tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
במקביל פשטה המשטרה על ישיבת "עוד יוסף חי" ביצהר והחרימה עותקים מהספר.
רבנים רבים, בהם כאלו הנחשבים מתונים, גינו את מעצרו של הרב שפירא.
האגודה לזכויות האזרח שיבחה את המשטרה על "שפתחה בחקירת מקרה חמור זה" אך גינתה את המעצר.
הרב יצחק גינזבורג זומן לחקירה בעקבות הסכמתו לספר, והגיע לתחנת המשטרה כשהוא מלווה בעשרות מתלמידיו.
בהמשך זומנו גם הרבנים דב ליאור ויעקב יוסף לחקירה, אולם הם הודיעו שעמדת הרבנים המסכימים הובהרה כבר בידי הרב גינזבורג ושאין בדעתם להגיע.
בגילוי דעת שפרסמו כתבו: "תורתנו הקדושה אינה עומדת לחקירה.
הניסיון למנוע מרבני ישראל להביע את דעתם, דעת תורה, על ידי הפחדות ואיומים – הינו מעשה חמור ביותר והוא לא יצלח".
גם הרב הראשי לישראל, הרב יונה מצגר, מתח ביקורת על הזמנת הרבנים לחקירה.
הרב יעקב מדן גינה אף הוא את המעצרים, אך עם זאת, הדגיש כי לדעתו "הוצאת דברי תורה מהקשרם חמורה יותר מזלזול של הפרקליטות בכבודם של רבנים".
ביוני 2011 נעצר לחקירה הרב דב ליאור, ושוחרר לאחר שעות אחדות.
כתוצאה מכך נערכו מספר הפגנות מחאה וחסימת כבישים ברחבי ישראל, שבהן נעצרו למעלה מ-20 איש.
בעקבות זאת פורסמה התנגדותם לספר של הרב יוסף שלום אלישיב והרב עובדיה יוסף.
כמה ימים מאוחר יותר עוכב לחקירה דומה גם הרב יעקב יוסף, ותומכיו מחו גם הם בעצרת מחאה ובהפרות סדר.
במאי 2012 הודיעה פרקליטות המדינה על סגירת החקירה נגד מחברי הספר, הרבנים יצחק שפירא ויוסף אליצור, ונגד נותני ההסכמות לספר, הרבנים דוב ליאור ויצחק גינזבורג, מחוסר ראיות.
בנובמבר 2013 הוגשו לבג"ץ שתי עתירות נגד סגירת התיקים.
העתירות נדחו בדצמבר 2015 בדעת רוב של נשיאת בית המשפט העליון מרים נאור והמשנה לנשיאה אליקים רובינשטיין, מול דעת מיעוט של השופט סלים ג'ובראן.
השופט רובינשטיין מתח בפסק דינו ביקורת על הספר וכתב: "עסקינן בספר לובש כסות יהודית ולאמיתו הוא אנטי יהודי, כי הוא מוציא דיבת היהדות רעה"...
"קשה לפקפק בגישתם הגזענית של המחברים".
עם זאת, אין לדבריו תשתית ראייתית מספקת לקבוע שנתקיימו בפרסום יסודות הסעיף המתייחס להסתה לגזענות.
שופטת בית המשפט השלום בפתח תקווה, אליאנא דניאלי, הרשיעה את אחד המחברים, יוסף אליצור, בהסתה לאלימות בגין שני פרסומים אחרים שפרסם בחודש מאי 2013 באתר האינטרנט "הקול היהודי".
היא התייחסה להסתייגות בית המשפט העליון מהספר וציינה שניתן ללמוד ממנו על האידאולוגיה ועל כוונותיו של אליצור.
תורת המשחקים האלגוריתמית היא תורה המשלבת בין תורת המשחקים ותורת החישוביות.
מהות ענף זה הנמצא על הגבול שבין החישוביות לכלכלה מתמטית היא השימוש בכלים מעולם תורת המשחקים בהתמודדות עם שאלות מעולמה של תורת החישוביות, ובשימוש בכלים וטכניקות מעולם מדעי המחשב והחלתם על סוגיות בתורת המשחקים.
ג'ון פון נוימן, מתמטיקאי ממוצא יהודי-הונגרי שהיגר לארצות הברית, נחשב כאבי תורת המשחקים.
בשנת 1928 פרסם פון נוימן מאמר ובו הוכחה למשפט המינימקס.
בשנת 1944 פרסם, יחד עם אוסקר מורגנשטרן, את הספר Theory of Games and Economic Behavior, בו נולדה תורת המשחקים כתחום מדעי עצמאי.
בשנת 1946 פרסם פון נוימן את טיוטת המאמר בו הציג את EDVAC ושבו הוצגה הארכיטקטורה המכונה ארכיטקטורת פון נוימן העומדת בבסיסם של מחשבים מודרניים רבים.
פון נוימן הוא מאבות תורת החישוביות המודרנית.
הופעת האינטרנט בסוף המאה העשרים סיפקה את התמריץ, וכך נולדה התורה שמשלבת בין תורת המשחקים והחישוביות – תורת המשחקים האלגוריתמית.
לידתה של תורת המשחקים האלגוריתמית
בשנת 1989 פיתח טים ברנרס-לי את שפת HTML ויצר את הWWW.
מהר מאוד נוצרו ברשת זירות מסחר חדשות, שונות מהמודלים הכלכליים שהיו נהוגים עד אז.
רשת האינטרנט יצרה את החיבור בין התורות שהוזכרו למעלה.
מצד אחד, האינטרנט הוא ישות חישובית ויש בו מקום רב לאלגוריתמים וחשיבות רבה לסיבוכיות ויעילות הכלים הפועלים בו.
מצד שני, אופי המסחר (ולמעשה אופי כל השתתפות) באינטרנט הוא ציבורי והמוני.
באמצעות תורת המשחקים ניתן ליצור מודלים שמתארים פעילויות כלכליות באינטרנט כמשחקים אסטרטגיים (משחקים שבהם לכל אחד מהמשתתפים יש אסטרטגיות).
אחרי שיוצרים מודל כזה, המתאר פעילות כלשהי באינטרנט באמצעות משחק אסטרטגי, ניתן לחפש לו פתרון או שיווי משקל.
אמרה ידועה של חוקר הרשתות סקוט שנקר היא כי "האינטרנט הוא שיווי משקל, כל שעלינו לעשות הוא למצוא את המשחק" ("The internet is an equilibrium, we just have to identify the game").
תורת המשחקים מתמקדת בחיפוש שיווי משקל מסוגים שונים (למשל שיווי משקל נאש) למצבי מציאות שונים הממודלים כמשחקים.
האינטרנט בפרט הוא תחום שבו ישנה חשיבות רבה למציאת שיווי משקל.
זוהי זירה שאינה נשלטת באופן אבסולוטי בידי יחיד (או מעטים) אלא מנוהלת מכוח המשתתפים בה.
מכיוון שכך, מציאת שיווי משקל תאפשר מציאת פתרונות יציבים לצרכים שונים, החל מאיזון עומסים בין שרתים או בתעבורת מידע, דרך פרוטוקולים שמאפשרים תקשורת אמינה בין שחקנים שאינם מכירים זה את זה ואינם מחויבים לדבר, וכלה ביצירת מערכות מסחר אלקטרוניות על הרשת.
תורת המשחקים מטבעה נותנת כלים חזקים למציאת שיווי משקל למשחק נתון.
מידול נכון של פעילות באינטרנט כמשחק, יאפשר שימוש בכלים אלה על מנת להגיע לפתרון.
או במילותיו של שנקר – נשאר רק "למצוא את המשחק".
המפגש בין תורת המשחקים למדעי המחשב הוליד תורה המתעסקת לא רק בניתוח של המצבים הנובעים מעולם התוכן האינטרנטי במונחים של תורת המשחקים ושל חישוביות אלא גם בבניית מנגנונים המבוססים על מידול נכון של השוק ומציאת שיוויי המשקל שלהם.
שדה המחקר סביב האלגוריתמים המנסים לעשות בדיוק זאת – למצוא את שיווי המשקל של משחק כזה – מתעסק לא רק בשאלת קיום שיווי משקל למשחק, אלא גם בשאלת הסיבוכיות של מציאתו.
המחקר בתחום הניב מחלקות סיבוכיות חדשות וביניהן (ומהחשובות שבהן) מחלקת PPAD.
שלושה ענפים מרכזיים מתוך המחקר בתחום הם:
סיבוכיות של אלגוריתמים למציאת שיווי משקל (שיווי משקל נאש ומתואם במשחקים, שיווי משקל של מחיר בשווקים)
מחיר האנרכיה - אלגוריתמיקה בעולם מרובה סוכנים עם מטרות שונות.
שאלה חשובה בענף מחקר זה היא מה היחס בין התועלת המתקבלת כשיש תכנון מרכזי לעומת התועלת המתקבלת במצב של שיווי משקל.
תורת הסיבוכיות היא ענף של מדעי המחשב, שבמסגרתו חוקרים את הסיבוכיות של בעיות; כלומר, נבחנים המשאבים הנחוצים לפתרון בעיה נתונה באמצעות מחשב, ומושווית יעילותם של אלגוריתמים שונים בפתרון בעיה זו.
המשאב העיקרי הנבחן הוא זמן הריצה; כלומר, נבחן משך הזמן (האסימפטוטי) הנחוץ לשם ביצוע האלגוריתם.
משאב נוסף הוא כמות הזיכרון הנחוץ לשם ביצוע האלגוריתם.
ענף הסיבוכיות החישובית נבדל מענף החישוביות, שבו נבחנת השאלה האם ניתן בכלל לפתור בעיה נתונה, בלא קשר לכמות המשאבים הנחוצה.
חלק ניכר מתורת הסיבוכיות עוסק בבעיות הכרעה, שהן בעיות שבהן נדרשת התשובה הקצרה "כן" או "לא".
דוגמה: הבעיה האם מספר טבעי נתון הוא מספר ראשוני.
העניין בבעיות הכרעה נובע מכך שהטיפול המתמטי בהן הוא פשוט, שכן התשובה לבעיה מוגבלת ל"כן" ו"לא".
עם זאת, בעיות שאינן בעיות הכרעה ניתנות להמרה בבעיות הכרעה שקולות.
