tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מושבות רומיות ביהודה - ייסודה של איליה קפיטולינה, פרקים בתולדות ירושלים בימי בית שני: ספר זיכרון לאברהם שליט, בעריכת אהרן אופנהיימר, אוריאל רפפורט, מנחם שטרן, (תשמא) 340-360.
הרב בנימין אהרן סלניק (ה'ר"ץ - ה'ש"פ 1530–1620), היה רב בוועד ארבע ארצות, ואב"ד בפולין במאה ה-16, מחבר הספר משאת בנימין.
נולד בפולין בשנת 1530 לרבי אברהם מהעיר סלוניקי (ומכאן שם משפחתם), מצאצאי דון יצחק אברבנאל.
היה תלמידם של הרמ"א, המהרש"ל, הרב שלמה מלובלין (מהר"ש השני) והמהר"ם מלובלין.
בהמשך שימש זמן קצר כרב מדינת שלזיה, ולאחר מכן התמנה לרב ואב"ד בקהילת פודהייצה, תפקיד אותו מילא כ-40 שנה.
נמנה בין חברי ועד ארבע ארצות, ולאחר מכן התמנה לראש הוועד.
נפטר בשנת 1620 ונטמן בעיר פודהייצה.
בניו שימשו אחריו ברבנות העיר.
התפרסם כמורה הוראה ושאלות הלכתיות נשלחו אליו מכל תפוצות ישראל.
חיבר מספר ספרים, אך המפורסם בהם הוא ספר השאלות והתשובות משאת בנימין.
בספר 112 שאלות ותשובות הלכתיות.
יש בו תשובות מאת גדולי דורו מהם: רבי יהושע פלק כץ, מהר"ם מלובלין, רבי מרדכי יפה ורבי משה מת.
הוא יצא לראשונה בקראקא בשנת 1633. הספר נחשב בר סמכא, וספרים תורניים אחרים מסתמכים על דברים הכתובים בו.
מקור השם בפסוק מספר בראשית - "ותרב משאת בנימין ממשאות כולם חמש ידות"
הרב סלניק התפרסם ברבים גם בזכות ספרו "סדר מצוות הנשים" שנכתב בשפת היידיש העתיקה ונדפס במהדורות רבות באירופה של אותה תקופה, ואף תורגם לאיטלקית על ידי הרב יעקב הלפרין בשנת 1616. לאחרונה תורגם החיבור לאנגלית ונדפס במהדורה ביקורתית בידי אדוארד פראם.
הספר תורגם לעברית על ידי ש.
צוויבל ויצא לאור בהוצאת זיכרון אהרן, ירושלים תשע"ג.
בנו, הרב יעקב סלניק שימש אחריו ברבנות העיר פודהייצה, גם הוא השתתף בוועד ארבע ארצות, יחד עם רבי יום-טוב ליפמן הלר, חיבר את הספר 'נחלת יעקב', על פירוש רש"י לתורה נפטר בשנת ת"ג.
בנו, הרב אברהם סלניק כיהן כרבה של טרנופול, ומאוחר יותר כראש ישיבה בבריסק.
חתנו, הרב מנחם מאן שימש כרב וכראש ישיבה בעיר וינה.
בנימין אוראל (1889 – 3 בדצמבר 1968) היה אמן, צייר, פסל ואדריכל ישראלי, שתכנן בין השאר את תחנת החשמל בנהריים.
נולד בשם בנימין פייבלזון למשפחה דתית בפלונגיאן במחוז טלז שבפלך קובנה של האימפריה הרוסית (בתחום המושב היהודי, כיום בליטא), שם שימש אביו כרב העיירה.
בעקבות נטיותיו היצירתיות, נשלח על ידי הוריו בשנת 1907 ללמוד בישיבה בארץ ישראל, אך הוא בחר לפרוש מלימודי הקודש ולפנות לבית הספר לאמנות "בצלאל".
בבצלאל למד בין השנים 1908–1914 במגמת ציור ופיסול, ולאחר מכן הצטרף כחבר בסגל המורים.
בדומה לאדריכלים רבים באותה העת, היות שלא נמצא היה בית ספר לאדריכלות בארץ ישראל וכן לא היה ברשותו תקציב ללימודים אקדמיים בחוץ לארץ, פנה לעבוד כשרטט במשרדי אדריכלים בפריז ובברלין.
