tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
ב-11 בפברואר 2016, צוות LIGO הודיע כי הצליח לזהות באופן ישיר גלי כבידה.
הזיהוי התאפשר בזכות אירוע קוסמי אלים למדי, מיזוג של שני חורים שחורים.
אירוע כזה, שבו מסות אדירות מאיצות למהירויות המתקרבות למהירות האור, יוצר "סופה" במרחב-זמן, שגליה חזקים מספיק כדי שניתן יהיה למדוד אותם על פני כדור הארץ, גם ממרחק של מיליארדי שנות אור.
את השפעתו של גל כבידה פשוט ניתן להמחיש באמצעות פעולתו על טבעת דמיונית של חלקיקים חופשיים.
גל המתפשט דרך הטבעת יגרום למרחב עצמו להימתח ולהידחס לסירוגין, כך שהטבעת תתעוות באופן מחזורי ותשנה את צורתה מאליפסה אופקית לאנכית, וחוזר חלילה.
מכיוון שמשוואות איינשטיין הן לא-ליניאריות (כלומר, הכבידה משפיעה על עצמה), גלי כבידה חזקים אינם מצייתים לעקרון הסופרפוזיציה – לא ניתן פשוט לחבר את השפעותיהם זה לזה, מה שמקשה על תיאורם.
עם זאת, עבור הגלים החלשים להפליא המגיעים לכדור הארץ, קירוב ליניארי מספק דיוק מספק, וניתן לנתח אותם באמצעות כלים סטנדרטיים כמו התמרת פורייה (פירוק הגל למרכיביו התדירותיים).
קיימים פתרונות מדויקים מסוימים המתארים גלי כבידה ללא כל קירוב, למשל "רכבת גלים" (פתרון מתמטי המתאר גל מושלם ואינסופי הנע בחלל ריק) או יקומי גאודי (מודלים תאורטיים של יקום מתפשט המלא אך ורק בגלי כבידה).
אך עבור גלי כבידה הנוצרים במצבים אסטרופיזיקליים מציאותיים, כמו מיזוג של שני חורים שחורים, שיטות נומריות (סימולציות ממוחשבות) הן הדרך היחידה לבנות מודלים מתאימים.
תורת היחסות הכללית נבדלת מהמכניקה הקלאסית במספר תחזיות הנוגעות לגופים במסלול הקפה.
היא חוזה סיבוב כולל של מסלולי כוכבי הלכת (נקיפה), דעיכה של המסלול הנגרמת מפליטת גלי כבידה, ואפקטים הקשורים ליחסות הכיוון.
הכוונה ב"יחסות הכיוון" היא לתופעות שבהן המרחב-זמן העקום אינו רק מכתיב את מסלול התנועה של גוף, אלא גם משנה את האוריינטציה (הכיוון) שלו במרחב (למשל, את ציר הסיבוב של גירוסקופ).
בתורת היחסות הכללית, האפסידים של כל מסלול – הנקודות במסלול שבהן הגוף המקיף נמצא במרחק הקרוב ביותר והרחוק ביותר ממרכז המסה – יעברו נקיפה.
במקרה של מסלול סביב השמש, נקודות אלו מכונות פריהליון (הנקודה הקרובה ביותר) ואפהליון (הנקודה הרחוקה ביותר).
משמעות הנקיפה היא שהמסלול אינו אליפסה קבועה, אלא דומה לאליפסה המסתובבת באיטיות סביב המוקד שלה, מה שיוצר צורה דמוית ורד.
בעוד שנקיפה היא תופעה כללית שיכולה להיגרם גם מהשפעת כוכבי לכת אחרים, הנקיפה היחסותית היא תוספת ייחודית שנובעת מתורת היחסות הכללית.
העובדה שהתאוריה הצליחה להסביר במדויק את הנקיפה החריגה במסלולו של כוכב חמה, שהתגלתה על ידי האסטרונום אורבן לה-ורייה עוד ב-1859, היוותה עבור איינשטיין הוכחה מכרעת לנכונות משוואות השדה שלו.
את האפקט ניתן לחשב באמצעות מטריקת שוורצשילד (הפתרון המדויק של משוואות איינשטיין למרחב-זמן סביב מסה כדורית) או באמצעות הפורמליזם הפוסט-ניוטוני (שיטת קירוב המחשבת את התיקונים היחסותיים לחוקי ניוטון).
הנקיפה היחסותית נובעת משתי סיבות עיקריות: השפעת הכבידה על הגאומטריה של המרחב עצמו, ותופעה המכונה "אי-ליניאריות" של משוואות איינשטיין.
משמעותה של האי-ליניאריות היא שהאנרגיה של שדה הכבידה עצמו תורמת לכבידה הכוללת (מעין "כבידה שיוצרת עוד כבידה"), אפקט שאינו קיים בתורת ניוטון.
נקיפה יחסותית נצפתה בכל כוכבי הלכת שבהם ניתן לבצע מדידות מדויקות (כוכב חמה, נוגה וכדור הארץ), וכן במערכות של פולסרים כפולים, שם האפקט גדול בחמישה סדרי גודל.
בקירוב, נקיפת הפריהליון (ברדיאנים להקפה) נתונה על ידי:
דעיכת מסלול עקב פליטת גלי כבידה
על פי תורת היחסות הכללית, מערכת כוכב כפול פולטת אנרגיה בצורת גלי כבידה (הידועים גם כקרינה כבידתית), ובכך מאבדת אנרגיה.
אפקט זה מתרחש עבור כל מסה מואצת, אך הוא זעיר לחלוטין ובלתי ניתן למדידה עבור מערכות רגילות כמו מערכת השמש.
בשל אובדן האנרגיה, המרחק בין שני הגופים המקיפים קטן, וזמן ההקפה שלהם מתקצר.
המצב שונה עבור פולסר כפול קרוב, מערכת של שני כוכבי נייטרונים מקיפים, שאחד מהם הוא פולסר.
הפולסר פולט סדרות קבועות של גלי רדיו, המשמשות כ"שעון" מדויק להפליא המאפשר מדידה מדויקת של זמן ההקפה.
מכיוון שכוכבי נייטרונים הם דחוסים במיוחד ונמצאים במסלול קרוב ומהיר, כמויות משמעותיות של אנרגיה נפלטות מהם בצורת קרינה כבידתית.
נכון ל-2021, לאחר 16 שנות תצפית, גם מערכת זו נמצאה עקבית עם תורת היחסות הכללית.
תורת היחסות הכללית חוזה כי המרחב-זמן העקום אינו רק מכתיב את מסלול התנועה של גוף, אלא גם משנה את האוריינטציה (הכיוון) שלו במרחב.
הבנת תופעות אלו דורשת היכרות עם עקרון הפעולה של הגירוסקופ.
גירוסקופ הוא גלגל המסתובב במהירות גבוהה סביב צירו.
על פי עיקרון שימור התנע הזוויתי, ציר הסיבוב שלו מתנגד לכל ניסיון לשנות את כיוונו, ולכן הוא מהווה את הכלי הטוב ביותר לייצוג "כיוון קבוע" בחלל.
נקיפה גאודטית (או האפקט הגאודטי) היא תופעה שבה ציר הסיבוב של גירוסקופ הנמצא בנפילה חופשית במרחב-זמן עקום, משנה את כיוונו ביחס לכוכבים מרוחקים.
השינוי אינו נגרם מהפעלת כוח חיצוני, אלא נובע מעצם התנועה בתוך גאומטריה עקומה.
ניתן להמחיש זאת באמצעות תהליך של העתקה מקבילה על פני משטח כדורי: אם מסיעים וקטור (המייצג את ציר הגירוסקופ) לאורך מסלול סגור, הוא יחזור לנקודת ההתחלה כשהוא מוסט בזווית מסוימת ביחס לכיוונו המקורי.
עבור מערכת הארץ-ירח, אפקט זה נמדד בעזרת מדידת מרחק באמצעות לייזר ירחי.
גרירת מרחב-זמן (Frame-dragging) היא אפקט נוסף.
בעוד שנוכחות מסה גורמת לעיקום המרחב-זמן, מסה מסתובבת לא רק מעקמת אותו, אלא ממש "גוררת" ו"מסובבת" אותו יחד איתה.
כתוצאה מכך, ציר הסיבוב של גירוסקופ הנע בקרבת גוף מסיבי מסתובב, יוסט באיטיות בכיוון הסיבוב של הגוף.
אפקט זה קיצוני ביותר סביב חורים שחורים מסתובבים, שם נוצר אזור המכונה ארגוספירה, שבו גרירת המרחב-זמן כה חזקה עד ששום עצם אינו יכול להישאר במנוחה.
שני האפקטים הללו, שהם זעירים ביותר בסביבת כדור הארץ, נבחנו על ידי לוויין הניסוי Gravity Probe B, שנשא את הגירוסקופים המדויקים ביותר שנבנו אי פעם.
הלוויין הקיף את כדור הארץ במסלול קוטבי, מה שאפשר למדענים להבחין בין שני האפקטים: הנקיפה הגאודטית נמדדה על ידי סטיית ציר הגירוסקופים במישור ההקפה, וגרירת המרחב-זמן נמדדה על ידי סטייה זעירה נוספת, בניצב למישור ההקפה.
בשנת 2011, הודיע צוות המשימה כי תוצאות המדידה תואמות את תחזיותיה של תורת היחסות הכללית בדיוק גבוה.
הסטת מסלולו של האור על ידי כבידה אחראית לסוג חדש של תופעות אסטרונומיות.
אם גוף מסיבי ממוקם בין האסטרונום לעצם מרוחק, הגוף המסיבי מתפקד כמעין "עדשה" קוסמית המעקמת את אורו של העצם הרחוק.
אפקטים אלה ידועים בשם עידוש כבידתי.היווצרותן של דמויות מרובות נובעת מכך שהעדשה הכבידתית מכופפת קרני אור, שיצאו מהעצם המרוחק בכיוונים שונים והיו אמורות לחלוף על פני כדור הארץ, ומסיטה אותן כך שיגיעו אל הצופה.
ניתן לדמות זאת להתבוננות בנר דרך תחתית של כוס יין: הזכוכית העקומה מאפשרת לקרניים שיצאו מהנר בכיוונים שונים להגיע אל הצופה ממסלולים מרובים.
כל מסלול אור כזה יוצר דמות נפרדת, ולכן נצפות מספר דמויות מעוותות של אותו העצם.
