tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לכן, לכל הכוחות ההיפוך מעוקבים המשיכתיים (μ שלילי), יש אפיספירלה מתאימה, כמו גם לכמה כוחות דחייתיים (μ < L12/m), כמומחש באיור 7. כוחות דחייתיים חזקים יותר מתבטאים בתנועה ליניארית מהירה יותר.
אחד מהסוגים האחרים של הפתרונות ניתן במונחים של קוסינוס היפרבולי:
צורה זאת של ספירלות קוטס מתאימה לאחת משתי ספירלות פוינסוט (איור 8).
הערכים האפשריים של λ נעים בין אפס לאינסוף, מה שמתאים לערכים של μ הגדולים יותר מהמספר החיובי L12/m.
לכן, תנועה דמוית ספירלת פוינסוט מתרחשת במקרה של כוחות היפוך מעוקבים דחייתיים, ונכונה במקרה ש-L לא גדול מדי לערך נתון של μ.
אם ניקח את הגבול של k או λ כאפס נקבל כפתרון את הצורה השלישית של ספירלת קוטס, זו הנקראת ספירלה הופכית או ספירלה היפרבולית:
כאשר A ו-ε הם קבועים שרירותיים.
עקומים כאלה נוצרים כאשר החוזק μ של כוח הדחייה מאזן במדויק את איבר התנע זוויתי - מסה:
מסלולים סגורים וכוחות מרכזיים היפוך מעוקבים
לשני סוגים של כוחות מרכזיים - אלו שגדלים באופן ליניארי עם המרחק F = Cr, כמו בחוק הוק, וכוחות היפוך ריבועיים F C/r2, כמו בחוק הכבידה העולמי של ניוטון וחוק קולון, יש תכונה מאוד מיוחדת.
חלקיק הנע תחת השפעת כל אחד מהכוחות האלה תמיד חוזר למיקום ההתחלתי שלו עם המהירות ההתחלתית שלו, בתנאי שאין לו מספיק אנרגיה כדי לנוע לאינסוף.
במילים אחרות, המסלול של חלקיק הוא תמיד סגור והתנועה שלו חוזרת על עצמה אינסוף פעמים, לא משנה מה המיקום או המהירות ההתחלתית שלו.
כפי שמראה משפט ברטרנד, תכונה זאת לא מתקיימת כאשר מניחים סוגים אחרים של כוח; באופן כללי, חלקיק לא יחזור לנקודת ההתחלה שלו עם אותה מהירות.
אף על פי כן, המשפט של ניוטון מראה שניתן להוסיף כוח היפוך מעוקב ניתן לכוח ליניארי או היפוך ריבועי באופן כזה שמסלול החלקיק יישאר סגור, בהינתן ש-k שווה למספר רציונלי (מספר נקרא "רציונלי" אם הוא ניתן לכתיבה כשבר m/n, כאשר m ו-n שניהם מספרים טבעיים).
במקרים כאלה, ההוספה של כוח היפוך מעוקב תגרום לחלקיק להשלים m סיבובים בזמן שהוא משלים
השיטה הזאת להפקת מסלולים סגורים כאלו לא מפרה את משפט ברטרנד, כיוון שהכוח ההיפוך מעוקב שמוסיפים תלוי במהירות ההתחלתית של החלקיק.
מסלולים הרמוניים ותת-הרמוניים הם סוגים מיוחדים של מסלולים סגורים כאלו.
מסלול סגור ייקרא מסלול הרמוני אם k הוא מספר טבעי, כלומר כאשר n 1 בנוסחה
לדוגמה, אם k 3 (הכוכב הירוק באיורים 1 ו-4, והמסלול הירוק באיור 9).
המסלול שנוצר הוא ההרמוניה השלישית של המסלול המקורי.
בשונה מכך, מסלול סגור ייקרא מסלול תת-הרמוני אם k הוא ההופכי של מספר טבעי, כלומר כאשר m 1 בנוסחה k m/n.
לדוגמה, אם k 1/3 (הכוכב הירוק באיור 5, והמסלול הירוק באיור 10), המסלול שנוצר הוא התת-הרמוניה השלישית של המסלול המקורי.
אף על פי שקרוב לוודאי שמסלולים כאלה לא יופיעו בטבע, הם שימושיים להדגמת המשפט של ניוטון.
גבול של מסלולים כמעט מעגליים
בטענה 45 של הפרינקיפיה, ניוטון מיישם את המשפט שלו על מסלולים סובבים כדי לפתח שיטה כללית למצוא את חוקי הכוח ששולטים בתנועה של כוכבי הלכת.
יוהאנס קפלר הבחין שהמסלולים של מרבית כוכבי הלכת ושל הירח הם אליפסות, ושהציר הארוך של האליפסות האלה ניתן לחישוב באופן מדויק מתצפיות אסטרונומיות.
הציר הארוך מוגדר כקו שמחבר את המיקומים במסלול בעלי המרחק המינימלי והמקסימלי מהנקודה המרכזית, כלומר הקו שמחבר את שני האפסידים.
לצורך ההדגמה, הציר הארוך של מסלול כוכב הלכת חמה מוגדר כקו שמחבר את מיקומי הפריהליון והאפהליון העוקבים שלו.
במהלך הזמן, הציר הארוך של מרבית הגופים במסלול סובב בהדרגה, באופן כללי לא יותר מכמה מעלות לסיבוב שלם אחד, וזאת בגלל משיכות כבידתיות מגופים אחרים, פחיסות בגוף המושך, אפקטים יחסותיים, ואפקטים אחרים.
השיטה של ניוטון נעזרת בפרצסיה האפסידית הזאת כמבדק רגיש לסוג הכוח שפועל על כוכבי הלכת.
המשפט של ניוטון תיאר עד כה רק את האפקט של הוספת כוח היפוך מעוקב.
עם זאת, בטענה 45 ניוטון מרחיב את המשפט שלו לכוחות מרכזיים שרירותיים (F(r באמצעות התמקדות במסלולים שהם כמעט מעגליים, כמו אליפסות עם אקסצנטריות נמוכה (ε ≤ 0.1), תנאי שהוא נכון לשבע מתוך שמונה מסלולי כוכבי הלכת במערכת השמש.
ניוטון גם יישם את המשפט שלו למסלול כוכב הלכת חמה, שיש לו אקסצנטריות ε של בערך 0.21, והציע שהוא עשוי להשפיע על השביט של האלי, אשר למסלולו יש אקסצנטריות של בערך 0.97.
הגישה בה ניוטון נעזר כדי לחשב את האפקט של חוקי כוח שרירותיים בגבול של מסלול כמעט מעגליים היא להסתכל על האפקט של תנודות קטנות במרחק הרדיאלי של הכוכב ממרכז הכוח, ולהשוות עם האפקט של כוח היפוך מעוקב על פרצסיית המסלול של הכוכב.
להלן מובא הפיתוח של ניוטון.
כדי לפשט את המשוואות, ניוטון כותב את הכוח המרכזי (F(r במונחים של פונקציה חדשה (C(r:
כאשר R הוא הרדיוס הממוצע של המסלול הכמעט מעגלי.
ניוטון מפתח את (C(r בטור שכעת נקרא טור טיילור - הוא מפתח את הפונקציה בטור חזקות של המרחק r סביב הנקודה
r = R, באחת ההופעות הראשונות של טור כזה.
באמצעות השוואת האיבר ההיפוך מעוקב בטור עם האיבר ההיפוך מעוקב שנגזר מהמשפט הקודם שלו (טענה 44), ניוטון גוזר גורם סקלה זוויתי שקול בעבור מסלולים כמעט מעגליים:
במילים אחרות, ההפעלה של כוח מרכזי שרירותי (F(r על מסלול אליפטי כמעט מעגלי יכולה להאיץ את התנועה הזוויתית בגורם k מבלי להשפיע על התנועה הרדיאלית באופן משמעותי.
אם מסלול אליפטי הוא סטציונרי, החלקיק מסתובב משביב למרכז הכוח ב-180° כשהוא נע מקצה אחד של הציר הארוך לשני (שני האפסידים).
לכן, הזווית האפסידית המתאימה α בעבור כוח מרכזי כללי שווה k×180°, מסקנה אליה מגיעים באמצעות שימוש בחוק הכללי θ2 k θ1.
נניח שהכוח המרכזי (F(r הוא מונום, כלומר ש-(C(r הוא מהצורה:
מה שנותן זווית פרצסיה להקפה שלמה ששווה ל-:
הנוסחה מראה בבירור שחוקי חזקה גבוהים יותר גורמים לפרצסיה מסלולית גבוהה יותר.
בפרינקיפיה ניוטון מביא מספר ניבויים ספציפיים של הנוסחה.
האחד הוא בעבור כוח היפוך ריבועי, שם מקבלים ש־n = 1 ושזווית הפרצסיה היא אפס, כלומר שמתקבל מסלול סגור, בהתאמה מושלמת עם פתרון בעיית קפלר.
השני הוא בקשר למקרה של מתנד הרמוני, שם n = 4 ומקבלים זווית פרצסיה של 180 מעלות בדיוק.
במקרה זה המסלול עדיין נשאר סגור.
הניבוי השלישי הוא זה של כוח רדיאלי קבוע, שם n = 3 ומקבלים זווית פרצסיה ששווה ל- מעלות.
ישנן דוגמאות ספציפיות להתנהגות כזאת, הפשוטה שבהן היא הבעיה של חלקיק הנופל במורד חרוט עם ציר אנכי.
בבעיה זו החרוט נמצא בשדה כובד אחיד ומוצב כך שצירו מקביל לכיוון שדה הכובד, ומניחים בו חלקיק לו מקנים מהירות התחלתית שונה מאפס בכיוון כלשהו כך שהחלקיק מקובע לחרוט כל משך תנועתו.
הדרישות הן שהחלקיק מצד אחד לא יימצא במסלול מעגלי יציב, ומצד שני ינוע עדיין במסלול כמעט מעגלי, אז מקבלים התנהגות מעניינת כזאת של ההיטל של החלקיק על מישור שניצב לציר החרוט.
כהדגמה מסכמת ואחרונה, ניוטון מחשיב כעת סכום של שני חוקי חזקות:
הנוסחה לחישוב הפרצסיה (שהשתמשנו בה בדוגמה הראשונה) מראה כי כעת המהירות הזוויתית תוכפל ב-:
ניוטון מיישם את שתי הנוסחאות האלו (בעבור חוק החזקה וסכום של שני חוקי חזקה) כדי לבחון את הפרצסיה האפסידית של מסלול הירח.
