tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
בעזרת משוואות מקסוול ניתן להסביר מגוון רב של תופעות טבע, בהן התופעות החשמליות והמגנטיות שחלקן יפורטו בהמשך, אופטיקה גאומטרית (חוק סנל), התאבכות ועקיפה, ותופעות הקשורות בקיטוב (משוואות פרנל, שבירה כפולה, פעילות אופטית ועוד).
גם בתיאור הסמי־קלאסי של מכניקת הקוונטים נעשה שימוש במשוואות מקסוול כדי לתאר את האינטראקציה בין קרינה וחומר.
קיימות תופעות אותן לא ניתן להסביר בתיאור הסמי־קלאסי, כמו פליטה ספונטנית.
לכן פותחה אלקטרודינמיקה קוונטית, הנותנת משמעות ברורה למושג פוטון.
משוואות מקסוול מתקבלות כגבול של האלקטרודינמיקה הקוונטית עבור עצמת אור חזקה.
משוואות מקסוול נראות מעט שונות כאשר מדובר על תווך שעשוי מחומר דיאלקטרי.
חומר דיאלקטרי הוא חומר מבודד שמגיב באופן ליניארי לשדות שמופעלים עליו וכך גם משפיע עליהם.
מבחינה פורמלית, קיימים מקדם דיאלקטרי ומקדם מגנטיות לחומר, כך ש:
כאשר הוא שדה ההעתקה החשמלי, ו- שדה החוזק המגנטי, המושפעים ישירות מהקיטוב (פולריזציה) והמגנטיזציה של החומר בהתאמה.
משוואות מקסוול בתווך כזה משתנות בהתאם לשדות החדשים והקבועים ו־ לא מופיעים בהן (בגלל השימוש ב־ וב־):
כאשר ה־ מסמלת את צפיפות המטען החופשי ואת צפיפות הזרם החופשי, כדי להבדיל ממטען וזרם מושרים שנוצרים מתגובת החומר לשדות החיצוניים.
כאשר באים לפתור את משוואות מקסוול בתווך חומרי, בהינתן התפלגות של זרמים ומטענים, יש לדעת מהם תנאי השפה בנקודות אי הרציפות של החומר, למשל בשפה של סיב אופטי בה יש מעבר בין זכוכית וריק.
השדות הבסיסיים בריק במקרה זה הם ו־, בעוד שהשדות המושרים עקב תכונות החומר הם ו־ בהתאמה עבור השדה החשמלי והמגנטי.
בעזרת חוק גאוס ניתן להראות כי:
אם אין מטען על השפה שבין שני החומרים אז רכיב שדה ההעתקה החשמלי הניצב למשטח הוא רציף, אבל קיימת אי רציפות לרכיב השדה החשמלי הניצב למשטח משום שהוא תלוי במקדם הדיאלקטרי של החומר:
כאשר , , ו־ הם הרכיבים הניצבים לשפה של שדה ההעתקה החשמלי והשדה החשמלי, בהתאמה; ו־ הם המקדמים הדיאלקטריים היחסיים של שני התווכים.
אם אין מטענים חופשיים הרכיב הניצב למשטח של השדה המגנטי המושרה רציף.
בעזרת משפט סטוקס ניתן להראות כי:
הרכיב המקביל למשטח של השדה החשמלי רציף.
בהינתן שאין זרמים הרכיב המקביל למשטח של השדה המגנטי רציף.
ראו גם חוקי פרנל לתיאור של מקדמי ההחזרה והשבירה בשפה בין שני תווכים דיאלקטריים.
משוואות מקסוול מתארות חוקי טבע שהיו ידועים, לפחות בחלקם, לפני שמקסוול רשם את המשוואות.
החוקים עליהם מקסוול ביסס את המשוואות הם:
חוק קולון – תיאור השדה החשמלי כתלות במטען היוצר אותו
חוק גאוס – צורה גלובלית יותר של חוק קולון, שמתארת את השדה החשמלי כתלות בהתפלגות המטענים במרחב
חוק אמפר – תיאור השדה המגנטי כתלות בזרמים היוצרים אותו
חוק ביו-סבר – גרסה מקומית של חוק אמפר
חוק פאראדיי – מתאר את תופעת ההשראה האלקטרומגנטית
לאלו מקסוול הוסיף את משוואת הרציפות :, שמשמעותה היא ששינויים בצפיפות הזרם במרחב יכולים לנבוע אך ורק משינויים בצפיפות המטען, כלומר חוק שימור המטען החשמלי.
ביחידות cgs היחידה הבסיסית שמוגדרת היא המטען החשמלי (esu), וניסוחו של חוק קולון יהיה:
כלומר, המטען ביחידות cgs מוגדר כך שקבוע קולון הוא 1. כתוצאה מהגדרה זו השדה החשמלי והשדה המגנטי נמדדים שניהם באותה יחידה – גאוס.
משוואות מקסוול ביחידות cgs נראות כך:
שיטה זו מדגישה את הסימטריה במשוואות מקסוול, ולכן לרוב היא מועדפת כאשר עוסקים בפיתוחים תאורטיים.
לעומת זה שיטת היחידות של SI מבוססת על היחידה הבסיסית של הזרם – אמפר, שלרוב הוא הגודל הנמדד באופן ישיר, ולכן השיטה מועדפת בעת עריכת ניסויים או תכנון מערכות מעשיות.
בחומר בעל מקדם דיאלקטרי ומקדם מגנטיות כך ש:
משוואות מקסוול במונחי הזרמים והמטענים החופשיים הן:
בתורת היחסות מאחדים את השדה החשמלי והשדה המגנטי לישות טנזורית הנקראת טנזור השדה האלקטרומגנטי המוגדר על ידי:
כאשר הוא 4-וקטור הפוטנציאל האלקטרומגנטי.
בצורה זו ניתן לרשום את 4 משוואות מקסוול כ־2 משוואות יחסותיות קו־ואריאנטיות:
המשוואה העליונה שקולה ל־2 משוואות מקסוול ההומוגניות.
המשוואה התחתונה שקולה ל־2 משוואות מקסוול הלא־הומגוניות (כלומר, עם מטענים וזרמים חשמליים).
מ־2 משוואות אלה נגזרות עוד 2 משוואות חשובות:
(משוואת רציפות של המטענים והזרמים החשמליים)
באנליזה מרוכבת ואנליזה הרמונית, משוואות קושי-רימן הן צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות, שאותן מקיימים שני הרכיבים (הממשי והמרוכב) של כל פונקציה אנליטית מרוכבת.
בכיוון ההפוך, אם הפונקציות הממשיות הן דיפרנציאביליות ומקיימות את המשוואות, אז היא פונקציה אנליטית.
תנאי זה לאנליטיות של נקרא תנאי קושי-רימן.
תהא פונקציה מרוכבת, אז ניתן לכתוב אותה כסכום של שתי פונקציות ממשיות : .
משוואות קושי-רימן הן שתי המשוואות הדיפרנציאליות הבאות:
תנאי קושי-רימן לגזירות מנוסח באופן הבא:
פונקציה גזירה בנקודה אם ורק אם ו־ רציפות בסביבת הנקודה , הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות בנקודה זו ומשוואות (1) ו-(2) לעיל מתקיימות בנקודה זו.
משוואות (1) ו-(2) לעיל נובעות ממשוואת קושי-רימן ההומוגנית:
כך שאם נציב את במשוואה האחרונה, נקבל את המשוואות הקודמות.
ניסוח זה נוח במיוחד כאשר רוצים לבדוק את קיום תנאי קושי-רימן אצל פונקציות שקשה להפריד אותן לחלק ממשי ולחלק מדומה, למשל: .
כמו כן, אם נשתמש בקשרים ונפעיל את כלל השרשרת על משוואת קושי-רימן ההומוגנית, נקבל את התנאי , שהוא בפני עצמו מעיד על אנליטיות של פונקציה.
כלומר אם הנגזרת של f לפי מתאפסת רק בנקודות מסוימות, אנחנו כבר יודעים שהפונקציה f היא אנליטית אך ורק בנקודות אלה.
בנוסף, אם היא אנליטית, אז גם היא אנליטית.
נשים לב שעם ההגדרה הנ"ל עבור ו־ ניתן להגדיר את אופרטורי הגזירה הבאים:
ובדרך זו מקבלים ביטוי לאופרטור לפלס בשני משתנים: .
כלומר, פונקציה מרוכבת המקיימת את משוואות קושי-רימן בנקודה מסוימת מקיימת את משוואת לפלס באותה נקודה.
ממשוואות קושי-רימן ניתן להסיק כי קווי הגובה של הפונקציות הם אורתוגונליים, כי המכפלה הסקלרית של הגרדיאנטים של מתאפסת:
מהוכחת משוואות קושי-רימן ניתן גם לקבל את ערך הנגזרת של הפונקציה.
בשל הקשר בין הנגזרות החלקיות שבא לידי ביטוי במשוואות קושי-רימן, די בשתיים מהנגזרות החלקיות כדי לבטא את הנגזרת בשלמותה.
ביטוי אחד לנגזרת הוא .
כמו כן, אם נתונה לנו למשל הפונקציה u והיא הרמונית בתחום מסוים, אז ניתן לקבל על ידי משוואות קושי-רימן את הפונקציה v, שתיקרא ההרמונית הצמודה של u, ולכן נוכל לקבל גם את הפונקציה f, שתהיה אנליטית בתחום ההרמוניות של u ו-v.
תנאי קושי רימן בייצוג קוטבי:
תהא פונקציה מרוכבת בייצוג קוטבי, אז ניתן לכתוב אותה כסכום של שתי פונקציות ממשיות : .
במקרה זה ניתן להמיר את תנאי הגזירות של בייצוג האלגברי לקוטבי כך:
בצורה מוכללת יותר, לכל ייצוג קוטבי מהצורה (על פי דה מואבר) תנאי הגזירות יהיו:
נגדיר קירוב ליניארי ל־f ונחשב את :
(קל להשתכנע בקיומו של קירוב זה מטור טיילור)
נשים לב כי , ולכן נוכל לרשום
נגדיר את אופרטורי הגזירה הבאים:
קל לראות שהביטוי לא מוגדר (פשוט באמצעות בדיקת הגבול פעם כשהחלק הממשי שווה לאפס והמדומה שואף לאפס, ופעם כשהחלק המדומה שווה לאפס והממשי שואף לאפס, שמניבים תוצאות שונות), לכן הביטוי כולו מוגדר אם ורק אם , כלומר , ומהשוואת החלקים המדומה והממשי נקבל
משוואה ממעלה שנייה או משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה כאשר הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים).
