tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לדוגמה, כאשר אדם מביע כעס כלפי אדם אחר, יוכל האחר לבחור אם הוא רואה זאת כהבעת כעס ישירות כלפיו או הבעת כעס באופן כללי, שאינה קשורה למשהו שהוא עשה.
ההבדל בין שני המקרים הוא שבפרשנות הראשונה האדם ירגיש מאוים ולכן ישיב בכעס, ובפרשנות האחרת ייתכן ויעלה צורך לחזק את האחר, אשר יוביל להבעת רגשות של חמלה, אכפתיות או דאגה.
מחד גיסא, תגובה חיובית כלפי האחר תאפשר לתהליך אפר"ת שלו להתבצע בחלק החיובי של הרגשות, וגם תגובתו תהיה בהתאם; תגובה חיובית שלו תאפשר תהליך אפר"ת חיובי; וכך הלאה.
כך נוצרת אווירה נעימה המאפשרת הקשבה, שיתוף פעולה, התחשבות האחד בשני, אווירה שתבטיח הצלחה במשימות משותפות.
מאידך גיסא, כאשר יש תגובה שלילית, תהליך אפר"ת עלול להעצים אותה ועלולה להיווצר ספירלה של הידרדרות להתנהגות לא הולמת, אשר אינה מועילה ליחסים בין אישיים.
מחקרים הראו שספירלה זאת אף גורמת נזק, למשל במקומות עבודה.
בשני המקרים מתבצעת הדבקה רגשית פרימיטיבית (סמויה).
באופן טבעי, עדיף לבחור בספירלה החיובית, לה יתרונות משמעותיים, כמעט בכל תחום בו קיימות אינטראקציות בין אישיות.
בסטטיסטיקה, מודל הוא תיאור מתמטי של תהליך הסתברותי שממנו התקבל מדגם, המגלם בתוכו אוסף של הנחות לגבי התהליך.
במקרים רבים, המודל הסטטיסטי מייצג את התהליך שייצר את הנתונים במידה ניכרת של הפשטה.
המודל הסטטיסטי מורכב ממשפחה של התפלגויות הסתברות התואמות להנחות המגולמות בו, מתוך הנחה שלפחות חלק מההתפלגויות דומות מספיק להתפלגות שממנה נדגמו הנתונים.
התפלגויות ההסתברות הכרוכות במודלים סטטיסטיים הן מה שמבדיל בין מודלים סטטיסטיים לבין מודלים מתמטיים אחרים, שאינם סטטיסטיים.
המודל הסטטיסטי מוגדר בדרך כלל על ידי משוואות מתמטיות שמעורב בהם משתנה מקרי אחד או יותר ואולי גם משתנים שאינם מקריים.
מתוך כך אומרים לפעמים כי המודל הסטטיסטי הוא "ייצוג פורמלי של תאוריה"
מודל סטטיסטי עומד בבסיסה של כל בדיקת השערות וכל אמידה סטטיסטית.
באופן כללי יותר, מודלים סטטיסטיים הם אחד מיסודותיה של ההסקה הסטטיסטית.
באופן פורמלי, מקובל להגדיר מודל כזוג הסדור , כאשר הוא מרחב כל התצפיות האפשריות (או: מרחב הנתונים), ו- הוא אוסף התפלגויות הסתברות על .
בהקשרים מסוימים, עשויים לוותר על הציון המפורש של , וקוראים מודל סטטיסטי לאוסף .
ניתן להבין הגדרה זו, תחת ההנחה שיש התפלגות הסתברות "אמיתית" המשויכת לתהליך שיצר את הנתונים שהתקבלו.
במקרה זה, מסמנים ב- קבוצה (של התפלגויות) אשר מכילה התפלגות שהיא קירוב מספיק טוב של ההתפלגות האמיתית.
לא חייבת בהכרח להכיל את ההתפלגות האמיתית, ובפועל היא מכילה אותה רק לעיתים נדירות.
אכן, כפי שטענו ברנהם ואנדרסון, "מודל הוא הפשטה או קירוב של המציאות, ולכן איננו משקף את כלל המציאות" – ומכאן מגיעה גם האמרה: "כל המודלים שגויים".
לקבוצה כמעט תמיד יש פרמטר סטטיסטי שמשמש לה כאינדקס: .
הקבוצה מגדירה את הפרמטרים האפשריים של המודל.
בדרך כלל, דורשים מהפרמטריזציה של שתהיה חד-חד-ערכית: כל זוג פרמטרים השונים זה מזה מהווים אינדקס להתפלגויות שונות.
במקרה כזה אומרים שהמודל ניתן לזיהוי.
נניח אוכלוסייה של תלמידי בית ספר, כך שגילם של הילדים באוכלוסייה מתפלג באופן אחיד.
גובהו של כל ילד קשור באופן סטוכסטי לגילו: למשל, אם ילד הוא בן 7, זה משפיע על הסיכוי של הגובה שלו להיות מטר וחצי.
ניתן להציג את מערכת היחסים הזו בצורת מודל רגרסיה ליניארית, למשל:
כאשר הוא גובהו של התלמיד ה-, הוא גילו, הוא החיתוך של קו הרגרסיה עם הציר האנכי (הקו ), הוא פרמטר שיש להכפיל בו את הגיל כדי לקבל תחזית לגובה, ו- הוא איבר שגיאה.
המודל מניח שניתן לנבא את גובהו של תלמיד על ידי גילו, עד כדי שגיאה כלשהי.
מודל קביל חייב להיות עקבי עם כל הנתונים.
לפיכך, הקו ישר () לא יכול להיות המשוואה עבור מודל הנתונים, כי הוא אינו מתאים בדיוק לכל הנתונים – התאמה תתקיים רק אם כל הנתונים נמצאים בדיוק על הקו.
לכן, כדי שהמודל יהיה תואם לכל הנתונים, משוואת המודל כוללת גם איבר שגיאה .
כדי לבצע הסקה סטטיסטית, יש קודם כל להניח לאיזו משפחה של התפלגויות הסתברות שייך איבר השגיאה .
למשל, ניתן (ולפעמים מקובל) להניח כי הם משתנים מקריים נורמליים שווי-התפלגות בלתי-תלויים (לשם הקיצור: ש"ה ב"ת), בעלי תוחלת 0. במקרה זה, למודל יש 3 פרמטרים: , , והשונות של ההתפלגות הנורמלית ().
ניתן להגדיר את המודל באופן רשמי בצורה כדלקמן: מרחב הנתונים של המודל, , הוא קבוצת כל הזוגות (גיל, גובה) האפשריים.
כל ערך אפשרי של קובע התפלגות על ; נסמן את התפלגות זו ב-.
אם היא קבוצת כל הערכים האפשריים של , אז .
קל לבדוק שפרמטריזציה כזו היא ניתנת לזיהוי.
המודל נקבע על ידי: (א) קביעה של , (ב) קביעת כמה הנחות רלוונטיות עבור .
בדוגמה לעיל, מניחים כי ניתן לקרב את הגובה כפונקציה ליניארית של הגיל וכי השגיאות של הקירוב מתפלגות נורמלית והן בלתי-תלויות.
הנחות אלו מספיקות כדי לקבוע את , כנדרש.
נניח מודל סטטיסטי ונסמן .
נאמר כי המודל הוא פרמטרי אם הממד של סופי.
באופן פורמלי, מסמנים , כאשר k הוא מספר חיובי ( מציין את שדה המספרים הממשיים; באופן עקרוני, ניתן להשתמש גם בקבוצות אחרות במקומו).
כאן, k נקרא הממד של המודל.
למשל, אם נניח כי הנתונים מגיעים מהתפלגות גאוסית חד־ממדית, אז אנו מניחים כי
בדוגמה זו, הממד k שווה ל-2.
כדוגמה נוספת, נניח כי הנתונים הם אוסף של נקודות (x, y), אנחנו מניחים שההתפלגות שלהם מתוארת על ידי קו ישר עם סטיות נורמליות שוות-התפלגות בלתי-תלויות (עם תוחלת אפס).
במקרה כזה, הממד של המודל הסטטיסטי הוא 3: נקודת החיתוך של הקו, השיפוע של הקו, והשונות של הסטיות.
אם הממד של אינו סופי, אומרים שהמודל הוא לא-פרמטרי או א-פרמטרי.
למשל, במודל שמניח שלנתונים יש צפיפות הסתברות רציפה על קטע , אז היא קבוצת כל הפונקציות הרציפות על הקטע (), שהיא בעלת ממד אינסופי.
כל פונקציה של המדגם שאינה תלויה בפרמטר נקראת סטטיסטי.
אומרים שסטטיסטי הוא מספיק, אם ההתפלגות המותנית של הנתונים בסטטיסטי היא קבועה ביחס לפרמטרים של המודל.
אינטואיטיבית, סטטיסטי הוא מספיק עבור מודל, אם הערך של הסטטיסטי מכיל את כל המידע לגבי ההתפלגות שממנה נלקח המדגם.
מודלים רבים ניתן לכתוב בצורה
ובכלל זה, מודלים שמבוססים על הרבה התפלגויות "מפורסמות", כמו ההתפלגות הנורמלית והתפלגות פואסון.
מודל שמטרתו לזהות יחס בין קבוצת משתנים ("מסבירים") למשתנה אחר ("מוסבר") נקרא מודל רגרסיה.
לרגרסיה צורות רבות, אבל הנפוצה והמפורסמת מביניהן היא רגרסיה ליניארית , שמניחה שהמשתנה המוסבר הוא פונקציה ליניארית של המשתנים המסבירים.
מודל IS/LM הוא מודל שמטרתו לסכם את עיקרי התאוריה המאקרו-כלכלית הקיינסיאנית בתוך התאוריה של הכלכלה הנאו-קלאסית.
המודל פותח לראשונה על ידי ג'ון היקס ועל ידי אבלין הנסן בשנת 1937 כדי לנסות לשלב את רעיונותיו של ג'ון מיינרד קיינס יחד עם התיאור הנאו-קלאסי את שוק העבודה והסחורות.
המודל נולד בכינוס כלכלי שנערך באוקספורד בשנת 1936. רוי הרוד, ג'ון היקס וג'יימס מיד הציגו מאמרים שתיארו מודלים מתמטיים שניסו לסכם את הספר של קיינס "התאוריה הכללית של תעסוקה, ריבית וכסף".
