tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
אזי מתקיים , כאשר אגף שמאל הוא סימן לז'נדר.
נחלק את איברי הקבוצה ב- עם שארית, ונקבל:
מן הלמה של גאוס נובע כי המספרים שווים לאיברים בסדר כלשהו.
נחסר את שתי המשוואות זו מזו ונקבל:
כאשר השורה האחרונה על-פי הלמה של גאוס.
הלמה של יונדה היא תוצאה יסודית בתורת הקטגוריות המראה כיצד אובייקט בקטגוריה נקבע לפי המורפיזמים ממנו לשאר האובייקטים בקטגוריה.
פונקטורים יציגים וניסוח לא פורמלי
תהא קטגוריה ויהא אובייקט ב-.
המוגדרת על ידי מגדירה פונקטור בין לבין הקטגוריה של קבוצות.
גרסה חלקית של הלמה של יונדה אומרת שכל המידע שיש על האובייקט נמצא בפונקטור .
בניסוח מדויק יותר, הטענה היא שההעתקה מהקטגוריה לקטגוריה של פונקטורים מ- לקטגורית הקבוצות היא שיכון (פונקטור מלא ונאמן), כלומר שההעתקה
היא חד חד ערכית ועל.
הניסוח המלא מאפשר להחליף את הפונקטור בפונקטור כללי.
תהא קטגוריה, יהא אובייקט של , ויהא פונקטור מ- לקטגורית הקבוצות.
הלמה של אוסגוד, שהוצגה על ידי ב-1899 היא למה באנליזה מרוכבת.
על פי הלמה, פונקציה רציפה של מספר משתנים מרוכבים שהיא הולומורפית בכל משתנה בנפרד, היא הולומורפית.
ניתן להשמיט את ההנחה שהפונקציה רציפה, אבל את הצורה הזו של הלמה קשה הרבה יותר להוכיח והיא ידועה כמשפט הרטוגס.
לתוצאה זו אין אנלוגיה במשתנים ממשיים.
אם נניח שהפונקציה היא רציפה וגזירה בכל נקודה בכל משתנה (כלומר, כל הנגזרות החלקיות קיימות בכל מקום), אז היא לא בהכרח גזירה.
למשל, דוגמה נגדית בשני ממדים ניתנת על ידי:
הפונקציה הזו רציפה, והגבול שלה בנקודה הוא .
אם נגדיר את הפונקציה בראשית הצירים , נקבל פונקציה רציפה בכל מקום ובעלת נגזרות חלקיות מוגדרות היטב ב ו בכל נקודה, כולל בראשית הצירים, אבל אינה גזירה בראשית הצירים.
בלגנדריום של טולקין, הֶלְם "יד־פטיש" (, משמעות ברוֹהִירִית: "קסדה") היה מלך רוֹהָן התשיעי.
הֶלְם נולד ברוֹהָן, ככל הנראה באֵדוֹרָס, בשנת 2691 לעידן השלישי, כבנם הבכור של גְרַם ואשתו, ששמה לא ידוע.
כשהיה בן 8 אביו ירש את הכס מאביו שלו, דֵאוֹר.
נולדו לו בינתיים שני בנים, הָלֵת והָמָה, ובת שלא ידוע שמה.
לאחר כ־13 שנות שלטון, ניגש אליו אדם בעל השפעה בשם פְרֵקָה, שהיה לו מדמם של בני דוּן והציע את ידו של בנו לביתו.
הֶלְם העליב אותו כשאמר: לאחר שפְרֵקָה קילל אותו, הֶלְם נתן לו אגרוף שגרם לו למות תוך זמן קצר.
לאחר מכן הוא הכריז על קרוביו של פְרֵקָה כאויבים, והם נמלטו מפרשיו מערבה.
כעבור 4 שנים רוֹהָן הותקפה ממזרח.
בני דוּן, ובראשם וּוּלְף בנו של פְרֵקָה, ראו בכך הזדמנות פז לנקום.
הם כינסו את אויבי גוֹנְדוֹר ורוֹהָן, חצו את האַיסֶן וירדו מאַיסֶנְגַרְד.
הרוֹהִירִים שלא נהרגו ולא נלקחו לעבדים ברחו לגאיות ההרים.
כעבור זמן קצר החל החורף הארוך, ממנו סבלו גם הרוֹהִירִים וגם אויביהם.
אחרי חג היוּל שרר במצולה רעב.
הָמָה הוביל את אנשיו לאסוף צידה, אבל הוא ואנשיו אבדו בשלג.
הֶלְם הפך לפראי ורזה מהצער ומהרעב, ורק הפחד ממנו הגן על אנשיו כמו חיילים רבים.
הוא נהג לצאת בבגדים לבנים, להתגנב אל אויביו, ואז הרג מהם אנשים רבים.
לפני שיצא לגיחה כזאת תקע בקרן גדולה, וכשהיה תוקע בה רבים מאויביו היו בורחים.
לאחר אחת מגיחותיו אל צבא האויב הוא לא חזר.
בבוקר בקעה קרן שמש, הראשונה אחרי זמן רב, ואנשיו ראו דמות לבנה עומדת על החומה.
זה היה הֶלְם, שמת מהקור, אך מרוב שהיה מאסיבי גופתו המשיכה לעמוד.
לאחר שהדפו את בני דוּן מרוֹהָן לקחו את גופתו לקבורה באֵדוֹרָס, ועל קברו פרחו פרחי סִימְבֶּלְמִינֶה רבים, עד שזה נראה כאילו קברו מכוסה בשלג.
דבר זה קרה בשנת 2759, מתישהו בין ינואר למרס.
על הֶלְם סופרו סיפורים שונים, בין אם בקרב הרוֹהִירִים ובין אם בקרב בני דוּן:
הרוֹהִירִים מספרים שרוח הרפאים שלו ממשיכה ללכת בקרב אויביהם ולהרוג אותם מפחד, ושקרנו עדיין נשמעת לפעמים במצולה הנקראת על שמו.
בני דוּן מספרים שאם לא היה לו מזון ראוי יותר, הוא אכל בשר אדם.
במתמטיקה, ובפרט בתורת המספרים, הלמה של בזו (במקורות מסוימים נקראת גם זהות בזו) קובעת שבהינתן זוג מספרים שלמים, המחלק המשותף המקסימלי שלהם ניתן לייצוג כצירוף ליניארי שלהם במקדמים שלמים.
ללמה זו חשיבות מכרעת בתורת המספרים והיא הבסיס לאלגוריתם אוקלידס.
בנוסף, ניתן להוכיח מספר משפטים בתורת המספרים באמצעות הלמה של בזו, בהם הלמה של אוקלידס ומשפט השאריות הסיני.
גרסה של הלמה לפולינומים הוכחה על-ידי המתמטיקאי הצרפתי אטיין בזו בשנת 1779.
בהינתן זוג מספרים שלמים קיימים זוג מקדמים שלמים כך ש-, כאשר הוא המחלק המשותף המקסימלי של ו-.
נבחן את המספרים a = 12 ו- b = 8. המחלק המשותף המקסימלי הוא .
נמצא זוג מקדמים שלמים כך ש .
אחד הפתרונות יהיה , , כי
במקרה שבו ניתן להגדיר ולקבל ש-.
במקרה שבו , אם הלמה של בזו מתקיימת עבור ו-, ניתן להראות כי:
משמע היא מתקיימת גם עבור ו-.
לכן, די להוכיח את הלמה במקרה שבו ו- שניהם חיוביים כדי להוכיח את הלמה בשלמותה.
הקבוצה היא בהכרח קבוצה לא ריקה מכיוון ש- ולכן .
היא תת-קבוצה של קבוצת המספרים הטבעיים.
מכיוון שקבוצת המספרים הטבעיים סדורה בסדר טוב, לכל תת-קבוצה לא ריקה שלה יש איבר קטן ביותר.
לכן, ל- קיים איבר קטן ביותר, נסמנו ב-.
כמו כן, מגדירים כך ש- (אלו בהכרח קיימים לפי הגדרת ).
די להוכיח כי כדי להוכיח את הלמה.
ראשית יש להוכיח כי .
בגלל תכונות החילוק של המספרים הטבעיים, בהכרח קיימים שלמים ואי-שליליים כך ש- ו-.
עם זאת, ו- מינימלי ב-, וזו סתירה.
עולה מכך ש- הוא מחלק משותף של ו-.
כעת, בהינתן חיובי כלשהו המקיים ו-, יש להוכיח כי .
באופן דומה, מכיוון ש- מתקיים ש-.
אם מספר שלם מחלק שני מספרים שלמים אחרים, הוא בהכרח מחלק את הסכום שלהם.
מתקבל אפוא כי הוא מחלק משותף של ו-, וכי כל מחלק משותף אחר של ו- מחלק בהכרח את .
מכל זאת נובע כי הוא המחלק המשותף המקסימלי של ו-, כלומר .
בעוד שהלמה של בזו מוכיחה כי המחלק המשותף המקסימלי של זוג מספרים ניתן לייצוג כצירוף ליניארי שלהם, היא אינה מספקת אלגוריתם כיצד למצוא צירוף ליניארי זה.
כדי למצוא את המחלק המשותף המקסימלי באופן יעיל, יש להשתמש באלגוריתם אוקלידס (או באלגוריתם אוקלידס המורחב) אשר מחפש את המחלק המשותף המקסימלי של זוג מספרים על-ידי בניית שרשרת של צירופים ליניאריים שלהם אשר מתכנסת למחלק המשותף המקסימלי בזמן סופי.
הלמה של בזו מבטיחה שאלגוריתם זה מתכנס.
בהינתן זוג מספרים שלמים , אלגוריתם אוקלידס מבוצע כדלקמן:
אם אחד או יותר מהם הוא אי-חיובי, ניתן למצוא את המחלק המשותף המקסימלי של ו- אשר זהה למחלק המשותף המקסימלי של ו-.
על כן, מניחים בלי הגבלת הכלליות כי .
אחרת, ניתן להראות כי .
מתוך כך , על כן ניתן לחזור על התהליך.
התהליך מסתיים לאחר צעדים סופיים כאשר .
ניתן להכליל את הלמה של בזו ליותר משני גורמים:
בהינתן מספר טבעי ו-, קיימים בהכרח כך ש:
הכללה זו נובעת בין היתר מהעובדה כי , על כן ניתן למצוא את מקדמי בזו ל- הרכיבים הראשונים ולאחר מכן למצוא את מקדמי בזו לכל הרכיבים.
באופן כללי, הלמה של בזו לא מתקיימת לכל חוג כללי.
כך למשל, הלמה לא מתקיימת בחוג הפולינומים במקדמים שלמים .
