tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לשיעורי כמויות ה-Riboswitch יש תחומים הקרויים אפטמרים שמורים מאוד, לחלופין, ריבוזוויצ'ים עשויים לאגד או לחסום את רצף Shine-Dalgarno, הקיים רק ביצורים פרוקריוטים.
ייתכן כי מקורם בעולם הקדום שהיה מבוסס על RNA.
בנוסף, מדי החום של RNA,
מווסתים את ביטוי הגנים בתגובה לשינויי טמפרטורה.
בכל תא חי, רוב החומר התורשתי חייב לעבור תעתוק מ-DNA ל-RNA על מנת לאפשר קיום פעילות חיים כל שהיא בעזרתו.
דהיינו, המידע התורשתי חייב להיות מוצג בצורת RNA למערכת החיה.
הדבר מחזק את ההשערה שה-RNA קדם אבולוציונית ל-DNA.
הוכחות נוספות מגיעות מתחום האבולוציה של הנגיפים.
ישנם נגיפים שהחומר התורשתי שלהם הוא DNA בדומה לתאים החיים וכאלה שהחומר התורשתי שלהם הוא RNA, כפי שהחוקרים מאמינים שהיה החומר התורשתי של התאים הראשונים.
נוסף לכך, יש נגיפים שהם נגיפי רטרו (כגון נגיף האיידס) שמחזור חייהם כולל מעבר מ-RNA כחומר תורשתי ל-DNA כחומר תורשתי.
כאשר נגיף רטרו חודר לתא, החומר התורשתי שלו "משועתק לאחור" (מכאן השם רטרו) מ-RNA ל-DNA, בשונה מהדוגמה המרכזית של הביולוגיה המולקולרית.
ה-DNA הנגיפי החדש משתלב ב-DNA של התא המאחסן ומשלב זה ה-DNA הנגיפי מתחיל לפעול כאילו הוא חלק מה-DNA של התא המאחסן.
ה-RNA וה-DNA הן חומצות גרעין בעלות מבנה דומה מאוד, בהיותן פולימרים של נוקלאוטידים.
"השערת עולם ה-RNA" מניחה שבמרק הקדום (primordial soup) היו קיימים נוקלאוטידים חופשיים, אשר חברו לפעמים זה לזה, אך אנרגיית הקשר הייתה נמוכה מדי והקשרים הללו התפרקו.
בשלב מסוים נוצרו באקראי מספר פולימרים שהיו מיוצבים יחסית וכך הצליחו לשרוד לאורך זמן.
ככל שנוצרו באקראי שרשראות ארוכות יותר הן היו בעלות כושר שרידות רב יותר וכך באמצעות מנגנון ברירה טבעית נוצרו מולקולת ה-RNA הפעילות הראשונות.
הסלקציה המשיכה לפעול ונוצרו לאורך זמן מולקולות RNA בעלות יכולות שכפול עצמי משופר, אשר היוו את הבסיס ל-RNA המוכר לנו כיום.
לפי ההשערה, מנגנון שיצר יתרון סלקטיבי הוא שיתוף פעולה בין מולקולות RNA שונות, תהליך שבסופו של דבר הוביל ליצירת האב-טיפוס של התא.
בסוף של תהליך אקראי ארוך נוסף נוצרו גם מולקולות RNA שיכלו לעזור ביצירת קשרים פפטידיים מחומצות אמינו שתרמו ליצירת החלבונים הראשונים.
למולקולת RNA אלו היה יכול להיות יתרון סלקטיבי בכך שהחלבונים שנוצרו יכלו לתרום ליכולת השכפול העצמי שלהם.
אחד הקשיים הראשוניים שבהם נתקלת השערת עולם ה-RNA היא חוסר היציבות שנצפה במולקולת ה-RNA הידועות לנו היום, אשר מתפרקות באמצעות הידרוליזה בקלות רבה.
גם ללא הידרוליזה, פירוק מהיר נצפה כתוצאה מקרינת רקע.
אחת האלטרנטיבות לשימוש ב-RNA בעולם הפרה-ביוטי היא לכן שילוב של RNA וחלבון ה-PNA, מולקולה יציבה יותר ואשר מסתמנת כיותר קלה לסינתזה בתנאים ששררו כנראה בעולם הפרה-ביוטי.
הסבר אפשרי אחר הוא שהקרינה האולטרה סגולה שהייתה חזקה יותר בעולם הקדום, עזרה לייצב את ה-RNA ופירקה דווקא את הגורמים שפגעו בו כגון אנזים ה-RNAses.
קימות בעיות נוספות בהשערה בניסויים דמויי ניסוי מילר-יורי (Miller-Urey-type experiments) שבהם ניסו לייצר חומרים אורגניים בתנאי מעבדה לא נוצרו נוקלאוטידים.
שאמורים היו להיווצר משילוב של בסיס חנקני, ריבוז וזרחות, שמשערים שהיו קיימים בעולם הקדום.
בעיה נוספת טמונה בעובדה שאחד הנוקלאוטידים, הציטוזין, מתפרק בקלות והמדענים טרם הצליחו להגדיר סימולציה סבירה עבור פעילותו בעולם הפרה-ביוטי.
בנוסף, בסימולציות שתיארה היתכנות של היווצרות נוקלאוטידים בעולם הפרה-ביוטי שררו תנאים שאמנם יכלו לאפשר יצירת נוקלאוטידים, אך מנעו יצירת סוכרים המכילים קבוצות פורמאלדהיד רבות.
בנוסף הוספת זרחן מהווה בעיה קשה, היות שזה כמעט שאינו קיים בתמיסה ומתנדף בקלות.
על מנת שנוקלאוטידים יתחברו לכדי מולקולת RNA, יש צורך בשפעול אנרגטי.
זה יכול לקרות לפורינים על גבי תבנית שכולה פירימידינים, אך הריאקציה אינה מתרחשת בכיוון ההפוך.
לפי מבקרי ההשערה, לתהליך יצירת RNA פשוט ביותר, דרושות כשמונה-עשרה ריאקציות בתנאים שונים, ועל מנת ליצור כמות משמעותית של RNA יש צורך שריאקציות אלה יתרחשו באופן רציף על פני מיליוני שנים.
אחד האתגרים שמציבה "השערת עולם ה-RNA" הוא לגלות את המסלול שבו עברה מערכת המבוססת על RNA למערכת המבוססת על DNA.
ג'פרי דימר וקן סטדמן, מאוניברסיטת פורטלנד סטייט באורגון, ייתכן ונתנו תשובה לסוגיה זו בעת שערכו סקר של וירוסים באגם חומצי חם בפארק הלאומי לאסן הוולקני, בקליפורניה,Lassen Volcanic National Park.
הם מצאו8 ראיות לכך שנגיף DNA פשוט רכש גן מנגיף מבוסס RNA לחלוטין.
הוירולוג לואיס ויאריאל מאוניברסיטת קליפורניה באירווין מציע כי וירוסים המסוגלים להמיר גן מבוסס RNA ל-DNA ולאחר מכן לשלב אותו בגנום מורכב יותר מבוסס DNA עשויים היו להיות נפוצים בעולם הנגיפים במהלך המעבר בין RNA ל-DNA.
ממצא זה מחזק את הטיעון להעברת מידע מעולם ה-RNA לעולם ה-DNA שהתהווה לפני הופעתו של האב הקדמון הכולל.
ראיות נוספות התומכות בתפיסה של עולם RNA נבעו ממחקר על וירואידים, הנציגים הראשונים של "פתוגנים תת-ויראליים".
רוב הוירואידים הקיימים כיום הם פתוגנים שמדביקים צמחים, ומורכבים מקטעים קצרים של RNA מעגלי, חד-גדילי, לא מקודד וללא מעטה חלבוני.
הם קטנים ביותר, מכילים בין 246 ל-467 נוקלאוטידים, זאת בהשוואה לווירוסים הקטנים ביותר הידועים כיום המסוגלים לגרום לזיהום, בעלי גנומים באורך של כ-2,000 נוקלאוטידים.
בהתבסס על תכונותיהם האופייניות, טען ביולוג הצמחים תאודור אוטו דינר ב-1989 כי וירואידים הם שרידים חיים סבירים יותר של עולם ה-RNA מאשר אינטרונים ו-RNA אחרים.
השערתו של דינר הורחבה על ידי קבוצת המחקר של ריקרדו פלורס, וזכתה לתהודה רבה.
סופר מדעי של הניו יורק טיימס פרסם גרסה פופולרית של ההצעה.
המאפיינים של וירואידים היו הן גודלם הקטן, והן תכולת גואנין וציטוזין גבוהה, מבנה מעגלי של ה-RNA ומחזוריות מבנית, והיעדר יכולת קידוד חלבון ובמקרים מסוימים, שכפול בתיווך ריבוזים.
היבט אחד בו התמקדו מבקרי ההשערה הוא שהמארחים הבלעדיים של כל הוירואידים הידועים, האנגיוספרמים, לא התפתחו עד מיליארדי שנים לאחר החלפת עולם ה-RNA, מה שהופך את הסיכוי של וירואידים להופיע באמצעות מנגנונים אבולוציוניים מאוחרים יותר שאינם קשורים ל-RNA.
בין אם הם שרידים של אותו עולם או ממוצא עדכני יותר, תפקידם כ-RNA נחשב כיום כאנלוגי לזה הנחזה בעולם ה-RNA.
הגנומים של התאים הקדומים, הפרוטו-תאים, מורכבים מ-RNA חד-גדילי, וגנים בודדים מתאימים למקטעי RNA נפרדים, במקום להיות מקושרים מקצה לקצה כמו בגנומים של DNA של ימינו.
פרוטו-תא שהיה הפלואידי (עותק אחד של כל גן ל-RNA) יהיה פגיע לנזק, שכן נגע בודד בכל מקטע RNA עלול להיות קטלני לפרוטו-תא על ידי חסימת שכפול או עיכוב תפקוד של גן חיוני.
ניתן להפחית את הפגיעות לנזק על ידי שמירה על שני עותקים או יותר של כל מקטע RNA בכל פרוטו-תא,על ידי שמירה על דיפלואידיות או פוליפלואידיות.
יתירות הגנום תאפשר החלפת מקטע RNA פגום בשכפול נוסף של ההומלוג שלו.
עם זאת, עבור אורגניזם פשוט כל כך, שיעור המשאבים הזמינים הקשורים בחומר הגנטי יהיה חלק גדול מהמשאב הכולל.
בתנאי משאבים מוגבלים, סביר להניח שקצב הרבייה יהיה ביחס הפוך למספר הפלואידי.