היקס, שראה טיוטה של מאמרו של הרוד, פיתח את מודל ה-IS-LM.
מאוחר יותר הוא פרסם את המודל במאמר בשם "מר קיינס והקלאסיים: אינטרפטציה מוצעת" (Econometrica, April 1937).
מאוחר יותר הסכים היקס כי המודל פספס כמה נקודות חשובות בתאוריה של קיינס.
הבעיה הייתה שהמודל מציג את הסקטור הריאלי (מפעלים העוסקים בייצור סחורות) והמוניטרי כנפרדים, דבר שקיינס ניסה להתעלות מעליו.
בנוסף מודל ה-IS-LM הוא מודל של שיווי משקל המתעלם מאי וודאות.
תזוזה בעקומת IS או LM תגרום לשינוי בציפיות, דבר שיזיז גם את העקומה השנייה.
לפיכך יצר היקס מודל היקס-הנסן IS/LM חדש, שניסה לפתור כמה מהבעיות, ונחשב קירוב ראשון להבנה של העולם האמיתי.
מודל IS-LM מוצג בדרך כלל כשתי עקומות הנחתכות בתוך גרף דו־ממדי.
הציר האופקי של הגרף מייצג את התוצר המקומי הגולמי (תמ"ג) של משק כלשהו, במונחים ריאליים (כמויות של סחורות), והוא מיוצג באות Y.
הציר האנכי מייצג את שיעור הריבית במשק במונחים נומינליים (כספיים), והוא מיוצג על ידי האות i (ריבית- Interest).
בתוך גרף זה נחתכים שני קווים (ישרים) ברביע הראשון (כלומר החיובי) של הגרף - קווים אלה הן עקומות IS ו-LM.
עקומת ה-IS מצוירת כעקום יורד (כאשר מסתכלים עליו משמאל לימין).
במונחים היסטוריים, עקומת ה-IS יכולה לייצג נקודת שיווי משקל שבה ההשקעה הפרטית הכוללת, שווה לסך החיסכון.
סך החיסכון הוא חסכון הצרכנים, יחד עם חסכון הממשלה (עודפי תקציב), יחד עם השקעות זרות (עודפי סחר).
בכל מקרה, בשיווי משקל, כל ההוצאות הן דבר רצוי או מתוכנן - אין צבירה לא רצונית.
רמת התמ"ג נקבעת לאורך עקומה זו, עבור כל רמה של ריבית.
עקומת IS היא לכן אוסף של נקודות שיווי משקל בכלכלה ה"ריאלית".
בהינתן ציפיות לגבי שיעורי החזר על השקעה, כל רמה של שער הריבית (i) תיצור רמה מסוימת של השקעה קבועה מתוכננת, וכן הוצאות אחרות שמושפעות משער הריבית.
שער ריבית נמוך יותר יעודד שיעור גדול של השקעות קבועות (בציוד, מכונות וכו').
ההכנסה היא בשיווי משקל לאותה רמת ריבית כאשר החיסכון של הצרכנים שווה להשקעה (או באופן כללי יותר, כאשר היציאות מהמודל של הזרימה המעגלית, שוות לכניסות אליו).
בשער ריבית נתון, יש צורך ברמת הכנסה גבוהה יותר כדי להפיק רמה גבוהה יותר של חסכון.
צורת הצגה אחרת היא שהשפעת המכפיל של עלייה בהשקעה הקבועה מעלה את התמ"ג.
מודל IS-LM מניח שקיים קשר בין ירידה בשיעורי הריבית לעליה בשיעורי ההשקעה בהון קבוע, וכי קיים קשר בין העלייה בשיעורי ההשקעה לבין עליה בתוצר ובהכנסה.
עקומת LM היא עקומה עולה (כאשר מסתכלים משמאל לימין) שאמורה לתאר את התפקוד של כסף ושל מימון במאקרו-כלכלה.
ראשי התיבות LM מייצגות "שיווי משקל של נזילות העדפה והיצע כסף" ("Liquidity preference/Money supply equilibrium") אבל קל יותר להבין אותם כשיווי משקל בין הביקוש לכסף (כנכס וכמכשיר לביצוע עסקאות כספיות בחיי היומיום), לבין היצע הכסף על ידי בנקים ועל ידי הבנק המרכזי (במדינת ישראל, בנק ישראל).
לאורך עקום זה, רמת הריבית נקבעת לכל רמה נתונה של תמ"ג ריאלי.
הרחבה אחת של מודל ה-IS/LM היא מודל מנדל-פלמינג (Mundell-Fleming model).
בעוד שמודל ה-IS/LM הוא מודל של משק אוטרקי (ללא יבוא ויצוא), מודל מנדל-פלמינג הוא מודל שמנסה לתאר מקרו כלכלה של משק כלכלי קטן שמבצע מסחר חופשי עם שאר מדינות העולם.
מודל XL היא תוכנית מציאות אוקראינית-רוסית המשודרת באוקראינה (מאז אוקטובר 2017) וברוסיה (מאז פברואר 2020) בהנחייתם ובשיפוטם של אנדריי טאן, טטיאנה מצקביץ', קטיה אוסאדצ'ה, ולדיסלב יאמה, יקטרינה סקולקינה ואנפיסה צ'כובה.
חרף מלחמת האזרחים באוקראינה והיחסים המתוחים בין אוקראינה לרוסיה, התוכנית הופקה בשיתוף פעולה בין ערוצי הטלוויזיה של שתי המדינות והתכנית משודרת בערוץ יו הרוסי ובערוץ 1+1 האוקראיני.
התוכנית מגייסת נשים גדולות לתחרויות יופי ומבטיחה לזוכה מביניהן חוזה דוגמנות עם הסוכנות הגדולה למידות גדולות במזרח אירופה ונועדה לעודד דימוי גוף חיובי בנוגע לנשים כבדות משקל.
שופטיםעונה 1(2017) 2(2018) יקטרינה אוסאדצ'ה מנחה ולדיסלב יאמהשופט טטיאנה מצקביץ' שופטת אנדריי טאןשופט בוגדן יוסיפצ'וק שופט
שופטיםעונה 1(2020) 2(2020) אנפיסה צ'כובה מנחה ולדיסלב יאמה שופט יקטרינה סקולקינה שופטת ניקולאי אובצ'קין שופט ולנטין סאפין שופט
שם עונה מריה פאבליוק 1 נטליה פטריק 2
שם עונה ילנה טרחינה 1 ניקה אברמוב 2
מודל דביי פותח על ידי הפיזיקאי והכימאי פטר דביי בשנת 1912. המודל פותח על מנת להעריך את קיבול החום כתלות בטמפרטורה במוצקים.
המודל מהווה תיקון למודל המוצק של איינשטיין בכך שהוא מצליח לקבל בטמפרטורות נמוכות כי קיבול החום פרופורציוני ל- ובנוסף לקבל כי עבור טמפרטורות גבוהות קיבול החום הוא כאשר הוא הטמפרטורה, הוא מספר המולוקולות במוצק ו- הוא קבוע בולצמן.
עקב מספר הנחות פשטניות במודל מקבלים חוסר דיוק עבור טמפרטורות שאינן גבוהות או נמוכות מאוד.
הרעיון שעומד בבסיס הפיתוח של המודל הוא התייחסות לתנודות המולקולות שבמוצק כאל גלים עם אנרגיה מקוונטטת - פונונים.
לגלים אלו יש שלוש דרגות חופש: שתי דרגות חופש של תנודות רוחביות ודרגת חופש אחת של תנודות אורכיות.
האנרגיה שתורמים כלל הפונונים בעלי תדירות היא: כאשר הוא פונקציית האכלוס של פלאנק, המתאר את מספר הפונונים בעלי תדירות ו- .
אם כן, האנרגיה הכוללת במוצק היא: כאשר s מייצג את המצבים המיקרוסקופיים השונים האפשריים במוצק.
יחס נפיצה ליניארי: כאשר מניחים שמהירות הקול בחומר אינה תלויה אם מדובר בתנודות אורכיות או רוחביות, בקיטוב בכיוון התקדמות הגל או בגודל של וקטור הגל .
עבור מוצק עם מולקולות יש מצבים אפשריים מאחר שלכל פונון יש שלוש דרגות חופש (שתיים של התנודות הרוחביות ואחת של תנודה אורכית).
מציאת תדירות הקטעון - תדירות דביי:
תדירות הקיטעון היא התדירות המקסימלית האפשרית במוצק נתון.
תדירות זו מתקבלת מתוך ההנחה שיש מספר סופי של תנודות אפשריות מאחר שלמוצק יש מימד סופי ולכן מספר סופי של מולקולות.
ניתן לחשב ולמצוא את תדירות הקטעון באופן הבא:
מניחים כי תנאי השפה של הבעיה לא משפיעים הרבה על פתרון הבעיה ולכן ניתן להניח כי המוצק הוא קובייה בעל נפח ואורך כל אחת מצלעותיו כך ש- .
פתרון משוואת הגלים עם תנאי שפה של קובייה תלת־ממדית ( - פונקציית הגל צריכה להתאפס על צלעות הקוביה) נותנת את מספרי הגל כאשר n הוא מספר טבעי.
מספר המצבים האפשריים = כאשר הפקטור 3 נובע משלוש דרגות החופש שיש לתנודות בחומר.
מניחים כי ניתן לקרב את הסכום על לאינטגרל תלת־ממדי על באופן הבא: .
(האינטגרל הוא אינטגרל בקואורדינטות כדוריות כאשר התחום הרלוונטי הוא האזור בו x>0 ,y>0 ,z>0. כלומר, מתעניינים רק בשמינית מהמרחב ולכן החלוקה ב-8).
מיחס הנפיצה מקבלים את תדירות הקיטעון: .
חישוב קיבול החום מתוך האנרגיה הכוללת:
כפי שצוין בתחילת הפיתוח, האנגיה הכוללת ניתנת לחישוב באופן הבא: כאשר הסכום הומר מלהיות סכום על המצבים המיקרוסקופיים s ללהיות סכום על n.
מאחר שמתעניינים בחישוב קיבול החום ניתן להתעלם מהתרומה של האיבר לסכום מאחר שאיבר זה אינו תלוי בטמפרטורה.