חוג שבו מתקיימת הלמה של בזו נקרא תחום בזו.
באופן פורמלי, חוג ייקרא תחום בזו אם ורק אם הוא מקיים את כל התנאים הבאים:
כלומר, כל אידיאל נוצר סופית ב- הוא בהכרח אידיאל ראשי.
דוגמאות לתחומי בזו הם כל תתי-החוגים של חוג המספרים הממשיים וחוג הפולינומים במשתנה אחד כאשר הוא שדה.
שני מספרים שלמים ייקראו מספרים זרים אם ורק אם .
מהלמה של בזו ניתן להסיק כי זוג מספרים הם מספרים זרים אם ורק אם קיימים זוג מקדמים שלמים כך ש-.
אם ו- זרים, לפי הלמה של בזו ניתן להרכיב את המספר על ידי צירוף ליניארי של ו-.
כעת יש להוכיח את הכיוון ההפוך.
מניחים כי קיימים כך ש-.
הוא מחלק משותף של ו-.
לכן כל שיש להוכיח הוא שהוא מחלק מקסימלי.
מגדירים מחלק משותף של ו-.
לכן הוא מחלק גם כל צירוף ליניארי שלהם, בפרט .
מכל זה, הוא מחלק מקסימלי של ו-, כלומר .
הלמה של אוקלידס קובעת שכאשר ישנם שלושה מספרים שלמים כך ש- ראשוני ו-, בהכרח מתקיים ש- או .
מאחר ש- ראשוני ו- מחלק את , מתקיים ש- או .
אם , אז לפי הגדרת המחלק המשותף המקסימלי, ובכך הסתיימה ההוכחה.
אם , לפי הלמה של בזו קיימים כך ש-.
מכפילים את שני האגפים ב- ומקבלי ש-.
שני האיברים משמאל מתחלקים ב-, לכן האיבר מימין מתחלק ב-.
הלם זיהומי הוא מצב רפואי שעלול להיות מסכן חיים המתרחש כאשר אלח דם, שהוא פגיעה באיברים או נזק בתגובה לזיהום, מוביל ללחץ דם נמוך ולאי-תקינות בחילוף החומרים התאי.
הלם זיהומי מוגדר כקבוצת משנה של אלח דם שבה הפרעות עמוקות במיוחד במחזור הדם, התאים ובחילוף החומרים קשורות לסיכון גבוה יותר לתמותה מאשר עם אלח דם בלבד.
ניתן לזהות קלינית חולים עם הלם זיהומי בכך שהם נדרשים לשימוש במכווצי כלי דם לשמירה על לחץ הדם.
הזיהום נגרם לרוב על ידי חיידקים, אך יכול להיגרם גם על ידי פטריות, וירוסים או טפילים.
הוא יכול להיות ממוקם בכל חלק בגוף, אך לרוב בריאות, במוח, בדרכי השתן, בעור או באיברי הבטן.
הוא יכול לגרום לתסמונת כשל רב-מערכתי ולמוות.
לרוב אנשים עם הלם זיהומי מטופלים ביחידות טיפול נמרץ.
אוכלוסיות מושפעות יותר כוללות ילדים, אנשים עם מערכת חיסונית מדוכאת וקשישים, מכיוון שמערכת החיסון שלהם אינה יכולה להתמודד עם זיהום ביעילות כמו זו של מבוגרים בריאים.
שיעור התמותה מהלם זיהומי הוא כ-25%–50%.
הלם זיהומי הוא תוצאה של תגובה מערכתית לזיהום או מסיבות זיהומיות מרובות.
הזיהומים שעלולים להוביל להלם זיהומי אם הם חמורים מספיק כוללים בין דלקת התוספתן, דלקת ריאות, זיהומים במחזור הדם, דיברטיקוליטיס, פיאלונפריטיס, דלקת קרום המוח, דלקת לבלב, דלקת חיתולית נמקית, MRSA.
על פי ההנחיות הנוכחיות, הדרישות לאבחון אלח דם הן "נוכחות (סבירה או מתועדת) של זיהום יחד עם ביטויים סיסטמיים של זיהום".
הדבר עשוי לבוא לידי ביטוי באמצעות:
טכיפנאה (קצב נשימה מהיר), המוגדרת כיותר מ-20 נשימות בדקה, אשר מסמלת היפר-ונטילציה
ספירת תאי דם לבנים נמוכה משמעותית
טכיקרדיה (קצב לב מהיר), מוגדר כקצב גדול מ-90 פעימות בדקה
שינוי בטמפרטורת הגוף: חום גוף גבוה או נמוך במיוחד
עדויות מתועדות לזיהום עשויות לכלול תרבית דם חיובית, סימנים של דלקת ריאות בצילום רנטגן של החזה, או עדויות רדיולוגיות או מעבדתיות אחרות לזיהום.
סימנים של תפקוד לקוי של איברים קיימים בהלם זיהומי, כולל אי ספיקת כליות, תפקוד לקוי של כבד, שינויים במצב הנפשי או רמות גבוהות חומצה לקטית.
הלם זיהומי מאובחן אם יש לחץ דם נמוך שאינו מגיב לטיפול.
משמעות הדבר היא שמתן נוזלים דרך הווריד לבדו אינו מספיק כדי לשמור על לחץ הדם של המטופל.
הטיפול מורכב בעיקר מהפעולות הבאות:
תרופות המעלות את לחץ הדם
תרופות המשפיעות על קצב הלב
במתמטיקה, הלמה של טייכמילר־טוקי (לפעמים נקראת רק הלמה של טוקי), על שם ג'ון טוקי ואוסוולד טייכמילר, היא למה הקובעת שלכל אוסף לא ריק ומאופיין־סופית יש איבר מקסימלי ביחס להכלה.
תחת מערכת האקסיומות של צרמלו־פרנקל לתורת הקבוצות, הלמה של טייכמילר-טוקי שקולה לאקסיומה של בחירה, ולכן גם שקולה למשפט הסדר הטוב, ללמה של צורן ולעקרון המקסימום של האוסדורף.
משפחה של קבוצות תקרא מאופיינת־סופית אם היא מקיימת את התכונות הבאות:
לכל קבוצה , כל תת-קבוצה סופית של שייכת ל .
אם עבור קבוצה , לכל תת־קבוצה סופית מתקיים , אז .
תהי קבוצה ותהי משפחה של תת־קבוצות של .
אם מאופיינת־סופית אזי עבור קבוצה , קיימת קבוצה מקסימלית ביחס להכלה כך ש .
באלגברה ליניארית, ניתן להשתמש בלמה כדי להוכיח את קיומו של בסיס לכל מרחב וקטורי.
נתבונן באוסף של קבוצות וקטורים בלתי תלויות ליניארית.
מכך ש־ משפחה מאופיינת סופית של תת־קבוצות של , קיימת קבוצה מקסימלית להכלה , אשר חייבת לפרוש את , ועל כן בסיס ל־.
גראף הלמוט ג'יימס פון מולטקה היה משפטן גרמני.
מראשי קשר העשרים ביולי לרציחת אדולף היטלר ופעיל במשך שנים רבות במסגרת ההתנגדות הגרמנית לנאציזם.
הגראף הלמוט ג'יימס פון מולטקה נולד בשנת 1907, באחוזת המשפחה "קרייזאו" במחוז שלזיה בפרוסיה.
מצד אביו היה נצר לשושלת מולטקה, שממנה יצאו הן מפקד הצבא הגרמני במלחמת פרוסיה צרפת, הלמוט פון מולטקה הזקן, והן רמטכ"ל הצבא הגרמני בשנים הראשונות של מלחמת העולם הראשונה, הלמוט פון מולטקה הצעיר.
אמו, דורותי לבית רוז-אינס, הייתה דרום-אפריקאית ממוצא אנגלי, שאביה סיר ג'יימס רוז-אינס שימש כשופט עליון בדרום אפריקה.
הוריו של פון מולטקה היו שייכים לדת המדע הנוצרי, ואביו של פון מולטקה היה אחד המתרגמים לגרמנית של ספרי הבסיס של הדת, "המדע והבריאות על פי כתבי הקודש".
בין 1927 ל-1929 למד מולטקה משפטים ומדע המדינה באוניברסיטת ברסלאו, באוניברסיטת וינה באוניברסיטת היידלברג ובאוניברסיטת פרידריך וילהלם של ברלין.
ב-1931 נישא לפרייה דייכמן, אותה פגש באוסטריה.
בתקופת לימודיו היה מעורב בארגון "קהילת העבודה של לוונברג" (Löwenberger Arbeitsgemeinschaften), בה מובטלים צעירים וחקלאים צעירים הופגשו עם סטודנטים, במטרה ללמוד זה מזה, ולדון בנושאים כאזרחות, חובות וזכויות אדם.
מולטקה הקדיש חלק מאחוזת המשפחה, קרייזאו, לפעילות חקלאית ברוח זו, דבר שלא נשא חן בעיני שכניו, בעלי האחוזות הגדולות בפרוסיה.
ב-1934 נבחן מולטקה בבחינות הגמר במשפטים, וב-1935 סירב לקבל משרה שיפוטית, משרה שהייתה מחייבת אותו להצטרף אל המפלגה הנאצית.
הוא החל לעסוק במשפטים באופן עצמאי בברלין, כעורך דין המתמחה במשפט בינלאומי.
הוא סייע ליהודים ולאויבים אחרים של המשטר הנאצי להגר.
במסגרת זו ביקר בבריטניה באופן תדיר, בין השנים 1935 ל-1938, והשלים את השכלתו המשפטית בלונדון ובאוקספורד.
עם פרוץ מלחמת העולם השנייה ופלישת גרמניה לפולין גויס מולטקה לשירות המודיעין הגרמני, האבווהר, בפיקודו של האדמירל וילהלם קנריס, כמומחה בדיני צבא ובמשפט בינלאומי פומבי.
קנריס היה ממתנגדיו החריפים של הנאציזם, והאבווהר שימש כבית גידול למתנגדי המשטר ולמרכז לקושרים כנגדו.
עבודתו של מולטקה עבור האבווהר הייתה בעיקרה איסוף תובנות מעיתוני חוץ, ומנספחים צבאיים זרים, וידיעות בעלות חשיבות צבאית ופוליטית, והעברתן לוורמאכט.
הוא שימש כמקשר בין מפקדת הוורמאכט, ה-OKW, ובין שירות החוץ הגרמני, וכן סיפק חוות דעת בשאלות של משפט המלחמה הבינלאומי.
במסגרת שירותו הצבאי, ומסעותיו בשטחים שכבשה גרמניה, צפה בזוועות המלחמה, ובמוראות הנאציזם.
