tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
איינשטיין לא היה מוכן להשלים עם אי-הסימטריה לעיל אשר מספקת הסברים שונים לחלוטין לתופעה אחת.
ניסיונו למצוא הסבר אסתטי וסימטרי לתופעה היה אחד ממניעיו לפיתוח תורת היחסות.
איינשטיין הבין ששורש הבעיה מצוי בכך שמושגים כמו מרחב וזמן לא הוגדרו היטב.
בבסיס ההסבר שנתנה תורת היחסות הפרטית לתופעות שנידונו לעיל עומדים שני עקרונות יסוד:
חוקי הפיזיקה אינם משתנים כאשר עוברים ממערכת ייחוס אינרציאלית אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת.
כך לדוגמה, אדם הנמצא בקרון רכבת אטום לא יכול באמצעות שום ניסוי או מדידה פיזיקלית לקבוע האם הקרון נע במהירות קבועה או ניצב במנוחה.
מהירות האור (c) קבועה לכל צופה, בלא תלות במהירות היחסית שלו (v) ביחס לגוף שפלט את האור, או במהירות שלו ביחס לכל גוף אחר.
באמצעות דרישות אלה הסביר איינשטיין כיצד להגדיר את המרחב והזמן כך שבאמצעות סנכרון שעונים הגדיר מחדש את המושג של סימולטניות ("בו-זמניות").
מהניתוח שביצע איינשטיין עולה שהסימולטניות היא לא גודל שנשמר בין מערכות ייחוס אינרציאליות הנעות במהירויות שונות.
כלומר: שני צופים הנמצאים בתנועה יחסית ביניהם, ומודדים את אותו צמד אירועים, עשויים שלא להסכים ביניהם בשאלה האם אירועים אלו התרחשו בו זמנית.
מדרישות אלה ומעקרון הלוקליות גזר איינשטיין את טרנספורמציות לורנץ שהחליפו את טרנספורמציית גליליי ככלי מדויק לתרגם גדלים פיזיקליים במעבר בין מערכות ייחוס שונות.
עם זאת, במהירויות נמוכות בהרבה ממהירות האור טרנספורמציית גליליי מנבאת תוצאות בדיוק טוב מאוד, כך שניתן להתייחס אל טרנספורמציית גלילי כקירוב של טרנספורמציית לורנץ בגבול מהירויות נמוכות .
תורת היחסות הפרטית מטפלת רק במערכות ייחוס אינרציאליות, כלומר מערכות ייחוס הנעות זו ביחס לזו במהירות קבועה.
על אף שאפשר לדבר בתורה על תאוצה כגודל קינמטי, הטרנספורמציות בין מערכות ייחוס נעשות רק בין שתי מערכות אינרציאליות זו לזו.
שילוב מערכות ייחוס מואצות (כגון למשל מערכת ייחוס מסתובבת) איננו דבר פשוט ובעיה קשה זו מצאה פתרון שלם רק ב-1915 – כאשר איינשטיין ניסח את תורת היחסות הכללית, שמהווה הכללה לתורת היחסות הפרטית ומטפלת גם במערכות מואצות כאשר היא מזהה תאוצה עם שדה כבידה.
הזמן על פי תורת היחסות
מהו זמן ואיך מודדים אותו
בשלב הראשון, ניגש איינשטיין לטפל בזמן וניתח מה הוא בדיוק ה"זמן" שאנו מודדים.
ראשית, איינשטיין פתר את המקרה הפשוט שבו מודד הזמן נמצא באותו מקום בו קרה האירוע.
"הרכבת הגיעה בשעה שבע" – כלומר, האירוע שבו הרכבת הגיעה לתחנה התרחש בו-זמנית במערכת הייחוס של התחנה יחד עם האירוע שבו השעון של המודד, הנמצא נייח בתחנה, הראה את השעה 7.
בשלב השני בחן איינשטיין את השאלה: "מה קורה אם האירועים אינם קורים באותו מקום?" במקרה זה, יש להכין את מערכת המדידה מראש.
נניח שבדוגמה שלנו, מודד הזמן נמצא מחוץ לתחנה וכן נניח שיש ברשותו אמצעי להעברת מידע במהירות האור בין התחנה אליו.
כדי למדוד מתי הגיעה הרכבת עליו להכין שני שעונים (אחד בתחנה ואחד אצלו) וכן למדוד את המרחק בין התחנה אליו (נניח שמרחק זה הוא L).
כעת, כאשר הרכבת מגיעה לתחנה, השעון שבתחנה שולח אות במהירות האור אל המודד.
אם השעון בתחנה יראה 7 בעת הגעת הרכבת, השעון של המודד יראה .
כדי לדעת מתי הגיעה הרכבת עליו לקזז משעונו את הזמן שלקח למידע להגיע.
כך פתר איינשטיין את בעיית הזמן גם עבור אירועים שאינם קורים באותו מקום.
מהניתוח לעיל, עולה שכדי לקבל מדידה אחידה עבור צופים במרחקים שונים, בכל מקום יש לסנכרן את השעונים כך שהמחוג יקזז את הזמן שלוקח למידע להגיע (בדוגמה שלנו: המודד צריך לכוון את השעון שלו זמן אחורה כדי שגם השעון שלו יראה שהרכבת הגיעה ב־7 לתחנה, כמו שהשעון בתחנה מראה).
באופן תאורטי אידיאלי, בכל מקום במרחב יש שעון מסונכרן כזה.
אולם, מסתבר שבעיית סנכרון השעונים איננה פשוטה כל כך.
בשביל לסנכרן שני שעונים יש לשלוח קרן אור משעון A לשעון B, לתת לקרן לחזור ולמדוד את משך הזמן שלקח לה לחזור, באופן מתמטי – אם קרן האור יצאה ב־ וחזרה בזמן אזי
כעת, זה מפתה לומר שהזמן שלוקח לאור לטייל מ־A ל־B הוא
(מטעמי סימטריה) אבל אין שום ערובה ניסיונית לכך שזה אכן המצב.
למעשה, נוכל לקבוע שבכיוון אחד לקח לאור להגיע רק זמן לעבור, ולא נוכל להפריך זאת בניסוי כי הזמן במקומות שונים מוגדר באמצעות הגודל שאותו אנו רוצים למדוד, ואי אפשר למדדו בלי הגדרה טובה של הזמן במקומות שונים.
דבר זה קשה להבנה וקשור לתפיסה האקטואליסטית הקאנטיאנית שהיוותה השראה לאיינשטיין בעת ניסוח התאוריה.
ברם, בגלל עקרון היחסות, בחר איינשטיין באפשרות הטבעית, , אך במאמרו הדגיש שבחירה זו היא "בחירה שרירותית" ומהווה בעצם "עניין של הגדרה".
בתגובה לניתוח העמוק והמסובך לעיל העיר הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן בבדיחות ש"איינשטיין בעצם גילה שאת הזמן מודדים עם שעון".
לאחר הגדרת מושג הזמן בכל נקודה במרחב, כך שבכל מקום במרחב מונח שעון כשכל השעונים מסונכרנים, ניתן לבחון כיצד תלוי קצב תקתוקו של השעון במהירות התנועה של מערכת הייחוס שבה הוא נמצא.
שעון במערכת הנעה במהירות קבועה והתארכות הזמן
על פי תורת היחסות, זמן אינו גודל מוחלט, אלא תלוי במערכת ייחוס.
כלומר, אצל צופה אחד הזמן יעבור במהירות שונה מהזמן אצל צופה שני, הנע ביחס לראשון.
ככל שמתקרבים למהירות האור, היחס שואף לאינסוף, ועל כן, מנקודת המבט של הצופה, הזמן בגוף הנע ביחס אליו במהירות האור עומד מלכת.
נניח ש- (זמן עצמי) הוא פרק הזמן בין שני תקתוקי שעון במערכת שבה שני תקתוקי השעון קורים באותו מקום – "המערכת הנייחת" (מתוארת באיור הימני).
נניח ש- הוא פרק הזמן העובר בין שני תקתוקים כאשר שני התקתוקים קרו במקומות שונים, עקב תנועת מערכת הייחוס במהירות קבועה ביחס למערכת הנייחת, בניצב לכיוון התקדמות האור (מתוארת באיור השמאלי).
לפי תורת היחסות, הקשר שיתקיים ביניהם הוא:
כאשר הוא הזמן העצמי (הזמן במערכת ייחוס שבה שני האירועים מתרחשים באותו מקום, "המערכת הנייחת") ו־ הוא הזמן במערכת ייחוס הנעה במהירות ביחס אליה.
הזמן העצמי הוא גודל אינווריאנטי בתורת היחסות.
תופעה זו ידועה בשם "התארכות הזמן" (Time dilation).
כלומר, ככל שהצופה נע במהירות גבוהה יותר ביחס למערכת הייחוס, כך השעון שלו מתקתק לאט יותר.
במהירויות השואפות למהירות האור, ייקח לשעונו של הצופה הנע זמן אינסופי להשלים תקתוק שני, ולכן ידמה לו כאילו הזמן עומד מלכת.
בשעון הכוונה היא לכל מערכת פיזיקלית המשתנה בזמן (אם המערכת היא בעלת התנהגות מחזורית היא יכולה לשמש כשעון לכל צורך מעשי).
גם לב האדם, הפועם בקצב קבוע הוא סוג של שעון, ומאחר שגם פעילותו הגופנית והמנטלית של הצופה הנע ביחד עם המערכת מאטות ביחד עם השעון, הוא לא ירגיש בהאטת הזמן.
תוצאה מעניינת מהמסקנות לעיל היא פרדוקס התאומים, ניסוי מחשבתי שבו תאום אחד נשלח לחלל במהירות גבוהה מאוד וכאשר הוא חוזר לכדור הארץ הוא מגלה שאחיו הזדקן מאוד, בעוד שהוא נותר צעיר.
הסיבה לאי-הסימטריה בין שני התאומים נעוצה בכך שאחד מהם שינה בפועל את מהירותו (כאשר הוא הסתובב לחזור בחזרה אל עבר כדור הארץ) ובכך ביצע "קפיצה" בין שתי מערכות ייחוס אינרציאליות שונות ביחס לתאום שבכדור הארץ.
פרדוקס מעניין אחר הוא פרדוקס הסולם והאסם שמראה סימטריה בין שתי מערכות ייחוס אינרציאליות והיחסיות של הסימולטניות.
