tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מקור השם ממאמר שפורסם על ידי דניאל גילברט בעשור הקודם בו הוא מציג את הפרדוקס.
במאמר מתואר נוסע שרגיל ללכת ליעדים בטווח של מייל (1.6 קילומטר), ולרכוב על אופניים ליעדים מרוחקים יותר.
מכיוון שהאופניים מהירים יותר, הנוסע יגיע לכמה מיקומים מרוחקים מהר יותר מאשר ליעדים קרובים יותר (אזור בטא בתרשים שלהם - ומכאן השם), מה שסותר את הנטייה הטבעית המיידית שהוא יגיע מאוחר יותר למקומות מרוחקים יותר.
בתורת ההחלטות, פרדוקס אלסברג (או הפרדוקס של אלסברג) הוא פרדוקס שבו החלטות של אנשים אינן עולות בקנה אחד עם תורת תוחלת התועלת הסובייקטיבית.
דניאל אלסברג פרסם את הפרדוקס במאמרו משנת 1961, "סיכון, עמימות ואקסיומות הפרא".
ג'ון מיינרד קיינס פרסם גרסה מוקדמת של הפרדוקס בשנת 1921. הפרדוקס ממחיש את הנטייה לשנאת עמימות, שבה אדם נוטה להעדיף בחירות הכרוכות בסיכונים הניתנים לכימות, על פני בחירות הכרוכות בסיכונים שאינם ניתנים לכימות.
הממצאים של אלסברג מצביעים על כך שבבחירות הכרוכות בסיכון, יש העדפה לבחירה בין אפשרויות שהסיכון שלהן ידוע, על פני בחירה בין אפשרויות שהסיכון שלהן אינו ידוע.
מקבל החלטות יעדיף באופן גורף בחירה עם הסתברות שקופה לסיכון, דהיינו סיכון שניתן לחשב, על פני בחירה עם סיכון שאיננו ידוע ואינו ניתן לחישוב, אפילו במקרים שבהם האלטרנטיבה היא בעלת תוחלת תועלת רבה יותר.
המחקר הניסיוני של אלסברג כלל שני ניסויי מחשבה: תרחיש 'שני כדים שני צבעים', ותרחיש 'כד אחד שלושה צבעים'.
יש שני כדים שכל אחד מכיל 100 כדורים.
ידוע שכד א' מכיל 50 כדורים אדומים ו-50 כדורים שחורים, ואילו כד ב' מכיל תמהיל לא ידוע של כדורים אדומים ושחורים.
בפני המשתתף מוצגים ההימורים הבאים:
הימור 1A: קבל $1 אם כדור אדום נשלף מכד א', $0 אחרת
הימור 2A: קבל $1 אם כדור שחור נשלף מכד א', $0 אחרת
הימור 1B: קבל $1 אם כדור אדום נשלף מכד ב', $0 אחרת
הימור 2B: קבל $1 אם כדור שחור נשלף מכד ב', $0 אחרת
בדרך כלל, המשתתפים בניסוי היו אדישים בין הימור 1A לבין הימור 2A (מה שתואם את תורת תוחלת התועלת), אך העדיפו באופן גורף את הימור 1A על פני הימור 1B, וכן העדיפו באופן גורף את הימור 2A על פני הימור 2B.
יש כד אחד המכיל 90 כדורים: 30 כדורים הם אדומים, בעוד 60 הכדורים הנותרים הם שחורים או צהובים בפרופורציות לא ידועות.
הכדורים מעורבבים היטב כך שכל כדור צפוי להישלף כמו כל כדור אחר.
הימור A: קבל $100 אם כדור אדום נשלף מהכד, $0 אחרת
הימור B: קבל $100 אם כדור שחור נשלף מהכד, $0 אחרת
כמו כן, בפני המשתתף מוצגים ההימורים הבאים:
הימור C: קבל $100 אם כדור אדום או צהוב נשלף מהכד, $0 אחרת
הימור D: קבל $100 אם כדור שחור או צהוב נשלף מהכד, $0 אחרת
תנאי הניסוי המוצעים על ידי אלסברג מתייחסים לשני עקרונות כלכליים: , דהיינו האופי הבלתי ניתן לכימות של היחס בין כדורים צהובים ושחורים בתוך הכד הבודד, וההסתברות, שעל פיה כדורים אדומים נדגמים ביחס של :.
פרשנות על פי תורת התועלת
תורת התועלת מציעה את המודל הבא לקבלת החלטות במקרה הנידון.
על פי המודל, בבחירה בין זוגות ההימורים הללו, אנשים מבצעים הנחה סמויה לגבי ההסתברות לכך שהכדורים שאינם אדומים הם צהובים לעומת שחורים, ואז מחשבים את התועלת הצפויה לכל אחד משני ההימורים בנפרד.
מכיוון שהפרסים זהים, יוצא שהמשתתפת תעדיף את הימור A על פני הימור B אם ורק אם היא מאמינה ששליפה של כדור אדום סבירה יותר משליפת כדור שחור (לפי תורת תוחלת התועלת).
כמו כן, המשתתפת תהיה אדישה בין הבחירות אם היא מאמינה שכדור אדום סביר בדיוק כמו כדור שחור.
באופן דומה, המשתתפת תעדיף את הימור C על פני הימור D אם ורק אם היא סבורה ששליפה של כדור אדום או צהוב היא סבירה יותר מאשר שליפה של כדור שחור או צהוב.
באופן אינטואיטיבי היינו חושבים שאם שליפה של כדור אדום היא סבירה יותר מאשר שליפה של כדור שחור, הרי ששליפה של כדור אדום או צהוב גם היא סבירה יותר מאשר שליפה של כדור שחור או צהוב.
לכן, בהנחה שהמשתתפת מעדיפה את הימור A על הימור B, יוצא שהיא תעדיף את הימור C על הימור D, וכן להפך.
עם זאת, שנאת עמימות תנבא שאנשים יעדיפו את הימור A על הימור B, כי ההסתברות של A היא ידועה:
:, אבל ההסתברות של B אינה ידועה.
באותו אופן, היא תעדיף את הימור D על הימור C.
זאת משום שההסתברות להימור D היא ידועה: :, ואילו ההסתברות להימור C אינה ידועה.
הממצאים של אלסברג סותרים הנחות שנעשו במסגרת תורת תוחלת התועלת, כאשר הסתבר שהמשתתפים פועלים מתוך שנאת עמימות, ומעדיפים את הימור A על הימור B ואת הימור D על הימור C, בעוד שעל פי תורת תוחלת התועלת הם היו אמורים להיות אדישים בין A ל-B, וכן בין C ו-D.
על פי תורת תוחלת התועלת (שהייתה התורה השלטת בתחום קבלת החלטות), אם משתתפת תעדיף את הימור A על פני הימור B, אזי היא תעדיף את הימור C על פני הימור D.
אך על פי הניסויים של אלסברג, המשתתפת הטיפוסית תעדיף, בשל שנאת עמימות, את הימור A על פני הימור B, אבל מאותה סיבה היא גם תעדיף את הימור D על פני הימור C.
התוצאה תקפה ללא קשר לפונקציית התועלת.
אכן, גם גובה התמורה אינו רלוונטי.
לא משנה באיזה הימור נבחר, הפרס על הזכייה בו זהה, ועלות ההפסד שלו זהה (אפס), כך שבסופו של דבר יש רק שתי תוצאות אפשריות: לקבל סכום כסף מסוים או לא לקבל כלום.
לכן, די בהנחה המינימלית שההעדפה היא לקבל כסף עד פני לא לקבל כלום (ולמעשה גם הנחה זו אינה הכרחית: בטיעון המתמטי לעיל, הונח ש –
מאמרו של דניאל אלסברג משנת 1961, "סיכון, עמימות והחלטה"
עם סיום לימודיו בכלכלה באוניברסיטת הרווארד ב-1952 וקבלת תואר דוקטור, אלסברג התגייס לחיל הנחתים אמריקאי, ובשנת 1957 חזר להרווארד כדי להשלים את לימודי הפוסט-דוקטורט בנושא קבלת החלטות תחת אי-ודאות.
אלסברג עזב את לימודיו כדי להצטרף למכון ראנד שם עבד בתפקיד אנליסט אסטרטגי, אך הוסיף לעסוק במקביל במחקרו האקדמי.
הוא הציג את המאמר פורץ הדרך שלו בכינוס של החברה האקונומטרית בדצמבר 1960. עבודתו של אלסברג, המבוססת על מחקרים קודמים של ג'ון מיינרד קיינס ושל , איתגרה את שהייתה שלטת באותה עת.
היצירה פורסמה לציבור הרחב רק בשנת 2001, כארבעים שנה לאחר שפורסמה, בשל שערוריית מסמכי הפנטגון אשר בה שיחק אלסברג תפקיד מפתח ואשר הסיחה את תשומת ליבו ממחקר במשך כל אותן שנים.
מאמרו נחשב רב השפעה בעת שפורסם, והוא עדיין נחשב בעל השפעה בחוגי האקדמיה, בתחום של כלכלת אי ודאות, עמימות וסיכון.
נוסחת השוק היעיל הרציונלי, מכירה בכך שהמשקיעים לא יישאו באופן רציונלי בהוצאות של איסוף מידע אלא אם הם מצפים שיתוגמלו בתשואות גבוהות יותר בהשוואה לחלופה החופשית של קבלת מחיר השוק.
המסקנה היא שמשקיעים פאסיביים המשקיעים במדד, נהנים מפירות עבודתם של המשקיעים האקטיביים שעובדים בניתוח ערכם של המניות או משלמים למנהלי השקעות שיעשו זאת עבורם.
לכן, אם השווקים היו יעילים באופן מושלם - המשקיעים האקטיביים היו מכירים בכך, ולפי דפוס פעולה רציונלי מפסיקים את ניתוח מחירי המניות ושיקוף המידע החדש.
חוקרים הציעו מודלים שונים המתמודדים עם הפרדוקס ומציעים מודלים של שווקים יעילים המציעים מידה קלה של תגמול לתמחור של מידע חדש, ובכך מיישבים את הפרדוקס.
פרדוליכופיתקוס (שם מדעי: Paradolichopithecus) הוא סוג נכחד של קופים בעלי זנב שנמצא בעבר ברחבי אירואסיה.
arvernensis, היה קוף גדול מאוד, בהשוואה למנדריל.
פרדוליכופיתקוס היה כנראה מסוג מקוק, ושיתף איתם צורת גולגולת דומה מאוד.
