tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
כמו בפתרון הבעיות הרגילות, גם בממדים גבוהים אוסף כל הפתרונות של משוואה דיפרנציאלית ליניארית הוא מרחב וקטורי, וממדו הוא ממד הווקטור y.
כדי לייצג את מרחב הפתרונות באופן נוח וקומפקטי משתמשים במטריצה של פונקציות , שהיא הפיכה לכל t בתחום הפתרון של המשוואה, ומקיימת את השוויון .
מטריצה זו נקראת המטריצה היסודית או המטריצה הפונדמנטלית (fundamental matrix) של המשוואה.
באמצעות מטריצה זו ניתן להציג כל פתרון של המשוואה ההומוגנית באמצעות הכפלת המטריצה בווקטור קבוע כלשהו.
פתרונות המשוואה הלא הומוגנית מתקבלים על ידי כפל של המטריצה היסודית בווקטור של פונקציות גזירות שמקיים את המשוואה .
נפתור קודם כל את המקרה הפשוט ביותר: כאשר y פונקציה רגילה מהממשיים לעצמם.
נשתמש באיטרציות של פיקאר כדי לפתור את המשוואה הזו:
כאשר את המעבר השני אפשר להוכיח באינדוקציה.
קל לראות שהאיטרציות מתכנסות לפונקציה , שפותרת את המשוואה.
בצורה דומה, ניתן לראות שהפתרון הכללי עבור תנאי התחלה הוא:
למעשה, אותה שיטה בדיוק יכולה לפתור גם את המשוואה הדיפרנציאלית כאשר A מטריצה ריבועית.
על ידי האיטרציות של פיקאר מתקבל, כמו קודם, שהפתרון למשוואה עם תנאי ההתחלה הוא הגבול:
האיבר האחרון בשוויונות הוא האקספוננט המטריציאלי של המטריצה מוכפל בווקטור b.
המטריצה היא מטריצה יסודית של המשוואה.
באופן דומה למקרה הכללי, אפשר להראות שהמטריצה היסודית שמתאימה למשוואה היא המטריצה .
כל משוואה ליניארית מסדר n ניתנת להצגה כמערכת של n משוואות ליניאריות על ידי המעבר הבא: אם
המשוואה האחרונה מתקבלת מהמשוואה המקורית על ידי ההחלפה .
באופן הזה מתקבלת מערכת משוואות ליניאריות שפתרונה שקול לפתרון המשוואה המקורית.
במתמטיקה משוואה דיופנטית היא משוואה שקבוצת הפתרונות שלה מוגבלת, בדרך-כלל, לקבוצת המספרים השלמים.
משוואות אלה נקראות על שם המתמטיקאי היווני דיופנטוס שחקר אותן.
מנקודת מבט כללית יותר מתייחס השם "משוואה דיופנטית" גם למשוואות שבהן הנעלמים עשויים לקבל ערכים בחוגים אחרים, ובפרט בחוגי שלמים של שדות מספרים.
המיון הבסיסי של משוואות דיופנטיות דומה לזה של מערכות משוואות אחרות: ההבחנה הראשונה היא בין משוואות פולינומיות לבין משוואות כלליות.
פרמטרים בסיסיים אחרים הם מספר המשוואות ומספר המשתנים.
למשוואות שאינן פולינומיות (כמו משוואת דיפי־הלמן , בנעלמים עבור נתונים), אין תאוריה כללית, ובדרך כלל מיוחד המונח "משוואה דיופנטית" למשוואות פולינומיות.
משוואות פולינומיות אפשר למיין מיון נאיבי על-פי המעלה הכוללת של הפולינום, או ה"גובה" של המשוואה , אך התאוריה המודרנית, המטפלת במשוואות דיופנטיות בכלים של גאומטריה אריתמטית, ממיינת את מערכות המשוואות על-פי הגנוס הגאומטרי שלהן.
בעקבות פתרון הבעיה העשירית של הילברט, ידוע שאין אלגוריתם המכריע האם למערכת משוואות נתונה יש פתרון.
עם זאת, תורת המספרים הקלאסית התמודדה עם טיפוסים רבים של משוואות דיופנטיות (בעיקר ממעלות 2, 3 ו-4), ופותחו כמה שיטות כלליות, כמו גם נימוקים מבריקים לכל מקרה ומקרה.
אחת הדוגמאות הידועות היא המשוואה הריבועית , הנגזרת ממשפט פיתגורס, ושהפתרונות לה נקראים שלשות פיתגוריות.
למשוואה זו יש פתרון כללי: כאשר מספרים טבעיים.
לפי המשפט האחרון של פרמה, למשוואה עבור אין פתרונות שלמים, למעט הטריוויאליים (שבהם אחד הנעלמים שווה ל-0).
משוואות דיופנטיות מערבות במקרים רבים קשיים חישוביים משמעותיים.
פתרון המשוואה הפשוטה (עבור ) שקול לבעיית הפירוק של המספר לגורמיו הראשוניים, ומאמינים שעבור גדול זוהי בעיה קשה.
יש שיטות הצפנה נפוצות (כמו RSA) שחוזקן מבוסס על ההנחה שבעיית הפירוק אכן קשה לפתרון.
המשוואה ax + by = c
למשוואה הדיופנטית (עבור שלמים נתונים) יש פתרון בשלמים אם ורק אם המחלק המשותף המקסימלי של מחלק את .
אם התנאי מתקיים נסמן ובאמצעות אלגוריתם אוקלידס המורחב נמצא שלמים עבורם .
קל לראות כי אכן יהוו פתרון למשוואה.
פתרונות נוספים למשוואה יתקבלו לזוגות המספרים לכל שלם.
מחלק את ולכן קיים פתרון למשוואה.
נמצא עבורם באמצעות אלגוריתם אוקלידס המורחב.
נתחיל עם המספרים 17 ו-20.
במקרה זה לכן ולכן יהוו פתרונות למשוואה.
כלומר יהוו פתרון לכל t שלם.
משוואות דיופנטיות קנוניות ממעלות גבוהות
על-פי עקרון הסה, למשוואה דיופנטית ריבועית (הומוגנית, בכל מספר של משתנים) יש פתרון במספרים שלמים אם ורק אם יש לה פתרון ממשי ובכל שדה p-אדי, כלומר מודולו כל חזקה של ראשוני.
עקרון הסה חל במקרה זה, מכיוון שמדובר בעקום מגנוס 0. עקרון הסה אינו חל על משוואות מגנוס גבוה יותר, ואפילו על עקומים אליפטיים; את הכישלון של עקרון הסה במקרה האחרון מודדת חבורת שפרביץ', שמשערים כי היא סופית.
במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית חלקית היא משוואה הקושרת בין פונקציה בשני משתנים בלתי תלויים או יותר, לבין נגזרותיה החלקיות, כאשר הפונקציה היא הנעלם במשוואה.
לעומתה, משוואה דיפרנציאלית רגילה קושרת בין פונקציה במשתנה יחיד לנגזרותיה.
דוגמה למשוואה דיפרנציאלית חלקית היא משוואת החום, שבה הפונקציה הנעלמת היא הטמפרטורה שתלויה בזמן ובמיקום.
המשוואה קושרת בין קצב ההתחממות (נגזרת הטמפרטורה לפי הזמן) להפרשי הטמפרטורות (נגזרת הטמפרטורה לפי המיקום).
דוגמה לבעיה המתוארת באמצעות משוואת החום היא בעיית זרימת חום במעבד עם צלעות קירור .
נגזרת חלקית של הפונקציה לפי המשתנה , תסומן כ- או .
באופן דומה נגזרת חלקית לפי ואחריו לפי , תסומן כ- או וכן הלאה.
המשוואה אינה מוגדרת היטב ללא תנאי שפה, כלומר ערך של הפונקציה הנעלמת על הגבול של המשתנים שלה.
לדוגמה, משוואת החום בבעיית המעבד אינה פתירה ללא ידיעת הטמפרטורה בהתחלה והחום שמיוצר במעבד .
תנאי השפה מחולקים לשני סוגים עיקריים:
תנאי שפה מסוג דיריכלה (Dirichlet boundary condition), בהם נתון ערך הפונקציה בגבולות הבעיה (בזמן מסוים ובגבולות של המרחב).
תנאי שפה מסוג נוימן (Neumann boundary condition), בהם נתונה הנגזרת של הפונקציה בגבולות הבעיה (נגזרת לפי הכוון הניצב לשפה).
בנוסף ניתן לצרף אותם לסוגים חדשים של תנאי שפה:
תנאי שפה מסוג קושי (Cauchy boundary condition), בהם נתונים ערכי הפונקציה וערכי הנגזרת שלה, כלומר עירוב תנאי דיריכלה ונוימן.
תנאי שפה מסוג רובין (Robin boundary condition), בהם נתון ערך עבור סכום של הפונקציה והנגזרת שלה באותה משוואה.
פתרונות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות
בעיה מסוימת היא מוצגת היטב אם לבעיה קיים פתרון אמיתי יחיד והפתרון יציב.
פתרון מוגדר כיציב כאשר שינוי קטן בתנאי התחלה גורם לשינוי קטן בפתרון.
בניסוח אחר: הפתרון יציב כאשר הוא תלוי באופן רציף בתנאים הנלווים לבעיה, כלומר ההפרש בין שני פתרונות כאלה יתכנס במידה שווה ל-0, כאשר השינוי בתנאי ההתחלה שואף ל-0.
לצורך קיום תנאים אלו, בנוסף למשוואה הדיפרנציאלית החלקית יש להגדיר תנאי שפה .
עבור סוגים מסוימים של משוואות דיפרנציאליות חלקיות ניתן לפתור באופן מתמטי מלא את המשוואה ולמצוא לה פתרון אנליטי (כלומר למצוא צורה פונקציונלית של הפתרון, ).
שיטות עיקריות לפתרון אנליטי הן:
שיטת הפרדת משתנים – שיטה בה מבודדים בכל אחד מאגפי המשוואה משתנה נפרד, כך שהבעיה פשוטה יותר שכן כל אגף ניתן לפתור בנפרד.
טרנספורמציה אינטגרלית – באמצעות ביצוע אינטגרציה על משוואה דיפרנציאלית ניתן להפוך אותה למשוואה הניתנת לפתרון באמצעות הפרדת משתנים.