בניגוד למה שניתן להבין משמה, תורת היחסות לא קובעת שהכל יחסי, אלא מנסה למצוא אינווריאנטים של הטבע, כלומר: גדלים שלא משתנים תחת מעבר בין מערכת ייחוס אינרציאלית אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת.
איינשטיין יצא מהדרישה שחוקי הפיזיקה הם אינווריאנטים כאלה.
גדלים פיזיקליים שנשמרים תחת מעבר זה נקראים גם "אינווריאנטים לורנץ" כי הם נשמרים תחת טרנספורמציות לורנץ.
מהירות האור – תימדד כ־ בכל מערכת ייחוס.
האינטרוול (ריבוע הזמן העצמי) - ובפרט, גם הזמן העצמי הוא אינווראנטי לורנץ.
דיאגרמת זמן (נקראת גם "גרף t-x") הוא דרך פופולרית וטובה לתאר את המרחב-הזמן היחסותי.
גרף זה מורכב מציר אופקי x המתאר את המרחב (הצמצום לממד מרחבי אחד נעשה מטעמי פשטות ונוחות השרטוט) ומציר אנכי t המתאר את הזמן.
להלן הסברים על הגרף ומשמעות רכיביו:
הקווים המקווקווים הם היפרבולות האינטרוול.
על כל היפרבולה שכזו, האינטרוול ds² הוא קבוע.
הקווים האדומים ידועים בשם "קונוס האור" והם מייצגים גופים (B) שנעים במהירות האור.
התחום שבתוך הקונוס מעל הראשית (קונוס העתיד) הוא התחום של כל המאורעות (A) שעליהם המאורע בראשית יכול להשפיע, התחום שבתוך הקונוס ומתחת לראשית (קונוס העבר) הוא תחום כל המאורעות שיכלו להשפיע (D) על המאורע בראשית O.
כל התחום הלבן שמחוץ לקונוס האור מכיל מאורעות שלא יכולים להשפיע או להיות מושפעים מהמאורע בראשית (הם נקראים "מופרדים מרחבית").
הסיבה לכך היא שאם הם יכלו להיות מושפעים מהמאורע בראשית עקרון הסיבתיות היה מופר, שכן טרנספורמציית לורנץ – המזיזה נקודות לאורך היפרבולת האינטרוול שלהן – תוכל להעביר את המאורעות (למשל את C) למערכת ייחוס אחרת שבה C התרחש לפני O.
הזמן מציין את הזמן העצמי לאורך היפרבולת האינטרוול.
בעזרתו של המתמטיקאי הרמן מינקובסקי ניסח איינשטיין את תורת היחסות באמצעות חשבון טנזורים במרחב היפרבולי של 4-וקטורים, הקרוי מרחב מינקובסקי.
מרחב זה נקרא גם ה"מרחב-זמן" של מינקובסקי.
במרחב זה, מאורע פיזיקלי מתואר כ־4-וקטור, המכונה "4-וקטור האירוע" או "4-וקטור המקום", המוגדר בנוסחה
כלומר, יש בו רכיב זמן (האיבר הראשון) ורכיב מרחב (שלושת האיברים הבאים).
זאת, כיוון שלצורך תיאור מאורע פיזיקלי יש לציין לגביו ארבעה פרטים: הזמן בו התרחש ושלוש קואורדינטות בלתי־תלויות של המקום בו התרחש.
המטריקה של מרחב מינקובסקי (המטריצה המגדירה את המכפלה הסקלרית במרחב) מוגדרת כמטריצה האלכסונית,
באמצעות הסכם הסכימה של איינשטיין, מקובל לסמן: :
לשורש המכפלה של וקטור בעצמו לפי המטריקה, קוראים ה"נורמה" של הווקטור (אף על פי ש"נורמה" זו עשויה להיות שלילית).
מההגדרה לעיל, נובע כי ריבוע הנורמה של 4-וקטור המקום הוא
זהו האינטרוול של הווקטור x, והוא אינווריאנטה בתורת היחסות.
בניסוח זה, ניתן לייצג את המעבר בין מערכות ייחוס אינרציאליות (על ידי סיבוב או boost) באמצעות טרנספורמציות לורנץ, שהן טרנספורמציות ליניאריות (מטריצות) השומרות על המטריקה (המוגדרת, כאמור, על ידי תבנית ריבועית) תחת דמיון מטריצות).
גם 4-וקטור ההפרש בין שני 4-וקטורי מאורע הוא 4-וקטור, ולעיתים קרובות הוא שימושי יותר מאשר 4-וקטור המאורע.
נהוג למיין 4-וקטורים לפי הסימן של האינטרוול :
, ואומרים ש־A הוא דמוי־זמן (timelike).
שני מאורעות שההפרש ביניהם דמוי־זמן נקראים מופרדים זמנית, ואז קיימת מערכת בה האירועים מתרחשים באותו מקום, וקשר סיבתי אפשרי בין מאורעות כאלה.
, ואומרים ש־B הוא דמוי־אור (lightlike או null).
שני מאורעות שההפרש ביניהם דמוי־אור נקראים מופרדים אורית, וקשר סיבתי בין שני המאורעות אפשרי רק על ידי השפעות הנעות במהירות האור
, ואומרים ש־C הוא דמוי־מרחב (spacelike).
שני מאורעות שההפרש ביניהם דמוי־מרחב נקראים מופרדים מרחבית, ואז קיימת מערכת בה האירועים מתרחשים באותו זמן, ואין קשר סיבתי בין מאורעות כאלה.
בעזרת הגדרת ה־4-וקטור של מקום וזמן, מוגדר גם 4-וקטור מהירות.
מאחר שהזמן תלוי במערכת הייחוס, הגדרת המהירות על ידי גזירה לפי זמן לא תהיה עקבית ואחידה.
הפתרון הוא לגזור לפי הזמן העצמי – שהוא אינווריאנטי לורנץ – ואז הגדרת ה־4-וקטור המהירות תהיה עקבית.
כאשר פקטור לורנץ, , נקבע כך שהנורמה של 4-וקטור המהירות שווה למהירות האור:
לחלק המרחבי של 4-וקטור המהירות, , נהוג לקרוא "מהירות יחסותית" (לעומת "המהירות הקלאסית", ).
חלק מהפיזיקאים משתמשים במוסכמה שבה המהירות אינה מוכפלת בפקטור לורנץ, אלא דווקא המסה.
בהקשר זה, נהוג לקרוא לגודל "מסה יחסותית".
באותו אופן, אפשר גם לחשב תאוצה יחסותית:
ומהגדרה זו נובע כי המכפלה הסקלרית של התאוצה והמהירות מתאפסת תמיד, כי:
מטרנספורמציות לורנץ נובע שכלל חיבור המהירויות המקבילות הקלאסי , המתאר כיצד תנועתו של גוף נע נמדדת ביחס לשתי מערכות עם תנועה יחסית ביניהן, תקף רק כקירוב במהירויות נמוכות.
כלל חיבור המהירויות המקבילות היחסותי הוא
כלל שאותו אפשר לקבל דרך הסקת הקואורדינטות המרחב-זמניות של מאורעות המייצגים את הגעת הגוף הנע לנקודות שונות בקו תנועתו, כפי שהן נמדדות בשתי מערכות הייחוס הנידונות (שהאחת נעה ביחס לשנייה), תוך זיהוי המהירות היחסית המבוקשת כיחס .
מכאן אפשר לראות שגוף הנע במהירות קטנה ממהירות האור במערכת אינרציאלית כלשהי, ינוע במהירות קטנה ממהירות האור בכל מערכת אחרת; באופן דומה, גוף שינוע במהירות גדולה ממהירות האור במערכת כלשהי, ינוע במהירות גדולה ממהירות האור בכל מערכת אחרת.
מאחר שהמרחב שאותו מודד צופה נע מתקצר רק בכיוון התנועה שלו ונשמר בכיוונים ניצבים לו (נתייחס לכיוונים הניצבים כאל ו-), קואורדינטת ה- של הגוף הנע בציר זה מותמרת ללא שינוי למערכת הייחוס של הגוף הנע בציר .
כלומר, בתחשיב המהירויות קצב התנועה בציר יישאר ללא שינוי, בעוד שהמהירות בציר תתווסף עם מקדם קטן מ-1, ולכן כלל חיבור המהירויות היחסותי במקרה זה הוא:
כדי לדון בדינמיקה של גופים נעים מגדירים את 4-וקטור התנע-אנרגיה:
כאשר היא מסת המנוחה של הגוף.
בהרבה ספרים נהוג להגדיר "מסה יחסותית" על ידי ובכך ל"בלוע" את פקטור לורנץ.
המסה היחסותית איננה אינווריאנטית לורנץ, למעשה – ככל שגוף נע יותר מהר, כך המסה היחסותית שלו גדולה יותר.
נביט באיבר הזמני של 4-וקטור התנע, לגודל יש יחידות של אנרגיה חלקי מהירות ולכן מקובל לרשום אותו בצורה
ומתקיים שמסת המנוחה היא אינווריאנטית לורנץ, שכן
נפתח את האנרגיה כטור טיילור במהירות v ונקבל ש:
נשים לב ש היא האינרגיה הקינטית הקלאסית של הגוף.
לכן, זיהה איינשטיין את תכולת האנרגיה של הגוף עם המסה היחסותית שלו.
האנרגיה הקינטית היחסותית של הגוף היא ואילו סך האנרגיה הכללית נתון על ידי .
החוק השני של ניוטון אומר ש וזהו הבסיס למשוואות התנועה גם בתורת היחסות הפרטית.
את משוואות התנועה היחסותיות אפשר למצוא באופן ריגורוזי יותר באמצעות שימוש בעקרון הפעולה המינימלית עבור פעולה יחסותית (שבה האינטגרנד הוא גודל אינווריאנטי).
באמצעות עקרון הפעולה אפשר לקבל שמשוואות התנועה הן
כאשר f הוא ה 4-כוח, אותו ניתן לחשב באופן הבא: במערכת המנוחה של החלקיק מגדירים ש ואז מעבירים אותה למערכת הרצויה בטרנספורמציית לורנץ.
באופן מפורש מקבלים שבמערכת כלשהי, בה החלקיק נע במהירות ה 4-כוח הוא מהצורה
לדוגמה, הכוח החשמלי הפועל על חלקיק בודד (כוח לורנץ) הוא
כאשר כאן הוא טנזור השדה האלקטרומגנטי.
