tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
14,062 הגוף הטרנס-נפטוני סדנה ישלים לראשונה הקפה מלאה סביב השמש מאז גילויו בשנת 2003. 5 באפריל 15,232 ליקוי חמה מלא ומעבר נוגה על פני השמש יתרחשו במקביל.
20 באפריל 15,790 ליקוי חמה טבעתי ומעבר כוכב חמה על פני השמש יתרחשו במקביל.
10,500–12,000 נקיפת ציר כדור הארץ תגרום ל-δ במפרש להיות בקוטב השמיימי הדרומי.
20,346 תובן יהיה כוכב הצפון.
27,800 פולאריס יחזור ויהיה שוב לכוכב הצפון.
27,000 וקטור האקסצנטריות של מסלול כדור הארץ יגיע לנקודת המינימום, 0.00236 אוקטובר 38,172 מעבר של אורנוס על פני נפטון, הנדיר ביותר מבין המעברים הפלנטריים במערכת השמש.
26 ביולי 69,163 מעברים של נוגה וכוכב חמה על פני השמש יתרחשו במקביל.
70,000 שביט היאקוטאקה יחזור למערכת השמש הפנימית, לאחר שעבר מסלול סביב השמש אשר הגיע עד כדי 3,410 יחידות אסטרונומיות.
27 ו-28 במרץ 224,508 נוגה ויום לאחר מכן כוכב חמה יחלפו על פני השמש.
571,741 מעבר במקביל על פני השמש של נוגה וכדור הארץ, כפי שייראו ממאדים.
6 מיליון שביט C/1999 F1 , ידוע כאחד מהשביטים בעלי התקופה הארוכה ביותר, יחזור למערכת השמש הפנימים לאחר שמסלולו סביב השמש הגיע לכדי 66,600 יחידות אסטרונומיות.
שנים בעתיד המאורע החזוי 10,000 הלוח הגרגוריאני יהיה מסונכרן באופן מוחלט עם עונות השנה לעשרה ימים.
10,870 פסח יחול ביום ההיפוך הקיצי.
18,850 לוח השנה הגרגוריאני והלוח המוסלמי יחלקו את אותו מספר שנה.
לאחר מכן הלוח המוסלמי הקצר יותר יעקוף את הלוח הגרגוריאני בספירה.
25,000 הלוח המוסלמי יהיה מסונכרן באופן מוחלט עם סיבוב הירח לעשרה ימים.
46,880 הלוח היוליאני יגיע להפרש של שנה מהלוח הגרגוריאני.
פירוק פסולת גרעינית מתקיים בטווח של בין עשרות אלפי שנים עד למיליוני שנים, אולם ישנם תחזיות לגבי תהליכים עתידיים בתחום זו.
שנים בעתיד המאורע החזוי 10,000 אתר ההטמנה לפסולת רדיואקטיבית שבמדינת ניו מקסיקו שבארצות הברית מתוכנן להיות מוגן עד לעת ההיא וזאת בעזרת מסמן קבוע המזהיר המבקרים בשפות רשמיות של האומות המאוחדות , שפת נאוואחו ובאמצעות פיקטוגרף.
20,000 יהיה שוב בטוח לבני האדם לשוב ולהתגורר באזור הסגור בעקבות אסון צ'רנוביל.
15.7 מיליון מחצית החיים של יוד-129 , האיזוטופ הרדיואקטיבי בעל הדעיכה האיטית ביותר.
העתיד של המוח הוא ספר מסוגת המדע הפופולרי מאת הפיזיקאי התאורטי מיצ'יו קאקו שיצא בשנת 2014 באנגלית, ובשנת 2015 בעברית.
הספר מתאר את התפתחות תחום חקר המוח, ואת אפשרויות התפתחות הטכנולוגיה העתידית בתחום זה.
הספר מחולק לשלושה חלקים: הראשון דן בקיומה של תודעה, ומה משמעותה מבחינה מדעית; השני דן באפשרויות הטכנולוגיות להעצמת התודעה ויכולותיה; והשלישי דן במצבי תודעה חלופיים.
קאקו מתחיל בסקירה על ציוני דרך משמעותיים בחקר המוח: התאונה של פיניאס גייג', חקר קליפת המוח ורישום ההומונקולוס, ומתאר כמה דרכים לחקור את המוח: סריקת MRI, סריקת EEG ואפשרויות נוספות.
לאחר מכן דן קאקו בתודעה, מנקודת מבטו של פיזיקאי; הוא מדרג את מצבי התודעה השונים לשלוש רמות, התמצאות במרחב, התמצאות בחברה והתכוננות לעתיד, ומציין כי בני אדם הם היחידים שמוחם פועל בכל שלוש הרמות.
ראשית דן קאקו בטלפתיה; באפשרות התכנותה ובהשלכות שלה- השלכות חברתיות, משפטיות ורפואיות.
לאחר מכן דן קאקו בטלקינזיס, ובשימוש בטכנולוגיה זה לצרכים רפואיים, לשם בידור וכדי לשדרג את גוף האדם.
בהמשך דן קאקו בזכרונות, כיצד הם פועלים והאם ניתן למחוק, לשנות או ליצור זכרונות.
לאחר מכן הוא דן באינטליגנציה ובדרכים להגביר ולהעצים אותה.
בפרק זה דן קאקו במצבי תודעה שאינם שגרתיים.
הוא מתחיל בדיון על מהותם של חלומות, ובאפשרויות עתידיות לצלם ולערוך חלומות.
לאחר מכן דן קאקו ביכולת לשלוט במוחו של אחר, באמצעות סמים, היפנוזה או זרמים חשמליים.
בהמשך עוסק קאקו במחלות נפש, הזיות ופגיעות מוחיות דומות.
לאחר מכן דן קאקו ברובוטים- האם ניתן ליצור בינה מלאכותית, האם ניתן לדמות תודעה ורגשות, ועוסק בשאלות כמו האם רובוטים יוכלו (או ירצו) לשקר, האם רובוטים ימרדו בבני האדם ובדברים דומים.
בהמשך דן קאקו באפשרות להפריד בין התודעה לגוף- ולאפשר לבני האדם לחיות כתודעה נצחית המשוטטת ביקום.
לסיום, דן קאקו בתודעות השונות מתודעותיהם של בני אדם- תודעותיהם של בעלי חיים וחוצנים.
העשירייה - מצעד השירים השבועי של כאן גימל הוא מצעד פזמונים שבועי של תחנת הרדיו הישראלית כאן גימל שעלה לראשונה ב-10 בפברואר 2022. את המצעד הגישה מאיה אלקולומברה מעלייתה של התוכנית ועד 30 באוקטובר 2025 אז עזבה את התחנה ומנובמבר באותה שנה מגישה את המצעד עמלי חביב פרגון.
מאז עליית התוכנית המצעד השנתי של התחנה נקרא "העשירייה של השנה".
עד לדצמבר 2023, המצעד שודר בעבר גם בערוץ כאן 11. הסיבה לירידת המצעד מהשידור הטלוויזיוני הייתה פרוץ מלחמת חרבות ברזל.
השיר הראשון שהגיע לראש המצעד הוא "לך לישון" של הזמרת אנה זק.
השיר "קרן שמש" של בניה ברבי היה השיר שבילה את מספר השבועות הגבוה ביותר בראש המצעד, כ-12. ב-30 בינואר 2025 עקף אותו השיר "תמיד אוהב אותי" של ששון שאולוב והפך להיות השיאן שמחזיק ב-13 שבועות בפסגה.
במסגרת לוח השידורים החדש של התחנה הוחלט להחזיר את המצעד של רשת גימל שירד עם המעבר לתאגיד השידור כאן תחת רעיון חדש הכולל פינות ואירועים עם השם "העשירייה".
תוצאות המצעד מבוססות על נתוני ההאזנה מרשתות הסטרימינג המובילות בישראל ולצד נתוני השמעות ברדיו, בדומה למצעדים הגדולים בעולם.
בכך כאן גימל הפכו לגוף התקשורת הראשון בישראל שהולך לפי שיטה זו, בניגוד למצעדים שבועיים אחרים בארץ שמתבססים על הצבעות קהל.
העשירייה מארחת - מדי שבוע מגיעים להתארח שני זמרים המספרים על הקריירה שלהם, עונים על שאלות המאזינים, משחקים משחק ומבצעים כמה שירים באולפן בשידור חי.
המבזק - הידיעות הכי חמות במוזיקה בארץ ובעולם.
נאמבר וואן - פינה בה מושמע שיר חדש מצליח מסביב לעולם.
המועמד הבא - פינה בה מושמע לראשונה שיר חדש בעל סיכויים גבוהים להתברג בדירוג המצעד הבא.
השבוע לפני - פינה בה מושמע שיר מהעבר, ישראלי או לועזי שהגיע לפסגת המצעד השבועי.
אות הפינה הוקלט על ידי עופר נחשון, שדרן רדיו ישראלי לשעבר שגם הגיש את המצעד השבועי של רשת גימל במהלך שנות ה-90.
הרדאר - מדי שבוע נותנים במה למוזיקאי חדש וצעיר שעשוי להפוך לתופעה עם שיר חדש שכדאי להכיר.
כוכב רשת - בפינה זו מושמע מדי שבוע שיר שמככב באותה עת בסרטונים מרחבי הרשת, לעיתים מדובר בשיר חדש או בשיר ישן ומוכר שחזר בזכות הרשת.
השיר "לך לישון" של אנה זק היה השיר הראשון שהגיע לפסגת המצעד ושהה שם במשך 7 שבועות לא ברצף.
(השיר "לבד על המיטה" של עומר אדם החליף אותו לשבוע אחד בפסגה)
ב-16 בפברואר השיר "קרן שמש" של בניה ברבי 2023 הפך לשיר הוותיק ביותר שצעד הכי הרבה זמן במצעד (26 שבועות).
בשנת 2024 עקף אותו השיר "אהבה" של אושר כהן שהוא צעד יותר מ-30 שבועות במצעד ולא ברצף (עם יציאות וכניסות חוזרות).
במצעד ששודר בתאריך 25 באוגוסט 2022 נכנסו אל שלושת המקומות הראשונים במצעד בכניסות ישירות השירים "סהרה" של טונה ויסמין מועלם אל המקום השלישי, "אינטלקטוערס" של אודיה אל המקום השני ו"פנתרה" של נועה קירל היישר אל המקום הראשון.