התמודדות עם גנים RNA פגומים תוך מזעור עלויות אנרגטיות היוותה כנראה בעיה מהותית עבור הפרוטו-תאים המוקדמים.
ניתוח עלות-תועלת במסגרתו איזנו עלויות השמירה על יתירות מול עלויות הנזק לגנום.
ניתוח זה הוביל למסקנה שתחת מגוון רחב של נסיבות, האסטרטגיה שנבחרה תהיה שכל פרוטו-תא יהיה הפלואידי, אך יתמזג מעת לעת עם פרוטו-תא הפלואידי אחר כדי ליצור דיפלואיד זמני.
השמירה על המצב ההפלואידי ממקסמת את קצב הצמיחה.
ההיתוכים התקופתיים מאפשרים הפעלה מחדש הדדית של פרוטו-תאים שניזוקו, אם לפחות עותק אחד נטול נזקים של כל גן RNA קיים בדיפלואיד החולף, ניתן ליצור צאצא בר-קיימא.
כדי שייווצרו שניים, ולא אחד, תאי בת קיימא ידרשו שכפול נוסף של גן ה-RNA השלם ההומולוגי לכל גן RNA שנפגע לפני חלוקת הפרוטו-תא המאוחד.
מחזור הרבייה הפלואידי, עם היתוך מדי פעם למצב דיפלואידי חולף, ואחריו פיצול למצב הפלואידי, יכול להיחשב.
השערת קולץ (Collatz) היא בעיה בתורת המספרים, הקשורה בהתייצבות של תהליך חישובי מסוים.
ההשערה קרויה על-שם המתמטיקאי הגרמני לותר קולץ, שפרסם אותה ב-1937, והיא ידועה גם בשמות השערת 3n+1 או השערת אולם (על שם סטניסלב אולם).
מגדירים כלל, באופן הבא: מספרים זוגיים יש לחלק בשתיים, בעוד שמספרים אי-זוגיים יש להכפיל בשלוש ולהוסיף לתוצאה אחת.
ההשערה היא שהפעלה חוזרת של כלל זה על מספר טבעי כלשהו תביא בסופו של דבר למספר 1, ואין זה משנה מהי נקודת ההתחלה.
לדוגמה, הפעלת התהליך על המספר 11 מביאה ל-34, משם ל-17, ואחר-כך, לפי הסדר, .
בדוגמה זו, כמו במקרים רבים אחרים, מתקבלים מספרים גדולים יחסית, אך בסופו של דבר הירידות מתגברות על העליות, והתוצאה מגיעה ל-1. המשך התהליך יוצר סדרה מחזורית:
השערה זו זכתה לתשומת לב רבה, בעיקר משום שהיא קלה לתיאור וקל מאוד לבדוק דוגמאות ספציפיות בעזרת מחשב.
התהליך נבדק עבור מספרים עד סדר גודל של , ולא נמצא אף מספר שמפריך אותה (כלומר, שסדרת המספרים המתחילה בו אינה כוללת 1), אך מאידך, לא ידועה הוכחה כי הדבר נכון לכל מספר שהוא.
פאול ארדש אמר על השערה זו כי "המתמטיקה עדיין לא מוכנה לבעיות כאלה", ואף הציע פרס כספי בן 500 דולר למי שימצא לה הוכחה.
טיעון אינטואיטיבי כרוך בהערכת סדר הגודל של המספרים המעורבים.
נימוק היוריסטי זה אינו מוכיח את הטענה, משום ששום דבר לא מבטיח שהסדרה תעבור דרך מספרים זוגיים באותו שעור כמו מספרים אי-זוגיים.
טרנס טאו עשה צעד משמעותי נוסף בחקר השערה זו כאשר ב-2019 הוכיח את הטענה ההסתברותית שכמעט כל מסלולי קולץ משיגים ערכים כמעט מוגבלים.
במתמטיקה, השערת פואנקרה היא משפט המאפיין את הספירה התלת-ממדית מבין כל היריעות מאותו ממד.
ההשערה, שהציע אנרי פואנקרה בשנת 1904, נחשבה במשך שנים לאחת הבעיות הפתוחות החשובות ביותר בטופולוגיה.
במהלך המאה ה-20 עמלו מתמטיקאים רבים על השערה זו ועל גרסה רב ממדית שלה.
הניסיונת להוכיח את ההשערה הובילו לתוצאות רבות וחשובות בטופולוגיה אלגברית, וזיכו מספר מתמטיקאים במדליית פילדס.
בין היתר, בשנת 1961 הוכחה גרסה של ההשערה עבור ממדים גבוהים מ-4 על ידי סטיבן סמייל (Stephen Smale), ובשנת 1982 הוכחה גרסה 4-ממדית של ההשערה על ידי מייקל פרידמן.
בשנת 2000 נבחרה ההשערה על ידי מכון קליי כאחת משבע בעיות המילניום, שעבור פתרון מלא של אחת מהן מציע המכון פרס כספי בסך מיליון דולר.
בסדרת מאמרים שכתב בשנים 2002 ו-2003, הציג המתמטיקאי גריגורי פרלמן הוכחה להשערה.
הצגת ההוכחה לא הייתה שלמה, ומתמטיקאים רבים בעולם החלו ללמוד את הרעיונות החדשים ולהשלים את הפרטים החסרים.
עד אמצע 2006 התגבשה הסכמה שהוכחתו של פרלמן הביאה את הבעיה אל סיומה, והוא נבחר לקבל את מדליית פילדס, אך דחה אותה.
ב-18 במרץ 2010 הכריז מכון קליי על זכאותו של פרלמן לפרס, אך פרלמן סירב לקבלו.
אחת הבעיות השכיחות בטופולוגיה וגאומטריה היא מחקר של מרחבים, אשר נראים במרחקים קצרים כמרחב אוקלידי.
פני כדור הארץ הם דוגמה למרחב כזה: בעוד שבמרחקים קצרים פני כדור הארץ נראים כמישור, בכללותם הם מהווים ספירה דו-ממדית.
דוגמה נוספת היא מבנה היקום על פי תורת היחסות הכללית.
במרחקים קצרים תורת היחסות הכללית מתלכדת עם תורת היחסות הפרטית לפיה מבנה היקום (כולל ממד הזמן) הוא מרחב 4-ממדי "שטוח" (מקביל בתכונותיו למרחב אוקלידי תלת־ממדי).
אולם מבנה היקום בכללותו מסובך בהרבה.
כדוגמה נוספת, אפשר לתאר נמלה המשוטטת על מעטפת של בלון.
בהנחה שתמונת העולם של הנמלה היא דו-ממדית ומקומית, היא אינה יכולה לדעת האם העולם שלה הוא אכן בצורת פני כדור, או שאולי מדובר במישור המתמשך לאינסוף, או בבקבוק קליין.
מרחבים כאלה, שבאופן מקומי נראים כמרחב אוקלידי בעל ממד קבוע, נקראים בטופולוגיה יריעות.
כשחוקרים יריעות מבחינה טופולוגית, אין משמעות כמותית למושג מרחק אלא מתעניינים רק בתכונות היריעה הנשמרות תחת מתיחות וכיווצים.
לדוגמה, מבחינה טופולוגית, בלון אינו משתנה אם מנפחים אותו, או מעוותים את צורתו, למעשה הוא שקול מבחינה טופולוגית לפני כדור הארץ.
בשם "הספירה התלת-ממדית" () מתכוונים לשפתו התלת-ממדית של כדור במרחב האוקלידי הארבע-ממדי, כלומר לקבוצה מהצורה .
באופן דומה, "הספירה הדו-ממדית" היא שטח הפנים של כדור תלת-ממדי, כגון פני כדור הארץ, ו"הספירה החד-ממדית" היא מעגל.
הראשונה היא יריעה דו-ממדית, והשנייה – יריעה חד-ממדית.
באופן פורמלי ניתן להגדיר יריעה טופולוגית בצורה הבאה:
קבוצה במרחב האוקלידי מהווה יריעה טופולוגית (ללא שפה) מממד אם לכל נקודה קיים כדור פתוח סביבה כך ש החיתוך הומיאומורפי למרחב האוקלידי , כלומר קיימת פונקציה רציפה חד-חד ערכית ועל .כך שההעתקה ההופכית של גם היא רציפה.
יריעה טופולוגית היא הגרסה הבסיסית ביותר של מושג היריעה.
יש גרסאות נוספות המבוססת על גרסה זו.
השערת פואנקרה, בנסוחה המקובל עוסקת ביריעות טופולוגיות.
הקבוצה נקראת קומפקטית אם היא סגורה וחסומה.
יריעה נקראת קשירה (מסילתית) אם כל שתי נקודות ב ניתן לחבר בעקום המשוכן ב-.
היריעה נקראת פשוטת קשר אם כל עקום סגור ב- אפשר לכווץ, כלומר להקטין אותו ברציפות (מבלי שאף חלק ממנו יצא מ-) לנקודה.
עקום סגור הוא העתקה רציפה ממעגל ל .
לכווץ את העקום משמעו להרחיב העתקה זו להעתקה רציפה מעיגול ל-.
להשערת פואנקרה יש הכללה ליריעות מממד כלשהו.
הכללה זו נקראת השערת פואנקרה המוכללת .
ולעיתים גם סתם השערת פואנקרה.
להכללה זו מספר ניסוחים שקולים.
אחד מהם מבוסס על מושג השקילות ההומוטופית.
באופן אינטואיטיבי שני מרחבים טופולוגיים ו- שקולים הומוטופית, אם כל אובייקט שניתן לכיווץ ב- ניתן גם לכיווץ ב-.
באופן יותר פורמלי שקילות הומוטופית היא העתקה רציפה כך שקיימת העתקה רציפה כך שההרכבות ו- הומוטופיות להעתקות הזהות (על המרחבים ו- בהתאמה).
כלומר, ניתן לשנות את ו- באופן הדרגתי עד שיהפכו להעתקת הזהות.
כעת ניתן לנסח את השערת פואנקרה המוכללת כך:
על פניו השערה זו, למקרה , נראית חלשה יותר מהשערת פואנקרה.
בעוד שברור שכל מרחב טופולוגי ששקול הומוטופית לספירה (מממד גדול מ-1) הוא פשוט קשר, ההפך אינו נכון באופן כללי.
הטענה הבאה סוגרת פער זה:
טענה: אם יריעה טופולוגית -ממדית (ללא שפה) קומפקטית קשירה ופשוטת קשר כך שלכל חבורות ההומולוגיה מתאפסת אז שקולה הומוטופית לספירה -ממדית.
