרה המוזזת .
, המשקללת את ערכי הסדרה עם ההסתברויות בהתפלגות פואסון.
סדרת בל , משמשת בתורת המספרים האלמנטרית, במיוחד כאשר f היא פונקציה אריתמטית ו־p מספר ראשוני.
פונקציה ממשית היא פונקציה שהטווח שלה הוא קבוצת המספרים הממשיים.
לעיתים קרובות דורשים גם שתחום ההגדרה שלה יהיה המספרים הממשיים.
תורת הפונקציות הממשיות קרויה אנליזה ממשית, והיא כוללת את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
תכונות מרכזיות של פונקציות הנחקרות בתורה זו כוללות חסימות, מונוטוניות, רציפות, גזירות ואנליטיות.
האנליזה הממשית מכירה במשפחות של פונקציות ממשיות.
אם I הוא קטע ממשי, מסמנים ב- את מרחב הפונקציות הממשיות המוגדרות על I, וגזירות n פעמים; וב- את מרחב הפונקציות הממשיות המוגדרות על I, וגזירות n פעמים כך שהנגזרת ה-n-ית רציפה.
הגדרה דומה אפשרית גם כאשר מדובר בהתנהגות בנקודה (כאשר הפונקציות מוגדרות בסביבה פתוחה שלה).
המרחבים מקוננים זה בזה: , כאשר הוא מרחב הפונקציות הגזירות אינסוף פעמים (אלו נקראות פונקציות חלקות).
, פונקציית האקספוננט רציפה וגזירה אינסוף פעמים בכל הישר הממשי, בפרט .
הפונקציה מוגדרת בכל מקום בישר הממשי פרט ל-.
הפונקציה איננה חסומה בכל סביבה מנוקבת של נקודה זו.
במתמטיקה ופיזיקה, פונקציה הרמונית היא פונקציה (כאשר היא קבוצה פתוחה ב-) המקיימת את משוואת לפלס שהיא המשוואה הדיפרנציאלית החלקית:
פונקציה שעבורה אגף שמאל של המשוואה הוא אי שלילי בכל נקודה נקראת פונקציה תת-הרמונית, ופונקציה המקיימת שאגף שמאל של המשוואה הוא אי חיובי בכל נקודה נקראת פונקציה על הרמונית.
משוואת לפלס במימד אחד היא .
אם כן, פונקציות הרמוניות ממימד אחד הן פונקציות ליניאריות מהצורה זאת כאשר ו- הם קבועים.
משוואת לפלס בשני ממדים היא מהצורה .
להלן מספרת דוגמאות לפונקציות הרמוניות בשני ממדים:
הפונקציה היא פונקציה הרמונית של שני משתנים המוגדרת בכל נקודה במישור חוץ מהראשית.
אם היא פונקציה הולומורפית אז ממשוואות קושי רימן נובע שהפונקציות וכן הן פונקציות הרמוניות בשני משתנים.
ההפך גם מתקיים: עבור פונקציה הרמונית בשני משתנים אפשר למצוא פונקציה כך שהפונקציה היא הולומורפית.
כזו נקראת הצמודה ההרמונית של .
אם מוגדרת על קבוצה פתוחה , אזי לא מובטח שקיימת לה צמודה הרמונית בכל התחום, אלא רק באופן מקומי.
משוואת לפלס בשלושה ממדים היא מהצורה .
משוואה זו משמשת רבות במציאת פוטנציאל של שדה חשמלי בנקודה שבה אין מטען חשמלי, ובאופן דומה בדומה, פוטנציאל של שדה כבידה בנקודה בה אין מסה הוא פונקציה הרמונית.
להלן מספרת דוגמאות לפונקציות הרמוניות בשלושה ממדים (כלל הדוגמאות בקואורדינטות כדוריות):
פוטנציאל של מטען נקודתי .
פונקציית הדיפול (בדוגמה זו בכיוון )
פוטנציאל מטען אחיד על ישר אינסופי (בדוגמה זו בכיוון )
פוטנציאל מטען אחיד על ישר חצי-אינסופי (בדוגמה זו בכיוון )
באופן כללי ניתן להוכיח שכל פתרון של משואת לפלס התלת־ממדית ניתן לפירוק לסכום אינסופי של הרמוניות ספריות כפול רכיב הרדיוס בחזרת התנע הזוויתי:
כל נגזרת של פונקציה הרמונית היא הרמונית.
פונקציה הרמונית היא תמיד אנליטית (למרות שלצורך ההגדרה, נדרש שפונקציה הרמונית תהיה רק גזירה פעמיים בכל נקודה).
תכונה זו נכונה למשפחה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות שנקראות משוואות אליפטיות.
עקרון המקסימום טוען שפונקציה הרמונית בתחום מקבלת את ערכה המקסימלי על השפה של .
תכונת הערך הממוצע היא שהערך של פונקציה הרמונית בנקודה שווה לממוצע הערכים שלה על פני ספרה סביב .
בסימונים, אם פונקציה הרמונית אז .
משפט ליוביל טוען שפונקציה הרמונית חסומה (למעשה מספיק שהפונקציה תהיה חסומה מאחד הכוונים) שמוגדרת על כל היא קבועה.
הלפלסיאן הוא האופרטור הדיפרנציאלי .
פונקציה הרמונית, לכן, היא פונקציה המקיימת .
בגאומטריה דיפרנציאלית מכלילים את הגדרת הלפלסיאן (ולכן את הגדרת ההרמוניות) עבור תבניות דיפרנציאליות מסדר גבוה מ-0 וגם ליריעות עם מטריקה לא שטוחה.
הלפלסיאן המוכלל נקרא אופרטור לפלס-בלטרמי.
בתורת הגרפים מגדירים פונקציה הרמונית להיות פונקציה (כאשר היא קבוצת הקדקודים של גרף) המקיימת (באנלוגיה לתכונת ערך הבינים) (כלומר, הערך של הפונקציה בקדקד מסוים שווה לממוצע הערכים של הפונקציה על השכנים של הקדקד).
בעיית דיריכלה שואלת באילו תנאים יש פונקציה הרמונית בתחום שצמצומה לשפה של הוא פונקציה נתונה.
באנליזה מתמטית, פונקציה חלקה היא פונקציה שגזירה אינסוף פעמים, כלומר לכל טבעי הנגזרת ה--ית קיימת.
קבוצת כל הפונקציות החלקות מסומנת .
הסימון הזה הוא חלק מסימון כללי יותר:
את קבוצת כל הפונקציות הרציפות מסמנים או רק (לפעמים עם ציון התחום שבו הפונקציות רציפות, למשל ).
לכל n טבעי מסמנים ב את קבוצת כל הפונקציות שגזירות n פעמים ושהנגזרת ה--ית של כל אחת מהן היא פונקציה רציפה.
הקבוצה מוגדרת להיות החיתוך של כל הקבוצות ; כלומר אם ורק אם לכל .
אם פונקציה חלקה אז גם הנגזרת של חלקה.
יתר על כן, קל לראות ש- היא הקבוצה המקסימלית שבה פעולת הגזירה היא באמת אופרטור (כלומר לכל קיימת נגזרת, , והיא בתוך ).
אם פונקציות חלקות אז גם הסכום, המכפלה וההרכבה שלהן חלקות.
כל פונקציה אנליטית היא פונקציה חלקה (ובפרט כל הפונקציות האלמנטריות הן חלקות בכל תחום הגדרתן) אבל לא להפך.
לרב השימושים באנליזה מספיקות פונקציות גזירות פעמיים או שלוש אבל נוהגים להשתמש בפונקציות חלקות כדי לפשט את הניסוח של ההגדרות והמשפטים.
הפונקציות החלקות הן מאוד "גמישות".
לדוגמה ניתן לבנות פונקציה חלקה ששווה ל- על קבוצה סגורה , ומתאפסת מחוץ לסביבה פתוחה של , כאשר גם את וגם את הסביבה הפתוחה אפשר לבחור כרצוננו.
דבר כזה הוא בלתי אפשרי בפונקציות אנליטיות כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על קטע סגור כלשהו אז היא זהותית אפס.
בדומה, ניתן לבנות חלוקות יחידה חלקות, אך לא ניתן לבנות חלוקות יחידה אנליטיות.
על ידי פונקציות כאלו ניתן לבנות לכל פונקציה רציפה פונקציה חלקה שקרובה אליה כרצוננו.
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, פונקציה יוצרת מומנטים של משתנה מקרי היא פונקציה יוצרת, שממנה אפשר לחשב בקלות יחסית את המומנטים של המשתנה.
חשיבותה התאורטית בכך שבתנאים מסוימים אפשר לשחזר ממנה את ההתפלגות של המשתנה, והיא מאפשרת לבנות התפלגות מתוך המומנטים בלבד.
הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה מקרי היא פונקציה על משתנה ממשי המוגדרת כתוחלת , כאשר זו קיימת.
באופן אנלוגי מוגדרת הפונקציה האופיינית, כתוחלת .
אם הפונקציה יוצרת המומנטים גזירה פעמים בקטע הכולל את הנקודה , אז המומנט ה--י של המשתנה הוא הנגזרת ה--ית של הפונקציה בנקודה זו, כלומר .