במצעד ששודר בתאריך 12 במאי 2022 הגיע אל המקום הראשון השיר "דובשנייה" של שחר סאול, אגם בוחבוט ונורוז זאת לאחר שצעד 11 שבועות במצעד, השיר בילה 4 שבועות בפסגה והפך לשיר שצעד הכי הרבה זמן (24 שבועות).
ב-25 בספטמבר 2022 נערך המצעד השנתי "העשירייה של השנה" בו זכו בתארים עדן חסון בתור זמר השנה, נועה קירל בתור זמרת השנה, דולי ופן בתור הרכב השנה, אבי אבורומי בתור פריצת השנה ו"דובשנייה" של שחר סאול, אגם בוחבוט ונורוז זכה בתואר שיר השנה.
במצעד ששודר בתאריך 5 בינואר 2023 נכנס השיר "אני" של עומר אדם היישר אל המקום הראשון בכניסה ישירה למצעד.
ב-13 בינואר 2023 נכנס הזמר פאר טסי עם שני שירים לעשירייה באותו שבוע "אהבה חולה" אל המקום התשיעי ו-"38" אל המקום השישי והיה לאמן הראשון שעשה זאת.
ב-2 בפברואר, אף נכנסו השירים למקומות הראשון והשני בהתאמה.
בינואר 2025 השיר "תמיד אוהב אותי" של ששון איפרם שאולוב שהה במשך 13 שבועות רצופים במקום הראשון ושבר שיא במצעדי רשת גימל לתולדותיה בתור השיר ששהה הכי הרבה זמן בראש המצעד.
השיר עקף את "הללויה" של גלי עטרי ולהקת חלב ודבש, "דרכנו" של שרית וינו וחני פירסטנברג ו"מי אוהב אותך יותר ממני" של ארקדי דוכין ואת "קרן שמש" של בניה ברבי.
במהלך תוכניות העשירייה היו מספר שירים שנכנסו למצעד והגיעו היישר אל המקום הראשון: "פנתרה" ו"פרובוקטיבית" של נועה קירל, "אני" של עומר אדם, "לצאת מדיכאון" של יגל אושרי, "מנגן ושר" של אושר כהן, "צמוד צמוד" של עומר אדם, אודיה ושרק, "בן אדם" של אודיה ו"בחיבק" של תמר ריילי.
את המצעד הגישה מפברואר 2022 עד אוקטובר 2025 מאיה אלקולומברה.
החל מנובמבר 2025 עמלי חביב פרגון מגישה באופן קבוע את המצעד.
שירים שהגיעו למקום הראשון במצעד העשירייה
העתק הכרמל הוא שבר טקטוני בהרי הכרמל.
העתק הכרמל הוא חלק ממערכת טקטונית רחבה אשר מפרידה בין רכסי השומרון בצפון להרי יהודה בדרום.
מערכת זו היא בעלת יציבות טקטונית ביחס למערכת הטקטונית בגליל מצפון, ההעתק בקטע שבין צומת העמקים לנמל חיפה (העתק יגור), חוצה תשתיות, מפעלים פטרוכימיים ושכונות מגורים.
השבר מתפצל מהבקע הסורי-אפריקני, דרך צפון השומרון, מתחיל באזור יקנעם דרך הרי הכרמל, מערבית לעיר נשר ועד מפרץ חיפה, ההעתק ממשיך עוד לתוך הים וחוצה את מדף היבשת לכיוון צפון-מערב.
המבנה הסטרטיגרפי של רכס הכרמל, משני צידיו של העתק הכרמל, כולל דולומיט, אבן גיר, קירטון וחוואר מתקופת עד טורון.
בעמק זבולון קיים העתק (שבר) צעיר מבחינה טקטונית מתקופת נאוגן והממצאים הסטרטיגרפים שונים באופן משמעותי מהממצאים שנחשפו ברכס הכרמל.
סביבת ההעתק מורכבת מאלמנטים של אבן גיר, קירטון חוואר, קונגלומרטים, וסלעי התאדות.
לפי המחקר, התווספו בתקופת הפליסטוקן, לסביבת ההעתק חומר חרסיתי ואבני חול הקרובות לאבן גיר.
קווי ההעתק נמדדו במקטע השבר שבין צומת יגור בדרום-מזרח ועד לשובר הגלים בנמל חיפה שבקצהו הצפון-מערבי.
מדידות אלו חושפות את המבנה הסטראוגרפי של השבר ומראות תמונה מורכבת המשתנה במרחב.
מקטע יוקנעם - צומת העמקים מכיל את רוב העדויות הגיאומורפולוגיות והמורפוטקטוניות לפעילות טקטונית צעירה של העתק הכרמל באופן יחסי למקטע יגור.
הממצאים הפאליאוסיסמיים לאורך העתק הכרמל הם מועטים.
בשנת 2002 נחשפה מדרגה סטרטיגרפית אשר גילה הוערך לכ-35,000 שנה.
מחקר שנערך בשנת 2006 מלמד על פעילות טקטונית בהעתק הכרמל לאורך הפליסטוקן.
באוגוסט 1984 התרחשה רעידה משמעותית בהעתק הכרמל, 5.3 מגניטודה לפי מומנט בעומק של כ-15–20 ק"מ.
מחקר ארכיאוסיסמי שנערך באותה שנה חשף נזקים במבנים בתל מגידו ויקנעם מעידים על רעידות אדמה חזקות.
רעידה אחת מתוארכת לפי המחקר לסוף האלף הרביעי לפנה"ס ושתי רעידות נוספות לסוף המאה התשיעית ולאמצע המאה השמינית לפנה"ס.
מאידך, העדר נזקים במבנים צלבניים מהמאה ה-13 לספירה בתל יקנעם מעידים על העדר רעידות אדמה לאורך העתק הכרמל מאז המאה ה-13 לספירה לפחות.
נזקים מבניים במערת דניה בחיפה התרחשו לפי המחקר לפני כ-5000 שנה.
עדויות אלו אינן מוכיחות באופן מובהק פעילות טקטונית של העתק הכרמל וייתכן שנגרמו על ידי רעידת אדמה משמעותית שהתרחשה בשבר ים המלח.
בדפוס ובהוצאה לאור, עותקי שמש או גליונות הגהה הם גרסאות מוקדמות של פרסומים, המיועדות לעריכה ולהגהה, ולעיתים כוללות שוליים רחבים במיוחד.
גליונות הגהה עשויים להיות לא חתוכים ולא כרוכים, או, במקרים מסוימים, מופצים באופן דיגיטלי.
עותקי שמש משמשים לצורכי הגהה ועריכת תוכן, אך לעיתים נשלחים גם למטרות קידום וביקורת.
בהקשר טיפוגרפי, המונח מתוארך לשנת 1600 בקירוב.
מטרתם העיקרית של עותקי שמש היא לשמש כלי לאימות נכונות העבודה.
כל השינויים הדרושים מסומנים פיזית בגליונות נייר או מסומנים דיגיטלית על קבצים אלקטרוניים.
הסדרים, המפיצים או המדפיסים מקבלים את הגליונות הערוכים, מתקנים ומעדכנים את העימוד, ומכינים את הגרסה הסופית להדפסה.
המונח גליונות הגהה נגזר מתקופת דפוס בלט במאה ה-16, אז השתמשו המדפיסים במגשים מתכתיים (גליות) שבהם הונח הסוג.
מכבש הגהה קטן שימש להפקת מספר עותקים מוגבל, ששימשו להגהה.
הוכחות לא מתוקנות הן גרסאות מוקדמות של טקסטים (מודפסים או דיגיטליים) שטרם קיבלו אישור סופי מהמחבר או המוציא לאור.
כיום, כאשר מרבית התהליכים הם דיגיטליים, נעשה שימוש במונחים כגון "הוכחה דיגיטלית" או "הוכחת PDF".
אם מופקת גרסה מודפסת לצורך עריכה או הגהה, היא דומה במידה רבה לגליונות ההגהה ההיסטוריים.
הוכחות סופיות הן העותקים האחרונים שמספק המדפיס לאישור סופי של המוציא לאור לפני הדפסת המהדורה הרשמית.
בשלב זה, כל הטעויות כבר תוקנו, ועמודי הספר מוכנים להדפסה.
שינויים בשלב זה עשויים לייקר את התהליך, ולכן ממליצים להימנע מתיקונים משמעותיים.
הוכחות מסוימות משמשות כעותקי קריאה מוקדמת (ARCs), המסופקים למבקרים, מגזינים וספריות.
עותקים אלה, הנכרכים בדרך כלל בכריכה רכה, אינם מיועדים לתיקון אלא לקידום וביקורת.
לעיתים, עותקים אלו עשויים לכלול הערות כמו "הוכחה לא מתוקנת", והם עשויים להיות מודפסים בשחור-לבן במקרה של ספרים עם איורים צבעוניים.
העתיד הוא סרט קולנוע ישראלי משנת 2023. זהו סרטו השני באורך מלא של הבמאי והתסריטאי נעם קפלן.
הסרט הוצג בבכורה עולמית בפסטיבל טרייבקה ובבכורה ישראלית בפסטיבל הקולנוע ירושלים.
היה מועמד לפרס אופיר עבור השחקנית הראשית הטובה ביותר, שחקנית המשנה הטובה ביותר ועבור הצילום הטוב ביותר בטקס פרסי אופיר לשנת 2023. הסרט יצא לאקרנים באוגוסט 2023 ברשת בתי הקולנוע "לב".
גיבורת הסרט היא ד"ר נורית בלוך (ריימונד אמסלם), חוקרת באוניברסיטה העברית שפיתחה אלגוריתם שיודע לחזות ולאתר פעולות טרור מבעוד מועד.
למרות הפיתוח, מצליחה יאפא, צעירה פלסטינית (סמר קופטי), להתנקש בשר החלל והתיירות הישראלי רגעים ספורים לפני שיגור החללית הישראלית "התקווה" לירח.
כדי לתקן את ה"באג" באלגוריתם, נאלצת נורית לפצח את אישיותה של המתנקשת בסדרת מפגשים פנים אל פנים.
במקביל, היא מנסה להביא לעולם ילד ולשם כך נעזרת בפונדקאית (דר זוזובסקי).
המפגש בין נורית לבין יאפא מעלה שאלות על עברן, בעוד שהמפגש בין בלוך לבין הפונדקאית המיועדת מעמת אותה עם ההחלטה לגבי עתידה, ובהשאלה, עתיד החברה הישראלית, בשעה שעיני המדינה נתונות לנחיתת "התקווה" על הירח.
הסרט עוסק בסכסוך הישראלי-פלסטיני מנקודת מבט נשית ומכאן ייחודו.