עם שובו ארצה חבר למהנדס האזרחי יחזקאל זוהר להקמת שותפות במשרד תכנון אשר הוקם בחיפה בסוף שנות ה-20 של המאה ה-20. המשרד פעל בשנים 1926–1942, ובמהלכן תכנן עשרות בניינים.
עיקר פעילותו הייתה בחיפה, אולם מגוון הפרויקטים בוצעו ברחבי ארץ ישראל המנדטורית, מנהריה ועד רחובות.
בין היתר השתתף בתכנון תחנת כוח נהריים של חברת החשמל.
בשנת 2008 יצאה לאור המונוגרפיה "בנימין אוראל: אדריכל ללא דיפלומה", מאת בנו ונכדו אלוף ודרור אור-אל, המסכמת את פועלו של אוראל.
במקביל הועלה אתר אינטרנט הסוקר את עבודותיו המרכזיות.
בנימין אבן (1905 – 28 בפברואר 1979 א' אדר ה'תשל"ט) היה ראש המועצה המקומית הוד השרון הראשון אחרי איחודן של ארבע המושבות, בין השנים 1964-1969. אבן גם היה ראש מועצת רמתיים (אחת מהמושבות) משנת 1957 עד לאיחוד בשנת 1964.
נולד בסוקולקה שבפולין, עלה לארץ ישראל ב-1922.
בעת כהונתו נבנה תיכון מוסינזון, נבנו שני אזורי תעשייה במועצה, והותקנה מערכת תיעול כללית.
בנייתן של אומות: התנ"ך והיווצרות מדינות הלאום הוא שם ספרו של פרופסור אדריאן הייסטינגס העוסק במקורותיה של הלאומיות.
הספר יצא באנגלית בשנת 1997.
הספר בנייתן של אומות מבוסס על הרצאות שנשא הייסטינגס אודות צמיחת הלאומיות, בסדרת ההרצאות ע"ש ויילס באוניברסיטת קווינס בבלפסט בשנת 1996. בהרצאותיו נתכוון הייסטינגס להציב חלופה לסדרת ההרצאות שנשא ההיסטוריון הבריטי הנודע, אריק הובסבאום, על אותה במה בדיוק, אחת עשרה שנים קודם לכן.
הובסבאום הוא מייצג מובהק של האסכולה המודרניסטית בחקר הלאומיות.
הספר תורגם לעברית בשנת 2008 על ידי דן דאור והוצא לאור בהוצאת שלם.
בספרו טוען הייסטינגס מספר טענות מרכזיות:
יש לנתק את הקשר ההכרחי-לכאורה שבין תופעת הלאומיות והתקופה המודרנית – בדברים אלו קורא הייסטינגס תיגר כנגד האסכולה המודרניסטית בחקר הלאומיות (אליה שייכים אריק הובסבאום, בנדיקט אנדרסון, ארנסט גלנר ואחרים) הרואים בלאומיות תופעה מודרנית שראשיתה במהפכה הצרפתית, או בראקציה הגרמנית כנגד כיבושי נפוליאון בראשית המאה ה-19.
בין הגורמים המרכזיים שעיצבו את התודעה הלאומית יש למנות את הדת הנוצרית, הספרות הכתובה, ובפרט תרגומי התנ"ך.
דברים אלו הם בגדר חידוש, כיוון שיש המתייחסים ללאומיות כאל תופעה חילונית בעליל, ומתעלמים מן השורשים הדתיים שלה בעולם הנוצרי.
לדעת הייסטינגס, בעולם הנוצרי ישנה מסורת אנטי-לאומית שהתבטאה בעיקר בברית החדשה, ולעומתה מסורת לאומית שבולטת במיוחד ב"ברית הישנה".
התפישה הלאומית התפשטה בעיקר בארצות הפרוטסטנטיות בהם הפכה הקריאה בתנ"ך לנחלת ההמונים, וממילא ניתן למצוא בהן תסיסה לאומית.
אנגליה בימי הביניים היא המקור המרכזי של הלאומיות האירופית.