טענה זו מספקת מספר ניסוחים שקולים להשערת פואנקרה המוכללת.
למשל, במקום לדרוש ש- שקול הומוטופית לספירה די לדרוש ש- פשוטת קשר ושחבורות ההומולוגיה שלה איזומורפיות לאלה של הספירה.
גרסאות לסוגים שונים של יריעות
בתקופתו של פואנקרה המושג יריעה עדיין לא הוגדר כראוי.
במחצית הראשונה של המאה ה-20 הוגדרו מספר גרסאות למושג היריעה.
השערת פואנקרה מתייחסת ליריעות טופולוגיות שהוא המושג הכללי ביותר של יריעה.
יש להשערת פואנקרה גרסאות עבור סוגים נוספים של יריעות: יריעות חלקות (יריעות שעליהן ניתן להגדיר את מושג הנגזרת) ויריעות ליניאריות למקוטעין , (מושג שמהווה מושג ביניים בין יריעות טופולוגיות ויריעות חלקות).
באופן עקרוני, אף אחת מגרסאות אלה אינה גוררת את האחרת.
לדוגמה, כל יריעה חלקה היא יריעה טופולוגית אבל לא להפך, כך שההשערה עבור יריעות טופולוגיות היא כללית יותר מאשר ההשערה עבור יריעות חלקות.
אולם, אם יריעה חלקה היא הומיאומורפית לספירה (שקולה לספירה כיריעה טופולוגית) אין זה אומר שהיא דיפיומורפית לה (שקולה לספירה כיריעה חלקה), כך שההשערה עבור יריעות טופולוגיות לא גוררת את השערה עבור יריעות חלקות.
לפי משפט מויס , כל הגרסאות האלה שקולות זו לזו בממד 3. בממד כללי רק הגרסה ליריעות טופולוגיות הוכחה.
הגרסה ליריעות חלקות הופרכה והגרסה ליריעות ליניאריות למקוטעין עודנה פתוחה.
עקומים לא מהווים מוקד עניין בטופולוגיה גאומטרית ואלגברית.
בפרט העקום (ללא שפה) הקומפקטי הקשיר היחיד (עד כדי הומיאמורפיזם) הוא מעגל.
בתקופתו של פואנקרה, לפני שמושג היריעה הוגדר באופן פורמלי, עובדה זו לא נחשבה לטענה שדורשת הוכחה, ולכן גם המקרה החד-ממדי של השערת פואנקרה נחשב לטריוויאלי.
בתחילת המאה ה-20, כאשר מושג היריעה הוגדר פורמלית, גם מוינו כל העקומים ובהתאם הגרסה החד-ממדית של השערת פואנקרה מעולם לא היוותה מוקד עניין.
מיון של משטחים קומפקטיים התבצע בעיקרו במהלך המאה ה-19. המיון התפתח באופן הדרגתי והתבצע על ידי מספר מתמטיקאים.
מיון זה לא היה ריגורוזי, בין היתר מכיוון שהמושג המודרני של יריעה לא היה קיים.
מיון ריגורוזי הושלם בשנות ה-20 על ידי ברהאנה.
פואנקרה, שהיה מהאבות המייסדים של הטופולוגיה האלגברית, פיתח את מושג ההומולוגיה - אחד הכלים הראשונים שפותחו במסגרת הטופולוגיה האלגברית.
תורת ההומולוגיה מצמידה לכל מרחב טופולוגי סדרה של חבורות אבליות הנקראות חבורות ההומולוגיה שלה.
למרחבים הומיאומורפיים יש חבורות הומולוגיה איזומורפיות.
פואנקרה חישב את חבורות ההומולוגיה של כל המשטחים הקומפקטיים וגילה שגם ההפך נכון: אם חבורות ההומולוגיה של שני משטחים איזומורפיות אז המשטחים הומיומורפיים.
עובדה זו מוכיחה את הגרסה הדו-ממדית של השערת פואנקרה.
גנוס = 1גנוס = 2גנוס = 3מישור פרויקטיבי
גנוס = 1גנוס = 2גנוס = 3 המיון של משטחים סגורים (משטחים קומפקטיים ללא שפה) יחד עם חבורות ההומולגיה שלהם והגנוסים שלהם.
בשורה הראשונה משטחים אוריינטביליים ובשורה השנייה משטחים לא אוריינטביליים.
המקרה התלת-ממדי - ניסוח ההשערה
פואנקרה תהה אילו תכונות מטופולוגיה אלגברית דרושות כדי לאפיין גופים טופולוגיים פשוטים, כמו הספירה התלת-ממדית.
בטופולוגיה האלגברית ידועה שיטה נוספת, שהיא במובנים מסוימים עדינה יותר מן ההומולוגיה.
התבוננות בלולאות העוברות במרחב נתון מאפשרת להצמיד לו חבורה נוספת, הקרויה החבורה היסודית, שאינה חייבת להיות אבלית.
חבורה זו היא טריוויאלית (כלומר, יש בה רק איבר אחד), אם כל לולאה סגורה העוברת במרחב אפשר לכווץ בהדרגה לנקודה, בלי לצאת מגבולות המרחב.
מרחב שיש לו תכונה זו נקרא מרחב פשוט קשר.
הספירה היא פשוטת קשר, בעוד שלספירת פואנקרה יש חבורה יסודית מסדר 120 ולכן הם אינם יכולים להיות הומיאומורפיים זה לזה.
בעקבות הבחנה זו, העלה פואנקרה את ההשערה שאם ליריעה תלת-ממדית סגורה יש אותה חבורה יסודית כמו לספירה, אזי היא הומיאומורפית אליה.
סמואל אלנברג, ווטולד הורביץ וג'ון וייטהד.
מאבותיה של הטופולוגיה האלגברית המודרנית.
במחצית הראשונה של המאה ה-20 תחום הטופולוגיה בכלל והטופולגיה האלגברית והגאומטרית בפרט התפתח מאוד.
התפתחות זו אפשרה את הניסוח המודרני והמדויק של ההשערה.
היא גם אפשרה לעמוד על דקויות בניסוח ההשערה שלא היו ברורות קודם לכן, ובהתאם נוסחו מספר גרסאות להשערה.
כמו כן נוצר עניין בהכללות של ההשערה לממדים גבוהים מ-3. הכלים שפותחו בתקופה זו היוו את אבני הבניין בהוכחות ההשערה, הכללותיה וגרסאותיה.
בעשור השני של המאה ה-20 פיתח פליקס האוסדורף את המושג מרחב טופולוגי.
אומנם תחום הטופולוגיה היה קיים כבר שנים רבות אך מושג זה אפשר לנסח תוצאות והשערות בתחום בצורה ריגורוזית הדומה לצורה שבה מתמטיקאים מדברים עליהן כיום.
עבודותיו של האוסדורף לא התמקדו ביריעות אלא במרחבים טופולוגיים ומטריים כלליים.
כשהוכחה השערת פואנקרה, כמאה שנים לאחר האוסדורף, התברר שכחלק מההוכחה הופיעו מרחבים מטריים שאינם יריעות כלל.
עבודתו של האוסדורף על מרחבים אלו הייתה שימושית מאוד בהוכחה.
ספציפית, המושג מרחק האוסדורף, המהווה מושג של מרחק בין שתי תת-קבוצות של מרחב מטרי, היה הבסיס לאחד הכלים בהוכחה.
בהתבסס על עבודותיו של האוסדורף נתן הרמן וייל הגדרה ריגוזית למושג יריעה חלקה.
המיון הריגורוזי של משטחים התבצע בשנות ה-20 על ידי ברהאנה,
באופן סיסטמטי יותר פותח מושג היריעה על ידי הסלר ויטני.
עבודות אלה אפשרו לנסח את השערת פואנקרה באופן ריגורוזי, כמו כן אפשרו לעמוד על ההבדלים בין הגרסאות עבור מחלקות יריעות שונות: יריעות טופולוגיות ויריעות חלקות.
עבודותיו של פואנקרה הניחו את היסודות לטופולוגיה האלגברית המודרנית.
עם זאת, הגדרותיו לא היו מלאות.
למשל מושג ההומולוגיה שפואנקרה הגדיר הניח קיום של טריאנגולציה על יריעה – דבר שאינו קיים באופן כללי.
כמו כן, ההומולוגיות של פואנקרה לא היו חבורות (כפי שהן היום) אלה מספרים הנגזרים מחבורות אלה.
מתמטיקאים רבים (אמי נטר, ג'יימס אלכסנדר, סולומון ליפשיץ ואחרים) שיפרו הגדרות אלה עד שבשנת 1944 הגיע סמואל אלנברג להגדרה המקובלת כיום.
עבודתו של פואנקרה היוותה גם את הבסיס לתורת ההומוטופיה.
פואנקרה הגדיר את החבורה היסודית שהיא הראשונה בסדרה של חבורות הנקראות חבורת הומוטופיה.
את יתר חבורת ההומוטופיה הגדירו אדוארד צ'אך וווטולד הורביץ בשנות ה-30. הורביץ הגדיר גם את מושג השקילות ההומוטופית והוכיח את משפט הורביץ החוקר את הקשר בין הומולוגיה והומוטופיה.
פיתוח חשוב נוסף בתחום הטופולוגיה האלגברית היה מושג הקומפלקס התאי.
מושג זה פותח על ידי ג'ון וייטהד ומהווה מסגרת טובה עבור הטופולוגיה האלגברית.
כל התוצאות בטופולוגיה האלגברית עובדות בצורה מיטבית עבור מרחבים אלה.
וייטהד הגדיר גם את מושג השקילות ההומוטופית החלשה והוכיח את משפט וייטהד שאמר שעבור קומפלקסים תאיים, שקילות הומוטופית חלשה שקולה לשקילות הומוטופית.
כפי שהוסבר מעלה, פיתוחים אלה אפשרו להראות שיריעה (טופולוגית) המקיימת את תנאי השערת פואנקרה שקולה הומוטופית חלש לספירה תלת־ממדית.
אולם באותו שלב עדיין לא היה ידוע שעל יריעות כאלה יש מבנה של קומפלקס תאי, כך שלא היה ניתן להסיק מכך שהיריעה שקולה הומוטופית לספירה.
בשנות ה-30 וה-40 החלו להופיע גרסאות של ההשערה לממדים גבוהים יותר.
במקרה הרב-ממדי, לא כל היריעות הקומפקטיות (ללא שפה) פשוטות הקשר שקולות הומוטופית לספירה.
