tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
האזורים שכיום הם אזורי אקלים סאב -טרופי יבש, קטן שיעור ההתאדות, ובנוסף, הם ואזורים לחים נוספים -היו גשומים יותר.
אזורים בעלי אקלים צחיח כיום, היו גם כן גשומים יותר בעברם הפלייסטוקני; -עדות לכך ניתן למצוא בהימצאות רשתות ניקוז באזורים צחיחים כמו הסהרה.
שינוי זה גרם לשינוי באופי הצומח באזור -השפעה משמעותית על העיצוב הגאומורפולוגי.
הנוף שנחשף בעת נסיגת הקרח, -קיים ברובו גם היום, בעיקר מאחר שחלף זמן לא רב (במונחים של זמן גאולוגי) מאז הנסיגה (פחות מ -10000 שנה בסקנדינביה).
בין תקופות ההתקרחנות -ישנן תקופות 'אינטרגלציאליות' (בין -קרחוניות), בהן ישנן תהליכי סחיפה ששינו וטישטשו חלק מהתבליט הקרחוני, כך שבמקומות מסוימים תמצא הופעה משולב של צורות נוף, בעוד שבאחרים נמצא תבליט שנותר קרחוני לחלוטין.
לעיתים עלה הים והציף שטחים בעלי עיצוב קרחי, וצורות נוף כדרומלין, אסקר ומורינות יציצו ממנו כאיים.
להתקרחנויות הייתה השפעה איזוסטזית מרחיקת לכת, אשר עדיין נותנת את אותותיה בימינו; מעטי קרח עצומים גרמו לשקיעת אזורים נרחבים תחת עומסם הרב.
כיום, לאחר שחרור הלחץ, נתונים אזורים אלה לעליה איטית (גלציו -איזוסטסיה), כך, למשל, השטחים שסביב הים הבלטי, שבהם הפכו איים לחצאי איים עקב עליה זו, וערי נמל (לשעבר), הולכות ומתרחקות מן החוף.
שטחים נרחבים על פני כדור הארץ מכוסים שלג וקרח במשך חלק ניכר של השנה, אך מפשירים בשלהי האביב ובקיץ.
בניגוד לאזורים אחרים, קיימים בשטחים אלה הבדלים ניכרים בין שתי עונות השנה: העונה הקרה ארוכה בדרך כלל מעונת ההפשרה ויותר גדול בה משרע הטמפרטורות.
עונת הקפאון אינה רציפה ועוד פחות מכן -עונת ההפשרה.
לתהליכים אקלימיים דו -עונתיים אלה השפעה מכרעת על עיצוב פני הארץ, והם יוצרים שלל צורות מיוחדות המכונות 'פריגלציאליות' (periglacial).
כיום משתרעים השטחים הפריגלציאלים על פני כשישית מפני כדור הארץ היבשתיים.
בתקופות ההתקרחנות הפלייסטוקניות היה התחום הפריגלציאלי גדול הרבה יותר.
באזור הממוזג עדיין נשתמרו צורות מובהקות רבות של עיצוב פריגלציאלי שאינן קשורות בתהליכי הקיפאון וההפשרה הפעילים בהווה.
הקרקעות הנתונות לעיצוב פריגלציאלי לרוב אינן אוטוכתוניות; שטחים פריגלציאלים נרחבים שמשו ומשמשים גם כיום משטחי הרבדה לחומר שהובא אליהם על ידי מים ורוח מהאזורים המקורחים.
חומר זה, בעיקר לס וחולות, מאפיין חלק ניכר של הנוף הפריגלציאלי.
האזור הפריגלציאלי מעוצב כאמור בידי תהליכי קפיאה והפשרה תכופים.
המים קופאים בתוך סלע מפורר (כגון רגולית או קרקע), קופאים ברווחים הבין -גרגריים ומצמידים אותם עד לליכודם לחומר מוצק ובלתי מחלחל.
חשובה יותר העובדה שבתוך הקרקע עשויים להתפתח לעיתים גושי קרח גדולים.
גושים אלה גדלים כל עוד שוררים תנאי טמפרטורה ואספקת מים מתאימים.
כתוצאה מהתהוות קרח בקרקע, חל גידול בנפחה ופניה עשויים להתקמט קימוט זעיר.
רוב הצורות המאפיינות את האזור הפריגלציאלי הן תולדה של היווצרות קרח בקרקע.
קרחון גאולי (Gauli Glacier) הוא קרחון יבשתי באורך 6.2 קילומטר הנמצא בצידו המזרחי של רכס האלפים הברניים בקנטון ברן בשווייץ.
שטחו הכולל של הקרחון הוא 17.7 קמ"ר.
הקרחון מוקף בהרים אוויגשנייהורן מדרום ברגלישטוק ממערב והנגנדגלצ'רהורן מצפון.
מצידו המזרחי של הקרחון נמצא אגם גאולי (Gauliseeli) הנמצא בגובה של 2,146 מטר ונוצר ממי הפשרת השלגים של הקרחון, משם מתנקזים המים דרך נהר גומנבאך (Gummenbach) לאגם מטנאלפ (Mattenalpsee) ומשם דרך נהר אורבך (Urbachwasser) לנהר ארה ואגם ברינץ.
הקרחון התפרסם בשנת 1946 עקב התרסקותו של מטוס חיל האוויר האמריקאי מדגם C-53 דקוטה על הקרחון וניסיונות החילוץ שלקחו מספר ימים.
המצווה מופיעה בפרשת בהר: .
יש עדיפות שהקרקע תהיה בידי קרוב משפחה של הבעלים המקוריים ולא בידי אדם זר.
הקונה אינו יכול לסרב למכור את הקרקע לגואל הקרקע.
בהפטרה של פרשת בהר, , מצווה הקב"ה את ירמיהו לגאול את הקרקע של בן דודו חנמאל בן שלום.
ירמיהו מקיים את הציווי, אך אחר כך פונה לקב"ה בתמיהה: כלומר: ירושלים עומדת להכבש על ידי הבבלים והכשדים, אז למה אתה מצווה אותי לקנות את הקרקע של בן דודי - ואנו עומדים לצאת לגלות?!
מחמת חשיבות הקרקע בארץ ישראל, צוותה התורה על מצוות גאולת קרקע "כי ימוך אחיך ומכר מאחזתו" (ויקרא כה, כה).
התורה מלמדת, שהתנאי המקדים ל"ומכר מאחזתו", הוא "כי ימוך".
רק כאשר נעשה מצבו הכלכלי של האדם מך ודחוק, אז רשאי הוא למכור את אחוזתו שבארץ-ישראל.
גם אז מדייקת התורה "ומכר מאחזתו", מקצת אחוזתו ימכור ולא את כולה.
אם די לו במכירת חלק מאחוזתו, אין לו רשות למכור יותר.
בנוסף נכתב כי "ובא גאלו הקרוב אליו וגאל את ממכר אחיו".
הפירוש אומר כי אם כבר אירע שמכר אדם מאחוזתו, מצפה התורה שקרקע זו תיגאל מיד הקונה ותשוב לבעליה אפילו שלא בהסכמתו, דבר שלא נמצא בשאר מצוות מכירה וקניה.
היות שחלקה בארץ ישראל כמוה כחלקה בעולם הבא, התורה עושה רבות על-מנת להניא את היהודי ממכירת חלקו בעולם הבא הנמצא עלי אדמות.
אם בכל זאת גרם עוניו לככ שנאלץ למכור מאחוזתו, מקלים ככל שניתן את השבתה לרשותו.
זהו גם הטעם הכללי למצות היובל, בה הקפידה התורה שישוב כל אדם לשבת בנחלתו הוא.
התורה מבחינה בין גאולת קרקעות של "בתי חצרים" (אשר אין להם חומה סביב) לבין "עיר חומה" (בית בתוך עיר המוקפת חומה, שחז"ל פירשו שמדובר בחומה מימות יהושע בן נון).
במסכת קידושין מובאת מחלוקת תנאים בשאלה האם גאולת הקרקע היא חובה או רשות.
לדברי רבי אליעזר זו חובה, ולדברי רבי יהושע - רשות.
נפסקה הלכה כרבי יהושע, ולפיכך כתב הרמב"ם: "אם רצו קרוביו לגאול - גואלים".
המושג המקראי לא מתייחס לרכישת קרקעות של עמים ושבטים אחרים, או להשתלטות על אדמות אלו.
במהלך השנים קיבל המושג משמעות לאומית.
רכישת אדמות ארץ ישראל בטרם הציונות
יהודים רכשו אדמות בארץ ישראל לאורך הדורות.
רכישות אלו התעצמו בעיקר במחצית השנייה של המאה ה-19 והיו קשורות ליציאה מהחומות.
רכישת אדמות בארץ ישראל באמצעות קניית הקרקע על ידי יהודים וייעודה לשימושים שונים הייתה אחד מיעדיו הבולטים של המפעל הציוני ומצאה ביטוי בהקמת הקרן הקיימת לישראל.
גאוּלַת קַרְקַע הוא מושג שנמצא בשימוש התנועה הציונית לתיאור רכישת אדמות בארץ ישראל על ידי יחידים ומוסדות יהודים.
מונח מודרני זה הוא גלגולו של המונח המקראי "גאולת קרקע".
רכישת אדמות בארץ ישראל לצורכי ההתיישבות היהודית ולקראת ריבונות יהודית בארץ ישראל הייתה לאחד מיעדיו הבולטים של המפעל הציוני ומוטו ציוני שמצא ביטוי בהקמת הקרן הקיימת לישראל וחברת הכשרת היישוב.
זאת, בהמשך לרכישת אדמות ארץ ישראל בטרם הציונות.
דווקא החברה החשובה מכולן, מראשית המאה ה-20 ועד פרוץ מלחמת העולם הראשונה, בפעילותה לגאולת קרקע, יק"א, לא הייתה ציונית.
חלק ניכר מאדמות אלו סווגו כמוואת.
כבשאר המדינות תחת השלטון העות'מאני, השלטונות לא טרחו לפתח את משאבי הקרקע שעמדו לרשותם והעדיפו למכור שטחי קרקע גדולים לשכבה מצומצמת של בעלי יכולת שנהנו מתנאי רכישה נוחים והחכירו את האדמות לאריסים.
