tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
המשמעות של ההצעה הזו היא שיש מצב אחד בלבד שמתאר מערכת בה חלקיקים נמצאים במצב ה-.
בוז הראה שאם לוקחים את ההנחה הזו, חוק פלאנק מתקבל מהמודל הקוונטי.
הוא שלח את המאמר לאיינשטיין שתרגם אותו לגרמנית וכתב מאמר משלים.
ההתפלגות שמתקבלת מההנחה הזו נקראת התפלגות בוז-איינשטיין וחלקיקים שמצייתים לה נקראים בוזונים על שמו של בוז.
ב-1926 אנריקו פרמי ודיראק עבדו על המוליכות החשמלית ומוליכות החום של מתכות.
לכאורה היה נראה שמספר האלקטרונים שמובילים למוליכות החשמלית גדול בהרבה ממספר האלקטרונים שתורמים למוליכות החום.
פרמי ודיראק הראו שחלקיקים שמקיימים את עקרון האיסור מצייתים להתפלגות סטטיסטית אחרת, שנקראת על שמם התפלגות פרמי-דיראק.
חלקיקים שמצייתים לה נקראים פרמיונים על שמו של פרמי.
הגילוי לפיו אלקטרונים מצייתים להתפלגות פרמי-דיראק כשהם נושאים איתם ספין חצי, בעוד חלקיקים אחרים מצייתים להתפלגות בוז-איינשטיין הביאה למחשבה שהספין של החלקיק קשור להתנהגות שלהם ולכך שהם מקיימים את עיקרון האיסור של פאולי.
התנאים אותם ניסחו פאולי ופירץ קבע שבהינתן עקרונות היסוד של יחסות פרטית, חלקיקים קוונטיים עם ספין שלם לא יכולים להיות פרמיונים וחלקיקים קוונטים עם ספין חצי לא יכולים להיות בוזונים.
ההוכחה שהוצגה על ידי פאולי לא הייתה מוגבלת למשוואה מסוימת אותה החלקיקים מתקיימים, אך כן הוגבלה לשדות קוונטים שלא מבצעים אינטראקציה ביניהם.
במשך השנים ניתנו הוכחות רבות אחרות.
חלקן מסתמכות על אותן הנחות של פאולי, וחלקן מניחות הנחות אחרות, או מחביאות את השימוש שלהן בהנחות של פאולי.
ריצ'רד פיינמן הציג הוכחה ב-1949 שבוקרה על ידי פאולי שהראה שהיא מסתמכת באופן חבוי על אותן הנחות שפאולי הניח.
ג'וליאן שווינגר הציג הוכחה אחרת ב-1950 שהסתמכה על סימטריית היפוך בזמן, סימטריה שהוכח בהמשך שלא מתקיימת בטבע.
ב-1957 הוכח שסימטריית CPT נובעת מהמשפט (ולמעשה שקולה לו), ובהמשך ניתנו הוכחות נוספות שהורידו את ההנחה של פאולי לגבי חוסר האינטראקציה של השדות.
ב-1964 ניתנה הוכחה נוספת על ידי סטיבן ויינברג מנקודת המבט של מטריצות פיזור, ויינברג הסיר את הדרישה לכך שהאנרגיה של מצב היסוד היא האנרגיה הנמוכה ביותר, אולם החליף אותה עם דרישה מורכבת יותר לגבי הטבע של השדה.
ג'ורג' סודרשן הציג הוכחה משלו ב-1975, שהסירה את ההתייחסות הישירה לאופי היחסותי של הבעיה, אולם הוא הראה שהנחה אחרת ששימשה אותו לגבי טבע השדות יוצאת מהנחה חבויה לגבי האופי היחסותי.
בהרצאות פיינמן על פיזיקה שכתב פיינמן ב-1963 הוא טוען שמשפט הספין-סטטיסטיקה הוא דוגמה למשפט בעל ניסוח פשוט אבל הוכחה מסובכת, ושהדבר מראה שאין לנו הבנה מלאה של התופעה:
ב-1994 הוצגה בכתב העת American Journal of Physics השאלה האם נמצא הסבר פשוט למשפט בשלושים השנים שעברו מאז כתיבתו של פיינמן.
מספר פיזיקאים נענו לשאלה והציגו הוכחות שונות.
מרבית ההוכחות נדחו כשגויות או כמניחות הנחות לא טריוויאליות באופן מוסתר.
במכניקה קוונטית לא יחסותית אין דרך להוכיח את משפט הספין-סטטיסטיקה, והוא מוצג כפוסטולט על בסיס תצפיות פיזיקליות.
קיימת הוכחה של המשפט שמסתמכת על סימטריה של הלגראנז'יאן, אולם סימטריה זו ניתנת להצדקה רק במסגרת תורת היחסות הפרטית.
חלקיקים קוונטים הם בלתי ניתנים להבחנה.
כלומר אם במערכת ישנם שני חלקיקים מאותו סוג, אפשר למדוד את המצבים של שני החלקיקים, אולם לא ניתן לדעת איזה חלקיק נמצא באיזה מצב.
בסימון דיראק ניתן לתאר את התכונה הזו של החלקיקים באופן הבא - אם נמדדו המצבים ו- המצב של המערכת יכול להיות (כאשר האיבר השמאלי מתאר את המצב של החלקיק הראשון והימני את המצב של החלקיק השני) או או כל סופרפוזיציה ביניהם כאשר הוא משתנה חופשי.
החופש בבחירת היה יכול להיות לא בעייתי אם הערך שלו לא היה יכול להשפיע על שום מדידה פיזיקלית, אולם זה לא המצב.
לדוגמה במערכת של שני חלקיקי בעלי ספין 1/2. אם לשני החלקיקים נמדד ערך הספין בכיוון z ובמדידה אחת יצא ספין למעלה ובשנייה ספין למטה, המצב של המערכת יתואר על ידי: .
כעת אפשר לבדוק מה הסיכוי ששני החלקיקים ימדדו בערך עצמי פלוס בכיוון x.
המצב העצמי של מדידה כזו הוא: .
הסיכוי למדוד את המצב הזה הוא: .
כלומר הסיכוי הפיזיקלי תלוי ב- שאין דרך פיזיקלית למדוד אותו.
אופרטור ההחלפה בין החלקיקים מוגדר על ידי קל לראות שמתקיים .
מאחר שהחלקיקים זהים, ההמילטוניאן לא יכול להיות לא סימטרי עבורם ולכן מתקיים כלומר מתחלף עם ההמילטוניאן ולכן הוא קבוע של התנועה שיכול לקבל רק את הערכים העצמיים ושהווקטורים העצמיים שלו הם .
באופן דומה ניתן להגדיר אופרטור שמחליף בין מצבים שכוללים יותר משני חלקיקים ולבנות לאופרטורים האלה ערכים עצמיים משלהם.
מצב סימטרי הוא מצב בו עבור כל אופרטור ההחלפה הוא בעל ערך עצמי 1 ומצב אנטי סימטרי הוא מצב בו עבור כל אופרטור ההחלפה הוא בעל ערך עצמי מינוס 1.
פרמיונים הם חלקיקים שעבורם כל מצב שכולל מספר פרמיונים הוא מצב אנטי-סימטרי, ובוזונים הם חלקיקים עבורם כל מצב שכולל מספר בוזונים הוא סימטרי.
משפט הספין-סטטיסטיקה קובע (אמפירית) שחלקיקים בעלי ספין חצי שלם הם פרמיונים וחלקיקים בעלי ספין שלם הם בוזונים.
כלומר אם בוצעו שני מדידות ונמדדו המצבים ו- אז אם החלקיקים הם בעלי ספין חצי שלם המצב שמתאר אותם הוא ואם הם בעלי ספין שלם המצב שמתאר אותם הוא .
תוצאה מיידית של היותם סימטריים להחלפה הוא ששני פרמיונים לא יכולות להיות באותו מצב קוונטי.
זאת מכיוון שאם שני פרמיונים מאכלסים את אותו המצב , נקבל שפונקציית הגל היא .
תכונה זו נקראת עקרון האיסור של פאולי.
נשים לב שהאיסור קיים רק אם המצב הוא מצב קוונטי מלא.
שני אלקטרונים, לדוגמה באטום ההליום, יכולים להיות באותו מצב אנרגטי של האטום, כלומר בעלי אותה פונקציית גל מרחבית, אם אחד מהם הוא עם ספין למעלה והאחר הוא עם ספין למטה, זאת מכיוון שהמצב האנרגטי שלהם ביחס לאטום הוא לא מצב מלא של החלקיק.
במקרה זה המצב של המערכת יהיה , כאשר מתאר את המצב האנרגטי של החלקיקים והאינטראקציה שלהם עם האטום והחיצים מתארים את כיוון הספין.
בוזונים לא סובלים ממגבלה זו, ומספר הבוזונים שיכול להיות במצב מסוים הוא בלתי מוגבל.
בתורת השדות הקוונטית, הספין של השדה הוא תגית שמתארת כיצד השדה מתנהג כאשר מבוצעות עליו טרנספורמציית לורנץ.
היוצרים של חבורת לורנץ מקיימים את אותם יחסים כמו תנע-זוויתי קוונטי, ולכן הספין חייב לקבל ערך שלם או חצי שלם.
וולפגנג פאולי הראה שעבור כל תורה שבה מתקיימים ארבעה תנאים מתקבל ששדות בעלי ספין חצי מקיימים יחסי אנטי-קומוטציה והם מתארים פרמיונים בעוד שדות בעלי ספין שלם מקיימים יחסי קומוטציה והם מתארים בוזונים.
המסה והספין אינווריאנטים תחת טרנספורמציית לורנץ.
השדות הם הצגות אוניטריות סופיות לא ניתנות לצמצום.
מצב הריק הוא המצב בעל האנרגיה הנמוכה ביותר - הוספה של חלקיקים או אנטי חלקיקים יכולה רק להעלות את האנרגיה.
בביצוע של מדידות במקומות שונים שרחוקים אחד מהשני יותר מהזמן בין המדידות כפול מהירות האור (מדידות כמו-מרחביות (spacelike)), המדידות לא יכולות להשפיע אחת על השנייה.
הסיכוי למדוד חלקיק במצב מסוים חייב להיות חיובי.
לתנאים שפאולי הציג יש חלופות מסוימות.
בפרט, ההנחה השנייה שנדרשת להוכחה שחלקיקים בעלי ספין חצי הם פרמיונים עוררה אי נוחות מסוימת.