לכן הן גם לא יכולות להיות הומיאומורפיות לה.
לכן יש צורך בהנחות נוספות על היריעה.
אחת מהגרסאות המקובלות להשערת פואנקרה המוכללת אומרת
שכל יריעה (קומפקטית בלי שפה) אשר שקולה הומוטופית לספירה גם הומיאומורפית לה.
כפי שהוסבר למעלה גרסה זאת שקולה לגסאות חזקות יותר, שדורשות פחות תנאים על היריעה.
גם גרסאות אלה הופיעו באותה תקופה, אך השקילות ביניהם התבררה רק מאוחר יותר.
עם זאת, ניתן היה להסיק מהתוצאות של אותה התקופה, שיריעות המקיימות את הדרישות החלשות יותר בהכרח שקולות הומוטופית חלש לספירה.
תורת מורס החלה את התפתחותה בסוף שנות ה-20. את בסיס התורה פיתח מרסטון מורס ומספר מתמטיקאים המשיכו את פיתוחה.
תורת מורס מאפשרת לפרוס יריעה חלקה לפרוסות קלות יחיסת להבנה.
פריסה זו נקבעת לפי פונקציה על היריעה המקיימת תכונות מסוימות.
פונקציה כזאת נקראת פונקציית מורס.
תורת מורס מהווה כלי מרכזי במחקר יריעות.
רוב ההוכחות החלקיות של הגרסאות השונות של השערת פואנקרה התבססו על תורת מורס בצורה זו או אחרת.
תורת מורס מאפשרת בין היתר להגדיר מבנה תאי על כל יריעה חלקה.
דבר זה מוכיח, בהתבסס על התוצאות הקודמות, שכל יריעה חלקה המקיימת את תנאי ההשערה שקולה הומוטופית לספירה.
בשנת 1934 פרסם וייטהד הוכחה שגויה להשערה.
וייטהד הבין את טעותו מה שהוביל אותו בשנת 1935 לתגלית של יריעה תלת־ממדית (לא קומפקטית ללא שפה) כוויצה שאינה הומיומורפית ל .
יריעה זאת נקראת יריעת וייטהד.
יריעת וייטהד מהווה דוגמה נגדית לגרסה לא קומפקטית של השערת פואנקרה: בעוד שלפי השערת פואנקרה כל יריעה (קומפקטית בלי שפה) ששקולה הומוטופית לספירה גם הומיאומורפית לה, יריעת וייטהד שקולה הומוטופית למרחב האוקלידי אך אינה הומיאומורפית לו.
לאחר עבודותיו של וייטהד ניסו מספר מתמטקאים להוכיח את ההשערה.
ביניהם מקס ניומן, ג'ורג' דה-ראהם, R.
Bing ולפגאנג האקן, אדוין מויס וקריסטוס פאפאקיריאקופוולס.
איש מהם לא הצליח, אך בשנת 1958 בינג הוכיח גרסה חלשה של ההשערה לפיה אם ביריעה (קומפקטית תלת-ממדית ללא שפה) כל לולאה פשוטה (כלומר ללא חיתוכים עצמיים) מוכלת בקבוצה פתוחה ההומיאומורפית לכדור תלת-ממדי אז הומיומורפית לספירה התלת-ממדית.
בשנת 1948, ללא כל קשר להשערת פואנקרה הגדיר אלכסנדר אלכסנדרוב מחלקה של מרחבים מטריים שמכלילה יריעות רימניות.
בשונה מיריעות, המבנה הטופולוגי המקומי של מרחבים אלה שונה מזה של מרחב אוקלידי.
עדיין ניתן לפתח עבורם חלק מהתורה של יריעות רימניות.
למעלה מחצי מאה מאוחר יותר, כשהוכחה השערת פואנקרה, התברר שלמרחבים אלה יש תפקיד חשוב בהוכחתה.
מבנים חלקים על יריעות תלת־ממדיות, ומבנים תאיים על יריעות ממד כללי
בשנת 1952 הוכיח אדווין מויס שעל כל יריעה טופולוגית מממד 3 קיים מבנה חלק יחיד (עד כדי דיפאומורפיזם).
לאור תוצאה זאת, הגרסאות של השערת פואנקרה ליריעות שונות, כולן שקולות (לממד 3).
בפרט מקבלים שכל יריעה טופולוגית (תלת־ממדית) המקיימת את תנאי ההשערה שקולה הומוטופית לספירה.
ההוכחה של השערת פואנקרה השתמשה במשפט מויס, מכיוון שהשלב הראשון בהוכחה הוא בחירה של מבנה חלק על היריעה.
מבנה זה קיים בזכות משפט מויס.
משפט מויס לא תקף בממדים גבוהים מ-3 .
אולם, לפי משפט של רובין קירבי , כל יריעה טופולוגית שקולה הומוטופית לקומפלקס תאי, לכן גם בממדים אלו די לדרוש שקילות הומוטופית חלשה לספירה (או כל תנאי שקול כפי שתואר מעלה) כדי להבטיח את תנאי השערת פואנקרה המוכללת.
עם זאת משפט קירבי הוכח רק ב-1969, מספר שנים לאחר שהוכחה השערת פואנקרה המוכללת לממדים גדולים מ-4.
בתחילת שנות ה-50 עסק המתמטיקאי רנה תום בתורת הקו-בורדיזם (שיסודותיה הונחו על ידי פונטריאגין).
תורה זו חוקרת יריעות עד כדי יחס שקילות חלש יותר מהומיאומורפיזם הנקרא קו-בורדיזם.
יש מספר גרסאות למושג קו-בורדיזם.
באופן אינטואיטיבי, קו-בורדיזם בין שתי יריעות (קומפקטיות בלי שפה) ו- ממד הוא דרך לחבר ביניהן על ידי יריעה מממד .
באופן פורמלי יותר, על פי אחת הגרסאות, קו-בורדיזם בין ו- הוא יריעה (קומפקטית עם שפה) כך ששפתה מורכבת מהאיחוד הזר של ו-.
תום הראה שאוסף כל היריעות מממד מסוים, עד כדי קו-בורדיזם, מהווה חבורה.
הוא גם תיאר חבורה זו (במובן מסוים).
בין היתר הראה תום שיריעה המקיימת את התנאים של השערת פואנקרה המוכללת קו-בורדנטית לספירה (מאותו ממד).
חלק גדול מההתקדמות בהשערת פואנקרה המוכללת, לרבות הוכחתה לממדים גדולים מ-3, מבוססת על טענה זו.
עבודותיו של תום על תורת הקו-בורדיזם זיכו אותו במדליית פילדס בשנת 1958.
באמצע שנות ה-50 עבד על ההשערה המתמטיקאי ג'ון מילנור.
בהתבסס על עבודותיהם של תום ופונטריאגין הוא הצליח לבנות אינווריאנט של יריעות חלקות המקיימות את תנאי ההשערה.
כלומר, הוא התאים לכל יריעה חלקה כזו אובייקט מסוים, כך שאם שתי יריעות כאלה דיפאומורפיות (זאת אומרת שקיימת העתקה גזירה חד-חד ערכית ועל ביניהן שההעתקה ההופכית לה גם-כן גזירה) אז האובייקטים המתאימים לשתיהן שווים.
הוא הצליח לבנות דוגמה ליריעה חלקה 7-ממדית (שמקימת את תנאי ההשערה) שאינווריאנט זה עבורה שונה מאשר ערכו עבור הספירה ה-7 ממדית.
בכך הוא הוכיח שיריעה זו אינה דיפאומורפית לספירה ה-7 ממדית.
תחילה חשב מילנור שהפריך את השערת פואנקרה המוכללת, אך במהרה הבין כי למעשה היריעה שבנה דווקא הומיאומורפית לספירה (הוא הוכיח זו על ידי תורת מורס), אבל לא דיפאומורפית לה.
הייתה זו הדוגמה הראשונה ליריעות שהן הומיאומורפיות אך לא דיפאומורפיות.
דוגמה זו הפתיעה מאוד את מילנור ואת הקהילה המתמטית, כיוון שעד אותו שלב ההערכה הייתה שדוגמה כזו אינה קיימת.
מאז, יריעות ההומיאומורפיות לספירה אך לא דיפאומורפיות לה נקראות ספירות אקזוטיות.
באופן כללי יותר, יריעות חלקות הומיאומורפיות ליריעה חלקה נתונה אך לא דיפאומורפיות לה נקראות מבנים אקזוטיים על .
מילנור יחד עם שותפים מיינו את כל הספירות האקזוטיות מכל ממד למעט 4.
גילוי הספירות האקזוטיות זיכה את מילנור במדליית פילדס בשנת 1962.
ההוכחה למקרה שהממד גדול מ-4
בשנת 1961 הוכיח סטפן סמייל את השערת פואנקרה המוכללת עבור ממדים גדולים מ-4. בשנת 1962 הכליל סמייל תוצאה זו למשפט שאומר, שקיום קו-בורדיזם בין יריעות שממדם גדול מ-4 המקיים תנאים מסוימים, גורר קיום הומיאומורפיזם בין יריעות אלה.
קו-בורדיזם שמקיים תנאים אלו נקרא -קו-בורדיזם, ומשפטו של סמייל אודות קו-בורדיזמים אלו נקרא משפט ה-h-קו-בורדיזם.
זמן קצר לאחר הוכחתו של סמייל הוכיחו ג'ון סטאלינג וקריסטופר זימאן את אותו משפט בדרך אחרת.
הן הוכחתו של סמייל והן אלה של סטאלינג וזימאן היו תקפות רק ליריעות חלקות (כמו גם ליריעות ליניאריות למקוטעין).
לא על כל יריעה טופולוגית קיים מבנה חלק, כך שההוכחה אינה מתאימה לכל היריעות הטופולוגיות.
בשנת 1966 הוכיח מקס ניומן את המשפט עבור יריעות טופולוגיות כלליות מממדים גדולים מ-4 בהתבסס על השיטה של סטאלינג.
למעשה ניומן הוכיח משפט חזק יותר: כל יריעה טופולוגית קומפקטית ללא שפה מממד גדול מ-4 השקולה הומוטופית חלש לספירה, גם הומיאומורפית לה.
בדיעבד משפט זה שקול להשערת פואנקרה לממדים אלה, אך זה נובע ממשפט של קירבי שהוכח מספר שנים מאוחר יותר.
באופן שיטחי ולא מדויק ניתן לתאר את הוכחתו של סמייל להשערה כך: תחילה משתמשים במשפט תום כדי להראות שיריעה -ממדית המקיימת את תנאי ההשערה מהווה שפה של יריעה (עם שפה) קומפקטית .
