tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
יחס העדפות הוא יחס בינארי על המייצג את העדפותיו של השחקן .
במידה והשחקן מעדיף את הגרלה על פני הגרלה , נסמן .
אם השחקן אדיש בין שתי ההגרלות, נסמן .
יהי אם כן יחס העדפות שלם וטרנזיטיבי על , המייצג את העדפותיו של השחקן .
העתקה נקראת פונקציית תועלת המייצגת את יחס ההעדפות אם לכל הגרלה מורכבת מתקיים:
יש לשים לב שלפי הגדרה זו ניתן לייצג יחס העדפות על ידי פונקציות שונות ורבות.
למעשה, u היא פונקציית תועלת אורדינלית, כלומר מייצגת רק את סדר ההעדפות על התוצאות ואין בה שום חשיבות למידת ההעדפה של תוצאה כזו או אחרת.
פונקציית תועלת נקראת ליניארית אם לכל הגרלה מתקיים:
כלומר ה"ליניאריות" היא בהסתברויות על ההגרלות הפשוטות.
ארבע האקסיומות של פון נוימן ומורגנשטרן
קיימת קבוצה סופית של פרסים בה יכול השחקן לזכות.
לשחקן יש יחס ההעדפות על הגרלות מורכבות.
הגרלה , הגרלה בה נקבל תוצאה בהסתברות .
כאשר נגדיר הגרלה מורכבת באופן הבא:
תחת ההנחות הללו, ארבע האקסיומות בתועלת פון נוימן-מורגנשטרן הן רציפות, מונוטוניות, פישוט והצבה.
לכל שלושה פרסים קיים כך ש:
כלומר,עבור יחס ההעדפות שלעיל לגבי שלושה פרסים ,קיים מספר עבורו ניתן ליצור הגרלה חדשה בה השחקן יזכה בפרס בסיכוי ובפרס בסיכוי , והשחקן יוותר אדיש בין הגרלה זו לבין זכייה בפרס .
כלומר, אם שחקן מעדיף את פרס על פני פרס , אזי הוא יעדיף כל הגרלה הנותנת לו את פרס בסיכוי
, על פני הגרלה הנותנת לו את בסיכוי נמוך יותר.
(כלומר,בהסתברות נזכה בתוצאה , ואז בסיכוי נזכה בפרס .
כאשר נסכום לכל נקבל את ההסתברות ל ) כך נוצרת ההגרלה הפשוטה:
כלומר, בהינתן הגרלה המגדירה את ההסתברויות לזכות באוסף פרסים, כל הגרלה שתגדיר את אותן הסתברויות, גם אם היא בעלת יותר או פחות שלבים מההגרלה המקורית, שקולה להגרלה המקורית מבחינת יחס ההעדפות של השחקן.
הגרלה מורכבת ו הגרלה פשוטה.
האקסיומה דורשת כי אם בתוך הגרלה מורכבת נחליף הגרלה פשוטה בהגרלה השקולה לה, אזי השחקן יישאר אדיש בין ההגרלה המורכבת הראשונית לבין זו שבה החליפו את ההגרלות הפשוטות.
אם יחס ההעדפות על של שחקן הוא שלם וטרנזיטיבי ומקיים את ארבע האקסיומות של פון נוימן ומורגנשטרן, אזי יחס ההעדפות ניתן לייצוג על ידי פונקציית תועלת ליניארית.
אם יחס ההעדפות של שחקן מקיים את אקסיומות הרציפות והמונוטוניות, ואם ו- , אזי הגודל המוגדר באקסיומת הרציפות יחיד.
יהי יחס העדפות על שמקיים את אקסיומות הרציפות והמונוטוניות, כאשר .
לפי רציפות לכל קיים כך ש- .
אם מקיים , אז לפי מונוטוניות .
יהי יחס העדפות המקיים את תנאי המשפט.
הגדרת פונקציה על קבוצת ההגרלות.
לפי טענת עזר, לכל קיים מספר ממשי יחיד המקיים:
כעת נגדיר פונקציה על קבוצת ההגרלות המורכבות .
תהי נתונה הגרלה מורכבת , שבה , ו- הן הגרלות פשוטות הנתונות על ידי .
זוהי ההסתברות שתוצאת ההגרלה תהיה .
נגדיר פונקציה על קבוצת ההגרלות המורכבות באופן הבא:
מכאן נובע בפרט שלכל הגרלה פשוטה מתקיים:
הפרס שקול להגרלה , השקולה להגרלה המורכבת
תוצאת ההגרלה היא בהסתברות , ולכן במקרה זה:
מכיוון ש- ו-, נקבל כי ו-.
כדי להראות ש- ליניארית, נראה כי לכל הגרלה פשוטה מתקיים:
אך משוואה זו מתקיימת, שכן משלב ראשון אגף שמאל שווה ל-, ומשלב שני אגף ימין שווה אף הוא לגודל זה.
כדי להראות כי היא פונקציית תועלת המייצגת את יחס ההעדפות יש להראות כי לכל שתי הגרלות מורכבות ו- מתקיים:
תהיינה, אם כן, ו- שתי הגרלות מורכבות.
אלו ההסתברויות לקבלת התוצאה בשתי ההגרלות המורכבות ו-.
אזי על פי הגדרת מתקיים לכל .
מאקסיומת ההצבה המופעלת פעמים, הן עבור והן עבור , מתקיים:
כיוון שכל ההגרלות הן הגרלות על ההגרלות באגף ימין של שתי המשוואות לעיל אף הן על שתי תוצאות אלו בלבד.
לכן אם נסמן ב- ו- את ההסתברות הכוללת של בהגרלות ו- בהתאמה, אזי
משפט פרובניוס הוא משפט בתורת המספרים האלגברית, העוסק בתכונות הפירוק של פולינומים בעלי מקדמים שלמים, כאשר מתבוננים בהם מודולו מספרים ראשוניים שונים.
את המשפט הוכיח פרדיננד פרובניוס ב-1880, והוא התפרסם ב-1896, לאחר שריכרד דדקינד ניסח (ב-1894) את העקרונות של תורת המספרים האידיאליים.
באותו זמן שיער פרובניוס את משפט הצפיפות של צ'בוטרב, המכליל את התוצאה שלו; צ'בוטרב הראה שההשערה נכונה ב-1922.
פירוק פולינום לגורמים מעל שדה סופי הוא בעיה שיש לה פתרונות אלגוריתמיים, ומשפט פרובניוס מאפשר להשתמש באותן שיטות גם כדי לנתח פולינומים מעל המספרים השלמים.
יהי f פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים.
לכל מספר ראשוני p, אפשר להתבונן בפולינום גם מעל חוג המנה , שהוא שדה סופי.
בשדה זה הפולינום מתפרק לגורמים אי-פריקים: ; וקטור המעלות של הגורמים האלה נקרא תבנית הפירוק של f מודולו p.
כאשר מתבוננים במספר ראשוני יחיד, הקשר בין הפירוק של f מעל השלמים לפירוק מודולו p הוא חד סטרי: הפירוק מעל השלמים נשאר נכון גם מודולו p, ושם כל גורם שהיה אי-פריק מעל השלמים, עשוי להתפרק עוד יותר.
לכן תבנית הפירוק מודולו p מהווה עידון של תבנית הפירוק המקורית.
לדוגמה, הפולינום מתפרק לגורמים מודולו 3, ולכן תבנית הפירוק שלו שם היא 2,2. מודולו 5 הפולינום מתפרק לגורמים , ותבנית הפירוק שלו היא 1,3. מהשוואת התבניות האלה לבדה אפשר להסיק שהפולינום אי-פריק מעל השלמים, והוא אכן אי-פריק מודולו 7.
נניח שהדיסקרימיננטה של f אינה אפס.
כלומר, כל השורשים של הפולינום הזה בשדה הפיצול K מעל הרציונליים, שונים זה מזה.
לפולינום יש חבורת גלואה, הפועלת כחבורת תמורות על n השורשים, כאשר n היא מעלת הפולינום.
כל תמורה אפשר לכתוב באופן יחיד כמכפלה של מחזורים זרים, ולאוסף של אורכי המחזורים קוראים מבנה המחזורים של התמורה.
יהי f פולינום עם מקדמים שלמים ושורשים שונים בשדה הפיצול.
המשפט קובע שהצפיפות של קבוצת הראשוניים שעבורם יש לפולינום תבנית פירוק נתונה, שווה לסיכוי שלאיבר אקראי בחבורת גלואה של הפולינום יש מבנה מחזורים כזה.
(הצפיפות כאן היא צפיפות דיריכלה, אבל אריך הקה הוכיח שהמשפט נכון גם עבור הצפיפות הטבעית).
בפרט, לקבוצת הראשוניים שעבורם הפולינום מתפרק לגורמים ליניאריים מודולו p יש צפיפות , כאשר G היא חבורת גלואה.
בשיטה הזו אפשר להעריך במהירות ובקלות יחסית את גודלה של חבורת גלואה של פולינום נתון.
חבורת גלואה של הפולינום מעל הרציונליים היא , החבורה הדיהדרלית שסדרה 8 (שדה הפיצול הוא ).
בחבורה הזו יש איבר אחד שמבנה המחזורים שלו הוא 1,1,1,1 (הזהות), שני איברים שמבנה המחזורים שלהם הוא 4, שני איברים שמבנה המחזורים שלהם 2,1,1, ושלושה שמבנה המחזורים שלהם הוא 2,2. מבנה המחזורים 3,1 אינו מופיע כלל.
ממשפט פרובניוס אפשר להוכיח את המסקנה הבאה: מספר הגורמים של f שווה לתוחלת מספר השורשים מודולו ראשוני אקראי p.
תוצאה זו, שהוכיח לאופולד קרונקר ב-1880, הביאה את פרובניוס לנסח ולהוכיח את המשפט.
את משפט פרובניוס עבור הפולינום אפשר להסיק ממשפט דיריכלה.
המשפט הציבורי הוא ענף משפטי שתכליתו הסדרת היחסים בין יחידים (אזרחים, חברות) לבין המדינה.
בענף זה כלולים המשפט החוקתי, המשפט המנהלי והמשפט הפלילי, זאת בניגוד למשפט הפרטי, תחום במשפטים שתכליתו הסדרת מערכות היחסים בין יחידים או קבוצות, ללא כל התערבות של המדינה.
המשפט החוקתי – ענף משפטי העוסק בחוקי יסוד, השולטים בתחום הכוחות והסמכות של גופים שונים, ביחס לחקיקה וליישום של חוקים אחרים בידי הממשלה.
