tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
תרומות נחקרו על ידי ז'וזף לואי לגראנז' במאמרו Réflexions sur la résolution algébrique des équations שנכתב ב-1770 שהוקדש לפתרון של משוואות אלגבריות, שחידש בתחום.
בסוף המאה ה-18, פאולו רופיני פיתח תאוריה בתורת החבורות שבה עסק בהקשר של משוואות אלגבריות.
במאה ה-19 התפתחה לראשונה האלגברה המופשטת.
בתחילה האלגברה המופשטת התרכזה במה שמכונה כיום תורת גלואה.
במאה ה-19 גם פותחה לראשונה המחשבה האקסיומטית באריתמטיקה ובאלגברה על ידי ג'ורג' פיקוק.
אוגוסטוס דה מורגן גילה תחום נוסף באלגברה האבסטרקטית בעבודתו Syllabus of a Proposed System of Logic.
ג'וסיה וילארד גיבס פיתח אלגברת הווקטורים במרחב התלת-ממדי, וארתור קיילי פיתח אלגברה של מטריצות.
במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקבוצות, אלגברה בּוּליאנית הוא מבנה אלגברי הקרוי על-שמו של המתמטיקאי האנגלי ג'ורג' בול (1815–1864).
זהו גם שמו של התחום "אלגברה בוליאנית" העוסק בחקר אלגברות בוליאניות.
כמבנה אלגברי, אלגברה בוליאנית היא אוסף של איברים, עם פעולות המקיימות אקסיומות מסוימות.
הדוגמה הטבעית למבנה הזה היא אוסף כל תת-הקבוצות של קבוצה כלשהי, עם פעולות החיתוך, האיחוד ופעולת המשלים; ובאופן דומה, הפעולות הלוגיות: וגם, או ושלילה.
כיוון שערכי אמת ניתנים לייצוג על ידי המספרים הבינאריים 0 ו-1, וכן על ידי רמות מתח במעגלים לוגים, הרי שגם מושגים אלו ניתנים לטיפול במסגרת האלגברה הבוליאנית.
לפיכך, לאלגברה בוליאנית שימושים רבים, הן בהנדסת חשמל, הן במדעי המחשב והן בלוגיקה מתמטית.
אלגברה בוליאנית נקראת גם סריג בוליאני.
ניתן לראות את הקשר עם תורת הסריגים באמצעות ההתייחסות ליחס ההכלה של קבוצות כיחס הסדר .
נתבונן למשל בסריג המכיל את כל תת-הקבוצות של הקבוצה .
קבוצה זו סדורה חלקית באמצעות יחס ההכלה.
בנוסף לכך, לכל זוג איברים, לדוגמה קיים חסם עליון (במקרה זה ) וחסם תחתון (במקרה זה ).
ניתן לראות בפעולות החסם העליון והתחתון את המקבילות של פעולות האיחוד והחיתוך בהתאמה.
ההתאמה בין אלגברות בוליאניות לחוגים בוליאניים היא איזומורפיזם של קטגוריות.
אלגברה בוליאנית היא קבוצה A ביחד עם 2 פעולות בינאריות (הנקראת וגם) ו- (הנקראת או) ופעולה אונארית המסומנת ב- (הנקראת שלילה).
בנוסף קיים ב-A קבוע המסומן ב-0 וקבוע המסומן ב-1, כך שהאקסיומות הבאות מתקיימות: לכל שלושה איברים a, b ו-c ב-A,
משמעות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות ואקסיומת הספיגה היא שהמבנה (A, , ) הוא סריג.
בסריג ניתן להוכיח שאם אחד מחוקי הדיסטריבוטיביות מתקיים אז גם השני מתקיים.
לפיכך, ניתן לומר שאלגברה בוליאנית היא פשוט סריג דיסטריבוטיבי עם השלמה.
מאקסיומות האלגברה הבוליאנית ניתן להוכיח כי האיבר הקטן ביותר 0, האיבר הגדול ביותר 1 וכן המשלים a¬ של איבר a כלשהו נקבעים בצורה יחידה.
בנוסף, ניתן להוכיח כי בכל אלגברה בוליאנית A, לכל a ו-b בA מתקיימות הזהויות הבאות:
| rowspan=2 | הסריג חסום
| 0 ו-1 משלימים הדדית
את הפעולות ניתן, כאמור, לפרש בשתי דרכים: מחד, אלו פעולות בין קבוצות, כאשר היא פעולת החיתוך, היא פעולת האיחוד, ו- היא פעולת המשלים.
מאידך, אלו פעולות לוגיות, כאשר היא הקשר 'וגם', היא הקשר 'או', ו- היא קשר השלילה.
במקרה הראשון 0 היא הקבוצה הריקה, ובמקרה השני – שקר.
לדוגמה, הטענה הלוגית לפיה לא ייתכן שגם a וגם שלילתה יהיו נכונות, , מקבילה לטענה בתורת הקבוצות לפיה החיתוך של A עם משלימתה שווה לקבוצה הריקה: .
האלגברה הטריוויאלית: המכילה איבר אחד בלבד.
זוהי האלגברה היחידה בה מתקיים .
לעיתים מניחים שהקבועים 0 ו-1 שונים זה מזה, ואז האלגברה בת האיבר האחד אינה נחשבת אלגברה בוליאנית.
הדוגמה הלא טריוויאלית הפשוטה ביותר היא האלגברה המכילה את האיברים 0 ו-1 בלבד.
הפעולות באלגברה זו מוגדרות באמצעות הכללים הבאים:
לאלגברה זו שימושים בלוגיקה, כאשר מפרשים את 0 ו-1 כערכי האמת של טענה, ואת ∧ כ"וגם", את ∨ כ"או" ואת ¬ כ"שלילה".
ביטויים המערבים מספר משתנים ופעולות בוליאניות מתארים טענות, וניתן להראות ששני ביטויים הם שקולים לוגית אם ורק אם ניתן להוכיח בעזרת האקסיומות לעיל כי הם שווים.
האלגברה הבוליאנית בת 2 האיברים משמשת גם לתכנון מעגלים בהנדסת חשמל.
במקרה זה 0 ו-1 מייצגים את 2 המצבים השונים של סיבית בודדת במעגל אלקטרוני דיגיטלי, בדרך כלל רמת מתח חשמלי נמוכה וגבוהה.
מעגלים מתוארים בעזרת ביטויים המכילים מספר משתנים, כאשר שני ביטויים שווים אחד לשני אם ורק אם למעגלים המתאימים יש אותה התנהגות פלט-קלט.
כמו כן, כל התנהגות קלט-פלט ניתנת לתיאור בעזרת ביטוי בוליאני.
לאלגברה הבוליאנית בת 2 האיברים יש גם שימוש חשוב בתורה הכללית של אלגבראות בוליאניות: זהות בוליאנית מתקיימת בכל האלגבראות הבוליאניות אם ורק אם היא מתקיימת באלגברה בת 2 האיברים (זאת משום שכל אלגברה בוליאנית היא מכפלה תת-ישרה של עותקים של האלגברה ).
זהויות באלגברה בת 2 האיברים ניתן לוודא בקלות בעזרת אלגוריתם כוח גס, ועל ידי כך קל לוודא האם הן מתקיימות בכל האלגבראות הבוליאניות.
כך לדוגמה, ניתן להראות באמצעות בדיקה עבור 0 ו-1 כי הזהויות הבאות מתקיימות בכל אלגברה בוליאנית:
אם מסתכלים על תחשיב הפסוקים עם κ פסוקים יסודיים, ויוצרים את האלגברה המתקבלת מהפעולות "או", "וגם" ו"שלילה", כאשר מזהים שני פסוקים כשווים אם ורק אם הם טאוטולוגים, מקבלים אלגברה בוליאנית.
זוהי למעשה האלגברה הבוליאנית החופשית עם κ יוצרים.
קבוצת החזקה (כלומר קבוצת כל תת-הקבוצות) של קבוצה לא ריקה S עם פעולות האיחוד החיתוך והמשלים ביחס ל-S היא אלגברה בוליאנית.
איבר ה-0 הוא הקבוצה הריקה והאיבר 1 הוא הקבוצה S.
קבוצת כל התת-קבוצות של קבוצה נתונה S שהן סופיות או קו-סופיות (כלומר משלימות של קבוצה סופית) היא אלגברה בוליאנית.
זוהי למעשה תת-אלגברה של האלגברה מהדוגמה הקודמת.
בהינתן מרחב טופולוגי X, אוסף תת-הקבוצות של X שהן גם פתוחות וגם סגורות מהווה אלגברה בוליאנית ביחס לפעולות האיחוד, החיתוך, והמשלים.
קבוצה פתוחה P היא רגולרית אם היא שווה לפנים של הסגור של עצמה; זה שקול לכך ש- כאשר הוא המשלים של הסגור של P (לפי משפט ה-14 של קורטובסקי, כל קבוצה A מקיימת ).
אוסף הקבוצות הפתוחות הרגולריות מהווה אלגברה בוליאנית, עם הפעולות ו-, והמשלים .
זוהי אלגברה בוליאנית שלמה, כלומר, לכל אוסף של איברים יש חסם תחתון וחסם עליון.
אם R הוא חוג כלשהו, אז קבוצת האידמפוטנטים המרכזיים של R היא אלגברה בוליאנית ביחס לפעולות e ∨ f := e + f − ef ו- e ∧ f := ef.
אלגברה בוליאנית כקבוצה סדורה חלקית
כמו כל סריג, אלגברה בוליאנית (A, , ) מגדירה סדר חלקי על A על ידי כך שמגדירים a ≤ b אם ורק אם (או תנאי השקול לכך – ).
קל להבין תנאי זה באלגברה הבוליאנית של קבוצת החזקה של קבוצה נתונה: באלגברה זו מתקיים a ≤ b אם ורק אם , או במילים אחרות אם ורק אם (באלגברה זו, כזכור, a ו-b הן תת-קבוצות של קבוצה נתונה S).
למעשה, ניתן להגדיר אלגברה בוליאנית כסריג דיסטריבוטיבי (A, ≤) (כאשר מתייחסים ל-A כקבוצה סדורה חלקית) עם איבר קטן ביותר 0 ואיבר גדול ביותר 1 כך שלכל איבר x קיים משלים x¬ כך ש
כאשר ו- מסמנים את האינפימום והסופרמום של שני איברים.