בהתאם למסה ולמיקום היחסי של הגופים, ניתן לצפות בשתיים או יותר דמויות, בטבעת אור בהירה המכונה טבעת איינשטיין, או בטבעות חלקיות המכונות קשתות.
הדוגמה הראשונה לתופעה זו, הקוואזר הכפול (Q0957+561), התגלתה ב-1979 והיוותה אישוש חשוב לתאוריה.
בתצפית ראשונית, נראו שני קוואזרים קרובים מאוד זה לזה.
אולם, ניתוח הספקטרום של האור משניהם הראה שהם זהים לחלוטין – כלומר, לא מדובר בשני עצמים שונים, אלא בשתי דמויות של אותו קוואזר בודד, שנוצרו על ידי גלקסיה מסיבית הממוקמת בינו לבין כדור הארץ ומתפקדת כעדשה כבידתית.
מאז נצפו מאות עדשות כבידה נוספות.
במקרים אחרים, המכונים מיקרו-עידוש כבידתי, הדמויות המרובות קרובות מכדי שניתן יהיה להבחין ביניהן באמצעות טלסקופים, והן נראות כנקודת אור אחת.
עם זאת, האפקט עדיין ניתן למדידה.
הסיבה לכך היא שהעדשה הכבידתית לא רק מפצלת את האור, אלא גם מרכזת וממקדת אותו, בדומה לאופן שבו זכוכית מגדלת מרכזת את אור השמש.
כתוצאה מכך, כמות האור הכוללת (השטף) המגיעה מהעצם המרוחק גדלה.
כאשר העדשה (למשל, כוכב) חולפת על פני העצם הרחוק (כוכב אחר), האירוע נצפה כהתבהרות זמנית ופתאומית של העצם הרחוק, אף על פי שהוא נראה כנקודה בודדת.
תופעת העידוש הכבידתי הפכה לכלי מרכזי באסטרונומיה תצפיתית.
היא משמשת לאיתור ומיפוי של חומר אפל; מכיוון שחומר אפל אינו פולט אור, לא ניתן לראותו ישירות, אך הוא עדיין מעקם את המרחב-זמן.
על ידי מדידת העיוותים בדמויות של גלקסיות רחוקות, אסטרונומים יכולים למפות את פיזור החומר האפל הבלתי נראה.
בנוסף, התופעה משמשת כ"טלסקופ טבעי" המגביר את אורן של גלקסיות רחוקות מאוד, ומאפשרת לקבל אומדן בלתי תלוי של קבוע האבל.
ניתוחים סטטיסטיים של נתוני עידוש מספקים תובנות חשובות על האופן שבו גלקסיות מתפתחות ומשנות את מבנן לאורך זמן.
כפי שצוין קודם, תצפיות על פולסרים כפולים סיפקו עדות עקיפה חזקה לקיומם של גלי כבידה.
זיהוים הישיר של גלים אלה היווה מטרה מרכזית של המחקר ביחסות כללית במשך עשרות שנים.
לשם כך, פותחו מספר סוגים של גלאי גלי כבידה:
גלאים קרקעיים: גלאים אלו, המכונים אינטרפרומטרים, משתמשים בקרני לייזר הנעות במנהרות ארוכות כדי למדוד שינויים זעירים ביותר במרחק, הנגרמים ממעבר של גל כבידה.
דוגמאות בולטות הן GEO 600, LIGO (שני גלאים), TAMA 300 ו-Virgo.
מערכי תזמון פולסרים: בשיטה זו, אסטרונומים עוקבים אחר אותות רדיו הנפלטים מפולסרים מהירים במיוחד, שזמן הסיבוב שלהם נמדד באלפיות השנייה (מילי-שניות).
כאמור פולסרים אלה מתפקדים כשעונים קוסמיים מדויקים להפליא.
גלי כבידה בעלי אורך גל ארוך מאוד גורמים לשינויים זעירים, מתואמים בזמני ההגעה של האותות מהם, ואותם ניתן למדוד.
גלאים בחלל: גלאי חללי אירופי, eLISA, נמצא בפיתוח, לאחר הצלחת משימת המבוא שלו (LISA Pathfinder).
תצפיות בגלי כבידה צפויות להשלים את התצפיות בספקטרום האלקטרומגנטי (כלומר, אור, גלי רדיו וכו'), ובכך לפתוח "חלון" חדש לחלוטין לצפייה ביקום.
הן צפויות לספק מידע על חורים שחורים וגופים דחוסים אחרים, על סוגים מסוימים של התפוצצויות סופרנובה, ועל תהליכים ביקום המוקדם, כולל חותמם של עצמים היפותטיים כמו מיתרים קוסמיים (פגמים טופולוגיים חד-ממדיים היפותטיים במארג המרחב-זמן, שעל פי תאוריות מסוימות נוצרו בשברירי השנייה הראשונים של היקום).
בפברואר 2016, הודיע צוות Advanced LIGO כי הצליח לזהות לראשונה גלי כבידה שמקורם במיזוג של שני חורים שחורים.
חורים שחורים ועצמים דחוסים אחרים
תורת היחסות הכללית חוזה כי כאשר היחס בין מסת גוף לרדיוס שלו הופך לגדול מספיק, הכבידה גוברת על כל הכוחות האחרים וגורמת לקריסה מוחלטת ובלתי ניתנת לעצירה.
התוצאה היא חור שחור – אזור שהמרחב-זמן בו מעוות באופן כה קיצוני עד ששום דבר, אפילו לא אור, אינו יכול להימלט ממנו.
העיקום כה חזק עד שכל המסלולים האפשריים במרחב-זמן, כולל מסלולו של האור, מובילים פנימה בלבד.על פי המודלים המקובלים של התפתחות כוכבים, לאחר שכוכב מסיבי מסיים את חייו, ליבתו קורסת תחת כוח הכבידה העצום שלה.
אם מסת הליבה אינה גדולה מספיק, נוצר לחץ קוונטי אדיר בין הנייטרונים, המכונה לחץ ניוון נייטרונים, שעוצר את הקריסה ויוצר כוכב נייטרונים.
אולם, אם מסת הליבה גדולה מספיק (מעל כ-3 מסות שמש), תורת היחסות הכללית חוזה שלחץ הניוון לא יצליח לעמוד בפני הכבידה, והקריסה תימשך עד ליצירת חור שחור.
כך נוצרים חורים שחורים כוכביים.
בנוסף, במרכזן של רוב הגלקסיות נמצא חור שחור על-מסיבי אחד, שמסתו נעה בין מיליונים למיליארדי מסות שמש.
מבחינה אסטרונומית, התכונה החשובה ביותר של עצמים דחוסים היא היותם מנגנון יעיל במיוחד להמרת אנרגיה פוטנציאלית כבידתית לקרינה.
לכל חומר הנופל לתוך שדה כבידה יש אנרגיה "אצורה" הנובעת ממיקומו.
כשהחומר נופל, אנרגיה זו משתחררת, בעיקר בצורת חום וקרינה אלקטרומגנטית.
ספיחה (Accretion) היא התהליך שבו אבק וגז נלכדים בשדה הכבידה של עצם דחוס ומסתחררים סביבו במהירות עצומה, ויוצרים מבנה שטוח ולוהט המכונה דיסקת ספיחה.
גרעין גלקטי פעיל (AGN): כאשר התהליך מתרחש סביב חור שחור על-מסיבי במרכז גלקסיה, דיסקת הספיחה כה בוהקת עד שהיא מאפילה על אור כל כוכבי הגלקסיה גם יחד.
מיקרוקוואזר: כאשר תהליך דומה מתרחש בסקאלה קטנה יותר, סביב חור שחור כוכבי.
חלק מהחומר בדיסקת הספיחה אינו נופל פנימה, אלא נזרק החוצה בשתי אלומות ממוקדות ועוצמתיות, הנעות במהירות הקרובה למהירות האור.
הם נקראים "יחסותיים" מכיוון שמהירותם כה גבוהה עד שיש לתאר את התנהגותם באמצעות תורת היחסות, והם נוצרים בתנאי הכבידה הקיצוניים שתוארו על ידה.
תורת היחסות הכללית ממלאת תפקיד מרכזי במידול כל התופעות הללו, ותצפיות מספקות ראיות חזקות לקיומם של חורים שחורים בעלי התכונות שהתאוריה חוזה.
חורים שחורים הם גם יעד מרכזי בחיפוש אחר גלי כבידה.
מיזוג של זוג חורים שחורים פולט כמה מאותות גלי הכבידה החזקים ביותר.
השלב האחרון לפני המיזוג ("ציוץ" או "chirp") יכול לשמש כ"נר תקני".
באסטרונומיה, "נר תקני" הוא עצם שבהירותו המוחלטת (כמות האנרגיה שהוא פולט) ידועה לנו.
על ידי השוואת הבהירות המוחלטת לבהירות הנצפית, ניתן לחשב במדויק את מרחקו.
כך, מיזוגי חורים שחורים הופכים לכלי למדידת התפשטות היקום.
בנוסף, גלי הכבידה הנפלטים מגוף קטן הצולל לתוך חור שחור על-מסיבי נושאים בתוכם מידע מדויק על הגאומטריה של החור השחור – כלומר, על האופן המדויק שבו הוא מעקם את המרחב-זמן סביבו, הנקבע על ידי המסה והתנע הזוויתי (הסיבוב) שלו.
ניתוח גלים אלה מאפשר למדענים "למפות" את מבנה המרחב-זמן המעוות.
מודלים המודרניים של הקוסמולוגיה מבוססים על משוואות השדה של איינשטיין, הכוללות את הקבוע הקוסמולוגי (), שכן יש לו השפעה חשובה על הדינמיקה של היקום בסקאלה גדולה.
משוואה זו היא הגרסה המלאה של משוואות השדה של איינשטיין, והיא מתארת את הדינמיקה של היקום כולו.
ניתן להבין את משמעותה על ידי פירוק מרכיביה:
אגף שמאל מייצג את הגאומטריה של המרחב-זמן:
הרכיבים ,, ו- מרכיבים יחד את טנזור איינשטיין, המתאר את עיקום המרחב-זמן הנגרם ישירות מנוכחות חומר ואנרגיה.
הרכיב מייצג את תרומתו של הקבוע הקוסמולוגי ().