המאובנים המיוחסים לפרדוליכופיתקוס ידועים מהפליוקן המוקדם ועד לפלייסטוקן המוקדם מאירופה (צרפת, ספרד, יוון, רומניה וסרביה) ומאסיה (טג'יקיסטן וסין).
בפילוסופיה ובלוגיקה, פרדוקס השקרן הוא פרדוקס המיוצג במשפטים "אני משקר עכשיו" או "המשפט הזה הוא שקר" ודומים להם, המכילים התייחסות עצמית המובילה לסתירה פנימית, שאינה מאפשרת לקבוע האם המשפט הוא אמת או שקר.
אם הטענה "טענה זו היא שקרית" היא אמיתית, אז אמיתות זו פירושה שהטענה נכונה, והיא שקרית; ואם היא שקרית, שקריות זו פירושה שהטענה אינה נכונה, ולכן הטענה אמיתית.
מהפרדוקס לא ניתן להימנע על ידי איסור פשוט על התייחסות המשפט לעצמו, משום שקל לבנות גם מעגלים לוגיים המביאים לסתירה, כגון צמד המשפטים "המשפט הבא הוא אמת.
מפסוקים כגון זה שמביע פרדוקס השקרן נובע שלא לכל משפט תקני בשפה הטבעית אפשר לשייך ערך אמת.
באיגרת אל טיטוס, המהווה אחד מספרי הברית החדשה - חלק מכתבי הקודש הנוצריים, מסופר על השליח טיטוס, שנשלח על ידי פאולוס אל האי כרתים, כדי להפיץ את הנצרות בקרב הכופרים.
משימתו של טיטוס הייתה קשה, כיוון שאנשי כרתים סבלו מפגמים מוסריים.
על-פי הכתוב, הזהיר פאולוס את טיטוס ואמר: "וכבר אמר אחד מהם, נביאם אשר בתוכם, בני כרתים כזבים הם מעולם וחיות רעות וכרשים עצלים.
והעדות הזאת אמת היא..." (איגרת פאולוס אל טיטוס א', 12-13)
סיפור זה, הידוע יותר בשמו פרדוקס השקרן (או פרדוקס אפימנידס, על שם הפילוסוף הכרתי אפימנידס מקנוסוס), התפרסם במשך הדורות בגרסאות ובגלגולים שונים, והטריד את מנוחתם של רבים.
מה יש בו, בסיפור, שעושה אותו לפרדוקסלי?
האיש מכרתים מספר לנו: "כל אנשי כרתים שקרנים (כזבים)".
אם האיש מכרתים דובר אמת, וכל אנשי כרתים אכן שקרנים - משמע שגם הדובר (ככל אנשי כרתים) - משקר.
ואם הוא שקרן (ככל אנשי כרתים), גם טענתו שכל אנשים כרתים שקרנים (משקרים תמיד) - היא שקר.
ואם זה שקר (כלומר - אין זה נכון שכל אנשי כרתים שקרנים), הרי יש ביניהם גם דוברי אמת.
ברור שאין זה האיש מכרתים, גיבור סיפורנו, שהסתירה בדבריו מוכיחה שהוא משקר.
משפט שיש בו סתירה אינו פרדוקס, אך קל לחדד אותו לניסוח שיש בו פרדוקס, וזו הגרסה המודרנית של פרדוקס השקרן, שהיא המשפט: "מה שאני אומר עכשיו הוא שקר!" האם טענה זו היא אמת או שקר?
אם מה שאני אומר הוא אמת, ואני אומר שאני משקר - אז מה שאני אומר הוא שקר.
ואם מה שאני אומר הוא שקר - אז אני משקר, כשאני טוען שאני אומר שקר, או, במילים אחרות: אני דובר אמת.
הנחת השקר מובילה לאמת, והנחת האמת - לשקר.
וריאציה נוספת של פרדוקס השקרן הוא הפרדוקס "אף תשובה אינה נכונה".
זהו פרדוקס לוגי שמבוסס על סגנונו של מבחן רב ברירתי (מבחן שבו צריך לסמן את רק תשובה נכונה אחת, מבין מספר אפשרויות מוצעות).
לדוגמה, אדם משתתף במבחן שבו מופיעה השאלה הבאה:
מה צריך לעשות בזמן נהיגה כשהרמזור מורה אדום?
להוציא את האוויר מן הצמיגים
לצאת מהרכב ולהמשיך ללכת ברגל
קל לראות שתשובות א, ב, ג אינן נכונות, ולכן קיים הפיתוי לסמן את תשובה ד' כנכונה, אבל כאן נמצא הפרדוקס, כי תשובה ד קובעת שגם היא עצמה אינה נכונה.
ניסיון נאיבי לפתרון הפרדוקס הוא לכתוב בתשובה ד': "תשובות א' ב' וג' אינן נכונות".
פתרון זה שובר את כללי המשחק: במבחן רב ברירתי אי אפשר לתת מענה מילולי, אפשר רק לסמן אחת מהתשובות כנכונה.
אפשר להסכים שהתשובה "אף תשובה אינה נכונה" היא קיצור של "כל התשובות מלבד זו אינן נכונות", ובכך לסלק את הפרדוקס, אך ללא הסכמה מפורשת זו הפרדוקס נותר בעינו.
פרדוקס זה הוא וריאציה של פרדוקס השקרן: תשובות א, ב, ג שקולות לאנשי כרתים, ותשובה ד שקולה למְסַפֵּר שאומר "כל בני כרתים שקרנים".
בדומה לשאר הווריאציות של פרדוקס השקרן, אין פתרון לפרדוקס זה, אלא המסקנה היא התובנה שהשפה מאפשרת לנו לומר אמירות פרדוקסליות.
אפשר לטעון שהפרדוקס במשפט זה נובע מכך שמדובר במשפט יחיד המתייחס אל עצמו, ומשפטים כאלה מועדים לפורענות.
קל לתקן עניין זה באמצעות צמד משפטים: "המשפט הבא הוא שקר.
אך גם במקרה זה הפרדוקס יתקיים.
המושגים "המשפט הבא" ו"המשפט הקודם" מצביעים [denote] אל עבר טענה אחרת, המתייחסת לטענה הראשונה וכוללת את הטענה בתוכם.
בלא הצבעה [denoting], המשפטים ייראו כך: "המשפט אשר טוען שמשפט זה הוא אמת הוא שקר.
המשפט אשר טוען שמשפט זה הוא שקר הוא אמת".
לפרדוקס השקרן יש וריאציות רבות, וכמעט כל פרדוקס שסיבתו הפניה-עצמית מבוסס עליו.
לדוגמה, "במשפת זה יש שלוש שגיעות!" - במשפט יש שתי שגיאות כתיב (במילים "משפת" ו"שגיעות"); אבל אם המשפט נכון, אלו הן שתי השגיאות היחידות, ולכן המשפט אינו נכון.
ואם אינו נכון, אז הוא עצמו מהווה שגיאה שלישית, ולכן המשפט נכון.
אך במשפט זה חוסר המיקוד בשפה הוא גורם הפרדוקס, שאם נמקד את המשפט בשפה שמחלקת שבין שגיאות כתיב לשאר דברים לא נכונים יבוטל הפרדוקס, כגון "במשפת זה יש שלוש שגיעות כתיב", שהוא משפט שאינו נכון ללא כל פרדוקס.
יש הרואים את הבעיה בפרדוקס בכך שהמילה "זה" לא מוגדרת בו היטב.
המילה "זה", היא מאזכר, ומכיוון שהיא מתייחס לאותו משפט, משמעות המשפט היא למעשה "המשפט 'המשפט הזה הוא שקר' הוא שקר", ולפיכך "המשפט 'המשפט "המשפט הזה הוא שקר" הוא משפט שקר' הוא משפט שקר", וכן הלאה עד אינסוף.
יש הטוענים כי הפרדוקס "לא קיים במציאות", אלא קיים אך ורק באופן הצגת הדברים, ובדומה לפרדוקס של זנון בה אין מונע אמיתי מאכילס לחלוף על פני הצב, כך כאן אין מונע אמיתי מהבנת הפסוק באופן חד ערכי, ועל פיו לקבוע את אמיתות או שקריות המשפט.
על מנת להבין סוג פתרון זה ניתן להראות משפט "כמעט" פרדוקסלי, ולפתור באופן דומה את הפרדוקס.
לדוגמה: פלוני טוען בבוקרו של יום, שבמקום בו הוא עומד כעת חצות לילה.
לא נוכל לקבל את טענתו, כי אנו יודעים שהיא שקרית, "ואילו ניסינו לקבל את דבריו כאמת" היינו נתקלים במידע הקובע שאין לקבל את טענתו.
לעומת זאת, כשנבוא לדחות את דבריו, אין סתירה בין החלטתנו ובין הפסוק שנדחה, שכן הוא נדחה, ואין מה לעיין בדבריו.
מקרה יותר קרוב לפרדוקסלי הוא כאשר פלוני טוען שהוא משקר תמיד.
לא נוכל לקבל את טענתו, ונקבע שהוא משקר לעיתים - בטענת "ממה נפשך": אנו חייבים לדחות את דבריו, שכן אם נרצה לקבל אותם, אנו מניחים כי טענתו היא אמת, טענה הסותרת את טענתנו.
וכאשר אנו באים לדחות את דבריו, דחיית דבריו הפעם תקֵיפה, כי ייתכן ש"לעיתים" פלוני משקר, אך לא "תמיד" כדבריו.
אבל כאשר אנו באים לקבוע את דחיית תוכן הפסוק לקבוע שהפסוק אינו בעל "אמת" אנו קובעים שהוא - והפעם אנו מדברים על הפסוק ולא על תוכנו, נדחה בלא סתירה, מכיוון שבשקר יש מידה מסוימת של אמת, אבל לא כולה אמת.
כלומר אמת, היא רק אמת מוחלטת, אבל שקר הוא כל מה שאינו אמת מוחלטת, ויכול להכיל גם חלקים שהם אמת.
בדרך זו, על פי ההבנה האנושית (הסמנטיקה), גם מבחן רב-ברירתי שבו אחת האפשרויות היא "אף תשובה אינה נכונה" - אינה פרדוקסלית, מכיוון שברור לעונה על השאלון שכוונת השואל אינה כוללת את התשובה הזו עצמה.
לחלופין, דרך נוספת לדחות את המשפט היא לקבוע שהפסוק הוא "אינו אמת" בבחינת חוסר המשמעות שלו.