התנועה של הירח ניתנת למדידה בדיוק רב, והיא באופן מובהק יותר מורכבת מתנועת כוכבי הלכת.
האסטרונומים היוונים הקדומים, היפרכוס ותלמי, הבחינו במספר שינויים מחזוריים במסלול הירח, כמו תנודות קטנות באקסצנטריות המסלולית שלו ובנטיית המסלול שלו יחסית למישור המילקה.
התנודות האלו מתרחשות בקנה מידה זמני של אחת לחודש או פעמיים בחודש.
קו האפסידים שלו מבצע פרצסיה הדרגתית עם זמן מחזור של בערך 8.85 שנים, בעוד קו ה-nodes (נקודות בהן מסלול הירח חותך את המישור המשווני של כדור הארץ) משלים מעגל שלם בערך בזמן כפול מכך, 18.6 שנים.
נתונים אלה מסבירים את המחזוריות בת ה-18 שנים של ליקויי החמה, שנקראת מחזור סארוס (Saros cycle).
בנוסף לכך, שני הקווים הללו מראים פלקטואציות קטנות בתנועה שלהם, שגם הם מתרחשות על בסיס חודשי.
ב-1673, ירמיה הורוקס פרסם מודל מדויק של תנועת הירח שבו מניחים שהירח מתווה מסלול אליפטי שמבצע פרצסיה.
שיטה מדויקת ופשוטה באופן מספיק לחזות את תנועת הירח תוכל לפתור את בעיית הניווט של קביעת קו האורך של ספינה בים; בתקופתו של ניוטון, היעד היה לחזות את מיקום הירח בדיוק של שתי דקות קשת, דיוק ששווה ערך לשגיאה של מעלה אחת בקו האורך הארצי.
המודל של הורוקס חזה את המיקום הירחי עם שגיאות שלא עולות על 10 דקות קשת; לשם השוואה, הקוטר של הירח הוא בערך 30 דקות קשת.
ניוטון נעזר במשפט שלו על מסלולים סובבים בשתי דרכים כדי להסביר את הפרצסיה האפסידית של הירח.
ראשית, הוא הראה שהפרצסיה האפסידית הנצפית של מסלול הירח ניתנת להסבר אם משנים את חוק הכוח של הכבידה מחוק היפוך ריבועי לחוק חזקה שבו המעריך הוא 4/243 + 2 (בערך 2.0165):
ב-1894, אדולף הול אימץ את הגישה הזאת של להתאים במקצת את המעריך בחוק היפוך הריבועי כדי להסביר את פרצסיית המסלול האנומלית כוכב הלכת חמה, שנצפתה ב-1859 על ידי אורבן לה-ורייה.
באופן אירוני, התאוריה של הול נפסלה על ידי התצפיות האסטרונומיות הקפדניות של הירח.
ההסבר המקובל כיום לפרצסיה הזאת מערב את תורת היחסות הכללית, אשר (בקירוב ראשון), מוסיפה כוח שמשתנה לפי היפוך החזקה הרביעית של המרחק ממרכז הכוח.
הגישה השנייה של ניוטון להסברת פרצסיית מסלול הירח, הניחה שההשפעה הפרטורבציונית של השמש על תנועת הירח היא בקירוב שקולה להוספה של כוח ליניארי:
האיבר הראשון מייצג את המשיכה הכבידתית בין הירח וכדור הארץ, כאשר r הוא מרחק הירח מכדור הארץ.
האיבר השני, כך ניוטון הסיק, מייצג את התרומה הממוצעת של כבידת השמש להפרעה של מערכת הארץ-ירח.
כזה חוק כוח יכול לנבוע גם מקיומו של ענן כדורי של אבק בעל צפיפות אחידה מסביב לכדור הארץ.
באמצעות שימוש בנוסחה ל-k בעבור מסלולים כמעט-מעגליים, ובאומדנים ל-A ו-B, ניוטון הראה שכזה חוק כוח לא יכול להסביר את פרצסיית מסלול הירח, כיוון שהזווית האפסידית α שנחזתה לפי התאוריה הזו הייתה בערך 180.76° במקום ה-α הנצפית 181.525°.
עבור כל השלמה של סיבוב אחד, הציר הארוך יסתובב בערך 1.5°, כחצי מהערך הנצפה של 3.0°.
הגזירה של ניוטון מופיעה בחלק התשיעי של הספר הראשון של הפרינקיפיה, בטענות 43–45. הגזירות ששלו את הטענות האלה מתבססת בעיקר על גאומטריה.
הגזירה של ניוטון את טענה 43 מתבססת על טענה 2, שנגזרה מוקדם יותר בפרינקיפיה.
טענה 2 מספקת מבחן גאומטרי באשר האם הכוח הכולל שפועל על נקודת מסה (חלקיק) הוא כוח מרכזי.
ניוטון הראה שכוח הוא מרכזי אם ורק אם הרדיוס וקטור של החלקיק מכסה שטחים שווים בזמנים שווים.
כיוון שההנחה שהמסלול מבצע פרצסיה בקצב קבוע מביאה לכך שהרדיוס וקטור החדש גם יכסה שטחים שווים בזמנים שווים, חלק ה-"רק אם" של טענה 2 מבטיח שהכוח הוא מרכזי.
ההבדל בין הכוחות, שכתוצאה מהם שני גופים ינועו בצורה שווה, אחד במסלול נייח, והשני במסלול זהה אך סובב, משתנה באופן הפוך לחזקה השלישית של המרחקים המשותפים שלהם.
תוצאה זו נובעת מהמשוואה הדיפרנציאלית למרחק הרדיאלי ממרכז הכוח:
הכוח הצנטריפוגלי משתנה לפי ההופכי לחזקה השלישית של המרחק מהמרכז, על כן כדי לקבל את אותה נגזרת שנייה של המרחק הרדיאלי (ולכן את אותה משוואה דיפרנציאלית ואותה תנועה רדיאלית) עבור חלקיק שנע זוויתית מהר יותר יש פשוט להוסיף איבר לכוח המרכזי ששווה:
למצוא את התנועה של האפסידים במסלולים קרובים מאוד למעגליים.
בטענה זאת, ניוטון גוזר את ההשלכות למשפט שלו על מסלולים סובבים בגבול של מסלולים קרובים למעגליים.
קירוב זה תקף באופן כללי למסלולי כוכבי הלכת ולמסלול הירח סביב כדור הארץ.
קירוב זה מאפשר לניוטון להחשיב מגוון רחב של חוקי כוח מרכזי, לא רק כוח היפוך ריבועי או כוח היפוך מעוקב.
בדינמיקה, משפט ניוטון על דעיכה מסלולית מספק כללים מתמטיים לקביעת קצב הדעיכה של מסלולו של עצם הנתון בתנועה מסלולית סביב גרם שמיים תחת השפעת הכבידה של גרם השמיים ותווך שיוצר כוח התנגדות לתנועת העצם היחסי לצפיפות התווך ולמהירות העצם בריבוע.
אייזק ניוטון גזר את המשפט הזה ואת המסקנות ממנו כטענות 17 - 15 בחלק הרביעי של הכרך השני של ספרו "פרינקיפיה", שם הוא מוכיח את המשפט שטוען כי אם צפיפות התווך המתנגד יחסית להיפוך המרחק ממרכז הכוח המרכזי, אז מסלול העצם יהווה ספירלה שוות-זווית (equiangular spiral) - או ספירלה לוגריתמית.
משפט ניוטון על דעיכה מסלולית קובע למעשה שבמקרה זה המשיק לספירלה ייצור זווית קבועה עם הרדיוס וקטור מהראשית אל הנקודה על הספירלה.
בחלק הרביעי של הספר השני של הפרינקיפיה, שכותרתו "בנוגע לתנועה המעגלית של גופים בתווך שיוצר התנגדות", ניוטון ניסח את הטענה בצורה הבאה:
נקרא לזווית הקבועה שיוצרים הרדיוסים עם המשיק לספירלה , וננסה לקבוע מה חוק הצפיפות שיגרום לחלקיקי לנוע בספירלה שוות זווית זאת.
יהיו r ו-v הרדיוס ומהירות החלקיק בכל זמן שהוא.
נניח ש-P הוא הכוח המרכזי, ו- הוא ההתנגדות שיוצר התווך; הצפיפות ו-P הם שניהם פונקציות של הרדיוס r.
בנוסחה האחרונה m היא מסת העצם, A שטח החתך שלו בכיוון התנועה ו- הוא המקדם הבליסטי של העצם (מקדם הגרר).
המשוואה שנותנת את התנועה לאורך קשת כלשהי תחת התנאים האלה היא:
כאשר בנוסף מתקיים עבור כל העקומים:
מהשוואת שתי המשוואות ל נקבל:
, ונקרא למשוואה זו משוואה (1) .
המשוואה שנותנת את התנועה בניצב לכיוון התנועה ידועה והיא: .
ניעזר בעובדה שבספירלה שוות-זווית רדיוס העקמומיות R מקיים:
אם נציב במשוואה (1) את משוואה (2) נקבל:
אם נניח שהכוח המרכזי P משתנה לפי היפוך ריבוע המרחק מהמרכז , ולאחר מכן נציב: , אזי נקבל שוויון זהותי בין אגף ימין ושמאל, כלומר:
כבר מההנחה שהמסלול נע בספירלה שוות-זווית נובע (משוואה (2)) שבכל נקודה על המסלול הספירלי מהירות העצם שווה למהירות בה היה נע אילו נע בתנועה מעגלית באותו רדיוס r סביב מרכז הכוח.
כלומר, מהירות העצם בתלות ברדיוס היא:
זוהי המסקנה הראשונה של ניוטון.
קביעת זווית הגישה הקבועה - בסעיף זה נשאל שאלה הפוכה: לא ננסה לקבוע בהינתן מסלול תנועה מסוים מה חוק הצפיפות של התווך, אלא נשאל בהינתן צפיפות מקומית מה המסלול שיתקבל.
ניתן להראות כי היחס בין כוח התנגדות התווך לכוח המרכזי הוא שמכתיב את זווית הגישה הקבועה .
ככל שהיחס גדול יותר הזווית תהיה קרובה יותר ל-180 מעלות והירידה תהיה תלולה יותר.