הוא התעקש שעל גרמניה לשמור על חוקי המלחמה על פי אמנת ז'נבה, אך דעה זו הייתה קול בודד במשטר הנאצי.
מולטקה קיווה להביא לשינויים מקומיים ולשפר מעט את המצב במקומות בהם הייתה לו נגיעה.
באוקטובר 1941 כתב: "ברור כי יותר מאלף אנשים נרצחים בדרך זו בכל יום, ואלף גרמנים הופכים לרוצחים...
מה אומר כאשר אשאל: 'ומה עשית באותה העת?'".
באותו המכתב כתב: "מאז יום שבת יהודי ברלין נאספים.
הם נשלחים עם המטען המועט שהם יכולים לסחוב...
כיצד יכול אדם לדעת זאת, וללכת באופן חופשי?".
מולטקה קיווה כי לחוות דעתו המשפטיות תהיה השפעה לטובה על מהלכי הצבא, ובדעה זו תמכו ידידיו קנריס והגנרל האנס אוסטר.
במהלך הלחימה בחזית המזרחית טען מולטקה כי על גרמניה לדבוק בכללי אמנות ז'נבה ואמנות האג על הלוחמה ביבשה, על מנת לעמוד בחיובי המשפט הבינלאומי, ולעודד יחס שכנגד מצד הסובייטים שייטיב עם שבויי המלחמה הגרמנים.
דעה זו נדחתה בטענה שברית המועצות לא הצטרפה לאמנות אלו, ופלדמרשל וילהלם קייטל תיאר את אמנת ז'נבה כ"תוצר של רעיונות אבירות שחלף זמנם".
מולטקה המשיך בהתנגדותו למעשי הזוועה, ואיפשר מעבר של יהודים לארצות מבטחים נייטרליות, וכן כתב מסמכים המדגישים את האפקט הפסיכולוגי שחשו חיילים גרמנים שהשתתפו או צפו במעשי הזוועה כנגד היהודים וכנגד אחרים בחזית המזרח.
בשלב זה היה מולטקה מתנגד חריף, הן למלחמה, והן למשטר הנאצי עצמו.
הוא הצליח למנוע פעולות שתוכננו כגון הכרזה על כל הצרפתים שיילחמו לצד הבריטים בצפון אפריקה כבוגדים (מה שחייב הוצאתם להורג אם ייתפסו), וכן הזהיר מראש את שלטונות דנמרק על הכוונה לרצוח את היהודים שם, דבר שהביא להימלטות יהודים רבים, בעיקר במשט סירות מאורגן, מקופנהגן למלמו שוודיה.
מולטקה ניסה ליצור קשר ישיר עם המודיעין הבריטי, באמצעות קשרים עם ידידיו מזמן לימודיו באוקספורד.
בפעם הראשונה בלבלו אותו עם דודו, שהיה השגריר הגרמני לספרד, ובפעם השנייה דרשו "מעשים" ולא "דיבורים".
בשנת 1940 פגש מולטקה את הגראף פטר יורק פון וארטנבורג, אשר הגיע מרקע דומה, והשנים החלו בשיחות רעיוניות, והחלו לאסוף סביבם אנשים בעלי מחשבות דומות.
שלוש מהשיחות (שהתקיימו בשנים 1942–1943) נערכו באחוזתו של מולטקה "קרייזאו", אותה קיבל הלמוט פון מולטקה "הגדול" לאחר הניצחון על הצרפתים ב-1870, כאות תודה על שירותיו לאומה.
מכיוון שכך נקרא חוג האנשים שהחל נאסף סביב מולטקה "חוג קרייזאו".
החוג כלל, פרט לווארטנבורג ומולטקה, את המשפטן האנס פון האפטן, אחיו של ורנר פון האפטן שהיה שלישו של ראש קושרי העשרים ביולי, הגראף קלאוס שנק פון שטאופנברג, את ד"ר יוליוס לבר, פוליטיקאי סוציאל-דמוקרטי, את הדיפלומט ד"ר אדם פון טרוט צו זולץ, ואת איש הכמורה והפילוסוף, ד"ר אויגן גסטמייר.
"חוג קרייזאו" מעולם לא הגיע לשאלות מעשיות בנוגע להפלת המשטר הקיים, אלא עסק יותר בדמותו של המשטר הרצוי.
עם זאת, חלק מחברי החוג, כגון פון טרוט צו זולץ, מילאו תפקידי מפתח בקשר המתגבש.
מולטקה עצמו התנגד לרציחתו של היטלר.
הוא הזהיר כי אם זו תצליח יהפוך היטלר לקדוש מעונה, בעוד שאם זו תיכשל, היא תחשוף את המעורבים בה ולאחר המלחמה לא יהיו אלו בין בוני המדינה הדמוקרטית שתקום על חורבות הרייך השלישי.
בינואר 1944 נעצר מולטקה על ידי הגסטפו.
נודע לו כי הגסטפו מתכנן לעצור אדם בשם קיפ, שהסתבך בניסיון להעביר מכתבים לידידים בשווייץ באמצעות רופא שווייצרי שנכח במסיבת תה של חברי חוג סולף, אך למעשה היה סוכן של הגסטפו.
מולטקה הזהיר את קיפ מראש על מעצרו המתקרב, אך הגסטפו פעל במהירות, ועצר את כל המעורבים בעניין, ביניהם מולטקה.
חלקו של מולטקה בעניין היה שולי (קיפ עצמו ומעורבים נוספים הוצאו להורג), ההאשמות כנגדו לא היו חמורות, ונראה כי הוא עתיד להשתחרר, אולם אז הגיע כישלון קשר העשרים ביולי, ונחשף היקפן המלא של פעולותיו.
בינואר 1945 הובא מולטקה בפני "בית הדין העממי" הידוע לשמצה, בו ישב בדין השופט התליין רולנד פרייזלר.
פרייזלר, שלא יכל למצוא כנגדו אשמה של ממש, האשים אותו בבגידה, על בסיס השתתפותו בשיחות קרייזאו.
האנס לילייה, שנוכח במשפט, אומר כי משהגיע מולטקה להבנה כי דינו נחרץ, ניצל את הבמה להתקיף את פרייזלר ואת מוסד "בית הדין העממי".
בשניים ממכתביו לאשתו בתקופה זו, מתגאה מולטקה בכך שיוצא להורג בשל דעותיו, ולא בשל מעשיו, וכי "לא תוכניות, לא הכנות, אלא רוח האדם היא הנרדפת".
מולטקה טוען כי עמד בפני בית הדין כנוצרי, וכי הוא נאשם בכך שניהל, כאדם פרטי, שיחות עם שני כמרים על שאלות של אתיקה נוצרית.
הוא טען כי בכה לאחר שנגזר דינו, לא מיגון אלא מתחושה של תודה והכרה בנוכחות האל.
לבניו כתב כי מילא את חובתו.
מולטקה הוצא להורג ב-12 בינואר שנת 1945 בכלא פלצנזה בברלין.
מולטקה מוכר כיום כאחד האינטלקטואלים הבולטים בתנועת ההתנגדות להיטלר, וזכרו מונצח באופנים רבים, כדוגמה להתנגדות על בסיס מוסרי למשטר הנאצי.
יובל מאה השנים להולדתו אוזכר ב-11 במרץ 2007 בקתדרלת פרנץ בברלין, באירוע בו השתתפה קנצלר גרמניה אנגלה מרקל שדיברה על מולטקה כסמל ל"אומץ אירופי".
בשנת 1992 היה סרט תיעודי על חייו בשם "מצפון חסר מנוח" מועמד לפרס האוסקר.
פסלו של מולטקה מוצב ב"היכל ולהאלה", בו מוצבים פסליהם של גדולי האומה הגרמנית, וגיבורי תנועת ההתנגדות.
ב-1989 קיבל מולטקה, לאחר המוות, את "פרס האחים שול", על שם האנס שול וסופי שול שהוצאו להורג בשל התנגדותם למשטר במסגרת תנועת הוורד הלבן.
זהו פרס ספרותי המוענק לספרים המקדמים דמוקרטיה וזכויות אדם.
ב-2001 ייסד האגף הגרמני של החברה הבינלאומית לדיני מלחמה את פרס הלמוט ג'יימס פון מולטקה, המוענק לעבודות שיפוטיות מצוינות בתחום מדיניות הביטחון.
הלמה של צורן (Zorn's lemma) במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקבוצות, היא משפט שימושי העוסק בתכונה של קבוצות סדורות חלקית.
בין היתר, חשיבותו של המשפט באה לידי ביטוי בכך שהוא שקול לאקסיומת הבחירה, ומשתמשים בו לרוב על מנת להראות קיום של דבר מה בלי להראות דרך מפורשת לבנות אותו.
המשפט משמש, בין היתר, להוכיח שלכל מרחב וקטורי יש בסיס, שלכל חוג יש אידיאל מקסימלי, שלכל שדה יש סגור אלגברי, וכן להוכחת משפט טיכונוף בטופולוגיה, להוכחת גרסה אינסופית של משפט החתונה בקומבינטוריקה, ושימושים רבים נוספים.
המשפט קרוי על שם המתמטיקאי מקס צורן, שהשתמש בעקרון דומה ב-1935 כדי להוכיח טענה באלגברה.
קדמו לו בניסוח עקרונות מקסימום הנובעים מאקסיומת הבחירה ועקרון הסדר הטוב - פליקס האוסדורף ב-1907, קזימירייז קורטובסקי ב-1922 ו-רוברט לי מור ב-1932.
תהא קבוצה סדורה חלקית לא ריקה.
אם לכל שרשרת בתוכה (קבוצה חלקית ל-A שהצמצום של אליה הוא יחס סדר ליניארי) קיים חסם מלעיל ב-A, אז ב-A יש איבר מקסימלי.
הוכחת הלמה מעקרון המקסימום של האוסדורף
לפי עקרון המקסימום של האוסדורף (השקול לאקסיומת הבחירה) קיימת ב-A שרשרת מקסימלית C.
יהי a חסם מלעיל של C.
נוכיח כי a מקסימלי ב-A: נניח בשלילה ש-a איננו מקסימלי.
מהיותו של a חסם מלעיל של C אנו מקבלים כי לכל מתקיים .
מכאן, לכל מתקיים ולכן .
הקבוצה הנ"ל מהווה שרשרת ומאחר ו- אז אנו מקבלים ש-, כלומר שיש שרשרת גדולה מ-C וזאת בסתירה לכך ש-C היא שרשרת מקסימלית ב-A.