סדרת הסכמים בילטרליים בין השער הנשגב לבין מעצמות אירופאיות שנחתמו במהלך המאה ה-19, העניקו לנתיני אותן מעצמות, ויהודים בכללם, שורה של זכויות שנקראו קפיטולציות ובהן רכש קרקעות באימפריה העות'מאנית, הגנה מפני שרירות לב המערכת המשפטית העות'מאנית-מוסלמית, מפני מיסוי יתר וביטחון אישי משופר.
כחלק מהרפורמות האגרריות של הטנזימאת רכשו משפחות אמידות שטחי קרקע גדולים ברחבי האימפריה העות'מאנית כולה.
בשטחי ארץ ישראל קנתה משפחת סורסוק ב-1869–1872 כרבע מיליון דונם בעיקר בעמק יזרעאל ובעמק זבולון וכמו כן קיבל בן המשפחה, מישל סורסוק, יחד עם מוחמד עומר ביהום זיכיון על עמק החולה.
משפחת תיאן רכשה את ביצות חווארת, משפחת טואני (ת'ווייני) הלבנונית רכשה את האדמות עליהן יושבת נהריה, את תל שמס וג'דה בעמק יזרעאל ואת אדמות "אום אל עמד" שנמכרו ב-1906 לטמפלרים שהקימו שם את "ולדהיים" (אלוני אבא).
הסולטאן עבדול חמיד השני קנה לעצמו כרבע מיליון דונם, אדמות מסוג ג'יפתליק (רכושו הפרטי של הסולטאן) בעיקר בעמק הירדן ובעמק בית שאן.
החוק העות'מאני לא התיר להלכה מכירת קרקעות בשטחה של האימפריה למי שאינם מוסלמים וכן למי שאינם נתיני האימפריה.
אולם עקרונות אלו נפרצו בלחץ המעצמות האירופאיות, למשל במסגרת הקפיטולציות, וכן בעזרת שוחד שנמסר לפקידים העות'מאנים, אף בדרגים הגבוהים ביותר.
וכך הגרמנים הטמפלרים רכשו אדמות על ולמרגלות הר הכרמל במחצית השנייה של המאה ה-19, לאחר מכן ביפו וכן במקומות נוספים בהם הוקמו מושבותיהם.
שני תהליכים חשובים קרו במקביל אם כי לא במנותק זה מזה: היציאה מהחומות של היישוב הישן והתחלת העליות הציוניות.
עוד לפני היציאה מהחומות שהחלה בשנות ה-60 של המאה ה-19 נרכשו קרקעות בארץ ישראל, היציאה מהחומות הגבירה רכישות אלו וכך הוקמו שכונות ויישובים יהודים בארץ ישראל.
לצורך התיישבותם של בני עלייה הראשונה נרכשו אדמות ראשון לציון, זכרון יעקב, נס ציונה, יסוד המעלה ועוד.
ב-1894 רכש המהנדס יוסף זיידנר, נציג אגודה ציונית מן העיר יקטרינוסלב שברוסיה 88,000 דונם מאדמת החורן.
ב-1885 הציע פינסקר להקים חברת מניות, שתרכוש אדמות בארץ ישראל ותוכל למכור אותן ברווח או להחכיר אותן לחקלאים יהודים.
החברה הוקמה אולם התקשתה בגיוס כסף ולא הייתה פעילה באופן מעשי.
ב-1887 ניסה דיזנגוף להחיות את הרעיון אולם גם הוא לא הצליח.
ב-1897 הגה צבי הרמן שפירא את רעיון הקרן הקיימת לישראל שהוקמה כ-8 שנים מאוחר יותר, גם היא לא הצליחה לרכוש קרקעות בהיקף מהותי לפני תום מלחמת העולם הראשונה.
התנועה הציונית רכשה אדמות בארץ ישראל.
ב-1890 הוקמה חברת מנוחה ונחלה לשם רכישת אדמות ח'ירבת דוראן מידי משפחת רוק, עליהן הוקמה המושבה רחובות.
ב-1911 הקימו אוטו ורבורג ויחיאל צ'לנוב בגרמניה חברה עסקית בשם "גאולת הארץ" שהספיקה לרכוש אדמות במושבה מגדל.
היו רוכשים רבים אחרים ובהם יוסף נחמני, ושני אחייניו של חנקין - עשהאל ויואב צוקרמן.
ביולי 1912 הוקמה בניו יורק חברת "אחוזה א' ניו-יורק", חברה יהודית-אמריקנית להתיישבות בארץ ישראל.
בתיווכו של חנקין, האגודה רכשה אדמות הסמוכות לכפר ח'רבת עזון וב-2 באפריל 1922 עלו המתיישבים הראשונים של רעננה על הקרקע.
ב-1912 הוקמה גם חברה חדשה לקניית ומכירת קרקעות שרכשה אדמות בתל אביב יפו (סלמה, כרם התימנים, כרם רמדן, אדמות משהראוי, אדמות בדרני), בירושלים, בהר כנען ובחיפה.
אחרי מלחמת העולם הראשונה התחילה לפעול בתחום רכישת קרקעות החברה קהילת ציון אמריקאית.
ב-8 בספטמבר 1928 רכשה אגודת בני בנימין 882 דונם (או 1,400 דונם לפי גרסה אחרת) מאדמות אום ח'אלד מהשייח' צאלח חאמדן, עליהן הוקם היישוב נתניה.
בשנת 1924 הקימו בני בנימין את חברת "הנוטע" לנטיעת ועיבוד פרדסים – חברה שהייתה מעורבת גם בהעברת רכוש יהודי גרמניה לישראל ופעלה לרכישת אדמות.
ב-1928, הקים הלורד אלפרד מונד (הלורד מלצ'ט), יחד עם קבוצת משקיעים את חברת מטעי ארץ ישראל והחברה רכשה במהלך שנת 1929 2,500 דונם קרקע חקלאית באזור השרון (תל מונד העכשווית) לצורך גידול הדרים.
ב-1930 הצטרף הלורד ישראל משה זיו לחברה ורכש 800 דונם נוספים.
עד תחילת המנדט הבריטי נרכשו כחצי מיליון דונם אדמה פרטית ועד פרוץ מלחמת העצמאות נרכשו כמיליון וחצי דונם נוספים של אדמה פרטית.
חלק ניכר מהקרקעות שנרכשו והפכו לרכוש ציבורי של התנועה הציונית לא יושבו בשנים הראשונות לאחר רכישתן, ולאור החוק העות'מאני בדבר החובה ליישב קרקע, היה צורך לנהל בהן פעילות חקלאית יזומה כגון נטיעת עצים או רעיית צאן, על מנת שהאחיזה בהן לא תישמט מן הבעלים ותחזור לשלטונות.
לכן נשכרו לפעילות חקלאית יזומה בקרקעות שבבעלות ציונית, פועלים יהודים, אנשי העלייה השנייה, בהם אנשי השומר.
בהגות הציונית, במיוחד זו של תנועת העבודה, נחשבה פעילותם של הפועלים הללו חלק מהותי מ"גאולת הקרקע" הציונית.
מעמד הפלאחים בארץ ישראל היה מדולדל מבחינה כלכלית.
בעלי ההון, שנקראו אפנדים, הלוו להם כספים, ולאחר שלא עמדו בפירעון חובם, הפכו לאריסים על אדמתם.
בחלק מהעסקאות, כאשר קרקעות החליפו בעלים, נאלצו אריסים - פלחים לעזוב את האדמות אותם חכרו לטובת אוכלוסיית פאלחים זרה, לעיתים, כזו שהובאה מחוץ לארץ ישראל.
"מהתקופה ה"טרום ציונית" מועטת העדות על האופן שבו השתוו עם האריסים, כדי שיפנו את האדמות אשר עיבדו או רעו עליהן.
לעומת זאת, מצויות עדויות רבות מתחילת הפעולה המסודרת של הקרנות הציוניות והחברות לרכישת קרקעות, בהן צוינו, סילוק החשבונות עם האריסים, שישבו על אדמות שנקנו על ידי יהודים.
חלק מהאריסים עזבו מרצונם למקומות אחרים ברגע ששמעו על המכירה.
אף על פי שהחוק לא חייב זאת, פוצו חלק מהאריסים על מנת שיעזבו, הפיצוי נע בן סכומים קטנים, לבין סכומים כספיים הגבוהים ממחיר הקניה המקובל (לרוב בשווי כפול מההכנסה השנתית הממוצעת של פלאח) לאריסים שעבדו את הקרקע למשך יותר משנתיים ושמעמדם בה הוסדר בחוק.
חלקם השתמשו בכספי הפיצויים על מנת לשלם את החובות שלהם לבעלי הקרקעות ו/או לאפנדים אחרים שמהם הם לקחו הלוואות בריבית.
דו"ח הופ-סימפסון שעסק בתחום הקרקעות הביע חשש רב מכך שהגברת ההתיישבות ורכישת הקרקעות על ידי יהודים תוביל לנישול המוני של פלחים.
הטענה בדבר נישול המוני של פלחים בידי יהודים נשללה בוועדת פיל שם קבעו ראשיה שעל אף מקרים ספציפיים של נישול, חלק ניכר מהקרקעות לא היו מעובדות טרם הרכישה וכללו ביצות ודיונות של חול בטרם הפכו למטעי הדרים.
לצד זאת המליצה הוועדה להגביל עד מאוד רכישת קרקעות של יהודים באזורים ההרריים, שבהם חיה מרבית האוכלוסייה הערבית, ומנגד להמשיך לאפשר רכישת קרקעות באזור מישור החוף והעמקים ששם האוכלוסייה הייתה דלילה.
מדינת ישראל באמצעות הממשל הצבאי הישראלי בשטחים קיבלה את ניהול שטחי המדינה בשטחים המוחזקים.
בנוסף, הפקיעה המדינה שטחים לצורך הקמת יישובים ומחנות צבא, אולם שטחים אלו לא הספיקו לצורכי ההתיישבות ולכן נרכשו אדמות ישירות מידי בעליהן.
פעולות אלו בצל האיסורים בחוק הירדני והמאבק הפלסטיני במכירת קרקעות ליהודים חשפו את המוציאים אותן לגזר דין מוות הן מצד הירדנים והן מצד האוכלוסייה המקומית.
שיר בולט העוסק בגאולת הקרקע הוא השיר "דונם פה ודונם שם" מאת יהושע פרידמן, שהפזמון החוזר שלו הוא:
גַאוּלַייטֶר היה תפקיד של מפקד ומושל אזורי ברייך השלישי מטעם המפלגה הנאצית, גאולייטר היה הדרגה הבכירה ביותר במפלגה הנאצית מתחת לרייכסלייטר.
