tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
אחת מטענות ההגנה המשותפות לנאשמים הייתה קבלת פקודות מן הממונים עליהם וכי במעשיהם מילאו אחר חובתם כחיילים לציית לפקודות, באופן מיוחד פקודותיו של היטלר ופילדמרשל וילהלם קייטל.
בית הדין התמודד עם שאלת היותה של המדינה הקרואטית מדינה עצמאית המסוגלת לפעול באופן עצמאי ונפרד מהחלטות הצבא הגרמני (לאור העובדה שגרמניה הכירה בממשלת קרואטיה ב-15 באפריל 1941).
בית הדין מצא כי קרואטיה לא הייתה מדינה עצמאית.
הצבא הגרמני בשליטתו בה לא הסתמך על כוח צבאי שהיה מוצב בה (כיוון שניתן היה להכניס כוחות גרמנים לתוכה בכל עת), אלא על שליטה שנבעה מן הכוח הכובש.
מכאן הוסק כי מכיוון שאזור זה נותר בשליטת הכוח הכובש של הצבא הנאצי "על פי הלוגיקה וההיגיון מתבקש לקבוע כי הכוח הכובש לא יכול היה להחשב כנוהג באופן חוקי בפעולות בלתי ישירות, את אותן פעולות שלא היה יכול לעשות באופן חוקי בפעולות ישירות."
שםתפקיד במערכה בבלקניםגזר דין וילהלם ליסט גנרל-פלדמרשל, מפקד עליון של החזית הדרום-מזרחית בשנים 1941 - 1942, מפקד הארמייה ה-12 בשנת 1941. מאסר עולם.
שוחרר בדצמבר 1952 עקב מצבו הבריאותי.
מת בשנת 1971. מקסימיליאן פון וייכס גנרל-פלדמרשל, מפקד הארמייה השנייה בעת המערכה בדרגת גנרל אוברסט משפטו הופסק עקב מצבו הבריאותי.
מת בשנת 1954. לותר רנדוליץ גנרל, מפקד ארמיית הפאנצר השנייה ביוגוסלביה בשנים 1943 - 1944 20 שנות מאסר שהופחתו ל-10 שנים.
שוחרר ב-1951. מת ב-1971 ולטר קונצה גנרל חיל ההנדסה, מחליפו של ליסט כמפקד עליון של החזית הדרום-מזרחית ומפקד הארמייה ה-12, החל מ-29 באוקטובר 1941 מאסר עולם.
שוחרר בשנת 1953. מת ב-1960 הרמן פוירטש גנרל מיור, ראש מטה הארמייה ה-12 זוכה.
שוחרר ב-1951, מת ב-1982 ארנסט דהנר גנרל חיל הרגלים, מפקד הקורפוס ה-69 תחת לותר רנדוליץ 7 שנות מאסר.
באנליזה פונקציונלית, משפט גלפנד-נאימרק מציג אלגברות סי כוכב כאלגברות של אופרטורים חסומים על מרחב הילברט, ומתאר את כל ההצגות האלה עבור אלגברות בנך עם אינוולוציה.
מורפיזם של אלגברות בנך עם אינוולוציה הוא הומומורפיזם רציף של אלגברות, שמתחלף עם פעולת האינוולוציה.
דוגמה חשובה לאלגברת בנך עם אינוולוציה היא אלגברת האופרטורים החסומים על מרחב הילברט כלשהו, שבה הנורמה היא הנורמה האופרטורית והאינוולוציה נתונה על ידי העתקת אופרטור לאופרטור הצמוד (אכן, אנחנו עובדים מעל מרחב הילברט).
הצגה אופרטורית של אלגברת בנך היא מורפיזם ממנה אל אלגברת האופרטורים החסומים על מרחב הילברט כלשהו.
כשרוצים להדגיש שמדובר בקטגוריה של אלגברות בנך עם אינוולוציה, וממילא על המורפיזמים להתחלף עם פעולת האינוולוציה, מכנים הצגה כזאת הצגה סימטרית.
כרגיל, הצגה נאמנה היא כזו שגרעינה אפס, והצגות על מרחבי הילברט שונים נקראות שקולות אם ישנו איזומורפיזם של מרחבי הילברט המעתיק את האופרטור שמתאימה הצגה אחת לאבר, לאופרטור שמתאימה לו ההצגה השנייה.
שאלות טבעיות הן, אפוא, האם לכל אלגברת סי כוכב יש הצגה סימטרית נאמנה, וכיצד ניתן להבין הצגות סימטריות של אלגברות בנך עם אינוולוציות.
על שאלות אלה משיב משפט גלפנד-נאימרק.
לכל אלגברת סי כוכב ישנה הצגה סימטרית נאמנה.
לכל אלגברת בנך עם אינוולוציה קיים מורפיזם לאלגברת סי כוכב, כך שכל הצגה סימטרית של האלגברה המקורית מתפצלת דרך המורפיזם הזה ומורמת ממנו כהצגה של אלגברת הסי כוכב.
בתורת ההסתברות, משפט ברי-אסן (Berry-Esseen) נותן הערכה כמותית לקצב ההתכנסות במשפט הגבול המרכזי.
המשפט חוסם, בתנאים מסוימים, את המרחק, בנורמת קולמוגורוב-סמירנוף, בין התפלגות ממוצע הדגימות של משתנה מקרי להתפלגות הנורמלית.
המשפט הוכח תחילה על ידי אנדרו ברי (1941) ולאחר מכן על ידי קרל-גוסטב אסן (1942).
קיים קבוע חיובי C כך שאם
הם משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות שמקיימים
ונסמן את פונקציית הצטברות של
ואת פונקציית ההצטברות של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית ב
בנוסף, C חסום על ידי:
הערה: למשפט קיימת גם גרסה עבור משתנים מקריים שאינם שווי התפלגות.
משפט גאוס-בונה (או נוסחת גאוס-בונה) הוא משפט יסודי בגאומטריה דיפרנציאלית, הקושר בין הגאומטריה והטופולוגיה של משטחים.
לפי המשפט, האינטגרל על העקמומיות של המשטח שווה תמיד למאפיין אוילר שלו.
המשפט קרוי על שם קרל פרידריך גאוס, שפיתח גרסה אך מעולם לא פרסם אותה, ופייר אוסיאן בונה שפרסם מקרה פרטי של המשפט ב-1848.
תהי M יריעה רימנית קומפקטית דו-ממדית.
נסמן ב-K את עקמומיות גאוס של המשטח.
אם למשטח ישנה שפה , נסמן ב- את העקמומיות הגאודזית של השפה.
אז , כאשר dA הוא אלמנט השטח של המשטח, הוא מאפיין אוילר (שהוא תמיד מספר שלם), ו- ds הוא אלמנט האורך של השפה.
במקרה שהשפה חלקה למקוטעין, אזי נפרש את האינטגרל כסכום האינטגרלים המתאימים לאורך החלקים החלקים של השפה, בתוספת סכום הזוויות בפינות.
אם המשטח נטול שפה, אזי האינטגרל מתאפס, ובכך מתקיים: .
כלומר, המשפט קובע שעקמומיות גאוס הכוללת של משטח סגור שכזה שווה ל- כפול מאפיין אוילר של המשטח.
אם המשטח הוא גם בר-כיוון (אוריינטבילי), אז מאפיין אוילר שלו שווה ל-, כאשר g הוא הגנוס של המשטח.
נניח ש-M הוא פני השטח של חצי הכדור הצפוני הנחתך מספירה בעלת רדיוס R.
חצי הכדור הומיאומורפי לספירה עם חור או לדיסקה סגורה, ולכן מציין אוילר שלו הוא 1. באגף שמאל של המשפט מתקבל ו-, שכן השפה של חצי הכדור הצפוני היא קו המשווה שהוא מעגל גדול, ומעגלים גדולים הם גאודזות של הספירה.
מצד שני, נניח שאנו משטחים את ההמיספירה והופכים אותו לדיסקה סגורה.
טרנספורמציה זאת היא הומיאומורפיזם, ולכן מציין אוילר הוא עדיין 1. עם זאת, באגף שמאל של המשפט נקבל כעת ו-, שכן העקמומיות הגאודזית מוגדרת ביחס למשטח ייחוס מסוים; כעת משטח הייחוס הוא מישורי, ומעגל אינו גיאודזה של המישור.
כדוגמה אחרונה, ניקח אוקטנט של הספירה, שגם הוא הומיאומורפי למשטחים מקודם.
כעת כמעט בכל מקום על השפה, שהיא משולש גיאודזי, למעט בקודקודי המשולש, שם יש שלוש פינות ישרות-זווית, כך ש-.
הטופולוגיה של משטח רימן קומפקטי אינה מסובכת: מציין אוילר מגדיר את המשטח.
עם זאת, על כל מבנה טופולוגי אפשר להשרות את המבנה המטרי באינסוף דרכים.
משפט גאוס-בונה מראה שבכל הדרכים האלה אינטגרל העקמומיות הוא קבוע.
במילים אחרות (כשאין למשטח שפה), העקמומיות הממוצעת עומדת ביחס הפוך לשטח.
לדוגמה, מציין אוילר של כדור הוא 2. עקמומיות-גאוס של כדור נעשית קטנה יותר ככל שהכדור גדל: העקמומיות של כדור ברדיוס R היא .
לפי משפט גאוס-בונה, יוצא ששטח הכדור כפול העקמומיות הקבועה הזו שווה תמיד ל-.
הקומפקטיות היא תנאי הכרחי במשפט: לעיגול היחידה הפתוח עקמומיות אפס, ולכן האינטגרל של העקמומיות שווה גם הוא לאפס; אבל לעיגול יש מציין אוילר 1. אכן, אם מוסיפים לכדור הפתוח את השפה שלו, השוויון מתקיים, משום שהאינטגרל על פני עקמומיות השפה הוא .
הטורוס, שמציין אוילר שלו הוא 0, מספק דוגמה חשובה נוספת.
אפשר לבנות אותו על ידי זיהוי הצלעות המנוגדות בריבוע, כך שהעקמומיות היא אפס בכל נקודה, וממילא העקמומיות הממוצעת היא אפס.
אבל השיכון הטבעי של הטורוס במרחב האוקלידי מספקת לו עקמומיות חיובית בחלק החיצוני, ושלילית בחלק הפנימי.
משפט גאוס-בונה מבטיח שאלו מאזנות זו את זו, והעקמומיות הממוצעת היא אפס בכל שיכון אפשרי.