דוגמה לשימוש בלמה של צורן
נוכיח לדוגמה, תוך שימוש בלמה של צורן כי בכל חוג עם יחידה קיים אידיאל מקסימלי.
יהי R חוג עם יחידה, ותהי P קבוצת כל האידיאלים האמיתיים בR (כלומר, האידיאלים שאינם שווים לחוג R עצמו), סדורה על ידי יחס ההכלה.
P אינה ריקה שכן אידיאל האפס שייך לP.
כעת מבצע איבר היחידה את תפקידו החיוני בהוכחה: הוא אינו שייך לאף אידיאל בשרשרת (משום שכולם אידיאלים אמיתיים), ולכן גם אינו שייך ל-U -- מכאן שגם U אידיאל אמיתי.
לפי הלמה של צורן, יש ב-P איבר מקסימלי, שהוא אידיאל מקסימלי של החוג.
הוכחה זו אינה עובדת בחוגים ללא יחידה, ואכן ישנם חוגים כאלה ללא אידיאל מקסימלי (לדוגמה, בחוג הפולינומים השבריים אין אידיאל מקסימלי; עצמו הוא האידיאל המקסימלי היחיד של אותו חוג בתוספת יחידה, ).
בחשבון אינפיניטסימלי, הלמה של קנטור היא טענה שימושית הקובעת כי בחיתוך של סדרה יורדת של קטעים סגורים בישר הממשי, שהאורך שלהם שואף לאפס, יש נקודה יחידה.
זהו מקרה פרטי של משפט החיתוך של קנטור.
בניסוח אחר, הלמה אומרת כי אם שתי סדרות, עולה ויורדת, מתקרבות אחת אל השנייה מבלי לעבור אחת את השנייה, אך בצורה כזו שהמרחק ביניהן שואף לאפס, שתיהן מתכנסות לגבול משותף.
בעזרת הלמה אפשר להוכיח את משפט בולצאנו ויירשטראס ומשפט היינה בורל.
יהיו שתי סדרות כך שלכל טבעי -.
אם מתקיים אז קיים c יחיד כך שלכל טבעי ומתקיים .
תהא סדרה של קטעים סגורים , כך שלכל טבעי מתקיים .
אם סדרת אורכי הקטעים שואפת לאפס, כלומר , אזי קיימת נקודה יחידה ששייכת לכל אחד מהקטעים , כלומר , ומתקיים .
ראשית, נראה כי קיימת נקודה c המשותפת לכל הקטעים :
מתנאי המשפט נובע שלכל טבעי ולכן , ומכאן מונוטונית עולה ו- מונוטונית יורדת.
מכך ש- עולה נובע שלכל טבעי ולכן חסומה מלרע, ומכאן מתכנסת לאינפימום שלה, כלומר: .
באופן אנלוגי, מכך ש- יורדת נובע ש- מתכנסת לסופרימום שלה, כלומר: .
בנוסף, מהנתון ומאריתמטיקה של גבולות נקבל כי
נסמן , אז לכל מתקיים , כלומר .כעת נוכיח שהנקודה c יחידה:
תהי נקודה המקיימת לכל טבעי , אז לפי כלל הסנדוויץ' ולכן c יחידה.
מצאנו אם כך נקודה c יחידה המקיימת לכל , ולכן .
ללמה יש גרסה שלא כוללת דרישה להתכנסות של סדרת הקטעים.
במקרה זה קיימת נקודה c, לא בהכרח יחידה, המקיימת לכל , כלומר .
נגדיר לדוגמה , אז מהגדרת הסופרימום לכל מתקיים .
כמו כן, ניתן להוכיח שללכל האיבר הוא חסם מלעיל של , וכיוון שהסופרימום מוגדר כחסם מלעיל המינימלי של הקבוצה מתקיים .
מכאן לכל מתקיים , כלומר .
למת החיתוך של קנטור נכונה בכל מרחב מטרי שלם, בנוסח הבא: לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות במרחב, שהקוטר שלהן שואף לאפס, יש נקודה משותפת יחידה.
תכונה זו מאפיינת מרחבים מטריים שלמים.
תכונת החיתוך מתקיימת במרחב מטרי קומפקטי גם ללא התנאי על הקוטר השואף לאפס, אבל במרחב מטרי שלם שאינו קומפקטי התנאי הזה נחוץ (כפי שמראה סדרת הקרניים הימניות ).
בבדיקת השערות סטטיסטית, הלמה של ניימן-פירסון היא למה שפותחה על ידי הסטטיסטיקאים יז'י ניימן ואגון פירסון, והיא מצביעה על מבחן בין השערות פשוטות, אשר לו העוצמה הגדולה ביותר מבין כל המבחנים בעלי אותה רמת המובהקות (או נמוכה יותר).
במילים אחרות, היא מבטיחה את קיומו של מבחן שהוא טוב יותר מכל ה"מתחרים" שלו, ומציעה דרך לבנות אותו.
נתונים מדגם , פונקציית נראות התלויה בפרמטר , ושתי השערות פשוטות: השערת האפס, וההשערה החלופית, .
תחת תנאים אלה, מבחן יחס הנראות, שאזור הדחייה שלו הוא:
הוא המבחן בעל העוצמה הגדולה ביותר (Uniformly Most Powerful; UMP) מבין כל המבחנים ברמת מובהקות (כלומר, מתקיים , אם נכונה).
למעשה, פעמים רבות ניתן למצוא מבחן שקול (כלומר, בעל אותו אזור דחייה), שסטטיסטי המבחן שלו פשוט יותר – ראו דוגמה להלן.
נניח מודל סטטיסטי שבו הנתונים מתפלגים נורמלית עם שונות ידועה ותוחלת לא ידועה .
במילים אחרות, מבחן יחס הנראות שקול למבחן שבודק האם ממוצע המדגם גדול מערך קריטי, ולמבחן כזה יש עוצמה מקסימלית.
היתרון בהצגה זו היא שממוצע המדגם הוא סטטיסטי מבחן פשוט יותר לניתוח מאשר יחס הנראות עצמו.
בפרט, ניתן לחשב ממנו (בעזרת מעט טרנספורציות פשוטות) מבחן Z.
יהי אזור הדחייה אשר מוגדר על פי הלמה, כלומר:
ויהי מבחן אחר בעל אותה רמת מובהקות, שאזור הדחייה שלו, , שונה מ-,
ומתקיים , אם ההשערה נכונה.
נוסחת ההסתברות השלמה קובע כי לכל ,
ובפרט, אם , למבחנים רמת מובהקות זהה, ולכן,
המשפט מבקש להוכיח כי , אך מטענה (1) נובע כי לשם כך מספיק להוכיח כי
לשם הוכחת הטענה האחרונה, ניתן לשים לב כי מההנחה, בתוך מתקיים , ובפרט,
הלמוט דנטין היה שחקן ומפיק בקולנוע ההוליוודי.
ידוע בשל משחקו בתפקידי נאצים בסרטי האחים וורנר בשנות ה-40.
דנטין נולד בווינה, ונאלץ להימלט מאוסטריה לאחר סיפוחה לגרמניה, בשנת 1936. הוא הגיע לקליפורניה והופיע בתיאטרון בשם "פסאדינה פלייהאוז", שם התגלה על ידי צייד כישרונות של אולפני האחים וורנר.
הוא קיבל תפקידים זעירים בסרטי האחים וורנר, כאשר שיחק בשנת 1941 בסרט "הטייסת הבינלאומית" בו כיכב רונלד רייגן.
בסרט זה שיחק לראשונה בתפקידי הנאצים, שעליהם התבססה קריירת המשחק שלו במהלך מלחמת העולם השנייה.
בסרט "קזבלנקה" משנת 1942 שיחק מהגר בולגרי, יאן ברנדל, הנאלץ להמר הימור נואש בשולחן הרולטה, על מנת להשיג את הכסף הדרוש להימלט מקזבלנקה.
המהמר יודע שאם לא ישיג את הכסף, תיאלץ אשתו לשכב עם מפקד המשטרה המושחת קפיטן ריינו (קלוד ריינס).
שמו של דנטין לא הופיע בכותרות הסרט.
באותה שנה הופיע בתפקיד משנה בלהיט "גב' מיניבר", בו שיחק טייס לופטוופה שהופל, וכן בתפקיד קטן בגרסתו של הבמאי ארנסט לוביטש לקומדיה "להיות או לא להיות".
אחרי הופעות אלו קיבל הופעה בתפקיד ראשי בסרט "קצה החשיכה" (1942) דרמת מלחמה על רקע הכיבוש הנאצי בנורווגיה.
בסרט זה שיחק נאצי בשם קפיטן קניג.
לאחר מכן המשיך בתפקידי נאצים נוספים בסרטים כ"משימה למוסקבה" (1943) "המעבר למרסיי" (1944) ו"מלון ברלין" (1945).
הוא המשיך במשחק עד שנת 1958, ובין היתר הופיע בהפקות ענק כ"אלכסנדר הגדול" (1956) ו"מלחמה ושלום" (1956).
ב-1953 הופיע בסרט המוזיקלי "קרא לי מאדאם".
בשנת 1958 ניסה את כוחו בבימוי.
סרטו "סילונים רועמים", היה דרמת מלחמה שגרתית המתרחשת בבסיס חיל האוויר האמריקני.
ב-1965 שיחק בסרט המלחמה "מבצע חץ מקשת".
בשנת 1959 נישא לשחקנית ניקולא שנק, בת למשפחה בעלת רשת בתי קולנוע.
הוא קיבל תפקידי ניהול ברשת זו, וחדל מלשחק.
בשנת 1970 מונה למנהל החברה.
בשנת 1974 ניסה את כוחו בהפקה.
הוא הפיק שניים מסרטיו של הבמאי סם פקינפה - "הביאו לי את ראשו של אלפרדו גרסיה" (1974) ו"עילית הרוצחים" (1975).
בשנת 1975 ביים אף דרמת מתח בשם "הקשר של וילבי" בה סידני פואטייה משחק פעיל נגד האפרטהייד הנעזר במייקל קיין להימלט מן המשטרה החשאית של דרום אפריקה.
בסרטי פקינפה שאותם הפיק הופיע אף בתפקידי משנה.
בסרט "אלפרדו גרסייה" הוא משחק דמות בשם מקס, הנורית על ידי גיבור הסרט, השחקן וורן אואטס, כאשר היא שולחת את ידה אל כיס מעילה להוציא משם פתק, ואואטס סבור שהמדובר באקדח.
בשנת 1982 מת בביתו שבבוורלי הילס מהתקף לב.
במתמטיקה, הלמה של פאטו מקשרת באמצעות אי-שוויון בין הגבול התחתון של סדרת האינטגרלים (על פי לבג) של סדרת פונקציות ובין האינטגרל של הגבול התחתון של אותה סדרת פונקציות.