הוא מתאר את צפיפות האנרגיה של הריק (ואקום) עצמו, או ה"אנרגיה האפלה", ומהווה גורם הגורם למרחב-זמן להתפשט (אם הוא חיובי) או להתכווץ, גם בהיעדר חומר.
אגף ימין מייצג את החומר והאנרגיה ביקום:
הוא טנזור המאמץ-אנרגיה, המייצג את כל החומר והקרינה ביקום (כוכבים, גז, חומר אפל וכו').
הוא קבוע פרופורציה המקשר בין יחידות של אנרגיה ליחידות של עקמומיות, ומבטיח שהתאוריה תתאים לתצפיות ולכבידה הניוטונית בגבולות המתאימים.
במילים אחרות, המשוואה קובעת כי הדינמיקה הכוללת של המרחב-זמן – העיקום שלו (הנגרם מחומר) וההתפשטות העצמית שלו (הנגרמת מהקבוע הקוסמולוגי) – נקבעת על ידי כמות החומר והאנרגיה שבו.
פתרונות משוואה זו מכונים פתרונות פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר, והם מתארים יקום בעל שתי תכונות מרכזיות בסקאלה גדולה:
הומוגניות: היקום נראה זהה מכל מקום (כלומר, אין לו מרכז או "קצה").
איזוטרופיות: היקום נראה זהה בכל כיוון שמסתכלים אליו.
ליקום, על פי מודלים אלה, אין קצה.
האנלוגיה המקובלת היא פני השטח של בלון מתנפח: עבור יצור דו-ממדי החי על פני הבלון, פני השטח נראים זהים בכל מקום ובכל כיוון, והוא לעולם לא יגיע ל"קצה", אף על פי ששטח הפנים של הבלון סופי.
מודלים אלה מאפשרים לפיזיקאים לתאר את התפתחות היקום במהלך 14 מיליארד השנים האחרונות, החל משלב ראשוני, חם ודחוס – המפץ הגדול.
לאחר שנקבעים מספר קטן של פרמטרים באמצעות תצפיות אסטרונומיות, ניתן להעמיד את המודלים למבחן.
תחזיות המודל, שכולן זכו לאישושים מוצלחים, כוללות את השפע הראשוני של יסודות כימיים שנוצרו בנוקליאוסינתזה הקדמונית (היווצרות היסודות הקלים בדקות הראשונות לאחר המפץ הגדול), את המבנה רחב-ההיקף של היקום, ואת קיומו של "הד תרמי" מהיקום המוקדם הוא קרינת הרקע הקוסמית.
תצפיות אסטרונומיות על קצב התפשטות היקום מאפשרות להעריך את כמות החומר הכוללת ביקום, אם כי מהות רובו של חומר זה נותרה בגדר תעלומה.
כ-90% מכלל החומר ביקום נראה כחומר אפל, שלו יש מסה (ולכן השפעה כבידתית), אך הוא אינו מקיים אינטראקציה אלקטרומגנטית, ולכן לא ניתן לצפות בו ישירות.
אין תיאור מקובל לסוג חדש זה של חומר במסגרת פיזיקת החלקיקים המוכרת.
בנוסף, עדויות תצפיתיות מראות שהתפתחות היקום מושפעת באופן משמעותי מקבוע קוסמולוגי הגורם להאצת התפשטות היקום.
גורם זה מכונה אנרגיה אפלה, וטבעו נותר לא ברור.
שלב האינפלציה הקוסמית, שלב היפותטי של התפשטות מואצת ביותר בשברירי השנייה הראשונים של היקום, הוצע בשנות ה-80 של המאה ה-20 כדי להסביר מספר תצפיות תמוהות, ובראשן ההומוגניות הכמעט מושלמת של קרינת הרקע הקוסמית.
האינפלציה מסבירה זאת בטענה שהיקום הנצפה כולו התפתח מאזור זעיר שהיה מצוי בשיווי משקל תרמי לפני ההתפשטות המהירה.
התפשטות אדירה זו "מתחה" את האזור האחיד הזה לקנה המידה העצום שאנו רואים כיום.
מדידות אחרונות של קרינת הרקע סיפקו את העדות הראשונה לתרחיש זה.
עם זאת, קיימים תרחישי אינפלציה רבים ושונים, שלא ניתן להכריע ביניהם באמצעות התצפיות הקיימות.
שאלה גדולה עוד יותר היא הפיזיקה של היקום המוקדם ביותר, לפני שלב האינפלציה וקרוב לנקודה שבה המודלים הקלאסיים חוזים את הסינגולריות של המפץ הגדול.
תשובה מוסמכת לכך תדרוש תאוריה שלמה של כבידה קוונטית, תאוריה היפותטית המנסה לאחד את תורת היחסות הכללית (המתארת את הכבידה בסקאלות גדולות) עם מכניקת הקוונטים (המתארת את הפיזיקה בסקאלות קטנות).
פתרונות אקזוטיים: מסע בזמן והנעת עיוות
לצד התחזיות שאוששו בניסויים, משוואות השדה של איינשטיין מאפשרות גם קיומם של פתרונות "אקזוטיים", המאתגרים את תפיסותינו לגבי סיבתיות ותנועה.
הלוגיקן והמתמטיקאי קורט גדל הראה שקיים פתרון למשוואות המתאר יקום שלם המסתובב סביב עצמו.
התנאי הקיצוני בפתרון זה הוא שהיקום כולו חייב להסתובב, הנחה הסותרת את התצפיות האסטרונומיות.
ביקום כזה, המרחב-זמן מעוות באופן כה עמוק עד שנוצרות בו עקומות סגורות דמויות-זמן (CTCs) – מסלולים המאפשרים חזרה לנקודת ההתחלה לא רק במרחב, אלא גם בזמן.
מאז, נמצאו פתרונות תאורטיים נוספים המאפשרים מסע בזמן, כמו גליל טיפלר (גליל אינסופי ודחוס המסתובב במהירות הקרובה למהירות האור) וחור תולעת עביר (מעין "מנהרה" או "קיצור דרך" היפותטי במארג המרחב-זמן).
הפיזיקאי סטיבן הוקינג הציע את השערת הגנת הכרונולוגיה, הטוענת שחוקי הפיזיקה פועלים באופן שמונע היווצרות של לולאות זמן כאלה.
רעיון אקזוטי נוסף הוא הנעת עיוות (Warp Drive), שהמודל המפורסם ביותר שלו הוצע על ידי הפיזיקאי מיגל אלקוביירה.
הרעיון אינו שהחללית עצמה נעה מהר יותר מהאור, אלא שהמרחב-זמן סביבה מתעוות: המרחב "מתכווץ" לפניה ו"מתרחב" מאחוריה.
כך, החללית גולשת על "גל" של מרחב-זמן ויכולה להגיע ליעדה במהירות הגדולה לכאורה ממהירות האור, מבלי שבתוך ה"בועה" שלה היא תעבור את המהירות המותרת.
אולם, כדי ליצור עיוות כזה, משוואות איינשטיין דורשות קיומה של צפיפות אנרגיה שלילית.
חומר היפותטי בעל תכונה זו, שקיומו אינו ודאי ואף ייתכן שהוא בלתי אפשרי על פי חוקי הפיזיקה המוכרים, מכונה "חומר אקזוטי".
בנוסף, מודלים אלה סובלים בדרך כלל מאי-יציבות סמי-קלאסית, כלומר, השפעות קוונטיות קטנות צפויות לגרום להם לקרוס.
בפיזיקה, סימטריה היא תכונה של מערכת להישאר ללא שינוי תחת סוג מסוים של (שינוי נקודת מבט).
אוסף כל הטרנספורמציות הללו נקרא חבורת הסימטריה של התאוריה.
חבורת הסימטריה של תורת היחסות הפרטית היא חבורת פואנקרה, שהיא סוף-ממדית (finite-dimensional), כלומר מורכבת ממספר סופי של טרנספורמציות יסוד.
במתמטיקה של תורת החבורות, "ממד" מציין דרגת חופש או פרמטר רציף שניתן לשנות, וכל טרנספורמציה (כמו סיבוב סביב ציר) נספרת כממד אחד.
עשרת הממדים של חבורת פואנקרה הם הזזות בזמן ובמרחב, סיבובים, ובּוּסְטִים לורנציאניים (הכללים המתמטיים למעבר בין מערכות ייחוס הנעות במהירויות קבועות שונות, תוך שמירה על קביעות מהירות האור).
שאלה טבעית היא, מהי חבורת הסימטריה של תורת היחסות הכללית?
מכיוון שהמרחב-זמן עקום באופן כללי, התשובה מורכבת.
פיזיקאים בראשות הרמן בונדי, מ.ג.
מצנר וריינר זקס בחנו את הסימטריות של המרחב-זמן "באופן אסימפטוטי", כלומר במרחק אינסופי מכל מקורות הכבידה, שם המרחב-זמן אמור להיות שטוח.
התוצאה הייתה שבמקום למצוא את חבורת פואנקרה, הם גילו חבורה אינסוף-ממדית, המכונה חבורת BMS.
היותה "אינסוף-ממדית" פירושה שהיא מכילה אינסוף טרנספורמציות סימטריה נפרדות.
בנוסף לעשר הטרנספורמציות של חבורת פואנקרה, החוקרים גילו קבוצה אינסופית של טרנספורמציות חדשות, המכונות "העתקת-על" (supertranslations).
המשמעות הפיזית של סימטריות אלו היא תופעה המכונה "אפקט הזיכרון הכבידתי".
כלומר כאשר גל כבידה חולף דרך מערכת של גלאים, אין הוא מרעיד אותם באופן זמני בלבד, אלא משאיר אחריו שינוי קבוע במיקומם היחסי.
"זיכרון" זה במרחב-זמן הוא הביטוי הפיזי של סימטריות העתקת-על.
המסקנה הנובעת מכך היא עמוקה: תורת היחסות הכללית אינה מצטמצמת לתורת היחסות הפרטית, גם בגבול של שדות חלשים במרחקים גדולים.
בשנים האחרונות התגלה קשר עמוק בין תופעה זו לפיזיקת החלקיקים.
אומנם הכבידה היא עיקום של המרחב-זמן, אך לפי תורת השדות הקוונטית (QFT) נדרש קיומו של חלקיק בשם "גרביטון".
תורה זו מתארת את כל כוחות הטבע כאינטראקציות המתווכות על ידי חלקיקים.