אם הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בסביבה של , אפשר לפתח את הפונקציה יוצרת המומנטים לטור טיילור: .
כאשר למשתנה יש התפלגות המוגדרת על ידי פונקציית צפיפות, היא התמרת לפלס דו-צדדית של פונקציית הצפיפות.
בתנאים מסוימים אפשר לשחזר את ההתפלגות כולה מן הפונקציה יוצרת המומנטים, ולכן גם מתוך המקדמים בפיתוח טיילור שלה, שהם כאמור המומנטים (מחולקים ב-).
הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי היא , שהרי
והאינטגרל לפני השוויון האחרון הוא , כאינטגרל של פונקציית צפיפות של משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי מוזז יחידות (ניתן לראות שהאינטגרל הוא גם מהחלפת משתנים).
למשתנה מקרי בעל התפלגות אקספוננציאלית שתוחלתו יש פונקציה יוצרת מומנטים המוגדרת עבור , שהיא .
הנגזרת ה--ית היא , והצבת נותנת .
אם מספרים ממשיים ו- משתנה מקרי, אז מליניאריות התוחלת.
אם משתנים בלתי תלויים ו- סכומם, אז .
אפשר להוכיח שאם המשתנים הם שווי התפלגות, ובעלי תוחלת אפס ושונות 1, אז , הפונקציה יוצרת המומנטים של התפלגות נורמלית סטנדרטית; זוהי, בעקרון, הוכחה של משפט הגבול המרכזי.
במתמטיקה, פונקציה מחזורית היא פונקציה אשר הערכים שהיא מקבלת חוזרים על עצמם כאשר מוסיפים למשתנה הבלתי תלוי שלה גורם קבוע, כלומר, לכל , עבור קבוע (שונה מאפס) מתאים.
גורם קבוע זה קרוי מחזור.
המחזור החיובי הקטן ביותר של הפונקציה, אם קיים, נקרא המחזור היסודי.
בין הדוגמאות הבולטות: הפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס (בעלות מחזור ), ופונקציית הטנגנס, שמחזורה פאי.
בפונקציות מחזוריות, ממשיות בעיקר, עוסקת אנליזת פורייה.
פונקציה ממשית או מרוכבת היא מחזורית, אם קיים קבוע כך שלכל (ממשי או מרוכב, בהתאמה), מתקיים .
כל קבוע כזה נקרא מחזור של הפונקציה.
אוסף המחזורים הוא תת חבורה של השדה (הממשי או המרוכב, בהתאמה).
המקרה שבו חבורת המחזורים אינה דיסקרטית הוא מקרה פתולוגי, המתאפשר רק כאשר הפונקציה קבועה, או אינה אנליטית.
במקרה הממשי, אם חבורת המחזורים דיסקרטית אז היא ציקלית, בעלת יוצר יחיד, שהוא המחזור בעל הערך המוחלט החיובי הקטן ביותר.
מספר זה הוא המחזור של הפונקציה, וכל מחזור אחר מהווה כפולה שלמה שלו.
גם במקרה המרוכב ייתכן שחבורת המחזורים ציקלית, ואז משתמשים באותה טרמינולוגיה.
במקרה המרוכב יכולה חבורת המחזורים להיות בעלת שני יוצרים (למשל, כאשר הפונקציה מקיימת את הזהות ).
פונקציות מרוכבות בעלות שני מחזורים נקראות פונקציות אליפטיות.
באופן כללי יותר, פונקציה מחבורה G לקבוצה X היא מחזורית מימין, אם קיים כך ש- .
האוסף A של מחזורים-מימין (כלומר, האיברים המקיימים את התנאי לכל g) הוא תת חבורה של G, והפונקציה מוגדרת על מרחב הקוסטים (לפי הנוסחה ).
פונקציה כזו נקראת בדרך-כלל אינווריאנטית תחת פעולת A (או A-אינווריאנטית).
פונקציה שהיא אינווריאנטית גם מימין וגם משמאל נקראת דו-אינווריאנטית.
בתנאים מסוימים, אוסף הפונקציות האלה מהווה אלגברת הקה.
הדוגמאות המוכרות ביותר, ובמובן מסוים הטבעיות ביותר הן הפונקציות הטריגונומטריות: , כאשר ל- מחזור של , ול- מחזור של .
פונקציית האקספוננט היא פונקציה מרוכבת בעלת מחזור .
כפונקציה ממשית, פונקציית האקספוננט אינה מחזורית (היא מונוטונית עולה).
פונקציית דיריכלה היא מחזורית, משום שלכל מספר רציונלי ולכל מספר ממשי מתקיים ש- הוא רציונלי אם ורק אם הוא רציונלי, ולפיכך .
מכיוון שכל רציונלי הוא מחזור של הפונקציה, הרי שאין לפונקציית דיריכלה מחזור מינימלי.
פונקציה קבועה היא מחזורית, וכל מספר מהווה מחזור שלה.
הגל שן מסור כאשר מייצג את הערך השלם של המספר היא בעלת מחזור של 1.
פונקציה מחזורית ורציפה על הישר היא רציפה במידה שווה.
במתמטיקה, פונקציה חד-חד-ערכית ועל (נקראת גם בִּייקציָה; באנגלית: Bijection) מקבוצה X (התחום) לקבוצה Y (הטווח) היא פונקציה המתאימה לכל איבר של X איבר אחד ויחיד של Y, כך שכל איבר ב Y מותאם לאיבר ב X.
פונקציה חח"ע (חד חד ערכית) ועל נקראת "פונקציה הפיכה" וגם זיווג.
באופן פורמלי: חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם לכל קיים יחיד כך ש .
בתנאי זה, קיומו של מבטא את העובדה שהפונקציה היא פונקציה על, והיחידות שלו (כלומר העובדה שלא קיימים שונים שעבורם ), מבטאת את העובדה שהפונקציה חד-חד-ערכית.
מכירת כרטיסי קולנוע יוצרת התאמה בין קהל הצופים לבין הכיסאות שבאולם הקולנוע.
כאשר כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית ועל - לכל כיסא באולם הקולנוע מותאם צופה אחד ויחיד.
כאשר לא כל הכרטיסים נמכרו, זו התאמה חד-חד-ערכית שאינה על - יש כיסאות פנויים באולם.
פונקציה המתאימה לכל מספר זוגי את החצי שלו (כלומר מתאימה ל-2 את 1, ל-4 את 2, ל-6 את 3 וכו') היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הזוגיים לקבוצת המספרים הטבעיים.
הפונקציה היא חד-חד-ערכית ועל בתחום , משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל בדיוק פעם אחת.
הפונקציה איננה חד-חד-ערכית בתחום משום שכל ערך של y בקטע הממשי מתקבל פעמיים (הערך 4, למשל, הוא וגם ).
אם קיימת פונקציה כזו בין ל-, הקבוצות ו- נקראות "שקולות" והן בעלות אותה העוצמה.
פונקציה היא חד-חד-ערכית ועל אם ורק אם היא הפיכה, ולכן היא מגדירה יחס שקילות בין קבוצות על פי עוצמתן ובפרט יחס סימטרי.
אם על הקבוצות מוגדר מבנה נוסף (פעולות אלגבריות, טופולוגיה, מטריקה וכדומה), אז פונקציה חד-חד-ערכית ועל ביניהן השומרת על המבנה נקראת איזומורפיזם.
פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אל עצמה נקראת תמורה.
אוסף התמורות על קבוצה הוא חבורת הסימטריות של הקבוצה; לדוגמה, הפונקציה המתאימה לכל מספר שלם את העוקב שלו, היא תמורה על המספרים השלמים.
פונקציות חד-חד-ערכיות ועל הן מאבני הבניין של צפנים סימטריים מודרניים רבים בקריפטוגרפיה.
בתורת הסיבוכיות, שהיא ענף של מדעי המחשב, פונקציה חשיבה היא פונקציה מהמספרים הטבעיים לעצמם, שניתנת לחישוב במגבלות זמן או מקום אסימפטוטיות לערכי הפונקציה עצמה.
פונקציות אלו חשובות להוכחת משפטי ההירככיה בזמן ובמקום, ומהוות אבני בניין אסימפטויות להיררכיות בין מחלקות סיבוכיות שונות.
ישנן שתי הגדרות שונות שקולות לפונקציה חשיבה בזמן:
פונקציה תיקרא חשיבה בזמן אם קיים מספר טבעי ומכונת טיורינג כך שלכל בהינתן הקלט תעצור לאחר בדיוק צעדים.
באופן זהה, פונקציה תיקרא חשיבה במקום אם קיימת מכונת טיורינג כך שבהינתן המחרוזת תדפיס את היצוג הבינארי של בסיבוכיות מקום של תאי סרט.
רוב הפונקציות השימושיות (כמו הפונקציות הליניאריות והפונקציות המעריכיות) הן חשיבות בזמן ובמקום.
