tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
פורמלית, ניתן להסתפק בתנאי השני והשלישי בלבד להגדרת הטופולוגיה.
אלו גוררים את התנאי הראשון מכיוון שהטופולוגיה סגורה לאיחוד ריק (הקבוצה הריקה) וחיתוך ריק (המרחב כולו).
כל מרחב מטרי הוא גם מרחב טופולוגי, מאחר שהקבוצות הפתוחות המושרות על ידי המטריקה במרחב המטרי מקיימות את התנאים המובאים בהגדרת טופולוגיה.
אוסף של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה במרחב יכולה להיכתב כאיחוד של קבוצות השייכות לאוסף ייקרא "בסיס".
לעיתים נוח יותר לתאר מרחב טופולוגי באמצעות בסיס שלו.
למשל, כל הכדורים הפתוחים במרחב מטרי מהווים בסיס לטופולוגיה שלו.
לא כל קבוצת קבוצות חלקיות למרחב מהווה בסיס לטופולוגיה כלשהי.
אוסף של קבוצות מ־ כך שהקבוצה של כל החיתוכים הסופיים של קבוצות מהאוסף מהווה בסיס למרחב נתון, ייקרא "תת בסיס" למרחב.
תת-בסיס הוא קבוצה מצומצמת אף מבסיס, אך כמו הבסיס יכול לספק ייצוג נוח יותר לטופולוגיה נתונה.
על אף שלא כל משפחת קבוצות מהווה בסיס לטופולוגיה, כל משפחה כזו מהווה תת-בסיס לטופולוגיה כלשהי.
ממרחבים טופולוגיים קיימים ניתן לבנות מרחבים חדשים על ידי מכפלה ומנה.
לכל מרחב ניתן להגדיר טופולוגיה .
קל לראות שקבוצה זו מקיימת את כל התכונות הנדרשות מטופולוגיה.
ניתן להבחין שלכל בן יותר מנקודה אחת, מרחב זה אינו מטריזבילי.
(למשל, כיוון שאינו מרחב האוסדורף)
טופולוגיה נוספת אשר ניתן להגדיר על כל מרחב היא הטופולוגיה הדיסקרטית - .
כלומר, טופולוגיה בה כל תת-קבוצה של היא קבוצה פתוחה.
גם במקרה זה, ניתן לראות ללא קושי רב שמדובר במרחב טופולוגי.
בשונה מהמרחב הטריוויאלי, מרחב זה לעולם מטריזבילי.
(כיוון שהוא מתקבל על ידי המטריקה הדיסקרטית - מטריקה עבורה לכל , ).
דוגמה מעט יותר מורכבת לטופולוגיה היא הטופולוגיה הקו-סופית מעל מרחב כלשהו.
בטופולוגיה זו, הקבוצות הפתוחות הן אלה שהמשלים שלהן סופי, והקבוצה הריקה.
(ההוכחה לכך שמדובר במרחב טופולוגי נעשית תוך שימוש בכללי דה מורגן).
עבור אינסופי, טופולוגיה זו עשירה מהטופולוגיה הטריוויאלית וענייה ממש מהטופולוגיה הדיסקרטית.
(טופולוגיה אחת נקראת עשירה מאחרת אם כל הקבוצות הפתוחות לפי השנייה פתוחות גם לפי הראשונה).
במרחב אינסופי, הטופולוגיה הקו-סופית אינה האוסדורף.
בטופולוגיה, מרחב מטרי שניתן לכסות במספר סופי של כדורים בכל גודל נתון נקרא מרחב חסום לחלוטין (totally bounded), או מרחב חסום כליל.
כל מרחב חסום לחלוטין הוא כמובן חסום.
ההפך נכון למשל עבור תת-קבוצות של המרחב האוקלידי , אבל באופן כללי ישנם מרחבים מטריים חסומים שאינם חסומים לחלוטין.
כזהו למשל הוא המרחב המטרי על קבוצת המספרים הממשיים עם המטריקה הדיסקרטית, אשר בה המרחק בין כל שתי נקודות שונות הוא 1. מרחב זה הוא בוודאי חסום, מפני שכל הנקודות במרחב (המספרים הממשיים) מוכלים בכדור פתוח ברדיוס אחד וחצי סביב המספר 0 (או סביב כל מספר ממשי אחר).
אבל המרחב אינו חסום כליל, וזאת מפני שאם נבחר את רדיוס הכדורים בתור חצי, אז הדרך היחידה לכסות את המרחב היא לקחת את כל הנקודות במרחב, משום שכדור ברדיוס חצי סביב הנקודה, מכיל רק את הנקודה עצמה.
בצורה פורמלית, נגדיר -רשת כקבוצה של נקודות כך שכל נקודה במרחב נמצאת במרחק קטן מ- מאחת מנקודות הקבוצה.
מרחב מטרי הוא חסום לחלוטין אם לכל קיימת במרחב -רשת סופית.
אפיון אחר: מרחב מטרי הוא חסום לחלוטין אם ורק אם לכל סדרה אין סופית של איברים במרחב יש תת-סדרה שהיא סדרת קושי.
כל מרחב מטרי חסום לחלוטין הוא מרחב מנייה שנייה.
מרחב מטרי הוא קומפקטי אם ורק אם הוא שלם וחסום לחלוטין.
מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית שהוא מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה שמשרה המכפלה הפנימית שלו, בדרך כלל מממד אינסופי.
מרחבי הילברט קרויים על שם המתמטיקאי הנודע דויד הילברט ונודעת להם חשיבות רבה במסגרת תורת האנליזה הפונקציונלית.
מרחבי הילברט מאפשרים יישום של מושגים גאומטריים בסיסיים כגון הטלה ושינוי בסיס, על מרחבים בעלי ממדים אינסופיים כדוגמת המרחבים הפונקציונליים.
הם מספקים הקשר איתו ניתן לעצב ולהכליל את המושגים של טור פורייה במונחים של פולינומים אורתוגונליים שרירותיים ושל התמרת פורייה.
כמו כן, מרחבי הילברט הם בעלי חשיבות מכרעת בניסוח מכניקת הקוונטים.
מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית (מרחב וקטורי בעל מכפלה פנימית) שהוא מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה
בפרט, מרחב הילברט חייב להיות מרחב וקטורי מעל לשדה שלם כמו שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים.
לדוגמה, הוא מרחב הילברט (ביחס לכל מכפלה פנימית), בעוד ש- איננו כזה.
המרחב כאשר הוא אחד מהמרחבים הפונקציונליים ומרחבי הילברט החשובים ביותר.
מרחב מוגדר להיות כקבוצת כל ה"פונקציות" שהן אינטגרביליות לבג בריבוע על הקבוצה .
כלומר, האינטגרל לפי לבג קיים ומתקיים (כאשר היא מידת לבג).
מרחב זה, עם פעולת חיבור פונקציות וכפל בסקלר הוא מרחב וקטורי.
יתרה מכך, הוא מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית הבאה:
כאשר * (או קו עליון) מסמנים צמוד מרוכב.
הערה לגבי איברי : לפי בניית אינטגרל לבג, עולה שאין שום דרך להבחין בין שתי פונקציות ו- הנבדלות אחת מהשנייה רק על קבוצה ממידה אפס באמצעות המכפלה הפנימית או הנורמה.
לכן, הנורמה של כל פונקציה ששונה מאפס רק על קבוצה ממידה אפס היא אפס.
מצב זה עומד בניגוד לאקסיומות הנורמה שדורשות: .
כדי לתקן מצב זה, מרחב אינו מוגדר על פונקציות אלא על מחלקות השקילות שלהן, שנקבעות לפי יחס השקילות הבא:
כלומר: כל שתי פונקציות ו- הנבדלות אחת מהשנייה רק על קבוצה ממידה אפס הן שקולות ומחלקת השקילות שלהן היא איבר במרחב זה.
ניתן להגדיר את כל הפעולות הליניאריות על המחלקות באמצעות ביצוע פעולות אלה על הנציגים של כל מחלקה.
הגדרה זו טובה והמרחב שמתקבל הוא מוגדר היטב והוא מרחב הילברט.
המרחב האוקלידי עם הנורמה האוקלידית הוא מרחב הילברט.
המרחב עם המכפלה הפנימית: הוא מרחב הילברט.
מרחב הסדרות האינסופיות: , מצויד במכפלה הפנימית , הוא מרחב הילברט.
סכום ישר של מרחבי הילברט
אם ו- הם מרחבי הילברט, ניתן ליצור מהם מרחב וקטורי חדש הקרוי הסכום הישר שלהם ומסומן .
כקבוצה, מרחב זה הוא המכפלה הקרטזית .
החיבור והכפל בסקלר מוגדרים נקודתית והמכפלה הפנימית מוגדרת באופן הבא:
כאמור, המרחב המתקבל הוא מרחב הילברט.
באופן כללי, אם היא משפחה כלשהי של מרחבי הילברט, סכומם הישר מוגדר באופן הבא:
כאן הסכום מפורש כסופרמום של על פני כל תת-הקבוצות הסופיות .
התנאי גורר בפרט ש- לכל פרט למספר בן מנייה של אינדקסים ב-.
כמו קודם, החיבור והכפל בסקלר מוגדרים נקודתית והמכפלה הפנימית מוגדרת לפי
כאשר היא המכפלה הפנימית על .
בכך מקבלים מרחב הילברט שכל אחד מהמרחבים משוכן בו כתת-מרחב סגור.
בנוסף לכך, תתי-מרחבים אלה הם אורתוגונליים זה לזה.
קיים גם מושג של "סכום ישר פנימי".
אם הוא מרחב הילברט ונתונה משפחה של תתי-מרחבים סגורים ואורתוגונליים זה לזה כך ש- היא קבוצה צפופה ב-, אז אומרים ש- הוא סכום ישר פנימי של המרחבים ובמקרה זה הוא איזומורפי באופן קנוני לסכום הישר החיצוני שלהם.
כל סכום ישר (חיצוני או פנימי) מצויד במשפחה של הטלות אורתוגונליות , כאשר היא ההטלה על המרחב ה-i-י בסכום, .
הטלות אלה הן אופרטורים חסומים, הרמיטיים ואידמפוטנטיים והן מקיימות את יחס האורתוגונליות: לכל .
אם הוא מרחב הילברט ו- הוא תת-מרחב סגור שלו, מרחב המנה הוא מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית , כאשר היא ההטלה האורתוגונלית על המשלים הניצב .
באופן זה מתקבל מרחב הילברט אשר איזומורפי איזומטרית למרחב .
הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית על היא
מרחב הסתברות בתורת ההסתברות הוא שלשה שאיבריה הם מרחב מדגם, סיגמא-אלגברה ומידת הסתברות.
לפי האקסיומטיקה שהציע אנדריי קולמוגורוב, דורשים מרכיבי השלשה לקיים את הדרישות הבאות:
מרחב המדגם : קבוצת כל התוצאות האפשריות בניסוי.
מרחב המדגם יכול להיות סופי, כמו בדוגמת הקובייה להלן, או אינסופי, כמו בדוגמה של בחירת מספר ממשי להלן.
על אף שבהטלת קובייה אוסף התצפיות האפשרי נראה ברור מאליו, יש למרחב המדגם חשיבות בעריכת ניסויים מסובכים יותר.
לרוב, חוקר ייקח את מרחב המדגם ויחלק אותו לקבוצות על מנת להסיק מסקנות כלשהן.
היא סיגמא-אלגברה של , ומהווה את אוסף תת-הקבוצות שאפשר לחשב את הסתברותן ("מאורעות").
מידת הסתברות : הפונקציה היא פונקציית מידה משדה המאורעות אל המידה , שמקיימת .
במונחים של תורת המידה, ניתן להגדיר מרחב הסתברות בפשטות כמרחב מידה שבו מידת המרחב כולו היא 1 (כלומר בסימונים שלעיל).
הטלת קובייה הגונה בעלת 6 פאות:
דוגמה למאורע: "תוצאת הקוביה היא או " (הסתברותו היא ).
הקבוצה אינה מאורע במרחב, למשל, שכן אינה תת-קבוצה של .
בחירת מספר ממשי בין ל-:
מרחב המדגם הוא קבוצת כל המספרים הממשיים בין ל-.
אלגברת המאורעות הסטנדרטית במקרה זה היא אלגברת בורל.
באנליזה מתמטית, מרחב מדיד הוא מרחב עם סיגמא-אלגברה של קבוצות הנקראות קבוצות מדידות.
באופן עקרוני על מרחב כזה אפשר להגדיר פונקציית מידה שתהפוך אותו למרחב מידה.
מרחב מדיד שבו כל הקבוצות מדידות נקרא מרחב מדיד בדיד (דיסקרטי).
אם המרחב בן-מניה, כל פונקציית מידה מוגדרת, בעקרון, לפי הערכים שלה על יחידונים (קבוצות בנות נקודה בודדת).
גישה זו אינה מתאימה למקרה הכללי - לא קיימות פונקציות מידה מוצלחות, אפילו על הישר הממשי, המוגדרות על כל תת-הקבוצות.
במתמטיקה ובמיוחד בטופולוגיה, מרחב כיסוי הוא מרחב טופולוגי C אשר "מכסה" מרחב טופולוגי אחר X באמצעות הומיאומורפיזם מקומי ועל הנקרא העתקת כיסוי.
מרחבי כיסוי נלמדים בטופולוגיה אלגברית, אך יש להם חשיבות גם בענפים נוספים במתמטיקה, כגון גאומטריה דיפרנציאלית, חבורות טופולוגיות ומשטחי רימן.
התורה של מרחבי כיסוי קשורה קשר הדוק לחבורה היסודית של מרחב.
מרחב כיסוי של מרחב טופולוגי X הוא מרחב טופולוגי C ביחד עם פונקציה רציפה על , כך שלכל נקודה קיימת סביבה פתוחה U כך ש- היא איחוד זר של קבוצות פתוחות ב-C, שכל אחת מהן הומיאומורפית ל-U באמצעות p.
במילים אחרות, ניתן לרשום כאשר לכל , הקבוצה היא קבוצה פתוחה ב-C, והפונקציה היא הומיאומורפיזם.
ההעתקה p נקראת העתקת כיסוי, והמרחב X נקרא לעיתים קרובות הבסיס של הכיסוי.
הקבוצות נקראות סביבות המכוסות באופן אחיד.
סביבות המכוסות באופן אחיד יוצרות כיסוי פתוח של X.
העותקים ההומיאומורפים ב-C של סביבה המכוסה באופן אחיד U נקראים יריעות (Sheets) מעל U.
אפשר לדמיין את C כמרחב ה"מרחף" מעל X: היריעות נמצאות מעל U, והמקורות השונים של x נמצאים בקו אנכי מעל x, אחד מעל השני.
למרחבי כיסוי מבנה חשוב ובסיסי בטופולוגיה אלגברית, הדומה במובן מסוים למבנה של התאמת גלואה.
מושג חשוב נוסף הוא מושג ההרמה, שיתואר מיד.
המשפט הבסיסי ביותר הוא משפט ההרמה:
אזי קיימת ויחידה מסילה המקיימת ו-.
זוהי הרמה של העקומה מ- ל- המתחילה ב-.
נניח ש- שתי עקומות הומוטופיות ביחס לקצוות (כלומר, ההומוטופיה קובעת את ).
אזי ניתן להרים את ההומוטופיה ל- כלומר העקומות הומוטופיות ביחס לקצוות, ובפרט מסתיימות באותה נקודה - .
המסקנה המידית של המשפט היא עבור פשוט קשר:
משפט: נניח ש- פשוט קשר, ויהיו .
אזי המיפוי המוגדרת על ידי מוגדרת היטב, ומהווה העתקה חח"ע ועל.
כלומר, יש התאמה בין נקודות על הסיב לבין החבורה היסודית של בנקודה .
עם זאת, העתקה זו איננה מהווה תמיד הומומורפיזם חבורות.
בכל זאת, במקרה שבו מוגדר על מבנה של חבורה טופולוגית, ההעתקה אכן מהווה הומומורפיזם חבורות, ולכן זהו איזומורפיזם חבורות.
בפרט, כך ניתן להוכיח שהחבורה היסודית של המעגל היא החבורה הציקלית האינסופית .
התאמת מרחבי כיסוי ותתי חבורות
כעת נסקור תכונות של החבורה היסודית של מרחבי כיסוי של מרחב נתון.
משפט: נניח ש- קשירים מסילתית מקומית ופשוטי קשר מקומית, ו- העתקת כיסוי.
אזי בהומומורפיזם החבורות המושרה ממנה, , הנתון על ידי , מהווה מונומורפיזם חבורות.
כלומר, כל החבורות היסודיות של כל מרחבי כיסוי הן תתי חבורות של החבורה היסודית של מרחב הבסיס.
משפט: לכל תת-חבורה של מתאים מרחב כיסוי יחיד עד כדי איזומורפיזם.
כלומר, לכל תת-חבורה כנ"ל קיים מרחב כיסוי עבורו
משפטים אלו נותנים התאמה מלאה בין מרחבי כיסוי של מרחב לבין תתי חבורות של החבורה היסודית שלו.
זוהי התאמת גלואה - התאמה חד-חד-ערכית שהופכת סדר.
המרחב המתאים לחבורה הטריוויאלית נקרא מרחב כיסוי אוניברסלי של .
בשקילות, ניתן להגדיר אותו כמרחב פשוט קשר המהווה מרחב כיסוי של .
לפי האמור לעיל, הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.
שם זה איננו מקרי - מרחב הכיסוי האוניברסלי מקיים תכונה אוניברסלית, בדיוק לפי הבנייה - לכל מרחב כיסוי אחר והעתקת כיסוי , יש העתקה יחידה , כך ש- .
כלומר, זהו מרחב המכסה גם את כל המרחבים האחרים.
קיומו של מרחב כיסוי אוניברסלי לא מובטח תמיד.
כאמור במשפט לעיל, אם המרחבים פשוטי קשר מקומית וקשירים מסילתית מקומית, מרחב כיסוי מתאים לכל חבורה, ובפרט קיים מרחב כיסוי אוניברסלי.
כאשר המרחבים לא פשוטי קשר מקומית, לא בהכרח קיים מרחב כיסוי אוניברסלי - למשל, למכפלה אינסופית (בת מנייה) של מעגלים אין מרחב כיסוי אוניברסלי.
עם זאת, כאשר המרחבים לא פשוטי קשר מקומית ניתן לקבל תוצאה חלשה יותר - בהינתן מרחב כיסוי אוניברסלי, אז קיים מרחב כיסוי המתאים לכל תת-חבורה אחרת.
לכן, למרחבי כיסוי אוניברסליים תפקיד מיוחד בתאוריה.
בהינתן כיסוי , והעתקה רציפה .
נרצה להבין מתי יש העתקה רציפה כך שמתקיים , כלומר מתי יש הרמה של ההעתקה להעתקה שמסתדרת עם הכיסוי.
משפט: יהיו מרחבים קשירים מסילתית, ו- קשיר מסילתית מקומית.
נניח כיסוי ו- העתקה רציפה.
אזי קיימת הרמה כך שמתקיים אם ורק אם , (כאשר הוגדר לעיל).
בפרט, כאשר פשוט קשר, נקבל ש- ולכן הרמה כזו קיימת תמיד.
ניתן להשתמש במשפט ההרמה המוכלל לעיל כדי למצוא תנאי הכרחי ומספיק לקיומם של שורש -י אנליטי ו/או לוגריתם אנליטי של פונקציה הולומורפית באנליזה מרוכבת.
קיומו של לוגריתם אנליטי לפונקציה הולומורפית שקול לכך שבדיאגרמה הבאה תהיה הרמה:
ולפי המשפט, זה שקול לכך ש-, כלומר קיומו של לוגריתם אנליטי שקול לכך ש-, וזה נכון אם ורק אם האינדקס של כל מסילה סגורה בתחום הוא אפס.
לסיכום, לפונקציה קיים לוגריתם טבעי אם ורק אם לכל עקומה סגורה ורציפה בתחום.
באופן דומה, לפונקציה קיים שורש -י אנליטי אם ורק אם לכל עקומה סגורה ורציפה בתחום (שכן כעת ).
בפועל, אין צורך לבדוק את נכונות התנאים לכל עקומה סגורה - מספיק למצוא מספר עקומות (לרוב סופי) היוצרות את החבורה, ולבדוק זאת עליהן.
אם לפונקציה יש אפסים המהווים קבוצה מבודדת, ניתן להשתמש בטענות הנ"ל כאשר כעת בוחרים את להיות סביבה שלא מכילה אפסים.
ניתן להסיק קיומו של שורש -י אנליטי על כל התחום מקיומו על הקבוצה ללא האפסים, אם ורק אם כל שורש של הפונקציה הוא מסדר המתחלק ב-.
נגדיר העתקה על ידי .
העתקה זו מהווה כיסוי של , כך שכל נקודה מכוסה על ידי אינסוף נקודות.
