tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
עקום שטוח או יורד נפוץ בתקופות בהן המשק נמצא בשיא או קרוב לכך במחזור העסקים והבנק המרכזי מנסה לדכא לחצים אינפלציוניים באמצעות העלאות ריבית לזמן קצר.
לעיתים קרובות, עקום תשואה הפוך הוא אינדיקטור למיתון מתקרב, אך הניבוי אינו וודאי ובהזדמנויות שונות בעבר לא התממש המיתון.
עקום התשואה מספק למשקיע תמונה נוכחית לגבי גובה הריבית העתידית,
מנקודת ראות המשקיעים מוסדיים (קרנות הפנסיה וקופות הגמל).
בדרך זו מאותתים המשקיעים מוסדיים לבנק המרכזי מה ואיך הם רואים את מצבו של המשק הכלכלי לפי ראייתם.
עקומת אדישות היא מושג בכלכלה המגדיר בצורה גרפית את העדפות הפרט ביחס לשני מוצרים.
על פי הנחות היסוד של המיקרו-כלכלה לכל פרט יש מערכת העדפות על המוצרים הקיימים במשק.
הפרט רוצה לצרוך כמה שיותר מכל אחד מהמוצרים, על מנת למקסם את התועלת שלו, אך המשאבים שבידיו מוגבלים – כלומר, יש לו תקציב מוגבל לצורך רכישת המוצרים.
לצורך בניית העקומה מניחים שבעולם יש שני מוצרים.
ניתן לומר שיש את מוצר X ו-Y מייצג את "כל שאר המוצרים במשק".
נגדיר סל ככמות מסוימת מ-X ומ-Y:
העדפות הפרט באות לידי ביטוי על ידי השוואת התועלת שהוא מקבל מהסלים.
בין כל שני סלים הבאים לפניו הפרט חייב להחליט את אחת מהאפשרויות הבאות:
סל A עדיף על סל B
סל B עדיף על סל A
אני אדיש בין שני הסלים, כלומר הם נותנים לי את אותה תועלת.
אם נחבר את כל הסלים שהפרט אומר כי הוא אדיש בבואו לבחור ביניהם, נקבל עקומת אדישות.
עקומות אדישות אינן חותכות זו את זו.
עקומות האדישות מתארות רמת תועלת, אך אין לתועלת ערך ממשי.
תועלת נמדדת בסולם מדידה אורדינלי ולא קרדינלי.
כלומר הפרט יכול להגיד כי סל מסוים עדיף לו על סל אחר, אך הוא לא יכול לענות על השאלה בכמה הוא עדיף יותר.
כיוון שגודלה המספרי של התועלת חסר משמעות ניתן לשנות את הערך המספרי כל עוד שומרים על הסדר בין עקומות האדישות.
שינוי הערך המספרי, תוך כדי שמירה על הסדר מכונה טרנספורמציה מונוטונית.
ניתן לבצע על עקומת תועלת את כל הפעולות המתמטיות הבאות המשמרות סדר:
שיפוע העקומה נקרא גם "שעור תחלופה שולי" (MRS).
השיפוע מייצג על כמה יחידות X מוכן הפרט לוותר כדי לקבל יחידת Y נוספת, כאשר תועלתו נשארת זהה.
חישוב השיפוע הוא יחס הנגזרות לפי X ולפי Y בסימן שלילי:
במקרה הזה MRS תלוי ביחס הכמויות בין המוצרים.
תוספת ממוצר מסוים ללא יחס קבוע של תוספת מהמוצר השני לא משנה את התועלת מהסל.
במקרה הזה MRS קבוע לכל אורך עקומת האדישות.
כאשר הפרט מעדיף לצרוך מוצר אחד בלבד, למרות ששניהם מוצרים חיוביים.
במקרה הזה צריכה של מוצר מעבר לכמות מסוימת אינה מגדילה את התועלת.
מוצר שנדרש סף צריכה מינימלי ממנו
מוצר רע מוגדר כמוצר שכמות יותר גדולה ממנו מקטינה את התועלת.
במקרה הזה MRS יהיה שלילי, כלומר נרצה לקנות רק את המוצר הטוב.
עקומים הוא מחזה משנת 1979 שכתב המחזאי היהודי-אמריקאי מרטין שרמן.
המחזה עוסק ברדיפה אחר הומוסקסואלים בגרמניה הנאצית, על רקע רציחתו של בכיר פלוגות הסער ארנסט רהם בשנת 1934 בליל הסכינים הארוכות.
מקס, צעיר ברלינאי נהנתן והומוסקסואל, חי את חיי הלילה של ברלין בשנות ה-20 הדקדנטיות.
הוא מבלה במועדוני לילה ומופעי דראג עם אלכוהול וקוקאין.
מקס מתגורר בלופט עלוב יחד עם רודי, רקדן צעיר וממושקף המאוהב בו.
בבוקר שלמחרת ליל הסכינים הארוכות, מקס מתעורר בדירתו עם הנגאובר וזיכרון מעורפל מליל אמש, ומוצא בה את וולף, קצין נאצי צעיר, עימו שכב.
קצינים נאצים פורצים למקום ורוצחים את וולף, בעוד מקס ורודי נמלטים.
השניים מנסים לצאת מגבולות גרמניה, אך נתפסים.
מקס נשלח למחנה הריכוז דכאו, ובדרכו הוא מגלה כי אסירים יהודים עונדים בו טלאי צהוב וכי אסירים הומוסקסואלים עונדים טלאי ורוד.
משום שעונדי הטלאי הוורוד נחשבים לנחותים עוד יותר מעונדי הטלאי הצהוב, מקס מחליט להסתיר את זהותו המינית ולהתחזות ליהודי על מנת לשרוד.
בתוך שגרת הדיכוי של מחנה העבודה מקס פוגש את הורסט, אסיר הומוסקסואל העונד טלאי ורוד.
תחת עיניהם הפקוחות של השומרים הנאצים של המחנה, נרקמת מערכת יחסים סודית ואינטימית בין השניים.
המחזה הועלה לראשונה בלונדון, בתיאטרון רויאל קורט אשר בווסט אנד בתאריך 3 במאי 1979. צוות השחקנים המקורי של ההפקה הבריטית כלל את: איאן מקלן (מקס), טום בל (הורסט), גייל ריצ'רד (פרדי).
בארצות-הברית, המחזה הועלה לראשונה בתיאטרון אפולו החדש אשר בברודוויי בתאריך 2 בדצמבר 1979. צוות השחקנים המקורי של ההפקה האמריקאית כלל את: ריצ'רד גיר (מקס), הדיוקס דוד (הורסט), ג'ורג' הול (פרדי).
הצגת הבכורה של המחזה בשפה העברית התקיימה ב-7 במאי 1983 בתיאטרון העירוני חיפה.
בסרט 1997 הופק סרט קולנוע על פי המחזה.
בסרט, ששמו "עקומים", כשם המחזה, מככבים קלייב אוון, איאן מקלן ומיק ג'אגר.
עקומת בּוֹדֶה היא דרך להצגת פונקציית תמסורת כפונקציה של התדירות, כאשר התדירות מוצגת בציר האופקי בסולם לוגריתמי.
לרוב, פונקציית התמסורת היא פונקציה מרוכבת ולכן הצגתה מורכבת משתי עקומות: עקומת הגבר ועקומת מופע (או פאזה), שיחד מרכיבות את תגובת התדר של המערכת.
עקומת בודה קרויה על שם המהנדס האמריקאי הנדריק וייד בודה שהגה שיטה פשוטה אך מדויקת זו לציור גרפים של הגבר והסטת מופע, כשעבד במעבדות בל בשנות ה-30.
עקום ההגבר הוא גרף של הגבר ההספק בדציבלים – לוגריתם מוכפל ב-10 - כפונקציה של התדר בסולם לוגריתמי.
ניתן לתאר את הגרף גם כריבוע היחס בין משרעת מוצא המערכת לבין משרעת הכניסה בדציבלים כתלות בתדירות בסולם לוגריתמי:
עקום המופע הוא הפרש המופע בין המוצא לכניסה כתלות בתדירות (גם כן בסולם לוגריתמי) והוא לרוב מופיע תחת עקום ההגבר באותו קנה מידה.
עקומת בודה משמשת לתיאור תגובת התדר של מסננים ושל מערכות משוב.
מאחר שההגבר מוצג בדציבלים, מחוקי הלוגריתמים נובע שהן עקום ההגבר והן עקום המופע ליניאריים למקוטעין, והשינויים בשיפוע העקומות מתרחשים סביב הקטבים והאפסים של פונקציית התמסורת.
תדרים אלה נקראים תדרי ברך, תדרי קיטעון או תדרי סינון.
עקומת בודה אסימפטוטית היא עקומה המשורטטת כליניארית למקוטעין.
עקומה המייצגת את תגובת התדר המדויקת נקראת עקומת בודה מתוקנת.
ניתן לכתוב את פונקציית התמסורת של רוב המערכות הליניאריות בצורה:
כאשר הוא המשתנה של התמרת לפלס ( היא התדירות הזוויתית), ו- הם קבועים המייצגים את האפסים והקטבים בהתאמה, ו- הם מספרים טבעיים ו- הוא קבוע.
הפעלת לוגריתם על שני אגפי המשוואה נותנת סכום של הקטבים והאפסים:
עקומת ההגבר האסימפטוטית היא כזו שבכל אפס () ישנה עלייה בשיפוע של דציבל לדקאדה, ובכל קוטב () ישנה ירידה בשיפוע של דציבל לדקאדה.
ההגבהה של הגרף תלויה ב- וניתן לחשב אותה על ידי הצבת ב-.
עקומת ההגבר המתוקנת עוברת מעל העקומה האסימפטוטית בכל אפס ו- מתחת לעקומה האסימפטוטית בכל קוטב.
עקומת המופע מתחילה מהזווית של A בהצגה קוטבית בהמישור המרוכב.
אם ממשי וחיובי העקומה המופע מתחילה ב-0 מעלות ואם הוא שלילי היא מתחילה מ-180 מעלות.
בכל אפס יציב () בעקומת המופע האסימפטוטית ישנה עלייה בשיפוע של מעלות לדקאדה, ובכל קוטב () ישנה ירידה בשיפוע של מעלות לדקאדה.
עבור קטבים ואפסים בלתי יציבים, השינוי הוא הפוך.
השינוי בשיפוע מתחיל דקאדה אחת לפני הקוטב או האפס ומסתיים דקאדה אחת אחריו, כך שכל שינוי הוא של 90 מעלות.