לא קיימת פונקציה שהיא (תת ליניארית) וחשיבה בזמן, אלא אם כן היא קבועה החל ממקום מסוים, היות שאין מספיק זמן לקרוא את כל הקלט.
לעומת זאת, קיימות מספר רב של פונקציות תת-ליניאריות חשיבות במקום.
דוגמאות לפונקציות חשיבות בזמן ובמקום (כאשר ):
נעשה שימוש רב בפונקציות חשיבות בזמן כנגזרת של משפטי ההירככיה.
הן חשובות היות שהוכחת הההיררכיה מסתמכת על יצירת מכונת טיורינג שמכריעה האם מכונת טיורינג אחרת משתמשת ביותר מ מקום או זמן.
זה כמובן לא אפשרי בלי היכולת לחשב את בזמן או במקום זה.
כך למשל נקבל ש- או .
באנליזה מרוכבת, פונקציה כוכבית היא פונקציה אוניוולנטית (כלומר, פונקציה הולומורפית וחד חד ערכית) בעיגול היחידה, אשר תמונתה היא תחום כוכבי ביחס לראשית הצירים.
פונקציה הולומורפית קמורה (Convex function) (להבדיל מהמינוח פונקציה קמורה), היא פונקציה כנ"ל אשר תמונתה היא תחום קמור.
לפונקציות כוכביות וקמורות תכונות מעניינות בתורת הפונקציות האוניוולנטיות.
משפט אלכסנדר נותן תנאי הכרחי ומספיק להיות של פונקציה כוכבית.
תהי פונקציה אוניוולנטית (כלומר, פונקציה הולומורפית וחד חד ערכית).
פונקציה כוכבית (Starlike function) אם תחום כוכבי סביב ראשית הצירים.
פונקציה הולומורפית קמורה (Convex function) אם תחום קמור.
פונקציות כוכביות וקמורות נחקרות בדר"כ עבור עיגול היחידה.
הפונקציה היא העתקה קונפורמית המעבירה את עיגול היחידה לחצי המישור העליון, ולכן היא קמורה.
פונקציית קוב היא כוכבית, שכן תמונתה היא וזהו תחום כוכבי.
ראשית, נציג תנאים מספיקים והכרחיים להיותה של פונקציה אוניוולנטית קמורה או כוכבית.
משפט: הפונקציה האוניוולנטית היא קמורה אם ורק אם מתקיים .
משפט: אם בנוסף , אז הפונקציה היא כוכבית אם ורק אם .
כעת, נראה את הקשר שבין פונקציה קמורה לפונקציה כוכבית:
אזי היא הולומורפית קמורה אם ורק אם הפונקציה כוכבית.
נפעיל את המשפט על פונקציית קוב, שהראינו שהיא כוכבית - עבור מתקיים , ולכן הפונקציה קמורה, ואכן, היא מעבירה את עיגול היחידה להזזה של חצי המישור העליון: .
את אוסף הפונקציות הכוכביות/קמורות המנורמלות על מעגל היחידה נסמן ב- וב- בהתאמה.
לפי משפט אלכסנדר, יש התאמה 1:1 בין שתי המחלקות:
משפט דה ברנז' טוען כי המקדמים בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית מקיימים .
כאשר עוד נחשב להשערה, שכונתה השערת המקדמים, הוא הוכח למקרים פרטיים רבים.
Nevanlinna, 1921): במחלקה מתקיימת השערת המקדמים.
יותר מכך - אם מתקיים שוויון עבור כלשהו, הפונקציה היא סיבוב של פונקציית קוב - .
במחלקה מתקיימת טענה חזקה הרבה יותר:
במידה ומתקיים שוויון עבור כלשהו, הפונקציה היא סיבוב של הפונקציה .
למעשה, שני המשפטים שקולים - אפשר להוכיח את השני בעזרת הראשון (לפי ההתאמה לעיל).
כדי להוכיח את הראשון בעזרת השני, יש להשתמש בהעתקות שוורץ-קריסטופל.
פונקציה ממעלה שלישית היא פונקציה ממשית (בדרך כלל), המתוארת על ידי משוואה מהצורה , כאשר הוא פולינום ממעלה שלישית;דהיינו:
נקודות הקיצון של הגרף נמצאות בפתרונות של המשוואה (התאפסות נגזרת הפונקציה): .
לכן, יש נקודות קיצון אם ורק אם .
לגרף יש נקודת פיתול אחת, בנקודה ; נקודות הקיצון, אם הן קיימות, נמצאות במרחק שווה משני צידיה של נקודת הפיתול.
גם העקמומיות של הגרף שווה בשתי נקודות הקיצון, וערכה .
את נקודות החיתוך עם ציר ה-x אפשר למצוא על ידי פתרון משוואה ממעלה שלישית: .
צורתו הסכימטית של גרף הפונקציה תלויה בשני גורמים: הסימן של המקדם המוביל , וקיומן או היעדרן של נקודות קיצון.
על ידי החלפת משתנים ליניארית של ושל (כלומר הצבת ביטוי מהצורה במקום וביטוי מהצורה במקום ), אפשר להביא (מעל הממשיים) כל פונקציה ממעלה שלישית לאחת הצורות (אין נקודות קיצון), (שתי נקודות קיצון) ו־ (נקודת קיצון אחת, המתלכדת עם נקודת הפיתול).
במתמטיקה, פונקציה ליניארית למקוטעין היא פונקציה ממשית אשר מורכבת רק מהדבקה של פונקציות ליניאריות על המספרים הממשיים או חלק מהם.
כאשר הפונקציה היא רציפה, אז הגרף שלה הוא עקומת מצולעים.
באופן מדויק יותר, f היא ליניארית למקוטעין אם קיימת חלוקה של הישר הממשי לקטעים זרים (יכולים להיות סגורים, פתוחים או סגורים רק באחד משני הקצוות) כך ש:
איחוד כל הקטעים הוא כל הישר הממשי: .
בכל קטע הפונקציה היא מהצורה .
דוגמה לפונקציה ליניארית למקוטעין היא הפונקציה:
הפונקציה הזו היא בעלת 4 חלקים (הגרף שלה משמאל), והיא פונקציה רציפה אשר מוגדרת עבור כל המספרים הממשיים.
דוגמאות נוספות הן פונקציית רצפה, ערך מוחלט, גל שן מסור.
ניתן להשתמש בפונקציה ליניארית למקוטעין בשביל לקרב פונקציה או עקומה כלשהי, כפי שניתן לראות בסרטוט משמאל.
ישנם אלגוריתמים שיכולים לעשות זאת.
במתמטיקה ובקריפטוגרפיה פונקציה זניחה (Negligible function) היא פונקציה שהערכים שהיא מחזירה קטנים מאוד - זניחים - ביחס לערכים שהיא מקבלת.
פורמלית, פונקציה נחשבת לזניחה אם לכל פולינום , הפונקציה קטנה יותר מהר מהפונקציה .
בקריפטוגרפיה, המטרה היא שכל יריב מוגבל חישובית יוכל להצליח לשבור את ההצפנה (כלומר, לגלות את הטקסט המקורי שהוצפן) בהסתברות זניחה לכל היותר, כלומר, עבור טקסט מוצפן באורך , היריב יוכל להצליח לגלות את הטקסט הסודי המקורי בסיכוי לכל היותר , כאשר היא פונקציה זניחה.
ככלל סכמה קריפטוגרפית תחשב בטוחה אם ההסתברות של שבירה אפילו חלקית שלו (כמו הפיכת פונקציה חד-כיוונית או הבחנה בין פלט מחולל פסאודו-אקראי לבין רצף אקראי אמיתי) חסומה על-ידי פונקציה זניחה של אורך הקלט.
הפונקציה תקרא זניחה אם עבור כל פולינום חיובי (כלומר כל הערכים ש- מקבל חיוביים) קיים שלם חיובי כך שעבור כל השלמים מתקיים .
דרך אחרת לנסח זאת: עבור כל קבוע קיים שלם חיובי כך שעבור כל מתקיים .
פונקציית זניחות מקיימת תכונת סגירות מסוימת.
עבור שתי פונקציות זניחות ו- מתקיים זניחה גם היא.
וכן עבור כל פולינום הפונקציה נקראת גם כן זניחה.
הרעיון: להראות שלפונקציה כלשהי .
מאחר שהן זניחות, צירוף של שתי פונקציות זניחות שקטנות שוות ל- חייבות להיות קטנות מ-.
אנחנו צריכים להראות של- כלשהו, אנחנו יכולים למצוא ככה ש- נבחר.
מכיוון שגם וגם זניחות, יש שבהם וגם .
נבחר , ואז עבור כלשהו, יש לנו בגלל מה שמראה שגם ומכיוון שכך זניחה
מזה נובע שאם אירוע מסוים מתרחש בהסתברות זניחה בניסוי אחד אז היא תוותר זניחה גם אם חוזרים על הניסוי מספר פולינומי של פעמים.
לדוגמה הסיכויים שלאחר הטלת מטבעות יתקבל בכולם "עץ" מאוד נמוכים.
משמעות הדבר היא שגם אם נחזור על הניסוי של הטלת מטבעות (במספר פולינומי של פעמים) ההסתברות שזה יקרה תישאר זניחה.