פתרון יסודי (פונקציית גרין) – שיטה בה מחשבים את הפתרון עבור איבר לא-הומוגני שהוא פונקציית דלתא של דיראק, ואז מבצעים קונבולוציה של הפתרון עם תנאי השפה האמיתיים של הבעיה.
קיימים מקרים רבים בהם לא ניתן לפתור את הבעיה באופן אנליטי, למשל כאשר תנאי השפה הם מורכבים (למשל עבור בעיה של התפשטות קול בחדר מרובע, הוספת שולחן יוצרת בעיה שאינה פתירה באופן אנליטי).
במקרים כאלו ניתן לפתור לרוב בשיטות נומריות שונות שלרוב נעזרות במחשב.
בשיטות אלו מחלקים את המרחב לחלקים קטנים בהתאם לדיוק הרצוי, כך שבין אזורים אלו ההבדלים בערך הפונקציה הנעלמת קטנים.
שיטת אלמנטים סופיים – המרחב מחולק לאזורים (אלמנטים).
מניחים שצורת הפונקציה מקורבת על ידי פונקציה פשוטה בכל אחד מהאלמנטים בפני עצמו (למשל פונקציית דלתא או פונקציה ליניארית) ובכל אחד מהאלמנטים מבוצע אינטגרל בשיטה נומרית על המשוואה, שלאחר מכן הופכת למערכת משוואות ליניאריות אשר ניתנת לפתרון בשיטות רבות.
שיטת ההפרש הסופי בתחום הזמן – המרחב מחולק לרשת של צמתים.
מציבים את תנאי ההתחלה על הצמתים, ומתקדמים בצעד זמן קטן בהתאם לדיוק הרצוי, כאשר את הנגזרות החלקיות מחליפים בהפרש בין ערכי הפונקציה בצמתים סמוכים.
באופן זה מתקדמים מהזמן ההתחלתי בבעיה לזמן שבו נדרש הפתרון.
תיאור תופעות פיזיקליות באמצעות משוואות דיפרנציאליות חלקיות
תופעות פיזיקליות רבות מתוארות על ידי משוואות דיפרנציאליות חלקיות.
כאשר היא מרחק ההפרעה מנקודת שיווי המשקל בנקודה ברגע , היא מהירות התקדמות הגל, ו־ הוא האופרטור לפלסיאן.
כאשר היא הטמפרטורה בנקודה כלשהי בזמן , ו- הוא מקדם הולכת החום.
משוואה זאת נקראת גם משוואת הדיפוזיה.
כאשר מתארת התנהגות ריכוז המסה בזמן, והמהירות תלויה בריכוז המסה.
פוטנציאל חשמלי בריק (משוואת לפלס):
כאשר מתארת את הפוטנציאל החשמלי באזור ללא מטענים.
פונקציה המקיימת את משוואת לפלס נקראת פונקציה הרמונית.
כאשר היא פונקציית הגל של חלקיק קוונטי ו־ היא פונקציית הפוטנציאל של החלקיק.
תופעות רבות בטבע ניתנות לתיאור על ידי משוואות ליניאריות עם נגזרות עד סדר שני, בהצגת המשוואות באופן הבא:
ניתן למיין משוואות אלו לפי ערך הביטוי : המשוואה היא מסוג היפרבולי כאשר הביטוי חיובי, מסוג פרבולי כאשר הביטוי מתאפס, ומסוג אליפטי כאשר הביטוי שלילי.
סיבת חלוקה שכזו מובנת כאשר הם קבועים, ו־.
במקרה זה תמיד ישנו הפתרון , וכאשר מציבים אותו במשוואה, מתקבל הקשר , ומגאומטריה אנליטית ידוע שזהו משטח קוני במשתנים אשר את סוג חתכיו (היפרבולי, פרבולי או אליפטי) קובע הביטוי .
פתרון נקרא פתרון אמיתי אם הוא גזיר עד סדר המשוואה ומקיים את תנאי ההתחלה.
כל פתרון אחר יקרא פתרון מוכלל.
משוואה דיפרנציאלית רגילה (בקיצור: מד"ר; באנגלית: ordinary differential equation, או בקיצור: ODE) היא משוואה דיפרנציאלית שבה המשתנה הוא פונקציה של משתנה יחיד.
זאת בניגוד למשוואה דיפרנציאלית חלקית, שבה הפונקציה היא פונקציה בכמה משתנים, והנגזרות הן נגזרות חלקיות.
ככלל, משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המתארת תלות בין פונקציה, אחת או יותר, ונגזרותיה.
למשוואות דיפרנציאליות יש חשיבות רבה בתחומי הנדסה ומדע רבים ביניהם פיזיקה, כימיה, מטאורולוגיה, וכלכלה.
משוואות כאלה הן לרוב משוואות דיפרנציאליות, ולכן הן מופיעות בכל תחום בו מנסים לתאר את העולם בכלים מתמטיים.
ניתן להפריד בין סוגים שונים של משוואות על פי הסדר שלהן.
סדר של משוואה דיפרנציאלית הוא סדר הנגזרת (מעלת הנגזרת) הגבוה ביותר שמופיע בה.
כמו כן, ניתן להבדיל בין משוואה דיפרנציאלית יחידה ובין מערכת של מספר משוואות דיפרנציאליות, שבהן מחפשים יותר מפונקציה אחת.
ניתן להראות כי כל משוואה דיפרנציאלית מסדר ניתנת להצגה כמערכת של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון.
משוואות דיפרנציאליות רגילות מופיעות בהקשרים שונים במתמטיקה ובמדעים (מדעי הטבע ומדעי החברה).
החל בתחומים כמו פיזיקה ואסטרונומיה וכלה בתחומים כמו מטאורולוגיה (חיזוי מזג האוויר), ביולוגיה (התפשטות מחלות מידבקות), כימיה (קצב תגובה), אקולוגיה וכלכלה.
מתמטיקאים רבים תרמו לתורת המשוואות הדיפרנציאליות ביניהם ניוטון, לייבניץ, משפחת ברנולי, ד'אלמבר ואוילר.
דוגמה פשוטה למשוואה דיפרנציאלית רגילה היא החוק השני של ניוטון המתאר את הקשר בין הזמן (t) והמיקום (x) של גוף מסוים, עליו פועל כוח F באמצעות המשוואה הדיפרנציאלית
עבור גוף בעל מסה m.
במקרה הזה הפונקציה הנעלמת היא .
באופן כללי, משוואה מסדר ראשון מתוארת בנוסחה .
פתרון המשוואה היא פונקציה , כך שכאשר נציב אותה ב- נקבל 0.
לדוגמה: אם , אז המשוואה המתוארת בנוסחה היא .
למשוואה זו יש פתרון כללי מהצורה , כאשר A הוא מספר שייקבע על ידי תנאי הבעיה.
ניתן לראות שזהו פתרון למשוואה, שכן , ולכן הצבה ב-F תתן (לכל A), כמבוקש.
קיימים מספר סוגים של משוואות שיש שיטות מתודיות לפתרונן.
עם זאת, פתרונות הנתונים על ידי אינטגרל, גם אם לא פתור, יכולים להיות שימושיים מאוד, וגם לא בהכרח קשה לחשב את ערכם המקורב לכל צורך מעשי.
על פי רוב, למשוואה דיפרנציאלית לא קיים פתרון אחד אלא אוסף של פתרונות.
לכן נהוג לספק תנאי התחלה שיצביע על הפתרון הפרטי המבוקש.
עבור משוואות מסדר ראשון קיים משפט קיום ויחידות המבטיח עבור אוסף רחב של משוואות כי לכל תנאי התחלה קיים פתרון והוא יחיד.
משוואה ליניארית מסדר ראשון היא משוואה מהצורה .
כלומר, הן הפונקציה והן נגזרתה מופיעות לבדן ולא כחלק מפונקציה מורכבת (למשל ).
הפונקציה הנעלמת מוכפלת בפונקציה כלשהי של ופונקציה נוספת של היא "גורם חופשי" של המשוואה.
משוואות ליניאריות ניתנות תמיד לפתרון, והדרך לפתרונן קבועה ופשוטה.
אם , כלומר המשוואה היא מהצורה , המשוואה נקראת "משוואה ליניארית הומוגנית".
יש לשים לב שאין קשר בין משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית ובין משוואה דיפרנציאלית הומוגנית - זהו שם דומה שניתן לשני סוגים שונים של משוואות.
מקרה פרטי של משוואה ליניארית לא-הומוגנית מסדר ראשון הוא: , כאשר b ו-c קבועים.
פתרון המשוואה ניתן לכתיבה כסכום של פתרון הומוגני ופתרון פרטי (לא-הומוגני): , כאשר k קבוע כלשהו.
זוהי דעיכה מעריכית לערך קבוע, והיא נפוצה בטבע.
גידול ודעיכה מעריכית נפוצים בתחומי מדע רבים משום שתופעות רבות מקיימות בקירוב משוואה דיפרנציאלית זו.
משוואות לוטקה-וולטרה, למשל, משמשות לחקר האוכלוסיות בביולוגיה.
במעגלים חשמליים כמו מעגל RC או RL (המכונים מעגלים מסדר ראשון) זהו מתח חשמלי.
ריכוז המגיבים בתגובה כימית מסדר ראשון ושל חומרים העוברים התפרקות רדיואקטיבית וכמו כן הטמפרטורה של גוף חם בסביבה קרה גם הם גדלים או דועכים באופן מעריכי.
משוואה דיפרנציאלית נקראת ספרבילית אם היא מהצורה או שניתן להביאה לצורה זו.
כלומר, ניתן להפריד בין המשתנה והמשתנה .
דרך כתיבה נוספת למשוואה זו היא , כלומר, "מפרקים" את הנגזרת למרכיבים שכל אחד באגף נפרד.
נשים לב כי זהו סימון בלבד.
פתרון של משוואה ספרבילית נעשה באמצעות הבאתה לצורה וביצוע אינטגרציה לשני האגפים: , כאשר הוא תנאי ההתחלה של המשוואה.
(זו אמנם אינה דרך פתרון שכל הצעדים בה תקינים פורמלית, אך ניתן להוכיח כי היא מחזירה את התוצאה הנכונה).
משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת מדויקת אם היא מהצורה כך שמתקיים .
כדי לפתור משוואה מדויקת, מחפשים פונקציה אשר תקיים .