טריאנגולציה של משטחים מספקת למשפט גרסאות קומבינטוריות.
מספר תוצאות קודמות בגאומטריה כדורית וגאומטריה היפרבולית, שנתגלו במהלך המאות שקדמו לניסוח משפט גאוס-בונה, הם מקרים פרטיים שלו.
בגאומטריה כדורית וגאומטריה היפרבולית, שטחו של משולש פרופורציונלי למידה בה סוטה סכום זוויותיו מ-180°, או באופן שקול המידה בה סוטה סכום זוויותיו החיצוניות מ-360°.
השטח של משולש כדורי פרופורציונלי ליתרה הזוויתית, לפי משפט ז'יראר.
עבור משטח ספירי התחום על ידי משולש כדורי מציין אוילר הוא 1, האינטגרל הקווי הוא , ולכן משפט גאוס בונה קובע:
וזהו משפט ז'יראר למשולשים כדוריים.
שטחו של משולש היפרבולי, שהוא משולש גיאודזי במשטח בעל עקמומיות שלילית קבועה, פרופורציונלי למגרעת הזוויתית שלו, כלומר ל- .
כשם שהשפה של משולשים או מצולעים כדוריים והיפרבוליים מהווה דוגמה לעקמומיות גאודזית המרוכזת "במידה אינסופית" בפינות המצולעים, כך גם פאונים מרחביים מהווים דוגמה למשטחים שלהם עקמומיות גאוס המרוכזת "במידה אינסופית" בנקודות מסוימות (קודקודי הפאון).
במובן זה, משפט דקארט על פאונים - הקובע כי סכום המגרעות הזוויתיות בכל הקודקודים של פאון הומיאומורפי לספירה הוא - הוא פועל יוצא של הגרסה הבדידה של משפט גאוס בונה.
"המגרעת הזוויתית" בקודקוד של פאון מרחבי היא גודל המכליל את הזווית החיצונית בקודקוד מצולע מישורי, ומודד למעשה את ההפרש בין סכום הזוויות של הפאות הנפגשות באותו קודקוד של הפאון לזווית המרחבית שמגדירה חצי ספירה (שהיא ).
פורמלית, עקמומיות גאוס בקודקוד ה-p של הפאון היא , כאשר היא פונקציית דלתא של דיראק.
לדוגמה, עבור התריסרון המשוכלל, בכל אחד מעשרים הקודקודים שלו נפגשים שלושה מחומשים משוכללים, ולכן המגרעת הזוויתית היא .
לפיכך המגרעות הזוויתיות שלו נסכמות ל- , בהתאמה עם משפט דקארט.
משפט רימן-רוך ומשפט האינדקס של אטיה-זינגר מכלילים את משפט גאוס-בונה.
בתורת ההסתברות, משפט ברירת זמן העצירה של ג'וזף דוּבּ, מתאר עיקרון יסודי לגבי תוחלת של מרטינגל, בו עצירת המרטינגל קבועה מראש לפי כלל עצירה כלשהו.
המשפט קובע שבתנאים מסוימים, כלל העצירה אינו יכול להגדיל את התוחלת.
באופן מוחשי יותר, משפט זה עוסק בתוחלת הרווח של סדרת הימורים, בהם המהמר יכול לעצור בכל שלב לפי כלל שהוא קובע מראש.
למשל, המהמר יכול להחליט שהוא יעזוב עם הכסף שבידיו ברגע שהרווח שלו מגיע לסכום כלשהו שנקבע מראש.
המשפט סותר כשל מחשבתי רווח, וקובע שאם מהמר נכנס לקזינו עם סכום מסוים, אז תוחלת הרווח שלו תחת כל כלל עצירה - היא בדיוק הסכום אתו הוא נכנס לקזינו.
זהו הנימוק המתמטי לכשל הטמון בשיטת ההימורים המכונה "מרטינגל".
יהי מרחב הסתברות, ויהי מרטינגל במרחב זה.
נגדיר לכל את התת-סיגמא אלגברה,
ונאמר כי משתנה מקרי הוא זמן עצירה, אם לכל .
כלומר, המאורע , נקבע במלואו לפי המידע שבידינו בשלב ה-.
לכל זמן עצירה , מתקיים כי הוא משתנה מקרי בהסתברות 1. כמו כן, מתקיים עבור תוחלתו,
בתנאי שמתקיים לפחות אחד משלושת התנאים הבאים:
קיים קבוע שעבורו בהסתברות 1.
בהסתברות 1, וגם קיים קבוע שעבורו בהסתברות 1 לכל .
, וגם קיים קבוע שעבורו בהסתברות 1 לכל .
טענה: אם מרטינגל, אזי לכל .
טענה: יהי מרטינגל ו- זמן עצירה כלשהו.
נשתמש בטענות אלה כדי להוכיח את המשפט עבור שלושת התנאים:
נשים לב כי בהתקיים תנאי 1, אז בהסתברות 1 , ולכן נובע מהטענות שהזכרנו כי .
נשים לב כי בהתקיים תנאי 2, אז בהסתברות 1 .
לכן ממשפט ההתכנסות החסומה נובע כי,
נשים לב כי בהתקיים תנאי 3, אז בהסתברות 1 מתקיים לכל , </center> ולכן בפרט, נשים לב כי צד ימין של אי השוויון הוא משתנה מקרי בעל תוחלת, ולכן ממשפט ההתכנסות הנשלטת נובע כי, <center>
ממשפט זה ניתן להסיק למשל שהילוך מקרי פשוט על הוא נשנה, באופן הבא:
נניח כי ההילוך הוא ומתחיל בנקודה .
נרצה להראות כי בהסתברות ההילוך יגיע לנקודה תוך זמן סופי.
לכל נגדיר זמן עצירה מתאים לו, על ידי .
עבור שלם כלשהו, נחשב את ההסתברות שההילוך המקרי יפגע ב- לפני שיפגע ב-.
לשם כך נגדיר זמן עצירה חדש , ונשים לב כי מהמשפט נובע שמתקיים .
מצד שני, על ידי חישוב ישיר של התוחלת,
מכאן נובע כי לכל ,
ולכן בהכרח , כלומר ההילוך נשנה.
בסטטיסטיקה, משפט גאוס-מרקוב מספק את ההצדקה המתמטית לשימוש באומד הריבועים הפחותים במסגרת מודל של רגרסיה ליניארית.
משפט זה קובע כי תחת הנחות המודל — שגיאות בעלות תוחלת אפס, שונות קבועה ובלתי מתואמות — האומד חסר ההטיה הליניארי הטוב ביותר הוא האומד של שיטת הריבועים הפחותים, במובן זה שהשונות שלו היא הנמוכה ביותר מבין שאר האומדים הליניאריים חסרי ההטיה.
למשל אומד ג'יימס-שטיין הוא אומד מוטה ששונותו נמוכה יותר.
נניח מודל מהצורה בכתיב וקטורי.
כלומר, , ואז בכתיב מלא המודל הוא,
הוא פרמטר קבוע לא ידוע שאותו מחפשים; הוא ערך קבוע ידוע; הוא משתנה מקרי המתאר את השגיאה או את ה"רעש", וכתוצאה מכך גם הוא משתנה מקרי.
אומד ליניארי לפרמטר הוא ליניארי במשתנים , כלומר הוא מהצורה,
כאשר המקדמים אינם יכולים להיות תלויים בפרמטר , אלא רק בערכים הנצפים (אך התלות של המקדמים בערכים הנצפים אינה בהכרח ליניארית).
אם הוא אומד כלשהו, ונסמן בהתאמה
טבעי לרצות אומד שממזער את סכום ריבועי השגיאות.
כלומר, אומד כזה שממזער את הביטוי,
משפט גאוס-מרקוב: אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים:
אז האומד שממזער את סכום ריבועי השגיאות הוא אומד הריבועים הפחותים הליניארי,
יהי אומד ליניארי וחסר הטיה כלשהו.
היות שאנו עוסקים באומדים חסרי הטיה, מזעור של סכום ריבועי השגיאות שקול למזעור השונות.
אם כך נרצה להראות כי המטריצה היא מטריצה חיובית.
נכתוב לצורך הפשטות , עבור מטריצה מגודל , ונחשב,
אם כך, כדי שהאומד יהיה חסר הטיה, בהכרח מתקיים .
כאשר המעבר בשורה השביעית הוא כי , והמעבר בשורה השמינית הוא כי .
לפיכך, היות ש- היא מטריצה חיובית, נובע כי אכן היא מטריצה חיובית, כנדרש.
משפט בֶּלזֶן (Belsen) הוא שמה של סדרת משפטים אשר ערכו שלטונות הכיבוש של בעלות הברית נגד בכירים ובעלי תפקיד בשלטון גרמניה הנאצית לאחר סוף מלחמת העולם השנייה.
משפט בלזן נערך בלינבורג, סקסוניה התחתונה, גרמניה בשנת 1945. הנאשמים היו גברים ונשים מיחידות האס אס ופקידים שעבדו במחנות ריכוז שונים, בייחוד באוושויץ ובברגן-בלזן.
המשפט הראשון עורר עניין רב בעולם.
הציבור הרחב שמע לראשונה עדות ישירה מהאחראים לרצח ההמוני שהתרחש במחנות ההשמדה שבמזרח אירופה.
משפטים נוספים שנערכו לאחר המשפט הראשון באותו המקום מכונים גם הם "משפט בלזן".
המשפט הראשון שנערך נקרא באופן רשמי "המשפט של יוזף קרמר ו-44 אחרים".
המשפט החל בגימנסיה שבלינבורג ב-17 בספטמבר 1945.
הנאשמים היו 45 חברי וחברות אס אס לשעבר וקאפואים ממחנות הריכוז ברגן-בלזן ואושוויץ.
אחד מן הנאשמים היה יוזף קרמר שהיה מפקד המחנה באושוויץ ולאחר מכן בברגן-בלזן.
מתוך שאר הנאשמים, 12 היו קאפואים, 16 חברות אס אס ו-16 חברי אס אס.
כל הנאשמים טענו כי אינם אשמים.
ב-17 בנובמבר בית המשפט דן 11 מן האשמים למוות בתלייה, 18 אשמים למאסר של 15 שנה בכלא, ו-14 זוכו בחנינה בעקבות תחנונים וערעורים.
משפטי מאסר רבים התקצרו בצורה ניכרת, ועד 1955 שוחררו כל הנידונים למאסר.
רשימת אנשי האס אס אשר נמצאו אשמים
(א'= אשם בפשעים באושוויץ, ב'= אשם בפשעים בברגן-בלזן)
משפט בלזן עורר עניין תקשורתי רב.