מבחינה גאומטרית, מציאת הפתרון שקולה למציאת חיתוכי הפרבולה עם הישר .
לרקע היסטורי ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות.
נוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית
הפתרונות למשוואה הריבועית הם .
את הפתרון מקבלים על ידי השלמה לריבוע: כפל ב- והוספת הדיסקרימיננט לשני האגפים, מביא את המשוואה לצורה .
לאחר הוצאת שורש ריבועי מתקבלים הפתרונות .
אם a קטן, אפשר לשם הדיוק הנומרי להשתמש בנוסחה , המתקבלת מהנוסחה המקורית על ידי הכפלת המונה והמכנה בצמוד.
בחישוב נומרי אפשר לפתור את המשוואה באמצעות שיטת מולר.
כאשר מקדמי המשוואה הם ממשיים, מספר הפתרונות הממשיים תלוי בדיסקרימיננטה: אם היא גדולה מאפס, יש שני פתרונות.
אם היא שווה לאפס, יש פתרון יחיד (אבל כפול), ואם היא קטנה מאפס, אין פתרון ממשי, אבל יש פתרונות מרוכבים.
מקרה פרטי של משפט ויאטה, הקרוי על שמו של המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט, מציג קשר בין שני שורשיה של משוואה ריבועית.
כאשר נתונה המשוואה הריבועית הכללית
ושורשיה הם , הרי מתקיים הקשר הבא:
קל להוכיח קשר זה על בסיס נוסחת השורשים המופיעה לעיל.
משפט ויאטה נותן טכניקה נוספת לפתרון משוואה ריבועית, ובמשוואות פשוטות (כאלה שמקדמיהן הן מספרים שלמים קטנים) הוא מאפשר להגיע אל הפתרון בצורה מיידית.
בנוסחאות אלה אפשר להשתמש גם כדי לבדוק מתי שורשי המשוואה שוני סימן, שווי סימן, חיוביים ושליליים.
התנאים שוני סימן שווי סימן שניהם חיוביים שניהם שליליים
משוואות פרידמן הן משוואות דיפרנציאליות המתארות את התפשטות היקום כתלות בצפיפות היקום (הצפיפות הכוללת של טנזור המאמץ-מסה-אנרגיה).
קרויות על שם אלכסנדר פרידמן, שגילה אותן בשנת 1922.
משוואות אלה נובעות מהצבת מטריקת פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר
של יקום הומוגני ואיזוטרופי במשוואות איינשטיין של תורת היחסות הכללית.
משוואות פרידמן הן זוג משוואות דיפרנציאליות המתאר את התפתחותו של פרמטר הסקלה של היקום כתלות בזמן.
כאשר הוא הקבוע הקוסמולוגי של איינשטיין, היא צפיפות המסה-אנרגיה הרגילה ו־P הוא הלחץ.
הגודל מבטא את העקמומיות של היקום ויכול לקבל אחד מ-3 ערכים: 1+ (יקום כדורי), 1- (יקום היפרבולי) ו-0 (יקום שטוח).
מצמד משוואות אלה אפשר להסיק משוואה שלישית שימושית:
משוואה זו מבטאת שימור אנרגיה.
כדי לפתור משוואות אלו יש לדעת את משוואות המצב של היקום (אלה משוואות המקשרות בין הלחץ לצפיפות, והן נובעות מהפיזיקה של היקום) וכן את ערכי הפרמטרים (עקמומיות היקום) ו־ (צפיפות היקום).
הגודל נקרא קבוע האבל (אף על פי שהוא משתנה בזמן).
פרמטר הצפיפות , המסומן באות היוונית אומגה , הוא היחס בין צפיפות החומר הממוצעת ביקום לצפיפות הקריטית (Critical density), גודל הניתן לחישוב.
גודלו של פרמטר הצפיפות קובע את צורת היקום מבחינת הגאומטריה שלו.
אם גודלו גדול מ-1, הגאומטריה ספירית; אם גודלו קטן מ-1; הגאומטריה היפרבולית; ואם גודלו שווה ל-1, הגאומטריה שטוחה.
ללא קיומה של אנרגיה אפלה, גאומטריה ספירית שקולה ליקום סגור הגדל עד לגודל מסוים ואז מתחיל להתכווץ.
כיום ידוע על קיומה של אנרגיה אפלה, ועל כן אפשרות זו של יקום מתכווץ בעתיד הרחוק לא תיתכן.
מדידות עקיפות מראות שגודלו של פרמטר הצפיפות הוא 1 או קרוב מאוד ל-1.
משוואות לוטקה-וולטרה (Lotka Volterra) הן צמד משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות המתארות מודל מפורסם של התנהגות אוכלוסיות טורף-נטרף.
המשוואות הוצגו (באופן בלתי תלוי) על ידי אלפרד לוטקה, ועל ידי ויטו וולטרה בשנות העשרים של המאה העשרים.
המודל מתאר אוכלוסיות של שני מיני בעלי חיים - טורפים (דוגמת שועלים) ונטרפים (דוגמת ארנבות).
נסמן את כמות הנטרפים ב-x ואת כמות הטורפים ב-y.
אוכלוסיית הנטרפים מתרבה בקצב ונטרפת על ידי הטורפים בקצב .
הטורפים מתים בקצב ומתרבים בקצב כתוצאה מטריפה.
השינוי באוכלוסיית הטורפים והנטרפים מתואר לפיכך על ידי המשוואות הבאות:
הזאבים יתרבו ויקטינו את אוכלוסיית הארנבות.
המודל המתואר על ידי משוואות לוטקה-וולטרה סובל ממספר בעיות (שהעיקרית שבהן אי עמידות בפני רעשים) והוא פשטני מכדי להוות מודל ריאליסטי להתנהגות אוכלוסיות בעלי-חיים בטבע.
למרות זאת יש למודל חשיבות רבה בתחום הדינמיקה של אוכלוסיות.
הוא מהווה בסיס למחקרים רבים וזכה למגוון רב של הרחבות.
משוואות לוטקה-וולטרה תלויות בארבעה פרמטרים , אך ניתן לבצע rescaling ולהגדיר:
למשוואות אלו יש משמעות רק עבור כיוון שכמות בעלי החיים אינה יכולה להיות שלילית.
למשוואות אלו שתי נקודות שבת - .
ניתוח יציבות ליניארית מראה כי נקודת השבת (0,0) היא נקודת אוכף.
בפועל נקודה זו משמשת כ-absorbing state, כלומר, אם מאיזשהי סיבה נוצר מצב בו u=0 (הכחדה של הנטרפים) אזי גם (גם הטורפים יכחדו בהיעדר טרף לאכילה).
המערכת תשאף למצב (u,v) = (0,0) והיא 'תתקע' בו ללא יכולת לצאת.
מצד שני אם מאיזשהי סיבה v=0 נקבל (אוכלוסיית הנטרפים תגדל ללא הגבלה כאשר אין טורפים).
לנקודת השבת (1,1) יציבות נטרלית (החלק הממשי של הערכים העצמיים של מטריצת היעקוביאן של מערכת המשוואות הליניארית המתאימה מתאפס, והחלק המדומה לא).
באופן כללי נקבל אוסילציות סביבה (למעט אם מתחילים עם u=0 או v=0).
למציאת צורת המסלול במישור (u,v) ניתן להיעזר בגודל
המהווה גודל שמור, ולפיכך המסלולים במישור (u,v) הם קווי גובה שלו.
כמו כן, קיומו של גודל זה מלמד כי האוסצילציות אינן limit cycle.
למודל לוטקה-וולטרה (Lotka Volterra) יישומים גם בתחומים נוספים כמו שיווק וכלכלה.
ניתן לתאר בעזרתו את הדינמיקה בשוק שבו פעילים כמה מתחרים, פלטפורמות ומוצרים משלימים, כלכלה שיתופית ועוד.
ישנם מצבים בהם אחד המתחרים דוחק את האחרים ומצבים אחרים בהם נוצר שיווי משקל כאשר כל פירמה מתייצבת על נתח השוק שלה.
ניתן גם לתאר מצבים בהם ישנם בענף שינויים מחזוריים או מצבים כאוטיים בהם לא נוצר שיווי משקל.
משוואה עם נעלם הוא ספרו השני של אורי אדלמן.
הספר ראה אור בשנת 1998 בהוצאת כתר.
עלילת הספר מסופרת דרך עיניו של גיל שדה, דוקטורנט למשפטים המתגורר בארצות הברית.
את שירותו הצבאי עשה שדה כמפקד כיתה ביחידת חי"ר.
לאחר שחרורו עבד שדה כמאבטח באל על והוא מיומן בקרב מגע ובשימוש באקדח.
הודעה מוזרה שמשאיר אחיו במשיבון גורמת לו לשוב לישראל, ולנסות לברר לאן נעלם אחיו הצעיר יובל, בעברו קצין ביחידה מובחרת, אשר הוא אסיר במתקן הכליאה "דורות", שבועיים לפני תום תקופת מאסרו בת השנתיים.
בשובו ארצה מגלה גיל גופה של נערת ליווי במטבח ביתו בתל אביב.
הוא מתקשר לחברו, עורך הדין רון רפפורט, בנו של זכריה רפפורט שהוא עו"ד מפורסם המייצג את הצמרת הביטחונית בארץ.
יחד הם מזעיקים את המשטרה שמטילה צו איסור פרסום על המקרה.
בדרך זו הוא מגלה דברים שלא ידע על אביו, עמוס, בכיר במוסד שנאלץ לפרוש לאחר תקלה מבצעית חמורה בה היה מעורב, ונהרג בתאונת דרכים מסתורית לה היה יובל אחראי כביכול.
במהלך החקירה פוגש שדה בהילה צלמת המסייעת לו, ומתאהב בה.
בחקירתו מוצא עצמו שדה מתמודד מול פרשת ריגול בת שלושים שנים מחד ומול פרשת רצח סבוכה מן ההווה.