אם נמצאה פונקציה כזו, הפתרון של המשוואה נתון על ידי , או .
אם משוואה איננה מדויקת, ניתן לנסות ולהביא אותה לצורה של משוואה מדויקת על ידי הכפלת שני האגפים בפונקציה כלשהי.
פונקציה שמכפלה בה הופכת את המשוואה למדויקת נקראת גורם אינטגרציה.
שיטת הפתרון, בהינתן כאשר y הוא הפונקציה המבוקשת, היא לכפול את השוויון בגורם אינטגרציה - פונקציה כך שאגף שמאל יהיה שווה ל- .
במצב זה ניתן לבצע אינטגרציה של שני האגפים ולקבל פתרון.
כדי למצוא גורם אינטגרציה מתאים, נשתמש בחישוב הנגזרת של המכפלה שהיא
והיא צריכה להיות שווה ל- .
בעזרת הזהות , ניתן לראות כי הוא גורם מתאים להכפלה, ומכאן על ידי אינטגרציה של שני האגפים מתקבל הפתרון.
כדי לפתור את המשוואה נכפול בגורם האינטגרציה ונקבל
משוואה דיפרנציאלית הומוגנית היא משוואה מהצורה כאשר מתקיים לכל .
ניתן להביא משוואה שכזו לצורה של משוואה ספרבילית על ידי החלפת משתנים עם ההצבה .
משוואה דיפרנציאלית מהצורה נקראת משוואת ברנולי (על שם המתמטיקאי יאקוב ברנולי).
משוואה שכזו ניתן לפתור על ידי ההצבה , שממנה מקבלים את המשוואה הליניארית .
שיטה נוספת לפתרון משוואה זו היא על ידי ההצבה , כך שהמשוואה הדיפרנציאלית מוצגת בצורה .
מניחים כי , מוצאים את בעזרת הפרדת משתנים, ולאחר מכן מוצאים את בעזרת הפרדת משתנים של המשוואה .
באופן כללי, משוואה מסדר שני מתוארת על ידי הפונקציה .
משוואות מסדר שני קשות לפתרון יותר מאשר משוואות מסדר ראשון, אך קיימות שיטות פתרון יעילות עבור משוואות ליניאריות מסדר שני.
שיטות אלו הן מקרים פרטיים של השיטות הכלליות לטיפול במשוואה ליניארית מסדר כלשהו, אך בשל פשטותן היחסית הן יותר קלות לשימוש ולהבנה מאשר השיטות הכלליות.
משוואות ליניאריות הומוגניות מסדר שני
משוואה ליניארית הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה .
סכום וכפל בקבוע של פתרונות משוואה זו הם פתרונות בעצמם, ולכן, הפתרונות מהווים מרחב וקטורי, וניתן למצוא בסיס למרחב זה.
כלומר, בהינתן שני פתרונות פרטיים בלתי תלויים של המשוואה, כל צירוף ליניארי שלהם מהווה בעצמו פתרון שלה.
תנאי הכרחי ומספיק לכך ששני פתרונות יהוו בסיס הוא שהורונסקיאן המתאים למערכת ההומוגנית יהיה שונה מ-0.
קיימת שיטה כללית שמאפשרת, בהינתן פתרון אחד למשוואה ההומוגנית, למצוא פתרון בלתי תלוי בו.
על כן, כדי לפתור משוואה הומוגנית ליניארית מסדר שני, די למצוא פתרון אחד (אבל גם זה יכול להיות קשה מאוד לעיתים).
כאשר הפונקציות הן קבועים, כלומר המשוואה היא מהצורה , פתרונות המשוואה הם מהצורה , כאשר הוא שורש של הפולינום (פולינום זה מכונה הפולינום האופייני של המשוואה).
אם לפולינום שני שורשים שונים, שני הפתרונות שהם נותנים הם בלתי תלויים.
אם יש רק שורש יחיד, הוא פתרון בלתי תלוי.
אם השורשים הם מספרים מרוכבים, ניתן על ידי חיבורם או חיסורם (ובעזרת נוסחת אוילר) וחלוקה בקבוע לקבל שני פתרונות בלתי תלויים ממשיים - אם הם השורשים, מקבלים את הפתרונות .
משוואות ליניאריות אי-הומוגניות מסדר שני
משוואה ליניארית אי-הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה כאשר .
בניגוד למשוואות הומוגניות מסדר שני, סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה זו אינם בהכרח פתרונות בעצמם (למעשה ניתן להראות שאם ו- הם פתרונות של המשוואה אז הוא גם כן פתרון אם ורק אם מתקיים ).
פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית ליניארית אי-הומוגנית מסדר שני מתקבל בעזרת הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (המשוואה שבה ) על ידי כך שמחברים לפתרון זה גם פתרון פרטי של המשוואה האי-הומוגנית.
באופן כללי, משוואה מסדר מתוארת על ידי הפונקציה .
ניתן להראות כי כל משוואה דיפרנציאלית מסדר ניתנת להצגה כמערכת של משוואות דיפרנציאליות מסדר 1.
משוואה ליניארית מסדר היא משוואה מהצורה
כאשר המשוואה היא הומוגנית וכאשר המשוואה היא לא הומוגנית (או אי-הומוגנית).
ניתן להכליל את השיטות שבהם משתמשים כדי לפתור משוואה ליניארית מסדר שני כך שיוכלו לשמש לפתרון משוואות מסדר .
בדומה למשוואות ליניאריות הומוגניות מסדר שני, סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה ליניארית הומוגנית מסדר הם פתרונות בעצמם.
כמו כן, בדומה למשוואות ליניאריות אי-הומוגניות מסדר שני, גם במקרה הכללי (של משוואות מסדר ) ניתן לקבל את הפתרון הכללי של המשוואה הליניארית האי-הומוגנית על ידי כך שמחברים פתרון פרטי של המשוואה האי-הומוגנית לפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה
(המשוואה שבה ) כאשר את הפתרון הפרטי למשוואה האי-הומוגנית מוצאים בשיטות דומות לאלו שמשתמשים בהם במקרה של משוואה מסדר שני.
תנאי התחלה הוא תנאי שעל הפונקציה או על אחת מנגזרותיה לקיים.
התנאי הוא מהצורה: , כאשר .
כאשר פותרים משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר מקבלים פתרון עם פרמטרים (הנקרא פתרון כללי של המשוואה).
כדי שיהיה ניתן למצוא פונקציה מסוימת (ללא פרמטרים) יש צורך ב- תנאי התחלה (פתרון זה נקרא פתרון פרטי).
למערכת של משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר עם תנאי התחלה קוראים בעיית התחלה.
אחת המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות הפשוטות ביותר היא המשוואה:
ולכן הפתרון של בעיית ההתחלה:
משוגע (Meshuggah) היא להקת פרוגרסיב מטאל שנוסדה ב-1987 בשוודיה.
הלהקה ידועה בשימוש הרב שהיא עושה בפוליריתמיקה וריבוי משקלים, במקצבים מסובכים ולא-שיגרתיים ובאקורדים דיסוננטיים.
כמו כן, רוב שירי הלהקה אינם בנויים במבנה בית-פזמון מסורתי.
הסולן קידמן בחר את שם הלהקה, "משוגע", כשמצא את המילה במילון לעגת רחוב אמריקנית (אליה נשאלה מן העברית על דרך היידיש).
בשנותיה הראשונות של הלהקה, היא ניגנה בעיקר גרוב מטאל ות'ראש מטאל עם אלמנטים של פרוגרסיב מטאל ודגש על טכניקה וביצועים מורכבים.
בהמשך, הלהקה עברה לנגן בסגנון מסוים של פרוגרסיב מטאל, אותו היא למעשה המציאה; וייקרא מאוחר יותר דג'נט.
הלהקות מטאליקה, דרים ת'יאטר, טול, דילינג'ר אסקייפ פלאן, Lamb of God, Haken, God Forbid, דפטונז ואחרות ציינו את משוגע כמקור השפעה עליהן.
חברי הלהקה עצמם ציינו את מטאליקה, דת', סיניק, סלייר ומגאדת' כמקור השראה עבורם, אך גם את טורי איימוס, ביורק, סטילי דן, אדמה, רוח ואש, מייק אולדפילד, ראש, פריימוס ונירוונה.
ב -1 בינואר 1991 הוציאה הלהקה את הוא אלבום הבכורה Contradictions Collapse (בעברית סתירות קורסות).
האלבום יצא על ידי Nuclear Blast.
האלבום נוטה יותר לעבר טראש מטאל וצליל מטאלי אלטרנטיבי מאשר ביצירותיו המאוחרות של הלהקה, הכוללות ריפים כבדים והשפעות של היפ הופ וריקוד תעשייתי בתבניות התוף.
הוא שוחרר מחדש דיגיטלי עם גרסה לא שלמה של ה- EP השני של משוגע בשם None, בשנת 1998, ללא כל תווים או מילות מילים נכללות בחוברת.
משוואה ממעלה חמישית היא משוואה פולינומית ממעלה חמישית, כלומר מהצורה
כאשר הם קבועים ו- אינו 0.
הפתרון למשוואה ממעלה שנייה היה ידוע כבר בעת העתיקה, ובשלהי ימי הביניים נמצאו גם הפתרונות למשוואות ממעלה שלישית ורביעית, באמצעות ארבע פעולות החשבון והוצאת שורש מסדר שני, שלישי ורביעי.
הפתרון למשוואה ממעלה רביעית היה מבוסס על רדוקציה למשוואה ממעלה שלישית, אלא ש"רדוקציה" דומה במשוואה ממעלה חמישית הניבה משוואות ממעלה שישית, שעוד יותר קשה לפתור.
מתמטיקאים מן השורה הראשונה – לרבות לאונרד אוילר וז'וזף לואי לגראנז' – לא יכלו לאתגר.
ב-1683 מצא צ'ירנהאוס את טרנספורמציית צ'ירנהאוס המאפשרת להמיר משוואה פולינומית כללית, מהצורה , במשוואה , כלומר, משוואה מאותה מעלה ללא המונומים ממעלה , כאשר המשתנה החדש הוא פולינום ממעלה רביעית במשתנה הישן , עם מקדמים שהם ביטויים רדיקליים מסובכים במקדמים המקוריים .