באופן זה בדומה לדוגמה עם פלוני ו"חצות לילה" - אין צורך להתבונן בתוכן המשפט מרגע שדחינו אותו, מכיוון שאין לו משמעות, ומשמעות זו הייתה מושגת רק אם הטענה הייתה מתייחסת למשהו שאפשר לאמת או להכחיש.
אם נחזור לדוגמה הראשונה בערך זה, בו פלוני אומר: "אני משקר עכשיו", ניתן לאמת את דבריו ולהגיד: נכון, אתה משקר עכשיו.
שקר זה כולל מידה מעטה של אמת, שאינה מורידה מערך השקר הכללי.
אמת זו היא שהוא אכן משקר (באופן כולל ובדבר שאין אפשרות לבדוק אותו, כי לא ברור מה משמעות השקר ומהו הדבר שאותו ניתן לאמת או להכחיש).
פרדוקס השקרן נחשב לפרדוקס אמיתי, כזה המאלץ אותנו לשנות את הנחות היסוד (כגון ההנחה שאפשר לייחס לכל טענה ערך אמת).
פרדוקס הספר דומה לפרדוקס השקרן בכך שכל ערך אמת שמייחסים לטענה (הספר מספר את עצמו; הספר אינו מספר את עצמו) מוליך לסתירה.
עם זאת, פרדוקס הספר הוא פרדוקס רק אם מניחים שהספר אכן קיים.
במובן זה אפשר לראות בו לא פרדוקס, כי אם הוכחה שהספר אינו קיים.
על פי סיווג הפרדוקסים של קווין , פרדוקסים כאלה נקראים פרדוקסים ורידיקליים (כאלו המביאים להוכחה שטענה מסוימת היא אמיתית) או פולסידיקליים (כאלו המביאים להוכחה שטענה מסוימת – ובמקרה זה הטענה שהספר קיים – היא שקרית).
אכן, הפרדוקס של ראסל, שאפשר לראות בו ניסוח מתמטי של פרדוקס הספר, מראה שקבוצת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן אינה יכולה להתקיים; ומכאן שלא כל נוסחה מגדירה קבוצה.
במובן זה, פרדוקס הכל-יכול דומה לפרדוקס הספר, משום שאחת הדרכים להתיר אותו היא לראות בו הוכחה לאי-קיומה של ישות כל-יכולה.
הראשון לנצל את הסתירתיות בבסיס פרדוקס השקרן לשם הוכחה מתמטית היה גאורג קנטור.
קנטור הוכיח את משפט קנטור על ידי כך שהניח שהמשפט שגוי, והסיק מכך כי קיימים קבוצה ואיבר , כך שאם , אז , ואם , אז .
סתירה זו הובילה אותו למסקנה כי משפט קנטור נכון.
קורט גדל עשה שימוש בגרסה של פרדוקס השקרן לשם הוכחת משפט האי שלמות הראשון המפורסם שלו.
במהלך ההוכחה הוא הראה כיצד בתורות מסוימות ניתן לבנות טענה שמעידה על עצמה "טענה זו אינה ניתנת להוכחה", ולכן היא עצמאית.
אלפרד טרסקי הראה כי לא ניתן לבנות בתורות כאלה טענה שאומרת "טענה זו שקרית".
אלן טיורינג הראה שבעיית העצירה היא לא-כריעה באמצעות לכסון.
ההוכחה משתמשת בהנחה בשלילה כדי להראות מקרה בו מכונה שפותרת את בעיית העצירה תניב תוצאה שגויה, באמצעות בניית מכונה חדשה על גבי המכונה שפותרת את בעיית העצירה ומתנהגת הפוך ביחס לניבוי שלה, ובכך הראה שמכונה כזו לא יכולה להתקיים.
פרדוקס הַסַּפָּר הוא פרדוקס מפורסם, המיוחס לפילוסוף הבריטי ברטראנד ראסל.
לגרסתו הפורמלית של הפרדוקס, שקרויה הפרדוקס של ראסל, נודעה השפעה רבה על חקר יסודות תורת הקבוצות.
בעיירה גר ספר, המספר את כל התושבים שאינם מספרים את עצמם, ורק אותם.
אם הספר מספר את עצמו, יש סתירה.
שהרי הוא מספר רק את אלה שאינם מספרים את עצמם, ולכן לא אותו.
אם הספר אינו מספר את עצמו, אזי הוא נמנה עם התושבים שאינם מספרים את עצמם, ולכן הוא מספר את עצמו.
הפרדוקס מביא אותנו למסקנה שהספר לא קיים: הנחות היסוד של הפרדוקס שגויות, ומכאן נובעת הסתירה.
פרדוקס הספר הוא ניסוח פופולרי לאנטינומיה (סתירה פנימית) שאפשרית בהגדרת הקבוצה בתורת הקבוצות הנאיבית.
לפי ההגדרה הנאיבית של מושג הקבוצה, קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן כאיבר היא קבוצה קיימת.
הגדרה זו מובילה לסתירה כיוון שהקבוצה הזו לא יכולה להכיל את עצמה, וכן גם לא יכולה שלא להכיל את עצמה.
כדי להימנע מסתירות כאלו, פיתחו ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל בתחילת המאה העשרים מערכת של אקסיומות שמתארות באופן ריגורוזי את מושג הקבוצה, וכך נמנעות מסתירות פנימיות.
מערכת זו היא הבסיס לתורת הקבוצות האקסיומטית.
פרדוקס הסוסים הוא טיעון מפורסם ה"מוכיח", תוך שימוש שגוי בעקרון האינדוקציה המתמטית, את התוצאה האבסורדית כי לכל הסוסים בעולם אותו צבע.
הטיעון הוצג על ידי המתמטיקאי ההונגרי ג'ורג' פוליה לשם המחשת רמת ההקפדה והדיוק הדרושה בעת הוכחות מתמטיות.
ננסה להוכיח את המשפט הבא: "בכל קבוצה סופית של סוסים, כל הסוסים הם בעלי אותו צבע".
כמו כל הוכחה באינדוקציה גם הוכחה זו כוללת שני מרכיבים:
בדיקה עבור מקרה אחד: אם בקבוצה יש רק סוס אחד, הטענה נכונה משום שלאותו סוס הצבע שלו.
כעת נניח שבכל קבוצה של סוסים כל הסוסים הם באותו צבע, ונסיק מכך שאותה טענה נכונה גם עבור קבוצות של k סוסים.
נתונה קבוצה שבה k סוסים.
קבוצת הסוסים הנותרים היא בת סוסים, ולפי הנחת האינדוקציה לסוסים אלה יש אותו צבע.
נחזיר את הסוס לקבוצה ונוציא סוס אחר.
שוב נשארו סוסים, ולפי הנחת האינדוקציה לכל הסוסים אותו צבע.
צבעם של שני הסוסים שהוצאו זהה לשאר הסוסים ומכאן של-k הסוסים אותו צבע.
בכך הוכחנו, לכאורה, את הטענה - ומכיוון שבעולם מספר סופי של סוסים, כולם מוכרחים להיות בעלי אותו צבע.
התיאור לעיל שגוי בנקודה חשובה אחת: כדי שאפשר יהיה להסיק שלכל k הסוסים אותו צבע, מוכרח להיות סוס משותף לקבוצת הסוסים מלבד הסוסים שהוצאו.
דרישה זו מתקיימת אם k>2 (ואכן, לו היינו יודעים שלכל שני סוסים יש אותו צבע, יכולנו להסיק באינדוקציה שלסוסים בכל קבוצה סופית יש אותו צבע).
ואולם, במקרה k=2 ההוכחה אינה נכונה (אין שום סיבה להניח שהסוסים שהוצאו הם בעלי אותו צבע, משום שאין סוס שלישי ששניהם שווים לו בצבעם).
פרדוקס העורב הוצג על ידי הפילוסוף קרל המפל בשנות הארבעים של המאה העשרים.
הפרדוקס תוקף את שיטת האינדוקציה המדעית הנמצאת בבסיסם של מדעי הטבע, שלפיה הדרך לבסס תאוריה היא לערוך תצפיות הבוחנות ואינן מפריכות אותה.
אם כך, כדי להשתכנע שכל העורבים שחורים, יש לוודא שכל עורב המוכר לנו הוא שחור.
מאידך, טען המפל, התאוריה הזו שקולה לתאוריה כל הדברים הלא-שחורים אינם עורבים, שאותה אפשר לאשש על ידי צפייה בעצים ירוקים, סוסים לבנים וכובעים אדומים.
איך ייתכן, שואל המפל, שתצפיות שאינן כוללות אפילו עורב אחד תומכות בטענה אמפירית על העורבים?
מדען קם בבוקר, מביט מהחלון ורואה זוג עורבים שחורים.
"כנראה שכל העורבים שחורים", הוא חושב לעצמו, "צריך לאשש את זה".
בדיקה של כל העורבים בעולם היא עבודה קשה מדי.
יושב המדען מול החלון ומחפש עורבים.
לאחר מספר שעות לא עבר אף עורב נוסף.
המדען חושב שאולי צריך לצאת מהבית ולחפש עורבים, אך רגע לפני שהוא יוצא יש לו רעיון, לפיו הטענה "כל עורב הוא שחור" שקולה לטענה "כל דבר שאינו שחור, אינו עורב" - זו לוגיקה פשוטה.
אם-כך, התאוריה תצא נשכרת באותה מידה אם נבחן אותה לגבי גופים שאינם שחורים.
אם נגלה עורב שאינו שחור נפסלת התאוריה.
אחרת נעשית התאוריה סבירה יותר מתצפית לתצפית.
אחרי עשר דקות, שבהן ראה המדען כמה מכוניות כחולות, עצים ירוקים, סוסים לבנים וכובעים אדומים (ואפילו לא עורב אחד שאינו שחור) - מתקבלת התאוריה על דעתו של המדען והוא קובע: "כל העורבים שחורים!".
שתי התאוריות ("כל העורבים שחורים" ו"כל הלא־שחורים הם לא־עורבים") שקולות זו לזו ובכל זאת הפילוסופים חלוקים בתשובתם לשאלה האם ניתן לקבל שתצפיות המסייעות לתאוריה השנייה מאששות גם את הראשונה:
יש פילוסופים הטוענים כי - לפחות אינטואיטיבית - קשה לקבל אישוש כנ"ל; הם גם משייכים כל ניסיון כזה של אישוש - לכשל לוגי מכליל מסוג דיקטו סימפליקיטר.
הם גם קושרים ניסיון כזה של אישוש - לפרדוקס דומה-לכאורה (הקשור לתאוריה המשתנה לאחר זמן), שהוצע על ידי נלסון גודמן במאמרו בעיית האינדוקציה החדשה.