חוקה מחייבת את הממשלה, ומגבילה את המצבים שבהם ניתן לחוקק ולפרש חוקים ולהחיל כוח.
חוקות עשויות להתייחס לגופים שונים, כולל ארגונים, אגודות, אנשים ללא מדינה או מדינות לאום.
המשפט המנהלי – תחום במשפטים המסדיר את פעולותיהן של רשויות המינהל הציבורי השונות: שירות המדינה, רשויות מקומיות וכדומה.
המשפט הפלילי – ענף משפטי, שתכליתו הסדרת חיי החברה, על ידי הגדרת התנהגויות שליליות מסוימות כבלתי-חוקיות, וזאת באמצעות סדרת כללים של "עשה" ו"אל-תעשה".
אדם המפר כללים אלו יואשם בביצוע עבירה פלילית, עשוי לעמוד לדין, ולהיענש בהתאם לעונשים הקבועים בחוק.
המשפט הפלילי חל על תחום מצומצם של התנהגויות, ובא לקבוע כללי הימנעות מהתנהגויות אלו באמצעות הרתעה, העמדה לדין ענישה וקלון.
המשפט הפלילי מסדיר יחסים בין פרטים בחברה, אך למעשה מתנהל בין המדינה (כישות קולקטיבית) לבין פרט (חשוד, נאשם, אסיר).
פרופ' זמיר יצחק הסמכות המינהלית כרך א' (1996).
פרופ' ברק-ארז דפנה משפט מינהלי כרך א' (2013).
ד"ר אורן שבת, העתירה המנהלית והסעדים במכרזים ציבוריים (2017).
משפט פיוצ'רמה הוא משפט מתמטי שנהגה והוכח על ידי קן קילר, אחד ממפיקי סדרת הטלוויזיה פיוצ'רמה, כדי לפתור בעיה שהתעוררה במהלך עלילת הסדרה.
המשפט פותר בעיה שמטרידה את דמויות הסדרה בפרק "The Prisoner of Benda" (פרק 10 בעונה 6).
בתחילת הפרק פרופסור פארנסוורת' ואיימי וונג ממציאים מכונה מחליפת גופים.
אל המכונה מתחברים שני אנשים, והיא מחליפה בין גופיהם, כך שהתודעה של כל אחד שולטת בגופו של השני.
איימי והפרופסור מנסים את המכונה על עצמם ומחליפים ביניהם את גופיהם.
אולם כאשר הם מנסים להחליף בחזרה, הם מגלים שלמכונה יש מגבלה.
היא אינה מסוגלת להחליף בין שני גופים שכבר החליפו ביניהם בעבר.
בניסיון לפתור את הבעיה הם מערבים גוף שלישי, את גופו של בנדר.
בנדר מחליף עם הגוף של איימי (המכילה את תודעת הפרופסור), אך במהרה הם מבינים שהבעיה נותרת בעינה.
אם עכשיו הגוף של בנדר יחליף עם הגוף של הפרופסור, תודעת הפרופסור תחזור למקומה, אבל התודעה של איימי תהיה כלואה בגוף של בנדר, שבשל המגבלה, כבר לא יכול להחליף עם הגוף של איימי.
איימי שואלת את הפרופסור האם אפשרי שכל תודעה תחזור לגוף שלה תוך שימוש בארבעה גופים או יותר, והפרופסור משיב בדרמטיות "איני בטוח.
אני חושש שנאלץ להשתמש במתמטיקה!".
במהרה הבעיה מחריפה, ודמויות רבות נוספות מתערבבות בהחלפת הגופים.
בסופו של הפרק הדמויות מחפשות דרך להחזיר את כולם לגוף שלהם.
לעזרתן באים שניים משחקני ההארלם גלובטרוטרס (שלאורך הסדרה מוצגים כגאונים) ופותרים את הבעיה.
הם מראים כי לא משנה כמה דמויות מעורבות בהחלפת הגופים, וכמה החלפות כבר "נשרפו", תמיד ניתן לחזור למצב הרגיל בעזרתם של שני גופים נוספים שטרם השתתפו בהחלפות.
השחקנים מדגימים את הפתרון שלהם כאשר הם עוזרים לדמויות לחזור למצב הרגיל, וההוכחה המלאה של הפתרון מוצגת לצופים במשך כמה שניות.
בתגובה להצגת הפתרון פרופסור פארנסוורת' מלין על כך ש"אומרים שמתמטיקה טהורה היא חסרת יישומים".
הפתרון מוצג בדקה 20:31 לפרק.
העצם המתמטי המייצג שינוי סדר נקרא תמורה.
תמורות נהוג לסמן בשתי שורות; בשורה העליונה יופיעו העצמים בסדר כלשהו ובשורה בתחתונה מתחת לכל עצם בשורה העליונה יופיע המקום החדש שלו.
במקרה שלנו, השורה העליונה תייצג את התודעות של הדמויות, והשורה התחתונה את הגופים של הדמויות.
כל תודעה מצויה ישירות מעל לגוף שהיא מצויה בו.
למשל אם נסמן את איימי ב-A, את הפרופסור ב-P ואת בנדר ב-B, המצב אליו נקלעו השלושה בתחילת הפרק יסומן: .
כאשר תמורה מעבירה את 1 ל-2, את 2 ל-3, את 3 ל-4, וכן הלאה עד שהעצם האחרון n עובר חזרה ל-1, נקראת מעגל וסימונה: .
המספר n נקרא אורך המעגל.
התמורה שלא משנה כלום (במקרה שלנו, כל תודעה בגוף שלה) נקראת תמורת הזהות.
כאשר מפעילים תמורה אחת ולאחריה תמורה אחרת הפעולה נקראת הרכבה או כפל של תמורות, ומסמנים אותה בכתיבתם זה אחרי זה, משמאל לימין.
להלן ההוכחה למשפט שהוצגה במהלך הפרק בשינויים קלים.
תחילה נטפל במקרה של מעגל.
יהי מעגל באורך k, אורך 2 לפחות (המעגל אינו משנה את המספרים הנותרים מ-k+1 עד n):
נסמן ב- את פעולת ההחלפה בין שני גופים (כלומר חילופי מקומות בין המספרים a ו-b בשורה התחתונה של התמורה).
אנו מניחים ש- נוצר על ידי החלפות שכאלו על המספרים מ-1 עד n.
נוסיף שני "גופים חדשים", x ו-y ונרשום את התמורה המייצגת את המצב הנוכחי:
נבחר ונגדיר תמורה כהרכבה של החלפות:
נוצרה על ידי החלפות שכולן מערבות או את x או את y, ולכן הן בהכרח שונות מההחלפות שיצרו את .
כמו כן אף אחת מההחלפות שיוצרות את אינה מופיעה פעמיים.
כעת נסמן ב- תמורה כלשהי על המספרים מ-1 עד n.
כל תמורה ניתנת לפירוק להרכבה של מעגלים זרים (מעגלים שאינם חולקים מספרים).
כל אחד מן המעגלים ניתן לטיפול על ידי סדרת החלפות כפי שהוצג לעיל, כדי להחזיר כל תודעה לגוף שלה.
לאחר השלמת הטיפול בכל המעגלים, ייתכן ו-x ו-y יהיו מוחלפים ביניהם בגופים (זה קורה כאשר מספר המעגלים הוא אי-זוגי).
במקרה כזה מבצעים את ההחלפה שטרם נעשה בה שימוש, ומתקבלת תמורת הזהות, כרצוי.
משפט פיק הוא משפט גאומטרי שמספק נוסחה לחישוב השטח של מצולע שקודקודיו נמצאים על נקודות בעלות קואורדינטות שלמות במישור הקרטזי.
המשפט קובע שאם בפנים המצולע נמצאות i נקודות ועל צלעותיו (כולל קודקודים) נמצאות b נקודות, אז השטח, A, הוא:
את המשפט גילה והוכיח גאורג אלכסנדר פיק בשנת 1899. פיק היה מתמטיקאי אוסטרי-יהודי, שנספה בטרזיינשטאט בשנת 1942. ניתן להראות שלא ניתן להכליל את המשפט לשלושה ממדים באמצעות ספירת הנקודות בתוך הפאון ועל פניו והשוואה לנפח שלו.
עם זאת, ניתן להכליל לממד גבוה יותר באמצעות פולינום ארהרט.
ניתן גם להכליל את הנוסחה לפני השטח של פאונים.
יהיה P מצולע כלשהו המקיים את תנאי המשפט, ו-T משולש החולק צלע משותפת עם P ונמצא מחוץ לו.
נניח שמשפט פיק נכון עבור P ו-T.
אנחנו רוצים להוכיח שגם המצולע P+T המתקבל מצירוף המשולש למצולע מקיים את משפט פיק.
כיוון ש-P ו-T חולקים צלע משותפת, כל הנקודות שהיו על צלע זאת הופכות להיות נקודות פנימיות במצולע החדש, מלבד הקצוות, שנשארות על השפה.
אם נסמן את הנקודות שהיו על הצלע המשותפת ב-c, נסמן את מספר כל הנקודות הפנימיות במצולע i ונסמן את מספר כל הנקודות שמונחות על צלע של מצולע b, נקבל:
כיוון שהנחנו ש-P ו-T מקיימים את משפט פיק, מקבלים:
קיבלנו שאם המשפט נכון עבור מצולע בעל n צלעות, הוא נכון גם עבור מצולע בעל n+1 צלעות.
לכל מצולע ניתן לבצע טריאנגולציה, כלומר לחלק למשולשים.
לכן, בעזרת אינדוקציה אפשר להראות שמספיק שהמשפט יהיה נכון למשולשים, בשביל שיהיה נכון לכל מצולע.
נותר להוכיח את בסיס האינדוקציה - להראות שהמשפט נכון עבור משולשים:
תחילה יש להראות שהמשפט נכון עבור מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים וקודקודיו על נקודות שלמות.
ואכן, אם המלבן הזה הוא m x n, אז ישנן (m+n)2 נקודות על השפה שלו, ו- (m-1)(n-1) נקודות בתוכו, ומתקיים:
מכך נובע שהמשפט נכון עבור משולש ישר-זווית שצלעותיו מקבילות לצירים, שהרי ניתן לקבל אותם על ידי "גזירת" המלבן לאורך האלכסון
כל משולש ניתן להפוך למלבן על ידי הצמדת משולשים ישרי זווית (מקסימום שלושה) בעלי צלעות מקבילות לצירים.
כיוון שהמלבן, וכל המשולשים, מקיימים את המשפט, אז גם המשולש המקורי מקיים אותו.