יותר מ-100 נציגויות תקשורת ברחבי העולם דיווחו לאורך כל התפתחויות המשפט.
דרך התקשורת והתיעוד בתמונות ובווידאו של מה שהתרחש במחנות אשר פורסם, העולם כולו התוודע לא רק לאלפי המיתות מרעב וממחלות בברגן-בלזן, אלא גם לרצח ההמוני המתוכנן שהתרחש באוושויץ בירקנאו, בעקבות עדויותיהם של הנאשמים, אשר תיארו את תהליך הסלקציה ואת השימוש בתאי גז ובמשרפה.
באנליזה פונקציולית הוא משפט המאפיין את הפונקציונלים הליניארים הכפליים מעל אלגברת בנך.
המשפט נקרא ע"ש המתמטיקאים שהוכיחו אותו גליסון בשנת 1967 באופן בלתי תלוי בקיין וזלזקו שהוכיחו את המשפט ב 1968.
תהי אלברת בנך ונסמן ב את אוסף האיברים ההפיכים על .
נסמן ב e את איבר היחידה ב .
יהי F פונקציונל ליניארי (רציף) כפלי על .
בבירור צריך להתקיים ש וכן ש לכל x ב .
לפי המשפט זהו גם תנאי מספיק לכפליות ולרציפות F כלומר:
כל פונקציונל על המקיים הוא בהכרח רציף וכפלי.
לצורך ההוכחה נצטרך את הטענה הבסיסית הבאה לגבי אלגבראות בנך:
עובדה: יהי כך ש אז הפיך (רעיון ההוכחה: לא קשה להראות שסדרת הסכומים החלקיים של היא סדרת קושי ומשלמות מתכנסת.
למה: תהי f פונקציה שלמה המקיימת אז .
הוכחת הלמה: כיוון ש f לא מתאפסת אז יש לה לוגריתם אנליטי g.
מהנתונים נקבל ש וכן .
יהי r>0. נקבל מהאי שוויון הקודם שלכל , .
אזי h אנליטית במעגל ברדיוס .
כמו כן אם אז נקבל ש.
כעת מעקרון המקסימום, לכל .
יהו ההנחה ש גוררת שאפשר לרשום כאשר .
ולכן על מנת להראות את הכפליות יש להוכיח ש .נניח תחילה שהוכחנו מקרה פרטי, כלומר .
נציב x+y במקום x ונקבל ש .
מהטענה הקודמת ומההנחה ש נקבל שצד ימין וכן ב N.
לכן ב N וכיוון ש נקבל ש ב N.
לכן xy,yx ב N ונקבל את הכפליות.
מההנחה אין ב N איברים הפיכים ולכן מהעובדה למעלה, .
לכן לכל לכן נסיק ש רציף ומנורמה 1.
כיוון ש נקבל ש f שלמה ומקיימת בבירור .
נראה ש f לא מתאפסת: הסדרה מתכנסת בנורמה ומרציפות נקבל ש הפונקציה E מקיימת משוואה פונקציונלית זהה לאקספוננט: (אותה הוכחה).
לכל , הפיך ולכן מהנתון f לא מתאפסת.
מהלמה נקבל ש ובפרט וקיבלנו את הדרוש.
משפט גלפנד-מזור הוא משפט בסיסי בתאוריה של אלגברות בנך, שזכה להכללות רבות.
על שמם של ישראל גלפנד וסטניסלב מזור .
לפי המשפט, כל אלגברת חילוק (אסוציאטיבית) נורמית
מעל שדה המספרים הממשיים היא אחת מבין האלגברות (ממשיים, מרוכבים, קווטרניונים).
זוהי הכללה של משפט פרובניוס, שלפיו כל אלגברת חילוק מממד סופי מעל הממשיים היא אחת מהנ"ל.
למשפט גלפנד-מזור כמה הוכחות, שאחדות מהן מבוססות על כך שהספקטרום של אבר באלגברת בנך (מרוכבת) הוא תמיד קבוצה קומפקטית לא ריקה, או גרסאות של עובדה זו עבור אלגברות בנך ממשיות.
כל אלגברת חילוק אסוציאטיבית A מעל הממשיים היא אחת מבין האלגברות אם מניחים אחד מהבאים:
ל-A ממד סופי (משפט פרובניוס);
מוגדרת על A סמי-נורמה תת-כפלית;
A היא תמונה של אלגברה נורמית, או שהיא ניתנת לשיכון לתוך אלגברה נורמית.
כל אלגברה נורמית ממשית היא אחת מבין האלגברות , אם מניחים אחד מהבאים:
באלגברה אין מחלקי אפס טופולוגיים (משפט Kaplansky).
A היא אלגברת בנך עם יחידה, שבה הנורמה מקיימת לקבוצה פתוחה של איברים הפיכים x (משפט Aupetit).
A היא אלגברת בנך ללא מחלקי אפס, ובנוסף מתקיים אחד הבאים:
לאלגברה יש נורמה אוניפורמית יחידה.
לאלגברה יש יחידה והיא אלגברית.
לאלגברה יש יחידה והיא נתרית.
לאלגברה יש יחידה, היא תחום פריקות יחידה (לא קומוטטיבי), והאידיאל הנוצר על ידי כל איבר ראשוני הוא סגור.
הנורמה מושרית על ידי מכפלה פנימית, ובנוסף מתקיים אחד הבאים:
לאלגברה יש יחידה, והנורמה המושרית מן המכפלה הפנימית מקיימת ו-.
לאלגברה יש אינוולוציה, והנורמה המושרית מקיימת .
לאלגברה יש אינוולוציה ואיבר יחידה, הנורמה המושרית מקיימת ו-, ואין בה איברים איזוטרופיים ().
אלגברה אלטרנטיבית ממשית היא אחת מבין האלגברות אם מניחים אחד מהבאים:
האלגברה נורמית ואין בה מחלקי אפס טופולוגיים;
אם האלגברה עם יחידה, והיא מרחב מכפלה פנימית שהנורמה המושרית בו מקיימת ו-.
את משפט פרובניוס מכליל משפט Bott-Milnor, שלפיו כל אלגברה לא אסוציאטיבית ממשית מממד סופי עם חילוק היא אחת מבין האלגברות .
משפט בריאות הציבור עוסק בסמכות הממשלה לשיפור בריאות האוכלוסייה הכללית בגבולות ונורמות החברה.
משפט בריאות הציבור מתמקד בתפקידיה של הממשלה להשיג יעדים אלה, מגבלות על כוח זה ונקודת מבט האוכלוסייה.
משפט בריאות הציבור מתמקדים גם בסוגיות משפטיות בפרקטיקה של בריאות הציבור ובהשפעות בריאות הציבור של פרקטיקה משפטית.
ניתן להגדיר סמכות משטרתית ככוחה האינהרטי של ממשלה לממש שליטה סבירה באנשים וברכוש שבתחום שיפוטה לטובת הביטחון הכללי, הבריאות, הבטיחות, המוסר והרווחה, למעט במקומות האסורים מבחינה חוקית.
אזורים משומרים אלה מועסקים על ידי סוכנויות ממשלתיות.
טרור ביולוגי מהווה מוקד הולך וגדל של תחום המומחיות הזה בכמה סמכויות שיפוטיות; לדוגמה, עורכי דין לבריאות הציבור בארצות הברית פעלו ליצירת חוק סמכויות בריאות לשעת חירום ומשפט בריאות הציבור.
תחום רחב יותר זה של דיני בריאות הציבור מחיל כלים משפטיים על בעיות בריאות הציבור הקשורות למחלות ופציעות.
אנשי מקצוע מחילים חקיקה, רגולציה, התדיינות (אכיפה פרטית) ומשפט בינלאומי על בעיות בריאות הציבור המשתמשות בחוק ככלי לבריאות הציבור.
התדיינות משפטית נגד חברות טבק בארצות הברית מהווה דוגמה לכך.
במכניקת הזורמים, משפט בלסיוס הוא משפט המקשר בין פונקציית הפוטנציאל המרוכבת של זרימה פוטנציאלית דו-ממדית, לכוח אותו יחוש גוף מוצק המונח בתוך הזרימה.
המשפט הוכח בשנת 1911 על ידי פול בלסיוס וקרוי על שמו.
המשפט משמש לחישוב כוחות בשדה זרימה דו-ממדית ובפרט משמש להוכחת משפט קוטה–ז'וקובסקי המחשב את כוח העילוי המופעל על כנף הנעה במהירות קבועה.
זרימה פוטנציאלית דו-ממדית היא זרימה אידיאלית, בלתי דחיסה, הומגנית ואי רוטציונית.
נתבונן בזרימה כזו בעלת צפיפות זורם , המתוארת על ידי פוטנציאל מרוכב המקיים:.
גוף מוצק בזרימה כזו מוגדר על ידי לולאה כאשר מתקיים על .
המשפט קובע שהכוח אותו יחוש הגוף נתון על ידי:
נבצע פרמטרזציה של באמצעות הפרמטר , ונציין ב- את הזווית בין ציר ה- למשיק ל- בנקודה .
הכוח על אלמנט אינפינטיסמלי הוא ולכן מתקיים: .
מצד שני, על מתקיים :.
משוואת ברנולי מקשרת בין הלחץ למהירות על קו זרם וקובעת ש: עבור קבוע כלשהו .
הוא קו זרם ולכן מתקיים:
כעת: והאיבר הקבוע מתאפס כאשר מבצעים את האינטגרל על ולכן:
עבור זרימה מציפה בכיוון ה- מסביב לגליל בעל רדיוס שמרכזו בראשיות מתקיים:
כאשר השוויון האחרון מתקבל לפי משפט השארית.
כלומר קיבלנו שלא פועל כוח על גליל המוצב בזרימה מציפה, זאת בניגוד לתופעה הנצפית בניסוי ובה עצמים המונחים בזרימה מציפה חווים כוח גרר משמעותי ונסחפים.
הניגוד בין התוצאה הנצפית בניסוי לתוצאה הנחזית מהתיאוריה הפוטנציאלית נקראת פרדוקס ד'אלמבר.
פתרון של הפרדוקס הוצג על ידי פרנטל באמצעות תאוריית שכבת הגבול.
לפי תיאוריה זו, בסמוך לגליל מתפתחת שכבות גבול טורבולנטית, בה כוחות הצמיגות הם משמעותיים והתיאוריה הפוטנציאלית לא מתקיימת.