ויינברג החליף אותה בהנחה לגבי הדרישה למטען אותו השדות יכולים ליצור.
באופן שקול ניתן להחליף אותה בדרישה לשימור סימטריית CPT.
ההוכחה המלאה של המשפט מורכבת להבנה, ודורשת הסבר של מושג הספין מבחינה יחסותית, ושל האופן בו שדות קוונטים מייצרים אינטראקציה זה עם זה.
ההוכחה שתובא כאן מבוססת על ההוכחה של פאולי, אבל מפשטת ומדלגת על חלק מהרכיבים של ההוכחה המלאה.
הוכחות פשוטות יותר למקרים של ספין 0 וספין 1/2 קיימות בספרות.
הספין היחסותי, סקלרים, ספינורים ווקטורים
חלקיקים זהים בתורת שדות קוונטית הם חלקיקים ששומרים על כל המספרים הקוונטיים תחת חבורות הסימטריה של התיאוריה.
המשמעות של משפט זה היא שניתן להגיד שאלקטרון שזז בכיוון אחד עם תנע מסוים זהה לאלקטרון שזז לכיוון אחר בתנע אחר היא שקיימים אוסף של טרנספורמציות ששומרות על הסימטריה של התיאוריה ומעבירות את המצב הראשון למצב השני.
בתורת קוונטית שמקיימת את תורת היחסות הפרטית, אחת הטרנספורמציות שכל תיאוריה חייבת לקיים היא טרנספורמציית לורנץ של המרחב.
אחת מהתוצאות היסודיות של תורת היחסות הפרטית היא שהמסה של חלקיק לא משתנה במעבר בין מערכות ייחוס, כלומר המסה אינווריאנטית תחת טרנספורמציית לורנץ.
לכן לדוגמה אלקטרון ומיואון לא יכולים להיות אותו שדה כיון שהמסה שלהם שונה, ושום טרנספורמציה ששומרת על הסימטריה של יחסות פרטית לא יכולה להעביר חלקיק עם מסה של אלקטרון לחלקיק עם מסה של מיואון.
לא כל החלקיקים עם אותה מסה יכולים להיות מתוארים על ידי אותו שדה.
לחלקיק יכולים להיות מספרים קוונטים שחבורת לורנץ לא פועלת עליהם בכלל, לדוגמה המטען החשמלי.
אם בטבע היה קיים חלקיק עם מסה דומה למסה של האלקטרון אבל עם מטען חשמלי שונה, שני החלקיקים לא היו יכולים להיות מתוארים על ידי אותו שדה.
לחבורת לורנץ יש תכונה שהיא משמרת על מספר קוונטי נוסף, מלבד המסה, למרות שהיא פועלת באופן לא טריוויאלי עליו - מדובר בספין של החלקיק, שעובר טרנספורמציה לא טריוויאלית ביחס לסיבובים .
הסיבובים הם תלת־ממדיים, והחבורה שהם מייצרים היא .
ההצגות של החבורה מתנהגות כמו תנע זוויתי קוונטי, ולכן הן ניתנות לתיוג באמצעות ערך הספין שמקבל ערכים שלמים או חצי שלמים.
הצגה עם ספין , תהיה בעלת ממדים.
הספין לא משתנה כאשר מופעלות עליו טרנספורמציות לורנץ, לעומת זאת, המרכיבים של השדה, שהוא כבר לא סקלר, עוברים טרנספורמציה שיכולה לשנות את ערכי השדה בלי לשנות את ה4-תנע עבור סיבובים מסוימים של המרחב.
בחבורת לורנץ ניתן להגדיר , קל לוודא שמתקיים .
ולכן חבורת לורנץ מתפרקת לשתי חבורות .
לפיכך, אפשר להציג את חבורת לורנץ באמצעות שני ערכים שמקבלים ערכים חצי שלמים או שלמים.
המימד הכולל של ההצגה הוא .
מאחר ש- ערך הספין יכול להיות .
מכאן אפשר להגדיר את סוגי השדות הבאים: ספין שלם ממש (נסמן ב-) מצב בו שניהם שלמים.
ספין שלם חלקית (נסמן ב-) מצב בו שניהם חצי שלמים, ספין חצי שלם שמאלי (נסמן ב ) מצב בו חצי שלם ו- שלם וספין חצי שלם ימני (נסמן ב ) מצב בו שלם ו- חצי שלם.
השדה הצמוד () לשדה מסוג שלם ממש הוא שדה שלם ממש, הצמוד לשדה שלם חלקית הוא שדה שלם חלקית, השדה הצמוד לשדה חצי שלם ימני הוא שדה חצי שלם שמאלי ולהפך.
כל גודל, ולא רק השדות, יכול להיות מפורק בהתאם לפעולה של שני חלקי החבורה עליו.
כדי שטנזור יתנהג כראוי תחת טרנספורמציית לורנץ, הוא חייב להיות בעל "ספין" שלם.
טנזורים ממימד אי-זוגי חייבים להיות שלמים חלקית, וטנזורים ממימד זוגי חייבים להיות שלמים ממש.
בפרט כל 4-וקטור, כולל וקטור ה4-תנע, חייב לקיים .
מכפלה של שדה ב4-וקטור הופכת שדה שלם ממש לשדה שלם חלקית ולהפך, ושדה חצי שלם ימני לשדה חצי שלם שמאלי ולהפך.
משוואות התנועה והקשר שלהם לסוגי השדות
משוואות התנועה הקוונטיות של חלקיק חופשי מתארות קשרים בין השדה שמציין את החלקיק וה-4 תנע שהשדה הזה נושא.
כל עוד החלקיקים חופשיים, משוואת התנועה חייבת להיות ליניארית בשדות, או בשדות הצמודים שלהם.
לכן משוואות התנועה יכולות להיות כתובות באופן נרחב בצורה .
עבור פונקציות פולינימיאליות של התנע.
נפריד את הדיון לספין שלם ולספין חצי שלם.
עבור ספין שלם, נפרק את המשוואה למשוואות עבור רכיבים שלמים ממש וחלקית שלא משפיעות על סוג השדה.
נקבל שהמשוואות מקשרות בין הסוגים באופן הבא:
המשוואות האלה סימטריות ביחס להחלפות: .
עבור ספין חצי שלם נקבל שהמשוואות מקשרות באופן הבא:
כל סקלר שמורכב מהשדות חייב להיות מצב שלם מלא.
לכן הוא חייב לכלול מכפלה של שדות חצי שלמים ימניים בשדות חצי שלמים ימניים, שמאליים בשמאליים או שמאליים בימניים ובחזקות אי-זוגיות של התנע.
קל לראות שתנאים אלה גוררים שתחת ההחלפה לעיל, כל סקלר, ובפרט האנרגיה, מחליף סימן .
התוצאה האחרונה גורמת לבעיה לגבי פרמיונים.
אם הוספת חלקיק עם 4-תנע למערכת מגדילה את האנרגיה של המערכת, אז הוספת חלקיק עם 4-תנע תקטין את האנרגיה של המערכת, בסתירה להנחה 2 שהוספת חלקיק למערכת לא יכולה להוסיף אנרגיה.
זוהי אותה בעיה שעמדה בפני דיראק כאשר הוא התייחס למשוואה שלו כמשוואה המתארת את ההתנהגות של חלקיק בודד - למשוואה יש פתרונות עם אנרגיה שלילית.
הדרך היחידה לשמור על ההנחה שמצב היסוד הוא בעל האנרגיה המינימלית היא באמצעות הים של דיראק.
באופן זה מתארים את מצב היסוד כמצב בו כל המצבים עם תדירות () שלילית הם מצבים מאוכלסים, ובגלל עקרון האיסור של פאולי לא ניתן להוסיף להם חלקיק, וכך האנרגיה יכולה רק לעלות.
את התיאור הזה אפשר להחליף באמירה שחלקיקים יכולים להיות רק עם תדירות חיובית, ושחלקיקים עם תדירות שלילית הם אנטי חלקיקים שיצירתם שקולה להסרת חלקיק, התיאור הזה זהה מבחינה פיזיקלית, ונהנה מהעובדה שמצב היסוד שלו לא כולל שום חלקיק.
לכאורה היה ניתן לייצר טיעון דומה גם לבוזונים, אולם אפשר להראות שבמצב כזה היצירה של בוזון עם תדירות שלילית ממצב הריק תיצור מצב בו הסיכוי למדוד את החלקיק יהיה שלילי, בסתירה להנחה 4.
כדי להראות שבוזונים לא יכולים לקיים יחסי אנטי-קומוטציה יש להשתמש בלוקליות של ביצוע המדידות.
לוקליות זו קובעת שכל גודל פיזיקלי חייב להתאפס מחוץ לקונוס האור.
כל רכיב של שדה יחסותי חייב לקיים את משוואת קליין-גורדון.
אפשר למצוא את פונקציית גרין של המשוואה הזו - יש שתי פונקציות גרין - רק אחת מהן מקיימת את התנאי שהיא מתאפסת מחוץ לקונוס האור.
הפונקציה הזו (פונקציית יורדן-פרמי) היא אנטי סימטרית ביחס ל- וסימטרית ביחס ל-, ולכן בסה"כ אנטי סימטרית להחלפה .
כל הפונקציות הפיזיקליות בתיאוריה, ובפרט הקומוטטור (עבור בוזונים) או האנטי קומוטטור (עבור פרמיונים) חייבות להיות מורכבות מפונקציית הגרין ומנגזרות שלה לפי הקואורדינטות.
עבור חלקיקים בעלי ספין שלם הסוגריים (שיכולים לסמן את הקומוטטור או האנטי-קוממוטטור בהתאם לסוג של החלקיקים) הם טנזורים ממימד זוגי.
לכן הסוגריים שמקבלים משמעות פיזיקלית חייבים להיות מורכבים ממספר זוגי של נגזרות של פונקציית הגרין (כולל 0 נגזרות, כלומר פונקציית הגרין עצמה).
הפונקציה הזו סימטרית ביחס להחלפה , אבל אם היא מורכבת מסכום של פונקציות שהן מספר זוגי של נגזרות של פונקציה אנטי סימטרית להחלפה כזו.
כעת אם לוקחים את סימן הפלוס בסוגריים, כלומר מניחים שהחלקיקים הם פרמיונים נקבל שכאשר מתקיים אבל שני הגדלים הללו בהכרח לא שליליים בסתירה להנחה.
