tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לאחר התייעצות של שעתיים וחצי קיבל בית המשפט את העדות כראיה מכרעת לחפותו של סגל ופסק ב-6 במאי 1926, ברוב של שני שופטים נגד אחד, כי יעקב סגל זכאי מאשמה והורה על שחרורו לאלתר.
תלאותיו של סגל במשך שנה שלמה, של מאסר, משפט וערעור עוררו עניין רב והזדהות בכל היישוב וזיכויו גרם לפרץ של שמחה כללית בארץ.
חבריו של סגל ובני משפחתו קידמו את פניו בצאתו מבית המשפט ונסעו ביחד אתו לבלפוריה, שם נערך נשף לכבודו.
לאחר זיכויו של סגל פינו מעט האריסים שנותרו בכפר ומשפחותיהם את הכפר איל פולה וקבוצת עבודה של חברים מקיבוצי העמק הרסה את בקתות החומר הריקות.
בשנת 1999 ראה אור ספר זכרונותיו של שלמה בן עזר, בן בלפוריה ומוותיקי המושב.
בספר העלה המחבר פרקים מתולדות המושב, כאלה שהיה עד להם בעצמו וכאלה ששמע מפי מייסדי המושב.
בפרק המתייחס לאירוע חשף המחבר את זהותו האמיתית של היורה וסיפר כי אחד מאנשי בלפוריה שבאו לחרוש את השטח היה יעקב יחזקאלי.
כאשר החלה התקרית והחורשים הותקפו על ידי ערביי המקום, הוא ואחרים הניחו את המחרשות וחשו לעזרת המותקפים.
עוד בטרם הגיע אל מקום התגרה, הוא הופל ארצה ואחד מהערבים ניצב מעליו והחל לבעוט בו.
אז החליט יחזקאלי כי ההנחיה שניתנה לחורשים, לבל ישתמשו בנשק חם, אינה תקפה באירוע כה חמור ותוך כדי שהוא שוכב על הקרקע שלף מחגורתו אקדח שנשא אתו תמיד וירה בתוקף והרגו.
חבריו של יחזקאלי הושיבו אותו על סוס וסילקו אותו מן המקום כשאקדחו עמו.
המחבר המשיך וסיפר כי מוסדות היישוב הבריחו את יחזקאלי בספינה לצרפת וכי מפחד נקמת דם לא חזר יחזקאלי לארץ ישראל.
בצרפת למד הנדסה, נשא אישה והקים משפחה, התבסס והצליח בעסקיו ושרד את השואה.
לאחר קום מדינת ישראל הגיע לביקור בארץ ותרם ביד רחבה למושב ובזכות תרומתו חודש בית העם של המושב, אך הוא לא חזר לגור בארץ.
משפט פאראדין הוא סרט אפל משנת 1947 בבימויו של אלפרד היצ'קוק ובהפקתו של דייוויד או.
סלזניק בעקבות העיבוד של עלמה רוויל ובן הכט לרומן "משפט פאראדין" מאת רוברט היצ'נס (1933).
זה הסרט האחרון של שיתוף הפעולה בין היצ'קוק וסלזניק שהחל בסרט "רבקה" ב-1940.
כרגיל בסרטיו, מופיע היצ'קוק בסרט בהופעת קמאו בדקה ה-38 כשהוא יורד מרכבת ונושא צ'לו.
למרות שפע הכוכבים והבמאי המפורסם היה הסרט כישלון קופתי.
היצ'קוק הציע את התפקיד הראשי לגרטה גרבו אך היא סירבה ובמקומה בחר באלידה ואלי, כוכבת נודעת באיטליה שזה היה סרטה הראשון בהוליווד.
זו הייתה גם הופעתו הראשונה של לואי ז'ורדאן בהוליווד.
מדלנה אנה פאראדין (אלידה ואלי) היא אישה נאה המואשמת ברצח בעלה על ידי הרעלתו.
בעלה היה איש צבא מבוגר ועיוור והיא לדבריה נישאה כדי לעזור לו.
הם גרו בבית אחוזה גדול באזור האגמים.
עורך הדין אנטוני קין (גרגורי פק) נשכר להגן עליה וכבר בפגישתם הראשונה בבית הסוהר הוא מתלהב מיופייה ומתחיל לפתח רגשות אהבה כלפיה.
אשתו היפה גאי (אן טוד) מבחינה בכך בחושיה הנשיים אבל לא עוצרת בו מלהמשיך בטיפול במקרה היות שהיא חוששת שהתנגדותה תפגע ביחסיהם.
קין נוסע לאחוזת פאראדין ומתקבל בקרירות על ידי משרתת ומשרת.
המשרת מזדהה בשם אנדרה לאטור (לואי ז'ורדאן), עונה תשובות לאקוניות ומשתדל להתחמק מקין.
קרול) מנסה במשפט לתאר את אנה פאראדין כפאם פאטאל שנישאה לבעלה המבוגר והעיוור כדי להשתלט על רכושו.
השופט הוא תומאס הורפילד (צ'ארלס לוטון) שמנהל את המשפט ביד רמה ומחוץ לבית המשפט לא מסתיר את יחסו השלילי לגברת פאראדין.
קין חוקר ארוכות את לאטור ומנסה להוכיח כי הוא רצח את פאראדין לאחר שהסתכסך איתו.
התפנית במשפט קורית לאחר שלאטור נקלע לסערת רגשות אחרי חקירתו, ומתאבד.
הידיעה על כך מגיעה לבית המשפט כשאנה פאראדין נמצאת על בימת העדים.
היא נשברת ומודיעה כי לאטור היה אהובה וכי היא רצחה את בעלה באמצעות כוס יין מורעלת שהגישה לו.
קין שבור מכישלונו במשפט אך אשתו נפגשת איתו והם מתפייסים.
סופיה הורפילד (אתל ברימור), אשתו של השופט הורפילד מביעה את רחמיה על גברת פאראדין אך בעלה דוחה את דעתה וקובע כי על פאראדין להיתלות.
משפט סקולם-נתר הוא משפט באלגברה המאפיין את האוטומורפיזמים של אלגבראות פשוטות סוף ממדיות, וקובע כי כולם מהווים הצמדה באיבר הפיך.
המשפט הוכח לראשונה על ידי תורלף סקולם בשנת 1927. אמי נתר הוכיחה אותו מאוחר יותר באופן בלתי תלוי.
זהו משפט בסיסי בתורת האלגבראות פשוטות מרכזיות, המהווה כלי עזר מרכזי בתאוריה.
תהי אלגברה פשוטה מרכזית מעל שדה , ויהיו תת-אלגבראות פשוטות איזומורפיות שלה.
אז כל איזומורפיזם הוא הצמדה באיבר הפיך מ-.
נביט באלגברה , כאשר היא המכפלה הטנזורית, ו- הוא החוג המנוגד.
מכיוון ש- אלגברה פשוטה מרכזית מעל וכן אלגברה פשוטה, נובע כי אלגברה פשוטה.
היא מודול מעל בשתי דרכים: פעם אחת על ידי הפעולה (נסמנו ), ופעם נוספת על ידי הפעולה (נסמנו ).
יהי המודול הפשוט היחיד של (קיים כי היא פשוטה ארטינית).
בפרט, המודולים איזומורפיים, נניח על ידי איזומורפיזם .
על פי הגדרת הפעולות, מתקיים .
האיבר מקיים את הדרוש בטענת המשפט: על ידי הצבת מקבלים
אם נציב במקום את נקבל ולכן הפיך.
תוך שימוש במשפט, ניתן להוכיח טענות רבות מהתחום:
המשפט הקטן של ודרברן: כל חוג סופי עם חילוק הוא שדה.
כל אלגברה פשוטה מרכזית מממד 4 (מעל שדה ממאפיין לא 2) איזומורפית לאלגברת קווטרניונים.
הוכחת תכונות מבנה של אלגבראות ציקליות.
משפט סוקרטס הוא משפט בו הועמד לדין הפילוסוף האתונאי סוקרטס, באשמת "קלקול הנוער וכפירה באלי העיר" בסיומו נידון למוות והוצא להורג בשתיית רעל.
מותו של סוקרטס הפך אותו למעין "קדוש חילוני", אשר מת על מזבח דעותיו.
מוטיב זה קודם בעיקר על ידי שני תלמידיו הגדולים של סוקרטס, אפלטון וקסנופון, שעל תיאוריהם נסמכים ההיסטוריונים וחוקרי הפילוסופיה הרבים שחקרו את האירוע.
עד היום מהווה המשפט, הליכיו והסיבות שגרמו לו נושא שנוי במחלוקת בין החוקרים, בין היתר סביב שאלה מהי הסיבה האמיתית לאישומים נגד סוקרטס.
אתונה בימיו של סוקרטס הייתה פוליס, עיר-מדינה שנהנתה משלטון עצמי ודמוקרטי.
כל בעלי התפקידים בממשל נבחרו על ידי כלל האזרחים, שהם גברים בני-חורין בלבד, שנולדו לאזרח ואזרחית (נטולת זכויות) (או באמצעות גורל) וכהונתם הוקצבה לזמן מוגבל.
ההחלטות הפוליטיות של העיר נקבעו באספות עם באגורה, בהן ניתנה רשות הדיבור לכל אזרח ללא קשר למעמדו.
בבסיס הפוליס עמדה האמונה כי לכל אדם יש את הלוגוס, התבונה וכן מוסר ותחושת צדק ואלה מאפשרים לכלל האזרחים להתאגד יחד לשלטון עצמי, המעניק שוויון מלא לכלל אזרחי הפוליס ללא הבדל בין המעמדות ומנוהל על ידי האזרחים עצמם.
באותם ימים התחוללה ביוון הקלאסית המלחמה הפלופונסית.
אתונה ובנות חסותה הקימו את הליגה האטית-דלית, שנאבקה על השליטה ביוון העתיקה בספרטה ובנות בריתה מהליגה הפלופונסית.
במהלך המלחמה עברו ערים רבות בין הצדדים לפי תוצאות הקרבות והמרידות המקומיות.
המאבק בין המעמדות, השכיח באותה תקופה, תרם גם הוא לחלוקה בין הצדדים: עיר בעלת שלטון אריסטוקרטי נטתה לתמוך בספרטה האוליגרכית והיה והדמוקרטים גברו והפילו את השלטון העבירו את תמיכת העיר לאתונה.
אתונה עצמה לא הייתה יוצאת מן הכלל וגם בה הייתה סיעה אריסטוקרטית מפותחת, שהתנגדה לדמוקרטיה וקיימה קשרים עם ספרטה האויבת.
רבים מצעירי המעמד העליון היו חברים באגודות סתרים שנלחמו למען הפלת הדמוקרטיה והצטרפות לספרטה.