דוגמה לכך היא הבעיה האם יש גורם ראשוני: כאשר נתונים שני מספרים טבעיים, n ו-k, ענה האם ל-n יש גורם ראשוני קטן מ-k.
תורת הסיבוכיות מבחינה לעיתים קרובות בין התשובה "כן" לתשובה "לא".
דוגמה: הקבוצה NP היא קבוצת הבעיות שבהן התשובה "כן" ניתנת לבדיקה בזמן סביר.
הקבוצה Co-NP היא קבוצת הבעיות שבהן התשובה "לא" ניתנת לבדיקה בזמן סביר.
הקידומת Co היא קיצורה של המילה complement – משלים.
המשלים של בעיה נתונה היא הבעיה שבה כל התשובות "כן" ו"לא" מוחלפות זו בזו.
הבעיה "האם ראשוני" והבעיה "האם פריק" (מספר פריק הוא מספר שאינו ראשוני) משלימות זו את זו.
הקבוצה P היא קבוצת כל בעיות ההכרעה שניתן לפתור אותן באמצעות מכונה דטרמיניסטית בזמן פולינומי.
הקבוצה NP היא קבוצת כל בעיות ההכרעה שניתן לפתור אותן באמצעות מכונה לא דטרמיניסטית בזמן פולינומי, או לחליפין – לבדוק נכונות של פתרון נתון בזמן פולינומי.
השאלה "האם הקבוצה P שווה לקבוצה NP" היא השאלה המרכזית במדעי המחשב.
זו שאלה פתוחה, מכון קליי למתמטיקה מציע פרס של מיליון דולר לראשון שיפתור אותה.
ניתן יהיה להכריע בשאלה האם P=NP על ידי הכרעת השאלה האם יש ב-P בעיה NP-שלמה.
מכונה דטרמיניסטית היא מכונת טיורינג, או, לצורך הפשטות, מחשב רגיל, כזה המבצע את הוראות תוכנית צעד אחר צעד.
מכונה לא דטרמיניסטית היא מכונה שבה ניתן לבצע גם הוראת התפצלות, שבה ביצוע התוכנית מתפצל למסלולים מקבילים, ודי שבאחד מהם תתקבל תשובה לבעיית ההכרעה.
כל בעיה שניתן לפתור באמצעות מכונה לא דטרמיניסטית ניתן לפתור גם באמצעות מכונה דטרמיניסטית.
במבט ראשון נוצר הרושם שמכונה לא דטרמיניסטית מהירה ממכונה דטרמיניסטית, בזכות המסלולים המקבילים שהיא מבצעת.
עד כמה משמעותי ההבדל במהירויות של שתי המכונות?
זו למעשה השאלה "האם הקבוצה P שווה לקבוצה NP".
תשובה חיובית לשאלה זו פירושה שההבדל במהירויות אינו משמעותי.
תורת הצבע הוא תחום מחקר העוסק באופן בו הצבעים נתפסים על ידי העין האנושית ובאופן בו ניתן לשלב צבעים על מנת ליצור קומפוזיציות יותר מושכות מבחינה חזותית.
תורת הצבע משמשת גם כבסיס להבנת השפעותיהם של הצבעים על רגשות.
כבר בעת העתיקה יש התייחסות לתורת הצבע בתיאוריה של אריסטו- "",תלמי (אסטרונום) בתיאוריה ", וב של ההודי.
השפעת האור על הצבע נחקרה על ידי אל-כנדי, אבן אל-היית'ם, אבן סינא, נסיר א-דין א-טוסי ורוברט גרוסטסט שגילו שבניגוד לאריסטו ישנם מספר נתיבי צבע להגעה משחור ללבן.
גישות מודרניות יותר התגלו בכתביו של לאון בטיסטה אלברטי ולאונרדו דה וינצ'י.
על פי מחקריו המאוחרים של סר אייזק ניוטון במאה ה-17 ניתן לבסס את התיאוריה כפי שהיא מוצגת כיום.
באמצעות הניסויים שהוא ביצע במנסרות, ניוטון גילה שניתן לפצל אור לבן לספקטרום של צבעים, אותם הוא סידר בתרשים מעגלי אשר נודע לימים כגלגל הצבעים.
היבט מרכזי בתורת הצבע הוא הקונספט של ההרמוניה בין הצבעים, ובפרט בחירת שילובי צבעים אשר נראים טוב יותר לעין מבחינה אסתטית ומספקים תחושה יותר מאוזנת בקומפוזיציה.
תורת הצבע נמצאת בשימוש נרחב בתחומים רבים: פיזיקה, אמנות, עיצוב גרפי, פסיכולוגיה, עיצוב פנים, אופנה, מיתוג ושיווק.
תורת הסיכה היא מושג במכניקת זורמים המתאר מצב של זרימה זוחלת (של גזים או נוזלים) בתוך תווך שבו הגודל האופייני של אחד הממדים קטן בצורה משמעותית משאר הממדים.
זרימות מסוג זה מאופיינות בכך שאיברי האינרציה במשוואות נאוויה-סטוקס זניחים (מספר ריינולדס שואף לאפס).
לתורה זו שימושים במגוון תחומים הנדסיים, פיזיקליים וביולוגיים, כגון במסבים הידרודינמיים, במיקרו-זרימות, במפרקים של בני אדם ושל חיות אחרות, ביישומי מחשב ובשימושים נוספים.
בשנת 1883 המהנדס והממציא Beauchamp Tower ערך ניסויים לחקירת הפסדי חיכוך במסבים מסוג Journal bearing.
כחלק מאותם ניסויים Tower בדק את השפעת האסוך (oiler) על החיכוך במסב.
לשם כך נקדח חור במעטפת המסב והוזרם שמן לחלל המזערי בין טבעות המסב.
כאשר Tower הסיר את האסוך החל השמן לזרום החוצה דרך החור.
על מנת לעצור את דליפת השמן הוכנס לקדח דרכו דלף השמן פקק עץ, אך ברגע שחזר המסב להסתובב נדחף הפקק החוצה בכח.
לאחר שבכל פעם בו הוכנס הפקק אירע אותו דבר, הסיק Tower כי הציר והמסב אינם באים במגע אלא מופרדים על ידי שכבת סיכה של שמן ושסיבוב הציר גורם להיווצרות לחץ בשכבה זו.
תופעה זו סקרנה את Tower שקבע מספר מדי-לחץ בהיקף המסב וקיבל את פרופיל הלחצים בשכבת השמן.
בנובמבר 1883 פרסם לראשונה Tower את ממצאיו.
שלוש שנים לאחר מכן פרסם אוסבורן ריינולדס את המחקר הראשון שנתן ביסוס תאורטי לתורת הסיכה ההידרודינמית.
בזכות מחקרו המשוואה השולטת בבעיות מסוג זה נקראת על שמו.
עבודותיהם של Tower ו-Reynolds התייחסו אמנם לשמן כמסכך, אך כאמור תופעת הסיכה ההידרודינמית אינה מוגבלת לנוזל בלבד.
בשנת 1896 גילה Kingsbury במקרה את תופעת הסיכה ההידרודינמית בגז.
כאשר ביצע ניסויים במתקן המורכב מבוכנה וגליל המותאמים היטב.
Kingsbury גילה כי כאשר הוא מסובב את הבוכנה היא מסתובבת בצורה חופשית בתוך הגליל למרות שלא הייתה משומנת כלל.
הוא הסיק כי האוויר הכלוא בין הגליל לבוכנה משמש כחומר סיכה הידרודינמי.
Kingsbury השתמש בחומר התאורטי של ריינולדס על מנת להגיע למשוואת ריינולדס עבור המקרה בו הזורם דחיס.
המשוואות השולטות בבעיות סיכה הידרודינמיות נגזרות ממשוואות נאוויה סטוקס וממשוואת הרציפות.
משוואות אלו הן המשוואות הכלליות ביותר המתארות מהירות וכוחות על כל זורם.
עבור המקרה של זורם ניוטוני, בלתי דחיס, תוך כדי הזנחת כוח הכבידה ולאחר ביצוע אנליזה ממדית, נזניח איברים המוכפלים במספר ריינולדס (מכיוון שהוא קטן), ונתייחס לעובדה שאחד הממדים בבעיה קטן משמעותית מהאחרים.
כך נקבל את משוואות ריינולדס:
כאשר x הוא כיוון הזרימה, z הוא הכיוון הניצב למשטח עליו הזורם נע, ו-y ניצב ל-x,z ו-u,v,w-מהירות הזרימה בכיוונים x,y,z בהתאמה.
לתורת הסיכה ההידרודינמית מגוון רחב של שימושים.
לדוגמה: במסבי נוזל וגז, בתכנון של קוראים אלקטרו-מגנטיים כדוגמת אילו הנמצאים במחשבים הביתים, בטכניקות של הדפסה, ציור, הכנת שכבות דקות, ציפוי והדבקה.
כמו גם קירור וניהול תרמי של רכיבים אלקטרוניים בעזרת מיקרו-תעלות, ניתוח זרימת תאי דם אדומים בנימים וזרימת נוזל או גז בעיניים ובריאות.
תורת המערכות היא מחקר טרנס-דיסציפלינרי של מערכות, כלומר קבוצות מלוכדות של רכיבים הקשורים זה בזה, ותלויים זה בזה, שיכולים להיות טבעיים או מלאכותיים.
לכל מערכת יש גבולות סיבתיים, היא מושפעת מההקשר שלה, מוגדרת על ידי המבנה, תפקידה ותפקידה, ומתבטאת דרך יחסיה עם מערכות אחרות.
מערכת היא "יותר מסך חלקיה" על ידי ביטוי סינרגיה או התנהגות מתהווה.
תורת המערכות באה לידי ביטוי בעבודתם של חוקרים בדיסציפלינות רבות, למשל עבודותיהם של הרופא אלכסנדר בוגדנוב, הביולוג לודויג פון ברטלנפי, הבלשן בלה ה.
בנאתי והסוציולוג טלקוט פרסונס; במחקרים על עקרונות פעולה של מערכות אקולוגיות של האווארד תומס אודום ויוג'ין אודום ; בחקר התנהגות ארגונית של Fritjof Capra ; בחקר הניהול מאת פיטר סנגה ; בתחומים בינתחומיים כמו פיתוח משאבי אנוש בעבודותיו של ריצ'רד א.