עם עליית הנאצים לשלטון בשנת 1933 הפך תפקידי הגאולייטרים לשליטי המחוזות לכל דבר ועניין, צורת השלטון הטוטליטרית והאוטוריטרית שללה בחירות מקומיות ומינויים דמוקרטיים, ועל כן היה הגאולייטר כמפקד אזורי מטעם המפלגה הנאצית לשליט כל יכול במחוז השליטה שלו.
כמו כן היו הגאולייטרים לשדרת מבנה ופיקוד ההנהגה הנאצית.
עד תחילת הסיפוחים והכיבושים הגרמנים ב-1936 כל סניפי המפלגה הנאצית מחוץ לגרמניה נכללו ב"גאו" נפרד ומיוחד לפעילות הנאצית מחוץ לגרמניה, לאחר תחילת הכיבושים הנאציים מינה השלטון גאולייטרים בשטחים שסופחו לשטחי הרייך.
כל גאו חולק ליחידות המשנה הבאות:
נפה (Kreis) - נוהל בידי קרייסלייטר
קבוצה מקומית (Ortsgruppe) - נוהלה בידי אורתסגרופנלייטר
תא (Zelle) - נוהל בידי צלנלייטר
בלוק (Block) - נוהל בידי בלוקלייטר.
בטרמינולוגיה העברית והכללית המילה 'גאולייטר' הפכה כינוי לאיש אכזרי ומרושע מילון 'ספיר מקוון' מביא כמילים נרדפות לגאולייטר גַזלָן, הורֵג, טובֵחַ, קַטלָן, רַב טַבָּחים, רוצֵחַ, רַצחָן, מרַצֵחַ.
גאולה חמילבסקי דהרי (נולדה ב־20 ביוני 1941) היא משוררת וסופרת ישראלית.
גאולה חמילבסקי דהרי נולדה בראשית שנות הארבעים בשכונת שעריים ברחובות.
למדה בבית ספר יסודי ובתיכון "תחכמוני", השייך לזרם הדתי.
בעלת תואר ראשון בלשון עברית וערבית ותואר שני בספרות ערבית מאוניברסיטת בר-אילן.
לאורך שנים עסקה בחינוך ובהוראת השפה הערבית והלשון העברית בבית הספר התיכון בחטיבה העליונה.
במהלך עבודתה כתבה שירים גם סיפורים.
כמו כן, הייתה חלק מחוגים ספרותיים שונים שהתכנסו, בין השאר, בבתי קפה.
מספר שירים שכתבה התפרסמו בכתבי עת כמו "עמדה" "חדרים" "המסדרון" "נתיב" ועוד.
לימדה כתיבה יוצרת בחוגים של גמלאים, גם נשאה הרצאות בנושאים ספרותיים, כמו למשל השוואה בין יצירותיהם של א.ב יהושוע "המאהב" לבין יצירתו של דויד גרוסמן "אישה בורחת מבשורה."
הוצאה דיגיטלית "מנדלי מוכר ספרים, "2012
גאולוגיה כלכלית היא תחום משנה של מדעי כדור הארץ העוסק במחצבים שניתן להשתמש בהם למטרות כלכליות ותעשייתיות.
מחצבים אלה כוללים מתכות יקרות ובסיסיות, מינרלים ואבן לבנייה.
זהו המחקר המדעי על מקורות של חומרי גלם מינרליים והיישום המעשי של הידע הנרכש לניצולם.
המונח מתייחס בדרך כלל למצבורי מינרלים מתכתיים ולמשאבים מינרליים.
הטכניקות הנהוגות בתחומי מדעי כדור הארץ האחרים (כגון גאוכימיה, מינרלוגיה, גיאופיזיקה, פטרולוגיה וגאולוגיה מבנית) עשויות לשמש להבנת, תיאור וניצול של מצבורי עפרות.
גאולוגיה כלכלית היא בדרך כלל תחום עיסוק של גאולוגים, אך עשויה לעניין מקצועות אחרים כמו מהנדסים, מדעני איכות הסביבה ושימור טבע, בגלל ההשפעה הרחבה שיש לתעשיות החציבה והכרייה על החברה, הכלכלה והסביבה.
מטרת חקר הגאולוגיה הכלכלית היא השגת הבנה של מקורם ומיקומם של מרבצי עפרות בתוספת המינרלים הקשורים למרבצי עפרות.
אף על פי שמתכות, מינרלים וסחורות גאולוגיות אחרות אינן מתחדשות בטווחי זמן אנושיים, גאולוגים כלכליים ממשיכים להרחיב ולהגדיר מקורות מינרליים חדשים בהצלחה.
המלאי המוגבל הוביל לחדשנות וכתוצאה מכך למציאת מקורות חליפיים.
עם זאת המלאי הקבוע של חלק הסחורות המינרליות הוא עצום (למשל, נחושת בתוך קרום כדור הארץ בהתחשב בשיעורי הצריכה הנוכחיים תספיק ליותר ממאה מיליון שנה), ושאלת ניצול מקורות אלו היא העלות הכלכלית והסביבתית.
משאבים מינרליים הם ריכוזי מינרלים היכולים לשמש לצרכים כלכליים עכשוויים ועתידיים.
עפרה מסווגת כסלע או מצבור מינרלים בעל ערך כלכלי, בריכוזים המאפשרים את כרייתו, שינועו, הפקתו ועיבודו, באופן רווחי.
לא כל מצבור עומד בקריטריונים אלה מסיבות שונות.
הקטגוריות הספציפיות של מצבור מינרלים במובן הכלכלי הן:
התרחשויות מינרליות או סיכויים ("פרוספקט") למציאת מינרלים, אך לאו דווקא בעלי ערך כלכלי
המשאבים המינרליים כוללים את האפשרויות הכלכליות והטכניות שאפשר לעשות בהם.
עתודות עפרות מינרליים אפשריים מבחינה כלכלית וטכנית להפקה
גורם מרכזי בקביעת הכדאיות הכלכלית של הפקת מתכות מעפרות הוא מידת הריכוז של המתכת בסלע.
הנוכחות של זהב בקרום כדור הארץ היא בערך 0.005 חלקים למיליון (או 5 יחידות למיליארד יחידות נפח), לעומת נחושת עם יותר מ-50 חלקים, או ברזל עם יותר מ-50 אלף חלקים ממיליון.
מכאן נובע מחירו היקר של הזהב לעומת מתכות אחרות.
כך לדוגמה אף על פי שמכרות נחושת תמנע ליד אילת יש עדיין עפרות נחושת זמינות לכרייה, הם לא בריכוז ובכמות שמאפשרת ניצול כלכלי תחרותי לעומת מכרות במקומות אחרים בעולם.
ואילו הפקת אשלג במפעלי ים המלח היא זולה יחסית וכדאית לעומת מקומות אחרים בעולם.
גאולוגיה של נפט גז ופחם
תת ענף של גאולוגיה כלכלית הוא , חקר מקור, התרחשות, תנועה, הצטברות וחקירה של דלקים פחמימנים (נפט, גז, ופחם).
המערך הספציפי של תחומי הגאולוגיה המיושמים בתחום חיפושי הנפט.
במהלך השנים התפתח תחום זה למומחיות מקיפה הדרושה לצורך החיפושים וההפקה של משאבי נפט, גז, ופחם.
במסגרת חיפושי נפט וגז נעשה שימוש בשיטות גאולוגיות וגאופיזיות שונות לביצוע סקר גאולוגים, שמטרתם איסוף מידע והכנת מפה גאולוגית או מודל לאזור הנחקר.
השיטה הנפוצה ביותר בחיפושי נפט וגז היא שיטת הרפלקציה הסייסמית המבוססת על שידורם של גלי קול לתת הקרקע, וקליטתם על ידי מערך של חיישנים.
הרפלקציה משמשת לדימות מבנים גאולוגיים בעומק של מספר קילומטרים.
המטרה היא לאתר סלע מקור ששהה בעומק הנכון מספיק זמן, תחת השפעה של חום ולחץ, כדי שנפט, גז או פחם ייווצרו.
נפט וגז צריכים גם "מלכודת", המורכבת מסלע מאגר המכוסה על ידי סלע אוטם.
גאומטרי דאש היא סדרה של משחקי וידאו מסוג פלטפורמה שפותחה על ידי המפתח השוודי רוברט "רובטופ" טופלה.
המשחק הראשון, "גאומטרי דאש" ("Geometry Dash)" שוחרר ב-13 באוגוסט 2013 ב-iOS ובאנדרואיד, וגרסת הסטים ב-22 בדצמבר 2014. ב"גאומטרי דאש", שחקנים שולטים בתנועה של דמות מרובעת (שנקראת "אייקון") ומנווטים לאורך שלבים שמבוססים על מוזיקה בזמן הימנעות ממכשולים כמו קוצים שהורסים את האייקון מיידית לאחר הפגיעה.
"גאומטרי דאש" מורכב מ־22 שלבים רשמיים.
יש במשחק מערכת ליצירת שלבים שבו שחקנים יכולים ליצור שלבים משלהם, לפרסם אותם באינטרנט ולשחק שלבים שנוצרו על ידי שחקנים אחרים.
בנוסף לשלבים הרשמיים, שלבים מסוימים שנוצרו על ידי שחקנים יכולים לקבל "המלצה" מרובטוב והשלבים המומלצים האלו יכולים להופיע בתוכן המשחק כמו היכל תהילה והשלב היומי.
כסף בתוך המשחק כמו כוכבים, מטבעות, כדורים או יהלומים יכולים ניתן להשיג ממקומות רבים כמו שלבים רשמיים, שלבים מומלצים ששחקנים אחרים יצרו ותיבות.
בנוסף למשחק המקורי, נוצרו עוד שלושה משחקי ספין-אוף נוספים בסדרה: "גאומטרי דאש מלטדוון" ("Geometry Dash Meltdown"), "גאומטרי דאש וורלד" ("Geometry Dash World") "וגאומטרי דאש סאבזירו" ("Geometry Dash Subzero").
ניתן לשחק ב"גאומטרי דאש" עם מסך מגע, מקלדת, עכבר או שלט משחק.
השחקן מזיז את האייקון שלו על ידי לחיצה או החזקה בכדי להגיע לסוף השלב.
אם השחקן מתרסק לתוך מכשול כמו קוץ, קיר או להב, השלב מתחיל מחדש.
יש גם "מצב תרגול" שבו השחקן יכול להציב מחסומים כדי לסקור או לתרגל את השלב, אבל הוא לא מסוגל לאסוף מטבעות או להשיג התקדמות במצב הרגיל.