לכן קיבלנו שחלקיקים בעל ספין שלם לא יכולים להיות פרמיונים.
עבור חלקיקים עם ספין חצי-שלם לא מתקבלת סתירה מאחר שהם מורכבים מפונקציות שהן טנזור ממימד אי זוגי, כלומר מורכבות מסכום של פונקציות שהן מספר אי-זוגי של נגזרות של פונקציית יורדן-פאולי.
ולכן הפונקציה יכולה להיות סימטרית ביחס להחלפה ואי אפשר לדרוש שהיא תתאפס.
בסיום המאמר של פאולי בו הופיעה לראשונה ההוכחה של המשפט הוא סיכם:
פאולי הצהיר זאת כי בניגוד לרוב השימושים של היחסות הפרטית, שמסבירים דבר בגבול של מהירויות גבוהות, הסטטיסטיקה הקוונטית של החלקיקים משפיעה באופן ישיר על ההתנהגות שלהם בכל אנרגיה, כולל בחישובים שנעשים בגבול הלא יחסותי.
החישוב של בוז שנותן את התפלגות האנרגיה של פליטה מגוף שחור ניתן לביצוע רק אם מקבלים את העובדה שפוטונים הם בוזונים.
העובדה הזו נובעת ממשפט הספין סטטיסטיקה שנובע מתורת היחסות הפרטית.
בהתאם לכך, בוצעה עבודה רבה כדי לנסות להוכיח את המשפט בלי להשתמש בתורת היחסות.
הניסיונות האלה הסתכמו במציאת מספר ניסוחים אחרים שלא מניחים את תורת היחסות באופן גלוי, אבל נעזרים בתוצאות שהדרך הפשוטה ביותר להצדיקם היא בשימוש בתורת היחסות.
לדוגמה אפשר להוכיח את המשפט כתוצאה מההנחות לפיהם הלאגראנז'יאן של התיאוריה ניתן להבעה כסכום של אופרטורים הרמיטיים, וסימטרי להחלפה של הטעם של החלקיקים.
דרישה זו יכולה להיות מוצדקת לחלקיקים יסודיים בתורת היחסות הפרטית.
הוכחות אחרות הראו שחלקיקים יסודיים לא יכולים להתנהג בצורה המצופה מתורת השדות הקוונטים אם ערך הספין שלהם גדול מ-1. תוצאות אלו מאפשרות להוכיח את המשפט רק עבור ערכי ספין 0,1/2 ו-1. דבר שמביא את ההוכחה להיות ישירה יותר (מכיוון שאפשר לכתוב במפורש את משוואות התנועה ולהוכיח ישירות מהן).
חלקיקים שמורכבים ממספר חלקיקים יסודיים יכולים להיות עם ערכי ספין גבוהים יותר (לדוגמה לגרעין של ליתיום 7 יש ספין 3/2) וגם הם מקיימים את משפט הספין סטטיסטיקה בקירובים מסוימים.
קיומם של בוזונים ופרמיונים משפיע על המצבים אותם יכולים שני חלקיקים או יותר לקחת.
לדוגמה עבור שני חלקיקים פרמיונים שנמצאים באחד משני מצבים המערכת יכולה להיות במצב אחד בלבד - הסינגלט .
עבור בוזונים המערכת יכולה להיות באחד משלושה מצבים - הטריפלט .
פונקציית גל פרמיונית חייבת להיות אנטי-סימטרית להחלפה רק כאשר מדובר על כל מרכיבי הפונקציה, אם פונקציית הגל מורכבת מפונקציה מרחבית ומהספין, והאינטראקציה בין המרחב לספין זניחה, אז אם הפונקציה המרחבית סימטרית להחלפה הפונקציה של הספינים תהיה אנטי סימטרית ובמצב הסינגלט, ואם הפונקציה המרחבית אנטי סימטרית הספינים יהיו במצב הטריפלט.
הסטטיסטיקות שנובעות משני סוגי הסטטיסטיקה אחראיות למספר תופעות מעניינות:
התפלגות בוז-איינשטיין, המתארת את הבוזונים, מובילה לעיבוי בוז-איינשטיין.
מתחת לטמפרטורה מסוימת, רוב החלקיקים במערכת המורכבת מבוזונים יאכלסו את מצב היסוד (המצב בעל האנרגיה הנמוכה ביותר במערכת).
במקרה זה מופיעות תכונות מעניינות, כגון נוזליות-על.
התפלגות פרמי-דיראק, המתארת פרמיונים, מובילה אף היא לתכונות מעניינות.
כיוון שלכל היותר פרמיון אחד יכול לאכלס מצב קוונטי נתון.
מכיוון שאלקטרונים הם בעלי ספין 1/2 (מקבלים רק את שני ערכי הספין ), יכול כל אורביטל באטום להכיל לכל היותר שני אלקטרונים שהספינים שלהם הפוכים זה ביחס לזה.
לכן, גם כשהטמפרטורה היא אפס מוחלט, המערכת עדיין נושאת כמות אנרגיה משמעותית.
כתוצאה מכך, מערכות הבנויות מפרמיונים מפעילות לחץ כלפי חוץ גם בטמפרטורה אפס.
לחץ זה אחראי למניעת קריסתם של כוכבים מסיביים כתוצאה מכבידה .
משפט סביץ' , שהוכח בידי וולטר סביץ' בשנת 1970, הוא משפט בתורת הסיבוכיות שקושר בין הזיכרון הנדרש לצורך פתרון בעיות בדרך דטרמיניסטית ובין הזיכרון הנדרש כאשר ניתן להשתמש באי-דטרמיניזם.
בתורת הסיבוכיות ממדלים בצורה מתמטית פתרון של בעיות מתחום מדעי המחשב.
המודל המקובל הוא מכונת טיורינג, שמדמה את פעולתו של מחשב בסיסי במיוחד (ועם זאת, כזה שניתן לפתור בו כל בעיה שניתנת לפתרון במחשב רגיל).
אחד מהמדדים למורכבות של בעיה הוא כמות הזיכרון הנדרש כדי לפתור אותה, וכמות זו נמדדת במכונת טיורינג על ידי מספר תאי הזיכרון שנעשה בהם שימוש במהלך ריצת המכונה.
מכיוון שעבור קלטים גדולים יותר נדרש באופן טבעי יותר זיכרון על מנת לפתור את הבעיה, נהוג למדוד את החסם על הזיכרון שדורשת מכונת טיורינג מסוימת בתור פונקציה על גודל הקלט.
משפט סביץ' מראה כי אם נדרשת כמות כלשהי של זיכרון כדי לפתור בעיה בצורה אי-דטרמיניסטית, מספיקה כמות זיכרון זו בריבוע כדי לפתור את הבעיה בצורה דטרמיניסטית.
בצורה פורמלית נהוג לראות את הבעיות החישוביות כבעיות של זיהוי שפות פורמליות.
את אוסף כל השפות שניתנות להכרעה בסיבוכיות מקום באמצעות מכונת טיורינג דטרמיניסטית מסמנים בתור .
את אוסף כל השפות שניתן להכרעה באמצעות מכונת טיורינג אי-דטרמיניסטית בסיבוכיות מקום זו מסמנים .
בצורה פורמלית, ניסוחו של משפט סביץ' אומר:
ההוכחה של המשפט היא קונסטרקטיבית ומדגימה את הצורה שבה, עבור בעיה השייכת ל- ניתן לקבל מכונה דטרמיניסטית מתאימה בהינתן מכונה אי דטרמיניסטית שפותרת את הבעיה.
על מנת להוכיח את המשפט ראשית מוכיחים כי ניתן לפתור את הבעיה של בדיקה האם קיים מסלול בין שני צמתים בגרף תוך שימוש בסיבוכיות זיכרון של .
לאחר מכן משתמשים בפתרון לבעיה זו כדי להריץ חיפוש על הגרף המייצג את המצבים האפשריים בעת ריצת מכונת הטיורינג האי דטרמיניסטית שבודקת האם מילה מסוימת שייכת לשפה.
ניתן להניח כי קיים מצב יחיד שבו המכונה מסיימת את ריצתה ומודיעה על קבלת המילה הנבדקת, ועל כן כל שיש לעשות הוא לבדוק האם קיים מסלול מהמצב ההתחלתי אל המצב המקבל.
מכיוון שגודל הגרף הוא אקספוננציאלי בסיבוכיות הזיכרון של המכונה האי דטרמיניסטית, ומכיוון שאת החיפוש ניתן לבצע בסיבוכיות זיכרון לוגריתמית בריבוע ביחס לגודל הגרף, נובע כי סיבוכיות הזיכרון הכוללת הנדרשת היא ריבוע הזיכרון של המכונה האי דטרמיניסטית.
המשמעות המיידית הנגזרת ממשפט סביץ' היא קיום השוויון .
כלומר, כל בעיה שניתנת לפתרון בזיכרון פולינומי באמצעות מכונה אי דטרמיניסטית ניתנת לפתרון בזיכרון פולינומי גם באמצעות מכונה דטרמיניסטית.
התוצאה המקבילה במונחי סיבוכיות זמן היא P=NP, אך בניגוד לתוצאה עבור זיכרון, לא ידוע אם P=NP וההשערה המקובלת היא שהדבר אינו נכון.
הסיבה שבגללה המשפט תקף עבור זיכרון אך לא עבור זמן היא שלא ידועה דרך לביצוע חיפוש מסלול בגרף בזמן לוגריתמי בריבוע (האלגוריתם שעושה זאת בסיבוכיות זיכרון לוגריתמית בריבוע "משלם" על כך בזמן ריצה גבוה מאוד).
היתרון של סיבוכיות הזיכרון על פני הזמן בהקשר זה נובעת מכך שניתן "למחזר" זיכרון.
במתמטיקה, משפט סטוקס הוא הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור יריעות חלקות.
המשפט קרוי על שם ג'ורג' סטוקס והוא בעל חשיבות רבה באנליזה של שדות וקטוריים.
בהינתן יריעה דיפרנציאלית קומפקטית אוריינטבילית ותבנית דיפרנציאלית המוגדרת על מתקיים:
כאשר היא הנגזרת החיצונית של ו- היא השפה של .
במרחב הווקטורי , ניתן לנסח את המשפט כך: , כאשר היא יריעה אוריינטבילית דו־ממדית, האגף השמאלי הוא אינטגרל מסילתי של השדה על שפת , והאגף הימני הוא אינטגרל משטחי על השטף של רוטור השדה דרך .