בכך היא מאפשרת לקבל מידע מתכונות ההתכנסות של סדרת הפונקציות על תכונות ההתכנסות של סדרת האינטגרלים שלהן.
הלמה נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר פאטו.
שימוש מיידי של הלמה הוא בהוכחת משפט ההתכנסות הנשלטת.
אם היא סדרה של פונקציות אי שליליות ומדידות, אז מתקיים אי השוויון הבא:
הוכחת הלמה מסתמכת על משפט ההתכנסות המונוטונית, העוסק בסדרה עולה של פונקציות מדידות ואי שליליות.
לצורך ההוכחה מגדירים סדרה חדשה של פונקציות, באמצעות הסדרה המקורית, כך שהסדרה החדשה עונה על תנאי משפט ההתכנסות המונוטונית.
מיד ברור כי זוהי סדרה עולה של פונקציות (שכן האינפימום נלקח על קבוצה הולכת וקטנה).
מכיוון שזו סדרה עולה, קיים לה גבול (אם מתירים לפונקציות לקבל גם אינסוף בתור ערך).
כמו כן מתקיימות שתי התכונות הבאות:
באמצעות שתי תכונות אלו ומשפט ההתכנסות המונוטונית מקבלים:
למת פאטו ההפוכה קובעת כי אם סדרת פונקציות מדידות וחסומות על ידי פונקציה אינטגרבילית, אז
כדי להוכיח זאת, יש להביט בסדרת הפונקציות האי שליליות , ולהפעיל את למת פאטו הרגילה:
בלמת פאטו לא תמיד מתקיים שוויון, ואפילו אפשר להגיע למצב של .
למשל - (כאשר הפונקציה המציינת).
בעזרת למת פאטו ולמת פאטו ההפוכה אפשר להוכיח את "ההפך" למשפט ההתכנסות המונוטונית - אם סדרה יורדת של פונקציות אי שליליות אינטגרביליות, אז .
אכן, אם נסמן , לפי למת פאטו - ; לפי למת פאטו ההפוכה - , וביחד:
במתמטיקה, הלמה של נקאימה היא למה טכנית חשובה באלגברה ובגאומטריה אלגברית, המתייחסת למודולים נוצרים סופית מעל חוג .
לפי הלמה, לכל מודול נוצר סופית ושונה מאפס, , כאשר אם הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג, השווה, על-פי ההגדרה, לחיתוך כל האידיאלים השמאליים המקסימליים של .
הטענה חשובה במיוחד כאשר חוג מקומי (אז J הוא האידיאל המקסימלי שלו), אבל יש לה שימושים רבים אחרים.
מן הלמה נובע, למשל, שכאשר נוצר סופית, לכל תת-מודול ; כלומר, המכפלה קטנה כל-כך, עד שלא ניתן להגיע ממנה ל- על ידי הוספת תת-מודול, אלא אם הוא שווה ל- כולו.
בשפה של אלומות קוהרנטיות ניתן לנסח את הלמה כך:
אז הנבט ב-, המסומן ב, הוא 0 אם ורק אם קיימת סביבה של כך ש-.
בגרסתה הכללית הלמה קובעת כי לכל מודול נוצר סופית מעל חוג ולכל אידיאל ב-, אם אז קיים שעבורו .
כלומר, ניתן למצוא איבר מיוחד כך שלכל מתקיים .
נניח כי הוא -מודול נוצר סופית השונה מ-.
מהלמה של צורן (שהיא ישימה רק מפני ש- נוצר סופית) נובע כי קיים תת-מודול מקסימלי (כלומר, אינו מוכל באף תת-מודול אמיתי של ).
מכך נובע כי הוא מודול פשוט, כלומר הוא אינו מכיל תת-מודולים לא-טריוויאליים, ולכן קיים אידיאל שמאלי מקסימלי ב- כך ש-.
הלמוט יאן היה אדריכל גרמני־אמריקאי.
תכנן מבנים בולטים רבים ברחבי העולם, בהם: מרכז סוני שבברלין ומרכז ג'יימס ר.
יאן נולד כבן למורה, בצירנדורף על יד נירנברג, בבוואריה שבגרמניה.
הוא רכש תואר ראשון באדריכלות באוניברסיטה הטכנית של מינכן (TUM) בשנים 1960–1965. לאחר מכן עבד לצדו של אדריכל מקומי במשך שנה, ואז עזב את גרמניה והיגר לארצות הברית.
יאן החל ללמוד לתואר מתקדם באדריכלות במכון הטכנולוגי של אילינוי (IIT), שם התחנך אצל מיס ון דר רוהה, אך עזב לאחר שנה, בשנת 1967 מבלי שהשלים את לימודיו, והצטרף למשרד האדריכלים "צ'.פ.
מרפי ושותפים" בשיקגו כעוזרו של האדריכל ג'ין סאמרס.
שש שנים לאחר מכן הוא קודם לתפקיד ניהולי ומונה לשותף במשרד.
בשנת 1981 שונה שם המשרד ל"מרפי/יאן".
בשנת 1985 נפטר צ'ארלס פרנסיס מרפי (נולד ב-1890), ויאן לקח את הפיקוד על משרד האדריכלים.
יצירתו המשמעותית הראשונה של יאן הייתה תכנון אצטדיון קמפר בקנזס סיטי שבמיזורי (נפתח ב־1974).
חלק מגגו של האצטדיון קרס בבוקר סוער במיוחד ביוני 1979; איש לא היה במקום ולכן לא היו נפגעים, אך האירוע עורר סערה גדולה.
עם זאת, אירוע קריסת הגג לא השפיע על הקריירה של יאן, שהמשיכה לנסוק.
יאן קנה לעצמו מוניטין של אדריכל מהשורה הראשונה עם השלמתו של מרכז מדינת אילינוי בשנת 1985 (נקרא כיום: מרכז ג'יימס ר.
יאן, שחילק את זמנו בין שיקגו, ניו יורק וברלין, נפטר ב-8 במאי 2021. הותיר אחריו אישה ובן.
יאן קטף מספר פרסים על עבודתו, בהם:
"האדריכל האמריקני החי המשפיע ביותר" (1991), ניתן על ידי המכון האמריקאי לאדריכלים (AIA).
"הישג יוצא דופן לאדריכל" (1993), מהאקדמיה האמריקאית לאמנות.
ניתן על ידי המכון האמריקאי לאדריכלים.
הלמוט אריך רוברט קונו גרנסהיים (Helmut Erich Robert Kuno Gernsheim 1 במרץ 1913 – 20 ביולי 1995) היה היסטוריון של הצילום, וכן צלם ואספן.
לגרנסהיים מיוחס גילוי התצלום הראשון בהיסטוריה, "נוף מחלון בלה גרא", שצילם ניספור נייפס בסביבות שנת 1827.
אביו ושני אחיו של גרנסהיים היו היסטוריונים, האב היסטוריון של הספרות, והאחים, האחד היסטוריון של האמנות והשני היסטוריון של הכלכלה.
אף על פי שנמשך ללימודי ההיסטוריה של האמנות מגיל צעיר, החל גרנסהיים ללמוד צילום ב-1934 בבית הספר לצילום של מדינת בוואריה, במינכן, שהיה מוסד טכני ומקצועי.
לעומת הוראת הצילום הנסיוני בבאוהאוס, בית ספר זה עסק בעיקר בהכשרת תלמידיו בכל תחומי הצילום המעשי, מצילום סטודיו ופורטרטורה, ועד לצילום תעשייתי ומדעי.
את הגישה הטכנית שרכש בבית הספר יישם גרנסהיים בעבודותיו ובמחקריו המאוחרים בצילום.
בבית הספר למד גם היסטוריה של האמנות ושל האדריכלות, ולמד שיטות הדפסה מתקדמות, בהן גם הדפסת תצלומי צבע בשיטת יובכרום (Uvachrome).
לקראת סוף לימודיו החל לעבוד בחברת יובכרום בצילום רפרודוקציות.
גרנסהיים כמעט ולא נחשף לעבודות אוונגרד שנעשו בצילום בזמן לימודיו, משום שלאחר עליית הנאצים לשלטון והנהגת המשטר הטוטליטארי בגרמניה, מרבית אמני האוונגרד עזבו את הארץ, ומורי הצילום שנותרו במדינה חששו להציג את עבודתם ה"דקדנטית" על פי התפיסה הנאצית.
רק מאוחר יותר בקריירה שלו, בסביבות שנות החמישים, הבין גרנסהיים את התרומה העצומה שהייתה לגרמניה בהתפתחות הצילום בשנות ה-20 וה-30 של המאה.
ב-1937 הוזמן על ידי ידיד להציג לראשונה כמה מתצלומיו בתערוכה העולמית של פריז (1937).
גרנסהיים היה יהודי למחצה מחד, צעיר לפני גיוס מאידך, ומטרת הנסיעה לפריז הייתה לאפשר לו לצאת מגרמניה במסווה של נסיעה רשמית.
לאחר התערוכה עבר לאנגליה, והתמקם בלונדון, עם משרה שקיבל ממעסיקיו לשעבר בחברת יובכרום, ליצור רפרודוקציות צבעוניות של יצירות אמנות בגלריה הלאומית.
באותה תקופה היו באנגליה צלמי צבע מקצועיים ספרים בלבד, ותצלומיו של גרנסהיים הופיעו בעלונים, במסעי פרסום ובמגזינים.
בסתיו 1937 הציג גרנסהיים את תערוכתו הראשונה בלונדון, בגלריה של אחיו בכיכר סטנפורד: תצלומי נוף, אדריכלות, פורטרטים, דוממים ותצלומי תקריב של פרחים.
כעבור שנה הציג בגלריה תערוכה שנייה, של תמונות שחור-לבן שצילם ברחבי אנגליה.
המגזין Photography הקדיש כפולת עמודים לסקירת עבודתו.
במהלך מלחמת העולם השנייה איבד גרנסהיים את אזרחותו הגרמנית, משום שסירב לחזור לארץ המולדת שלו, והפך לחסר זהות לאומית.
למרות זאת, בבריטניה נחשב לזר ממדינת אויב, נכלא לזמן מה במחנה מעצר ולבסוף גורש לאוסטרליה.
במחנה מעצר שם למד על ההיסטוריה של הצילום דרך ספרים שרכש, ושימש כצלם המחנה.
בספטמבר 1941 שוחרר ממעצר בזכות כישורי הצילום שלו, כדי לחזור ללונדון ולתעד בה, עבור "הרשות לתיעוד מבנים לאומיים" (National Buildings Record) מונומנטים היסטוריים שהיו בסכנת הרס בשל ההפצצות על העיר.