משוואה מעריכית היא משוואה שבה המשתנה מופיע במעריך של חזקה (ייתכן שהמשתנה יופיע גם בבסיסה).
במקרים רבים, פתרונות של משוואות כאלו מסתמכים על העובדה שכאשר מתקיים שוויון בין שני ביטויים בחזקה כלשהי אזי במידה והמעריכים שווים, הבסיסים שווים גם הם, ולהפך, כאשר הבסיסים שווים, המעריכים שווים גם הם.
יוצאי דופן הם הבסיסים 0 ו-1 והמעריך 0. כמו כן, כאשר המעריכים שווים, הבסיסים יכולים להיות שונים בסימן.
בחלק מן המשוואות המעריכיות נעשה שימוש גם בלוגריתמים (log) או בלוגריתם הטבעי (ln) למציאת ערכו של המעריך.
משוואות נאווְיֵה-סטוקס מתארות תנועה של זורם צמיג כמו נוזל או גז.
המשוואות נקראות על שם מפתחיהן קלוד לואי נאוויה וג'ורג' גבריאל סטוקס.
הן נובעות מפיתוח של החוק השני של ניוטון, ומההנחה כי המאמצים בזורם נובעים מהפרש הלחצים בזורם ומצמיגות הזורם.
המשוואות הן בעלות חשיבות גדולה, מכיוון שהן שימושיות ונפוצות בתחומים רבים, כגון מידול מזג האוויר וזרמים בים, זרימה בצנרת, וזרימה מסביב כנף של מטוס.
יתר על כן, ישנו עניין במשוואות מבחינה מתמטית, שכן טרם הוכח שקיים להן תמיד פתרון (מד"ח עם מקדמים לא קבועים, קוואזי ליניאריות, בשלושה ממדים), וכן לא הוכח שבאופן כללי פתרונות המשוואה אינם סובלים מסינגולריות או אי רציפויות.
בעיות אלו הוכרזו על ידי מכון קליי למתמטיקה כאחת משבע הבעיות הפתוחות החשובות ביותר במתמטיקה, ואף הוצע פרס כספי בשווי של 1,000,000 דולרים לחוקר שיצליח להוכיח טענה זו.
הפרכת הטענה, לעומת זאת, לא תזכה בפרס המדובר, שכן לשם מציאת מקרה המפריך את הטענה ניתן להשתמש במחשב.
משוואות נאוויה-סטוקס הן משוואות דיפרנציאליות.
הנחת היסוד של המשוואות היא שהזורם הוא רציף, והן פותחו מתוך עקרונות בסיסיים של שימור מסה, שימור תנע ושימור אנרגיה.
פתרון המשוואות הוא שדה מהירות שהוא תיאור של מהירות הזורם בכל נקודה במרחב ובזמן.
מתוך שדה המהירות ניתן לחשב גדלים פיזיקליים אחרים.
בכתיב וקטורי, הצורה הכללית ביותר של המשוואות היא:
כאשר הוא צפיפות הזורם, הוא וקטור המהירות, t הוא הזמן, p הוא הלחץ, מייצג את הכוחות החיצוניים הפועלים במערכת (כמו כוח הכבידה או כוחות צנטריפוגליים), היא הצמיגות, היא הצמיגות השנייה, ו- הוא טנזור הנגזר מתוך טנזור המאמצים , והמקיים את הקשר:
המשוואות עבור זורם ניוטוני בלתי דחיס
עבור זורם ניוטוני בלתי דחיס ומתוך משוואת הרציפות - דיברגנץ המהירות מתאפס , כמו גם הוא מאמץ הגזירה .
כתוצאה מכך מתקבלת הכללה למעשה של החוק השני של ניוטון עבור זורם רציף, ולכל אחד מהאיברים ניתן לשייך משמעות פיזיקלית מוגדרת:
פתרון המשוואות נעשה בהינתן תנאי ההתחלה ותנאי השפה של הבעיה.
משוואות נאוויה-סטוקס הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא-ליניאריות בכמעט כל מצב ריאלי, חוץ מכמה מקרים בודדים - כגון זרימה חד־ממדית וזרימה זוחלת - בהם ניתן לפשט את המשוואה לצורה ליניארית.
העובדה שהמשוואות אינן ליניאריות היא הסיבה העיקרית לקושי בפתרונן.
עבור נוזל ניוטוני בלתי דחיס האיבר הלא ליניארי היחיד הוא איבר ה"הסעה" שמייצג תאוצה שנגרמת משינוי המהירות כפונקציה של המקום.
דוגמה למקרה כזה היא מעבר זורם דרך זרבובית הולכת וצרה.
במקרה זה מהירות הנוזל גדלה עם ההתקדמות בזרבובית, אך אף על פי שהמהירות של כל חלקיק יחיד תלויה בזמן, שדה המהירות קבוע בזמן.
יחד עם משוואות משלימות (לדוגמה, משוואת הרצף) ותנאי שפה מנוסחים היטב, משוואות נאוויה-סטוקס מסוגלות למדל תנועה זורמת באופן מדויק, תחת ההנחה של זורם רציף (שאפשר לגזור אותו אינסוף פעמים ואינו מורכב מאטומים או מולקולות בדידות) וניוטוני (צמיגות קבועה).
כאשר מדובר בקנה מידה קטן מאוד או תחת תנאים קיצוניים, נוזלים אמיתיים העשויים ממולקולות בדידות יפיקו תוצאות שונות מאלו המחולצות מהמשוואה.
בהתאם למספר קנודסן, ייתכן כי גישה מתאימה יותר לפתרון שדה הזרימה היא שימוש במכניקה סטטיסטית או לעיתים רחוקות בדינמיקה מולקולרית.
עבור נוזלים טורבולנטיים קשה יותר לקבוע בוודאות שהמשוואות מהוות מידול מדויק עבור שדה הזרימה, אך לרוב התוצאות המתקבלות על ידי שימוש במשוואות מתאימות לתצפיות ניסויות.
הפתרון הנומרי של משוואות נאוויה-סטוקסל עבור זרימה טורבולנטית היא קשה מאוד, וצורך רזולוציית רשת קטנה במיוחד כאשר ממדלים את הבעיה בעזרת מחשב, מה שגורם לכך שקשה עד בלתי אפשרי להגיע לפתרון.
ניסיונות לפתור את הזרימה הטורבולנטית באמצעות מידול למינרי מביאים בדרך כלל לפתרון לא יציב בזמן, אשר לא מצליח להתכנס כראוי.
על מנת להתמודד עם בעיה זו, לעיתים נעשה שימוש במשוואות שלוקחות בחשבון זמן ממוצע - כגון משוואות נאוויה-סטוקס עם מיצוע של מספר ריינולדס (RANS) - בתוספת דגמים טורבולנטיים, עבור דינמיקה חישובית של נוזלים (CFD).
טכניקה נוספת לפתרון הבעיה היא שימוש ב-Large Eddy Simulation, או בקצרה LES (ראה ערך באנגלית).
גישה זו יקרה יותר מאשר שיטת RANS (בזמן ובזיכרון מחשב), אבל מייצרת תוצאות טובות יותר.
כשאנו מתייחסים לווקטור המהירות כאל (כאשר u,v,w מייצגים את רכיבי המהירות בכיוון הצירים של המערכת), נוכל להפריד את המשוואה הווקטורית לשלוש משוואות סקלריות.
יצוין שgx, gy, gz תלויים באוריינטציה של התאוצה הגרוויטציונית במערכת הצירים אותו אנו בוחרים.
משוואת הרציפות בקואורדינטות קרטזיות היא:
תחת ההנחה של נוזל בלתי דחיס - קבוע - וההנחה של זרימה תמידית, שגוררת את ההתאפסות של הנגזרות לפי הזמן, נוכל לפשט את משוואת הרצף למשוואה:
המערכת של ארבע המשוואות הללו מהווה את הצורה הכי שכיחה ונלמדת של משוואות נאוויה-סטוקס.
שימוש בקואורדינטות גליליות יתן לנו את מערכת המשוואות הבאה:
לרוב נבחר את מערכת הצירים כך שרכיבי התאוצה הגרווטציונית יהיו קבועים - הן על ידי בחירת ציר z כך שיהיה בכיוון הגרוויטציה והן על ידי בחירת מערכת הצירים כך שכח המשיכה יתבטל עם כוח הנובע מהפרש לחצים.
נוח מאוד לקבוע את מערכת הצירים כך שהמערכת תהייה אקסי-סימטרית.
במקרה זה אין למשוואות תלות בזווית .
משוואות נאוויה-סטוקס בקואורדינטות כדוריות הם:
כאשר היא קו הרוחב, ו- היא האזימוט.
השפעת מספר ריינולדס של הנוזל על המשוואות
מספר ריינולדס הוא גודל חסר ממד, המבטא את היחס בין כוחות האינרציה של הזורם לבין כוחות החיכוך הפועלים בין הזורם לסביבה.
אם לזורם יש מספר ריינולדס גדול, אזי כוחות האינרציה של הזורם גדולים יחסית מהכוחות שנובעים מצמיגותו של הגוף, וניתן להזניח את האיברים במשוואת נאוויה-סטוקס התלויים בצמיגות.
מאידך, נוזל עם מספר ריינולדס קטן במיוחד יושפע הרבה יותר מצמיגותו מאשר מכוחות האינרציה, וניתן להזניח את כל איברי המשוואה התלווים ב-, המהווים את כלל האיברים מצדו השמאלי של השוויון.
להלן רשימה של כמה הנחות אשר מפשטות את משוואות נאוויה סטוקס, ובכך גורמות לכך שיהיה יותר קל למצוא פתרון אנליטי או נומרי.
הנחה משמעות מתמטית הסבר זרימה תמידית הזורם התייצב במצב מתמיד אחרי זמן יחסית ארוך, כך שכבר אינו משתנה כפונקציה של הזמן.
זרימה מפותחת בכיוון המהירות אינה מושפעת מאפקטי הקצוות של הבעיה הנתונה, ונשארת קבועה בכיוון .
יש לציין כי הנחה זו אינה תקפה עבור פרופיל הלחץ.
אקסיסימטריות (עבור משוואת נאוויה סטוקס בקואורדינטות גליליות) - המהירות והלחץ אינם משתנים בכיוון המשיקי, זאת אומרת שאין שינוי בלחץ ובמהירות כתלות בזווית .