שימושה המוכר ביותר של צורה זו של משפט סטוקס (הנקראת לעיתים בפי הפיזיקאים חוק סטוקס) הוא במשוואות מקסוול, או ליתר דיוק, בחוק אמפר ובחוק פאראדיי.
משפט גרין הוא מקרה פרטי של חוק סטוקס, בו השדה הווקטורי הוא .
במקרה זה בהינתן מסילה פשוטה סגורה וגזירה למקוטעין , נקרא לשטח החסום על ידי המסילה ויתקיים:
מסקנה שימושית של משפט סטוקס ב־ היא משפט גאוס (הידוע גם כמשפט הדיברגנץ): , כאשר הוא נפח ב־, היא המעטפת הכולאת אותו, ו־ הוא וקטור נורמלי למשטח .
האגף השמאלי הוא אינטגרל נפחי של הדיברגנץ של על הנפח , ואגף ימין הוא אינטגרל משטחי של השטף של דרך .
גם צורה זו של משפט סטוקס מופיעה במשוואות מקסוול, בחוק הנקרא חוק גאוס.
משפט הגרדיאנט הוא הכללה של נוסחת ניוטון לייבניץ ואומר שאם מסילה גזירה ו- פונקציה סקלרית דיפרנציאבילית אזי:
משפט נֶתֶר הוא משפט בפיזיקה תאורטית הקושר בין סימטריות של מערכת פיזיקלית וחוקי שימור שהיא מקיימת.
כך למשל, חוק שימור התנע נובע מסימטריה של מערכת להזזות (כלומר התנע נשמר כאשר מאפייני המערכת אינם תלויים במיקומה).
המשפט קרוי על שם המתמטיקאית אֶמִי נֶתֶר, שהוכיחה אותו במהלך מחקר בעיות בחוק שימור האנרגיה בתורת היחסות הכללית.
המשפט והוכחתו פורסמו במאמר בשנת 1918.
ניתן לנסח את משפט נתר באופן הבא:
עבור כל סימטריה רציפה (וגזירה) של הפעולה, קיים גודל שמור, וכן כל גודל שמור מתקבל מאיזשהי סימטריה של הפעולה.
בהינתן לגראנז'יאן , נניח שהפעולה
אינווריאנטית תחת טרנספורמציה התלויה באופן רציף וגזיר בפרמטר על ידי:
אזי קיים זרם שמור המקיים משוואת רציפות .
כאשר g היא המטריקה ו- היא דלתא של קרונקר.
מזרם זה ניתן לקבל את המטען השמור המקיים
הגודל נקרא טנזור צפיפות המאמץ-אנרגיה ועל ידי ביצוע סימטריזציה שלו אפשר לקבל את טנזור המאמץ-אנרגיה היחסותי .
במכניקת הקוונטים, בה משוואת שרדינגר תלויה בהמילטוניאן, מקבל משפט נתר את הצורה הבאה:
תהי טרנפורמציה אוניטרית רציפה, המוגדרת באמצעות האופרטור G, יוצר הטרנספורמציה:
T היא סימטריה של המערכת (כלומר, ) אם ורק אם G הוא קבוע (בזמן) של התנועה.
השוויון נכון גם לכל סדר בפיתוח טיילור של האופרטור ב־, ובפרט לסדר הראשון:
בעזרת קיבוץ איברים מתקבל השוויון:
אבל, מאחר שההמילטוניאן הוא יוצר של ההתקדמות בזמן,
כלומר, G הוא קבוע של התנועה.
בעזרת משפט נתר ניתן לקבל את חוקי השימור הבאים:
חוק שימור האנרגיה הנובע מסימטריה להזזה בזמן.
חוק שימור התנע הקווי הנובע מסימטריה להזזה מרחבית.
חוק שימור התנע הזוויתי הנובע מסימטריה לסיבוב.
חוק שימור המטען החשמלי הנובע מסימטריית כיול.
ועוד חוקי שימור נוספים, כגון חוקי שימור של המספר הבריוני והלפטוני.
למשפט נתר חשיבות גדולה בפיזיקה תאורטית.
המשפט קושר בין כל חוקי השימור הפיזיקליים (כולם נובעים בעצם מאותה סיבה בסיסית - סימטריה).
יתירה מזו, חוקי השימור הבסיסיים והחשובים (אנרגיה, תנע, תנע זוויתי) נובעים בעצם מהנחות מאוד בסיסיות ואינטואיטיביות - ההומוגניות והאיזוטרופיות של חוקי הפיזיקה, כלומר ההנחה שחוקי הפיזיקה אינם תלויים בזמן ובמרחב, ואותם חוקים התקפים כאן ועכשיו יהיו תקפים גם בעוד מיליוני שנים וגם בגלקסיות רחוקות.
משפט סירקין-רייכלין הוא משפט שהתנהל בשנת 1943, כנגד חברי "ההגנה" אריה סירקין ואברהם רייכלין, על הברחת כלי נשק.
היה אחד מהמשפטים הבולטים של שלטון המנדט הבריטי נגד ארגון "ההגנה".
השניים נדונו למאסר ושוחררו טרם סיום הריצוי לאחר 3 שנים וחצי בכלא.
הפעילות של הצבא הבריטי במזרח התיכון במלחמת העולם השנייה פתחה בפני "ההגנה" אפשרויות להשגת נשק.
בראש פעולות רכש הנשק מהצבא הבריטי עמד יהודה ארזי.
אחד הפעילים היה אברהם רייכלין, שכסיפור כיסוי עבד כנהג מונית ובפועל עסק בהברחת נשק עבור "ההגנה".
ב-1943 תפסו הבריטים שני עריקים בריטיים שהבריחו נשק ל"הגנה" והעבירו אותו לידי רייכלין.
ב-11 באוגוסט 1943 נידונו השניים ל-15 שנות מאסר.
הנידונים מסרו את שמו של רייכלין, כאיש הקשר שהוביל את הנשק במכוניתו.
הבריטים הוסיפו למשפט גם את אריה (לייב) סירקין (סריג) שלא היה לו קשר לפעולת הרכש.
העריקים טענו כי נפגשו איתו ו"זיהו" אותו במסדר זיהוי.
סירקין היה איש ההגנה ומזכיר ועד הימאים בחיפה מטעם ההסתדרות.
בעיתונות הערבית הופיעו מאמרים הדורשים מהממשלה להעמיד לדין את ראשי הסוכנות היהודית, לערוך חיפושי נשק ביישובים היהודיים, לפטר את הנוטרים היהודים ולהחרים את הנשק הליגלי.
סירקין ורייכלין הואשמו בהעברת 105,000 כדורים ו-300 רובים ממחסני הצבא הבריטי ממצרים לחיפה.
על סירקין הגן עורך הדין ד"ר פיליפ יוסף ועל רייכלין - עורך הדין אשר לויצקי.
המשפט נמשך למעלה משישים ישיבות.
עד 28 באוגוסט נשמעו 36 עדי קטגוריה ולאחריהם קבע בית הדין שעל הנאשמים להשיב לאשמה.
הבריטים דאגו שהמשפט יהיה משפט ראווה.
עיתונאים אמריקאים מקהיר הוזמנו לסקר אותו.
התובע הצבאי הכללי מייג'ור באקסטר טען שהנאשמים משתייכים ל"ארגון שטני רב כח ...
אשר מטרתו העקרית והיחידה היא להשיג נשק בכמויות בלתי מוגבלות." הוא המשיך ושאל: "החשב בית הדין שישתמשו בנשק זה נגד כוחות הציר?
ברור הדבר כי פעולתם ומטרתם ...
עומדת בניגוד גמור לאלו של בנות הברית.
היישוב היהודי ראה בדברים אלו, ובמשפט כולו, האשמה בבגידה כנגד היישוב היהודי המאורגן ומוסדותיו: ההסתדרות, הפלמ"ח ההגנה והסוכנות היהודית, והתקומם כנגד האשמות אלה, שעמדו בניגוד מוחלט להתגייסות של היישוב לסייע לצבא הבריטי במאמץ המלחמתי נגד הנאצים.
רושם רב עוררה עדותה של גולדה מאירסון (מאיר) שנקראה על ידי הסנגוריה להעיד עבור סירקין ב-7 בספטמבר 1943. מאירסון העידה שסירקין היה חבר ההסתדרות והפועל, גופים אזרחיים שאינם עוסקים באימוני נשק וכי מעברו לחיפה נבע מטעמים אזרחיים כדי לארגן את פעילות צופי הים בעיר, פעילות שסייעה לצבא הבריטי.
כאשר התובע ציטט ממאמר שלה בזכות ההגנה העצמית של היהודים, היא אמרה: "אם יהודי או יהודיה המגינים על עצמם בנשק הם פושעים הרי תצטרכו להקים בארץ הזאת הרבה בתי סוהר חדשים".
היא הדגישה ש"ההגנה" הוקמה כדי להגן על היהודים וכי במקום שלא הייתה "ההגנה", נערך טבח ביהודים כמו בחברון וצפת ב-1929 ובטבריה ב-1936. על הפלמ"ח היא אמרה שהוא נוסד כאשר הגרמנים התקרבו לגבולות הארץ, כדי לסייע לצבא הבריטי בשעותיו הקשות.
היא הזכירה גם את מרד גטו ורשה ואמרה כי: "אנו גאים ביהודים של גטו ורשה שקמו נגד רודפיהם בלי נשק למעשה, ואנו בטוחים שלקחו להם לדוגמה את ההגנה העצמית בארץ ישראל".
גולדה כתבה בספרה "חיי" כי למחרת עדותה ביקרה אצל הוריה בהרצליה.
אמה פתחה לה את הדלת ואמרה "אביך מסתובב כל הבוקר בחוץ, מראה את העיתונים לשכנים ואומר לכולם - 'אתם רואים, גולדה שלי!'".
גזר הדין ניתן ב-27 בספטמבר 1943. סירקין נידון ל-10 שנות מאסר, ורייכלין ל-7 שנות מאסר.
הם ריצו את עונשם בבית הסוהר המרכזי בירושלים.
גזר הדין עורר זעם בארץ ישראל.
ב"מעונות העובדים" ברחוב פרישמן בתל אביב הייתה במשך שנים רבות כתובת גדולה "שחררו את רייכלין וסירקין".
ברחבי הארץ התכנסו ארגונים שונים כדי לגנות את ההאשמות נגד היישוב היהודי במשפט.