עבודה זו נחשבה ל"בעלת חשיבות למאמץ המלחמתי", וזיכתה אותו באישור כניסה לאנגליה.
את העבודה ביצע תחת חסות מכון וורבורג של אוניברסיטת לונדון, שנטל חלק בפרויקט התיעוד.
גרנסהיים צילם במשך שישה חודשים מונומטים רבים באזור לונדון, מכנסיית וסטמיניסטר וקתדרלת סנט פול ועד לבית מגורי ראש ממשלת אנגליה ברחוב דאונינג.
חלק מהאתרים היו מלאי שקי חול לשם הגנה, וחלונות רבים היו כבר מנופצים.
כמה מחפצי הערך והפסלים פונו מהם והועברו למקומות מסתור כאמצעי ביטחון.
ב-1944 תפסו תצלומיו של גרנסהיים נתח נכבד מהתערוכה של רשות "תיעוד המבנים הלאומיים" שנערכה בגלריה הלאומית.
ברישומי המידע על התערוכות בגלריה הלאומית של אנגליה זוהי תערוכת היחיד הגדולה ביותר שנערכה לצלם.
גרנסהיים הציג גם מספר תערוכות ב"צ'רצ'יל קלאב" ותערוכת יחיד גדולה ב"אגודת הצילום המלכותית" ב-1948. בנוסף, פרסם מתצלומיו בעיתונים רבים, והוציא לאור שני ספרים: Architecture and Sculpture ב-1949 ואת Beautiful London ב-1950. הוא שם לו למטרה בכתביו לשנות את תפיסת הצילום המיושנת והשמרנית שאפיינה, לדעתו, את הצילום הבריטי.
במהלך מלחמת העולם השנייה פגש גרנסהיים את אליסון איימס, שהתגרשה מבעלה ועברה לגור עמו.
הם התחתנו רק לאחר תום המלחמה, מאחר שבמהלכה נחשב לזר ממדינת אויב.
עד מותה ב-1969 עזרה אליסון גרנסהיים להלמוט במחקריו, בארגון ובקטלוג האוספים, והשתתפה בפרסום כמה ספרים על ההיסטוריה של הצילום.
לאחר שחתם על הוצאת ספרים על פרסום של מספר ספרי צילום נוספים (The Man Behind the Camera, Julia Margaret Cameron, Focus on Architecture ו-The History of Photography), החליט גרנסהיים לנטוש את קריירת הצילום המקצועי שלו ולהתמסר למחקר ולטיפוח אוסף התצלומים ההיסטוריים שלו.
אל אספנות הצילום הגיע בעקבות מפגש עם היסטוריון האמנות והאוצר המשפיע של מחלקת הצילום במוזיאון לאמנות מודרנית בניו יורק, באומונט ניוהול, ששירת באירופה כצלם בצבא ארצות הברית.
ניוהול מצא בו שותף לתפיסתו את ההיסטוריה של הצילום.
הוא שכנע את גרנסהיים לנטוש את רצונו לחנך מחדש את הבריטים בכל הנוגע לצילום, ולהקדיש את מרצו לאיסוף והצלה של פיסות היסטוריה של הצילום, שכה רבות מהן מצויות באנגליה ומושמדות מדי יום.
בראיון עמו סיפר גרנסהיים על פגישתם: בינואר 1945 החל גרנסהיים לתור את שוקי לונדון ואת חנויות הספרים המשומשים, יצר קשרים רבים וטווה רשת לאומית של ספקים שהיו שמחים להיפטר מחומרי הצילום אותם לא הצליחו למכור.
מאחר שביקש לפתח תחום מחקר חדש יחסית, התעקש גרנסהיים ליצור בעצמו את האוסף וספריית המחקר עליהם התבסס בכתיבתו.
אף על פי שחומרים היסטוריים רבים היו נגישים בספריות ובאגודות השונות, ההגבלות והעיכובים שבמוסדות אלו גרמו לאובדן זמן יקר ערך.
בשני העשורים הבאים ליקט אוסף עצום ששום אספן לא יוכל להשתוות לו.
ספרייתו כללה לבסוף כ-4,000 כרכים, עם ספרי אופטיקה וכימיה מהמאה ה-16, בהם מצא את ה"פרהיסטוריה של הצילום", ועד לספריו בני זמנו.
בין השאר החזיק בלמעלה ממאתיים הדפסות מעולות של הצלמת הוויקטוריאנית ג'וליה מרגרט קמרון, כולל כמה כרכים מספרו של אלפרד טניסון שאויר בתצלומיה.
חלק מהתצלומים נמצאו בחנות שבעליה התכוון להשתמש בתמונות לאריזה, מאחר שהודבקו על גבי לוח קשיח.
כמו כן מצא אלבום פרטי ובו 70 תצלומים שצולמו, לטענת בעל הספר, על ידי לואיס קרול.
לאחר מחקר ואיסוף פרסם את ספרו Lewis Carroll, photographer (1949), שהציג את תחביבו הרציני של הסופר המפורסם.
גרנסהיים יצר מספר נכבד של עבודות: יותר מעשרים מונוגרפיות שיצאו לאור, יותר מ-200 מאמרים ואין ספור תערוכות של עבודותיו ושל אוספיו.
דרך עבודתו הרבה היה גרנסהיים לאחד ממיסדי המחקר המודרני של הצילום.
הפרט הייחודי והחשוב ביותר באוספו של גרנסהיים הוא ההליוגרפיה "נוף מחלון בלה-גרא", שיצר ניספור נייפס ככל הנראה בשנת 1826 או 1827, ונחשבת לתצלום הראשון בהיסטוריה ששרד.
את התצלום, בגודל 16.5X20.5 ס"מ, הותיר נייפס באנגליה ב-1827, אצל מארחו, הבוטניקאי פרנסיס באואר (Bauer), לאחר שלא מצא ממנים ותומכים להמצאתו.
על גב התצלום רשם באואר: "הליוגרפיה.
תוצאות מוצלחות ראשונות שהושגו על ידי הפעולה הספונטנית של האור על ידי האדון נייפס משלון-סור-סון.
התמונה עברה ידיים רבות, הוצגה בתערוכה פומבית ב-1898 בטרם נשתכחה על ידי בעליה האחרונים ונעלמה.
התצלום, שנזנח במזוודה, התגלה מחדש באנגליה, ב-15 בפברואר 1952 על ידי הלמוט ואליסון גרנסהיים, שרכשו את התמונה עבור אוסף הצילום שלהם.
הלמוט גרנסהיים תיארך את הצילום ל-4 ביוני - 18 ביולי 1827.
גרנסהיים ניסה לצלם רפרודוקציה של התצלום הישן, שכן את התמונה לא ניתן היה להעתיק או לשכפל (היא נעשתה ללא כל נגטיב), אך גילה שהדבר כמעט בלתי אפשרי.
לוח המתכת הממורק, עליו צולמה התמונה, שיקף כבראי את המצלמה שהוצבה מולו.
העיתון "טיים" (Time), צוות מהגלריה הלאומית בלונדון ויועצים ממעבדת המחקר של קודאק (Kodak) ניסו אף הם ליצור רפרודוקציה דומה של התצלום המקורי אך ללא הצלחה.
התוצאה המרבית אליה הגיעו הייתה עדיין מעוותת ושונה במידה ניכרת מהמקור.
לפיכך החליט גרנסהיים לרטש בעצמו את תצלום הרפרודוקציה בעזרת צבעי מים, ואת התוצאה שקיבל תיאר בעצמו כ"דומה רק בקירוב למקור".
עם זאת, פרסם גרנסהיים את הרפרודוקציה המצוירת במאמרים ובספרים על תולדות הצילום שהוציא לאור, וציור/צילום זה שב והופיע כמעט בכל ספרי ההיסטוריה של הצילום מאז .
בשנת 1963 מכר גרנסהיים את האוסף שלו למרכז למחקר במדעי-הרוח על-שם הארי רנסום באוניברסיטת טקסס ועבר לגור בשווייץ.
מרכז רנסום, אשר מחזיק גם בבעלות על ההליוגרפיה "נוף מחלון בלה-גרא", כפוף להסכם עם גרנסהיים, שלפיו אין לספק כל רפרודוקציה אחרת של ההליוגרפיה של נייפס מלבד ציור-המים הנזכר לעיל.
גרנסהיים פרש מהחיים המקצועיים אך לא הפסיק לתרום באופן פעיל ביותר לעולם הצילום.
הלמוט גרנסהיים נפטר ב-20 ביולי 1995.
הלמה של שפרנר עוסקת בצביעות של משולשים והוכחה על ידי המתמטיקאי הגרמני עמנואל שפרנר ב-1928.
בהינתן טריאנגולציה של משולש למשולשים יותר קטנים, נניח כי קיימת תלת צביעה של
קודקודי הטריאנגולציה בשלושה צבעים כך ששלושת קודקודי המשולש הגדול צבועים בצבעים שונים וגם כל קודקוד פנימי צבוע באחד משני הצבעים בהם צבועים קודקודי המשולש הגדול שנמצאים בקצות הצלע עליה מונח הקודקוד הפנימי, אז עבור לפחות אחד מהמשולשים הקטנים – קודקודיו צבועים בשלושה צבעים שונים.
נסמן את קדקודי המשולש הגדול ב ונדרוש שהקודקוד צבוע בצבע .
המשפט טוען שאם הקדקודים שעל צלע המשולש הגדול בין ל צבועים באחד משני הצבעים
, אז קיים משולש קטן "צבעוני" כלומר כל אחד מקודקודיו צבוע בצבע שונה.
קיימת הכללה של הלמה למימד טבעי כלשהו עבור צביעה של קודקודי טריאנגולציה של סימפלקס ממדי.
במקרה כזה, צביעת שפרנר (Sperner's Coloring) מוגדרת כצביעה של קודקודי טריאנגולציה מסוימת של הסימפלקס ה ממדי, כך ש
נקודות השייכות לפאות החיצוניות של הסימפלקס צבועות בצבעים שונים.
כלומר, אם הסימפלקס הוא קמור (convex hull) של הנקודות , ניתן לומר שהצבע של הוא
נקודות השייכות לתת סימפלקס מממד , כלומר נקודות הנמצאות בתת-סימפלקס שהוא הקמור של חלק מן הנקודות , נאמר צבוע אך ורק על ידי הצבעים (זה האנלוג הרב ממדי לדרישה במימד 3 שכל נקודה הנמצאת באמצע צלע חיצונית צבועה בהתאם לאחד משני הקצוות).