זהו מרחב כיסוי אוניברסלי של המעגל, ובעזרתו ניתן לחשב את החבורה היסודית - לפי האמור לעיל, יש התאמה בין הסיב של כל נקודה לחבורה היסודית .
במקרה שלנו הסיב הוא ויש עליו מבנה של חבורה טופולוגית, ולכן זהו איזומורפיזם חבורות.
עבור המישור המרוכב אשר הסירו ממנו את הראשית ועבור מספר טבעי נגדיר העתקה על ידי .
זהו כיסוי של מרחב זה, כך שכל נקודה מכוסה על ידי נקודות שונות (מכיוון שלכל מספר מרוכב השונה מ-0 יש בדיוק שורשים שונים).
אם G חבורה טופולוגית דיסקרטית הפועלת על מרחב טופולוגי X, אז ההעתקה מ-X על X/G היא העתקת כיסוי אם המייצב של כל נקודה הוא טריוויאלי, ולכל נקודה x יש סביבה שאין בה נקודות של המסלול פרט ל-x עצמה.
מהתאוריה של מרחבי כיסוי ניתן גם להסיק על חבורות - ניתן להוכיח למשל שתת-חבורה של חבורה חופשית ב- יוצרים היא חופשית (אולי מאינדקס אינסופי).
כדי לעשות זאת, ניקח את המרחב להיות זר עם עלים (כלומר, המרחב שמתקבל על ידי הלחם של מעגלים בנקודה משותפת).
החבורה היסודית שלו היא .
אם אז לפי האמור לעיל, מתאים לה מרחב כיסוי של .
אך מרחב כיסוי של גרף הוא גרף, ולכל גרף חבורה יסודית חופשית - לכן החבורה היא חופשית.
במקרה והאינדקס סופי, מתקיים .
לפי האמור לעיל על מציאת שורש/לוגריתם אנליטיים, נביט במספר דוגמאות.
לפונקציה הנתונה על ידי יש שורש אנליטי בתחום, שכן מתקיים לפי משפט השאריות:
וזה מספיק, כי בדקנו את התנאי הנ"ל על יוצר של החבורה היסודית, ולכן הוא נכון לכל איבר בחבורה היסודית.
ניתן גם להסיק שאין לה אף שורש אי זוגי, ולכן בפרט אין לה לוגריתם אנליטי בתחום.
הפונקציה הנתונה על ידי היא דוגמה לפונקציה לה קיים שורש אנליטי (והוא ), אך לא קיים לה לוגריתם דיסקרטי, שכן .
מרחב השגשוג המשותף של מזרח אסיה רבתי (קיו-ג'יטאי - 大東亞共榮圈 שין ג'יטאי - 大東亜共栄圏.
מבוטא דאי-טו-אה-קיו-אה-איקן) הוא מושג שרווח באימפריה היפנית, במיוחד בזמן מלחמת העולם השנייה, וייצג את הרצון ליצור גוש של מדינות אסיאתיות בהנהגת יפן, החופשי מהתערבות מערבית וזאת כחלק מקידוש עקרון הפאן-אסייתיות, בו היפנים דגלו.
היה זה אחד ממספר סיסמאות ורעיונות ששימשו את היפנים בהצדקה למדיניות ההתרחבות הטריטוריאלית והתוקפנות במזרח אסיה בשנות ה-30 ובזמן מלחמת העולם השנייה.
בתקופה זו רבות מן המדינות שנכבשו על ידי יפן נשלטו באופן פורמלי על ידי ממשלות בובה, אשר עשו את רצונה של יפן, ושיעבדו את צורכי האזרחים ואת כלכלת מדינותיהן לצרכיה של המדיניות היפנית, בהצדיקן את פעולותיהן אלו ברצונן במרחב אסיאתי מאוחד החופשי מהשפעה אירופית או אף מנוגד לה.
היה זה רעיון שהתפתח בחוגי הצבא היפני, ומיוחס לגנרל האצ'ירו אריטה ששימש בתקופה הרלוונטית כשר החוץ היפני, והיה מעין אידאולוג של ההתפשטות הצבאית היפנית.
"מזרח אסיה רבתי" היה המונח היפני, שנאסר לשימוש לאחר מלחמת העולם השנייה, שהתייחס למזרח אסיה, דרום-מזרח אסיה, והאזורים הסמוכים.
הרעיון של מרחב השגשוג הכלכלי המשותף הוכרז באופן רשמי על ידי שר החוץ היפני יוסוקה מצואוקה ב-1 באוגוסט 1940 במסיבת עיתונאים, אך צורות שונות של רעיון זה רווחו בחשיבה ובתעמולה היפנית מזה שנים.
מנהיגי יפן התעניינו ברעיון מזה זמן רב, ברצונם להרחיב את ההשפעה היפנית וליצור אימפריה על פי המודל המערבי, באמתלה של שחרור העמים האסיאתים מן האימפריאליזם של מדינות המערב.
התעמולה היפנית כללה מושגים כ"אסיה לאסיאתים" ודיברה על הצורך לשחרר את עמי אסיה מכוחות המדינות האימפריאליסטיות המערביות.
במקרים מסוימים התקבלו הכובשים היפנים כמשחררים, כאשר גירשו את הבריטים, צרפתים, וכוחות של מדינות אירופאיות אחרות.
אך הברוטליות של הכיבוש היפני, והגזענות בה נקטו כלפי תושבי המדינות שכבשו הובילו ליחס שלילי מן האוכלוסייה שראתה בהם לבסוף כובש זר, כשם שהיו אנשי המערב, ולרוב אף גרועים מכך.
עם כניעת האימפריה היפנית וסיום מלחמת העולם השנייה התמוטט "מרחב השגשוג המשותף".
המושג נחרת בצורה שלילית בשיח של מדינות דרום מזרח אסיה המזהים מושגים כ"מזרח אסיה רבתי" עם שנות הכיבוש היפני.
זהו אחד הקשיים העומדים בפני כינוסי "ועידת מזרח אסיה" שהחלו בשנת 2005, העוסקים בניסיונות להקים קהילה מזרח אסיאתית חזקה ומאוחדת יותר.
בטופולוגיה, מרחב היפרבולי הוא מרחב גאודזי הדומה, במובן מסוים, למודל הדיסק של הגאומטריה ההיפרבולית.
בגאומטריה של מרחבים כאלה חלה בדרך כלל הגרסה ההיפרבולית של אקסיומת המקבילים - דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים.
מרחב הוא היפרבולי אם קיים כך שכל המשולשים הגאודזיים במרחב הם "-דקים", כלומר, כל נקודה שעל אחת הצלעות של משולש גאודזי נמצאת במרחק לכל היותר משתי הצלעות האחרות.
יש הגדרות שקולות רבות, שלכולן אותו תוכן: הפנים של משולשים במרחב היפרבולי אינו יכול להתרחק מן הצלעות.
כדוגמה קיצונית, עץ הוא מרחב היפרבולי, משום שכל המשולשים בו הם 0-דקים.
כל מרחב גאודזי חסום הוא היפרבולי, ולכן התכונה נעשית מעניינת רק במרחבים שאינם חסומים.
מרחבי עם k<0 הם היפרבוליים.
מאלה, משטחי רימן בעלי עקמומיות שלילית מהווים הדוגמה החשובה ביותר למרחבים היפרבוליים.
מנגד, המרחב האוקלידי, מכל מימד, אינו היפרבולי.
עותק איזומטרי של מחצית הישר במרחב מטרי נקרא קרן.
שתי קרניים הן "אסימפטוטיות זו לזו", אם המרחק חסום.
זהו יחס שקילות על מרחב הקרניים.
המרחב של מחלקות השקילות הוא השפה של המרחב.
לדוגמה, הקרניים במישור האוקלידי הן קרניים ישרות (במובן הגאומטרי, הרגיל, של המלה), ושתי קרניים אסימפטוטיות זו לזו אם ורק אם הן מצביעות לאותו כיוון.
לכן, השפה של המישור היא אוסף הכיוונים של קרניים - "המעגל באינסוף".
אם מוסיפים למרחב היפרבולי את השפה שלו, מתקבל מרחב טופולוגי מטריזבילי וקומפקטי, שהמרחב המקורי (עם הטופולוגיה המטרית שלו) מהווה תת-מרחב פתוח וצפוף שלו.
במילים אחרות, הטופולוגיה של מרחב היפרבולי (גם אם לא המטריקה עצמה), ניתנת לשיכון טבעי במרחב מטרי קומפקטי.
כל קוואזי-איזומטריה של מרחבים היפרבוליים משרה הומיאומורפיזם של השפות; מכאן שהטופולוגיה של השפה היא שמורה קוואזי-איזומטרית של מרחבים היפרבוליים.
מרחב ירקון הוא אחד משלושת המרחבים של מחוז תל אביב של משטרת ישראל.
מרחב ירקון חולש על מרכז וצפון העיר תל אביב, הרצליה, רמת השרון, כפר שמריהו ורשפון.
מטה המרחב שוכן ברחוב ראול וולנברג 10, באזור תעשייה עבר הירקון (רמת החייל).
עד שנת 1970 חולק מחוז תל אביב של המשטרה לשלוש נפות.
הנפה הצפונית הייתה הגלגול המוקדם של מרחב ירקון.
מטה הנפה הצפונית שכן ברחוב יהודה הלוי 6, במבנה ששימש כתחנת משטרה מרכזית בימי משטרת המנדט.
באמצע שנת 1961 עבר מטה הנפה הצפונית לרחוב דיזנגוף 223, ליד מטה המחוז.
בשנות ה-70 הקיף מרחב הירקון את האזור מנחל הירקון בצפון עד דרך סלמה בדרום.
מאמצע שנות ה-70, שכן המרחב בבניין המטה הארצי של משטרת ישראל בתל אביב, ברחוב הרכבת.
מרחב ירקון ניצב בעבר במרכזה של סדרת טלוויזיה ישראלית בשם זה.
התסריט והבימוי נכתבו על ידי חיים בוזגלו והסדרה זכתה בפרס אופיר בשנת 1999.
בתחום המרחב יש שלוש תחנות:
תחנהכתובתתחום אחריותלב תל אביבתחנת רכבת סבידור מרכז בתל אביבמרחוב אילת בדרום ועד שדרות נורדאו ופנקס בצפון תל אביבתל אביב צפוןראול וולנברג 10, רמת החייל, תל אביב.משדרות נורדאו ורחוב פנקס בדרום ועד המשתלה, תל ברוך ורמת אביב בצפון תל אביבגלילותשפיים 1, הרצליההיישובים הרצליה, רמת השרון, כפר שמריהו ורשפון
בטופולוגיה מרחב כוויץ (Contractible space) הוא מרחב טופולוגי השקול הומוטופית לנקודה.