התזמון והקצב של המוזיקה במשחק הם חלק חשוב במשחק, לרוב ביחס זה לזה.
במהלך המשחק האייקון של השחקן נמצא באחד משמונת מצבי משחק השונים, כל אחד מהם מתנהג בצורה שונה עם כל לחיצה או החזקה.
התנועה מסתבכת עוד יותר בגלל שערים (פורטלים) שמאפשרים לשחקן לשנות בין שמונה מצבי המשחק, להפוך את כוח המשיכה, לשנות את גודל האייקון שלו, לשקף את המסך, לשנות את המהירות שלו או לשגר את השחקן בין שני מקומות.
בנוסף על כך, ניתן להשתמש ב-"פדים" ו-"אורבים" בכדי לגרום לאייקון לעשות קפיצות גדולות או לשנות את כוח המשיכה של האייקון.
יש 22 שלבים רשמיים בגרסה המלאה של "גאומטרי דאש" ו-19 מהם ניתנים למשחק כבר בהתחלה, אך שלושת השלבים האחרים דורשים מספר מסוים של מטבעות שמוסתרים בכל השלבים הרשמיים.
כל שלב רשמי או שלב מומלץ מביא לשחקן פרסים כאשר מסיימים את השלב.
יש שש דרגות קושי במשחק: קל, רגיל, קשה, קשה יותר, מטורף ושד (דימון), ולכל משתמש יש מונה שמראה כמה שלבי דימון הוא השלים.
שחקנים יכולים לזכות בהישגים שמביאים לשחקן פרסים כמו צבעים או עיצובים חדשים לאייקונים שלהם.
שחקנים יכולים גם לקנות את הדברים האלה בשלוש חנויות שמשתמשות בכדורי מאנה (כסף המשחק) שיש לשחקן.
הגרסה המלאה של המשחק כוללת את היכולת לשחק בשלבים שנוצרו על ידי משתמשים אחרים ולהעלות שלבים משלך.
היוצר של השלב חייב להשלים את השלב שלו במצב רגיל עם כל המטבעות שהוא שם בשלב לפני שהוא יכול לפרסם את השלב: תהליך שידוע כוריפיקציה (אימות).
שינויים שיבוצעו לאחר הוריפיקציה יגרמו לשלב לאבד את הוריפיקציה שלו, מה שמצריך את היוצר להשלים את השלב שוב.
לשלבים מומלצים יש קושי ספציפי שנקבע על ידי רובטופ, אבל בשאר השלבים המומלצים הקושי נקבע על פי השחקנים שמשחקים בשלב.
היוצר של שלב, השחקנים של הרמה ומנחי המשחק יכולים להשפיע על ההחלטה של רובטופ להפוך שלב למומלץ.
יש 12 דירוגי קושי לשלבים שנוצרו של ידי משתמשים, חמישה מהדירוגים הם חמשת הדירוגים הראשונים מהשלבים הרשמיים.
הקושי האוטומטי שמור לשלבים "אוטומטיים" שבהם לא צריך ללחוץ או להחזיק בכלל בשביל להשלים את השלב.
בנוסף יש גם חמש וריאציות של קושי הדימון: דימון קל (איזי דימון), דימון בינוני (מדיום דימון), דימון קשה (הארד דימון), דימון מטורף (אינסיין דימון) ודימון קיצוני (אקסטרים דימון).
בשלבים מומלצים, כל קושי מביא מספר מסוים של כוכבים כשמשלימים אותו.
בגאומטרי דאש ישנם 8 מצבי משחק אפשריים - הקובייה, הכדור (Ball), ספינת האוויר (Ship), הגל (Wave), הרובוט, ספינת החלל (UFO), העכביש, והמסוק המתנדנד (Swing Copter).
במצב המשחק קובייה, כאשר השחקן לוחץ הקובייה קופצת, וכך היא נמנעת מקוצים ומקירות, וכאשר השחקן מחזיק הקובייה קופצת שוב ושוב ברצף עד שהשחקן משחרר.
במצב המשחק כדור- כאשר השחקן לוחץ כוח המשיכה של הכדור משתנה- למעלה או למטה, תלוי באיזו גרביטיציה הכדור נמצא, אך רק כאשר הכדור נמצא על פלטפורמה.
במצב המשחק ספינת האוויר- כאשר השחקן מחזיק, ספינת האוויר מרחפת למעלה, וכאשר השחקן משחרר, היא נוחתת כלפי מטה באיטיות.
במצב המשחק גל- כאשר השחקן מחזיק הגל עולה באלכסון כלפי מעלה, וכאשר השחקן משחרר, היא יורדת באלכסון כלפי מטה.
במצב המשחק רובוט, כאשר השחקן מחזיק, הרובוט מתעופף מעט למעלה, ונוחת לאחר מעט זמן במידה והשחקן המשיך להחזיק.
במידה והשחקן הפסיק להחזיק מוקדם יותר, הרובוט יינחת מוקדם יותר.
במצב המשחק ספינת החלל, כאשר השחקן לוחץ, ספינת החלל מנתרת למעלה בדומה לקוביה, אך בשונה מהקוביה, ניתן לקפוץ גם כאשר הספינה עדיין באוויר.
במצב המשחק עכביש, כאשר השחקן לוחץ העכביש משתגר במיידיות לפלטפורמה שמעליו, עם גרביטציה הפוכה.
במצב המשחק מסוק מתנדנד- כאשר השחקן לוחץ המסוק מחליף גרביטציה, אך בשונה מהכדור, המסוק יכול לשנות את הגרביטציה שלו גם בעודו באוויר, מה שייגרום למסוק להתהפך בתנועה מעגלית.
המוזיקה השונות בהן נעשה שימוש בשלבים הרשמיות נעשו על ידי האמנים פוראבר באונד (ForeverBound), DJ-וי-איי (DJVI), סטפ (Step), וואטרפליים (Waterflame), DJ-נייט (DJ-Nate), F-777 ואמ-די-קיי (MDK).
בנוסף, עוד מוזיקה במשחק (כגון המוזיקת רקע לתפריט והכספות הסודיות במשחק) נוצרו על ידי קווין מקלאוד וגם מוזיקה שרובטופ יצר בעצמו.
כשהשחקנים יוצרים שלבים משלהם יש אפשרות להשתמש בכל אחר מה-21 שירים מהשלבים הרשמיים של המשחק.
כשהמשחק עודכן לגרסה 1.9, נוסף גם את האפשרות להשתמש גם בשירים שהועלו ל-Newgrounds, אתר שבו אומנים רבים מעלים את שיריהם.
בנוסף, החל מגרסה 2.2, קיימת ספריית מוזיקה מובנית בתוך המשחק שנותנת לשחקנים גישה לשירים משלל אמנים נבחרים.
המשחק התחיל כפרויקט שיכול היה ללכת לכל כיוון, לפי רובטופ.
הוא אמר ש-"זה פשוט התחיל כמשחק עם קובייה שיכולה לקרוס ולקפוץ" וש-"באמת לא הייתה תוכנית מפורטת".
הוא פיתח אותו בעבר עבור המחשב, אבל מאוחר יותר הוא שינה את התוכנית שלו ועשה ניסיונות להפוך אותו למשחק לטלפון נייד.
רובטופ קיבל השראה מ-""המשחק הבלתי אפשרי"" ולקח לרובטופ ארבעה חודשים בכדי ליצור את המשחק והוציא אותו ל-App Store ול-Google Play.
בגרסת הבטא, המשחק נקרא "גאומטרי ג'אמפ" ("Geometry Jump") אבל מאוחר יותר זה שונה ל"גאומטרי דאש".
המשחק פותח על מנוע המשחק קוקוס-d2 (d2socoC).
כש"גאומטרי דאש" יצא היו שבעה שלבים בחינם בגרסה החינמית של המשחק בשם "גאומטרי דאש לייט", ובנוסף לכך עוד תשעה שלבים אחרים שנוספו ל"גאומטרי דאש לייט" לאורך עדכונים שיצאו למשחק.
"גאומטרי דאש" צבר פופולריות ברחבי העולם, במיוחד בקנדה, שם השיג את התואר של אפליקציית האייפון בתשלום הפופולרית ביותר ביוני 2014. אפילו ש"גאומטרי דאש לייט" זה הגרסה החינמית הכי פופולרית, יש בסך הכל ארבעה משחקי "גאומטרי דאש" חינמיים.
ב-14 באוגוסט 2021 רובטופ פרסם סרטון של תצוגה מקדימה של גרסה 2.2 שהוא העדכון הגדול הראשון מאז 2017, בערוץ היוטיוב שלו.
תאריך פרסום של גרסה 2.2 עוד לא פורסם.
ב-4 בספטמבר 2022 רובטופ פרסם את התצוגה המקדימה השנייה יותר משנה לאחר ששחרר את הראשונה.
רובטופ פרסם תצוגה מקדימה שלישית ב-15 במאי 2023, בו הוא הציג עוד אלמנטים לשלבים במצב "פלטפורמר" וספריית אפקטים קוליים בשביל השלבים שהשחקנים ייצרו.
ב-13 באוגוסט 2023 רובטופ פרסם סרטון של 27 דקות לכבוד יום ההולדת ה-10 של המשחק.
בסוף הסרטון, תאריך ההוצאה של גרסה 2.2 גולה כאוקטובר 2023, מה שהופך את זה לעדכון הראשון שיצא ביותר משש שנים.
למרות זאת, ב-22 באוקטובר 2023 רובטופ הכריז בטוייטר שתאריך ההוצאה של 2.2 ידחה לנובמבר בגלל בעיות עם באגים והשרתים של המשחק.
לאחר מכן, ב-26 בנובמבר 2023 רובטופ כתב ש-"ייתכן שהשחרור לא יהיה ניתן לביצוע בנובמבר" מכיוון שהוא רצה שהשחרור יקרה בו זמנית לכל הפלטפורמות.
המשחק קיבל ביקורות חיוביות לרוב ממבקרי משחקים.
"Softpedia" החמיא את הסגנון והאתגר שיש למשחק, ואמר "למרות שזה יכול להיות קצת מתסכל לפעמים, אתה תמיד יכול להשלים את השלבים באמצעות מצב התרגול ואז לעבור לשלבים רבים ושונים שנוצרו על ידי שחקנים אחרים".