עקומים הוא סרט דרמה בריטי-יפני משנת 1997, בבימויו של שון מתיאס, המבוסס על מחזה באותו השם משנת 1979 מאת מרטין שרמן, אשר כתב גם את התסריט לסרט.
עלילת הסרט מתארת את סיפור אהבתם של שני גברים המוחזקים במחנה ריכוז, על רקע רדיפת הומוסקסואלים בגרמניה הנאצית לאחר רצח מנהיג אס אה ארנסט רהם, בליל הסכינים הארוכות.
מקס (קלייב אוון) הוא גבר החי חיי הוללות והפקרות בברלין בשנת 1930. הוא מסוכסך עם משפחתו העשירה בגין היותו הומוסקסואל.
ערב אחד, למורת רוחו של בן-זוגו רודי, רקדן קברט נשי ועדין, הוא מביא לביתו קצין אס אה נאה מראה.
מאחר שהיה ידוע כי קיימים הומוסקסואלים רבים בקרב שורות האס אה, היטלר החליט להיפטר מהם.
הקצין מתגלה על ידי קציני אס אס, אשר הורגים אותו בדירתם של מקס ורודי, והשניים נמלטים מהמקום.
פרדי (איאן מקלן), דודו של מקס, מארגן עבורו מסמכים חדשים, אך מקס מסרב לעזוב את רודי מאחור.
כתוצאה מכך, השניים נתפסים על ידי הגסטפו, ומועלים על רכבת שבדרכה למחנה הריכוז דכאו.
במהלך הנסיעה על הרכבת, רודי מוכה למוות באכזריות על ידי השומרים.
רודי קורא למקס לעזרה, אולם מקס משקר לשומרים, מכחיש שהוא מכיר את רודי ואת היותו הומו, ומאולץ לקיים יחסי מין עם נערה מתה על מנת להוכיח את היותו הטרוסקסואל.
הוא מאמין שסיכויו לשרוד במחנה הריכוז יהיו טובים יותר, אם הוא לא יהיה מזוהה כהומוסקסואל באמצעות משולש ורוד, אלא כיהודי, ועל כן הוא מקבל במקום זאת טלאי צהוב.
במחנה הריכוז מקס פוגש בהורסט, הומוסקסואל העונד בגאווה משולש ורוד על בגדיו.
על השניים מוטלת עבודת פרך חסרת טעם: להעביר סלעים מערימה אחת לשנייה, וחוזר חלילה.
מקס והורסט מתאהבים זה בזה, ואף מצליחים לנהל מערכת יחסים רומנטית ואינטימית מתחת לאפם של השומרים - וזאת ללא כל מגע פיזי ביניהם, אלא רק באמצעות דיבור, דמיון ופנטזיה.
לאחר שהורסט נהרג על ידי שומר נאצי, מקס מקבל הוראה לקבור אותו.
כאשר השומרים עוזבים, מקס - אשר עד כה התכחש לזהותו המינית - פושט מעליו את חולצתו, אשר עליה טלאי צהוב, לובש את המעיל של הורסט, עליו מופיע משולש ורוד, ומתאבד באמצעות נגיעה בגדר חשמלית.
בעוד שהסיפור המתואר בסרט מתרחש בגרמניה בתקופת מלחמת העולם השנייה, הסרט צולם ברובו בבריטניה, במחצבה ובמפעל נטוש בעיר דלמלינגטון, שבמחוז איירשייר, סקוטלנד.
איאן מקלן, אשר מגלם את הדוד פרדי בסרט, גילם את התפקיד של מקס בהפקה הבימתית המקורית של המחזה "עקומים", בוסט אנד של לונדון, בשנת 1979. בהפקה הבימתית של המחזה בברודוויי באותה השנה גילם ריצ'רד גיר את התפקיד של מקס.
את שיר הנושא של הסרט "רחובות ברלין" מבצע הזמר מיק ג'אגר, כשהוא מגלם דמות של דראג קווין במועדון דקדאנטי בברלין.
בסרט משתתף צ'ארלי ווטס, חברו של מיק ג'אגר בלהקת האבנים המתגלגלות.
בארצות הברית הסרט הופץ בשתי גרסאות: האחת עם סיווג "R" (צפייה לבני 17 ומטה - בליווי מבוגר בלבד) והשנייה עם סיווג "NC-17" (צפייה לבני 17 ומעלה בלבד).
1997: פסטיבל הקולנוע בקאן - זכייה בפרס Award of the Youth.
1997: פסטיבל קולנוע בינלאומי בחיחון - מועמדות.
1997: פסטיבל קולנוע להט"בי בשיקגו.
1998: פסטיבל לקולנוע להט"בי בטורינו - זכייה בפרס Best Feature Film - הסרט העלילתי באורך מלא הטוב ביותר.
1998: פסטיבל קולנוע בינלאומי באמדן - זכייה במקום שני.
עקומת לאפר הוא מושג במקרו-כלכלה המסביר תאורטית שישנה נקודה בה המדינה תקבל את ההכנסה הגבוהה ביותר ממיסים ביחס לאחוז הגבוה ביותר של המס שהיא יכולה להטיל על האזרחים בלי לפגוע במוטיבציה לעבוד.
עקרונות היסוד של העקומה הן שגם ב-0% מס וגם ב-100% מס תקבולי הממשלה יעמדו על אפס.
צורתה של עקומת לאפר שנויה במחלוקת תמידית.
העקומה קיבלה את שמה ב-1974 על ידי ג'וד ואניסקי, כתב הוול סטריט ג'ורנל, לאחר מפגש ארוחת צהריים שבה השתתפו הוא, ארתור לאפר , דיק צ'ייני דונלד רמספלד ומרי ארנט.
בפגישה ביקר לאפר את העלאת המס של ג'רלד פורד, ולפי הסיפורים צייר את העקומה על מפית כדי להעביר את הרעיון.
צ'ייני לא השתכנע מיידית, אך הרעיון נשאר במחשבתם של הנוכחים.
פרופסור לאפר אמר מאוחר יותר: "בהיעדר מישהו שיקשיב לי, השתמשתי ב'עקומת לאפר' כפי שהיא מכונה בכל הכיתות בהן הרציתי." לאפר ציין שהוא לא היה הראשון שהגה את הרעיון וכי התבסס על עבודות של קודמים, ביניהם ג'ון מיינארד קיינס ואבן ח'לדון.
לאפר מסביר את התופעה כשילוב בין שתי השפעות של המס: "השפעה אריתמטית" ו"השפעה כלכלית".
ההשפעה האריתמטית היא שתקבולי המס הם מכפלת שיעור המס בבסיס המס.
ב-0% מס, המודל מניח שלא יהיו כל תקבולים מהמס.
"ההשפעה הכלכלית" קובעת כי לשיעור המס יש השפעה על בסיס המס, כלומר על הכמות של המוצר או השירותים הנמכרים.
במקרה הקיצון בו הממשלה לוקחת 100% מס, תקבוליה הם אפס, שכן לאנשים אין מניע לעבוד אלא אם כן הם מוצאים דרך להימנע מתשלום המס.
בדרך כלל מציגים את העקומה כפרבולה שנקודת המקסימום שלה היא ב-50%, אבל חשוב לדעת שנקודת המס האופטימלית יכולה להיות בכל מקום על העקומה, ושצורתה לא חייבת להיות פרבולה.
ארתור לאפר הראה שתקבולי הממשלה ממיסים משתנים עם שינוי אחוזי המס בצורת עקומה ולא בקו ישר כפי שניתן לחשוב אינטואטיבית.
כיוון שגרף התקבולים עולה מאפס וחוזר לאפס, חייבת להיות לפחות נקודת מקסימום אחת שבה תקבולי הממשלה יהיו מקסימליים.
משמעות הדבר היא שמנקודה מסוימת העלאת שיעורי המס מורידה את תקבולי הממשלה מהמס.
היפותטית ניתן להעריך את נקודת המקסימום עבור כל כלכלה אולם בכלכלה ישנם עוד פרמטרים משפיעים שיכולים לשנות את התוצאה.
לאפר טען שלא יהיו מניעים לעבוד כאשר הממשלה תיקח מיסים של 100% שכן אין תמריץ כלכלי לעבודה.
מחקרים הוכיחו שהעקומה יכולה לעלות הדרגתית עד ל-100%.
העקומה גם מניחה שהמס לא חוזר אל האזרחים בצורה של שירותים המוצעים בזול לציבור, הנחה שגם היא אינה מתקיימת במציאות.
העקומה מופשטת מדי, מאחר שהיא מניחה שיש שיעור מס אחד, והיצע עבודה יחיד.
ישנו ספק גדול ברלוונטיות ההשפעה של שיעור מס שולי יחיד.
בנוסף יכול להיות שלפונקציה יש כמה נקודות מקסימום, ולכן הגברת המס או הורדתו בכמות מספקת יכולים להשאיר את המשק ללא שינוי.
עקומת לאפר שימשה רבים כטיעון להורדת מיסים, אולם שאלה נוספת היא האם המדינה כגוף שנולד כדי לעזור לאזרחיו צריך להביט עליהם כגוף כלכלי המנסה למקסם את הכנסותיו בכל מחיר.
כמו כן, במידה ובאמת נמצא נקודה בה התקבולים ממיסים יהיו הגבוהים ביותר, האם צריך להשתמש בנקודה זו.
חשוב לזכור שלמרות הצורך במיסים בניהול מדינה עדיין מדובר פה בלקיחה בכוח, בחסות החוק, חלק מהכנסה כספית של אדם עובד.
ניתן להדגים את עקומת לאפר בשימושים נוספים מעבר למקרו-כלכלה: כך, לדוגמה, סוחר קובע את מחיר המוצר למקסימום האפשרי בו הוא ירוויח בין אם המחיר הוא זול ואז יקבל רווח מועט על הרבה עסקאות או יקר ובו יקבל המוכר רווח רב על מעט עסקאות.
דוגמה נוספת היא מאפיונר הגובה דמי חסות - המאפיונר יודע שאם יסחט יותר מדי, הנסחט יפשוט את הרגל ולא יקבל יותר את דמי החסות.
לעומת זאת, חבל לבקש מעט מדי אם אפשר לבקש ולקבל אחוז גבוה יותר.
בנקודת התפר בין שתי גישות אלו עוסקת עקומת לאפר.
בין השנים 1979-2002 40 מדינות בהן שוודיה, דנמרק, צרפת, בלגיה, נורווגיה, גרמניה, פינלנד בריטניה וישראל הורידו את שיעורי מס ההכנסה שלהן.