באופן אינטואיטיבי ניתן לדמיין מרחב כוויץ כמרחב אשר ניתן לכווץ לנקודה בודדת באופן רציף.
כל מרחב כוויץ הוא פשוט קשר וקשיר מסילתית.
נאמר ש- כוויץ אם קיים איבר וקיימת הומוטופיה כך ש-.
כוויץ אם ורק אם פונקציית הזהות עליו הומוטופית להעתקה קבועה.
כוויץ אם ורק אם הוא שקול הומוטופית למרחב טופולוגי עם נקודה אחת.
הוא כוויץ כאשר n סופי.
אם נוריד מהמרחב נקודה אחת, לדוגמה הראשית, הוא יפסיק להיות כוויץ.
כל תחום כוכבי (ובפרט קבוצה קמורה) הוא כוויץ.
כל ספירה מדרגה גדולה מאחת היא פשוטת קשר, אך לא ניתן לכווץ אותה לנקודה באופן רציף.
נסג של מרחב כוויץ הוא מרחב כוויץ.
כל ההעתקות מכל מרחב למרחב כוויץ הן הומוטופיות.
בפרט, מרחב כוויץ הוא n-קשיר לכל טבעי או אפס.
בפרט, הוא קשיר מסילתית (0-קשיר) ופשוט קשר (1-קשיר).
כל ההעתקות ממרחב כוויץ למרחב קשיר מסילתית הומוטופיות זו לזו.
נאמר שמרחב טופולוגי הוא כוויץ מקומית (Locally contractible) אם לכל נקודה יש בסיס מקומי של מרחבים כוויצים.
מרחביים כוויצים מקומית גם הם n-קשירים לכל n, ובפרט הם קשירים מקומית וקשירים מקומית מסילתית.
מרחב כוויץ איננו בהכרח כוויץ מקומית, וגם ההפך לא תמיד נכון.
מרחב המצב הוא מושג מתחום הבקרה.
להבדיל מבקרה קלאסית אשר ממדלת מערכות פיזיקליות על ידי התמרת לפלס או פורייה, בבקרה המודרנית מקובל למדל מערכות במישור הזמן על ידי מרחב המצב.
בשיטה זו שפותחה על ידי רודולף קלמן מציגים את המשוואות הדיפרנציאליות המייצגות את המערכת בצורה מטריציונית כאשר וקטור המצב מייצג את המשתנים (המצבים) תלויי הזמן שבמערכת.
כאשר מדובר על מערכת ליניארית ניתן להציג את המערכת בהצגה הבאה:
הוא וקטור הנגזרות לפי הזמן של משתני המצב.
הוא "וקטור הכניסות" (או "אות הבקרה").
מטריצה מלווה שערכיה העצמיים הם קוטבי המערכת.
היא "מטריצת ההזנה" (כאשר אין הזנה ישירה, היא מטריצת האפס).
על ידי שיטה זו ניתן להגיע לבקרה אופטימלית ומדויקת יותר.
שיטה זו לוקחת בחשבון את תנאי ההתחלה בניגוד לפונקציית תמסורת במישור לפלס שמזניחה אותם.
שיטה זו מאפשרת בקרה על מערכות עם מספר כניסות ומספר יציאות (MIMO) להבדיל ממערכות של כניסה אחת ויציאה אחת (SISO).
כמו כן שיטה זו מאפשרת בנייתם של משערכים ומסננים שהבולט שבהם הוא מסנן קלמן.
בטופולוגיה, מרחב המסרק (המסרק ההרמוני) הוא תת מרחב של המרחב הטופולוגי , אשר דומה למסרק.
למרחב המסרק תכונות טופולוגיות מעניינות, והוא מהווה דוגמה נגדית נוחה במקרים רבים.
משפט היינה-בורל, ומשפטים חזקים נוספים, מאפשרים לתאר את הקבוצות הקומפקטיות במרחב האוקלידי.
אפילו במקרה זה, המבנה של קבוצות קשירות מורכב יותר.
לדוגמה, כל מרחב האוסדורף קומפקטי הוא קומפקטי מקומית, ועם זאת, מרחב קשיר אינו חייב להיות קשיר מקומית, אפילו אם מדובר על תת-מרחב של המרחב האוקלידי .
נתבונן ב- עם הטופולוגיה הסטנדרטית.
הקבוצה הראשונה באיחוד היא ה"שיניים" של המסרק, ואילו הקבוצה השנייה היא ה"ידית" שלו.
הקבוצה עם הטופולוגיה המושרית היא מרחב המסרק (המסרק ההרמוני).
מרחב המסרק (המסרק ההרמוני) הוא דוגמה למרחב קשיר שאינו מרחב קשיר מקומית.
בטופולוגיה, מרחב לינדלף הוא מרחב טופולוגי שבו לכל כיסוי פתוח קיים תת-כיסוי בן-מנייה.
זוהי גרסה חלשה של תכונת הקומפקטיות, הדורשת שלכל כיסוי פתוח יהיה תת-כיסוי סופי.
המרחבים נקראים כך על שם המתמטיקאי הפיני ארנסט לאונרד לינדלף.
הלמה של לינדלף קובעת שכל מרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב לינדלף (אבל לא להפך).
מרחב מטרי הוא מרחב לינדלף אם ורק אם הוא ספרבילי, אם ורק אם הוא מקיים את אקסיומת המנייה השנייה.
לעומת זאת, קיים מרחב רגולרי לינדלף-תורשתית שאינו ספרבילי (Moore, 2006).
(מרחב הוא לינדלף-תורשתית אם כל תת-קבוצה שלו היא לינדלף בטופולוגיה המושרית).
תת-קבוצה סגורה של מרחב לינדלף היא מרחב לינדלף.
הוכחה: יהיו מרחב לינדלף ו- תת-קבוצה סגורה.
יהי כיסוי פתוח של , במובן ש-.
נבחין שאז כיסוי פתוח של (הקבוצה פתוחה כי סגורה).
מכך ש- לינדלף נובע שקיים תת-כיסוי בן מנייה , ונוכל להבחין כי הוא תת-כיסוי בן מנייה של .
תמונה רציפה של מרחב לינדלף היא לינדלף.
הוכחה: יהיו מרחבים טופולוגיים כך ש- לינדלף, ותהי פונקציה רציפה.
יהי כיסוי פתוח של .
נבחין שאז מהווה כיסוי של .
זה אף כיסוי פתוח של , שהרי כל פתוחה ו- רציפה.
מכך ש- לינדלף נסיק שקיים תת-כיסוי בן מנייה, כלומר שקיימות כך ש-.
מכיוון ש- היא על נסיק כי , ובכך מצאנו תת-כיסוי בן מנייה ל-, ולכן לינדלף.
מכפלה של שני מרחבי לינדלף אינה בהכרח לינדלף.
למשל, הישר של סורגנפריי הוא לינדלף (אף על פי שאיננו מרחב מנייה שנייה), אולם ניתן להראות שהמכפלה אינה לינדלף.
מרחב ישורון (נולד ב-1978) הוא משורר ישראלי.
ישרון נולד בקיבוץ אפיק וגדל ביישוב קורנית שבגליל.
שיריו הראשונים פורסמו בשנת 2006 בכתב העת "הו!".
הוציא לאור שישה ספרים ופרסם במקומות שונים, בהם "מעין", "גרנטה", "הליקון", "ננופואטיקה", "עכבר העיר" והארץ.
שיריו תורגמו לרוסית, צרפתית, ערבית ואנגלית.
הוא עוסק במחקרו במתחים בין לשון הקודש והחול.
עבודת הדוקטורט שלו (אוניברסיטת תל אביב) מציגה קריאה ב"מורה הנבוכים" של הרמב"ם כבסיס לפואטיקה של הלשון העברית.
בשנת 2007 יצא ספרו "ישורון על קוטב העיזבון" בהוצאת פלונית.
שלמה קראוס כתב על הספר: "בווירטואוזיות מרשימה ומקורית, בועט המשורר בשפה שבה נברא העולם.
העברית שבפיו היא לשון שאי אפשר לדבר בה, אלא רק לעשות בה מלחמה".
על הספר כתבו מנחם בן, יהודה ויזן וירון ליבוביץ'.
בשנת 2011 יצא הספר "אדם מצטלם בכתב" (הוצאת מנופים).
הספר מציג עיון במנגנונים מטפוריים בשמות-בראשית.
המסה המרכזית בספר - "הסיפור של המילה אות", מזהה את הופעת כתב הא"ב העברי כתנאי אפשרות להתגלותו של האל הבלתי נראה.
שירה סתיו כתבה על הספר: "ישורון פותח במעקב צמוד, מעין בילוש ספרותי, אחר הופעותיה של המלה 'אות' בספר בראשית ובספר שמות, על שלל משמעויותיה ועולמות המחשבה השונים הנגללים מהן.
את שלושת ספריו הבאים הוציא ישורון בהוצאה עצמית.
"מדריך לנוגעים בשם העצם" (2013) הוא יצירה המערבבת ז'אנרים שונים - מחזה, ספר שירה ומילון.
בלשון המחבר, זהו: "כלי עזר למשתמשים בעברית, היא לשון הקודש שפעם חוללה עולמות ומאז שקעה בחול".
הספר מבוסס על רשמיו של ישורון כאיש הדלפק של בית הקפה הנסיך הקטן.
יהונתן דיין כתב שהספר הוא "כלי לעולם שבו השפה נחרבה.
הישראלית המדוברת בימינו יונקת ממקורות רליגיוזים שיבשו ומעלה חרסים שבורים.
ה'מדריך' מציע אפשרויות לבנייה מחדש".
הפואמה המרכזית בספר מגוללת את סיפורו של השעיר לעזאזל כתפקיד שעובר ומתגלגל בין דמויות שונות במקרא.
הספר עובד לאלבום מוזיקלי על ידי אילן שלום ואמיר מאייר.
ב-2018 יצא הספר "הגולה תל אביב", המכנס שירים שנכתבו בשנים 2010-2017. הספר בנוי כמסע היוצא מהיומיום העכשווי ומתחקה אחר המיתוסים שמהדהדים בשם שניתן לעיר העברית הראשונה.
תל אביב - אלטנוילנד -חוזרת להיות עיר הגולים אליה מגיע הנביא יחזקאל ומתחתיה רובצת התהום המאיימת לבלוע אותה ולהשיב אותה להיות 'תל-אבובו' - עיר חורבן שלאחר המבול.