הייסטינגס מצביע על ההתעלמות היחסית של חוקרי הלאומיות מן המקרה האנגלי, וטוען שדווקא באנגליה ניתן לזהות ניצנים של לאומיות כבר בימי הביניים המוקדמים, והתגבשות לאומית משמעותית עוד לפני הכיבוש הנורמני של אנגליה (1066).
כבר לפניו הצביעו כמה חוקרים על התודעה הלאומית החזקה באנגליה של בית טיודור (המאה ה-16) ובוודאי בימי המהפכה הפוריטנית ושלטון קרומוול (1649-1660).
הייסטינגס טוען שתודעה לאומית חזקה מצויה באנגליה הרבה קודם, והיא שהשפיעה על התגבשות תודעה לאומית מוקדמת בארצות סמוכות (דוגמת סקוטלנד), ובתקופה מאוחרת יותר גם על צמיחת הלאומיות ביבשת אירופה (הולנד, צרפת)
בניית כינורות היא אמנות ואומנות עתיקה, שראשיתה במאה ה-16 בקרמונה שבאיטליה.
אף על פי שחלפו למעלה מ-500 שנה מאז נוצרו הכינורות המודרניים הראשונים, נותר תהליך הבנייה כמעט זהה.
בונה הכינורות המודרני הראשון המוכר הוא אנדראה אמאטי, מייסד שושלת אמאטי, ששיכללה אמנות זו במהלך המאה ה-17 וה-18. הידוע בבני משפחת אמאטי הוא ניקולו אמאטי.
(יש הטוענים, שהראשון לבנות כינור מודרני היה גספארו דה סאלו מברשה, שהקדימה את קרמונה כמרכז של בניית כלי קשת בתקופת הרנסאנס.) אנטוניו סטרדיווארי ואנדראה גוארנרי, בן למשפחת בוני הכינורות גוארנרי הנודעת, היו תלמידיו, אם כי לגבי אנטוניו סטרדיווארי יש מחלוקת בשאלה, אם אומנם היה תלמידו של אמאטי.
כינורות מתוצרתם של רבי-האמנים הללו הם יקרי המציאות.
לכל אחד מהם שם משלו והעברתם מיד ליד מתועדת ונרשמת.
חלקם נמצאים ברשותם של גדולי הכנרים בעולם, אחרים מוצגים במוזיאונים שונים.
בוני כינורות רבים ממשיכים במסורת קרמונה, אם כי אינם מגיעים לפסגת היוקרה של קודמיהם בני תקופת הרנסאנס והבארוק.
חלק מהכינורות נבנים על ידי יחידים, מומחים בתחום, ואחרים על ידי חובבנים.
אולם בנייתם של מרבית הכינורות כיום מבוצעת על ידי מספר אנשים שכל אחד מהם אחראי בתורו על פן שונה של הבנייה, ואשר מפוקחים על ידי מומחה בתחום.
כינורות אלה הם אלו שנמכרים לרוב בחנויות לציבור הרחב.
המתאר החיצוני של הכינור הוא אחד ההיבטים החשובים ביותר בכלי והוא מעוצב על ידי בונה הכינור.
מרבית הכינורות הנוצרים כיום עושים שימוש במתארים של בוני כינורות מומחים ידועים מתקופות העבר.
דרך הבנייה המסורתית מתחילה לרוב בכתיבת סדרה של תוכניות שכוללות בין היתר שרטוט של צורת הכלי.
מתוכניות אלה מכינים תבנית הדומה לחצי כינור שטוח, ועשויה לרוב ממתכת דקה או מחומר אחר.
התבנית מאפשרת את הכנת מסגרת הכינור העשויה לרוב מעץ דק.
מסביב למסגרת המתקבלת מחברים את צלעות הכינור העשויות מפיסות עץ שטוחות, ונוצרות על ידי גילוף וחימום זהיר.
לאחר מכן מגלפים את חלקו העליון והתחתון של הכינור ומחברים אותו למבנה.
הצעד הבא כולל חיבור צוואר הכינור, המגולף מסוג עץ שונה משאר המבנה (לרוב עץ אדר), למקומו על מנת להשלים את המבנה הבסיס של הכינור.
מיד לאחר מכן, המבנה כולו מקבל ציפוי של ורנית.
כינון הכלי חיוני על מנת לאפשר ניגון תקין עליו והוא הצעד הבא בבניה.