אלן ריינולדס טען שדמוקרטיות שהורידו את המס השולי שלהן אולי הושפעו מהרעיונות של כלכלות צד ההיצע.
אבל הכוח העצום של דוגמה יכול להיות משכנע יותר.
אולי הסמכויות הפוליטיות ראו שכלכלות אחרות מסתדרות טוב יותר עם כלכלה צומחת (ומס נמוך) מאשר עם כלכלה קפואה (ומס גבוה).
סיבה אחרת יכולה להיות שמס גבוה יכול לעודד התחמקות ממס ובריחה למקלטי מס, או שהסמכויות הפוליטיות מושפעות מלוביסטים ואילי הון שלוחצים עליהן להוריד את המיסים.
קיימים תקדימים היסטוריים נוספים לרעיון, שלאפר לא ציין.
ב-1924, לדוגמה, כתב שר האוצר אנדרו מלון: "יש המתקשים להבין ששיעורי מס גבוהים לא יוצרים בהכרח תקבולים גדולים יותר לממשלה ושתקבולים גדולים יותר יכולים להתקבל משיעור מס נמוך יותר".
במימוש התובנה שלו כי "73% מכלום זה כלום", הוא חתר להפחתת המס על העשירון העליון מ-73% להרבה פחות מזה, לבסוף ל-24%.
תקבולי המס עלו מ-719 מיליון דולר למיליארד דולר בין 1921 ל-1929, עלייה ממוצעת של 3.1% לשנה במשך שמונה שנים.
מאורע היסטורי זה תומך בדעת התומכים בקיצוץ מיסים.
תקדימים היסטוריים נוספים ניתן למצוא אצל דייוויד יום, שתיאר טיעון דומה במאמרו "על המס" מ-1756, כמו גם אצל עמיתו הסקוטי אדם סמית עשרים שנה מאוחר יותר.
המפלגה הדמוקרטית השתמשה בטיעון דומה ב-1880 כאשר מכס שהוטל על ייבוא בזמן מלחמת האזרחים האמריקנית (1861-1864) הביא לעודף ממשלתי.
המפלגה הרפובליקנית שאז נקשרה עם תעשיינים צפון-מזרחיים טענו שקיצוץ בגובה המכס יוריד את תקבולי הממשלה.
הדמוקרטים טענו שאולי המכס עבור כל יחידה יקטן, אך מאחר שהכמות המיובאת תגדל, גם התקבולים יגדלו.
טיעון דומה טען עלי בן אבי טאלב, החליף הרביעי של האימפריה המוסלמית, והאימאם השיעי הראשון במכתבו למושל מצרים, מאליק על-אשתר.
בחינה מדוקדקת של הציטוט שלהלן תגלה שהוא לא מציין נקודת מקסימום לתקבולי השלטון מהמס, ואפילו מציין שהקטנת מס תקטין לטווח הקצר את רווחי השלטון, ולכן הוא מחמיץ את העיקרון המהותי בעקומת לאפר.
"אם משלמי המיסים מתלוננים בפניך רבות על השכיחות הרבה של המס, על אסונות, תאונות, גחמות של המונסונים, על משבר באמצעים להשקיה, הצפות או הרס גידולים בשל ירידה רבה מדי של גשם ותלונותיהם נכונות – הורד את המס.
הפחתת תקבולי המדינה לא צריכה לצער אותך, מאחר שההשקעה הטובה ביותר של שליט היא בנתיניו ובהקלה על מכאוביהם.
הקלה במס תיתן להם הזדמנות להקל את מצבם ולשפר אותו ולהקל על הבעיות שלהם.
הם ההון האמיתי של המדינה, וכל השקעה בהם, אפילו בצורת הפחתת מס, תוחזר למדינה בדמות ערים עשירות יותר ועושר כללי רב יותר.
ובעודך מפקד עליהם ודואג לביטחונם, אהבתם אלייך, השבחים והכבוד שיחלקו לך, ילוו אותך יחד עם התקבולים".
ג'וד ואניסקי ציין שכאשר גובה המס הוא 100%, שיטת המטבע תתחלף לסחר חליפין כבעבר.
הוא גם ציין שלמשך פרק זמן מוגבל ובמקרים חריגים, כלכלה יכולה להחזיק גם במצב של 100% מס (לדוגמה במלחמה).
רבים ניסו לכמת את היחס הזה שבין שיעור המס לתקבוליו.
אף על פי שיש קונצנזוס רחב על ההשפעה של שיעור המס על התקבולים ממנו, אין הסכמה כלל על הכימות המדויק של השפעה זו.
מעשית, ניתן רק לשער את צורתה של עקומת לאפר עבור כל כלכלה.
יש וריאציות רבות של העקומה, שכן בכל כלכלה היחס בין שיעורי המס לתקבולים ממנו שונה, ותלוי בגמישות היצע העבודה וגורמים אחרים.
אפילו בתוך כלכלה נתונה העקומה יכולה להשתנות עם הזמן.
מורכבויות כגון המניעים של קבוצות שונות להיכנס לשוק העבודה וההשפעה של פרוגרסיביות המס מקשות עוד יותר הערכה מדויקת של העקומה.
שינוי במדיניות הממשלתית גם הוא משפיע מאוד על העקומה.
לדוגמה, עם היווצרות של פרצה בחוקי מס, או של מקום נטול ממס שנוצרו בשל שינוי בחקיקה, נקודת המס המקסימלית (שמס מעבר אליה יקטין את הפדיון) תהפוך נמוכה יותר.
לאפר הציג את העקומה ככלי פדגוגי להציג שבמקרים מסוימים הורדה במיסים יכולה להביא לגידול בתקבולי הממשלה מהמס, ובמצבים כאלה לא נדרשת הגדלה של הגירעון, או קיצוצים בהוצאות.
כדי שזה יהיה המצב, צריך שהמס יהיה גבוה מנקודת המקסימום שלו.
ב-2007 טען לאפר שאין להשתמש בעקומה כטיעון להוריד או להעלות מיסים.
מילון פלגרייב הכלכלי החדש מדווח מתוך מחקר אקדמי שהמס האופטימלי הממוצע הוא 70%.
הכלכלן פאול פקורינו הציג ב-1995 מודל כלכלי שחוזה ששיעור המס האופטימלי יהיה באזור 65%.
ב-1981 פרסם הג'ורנל לכלכלה פוליטית מאמר ששילב מידע אמפירי שהראה שבשוודיה שיעור המס האופטימלי הוא 70%.
ב-2005 פרסם המשרד לתקציב הקונגרס בארצות הברית מאמר בשם "ניתוח של ההשלכות התקציביות והכלכליות של קיצוץ של 10% במס הכנסה".
המאמר הזה קדם לקיצוץ של 10% שנעשה במס ההכנסה בארצות הברית (לדוגמה, אם המס היה 25% אז לאחר ההפחתה הוא היה 22.5%).
שלא כמו מחקרים קודמים, מחקר זה התיימר לבדוק עד כמה ההפחתה במס תשפיע על הצמיחה הכלכלית, ובהתאם לכך כמה היא תשפיע על תקבולי המס, ובסופו של דבר את השפעתה הסופית על התקציב.
כותב המודל מתבסס על מספר הנחות (יכולתם של פרטים לחזות את שעתיד לקרות, ניידות ההון, והדרכים שבהן הממשלה תפצה על פדיון נמוך יותר).
בתרחיש הצמיחה האופטימי ביותר במאמר, רק 28% מההפסד בפדיון יוחזר תוך תקופה של 10 שנים במידה ויעשו קיצוץ מס של 10%.
המאמר מציין שסביר להניח שכתוצאה מהירידה בפדיון הממשלה תלווה כספים ומעריך ש-200 מיליארד דולר ישולמו על ידי הממשלה כריבית על הלוואות אלו.
לאפר הציג כתמיכה בעקומת לאפר את רוסיה ואת המדינות הבלטיות, כדוגמאות למדינות שהחלו לצמוח מיד לאחר שיושם בהן מס שטוח של 35%.
הוא התייחס גם לקיצוץ המס קמפ-רוט, קיצוצי המס של קנדי, קיצוצי המס ב-1920 ולשינוי שארצות הברית עשתה במבנה מס ההון שלה ב-1997 כדוגמאות לעקומת לאפר.
יש שקישרו גם את חוק האוזר, שטוען שפדיון הממשלה מהמס בארצות הברית תמיד היה בקרוב 19.5% מהתוצר הגולמי, בלי קשר לגודל המס השולי.
אחרים עם זאת טוענים שחוק האוזר מטעה ושהייתה לשינויים בגובה המס השפעה רבה על הפדיון.
מחקר שנערך ב-2007 על ידי ה-AEI מצא שמס החברות האופטימלי הוא 26% לעומת 34% בשנות השמונים.
מכון אדם סמית פרסם ב-2010 מאמר לפיו "ב-1997 חתכו באירלנד את מס רווחי ההון שמומש בחצי, מ-40% ל-20%.
שר האוצר דאז צ'ארלי מקרווי קיבל ביקורות חריפות על הצעד, בטענה שזה יוריד את הפדיון הממשלתי.
הוא מנגד טען שפדיון הממשלה יעלה דרמטית.
תקבולי הממשלה לא רק עלו, אלא עקפו בעלייתם את כל התחזיות".
מחקר שעשו טצר ויונג מהמכון בהתבסס על נתונים מהרפובליקה האירית, הציע שמס רווחי ההון האידיאלי הוא 20%, אך הנתון הזה מתבסס לפחות בחלקו על משלמי מיסים מנוסים ששמרו על נכסים בידיעה שהמס ירד בקרוב.
עקומת לאפר השפיעה רבות על הרייגניזם, ועודדה את קיצוץ המס של 1981. מצדדי כלכלת צד ההיצע טענו באותה תקופה שהורדת המס תעלה את רווחי הממשלה שכן המס דאז היה ממוקם מימין לנקודת המקסימום.
רייגן עצמו היה חשוף למס של 90% בתקופת מלחמת העולם השנייה כשהיה שחקן.
בתקופת נשיאותו של רייגן, המס ירד מ-70% ל-31% בעוד התקבולים על המס רק הוסיפו לעלות.
דייוויד סטוקמן, מנהל התקציב של רונלד רייגן בתקופת הנשיאות הראשונה שלו ואחד מנביאי כלכלות צד ההיצע, דאג שמא ההנהלה לא עוסקת דיה בקיצוצים בהוצאות הממשלה.