במקרה כזה, קובעת למת שפרנר שמספר הסימפלקסים שצבועים בכל הצבעים (multicolored) הוא אי זוגי.
נסמן ב את מספר המשולשים הקטנים הצבעוניים.
נוכיח ש אי־זוגי ובפרט אינו 0.
נסתכל על קבוצת המשולשים הקטנים הכולל גם את המשולש המשלים של המשולש הגדול כאשר פורסים אותו על ספירה וקדקודיו הם , נכנה שני משולשים מקבוצה זו "חברים" אם הם שכנים (כלומר עם צלע משותפת) וקודקודיהם המשותפים צבועים בשני הצבעים .
לכל משולש "צבעוני" (מלבד המשולש המשלים) יש חבר אחד ויחיד, למשולשים שצבועים בצבעים יש שני חברים, ולכל השאר (מלבד אולי המשולש המשלים) – אין "חברים" כלל.
בפרט מבין המשולשים הקטנים רק ל"צבעוניים" יש מספר אי זוגי של חברים.
למשולש המשלים יש מספר אי זוגי של "חברים" כי לאורך הצלע בין ל הצבע מתחלף מספר אי זוגי של פעמים וכל פעם כזו מוסיפה חבר.
סכום מספר החברים של כל המשולשים הוא זוגי כי כל יחס "חברות" נספר פעמיים.
הלֶמה של סקרף (Scarf's Lemma) היא אחת מהתוצאות היסודיות בתחום קומבינטוריקה.
בארבעת העשורים האחרונים היא שימשה כנקודת מפתח בפתרון בעיות קומבינטורית השואפות למציאת פתרון יציב.
יהי ו מטריצה של מספרים ממשיים כך ש־לכל .
יהי וקטור חיובי כך שהקבוצה חסומה.
עבור חיובי כשלהוא כך ש־
2. לכל קיים כך ש־ לכל
את ההוכחה המלאה ללמה המבוססת על אלגוריתם Lemke-Howson ניתן למצוא במאמר המקורי של הרברט סקרף (H.
לא מזמן הוכח שהסיבוכיות החישובית של הלמה שייכת למחלקת הסיבוכיות PPAD.
הלמה משמשת הוכחה למספר בעיות "fractional stability type" להלן רשימה חלקית:
הלמה של קנסטר-קורטובסקי-מזורקביץ' היא משפט בסיסי בטופולוגיה של סימפלקסים, המאפשר להסיק, בתנאים מסוימים, שלכמה קבוצות סגורות יש נקודה משותפת.
את הלמה אפשר להוכיח מן הלמה של שפרנר, והיא מספקת הוכחה פשוטה יחסית למשפט נקודת השבת של בראואר.
תהיינה קבוצות סגורות, כך שכל פאה מכוסה על ידי איחוד הקבוצות (ובפרט הסיפלקס כולו מכוסה על ידי איחוד כל הקבוצות).
אז לקבוצות יש נקודה משותפת.
לדוגמה, בממד n=1 הטענה היא שאם שתי קבוצות סגורות מכסות (יחד) קטע, באופן שכל אחת מהן מכסה אחד מקצותיו, אז יש להן נקודה משותפת; טענה זו שקולה לכך שהקטע הוא קבוצה קשירה.
בממד n=2, הטענה היא שאם שלוש קבוצות סגורות מכסות משולש באופן שכל אחת מהן מכסה את הקודקוד המתאים לה וכל שתיים מהן מכסות (יחד) את הצלע המתאימה להן, אז יש להן נקודה משותפת, וכן הלאה.
נניח בשלילה שתנאי הלמה מתקיימים וחיתוך הקבוצות ריק.
מן ההנחות נובע ש- היא כיסוי פתוח של הסימפלקס, שהוא קבוצה קומפקטית.
לכן יש לו מספר לבג (ע"ש).
נסתכל בחלוקה סימפליציאלית של , שקוטרו של כל סימפלקס בה קטן מ-.
על החלוקה הזו נגדיר פונקציית קודקודים , באופן הבא: אם קודקוד בחלוקה, אז על-פי תנאי הכיסוי יש כך ש- , ואז נגדיר ; בפרט לכל קודקוד של החלוקה.
פונקציה זו מקיימת את תנאי הלמה של שפרנר, ולכן קיים בחלוקה הסימפליציאלית סימפלקס , כך שלכל אינדקס מתקיים .
לפי בחירת , קיים כך ש , אבל אז , וזו סתירה למסקנה ש-.
הלמוט (הלל) הירש היה משורר וצייר יהודי גרמני, שהואשם בידי השלטון הנאצי בניסיון לרצוח את היטלר, והוצא להורג בעריפת ראשו.
הירש חי בגרמניה ללא אזרחות, בעקבות שלילת אזרחותו האמריקנית בסוף מלחמת העולם הראשונה.
בשנת 1935, בגיל 19, היגר לפראג בירת צ'כוסלובקיה, ונרשם ללימודים במכון הגרמני לטכנולוגיה שם, לאחר שחוקי נירנברג לא אפשרו לו לימודים בארצו.
סמוך להגעתו, הוא הצטרף לכוחות החזית השחורה , קבוצת מורדים גרמנים פורשי המפלגה הנאצית מתנגדי היטלר.
הירש היה מלא מרץ והנעה לפעול נגד גרמניה הנאצית.
ראשי החזית השחורה שכנעו אותו להטמין פצצה או פצצות במשרדים מרכזיים של התנועה הנאצית בגרמניה.
בכך הוא היה אמור לעורר את הגאווה היהודית בארצו ובעולם
התוכנית לא ברורה עד תומה, אך ממסמכים והפרסומים עולה, שהיה עליו לשוב מפראג לשטוטגרט עיר הולדתו, בתואנה שאמו שם חולה.
בחצי הדרך היה עליו לרדת בנירנברג, לקבל שתי מזוודות נפץ ולהטמין אותן במשרדי המפלגה הנאצית בעיר, ובמשרדי ההוצאה לאור של העיתון דר שטירמר.
ב-20 ביולי 1936 (ראש חודש אב ה'תרצ"ו) יצא לדרך, וסיפר למשפחתו שהוא נוסע לחופשת סקי.
הוא חצה את הגבול, כשסוכני הגסטפו עוקבים אחריו, בעקבות הלשנה (כפי שעולה מהעדות במשפטו) ונפגש עם הסוכן המפעיל שלו היינריך גרונוב (המכונה 'דוקטור ביר').
במקום לרדת בנירנברג המשיך לשטוטגרט, לצורך פגישה עם חבר, שלא הגיע לפגישה.
הוא ישן באותו הלילה בבית מלון, שם עצרו אותו סוכני הגסטאפו, למחרת בבוקר, ב-21 בדצמבר 1936 (ז' בטבת ה'תרצ"ז).
יש הטוענים שהחזית השחורה העדיפה את הפרסום העולמי בעניין, על פיצוץ הבניינים עצמם, והם אלו שהסגירו את הירש.
הירש עונה ונחקר בשטוטגרט, ואחר כך בכלא פלצנזה בברלין.
במרץ 1937 הוא נידון בחשאי בפני "בית הדין העממי", ובמשפט זה הודה בעובדות ועמד בתוקף על עמדותיו.
בין היתר נשאל אם היה רוצח את היטלר אם היה ניתן הדבר, והוא השיב בחיוב.
תשובתו זו גרמה לשמועות בעיתונות בעולם, שהיה מדובר בניסיון התנקשות בהיטלר, על אף שדבר זה לא תוכנן כלל.
בית משפט זה גזר את דינו למוות בעוון בגידה, והדבר פורסם בעיתונות וברדיו, ממנה למדו בני משפחתו לראשונה על הקורות את הירש.
בני המשפחה גייסו עורך דין בארצות הברית, שהצליח להשיג להירש את אזרחותו לאחר מאמצים רבים, כולל דחייה של הבקשה הראשונה והמתנה של חודש.
עם קבלת האזרחות ב-22 באפריל (י"א באייר), קונסול ארצות הברית פנה לדרגים בכירים בממשל הנאצי, אך ב-4 ביוני 1937 (כ"ה בסיון ה'תרצ"ז) הוא הוצא להורג בעריפת ראש בגיליוטינה, וגופתו נשרפה.
לפני לידתו של הלמוט, אביו, זיגפריד, היגר לארצות הברית במשך 10 שנים, התאזרח והתחתן שם, וחזר לגרמניה, לצורך עבודה, עם כוונה לחזור לארצות הברית.
הוריו רשמו את הלמוט, שנולד בגרמניה, כאזרח ארצות הברית בקונסוליה בעירם, אך בהמשך, עם כניסת ארצות הברית למלחמת העולם הראשונה לצידה של בריטניה, הדרכון שלו ושל בני משפחתו נשלל, ולא חודש.
מכיוון שכך, הם חיו כאזרחים חסרי נתינות בגרמניה.
עוד קודם לכן, סבו של הלמוט, שלמה (סלומון), היגר לארצות הברית, התאזרח שם ב-1877 ונישא.
אך שלמה הירש חזר לבוואריה באותה שנה עם משפחתו, ואביו של הלמוט זיגמונד נולד בגרמניה ב-1878 (ה'תרל"ח).
בצעירותו ובנעוריו הלמוט היה מופנם מאוד אך יצירתי, והחל בכתיבת שירה וציור עוד בגיל מוקדם.
בגיל 15, ב-1931 הצטרף לתנועת הצופים הגרמנית, היוגנדשאפט - שם הפך חברתי ופעיל פוליטית.
אחותו קתי (כיום שוגרמן) שרדה את המלחמה, היגרה לארצות הברית והקימה מצג לזכרו בספריית ברנדייס, הכולל את איוריו ושיריו, קורות חייו - פרשת מזוודות הנפץ המשפט ומותו, וכן עדויות ועיתונות מהתקופה לגבי הפרשה.
תקציר מן המצג הועלה למרשתת.
הלמוט ויידלינג היה גנרל בוורמאכט, המפקד האחרון של ברלין במלחמת העולם השנייה.
חתם על כתב הכניעה בסיום הקרב על ברלין.
ויידלינג הצטרף לצבא הקיסרות הגרמנית ב-1911, ולחם בשורותיו במהלך מלחמת העולם הראשונה ביחידות ארטילריה.
לאחר המלחמה נשאר ויידלינג ברייכסווהר, ומילא בו תפקידי פיקוד ומטה.
ב-1 בספטמבר 1935 הועלה לדרגת אוברסט-לויטננט, ב-1 במרץ 1938 הועלה לדרגת אוברסט, וב-10 בנובמבר 1938 מונה למפקד רגימנט הארטילריה ה-56.