יישומים ומסקנות של תורת היחסות
תורת היחסות הפרטית הובילה לתחזיות השונות מאלה שחזתה המכניקה הניוטונית עבור תנועה הקרובה במהירותה למהירות האור:
יחסיות הבו-זמניות: אם צופה א' רואה שני אירועים רחוקים זה מזה מתרחשים סימולטנית, אזי צופה ב' הנע ביחס לצופה א' יראה אותם מתרחשים בזמנים שונים.
התארכות הזמן: אם מישהו נע יחסית אל הצופה במחצית מהירות האור אזי כאשר הצופה מסתכל על מחוגי השניות של אותו מישהו שנע לקראתו, הצופה יראה תזוזה של שנייה כל 1.15 שניות בשעון שלו.
מי שנע לא חש בתופעה זו.
התקצרות האורך: אם חללית נעה ביחס אל הצופה במחצית מהירות האור, אז כאשר הצופה מסתכל על אורכה הוא מתקצר ב־13% לעומת האורך במנוחה, אבל מי שבחללית לא יראה שום שוני.
עליית המסה: אם חללית נעה ביחס אל הצופה במחצית מהירות האור המסה שלה תהיה ב־15% יותר גדולה מאשר המסה שלה במנוחה, אבל מי שבחללית לא ימדוד שום שינוי.
כל התופעות הבלתי צפויות הללו אושרו מאוחר יותר בניסויים.
ברוב התופעות הללו אין אנו חוזים בחיי היום-יום כי השפעתן ניכרת רק לגבי גופים הנעים במהירויות גדולות (מהירויות של בערך חמישית ממהירות האור ומעלה).
עבור מהירויות נמוכות, השפעת התופעות הללו זניחה ואי-אפשר למדדה ללא אמצעים מדויקים ביותר.
ניצול מלא של שקילות זו מתרחש כאשר חומר ואנטי-חומר מתנגשים, שאז הם מתאיינים – הופכים לאנרגיה ללא שארית ממהותם המקורית.
לעובדה זו יש יישום חשוב מאוד בפיזיקה של חלקיקים אלמנטריים: האצת חלקיקי יסוד כמו פרוטון או אלקטרון למהירויות אדירות (של יותר מ־80% ממהירות האור) והטחתם בחלקיקים אחרים תביא, בשל עיקרון שקילות המסה והאנרגיה, ליצירת הרבה חלקיקים חדשים ולפיזורם בהתאם לחוק שימור התנע.
כך, אפשר ליצור ולחקור חלקיקים אלמנטריים.
זהו העיקרון שעומד מאחורי מאיץ חלקיקים.
יישום נוסף של התורה היא ניסוח חדש וקו-וריאנטי לאלקטרומגנטיות של מקסוול.
במסגרת זו אוחדו השדה המגנטי והחשמלי לטנזור אנטי-סימטרי מדרגה 2 (כלומר: מעין מטריצה 4 על 4) הנקרא טנזור השדה האלקטרומגנטי.
באמצעות איחוד זה צמצם איינשטיין את משוואות מקסוול לשתי משוואות בלבד, אחת הומוגנית ששקולה למשוואות מקסוול ההומוגניות (אילוצים) ושנייה התלויה בהתפלגות הצפיפות והזרמים במרחב (ששקולה לחוק אמפר וחוק פאראדיי).
הניסוח היחסותי לאלקטרומגנטיות נחשב לאלגנטי ביותר, אך במקרים רבים ממשיכים להשתמש בניסוח הקלאסי של מקסוול עם מרחב לחוד וזמן כפרמטר.
לתורת היחסות הפרטית לא היו הרבה יישומים מעשיים ישירים.
הסיבה לכך היא שתורת היחסות הפרטית היא תאוריה לשם התאוריה, ולצורך כל יישום מעשי משתמשים בתורת היחסות הכללית, שכן את השפעת הגרביטציה אי-אפשר להזניח, ואילו יחסות פרטית מטפלת רק במערכות אינרציאליות ללא תאוצה.
ברם, לתורת היחסות הפרטית יש חשיבות תאורטית מהמעלה הראשונה וחייבים להתחשב בה כאשר רוצים לפתח תאוריה המתארת תופעות אלמנטריות הן בסקלה קוונטית והן בסקלה קוסמית.
כדי לקבל תיאור נכון של תופעות קוונטיות יש להשתמש במכניקת קוונטים הבנויה על יסוד היחסות הפרטית.
מכניקה קוונטית יחסותית פותחה לראשונה על ידי הפיזיקאי פול דיראק, ולבסוף בתורת השדות הקוונטית, שהיא הבסיס למודל הסטנדרטי.
חשיבותה של תורת היחסות הפרטית היא בפתרון הסתירות של פיזיקת המאה ה־19 ובהיותה בסיס מחשבתי ופילוסופי ליחסות הכללית.
תורת היחסות הכללית היא התאוריה המודרנית המסבירה את תופעת הכבידה.
היא מתארת כיצד מסה ואנרגיה משפיעות על המרחב והזמן, וכיצד השפעה זו מכתיבה את מסלוליהם של כוכבים, כוכבי לכת ואף קרני אור.
את התאוריה פיתח ופרסם אלברט איינשטיין בשנת 1915, והיא מהווה את אחד מעמודי התווך של הפיזיקה המודרנית.
לתאוריה נודעה משמעות היסטורית מכרעת, שכן היא היוותה מהפכה מדעית והחליפה את חוק הכבידה העולמי של ניוטון, ששלט בכיפה במשך יותר מ-200 שנה.
הרעיון המרכזי והמהפכני שלה הוא שכבידה אינה כוח בלתי מוסבר הפועל ממרחק, אלא תכונה גאומטרית של היקום עצמו: נוכחות של מסה ואנרגיה גורמת למארג המאוחד של המרחב והזמן, המכונה מרחב-זמן, להתעקם, ותנועתם של גופים מושפעת מעיקום זה.
חוק הכבידה של ניוטון מהווה קירוב של היחסות הכללית בתנאים של כבידה חלשה ומרחב-זמן כמעט שטוח.
עם זאת, תורתו של איינשטיין חוזה תופעות החורגות מתחום המכניקה הקלאסית.
תחזיות אלו נוגעות למעבר הזמן, לגאומטריה של המרחב, לתנועת גופים בנפילה חופשית, ולהטיית התקדמות האור וקרינה אלקטרומגנטית בשדה כבידה, וכוללות תופעות כמו האטה כבידתית של הזמן, עידוש כבידתי, הסחה כבידתית לאדום של אור, וקיומם של סינגולריות וחורים שחורים.
עד כה, כל מבחני תורת היחסות הכללית איששו את תחזיותיה.
פתרונותיה המתפתחים-בזמן של התאוריה מספקים את המסגרת המודרנית לקוסמולוגיה, והובילו לתאוריית המפץ הגדול ולגילוי קרינת הרקע הקוסמית.
בעיה יסודית ובלתי פתורה בפיזיקה המודרנית היא חוסר ההתאמה בין תורת היחסות הכללית לבין מכניקת הקוונטים.
בעוד היחסות הכללית מתארת את היקום בסקאלות הגדולות, מכניקת הקוונטים מתארת אותו בסקאלות הקטנות ביותר.
עד כה לא נמצאה תאוריה עקבית של כבידה קוונטית שתאחד בין השתיים, וטרם ידוע כיצד ניתן לאחד את כוח הכבידה עם שלושת הכוחות היסודיים האחרים בתאוריה של הכול: החזק, החלש והאלקטרומגנטי.
היא חוזה את קיומם של חורים שחורים, אזורים במרחב-זמן שהעיקום בהם כה קיצוני עד שדבר, לרבות אור, אינו יכול להימלט מהם.
כמו כן, היא חוזה את תופעת העידוש הכבידתי, שבה מסלולו של האור מתעקם בסמוך למסה גדולה, וכתוצאה מכך מתקבלות תמונות מרובות או מעוותות של עצמים אסטרונומיים מרוחקים.
תחזית נוספת היא קיומם של גלי כבידה, הפרעות זעירות במארג המרחב-זמן, המתפשטות ביקום כתוצאה מאירועים קוסמיים אלימים.
במשך עשרות שנים נחשבה תחזית זו לתאורטית בלבד, אך בשנת 2015 היא אומתה באופן ישיר.
צוות מדענים ב-LIGO, מצפה עצום המורכב מרשת גלאים רגישים במיוחד בארצות הברית, הצליח לזהות לראשונה גלי כבידה שנוצרו מהתנגשות של שני חורים שחורים.
בנוסף, התאוריה מהווה את הבסיס למודלים קוסמולוגיים מודרניים של יקום מתפשט.
תורת היחסות הכללית, אשר נודעת ביופיה המתמטי, תוארה לעיתים קרובות כאחת התאוריות הפיזיקליות האלגנטיות והשלמות ביותר.
מסעו של אלברט איינשטיין לפיתוח תורת היחסות הכללית החל בעקבות סתירה עמוקה שהתגלתה לאחר פרסום תורת היחסות הפרטית (1905).
היחסות הפרטית אימצה את עקרון קביעות מהירות האור (שנגזר ממשוואות מקסוול) והפכה אותו לפוסטולט יסודי.
נגזרת מכרעת של תאוריה זו הייתה שמהירות האור () היא הגבול האוניברסלי העליון למהירות בטבע; שום מידע או אינטראקציה פיזית אינם יכולים לנוע מהר יותר.
קביעה זו יצרה ניגוד חריף במיוחד מול חוק הכבידה של ניוטון, שתיאר את הכבידה ככוח הפועל באופן מיידי על פני כל מרחק, כלומר במהירות אינסופית.
לאור ההבנה החדשה של מבנה המרחב-זמן, שתי התאוריות – היחסות הפרטית וחוק ניוטון – לא יכלו להתקיים זו לצד זו, והיה צורך בתיאוריה חדשה של כבידה שתהיה תואמת את עקרונות היחסות.
המתמטיקאי והפיזיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה היה מהראשונים שניסו לגשר על הפער.
כבר ב-1905, במסגרת "תאוריית הדינמיקה של האלקטרון", הוא הציע ש"עקרון היחסות" (הרעיון שחוקי הפיזיקה זהים לכל צופה) חייב לחול גם על כוח הכבידה.