לאחר מכן מבצעים סדרה סופית של פעולות ה"משפרות" את .
לבסוף מוכיחים שלאחר מספיק פעולות הופכת לכדור -ממדי.
מכאן ש- חיובת להיות הספירה.
בממד נמוך מ-4 "אין מספיק מקום" כדי לבצע פעולות אלה.
בממד-4 אומנם ניתן לבצען, אך הן לא "משפרות את המצב".
הוכחתו זו זיכתה את סמייל במדליית פילדס בשנת 1966.
בשנת 1982 הצליח מייקל פרידמן להכליל את תוצאתיו של סמייל למקרה ה-4-ממדי.
הוא סיפק גרסה 4-ממדית של משפט ה-h-קו-בורדיזם והוכיח את השערת פואקרה המוכללת עבור ממד 4. יתר על כן, הוא סיפק מיון מלא של כל היריעות ה-4-ממדיות הקופקטיות פשוטות הקשר.
באופן אינטואיטיבי, הוכחתו התבססה על בניה אינסופית בה מבצעים את התהליך שביצע סמייל אינסוף פעמים ומראים שאז הוא באמת "משפר את המצב".
על הוכחת השערת פואנקרה בממד 4 קיבל פרידמן מדליית פילדס בשנת 1986.
מבנים אקזוטיים על יריעות 4-ממדיות
תוצאותיו של פרידמן, בשילוב עם תוצאות של דונלדסון על אינווריאנטים של יריעות חלקות 4-ממדיות, הובילו למציאת דוגמאות של מבנים אקזוטיים על יריעות 4-ממדיות (דבר שלא היה ידוע קודם).
בפרט נמצאו מבנים אקזוטיים על המרחב האוקלידי ה-4-ממדי .
מרחב זה הוא המרחב האוקלידי היחיד בעל מבנים אקזוטיים.
שאלת קיומם של מבנים אקזוטיים על הספירה ה-4-ממדית עודנה פתוחה.
על מציאת מבנים אקזוטיים על קיבל דונלדסון את מדליית פילדס בשנת 1986.
מרחק גרומוב-האוסדורף ומשפט הקומפקטיות של גרומוב
בשנת 1975 פיתח דויד אדוארדס גרסה אבסולוטית למרחק האוסדורף.
גרסה זאת נקראה לימים "מרחק גרומוב-האוסדורף".
בעוד שמרחק האוסדורף מוגדר עבור תת-קבוצות במרחב מטרי נתון, מרחק גרומוב-האוסדורף מוגדר עבור מרחבים מטריים קומפקטיים כלשהם, ללא שיהיה צורך לשכנם במרחב מטרי גדול יותר.
מושג זה מאפשר לדון במרחב המטרי של כל המרחבים המטריים.
בשנת 1981 פיתח מיכאיל גרומוב מושג זה מחדש, ללא שהיה מודע לעבודותיו של אדוארדס.
גרומוב גם הוכיח תכונות רבות של מושג זה, שהידועה ביניהן היא "משפט הקומפקטיות של גרומוב".
משפט זה אומר שקבוצות מסוימות במרחב המטרי של המרחבים המטריים הן קומפקטיות.
משפט הקומפקטיות של גרומוב מאפשר לראות במרחבי אלכסנדרוב כמקרה גבולי של יריעות רימינות.
למסקנה זאת הייתה חשיבות מכרעת בהוכחת השערת פואנקרה.
בשנת 1982 ניסח ויליאם ת'ורסטון השערה המספקת מיון (חלקי) ליריעות תלת-ממדיות קומפקטיות.
באופן לא פורמלי, ההשערה טוענת שכל יריעה כזו ניתן "להרכיב" מאבני בניין פשוטות יחסית הנקראות גאומטריות.
אבני בניין אלה הן יריעות שעליהן קיימת מטריקה רימנית (מושג כמותי של מרחק) מאוד סימטרית.
באופן פורמלי יותר: כך שלכל על היריעה קיימת איזומטריה של ( מ- לעצמו השומרת מרחק), המעבירה את ל-.
קל יחסית למיין את כל הגאומטריות.
בהתאם גם לא מאוד קשה (בשימוש בכלים סטנדרטיים שהיו קיימים באותה עת) להסיק את השערת פואנקרה מהשערת הגאומטריזציה.
טרם ניסוח השערת הגאומטריזציה באופן כללי הוכיח אותה ת'ורסטון למשפחה רחבה של יריעות תלת-ממדיות.
עבודותיו של ת'ורסטון על יריעות מממד נמוך זיכו אותו במדליית פילדס בשנת 1982.
בשנת 1982 הוכיח ריצ'רד המילטון את "משפט הספירה".
משפט זה אומר שיריעה רימנית (יריעה חלקה עם מטריקה רימנית עליה) המקיימת תנאים מסוימים, היא דיפאומורפית לספירה מממד מתאים.
לשם כך הוא פיתח זרימה גאומטרית שאותה כינה זרימת ריצ'י (היום היא מכונה לעיתים גם זרימת המילטון-ריצ'י).
זרימה גאומטרית היא דרך לשנות את הגאומטריה של אובייקט מסוים באופן רציף והדרגתי.
זרימת המילטון-ריצ'י משנה את המטריקה הרימנית על היריעה (מבלי לשנות את היריעה עצמה) על ידי הוספה של עקמומיות ריצ'י שלה (עם מקדם) למטריקה.
תהליך זה הופך את היריעה לסימטרית יותר.
המילטון הוכיח שבתנאי המשפט היריעה תהפוך בסופו של דבר לספירה מבחינה מטרית, ומכיוון שהזרימה אינה משנה את המבנה הטופולוגי, זו ראיה לכך שמלכתחילה הייתה דיפאומורפית לספירה.
זרימת המילטון-ריצ'י מוגדרת על ידי מערכת משוואת דפרנציאליות חלקיות.
הזרימה מהווה פתרון למערכת הזו.
מערכת משוואות זו דומה למשוואת החום אלא שבמקום לפזר חום היא "מפזרת" עקמומיות.
לכן, המטריקה הופכת ליותר סימטרית לאורך הזרימה.
כפי שקורה במקרים רבים של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, ליריעות רימניות כלליות, למערכת משוואות זו אין פתרון המתקיים לאורך זמן, לכן זרימת ריצ'י "נתקעת" לאחר זמן מה.
במהלך שנות ה-80, בעקבות הצעה של שינג טונג יאו הגה המילטון אסטרטגיה להוכחת השערת הגאומטריזציה המבוססת על זרימת ריצ'י.
תחילה בוחרים מבנה של יריעה חלקה על היריעה הנתונה .
קיום (ויחידות) של מבנה כזה היה ידוע עוד בשנות ה-50. לאחר מכן בוחרים מטריקה רימנית כלשהי על .
קל להוכיח קיום של מטריקה רימנית על כל יריעה חלקה.
אז מפעילים את זרימת ריצ'י על היריעה עד אשר היא "תתקע".
קצת לפני שהיא נתקעת "חותכים" את היריעה באופן שיאפשר המשך זרימה על כל אחד מהחלקים בנפרד (תוך כדי התאמת המקדם בזרימה לכל חלק בניפרד).
ממשיכים בתהליך עד שכל אחד מהחלקים מגיע למצב קבוע.
המילטון הראה שמצבים אלו הם בדיוק הגאומטריות.
כעת נותר רק "להרכיב" את היריעה בחזרה מגאומטריות אלה.
בתחילת שנות ה-90 ניסה המילטון לממש אסטרטגיה זו, ואף הצליח בכך במספר רב של מקרים.
אך בסופו של דבר נקלע למבוי סתום ולא הצליח להוכיח את ההשערה.
בשנת 2011 כעשור לאחר שהשערת פואנקרה הוכחה על ידי פרלמן באמצעות זרימת המילטון-ריצ'י, זכה המילטון בפרס שאו על פיתוח זרימה זו.
הכלת הבעיה בפרס המילניום של קליי
בשנת 2000 פרסם מכון קליי רשימה של שבע בעיות במתמטיקה לכבוד תחילת המילניום השלישי.
מכון קליי הבטיח פרס בסכום של מיליון דולר על פתרון כל אחת מהבעיות.
הבעיות נגעו לתחומים הבאים: פיזיקה מתמטית, תורת המספרים (האנליטית והאלגברית), תאוריה של מדעי המחשב, גאומטריה אלגברית וטופולוגיה אלגברית וגאומטרית.
השערת פואנקרה הייתה הבעיה השישית ברשימה זו.
היא הייתה הבעיה היחידה שניתן לשייך לתחומי הטופולוגיה האלגברית והגאומטרית באופן מובהק.
לצדה הייתה גם השערת הודג' שנמצאת על התפר שבין גאומטריה אלגברית לטופולוגיה אלגברית.
את נוסח ההשערה הרשמי כתב ג'ון מילנור.
בתחילת שנות ה-90 עבד גריגורי פרלמן על מרחבי אלכסנדרוב יחד עם יורי בורגו, מיכאיל גרומוב ואנטון פטרונין.
בשנת 1992 נסע פרלמן לארצות הברית למספר שנים.
בתקופה זו הוא שמע הרצאה של ריצ'רד המילטון.
לאחר ההרצאה שוחח פרלמן עם המילטון ארוכות.
בשיחה זו סיפר לו המילטון את כל ההתקדמות שהייתה לו בהוכחת השערת פואנקרה.
זמן מה לאחר מכן (בשנת 1996), לאחר שפרלמן ראה פרסום של המילטון ב-arXiv, הוא פנה להמילטון והציע לו לשתף פעולה בניסיון להוכיח את ההשערה.
לאחר שהמילטון לא ענה להצעה זו, חזר פרלמן לרוסיה (למכון סטקלוב בסנט-פטרסבורג) לעבוד על ההשערה בגפו.
פרלמן הבין שכאשר זרימת ריצ'י נתקעת, היא הופכת את היריעה למרחב אלכסנדרוב, ולכן קיווה שבעזרת מרחבי אלכסנדרוב יוכל להתקדם במקום שבו נעצר המילטון.
פרלמן עמל על ההשערה כשבע שנים ולבסוף, בשנים 2002–2003 פרסם את עיקרי הוכחתו להשערת פואנקרה בסדרה של שלושה מאמרים ב-arXiv.
המתמטיקאים שאימתו את ההוכחה של פרלמן בתחילת המאה ה-21.