דוד בן-גוריון הוקיע את עיוות הדין במשפט ובהמשך לעדותה של גולדה מאיר הכריז במושב אספת הנבחרים ב-4 באוקטובר 1943 כי יש הגנה בישראל.
לא הגנה כפויה כפי שהבריטים טענו במשפט, אלא הגנה עצמית מתנדבת של בני ובנות ישראל לשמור על שלום היישוב.
יצחק טבנקין הזהיר כי במשפט זה הוכרזה על ידי ממשלת המנדט, מלחמה על ארגון "ההגנה" למען יוכל השלטון להגשים את הספר הלבן ולחסל את הציונות.
לאחר שלוש שנים וחצי המתיק הנציב העליון את עונשם של סירקין ורייכלין.
סירקין שוחרר ב-11 ביולי 1946 ורייכלין שוחרר בסוף אוקטובר 1946.
משפט עַרְטִילָאִי הוא מונח תחבירי המתאר משפט המכיל שתי מילים בלבד כאשר האחת מהן משמשת בתפקיד נושא והשנייה - בתפקיד נשוא.
יש שהמשפט הערטילאי מכיל מילה אחת בלבד.
דוגמאות למשפט ערטילאי בן שתי מילים:
התפוח נאכל; דוד בירושלים; העצים לבלבו; הילד שיחק; הבחינה התחילה; הבית נבנה.
דוגמאות למשפט ערטילאי המכיל מילה אחת שבה כלולים הנושא והנשוא:
הלכתי; שמעתי; ידעתי; ראיתי; למדתי; בכל מילים אלה ודומיהן כלולים במילה גוף וגם פועל, שהם הנושא והנשוא.
במשפט הערטילאי קיים מאפיין שמייחד אותו בכך שניתן להפוך בו בקלות את סדר המילים; לשים את הנושא במקום הנשוא ואת הנשוא במקום הנושא; כי כפי שאפשר לומר "התפוח נאכל", אפשר לומר "נאכל התפוח".
מאפיין נוסף במשפט הערטילאי: בסיבת היותו משפט קצר לעיתים הוא מסמל אדישות וקרירות או סגירות והתכנסות.
המילה "ערטילאי" מציינת בדרך כלל עירום והפשטה; מקור המילה הוא בשפה הארמית מהמילה "ערטלא" שמשמעותה חשיפה ועירום (ממנו הפועל המוכר - התערטלות).
השרש ערט"ל מצוי מספר פעמים בתרגומי התנ"ך ובספרי חז"ל במשמעות הנ"ל.
הזמן בו נטבע המונח התחבירי אינו ידוע, אך יש לשער שזמנו מן המאה הקודמת ומקורו משפות הזרות.
בקרב הבלשנים בגרמניה במאה ה-19, נעשה שימוש במונח דומה: nackter Satz (נַקְטֶר זַץ = משפט ערום) שמשמעותו זהה וניתן להניח שמשם מקור מונח זה.
מעבר למונח התחבירי, המונח משפט ערטילאי משמש כהשאלה וכמטפאורה למשמעות של משפט לא מוסבר דיו; משפט מופשט מהסבר; משפט קצר ומצומצם ללא הרחבה; משפט ריק או דל מתוכן.
משפט סימסון הוא משפט גאומטרי הקובע כי:
אם נתון משולש ונקודה שנמצאת על היקף המעגל החוסם אותו, אזי היטלי הנקודה על צלעות המשולש נמצאים על ישר אחד.
ישר זה מכונה ישר סימסון.
בתמונה, הנקודה P נמצאת על היקף המעגל החוסם את המשולש ABC.
היטלי הנקודה על הצלעות AB, AC, BC מסומנים ב N, L, M בהתאמה (כלומר מתקיים ) נמצאים על ישר אחד (צבוע באדום).
חלק נוסף של המשפט קובע כי שיקופי הנקודה P ביחס לישרים AB, AC, BC נמצאים על ישר אחד עם מפגש הגבהים של המשולש ABC.
המשפט ההפוך נכון גם הוא: אם נתון משולש ונקודה כך שהיטלי הנקודה על צלעות המשולש נמצאות על ישר אחד, אזי הנקודה הזאת המצאת על היקף המעגל החוסם את המשולש.
משפט סימסון שקול למשפט תלמי (כלומר, כל אחד מהם גורר את השני) ועל כן מספיק להוכיח את אחד מהם על מנת להוכיח את השני.
משפט ספרג-גרונדי הוא משפט יסודי בתורת המשחקים הקומבינטורית הקובע שכל משחק שוויוני (impartial game) אשר משחקים בו באופן נורמלי שקול לנים.
המשפט התגלה באופן בלתי תלוי על ידי רונלד ספרג (1935) ופטריק גרונדי (1939).
תורת המשחקים הקומבינטורית עוסקת במשחקי סכום אפס של שני שחקנים, בעלי אינפורמציה מלאה ללא אלמנט של מזל.
תאורטית ניתן לנתח משחקים כאלו באופן מלא.
עם זאת, ישנם משחקים כדוגמת שח-מט או גו, בעלי סיבוכיות כל כך גדולה שניתוח מלא בלתי אפשרי עם הטכנולוגיה הנוכחית.
משפט ספרג-גרונדי עוסק בתת-קבוצה של המשחקים הקומבינטורים הללו.
הוא פותר באופן מלא את כל המשחקים הסופיים בהם שני השחקנים יכולים בכל תור לשחק בדיוק את אותם מהלכים, דהיינו לוח המשחק זהה לשני הצדדים ואין חלוקה לשחור ולבן, והמנצח הוא השחקן אשר משחק את המהלך האחרון.
דוגמה למשחק שוויוני הוא נים.
דוגמה למשחק לא שוויוני הוא שח-מט.
המשפט מציע מיון לכל תת-הקבוצה הנ"ל.
על פי המשפט ניתן לכל משחק כזה להעניק מספר אשר יהיה שקול לערימת נים בודדת באורך מסוים, ומספר זה יקבע את זהות המנצח עוד לפני תחילת המשחק.
ראוי לציין שהמשפט רק מצביע על קיום המספר - לא לכל המשחקים נמצאה האסטרטגיה אשר מסבירה מה הדרך האופטימלית לשחק במשחק, וקיימים משחקים בהם זאת בעיה קשה ולא פתורה.
לפני שנוכל להציג ולהוכיח את המשפט, נדרש להגדיר מספר הגדרות, ראשית עבור משחקים קומבינטורים באופן כללי, ולאחר מכן עבור משחקים קומבינטורים שוויונות.
לצורך משפט ספרג-גרונדי משחק יוגדר להיות משחק שני שחקנים בעל ידיעה שלמה אשר משוחק בתורות, כאשר בכל תור משחק רק שחקן אחד.
לשני השחקנים נקרא בשמות שחקן שמאל ושחקן ימין.
מצב במשחק יוגדר באופן חד ערכי על ידי מצב הלוח ועל ידי זהות השחקן שתורו לשחק.
מצב לוח יוגדר באופן רקורסיבי ויסומן על ידי .
מצב לוח מכיל את כל מצבי הלוח שניתן להגיע אליהם מהמצב הנוכחי, כאשר הם מצבי הלוח שאליהם ניתן להגיע על ידי מהלך אחד של שחקן שמאל ו- הם מצבי הלוח שאליהם ניתן להגיע על ידי מהלך אחד של שחקן ימין.
משחק מתאים למצב הלוח בתחילת המשחק ולכן ניתן לכתיבה כ- .
כאשר אנו רושמים משחק בצורה זו, איננו אומרים מי הוא השחקן הראשון שמשחק (מי מבצע את מהלך הפתיחה).
שחקן זה יכול להיות שחקן שמאל או שחקן ימין, וכפי שנראה בהמשך, זהות המנצח במשחק יכולה להיות תלויה בזהות השחקן שמבצע את מהלך הפתיחה.
בערך זה, השחקן שמבצע את מהלך הפתיחה ייקרא שחקן מספר אחת והשחקן השני ייקרא שחקן מספר שתיים.
הגדרת המשחק באופן הזה מאפשרת גם משחקים אינסופיים.
עם זאת, לצורכי הערך נוסיף את התנאי שכל משחק מוכרח להסתיים לאחר מספר סופי של מהלכים ולא קיימת אפשרות לשחק סדרה אינסופית של מהלכים.
אנחנו נתמקד רק במשחקים בהם אחד מהשחקנים חייב לנצח.
משחק נורמלי (normal game convention) הוא משחק בו המנצח הוא השחקן אשר שיחק אחרון (שחקן אשר אינו יכול לשחק מפסיד).
משחק מיזר (Misere) הוא משחק הפוך, בו המפסיד הוא השחקן האחרון אשר משחק.
לכל משחק ישנן ארבע תוצאות אפשריות: השחקן השמאלי תמיד ינצח, השחקן הימני תמיד ינצח, שחקן אחת (השחקן שמשחק ראשון) תמיד ינצח, שחקן שתיים (השחקן שמשחק שני) תמיד ינצח.
חשוב לשים לב כי מדובר אך ורק בקיום אסטרטגיה אופטימלית לניצחון.
כך לדוגמה משחק ארבע בשורה (אשר אינו חלק מערך זה, כי ניתן להגיע בו לתוצאת תיקו) הוא משחק פתור בו שחקן אחת (המתחיל) תמיד ינצח, אך כדי לעשות זאת בפועל הוא חייב לשחק את האסטרטגיה האופטימלית שלו.
נחבר אותם למשחק חדש כך ששני המשחקים ישוחקו במקביל.
בכל תור השחקן שמשחק יבחר האם לבצע מהלך או ב- או ב- והמנצח יהיה השחקן אשר משחק אחרון בשני המשחקים גם יחד (במקרה הנורמלי).
פורמלית המשחק המחובר יהיה: , כאשר הוא מהלך אפשרי לשחקן אחד במשחק וכו'.
הגדרה זאת של חיבור משחקים מגדירה פעולה קומוטטיבית ואסוציאטיבית, תחת משחק האפס, אשר מסומן ב- , שהוא המשחק אשר מייצג את קבוצת המהלכים הריקה.
במשחק זה לשני השחקנים לא קיים מהלך אפשרי והשחקן אשר פותח את המשחק הוא גם המפסיד (עוד בהמשך).
אינטואטיבית, הוא המשחק ההופכי למשחק , כלומר נהפוך את הלוח וניתן לשחקן אחת לשחק עם הכלים של שחקן שתיים ולהפך.