יש פילוסופים התומכים באישוש כנ"ל ומנמקים את עמדתם על ידי חידוד-מתודי של מקרה העורבים - באמצעות המקרה השקול הבא: נניח שבכלוב שלפנינו - ישנם שני בעלי חיים וזהותם אינה ידועה עדיין.
מזהים את החיה הראשונה ומתברר שזהו עורב שחור.
מיד מתעוררת ההיפותזה: "כל עורב שבכלוב הזה הוא שחור".
יתר על כן, גם אילו בכלוב היה בעל חיים שלישי שזהותו לא נבדקה עדיין, הרי שזיהוי בעל החיים השני בתור תוכי לבן - מגדיל את סיכויי נכונותה של ההיפותזה הנ"ל - ובכך מאשש אותה (גם אם לא מוכיח אותה סופית כל עוד לא נבדקה זהותו של בעל החיים השלישי).
למעשה, כדי לעבור מאישוש ההיפותזה הזו לאישוש ההיפותיזה המקורית של המפל ("כל העורבים שבעולם שחורים") - די להחליף את המקרה של הכלוב במקרה מקביל לגמרי שבו הכלוב מוחלף בעולם כולו.
ההחלפה הנ"ל לגיטימית, שכן ידוע מראש שכמות החפצים (הקונקרטיים) בעולם היא סופית.
הפרדוקס למעשה אינו קיים, מאחר שיחסות פרטית אינה מטפלת במקרים בהם קיימת תאוצה.
העובדה שהתאום בחללית עובר תאוצה על מנת להפוך את כיוון הטיסה מוציאה את ניסוי התאומים ממסגרת יחסות פרטית אל תורת היחסות הכללית, בה לא נמצא פרדוקס.
תאום אחד נשאר בכדור הארץ בעוד אחיו מתרחק בחללית במהירות גבוהה מאוד, הקרובה למהירות האור.
בשלב מסוים האח מסתובב ושב אל כדור הארץ.
על פי תורת היחסות, בחללית יימשך המסע זמן מועט יותר מאשר על פני כדור הארץ, מה שיוביל לכך שהאח בחללית יחזור צעיר מהאח שנותר על פני כדור הארץ.
לדוגמה נניח שהמסע הוא אל הכוכב ε בארידנוס, שמרחקו ממערכת השמש כעשר שנות אור, כלומר , ושמהירות החללית היא , כלומר 80% ממהירות האור.
על פי התאום שנשאר בכדור הארץ, זמן המסע הלוך וחזור כפי שנמדד על כדור הארץ הוא
ולפי טרנספורמציית לורנץ, הזמן שימדוד התאום בחללית הוא
על פי התאום בחללית הוא נמצא במנוחה, ואילו כדור הארץ, שעליו אחיו התאום, והכוכב ε בארידנוס נעים על פניו במהירות של 80% ממהירות האור.
בעקבות זאת המרחק ביניהם מתכווץ לפי טרנספורמציית לורנץ, כך שהמרחק שעליו לעבור הוא
בלבד, ובמהירות של 80% ממהירות האור המסע הלוך ושוב יארך
בדיוק כפי שחישב התאום שנשאר על כדור הארץ.
לכן שני התאומים מסכימים למעשה שהתאום בחללית יהיה צעיר יותר כשייפגשו שנית.
מבחינת התאום שנשאר על כדור הארץ בגלל אפקט התארכות הזמן ומבחינת תאומו הנוסע בגלל התכווצות המרחק.
הפרדוקס מתואר בצורה ציורית ובעזרת תאומים, אך למעשה אין צורך בתאומים או בבני אדם בכלל.
ניסוי שקול יהיה לאפס שני שעונים, לשלוח אחד מהם למסע במהירות גבוהה, ולהשוות את הזמן שמדד כל אחד מהם כאשר הם נפגשים שוב בסוף המסע.
הזמן שמדד כל שעון יהיה שונה, משום ששעון מודד את הזמן העצמי במערכת המנוחה הרגעית שלו ולא, כפי שנוטים לחשוב באופן אינטואיטיבי, זמן אבסולוטי שמשותף לכל העצמים ביקום.
הפרדוקס־לכאורה נעוץ בסימטריה המדומה בין שני התאומים: הם התחילו את המסע יחד, והמהירות של כל אחד מהם יחסית לאחר היא אותה מהירות.
אם כך מדוע יש הבדל ביניהם, ודווקא זה ש"עזב" הוא שיישאר צעיר יותר?
למעשה אין סימטרייה בין השניים.
התאום שנשאר בכדור הארץ נע במהירות קבועה לאורך כל הניסוי.
לפיכך מערכת הייחוס שלו היא מערכת אינרציאלית.
אחיו נוסע במהירות מסוימת, ולאחר מכן הופך את כיוון תנועתו כדי לחזור.
כאשר הוא משנה את כיוונה של מהירותו, הוא מאיץ.
יחסות פרטית אינה מטפלת בתנאי תאוצה אלא במערכות אינרציאליות בלבד, והחישוב שנעשה על פיה אינו תקף.
הסיבה לפרק הזמן השונה שעבר על שני התאומים היא שאומנם הם היו בשני מאורעות יחדיו: היציאה למסע והפגישה בסופו – אך הם עברו מסלולים שונים במרחב־זמן בין שני המאורעות הללו, דבר הניתן לחישוב ביחסות כללית ומניב תוצאה שאינה סימטרית לשני התאומים.
גרסה נוספת לפרדוקס התאומים, שמסבירה את הפרדוקס ללא תאוצות, הוא העברת קריאת השעון מאסטרונאוט "יוצא" לאסטרונאוט "חוזר"; כלומר ממערכת ייחוס אינרציאלית אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת.
מכיוון שסינכרון השעונים שונה בשתי מערכות הייחוס האינרציאליות, תהיה "קפיצה" בקריאה של זמן השעון של כדור הארץ של האסטרונאוט ה"חוזר".
פרדוקס הכול-יכול, או טיעון התכונות הסותרות, הוא פרדוקס המערער על היותו של מושג האומניפוטנטיות (כול-יכולוּת) כמוגדר היטב.
ממילא לכאורה הפרדוקס נוגד את קיומה של ישות המוגדרת ככל-יכולה ומצביע על היותה רב-יכולה במקום זאת ולכן יש לו השלכות בתחום התאולוגיה.
מעלי השאלות הללו טוענים כי שאלות אלה מובילות לסתירה ובעיקר מראות שכל-יכולות היא למעשה רב-יכולות, כלומר היא היכולת לעשות כל שניתן לעשות בלי להגיע לסתירה.
ישנן מספר דרכים להגדיר את הטענה "א' הוא כל-יכול":
"א' כל-יכול באופן אבסולוטי" משמעותה ש"א" יכול לעשות כל דבר בכלל.
בפרט כל דבר הניתן לתיאור על ידי רצף של מילים, גם אם ניתן להראות שרצף המילים הזה מכיל סתירה פנימית.
הפרדוקס במלוא חריפותו מתייחס בעיקר להגדרה מסוג זה.
תומכים באפשרות קיומה של ישות כזאת פותרים את הפרדוקס על ידי הטענה שישות כל-יכולה איננה כפופה להיגיון האנושי.
"א' כל-יכול" משמעותה שהטענה "א' יכול ב'" היא נכונה אם ורק אם ב' הוא תיאור עקבי של פעולה.
הגדרה כזאת פותרת חלק מהפרדוקס, אך קיימת דעה כי היא איננה מתחמקת מהמקרה שבו ב' מוגדר כ"אבן שהיוצר שלה איננו מסוגל להרים אותה"; תיאור כזה של ב' איננו מכיל כל סתירה פנימית בפני עצמו, שהרי אנשים מסוגלים לייצר חפצים שהם אינם מסוגלים להרים.
נובע מכך שאנשים מסוגלים לעשות דברים שכל-יכול (בהגדרתו זו) איננו יכול.
קיימת גם דעה הסוברת שבהחלת המשפט "אבן שהיוצר שלה איננו מסוגל להרים אותה" על כל-יכול, נוצר המשפט "אבן שכל-יכול איננו מסוגל להרים אותה" והוא כמובן מכיל סתירה פנימית, ולכן הגדרה זו פותרת גם מקרים אלו.
"א' כל-יכול" משמעותה שהטענה "א' יכול ב'" היא נכונה אם ורק אם "א' עשה ב'" הוא תיאור נטול סתירה פנימית.
הגדרה כזאת פותרת את הפרדוקס המקורי לחלוטין, אך עדיין טומנת בחובה בעיות מוסריות (אם ב' הוא "לשקר") או בעיות של זמנים (אם ב' הוא "להביא לכך שירושלים מעולם לא הייתה קיימת").
כמו כן, הגדרה כזאת עשויה לא לספק תאולוגים או מאמינים הרואים בהגדרה של האל ככל-יכול מצורה "מופחתת" כזאת פגיעה באל.
"א' הוא נאדר" - זו הגדרה חלשה יותר, המגדירה את א' בתור ישות החזקה מכל ישות קיימת אחרת, ואף ישות איננה עשויה להתחרות בא', אף לא בחוסר הצלחה.
בעניין היכולות המיוחסות ביהדות לאל, כתב רס"ג:
דברים דומים כתב הרמב"ם, והוסיף: .
זאת אומרת שעצם זה שהוא "לא יכול" להגביל את עצמו - זו היכולת הגדולה ביותר, ואם היה יכול להגביל את עצמו אז היה מוגבל.
כן כתב ר' יוסף אלבו:
דברים דומים כתבו ר' ידעיה הפניני בעל "בחינות עולם" (בתשובתו שנדפסה בשו"ת הרשב"א סי' תי"ח), ר' יצחק עראמה בספרו עקדת יצחק (שער פ'), הרלב"ג (בפירושו על ) ור' יצחק אברבנאל בספרו "מפעלות אלהים" (מאמר ד').
לעומתם בספר חיי מוהר"ן (אות ת"ז) מוצגת שיטתו של רבי נחמן מברסלב:
כדי להבין את דבריו ואת הסיבה שחלק על שאר חכמי ישראל נצטרך לשאול האם אלוהים כפוף לעקרונות ההיגיון: דבריו של פרופ' שלום רוזנברג, מסבירים זאת היטב: .
מאידך, אם התשובה היא כן:
פרדוקס הערמה הוא פרדוקס המייצג משפחה של פרדוקסים העוסקים בגבולות ועמימות, לרוב של השפה.