מימן לשמאל מלמעלה למטה: ברוס קלינר, ג'ון לוט, ג'ון מורגן וגאנג טיאן
פרסום תוצאות מתמטיות חשובות באתר אינטרנט כדוגמת ה-arXiv לפני פרסום בכתב עת מדעי, הוא דבר מקובל מאוד.
אולם בדרך כלל, לאחר פרסום כזה, המאמר מוגש לכתב עת, שם הוא עובר ביקורת עמיתים.
אחת המטרות של תהליך זה היא בדיקת נכונת הממצאים המוצגים במאמר.
פרלמן בחר שלא להגיש את המאמר לכתב עת, דבר שלא איפשר בדיקה באופן זה.
בנוסף, מאמריו של פרלמן לא הכילו פרטים רבים מההוכחה, ודרשו עבודת השלמה.
מכל מקום, לבעיות מסדר גודל כמו השערת פואנקרה, יש תכופות היסטוריה של "הוכחות" שגויות, והוכחתן מורכבת מאוד, כך שלוקח זמן לקהילה המדעית להשתכנע בשלמות ההוכחה.
לאחר שפרסם את מאמריו, הוזמן פרלמן לתת מספר הרצאת בארצות הברית על עבודתו.
בהרצאות אלה נכחו מומחים רבים בתחומים אליהם נגעה ההשערה.
מספר מתמטיקאים החלו לעבוד על אימות ההוכחה והשלמת הפרטים.
בשנת 2006 כתבו ברוס קלינר (Bruce Kleiner), ג'ון לוט (John Lott), ג'ון מורגן (John Morgan) וגאנג טיאן (Gang Tian) מספר מאמרים ב-arXiv שהתבססו על עבודותיו של פרלמן והכילו הוכחה מפורטת של ההשערה.
בשנים 2007–2008 התפרסמו מאמרים אלה בכתבי עת לאחר שעברו ביקורת עמיתים.
נקודה זו היוותה עבור רבים סיום בדיקת ההוכחה.
מאמרים נוספים עם הסברים שונים ופרספקטיבות שונות על ההוכחה התפרסמו בשנים לאחר מכן.
העבודות של קלינר, לוט, מורגן וטיאן לא היו חפות לחלוטין מטעויות.
אולם הטעויות שהתגלו במהלך השנים היו קטנות ותוקנו במהרה.
קלינר, לוט, מורגן וטיאן, כמו גם רוב המתמטיקאים שעבדו על הנושא אחריהם, לא ניסו לנכס לעצמם קרדיט על ההוכחה, כולם הסכימו שפרלמן הוכיח את המשפט בהתבסס על פריצת הדרך של המילטון והעבודות המאוחרות יותר באו רק לבאר את ההוכחה.
פרלמן לאחר שהוכיח את ההשערה
חבריו של פרלמן תארו אותו כאדם סגור למדי מאז ומתמיד.
אולם לפני שהוכיח את ההשערה לא היה פרלמן מנותק מהעולם.
הוא קיים קשרים חברתיים ומקצועיים עם מספר מתמטיקאים.
בשנים שבהן עבד על ההשערה הוא היה מרוכז כמעט לחלוטין בה אך שמר עדיין על קשרים אלו.
בשנתיים הראשונות לאחר שהוכיח את ההשערה המשיך לתקשר עם מתמטיקאים רבים ואף הסכים לשוחח עם עיתונאים.
אולם בשנים לאחר מכן החל פרלמן להתבודד מהעולם ולנתק כמעט כל קשר שהיה לו.
אף על פי שהתהילה הגדולה שזכה לה אפשרה לו למצוא בקלות עבודה מכניסה מאוד, הוא נשאר לחיות בדירה קטנה בסנקט פטרבורג.
יתר על כן, בסוף שנת 2005 התפטר מעבודתו, והודיע לקומץ חבריו שהחליט להפסיק לעסוק במתמטיקה.
הפולמוס סביב התנהגותם של יאו ותלמידיו בנושא
ביוני 2006 פרסמו האו דונג קאו ושי-פינג ז'ו מאמר בז'ורנל האסייתי למתמטיקה תחת הכותרת "הוכחה שלמה של השערת הגאומטריזציה - יישום של תורת זרימת ריצ'י של המילטון-פרלמן".
המאמר פורסם ביוזמת העורך הראשי של כתב העת שינג טונג יאו מורם של השניים, תוך כדי שהוא עוקף את יתר העורכים.
בדומה למאמרים קודמים מאמר זה מציג הוכחה מפורטת להשערה המבוססת על עבודותיו של פרלמן, אך בשונה משאר המאמרים שעשו כן, כותרת המאמר והתקציר שלו, מציגים את המאמר כהוכחה ולא כהצגה מפורטת של הוכחה קיימת.
בנוסף, במאמר הם העתיקו הסברים שפרסמו קודם לכן קלינר ולוט לחלק מהפרטים החסרים אצל פרלמן ללא שציינו את קלינר ולוט.
התנהלותו של יאו (חתן מדליית פילדס) ושל תלמידיו גררה ביקורת קשה.
הפרשה חרגה מגבולות הקהילה המתמטית כאשר באוגוסט 2006 התפרסם מאמר בניו יורקר מאת סילביה נזר ודויד גרובר הסוקר את הפרשה ומאשים את יאו בניסיון ליחס לו ולתלמידיו קרדיט על ההוכחה.
במאמר בניו יורקר נטען כי במסיבת עיתונאים בסין, תיאר יאו איך הוא רואה את חלוקת הקרדיט עבור הוכחה: 50% להמילטון כ־25% לפרלמן ו-30% ליאו ותלמידיו (הסכום לא 100 במקור).
המאמר גם מאשים את יאו בהתנהגות דומה במקרים אחרים.
טען שהציטוט ממסיבת העיתונאים מפוברק, שמעולם לא ניסה לנכס לעצמו או לתלמידיו קרדיט על ההוכחה, ושמעולם לא טען שבהוכחה של פרלמן יש חורים אלא רק שהיא לא ברורה דיה ויש חשיבות להשלמת הפרטים.
יאו אף איים לתבוע את הניו-יורקר.
מספר מתמטיקאים כתבו מכתבי תמיכה ביאו.
ביניהם גם המילטון, שכתב מכתב שמשבח את תרומתו של יאו לתוכנית להוכחת ההשערה עוד בשנות ה-80, מתאר מספר מקרים בהם יאו התנהג בצורה הגונה ואף סירב לקחת קרדיט כאשר הרגיש שלא תרם מספיק לתוצאה מסוימת.
המילטון גם כותב שיאו תמך בהענקת מדליית פילדס לפרלמן ושלמיטב ידיעתו יאו מעולם לא טען שמגיע לו או לאיש מלבד פרלמן והמילטון קרדיט על ההוכחה.
בדצמבר 2006 פרסמו קאו וז'ו ב-arXiv גרסה מעודכנת של מאמרם שבה הם נותנים את מלוא הקרדיט על ההוכחה להמילטון ופרלמן, ומתנצלים על כך שלא התייחסו לקלינר לוט כשהשתמשו בתוצאותיהם.
כמו כן הם פרסמו אראטום בז'ורנל האסייתי למתמטיקה באותו החודש.
המאמר המקורי הוסר מכתב העת באותו הזמן.
זכייתו של פרלמן במדליית פילדס
מדליית פילדס מחולקת בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים המתקיים אחת לארבע שנים.
הפעם הראשונה בה הקונגרס התכנס לאחר פרסומיו של פרלמן הייתה באוגוסט 2006. באותה העת היה קונצנזוס בקהילה המדעית על כך שעבודותיו של פרלמן משמעותיות, אך שלמותה של ההוכחה עדיין לא התבררה באופן סופי.
ועדת פרס פילדס לשנת 2006 בראשות נשיא האיגוד המתמטי הבינלאומי ג'ון באל החליטה להעניק לפרלמן את המדליה "על תרומתו לגאומטריה ותובנותיו המהפכניות למבנה האנליטי והגאומטרי של זרימת ריצ'י".
בהודעה לתקשורת על זכייתו, הם מציינים את הוכחתו של פרלמן להשערת פואנקרה והשערת הגאומטריזציה ואת העובדה שבזמן שעבר לא נמצאו בה חוסרים משמעותיים, אך גם את העובדה שתהליך הבדיקה טרם הסתיים.
פרלמן סירב לקבל את המדליה.
הייתה זו הפעם הראשונה שמתמטיקאי סירב לקבל פרס זה.
לצדו של פרלמן זכו במדליית פילדס באותה שנה עוד שלושה מתמטיקאים על עבודות בתחומים שונים במתמטיקה.
זכייתו של פרלמן בפרס קליי
על פי תקנון פרס קליי, על מנת שפתרון ייבחן על ידי מכון קליי צריכים להתקיים התנאים הבאים:
הפתרון צריך להתפרסם בכתב עת העובר ביקורת עמיתים (אם כתב העת עומד בסטנדרטים מסוימים אפשר לוותר על התנאי האחרון)
צריכות לעבור לפחות שנתיים מאז פרסום זה
ההוכחה צריכה להתקבל על ידי הקהילה המדעית
המכון אינו דורש שהפרסום יתבצע על ידי פותר הבעיה.
כשנתיים לאחר פרסום מאמריהם של קלינר לוט מורגן וטיאן מינה המכון ועדה שבחנה את זכאותו של פרלמן לפרס.
הוועדה כללה את סיימון דונלדסון, דויד גבאי, מיכאיל גרומוב, טרנס טאו ואנדרו ויילס.
בשנת 2010 קבעה הוועדה כי פרלמן הוכיח את ההשערה וזכאי לפרס.
החלטת הוועדה אושרה על ידי המועצה המדעית של מכון קליי (ג'יימס קארלסון, סיימון דונלדסון, גריגורי מרגוליס, ריצ'רד מלרוז, יום-טונג סיו ואנדרו ויילס).
במרץ 2010 פרסם המכון הודעה על זכייתו של פרלמן.
פרלמן התלבט כשלושה חודשים האם לקבל את הפרס.
לבסוף לקראת טקס הענקת הפרס הודיע פרלמן שהוא דוחה את הפרס.
לא ברור מה ההסבר שנתן פרלמן.
מקורות שונים מציינים הסברים שונים.
חלקם נותנים את ההסבר הסתום "הסיבה העיקרית היא חוסר הסכמה עם הקהילה המתמטית.