שיטה זו, שהייתה ההתקדמות המשמעותית ביותר בחקר המשוואות הפולינומיות מאז פתרון המשוואה ממעלה רביעית מאתיים שנה קודם לכן, מאפשרת להמיר כל משוואה ממעלה חמישית במשוואה מהצורה .
שיטות אלה הביאו את המתמטיקאי השוודי ארלנד ברינג לגלות את רדיקל ברינג, שבאמצעותו אפשר לפתור משוואה ממעלה חמישית במקרים פרטיים רבים.
בתחילת המאה ה-19 גילו נילס הנריק אבל (שהשלים הוכחה של פאולו רופיני) ואווריסט גלואה, באופן בלתי תלוי, שמשוואות כלליות ממעלה חמישית אינן ניתנות לפתרון באמצעות רדיקלים, כלומר פתרון כללי המבוסס רק על ארבע פעולות החשבון ושימוש בשורשים.
גלואה גם אפיין באופן מלא את כל המשוואות הפולינומיות הניתנות לפתרון באמצעות רדיקלים.
לתגלית חשיבות מרחיקת לכת על התפתחות המתמטיקה, הרבה מעבר לתורת המשוואות, והיא הביאה ללידת תורת החבורות ותורת גלואה.
משהתברר שאי אפשר לפתור את המשוואות ממעלה חמישית בפעולות המוכרות, עלתה השאלה באילו כלים אחרים יש להשתמש כדי להשיג בכל זאת פתרון אנליטי.
ב-1858 מצא המתמטיקאי הצרפתי שארל הרמיט שיטה לפתרון מלא של משוואה ממעלה חמישית באמצעות פונקציות אליפטיות.
ב-1861 הראה שכל הרחבת שדות ממעלה 5 נוצרת על ידי איבר המקיים משוואה מהצורה (אלא אם שדה הבסיס הוא השדה בן שני איברים); התוצאה משתמשת בטרנספורמציות צ'ירנהאוס באופן שאינו מחייב הרחבה של שדה הבסיס.
זמן מה אחר-כך גילה המתמטיקאי היהודי-גרמני לאופולד קרונקר, באופן בלתי תלוי, דרך לפשט את התוצאות של הרמיט.
ב-1877 מצא פליקס קליין דרך להמיר משוואות ממעלה חמישית בנעלם למשוואות מיוחדות מאוד ממעלה 12 בנעלם , הקשורות בחבורת הסימטריות של העשרימון, ושאפשר היה לפתור באופן שלם באמצעות טורים היפרגאומטריים.
משוב חקלאות הוא ירחון שמוציאה לאור חברת "משוב גרופ" מאז 1987, ועוסק בענף החקלאות, תוך התמקדות בכלכלה חקלאית.
בירחון מתפרסמים מחקרים ומאמרים, מדווח על פיתוחים טכנולוגיים, ומסקר אירועים וחדשות מישראל ומחוצה לה.
משוב גרופ מפעילה גם את אתר חדשות החקלאות והכלכלה הירוקה "משוב ניוז".
בנוסף מוציאה החברה לאור את כתב העת "גנים ירוקים".
הירחון "משוב חקלאות" נוסד בספטמבר 1987 על ידי חיים אלוש.
עורכו הראשון של הירחון היה עמיר רפפורט.
בעת הקמתו היה ירחון זה העיתון החקלאי הבלתי תלוי היחיד, שכן עיתוני החקלאות האחרים שיצאו לאור בעת הקמתו היו בבעלות ארגונים חקלאיים.
אתר חדשות הכלכלה הירוקה "משוב ניוז"
בספטמבר 2013 השיקה משוב גרופ את "משוב ניוז", אתר חדשות בנושאי חקלאות, גינון, איכות הסביבה, וכלכלה ירוקה בישראל ובמדינות אחרות בעולם.
במסגרת האתר מופעל "אולפן משוב ניוז" המשדר כתבות מהאולפן.
האולפן פועל גם במסגרת תערוכות ופעילויות מיוחדות שמארגנת קבוצת משוב.
ועידות משוב הן כנסים המאורגנים על ידי חברת "משוב גרופ" אשר מתקיימים מאז היווסדו של העיתון.
ועידות אלו מוקדשות לנושאים מרכזיים בחקלאות ובכלכלה הירוקה, ובין היתר, הן מארחות אישים בעלי השפעה מתחומי הממשל, הכלכלה, האקדמיה והמגזר העסקי בישראל.
מדי שנה נערכות ועידות מרכזיות: ועידת ישראל לחקלאות, ועידת ישראל לכלכלה ירוקה.
הירחון יזם את ועידת ישראל לחקלאות, העוסקת בתרומת החקלאות לכלכלה, לביטחון ועוד.
הוועידה הראשונה התקיימה באוקטובר 2010 בקיבוץ כפר בלום במעמד נשיא המדינה שמעון פרס.
ועידות נוספות התקיימו, בין היתר, בקיבוץ רביבים ובגני התערוכה.
החל משנת 2016 מתקיימת הוועידה במשך יומיים בירושלים.
בשל מלחמת חרבות ברזל התכנסה ועידת ישראל לחקלאות בדצמבר 2023 במתכונת מיוחדת בזאפה באר שבע.
בשנה העוקבת שבה הוועידה להתקיים בירושלים, והתכנסה במלון רמדה.
ועידת ישראל לכלכלה ירוקה היא ועידה שנתית העוסקת בקידום חדשנות, יזמות, מדיניות וטכנולוגיות בתחומי איכות הסביבה, הקיימות, האנרגיה המתחדשת, הכלכלה המעגלית והחקלאות החכמה.
הוועידה נוסדה על ידי קבוצת משוב גרופ.
הוועידה הראשונה התקיימה בשנת 2015 בשם "ועידת קלינטק למיחזור", ושמה שונה ל"ועידת ישראל לכלכלה ירוקה" כדי לשקף את ההרחבה המשמעותית של תחומי הדיון בה – מעבר לטכנולוגיות נקיות בלבד – אל כלל תחומי הכלכלה בת-קיימא.
מְשֻׁבָּע (הֶפְּטָגוֹן) הוא מצולע בעל שבע צלעות.
סכום הזוויות במשובע הוא 900 מעלות.
מספר האלכסונים בו הוא 14.
ביחס למשושה ולמתומן, השימוש ההנדסי-טכנולוגי במשובע הוא די נדיר.
משובע משוכלל הוא משובע שכל צלעותיו שוות, וכל זוויות שוות, ועל כן כל אחת מהן שווה בערך 128.5714286 מעלות (5π/7 רדיאנים).
אם צלעו היא a, אז שטחו הוא
משובע משוכלל לא ניתן לבנות עם סרגל ומחוגה (זו אחת מהבעיות הגאומטריות של ימי קדם), אך ניתן לבנות בעזרת סרגל מסומן או בעזרת מד זווית.
הסיבה שלא ניתן לבנות אותו היא ש- הוא שורש של הפולינום הלא פריק , שהוא ממעלה שלישית, ולכן אינו שייך לשדה המספרים הניתנים לבנייה.
ביחס למשושה ולמתומן, השימוש ההנדסי-טכנולוגי-עיצובי במשובע הוא די נדיר, והוא נדיר גם בטבע.
משוב נזיל (LiquidFeedback) היא תוכנה חופשית (ברישיון MIT) לעיצוב דעות פוליטיות ולקבלת החלטות, המטשטשת את הגבולות בין דמוקרטיה ישירה לדמוקרטיה ייצוגית.
המרכיב החשוב ביותר של התוכנה היא מערכת האצלת הצבעות, הידועה כדמוקרטיה נזילה.
היא מיועדת ליצירת צורה חדשה של ייצוג פוליטי והשתתפות בתהליך הפוליטי, צורה הלוקחת בחשבון את המחסור בידע של המשתתפים בו.
האצלת קול למי שיש בידו את הידע הנדרש בכל נושא ונושא, היא ליבה של התוכנה והתפישה שעומדת מאחוריה.
המערכת מיועדת לעזור למפלגות, ארגונים וקבוצות אזרחים פעילים, להעריך את דעותיהם של חבריהם (הכוונה למתפקדי המפלגות, או חברים רשמיים בארגונים אחרים), בלי המגבלות של פורומי אינטרנט מסורתיים.
המשוב מיועד ליצור ייצוג מדויק של דעות חברי הקבוצה, בלי שאלו יקבלו הטיה מהיררכיות חברתיות או חוסר ידע.
כל אחד ואחת מוזמנים לקדם את יוזמותיהם, במסגרת המגבלות המוטלות על ידי מפעילי המערכת, שהם לרוב גופי המזכירות, האחראים על יישום התקנונים.
מרכיב חיוני של המשוב הנזיל היא היכולת להגיש הצעות כתובות ("יוזמות" במונחי המערכת), שניתן לאחרים להצביע עליהן.
המשתמש בוחר את הסוגיה הנושאית המתאימה להצעתו, או יוצר חדשה כזו.
לחלופין, הוא יכול להגיש הצעה חלופית ליוזמה קיימת.
המפעיל קובע מגבלת זמן מסוימת ומספר מצביעים מינימלי (קוורום), ומחליט על פעולות ההמשך, במקרה של קבלת ההצעה.
המשוב הנזיל פותח באוקטובר 2009, על ידי קבוצת התוכנה הציבורית, בעקבות הצעותיהם של כמה מחברי מפלגת הפיראטים הגרמנית, שלא היו מרוצים מאופן גיבוש הרעיונות הפוליטיים הקיים.
מפתחי התוכנה פועלים באופן עצמאי לגמרי.
מתוקף הרישיון שנקבע לתוכנה, השימוש בה אפשרי, בין היתר, למפלגות ולארגונים אחרים.
הגרסה היציבה הראשונה הופצה בחודש אפריל 2010. בתוכנה נעשו כבר כמה שימושים מוצלחים, בהכנות של כמה ועידות ארציות של מפלגות הפיראטים בגרמניה, אוסטריה, איטליה, שווייץ וברזיל.
גם תנועת 'סלאו פוד' הגרמנית עושה שימוש בתוכנה.
פרויקט מפלגה פתוחה שהוא חלק ממאמץ רחב יותר להנגשת נתונים ממערכות הממשל בישראל וחיזוק הדמוקרטיה במסגרת פרויקט כנסת פתוחה עוסק בקידום השימוש במשוב הנזיל בישראל.