בנוסף, מקרבים את הסכום על לאינטגרל באותו אופן שנעשה לחישוב תדירות הקיטעון ומקבלים: .
מחליפים את משתנה האינטגרציה למשתנה חסר ממדים (חסר יחידות) - , ומקבלים:
מהאנרגיה הכוללת ניתן לחשב את קיבול החום על ידי ביצוע נגזרת חלקית לפי הטמפרטורה: .
מהגודל מגדירים את טמפרטורת דביי: .
לגודל זה יחידות טמפרטורה ולכן מגדיר סקלת טמפרטורה למערכת.
ניתן להסתכל על טמפרטורות ביחס לטמפרטורת דביי, בהתאם ליחס זה נקבעת הפיזיקה של המערכת.
כלומר עבור טמפרטורות נמוכות ביחס לטמפרטורת דביי המוצק יהיה במצב שונה בהשוואה לטמפרטורות גבוהות ביחס לטמפרטורת דביי.
בין היתר, השוני בא לידי ביטוי בקיבול החום.
קיבול החום בגבול של טמפרטורות גבוהות
עבור טמפרטורות גבוהות, כלומר: .
במקרה זה בחישוב האנרגיה הכוללת ניתן להשתמש בטור טיילור של אקספוננט עד לסדר ראשון: , כך שמתקבל האינטגרל הבא:
מכאן שקיבול החום בטמפרטורות גבוהות הוא: .
תוצאה זו עולה בקנה אחד עם התוצאה שקיבל איינשטיין ועם מדידות שערכו במעבדה.
קיבול החום בגבול של טמפרטורות נמוכות
עבור טמפרטורות נמוכות, כלומר: .
במקרה זה בחישוב האנרגיה הכוללת ניתן לקרב את האינטגרל ללהיות אינטגרל מאפס עד אינסוף, כך ש- .
אם כן, האנרגיה הכוללת עבור טמפרטורות נמוכות היא .
מכאן שקיבול החום בטמפרטורות נמוכות הוא: .
תוצאה זו מראה כי עבור טמפרטורות נמוכות קיבול החום הולך כמו הטמפרטורה בשלישית, תוצאה שעולה בקנה אחד עם מדידות שנערכו במעבדה.
מצליח לקבל את קיבול החום הנמדד בטמפרטורות גבוהות - ובטמפרטורות נמוכות - .
השימוש ביחס נפיצה ליניארי: , עבור ערכים גדולים של .
הבעיה היא כי עבור ערכים גבוהים של יחס הנפיצה אינו ליניארי.
המודל אינו מדויק עבור אף חומר.
מודל דביי לא מתאר טוב את קיבול החום במתכות.
מודל דביי נותן הסבר לאיבר שהולך כמו , אך אינו מסביר את האיבר עם התלות הליניארית בטמפרטורה.
הרכיב הליניארי הזה נובע מקיבול החום של האלקטרונים, שרק בטמפרטורות נמוכות מאוד הוא אינו זניח.
בפיזיקה, מודל גינזבורג-לנדאו, הקרוי על שמם של ויטאלי גינזבורג ולב לנדאו הוא מודל מתמטי-פיזיקלי, המתאר מוליכות על.
במקור מודל זה ניסה לתאר מוליכי על מן הסוג הראשון מבלי לבחון את תכונותיהם המיקרוסקופיות, אך מאוחר יותר, תוך שימוש במודלים מיקרוסקופיים, ניתנה פרשנות מיקרוסקופית לכלל הפרמטרים המופיעים במודל.
בהתבסס על תורת לנדאו, במודל גינזבורג-לנדאו טוענים כי האנרגיה החופשית של מוליך על במעבר מן הפאזה מוליכת העל לפאזה הנורמלית ניתנת לפיתוח כטור חזקות בפרמטר סדר.
במקרה זה פרמטר הסדר אותו נסמן ב־ מרוכב וקשור לצפיפות האלקטרונים מוליכי העל, שאינם נתונים להתנגדות והקיימים רק בפאזה מוליכת העל (כלומר שווה ל־0 בפאזה הנורמלית – כיאה לפרמטר סדר).
תלוי גם במרחב והוא למעשה פונקציית גל של הבוזונים הנמצאים בזרם מוליך העל כפי שמסבירה תאוריית BCS.
הבחירה בפרמטר סדר שכזה נובעת מכך שתופעת הולכת העל היא תופעה קוונטית מאקרוסקופית.
רושמים את האנרגיה החופשית כטור חזקות בפרמטר הסדר:
• האנרגיה החופשית של המערכת בפאזה הנורמלית
• פרמטר שסימנו תלוי בטמפרטורה.
• השדה המגנטי המקיים .
הביטוי מתייחס לאנרגיה הקינטית של החלקיקים הקוונטיים ולאינטראקציית השדה המגנטי עמם והביטוי לוקח בחשבון את האנרגיה האגורה בשדה המגנטי הנוצר על ידי זרמים הנוצרים על שפת מוליך העל והדוחים שדה מגנטי חיצוני, דבר הידוע כאפקט מייסנר.
לאחר פיתוח האנרגיה החופשית לטור חזקות גוזרים אותה לפי פרמטר הסדר ולפי הפוטנציאל הווקטורי ומשווים ל-0 על-מנת לקבל את גדלים אלו במצב של שיווי משקל תרמודינמי (מצב שיווי משקל תרמודינמי מתקבל כאשר האנרגיה החופשית מינימלית).
תוך שימוש בכיול קולון בו מתקיים
הצורה הכללית ביותר עבור היא שמשקף כי , צפיפות האלקטרונים מוליכי העל בחומר.
הצבת בצורתה זו במשוואת לנדאו גינזבורג השנייה נותנת
מהפעלת הרוטור על שני אגפי המשוואה מקבלים
במרכזו של חומר אחיד, יהיה קבוע ולכן
משימוש במשוואות מקסוול מגיעים ל-
כאשר נקרא עומק החדירה ומתאר כמה עמוק יכול שדה מגנטי לחדור אל תוך מוליך העל.
אפשר להסתכל על מקרה בו לא מופעל שדה מגנטי חיצוני ומוליך העל אחיד בתכונותיו ובצורתו.
האנרגיה החופשית של לנדאו במקרה זה תתואר על ידי
גזירה של האנרגיה החופשית לפי פרמטר הסדר והשוואה ל-0 תוביל לשני פתרונות אפשריים:
לשם פשטות נניח כי כאשר הטמפרטורה הקריטית.
הביטוי מחליף סימן כאשר עוברים דרך הטמפרטורה הקריטית.
שלילי ונקבל כי הנורמה שווה למספר שלילי, דבר שאינו ייתכן ולכן נשאר עם המאפיין את הפאזה הנורמלית.
חיובי ונותן את המינימום הגלובלי של האנרגיה החופשית בעוד ש מחזיר מקסימום מקומי של האנרגיה החופשית ולכן נקבל פרמטר סדר שונה מאפס, כלומר נהיה בפאזה מוליכת העל.
אפשר לראות כי ככל שמתקרבים לטמפרטורה הקריטית פרמטר הסדר שואף ל-0 בצורה רציפה, באופן האופייני למעברי פאזה מסדר שני.
כעת ניתן לבחון פתרונות במקרה של מוליך על שאינו אחיד ללא שדה מגנטי חיצוני, מינימיזציה של האנרגיה החופשית תוביל למשוואה
אפשר לאמר כי הפתרונות קרובים לאלו המתקבלים במקרה האחיד, כלומר כאשר .
מזניחים סדרים גבוהים מ-1 של ומקבלים כי
כאשר נקרא אורך הקוהרנציה, גודל נוסף בתורה זו המאפיין מוליכי על יחד עם עומק החדירה.
אורך הקוהרנציה מאפיין את הסטיות משיווי משקל כפונקציה של המרחק ושולט בכמה מהר מגיע לערכו המרכזי כאשר עוברים מאזור הנמצא בפאזה הנורמלית לאזור בחומר הנמצא בפאזה מוליכת העל.
באמצעות שני הפרמטרים הללו אפשר להגדיר פרמטר חדש, פרמטר גינזבורג-לנדאו .
לנדאו הציע כי מוליכי על מסוג ראשון יאופיינו על ידי ומוליכי על מסוג שני יאופיינו על ידי .
מוליכי על מסוג ראשון ושני
תורת גינזבורג-לנדאו מאפשרת לנו ללמוד על ההבדלים בין מוליכי על מסוג ראשון ושני יותר לעומק.
נחזור לביטוי הראשוני עבור האנרגיה החופשית של לנדאו
נשים לב לכך שככל ש-, עומק החדירה, גדול יותר, כך יחדור השדה המגנטי עמוק יותר אל תוך מוליך העל, דבר שיגדיל בהתאם את ויוסיף תרומה חיובית לאנרגיה החופשית.
ככל ש- יהיה גדול יותר, כך נקבל צפיפות אלקטרונים מוליכי על קטנה יותר והתרומה השלילית ל- תהיה קטנה יותר.
נסתכל על חומר שחלקו מצוי בפאזה העל מוליכה וחלקו בפאזה הנורמלית.
עבור חומר בו מתקיים , לאזור מסוים בתווך בין החומר בפאזה הנורמלית לחומר בפאזה מוליכת העל תהיה אנרגיה חופשית חיובית בהינתן כי צפיפות האלקטרונים מוליכי העל בו קטנה וקיים שדה מגנטי שחודר לתוכו.
במקרה שכזה הגדלת התווך בין הפאזות אינה עדיפה תרמודינמית וקוונטות שטף מגנטי המאפיינות מוליכי על מן הסוג השני לא יהיו קיימות.
מכאן שמדובר במוליך על מסוג ראשון.
עבור חומר בו מתקיים , יכולה להיות שכבה בקרבת התווך בה האנרגיה החופשית שלילית.
ולכן, נקבל חדירה לא רציפה של שטף מגנטי אל תוך מוליך העל.
ככל שמגדילים את השדה המגנטי כך מקבלים כי השטף המגנטי יחדור את החומר בנקודות נוספות, עד אשר נגיע לשדה מגנטי - שדה קריטי 2, עבורו החדירה תהיה למעשה רציפה והחומר עבר מן הפאזה מוליכת העל לפאזה הנורמלית.
מדובר כאן במוליך על מסוג שני.