כדי שתהיה תאוריה קוונטית של כבידה, יש להניח שגם היא מתווכת על ידי חלקיק כזה.
התגלית המפתיעה היא שהחוקים המתמטיים המתארים את פליטת ה"גרביטונים הרכים" (בעלי אנרגיה נמוכה) במהלך התנגשויות, ומכונים "משפט הגרביטון הרך", זהים לחלוטין לחוקי הסימטריה של חבורת BMS.
משפט הגרביטון הרך הוא סוג של חוק שימור קוונטי מורכב, הקושר בין מצב המערכת לפני התנגשות למצב שאחריה.
הגילוי שחבורת BMS שקולה למשפט זה מרמז שסימטריות המרחב-זמן באינסוף הן למעשה הביטוי המאקרוסקופי של חוקי שימור קוונטיים יסודיים.
אחד מעקרונות היסוד של תורת היחסות הוא שדבר אינו יכול לנוע מהר יותר מהאור.
עיקרון זה מטיל מגבלות נוקשות על קשרי סיבה ותוצאה ביקום, ויוצר מושג שמכונה המבנה הסיבתי של המרחב-זמן.
המשמעות היא שמאורע מסוים יכול להשפיע רק על אזורים שאליהם יכול האור להגיע.
לכן, מיפוי כל מסלולי האור האפשריים (גאודזות-אור) חושף את "שלד" הסיבתיות של היקום.
כדי לחקור את המבנה הסיבתי של יקום שלם, הכולל מרחבים אינסופיים וזמני התפתחות אינסופיים, פותח כלי מתמטי מתוחכם המכונה דיאגרמת פנרוז-קרטר.
דיאגרמה זו מאפשרת "לכווץ" את האינסוף הזה לתוך מפה סופית ודו-ממדית.
הדבר נעשה באמצעות טרנספורמציה מתמטית המעוותת את המרחקים, אך משמרת בקפידה את מבנה הסיבתיות, כלומר מסלולי האור עדיין נעים בזווית של 45 מעלות.
מתוך הבנת חשיבותו של המבנה הסיבתי, הפיזיקאי והמתמטיקאי רוג'ר פנרוז ואחרים פיתחו את תחום הגאומטריה הגלובלית.
בניגוד לחיפוש אחר פתרון ספציפי למשוואות איינשטיין (כמו תיאור של חור שחור בודד), גישה זו שואפת להוכיח משפטים כלליים החלים על מגוון רחב של יקומים אפשריים, כל עוד הם מקיימים הנחות פיזיקליות סבירות.
לשם כך, משתמשים בכלים מתמטיים כלליים.
לדוגמה, משוואת רייצ'אודהורי מתארת כיצד צביר של גאודזות (קבוצה של מסלולים סמוכים זה לזה) מתנהג.
היא מראה באופן מתמטי שכאשר יש חומר בעל אנרגיה חיובית (כמו כוכב), הכבידה תמיד תגרום למסלולים להתכנס – כלומר, היא תמיד תהיה כוח מושך.
בנוסף, משתמשים ב"תנאי אנרגיה" – אלו הן הנחות יסוד פיזיקליות סבירות, למשל, שהצפיפות של אנרגיה היא תמיד חיובית.
הדוגמה המפורסמת ביותר להצלחתה של גישה זו היא משפטי הסינגולריות שהוכיחו פנרוז וסטיבן הוקינג.
הם השתמשו בכלים אלה כדי להראות שבהינתן תנאי אנרגיה סבירים, כל כוכב מסיבי שקורס חייב ליצור סינגולריות (כמו במרכז חור שחור), ושהיקום שלנו עצמו היה חייב להתחיל מסינגולריות (המפץ הגדול).
זוהי דוגמה לאופן שבו הגאומטריה הגלובלית מאפשרת להסיק מסקנות כלליות ורבות משמעות על מבנה היקום.
באמצעות גאומטריה גלובלית, ניתן להראות כי סוגים מסוימים של מרחב-זמן מכילים גבולות המכונים אופקים, המפרידים אזור אחד משאר המרחב-זמן.
הדוגמאות המוכרות ביותר הן חורים שחורים: אם מסה נדחסת לאזור קומפקטי מספיק (כפי שמתואר בהשערת החישוק, סדר הגודל הרלוונטי הוא רדיוס שוורצשילד), שום אור מתוך האזור אינו יכול להימלט החוצה.
ומכיוון ששום עצם אינו יכול לנוע מהר יותר מאור, כל החומר בפנים כלוא גם הוא.
מעבר מהאזור החיצוני לפנימי עדיין אפשרי, מה שמראה שהגבול, האופק של החור השחור, אינו מחסום פיזי.
מחקרים מוקדמים של חורים שחורים הסתמכו על פתרונות מדויקים של משוואות איינשטיין, בעיקר פתרון שוורצשילד, המתאר חור שחור נייח ובעל סימטריה כדורית מושלמת, ופתרון קר (Kerr solution), המתאר חור שחור מסתובב ובעל סימטריה צירית, ומציג תכונות מעניינות כמו הארגוספירה.
מחקרים מאוחרים יותר חשפו תכונות כלליות יותר של חורים שחורים.
עם הזמן, הם הופכים לעצמים פשוטים למדי, המאופיינים במספר מצומצם של פרמטרים: מטען חשמלי, מסה-אנרגיה, תנע קווי ותנע זוויתי.
קביעה זו ידועה בשם משפט האין-שיער: "לחורים שחורים אין שיער", כלומר, אין להם סימני היכר ייחודיים.
ללא תלות במורכבותו של הגוף הקורס ליצירת חור שחור, העצם הנוצר הוא פשוט מאוד.
באופן יוצא דופן אף יותר, קיימת מערכת חוקים כללית המכונה מכניקת חורים שחורים, המקבילה לחוקי התרמודינמיקה.
לדוגמה, על פי החוק השני של מכניקת החורים השחורים, שטח הפנים של אופק האירועים של חור שחור לעולם לא יקטן עם הזמן, בדומה לאנטרופיה של מערכת תרמודינמית.
חוק זה מגביל את האנרגיה שניתן להפיק מחור שחור מסתובב באמצעות תהליך פנרוז – ניסוי מחשבתי שבו ניתן "לזרוק" חומר לתוך הארגוספירה באופן שיאפשר לו לצאת עם יותר אנרגיה משהייתה לו, על חשבון אנרגיית הסיבוב של החור השחור.
ישנן ראיות חזקות לכך שחוקי מכניקת החורים השחורים הם, למעשה, תת-קבוצה של חוקי התרמודינמיקה, ושטח החור השחור פרופורציונלי לאנטרופיה שלו.
רעיון זה מוביל לשינוי בחוק המקורי: מכיוון שהחוק השני של מכניקת החורים השחורים הוא חלק מהחוק השני של התרמודינמיקה, ייתכן ששטח החור השחור יקטן, בתנאי שתהליכים אחרים (כמו פליטת קרינה) יגרמו לכך שהאנטרופיה הכוללת ביקום תגדל.
כעצמים תרמודינמיים בעלי טמפרטורה, חורים שחורים אמורים לפלוט קרינה תרמית.
חישובים סמי-קלאסיים מראים שאכן כך הדבר, וקרינה זו ידועה בשם קרינת הוקינג.
הסבר אינטואיטיבי אך לא לחלוטין מדויק לתופעה מתאר זוגות של חלקיקים "וירטואליים" (חלקיק ואנטי-חלקיק) הנוצרים כל הזמן מהריק הקוונטי ליד אופק האירועים.
לעיתים, אחד החלקיקים נופל לתוך החור השחור, בעוד שהשני נמלט לחלל.
כדי לשמר את האנרגיה, החלקיק שנופל פנימה נושא אנרגיה שלילית, ובכך מקטין את מסת החור השחור.
ההסבר המלא והמדויק מורכב הרבה יותר ונובע מחישובים של תורת השדות הקוונטיים במרחב-זמן עקום.
קרינה זו מצייתת לחוק פלאנק, המתאר את ספקטרום הקרינה הנפלטת מגוף שחור בטמפרטורה נתונה, וכבידת פני השטח של החור השחור ממלאת את תפקיד הטמפרטורה.
קיימים סוגים נוספים של אופקים מלבד אלה של חורים שחורים:
אופק חלקיקים: ביקום מתפשט בעל גיל סופי, זהו "קצה" היקום הנצפה.
מכיוון שהיקום קיים מזה כ-13.8 מיליארד שנים, אור מאזורים מרוחקים מאוד טרם הספיק להגיע אלינו.
אופק החלקיקים הוא הגבול הדמיוני המפריד בין האזורים שיכולנו לראות לבין אלה שלא.
אופק אירועים קוסמולוגי: ביקום שהתפשטותו מואצת, קיימים אזורים כה מרוחקים עד שהמרחב בינינו לבינם מתפשט מהר יותר ממהירות האור.
כתוצאה מכך, אור שיצא מהם כעת לעולם לא יגיע אלינו.
גבול זה, שממנו ואילך נהיה מנותקים סיבתית לנצח, נקרא אופק האירועים הקוסמולוגי.
אופק רינדלר: במרחב מינקובסקי שטוח, צופה הנמצא בתאוצה קבועה יחוש כאילו הוא מוקף בקרינה תרמית חמה, ויראה "אופק" מאחוריו, שממנו נראה ששום מידע אינו יכול להגיע.
תופעה זו, הקשורה לאפקט אונרו, מדגימה את הקשר העמוק בין תאוצה, כבידה ותרמודינמיקה.
מאפיין כללי נוסף של תורת היחסות הכללית הוא הופעתם של גבולות למרחב-זמן, הידועים בשם סינגולריות.
אין הכוונה לגבול במרחב, אלא לקצה של המציאות הפיזיקלית עצמה: אזורים שבהם מסלוליהם של אור וחלקיקים מגיעים לסוף פתאומי, והגאומטריה המוכרת לנו מאבדת את הגדרתה.
במקרים המעניינים יותר, אלו הן "סינגולריות של עקמומיות", שבהן גדלים גאומטריים המאפיינים את עקמומיות המרחב-זמן, כמו סקלר ריצ'י (מדד מתמטי לעקמומיות), מקבלים ערכים אינסופיים.