ניתן להשתמש בתכונות האלגבריות ותכונות הסדר של האלגברה לסירוגין, ובעזרתן "לייבא" לתורה של אלגבראות בוליאניות תוצאות מתורת הסדרים החלקיים ומאלגברה אוניברסלית.
האלגברה המתקבלת מהחלפה בין הפעולות ו- ומהחלפת האיברים 0 ו-1 זה בזה אף היא אלגברה בוליאנית.
יתר על כן, כל טענה אלגברית הנכונה באלגבראות בוליאניות ניתנת להתמרה לטענה דואלית על ידי החלפת ו- זה בזה והחלפה של הופעות של האיברים 0 ו-1 זה בזה.
טענה היא נכונה אם ורק אם הטענה הדואלית לה נכונה.
לדוגמה, הטענה הדואלית לטענה היא הטענה .
לפעולות של האלגברה הבוליאנית יש מספר סימונים מקובלים.
לעיתים הן מסומנות פשוט על ידי המילים האנגליות AND, OR ו-NOT.
בתיאור מעגלים דיגיטליים רווח השימוש גם בסימונים NOR, NAND ו-XOR.
מתמטיקאים, מהנדסים ומתכנתים נוהגים לעיתים קרובות להשתמש בסימון + בשביל OR, בסימון · בשביל AND, ובקו מעל הביטוי (מכונה לעיתים "גג") בשביל לסמן את שלילתו.
הומומורפיזם בין האלגבראות הבוליאניות A ו-B הוא פונקציה כך שלכל זוג איברים a ו-b בA מתקיים:
מתנאים אלו ומאקסיומות האלגברה הבוליאנית נובע כי, בנוסף, לכל a בA מתקיים:
אוסף כל האלגבראות הבוליאניות ביחד עם הומומורפיזמים מהווה קטגוריה.
הומומורפיזם בין אלגבראות נקרא "איזומורפיזם" אם הוא חד חד ערכי ועל, ובמקרה זה אומרים כי A ו-B איזומורפיות.
בהינתן אלגברה בוליאנית (A, , , ) ניתן להגדיר חוג (A, +, *) על ידי כך שמגדירים (פעולה זו נקראת הפרש סימטרי במקרה של קבוצות, או XOR במקרה של לוגיקה) ו-.
איבר ה-0 של החוג מתלכד עם איבר ה-0 של האלגברה הבוליאנית, ואיבר היחידה של החוג שווה לאיבר 1 באלגברה הבוליאנית.
בדרך זו מתקבל חוג A שמקיים שלכל x ב-A מתקיים .
חוג המקיים שוויון זה נקרא חוג בוליאני.
בחוג בוליאני, לכל a מתקיים ש-.
להפך, בהינתן חוג בוליאני A, נוכל להפוך את A לאלגברה בוליאנית על ידי כך שנגדיר , ו-.
מכיוון ששתי פעולות אלה הופכיות אחת של השנייה, הרי שנוכל לומר כי כל אלגברה בוליאנית נוצרת מחוג בוליאני, ולהפך.
יתר על כן, העתקה f בין אלגבראות בוליאניות היא הומומורפיזם של אלגבראות בוליאניות אם ורק אם היא הומומורפיזם של חוגים עבור החוגים הבוליאנים המתאימים.
במילים אחרות, הקטגוריה של אלגבראות בוליאניות שקולה לקטגוריה של חוגים בוליאניים.
אידיאל I באלגברה בוליאנית A הוא תת-קבוצה של A כך שלכל x ו-y ב-I מתקיים ש-, וכן לכל x ב-I ולכל a ב-A מתקיים ש-.
מושג זה מתלכד עם המושג אידיאל בתורת החוגים כאשר A מתייחסים אל A כאל חוג בוליאני.
אידיאל I השונה מ-A נקרא ראשוני אם כל פעם שמתקיים אז לפחות אחד מבין x ו-y שייך ל-I.
אידיאל I השונה מ-A נקרא מקסימלי אם A הוא האידיאל היחיד המכיל את I.
גם מושגים אלו מתלכדים עם המושגים המקבילים של אידיאל ראשוני ואידיאל מקסימלי מתורת החוגים.
המונח הדואלי למושג האידיאל נקרא מסנן (או פילטר).
לפיכך, תת-קבוצה F של אלגברה בוליאנית A נקראת מסנן אם לכל זוג x ו-y ב-F מתקיים ש ולכל x ב-F ולכל a ב-A מתקיים ש-.
איברים הם בלתי תלויים (או זרים) אם .
מידה אדיטיבית על אלגברה בוליאנית A היא פונקציה חיובית שעבורה, אם זרים, אז .
מידה -אדיטיבית, הנקראת בדרך כלל סתם מידה, היא פונקציה כזו, שעבורה אם זרים בזוגות, ו- הוא הסופרימום של הסדרה, אז .
כל מידה -אדיטיבית היא אדיטיבית.
מידה נקראת חיובית אם לכל .
אוסף האיברים בעלי מידה אפס תחת מידה הוא -אידיאל; משרה על אלגברת המנה מידה חיובית.
במובן זה, כל מידה אפשר להפוך למידה חיובית.
אלגברה בוליאנית נקראת שלמה אם לכל תת-קבוצה שלה, לאו דווקא סופית, יש חסם תחתון מקסימלי (אינפימום) וחסם עליון מינימלי.
המשמעות של השלמות היא שניתן להרחיב את הפעולות גם לקבוצות אינסופיות.
למשל, אלגברת כל תת-הקבוצות של קבוצה S היא שלמה, בעוד שהאלגברה הבוליאנית של כל תת-הקבוצות הסופיות או הקו-סופיות של קבוצה אינסופית איננה שלמה.
כל אלגברה בוליאנית ניתן להשלים באופן יחיד, עד כדי איזומורפיזם, לאלגברה בוליאנית שלמה, שנוצרת מתוך איברי האלגברה המקורית באמצעות הפעולות , כאשר אנו מתירים להן לפעול גם על קבוצות אינסופיות.
אלגברה בוליאנית היא -אלגברה אם לכל קבוצה בת מניה יש סופרימום.
אלגברה בוליאנית מקיימת את תנאי השרשרת בת-המניה (CCC) אם גודלה של קבוצה בלתי תלויה הוא בן-מניה לכל היותר.
תנאי זה שקול לכך שגודלה של שרשרת עולה סדורה היטב הוא בן-מניה לכל היותר.
אלגברה בוליאנית היא שלמה אם ורק אם היא -אלגברה המקיימת את תנאי השרשרת בת-המניה.
אלגברה בוליאנית שמוגדרת עליה מידה -אדיטיבית חיובית ומנורמלית (כלומר ) היא שלמה.
אלגברה בוליאנית שמוגדרת עליה מידה אדיטיבית חיובית ומנורמלת מקיימת את תנאי השרשרת בת-המניה.
נעיר כי אלגברה בוליאנית שלמה לא בהכרח מקיימת את כלל הדיסטריבוטיביות האינסופי:
אם היא מקיימת אותו היא תקרא דיסטריבוטיבית.
במקרים רבים היא מקיימת את הכלל עד כדי הגבלת העוצמה של A או של B.
במקרים האלו היא תקרא -דיסטריבוטיבית, בהתאם לעוצמות של A ושל B בהן הכלל עובד.
קיים קשר הדוק בין מידת הדיסטריבוטיביות של אלגברה בוליאנית שלמה לבין עוצמת הקבוצות אותן הכפייה שנעשית על ידי האלגברה מוסיפה.
כל אלגברה בוליאנית סופית איזומורפית לאלגברה של כל תת-הקבוצות של קבוצה סופית כלשהי.
בפרט, מספר האיברים באלגברה בוליאנית סופית הוא תמיד חזקה של שתיים.
עבור אלגברות אינסופיות, משפט הייצוג של סטון קובע כי כל אלגברה בוליאנית איזומורפית לאלגברה של קבוצות.
ספציפית, המשפט מראה כי היא איזומורפית לאלגברה של כל הקבוצות שהן גם סגורות וגם פתוחות במרחב טופולוגי כלשהו (שהוא האוסדורף קומפקטי בלתי קשיר לחלוטין).
איבר של אלגברה בוליאנית הוא אטום אם הוא אינו גדול מאף איבר חיובי אחר.
אלגברה בוליאנית היא אטומית אם כל איבר שלה גדול מאיזשהו אטום.
אלגברה בוליאנית איזומורפית לאלגברה מהצורה אם ורק אם היא שלמה ואטומית.
המונח "אלגברה בוליאנית" נקרא על שמו של המתמטיקאי האנגלי ג'ורג' בול (1815–1864).
המערכת האלגברית הלוגית שהוא ניסח ב-1854 במאמרו The Laws of Thought שונה מהמערכת שתוארה בערך זה במספר היבטים חשובים.
לדוגמה, בול לא התייחס לפעולות 'או" ו"וגם" כפעולות דואליות.
תחום האלגבראות הבוליאניות נולד בשנות ה-60 של המאה ה-19 במספר מאמרים שפרסמו ויליאם ג'בונס וצ'ארלס פאריס.
ב-1890 הגדיר לראשונה ארנסט שרודר את המושגים אלגברה בוליאנית וסריג דיסטריבוטיבי במאמרו Vorlesungen.
החיבור המקיף הראשון בנוגע לאלגברות בוליאניות שנכתב באנגלית הוא Universal Algebra שנכתב ב-1898 על ידי אלפרד נורת' וייטהד.
ההתייחסות לאלגבראות בוליאניות כמבנה אלגברי במובן האקסיומטי המודרני החלה ב-1904 במאמר של אדוארד ורמיל האנטינגטון.
אלג'יר היא עיר הבירה והעיר הגדולה ביותר של אלג'יריה.
העיר ממוקמת על חופו הדרומי של הים התיכון.
בשנת 2011, ההערכה היא כי בעיר מתגוררים 3,915,811 תושבים ובאזור המטרופוליטני התגוררו 7,896,000 תושבים.
אלג'יר נוסדה על ידי הפיניקים עוד בסביבות שנת 1200 לפנה"ס, אז כמוצב לצורכי מסחר, תחת השם "אי כוסים".
לאחר המלחמות הפוניות, בשנת 146 לפנה"ס המוצב נפל בידי הקיסרות הרומית.
תחת השם "איקוסיום" נוסדה על בסיס המבצר עיר, שהשתייכה לקיסרות.
בשנת 429 נכבשה על ידי הונדלים תחת פיקודו של גייסריק.
משנת 533 נשלטה על ידי האימפריה הביזנטית עד אשר ב-681 הוחרבה ונהרסה כליל על ידי כוחות ערבים חמושים.