מודל גַלִיוּת או מודל גליות עולמי (EGM – Earth Gravitational Model) הוא אוסף של מודלים המתארים את הגיאואיד של כדור הארץ.
כלומר הפרש הגבהים (undulation) בין גובה אליפסואיד ייחוס לגיאואיד (גובה פני הים).
מודל גליות משמש בקרטוגרפיה, גאודזיה וניווט.
המודלים הנפוצים הוגדרו על ידי הסוכנות הלאומית למודיעין חזותי וגאוגרפי של ארצות הברית וזמינים בשתי צורות:
סדרה של מקדמים מספריים עבור פונקציות הרמוניות ספריות אשר באמצעותן ניתן לקבל ביטוי מתמטי ולחשב את הגובה.
ככל שמספר המקדמים גבוה יותר ניתן להשיג דיוק ברזולוציה גבוהה יותר.
המודל נבדלים בכמות המעלות והסדר של המקדמים ההרמונים.
המעלות, המסומנות ב-n, מתארות את גודל ההרמוניה.
מספר גדול מאפשר שינויים בסקלה קטנה יותר של שדה הכבידה.
והסדר, המסומן ב-m, מתאר את צורת ההרמוניה ואת הכמות האפשרית של נקודות המקסימום והמינימום בפונקציה.
טבלת נתונים המגדירים את גובה הגיאואיד עבור כל קואורדינטה גאוגרפית.
הפרש הגבהים המרבי בין מודלי הגאואיד למודל הייחוס האלופסיאיד הוא בין 106- ועד 85+ מטר.
ברבות השנים פורסמו מספר מודלים שנבדלים ברמת המורכבות וברמות הדיוק:
EGM84 – פורסם בשנת 1984 ואינו נמצא עוד בשימוש.
במודל זה n=m=180 כאשר n מעלות ו-m סדר המקדמים ההרמונים.
EGM96 – פורסם בשנת 1996 ופותח בשיתוף פעולה של הסוכנות הלאומית למודיעין חזותי וגאוגרפי ומרכז טיסות החלל גודרד הפועל תחת נאס"א.
במודל זה n=m=360 כאשר n מעלות ו-m סדר המקדמים ההרמונים.
המודל מספק מידע ברזולוציה של 15 דקות קשת, שזה בקירוב 27 ק"מ.
EGM2008 או EGM08 – פורסם בשנת 2008. במודל זה n=m=2160 כאשר n מעלות ו-m סדר המקדמים ההרמונים.
המודל מספק מידע ברזולוציה של 2.5 דקות קשת, שזה בקירוב 4.4 ק"מ.
ההבדל בינו לבין מודל EGM96 במקומות מסוימים הוא כמטרים בודדים ומגיע להפרש מקסימלי של 10 מטרים.
פתרון ניווט GPS מתקבל במערכת צירי WGS84 כך שפתרון הגובה הוא מעל אליפסואיד.
על מנת לקבל ערך מעל גובה פני הים נדרש לעשות שימוש במודל גליות.
מודל גנרטיבי או מודל מחולל, הוא סוג של מודל ממוחשב המסוגל לספק תוכן, כמו טקסט, תמונות או אודיו, באופן אוטונומי.
המודלים הגנרטיביים לומדים ממאגר נתוני אימון גדול, ואז יוצרים תוצאות המבוססות על הדפוסים וההקשרים שלמדו.
מודלים גנרטיביים לטקסט (כמו GPT) מאומנים על מאגר עצום של טקסטים, והם מסוגלים לייצר טקסט הנשמע טבעי ומתאים להקשר.
מודלים גנרטיביים לתמונות (כמו Midjourney) מאומנים על אוסף גדול מאוד של תמונות עם תיאורים טקסטואליים, והם מסוגלים ליצור תמונות על פי תיאור טקסטואלי.
מודלים גנרטיביים לאודיו (כמו ) לומדים ומאומנים על קטעי קול, והם מסוגלים לדבר בקולות עליהם אומנו.
היתרון הגדול של מודלים גנרטיביים הוא היכולת לייצר תוכן והיכולת לספק אותו באופן מגוון באיכות גבוהה.
האתגר המרכזי הוא לוודא שהתוצאות יהיו מדויקות, אמינות ובטוחות לשימוש.
בסיווג סטטיסטי יש שתי גישות עיקריות:
גישה גנרטיבית (Generative) - המנסה לדמות את התהליך שיצר את הנתונים.
לדוגמה, אם הנתונים הם תמונות של בעלי חיים, המודל הגנרטיבי ינסה ללמוד כיצד נוצרות תמונות של בעלי חיים ואז לייצר תמונות חדשות הנראות כמו תמונות אמיתיות של בעלי חיים.
גישה מפלה (Discriminative) - מנסה ישירות למצוא קשר בין הנתונים לתוויות, ללא ניסיון לדמות את התהליך שיצר אותם.
לדוגמה, המודל ינסה למצוא קשרים בין פיקסלים בתמונה לבין התווית "חתול" או "כלב" מבלי לנסות לדמות כיצד נוצרות תמונות של חיות.
הגישה הגנרטיבית טובה יותר כאשר יש הרבה נתונים זמינים ורוצים ליצור תוכן חדש.
הגישה המפלה טובה יותר למטרות סיווג וחיזוי.
מודל גנרטיבי מנסה לאמוד את ההתפלגות המשותפת p(x,y) של הנתונים x והתוויות y.
כלומר, מהי ההסתברות לקבל את הנתונים והתווית ביחד.
מיוצג כ:לדוגמה, אם x הוא תמונה ו-y היא התווית "כלב" או "חתול", המודל ינסה לאמוד p(x,y=כלב) ו-p(x,y=חתול).
בשלב הבא המודל משתמש בהתפלגות הזו כדי לייצר נתונים חדשים על ידי דגימה מההתפלגות המשותפת.
מודל מפלה: המודל מנסה ישירות לאמוד את ההתפלגות המותנית p(y|x) - ההסתברות לקבל תווית y עבור נתונים נתונים x.
מיוצג כ: לדוגמה, המודל יאמוד ישירות את ההסתברות p(y=כלב|x) ו-p(y=חתול|x) בלי לנסות לדמות את תהליך יצירת התמונות.
בשלב הבא המודל משתמש בהתפלגות המותנית כדי לסווג נתונים חדשים לתוויות.
כלומר, הגישה הגנרטיבית מנסה לחקות את תהליך יצירת הנתונים, ואילו הגישה המפלה הולכת ישירות מהנתונים לחיזוי התוויות.
המונח "מודל גנרטיבי" משמש גם לתיאור מודלים היוצרים מופעים של משתני פלט באופן שאין לו קשר ברור להתפלגות הסתברות על מדגמים פוטנציאליים של משתני קלט.
רשתות יריבות גנרטיביות הן דוגמאות לסוג זה של מודלים גנרטיביים, ונשפטות בעיקר על פי הדמיון של תפוקות מסוימות לתשומות פוטנציאליות.
ביישומי סיווג, ה-X הנצפה הוא בדרך כלל משתנה רציף, היעד Y הוא בדרך כלל משתנה בדיד המורכב מקבוצה סופית של תוויות, וההסתברות המותנית P(Y|X) ניתן לפרש גם כפונקציית היעד (לא דטרמיניסטית) f: X → Y, בהתחשב ב-X כקלטים וב-Y כפלטים.
בהינתן קבוצה סופית של תוויות, שתי ההגדרות של "מודל ג'נרטיבי" קשורות קשר הדוק.
מודל של ההתפלגות המותנית P(X|Y=y) הוא מודל של התפלגות של כל תווית, ומודל של התפלגות משותפת שווה ערך למודל של התפלגות ערכי התווית P(Y), יחד עם התפלגות התצפיות שקיבלה תווית, P(X|Y); באופן סמלי, P(X,Y) = P(X|Y)P(Y).
לפיכך, בעוד שמודל של התפלגות ההסתברות המשותפת הוא אינפורמטיבי יותר ממודל של התפלגות התווית (אך ללא התדירויות היחסיות שלהם), זהו צעד קטן יחסית, ומכאן שלא תמיד ניתן להבחין ביניהם.
בהינתן מודל של החלוקה המשותפת, P(X,Y), ניתן לחשב את התפלגות המשתנים הבודדים כהתפלגויות השוליות P(X) = ∑y P(X,Y=y) ו-P(Y) = ∫x P(Y,X=x) (צריך להתחשב ב-X כרציף, ומכאן משתלב מעליו, ו-Y כבדיד), וניתן לחשב כל התפלגות מותנית מתוך ההגדרה של הסתברות מותנית: P(X|Y) = P(X,Y)/P(Y) ו-P(Y|X) = P(X,Y)/P(X).
נתון מודל של הסתברות מותנית אחת, והתפלגויות הסתברות משוערות עבור המשתנים X ו-Y, המסומנים P(X) ו-P(Y), ניתן להעריך את ההסתברות המותנית ההפוכה באמצעות כלל בייס:
לדוגמה, נתון מודל ג'נרטיבי עבור P(X|Y), אפשר להעריך:
וניתן מודל מפלה עבור , אפשר להעריך:
שימו לב שהכלל של בייס (חישוב הסתברות מותנית אחת במונחים של האחרת) וההגדרה של הסתברות מותנית (חישוב הסתברות מותנית במונחים של ההתפלגות המשותפת) מתערבבים לעיתים קרובות גם כן.
אלגוריתם מחולל מדגים כיצד נוצרו הנתונים כדי לסווג אות.
היא שואלת את השאלה: בהתבסס על הנחות הדור שלי, איזו קטגוריה צפויה לייצר את האות הזה?
לאלגוריתם מפלה לא אכפת מהאופן שבו הנתונים נוצרו, הוא פשוט מסווג אות נתון.
אז אלגוריתמים מפלים מנסים ללמוד ישירות מהנתונים ולאחר מכן נסה לסווג נתונים.
מצד שני, אלגוריתמים גנרטיביים מנסים ללמוד שאפשר להפוך ל מאוחר יותר כדי לסווג את הנתונים.
אחד היתרונות של אלגוריתמים גנרטיביים הוא שאתה יכול להשתמש בהם ליצור נתונים חדשים הדומים לנתונים קיימים.