המבקר יותם ראובני התלונן שהספר אינו קומוניקטיבי.
בשנת 2021 יצא הספר "נפש הגלגל - תפילות לאחר גזר דין" בעריכת זלי גורביץ' ובהוצאת מקום לשירה.
הספר מחפש את התפילה העכשווית, מתוך תודעת החורבן של הרגע הזה - לאחר גזר הדין.
על פי רבי נחמן, במצב סופני זה כל התפילות המוכרות הן חסרות סיכוי כי מלאכי השמאל הממונים על הדין מזהים אותן ולא מאפשרים להן לגשת לאל ולכן יש להלביש את התפילה בתחפושת.
המבקר רן יגיל כתב: "ישורון אינו כותב שירה אמינה".
עידן צבעוני כתב על הספר: "עולם החומר שמתנקז כאוטוסטרדה לתודעתו המתרוצצת של ישורון, אכן מכיל עודפות בלתי נסבלת.
אלא שעודפות זו, אשר מוצאת בספר את ביטויה השטותי לכאורה, היא זו שמאפשרת את עצם הגלגול: גלגול הנפש, גלגול השפה".
אורבניה, גיליון מס' 6, 2006 - כתב עת עצמאי לשירה
באימבאיב (כינוס שיריו של המשורר רומן באימבאיב, יחד עם רונן סוניס), הוצאת מעין, 2012
במתמטיקה מרחב וקטורי טופולוגי (במקורות מסוימים קרוי גם מרחב טופולוגי ליניארי) הוא קבוצה אשר מהווה מרחב וקטורי מעל המספרים הממשיים או המרוכבים וכן מוגדרת עליה טופולוגיה עבורה פעולת החיבור וכפל בסקלר מהוות פונקציות רציפות.
כל מרחב הילברט ומרחב בנך הם מרחבים וקטוריים טופולוגיים עם הטופולוגיה המושרית מהנורמה.
למרחבים מסוג זה יש חשיבות רבה בתחום האנליזה הפונקציונלית והם מאפשרים לחקור מקרים של התכנסות ורציפות על מרחבי פונקציות ללא שימוש במטריקה או בנורמה.
בערך זה נסמן ב- מרחב וקטורי טופולוגי כלשהו.
יהיה השדה מעליו פועל כאשר (שדה הממשיים) או (שדה המרוכבים).
עבור קבוצות , ו- נסמן:
עבור מרחבים מתמטיים מסוימים ניתן להגדיר באופן סטנדרטי מטריקה המציינת מרחק בין כל שני אובייקטים באותו מרחב.
במקרים שבהם מטריקה כזאת אינה קיימת, תחום הטופולוגיה מאפשר להגדיר מונחים מופשטים כגון "קרוב" ו"רחוק" מבלי לציין מרחק ספציפי בין שני אובייקטים.
באופן זהה, פונקציית נורמה במרחב וקטורי מאפשרת לציין את ה"אורך" של וקטור מסוים במרחב, ונגזרת מכך מטריקה המוגדרת על-ידי המרחק של הפרש וקטורים.
עבור מרחבים וקטוריים שאינם בעלי נורמה, מרחב וקטורי טופולוגי מאפשר להגדיר באופן ברור מונחים כגון "התכנסות" ו"רציפות" במרחב זה ללא שימוש בנורמה.
יתרה מכך, מרחבים נורמיים הם בהכרח קמורים וחסומים מקומית, בעוד שמרחבים וקטוריים טופולוגיים כלליים אינם בהכרח קמורים או חסומים מקומית.
עובדה זו מאפשרת לחקור מרחבים וקטוריים בעלי גאומטריה שונה מהגאומטריה המושרית על ידי נורמה.
מרחב וקטורי מעל שדה ובעל טופולוגיה יקרא מרחב וקטורי טופולוגי אם ורק אם:
פונקציית החיבור היא פונקציה רציפה.
פונקציית הכפל בסקלר היא פונקציה רציפה.
הקבוצה היא קבוצה סגורה (כלומר היא קבוצה פתוחה).
הרציפות בתנאים 1 ו-2 היא רציפות בין מרחבי המכפלה ו- לבין המרחב , כאשר הטופולוגיה על היא הטופולוגיה נפרשת על ידי כדורים פתוחים.
מקורות מסוימים אינם כוללים את תנאי 3 בהגדרה זו.
ניתן להוכיח שבהינתן תנאים 1 ו-2, תנאי 3 שקול לכך שהמרחב הוא מרחב האוסדורף.
עבור כל קבוצה פתוחה :
כלומר, קבוצות פתוחות נשמרות תחת הזזה והרחבה.
תכונות אלו מתקיימות אף עבור קבוצות סגורות.
עבור קבוצה פתוחה וקבוצה כלשהי (לאו דווקא פתוחה), הקבוצה פתוחה.
עבור קבוצה סגורה וקבוצה קומפקטית , הקבוצה סגורה.
קבוצה תקרא בסיס מקומי של אם ורק אם:
כל איברי מכילים את (כלומר, לכל מתקיים )
כל סביבה פתוחה של מכילה איבר כלשהו מ- (כלומר, לכל קבוצה פתוחה כך ש- קיימת קבוצה פתוחה כך ש-)
ניתן להראות כי אם בסיס מקומי של ו-, אז הוא בסיס מקומי של .
קבוצה תקרא קבוצה מאוזנת אם ורק אם לכל ולכל כך ש- מתקיים .
קבוצה תקרא קבוצה סימטרית אם ורק אם לכל מתקיים .
כאשר הוא שדה הממשיים, קבוצה מאוזנת היא קבוצה סגורה לפעולת כיווץ (הכפלה בסקלר חיובי קטן מ-) או היפוך כיוון (הכפלה ב-).
כאשר הוא שדה המרוכבים, קבוצה מאוזנת סגורה בשני מובנים אלו וגם לסיבוב בשדה המרוכבים (הכפלה בסקלר מהצורה כאשר ממשי).
ניתן לראות כי כל קבוצה מאוזנת היא קבוצה סימטרית.
קבוצות מאוזנות או סימטריות אינן בהכרח פתוחות או סגורות.
עבור קבוצה כלשהי ניתן להגדיר:
הקבוצה היא קבוצה מאוזנת והיא הקבוצה המאוזנת המינימלית המכילה את .
באופן זהה, הקבוצה היא קבוצה סימטרית והיא הקבוצה הסימטרית המינימלית המכילה את .
לכל מרחב וקטורי טופולוגי קיים בסיס מקומי של הבנוי מקבוצות מאוזנות בלבד.
קבוצה תקרא קבוצה חסומה אם ורק אם לכל סביבה פתוחה של קיים כך ש-.
ניתן להוכיח כי כל קבוצה קומפקטית היא גם חסומה.
קבוצה תקרא קבוצה בולעת אם ורק אם לכל קיים כך שלכל עבורו מתקיים .
בגלל שפעולת הכפל בסקלר היא פעולה רציפה במרחבים וקטוריים טופולוגיים, ניתן להוכיח כי כל סביב פתוחה של הראשית היא בהכרח קבוצה בולעת.
מרחב וקטורי טופולוגי יקרא מרחב מטריזבילי (metrizable) אם ורק אם קיימת מטריקה כלשהי על המרחב כך שהטופולוגיה נפרשת על ידי קבוצת הכדורים הפתוחים לפי .
מטריקה זו תהיה אינווריאנטית תחת הזזה.
ניתן להוכיח עבור מרחב וקטורי טופולוגי כלשהו כי אם ל- קיים בסיס מקומי בן-מנייה אז המרחב מטריזבילי.
בניגוד למרחב נורמי שבו כל כדור פתוח הוא בהכרח קמור, עבור מרחב מטריזבילי עם מטריקה כלשהי שאינה נגזרת מנורמה, ייתכן והכדורים הפתוחים אינם קמורים.
מרחב וקטורי טופולוגי יקרא מרחב קמור מקומית אם ורק אם קיים ל- בסיס מקומי המורכב מקבוצות פתוחות וקמורות.
מאחר שהבסיס נשמר תחת הזזה, אם קיים בסיס כזה, ניתן ליצור בסיס דומה סביב כל וקטור במרחב.
כל מרחב וקטורי טופולוגי הנוצר נורמה הוא בהכרח קמור מקומית.
למרחבים קמורים מקומית חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית.
ראשית, ניתן להוכיח שכל מרחב מסוג זה ניתן לבנייה על-פי משפחה מפרידה של נורמות למחצה (seminorms).
כלומר, בהינתן קבוצה של נורמות למחצה כך שלכל קיים כך ש-.
מרחבים קמורים מקומית מקיימים גרסה מוכללת של משפט האן-בנך.
כמו כן, אם המרחב קמור מקומית ומטריזבילי, ניתן להוכיח כל הכדורים הפתוחים לפי המטריקה המשרה קמורים.
מרחב וקטורי טופולוגי יקרא חסום מקומית אם ורק אם קיימת ל- סביבה פתוחה כלשהי שהסגור שלה חסום.
ניתן להוכיח כי כל מרחב חסום מקומית הוא מטריזבילי.
מרחב וקטורי טופולוגי יקרא קומפקטי מקומית אם ורק אם קיימת ל- סביבה סגורה וקומפקטית.
ניתן להוכיח כי מרחב הוא קומפקטי מקומי אם ורק אם הוא מממד סופי.
מרחב וקטורי טופולוגי יקרא מרחב F אם הוא מטריזבילי ושלם, כלומר שכל סדרת קושי בו מתכנסת.
אם בנוסף המרחב קמור מקומית הוא ייקרא מרחב פרשה (אין להתבלבל עם מרחב פרשה-אוריסון).
מרחבי פרשה נחשבים לגרסה חלשה יותר של מרחבי בנך וניתן להשתמש בהם במקרים שבהם לא ניתן להגדיר נורמה על המרחב.
מרחב וקטורי טופולוגי יקרא מרחב נורמבילי (normable) אם ורק אם ניתן להגדיר נורמה על המרחב כך שהטופולוגיה נוצרת על-ידי בסיס של כדורים פתוחים לפי נורמה זו.
כל מרחב נורמי לרבות מרחבי הילברט ובנך הוא מרחב נורמבילי.
ניתן להוכיח כי מרחב וקטורי טופולוגי כללי הוא מרחב נורמבילי אם ורק אם הוא קמור מקומית וחסום מקומית.
כל מרחב נורמי, ובפרט מרחב הילבט ומרחב בנך, הוא מרחב וקטורי טופולוגי.