בשנת 411 לפני הספירה, בשיתוף פעולה בין ה"מתונים" ל"אריסטוקרטים", התחוללה "המהפכה האוליגרכית", שבסופה הוקמה מועצה של ארבע מאות חברים, שהשליטה בעיר שלטון אוליגרכי ששלל את זכויות המעמד העני.
לאחר ארבעה חודשים של טרור וחיסולים פוליטיים, נפל המשטר המצומצם בעקבות דחיית המתונים מהשלטון והצטרפותם להמונים שהתנגדו למשטר העריץ.
לאחר כניעתה של אתונה לספרטה בשנת 404 לפני הספירה, הכריחו המנצחים את אתונה להקים שלטון אוליגרכי נוסף, שנשלט בידי "ועדת השלושים".
את ה"שלושים" הנהיגו קריטיאס וכארמידס, שניהלו משטר רצחני אף יותר מקודמו.
שוב הוגבלו זכויות האזרח, נערכו טיהורים פוליטיים והדמוקרטים הוגלו מן העיר.
לאחר שמונה חודשים שבו הדמוקרטים מהגלות בהנהגת אניטוס ושחררו את העיר.
ניסיון הפיכה נוסף של הסיעה האוליגרכית בשנת 402 לפני הספירה, נבלם במתקפת מנע שערכו הסיעות המתונות של אתונה.
הפילוסוף הגדול סוקרטס, שחי באתונה במאה החמישית לפני הספירה, טען כי אזרחי הפוליס לא מסוגלים לקיים שלטון עצמי.
סוקרטס האמין בהגדרה מוחלטת וכיוון שזו לא בגדרי השגתו של האזרח הפשוט, אין ביכולתו לעסוק בענייני מדיניות מורכבים.
סוקרטס זלזל במעמדות הנמוכים וראה בהם לא 'אזרחים' אלא 'נתינים', 'עדר' הזקוק לרועה, "הבקיא", אשר ינהיג אותו ויצווה לו כיצד לנהוג.
סוקרטס קרא תיגר על עצם הרעיון של דמוקרטיה והאפשרות של שלטון עצמי לאזרח הפשוט.
מבחינה זו, סוקרטס ותלמידיו לא היו רק 'אנטי דמוקרטים'; אלא 'אנטי פוליטיים'.
הם היו מלאי בוז כלפי הדמוקרטיה ואספות העם וזלזלו בהמון הבור ומנהיגיו החושבים שביכולתם לנהל את ענייני העיר הסבוכים בעצמם.
במקום זה הציעו סוקרטס ותלמידיו צורות שונות של מונרכיה ושלטון אבסולוטי, שהיו נשמעות לאתונאים מופרכות.
סוקרטס נהג לעמוד בכיכר השוק, לשוחח עם העוברים והשבים על בעיות הפילוסופיה וההגדרה ולהוכיח להם בהנאה כי אין הם מבינים דבר אפילו במושגים פשוטים מחיי היום יום.
בסופו של הדיון, נהג סוקרטס להצהיר בענווה מעושה לקהל שומעיו כי גם הוא אינו יודע דבר, אך הוא לפחות יודע שאינו יודע.
למרות הרושם המתנשא וחוסר האהדה הציבורי שרכש לעצמו סוקרטס, הוא נותר דמות פופולרית ומעניינת בעיני האתונאים, שאהבו ללעוג לו בתיאטרון על תימהוניותו ושאלותיו המוזרות.
תלמידים רבים התקבצו סביב סוקרטס בתקווה ללמוד מחוכמתו ולהידבק בדרכיו.
לתלמידים אלו, שרבים מהם הגיעו מהנוער האריסטוקרטי העשיר, הרצה סוקרטס על המידה הטובה, חסרונותיה של הדמוקרטיה ואיוולתם של מנהיגי הפוליס.
כמו כן הטיף סוקרטס לפרישות והתרחקות מענייני הפוליס והשתתפות בפוליטיקה שלה.
על פי תורתו, הפוליטיקה האתונאית מזוהמת על ידי בעלי המלאכה הבורים והסופיסטים המחנכים אותם לחנופה בפני האספה.
סוקרטס אהד את ספרטה, את משטרה שנטה לאוליגרכיה, את דיכוי המעמד הנמוך שנהג בה ואת אורח החיים הסגפני-צבאי של אזרחיה.
הוא האמין בחברה סגורה ובכתבי תלמידו אפלטון המתארים את המדינה האידיאלית מופיעים רעיונות של חינוך מחדש וסגירת גבולות שתמנע זיהום רוחני של דעות זרות.
הנוער האריסטוקרטי שנהה אחריו, העריץ אף הוא את ספרטה והחל לנהוג במנהגיהם.
ואכן, מבין תלמידיו של סוקרטס יצאו מתנגדים בולטים של הדמוקרטיה: אם במישור העיוני כאפלטון וקסנופון ואם במישור המעשי, כמו מנהיגי השלושים קריטיאס וכארמידס.
מנהיגים אלו הגבירו והדגישו את החיכוך בין סוקרטס לתושבי אתונה והביאו אותם להכרה כי תורתו של הפילוסוף אינה נשארת במישור הרעיוני, אלא יש לה השפעה מעשית.
התביעה נגד סוקרטס האשימה אותו בקלקול הנוער וכפירה באלי העיר ובכך שעסק ב"מה שמעל השמים ומתחת לארץ".
באופן חריג לא הוצג במשפט הסעיף בחוק עליו עבר סוקרטס.
התביעה ביקשה לטעון כי סוקרטס פגע באתונה בחינוך המתנכר לאמונות העיר שהעניק לתלמידיו.
בזיכרונות של קסנופון, מצוטטת טענת ה"קטגור" שסוקרטס השחית את הנוער, גרם להם לזלזל בסדרי המדינה והטה אותם לדרכי כפירה ושמתלמידיו יצאו רבים שגרמו נזקים רבים לעיר, כקריטיאס מנהיג "השלושים" ואלקיביאדס המושחת.
ישנן כמה גרסאות לאפולוגיה, נאום ההגנה של סוקרטס.
באפולוגיה האפלטונית, מפריך סוקרטס את האשמתו בכפירה וזלזול באלים וטוען כי הוא כלל לא היה מורה ולכן אי אפשר להאשים אותו בחינוך קלוקל של תלמידיו.
בהמשך הנאום, בניסיון להסביר את שאלותיו המוזרות והתחקורים שהעניק לבאי כיכר השוק, מספר סוקרטס לשופטים שהאורקל מדלפי הכריזה ש"אין חכם יותר מסוקרטס", סוקרטס ממשיך ואומר, כי מכיוון שידע שאינו חכם כלל, הבין שהאורקל מבקשת להטיל עליו שליחות, להסתובב בין אזרחי אתונה ולגלות האם יש ביניהם אחד העולה עליו בחכמתו.
לטענתו של סוקרטס, הוא גילה בחקירותיו שאף על פי שאינו יודע דבר, שאר האנשים אינם מודעים אפילו לחוסר ידיעתם ובכך הוא עולה עליהם.
החקירות והמסקנות אליהן הגיע, גרמו לחוסר אהדה ולחשדנות כלפיו.
בנוסף, טוען סוקרטס להגנתו כי במהלך שלטון "השלושים", לא צידד בשלטון המושחת ואף סירב לבצע את פקודותיהם.
הוא גם מוסיף כי בתקופה שקדמה להפיכה, לא היה חבר באגודות הסתרים הפרו-ספרטניות.
בזיכרונות של קסנופון, מוסיף סוקרטס כי קריטיאס והשלטונות אסרו עליו ללמד את הפילוסופיה שלו ואף לשוחח עם צעירים.
בית המשפט האתונאי הורכב מחמש מאות שופטים, על פי עדות קסנופון רק מאתיים ושמונים מהם היו בעד הרשעה.
לאחר ההרשעה, על פי הנהוג במשפט האתונאי דורשת התביעה את העונש הראוי לדעתה וההגנה מציגה עונש חלופי.
על סוקרטס ביקשה התביעה לגזור עונש מוות ואילו הוא בזלזול הציע להכריז עליו כגיבור אזרחי ולתת לו ארוחות חינם בפריטניאון, מקום סעודתם של חברי הממשלה וגיבורי העיר.
אחר כך, המיר את הצעתו בקנס זעום של מנאי אחד ולאחר הפצרות התלמידים העלה את הסכום לשלושים מנאי.
לפי קסנופון, סירב סוקרטס להציע הצעה חלופית, שכן ראה בכך הודאה באשמה ובכך חייב את השופטים לבחור בעונש המוות.
ככל הנראה, למרבה האבסורד, עלה מספר התומכים בעונש המוות על מספר המרשיעים בהצבעה הראשונה ולסוקרטס ניתן גזר דין מוות.
לאחר גזר הדין, ביקרו תלמידיו של סוקרטס בתאו והציעו לו לברוח מהכלא ולהימלט מגזר הדין.
סוקרטס סירב, כשהוא נותן שלושה תירוצים שונים: האחד, הוא מעדיף למות כעת בשתיית לענה לפני ייסורי הזקנה.
לעומת זאת בדיאלוג האפלטוני פיידון, מסביר סוקרטס שהוא שואף למות כיוון שהמוות מאפשר לנשמת הפילוסוף שחרור ממגבלות הגוף שמונע ראייה אמיתית של האידאות, המציאות האמיתית של העולם לשיטתו של אפלטון.
סוקרטס אף מבקש למסור לידידו אואנוס, ש"יצטרף אליו", כדי שיוכל גם הוא להגיע להשגה האמיתית.
למרות זאת, סוקרטס מדגיש כי אף שהמוות הוא משאת חייו של הפילוסוף, אסור לו "להיטיב עם עצמו" ולגרום למותו.
בהסבר שלישי המופיע בדיאלוג קריטון, טוען סוקרטס שאינו יכול להפר את החוזה בין האזרח לחוקי המדינה, לאחר שכל חייו נהנה מהם.
סוקרטס ממחיש זאת בתארו לתלמידיו, כיצד יטענו חוקי העיר כלפיו שאם לא היה מרוצה מהם, היה יכול לעזוב לספרטה או לכרתים, אותם הוא העריץ כל כך.
אולם כעת משלא עשה זאת, אינו יכול להפר את החוזה עמם.
הטיעון מעורר תמיהה על רקע התנכרותו של סוקרטס למשטר הדמוקרטי האתונאי.
לאחר שסירב להימנע מהמוות, שותה סוקרטס את הרעל ומת, כשהוא בן שבעים.
עיקר התיעוד המקורי שנמצא בידנו מגיע מכתביהם של תלמידיו של סוקרטס, אפלטון וקסנופון וככזה הוא מתאר את מהלך העניינים באופן המציג את סוקרטס באור חיובי.