אפשר להתעלם ללא חשש מהסתברות זניחה לכל צורך מעשי במיוחד עבור ערכים גדולים של .
להמחשה, הסתברות זניחה פירושה שההסתברות שהיריב יצליח לשבור את האלגוריתם נמוכה מההסתברות שאסטרואיד יפגע במצפין בזמן ההצפנה.
דרך אחרת לנסח זאת, הסיכויים שהיריב יצליח לשבור את הצופן נמוכים מהסיכויים שמחשבו של המצפין יתקלקל ומפתח ההצפנה ימחק כליל.
לכן אין לחשוש ממצב כזה שקיימת הסתברות שולית שאפשר לשבור את האלגוריתם.
הפונקציות או נקראות זניחות אף על פי שהן מתכנסות לאפס בקצב שונה.
אם קובעים רף של אז עבור מתקבל .
כמו כן אפשר לראות שעבור כל מתקיים מזה נובע שעבור גדול הסתברות של יותר זניחה.
בהערכת פונקציית זניחות יש חשיבות רבה לגודלו של פרמטר הביטחון שבדרך כלל מייצג את אורך המפתח/אורך הבלוק בסיביות.
אם נמוך למשל אז אף על פי שהפונקציה נחשבת לכאורה לזניחה ביחס ל-, אבל מאחר ש- קטן, יכול להיות מצב שיריב שרץ במשך זמן של דקות יכול לשבור את אלגוריתם ההצפנה בכוח גס בהסתברות של כמעט 1. כי במקרה ש- זמן ריצה של דקות יוצא בסך הכול שישה שבועות.
לעומת זאת אם יריב שרץ בזמן של מאתיים שנה יצליח לשבור את האלגוריתם בהסתברות של בקירוב, זמן כל כך לא מעשי שהוא נחשב לזניח.
לדוגמה, צופן AES נחשב בעל ביטחון אופטימלי במובן שיריב שרץ בזמן (שנמדד למשל במחזורי שעון) מסוגל לשבור את הצופן בזמן של לכל היותר .
בטכנולוגיה הנוכחית חישובים בסדר גודל של נחשבים בקושי ברי ביצוע.
אם למשל המחשב פועל במהירות של 1GHz שאז מתבצעים בערך מחזורים בשנייה, המשמעות היא של- מחזורי שעון דרושים שניות, או בערך 35 שנה.
אם משתמשים במחשבי על מרובים באופן מקבילי אפשר לצמצם את זמן החישוב לכדי שנתיים.
היות שאורך המפתח ב-AES הוא לפחות 128 סיביות, מתקבלת תוספת ביטחון בפקטור של שזה מספר בן עשרים ספרות עשרוניות בקרוב.
כדי לקבל מושג כמה גדול המספר הזה, לפי הערכות של פיזיקאים מספר השניות שחלפו מאז המפץ הגדול הוא בערך .
אירוע שמתרחש אחת למאה שנים, יקרה בהסתברות של בקירוב.
כל אירוע שההסתברות שיקרה בכל רגע היא , יקרה בהסתברות נמוכה יותר בפקטור של כלומר הוא צפוי לקרות אחת למאה מיליארד שנים.
המסקנה היא שאם ו- אז המפתח צריך להיות באורך 128 סיביות לפחות.
בחירה כזו מספקת מרווח ביטחון מניח את הדעת לכל צורך מעשי לטווח הקרוב.
כאשר מחשבים קוונטיים יהיו מעשיים יש כאלו שסבורים שיהיה צורך להכפיל את אורך המפתח.
פונקציה לוגיסטית או עקום לוגיסטי היא סיגמואיד המוגדר על ידי הפונקציה:
הוא בסיס הלוגריתם טבעי (ידוע גם כקבוע אוילר),
הוא הערך המרבי של העקום,
ערך ה- של אמצע העקום, כלומר הנקודה שבה העקום מקבל את הערך ,
זוהי פונקציה ממשית דיפרנציאבילית (ובפרט רציפה וגזירה) בעלת נגזרת אי-שלילית.
הפונקציה קיבלה את שמה בשנים 1844–1845 על ידי המתמטיקאי הבלגי פייר פרנסואה ורהולסט שחקר אותה בהקשר של גידול אוכלוסייה.
השלב הראשוני הוא בערך אקספוננציאלי, בהמשך כאשר מגיעים לרוויה הגידול קטן עד לעצירה.
לפונקציה הלוגיסטית שימושים בתחומים מגוונים בהם סטטיסטיקה, הסתברות, רשתות עצביות מלאכותיות, ביולוגיה, ביו מתמטיקה, כימיה, דמוגרפיה, כלכלה, מדעי כדור הארץ, פסיכולוגיה מתמטית, סוציולוגיה, מדע המדינה, ובלשנות.
הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית, המתקבלת במקרה הפרטי (), נקראת גם סיגמואיד:
עקב טבעה של הפונקציה המעריכית e−x, לעיתים די לחשב את הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית עבור טווח קטן של מספרים ממשיים, למשל .
לפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית תכונת סימטריות:
בהתאם, היא פונקציה אי זוגית.
הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית קשורה לפונקציה היפרבולית:
הנגזרת של הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית מקיימת:
את הפונקציה הקדומה של הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית ניתן לחשב בעזרת אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים , כיוון ש , אז (בהשמטת קבוע האינטגרציה):
ברשתות עצביות מלאכותיות, פונקציה זו נקראת softplus.
הפונקציה ההיפרגאומטרית הסטנדרטית (2F1(a,b;c;z באנליזה מתמטית היא פונקציה מיוחדת המיוצגת על ידי הטור ההיפרגאומטרי, אשר כוללת פונקציות מיוחדות רבות אחרות כמקרים פרטיים או מקרי גבול; דוגמאות לפונקציות המהוות מקרים פרטיים שלה כוללות את הפונקציות האלמנטריות, פונקציות בסל ופולינומים אורתוגונליים.
הפונקציה ההיפרגאומטרית היא גם הפתרון של משוואה דיפרנציאלית רגילה וליניארית מסדר שני; יותר מכך, כל משוואה דיפרציאלית רגילה וליניארית מסדר שני עם שלוש נקודות סינגולריות ניתן להפוך בעזרת טרנספורמציה מתאימה למשוואה הדיפרנציאלית ההיפרגאומטרית.
פונקציה היפרגאומטרית מוכללת, כפי ששמה מרמז, היא הכללה של הפונקציה ההיפרגאומטרית הסטנדרטית, ומבחינה היסטורית היא נחקרה מאוחר יותר.
אף על פי כן, נוח להציג אותה קודם, כדי שתשמש כרקע להגדרת הפונקציה ההיפרגאומטרית הסטנדרטית.
במונח "טור היפרגאומטרי" נעשה שימוש לראשונה על ידי ג'ון ואליס בספרו מ-1665 Arithmetica Infinitorum.
טורים היפרגאומטריים נחקרו לראשונה על ידי לאונרד אוילר, אולם הטיפול השיטתי הראשון בהם ניתן על ידי קרל פרידריך גאוס במאמר מ-1813.
מחקרים משמעותיים על הפונקציה ההיפרגאומטרית שנעשו במאה ה-19 כוללים את אלו של ארנסט קומר (1836) ושל ברנהרד רימן (1857), שאפיין את הפונקציה ההיפרגאומטרית באמצעות המשוואה הדיפרנציאלית היסודית שהיא מקיימת.
רימן הראה שכאשר חוקרים את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני שמקיימת (2F1(z במישור המרוכב, אז היא ניתנת לאפיון (על הספירה של רימן) על ידי שלוש נקודות הסינגולריות שלה.
המקרים בהם הפתרונות למשוואה ההיפרגאומטרית הם פונקציות אלגבריות נמצאו על ידי הרמן שוורץ.
הטור ההיפרגאומטרי הכללי ביותר מוגדר באופן פורמלי כטור חזקות:
שבו היחס בין מקדמים עוקבים הוא פונקציה רציונלית של האינדקס הסידורי n של האיברים:
כאשר (A(n ו-(B(n הם פולינומים של n.
למשל, במקרה של הטור שמייצג את הפונקציה האקספוננציאלית:
באופן כללי, מקובל להוציא מחוץ לסוגריים את האיבר הראשון בטור, כך שמותר להניח ש-β0 שווה 1. הפולינומים ניתנים לפירוק לגורמים ליניאריים מהצורה (aj + n) ו-(bk + n), כאשר aj ו-bk הם מספרים מרוכבים.
מסיבות היסטוריות, מניחים ש-(1 + n) הוא גורם של B.
אם זה לא המצב אז אפשר לכפול את A ו-B בגורם הזה; הגורם מצטמצם כך שהאיברים נותרים ללא שינוי ואין אובדן כלליות.
במובן זה, ההגדרות שיובאו בהמשך לפונקציות היפרגאומטריות עם m פרמטרים, שהם גם ההגדרות הנכונות מבחינה היסטורית, הן למעשה פונקציה היפרגאומטריות עם m + 1 פרמטרים, כאשר אחד הפרמטרים שלהן הוא 1.