מצד שני, הוכח שחלק מהאלגוריתמים המפלים נותנים ביצועים טובים יותר מאלגוריתמים מחוללים במשימות סיווג.
למרות העובדה שמודלים מפלים אינם צריכים ליצור מודל של התפלגות המשתנים הנצפים, הם אינם יכולים לבטא בדרך כלל קשרים מורכבים בין המשתנים הנצפים למשתני היעד.
אבל באופן כללי, הם לא בהכרח מתפקדים טוב יותר ממודלים גנרטיביים במשימות סיווג ורגרסיה.
שני המעמדות נתפסים כמשלימים או כהשקפות שונות של אותו הליך.
עם עליית הלמידה העמוקה, נוצרת משפחה חדשה של שיטות, הנקראות מודלים יצירתיים עמוקים (DGMs),
באמצעות שילוב של מודלים גנרטיביים ורשתות עצביות עמוקות.
עלייה בקנה המידה של הרשתות העצביות מלווה בדרך כלל בהגדלת קנה המידה של נתוני האימון, שניהם נדרשים לביצועים טובים.
DGMs פופולריים כוללים מקודדים אוטומטיים וריאציות (VAEs), רשתות יריבות (GANs) ומודלים אוטומטיים רגרסיביים.
לאחרונה, יש מגמה לבנות מודלים גנרטיביים עמוקים מאוד.
לדוגמה, GPT-3, והמבשר שלו GPT-2, הם מודלים של שפה עצבית אוטומטית רגרסיבית המכילים מיליארדי פרמטרים, BigGAN ו-VQ-VAE המשמשים ליצירת תמונות שיכולות להיות מאות מיליוני פרמטרים, ו-Jukebox הוא מודל מחולל גדול מאוד לאודיו מוזיקלי המכיל מיליארדי פרמטרים.
דגם תערובת גאוס (וסוגים אחרים של מודל תערובת)
רשת בייסיאנית (למשל bayes נאיבי, דגם אוטורגרסיב)
אומדים ממוצעים של תלות אחת
מכונת בולצמן (למשל מכונת בולצמן מוגבלת, רשת אמונה עמוקה)
אם הנתונים הנצפים נדגמים באמת מהמודל הג'נרטיבי, אז התאמת הפרמטרים של המודל הג'נרטיבי כדי למקסם את סבירות הנתונים היא שיטה נפוצה.
עם זאת, מכיוון שרוב המודלים הסטטיסטיים הם רק קירובים להתפלגות האמיתית, אם היישום של המודל הוא להסיק על תת-קבוצה של משתנים המותנים בערכים ידועים של אחרים, אז ניתן לטעון שהקירוב מניח יותר הנחות ממה שצריך כדי לפתור את בעיה בהישג יד.
במקרים כאלה, זה יכול להיות מדויק יותר לדגמן את פונקציות הצפיפות המותנית ישירות באמצעות מודל אבחנה, אם כי פרטים ספציפיים ליישום יכתיבו בסופו של דבר איזו גישה מתאימה ביותר בכל מקרה מסוים.
דגמי מרקוב עם אנטרופיה מרבית
נניח שנתוני הקלט הם , סט התוויות עבור הוא , ויש את 4 נקודות הנתונים הבאות:
עבור הנתונים לעיל, אומדן התפלגות ההסתברות המשותפת מהמדד האמפירי יהיו הדברים הבאים:
מודל TLK (מאנגלית: Terrace-Ledge-Kink) או מודל TSK (מאנגלית: Terrace-Step-Kink) הוא מודל תאורטי המתאר את פני השטח של גבישים, ומשמש לחקר התופעות המתרחשות על פניהם.
המודל פותח בשנות ה-20 של המאה ה-20 על ידי הפיזיקאי הגרמני והכימאי הפיזיקלי יליד בולגריה .
המודל מניח שהאנרגיה של אטום על פני השטח של הגביש קשורה לכמות הקשרים הכימיים בין האטום הזה והאטומים השכנים לו.
לכן, כדי להעריך את האנרגיה הקשורה בשינוי כלשהו בפני השטח של הגביש יש לספור את כמות הקשרים הכימיים שנשברים, ואת הכמות של קשרים שנוצרים במהלך השינוי הזה.
לשם הפשטות נתייחס ל, גביש בעל סריג קובי פשוט (SC, הנקרא גם פרימטיבי, PC), שתא היחידה שלו הוא כמתואר באיור 1 משמאל.
בסך הכל יש בגביש הפשוט הזה 6 שכנים קרובים ביותר לכל אטום נתון, אך אותנו מעניין רק מה קורה מעל פני השטח, שכן סך כל הקשרים הבלתי רוויים () יקבע את .
מעל כל אטום על פני השטח יש 9 קשרים כאלו (איור 1 מימין): אחד לשכן הקרוב ביותר (nearest neighbor - NN, במרחק a), 4 קשרים לשכנים מסדר שני (next nearest neighbor - NNN, במרחק 2√a) ו-4 לשכנים מסדר שלישי ( next next nearest neighbor - NNNN, במרחק 3√a).
התרומה של כל סוג שכנים כזה לאנרגיה החופשית של פני השטח שונה: השכנים מסדר שני תורמים רק כשמינית מהאנרגיה שתורמים השכנים הקרובים ביותר, ואילו אלו מהסדר השלישי – רק כ-1/27 מאלו של השכנים הקרובים ביותר.
לכן ניתן להתייחס, לשם הפשטות, רק לשכנים הקרובים ביותר (NN).
כלומר רק לשכנים המרוחקים מאטום ספציפי במרחק a (הקווים האדומים באיור 1).
במודל TLK (איור 2) מייצגים כל אטום כקוביה בעלת צלע a (ולא ככדור כבאיור 1).
תחת הנחה זו האטום יוצר קשרים עם האטומים השכנים הקרובים ביותר בניצב לפאות הקוביה.
ככל שהוא מוקף יותר שכנים קרובים ביותר כך יהיו לו יותר קשרים, עד למקסימום של שישה קשרים כאלו, כשהוא מוקף בשכנים מכל צדדיו, כלומר כשהוא אטום המצוי בתוך הגביש (אטום צׂבֶר - bulk).
פני השטח במודל TLK מורכבים משלושה אלמנטים גאומטריים, כמוראה באיור 2 עבור פני השטח (100) של המבנה הקובי הפשוט הנדון:
מדרגה (terrace - גם: טרסה, מִדְרַךְ, שֶׁלַח) - החלק השטוח של פני השטח המקבילים למישור הגבישי הראשי (100) באיור 2
שפת המדרגה (ledge או step - גם: מעלה, רום) - הקו בגובה של אטום אחד המפריד בין שתי מדרגות (טרסות) סמוכות
אפשר להתייחס למדרגות כאל פגמים מישוריים (פלנריים) בגביש התלת-ממדי.
שפות המדרגות הם פגמים קוויים על גבי פני השטח הדו-ממדיים.
לבסוף, הבירכיים שנמצאות לאורך המדרגות הן פגמי נקודה על השפות החד-ממדיות של המדרגות.
גרמי מדרגות חייבים להופיע על פני גבישים שפני השטח שלהם מצויים בזווית כלפי מישור גבישי ראשי.
[מישור גבישי ראשי הוא מישור עם אינדקס מילר כמו (100), (110) או (111).] אבל כמות מסוימת של מדרגות תימצא גם על פני השטח של גבישיים אמתיים שפניהם מקבילים, לכאורה, למישור גבישי ראשי.
זוהי תוצאה של שיטת ההכנה של פני השטח.
בנוסף, יעקב איליץ' פרנקל הראה (ב-1945) שבכל טמפרטורה גבוהה מטמפרטורת האפס המוחלט, תהיה גם רמת חספוס מסוימת הנוצרת בגלל היוצרות ברכיים בשפות המדרגות.
בטמפרטורות גבוהות יותר, או בתנאים רחוקים משיווי-משקל תרמודינמי, יש על פני השטח, בנוסף למדרגות, לשפות ולברכיים גם:
אטומים ספוחים (, adatoms), הן בודדים והן צברים (קלסטרים) דו-ממדיים (איים)
פגמי היעדרות של אטומים (advacancies) – שוב, הן בודדים והן צברים דו-ממדיים שלהם.
האדאטומים וההיעדרויות יכולים להימצא הן על פני המדרגות והן לאורך השפות, כמוראה באיור 2.
דוגמה מעשית למרכיבים של פני השטח מוראים בתמונת הדימות ממיקרוסקופ מינהור סורק של פני שטח נקיים של Si (100) (תמונה 1).
התמונה מראה שתי מדרגות על פני השטח (הבהירה היא הגבוהה יותר), שביניהן שפה מרובת ברכיים.
על שתי המדרגות ניתן להבחין בקלסטרים רבים של פגמי היעדרות (השטחים הקטנים הכהים יותר), אך גם כמה צברים של אדטומים (השטחים הקטנים הבהירים יותר מהרקע שסביבם).
השורות הנראות על פני המדרגות (שכיוונן משמאל למעלה כלפי ימין למטה במדרגה העליונה, ובניצב לכיוון זה במדרגה התחתונה) הן הדימרים של Si ב (2x1), האופיינית לפני השטח של Si (100).
מודל TLK מתעלם מרקונסטרוקציה כזו של הקשרים על פני השטח המעשיים של גבישים.
האנרגטיקה של תנועת אטומים על פני השטח לפי מודל TLK
כמות הקשרים הכימיים הפתוחים של אטום על פני השטח של הגביש תלויה באתרו: על הטרסה, במדרגה או בנקודת הברך.
טבלה 1 מפרטת את כמות הקשרים לאטומים השכנים הקרובים ביותר, ואת כמות הקשרים הפתוחים, שיש לאטומים באתרים השונים על פני השטח של גביש קוסל על פי מודל TLK.
+טבלה 1: כמות הקשרים הכימיים לשכנים הקרובים ביותר,
וכמות הקשרים הפתוחים, לפי האטום ואתרוהאטום והאתרכמות קשריםכמות קשרים פתוחיםאדאטום מדרגה (terrace adatom)15אדאטום שפה (ledge adatom)24אדאטום ברך (kink adatom)33אטום שפה (ledge atom)42אטום מדרגה (terrace atom)51אטום צׂבֶר (bulk atom)60
כדי להעביר אטום מאתר לאתר על פני השטח, יש להשקיע אנרגיה בשבירת הקשרים של האטום לשכניו הקרובים ביותר, אך מרוויחים אנרגיה ביצירת הקשרים החדשים.