קיימים מספר שינויים והוספות בין התלמידים.
קיים נאום אפולוגיה נוסף, מאוחר יותר, מאת הנואם והמדינאי ליבניוס בן המאה הרביעית לספירה, שם סוקרטס מגן על עצמו מכח חופש הדיבור הקיים באתונה ומאשים את התביעה בסתימת פיות דיקטטורית, הגרועה יותר משלטון השלושים ממנו הם חוששים.
מהימנותה של האפולוגיה מוטלת בספק, שכן מלבד עצם האבסורד שבשמיעת טיעון דמוקרטי כל כך מפיו של סוקרטס, טיעון חופש הדיבור לא מוזכר כלל במקורות מוקדמים יותר, ולכן סביר שהוא נוצר בתקופה מאוחרת יותר.
השאלות העיקריות עליהם מנסה המחקר המודרני להשיב, הן מה הייתה העילה האמיתית להוצאתו להורג של סוקרטס, איך ייתכן שאתונה הדמוקרטית והפלורליסטית הוציאה להורג אדם רק בגלל דעותיו השנויות במחלוקת ומדוע לא ניסה סוקרטס לחמוק מעונש עד שנראה כאילו ניסה למות?
סטון, טוען כי עיקר ההאשמה האתונאית הייתה חינוכו של הנוער נגד הדמוקרטיה.
לטענתו, לאחר שתי הפיכות אוליגרכיות, שהתבצעו בתמיכתו של נוער פרו ספרטני שהתחנך על ברכי סוקרטס לבוז לרעיון הדמוקרטי, הבינו אזרחי אתונה שסוקרטס ותורתו מהווים איום אמיתי על יציבות העיר.
בשתי ההפיכות היו תלמידיו של סוקרטס מנהיגי השלטון האכזר ובכך לא השאירו לאתונה, אף על הפלורליזם וחופש הדיבור ששרר בה, כל ברירה.
סטון מצביע על העובדה שהמשפט התרחש רק שנתיים לאחר הניסיון האחרון להפלת הדמוקרטיה וכשמאורעות "הארבע מאות" ו"השלושים" עוד היו צרובות בזיכרון האתונאי.
הקטגור הראשי, אניטוס, היה ממנהיגי הדמוקרטים ששחרו את העיר מידי "השלושים" ובוודאי זכר לסוקרטס את העובדה שלא התייצב לצידם בזמן ההפיכה ולא עזב את העיר.
את ההאשמה "זלזול באלי העיר" מסביר סטון כזלזול באלים פייתו, אלת השכנוע וזאוס אגוריוס (זאוס של האספה), שהיו אלי העיר וסימלו את חופש הדיבור ושלטונה העצמי.
אפשרות נוספת שמעלה סטון היא שהדמוקרטיה עצמה נחשבה לאלה בה כפר סוקרטס במשנתו האבסולוטית.
סטון טוען כי לא ייתכן שבאתונה הפתוחה האשימו אדם רק בגלל זלזול באלים ואתאיזם.
לדבריו, בדיחות על חשבון אלי האולימפוס היו פופולריות בתיאטרון האתונאי ואילו האתאיזם אפילו לא נחשב לאפשרי בתקופה ההיא.
לפי התאוריה הזו, רצה סוקרטס בעונש המוות, כדי שהוצאתו להורג תישאר ככתם על הדמוקרטיה האתונאית ותהווה הוכחה לשקר הטמון בה, כפי שטען במשך חייו.
לכן לא דיבר סוקרטס בנאום ההגנה שלו על זכות חופש הביטוי, טיעון שלדעת סטון היה מונע את שופטי אתונה מלהרשיע אותו בגלל דעותיו.
הרצון למות גרם לסוקרטס להציע את הצעתו המגוחכת לעונש וכן לא להימלט מבעוד מועד.
החוקרים ארנאלדו מומיליאנו ואריק ר.
דודס , טוענים כי באתונה התנהל באותה תקופה ציד מכשפות נגד הוגים חופשיים, בעקבות חוק מיוחד שנחקק בסביבות שנת 432 לפנה"ס ובמסגרתו כפירה בעל טבעי ועיסוק באסטרונומיה הפכו לעברות על החוק.
לטענתם הוגים רבים נרדפו על רקע דעותיהם וביניהם גם סוקרטס.
בתורת ההסתברות, משפט סלוצקי מרחיב כמה מהתכונות של פעולות אלגבריות על סדרות מתכנסות של מספרים ממשיים על סדרות של משתנים מקריים.
המשפט נקרא על שם יבגני (אויגן) סלוצקי.
המשפט מיוחס גם להרלד קרמר.
יהו {Xn}, {Yn} סדרות של משתנים מקריים סקלריים/וקטוריים/מטריציים.
אם Xn מתכנס בהתפלגות למשתנה מקרי ;
ו-Yn מתכנס בהסתברות לקבוע c, אז
, כל עוד c הפיך.
הדרישה כי הסדרה Yn מתכנסת לקבוע היא חשובה — אילו היא הייתה מתכנסת למשתנה מקרי שאיננו מנוון, המשפט לא היה תקף.
המשפט נשאר תקף אם נחליף את כל התכנסויות בהתפלגות עם התכנסויות בהסתברות (בשל מאפיין זה).
אם Xn מתכנס בהתפלגות ל-X ו-Yn מתכנס בהסתברות לקבוע c, אז הווקטור (Xn, Yn) מתכנס בהתפלגות אל (X, c) .
נגדיר לכל אחת ממסקנות המשפט פונקציה:
כל אחת מהפונקציות האלו רציפה (במקרה האחרון, הפונקציה רציפה רק אם y הפיך), והמסקנות נובעות עכשיו ממשפט ההעתקה הרציפה.
באנליזה פונקציונלית, משפט נקודת השבת של קאקוטאני, הנקרא על שם המתמטיקאי שיזואו קאקוטאני (Shizuo Kakutani), אומר כי במרחב קמור מקומית לפעולה רציפה של חבורת העתקות אפיניות על קבוצה קומפקטית קמורה יש נקודת שבת.
יהי מרחב וקטורי קמור מקומית ותהי קבוצה קמורה קומפקטית.
תהי חבורה ביחס להרכבה של העתקות אפיניות מ- ל-.
נניח שההעתקות רציפות במידה אחידה, כלומר לכל סביבה של אפס קיימת סביבה של אפס כך שלכל אם אז .
אז לכל העתקות שב- יש נקודת שבת משותפת ב-.
למה: יהיו מרחבים טופולוגיים כך ש- קומפקטי.
נניח ש אז קיימת נקודה כך ש .
לכן לכל קיימות סביבות וכן כך ש-.
מהקומפקטיות של B ישנן כך ש-.
לכן עבור נקבל ש- סתירה לכך ש-.
המשך הוכחה: תהי אוסף כל תתי הקבוצות הקמורות, קומפקטיות ולא ריקות המקיימות לכל .
כיוון ש- נקבל כי .
כמו כן אם אז גם החיתוך נמצא ב- (הוא לא ריק מקומפקטיות).
מהלמה של צורן נקבל שיש ב- איבר מינימלי .
אם נראה ש- מכילה נקודה בודדת נסיים.
לכן קיימות עבור סביבה של 0. תהי הסביבה המתאימה ל- מתנאי הרציפות במידה אחידה.
אם יש כך ש- אז נקבל (קיימות העתקות הופכיות כיוון ש- חבורה) סתירה.
נתבונן במסלול של תחת הפעולה של , .
זוהי קבוצה אינווריינטית ולכן גם וגם קבוצות אינווריינטיות.
קבוצה קמורה, קומפקטית לא ריקה ו- אינווריינטית המוכלת ב-.
ממשפט קריין-מילמן קיימת נקודה קיצונית של הקבוצה .
כיוון ש- וכן קומפקטית נקבל מהלמה שיש נקודה כך ש-.
כיוון ש-, נקבל ש- ומהקיצוניות של נקבל ש-.
אבל לכל , ולכן סתירה.
קיבלנו סתירה ולכן מכילה רק נקודה אחת וסיימנו.￼
משפט נקודת השבת מאפשר להוכיח את הקיום של מידת האר.
משפט נקודת השבת של קאקוטאני-מרקוב: יהיו מרחב וקטורי טופולוגי ו- קמורה קומפקטית ולא ריקה.
נניח קבוצה של העתקות אפיניות מתחלפות () מ- ל-.
אז יש ל- נקודת שבת משותפת.
המשפט משמש להוכיח נוסח של משפט האן-בנך שבו מוסיפים גם דרישה של אינווריינטיות ביחס לקבוצה כזאת של העתקות.
ישנו משפט נוסף הנקרא משפט נקודת השבת של קאקוטאני המתייחס בעיקר למרחבים מממד סופי: תהי קבוצה קומפקטית קמורה ולא ריקה.
תהי פונקציה עם גרף סגור וכן נניח שלכל , קבוצה קמורה לא ריקה.
אז יש ל- נקודת שבת, כלומר קיימת נקודה כך ש .
המשפט שימושי לתורת המשחקים ולכלכלה בכך שהוא מאפשר להוכיח קיום של "מצבים יציבים": למשל קיום שיווי משקל נאש, משפט המינימקס וכו'.
ת"פ (י־ם) 67104-01-20 מדינת ישראל נ' נתניהו ואחרים, הידוע בשם "משפט נתניהו", "משפט נתניהו־אלוביץ'־מוזס" או "משפט המו"לים", הוא משפט שנפתח ב־24 במאי 2020 בבית המשפט המחוזי בירושלים, ובו עומדים לדין ראש ממשלת ישראל, בנימין נתניהו, המו"ל ובעל השליטה בקבוצת "ידיעות אחרונות" ארנון מוזס, איש העסקים שאול אלוביץ' ורעייתו איריס אלוביץ'.
נתניהו עומד לדין בכל שלוש הפרשות, המכונות "תיק 1000", "תיק 2000" ו"תיק 4000", בסעיפי אישום הכוללים עבירה אחת של שוחד ושלוש עבירות של מרמה והפרת אמונים, שביצע לכאורה בעת שכיהן בתפקידו.
אלוביץ' ורעייתו עומדים לדין בתיק 4000 באשמת מתן שוחד ושיבוש הליכי חקירה והדחה בחקירה.
מוזס עומד לדין בתיק 2000 באשמת ניסיון למתן שוחד.
בתיק 1000, המכונה "תיק המתנות", על פי כתב האישום, קיבל נתניהו טובות הנאה מאיש העסקים הישראלי ארנון מילצ'ן, בין אוקטובר 2011 לדצמבר 2016, ומאיש העסקים האוסטרלי ג'יימס פאקר (שהוצג לנתניהו באמצעות מילצ'ן) בשנים 2014–2016. בכך, על פי טענת הפרקליטות, נתניהו ביצע עבירה של מרמה והפרת אמונים.