ביצוע החישוב כולל שכבת הגבול מאפשרת מציאת כוח הגרר המופעל על הגליל.
משפט בליכפלדט הוא משפט מתמטי בגאומטריה של מספרים, הקובע שבהינתן קבוצה חסומה בעלת שטח במישור האוקלידי, ניתן להזיזה כך שהיא תכלול בתוכה לפחות נקודות סריג.
באופן שקול, הקבוצה מכילה לפחות נקודות אשר הקואורדינטות שלהן שונות זו מזו בווקטור שלם.
המשפט תקף גם לסריגים לא ריבועיים ובממד גבוה יותר, וניתן לפרש אותו כגרסה רציפה של עקרון שובך היונים.
הוא נקרא על שם המתמטיקאי הדני-אמריקאי הנס פרדריק בליכפלדט, אשר פרסם אותו ב-1914. מקורות מסוימים מכנים את המשפט עקרון בליכפלדט או למת בליכפלדט.
המשפט ניתן לניסוח בצורה הפשוטה ביותר בעבור קבוצת נקודות במישור האוקלידי.
בעבור גרסה זו של המשפט, תהי קבוצה מדידה כלשהי, ויהי שטחה, אז נעגל את המספר הזה כלפי מעלה אל הערך השלם הקרוב ביותר (פונקציית התקרה).
משפט בליכפלדט קובע ש- ניתנת להזזה כך שהעותק המוזז שלה מכיל לפחות נקודות עם קואורדינטות שלמות.
הרעיון הבסיסי של ההוכחה הוא לחתוך את לחתיכות על פי הריבועים של הסריג, ואז להזיז את כל אחת מהחתיכות הללו בווקטור שלם כך שהיא תימצא בתוך ריבוע היחידה אשר ראשית הצירים היא הפינה הימנית התחתונה שלו.
ההזזה הזו עשויה לגרום לנקודות מסוימות להיות מכוסות יותר מפעם אחת, אך אם מחשבים את סכום השטחים של האזורים השונים תוך כדי שקלול הריבוי שלהם, אז השטח הכולל של הקבוצה נשאר ללא שינוי, ושווה ל-.
כדי להוכיח את המשפט, מספיק להוכיח שיש נקודה עם ריבוי .
לשם כך, נניח בשלילה שכל נקודות ריבוע היחידה הן בעלות ריבוי של לכל היותר .
אם זה כך, פירוש הדבר הוא ששטח הקבוצה הוא לכל היותר , פחות מ-.
לפיכך, נקודה כלשהי בריבוע היחידה חייבת להיות מכוסה בריבוי של לפחות .
הזזה שתיקח את לראשית תיקח גם את הנקודות של שכיסו את לנקודות שלמות (נקודות סריג), וזה מה שנדרש.
באופן כללי יותר, המשפט תקף לקבוצות -ממדיות , עם נפח ממדי , ולסריג -ממדי שרירותי .
בדיוק כשם שסריג היחידה הריבועי מחלק את המישור לריבועי יחידה, סריג שרירותי מחלק את המרחב לתחומים יסודיים (הנקראים מקבילונים יסודיים) עם התכונה שכל אחד מהתחומים האלו ניתן להזזה אל כל אחד מהאחרים על ידי חיבור של וקטור שלם.
אם הוא הנפח ה--ממדי של המקבילון היסודי, אז משפט בליכפלדט קובע ש- ניתנת להזזה כך שהיא תכלול לפחות נקודות של .
למת מינקובסקי, שהוכחה מוקדם יותר בהשוואה למשפט בליכפלדט (על ידי הרמן מינקובסקי), קובעת שכל קבוצה קמורה במישור בעלת סימטריה ביחס לראשית, עם שטח גדול מארבע (או קבוצה קומפקטית סימטרית עם שטח שווה בדיוק לארבע) מכילה נקודת סריג שונה מאפס.
באופן כללי יותר, קבוצה בעלת סימטריה מרכזית ביחס לראשית ובעלת נפח גדול מ-, מכילה נקודת סריג שונה מאפס.
אף על פי שהוכחתו המקורית של מינקובסקי הייתה שונה, בעזרת משפט בליכפלדט ניתן לתת הוכחה קלה ללמת מינקובסקי.
תהי כל קבוצה קמורה בעלת סימטריה מרכזית עם נפח גדול מ-.
נשנה את קנה המידה של הצורה בפקטור שניים בכל הכיוונים כדי לקבל קבוצה שנסמנה שהיא בעלת נפח גדול מ-.
לפי משפט בליכפלדט, מכילה לפחות שתי נקודות ו- אשר הפרש הקואורדינטות שלהן שייך לסריג (כלומר, הוא וקטור שלם).
אם נהפוך על פניו את טיעון הכיווץ, אז ו- שייכים ל-.
מהסימטריה המרכזית נובע ש- שייך גם ל-, ומקמירות הקבוצה נובע שכל מיתר המחבר שתי נקודות בקבוצה מוכל בה במלואו.
כיוון שכך, אמצע המיתר המחבר את עם משתייך ל-.
אבל אמצע מיתר זה הוא הנקודה , ועל פי הגדרת ו- (שקיומן נובע ממשפט בליכפלדט), זוהי נקודת סריג.
יישומים רבים של משפט בליכפלדט, כגון השימוש בו להוכחת למת מינקובסקי, חותרים למציאת נקודת סריג שונה מאפס בעבור קבוצה גדולה מספיק, אך כזאת שאינה קמורה.
בהוכחת למת מינקובסקי, קשר המפתח בין הקבוצות ו- אשר גורם להוכחה כולה לעבוד הוא העובדה שכל ההפרשים בין זוגות של נקודות (כלומר ההפרשים בין הווקטורים המתאימים לנקודות) ב- משתייכים ל-.
אף על פי כן, בעבור קבוצה שאינה קמורה, ייתכן מצב בו ההפרש בין זוג נקודות של אינו שייך , מה שהופך את הטכניקה של הוכחת למת מינקובסקי ללא שמישה.
ניתן במקום זאת למצוא את תת-הקבוצה הקמורה והסימטרית ביחס לראשית הגדולה ביותר , ואז להפעיל את בלמת מינקובסקי לגבי , או באופן שקול להשתמש במשפט בליכפלדט לגבי .
אף על פי כן, במקרים רבים לקבוצה לא קמורה יש תת-קבוצה שהיא גדולה יותר מ-, אשר כל ההפרשים בין זוגות נקודות שלה שייכים ל-.
כאשר זה המקרה, גודלה הרב יותר של בהשוואה ל- מוביל לחסמים טובים יותר לגבי השאלה כמה גדולה צריכה להיות הקבוצה כדי להבטיח שהיא תכיל נקודת סריג.
בעבור תחום כוכבי סימטרי ביחס לראשית, ניתן להיעזר בחשבון הווריאציות, כדי למצוא את הקבוצה הגדולה ביותר אשר כל ההפרשים בין נקודות שלה שייכים ל-.
יישום מעניין אחד של הטכניקות הללו הוא לבעיה של קירובים דיופנטיים סימולטניים, שנוגעת לשאלה איך לקרב קבוצה של מספרים אי-רציונליים על ידי מספרים רציונליים שלכולם יש מכנה זהה.
משפטים אנלוגיים למשפט בליכפלדט הוכחו עבור מבנים גאומטריים אחרים מסריגים, ומראים שתחומים גדולים מספיק מכילים נקודות מהמבנים גם במקרים אלו.
אלו כוללים משפטים עבור חבורות פוקסיות, ועבור ריצופים ארכימדיים.
משפט ברזובסקי נגד אברמוביץ' הוא משפט בו תבע האוליגרך הרוסי בוריס ברזובסקי את האוליגרך רומן אברמוביץ' בבית הגבוה לצדק בלונדון .
בטענה שאברמוביץ' השתמש במרמה ובאיומים, כדי לאלץ אותו למכור את חלקו בחברת הנפט "סיבנפט" במחיר נמוך משוויה האמיתי.
עוד טען ברזובסקי כי חלק מהמניות, בהן מניות של חברת האלומיניום "רוסאל", לא נמכרו לאברמוביץ' אלא הושארו אצלו למשמורת, אך זה מכר אותן לאחר מכן לאולג דריפסקה.
חשיבות המשפט הייתה בחשיפה, ממקור ראשון, של השיטות שבהם השתמשו האוליגרכים הרוסים לצבור את הונם, בשנות ה-90 של המאה ה-20 ותחילת המאה ה-21.
שני האוליגרכים נפגשו לראשונה בסוף שנת 1994. ברזובסקי, איש אקדמיה שהפך לסוחר מכוניות מצליח ולמקורבו של הנשיא לשעבר בוריס ילצין יצר שותפות עם אברמוביץ', שהיה אז סוחר זעיר בן 29, במטרה להיכנס לעסקי הנפט ברוסיה.
אברמוביץ' תרם את כישוריו העסקיים, וברזובסקי ניצל את קשריו עם בכירי השלטון.
ברזובסקי ואברמוביץ' הקימו חברת החזקות חדשה בשם "Runicom Ltd" שנרשמה במקלט מס, עם חמש חברות בנות.
אברמוביץ' עמד בראש השלוחה במוסקבה של החברה השווייצרית Runicom S.A.
ברזובסקי שכנע את בכירי השלטון להפריט שני שדות נפט בסיביר, ולפתוח חברה פרטית חדשה בשם "סיבנפט".
באוגוסט 1995 רכשו אברמוביץ' וברזובסקי גרעין שליטה ב"סיבנפט" במכירה פומבית מזויפת.
העסקה התרחשה במסגרת "תוכנית הלוואות למניות" השנויה במחלוקת של רוסיה, כל שותף שילם 100 מיליון דולר עבור מחצית מהחברה, מעל השווי שלה באותה עת - 150 מיליון דולר.
העסקה הפכה אותם במהירות למיליארדים והם רכשו שדות נפט נוספים מהממשלה.
הערך העולה המהיר של החברה הוביל משקיפים רבים, בדיעבד, להציע שהשווי האמיתי של החברה היה צריכה להיות מיליארדי דולרים.
לפי עיתון "הטיימס" הלונדוני אברמוביץ' נעזר באוליגרך בדרי פטרקצישווילי למימון חלקו ברכישת "סיבנפט".
בשנת 2000, סיבנפט כבר הפיקה מדי שנה נפט בשווי 3 מיליארד דולר.
אחרי סיבנפט, היעד הבא של אברמוביץ' היה תעשיית האלומיניום ברוסיה שהופרטה.