מכך נבעה מסקנה מהפכנית: אם כבידה אינה כוח מיידי, אלא כפופה למגבלת מהירות האור, אז כל "הפרעה" בשדה הכבידתי – מה שהוא כינה "גלי כבידה" – חייבת גם היא לנוע במהירות האור.
פריצת הדרך של איינשטיין, שהחלה ב-1907, הגיעה מכיוון אחר.
בניסוי מחשבתי, שכינה "המחשבה המאושרת ביותר בחייו", הוא דמיין אדם הנופל נפילה חופשית, ומצא כי במצב זה תחושת הכבידה נעלמת לחלוטין.
מכאן הסיק את עקרון השקילות: באופן מקומי, לא ניתן להבחין בין השפעותיה של תאוצה לבין השפעותיה של כבידה.
תובנה זו היוותה את הגשר הרעיוני בין כבידה לבין הגאומטריה של תנועה במרחב-זמן.
כדי לתאר מתמטית את הרעיון שכבידה היא תופעה גאומטרית, איינשטיין נזקק לכלים מתמטיים שחורגים מהגאומטריה האוקלידית.
חברו, המתמטיקאי מרסל גרוסמן, סייע לו לאמץ את הגאומטריה הרימנית: ענף מתמטי המאפשר לתאר מרחבים עקומים.
גאומטריה זו סיפקה את השפה המושלמת לניסוח הרעיון המרכזי של התאוריה.
לאחר מסע אינטלקטואלי בן שמונה שנים, הגיע איינשטיין לניסוח הסופי של משוואות השדה שלו.
משוואות אלו הן "ספר החוקים" של התאוריה: הן קובעות במדויק כיצד צפיפות המסה והאנרגיה מכתיבה את מידת העיקום של המרחב-זמן.
בנובמבר 1915 הוא הציג את התאוריה השלמה בפני האקדמיה הפרוסית למדעים.
משוואות השדה של איינשטיין הן לא-ליניאריות ונחשבות קשות לפתרון.
בשנת 1916, האסטרופיזיקאי קרל שוורצשילד היה הראשון שמצא פתרון מדויק למשוואות עבור כוכב כדורי, באותה שנה הורחב הפתרון כדי לתאר מקרה מורכב יותר – גוף כדורי שאינו רק בעל מסה, אלא נושא גם מטען חשמלי, תוספת שמשפיעה אף היא על עיקום המרחב.
פתרון זה, המשלב את השפעת הכבידה והחשמל, נקרא פתרון רייסנר-נורדסטרום.
ב-1917 החיל איינשטיין את התאוריה על היקום כולו.
בהתאם לתפיסה המדעית שרווחה אז, הוא הניח שהיקום סטטי, והוסיף למשוואותיו את הקבוע הקוסמולוגי, כדי שתתאמנה לתפיסה זו.
אולם, עד 1929, עבודתו של האסטרונום אדווין האבל הראתה שהיקום מתפשט.
תגלית זו התאימה לפתרונות של אלכסנדר פרידמן וז'ורז' למטר, שהיוו את הבסיס למודל המפץ הגדול.
מאוחר יותר, איינשטיין הכריז על הוספת הקבוע הקוסמולוגי כ"טעות הגדולה ביותר בחייו".
האישושים לתורת היחסות הכללית החלו להגיע כמעט מיד עם פרסומה.
האישוש המשמעותי הראשון, שהוצג על ידי איינשטיין עוד בנובמבר 1915, היה פתרונה של תעלומה אסטרונומית ותיקה: סטיית מסלולו של כוכב חמה.
אסטרונומים ידעו במשך עשרות שנים שמסלולו האליפטי של כוכב הלכת אינו קבוע בחלל; האליפסה כולה מסתובבת לאט סביב השמש, תופעה המכונה "נקיפה" (precession).
בעוד שחלק ניכר מנקיפה זו הוסבר על ידי משיכת הכבידה של כוכבי הלכת האחרים, נותרה סטייה זעירה אך עקבית שחוקי ניוטון לא יכלו להסביר.
תורתו של איינשטיין חזתה במדויק את הסטייה הנותרת, והסבירה אותה כתוצאה מהאופן שבו מסתה העצומה של השמש מעקמת את המרחב-זמן סביבה.
האישוש שהביא להכרה ציבורית רחבה בתאוריה הגיע כארבע שנים מאוחר יותר, ב-1919, והיה בעל חשיבות מכרעת.
משלחת בראשות האסטרונום ארתור אדינגטון יצאה לצפות בליקוי חמה מלא כדי לבחון תחזית מהפכנית של התאוריה: התעקמות אורם של כוכבים רחוקים בעוברו בסמוך לשמש.
חשיבותו של ניסוי זה נבעה מכך שהוא עמד בניגוד מוחלט לתפיסה המדעית המקובלת באותה תקופה.
על פי תורת האור הגלית, שהייתה התיאוריה השלטת, לאור אין מסה, ולכן הוא לא אמור להיות מושפע מכוח הכבידה כלל, כלומר התחזית המקובלת הייתה לאפס סטייה.
לעומת זאת, תורת היחסות הכללית חזתה סטייה מדויקת של כ-1.75 שניות קשת, הנובעת מעיקום המרחב-זמן עצמו.
אימות תחזיתו של איינשטיין לא היה רק הוכחה נוספת לתאוריה, אלא אישוש לרעיון הרדיקלי שכבידה אכן מעקמת את המרחב.
תוצאות המשלחת תאמו את תחזיתו של איינשטיין, והפכו אותו לדמות מדעית בעלת שם עולמי.
למרות הצלחות אלו, התאוריה נותרה מעט מחוץ לזרם המרכזי.
היא הפכה לחלק מרכזי בפיזיקה רק בתקופה המכונה "תור הזהב של היחסות הכללית" (בערך בין 1960 ל-1975).
בתקופה זו, פיזיקאים החלו להבין לעומק את מושג החור השחור, לזהות קוואזרים כביטוי אסטרופיזי שלהם, ולבצע מבחנים ניסיוניים מדויקים יותר ויותר של התאוריה.
תורת היחסות הכללית זכתה למוניטין של תאוריה בעלת יופי יוצא דופן.
האסטרופיזיקאי סוברהמניאן צ'נדראסקאר ציין כי היא מפגינה את מה שפרנסיס בייקון כינה "זרות בפרופורציה": יופי הנובע מהרמוניה מפתיעה בין מושגים שנחשבו נפרדים לחלוטין – המבנה הגאומטרי של היקום (מרחב-זמן) והתוכן הפיזי שלו (חומר ואנרגיה).
אלמנטים נוספים של יופי המיוחסים לתאוריה הם פשטותה, הסימטריה שלה, והעקביות הלוגית המושלמת שלה.בהקדמה לספרו "יחסות: התורה הפרטית והכללית", כתב איינשטיין: "ספר זה מיועד...
להעניק תובנה מדויקת על תורת היחסות לאותם קוראים אשר...
מתעניינים בתאוריה, אך אינם בקיאים במנגנון המתמטי...
החיבור מניח רמת השכלה המקבילה לזו של בחינת בגרות, ו...
מידה לא מבוטלת של סבלנות וכוח רצון מצד הקורא".
ניתן להבין את תורת היחסות הכללית על ידי בחינת קווי הדמיון והשוני בינה לבין הפיזיקה הקלאסית.
הצעד הראשון הוא ההבנה שגם המכניקה הקלאסית וחוק הכבידה של ניוטון מאפשרים תיאור גאומטרי.
השילוב של תיאור זה עם חוקי תורת היחסות הפרטית מוביל להסבר היוריסטי (הסבר המבוסס על היגיון ואינטואיציה ולא על הוכחה מתמטית מלאה) של תורת היחסות הכללית.
הגאומטריה של הכבידה הניוטונית: הגדרה מחדש של תנועה אינרציאלית
בבסיס המכניקה הקלאסית עומד הרעיון של תנועה אינרציאלית: מצב התנועה הטבעי של גוף ששום כוח אינו פועל עליו, כלומר תנועה בקו ישר ובמהירות קבועה.
כל סטייה ממסלול זה נחשבת לתאוצה הנגרמת על ידי כוח חיצוני.
אולם, כוח הכבידה הציב אתגר לתפיסה זו.
הבעיה אינה רק שכבידה גורמת לסטייה ממסלול ישר, אלא האופן הייחודי שבו היא עושה זאת.
בניגוד לכוחות אחרים (כמו כוח מגנטי או דחיפה), כוח הכבידה פועל על כל הגופים באופן זהה לחלוטין, ללא קשר למסתם או להרכבם הכימי.
עובדה זו, המכונה "האוניברסליות של הנפילה החופשית", אומתה בניסויים מדויקים כמו ניסוי אטווש.
היא פירושה שבנפילה חופשית (ללא התנגדות אוויר), נוצה וכדור תותח יאיצו ויפלו בדיוק באותו האופן.
בפיזיקה הניוטונית, שוויון זה בין המסה האינרציאלית (התנגדות הגוף לתאוצה) למסה הכבידתית (עוצמת המשיכה של הגוף) הוא צירוף מקרים קוסמי, ללא הסבר יסודי.
איינשטיין סירב לקבל זאת כצירוף מקרים.
בניסוי המחשבתי המפורסם שלו על אדם במעלית, הוא הראה שלא ניתן להבחין בין תאוצה לבין כבידה.
מכאן הגיעה הצעתו המהפכנית: להפוך את התמונה.
במקום לראות בנפילה חופשית תנועה מאולצת הנגרמת מכוח, איינשטיין טען שנפילה חופשית היא-היא התנועה האינרציאלית והטבעית.
לעומת זאת, אדם העומד על הקרקע נמצא במצב לא טבעי, שכן הקרקע מפעילה עליו כוח תמידי הדוחף אותו "למעלה" ומונע ממנו לנוע במסלולו הטבעי והאינרציאלי.
הגדרה מחודשת זו היא המפתח להבנת הכבידה כתופעה גאומטרית.
אם התנועה הטבעית וה"ישרה" היא נפילה חופשית, אך אנו רואים שמסלוליהם של גופים נופלים מתעקמים ומתקרבים זה לזה, המסקנה המתבקשת היא שה"מפה" של המציאות עצמה, כלומר המרחב-זמן, היא עקומה.
תורה זו, המתארת את הכבידה הניוטונית במונחים גאומטריים, ידועה בשם תורת ניוטון-קרטן.
כדי להמחיש כיצד ניתן לזהות עקמומיות מתוך המרחב עצמו, ניתן להשתמש באנלוגיה של נמלה דו-ממדית החיה על פני כדור.