הוא מציג עולם נשי של מחקר אקדמי ושאלות על אמהות - על עתיד.
הגברים בסרט משמשים בתפקידי משנה, כתפאורה לסיפורים הנשיים, לרבות בעלה של הגיבורה (יוסי מרשק), שנחשף בסרט בקולו בלבד.
הסרט, ששואב השראה מרצח שר התיירות רחבעם זאבי ב-2002, מציע את הדיאלוג והמפגש הנשי כפתרון אפשרי לסכסוך הישראלי-פלסטיני.
מבקר הקולנוע של "הארץ", אורון שמיר, קבע כי "ההישג האמנותי הכביר של הסרט הוא יצירת איזון בין הטון החריף והבוטה לבין עושר הדקויות".
כמו כן כתב ש"מדובר באחד הסרטים הנועזים של הקולנוע הישראלי העכשווי, באשר לאופן ההתמודדות שלו עם נושאים שמעליב לקרוא להם "שחוקים", כמו הכיבוש וההתנגדות לו".
מבקר וחוקר הקולנוע, עופר ליברגל, ציין לטובה את אחידות החזון האמנותי, "לא רק בבימוי, אלא גם ביצירת קו אחיד בכתיבה והצדקה לכל קו עלילה, כל מטאפורה שהולכת עד הקצה ואז ממשיכה ללכת."
מבקרת החברה של "הארץ" שני ליטמן, טענה שלמרות נקודת פתיחה מעניינת, העלילה לא מתפתחת והיחסים בין הדמויות לא מעמיקים.
מבקרת הקולנוע של המגזין המקוון "טיים אאוט תל אביב", יעל שוב, ציינה ש"הרובד הסמלי המודגש יתר על המידה פוגם במתח הדרמטי הפוטנציאלי של היצירה השלמה."
בין המבקרים שררה אחידות דעים באשר לרמת המשחק הגבוהה של צוות השחקניות, כמו גם לאיכותו הגבוהה של הצילום.
בטקס פרס אופיר לשנת 2023 הייתה השחקנית ריימונד אמסלם מועמדת לשחקנית הטובה ביותר.
השחקנית סמר קופטי הייתה מועמדת לשחקנית המשנה הטובה ביותר.
צלם הסרט, שרק דה מאיו, היה מועמדת לצילום הטוב ביותר.
לאחר בכורה עולמית בפסטיבל טרייבקה, התחרה "העתיד" בתחרות הישראלית לסרטי עלילה בפסטיבל הקולנוע ירושלים.
כמו כן, התחרה בפסטיבלים רבים בעולם, ביניהם פסטיבל הקולנוע הבינלאומי של המבורג ובפסטיבל הקולנוע הבינלאומי של וורשה .
הסרט נרכש להפצה בצפון אמריקה וקנדה.
באלגברה ליניארית, העתקה ליניארית או טרנספורמציה ליניארית, היא העתקה (פונקציה) ממרחב וקטורי למרחב וקטורי, השומרת על החיבור והכפל בסקלר.
באופן פורמלי יותר, העתקה ליניארית היא העתקה אדיטיבית והומוגנית בין שני מרחבים וקטוריים (מעל אותו שדה).
מכיוון שהעתקה ליניארית שומרת על כל הפעולות, היא מהווה מורפיזם בקטגוריה של המרחבים מעל השדה.
העתקה בין מרחבים מממד סופי אפשר לתאר באמצעות מטריצה; כל מטריצה מתארת באופן חד-משמעי העתקה ליניארית, וכל העתקה ליניארית ניתנת לייצוג ככפל של מטריצה בווקטורי קואורדינטות (באופן פורמלי: מרחב ההעתקות ומרחב המטריצות איזומורפיים).
להעתקה ליניארית ממרחב אל עצמו, כלומר , נהוג לעיתים לקרוא אופרטור ליניארי, אך המושג אופרטור ליניארי משמש גם לתיאור העתקה ליניארית כלשהי.
העתקה ממרחב וקטורי מעל שדה F אל מרחב וקטורי מעל אותו שדה (מסמנים ) תקרא העתקה ליניארית או טרנספורמציה ליניארית, אם מתקיימים התנאים הבאים:
משמרת חיבור (אדיטיביות): לכל שני וקטורים השייכים למרחב מתקיים:
משמרת כפל בסקלר (הומוגניות): לכל וקטור השייך למרחב , ולכל סקלר השייך לשדה F מתקיים:
משמעות התנאים הללו היא שאין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה (אשר מניבה את תמונת הפונקציה) על כל וקטור בנפרד ואחר כך מחברים את התמונות, או שמחברים את הווקטורים ולאחר מכן מפעילים על הסכום את העתקה – התוצאה תהיה זהה, דהיינו נשמר החיבור (אדיטיביות).
באותו אופן, אין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה על התוצאה של כפל הווקטור בסקלר , או שמפעילים את ההעתקה על הווקטור ולאחר מכן כופלים את התמונה בסקלר – הכפל נשמר (הומוגניות).
שתי תכונות אלו מרכיבות את תכונת הליניאריות.
מההגדרה נובעת התכונה הכללית, שבהינתן וקטורים וסקלרים מתקיים:
מסקנה נוספת אשר נובעת מההגדרה, היא שהגרעין של העתקה ליניארית לעולם אינו הקבוצה הריקה ותמיד כולל את וקטור האפס :
מסקנה נוספת מכך היא קריטריון הכרחי לכך שפונקציה בין מרחבים וקטוריים היא העתקה ליניארית.
אם היא העתקה ליניארית אז .
מאחר שקל לבדוק תנאי זה הוא מהווה כלי יעיל כדי לשלול את היותה של פונקציה חשודה העתקה ליניארית: אם T לא מעבירה אפס לאפס אז היא לא העתקה ליניארית.
אם היא מטריצה מסדר , אז מגדירה העתקה ליניארית מ- ל- כאשר היא פועלת על וקטורי עמודה ב־ על ידי כפל מטריצות מימין: .
זוהי דוגמה חשובה ושימושית ביותר, מכיוון שבדרך זו ניתן לייצג כל העתקה ליניארית בין מרחבים מממד סופי.
טרנספורמציית האפס (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את וקטור האפס בטווח) וטרנספורמציית הזהות (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות ליניאריות.
בפרט, אם אז את טרנספורמציית האפס ניתן לייצג כ- (העתקה ליניארית באמצעות הכפלה במטריצה) כאשר היא מטריצת האפס (מטריצה בגודל המתאים שכולה אפסים), ואת טרנספורמציית הזהות ניתן לייצג כ- על ידי כאשר היא מטריצת היחידה מסדר (כלומר, בגודל ).
ההעתקה עם היא העתקה ליניארית המותחת את ציר ה- פי , בעוד את ציר ה- היא משאירה ללא שינוי.
נבטא אותה במפורש: ולכן .
קל לבדוק ישירות שהיא אכן ליניארית.
ראו המחשה גרפית שלה באיורים שבתחתית סעיף זה.
טרנספורמציות סיבוב ושיקוף הן טרנספורמציות ליניאריות.
לדוגמה, ב-, הטרנספורמציה המשקפת כל וקטור יחסית לציר ה- היא טרנספורמציה ליניארית.
גזירה היא העתקה ליניארית ממרחב הפונקציות הגזירות למרחב הפונקציות (מרחבים מממד אינסופי).
פונקציה היא העתקה ליניארית אם ורק אם היא מהצורה באשר .
נשים לב שפונקציה ליניארית (כלומר: כזאת המתארת קו ישר במישור האוקלידי) היא העתקה ליניארית אם ורק אם .
קל לראות שאחרת לא מעבירה ל- (תנאי הכרחי להעתקה ליניארית) אך ניתן להוכיח זאת גם באופן יותר מפורש: נניח ש- ונראה ש- לא מקיימת אדיטיביות (ליניאריות): פונקציה כזאת נקראת העתקה אפינית.
נעיר שלהעתקות אפיניות יש חשיבות מיוחדת כשדנים בגזירת פונקציות בכמה משתנים (פונקציות דיפרנציאביליות).
יהיו ו- מרחבים וקטוריים מעל שדה כלשהו , ו- העתקה ליניארית מ- ל-.
נאמר ש- היא הומומורפיזם (של מרחבים וקטוריים) אם היא העתקה ליניארית.
נאמר ש- היא מונומורפיזם אם חח"ע (חד חד ערכית).
נאמר ש- היא אפימורפיזם אם על.
נאמר ש- היא איזומורפיזם אם היא הפיכה.
מרחבים הם איזומורפיים אם קיימת ביניהם העתקה ליניארית הפיכה, ומתברר כי שני מרחבים וקטוריים איזומורפיים זה לזה אם ורק אם הם שווי-ממד.
הממד מונוטוני תחת העתקות ליניאריות: אינו יורד תחת העתקה חח"ע, ואינו עולה תחת העתקה על.
אם מתקיים שני מרחבים מממד סופי ו- הם שווי ממד, אזי שלוש התכונות לעיל (חח"ע, על, הפיכות) שקולות זו לזו.
מכאן נובע שכל העתקה על בין מרחב ממד סופי לעצמו היא איזומורפיזם (באופן כללי אובייקט בקטגוריה שמקיים תכונה זאת נקרא הופפיאני; כך שמרחב ממד סופי הוא הופפיאני).
באופן דומה נובע שכל העתקה חח"ע בין מרחב ממד סופי לעצמו היא איזומורפיזם (כך שמרחב ממד סופי הוא קו-הופפיאני).
הסיווג של העתקות ליניאריות ממרחב לעצמו עשיר יותר.
להלן תרשים המכיל מספר מחלקות של העתקות כאלה ואת הקשרים ביניהן:
אוסף כל ההעתקות הליניאריות מ- ל- מהווה בעצמו מרחב וקטורי מממד .
על מנת שמשפט זה יהיה מוגדר כהלכה, עלינו להגדיר חיבור של העתקות ליניאריות וכפל בסקלר.
את זאת נעשה בדרך הטריוויאלית.
אם הן העתקות ליניאריות מ- ל-, ו- הוא אבר בשדה אז נגדיר חיבור בין העתקות וכפל של העתקה בסקלר כך:
וקטור האפס הוא טרנספורמציית האפס.
המרחב הווקטורי של כל ההעתקות ממרחב וקטורי למרחב וקטורי מסומן .
אם אז כלומר: מרחב הווקטורי של כל ההעתקות הליניאריות איזומורפי למרחב המטריצות עם שורות ו- עמודות.