באותה עת שררה "מלחמות האלומיניום" שהובילה לרציחות של מנהלי מפעלי אלומיניום, סוחרי מתכות ועיתונאים, כאשר קבוצות נאבקו על השליטה בתעשייה.
היא איחד מספר מפעלים, עם שותפים שונים בהם מיכאל צ'רנוי, ליצירת חברת האלומיניום "רוסאל".
בתחילת 2001 נתן הקרמלין אישר להקמת החברה המאוחדת, שהחזיקה 70% מתעשייות האלומיניום במדינה והיצרנית השנייה בגודלה בעולם.
ב-1999 ברזובסקי ואברמוביץ' היו מעורבים בקידמו של ולדימיר פוטין כיורש לנשיא ילצין (אברמוביץ' אף התגורר בדירה בתוך הקרמלין באותה עת).
אולם לאחר בחירתו של פוטין לנשיא, תקף ברזובסקי בחריפות את הרפורמה החוקתית שהציע פוטין, שתעניק לו סמכויות נרחבות.
ב-7 בנובמבר 2000, ברזובסקי, עזב את המדינה, לא התייצב לחקירה שנפתחה נגדו והודיע כי לא יחזור לרוסיה, בגלל מה שהוא תיאר כלחץ מתמיד מצד השלטונות והנשיא פוטין באופן אישי.
אברמוביץ' מצידו נשאר ברוסיה, שמר על קשרים טובים עם פוטין ומונה למושל מחוז צ'וקוטקה (תפקיד אותו מילא עד 2008).
בשנת 2001, בוצע עסקה בה רכש אברמוביץ' מברזובסקי ופטרקצישווילי, תמורת תשלום של 1.3 מיליארד דולר את חלקם ב"סיבנפט".
עסקה זו הייתה נושא למחלוקת העיקרית בתביעה המשפטית.
בספטמבר 2005 מכר אברמוביץ' את "סיבנפט" לחברת הגז הממשלתית "גזפרום" תמורת 13 מיליארד דולר.
את כתב התביעה ניסה להגיש לאברמוביץ' באופן אישי, בעת שעשה קניות בחנות האופנה דולצ'ה וגבאנה בלונדון, בלוויית שלושה שומרי ראש.
בצאתו מן החנות הבחין באברמוביץ' בחנות "הרמס" הסמוכה, הוא הורה מיד לאחד משומרי ראשו להביא את צו הזימון למשפט מן הלימוזינה שלו, שחנתה בסמוך.
אך כאשר ניסה ברזובסקי להיכנס לחנות עם המסמך, נחסם על ידי שלושת שומרי הראש של אברמוביץ, כולם חניכי SAS, הכוחות המיוחדים הבריטים.
בעוד שומרי הראש שלו מתגוששים עם שומרי הראש של אברמוביץ, הצליח ברזובסקי לפתוח את הדלת ולהושיט לו את המסמך.
הדרמה הונצחה כולה במצלמות האבטחה של החנות, ובתוך עשרים דקות ביקשו עורכי הדין של ברזובסקי את ההקלטה של המצלמות, כדי להוכיח שהצו שהוצא אכן הוגש לאברמוביץ.
ברזובסקי טען בתביעה לבעלות עבר על חברת "סיבנפט", שהיוותה את עיקר הונו המקורי של אברמוביץ' (הם רכשו את החברה לפי שווי של 200 מיליון דולר ב-1995 ואברמוביץ' מכר אותה ב-2005 תמורת 13 מיליארד דולר).
לטענת ברזובסקי, הוא מכר את מניותיו לאברמוביץ' ב-2001, לאחר שזה הפעיל עליו לחץ ואיים כי במקרה שהעסקה לא תצא אל הפועל, הוא ישתמש בהשפעתו כדי להשאיר בכלא את חברו ושותפו של ברזובסקי, ניקולאי גלושקו.
פתיחת הדיונים במשפט התעכבה במשך מספר שנים, מאחר שהדיונים הראשונים היה על סמכות בית המשפט בלונדון לדון בתביעה על רכוש זר ואירועים שהתרחשו מחוץ ל.
זמן קצר לפני שברזובסקי הגיש את התביעה נגד אברמוביץ', הגיש האוליגרך מיכאל צ'רנוי תביעה נגד אולג דריפסקה לבעלות על 40% ממניות "רוסאל".
הרקע לתביעה היה הנפקה ראשונה לציבור של מניות "רוסאל" שתוכננה ב, לפי שווי שוק של 30 מיליארד דולר.
צ'רנוי טען שהוא מחזיק 13% מהמניות אך שמו נמחק ממרשם בעלי המניות במרמה.
בנובמבר 2007, הגיש האוליגרך שלווה צ'יגירינסקי וחברת "סיביר אנרג'י" שבשליטתו, שהמניות שלה נסחרו בבורסת לונדון, נגד אברמוביץ'.
בטענה ש"סיבנפט", חברת הנפט שאותה מכר אברמוביץ' לחברה הממשלתית הרוסית "גזפרום", גזלה ממנה החזקה בת 50% בשדה נפט ענק ברוסיה.
המיזם המשותף שבאמצעותו החזיקה "סיביר אנרג'י" ב-50% משדה הנפט הועבר לידי כונס נכסים שעירב גם בוריס ברזובסקי, לאחר שטען כי יוכל לדרוש את הנכס גם אם ברזובסקי ינצח בתביעות כלשהן נגד אברמוביץ'.
"סיביר אנרג'י" טענה שהחזקתה במיזם המשותף דוללה מ-50% ל-1% ללא ידיעתה, זמו קצר לפני שנמכר שדה הנפט.
סיבנפט ואברמוביץ' טענו שהעסקה הייתה חוקית.
לפי התביעה של צ'יגיריניסקי, שכבר הוגשה לבתי משפט ברוסיה ובאיי הבתולה ונדחתה, צ'יגיריניסקי ואברמוביץ' סיכמו בשנת 2000 על פיתוח של השדה, בו עתודות מוכחות של 300 מיליון טון נפט, על-ידי חברה משותפת, בבעלות שווה.
אך דצמבר 2003, דולל בבת אחת חלקו במיזם המשותף מ-50% לפחות מ-1%, בעקבות הנפקת מניות של המיזם בתמרונים משפטיים מסובכים.
בעקבות המשבר הכלכלי העולמי ב-2008 עסקיו של צ'יגירינסקי נקלעו לקשיים, חברת "סיביר אנרג'י" תבע אותו בטענה שהוציא במרמה מהחברה 250 מיליון דולר.
הוא ברח לישראל באוקטובר 2009. הוא גם היה מעורב בפרשת שחיתות עם אשת ראש עיריית מוסקבה יורי לוז'קוב.
וחברת "גזפרום נפט" השתלטה על נכסיה של "סיביר אנרג'י".
הדיונים בתביעה החלו החלו ב-3 באוקטובר 2011, בבית המשפט הגבוה לצדק בלונדון.
זו הייתה התביעה הפרטית בסכום הגבוה ביותר מאז ומעולם בבריטניה, 5.8 מיליארד דולרים.
אולג דריפסקה העיד לטובת אברמוביץ' ומיכאל צ'רנוי סירב להעיד.
השופטת דחתה את טענותיו של ברזובסקי ואמרה כי: "בניתוח מכלול הראיות מצאתי את מר ברזובסקי עד לא מרשים, ובלתי אמין במהותו, שראה את האמת כמושג חולף וגמיש, שניתן לעצב אותה כך שתתאים לו...
צר לי לומר שהשורה התחתונה של ניתוח מהימנותו של מר ברזובסקי היא, שהוא היה אומר כמעט כל דבר כדי לתמוך בעניינו".
היא קבע כי הכספים ששולמו לברזובסקי מייצגים תשלום סופי לסילוק כל ההתחייבויות של אברמוביץ'.
לאחר שהפסיד בתביעה נגד אברמוביץ' ברזובסקי נקלע לחובות, החל במכירת רכושו כדי לכסות את הוצאות המשפט שלו, ואף לקח הלוואת מידידיו.
אלכסנדר דוברובינסקי, עורך דין שייצג אותו, שכתב שייתכן שהוא התאבד, והוסיף כי ברזובסקי היה מדוכא לאחרונה והתבודד מחברים.
"אני לא מאמין שהוא התאבד, ולא אאמין בכך אף פעם", אמר ניקולאי גלושקוב.
גלושקוב ניהל בשנות ה-90 את חברת "אירופלוט" עבור ברזובסקי, ונרצח בעצמו 5 שנים אחר כך, ב-12 במרץ 2018, על ידי יחידה 29155. שני מקורבים של ברזובסקי נרצחו עוד לפני המשפט, אלכסנדר ליטוויננקו נרצח בלונדון בנובמבר 2006 עם רעל רדיואקטיבי נדיר.
וב-12 בפברואר 2008, המיליארדר היהודי בדרי פטרקצישווילי, חבר קרוב ושותף עסקי ותיק של ברזובסקי, התמוטט ומת בחדר השינה שלו לאחר ארוחת ערב משפחתית באחוזתו באנגליה.
במרץ 2022, תוכנית התחקירים "פנורמה" של ה-BBC, חשפה ראיות חדשות המעידות על חטיפות, הונאה ועסקות מושחתות מצידו של אברמוביץ' בעסקאות שונות שביצע, שאפשרו לו להשתלט על נכסים בסך מיליארדי דולרים.
משפט גלגל העין הוא משפט בגאומטריה אוקלידית שמדבר על תכונה של זוג מעגלים זרים.
לשני מעגלים שאינם נחתכים ו שמרכזם בנקודות ו המשיקים מ-P אל נחתכים ב- בנקודות ו והמשיקים מ-Q אל נחתכים עם בנקודות ו .
משפט גלגל העין התגלה ב-1960 על ידי המתמטיקאי הפרואני אנטוניו גוטיירז.
במתמטיקה, משפט ג'ייקובסון – מורוזוב הוא הטענה שניתן למצוא לכל איבר נילפוטנטי באלגברת לי פשוטה למחצה שני איברים נוספים באלגברה כך שהם יוצרים יחד את האלגברה .
בפרט, ניתן לשכן את בכל אלגברת לי פשוטה למחצה.
המשפט נקרא על שם ולדימיר מורוזוב ונתן ג'ייקובסון.
מורוזוב הוכיח את המשפט עבור המרוכבים כשדה בסיס בשנת 1942, וג'ייקובסון הכליל את המשפט עבור שדה בסיס עם מאפיין "מספיק נחמד" שונה מ-2 בשנת 1951.