בשנת 944 העיר הוקמה מחדש על ידי בוולגין איבן זירי - זוהי אלג'יר אשר קיימת עד היום.
ב-1159 אלג'יר נכבשה על ידי שושלת אלמוואחידון ובמאה ה-13 עברה לשליטת הסולטאנת של תלמסאן.
החל מהמאה ה-17, עת השתחררה אלג'יריה מהשלטון העות'מאני, הפכה העיר לביתם של שודדי ים ברברים, אשר פשטו על ציי הסחר של מדינות אירופה.
מטרת השוד הייתה בין היתר ציד מלחים לשם שעבודם כעבדים בשוקי העבדים של מדינות ערב והאימפריה העו'תמאנית.
האירופאים ניסו רבות לשים קץ לשלטון הפיראטי באלג'יר, אך לשווא.
באוקטובר 1541 ניסה הקיסר קרל החמישי, קיסר הקיסרות הרומית הקדושה ומלך ספרד, לכבוש את העיר, אולם נכשל בשל סופה שהטביעה את ספינותיו.
כך כשלו גם ניסיונות הכיבוש של הדנים ב-1770 והספרדים ב-1775.
ב-1816 הפגיז צי אוניות בריטי-הולנדי את העיר.
הצי אמנם לא הצליח לכבוש אותה, אך אילץ את הכוחות החמושים המקומיים לשחרר את העבדים הנוצרים.
לבסוף, ב-1830 נכבשה אלג'יר על ידי הצרפתים ששמה קץ לשוד הימי ולציד העבדים.
תחת שלטונם העיר התפתחה במהירות ועל פי ההערכות לקראת סוף המאה ה-19 כבר נספרו בה כמאה אלף תושבים.
עד למלחמת העולם השנייה הייתה אלג'יריה (ובתוכה אלג'יר) לקולוניה צרפתית.
במהלך המלחמה הפכה אלג'יר לחלק מצרפת של וישי, אשר בראשותו של אנרי פיליפ פטן, שיתפה פעולה עם גרמניה הנאצית.
ב-7 בנובמבר 1942, במסגרת מבצע לפיד פלשו לאלג'יר כוחות של צבא ארצות הברית, בריטניה ולוחמים צרפתים מהרזיסטנס.
לאחר מכן, עד סוף מלחמת העולם השנייה, שימשה אלג'יר כאחד המרכזים החשובים ביותר בצפון אפריקה.
בתום המלחמה חזרה אלג'יריה להיות קולוניה צרפתית.
ב-5 ביולי 1962 לאחר מאבקים אלימים רבים, בהם, על פי ההערכות, נהרגו כמיליון וחצי אלג'יראים, אלג'יריה זכתה בעצמאותה מצרפת, ואלג'יר הפכה לבירת המדינה החדשה.
העיר שימשה כבירת התרבות הערבית לשנת 2007.
העיר הישנה (או "אלג'יר עילית") - העיר הישנה נקראת גם "קסבה", ביטוי שהתייחד בתחילה למצודה שהוקמה בעיר במאה ה-16 בעת השלטון העות'מאני.
הרחובות הצרים והתלולים של אלג'יר עילית, או הקסבה, משתרעים על רצועה צרה בין המצודה לבין חוף הים, והפרש הגבהים בה מגיע ל-118 מטר.
הרחובות בחלקה העילי של הקסבה כה תלולים שרובם עשויים מגרמי מדרגות.
בתי הקסבה ערוכים סביב חצרות פנימיות רבועות שבמרכזן ניצבת בדרך כלל מזרקה או באר, ודירות המגורים ערוכות סביבן.
חלק מבתי הקסבה נמצאים בסכנת התמוטטות, דבר שאף קרה מדי פעם, ובשל הבנייה הצפופה והעובדה שהבתים מחוברים זה לזה, הציבה התמוטטותו של בנין גם את הבתים הסמוכים לו בסכנה.
מאז שנות השבעים של המאה ה-20 מתבצעים מחקרים ועבודות שימור בקסבה, ובשנת 1992 היא הוכרה כאתר מורשת עולמית.
העיר החדשה (או "אלג'יר תחתית") - חלק חדש של אלג'יר, אותו בנו הצרפתים, ושם מיקמו את מוסדות השלטון הקולוניאליים.
רחובות העיר החדשה רחבים וארוכים.
חלק זה של העיר נחשב ליוקרתי יותר.
"סאחת אל-שֻהדאא" - כיכר השהידים (ساحة الشهداء)
המסגד הגדול - "אל־ג'אמע אל־כביר" - (الجامع الكبير) - המסגד העתיק ביותר באלג'יר, נבנה בשנת 1018. המינרט של המסגד נבנה בשנת 1324 בידי הסולטאן טלמכן.
המסגד החדש - "אל־ג'אמע אל־ג'דיד" - (الجامع الجديد), נבנה במאה ה-17.
מסגד קטשואה "ג'אמע כּתשאוה" (جامع كتشاوة)
לאלג'יר שני נמלים - הנמל העתיק (הצפוני מבין השניים) והנמל החדש (הדרומי) שנבנה במפרץ אגחה.
לאלג'יר יש הסכמי ידידות עם:
אלג'ר היס היה פקיד במחלקת המדינה של ארצות הברית שהיה מעורב בהקמת האו"ם.
ב-1948 הוא הואשם באשמת ריגול לטובת ברית המועצות, והורשע במתן עדות שקר בנוגע לאשמה זו בשנת 1950. למרות שלאורך השנים הצטברו ראיות רבות בנוגע לפרשה, חפותו או אשמתו של היס שנויה במחלוקת גם כיום.
היס נולד בבולטימור שבמדינת מרילנד, למד בבית הספר התיכון של הקולג' של בולטימור, ובאוניברסיטת ג'ונס הופקינס, בה היה חבר באחוות "אלפא דלתא פי".
ב-1929 סיים את לימודי המשפטים בפקולטה למשפטים של אוניברסיטת הרווארד, והתמחה אצל פליקס פרנקפורטר, שהתמנה לימים לשופט בית המשפט העליון.
הוא עבד במשך שנה כפקיד של שופט בית המשפט העליון אוליבר ונדל הולמס.
במהלך אותה שנה נשא לאישה את פריסיליה הובסון, שעבדה לאחר נישואיהם בספריית הקונגרס.
ב-1933 עבר לשמש כפרקליט ממשלתי, במסגרת מדיניות הניו דיל של הנשיא פרנקלין דלאנו רוזוולט, והחל את דרכו במינהל החקלאות.
היס עבד עבור ועדת ניי שחקרה ותיעדה את הפקעת המחירים של קבלנים צבאיים בתקופת מלחמת העולם הראשונה, וכמו כן שירת תקופה קצרה במשרד המשפטים של ארצות הברית.
ב-1936 היס ואחיו דונלד החלו לעבוד במחלקת המדינה.
היס שימש כעוזר לפרנסיס ב.
סאייר, חתנו של וודרו וילסון, ולאחר מכן כעוזר של מזכיר המדינה אדוארד סטטיניוס הבן.
היס הגיע לתפקיד עוזר מיוחד למנהל המשרד לענייני המזרח הרחוק, וב-1944 התמנה לתפקיד עוזר מיוחד למנהל המשרד לעניינים פוליטיים מיוחדים - משרד שעסק בתכנון המדיניות שלאחר המלחמה עבור ארגון בינלאומי (OSPA).
בהמשך התמנה למנהל ה-OSPA, ובמסגרת תפקידו שימש כמזכיר ועידת דמברטון אוקס, שהשלימה את תוכניות הבסיס להקמת האו"ם.
ב-1945 היה היס חבר במשלחת האמריקנית לוועידת יאלטה, שם נפגשו רוזוולט, סטלין וצ'רצ'יל כדי לתאם את האסטרטגיה להבסת היטלר, שרטטו את מפת אירופה לאחר המלחמה, והמשיכו את התוכניות להקמת האו"ם.
תפקידו של היס ביאלטה היה מוגבל לעבודה על הקמת האו"ם, והוא הוביל את התנגדותה של ארצות הברית לדרישתו של סטלין כי לברית המועצות יינתנו 16 קולות באספה הכללית של האו"ם, עבור כל אחת מהרפובליקות הסובייטיות.
בזכות התנגדותו של היס הושגה פשרה לפיה קיבלה ברית המועצות שני קולות נוספים עבור בלארוס ואוקראינה בלבד.
התנגדות זו משמשת לביסוס הטענות לחפותו של היס.
היס היה יושב ראש הוועדה שניסחה את כתב האמנה של האו"ם בסן פרנסיסקו ב-1945. לאחר מכן הפך היס למנהל ה-OSPA.
ב-1946 הוא נטש את השירות הציבורי כדי לעמוד בראש קרן קרנגי לשלום עולמי, וכיהן כנשיאה עד 5 במאי 1949.
ב-1948 עורך הטיים מגזין, ויטאקר צ'יימברס האשים את אלג'ר היס בחברות במפלגה הקומוניסטית ובריגול.
על פי טענתו של צ'יימברס השתייך היס ל"קבוצת וור" - תא מחתרתי של קומוניסטים שנטען כי עסקו בריגול לטובת ברית המועצות.
בחודשים אוגוסט וספטמבר 1934 פגש היס את צ'יימברס ועל פי החשד החל לשלם דמי חבר למפלגה הקומוניסטית.
כמו כן טען צ'יימברס כי בשנת 1935 החל לשמש כבלדר שקישר בין היס לבין ה-גה-אר-או.
מפעילו של היס היה בוריס ביקוב - מרגל סובייטי שהתגורר בזהות בדויה בארצות הברית.
על היס הוטל לקחת לביתו תיקים למשך הלילה, להעתיק אותם ולהעבירם לצ'יימברס.
היס ותומכיו הצביעו לעובדה שבמשך עשור שנים לפני 1948 שב צ'יימברס והכחיש כי היס היה מרגל או קומוניסט.
במהלך משפטו של היס טען צ'יימברס כי בהזדמנויות אלה העיד עדויות שקר.
אלג'ר היס הופיע מרצונו בפני ועדת בית הנבחרים לפעילות אנטי אמריקאית כדי להפריך את טענותיו של צ'יימברס.
כמה מחברי הוועדה היססו תחילה לתקוף את היס, אך חבר הקונגרס ריצ'רד ניקסון, שפעל על פי מידע שקיבל באופן חשאי מה-FBI ומהכומר הקתולי ג'ון פרנסיס קרונין, לחץ על הוועדה להמשיך בחקירה.