לא מוצאות חן בעיני ההחלטות שלהם, אני מוצא אותן לא הוגנות" אחרים מוסיפים הסבר מפורט יותר: "אני רואה בתרומתו של המתמטיקאי האמריקאי המילטון לפתרון הבעיה לא פחותה משלי"
השערת פואנקרה כמקרה מבחן לקשר בין תורות גאומטריות
תחומים שונים בגאומטריה עוסקים במחלקות שונות של אובייקטים גאומטריים.
לכל תחום יש את מחלקת האובייקטים שבה הוא עוסק ואת המניפולציות שאפשר לבצע על האובייקטים מבלי שנחשיב אותם לשוניים.
בשפה של תורת הקטגוריות לכל תחום מתאימה קטגוריה.
התחום חוקר את האובייקטים בקטגוריה המתאימה, ושני אובייקטים נחשבים לשקולים אם הם איזומורפיים בקטגוריה המתאימה.
לעיתים כל אובייקט מתחום אחד מהווה גם אובייקט מתחום אחר.
לדוגמה כל יריעה חלקה, מהווה גם יריעה טופולוגית וכל יריעה טופולוגית מהווה גם מרחב טופולוגי.
בשפה של תורת הקטגוריות מצב כזה אומר שיש פונקטור שוכח בין הקטגוריות המתאימות.
פונקטורים שוכחים הם בדרך כלל נאמנים.
אם נתון פונקטור שוכח נאמן אפשר לראות באובייקטים ב - בתור אובייקטים ב- המצוידים במבנה נוסף ומקימים תכונות מסוימות.
לעיתים לא נדרש שום מבנה נוסף.
במקרה כזה הפונקטור השוכח הוא פונקטור מלא וניתן לחשוב על בתור תת-קטגוריה מלאה ב-.
זה המצב לדוגמה במקרה של הפונקטור השוכח בין יריעות טופולוגיות למרחבים טופולוגיים.
לעיתים התנאים הנוספים שנדרשים מערבים רק את המבנה הנוסף, כך שעל כל אובייקט מ- קיים מבנה של אובייקט מ-.
במקרה כזה הפונקטור הוא פונקטור סוריקטיבי עקרונית ואפשר לחשוב על בתור תת-קטגוריה רחבה של .
זה המצב לדוגמה במקרה של הפונקטור השוכח בין מרחבים טופולוגיים לקבוצות.
בהינתן פונקטור שוכח אפשר לשאול את שתי השאלות הבאות:
על אילו אובייקטים מ- קיים מבנה של אובייקט מ-?
כמה מבנים שונים (לא איזומורפים) של אובייקט מ- שיתאימו לאותו אובייקט ב ניתן להגדיר עליו?
ניתן לנסח את שתי שאלות אלה באופן הבא: פונקטור משרה העתקה בין אספי מחלקות האיזומורדיזם של הקטגוריות המתאימות.
עד כמה העתקה זו אינה על?
עד כמה העתקה זו אינה חח"ע?
איך נראית תמונה הפוכה של איבר בתמונה?
לא תמיד יש עינין בשאלות אלה.
אם הפונקטור הוא מלא אז תשובה לשאלה השנייה ברורה (ההעתקה היא חח"ע).
במקרים אלה בדרך כלל התשובה לשאלה הראשונה פשוטה גם כן, כיוון שבדרך כלל מוגדרת בתור תת-קטגורית כל האובייקטים ב- המקימים תכונה מסוימת.
אם הפונקטור סוריקטיבי עקרונית אז התשבה לשאלה הראשונה ברורה (ההעתקה היא על.)
לפעמים, השאלה הראשונה אמורפית מדי ואין לצפות שתהיה לה תשובה סבירה.
למשל אין לצפות לתיאור סביר של אוסף כל המטריקות המשרות טופולוגיה מסוימת.
אולום במקרים רבים שאלות אלה הן קשות ומעניינות מאוד.
אחת הקטגוריות הבסיסיות בטופולוגיה גאומטרית היא קטגורית היריעות הטופולוגיות הקומפקטיות.
אחת הקטגוריות הבסיסיות בטופולוגיה אלגברית היא קטגורית הטיפוסים ההומוטופיים.
הספירות מהוות אובייקטים יסודי בשתי קטגוריות אלה.
השערת פואנקרה עוסקת בשאלה השנייה עבור הפונקטור השוכח בין קטגוריות אלה במקרה הפרטי של הספירה התלת-ממדית.
כשההשערה נוסחה, הספירה התלת־ממדית הייתה הספירה מהמימד הנמוך ביותר עבורה ההשערה לא הייתה ידועה.
היא גם הייתה האחרונה שעבורה נפתרה ההשערה.
באופן כללי, שאלה זאת עדיין פתוחות בשביל אובייקטים כללים בקטגוריות אלה.
מספר מקורות, בניסיון להנגיש את השערת פואנקרה, מנסים לקשר בין ההשערה לבעיית תיאור היקום שלנו.
אולם קשר זה רופף ביותר, מהסיבות הבאות:
על-פי תורת היחסות הכללית, אין משמעות לכלל היקום ברגע זמן אחד, אלא רק למרחב-זמן.
תיאור כזה של היקום הוא 4-ממדי ולא 3-ממדי כך שהשערת פואנקרה (הרגילה) לא מדברת עליו.
יש תאוריות מאוחרות יותר מתורת היחסות שנותנות מספר ממדים שונה אך גם בהן אין משמעות פיזיקלית ליקום תלת-ממדי.
על-פי התאריות הפיזיקליות המקובלות כיום, המרחב-זמן אינו קומפקטי.
ההערכה היא שהיקום ימשיך להתפשט לעד ללא גבול.
המרחב-זמן מכיל (ככל הנראה) נקודות, קווים ומשטחים סינגולריים (המפץ הגדול, חורים שחורים וחורים שחורים מסתובבים בהתאמה).
מבנה היקום בסביבת נקודות אלה עדין לא ברור לחלוטין, כך שייתכן שלא מדובר ביריעה.
ניתן לא להתייחס לנקודות הסינגולריות עצמן כחלק מהיקום, אך אז הוא יהיה "עוד פחות קומפקטי"
ניתן באופן עקרוני לבחור תת-יריעה דמוית חלל העוברת דרכינו בחלל-זמן ולהכריז עליה בתור היקום ברגע זה.
בחירה כזאת תהיה שרירותית ולבחירות שונות עלולות להיות טופולוגיות שונות.
ייתכן שניתן לבחור יריעה זו כך שהיא תהיה הומיאומורפית לספירה התלת-ממדית ובפרט פשוטת קשר.
אולם אין לכך שום ערובה.
אם קיימים חורי תולעת, אז היא לא תהיה פשוטת קשר, ולא תהיה הומיאומורפית לספירה.
גם אם יריעה זו הומיאומורפית לספירה, אין כל סיבה א-פריורי שהיא תהיה פשוטת קשר.
ישנם שיקולים פיזיקליים היוריסטיים המרמזים על כך שהמבנה הגלובלי של יריעה כזאת הוא דמוי ספירה אך הם אינם מתבססים על כך שיריעה זו היא פשוטת קשר.
עם כל זאת, הספירה בכלל והספירה התלת־ממדית בפרט הן מהדוגמאות הבסיסיות לירעות.
זה אחד ממקורות העינין בהשערת פואנקרה.
מודלים רבים המתארים את מבנה היקום מתבססים על הספירה התלת-ממדית בצורה זאת או אחרת.
השערת קְּנוּדְסוֹן (Knudson hypothesis), הידועה גם כ"היפותזת שתי המכות" (Two-Hit Hypothesis), היא השערה כי מחלת הסרטן היא תוצאה של הצטברות מספר מוטציות ב-DNA של התא.
הוצעה לראשונה על ידי קארל נורדלינג בשנת 1953 וגובשה על ידי אלפרד קנודסון בשנת 1971. עבודתו של קנודסון הובילה, באופן עקיף, לגילוי גנים הקשורים לסרטן.
ב-1998 קנודסון זכה בפרס לסקר-דבייקי למחקר קליני רפואי על עבודתו בתחום הגנטיקה של סרטן.
מודל המולטי-מוטציה של הסרטן הוצע על ידי נודרלינג בביטאון הסרטן הבריטי בשנת 1953. הוא ציין כי במדינות המתועשות נראה כי אחוז הסרטן עולה בחזקה שישית לגיל.
קורלציה זו מתאימה להשערה כי התפרצות סרטן דורשת הצטברות של שש מוטציות.
קנודסון ביצע ניתוח סטטיסטי למקרים של רטינובלסטומה, סרטן של הרשתית (רֶטִינָה) שמתרחש גם באופן תורשתי וגם באופן ספורדי (לא מורש).
הוא גילה כי הרטינוסלסטומה המורשת מתרחשת בגיל צעיר יותר מזאת הספורדית.
בנוסף, הילדים בעלי רטינובלסטומה מורשת, במקרים רבים, מפתחים גידולים בשתי העיניים.
קנודסון הציע כי דרושות מספר "פגיעות" ב-DNA כדי לייצר סרטן.
הילדים בעלי רטינובלסטומה מורשת, כבר קיבלו את "הפגיעה הראשונה" ב-DNA שירשו מהוריהם, ופגיעה נוספת עלולה להוביל לסרטן.
ברטינובלסטומה ספורדית נדרשות "שתי פגיעות", מה שמסביר את הגיל מאוחר יותר של ההתפרצויות - וכן את הסיכוי הנמוך להופעת סרטן נרכש בשתי העיניים.
ברמה המולקולרית-גנטית, היווצרות סרטן (קרציוגנזה) תלויה בשינוי פעילותם של שני סוגי תאים: אונקוגנים; וגנים מעכבי גידול (Tumor Suppressor Genes, להלן TSGs).
שני סוגי הגנים הללו מקודדים לתוצרים אשר מווסתים את קצב חלוקת התא.
כאשר מנגנוני הבקרה של האונקוגנים וה-TSGs מופרים, התא המושפע מתחלק ביתר ונוצר נגע סרטני.
אוֹנְקוֹגְנִים, מלשון 'אוֹנְקוֹ' (סרטן), אלה גנים אשר מעודדים את התא להתחלק.
תצורתם התקינה של הגנים הללו נקראת פְּרוֹטוֹ-אוֹנְקוֹגְנִים.
במידה ותתרחש מוטציה אשר תוביל לפעילות יתר של גן מסוג זה, ישתנה שמו מ'פרוטו-אונקוגן' ל'אונקוגן', והתא עלול יהיה לעבור התמרה סרטנית כבר בשלב זה.
כך למשל הגן HER2, אשר ידוע גם בשם ERBB2, מעודד חלוקה תאית תקינה בקרב תאי שַׁד.