למשל, לאטום על פני המדרגה יש אנרגיה של קשר קושר אחד .
בהזזת אטום זה אל שפת המדרגה יש לשבור קשר זה, אך בהצטרפותו למדרגה נוצרים שני קשרים חדשים.
לכן בהזזה זו נוצר רווח של קשר אחד.
בצורה דומה, בהזזת אטום משפת המדרגה לנקודת ברך מרוויחים שוב אנרגיה של קשר אחד.
לאתר הקינק חשיבות מיוחדת בהערכת האנרגיות של מגוון תופעות על פני השטח כמו ספיחה, דיפוזיה על פני השטח והמראה (סובלימציה).
אתר זה מכונה גם "עמדת חצי-גביש" ("half-crystal position"), מפני שללא קשר לסוג הסריג של הגביש, האטום בעמדת קינק קשור למחצית ממספר האטומים השכנים שיש לאטום בנפח הגביש.
אנרגיית ההיווצרות של אדאטום - תוך התעלמות מהרפיה (רלקסציה) של פני השטח של הגביש - מחושבת על ידי הפחתת האנרגיה של אדאטום מהאנרגיה של אטום באתר קינק:
כדי לעזוב את אתר הקינק האטום צריך לנתק את שלושת קשריו לגביש , וכדי להסתפח לפני השטח, ולהיהפך לאדאטום, עליו להקשר בקשר אחד לטרסה.
אם אנרגיית הקשר בגביש קוסל היא , אז אנרגיית ההיווצרות של אדאטום תינתן על ידי:
ניתן לחשב בצורה דומה את האנרגיה של מצבים אחרים על פני השטח.
למשל ליצירת זוג של אדאטום והיעדרות (vacancy) על גבי הטרסה.
במקרה זה מוציאים אטום שנמצא בפני הגביש (וקשור בחמישה קשרים לשכניו הקרובים - טבלה 1) וסופחים אותו לפני השטח, כך שהוא קשור רק לשכן אחד (זה שמתחתיו על פני השטח):
אנרגיית הסובלימציה בגביש קוסל היא אנרגיית הקשר () כפול מספר הקשרים לאטום (6, טבלה 1) מחולק במספר האטומים לקשר (2).
זו האנרגיה הנדרשת כדי להסיר אטום מאתר הקינק.
לפיכך, ניתן לתאר את הסובלימציה כהתפרקות פני השטח של הגביש טרסה אחת בכל פעם על ידי הסרת אטומים מהקינקים שבשפת המדרגה.
התלות בטמפרטורה של אכלוס אתר על פני השטח
מספר הפגמים מכל סוג בשיווי משקל (כלומר מספר האטומים בכל סוג של אתר פגם על פני השטח של הגביש) תלוי בטמפרטורה על ידי משוואת ארניוס.
למשל, הקשר בין ריכוז האדאטומים בשיווי משקל על פני השטח לבין הטמפרטורה מתואר על ידי המשוואה הבאה:
כאשר הוא המספר הכולל של אתרי פני השטח ליחידת שטח, הוא קבוע בולצמן ו- הטמפרטורה במעלות קלווין.
ניתן להרחיב ביטוי זה כדי למצוא את ריכוז שיווי המשקל של הסוגים האחרים של הפגמים באתרים על פני השטח.
לשם כך, יש להציב בביטוי הקודם את האנרגיה של הפגם המבוקש במקום האנרגיה של היווצרות אדאטום.
הרחבת המודל לגבישים במבנים שונים
את הרעיון של מודל TLK ניתן להרחיב לגבישים במבנים שונים מהמבנה הקובי הפשוט של גביש קוסל, אבל יש להתחשב בכמות השונה של השכנים שיש לכל אטום במבנים אלו.
טבלה 2 מפרטת את כמות השכנים הקרובים ביותר (NN), השכנים הקרובים מסדר שני (NNN) ומסדר שלישי (NNNN) במספר סוגים של סריגים במערכת הגבישית הקובייתית, וכן את כמות הקשרים הפתוחים לשכנים הקרובים ביותר לאטום בפני השטח.
+טבלה 2: מספר השכנים לאטום צבר ולאטום פני שטח בסריגים גבישים קוביים שוניםסוג הסריג הגבישישכנים קרובים ביותר
לאטום צבר (NN)שכנים מסדר שני
לאטום צבר (NNN)שכנים מסדר שלישי
לאטום צבר (NNN)קשרים פתוחים לשכנים קרובים
על בסיס מודל TLK פיתחו ויליאם , ו את התאוריה הבסיסית של גידול גבישים המוכרת כתיאורית BCF.
במודל TLK ובתיאורית BCF מניחים, לשם הפשטות, שברכיים המזיזות את שפת המדרגה על פני השטח ביחידת סריג אחת שכיחות הרבה יותר מאלו שמזיזות אותה ביותר מיחידת סריג אחת.
קירוב זה "נשבר" כאשר אנרגיית הברך נמוכה (יחסית ל‑kBT - היכן ש-kB הוא קבוע בולצמן, ו-T הטמפרטורה במעלות קלווין), כמו באיור 2 המראה את פני השטח של Si (100).
אפשר לראות שבמקרה זה הברכיים מזיזות, לעיתים, את שפת המדרגה במספר יחידות סריג.
על בסיס האנרגטיקה של כל אתר אטומי במודל TLK חישבו ברטון, קבררה ופרנק את ההסתברות של הפגמים על פני השטח כפונקציה של הטמפרטורה.
הגביש גדל על ידי ההתקדמות של שפות המדרגות כתוצאה מקליטה או פליטה של אדאטומים המפעפעים ומגיעים אליהם.
בניתוח המתמטי שלהם מיוצגים האדאטומים באמצעות ריכוז על פני השטח, המקיים משוואת דיפוזיה.
תנאי השפה במדרגות מסבירים את הפיזיקה של תהליכי ההצטרפות או ההתנתקות שלהם לשפות המדרגות, בעוד שמהירות הזרימה של שפת המדרגה פרופורציונלית לשטף הכולל של האדאטומים המגיעים אל שפתה.
מודל ה spike covariance הוא מודל סטטיסטי המשמש בהקשר של ניתוח נתונים בממד גבוה.
המודל פותח על ידי Iain M.
ובוחן כיצד מספר הערכים עצמיים הגדולים - המכונים "spikes"- במטריצת השונות המשותפת משפיעים על הערכים העצמיים של מטריצת השונות המשותפת של המדגם.
בבעיות מידול רבות נהוג לחשוב שהנתונים מושפעים ממספר רב של גורמים בלתי תלויים וכתוצאה מכך נוצרת מטריצת שונות משותפת בעלת ערכים עצמיים קרובים לאפס המעידים על חוסר תלות של המשתנים האקראים שמרכיבים את הנתונים.
עם זאת, נתונים בפועל כוללים לעיתים קרובות כמה אותות או רכיבים דומיננטיים - אלה הם ה"spikes" שגורמים לערכים עצמיים מסוימים להיות גדולים יותר באופן משמעותי מאחרים.
שאלת המפתח שעליה מבקש מודל ה- spike covariance לענות היא: כיצד משפיעים הערכים העצמיים הגדולים הללו (spikes) על המבנה וההתפלגות של הערכים העצמיים של הדגימה כאשר מדובר בניתוח נתונים בממדים גבוהים.
הבנה זו חיונית למשימות כגון ניתוח רכיבים עיקריים (PCA), קביעת הממד של הנתונים וזיהוי דפוסים או אותות בתוך מערכי נתונים מורכבים.
מטריצת שונות משותפת של האוכלוסייה
בסטטיסטיקה רב משתנית מטריצת השונות המשותפת של האוכלוסייה מתארת את השונות בין משתנים מרובים על פני האוכלוסייה.
בדרך כלל כאשר מספר התצפיות (n) גדול בהרבה ממספר המשתנים (m), מטריצת השונות של המדגם מעריכה בצורה מהימנה את מטריצת השונות המשותפת של האוכלוסייה.
עם זאת כאשר מספר המשתנים מתקרב למספר התצפיות, כלומר היחס בניהם מקיים : , הערכה זו לא אמינה.
מודל ה- spike covariance פותח כדי לחקור תופעה זו על ידי הכנסת ערכים עצמיים גדולים- spikes.
במודל ה- spike covariance מניחים שלמטריצת השונות המשותפת של האוכלוסייה יש ערכים עצמיים גדולים המכונים - spikes.
יתר הערכים העצמיים שווים זה לזה, לרוב מנורמלים ל-1. באופן מתמטי מטריצת השונות המשותפת של האוכלוסייה יכולה להכתב כ:
מטעמי נוחות נוכל להניח ש אלכסונית.
הנחה זו מפשטת את המודל ושומרת על מאפייניו.
ייצוג הנתונים ומטריצת השונות המשותפת של המדגם
במודל ה- spike covariance הדגימות יכולות להיות מוצגות כצירוף ליניארי של אותות הבסיס ורעש.
כל דגימה יכולה להיות מיוצגת באופן הבא:
כאשר מקדמים שנדגמו מהתפלגות נורמלית ו הוא רעש מתוך הההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית .
הסיגנלים הם וקטורים ב - שמייצגים את המבנה הבסיסי בנתונים.
מטריצת הנתונים נוצרת מלקיחת וקטורי הדגימות כעמודות המטריצה:
מטריצת הנתונים ממשמשת לחישוב מטריצת השונות המשותפת של המדגם.
מטריצת השונות המשותפת של המדגם
מטריצת השונות המשותפת של המדגם (באנגלית : sample covariance matrix) היא הערכה אמפירית של מטריצת השונות המשותפת של האוכלוסייה והיא מחושבת באופן הבא:
למטריצה זו תפקיד מרכזי במודל ה- spike covariance שכן הערכים עצמיים והווקטורים העצמיים שלה מספקים תובנות לגבי זיהוי וניתוח הערכים עצמיים הגדולים של מטריצת השונות המשותפת של האוכלוסייה .