עד מדינה בתיק זה הוא ראש הסגל לשעבר של נתניהו, ארי הרו.
כמו כן מואשם נתניהו בכך שבשנת 2015 פעל מול שלמה פילבר (עד מדינה), מנכ"ל משרד התקשורת ואיש אמונו של נתניהו, לסייע למילצ'ן בקשר לעסקת מיזוג בין חברות התקשורת "רשת" ו"קשת", על מנת שהשקעה שבחן מילצ'ן באותה העת תהיה כדאית עבורו מבחינה כלכלית (סעיף 31 לכתב האישום).
תיק 2000, המכונה גם "תיק נתניהו–מוזס", מבוסס על הקלטות של שיחות בין השניים שנמצאו בטלפון סלולרי של ארי הרו במהלך חקירה של פרשה אחרת.
הרו הוא עד מדינה גם בתיק זה.
על פי החשד, מוזס הציע לנתניהו שוחד, בדמות הטיית הסיקור ב"ידיעות אחרונות" לטובתו של נתניהו, בתמורה לקידום חוק שיגביל את תפוצת העיתון "ישראל היום", יריבו הכלכלי העיקרי של מוזס.
עוד נטען כי בהמשך העלה נתניהו אפשרות שיגביל את הפצת העיתון ללא חקיקה, באמצעות קשריו עם המוציא לאור של העיתון, שלדון אדלסון.
העסקאות האמורות לא יצאו לפועל.
עם זאת, על פי החשדות, מוזס פעל למימוש חלקי של הצעתו, על ידי הצנעת ידיעה שלילית על שרה נתניהו והבלטת ידיעה שלילית על נפתלי בנט, יריבו של נתניהו.
מוזס עומד לדין באשמת ניסיון למתן שוחד, ונתניהו עומד לדין באשמת מרמה והפרת אמונים.
תיק 4000 מכונה גם "תיק בזק–וואלה".
טענת הפרקליטות בנוגע לתיק זה היא כי בין דצמבר 2012 לינואר 2017 נוצרו בין נתניהו לאיש העסקים שאול אלוביץ' יחסי "תן וקח", שבמסגרתם עזר נתניהו לאלוביץ' באופן רגולטורי ביחס למספר חברות שמחזיק אלוביץ'.
כתוצאה מכך, על פי טענת הפרקליטות, אלוביץ' צבר רווחים בשווי של כ-1.8 מיליארד שקל.
בתמורה, השפיעו אלוביץ' ואשתו (איריס אלוביץ') על אופן הסיקור של נתניהו באתר "וואלה!" שבשליטתו של אלוביץ', כשהטענה היא שהשוחד שנתניהו קיבל הוא סיקור אוהד באתר זה.
ניר חפץ, ראש הסגל של נתניהו, ושלמה פילבר, מנכ"ל משרד התקשורת, חתמו על הסכמי עד מדינה בפרשה זו.
נתניהו מואשם בתיק זה בשתי עבירות: האחת היא של לקיחת שוחד והשנייה היא מרמה והפרת אמונים.
בני הזוג שאול ואיריס אלוביץ' נאשמים בעבירות של מתן שוחד, שיבוש מהלכי משפט והדחה בחקירה.
המשבר הפוליטי וממשלות ישראל על רקע ההעמדה לדין והמשפט
מאז 2019 הייתה ישראל נתונה במצב פוליטי של אי-יציבות שלטונית.
אחת מהסיבות לאי-היציבות הייתה הטענה שנתניהו לא ראוי לכהן כראש ממשלה בגלל כתבי האישום התלויים ועומדים נגדו.
מתחילת שנת 2019 עד סוף שנת 2022 התקיימו חמש מערכות בחירות לכנסת תוך פחות מ-4 שנים: הבחירות לכנסת העשרים ואחת ב-9 באפריל 2019, לכנסת העשרים ושתיים ב-17 בספטמבר 2019, לכנסת העשרים ושלוש ב-2 במרץ 2020, לכנסת העשרים וארבע ב-23 במרץ 2021, ולכנסת העשרים וחמש ב-1 בנובמבר 2022.
הקמת ממשלת נתניהו-גנץ על רקע ההעמדה לדין
ב־20 באפריל 2020 נחתם הסכם קואליציוני בדבר הקמתה של ממשלת ישראל השלושים וחמש (ממשלת נתניהו-גנץ), שנתניהו וגנץ יעמדו בראשה ברוטציה כראש הממשלה וראש הממשלה החלופי.
לאחר חתימת ההסכם הוגשו עתירות לבג"ץ נגד הרכבת הממשלה על ידי נתניהו, מן הטעם שהוא נאשם בפלילים.
בג"ץ דן בעתירות אלו בהרכב של 11 שופטים ודחה את העתירות פה אחד ב־6 במאי.
היועץ המשפטי לממשלה, אביחי מנדלבליט, ניסח הסדר שלפיו נתניהו לא יוכל להתערב במינוי פרקליט המדינה ובמינויים אחרים במערכת אכיפת החוק ובתקשורת, ולא יוכל להיות מעורב ביוזמות חקיקה ממשלתית שעלולות לעכב את הדיון המשפטי.
בנובמבר 2020 הצהיר נתניהו, באמצעות פרקליטיו, כי אינו מכיר בסמכות היועץ המשפטי לממשלה כקובע בשאלת ניגוד העניינים.
בית המשפט קבע שהסדר זה מחייב את נתניהו.
ב-13 ביוני 2021 הוקמה ממשלת בנט-לפיד כשבקווי הייסוד שלה נקבע כי וכי .
במאי 2022 חזרה בה הממשלה מהצעת החוק להגבלת כהונה, עקב היעדר רוב.
ב-29 בדצמבר 2022 קמה ממשלת נתניהו השישית שבקווי הייסוד שלה נקבע כי .
זמן קצר לאחר הקמתה הציג יריב לוין את הרפורמה המשפטית המציעה שינויים במערכת המשפט בישראל.
במכתב ששלחה לנתניהו היועצת המשפטית לממשלה, גלי בהרב-מיארה, נכתב שיוזמות החקיקה בנושא זה יכולות להשפיע על משפטו של נתניהו, ולכן הוא מצוי בניגוד עניינים ואסור לו לעסוק בתוכנית.
פורסם כי ההערכה במערכת המשפטית הייתה כי היועצת המשפטית לממשלה לא תבקש להכריז על נתניהו כנבצר במענה לעתירה זו ואחרות.
בהמשך, אישרה הקואליציה תיקון לחוק יסוד: הממשלה כדי למנוע אפשרות עתידית שבה גלי בהרב-מיארה תכריז על נתניהו כנבצר.
לאחר עתירה נגד החוק, מועד תחילתו נדחה בנימוק שמדובר ב"תיקון פרסונלי מובהק שמהווה שימוש לרעה של הכנסת בסמכותה המכוננת".
בהמשך דחה בית המשפט עתירה בעניין הוצאת נתניהו לנבצרות.
מימין לשמאל: רבקה פרידמן־פלדמן, משה בר־עם, עודד שחם.
המשפט נפתח ב־24 במאי 2020. התובעת במשפט זה היא עו"ד ליאת בן־ארי שווקי, המשנה לפרקליט המדינה לאכיפה כלכלית.
ברשימת עדי התביעה 333 עדים, בהם יאיר לפיד, גלעד ארדן, יריב לוין, צחי הנגבי, הראל לוקר, סטלה הנדלר, ינון מגל, שלדון אדלסון, דב גיל־הר, ארנון מילצ'ן, תמיר פרדו, ציפי לבני ודוד שמרון.
שלושת השופטים במשפט הם רבקה פרידמן־פלדמן, משה בר־עם ועודד שחם מבית המשפט המחוזי בירושלים.
ראש ההרכב, פרידמן־פלדמן, הצטרפה להרכב שהרשיע את אהוד אולמרט בפרשת מעטפות הכסף, לאחר קבלת ערעור הפרקליטות בבית המשפט העליון.
מאז התחילו החקירות החליף נתניהו כעשרה עורכי דין ויועצים.
סנגוריו בתחילת המשפט היו עורכי הדין מיכה פטמן ועמית חדד.
למימון ייצוגו ביקש נתניהו מהוועדה למתן היתרים שתאשר לו קבלת מתנה בסך 10 מיליון ש"ח מאיש העסקים ספנסר פרטרידג', אך בעקבות התנגדות היועץ המשפטי לממשלה הוועדה לא דנה בבקשה זו, ואף הורתה לנתניהו להחזיר 30 אלף דולר שקיבל מבן דודו נתן מיליקובסקי.
ב־10 ביולי 2020 צורף עורך הדין יוסי שגב לצוות ההגנה.
באוגוסט 2020 צורף בעז בן צור, שליווה קודם לכן את עדי התביעה ארנון מילצ'ן והדס קליין.
הוא ייצג את נתניהו בתיק 4000 בלבד.
בינואר 2024 הודיע על כוונתו להפסיק לייצג את הנאשם בתיק.
ארנון מוזס יוצג בתחילה על ידי עורכות הדין נוית נגב ואיריס ניב־סבאג.
לאחר פרשת התביעה, ייוצג על ידי עורכת הדין שרון קלינמן.
שאול ואיריס אלוביץ' מיוצגים על ידי עו"ד ז'ק חן.
נאום נתניהו טרם פתיחת משפטו
לאחר שהגיע לבית המשפט לדיון הראשון במשפטו, כשהוא מלווה בקבוצה של שרים וחברי הכנסת ממפלגתו, בהם אמיר אוחנה, ישראל כ"ץ, יואב גלנט, מירי רגב, צחי הנגבי ואחרים, נתניהו נשא נאום שבו מתח ביקורת על חקירתו ועל הגשת כתב האישום נגדו.
בין השאר מתח ביקורת על ראשי מערכת אכיפת החוק שעסקו בחקירתו, המפכ"ל רוני אלשיך, ניצב רוני ריטמן והיועץ המשפטי לממשלה אביחי מנדלבליט.
נאום זה זכה בתקשורת לכינוי "נאום המסכות" לאור העובדה שקבוצת השרים וחברי הכנסת לבשו מסיכה רפואית בעקבות התפרצות נגיף הקורונה.
בנאומו זה אמר נתניהו כי "הבקשה הראשונה שלי מבית המשפט היא שקיפות מלאה.
אני מבקש שהכול ישודר בשידור חי, שידור רציף ולא מצונזר.
הציבור צריך לשמוע הכל ולא דרך המסננת המעוותת של כתבי החצר של הפרקליטות".