שני השלבים האחרונים נבעו מכך שאם PT הוא מצולע שמקיים את משפט פיק, אז גם המצולע P והמשולש T שהרכיבו אותו מקיימים את משפט פיק.
ניתן להראות זאת באותה דרך המוצגת לעיל.
משפט פתיחה הוא המשפט הפותח יצירה טקסטואלית: סיפורת לצורותיה, מאמר וכו'.
למשפט הפתיחה מיוחסת חשיבות רבה, משום שהוא המשפט הראשון שבו נתקל הקורא, ולכן יש לו השפעה מכרעת על רצונו של הקורא להמשיך ולקרוא את היצירה.
משפט הפתיחה פותח את פסקת הפתיחה, שאף לה מיוחסת חשיבות דומה.
הסופר יואל הופמן כתב: "פתיחה היא הכל.
צריך להיות בה, כמו בזרע עץ, כל הספר כולו".
בעת כתיבת סיפורת, לסופר חופש רב ביצירת משפט הפתיחה, שמטרתו לכידת תשומת לבו הקורא.
פרופ' דוד אסף העיר: "מקובל להניח שסיפור טוב נבחן קודם כול במשפטים הראשונים שהסופר בוחר לפתוח בהם.
משפט הפתיחה של הרומן "בין שתי ערים" מאת צ'ארלס דיקנס, מתחיל במילים "זה היה הטוב שבזמנים, זה היה הרע שבזמנים" (It was the best of times, it was the worst of times) הוא מהנודעים שבמשפטי הפתיחה בספרות האנגלית, והוא מושך את הקורא בסתירות המוצגות בו.
"לוליטה, הילת ימי, להט לילותי" (Lolita, light of my life, fire of my loins) - משפט הפתיחה לספרו של ולדימיר נבוקוב, "לוליטה", מציג מיד את תשוקתו של המספר ללוליטה.
בספרו של לב טולסטוי, "אנה קארנינה", משפט הפתיחה, שנחרת בזיכרון הקוראים, הוא: "כל המשפחות המאושרות דומות זו לזו, כל משפחה אומללה – אומללה בדרכה שלה".
בנוסף למשפטי פתיחה הבולטים במקוריותם, מתקיימים גם משפטי פתיחה שבלוניים, כמו "היה היה פעם, לפני שנים רבות ...".
הסופר עמוס עוז הציג את הלבטים שבכתיבת משפט הפתיחה:
נניח שאתה רוצה לספר סיפור על בחורה אחת מנהריה, מתילדה, שנודע לה כי ביוון יש לה בת דוד אשר עד כה לא ידעה על קיומה.
נניח שגם בת הדוד שמה מתילדה.
ונניח שמתילדה מנהריה מחליטה לנסוע בספטמבר ליוון כדי לפגוש את קרובתה.
מתילדה בילדותה, אז, כשהיד שלה נתפסה במאוורר?
מתילדה מגיעה לאתונה, שוכרת חדר במלון של סוכני תוצרת חקלאית ופוגשת במגדל־דבורים ביישן?
או אולי להתחיל דווקא בתיאור קורי העכביש במחסן שמתחת למדרגות?
מתילדה נזכרת בעגילים של אמא של סבתא שלה, שגם לה קראו מתילדה?
מה צריכה להבטיח הפסקה הראשונה?
"באמצע שביל חיינו תעיתי ביער עד"?
ובעצם, מה תהיה המלה הראשונה בספר, הטביעה השחורה הראשונה על פני הדף הלבן?
דרור בורשטיין, עורכו של הספר "דרוש לחשן" מאת חגי ליניק, ניתח את משפט הפתיחה של הספר:
בספרו של חגי ליניק המשפט הראשון שהיה בגדר מנגינת הרומן היה המשפט שמופיע בספר המונח לפני הקורא: "אותו ערב חזר נחמיה הביתה ופיו שותת דם".
מי שיקרא את הספר יראה עד כמה המשפט הזה מקפל בתוכו את תמצית הסיפור.
מצד אחד הוא משפט פשוט המתאר אדם שבמבט ראשון נראה לנו כמעין ערפד.
מצד אחר קריאה של כמה משפטים בהמשך תגלה כי אין בערפד מדובר, אלא באדם החוזר מטיפול שיניים פשוט, והדם שבפיו אינו דם של צייד אלא דם של כאב.
מצד שלישי הפה המדמם הזה "מתכתב" עם הפה המדבר של המספר את הסיפור, שאף הוא פה מדמם במובן המטאפורי של פה המדבר על כאב ועל אובדן דם, אובדן חיים וקרבת דם.
כותרת הספר היא "דרוש לחשן", כלומר, דרוש מי שידבר בשביל הזולת.
המשפט הראשון, כפי שהוא מופיע בספר, הוא משפט שמגשים מיד את הכותרת: הוא מציב קול מספר שמדבר, או לוחש, במקום הפה המדמם של האב בסיפור.
במסיבה שנערכה בשנת 1958 לכבוד יובל השבעים לש"י עגנון אמר הסופר ס.
תמיד המשפט הראשון בסיפוריך הוא כזה שטוב לחזור ולקרוא אותו.
הוא טעים, הוא מעניין, הוא גביש.
גביש אשר ככל שאומרים הקריסטלוגרפים, גביש גדול שמתפורר, חוזר ומתפורר לגבישים קטנים, הלוך והתפורר לעוד גביש קטן וכולם גביש כגון הראשון.
מועט שתמיד חוזר בו השלם.
והפסוק הראשון ולעיתים כל פסוק, הוא ממין הגביש הזה.
ועל כן יש סיפורים שהמשפט הפותח מקופל בו הסיפור כולו, העניין כולו, הנקודות כולן.
כך הציג גיא ארליך את מפגשו עם הספר "כל מה שאני" מאת אנה פאנדר:
הרבה זמן עבר עד שהתחלתי לקרוא בספרה של הסופרת האוסטרלית אנה פאנדר, "כל מה שאני" בגלל משפט אחד: "כשהיטלר עלה לשלטון הייתי באמבטיה".
המשפט הזה, הפותח את הספר, הרגיז אותי.
הרגשתי שהוא מזויף, מתאמץ מדי, מחושב מדי.
כזה שמנסה להציע פתיחה "אחרת" ו"מקורית" לעוד רומן שעוסק בנאצים ובמלחמת העולם השנייה.
כזה שאמור לסחוף את הקורא, שילך שבי אחר השילוב של המינורי והמאז'ורי, הפרטי והציבורי, האמבטיה וההיטלר.
שהרי ידוע שהחלק הכי חשוב ברומן, לכאורה, הוא הפתיחה, שמטרתה "ללכוד את הקורא".
הרגשתי אפילו שיש בה משהו שמזלזל בי כקורא.
לא האמנתי לה — במובן הספרותי — ולא חשבתי שהיא יכולה לייצר רומן "לירי, מריר, משעשע ועצוב — כל אלה גם יחד", כפי שנכתב על גבי הכריכה האחורית.
אבל בכל זאת פתחתי אותו שוב.
ולאט לאט, ככל שהתרחקתי משורת הפתיחה, גיליתי שאולי מיהרתי להשליך ממנה, שלא בצדק, על הרומן כולו.
משפט הפתיחה של ספר בראשית, , הוא ממשפטי הפתיחה המפורסמים ביותר, אם לא המפורסם שבהם.
המשפט מעביר את המסר המרכזי של התנ"ך: אלוהים הוא בורא העולם ולפיכך השולט בו.
עם זאת, רש"י בחן את ההצדקה למשפט פתיחה זה:
אמר רבי יצחק: לא היה צריך להתחיל את התורה אלא מ"הַחֹדֶשׁ הַזֶּה לָכֶם" (), שהיא מצווה ראשונה שנצטוו ישראל.
שאם יאמרו אומות העולם לישראל: "לסטים אתם שכבשתם ארצות שבעה גוים", הם אומרים להם: "כל הארץ של הקב"ה היא; הוא בראה ונתנה לאשר ישר בעיניו.
ברצונו נתנה להם, וברצונו נטלה מהם ונתנה לנו".
מסכת אבות מתחילה במשפט "משה קיבל תורה מסיני ...".
פרשן המשנה, רבי עובדיה מברטנורא, מנמק מדוע נפתחת המסכת דווקא במשנה זו:
בגאומטריה אוקלידית, משפט פונסלה-שטיינר על בנייה בסרגל ובמחוגה קובע כי כל הבניות שניתנות לביצוע באמצעות סרגל ומחוגה גם יחד, ניתנות לביצוע גם באמצעות סרגל בלבד, זאת כל עוד נתונים מעגל אחד ומרכזו במישור הסרטוט.
מכך נובע שאמנם המחוגה מקלה על ביצוע הבניות, אך ברגע שהמעגל הראשון שורטט, היא כבר אינה נדרשת.
כל הבניות שאחר כך ניתנות לביצוע בעזרת הסרגל בלבד, אף על פי שלא ניתן לשרטט קשתות של מעגלים בלעדיה.
כלומר, ניתן להשתמש במחוגה למטרות אסתטיות, אך אין בה צורך לצורך הבנייה עצמה.
תוצאה זו היא הטובה ביותר האפשרית; אם מרכז המעגל אינו נתון הבניות אינן ניתנות עוד להתבצע באמצעות סרגל בלבד.
בנוסף, אין זה הכרחי שהמעגל כולו יהיה נתון, קשת קטנה כלשהי מספיקה.
ז'אן-ויקטור פונסלה (1867–1788) שיער לראשונה תוצאה זו ב-1822, והיא הוכחה בידי יאקוב שטיינר ב-1833.
עוד מימי יוון העתיקה, הבניות הגאומטריות בעזרת סרגל ומחוגה היו כלי מרכזי לחקר גאומטריה.
משימות כמו חציית זוויות, בניית משולשים שווי צלעות, וחלוקת קטעים ביחס נתון היו נבחנות בכלים אלו בלבד.
במאה ה־10, המתמטיקאי הפרסי אבו אל־ופאא' בוז'אני (940–998) העלה רעיון של שימוש במחוגה עם פתיחה קבועה – "מחוגה חלודה" (rusty compass).
הרעיון היה שאפשר לבצע רבות מהבניות גם עם מחוגה מוגבלת.
בתקופת הרנסאנס אמנים כמו לאונרדו דה וינצ'י ואלברכט דירר עשו שימוש פרקטי בגישות אלו כדי לייצר פרספקטיבות ותבניות מדויקות.