"148 Apps" העניקו למשחק ביקורת חיובית, ואמרו ""גאומטרי דאש" מספק את כל האתגרים הצפוי ממשחק "בלתי אפשרי" ובמקביל הופך אותו לנגיש יותר לשחקנים חדשים".
"גאומטרי דאש" גם מסויג על ידי המבקר כריס מוריס באתר "Common Sense Media" כמשחק מחשב ידידותי לילדים שהורים יכולים לתת לילדים שלהם לשחק בו, הוא ציין שהמשחק הוא "דרך טובה להתמודד עם תסכול', וש-"משפחות יכולות גם לדבר על קצב ועל כיף בריקוד עם מוזיקה"'.
ב-App Store, "גאומטרי דאש" דורג במקום השני ב-""10 משחקי אייפד בתשלום הכי טובים"" של האפליקציה ובמקום השביעי ב-""10 משחקי האייפון בתשלום הכי טובים"" בשנת 2018.
"Gamezebo" שיבח את "גאומטרי דאש וורלד על" הקסם והסגנון משחק הנחמד.
למרות זאת, המבקר ציין שזה לא "המשחק אם המראים הכי מעניינים".
גרסון נובואה מ-"AndroidGuys" שיבח את הספין-אוף הזה של "גאומטרי דאש", ואמר ש""גאומטרי דאש וורלד" זה תוספת ראויה לאוסף משחקים שלך.
בזכות אלמנטים גרפיים וקוליים שמחוברים ביחד, המשחק מספק חוויה מדהימה ומשולבת שלא נראים הרבה במשחקי נייד".
גאומטרי דאש לייט - "גאומטרי דאש לייט" זוהי גרסה חינמית של "גאומטרי דאש" עם פרסומות והגבלות למשחק.
יש ל"גאומטרי דאש לייט" 16 שלבים אבל אין את האפשרות ולשחק שלבים של שחקנים אחרים או ליצור שלבים משלך.
יש ל"גאומטרי דאש לייט" גם מבחר הרבה יותר מצומצם של אפשרויות לשינויי האייקון ואין הרבה אייקונים וצבעים שיש בגרסה המלאה של "גאומטרי דאש".
גאומטרי דאש מלטדוון - ב-16 בדצמבר 2015 רובטופ הכריז על משחק ספין-אוף בשם "גאומטרי דאש מלטדוון", שיצא ב-19 בדצמבר 2015 עבור iOS ואנדרואיד.
נכון לעדכון 1.0 של המשחק, הוא כולל שלושה שלבים שכוללים את השירים של F-777. המשחק הציג אייקונים חדשים ואלמנטים חדשים בשלבים שנוספו בגרסה 2.0 של "גאומטרי דאש" המקורי.
גאומטרי דאש וורלד - ב-21 בדצמבר 2016 רובטופ הכריז על משחק ספין-אוף שני בשם "גאומטרי דאש וורלד", ואמר שהוא ייצא באותו היום.
כרגע הוא כולל שני עולמות עם חמישה שלבים בכל עולם, כולל אלמנטים חדשים בשלבים מעדכון 2.1.
גאומטרי דאש סאבזירו - ב-12 בדצמבר 2017, רובטופ הכריז על משחק ספין-אוף שלישי בשם "גאומטרי דאש סאבזירו", ששוחרר ב-21 בדצמבר 2017. המשחק מורכב משלושה שלבים.
כרגע זה המשחק "גאומטרי דאש" האחרון ששוחרר והראשון שמראה כמה אלמנטים של שלבים מעדכון 2.2 שלא פורסמו ל"גאומטרי דאש" המקורי, כמו אייקונים חדשים ושליטה במצלמת המשחק.
עמנואל פאלומבו (באיטלקית: Emanuele Palumbo; נולד ב-23 במרץ 2000), ידוע בשם הבמה גאולייר (באיטלקית: Geolier), הוא ראפר איטלקי.
בשנת 2018 הוציא את סינגל הבכורה שלו, "P Secondigliano", בהשתתפות ניקולה סיציליאנו.
באותה שנה פרסם מספר סינגלים נוספים, כמו "Mercedes", "Queen" ו-"Mexico".
בשנת 2019 חתם על חוזה הקלטות עם BFM מיוזיק.
תחת החברה הוציא את אלבום הבכורה שלו, Emanuele.
לאורך היצירה משתתפים מספר ראפרים מתעשיית המוזיקה של איטליה, דוגמת לוקה, אמיס קילה וגואה פקואנו.
מתוך האלבום יצאו שלושת הסינגלים "Como te", "Narcos" ו-"Yacht".
ב-28 באוקטובר 2022 פרסם יחד עם לאצה את השיר "Chiagne" כסינגל המוביל של אלבום האולפן השני שלו.
ב-18 בנובמבר פורסם "Money", הסינגל השני מתוך האלבום.
ב-6 בינואר 2023 יצא האלבום המלא תחת השם Il coraggio dei bambini.
ב-3 במרץ פורסם השיר "Come vuoi", כסינגל השלישי.
ב-7 באפריל יצאה הקלטה חוזרת של האלבום בשם Il coraggio dei bambini - Atto II, שכלל שש רצועות בונוס חדשות.
גאולייר היה אחד משלושים האמנים שהתחרו בפסטיבל סן רמו 2024, הקדם האיטלקי לאירוויזיון 2024, שהתקיים במאלמה שבשוודיה.
שירו לתחרות, "I p' me, tu p' te", סיים בערב הגמר במקום השני והפסיד ל-"La noia" של אנג'לינה מנגו.
גאומטריה אבסולוטית (או גאומטריה מוחלטת) היא גאומטריה המתבססת על מערכת האקסיומות של הגאומטריה האוקלידית ללא אקסיומת המקבילים או כל אחת מהחלופות שלה.
באופן מסורתי, פירוש הדבר הוא שבמסגרתה מותר שימוש רק בארבע האקסיומות הראשונות של אוקלידס.
המונח נטבע לראשונה על ידי יאנוש בויאי ב-1832. מערכת גאומטרית כזאת מכונה לעיתים גאומטריה נייטרלית, שכן היא נייטרלית ביחס לאקסיומת המקבילים.
בספר היסודות של אוקלידס, 28 הטענות הראשונות וטענה 31 נמנעות מלהשתמש באקסיומת המקבילים, ולפיכך הן תקפות בגאומטריה אבסולוטית.
ניתן להוכיח בגאומטריה אבסולוטית גם את הגרסה החלשה של משפט הזווית החיצונית במשולש (זווית חיצונית למשולש גדולה יותר מכל אחת מזוויותיו הפנימיות המרוחקות), כמו גם את משפט סאקרי-לז'נדר, אשר קובע כי סכום הזוויות במשולש הוא לכל היותר 180°.
טענה 31 מתארת את הבנייה של ישר מקביל לישר נתון דרך נקודה שאינה על הישר הנתון.
כיוון שההוכחה שלה מערבת רק את טענה 27 (משפט הזוויות הפנימיות המתחלפות), זוהי בנייה תקפת בגאומטריה אבסולוטית.
ביותר דיוק, בהינתן ישר l וכל נקודה P שאינה על l, ישנו לפחות קו אחד דרך P שמקביל ל-l.
ניתן להוכיח זאת בעזרת בנייה מוכרת: בהינתן ישר l ונקודה P שאינה על l, נוריד את האנך m מ-P ל-l, ואז נעביר אנך n ל-m דרך P.
על פי משפט הזוויות הפנימיות המתחלפות, l מקביל ל-n (משפט הזוויות הפנימיות המתחלפות קובע שאם הקווים a ו-b נחתכים על ידי קו רוחבי t כך שמתקבל צמד זוויות פנימיות מתחלפות, אז a ו-b מקבילים).
בנייה זאת, ומשפט הזוויות הפנימיות המתחלפות, אינן תלויים באקסיומת המקבילים ולפיכך הם תקפים בגאומטריה אבסולוטית.
בגאומטריה אבסולוטית, ניתן להוכיח גם ששני ישרים הניצבים לאותו ישר אינם נחתכים (מה שהופך את שני הישרים למקבילים לפי ההגדרה של הקבלה), מה שמוכיח שזוויות הבסיס העליון של מרובע סאקרי לא יכולות להיות קהות, ושלפיכך גאומטריה כדורית אינה גאומטריה אבסולוטית.
המשפטים של הגאומטריה האבסולוטית תקפים הן בגאומטריה היפרבולית, שהיא גאומטריה לא-אוקלידית, והן בגאומטריה אוקלידית.
עם זאת, היא אינה עקבית עם הגאומטריה האליפטית: בגאומטריה זאת, אין ישרים מקבילים בכלל, בעוד שזהו משפט של גאומטריה אבסולוטית שישרים מקבילים קיימים.
מישור שמקיים את אקסיומות החיתוך, הסדר והחפיפה של הילברט מכונה מישור הילברט.
מישורי הילברט הם מודלים של גאומטריה אבסולוטית.
גאומטריה אבסולוטית היא מערכת אקסיומטית לא שלמה, במובן שניתן להוסיף לה אקסיומות בלתי תלויות נוספות מבלי לפגוע בעקביות המערכת האקסיומטית.
ניתן להרחיב את הגאומטריה האבסולוטית באמצעות הוספת מגוון אקסיומות על ישרים מקבילים ולקבל מערכות אקסיומות שאינן מתיישבות הדדית אך שכל אחת בנפרד היא עקבית, ובכך לקבל את הגאומטריה האוקלידית או ההיפרבולית.
לפיכך כל משפט של גאומטריה אבסולוטית הוא משפט של גאומטריה היפרבולית וגאומטריה אוקלידית.
עם זאת, ההפך אינו נכון.
גאולוגיית מבול (מכונה גם גאולוגיה של הבריאה או גאולוגיה דילוביאלית) היא ניסיון פסאודו-מדעי לפרש וליישב מאפיינים גאולוגיים של כדור הארץ בהתאם לאמונה פונדמנטליסטית בנרטיב המבול מספר בראשית בתנ"ך.
בתחילת המאה ה-19, גאולוגים דילוביאליים שיערו שמאפיינים ספציפיים של פני השטח מספקים עדות לשיטפון עולמי שבא בעקבות תקופות גאולוגיות מוקדמות יותר; לאחר חקירה נוספת הם הסכימו שהמאפיינים הללו נבעו משיטפונות מקומיים או מקרחונים.