דו-ממדיות הערכים בבעיה תלויים בשני ממדים בלבד וקבועים לאורך הכיוון השלישי.
כמו כן, אין מהירות בכיוון זה.
בחשבון וריאציות, משוואת אוילר לגראנז' היא משוואה דיפרנציאלית שפתרונותיה הם פונקציות שעבורן הפונקציונל סטציונרי (בנקודת אקסטרמום).
המשוואה פותחה על ידי המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר ועל ידי המתמטיקאי האיטלקי-צרפתי ז'וזף לואי לגראנז' בשנות ה-50 של המאה ה-18.
מכיוון שפונקציונל גזיר סטציונרי בנקודות הקיצון המקומיות שלו, משוואת אוילר לגראנז' שימושית במיוחד בפתרון בעיות אופטימיזציה, שהן בעיות שמחפשות את הפונקציות עבורן פונקציונל נתון מקבל את ערכו המזערי או המרבי.
הדבר דומה למשפט פרמה בחשבון דיפרנציאלי, לפיו פונקציה גזירה מקבלת ערכים מרביים או מזעריים בנקודת בהן הנגזרת שלה מתאפסת.
במכניקה אנליטית (במכניקה לגראנז'ית ליתר דיוק), עקרון המילטון גורס כי מערכת פיזיקלית תנוע במסלול בו הפעולה תהיה סטציונרית.
לכן, תנועתה של מערכת פיזיקלית מתוארת על ידי משוואת אוילר לגראנז' עבור הפעולה שלה.
עיקרון זה ידוע בשם "עקרון הפעולה המינימלית".
במכניקה קלאסית, משוואת אוילר-לגראנז' שקולה לחוקי התנועה של ניוטון, אולם יש לה את היתרון של השימוש בקואורדינטות מוכללות, ולכן קל יותר לערוך בעזרתה הכללות.
משוואת אוילר-לגראנז' פותחה בשנות ה-50 של המאה ה-18 על ידי אוילר ולגראנז', בהקשר של התעסקותם בבעיית הטאוטוכרון (בעיה העוסקת במציאת העקום עבורו הזמן הלוקח לגוף להחליק ללא חיכוך תחת השפעת כבידה אחידה, עד לנקודת הקצה, איננו תלוי בנקודת ההתחלה).
לגראנז' פתר את הבעיה ב-1755 (יצוין כי לגראנז' לא היה הראשון; הויגנס פתר אותה כבר ב-1659), ושלח את פתרונו לאוילר.
יחד פיתחו השניים את השיטה של לגראנז' ויישמו אותה גם במכניקה, מה שהוביל לניסוח הפורמליזם של המכניקה הלגראנז'יאנית.
יתר על כן, חליפת המכתבים ביניהם הביאה בסופו של דבר למה שנקרא חשבון וריאציות.
משוואת אוילר-לגראנז' היא משוואה דיפרנציאלית (או מערכת של משוואות כאלה), שפתרונה הוא פונקציה ממשית q, המביאה את פונקציונל מהצורה
כאן היא פונקציה ממשית גזירה בקטע .
מניחים את תנאי השפה , הקובעים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע.
פורמלית, L היא פונקציה ממשית עם נגזרות חלקיות ראשונות רציפות:
, כאשר TX הוא האגד המשיק של X (המרחב של הערכים האפשריים של נגזרות הפונקציות בעלות הערכים ב-X); ו- q′ היא הנגזרת של q:
תרגום בעיית הקיצון הזו למשוואה דיפרנציאלית נותן
אם המימד של המרחב X גדול מ-1, מתקבלת מערכת של משוואות דיפרנציאליות, אחת עבור כל רכיב:
בעיה: מהי הפונקציה f בתחום [a,b] שערכיה בקצה נתונים, , כך שאורך הגרף המתאר את הפונקציה הוא הקצר ביותר?
אורכה של עקומה בין שני קצוות נתון על ידי .
נסמן את האינטגרנד (הפונקציה עליה מחושב האינטגרל) ב-L: .
נחשב את הנגזרות המופיעות במשוואת אוילר-לגראנז':
לכן, הביטוי הוא קבוע, ולכן נגזרת הפונקציה המבוקשת קבועה.
פונקציה שנגזרתה קבועה היא קו ישר, וזוהי הוכחה וריאציונית לעובדה הגאומטרית הידועה, שקו ישר הוא העקום הקצר ביותר המחבר שתי נקודות במישור.
תנועתו של חלקיק הנע בשדה כוח משמר (למשל, שדה כובד) נקבעת על ידי הדרישה שהפעולה תהיה סטציונרית, וזאת לפי עיקרון המילטון.
הפעולה עבור מערכת זו מתוארת על ידי:
כאשר הוא מיקומו של החלקיק בזמן t, ו- היא הנגזרת של x לפי הזמן, או מהירותו.
L הוא הלגראנז'יאן של המערכת - ההפרש בין האנרגיה הקינטית לאנרגיה הפוטנציאלית:
כאשר היא מסת החלקיק, הוא רכיב המהירות ה-i במערכת קואורדינטות קרטזיות, ו- היא האנרגיה הפוטנציאלית המתאימה לכוח המשמר.
במקרה זה, הלגראנז'יאן איננו תלוי בארגומנט הראשון שלו - הזמן.
לפי משפט נתר, סימטריה שכזו של הלגראנז'יאן מתאימה לחוק שימור כלשהו.
במקרה הספציפי דנן, האינוואריאנטיות של הלגראנז'יאן ביחס לזמן מלמדת על שימור אנרגיה.
נמצא כעת את הנגזרות החלקיות:
כאשר הכוח הוא , ו- הוא התנע.
הצבת אלו במשוואת אוילר-לגראנז' שקיבלנו, תניב מערכת של משוואות דיפרנציאליות מסדר שני עבור הקואורדינטות המתארות את מסלול החלקיק:
בכתיב וקטורי, נקבל כי: או , שהוא החוק השני של ניוטון.
תורות הנוגעות לשדות, כמו תורת השדות הקלאסית ותורת השדות הקוונטית, עוסקות בקואורדינטות רציפות, וכמו במכניקה קלאסית, יש להן את משוואת אוילר-לגראנז' המתארת את התנועה בשדה:
הכללת המשוואה לממדים גבוהים יותר מגיעה מתוך התבוננות בפונקציה בעלת n משתנים.
אם Ω הוא משטח כלשהו, אז
נמצא בנקודת קיצון אם הפונקציה f מקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית
כאשר n=2 ו-L הוא פונקציונל האנרגיה, ניתן לקבל את בעיית שטח הפנים המינימלי .
משוואה פרמטרית היא משוואה התלויה בפרמטר.
בעוד שמשוואה רגילה קושרת משתנה אחד או יותר באופן קבוע, במשוואה פרמטרית הקשר הזה תלוי בפרמטר, העשוי להשפיע על תכונות גאומטריות ואף טופולוגיות של היריעה שהמשוואה מתארת.
לדוגמה, המשוואה הפרמטרית , עם הפרמטר והמשתנים , מתארת מעגל בעל רדיוס כאשר , ומתארת נקודה כאשר .
אין הבדל פורמלי בין משוואה פרמטרית לבין משוואה בכמה משתנים: אפשר לראות בפרמטר משתנה נוסף במשוואה, ולהפך, לראות באחד המשתנים של משוואה פרמטר, המצמצם את ממדה.
משוואות הקצב של איינשטיין הן משוואות המקשרות בין שלושת התהליכים של אינטראקציה של חומר עם קרינה אלקטרומגנטית (כגון אור), שהם פליטה ספונטנית, פליטה מאולצת ובליעת אור.
אלו משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון עבור קצב התהליכים השונים כתלות בזמן, התלויות גם בטמפרטורה, בתדר הקרינה ובמקדמי איינשטיין, שהם קבועים במשוואות התלויים בחומר ובמעברי האנרגיה הנידונים.
חומר וקרינה אלקטרומגנטית יכולים להחליף אנרגיה זה עם זה באמצעות בליעה או פליטה של פוטון (חלקיק של קרינה אלקטרומגנטית), על ידי אלקטרון שעובר בין רמות אנרגיה בחומר.
קיימים שלושה מנגנונים עיקריים המקיימים את האינטראקציה:
בליעת אור - בליעה של פוטון גורמת לאלקטרון לעלות מרמת האנרגיה שבה הוא נמצא במנוחה אל רמת אנרגיה גבוהה יותר, השווה לאנרגיה של הרמה הנמוכה ועוד אנרגיית הפוטון.
פליטה ספונטנית - שבה האלקטרון נופל לרמת האנרגיה הנמוכה תוך פליטת פוטון באנרגיה השווה להפרשי הרמות.
פליטה מאולצת - שבה פוטון באנרגיה השווה להפרשי האנרגיה בחומר גורם לנפילה מזורזת של האלקטרון ולפליטת פוטון בעל אותה אנרגיה; התופעה הזו היא הבסיס ללזירה.
משוואות הקצב של איינשטיין הן משוואות פנומנולוגיות המתארות את הקצב בו מתרחשים תהליכים אלה, בתלות במאפיינים של החומר הנקראים "קבועי הקצב" או "מקדמי איינשטיין" ובתכונות השדה האלקטרומגנטי החיצוני.
במקרה שבו המערכת הנדונה נמצאת בשיווי משקל תרמודינמי, משוואות אלו מאפשרות לקבל את יחסי איינשטיין המקשרים בין קבועי הקצב.
לצורך הפשטות נתאר מודל של אטום כמערכת בעלת שתי רמות אנרגיה: רמה נמוכה "" ורמה גבוהה "".
נסמן את כמות האטומים במערכת "" באשר היא כמות האטומים הנמצאים ברמה הנמוכה ו- כמות האטומים הנמצאים ברמה הגבוהה.
נסמן באות את צפיפות האנרגיה של הקרינה האלקטרומגנטית.
נסמן את קצב שינוי כמות האטומים ברמה מסוימת באות "": באשר הסימן השלילי מסמן כי כמות האטומים ברמה מסוימת קטנה עקב מעבר אטומים לרמה האחרת.
קצב הפליטה הספונטנית פרופורציוני לכמות האטומים שברמה הגבוהה, ואינו תלוי בגורמים חיצוניים.