הכינון כולל בין היתר התאמת זווית הצוואר, הלבשת המיתרים על השחיף בצורה הנכונה, חיבור ה"נשמה" (Soundpost), המוביל את תנודות הצליל מקדמת הכינור אל גבו, וחיבור הגשר, המעביר את הצליל לתיבת התהודה.
בסיום הכינון הכלי עובר בדיקות נגינה שונות על מנת להבטיח כי חלקיו השונים מתואמים נכונה למתח המיתרים.
צליל הכינור הולך ו"נפתח" בשבועות הנגינה הראשונים, ותהליך כינון הצליל נמשך בצורה הדרגתית שנים אחר כך.
בוני כינורות ישראלים חיים ועובדים בישראל זה עשרות בשנים ומנו כ-15 במספר בשנת 2008, חלקם ממשיכים במסורת משפחתית.
הוותיקים בבוני הכינורות הישראלים הם שלמה רפפורט, שבנה כלים לרביעיית בודפשט המפורסמת ופעל בתל אביב בשנות המנדט הבריטי, ומשה ויינשטיין, אביו של אמנון ויינשטיין, בונה כינורות אף הוא ואב לבונה כינורות ישראלי בן הדור שלישי, שעובד עמו.
יוסף בועזסון הוא בונה הכינורות הראשון בישראל שהיה בעל תואר אמן.
הוא נולד וגדל בירושלים והיה צ'לן.
הוא למד במיטנוואלד שבדרום גרמניה בתחילת שנות ה-60 והלך לעבוד בישראל, מאוחר יותר הוסמך כאמן בשנת 1973 במיטנוואלד.
הוא שימש כמורה ומנחה לבוני כינורות שהמשיכו מאוחר יותר כעצמאים.
בשנות ה-90 עבר לגרמניה שם המשיך לעבוד עד שנת 2020.
אסיה רודשטיין ולב סטרינקובסקי עלו שניהם מברית המועצות, אולם רודשטיין למדה את מקצוע בניית הכינורות עוד ברוסיה בעוד שסטרינקובסקי, כנר ובעל תואר שני במוזיקה מאוניברסיטה באזרבייג'ן, שעלה ארצה בשנות ה-70, החל את דרכו בישראל כנגן ורק בהמשך התקבל כשוליה אצל בונה כינורות ירושלמי (יוסף בועזסון) ופתח בית מלאכה משלו בירושלים.
איל הופמקלר הוא בן למשפחת מוזיקאים, שלמד את מקצוע בניית הכינורות בפארמה שבאיטליה והשתלם גם בבניית גיטרות.
בוני כלים נוספים - אייל וודניצקי, שלמה מויאל, יובל אדרת, בן-ציון מנחמי, אברהם עמר, עמית טיפנברון, אביטל יעיש, וכן בוני קשתות - אלכסנדר לפידוס, דוד סמואל ודניאל שמידט.
יונתן חי היה מהנדס במקצועו, מומחה לשימור מבנים היסטוריים, שהמשיכה לעבודה בעץ הביאה אותו להחליף כיוון ולהשתלם בקרמונה שבאיטליה בבניית כינורות, המקצוע שבו הוא עוסק כיום בישראל.
יעל רוזנבלום היא כנרת בעצמה, שלמדה את אומנות בניית הכינורות בקרמונה, שם היא מחזיקה סדנה משלה במקביל לסדנה שהיא מקיימת בתל אביב.
בנימין אברהמוב (נולד ב–1944) הוא פרופסור אמריטוס במחלקה לערבית באוניברסיטת בר-אילן.
בנימין אברהמוב נולד ברחובות לאליהו ולרחל אברהמוב וגדל בתל אביב.
למד בתיכון צייטלין בתל אביב במגמה המזרחנית תחת שרביטו של המורה דב עירון, ממנו למד רבות.
את לימודיו האקדמיים לתואר ראשון (שפה וספרות ערבית ומדעי המדינה) ולתואר שני (שפה וספרות ערבית) עשה באוניברסיטה העברית בירושלים.
לימודיו לתואר שלישי התקיימו באוניברסיטת תל אביב, שם סיים את הדוקטורט בהנחיית פרופסור מיכאל שורץ בשנת 1981 בהצטיינות יתרה.