סוונסון ; וביצירותיהם של המחנכות דבורה האמונד ואלפונסו מונטורי.
במדעי החברה, תורת המערכות היא חקר החברה כארגון מורכב של אלמנטים, כולל יחידים ואמונותיהם, כפי שהם מתקשרים לשלמות כוללנית (למשל, מדינה).
חקר החברה כמערכת חברתית לווה בהיסטוריה ארוכה במדעי החברה.
המוצא הקונספטואלי של הגישה מיוחס בדרך כלל למאה ה-19, במיוחד לעבודתו של הסוציולוג והפילוסוף האנגלי הרברט ספנסר והחוקר החברתי הצרפתי אמיל דורקהיים.
ספנסר, שהושפע מתורת האבולוציה של צ'ארלס דרווין, טען לצורת יחידה של המערכת החברתית.
בגישתו, מערכת החברה התפתחה באופן מתמיד למצב של שלמות מורכבת יותר.
עם זאת, צורות חלופיות של תורת המערכות החברתיות הציעו מבט שונה לחלוטין על האבולוציה החברתית.
מנקודת מבט זו, החברה אינה מתפתחת לכיוון מצב של שלמות; במקום זאת, היא מגיעה למצב של מורכבות הולכת וגוברת.
הבדלה מבנית מתייחסת להתאמת החברה לסביבתה דרך שינויים במורכבות הפנימית שלה.
היבט חשוב של הבדלה חברתית הוא האופן שבו מתרחשת ההתאמה, או כיצד השינויים במבנה המערכת קשורים לתהליכי המערכת.
מצד אחד, ניתן לראות את החברה כ"אורגניזם כולל" המתקיים בזכות תהליכים שונים התומכים בתפקודה ובהישרדותה.
מצד שני, גישה חלופית טוענת כי היציבות במערכות החברתיות אינה נובעת מתוכנית רציונלית של הישרדות כוללת, אלא פשוט כי מנגנונים מסוימים פועלים באופן יעיל במקרה.
תורת המקור היא הדוקטרינה הבסיסית העוסקת בשאלת הגדרת בסיס המס בישראל, קרי בהגדרת המונח "הכנסה".
הדוקטרינה פותחה במשפט המקובל האנגלי, וממנה צמחה פקודת מס הכנסה הנוהגת עד היום בישראל.
בשאלת הגדרת ההכנסה החייבת במס בישראל – ובשאר המדינות המאמצות את הגישה – הדוקטרינה מונה שני תנאים: האחד, כל דבר שהוא תוספת לעושר; השני, מציאת מקור מזוהה.
לאמור, רק תוספת לעושר שיש לה מקור תוכר כהכנסה החייבת במס בישראל.
עם זאת, תורת המקור אומצה בדין הישראלי על דרך פרשנות, ולא עקב קביעה סטטוטורית מפורשת בחוק, שכן הפקודה חסרה הגדרה מהותית למונח "הכנסה".
"מקור", כאמור, חסר הגדרה בדין הישראלי, אולם אליבא דביהמ"ש תקבול שיש לו פוטנציאל לחזור ולהישנות הוא בעל מקור.
במקומות אחרים, בתי המשפט, ובעיקר רשות המיסים, מקפידים על הרעיון הבא: עשיית פעולה למען קבלת התקבול, קרי כנגד התקבול הנישום נתן תמורה (שירות או נתינה של דבר כלשהו).
זה אמנם לא מזהה מקור, אבל זה מעין סימפטום של מקור.
הסטייה מתורת המקור בדין הישראלי
ניתן למצוא בדין הישראלי תוספות לעושר החבות במס גם ללא מקור.
הדוגמה הפרדיגמטית: מיסוי רווחי הון (פרק ה' לפקודת מס הכנסה; חוק מיסוי מקרקעין (שבח ורכישה)).
כמו כן, ב-2003, חוקק סעיף 2א' לפקודת מס הכנסה, המטיל מס על רווח מהגרלות, פרסים והימורים – אלו הן תוספות לעושר שאמנם החסרות מקור, אולם המחוקק החליט למסותן באופן סטטוטורי.
בשנות ה-50 חוקק סעיף 2(10) לפקודת מס הכנסה – סעיף העוללות – הקובע כי רשימת המקורות בישראל אינה סגורה.
ועל כן, כל הכנסה חסרת מקור, יכולה להיכנס בגדרי הסעיף, ובתנאי שהנישום נתן דבר כלשהו בתמורה.
ביקורת אקדמית על תורת המקור בישראל
כך לדוגמה, מוטלים בישראל מאז שנות השישים מיסים על רווחי הון, סעיף 2 (10) - סעיף העוללות המאפשר להוסיף מקורות נוספים לגבוה מהם מס ולא רק כאלו שנמצאים מפורש בפקודת מס הכנסה.
סעיף זה הופך את רשימת המקורות לרשימה פתוחה, והוא מונע קביעה חד-משמעית כאילו המונח הכנסה כולל רק הכנסות שנקבעו בהוראה מפורשת וברורה בפקודה.
כיוצא אם כן, לא רק ההכנסה שיש לה מקור בפקודה חייבת במס.
פרופ' אדרעי סבור שניתן בכלל לוותר על תורת המקור על ידי הגדרת הכנסה ככלל תוספת ממומשת לעושר (גישה אמריקנית).
להלן מספר תקבולים שעל אף שהם גורמים להתעשרות הנישום, נחשבים כחסרי מקור, ולפיכך אינם חייבים במס הכנסה בישראל:
מתנות: תקבול שכל כולו מבוסס על תחום הרגש, קרי מתנה, אינו חייב במס בישראל.
ירושה: לאור מסורת ארוכת שנים, ירושה אינה חייבת במס בישראל.
אולם, ניתן לחשוב על מקרים נדירים בהם ירושה יכול שתהא חייבת במס: במקרה בו הנישום נתן תמורה כלשהי עבור הירושה.
מלגות: ברמה העקרונית, מלגות אינן פטורות ממס, אולם רשות המיסים חוקקה את סעיף 9(29) ממנו עולה כי אם הסטודנט נתן תמורה כלשהי עבור המלגה אזי היא חייבת במס, ולא מקבלת פטור; מאידך, אם הסטודנט לא נתן תמורה כלל, אזי המלגה "תיפול" לתוך הסעיף ותהנה מפטור ממס.
רווחים מקריים: לדוגמה, הנישום מצא דבר כלשהו.
למרות התעשרותו, הוא פטור ממס על מציאה זו.
רווחים מנכסים אישיים: רווח הון על נכס אישי (להבדיל מנכס עסקי) אינו חייב במס בישראל.
תקבול שיש כנגדו חובת השבה: לדוגמה, הלוואה אינה חייבת במס בישראל, משום שהיא אינה יוצרת התעשרות, שכן ברגע קבלת ההלוואה, קמה לנישום חובת השבה כנגדה.
במדעי החברה תורת הערך כוללת גישות שונות הבוחנות כיצד, מדוע, ובאיזו מידה בני אדם מעריכים דברים והאם אובייקט או מושא הערכה הם אדם, רעיון, אובייקט או כל דבר אחר.
בפילוסופיה, היא ידועה גם בשם אתיקה או אקסיולוגיה.
באופן מסורתי, חקירות פילוסופיות בתורת הערך ביקשו להבין את מושג "הטוב".
במאה ה-20, עבודות מחקר בתורת הערך התייחסו יותר למדעים אמפיריים, ותיעדו מה אנשים מעריכים ומנסים להבין מדוע הם מעריכים אותה בהקשר של פסיכולוגיה, סוציולוגיה וכלכלה.
בכלכלה אקולוגית תורת הערך מופרדת לשני סוגים: ערך מסוג תורם וערך מסוג מקלט.
כלכלנים אקולוגיים נוטים להאמין ש'עושר אמיתי 'זקוק לערך שנקבע לצבירה כמדד לאילו דברים היו נחוצים כדי ליצור פריט או לייצר שירות (H.
בתחומים אחרים, תיאוריות המציגות את חשיבות הערכים כמשתנה עצמאי אנליטי (כולל אלה שהציגו מקס ובר, אמיל דורקהיים, טלקוט פרסונס ויורגן הברמאס).
דוגמאות קלאסיות למסורות סוציולוגיות המכחישות או מפחיתות את שאלת הערכים הן מוסדתיות, מטריאליזם היסטורי (כולל מרקסיזם), ביהביוריזם, תיאוריות מוכוונות פרגמטיזם, פילוסופיה פוסט-מודרנית ותיאוריות שונות מונחות אובייקטיביזם.
ברמה הכללית, יש הבדל בין טובות מוסריות וטבעיות.
טובות מוסריות הן אלה שקשורות בהתנהגות של אנשים, בדרך כלל מובילות לשבחים או להאשמה.
טובות טבעיות, לעומת זאת, קשורות לחפצים, לא לאנשים.
למשל, המשפט "חנה היא אדם טוב" משתמש ב"טוב" בצורה שונה מאוד מאשר בהצהרה "זהו אוכל טוב".
האתיקה מתמקדת בעיקר טובות מוסריות ולא בטובות טבעיות, בעוד שלכלכלה יש דאגה במה שטוב כלכלי לחברה אך לא לאדם אינדיבידואלי והיא עוסקות גם בטובות טבעיות.
עם זאת, טובות מוסריות וטבעיות הן רלוונטיות לא פחות לתורת הערך, שהיא כללית יותר בהיקפה.
תיאוריות ערך הן נושא דיון חשוב באתיקה.
מספר הבחנות שימושיות נעשו על ידי פילוסופים בטיפול בערך.
כדאי להבחין בין ערכים אינסטרומנטליים לערכים פנימיים.
הבחנה המבוססת על ההבדל בין תכונות פנימיות וחיצוניות.
הציג לראשונה על ידי אפלטון ב"רפובליקה", את ה"ערך האינסטרומנטלי", אשר משמש כאמצעי להשיג משהו אחר שהוא טוב (למשל, רדיו טוב מבחינה אינסטרומנטלית כדי לשמוע מוזיקה).
דבר בעל ערך מהותי, לעומת זאת, שווה לעצמו, לא כאמצעי למשהו אחר.