דוגמאות מוכרות למרחבי-זמן עם סינגולריות עתידיות – שבהן מסלולי החלקיקים מסתיימים – הן פתרון שוורצשילד, המתאר סינגולריות נקודתית בתוך חור שחור סטטי, ופתרון קר, המתאר סינגולריות טבעתית (הנוצרת בשל התנע הזוויתי המונע קריסה לנקודה) בתוך חור שחור מסתובב.
פתרונות קוסמולוגיים, כמו פתרונות פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר, מכילים סינגולריות בעבר שבהן מסלולים מתחילים – כלומר, הסינגולריות של המפץ הגדול, ולחלקם יש גם סינגולריות עתידיות (כמו בקריסה הגדולה – תרחיש היפותטי שבו היקום קורס בחזרה לנקודה אחת).
בהתחשב בכך שדוגמאות אלו הן סימטריות מאוד (למשל, מניחות כוכב כדורי מושלם), ולפיכך פשטניות, ניתן היה להסיק שהופעתן של סינגולריות היא תוצר לוואי של אידיאליזציה מתמטית.
אולם, משפטי הסינגולריות המפורסמים, שהוכחו על ידי רוג'ר פנרוז וסטיבן הוקינג, הראו אחרת: סינגולריות הן מאפיין גנרי של תורת היחסות הכללית, והיווצרותן היא בלתי נמנעת בתנאים מציאותיים.
עם זאת, המשפטים אינם מתארים את מבנה הסינגולריות עצמן, והמחקר הנוכחי בתחום, כמו השערת BKL, מוקדש לאפיון הגאומטריה הכאוטית והמורכבת בסביבתן.
השערת הצנזורה הקוסמית, שהוצעה על ידי פנרוז, קובעת כי כל הסינגולריות העתידיות הריאליסטיות מוסתרות בבטחה מאחורי אופק אירועים.
השימוש במונח "צנזורה" הוא מטאפורי: הטבע, על פי השערה זו, "מצנזר" ומונע מאיתנו לצפות בסינגולריות עירומה (סינגולריות שאינה מוסתרת על ידי אופק), אשר חשיפתה הייתה מאפשרת לקריסה של חוקי הפיזיקה להשפיע על שאר היקום.
אף שאין עדיין הוכחה רשמית להשערה, סימולציות נומריות מציעות ראיות התומכות בתקפותה.
כל פתרון של משוואות איינשטיין אינו מתאר מצב ברגע נתון, אלא מקיף את ההיסטוריה השלמה של יקום – מרחב-זמן ארבע-ממדי שלם, המגדיר את הגאומטריה ואת מצב החומר בכל נקודה ובכל רגע.
בשל תכונת הקווריאנטיות הכללית שלה, התאוריה אינה מספיקה כשלעצמה כדי לקבוע את התפתחות הזמן של המטריקה.
יש לשלב אותה עם תנאי קואורדינטות, מהלך המקביל לקיבוע כיול בתורות שדה אחרות.
כדי לנתח את משוואות איינשטיין כמשוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות התפתחות בזמן, פותחו שיטות המכונות "ניסוחי 3+1".
בגישה זו, המרחב-זמן הארבע-ממדי "נפרס" לסדרה של "פרוסות" תלת-ממדיות של מרחב, המתפתחות לאורך ממד הזמן.
הדוגמה המוכרת ביותר לגישה זו היא פורמליזם ADM.
ניסוחים אלה מראים שמשוואות ההתפתחות בזמן של היחסות הכללית "מתנהגות היטב": הם מוכיחים שפתרונות תמיד קיימים ומוגדרים באופן ייחודי, מרגע שנקבעים תנאי התחלה מתאימים (כלומר, תיאור מלא של הגאומטריה והחומר ב"פרוסת זמן" אחת).
ניסוחים כאלה של משוואות השדה של איינשטיין מהווים את הבסיס של תחום היחסות נומרית.
הרעיון של משוואות התפתחות בזמן קשור באופן הדוק להיבט נוסף בפיזיקה היחסותית.
בתורתו של איינשטיין, מתברר כי בלתי אפשרי למצוא הגדרה כללית לתכונה פשוטה לכאורה כמו המסה (או האנרגיה) הכוללת של מערכת.
הסיבה המרכזית היא שלשדה הכבידה עצמו יש אנרגיה, אך באופן יסודי, בלתי אפשרי "למקם" את האנרגיה הזו בנקודה ספציפית.
זאת מכיוון שעל פי עקרון השקילות, תמיד ניתן לבחור מערכת ייחוס מקומית שבה הכבידה "נעלמת".
חרף זאת, קיימות אפשרויות להגדיר מסה כוללת של מערכת, בין אם באמצעות "צופה היפותטי במרחק אינסופי" (מסת ADM) ובין אם באמצעות סימטריות מתאימות (מסת קומאר).
אם מתוך המסה הכוללת של המערכת מחסירים את האנרגיה הנישאת לאינסוף על ידי גלי כבידה, התוצאה היא מסת בונדי.
בדומה לפיזיקה הקלאסית, ניתן להראות שהמסות הללו הן חיוביות, עובדה חשובה ליציבותו של המרחב-זמן.
הגדרות גלובליות דומות קיימות גם עבור תנע ותנע זוויתי.
הגדרות המסה הגלובליות (כמו מסת ADM) הן שימושיות תאורטית, אך יש להן מגבלה: הן דורשות ידע על הגאומטריה של המרחב-זמן במרחק אינסופי מהמערכת.
לכן, נעשו ניסיונות רבים להגדיר גדלים "קוואזי-מקומיים" (כלומר, מקומיים-לכאורה).
המטרה היא למצוא דרך לחשב את המסה והאנרגיה של מערכת מבודדת (כמו כוכב או חור שחור) על ידי מדידות הנעשות אך ורק על פני "בועה" דמיונית הסוגרת על המערכת, מבלי להסתכל על מה שקורה באינסוף.
התקווה היא שבאמצעות הגדרה מעשית כזו, ניתן יהיה לנסח ולבדוק טענות כלליות על מערכות מבודדות.
דוגמה מרכזית לכך היא ניסוח מדויק יותר של השערת החישוק, שהוצעה על ידי הפיזיקאי קיפ תורן.
השערה זו קובעת כי כל מסה שתדחס לאזור קטן מספיק כך ש"חישוק" דמיוני בעל היקף קריטי (הקשור לרדיוס שוורצשילד של המסה) יוכל לעבור סביבה מכל כיוון, חייבת לקרוס ולהפוך לחור שחור.
כדי לבחון השערה כזו, נדרשת הגדרה מדויקת של "מסה" בתוך אותו אזור סופי.
אם תורת היחסות הכללית נחשבת לאחד משני עמודי התווך של הפיזיקה המודרנית, הרי שתורת הקוונטים, המהווה את הבסיס להבנת החומר, החל מחלקיקים יסודיים ועד לפיזיקה של מצב מוצק, היא העמוד השני.
עם זאת, שילובן של שתי התאוריות נותר אחת הבעיות הפתוחות והחשובות ביותר בפיזיקה.
תורת השדות הקוונטיים במרחב-זמן עקום
תורות שדה קוונטיות רגילות, המהוות את הבסיס לפיזיקת החלקיקים המודרנית, מוגדרות במרחב מינקובסקי שטוח (כלומר, במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית, שבו הכבידה אינה קיימת).
זהו קירוב מצוין לתיאור התנהגותם של חלקיקים מיקרוסקופיים בשדות כבידה חלשים, כמו אלה המצויים על פני כדור הארץ.
לשם תיאור מצבים שבהם הכבידה חזקה דיו כדי להשפיע על חומר קוונטי, אך עדיין אין היא חזקה מספיק כדי שיהיה צורך "לקוונטט" את הכבידה עצמה (כלומר, לתאר את הכבידה במונחים של חלקיקים – גרביטונים), פיתחו פיזיקאים את תורת השדות הקוונטיים במרחב-זמן עקום.
תאוריות אלו מהוות מעין "תאוריית כלאיים": הן מסתמכות על תורת היחסות הכללית כדי לתאר מרחב-זמן עקום המשמש כ"רקע" קבוע, ומגדירות תורת שדות קוונטית מוכללת כדי לתאר את התנהגותו של חומר קוונטי בתוך אותו מרחב-זמן.
באמצעות פורמליזם זה, ניתן להראות שֶחורים שְחורים פולטים קרינה תרמית בעלת ספקטרום קרינת גוף שחור (כלומר, קרינה בעלת התפלגות אנרגיה אופיינית לגוף הנמצא בשיווי משקל תרמי), הידועה בשם קרינת הוקינג.
קרינה זו מובילה לאפשרות שהם "מתאדים" ונעלמים לאורך זמן.
כפי שצוין בקצרה לעיל, לקרינה זו תפקיד חשוב בתרמודינמיקה של חורים שחורים.
הדרישה לעקביות בין התיאור הקוונטי של החומר לתיאור הגאומטרי של המרחב-זמן, וכן הופעתן של סינגולריות, מצביעות על הצורך בתאוריה שלמה של כבידה קוונטית: תאוריה שבה הכבידה והגאומטריה של המרחב-זמן מתוארות בשפת הפיזיקה הקוונטית.
תאוריה כזו נדרשת כדי לתאר את פנים החורים השחורים ואת היקום המוקדם מאוד.
למרות מאמצים גדולים, תאוריה שלמה ועקבית כזו אינה ידועה כיום, אם כי קיימות מספר תאוריות מועמדות.
ניסיונות להכליל את תורות השדה הקוונטיות הרגילות, המשמשות בפיזיקת החלקיקים, כך שיכללו את הכבידה, נתקלו בקשיים חמורים.
בסקאלות אנרגיה נמוכות, גישה זו מצליחה במידה מסוימת ומניבה תורת שדה אפקטיבית של כבידה.
אולם, בסקאלות אנרגיה גבוהות מאוד, התוצאות המתקבלות בחישובים הן אינסופיות וחסרות משמעות פיזיקלית.
הבעיה נעוצה בכישלונה של טכניקה מתמטית בשם רנורמליזציה.
בתורות קוונטיות אחרות, הרנורמליזציה מאפשרת "לספוג" את האינסוף שמופיע בחישובים לתוך הגדרתם של קבועים פיזיקליים, ובכך לקבל תחזיות סופיות.
בכבידה, טכניקה זו נכשלת, ואינסוף חדש ובלתי ניתן לסילוק מופיע בכל שלב של החישוב.