גרעין ותמונה של העתקה ליניארית
הגרעין של , המסומן (מהמילה Kernel – גרעין), הוא קבוצת הווקטורים ב- המועתקים על ידי לווקטור האפס של .
משימוש בתכונות הטרנספורמציה הליניארית קל לראות כי הגרעין הוא מרחב וקטורי חלקי (תת-מרחב) ל- – משמע, הוא סגור לחיבור וכפל בסקלר.
הגרעין טריוויאלי (דהיינו, שווה לתת-מרחב האפס) בדיוק כאשר חח"ע.
התמונה של , המסומנת (מהמילה Image – תמונה), היא קבוצת איברי שקיים להם מקור ב-, כלומר:
גם התמונה של טרנספורמציה ליניארית סגורה לחיבור וכפל בסקלר, ולכן מהווה תת-מרחב וקטורי של .
משפט הדרגה: לכל מרחב מממד סופי ולכל טרנספורמציה ליניארית מתקיים:.
נשים לב כי בנוסחה אין תלות כלל בממד של הטווח , אלא רק בממד של התחום , הגרעין והתמונה.
נובעים מן המשפט האי-שוויונות הבאים: ולכן
מטריצה מייצגת של העתקה ליניארית
יהיו ו- מרחבים וקטורים מממד סופי מעל שדה כלשהו , ו- העתקה ליניארית מ- ל-.
נקבע בסיס של ו- בסיס של .
לכל וקטור ב- ניתן להתאים את וקטור הקואורדינטות שלו לפי הבסיס , ובאופן דומה .
נגדיר את המטריצה המייצגת של ביחס לבסיסים ו-, שתסומן כמטריצה שמקיימת את הקשר הבא:
ניתן לחשב אותה במפורש על ידי הנוסחה אך בפועל ישנן דרכים פשוטות יותר לחשב אותה.
נסמן ב- בסיס נוסף של וב- בסיס נוסף של .
נסמן ב-את מטריצת המעבר מבסיס לבסיס וב- את מטריצת המעבר מבסיס לבסיס .
יהי מרחב וקטורי נוסף מעל עם בסיס ותהי העתקה ליניארית נוספת.
יהיו ו- מרחבים וקטורים מעל שדה כלשהו , ו- העתקה ליניארית מ- ל-.
נתבונן במרחבים הדואליים ו- ונגדיר את ההעתקה הדואלית על ידי:
היא העתקה ליניארית ומוגדרת היטב.
חח"ע אם ורק אם על.
יהי בסיס ל- ו- בסיס ל-.
נסמן ב- וב- בסיסים דואליים ל- ו- בהתאמה.
נסמן ב- וב- את האיזומורפיזמים הקנוניים של ו- בהתאמה.
העתקה מולטי-ליניארית היא הכללה של העתקה ליניארית.
מדובר בהעתקה שפועלת על מרחב וקטורי ולה מספר ארגומנטים והיא ליניארית בכל אחד מהם.
באופן יותר פורמלי, יהי V מרחב וקטורי מעל שדה , אזי העתקה היא העתקה מולטי-ליניארית אם לכל ווקטורים מתקיים שההעתקה
הכללה של העתקה מולטי-ליניארית שפועלת בנוסף על המרחב הדואלי (בעותק אחד שלו או יותר) מובילה למושג הטנזור.
באלגברה ליניארית, אופרטור נורמלי (בעברית: העתקה נורמלית) היא העתקה ליניארית ממרחב מכפלה פנימית לעצמו, המתחלפת עם ההעתקה הצמודה שלה.
בפרט, כל העתקה אוניטרית, הרמיטית או אנטי-הרמיטית היא נורמלית.
המטריצה המייצגת של העתקה נורמלית, ביחס לבסיס אורתונורמלי, היא מטריצה נורמלית.
במרחב מממד סופי, העתקה היא נורמלית אם ורק אם היא ניתנת ללכסון אוניטרי.
משפט הפירוק הספקטרלי מכליל עובדה זו למרחבי הילברט.
העתקה ליניארית ממרחב מכפלה פנימית אל עצמו היא נורמלית, אם מתקיים , כאשר היא ההעתקה המוגדרת (על פי משפט ההצגה של ריס) על ידי הנוסחה לכל .
תהי העתקה לכסינה ממרחב וקטורי לעצמו.
כלומר, אפשר לפרק כאשר לכל , והערכים העצמיים שונים זה מזה.
העתקה מ- לעצמו מתחלפת עם אם ורק אם היא שומרת על כל אחד מהמרחבים העצמיים .
בפרט, נניח ש- העתקה לכסינה שהערכים העצמיים שלה שונים זה מזה (בסימוני הפסקה הקודמת, ).
אז מתחלפת עם אם ורק אם הן לכסינות במשותף, כלומר יש בסיס של שאבריו הם וקטורים עצמיים של ושל גם יחד.
לכל סקלר , גם נורמלית.
וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם אורתוגונליים זה לזה.
תהי העתקה ליניארית ממרחב מכפלה פנימית סוף-ממדי לעצמו (מעל שדה המספרים המרוכבים).
אז נורמלית אם ורק אם לכסינה אוניטרית (מעל המרוכבים).
אם לכסינה אוניטרית אפשר לכתוב כאשר ו- אלכסונית.
במקרה כזה קל לחשב ש-.
בכיוון ההפוך, מכיוון שהפולינום האופייני של מתפצל מעל המרוכבים, ניתנת להצגה על ידי מטריצה משולשית, כלומר קיים בסיס כך שלכל מתקיים .
הפעלה של תהליך גרם-שמידט על הבסיס הזה משאירה את משולשית.
הצבה של ההצגה המשולשית בשוויון מראה שלמעשה פועלת עליו בצורה אלכסונית, כלומר היא אלכסונית ביחס לבסיס אורתוגונלי.
אז נורמלית אם ורק אם היא לכסינה אוניטרית (מעל המרוכבים).
מכיוון שהערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית הם ממשיים, הוכחה דומה מוכיחה את הגרסה הממשית של המשפט:
כל מטריצה סימטרית היא לכסינה אורתוגונלית מעל הממשיים.
באנליזה מרוכבת, העתקה קונפורמית היא פונקציה הולומורפית המוגדרת בתחום D, השומרת על הזווית בין עקומים בתחום.
תכונה זו שקולה לכך שהנגזרת לא מתאפסת בתחום D, ולכן גם לכך שהיא חד-חד-ערכית מקומית (סביב כל נקודה יש כדור שבו הפונקציה חד-חד-ערכית).
לפי משפט ההעתקה של רימן, כל שני תחומים ששפתם היא מסילה פשוטה (סגורה), קונפורמיים זה לזה; כלומר - קיימת העתקה קונפורמית וחד-חד-ערכית מאחד על השני.
העתקה זו היא יחידה, עד-כדי בחירה של נקודה מן השפה שתעבור לנקודה מסוימת מן השפה, ונקודה מפנים התחום שתעבור לנקודה מסוימת מפנים התחום.
תכונת הקונפורמיות ניתנת לתיאור גם במונחי מטריצת יעקובי של נגזרות חלקיות של טרנספורמציית קואורדינטות.
אם מטריצת יעקובי של ההעתקה היא בכל מקום כפל של סקלר במטריצת סיבוב, אז ההעתקה היא קונפורמית.
כל פונקציה הולומורפית (לדוגמה: כל הפולינומים, האקספוננט, סינוס, קוסינוס וכו') היא קונפורמית בכל תחום שבו הנגזרת אינה מתאפסת.
מקרה פרטי ומעניין הוא של פונקציית האקספוננט .
העתקה זו מעתיקה את הישרים המקבילים לציר המדומה (ישרים מהצורה ) למעגלים ברדיוס .
את הישרים המקבילים לציר הממשי (מהצורה ) היא מעתיקה לישרים היוצאים מהראשית ויוצרים זווית c עם הציר הממשי.
אם כן, קיבלנו שההעתקה w מעתיקה "רשת" של ישרים ניצבים ממישור z לישרים ומעגלים ניצבים במישור w.
טרנספורמצית מביוס היא ההעתקה , כאשר , וכן .
טרנספורמציית מביוס היא קונפורמית ובעלת תכונות מעניינות נוספות כגון שמירה על היחס הכפול ועל האינוורסיה.
היטל מרקטור הוא דוגמה של שימוש בהעתקה קונפורמית ליצירת מפה קונפורמית.
באנליזה מרוכבת, העתקת מביוס או טרנספורמציית מביוס היא פונקציה מרוכבת מהצורה כאשר הם מקדמים מרוכבים כך ש .
העתקות מביוס קרויות על שם המתמטיקאי הגרמני אוגוסט פרדיננד מביוס.
כל העתקת מביוס היא העתקה רציפה, חד חד ערכית ועל מהמישור המרוכב המורחב לעצמו.
הרחבת המישור המרוכב נעשית על ידי הוספת נקודה באינסוף (המישור המורחב נקרא ספירת רימן ומסומן
; הטופולוגיה שלו מתקבלת מן הקומפקטיפיקציה של אלכסנדרוף).
העתקות מביוס הן העתקות מרומורפיות בכל , והולומורפיות בכל ספירת רימן.
הרציפות והאנליטיות באינסוף מושגות על ידי הגדרת הפונקציה בצורה האינטואיטיבית
במקרה שבו הפונקציה היא פשוט ליניארית ומוגדרת על כל כאשר .
הרכבה של העתקות מביוס היא גם העתקת מביוס, ולכן העתקות מביוס מהוות חבורה, וחבורת העתקות מביוס מהוות את חבורת האוטומורפיזמים של ספירת רימן, ומסומנת לעיתים .
במינוח של גאומטריה דיפרנציאלית, נאמר כי העתקות מביוס הן כל הדיפאומורפיזמים של ספירת רימן לעצמה.
ישנן תתי חבורות של העתקות מביוס המהוות את האוטומורפיזמים של משטחי רימן אחרים, כמו המישור המרוכב או המישור ההיפרבולי, ועל כן העתקות מביוס מהוות חלק חשוב בתאוריה של משטחי רימן.
כל העתקת מביוס היא הולומורפית, ולכן קונפורמית, כלומר שומרת זוויות.
העתקת מביוס מעתיקה מעגלים וישרים ב- למעגלים וישרים, אך לא בהכרח מעתיקה מעגל למעגל וישר לישר.
ניתן לנסח תכונה זו בצורה פשוטה ואלגנטית יותר, אם מרחיבים את הדיון לספירת רימן כולה ().