הוא ציין שאין לקחת את עקומת לאפר פשוטה כמשמעה – לפחות לא בתנאים הכלכליים של 1980 בארצות הברית.
בספרו "ניצחון הפוליטיקה" הוא כתב: "חבורת קליפורניה לקחה את עקומת לאפר בדרך מילולית מדי (ופרימיטיבית מדי).
הם ציפו שברגע שיהיו קיצוצים במס הרווחים יתחילו ליפול כמו מן מהשמיים.
מינואר אני מסביר שעקומת לאפר אינה פשוטה כמשמעה".
עוד הוא הוסיף: "לאפר לא טעה, הוא פשוט לא הלך רחוק מספיק" (הוא לא חשב גם על הוצאות ממשלתיות).
יש שביקרו את הרייגניזם על בסיס אי-יושר.
לדוגמה, הכלכלן ג'ון קנת גלבריית טען שהרייגניזם השתמש בעקומת לאפר כצידוק "להוריד מס לעשירים".
ביקורות אחרות טענו שתקבולי הממשלה ממס היו בעלייה גם בתקופות אחרות ורוב הזמן הם בעלייה, ושבתקופתו של רייגן, בשל הקיצוצים העלייה הייתה קטנה יותר אך נמשכה.
הביקורות גם טוענות שהפחתות המס של רייגן לא הגדילו את ההכנסה של כלל האוכלוסייה.
טענה זו מבוססת על הנתון שהעלייה בהכנסה של 1% רק הכפילה את עצמה בתקופת הנשיאות של רייגן, בעוד ההכנסה של רוב המעמדות גדלה בשוליים, הכנסת המעמד התחתון ירדה בתקופה זו.
הכלכלן פול קרוגמן טען שחסידי כלכלות צד ההיצע לא באמת מאמינים שמס ההכנסה נמצא "בצד היורד של העקומה" אלא שהם רוצים לקצץ במס כדי לעודד חסכונות אישיים והשקעה.
חתן פרס נובל לכלכלה רוברט שילר קרא לתיאוריה על העקומה "סיפור" טוב שאין לו שום גיבוי של ממש בנתונים.
כלכלת צד-היצע היא אסכולה בחשיבה המקרו-כלכלית הגורסת שהדרך לצמיחה כלכלית היא הסרת המחסומים המונעים ייצור מוצרים ושירותים (אסכולה המתמקדת בהיצע).
אם מחסומים אלה יוסרו, לפי האסכולה, ייהנו הצרכנים ממוצרים ומשירותים רבים יותר, ובזול יותר.
מדיניות קלאסית של כלכלת צד ההיצע מצדדת בהפחתת מס הכנסה ומס רווחי הון להגדלת היצע העובדים וההון, ממשלה קטנה ורגולציה מינימלית, כדי להקטין את העלויות הביורוקרטיות הכרוכות בייצור.
אף על פי שבדרך כלל כלכלת צד היצע מוזכרת בנוגע למס, היא מצדדת בעידוד ההיצע בדרכים נוספות, ולא עוסקת רק במס.
ואניסקי ולאפר היו שניהם מצדדים גדולים של כלכלת צד ההיצע, ולכן הרעיון של עקומת לאפר משויך לא פעם לכלכלת צד היצע.
מצדדי כלכלת צד ההיצע טענו לא רק שקיצוץ במיסים ישפר את ההיצע, אלא כתוצאה מעקומת לאפר הם אף הוסיפו שהקיצוץ יכול שלא לפגוע בפדיון הממשלה.
אולם מטרת האסכולה היא להגדיל את ההיצע ככל שניתן, ולכן יש תמיד להוריד את המס.
עקומת לאפר בניגוד לזה גורסת שרק בנקודות מסוימות על העקומה הורדה במס תוסיף לתקבולי הממשלה, לא בכל נקודה.
במתמטיקה, עקום המומנטים הוא עקום אלגברי במרחב האוקלידי ה-n-ממדי המוגדר כאוסף הנקודות מהצורה לכל ממשי.
למשל, במישור, עקום המומנטים הוא פרבולה.
כל על-מישור במרחב חותך את עקום המומנטים בלכל היותר n נקודות (למשל ישר במישור חותך פרבולה בשתי נקודות לכל היותר).
תכונה זו שימושית במיוחד בגאומטריה דיסקרטית ובקומבינטוריקה טופולוגית.
בענפים אלו משתמשים בעקום המומנטים כדי לקודד מידע גאומטרי-טופולוגי (חיתוך בין גופים מרחביים) ולתרגמו למידע קומבינטורי (מספר נקודות החיתוך).
על-מישור במרחב ה-n-ממדי מוגדר כקבוצה מהצורה , כאשר וקטור כיוון ו-d סקלר קבועים.
אם מספר ממשי כך שעקום המומנטים בנקודה t חותך את העל-מישור אז מתקיים: .
זוהי משוואה פולינומית ממעלה n ולכן יש לה לכל היותר n פתרונות שונים.
מכאן שעקום המומנטים חותך כל על-מישור בלכל היותר n נקודות.
אם החיתוך בין על-מישור לעקום המומנטים מכיל בדיוק n נקודות, אזי הפולינום המתאים ספרבילי (הנגזרת בחיתוך אינה מתאפסת) ועקום המומנטים חוצה בכל נקודת לצד השני של העל-מישור.
עקום המומנטים נותן חסם על מספר החלקים שאפשר לחלק גוף n-ממדי עם n על-מישורים.
n על-מישורים חותכים את עקום המומנטים בלכל היותר נקודות, ולכן מחלקים אותו ללכל היותר חלקים.
בעיה ידועה שואלת האם ניתן לחלק כל גוף עם מסה (שלא בהכרח מפוזרת באופן אחיד בתוכו) במרחב ה-n-ממדי ל- חלקים שווים במסתם באמצעות n על-מישורים.
בישר ניתן לעשות זאת באמצעות משפט ערך הביניים.
במישור ניתן באמצעות משפט הסנדוויץ'.
ידוע שהדבר אפשרי במרחב התלת-ממדי והשאלה האם זה אפשרי במרחב הארבע ממדי עודנה פתוחה.
לכל הדבר לא אפשרי, כי ולכן כלל לא ניתן לחלק את עקום המומנטים למספיק חלקים.
עקום בזייה (Bézier) הוא תיאור פרמטרי של עקום השימושי במיוחד בגרפיקה ממוחשבת.
עקומי בזייה מוגדרים על ידי קבוצה של נקודות בקרה, כאשר נקודת הבקרה הראשונה והאחרונה הן קצות העקום, ויתר הנקודות לא בהכרח מצויות על העקום (ולרוב לא נמצאות עליו).
לעקומי בזייה שימושים רבים בתחומי הגרפיקה הממוחשבת.
בין היתר משמשים עקומי בזייה בגרפיקה וקטורית כדי למדל עקומים חלקים שאותם ניתן להרחיב בצורה אינסופית, ובתוכנות לעריכה גרפית נעשה שימוש בצירוף של מספר עקומי בזייה כדי להגדיר מסלולים (paths).
הבסיס המתמטי לעקומי בזייה הם פולינומי ברנשטיין, שאותם פיתח המתמטיקאי הרוסי סרגיי נתנוביץ' ברנשטיין ב-1912, אולם חשיבותם הובנה רק כעבור כחצי מאה.
שימוש בפולינומים אלו פותח ב-1959 על ידי Casteljau עבור שימוש של סיטרואן.
שימוש נרחב בעקומים אלו נעשה בעקבות עבודתו של המהנדס הצרפתי פייר בזייה (Pierre Bézier) ב-1962 שהשתמש בהם לתכנון גוף רכב של חברת רנו.
ניתן להכליל את עקומי בזייה לממדים גבוהים יותר על ידי הכפלה טנסורית של עקומי בזייה ליצירת, למשל, משטחי בזייה.
עקומי בזייה מוגדרים על ידי קבוצת נקודות בקרה עד , כאשר הוא הדרגה של העקום (כאשר העקום הוא ליניארי, כאשר הוא ריבועי וכו').
בהינתן שתי נקודות בקרה P0 ו P1, עקום בזייה ליניארי הוא פשוט הקו הישר בין שתי הנקודות הניתן על ידי:
עקום בזייה ריבועי הוא עקום המוגדר על ידי שלוש נקודות בקרה.
ניתן לראות בכך אינטרפולציה ליניארית על הנקודות המוגדרות על ידי עקומי בזייה המוגדרים על ידי שתי הנקודות P0 ו-P1 ועל ידי שתי הנקודות P1 ו-P2 בהתאמה.
ניתן לראות זאת בסידור מחדש של המשוואה הקודמת:
הנגזרת של העקום לפי t היא:
מן הנגזרת ניתן להסיק כי המשיקים לעקום ב-P0 ו-P2 נפגשים ב-P1. ככל ש-t גדל מ-0 ל-1 העקום מתרחק מ- P0 לכיוון P1, ואז מתעקם לעבר P2 מהכיוון של P1.
עקומת דרקון היא פרקטל הדומה בצורתו לדרקון, אשר מורכב מעותקים מוקטנים של עצמו.
בניית עקומת הדרקון מתחילה בקטע ישר.
את הקטע הזה מחליפים בשני קווים היוצאים מנקודה אחת בזווית ישרה ומסתיימים בקצוות של הקטע המקורי.
בשלב השני מחליפים כל אחד מהקווים בשני קווים אחרים עם זווית ישרה ביניהם וביחס מתחלף של 45 מעלות לימין ולשמאל.
חוזרים על פעולה זו שוב ושוב.
את עקומת הדרקון ניתן ליצור גם על ידי קיפול רצועות נייר לחצי שוב ושוב באותו הכיוון.
החוקיות שעומדת מאחורי עקומת הדרקון
מעקב אחרי עקומת דרקון מקצה אחד לשני חושף סדרה של פניות ישרות זווית לימין ולשמאל.
ניתן לראות בסדרות אלו חוקיות על פי מספר החזרות שבהם השתמשו ליצירת העקומה (פניה לימין מסומנת באות R ופניה לשמאל באות L):
שתי חזרות - R R L
שלוש חזרות - R R L R R L L
דבר זה מרמז על התבנית הבאה: כל חזרה נוצרת על ידי חיבור של החזרה הקודמת עם R ועותק נוסף של עצמה, אשר נכתב בסדר הפוך וכל אות מוחלפת לשנייה.
עקומת השטן או עקומת קרמר היא עקומה שטוחה אשר נלמדה לראשונה על ידי המתמטיקאי השווייצרי גבריאל קרמר ב-1750 ואחר-כך ב-1810 על ידי המתמטיקאי הצרפתי סילבסטר-פרנסוא לקרואה (Sylvestre-François Lacroix).