מתמטית, אם נסמן את היחס בין כוח ההתנגדות לכוח המרכזי ב-k, נקבל:
נציב את התוצאה למהירות מהמסקנה הראשונה של ניוטון ונקבל:
ניתן לראות איפוא שההנחה שמתקבלת ספירלה לוגריתמית תקפה כל עוד הערך המוחלט של k קטן או שווה ל-1/2 (שכן קוסינוס הזווית קטן או שווה בערכו המוחלט ל-1); אחרת יתקבל מסלול שאינו ספירלה לוגריתמית.
זמן התנועה המסלולית של החלקיק - כיוון שמהירות ההתקרבות הרדיאלית של העצם בכל רדיוס r נתונה על ידי :
נקבל איפוא שזמן התנועה בין רדיוסים ו- הוא: .
וניתן להראות בנקל גם שמספר ההקפות שהעצם ישלים במעבר בין רדיוסים ל- הוא:
מסקנות אלו הן המסקנות החמישית והשישית של ניוטון.
למשפט יש חשיבות מעשית מוגבלת, שכן חוק הצפיפות שניוטון מניח במשפט הוא היפותטי - פרופיל הצפיפות של אטמוספירה של כוכב מציית בדרך כלל לחוק מעריכי (כלומר צפיפות האטמוספירה יורדת מעריכית עם הגובה), בעוד שניוטון מניח במשפט שהצפיפות משתנה בהתאם להופכי של המרחק ממרכז הכוח.
לכן לא יכול להיות לו חשיבות למשל, בחישוב דעיכת המסלול של מסלולי לוויינים.
משפט מילר הוא משפט בתורת המעגלים האלקטרוניים, המתייחס לתהליך של יצירת מעגל שקול.
הוא קובע כי אלמנט עכבה חשמלית צף, המסופק על ידי שני מקורות מתח מחוברים בטור, יכול להיות מחולק לשני אלמנטים מוארקים עם עכבות מתאימות.
קיים גם 'משפט מילר כפול' המתייחס לשני מקורות זרם המחוברים במקביל.
שתי הגרסאות מבוססות על שני חוקי קירכהוף למעגלים.
משפטי מילר אינם רק ביטויים מתמטיים טהורים.
השקילות שהם מציגים מבהרת תופעות חשובות המתרחשות במעגל, ומשפיעות על העכבה (אפקט מילר, אדמה וירטואלית, , עכבה שלילית וכו') וכך עוזרים בתכנון והבנה של מעגלים סטנדרטיים שונים (מגברי משוב, ממירי התנגדות, תלויי זמן, ממירי עכבה שלילית וכו').
המשפטים שימושיים בניתוח מעגלים, במיוחד במעגלים עם משוב ומגברי טרנזיסטור מסוימים בתדרים גבוהים.
יש קשר הדוק בין משפט מילר לבין אפקט מילר: המשפט עשוי להיחשב כמקרה כללי של האפקט, ואילו האפקט יכול להיחשב בתור מקרה פרטי של המשפט.
במעגל ליניארי, אם קיים ענף בעל עכבה ומשני צידיו מאולצים מתחים וגם , ניתן "לחתוך" אותו ולקבל 2 קצוות.
את כל אחת מהקצוות ניתן לחבר לאדמה, והעכבה של כל אחד מהחצאים נתונה על ידי וגם בהתאמה.
משפט מילר גורס כי עבור רכיב עכבה הממומתח משני צידיו על ידי מקורות מתח שרירותיים (לא בהכרח תלויים) המחוברים בטור דרך קרקע משותפת, בפועל, אחד מהם פועל כמקור מתח ראשי (עצמאי) עם מתח והשני - כמקור מתח נוסף (תלוי ליניארי) עם מתח .
הרעיון של משפט מילר (שינוי עכבות מעגלים שנצפו משני צידי מקורות הקלט והפלט) מתואר להלן על ידי השוואת שני המצבים - ללא חיבור של מקור מתח נוסף .
אם היה שווה לאפס, הזרם שיזרום דרך הרכיב ייקבע לפי חוק אוהם, וכתלות רק ב .
ואימפדאנס הכניסה של המעגל יהיה:
כאשר נוסף מקור מתח שני, זרם הכניסה תלוי בשני המתחים.
לפי סימנו, נסכם או מחוסר ל כך שזרם הכניסה גדל / קטן:
כתוצאה מכך אימפדנס הכניסה של המעגל, כפי שהוא נמדד מהצד של המקור, גדל / קטן גם הוא:
אם כך, משפט מילר מבטא את העובדה הבאה: חיבור מקור מתח בטור עם מקור מתח כניסה , כך שקיימת פרופורציה ביניהם
, משנה את המתח האפקטיבי ובהתאם את הזרם, כמו גם את ההתנגדות כפי שהיא נראית למקור הכניסה.
פישוט ניתוח מתחים וזרמים במעגל חשמלי מורכב
סיוע במציאת קוטב דומיננטי של מעגל מסנן תדרים
משפט מוררה הוא משפט באנליזה מרוכבת הנותן תנאי שימושי וחשוב להוכחת הולומורפיות של פונקציה.
המשפט נקרא על שם ג'אצ'ינטו מוררה , שהוכיח אותו בשנת 1886.
תהי פונקציה רציפה על תחום פשוט וקשיר .
אם לכל משולש המוכל יחד עם פנימו ב- מתקיים , אזי הולומורפית ב-.
ראשית נוכיח שלפונקציה קיימת פונקציה קדומה ב-.
מכיוון ש- קבוצה פתוחה, קיים עיגול .
יהי משולש המוכל בעיגול (מתקיים בעבור קטן מספיק כיוון שהעיגול הוא קבוצה פתוחה), מהנתון נובע .
נוכל לרשום את השוויון כך:
ולאחר הצבת ההגדרה נקבל את השוויון .
כעת, נוכיח שהפונקציה היא פונקציה קדומה של .
נשתמש בשוויון שהוכחנו קודם ונקבל:
מרציפות נקבל שכאשר שואף לאפס גם הביטוי שואף לאפס, כלומר מתקיים , ולכן פונקציה קדומה של .
ומכיוון ש- הולומורפית ב- נובע שגם נגזרתה הולומורפית ב-.
משפט מוררה ביחד עם משפט פוביני או מבחן M של ויירשטראס יכול לסייע בהוכחת אנליטיות של פונקציות שמוגדרות על ידי סכום או אינטגרל.
דוגמה: נוכיח את האנליטיות של פונקציית גמא על ידי כך שנוכיח את השוויון לכל מסילה סגורה .
מהגדרת פונקציית גמא מתקיים .
ולאחר שימוש במשפט פוביני כדי להחליף את סדר האינטגרציה נקבל:
הפונקציה אנליטית, ולכן מתקיים (נובע ממשפט קושי-גורסה).
כלומר לכל מסילה סגורה , ולכן פונקציית גמא אנליטית בכל המישור.
משפט מסחרי הם כללים שקובעים, בין השאר, אילו סוגי חברות מסחריות קיימות, איך מקימים חברה, איך מפרקים חברה, מה הם אמצעי התשלום הקיימים במשק וכדומה.
המשפט המסחרי עוסק בחלק של עולם החוק ובדיני מסחר, דיני חברות ודיני ניירות ערך וכדומה.
זהו ענף בחוק הקובע את זכויותיהם וחובותיהם של כל הצדדים בזמן ביצוע סחר ומסחר ומנהל סכסוכים הנובעים מעסקאות רגילות של קונים ומוכרים, מאספקת סחורות ושירותים בדרך המסחר.
המשפט הישראלי מתחלק לשלוש קבוצות עיקריות - הראשונה היא המשפט חוקתי, השנייה היא המשפט הפלילי, והשלישית היא המשפט האזרחי העוסק בנושאים בהם המדינה אינה צד.
זה האחרון נחלק לתחומי משנה רבים, בכללם דיני משפחה, דיני עבודה, דיני נזיקין, קניין רוחני, ומשפט מסחרי.
משפט מסחרי, המכונה גם דיני סחר, הוא משפט החל על העוסקים במסחר, על זכויותיהם ועל התנהלותם.
כמו כן, הוא עוסק בדיני תאגידים – בהקמת חברות ובפירוקן, בהסכמי מייסדים, בשותפויות ועוד.
להלן כמה סוגים של תחומים שונים במשפט המסחרי:
דיני תאגידים – התחום בחוק אשר מסדיר את פעילותן והתנהלותן של בתי עסק וחברות מסחריות, תחום המשפט המסחרי הזה נוגע בעיקר בסוגיות של הקמה או פירוק של עסק.
בתחום זה כלולים הקמת ורישום החברה, יחסים בין מנהלי החברה לבעלי המניות ובין מנהלי החברה לעובדים.
ממון – סוגיות אשר עוסקות בממון מהוות חלק משמעותי מעולם המשפט המסחרי.
כאן הכוונה לסוגיות אשר קשורות לכספים, לדוגמה חוזי התקשרות בין בתי עסק שונים ובין אזרחים פרטיים לבין חברות מסחריות.
שותפויות וצורות עבודה שונות – תחום זה עוסק בהסדרי עבודה וצורות עבודה שונות, כפי שהן מסוכמות בין גורמים שונים בעסק.
הסכמים מסחריים – בתחום זה אפשר לכלול את כל הקשור בשותפויות בין חברות, הסדרי הפצה, חוזי זכיינות, הסכמי סוכנות, הסכמי ייצור, ועוד הסכמים הקשורים לעסקים.
הסכמי סודיות – זהו למעשה תת-נושא של תחום החוזים – הסכם שמבטיח שמירה על סודיות בין שני צדדים, אם אלו עובד ומעביד, שותפים, ספקים וכדומה.
הגנה על סימן מסחרי – משפט מסחרי מייחס חשיבות רבה לשמירה על סימנים מסחריים ועל זכויות הקניין של חברות, גופים ואנשים פרטיים.
עניינים כספיים – תחום זה כולל את כל הקשור במימונים, הלוואות, מקרקעין, ניירות ערך, הנפקת מניות, הנפקת אופציות, הנפקת איגרות חוב ועוד.
התנהלות מול רשויות המס – סוגיית המיסים היא חלק בלתי נפרד מתחום זה.
כל חברה שפועלת בישראל או שמנהלת הוצאות והכנסות בארץ, כפופה להגדרות של המשפט המסחרי.
זכייניות ורישיון לעסק – חוקי המשפט המסחרי מתייחסים גם לדרך בה ניתן להקים עסק מכל סוג שהוא- עסקים המתבססים על זכיינות, מכולת, עסק הפועל מהבית וחברות ענק.