במאה ה־19, פיתח פונסלה את הרעיון תאורטית (1822) בהשראת משפט מוהר–מאסקרוני , שהראה שניתן לבצע כל בנייה גם במחוגה בלבד.
פונסלה העלה את ההשערה שגם הסרגל מספיק, אם יש לנו מעגל נתון ומרכזו.
עבודתו סללה את הדרך לתחום הגאומטריה הפרויקטיבית.
יאקוב שטיינר (1833) היה זה שנתן הוכחה פורמלית מלאה להשערה זו, מה שהפך את המשפט לבסיסי בגאומטריה הקלאסית.
משפט פוהל, ובשמו הרשמי: ארצות הברית נגד אוסוולד פוהל ואח' , היה הרביעי מתוך שנים-עשר משפטי נירנברג הנוספים אשר התנהלו בהיכל הצדק בנירנברג, גרמניה, עם תום מלחמת העולם השנייה.
משפטים אלה נערכו בפני בית דין צבאי אמריקאי.
במשפט זה הועמדו לדין, בנוסף לאוסוולד פוהל, 17 נאשמים אשר היו קציני אס אס שהועסקו במשרד הראשי למשק ומנהל של האס אס , ומכאן גם כינויו הנוסף של ההליך: "משפט ה-WVHA".
האישומים כללו פשעי מלחמה ופשעים נגד האנושות אשר בוצעו בתקופת המשטר הנאצי.
האישום העיקרי עסק במעורבותם הפעילה של הנאשמים ובעבודת המינהלה של הפתרון הסופי.
ה-WVHA היה המשרד הממשלתי המופקד על ניהול מחנות הריכוז ומחנות ההשמדה.
המשרד היה מופקד גם על הרכש עבור הוואפן אס אס, והחל משנת 1942, על המינהלה של יחידות גולגולת המת.
חברי הרכב בית הדין הצבאי היו השופטים רוברט מ.
תומאס ממישיגן (אב בית הדין), פיטצרוי דונלד פיליפס מקרוליינה הצפונית מייקל א.
כתב האישום הוגש לבית הדין ב-13 בינואר 1947. המשפט נפתח ב-8 באפריל וגזרי הדין ניתנו ב-3 בנובמבר 1947. ארבעה מן הנאשמים, בהם אוסוולד פוהל, נידונו למוות בתליה.
יתרת הנאשמים נידונו לתקופות מאסר אשר נעו בין 10 שנים למאסר עולם.
לבקשת שופטי בית הדין התכנס בית הדין פעם נוספת ב-14 ביולי 1948, כדי לשקול קבלת ראיות נוספות מטעם ההגנה.
ב-11 באוגוסט 1948 נתן בית הדין את החלטתו ובה אישר את רוב גזרי הדין המקוריים, אולם הפחית במעט את תקופות המאסר לחלק מן הנאשמים וכן שינה את גזר דינו של הנאשם גאורג לורנר מגזר דין מוות למאסר עולם.
השתתפות בתוכנית משותפת, או בקשירת קשר, כדי לבצע פשעי מלחמה ופשעים נגד האנושות.
פשעי מלחמה בדרך של ניהול מחנות ריכוז ומחנות השמדה, וכן רצח המוני ופשעים שבוצעו שם.
פשעים נגד האנושות מאותם נימוקים, כולל אישומים בדבר העסקת כוח אדם בתנאי עבדות.
כבר בבית הדין הבינלאומי במשפטי נירנברג נקבע כי האס אס הוא ארגון פשע.
כל ארבעת האישומים הוגשו כנגד כל הנאשמים בהליך זה, להוציא את הנאשם הוברג, אשר לא הואשם בסעיף הרביעי לכתב האישום.
שופטי בית הדין התעלמו בפסק דינם מסעיף קשירת הקשר ולמעשה לא הכריעו בסוגיה זו.
על פי כתב האישום הנאשמים בהליך זה פעלו כדי לייסד, להחזיק, לתפעל ולנהל מחנות ריכוז ומחנות עבודה בגרמניה ובמדינות אחרות שבהם שהו אלפי אנשים, כולל שבויי מלחמה, אזרחי גרמניה ואזרחי מדינות אחרות ואלה
הממונה על מחלקת מחנות הריכוז ב-WVHA, ריכרד גליקס (Richard Glücks), אשר היה מפקדם הישיר של כל מפקדי מחנות הריכוז והיה אחראי ישיר לפשעים שבוצעו בהם, לא הועמד לדין.
ב-10 במאי 1945, יומיים לאחר כניעת גרמניה הנאצית, גליקס התאבד בעודו מאושפז בבית החולים של הצי בפלנסבורג.
משפט פליק, ובשמו הרשמי: ארצות הברית נגד פרידריך פליק ואח' .
האישומים היו העסקת כוח אדם בתנאי עבדות וביזה.
פליק ומנהלו הבכיר ביותר, אוטו שטיינברינק, הואשמו אף בחברות ב"מעגל החברים של היינריך הימלר".
מעגל החברים היווה קבוצה של תעשיינים ובנקאים גרמנים רבי השפעה - אשר נוסד בשנת 1932 על ידי וילהלם קפלר ואשר עליו השתלט הימלר בשנת 1935- למטרת מתן תמיכה כלכלית לנאצים.
חבריו תרמו מדי שנה כמיליון רייכסמרק אשר עמדו בחשבון מיוחד לרשותו של הימלר.
שופטי בית הדין במשפט פליק היו צ'ארלס ב.
סירס, נשיא בדימוס של בית המשפט לערעורים במדינת ניו יורק, ויליאם סי.
כריסטיאנסן, שופט בדימוס של בית המשפט העליון של מינסוטה, פרנק נ.
ריצ'מן, שופט בדימוס של בית המשפט העליון באינדיאנה, וריצ'רד ד.
דיקסון, אשר שימש שופט מחליף והיה שופט בדימוס של בית המשפט העליון בקרוליינה הצפונית.
כתב האישום הוגש לבית המשפט ב-8 בפברואר 1947 ותוקן ביום 18 במרץ 1947. המשפט נפתח ב-19 באפריל והתנהל עד 22 בדצמבר 1947. פרידריך פליק נידון לשבע שנות מאסר, שני נאשמים נוספים נידונו לתקופות מאסר קצרות יותר, ושלושת הנאשמים הנותרים זוכו בדין.
פשעי מלחמה ופשעים נגד האנושות בכך שהשתתפו בהגליית ובשעבוד לעבדות של אוכלוסיות אזרחיות בארצות ובטריטוריות אשר היו תחת כיבוש מלחמתי או בשליטת גרמניה הנאצית, וכן של אסירים במחנות ריכוז, ובשימוש בכוח אדם בתנאי עבדות במכרות ובבתי החרושת של פליק.
פשעי מלחמה ופשעים נגד האנושות בביזת אזורים כבושים, החרמת מפעלים במערב (צרפת) ובמזרח (פולין ורוסיה).
פשעים נגד האנושות בהשתתפות וברדיפה אחר יהודים ובאריזציה של רכושם.
חברות במפלגה הנאצית וב"מעגל החברים של הימלר".
שםתפקידגזר דיןפרידריך פליק (Friedrich Flick)תעשיין גרמני, אחד מעשירי גרמניה, מבעלי תאגיד התעשייה פליק.
חבר נשיאות מועצת תעשיית הברזל של הרייך.7 שנות מאסר בהפחתת תקופת מעצרו.
מת בשנת 1972.אוטו שטיינברינק (Otto Steinbrinck)תעשיין גרמני, מבכירי תאגיד פליק.
אחראי לניצול מכרות הפחם ותעשייה כבדה במערב אירופה הכבושה לטובת כלכלת גרמניה הנאצית.
חבר נשיאות מועצת תעשיית הפחם של הרייך.5 שנות מאסר בהפחתת תקופת מעצרו.
מת בשנת 1949.ברנהרד וייס (Bernhard Weiss)תעשיין גרמני, אחיינו של הנאשם פליק, מראשי תאגיד פליק.שנתיים וחצי מאסר.
מת בשנת 1973.אודילו בורקהרט (Odilo Burkart)מנהל כללי של תעשיית הנשק בתאגיד פליקזוכהקונראד קלטץ' (Konrad Kaletsch)מבכירי המנהלים בתאגיד פליק, התמקד בתחום תעשיות הנשק.
אחראי לתרומות התאגיד לאס אס.זוכההרמן טרברגר (Hermann Terberger)עורך דין, מנהל בכיר בתעשיות פליק, התמקד בתחום תעשיות הנשק.זוכה
שטיינברינק מת בשנת 1949 בעודו בכלא.
פרידריך פליק וברנהרד וייס ריצו רק תקופות קצרות במאסר ושוחררו בחנינה.
עושרו המופלג של פרידריך פליק לאחר שחרורו רק הלך וגדל והוא היה לאדם העשיר ביותר בגרמניה המערבית בתקופת המלחמה הקרה.
בין השאר, היה מבעלי תאגיד דיימלר-בנץ.
הרשעתם של פליק ואחיינו וייס הוצנעה בגרמניה בשנים שלאחר משפטי נירנברג והם זכו לעיטורים ולכבוד במולדתם.
משפט פסקל הוא משפט בגאומטריה של המישור, העוסק בנקודות המפגש של שתי שלשות של נקודות.
את המשפט הוכיח בלז פסקל ב-1639.
תהיינה 1,2,3,4,5,6 נקודות על חתך חרוט (אליפסה, היפרבולה וכדומה).
נשרטט את המשושה 123456, שצלעותיו הן הישרים המחברים את הזוגות 12,23,34,45,56,61. משפט פסקל קובע ששלוש נקודות החיתוך של הצלעות הנגדיות, כלומר , , ו-, נמצאות על ישר אחד.
ישר זה נקרא ישר פסקל של המשושה.
הוכחתו המקורית של פסקל לא נשתמרה, ומשערים שהיא מבוססת על משפט מנלאוס ביחס למשולש שצלעותיו הן הישרים 12,34,56.
המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל שש נקודות המקיימות את תנאי פסקל נמצאות על חתך חרוט.
היפוך המשפט מאפשר לשרטט חתך חרוט באופן מכני: נקבע ישרים ונקודות ; אז המקום הגאומטרי של הנקודות כאשר הוא חתך חרוט, העובר דרך הנקודות .
למשפט פסקל ישנן הוכחות רבות.
חלקן מוכיחות את משפט פסקל למקרה בו השניונית היא מעגל, מכיוון שניתן לעשות העתקה פרויקטיבית ולהפוך את המעגל חזרה לשניונית.