במאה ה-20, בריאתנים מאסכולת כדור הארץ הצעיר החיו את גאולוגיית המבול כמושג-על בהתנגדותם לאבולוציה, תוך הנחה שהעולם נברא בשישה ימים ושינויים גאולוגיים קטקליזמים במהלך המבול המקראי, ושילבו הסברים בריאתניים על רצפי שכבות הסלעים.
בשלבים המוקדמים של התפתחות מדע הגאולוגיה, פורשו מאובנים כעדות להצפות או מבול מעבר.
"התאוריות של כדור הארץ" של המאה ה-17 הציעו מנגנונים המבוססים על חוקי טבע, בטווח זמן שנקבע על ידי כרונולוגיית אשר.
ככל שהגאולוגיה המודרנית התפתחה, גאולוגים מצאו עדויות לכדור הארץ קדום ועדויות שאינן עולות בקנה אחד עם התפיסה שכדור הארץ התפתח בסדרה של אסונות, כמו מבול בראשית.
בבריטניה של תחילת המאה ה-19, ה"דילוביאליזם" ייחס צורות קרקע ומאפיינים של פני השטח (כגון שכבות חצץ וסלעים תועים) להשפעות ההרסניות של המבול העולמי כביכול, אך עד 1830 גאולוגים גילו יותר ויותר שהעדויות תומכות רק בשיטפונות מקומיים יחסית.
"גאולוגים של כתבי הקודש" כפי שהם מכונים כיום, ניסו לתת קדימות להסברים תנ"כיים מילוליים, אך הם חסרו רקע בגאולוגיה, והם נדחקו לשוליים על ידי הקהילה המדעית, כמו גם השפעה מועטה בכנסיות.
גאולוגיית המבול הבריאתנית נתמכה רק על ידי מיעוט מהתנועה האנטי-אבולוציונית של המאה ה-20, בעיקר בכנסייה האדוונטיסטית של היום השביעי, עד לפרסום ב-1961 של "מבול בראשית" מאת מוריס ויטקומב.
בסביבות 1970, התומכים אימצו את המונחים "בריאתנות מדעית" ו"מדע הבריאה".
ניתוח מדעי הפריך את עקרונות המפתח של הגאולוגיה של המבול.
גאולוגיה של המבול סותרת את הקונצנזוס המדעי בגאולוגיה, סטרטיגרפיה, גיאופיזיקה, פיזיקה, פליאונטולוגיה, ביולוגיה, אנתרופולוגיה וארכאולוגיה.
הגאולוגיה המודרנית, תת-הדיסציפלינות שלה ודיסציפלינות מדעיות אחרות משתמשות בשיטה המדעית.
לעומת זאת, גאולוגיית מבול אינה דבקה בשיטה המדעית, מה שהופך אותה לפסאודו-מדע.
גאולה זילברמן (שם לידה: גאולה כהן מורדוב; נולדה ב-16 במאי 1931, בתל אביב), היא אמנית אימפרסיוניסטית מופשטת שהיגרה לוונצואלה ב-1940. היא זכתה לתהילה לאומית בשנת 1969 כחלק מהתנועה הפיגורטיבית שהשתרשה באמריקה הלטינית, וציירה, בין היתר, נופים ציוריים של ונצואלה ודיוקנאות ידועים של סימון בוליבר.
האמנות שלה הוצגה בבניינים פדרליים וממשלתיים בוונצואלה, בכנסת ישראל, במוזיאונים גדולים ובאוספים פרטיים ברחבי העולם.
בשנים 1945–1949 למדה זילברמן בבית הספר לאמנויות ומלאכה לנשים בניהולה של יוזפינה קורוניל בקראקס, ונצואלה.
בהמשך למדה רישום, ציור ופיסול בבית הספר לאמנויות פלסטיות בקראקס אצל הפרופסורים קרלוס אוטרו, גולס סולר, מרכוס קסטיליו, רפאל מונסטריו, ג'יי.ג'יי.
אספינוזה ו-פרופסור רפאל מרטין דרבן בקראקס, ונצואלה.
היא המשיכה את לימודיה בבית הספר הלאומי לאומנויות יפות (Nacional de Bellas Artes) בקראקס ולאחר מכן נסעה לחו"ל כדי ללמוד - כמתבוננת - את התפתחות האמנות הפלסטית בפריז, ז'נבה, ברצלונה ובבצלאל אקדמיה לאמנות ועיצוב בירושלים.
עם חזרתה לוונצואלה ב-1959, היא למדה ב-בית הספר לאומנויות יפות "כריסטובל רוחאס" בהדרכתו של פרופסור דרבן, היא למדה גם "פיסול וריקון" בהדרכתו של פרופסור סרג'יו רודריגז ו"פיסול ודוגמנות" בהדרכתו של פרופסור חואן ג'אן בקראקס, ונצואלה עד 1962.
בשנת 1965, זילברמן החליטה להמשיך בלימודים אקדמיים שיאפשרו לה להיות מורה לאמנות בעצמה.
בשלב זה היא נרשמה לקורסים אינטנסיביים בנושא "פדגוגיה טיפולית" ב-אוניברסיטת Avepane בקראקס, בשנת 1968 סיימה קורס בנושא "פדגוגיה דידקטית" בחסות האוניברסיטה העברית בירושלים בקראקס וקורס נוסף בנושא "אומנויות לגיל הרך" במשרד החינוך בקראקס.
היא עסקה בהוראה במשך 25 שנה.
אחד משיאי הקריירה המקצועית של זילברמן, היה פתיחת סדנה משלה "Taller Geula", אשר כונתה גם "סדנת האומנות של גאולה".
בשנת 1971 חנכה את טאלר גאולה, לימדה רישום, ציור, פיסול, חוגי תרבות משלימים ועוד.
בין תלמידיה הנודעים ניתן למנות את האמן הקולומביאני-שוודי ליברדו גרזון מורילו, האמנית הוונצואלית מגלי ארמיני הידועה גם בשם "Magerim", אותה לימדה ב-1972, והאמנית הישראלית נירה שפיץ שהציגה את ציוריה ברחבי העיר ניו יורק, ונצואלה, ברזיל, לונדון והונג קונג, שעבודתה מעצימה אוספים פרטיים ברחבי העולם.
זילברמן, גם לימדה בבית הנוער העירוני של המועצה העירונית של .D.F בקראקס בשנת 1975.
תערוכת היחיד הראשונה שלה הייתה בגלריה שאגאל בקראקס.
יצירות האמנות של זילברמן הוצגו בשורה של מוזיאונים, מבני ממשלה ואוספים פרטיים.
בשנת 1971, היא הייתה חלק מקבוצה נבחרת של אמנים מקומיים ובינלאומיים, והציגה את עבודתה במוזיאון בלה לאמנות בקראקס יחד עם ישו סוטו, פרנסיסקו נרוואז, אוגוסט רודן ופבלו פיקאסו.
בין 7 באוקטובר ל-17 באוקטובר של אותה שנה, זילברמן הציגה 56 ציורים בגלריה לאומנות Sans Souci, בקראקס.
אחרי תערוכה זו, כמה מהעיתונאים המובילים בוונצואלה, כמו אורלנדו מטראן אלפונסו, תיארו אותה כ"גאולה, צבע ורגש", כשהם מתפעלים מ"נופיה המגיעים עם רגשות עמוקים וצבעים של אדמה טרופית".
פאדיס אמרה שזילברמן היא "דוברת גדולה של ארצנו, הציורים של אומנית כה ידועה שהצליחה לרתק בעזרת המרית שלה, את אלף ואחד השבילים של ארץ החסד הזו".
ה"דיילי ג'ורנל" כתב כי "הפולקלור והנוף של ונצואלה [מרכיבים] את הנושא של רוב הציורים של זילברמן, המבוצעים בסגנון מאוד מסוים".
זילברמן הציגה תערוכות רבות בוונצואלה:
בקראקס – הספרייה הלאומית, בית הכנסים של האיגוד הישראלי, ארמון התעשיות – סוואנה גרנדה, גלריה סנדו, מלון הילטון, גלריה שאגאל, ווינסטון גאלרי, ניו יורק, ארצות הברית.
סלון ציור חואן לאברה, מוזיאון הציור של אמיליו בוג'יו, המוזיאון הקריאולי של ראול סנטנה, סלון תרזה קרניו, הארמון העירוני, בית הספר להכשרת קצינים של הכוחות המזוינים לשיתוף פעולה (EFOFAC), מועדון פוארטו אזול, קאנטרי קלאב ג'ונקו, מרכז התרבות של האיחוד הישראלי "שלום עליכם", משרד החינוך, מועדון המשמר הלאומי.
במרידה – מרכז ההנדסה הממלכתי, מכללת אדריכלים.
במייקטיה – בית הספר הימי "מאמו".
הביקורת המקומית החיובית הזניקה אותה להכרה בינלאומית בין 1971 ל-1989, והיא וזכתה להכרה בינלאומית על ציוריה וציורי הקיר שלה עם תערוכות במדינות כמו ישראל, ארצות הברית, קנדה, בלגיה, ברזיל, צרפת, רומניה והונדורס.
בשנת 1997 הוזמנה על ידי הוועדה הבין-מוסדית לחגיגת ה-100 לקונגרס הציוני הראשון להציג את עבודתה בכנסת בירושלים, בתור נציגת האמנות החזותית של הקהילה היהודית בוונצואלה.
זילברמן יצגה את ונצואלה ביריד "סול דל קאריבה" הראשון שהתקיים במלון אינטרקונטיננטל בקוראסאו בין 19 בנובמבר ל-5 בדצמבר 1971.
עד שנת 1972 הוצגו כמה מציוריה של זילברמן בבניין פלאזה של מטה האומות המאוחדות ובגלריה וינסטון בניו יורק.
אומנותה הוצגה מחוץ גם בבית התרבות ביפו, בישראל, תערוכת הבורסה הבין-תרבותית בבוקרשט, רומניה, בניין Conahotu, ניו יורק, ארצות הברית.
שנים מאוחר יותר, עברה לצייר נושאי יודאיקה תוך כדי התעוררות ציונית חזקה וסנטימנט ישראלי לאומי.
בין היתר, היא יצרה חלונות ויטראז' לכנסיות ובתי כנסת.
יצירות המופת האחרונות של זילברמן הן סדרה של ציורי קיר מופשטים בגודל 4 אינץ' על 6 אינץ' שהושלמו בשנים 1995–1998.
קערת הפירות של אולאום, 1971
הקרב על הנפט הגאלי, 1971
זילברמן נישאה לגרשון זילברמן, אזרח פולני שהתגייס לצבא הבריטי במהלך מלחמת העולם השנייה, ב-24 בספטמבר 1950, ברחובות.