כאשר מחברים משחק והמשחק ההופכי שלו מתקיים כי שחקן מספר שתיים תמיד ינצח במשחק.
ניתן להוכיח זאת על ידי שימוש באסטרטגית הטווידלדם וטווידלדי - כל מה ששחקן אחת ישחק, שחקן שתיים ישחק את המהלך הזהה בלוח השני, מה שיוביל לניצחון וודאי של שחקן שתיים.
פורמלית: חיסור יוגדר באופן זהה לחיבור, כאשר אם אז .
משחקים שוויוניים הם תת-קבוצה של כל המשחקים הקומבינטורים.
הם מקבלים באופן תורשתי את כל ההגדרות אשר הגדרנו עבור משחקים קומבינטורים (סופיות המשחק, חיבור משחקים, חיסור משחקים וכו'), אך ישנן עוד מספר הגדרות רלוונטיות רק עבורם.
משפט ספרג-גרונדי עוסק רק במשחקים אלו ולא בכל המשחקים הקומבינטורים.
משחק שוויוני (impartial game) הוא משחק בו כל אחד מהשחקנים יכול לשחק בדיוק את אותם המהלכים כמו השחקן השני באותו התור.
לדוגמה, אם שני השחקנים יכולים לשחק , אז נסמן משחק זה בקיצור באופן הבא: .
במשחקים שוויוניים, בעקבות העובדה שהלוח זהה, זהות המנצח תקבע רק על ידי תור מי לשחק.
המנצח תמיד יהיה או שחקן אחת או שחקן שתיים ולא קיים משחק שוויוני בו הניצחון מובטח לשחקן השמאלי (או הימני).
נים משמש כדוגמה הסטנדרטית למשחק שוויוני.
במשחק זה יש מספר ערימות של גפרורים.
בכל תור השחקן שמשחק יכול להוציא כמה גפרורים שהוא רוצה, אבל רק מערימה אחת.
כאשר המשחק משוחק באופן נורמלי השחקן שלוקח את הגפרור האחרון מנצח.
בגרסת המיזר (Misere), המשחק משוחק באופן הפוך, ומי שלוקח את הגפרור האחרון מפסיד.
משחק נים בעל ערמה בודדת עם גפרורים הוא טריוויאלי.
במשחק זה השחקן שמתחיל תמיד ינצח - הוא ייקח את כל הגפרורים בערימה (אם המשחק נורמלי) או ייקח את כל הגפרורים מלבד האחרון (בגרסת המיזר).
בשנת 1901 פרסם צ'ארלס בולטון אסטרטגית ניצחון כללית למשחק בכל גודל סופי של ערימות בעלות מספר סופי של גפרורים.
למעשה, בולטון הראה שמנצח המשחק נקבע מראש על ידי סידור הלוח, כאשר לכל לוח קיימת אסטרטגיה אשר תבטיח ניצחון לאחד מהשחקנים, ורק לו.
מספר גרונדי (או נימבר - nimber) הוא מספר שלם אי שלילי המשויך למצב במשחק.
הוא ייצג משחק נים עם ערימה בודדת בגודל , נסמן זאת על ידי , ומעתה ואילך נתייחס אליו בתור משחק שוויוני.
נשתמש במספרי גרונדי כדי למיין מצבי משחק של משחקים שוויוניים אחרים אשר שונים מנים ולהשוות אותם עם נים.
באופן ישיר מנים, השחקן הראשון תמיד ינצח בכל משחק בעל מספר גרונדי שונה מאפס, ותמיד יפסיד כאשר מספר גרונדי שווה לאפס.
שני משחקים שוויוניים יהיו שקולים אם ורק אם במשחק המחובר שחקן שתיים הוא המנצח.
משמעות השקילות היא שהתוצאות האפשריות של המשחקים יהיו זהות לכל משחק אשר נחבר לשני המשחקים.
נסמן את השקילות על ידי .
מכיוון שמשחק האפס על פי הגדרה הוא משחק בו השחקן השני תמיד מנצח וגם מתקיים במשחקים שוויוניים כי , אז שני משחקים יהיו שקולים אם .
שני משחקים שקולים יהיו בעלי מספר גרונדי זהה.
ניתן גם להראות זאת ישירות בעזרת אסטרטגית טווידלדם וטווידלדי.
בגרסת המיזר זה לא מתקיים (ולכן משפט ספרג-גרונדי אינו תקף עבור משחקים שאינם נורמלים).
עבור מספרי גרונדי, אשר בעצמם מהווים משחקים שוויוניים, מתקיים: אם ורק אם .
ערך ה- של קבוצה הוא השלם הלא שלילי הקטן ביותר, אשר לא שייך לקבוצה.
הפונקציה הזאת משמשת לצורך חישוב מספר גרונדי.
יהי משחק שוויוני סופי המשוחק בצורה נורמלית, אז קיים אשר מקיים , כלומר המשחק שקול למספר גרונדי .
במקרה כזה לשחקן אחת יש אסטרטגיית ניצחון אם ורק אם מספר גרונדי של המשחק שונה מ- .
מכיוון ש- שקול לערימת נים בעלת גפרורים, אז המשפט למעשה יוצר שקילות בין כל משחק שוויוני סופי ונורמלי לערימת נים בגודל כלשהו.
זה מעניק לנו זיהוי בין כל משחק למספר גרונדי שלו.
השקילות מתבטאת בכך שתוצאת המשחק (בהינתן אסטרטגיה אופטימלית) תהיה זהה למשחק נים זהה, גם אם מהלכי המשחק יהיו שונים.
ספרג וגרונדי אף מעניקים לנו פונקציה רקורסיבית אשר מחשבת באופן ישיר את מספר גרונדי המשחק - מספר גרונדי של כל מצב ניתן על ידי המספר השלם הקטן ביותר שאליו לא ניתן להגיע במהלך מאותו מצב (מצב שבו אין אף מהלך אפשרי שקול למספר גרונדי 0).
נוכיח את המשפט בעזרת אינדוקציה על מספר המהלכים עד סיום המשחק.
בסיס האינדוקציה מתקיים כאשר לשני השחקנים במשחק השוויוני נותרו אפס מהלכים עד סוף המשחק ואז .
נניח את נכונות צעד האינדוקציה לכל משחק שוויוני בעל לא יותר מ- מהלכים עד סופו.
לכל משחק כזה קיים מספר גרונדי מוגדר היטב.
יהי משחק שוויוני בעל מהלכים עד סופו.
כל שחקן יכול לשחק .
נשים לב שמכיוון שהמשחק שוויוני וסופי, אז כל אחד מהמהלכים יוביל לתת-משחק בעל מספר קטן יותר של מהלכים אשר מקיים את הנחת האינדוקציה.
לכן, כל אחד מהמהלכים שקול למשחק שוויוני בעל מספר גרונדי יחיד.
זאת היא קבוצה של מספרי גרונדי.
על פי טענת העזר למטה, לקבוצה זאת יש מספר גרונדי יחיד אשר שווה ל- של הקבוצה.
יהי משחק שוויוני, אז .
נשים לב שהטענה משתמשת בכך שכל קבוצה של מספרי גרונדי היא בעצם משחק שוויוני, מה שנכון, מכיוון שהקבוצה הזאת שקולה למשחק בו השחקן הראשון בוחר ערימת נים כלשהי מתוך כל הערימות האפשריות.
כדי להראות ש- נרצה להוכיח כי , כלומר במשחק המחובר בין השניים, השחקן שמשחק ראשון תמיד מפסיד.
נראה זאת על ידי מציאת אסטרטגיה מנצחת לשחקן השני.
אם השחקן הראשון מבצע מהלך ב- ומשחק איזשהו , אז על פי הגדרת , השחקן השני יכול לשחק , מה שיוביל לשתי ערימות נים זהות בגודל .
במצב כזה שחקן שניים תמיד מנצח - על כל מהלך של שחקן מספר אחד, שחקן שניים ישחק מהלך זהה בערימה המקבילה, עד שהמשחק ייגמר.
אם השחקן הראשון מבצע מהלך ב- ומשחק לאיזשהו כך ש- , אז שחקן שתיים ישחק ושוב נקבל שתי ערימות זהות .
אם השחקן הראשון מבצע מהלך ב- ומשחק לאיזשהו כך ש- , אז שחקן שתיים ישחק בערימת הנים החדשה מה שיתן לנו שתי ערימות זהות, .
לשחקן אחד אין אפשרות לשחק , מכיוון שעל פי הגדרת ה- , זה הוא בדיוק המהלך המינימלי אותו לא ניתן לשחק במשחק.
בתורת המספרים, משפט פאלטינגס קובע שלעקום אלגברי בעל גנוס גדול מ-1 מעל שדה המספרים הרציונליים (או שדה מספרים אחר) יש לכל היותר מספר סופי של נקודות רציונליות.
את המשפט שיער לראשונה לואי מורדל ב-1922, והוא נודע כהשערת מורדל, עד שב-1983 הוכיח אותו גרד פאלטינגס.
לדוגמה, המשפט קובע שלמשוואה מהצורה או יכול להיות רק מספר סופי של פתרונות במספרים שלמים.
לצד המקרה של גנוס שבו מטפל המשפט, לעקום חלק עשוי להיות גם גנוס (ואז, אם יש עליו נקודות רציונליות, מספרן אינסופי), או (ואז, אם יש נקודות רציונליות, זהו עקום אליפטי, ולפי משפט מורדל הוא חבורה אבלית נוצרת סופית).
נובעת ממנו גרסה חלשה של המשפט האחרון של פרמה: לכל יש לכל היותר מספר סופי של פתרונות שלמים (ונטולי גורם משותף) למשוואה .
נובע ממנו "משפט האיזוגניה" שלפיו שתי יריעות אבליות עם מודולי טייט איזומורפיים (מעל עם פעולתה של חבורת גלואה), הן איזוגניות.
כדי להוכיח את המשפט, הוכיח פאלטינגס את "השערת שפרביץ'", שלפיה יש רק מספר סופי של מחלקות איזומורפיזם של יריעות אבליות ממימד קבוע ובעלות מעלת פולריזציה קבועה מעל שדה מספרים נתון, עם רדוקציה טובה מחוץ לקבוצה נתונה של הערכות על השדה.
העובדה שהשערת מורדל נובעת מתוצאה זו, הוכחה על ידי Parshin ב-1971.