למקרה של אליפסה ניתן גם פשוט "למתוח" את המעגל באמצעות העתקה אפינית ולקבל שהמשפט נכון גם לאליפסות.
לא נבצע חישובים בגאומטריה אנליטית, אלא חישוב של אורכי קטעים באמצעות משפט מנלאוס וחזקת נקודה.
ניעזר במשפט מנלאוס שלוש פעמים, על משולש המופיע באדום בתמונה ועל שלושת הישרים הכחולים בתמונה:
כאשר כל אחד מהנוסחאות היא מהצורה של שבר עם אחד מ-, שבר עם אחד מ- ושבר עם אחד מ-.
נכפיל אותם זה בזה ונקבל
כאשר המטרה הסופית היא להוכיח .
אבל נשים לב שמתקיים מחזקת נקודה, ונוסחאות דומות עבור מראות כי
בהינתן משולש ABC ונקודה P, הצמדה איזוגונלית של P ביחס ל-ABC זו נקודה *P המוגדרת כנקודת החיתוך של שיקופי AP,BP,CP ביחס לחוצי הזוויות המתאימים.
נרצה להוכיח את הישר המקווקו DEF, ונסתך על העובדה שהמשולש הירוק והמשולש הכחול דומים.
נשים לב כי לא רק ש-A'EA דומה ל-C'EC, אלא גם ש-AF ו-A'F יוצרים אותן זוויות עם צלעות המשולש הכחול כמו הזוויות ש-CD ו-C'D יוצרים עם צלעות המשולש הירוק, אבל בסדר הפוך.
נשרטט את נקודה F' במשולש הירוק כך ש-A'FEA דומה ל-C'F'EC.
הדמיון אומר כי ואותו הדבר בנוגע לזוויות האחרות: כלומר, D היא הצמודה האיזוגונלית של 'F במשולש הירוק.
קיבלנו , וזה מתקיים אם ורק אם DEF ישר.
ניתן לבצע למשפט דואליות ביחס לחתך החרוט הנתון.
כל הנקודות עליו יהפכו לישרים משיקים, וישרים כמו הופכים לנקודות חיתוך של הישרים המשיקים.
הנקודה הופכת לישר המחבר בין שתי נקודות החיתוך.
צריך להוכיח ש-3 נקודות נמצאות על ישר אחד, או בדואליות, ש-3 שירים נחתכים בנקודה.
זה הניסוח המדויק של משפט בריינשון .
משפט קיילי-בכראך אומר כי אם שלושה עקומים אליפטיים נחתכים בשמונה נקודות, קיימת נקודה תשיעית שכל השלושה עוברים בה.
משפט בז'ו אומר כי עקום אלגברי ממעלה n ועקום אלגברי ממעלה m נחתכים ב-nm נקודות לכל היותר, ובמקרה שלנו זה אומר כי שני עקומים אלפטיים נחתכים ב-9 נקודות לכל היותר.
לכן, ניסוח שקול למשפט קיילי-בכראך אומר כי אם יש שני עקומים אליפטיים הנחתכים ב-9 נקודות, עקום אליפטי העובר ב-8 מהן יעבור גם בתשיעית.
שני העקומים האליפטיים הראשונים הם ו-, מכפלה (או איחוד) של שלושה ישרים.
העקום השלישי יהיה חתך החרוט כפול (או מאוחד עם) ישר שעובר בשתיים משלוש הנקודות שמטרתינו להוכיח שהן על ישר.
שלושת העקומים נחתכים ב-8 נקודות: 1,2,3,4,5,6 ושתיים מהנקודות האדומות.
שני העקומים הראשוניים נחתכים בנקודה האדומה השלישית; ולכן גם העקום השלישי.
חתך החרוט לא עובר בנקודה הזו (אחרת אחד מהישרים היה חותך את חתך החרוט 3 פעמים) ולכן הישר דרך 2 הנקודות האדומות עובר בנקודה האדומה השלישית.
נניח ששש הנקודות 1,2,3,4,5,6 נתונות בלי חשיבות לסדר.
מכיוון שהמשושה תלוי בסדר הקודקודים ולא רק במקומם, יש משושים שונים שאלו הקודקודים שלהם (המשושה נקבע לפי מספור ששת הקודקודים, עד כדי סיבוב והיפוך הסדר).
כל אחד ואחד מן המשושים האלה מגדיר ישר פסקל משלו, כך שששיית הנקודות במישור קובעת מערכת של 60 ישרי פסקל הקרויה "Hexagrammum Mysticum", שיש לה תכונות קומבינטוריות מורכבות.
לדוגמה, יאקוב שטיינר הוכיח שישרי פסקל המתקבלים מהחלפה ציקלית של שלוש נקודות זוגיות (כלומר אלו המתאימים לסידורים 123456, 143652 ו-163254) נפגשים בנקודה אחת; כך נוצרות 20 "נקודות שטיינר" (ראה איור).
יש 15 "ישרי פלוקר" שכל אחד מהם עובר דרך ארבע נקודות שטיינר
Kirkman (1806-1895) הוכיח שישרי פסקל המתקבלים מהחלפה ציקלית של שתי שלשות רצופות בכיוונים הפוכים (כלומר אלו המתאימים לסידורים 123456, 312564 ו-231645) גם הם נפגשים בנקודה אחת, וכך נוצרות 60 נקודות שכל אחת מהן שייכת לשלושה ישרי פסקל.
יש 20 "ישרי קיילי" שכל אחד מהם עובר דרך נקודת שטיינר ושלוש נקודות קירקמן; ויש 15 "נקודות סלמון" שכל אחת מהן היא נקודת המפגש של ארבעה ישרי קיילי.
משפט פֶּרוֹן-פְרוֹבֶּנִיוּס הוא משפט באלגברה ליניארית, המתאר את הערכים העצמיים של מטריצה ריבועית בעלת ערכים ממשיים אי שליליים.
לפי המשפט, למטריצה כזו יש וקטור עצמי יחיד שכל רכיביו חיוביים, והוא שייך לערך העצמי המקסימלי.
למשפט יש יישומים בהסתברות (בפרט בשרשראות מרקוב), מערכות דינמיות, תורת הגרפים, כלכלה, דמוגרפיה, דינמיקה סימבולית ועוד.
את המשפט הוכיח אוסקר פרון ב-1907 עבור מטריצות עם ערכים חיוביים.
ב-1912 מצא גאורג פרובניוס הכללה לא טריוויאלית למטריצות בעלות ערכים אי-שליליים.
הגרסה הבסיסית של המשפט מטפלת במטריצה שרכיביה חיוביים.
תהי מטריצה ריבועית ממשית, שכל רכיביה חיוביים (ממש).
יש לה ערך עצמי ממשי , כך שכל ערך עצמי אחר הוא בעל ערך מוחלט קטן ממש מ-.
יש וקטור עצמי יחיד (עד כדי כפל בסקלר) מריבוי אלגברי 1 השייך ל-, וכל רכיביו חיוביים (ממש); זהו הווקטור העצמי היחיד של שכל רכיביו חיוביים.
טיעון פשוט יחסית מאפשר להכליל את התוצאה למטריצה פרמיטיבית: מטריצה אי שלילית שחזקה שלה היא חיובית ממש.
גרסה כללית יותר מרשה לערכים של המטריצה להתאפס.
לשם כך אומרים ש- מטריצה פריקה אם יש מטריצת פרמוטציה כך ש- היא מטריצת בלוקים, שהבלוק השמאלי-תחתון שלה הוא אפס.
אם מטריצה אי-פריקה שכל רכיביה אי שליליים, אז:
יש לה ערך עצמי ממשי , כך שכל ערך עצמי אחר הוא בעל ערך מוחלט קטן או שווה ל-;
יש סדר כך שהספקטרום של נשמר תחת סיבוב באחת-חלקי- של המעגל.
יש וקטור עצמי יחיד (עד כדי כפל בסקלר) השייך ל-, וכל רכיביו חיוביים (ממש); זהו הווקטור העצמי היחיד של שכל רכיביו חיוביים.
הערכים העצמיים של כל מטריצה ריבועית הם השורשים (המרוכבים) של הפולינום האופייני; הערך המוחלט הגדול ביותר בין השורשים האלה הוא הרדיוס הספקטרלי של המטריצה.
הרדיוס הספקטרלי שולט בקצב הגידול של החזקות : אם הוא הרדיוס הספקטרלי, אז הרכיבים בגבול חסומים, ואם הריבוי הגאומטרי הוא 1, מובטח שהגבול הזה קיים, והוא מטריצה בעלת דרגה 1.
החידוש במשפט פרון-פרובניוס הוא שהערך העצמי בעל ערך מוחלט מקסימלי הוא ממשי דווקא, ושהוא מופיע בריבוי גאומטרי (ואלגברי) 1. אם המטריצה מתארת פעולה טבעית (כפי שעושה מטריצת מרקוב להתפלגות המצב, או כל פעולה ליניארית), החזקות מתארות פעולה חוזרת, והגבול כאשר שואף לאינסוף מתאר את ההתנהגות בטווח הרחוק.
מכאן החשיבות של משפט פרון-פרובניוס בתיאור תהליכי מרקוב.
להלן הוכחה עבור המקרה הבסיסי של מטריצות חיוביות.
נבחין שלכל וקטור אי שלילי שאינו 0, מכיוון ש- מטריצה שכל אבריה חיוביים, נובע כי הוא וקטור שכל אבריו חיוביים.
יהי אוסף כל הווקטורים ב- האי שליליים שנמצאים על כדור היחידה.
נשים לב שזוהי קבוצה קומפקטית.
טענה 1: יש ל- וקטור עצמי חיובי עם ערך עצמי חיובי .
הוכחה: נגדיר פונקציה המוגדרת באופן הבא: , כלומר מסתכלים על הקואורדינטות החיוביות של x (יש כאלו בהכרח, מהגדרת ) ולוקחים מהם את המינימום של המנה בין ל-x בקואורדינטות אלו.
זוהי פונקציה רציפה ולכן היא מקבלת מקסימום ב-.
יהי אם המקסימום הנ"ל, אז לכל i.
נטען ש- הוא וקטור עצמי ביחס לערך העצמי :
לכן וקטור הוא וקטור אי שלילי שאינו וקטור האפס.
לכן הווקטור הוא וקטור חיובי ואז יש כך ש-.
מקבלים ש- מקיים ולכן בסתירה למקסימליות של .
כמו כן אי שלילי ולכן חיובי ולכן חיובי.
טענה 2: הרדיוס הספקטרלי של הוא .