משפחה זו מכונה פרדוקסים סוריטיים, על שם הפרדוקס המקורי שנקרא ביוונית "פרדוקס סוֹרִיטֶס" ("סורוס" ביוונית היא ערמה).
פרדוקסים אלה עוסקים במתח שבין תיאורים הנתפסים לכאורה כברורים ומדויקים, לבין ניסיונות לכמת אותם לכדי מונחים מספריים ברורים.
השאלה שניצבת במרכזו של פרדוקס הערמה היא "כמה גרגרים צריכים להיות בערמה כדי שתיחשב ערמה?".
מחד נדמה שיש הסכמה כללית שגרגר חול אחד אינו נחשב ערמה, ומאידך כמות מסוימת של גרגרים כן נחשבת לערמה לכל הדעות.
אם כן מהו המספר המדויק שעד אליו אוסף הגרגרים אינו נחשב ערמה, וממנו והלאה כן?
נדמה שלא ניתן לתת על כך תשובה חד משמעית.
ניתן לתאר את הפרדוקס כמבוסס על שתי ההנחות הבאות:
גרגר חול אחד אינו ערמה.
אם מצבור של גרגרי חול אינו ערמה, הוספת גרגר אחד לא תהפוך אותו לערמה.
אינדוקציה מתמטית מסיקה מן ההנחות האלה את הטענה המופרכת בעליל, שלא קיימות ערימות חול בעולם.
כלומר, שכל אוסף סופי של גרגרי חול אינו מהווה ערמה.
הרי עבור המקרה N=1, כלומר גרגר חול אחד, הטענה נובעת מההנחה הראשונה.
ואם הטענה נכונה עבור N כלשהו, מההנחה השנייה נובע כי גם N+1 גרגרים אינם מהווים ערמה.
כלומר אין ערימות חול בעולם.
הפרדוקס מדגים את העמימות המובנית של השפה האנושית.
המונח "ערמה" אינו מבוסס על הגדרה החלטית ומדויקת, כי אם על מושג שתפיסתו היא מעורפלת וגמישה.
יש שיאמרו שאין כלל מקום להפעיל על מונח לשוני זה כלים לוגיים פורמליים מהסוג שהודגם כאן.
ניתן להשאיל את הפרדוקס על מגוון של מונחים לשוניים.
למשל מאיזה גובה בדיוק אדם נחשב "גבוה"?
או מאיזה אורך גל, ייחשב הצבע לאדום?
ניתן גם להפעיל אותו על שאלות מוסריות, כמו כמה אסירים יש לשחרר כדי להציל חיים של חף מפשע?
איזו הסתברות מספיקה כדי להרשיע אדם בפלילים?
פרדוקס הסבא הוא פרדוקס של מסע בזמן האומר "אתה נוסע לאחור בזמן והורג את סבך לפני שזה פגש את סבתך.
בכך מנעת את לידתו של אחד מהוריך, ובהכרח גם את לידתך, אם כן - כיצד יכולת להרוג את סבך?".
הפרדוקס הופיע מספר פעמים בשנות ה-20 וה-30 של המאה ה-20. הוא מופיע למשל בסיפור קצר של צ'ארלס קלוקי שהתפרסם בשנת 1929. הפרדוקס מופיע גם בסיפור נתן שכנר שפורסם בדצמבר 1933.
הפרדוקס הופיע בשנות ה-40 בסיפור של סופר והעיתונאי הצרפתי רנה בארז'אבל "Le Voyageur Imprudent" (בתרגום חופשי: הנוסע הפזיז).
מאז, השימוש בפרדוקס בקרב יוצרי המדע הבדיוני נעשה נפוץ מאוד בספרות ובסרטים, בווריאציות שונות.
כאשר אולי הדוגמה המפורסמת מכולן היא טרילוגיית הסרטים "בחזרה לעתיד", בה מועלית השאלה - האם ניתן כלל לשנות את העבר?
מוטיב אשר חוזר ונשנה בהרבה מהיצירות שעוסקות בנושא.
הפתרון המקובל לפרדוקס הוא שלילה של האפשרות למסע אחורה בזמן.
אחד הפתרונות לפרדוקס זה נעוץ בתפיסת יקומים מקבילים.
אם אתה חוזר אחורה בזמן והורג את סבך, אתה עושה את זה ביקום מקביל בלי שהתוצאה תשפיע עליך.
בכל מקרה קיומך לא נמחק מהיקום המקורי שלך.
הסיפור הקצר של אלפרד בסטר "האיש שהרג את מוחמד" משתמש בהנחת היסוד הזאת.
לפי פירוש העולמות המרובים של תורת הקוונטים בכל נקודת זמן במהלך ההיסטוריה רצף המרחב-זמן מתפצל וכך מתקיימים אינסוף עולמות מקבילים.
על פי פירוש זה, אם הרגת את סבך שאמור להיות המסובב שיביא אותך לעולם, ופגעת במהלך ההיסטוריה, בעצם אתה נכנס למרחב-זמן חדש שבו סבך מת ואי לכך אתה לא נולדת.
פתרון אחר נעוץ בטענה שלו היית נוסע אחורה בזמן חוקי הטבע פשוט ימנעו מעצמם לעשות כל דבר שיימנע כתוצאה מהמסע בזמן לקרות.
תאוריה זו מביאה לחשש לגבי דטרמיניזם - אי-קיום רצון חופשי.
במודל כזה רצון חופשי הוא בגדר אשליה.
תאוריה זו אף טוענת כי סיבתיות צריכה להיות קבועה, כלומר ששום דבר לא יכול להיווצר מהיעדר סיבה.
בעוד יש תאוריות שנאחזות בטענה שאירועים יכולים להישאר קבועים גם אם הסיבה הראשונית כפועל יוצא חוסלה.
יש גם אפשרות שפעולות יזומות במסגרת מסעות בזמן ייושמו אבל לא די בהצלחה כדי שתוצאתן תימחק.
פרדוקס המעטפות הוא מעין פרדוקס בתורת ההסתברות, המתרגם תנאי התחלה מעורפלים לבעיית-החלטה שבה שתי אלטרנטיבות אשר הבחירה בכל אחת מהן נראית יותר סבירה מהבחירה באחרת.
בניסוח המקובל של הפרדוקס, נתונות שתי מעטפות.
באחת המעטפות ישנו סכום כסף מסוים (X) ובשנייה סכום כפול (2X).
משתתף מקבל אחת מן המעטפות, בסיכויים שווים, ונשאל האם ברצונו לעבור ממה שקיבל למעטפה השנייה.
המשתתף מוצא במעטפה שלו סכום Y.
מנקודת המבט שלו, יש שתי אפשרויות: או שבמעטפות יש Y ו-2Y (ואז, אם הוא מחליף, הוא מרוויח Y), או שבמעטפות יש Y ו-Y/2 (ואז, אם הוא מחליף, הוא מפסיד Y/2).
מכיוון שלכאורה שני המקרים סבירים באותה מידה, עדיף להחליף, משום שהרווח הפוטנציאלי כפול מההפסד הפוטנציאלי (כלומר להחלפה תוחלת חיובית, ולכן היא כדאית).
הנימוק הזה נכון לכל Y.
כלומר - אפשר היה לבחור את המעטפה הראשונה ולא לפתוח אותה, ולפי אותו שיקול כדאי להחליף מעטפות בלי קשר לתכולת המעטפה הראשונה.
הרי אם לא פתחנו את המעטפה, מה מבדיל אותה מן המעטפה השנייה?
ואם לא פתחנו את המעטפות עדיין, גם את המעטפה השנייה כדאי להחליף, ולחזור לראשונה.
בעיה זו משתייכת לענף קבלת ההחלטות.
הפרדוקס מנוסח תוך התעלמות מן התהליך המשמש להגרלת הסכום המקורי, X.
בפועל, כל "בחירה" מחייבת תהליך של בחירה - התפלגות א-פריורית שממנה הסכום הזה נבחר.
מרגע שקיימת התפלגות כזו, גם אם היא אינה ידועה למשתתף, אפשר, עקרונית, לחשב את הסיכוי להרוויח (לעבור מ-Y ל-2Y) לעומת הסיכוי להפסיד (לעבור מ-Y ל-Y/2).
ביתר פירוט, כאשר הסכום Y במעטפה הראשונה ידוע, ההתפלגות א-פריורי של X קובעת את הסיכויים שהמעטפה השנייה תכיל 2Y או Y/2, ואם מן העובדה ש- Y=a אפשר להסיק ש- X שווה ל-2a או ל-a/2 בסיכויים שווים, אז גם הסיכוי א-פריורי של X=2a חייב להיות שווה לזה ש- X=a/2.
התפלגות כזו, הנקראת התפלגות אחידה, ובה הסיכויים שווים, אינה קיימת בקטע אינסופי כמו כל הישר הממשי.
לכן, במעבר על כל האפשרויות, היתרון שברווח הגדול יותר מתאזן בכך שבדרך כלל הסיכויים להפסיד גדולים מן הסיכויים להרוויח.
לשם המחשה, נניח ש- X נבחר באקראי באמצעות התפלגות אחידה בקטע שמ-0 עד 100. כמו קודם, במעטפות נמצאים הסכומים X ו-2X.
אם הסכום Y שאנחנו מוצאים במעטפה קטן מ-100, אז X יכול להיות 2Y או Y/2, ושני המקרים סבירים באותה מידה.
לעומת זאת, אם מצאנו Y גדול מ-100, לא ייתכן שזהו הX שהוגרל (משום ש- X מוגבל לתחום מ-0 עד 100), אלא בהכרח Y=2X, לכן X=Y/2 הוא הסכום שבמעטפה השנייה, ואז לא נחליף.
אפשר לסמן ב-Y את תכולת המעטפה הראשונה, כפי שעשינו לעיל, וב- Z את תכולת המעטפה השנייה.
הקשר בין Y ו-Z הדוק למדי: אחד מהם שווה לערך X, והשני שווה ל-2X.
לאחר שהתגלה הערך של Y, אנחנו נדרשים לבחור בין המעטפה הראשונה (זכייה ב-Y, הידוע בשלב זה), לבין המעטפה השנייה (תוספת של Z-Y, כאשר Y ידוע).
אם התוחלת של X סופית, החישוב מראה שהתוחלת של Z-Y שווה לאפס וההחלפה מהווה הימור המאוזן לכאן או לכאן.
ישנן גרסאות של הפרדוקס שבהן התוחלת של X אינה סופית, ואז הטור הנדרש לחישוב התוחלת של Z-Y אינו מתכנס בהחלט.