מפלגת הפיראטים משתמשת במערכת משוב נזיל במנגנון המחייב את נציגי המפלגה לפעול על-פי דעת חבריה.
הציונות החדשה - מפלגת העם, המתמודדת בבחירות לכנסת התשע עשרה, משתמשת במשוב נזיל כדי לדון בתקנון ותוכנית הפעולה שלה.
היישום של המשוב הנזיל הביא לדיון סוער בין חברי מפלגת הפיראטים הגרמנית המצדדים בהגנה על מידע וביקרו את יכולת התוכנה להתאים בין כל יוזמה והצבעה, לבין מי שיזם אותן.
כיוון שהתוכנה מאפשרת הצבעה של מצביע רשום, קל מאוד לזהות את דעותיהם הפוליטיות של המשתתפים על פי הצבעותיהם.
היו שטענו שהיכולת להאציל הצבעה יכולה ליצור ולכפות מבנה כוח כשלעצמו, אף על פי שניתן לבטל האצלה בכל עת.
מפתחי התוכנה ניסו להגביל אפקט זה, על ידי הוספת האפשרות של הסרה אוטומטית של משתמשים לא פעילים.
ביקורת אחרת היא שהמערכת לא לוקחת בחשבון את האינטרסים של המיעוט.
למרות שמצביעי המיעוט רשאים להציג את דעותיהם ולהגיש הצעות חלופה, המפעיל רשאי לדרוש כמות תומכים מינימלית בפרק זמן תחום.
הצבעה סופית דורשת רוב מינימלי של חמישים אחוז מהמצביעים, או יותר, לפי החלטת המפעיל.
משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית היא משוואה דיפרנציאלית שבה לפחות אחד מהמשתנים הוא תהליך סטוכסטי.
משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית משמשת במודלים בפיזיקה סטטיסטית ובמתמטיקה פיננסית בהם ישנו שינוי שמתנהג בצורה סטטיסטית.
בדרך כלל השינוי מתנהג כמו נגזרת של התנועה הבראונית אולם, ייתכן כי התהליך הסטוכסטי מתנהג בצורה שונה.
את עבודתו של בשלייה המשיך הפיזיקאי פול לנז'בן.
בהמשך קיושי איטו ורוסלן סטרטונוביץ' הציבו בסיס מתמטי מוצק יותר למשוואות אלו.
משוואה דיפרנציאלית כללית מסדר ראשון מתוארת בדרך כלל בצורה:
כאשר מתאר תנועה בראונית סטנדרטית.
על מנת לפתור את המשוואה ניתן לבצע אינטגרציה בשני האגפים כך שפתרון ל יהיה סכום של שני אינטגרלים.
הראשון הוא אינטגרל של משתנה רגיל שניתן לחשבו על ידי אינטגרל לבג והביטוי השני הוא אינטגרל לפי משתנה סטוכסטי אותו לא ניתן לחשב כאינטגרל רגיל אלא כאינטגרל סטוכסטי, בדרך כלל משתמשים באינטגרל איטו לצורך זה.
מקרה פרטי של המשוואה הזו שמשמשת במידול של מכשירים פיננסית ושווקים בשוק ההון היא תנועה בראונית גאומטרית שמקיימת את המשוואה .
משוואה אינטגרלית היא משוואה שבה פונקציה לא ידועה מופיעה תחת סימן האינטגרל.
ישנו קשר הדוק בין משוואה דיפרנציאלית למשוואה אינטגרלית, ולעיתים ניתן לנסח בעיות בשתי הדרכים.
דוגמה בולטת לכך היא משוואות מקסוול.
הטיפוס הבסיסי ביותר של משוואה אינטגרלית נקרא משוואת פרדהולם מהסוג הראשון:
הסימון לעיל הוצע על ידי ג'ורג' ארפקן.
כאן היא פונקציה לא ידועה, היא פונקציה ידועה ו- היא פונקציה ידועה אחרת של שני משתנים שלעיתים נקראת פונקציית הגרעין.
אם הפונקציה הנעלמת מופיעה בתוך האינטגרל ומחוצה לו, המשוואה נקראת משוואת פרדהולם מהסוג השני, וניתן לכתוב אותה בצורה:
כאשר הפרמטר הוא פקטור לא ידוע, אשר יש לו תפקיד כערך עצמי במשוואה אלגברית.
בשני המקרים לעיל, גבולות האינטגרציה היו קבועים.
אם אחד מגבולות האינטגרציה משתנה, המשוואה נקראת משוואת וולטרה.
המשוואות הבאות נקראות משוואות וולטרה מהסוג הראשון והשני, בהתאמה:
בכל סוגי המשוואות הנזכרים לעיל, אם הפונקציה הידועה מתאפסת באופן זהותי, המשוואה נקראת משוואה אינטגרלית הומוגנית.
אחרת, המשוואה נקראת משוואה אינטגרלית לא הומוגנית.
משוגעגע היא סדרת טלוויזיה קומית מונפשת אמריקאית לילדים, שמשודרת בערוץ ניקלודיאון החל מ-9 בנובמבר 2014. הסדרה עוקבת אחר שני ברווזים, געגע וברווז, שטסים בטנדר מעופף המכונה "טנדר הטיל", ומחלקים לתושבי עולמם העשוי ממים, "אגמגיה", לחם מסוגים שונים, אותו השניים כורים ב"מכרה הלחם".
געגע וברווז הם צמד ברווזים מחלקי לחם בעולמם "אגמגיה" העשוי ממים.
געגע הוא צנום וצבע עורו ירוק זרחני, הוא מקבל ההחלטות מבין השניים אף על פי שכושר השיפוט שלו נוטה להשתבש מפעם לפעם ועל כך הוא מפצה בשליטה מלאה על ניווט הטנדר של השניים.
ברווז הוא קטן ועגלגל, ניחן בהפרעת ריכוז קלה ומפצה עליה בהתלהבות שאינה נגמרת ובנאמנות בלתי מתפשרת לחברו.
לעיתים קרובות, געגע וברווז נקלעים להרפתקאות שונות ומשונות, אך הם גם צריכים להיזהר, מפני שיש להם לא מעט אויבים שרוצים ברעתם.
געגע (גילן שחף) - גבוה, צנום ובעל צבע עור ירוק זרחני.
נצר לשושלת ארוכה של מחלקי לחם, וגאה להמשיך את המסורת המשפחתית הארוכה.
מאוהב בברווזה תמי געגע ועושה כל פעם דבר משוגע אחר.
ברווז (ניסו שליו) - קטן, נמוך ועגלגל.
חברו הטוב ביותר של געגע.
נלהב מאוד אך חסר ניסיון בתחום חלוקת הלחם.
זכה בפרס "עובד השנה" מתאמן על בעיטות ישבן ואגרופי בטן וראשו מתפוצץ כל פעם שהוא מתרגש.
נטע (נעמה אוזן) - מכונאית אווזה בעלת צבע עור לבן.
חברה טובה של געגע וברווז, שהולכים אליה כאשר הם זקוקים לתיקון טנדר הטיל וגאונה.
ג'לי (נעמה אוזן) - צפרדע המחמד החמודה של געגע וברווז.
ישבן\ קנת' (סער בדישי) - ישבן הוא הטוסיק של ברווז אך התנתק ממנו שעביד אותו קשה ושינה את שמו לקנת' ובסוף הוא סלח לברווז והתחבר אליו עכשיו.
קרפדיתו (אניטל אלבחר) - קרפדה קפדנית וחסרת סבלנות.
חושבת שגעגע וברווז מרגיזים ועל כך מרבה לתת להם דוחות.
זכתה בפרס " השוטרת הכי קשוחה"
טימי (אמנון וולף) - ינשוף והלקוח המרוצה ביותר של געגע וברווז, שלעיתים קרובות עולים לו על העצבים.
מדבר במבטא בריטי ולובש טוקסידו.
בוני הבונה (סער בדישי) - בונה ויקינג.
עושה הכל כדי להשיג את טנדר הטיל ומדבר על עצמו בגוף שלישי.
המוטו שלו הוא "גונב, הורס, שובר!".
אופה הלחם (סער בדישי) - חי במכרות הלחם ומייצר את הלחם שגעגע וברווז מחלקים.
ניתן לזמן אותו באמצעות שפשוף טוסטר קסם.
מר פאמפרס (סער בדישי) - חסידה.
מנהל "מזנון פאמפרס", בו מבקרים לעיתים קרובות געגע וברווז.
נוהג לומר "בום, יאמי!" ואוהב מאוד כסף.
גברת גחלילית (אניטל אלבחר) - גחלילית.
גברת זקנה שמזמינה לעיתים קרובות לחם מגעגע וברווז.
מבטאת את שמו של ברווז כברווזי.
חפרפר הלבה (אמנון וולף) - חפרפרת גדולה.
מתגורר במכרות הלחם ויריבו של אופה הלחם.
קפטן אווזטון (סער בדישי) - אווז.
קפטן של ספינת תענוגות מכובדת.
מר פרפרי (סער בדישי) - פרפר מבוגר שמזמין לעיתים קרובות לחם מגעגע וברווז.
מחלקות הפיצה (נעמה אוזן ואניטל אלבחר) - יריבותיהם של געגע וברווז, מחלקות פיצה במשאית גדולה.
סטיבן מגעגעברג (סער בדישי) - במאי סרטים, בכמה פרקים רוצה להיפטר מגעגע וברווז.
נקרא על שם סטיבן ספילברג.
תמי געגע - הברווזה בה געגע מאוהב.
טנדר הטיל - כלי התחבורה של געגע וברווז, וזכה בפרס "עובד החודש".
אף על פי שהוא דומם, געגע וברווז מתייחסים אליו כדבר חי.
Muscle Bread11 ביולי 20163717-איום הדגניםGraining Day6 ביוני 201617-בטורף-לחםBreadator18 ביולי 20163818-אקרפ-מי??Rambamwho20 ביוני 201618-אסיום על שפת האגםNightmare on Swamp Pad Lane15 באוגוסט 20163919-אצרות כפולותBuhdouble Trouble13 ביוני 201619-בברווזים חסרי-מזלUnlucky Duckies15 באוגוסט 20164020-אלחם הכרישGreat White Shark Bread22 באוגוסט 201620-בלחם-אצבע מוזרFreaky Finger Bread
משוגעים מאהבה הוא דרמה-קומית רומנטית משנת 2005,
בכיכובם של ג'וש הארטנט וראדה מיטשל, ובבימויו של פטר נס המגולל את סיפור אהבתם של שני אנשים עם תסמונת אספרגר.