הנמלה, שאינה מודעת לקיומו של ממד שלישי, יכולה להסיק שהעולם שלה עקום על ידי ביצוע מדידות גאומטריות פנימיות.
לדוגמה, אם תצייר משולש גדול ותמדוד את זוויותיו, תגלה שסכומן תמיד גדול מ-180 מעלות.
תוצאה זו, הסותרת את הגאומטריה האוקלידית, היא הוכחה חותכת לעקמומיות הפנימית של המרחב שלה.
עם זאת, חשוב להכיר במגבלות האנלוגיה: אנחנו, כצופים תלת-ממדיים, רואים את הכדור כעצם עקום בתוך מרחב תלת-ממדי שטוח.
כלומר, אנו תופסים את העקמומיות שלו באופן חיצוני.
המהפכה של איינשטיין היא הטענה שהעקמומיות של המרחב-זמן שלנו היא פנימית בלבד.
אין צורך להניח קיומו של מרחב-על חיצוני ו"ישר" שבתוכו היקום שלנו מתעקם.
בתפיסה זו קושי משמעותי באינטואיציה, והרעיון מתואר בצורה מדויקת באמצעות מתמטיקה גבוהה, ובמקרה זה – הגאומטריה הרימנית, המאפשרת לתאר ולמדוד עקמומיות זו מתוך המרחב עצמו.
אף שהכבידה הניוטונית-הגאומטרית היא רעיון מרתק, היא מבוססת על המכניקה הקלאסית, שהיא רק מקרה גבולי של מכניקת היחסות הפרטית.
בשפת הפיזיקה, חוקי הפיזיקה צריכים להיות אינווריאנטיים, כלומר קבועים ובלתי משתנים, תחת טרנספורמציה – מעבר בין מערכות ייחוס שונות.
במכניקה הקלאסית, הכללים למעבר זה הם של טרנספורמציית גליליי.
לעומת זאת, ביחסות הפרטית, שבה מהירות האור קבועה לכל צופה, הכללים הם של טרנספורמציית לורנץ.
(הסימטריה המלאה של היחסות הפרטית היא חבורת פואנקרה, הכוללת הזזות, סיבובים והגברות מהירות).
ההבדלים בין שתי מערכות החוקים הופכים למשמעותיים במהירויות המתקרבות למהירות האור.
עם סימטריית לורנץ, מופיעים מבנים חדשים.
המרכזי שבהם הוא קונוס האור, שאינו עצם פיזי אלא כלי מתמטי-גרפי הממחיש את מבנה הסיבתיות ביקום.
עבור כל מאורע A, קונוס האור מגדיר את כל המקומות בעתיד שיוכלו להיות מושפעים ממנו (כמו מאורע B בתמונה) ואת כל המקומות בעבר שיכלו להשפיע עליו.
חלוקה זו היא מוחלטת ואינה תלויה בצופה.
באופן מתמטי, ניתן להראות שבאמצעות מבנה קונוסי האור, יחד עם מסלוליהם של גופים בנפילה חופשית, ניתן "לשחזר את הגאומטריה" של המרחב-זמן.
הכוונה היא ששני סוגי המידע הללו – מה יכול להשפיע על מה (קונוסי האור) ומהם המסלולים הטבעיים (נפילה חופשית) – מספיקים כדי לחשב את כל כללי המדידה של אותו מרחב-זמן.
מבנה יסודי זה של הגאומטריה מכונה מבנה קונפורמי.
תורת היחסות הפרטית מוגדרת בהיעדר כבידה, במרחב-זמן "שטוח" שבו ניתן להגדיר מערכת ייחוס אינרציאלית גלובלית.
כאשר מכניסים את הכבידה לתמונה, הגורמת לעיקום המרחב-זמן, רשת גלובלית כזו אינה אפשרית עוד.
במקומה, ישנן רק מערכות אינרציאליות מקומיות ומקורבות, שהן למעשה מערכות ייחוס קטנות הנעות יחד עם גופים בנפילה חופשית.
בשפת המרחב-זמן: הקווים הישרים המגדירים מערכת אינרציאלית ללא כבידה, הופכים לקווים עקומים זה ביחס לזה, מה שמצביע על כך שהכללת הכבידה דורשת שינוי בגאומטריה של המרחב-זמן.
אך כאן עלתה שאלה עדינה: האם מערכות הייחוס החדשות הללו, הנופלות נפילה חופשית, הן אכן אותן מערכות שבהן חוקי תורת היחסות הפרטית תקפים?
הנחות שונות לגבי שאלה זו מובילות לתחזיות שונות לגבי מידת ההסחה הכבידתית לאדום – תופעה שבה אור המתפשט מתוך שדה כבידה (כלומר, נע 'נגד' כוח המשיכה) מאבד אנרגיה, וכתוצאה מכך התדירות שלו יורדת וצבעו נוטה לקצה האדום של הספקטרום.
המדידות בפועל הראו באופן חד משמעי שמערכות הייחוס בנפילה חופשית הן אכן אלו שבהן האור מתנהג כפי שהוא מתנהג ביחסות הפרטית.
הכללתה של קביעה זו, לפיה חוקי תורת היחסות הפרטית תקפים בקירוב טוב במערכות ייחוס הנמצאות בנפילה חופשית, ידועה בשם עקרון השקילות של איינשטיין.
זהו עקרון מנחה חיוני להכללת הפיזיקה היחסותית כך שתכלול את הכבידה.
כדי להבין מדוע יש צורך בגאומטריה כללית יותר, כדאי להתחיל במטריקת מינקובסקי.
מבחינה מתמטית, מדובר במטריצה (ליתר דיוק, טנזור) המשמשת כ"סרגל" של המרחב-זמן השטוח של תורת היחסות הפרטית.
המטריקה קובעת את כללי המדידה של מרחק וזמן במציאות נטולת כבידה, ומבוססת על ההנחה שלמרחב-זמן יש מבנה אחיד וקבוע בכל מקום.
אולם, ניסויים מראים כי הזמן עצמו מושפע מכבידה, תופעה הידועה בשם האטה כבידתית של הזמן.
שעונים המוצבים בשדה כבידה חזק (למשל, קרוב לפני כדור הארץ) מתקתקים לאט יותר משעונים בשדה כבידה חלש (למשל, בלווייני GPS).
העובדה שקצב הזמן אינו אחיד, אלא משתנה מנקודה לנקודה, סותרת את ההנחה הבסיסית של מטריקת מינקובסקי.
מכאן נובע שמטריקת מינקובסקי אינה מספיקה כדי לתאר את היקום, ויש צורך בגאומטריה כללית ועקומה יותר, המשתמשת ב"סרגל" גמיש שמשתנה מנקודה לנקודה.
בקנה מידה קטן, כל מערכות הייחוס בנפילה חופשית הן שקולות, ובקירוב טוב הן "מינקובסקיות".
כתוצאה מכך, יחסות כללית עוסקת בהכללה עקומה של מרחב מינקובסקי המכונה מטריקה פסאודו-רימנית.
רימנית על שום התשתית המתמטית מבוססת על עבודתו של ברנהרד רימן, שפיתח את הגאומטריה של מרחבים עקומים.
מטריקה רימנית היא מעין "סרגל" גמיש למדידת מרחקים על פני משטחים עקומים, כמו פני כדור הארץ.
התואר "פסאודו" מתווסף מכיוון שבניגוד לגאומטריה רימנית רגילה (שבה כל הממדים חיוביים), המטריקה של איינשטיין שומרת על המאפיין הייחודי של ממד הזמן ביחסות – הסימן ההפוך (מינוס) שלו.
"טריק" מתמטי זה הוא שמשמר את מבנה הסיבתיות (קונוס האור) גם במרחב-זמן עקום.
במרחב-זמן עקום, מושג התנועה ה"ישרה" (האינרציאלית) אינו מובן מאליו, ויש צורך בכלל מתמטי שיגדיר אותו.
כלל זה הוא קשר לוי-צ'יוויטה.
הוא מספק את ההגדרה המדויקת להעתקה מקבילה (parallel transport) – תהליך המאפשר להסיע וקטור (המתאר כיוון) לאורך מסלול תוך שמירה על כיוונו קבוע ככל האפשר ביחס לגאומטריה המקומית.
באמצעות כלל זה, מוגדרים המסלולים הישרים ביותר האפשריים במרחב-זמן העקום – הגאודזות.
קשר לוי-צ'יוויטה הוא הקשר המתמטי הייחודי התואם למטריקה, והוא זה שמבטיח את קיומו של עקרון השקילות בכך שהוא הופך את המרחב ל"מינקובסקי מקומית" (כלומר, מבטיח שבכל נקודה ניתן לבחור מערכת ייחוס שבה השפעות הכבידה נעלמות לרגע; במערכת זו, הנגזרות החלקיות הראשונות של המטריקה ומקדמי הקשר מתאפסים).
לאחר שפותחה הגרסה הגאומטרית-יחסותית להשפעותיה של הכבידה, נותרה השאלה המרכזית: מהו מקור הכבידה?
בכבידה הניוטונית, התשובה פשוטה: המסה.
אולם, בתורת היחסות הפרטית, הקובעת שקילות בין מסה לאנרגיה (E=mc²), המסה היא רק חלק מכמות כללית יותר.
כמות זו מכונה טנזור מאמץ-אנרגיה .
זהו אובייקט מתמטי המשמש לתיאור מלא של כל החומר והאנרגיה באזור נתון.
הוא אינו כולל רק את צפיפות המסה והאנרגיה, אלא גם את התנע, הלחץ והמאמצים הפנימיים של החומר.
על פי תורת היחסות הכללית, כל הרכיבים הללו יחד, ולא רק המסה, הם שתורמים לעיקום המרחב-זמן.
השלב הבא היה להתאים את הטנזור מהפיזיקה של מרחב-זמן שטוח לזו של מרחב-זמן עקום.
כאן נכנסים לתמונה עקרון השקילות ועקרון המקומיות.
עיקרון זה קובע שבכל אזור קטן של מרחב-זמן, צופה בנפילה חופשית יחווה את חוקי היחסות הפרטית.
הדבר אפשר לאיינשטיין להגדיר את טנזור המאמץ-אנרגיה באופן עקבי בכל נקודה במרחב-זמן העקום.