לפיכך, אם מפרקים לגורמים את (A(n ו-(B(n, אז מקבלים שהיחס בין מקדמים עוקבים הוא מהצורה:
כאשר c ו-d הם המקדמים של החזקות הגבוהות ביותר של A ו-B.
לטור יש לפיכך את הצורה:
או, באמצעות הכפלה של z בפקטור מתאים וסידור מחדש של האיברים במונה ובמכנה:
לטור זה יש צורה של פונקציה יוצרת מעריכית, והוא מיוצג בדרך כלל על ידי הסימון המקוצר:
באמצעות סימן פוקהאמר (Pochhammer symbol):
ניתן לכתוב מחדש את הפונקציה כך:
הפונקציה ההיפרגאומטרית הסטנדרטית מתקבלת כאשר p = 2, q = 1 ונדרשים 3 פרמטרים (p + q = 3) כדי לאפיין את הטור שמייצג אותה.
היחס בין מקדמים עוקבים של הטור הוא והוא שואף ל-1 כאשר n שואף לאינסוף, לכן נקבל שהטור הזה מתכנס רק בעבור מספרים מרוכבים z שמקיימים z < 1. ניתן להיווכח בנקל כי הפונקציה הזאת מקיימת נוסחאות גזירה כגון:
וניתן לקבל פונקציות מיוחדות מוכרות אחרות כמקרים ספציפיים שלה:
גאוס הראה ש-(2F1(a, b; c; z ניתנת לכתיבה כצירוף ליניארי של כל שתיים מהפונקציות האלה, כאשר מקדמי הצירוף הם פונקציות רציונליות ב-a, b, c ו-z, למשל:
באופן כללי יותר, ניתן לקשור בין כל שלוש פונקציות היפרגאומטריות מהצורה כאשר m, n ו-l מספרים שלמים, וזאת באמצעות איטרציות חוזרות על הקשרים המתמטיים הללו.
גאוס נעזר בקשרים שמצא כדי לגזור מספר דרכים לרשום את המנה של שתי פונקציות היפרגאומטריות כשבר משולב, למשל:
במתמטיקה, פונקציה מטריציאלית (Matrix function) היא פונקציה הממפה מטריצה אחת למטריצה אחרת.
הרחבת פונקציה סקלרית לפונקציות מטריציאליות
קיימות מספר שיטות להצגת פונקציה ממשית כמטריצה ריבועית כך שתכונות מעניינות יישמרו.
הטכניקות הבאות מניבות את אותה פונקציה מטריציאלית, אך התחומים שבהם מוגדרת הפונקציה עשויים להיות שונים.
אם לפונקציה ממשית קיימת הצגה כטור טיילור
אז הפונקציה המטריציאלית יכולה להיות מוגדרת על ידי החלפת במטריצה: החזקות הופכות לחזקות של מטריצות, החיבור לחיבור מטריצות והכפל לפעולות דירוג.
אם הסדרה ממשית מתכנסת עבור אז סדרת המטריצות המקבילה תתכנס למטריצה אם עבור נורמת מטריצה כלשהי שמקיימת .
אם לכסינה, ניתן למצוא מטריצה ומטריצה אלכסונית כך ש-.
נפעיל את סדרת החזקות על הפירוק ונקבל כי מוגדר על ידי
כאשר הם ערכי האלכסון של .
לדוגמה, נניח כי מחפשים (A!
ניתן לרשום את באופן הבא
כל המטריצות המרוכבות, לכסינות או לא, בעלות צורת ז'ורדן , כאשר המטריצה מורכבת מבלוקי ז'ורדן.
נסתכל על כל בלוק בנפרד ונפעיל עליו את סדרת החזקות:
הגדרה זו יכולה לשמש כדי להרחיב את תחום הפונקציה המטריציאלית מעבר לקבוצת מטריצות עם רדיוס ספקטרלי קטן יותר מרדיוס ההתכנסות של טור החזקות.
נוסחת האינטגרל של קושי באנליזה מרוכבת יכולה לשמש להכללת פונקציות סקלריות לפונקציות מטריציאליות.
לפי נוסחת האינטגרל של קושי לכל פונקציה אנליטית המוגדרת בקבוצה ,
כאשר היא עקומה סגורה בתחום בצירוף .
כעת, נחליף את במטריצה כאשר היא בתוך ומכילה את כל הערכים העצמיים של .
אינטגרל זה ניתן בקלות להעריך באמצעות כלל הטרפז, אשר במקרה זה מתכנס באופן אקספוננציאלי.
כלומר, הדיוק של התוצאה מוכפל כאשר מספר הצמתים מוכפל.
חלק ממחלקות הפונקציות הסקליות ניתנות להרחבה לפונקציות מטריציאליות של מטריצות הרמיט, באמצעות שימוש ביחס סדר על מטריצות (
פונקציה נקראת אופרטור מונוטוני אם ורק אם
לכל מטריצות צמודות לעצמן עם ספקטרום בתחום של .
ההגדרה הזו מקבילה לפונקציות מונוטוניות במקרה הסקלרי.
פונקציה נקראת אופרטור קעור אם ורק אם לכל מטריצות צמודות לעצמן עם ספקטרום בתחום של ו- .
ההגדרה הזו מקבילה לפונקציות קעורות במקרה הסקלרי.
אופרטור קמור מוגדר על ידי החלפת ב בהגדרה הנ"ל.
בתורת ההסתברות, פונקציה יוצרת-הסתברות של משתנה מקרי, היא ייצוג על ידי טור חזקות של פונקציית ההסתברות של המשתנה המקרי.
יהי משתנה מקרי המקבל ערכים שלמים אי-שליליים.
אז עבור , פונקציה יוצרת הסתברות של היא
עבור משתנה מקרי , מתקיים ועבור
עבור משתנה מקרי , הפונקציה קובעת את התפלגות באופן יחיד
פונקציה יוצרת-הסתברות של סכום משתנים מקריים
עבור זוג משתנים מקריים בלתי תלויים, מתקיים שהפונקציה יוצרת-ההסתברות של הסכום שלהם היא
יהי משתנה מקרי, ויהיו סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות, ונסמן .
אז הפונקציה יוצרת ההסתברות של היא
יהי משתנה מקרי המתפלג פואסונית , הפונקציה יוצרת ההסתברות שלו היא
יהי משתנה מקרי המתפלג גאומטרית , הפונקציה יוצרת ההסתברות שלו היא
יהי משתנה בינומי שלילי המתפלג .
ידוע לנו שכל משתנה בינומי שלילי הוא סכום של משתנים גאומטריים בלתי תלויים ולכן מהנוסחה של סכום פונקציות יוצרות מתקיים .
בשפות תכנות, פונקציה מחוללת שלרוב נקראת Generator Function (או Generator) היא פונקציה שדרכה ניתן לשלוט באיטרציה של לולאה.
למעשה כל פונקציה מחוללת היא איטרטור.
קריאה לפונקציה מחוללת מחזירה אובייקט המשמש כאיטרטור.
בפונקציות מחוללות הערכים מוחזרים אחד אחד: בכל קריאה לאובייקט מוחזר ערך אחד, ובקריאה נוספת הפונקציה ממשיכה מהמקום בו היא הפסיקה עד שהיא מחזירה ערך נוסף.
האיטרציה ממשיכה עד שהפונקציה מפסיקה להחזיר ערכים.
היתרון בפונקציות מחוללות הוא שבניגוד לפונקציה שמחזירה מערך או אוסף של ערכים, אין צורך לחכות שהפונקציה תסיים לרוץ ותחזיר את כל הערכים שחושבו, אלא ניתן להשתמש בערכים שמתקבלים טרם הושלמה פעולתה של הפונקציה המחוללת.
דבר זה מעניק את השליטה באיטרציה למי שקורא לפונקציה, וכך ניתן לעצור מוקדם או לעשות חישוב רק בעת הצורך.
להלן דוגמת קוד לפונקציה מחוללת בפייתון המחזירה אובייקט המשמש כאיטרטור לסדרת פיבונאצ'י עד האיבר ה־n.
ניתן לשים לב לכך שההבדל בינה לבין פונקציה רגילה המחשבת את האיבר ה־n הוא קטן ביותר:def fib(n):
yield aעל מנת להדפיס את מספרי פיבונאצ'י הראשון עד ה־15 ניתן להשתמש בלולאת for פשוטה:for i in fib(15):
באנליזה מתמטית, פונקציה טרנסצנדנטית היא פונקציה אנליטית שאינה אלגברית, כלומר לא ניתן לבטא אותה באמצעות מספר סופי של פעולות החשבון (חיבור, חיסור, כפל, חילוק) והעלאה בחזקות של משתנה כלשהו.
דוגמאות לפונקציות טרנסצנדנטליות כוללות את הפונקציה המעריכית, פונקציית הלוגריתם, הפונקציות ההיפרבוליות והפונקציות טריגונומטריות.
משוואות המשתמשות בפונקציות אלה נקראות משוואות טרנסצנדנטליות.