כשהתבקש היס לזהות את צ'יימברס על פי תמונה הוא ציין כי פניו "ייתכן שנראים מוכרים", וביקש לראותו פנים אל פנים.
כשהתעמת עם צ'יימברס בנוכחות חברי הוועדה טען היס כי הכיר את צ'יימברס בשם "ג'ורג' קרוסלי", וכי נתן לו להתגורר בביתו כש"קרוסלי" נותר חסר כל בשנות השלושים.
במועד אחר הודה היס כי נתן ל"קרוסלי" מכונית ישנה שלו - מכונית שהגיעה בסוף דרכה לידי המפלגה הקומוניסטית.
מכיוון שעדותו של צ'יימברס ניתנה במסגרת שימוע של הקונגרס, היא הייתה חסינה מתביעת דיבה.
היס קרא לצ'יימברס לחזור על טענותיו בציבור מבלי שיהיו מוגנות בחסינות זו, וצ'יימברס מסר את גרסתו פעם נוספת בתוכנית הרדיו פגוש את העיתונות.
בעקבות השידור הגיש היס תביעת לשון הרע כנגד צ'יימברס, וזה הגיש להגנתו את "מסמכי בולטימור" - העתק של מסמכים ממשלתיים שקיבל לכאורה מהיס בשנות השלושים.
כמה ממסמכים אלה אכן היו מסמכים מסווגים, והצגתם בפומבי על ידי צ'יימברס פתחה פתח להעמדתו שלו ושל היס לדין באשמת עדות שקר, היות ששניהם הכחישו בפני הוועדה כל קשר למעשי ריגול.
צ'יימברס טען כי מסמכי הממשלה הודפסו מחדש על ידי אשתו של היס, פריסיליה, צולמו והועברו לידי רשת הריגול.
נקודה זו הייתה נקודת התורפה הראשונה בעדותו של צ'יימברס, מכיוון שלא הייתה סיבה להדפיס את המסמכים מחדש ורק לאחר מכן לצלמם, והקישור היחיד של היס למסמכי בולטימור נעשה באמצעות התאמת סוג מכונת הכתיבה בה הודפסו המסמכים לדגם שהיה מצוי בביתו.
גם לגבי התאמה זו התעוררה מחלוקת, ותומכיו של היס טוענים כי לא ייתכן שהמכונה שהוצגה כראייה במשפט היא המכונה מביתו של היס, שכן המספר הסידורי שלה ציין כי יוצרה לאחר תאריך הרכישה של המכונה של היס.
המשפט על עדות השקר וההרשעה
היס הואשם בשני סעיפים של עדות שקר.
חבר המושבעים הגדול לא הצליח להאשים אותו בריגול מכיוון שתקופת ההתיישנות על אישומים אלה כבר תמה.
משפטו הראשון של היס, שהחל ב-31 במאי 1949, כלל עדויות אופי רבות כמו של המועמד הדמוקרטי לנשיאות אדליי סטיבנסון, שופט בית המשפט העליון פליקס פרנקפורטר, והמועמד הדמוקרטי הקודם לנשיאות ג'ון וו.
משפט זה הסתיים באי הכרעה של חבר המושבעים ב-7 ביולי 1949, והוביל למשפט נוסף שהתנהל בין 17 בנובמבר 1949 ו-21 בינואר 1950. במשפט זה מצא חבר המושבעים את היס אשם בשני סעיפי האישום.
פסק הדין נידון בבית המשפט לערעורים ובבית המשפט העליון של ארצות הברית.
על היס נגזרו ב-25 בינואר 1950 5 שנות מאסר בפועל, והוא ריצה מתוכן 44 חודשים בכלא הפדרלי לואיסבורג, עד לשחרורו ב-27 בנובמבר 1954. המקרה העלה את החשש הציבורי מפני ריגול סובייטי וחדירה לשורות הממשל האמריקני.
אלג'ר היס היה יליד אמריקה, זכה לחינוך מהשורה הראשונה, והיה פקיד ממשלתי מקושר היטב.
ככזה, לא התאים מעולם לפרופיל המרגל הטיפוסי.
הפרסום שסביב המקרה נתפס כמי שתרם רבות לקריירה הפוליטית המוקדמת של ריצ'רד ניקסון, וסייע לו לעבור ב-1950 מבית הנבחרים לסנאט, ולאחר מכן להיבחר לסגן נשיא ארצות הברית ב-1952. היס המשיך לטעון לחפותו ונלחם כנגד הרשעתו בסעיף עדות השקר עד למותו ב-15 בנובמבר 1996.
לאחר התמוטטות ברית המועצות ב-1991, הגיש אלג'ר היס בקשה לגנרל דימיטרי אנטונוביץ' וולקוגונוב, שמונה ליועצו הפוליטי של הנשיא ילצין ולמפקח על הארכיונים המודיעיניים הסובייטים.
היס ביקש לשחרר כל חומר שיימצא בארכיונים בנוגע למקרה שלו.
גם ריצ'רד ניקסון, ומנהל הספרייה הנשיאותית שלו ג'ון טיילור הגישו בקשה דומה.
בסתיו 1992 התקבל הדו"ח הרוסי לפיו לא נמצאה כל ראיה לכך שאלג'ר היס היה מעורב אי פעם בריגול עבור ברית המועצות, או כי היה חבר המפלגה הקומוניסטית.
עם זאת, וולקוגונוב הודה כי הדו"ח הסתמך על עבודה שבוצעה במשך יומיים בלבד, ועל דיווחיהם של האחראים על ארכיוני ה-ק.ג.ב..
הוא הצהיר כי "מה שראיתי לא נתן לי בסיס לזיכוי מלא.
[פרקליטו] ג'ון לוונטל דחף אותי לומר דברים שלא הייתי משוכנע בהם לגמרי".
רב-אלוף ויטלי פאבלוב, שהיה אחראי לפעילויות המודיעיניות של ברית המועצות בצפון אמריקה בסוף שנות השלושים ובתחילת שנות הארבעים, תמך בזכרונותיו בדוח של וולקוגונוב, וטען כי היס מעולם לא היה סוכן של ברית המועצות.
במתמטיקה, אלגברה מעל חוג היא מודול מעל חוג חילופי ופעולה בינארית ("כפל") ביליניארית בין שני איברים שהופכת את המודול לחוג.
אלגברה היא מבנה אלגברי הכולל חוג ותת-חוג , כך ש- מוכל במרכז של .
הגדרה שקולה: כאשר חוג קומוטטיבי, חוג המהווה מודול מעל , ומקיים לכל וסקלר , נקרא "אלגברה מעל " (לעיתים גם " - אלגברה").
הדוגמה החשובה ביותר היא כאשר הוא שדה (ואז המודולים מעל הם מרחבים וקטוריים); מרחב וקטורי מעל שדה הוא אלגברה, אם מוגדרת בו פעולת כפל ההופכת אותו לחוג (עם יחידה).
במקרה כזה הממד של האלגברה הוא הממד שלה כמרחב וקטורי.
כפי שבאלגברה ליניארית נוח לחקור את המרחבים הווקטוריים מעל שדה קבוע ואת הקשרים ביניהם, כך האלגברה המודרנית עוסקת במידה רבה בחקר תכונות של האלגברות השונות מעל חוג בסיס קבוע, ואת הקשרים ביניהן.
בדומה להגדרה של חוג, האלגברה היא 'אסוציאטיבית' אם לכל .
לרוב כוללים את דרישת האסוציאטיביות בהגדרה של אלגברה, ואז מגדירים בנפרד מבנה כללי יותר, אלגברה לא אסוציאטיבית, ללא האקסיומה הזו; כך אנו נוהגים בוויקיפדיה.
מחברים אחרים אינם דורשים מאלגברה אסוציאטיביות, ואז משתמשים במונח 'אלגברה אסוציאטיבית' עבור אלגברות שכן מקיימות את תכונת האסוציאטיביות.
בלי קשר להנחת האסוציאטיביות, החוג הוא אלגברה מעל אם לכל .
נניח ש- נפרשת כמודול על ידי איברים .
אז כדי להגדיר את הכפל ב-, מספיק להגדיר את המכפלה (כאשר ).
הקבועים נקראים קבועי המבנה של .
אם הוא מודול חופשי (וזה תמיד כך אם שדה), אז אפשר לתרגם תכונות מסוימות של האלגברה (למשל: אסוציאטיביות) למשוואות על קבועי המבנה; כך אפשר לראות את כל האלגברות האסוציאטיביות מממד מעל שדה נתון כיריעה אלגברית מעל השדה.
כל חוג הוא אלגברה מעל או מנה סופית שלו.
אם הרחבה של שדות , אז הוא אלגברה מעל .
אוסף המטריצות הריבועיות בגודל מעל שדה (או חוג) מהוות אלגברה מעל , כשהמכפלה היא המכפלה הרגילה של מטריצות.
חוג הפולינומים הוא אלגברה מעל .
המרחב האוקלידי התלת-ממדי מהווה אלגברה מעל המספרים הממשיים כאשר המכפלה הווקטורית היא המכפלה.
כל תת קבוצה יוצרת את התת-אלגברה , שאבריה מתקבלים מאברי על ידי חיבור, חיסור, כפל, וכפל בסקלרים מ- (זוהי תת-האלגברה הקטנה ביותר של המכילה את ).
אם קיימת קבוצה סופית כך ש-, אז נוצרת סופית או אפינית.
כאשר אלגברה קומוטטיבית, אפשר לחקור את המבנה של האלגברה על ידי סיווג האיברים בהתאם לתכונות שלהם מעל .
כך איבר הוא 'אלגברי' אם הוא מקיים משוואה פולינומית עם מקדמים מ-, ו'אלגברי שלם' (או סתם 'שלם') אם הוא מקיים משוואה כזו שהמקדם המוביל שלה הוא .
איברים שאינם אלגבריים נקראים איברים טרנסצנדנטיים; הטרמינולוגיה הזו מכלילה את הדוגמה של המספרים המרוכבים כאלגברה מעל השלמים .
אם אלגברה מעל שכל איבריה שלמים, אומרים ש- היא הרחבה שלמה.
משפט: אלגברה אפינית שהיא שדה מוכרחה להיות אלגברית (ואז היא בעלת ממד סופי).