כעת, היה צורך לקשור בין מקור הכבידה (טנזור המאמץ-אנרגיה) לבין ביטויה הגאומטרי (עקמומיות המרחב-זמן).
איינשטיין הבין כי טבעי לקשור את הטנזור לטנזור ריצ'י – אובייקט מתמטי המתאר היבט מסוים של העקמומיות אותו ניתן לחשב מטנזור העקמומיות של רימן .
באופן אינטואיטיבי, טנזור ריצ'י מודד כיצד נפחו של "ענן" חלקיקים דמיוני בנפילה חופשית משתנה עם הזמן.
שינוי זה בנפח הוא הביטוי הישיר של כוחות הגאות והשפל הנגרמים מכבידה.
הקשר טבעי מכיוון שהוא מקשר בין הסיבה (נוכחות חומר ואנרגיה) לתוצאה הפיזית המובהקת ביותר שלה (כוחות גאות).
אולם נותר תנאי הכרחי אחרון: חוק שימור האנרגיה והתנע.
בפיזיקה, חוק זה מבוטא מתמטית בכך שטנזור המאמץ-אנרגיה הוא "חסר דיברגנץ".
משמעות הדבר היא שאנרגיה ותנע אינם יכולים להיווצר יש מאין או להיעלם, אלא רק לזרום ממקום למקום.
כדי לנסח חוק שימור זה במרחב-זמן עקום, לא ניתן להשתמש בנגזרות חלקיות רגילות, שכן אלו אינן מתחשבות בעיקום "רשת הקואורדינטות" עצמה.
במקומן, יש להשתמש בנגזרות קווריאנטיות – כלי מתמטי מתוחכם יותר, היודע לחשב שינויים אמיתיים בתוך גאומטריה עקומה.
חישוב טנזור רי'צי מסובך מתמטית, התהליך מוסבר בתת-הפרק הבא.
דא עקא טנזור ריצ'י לבדו אינו חסר דיברגנץ קווריאנטי.
אתגרו של איינשטיין היה למצוא את הצירוף המתמטי המדויק של טנזור ריצ'י והמטריקה, שכן מקיים את חוק השימור הזה.
צירוף זה נקרא טנזור איינשטיין.
איינשטיין השווה בין טנזור איינשטיין (הצד הגאומטרי, המקיים את חוק השימור) לבין טנזור המאמץ-אנרגיה (הצד הפיזי, המקיים את חוק השימור).
התוצאה היא משוואות השדה של איינשטיין המתארת כיצד נוכחותם של חומר ואנרגיה מכתיבה את הגאומטריה של המרחב-זמן.
כדי להבין את המשוואה, כדאי לפרק את המונחים המרכזיים:
טנזור ומטריצה: ניתן לחשוב על כל טנזור במשוואה זו, באופן פשוט, כמטריצה בגודל 4x4. בעוד שמספר (סקלר) מתאר כמות, ווקטור מתאר כמות וכיוון, טנזור מתאר תכונות מורכבות יותר התלויות בכיוונים מרובים במרחב-זמן.
האינדקסים הקטנים (האותיות היווניות ו-) הם מעין "תוויות" המציינות את השורה והעמודה במטריצה.
כל אינדקס יכול לקבל אחד מארבעה ערכים (0, 1, 2, 3), המייצגים את ארבעת ממדי המרחב-זמן: ממד הזמן (0) ושלושת ממדי המרחב (x, y, z).
לכן, כל טנזור במשוואה הוא למעשה אוסף של מספרים המאורגנים במטריצה, שכל אחד מהם מתאר היבט אחר של הפיזיקה בנקודה מסוימת.
כעת, נבחן את שני אגפי המשוואה:
אגף ימין (ה"סיבה"): בצד ימין נמצא טנזור המאמץ-אנרגיה (), המוכפל בקבוע פרופורציה ().
טנזור זה הוא התיאור המלא של כל החומר והאנרגיה באזור נתון – צפיפות המסה, תנועתה, הלחץ והמאמצים הפנימיים שלה.
זהו צד ה"מקור" של הכבידה.
אגף שמאל (ה"תוצאה"): בצד שמאל נמצא טנזור איינשטיין (), שהוא צירוף מתמטי מדויק של טנזור ריצ'י () והמטריקה כפול סקלר ריצ'י.
טנזור זה הוא התיאור המלא של הגאומטריה והעקמומיות של המרחב-זמן.
המשוואה כולה, אם כן, קובעת קשר ישיר בין החומר והאנרגיה (צד ימין) לבין האופן שבו המרחב-זמן מתעקם (צד שמאל).
מכיוון שכל טנזור הוא למעשה מטריצה, וכאן אפילו מטריצה סימטרית, המשוואה היא למעשה מערכת של 10 משוואות דיפרנציאליות חלקיות מצומדות.
כדי להתאים את תחזיות התאוריה לתצפיות (למשל, מסלולי כוכבי הלכת), נמצא שקבוע הפרופורציה שווה ל-, כאשר הוא קבוע הכבידה ו- היא מהירות האור.
בהיעדר חומר, טנזור המאמץ-אנרגיה מתאפס, ומתקבלות משוואות איינשטיין בריק.
לאחר הגדרת האופן שבו החומר והאנרגיה מעקמים את המרחב-זמן, נותרה השאלה כיצד גופים נעים בתוך אותו מרחב-זמן עקום.
בתורת היחסות הכללית, מסלולו של חלקיק חופשי מכל כוח חיצוני שאינו כבידה הוא סוג מסוים של גאודזה במרחב-זמן עקום.
במילים אחרות, חלקיק הנע או נופל בחופשיות, נע תמיד לאורך המסלול הישר ביותר האפשרי.
המשוואה הגיאודזית היא: כאשר הוא פרמטר של התנועה (כמו הזמן העצמי).
משוואה זו היא המקבילה של חוק התנועה הראשון של ניוטון (חוק ההתמדה) בתורת היחסות הכללית.
היא קובעת את מסלול התנועה הטבעי של גוף שאינו נתון להשפעת כוחות חיצוניים (פרט לכבידה), ומראה כי מסלול זה הוא "הקו הישר" ביותר האפשרי (ה"גאודזה") במרחב-זמן עקום.
כדי להבין את המשוואה, יש לפרק את האגף השמאלי שלה לשני איברים נפרדים:
: איבר זה מייצג את התאוצה הקואורדינטית של החלקיק.
כלומר, זהו השינוי במהירות כפי שהוא נמדד על ידי צופה המשתמש במערכת קואורדינטות מסוימת (מעין "רשת" שרירותית המונחת על המרחב-זמן).
במרחב-זמן עקום, רשת זו אינה "ישרה", ולכן תאוצה זו אינה בהכרח מייצגת תאוצה פיזיקלית אמיתית.
: איבר זה הוא "איבר התיקון" הגאומטרי.
הוא מכמת את הכוח המדומה שפועל על הגוף, עקב היות המרחב-זמן עקום.
סמלי כריסטופל (): מכילים את כל המידע על עקמומיות המרחב-זמן בנקודה נתונה.
הם מתארים כיצד "רשת הקואורדינטות" עצמה מתעקמת, ומתקנים את התאוצה הקואורדינטית כדי לבטל את השפעתם של "כוחות מדומים" הנובעים מבחירת מערכת הייחוס.
האינדקסים היווניים (): הם תוויות המציינות את ארבעת ממדי המרחב-זמן (0 לזמן, 1, 2, 3 למרחב).
הסכם הסכימה של איינשטיין קובע כי כאשר אינדקס מופיע פעמיים, יש לסכום על כל ארבעת הערכים האפשריים שלו.
משמעות המשוואה כולה היא שהסכום של שני האיברים – כלומר, התאוצה הפיזיקלית האמיתית – שווה לאפס.
במילים אחרות, המשוואה קובעת שהתאוצה הנצפית של החלקיק (האיבר הראשון) נובעת אך ורק מעקמומיות המרחב-זמן (האיבר השני), ולא מהפעלת כוח כלשהו.
החלקיק נע במסלולו הטבעי והאינרציאלי, והמשוואה היא הדרך המתמטית המדויקת להגדיר מסלול זה בתוך גאומטריה עקומה.
כדי לחשב את טנזור ריצ'י (הנחוץ למשוואת השדה), יש לבנות את הגאומטריה של המרחב שלב-אחר-שלב.
התהליך הוא היררכי: מתחילים מהמטריקה, עוברים לשינויים במטריקה, ומשם לעקמומיות עצמה.
שלב ראשון: השינוי ב"רשת הקואורדינטות" (סמלי כריסטופל): המרכיב הבסיסי ביותר הוא הטנזור המטרי (), שמגדיר את המרחקים והזוויות בכל נקודה.
אולם, במרחב עקום, קנה המידה משתנה מנקודה לנקודה.
את קצב השינוי הזה מתארים סמלי כריסטופל ().
משמעותם האינטואיטיבית היא הגדרת ה"תיקון" הנדרש למסלול כדי שיישאר ישר (גאודזה) בתוך מרחב עקום.
הנוסחה לחישובם נגזרת ישירות מהשינויים בטנזור המטרי:
בנוסחה זו, הביטויים כמו הם נגזרות חלקיות המודדות את השינוי במטריקה בכיוונים שונים.
שלב שני: חישוב העקמומיות המלאה (טנזור רימן): לאחר שמוגדר האופן בו המרחב משתנה בכל נקודה (סמלי כריסטופל), ניתן לחשב את העקמומיות עצמה.
לשם כך משתמשים בטנזור העקמומיות של רימן.
טנזור זה בודק תכונה גאומטרית יסודית שאותה ניתן לתאר באמצעות ניסוי מחשבתי של "הובלה במקביל": וקטור מוסע במקביל לעצמו לאורך מסלול סגור במרחב (למשל, סביב קו המשווה ודרך הקוטב), האם הוא יחזור לנקודת ההתחלה כשהוא מצביע לאותו כיוון?
במרחב שטוח – התשובה חיובית.
במרחב עקום – תיתכן סטייה בזווית.
פער הזוויות מעיד על עקמומיות המרחב.
הנוסחה לטנזור רימן מורכבת מנגזרות של סמלי כריסטופל:
זהו אובייקט מורכב הכולל 4 אינדקסים, והוא מכיל את כל המידע האפשרי על העקמומיות של המרחב (ב-4 ממדים יש לו 20 רכיבים בלתי-תלויים).