מקור שמה הוא באביזר להטוטנות בשם דיאבולו אשר צורתו מזכירה את חלקה הסגור של העקומה.
הצעצוע היה פופולרי בסוף המאה השמונה-עשרה.
אף שהעקומה מכונה עקומת השטן, מוצא השם דיאבלו אינו מהמילה הדומה באיטלקית diavolo (שטן).
השם של הצעצוע הוטבע על ידי המהנדס הצרפתי גוסטב פיליפארט שפיתח את הדיאבלו המודרני בתחילת המאה ה-20. הוא השתמש במילה היוונית dia bolo, שמשמעותה "להעיף מעבר".
המשוואה למערכת צירים קוטבית היא:
במערכת צירים קרטזית ניתנת העקומה כפונקציה סתומה עם משוואה ממעלה רביעית:
ה-X וה-Y השונים מופיעים בתבנית ריבועית.
העקומה סימטרית לאורך ציר X וציר Y ולכן גם יחסית לראשית הצירים.
העקומה מתוארת על ידי שני פרמטרים חופשיים a ו-b.
ניתן לצמצם באופן משמעותי את מספר הצירופים ביניהם בלי לאבד ממגוון הצורות הניראות בגרף.
מכיוון שהפרמטרים מופיעים רק בצורתם הריבועית, ניתן להצטמצם לבדיקת המקרים בהם a ו-b הם מספרים חיוביים.
הצורה נקבעת על ידי היחס בין שני הפרמטרים וגדלה ביחס לריבועיהם מבלי שצורת העקומה תשתנה.
לכן ניתן לבחור a קבוע ו b משתנה מ-0 ל-1.
ניתוח שלוש העקומות המופיעות בדוגמה שמשמאל:
לערכים a=1 ו-b=1 מורכבת העקומה ממעגל ושני ישרים מצטלבים (בגרף הקודם).
החל מ-b קטן מ-1 נוצר הדיאבולו המרכזי.
הדיאבולו מצטמצם ככל ש-b מתרחק מהערך הגבולי 1. בנוסף קיימים שני מקטעים שהם תמיד אסימפטוטיים בזווית 45° עם מערכת הצירים.
האסימפטוטות מופיעות באדום וכיוונן אינו תלוי ב-a.
בסטטיסטיקה, עקומה אופיינית למסווג או עקומת ROC () היא גרף המציג את הביצועים של מסווג דו-ערכי, לאור סף ההחלטה שנקבע לו.
העקומה נוצרת על ידי התוויית שיעור החיוביים האמיתיים (TPR) מול שיעור החיוביים הכוזבים (FPR) תחת ספי קבלה שונים.
שיעור החיוביים האמיתיים ידוע גם כרגישות או כיסוי בלמידת מכונה.
שיעור החיוביים הכוזבים ידוע גם כדלף וניתן לחשב אותו כ־1 פחות הסגוליות.
עקומת ROC היא, אם כן, הרגישות כפונקציה של הדלף.
באופן כללי, אם התפלגות ההסתברות ידועה הן לפגיעה (Hit, חיובי אמיתי) והן לאזעקת שווא (חיובי כוזב), ניתן לייצר את עקומת ROC על ידי התוויית פונקציית הסתברות הפגיעות (שיעור חיוביים אמיתיים) בציר ה־y לעומת פונקציית ההסתברות לאזעקת שווא (שיעור חיוביים כוזבים) בציר ה־x.
ניתוח ROC מספק כלים לבחירת מבחן (או מסווג) אופטימלי, בטרם מתחשבים בהקשר העלות של כל אחד מסוגי הטעויות או בהתפלגות הפרטים בין הקבוצות.
ניתוח ROC קשור באופן ישיר וטבעי לניתוח עלות/תועלת של קבלת החלטות.
עקומת ROC פותחה לראשונה על ידי מהנדסי חשמל ורדאר במהלך מלחמת העולם השנייה, על מנת לשפר את הזיהוי של כלי האויב.
לאחר זמן לא רב, הרעיון אומץ בתחום הפסיכולוגיה, כדי להסביר זיהוי של גירויים על ידי החושים.
מאז, ניתוח ROC הופעל במגוון תחומים, ביניהם רפואה, רדיולוגיה, ביומטריה ועוד.
בעת האחרונה גובר השימוש בניתוח זה בתחום למידת המכונה וכריית המידע.
מבחן (מסווג או בדיקת אבחון) הוא פונקציה שמקשרת בין כל פרט או מקרה לבין קטגוריה או מחלקה מסוימת.
תוצאת הסיווג או האבחון היא לרוב בדידה.
אם תוצאת המבחן היא רציפה (בעלת ערך ממשי) – אז דרוש לקבוע סף אבחנה בין הקטגוריות השונות (למשל, כדי לבדוק האם אדם חולה ביתר לחץ דם, על פי מדידת לחץ הדם שלו בזמן מסוים, יש לבחור ערך סף שמעליו האדם יוגדר חולה).
במקרה שהאבחנה היא בין שתי קטגוריות בלבד (סיווג דו־ערכי), נהוג לסמן את אחת האפשרויות כ"חיובית" והאחרת – "שלילית".
במקרה כזה, קיימות ארבע אפשרויות: אם האבחנה היא חיובית והערך האמיתי גם הוא חיובי, הפרט נקרא "חיובי אמיתי"; אם הערך האמיתי הוא דווקא שלילי, הפרט הוא "חיובי כוזב".
מאידך, אם הערך האמיתי הוא שלילי, אם האבחנה גם היא שלילית, הפרט ייקרא "שלילי אמיתי", והפרט ייקרא "שלילי כוזב" אם הערך האמיתי הוא דווקא חיובי.
ניתן להציג ערכים אלו בעזרת מטריצת טעות.
מתוך מטריצת הטעות, ניתן לחלץ כמה מדדים.
עקומות ROC מתחשבת רק בשניים ממדדים אלו: שיעור החיוביים האמיתיים (בקיצור, שח"א), ושיעור החיוביים הכוזבים (שח"כ) – שניהם כפונקציה בפרמטר מסוים של המסווג.
השח"א מוגדר כמספר החיוביים הנכונים מתוך כל הנדגמים שהיו באמת החיוביים, והשח"כ מוגדר כמספר החיוביים השגויים מתוך כל הנדגמים שהיו באמת השליליים.
מרחב ROC מוגדר על ידי שני מספרים אלו – שח"כ FPR בציר האופקי, ושח"א TPR בציר האנכי, ומבטא את העלות (במונחי שח"כ) והתועלת (במונחי שח"א) למבחן מסוים.
במרחב זה, כל מבחן מיוצג כנקודה.
המבחן האידיאלי (או: הסיווג המושלם) יופיע במרחב כנקודה בפינה השמאלית העליונה (0,1) של המרחב, כלומר אין פרטים חיוביים כוזבים ואין פרטים שליליים כוזבים (כלומר: כל הפרטים חיוביים נתגלו על ידי המסווג).
ניחוש אקראי לחלוטין ייוצג כנקודה על הקו האלכסוני מהפינה השמאלית התחתונה לנקודה הימנית העליונה (מקווקו אדום, בתמונה).
למשל: הטלת מטבע הוגן תתקרב, ככל שהמדגם גדל, למבחן שנמצא בנקודה (0.5,0.5).
בדומה, מבחן שנותן תוצאה חיובית לכל הפרטים יגרום ל־100% חיוביים אמיתיים אבל גם ל-100% חיוביים כוזבים, ויסומן כנקודה בפינה הימנית העליונה.
האלכסון, אם כן, מחלק את מרחב ROC לשני חלקים: נקודות מעליו מייצגות סיווג מוצלח (עדיף על בחירה אקראית), ונקודות מתחתיו סיווג רע (גרוע מבחירה אקראית).
יצוין שאם מסווג נמצא מתחת לאלכסון אחרי בדיקה במדגם גדול מספיק, ניתן פשוט להפוך את הסיווג שלו משלילי לחיובי ולהפך, כדי לקבל סיווג מוצלח.
בדוגמה הבאה מוצגים ארבעה סיווגים שונים ממדגם שבו 100 פרטים חיוביים ו־100 שליליים:
ארבעת המסווגים מיוצגים על ידי נקודת במרחב ROC שבתמונה.
התמונה מראה בבירור שמסווג A הוא המוצלח ביותר מבין A, B ו־C.
תוצאת הסיווג של B נמצאת על קו הניחוש האקראי (האלכסון), וניתן לראות גם שהנכונות של B היא 50%.
עם זאת, אם נשקף את נקודה C דרך הנקודה (0.5,0.5), התוצאה המתקבלת, C' היא מוצלחת אפילו יותר מ־A.
C' פשוט מחליפה בין הקטגוריות של C (כאשר C מסווגת "שלילי", C' מסווגת חיובי, ולהפך).
PPV מייצג את שיעור החיוביים האמיתיים מתוך כלל החיוביים.
סיווגים מבוססים לעיתים רבות על משתנה מקרי רציף.
במקרה כזה, ניתן לכתוב את צפיפויות ההסתברות של כל אחת מהקטגוריות כפונקציה של המשתנה המקרי (T).
אם נסמן את צפיפות ההסתברות לקטגוריה חיובית ב־ ואת צפיפות ההסתברות לקטגוריה שלילית ב־, נוכל לקבל את הביטויים הבאים לשח"א (TPR) ולשח"כ (FPR) כפונקציה של סף ההחלטה :
כעת, ניתן לשרטט את עקומת ROC של המסווג כפונקציה של הפרמטר .
כדוגמה, נניח שריכוזי החלבונים בדם של חולים ושל בריאים מתפלגים נורמלית סביב ממוצע של 2 גרם לד"ל וגרם אחד לד"ל, בהתאמה.
בדיקה רפואית מסוימת עשויה למדוד את ריכוזו של חלבון מסוים בדגימות הדם, ולסווג כדגימה מאדם חולה כל דגימה שבה הריכוז גבוה מערך מוגדר מראש.
על ידי הזזת ערך הסף מטה (באיור: הזזת הקו העבה שמאלה), ניתן להגדיל את שיעור החיוביים האמתיים, יחד עם הגדלת שיעור החיוביים הכוזבים, והזזה מעלה (באיור: ימינה) תקטין את שניהם יחד.
צורתה של העקומה תיקבע לפי מידת המובחנות בין שני הגירויים (באיור: כמות החפיפה בין שתי ההתפלגויות).