מרחב וקטורי עם הטופולוגיה הטריוואלית הוא מרחב וקטורי טופולוגי.
מרחב הפונקציות המדידות על הקטע עם הטופולוגיה הנגזרת מהמטריקה , הוא מרחב טופולוגי מטריזבלי שאינו קמור מקומית ועל כן איננו נורבילי.
כל מרחב Lp עם המטריקה הוא מרחב פרשה שאיננו מרחב בנך, בניגוד לשימוש הסטנדרטי בנורמה על מרחבי Lp.
ניתן להשתמש בצורה זו של המרחב במקרים בהם נדרש לבצע פעולות גזירה על תוצאת המטריקה.
כל מרחב מכפלה קרטזית על מרחבים וקטורים טופולוגיים הוא מרחב וקטורי טופולוגי עם טופולוגיית המכפלה.
מחלקות של מרחבים וקטוריים טופולוגיים
מרחב העמקים הוא אחד משלושת המרחבים במחוז צפון של משטרת ישראל.
מרחב העמקים חולש על כל אזור עמק בית שאן, עמק יזרעאל, ועד והשטחים המזרחיים העוטפים את הכרמל.
שם המרחב, "העמקים", נקבע ע"ש המרחב שבו הוא פועל — עמק בית שאן ועמק יזרעאל.
מטה המרחב שוכן בנוף הגליל.
מפקד המרחב הנוכחי נכון לינואר 2026 הוא תנ"צ אבי דניאלי.
מרחב העמקים מאגד 6 תחנות משטרה:
תחנהכתובתגזרהיישובים בתחום אחריותעפולהרח' הנשיא 7, עפולה צפון – צומת איכסאל
בדרום – צומת מגידו (גישרון)
במזרח – כלא שאטה, ובמערב – צומת התשבייקנעם עילית, עפולה, אכסאל, מועצה אזורית עמק יזרעאל, מועצה אזורית בוסתאן אל-מרג', מועצה אזורית הגלבוע, ומועצה אזורית מגידובית שאןרח' שאול המלך 1 בית שאןצפון – כביש 90 קיבוץ גשר, מזרח – גבול מדינת ירדן
דרום – מחסום נחל בזק/כניסה לבקעת הירדן, כביש 90
מרחב לכיש הוא אחד מארבעת המרחבים במחוז הדרום של משטרת ישראל.
מרחב לכיש חולש בדרום בשדרות, במזרח במורדות הר חברון, ואשדוד בצפון.
מטה המרחב שוכן ברחוב הנביאים 4 ברובע י' באשדוד.
מפקד המרחב הנוכחי הוא ניצב משנה רועי ולדמן.
התחנה המרחבית נחנכה ב-2015, ומאז משמשת גם את העיר אשדוד לאחר שתחנת המשטרה הישנה ששכנה ברובע ה' נסגרה.
מרחב לכיש מאגד 4 תחנות:
יחידת הסיור המיוחדת (יס"מ) של משטרת מרחב לכיש ייעודה מתן מענה מבצעי מהיר לאירועי פח"ע ואירועים פליליים חריגים המצריכים התערבות של כוח מבצעי לוחם והגדלת נוכחות השוטרים בכדי לשמור על שלום הציבור.
באוקטובר 2023, עם פרוץ מתקפת הפתע על יישובי עוטף עזה שוטרי יס"מ לכיש היו בין הראשונים להילחם במחבלים שחדרו לישראל בימי הלחימה הראשונים והיחידה קיבלה את האחריות לדאוג לניקוי העיר שדרות ממחבלים או כל איום ביטחוני אחר.
כחלק מהערכות ורה-ארגון של משטרת ישראל כתוצאה מהפקת לקחים ראשונית, אוחדו יס"מ לכיש ויס"מ נגב ליחידה חדשה בשם סה"ר הפועלת בתחומי כלל המחוז הדרומי.
מרחב כרמל הוא אחד משלושת המרחבים של מחוז חוף של משטרת ישראל.
המרחב חולש בדרום ביישובי רכס הכרמל, במזרח נשר, ובצפון חיפה.
מטה המרחב שוכן דרך בר יהודה 18, חיפה.
תחנת חיפה היא התחנה הגדולה במרחב, מפקדה הנוכחי הוא סגן ניצב אייל שחר.
תחנת נשר בפיקודו של סגן ניצב בן שוסטר ותחנת טירת הכרמל בפיקודו של סגן ניצב ארז לחמיש.
מפקד המרחב הנוכחי היא ניצב משנה בועז סמוכה.
המרחב הוקם באוגוסט 2022, לאחר עבודת מטה מאורגנת במחוז חוף לשם ייעול השירות לאזרח, שמירה על הביטחון האישי, ומיגור הפשיעה.
מרחב כרמל הוא אזור עירוני שבו גרים יהודים, מוסלמים, נוצרים ודרוזים.
אזור שנמצאים בו שלושה בתי חולים, נמל, מוסדות אקדמיים, מגרש כדורגל עירוני, אזור תעשייה ושמורות טבע.
מרחב כרמל מאגד 3 תחנות:
+תחנהכתובתאחריות בגזרת התחנהחיפהנתן אלבז 1 חיפהחיפהנשרדרך השלום 60, נשרנשר, דלית אל-כרמל, עספיא, אוניברסיטת חיפה, בית אורן, יגורטירת כרמללניאדו 1 (פינת הפלמ"ח 2), טירת כרמלעתלית, נווה ים, טירת כרמל, מגדים, החותרים, כפר גלים, פארק מת"ם, נאות פרס
מרחב כנרת הוא אחד משלושת המרחבים של מחוז צפון של משטרת ישראל.
מרחב כנרת חולש על אזור הכולל את רמת הגולן ואצבע הגליל, ומגיע עד מעלות-תרשיחא במערב וקיבוץ גשר וכפר תבור בדרום.
המרחב הוא הגדול ביותר במחוז הצפון.
מטה המרחב שוכן סמוך לצומת הרחובות דרך הגליל ו-ל"א, צפת.
ב-26.06.25 החליט מפכ"ל המשטרה על מינויו של תנ"צ שלומי טובול למפקד המרחב.
מרחב כנרת מאגד 5 תחנות:
כפר ורדים, מעיליא, מעונה, יאנוח-ג'ת, גיתה, מגדל תפן, לפידות, גיתה, כסרא-סמיעירדןדרך הגליל פינת מעלה גיא אוני, ראש פינהחצור הגלילית, ראש פינה, כחל, עמיעד, כורזים, אמנון, כרכום, אליפלט, כפר הנשיא, טובא-זנגרייה,
מחניים, גדות, משמר הירדן, איילת השחר, שדה אליעזר ויסוד המעלהטבריהדרך מנחם בגין, טבריהמועצה אזורית עמק הירדן, טבריה, יבנאל, ארבל, לביא, הזורעים, שרונה, כפר כמא, בית קשת,
שדה אילן, אילניה, גבעת אבני, מצפה נטופה, מע'אר, קדרים, חוקוק ועיילבון
מרחב יהודה הוא אחד משלושת המרחבים של מחוז ש"י של משטרת ישראל.
בתחומי המרחב 115 יישובים פלסטינים (כמיליון תושבים) ו-44 יישובים ישראלים (כ-150,000 תושבים).
מרחב יהודה חולש על שטח של כ-2,000 קילומטרים רבועים.
המרחב פועל לצד צה"ל, שהוא הריבון בשטח באמצעות שתי חטיבות מרחביות: חטיבת יהודה וחטיבת עציון.
מטה המרחב ממוקם בקריית ארבע.
+תחנהכתובתגבולות גזרהחברוןגבעת האבות 1, קריית ארבעבצפון – צומת העוקפים (ציר 35, תחנת עציון)
במערב – מחסום תרקומיה, מרחב לכיש (תחנת קריית גת)
בדרום – מרחב נגב, תחנת עיירות (מחסום ביתר ומחסום ערד)מעלה אדומיםאגן הסהר 1, מעלה אדומיםבצפון – מרחב שומרון (תחנת בנימין)
בדרום – מרחב נגב (תחנת ערד)עציוןרחוב אוהל שרה 5, מתחם הביטחון, ביתר עיליתבצפון – מחוז ירושלים
במערב – תחנת מטה יהודה (מחסום ביתר)
בדרום – צומת העוקפים (תחנת חברון)
במתמטיקה, מרחב טופולוגי נתרי, שנקרא כך על שם אמי נתר, הוא מרחב טופולוגי המקיים את תנאי השרשראות היורדות עבור קבוצות סגורות.
באופן שקול, מרחב טופולוגי הוא נתרי אם ורק אם כל קבוצה פתוחה בו קומפקטית בטופולוגיה המושרית.
זה גם שקול לזה שכל תת-קבוצה קומפקטית טופולוגיה המושרית.
מרחב טופולוגי נקרא נתרי אם הוא מקיים את תנאי השרשראות היורדות עבור קבוצות סגורות: כל סדרה
של תת-קבוצות סגורות מתייצבת, כלומר קיים אינקס m כך ש .
מרחב טופולוגי הוא נתרי אם ורק אם הוא קומפקטי תורשתית (כלומר כל תת-קבוצה שלו היא קומפקטית) וזה אם ורק אם כל תת-קבוצה פתוחה היא קומפקטית.
כל תת-מרחב של מרחב נתרי הוא נתרי.
התמונה של מרחב נטרי תחת כל העתקה רציפה היא נתרית.
איחוד סופי של מרחבים נתריים הוא נתרי.
כל מרחב האוסדורף נתרי הוא סופי, עם טופולוגיה דיסקרטית.
הוכחה: כל תת-קבוצה של מרחב כזה היא קומפקטית ולכן סגורה.
כל מרחב קומפקטי דיסקרטי הוא סופי.
זה נובע מהתבוננות בכיסוי על ידי תת-קבוצות בנות איבר יחיד.
לכל מרחב נתרי מספר סופי של רכיבים אי פריקים.
איחוד הרכיבים הוא המרחב כולו.
דוגמאות רבות של מרחבים נתריים באות מירועות אלגבריות בטופולוגיית זריצקי.
עבור יריעה אפינית, קבוצות סגורות בטופולוגיה זו הם קבוצות אפסים של אידיאלים, ולכן תנאי השרשראות היורדות של קבוצות סגורות שקול לתנאי השרשראות העולות של אידיאלים, שהוא שקול לנתריות של חוג הפולינומים של היריעה.
באופן כללי יותר, לכל חוג קומוטטיבי נתרי R, הסכמה Spec R היא נתרית.