שלב שלישי: מיצוי המידע הרלוונטי (טנזור ריצ'י): עבור משוואות איינשטיין, אין צורך בכל המידע המפורט שטנזור רימן מספק, אלא רק בחלק המתאר כיצד נפחים משתנים (שכן זהו ההיבט המושפע מצפיפות אנרגיה).
לשם כך מתבצעת פעולה מתמטית המכונה "כיווץ אינדקסים" – מעין סכום של רכיבי טנזור רימן, בדומה לעקבה של מטריצה.
שרשרת חישובים זו מדגימה מדוע פתרון המשוואות כה קשה: כדי למצוא את הכבידה (טנזור ריצ'י), נדרש לגזור את המטריקה פעמיים (פעם אחת עבור סמלי כריסטופל, ופעם נוספת עבור טנזור רימן), ולהוסיף מכפלות של הנגזרות הללו (האיברים הריבועיים בנוסחת רימן).
התוצאה היא מערכת של משוואות דיפרנציאליות לא-ליניאריות, שקשה מאוד לפתור ללא מחשב או הנחות מפשטות (כגון סימטריה כדורית).
הכוח השקול בתורת היחסות הכללית
בתורת היחסות הכללית, ניתן לתאר את האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית האפקטיבית של גוף בעל מסה m הנע סביב גוף מרכזי מסיבי M באמצעות הנוסחה הבאה:
מתוך האנרגיה הפוטנציאלית, ניתן לגזור את הכוח הכולל (המשמר) הפועל על הגוף:
כאשר L הוא התנע הזוויתי של הגוף.
משוואת הכוח הזו היא דרך נוחה להבין כיצד תורת היחסות הכללית מרחיבה את הפיזיקה הניוטונית.
ניתן לפרק אותה לשלושה איברים בעלי משמעות פיזיקלית ברורה:
האיבר הראשון (): כוח הכבידה המוכר מחוק הכבידה העולמי של ניוטון.
האיבר השני (): הכוח הצנטריפוגלי, הכוח המדומה המוכר גם מהמכניקה הקלאסית, "דוחף" גוף החוצה כאשר הוא נע במסלול מעגלי.
האיבר השלישי (): התיקון היחסותי, אינו קיים בתורת ניוטון, והוא התרומה החדשה של תורת היחסות הכללית.
קטן מאוד ברוב המקרים, אך הופך למשמעותי עבור גופים הנעים במהירות גבוהה בשדות כבידה חזקים.
תיקון זה הוא שאחראי, בין היתר, להסבר המדויק של סטיית מסלולו של כוכב חמה.
תאוריות כבידה חלופיות מנסות לתאר את תופעת הכבידה באופן המתחרה בתורת היחסות כללית של איינשטיין.
ניתן לחלק ניסיונות אלה לארבע קטגוריות רחבות:
תאוריות כבידה קלאסיות: אינן מערבות מכניקת הקוונטים או איחוד כוחות.
כבידה קוונטית: תאוריות המנסות לתאר את הכבידה בשפת מכניקת הקוונטים (הפיזיקה של העולם הזעיר), לרוב באמצעות חלקיק היפותטי הנושא את כוח הכבידה, ה"גרביטון".
תורות שדה מאוחדות: תאוריות המנסות לאחד את הכבידה עם אחד או יותר משלושת כוחות היסוד האחרים (הכוח האלקטרומגנטי, הכוח החזק והכוח החלש) במסגרת תיאורית אחת.
התאוריה של הכול: המטרה הסופית של הפיזיקה – תאוריה אחת שתתאר את כל ארבעת כוחות היסוד ותסביר את כל תופעות הטבע.
אף אחת מהתאוריות החלופיות הללו לא הוכחה נסיונית או תצפיתית ולא זכתה לקבלה רחבה בקהילה המדעית.
תורת היחסות הכללית עמדה בהצלחה במבחנים ניסיוניים רבים.
עם זאת, כאשר מיישמים אותה לתצפיות אסטרונומיות מתגלה פער.
כדי שהתאוריה תתאים לתצפיות, יש להוסיף ליקום שני רכיבים מסתוריים שאיננו יודעים מהם:
חומר אפל: מסה בלתי נראית, שקיומה מוסק מהשפעתה הכבידתית החזקה על תנועת גלקסיות.
בלעדיה, הגלקסיות היו צריכות להתפרק ולהתפזר בחלל.
אנרגיה אפלה: סוג היפותטי של אנרגיה הגורם להתפשטות המואצת של היקום, בניגוד לכוח הכבידה שאמור להאט אותה.
שילובם של רכיבים אלה עם תורת היחסות הכללית יצר את מודל למדא-CDM (ΛCDM), המהווה את המודל הקוסמולוגי הסטנדרטי והמוצלח ביותר כיום.
עם זאת, קיימים קשיים, העובדה שהחומר האפל אינו חלק מהמודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים (התאוריה המתארת את כל החלקיקים המוכרים לנו), והמודלים של האנרגיה האפלה אינם תואמים באופן מלא לנתונים, ולפיכך יש פתח למחקר של תאוריות כבידה חלופיות.
ההסברים שהוצגו בפרק הקודם מכילים את כל המידע הדרוש כדי להגדיר את תורת היחסות הכללית, לתאר את תכונותיה המרכזיות, ולהתייחס לשאלה חיונית בפיזיקה: כיצד ניתן להשתמש בתאוריה לבניית מודלים של המציאות.
תורת היחסות הכללית היא תאוריה מטרית של הכבידה.
כלומר, תאוריה שבה תופעות הכבידה מוסברות באמצעות הגאומטריה של המרחב-זמן, המוגדרת על ידי המטריקה.
בליבת התאוריה עומדות משוואות השדה של איינשטיין, המתארות את הקשר בין הגאומטריה של יריעה פסאודו-רימנית ארבע-ממדית (האובייקט המתמטי המתאר מרחב-זמן עקום), לבין פיזור האנרגיה, התנע והמאמץ (טנזור מאמץ-אנרגיה) הכלולים באותו מרחב-זמן.
תופעות שבמכניקה הקלאסית יוחסו לפעולתו של כוח הכבידה (כמו נפילה חופשית, תנועה מסלולית ומסלולי חלליות), מתוארות ביחסות כללית כתנועה אינרציאלית בתוך גאומטריה עקומה; אין כוח כבידה המסיט עצמים ממסלולם הטבעי והישר.
במקום זאת, הכבידה מתבטאת בשינויים בתכונות המרחב והזמן, אשר בתורם משנים את המסלולים הישרים-ביותר שעצמים ינועו בהם באופן טבעי.
העקמומיות, מצידה, נגרמת על ידי האנרגיה והמאמץ של החומר.
במילותיו של הפיזיקאי ג'ון וילר: "המרחב-זמן אומר לחומר כיצד לנוע; החומר אומר למרחב-זמן כיצד להתעקם".
בעוד שהפיזיקה הקלאסית מתארת את הפוטנציאל הכבידתי באמצעות פוטנציאל סקלרי (מספר בודד בכל נקודה במרחב), תורת היחסות הכללית מחליפה אותו בטנזור סימטרי מדרגה שנייה (אובייקט מורכב יותר, דמוי מטריצה, המתאר את הגאומטריה).
עם זאת, במקרים מסוימים, כמו שדות כבידה חלשים ותנועה במהירות נמוכה יחסית למהירות האור, תחזיות התאוריה מתכנסות לאלו של חוק הכבידה העולמי של ניוטון.
מכיוון שהיא בנויה באמצעות טנזורים, תורת היחסות הכללית מפגינה קווריאנטיות כללית: חוקיה – וחוקים נוספים המנוסחים במסגרתה – נראים זהים בכל מערכת קואורדינטות.
יתר על כן, התאוריה אינה מכילה מבנים גאומטריים קבועים מראש; היא בלתי תלויה ברקע (Background-independent).
כלומר, המרחב-זמן אינו "במה" קבועה שעליה מתרחשת הפיזיקה, אלא הוא עצמו משתתף דינמי שצורתו נקבעת על ידי החומר שבתוכו.
בכך היא מקיימת גרסה מחמירה יותר של עקרון היחסות הכללי, לפיו חוקי הפיזיקה זהים עבור כל הצופים.
באופן מקומי, כפי שבא לידי ביטוי בעקרון השקילות, המרחב-זמן הוא "מינקובסקי" (כלומר, שטוח), וחוקי הפיזיקה מצייתים לסימטריית לורנץ מקומית.
הרעיון המרכזי בבניית מודלים ביחסות כללית הוא מציאת פתרון למשוואות השדה של איינשטיין.
פתרון כזה הוא למעשה "יקום-מודל" – תיאור מתמטי שלם של יקום אפשרי המציית לחוקי היחסות הכללית.
הוא מורכב מתיאור מדויק של הגאומטריה של המרחב-זמן ושל פיזור החומר והאנרגיה בתוכו.
משוואות איינשטיין הן משוואות מורכבות ביותר, ולכן קשה למצוא להן פתרונות מדויקים.
עם זאת, מספר פתרונות מדויקים למצבים אידיאליים ידועים, וחלקם בעלי חשיבות פיזיקלית עצומה.
פתרונות של חורים שחורים: פתרון שוורצשילד, פתרון רייסנר-נורדסטרום ומטריקת קר היו הפתרונות המתמטיים הראשונים שהוכיחו כי עצמים כמו חורים שחורים, שמהם דבר אינו יכול להימלט, הם תוצאה ישירה של תורת היחסות הכללית.
פתרונות קוסמולוגיים: מטריקת פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר ויקום דה-סיטר מתארים יקום דינמי ומתפשט, ומהווים את הבסיס למודל המפץ הגדול.
קיימים גם פתרונות בעלי עניין תאורטי רב, החוקרים אפשרויות אקזוטיות של המרחב-זמן:
יקום גדל: זהו פתרון מתמטי המתאר יקום מסתובב.
כתוצאה מהסיבוב, המרחב-זמן מעוות באופן כה קיצוני עד שהוא מאפשר מסע בזמן לעבר – כלומר, קיומם של מסלולים במרחב-זמן החוזרים לנקודת ההתחלה שלהם לא רק במרחב, אלא גם בזמן.
זהו מודל תאורטי בלבד, שאינו מתאר את היקום שלנו.
פתרון טאוב-נאט: מודל של יקום שהוא הומוגני (נראה זהה מכל נקודה) אך אנאיזוטרופי (אינו נראה זהה בכל כיוון; יש לו כיוון מועדף).