לעיתים, יוצרים מתוך עקומת ROC מדדים נוספים למסווג.
סטטיסטי J של יודן מופיע בגרף כמרחק בין נקודה מסוימת על העקומה, לבין נקודה על האלכסון בעלת אותו שח"כ.
השטח מתחת לעקומה Area Under Curve או בקיצור AUC (המכונה לפעמים A' או איי-פריים).
ערך זה בא לאפיין כמה טוב המסווג מבלי להתייחס לקביעת סף החלטה, הוא משקלל את כל ספי ההחלטה האפשריים.
ככל שערך זה יותר קרוב ל-1 כך המסווג יותר טוב.
כאשר ה-AUC שווה ל-0.5 המסווג חסר ערך ושקול לניחוש אקראי.
מדד ג'יני G1 = 2 AUC - 1 שעבור מסווג מושלם שווה ל-1 ועבור מסווג חסר ערך שווה ל-0.
השימוש הראשון בעקומת ROC היה בימי מלחמת העולם השנייה, לשם ניתוח אותות מכ"ם.
בעקבות המתקפה על פרל הארבור בשנת 1941, צבא ארצות הברית החל במחקר חדש על מנת להגדיל את יכולת הזיהוי של כלי טיס יפניים על ידי המכ"מים שבידיו.
בשנות ה־50 של המאה ה־20, החלו להימצא עקומות ROC בשימוש הפסיכופיזיקה, על מנת להעריך את יכולת הזיהוי של אותות חלשים על ידי אנשים (ולעיתים גם על ידי בעלי חיים נוספים).
ברפואה, ניתוח ROC נמצא בשימוש נרחב לשם הערכות בדיקות אבחון.
עקומות ROC גם נמצאות בשימוש נרחב באפידמיולוגיה ומחקר רפואי, ולעיתים קרובות מוזכרות בהקשר של רפואה מבוססת ראיות.
ברדיולוגיה, ניתוח ROC הוא טכניקה נפוצה להעריך טכניקות רדיולוגיה חדשות.
במדעי החברה, ניתוח ROC, הנקרא בהקשר זה לעיתים קרובות יחס נכונות ROC, הוא טכניקה נפוצה לבחינת הנכונות של מודלים הסתברותיים להפרת הלוואה.
עקומות ROC נפוצות גם ברפואת מעבדה כדי להעריך את הדיוק האבחנתי של בדיקה, לבחור את הסף האופטימלי לבדיקה ולהשוות את דיוק אבחון של כמה בדיקות.
יעילותן של עקומות ROC הוכחה גם בהערכת יכולותיהן של שיטות בלמידת מכונה.
אחד המיישמים הראשונים של ניתוח ROC בתחום הלמידה החישובית היה קנת ספקמן, שהדגים את חשיבותן של עקומות ROC בהשוואה בין אלגוריתמים שונים לסיווג.
עקום קרינה מתאר את התלות הזוויתית של עצמת גלי רדיו הנפלטים מאנטנה או ממקור קורן אחר.
בתחומי הסיבים האופטיים, הלייזר וה-PIC , המושג עקום קרינה הוא שם נרדף לדפוס קרוב-רחוק ודפוס פרסנל.
בהקשר זה, משמעו תלות המיקום של שדה אלקטרומגנטי בשדה הקרוב או תחום פרסנל במקור.
דפוס שדה-קרוב מוגדר בדרך כלל על ידי מישור הממוקם אל מול המקור הקורן או משטח כדורי המקיף אותו.
המונח עקום הלם פולארי מתייחס לרוב להצגה הגרפית של משוואות רנקין-הוגוניו במישור הודוגרף או במישור יחס הלחצים-זווית הסטת הזרימה.
העקום עצמו מתאר את המיקום הגאומטרי של כל המצבים האפשריים אחרי גל הלם משופע.
הזווית המינימלית ביחס לכיוון הזרימה הראשוני, , שגל ההלם המשופע יכול לקבל היא זווית מאך , כאשר הוא מספר המאך לפני גל ההלם, והזווית הגדולה ביותר שיכולה להתקבל מתקבלת עבור גל הלם ניצב.
על כן, טווח הזוויות האפשריות שגל ההלם המשופע יכול לקבל הוא .
על מנת לחשב את יחס הלחצים עבור כל תחום הזוויות, פותרים את משוואות רנקין-הוגוניו עבור לחץ:
על מנת לחשב את זוויות הסטת הזרימה האפשריות, משתמשים ביחס בין מספר מאך, זווית גל ההלם וזווית הסטת הזרימה :
כאשר הוא יחס קיבולי החום האופייני לזורם ו- זוהי זווית הסטת הזרימה.
אחד השימושים העיקריים של עקום ההלם הפולארי הוא בנושא החזרת גלי הלם משופעים ממשטח קשיח.
משרטטים את עקום ההלם הפולארי עבור התנאים לפני גל ההלם, ומשרטטים עקום נוסף עבור התנאים אחרי גל ההלם, כאשר ראשיתו של העקום השני ממוקמת על העקום הראשון, בזווית שבה גל ההלם הפוגע הסיט את הזרימה.
בהתבסס על נקודות החיתוך בין העקום של הגל הפוגע לגל המוחזר, ניתן להסיק מסקנות בנוגע לאופני ההחזרה האפשריים ולשרטט אותם.
לעיתים קרובות שיטה זו משמשת על מנת לקבוע ולאמת גרפית האם החזרה רגילה של גל הלם אפשרית, או שמתרחשת השתקפות מאך.
עקומת מאמץ-עיבור היא הקשר בין המאמץ והעיבור שחומר מקיים.
עקומה זו ייחודית עבור כל חומר, ונוצרת בצורה נסיונית על ידי מדידת המעוות, השינוי בממדים הפיזיים, אל מול מגוון העמסות המופעלות על החומר.
בעזרת שני הגדלים האילו, מעוות ועומס, ניתן לחשב את המאמץ, העומס ליחידת שטח, והעיבור, המעוות היחסי לעומת האורך ההתחלתי.
עקומה זו מספקת מספר מאפיינים קריטיים עבור החומר המוצג, כולל מידע בנוגע למודול האלסטיות.
באופן כללי, לעקומות המייצגות קשר בין מאמץ לבין עיבור בדפורמציות שונות, ניתן להתייחס כעקומות מאמץ-מעוות.
המאמץ והעיבור יכולים להיות בכיוונים שונים, מאמצים נורמלים (חד ציריים בכיוון האורכי של הדגם הנמדד), מאמצי גזירה, או שילוב שלהם.
יכולים להיות שילובים כמו מאמץ לא ציריים, שני צירים, מאמצים מרובי צירים או אפילו מאמצים תלויי זמן.
צורת הדפורמציה יכולה להיות: מתיחה, דחיסה, פיתול, סיבוב, וכן הלאה.
אם לא נכתב אחרת, עקומת מאמץ-עיבור תתייחס לקשר בין מאמץ חד צירי נורמלי לבין עיבור חד צירי נורמלי של חומרים הנמדדים בניסוי זה.
ניסוי המתיחה מתבצע כך שנלקח דגם בעל שטח חתך ידוע A ומופעל כח F בניצב לו משני צידי הדגם.
הדגם/חומר יחווה מאמץ המוגדר להיות היחס בין הכוח חלקי שטח החתך, כמו גם הארכה צירית, אלסטית ופלסטית בחומרים משיכים.
הכתב התחתי '0' מציין את המידות המקוריות של הדגם.
מאמץ ביחידות SI נמדד בפסקל () ועבור עיבור הוא חסר יחידות כלומר השינוי הוא באחוזים יחסית לאורך ההתחלתי.
עקומת מאמץ-עיבור עבור חומר כלשהו תציג את התארכות הדגם ואת השינוי האורכי שחל בו עד שבירת הדגם.
בעקרון העיבור הוא בכיוון האופקי (הצרות הדגם) והמאמץ בכיוון הניצב.
עבור שימושים הנדסיים, המאמץ מוצג יחסית לעיבור עבור שטח החתך ההתחלתי בלבד לכל אורך תהליך הדפורמציה.
ישנה בעייתיות מסוימת כיוון שהשטח הנ"ל אינו השטח האמיתי, כיוון ששטח החתך קטן כאשר מתבצעת דפורמציה אלסטית או פלסטית.
העקומה המתחשבת בשטח החתך הראשוני נקראת "עקומת מאמץ-עיבור הנדסית" ואילו העקומה אשר מתחשבת בשטח החתך המשתנה נקראת: "עקומת מאמץ-עיבור אמיתית".
היחסים בין שתי העקומות יתבררו בהמשך.
דיאגרמה סכמטית של העקומה עבור פלדה פחמנית מוצגת באיור בצד שמאל.
ישנם מספר שלבים המציגים התנהגות וממחישים מאפיינים מכניים שונים.
יש צורך לציין כי לא כל החומרים עוברים את כל השלבים וחלקם 'מדלגים' על אחד או יותר מהשלבים המוצגים באיור או אפילו מתנהגים בצורה שונה לחלוטין.
השלב הראשון הוא השלב האלסטי.
המאמץ הוא פרופורציונלי לעיבור, הוא תואם לחוק הוק וערך השיפוע שווה למודול האלסטיות (יאנג).
בשלב זה החומר חווה עיוות אלסטי בלבד, סיום השלב הראשון מתרחש כאשר החומר מתחיל לחוות עיוות פלסטי.
המאמץ בנקודת המעבר בין העיבור האלסטי לעיבור הפלסטי מוגדר כ'חוזק לכניעה'.
השלב השני הוא שלב הקשיית המעוותים.
השלב מתחיל לאחר נקודת הכניעה ומסתיים בנקודת המאמץ האולטימטיבי, המאמץ המקסימלי בעקומת המאמץ-עיבור.
בשלב זה המאמץ עולה לאורך כל החומר, אולם ישנו חלק שטוח (ובמקרים מסוימים שיפוע מתון מטה).
החלק הנמוך ביותר של העקומה במקרה זה נקרא 'נקודת הכניעה התחתונה', תהליך זה נקרא 'מעוות לודר' (Lüders) המאמץ הדרוש לנוקלאציה של רצועת לודר גבוה יותר מהמאמץ הדרוש להתקדמותו.
רצועת לודר גורמת לכך שהדפורמציה הפלסטית תתקדם בצורה שווה לאורך כל הדגם.
לאחר שהדגם בעל דפורמציה אחידה לכל אורכו, עליית המאמץ ביחד עם התארכות הדגם יוצרים מצב של הקשיית מעוותים.