נרצה לדעת האם ניתן לזהות את הממד של הסיגנל, r את הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים של מטריצת השונות משותפת של האוכלוסייה מתוך מטריצת השונות המשותפת של המדגם .
ערכים עצמיים של מטריצת השונות המשותפת של המדגם
התפלגות הערכים העצמיים של מטריצת השונות המשותפת של המדגם
בממדים גבוהים כאשר מספר הפרמטרים m ומספר הדגימות n שואפים יחד לאינסוף ומתקיים:
הערכים העצמיים של מטריצת השונות משותפת של המדגם לא בהכרח מתכנסים לאלו של מטריצת השונות משותפת של האוכלוסייה .
נחלק למקרים לפי ממד הסיגנל r:
r = 0 : כאשר אין spikes כלומר היא מטריצת היחידה, הערכים עצמיים של מתפלגים לפי התפלגות התפלגות מרצ'נקו פסטור
r > 0: קיימים ערכים עצמיים גדולים הסוטים מההתפלגות של מרצ'נקו פסטור.
מקרה זה נדון בהרחבה בפרק של מעבר פאזה של ערכים עצמיים.
מעבר פאזה של ערכים עצמיים
במודל ה- spike covariance קיים סף שבו מתרחש מעבר פאזה של הערכים העצמיים של מטריצת השונות משותפת של המדגם .
מעבר הפאזה מתרחש כאשר הערכים העצמיים של מטריצת השונות המשותפת של האוכלוסייה עוברים סף ספציפי שנתון על ידי , כאשר מייצגת את היחס בין מספר המשתנים m לבין מספר הדגימות n.
מעבר הפאזה מציין את הנקודה שבה ההשפעה של הערכים העצמיים הגדולים המכונים- spikes הופכת למשמעותית מספיק כדי לגרום לשינוי בר הבחנה בערך העצמי התואם במטריצת השונות המשותפת של המדגם .
הערכים העצמיים של מטריצת המדגם מתנהגים באופן הבא :
מתחת לסף (): כאשר הערך העצמי של המטריצה הוא בסף או מתחתיו, הערך העצמי התואם לו ב - נשאר עם ההתפלגות המרכזית שמתוארת לפי התפלגות מרצ'נקו פסטור כך שאינו בולט ואינו ניתן להבחנה ושיערוך.
ערך עצמי זה מתכנס כמעט בוודאות ל:
מעל הסף (): כאשר הערך העצמי של המטריצה הוא מעל הסף, הערך העצמי התואם לו במטריצת המדגם חורג מההתפלגות הראשות ומופיע בנפרד כך שניתן להבחין בו בקלות.
הערך העצמי מתכנס כמעט בוודאות ל- .כלומר במקרה זה נקבל ערך עצמי שגדול יותר מערך המקורי.
תוצאה זו מצביעה על כך שהערך העצמי בולט החוצה מההתפלגות וזה משקף גורמים בסיסיים מהותיים בנתונים.
במקרה שמעל הסף (): אם נרצה לקבל משערך חסר הטיה ל נוכל לחלץ אותו באמצעות פתרון משוואה ריבועית מהמקרה הראשון ולקבל:
לסיכום נקבל התכנסות כמעט בוודאות של הערכים בעצמיים של מטריצת המדגם באופן הבא:
מעבר פאזה הוא תכונה מרכזית של המודל שכן הוא מאפשר להבחין בין ערכים עצמיים המשקפים מבנה משמעותי בנתונים ובין אלו שלא.
הדבר חשוב במיוחד בניתוח בממדים גבוהים כגון ניותח רכיבים עיקריים שבו זיהוי הרכיבים המשמעותיים הוא חיוני.
נרצה להבין האם ניתן לחלץ את הסיגנל s עצמו מתוך .
כאשר הערך העצמי גדול מ נוכל לקבל קירוב של s.
נקבל אותו עם זווית לפי הקשר הבא:
כאשר הם הווקטורים העצמיים של .
כלומר לא נתכנס לסיגנל אלא נקבל שיערוך שלו עם זווית זו.
כאשר הערך העצמי קטן מ לא נוכל לקבל מידע רלוונטי על המתאים.
מודל ה spiked covariance הוא כלי יסודי בסטטיסטיקה של ממדים גבוהים ובתורת המטריצות האקראיות, במיוחד עבור ניתוח נתונים שבהם מספר המשתנים גדול בהשוואה למספר התצפיות.
למודל זה יש מגוון רחב של יישומים בתחומים שונים.
ניתוח רכיבים עיקריים (PCA-ראשי תיבות באנגלית של: Principal Components Analysis) היא שיטה נפוצה לצורך מציאת ייצוג מממד נמוך למידע מממד גבוה (תהליך הנקרא הורדת ממד) ולחילוץ תכונות בניתוח נתונים סטטיסטי.
בממדים גבוהים - כאשר מספר המשתנים גדול ביחס למספר התצפיות - PCA הקלאסי מתמודד עם אתגרים בשל הדומיננטיות של הרעש, שיכול לטשטש את המבנה הבסיסי האמיתי של הנתונים.
כדי להתגבר על האתגרים הללו, מודל ה-spike covariance מייצג את מטריצת השונות המשותפת של האוכלוסייה כסכום של מטריצת זהות (אשר מייצגת את הרעש) והפרעה מדרגה נמוכה (ה-"spike").
גישה זו מספקת הבנה מדויקת יותר של האופן שבו הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים של מטריצת השונות המשותפת של המדגם מתנהגים בממדים גבוהים.
היבטים עיקריים של יישום המודל בניתוח רכיבים עיקריים:
ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים: המודל מספק תובנות לגבי ההתפלגות האסימפטוטית של הערכים העצמיים הגדולים ביותר והווקטורים העצמיים התואמים להם של מטריצת השונות המשותפת של המדגם.
תובנות אלו חיוניות להבחנה בין רכיבים עיקריים משמעותיים (אותות) לבין אלו הנובעים מרעש.
קביעת מספר הרכיבים העיקריים: באמצעות ניתוח הספקטרום של הערכים העצמיים במודל הspike covariance, סטטיסטיקאים יכולים לקבוע בצורה מהימנה את המספר האמיתי של הגורמים הבסיסיים או הרכיבים העיקריים בנתונים.
הערכה משופרת: המודל מוביל לפיתוח של אומדנים עקביים הן עבור ערכים עצמיים והן עבור וקטורים עצמיים, מה שמשפר את המהימנות של תוצאות ניתוח רכיבים עיקריים בממדים גבוהים.
הפחתת ממדיות: על ידי זיהוי מדויק של הרכיבים המשמעותיים, המודל מסייע בהפחתת ממדיות יעילה אשר חיונית להדמיה, דחיסת נתונים והפחתת מורכבות חישובית.
תרומות רבות בתחום זה כוללות:
עבודתו של ג'ונסטון (באנגלית :Iain M.
Johnstone) אשר היה חלוץ במחקר הערכים העצמיים הגדולים ב-PCA תחת מודל הsike covariance.
הוא פיתח את ההתפלגות האסימפטוטית של הערך העצמי הגדול ביותר והראה שהוא מתכנס להתפלגות טרייסי-וידום תחת הנחות מסוימות.
הניתוח האסימפטוטי של דביש פול : פול הרחיב את ההבנה של הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים של מטריצת השונות המשותפת של המדגם בממדים גדולים.
עבודתו סיפקה תנאים שבהם הרכיבים העיקריים של מטריצת השונות הצשותפת של המדגם אומדים באופן עקבי את הרכיבים העיקריים של מטריצת השונות המשותפת של האוכלוסה.
עקביות ודלילות- ג'ונסטון ולו חקרו את העקביות והדלילות של PCA בממדים גבוהים.
עבודתם עזרה לשפר את הבהירות והקלות שבה ניתן לפרש את הרכיבים העיקריים.
בתחום עיבוד אותות ותקשורת אלחוטית, מודל ה-spike covariance משמש ככלי מרכזי לזיהוי והערכת אותות הטמונים ברעש בממדים גבוהים.
באמצעות מודל יעיל של קורלציות בין ערוצים, הוא משפר את ניתוח הביצועים במערכות כגון MIMO (תקשורת) .
המודל גם משפר אלגוריתמים לעיצוב אלומה (beamforming) והערכת כיוון הגעה (DOA), מה שמוביל לטכניקות עיבוד אותות מדויקות ויעילות יותר.
בתחום הפיננסים, מודל ה-spike covariance משמש ככלי לשיפור ההערכה של מטריצות שונות משותפת גדולות, שהן חיוניות לאופטימיזציה של תיקי השקעות ולניהול סיכונים.
המודל מאפשר זיהוי מדויק יותר של גורמי שוק מרכזיים המשפיעים על תשואות הנכסים, ובכך תורם להערכת סיכונים מערכתיים באופן יעיל יותר.
באמצעות התייחסות לקוצים במטריצת השונות, ניתן לשפר את הבנת המבנה הפנימי של התנודות בשוק ולהתאים את האסטרטגיות הפיננסיות בהתאם.
בתחום הגנומיקה וביואינפורמטיקה, מודל ה-spiked covariance משמש ככלי חשוב לניתוח נתונים גנטיים בממדים גבוהים, כגון פרופילי ביטוי גנים.
המודל מסייע בזיהוי וריאציות גנטיות משמעותיות ובהבנת מבני אוכלוסייה מורכבים.
בנוסף, הוא משפר שיטות של ניתוח אשכולות וסיווג במחקרים גנומיים, בכך שהוא מאפשר זיהוי מדויק יותר של דפוסים ותתי-קבוצות בתוך הנתונים.
בתחום למידת המכונה, מודל ה-spiked covariance ממלא תפקיד מרכזי בהבנת אלגוריתמים בממדים גבוהים.
המודל מסייע בפיתוח שיטות אשכולות (clustering) אשר מותאמות לממדים גבוהים, על ידי מתן תובנות לגבי המבנה הפנימי של הנתונים.
בנוסף, הוא מאפשר ניתוח מעמיק של בעיות כמו התאמת יתר (overfitting) ויכולת הכללה (generalization) של מודלים, ובכך משפר את הביצועים והאמינות של אלגוריתמים בלמידת מכונה.
מודל בלוקים סטוכסטי (Stochastic block model) הוא שם כולל למשפחת מודלים סטוכסטיים שפותחה לראשונה בשנת 1983 על ידי פול ו.