כינוס נכסים, הקפאת הליכים – המשפט המסחרי עוסק גם בכינוס נכסים, מימוש בטוחות, הקפאת הליכים, הוצאה לפועל וכדומה.
משפט מסחרי הוא אחד החלקים החשובים של המשפט האזרחי, המשפט המסחרי עוסק בעסקאות הקשורות לעסקות מסחריות.
ניתן להגדיר את המשפט המסחרי ככללים מיוחדים החלים על חוזה של מכירת טובין ועל חוזים הנלווים לכך, כלומר חוזים עבור הובלה וביטוח של סחורות וחוזים.
המשפט המסחרי מסייע לאנשי העסקים בפתרון סוגיות מורכבות הקשורות לעסקות סכסוכים וכן מסייע לעסקים ולצרכנים כאחד להגן על האינטרסים המסחריים שלהם.
ניתן לראות את תפקידו של המשפט המסחרי לאפשר לגופים מסחריים לעשות עסקים באופן שהם רוצים לעשות זאת.
המשפט המסחרי מסייע לאנשי העסקים בפתרון סוגיות מורכבות וגם מסייע לעסקים ולצרכנים להגן על האינטרסים המסחריים שלהם.
משפט מוסנר או "הקסם של מוסנר" הוא כינוי לתהליך המחשב עבור כל קבוע, את סדרת החזקות על ידי פעולות של דילוג וחישוב סכומים חלקיים בסדרת המספרים הטבעיים.
את התהליך גילה המתמטיקאי הגרמני אלפרד מוסנר (Alfred Moessner).
תהליכים דומים מייצרים גם את מספרי העצרת וטורים נוספים.
היוונים הקדמונים ידעו שטור הסכומים החלקיים של המספרים האי-זוגיים יוצר טור של ריבועים:
סדרת השלמיםבדילוג על כל מספר שניסכומים חלקייםשהם טור הריבועים
פיתגורס או אחד מחברי האסכולה הפיתגוראית הוכיח שזה נכון תמיד, ובמשך מעל אלפיים שנה היה נראה שאין מה לחקור עוד בנושא הזה, עד שב-1951 גילה מוסנר שטור הריבועים הוא רק אחד מתוך אינסוף טורים שאפשר ליצור באופן דומה מטור השלמים.
מתחילים מטור השלמים ומסמנים לדילוג כל מספר -י.
מחשבים את טור הסכומים החלקיים ללא המספרים המדולגים.
חוזרים על הפעולה, הפעם מסמנים לדילוג כל מספר , ויוצרים סדרת סכומים חדשה.
עבור השלב ה--י יש לסמן לדילוג את האיברים .
התהליך מסתיים בשלב ה--י, והסדרה שתישאר היא .
לדוגמה, כדי לבנות את טור השלמים בחזקה רביעית מתחילים בסדרת המספרים השלמים (השורה ה-1).
משמיטים כל מספר רביעי (השורה ה-2).
מחשבים את הסכומים החלקיים (3).
משמיטים כל מספר שלישי (4).
מחשבים את הסכומים החלקיים (5).
משמיטים כל מספר שני (6); ומחשבים את הסכומים החלקיים (השורה השביעית והאחרונה).
הסדרה המתקבלת היא סדרת החזקות הרביעיות של השלמים.
מוסנר פרסם את האלגוריתם ב-1951 ושיער שהוא נכון תמיד אך לא הוכיח זאת.
הראשון שהוכיח את משפט מוסנר היה אוסקר פרון בהמשך אותה שנה.
הבנייה של מוסנר נעשית בדילוג בצעד קבוע, למשל עבור מדלגים על שלושה מספרים ומשמיטים כל מספר רביעי.
ב-1952, שנה אחרי התגלית של מוסנר, הציע איוון פאשה (Ivan Paasche) לדלג במרווחים שגדלים באחד כל פעם: למחוק את המספר הראשון, להשאיר את השני, למחוק את השלישי, להשאיר את 2 הבאים בתור, למחוק את השישי, וכן הלאה, לפי הסדר 1, 3, 6, 10 וכולי, או .
מחשבים את הסכומים ללא המספרים המחוקים, ובאיטרציה הבאה מוחקים מספרים לפי אותו סדר ומחשבים את הסכומים החלקיים, עד השורה האחרונה.
הטור המתקבל הוא טור .
בסימון בכתום אפשר לראות שהאלגוריתם של פאשה הפך חיבור לכפל.
זה אינו מקרי, האלגוריתם של מוסנר הופך כפל לחזקה.
למשל באלגוריתם מוסנר עבור :
משפט מנטל בתורת הגרפים הוא משפט הקובע כי בהינתן גרף פשוט לא מכוון עם n צמתים וחסר משולשים (חסר מעגלים באורך 3), אז מספר הקשתות שלו הוא לכל היותר .
החסם אותו נותן משפט מנטל הוא הדוק שכן הגרף הדו-צדדי המלא () הוא חסר משולשים וכן מספר הקשתות שלו הוא .
לפי השקילות הלוגית נוכל לקבל ניסוח שקול למשפט הטוען כי אם בגרף G פשוט ולא מכוון יש יותר מ קשתות אז יש ב-G משולש.
משפט מנטל הוא מקרה פרטי של משפט טורן.
יהי גרף, נסמן , נניח כי לכל 3 צמתים שונים בגרף, מתקיים , אז
נבנה ממנו גרף דו-צדדי כך ש, מה שיוכיח את המשפט, שכן גרף הוא דו צדדי אמ"ם אין בו מעגלים מאורך אי-זוגי, ובפרט באורך 3.
נסמן הצומת בעל הדרגה המקסימלית.
כמו כן, נסמן ב את (קבוצת השכנים).
כעת נביט בגרף הדו-צדדי המלא על S ועל , נוכיח כעת כי , ומנוסחת לחיצות היידים, נוכל להסיק כי , וזה יסיים את ההוכחה.
אם , אז שכן היא הדרגה המקסימלית בגרף G, לפי הגדרת S.
אם , אז מפני שגם בגרף G לא היו קשתות בין קודקודים S כיוון ש-G חסר משולשים (אם הייתה קשת בין אז משולש ב-G).
כמו כן מפני שהמקרה גרוע ביותר הוא כאשר (שטח ריבוע הוא מקסימלי)
אפשר לחשוב על זה כמו מתן משקלים לכל צומת, והמשקל של כל קשת הוא
נבחין כי אם השמת משקולות כלשהי מקבלת ערך מקסימלי, אז קיימת השמת משקולות אחרת בה מתקיים שאם אז יש קשת בין .
אכן, תהא השמה כזאת, ונניח שאין קשת בין .
נסמן ב את סכום המשקלים של השכנים של .
בה"כ מתקיים ש , ולכן השמת המשקולות שתיתן לכל צומת את אותו המשקל כמו ההשמה המקורית, פרט ל ול היא השמה חוקית שמקבלת ערך לפחות כמו ההשמה הקודמת.
נוכל להמשיך כך באידנקוציה עד שנקבל את הטענה הרצויה.
לכן, מתקיים כי שכן אין ב משולשים ולכן הקליקה הגדולה ביותר בו היא מגודל 2, ובפרט השמת משקולות חוקית כך שאם אז יש קשת בין נותנת משקל חיובי לשני צמתים לכל היותר, והמקסימום של מכפלת שני ערכים חיוביים שסכומם 1 הוא .
מצד שני, אם ניתן את ההשמה לכל הצמתים, נקבל כי ועל ידי העברת אגפים נקבל את אי השוויון הרצוי.
במתמטיקה, ובפרט בטריגונומטריה, משפט ניבן הוא משפט העוסק ברציונליות של ערכי פונקציית הסינוס והקוסינוס.
המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האמריקאי-קנדי איבן ניבן אשר פרסם הוכחה שלו בשנת 1956.
ניתן להשתמש במשפט ניבן כדי להוכיח גרסאות דומות לפונקציות הסקאנס, הקוסקאנס, הטנגנס והקוטנגנס.
נסמן ב-, , ו- את קבוצת המספרים הטבעיים, השלמים, הרציונליים והממשיים בהתאמה.
בערך זה ערכן של פונקציות טריגונומטריות מחושב ברדיאנים.
בהינתן מספר רציונלי ניתן להוכיח כי הוא בהכרח מספר אלגברי.
הוכחה זו מתבססת על כך שקיימים זוג מספרים טבעיים כך ש- ולכן הוא שורש של הפולינום כאשר הוא פולינום צ'בישב מהסוג הראשון מדרגה .
ידוע כי לא כל מספר אלגברי הוא בהכרח מספר רציונלי.
על כן, נשאלת השאלה: באילו מקרים מתקיים שגם וגם ?
משפט ניבן מוכיח שבכל תחום נתון, כמו למשל התחום , מספר ערכי שמקיימים תנאי זה הוא סופי וידוע.
תהי זווית כך ש- הוא רציונלי וגם רציונלי.
אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:
מכיוון ומתקיימת הזהות הטריגונומטרית , שתי הגרסאות של המשפט שקולות זו לזו.
לכן, די להוכיח את הגרסה לפונקציית הקוסינוס כדי להוכיח את המשפט כולו.
מגדירים סדרת פולינומים במקדמים שלמים אשר מוגדרת רקורסיבית באופן הבא:
ניתן להוכיח כי לפולינומים אלו התכונות הבאות:
לכל הפולינום הוא מדרגה .
לכל , הפולינום הוא פולינום מתוקן (כלומר, האיבר המוביל של הפולינום הוא ).
לכל ולכל מתקיימת הזהות .
הפולינומים מהווים גרסה מתוקנת של פולינומי צ'בישב.
כעת, מניחים כי היא זווית העומדת בתנאי המשפט.
לכן קיימים זרים זה לזה כך ש-.
לפי ההנחות על , הוא מספר רציונלי אי-שלילי (זאת מכיוון שהפונקציה מקבלת ערכים אי-שליליים בלבד בתחום ).
מגדירים פולינום חדש ומקבלים ש- הוא שורש רציונלי שלו.
הוא פולינום מתוקן במקדמים שלמים, לכן לפי משפט השורש הרציונלי, כל שורש רציונלי שלו חייב להיות שלם, כלומר .
לכן, הערכים היחידים ש- יכול לקבל הם , ו- ובהתאמה יכול לקבל אך ורק את הערכים , ו-.