התסריט נכתב על ידי רונאלד בס, שכתב גם את התסריט לסרט איש הגשם.
דונלד הוא נהג מונית מדוכדך עם אהבה לציפורים וכישרון במספרים.
הוא בעל תסמונת אספרגר, אוטיזם בתפקוד גבוה - המקשה עליו להתמודד עם שינויים ולכן הוא אוהב שגרה.
הוא מפעיל ומנהל קבוצת תמיכה לאנשים על הספקטרום האוטיסטי, עם תפקוד נוירולוגי נמוך משלו.
חייו משתנים כאשר איזבל היפהפייה, המתוסבכת והאימפולסיבית מצטרפת לקבוצת התמיכה שהוא מנהל.
הסרט הוא סיפור בדיוני, שעושה שימוש בדמויות המבוססות במידה מסוימת על מערכת היחסים האמיתית של ג'רי ניופורט, אקטיביסט למען אנשים על הקשת האוטיסטית, ומרי מיינל, רעייתו.
ג'וש הארטנט – דונלד מורטון
שאריף שאווקת – משחק את דונלד בצעירותו
ראדה מיטשל – איזבל סורנסון
מרסדי סמית – משחקת את איזבל בצעירותה
ג'ון קרול לינץ' – גרגורי
משודרג הוא סרט פעולה מדע בדיוני אמריקאי-אוסטרלי משנת 2018 שכתב וביים ליי ווינל.
בסרט מככבים לוגאן מרשל גרין, בטי גבריאל והאריסון גילברטסון.
עלילת הסרט מתארת אדם אשר בגופו מושתל שבב אלקטרוני המאפשר לו לשלוט בגופו לאחר שהפך למשותק בעקבות שוד אלים.
ג'ייסון בלאם הפיק את הסרט באמצעות חברת ההפקות שלו בלאמהאוס הפקות.
לאחר הקרנת בכורה שנערכה ב-10 במרץ 2018 בפסטיבל הסרטים South by Southwest, הסרט עלה לאקרנים בארצות הברית ב-1 ביוני 2018 בהפצת OTL Releasing ו-Blumhouse Tilt.
ב-14 ביוני 2018 הסרט עלה לאקרנים באוסטרליה.
הסרט קיבל ביקורות חיוביות מצד המבקרים, אשר כינו אותו הכלאה בין "סטיב אוסטין, האיש השווה מיליונים" לבין "משאלת מוות", ושיבחו את ההומור השחור שבו ואת קטעי הפעולה.
משוואה ממעלה שישית היא משוואה מהצורה , כאשר והמקדמים יכולים להיות מספרים שלמים, מספרים רציונליים, מספרים ממשיים, מספרי מרוכבים או, באופן כללי יותר, איברים של כל שדה.
פונקציה ממעלה שישית היא פונקציה המוגדרת על ידי פולינום ממעלה שישית.
משום שיש להן מעלה זוגית, היא דומה מבחינה גרפית לפונקציה ממעלה רביעית.
עם זאת, לפונקציה ממעלה שישית עשויים להיות נקודות קיצון מקומיות נוספות.
נגזרת של פונקציה ממעלה שישית היא פונקציה ממעלה חמישית.
מאחר שפונקציה ממעלה שישית על ידי פולינום ממעלה זוגית, יש לה את אותו הגבול כאשר הארגומנט הולך לאינסוף חיובי או שלילי.
אם המקדם המוביל הוא חיובי, אז הפונקציה עולה לפלוס אינסוף משני הצדדים ולכן לפונקציה יש מינימום גלובלי.
כמו כן, אם שלילי, הפונקציה יורדת עד מינוס אינסוף משני הצדדים ולכן יש לה מקסימום גלובלי.
כמה משוואות ממעלה שישית, כמו ניתנות לפתרון באמצעות רדיקלים, אבל משוואות אחרות לא ניתנות לפתרון.
בשנת 1824 הוכיח נילס הנריק אבל כי אין פתרון כללי באמצעות רדיקלים למשוואה ממעלה חמישית ומעלה.
שנים ספורות לאחר מכן מצא אווריסט גלואה אפיון מלא של כל המשוואות הפולינומיות שניתנות לפתרון באמצעות רדיקלים: אלו המשוואות שחבורת גלואה המתאימה להן היא חבורה פתירה.
מחקרים אלו הולידו את תורת גלואה ואת תורת החבורות.
גלואה פיתח טכניקות לקביעה האם משוואה נתונה ניתנת לפתרון על ידי רדיקלים.
מתורת גלואה נובע כי משוואה ממעלה שישית ניתנת לפתרון במונחים של רדיקלים, אם ורק אם חבורת הגלואה שלה נמצאת בחבורה מסדר 48, המייצבת חלוקה של קבוצת השורשים לשלוש תת-קבוצות של שני שורשים, או חבורה מסדר 72 המייצבת חלוקה של מערכת השורשים לשתי תת-קבוצות של שלושה שורשים.
קיימות נוסחאות כדי לבדוק כל מקרה, ולחשב את השורשים, במקרים שהמשוואה ניתנת לפתרון.
ב-1867 (בעקבות עבודתו של הרמיט על משוואה ממעלה חמישית), הראה Joubert שכל הרחבת שדות ספרבילית מממד 6, במאפיין שאינו 2, נוצרת על ידי איבר המקיים משוואה מהצורה .
, שנחקרה בעבודה הראשונית על מנוע הקיטור, היא משוואה ממעלה שישית עם שני משתנים.
אחת השיטות לפתרון משוואה מעוקבת כוללת שינוי במשתנים כדי להשיג משוואה ממעלה שישית, שמשתניה ממעלות 6, 3 ו-0 בלבד.
בדרך זו, ניתן לפתור אותה כמו משוואה ריבועית.
משוב הוא סרט קומדיה רוסי משנת 2020 בהפקת חברת KVARTET I, המשמש כהמשך לסרט "רמקול".
הסרט הופץ להקרנות מסחריות ברוסיה ב-17 בדצמבר 2020.
ב-31 בדצמבר שוב שבעה חברים מתכנסים בבית כפרי בפרברי מוסקבה כדי לחגוג את השנה החדשה יחד, אך ערב השנה החדשה מלא בהפתעות ולא כולן נעימות.
לאוניד באראץ – ואדים גריבקוב
אנסטסיה אוקולובה – קטיה, אשתו של ואדים
אירינה גורבאצ'ובה – אלינה, אשתו של בוריס
קאמיל לארין – לב, כירורג
מריה מירונובה – יבה, פסיכולוגית, אשתו של לב
ורוניקה קורניינקו – סוניה, בתם של לב ויבה
משוואה כימית מייצגת תגובה כימית בעזרת סמלים ונוסחאות כימיים, ובה המגיבים מופיעים בצד שמאל והתוצרים בצד ימין.
בין כל המגיבים סימני "+", וכך גם בין התוצרים; בין המגיבים לתוצרים מופיע חץ שמסמן את כיוון התגובה, ולעיתים מוסיף מידע נוסף לגביה, כמו תנאי התגובה, זרזים, או היותה תגובת שיווי משקל.
לצד כל מגיב או תוצר יופיע לעיתים מספר, המייצג את היחס המספרי (הסטויכיומטרי) בין כלל המשתתפים בתגובה.
היאטרוכימאי (סוג של כימיה רפואית קדם-מודרנית) ז'אן בגין כתב את המשוואה הכימית הראשונה בשנת 1615.
להלן המשוואה לתגובה בין חומצה הידרוכלורית לבין נתרן:
בתגובה זו, חומצה הידרוכלורית (HCl) מגיבה עם נתרן (Na), ומתקבלים כתוצרים נתרן כלוריד (NaCl) וגז מימן (H2).
המספרים בתגובה מראים שהמגיבים משתתפים במספר שווה (לשניהם הקידומת "2"), ועל כל שתי מולקולות חומצה ושני אטומי נתרן מתקבלים שתי יחידות נתרן כלוריד, ומולקולה אחת של מימן (המורכבת משני אטומי מימן).
כאמור, המספרים הם יחס סטויכיומרי - כמה מולקולות נצרכות וכמה נוצרות, אך לא מייצגים בהכרח את מנגנון התגובה - ייתכן שהתגובה מורכבת למעשה מכמה שלבים נפרדים, בהם משתתפים מספרים שונים של מולקולות.
המשוואה הכימית מסכמת את כלל שלבי התגובה.
לעיתים קרובות מסומן במשוואה מצב הצבירה של המשתתפים בתגובה.
לדוגמה, בתגובה חמצון הבאה בין חמצן למימן, היוצרת מים:
האות "g" מסמלת גז (gas) והאות "l" - נוזל (liquid); מוצק מסומן באות "s" (solid).
מצב נפוץ מאוד בתגובות הוא כאשר חומר מומס במים, ואז יסומן ב-"aq" (aqueous).
"משוגע עלייך" הוא אלבום האולפן השישי של הזמר הישראלי קובי פרץ.
את האלבום הוציאה לאור בשנת 2004 חברת התקליטים הליקון.
הוא כולל גרסת כיסוי ל"שרית הספרית" של להקת הנח"ל ואת "אני אוהב אותך", שהפך ללהיט במצעדי הפזמונים השבועיים של ישראל.
ב-29 בפברואר 2004 נכנס השיר לראשונה למצעד הסינגלים של רשת ג' במקום ה-14. ב-2 במאי עלה למקום השני, וב-13 ביוני יצא מהמצעד לאחר 12 שבועות רצופים.
הוא אף דורג במצעד הסינגלים השנתי של רשת ג' במקום ה-27.
קולות רקע: יהודה תמיר, מאיה אברהם
המְשוּגבָּקְעה היא גינה ציבורית הנמצאת בשכונת בקעה בירושלים והיא נבנתה בתכנון ושיתוף תושבי השכונה.
המשוגבקעה הוקמה בשנת 1991 ברחוב גד בירושלים.
בטקס הקמתה השתתף ראש העיר דאז טדי קולק ותושבי השכונה שהגו את רעיון הגינה.