תופעה זו מכונה "אי-יכולת לעבור רנורמליזציה", והיא הופכת את המודל לחסר כוח ניבוי.
אחת הגישות להתגבר על מגבלות אלו היא תורת המיתרים, תאוריה קוונטית שבה אבני הבניין היסודיות אינן חלקיקים נקודתיים, אלא עצמים חד-ממדיים זעירים דמויי "מיתר".
הרעיון לעבור מנקודות למיתרים נבע מההבנה שהאינטראקציות בין חלקיקים נקודתיים הן חדות ומקומיות מדי, מה שגורם להופעת האינסוף.
המיתר, לעומת זאת, הוא עצם "מרוח" במרחב, והאינטראקציות שלו "מרוככות", מה שמוביל לביטול האינסוף בחישובים.
התאוריה מבטיחה להיות תאוריה מאוחדת של כל החלקיקים והכוחות, כולל הכבידה.
הרעיון הוא שמצבי תנודה שונים של אותו מיתר יסודי נראים לנו כחלקיקים שונים.
באופן מכריע, אחד ממצבי התנודה של המיתר תמיד מתאים לתכונותיו של הגרביטון – החלקיק ההיפותטי הנושא את כוח הכבידה.
המחיר הוא קיומם של מאפיינים יוצאי דופן, כמו שישה ממדי מרחב נוספים על שלושת הממדים המוכרים.
במה שמכונה המהפכה הסופר-מיתרית השנייה, הועלתה השערה שתורת המיתרים ואיחוד של היחסות הכללית עם סימטריית-על (סימטריה היפותטית המקשרת בין חלקיקי חומר לחלקיקים נושאי כוח) המכונה סופר-כבידה, הם חלק ממודל היפותטי בעל 11 ממדים המכונה תורת M.
גישה אחרת מתחילה מהליכי הקוונטיזציה קנונית.
היא מנסה לקחת את תורת היחסות הכללית כפי שהיא, וליישם עליה ישירות את הכללים המתמטיים של תורת הקוונטים.
התוצאה היא משוואת וילר-דה-ויט, אך היא התבררה כבלתי מוגדרת: המשוואה אינה מכילה את משתנה הזמן, ומתארת יקום "קפוא" וסטטי, מה שמקשה מאוד על פירושה הפיזיקלי.
פריצת דרך הושגה עם הצגתם של משתני אשטקר, ניסוח מתמטי חדש של היחסות הכללית, שהביא למודל המכונה כבידה קוונטית לולאתית.
במודל זה, המרחב עצמו אינו רציף, אלא בנוי מרשת של "לולאות" קוונטיות המכונה רשת ספין, המתפתחת בצעדים בדידים.
בהתאם לאילו מאפיינים של היחסות הכללית ותורת הקוונטים מקבלים כבלתי משתנים, קיימות גישות רבות נוספות.
לדוגמה, טריאנגולציה דינמית סיבתית מנסה "לבנות" את המרחב-זמן מאבני בניין זעירות דמויות-פירמידה, תוך שמירה על עקרון הסיבתיות (סיבה קודמת לתוצאה).
גישת הקבוצות הסיבתיות מניחה שהמרחב-זמן אינו רציף, אלא מורכב מ"אטומים" בדידים של מאורעות.
כל התאוריות המועמדות עדיין מתמודדות עם בעיות פורמליות ורעיוניות משמעותיות.
הן ניצבות גם בפני הבעיה המשותפת שעדיין אין דרך להעמיד את תחזיותיהן למבחן ניסויי, אם כי קיימת תקווה שהדבר ישתנה עם קבלת נתונים עתידיים מתצפיות קוסמולוגיות וניסויים בפיזיקת חלקיקים.
תורת היחסות הכללית התבססה כמודל מוצלח ביותר של כבידה וקוסמולוגיה, ועד כה תאם באופן חד-משמעי את הנתונים התצפיתיים והניסיוניים.
עם זאת, קיימות סיבות תאורטיות מוצקות להחשיב את התאוריה כבלתי שלמה.
בעיית הכבידה הקוונטית ושאלת ממשותן של סינגולריות במרחב-זמן נותרו פתוחות.
נתונים תצפיתיים המתפרשים כראיה לקיומם של אנרגיה אפלה וחומר אפל עשויים גם הם להצביע על הצורך לשקול תאוריות חלופיות או שינויים בתורת היחסות הכללית.
גם במצבה הנוכחי, תורת היחסות הכללית מספקת אפיקי מחקר רבים.
חוקרי יחסות מתמטיים שואפים להבין את טבען של הסינגולריות ואת התכונות היסודיות של משוואות איינשטיין, בעוד חוקרי יחסות נומרית מריצים סימולציות ממוחשבות מורכבות יותר ויותר, המתארות למשל מיזוג של חורים שחורים.
בפברואר 2016, הוכרז כי גלי כבידה זוהו באופן ישיר על ידי צוות Advanced LIGO ב-14 בספטמבר 2015. כמאה שנה לאחר הצגתה, תורת היחסות הכללית נותרה תחום מחקר פעיל ביותר.
תורת המבחנים היא התחום החוקר את השימוש במבחנים השונים, ומקדם אותו.
ניתן לחלק את תורת המבחנים לשתי גישות מרכזיות:
תורת המבחנים בפסיכולוגיה (פסיכומטריקה): המטרה היא להשוות בין אנשים שונים, ולכן היא מעוניינת למדוד הבדלים בין אישיים.
במבחני אישיות, מבחני אינטליגנציה, הבחינה הפסיכומטרית ומיון לעבודה – אמורה להתקבל שונות רבה, כלומר פיזור רב של הציונים.
גישה זו משתמשת בנורמות קבוצה.
תורת המבחנים בחינוך פורמלי (אדיומטריקה): המטרה היא לבחון מהו מיקומו של הפרט ביחס לנורמה או קריטריון מסוים (רמת ידע או מיומנות נדרשת), ולכן התורה מעוניינת למדוד הבדלים תוך אישיים.
הבודק מעוניין לדעת האם התלמיד השתפר בתחום מסוים, ומה מיקומו ביחס לרמה הנדרשת בגיל.
לפי גישה זו, המטרה במבחן היא לכלול פריטים שרגישים לשינוי, שיוכלו להעיד שהתרחשה למידה.
גישה זו היא מרכז התחום של הערכה ומדידה בחינוך פורמלי, והשימוש העיקרי בה הוא בנורמות תוכן.
שני גורמים חשובים בתורת המבחנים הם מהימנות ותוקף.
זאת משום שהם משפיעים על דיוק ונכונות של המדידה.
תורת הכָּאוס (או התוהו) היא ענף במתמטיקה, בחיזוי מזג אוויר, בפיזיקה, בכלכלה ובפילוסופיה, המתארת מערכות רבות, שגם כאשר ידועים כל החוקים השולטים בהן, לא ניתן לחזות את התפתחותן לטווח ארוך.
מערכות אלו מכונות מערכות דינמיות, והן בעלות רגישות גבוהה לשינויים מזעריים בתנאי ההתחלה.
תופעה זו מכונה בלשון ציורית "אפקט הפרפר".
דוגמאות למערכות כאלה הן האטמוספירה ומערכות כלכליות מסוימות.
החידוש הגדול בתורת הכאוס היה ההדגמה כי גם במערכות פשוטות ודטרמיניסטיות קיימים מצבים בהם התנהגות המערכת אינה ניתנת לחיזוי באופן אפקטיבי, משום שלשם כך יש צורך בידיעת התנאים ההתחלתיים בדיוק אינסופי - שאינו אפשרי.
בניגוד למה שהשם מרמז, "התנהגות כאוטית" אינה התנהגות שיש בה אי סדר מוחלט, אלא התנהגות חסומה; כלומר, מוגבלת לאירועים מסוימים, ושואפת למושך – אוסף יציב של מצבים.
לפני פיתוחה של תורת הכאוס, המושכים היחידים הידועים היו ההתכנסות לנקודת איזון (אקוויליבריום), ההתכנסות למסלול מחזורי, וההתכנסות למסלול כמעט מחזורי.
תורת הכאוס הוסיפה לרשימה מושך מוזר; מסלול שהמערכת מתכנסת אליו, בעל אופי פרקטלי.
מערכות בהן מתקיימת התנהגות כאוטית הן לא ליניאריות בהכרח.
עבור משוואות הפרש, התנהגות כאוטית יכולה להופיע כבר במשוואה יחידה, כמו ההעתקה הלוגיסטית.
עבור משוואות דיפרנציאליות רגילות, התנהגות כאוטית יכולה להופיע רק ממערכת בה לפחות שלוש משוואות אוטונומיות מסדר ראשון (כגון משוואות לורנץ), או מערכת של שתי משוואות עם תלות ישירה בזמן.
מערכת דינמית לא-ליניארית יכולה באופן כללי להתנהג באחד או יותר מהאופנים הבאים:
לגדול באופן אינסופי (במערכות לא חסומות בלבד)
סוג ההתנהגות של המערכת תלוי במצב ההתחלתי שלה ובערכי הפרמטרים שלה.
סוג ההתנהגות הקשה ביותר לחיזוי ולאפיון הוא הכאוטי, תנועה מורכבת לא-מחזורית שנתנה את שמה לתאוריית הכאוס.
מערכת כאוטית מוגדרת כבעלת המאפיינים הבאים:
תלות חזקה (אקספוננציאלית לרוב) בערך המדויק של תנאי ההתחלה.
המסלולים המחזוריים שלה צפופים במרחב המצבים
הרגישות למצב ההתחלתי מתבטאת בכך שהבדל זעיר במצב ההתחלתי של שתי נקודות במערכת מוביל לשינוי משמעותי בהתנהגותן לאורך זמן.
המערכות יתנהגו באופן זהה אם ורק אם התנאים המוקדמים שלהן זהים לחלוטין, דבר שאיננו ניתן ליישום.
דוגמה לרגישות שכזו היא "אפקט הפרפר", המשמשת להמחשת הסיבה בגינה לא ניתן לחזות בדייקנות את מזג האוויר שיתקיים בעתיד הרחוק (מעבר לשבוע).
אף על פי שתנועת כנפי הפרפר יוצרת שינויים זעירים באטמוספירה, די בהם על מנת ליצור שינוי משמעותי במזג האוויר עם חלוף הזמן.