באופן פורמלי, פונקציה אנליטית בעבור משתנה ממשי או מרוכב היא טרנסצנדנטלית אם אין לה תלות אלגברית במשתנה זה.
משמעות הדבר היא שהפונקציה אינה מקיימת אף משוואה פולינומית.
אינה טרנסצנדנטית, אלא אלגברית, משום שהיא מקיימת את משוואת הפולינום
אינה טרנסצנדנטית, אלא אלגברית, אף על פי שלא ניתן לכתוב אותה כביטוי סופי הכולל את פעולות החשבון הבסיסיות.
ניתן להרחיב הגדרה זו עבור פונקציות בעלות מספר משתנים.
הפונקציות הטרנסצנדנטיות סינוס וקוסינוס חושבו בעזרת טבלאות טריגונומטריות בעת העתיקה, לדוגמה ביוון על ידי היפרכוס ובהודו בידי ג'יה וקוטי-ג'יה.
בתיאורו של טבלת המיתרים של תלמי, המקבילה לטבלת סינוסים, כתב אולף פדרסן:
הבנה מהפכנית של הפונקציות הטריגונומטריות התרחשה במאה ה-17, וזכתה להסבר מעמיק על ידי לאונרד אוילר בשנת 1748 בספרו מבוא לניתוח האינסוף.
בעקבות תרבוע ההיפרבולה הריבועית , שביצע גרגואיר דה סנט וינסנט בשנת 1647, כאלפיים שנה לאחר שארכימדס חקר את תרבוע הפרבולה, הוכח כי פונקציות טרנסצנדנטליות עתיקות הן פונקציות רציפות.
הוכח כי כשהיחס בין גבולות האינטגרציה נשמר קבוע, גם השטח שמתחת לעקומת ההיפרבולה נשאר קבוע.
הדבר הוביל להגדרת פונקציית הלוגריתם ההיפרבולי, אם כי השימוש בה היה מוגבל לאורך זמן.
השינוי המשמעותי הגיע ב-1748, כשלאונרד אוילר קשר אותה לפונקציות מעריכיות כמו (אקספוננט).
כשאוילר הציג את הפונקציות הטרנסצנדנטיות האלה והראה שהן חד-חד-ערכיות ולכן הפיכות, זה אפשר לו לבצע חישובים אלגבריים עם הלוגריתם הטבעי — גם אם הוא עצמו אינו פונקציה אלגברית.
פונקציית האקספוננט מוגדרת בתור אוילר זיהה אותה עם טור אינסופי מהצורה , כאשר מייצג את העצרת של k.
כאשר מפרידים בין האיברים הזוגיים והאי־זוגיים בטור של , מקבלים שני טורים חדשים שמייצגים את הפונקציות ההיפרבוליות ו-.
כדי להפוך את הפונקציות ההיפרבוליות לפונקציות טריגונומטריות (סינוס וקוסינוס), מוסיפים לטור את האיבר , מה שיוצר טור מתחלף שבו האיברים מחליפים סימן בין חיובי לשלילי.
בעקבות אוילר, מתמטיקאים החלו לראות את פונקציות הסינוס והקוסינוס דרך טורי החזקות האלה, וכך חיברו ביניהן לבין הפונקציות הלוגריתמיות והמעריכיות — במיוחד דרך נוסחת אוילר בתחום המספרים המרוכבים.
עבור הפונקציה 1, ניתן להחליף את המעריך בכל מספר אי-רציונלי אחר, והפונקציה תישאר טרנסצנדנטית.
עבור הפונקציות 2 ו-3 ניתן להחליף את הבסיס בכל מספר ממשי חיובי אחר שאינו שווה ל-1, והפונקציות יישארו טרנסצנדנטיות.
פונקציות 4–8 מייצגות את הפונקציות ההיפרבוליות, בעוד שפונקציות 9–13 מייצגות את הפונקציות הטריגונומטריות.
הפונקציה ה-14 מייצגת את ההרחבה האנליטית של פונקציית העצרת דרך פונקציית גמא, והפונקציה ה-15 היא הפונקציה ההופכית שלה.
לבסוף, בפונקציה האחרונה, ניתן להחליף את המעריך ב- עבור כל ממשי שאינו אפס, והפונקציה תישאר טרנסצנדנטית.
הפונקציות הטרנסצנדנטיות המוכרות ביותר הן הלוגריתם, המעריכית (עם כל בסיס לא טריוויאלי), הטריגונומטרית וההיפרבולית, וההופכיות של כולן.
פחות מוכרות הן פונקציות מיוחדות באנליזה, כמו פונקציית גמא, פונקציות אליפטיות ופונקציית זטא — כולן טרנסצנדנטיות.
גם פונקציות היפרגאומטריות כלליות ופונקציות בסל נחשבות לרוב טרנסצנדנטליות, אם כי עבור ערכים מסוימים של הפרמטרים שלהן הן יכולות להיות אלגבריות.
פונקציות טרנסצנדנטליות לא ניתנות להגדרה אך ורק בעזרת פעולות חשבון רגילות – חיבור, חיסור, כפל, חילוק, ושורשים (מסדר כלשהו).
כדי להגדיר אותן דרוש תהליך גבולי כלשהו, כמו טורים אינסופיים, אינטגרלים, או גבולות.
פונקציה שאינה טרנסצנדנטית מכונה אלגברית.
דוגמאות פשוטות לפונקציות אלגבריות הן פונקציות רציונליות ופונקציית השורש הריבועי.
עם זאת, לא כל פונקציה אלגברית ניתנת לביטוי באמצעות נוסחה סופית שמורכבת רק מפונקציות אלמנטריות.
לדוגמה, הפונקציה שמקיימת את המשוואה היא אלגברית, אבל אי אפשר לבטא אותה בעזרת נוסחה סגורה .
האלגברה הדיפרנציאלית עוסקת במצבים שבהם אינטגרציה יוצרת פונקציות שאינן אלגבריות ביחס לפונקציות שמהן התחילו.
לדוגמה, כשמתייחסים לפולינומים שבהם הפונקציות הטריגונומטריות הן המשתנים, פעולת האינטגרציה לעיתים מייצרת פונקציות שאינן תלויות אלגברית בפונקציות המקור — כלומר, הן בלתי תלויות אלגברית מהן.
פונקציה רגילה נקראת טרנסצנדנטית אם היא לא מקיימת שום משוואה פולינומית (עם מקדמים אלגבריים) — כלומר, היא לא פתרון של אף משוואה מהצורה , כאשר הוא פולינום בעל המשתנים ו-.
יש פונקציות כמו או , שהן טרנסצנדנטיות — ועדיין מקיימות משוואות דיפרנציאליות אלגבריות.
לעומת זאת, פונקציה טרנסצנדנטית באופן טרנסצנדנטלי לא מקיימת שום משוואה דיפרנציאלית אלגברית כלל, כלומר היא לא רק "לא אלגברית", אלא גם אינה ניתנת לתיאור באמצעות משוואות דיפרנציאליות שבנויות מאלגברה.
דוגמאות בולטות לפונקציה כזאת הן פונקציית גמא ופונקציית זטא.
אם היא פונקציה אלגברית ו- הוא מספר אלגברי, אז גם הוא מספר אלגברי.
אבל הטענה ההפוכה אינה נכונה: קיימות פונקציות טרנסצנדנטיות שלמות — כלומר, מוגדרות וגזירות בכל המישור המרוכב — שעבור כל מספר אלגברי , הערך הוא אלגברי.
במקרה כזה, אומרים שלפונקציה יש קבוצת יוצאים מן הכלל (exceptional set).
זו קבוצת המספרים האלגבריים שכשמציבים אותם בפונקציה, מקבלים תוצאה אלגברית.
אם היא פונקציה טרנסצנדנטלית, אז קבוצת היוצאים מן הכלל שלה היא:
במקרים רבים, קבוצת היוצאים מן הכלל של פונקציה טרנסצנדנטלית היא קטנה מאוד.
למשל, עבור הפונקציה המעריכית , מתקם: .
כלומר, הערך האלגברי היחיד שבו הפונקציה מקבלת תוצאה אלגברית הוא ב-, כי .
תוצאה זו הוכחה על ידי פרדיננד לינדמן ב-1882. מכאן נובע ש-e הוא טרנסצנדנטי.
יתר על כן, לפי זהות אוילר ידוע ש-, מספר אלגברי.
אז אם נניח לרגע ש־ הוא אלגברי, גם הוא אלגברי (כי עצמו כן אלגברי).
אבל אז נקבל שערך של הפונקציה המעריכית על קלט אלגברי הוא אלגברי — וזה לא אפשרי לפי משפט לינדמן-ויירשטראס, אלא אם הקלט הוא 0. ומכיוון ש-, יש סתירה ולכן חייב להיות טרנסצנדנטי.
במתמטיקה, פונקציה מקבוצה לקבוצה היא על אם כל איבר בקבוצה מתקבל כערך של הפונקציה.
באופן פורמלי, פונקציה היא על , אם לכל איבר בטווח (טווח הוא קבוצת כל הערכים שניתן להציב כ-x בפונקציה f(x), ועבורו לקבל את הערך y השייך לתחום, קבוצת כל המספרים שניתן לקבל מהפונקציה) () של הפונקציה מתאים לפחות איבר אחד בתחום () שלה.