מודלים אלו משמשים לניתוח רשתות ולתיאור מבנה רשתות על ידי חלוקתן לבלוקים או קהילות, בהם בדרך כלל ההסתברות להימצאות קשתות בין צמתים בתוך אותה קהילה גבוהה יותר בהשוואה לקשתות בין צמתים מקהילות שונות.
באמצעות מודלים אלו, ניתן לחקור מבנים מתמטיים וסטטיסטיים של רשתות מורכבות, לזהות דפוסים סמויים בנתוני רשתות, ולספק כלים חשובים בתחומים כמו סטטיסטיקה, למידת מכונה ומדע הרשתות.
מודלים אלו משמשים כמדד ראשוני ליכולת לנתח ולשחזר מבנה קהילות בגרפים.
מודל בלוקים סטוכסטי עבור גרפים מקריים לא מכוונים מוגדר על ידי הפרמטרים הבאים:
מציין את מספר הצמתים בגרף.
הוא וקטור הסתברויות מעל הקבוצות כאשר הוא מספר הקהילות בגרף.
מטריצת הסתברויות הקהילות מתארת את ההסתברויות לקיומה של קשת בין כל שתי קהילות.
במילים אחרות, ההסתברות לקיומה של קשת בין צומת מקהילה לקהילה היא .
בהינתן זוג , שבו הוא גרף ו- הוא וקטור.
נאמר שהזוג נדגם מתוך , אם מתקיימים התנאים הבאים:
הוא וקטור ממדי, כאשר כל אחת מהכניסות שלו מכילה ערכים מעל , ומתפלגת באופן זהה ובלתי תלוי בשאר הכניסות, בהתאם לווקטור ההסתברויות .
הגרף מכיל צמתים, כאשר ההסתברות לקיומה של קשת בין הצומת ה- לצומת ה- היא , וההסתברויות עבור כל זוג צמתים הן בלתי תלויות.
קהילות בגרף יוגדרו באופן הבא: עבור כל
כאשר מטריצת ההסתברויות היא קבועה, כלומר לכל זוג , מדובר במקרה פרטי של מודל הבלוקים הסטוכסטי הידוע כמודל ארדש-רני .
במודל זה, קיומן של קהילות אינו משמעותי, שכן ההסתברות שכל צומת יתחבר לכל צומת אחר היא תמיד זהה.
כאשר במטריצת ההסתברויות ערכי האלכסון קבועים ושווים ל- והערכים מחוץ לאלכסון קבועים שווים ל- , אזי ההסתברות לקיומה של קשת בין צמתים בתוך אותה קהילה שווה ל-, ואילו ההסתברות לקיומה של קשת בין קהילות שונות שווה ל-.
במקרה שבו , המודל מכונה מודל אסורטטיבי ; במקרה ההפוך, שבו , המודל נקרא מודל דיסאסורטטיבי.
מודל שבו עבור כל מכונה מודל אסורטטיבי חזק, כלומר כל ערכי האלכסון גדולים יותר מכל הערכים שמחוץ לאלכסון.
מודל שבו עבור כל מכונה מודל אסורטטיבי חלש, שבו כל ערך באלכסון דומיננטי יותר מכל הערכים באותה השורה והעמודה שלו בלבד.
עבור אלגוריתמים מסוימים, רלקסציות אלו מאפשרות לתהליך גילוי הקהילות להיות קל יותר.
רוב המחקר בתחום האלגוריתמיקה לזיהוי קהילות בגרפים מקריים מתמקד בשלוש בעיות סטטיסטיות עיקריות: זיהוי (detection), שחזור חלקי של המבנה הקהילתי, ושחזור מלא של הגרף.
השימוש במודל הבלוקים הסטוכסטי כבסיס להתפלגות הגרף המקרי מאפשר להגדיר ולהוכיח אלגוריתמים רבים לפתרון בעיות אלו.
בנוסף, מודל זה מאפשר קביעת חסמים שונים על היכולת לזהות קהילות ולבצע שחזור מדויק של המבנה הקהילתי.
הבעיה הראשונה היא זיהוי, שבו המטרה היא לקבוע האם לגרף נתון יש מבנה סמוי של קהילות (latent community structure), או באופן שקול, האם הגרף נדגם מאיזשהי התפלגות פריורית מעל מודל בלוקים סטוכסטי (Stochastic Block Model), או האם הוא נדגם מעל מודל ארדש-רני .
אלגוריתמי שחזור חלקי נועדו למצוא קירוב לחלוקה הסמויה (latent partition) של הגרף לקהילות, כך שהקירוב יהיה בעל קורלציה גבוהה עם החלוקה האמיתית לקהילות.
המשמעות היא שהקירוב צריך להיות טוב יותר מניחוש אקראי מבחינה סטטיסטית.
המטרה של אלגוריתמי שחזור מלא היא לשחזר באופן מדויק את ההתפלגות הסמויה לקהילות, כך שכל צומת בגרף משויך באופן נכון לקהילה שלו.
בשחזור מלא, גודל הקהילות ומטריצות ההסתברויות של הקהילות יכולות להיות ידועות או לא ידועות, מה שמשפיע על המורכבות של הבעיה.
מספר אלגוריתמים פותחו כדי לזהות קהילות במודלים של בלוקים סטוכסטיים (SBMs), או הותאמו כדי לפתור בעיות כאלו, כאשר כל אחד מנצל טכניקות מתמטיות שונות.
סיווג ספקטרלי משתמש בווקטורים העצמיים של מטריצת השכנויות או ה- של הגרף כדי לזהות קהילות.
מקסום , שמיושם לרוב באמצעות אלגוריתם , ממקסם פונקציית מודולריות שמשווה את הצפיפות של קצוות הקהילות לגרפים אקראיים.
מעדכנת באופן איטרטיבי את הסבירות של צמתים להשתייך לקהילות ספציפיות על ידי העברת הודעות בין צמתים שכנים.
היא גישה הסתברותית מתחפלת, בה נעריך את הקשר של הצמתים לקהילות על פי המידע הנתון (מידע חלקי), לבין מקסום הסבירות של הגרף הנצפה תחת ה-SBM.
שיטות מבוססות Likelihood, כגון נראות מקסימלית
, מעריכות את שיוך הקהילות על ידי אופטימיזציה של הסבירות או ההסתברות הבייסיאנית של ה-SBM.
לבסוף, שיטות מבוססות למידת עמוקה (), כגון רשתות (Graph Neural Networks - GNNs), הלומדות embeddings של צמתים דרך ארכיטקטורות המותאמות לנתוני גרפים, מה שמאפשר גילוי קהילות גמיש וניתן להרחבה במודלים מורכבים ורועשים.
אלגוריתמים אלו מהווים את הבסיס לטכניקות המודרניות לגילוי קהילות ב-SBMs .
ניתוח רשתות ניתן לבצע במגוון שפות תכנות, כאשר אחת הפופולריות ביותר היא פייתון.
בדוגמה הבאה נעשה שימוש בשלוש חבילות מרכזיות לניתוח רשתות ומחקר: , ו-.
בנוסף, ויזואליזציה של הנתונים תתבצע באמצעות החבילה המוכרת .
התאמת הנתונים וחיזוי תוויות הקהילות
תחילה, ניצור גרף מקרי, המכיל 30 צמתים, תוך שימוש במטריצת הסתברויות הבאה:
המשמעות היא שההסתברות לקשת בין צמתים בתוך אותה קהילה היא , ואילו ההסתברות לקשת בין צמתים מקהילות שונות היא .
שלב 1: יצירת גרף SBM
הסתברויות לקיום קשתות בתוך ובין הבלוקים
להלן תוצאת האלגוריתם המיושמת על הגרף שנוצר:
מודלים מספריים (נומריים) של אקלים (או מודלים של מערכות אקלים) הם מודלים מתמטיים שיכולים לדמות אינטראקציות של מניעי האקלים החשובים.
אלה כוללים את האטמוספירה, האוקיינוסים, פני הקרקע והקריוספירה.
מדענים משתמשים במודלי אקלים כדי לחקור את הדינמיקה של מערכת האקלים , ליצור תחזיות אקלימיות עתידיות, וכן תחזיות בנוגע לשינויי אקלים.
מודלי אקלים יכולים להיות גם מודלים איכותיים (כלומר לא מספריים) ולהכיל נרטיבים, בעיקר תיאוריים, של עתידים אפשריים.
המודלים האקלימיים לוקחים בחשבון את האנרגיה הנכנסת מהשמש, וכן את האנרגיה היוצאת מכדור הארץ, כאשר חוסר איזון גורם לשינויי טמפרטורות על בסיס החוק הראשון של התרמודינמיקה.
האנרגיה הנכנסת מהשמש מגיעה בצורת קרינה אלקטרומגנטית עם גלים קצרים, בעיקר בספקטרום הנראה וגל קצר (קרוב) בטווח התת-אדום.
מהצד השני, האנרגיה היוצאת מגולמת בצורת אנרגיה אלקטרומגנטית ארוכת גל בטוח התת-אדום (רחוק).
תהליכים אלו הם חלק מאפקט החממה.
לדוגמה, מודל פשוט של העברת קרינה תרמית מתייחס לכדור הארץ כנקודה בודדת, וממצע אנרגיה יוצאת בהתאם.
ניתן להרחיב זאת בצורה אנכית (מודלים להסעה קרינה) ואופקית.
מודלים מורכבים יותר הם מודלי האקלים הגלובליים המוצמדים של אטמוספירה-אוקיינוס-קרח ים.
מודלים מסוג זה פותרים את המשוואות המלאות להעברת מסה, העברת אנרגיה וחילופי קרינה.
בנוסף, ניתן לקשר בין סוגים אחרים של מודלים.
לדוגמה, מודלים של מערכת כדור הארץ כוללים גם שימוש בקרקע וכן שינויים בשימושי קרקע.
כך מתאפשר לחוקרים לחזות אינטראקציות בין אקלים ומערכות אקולוגיות.
המודלים הם למעשה מערכת משוואות דיפרנציאליות המבוססות על חוקי היסוד של הפיזיקה, הידרודינמיקה וכימיה.
מדענים מחלקים את כוכב הלכת לרשת תלת־ממדית ומיישמים את המשוואות הבסיסיות לרשתות אלו.