בשביל לנסח את המשפט, נציג כמה הגדרות לשם נוחות.
-שלשה באלגברת לי פשוטה למחצה (לאורך כל הדף הזה, שדה הבסיס הוא ממאפיין אפס) הוא הומומורפיזם של אלגברות לי .
באופן שקול, זו שלשה של איברים ב- כך שהיחסים הבאים מתקיימים:
איבר נקרא נילפוטנטי אם האנדומורפיזם (הידוע בשם העתקת הצמוד, באנגלית: Adjoint Endomorphism ) הוא אנדומורפיזם נילפוטנטי, כלומר המטריצה המייצגת של ההעתקה היא מטריצה נילפוטנטית .
עובדה: לכל - שלשה , חייב להיות נילפוטנטי.
משפט ג'ייקובסון – מורוזוב מוכיח גם את הכיוון ההפוך: כל איבר נילפוטנטי שונה מאפס ניתן להרחיב ל--שלשה.
עבור , ה--שלשות נמצאו מפורשות על ידי נייל קריס ו-ויקטור גינצבורג במאמרם משנת 1997.
בתורת ההסתברות, משפט גליבנקו-קנטלי , על שם ולרי איבנוביץ' גליבנקו ופרנצ'סקו פאולו קנטלי, אומר שכאשר גודל המדגם שואף לאינסוף, פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית המבוססת על אותו המדגם מתכנסת במידה שווה כמעט בוודאות לפונקציית ההתפלגות המצטברת ממנה לקוח המדגם .
משפט זה מכונה לעיתים המשפט היסודי של הסטטיסטיקה.
נניח ש הם משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות עם פונקציית התפלגות מצטברת .
פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית עבור מוגדרת על ידי
כאשר היא פונקציה מציינת של הקבוצה .
לכל ממשי, לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, היא סדרה של משתנים מקריים המתכנסת ל- כמעט בוודאות.
גליבנקו וקנטלי חיזקו תוצאה זו על ידי הוכחה של התכנסות במידה שווה של ל-.
הסימון .a.s משמעותו התכנסות כמעט בוודאות.
משפט זה הוכח על ידי ולרי גליבנקו ופרנצ'סקו קנטלי, בשנת 1933.
כמו כן נזדקק גם לסימון: .
לפי החוק החזק של המספרים הגדולים ו- לכל .
לכל קיימת חלוקה המקיימת, לכל .
(את המקומות שבהן קופצת ב- או יותר בוחרים כחלק מנקודות החלוקה.) בגלל המונוטוניות הלא יורדת של כל הפונקציות המעורבות, לכל מתקיים,
ההתכנסות של ושל לכל נתון היא במידה שווה על הקבוצה הסופית .
מאחר שזה נכון לכל , נובעת נכונות המשפט.
בהיסטוריה המשפטית, משפט בעלי חיים היה משפט פלילי שבו הנאשם היה בעל חיים.
ישנם תיעודים של משפטים כאלה אשר התקיימו באירופה החל מהמאה השלוש עשרה ועד המאה השמונה עשרה.
מרבית התיעודים הם מצרפת, אך משפטים כאלה התרחשו גם באיטליה, פורטוגל, ספרד ובמדינות אחרות.
בעידן המודרני, רוב מערכות המשפט הפלילי מתייחסות לבעלי חיים כחסרי עצמאות מוסרית ולכן לא ניתן להטיל עליהם אשמה על מעשה.
ההיסטוריה של משפטי בעלי חיים
בחלקים רבים של אירופה, במשך כמה מאות שנים, בעלי חיים מסוגים שונים - כולל חרקים - היו עלולים להיות מואשמים בהאשמות פליליות.
התיעוד הקדום ביותר של משפט בעלי חיים מתאר הוצאה להורג של חזיר בשנת 1266 ברובע פונטנה-או-רוז שבפריז.
לעיתים קרובות נקראו בני אדם להעיד במשפטים אלה, ובבתי דין כנסייתיים אף הוענק לבעלי החיים ייצוג על ידי עורכי דין כדבר שבשגרה (זאת בניגוד לבתי דין אזרחיים, אם כי בתקופה המדוברת גם נאשמים אנושיים לא זכו שם להגנת עורכי דין).
אם בעל החיים הורשע, הוא היה על פי רוב מוצא להורג או מגורש.
עם זאת, בשנת 1750, אירע משפט שבו אתון זוכתה מאשמת קיום מגע מיני בין אדם לחיה (זואופיליה).
האתון זוכתה בזכות עדויות מסייעות של עדים אנושיים אשר ציינו את מזגה הטוב ואת התנהגותה הראויה, בעוד שהאדם שהיה שותף לאותו מעשה נידון למוות.
תרגומים של כמה מהרשומות המפורטות ביותר בנושא ניתן למצוא בספר "התביעה הפלילית ועונש המוות על בעלי חיים" (The Criminal Prosecution and Capital Punishment of Animals), שפורסם בשנת 1906, ונכתב על ידי אדוארד פייסון אוונס, מלומד אמריקאי אשר התפרסם בשל מאבקיו למען זכויות בעלי חיים.
הספר מפנה למחקרים כמו זה שביצע המשפטן הגרמני קרל פון-אמירה, שהיה מומחה למשפט גרמני קדום ועסק בעניין מתוך גישה מחקרית-משפטית, והסתמך על עבודת מחקר שנקראה "קונסיליה".
עבודה זו נכתבה על ידי עורך הדין הצרפתי בן המאה ה-15 ברתולומיאו צ'סני, אשר נקרא לא פעם לייצג בעלי חיים בבתי משפט, ועיקר פרסומו נבע ממקרה בו הגן באופן מופתי על קבוצת חולדות שהואשמו בהשחתת שדות שעורה.
עבודתו תוארה בסרט "שעת החזיר" שהופק בשנת 1993. בעקבות המחקר והניתוח של אוונס את המקורות שצוינו, תוך התייחסות מיוחדת למחקר של פון-אמירה, הבחין אוונס בין שתי קטגוריות: ענישת בעלי חיים ('Thierstrafen') ושיפוט בעלי חיים (Thierprocesse).
האוסף של אוונס מתעד משפטים שהתקיימו החל מהמאה ה-8 ועד תחילת המאה ה-20. הוא לא רק מפרט אותם, אלא מוסיף ומתעמק בסוגיות המטפיזיות, הדתיות, המשפטיות והחקיקתיות שהובילו בני אדם להעמיד בעלי חיים למשפט.
הספר "המשפט: ארבעת אלפים שנים של דרמה בבית המשפט" של הסופר והעיתונאי סדקת קדרי מכיל בחינה נוספת ומפורטת של הנושא.
קדרי מראה שמשפטים של בעלי חיים היו חלק ממצב עניינים רחב יותר, שבו התרחשו גם העמדות לדין של גופות ושל חפצים דוממים, וטוען שההקשר של טקסים אלה מהדהד אל ימינו אנו, בעמדות מודרניות כלפי ענישה של ילדים ושל חולי נפש.
בחלק מהמשפטים, האשמה הייתה הריגת בני אדם.
היו מספר קווי דמיון בין ההליך הפלילי במקרים אלה לבין משפטים בהם הנאשמים היו בני אדם: הנאשמים היו אמורים להיעצר ולעבור שימוע משפטי שנערך בבית משפט אזרחי.
אם החיה נמצאה אשמה ברצח, עלול היה להיגזר עליה עונש מוות.
היו דרכים שונות שבהן החברה של ימי הביניים ביצעה עונש מוות על חיות מורשעות, כולל תלייה וחנק.
אוונס מצטט את "מסכת הכאבים והעונשים של ז'אן דורט", בו כתב דורט שאם חיה רצחה או טרפה אדם, יש לחנוק אותה או לתלות אותה על מנת שניתן יהיה למחות את זיכרון הפשע.
בנוסף, חיות שנמצאו אשמות הוקרבו לעיתים לעולה.
לפעמים הדבר נעשה בעודן בחיים, ובפעמים אחרות, כשהשופט היה רחום יותר, החיה הייתה מוצאת להורג בחניקה ורק אז הייתה נשרפת.
החיות שנענשו יותר מכל היו חזירים.
בעת החדשה נעשה שימוש בעבודת המחקר של אוונס וכן בעבודתה של החוקרת אסתר כהן, בפסיקה אודות התעללות בבעלי חיים אשר נדונה בבית המשפט החוקתי של מדינת קולומביה.
במקרה זה צוטטו המשפטים הפליליים הקדומים כנגד בעלי חיים כדי לדון במסוגלותם ובאפשרותם של בעלי חיים להיות כפופים לחוק.
באותו אופן, דרך משפטים קדומים של חזירים, אנו למדים כי בנוסף למבצע הפשע העיקרי, בעלי חיים נוספים היו יכולים להיות מוכרזים כסייענים לפשע.
כך למשל במקרה שקרה בכפר סן מרסל-לה-ז'סי ב-1379, שבו נטען בנוגע לשני עדרי חזירים כי הם התפרעו, ובכך סייעו בעקיפין לרצח של תינוקות שבוצע על ידי חזירים אחרים.
החזירים שנמצאו אשמים בהריגה נידונו למוות, ואילו החזירים הסייענים זכו בחנינה בעקבות בקשה ששטח בעל שני העדרים בפני הדוכס מבורגונדי.
כמו כן, מתועדים גם מקרי הרשעות של בעלי חיים נוספים כמו חמורים, סוסים, פרות, שוורים ופרדות.
בעלי חיים שהועמדו למשפט היו כמעט תמיד בעלי חיים מבויתים (לרוב חזירים, אך גם שוורים, סוסים ופרות) או מזיקים כגון חולדות וחדקוניות.
עם זאת שומה, גם בעלי חיים אחרים כמו זחלים, זבובים, חפרפרות, תולעים, חלזונות ועלוקות הועמדו למשפט, אך לעיתים רחוקות יותר.
בקרב חזירים, הפשעים הנפוצים היו הרג, פציעה או טריפה של ילד אחד או של כמה ילדים.
בסביבות 1860 בסלובניה, חזיר נשך את אוזניה של תינוקת בת שנה, והעונש שהושת עליו היה ביתור גופתו והשלכתה למאכל לכלבים.
בשנת 1386 בפאלאיז שבצרפת, חזיר גרם למותו של ילד על ידי פגיעה בפניו וזרועותיו, והוא נענש בכך שהוטלו מומים בראשו וברגליו הקדמיות, לאחר מכן הוא הולבש בבגדים והוצא להורג בפומבי.