נתניהו חזר על הצהרתו זו כמה פעמים בנאומיו בתקשורת בישראל ובתקשורת הזרה, אולם בפועל בקשה שכזו מעולם לא הוגשה באמצעות באי-כוחו לבית-המשפט.
בתגובה לביקורת החריפה של נתניהו על התביעה, הגיב מנדלבליט שהתביעה תנהל את התיק באופן מקצועי וענייני.
מועד פתיחת המשפט נקבע ל-17 במרץ 2020. כ-9 ימים לפני פתיחת המשפט צוות ההגנה של נתניהו הגיש בקשה לדחיית מועד פתיחת המשפט, מאחר שלטענתו לא קיבל את כל חומרי החקירה, אך הפרקליטות התנגדה לבקשה זו.
ב-15 במרץ, כיומיים לפני מועד פתיחת המשפט, שר המשפטים אמיר אוחנה הכריז על מצב חירום במערכת המשפט עקב התפשטות נגיף הקורונה, והורה להקפיא את פעילות בתי המשפט.
בעקבות כך, החליטו השופטים על דחיית פתיחת המשפט ל-24 במאי 2020.
הוסכם שההליך המקדמי ייערך בלא התייצבות הנאשמים.
בדיון ב־19 ביולי 2020 הוגדרו סדרי המשפט, ובין היתר שהדיון יתנהל שלוש פעמים בשבוע.
בנובמבר 2020 הגישו עורכי דינם של נתניהו ובני הזוג אלוביץ' טענות מקדמיות בדרישה לביטול כתב האישום, בהן אכיפה בררנית ולחץ פסול על עדים.
בית המשפט דחה חלק מהטענות המקדמיות (בחלקן ידון בעתיד), אך הורה לתקן עשרות סעיפים בכתב האישום העוסק בתיק 4000, כך שיפריד בין מעשי בנימין נתניהו ומעשי שאר בני משפחתו, שאינם נאשמים, וכן יכלול פירוט רב יותר, וכן שיפריד בין המעשים המיוחסים לשאול אלוביץ' לבין אלה המיוחסים לרעייתו איריס.
בינואר 2021 הוגש כתב האישום המתוקן.
ב־5 באפריל 2021 החל שלב ההוכחות במשפט.
ראשון להעיד היה אילן ישועה.
באותו יום נערכו מחוץ לבית המשפט הפגנות של תומכי נתניהו ומתנגדיו.
נתניהו לא נכח במהלך העדות, ובהמשך היום יצא נתניהו בנאום באמצעי התקשורת, שבו תקף את ישועה והפרקליטות.
קבוצת העדים הראשונה עסקה בעיקר בתיק 4000. עדים כמו שלמה פילבר וניר חפץ העידו גם על תיק 1000 ותיק 2000.
במהלך הדיונים ניהל מוזס משא ומתן עם הפרקליטות על עסקת טיעון בתיק 2000. לא נחתמה עסקה לאחר שהפרקליטות התנגדה להקלת סעיף האישום.
שיחות על הצעה אחרת נמשכו לאחר מכן אך גם הן לא התגבשו לעסקה.
לקראת תום כהונת אביחי מנדלבליט כיועץ המשפטי לממשלה בחודש ינואר 2021, התפרסמו ידיעות לפיהן מתנהל משא ומתן בין הפרקליטות לעורכי דינו של נתניהו על עסקת טיעון.
עוד התפרסם כי גישושים בנושא החלו כבר בשנת 2019, וכי נתניהו פנה לאהרן ברק בבקשה שייצא בתמיכה פומבית בהסכם המתגבש.
ב־24 בינואר 2022, שבוע לפני תום כהונתו, הודיע מנדלבליט לסנגוריו של נתניהו כי לא יוכל להמשיך במגעים לסיכום העסקה טרם פרישתו, וכי הדיונים בנושא ימתינו עד למינוי היועץ המשפטי החדש.
לפי אבי בניהו, נתניהו הסכים לקבל את העסקה שהציע היועמ"ש לאחר גרירת רגליים, אך מנדלבליט אמר כי "חלון ההזדמנויות נסגר".
במקביל לדיווחים על המגעים לעסקת טיעון, פתח העיתונאי ינון מגל בקמפיין מימון המונים עם יעד של כ־7 מיליון ש"ח על מנת לכסות את הוצאות המשפט של נתניהו.
לדבריו, אם יוחלט שנתניהו לא יכול להשתמש בכסף שגויס לצורכי משפטו יתרם הסכום שיאסף לחיילים או לאברכים.
בינואר 2022 דווח בעיתון "כלכליסט" שמשטרת ישראל השתמשה ברוגלת פגסוס כדי לחדור לטלפונים הניידים של חלק מהעדים במשפט.
כתוצאה מכך דרשו עורכי דינו של נתניהו לעצור את הדיונים, ולקבל לידיהם את החומרים שנחשפו באמצעות התוכנה.
בית המשפט הורה לפרקליטות להגיב על הפרסומים ולהבהיר האם נעשה שימוש בתוכנה במסגרת חקירת הפרשות, וביטל יום דיונים שנקבע כדי להמתין לקבלת עמדת הפרקליטות.
לפי עמדת הפרקליטות, נעשה שימוש ברוגלה רק כלפי החשודים איריס אלוביץ' (ניסיון ההדבקה כשל) ושלמה פילבר (ניסיון ההדבקה הצליח) לאחר הוצאת צו.
באוגוסט 2023 הקימה ממשלת נתניהו ועדת בדיקה ממשלתית בנושא, ועדת דרורי.
היא העניקה לה סמכות לעסוק בתיקים מתנהלים, כולל תיקי נתניהו.
נתניהו נעדר מההחלטה עקב ניגוד עניינים.
פרקליטי הנאשמים התנגדו לבקשה, והבקשה נדחתה.
השופטים הוסיפו, מבלי להביע עמדה, כי קיימת אפשרות להרשיע את הנאשמים על יסוד עובדה שלא נזכרה בכתב האישום בכפוף לתנאים מסוימים.
במקביל, בקשת התביעה להוסיף עדים בתיק 1000 אושרה.
ב-5 ביולי 2022 החלה להעיד הדס קליין, העוזרת של ארנון מילצ'ן וג'יימס פאקר, בתיק 1000. במהלך עדותה דחה בית המשפט את התנגדות הסנגורים והתיר לתביעה לחקור את קליין גם על מוצרים שלא הוזכרו בכתב האישום.
חודשים לפני העדות, בשלב רענון הזיכרון שלה, קליין הפתיעה את הפרקליטות וגילתה שיש עוד מתנות שלא סיפרה עליהן, שכן הונחתה על ידי הסנגור שלה (שהיה אז בעז בן צור, ולאחר מכן אחד מסנגוריו של נתניהו) לא לנדב מידע לחוקרים.
במהלך אחד הדיונים, פרקליטו של שאול אלוביץ', ז'אק חן, העלה הצעה לקיים גישור פלילי.
השופט עודד שחם הציע למדינה לבחון את האפשרות לפנות להליך הגישור.
באפריל 2023 עורכי דינם של נתניהו ושל שאול אלוביץ' נועדו עם היועצת המשפטית לממשלה, גלי בהרב-מיארה, כדי לשכנע אותה להגיע לגישור בתיק.
לאחר מכן, היא נפגשה עם פרקליטתו של נוני מוזס, נווית נגב.
בהרב-מיארה התנגדה לגישור, אך הבהירה שהיא נכונה לקיים שיח על הסדר טיעון.
ב-9 במאי 2023 עד המדינה ארי הרו, מנהל לשכתו לשעבר של נתניהו, עלה להעיד בתיקי 1000 ו-2000.
ב-22 ביוני 2023 פורסם כי בדיון סגור שיזמו השופטים במשפט בהשתתפות ההגנה והתביעה בתיק 4000, הם העבירו מסר לתביעה שהיא תתקשה להוכיח את סעיף השוחד בתיק – וכי טובת המדינה דורשת הסדר טיעון.
השיחה נערכה ב-20 ביוני 2023, יום מתן עדותו של אבנר בורוכוב, עורך בכיר לשעבר בוואלה!, שסיפר בעדותו על שאירע באתר בתקופתו.
למחרת פורסם כי היועצת המשפטית לממשלה גלי בהרב-מיארה ובכירי הפרקליטות מאמינים כי ניתן להרשיע בשוחד ומתכוונים להמשיך לנהל את התיק.
הם סברו באותה העת שאינטרס הציבור מחייב את מיצוי ההליכים.
ב-29 ביוני פרסמו השופטים במשפט את סיכום הפגישה בכתב ממנה התברר כי ההדלפה בתקשורת לא הייתה מדויקת.
בהחלטתם כתבו "כי קיימים קשיים בביסוס עבירת השוחד שבאישום הראשון בכתב האישום.
על רקע קשיים אלה, הוצע כי המדינה תשקול לחזור בה מעבירת השוחד באישום זה." עוד הוסיפו כי "אגב דברים אלה...צוין הצורך בסיום המשפט (לטובת העניין והמדינה)."
בעקבות החלטת השופטים הוגשה תלונה לנציב תלונות הציבור על השופטים, השופט אורי שהם.
ב-6 באוגוסט 2023 שהם פרסם את החלטתו בה הביא את דברי השופטים, כי אינם נרתעים ממהלך המשפט, הוא צידד בעמדתם, וקבע כי הצגת החולשות בתיק על ידי השופטים בשלב מתקדם במשפט מוצדקת ואף רצויה מבחינת יעילות דיונית.
ב-25 ביוני החל להעיד בעל ההון והמפיק ארנון מילצ'ן.
הדיונים במשפט התחדשו ב-4 דצמבר 2023, לאחר יותר מחודשיים של הפסקה.
הדיון האחרון התקיים ב-27 בספטמבר, לפני חג סוכות.
בעקבות טבח שבעה באוקטובר ומלחמת חרבות ברזל, פעילות בתי המשפט צומצמה ודיוני הוכחות התחדשו בדצמבר.
העידו חוקרי משטרה ורשות ניירות ערך שחקרו את תיק 4000
סנגורי אלוביץ' טענו שחלק מהעובדים הקשורים למשפט היו במילואים, וסנגורו של נתניהו, עמית חדד, מסר כי בשל המצב הביטחוני, בעיצומה של מלחמת חרבות ברזל, "אין כל אפשרות להיות בקשר כלשהו עם ראש הממשלה לצורך היערכות לחקירת העדים הצפויים".
טענות אלו הועלו על רקע דבריו בעבר של עורך דינו של נתניהו, שלפיהם תפקודו כראש ממשלה לא ייפגע בגלל ניהול משפטו.
בית המשפט התחשב בטענותיהם והקטין את מספר הדיונים.
באוגוסט 2024 הסתיימה פרשת התביעה במשפט זה.
פרשת ההגנה החלה ב-10 בדצמבר 2024, עם עדותו של בנימין נתניהו.