טיעון בולט באתיקה סביבתית, שהועלו על ידי סופרים כמו אלדו לאופולד והולמס רולסטון, הוא שלטבע פראי ולמערכות אקולוגיות בריאות יש ערך מהותי, לפני הערך האינסטרומנטלי שלו וכמשאבים לבני אדם ממנו, ולכן יש לשמור עליו.
קו טיעון זה ניסח עוד יותר בשנים האחרונות על ידי הפילוסוף הקנדי ג'ון מק'מורטי בתוך האנציקלופדיה של מערכות תמיכה בחיים, שפורסם על ידי אונסק"ו.
ג'ון דיואי (1859-1952) בספרו "תורת ההערכה", כתב שהטוב הוא תוצאה של הערכה אתית ואיזון רציף של "מטרות בטווח ראייה".
מטרה בטווח ראייה היא מטרה שאפשר לאמץ אותה, אשר עשויה להיות מעודנת או דוחה, על סמך עקביותה עם מטרות אחרות או כאמצעי למטרות שכבר הוחזקו.
גישתו האמפיריסטית של דיואי מוכיחה הכחשת קיומו של ערך מהותי מוחלט; כלומר אי קבלת ערך פנימי כנכס מובנה או מתמשך של דברים.
במקום זאת, דיואי רואה במראה של ערך פנימי תוצר הזוי של הפעילות הערכית המתמשכת שלנו כיצורים מכוונים.
בנוסף להכחשת קטגוריות כמו ערך פנימי, דיואי החזיק באותה עמדה ביחס לערכים מוסריים - עבור דיואי, ערכים מוסריים מבוססים גם הם על תהליך למידה, ואף פעם אינם מהותיים או מוחלטים.
תרומה נוספת של הפרגמטיות לתורת הערך היא הרעיון של טובין תורמים עם תנאי תורם.
לאלה יש אותן תכונות כמו הדבר הטוב, אך הן זקוקות למאפיין כלשהו של מצב עניינים שלם כדי להיות טוב.
לדוגמה, מלח הוא מזון בפני עצמו, אך הוא טוב בהרבה כחלק מארוחה מוכנה.
במילים אחרות, סחורות כאלה הן "טובות" רק כאשר מתקיימים תנאים מסוימים.
זאת בניגוד לסחורות אחרות, שעלולות להיחשב כ"טובות "במגוון רחב יותר של מצבים.
החשיבה של עמנואל קאנט השפיעה רבות על הפילוסופיה של המוסר.
הוא חשב על ערך מוסרי כנכס ייחודי וניתן לזיהוי אוניברסלי, כערך מוחלט ולא ערך יחסי.
הוא הראה כי סחורות מעשיות רבות טובות רק במצבי עניינים המתוארים במשפט המכיל סעיף "אם", למשל במשפט, "שמש טובה רק אם אינך גר במדבר".
יתר על כן, סעיף ה"אם" תיאר לעיתים קרובות את הקטגוריה שבה ניתנה השיפוט (אמנות, מדע וכו').
קאנט תיאר אלה כ"סחורות היפותטיות ", וניסה למצוא "טוב" קטגורי שיפעל על פני כל קטגוריות השיפוט מבלי להיות תלוי בסעיף"אם-אז".
תוצאה משפיעה על החיפוש של קאנט הייתה הרעיון של רצון טוב שיהיה הטוב הפנימי היחיד.
יתר על כן, קאנט ראה רצון טוב כפועל בהתאם לפקודה מוסרית, "הציווי הקטגורי": "פעל לפי אותם מקסימום שאתה יכול לרצות להיות חוק אוניברסלי".
אך אין להתבלבל עם האתיקה של הדדיות או כלל הזהב.
בעוד כלל הזהב קובע ש"אדם צריך להתייחס לאחרים כפי שהיו רוצים שאחרים יתייחסו לעצמו", קאנט מבקש מאיתנו לנתח האם ניתן לבצע פעולה בו זמנית על ידי כולם ללא יוצא מן הכלל.
לדוגמה, לא ניתן לבצע רצח בו זמנית על ידי כולם, קבוצה אחת של אנשים תצטרך לחיות והשנייה תמות.
הפער הזה הוא יוצא מן הכלל.
לא ניתן לבצע את המעשה ללא יוצא מן הכלל, ולכן הוא נכשל בציווי הקטגורי.
הניחו זאת עם כלל הזהב שהוא סובייקטיבי ליחיד.
בעקבות ההיגיון של כלל הזהב, אם הייתי רוצה שמישהו יהרוג אותי, אז זה יהיה מקובל עלי להרוג אחרים, כי הייתי עושה לאחרים מה שאני רוצה שיעשה לי.
חשוב מאוד לזכור זאת מכיוון שהציווי הקטגורי של קאנט נמנע מפגם זה.
מתוך כך, ועוד כמה אקסיומות, קאנט פיתח מערכת מוסרית שתחול על כל "אדם ראוי לשבח".
הפילוסופים הקאנטיאנים מאמינים שכל הגדרה כללית של טוב חייבת להגדיר טובין שהם קטגוריים במובן שאליו התכוון קאנט.
בסוציולוגיה תורת הערך עוסקת בערכים אישיים המוחזקים על ידי קהילה, וכיצד ערכים אלה עשויים להשתנות בתנאים מסוימים.
קבוצות שונות של אנשים עשויות להחזיק או לתת עדיפות לסוגים שונים של ערכים המשפיעים על התנהגות החברתית שלהם.
שיטות המחקר נעות בין סקרי שאלונים לתצפית במשתתפים של ניסוי.
ניתן לייחס ערכים למאפיינים חברתיים.
מה שהקהילה תופסת כמשמעותית עבורם מציין או מפענח את התכונות החברתיות שלהם.
ניתוח כלכלי מדגיש את הסחורה המבוקשת בשוק ונוטה להשתמש בבחירות הצרכן כראייה (העדפה נגלית) לכך שלמוצרים שונים יש ערך כלכלי.
לפי תפיסה זו, מאבק דתי או פוליטי על אילו "סחורות" זמינות בשוק הוא בלתי נמנע, והסכמה על כמה שאלות ליבה על הגוף והחברה והסביבה המושפעות מהעסקה, הן מחוץ לסחורות השוק, כל עוד אינן בבעלותן.
עם זאת, נראה כי סחורות טבעיות מסוימות הן גם טובות מוסריות.
לדוגמה, דברים שאמורים להיות בבעלותו של אדם הם אומנם סחורות טבעיות, אך עליהם עשויים להיות טענות מוסריות.
לכן יש צורך בהבחנה נוספת: בין טובות מוסריות ובין לא מוסריות.
טוב לא מוסרי הוא דבר שרצוי למישהו כזה או אחר; למרות השם ההפוך, הוא עשוי לכלול טובין מוסריים.
טוב מוסרי הוא כל דבר ששחקן נחשב מחויב מבחינה מוסרית לשאוף אליו.
כאשר דנים בסחורות שאינן מוסריות, ניתן להבחין בין שימושי לטבע ובין חומרים בשוק (או ערך החליפין שלהם), לעומת סחורות מהותיות וחוויתיות נתפסות לקונה.
מודל כלכלי קפדני של כלכלת שירותים משתדל להבחין בין הסחורות לבין ערבויות השירות לשוק, לבין השירות והניסיון של הצרכן.
לפעמים, טובות מוסריות וטבעיות עלולות להתנגש.
הערך של "סחורות" טבעיות מאותגר על ידי נושאים כמו התמכרות.
סוגיית ההתמכרות מעלה גם את ההבחנה בין טובין כלכליים למוצרים, כאשר טוב כלכלי הוא כל מה שמעורר צמיחה כלכלית.
למשל, יש הטוענים כי סיגריות הן "טוב" במובן הכלכלי, שכן ייצורן יכול להעסיק מגדלי טבק ורופאים המטפלים בסרטן ריאות.
אנשים רבים יסכימו כי עישון סיגריות אינו "טוב" מבחינה מוסרית, ואינו מטבעו "טוב", אך עדיין מכירים בכך שהוא טוב מבחינה כלכלית, כלומר, יש לו ערך חליפין, למרות שהוא מוצר ציבורי שלילי או אפילו רע לגוף האדם.
כלכלנים אקולוגיים נוטים להאמין ש'עושר אמיתי 'זקוק לערך שנקבע על ידי התורם כמדד לדברים הנדרשים לצורך יצירת פריט או יצירת שירות (H.
דוגמה לערך מסוג כונס הנכסים הוא 'שווי שוק', או 'נכונות לשלם', שיטת החשבונאות העיקרית הנהוגה בכלכלה נאו-קלאסית.
לעומת זאת, תורת הערך של מרקס והתפיסה המתעוררת נתפסים כערך מסוג תורם.
תאורטיקנים אמרגיים מאמינים שלתפיסת ערך זו יש רלוונטיות לכל הפילוסופיה, הכלכלה, הסוציולוגיה והפסיכולוגיה, כמו גם למדעי הסביבה.
הכלכלן סילביו גסל הכחיש את תורת הערך בכלכלה.
הוא חשב שתורת הערך אינה מועילה ומונעת מכלכלה להפוך למדע, וכי ניהול מטבע המונחה על ידי תורת ערך נידון לעקרות וחוסר פעילות.
תורת המסלול הקוונטי היא ניסוח של מכניקת הקוונטים המשמש לסימולציה של מערכות קוונטיות פתוחות, דיסיפציה קוונטית ומערכות קוונטיות בודדות.
התורה פותחה בשנות ה-90 המוקדמות על ידי הווארד קרמייקל, ובניסוח דומה, המכונה שיטת הקפיצה הקוונטית או שיטת מונטה קרלו לפונקציית הגל, על ידי דליבר, קסטין ומולמר.
עבודות אחרות בנות זמננו המבוססות על גישות מונטה קרלו לפונקציית הגל במערכות פתוחות, כוללות את אלה של דאם, צולר וריץ' וכן את של הגרפלדט ווילסר.
תורת המסלול הקוונטי עולה בקנה אחד עם הניסוח הסטנדרטי של תורת הקוונטים, כמתואר במשוואת שרדינגר, אך היא מציעה מבט יותר מפורט.