לפי יוהניס גרוס בכרוניקה של בזל (Kurze Basler Chronik,1624), בשנת 1474 הועמד למשפט בעיר בזל תרנגול, בשל "הפשע הנתעב והלא טבעי של הטלת ביצה", לאחר שתושבי העיר חשדו כי הביצה היא יצירת כפיו של השטן, וכי היא מכילה יצור המיתולוגי המכונה קוקאטריס.
על פי סיפורי המיתולוגיה, בוקע הקוקאטריס מביצת תרנגולת, שנחש דגר עליה.
בניגוד לקלות הכרוכה בלכידת בעלי חיים כמו אלה שצוינו לעיל, בתי משפט התבקשו לשפוט גם חיות חמקמקות וקשות יותר ללכידה, כגון מזיקים, אותם ביקשו התושבים להרשיע בעוון השחתת יבולים, כדי לגרשם.
בית הדין הכנסייתי נדרש למצוא דרכים חלופיות למימוש מטרה זו, וביקש לשם כך את התערבות הכנסייה לשם ביצוע הפעולות המטאפיזיות הרלוונטיות, כגון גירוש שדים ולחישת לחשים, כאשר האמצעי העיקרי בו נעשה שימוש הוא המים הקדושים.
אוונס מנה כמה טכניקות של טקסים אשר שימשו לגירוש והדברה של מזיקים: המחבר מזכיר מסה מאת קסיאנוס באסוס, ביזנטי בן המאה העשירית ותושב חבל ביתיניה שבאסיה הקטנה, שבה הוא מתאר, צעד אחר צעד, מתכון לסילוק עכברי שדה, שמתבקשים לעזוב את השדות תוך איום בביתור גופם לשבעה חלקים אם לא יסתלקו.
הוא גם מזכיר כיצד במהלך המאה ה-17 פנו תושבי לוצרן לאפיפיור, ביודעם כי יש לו היכולת לגנות ולקלל מזיקים מבלי להזדקק להליכים משפטיים ובירוקרטיים, ושילמו לו כדי שיפיק עבורם מסמך לחשים.
נמצא כי בעלי החיים שנשפטו יותר מכל בתהליך שכזה היו חולדות, ארבה, עכברים, חלזונות, חדקוניות, זבובים, דבורים, זחלים ושאר מיני חרקים ומזיקים, שתקפו יבולים או כרמים בשל היותם מוסתים על ידי השטן, על פי הסברי הכנסייה.
כאשר בעל חיים הואשם בביצוע פשע נגד אדם או נגד רכושו, הוא קיבל על כך הודעה, וכן הוקצה לו עורך דין שיגן עליו במהלך המשפט.
החוקרת הישראלית אסתר כהן ציינה אבחנה מעניינת בנוגע לתפקיד הסנגור במשפטי בעלי חיים.
אותם סנגורים שמונו לתפקיד ניסו באופן שיטתי להתחמק מהתפקיד בתואנות פרוצדורליות שונות.
היא מייחסת זאת להתנגדות פנימית של הסנגורים לתהליך זה, בהכירם בחוסר סמכות השיפוט במשפטים אלה, מאחר שבעלי חיים אינם מסוגלים לבצע מעשי פשע בהיותם בלתי כשירים להיות כפופים לחוק.
אפשרות נוספת שעמדה בפני ההגנה הייתה לטעון כי ההודעה לא נעשתה על פי חוק, שכן היא הועברה ישירות לארבה, חולדות או לחרקים אחרים, שאין להם כל רצון או יכולת תבונית להופיע בפני בית המשפט ולשטוח בפניו את טיעוניהם.
בפעמים אחרות, הטיעונים של ההגנה במשפטים אלה רמזו על תפקידם של בעלי החיים בעולם על פי הטלאולוגיה.
הם ציטטו את התאולוג תומאס אקווינס, שטען כי שיפוטים כאלה הנם אסורים, מכיוון שהחיות הן יצירי האל, ולפיכך, אם שופט אנושי מאשים אותם בביצוע פשעים, הרי שהוא פועל בניגוד לרצון האל.
בשירו ההומוריסטי של לואיס קרול משנת 1876 "ציד הסנרק", חולם הפרקליט על משפטו של חזיר שהואשם בעריקה מהדיר.
בעיבוד המוזיקלי של שיר זה, שם השיר הוא "החזיר חייב למות" (The Pig Must Die').
הסופר ג'וליאן בארנס מתאר משפט נגד תולעת עץ בספרו משנת 1989 "היסטוריה של העולם ב-10½ פרקים".
הסרט "שעת החזיר", שהופק בשנת 1993, והתפרסם בארצות הברית בשם "התובע" (The Advocate), מתאר את הוצאתו להורג של חזיר בית שהואשם ברצח.
חלקים מהסרט משקפים מאורעות היסטוריים, וניכר כי התסריטאים התעמקו בתקצירים של משפטים היסטוריים.
אך העלילה המרכזית, שבה מגלם השחקן קולין פירת' את תפקיד הסנגור של החזיר, היא ככל הנראה דמיונית.
ברומן של אולגה טוקרצ'וק משנת 2009 "על עצמות המתים", כותבת הגיבורה הראשית למשטרה, ועושה שימוש בדוגמאות היסטוריות של משפטי בעלי חיים כדי להצדיק את התיאוריה שלה על כך שבעלי חיים הם האחראים לרציחות המקומיות האחרונות.
משפט גוטסמן-ניל הוא משפט יסודי במחשוב קוונטי הקובע כי מעגל קוונטי הממומש על ידי שערי קליפורד יכול להיות מסומלץ בזמן פולינומי על מחשב קלאסי, וכך אין יתרון חישוב למעגל קוונטי שכזה.
המשפט פורסם לראשונה במאמר מאת דניאל גוטסמן , פיזיקאי וחוקר מחשוב קוונטי, בסוף שנות ה־90 של המאה ה־20 ונושא גם את שמו של עמנואל ניל (Emanuel Knill) שתרם ליישום המשפט.
חבורת קליפורד היא קבוצת אופרטורים קוונטיים המפורסמת בעיקר בתחום תיקון השגיאות הקוונטי.
החבורה כוללת את קבוצת המכפלות של חבורת פאולי כך שהקבוצה ממופה אל תוך עצמה.
כלומר, אם עבור שער מסוים קיימים שערי פאולי כך ש אזי שייך לחבורת קליפורד.
שערי פאולי על קיוביט בודד מוגדרים כך:
והם יכולים לשמש כבסיס לאופרטורי צפיפות.
חבורת פאולי, המוגדרת על ידי שערי פאולי משמשת ליצירת שערים אלו על קיוביט n-ממדי.
מתוך חבורת פאולי נוצרת חבורת קליפורד שהיא חבורה של אופרטורים אוניטריים שמנרמלים את חבורת פאולי:
גודל חבורת קליפורד המוגדרת על קיוביט n-ממדי הוא .
הקבוצה הוצגה על ידי דניאל גוטסמן וקרויה על שם המתמטיקאי ויליאם קינגדן קליפורד.
שערי קליפורד הם איברי חבורת קליפורד כך שבאופן שקול חבורת קליפורד היא קבוצת שערים אוניטריים המורכבת לרוב מהשערים:
שער אדמר, המקיים ו .
חשיבותו של שער זה היא שהוא מספק את לשערים האוניטריים.
שער הפאזה המקיים ו- , ולכן גם הוא שייך לקבוצה.
החשיבות של השער היא בכך שהוא מספק את האיבר המדומה.
שער CNOT , המקיים כי עבור שער P
ולכן אף הוא שייך לקבוצה.
חשיבותו של השער שהוא מאפשר לשזור בין הקיוביטים וכן כי בלעדיו השערים יפעלו על קיוביט בודד בלבד.
באופן שקול, כלל שערי פאולי הם שערי קליפורד שהרי כך שהמכפלה שייכת לחבורת פאולי, ולכן השערים שייכים לחבורת קליפורד.
דוגמאות נוספות לשערי קליפורד הן שערי SWAP, iSWAP וטופולי.
המשפט אומר כי כל מחשב קוונטי המערב:
הכנה של הקיוביטים בבסיס החישובי
אפשרות לביצוע פעולות קלאסיות על תוצאות המדידות
ואלו בלבד – הוא מחשב שניתן לסמלוץ בזמן פולינומי על מחשב קלאסי ואין לו יתרון על פני מחשב קלאסי.
חשיבות המשפט אומרת כי אף מצבים קוונטים שזורים ומסובכים ככל שיהיו ניתנים לסמלוץ על ידי מחשב קלאסי בצורה יעילה למדי.
כלומר, טלפורטציה קוונטית, ושימושים אחרים כגון קודים לתיקון שגיאות המתבססים על שערי קליפורד ניתנים למימוש על ידי מחשב קלאסי.
הוכחת המשפט משתמשת בפורמליזם המייצבים, המוצג בהרחבה במאמרו של גוטסמן, אשר מאפשר לתאר את המצבים בצורה שקלה לפענוח קלאסי.
עבור מחשב קוונטי המקיים את תנאי המשפט מתקיים כי כל שער קליפורד מתורגם כעדכון של היוצרים של אותה קבוצת מייצבים, עדכון זה לוקח .
לאחר הפעלת השערים המצבים קורסים למצבים מייצבים, המדידה אף היא יכולה להתבצע על ידי מחשב קלאסי.
קיימת הוכחה אלטרנטיבית למשפט שאינה משתמשת בפורמליזם המייצבים.
ההוכחה משתמשת בכך שניתן "לצמצם" את שערי קליפורד למעגל HT (מעגל המשתמש בשער אדמר ושער טופולי (שניתן לסמלוץ קלאסי), לאחר מכן ההוכחה מתארת את המצב של המערכת המתוארת במשפט כמרחב אפיני מממד סופי – שגם לכך יש מימוש קלאסי.
לבסוף ההוכחה משתמשת באינדוקציה ממעגל פשוט יחיסת למעגל מורכבת יותר על ידי הוספה של שערי קליפורד בזה אחר זה.
המשפט מתייחס למשתנים בדידים בלבד, אולם גם במשתנים רציפים קיימת אנלוגיה למשפט וקיום סט מצבים ושערים שאינו מספק יתרון חישובי על פני מחשב קלאסי.
מצבים אלו, הנקראים מצבים גאוסיים הם סט מצבים המוגדרים כך שפונקציית ויגנר (פונקציית קוואזי הסתברות) המוגדרת כך:
היא פונקציה גאוסית, פונקציה זו יכולה לשמש לחישוב צפיפות ההסתברות כפונקציה של המיקום והתנע .