במילים אחרות: התמונה של שווה לטווח שלה.
בסימון מתמטי: לכל קיים כך ש-.
במקרה זה לעיתים מסמנים: כדי לציין ש- היא על.
קיומה של התכונה תלוי בטווח עליו מוגדרת הפונקציה: כך למשל, הפונקציה המתאימה לכל אדם את אמו היא על אם הטווח הוא קבוצת הנשים שיש להן ילדים, אבל לא על אם הטווח שלה מוגדר כקבוצת כל הנשים (כי יש נשים שאין להן ילדים).
מסיבה זו, מקובל לציין שפונקציה היא על קבוצה מסוימת (שפירושו: אם קבוצה זו תילקח כטווח הפונקציה, יתקיימו הדרישות לפונקציה על).
הפונקציה המתאימה לכל מצביע בבחירות 2006 את המפלגה שעבורה הצביע היא על קבוצת המפלגות שהתמודדו בבחירות אלה, כי לכל מפלגה הצביע לפחות אדם אחד (לא היו מפלגות שזכו לאפס קולות).
תהי הפונקציה המוגדרת לפי הנוסחה לכל x ממשי.
פונקציה זו היא "על", משום שלכל , .
לעומת זאת, הפונקציה המוגדרת להיות אינה על, כיוון שבעבור , למשל, לא קיים מקור ממשי המקיים את המשוואה .
תהי (פונקציה מקבוצת הממשיים לקבוצת הממשיים האי שליליים) המוגדרת באותה צורה, אזי היא על, כיוון שלכל ממשי אי שלילי קיים המקור .
עבור קבוצות סופיות, אם קיימת פונקציה מקבוצה לקבוצה שהיא על, אזי מספר האיברים ב- קטן או שווה למספר האיברים ב-.
אם קיימת בין הקבוצות פונקציה שהיא חד-חד ערכית, אזי מספר האיברים ב- קטן או שווה למספר האיברים ב- ואם קיימת בין הקבוצות פונקציה שהיא חד-חד ערכית ועל, אזי מספר האיברים ב- שווה למספר האיברים ב-.
על הבסיס הזה בנה גאורג קנטור שיטה להשוות קבוצות אינסופיות, המהוות נושא מרכזי בתורת הקבוצות.
קנטור הציג את המושג עוצמה כך ששתי קבוצות שיש ביניהן פונקציה שהיא חד-חד ערכית ועל הן שוות עוצמה.
אם על, אז עוצמת גדולה או שווה לעוצמת ().
משפט זה דורש שימוש באקסיומת הבחירה.
אם ו- שתיהן על, אזי על גם היא.
בתורת הקטגוריות, מורפיזם נקרא אפימורפיזם אם לכל אובייקט ולכל זוג מורפיזמים מתקיים שאם אז .
בקטגוריה של קבוצות, המושגים פונקציה על ואפימורפיזם מתלכדים, אך יש קטגוריות, כגון הקטגוריה של חוגים, שבהן יש אפימורפיזמים שאינם פונקציות על.
בחשבון אינפיניטסימלי, רְצִיפוּת היא תכונה של פונקציה ממשית.
נאמר על פונקציה שהיא רציפה אם לכל נקודה בתחום הגבול שווה לערך הפונקציה באותה נקודה.
באופן אינטואיטיבי, פונקציה רציפה היא פונקציה שאפשר לצייר את הגרף שלה מבלי להרים את העיפרון מהדף.
רציפות היא תנאי הכרחי לגזירות, אך לא תנאי מספיק.
בנוסף, כל פונקציה אלמנטרית היא פוקנציה רציפה בתחום הגדרתה.
רעיונות דומים מופיעים באופן כללי יותר במרחבים מטריים ואפילו מרחבים טופולוגיים כלליים, ראו: רציפות (טופולוגיה).
פונקציה רציפה בנקודה אם יש לה גבול באותה נקודה והוא שווה לערך הפונקציה, כלומר .
לפיכך, ניתן להגדיר רציפות בשתי גישות שונות, כמו בהגדרת גבול.
תהי פונקציה המקבלת ומחזירה ערכים ממשיים, המוגדרת בסביבה של .
הגדרת הרציפות על-פי ויירשטראס באפסילון ודלתא ():
הפונקציה רציפה בנקודה אם לכל (קטן כרצוננו) קיים מתאים כך שאם אז .
הגדרת הרציפות על-פי היינה, בלשון הסדרות:
הפונקציה רציפה בנקודה אם לכל סדרה המקיימת מתקיים .
כאמור לעיל, שתי ההגדרות לרציפות שקולות.
סכום והפרש של שתי פונקציות רציפות הן פונקציות רציפות (דהיינו, בכל נקודה בה שתי הפונקציות רציפות, גם פונקציות הסכום וההפרש רציפות).
מכפלה של שתי פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה.
מנה של שתי פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה, דהיינו בכל נקודה בה הפונקציה במכנה אינה מתאפסת.
אם פונקציה היא רציפה בכל נקודה בקטע, אומרים שהיא רציפה בקטע.
במקרה כזה מותר למהירות שבה מתקרבים הערכים של לערכים של (כשהיא נמדדת בגודל של עבור נתון) להיות תלויה ב- .
הפונקציה רציפה במידה שווה אם לכל אפשר לבחור את באופן שאינו תלוי ב- ; זוהי תכונה חזקה יותר.
מאידך, לפי משפט קנטור, אם פונקציה רציפה בכל נקודה של קטע סגור (ובאופן כללי יותר קבוצה קומפקטית במרחב מטרי), אז היא רציפה במידה שווה.
מקובל לומר שפונקציה רציפה היא פונקציה בקטע ש"אפשר לצייר בלי להרים את העפרון מהדף".
תיאור זה נכון לפונקציות רציפות במידה שווה, אבל סתם פונקציה רציפה (המוגדרת על קטע סופי שאינו סגור) עלולה להיות בעלת אורך אינסופי בקטע; למשל הפונקציה בקטע .
משפט ויירשטראס הראשון אומר כי כל פונקציה שרציפה בקטע סגור חסומה בקטע.
משפט ויירשטראס השני אומר שפונקציה שרציפה בקטע סגור מקבלת בו את המקסימום והמינימום שלה.
שני המשפטים נכונים באופן כללי יותר, עבור פונקציה ממשית רציפה המוגדרת על קבוצה קומפקטית (בכל מרחב טופולוגי).
משפט ערך הביניים אומר כי פונקציה רציפה בקטע מקבלת כל ערך שבין הערכים אותם היא מקבלת בקצות הקטע.
פונקציה רציפה בקטע סגור אינטגרבילית בו.
רציפות בנקודה היא תנאי הכרחי (אך לא מספיק) לקיום נגזרת באותה נקודה.
נקודה שבה הפונקציה אינה רציפה נקראת נקודת אי רציפות.
ניתן למיין את נקודות אי הרציפות לשלושה סוגים:
אי רציפות סליקה: יש לפונקציה גבול בנקודה אך ערך הפונקציה שם שונה מן הגבול, או שהפונקציה כלל אינה מוגדרת באותה נקודה.
אי רציפות מהסוג הראשון: אין בנקודה גבול, אך קיימים גבולות חלקיים.
למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד, קיים הגבול מימין, וקיים הגבול משמאל, אך הם שונים זה מזה.
אי רציפות מהסוג השני: לפחות אחד מהגבולות, משמאל או מימין, אינו קיים.
אפיון קבוצת נקודות הרציפות של פונקציה
אם פונקציה, כאשר מרחבים מטריים, אזי קבוצת נקודות הרציפות של היא קבוצת , דהיינו חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות.
ממשפט הקטגוריה של בר ניתן להראות שקבוצת המספרים הרציונליים אינה קבוצת , ולכן אין פונקציה ממשית שרציפה רק במספרים הרציונליים, ואינה רציפה במספרים האי-רציונליים.
כל פולינום הוא פונקציה רציפה.
הפונקציה ערך מוחלט היא רציפה בכל מקום, אך לא גזירה בנקודה .
פונקציה מעריכית היא פונקציה רציפה (וגזירה אינסוף פעמים).
סינוס וקוסינוס הן פונקציות רציפות (וגזירות אינסוף פעמים).
פונקציית מדרגה (שמחזירה למספרים אי-שליליים ו- למספרים שליליים) איננה רציפה בנקודה .
פונקציית הערך השלם (המחזירה את הערך הגדול ביותר מבין כל המספרים השלמים הקטנים או שווים ל-) אינה רציפה לכל שלם.
פונקציית דיריכלה אינה רציפה באף נקודה על הישר.
פונקציית רימן רציפה בכל הנקודות האי רציונליות ואינה רציפה בכל הנקודות הרציונליות.
בחשבון אינפיניטסימלי, פונקציה ממשית המוגדרת בקטע או קרן היא רציפה במידה שווה שם, אם לכל קיים כך שאם מקיימים , אז .