מרחב אנטי-דה סיטר (AdS): זהו מודל של יקום בעל עקמומיות שלילית קבועה (בניגוד ליקום שטוח או כדורי).
חשיבותו עלתה לאחרונה בהקשר של השערת מלדסנה (AdS/CFT) – רעיון פורץ דרך בפיזיקה תאורטית, המציע קשר מתמטי עמוק בין תאוריית כבידה (כמו תורת המיתרים) במרחב אנטי-דה סיטר, לבין תורת שדות קוונטית (ללא כבידה) החיה על "השפה" של אותו מרחב.
בשל הקושי במציאת פתרונות מדויקים, פיזיקאים משתמשים בשיטות קירוב.
יחסות נומרית: תחום שבו משתמשים במחשבי-על כדי ליצור סימולציות של המרחב-זמן ולפתור את משוואות איינשטיין עבור מצבים מורכבים, כמו התנגשות של שני חורים שחורים.
כבידה ליניארית: שיטה זו משמשת במצבים של כבידה חלשה מאוד, שבהם המרחב-זמן כמעט שטוח.
בשיטה זו, "מיישרים" באופן מלאכותי את המשוואות המורכבות והופכים אותן לגרסאות פשוטות (ליניאריות) שקל יותר לפתור.
היא שימושית במיוחד לתיאור גלי כבידה הרחק ממקורם.
הפיתוח הפוסט-ניוטוני: זוהי שיטה מדויקת יותר, המבוססת על ההיגיון הבא: מתחילים מהכבידה הניוטונית (שהיא קירוב טוב), ואז מוסיפים לה סדרה של "תיקונים" קטנים יותר ויותר, הנובעים מתורת היחסות הכללית.
האיבר הראשון בסדרה הוא חוק ניוטון, האיבר השני הוא התיקון היחסותי הראשון, וכן הלאה.
שיטה זו מאפשרת לחשב תחזיות בדיוק גבוה במערכות כמו מערכת השמש.
הפורמליזם הפוסט-ניוטוני המוכלל (PPN): זוהי מעין "שפת-על" המאפשרת להשוות בין תורת היחסות הכללית לתאוריות כבידה חלופיות.
היא מבוססת על משוואה כללית עם עשרה פרמטרים.
כל תאוריית כבידה חוזה ערכים שונים לפרמטרים אלה.
על ידי מדידת הערכים בפועל (למשל, סטיית אור הכוכבים), ניתן לבדוק איזו תאוריה תואמת למציאות.
לתורת היחסות הכללית יש מספר השלכות פיזיקליות.
חלקן נובעות ישירות מעקרונות היסוד של התאוריה, בעוד שאחרות התבהרו רק במהלך שנים רבות של מחקר שבאו לאחר פרסומו הראשוני של איינשטיין.
התרחבות זמן כבידתית והסחה לאדום ולכחול
אחת מהשלכותיה המרכזיות של תורת היחסות הכללית היא שהכבידה משפיעה על קצב התקדמות הזמן.
בהנחה שעקרון השקילות תקף, התאוריה חוזה כי זמן יחלוף לאט יותר ככל ששדה הכבידה חזק יותר.
ניתן להמחיש את האפקט, המכונה האטה כבידתית של הזמן, באמצעות ניסוי מחשבתי: אם אחד מזוג תאומים יישאר על כדור הארץ, בעוד השני יצא למסע בחללית המקיפה חור שחור ממרחק בטוח (כלומר, שוהה ב"בור כבידה" עמוק), הזמן עבורו יחלוף לאט יותר באופן משמעותי.
כשיחזור לכדור הארץ, הוא יגלה שהוא צעיר מאחיו שנשאר מאחור.
אפקט זה מתרחש בכל מקום, גם על פני כדור הארץ, אך הוא זעיר מכדי שנרגיש בו ביומיום.
אור הוא סוג של קרינה אלקטרומגנטית, המתפשטת כגל.
לכל גל יש אורך גל – המרחק בין שני שיאים סמוכים.
אורך הגל קובע את צבע האור, את התדירות ואת האנרגיה שלו:
אורך גל קצר: תדירות גבוהה, אנרגיה גבוהה (למשל, אור כחול וסגול).
אורך גל ארוך: תדירות נמוכה, אנרגיה נמוכה (למשל, אור אדום וכתום).
הקשר בין האטה כבידתית של הזמן לבין הסחת התדר נובע מההגדרה הבסיסית של תדירות.
תדירות היא מדד למספר המחזורים של תהליך מחזורי כלשהו (כמו תנודה של גל אור) המתרחשים ביחידת זמן.
כאשר מקור מחזורי נמצא עמוק בשדה כבידה, הזמן עבורו חולף לאט יותר יחסית לצופה מרוחק.
כתוצאה מכך, הצופה המרוחק ימדוד פחות מחזורים של התהליך בכל שנייה, כלומר, הוא ימדוד תדירות נמוכה יותר מזו הנמדדת בסביבת המקור.
אם התהליך הוא פליטת אור, תדירות נמוכה יותר נצפית כהסחה לאדום (Redshift), אורך גל ארוך יותר, והיא שקולה לאובדן אנרגיה של האור כנגד שדה הכבידה.
באופן הפוך, כאשר אור מתפשט אל תוך שדה כבידה, צופה הנמצא בשדה ימדוד תדירות גבוהה יותר מזו של המקור, תופעה הנצפית כהסחה לכחול (Blueshift), אורך גל קצר יותר, והיא שקולה לצבירת אנרגיה.
ההסחה הכבידתית לאדום נמדדה במעבדה (למשל, בניסוי פאונד-רבקה) ובאמצעות תצפיות אסטרונומיות.
האטה כבידתית של הזמן נמדדה פעמים רבות באמצעות שעונים אטומיים מדויקים, והיא מאומתת באופן שוטף כחלק מהפעלתה התקינה של מערכת ה-GPS (שחייבת לתקן את העובדה שהשעונים בלוויינים מתקדמים מהר יותר מהשעונים על הקרקע).
מבחנים בשדות כבידה חזקים יותר מתבצעים באמצעות תצפיות על פולסרים כפולים.
פולסרים הם כוכבי נייטרונים מסתובבים במהירות, הפולטים קרינה בפולסים קבועים ומדויקים להפליא, ולכן משמשים כ"שעונים קוסמיים" טבעיים ומאפשרים למדוד את השפעות התאוריה בדיוק רב.
כל התוצאות עד כה תואמות את תחזיותיה של תורת היחסות הכללית.
עם זאת, מבחנים אלה מאששים את עקרון השקילות, שהוא עקרון יסוד גם בתאוריות כבידה אחרות.
לכן, ברמת הדיוק הנוכחית, הם אינם יכולים להכריע באופן מוחלט בין תורת היחסות הכללית לבין תאוריות חלופיות מסוימות המבוססות גם הן על עיקרון זה.
סטיית אור ואפקט העיכוב של שפירו
תורת היחסות הכללית חוזה כי מסלולו של אור יתעקם בחולפו בסמיכות לגוף מסיבי, בהתאם לעקמומיות המרחב-זמן.
אפקט זה אומת לראשונה בתצפיות אור כוכבים או קוואזרים רחוקים, שהוסט ממסלולו בעוברו בסמוך לשמש.
תחזית זו, ותחזיות הקשורות בה, נובעות מהעובדה שאור נע תמיד לאורך מסלול המכונה גאודזת-אור (או "גאודזת-אפס").
זוהי הכללה של מושג הקו הישר שבו האור נע בפיזיקה הקלאסית, והוא מהווה ביטוי לעקרון קביעות מהירות האור ביחסות הפרטית.
בחינה של מודלים מתאימים של מרחב-זמן (כמו פתרון שוורצשילד החיצוני, או הפיתוח הפוסט-ניוטוני עבור מערכות מרובות מסות) מגלות השפעות שונות של כבידה על התפשטות האור.
אף שניתן לגזור התעקמות מסוימת של אור גם באמצעות הרחבת עקרון הנפילה החופשית לאור (כלומר, התייחסות לאור כאל חלקיק המושפע מכבידה), זווית הסטייה המתקבלת בחישובים אלה היא בדיוק מחצית מהערך שחוזה תורת היחסות הכללית.
הסיבה לכך היא שחישובים פשוטים אלה מתחשבים רק בהשפעת הכבידה על הזמן (האטה כבידתית), אך מזניחים את השפעתה על עיקום המרחב עצמו.
תורת היחסות הכללית כוללת את שתי ההשפעות, ולכן חוזה אפקט כפול בגודלו.
סטיית האור כרוכה באופן הדוק לאפקט שפירו (עיכוב זמן כבידתי), לפיו לאותות אור לוקח זמן רב יותר לנוע דרך שדה כבידה מאשר בהיעדרו.
תחזית זו אומתה בהצלחה במבחנים רבים, החל ממדידת עיכוב אותות מכ"ם שהוחזרו מכוכבי לכת, ועד למדידות מדויקות של אותות מגשושיות חלל.
במסגרת הפורמליזם הפוסט-ניוטוני המוכלל (PPN), מדידות סטיית האור והתרחבות הזמן הכבידתית קובעות פרמטר המכונה גמא (γ), המבטא את מידת השפעתה של הכבידה על הגאומטריה של המרחב.
אחת התחזיות המרכזיות של תורת היחסות הכללית, אותה הציג איינשטיין כבר ב-1916, היא קיומם של גלי כבידה.
ההיגיון מאחורי התחזית נובע ישירות מליבת התאוריה: אם מסה גורמת למרחב-זמן להתעקם, אזי מסה הנעה בתאוצה (למשל, שני חורים שחורים המקיפים זה את זה) חייבת ליצור "אדוות" או הפרעות מתפשטות באותו עיקום.
הפרעות אלו, המתפשטות במהירות האור, הן גלי הכבידה.
זוהי אחת מכמה אנלוגיות בין כבידה בשדה חלש לבין אלקטרומגנטיות: כשם שמטען חשמלי הנע בתאוצה יוצר הפרעות בשדה האלקטרומגנטי (כלומר, גלים אלקטרומגנטיים), כך מסה הנעה בתאוצה יוצרת הפרעות במארג המרחב-זמן עצמו.
מבחינה מתמטית, גל כבידה הוא מעין אדווה במטריקה של המרחב-זמן, שינוי מחזורי בכללי המדידה של מרחק וזמן, המתפשט ביקום.