הקשיית מעוותים משמעה, יצירת מעוותים חדשים והעלאת הצפיפות הכללית שלהם יוצרים התנגדות לתנועת הנקעים.
על מנת להתגבר על התנגדות זו יש צורך בהפעלת מאמץ גבוה יותר.
ככל שהעיבור עולה, הקשיית המעוותים מתגברת עד שהמאמץ מגיע למאמץ המקסימלי ( Tensile Strength).
השלב השלישי, הוא שלב היווצרות הצוואר.
לאחר המעבר על פני המאמץ המקסימלי, צורת צוואר נוצרת, אזור בו רוחב החתך חווה הצרה יחסית לרוחב הממוצע של שאר הדגם.
חוזק הדגם באזור דפורמציית הצוואר משתנה וחזק יותר היכן ששטח החתך קטן יותר.
התגובה הזו גורמת להיווצרות והתפשטות צווארתיות באזורים הצמודים לצוואר ובמהרה גם לשבר.
יש לשים לב כי אמנם כח המתיחה יורד אך הקשיית המעוותים ממשיכה להתרחש, כך שהמאמץ האמיתי אף על פי שהמאמץ ההנדסי יורד בגלל היווצרות הצוואר והקטנת שטח החתך.
השלב מסתיים בשבר, לאחר השבר ניתן למדוד את התארכות הדגם ואת הקטנת שטח החתך.
הקשר בין מאמץ ועיבור הנדסיים למאמץ ועיבור אמיתיים
כיוון שמתרחשת הצטמקות של שטח החתך והתעלמות ההתפתחות האורכית, קיים שוני בין עקומת מאמץ-עיבור הנדסית לבין עקומת מאמץ-עיבור אמיתית.
תחת הנחת שימור נפח לאורך כל התהליך ודפורמציה אחידה על פני כל הדגם ניתן לכתוב:
עבור המאמץ והעיבור האמיתיים ניתן להשתמש במאמץ-עיבור ההנדסיים:
עבור עיבור אמיתי, נוכל לגזור ולבטא את השינוי בעיבור:
נבצע אינטגרציה עבור שני הצדדים ונחיל את תנאי השפה:
בשל כך, בניסוי מתיחה, המאמץ האמיתי גדול יותר מהמאמץ ההנדסי והעיבור האמיתי קטן מהעיבור ההנדסי.
עקומת המאמץ-עיבור האמיתית נעה למעלה ושמאלה החל מהשלב השני בעקומה.
ההבדל בין המאמץ-עיבור האמיתי לבין המאמץ-עיבור ההנדסי עולה עם התפתחות העיבור הפלסטי.
בעיבורים נמוכים (באזור האלסטי בעיקר) ההבדלים בין העקומות זניחים.
נקודת החוזק המתיחה בעקומה ההנדסית היא מיוחדת ונקראת המאמץ המקסימלי אך היא אינה באה לידי ביטוי ולא מבדילה בין שלב לשלב בעקומה האמיתית.
כיוון שמאמץ הנדסי פרופורציוני לכח המופעל על הדגם הקריטריון להופעת צוואר הוא: .
ביטוי זה מציע שיווי משקל טבעי עבור מאמץ מקסימלי.
אפקט הקשיית המעוותים מאוזן על ידי התכווצות השטח בנקודת המאמץ המקסימלי.
לאחר יצירת הצוואר בדגם, הדפורמציה בדגם הטרוגנית ולא אחידה ולכן הביטוי לעיל אינו תואם לשלב השלישי.
המאמץ והעיבור האמיתיים לאחר המעבר על פני המאמץ המקסימלי בעקומה הנדסית או לאחר השלב בו ניתן להניח שימור נפח באים לידי ביטוי בצורה הבאה:
משוואה אמפירית המתארת את הקשר בין המאמץ והעיבור האמיתיים היא:
כאשר n הוא מקדם הקשיית מעוותים אשר הוא מודד את התנהגות החומר בקשר להופעת מעוותים.
חומרים בעלי ערך n גבוה יותר יהיו חומרים בעלי התנגדות להופעת צוואר בצורה משמעותית יותר.
בדרך כלל מתכות בטמפ' החדר יהיו בטווח 0.02-0.05 עבור .
K הוא מקדם חוזק עבור החומר.
ניתן להבחין במספר קריטריונים משותפים כאשר מתבוננים בעקומת מאמץ-עיבור עבור קבוצות חומרים שונות.
על בסיס זה ניתן לחלק את החומרים לשתי קטגוריות רחבות: חומרים משיכים וחומרים פריכים.
חומרים משיכים הכוללים פלדה מבנית וכן סגסוגות רבות של מתכות אחרות.
מוגדרים על ידי היכולת שלהם לעבור את נקודת הכניעה בטמפ' רגילות.
פלדות דלות פחמן יציגו בדרך כלל קשר ליניארי מאוד בין המאמץ לעיבור עם נקודת כניעה ברורה (כפי שניתן לראות באיור למעלה).
החלק הליניארי של העקומה הוא החלק האלסטי והשיפוע הוא מודול האלסטיות - מודול יאנג.
חומרים משיכים כוללים בתוכם מספר מתכות, פולימרים, חומרים קרמיים המציגים נקודת כניעה.
זרימה פלסטית של החומר מתחילה לאחר נקודת הכניעה העליונה וממשיכה לאחר המעבר בנקודת הכניעה התחתונה.
בנקודת הכניעה התחתונה דפורמציה הטרוגנית קבועה מתרחשת על פני הדגם.
רצועת הדפורמציה שהחלה בנקודת הכניעה העליונה מתפשטת כך שבנקודת הכניעה התחתונה הדפורמציה אחידה ומתחילה זרימה פלסטית לאורך כל הדגם.
הרצועה מתפשטת והיא נגרמת כחלק מתופעת מעוותי לודר.
לאחר נקודה זו מתחילה תופעת הקשיית המעוותים.
תופעה זו קשורה בד בבד עם היווצרות נקעים במערכת.
לדוגמה, הדפורמציה מתפשטת אך נתקלת בנקעים המתנגדים לתנועה ולכח ובכך מאטים את התקדמות הדפורמציה.
בגלל תופעת ההקשייה המאמץ הנדרש לתנועת הנקעים יהיה גדול, לאחר המעבר על פני הנקעים המאמץ הנדרש להמשך הדפורמציה יקטן.
לאחר נקודת הכניעה, העקומה תעלה בשיפוע מתון יותר כיוון שיש צורך להתגבר על שחרור הנקעים מתוך אתרי הסריג (Cottrell_atmosphere).
בהמשך הדפורמציה המאמץ עולה תוך כדי התחשבות בהקשיית המעוותים, עד שזה מגיע למאמץ המקסימלי (Ultimate Tensile Stress).
בנקודה זו נפסקת התכווצות שטח החתך בהתאם ליחס פואסון, בשטח החתך של נקודת השבר נוצר צוואר שמוביל בסופו של דבר לשבר.
תופעת הצוואר בדגם במהלך הניסוי קשורה לאי יציבות גאומטרית בדגם.
בשל המבנה הלא הומוגני לחלוטין של כל חומר, וכיוון שכל דגם יכיל בתוכו פגמים סביר שנמצא אזורים בהם קיימים נקבוביות קטנות או אזורים בהם פני השטח לא מושלמים.
תופעה זו מובילה לשטח חתך נמוך באותם אזורים.
עבור עיבור הקטן מהעיבור בנקודת המאמץ המקסימלי הקשיית המעוותים באזורים אלו תעלה על הפחתת שטח החתך ולכן יהיה קושי מסוים ליצור דפורמציה, כך שאי היציבות הגאומטרית לא באה לידי ביטוי מתחילת העיבור הפלסטי.
לחומרים אלו יש יכולת לחפות על חוסר ההומוגניות לפני ההגעה לנקודת המאמץ המקסימלי.
אולם כאשר העיבור גדל, השפעת הקשיית המעוותים יורדת.
בנקודה זו האזור בעל שטח החתך הקטן יותר יהיה חלק יותר מאזורים אחרים, ההקטנה גורמת לריכוז מאמצים באזור והיווצרות הצוואר.
הצוואר הופך לניכר יותר ויותר עד שהשבר מתרחש.
אחרי שנוצר צוואר, הדפורמציה הפלסטית מתרכזת בצוואר בעוד ששאר הדגם עובר התכווצות אלסטית כיוון שכח המתיחה יורד.
עקומת מאמץ-עיבור עבור חומרים משיכים ניתנת להצגה על ידי משוואת ראמברג-אוסגוד.
משוואה זו פשוטה ודורשת את החוזק לכניעה של החומר, מאמץ מקסימלי, מודול האלסטיות (יאנג) ואחוז ההתארכות הסופי.
חומרים פריכים כוללים בתוכם: ברזל יציקה, זכוכית ואבן.
מאופיינים בעובדה שהשבר מתרחש ללא שינוי ניכר לאורך השינוי האורכי.
לעיתים נשברים לפני נקודת הכניעה התאורטית.
לחומרים פריכים כמו בטון, סיבי פחמן אין הגדרת נקודת כניעה ברורה ולא מתבצעת הקשיית מעוותים במהלך הפעלת המאמץ.
לכן הגדרת המאמץ האולטימטיבי/ מקסימלי וכך גם נקודת השבירה היא לא חד־משמעית.
בעקומת מאמץ-עיבור אופיינית (כפי שניתן לראות באיור בצד שמאל) עבור חומרים פריכים כמו זכוכית לא מוצגת דפורמציה פלסטית, אלא החומר כושל גם כאשר הדפורמציה היא אלסטית בלבד.
אחד הקריטריונים של חומרים פריכים הוא ששני חלקי השבר מתאחדים ויוצרים צורה של הדגם המקורי כיוון שהצוואר כפי שהוא מופיע בחומרים משיכים לא מופיע.
עקומת מאמץ-עיבור אופיינית עבור חומרים פריכים יהיה ליניארי.
עבור חומרים מסוימים כמו בטון, מאמץ המתיחה הוא זניח יחסית למאמץ הלחיצה ונחשב לאפס עבור רוב האפליקציות ההנדסיות.
סיבי זכוכית הם בעלי חוזק למתיחה גבוה מפלדה אבל זכוכית בתפזורת ולא בנויה היטב מאבדת את החוזק הזה.
החוזק למתיחה לא בא לידי ביטוי בזכוכית כיוון שלמקדם עוצמת הלחץ יש חשיבות כאשר מערבים את הפגמים שקיימים בחומר.