ב-1 בינואר 1942 מונה ויידלינג למפקד הדיוויזיה ה-86, שפעלה תחת פיקוד הארמייה התשיעית כחלק מהקורפוסים ה-6, ה-23, ה-27, ה-41, וה-46 לסירוגין, וב-15 בינואר 1942 קיבל על פעולותיו את עיטור צלב האבירים של צלב הברזל.
ב-1 בפברואר 1942 הועלה ויידלינג לדרגת גנרל מיור, וב-1 בינואר 1943 הועלה לדרגת גנרל לוטננט.
במהלך בקרב קורסק לחם ויידלינג עם הדיוויזיה שבפיקודו כחלק מההקורפוס ה-20 במסגרת הארמייה התשיעית, ולאחר מכן הועברה הדיוויזיה תחת פיקוד קורפוס הפאנצר ה-56 שפעל כחלק מהארמייה השנייה.
ב-15 באוקטובר 1943 מונה ויידלינג למפקד קורפוס הפאנצר ה-41 שהיה חלק מהארמייה התשיעית, וב-1 בינואר 1944 הועלה לדרגת גנרל חיל התותחנים.
ב-22 בפברואר 1944 קיבל ויידלינג על פעולותיו בקרבות תוספת עלי אלון לעיטור צלב האבירים של צלב הברזל, ובמהלך מבצע בגרטיון ספג הקורפוס שבפיקודו אבדות כבדות והצליח לבלום את המתקפה הרוסית רק על נהר הוויסלה.
בין ה-28 ביוני ל-15 באוגוסט פיקד ויידלינג אף על הקורפוס ה-6, שהיה חלק מהארמייה הרביעית.
ב-28 בנובמבר 1944 קיבל ויידלינג על פעולותיו בקרבות תוספת חרבות לעיטור צלב האבירים של צלב הברזל.
ב-12 באפריל 1945 הוא מונה למפקד קורפוס הפאנצר ה-56 שהיה חלק מהארמייה התשיעית בפיקודו של גנרל תאודור בוסה.
הארמייה הזאת הייתה חלק מקבוצת ארמיות ויסלה בפיקודו של גנרל גוטהרד היינריצי שהצליחה להדוף את הרוסים ביום הראשון של הקרב על ברלין אבל אחר כך נאלצה לסגת.
ב-16 באפריל 1945 נפתח הקרב על ברלין.
ויידלינג היה מפקד קורפוס הפאנצר ה-56 שהיה חלק מהארמייה התשיעית בפיקודו של תאודור בוסה.
לאחר קרבות עזים נסוג ויידלינג כדי להימנע מכיתור.
באותו זמן פשטה שמועה שהוא העתיק את מפקדתו מדרום מזרח לברלין אל דבריץ מצפון לפוטסדם וממערב לברלין.
כאשר נודע הדבר לבוסה והיטלר הם הורו להדיחו לאלתר, להעמידו למשפט צבאי ולהוציאו להורג.
כשהודיע לו הנס קרבס על כך עזב ויידלינג את יחידתו ומיהר להפגש עם היטלר בפיהררבונקר.
הוא נפגש עם היטלר ב-22 באפריל 1945 והציג לפניו את פרטי הקרב הנכונים וכי נסוג 1–2 ק"מ בלבד כדי לא להיות מכותר והקורפוס שלו נמצא ממזרח לברלין ומגן עליה.
היטלר התרשם ממנו ולא רק שביטל את החלטתו להוציאו להורג אלא שמינה אותו למחרת, ב-23 באפריל 1945, למפקד העיר ברלין.
ויידלינג קבל בעל כרחו את התפקיד הבלתי אפשרי היות שידע שהמצב אבוד הוא השיב לקרבס שהודיע לו על המינוי: "חבל שלא הורית לירות בי, כך לא הייתי חייב לשתות מכוס התרעלה".
הוא קבע את מפקדתו בבנדלרבלוק.
ב-29 באפריל 1945 הגיע לישיבה בפיהררבונקר, אמר להיטלר שהקרב אבוד והציע להקצות כוחות שיאפשרו לו לפרוץ מהבונקר אך היטלר סירב ולמחרת התאבד ובעקבותיו גבלס וקרבס.
ויידלינג שהיה המפקד הבכיר ביותר בעיר החליט להיכנע.
הוא שלח תשדורת לרוסים על רצונו להיכנע.
לאחר שנענה חיובית הוא שלח את ראש מטהו פון דופינג שהציע כניעה של כבוד והפסקת אש מיידית.
לאחר מכן התמסר ויידלינג לרוסים, הובא למפקדתו של גנרל וסילי צ'ויקוב ברובע טמפלהוף וחתם על כתב הכניעה אור ליום 2 במאי 1945.
ויידלינג ופון דופינג הוטסו לברית המועצות ב-9 במאי 1945 כשבויי מלחמה והועברו לחקירות הנ.ק.וו.ד.
פון דופינג הוחזר לגרמניה ב-1955. ויידלינג הועמד ב-27 בפברואר 1952 בפני בית דין צבאי ונידון ל-25 שנות מאסר.
הוא מת ב-17 בנובמבר 1955 בבית כלא של הקג"ב בעיר ולדימיר מטרשת עורקי הלב.
דמותו של ויידלינג מגולמת בסרט "הנפילה" (2004).
בתורת הגרפים, הלמה של קניג היא למה הנותנת תנאי מספיק לכך שבגרף אינסופי יהיה מסלול אינסופי.
ללמה יש חשיבות גם בתורת הקבוצות, בלוגיקה מתמטית ובתורת ההוכחות, הזווית החישובית של הלמה נחקרת בתחום החישוביות.
היא נקראת על שמו של דנש קניג שהוכיח אותה בשנת 1927.
הלמה של קניג היא כלי חשוב בתורת הגרפים.
עץ אינסופי, שכל הדרגות בו סופיות, מכיל ענף (קרי, מסלול היוצא מהשורש) אינסופי.
באופן כללי יותר, יהא גרף קשיר עם אינסוף קדקודים, כך שדרגת כל קדקוד היא סופית (קרי, מכל קדקוד יוצאות מספר סופי של צלעות אל קדקודים אחרים).
אזי, מכילה מסלול פשוט (קרי, ללא מעגלים) באורך אינסופי.
יהא הגרף עם אינסוף קדקודים שיסומנו , כך שדרגת כל אחד מהם סופית.
מהקשירות של הגרף נובע שקיים מסלול פשוט ממנו לכל אחד מהקדקודים האחרים ב־, כל מסלול כזה עובר דרך אחד השכנים של ויש מספר סופי של שכנים כאלה, מסופיות הדרגה שלו.
קיים אם כן קדקוד שכן אחד שניתן להגיע ממנו אל אינסוף קדקודים שלא דרך , אחרת, נקבל שמכל אחד מהשכנים שלו ניתן להגיע למספר סופי של קדקודים ונקבל שיש מספר סופי של קדקודים בגרף, בסתירה להנחה שישנם אינסוף קדקודים.
נסמן את הקדקוד השכן שבחרנו .
ישנם כעת, מהבחירה, אינסוף קדקודים שיש מסלול פשוט ממנו אליהם שלא דרך .
כל מסלול כזה עובר דרך אחד השכנים שלו שהוא לא וכמו קודם קיים שכן אחד שממנו ניתן להגיע לאינסוף מקדקודי הגרף.
נמשיך כעת באותו אופן באינדוקציה מתמטית.
נקבל שבכל שלב מהנחת האינדוקציה יש שכן שממנו ניתן להגיע לאינסוף מקדקודי הגרף במסלול פשוט שלא עובר דרך הקודמים.
מהאינדוקציה נקבל שלכל מספר טבעי ניתן לבחור קדקוד כך שקיים מסלול פשוט בגרף באורך .
הסיבה הראשונית לניסיונו של דנש קניג להוכיח את הלמה הקרויה על שמו נובעת מניסיונות שונים של אביו, המתמטיקאי דיולה קניג, להפריך את השערת הרצף.
האב דיולה קניג השתמש במשפטי שקילות של פליקס ברנשטיין ונתן הוכחה למשפט קנטור-שרדר-ברנשטיין ללא אינדוקציה, מה שדחף את הבן דנש קניג ב־1908 לנסות לתת הוכחות חדשות למשפטיו של ברנשטיין ללא עקרון הסדר הטוב.
המאמר עצמו פורסם תשע שנים אחר־כך.
במאמר ניגש קניג להוכחתו של ברנשטיין מכיוון של תורת הגרפים במקום תורת הקבוצות וכך נתן הכללה שתוצאתו של ברנשטיין היא מקרה פרטי שלה.
במאמר זה זנח קניג לחלוטין את השפה של תורת הקבוצות ונתן הוכחה לתוצאה מקבילה של משפט ברנשטיין בגרפים.
ב־1926 פרסם קניג יחד עם סטפן ולקו בגיליון ה־95 של כתב העת Mathematische Annalen את המאמר Über mehrdeutige Abbildungen von Mengen הכולל את ההכללה של משפט ברנשטיין שלשמה הם נדרשו ללמה עצמה, ובמיוחד את המקרה הפרטי שלה בנוגע לעצים.
מעט לאחר מכן פרסם קניג לבד את המאמר Sur les correspondances multivoques des ensebles ובו חזר לשפת תורת הקבוצות כדי "לא להזדקק לשום אינטואיציה גאומטרית", אך גם, כפי שהתוודה מאוחר יותר, כדי להתאים עצמו לסגנון של כתב העת Fundamenta Mathematicae.
הלמה מופיעה במאמר זה בצורה הבאה: "תהא סדרה בת מנייה של קבוצות לא ריקות, ויהיה יחס כך שלכל איבר של כל קבוצה קיים לפחות איבר אחד בתוך כך ש־ לכל .
אזי אפשרי לבחור מכל איבר כך שמתקיים עבור סדרה אינסופית ".
ב־1927 פרסם קניג את המאמר Über eine Schlussweise aus dem Endlichen ins Unendliche ולראשונה הלמה עצמה הייתה הנושא המרכזי בו.
במאמר מופיעים שלושה נוסחים של הלמה — הראשון בנוסח תורת הקבוצות השאוב מהמאמר מ־1926, ושניים בלשון תורת הגרפים:
"אם קבוצה בת מנייה של נקודות של גרף אינסופי היא איחוד של מספר בן מנייה של קבוצות סופיות ולא ריקות כך שכל נקודה של ניתנת לחיבור לנקודה ב־ על ידי צלע, אזי קיים בגרף מסלול אינסופי שמכיל נקודה מכל קבוצה (ואין הכרח שהקבוצות תהיינה זרות)".