רעיון הקמתה היה של האדריכל האמריקאי רוברט לתרז'.
לתרז' כינס את ילדי השכונה וביקש מהם לתאר איך הם רוצים שהגינה תראה.
לאחר מכן, ערך לתרז' את תיאור הילדים לדגם של גינה.
הגינה נבנתה בהתנדבות על ידי התושבים.
היא נבנתה במראה ייחודי המתאים לשכונה.הגינה תוחזקה בשנים הראשונות על ידי קרן ירושלים ונשמרה במצב טוב.
לאחר כמה שנים, הגינה הועברה לאחריות עירית ירושלים והגינה החלה להיות מוזנחת עד שהגן הוגדר "מפגע" ונסגר בשל חוסר בטיחותם של המתקנים.
לאחר שננעל הגן עיריית ירושלים התכוונה להרסו.
כאשר מהלך זה נודע לתושבים התגייסו תושבי השכונה והמנהל הקהילתי כדי למנוע את הריסתו.
בשנת 2010, לאחר מאבק ממושך, החליטו בעירייה לשפץ את הגינה, אך בעת השיפוץ נעשה שימוש בעצים לא איכותיים והעירייה לא תחזקה את הגינה, כך שלאחר כמה שנים היא חזרה שוב להיות מוזנחת ונסגרה.
בעקבות כך, בשנת 2017, קיבלה עיריית ירושלים החלטה להרוס את הגינה מכיוון שהיא אינה בטיחותית ונמצאת בשטח בית ספר.
במקרה זה לא קמה מחאת תושבים, המתקנים הוסרו והגינה נסגרה.
כמה שנים לאחר הריסתה, התקבלה החלטה לבנות את הגינה מחדש.
וכך, בשנת 2021, בנתה העירייה על ידי חברת מוריה את הגינה מחדש באופן דומה לגינה הישנה.
טקס פתיחתה נערך במאי 2022 בהשתתפות ראש העיר משה ליאון ותושבי השכונה.
כיום הגינה פעילה, ובה מתקנים המתאימים לילדים עד גיל עשר.
מאחר שהגינה נמצאת בשטח בית ספר "תל"י גאולים", היא סגורה לציבור בשעות פעילות בית הספר.
באלגברה, משוואה ממעלה שביעית היא משוואה מהצורה , כאשר .
במילים אחרות, זהו פולינום ממעלה שביעית.
אם , אז היא פונקציה ממעלה שישית (), פונקציה ממעלה חמישית () וכו'.
פונקציה ממעלה שביעית היא פונקציה מהצורה .
ניתן לקבל את המשוואה מהפונקציה על ידי הגדרת .
המקדמים יכולים להיות מספרים שלמים, רציונליים, ממשיים, מרוכבים או, באופן כללי יותר, איברים של כל שדה.
מכיוון שהן בעלות מעלה אי-זוגית, פונקציות ממעלה שביעית נראות דומות לפונקציות ממעלה חמישית או ממעלה שלישית כשהן מוצגות בגרף, אלא שהן עשויות להיות בעלות נקודות מקסימום ומינימום מקומיים רבות יותר (עד שלוש נקודות מקסימום ושלוש נקודות מינימום).
הנגזרת של פונקציה ממעלה שביעית היא פונקציה ממעלה שישית.
ניתן לפתור כמה משוואות מדרגה שביעית על ידי פתרון באמצעות רדיקלים, אבל את שאר המשוואות הללו לא ניתן לפתור.
אווריסט גלואה פיתח טכניקות לקביעה ניתן לפתור על ידי רדיקלים משוואה נתונה, מה שהוליד את השדה של תורת גלואה.
כדי לתת דוגמה לספיגה בלתי ניתנת להפחתה אך ניתנת לפתרון, אפשר להכליל את המשוואה ממעלה חמישית של דה מואבר, הניתנת לפתרון, כדי לקבל
מתקבלת על ידי ביטול ו- בין , ו-.
מכאן נובע ששבעת השורשים של המשוואה ניתנים על ידי
כאשר הוא כל אחד משבעת שורשי היחידה.
חבורת גלואה של משוואה שביעית זו היא הקבוצה הניתנת לפתרון מקסימלי מסדר 42. זה מוכלל בקלות לכל דרגות אחרות , לא בהכרח ראשוני.
שחברותיה מופיעים במסד הנתונים של שדות המספרים של קלונר.
חבורת הגלואה של המשוואות הללו היא החבורה הדיהדרלית מסדר 14.
ניתן לפתור את המשוואה הכללית עם חבורות גלואה של התמורות הזוגיות או חבורות גלואה סימטריות או .
משוואות כאלה דורשות פונקציות היפראליפטיות ופונקציות תטא קשורות מגנוס 3 לפתרון שלהן.
עם זאת, משוואות אלו לא נחקרו במיוחד על ידי מתמטיקאים בני המאה ה-19 שחקרו את הפתרונות של משוואות אלגבריות, מכיוון שפתרונות של משוואות ממעלה שישית כבר היו בגבולות היכולות החישוביות שלהן ללא מחשבים.
משוואות ממעלה שביעית הן משוואות מהסדר הנמוך ביותר שעבורן לא מובן מאליו שניתן להשיג את הפתרונות שלהן על ידי הרכבת פונקציות רציפות של שני משתנים.
הבעיה השלוש-עשרה של הילברט הייתה ההשערה שבמקרה הכללי של משוואות ממעלה שביעית, לא ניתן להציג פונקציה רציפה בשלושה משתנים כהרכבה של פונקציות רציפות בשני משתנים.
ולדימיר ארנולד הרוסי פתר את הבעיה ב-1957, והוכיח שדבר כזה תמיד אפשרי.
למשוואות ממעלה שביעית הניתנות לפתרון באמצעות רדיקלים יש חבורות גלואה שהיא החבורה הציקלית מסדר 7, החבורה הדיהדרלית מסדר 14 או החבורה המטאציקלית מסדר 21 או 42.
חבורת גלואה (מסדר 168) נוצרת על ידי התמורות של שבעת הקדקודים של שבעת ה"קווים" במישור פאנו.
משוואות ממעלה שביעית עם חבורת גלואה זו דורשות פונקציות אליפטיות אך לא פונקציות היפראליפטיות לפתרון שלהן.
ריבוע השטח של מחומש הוא שורש של משוואה ממעלה שביעית שהמקדמים שלה הם פונקציות סימטריות של צלעות המחומש.
הדבר נכון גם לגבי ריבוע השטח של משושה.
"משוגעת" הוא שיר של הזמר הישראלי גל אדם והראפר הישראלי נורוז.
השיר יצא לאור כסינגל ב-19 באוגוסט 2022. את השיר כתבו אדם ונורוז לצד צמד המפיקים Triangle.
סגנון השיר תואר במאקו כ"סאונד אחיד של פופ-אלקטרוני-ים תיכוני עם באסים כמו שהישראלים אוהבים".
הווידאו קליפ פורסם בסמוך לצאתו של השיר בערוץ היוטיוב של גל אדם ובוים על ידי אלון דניאל.
הקליפ צבר למעלה מ-3.4 מיליון צפיות, נכון לינואר 2023.
בפלטפורמת הזרמת המדיה ספוטיפיי, הגיע השיר בשיאו למקום הרביעי במצעד הישראלי השבועי, עם 152,916 השמעות.
גם בתחנות הרדיו בישראל זכה השיר להצלחה, והגיע בשיאו למקום ה-18 במצעד השבועי של מדיה פורסט.
במצעד העשירייה של כאן גימל הגיע השיר למקום השני ובמצעד הרשמי של גלגלצ הגיע למקום הראשון.
באוגוסט 2023, חברת ספוטיפיי פרסמה את נתוני ההשמעות שלה ביחס לחודשים יולי-אוגוסט, והשיר היה לשיר ה-17 המושמע ביותר בחודשים אלו בישראל.
משודרג הוא סרט קומדיה רומנטית אמריקאי בבימויו של קרלוס יאנג.
בסרט מככבים קמילה מנדס, ארצ'י רנו, לנה אולין ומריסה טומיי.
הסרט עלה לשידור בספק שירות הזרמת המדיה "אמזון פריים וידאו" ב-9 בפברואר 2024.
מריסה טומיי – קלייר דופרי
לנה אולין – קתרין לארוש
אנתוני הד – ג'וליאן מרקס
באוגוסט 2022, דווח כי קמילה מנדס וארצ'י רנו לוהקו לצוות השחקנים, ובנוסף נמסר כי תהליכי ההפקה החלו בממלכה המאוחדת.
בספטמבר 2022, הוכרז שמריסה טומיי ולנה אולין הצטרפו לצוות השחקנים.
ישנן שתי הגדרות למשוואת דיפרנציאלית הומוגנית:
ההגדרה הראשונה היא שמשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת הומוגנית אם אפשר לכתוב אותה בצורה:
כאשר ו־ הן פונקציות הומוגניות (מאותו סדר) של ו־.
במקרה זה, החלפת המשתנה מובילה למשוואה מהצורה:
שניתן לפתור אותה על ידי אינטגרציית על שני האגפים.
ההגדרה השנייה היא שמשוואה דיפרנציאלית נקראת הומוגנית אם היא פונקציה הומוגנית של הפונקציה הנעלמת ונגזרותיה.
במקרה של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות, משוואה הומוגנית היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית שאין בה איברים קבועים.
ניתן להסיק את הפתרונות של כל משוואת דיפרנציאלית רגילה ליניארית מכל סדר שהוא על ידי אינטגרציה מהפתרון של המשוואה ההומוגנית המתקבלת על ידי הסרת האיבר הקבוע.
המונח הומוגניות הוזכר לראשונה בהקשר של משוואות דיפרנציאליות על ידי יוהאן ברנולי בפסקה 9 במאמרו De integraionibus aequationum differentialium (על אינטגרציית משוואות דיפרנציאליות) משנת 1726.
משוואות דיפרנציאליות הומוגניות מסדר ראשון
משוואת דיפרנציאלית רגילה מסדר ראשון היא משוואה דיפרנציאלית מהצורה:
היא הומוגנית אם שתי הפונקציות ו־ הן פונקציות הומוגניות מאותו סדר .
כלומר, בהכפלת כל משתנה בפרמטר , יתקבל:
במנה , ניתן להגדיר על מנת לפשט את המנה לפונקציה של משתנה יחיד .