כאשר פונקציית וויגנר של מצבים אלו מוגדרת חיובית – ניתן לסמלץ מצבים אלו בצורה יעילה על ידי מחשב קלאסי, לעומת זאת, כאשר מתקבלים אזורי של שליליות ניתן להבחין במשאב חישובי קוונטי שאינו ניתן לסמלוץ קלאסי.
מסתבר כי ניתן לקשר בין תכונות אלו על ידי משפט הדסון הקובע כי פונקציית ויגנר תקבל ערכי אי שליליים לכל ערך אם ורק אם המצב הוא גאוסי.
כלומר, באנלוגיה למשפט גוטסמן ניל הדורש שימוש בשערים שאינם שערי קליפורד, במשתנים רציפים נדרש שימוש במצבים לא גאוסיים על מנת ליצור יתרון חישובי כלשהו למחשב קוונטי.
המשפט האנלוגי למשתנים רציפים נקרא משפט ברטלט-סנדרס.
משפט בראואר על אינדוקציה של קרקטרים, הוא תוצאה יסודית בתורת ההצגות של חבורות סופיות הנקראת על שמו של ריכרד בראואר.
המשפט אומר שכל קרקטר של הצגה של חבורה סופית הוא צירוף ליניארי עם מקדמים שלמים של אינדוקציות של קרקטרים חד-ממדיים של תתי חבורת של .
המשפט הוכח על ידי ריכרד בראואר בשנת 1947 במטרה להוכיח השערה של אמיל ארטין בתורת המספרים האנליטית - קיומה של המשכה מרומורפית לפונקציית L של ארטין.
קודמו של משפט האינדוקציה של בראואר היה משפט האינדוקציה של ארטין, הקובע כי |G| כפול הקרקטר הטריוויאלי של G הוא צירוף ליניארי שלם של קרקטרים, שכל אחד מהם מושרה מקרקטר חד-ממדי של תת-חבורה ציקלית של G.
משפט בראואר מסיר את הגורם |G|, אך במחיר הרחבת אוסף תת-החבורות שבהן נעשה שימוש.
מספר שנים לאחר פרסום הוכחת משפטו של בראואר, הראה J.
Green (בשנת 1955) כי לא ניתן להוכיח משפט אינדוקציה כזה (עם צירופים שלמים של קרקטרים מושרים מקרקטרים חד-ממדיים) באמצעות אוסף תת-חבורות קטן מזה בו בראואר השתמש.
המוטיבציה של ארטין לעסוק בשאלה נבעה מניסיון לבנות המשכה מרומורפית לפונקציית L של ארטין לכל המישור.
משפט האינדוקציה של ארטין מתקרב למטרה זו, אך אין די בו כדי לבנות את ההמשכה.
משפט בראואר מאפשר את השלמת המשימה.
תהא G חבורה סופית, ונסמן ב־Char(G) את תת-החוג של חוג פונקציות המחלקה המרוכבות על G, המורכב מצירופים שלמים של קרקטרים אי־פריקים.
Char(G) נקרא חוג הקרקטרים של G, ואיבריו נקראים קרקטרים וירטואליים (או קרקטרים מוכללים).
זהו אכן חוג, שכן מכפלה של קרקטרים של G היא שוב קרקטר של G.
פעולת הכפל ניתנת על ידי כפל נקודתי של פונקציות מחלקה.
משפט האינדוקציה של בראואר קובע כי חוג הקרקטרים נוצר (כחבורה אבלית) על ידי קרקטרים של הצגות המושרות מהצגות חד-ממדיות של תת-חבורות של G.
יתרה מזו, בראואר הראה שניתן לבחור את תת-החבורות מתוך אוסף מצומצם מאוד, הקרוי כיום תת-חבורות אלמנטריות.
על פי ההגדרה, תת-חבורה היא אלמנטרית אם היא מכפלה ישרה של שתי חבורות מסדרים זרים: חבורה ציקלית וחבורת p – חבורה שסדרה היא חזקה של מספר ראשוני p.
מרכיב מרכזי בהוכחת משפט בראואר הוא העובדה שכאשר היא חבורה נילפוטנטית סופית, כל קרקטר אי־פריק של מושרה מקרקטר חד-ממדי של תת-חבורה של .
מכאן שכל קרקטר של הוא סכום של קרקטרים המושרים מקרקטרים חד־ממדיים.
במילים אחרות, במקרה זה אין צורך במקדמים שלמים שליליים כדי להציג כל קרקטר כצרוף של קרקטרים מושרים.
למעשה, טענות אלו נכונות גם עבור חבורות c-פתירות.
חבורה נקראת c-פתירה אם יש סדרה של תת-חבורות נורמליות ב - :
הצגת קרקטרים כצירוף שלם אי־שלילי של קרקטרים מושרים
משפט בראואר מעלה את השאלה הבאה: עבור אילו חבורות G
ניתן להציג כל קרקטר כצירוף שלם לא־שלילי של קרקטרים המושרים מקרקטרים חד-ממדיים של תת-חבורות.
באופן כללי, הדבר אינו מתקיים.
למעשה, לפי משפט של טאקטה, אם כל הקרקטרים של G ניתנים להצגה כזו, אז G חייבת להיות חבורה פתירה.
עם זאת, פתירות כשלעצמה אינה מספיקה: לדוגמה, החבורה הפתירה SL(2,3) כוללת קרקטר מרוכב אי־פריק ממעלה 2 שאינו ניתן לביטוי כצירוף שלם לא־שלילי של קרקטרים המושרים מקרקטרים חד-ממדיים של תת-חבורות.
גרסאות חלשות יותר שלמעשה שקולות למשפט
בהינתן המקרה הנילפוטנטי, ניתן להסיק את משפט בראואר מהמשפט הבא:
משפט: כל קרקטר של הצגה של חבורה סופית הוא צירוף ליניארי עם מקדמים שלמים של אינדוקציות של קרקטרים של תתי חבורת נילפוטנטיות (למעשה אלמנטריות) של .
קל להסיק מנוסחת ההיטל להצגות מושרות שאוסף כל הצירופים הליניאריים עם מקדמים שלמים של אינדוקציות של קרקטרים של תתי חבורת נילפוטנטיות (או בהתאמה אלמנטריות) של הוא אידיאל ב .
לכן, הנסוח האחרון נובע מהנסוח הבא:
משפט: הפונקציה הקבועה 1 על חבורה סופית היא צירוף ליניארי עם מקדמים שלמים של אינדוקציות של קרקטרים של תתי חבורת נילפוטנטיות (למעשה אלמנטריות) של .
אם קובעים ראשוני אפשר לשאול איזה קרקטרים אפשר לקבל כצירוף של אינדוקציות מחבורות -אלמנטריות.
אם היא מכפלה ישרה של שתי חבורות מסדרים זרים: חבורה ציקלית וחבורת p.
גרסה של המשפט אומרת שניתן לקבל כך כל קרקטר של כפול כאשר הוא המחלק הגדול ביתר של שזר ל -
הוכחתו של בראאור היתה אלגברית והתבססה על חשבון מודולרי ופרוק ז'ורדן לחבורות סופיות.
לאורך השנים, בראואר רקוט וג'ון טייט עידנו ופישטו את ההוכחה והוסיפו עוד גרסאות ושימושים למשפט.
בספר "הצגות ליניאריות של חבורות סופיות" הציג ז'אן-פייר סר גרסה אלגנטית ואלמנטרית יחסית של ההוכחה המבוססת על רעיונת אלו.
בסוף שנות ה-80 של המאה ה-20 פיתח ויקטור סניית (Victor Snaith) גישה חדשה להוכחות משפט בראואר שהיתה שונה באופן מהותי מהוכחות הקודמות.
הגישה אפשרה הוכחה קצרה ואלגנטית אך השתמשה בכלים כבדים מטופולוגיה אלגברית וטופולוגיה דפרנציאלית.
ההוכחה של בראואר והוכחות דומות
תחילה בוחרים מספר ראשוני ומוכיחים את המשפט "מודולו ".
זאת אומרת שמציגים את הפונקציה הקבועה 1 על כצירוף ליניארי עם מקדמים שלמים של אינדוקציות של קרקטרים של תתי חבורות נילפוטנטיות (למעשה אלמנטריות) של עד כדי טעות שמתחלקת ב-.
טענה זו קלה יותר להוכחה ממשפט בראואר ודומה מעט יותר למשפט ארטין.
זאת מכיוון שניתן לחשוב עליה כעל גרסה של משפט ארטין בה השדה מוחלף בשדה בעוד שבמשפט בראואר הוא מוחלף בחוג .
בדומה ל-, גם ב- יש את פעולת החילוק, כך שחלק מההוכחה של ארטין עובד במקרה זה.
אולם בשונה מ- ב- לא ניתן לחלק ב-.
לכן ההוכחה של ארטין עדיין לא עובדת במלואה.
ניתן לחשוב על המעבר ל- כהתמקדות בקושי אחד במשפט בראואר במקום בכל הקשיים ביחד.
אם אינו מחלק את סדר החבורה אז ההוכחה של ארטין מספקת גם הוכחה לטענה מעלה (עם התאמות קלות).
אולם כאשר מחלק את הארגומנט של ארטין אינו מספק.
יתר על כן, זה המקום בו עולה הצורך להרחיב את מאגר החבורות מחבורות ציקליות לחבורות אלמנטריות.
זה החלק הקשה ביותר מבחינה טכנית בהוכחה והוא משתמש בין היתר בפירוק ז'ורדן לחבורות סופיות.
הרעיון של חלק זה של ההוכחה הוא שמשתמשים בפירוק ז'ורדן כדי לפרק את החבורה לאיחוד זר של קבוצות כדלקמן:
ואז מתמודדים עם כל קבוצה כזו בנפרד.
אפשר להשוות בין הוכחת משפט ארטין להוכחת משפט בראואר כך: במשפט ארטין מראים שניתן לקבל את הפונקציה האופיינית של מחלקת צמידות על ידי צירוף ליניארי (עם מקדמים מתאימים) של אינדוקציות מחבורות ציקליות.
במשפט בראואר מראים שניתן לקבל (מודולו ) את הפונקציה האופיינית של על ידי צירוף ליניארי (עם מקדמים מתאימים) של אינדוקציות מחבורות אלמנטריות.
לאחר מכן מסיקים גרסה של משפט בראואר "מודולו ".