משוואת שרדינגר ניתנת לשימוש על מנת לחשב את ההסתברות למציאת מערכת קוונטית בכל אחד מהמצבים האפשריים למדידה.
גישה זו הסתברותית בעיקרה והיא שימושית לצורך חיזוי מדידות ממוצעות של אנסמבלים קוונטיים גדולים אך איננה מתארת או מספקת תובנות לגבי ההתנהגות של חלקיקים מסוימים.
תורת המסלול הקוונטי ממלאת את החלל הזה בכך שהיא מציעה דרך לתאר את המסלולים של חלקיקים קוונטיים מסוימים המצייתים להסתברויות המחושבות מתוך משוואת שרדינגר.
כמו שיטת הקפיצה הקוונטית, תורת המסלול הקוונטי תקפה במערכות פתוחות המצויות ביחסי גומלין עם סביבתן.
תורת המסלול הקוונטי הפכה לפופולרית במיוחד מאז שהטכנולוגיה שפותחה לצורך שליטה יעילה וניטור מערכות קוונטיות מסוימות, משמשת גם לצורך חיזוי ההתנהגות של עצמים קוונטיים כמו חלקיקים כאשר הם נצפים.
בתורת המסלול הקוונטי, מערכות קוונטיות פתוחות ממודלות בתור תהליכי פיזור שבהם שדות חיצוניים קלאסיים מתארים את הקלטים (השדות המופעלים על המערכת) ותהליכים סטוכסטיים קלאסיים מתארים את הפלטים (השדות לאחר תהליך המדידה).
המיפוי מקלטים לפלטים נתון על ידי תהליך קוונטי סטוכסטי שנבנה על מנת לייצג שיטת מדידה מסוימת.
המערכת המחושבת כפונקציה של הזמן ידועה בתור מסלול קוונטי, ומטריצת הצפיפות הרצויה כתלות בזמן ניתנת לחישוב באמצעות מיצוע על מסלולים משוערים רבים.
כמו שיטות מונטה קרלו אחרות, שיטת המסלול הקוונטי היא בעלת יתרון על פני גישות ישירות המבוססות על משוואת מסטר, שכן היא מצמצמת את כמות החישובים הנדרשים.
עבור מרחב הילברט מסדר N, גישת משוואת מסטר הנהוגה דורשת חישוב של N2 אלמנטי מטריצה אטומיים, בעוד שיטת המסלול הקוונטי דורשת רק N חישובים.
הדבר הופך את החישוב לשימושי עבור סימולציה של מערכות קוונטיות פתוחות גדולות.
הרעיון של ניטור פלטים עומד בבסיס תורת המסלול הקוונטי.
המיקוד שלה בנושא המדידה מבדיל בינה לבין שיטת הקפיצה הקוונטית, בה אין קשר ישיר לניטור שדות הפלט.
כאשר שתי התורות מיושמות לצורך גילוי ישיר של פוטונים, שתיהן מניבות תוצאות שקולות; אולם בעוד שיטת הקפיצה הקוונטית מנבאת את הקפיצות הקוונטיות של המערכת בעת פליטת פוטונים, הרי ששיטת המסלול הקוונטי מנבאת את מספר ה"קליקים" בגלאי בעת מדידת פוטונים.
ההבדל היחיד בין התורות מצוי בנקודת המבט.
תורת המסלול הקוונטי נרחבת יותר ביישומיה בהשוואה לשיטת הקפיצה הקוונטית, מכיוון שהיא ניתנת להטמעה בשיטות ניטור שונות ורבות כולל גילוי פוטונים ישיר וגילוי הטרודין (ערבוב מסוים של תדירויות).
כל אחת משיטות הניטור מציעה תמונה שונה של הדינמיקה במערכת.
לאורך השנים היו שתי פאזות שונות ליישומי תורת המסלול הקוונטי.
בדומה לשיטת הקפיצה הקוונטית, שיטת המסלול הקוונטי שימשה לראשונה לצורך סימולציות ממוחשבות של מערכות קוונטיות גדולות.
יישומים אלה מנצלים את היכולת להקטין משמעותית את כמות החישובים, מה שהפך לנחוץ במיוחד בשנות ה-90, אז כוח החישוב היה מוגבל למדי.
הפאזה השנייה של היישום הואצה בזכות הפיתוח של טכנולוגיות המשמשות לשליטה מדויקת ולניטור של מערכות קוונטיות בודדות.
בהקשר זה, תורת המסלול הקוונטי הייתה בשימוש לצורך חיזוי וניהול של ניסויים במערכת קוונטית בודדת, כולל אלה שתרמו לפיתוח מחשבים קוונטיים.
תורת המסלול הקוונטי ניגשת לפתרון בעיית המדידה במכניקת הקוונטים על ידי מתן תיאור מפורט של התרחשות קריסת פונקציית הגל.
הדבר מתכתב עם הקונספט של קפיצה קוונטית המאופיינת בהתפתחות רציפה של המערכת, כמתואר במשוואת שרדינגר.
התורה טוענת כי קפיצות קוונטיות אינן רגעיות אלא קורות במערכת שנשלטת בצורה קוהרנטית בתור מעבר חלק בין סדרה של מצבי סופרפוזיציה.
חיזוי זה נבחן ניסויית בשנת 2019 על ידי צוות מאוניברסיטת ייל, בראשות מישל דבורט וזלטקו מינב ובשיתוף פעולה עם קרמייקל ואחרים באוניברסיטת ייל ובאוניברסיטת אוקלנד.
בניסוי זה הם השתמשו באטום מלאכותי מוליך-על כדי לצפות בקפיצה קוונטית בפירוט, ובכך אישרו כי אכן ישנו מעבר רציף והוא נפרץ כתלות בזמן.
כמו כן הם מצאו כי קפיצה קוונטית נוטה להתרחש בצורה מעגלית ולבסוף המערכת חוזרת למצבה המקורי.
ניסוי זה, שקיבל השראה מתורת המסלול הקוונטי, מייצג שלב חדש של שליטה במערכות קוונטיות והוא בעל יישומים פוטנציאליים בתיקון שגיאות בחישוב קוונטי בעתיד.
במתמטיקה ומדעי המחשב, תורת המספרים החישובית, הידועה גם בתור תורת המספרים האלגוריתמית, היא חקר שיטות חישוביות לחקירה ופתרון בעיות בתורת המספרים ובגאומטריה האריתמטית, לרבות אלגוריתמים לבדיקת ראשוניות ולפירוק לגורמים של מספר שלם, מציאת פתרונות למשוואות דיופנטיות, ושיטות בגאומטריה אריתמטית.
לתורת המספרים החישובית יש יישומים בקריפטוגרפיה, כולל בהצפנת RSA, הצפנה מבוססת עקום אליפטי והצפנה פוסט-קוונטית, והיא משמשת לחקירת השערות ובעיות פתוחות בתורת המספרים, כולל השערת רימן, השערת ליבנה וסווינרטון-דייר, השערת ABC המודולריות, השערת Sato-Tate, והיבטים של תוכנית לנגלנדס.
תורת המספרים האדיטיבית היא תת-תחום של תורת המספרים העוסק בחקר קבוצות של מספרים שלמים והתנהגותן ביחס לפעולת החיבור.
באופן מופשט יותר, תורת המספרים האדיטיבית חוקרת שאלות דומות בחבורות אבליות ובחבורות למחצה אבליות.
הגדרה עיקרית בתורת המספרים האדיטיבית היא הסכום של שתי תת-קבוצות A ו- B של חבורה אבלית G ,
בעיות מרכזיות רבות עוסקות בחישוב קבוצות מהצורה
, או וכו', כאשר A היא קבוצה מעניינת של מספרים טבעיים.
שתי בעיות קלאסיות מסוג זה הן השערת גולדבך (שהיא ההשערה שכל מספר זוגי הוא סכום של שני ראשוניים-כאן A היא קבוצת הראשוניים) ובעיית וארינג (שבה A היא קבוצת החזקות ה-kיות של שלמים).
1. וינוגרדוב הוכיח את השערת גולדבך החלשה לפיה כל מספר אי זוגי גדול מספיק הוא סכום של שלושה ראשוניים, ולכן כל מספר זוגי גדול מספיק הוא סכום של ארבעה ראשוניים.
2. הילברט הוכיח את השערת וארינג לפיה לכל מספר שלם k > 1 יש קבוע C(k) שעבורו כל מספר טבעי הוא סכום של C(k) חזקות kיות.
כלים מרכזיים בתורת המספרים האדיטיבית הם שיטת המעגל של הארדי-ליטלווד, שיטות נפה וצפיפות שנירלמן.
תורת המספרים ההסתברותית היא תת-תחום של תורת המספרים, המשתמשת במפורש בהסתברות כדי לענות על שאלות לגבי המספרים השלמים ופונקציות המקבלות ערכים שלמים.
אחד הרעיונות העומד בבסיס התחום הוא שמספרים ראשוניים שונים, הם במובן מסוים, כמו משתנים אקראיים בלתי תלויים.
מייסדי התיאוריה היו פאול ארדש, אורל וינטנר ומארק כץ במהלך שנות ה-30, תוך כדי מחקריהם בתורת המספרים האנליטית.
התוצאות הבסיסיות של התחום כוללות את משפט ארדש-כץ ואת משפט ארדש-וינטנר על פונקציות אדיטיביות.
תורת הקבוצות הנאיבית הוא שמה של גישה אלמנטרית לתורת הקבוצות, שאותה פיתח גאורג קנטור בסוף המאה ה-19. התורה עוסקת במושג הקבוצה, שהיא אוסף מופשט של איברים, והיא מאפשרת טיפול מתמטי מדויק במושגי יסוד במתמטיקה, כגון יחס, פונקציה, מספר ואינסוף.
תורת הקבוצות המודרנית מבוססת על גישה אקסיומטית מדוקדקת .
הטיפול במושג הקבוצה באופן ישיר קרוי "תורת הקבוצות הנאיבית".
את תורת הקבוצות החל לפתח גאורג קנטור ב-1870, בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת הפונקציות הממשיות.
את מחקריו סיכם בשני מאמרים, שפורסמו ב-1895 וב-1897 תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (במקור – בגרמנית), בכתב-העת "Mathematische Annalen".