נסמן את קבוע הפרופורציה, הוא קבוע הקצב, "", וכך, כאשר הוא קצב הפליטה הספונטנית, משוואת הקצב היא
קצב הפליטה המאולצת פרופורציוני לכמות האטומים שברמה הגבוהה וכן תלוי בצפיפות האנרגיה של השדה האלקטרומגנטי, שכן השדה האלקטרומגנטי מאלץ את האטום בהתאם לתדירותו.
נסמן את קבוע הפרופורציה "", וכך, כאשר קצב הפליטה המאולצת, משוואת הקצב היא
קצב הבליעה פרופורציוני לכמות האטומים שברמה הנמוכה וכן תלוי בצפיפות האנרגיה של השדה האלקטרומגנטי, נסמן את קבוע הפרופורציה "", וכך, כאשר קצב הבליעה, משוואת הקצב היא
אם המערכת נמצאת בשיווי משקל תרמודינמי, אזי כמות סך הבליעה והפליטה של האטומים משתוות ולכן
ומצד שני, לפי חוק פלאנק מתקיים
בהינתן שלפי התפלגות בולצמן מתקיים , באשר הוא הניוון של הרמה ה-, לאחר פישוטים מתמטיים מתקבל
ולכן, על סמך השוואת מקדמים, מתקבלים יחסי איינשטיין:
משוואות איינשטיין משמשות, למשל, לתיאור מתמטי של מגבר אופטי.
בעזרת יחסי איינשטיין ניתן לפתח את חוק בר-למברט וכן משוואות נוספות הנוגעות למעבר אור בחומר, למשל משוואות המתארות רוויה של לייזר.
עבור חומר שזמן החיים שלו ברמה העליונה הוא , נפלטים פוטונים ביחידת זמן, ולכן מקדם איינשטיין לפליטה ספונטנית הוא .
במקרים מסוימים קל יותר למדוד את מקדמי איינשטיין האחרים, מקדם הפליטה המאולצת של חומר שהוא בסיס ללייזר, וכך, בעזרת יחסי איינשטיין, למצוא את זמן החיים של החומר ברמה העליונה.
עם זמן החיים ניתן לחשב, למשל, את רוחבה של ההרחבה הטבעית של החומר.
בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור בפרמטריזציה טבעית, משוואות פרנה (Frenet) הן משוואות דיפרנציאליות המתארות את השינוי של הווקטור המשיק לעקומה והווקטור הנורמל לו, כתלות בעקמומיות העקומה.
חשיבותן של משוואות אלה היא שבהינתן תנאי התחלה ופונקציית עקמומיות רגולרית, ניתן לשחזר את העקומה באופן גלובלי באמצעות פתרון המשוואות.
תהי עקומה רגולרית () וגזירה פעמיים ברציפות בפרמטר הטבעי.
נגדיר וקטור משיק על ידי
מכיוון שהעקומה נתונה בפרמטריזציה טבעית זהו וקטור יחידה, כלומר הנורמה או הגודל שלו שווה ל-1. נשלים וקטור זה לבסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית (בעזרת כלל יד ימין) על ידי וקטור יחידה נוסף, הניצב לווקטור המשיק.
זוהי מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות ליניאריות ומסדר ראשון.
נהוג להציג את המשוואות בצורה מטריציונית:
נשים לב שמטריצת המקדמים היא מטריצה אנטי-סימטרית.
עובדה זו נכונה גם במקרה הכללי יותר.
את המשוואות ניתן להסיק באופן הבא:
מאחר ש-v מוגדר להיות וקטור יחידה הוא מקיים את השוויון .
נגזור את שני אגפי המשוואה .
כלומר: 'v אורתוגונלי ל-v ולכן הוא פרופורציונלי, או מקביל, ל-n.
גורם הפרופורציה מוגדר להיות - העקמומיות.
מכאן נובעת משוואת פרנה הראשונה.
באותו אופן, נגזור את ונקבל ש-'n מקביל ל-v.
כעת נגזור את ונקבל ומכאן ומשוואת פרנה השנייה.
בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במרחב האוקלידי התלת-ממדי בפרמטריזציה טבעית, משוואות פרנה-סרה (Frenet-Serret) הן משוואות דיפרנציאליות המתארות את השינוי של הווקטור המשיק לעקומה, הווקטור הנורמל לו והווקטור הבי-נורמל, כתלות בעקמומיות והפיתול של העקומה.
חשיבותן של משוואות אלה היא שבהינתן תנאי התחלה ופונקציות עקמומיות ופיתול רגולריות, ניתן לשחזר את העקומה באופן גלובלי באמצעות פתרון המשוואות.
תהי עקומה רגולרית () וגזירה שלוש פעמים ברציפות בפרמטר הטבעי.
מכיוון שהעקומה נתונה בפרמטריזציה טבעית זהו וקטור יחידה, כלומר הנורמה או הגודל שלו שווה ל-1. כאן אין בחירה יחידה של וקטור נורמלי ולכן נגדיר את באופן הבא:
נשים לב שגם הוא וקטור יחידה.
כאן, מגדירים את העקמומיות להיות
נשלים זוג וקטורים אלה לבסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית (בעזרת כלל יד ימין) על ידי וקטור יחידה נוסף, הניצב לווקטור המשיק ולווקטור הנורמל שמוגדר על ידי
כלומר, על ידי מכפלה וקטורית של הווקטורים הקודמים.
וקטור זה נקרא "בי-נורמל", וגם הוא וקטור יחידה.
כאשר היא העקמומיות ו- הוא הפיתול (גודל המודד כמה רחוקה העקומה מלהיות מישורית, עקומה עם פיתול אפס מוכלת כולה במישור דו-ממדי).
הווקטור המשיק T, הנורמל N, והבינורמל B, יוצרים יחד בסיס אורתונורמלי למרחב התלת-ממדי.
משוואות פרנה-סרה מתאימות לפיכך לכל נקודה על העקום במרחב מערכת ייחוס טבעית, או מערכת קואורדינטות, שנכנה אותו מערכת פרנה-סרה.
למערכת פרנה-סרה ניתן לתת פרשנות קינמטית.
נדמיין שצופה (חלקיק או גוף למשל) נע לאורך העקום בזמן, ומשתמש במערכת הייחוס פרנה-סרה כמערכת הקואורדינטות שלו.
משוואות פרנה-סרה מבטאות את העובדה שמערכת קואורדינטות זאת סובבת בקביעות במהלך התנועה של הצופה לאורך העקום המרחבי.
מכאן, מערכת הקואורדינטות הזאת היא תמיד לא אינרציאלית.
התנע הזוויתי של מערכת הקואורדינטות של הצופה הוא פרופורציונלי לווקטור דארבוקס של מערכת הייחוס.
מהאיור השני ניתן לראות שהעקמומיות במשוואות פרנה-סרה מודדת את קצב הסיבוב של מערכת הקואודינטות של הצופה מסביב לווקטור הבינורמל B, בעוד שהפיתול מודד את קצב הסיבוב של מערכת הקואורדינטות מסביב לווקטור המשיק T.
כשמבינים את הפרשנות הקינמטית בדרך זאת, ניתן לראות שאם הצופה היה גוף מרחבי (כלומר לא חלקיק נקודתי) אשר מערכת הקואורדינטות מתארת את האוריינטציה שלו במרחב, אזי הפיתול היה משול לקצב הגלגול (roll) הרגעי של הגוף, בעוד העקמומיות הייתה משולה לקצב הסבסוב (yaw).
משוואת בלמן הקרויה על שם מפתחה ריצ'רד בלמן היא תנאי הכרחי לאופטימליות בפתרון בעיית בקרה באמצעות תכנון דינמי.
משוואות בלמן מתבססות על עקרון האופטימליות של בלמן הגורס באופן רקורסיבי כי מדיניות החלטה אופטימלית היא אופטימלית ביחס לכל מצב התחלתי והחלטה התחלתית וכמו כן מהווה מדיניות החלטה אופטימלית ביחס לכל מצב והחלטה שנקרים בדרכה.
בצורתה הבסיסית, מנוסחת משוואת בלמן עבור תהליך החלטה בזמן בדיד כך שהמצב בזמן t נתון על ידי .
פונקציית המעברים של המערכת נתונה כ וקבוצת ההחלטות (הפעולות) שניתן לבצע במצב נתון נתונה כ .
כמו כן נתונים לנו הערך המיידי לביצוע החלטה אפשרית כלשהי במצב מסוים ופקטור היוון .
משוואת בלמן עבור מדיניות ההחלטה האופטימלית דורשת שיתקיים לכל מצב :
כאשר היא פונקציית הערך הכולל עבור ביצוע החלטות החל ממצב .
בתורת הזורמים, זרימה זוחלת או זרימת סטוקס היא זרימה בה השפעת איברי האינרציה במשוואות נאוויה-סטוקס זניחות ביחס להשפעת כוחות הצמיגות (גבול שמתקיים במספרי ריינולדס נמוכים ).
משוואות התנועה עבור זרימה זוחלת הן משוואות סטוקס.
זרימה כזו מתקיימת כאשר מהירות הזרימה איטית, הצמיגות גבוהה או שמימד האורך בבעיה קטן יחסית.
זרימה זוחלת נחקרה לראשונה כשנוצר צורך במידול של שימון וסיכה.
הזרימה נפוצה בטבע במקרים רבים, לדוגמה: שחיה של מיקרו אורגניזמים, וזרימת לבה (שמתאפיינת במהירות נמוכה ובצמיגות גבוהה).
הזרימה מופיעה גם בהנדסה, כשהיא מתרחשת בצביעה, במכשירי MEMS ובזרימה צמיגה של פולימרים.
משוואות התנועה עבור זרימות זוחלות הן משוואות סטוקס.
ניתן לקבלן על ידי ביצוע ליניאריזציה של משוואות נאוויה-סטוקס במצב מתמיד.
ניתן להזניח את איברי האינרציה ולקבל את מאזן המומנטום של משוואות סטוקס:
כאשר הוא טנזור מאמצים המייצג את הכוחות הנובעים מכוחות הצמיגות והלחצים החיצוניים ו הוא כוחות הגוף הפועלים על הזרימה.
משוואת סטוקס המלאה כוללת בתוכה גם את חוק שימור המסה:
כאשר הוא צפיפות הנוזל, היא מהירות הנוזל ו הנגזרת החומרית.