באמצעות החלפת המשתנה וגזירה באמצעות כלל המכפלה, יתקבל:
כך המשוואה הדיפרנציאלית המקורית הופכת לצורה בה ניתן לבצע בה הפרדת משתנים:
כעת ניתן לבצע אינטגרציה ישירות: היא הפונקציה הקדומה של הצד השמאלי של המשוואה.
משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון מהצורה (, , , , ו־ הם קבועים):
כאשר ניתן להפוך אותה להומוגנית על ידי העתקה ליניארית של שני המשתנים ( ו־ הם קבועים):
משוואה דיפרנציאלית ליניארית היא הומוגנית אם היא משוואה ליניארית הומוגנית שהפונקציה הנעלמת ונגזרותיה הן הנעלמים בה.
מכאן נובע שאם הוא פתרון של המשוואה, כך גם , עבור כל קבוע השונה מאפס.
כדי שתנאי זה יתקיים, כל איבר שאינו אפס של המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית חייב להיות תלוי בפונקציה הנעלמת או בנגזרת כלשהי שלה.
משוואה דיפרנציאלית ליניארית שלא מקיימת תנאי זה נקראת לא הומוגנית (inhomogeneous).
ניתן לייצג משוואה דיפרנציאלית ליניארית כאופרטור ליניארי הפועל על כאשר הוא בדרך כלל המשתנה הבלתי תלוי ו־ הוא המשתנה התלוי.
לכן, הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית היא:
כאשר הוא אופרטור דיפרנציאלי ליניארי, כלומר סכום של נגזרות (כאשר "הנגזרת ה-0" מוגדרת כפונקציה המקורית, ללא גזירה) שכל אחת מהן מוכפלת בפונקציה של :
כאשר הפונקציה יכולה להיות קבוע, אבל לא כל יכולה להיות אפס.
לדוגמה, המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית הבאה היא הומוגנית:
ואילו השתיים הבאות אינן הומוגניות:
קיומו של איבר קבוע הוא תנאי מספיק כדי שמשוואה תהיה לא הומוגנית, כמו בדוגמה לעיל.
"משוגע" הוא סינגל של הזמר הישראלי נדב גדג', שיצא לאור ב-3 באפריל 2025 על ידי חברת ההפצה די-מיוזיק.
השיר נכתב והולחן על ידי נדב אהרוני, כפיר צפריר ונדב גדג', ועובד על ידי נדב אהרוני.
השיר יצא כשלוש וחצי שנים אחרי הסינגל האחרון שלו, אוטו פלסטיק.
בחודש שלפני יציאת השיר התראיין גדג' במספר מקומות וחזר לפעול ברשתות החברתיות השונות.
בפוסט שהעלה לחשבון האינסטגרם שלו טרם יציאת השיר, סיפר כי בשנים שעברו מאז הפסיק להוציא מוזיקה חווה התקפים פסיכוטיים וסבל מהפרעה דו-קוטבית שבעקבותה התאשפז בכפייה.
בריאיון שערך בתוכנית ערב טוב עם גיא פינס סיפר על כל המקרים שאיתם נאלץ להתמודד עם ההתקפים שחווה, בין היתר על התפרצות שקרתה לו במהלך צילומי הסרט "פול גז" בבימויו של קובי מחט.
גדג' מספר בריאיון ב-103fm שכיום הוא גמול מסמים ואלכוהול אליהם התמכר בעקבות המחלה והוא מצליח לתפקד בלי תלות בהם.
בשיר מתאר גדג' את הקשיים שעבר בעקבות המחלות הנפשיות, על התגובות שקיבל מהציבור ועל חוסר האונים שחש בעקבותיהם.
בקליפ נראות שלוש סצנות ששלובות אחת בשנייה.
באחת הוא נראה מנסה לברוח ללא מוצא ומוצא את עצמו על מזח, גשר, רכבת ומקומות נוספים כאשר הוא נראה אבוד.
בסצנה השנייה נראה גדג' בחדר עם תקרה נמוכה בה הוא לא יכול לעמוד, מה שמבטא את הצפיפות שהרגיש בעקבות המחלה ("בכל פינה מרגיש לי צפוף החדר"), החדר חשוך ומלא ברהיטים בניסיון לייצג את הבלאגן והעומס שהיה לו בחיים.
בסצנה השלישית גדג' נמצא בחדר אטום ולבן שמדמה חדר בידוד בבית משוגעים.
בפיזיקה, באלקטרומגנטיות, משוואות מקסוול (על שם הפיזיקאי ג'יימס קלרק מקסוול) הן מערכת של ארבע משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות את תכונותיהם של השדה החשמלי והשדה המגנטי ואת הקשר ביניהם לבין מקורותיהם, צפיפות המטען וצפיפות הזרם בהתאמה.
באמצעות משוואות אלה ניתן להראות גם כי האור הוא גל אלקטרומגנטי, ואף לגזור את משוואת הגל האלקטרומגנטי.
ארבע משוואות מקסוול הן חוק גאוס, חוק גאוס למגנטיות, חוק פאראדיי וחוק אמפר (עם תיקון מקסוול).
ארבע משוואות אלה נותנות תיאור מלא של השדה האלקטרומגנטי בהינתן המקורות של השדות, כלומר הזרמים והמטענים.
הדינמיקה של המקורות נקבעת על ידי כח קולון וכוח לורנץ, והחוק השני של ניוטון (או ההכללה היחסותית שלו).
ארבע משוואות מקסוול יחד עם משואות ניוטון למקורות מהוות תיאור מתמטי שלם של תורת החשמל והמגנטיות הקלאסית.
למעשה, חוק לורנץ נוסח על ידי מקסוול כאחת משמונה משוואות מקסוול המקוריות .
את המשוואות בצורתן הווקטורית המוכרת פיתח אוליבר הביסייד, שבתחילה עשה זאת עבור עצמו, כשניסה ללמוד באופן עצמאי את עבודתו של מקסוול.
העבודה המקורית של מקסוול כללה את כל הרעיונות הפיזיקליים שהמשוואות מבטאות, אך המשוואות המוכרות עצמן לא הופיעו בה.
פרק זה מתאר, בצורה רעיונית ולא מתמטית, את ארבע משוואות מקסוול וכיצד הן משתלבות ביחד להסברת מקורה של קרינה אלקטרומגנטית כגון אור.
המשוואות המתמטיות המדויקות מופיעות בפרק הבא.
ארבע המשוואות הן תיאור של ארבעה חוקים:
חוק גאוס – מתאר אחד ממקורות השדה החשמלי – המטען החשמלי.
המשוואה מבטאת קשר בין שטף השדה החשמלי דרך משטח סגור (הנקרא בהקשר זה משטח גאוסי ) לכמות המטען שנמצאת בתוך הנפח התחום על ידי משטח סגור זה.
לפי חוק גאוס השטף החשמלי דרך משטח גאוסי אינו קשור לצורתו או לגודלו של המשטח, אלא לכמות המטען הכלואה בתוכו בלבד.
חוק גאוס למגנטיות – קובע שאין מונופולים מגנטיים ולכן השטף המגנטי דרך כל משטח גאוסי הוא אפס.
הסיבה לכך היא שמטענים מגנטיים באים תמיד בזוגות (הנקראים דיפולים).
כל אחד משני המטענים בדיפול יוצר שטף מגנטי בכיוון מנוגד, וכך הם מבטלים אחד את השני.
מספר תאוריות פיזיקליות מניחות את קיומו של מטען מגנטי בודד, הנקרא מונופול מגנטי (הנחת מונופול מגנטי יוצרת סימטריה יפה במשוואות מקסוול).
חוק פאראדיי – מתאר כיצד שינוי בשדה מגנטי גורם ליצירת שדה חשמלי.
זהו העיקרון העומד מאחורי סוגים רבים של גנרטורים חשמליים, למשל.
כוח מכני, כמו מים הנופלים על טורבינות בסכר הידרואלקטרי, מסובב מגנט ענק, והשדה המגנטי המשתנה יוצר שדה חשמלי אשר מזרים חשמל דרך קווי המתח.
חוק אמפר־מקסוול – מתאר כי ניתן ליצור שדות מגנטיים בשתי דרכים: באמצעות זרם חשמלי (חוק אמפר המקורי) ובאמצעות שדות חשמליים משתנים (תיקון מקסוול).
מתוך ארבע המשוואות ניתן לראות כי שינוי בשדה מגנטי יוצר שדה חשמלי, ושינוי בשדה חשמלי יוצר, בתורו, שדה מגנטי – זהו הבסיס לגל האלקטרומגנטי.
את משוואות מקסוול אפשר לכתוב בצורות רבות.
הנוסח המקורי של מקסוול, במאמרו משנת 1861, כלל מערכת של 20 משוואות.
בשנת 1865, תִמצת מקסוול את המשוואות ל-8, אך גם הן כתובות בצורה סבוכה בשל היעדר האופרטורים רוטור ודיברגנץ.
הכתיב הווקטורי, הנחשב לסטנדרטי, פותח על ידי אוליבר הביסייד והוא זה המשמש בניסוח הדיפרנציאלי.
במערכת יחידות SI בריק, משוואות מקסוול נראות כך:
שם המשוואהצורה דיפרנציאליתצורה אינטגרליתחוק גאוסחוק גאוס למגנטיותחוק פאראדייחוק אמפר
במערכות צירים שונות נבלה מוגדר באופן שונה.
שניהם נקבעים על־פי תצורות המטענים והזרמים במרחב.
אלו הם השדות הבסיסיים, כלומר שדות אלו מתארים את המצב האלקטרומגנטי.
הוא המטען החשמלי הכולל של הגוף.
הוא צפיפות המטען הנפחית של המטען החשמלי.
הוא וקטור צפיפות הזרם של הזרם החשמלי ליחידת שטח.
הוא סימון לאינטגרל קווי על מסילה סגורה, למשל לולאה המקיפה משטח דו־ממדי.
הוא סימון לאינטגרל משטחי על משטח סגור, כמו ספירה שמקיפה גוף תלת־ממדי.
בנוסף, בעזרת כוח לורנץ, , ניתן, כעיקרון, לרשום את משוואות התנועה עבור כל חלקיק טעון בעל מטען ומסה .