הוכחה: יהי ערך עצמי של עם וקטור עצמי מנורמל .
מאי-שוויון המשולש מתקבל ש- .
יהי הווקטור שערכיו הם הערכים המוחלטים של .
נובע מכך כי ומתקיים: וסיימנו.
טענה 3: הריבוי הגאומטרי של הוא 1.
הוכחה: נניח בשלילה שיש וקטור בלתי תלוי ב- וקטור עצמי עבור .
בה"כ נניח שהוא ממשי (אחרת אפשר להסתכל על החלק הממשי והחלק המדומה בנפרד).
הווקטור הוא חיובי ולכן יש כך שהווקטור הוא וקטור אי שלילי עם קואורדינטה אחת לפחות שמתאפסת.
מצד שני, איננו וקטור האפס כי בלתי תלויים ליניארית.
מצד שני הוא וקטור עצמי אי שלילי ביחס לערך העצמי .
לכן, כמו בטענה 1, נובע שהוא וקטור חיובי, בסתירה להנחה.
טענה 4: הריבוי האלגברי של הוא 1.
הוכחה: הרעיון הוא לקרב את על ידי מטריצה ממשית ששווה ל- בקואורדינטה הראשונה ומתאפסת על שאר אברי העמודה והשורה הראשונות.
כמו בטענה 1 אפשר למצוא וקטור עצמי שמאלי חיובי של הערך העצמי .
יהי המרחב המאונך ל- במכפלה הפנימית הסטנדרטית כלומר
מקבלים שאם אז ולכן .
קיבלנו אם כן ש- מרחב אינוורינטי ביחס ל-.
נשים לב ש- כי שני הווקטורים העצמיים חיוביים.
לכן וניתן להשלים אותו לבסיס של של .
יהי המטריצה ביחס לבסיס אז נקבל ש- מהצורה
כאשר המטריצה היא מטריצה ממשית.
כיוון שהמטריצות דומות, יש להן את אותו ריבוי אלגברי וגאומטרי (ריבוי גאומטרי 1) לערך העצמי .
הפולינום האופייני של הוא .
נניח בשלילה שהריבוי האלגברי הוא יותר מ-1. נקבל ש- הוא ערך עצמי של המטריצה עם וקטור עצמי .
יהי , אז שני וקטורים עצמיים בלתי תלויים של ולכן הריבוי הגאומטרי של (ואז גם של ) הוא לפחות 2 בסתירה.
טענה 5: אם הוא וקטור עצמי חיובי של אז הוא כפולה חיוביות של .
הוכחה: יהי הערך העצמי המתאים ל-.
מכיוון ש- ו- חיוביות נקבל ש-.
עבור קטן מספיק נקבל שהווקטור וקטור חיובי.
עבור i מסוים נקבל ש-.
כמו בטענה הראשונה נקבל ממקסימליות ש- ערך עצמי של ולכן גם של .
כעת מה שנדרש להוכיח נובע ישירות מטענה 3.
טענה 6: אם ערך עצמי של השונה מ- אז .
הוכחה: נניח בשלילה ש- ויהי וקטור עצמי מנורמל של .יהי הווקטור שערכיו הם הערכים המוחלטים של .
ממקסימליות נקבל ש- ערך עצמי המתאים לווקטור ולכן האי שוויון לעיל הוא בעצם שוויון.
לכן נקבל שכל האיברים נמצאים על אותה הקרן היוצאת מ-0 במישור המרוכב.
כיוון שאברי המטריצה ממשיים וחיוביים נקבל שכל האיברים על אותה הקרן היוצאת מ-0 במישור המרוכב.
לכן יש כך שהווקטור הוא וקטור עצמי חיובי ומטענה 5 נקבל ש- בסתירה.
באלקטרודינמיקה, משפט פוינטינג הוא ביטוי של שימור אנרגיה בשדה אלקטרומגנטי, בצורת משוואה דיפרנציאלית חלקית, שנוסח על ידי הפיזיקאי הבריטי ג'ון הנרי פוינטינג.
משפט פוינטינג הוא אנלוגי למשפט עבודה-אנרגיה במכניקה קלאסית ודומה באופן מתמטי למשוואת רציפות, היות שהוא מקשר בין האנרגיה האגורה בשדה האלקטרומגנטי לבין העבודה הנעשית על מטען חשמלי, דרך הגדרת שטף האנרגיה באמצעות וקטור פוינטינג.
התיאור המילולי של המשפט מבטא מאזן אנרגיה:
באופן מתמטי, ניתן לנסח את הצורה הדיפרנציאלית של המשפט:
כאשר הוא הדיברגנץ של וקטור פוינטינג (שטף האנרגיה) ו־ הוא הקצב בו השדות מבצעים עבודה על אובייקט טעון ( הוא צפיפות הזרם החופשי, הוא השדה החשמלי ו־ מייצג מכפלה סקלרית).
צפיפות האנרגיה ניתנת על ידי:
כאשר הוא השדה המגנטי, הוא המקדם הדיאלקטרי ו- הפרמאביליות.
המקדם הדיאלקטרי והפרמאביליות משקללים את השפעת המטענים הקשורים ולכן מתייחס לצפיפות המטען החופשי בלבד ולא לצפיפות המטען הכוללת.
תוך שימוש במשפט הדיברגנץ, ניתן לנסח את הצורה האינטגרלית של משפט פוינטינג:
כאשר היא שפת הנפח .
הצורה של הנפח שרירותית אך קבועה בזמן לצורך החישוב.
לצורך יישומים של הנדסת חשמל, המשוואה בדרך כלל נכתבת תוך פיתוח האיבר בדרך המזכירה משוואת רציפות:
משפט פיתגורס הוא מחזה מאת נתן אלתרמן שהועלה על הבמה בתיאטרון הבימה בשנת 1965. גיבור המחזה הוא מחשב בשם "פיתגורס" (על שם המתמטיקאי היווני פיתגורס) או "פית" ואנשי מכון החישוב בו הוא מוצב, בפרט מנהל המכון ומפתחו של המחשב הנבון.
אלתרמן הדגיש שלמרות שהמחזה הוא עתידני כביכול אין בכוונתו להיות מחזה מדע בדיוני אלא לשמש משל פילוסופי.
בכורת ההצגה על פי המחזה התקיימה במוצאי-שבת 2 באוקטובר 1965, וההצגה ירדה, לאחר ביקורות קטלניות, כעבור 13 הצגות בלבד.
כיוון שאלתרמן לא הצליח להעביר את המסרים שביקש באמצעות המחזה, חיבר מסה פילוסופית בשם "בין ספרה לסיפור", שאותה צירף להוצאה המודפסת של המחזה כאחרית דבר.
המחזה, שהוא בעיקרו מחזה בלשי, מתרחש במבנה דו-קומתי.
בקומתו התחתונה ממוקם בר שכונתי ובקומתו העליונה שוכן מכון החישוב, שבמרכזו ניצב המחשב המשוכלל "פית".
מעל ראשו של מנהל המכון וממציאו של המחשב (שאינו מכונה בשם פרטי אלא "המנהל") תלויה עננת-חשד.
המנהל נחשד בניסיון לרצוח את אחיו החולה, שהיה מתחרהו המדעי.
אולם, החשד הוא חשד שוא.
באחד הימים עולה דינה, מלצרית בבר השוכן בקומה התחתונה, אל מכון החישוב על מנת למצוא עבודה לאביה, מרקו, העובד כמצחצח נעליים.
דינה פונה אל פית ומציגה לו תעודת זהות של מרקו הכוללת טביעת אצבע.
פית מגלה אז שמרקו הוא זה שניסה לרצוח את אחיו של המנהל.
מתברר כי אחיו של המנהל שכר את מרקו, על מנת שזה יפרוץ למכון החישוב ויסב נזק לפית.
מרקו ניתקל באדם בחשכה ומתוך שהיה סבור שזה המנהל הכה אותו בסרגל נחושת כבד, אך למעשה היה זה אחיו של המנהל.
המנהל, שאמור להשתחרר עתה מעננת החשד נתון בדילמה מוסרית.
מחד, גלוי וברור כעת שהוא חף מכל פשע, אך מאידך הוא איננו רוצה שמרקו יופלל בשל מעשיה הכנים והתמימים של בתו.
לפיכך מנסה המנהל לשכנע את פית ש"ישכח" את הזיכרון וימחק את המידע המפליל את מרקו.
המחשב, שאינו יכול לבחור בין טוב ורע ורק האמת ניצבת לנגד עיניו, מסרב.
המנהל, המייצג את הכוח המוסרי האנושי הכללי, נאלץ להרוס את פית, פסגת יצירתו המדעית.
מילותיו האחרונות של פית, המייצגות את היותו התגשמות האובייקטיביות המתמטית המוחלטת הן ניסוחו של משפט פיתגורס .
מילותיו האחרונות של המנהל, החותמות את המחזה, מבטאות את השניות שבין חוקי הטבע והמתמטיקה, בלעדיהם ישקע העולם בתוהו ובוהו, לבין הצורך במחשבה האנושית הייחודית: .
אלתרמן, שעבד בדרך-כלל עם התיאטרון הקאמרי, מסר את כתב היד של המחזה לתיאטרון הבימה.
המחזה התקבל בחום ולהפקתו צוותו שרגא פרידמן כבמאי, מעצב התפאורה אריה נבון, אהרן מסקין בתפקיד המנהל, בנו, אמנון מסקין כקולו של פית מאחורי הקלעים, וכן שמואל רודנסקי, רפאל קלצ'קין, שלמה בר-שביט, תרצה אתר, שולמית ירון ואלישבע מיכאלי.
המחזה היה אמור לפתוח את פסטיבל ישראל בקיץ 1965. אולם הצוות לא הספיק לערוך חזרות מספקות ואלתרמן שב ושינה את המחזה תוך כדי החזרות.
לבסוף בוטלה השתתפות המחזה בפסטיבל ובכורתו נדחתה.
דוד בן-גוריון ביקש להיות אורח כבוד בהצגת הבכורה, אך כשנשאל אלתרמן אם יש מישהו שהיה מעוניין לראות בהצגת הבכורה אמר שהיה מעוניין להזמין את "ויצַק" (WEIZAC: Weizmann Automatic Calculator), המחשב הראשון במדינת ישראל שפעל במכון ויצמן.
הצגת הבכורה פתחה את עונת תשכ"ו של "הבימה" והתקיימה ב-2 באוקטובר 1965. ההצגה זכתה לביקורות מהקטלניות שקיבלו אלתרמן או תיאטרון הבימה מעודם.