הפונקציה מונוטונית יורדת ממש בתחום , לכן הערכים המתאימים היחידים ש- יכול לקבל לכל כנ"ל הם , ו- בהתאמה.
משפט ניבן עוסק בזוויות בתחום .
עם זאת, ניתן להשתמש בזהויות הטריגונומטריות ו- כדי להכליל את המשפט לזווית כללית.
משמעות הדבר היא שהערכים הרציונליים היחידים ש- ו- יכולים לקבל כך שגם תהיה גם רציונלית הם , ו-.
תהי זווית העומדת בתנאי המשפט.
באמצעות זהויות טריגונומטריות ניתן להוכיח כי:
לכן, מאחר ש- רציונלי בהכרח גם רציונלי.
כלומר, הזווית עומדת בתנאים של משפט ניבן לפונקציית הקוסינוס בתחום .
לכן הערכים היחידים ש- יכול לקבל הם מהקבוצה .
משמע הערכים היחידים ש- יכול לקבל הם מהקבוצה .
על ידי בחינה של כל אחד מהערכים הללו ניתן להוכיח שהערכים היחידים שעבורם הוא אכן רציונלי הם ו-.
ההוכחה לגרסה זו זהה להוכחה לגרסת הטנגנס, אך עושה שימוש בזהות הטריגונומטרית:
מצולע משוכלל שקודקודיו על סריג
מסתכלים על הסריג עבור ובוחרים מתוכו נקודות היוצרות מצולע משוכלל (מצולע שכל צלעותיו וכל זוויותיו שוות).
אזי, הערכים היחידים ש- יכול לקבל הם .
לוקחים שלוש נקודות סמוכות על גבי המצולע .
בגלל שהמצולע משוכלל ובעל צלעות ו-.
באופן דומה אפשר להראות כי .
ממשפט הקוסינוסים על המשולש מקבלים:
על כן הזווית מקיימת את תנאי משפט ניבן והערכים היחידים שהיא יכולה לקבל הם מהקבוצה .
מאחר ו- מספר טבעי שגדול או שווה ל-3, הערכים היחידים שהוא יכול לקבל הם .
להלן דוגמאות למצולעים שכאלו עבור הסריג התלת-ממדי:
הבהרה לגבי מצולע משוכלל על סריג דו-ממדי
על אף שההוכחה לעיל אינה משתמשת במספר הממדים של הסריג, ניתן להראות כי הטענה אינה נכונה לסריג הדו-ממדי .
ניתן להראות באמצעות משפט פיק שלא ניתן לבנות משולש שווה צלעות על הסריג הדו-ממדי.
מסיבה זו, גם לא ניתן לבנות משושה משוכלל על הסריג הדו-ממדי, שכן אחרת אפשר היה לקחת כל קודקוד שני שלו וליצור משולש שווה צלעות.
עם זאת, ניתן לבנות על הסריג הדו-ממדי את הריבוע הסטנדרטי .
משפט עברי הוא מונח מודרני המשמש להגדרת התורה המשפטית של ההלכה והמקורות העבריים לתחומים משפטיים בשיטות משפט אחרות, כמו דיני נזיקין, דיני קניין ודיני עונשין.
על מקורות המשפט העברי נמנים המשנה, התלמוד, ספרות השו"ת והפסיקה וכלל הספרות התורנית ממתן תורה ועד ימינו.
בתורה שבכתב, מוקדשות מספר פרשיות להצגת חוקי המשפט העברי.
הראשונה שבהם היא פרשת משפטים שבספר שמות, שם מובאים רוב דיני הממונות המוזכרים בתורה בכלל, דיני עבד עברי ואמה עברייה, דיני רוצח וכן הוראות המתייחסות לשופטים.
פרשה נוספת המהווה מקור חשוב לדיני המשפט העברי היא פרשת שופטים שבספר דברים.
בפרשה זו לא נידונים דיני ממונות אך מובאת בה החובה להקים מערכת משפט הוגנת:
כמו כן, בפרשה מובאים דיני זקן ממרא, דיני עדות, ודיני רוצח בשגגה.
במשנה מובאים חוקי המשפט העברי במספר מסכתות:
בסדר מועד - דיני קידוש החודש מובאים במסכת ראש השנה.
בסדר נשים - דיני יבום וחליצה מובאים במסכת יבמות.
דיני כתובה ונישואין מובאת במסכת כתובות.
דיני סוטה מובאים במסכת סוטה, ודיני גירושין מובאים במסכת גיטין ובקידושין מובאים דיני אירוסין, וחלק מדיני קניין.
בסדר נזיקין - כל דיני ממונות (מלבד אלו הקשורים בכתובה המובאים במסכת כתובות) נכתבו במסכת אחת בת 30 פרקים, שנקראה מסכת נזיקין, אך בעקבות אורכה היא חולקה מאוחר יותר לשלוש "בבות" (שערים בארמית): "בבא קמא", "בבא מציעא" ו"בבא בתרא".
דיני תשלומי מזיק, חובל, גנב, וגזלן מובאים במסכת בבא קמא.
דיני השבת אבדה, אונאה, הלוואה, ריבית, שכירות, פועלים, וארבעת השומרים - מובאים בעיקר במסכת בבא מציעא.
דיני שכנים, ירושה ודיני מקח וממכר - מובאים בעיקר במסכת בבא בתרא.
מסכתות סנהדרין ומכות עוסקות בסדרי המשפט ובעונשים השונים.
בניגוד למסכתות רבות אחרות, על כל המסכתות העוסקות בדיני המשפט העברי נכתב חיבור מקביל, גם בתלמוד הירושלמי וגם בתלמוד הבבלי.
גם בקודקסים הלכתיים מאוחרים יותר מובאים חוקי המשפט העברי, הללו מופיעים בהרחבה גם בספרו של הרמב"ם משנה תורה וגם מאוחר יותר בארבעת הטורים ובשולחן ערוך.
במשנה תורה לרמב"ם מופיעים דיני המשפט העברי בחמישה כרכים:
ספר זמנים: הלכות קידוש החודש.
בטור, ובשולחן ערוך (שאימץ את סדר החלוקה של הטור) מופיעים דיני המשפט העברי בעיקרם בשניים מתוך ארבעת הכרכים:
אבן העזר – עוסק בדיני המשפחה (נישואין וגירושין), ועל הלכות אישות.
חלק זה נקרא כך על פי הפסוק בבראשית ב, י"ח "אעשה לו עזר כנגדו".
חושן משפט – על הלכות דיינים, ממונות, דיני בית דין, הדין האזרחי והפלילי.
לצד אלה דיני המשפט העברי מפוזרים בעשרות אלפי שאלות ותשובות (שו"ת) שנשאלו חכמי ישראל במהלך הדורות.
על אף שהחלוקה המדויקת לקטגוריות נתונה במלוקת בין החוקרים והמשפטנים השונים, מקובל להגדיר את ענפי המשפט העברי ככאלה הכוללים את כל ענפי המשפט המוכרים משיטות משפט אחרות.
משפט ציבורי: משפט מנהלי; משפט פלילי
משפט פרטי: משפט אזרחי (דיני ממונות) – דיני נזיקין / דיני חוזים / דיני קניין / עשיית עושר ולא במשפט; דיני משפחה
משפט פרוצדורלי: דיני ראיות, דיון פלילי ואזרחי
אף שהמשפט במדינת ישראל הוא משפט חילוני, אשר שואב את עקרונותיו מן המשפט המקובל ומן הדין העות'מאני, יש בו השפעה של המשפט העברי.
את רוח מערכת היחסים הזו בין עקרונות המשפט העברי לבין החקיקה הישראלית ניתן למצוא בדברי חברי הוועדה שדנה בהצעת חוק תחולת עקרוני המשפט העברי.
במקרים מסוימים הוכנסו עקרונות המצויים במשפט העברי לתוך חוקי מדינת ישראל.
תקנת השבים, שהיא העיקרון לפיו יש להקל על עבריין המעוניין לשוב בו מדרכו הרעה.
חוק לא תעמוד על דם רעך, היונק את שמו ואת תוכנו מפסוק בספר ויקרא באיסור לא תעמוד על דם רעך.
עשיית עושר ולא במשפט- אף שמו של החוק נלקח ממקורות המשפט העברי.
חוק ציד חיות בר אימץ את ההסתייגויות המובאות בספרות הרבנית מציד לשם שעשוע בלבד.
לפיכך הציד מותר בישראל רק לציידים מורשים.
המשפט הישראלי אימץ את ההגדרה ההלכתית האוסרת על בעל לאנוס את אשתו, בעוד שבמשפט האנגלי, במשך שנים מושג זה לא היה קיים.
בנוסף לדוגמאות ספציפיות אלה, חוק יסודות המשפט, התש"ם-1980, קבע זיקה ל"עקרונות החירות, הצדק, היושר והשלום של מורשת ישראל", ובתיקון משנת 2018 הורחבה זיקה זו ל"עקרונות החירות, הצדק, היושר והשלום של המשפט העברי ומורשת ישראל".
על פי השופט מנחם אלון חוק יסודות המשפט הוא הצינור הפוזיטיבי המשלים חוסרים רבים סביב ההלכה.
לעומתו נשיא בית המשפט לשעבר השופט ברק טוען כי ההלכה היהודית אינה מקור מחייב, אלא מצוינת כמקור השראה, שהפירוש המקובל להם מפנה את השופט אל המשפט העברי.
במשרד המשפטים פועלת המחלקה למשפט עברי ליישומו של חוק יסודות המשפט בהקשר זה.
בראש המכון עומד ד"ר מיכאל ויגודה.
המשפט העברי קיבל תנופה בכך שבחוק יסוד: כבוד האדם וחירותו, נקבע כי ערכיה של מדינת ישראל הם ערכיה של מדינה יהודית ודמוקרטית.
השופט מנחם אלון, המשנה לנשיא בית המשפט העליון, הסביר כי השימוש, תחילה, בתואר "יהודית", נותן עדיפות פרשנית לאימוץ המשפט העברי בשיטת המשפט של מדינת ישראל.
בראשית ימי המדינה תרם רבות השופט חיים כהן להכנסת המשפט העברי לתוך החוק הישראלי, מתוך הכרה בחשיבותו התרבותית.
בחוגים הדתיים היו אחרים שלא התלהבו מכך, ביניהם בלט חבר הכנסת זרח ורהפטיג, מייסד המכון לחקר המשפט העברי במשרד המשפטים ומנהלה הראשון, שלא ראה טעם רב בשימוש "חילוני" במשפט דתי.