בכ-20% מסרטני השד ישנה מוטציית פעילות יתר (Gain of Function) ב-HER2, ובמקרים אלו ניתן להשתמש בתרופה מבוססת נוגדנים אשר תוקפת את תוצרי הגן הנ"ל.
תרופה זו נמכרת תחת המסחרי הרצפטין (Herceptin), והיא הוכחה כיעילה לטיפול בסרטנים מתת-סוג זה.
גנים מעכבי גידול (Tumor Suppressor Genes) הם גנים אשר אחראים על עיכוב הגדילה התאית, או לעידוד מוות תאי מתוכנן (אפופטוזה).
לעיתים מסווגים את הגנים הללו כשייכים לאחת משתי קבוצות: 'Guardians', אשר פועלים כחיישנים ומנטרים את תקינות הגנום; ו-'Governors', אשר פועלים לתיקון הנזק ועצירת חלוקת התא בעת הצורך.
על מנת שיתפתח נגע סרטני, יש צורך במוטציית פעילות חסר (Loss of Function) בשני העותקים של הגן.
עבודתו של קנודסון בדבר סרטן הרשתית (רטינובלסטומה) הצביעה על גן סורר הממוקם על גבי כרומוזום 13. גן זה, אשר קיבל את השם RB לציון ההפרעה הסרטנית לה הוא מקושר, הוא דוגמה נפוצה ל-TSG.
ביתר פירוט, מדובר בגן מדכא סרטן מסוג Governor, אשר מבקר את המעבר משלב ה-G1 לכדי שלב ה-S.
בקרת חלוקת התא מתבצעת על ידי זרחון הגן RB.
כאשר הגן איננו מזורחן, הוא מעכב את הגן מעודד-החלוקה E2F, וכאשר RB מזורחן הוא חדל מלעכב את E2F.
לטענתו של קנודסון, רטינובלסטומה תורשתית, אשר מתבטאת בגיל צעיר ולרוב בשתי העיניים, נובעת מכך שהצאצא יורש עותק אחד מוטנטי של גן זה.
תורשה זו מהווה ה"מכה" הראשונה בהיפותזת שתי-המכות, ומוטציה מקרית בעותק השני (התקין) תהווה ה"מכה" השנייה ותוביל להתפתחות רטינובלסטומה של ממש.
לפיכך באופן מסורתי תאוריית שתי המכות התייחסה לאבדן פעילותם של שני האללים המקודדים לגן TSG מסוים; וזאת להבדיל מ"מכה" בודדת של פעילות יתר באונקוגן, אשר ביכולתה לגרום לתא לעבור התמרה סרטנית לבדה.
כיום ידוע כי אמנם מספיקה מוטציה אחת מסוג Gain-of-Function באלל בודד של אונקוגן, ולחלופין מספיקות שתי מוטציות Loss-of Function בשני האללים של גן TSG, בפועל התמרה סרטנית מתרחשת לאחר הופעת מוטציות במספר גנים שונים.
כמו כן, Loss-of Function של גן ה-RB מאפיין נגעים סרטניים נוספים מלבד רטינובלסטומה, ובהם סרטני שד וסרטני עצם (אוסטאו-סרקומה).
משאבדה הבקרה על חלוקת התא ותקינות הגנום, עולה הסיכון להופעת מוטציות נוספות בתא הפגוע.
אכן, תאים סרטניים נוטים להציג פגיעות גנטיות רבות, עד כדי אברציות כרומוזומליות ואנאופולאידיות.
את המוטציות הרבות אותן תאי הסרטן מציגים נהוג לסווג כ"Driver Mutation" ו-"Passenger Mutation": מוטציות ה'נהג' הן אלו שגרמו לתא לסטות ממסלול התקין וגרמו להתמרה הסרטנית עצמה; ואילו מוטציות 'נוסע' הן אלו שנוצרו מאיבוד הבקרה הגנטית, ונחשבות כתופעת לוואי של הנגע הסרטני.
ברוח זו גם מקובל לציין כי אונקוגנים וגנים מעכבי-סרטן מקבילים למערכת דוושות הגז והבלמים של כלי רכב, כאשר אונקוגנים דומים לדוושת הגז, ואילו TSGs מדמים את דוושת הבלמים.
בתורת האוטומטים הסופיים, השערת צ'רני היא השערה על האורך המקסימלי של מילה מסנכרנת, באוטומט שיש בו מילה כזו.
ההשערה קובעת שאם X היא משפחה של פונקציות מקבוצה בת n נקודות לעצמה, ואפשר ליצור מ-X באמצעות הרכבה פונקציה קבועה, אז יש הרכבה כזו באורך שאינו עולה על
את החסם שההשערה מציעה אי-אפשר לשפר.
לדוגמה, מן התמורה והפונקציה b המעבירה כל נקודה לעצמה, פרט לכך ש- , אפשר להגיע לערך קבוע באמצעות הסדרה , ולא בשום דרך קצרה יותר.
ידוע שההשערה נכונה אם הקבוצה X כוללת מחזור באורך n.
החסם העליון הטוב ביותר הידוע כיום הוא .
השף הוא סרט קומדיה צרפתי שביים והפיק דניאל כהן ויצא לאקרנים ב-7 במרץ 2012.
ז'קי בונו הוא חובב בישול מוכשר שחולם להיות שף במסעדה גדולה.
בגלל מצב נישואיו הוא נאלץ לעבוד במשרות טבח קטנות וגם בהן הוא לא מצליח להחזיק.
בגלל שאשתו בהריון וצריכה לצאת לחופשת לידה הוא צריך לעבוד ונאלץ להבטיח לאשתו כי הוא לא יתקרב למטבחים וכי הוא יחזיק בעבודתו החדשה כאיש תחזוקה בבית אבות.
בבית האבות הוא מגלה את המטבח וממליץ לטבחים על דרכים לשדרוג המנות אותם הם מגישים.
בבית האבות נמצא גם בעליו של רשת המסעדות בהם מסעדתו של אלכסנדר לאגארד.
בנו של הבעלים הוא מנכ"ל רשת המסעדות והוא מעוניין כי שף לאגארד יעזוב את מסעדתו בגלל שהוא מבשל בצורה מיושנת ולא עובר לבישול גסטרונומי מולקולרי.
אולם בחוזהו לא ניתן לפטרו כל עוד הוא שומר על שלושת כוכבי מישלן של מסעדתו.
במהלך מחשבתו על תפריט האביב, מגיע שף לאגארד לבעלי המסעדה להתלונן כי בנו מתנכל לו.
בעל המסעדה מראה לו את המרק שהוגש היום שנעשה בהמלצתו של ז'קי בונו.
שף לאגארד אוהב מאוד את המרק ומעוניין להעסיק את ז'קי בונו במסעדתו כסו-שף לתקופת השתלמות של חצי שנה ללא תשלום.
בגלל הבטחתו של ז'קי לאשתו כי הוא יחזיק בעבודתו נושאת המשכורת הוא מתלבט אם לממש את חלומו ולעבור לעבוד במסעדת לאגארד או לקיים את ההבטחה שהבטיח לאשתו.
לאחר התלבטות הוא מחליט לעבוד במסעדה ולא לספר על כך לאשתו.
בעבודתם יחד הם מסתדרים והמסעדה מתנהלת כראוי עד שמגיע שמועה כי יבואו שני מבקרי מסעדות האוהבים את המטבח המולקולרי.
שף לאגארד מבין כי אין למסעדתו סיכוי להחזיק את שלושת כוכביו אם הוא לא יעבור לתפריט מולקולרי ולכן הוא יחד עם ז'קי בונו פונים למומחה למטבח מולקולרי על מנת ליצור תפריט מתאים.
למרות קשיים הם מצליחים להעמיד מספר מנות מולקולריות והמסעדה שומרת על כוכביה.
למרות זאת, שף לאגארד מחליט לעזוב את מסעדת הגורמה שלו ולעבוד במסעדה רגילה בעיר קטנה ועל המסעדה הוא ממנה את ז'קי בונו כשף ראשי.
השערת קֶתֶה היא השערה מפורסמת בתורת החוגים העוסקת באידיאלים ניליים.
את ההשערה העלה המתמטיקאי האוסטרי גוטפריד קתה (Gottfried Köthe; 1989-1905) ב-1930; אף על פי שהיא פתורה בכמה מקרים חשובים, ההשערה עדיין פתוחה באופן כללי.
השערת קתה שואלת האם בכל חוג (אסוציאטיבי):
האידיאל הדו-צדדי הנוצר על ידי אידיאל שמאלי נילי, הוא בעצמו נילי.
השערה זו שקולה לכל אחת מההשערות הבאות:
הסכום של שני אידיאלים שמאליים ניליים הוא נילי.
אם בחוג אין אידיאל נילי (דו-צדדי), אז אין בו אידיאל נילי חד-צדדי.
לכל חוג מתקיים , כאשר הוא סכום האידיאלים הניליים (=הרדיקל הנילי העליון) ו- הוא סכום האידיאלים השמאליים הניליים (=רדיקל קתה).
לכל חוג נילי, גם חוג המטריצות נילי.
לכל חוג נילי , חוג הפולינומים קוואזי-הפיך (כלומר שווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו; ידוע שחוג הפולינומים של חוג נילי שווה לרדיקל בראון-מק'קוי של עצמו).
אם חוג נילי אז איננו פרימיטיבי.
השקילות לניסוח האחרון נובעת ממשפט של Smoktunowicz, לפיו אידיאלים פרימיטיביים בחוגי פולינומים מעל חוגים ניליים הם הומוגניים.
עם זאת, יצוין כי קיים חוג השווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו, אך חוג הפולינומים מעליו פרימיטיבי.
בדיאגרמה משמאל, השערת קתה (בגרסה "אם נילי אז חוג הפולינומים מעליו נילי"), עם תוצאות קרובות.
הרדיקלים המופיעים בדיאגרמה הם הרדיקל של ג'ייקובסון, רדיקל Behrnes השווה לחיתוך הגרעינים של הומומורפיזמים לחוגים עם אידמפוטנט, ורדיקל בראון-מקוי.
החצים המרוסקים מתארים גרירות טריוויאליות.
החצים בכחול, משפטים (מלמעלה למטה: תוצאות של עמיצור, של Beidar-Fong-Puczylowsi 2001 ושל סמוקטונוביץ' 1999).
החצים באדום: גרירות שאינן נכונות (הבניה של חוג נילי שחוג הפולינומים מעליו אינו נילי היא של סמוקטונוביץ' 2000).