הגדרתו של קנטור לקבוצה הייתה:
על הגדרה זו העיר אברהם הלוי פרנקל:
בתחילת המאה ה-20 התגלו בתורת הקבוצות פרדוקסים, שנבעו מהיותה מתירנית מידי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות.
לשם פתרון בעיות אלה פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, ובעקבות צעד זה, תורת הקבוצות ללא הביסוס האקסיומטי הקפדני נקראת תורת הקבוצות הנאיבית.
תורת הקבוצות הנאיבית עוֹדֶנָה נלמדת כקורס בסיסי באוניברסיטאות, שכן היא פשוטה יותר להבנה, ומרבית רעיונותיה נכונים גם בגרסה האקסיומטית.
הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, הובילה למספר פרדוקסים.
קודם להצגת הפרדוקס, נבהיר: בדרך כלל, קבוצה אינה איבר של עצמה.איבריה של הקבוצה A, שהגדרתה "קבוצת כל המספרים השלמים" הם מספרים, ולכן, הקבוצה A, שאינה מספר, אינה אחד מן האיברים של A.
יש גם קבוצות שהן איבר של עצמן: למשל, הקבוצה B, שהגדרתה "קבוצת כל הקבוצות שיש להן הגדרה בת תשע מילים".
הגדרתה של B היא בת תשע מילים, ולכן היא איבר של עצמה.
הפרדוקס עוסק בקבוצה D המוגדרת להלן:
כלומר, לכל קבוצה X, X היא איבר ב-D אם ורק אם הקבוצה X אינה איבר ב-X.
לגבי הדוגמאות שהבאנו לעיל מתקיים: A היא איבר ב-D, ואילו B אינה איבר ב-D.
נשאלת עכשיו השאלה: האם הקבוצה D היא איבר ב-D?
אם כן, אז בהתאם להגדרתה של D היא אינה איבר של עצמה.
אך אז, בהגדרת הדרישות מהקבוצה X, הקבוצה D היא כן איבר של עצמה.
שתי אפשרויות אלה מובילות לסתירה פנימית, בכך שהוכחנו טענה והיפוכה מאותה מערכת לוגית.
הפרדוקס של קנטור עוסק בהגדרת ועל ההשלכות הסותרות על "מספר האיברים" (העוצמה) של כל קבוצה.
הפרדוקס של בורלי-פורטי עוסק ב, אשר אינה יכולה להיות קבוצה (בתורת הקבוצות (הנאיבית)).
בעקבות הסתירות הללו, ובעיות נוספות שהתגלו, נוצר הצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי.
בעקבות כך, פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, שהיא למעשה התורה אליה לרוב מתכוונים היום מתמטיקאים כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות".
האקסיומטיזציה של ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל (אקסיומות צרמלו-פרנקל) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות, כדי להימנע מהסתירות האפשריות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי.
תורת הקבוצות היא תורה מתמטית בסיסית העוסקת במושג הקבוצה, שהיא אוסף מופשט של איברים שונים זה מזה.
התורה מאפשרת טיפול מתמטי מדויק במושגי יסוד במתמטיקה כגון יחס, פונקציה, מספר ואינסוף.
תורת הקבוצות האקסיומטית, המנוסחת בשפה של הלוגיקה המתמטית, מספקת תשתית לכל תחומי המתמטיקה.
כשלעצמה, תורת הקבוצות עוסקת בעיקר בתכונות של מונים וסודרים.
את מחקריו סיכם בשני מאמרים שפורסמו ב-1895 וב-1897 תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (בגרמנית במקור), בכתב-העת Mathematische Annalen.
בתחילת המאה ה-20 התגלו בתורת הקבוצות פרדוקסים, שנבעו מהיותה מתירנית מדי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות.
לשם פתרונן פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, ובעקבות צעד זה ההתייחסות לתורת הקבוצות ללא הביסוס האקסיומטי הקפדני נקראת תורת הקבוצות הנאיבית.
תורת הקבוצות הנאיבית עודנה נלמדת כקורס בסיסי באוניברסיטאות, שכן היא פשוטה יותר להבנה והתוצאות שלה נכונות גם בגרסה האקסיומטית.
קבוצה מוגדרת כאוסף של איברים.
לכל קבוצה ולכל עצם בעולם נכונה בדיוק אחת משתי האפשרויות הבאות:
את השייכות לקבוצה מסמנים באות היוונית אפסילון.
הסימון "" אומר " שייך ל־" במשמעות של איבר בקבוצה .
אם אינו איבר של , מסמנים .
כלומר, איבר לא יכול להופיע פעמיים בקבוצה: או שהוא שייך לה – או שאינו שייך.
לדוגמה, הקבוצה היא בדיוק הקבוצה , כלומר: .
בנוסף, אין חשיבות לסדר בייצוג הקבוצה, למשל: .
נתבונן עתה בקבוצה ועליה נשאל, "האם בקבוצה יש איברים?"
אם אין בה איברים, זוהי הקבוצה הריקה ונסמן: .
אם קיימים בה איברים, אז היא אינה ריקה: .
את הקבוצה שבה קיימים רק שלושת האיברים נסמן: .
אפשרות סימון נוספת היא על ידי תנאי, כלומר: , קבוצת כל ה-a-ים שעבורם הפסוק הלוגי (תנאי כלשהו) מתקיים.
אומרים ש- מוכלת ב- או חלקית ל- (ומסמנים ) אם כל איבר של הוא איבר של .
יחס חשוב זה מגדיר שוויון בין קבוצות: קבוצות הן שוות אם ורק אם יש להן אותם איברים.
באופן שקול: אם ורק אם וגם .
זו תכונה מהותית של קבוצות, הממחישה שאין להן מבנה או תכונות מעבר לרשימת האיברים שהן מכילות.
שילוב היחסים מאפשר להגדיר חלקיות ממש: חלקית ממש לקבוצה אם ורק אם היא חלקית לה, אך אינה שווה לה; במקרה זה נסמן או .
כלומר, כל האיברים שבקבוצה שייכים גם לקבוצה , אך קיים לפחות איבר אחד אשר שייך ל־ ואינו שייך ל־.
באוסף של קבוצות מתקיימות הפעולות הבאות:
איחוד: האיחוד של שתי קבוצות ו- הוא קבוצה המכילה את כל האיברים של ואת כל האיברים של , בלי איברים אחרים.
חיתוך: החיתוך של שתי קבוצות ו- הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב- ששייכים גם ל- (או באופן שקול, כל האיברים ב- ששייכים גם ל-), ורק אותם.
בכתיב פורמלי: ( הוא איבר ב-) אם ורק אם וגם .
לדוגמה: החיתוך של קבוצת אזרחי ישראל עם קבוצת אזרחי צרפת הוא קבוצת האנשים שלהם אזרחות כפולה, ישראלית וצרפתית.
משלים: משלים של קבוצה הוא קבוצה אחרת, אשר מכילה את כל האיברים שאינם נמצאים ב-.
זאת ביחס לקבוצה כלשהי שהיא הקבוצה האוניברסלית - קבוצה שבהקשר הנוכחי של הדיון, כל קבוצה שעליה נדבר היא תת קבוצה של .
נהוג לסמן משלים בסימונים או .
דוגמה: המשלים של קבוצת אזרחי ישראל הוא קבוצת האנשים שאינם ישראלים.
בדוגמה זו מובלעת ההנחה שהקבוצה האוניברסלית בהקשר זה היא קבוצת האנשים.
בדרך כלל ברור מתוך ההקשר מהי הקבוצה האוניברסלית, אך לעיתים ראוי לציין זאת במפורש.
הפרש: ההפרש בין קבוצה לקבוצה הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ששייכים ל- אך לא ל-.
מסמנים את ההפרש ב- או .
בהינתן קבוצה , המשלים שלה ביחס לקבוצה הוא אם כן .
מכפלה קרטזית: בהינתן שתי קבוצות , המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת והיא הקבוצה שמכילה את אוסף הזוגות הסדורים כך ש-, .
הפרש סימטרי: הפרש סימטרי של שתי קבוצות הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי שלא שייכים ל- וכל איברי שלא שייכים ל- - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
בכתיב פורמלי: ההפרש הסימטרי, המסומן מוגדר כדלהלן:
קבוצת החזקה: קבוצת החזקה של קבוצה נתונה היא קבוצת כל תתי הקבוצות של , היינו .
עוצמת קבוצת החזקה היא , ומשפט קנטור קובע כי עוצמת קבוצת החזקה גדולה ממש מעוצמת הקבוצה.
יחס בינארי הוא קבוצה של זוגות סדורים.
יחסים מהווים כלי חשוב לזיהוי קבוצות ואיברים.
פורמלית, יחס מקבוצה לקבוצה הוא תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית , ולכל מסמנים .
אומרים שהיחס הוא על קבוצה אם זה יחס מהקבוצה אל עצמה.
למשל, היחס (קטן ממש) על הקבוצה הוא היחס .
יחס על נקרא רפלקסיבי אם , סימטרי אם , וטרנזיטיבי אם .
יחס המקיים את שלוש התכונות הללו נקרא יחס שקילות.
ליחסים כאלה תפקיד בסיסי וחשוב בכל תחומי המתמטיקה, והם מגדירים שקילויות בין איברים וקבוצות, ומאגדים איברים הנחשבים שקולים לאיבר אחד, המכונה מחלקת שקילות.
מחלקות השקילות מהוות חלוקה של הקבוצה – הן זרות ואיחודן הוא כל הקבוצה.
גם ההפך נכון, בהינתן חלוקה, ניתן להגדיר יחס שקילות שמחלקות השקילות שלו הן איברי החלוקה.
כלומר, יש התאמה מלאה בין יחסי שקילות לחלוקות של קבוצה נתונה.
יחס על יקרא יחס סדר אם הוא טרנזיטיבי, רפלקסיבי ואנטי סימטרי, (לחלופין, טרנזיטיבי, א-סימטרי, וא-רפלקסיבי היינו ).
היחס יקרא יחס סדר מלא אם כל שני איברים ניתנים להשוואה, ויחס סדר טוב אם הוא מלא ולכל תת-קבוצה לא ריקה יש איבר ראשון.
יחסי הסדר הקלאסיים על המספרים כולם יחסי סדר מלאים.
יחס ההכלה הוא יחס סדר לא מלא.