נשים לב כי גם מעגלים וגם ישרים ב- מתאימים למעגלים ב , כאשר ישרים ב- מתאימים למעגלים העוברים דרך הקוטב הצפוני.
לכן, מעל ספירת רימן ניתן לומר בפשטות כי העתקת מביוס מעתיקה מעגלים למעגלים.
העתקת מביוס שומרת על היחס הכפול.
היחס הכפול של 4 נקודות (שונות) ב- מוגדר כך , ולכל העתקת מביוס מתקיים .
כל העתקת מביוס נקבעת על ידי ערכיה על שלוש נקודות.
בפרט העתקת מביוס שיש לה שלוש נקודות שבת חייבת להיות העתקת הזהות.
לכל העתקת מביוס שאינה הזהות יש לפחות נקודת שבת אחת, ולכל היותר שתיים.
לכל העתקת מביוס השונה מהעתקת הזהות יש בדיוק שתי נקודות שבת במישור המרוכב המורחב.
נקודות שבת אלו נספרות בהתאם לריבוי האלגברי שלהן, ומבחינה גאומטרית הן יכולות להתלכד לכדי נקודת שבת אחת; העתקות כאלו נקראות העתקות פרבוליות.
כל אחת מהנקודות הללו, ולעיתים אף שתיהן, עשויה להיות הנקודה באינסוף.
נקבעות על ידי פתרון משוואת נקודת השבת f(γ) = γ.
בעבור c ≠ 0, למשוואה זו יש שני שורשים המתקבלים מפתרון המשוואה הריבועית
להעתקות פרבוליות יש נקודות שבת מתלכדות הודות לדיסקרימיננטה אפס.
בעבור c שונה מאפס ודיסקרימיננטה שונה מאפס ההעתקה תיקרא אליפטית או היפרבולית.
כאשר c = 0 המשוואה הריבועית מתנוונת לכדי משוואה ליניארית וההעתקה היא ליניארית.
זה תואם למצב שבו אחת מנקודות השבת היא הנקודה באינסוף.
כאשר a ≠ d נקודת השבת השנייה היא סופית וניתנת בנוסחה
במקרה זה ההעתקה פועלת במסגרת המישור המרוכב כהרכבה של הזזה (translation), סיבוב (כאשר ל- יש חלק מדומה) ומתיחה/כיווץ (dilation):
אם c = 0 ו-a = d, אז שתי נקודות השבת הן באינסוף, והעתקת מביוס תואמת להזזה טהורה:
העתקות מביוס כתנועות של הספירה של רימן
את המישור המרוכב המורחב ניתן לזהות כהטלה הסטריאוגרפית של הספירה של רימן; הנקודה "באינסוף" היא למעשה ההטלה של הנקודה דרכה מתבצעת ההטלה הסטריאוגרפית, על המישור המרוכב.
תחת נקודת המבט הזו, העתקות מביוס ניתנות לזיהוי כתנועות של הספירה של רימן.
המקרה של העתקת מביוס המייצג הזזה תואם לתנועה קווית (הזזה גם כן) של ספירת רימן.
בנוסף, הספירה של רימן עשויה להסתובב ולשנות את האוריינטציה שלה במרחב; אחד המשפטים המרכזיים בנוגע לסיווג העתקות מביוס קובע שכל העתקות מביוס התואמות לסיבוב טהור של ספירת רימן הן מהצורה:
זוהי למעשה העתקת מביוס אוניטרית.
על פי משפט הסיבובים של אוילר, הרכבה של שני סיבובים תלת-ממדיים היא בעצמה סיבוב תלת-ממדי, ולכן האוסף של העתקות מביוס אוניטריות מהווה תת-חבורה של החבורה הכללית של העתקות מביוס.
העתקות מביוס מסוג מתיחה/כיווץ (דהיינו כאשר k ממשי ושונה מ-1) ניתנות לפירוש כהגדלה או כיווץ של ספירת רימן - כך שהמרחק מהראשית של ההיטלים של נקודות עליה מוגדל באותו יחס - ולא כתנועות שלה, ולפיכך אינן רלוונטיות לחלק זה.
זיהוי הסיבוב המתאים להעתקת מביוס אוניטרית נתונה
נקודת המבט הגאומטרית מאפשרת לתת הסבר אינטואיטיבי לנקודות השבת של העתקת מביוס, במקרה של סיבוב טהור; אלו הן בדיוק התמונות של קטבי הסיבוב המתאים של ספירת רימן (הנקודות בהן חותך ציר הסיבוב את הספירה), תחת פעולת ההטלה הסטריאוגרפית.
בנוסף, שורש אחד של המשוואה הריבועית (משוואת נקודת השבת) מתקבל מאחר על ידי הנגדה של האינוורסיה של השורש השני; הווה אומר:
והקדם-תמונה של היא הנקודה האנטיפודית של הקדם-תמונה של על ספירת רימן.
את הסיבוב המתאים להעתקת מביוס אוניטרית נתונה ניתן לתאר באמצעות הצגה קווטרניונית:
כאשר הוא וקטור יחידה המייצג את ציר הסיבוב של ספירת רימן , ו- היא זווית הסיבוב מסביב לציר הזה.
כדי למצוא את , נעזר במשפט החשוב הבא:
טענה: הנגזרת המרוכבת של העתקת מביוס אוניטרית באחת מנקודות השבת מקיימת:
הוכחה: נסמן את הפונקציה ההפוכה להטלה הסטריאוגרפית ב-, ונוכיח תחילה ש-.
ההסבר לעובדה זו נעוץ בכך שההטלה הסטריאוגרפית, כמו העתקת מביוס, היא קונפורמית (משמרת זוויות בין עקומים).
נסתכל על שני הקטעים הבאים במישור המרוכב: ו-.
שני קטעים אלו יוצרים ביניהם זווית , וזאת משום שהם מהווים הטלה של משולש כדורי אשר קודקוד אחד שלו נמצא בקוטב של הסיבוב המגדיר את העתקת מביוס, קודקוד שני ב- וקודקוד שלישי ב-.
הזווית הפולרית (הזווית בקודקוד הקוטבי) של המשולש הכדורי הזה היא לפי הגדרה , ולכן מתכונת הקונפורמיות נובע שגם הזווית בין הקטעים היא , ופירוש הדבר הוא ש-.
כדי להמשיך בפיתוח, תחילה נמצא את :
הנגזרת של העתקת מביוס בנקודת השבת נותנת:
ולפי זהויות טריגונומטריות של חצי-זווית פירוש הדבר הוא ש-: , ולכן החלק הממשי של הקווטרניון המייצג של הסיבוב הוא .
בנוסף לכך, הנורמה של שווה לפי תכונות ההטלה הסטריאוגרפית ל- כאשר היא זווית הזנית של הקדם-תמונה של על ספירת רימן (זווית הזנית היא קואורדינטה כדורית).
הגודל הוא לא אחר מאשר , ונזהה את ציר z עם הקווטרניון היסודי k.
בדומה לכך נקבל, שמכיוון שמתקיים
וזה משלים את מציאת החלק הווקטורי של הקווטרניון המייצג.
כאשר במעבר האחרון זיהינו את ציר j עם הישר הממשי ואת ציר i עם הישר המדומה.
אם נרכיב את ההעתקה עם ההעתקה , תתקבל העתקה
ניתן לזהות קשר הדוק עם כפל המטריצות
נשים לב גם כי כפל בסקלר של כל המקדמים אינו משנה את ההעתקה - .
בנוסף, הדרישה היא בדיוק הדרישה שהמטריצה תהיה הפיכה.
לכן, ניתן לזהות העתקות עם העתקות ליניאריות מ ל , עד כדי כפל במטריצה סקלרית.
היא חבורת המטריצות ההפיכות, מודולו המטריצות הסקלריות).
העתקה מקבילה או הובלה מקבילה (לעיתים מכונה גם בשם הזזה מקבילית או טרנספורט מקבילי) הוא מושג בגאומטריה המתאר פעולה של גרירה של וקטור לאורך עקומה ללא שינוי אורכו או כיוונו יחסית למרחב.
במרחב שטוח, הווקטור המובל יישאר זהה בגודלו וכיוונו לווקטור המקורי, בכל נקודה לאורך המסלול.
במרחב עקום התוצאה עשויה להיות שונה, כתלות בעקמומיות המקומית.
הזזה מקבילית משמשת על כן כאחת השיטות למדידת עקמומיות של מרחב.
באופן פורמלי, אם עקומה על יריעה חלקה ו- וקטור, אזי אנו דורשים ש- יישאר קבוע, כלומר: הנגזרת הקו-ואריאנטית שלו תהייה שווה לאפס.
במרחב עקום, אם נבצע הזזה מקבילית של וקטור לאורך לולאה סגורה לא נקבל בסוף בהכרח את אותו וקטור שהתחלנו איתו.
למעשה, ההפרש בין 2 הווקטורים נובע מעקמומיות המרחב ועבור לולאה אינפיניטסימלית הוא פרופורציונלי לטנזור העקמומיות של רימן המתאר את העקמומיות בנקודה שבתוך הלולאה.
העתקות אלו יוצרות את חבורת ההולונומיה של המרחב בנקודה בה מתחילה ונגמרת הלולאה.
עקומה המבצעת הזזה מקבילית לווקטור המשיק של עצמה נקראת גאודזה.
"פסל החירות" גדול הממדים, שניצב באי החירות שבניו יורק, מהווה סמל לערכים דמוקרטיים בכלל ולערך החירות בפרט.
בשל הפופולריות הרבה של הפסל העתקים רבים שלו מוצבים ברחבי העולם - בצרפת, המדינה בה עוצב הפסל, בארצות הברית בה הוא נמצא, ובמקומות אחרים בעולם.
פסל החירות המקורי ניתן לארצות הברית כמתנה על ידי צרפת, ולכן קיים בצרפת מספר לא מבוטל של העתקים.
שני העתקים של פסל החירות מצויים בפריז הבירה.
האחד עומד בגני לוקסמבורג: זהו מודל מארד ששימש את פרדריק אוגוסט ברתולדי בעיצובו של הפסל העומד בניו יורק.
האמן הציע את הפסל למוזיאון לוקסמבורג בשנת 1900 והוא הוצב בגני לוקסמבורג בשנת 1906. התאריך המופיע על הלוח שעל פני הפסל (במקום בו בפסל בניו יורק מופיע התאריך "JULY IV MDCCLXXVI"), הוא 15 בנובמבר 1889, התאריך בו נחנך ההעתק השני, הגדול יותר, של פסל החירות.