משפט הנורמליזציה של נתר קובע שאם אלגברה אפינית מעל שדה , אז קיימת תת-אלגברה של שהיא שלמה מעל , כך ש- טרנסצנדנטית מעליה (כלומר: האיברים היחידים של שהם אלגבריים מעל הם אברי עצמם).
מזה נובע שממד קרול של שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות שלה.
המרכז של חוג (אסוציאטיבי) פשוט (עם יחידה) הוא תמיד שדה, ואז אפשר לראות בו אלגברה מעל המרכז.
אלגברות פשוטות שהמרכז שלהן הוא שדה קבוע נקראות 'אלגברות פשוטות מרכזיות' מעל .
אם הממד סופי, האלגברה היא אלגברת מטריצות מעל אלגברת חילוק.
אם סגור אלגברית, אז אין אלגברות חילוק מממד סופי שזה מרכזן, למעט עצמו.
אם אלגברה ארטינית, אז (הרדיקל של ג'ייקובסון) הוא נילפוטנטי, וחוג המנה הוא אלגברה פשוטה למחצה, שאפשר לכתוב כסכום ישר של מספר סופי של אלגברות פשוטות.
כל אחת מאלה היא אלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק.
המשפט היסודי של ודרברן קובע שאם אלגברה מממד סופי מעל שדה מושלם (ובפרט, מעל שדה סגור אלגברית), אז יש ל- תת-אלגברה איזומורפית ל-, וקיים פירוק לסכום ישר של מרחבים וקטוריים (אבל לא של חוגים), .
אלגברה אלטרנטיבית היא אלגברה לא אסוציאטיבית (מעל שדה) שאבריה מקיימים את האקסיומות .
כל אלגברה אסוציאטיבית, ממנה נדרשת האקסיומה החזקה יותר , היא גם אלטרנטיבית.
כל אלגברה אלטרנטיבית היא אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית.
ליניאריזציה של האקסיומות מביאה למסקנה שהאסוציאטור מקיים את הזהות , ועל-כן נקרא שמן של אלגברות אלה "אלטרנטיביות" (בעברית, חילופיות).
במובן מסוים אקסיומת האלטרנטיביות אינה חלשה בהרבה מאסוציאטיביות: כל אלגברה אלטרנטיבית הנוצרת על ידי שני איברים היא אסוציאטיבית (משפט שהוכיח אמיל ארטין), ובפרט באלגברה אלטרנטיבית יש חזקה אסוציאטיבית.
כל אלגברה פשוטה אלטרנטיבית היא או אסוציאטיבית, או אלגברת אוקטוניונים.
אלגברות אלטרנטיביות מקיימות את הזהות הגמישה וגם את זהויות מופן (הימנית, האמצעית והשמאלית).
מאידך, באלגברה עם יחידה מספיקות הזהות הימנית והשמאלית כדי להוכיח אלטרנטיביות; ובאלגברה עם יחידה וחילוק (כל אופרטורי הכפל הפיכים) מספיקה הזהות הימנית או השמאלית.
בכל אלגברה אלטרנטיבית ממאפיין זר ל-6, החזקה הרביעית של כל קומוטטור שייכת לגרעין, והחזקה הרביעית של כל אסוציאטור שייכת למרכז.
אם ורק אם אם ורק אם .
אלגברה המקיימת את האקסיומה נקראת אלטרנטיבית מימין (ובדומה, אם מתקיימת האקסיומה השנייה, , האלגברה אלטרנטיבית משמאל).
במאפיין שאינו 2, כל אלגברה אלטרנטיבית מימין (או משמאל) היא אלגברה עם חזקות אסוציאטיביות.
בדרך כלל, אלגברה אלטרנטיבית מימין אינה בהכרח אלטרנטיבית משמאל, ולכן אינה אלטרנטיבית.
עם זאת, אלטרנטיביות חד-צדדית גוררת אלטרנטיביות עבור אלגברות פשוטות למחצה, וכן עבור אלגברות המקיימות את הזהות הגמישה .
רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה אלטרנטיבית מוגדר, כהכללה של המקרה האסוציאטיבי, בכמה דרכים מתלכדות.
זהו האידיאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר; חיתוך האידיאלים השמאליים המודולריים המקסימליים (אידיאל שמאלי הוא מודולרי אם הוא מכיל את כל האיברים מהצורה עבור מתאים; התנאי ריק בחוגים עם יחידה); וגם חיתוך הגרעינים של כל ההצגות האי-פריקות.
החוג הוא פרימיטיבי למחצה אם הרדיקל מתאפס.
כל חוג פרימיטיבי (כזה שיש בו אידיאל שמאלי מודולרי מקסימלי שאינו מכיל אף אידיאל דו-צדדי) הוא פרימיטיבי למחצה.
חוג פרימיטיבי למחצה הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פרימיטיביים, וכל חוג פרימיטיבי הוא או אסוציאטיבי, או אלגברת קיילי.
במקרים חשובים רבים, רדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי, ולכן מתלכד עם הרדיקל הראשוני: כך הדבר בכל חוג אלטרנטיבי ארטיני, בכל אלגברת PI נוצרת סופית (Shestakov, 1983), וגם באלגברה האלטרנטיבית החופשית אם זו נוצרת סופית או בעלת מאפיין 0.
הרדיקל הראשוני הוא האידיאל הראשוני-למחצה הקטן ביותר של החוג; זהו אידיאל נילי, שבדרך כלל אינו נילפוטנטי.
כאשר הרדיקל הזה מתאפס, החוג נקרא ראשוני-למחצה.
כל חוג אלטרנטיבי ראשוני-למחצה הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים ראשוניים, וכל חוג ראשוני במאפיין שונה מ-3 הוא או אסוציאטיבי, או תת-חוג מלא של אלגברת קיילי ( הוא תת-חוג מלא אם הוא מכיל בסיס של האלגברה מעל המרכז שלה).
התוצאה לגבי חוגים ראשוניים נכונה גם במאפיין 3, אם מניחים שרדיקל לויצקי מתאפס.
הרדיקל הפתיר של אלגברה אלטרנטיבית מממד סופי הוא האידיאל הנילי המקסימלי היחיד (ולכן שווה לרדיקל הנילי), והוא גם נילפוטנטי.
אלגברת המנה ביחס לרדיקל היא פשוטה למחצה.
בפרט, אלגברה אלטרנטיבית מממד סופי היא נילפוטנטית אם ורק אם היא נילית, אם ורק אם היא פתירה.
המשפט העיקרי של ודרברן חל על אלגברות אלטרנטיביות מממד סופי: אם אלגברה כזו ו- הרדיקל שלה, ואם המנה ספרבילית, אז אפשר לשכן את המנה ב- ויש פירוק לסכום ישר (של מרחבים וקטוריים), .
לכל אלגברה אלטרנטיבית מימין יש רדיקל נילי ; המנה היא אלטרנטיבית (בפרט, אלגברה אלטרנטיבית מימין ללא איברים נילפוטנטיים היא אלטרנטיבית).
אלגברה אלטרנטיבית מימין נילית מממד סופי היא פתירה, אבל לא בהכרח נילפוטנטית.
משפט (מקס צורן): כל אלגברה אלטרנטיבית פשוטה היא או אסוציאטיבית, או אלגברת קיילי מממד 8 (אלגבראות קיילי הן הכללה של האוקטוניונים).
אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית מעל שדה היא מכפלה ישרה של אלגבראות אלטרנטיביות פשוטות, שהמרכזים שלהן ספרביליים מעל .
בהכללה למשפט הקטן של ודרברן, אלגברה אלטרנטיבית סופית עם חילוק היא שדה.
הרחבת סקלרים של אלגברה אלטרנטיבית , כלומר, אלגברה מהצורה כאשר הרחבת שדות, גם היא אלטרנטיבית.
אם אידמפוטנט (כלומר, איבר המקיים את השוויון ), אז האלגברה מתפרקת לסכום , כאשר (ולכן ).
זהו פירוק פירס (Peirce decomposition) של האלגברה.
הכפל בין מרכיבים מקיים אם , ו- אם ו-.
אלו תכונות דומות למקרה האסוציאטיבי, פרט להבדל אחד: שם מתקיים אם .
רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה אלטרנטיבית עם שלושה יוצרים, שווה לאפס.
במקרה הכללי, הרדיקל מורכב מכל האיברים הניליים, ושווה לאברי אידיאל האסוציאטור המהווים זהויות של אלגברת קיילי (Shestakov, 1975).
מעל שדה ממאפיין 0 הרדיקל נילפוטנטי; מעל שדה ממאפיין 3, הרדיקל אינו נילפוטנטי.
אלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית היא אלגברת ז'ורדן.
באלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית מתקיימות הזהויות (ולכן אלגברה אלטרנטיבית קומוטטיבית מעל שדה ממאפיין שאינו 3 היא אסוציאטיבית).
הקשר למחלקות נוספות של אלגברות
אלגברת ז'ורדן הנוצרת על ידי הפעולות של האלגברה על עצמה מימין () מוגדרת, כרגיל, על ידי הפעולה ; מדובר אם כך באלגברת ז'ורדן מיוחדת.
כאשר נוצרת סופית, גם אלגברת ז'ורדן זו נוצרת סופית.
הגידול של אלגברה אלטרנטיבית שקול לגידול של אלגברת ז'ורדן זו, ולכן גם לגידול של המעטפת האסוציאטיבית שלה (כלומר, האלגברה האסוציאטיבית הנוצרת על ידי אופרטורי הכפל מימין).
כל אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית עם יחידה מדרגה 3 מעל שדה היא או הרחבה ספרבילית מממד 3, או כאשר אלגברת הרכבה (עם יחידה)
אלג'יר הייתה להקת רוק ישראלית שהוקמה בשנת 1992 במושב תלמי אליהו בידי הסולן והגיטריסט אביב גדג', המתופף דביר לביא וגבריאל בלחסן.
הלהקה התפרסמה עם יציאתו של אלבום הבכורה שלה "נאמנות ותשוקה" בשנת 1995, שם החלו חברי הלהקה לפעול גם בתל אביב.
הלהקה פרצה לתהילה והכרה רחבה ברחבי ישראל בזכות אלבומה השני והאחרון "מנועים קדימה" בשנת 2004, שם השתנה הרכב הלהקה אחרי שלביא עזב ובמקומו הגיע אביב ברק ואת בלחסן החליף הגיטריסט עופר קורן לסירוגין בעקבות מצבו הנפשי של בלחסן.
על אלבום זה זכתה הלהקה בפרס אקו"ם.
הלהקה התפרקה כשנתיים לאחר מכן.