למרות התכנון הראשוני לשלושה ימי עדות בשבוע, פעמים רבות בוטל או קוצר יום עדות, בעיקר לפי בקשת נתניהו, בנימוק שיש לו עניין מדיני או בעיית בריאות.
ב-12 במאי 2025 החלה החקירה הנגדית של נתניהו מטעם בני הזוג אלוביץ'.
שני ימי חקירה נגדית נוספים מטעם מוזס הסתיימו ב-28 במאי בו השלים נתניהו 35 ימי עדות מאז תחילת עדותו במשפט.
ב-3 ביוני החלה החקירה הנגדית מטעם התביעה.
ב-17 בנובמבר 2025 הסתיימה חקירתו הנגדית של נתניהו בתיק 1000 לאחר 18 ישיבות חלקן מקוצצות ומקוצרות.
יום לאחר מכן החלה חקירתו הנגדית של נתניהו בתיק 4000.
לאורך המשפט ביקש בנימין נתניהו פעמים רבות לקצר או לדחות את הדיונים.
עדותו של נתניהו הייתה אמורה להתחיל ביולי 2024, אך הוא ביקש לדחות אותה בגלל מלחמת חרבות ברזל, ולבסוף היא החלה בדצמבר 2024. כמו כן ביקש כי הדיונים במשפטו ירוכזו על פני יומיים בשבוע, ולא שלושה, ובית המשפט נעתר לבקשתו.
עם זאת החליטו השופטים כי החל מחודש נובמבר 2025, יתקיימו ארבעה ימי דיונים בשבוע ונתניהו יעיד בשלושה מתוכם.
בחלק מהדיונים הם נקטעו לאחר שנתניהו הצהיר כי הוא נדרש לשיחות טלפוניות עם בכירים מדיניים, ובהם נשיא ארצות הברית דונלד טראמפ, שליחו של טראמפ למזרח התיכון סטיב ויטקוף ונשיא רוסיה ולדימיר פוטין.
ביוני 2024 ביקש נתניהו לדחות את עדותו בתשעה חודשים בגלל התמשכות מלחמת חרבות ברזל.
ב-11 בנובמבר 2024 שוב ביקש לדחות את עדותו בחודשיים וחצי, בגלל התמשכות מלחמת חרבות ברזל.
ב-24 בנובמבר 2024 ביקש לדחות את עדותו בגלל הוצאת צווי המעצר של בית הדין הפלילי הבין-לאומי נגדו ונגד שר הביטחון יואב גלנט.
ב-17 בדצמבר 2024 בוטלה עדותו של נתניהו לאחר שמסר בדיון בדלתיים סגורות שיקולים מדיניים וביטחוניים, המחייבים אותו לבקר בחרמון הסורי לאחר פתיחת מבצע חץ הבשן.
ב-29 בדצמבר 2024 עבר נתניהו ניתוח להסרת הערמונית ובעקבות זאת בוטלו הדיונים במשפטו במשך יותר משלושה שבועות.
ב-29 בינואר 2025 נסע נתניהו לביקור מדיני בוושינגטון ועקב כך בוטלו שלושה דיונים.
עדות נתניהו שנקבעה ל-25 בפברואר 2025 בוטלה, לאחר שראש אמ"ן שלומי בינדר נתן סקירה ביטחונית לשופטים.
ב-21 במרץ 2025 ביקש לדחות את עדותו כדי שיוכל להגיע לכנסת להצבעה על חוקי הרפורמה המשפטית.
ב-24 במרץ 2025 סיים מוקדם את עדותו בגלל בעיה בעין.
ב-6 באפריל 2025 לא שב בזמן לעדותו במשפט מנסיעה לוושינגטון ועקב כך בוטל דיון.
ב-23 באפריל 2025 קיצר את עדותו בגלל כאבי גב.
ב- 12 במאי 2025, לאחר שחרור החטוף עידן אלכסנדר משבי החמאס בעזה, ביקש נתניהו לקצר את עדותו מחמת חוסר שינה.
ב-11 ביוני 2025 הופסקה עדותו של נתניהו זמן קצר לאחר שהחלה, מחמת דלקת גרון של נתניהו.
ביוני 2025, לאחר מבצע עם כלביא, ביקש לדחות את עדותו במשפט בעקבות "התפתחויות בין-לאומיות".
בית המשפט נעתר לבקשה לאחר דיון חסוי שנערך בהשתתפות ראש אמ"ן שלומי בינדר, ראש "המוסד" דוד ברנע וראש המל"ל צחי הנגבי, בו הוצגו נימוקים המצדיקים ביטול דיוני הוכחות.
ב-16 ביולי 2025 הסתיים הדיון לאחר שלוש שעות, מוקדם מכפי שתוכנן, בשל תקיפת חיל האוויר בדמשק, על רקע העימותים בדרום סוריה.
ב-20 ביולי בוטלו מספר ימי דיונים בבית המשפט, לאחר שנתניהו נבדק בביתו נמצא כי הוא "סובל מדלקת במעיים בעקבות אכילת מזון מקולקל".
ב-8 בספטמבר הודיע נתניהו בבוקר הדיון, שלא יגיע למסירת עדותו עקב פיגוע הירי בצומת רמות.
ב-15 באוקטובר קוצר יום העדות, לאחר שנתניהו אמר שהוא "קצת מצונן, אפילו הרבה", והוסיף "יש לי ברונכיטיס שמסרב לדעוך".
ב-19 באוקטובר בוטלו שני ימי עדות, לאחר שנתניהו ביקש לקצר עדותו בימים אלה לשעה וחצי בלבד בגלל "פגישות מדיניות דחופות".
ב-28 באוקטובר קוצרה עדותו של נתניהו בנימוק "יש דיונים ביטחוניים".
דיון שנועד ל-3 בנובמבר בוטל לבקשת נתניהו, בנימוק שיקדיש יום זה לדיונים ביטחוניים ולאזכרה לחמיו.
דיון שנועד ל-10 בנובמבר בוטל לבקשת נתניהו, בנימוק שעליו לקיים פגישות מדיניות דחופות.
דיון שנועד ל-19 בנובמבר בוטל לבקשת נתניהו, בנימוק של "עניין ביטחוני".
בשבוע הדיונים שהחל ב-24 בנובמבר, העיד נתניהו לראשונה שלושה ימים רצופים באותו השבוע לאחר החלטת השופטים להגברת קצב הדיונים.
עם זאת קוצרו שלושת ימי הדיונים משמעותית בעקבות בקשותיו.
ב-24 בנובמבר קוצר יום הדיונים משמעותית והסתיים ב-12:00 לבקשת נתניהו עקב "פגישה מדינית".
ב-25 בנובמבר הסתיים הדיון לבקשת נתניהו בצהרי היום מסיבות "ביטחוניות" או "מדיניות" שהשתנו במהלך הדיון להתפתחויות ב"רמה המדינית הגבוהה ביותר".
דיון שנועד ל-2 בדצמבר בוטל לבקשת נתניהו, בנימוק של "לוח זמנים מדיני-ביטחוני".
דיון שנועד ל-8 בדצמבר בוטל לבקשת נתניהו, בנימוק של "פגישה מדינית דחופה".
ב-23 בדצמבר קוצר הדיון בנימוק שעל נתניהו לצפות בתרגיל המדמה התקפת טילים גדולה, כשבפועל עסק התרגיל ברעידת אדמה.
ב-28 בינואר 2026 בוטלה עדות נתניהו לשם השתתפותו בלוויית החטוף רן גואילי.
לנוכח איומים והטרדות הוגשו כתבי אישום נגד תומכי נתניהו שהטרידו ואיימו על הדס קליין וניר חפץ ברשתות החברתיות.
היה מדובר בשורה של איומים, קללות, מידע שקרי ואיחולי מוות.
בעקבות זאת נחקרו אותם תומכים באזהרה והוחלט להגיש נגדם כתבי אישום על הטרדת עד.
ביולי 2024 גזר בית משפט השלום בתל אביב במסגרת הסדר טיעון מאסר על תנאי, קנס ופיצוי להדס קליין בעקבות אחת ההטרדות.
בתביעת דיבה שהגישה קליין נפסק לה פיצוי של 90,000 ש"ח.
ביולי 2025 הורשע אדם נוסף בהטרדת קליין.
ב-19 בדצמבר פורסמו בתחקיר של התוכנית "עובדה" התכתבויות בין חני בליוויס, ראש הלשכה של בנימין נתניהו, לאשתו, שרה נתניהו (וגם לבנם, יאיר נתניהו).
לפי התחקיר, לאורך השנים שרה נתניהו הורתה לבליוויס להכפיש אישים ולשלוח פעילי ליכוד שיפגינו נגדם, בהם העדה הדס קליין, היועץ המשפטי לממשלה אביחי מנדלבליט והתובעת במשפט ליאת בן ארי.
בעקבות התחקיר נפתחה חקירת משטרה בחשד להטרדת עד ושיבוש מהלכי משפט.
ב-26 ביוני 2025, בתום מבצע עם כלביא, יצא נשיא ארצות הברית, דונלד טראמפ, בקריאה לביטול המשפט, שאותו כינה "ציד מכשפות", או להענקת חנינה לנתניהו.
כעבור ימים אחדים שב וקרא לכך.
לקריאתו של טראמפ הצטרפו שרים וחברי כנסת ממפלגות הימין בישראל, ומאידך היו שביקרו את קריאתו של טראמפ כהפיכת ישראל למדינת חסות.
ב-29 ביוני 2025 יצא יושב ראש הכנסת, אמיר אוחנה, בקריאה לסיים את המשפט, בהסדר בין הצדדים או במחיקת כתב האישום.
ב-13 באוקטובר 2025 פנה נשיא ארצות הברית דונלד טראמפ, במהלך נאומו בכנסת, לנשיא יצחק הרצוג וקרא לו לתת חנינה לנתניהו.
ב-14 באוקטובר נשאל טראמפ האם פנייתו תוכננה מראש והוא ענה: "אמרתי לנתניהו שלא רציתי להעלות את נושא החנינה, אבל זה היה תזמון נהדר".
ב-15 באוקטובר גיבשה השרה עידית סילמן מכתב ובו הצעה לנשיא הרצוג "להפעיל סמכויותיו" כדי לעצור את המשפט.
רעיית ראש הממשלה שרה נתניהו פנתה לשרים בליכוד וביקשה מהם להצטרף למכתב, וכל שרי הליכוד חתמו על המכתב.
בנוסף, בימים שלאחר הנאום, שרים בממשלה קראו לבטל את המשפט ואף להגיש הצעות חוק שיכבלו את ידי המערכת.