גרסה של השערת מורדל לשדות פונקציות מעל שדה סופי הוכחה על ידי יורי מאנין (1963) (ב-1990 מצא Robert F.Colman פער בהוכחה זו) ו-(Hans Grauert (1965.
בפיזיקה, משפט העבודה-אנרגיה קובע כי העבודה שנעשית על ידי שקול הכוחות על גוף מסוים, כאשר הוא נע מנקודה אחת לאחרת, שווה בדיוק להפרש באנרגיה הקינטית של הגוף, בין סופה לתחילתה של התנועה המדוברת.
ההוכחה המוצגת כאן היא במסגרת המכניקה הניוטונית.
נניח כי גוף נע מנקודה אל נקודה על פני מסילה תחת השפעת הכח השקול , כאשר ברגע הוא נמצא ב- וברגע הוא ממוקם ב-.
העבודה שעושה הכח תוך כדי התנועה היא:
על ידי שימוש בחוק השני של ניוטון,
באמצעות שימוש בקשר ובפרמטריזציה לפי משתנה הזמן – , מתקבל:
משימוש בהחלפת משתנים נובע כי:
והואיל והגודל מוגדר להיות האנרגיה הקינטית, הרי שניתן לכתוב:
משפט סטון-ויירשטראס הוא תוצאה חשובה באנליזה פונקציונלית, המאפיינת באופן מלא את כל האלגבראות שצפופות במרחב הפונקציות הרציפות על קבוצה קומפקטית.
המשפט מהווה הכללה למשפט הקירוב של ויירשטראס שעוסק באלגברת הפולינומים על קטע ממשי סגור וחסום.
משפט סטון-ויירשטראס מאפיין את התכונה היסודית שהופכת את אלגברת הפולינומים לצפופה במרחב הפונקציות הרציפות- הפרדת נקודות.
למשפט תפקיד מרכזי בפיתוח תורת טורי פורייה.
אם הוא מרחב טופולוגי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב- את מרחב הפונקציות הרציפות , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית.
זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת נורמת .
זאת אומרת הנורמה המוגדרת על ידי .
כמו כן, אלגברה היא מרחב וקטורי שמוגדרת בו גם פעולת כפל בין וקטורים.
על המרחב יש מבנה של אלגברה המוגדר על ידי פעולת הכפל הנקודתי של פונקציות.
תת-אלגבראות של היא תת-מרחב וקטורי הסגור לכפל זה.
משפט סטון-ויירשטראס: תת-אלגברה היא קבוצה צפופה ב- תחת נורמת , אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
לעיתים מחליפים את תנאי 2 בתנאי חזק יותר: האלגברה מכילה את הפונקציות הקבועות (או באופן שקול את הפונקציה הקבועה 1).
כך מתקבלת גרסה חלשה יותר של המשפט.
גרסה זו מעט קלה יותר להוכחה (מנקודת מבט של חלק מההוכחות) ושימושית במידה דומה לגרסה החזקה.
משפט סטון-ויירשטראס אינו נכון בנסוח זהה עבור פונקציות עם ערכים מרוכבים.
למשל, אלגברת הפונקציות האנליטיות על עיגול היחידה הסגור ב - מקיימת את התנאים 1, 2 של המשפט אך איננה צפופה.
עם זאת למשפט יש את הגרסה המרוכבת הבאה:
משפט: אם תת-אלגברה מעל , מקיימת את התנאים 1,2 למעלה ובנוסף מקיימת:
אז היא צפופה ב- תחת נורמת .
קל להסיק גרסה זאת ממשפט סטון-ויירשטראס.
אלגברת הפולינומים הטריגונומטריים צפופה במרחב לפי נורמת .
הוכחה: מגדירים את להיות מעגל היחידה, ומזהים את עם באופן הסטנדרטי.
המסקנה נובעת כעת ממשפט סטון-ויירשטראס בקלות.
גרסה חלשה של משפט פייר: כל פונקציה ב בעלת מחזור ניתן לקרב במידה שווה על ידי פולינומים טריגונומטריים.
עבור אלגברת הפולינומים הטריגונומטריים צפופה במרחב , תחת נורמת , כלומר הנורמה .
הוכחה: מהמסקנה הראשונה נובע שאלגברת הפולינומים הטריגונומטריים צפופה ב - לפי נורמת .
קל לראות שמרחב זה צפוף ב - .
משפט הקירוב של ויירשטראס: מרחב הפולינומים צפוף במרחב לפי נורמת .
עבור קומפקט , מרחב הפולינומים צפוף במרחב לפי נורמת .
עבור קומפקט , המרחבים ו- ספרביליים.
עבור קומפקטים ניתן לקרב כל פונקציה ב- על ידי קומבינציה ליניארית (סופית) של פונקציות מהצורה .
נזכיר ש מוגדרת על ידי
הכיוון שבו אם צפופה אז מתקיימים שני תנאי המשפט הוא פשוט יחסית: אם אלגברה צפופה, אז יש בה פונקציה קרובה כרצוננו לפונקציה הקבועה .
קל לראות שפונקציה מספיק קרובה ל- לא תתאפס באף נקודה ולכן מתקיים התנאי הראשון.
כמו כן, בהינתן זוג נקודות ניתן מהלמה של אוריסון למצוא פונקציה ב- שמפרידה את ו-
(אם נתונה על מטריקה אז ניתן לקחת את הפונקציה ).ומצפיפות נובע שקיימת בה פונקציה קרובה כרצוננו ל-, ופונקציה קרובה מספיק תפריד את הנקודות.
הכיוון שבו מראים כי אם מתקיימים שני תנאי המשפט אז האלגברה צפופה, הוא מורכב יותר וזה עיקר המשפט.
נסמן ב - את הסגור של - לפי נורמת .
בשנת 1885 הוכיח קרל ויירשטראס את משפט הקירוב שלו.
זהו מקרה פרטי חשוב של משפט סטון-ויירשטראס והוכחת משפט סטון-ויירשטראס מתבססת על מקרה זה.
בשנת 1937 הכליל מרשל סטון את משפט ויירשטראס והוכיח קריטריון לצפיפות עבור אלגבראות פונקציות על קומפקטים.
קריטריון זה היה מורכב יותר מהנסוח המודרני של משפט סטון-ויירשטראס.
כבר בהוכחה של קריטריון זה, זיהה סטון את העבודה שאפשר לקרב את על ידי פולינומים ב- ואת החשיבות של עובדה זו לטובת הוכחת צפיפת של אלגבראות פונקציות.
בשנת 1948 הוכיח מרשל סטון את הגרסה המודרנית של משפט סטון-ויירשטראס.
משפט סוביבור היה משפט שנערך בהאגן בשנים 1965–1966, ובו הועמדו לדין פושעי מלחמה ששירתו במחנה סוביבור.
המשפט נכלל בסדרת משפטים שנערכו בשנות השישים של המאה ה-20, דוגמת משפט אייכמן בירושלים (1961) ומשפט אושוויץ השני (1963-1965), שגרמו לציבור הרחב לדעת על מעשי הזוועות שביצעו הנאצים ועוזריהם בשואה בשטח פולין הכבושה.
בעשור של משפט זה ובעשורים שלאחר מכן התנהלו משפטים נוספים של פושעים נאצים ששירתו במחנות ההשמדה בלז'ץ (1965-1963), טרבלינקה (1964-1965) ומיידנק (1981-1975).
בית המשפט הגרמני בהאגן החל את המשפט ב-6 בספטמבר 1965, ובו נידונו מעשיהם של 12 אנשי אס אס לשעבר שעבדו במחנה סוביבור בזמן מלחמת העולם השנייה.
הם נשפטו בגין ביצוע פשעי מלחמה ופשעים נגד האנושות, וגזר הדין ניתן ב-20 בדצמבר 1966.
מספר קציני אס אס בולטים ששירתו בסוביבור נשפטו עוד קודם לכן, דוגמת הוברט גומרסקי שנעצר, אך זוכה במשפט האותנסיה בשנת 1947. כאשר הוכחה אשמתו בסיוע לפשעים שהתחוללו בסוביבור, הוא נידון למאסר עולם ב-25 באוגוסט 1950 (נפטר ב-28 בדצמבר 1999).
קצין האס אס אונטר-שטורמפיהרר יוהאן קליר נעצר, אך בהסתמך על עדויות של ניצולי סוביבור, בהן נאמר שקילר חש חמלה כלפי היהודים במחנה ובסתר ניסה לסייע להם, הוא זוכה (נפטר ב-18 בפברואר 1955).
במשפט סוביבור, הנאשמים טענו שברגע ששובצו לשירות במחנה המוות, לא הייתה להם דרך החוצה, וציטטו את כריסטיאן וירט שאמר לאנשי סגל המחנה "אם לא מוצא חן בעיניכם כאן, אתם יכולים לעזוב, אבל מתחת לאדמה, לא מעליה".
למרות זאת, קליר, שביקש שיבוץ מחוץ לסוביבור, לא נהרג אלא הורשה לעזוב.
אחד הרוצחים הנוראים ביותר בסוביבור היה אובר-שארפיהרר אריך באואר, שכונה "גזמייסטר", כלומר אחראי על הגז בתאי הגזים.
הוא זוהה ברחובות ברלין על ידי ניצול מהמחנה בשם סמואל לרנר.
ב-8 במאי 1950 באואר נידון למוות, אך עונשו הומר למאסר עולם, מאחר שעונש מוות הוצא מחוץ לחוק בגרמניה המערבית.
באואר נפטר בכלא טגל בברלין בשנת 1980.
שומרים אוקראינים ספורים ששירתו בסוביבור הובאו לדין בברית המועצות, דוגמת ב' ביאלאקו, ל' ניקיפור וו' פודיאנקו.
הם נמצאו אשמים בפשעי מלחמה והוצאו להורג.
באפריל 1963, בפני בית משפט בקייב בו אלכסנדר פצ'רסקי היה העד הראשי של התביעה, עשרה שומרים אוקראינים ממחנה סוביבור נמצאו אשמים והוצאו גם הם להורג.
אחד מהם נידון ל-15 שנות מאסר.
משפט שלישי הנוגע לסוביבור נערך בקייב ביוני 1965, ובו שלושה שומרים ממחנות סוביבור ובלז'ץ הוצאו להורג על ידי כיתת יורים.