אף ש- , אפשר לתכנן את ההתפלגות כך שהתוחלות של Y-Z ושל Z-Y תתבדרנה שתיהן לאינסוף, וכך יראה שכל מעטפה עדיפה על חברתה.
השגיאה כאן נעוצה בהנחה שאפשר להכריע בין אלטרנטיבות על-פי השוואת תוחלות, גם כאשר אלו אינן מוגדרות היטב.
יש בעיית החלפה דומה, שבה התוצאה מפתיעה גם אם אינה פרדוקסלית.
בשתי מעטפות יש סכום כסף חיובי כלשהו (שני הסכומים שונים).
משתתף, שאיננו יודע מה הסכומים, מקבל את אחת המעטפות באופן אקראי ואחיד (הסתברות 50% לכל מעטפה).
הוא מסתכל במעטפה ולאחר מכן מחליט האם להחליף את המעטפות ולקבל את הסכום במעטפה השנייה, או להישאר עם הסכום שלו.
האם המשתתף יכול לגרום לכך שיקבל את הסכום הגבוה יותר בהסתברות גבוהה ממש מ-50%?
אף על פי שלמשתתף אין שום מידע מעבר לסכום שבידו, הוא יכול לעשות זאת.
הוא מגריל מספר ממשי כלשהו (דרך ההגרלה איננה חשובה כל עוד לכל אינטרוול יש הסתברות חיובית).
אם המספר שיצא קטן מהסכום שבידו, הוא משאיר אותו, אחרת מחליף.
הסיבה שזה עובד היא: נסמן את הסכום במעטפה הגדולה ב-X, בקטנה ב-Y, ואת המספר שהוגרל ב-R.
אם R<Y, המשתתף בכל מקרה יישאר עם הסכום שלו, ולכן ינצח אם ורק אם הוא קיבל בהתחלה את המעטפה עם ה-X (הסתברות 50%).
אם R>X, המשתתף בכל מקרה יחליף את המעטפות, ולכן ינצח אם ורק אם הוא קיבל בהתחלה את המעטפה עם ה-Y (הסתברות 50%).
אם X>R>Y, המשתתף יסיים עם X בכל מקרה.
בסך הכול אפשר לראות שההסתברות שהמשתתף ינצח גדולה מ-50% כרצוי.
המספר הקטן ביותר בעל תכונה מסוימת נחשב למעניין.
למשל, 1 מעניין משום שהוא המספר הטבעי הקטן ביותר, 2 מעניין בתור המספר הראשוני הראשון, 1,729 מעניין בתור המספר הקטן ביותר שניתן לבטאו כסכום של שתי חזקות שלישיות בשתי דרכים שונות, וכדומה.
נניח שיש מספרים לא מעניינים.
אם כך, הקבוצה של המספרים הטבעיים שאינם מעניינים אינה ריקה, ולכן (לפי עקרון הסדר הטוב) חייב להיות בקבוצה איבר מינימלי; עצם העובדה שאיבר זה הוא הקטן ביותר מבין כל המספרים הלא-מעניינים - היא מעניינת כשלעצמה, ועל כן מקומו בקבוצת המספרים המעניינים, ולא בקבוצת המספרים הלא-מעניינים.
הוכחנו, אם כך, שכל המספרים מעניינים.
הבעיה הנעוצה בלב הפרדוקס היא המושג "מעניין", שאינו מוגדר היטב.
ניתן, למשל, לטעון שהיות מספר כלשהו הקטן ביותר בקבוצת הלא-מעניינים אינה הופכת אותו למעניין.
יתר על כן, לא ניתן מבחינה מתמטית להגדיר "מספר מעניין" בצורה כזו שאיבר שנמצא בקבוצת המספרים הלא-מעניינים יהיה מספר מעניין בעצמו, מבלי שבהגדרה עצמה תהיה סתירה.
הדבר נובע מצורתה המעגלית של ההגדרה: המספר שאנו מוצאים בהוכחה בדרך השלילה הוא מעניין אם הוא לא-מעניין וגם הוא הקטן ביותר מבין הלא-מעניינים.
מבחינה לוגית, אמירה זו דומה לאמירה "A הוא B אם A הוא לא B" שהיא סתירה.
התייחסות עצמית מסוג זה ידועה במיוחד בפרדוקס השקרן.
פרדוקס השמדת המידע, המוכר גם בתור פרדוקס המידע , הוא פרדוקס פיזיקלי, לפיו מידע הטמון בחומר שנכנס לתוך חור שחור עלול להיעלם בעקבות תהליך ה"התאדות" של חורים שחורים, המכונה "קרינת הוקינג".
חלקיק שנמצא במצב קוונטי מוגדר כנושא מידע.
על-פי תורת הקוונטים, התפתחות של מערכת קוונטית בזמן מאופיינת תמיד על ידי טרנספורמציה אוניטרית, אשר מעצם טבעה משמרת מידע.
משפט האין-שיער קובע ששלושת הפרמטרים היחידים של החור השחור, שאותם ניתן למדוד מחוץ לאופק האירועים, הם מסה, תנע זוויתי ומטען.
לכן, אם החלקיקים המרכיבים את החור השחור נשאו מידע נוסף לפני שנכנסו לתוכו, הרי מידע זה אמור להיות בתוך החור השחור.
יש להוסיף שהתהליך הקוונטי של קרינת הוקינג, שבמהלכו מסת החור השחור קטנה, אינו מוציא מידע מחוץ לחור השחור, משום שהחלקיקים המרכיבים קרינה זו נמצאים במצב קוונטי מעורב (מצב השקול לבחירה אקראית בין כל המצבים הקוונטיים האפשריים).
כל עוד החור השחור קיים אנו יכולים להניח שהמידע נמצא בתוכו, אולם עם התאדותו הסופית על ידי פליטת קרינת הוקינג, נשאלת השאלה לגבי מיקום הימצאותו של המידע.
אם המידע נעלם, אז לפנינו תהליך לא-אוניטרי ובלתי הפיך, אשר איננו אפשרי על-פי תורת הקוונטים.
נניח שקיימים שני כוכבים מסיביים שאינם טעונים.
אחד מורכב מחומר בצורת אטומים רגילים והשני מורכב מאנטי-חומר בצורת אנטי-חלקיקים.
אם שני הכוכבים עוברים קריסה כבידתית אז ייווצרו שני חורים שחורים זהים שצופה חיצוני לא יוכל להבדיל ביניהם.
כל עוד החורים השחורים קיימים, נוכל להניח כי המידע לגבי הרכבם מצוי פנימה לאופק האירועים, וצופה חיצוני אשר יכול למדוד רק את המסה, את התנע הזוויתי ואת המטען שלהם, יקבל עבור שניהם תוצאות מדידה זהות.
על פי הבנתנו את קרינת הוקינג, היא לא נושאת מידע, ולכן גם היא לא תעזור להבדיל בין "כוכב החומר" ל"כוכב האנטי-חומר".
תהליך פליטת קרינת הוקינג יגרום לחורים השחורים להיעלם לחלוטין כעבור זמן מסוים, ונשאלת השאלה אם המידע לגבי הרכבם המקורי של הכוכבים אבד.
תשובה חיובית לשאלה זו, הנגזרת מתיאור התהליך, מנוגדת לדרך בה אנו מבינים את מהותם של תהליכים קוונטיים בתור תהליכים משמרי מידע.
מזה שנים ידוע שגרסאות מסוימות של תורת המיתרים, הידועות בתור "התאמת AdS/CFT" מציעות פתרונות לפרדוקס.
הפתרון שמתקבל הוא שאופק האירועים של חור שחור משמר את המידע שנבלע בחור השחור, ועל כן חלקיקים וירטואליים הנוצרים על אופק האירועים כוללים את המידע, וקרינה שלהם מחוץ לחור השחור - קרינת הוקינג - נושאת עימם את המידע שכביכול אבד.
אבל פתרון זה אינו מקובל מפני שהוא תלוי בנכונותן של תורות אלו - נכונות שאינה מוכחת ומחייבת נכונות של העיקרון ההולוגרפי באופן שאינו מתיישב עם הידוע לנו.
לאחרונה (2022) עלתה אפשרות מעניינת לפתרון הפרדוקס.
אם מיישמים את עקרון סכום של היסטוריות, עקרון שמקורו בתורת השדות הקוואנטית השמרנית והמקובלת, על התיאור של יחסות כללית להתנדפות של חור שחור, וכוללים בהיסטוריות (כך גם נעשה בתורת השדות הקוואנטית) גם אפשרויות הכוללות חורי תולעת וירטואליים, מתקבל שהמידע אינו מושמד ונפלט בקרינת הוקינג.
אפשרות זו מציגה אותן תוצאות של התאמת AdS/CFT אך ללא הצורך בתורת המיתרים.
חורי התולעת מכונים וירטואליים מפני שלמרות שהם כלולים בחישוב, הם לא קיימים בתוצאה - בדומה לחלקיקים וירטואליים.
הפיזיקאי ג'ון פרסקיל, הטוען כי המידע איננו אובד, התערב על כך בשנת 1997 כנגד סטיבן הוקינג וקיפ תורן.
לפי נוסח ההתערבות, על המפסיד למסור למנצח אנציקלופדיה שממנה "ניתן לשלוף מידע על פי הצורך".
בשנת 2004 הודה הוקינג בהפסד, אולם הוא לא נימק את השינוי בעמדתו בצורה נהירה.
הוקינג שלח לפרסקיל כפרס את האנציקלופדיה של הבייסבול.
נכון ל-2014, נותר תורן איתן בעמדתו.
כיום ישנם מדענים שטוענים שהוקינג הרים ידיים מוקדם מדי, ארבעה חוקרים: פוליצ'ינסקי ממכון קוולי, ויחד עמו אחמד אלמחיירי, דונלד מרולף וג'יימס סולי מאוניברסיטת קליפורניה, שמו לעצמם לפני כשנה מטרה לברר את העניין.
להפתעתו גילה הצוות, שעל פי חוקי הפיזיקה הידועים הם מגיעים לסתירה בשאלת המידע, וזהו בדיוק "פרדוקס חומת האש".
חישוביהם הראו שהמידע הנפלט מהחור השחור אינו עולה בקנה אחד עם אופק האירועים התוחם אותו.
במקומו מצויה אי-רציפות בוואקום שמתגלה כחלקיקים אנרגטיים - מעין חומת אש - המסתתרת בתוך החור השחור.
משמעות קיומה האפשרי של חומת אש היא שאופק האירועים, שעל פי תורת היחסות הכללית הוא מרחב ריק, הוא מקום מיוחד שאיננו מתנהג לפי עקרונותיו של איינשטיין .