אימוץ "מעשי" של המשפט העברי נעשה במסגרת פסקי הדין של בתי המשפט השונים.
החלו בכך שופטי בית המשפט העליון בשנים הראשונות של המדינה, כאשר הבולטים שבהם היו השופט הרב פרופ' שמחה אסף והשופט ד"ר משה זילברג.
בדור שלאחריהם, הובאו מקורות המשפט העברי על ידי השופט חיים כהן והשופט ד"ר יצחק קיסטר.
מנחם אלון הגיע לשיפוט לאחר שנים של מחקר והוראה אקדמיים שבהם עסק רבות במשפט העברי: הוא חיבר את הספר "משפט עברי" (שלושה כרכים), ייסד את המכון לחקר המשפט העברי ליד הפקולטה למשפטים באוניברסיטה העברית, ועמד שנים רבות בראשו, ואשר "הצמיח" את חוקריו ומוריו של המשפט העברי בימנו.
נשיא בית המשפט העליון, אהרן ברק, כתב בספרו "שופט בחברה דמוקרטית": "נקודת המוצא שלי היא חילונית...
חרף זאת הנני סבור כפי שרבים מהחילונים סבורים וכפי שמשפט המדינה קובע, כי יש מקום למשפט העברי במשפט המדינה וכי מקום זה ילך ויגדל ככל שהידע על דבר המשפט העברי והגישה אליו ילכו ויגדלו".
לעומת זאת, היו שופטים בבית המשפט העליון כמו משה זמורה, אלפרד ויתקון, יואל זוסמן וצבי ברנזון אשר דגלו בגישה שפסקי דין צריכים להיות ממוקדים ולא להכיל אמירות אגב, וראו בדיון בעמדת המשפט העברי אמירת אגב שאין לכוללה בפסקי דין
הנחת יסוד המקובלת בעולם הרבני היא, שכשם שכל יחיד ויחיד מצווה לקיים את חוקי התורה, כך גם החברה היהודית בכללותה מצווה להשתית את אורחות חייה הציבוריים על יסודות משפט התורה.
מכאן, שעל המדינה היהודית הריבונית, לאמץ לה את התורה כבסיס למשפט המדינה, הן מבחינת תכניו המהותיים של דין תורה, והן מבחינת מערכת בית המשפט שאמורה להפעילו.
כאשר יש התנגשות בין שתי מערכות הדינים, ניצב איפוא האזרח היהודי שומר המצוות בפני בעיה קשה, באשר מחד גיסא הוא רואה עצמו נאמן לחוקי התורה, אבל מאידך גיסא הוא רואה עצמו בו בזמן נאמן גם לחוקי המדינה.
קונפליקט זה גלש לסוגיות שמעבר למשפט והוליד מגזרים בישראל, שכל אחד מהם מצדד בעמדה שונה בסוגיות שונות וביניהם הסוגיה שלפנינו.
ההלכה מחייבת יהודי לתבוע את חברו רק בבתי דינים המחויבים למשפטי התורה.
ישנו איסור הלכתי לדון דיני ממונות בבית משפט ישראלי, בדומה לאיסור לדון בפני "ערכאות של עכו"ם" - זאת אף אם פסק הדין יהיה זהה לפסק שייתן בית הדין.
עם זאת, בית דין רשאי להרשות לאדם להגיש תביעה בבית משפט לצורך גביית ממון שבית הדין מצא שהתובע זכאי לקבל לפי דיני התורה, אלא שהנתבע אינו מוכן לדון לפיהם.
באשר לדין הפלילי, פוסקי ההלכה המכירים בסמכות המדינה באופן כללי, לרוב מכירים גם בסמכותה לדון בפלילים מכוח 'משפט המלכות' (דינא דמלכותא דינא).
גם חקיקה אזרחית, כל עוד אינה מתנגשת בהלכה, מקבלת לעיתים קרובות תוקף הלכתי, כי היא הופכת למנהג המדינה, וההנחה היא שהתושבים מקבלים על עצמם לשאת ולתת ביניהם לפיה.
בהקשר של קהילה יהודית נפרדת, מוכר בהלכה גם מושג של "תקנות הקהל" – תקנות נציגי הציבור, שלהם תוקף מחייב, בכפוף לסייגים מסוימים.
על עקרונות אלו אמר השופט מנחם אלון: "ביסוס זה על יסוד משפט המלך ועקרון 'תקנות הקהל', הוא ללא ספק – מבחינת עולמה של ההלכה – הדרך הקלאסית כדי להביא אי פעם בעתיד לאיחוד ושילוב בין המשפט הישראלי והמשפט העברי ההיסטורי".
במתמטיקה, משפט נקודת השבת של בראואר (Brouwer) הוא משפט בטופולוגיה.
זהו אחד ממשפטים רבים הקובעים כי לפונקציה רציפה עם תכונות מסוימות קיימת נקודה כך ש- (כלומר, נקודת שבת).
באופן מדויק, המשפט קובע כי אם היא פונקציה רציפה אז ל- יש נקודת שבת.
הקבוצה היא כדור היחידה הסגור במרחב האוקלידי ה- ממדי, כלומר קבוצת כל הנקודות שמרחקן מראשית הצירים אינו גדול מ־1.
הוכחתו של בראואר למשפט אינה קונסטרוקטיבית, כלומר היא מראה קיום של נקודת שבת, אך אינו מראה דרך למצוא אותה.
ברבות השנים הפך בראואר למייסד האינטואיציוניזם, גישה בפילוסופיה של המתמטיקה שפסלה הוכחות לא בונות דוגמת זו שלו עצמו.
למשפט יש כמה דוגמאות "בעולם האמיתי".
דוגמה אחת ליישום פשוט של המשפט ניתנת בספר "מתמטיקה" מסדרת לייף: לוקחים שני גליונות נייר בגדלים זהים, מקמטים אחד (אך לא קורעים אותו) ומניחים מעל השני כך שאינו חורג מגבולותיו; לפי המשפט יש לפחות נקודה אחת בגיליון המקומט שנמצאת בדיוק מעל הנקודה המקבילה לה בגיליון השני.
זו מסקנה ממשפט בראואר עבור .
דוגמה עבור היא דגם מוקטן של שדה תעופה, בתוך שדה התעופה עצמו (דגמים כאלו ישנם בשדות תעופה רבים בעולם).
הפונקציה שמעבירה נקודות במרחב האמיתי של שדה התעופה למיקום שלהם בדגם היא רציפה ולכן יש לה נקודת שבת המיוצגת בדגם דרך כלל על ידי X ("אתה נמצא כאן").
גרסה כללית יותר של המשפט קובעת שלכל קבוצה קומפקטית וקמורה (ולא ריקה) , ולכל פונקציה רציפה , יש נקודת שבת.
כל התנאים במשפט הם הכרחיים: כדי להראות את הכרחיות הקמירות, ניקח את הקבוצה (קבוצת כל הנקודות על שפת מעגל דו־ממדי שמרכזו בראשית ורדיוסו שווה ל-1), ואז לפונקציה הרציפה אין נקודת שבת ב-.
באופן דומה, כדי להראות את הכרחיות הקומפקטיות, ניקח את הקבוצה ואז לפונקציה הרציפה כך ש- אין נקודת שבת ב-.
בממד אחד, התוצאה אינטואיטיבית וקלה להוכחה.
הפונקציה הרציפה מוגדרת על הקטע הסגור , ולוקחת ערכים מקטע זה אל עצמו.
לומר שלפונקציה יש נקודת שבת בקטע זה, היא כמו לומר שיש לה נקודת חיתוך עם הגרף של הפונקציה המוגדרת באותו קטע.
אם למשל נסתכל על הקטע , נוכל להסתכל על הדוגמה של הגרף הנתון, כאשר f היא הפונקציה בשחור ו-g בירוק.
באופן אינטואיטיבי, כל קו רציף מצדו השמאלי של הריבוע לצידו הימני חייב להחתך עם הגרף הירוק.
גם ההוכחה הפורמלית במקרה זה איננה מסובכת.
תהא פונקציה רציפה מהקטע הסגור לעצמו.
לכן, ע"פ משפט ערך הביניים, קיימת נקודה כך ש- ולכן .
את המקרה הדו־ממדי נוכיח על הקבוצה שהיא המשולש המלא.
ניתן לראות בקלות כי קבוצה זו מקיימת את תנאי המשפט.
מספיק להוכיח שמשפט תקף לקבוצה זו כיוון שבינה לבין כל קבוצה אחרת שמקיימת את תנאי המשפט, ניתן למצוא פונקציה רציפה שגם ההופכית שלה היא רציפה.
לכן, מהרכבת פונקציות רציפות, נקבל שלכל פונקציה רציפה תהיה נקודת שבת גם על הקבוצה החדשה.
נחלק את המשולש למשולשים שגודלם ועבור כל קודקוד של כל משולש בחלוקה, נסמן בחץ את הכיוון בו נמצאת הנקודה שאליה הפונקציה תעביר את אותו קודקוד.
נשים לב שכיוון ש- רציפה על קבוצה קומפקטית, היא רציפה במידה שווה ולכן המרחק שאליו ימופה הקודקוד, תלוי רק ב- ולא במיקום של אותו קודקוד במשולש.
מרציפות הפונקציה נובע שמשולש ששלושת קודקודיו צבועים בצבעים שונים חייב להכיל נקודה שהפונקציה מעבירה לתוך אותו משולש, ובפרט, נקודה שהפונקציה מעתיקה למרחק קטן או שווה ל-.
אם נבחר סדרה השואפת ל-0 של ערכי , נקבל סדרה אינסופית של נקודות כאלו.
מהקומפקטיות נובע שלסדרה זו יש נקודת הצטברות, ונקודה זו היא נקודת שבת של הפונקציה.
בעצם, עשינו פה רדוקציה של הבעיה ללמה של שפרנר.
לכן, בהינתן למה זו, הצלחנו למצוא נקודת שבת של במשולש.
נתון סימפלקס סגור נסמנו ונתונה פונקציה רציפה .
יש להראות שקיימת נקודה כך ש-.
נציג את בקואורדינטות הבריצנטריות ; המקדמים כולם חיוביים, ומתקיים .