הדה בושס כתבה ב"הארץ" שמדובר ב"בליל של קטעי-רעיונות, פסבדו-פילוסופיה חבוטה, פשטנות מתמיהה ומביכה...
הצגה כבדה, מייגעת, ארוכה, סטאטית...", כן קטלו את ההצגה בן-עמי פיינגולד ב"הבקר" ("הרהורים פילוסופיים שאין בינם ובין מחזה ולא כלום"), בועז עברון ב"ידיעות אחרונות" ("קיטש סנטימנטלי"), עזרא זוסמן ב"דבר", אמיל פוירשטיין ב"הצופה" ועוד.
היחידה שכתבה בזכות המחזה הייתה אידה צורית במאמר מעמיק שהתפרסם בכתב העת "משא" לאחר שהפסיקה להציג.
ואכן, הביקורות הרעות הובילו לכך שההצגה ירדה מן הבמה לאחר 13 הצגות, בחלקן הציגו השחקנים מול אולם ריק למחצה.
המחזה עלה פעם נוספת במסגרת פסטיבל עכו בשנת 2022, בעיבוד ובבימוי של מעין אבן.
בגרסה זו, פיתגורס עוצב כמחשב עם צלם אנוש, בניגוד לגרסה המקורית שבה היה רק קול.
על גילום פיתגורס זכה השחקן יניב וינוגרדסקי בפרס השחקן הטוב ביותר.
אלתרמן לא נהג לכתוב פרשנות או תגובות על יצירתו-שלו.
אולם, כיוון שהבחין בחוסר ההערכה לה זכה המחזה ובחוסר הצלחתו להעביר את המסר המבוקש, חיבר מסה הגותית בת 20 עמודים בשם "בין ספרה לסיפור" ובה פרס את הרעיונות שהובילו אותו לחיבור המחזה ואת מסקנותיו הפילוסופיות.
המסה נדפסה כאחרית דבר עם הדפסת המחזה בהוצאת הקיבוץ המאוחד מספר חודשים לאחר ירידתו מן הבמה.
שיאו של החיבור הוא מסקנתו הפילוסופית של אלתרמן לגבי סדר העולם:
ועוד - בצידם של חוקי ההנדסה (המיוצגים על ידי פית) וחוקי האדם (המיוצגים על ידי המנהל) מתקיימת בעולם הסטיכיה החיה, הגורל העיוור, שאיננו שועה לא לחוקי ההנדסה ולא לחוקי המוסר.
כל אחד משלושת הכוחות אמור היה להופיע בעלילה כנפש פועלת (כאשר הסטיכיה מתגלמת בדמותה של הפקידה המרשעת רוזה) וכדי להמחיש את העימות בין שלושת הכוחות בנה עבורן אלתרמן שדה התנגשות בדמותה של עלילה בלשית.
נתן אלתרמן, משפט פיתגורס : מחזה; אחרית-דבר: בין סיפרה לסיפור, תל אביב: הקיבוץ המאוחד, תשכ"ו 1965.
נתן אלתרמן, מחזות, תל אביב: הקיבוץ המאוחד, תשל"ג, עמ' 423–580.
משפט פוביני (נקרא לעיתים: משפט פוביני־טונלי) מספק נוסחה לחישוב של אינטגרל רב-ממדי של פונקציות, תחת תנאים מסוימים.
את המשפט הוכיח גווידו פוביני בשנת 1907 עבור פונקציות אינטגרביליות, והוא הוכח גם בידי לאונידה טונלי בשנת 1909 עבור פונקציות אי-שליליות.
הגרסה הנפוצה של המשפט עוסקת באינטגרציה של פונקציות אינטגרביליות רימן מהצורה , אולם גרסה זו היא מקרה פרטי של משפט כללי יותר העוסק באינטגרציה של פונקציות אינטגרביליות לבג מהצורה , כאשר מרחבי מידה סיגמא סופיים.
תהי פונקציה אינטגרבילית רימן, כאשר קבוצות סגורות.
לכל נגדיר פונקציה על ידי (פונקציה של המשתנה השני).
אזי אם אינטגרבילית רימן, מתקיים השוויון:
באופן סימטרי, לכל ניתן להגדיר פונקציה מתאימה, ואז אם היא אינטגרבילית רימן, מתקיים השוויון:
יהיו זוג מרחבי מידה סיגמא־סופיים.
תהי פונקציה אינטגרבילית לבג ביחס למרחב המכפלה .
לכל נגדיר פונקציה על ידי .
אזי אינטגרבילית לבג, ומתקיים השוויון:
באופן סימטרי, לכל ניתן גם להגדיר פונקציה מתאימה, גם היא אינטגרבילית לבג, ומתקיים השוויון:
המשפט מתייחס לפונקציות אינטגרביליות בלבד, וכן נוספה הדרישה כי המרחבים יהיו סיגמא-סופיים.
להלן דוגמאות המבהירות מדוע דרישות אלו הכרחיות.
כישלון משפט פוביני עבור פונקציות לא אינטגרביליות
נתבונן במרחב המידה עם הסיגמא-אלגברה ביחס למידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא העוצמה שלה).
פונקציה זו אינה אינטגרבילית, שכן ביחס לעותק הראשון של המרחב האינטגרל הוא , וביחס לעותק השני של המרחב האינטגרל הוא .
כמו כן, לא קשה לראות שאינטגרציה תחילה לפי העותק הראשון היא סכימה של ולכן האינטגרל הוא אפס, ולעומת זאת אינטגרציה תחילה לפי העותק השני היא סכימה של , ולכן האינטגרל הוא אחד.
כלומר סדר האינטגרציה משנה את ערך האינטגרל.
המוגדרת על ריבוע היחידה .
פונקציה זו אינה אינטגרבילית ומקיימת:
סדר החישוב משנה את ערך האינטגרל, שכן מצד אחד:
כישלון משפט פוביני עבור מרחבים לא סיגמא-סופיים
נתבונן במרחב המידה , כאשר העותק הראשון מצויד בסיגמא־אלגברת בורל ומידת לבג והעותק השני מצויד בסיגמא־אלגברה ומידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא העוצמה שלה).
ברור שהעותק השני אינו סיגמא־סופי.
קבוצה זו היא בעלת מידה אפס אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק הראשון, ולעומת זאת היא בעלת מידה 1 אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק השני.
ידוע כי אינטגרל לבג מכליל את אינטגרל רימן, ולכן נוכיח את המקרה הכללי.
לאורך כל ההוכחה נוכיח עבור "צד אחד" של השוויון במשפט, כלומר כאשר מתחילים לבצע אינטגרציה במשתנה השני ואז בראשון.
ההוכחה הנפוצה למשפט עושה שימוש במשפט המחלקה המונוטונית.
מבנה ההוכחה הוא כדלהלן: (1) תחילה מוכיחים את המשפט עבור פונקציות מדידות מסוג מסוים במרחבי מידה סופיים, (2) מכלילים את המשפט למרחבים סיגמא-סופיים, (3) מכלילים את המשפט לפונקציות מדידות כלליות.
נניח כי שני המרחבים הם מרחבי מידה סופיים.
בהינתן קבוצה , לכל נגדיר .
נגדיר פונקציה על ידי .
תהי האלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות עבור , ויהי אוסף כל הקבוצות המדידות שעבורן מתקיים המשפט.
נראה כי היא מחלקה מונוטונית וכי , וממשפט המחלקה המונוטונית נוכל להסיק כי , כנדרש.
בהינתן , מתקיים כי ולכן ניתן להסיק מיד כי פונקציה מדידה.
כאשר השוויון האחרון הוא מהגדרת מידת המכפלה.
מכאן כי .כדי להראות כי היא מחלקה מונוטונית יש להראות סגירות לאיחוד שרשראות עולות וחיתוך שרשראות יורדות, אך זה לא קשה להסיק תוך שימוש במשפט ההתכנסות המונוטונית.
כעת נניח כי שני המרחבים הם סיגמא-סופיים.
נציג כאשר מידות הקבוצות באיחוד סופיות כולן, ונניח ללא הגבלת הכלליות כי אלו איחודים של שרשראות עולות.
בהינתן מדידה, בהמשך לסימונים הקודמים ניתן להסיק מהמקרה הסופי כי מתקיים ולכן תוך שימוש במשפט ההתכנסות המונוטונית נובע שבגבול כאשר מתקיים .
כעת נראה את המקרה הכללי של המשפט.
תהי פונקציה אינטגרבילית במרחב המכפלה.
נניח ללא הגבלת הכלליות כי פונקציה ממשית ואי-שלילית (כי כל פונקציה ממשית היא הפרש של זוג פונקציות חיוביות, וכל פונקציה מרוכבת היא סכום של שתי פונקציות ממשיות).
נדון תחילה בפונקציות מציינות מהצורה עבור קבוצה מדידה , אז כפי שנובע מהחלק הקודם של ההוכחה מתקיים כי:
פונקציות פשוטות הן צירוף ליניארי של פונקציות מציינות, ולכן המשפט נובע גם לגביהן מידית מליניאריות אינטגרל לבג.
כעת, תוך שימוש במשפט ההתכנסות המונוטונית ובעובדה שכל פונקציה מדידה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות, קל להסיק את הטענה לכל פונקציה מדידה.
משפט פרובניוס בתורת החבורות, אומר שלכל מחלק של הסדר של חבורה , מספר האיברים בחבורה הפותרים את המשוואה מתחלק ב-.
המשפט נקרא ע"ש פרדיננד גאורג פרובניוס שהוכיח אותו בשנת 1895.
תהי G חבורה ויהי מחלק של הסדר .
נסמן ב את אוסף האיברים מסדר המחלק את .
נעזר בעובדה הבאה מתורת החבורות:
כל איבר מסדר , כאשר זרים, אפשר לפרק בצורה כאשר (למעשה אפשר לבחור את להיות חזקות של ).
למה: לכל n אם לא ריקה אז כאשר היא פונקציית אוילר.
בנוסף אם מהצורה כאשר ואם אז ריקה או ש .
הוכחה: נתבונן ביחס השקילות הבא: , כלומר הם יוצרים אותה תת-חבורה.
לכן מס' האיברים במחלקת השקילות של x הוא .
מקבלים ש איחוד של מחלקות שקילות של איברים מסדר n ונקבל ש .
נרשום את A בצורה הבאה: .
אם A אינה ריקה נקבל ש כאשר מסמן את המחלקה של .
כל אחת מהחלקות המשתתפות באיחוד מתחלקת ב .
ההוכחה באינדוקציה כפולה על .