ההבדל העתידי בין המערכת נטולת-הפרפר והמערכת בעלת-הפרפר עשוי לגדול עד כדי כך, שכאשר באחת יתקיים יום שמש בהיר, בשנייה תתחולל סופת טורנדו.
דוגמאות מוכרות אחרות לתנועה כאוטית הן הערבוב של צבעים נוזליים (חיתחות) ומערבולות אוויר.
ניתן לשרטט תנועה (כאוטית או שאיננה כאוטית) באמצעות דיאגרמת פאזה.
כל אחד מצירי גרף הפונקציה מייצג ממד כלשהו של המצב, ללא ציר זמן.
דוגמה: מיקום מטוטלת כנגד מהירותה; מטוטלת במנוחה תצויר כנקודה, בעוד שמטוטלת בתנועה מחזורית תצויר כעקומה סגורה פשוטה, הקרויה מסלול.
המטוטלת עשויה לשרטט מספר אינסופי של מסלולים כאלה, הנבדלים זה מזה באנרגיה שלהם.
לעיתים קרובות, דיאגרמות פאזה מראות כי המצבים שמתוארים בהן מתקרבים בעקיבות לגבול מסוים.
גם אם המסלולים שונים זה מזה בתכלית, כולם מסתיימים לבסוף באותה הנקודה.
לכאורה, המערכת נמשכת אליה, ועל כן היא נקראת "המושך של המערכת".
לדוגמה, מטוטלת אשר מאטה בהדרגה כתוצאה מחיכוך או מהתנגדות האוויר, תשרטט ספירלה המתכנסת אל נקודת האמצע, בה איבדה את כל האנרגיה שלה וחדלה מלנוע.
נקודה זו, אליה תתכנס כל תנועת מטוטלת באשר היא, היא "המושך".
במערכות פשוטות לניתוח, המושך נקודתי לרוב, אך לא תמיד.
מושכים אחרים עשויים לשרטט לולאות פשוטות (תנועה מחזורית); לולאות כפולות, בהן יותר משתי דרגות חופש (תנועה מחזורית-למחצה); ומבנים פרקטלים, המאפיינים "מושכים מוזרים" (תנועה כאוטית).
בכל נקודה של דיאגרמת הפאזה, המערכת תיטה להתפתח למצב שכן בצורה דטרמניסטית.
אם המטוטלת שלנו נמצאת בנקודה מסוימת ויש לה מהירות מסוימת, ניתן לחשב את הנקודה הבאה ואת מהירותה.
דיאגרמת הפאזה מייצגת שדה וקטורים, ועל כן ניתן להבין אותה באמצעות אנליזה וקטורית.
תנועה כאוטית מתכנסת למושכים מוזרים, שהם בעלי מורכבות ופירוט אינסופיים.
לדוגמה, מודל תלת־ממדי של מערכת מזג האוויר של לורנץ יוצר את "מושך לורנץ" המפורסם.
הדיאגרמה של מושך זה היא אחת הדיאגרמות הידועות ביותר במערכות הכאוטיות, הן משום שהייתה מהראשונות שהתפרסמו, והן בשל צורתה האלגנטית, המזכירה כנפי פרפר.
מושכים מוזרים קיימים במערכות דינמיות רציפות (כמו מערכת לורנץ) ובמערכות דיסקרטיות, בדידות (כמו מפת הנון).
למערכות דינמיות דיסקרטיות אחרות יש מבנה דוחה שקרוי קבוצת ז'וליה, שנוצר בגבול בין אזורי משיכה בנקודות קבועות.
אפשר לחשוב על קבוצת ז'וליה כ"דוחה מוזר".
הן למושכים והן לדוחים המוזרים יש מבנה פרקטלי.
משפט פואנקרה-בנדיקסון מראה כי מושך מוזר יכול להיווצר במערכת דינאמית רציפה רק אם יש לו שלושה ממדים או יותר ("חוק השלוש" בא לידי ביטוי רבות בתורת הכאוס, גם במשוואות דינאמיות וגם במשוואות לוגיסטיות).
עם זאת, מגבלה זו אינה קיימת במערכות דיסקרטיות, שמציגות מושכים מוזרים במערכות בעלות שני ממדים, ואפילו בממד אחד.
הדפוס של מערכת עם "מושך מוזר" הוא שונה.
מערכות עם "מושכים מוזרים" מציגות התנהגות כאוטית.
מיפוי המושך המוזר מראה, שהתנהגות המערכת בלתי צפויה, נראית "משונה" או "מוזרה", ואינה עקבית וסדירה כמו ה"מושך".
מכיוון שהמערכת פתוחה לסביבה החיצונית שלה, היא מסוגלת להפגין גוונים רבים של תנועה.
בכל אורגניזם בריא קיים "מושך מוזר", והוא עצמו "מושך מוזר" המתפתל, מתנועע, משתנה, רווי מעגלי משוב חיוביים הדוחפים את המערכת לכיוונים חדשים, ומעגלי משוב שליליים הדואגים לכך שהתהליך לא יגלוש לאקראיות צרופה, שתהרוס אותו.
שורשיה של תאוריית הכאוס בשנת 1900 לערך, במחקריו של אנרי פואנקרה על בעיית שלושת הגופים, העוסקת בתנועה של שלושה גופים בחלל, בהשפעת הכבידה.
מחקרים מאוחרים יותר, גם בנושא של משוואות דיפרנציאליות לא ליניאריות, נעשו על ידי ג'ורג' בירקהוף, אנדריי קולמוגורוב, מרי קרטרייט, ג'ון אדנזור ליטלווד וסטפן סמייל.
מלבד סמייל (המתמטיקאי הטהור הראשון שחקר את הדינמיקה הא-ליניארית), העניקה הפיזיקה את ההשראה למחקר - בעיית שלושת הגופים במקרה של בירקהוף; מערבולות ובעיות אסטרונומיות במקרה של קולמוגורוב; והנדסת רדיו במקרה של קרטוויט וליטלווד.
אף על פי שתנועה כאוטית של כוכבי-לכת טרם נצפתה, לא הייתה בנמצא תאוריה שיכלה להסביר את חוסר הסדר בתנועת נוזלים ואת השינוי הלא-מחזורי במעגלי רדיו.
תאוריית הכאוס תפסה תאוצה לאחר אמצע המאה העשרים, כאשר מדענים החלו להבין שתורת המערכות הליניאריות, התאוריה המערכתית המובילה באותו זמן, לא יכולה להסביר את התנהגותם של ניסויים מסוימים, כדוגמת ההעתקה הלוגיסטית.
הזרז העיקרי להתפתחות של תאוריית הכאוס היה המחשב האלקטרוני, שכן פתרון בעיות מתמטיות בתאוריית הכאוס מצריך מספר אסטרונומי של חישובים, אותו לא ניתן לבצע ידנית בפרק זמן סביר.
אחד המחשבים האלקטרוניים הראשונים, ה-ENIAC, שימש לעריכת מודלים פשוטים של מזג האוויר.
חלוץ מוקדם של התאוריה היה אדוארד לורנץ, שהתעניינותו בכאוס באה בדרך מקרה בזכות מחקריו על חיזוי מזג אוויר ב-1961. לורנץ השתמש במחשב בסיסי, עליו הריץ את הסימולציה האקלימית שלו.
הוא רצה לחזור ולראות נתונים שראה קודם לכן, ובמטרה לחסוך זמן, הזין נתונים שהתקבלו באמצע סימולציה קודמת.
לורנץ הבין שהשינוי נבע מכך שהזין נתונים החדשים בדרגת דיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה, ולעומת החישוב הקודם שנשען על דיוק של חמש ספרות אחרי הנקודה.
כך נתגלה כי כל דרגת דיוק הנמוכה מאינסוף תוביל להעמקה בלתי נמנעת של ההבדלים בין שתי המערכות, עד לכדי כך שלא יהיה ביניהן עוד כל דמיון.
גילוי זה סתר את הקונצנזוס השגוי שקדם לו, לפיו הבדל זעיר שכזה יהה זניח וחסר משמעות.
המונח כאוס במתמטיקה נטבע על ידי המתמטיקאי ג'יימס א.
עם עליית כוח העיבוד של המחשבים בני זמננו, תאוריית הכאוס מהווה כיום תחום מחקר פעיל ביותר.
תורת החבורות היא ענף של המתמטיקה (במסגרת האלגברה) העוסק בחקר המבנה האלגברי הקרוי חבורה ובפונקציות משמרות המבנה שמוגדרות עליו, הנקראות הומומורפיזם.
חבורה היא מבנה אלגברי הכולל אוסף של איברים ופעולה מוגדרת ביניהם המקיימת מספר כללים מתמטיים.
תורת החבורות פותחה כתורה מתמטית, כזו שיש בה חשיבות לענפי מתמטיקה אחרים וכתורה העומדת בפני עצמה.
במאה העשרים נמצאו לתורת החבורות שימושים נרחבים בפיזיקה ובמדעי המחשב.
לתורת החבורות שלושה שורשים: חקר משוואות אלגבריות, תורת המספרים וגאומטריה.
המתמטיקאים הראשונים שעסקו בתחום זה הם אוילר, גאוס, לגראנז', אבל ובפרט אווריסט גלואה.
גלואה הוא הראשון שיצר זיקה בין תורת החבורות לתורת השדות, באמצעות תורה הקרויה היום תורת גלואה.
אחת הבעיות הראשונות שהובילו לתורת החבורות היא זו של יצירת משוואה ממעלה ששורשיה הם ביטויים סימטריים בשורשים ידועים של משוואה נתונה ממעלה (כאשר ).
מקרים פשוטים של בעיה זו נחקרו כבר במאה ה-17. ז'וזף לואי לגרנז' למד ב-1770 את ההתנהגות של פונקציות בשורשים (כגון ) תחת החלפת שורשים זה בזה.
על הקרקע הזו צמחו רעיונותיו של גלואה, יותר מ-60 שנה אחר-כך.
בשנת 1831 היה גלואה הראשון שהבין שפתרונה של משוואה אלגברית קשור למבנה של חבורת התמורות של הפתרונות של אותה משוואה.
גלואה עסק כאמור בקבוצות (להן קרא "חבורות") של תמורות של שורשים של פולינום נתון.
במאמר שהגיש גלואה לאקדמיה הצרפתית למדעים בתחילת 1831, ונדחה באמצע אותה שנה, הוא מגדיר חבורה כאוסף של הצבות, כלומר, החלפות של השורשים זה עם זה.