לכל יחס סדר ניתן לבנות את דיאגרמת הסה שלו - בדיאגרמה זו יש קו בין איבר תחתון לעליון, אם התחתון מתייחס לעליון.
במקרה שהיחס מלא, מתקבלת שרשרת ארוכה של התייחסויות.
באופן כללי, שרשרת עולה ביחס היא מהצורה .
הלמה של צורן קובעת כי בקבוצה סדורה חלקית, אם לכל שרשרת קיים חסם מלעיל, אז יש בקבוצה איבר מקסימלי.
פונקציה היא יחס (תת קבוצה של המכפלה הקרטזית) חד ערכי ומלא.
(כלומר לכל איבר בתחום מתאים איבר אחד ויחיד בטווח)
באופן לא פורמלי ניתן לחשוב על פונקציה כמורכבת משלושה חלקים: תחום, טווח וכלל התאמה בניהם.
פורמלית, פונקציה מקבוצה (תחום) לקבוצה (טווח) היא יחס המקיים שתי תכונות: חד-ערכיות ומלאות.
1) חד ערכיות: היחס הוא תת-קבוצה המקיימת .
כלומר, לכל איבר בתחום מתאים איבר יחיד בטווח.
2) מלאות: כל אברי התחום הם חלק מהיחס.
פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום איבר ייחודי בטווח נקראת פונקציה חד-חד-ערכית.
(כלומר אין איברים נוספים בתחום המתאימים לאיבר הזה בטווח)
פונקציה עבורה לכל איבר בטווח קיים איבר בתחום (כלומר התמונה שלה שווה לטווח שלה), נקראת פונקציה על.
פונקציה שהיא גם על וגם חד-חד ערכית נקראת פונקציה הפיכה.
אם בין שתי קבוצות קיימת פונקציה הפיכה אזי הקבוצות שוות עוצמה.
הפונקציה היא מונח כללי השימושי בכל ענפי המתמטיקה.
למחקר פונקציות והתכונות שלהן מקום מכריע בכל המתמטיקה.
ניתן להגדיר פונקציות משמרות תכונות, פונקציות רציפות, פונקציות גזירות וכו', ולחקור את המבנים הנוצרים.
הדגש על מעברים בין אובייקטים, המכליל את הרעיון של הפונקציה, נתון במושג המורפיזם בתורת הקטגוריות.
קבוצה המספרים הטבעיים, כלומר ...1,2,3 אשר כבר מוכרים לנו מחיי היום יום מוסמנת באות , כלומר: .
הקבוצה מוגדרת באופן שאינו מאפשר לספור את איבריה, כלומר, אם ננסה לספור אותם, תמיד יהיו עוד איברים לספור.
תכונה זו נלמדה על ידי רבים והוצעו מספר דרכים לתאר קבוצה מסוג זה באופן מתמטי.
קנטור השתמש בדרך אחרת להתמודד עם בעיית הספירה וההתייחסות אל גודלן של קבוצות אלו.
הוא החליף את פעולת הספירה האינטואיטיבית בשימוש בכלים מתמטיים כגון פונקציות, דבר שאיפשר להרחיב את היחסים המוכרים בין הקבוצות הסופיות גם לאינסופיות.
אם קיים מיפוי דו-כיווני בין שתי קבוצות סופיות, קרי, פונקציה חד-חד ערכית ועל מ- על (או מ־ ל־) הרי שלשתי הקבוצות יש אותו גודל.
נבנה פונקציה חד-חד ערכית מ- על : (בשימוש בזוגות סדורים)
מקיום המיפוי נסיק שקבוצות אלו הן באותו גודל.
מצאנו דרך מתמטית לטפל בהשוואת גודלן של קבוצות סופיות בלי לספור את איבריהן.
במינוח המתמטי, אם קיים יחס שקילות בין שתי קבוצות.
אז הקבוצות הן שוות עצמה.
נבדוק עכשיו שקילות של קבוצות אינסופיות כלשהן, למשל, קבוצות המספרים הטבעיים, וקבוצת הטבעיים הזוגיים המוגדרות:
פונקציה זו, המוגדרת בין שתי הקבוצות, היא חד-חד ערכית ועל.
מסקנה: קבוצת המספרים הטבעיים שקולה לקבוצת המספרים הזוגיים הטבעיים.
נגדיר באופן מדויק מהי קבוצה אינסופית: קבוצה אינסופית היא קבוצה שקיימת לה קבוצה חלקית ממש ושקולה לה.
או לחלופין: קבוצה היא אינסופית אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית מ- ל- שאינה על .
תכונה זו לא מתקיימת בקבוצות סופיות, אך היא מתקיימות בקבוצות שעוצמתן אינסופית.
ישנן קבוצות אינסופיות רבות שונות בגודלן זו מזו.
מושג העוצמה משמש כיום כלי מרכזי בהתייחסות מתמטית לגודלן של קבוצות, בייחוד אינסופיות.
מסמנים את העוצמה של קבוצה ב-; אומרים ש- אם יש פונקציה חד-חד-ערכית , ו- אם יש פונקציה על .קבוצות נקראות שקולות עוצמה אם יש ביניהן פונקציה הפיכה, ומסמנים .
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין קובע כי מכך ש-, ניתן להסיק כי .
תוצאות נוספות (ולעיתים מפתיעות) ביחסים בין קבוצות אינסופיות: קנטור הוכיח קיום שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים למספרים הרציונליים.
כמו כן, משפט קנטור הוכיח אי שקילות בין כל קבוצה לקבוצת החזקה שלה והאלכסון של קנטור הוכיח אי שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים לממשיים.
קבוצה השקולה לתת קבוצה כלשהי של הטבעיים נקראת קבוצה בת-מנייה.
חיתוך, מכפלה קרטזית סופית ואיחוד בן מנייה של קבוצות בנות־מנייה נשאר בן מנייה.
לעומת זאת קבוצת המספרים הממשיים וקבוצת המספרים האי־רציונליים הן קבוצות שאינן בנות־מנייה.
כלומר, שעוצמת גדולה מאלף אפס, עוצמת המספרים הטבעיים.
לסודרים שימושים רבים בתחומים שונים ולא צפויים במתמטיקה, והם מהווים מונח יסוד בתורת הקבוצות.
חשיבותם נובעת ממשפט הסדר הטוב, על פיו ניתן להגדיר על כל קבוצה לא ריקה יחס סדר, המקיים את התכונה הבאה: בכל תת-קבוצה לא ריקה קיים אבר מינימלי (אבר קטן ביותר).
סודר הוא קבוצה הסדורה היטב לפי היחס שהיא גם -טרנזטיבית (כלומר, אם אז .
בין כל שני סודרים קיים יחס סדר.
יתרה מזאת, כל קבוצה סדורה היטב איזומורפית סדר לסודר יחיד, המהווה מעין נציג קנוני במחלקה שלה.
ניתן גם להגדיר פעולות בין סודרים, כמו חיבור, הפרש, כפל וחזקה.
פעולות אלו שומרות חלקית על התכונות של הפעולות הרגילות על מספרים (למשל, החיבור איננו חילופי).
ניתן להגדיר פונקציות מונוטוניות ורציפות בין סודרים, ביחס לטופולוגיית סדר.
סודרים מאפשרים להגדיר בתורת הקבוצות את האינדוקציה הטרנספיניטית ולהוכיח את משפט הרקורסיה הטרנספיניטית המהווים הכללה של המונחים אינדוקציה ורקורסיה על הטבעיים, ולהם שימושים רבים.
הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, מובילה למספר פרדוקסים, בהם הפרדוקס של ראסל.
בעקבות הסתירה אליה הוביל הפרדוקס של ראסל, ובעיות נוספות, בהן הגדרת "קבוצת כל הקבוצות" והשלכותיה ביחס לקבוצת החזקה שלה והפרדוקס של בורלי-פורטי, והצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי, פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, שהיא למעשה התורה אליה לרוב מתכוונים היום מתמטיקאים כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות".
האקסיומטיזציה של ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל (אקסיומות צרמלו-פרנקל) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות כדי להימנע מהסתירות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי.
תורת הקבוצות האקסיומטית היא תורה מתמטית המהווה ניסוח אקסיומטי של תורת הקבוצות.
אף על פי ששימוש בתורת הקבוצות הנאיבית עדיין רווח במתמטיקה, תורת הקבוצות האקסיומטית היא למעשה התורה שאליה מתכוונים מתמטיקאים בהתייחסם לתורת הקבוצות.
ביחד עם לוגיקה וענפים אחרים במתמטיקה, תורת הקבוצות האקסיומטית מהווה חלק עיקרי ביסודות המתמטיקה.
כמעט כל התורות המתמטיות יכולות להיבנות כמשפטים מתוך תורת הקבוצות האקסיומטית.
ב-1901 הראה ברטראנד ראסל, באמצעות הפרדוקס של ראסל ופרדוקסים אחרים, שמושג הקבוצה, שפותח רק שנים ספורות קודם לכך על ידי גאורג קנטור, מכיל סתירות פנימיות (אנטינומיות).
אנטינומיות אלה סללו את הדרך לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.
התורה פותחה בעיקר על ידי ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל והיא מתבססת על מערכת ריגורוזית של אקסיומות.
לתורת הקבוצות האקסיומטית ישנן גרסאות רבות השונות זו מזו באופן מהותי, אך המפורסמות שבהן הן שתיים: מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (ZF) – המכונה לעיתים מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל-סקולם (ZFS), ומערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל בתוספת אקסיומת הבחירה (ZFC).
פרט לשתי המערכות האלו של אקסיומות, ידועה גם המערכת האקסיומטית המחליפה את אקסיומת הבחירה באקסיומה חזקה יותר (הגוררת את אקסיומת הבחירה): אקסיומת הרצף המוכללת, וכן ידועה מערכת אקסיומטית אחרת המחליפה את אקסיומת הרצף המוכללת באקסיומה חזקה עוד יותר (הגוררת את אקסיומת הרצף המוכללת ואת אקסיומת היסוד): אקסיומת הבנייה.