נניח שהוכחנו לכל חבורה קטנה יותר ולכל מחלק גדול יותר של החבורה נראה נכונות עבור d,n: יהי .
מאינדוקציה נקבל כי ולכן מספיק להראות ש .
אם A ריקה זה ברור.
מהלמה ולכן מספיק להראות ש .
נרשום ומהעובדה שצוטטה לעיל נקבל שלכל x ב-A ישנם y,z כך ש .
נסמן ב את המרכז של a וב את מחלקת הצמידות של .
כיוון ש וכן נקבל ש והראנו שהאיחוד זר.
לכן מספיק להראות ש לכל a מסדר .
נשים לב שהעתקה היא התאמה חח"ע ועל ולכן .
ההתאמה היא התאמה חח"ע ועל מ ל .
כיוון ש-k<n נקבל מהנחת האינדוקציה ש ולכן .
ממשפט מסלול מייצב נקבל ש ולכן .
כיוון שגם וגם מחלקים את נקבל שגם הכפולה המשותפת המינימלית שלהם מחלקת את .
מכיוון ש נקבל ש וסיימנו.
1) משפט פרובניוס מאפשר להראות שחבורות רבות אינן פשוטות ואפילו לתאר את המבנה שלהם.
מסקנה 1: תהי G חבורה כך ש ו סדרה עולה.
נניח שכל תת חבורה p סילו היא ציקלית.
במקרה כזה תת-חבורת סילו היא נורמלית ב ובנוסף חבורה פתירה.
בפרט אם חופשית מריבועיים אז היא פתירה ותת חבורת סילו שלה היא נורמלית.
הוכחה: נוכיח באינדוקציה על ש עבור כך ש .
נניח שהראנו לכל מחלק מהצורה לעיל הגדול מ , ונוכיח כעת עבור .
יהי המחלק הראשוני הגדול ביותר של .
כיוון שחבורות סילו ציקליות, לא ריקה.
ממשפט פרובניוס קיים כך ש .
מהלמה בהוכחת משפט פרובניוס נקבל ש מהצורה של כל מחלק של הוא לפחות ולכן לכן ולכן .
קיבלנו לכן ש עבור d מהצורה הנ"ל.
בפרט עבור נקבל ש ונקבל שתת-חבורת ה סילו יחידה ולכן נורמלית.
מאינדוקציה , פתירות ונקבל את הדרוש.
ה"בפרט" נובע מכך שכל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית.
באופן דומה מוכיחים את המסקנה הנוספת הבאה:
מסקנה 2: לכל n קיימת חבורה בגודל n שאינה ציקלית אמ"מ .
2) על ידי חישוב בחבורות ספציפיות ניתן לקבל זהויות בתורת המספרים.
למשל לכל ראשוני p ולכל על ידי חישוב בחבורה הסימטרית ניתן להראות כי מתקיים:.
גרסה כללית יותר (הול 1959 משפט 9.1.1) היא שאם היא מחלקת צמידות עם איברים אזי מספר האיברים כך ש נמצא ב מתחלק ב .
פרובניוס שיער שאם ו אז , תת-חבורה נורמלית של .
ההשערה הוכחה בשנת 1991 תוך שימוש במשפט המיון לחבורות סופיות פשוטות לאחר עבודה רבה.
משפט פושעי המלחמה בחברובסק היו דיונים משפטיים שהתקיימו בין התאריכים 25–31 בדצמבר 1949, בעיר התעשייתית חברובסק (Хаба́ровск) בברית המועצות, העיר הגדולה ביותר במזרח הרחוק הרוסי (Дáльний Востóк) הסמוכה ליפן.
שם נשפטו שנים עשר מחברי צבא קוואנטונג היפני כפושעי מלחמה בגין ייצור ושימוש בנשק ביולוגי במהלך מלחמת העולם השנייה.
במהלך המשפטים, הנאשמים, כמו האלוף קיושי קוואשימה, העידו כי כבר בשנת 1941 כ-40 מחברי יחידת 731 השליכו מהאוויר פרעושים חולי דבר על צ'אנגדה.
פעולות אלה גרמו להתפרצויות מגפה.
כל שנים-עשר פושעי המלחמה הנאשמים נמצאו אשמים ונידונו לתקופות שנעו בין שנתיים לעשרים וחמש שנים במחנה עבודה.
בשנת 1956 שוחררו מי שעדיין ריצו את עונשם והוחזרו ליפן.
בשנת 1950 פרסמה ברית המועצות חומרים רשמיים הנוגעים למשפט באנגלית.
הספר נקרא "חומרים על משפטם של אנשי שירות לשעבר של הצבא היפני המואשמים בייצור והפעלת נשק בקטריולוגי".
הוא כלל מסמכים מהחקירה המקדימה (כתב האישום, כמה ראיות תיעודיות וחלק מתיעוד החקירה), עדויות של הנאשמים וגם מהעדים, תחינות אחרונות של הנאשמים, כמה ממצאי מומחה ונאומים של התובע והסנגור.
הספר, שהוצא לאור על ידי הוצאת שפות זרות, כבר לא יצא להדפסה, אך בנובמבר 2015 קבעה גוגל ספרים שהוא נמצא כעת ברשות הציבור ופרסמה פקסימיליה שלו ברשת ובנוסף הציעה אותו למכירה כספר אלקטרוני.
לדברי אחד המומחים לביו-אתיקה: למרות הנימה האידאולוגית החזקה שלו והחסרונות הברורים הרבים כמו היעדר שיתוף פעולה בינלאומי, המשפט קבע מעל לכל ספק סביר כי הצבא היפני הכין ופרס נשק בקטריולוגי וכי חוקרים יפנים ערכו ניסויים אכזריים בבני אדם חיים.
חלק מהכרכים כללו יותר מארבע מאות עמודים של תצהירים...
בניגוד למשפטי הראווה במוסקבה בשנות ה-30, ההודאות היפניות שהוגשו במשפט חברובסק התבססו על עובדה ולא על הפנטזיה של החוקרים.
האריס גם ציין את המסקנות המבעיתות שנחשפו במשפט, שקשר את הקיסר הירוהיטו לתוכנית הלחימה הביולוגית היפנית, וכן את הטענות כי ניסויי הלחימה הביולוגית היפנית נערכו גם בשבויי מלחמה של בעלות הברית.
אחד המומחים ששימש את התובעים הסובייטים במהלך המשפט, נ.
ז'וקוב-ורז'ניקוב, שימש מאוחר יותר בפאנל המדענים בראשותו של ג'וזף נידהם, שחקר את האשמות הסיניות והצפון קוריאניות על לוחמה ביולוגית במלחמת קוריאה, שנערכה על ידי ארצות הברית.
אלוף אוטוזו יאמאדה, לשעבר אלוף פיקוד צבא קוואנטונג
תת-אלוף קייג'יצוקה ריוג'י, לשעבר מנהל המינהל הרפואי
תת-אלוף טקהאשי טאקאאצו, לשעבר ראש השירות הווטרינרי
רס"ן אלוף קוואשימה קיושי, לשעבר ראש יחידת 731
רס"ן אלוף סאטו שונג'י, לשעבר ראש השירות הרפואי בצבא החמישי
סא"ל נישי טושיהידה, לשעבר מפקד חטיבה ביחידה 731
רס"ן קרסאווה טומיו, לשעבר מפקד מחלקה ביחידה 731
סמ"ר מיטומו קאזו, לשעבר חבר ביחידה 100
רס"ן אונאו מסאו, לשעבר ראש סניף של יחידת 731
סגן הירזאקורה זנסקו, חוקר לשעבר של יחידה 100
קורושימה יוג'י, לשעבר עובד במעבדה מסניף 162 של יחידה 731
קורפורל קיקוצ'י נורימיצו, לשעבר פקיד רפואי בסניף 643 ביחידה 731
באנליזה מתמטית, משפט פייר הוא משפט העוסק בקירוב במידה שווה של פונקציות רציפות על ידי פולינומים טריגונומטריים, הקרוי על שם המתמטיקאי ההונגרי־יהודי ליפוט פייר.
באנליזה מתמטית נודעת חשיבות רבה לקירוב במידה שווה של פונקציות כלליות על ידי פונקציות פשוטות יותר, לדוגמה פולינומים טריגונומטריים.
טור פורייה של פונקציה אינטגרבילית כלשהי אינו בהכרח מתכנס אל הפונקציה, אלא תחת הנחות נוספות (כדוגמת ליפשיציות מקומית).
למרות זאת, אנו יודעים שסיכום צזארו של טור יכול להניב לעיתים התכנסות גם במקרים בהם הטור המקורי איננו מתכנס.
גרעין פייר עוסק אפוא בסדרת ממוצעי צזארו של טור פורייה, וקובע כי הוא מתכנס במידה שווה לכל פונקציה רציפה.
תהי רציפה ומחזורית , ונסמן , כלומר הוא הקונבולוציה של עם גרעין פייר, ובניסוח מפורש:
או במילים אחרות, הוא סדרת הממוצעים החלקיים של טור פורייה.
אזי הסדרה מתכנסת במידה שווה אל בכל כאשר .
נתון כי רציפה ומחזורית , ולכן ניתן לראותה כרציפה על קטע סגור וסופי, כלומר קומפקטי.
וכעת, לפי משפט ויירשטראס חסומה, נסמן להיות חסם שלה, ולפי משפט קנטור רציפה במידה שווה, ולכן קיימת כך שלכל המקיימים מתקיים .
מתכונות גרעין פייר, קיים כך שלכל מתקיים: .
לבסוף נזכור כי גרעין פייר מקיים וכן לכל ולכל , וכעת לכל ולכל מתקיים: ולכן , כמבוקש.
ההוכחה לעיל משתמשת בשלושת התכונות הייחודיות של גרעין פייר, ולכן תקפה לכל גרעין שמקיים אותן.
באופן כללי, נגדיר את (הטורוס מרדיוס ; כמובן שבחירת הרדיוס היא שרירותית), ותהי סדרת פונקציות אינטגרביליות בטורוס, אזי נאמר כי הסדרה היא גרעין טוב (או גרעין סכימה, באנגלית summability kernel) אם מתקיימות שלוש התכונות הבאות:
האינטגרל על הטורוס שווה ל־: .
נורמת חסומה במידה אחידה: קיים כך שלכל מתקיים .
המסה מתרכזת במרכז: לכל מתקיים .
אם גרעין טוב אזי ממשפט פייר נוכל להסיק כי לכל (פונקציה רציפה בטורוס) מתקיים במידה שווה.