אלג'יר הוקמה בתחילת שנות התשעים על ידי אביב גדג', יחד עם חבריו למושב תלמי אליהו - גבריאל בלחסן ודביר לביא.
חיים שמש, מפיק מחברת הד ארצי, ראה את הלהקה מופיעה בתל אביב והחתים את הלהקה על חוזה בחברה.
בדצמבר 1995 יצא האלבום הראשון של הלהקה שנקרא "נאמנות ותשוקה" והופק על ידי אסף שריג, חבר להקת "איפה הילד?".
להקלטות הצטרף אחיו של אביב גדג', שלום גד, בגיטרה בס.
סגנון האלבום היה רוק שהושפע ממוזיקה אתנית ומחזנות והוא לא הצליח מסחרית.
לאחר הוצאת האלבום הראשון עברו חברי הלהקה חוויות שונות, ביניהן תקופה של חזרה בתשובה, ניסיונות התאבדות ואשפוז מרצון של גיטריסט הלהקה בלחסן בבית החולים הפסיכיאטרי "אברבנאל".
שמונה שנים אחרי הוצאת "נאמנות ותשוקה" חתמה הלהקה על חוזה עם שאול מזרחי מנהל הבארבי, בלייבל "בארבי רקורדס", בו הוציאו בשנת 2004 את אלבומם השני, "מנועים קדימה", מתוכו בעיקר בלטו השירים "בתוך הצינורות", "דם על הים", "דבר אליי", "קיטש" ועוד.
הרכב הלהקה באלבום השני השתדרג, וכלל את המייסדים גדג, ובלחסן, אביב ברק בתופים (מלהקת נקמת הטרקטור), עמי רייס בקלידים וגיל פדידה בגיטרה בס.
אל ההקלטות הצטרף הגיטריסט רון בונקר (רון בונקר הוא כיום חלק מההרכב הקבוע שמלווה את גדג' בהופעותיו כאמן סולו).
האלבום השני הצליח מבחינה מסחרית וזכה לביקורות נלהבות.
לאחר צאת האלבום, יצאה הלהקה לסיבוב הופעות ארוך, שבחלקו לא השתתף בלחסן מסיבות בריאותיות, ועופר קורן החליף אותו כגיטריסט.
חלק מההופעות לוו על ידי רביעיית מיתרים ובחלקן התארחו אמנים שונים, כמו אהוד בנאי, ברי סחרוף, שלום גד ועוד.
אלג'יר קיימה גם שתי הופעות עם הרכב מיוחד שהקים גדג' לצורך ההופעות ונקרא התזמורת האנדרלמוסית.
ביוני 2005 סיימו את סיבוב ההופעות ויצאו להפסקה.
אביב גדג' - שירה, גיטרה, קלידים
גבריאל בלחסן - שירה, גיטרה
גיל פדידה - גיטרה בס, כינור
עמי רייס - קלידים, אקורדיון
אלגברה הומולוגית היא ענף מתמטי העוסק בחקר שיטות הומולוגיות וקוהומולוגיות בהקשרן הכללי, וגם ביישומים שלהן, בעיקר בתורת הקטגוריות, בטופולוגיה אלגברית ובתורת החוגים.
התחום החל את דרכו כהכללה וגיבוש של שיטות בטופולוגיה אלגברית.
למרות שחבורות הומולוגיה וקוהומולוגיה הופיעו במתמטיקה, באופן סמוי, גם קודם לכן, האלגברה ההומולוגית הוכרה כענף עצמאי ב-1956, כאשר אנרי קרטן וסמואל אילנברג פרסמו את ספרם "Homological Algebra".
תורות קוהומולוגיות הוגדרו בענפים שונים של המתמטיקה עבור אובייקטים מתמטיים רבים, כגון מרחבים טופולוגים, אלומות, חבורות, חוגים, אלגבראות לי ואלגבראות סי-כוכב.
בין המושגים הבסיסיים בתחום: קומפלקס שרשרת וסדרה מדויקת.
אחד הכלים הקלאסיים באלגברה הומולוגית הוא פונקטורים נגזרים, כגון Ext, הפונקטור הנגזר של Hom ו-Tor, הפונקטור הנגזר של פונקטור המכפלה הטנזורית.
באלגברה מופשטת, אלגברה אפינית היא אלגברה, הנוצרת סופית מעל חוג הבסיס שלה.
בדרך כלל המונח מתייחס לאלגברות (נוצרות סופית) מעל שדה, אך כמה תכונות חשובות נשארות בתוקף גם כאשר חוג הבסיס הוא חוג קומוטטיבי נתרי.
אלגברה מעל החוג היא אלגברה אפינית אם קיימים כך ש-, כאשר הוא החוג של כל הפולינומים ביוצרים עם מקדמים ב-.
על-פי הגדרה זו, אלגברה אפינית היא אלגברת מנה של אלגברת פולינומים בכמה משתנים מעל חוג הבסיס.
משפט הנורמליזציה של נתר, אותו הוכיחה אמי נתר, קובע שכל אלגברה אפינית (מעל שדה) היא מודול סופי מעל חוג פולינומים במספר משתנים מעל שדה הבסיס; מספר המשתנים שווה למספר המקסימלי של איברים בלתי תלויים אלגברית ב- , הקרוי דרגת הטרנסצנדנטיות של .
כמודול סופי, היא הרחבה שלמה של חוג הפולינומים, ולכן יש להם אותו ממד קרול.
לפיכך, ממד קרול של אלגברה אפינית שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות שלה.
משפט: אם הוא שדה אפיני מעל שדה , אז הוא אלגברי מעל .
למת ארטין-טייט: אם אלגברה אפינית מעל שדה , ו- כך ש- שדה, ו- אז אפיני מעל .
ללמה זו גרסאות רבות אחרות.
למשל, אם הן -אלגברות, כאשר חוג נתרי קומוטטיבי; הוא חוג המוכל במרכז של חוג שהוא מודול סופי מעל , ו- אפינית מעל , אז גם אפיני מעל .
אם היא אלגברה אפינית מעל החוג ו- אידיאל ב- אז אפיני מעל .
תהי אלגברה אפינית מעל החוג , ו- אידיאל שמאלי נוצר סופית של , אז הוא אפיני מעל , ו-.
אלגברה אוניברסלית (לעיתים מכונה אלגברה כללית) היא תחום במתמטיקה העוסק בחקר הרעיונות המשותפים לכל המבנים האלגבריים.
מבנה אלגברי (או בפשטות אלגברה) מורכבת מקבוצה A בצירוף פעולות מסוימות החלות על העצמים ב- A.
פעולה נולארית (0-ארית) מיוצגת על ידי עצם ב- A (קבוע) אותו מכנים בדרך-כלל באמצעות אות קטנה, למשל a.
פעולה אונרית (1-ארית) היא פונקציה מ- A ל- A, לרוב מיוצגת באמצעות סימן המושם לפני הארגומנט, למשל x~.
פעולה בינארית (2-ארית) בדרך-כלל מיוצגת על ידי סימן המושם בין הארגומנטים, כמו למשל x * y.
פעולות מסדר גודל גבוה יותר, או מסדר גודל לא מוגדר מסומנות באמצעות סימני פונקציה ולאחריהם הארגומנטים בסוגריים, כמו למשל (f(x,y,z או (f(x1,...,xn.
לאחר שהוגדרו הפעולות, ניתן לעצב את טבעה של האלגברה ביתר פירוט על ידי הוספת אקסיומות, אשר באלגברה האוניברסלית בדרך-כלל מנוסחות באמצעות חוקי משוואה.
דוגמה לכך היא אקסיומת האסוציאטיביות עבור פעולה בינארית אשר ניתנת על ידי המשוואה x * (y * z) = (x * y) * z.
הכוונה היא שהאקסיומה תקפה לכל העצמים x, y ו- z של הקבוצה A.
ניתן להגדיר את האלגברה האוניברסלית כענף מיוחד של תורת המודלים, ענף בו עוסקים במבנים אשר להם פעולות בלבד (בתוספת יחס השוויון) ושפת הניתוח שלו כוללת רק משוואות.
מצד שני, המבנים הם כאלה שניתן להגדירם בכל קטגוריה אשר לה מכפלות סופיות.
"אלגברה בסיסית" הוא שמו המודרני של הענף המתמטי מתחום האלגברה העוסק בביטויים מתמטיים שבהם מיוצגות כמויות שערכן המספרי אינו ידוע באמצעות סמלים, ובביצוע מניפולציות אלגבריות של ביטויים כאלה.
הביטויים האמורים מורכבים בעזרת פעולות מתמטיות כמו ארבע פעולות החשבון, חזקה, שורש ולוגריתם ומסמלי היסוד, שהם "משתנים" ו"פרמטרים".
תכליתן של המניפולציות האלגבריות עשויה להיות העברת ביטוי לצורה פשוטה יותר, או פתרון משוואות העשויות לייצג בעיות תאורטיות או מעשיות.
בימינו, האלגברה הבסיסית נלמדת בחטיבת ביניים או סמוך לכך, מיד לאחר שהתלמידים רוכשים מיומנות מסוימת באריתמטיקה.
עם זאת, התפתחותו ההיסטורית של התחום התעכבה למשך מאות רבות, בעיקר משום הזמן שחלף עד שהוכרה האפשרות לבצע פעולות במשתנים במקום במספרים מסוימים.
עוד בימי הקדמונים, נפתרו בעיות שונות מן התחום שנקרא היום "אלגברה".
הבבלים הקדומים פתרו בעיות מספריות שונות שבכלים מודרניים נפתרות באמצעות משוואה ריבועית, הגם שעקרון המשוואה היה זר להם.
אוקלידס, שרעיונות המשוואה והנעלמים היו זרים אף לו, פתר בעיות ממעלה שנייה באמצעות כלים גאומטריים, זאת כחלק מהמגמה השלטת במתמטיקה היוונית דאז, ששמה דגש רב על יסודות גאומטריים.
דיופנטוס בחיבוריו היה הראשון לעסוק במשוואות ובסימונים מייצגים בצורה הקרובה רעיונית לזו בה נעשה שימוש כיום ועל כך הוא מכונה לעיתים "אבי האלגברה".
בספרו "אריתמטיקה" ניתח משוואות דיופנטיות ומערכות משוואות, כאשר בכתביו מופיעים אזכורים לניתוח של משוואות פשוטות עד מעלה שישית.
בימיו של בראהמגופטה שוכללו השיטות הבבליות וכללו אף אזכור למספרים שליליים.