משפט סטרדוב הוא כינוי לפרשיית הלשנה על הקהילה החסידית בעיר סטרדוב שברוסיה בשנת ה'תרמ"א (1881) במהלכה נאסר רב העיר רבי משולם זלמן ניימרק, בגין שוחד וזיוף מסמכים.
במשפט שנערך מספר שנים לאחר מכן (ה'תרמ"ד, 1883) זוכתה הקהילה והרב ניימרק שוחרר.
בשנים אלו השתייכו רוב יהודי סטרדוב שבמחוז בריאנסק לתנועת החסידות, ובעיר שכנה אחת מהקהילות החב"דיות הגדולות ברוסיה, ביטוי חב"די נפוץ היה "כי מקייב תצא תורה ודבר ה' מסטרדוב".
רבה של העיירה היה רבי משולם זלמן ניימרק מגדולי תלמידי רבי שמואל שניאורסון, שמונה לתפקיד בשנת ה'תרכ"ב (1862).
בשנת ה'תרמ"א, אחת מאסיפות הקהילה, הטיח דוב לזרוב – אחד המשכילים מנכבדי הקהילה דברים נגד תנועת החסידות, באספה החלה מהומה, והוא הוצא ממנה בכוח על ידי חברי הקהילה החסידיים.
לזרוב שהיה מיודד עם גורמים בשלטון הרוסי, פנה למחלקת המשטרה של האימפריה הרוסית, והלשין על רב הקהילה ועל כלל בני הקהילה המשתייכים לחסידות חב"ד, שהם מזייפים מסמכים במטרה לפטור את החסידים מגיוס לצבא הרוסי.
לזרוב ציין לדוגמה את המקרה של דוד בוהמן, יהודי שהצליח לחמוק מהצבא לאחר שנציגי הקהילה בסטרדוב נשבעו שהוא מת.
המשטרה אסרה את הרב ניימרק ובנו, יחד עם עוד 80 איש מחברי הקהילה שקיבלו פטור בעבר מגיוס, וסגרה את הישיבה שפעלה במקום.
בבית הכלא זכה הרב ניימרק ליחס מכובד מצד הסוהרים והאסירים בכלא, וכונה שם ה"ראבין הקדוש".
רבו רבי שמואל שניאורסון שלח לו מכתב בו כתב לו ש"אין לו מה לפחד כלל".
החוקרים הגיעו גם לביתו של רבי שמואל במטרה למצוא חומרים מפלילים, אך לא מצאו דבר.
המאסר עורר מהומה גדולה בעיר, גם מצד התושבים הנוכריים בעיר שהעריכו את הקהילה.
הקהילה ניסתה להפעיל לחץ על ראשי השלטון, שיבטלו את המעצר.
החסידים אף איימו על לזרוב בחרם ונידוי במידה ולא יבטל את התלונה, אך הוא סירב לבטל את ההלשנה.
המשפט נפתח בחודש תשרי ה'תרמ"ד (אוקטובר 1883), הקהילה שכרה את העורכי דין: לב קופרניק ואוספנסקי.
את כתבי האשמה הכינו: התובע הכללי סמיונוב, החוקר טגנצ'וב ולזרוב.
האשמה העיקרית על הקהילה הייתה בעיקר על כך שנשבעו לשקר במקרה של דוד בוהמן, הסנגוריה טענה שהנשבעים לא היו דוברי רוסית ולא הבינו את הבקשה שהתבקשו להישבע עליה.
המשפט הסתיים בחודש חשוון ה'תרמ"ד, בזיכויו של הרב ניימרק ובעונשים קלים לשאר חברי הקהילה.
הרב ניימרק זמן קצר לאחר מכן עזב את משרת הרבנות בסטרדוב ועבר לוויטבסק, את מקומו ברבנות החליף רבי שניאור זלמן שניאורסון.
גם בתקופת המשפט לא זכתה הפרשה לסיקור נרחב.
להשערת החוקר אהרן צייטלין, הקהילה היהודית היא זאת שדאגה שהפרשה לא תפורסם, מכיוון "שהמלשינות והמשפט חשפו חזיונות קשים ומפוקפקים בחיי היהודים, שהשתיקה יפה להם".
בעיתון המליץ פורסמה ידיעה קטנה על המשפט ונכתב ש-12 יהודים מהקהילה נאסרו על כך שנשבעו לשקר שדוד בוהמן מת, בעיתון המגיד דווח:
עמנואל זיסקין, בן הקהילה, תיעד את מהלך המשפט בקונטרס בשם "דברי זיכרון".
נינו של הרב ניימרק סיקר בהקדמה לספרו "אשל אברהם" את הפרשייה בקצרה.
פישל שניאורסון פרסם בשנת ה'תשט"ו את הפרשה בעיתון העבר, ולאחר מכן בשנת ה'תשי"ז בהמשכים בעיתון הצופה, כפי ששמע מסבו רבה של סטרדוב רבי שניאור זלמן שניאורסון ומאישים נוספים.
הסיפור יצא כספר בשנת ה'תשכ"ז תחת השם "כוחה של סנגוריה".
בשת ה'תשע"א יצא הספר במהדורה חדשה על ידי מכון "אהלי שם" בו הובא כנספח התכתבות בין רבי שמואל שניאורסון למספר עסקנים בנוגע לפרשה.
בגאומטריה, משפט סטיוארט הוא משפט המאפשר לחשב את אורכו של צ'ביאן של משולש באמצעות אורכי הצלעות של המשולש והיחס שבו הצ'ביאן חותך את אחת מצלעות אלו.
המשפט קרוי על שם המתמטיקאי הסקוטי מת'יו סטיוארט שפרסם הוכחה של המשפט בשנת 1746.
צ'ביאן של משולש הוא קטע אשר יוצא מאחד מקודקודי המשולש ופוגש את הצלע הנגדית לקודקוד זה.
צ'ביאנים הם בניות חשובות בגאומטריה וניתן להוכיח באמצעותם תכונות גאומטריות חשובות.
דוגמאות לצ'ביאנים שימושיים הם התיכון, חוצה הזווית והגובה.
משפט התיכון, למשל, הוא תוצאה ישירה של משפט סטיוארט לתיכונים.
יהי משולש ויהי צ'ביאן לצלע .
ניתן להוכיח את משפט סטיוארט באמצעות כלים טריגונומטריים.
לפי משפט הקוסינוסים במשולש :
מן הצד השני, ניתן להפעיל את משפט הקוסינוסים על הזווית במשולש ולקבל:
משווים את שני הערכים ומקבלים:
על ידי הכפלה במכנה משותף ושינוי אגפים מתקבל:
את האגף הימני ניתן לפשט ולקבל:
ניתן להוכיח את משפט סטיוארט גם ללא שימוש בטריגונומטריה על ידי שימוש במשפט תלמי.
חוסמים את המשולש באמצעות מעגל וממשיכים את הצ'ביאן עד שהוא פוגש את המעגל בנקודה .
באמצעות זוויות היקפיות ניתן להוכיח דמיון משולשים ו-.
מציבים את כל הגדלים הללו במשפט תלמי ומקבלים:
משפט סטיוארט מתקיים גם כאשר הצ'ביאן הוא צ'ביאן חיצוני (כלומר, כזה הפוגש את צלע המשולש על המשכה).
אם מסתכלים על משפט סטיוארט לצ'ביאן חיצוני כפי שמופיע באיור לעיל, ניתן להשתמש במשפט סטיוארט לצ'ביאן פנימי עבור הצ'ביאן למשולש ולקבל:
כלומר, משפט סטיוארט המקורי נשאר זהה כאשר הקטע מוחלף ב-.
עולה מכך כי משפט סטיוארט מתקיים תמיד לכל צ'ביאן (פנימי או חיצוני) אם במקום להשתמש בקטעים סטנדרטיים משתמשים בקטעים מכוונים, כאשר כיוון הקטע הוא ביחס לפנים המשולש.
כאמור לעיל, ניתן להוכיח את משפט התיכון כמסקנה ישירה של משפט סטיוארט.
נשים לב שעבור צ'ביאן שהוא תיכון לצלע מתקיים כי .
מציבים את הגדלים הללו במשפט סטיוארט ומקבלים:
משפט חוצה הזווית קובע כי חוצה הזווית חוצה את הצלע שמול הקודקוד באותו יחס כמו שתי הצלעות הנוספות במשולש.
בסימונים שבהם השתמשנו עד כה, אם הוא חוצה הזווית , אז מתקיים היחס .
יחס זה ביחד עם העובדה כי מניבים ש:
מציבים את הגדלים הללו במשפט סטיוארט, ולאחר פעולות אלגבריות מקבלים ש:
משפט עמיצור-לויצקי באלגברה, קובע כי אלגברה של מטריצות על חוג חילופי מקיימת זהות פולינומית מסוימת ממעלה .
בפרט, חוגי מטריצות הם חוג עם זהויות כך שדרגת הזהות הפולינומית המינימלית שלהן היא בדיוק.
המשפט הוכח ב־1950 על ידי שמשון עמיצור ויעקב לויצקי.
כאשר הם משתנים שאינם חילופיים והסכום נלקח על כל האיברים של החבורה הסימטרית .
משפט עמיצור-לויצקי קובע שלכל מטריצות שהרכיבים שלהן נלקחים מחוג חילופי מתקיים .
עמיצור ולויצקי היו הראשונים שהוכיחו את המשפט ב־1950.
הסיק ב־1958 את משפט עמיצור-לויצקי ממשפט קוסול-סמלסון על קוהומולוגיה פרימיטיבית של אלגברות לי.
הציג ב־1963 ו־1969 הוכחה קומבינטורית פשוטה למשפט.
מליניאריות הפולינום הסטנדרטי מספיק להוכיח את המשפט כאשר בכל מטריצה כל הרכיבים הם 0, פרט לאחד שהוא 1. במקרה זה, ניתן לייצג כל מטריצה כקשת מכוונת של גרף עם קודקודים.
אז המטריצות יוצרות גרף על קודקודים עם קשתות מכוונות.
הזהות הסטנדרטית מתקיימת אם עבור כל שני קודקודים ו־ של הגרף, מספר מסלולי אוילר האי-זוגיים מ־ ל־ זהה למספר המסלולים הזוגיים.
(מסלול נקרא אי-זוגי או זוגי, לפי זוגיות התמורה שמתאימה לקשתות שלו, כשהן נלקחות לפי המסלול).
סוואן הראה שזה קורה בתנאי שמספר הקשתות בגרף הוא לפחות , ובכך הוכיח את משפט עמיצור-לויצקי.
ב־1974 יורי פיטירימוביץ' רזמיסלוב הציג הוכחה הקשורה למשפט קיילי-המילטון.
שמואל רוסט נתן הוכחה קצרה למשפט ב־1976 באמצעות שימוש ב של מרחב וקטורי מממד .