פרדוקס יום ההולדת הוא שמה של תוצאה בתורת ההסתברות לפיה בקבוצה של 23 אנשים או יותר, שנבחרו באקראי, הסיכוי לכך שלפחות שניים מהם נולדו באותו יום בשנה עולה על 50%.
תוצאה זו אינה פרדוקס במובן המקובל של המילה, שכן אין בה סתירה לוגית, אך היא סותרת את האינטואיציה של מרבית האנשים, הסבורים כי ההסתברות תהיה קטנה בהרבה מחצי משום שמספר הימים שבהם אפשר להיוולד (365) גדול בהרבה מ-23.
תוצאה זו היא מקרה פרטי של עובדה כללית יותר, שיש לה חשיבות רבה ביישומים של תורת ההסתברות, ובפרט בהתקפת יום הולדת בקריפטוגרפיה: אם בוחרים ערכים בעלי סיכוי שווה מבין אפשרויות, אז החזרות הראשונות תופענה כבר כאשר מספר הערכים הוא מסדר גודל של .
פרדוקס יום ההולדת תואר לראשונה במאמר על ידי הסטטיסטיקאי ריצ'רד פון מיזס ב-1939, אם כי סביר להניח שגרסאות קודמות של הבעיה היו ידועות ונחקרו על ידי מתמטיקאים אחרים.
הפרדוקס היה נושא למחקר ודיונים רבים בתחומי ההסתברות והסטטיסטיקה, ויש לו יישומים רבים במדעי המחשב, בקריפטוגרפיה ובתחומים נוספים.
פרדוקס יום ההולדת עוסק בסדרה של ערכים אקראיים המוגרלים ממרחב סופי.
במקרה של ימי הולדת, הערכים האפשריים הם 365 ימי השנה.
בניתוח התופעה נניח שהאוכלוסייה מפוזרת באופן אחיד בין ימי ההולדת האפשריים.
לבסוף, מניחים שתאריכי הלידה של האנשים שנבחרו בלתי תלויים זה בזה – הפרדוקס מאבד את עוקצו אם בין הנבחרים זוג תאומים.
כדי להבטיח שני אנשים שנולדו באותו יום, יש לבחור לפחות 366 אנשים – זהו עקרון שובך היונים.
אולם, הדרישה הסטטיסטית להימנע מימי הולדת משותפים הולכת ומכבידה.
בבחירה של 23 הסיכוי שכל ימי ההולדת שונים יורד ל-49.3%, בבחירה של 41 אנשים הסיכוי שכל ימי ההולדת שונים הוא 9.7%, וסיכוי זה יורד אל מתחת לאחוז אחד כאשר בוחרים 57 אנשים.
את תופעת יום ההולדת, או החֲזרה בבחירה מתוך מרחב גדול בעל התפלגות אחידה, אפשר לנתח משלוש זוויות שונות, המביאות, בקירוב, לאותה מסקנה.
נניח שזורקים כדורים באקראי ל- תאים, שההסתברות ליפול לכל אחד מהם שווה.
אפשר להתייחס לכל זוג כדורים כאל ניסוי עצמאי.
הסיכוי שזוג הכדורים ייפלו לאותו תא הוא בדיוק , ולכן, כשעוברים על פני כל הזוגות, התוחלת של מספר הזוגות שיפלו לאותו תא שווה ל- .
כל עוד מספר הכדורים הוא קטן, התוחלת קטנה מ-1 ולכן אפשר להניח שלא תהיה אף התנגשות אחת.
התוחלת של מספר ההתנגשויות עולה ל-1 כאשר .
את התנאי לחוסר חזרה אפשר להבין כך: הכדור הראשון אינו מוגבל.
הכדור השני יכול ליפול לאחד מבין תאים, כדי לא לפגוע בראשון; הסיכוי לכך בזריקה אקראית הוא .
הכדור השלישי צריך ליפול לאחד מבין התאים שנותרו לאחר פסילת שני התאים הראשונים, והסיכוי לכך הוא ; וכן הלאה.
לאחר שנזרקו כדורים שנכנסו כולם לתאים שונים, הסיכוי לכך שגם הכדור הבא ייפול לתא משלו הוא .
אם כך, ההסתברות לכך ש- הכדורים הראשונים יפלו לתאים שונים, ללא התנגשות, שווה למכפלה
כדי להעריך מספר זה, אפשר להיעזר בחסם (הנובע מפיתוח פונקציית האקספוננט לטור טיילור, ותקף לכל ).
הסיכוי לאי-חזרה יורד לחצי, אם-כן, כאשר .
ככל שהיחס גדול יותר כך הסיכוי לאי-חזרה קטן יותר, ובסימון אסימפטוטי: עבור ההסתברות לאי חזרה היא .
מצד שני, לא קשה להראות שאם אז ההסתברות היא .
נסמן ב- את המשתנה המקרי הסופר כמה כדורים נזרקו, באקראי, עד להתנגשות הראשונה.
זהו משתנה העשוי לקבל כל ערך שלם מ- ועד .
ידוע שהתוחלת של משתנה כזה שווה לסכום ההסתברויות
, שאותו אפשר להעריך בעזרת אינטגרל מתאים.
התוצאה מחישוב מדויק היא שכאשר גדול, תוחלת זמן ההמתנה עד להתנגשות הראשונה היא .
פרדוקס לוינתל הוא מונח בתחום של דינמיקת קיפול חלבונים (יצירת המבנה התלת־ממדי שלהם), המייצג דילמה אשר שררה בתחום עד לשנות ה-80 והיא "כיצד חלבונים מתקפלים כה מהר?".
המונח נטבע על ידי הביולוג סיירוס לוינתל ב-1969.
בתא, חלבונים מסונתזים על ידי הריבוזום כשרשראות של חומצות אמינו.
לרוב, שרשראות אלו מתקפלות לצורה אחת ספציפית וקומפקטית בה החלבון מתפקד מבחינה ביולוגית.
ב-1961 הציע הביוכימאי כריסטיאן אנפינסן שהצורה אליה מתקפל החלבון נקבעת אך ורק על ידי המבנה הראשוני שלו.
במאמר שפרסם לוינתל ב-1969 הוצג הפרדוקס:
ניקח חלבון היפותטי קטן, המורכב מכ-300 חומצות אמינו.
לכל חומצת אמינו ישנן 3 דרגות חופש (תצורות בהן היא יכולה להסתדר במרחב) (הערה: במציאות בדרך כלל יש יותר דרגות חופש).
חישוב קומבינטורי פשוט מראה שישנן כ-3300 (כ-) תצורות שונות אפשריות לחלבון.
בהנחה שהמעבר מתצורת חלבון אחת (מכונה גם "מיקרו-מצב אנרגטי") לתצורת חלבון אחרת, לוקח כ- שניות (במציאות הדבר גוזל יותר זמן), לחלבון המנסה להתקפל על ידי חיפוש התצורה הנכונה באופן אקראי של ניסוי וטעיה, ייקח עד יותר מ- שנים להגיע למצב הרצוי - זמן העולה על גיל היקום.
הדבר איננו מתיישב עם תוצאות אמפיריות אשר הראו שזמן הקיפול של חלבונים הוא בין עשרות מילישניות ודקות בודדות.
מאמרים לא מעטים בתחום תקפו את הפרדוקס בטענה שקיפול אקראי הוא לא אפשרי אך למעשה לא היה בכך צורך - גם לוינתל מעולם לא האמין שחלבונים מוצאים את צורת קיפולם באופן אקראי.
למעשה, אף חוקר בתחום לא חשב כך - לוינתל פשוט הגדיר את הבעיה העומדת בפני המחקר באופן מיטבי.
בסוף שנות ה-80 נפתר הפרדוקס על ידי תאוריית מודל המשפך.
התאוריה גורסת שישנן תצורות קיפול חלבון מועדפות יותר מבחינה אנרגטית (כלומר, הן במצב של מינימום אנרגיה פוטנציאלית) מתצורות קיפול אחרות, ומספרן של התצורות המועדפות קטן בהרבה ממספרם של התצורות הפחות מועדפות.
לפי המודל, סידור כלל התצורות במרחב, כאשר המועדפות יותר נמצאות למטה, יתן צורה של משפך.
משפך זה הוא משפך האנרגיה של קיפול החלבון, בו החלבון מתחיל במצבו הלא מקופל למעלה ו"נופל" מבחינה אנרגטית אל מצבו המקופל באופן דטרמיניסטי.
ה"שביל" בו עובר החלבון בדרכו למינימום האנרגטי, הוא סדרת מצבי ביניים שכל אחד מהם מועדף אנרגטית על הקודם לו וכך נדחף החלבון הלאה בתהליך הקיפול עד הגעתו למצבו הסופי.
"משפך אנרגטי" כזה תלוי בתנאי הסביבה (טמפרטורה, ריכוזי מלחים, סביבה מימית או הידרופובית וכו').
בתנאים שונים יכול החלבון להגיע לקיפול שונה או לא להתקפל כלל למצב יציב יחיד.
פרדוקס הקַשָּׁת הוא פרדוקס פיזיקלי, המתייחס למסלולו של חץ הנורה מקֶשֶׁת, ולפיו חץ עשוי להגיע אל מטרתו, אף על פי שבעת הירי הוא היה מכוון מעט ימינה או שמאלה מהמטרה.
המונח נטבע בשנות ה-30 על ידי רוברט אלמר (Robert P.
Elmer, 1877–1951) שהיה קַשָּת ונשיא התאחדות הקַשתוּת של ארצות הברית.
פרדוקס הקשת רלוונטי אך ורק לקשתות לא ממרכזות (non-centershot bows), היינו קשתות מהעת העתיקה, שבהן החץ יוצא מימין או משמאל לקשת, ועל כן בעת הירי החץ איננו נמצא במישור אחד יחד עם המיתר המתוח.
בקשתות מודרניות, שבהן החץ נמצא באותו מישור עם המיתר המתוח, פרדוקס זה איננו רלוונטי.
על חץ שאיננו במישור אחד יחד עם המיתר המתוח מופעל בעת הירי כוח שאיננו באותו כיוון בדיוק כמו מסלולו של החץ (תרשים 1).
הכוח המופעל על החץ, גורם לא רק לדחיפתו, אלא גם לכיפופו, כשהצד הקעור הוא הצד אליו פנה החץ בהתחלה (תרשים 2).
מידת העקמומיות תלויה במידת האלסטיות של גוף החץ.