לאחר שנתיים בארץ הם חזרו לקראקס שם התבססו והקימו משפחה עם שלושה ילדים: יעלי, יגאל ואילנה.
ציטוט מפורסם של זילברמן היה כשנשאלה על ידי העיתונאי גוטמר נלבר "מהו הציור הטוב ביותר שלך?" והיא השיבה "שלושת ילדי..."
החל משנת 2007 היא מתגוררת בבוקה רטון, פלורידה, ארצות הברית ועוסקת ביצירה והוראת אמנות מהסטודיו שלה.
במתמטיקה, גאומטריה לא-אוקלידית היא כל מערכת גאומטרית עקבית ששונה מהגאומטריה האוקלידית באקסיומה אחת או יותר.
שתי המערכות הלא-אוקלידיות הידועות ביותר הן הגאומטריה הספרית והגאומטריה ההיפרבולית, ולעיתים המונח גאומטריה לא-אוקלידית מתייחס בעיקר לגאומטריות אלה.
גאומטריות אלה מתקבלות על ידי החלפת האקסיומה החמישית של אוקלידס (אקסיומת המקבילים) באקסיומה אחרת.
בגאומטריה האוקלידית, האקסיומה החמישית מניחה כי במישור דו־ממדי, לכל ישר נתון ונקודה כלשהי שאינה על הישר קיים בדיוק ישר אחד העובר דרך הנקודה ואינו פוגש את הישר הנתון (כלומר, ישר מקביל לישר הנתון).
בגאומטריה היפרבולית, לעומת זאת, ישנם אינסוף קווים דרך הנקודה שאינם פוגשים את הישר הנתון, בעוד שבגאומטריה אליפטית, כל קו דרך הנקודה פוגש את הישר הנתון.
דרך נוספת לתאר את ההבדלים בין הגאומטריות הללו היא להתבונן בשני קווים ישרים הנמשכים ללא הגבלה במישור דו־ממדי, אשר שניהם מאונכים לישר שלישי (באותו מישור):
בגאומטריה האוקלידית, הקווים נשארים במרחק קבוע זה מזה.
בגאומטריה היפרבולית, הם "מתעקלים" זה מזה, ומתרחקים ככל שמתרחקים מנקודות החיתוך עם הניצב המשותף; קווים אלה נקראים גם אולטרה-מקבילים.
בגאומטריה אליפטית, הקווים "מתעקלים" אחד כלפי השני ובסופו של דבר נפגשים.
בספרו יסודות, ביסס אוקלידס את הגאומטריה שלו על חמש הנחות (אקסיומות).
בניגוד לארבע ההנחות הראשונות, שהיו קצרות ופשוטות, ההנחה החמישית (הידועה גם כאקסיומת המקבילים) נוסחה על ידי אוקלידס באופן מסורבל וארוך יותר ונתפסה על ידי מתמטיקאים כפחות טבעית (self-evident).
לפיכך נעשו מאמצים רבים לאורך ההיסטוריה להחליפה באקסיומה טבעית יותר או להוכיח שאקסיומה זו נובעת מהאקסיומות האחרות, כלומר – שהיא אינה אקסיומה אלא משפט.
מאמצים אלה עלו בתוהו במשך כאלפיים שנה, עד שבראשית המאה ה-19 הבינו מתמטיקאים אחדים שהאקסיומה החמישית כלל אינה הכרחית עבור מערכת גאומטרית עקבית.
בכך נפתח לראשונה הפתח לבניית גאומטריות שונות מהגאומטריה של אוקלידס - הגאומטריות הלא-אוקלידיות.
לגילוי זה היו השלכות מרחיקות לכת על המתמטיקה ועל המדע בכלל.
בתחילת המאה ה-20 השתמש אלברט איינשטיין בגאומטריה לא-אוקלידית על מנת לנסח את תורת היחסות הכללית.
לרעיון שניתן להחליף את אקסיומת המקבילים באקסיומה אחרת, ובכך לקבל גאומטריה שונה מהגאומטריה האוקלידית אך תקפה באותה מידה, הגיע לראשונה גאוס, שחשש לפרסם רעיון כה חדשני.
גאוס גילה רבות מהתכונות היסודיות של הגאומטריה הלא אוקלידית (או, באופן ספציפי יותר, של הגאומטריה ההיפרבולית) כגון: אי-אפשרות של צורות דומות וקיומו של אורך אבסולוטי א-פריורי (absolute length).
כמו כן, גאוס גילה והוכיח את הקשר בין האינטגרל על עקמומיות המשטח לגירעון הזוויתי של משולש על פניו (ההפרש בין סכום זוויותיו ל-180 מעלות), מצא נוסחה לשטח המקסימלי של משולש בגאומטריה היפרבולית, וכן נוסחה להיקף מעגל בגאומטריה היפרבולית.
אחריו, בשנות העשרים של המאה ה-19, הגיעו לרעיונות דומים באופן בלתי תלוי המתמטיקאי הרוסי ניקולאי לובצ'בסקי וקצין הצבא ההונגרי יאנוש בויאי.
בגאומטריה ההיפרבולית, דרך נקודה מחוץ לישר עוברים אינסוף ישרים מקבילים לישר זה (ולא אחד בלבד כבגאומטריה האוקלידית).
בגרסה אחרת של גאומטריה לא־אוקלידית, הגאומטריה הכדורית, שאותה פיתח ברנהרד רימן, תלמידו של גאוס, כל שני קווים ישרים נפגשים.
כלומר, בגאומטריה זו לא קיימים ישרים מקבילים כלל.
מאוחר יותר פיתח רימן את הגאומטריה הרימנית שמכלילה את כל הגאומטריות הנ"ל והניחה את היסודות לתחום הנקרא גאומטריה דיפרנציאלית, המטפל בין השאר ביריעות בעלות עקמומיות משתנה.
ב-1868 נעזר אאוג'ניו בלטראמי בשיטה הכללית של רימן כדי לבנות מודלים לגאומטריה ההיפרבולית.
בשנות השבעים של המאה ה-19 חיבר אנרי פואנקרה את הרעיונות האלה אל הנושאים המרכזיים במתמטיקה של תקופתו, והפך אותם לכלי חיוני בתורת המספרים האנליטית.
בתחילת המאה ה-20 התברר שהגאומטריות הלא־אוקלידיות אינן רק תרגיל ביסודות האקסיומטיים של הגאומטריה, אלא הן בעלות משמעות פיזיקלית אמיתית.
כשם שהגאומטריה האוקלידית מהווה בסיס למכניקה של אייזק ניוטון, כך מהווה הגאומטריה ההיפרבולית המיושמת על יריעה פסאודו-רימנית (כלומר: יריעה בה הטנזור המטרי לא חיובי לחלוטין) בסיס לתורת היחסות הכללית, והיא הגאומטריה שמתארת נאמנה את המרחב-זמן.
הדרך הטובה ביותר להשתכנע שגאומטריה לא-אוקלידית היא עקבית, כלומר, שאין בה סתירות, היא לבנות מודל שלה במסגרת תאוריה אחרת, וותיקה ומבוססת יותר.
פירושו של דבר הוא שבמסגרת התאוריה הוותיקה, בוחרים קבוצה שתייצג את המישור בגאומטריה הלא-אוקלידית, ומאפיינים את הנקודות ואת הקווים הישרים במישור זה.
כל שנדרש מן המודל הוא שהקווים והנקודות שלו יקיימו את האקסיומות של התורה החדשה - הלא-אוקלידית.
אם קיים מודל כזה, אז העקביות של התאוריה החדשה נובעת מזו של התאוריה הישנה.
המודלים המקובלים לגאומטריה לא-אוקלידית הם במסגרת הגאומטריה האוקלידית.
קיומם של מודלים כאלה מוכיח כי אם הגאומטריה האוקלידית עקבית, הרי שבהכרח תכונה זו חלה על הגאומטריה הלא-אוקלידית.
זו בפני עצמה הוכחה שאקסיומת המקבילים (האוקלידית) בלתי תלויה באקסיומות הגאומטריות האחרות (העקביות של הגאומטריה האוקלידית עצמה נשענת על העקביות של תורת הקבוצות, דרך המודל הסטנדרטי של המרחב האוקלידי).
ניתן לפרש חלק מהגאומטריות הלא־אוקלידיות כגאומטריה של פני משטח עקום במרחב אוקלידי תלת־ממדי.
המודל הסטנדרטי עבור הגאומטריה הספרית היא גאומטריה על פני כדור, שבה הקווים הישרים הם "מעגלים גדולים" (כגון קו המשווה או המרידיאנים על כדור הארץ).
גם לאחר עבודתם של לובצ'בסקי, גאוס ובויאי, נותרה בעינה השאלה: "האם קיים מודל כזה לגאומטריה היפרבולית?".
התשובה ניתנה על ידי אאוג'ניו בלטראמי, בשנת 1868, אשר הראה לראשונה כי למשטח הנקרא פסאודוספרה (דמוי אוכף) יש את העקמומיות המתאימה למודל של חלק מהמרחב ההיפרבולי.
במאמר שני באותה שנה, הגדיר בלטרמי את מודל קליין (נקרא גם מודל הדיסק ), אשר מתאים למכלול המרחב ההיפרבולי, והשתמש בכך כדי להראות שהגאומטריה האוקלידית והגאומטריה ההיפרבולית הן עקביות יחד, כך שהגאומטריה ההיפרבולית היא עקבית אם ורק אם הגאומטריה האוקלידית היא עקבית.
במתמטיקה, גֵּאוֹמֶטְרִיָּה אָנָלִיטִית או הַנְדָּסָה שִׁעוּרִית היא ענף העוסק בחקר הגאומטריה באמצעות כלים אלגבריים.
בענף זה משתמשים לרוב במערכת צירים קרטזית כדי לתאר באמצעות משוואות מרחבים, ישרים, עקומות, מעגלים וכדומה, בדו-ממד ובתלת-ממד.
את היסודות לגאומטריה האנליטית הניח רנה דקארט, שעל שמו נקראת מערכת צירים קרטזית והמכפלה הקרטזית, בשנת 1637. עבודתו סיפקה את הבסיס לחשבון האינפיניטסימלי שפותח בנפרד על ידי אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ.
יש הרואים בפיתוח הגאומטריה האנליטית את תחילתה של המתמטיקה המודרנית.