העתק זה מוצב ליד "פון גרנל", על איל דה סיינס על הנהר סיין, ומתנשא לגובה 11.5 מטר.
הפסל נחנך ב-15 בנובמבר 1889, והוא צופה אל האוקיינוס האטלנטי ואל "אחותו הגדולה" בניו יורק, שהוקמה שלוש שנים לאחריו.
על הלוח שעל פניו שני תאריכים - ה-4 ביולי 1776, הוא התאריך בו הוכרזה עצמאות ארצות הברית, המופיע אף על פני הפסל בניו יורק, ו-14 ביולי 1789, הוא התאריך בו נפלה הבסטיליה.
העתק בגודל אמיתי של הלפיד אותו מחזיק פסל החירות נמצא מעל לכניסה למנהרת "פון דה ל'אלמה" ליד שאנז אליזה בפריז.
הוא ניתן לעיר כמתנה מניו יורק לרגל חגיגות מאה השנים להענקת פסל החירות לניו יורק.
העתק של הפסל ומספר דגמים שלו מצויים גם במוזיאון לאומנויות ולמקצועות בפריז.
העתק נוסף של פסל החירות נמצא בבורדו.
העתק זה גובהו 2.5 מטרים.
הפסל הותך על ידי הנאצים במהלך מלחמת העולם השנייה, והוצב מחדש בשנת 2000. לאחר פיגועי 11 בספטמבר הוצב על הפסל לוח זיכרון לזכר קורבנות הפיגועים.
בליל ה-25 במרץ 2003, הוצת הפסל על ידי אלמונים.
העתק נוסף של הפסל מצוי בצפון מערב צרפת, בעיירה קטנה בשם ברנטין ליד רואן.
ההעתק הוכן לרגל צילומי סרט בשם "המוח" (Le Cerveau) שביים ז'ראר אורי בכיכובם של ז'אן-פול בלמונדו ובורביל, בשנת 1969. העתק נוסף, מוזהב, מצוי במרכז העיירה סן-סיר-סור-מר, ליד מרסיי.
העתק נוסף של הפסל נמצא בעירו של הפסל ברתולדי, קולמר.
הפסל הוקם ב-4 ביולי 2004, בכניסה הצפונית לעיר, לציון מאה שנים למות הפסל.
בעיירה פואטייה בחבל פואטו-שראנט (הידועה בשל קרב פואטייה ב-1356), מוצב העתק נוסף של הפסל, וכן בעיירה לונל, הסמוכה למונפלייה בדרום צרפת.
בין 1902 ל-2002 עמד העתק של הפסל, בגובה של כ-9 מ' על גג מחסן ב-43 מערב רח' 64 במנהטן, קרוב מספיק לפסל המקורי על מנת לבלבל תיירים מזדמנים.
הפסל הוסר בשנת 2002 על מנת לאפשר את הרחבת המחסן.
הפסל הוצב בגן הפסלים במוזיאון האמנות של ברוקלין, באוקטובר 2005, אך קיימות תוכניות להשיבו למיקומו המקורי.
העתק מארד של פסל החירות מוצג במוזיאון המטרופוליטן לאמנות בניו יורק.
בעיירה דולות' במינסוטה קיים העתק קטן של פסל החירות, ב"מרכז הבידור של דולות'" בקרחת יער קטנה המוקפת בעצי אורן המסתירים מעט את הפסל.
הפסל הוענק לעיר על ידי צאצאים של ברתולדי המתגוררים בדולות'.
תנועת הצופים של אמריקה, חגגה את יובל ארבעים השנה לייסודה בשנת 1950 במסע ל"חיזוק יד החירות".
בין 1949 ל-1952 הוקמו כמאתיים פסלים בגובה של שניים וחצי מטרים העשויים מנחושת ונתרמו לעיירות שונות בארצות הברית.
רבים מהם נהרסו או אבדו, אך התומכים בשימור הפסלים איתרו למעלה ממאה מהם העומדים כיום במקומות שונים בארצות הברית.
פסל שגודלו חצי מגודל הפסל המקורי עומד בכניסה למלון ובית ההימורים "ניו יורק-ניו יורק" בלאס וגאס.
פסל נוסף מוצב בלאס וגאס ב"ווסט סהארה אבניו", במקום בו עמדה פעם "פיצת פסל החירות", אך כיום נמצא במקום עסק העוסק בהחזרי מס.
העיר סו פולס בדרום דקוטה הקימה פסל מארד בגובה של 2.7 מטרים בפארק מק'קנן, במקום בו עמד פעם העתק מעץ, שאבד.
פסל בגובה של כ-11 מ', המהווה העתק מדויק של פסלו של ברתולדי, עומד ב"וסטאביה הילס", פרבר של העיר ברמינגהאם באלבמה.
שני פסלי נחושת בגובה של כ-9 מ' מוצבים על גג "בנק ליברטי נשיונל" בבאפלו במדינת ניו יורק, בגובה של כ-108 מ' מעל מפלס הרחוב.
העתק בגובה של 7.6 מ' עומד על חורבות גשר מרי'סוויל על נהר הסוסקהאנה בצפון הריסבורג.
במערב סיאטל מוצב העתק של הפסל בחוף אלקי, במקום בו נחתה על החוף "חבורתו של דני", הנחשבת למייסדי העיר.
הפסל הנוכחי הוקם מארד בשנת 2007 והחליף פסל שהוצב בשנת 1952 שהיה עשוי מגבס על שלד של נחושת.
סט לבניית העתק מלגו של הפסל העשוי מ-2,882 לבני לגו בגובה של כ-3 מ' יוצר על ידי חברת לגו.
העתק גדול בהרבה של הפסל מלבני לגו נמצא ב"לגולנד" בבילונד שבדנמרק, והעתק קטן יותר ב"לגולנד" שבקליפורניה.
בממפיס, טנסי מצוי העתק בגודל של 7.6 מ', האוחז בצלב ובלוחות הברית, ומכונה "פסל החירות באמצעות ישו".
ההעתק הוצב על ידי כנסייה מקומית ב-2006. כן קיימים העתקים קטנים בעיירה "לבנון" בטנסי, בפארגו שבדקוטה הצפונית, ובעיר טופקה בקנזס.
בחנות השוקולד M&M במנהטן ישנו העתק של פסל החירות דמוי סוכריית M&M בגובה 5 מטרים.
בירושלים עומד פסל עשוי משלד ברזל, השואב את השראתו מפסל החירות.
הפסל ממוקם בכיכר ניו יורק, הסמוכה לבית יד לבנים, ליד מפגש הרחובות אגריפס ובן צבי.
בעראבה הוצב העתק של הפסל בגובה של כ-5 מטרים, בכניסה הצפונית לכפר, בסמוך למסעדה מקומית.
ביפיע, שבנצרת מוצבים שני העתקים בינוניים של הפסל, בסמוך לפיצוצייה מקומית.
בחיפה, בתחנת מצדה של הכרמלית ממוקם העתק של פסל החירות אשר קישט את המסעדה ניו יורק ניו יורק עד לסגירתה.
בבאר שבע, הוצב העתק מוקטן של הפסל, בסמוך למגדלי מנהטן שבכניסה לרחוב יוהנה ז'בוטינסקי, הרחוב המרכזי בשכונת נווה זאב.
בטבריה, ניצב העתק של הפסל בסמוך לתחנה המרכזית של העיר על גג מבנה של משרדים.
בנתיבות הוצב העתק מוקטן של הפסל, ליד המרכז המסחרי "פרויקט מנהטן".
בין 1887 ל-1945 ניצב העתק של פסל החירות בהאנוי.
גובהו של הפסל היה 2.85 מטרים, והוא הוקם על ידי הממשלה הקולוניאלית הצרפתית, לאחר שנשלח מפריז לצורכי תערוכה.
ב-1 באוגוסט 1945, לאחר שהצרפתים איבדו את שליטתם בהודו-סין, הופל הפסל על ידי תושבי האנוי שזיהו אותו עם המשטר הצרפתי השנוא.
במהלך מחאת הסטודנטים בכיכר טיין-אן-מן בשנת 1989 הקימו המוחים פסל בגובה 10 מטרים, בשם "אלת הדמוקרטיה", שהיה בכוונה "בלתי זהה" לפסל החירות, על מנת שלא להראות כפרו-אמריקני מדי.
הפסל נהרס במהלך הטבח שנערך במפגינים בכיכר.
פסל בגובה של 123 סנטימטר מברזל וארד הוקם בעיר סניסרו בספרד, בשנת 1897 לזכר הלוחמים המקומיים במלחמה הקרליסטית הראשונה.
הפסל הוסר בידי אנשי פרנקו בשנת 1936, הוצב מחדש בשנת 1976, ונגנז בשנת 1997 בשל הבלאי שאחז בו.
ביפן הוצב הפסל הצרפתי באופן זמני במפרץ אובאידה, אזור החופים של טוקיו, בין אפריל 1998 למאי 1999 לרגל "שנת צרפת ביפן".
בשל הפופולריות של פסל זה הוקם העתק קבוע בשנת 2000 באותו המקום.
העתק קטן של פסל החירות נמצא ב"אמריקמורה", "הכפר האמריקני", מרכז קניות באוסקה.
העתק נוסף נמצא בעיירה קטנה ליד מיסאווה המארחת בסיס של חיל האוויר האמריקני ובו 8,000 חיילים.
בבואנוס איירס שבארגנטינה מוצב העתק של הפסל בכיכר דה בלגרנו, על מנת לסמן את ידידותה של ארגנטינה לצרפת.
בלימה, בירת פרו, מצוי בית הימורים אמריקני ברובע חסוס מריה, המציג העתק של פסל החירות בכניסה.
העתק של הפסל המצוי בעיירה הנורווגית ויסנס, מתגאה בכך שהנחושת ממנה נוצק הובאה מאותו המכרה ממנו נכרתה הנחושת ממנה נוצק הפסל המקורי.
מלון "ויקטורי" בעיר פרישטינה, בירת קוסובו, מציג העתק של פסל החירות בחזיתו.
ב"מרכז ניו יורק", מרכז קניות ברובע בארה דה טיז'וקה בריו דה ז'ניירו, מצוי העתק של פסל החירות.
בכיכר הכניסה לעיר קאקואל, במדינת רונדוניה, ברזיל, מצוי העתק של פסל החירות.
בפארק המיניאטורות "מינימונדוס" בעיר קלגנפורט בחבל קרינתיה באוסטריה, ישנו העתק של פסל החירות.