ההיפיך לא מתקיים משום שקיימים חוגים קומוטטיביים לא נתריים עם אידיאל ראשוני בודד.
כל מרחב טופולוגי עם מספר סופי של נקודות הוא נתרי.
המרחב האפיני בטופולוגיית זריצקי הוא מרחב נתרי.
מרחבים לימינליים הם מקומות ריקים או נטושים שמעוררים תחושת מוזרות, בדידות ולעיתים גם תחושה סוריאליסטית.
לרוב אלו מקומות מעבר – כמו מסדרונות, חדרי המתנה או חניונים – שמתאימים לרעיון של "לימינליות" (מעבר בין שני מצבים).
מחקרים מצביעים על כך שהתחושה הלא נוחה שמרחבים אלו מעוררים נובעת מהיותם דומים למקומות מוכרים אך מחוץ להקשרם הרגיל – מה שיוצר אפקט "עמק המוזרות" (uncanny valley) בעולם האדריכלות.
מרכיב מרכזי הוא היעדר מוחלט של יצורים חיים ובפרט של אנשים – מה שמחזק את תחושת הבידוד והמוזרות.
היעדר נוכחות אנושית הוא מאפיין מרכזי של מרחבים לימינליים, במיוחד כשהם נמצאים בשלב מעבר – בין שימוש לאי-שימוש, בין עבר להווה, ובמהלך שינוי בזהות או בתפקוד של המקום.
סוג האסתטיקה הזו הפכה לוויראלית בשנת 2019, בעקבות פוסט באתר 4chan המתאר חלל לימינלי בשם "The Backrooms", ומאז נפוצה בפלטפורמות כמו Reddit, טיקטוק ו-טוויטר.
המונח "מרחב לימינלי" מתאר באופן כללי מקום או מצב של שינוי או מעבר – בין אם פיזי (כמו דלת) ובין אם פסיכולוגי (כמו גיל ההתבגרות).
דימויים של מרחבים לימינליים לרוב מתארים את תחושת ה"בין לבין", דרך מקומות מעבר כמו מדרגות, מסדרונות, כבישים או בתי מלון – כשהם ריקים לחלוטין מאנשים, באופן שמעורר תחושת ניכור או אי-נוחות.
האסתטיקה הזו עשויה לעורר רגשות של מוזרות, סוריאליזם, נוסטלגיה או עצב – והיא יוצרת תגובה רגשית דו-משמעית, שיכולה לכלול גם נוחות וגם אי-שקט.
חוקרים מאוניברסיטת קרדיף, אלכסנדר דיל ומייקל לואיס, קשרו את תחושת אי-הנוחות שמעוררים מרחבים לימינליים לתופעת עמק המוזרות.
במקור מתייחסת התופעה לדמויות דמויות-אדם שמעוררות תחושת זרות כשהן כמעט אמיתיות אך לא לגמרי.
במקרה של מרחבים לימינליים, מדובר במקומות שנראים מוכרים – אך יש בהם משהו לא נכון או שונה באופן כמעט בלתי מורגש – וזה מה שמעורר את תחושת המוזרות.
פיטר הפט (Heft) מהעיתון "Pulse" מרחיב את הניתוח, תוך התבססות על הגותו של מרק פישר.
לדבריו, תחושת המוזרות מתעוררת כאשר אדם רואה סיטואציה בהקשר שונה מהמצופה – למשל: בית ספר שמצופה להיות מלא בילדים ומורים, נראה לפתע ריק לחלוטין.
פישר הגדיר זאת כ"כשל בנוכחות" – מאפיין מרכזי של החוויה האסתטית של תחושת מוזרות.
הפופולריות של דימויים מסוג זה עלתה בחדות עם פרוץ מגפת הקורונה, במיוחד במרץ 2020 עם תחילת הסגרים.
התחושות של מעבר, ריקנות ונוסטלגיה – לצד היעדר האנשים מהמרחב הציבורי – חיזקו את המשיכה לאסתטיקה הזו, במיוחד כשנוצר געגוע לתקופה שקדמה ל"שגרה החדשה".
דימויים של מרחבים לימינליים זכו לפופולריות בשנת 2019 בעקבות פרסום של קריפיפסטה קצרה ווויראלית באתר 4chan.
הסיפור הציג תמונה הממחישה מרחב לימינלי – מסדרון עם שטיחים ושטיחונים צהובים – וכתב כי ניתן "לצאת מחוץ לגבולות המציאות" (noclipping) וליפול אל תוך ה־Backrooms, מרחב ריק של מסדרונות חסרי קצה, עם ריח של שטיח לח, צבע צהוב אחיד ורעש מתמיד של נורות פלואורסצנט.
בהמשך, ה־Backrooms הוצגו גם כמקום שבו חיים יצורים על-טבעיים.
תמונות של מרחבים לימינליים הפכו לנפוצות ברשת: בסוף 2022 היו ל־r/LiminalSpace ברדיט מעל 500,000 חברים, חשבון הטוויטר @SpaceLiminalBot זכה למעל מיליון עוקבים, וההאשטאג #liminalspaces בטיקטוק צבר מעל לשני מיליארד צפיות.
ז'אנר זה התפתח גם למדיות נוספות: סדרת סרטוני Found Footage על ה־Backrooms צברה מעל 60 מיליון צפיות בפרק הראשון, והוכרזו כמה פרויקטים של סרטים ומשחקי וידאו המשתמשים באסתטיקה זו.
סרט על ה־Backrooms בהפקת A24 נמצא בפיתוח, וסרט נוסף מבוסס על משחק הווידאו The Exit 8 של הבמאי היפני גנקי קאוואמורא צפוי לעלות.
משחק הווידאו משנת 2013 The Stanley ParableThe Stanley Parable התייחס בדיעבד לאסתטיקת מרחבים לימינליים, בעיקר דרך מוטיב ה"צהוב האחיד" (מונו-צהוב) גם מופיע ב-"The Shining" של סטנלי קובריק.
בנוסף, סדרות כמו Twin Peaks של דייוויד לינץ' וניתוק של Apple TV+ משתמשות באסתטיקה זו, כאשר יוצר ניתוק, דן אריקסון, מציין את ה-Backrooms כהשפעה חזותית.
מרחב ירקון היא סדרת טלוויזיה בבימוי של חיים בוזגלו, ששודרה בשנת 1997 בערוץ 2 וכללה 5 פרקים.
הסדרה מגוללת את סיפורה של קצינת משטרה בכירה במחלק הנוער של מרחב ירקון בתל אביב, המטפלת בתיק מורכב הנוגע לנערה שנכנסה להיריון מעבריין סמים מוכר, עמו היא מתגוררת.
הסדרה זכתה בפרס אופיר לסדרת הדרמה הטובה ביותר לשנת 1997.
בטופולוגיה, מרחב מטרי היא קבוצה שמוגדרת עליה פונקציה סימטרית ואי-שלילית המפרידה נקודות והמקיימת את אי-שוויון המשולש.
פונקציה כזו (הנקראת מטריקה) מקיימת את התכונות היסודיות של המרחק הגאוגרפי, ולכן רואים בה הכללה של מושג המרחק.
המטריקה מאפשרת להגדיר במרחב כדורים, שבזכותם יש למרחבים מטריים תכונות טופולוגיות אופטימליות.
מטריקה על קבוצה לא ריקה היא פונקציה המקיימת את התכונות הבאות לכל :
הפרדת נקודות: אם ורק אם (ולכן, מכך שהמטריקה היא אי-שלילית, נובע ש אם ורק אם , כלומר המטריקה מפרידה נקודות).
קבוצה שמוגדרת עליה מטריקה נקראת מרחב מטרי ומסומנת כזוג הסדור , כאשר כאן הקבוצה היא המרחב, ואילו הפונקציה היא המטריקה (שלפעמים מכונה "המרחק").
לעיתים, במיוחד כאשר ברור מהי המטריקה, מקצרים את הסימון ומתייחסים אל כאל המרחב המטרי.
מרחבים נורמיים הם דוגמה חשובה למרחב מטרי, שהרי הנורמה מאפשרת להגדיר מטריקה על ידי .
בפרט הישר הממשי (עם נורמת הערך המוחלט: ), המישור האוקלידי והמרחב האוקלידי הם מרחבים מטריים מהסוג הזה, כאשר המטריקה היא המרחק הגאומטרי המוכר, כלומר הנורמה האוקלידית.
דוגמה נוספת של מרחב גאודזי (יותר כללית מפני כדור) היא יריעת רימן שלמה.
על כל קבוצה אפשר להגדיר את המטריקה .
מטריקה זו ידועה בתור "המטריקה הדיסקרטית" והטופולוגיה שמשרה היא הטופולוגיה הדיסקרטית (כלומר, במרחב זה כל קבוצה היא קבוצה פתוחה).
בהינתן מרחב מטרי , נסתכל על איזשהי סדרת נקודות במרחב: .
נאמר שהסדרה מתכנסת לגבול אם קיימת נקודה בעלת התכונה ש .
במקרה כזה הנקודה תוגדר להיות הגבול של הסדרה .
נשים לב שהגבול הוא גבול על הישר הממשי (כלומר גבול של סדרת המספרים הממשיים ), שבעזרתו מגדירים גבול במרחב המטרי .
לדוגמה, נניח שהמרחב המטרי הוא אוסף הפונקציות הרציפות על הקטע , כאשר המרחק בין שתי פונקציות מוגדר להיות נורמת הסופרמום (), ונסתכל על סדרת הפונקציות .
כפי שנראה מייד, סדרה זו מתכנסת לפונקציה : אכן, חישוב פשוט מראה ש , ולכן באמת , כלומר לפי הגדרת הגבול הפונקציה שהוגדרה לעיל היא גבול של הסדרה .
באופן כללי, לא כל סדרה במרחב מטרי היא סדרה מתכנסת (דוגמה: , ), אבל ניתן להראות שאם סדרה היא סדרה מתכנסת, אז קיים לה גבול אחד ויחיד.
סדרות קושי ומרחב מטרי שלם
בהינתן מרחב מטרי וסדרת נקודות במרחב, נאמר שהסדרה היא סדרת קושי (על שם המתמטיקאי אוגוסטין לואי קושי) אם היא בעלת התכונה הבאה: לכל קיים מספר טבעי כך שלכל שני מספרים טבעיים המקיימים וגם מתקיים .
במילים אחרות, החל ממקום מסוים המרחקים בין כל שני איברים בסדרה נהיים קטנים כרצוננו ובמידה אחידה.
ניתן להראות שכל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי, אבל לא תמיד סדרת קושי היא סדרה מתכנסת.