בגאומטריה האנליטית של המישור (הבנויה על מערכת צירים קרטזית) מיוצגת כל נקודה על ידי זוג סדור של מספרים ממשיים, כאשר בערכם המוחלט, הראשון מציין את המרחק (האופקי/הקטן ביותר) של הנקודה מציר ה- והשני את המרחק (האנכי/הקטן ביותר) של הנקודה מציר ה-.
החוזק של הגאומטריה האנליטית ביחס לגאומטריה האוקלידית, הוא באפשרות לתאר מושגים גאומטריים על ידי משוואות ופונקציות, ובכך לאפשר פתרון אלגברי לבעיה הגאומטרית.
הזוג הסדור של נקודה נקרא גם "שיעורי" הנקודה.
הראשון נקרא שיעור ה- של הנקודה והשני שיעור ה- של הנקודה.
בבסיס התחום נמצאת הגדרת המרחק בין שתי נקודות, שמוגדרת לפי משפט פיתגורס:
קו ישר מוגדר כאוסף הנקודות שמקיימות משוואה מהצורה:
כאשר המשוואה מגדירה את כל המישור או אף נקודה, ולא קו ישר במובן הרגיל של המילה.
כאשר ניתן להציג את הקו הישר על ידי משוואה מהצורה .
משוואה זו נקראת המשוואה הקנונית של הישר (או המשוואה המפורשת של הישר).
המשוואה הקנונית (המפורשת) של הישר היא יחידה – כלומר, אם נתונות שתי משוואות שונות, הן בהכרח מייצגות שני ישרים שונים, ולהפך.
לעומת זאת, לכל ישר קיימות אינסוף משוואות רגילות המתארות אותו, כיוון שניתן להכפיל את המשוואה של ישר נתון בכל מספר ממשי שאינו אפס והמשוואה תוסיף ותתאר את אותו הישר.
המספר שבמשוואה נקרא שיפוע הישר, והוא מייצג את מספר היחידות שהישר עובר בציר ה־ עבור כל יחידת אורך שהוא עובר בציר ה־.
ישרים בעלי שיפוע זהה הם ישרים מקבילים, ולהפך.
שיפוע הישר המקביל לציר ה־ הוא , ושיפוע הישר המקביל לציר ה־ אינו מוגדר ואי אפשר לייצג אותו באמצעות משוואה זו.
המספר שבמשוואה הוא ערך ה- בנקודת חיתוך הישר עם ציר ה־.
בהינתן שתי נקודות על ישר: ,אזי השיפוע() הוא הפרש שיעורי ה־ של שתי הנקודות חלקי הפרש שיעורי ה־ של שתי הנקודות .
הזווית שישר יוצר עם ציר ה- (כמו גם עם כל ישר אחר המקביל לציר ה-x) היא .
בהינתן שני ישרים מקבילים , , המרחק ביניהם הוא
אם נדאג לכך ש-, אם מעל נוכל להשמיט את הערך המוחלט, ואם אם מתחת ל- נוכל לשים במקומו מינוס.
בהינתן ישר ונקודה המרחק ביניהם הוא
מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא מינוס 1.
עבור ישר עם זווית ביחס לציר , השיפוע שלו הוא ,
כך שהישר המאונך לו הוא עם זווית ביחס לציר ה ,
כלומר שיפוע הישר המאונך הוא ,
המעגל לפי הגדרתו הגאומטרית, הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת שווה למספר חיובי קבוע - רדיוס המעגל.
הנקודה המסוימת נקראת מרכז המעגל.
משוואתו של מעגל מוגדרת כך:
כאשר מרכז המעגל הוא הנקודה ורדיוסו .
כאשר מרכז המעגל נמצא בראשית הצירים - הנקודה , משוואת המעגל מקבלת את הצורה:
מעגל כזה נקרא מעגל קנוני, וקל לראות שניתן ליצור ממנו כל מעגל על ידי הזזה.
כאשר רדיוס המעגל הקנוני הוא , המעגל נקרא מעגל היחידה.
דרך נוחה להצגה פרמטרית של מעגל היחידה היא על ידי הנוסחה
קיימות נוסחאות דומות גם לחתכי חרוט אחרים (פרבולה, היפרבולה ואליפסה).
במרחב n-ממדי, מיוצגת כל נקודה על ידי וקטור -ממדי מעל המספרים הממשיים.
מישור עילי במרחב -ממדי מוגדר על ידי כל הנקודות המיוצגות על ידי קומבינציות ליניאריות של וקטורים בלתי תלויים, המייצגים נקודות באותו מרחב.
קו ישר מיוצג על ידי קבוצת כל הקומבינציות הליניאריות של שתי נקודות שונות ומישור (במרחב תלת-ממדי) על ידי כל הקומבינציות הליניאריות של שלוש נקודות שאינן על ישר אחד.
במשמעותה המודרנית גאומטריה אנליטית עוסקת בחקר של קבוצות אפסים של פונקציות אנליטיות.
ישנם קשרים רבים בין גאומטריה אנליטית מודרנית לגאומטריה אלגברית מודרנית, למשל במשפטי ה-GAGA של ז'אן-פייר סר.
גאון הוא אדם הנחשב לבעל אינטליגנציה או יצירתיות גבוהות במיוחד.
המילה הייתה במקורה תואר כבוד מופלג ביהדות בתקופת הגאונים ומאוחר יותר תואר לרבנים גדולים.
השימוש בה התפשט לתחומים נוספים בעברית החדשה, כמקבילה למילה הרומית genius שמשמעותה המקורית קשורה ליצירתיות ולא לידענות.
הגדרת הגאונות כתכונה אנושית הניתנת למדידה ולא רק כתואר כבוד, והניסיון להגדיר גאונות ולחזות אותה, הם רעיונות שמקורם במאה ה-19, עם עליית תחומי הפסיכולוגיה והפסיכומטריה.
במהלך המאה ה-20, ניסיונות לקשור בין תוצאות גבוהות במיוחד במבחני אינטליגנציה לבין יצירתיות והשגים יוצאי דופן לא עלו יפה.
אין כיום הגדרה מוסכמת של גאונות, או הבנה ברורה של הגורמים המביאים להישגים בולטים.
בתקופה המודרנית זוכים אנשים בעלי יצירתיות ויכולת בתחומים שונים להכרה ולפרסום.
זוכי תחרויות (כגון אליפויות שחמט) או פרסים מכובדים (כגון פרס נובל), אנשים שהגיעו להצלחה כלכלית בולטת המביאה למעמד ציבורי (כמו סטיב ג'ובס, סרגיי ברין ולארי פייג') ואף ספורטאים בולטים במיוחד (כמו דייגו מראדונה) זוכים לעיתים קרובות להתייחסות ציבורית כגאונים.
אנשים שאינם בין החיים, שהישגים בולטים במיוחד נקשרו בשמם, מתוארים לעיתים בדיעבד כגאונים, גם אם לא זכו להכרה כזו בימי חייהם.
דוגמאות לכך הם המלחין וולפגנג אמדאוס מוצארט והצייר וינסנט ואן גוך.
אישים אחרים בהיסטוריה זכו להכרה כגאונים כבר בימי חייהם עקב הישגים חריגים במיוחד, בעיקר בתחומי המתמטיקה, המדע והפילוסופיה.
דוגמאות בולטות הם לאונרדו דה וינצ'י, ברוך שפינוזה, אלברט איינשטיין, רנה דקארט, אייזק ניוטון, גוטפריד לייבניץ, קרל פרידריך גאוס, עמנואל קאנט ופרידריך ניטשה.
בפסיכומטריה מסווגים כגאונים נבחנים שהשיגו תוצאות של 140 ומעלה במבחני מנת משכל (אחד ל-100 נבחנים בקירוב).
עם זאת, הרעיון של מבחן התנהגותי אחד, הבוחן מגוון מצומצם של נושאים, ומתיימר למדוד כמותית יצירתיות או אינטליגנציה או לחזות הישגים עתידיים, שנוי במחלוקת.
במשמעותה הכללית המילה "גאון" מתארת התייחסות סובייקטיבית לאדם הנתפס כבעל יכולת שכלית מרשימה במיוחד, בדרך כלל לנוכח הישגים מיוחדים או היכרות אישית, ולא תכונה מסוימת שניתנת למדידה.
גאונות יכולה להתקשר ליכולות כגון קישור בין רעיונות מתחומים שונים, הבנת רעיונות מופשטים ומורכבים, פריצת מסגרות ומחשבה לא שגרתית, ניתוח מהיר של מידע חדש וקישורו עם ידע קיים, ושילובים של יכולות אלו מתבטאים ביכולת פתרון בעיות סבוכות וקבלת החלטות מועילות במהירות.
מקור המילה "גאון" הוא בתנ"ך ושורשה במילים גאווה וגאות (גאון הירדן).
הצירוף "גאון יעקב" המופיע ב מפורש כ"תפארת ישראל", בהמשך הפך "גאון" להיות תואר לראש ישיבה, ולתואר של ראשי ישיבות בבבל, וממנו נגזר שמה של תקופת הגאונים ביהדות.
במרוצת הדורות נעשה התואר גאון כינוי לראשי ישיבה בכלל, ולאדם גדול וחריף בלימוד התורה.
מכאן הצירוף "הרב הגאון" וגם כינויו של ר' אליהו בן שלמה זלמן – הגאון מווילנה.
בעברית המודרנית, בהשפעת המשמעויות הקדומות יותר ודמיון הצליל למילה הרומית genius, התרחבה משמעות התואר גאון מ'אדם חכם בתורה' לאדם חכם ומחונן או בעל כישרון יוצא דופן בתחום מסוים.
כיוון שהמילה "גאון" הפכה גם לשם תואר, ניתן להטותה לצורת נקבה "גאונה".
ההשערה כי קיים בסיס גנטי או תורשתי לגאונות הייתה נפוצה בחברה ובמחקר, החל מסוף המאה ה-19 אם לא קודם לכן, לאחר פרסום תורת האבולוציה ועדויות על מאפיינים גופניים העוברים בתורשה.
השערה זו נתמכת, לדוגמה, במספר מקרים של זוכי פרס נובל שאחד מהוריהם זכה בפרס נובל (דוגמה בולטת היא אירן ז'וליו-קירי, בתם של בני הזוג מארי ופייר קירי - שלושתם זכו בפרס).
כמו כן קיימות משפחות שהולידו מקרבן מספר אנשים בולטים בתחומם לאורך דורות - כמו המלחינים ממשפחת באך והמתמטיקאים ממשפחת ברנולי.