בזרימה לא דחיסה מתקיים כי קבוע ולכן הנגזרת שלו שווה לאפס וניתן לצמצמו מהאיבר השני של המשוואה:
משוואות סטוקס מייצגות פישוט ניכר ממשוואות נאוויה-סטוקס, במיוחד עבור המקרה של זורמים בלתי דחיסים וניוטוניים.
כאמור, משוואות סטוקס מתקבלות ממשוואות נאוויה-סטוקס במצב בו הצמיגות משמעותית יותר מהאינרציה.
גבול זה מתקיים במצב בו מספר ריינולדס שואף ל-0.
משוואות סטוקס לא כוללות נגזרות בזמן של שדה המהירויות והמשוואות הלא דחיסות לא כוללות את משתנה הזמן כלל ולכן בהינתן תנאי שפה למשוואות ניתן למצוא את הזרימה באופן מיידי בלי תלות במצב המערכת בזמנים קודמים.
משוואות סטוקס מקיימות סימטריית הופכיות הזמן, ולכן אם הופכים את הכיוון של הלחצים החיצוניים על המערכת הזרימה שתתקבל הפוכה במדויק לזרימה המקורית.
תופעה זו מאפשרת להפריד במדויק שני זורמים שנראים כאילו עורבבו באמצעות זרימת זוחלת, ומעידה על כך שקשה לבצע ערבוב כזה.
שני המאפיינים האלה נכונים לזרימה בלתי דחיסה של זורמים ניוטוניים, והם אינם נכונים במקרה של זרימה זוחלת כללית.
פרדוקס סטוקס הוא הכינוי לעובדה שלא קיים פתרון מתמטי המקיים זרימת סטוקס דו-ממדית מסביב לגליל כאשר המהירות באינסוף היא קבועה.
הפרדוקס מציג את הבעייתיות בשימוש במשוואות סטוקס כאשר מדובר על זרימה במרחקים גדולים, ופתרונו נמצא בכך שלא ניתן להשתמש במשוואות סטוקס במצב כזה.
זרימה בלתי דחיסה של זורמים ניוטונים
משוואת סטוקס של זורמים ניוטוניים בלתי דחיסים היא:
כאשר , מייצג את המהירות של הזורם, את גרדיאנט הלחצים, את הצמיגות, ו- מייצג את כוחות הגוף.
משוואה זו היא ליניארית במהירות והלחץ, מה שמקל מאוד על פתרון שלה ביחס לפתרון המלא של משוואות נאוויה-סטוקס.
בקואורדינטות קרטזיות אפשר לכתוב ו- .
ולפתח את הצורה הווקטורית של המשוואות לארבע המשוואות הבאות:
הגענו למשוואות אלה לאחר שהנחנו ש והצפיפות היא קבועה.
משוואת שימור המסה מספקת למשוואות סטוקס צורה המזכירה את משוואת לפלס, המופיעה לדוגמה עבור שדות חשמליים באלקטרוסטטיקה.
עבור שדות חשמליים מתקיים ולכן ניתן לכתוב מתקיים (כאשר השדה החשמלי ו- הפוטנציאל החשמלי) ובמקרה בו אין מטענים במערכת מתקיים , מה שיוצר את משוואת לפלס .
היחסים במשוואת סטוקס עבור זורמים ניוטוניים בלתי דחיסים מסובכים מעט יותר.
משוואת סטוקס מקיימת ולכן קיימת פונקציה (הקרויה פונקציית זרם) עבורה .
הערבוליות של המערכת מקיימת .
מצד שני, בהתאם למשוואת התנע בזרימת סטוקס מתקיים ובמקרה בו כל הכוחות החיצוניים על הגוף הם כוחות משמרים מתקיים , ולפיכך .
זוהי משוואה סגורה עבור פונקציית הזרם, וניתן להשתמש בה כדי למצוא את פונקציית הזרם ולפתח ממנה את שדה המהירויות.
שיטה זו שימושית במיוחד כאשר ישנה סימטריה במערכת, כגון במקרה בו הזרימה דו-ממדית או שקיימת בה סימטריה גלילית או כדורית, במצבים כאלה פונקציית הזרם תלויה רק בשתי קואורדינטות ומשוואת הזרם מקבלת את אחת מהצורות הבאות:
סוג הפונקציהסימטריהמשוואהפונקציית זרם דו־ממדי, מישורי ו- או (משוואה בי-הרמונית)פונקציית הזרם של סטוקס כדורית כאשר פונקציית הזרם של סטוקס גלילית where
העובדה שמשוואת סטוקס בזורמים ניוטוניים בלתי דחיסים היא משוואה ליניארית מאפשרת פתרון של הזרימה באמצעות פונקציית גרין.
בטכניקה זו פותרים את משוואות סטוקס עם אילוץ המוחלף בכוח נקודתי הפועל בנקודה מסוימת במרחב, ותנאי שפה נעלמים באינסוף.
כאשר הוא פונקציית דיראק, ו- מייצג את הכוח הנק' הפועל בנקודה.
הפתרון עבור הלחץ p והמהירות u עם |u| וp שואף לאפס באינסוף וניתן על ידי
כאשר: הוא טנזור מסדר שני.
הפתרון הניתן על ידי הטנזור נקרא סטוקסלט.
הסטוקסלט מדמה הוא מצב בו אין מאמצים חיצוניים בשום מקום במערכת חוץ מנקודה אחת, בה מופעל כוח (או המאמץ) .
ניתן להקביל פתרון זה לאלקטרוסטטיקה, שם ניתן לפתור לשדה חשמלי במצב של פיזור מטענים כללי על ידי שימוש בפונקציית גרין המחשבת את השדה החשמלי כתוצאה מהימצאות מטען נקודתי בנקוד מסוימת.
עבור פילוג כוח (כוח מפורס) הפתרון יכול להימצא על ידי סופרפוזיציה:
פתרון אינטגרלי זה מקיים שדה מהירויות שדועך באינסוף.
במקרה של תנאי שפה אחרים ניתן למצוא פונקציית גרין המקיימת את תנאי השפה ולבנות פתרון מלא בצורה דומה.
כאשר כוחות הגוף החיצוניים מתאפסים ניתן לפתור את משוואת סטוקס באמצעות שימוש בשני פונקציות הרמוניות, אחת וקטורית ואחת סקלרית כאשר מתקיים:
מציאת פונקציות הרמוניות המקיימות את תנאי השפה פשוטה יותר ממציאת פונקציה בי-הרמונית הנדרשת לפתרון באמצעות פונקציית הזרם.
בניגוד לזרימה אוילרית, בה כוח הגרר על גוף המונח בזרימה מתאפס (פרדוקס ד'אלמבר), בזרימה זוחלת מתקבל כוח גרר הפרופורציונלי למימד האורך של הגוף ולמהירותו.
סטוקס חישב במדויק את הכוח הפועל על כדור הנע במהירות בתוך זורם הנמצא במנוחה וגילה שמתקיים: כאשר רדיוס הכדור.
פאקסן הרחיב את חוק סטוקס למצב בו הכדור נע בתנועה בתוך זורם שלא נמצא במנוחה, במצב זה על הכדור פועל כוח ומומנט כוח.
עבור כדור הנע במהירות ומסתובב במהירות זוויתית בתוך זורם ששדה המהירויות שלו הוא ושדה הערבוליות שלו הוא מתקיים:
שדה המהירויות בזרימת סטוקס נוצר באופן מיידי מהמאמצים, מצב זה דומה למצב באלקטרוסטטיקה בו השדה החשמלי (והפוטנציאל החשמלי) נוצרים באופן מיידי מפיזור המטענים.
ההיווצרות המיידית הזו מאפשרת לקשר בין שדות ומאמצים שונים הפותרים את משוואת סטוקס באותו אזור במרחב.
בהינתן אזור במרחב התחום במשטח ושני שדות הנוצרים על ידי המאמצים מתקיים:
ניתן להשתמש במשפט זה כדי להראות שקילות בין זרימות שונות ולקשר בין מהירויות השחייה של גופים בזורם לעיוות המרחבי שהם חווים כתוצאה מהמאמצים עליהם.
במכניקת זורמים, משוואות אוילר הן שלוש משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות התנהגות פיזיקלית של זורמים במרחב, שפותחו על ידי המתמטיקאי לאונרד אוילר וקרויות על שמו.
המשוואות מורכבות ממשוואת הרצף (המתארת שימור מסה), משוואת התנועה (המתארת שימור תנע), ומשוואת שימור האנרגיה (המתארת שימור אנרגיה).
חשיבותן של המשוואות גולשת מעבר לתחום מכניקת הנוזלים.
בין היתר, יש למשוואות שימושים רבים בתחום האווירודינמיקה - באמצעתן ניתן לבחון מודלים ממוזערים של כלי תחבורה לצורך הבנת התנהגותם בגודל אמיתי.
המשוואות אף היוו פריצת דרך מתמטית בשימוש בכלים של החשבון הדיפרנציאלי לתיאור תופעות פיזיקליות.
קרוב ל־100 שנים אחרי פיתוחן, משוואות אוילר היוו הבסיס לפיתוח משוואות נאוויה-סטוקס, שהן הכלי המרכזי כיום להבנה של מכניקת זורמים.
המשוואות בממד אחד ומשמעותן הפיזיקלית
הוא סך כל האנרגיה ליחידת נפח, כלומר , כאשר היא האנרגיה הפנימית של הנוזל.
חוק השימור שכל אחת מהמשוואות מייצגת ניתן להסבר אינטואיטיבי:
משוואה זו מתארת שימור מסה.
במילים, המשמעות של המשוואה הוא כדלקמן: "השינוי במסה של הזורם באזור מסוים הוא תוצאה של זרימת מסה פנימה והחוצה מאזור זה בלבד".
נראה שקילות בין המשוואה למשמעות המילולית שניתנה לעיל.
נתבונן בתא סטטי בזורם בעל נפח .
הביטוי משמעו קצב השינוי של הצפיפות בנפח .
הביטוי מבטא את הקצב שבו מסה נכנסת או יוצאת מאזור זה, כאשר הביטוי מייצג את זרם המסה.
המשמעות הפיזיקלית של זרם המסה דומה למשמעות של זרם חשמלי, אך עם תנועה של מסה במקום תנועת מטענים חשמליים.