זהו, בתיארוך מדויק להפליא, רגע לידתה של תורת החבורות (מעריכים שגלואה המציא את המושג, והחל לפתח את התאוריה שסביבו, במאי 1829).
עבודתו של גלואה לא זכתה להכרה בחייו, והיו אלה רק ז'וזף ליוביל וקאמי ז'ורדן שהביאו את עקרונותיו למרכז הבמה המתמטית.
בשנת 1846, 14 שנים לאחר מותו של גלואה, פרסם ליוביל את כתביו האניגמטיים לאחר שהשקיע חודשים אחדים בבדיקתם ופענוחם.
בגרסה זו כבר נמצאת הגדרה מפורשת יותר שבה גלואה מזהה תמורות עם הצבות, וקובע במפורש את דרישת הסגירות, המאפשרת לטפל בהרכבה של תמורות.
אוגוסטן לואי קושי המציא את החבורות סמוך לזמן פרסומם של הרעיונות של גלואה, בספטמבר 1845, אלא שהגרסה שלו לא הייתה בשלה.
בשנות החמישים של המאה ה-19 פיתחו את רעיונותיו של גלואה אנריקו בטי (1851) וארתור קיילי, שנתן ב-1854 את ההגדרה האקסיומטית שהפכה לסטנדרטית, והוכיח (במשפט קיילי) שהיא אינה שונה מן ההגדרה של גלואה.
בשנים 1856–1858 כבר נתן ריכרד דדקינד סדרה של הרצאות על חבורות ותורת גלואה בגטינגן.
ב-1870 פרסם ז'ורדן ספרו Traité des Substitutions et des Équations Algébriques, שבו סיכם את מחקריו בתחום, המבוססים על המאמרים של גלואה, ואלו היוו את היסודות לחקר תורת החבורות בעשורים הבאים.
אחד היישומים הרציניים הראשונים של תורת החבורות למדעים היה בסיווג כל המבנים האפשריים של גבישים.
האטומים של גביש יוצרים שריג תלת-ממידי אחיד, והעניין המתמטי המרכזי הוא לרשום את כל חבורות הסימטריה של שריגים כאלה, כי הן מראות את הסימטריות של הגביש ביעילות.
בשנת 1891, המתמטיקאי הרוסי יבגראף פיודורוב והמתמטיקאי הגרמני ארתור מוריץ שנפליס הוכיחו שקיימות בדיוק 230 חבורות סימטריה של גבישים במרחב.
חוקר אנגלי נוסף בשם ויליאם בארלו (Barlow) הכין רשימה דומה, אך לא מלאה.
שיטה מודרנית לאיתור המבנה של מולקולות ביולוגיות כגון חלבונים, נשענת על העברת קרני-X דרך הגביש הנוצר על ידי המולקולה והתבוננות בדפוסי השבירה של הקרניים.
חשוב לדעת את הסימטריות של הגביש כדי להסיק מהן על מבנה המולקולה הנחקרת.
אותו דבר נכון לגבי ניתוח פורייה.
במסגרת תורת החבורות נחקרים חבורות למחצה וגרופואידים; חבורות סופיות , ובפרט חבורות תמורות וחבורות p; תורת ההצגות (בעיקר של חבורות סופיות או של חבורות קומפקטיות מקומית); חבורות אבליות אינסופיות (במסגרת תורת המודולים); חבורות ליניאריות, ובפרט חבורות לי והסריגים שלהן, ובכללם חבורות אריתמטיות.
יוצרים ויחסים נחקרים במסגרת תורת החבורות הקומבינטורית.
בתורת החבורות הגאומטרית הרעיון המרכזי הוא המרת חבורה נוצרת סופית בגרף קיילי שלה (ביחס לקבוצת יוצרים סופית כלשהי), שעליו מוגדרת מטריקה טבעית, וחקירת התכונות בקנה-מידה גדול של מרחב זה, שהן התכונות שאינן תלויות בבחירת קבוצת היוצרים.
לתורת החבורות קשרים הדוקים עם תחומים מרכזיים אחרים במתמטיקה, וביניהם גאומטריה , טופולוגיה אלגברית, קומבינטוריקה ואריתמטיקה, וגם עם ענפים שונים של הפיזיקה והכימיה.
לאורך השנים התגבשו מספר תוצאות יסודיות בתורת החבורות המהוות את הבסיס להמשך המחקר בתחום.
תוצאות אלו נלמדות בקורסים אוניברסיטאיים סטנדרטיים בנושא.
להלן תרשים המסכם את עיקר התוצאות האלו ואת הקשרים ביניהן:
בין המשפטים הידועים והמורכבים בתורת החבורות ניתן למנות את:
משפט המיון לחבורות לי קומפקטיות
משפט המיון לחבורות אלגבריות רדוקטיביות
תורת המידה היא ענף מתמטי העוסק באופנים השונים שבהם ניתן למדוד מה שניתן לתפוס אינטואיטיבית כ"גודל" של קבוצה.
היישומים הבולטים ביותר של תורת המידה הם מדידת אורך (מדידת תת-קבוצות של הישר הממשי), מדידת שטח (מדידת תת-קבוצות של המישור הממשי), מדידת נפח (מדידת תת-קבוצות של המרחב התלת-ממדי) ומדידת הסתברות.
כך למשל מידתו של הקטע היא האורך , מידתה של התיבה היא הנפח ומידתו של המאורע "בקובייה יצא 6" היא ההסתברות שישית.
הכלי הבסיסי בתורת המידה בו משתמשים כדי למדוד גודל הוא פונקציית מידה, שהיא פונקציה המחזירה עבור תתי קבוצות מסוימות את הגודל שלהן כמספר ממשי (אי-שלילי).
מתברר כי לא תמיד ניתן להגדיר פונקציית מידה סבירה שתמדוד את הגודל של כל תת-קבוצה, ועל כן במקרים רבים פונקציית המידה מוגדרת רק על אוסף מסוים של תתי קבוצות המכונה "סיגמא אלגברה".
מעבר להיות תורת המידה תחום מחקר כשלעצמו, היא תורה העומדת בבסיס ענפים רבים, בראשם אנליזה מתמטית ובפרט בתורת האינטגרציה, וכן בתורת ההסתברות ובתורה הארגודית.
היא מהווה תורה עשירה יותר המכלילה ומבססת מושגים מוקדמים, כמו אינטגרל רימן, ומשמשת לחקור קבוצות ופונקציות מסובכות ומפתיעות, כמו קבוצת קנטור ופונקציית קנטור.
יסודות הענף הונחו בסוף המאה ה-19 ובראשית המאה ה-20, בעיקר על ידי אמיל בורל, אנרי לבג, יוהאן רדון ומוריס פרשה.
מידה: פונקציה המוגדרת מעל מרחב או קבוצה מסוימת ומתאימה לחלק מתתי הקבוצה שלו מספר ממשי אי-שלילי.
המידה היא סיגמא-אדיטיבית ומקיימת מספר תכונות מיוחדות.
מידת הסתברות: מידה חיובית שעבורה מידת כל המרחב עצמו היא ומקיימת את אקסיומות ההסתברות.
מידת לבג: מידה המכלילה את המושגים של אורך בישר הממשי ובאופן כללי של נפח במרחב .
קבוצה ממידה אפס: קבוצה שמידתה היא אפס.
זוהי קבוצה שלצורכי אנליזה השפעתה זניחה.
כמעט בכל מקום: תכונה שמתקיימת בכל הנקודות בתחום (המרחב שבו עובדים) פרט אולי לקבוצה החלקית לתחום זה שמידתה היא אפס.
סיגמא-אלגברה: אוסף של קבוצות הסגור תחת לקיחת משלים ותחת ביצוע איחודים וחיתוכים בני מנייה.
קבוצות בורל: הקבוצות בסיגמא-אלברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות בישר הממשי.
- קבוצה שהיא חיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות.
זהו סוג של קבוצת בורל.
- קבוצה שהיא איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות.
פונקציה מדידה: זוהי פונקציה ממשית ( ) שמקיימת את התכונה שתמונה הפוכה של כל קבוצת בורל בטווח היא קבוצה מדידה.
פונקציה פשוטה: פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים (הכללה של פונקציית מדרגה).
אינטגרל לבג: אינטגרל של פונקציות מדידות.
במתמטיקה, לוגיקה ומדעי המחשב, תורת הטיפוסים מתייחסת באופן כללי למחלקה של מערכות פורמליות, שבה לכל ערך יש טיפוס, המודד באופן מסוים את רמת המורכבות של האובייקט, והפעולות מוגבלות לערכים מטיפוס מסוים.
שיטה זו אמנם מאפשרת פיתוח סביר של יסודות המתמטיקה, אבל החלוקה לטיפוסים קשיחה מדי, והגישה לא התקבלה על דעתם של רוב הלוגיקנים.
תורת הטיפוסים באה לידי ביטוי גם בתחום מערכות הטיפוסים של שפות תכנות, ומשמשת במסגרת זו כבסיס מתמטי להוכחת תוכניות מחשב.
את תורת הטיפוסים הציג ברטרנד ראסל ב-1908, כמענה לפרדוקס שלו, שערער את יסודות תורת הקבוצות הנאיבית.
לפי גישה זו, קבוצה הכוללת איברים מטיפוס מסוים, היא בהכרח בעלת טיפוס גבוה יותר - וכך נמנעת ההתייחסות העצמית העומדת ביסוד הפרדוקס.
פיתוח מתמטי מסודר של תורת הטיפוסים ניתן לראשונה על ידי אלונזו צ'רץ' ב-1933.
שתי תורות טיפוסים ידועות שיכולות לשמש כבסיס למתמטיקה הן:
תורת הטיפוסים האינטואיציוניסטית של פר מרטין לוף.
כיום, לתורת הטיפוסים יש יישומים רבים והיא משמשת בהרבה דיסציפלינות שונות.
אפילו בתוך הלוגיקה והמתמטיקה, ישנם כמה סוגים שונים של תורות טיפוסים.
הם משרתים מספר מטרות, ומנוסחות בדרכים שונות.
אבל, לפני 1903, כאשר ראסל הציג לראשונה את תורת הטיפוסים, לא היו ניסוחים קודמים של שום תורת טיפוסים אחרת.
רק מהמחצית השנייה של המאה העשרים ניתן לראות התפתחות של תיאוריות טיפוסים.