כל המערכות האלו מבוססות (בצורה זו או אחרת) על המערכת Z, והן מתאפיינות בשני מאפיינים חשובים: כל אובייקט המטופל בהן – והאוסף לתוכו אובייקטים – הוא קבוצה, ושום אובייקט המטופל בהן אינו יכול לאסוף לתוכו את כל הקבוצות.
כמעט כל המערכות הידועות – להוציא את המערכת המקורית ההיסטורית Z של צרמלו – מתאפיינות בכך שכל איבר בקבוצה הוא בעצמו קבוצה.
במערכות אלו, גם עצמים מתמטיים מוכּרים – כמו מספרים – נדרשים להיות מוגדרים בתור קבוצות.
להלן נדון בעיקר במערכת ZFC, בהיותה השימושית ביותר (והמקובלת ביותר) במתמטיקה.
שבע האקסיומות של ZFC רשומות להלן.
במקורן נוסחו האקסיומות כמחרוזות של סמלים לוגיים בשפה לוגית נוקשה; להלן הן תוצגנה לפי משמעותן האינטואיטיבית בשפה בעברית.
אקסיומת ההחלפה (כמו גם הגרסה המוחלשת שלה: אקסיומת ההפרדה) היא למעשה סכימה של אקסיומות, הכוללות אקסיומה לכל הצהרה.
אקסיומת ההיקפיות: שתי קבוצות הן שוות אם ורק אם יש להן אותם איברים.
אקסיומת האיחוד: לכל קבוצה קיים האיחוד שלה.
כלומר, לכל קבוצה קיימת קבוצה אשר האיברים שלה הם בדיוק האיברים של איברי .
אקסיומת האינסוף: קיימת קבוצה אינסופית.
פורמלית: קיימת קבוצה , שאינה ריקה, וכך שלכל אבר ששייך אליה, גם הקבוצה שייכת אליה.
אקסיומת ההחלפה: לכל קבוצה , קבוצה והצהרה אם כשמציבים ההצהרה מגדירה פונקציה על , (זאת אומרת שעבור כל קימת ויחידה קבוצה כך שההצהרה תתקיים) אז קיימת קבוצה שהאיברים בה הם בדיוק תמונות האיברים של הקבוצה תחת .
אקסיומת קבוצת החזקה: לכל קבוצה קיימת קבוצת החזקה שלה.
כלומר, לכל קבוצה קיימת קבוצה כך שאיברי הם בדיוק כל תת הקבוצות של .
אקסיומת היסוד: כל קבוצה שאינה ריקה מכילה איבר כך ש- ו- הן קבוצות זרות.
אקסיומת הבחירה: בהינתן קבוצה של קבוצות זרות הדדית שאינן ריקות, קיימת קבוצה אשר מכילה בדיוק איבר אחד מתוך כל אחד מאיברי .
במקור, צרמלו הוסיף שלוש אקסיומות נוספות, אשר בדיעבד התברר כי הן נובעות מתוך חמש האקסיומות הראשונות הקודמות:
אקסיומת ההפרדה: לכל קבוצה והצהרה קיימת תת-קבוצה של הקבוצה המקורית אשר מכילה בדיוק אותם האיברים בקבוצה המקורית המקיימים .
אקסיומת הזוג הלא סדור: אם ו- הן קבוצות, אז גם , היא קבוצה, אשר המכילה את ואת בלבד.
אקסיומת הקבוצה הריקה: קיימת קבוצה ללא איברים.
קבוצה זו מסומנת או .
אם מוסיפים למערכת ZFC את שלוש האקסיומות האחרונות הנ"ל של צרמלו, וממה שמתקבל מסירים את אקסיומת היסוד ואת אקסיומת ההחלפה (וכן מרשים שלא כל איבר שבקבוצה יהיה בעצמו קבוצה), אז מתקבלת המערכת המקורית ההיסטורית (Z) של צרמלו.
הניסוח למעלה הוא אחד מבין מספר ניסוחים שקולים למערכת ZFC.
לעיתים משתמשים בגרסה חזקה יותר של אקסיומת ההחלפה, ולא דורשים שההצהרה תגדיר פונקציה על כל אלא רק על חלק מהאיברים שלה (עבור היתר לא תהיה קבוצה שתקיים את ההצהרה).
מערכת האקסיומות בה אקסיומת ההחלפה מנוסחת בגרסה חזקה זו שקולה ל ZFC.
לעיתים משתמשים בגרסה חלשה יותר של אקסיומת ההחלפה, הדורשת רק שתהיה קבוצה שמכילה את התמונה של .
במקרה זה יש צורך להוסיף את אקסיומת ההפרדה כדי לקבל מערכת שקולה ל-ZFC.
אקסיומת הזוג הלא סדור נובעת מהצירוף של: אקסיומת הקבוצה הריקה, עם אקסיומת החזקה (ששימוש חוזר בה מאפשר ליצור מתוך הקבוצה הריקה את הזוג המכיל את הקבוצה הריקה ואת הקבוצה שאיברה היחיד הוא הקבוצה הריקה), עם אקסיומת ההחלפה (שמאפשרת להחליף את שני איברי הזוג הקודם בשתי קבוצות נתונות).
אקסיומת הקבוצה הריקה נובעת מהצירוף של: אקסיומת האינסוף, עם אקסיומת ההפרדה (שלמשל מאפשרת להפריד לקבוצה נפרדת את כל איברי הקבוצה האינסופית ששונים מעצמם).
תורת השדות הקוונטית היא תאוריה מדעית פיזיקלית המשלבת את תורת השדות הקלאסית, את תורת היחסות הפרטית, ואת מכניקת הקוונטים.
התורה מהווה את הבסיס התאורטי לפיזיקת החלקיקים ולתיאור מלא של פיזיקה של חומר מעובה ומערכות מרובות חלקיקים.
תורת השדות הקוונטית צמחה מתוך תורת הקוונטים החל משנות ה-20 של המאה ה-20, עקב הצורך בתיאור מערכות רבות חלקיקים ותגובות בין חלקיקים, בפרט תגובות שבהן חלקיקים נוצרים ומתפרקים, שלא ניתנות לתיאור בתורת הקוונטים.
היישום הראשון של התורה היה תיאור אינטראקציה בין פוטונים לחומר, שהוביל לתורת השדות הקוונטית הראשונה והמדויקת ביותר עד היום שהיא אלקטרודינמיקה קוונטית.
במודל הסטנדרטי של החלקיקים היסודיים, מתארים בעזרת תורת השדות את מקורם ותכונותיהם של כל כוחות היסוד בטבע מלבד כבידה, הנובעות מסימטריות מיוחדות.
התורה מתארת את הפיזיקה של תופעות בקנה מידה קטן ביותר, עד מיליארדית של מיליארדית המטר (אלפית מגודלו של גרעין האטום).
התורה מתארת את התנהגותם של החלקיקים היסודיים והמורכבים (כמו אלקטרונים, פוטונים ואבני הבניין של גרעין האטום), ומתארת את הכוח האלקטרומגנטי, הכוח הגרעיני החזק והכוח הגרעיני החלש.
שדה קוונטי מייצג סוג של חלקיקים, והוא גודל התלוי במרחב ובזמן.
חלקיק בתורת השדות הוא עירור, או מצב קוונטי של השדה, ויש לו מיקום, תנע, אנרגיה ותכונות אחרות.
להסבר על השדות (סוגי החלקיקים היסודיים) הידועים בטבע ותכונותיהם, ראו המודל הסטנדרטי.
תורת שדות קוונטיים נבנית מסימטריות כיול ומשדות קוונטיים, שקובעים את הלגרנז'יאן של התורה, שהוא התלות של האנרגיה בשדות ונגזרותיהן, וממנו נגזרים כל שאר הגדלים והפתרונות.
בנוסף, סימטריות כיול (סימטריות שתלויות במיקום במרחב) יוצרות שדות חדשים, שנקראים שדות כיול.
באמצעות תורת השדות ניתן לחשב את תוצאות הפיזור מהתנגשות שני חלקיקים במאיץ חלקיקים, שהם מקור המידע המקיף ביותר על חלקיקים יסודיים, ומתוך תוצאות אלו למצוא את מבנה החומר הבסיסי ביותר (החלקיקים היסודיים), ואת הסימטריות הבסיסיות.
תורת שדות קוונטית גם מאפשרת לחשב את תכונותיהם של חלקיקים מורכבים כמו אטומים.
קיימות שיטות חישוב רבות בתורה, שכן אין שיטה אחת שמאפשרת פתרון כללי מדויק.
השיטה הנפוצה ביותר היא תורת ההפרעות עם שימוש בדיאגרמות פיינמן.
שיטות אחרות הן תורות שדה על סריג ( לדוגמה כרומודינמיקה קוונטית על סריג) ותורות קונפורמיות מסוימות.
גדלים רבים בתורות שדה הם סכומים אינסופיים שהגדרתם המתמטית אינה תמיד בהירה, ולכן חישובים רבים זקוקים לרגולריזציה ולרנורמליזציה, שהיא דרך לסכום גדלים אלה בצורה שמעבירה גודל אינסופי לתוך גודל שאינו מדיד, כך שהגודל המדיד ("גודל פיזיקלי") הוא סופי ומוגדר היטב.
אחת ממטרות הפיזיקה היא הניסיון לפתח תאוריה של הכל, תאוריה פיזיקלית אחת שתתאר ותאחד את כל תופעות הטבע בעזרת מספר מצומצם של גדלים יסודיים.
התורה הפיזיקלית המתקדמת ביותר הקיימת כיום אשר מתקרבת צעד נוסף לחזון זה ושאוששה בניסויים היא תורת השדות הקוונטית.
תורה זו מצליחה לאחד את תורת הקוונטים עם תורת היחסות הפרטית, מצליחה לתאר את החלקיקים השונים בטבע ולאחד שלושה מתוך ארבעת הכוחות היסודיים בטבע.
בעזרת תורת כיול ניתן להראות ששדות רוב הכוחות היסודיים בטבע נובעים מתוך שדות החומר, כך ששדות החומר הם גדלים יסודיים יותר משדות כוח אלה.
בנוסף, בפיזיקה המודרנית יש חשיבות רבה לסימטריות.
כאשר יש מספר חלקים סימטריים זה לזה, הכוונה היא שאי אפשר להבדיל ביניהם.
מתוך משפט נתר מתברר שסימטריות הן מקור לחוקי שימור.