בבסיס "לקנהית'" של ה-RAF, הנמצא ליד סאפוק באנגליה, מצוי העתק, שנוצר משאריות נחושת שנותרו לאחר יצירת הפסל המקורי.
פארק השעשועים הגרמני היידה פארק מחזיק העתק בגובה 35 מטרים, העומד על אגם בו שטות ספינות קיטור בדומה לאגם המיסיסיפי.
ההעתק עשוי מקצף פלסטי המודבק על שלדת פלדה עם ציפוי פוליאסטר, ועוצב על ידי האמן ההולנדי חרלה ספי.
ב"מחנה ג'ון היי", ששימש בעבר את צבא ארצות הברית בפיליפינים, מצוי העתק קטן של פסל החירות.
העתק בגובה של כ-10 מ' מצוי במרכז הקניות וסטפילד מריון באדלייד באוסטרליה הדרומית.
העתק בגובה של כ-5 מטרים עמד על מפעל "נעלי ליברטי" בלסטר במרכז אנגליה.
ההעתק הוקם עוד בשנות ה-20 של המאה ה-20, אך הוסר בשנת 2003 ויש תוכניות להציבו במקום אחר בעיר.
ביצירתו של פול אוסטר, "לווייתן", עוסק הגיבור, בנג'מין סאקס, בפיצוץ העתקים של פסל החירות בכל רחבי ארצות הברית, כהתרסה כנגד המדינה, ברוח המוטו של הספר - "כל מדינה הקיימת בפועל היא מושחתת" מאת ראלף וולדו אמרסון.
העתקה פרויקטיבית היא העתקה במרחב פרויקטיבי שהיא הרכבה של מספר הטלות פרספקטיביות.
נגדיר הטלה פרספקטיבית (perspectivity) כהעתקה בין שני ישרים, באמצעות נקודה.
בציור שמשמאל, מתוארת הטלה המעבירה את ל-, ואת ל-, באמצעות הנקודה .
העתקה פרויקטיבית בין ישרים היא הרכבה של הטלות כנ"ל.
בציור שמשמאל, ההעתקה המעבירה את ל-, ואת ל-, היא העתקה פרויקטיבית.
עבור מישורים, כל העתקה המעבירה מישור למישור באמצעות נקודת הטלה היא העתקה פרויקטיבית.
דוגמאות להעתקות פרויקטיביות בין מישורים מתוארות ברישומים שלהלן.
הגדרה שקולה להעתקות פרויקטיביות בין מישורים היא: "כל העתקה הפיכה בין מישורים פרויקטיביים המעתיקה ישרים לישרים".
או בניסוח אחר, "כל העתקה הפיכה בין מישורים פרויקטיביים , שהצמצום שלה על ישר הוא העתקה פרויקטיבית בין הישרים ו-".
נתן לבנות מרחב פרויקטיבי ממשי על ידי קואורדינטות הומוגניות, על ידי מערכת הצירים של המרחב האוקלידי וחלוקה בקואורדינטה האחרונה.
כלומר, המרחב הפרויקטיבי הממשי מתקבל מהמרחב האוקלידי תחת יחס שקילות של כפל בקבוע.
כך, כל הנקודות בישר תיוצגנה על ידי הנקודה .
בהינתן מרחב , נבחר העתקה ליניארית רגולרית כלשהי .
העתקה זו מעבירה בין ישרים ב-V.
לפיכך, היא משרה העתקה (לא בהכרח ליניארית) על המרחב הפרויקטיבי המוגדר מ- על ידי יחס השקילות הנ"ל.
מכיוון ש-T מעבירה בין תת-מרחבים של , הרי שהיא מעבירה גם בין תת-מרחבים של (למשל, בין ישרים).
השימוש בקואורדינטות הומוגניות מאפשר יצוג אלגברי פשוט של ההעתקות הפרויקטיביות.
למשל, העתקה ליניארית במישור האוקלידי מעבירה .
החלת יחס השקילות על המישור האוקלידי מניבה את הישר הפרויקטיבי.
ההעתקות הליניאריות תעבורנה להעתקות , שהן העתקות מביוס.
כל העתקה פרויקטיבית כזו היא למעשה העתקה ליניארית על המישור האוקלידי.
לכן נתן לייצג את ההעתקות הפרויקטיביות על ידי מטריצות מסדר 2x2, כשכפל המטריצות מייצג הרכבת העתקות.
מתוך כך נתן לראות שההעתקות הפרויקטיביות על הישר הפרויקטיבי מהוות חבורה, שהיא תת-חבורה של חבורת המטריצות מסדר 2x2. כדי לזהות את חבורת ההעתקות הפרויקטיביות יש לשים לב לשני אפיונים.
האחד - מטריצה כנ"ל מייצגת העתקה פרויקטיבית אמ"ם המטריצה הפיכה.
השני - שתי מטריצות שונות מייצגות אותה ההעתקה הפרויקטיבית אמ"ם האחת היא כפל של השנייה בקבוע.
מתוך אפיונים אלו נתן לזהות את חבורה ההעתקות הפרויקטיביות על הישר הפרויקטיבי הממשי כ- תחת יחס השקילות של כפל בקבוע ( היא חבורת המטריצות ההפיכות מסדר 2x2).
נתנו שתי הגדרות שונות להעתקות פרויקטיביות.
האחת מתוך אינטואיציה גאומטרית והשנייה אלגברית.
הוכחת הזהות בין שתי ההגדרות הנ"ל של ההעתקות הפרויקטיביות אינה טריויאלית.
דרך אפשרית היא לבחור את האיברים היוצרים את החבורות (בהגדרה הגאומטרית או בהגדרה האלגברית), ולבטא אותם ישירות על ידי העתקות מההגדרה השנייה.
את הכוון השני מקבלים משיקולים של מספר דרגות החופש.
מקומה של ההעתקה הפרויקטיבית בהיררכיית ההעתקות במישור
+משפחות העתקות במישורשם המשפחהמס' דרגות חפששמורותיצוג מטריציוני בקואורדינטות הומוגניותהמחשת ההעתקה על ריבוע במישוראוקלידיות3אורך, זווית, שטחדמיון4זווית, יחס בין אורכים, יחס בין שטחיםאפיניות6מַקְבִּילִיוּת, יחס שטחיםפרויקטיביות8יחס כפול, עד כדי כפל בקבוע.
ניתן לסדר את ההעתקות הפועלות על ריבוע במישור לפי מספר דרגות החופש שלהן.
בהינתן מערכת צירים כלשהי, העתקה בעלת דרגת חופש יחידה יכולה להיות, למשל, הזזה של נקודה בכיוון מסוים.
העתקה כזו נתונה לפי , עבור וקטור כיוון קבוע, ופרמטר .
העתקה אחרת תהא סיבוב הנקודה בזווית כלשהי עם כוון השעון.
העתקה כזו נתונה לפי .
שתי ההעתקות האלה משמרות בין היתר אורכים (של קטעים), שטחים זוויות בין קטעים.
החבורה הנוצרת על ידי שתי ההעתקות הנ"ל היא בעלת 3 דרגות חופש (מקדמי ההזזה בכל אחד מהצירים וזווית הסבוב).
ההעתקות בחבורה זו נקראות העתקות אוקלידיות או איזומטריות.
יש המוסיפים להעתקות האוקלידיות גם שיקוף סביב ציר מסוים, אך לא מוסיפים דרגות חופש מכיוון שאיבר זה מגדיל את החבורה רק פי 2.
העתקה אחרת בעלת דרגת חופש יחידה היא סילום (scaling) של נקודה ביחס לראשית הצירים.
העתקה כזו נתונה לפי , עבור פרמטר .
החבורה של כל צירופי ההעתקות הנ"ל היא בעלת 4 דרגות חופש (דרגת חופש נוספת עבור מקדם הסילום).
העתקות אלו אינן משמרות אורכי קטעים ושטחים אולם עודן משמרות זוויות, יחסי אורכים ויחסי שטחים.
ההעתקות בחבורה זו נקראות העתקות דמיון (העתקות סילום), והן נחשבות כהעתקות הכלליות ביותר המשמרות "צורה" של מצולע.
הוספת שתי דרגות חופש תוביל אל המשפחה הבאה בהיררכיה.
דרגת חופש ראשונה תווסף על ידי הכפלת כל אחד מהצירים במקדם שונה .
בין היתר נתן לקבל מהעתקה זו שיקוף סביב אחד הצירים, למשל על ידי .
דרגת חופש שנייה היא על ידי פעולה הגזירה (shear), ומשמעה הוספת גורמים מהקואורדינטה האחת לקואורדינטה האחרת .
הרכבה של סיבוב ב-90 מעלות ושל שיקוף תניב העתקה המחליפה בין הקואורדינטות .
לכן, הרחבת חבורת העתקות הדמיון בשתי דרגות החופש הנ"ל, תאפשר גם העתקה מהסוג .
כך מתקבלת חבורת ההעתקות האפיניות.
ההעתקות בחבורה זו משמרות מקביליות של ישרים (מעתיקות ריבוע למקבילית) ויחס בין שטחים.
העתקה ליניארית היא מקרה פרטי של העתקה אפינית, ובה כאשר מקדמי ההזזה מאופסים.
לכן, יצוג מטריציוני של העתקה אפינית בקואורדינטות הומוגניות מכיל מטריצה מסדר 2x2 ווקטור הזזה.
בדומה להעתקות ליניאריות, שטח המקבילית המתקבלת מהעתקה אפינית על ריבוע שוה לשטח הריבוע המוכפל בדטרמיננטה של המטריצה.
חבורת ההעתקות הפרויקטיביות היא בעלת שמונה דרגות חופש (כל המטריצות מסדר 3x3 עד כדי קבוע).
היא אינה משמרת זוויות ואף לא יחס בין אורכים.
היא מעתיקה ישרים לישרים ונקודות לנקודות, ומשמרת חילה של ישרים בנקודות.
גודל נוסף הנשמר על ידי ההעתקה הוא יחס כפול, שהוא למעשה יחס בין יחסים של אורכים.
כל הגדלים הנשמרים על ידי העתקה מסוימת נשמרים גם על ידי כל ההעתקות במשפחות הפשוטות ממנה המופיעות בטבלה.
ההיררכיה זהה נתן ליצור גם עבור ההעתקות במרחב.
העתקת בסיסי צה"ל לנגב (מכונה בצה"ל שוה"ם, או שיווק והעתקת המחנות) היא תוכנית רב שנתית של צה"ל, שמטרתה העברת בסיסים רבים ממרכז הערים (ובפרט מגוש דן) אל הנגב.