ראשיתה של האלגברה, כפי שהיא מוכרת היום, בפעולותיו של המתמטיקאי המוסלמי אל ח'ואריזמי.
המילה "אלגברה" עצמה נגזרת משמו של אחד מספריו: "הספר התמציתי לחישוב על ידי השלמה ואיזון", בערבית: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة ובתעתיק לעברית: "חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה".
בספר מתוארות באופן רטורי וללא שימוש בסימונים מתמטיים בעיות הניתנות לפתרון בעזרת כלים של משוואות ממעלה ראשונה ושנייה.
הספר בנוי משני חלקים: בראשון ניתנים הסברים טכניים-פרקטיים לפתרון בעיות מסוגים שונים, ובחלק השני מופיעות הוכחות לשיטות אלו המבוססות על עקרונות גאומטריים.
ניתוחים של בעיות הקשורות להתרת משוואות ממעלה שלישית ומעלות גבוהות יותר ניתנו אף הם על ידי מתמטיקאים מוסלמים, כשבפרט ידועות תרומותיהם של עומר ח'יאם ושל איבן אל-היית'ם שעשו שימוש בכלים גאומטריים של חיתוך עקומות.
אנשי המאה ה-13, פיבונאצ'י וכן יורדנוס נמוראיוס, תרמו תרומה מכרעת לשימוש באותיות לצורך סימונן של כמויות.
"ספר החשבונייה" של לאונרדו מפיזה תרם רבות לאלגברה ואף פרץ דרך בכך שהביא לאירופה את השימוש בשיטה העשרונית, הנוחה יותר לביצוע חישובים מאשר השיטה הרומית שהייתה מקובלת באותה התקופה.
שיפיונה דל פרו, ראש המחלקה לאריתמטיקה וגאומטריה באוניברסיטת בולוניה, ידוע בהיותו הראשון למצוא דרכים אלגבריות לפתרונן של משוואות ממעלה שלישית.
סביב עבודותיו ועבודות ממשיכיו התעוררו סכסוכים בנוגע לזכויות הראשונים עליהם כשבפרט ידוע המאבק בין ניקולו טרטליה לג'ירולמו קרדאנו.
בספרו "האמנות הגדולה" (Ars magna), שפורסם ב-1545, סיכם קרדאנו את עבודתו באלגברה, והוא כלל בה לא רק תוצאות שהגיע אליהן בעצמו, אלא גם את שיטת הפתרון של טרטליה למשוואה מעוקבת ואת פתרונו של משרתו שהפך לתלמיד המבריק ביותר שלו, לודוביקו פרארי, למשוואה ממעלה רביעית.
כשניסה קרדאנו לפתור את המשוואה , הגיע לביטוי שכלל את המספר .
בספרו לעיל פרסם פתרון הכולל התייחסות ראשונה לרעיון כי ייתכן מספר שהוא שורש ריבועי של מספר שלילי, אך קרדאנו לא הבין את גודל תגליתו וראה במספרים אלו "מספרים חסרי תועלת".
מתמטיקאים, וביניהם פרנסואה וייט, לאונרד אוילר, תומאס הריוט ורנה דקארט, המשיכו לחקור משוואות ממעלה גבוהה.
הריוט גילה כי הפולינום שפתרונותיו הם b,a ו- c, הוא .
רפאל בומבלי פרסם בשנת 1572 סדרת כללים לעבודה עם מספרים מרוכבים.
בשנת 1637 קבע דקארט כי לכל פולינום ניתן "לדמיין", כלשונו, שורשים שמספרם כמעלת הפולינום, אך אינם מהווים גדלים כמותיים בעלי משמעות.
אלברט ג'ירארד, בהסתמך על עבודות קודמיו, היה הראשון לנסח את עקרונות המשפט היסודי של האלגברה הקובע כי לכל פולינום נתון קיימים מספר שורשים כמעלתו.
לייבניץ, ד'אלמבר, אוילר, לגראנז' ולפלס ניסו להוכיח את המשפט.
חלקם הצליחו בכך חלקית, אך הוכחה מלאה ומפורטת שלו ניתנה לבסוף על ידי גאוס.
הגדלים והכלים בהם נעשה שימוש בתורה
המשתנה והפרמטר, המציינים גדלים שערכם המספרי לא ידוע, עומדים בבסיס התורה האלגברית הבסיסית.
המשתנה הוא אחד המושגים הבסיסיים ביותר באלגברה הבסיסית.
המשתנה הוא אובייקט מתמטי המבטא כמות כלשהי שערכה המספרי לא ידוע או איננו קבוע, ומכאן שמו.
אחת ממטרות האלגברה הבסיסית היא מציאת ערכם של משתנים על סמך קשרים ידועים בינם לבינם ובינם לבין כמויות שערכן ידוע.
המשתנים מיוצגים בכתיב המתמטי המקובל באופן סמלי על ידי אותיות, לעיתים בעלי אותיות הקשורות לאובייקט אותו המשתנה מכמת (כמו שימוש באות t לציון זמן בביטויים מתחום הפיזיקה).
לרוב, כאשר המשתנים הם משתנים בעלי משמעות "כללית" ולא משמעות ספציפית חשובה (למשל, בביטויים אלגבריים המשמשים לצרכים לימודיים או לביטויים של אובייקטים מתמטיים כלליים) נעשה שימוש באותיות הלטיניות y,x ו-z לצורך סימונם של המשתנים.
מקובלת ההבחנה האלגברית בין שני סוגי משתנים: משתנה "תלוי" ומשתנה "בלתי-תלוי" או "חופשי".
התלוי, כפי שרומז שמו, תלוי בערכו במשתנים החופשיים, שבין ערכיהם לא קיימת תלות.
להתאמה חד-ערכית בין משתנה תלוי למספר משתנים בלתי-תלויים קוראים בשפה המתמטית "פונקציה".
הפרמטר, אובייקט אלגברי בסיסי נוסף, הוא ביטוי סמלי לכמות שגודלה איננו ידוע, אך איננה הכמות שנדרשת להימצא במסגרת הבעיה.
אובייקטים אלו מסומנים אף הם על ידי אותיות.
לרוב, כאשר הבעיה הנדרשת היא מציאת ערכו של משתנה, הערך הנמצא תלוי בפרמטרים המאפיינים את הבעיה.
הקביעה איזה אובייקט אלגברי משתנה ואיזה הוא פרמטר היא תלוית בעיה.
גדלים אלה נקשרים, לעיתים עם גדלים ידועים, במסגרת הביטויים האלגבריים, המהווים רצפי סימנים הקושרים גדלים אלגבריים ואריתמטיים באמצעות אופרטורים וסוגריים שונים.
מטרתה הבסיסית של האלגברה היא חקר, ניתוח ופישוט של ביטויים אלגבריים.
בפרט, שני סוגי ביטויים שימושיים במיוחד הם המשוואה ואי השוויון.
משוואה היא פסוק מתמטי הקובע שוויון בין שני גדלים.
משוואה המכילה משתנים ופרמטרים היא אובייקט מתמטי חשוב ושימושי.
המשוואה האלגברית מהווה את אחד מהכלים הבסיסיים ביותר בכל המדעים המדויקים, ובמסגרת האלגברה נחקרות הדרכים לפשט ולפתור משוואות, קרי — למצוא את ערכי המשתנים שעבורם תהפוך המשוואה לפסוק אמת.
פרט לכך, המשוואה מהווה כלי יעיל במיוחד לתיאורן של מערכות או אובייקטים באמצעות נוסחה.
אי-שוויון הוא פסוק מתמטי הקובע אי-שוויוניות בין שני גדלים.
בפרט, במונח "אי-שוויוניות" נכללים בהקשר זה היחסים "לא שווה", "גדול", "קטן", "גדול או שווה" או "קטן או שווה" בין גדלים שונים.
האלגברה מטפלת אף בסוג זה של יחסים במטרה למצוא עבור איזה ערכי המשתנים יהפוך הפסוק לפסוק אמת.
כפי שרומז שמה של התורה, האלגברה הבסיסית היא אך חלק קטן מתורה גדולה יותר, האלגברה, במסגרתה נחקרים מבנים מתמטיים כלליים ובעיות חישוביות שונות.
אלגברה ליניארית חוקרת אף היא מערכות של משוואות ליניאריות כחלק מעיסוקה הכולל במבנים אלגבריים ליניאריים, הנחקרים במסגרת האלגברה המופשטת.
אלגברה בוליאנית, תחום נוסף הנחקר במסגרת הרחבה של האלגברה המופשטת, עוסק בין היתר (בפרט בתחומי הלוגיקה הבוליאנית) בכלים אלגבריים לטיפול במערכות העוסקות בשני סוגי נתונים בלבד: "אמת" ו"שקר".
החשבון האינפיניטסימלי, שהתפתח מהאלגברה הבסיסית ומגאומטריה, עוסק בחקר ההשתנות של פונקציות.
לאלגברה הבסיסית שימוש רב במתמטיקה ובכל יתר המדעים המדויקים.
באמצעות הכלים שמספקת האלגברה הבסיסית, מתוארות מערכות מתמטיות וטבעיות רבות על ידי משתנים ופרמטרים המרכיבים משוואות המתארות את הקשרים הכמותיים המאפיינים את המערכות.
לפיכך, נלמדת התורה בבתי הספר העל-יסודיים ככלי המתמטי העוקב לאריתמטיקה, שכן בלעדיה לא ניתן להתקדם ולהעמיק בלימודי המתמטיקה והמדעים המדויקים.
המעבר בין לימודי האריתמטיקה העוסקים בכמויות "מוגדרות" לבין לימודי האלגברה העוסקים בכמויות "מופשטות" מהווה נקודה קריטית ברכישת הידע המתמטי שכן תלמידים רבים מתקשים בהבנת הרעיונות המופשטים לעיל, דבר המקשה עליהם במשך לימודים המתמטיים והמדעיים.
שבתאי, אונגורו, מבוא לתולדות המתמטיקה, חלק א': הזמן העתיק וימי הביניים, משרד הביטחון- ההוצאה לאור, תשמ"ט 1989
אלג'ין גיי ביילור היה כדורסלן אמריקאי, אשר שיחק בליגת ה-NBA במשך 13 עונות בקבוצת מינאפוליס/לוס אנג'לס לייקרס, בעמדת הסמול פורוורד.
שימש כג'נרל מנג'ר של לוס אנג'לס קליפרס במשך 22 שנים, בין 1986–2008. כשחקן, ביילור היה קלע מחונן, ריבאונדר חזק ומוסר מוכשר.