כל פונקציה רציפה במידה שווה היא רציפה בכל נקודה בקטע, אבל ההפך אינו נכון.
עם זאת, פונקציה רציפה בקטע סגור (וחסום) היא רציפה במידה שווה לפי משפט קנטור.
ההגדרה של רציפות במידה שווה דומה במידה מטעה לזו של רציפות.
ההבדל המהותי בין השתיים הוא שרציפות היא תכונה נקודתית (בכל נקודה, הפונקציה רציפה או שאינה רציפה, ואם היא רציפה בכל נקודה, אז היא רציפה בכל הקטע), בעוד שלרציפות במידה שווה אין משמעות בנקודה אחת - זוהי תכונה של הפונקציה בכל הקטע.
נזכיר שפונקציה היא רציפה בכל נקודה של קטע , אם:
לכל ולכל קיים כך שאם ומתקיים , אז .
בהגדרה הזו, בהינתן , הערך המתאים של עשוי להיות תלוי בנקודה .
לעומת זאת, אם על הפונקציה להיות רציפה במידה שווה, ל- מותר להיות תלוי ב- אבל לא ב-.
כמובן, כל פונקציה רציפה במידה שווה, מוכרחה להיות רציפה בכל נקודה של הקטע.
משפט חשוב של קנטור קובע שבקטע סגור, גם ההפך נכון: אם פונקציה רציפה בכל נקודה של קטע סגור, אז היא רציפה שם במידה שווה.
משום כך, רציפות במידה שווה היא תכונה מעניינת בעיקר בקטעים פתוחים ובקרניים אינסופיות כגון .
תנאים המבטיחים רציפות במידה שווה
כאמור לעיל, על פי משפט קנטור, פונקציה רציפה בקטע סגור היא רציפה בו במידה שווה.
בהינתן קטע פתוח סופי שבו הפונקציה רציפה, תנאי מספיק והכרחי לכך שהפונקציה תהיה רציפה במידה שווה שם הוא שקיימים גבולות סופיים (חד-צדדיים) בנקודות הקצה של הקטע (משום שאז אפשר להשלים את הגדרת הפונקציה באופן רציף אל הקטע הסגור).
פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה במידה שווה.
בפרט, פונקציה גזירה שהנגזרת שלה חסומה, היא רציפה במידה שווה.
ההפך אינו נכון: הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע , אבל היא אינה מקיימת שם את תנאי ליפשיץ (והנגזרת שלה אינה חסומה בקטע).
הפונקציה רציפה במידה שווה בכל הישר הממשי, משום שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ.
נבחר , נקבל כי לכל אם , אז כלומר כרצוי.
נעיין בפונקציה בקטע מהצורה .
מאחר שהקטע סגור, ניתן להסיק את הרציפות במידה שווה ישירות ממשפט קנטור.
נראה שפונקציה זו רציפה במידה שווה על-פי ההגדרה.
ראשית, נשים לב לכך ש-, ו-.
על פי הערכה זו נבחר .
ואכן (לפי אי-השוויון האחרון) לכל יתקיים .
לעומת זאת, הפונקציה אינה רציפה במידה שווה בקרן .
על מנת לעשות זאת, יש למצוא שעבורו לא קיים מתאים, כלומר, לכל קיימים כך ש- אולם .
עבור יתקיים , בעוד ש-.
לסיכום, עבור לכל קיימים כך ש- ובכל זאת , ולכן, הפונקציה אינה רציפה במידה שווה בקטע .
הסכום של שתי פונקציות שהן רציפות במידה שווה, גם הוא רציף במידה שווה.
אם ו- רציפות במידה שווה בקטע ושתיהן חסומות שם, אזי המכפלה רציפה במידה שווה ב-.
התנאי הוא תנאי מספיק לרציפות במידה שווה של פונקציית המכפלה אך אינו תנאי הכרחי.
הפונקציה היא מכפלה של שתי פונקציות רציפות במידה שווה (שאינן חסומות), אך אינה רציפה במידה שווה בכל הישר.
הפונקציה היא מכפלה של שתי פונקציות רציפות במידה שווה על כל הישר, שאחת מהן חסומה, אולם אינה רציפה במידה שווה על כל הישר.
אם הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע וקיים קבוע כך ש- לכל בקטע, אזי גם הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
דוגמה לכך שלא מספיק לדרוש ש- לכל בקטע, היא הפונקציה בקטע .
הרכבת שתי פונקציות שהן רציפות במידה שווה, גם היא רציפה במידה שווה.
פונקציה רציפה במידה שווה בקטע, רציפה במידה שווה בכל קטע חלקי לו.
(מכאן שאם פונקציה מוגדרת ורציפה בקטע פתוח, ויש לה גבולות חלקיים בקצות הקטע, אז היא רציפה במידה שווה בקטע הסגור לפי משפט קנטור, ולכן גם בקטע הפתוח).
פונקציה רציפה במידה שווה במספר סופי של קטעים, רציפה במידה שווה באיחוד הקטעים.
פונקציה רציפה בקטע ושואפת לגבול סופי ב- היא רציפה במידה שווה בקטע .
ברור כי התנאי אינו הכרחי: הפונקציה רציפה במידה שווה, אך אינה שואפת לגבול סופי ב-.
ניתן להרחיב מעט את התנאי הקודם: פונקציה רציפה בקטע וקיים קבוע כך שהפונקציה שואפת לגבול סופי ב-, אזי רציפה במידה שווה בקטע .
פונקציה רציפה בקטע וגזירה בקטע , עבור .
אם שואפת לגבול סופי ב- אזי רציפה במידה שווה בקטע .
דוגמה: הפונקציה רציפה במידה שווה בקטע .
הפונקציה רציפה על כל הישר, חסומה, אך אינה רציפה במידה שווה על כל הישר.
פונקציה מחזורית ורציפה על כל הישר היא רציפה במידה שווה.
ניתן להרחיב את ההגדרה למרחבים מטריים באופן הבא:
בהינתן שני מרחבים מטריים עם המטריקות בהתאמה ופונקציה , הפונקציה תקרא רציפה במידה שווה אם ורק אם לכל קיים כך שלכל עבורם מתקיים .
במקרה שבו המרחב המטרי הוא שדה הממשיים עם הנורמה האוקילידית הסטנדרטית, ההגדרה לעיל שקולה להגדרה זו.
ניתן להראות שכל פונקציה רציפה במידה שווה בין מרחבים מטריים היא גם רציפה במשמעות זו, זאת באופן זהה למרחב המספרים הממשיים.
קיימת הכללה למשפט קנטור עבור מרחבים מטריים אשר קובעת שפונקציה רציפה ממרחב מטרי קומפקטי למרחב מטרי כלשהו, היא רציפה במידה שווה.
ניתן להרחיב את ההגדרה של פונקציה רציפה במידה שווה עבור חבורות טופולוגיות באופן הבא:
בהינתן החבורות הטופולוגיה עם הטופולוגיות בהתאמה ופונקציה הפונקציה תקרא רציפה במידה שווה אם ורק אם לכל קבוצה פתוחה קיימת קבוצה פתוחה כך שלכל כך ש- מתקיים בהכרח כי .
מאחר שכל מרחב וקטורי טופולוגי הוא גם חבורה טופולוגית תחת פעולת החיבור, הגדרה זו תקפה גם למרחבים כאלו.
ניתן להרחיב את ההגדרה של פונקציה רציפה במידה שווה עבור מרחב אחיד.
הרחבה זאת מרחיבה הן את מושג הרציפות במדה שווה עבור מרחבים מטריים וגם את מושג הרציפות במדה שווה עבור חבורות טופולוגיות.
פונקציה רציפה ממרחב קומפקטי היא רציפה במידה שווה.
תכונה זו אינה מאפיינת מרחבים קומפקטיים.
מרחב מטרי שכל פונקציה רציפה ממנו (למרחב מטרי אחר) היא רציפה במידה שווה, נקרא מרחב Atsuji.
כל פונקציה רציפה מ- למרחב מטרי היא רציפה במידה שווה.
לכל שתי קבוצות סגורות זרות ב- יש מרחק חיובי.
לכל כיסוי פתוח של יש מספר לבג.
לפי משפט קושי, כל מרחב קומפקטי הוא Atsuji.
כל מרחב Atsuji הוא שלם.
בדומה לאפיון של מרחבים שלמים באמצעות משפט החיתוך של קנטור, אפשר לאפיין מרחבי Atsuji באופן הבא: מרחב מטרי הוא Atsuji אם ורק אם לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות שעבורה , יש נקודה משותפת; כאן .
במתמטיקה, פונקציה קעורה בקטע מסוים היא פונקציה אשר עבור כל שתי נקודות באותו הקטע, הישר המחבר בין שתי הנקודות נמצא מתחת לגרף הפונקציה.
אף על פי שעל פי ההגדרה הלשונית של המילים "קמור" ו"קעור", העקום המתקבל הוא קמור מלמעלה, בהגדרה המתמטית העקום נבחן מלמטה ולכן הוא מכונה פונקציה קעורה.
הגדרה: תהא פונקציה המוגדרת בקטע .