כיוון ש- רציפה וההתאמה בין נקודות הסימפלקס לבין הקואורדינטות הבריצנטריות גם היא רציפה, ההצגה הזו מגדירה את כפונקציות רציפות של המשתנים , שהן חיוביות וסכומן 1 בתחום שבו המשתנים חיוביים וסכומם 1.
כעת נגדיר עבור () את הקבוצות , שהן קבוצות סגורות.
() נקודה על אחת השפות, כלומר , ולכן .
כיוון שמדובר בערכים אי שליליים, קיים לפחות מקום אחד שעבורו , ואז .
מכאן יוצא שהקבוצות מקיימות את תנאי הלמה של קנסטר-קורטובסקי-מזורקביץ', ולכן קיימת נקודה .
פירוש הדבר ש- מקיימת לכל ש-.
ולכן בהכרח לכל מתקיים ש-
כלומר היא נקודת שבת של .
בין כל המשפטים הדנים בנקודות שבת, משפט זה ידוע במיוחד, שכן השתמשו בו בתחומים רבים במתמטיקה.
בתחומו, משפט זה מהווה את אחד ממשפטי המפתח המאפיינים מרחבים אוקלידיים, יחד עם משפט העקומה של ז'ורדן, משפט הכדור השעיר ומשפט בורסוק-אולם.
דבר זה מקנה לו מקום במשפטים היסודיים בטופולוגיה.
שימוש חשוב של המשפט בתורת המשחקים הוא להוכחת משפט נאש, המבטיח שבכל משחק מרובה משתתפים, קיים שיווי משקל נאש, אם מרשים שימוש באסטרטגיות מעורבות.
למשפט אף שימושים בתורת המשחקים הקומבינטורית ויש לו קשר הדוק למשחק הקס: דייוויד גייל הראה כי משפט נקודת השבת של בראואר שקול לקיומה של אסטרטגיה מנצחת בהקס (כלומר שהמשחק אינו יכול להסתיים בתיקו).
משפט ערך הביניים אומר כי כאשר פונקציה ממשית רציפה מקבלת שני ערכים שונים, היא תקבל כל ערך שביניהם.
המשפט מספק ביסוס פורמלי לתכונה האינטואיטיבית של פונקציות רציפות כפונקציות ש"ניתן לצייר אותן מבלי להרים את העיפרון מהדף".
עוד קודם ההוכחה הפורמלית למשפט ערך הביניים נעשה שימוש בתכונת ערך הביניים, וסיימון סטאבין אף הוכיח את קיום התכונה עבור פולינומים.
לפני ההגדרה הפורמלית של רציפות, היו שעשו שימוש בתכונת ערך הביניים כדי להגדיר אותה, אולם ברנרד בולצאנו (בשנת 1817) ואוגוסטן לואי קושי (בשנת 1821) הבינו שכדי לנסח את משפט ערך הביניים באופן מדויק יש להגדיר רציפות באופן המוכר לנו כיום.
תהי פונקציה ממשית רציפה בקטע סגור .
יהי מספר ממשי בין ל- (כלומר או ).
ניסוח שקול: תהי פונקציה רציפה בקטע הסגור , ויהי מספר ממשי שנמצא בין ל-.
אזי למשוואה יש פתרון .
קיים ניסוח שקול למשפט ערך הביניים, המשתמש במונחים שקל יותר להכליל אותם למרחב טופולוגי כללי : תהי פונקציה רציפה המוגדרת על קטע סגור .
אז התמונה של הקטע תחת הפונקציה היא בעצמה קטע.
נניח ללא הגבלת הכלליות ש- (ההוכחה למקרה זהה).
אנו רוצים למצוא מספר כך ש- עבור .
נגדיר את הקבוצה הבאה: .
זוהי קבוצה לא ריקה (כי ) וחסומה (על ידי ), מכאן שיש לה חסם עליון, על פי אקסיומת החסם העליון של המספרים הממשיים.
נסמן חסם עליון זה , וכעת נוכיח כי .
לשם כך נפריך את שתי הטענות הבאות: ו-.
נניח בשלילה כי , אז , ולכן, מרציפות נובע שקיים כך שלכל מתקיים , כלומר .
אבל מאחר ש- הוא חסם עליון של , בכל סביבה שלו יש איבר מתוך , ובפרט קיים כך ש-, אבל זו סתירה, כי מהגדרת נובע ש-.
נניח בשלילה כי , אז ולכן קיים כך שלכל מתקיים , כלומר .
כלומר, מצאנו איבר שעבורו , בסתירה להיות חסם עליון.
מאחר ששללנו את האפשרויות , בהכרח , כמבוקש.
אפשר להציע הוכחה שונה למשפט, הנסמכת על אלגוריתם שיטת החצייה במקום על אקסיומת החסם העליון:
עלינו למצוא מספר כך ש- עבור .
נתבונן בקטע , ונסמן את נקודת האמצע .
אם סיימנו, אחרת נניח ללא הגבלת הכלליות כי , ונסמן .
נמשיך באופן אינדוקטיבי, כך שלכל הגדרנו כבר את הקטע , ונסמן את נקודת האמצע .
קיבלנו סדרה של קטעים המקיימת את התכונות הבאות:
שתי התכונות הראשונות נובעות ישירות מדרך בניית הקטעים.
כדי להיווכח בשלישית נשים לב שמכיוון שאורכו של כל קטע הוא חצי מאורכו של הקטע הקודם לו, הרי שהנוסחה הכללית לאורכם של הקטעים היא עבור הקטע ה- , וזו סדרה ששואפת לאפס.
אם כן, מתקיימים כל תנאי הלמה של קנטור ולכן קיימת יחידה כך שלכל , .
לפי הגדרת הסדרה, לכל , .
נתון כי היא פונקציה רציפה וגם ולכן לפי הגדרת הרציפות של היינה .
אזי לפי כלל הסנדוויץ' כנדרש.
הטענה כי "אם לכל מספר ממשי קיים המקיים , אז רציפה", אינה נכונה.
דוגמה נגדית למשפט היא הפונקציה שמקיימת את התנאי אך היא אינה רציפה בנקודה (שם מגדירים ).
דוגמה נגדית חזקה יותר, בה הפונקציה אינה רציפה באף נקודה, היא פונקציית בסיס 13 של קונוויי.
אומרים שמרחב טופולוגי ניחן בתכונת ערך הביניים אם לכל פונקציה רציפה , לכל ולכל בין ל-, קיים כך ש-.
או בנוסח אחר, לכל רציפה, הוא קטע.
זוהי תכונה טופולוגית, היא נשמרת תחת הומיאומורפיזם.
משפט ערך הביניים אומר שכל קטע הוא מרחב עם תכונת ערך הביניים.
מרחב ניחן בתכונת ערך הביניים אם ורק אם הוא מרחב קשיר - מרחב שאינו איחוד זר של שתי קבוצות פתוחות לא ריקות (אינטואיטיבית, זהו מרחב העשוי מ"חתיכה אחת").
אם מרחב אינו קשיר, אז ניתן להציגו כאיחוד זר של קבוצות פתוחות לא ריקות ו-, ואז הפונקציה
היא רציפה וסותרת את תכונת ערך הביניים.
בכיוון השני, אם מרחב הוא קשיר, תמונתו קשירה (כי אם קבוצות פתוחות וזרות שאיחודן , הן קבוצות פתוחות וזרות שאיחודן ).
וקבוצה קשירה ב- היא תמיד קטע.
למשל קבוצת המספרים הרציונליים אינה קשירה, וקיימות בה פונקציות רציפות שאינן מקיימות את תכונת ערך הביניים, כפי שמעידה לדוגמה הפונקציה הרציפה על הרציונליים:
משפט נקודת השבת של בנך הוא משפט חשוב באנליזה מתמטית ובתאוריה של מרחבים מטריים.
הוא נותן תנאי מספיק לקיומה של נקודת שבת עבור פונקציות מסוימות, וכן מספק דרך קונסטרוקטיבית למצוא נקודה זו באמצעות הפעלה חוזרת ונשנית של הפונקציה.
המשפט נקרא על שמו של סטפן בנך, שניסח אותו לראשונה בשנת 1922.
אם הוא מרחב מטרי שלם והפונקציה היא העתקה מכווצת (כלומר, קיים מספר כך שהיא מקיימת לכל ), אז קיימת נקודת שבת אחת ויחידה (זוהי נקודה המקיימת ).
למשל במקרה ש- הוא הישר הממשי נקבל שאם קיים קבוע כך שלכל ו- ממשיים מתקיים , אז למשוואה יש פתרון אחד ויחיד.
יתר על כן, נקודה זו יכולה להימצא באופן הבא: אם היא נקודה כלשהי במרחב ונגדיר סדרה על ידי הפעלות חוזרות ונשנות של בצורה הבאה: עבור , אז סדרה זו מתכנסת אל .
המרחק בין נקודות עוקבות בסדרה קטן בקצב גאומטרי ולכן זו היא סדרת קושי וגבולה הוא הנקודה המבוקשת.
ניתן להעריך את קצב ההתכנסות באמצעות אי השוויון הבא:
לפי תכונת הכיווץ מתקיים .
בעבור גדול מספיק ולכל ,נקבל ש- קטן כרצוננו, ולכן היא סדרת קושי.
מכיוון שהמרחב שלם, כל סדרת קושי מתכנסת.
הסתמכנו על הרציפות במידה שווה של שנובעת מתכונת הכיווץ.
נוכיח את יחידות נקודת השבת.
מכיוון ש- נקבל שבהכרח , ולכן .
לדוגמה: נסמן , (אוסף המספרים הרציונליים בקטע ).
אזי ההעתקה היא העתקה מכווצת מ- לעצמו, אך אין לה נקודת שבת ב-, שכן הפתרונות ל- בין המספרים הממשיים הם , ואלו אינם שייכים ל-.
במרחב מטרי קומפקטי, אפשר להחליף את הדרישה לכיווץ "במידה שווה" () בדרישה החלשה יותר , ועדיין מובטח קיומה של נקודת שבת.
ניתן להוכיח זאת באמצעות הגדרת הפונקציה .
פונקציה זו רציפה, ומהיותה רציפה על קטע קומפקטי היא מקבלת מינימום עבור כלשהי במרחב הקומפקטי.
ניתן להראות כי ערך מינימלי זה הוא 0, ועל-כן היא נקודת שבת.
היחידות נובעת מהיותה של הפונקציה מכווצת.
במרחב מטרי כללי טענה זו אינה נכונה; לדוגמה, הפונקציה המוגדרת על ידי , כאשר , מקיימת את אי-השוויון , אך אין לה נקודת שבת ב-.