משפט פאפוס הוא משפט בחשבון אינפיניטסימלי הקובע כי אם נסובב צורה דו-ממדית סביב ישר מסוים, נקבל שנפח גוף הסיבוב מתקבל לפי הנוסחה
הוא המרחק של מרכז הכובד של הצורה הדו-ממדית מן הישר.
באמצעות משפט זה ניתן לחשב את נפחם של גופים מורכבים על ידי הטלה שלהם למישור [XY] וסיבובם סביב אחד הצירים (או כל ציר אחר, לפי הנוחות).
נניח שעלינו לחשב את נפח העקומה הבאה: המסובב סביב הישר .
זוהי למעשה טבעת בעלת חתך אליפטי.
ראשית, נרצה למצוא את שטח האליפסה , אותו נוכל למצוא על ידי הנוסחא לשטח אליפסה - כאשר הם אורכי הצירים בצורה הקנונית של האליפסה.
במקרה זה אורכי הצירים הם ולכן שטח האליפסה הוא .
כעת נרצה למצוא את מרכז הכובד של האליפסה.
מרכז הכובד של האליפסה יהיה במרכזה, כאן בדוגמה שלנו .
נרצה למצוא כעת את המרחק של האליפסה מהישר.
זאת נקבל על פי נוסחת מרחק נקודה מישר עבור נקודת המרכז:
לסיום, כל מה שנותר לנו הוא להציב את הכל בנוסחא ולקבל:
משפט עפולה (שנקרא גם "מאורע עפולה") היה השם שניתן בעיתונות התקופה למשפט מתוקשר מתקופת העלייה על הקרקע של העיר עפולה.
במשפט, שנערך בשנת 1925, הואשם תושב בלפוריה בשם יעקב סגל ברצח של ערבי תושב עפולה.
באישום נאמר כי בעת שמתיישבי בלפוריה יצאו לחרוש את השטח עליו עמדה לקום העיר עפולה, הם הותקפו על ידי ערביי המקום במטר אבנים, ובהתנגשות עמם נהרג אחד הערבים מירייה שירה הנאשם.
יעקב סגל נידון ל-12 שנות מאסר ועורך דינו, הוראס סמואל, הביא לזיכויו במסגרת ערעור בשנת 1926.
העיר העברית עפולה נוסדה בשנת 1925 על ידי חברה ציונית מיישבת בשם קהילת ציון אמריקאית.
החברה רכשה את אדמות עפולה כיחידה אחת בשטח של 16,000 דונם מידיו של פאודל ערבי נוצרי בשם אליאס סורסוק ששכן בביירות והיה הבעלים שלהן.
האריסים שעיבדו עבורו את הקרקע שכנו בכפר זעיר בשם "איל פולה" שמיקומו היה בלב השטח העירוני של עפולה כשזו נבנתה.
בכפר, שבתיו היו בקתות חימר רעועות, התגוררו כחמש מאות תושבים.
עם מכירת אדמות עפולה לחברת קהילת ציון, פונו מהם האריסים הערבים תמורת פיצוי נמוך.
המועצה המוסלמית העליונה בירושלים הציעה לממשלת המנדט הצעה חלופית, לפיה תימכרנה האדמות לאריסים באותו מחיר שהוצע על ידי חברת קהילת ציון, שישולם על ידי המועצה המוסלמית.
המועצה שכרה עורך דין, אך עד שזה הכין את הצעתו, הסתיימה עסקת רכישת האדמות על ידי חברת קהילת ציון.
למרות זאת, בהמלצת בית המשפט שילמה חברת קהילת ציון לאריסים המתפנים פיצוי כספי בסכום של עשרות לירות מצריות לכל משפחה, ורוב תושבי הכפר עזבו אותו.
להקמת עפולה קדמה הקמתו של מושב בלפוריה שהוקם בשנת 1922 על אדמות שהיו שייכות לחברת קהילת ציון.
לקראת ראשית יישובה של עפולה על ידי ראשוני מתיישביה שכרה חברת קהילת ציון אנשים מחקלאי בלפוריה להכשיר את הקרקע להתיישבות.
תפקידם היה לחרוש את הקרקע ולנקותה מפסולת ומקוצים.
ב-28 בנובמבר 1924 יצאו לעפולה כ-80 איש מתושבי בלפוריה ומהמושבים הסמוכים ועמם סוסים ומחרשות.
בראש הקבוצה עמד יעקב סגל מבלפוריה שהיה אז בן שמונה עשרה שנה.
כשהחלו אנשי הקבוצה בחריש יצאו לקראתם מספר אנשים מאריסי איל פולה שנותרו עדיין במקום, לאחר שרוב תושביו עזבו אותו.
הם ירדו עם נשיהם וטפם ממורד הגבעה עליה שכנה המזבלה של הכפר (לימים התברר כי היה זה תל עתיקות ומתחת לערימות האשפה והפסולת היו שרידי היישוב הקדום של עפולה) והחלו לרגום את החורשים באבנים.
למרות שנאסר על אנשי קבוצת החורשים לשאת נשק, נשמעו לפתע שלוש יריות ואחד התוקפים נפל ארצה כשהוא הרוג, בקרבתו של יעקב סגל הרכוב על סוסו.
סגל פקד מיד על אנשיו למסור לו את כלי הנשק שברשותם.
אחד מחברי הקבוצה מסר לו אקדח וסגל טמן אותו בקרקע.
למקום האירוע הגיעו שוטרים וקציני משטרה ונתנו הוראה להביא את כל חברי הקבוצה למעצר וחקירה בנצרת.
שמונה יהודים ושני ערבים נפצעו מאבנים, ארבעה מהפצועים היהודים ושני הפצועים הערבים הועברו לבית החולים הממשלתי בנצרת.
היה זה יום שישי וסגל ביקש מהקצין הבריטי שאנשי הקבוצה יתייצבו לחקירה רק ביום ראשון, מאחר שביניהם נמצאים אנשים דתיים, אך הקצין סירב.
אנשי הקבוצה הצליחו להעביר הודעה טלפונית לשמואל צ'ארלס פסמן, מנהל חברת קהילת ציון אמריקאית בארץ, שמושבו בירושלים.
עם חשיכה הגיע פסמן לנצרת כשאליו נלווה עורך הדין ברנרד ג'וזף (לימים דב יוסף) שותפו של עורך הדין הוראס סמואל.
אנשי הקבוצה נחקרו במעצר עד לשעת לילה מאוחרת ואז שוחררו לבתיהם למשך השבת בערבותו של פסמן.
ביום ראשון שבו מחציתם לנצרת להמשך החקירה.
בגמר החקירה הם שוחררו, והמחצית האחרת של חברי הקבוצה שבה לחקירה.
בזמן החקירה זוהה יעקב סגל על ידי נער ערבי שצעק לעברו כי הוא הרוצח.
סגל נשאר במעצר להמשך חקירתו במשך שבועיים.
בתום חקירתו שוחרר עד למשפט בערבות של 500 לירות ארץ ישראליות, סכום עתק באותם ימים.
בהגיע יום המשפט הועמדו לדין יעקב סגל ויחד עמו סעדיה פז, מוותיקי השומר, שהיה עוזרו של יהושע חנקין בגאולת אדמות העמק, שנכח בחריש.
המשפט החל ב-14 ביוני 1925 בפני הרכב של בית המשפט המחוזי בשכם שישב לדין בנצרת.
עורכי הדין סמואל וג'וזף הגנו על הנאשמים.
המשפט ארך ארבעה ימים בלבד וב-17 ביוני ניתן פסק הדין: יעקב סגל הורשע בהריגה וסעדיה פז הורשע בירי לשם איום.
בית המשפט גזר על סגל 12 שנות מאסר ועבודת פרך ועל פז גזר שישה חודשי מאסר.
סגל הובל לריצוי עונשו לכלא עכו כשהוא לבוש בגדי אסיר וכבול באזיקים.
הוא הושם בתא בו נכלאו 24 רוצחים ושודדים.
ב-27 באוגוסט 1925 החל הערעור להישמע בבית המשפט המנדטורי לערעורים בירושלים.
בפני השופטים הבריטים תומאס הייקראפט ואוון קורי והשופט הערבי עזיז.
מטעם המערערים הופיעו עורכי הדין הוראס ושלום הורוביץ.
בנאום הפתיחה הציג עו"ד סמואל את עמדת ההגנה לפיה הזיהוי לא בוצע כדין ואין להסתמך עליו וכן כי פסק הדין הסתמך על עובדות שלא נאמרו מפי העדים.
ב-3 בספטמבר נמשך הדיון בערעור ונשמעו טיעוני הצדדים.
כבר בשלב זה פסק בית המשפט כי הוא מאשר את העונש של שישה חודשי מאסר שהוטל על זכריה פז ולגבי יעקב סגל הוא קובע את המשך הדיון לספטמבר.
בישיבת בית המשפט ב-12 בספטמבר הודיעו השופטים כי אין בדעתם לאשר את פסק הדין וכי עומדות בפניהם שלוש דרכים: לבטל את פסק הדין, או להעביר את הדיון לשופט חוקר, או להחזיר את הדיון לבית המשפט המחוזי לשיקול נוסף.
בסופו של דבר בחר בית המשפט באפשרות השלישית וב-22 באוקטובר 1925 פסק כי הוא מבטל את פסק הדין של בית המשפט המחוזי והורה להחזיר את הדיון לבית המשפט המחוזי למשפט חוזר.
יעקב סגל הוחזר לכלא והמתין למשפט החוזר.
המשפט החוזר נערך הפעם בחיפה בפני הרכב של שלושה שופטים, ויליאם ליט הבריטי, מלכיאל מני היהודי ועלי אפנדי הערבי.
בישיבה שנערכה ב-4 באפריל 1926 דנו בעניינו של עד ערבי שלא התייצב לדיון.
התובע ביקש לדחות את המשך הדיון עד שהמשטרה תמצא את העד.
בית המשפט החליט לדחות את המשך הדיון ל-3 במאי.
עו"ד סמואל ביקש לשחרר את יעקב סגל בערבות עד לדיון, אך בית המשפט דחה את הבקשה.
הישועה (כהגדרתו של יעקב סגל בזכרונותיו) הגיעה בדיון המחודש בבית המשפט בחיפה שהחל ב-3 במאי.
היא באה מעדותו של עד מומחה שהוזמן על ידי ההגנה.
הרופא העיד בפסקנות כי בעוד שבמהלך האירוע היה סגל רכוב על סוסו, הירייה שגרמה למוות נורתה על ידי אדם שוכב או כורע ולא על ידי רוכב.