מכאן שהמשמעות של המשוואה היא שעל מנת למצוא את השינוי של המסה בנפח , הוא , יש להתבונן בהפרש בין זרם המסה הנכנס לתא לזרם המסה היוצא ממנו.
משמעות עובדה זו היא שימור מסה, שכן היא קובעת שלא מופיע נוזל יש מאין.
משוואה זו מתארת שימור תנע, והיא מהווה הרחבה של החוק השני של ניוטון ממוצקים לזורמים.
החוק השני של ניוטון קובע כי , והוא אכן מבטא שימור תנע.
לעיתים קרובות קשה להגדיר נפח במכניקת זורמים, ועל כן לרוב עובדים עם גדלים שהם "ליחידת נפח".
כך למשל נהוג לעבוד עם צפיפות במקום עם מסה.
מסיבה זו, נבטא את החוק השני של ניוטון בצורה: , כאשר הוא כוח ליחידת נפח.
כעת, את התאוצה בחוק ניוטון אפשר להחליף בהגדרתה - שינוי המהירות כתלות בזמן, .
בנוסף, מכיוון שלחץ הוא כוח ליחידת שטח, אפשר לכתוב .
מכאן מקבלים , ועל ידי סידור המשוואה מתקבלת המשוואה .
משוואה זו דומה למשוואת שימור התנע שהוצגה, אך יש להסביר את האיבר האחרון שנותר - .
איבר זה הוא איבר ה"הסעה", וקשור לעובדה שבחלקים שונים בנוזל ייתכנו מהירויות שונות, מה שיגרום לתאוצה.
דוגמה לכך היא תנועה של נוזל דרך צינור שהולך וצר.
במקרה זה, ככל שהצינור נהיה צר יותר, כך מהירות הנוזל היא גדולה יותר, ואנו מקבלים תאוצה.
משוואה זו מתארת שימור אנרגיה.
בדומה למשוואת הרצף, משמעות המשוואה היא שהשינוי באנרגיה ליחידת נפח באזור בנוזל, הוא , הוא תוצאה של זרימת אנרגיה לתוך נפח זה, המתואר על ידי זרם האנרגיה - .
למעשה, ניתן להבין משוואה זו כמעין משוואת רצף עבור אנרגיה.
נדגיש כאן שמכיוון שמשוואות אוילר מתארות זורמים, בחישוב האנרגיה עלינו להתחשב באנרגיה הפנימית של הנוזל, ולא באנרגיה הקינטית שלו בלבד.
המשוואות במימד אחד בזרימה רדיאלית
המשוואות בקואורדינטות כדוריות נוחות יותר לשימוש כאשר הזרימה היא רדיאלית, לדוגמה כאשר עוסקים בבעיות קריסה של בועה או כוכב.
שורשן של משוואות אוילר נובע מחוקי ניוטון שנוסחו בשנת 1687. בעוד חוקי ניוטון מתארים נכונה את החוקים הפיזיקליים הכלליים הפועלים על זורמים, יישום שלהם על נוזל מסוים מוביל לקשיים - שכן לא ניתן לראות נוזל רק כסך המולקולות המרכיבות אותו.
זאת מכיוון שבפתרון המשוואות עבור נוזלים, רצוי להתייחס למושגים מאקרוסקופיים המתארים אותם כלחץ ונפח, שלרוב לא ניתן להגדיר היטב על מולקולות בודדות.
רק כאשר מתייחסים לנוזל כאל רצף, ומשיימים את עקרונות החשבון האינפיניטסימלי עליו בכך שמחלקים אותו לגדלים קטנים ומבצעים חישוב על כל אחד בנפרד, ניתן ליישם כהלכה את חוקי ניוטון.
ההבנה הזו הייתה תהליך ממושך, שהתחיל עם הניסיון הראשון של דניאל ברנולי ב־1738 ליישם עקרונות דינמיים כלליים על נוזל בתנועה, והגיעה לשיאה 17 שנה לאחר מכן עם פרסום משוואות אוילר על ידי לאונרד אוילר.
המחקר שנעשה בשנים אלו לגילוי החוקים הפועלים על זורמים הוביל בין היתר לפיתוח של כלים מתמטיים חדשים, כמו כתיבה של משוואות וקטוריות, המושג של שדה מהירות וטכניקות לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות.
ב־1738 כתב דניאל ברנולי בספר Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii (הידרודינמיקה, דיסרטציה על כוחות זורמים ותנועתם) את הניסיון הראשון ליישום של עקרון כללי לתנועת זורמים.
ברנולי יישם את עקרון שימור האנרגיה של הויגנס על זורמים והשיג תיאור גאומטרי של חוקים הכוללים אף גרסה חד־ממדית של משוואות אוילר.
ב־1742 פרסם יוהאן ברנולי, אביו של דניאל ברנולי, את ספרו Hydraulice, והשתמש הפעם בחוקי ניוטון ובמיוחד בחוק השני שלו, במקום בעקרונות של הויגנס.
התוצאה הייתה פיתוח של משוואת ברנולי שהשיג בנו, עם כתיב יותר אלגברי ופחות גאומטרי.
ב-1746 זכה המתמטיקאי ז'אן לה רון ד'אלמבר בפרס מטעם האקדמיה הפרוסית למדעים בברלין על מאמרו The Cause of winds.
במקרה פרטי במאמר, ניתנות לראשונה משוואות של תנועת זורמים אי דחיסים במקרה הדו־ממדי, שהיא מקרה פרטי של משוואות אוילר.
שנתיים לאחר מכן, פרסם ד'אלמבר מאמר בשם The resistance of fluid לתחרות נוספת באקדמיה הפרוסית אך לא זכה בפרס.
למרות זאת, חשיבותו של המאמר אינה מוטלת בספק - הוא מכיל לראשונה את מה שכונה "משוואת הערבוליות לזורמים אי־דחיסים", תחת ההנחה שתמיד מתקיים: .
הנחה זו פירושה שהערבוליות אפסית, הנחה מוטעית שאוילר עצמו ישתמש בה במאמרו שלוש שנים מאוחר יותר.
לאחר שחקר את כתביו של דאלמבר בנושא, טען אוילר במאמר בשנת 1750 שהבסיס האמיתי לכל מכניקת הרצף הוא החוק השני של ניוטון המיושם על חלקים בגודל אינפיניטסימלי של הגוף בתנועה.
במאמר נוסף משנת 1750–1751 יישם אוילר את הטענה הזו על תנועת נהר, תוך התייחסות אליו כאל בעיית תנועה דו־ממדית.
הוא פיתח גרסה של משוואת ברנולי של יוהאן ברנולי, עם נגזרות חלקיות:
אך ניכר שאוילר לא היה מרוצה ממונוגרפיה זו
ב־1752 כתב אוילר את המאמר Principia motus fluidorum (עברית: עקרונות התנועה של נוזלים) שהציג גרסה מוקדמת של המשוואות לזרימה אי דחיסה.
ב־31 באוגוסט 1752 המאמר הוגש לאקדמיה הפרוסית למדעים בברלין.
המאמר כלל את הטעות שנעשתה גם על ידי המתמטיקאי ד'אלמבר בבואו למצוא חוקים לזורמים, והיא ההנחה שהערבוליות אפסית.
במאמר זה פיתח אוילר לא רק גרסה דו־ממדית של המשוואות, אלא גם לראשונה גרסה תלת־ממדית.
אוילר הבין אחרי זמן מה את הטעות שעשה בכך שהתעלם מפתרונות ערבוליים.
בשנת 1755 כתב אוילר שלושה מונוגרפים על זורמים.
המונוגרפיה הראשונה, Principes generaux de l'etat d'equilibre des fluides (עברית: עקרונות כלליים בנוגע לשיווי משקל בזורמים), הוגשה לאקדמיה בברלין ב־11 באוקטובר 1753 והוקדשה לשיווי־משקל של זורמים, אי־דחיסים ודחיסים.
במונוגרפיה זו ניסה אוילר לבסס את מדע ההידרוסטטיקה על עקרון מנחה יסודי, והוא שכל אלמנט אינפיניטסימלי בנוזל אשר נמצא בשיווי משקל יקיים את המשוואה , כאשר P הוא הלחץ בשפת האלמנט ו־f היא צפיפות הכוח הפועלת עליו.
אוילר הראה כי התוצאות הידועות של הידרוסטטיקה נובעות מחוק מתמטי פשוט זה.
המונוגרפיה השנייה, Principes generaux du mouvement des fluides (עברית: עקרונות כללים בנוגע לתנועה של זורמים), הוגשה לאקדמיה בברלין ב־4 בספטמבר 1755, והוקדשה ליישום העקרונות מהמונוגרפיה הקודמת לטובת הבנת תנועה של זורמים.
בתחילת המונוגרפיה נכתב שהבנת תנועה של זורם תלויה בתנאי התחלה של הזורם, שמכונים "המצב הפרימיטיבי של הזורם", אחד האזכורים הראשונים לכך בספרות המתמטית.
ממצב זה יש להבין את הכוחות הפועלים על הזורם וכך ניתן להסיק את מצבו הנוכחי.
לאורך המונוגרפיה משתמש אוילר בעיקר בצורה התלת־ממדית של המשוואות, ומפתח אותן גם לצורות כלליות כגון עבור זורמים דחיסים:
כך שההנחה ש־ אינה הכרחית.
המונוגרפיה השלישית, Continuation des recherches sur la theorie du mouvement des fluides (עברית: המשך המחקר בנוגע לתנועה של זורמים), הוגשה לאקדמיה בברלין ב־2 באוקטובר 1755. המונוגרפיה היא המשך ישיר של השתיים הקודמות ופיתוח התוצאות בהן, ובתחילתה כתב אוילר על חשיבות תגליותיו:
בהמשך המונוגרפיה מראה אוילר בין היתר תנאים לקיום פתרון למשוואות וגם את תקפותו של חוק ברנולי לאורך קווי זרם בזרימה יציבה של נוזל לא דחיס, ובכך קיבל פיתוח למשוואת ברנולי.
בנוסף, יש עיסוק בזרימה בתוך צינורות דקים.
שלושת המונוגרפיות פורסמו על ידי האקדמיה הפרוסית בברלין בשנת 1757 באוגדן Mémoires de l'académie des sciences de Berlin 11. כתבים אלו היוו פריצת דרך בהבנת מכניקת זורמים.