המשפט משמש להוכחת משפט הקיום והיחידות למשוואות דיפרנציאליות ולהוכחת משפט הפונקציה ההפוכה.
המשפט גם שימושי מאוד באנליזה נומרית, להוכחה קונסטרוקטיבית של קיום נק' שבת של פונקציות איטרטיביות, וכך משיגים קירובים נומריים לשורשים של משוואות.
במכניקה קוונטית ובתורת השדות הקוונטית, משפט הספין-סטטיסטיקה מייחס התנהגות סטטיסטית מסוימת לחלקיקים בהתאם לספין שלהם.
במכניקה קוונטית לא יחסותית, הספין הוא דרגת חופש פנימית של חלקיק שמתנהגת כמו תנע זוויתי קוונטי ויוצרת מומנט מגנטי עצמי של החלקיק.
לכל החלקיקים יש ספין שהוא מספר שלם או חצי שלם (מספר שלם ועוד חצי).
החלקיקים במכניקה הקוונטית בלתי ניתנים להבחנה - במערכת בה יש מספר חלקיקים מאותו סוג (לדוגמה שני אלקטרונים) אי אפשר להבחין בין המצב בו חלקיק אחד נמצא במצב מסוים וחלקיק שני במצב אחר למצב ההפוך בו החלקיק הראשון נמצא במצב השני והחלקיק השני במצב הראשון.
משפט הספין-סטטיסטיקה הוא תצפית אמפירית לפיה חלקיקים בעלי ספין שלם יהיו תמיד סימטריים תחת החלפה של החלקיקים, כלומר פונקציית הגל שלהם לא תשתנה אם מבוצעת החלפה כזו, ומצבים בעלי ספין חצי שלם יהיו אנטי-סימטריים כלומר פונקציית הגל שלהם תקבל סימן שלילי לאחר החלפה כזו.
שני מקרים אלו מכונים בהתאמה בוזונים ופרמיונים.
פרמיונים נוהגים לפי עקרון האיסור של פאולי, בעוד שבוזונים חופשיים מעיקרון זה.
מצב קוונטי נתון יכול להיות מאוכלס על ידי פרמיון אחד לכל היותר, אך אין הגבלה על מספר הבוזונים שיכולים לאכלס מצב קוונטי.
השאלה האם החלקיקים הם בוזונים או פרמיונים משפיעה על הסיכוי למצוא מספר חלקיקים מסוים במצב מסוים במערכת שצמודה לאמבט טמפרטורות.
חלקיקים בלתי ניתנים להבחנה שמתנהגים כמו בוזונים מצייתים להתפלגות בוז-איינשטיין וחלקיקים שמתנהגים כמו פרמיונים מצייתים להתפלגות פרמי-דיראק.
בתורת השדות הקוונטית, חלקיקים נוצרים באמצעות הפעלה של אופרטור יצירה ונהרסים באמצעות אופרטור הריסה.
הספין של החלקיק היא תגית בעלת משמעות פיזיקלית.
משפט הספין-סטטיסטיקה בתיאור הזה ניתן להוכחה בהסתמך על מספר הנחות, והוא קובע שעבור חלקיקים בעלי ספין שלם האופרטורים מקיימים יחסי קומוטציה וחלקיקים בעלי ספין חצי שלם מקיימים יחסי אנטי קומוטציה.
המשמעות של המשפט בתורת השדות הקוונטים זהה למשמעות במכניקה קוונטית לא יחסותית - חלקיקים עם ספין חצי הם פרמיונים ומקיימים את עקרון האיסור של פאולי; חלקיקים עם ספין שלם הם בוזונים שהחלפה ביניהם לא משנה את פונקציית הגל והם לא מקיימים את עקרון האיסור.
אבני היסוד של החומר, כגון פרוטונים, נייטרונים, ואלקטרונים הם פרמיונים.
הכוחות בין חלקיקים אלו נישאים על ידי הבוזונים השונים: פוטונים, בוזוני W ו-Z, וגלואונים.
בסוף המאה ה-19 פיטר זימן ביצע מדידות של ספקטרום אטום המימן בנוכחות שדה מגנטי.
הוא גילה שקווי הפליטה מתפצלים בנוכחות שדה מגנטי.
גילוי זה רמז על כך שלגורמים באטום המימן יש שדה מגנטי, שמתקשר לתנע זוויתי, ושערך השדה המגנטי מקבל ערכים קוונטיים.
בתחילת המאה ה-20 התפתחה תורת הקוונטים, מודל האטום של בוהר הסביר למה לאטום המימן יש קווי פליטה שמקבלים ערכים בדידים.
מודל זומרפלד שהוצג ב-1913 הראה שלרמות האנרגיה המעורערות של אטום המימן יהיה תנע זוויתי שונה מאפס.
התיאורי הסבירה היטב את אפקט זימן באטום המימן, אולם עבור אטומים אחרים כמו אבץ ונתרן, קווי הפליטה פוצלו לשש או לארבע רמות, כאשר מודל זומרפלד חזה פיצול לשלוש רמות.
האפקט הלא מוסבר זכה לשם אפקט זימן האנומלי, והסבר שלו היה אתגר משמעותי בתיאוריה הקוונטית בשנות ה-20 של המאה ה-20.
ב-1922 ביצע וולטר גרלך את ניסוי שטרן-גרלך, הוא שיגר אטומי כסף דרך שדה מגנטי קבוע.
אם לאטומי הכסף היה מומנט מגנטי קלאסי, הם היו מתפזרים באופן רציף.
בניסוי התגלה שחצי מהאטומים מוסטים על ידי השדה לכיוון אחד, וחצי לכיוון ההפוך.
בכך התגלה שהתנע הזוויתי של אטומי הכסף, שקובע את המומנט המגנטי שלהם, מקבל ערכים קוונטיים בדידים.
תיאור זה התאים לתחזית של מודל זומרפלד.
ב-1927 בוצע ניסוי דומה לניסוי שטרן-גרלך עם אטומי מימן במצב היסוד שלהם.
גם במקרה זה נתגלה פיצול לשני ערכי תנע זוויתי.
התחזית לאטום המימן, כפי שתואר על ידי מודל זומרפלד או משוואת שרדינגר שהוצגה ב-1926, הייתה שרמת היסוד כוללת ערך עצמי אחד חסר תנע זוויתי ולכן האלומה לא הייתה צריכה להתפצל.
הפיצולים הלא מוסברים ברמות הפליטה, הביאו את וולפגנג פאולי להציג ב-1924 את ההסבר לפיו לאלקטרון ישנם שני מצבים אפשריים שאין להם מקבילה במכניקה הקלאסית.
ב-1925 הציעו ג'ורג' אולנבק וסמואל חאודסמיט את האפשרות שהמצבים האלה תלויים בסיבוב העצמי של האלקטרון סביב עצמו.
הסבר זה נדחה מיד מאחר שכדי לייצר ערך תנע זוויתי כפי שנצפה בניסוי, האלקטרון (הקטן מאוד) היה צריך להסתובב כל כך מהר עד כדי כך שהשפה שלו חייבת לזוז מהר יותר ממהירות האור.
למרות שפאולי התנגד בהתחלה לרעיון לפיו המצבים האפשריים של האלקטרון קשורים לתנע-זוויתי, הוא החל לקבל את הרעיון בעיקר בעקבות גילויו של לוולין תומאס, לפיו פער לא מוסבר במבנה הדק של אטום המימן, מגיע מנקיפה יחסותית של המצב העצמי של האלקטרון.
נקיפה זו נקראת נקיפת תומאס.
ב-1927 פאולי פרסם את תאוריית הספין שלו.
הוא תיאר את המצבים הפנימיים של האלקטרון כמתארים משהו דומה לתנע-זוויתי, והציג את מטריצות פאולי שמתארות את המצבים האפשריים של הספין, ואיך הם מתקשרים אחד לשני ביחס למדידות בכיוונים שונים.
על אף שהספין מתנהג באופן דומה לתנע זוויתי הוא עדיין מושג קוונטי לחלוטין שאין לו מקבילה קלאסית.
ב-1928 פרסם פול דיראק את התיאוריה היחסותית של האלקטרון, הספין של האלקטרון הוא חלק מהותי שמופיע באופן טבעי בתיאוריה, ומתנהג בהתאם למודל של פאולי בגבול הלא יחסותי.
אחד ההתפתחויות הראשונות שהביאה לתורת הקוונטים בתחילת המאה ה-20 היה המודל של קרינת גוף שחור שהוצג על ידי מקס פלאנק ב-1900. פלאנק הכריז שגוף שחור פולט קרינה ביחידות בדידות; כשהאנרגיה של כל פליטה גדלה עם התדירות של הקרינה.
המודל של פלאנק תיאר את הקרינה הנפלטת, והוסבר על ידי אלברט איינשטיין שהציג את הפוטון ב-1905 כשתיאר את האפקט הפוטואלקטרי.
עם התפתחות תורת הקוונטים וההסבר לרמות הפליטה האפשריות התגלה שכמות הפוטונים הנפלטת בכל רמת אנרגיה לא מתאימה להתפלגות מקסוול-בולצמן שהיא ההתפלגות שמתארת את הסיכוי למצוא חלקיק ברמת אנרגיה מסוימת בטמפרטורה נתונה.
הפיתוח שנעשה כדי לקבל את התפלגות מקסוול-בולצמן מניח שאם יש שני חלקיקים שלא משפיעים אחד על השני, וכל אחד מהם יכול להיות באחד משני מצבים אז הסיכוי שהם יהיו בשנים מצבים שונים הוא חצי.
זאת מכיוון שהחלקיק הראשון יכול להיות במצב אחד והחלקיק השני במצב שני או שהחלקיק הראשון נמצא במצב השני והחלקיק השני במצב הראשון; הסיכוי ששני החלקיקים יהיו במצב הראשון הוא רבע, והסיכוי ששניהם יהיו במצב השני הוא רבע.
ב-1924 הציע נאת בוז את ההצעה הרדיקלית הבאה: עבור חלקיקים קוונטים - אם יש שני חלקיקים שכל אחד מהם יכול להיות באחד משני מצבים בסיכוי שווה אז הסיכוי לגלות את שני החלקיקים במצבים שונים הוא שליש, כמו הסיכוי לגלות את שניהם במצב הראשון והסיכוי לגלות את שניהם במצב השני.