קלאודיו פרוצ'סי הראה ב־2015 שמשפט עמיצור-לויצקי הוא משפט קיילי-המילטון עבור מטריצת גרסמן גנרית.
משפט פיתגורס הוא משפט מפורסם בגאומטריה, המתאר את היחס בין שלוש צלעותיו של משולש ישר-זווית.
המשפט קובע כי (הניצבים הם שתי הצלעות שביניהן כלואה הזווית הישרה, והיתר הוא הצלע הארוכה של המשולש).
בניסוח פורמלי: אם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם ו-, ואורך היתר הוא , אז: .
המשפט נקרא על שם המתמטיקאי והפילוסוף היווני פיתגורס, שחי במאה ה-6 לפנה"ס, אשר נהוג לייחס לו את ההוכחה הכללית הראשונה של המשפט, אם כי אין ודאות שהוא אכן זה שהוכיח את המשפט לראשונה.
המשפט עצמו ללא ההוכחה היה מוכר מאות שנים לפני זמנו של פיתגורס - במצרים העתיקה, בבבל ובסין, אולם המתמטיקאים היוונים היו הראשונים שעמלו למצוא הוכחות לרעיונות מתמטיים.
המשפט ההפוך, הקובע שמשולש שבו ריבוע צלע אחת שווה לסכום ריבועי הצלעות האחרות הוא ישר-זווית, נכון גם הוא.
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך לו מופיעים כמשפטים האחרונים בכרך הראשון של "יסודות" - ספרו הנודע של אוקלידס.
משפט פיתגורס מהווה מקרה פרטי של משפט הקוסינוסים, המופיע אף הוא ב"יסודות" של אוקלידס, המגדיר את היחס של שלוש צלעותיו של כל משולש, בהינתן אורכן של שתיים מצלעותיו וגודל הזווית הכלואה ביניהן.
בתורת המספרים קיימת בעיה מפורסמת הקשורה למשפט פיתגורס, ובה נדרש למצוא משולשים ישרי זווית שאורכי הצלעות שלהם הם מספרים שלמים, כלומר למצוא פתרונות שלמים למשוואה הדיופנטית:
שלשה של מספרים כאלה קרויה שלשה פיתגורית, וידוע שיש אינסוף שלשות מסוג זה.
דוגמה לשלשה פיתגורית הם המספרים 3,4,5 שכן הם מקיימים את המשוואה: .
הכירו את המשפט עצמו בתרבויות עתיקות זמן רב לפני פיתגורס.
בקרב חוקרי ההיסטוריה של המתמטיקה אין הסכמה לגבי השאלה האם משפט פיתגורס התגלה פעם אחת, ונדד בין התרבויות השונות בעת העתיקה, או שמא התגלה בכמה מקומות באופן עצמאי ובלתי תלוי.
המתמטיקאי ההולנדי ברטל לינדרט ואן-דר-ורדן סבר כי המשפט התגלה בבריטניה הנאוליתית, וממנה הופץ למצרים ולמסופוטמיה.
בהמשך הועבר הידע להודו, לסין וליוון.
השערה זו מבוססת על גילויים של מבנים פרהיסטוריים באיים הבריטים, הבנויים בזוויות ישרות וצלעות שהיחסים בין אורכיהן הם מספרים שלמים.
מבנים אלו מתוארכים למאה ה-25 לפנה"ס.
בפפירוס ברלין 6619, המתוארך לתקופה שבין 2000 לפנה"ס ל-1780 לפנה"ס, והמכיל ידע רב במתמטיקה וברפואה, מצויה בעיה שפתרונה מעיד על ידע בפתרון משוואה ממעלה שנייה ועל הכרתן של מספר שלשות פיתגוריות.
לוח החרסית הכתוב בכתב יתדות, "פלימפטון 322", המתוארך לתקופה שבין 1900 לפנה"ס ל-1600 לפנה"ס, מכיל ארבע עמודות וחמש עשרה שורות של מספרים בספרות בבליות.
לפי אחת הפרשנויות, הלוח שימש לחישוב שלשות פיתגוריות או לחישוב ערכיה של פונקציה טריגונומטרית.
ספר הקודש ההודי, "שולבה סוטרא", המתאר בניית מזבחות המיועדים להקרבת קורבנות, אשר מתוארך לתקופה שבין 800 לפנה"ס ל-200 לפנה"ס, מכיל רשימה של שלשות פיתגוריות והוכחה גאומטרית של המשפט עבור משולש ישר-זווית שווה-שוקיים.
בספר "ג'וֹאוּבִּי סְוָּאנְגִ'ינְג" - "המדריך של ג'ואו למדידת צללים" - המתוארך לתקופה שבין 100 לפנה"ס ל-100 לספירה מצויה הוכחה ויזואלית למשפט פיתגורס ("משפט גאוגו" בשמו הסיני) למשולש ישר-זווית שאורכי צלעותיו הן 3, 4 ו-5.
הספר, הנחשב לחשוב ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה בסין, הוא "גְ'יו גָא'נְג סוָּאן שוּ" - "תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה", מכיל 246 בעיות מתחומי חיים שונים האמורות להקיף את הידע הדרוש לפתרון בעיות מתמטיות יום-יומיות.
הפרק התשיעי של הספר, ששמו "גוּאַי גוּ" ("בסיס וגובה"), עוסק במשולשים ישרי זווית וכולל יישומים של מה שידוע במערב כמשפט פיתגורס, שלשות פיתגוריות וחפיפת משולשים.
במאה השלישית לפנה"ס נכתב בידי אוקלידס הספר "יסודות", המכיל סיכום מקיף של הידע בגאומטריה ובאריתמטיקה שנצבר עד זמנו.
תרומתו הגדולה הייתה בניסוח השיטתי ובמבנה הלוגי המסודר של המשפטים.
הספר נחשב לאחד הספרים החשובים ביותר שנכתבו מאז ומעולם, והיה הספר המרכזי ללימוד אריתמטיקה וגאומטריה במשך מאות שנים.
בספר מצויה הוכחה למשפט פיתגורס .
ההוכחה כתובה בצורה אקסיומטית ומובנית, והיא ההוכחה העתיקה ביותר למשפט הידועה היום.
לפי הפילוסוף והמתמטיקאי פרוקולוס, שפירש את "יסודות" של אוקלידס כ-700 שנים לאחר כתיבתו, השתמש פיתגורס, שחי במאה השישית לפנה"ס, בשיטות אלגבריות למציאת שלשות פיתגוריות, ואילו אפלטון, שחי בתחילת המאה הרביעית לפנה"ס, פיתח שיטה למציאת שלשות פיתגוריות המשלבת בין האלגברה לגאומטריה.
על-פי משפט פיתגורס, השורש הריבועי של 2 (הידוע גם כקבוע פיתגורס) הוא אורך האלכסון בריבוע שאורך צלעותיו הוא 1. פיתגורס ותלמידיו ידעו להוכיח ש- הוא מספר אי רציונלי, מה שלפי סברה רווחת היווה מכה קשה לאסכולה הפיתגוראית שהאמינה שהעולם כולו ניתן לתיאור כיחסים בין מספרים טבעיים.
למשפט פיתגורס התפרסמו הוכחות רבות.
ייתכן אף שמשפט פיתגורס הוא המשפט המתמטי בעל המספר הגדול ביותר של הוכחות .
עם האנשים שמצאו הוכחות חדשות למשפט נמנים לאונרדו דה וינצ'י, הנשיא ה-20 של ארצות הברית, ג'יימס גרפילד, ואלברט איינשטיין (בנעוריו).
בספרו הנודע של אוקלידס, "יסודות", כרך ראשון, משפט מספר 47, מצויה ההוכחה הבאה למשפט:
יהי ABC משולש ישר-זווית, כאשר C היא הזווית הישרה.
מנקודה C מעבירים גובה ליתר, כך שיחצה את הריבוע המונח עליו לשני מלבנים.
ההוכחה מראה ששטחי המלבנים האלו שווים לשטחים של הריבועים המונחים על הניצבים בהתאמה.
כפי שניתן לראות בציור משמאל, ההוכחה מבוססת על המרת כל אחד משני הריבועים המונחים על הניצבים למקבילית בעלת אותו שטח, השווה גם לשטחו של המלבן המתאים.
ABC הוא משולש ישר-זווית, עם זווית ישרה ACB.
על כל אחת מצלעות המשולש AB, BC, CA מונחים הריבועים ABIK, BCFG, CADE בהתאמה.
הגובה מקודקוד C ליתר AB חותך את הצלעות AB, KI בנקודות H, J בהתאמה.
הזוויות ACB ו-ACE הן זוויות ישרות ולכן הנקודות B, C ,E נמצאות על ישר אחד.
כנ"ל לגבי הנקודות A, C, F.
הזוויות DAC ו-BAK הן זוויות ישרות, לכן המשולשים KAC ו-BAD חופפים (AD=AC, הזוויות KAC ו-BAD שוות, BA=KA).
מאחר שהנקודות C, H, J נמצאות על ישר אחד, אזי שטח המלבן KAHJ שווה לפעמיים שטח המשולש KAC.
מאחר שהנקודות B, C, E נמצאות על ישר אחד, אזי שטח הריבוע ADEC שווה לפעמיים שטח המשולש ADB.
מכאן ששטח המלבן KAHJ שווה לשטח הריבוע ADEC, כלומר שטח המלבן KAHJ שווה ל-AC2.
משימוש באותם השיקולים מתקבל ששטח המלבן IBHJ שווה ל-BC2.
מחיבור שתי תוצאות אלו נובע ששטח הריבוע IBAK שווה ל-AC2+BC2.
מחישוב ישיר של שטח הריבוע IBAK, שטחו שווה ל-AB2.
סך הכל, מקבלים כי: AC2+BC2=AB2.
נשרטט אנך מקודקוד הזווית הישרה ליתר, ונקבל שני משולשים קטנים.
הזוויות בשני המשולשים הקטנים שוות לזוויות במשולש המקורי, ולכן שלושת המשולשים דומים.
כתוצאה מדמיון המשולשים היתר חלקי הניצב במשולש העליון, שווה ליתר חלקי הניצב התואם במשולש הגדול:
הסבר להוכחתו של לאונרדו דה וינצ'י, המתוארת בסקיצה משמאל:
המרובעים האפורים AJIC ו-ABGD חופפים ולכן שטחם שווה.
כך גם המרובעים הלבנים DGFE ו-CIHB.
מתקבל כי שטח המשושים AJIHBC ו-ABGFED שווה.
שטח המשושה AJIHBC שווה ל-
שטח המשושה ABGFED שווה ל-
מהשוואת שני הביטויים שהתקבלו, המייצגים את אותו שטח, מתקבל משפט פיתגורס.