מטרות התוכנית הן לפנות שטחים יקרים במרכז המדינה, להקים בסיסים שבהם טכנולוגיות ותשתיות מתקדמות, ליצור שינוי ארגוני ביחידות השונות, אך בראש ובראשונה להביא לפיתוח הנגב באמצעות אלפי מקומות עבודה שתיצור התוכנית.
בסיום כל השלבים אמורים לעבור לנגב 27,000 אנשי קבע.
ב־31 באוגוסט 1993 קיבלה ממשלת ישראל החלטה שנקראת "פינוי מחנות צבא ושטחי אש" בדבר העתקת בסיסי צה"ל לנגב.
כמו כן נדרשו הממונים לכך להציג לוח זמנים צפוי להעברת המחנות ואת המשמעויות הכלכליות לתקציב המדינה הנגזרות מהחלטה זו.
דו"ח המבקר לשנת 2010 התייחס לפיגור בקצב ההתקדמות של הפרויקט ביחס ללוחות הזמנים הנדרשים.
נכון לאפריל 2011, החלטת ממשלה 3161 קבעה שהפרויקט יסתיים ב-2018. בפתיחת המכרז להקמת קריית התקשוב בפברואר 2016, פורסם כי האכלוס יחל ב-2022. אכלוסו טרם התחיל, נכון ל־2025.
בנובמבר 2014 החליט שר הביטחון משה יעלון לעצור את פרויקט העתקת בסיסי צה"ל לנגב, על רקע מאבק תקציבי בין משרד הביטחון למשרד האוצר.
פינוי מחנות ומעברם למקום החדש מתבצע לאחר חתימת סדרת הסכמים בין משרד הביטחון, רמ"י והגורמים הרלוונטיים: שוה"ם 1 (שווק והעתקת מחנות), שוה"ם 2 ושוה"ם 3.
בינואר 2015 התקבלה החלטת ממשלה מספר 2392, בנושא פינוי שטחי מחנות צה"ל מאזורי ביקוש והמשך מעבר אמ"ן ותקשוב לנגב.
כמו כן הוחלט על הקמת חברה ממשלתית תחת אחריות משרד הביטחון שתעסוק במעבר מחנות.
העברת בסיס התובלה של חיל האוויר לנבטים
השלב הראשון, והפשוט מבין הארבעה, הוא העברת כל היחידות ששכנו בבסיס חיל האוויר לוד (בח"א 27) לבסיס נבטים, שהפף מכנף לבח"א.
תהליך זה הושלם בשנת 2010.
עיר הבה"דים, או "קריית ההדרכה על שם האלוף אריאל שרון" היא השלב השני והראשון במורכבותו.
במסגרתו הועברו בסיסי הדרכה (בה"דים) רבים למחנה בשטח של 1,600 דונם ליד צומת הנגב.
את ההחלטה על העברת בסיסי ההדרכה ממחנה צריפין (בית הספר ללוגיסטיקה, בית הספר לטכנולוגיה ואחזקה, בית הספר לרפואה צבאית, בית הספר למשאבי אנוש, בית הספר לתקשוב) ממחנה בית ליד (בית הספר למשטרה צבאית) וכן את בית הספר לחינוך משערי אברהם, קיבל האלוף (מיל') אודי אדם בתפקידו כראש אגף טכנולוגיה ולוגיסטיקה.
מכרז קריית ההדרכה נוהל על ידי תא"ל מהרן פרוזנפר אשר שירת בתפקיד היועץ הכספי לרמטכ"ל וראש אגף התקציבים של משרד הביטחון במקביל להיותו יו"ר ועדת ההיגוי למעבר יחידות צה"ל לנגב בשיטת "בנה-הפעל-העבר" (BOT) וכן יו"ר ועדת המכרזים של עיר הבה"דים.
כתיבת הפרוגרמה והאפיון נעשתה על ידי מנהלת ההקמה בראשותו של סא"ל (מיל') שלום אלפסי אשר ליוותה את ההקמה עד אכלוס המחנה בראשוני חייליה.
מכרז קריית ההדרכה היה הבסיס ליתר מכרזי ה-BOT במשרד הביטחון וכלל חידושים משמעותיים ביחס למכרזי BOT אחרים שבוצעו במדינה.
החדשנות במכרז כללה ניהול דיאלוג תכנוני עם כל המציעים בתוך התהליך המכרזי כך שכל קבוצת מציעים יכלה להציע תכנון אחר/שונה מהתכנון המקורי של צה"ל ומשרד הביטחון.
בנוסף, לראשונה בישראל בוצעה סגירה פיננסית מלאה על ידי 2 הקבוצות שהגיעו להליך התימחור הסופי, בטרם הכרזה על הזוכה.
כל זאת בלוח זמנים מוגדר מראש של 180 ימים.
שפיר הנדסה ותעשייה הגישה הצעה עם סגירה פיננסית מלאה בליווי בנק לאומי.
"קבוצת מנרב, הגישה הצעה עם סגירה פיננסית מלאה בליווי בנק הפועלים.
לאחר תהליך מכרזי קצר במיוחד במונחים של פרויקטי שותפות ציבורית-פרטית/"בנה-הפעל-העבר" בישראל, נבחרה בפברואר 2012 קבוצת "מבט לנגב" כזכיין שיתכנן, יממן, יקים, יתפעל ויתחזק את עיר הבה"דים לתקופה של 25 שנה.
"מבט לנגב" היא קונסורציום שמורכב מהחברות "קבוצת מנרב", אלקטרה ורד בינת.
בשלב מאוחר יותר רכשה קרן נוי מניות מהחברה.
בפרויקט עיר הבה"דים בוצעה לראשונה בישראל תהליך של סגירה פיננסית כחלק מההליך המכרזי.
המודל החדשני של סגירה פיננסית מלאה בטרם הכרזה על הזוכה בוצע בהמשך גם בפרויקט התקשוב ובהמשך אומץ על ידי החשב הכללי במסגרת מתקן ההתפלה שורק 2.
קריית התקשוב הוא פרויקט להקמת בסיס תקשוב גדול, בסמיכות לאוניברסיטת בן-גוריון שבבאר שבע.
לבסיס החדש יועברו היחידות הטכנולוגיות של אגף התקשוב וההגנה בסב"ר ויחידת אופק של חיל האוויר.
כמו כן יוקם במקום גם מטה פיקוד הדרום אשר יפונה מבית הסראייה בעיר העתיקה של באר שבע.
החלטת ממשלה 3161 קבעה כי לטובת מהלך זה יוקצו שבעה מיליארד ש"ח.
בשנת 2012 מונה אילן לוין, לשעבר הממונה על השכר באוצר לעמוד בראשות ועדת המכרזים הייעודית שהוקמה לטובת מימוש הפרויקט בשיטת בנה-הפעל-העבר.
ביולי 2013 עם פרסום מסמכי המיון המוקדם (PQ) החל התהליך המכרזי לבחירת הזכיין שיתכנן, יממן, יקים ויתפעל את הפרויקט לתקופת זמן ארוכה.
בנובמבר 2018 נחתם הסכם בנייה עם הזכיין, שותפות של שתי חברות: שיכון ובינוי ואפי נכסים.
בצמוד לקריית התקשוב, בפארק גב ים נגב הוקם הבסיס החדש של בית הספר למקצועות המחשב (בסמ"ח), הבסיס נחנך באוגוסט 2022.
בסיס ההכשרות הטרום צבאיות של אגף המודיעין
בספטמבר 2022 נחנך בסיס ההכשרות החדש למודיעין ולסייבר של אגף המודיעין בקמפוס שהוקם בשכונת רמות שבבאר שבע.
בבסיס לומדים למעלה מ-1,000 חניכי וחניכות קורסי ההכשרה הקדם צבאיים של אגף המודיעין, שעד חניכת הבסיס הוכשרו בדרך כלל בבסיסי אגף המודיעין בגוש דן.
לצד הבסיס הוקם מבנה משותף לאגף המודיעין ולעיריית באר שבע, שם פועלים פרויקטים קהילתיים בשותפות של אגף המודיעין עם תושבי האזור.
הבסיס נמצא סמוך לקריית התקשוב.
בסיס נוסף שמתוכנן להקים באזור באר שבע הוא קריית המודיעין, בסיס אגף המודיעין בשטח של 2,000 דונם, מהם 300 דונם בנויים, ממערב למחלף שוקת, בסמוך לעומר, כרמית ומיתר.
לבסיס יעברו יחידות מודיעין שונות מאזור גוש דן.
הבסיס יאוכלס על ידי 10,000 חיילי אמ"ן וקציניו, ובמעבר אליו יתפנה שטח של 236 דונם בגוש דן.
ב-13 ביולי 2020 הודיע משרד הביטחון כי חברת שיכון ובינוי זכתה במכרז לתכנון, הקמה, מימון ותפעול של קריית המודיעין.
התעשייה האווירית (מפעל מלמ של חטיבת מערכות, טילים וחלל וחברת TSG), כקבלן המשנה של שיכון ובינוי, תספק את הקמה ותפעול שירותי התקשוב, הכולל חוות שרתים ומערך סייבר.
פרויקט אופק רחב הוא פרויקט של משרד להקמת מחנה רב-זרועי במחנה רחבעם ברמלה.
במחנה יוקם הבקו"ם החדש שיועתק ממחנה דורי ומפקדת זרוע היבשה.
מלבד זאת הבסיס צפוי לשמש כבסיסם של יחידות אגף הטכנולוגיה והלוגיסטיקה ושל אגף כוח האדם.
הבסיס ישתרע על שטח של כ-360 דונמים וצפוי לקלוט כ-9,000 משרתים.
במרץ 2023 חתם משרד הביטחון על הסכם עם חברת שיכון ובינוי להקמת הבסיס.
ההסכם עם הזכיין כולל מימון, תכנון, הקמה ותפעול של הבסיס לתקופה של 25 שנים מחתימתו.
על מנת לעזור לאנשי הקבע במעברם למגורים בנגב, הוקמה תוכנית סבסוד עלויות הבנייה וקניית הקרקעות בנגב לאנשי הקבע, והוקמו פרויקטי דיור אשר ישווקו לאנשי הקבע באזור הדרום.
לפי החלטת הממשלה מאפריל 2011, יפונו מחנות הבאים:
מתחמים שפונו או פונו חלקית
בית הספר לנ"מ 833 – הועבר ב־1993 מהרצליה למשאבי שדה.