בסוף המונוגרפיה השנייה שלו משנת 1755 תיאר אוילר את שנותר לגלות בתחום מכניקת הזורמים לאחר פיתוח משוואותיו:
לא כל הקהילה המדעית העריכה את אוילר כראוי על גילוי המשוואות הנושאות את שמו.
בספר Méchanique analitique של ז'וזף לואי לגראנז' משנת 1788 מצוין דווקא ד'אלמבר כמייסד תחום מכניקת הזורמים, בעוד שמו של אוילר לא מצוין לכל אורך הספר.
במהדורה השנייה של הספר שיצאה יותר מ־20 שנה לאחר מכן מופיע המשפט:
נדרשה כמעט מאה שנה שתחלוף בטרם נעשתה התקדמות משמעותית במכניקת זורמים כשם שנעשתה בשנות הארבעים והחמישים על ידי אוילר, ד'אלמבר וברנולי.
בסוף שנות השלושים של המאה ה-19 נחקרו השפעותיו של החיכוך על הזרימה על ידי ז'אן לאונר מארי פואזיי וגוטהילף היינריך לודוויג האגן.
ב-1827 חקר קלוד לואי מרי אנרי נאוויה את השפעות הצמיגות על זרימה, וב-1845 עשה כן ג'ורג' סטוקס.
הידע שהושג במחקר הוביל לפיתוח משוואות נאוויה-סטוקס, שמהוות הרחבה של משוואות אוילר.
הבנת הפתרונות של משוואה זו על זרימת נוזלים מהווה אחת משבע בעיות המילניום של מכון קליי.
מספר הערות על פיתוח המשוואות:
בפיתוח של המשוואות משתמשים בקירוב הרצף.
קירוב זה מניח שמצד אחד הזורם מורכב מתאים קטנים מאוד, כך שכל הגדלים המתארים את הזורם יוגדרו היטב בתוך התא, ומצד שני שגודל התא יהיה קטן בהרבה מהאורך האפייני של המערכת.
ללא קירוב הרצף הפיתוח אינו תקף.
על מנת לבדוק את קירוב הרצף, מקובל להשתמש במספר קנודסן.
בפיתוח משתמשים גם בהנחה שהנוזל אינו צמיג.
הבנה של נוזלים בעלי צמיגות, שהיא תכונה של נוזלים שאנלוגית לחיכוך במוצקים, ניתנת בעזרת ההרחבה של משוואות אוילר למשוואת נאוויה-סטוקס.
לשם נוחות, הפיתוח ייעשה בממד־אחד.
בהינתן צינור ארוך בעל שטח חתך אשר זורם בו נוזל בכיוון החיובי של ציר ה־, החידוש של אוילר היה בחלוקת הצינור לתאים בגודל אינפיניטסימלי ושימוש בכלים של החשבון אינפיניטסימלי כדי לחשב את התנועה של כל החומר הזורם באמצעות זרימה נקודתית.
על כן, נחלק את הצינור לתאים אינפיניטסימליים באורך ונתבונן בתא מסוים במיקום .
נסמן את הצפיפות והמהירות של הנוזל בו ב־, בהתאמה.
בדומה, נסמן את הצפיפות והמהירות של הנוזל בתא משמאלו ב־ , בהתאמה (ראה איור משמאל).
נתבונן במערכת בזמן , ונקדם אותה בזמן כלשהו.
על מנת לפתח את משוואת הרצף, נמצא שני ביטויים שונים לשינוי במסה בתא ב־ כתוצאה מהקידום בזמן ונשווה ביניהם.
ראשית, כתוצאה מהקידום בזמן הנוזל בתא השמאלי יתקדם מרחק של , ולכן סך כל המסה הנכנסת לתא ב־ היא .
באותו האופן, סך כל המסה היוצאת מהתא ב־ לתא מימנו היא .
מכאן שהשינוי במסה בתא ב־ הוא ההפרש בין שני הביטויים.
כעת, את השינוי במסה נוכל לרשום גם במפורש בתור ההפרש , כאשר היא המסה בתא ב־ בזמן .
נשווה בין שני הביטויים שמצאנו ונקבל:
ועל ידי לקיחת הגבולות נקבל מהגדרת הנגזרת את משוואת הרצף:
ומהפיתוח מסיקים שמשוואה זו אכן מבטאת שימור מסה.
כדי לפתח את משוואת שימור התנע משתמשים ברעיונות וכלים דומים.
נקדם את המערכת בזמן , ונחפש שני ביטויים לשינוי בתנע של התא ב־.
ראשית, כמות התנע הנכנס לתא האינפיניטסימלי ב־ מהתא משמאלו הוא מכפלת מסת החומר הנכנס במהירותו, כלומר: .
בדומה, כמות התנע העוזבת את התא אל התא מימינו היא .
השינוי בתנע הוא ההפרש ביניהם.
מצד שני, אפשר לכתוב במפורש את השינוי בתנע בתור ההפרש , כאשר הוא התנע בתא בזמן t.
בנוסף על כך, בעקבות הקידום בזמן פועל מתקף על הנוזל.
התא השמאלי מפעיל מתקף על החומר הנכנס לתא, והתא ב־ מפעיל מתקף על החומר היוצא מהתא.
מכאן שהמתקף הכולל שפעל על החומר בתא ב־ הוא .
על ידי השוואה בין שני הביטויים לשינו בתנע, מתקבלת המשוואה:
על ידי לקיחת הגבולות נקבל מהגדרת הנגזרת את משוואת התנועה:
על מנת לקבל את המשוואה בצורתה המוכרת, נשתמש בעובדה כי ונוכל לכתוב:
כעת, נשתמש במשוואת הרצף על מנת לכתוב , ונקבל:
ומהפיתוח מסיקים כי משוואה זו אכן מבטאת שימור תנע.
פיתוח משוואת שימור האנרגיה נעשה אף הוא בכלים וברעיונות דומים.
נציג את השינוי באנרגיה, בתא ב־ בשתי דרכים שונות.
הדרך הראשונה היא הפשוטה יותר, ובה נתאר את האנרגיה בתא לפני ואחרי ההתקדמות בזמן בצורה מפורשת: , כאשר מבטאת את סך כל האנרגיה בתא בזמן t.
הדרך השנייה מתחשבת רעיונית באנרגיה שעוזבת ונכנסת לתא בעקבות הקידום בזמן.
האנרגיה שנכנסת לתא היא האנרגיה של החומר שנכנס לתא מהתא ב־.
סך כל החומר הנכנס לתא הוא בעל מסה של , ולכן האנרגיה שלו היא .
בדומה, האנרגיה שעוזבת את התא היא .
על מנת להשוות ביניהן, עלינו להתחשב גם בעבודה שמבצע הלחץ בעת המעבר של הנוזל מתא לתא.
סך כל העבודה שמבצע התא על החומר היא .
ועל ידי לקיחת הגבולות נקבל מהגדרת הנגזרת:
בתיאור לגרנז'י, את הנגזרות החלקיות לפי הזמן מחליפים בנגזרת החומרית בתיאור זה, המשוואה עוקבת אחרי אלמנט זורם שניתן לתאר כגוף ניוטוני.
בצורה זו, משוואת שימור התנע ומשוואת שימור האנרגיה מקבלות צורה פשוטה יותר, המוכרת ממכניקה ניוטונית ותרמודינמיקה.
נסתכל על אלמנט זורם, בעל נפח ומסה הנע ביחד עם הזרימה.
דפנות האלמנט מתקדמות במהירות שאיננה אחידה, וכתוצאה מכך, נפח התא משתנה.
קל להתרשם שהשינוי בנפח האלמנט הוא כאשר האינטגרל מתבצע על כל דפנות האלמנט.
באמצעות משפט גאוס ניתן לפתח ביטוי זה ולקבל:
כאשר המעבר הראשון התבצע בעזרת משפט גאוס, והמעבר השני אפשרי כיון שבאלמנט זורם קטן גרדיאנט המהירות יכול להילקח כקבוע על פני כל האלמנט.
צפיפות הזורם באלמנט היא ולכן צפיפות הזורם מקיימת: או בצורתה המקובלת:
משוואה זו שקולה לתיאור האוילרי.
הכוח הכללי שמופעל על אלמנט הזורם הוא:
לפי החוק השני של ניוטון מתקיים:
כאשר המעבר השלישי התבצע באמצעות משפט גאוס והמעבר הרביעי מסתמך על כך שאלמנט הזורם קטן.
משוואת שימור התנע בצורתה הלגרנז'ית היא:
והיא מייצגת את החוק השני של ניוטון.
משוואת שימור האנרגיה מסתמכת על ההנחה לפיה השינוי היחיד באנרגיה הפנימית של האלמנט נובע מעבודה שמבוצעת על ידי הלחץ.
העבודה הזו היא ולכן משוואת שימור האנרגיה היא ולאחר חלוקה במסה:
אם הזורם נמצא באופן מקומי בשיווי משקל תרמודינמי, לפי החוק הראשון של התרמודינמיקה ניתן לרשום כאשר היא הטמפרטורה, ו- האנטרופיה ליחידת מסה.
לפיכך, בזרימה רציפה לפי משוואות אוילר, מתקיים כלומר האנטרופיה של אלמנט זורם לא משתנה במהלך הזרימה והזרימה היא אדיאבטית.
משוואת ברנולי מתארת שימור אנרגיה לאורך קווי זרימה של נוזל.
משוואה זו היא פשוטה יותר ממשוואת שימור האנרגיה, ולכן מוכרת יותר ולעיתים שימושית יותר.
עם זאת, משוואת ברנולי תקפה אך ורק במקרים של זרימה עמידה (זרימה שאיננה משתנה עם הזמן) ואי דחיסה (זרימה בה הצפיפות קבועה).
את משוואת ברנולי ניתן לפתח ישירות ממשוואות אוילר.
הזרימה היא עמידה, ולכן הנגזרת בזמן מתאפסת.
על ידי שימוש בנוסחא לנגזרת של מכפלה מסיקים
ממשוואת הרצף מסיקים כי .
בנוסף, הזרימה היא עמידה, ולכן .
על ידי אינטגרציה על קו מסלול (המשיק לווקטור המהירות בכל נקודה) מסיקים כי