דוגמה: , , כלומר הקטע הפתוח על הישר הממשי בין 0 ל 1 שאינו כולל את נקודת הקצה השמאלית 0 ונקודת הקצה הימנית 1, והמטריקה היא מטריקת הערך המוחלט.
במרחב הזה נבחר את הסדרה שמוגדרת באופן הבא: לכל טבעי.
הסדרה הזו נמצאת במרחב , אבל לא קיימת נקודה במרחב אליה הסדרה מתכנסת.
אכן, נניח בשלילה שהסדרה כן הייתה מתכנסת לאיזשהי נקודה .
אז בפרט , ולכן אם ניקח טבעי מספיק גדול, כלומר כזה שמקיים , אז נקבל ש , ולכל מספר טבעי שמקיים יתקיים .
לכן החל מהמקום כל איברי הסדרה יהיו מחוץ לסביבה עבור , ולכן, לפי הגדרת הגבול, הסדרה לא יכולה להתכנס ל .
הגענו לסתירה שמראה שהנחת השלילה הייתה שגויה, ולכן לא קיימת נקודה במרחב אליה הסדרה מתכנסת.
יש לציין שאם במקום היינו מסתכלים על הקטע עם מטריקת הערך המוחלט, או על כל הישר הממשי עם מטריקת הערך המוחלט, אז הסדרה הייתה מתכנסת לנקודה 0, אבל במרחב הנקודה 0 לא נמצאת.
מרחב מטרי בו כל סדרת קושי היא סדרה מתכנסת מכונה מרחב מטרי שלם.
לדוגמה, הישר הממשי עם המטריקה המוכרת (ערך מוחלט) הוא מרחב מטרי שלם, וכך גם כל מרחב אוקלידי ממימד גבוה יותר.
מרחב בנך הוא מרחב נורמי שלם.
הרבה משפטים חשובים ושימושיים תקפים במרחבים מטרים שלמים, אבל לא במרחבים מטרים כלליים.
מתוכם ניתן לציין את משפט ההעתקה הפתוחה, משפט נקודת השבת של בנך, הלמה של קנטור ומשפט הקטגוריה של בר.
במרחב מטרי, קבוצת הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת קטן מקבוע חיובי מסוים, נקראת "כדור פתוח".
קבוצה המוכלת בכדור כזה נקראת קבוצה חסומה (ואם המרחב כולו הוא קבוצה חסומה, אומרים שהמרחב חסום).
אוסף הכדורים הפתוחים מהווה בסיס לטופולוגיה, וכך אפשר לראות כל מרחב מטרי כמרחב טופולוגי.
בניגוד לסתם מרחב טופולוגי, כל מרחב מטרי מקיים את תכונת ההפרדה T4 (יתרה מזאת, כל מרחב מטרי הוא מרחב נורמלי באופן מושלם או T6).
מרחב מטרי הוא מרחב קומפקטי אם ורק אם הוא חסום כליל ושלם.
אם המרחב חסום כליל, ההשלמה שלו היא דוגמה לקומפקטיפיקציה.
מרחב טופולוגי שניתן להגדיר עליו מטריקה שתגדיר את הטופולוגיה שלו נקרא מרחב מטריזבילי.
שיירפינסקי הוכיח (ב-1920) שכל מרחב מטרי בן-מניה ללא נקודות מבודדות הומיאומורפי לרציונליים (עם הטופולוגיה הרגילה).
האוסדורף הגדיר מטריקה בין תת-הקבוצות הסגורות של מרחב מטרי קומפקטי, לפי , כאשר .
בהגדרה זו השתמש גרומוב כדי להגדיר את המרחק בין שני מרחבים מטריים A,B, כמרחק (האוסדורף) המינימלי בין כל שתי תמונות איזומטריות של המרחבים במרחב מטרי שלישי.
מרחק האוסדורף-גרומוב של שני מרחבים הוא אפס אם ורק אם הם איזומטריים.
הגדרה זו מובילה ל"טופולוגיית האוסדורף-גרומוב", שלפיה סדרת מרחבים מטריים מנוקדים מתכנסת למרחב מטרי מנוקד, אם לכל , המרחקים בין הכדורים ברדיוס במרחבים הנתונים, לבין הכדור ברדיוס במרחב המטרה, שואפים לאפס.
בדרך כלל קשה לחשב את המרחק המדויק בין שני מרחבים.
העיוות של יחס הוא הסופרמום של ההפרשים על פני כל הזוגות .
נאמר שיחס R הוא התאמה (correspondence) אם ההטלות שלו על שני הרכיבים הן על.
מרחק גרומוב-האוסדורף בין המרחבים A,B שווה למחצית האינפימום של כל העיוותים של התאמות בין A ל-B.
פונקציה המקיימת את האקסיומה (שהיא חזקה יותר מאי-שוויון המשולש) נקראת אולטרה-מטריקה.
מרחב שמוגדרת עליו אולטרה-מטריקה נקרא מרחב מטרי לא ארכימדי, או מרחב אולטרה-מטרי.
בטופולוגיה, מרחב מטרי שלם הוא מרחב בו לכל סדרת קושי של נקודות מתוכו קיים גבול באותו מרחב.
בצורה אינטואיטיבית, ניתן לומר כי מרחב שלם הוא מרחב שאין בו "חורים": אם יש סדרה של נקודות שהולכות ומתקרבות אחת לשנייה, הן יתקרבו לנקודה אחת מסוימת במרחב.
שדה המספרים הממשיים הוא מרחב מטרי שלם, אבל מרחב המספרים הרציונליים אינו שלם, שכן סדרת מספרים רציונליים המתכנסת (בממשיים) ל- היא סדרת קושי שאין לה גבול רציונלי.
תנאי הכרחי ומספיק לכך שמרחב מטרי יהיה שלם מנוסח במשפט החיתוך של קנטור.
מרחב מטרי שלם הוא קומפקטי אם ורק אם הוא חסום לחלוטין.
כל מרחב מטרי ניתן להשלמה.
בצורה אינטואיטיבית ניתן לתאר השלמה בתור "מילוי החורים" במרחב, על ידי כך שמוסיפים למרחב את כל הגבולות של כל סדרות הקושי הלא מתכנסות.
אחת מהדרכים להגדיר את המספרים הממשיים היא בדרך זו: מגדירים את המספרים הממשיים בתור ההשלמה של המספרים הרציונליים - כלומר, כל מספר ממשי הוא גבול של סדרת קושי כלשהי של מספרים רציונליים.
מבחינה פורמלית, מרחב Y הוא השלמה של מרחב X אם ורק אם X איזומטרי לקבוצה צפופה במרחב Y ו-Y הוא מרחב מטרי שלם.
ניתן להוכיח שכל שתי השלמות של X הן איזומטריות זו לזו; כלומר הן זהות בכל הנוגע לתכונות המטריות שלהן.
ישנן שתי שיטות בנייה בסיסיות למרחב המשלים.
נעזר בטענה - כל מרחב מטרי ניתן לשכן בתוך מרחב בנך.
כלומר, קיים שיכון , כאשר מרחב הפונקציות הוא מרחב שלם.
מספיק יהיה להביט בתמונה של X בתוך מרחב הפונקציות (שכן היא איזומורפית למרחב X).
כדי להשלים את , נביט בקבוצה , היא הסגור של הקבוצה.
קבוצה זו אכן סגורה, ולכן משלימה את תמונת X, ולכן משלימה (איזומורפית) את X.
השיטה השנייה היא יותר קונסטרוקטיבית, ובמידה מסוימת גם יותר "חסכונית".
נביט בקבוצה הכוללת את כל סדרות קושי במרחב X.
נגדיר עליה את הפסאודו מטריקה .
פונקציה זו מוגדת היטב ומגדירה פסאודו מטריקה על .
נגדיר יחס שקילות ~ על על ידי
ביחס שקילות זה, נביט בקבוצת מחלקות השקילות: .
ראשית, קל לשכן את המרחב X למרחב על ידי .
השלמת המרחב X תהיה שוב הסגור של התמונה.
מרחבים מטריים עם מבנה אלגברי
כאשר מדובר בשדה סדור, השלמות מתייחסת לקיום חסם עליון לכל קבוצה חסומה.
זוהי תכונה שונה מהתכנסות של סדרות קושי - ראו שדה סדור שלם לפרטים.
מרחב נורמי שלם נקרא מרחב בנך ואילו מרחב מכפלה פנימית שלם נקרא מרחב הילברט.
באלגברה ליניארית, מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי, עבורו מוגדרת פעולה בינארית בין כל שני איברים במרחב, המקיימת תכונות מסוימות ומכונה מכפלה פנימית.
מכפלה פנימית היא פונקציה, הפועלת על זוג איברים מתוך מרחב נתון, ומחזירה סקלר מעל השדה הנתון.
בעזרתה של מכפלה זו, ניתן להכליל מושגים של אורך וזווית.
האורך והזווית המוכללים אינם בהכרח בעלי משמעות גאומטרית.
העקרונות שמגדירים את פעולת המכפלה הפנימית, נלמדים ומוכללים ממושג המכפלה הסקלרית שמוגדרת מעל המרחב התלת-ממדי שאינטואיטיבי לחשיבה האנושית.
מרחב וקטורי מעל השדה , עם מכפלה פנימית ייקרא מרחב מכפלה פנימית.
עבור מרחבים מממד סופי, כאשר המרחב נקרא מרחב אוקלידי, וכאשר הוא נקרא מרחב אוניטרי.
על המרחב האוקלידי התלת־ממדי עם הגאומטריה הסטנדרטית מוגדרת המכפלה הסקלרית:
באמצעות הפונקציה הזאת מגדירים אורך של וקטורים וזווית בין וקטורים שמהווים את הבסיס לגאומטריה הסטנדרטית:
ההגדרה של המכפלה הפנימית נועדה כדי שהביטויים המתאימים עבורה יקיימו תכונות דומות לאורך וזווית הסטנדרטיים.
יהי מרחב וקטורי מעל השדה , כאשר הוא שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים .
פונקציה תיקרא מכפלה פנימית על המרחב אם היא מקיימת את התכונות הבאות:
הרמיטיות (מעל הממשיים – סימטריות):
והשוויון מתקבל אם ורק אם
תכונת החיוביות דורשת שמכפלת וקטור בעצמו תהיה ניתנת להשוואה על ידי יחס סדר.
על המרוכבים לא מוגדר יחס סדר שכזה, אלא רק על הממשיים, מכאן שעל המכפלה הזו להחזיר תמיד מספר ממשי.