לאחר מכן, החץ מתיישר ואז מתעקם לצד השני (תרשים 3).
כך ממשיך החץ בתנודות בהמשך מסלולו.
הסבר זה אומת באמצעות שימוש בצילום במהירות גבוהה.
המיקום המדויק שבו יפגע החץ תלוי בגורמים רבים: הכוח שהופעל וכיוונו, מידת האלסטיות של גוף החץ, המרחק מהמטרה ועוד.
ככל שהגוף החץ אלסטי יותר כך פרדוקס הקשת יבוא לידי ביטוי רב יותר.
בדוגמה שבתרשימים 1-3: ככל שגוף החץ אלסטי יותר - כך הוא צפוי לפגוע ימינה יותר.
פרדוקס הערך הוא פרדוקס בתאוריה הכלכלית שמתבסס על ההבחנה בין ערך השימוש (use value) של מוצר מסוים וערך החליפין (exchange value) של אותו המוצר.
הבחנה זו, שהייתה מקובלת כבר בעת העתיקה העלתה את השאלה מדוע למוצר אחד יכול להיות ערך שימוש גבוה מאוד וערך חליפין נמוך מאוד, בעוד שמוצר אחר נהנה מערך חליפין גבוה – על אף שאין לו שום ערך שימוש.
בעוד שתאוריות כלכליות עד המאה ה-20 נטו להזניח את ערך השימוש ולהתמקד בגורמים הקובעים את ערך החליפין, תאוריות בנוגע לחשיבות המושג יעילות שולית בהליך הכלכלי, שהתפתחו בסוף המאה ה-19, הציעו פתרון לפרדוקס על ידי שילוב ערך השימוש בתוך המערכת התאורטית שהם הציגו.
על אף שפרדוקס הערך היה מוכר לכלכלנים עוד לפני אדם סמית, הוא נחשב הראשון שנתן לפרדוקס ביטוי מלא בספרו "עושר האומות" (1776).
בפרק 4 בחלק הראשון של הספר הציע סמית גרסה לפרדוקס הערך שמתייחסת למים ויהלומים.
סמית טען כי על אף שכל אחד זקוק למים כדי לחיות, המחיר שלהם נמוך למדי, בעוד שאיש לא באמת זקוק ליהלומים, אבל הרבה אנשים היו מוכנים לשלם המון תמורתם:
בסוף המאה ה-19 פיתחו במקביל הלוגיקן הבריטי ויליאם סטנלי ג'בונס, הכלכלן האוסטרי קרל מנגר והכלכלן והמתמטיקאי הצרפתי לאון ואלרה רעיונות דומים בנוגע לחשיבות של "הערך השולי" או "היעילות השולית" במסגרת הניתוח הכלכלי.
מושג "התועלת השולית" מתייחס לתועלת שניתן להפיק מהיחידה האחרונה של המוצר, או מהנתח האחרון של ההשקעה שבוצעה (הנתח השולי).
מושג התועלת השולית אפשר להסביר את ערך החליפין על בסיס ערך השימוש (שמתייחס לתועלת מהמוצר), ולמעשה הציע פתרון לפרדוקס הערך שעבור כלכלנים כמו אדם סמית, דייוויד ריקרדו וקרל מרקס נראה בלתי פתיר.
ניתן להדגים את רעיון התועלת השולית בדוגמת המים והיהלום שהציג אדם סמית.
בעוד שסמית ראה ביחס ההפוך בין ערך שימוש לערך חליפין של מים ויהלומים פרדוקס בלתי פתיר, תאוריית התועלת השולית מסבירה את ערך החליפין הנמוך של מים בשפע היחסי של המוצר במערכת הכלכלית.
לפי תאוריה זו, התועלת השולית שאדם מסוים מפיק ממים הולכת ופוחתת ככל שההיצע של המוצר גדול יותר.
את הליטר הראשון של מים עשוי אדם לשתות; באמצעות הליטרים הבאים הוא עשוי להתקלח, ולאחר מכן להשקות את הגינה.
אולם, ככל שהיצע המים אינו קטן, התועלת שניתן להפיק מכל יחידה נוספת של מים פוחתת והולכת.
למעשה, תאוריית התועלת השולית הפוחתת מסבירה את פרדוקס הערך בכך שכלכלנים בתקופות קודמות בחנו את ערך השימוש של מוצר לפי היחידה הראשונה שלו, ואילו ערך החליפין נקבע לפי היחידה האחרונה.
עם זאת, ערך החליפין של היחידה האחרונה (השולית) נקבע לפי ערך השימוש של היחידה הראשונה, בשקלול נתונים נוספים כמו היצע וזמינות של המוצר.
פרדוקס הסולם והאסם הוא ניסוי מחשבתי המדגים כמה מן התוצאות של תורת היחסות הפרטית.
הניסוי נעזר בחלק מן המסקנות של התורה כדי להביא לתוצאה שהיא לכאורה פרדוקסלית, אך מיושב במסגרת התורה באופן שממחיש את שלמותה והתחזיות שלה.
הניסוי נוגע לסולם מקביל לקרקע, ולאסם שדלתותיו נסגרות ונפתחות פעם בכמה זמן.
הסולם נע אופקית ולפיכך עובר התכווצות אורך.
כתוצאה, הסולם מתאים בגודלו להיכנס לתוך האסם, שבמצב מנוחה יחסית היה קטן מדי בשביל להכיל אותו.
מצד שני, מנקודת המבט של צופה הנמצא על הסולם, זהו האסם שנע, כך שזהו האסם שיתכווץ לגודל קטן אף יותר, ולכן לא יהיה מסוגל להכיל את הסולם.
הפרדוקס לכאורה נובע מההנחה המובלעת המוטעית של סימולטניות מוחלטת.
בתורת היחסות, הסימולטניות היא יחסית לצופה, כך שבעוד בעבור מערכת ייחוס אחת שני מאורעות מתרחשים סימולטנית, במערכת הייחוס שנעה ביחס אליה מאורעות אלו מתרחשים בזמן שונה.
במקרה של פרדוקס הסולם והאסם, אם במערכת המעבדה דלתות האסם נסגרות סימולטנית, במערכת הייחוס של הסולם יש הפרש זמנים קל ברגעי הסגירה והפתיחה של שתי הדלתות, כך שקיים משך זמן מסוים ששתי הדלתות פתוחות בעוד הסולם ממלא את האסם, וכך הפרדוקס נפתר, וחישוב יחסותי אכן מאשש שהדבר נכון.
הגרסה הפשוטה ביותר של הבעיה נוגעת לאסם, עם דלת קדמית ודלת אחורית אשר פתוחות, וסולם אשר, כשהוא במנוחה יחסית לאסם, הוא ארוך מכדי להיכנס לתוכו.
כעת אנו מזיזים את הסולם במהירות אופקית גבוהה דרך האסם הנייח.
בגלל המהירות הגבוהה שלו, הסולם עובר את האפקט היחסותי של התכווצות האורך, ונהיה משמעותית קצר יותר.
כתוצאה, כשהסולם עובר דרך האסם, הוא, למשך זמן קצר, מוכל כולו בתוך האסם.
יכולנו, אם רצינו, לסגור סימולטנית את שתי הדלתות למשך זמן קצר, כדי להדגים שהסולם נמצא כולו בתוך האסם.
הפרדוקס לכאורה מופיע כאשר מתחשבים בסימטריה של המצב.
כיוון שצופה שנע עם הסולם נע במהירות קבועה במערכת הייחוס האינרציאלית של האסם, צופה זה גם נמצא במערכת ייחוס אינרציאלית, ולכן, לפי עקרון היחסיות, אותם חוקי הפיזיקה תקפים עבורו.
מנקודת המבט הזאת, הסולם הוא שכעת נייח, והאסם הוא שנע במהירות גבוהה.
לכן זהו האסם שעובר התכווצות אורך, וניתן להסיק שהוא קטן בהרבה ממה שדרוש כדי להכיל במלואו את הסולם כאשר הוא (האסם) חולף על פניו: הסולם לא מתאים בגודלו, ולכן איננו יכולים לסגור את שתי הדלתות מבלי לשבור אותו.
האם הסולם נשבר או לא?
הסתירה לכאורה הזאת היא הפרדוקס.
כדי להמחיש כיצד הפרדוקס נפתר באופן מלא, ניקח מקרי פרטי בו אורכו המקוצר של הסולם (שנצפה כאשר הוא נע) שווה בדיוק לאורכו של האסם.
נסמן את אורך המנוחה של הסולם ב- ואת אורך המנוחה של האסם ב-.
מתקיים : כאשר , כך שהסולם מתאים באורכו בדיוק לאסם.
ממערכת הייחוס של הסולם, אורך האסם הוא .
הסימולטניות של מאורעות הסגירה של הדלת הקדמית והאחורית (שנקרא להם מאורעות A ו-B) במערכת הייחוס של האסם לא נשמרת במעבר למערכת הייחוס של הסולם, והאינטרוול דמוי המרחב בין המאורעות A ו-B מומר בחלקו לאינטרוול דמוי זמן (עקרון שמירות האינטרוול) במערכת הייחוס של הסולם.
מטרנספורמציות לורנץ נקבל שהפרש הזמנים של המאורעות ו- (שהם מאורעות A ו-B כפי שנצפים במערכת הייחוס של הסולם) הוא .
לעומת זאת הפרש הזמנים בין הרגע שבו חזית הסולם פוגשת את הדלת האחורית לרגע שזנב הסולם פוגש את הדלת הקדמית הוא : , כלומר , ובמילים אחרות במקרה פרטי זה זמני הסגירה של הדלתות מתוזמנים באופן מושלם עם זמני ההגעה של חזית הסולם.
במקרה הכללי יותר בו אורכו המקוצר של הסולם קטן מאורך האסם, השוויונות שתוארו מתורגמים לאי שוויונות שמראים באופן דומה כי הסולם לא נשבר בשתי מערכות הייחוס.
את יחסיות הסימולטניות ניתן להבין גם כאילו ישרים המייצגים מאורעות סימולטניים במערכת ייחוס אחת (ישרים מקבילים לציר המקום) מיוצגים על ידי ישרים נטויים במערכת ייחוס אחרת, כמוראה בהמחשה משמאל.
בפרט, אפילו הסדר של מאורעות עשוי להשתנות במעבר בין מערכת ייחוס אחת לאחרת.
הסיטואציה המוצגת בפרדוקס ניתנת להמחשה בתרשים מינקובסקי המופיע באיור למטה.
התרשים הוא במערכת הייחוס של האסם.