ככל שגודל הדגם גדל כמות הדגמים גדלה גם כן.
באופן כללי, החוזק למתיחה עבור חבל תמיד יהיה קטן יותר מאשר סכום החוזק למתיחה עבור סיב בודד.
עקומות מאמץ-עיבור עבור חומרים שונים הן מגוונות מאוד כתוצאה ממבנים שונים ומרכיביהם.
בשל גורמים חיצוניים, ניסויי מתיחה עבור אותו חומר יציג נקודות כניעה שונות בעיקר בהתאם לטמפ' הדגם ולמהירות ההעמסה במהלך הניסוי.
הגבול בין גורמים פנימיים לבין גורמים חיצוניים אינו מוחלט ולא ניתן להציב גבול ברור בין הגורמים והשפעתם.
גורמים רבים יכולים להשפיע על עקומת המאמץ-עיבור על ידי הגדלת החוזק לכניעה, הקשיית מעוותים, זיקון וכל אלה יכולים לשנות את המבנה, את המרכיבים של החומר ואת היחס בין החומרים והשפעתם בחומר.
זמן בדרך כלל הוא גורם זניח בעקומת המאמץ-עיבור אבל בהעמסה גבוהה או מאמץ מתיחה גבוה יש השפעה של הזמן ומהירות ההעמסה על הכניעה ועל השבר, כפי שניתן לראות:
כאשר m הוא מקדם רגישות העיבור.
ככל ש־ גבוה יותר כך ההתנגדות ליצירת צוואר גדולה יותר, בדומה למקדם הקיים במנגנון הקשיית המעוותים.
מקדם דומיננטי נוסף היא הטמפרטורה.
הטמפרטורה שולטת בהיווצרות נקעים ובדיפוזיה בחומר.
ככל שהטמפרטורה עולה עבור חומר פריך, החומר הפריך יתנהג בצורה קרובה יותר להתנהגות חומר משיך.
בפיזיקה של אטו-שניות, עקומת האטוצ'ירפ (attochirp curve) היא דרך גרפית להציג אילו הרמוניות גבוהות ייפלטו כתלות בעוצמה הרגעית של השדה החשמלי המופעל על המדיה הלא ליניארית.
יצירת הרמוניות גבוהות היא תהליך יסודי באופטיקה לא ליניארית הניתן לתיאור באמצעות מודל שלושת השלבים שפיתח פול קורקם.
לפי מודל זה, אלקטרון קשור המופעל עליו שדה חשמלי חזק ובעל תדירות נמוכה, ינוע על פי הדינמיקה הבאה:
על מנת לתאר את המסלול הקלאסי שעובר האלקטרון, ניתן לבצע את קירוב השדה החזק (Strong Field Approximation; SFA), בו מניחים שהשדה החשמלי החיצוני מכתיב בצורה בלעדית את הדינמיקה האלקטרונית, והכוח הקולומבי המופעל על ידי הפוטנציאל האטומי איננו משפיע כלל על התנועה.
מאחר שמנהור הוא מנגנון אסור-קלאסית, ניתן לתאר את תנועת האלקטרון החל מהיציאה מהמחסום ועד התנגשותו ביון (כלומר, שלבים 2 ו-3 לעיל).
תנועה זו היא קלאסית לכל צורך מעשי, ועל כן ניתן לחזותה באמצעות אינטגרציה של החוק השני של ניוטון בנוכחות שדה חשמלי:
כאשר היא מסת האלקטרון, מטען האלקטרון, ו- הוא השדה החשמלי, התלוי בזמן בלבד (את התלות במקום ניתן להזניח שכן הדיפול המתפתח באלקטרון זניח לאור גודלו).
בהינתן שדה כלשהו, נרצה לקבל את משוואת התנועה עבור האלקטרון.
לשם כך, יש לבצע אינטגרציה בזמן שתי פעמים עוקבות, כאשר גבולות האינטגרציה הם (רגע היציאה מהמחסום, הוא רגע היינון), ו- כללי כלשהו.
היה והשדה מחזורי, ניתן לסרוק שונים הנעים בין לבין , זמן המחזור האופייני של השדה.
משוואת התנועה בצורתה הכללית ביותר, תהיה:
כאשר ו- הם המיקום והמהירות ההתחלתית של האלקטרון, בהתאמה.
פעמים רבות, נהוג להניח כי המיקום ההתחלתי של האלקטרון הוא הראשית, וכי המהירות ההתחלתית המוקנית לו בעת היציאה מהמחסום, היא אפסית.
ביחידות אטומיות, מתקיים עבור אלקטרון כי .
בהינתן משוואת התנועה, ניתן לשאול מה יהיה רגע הרקומבינציה, אשר מסומן לרוב כ-.
זאת, בהנחה שבכלל ישנה רקומבינציה.
התשובה אמורה להתקבל מתוך הדרישה:
לאחר קבלת המיפוי בין אוסף הרגעים לאוסף הרגעים השאלה המתבקשת הבאה היא לגבי אנרגיית הרקומבינציה.
זו, תחושב מיידית מתוך משוואת התנועה, שכן האנרגיה הקינטית בזמן ההתנגשות היא תבנית ריבועית של המהירות בזמן ההתנגשות, וזו הרי ידועה מעצם תהליך הפתרון.
אנרגיות הרקומבינציה הללו ניתנות לפרשנות כהרמוניות גבוהות.
שדה ליניארי הוא השדה היחיד שבו לכל זמן יינון מתקבל זמן רקומבינציה, כך שהמיפוי בין השניים הוא חד-חד ערכי ועל.
כלומר, זהו השדה החשמלי היעיל ביותר ביצירת הרמוניות גבוהות.
כמו כן, מתברר כי שדה זה גם מניב את תדר הקטעון הגבוה ביותר בהשוואה לכל שדה חשמלי אחר.
נרצה לפתור את המשוואה הבאה (לשם פשטות, אכן נניח כי האלקטרון מתחיל תנועתו בראשית ובמנוחה, וכי השדה הוא חד-ממדי):
עבור כל זמן יינון , נקבל מסלול מסוים .
בפרט, נשווה לאפס ונקבל, כי לכל זמן יינון , ישנו זמן רקומבינציה .
מתברר כי ישנו זמן עבורו מתקבלת אנרגיית רקומבינציה מקסימלית (תדר קטעון), השווה ל-, כאשר היא האנרגיה הפונדרומוטיבית של השדה.
עד היום, לא נמצא שדה חשמלי שמאפשר קבלה של תדר קטעון גבוה מזה של שדה ליניארי.
ברמה הקוונטית, שדה מעגלי איננו מאפשר קבלת הרמוניות גבוהות מטעמי שימור תנע זוויתי כולל.
הדבר מקבל ביטוי גם בפתרון קלאסי של משוואות התנועה: אינטגרציה של החוק השני של ניוטון איננה מניבה ולו מסלול אלקטרוני אחד אשר נוטה להתנגש בראשית.
בשיטה זו מפרידים את החוק השני של ניוטון לשתי משוואות: משוואה אחת שבה מוגדרת המהירות כנגזרת ראשונה של המיקום, ומשוואה שנייה שבה מוגדרת התאוצה כנגזרת ראשונה של המהירות.
המשוואות ניתנות להתרה על ידי שימוש בצעד ביניים, כמפורט בערך שיטת רונגה-קוטה.
אם צעד הזמן הנבחר להגדרת וקטור הזמן הכולל בו מתבצעת האינטגרציה הוא קטן דיו, מובטח כי סכימה נומרית מצטברת של וקטור השדה (במאטלאב, באמצעות הפקודה "cumsum") וכפל בצעד הזמן , אמורה לאפשר קבלתו של המסלול בצורה מדויקת.
עבור שדה פשוט מספיק, ניתן לבצע את האינטגרציה בזמן על ידי פתרון אנליטי של החוק השני של ניוטון.
לרוב, האינטגרציה האנליטית משמשת לצורך אישוש הפתרון הנומרי ובדיקת התכנסותו.
עקומת הילברט היא עקומה רציפה של מילוי חלל פרקטלי שתוארה לראשונה על ידי המתמטיקאי דויד הילברט בשנת 1891. זוהי עקומה בעלת דמיון עצמי המבקרת בכל נקודה בתוך מרחב דו-ממדי, וממלאת אותו לחלוטין מבלי לחצות את עצמה.
העקומה נבנית על ידי התחלת קטע קו ישר ולאחר מכן החלפתו באופן איטרטיבי בתבנית של ארבעה קטעים קטנים יותר המסודרים בריבוע.
לאחר מכן, הדפוס חוזר על עצמו בקנה מידה קטן יותר בכל אחד מהמקטעים הללו, והתהליך נמשך ללא הגבלת זמן.
התוצאה היא עקומה שמתפתלת בכל החלל, שעוברת דרך כל נקודה פעם אחת בדיוק.
לעקומות הילברט מספר תכונות שימושיות, מה שהופך אותן לפופולריות בתחומי מחקר שונים.
במדעי המחשב, הם משמשים לעיתים קרובות למיפוי נתונים דו-ממדיים על מרחב חד-ממדי, המאפשרים אחסון ומניפולציה יעילה של נתונים.
הם משמשים גם בקרטוגרפיה ליצירת מפות המשמרות את הקשרים הטופולוגיים בין מיקומים, ובדחיסת תמונה כדי לשפר את היעילות של אחסון ושידור נתונים.
בנוסף ליישומים המעשיים שלהם, עקומות הילברט נחקרה גם בשל התכונות האסתטיות והמתמטיות שלה.
היא מהוווה דוגמה לעקומת מילוי חלל, בטופולוגיה ובגאומטריה, וגם שימשה לחקר המאפיינים של פונקציות רציפות ולחקור את מושג הממדיות.
בנוסחה של עקומת הילברט, ישנם שני פרמטרים: n ו-p.
הפרמטר n מייצג את סדר העקומה, הקובע את קנה המידה של העקומה ומספר האיטרציות המשמשות בבנייתה.
ערך גבוה יותר של n מביא לעקומה מפורטת יותר עם מספר גדול יותר של נקודות.
הפרמטר p מייצג את המיקום של נקודה על העקומה.
הערך של p קובע את המיקום הספציפי של נקודה על העקומה בסולם נתון.
לדוגמה, אם n הוא סדר העקומה ו-p הוא המיקום של נקודה על העקומה, אז H(n, p) מייצג את הקואורדינטות של אותה נקודה.
בנוסחה של עקומת הילברט, H(n, p) מוגדר רקורסיבי, כלומר הוא מוגדר במונחים של עצמו.