Inside" בזכות קליעות הפנים שלו, בניגוד לחברו לקבוצה ג'רי וסט שכונה "Mr.
ממוצעיו לאורך קריירת ה-NBA הם 27.4 נקודות, 13.5 ריבאונדים ו-4.3 אסיסטים למשחק.
כילד, ביילור לא היה תלמיד מוכשר ואפילו פרש מלימודים לפרק זמן מסוים לטובת עבודה בחנות רהיטים, בזמן ששיחק בליגות כדורסל מקומיות.
יכולת לימודית לא הולמת השאירה אותו מחוץ לקולג', עד שחבר ארגן לו מלגת לימודים במכללת איידהו, שם היה אמור לשחק כדורסל ופוטבול.
לאחר עונה אחת הקולג' פיטר את מאמן הכדורסל והגביל את המלגה, וביילור עבר לאוניברסיטת סיאטל.
בשנת 1958 הוביל ביילור את קבוצת הכדורסל של המכללה לגמר אליפות המכללות, אך הפסידה לאוניברסיטת קנטקי בתוצאה 72–84. בשתי עונותיו בסיאטל רשם ממוצעים של 31.2 נקודות ו-19.8 ריבאונדים למשחק.
ביילור נבחר בבחירה הראשונה של דראפט ה-NBA לשנת 1958 על ידי קבוצת מיניאפוליס לייקרס, לאחר שסיימה את העונה הקודמת במאזן של 19 ניצחונות ו-53 הפסדים.
ביילור חתם בקבוצה על חוזה בגובה 20,000 דולר, סכום גבוה מאוד לאותה תקופה.
בעונת , עונת הרוקי שלו, סיים ביילור רביעי בליגה בין הקלעים עם 24.9 נקודות למשחק, שלישי בליגה בריבאונדים עם 15 למשחק, ושמיני בליגה באסיסטים עם 4.1 למשחק.
הוא אף קלע שיא של 55 נקודות במשחק יחיד, התוצאה השלישית בטיבה בהיסטוריה באותה העת.
ביילור זכה בתואר רוקי השנה ב-NBA והזניק את הלייקרס מהמקום האחרון ישירות לגמר ה-NBA, שם הפסידה לבוסטון סלטיקס בתוצאה 0–4, שהיה ה"סוויפ" הראשון בגמר ה-NBA.
במהלך הקריירה שלו סייע ביילור להוביל את הלייקרס לגמר ה-NBA שמונה פעמים, ללא אף זכייה.
ב-1959, בעת ביקור עם קבוצתו בעיר צ'ארלסטון, במדינת וסט וירג'יניה, סירב להופיע במשחק ראווה מול קבוצה מקומית כמחאה על מדיניות ההפרדה הגזעית שהייתה נהוגה באותה העת במדינה.
בכך הפך לשחקן ה-NBA הראשון שמחרים משחק במחאה על שוויון זכויות.
בעונות עד קלע ביילור 34.8, 38.3 ו-34.0 נקודות בממוצע למשחק, בהתאמה.
העונה בה קלע 38.3 נקודות למשחק היא עונת השיא לכל שחקן שהוא מלבד וילט צ'מברלין.
ביילור, שהיה חלק מכוחות המילואים של ארצות הברית, נקרא לשרת במדינת וושינגטון במהלך אותה עונת שיא, ושיחק בה רק 48 משחקים.
עם זאת, קלע באותה עונה סך של למעלה מ-1,800 נקודות.
ב-15 בנובמבר 1960 קלע ביילור 71 נקודות במשחק, שיא של כל הזמנים באותה עת.
כמו כן קלע ביילור 61 נקודות במשחק מספר 5 בגמר ה-NBA של עונת , הישג שעדיין מהווה שיא קליעה לשחקן יחיד במשחק בסדרת גמר ה-NBA.
ביילור, לצד וילט צ'מברלין וקובי בראיינט, הוא אחד משלושה שחקנים בלבד בתולדות ה-NBA, שקלעו לפחות 45 נקודות למשחק בארבעה משחקים ברציפות.
בעונת החל ביילור לסבול מבעיות ברכיים, שהגיעו לשיאן בפציעה חמורה בברך בפלייאוף של עונת .
הפציעה פגמה ביכולותיו של ביילור, שלא השיג שוב עונות של מעל ל-30 נקודות בממוצע למשחק.
הלייקרס הוסיפו להיות כוח מרכזי בליגה, אולם המשיכו לחסות בצלם של הסלטיקס.
ביילור פרש ממשחק תשעה משחקים בתוך עונת , בשל הפציעות המציקות.
פרישתו לוותה בשני ציוני דרך אירוניים: ראשית, המשחק הראשון שלאחר פרישתו ממשחק היה הניצחון הראשון של הלייקרס מתוך סדרה של 33 ניצחונות רצופים, הישג שיא בליגה.
שנית, בסיומה של אותה עונה זכו הלייקרס באליפות, דבר שביילור לא השיג מעולם.
הוא סיים את הקריירה שלו עם סך של 23,149 נקודות, 11,463 ריבאונדים ו-3,650 אסיסטים, ב-846 משחקי עונה סדירה.
ביילור נבחר 10 פעמים לחמישיית העונה ו-11 פעמים למשחק האולסטאר.
בשנת 1977 נבחר ביילור להיכל התהילה של הכדורסל.
בשנת 1996, בחגיגות היובל של הליגה, לאחר ששיחק במשך 14 עונות ב-NBA, נבחר לאחד מ-50 השחקנים הגדולים בתולדות ה-NBA.
בין השנים 1974–1979 אימן ביילור את קבוצת ניו אורלינס ג'אז, בשתי קדנציות שונות, והקבוצה השיגה תחתיו מאזן כולל של 86 ניצחונות ו-135 הפסדים.
בין השנים 1986–2008 שימש כג'נרל מנג'ר של קבוצת לוס אנג'לס קליפרס, אך גם היא התקשתה להציג תחתיו יכולת טובה: לאורך התקופה רשמו הקליפרס שתי עונות בלבד עם מאזן ניצחונות חיובי ( ו-), והעמידה מאזן כולל של 607 ניצחונות ו-1,153 הפסדים.
אלגברה בוליאנית היא התחום המתמטי העוסק במבנים האלגבריים הקרויים "אלגברה בוליאנית", ובנושאים הקשורים לכך.
אחד היישומים המוכרים של התחום הוא בלוגיקה בוליאנית.
אלגברה בוליאנית מיושמת גם בתורת הקבוצות ואף באלקטרוניקה.
אלגברה בוליאנית קרויה על-שמו של המתמטיקאי האנגלי ג'ורג' בול (1815–1864), שבשנת 1854 תיאר מערכת אלגברית לוגית במאמרו The Laws of Thought.
תחום האלגברה הבוליאנית נולד בשנות ה-60 של המאה ה-19 במספר מאמרים שפרסמו ויליאם ג'בונס וצ'ארלס פאריס.
החיבור המקיף הראשון בנוגע לאלגבראות בוליאניות שנכתב באנגלית הוא Universal Algebra שנכתב ב-1898 על ידי אלפרד נורת' וייטהד.
עבודות חשובות נוספות בתחום בוצעו על ידי מרשל סטון בשנות ה-30 של המאה ה-20, וכן במאמרו של גארט בירקהוף Lattice Theory משנות ה-40 של המאה ה-20.
בשנות ה-60 של המאה ה-20 השתמשו פול כהן, דנה סקוט ואחרים בכלים של אלגבראות בוליאניות על מנת להוכיח תוצאות עמוקות בתחום הלוגיקה ובתורת הקבוצות האקסיומטית, בעיקר בתחום הכפייה.
אַלגִ'יבָּה (בכתיב לועזי: Algieba מערבית الجبهة - אל-גַ'בְּהַה - המצח) או γ באריה הוא הכוכב השני בבהירותו בקבוצת הכוכבים אריה ואחד הכוכבים הבהירים בשמים.
למרות שמו, הכוכב נמצא בבסיס רעמת האריה כפי שמקובל לציירו ויחד עם הכוכבים ζ באריה, μ באריה ו-ε באריה יוצר את הקשת שמכונה המגל.
הכוכב נראה כמקור של מטר הלאונידים שמתרחש כל שנה סביב ה-17 בנובמבר.
אלג'יבה נראה לעין ככוכב צהוב עם בהירות נראית מדרגה 2, אך כבר בטלסקופ חובבים קל לראות שמדובר בכוכב כפול שלכוכב הבהיר מבין השניים - אלג'יבה A, צבע כתום ולעמום יותר - אלג'יבה B, צבע צהוב.
המערכת נמצאת במרחק של 126 שנות אור וזוג הכוכבים מקיפים זה את זה במסלול אליפטי מאוד כך שהמרחק ביניהם נע בין 15 יחידות אסטרונומיות ל-180 יחידות אסטרונומיות וזמן ההקפה אורך כ-620 שנים.
המערכת נעה במהירות של 71 ק"מ לשנייה ביחס למערכת השמש, מהירות גבוהה מאוד בהשוואה לכוכבים אחרים סביב השמש.
במרחק זוויתי של כ-6 דקות קשת ניתן להבחין באמצעות טלסקופ בשני כוכבים עמומים עם דרגת בהירות סביב 10. לא ידוע האם מי מהם קשור כבידתית למערכת, אבל אם כן, הוא מקיף את הזוג הבהיר במרחק של לפחות 14,000 יחידות אסטרונומיות ובזמן הקפה של לפחות מיליון שנים.
אלג'יבה A הוא ענק כתום שסיים את שלב היתוך המימן בליבתו שהפכה ברובה להליום.
תהליך ההיתוך עבר לשכבות חיצוניות יותר והביא להתנפחות הכוכב לרדיוס של כ-23 פעמים רדיוס השמש ולירידת טמפרטורת פני השטח שלו לכ-4,400 קלווין.
הכוכב פולט קרינה בעוצמה של פי 150 מעוצמת ההארה של השמש באור נראה ופי 180 בתוספת הקרינה בתחום התת-אדום.
אלג'יבה B הוא ענק צהוב שעובר תהליך התנפחות והתקררות דומה לשל אלג'יבה A.
רדיוסו כ-10 פעמים רדיוס השמש וטמפרטורת פני השטח שלו כ-4,900 קלווין.
הוא מאיר בעוצמה גדולה פי 50 מעוצמת ההארה של השמש.