בתחילת דרכו היה מורה לערבית בתיכון א' בתל אביב ומורה ללשון ולספרות עברית בישיבת היישוב החדש בתל אביב (1967–1973).
בשנים 1970–1982 לימד ערבית בחוג להיסטוריה של המזרח התיכון ושימש כמרצה לאסלאם באוניברסיטת בר-אילן (החל מ-1973).
הוא לימד תאולוגיה מוסלמית ופרשנות קוראן בחוג לשפה וספרות ערבית באוניברסיטת תל אביב (1982–1995) ולאחר מכן עבר לאוניברסיטת בר-אילן, שם שימש כראש המחלקה לערבית (1995–1999).
בשנת 2003 שהה במכון ללימודים מתקדמים באוניברסיטה העברית בקבוצה שחקרה את השיעה.
מונה לפרופסור מן המניין בשנת 2001, החל מ-2006 ועד סוף ספטמבר 2010 כיהן כדיקן הפקולטה למדעי הרוח.
אברהמוב עוסק בחקר התאולוגיה המוסלמית הקדומה ובעיקר ביחס שבין המסורת לחשיבה השכלית כמקורות של ידיעה דתית.
בנושא זה אף הרחיב את תחום המחקר שלו לטקסטים בערבית יהודית, בעיקר של רב סעדיה גאון והרמב"ם ועסק בסוגיה זו בכתביהם.
כמו כן דן אברהמוב ביחס שבין התאולוגיה והפילוסופיה המוסלמית ובהשפעת הפילוסופיה על התאולוגיה.
בשנים האחרונות עוסק פרופ' אברהמוב גם בהגות של איש ההלכה, התאולוג, הפילוסוף והמיסטיקאי אבו חאמד אלגזאלי (נפטר ב-1111) ובמיסטיקה הפילוסופית של גדול המיסטיקאים המוסלמים אבן אלערבי (נפטר ב-1240).
הוא בחן את גישתו של אבן אלערבי לחקירת השכל לעומת ההתגלות המיסטית.
במסגרת מחקריו פרסם ארבעה ספרים, עשרות מאמרים וכמו כן ערכים לאנציקלופדיה של האסלאם, לאנציקלופדיה של הקוראן ולאנציקלופדיה של האהבה בדתות העולם וכן ביקורות על ספרים.
הוא עורך את כתב העת Studies in Arabic and Islamic Culture שיוצא בהוצאת אוניברסיטת בר-אילן.
הגותו של אלקאסם אבן אבראהים
כל הנושאים האלה מופיעים אצל אלקאסם באיגרות שחלקן כתובות בפרוזה מחורזת.
אברהמוב ההדיר שמונה מתוך איגרותיו של אלקאסם, תרגמן לעברית ודן בתאולוגיה המופיעה בהן.
הוא הוכיח כי האמאם הזיידי אלקאסם היה הראשון שהכניס את התאולוגיה המועתזלית להגות של הזיידים.
שנים מספריו של אברהמוב עוסקים בתורתו של אלקאסם.
תאולוגיה אסלאמית - מסורת ורציונליזם
הספר Islamic Theology – Traditionalism and Rationalism עוסק ביסודות המסורתיות והרציונליזם באסלאם של ימי הביניים.
לשכל תפקיד חשוב גם בתאולוגיה המסורתית, שבחלקה הסתמכה על רעיונות של התאולוגיה הרציונליסטית המועתזלית.
אנשי המסורת מתקיפים את הרציונליסטים ולהפך, ולעיתים אותם נימוקים משמשים את שני הצדדים.
נוצרה גם פשרה בין היסוד השכלי ליסוד המסורתי, ולמעשה בתחומים מסוימים כמו שלילת ההגשמה, אנשי המסורת מקבלים את נימוקי מתנגדיהם.
תיאורית אהבת אלוהים של שני מלומדים מוסלמים: אלגזאלי, שהוזכר לעיל, ואבו זייד אלדבאג (נפטר ב-1296) מתוארת ומנותחת בספר Divine Love in Islamic Mysticism – The Teachings of al-GhazÁlī and al-DabbÁgh.
לפי הספר, אהבת אלוהים אצל אלגזאלי היא אהבה אינטלקטואלית; ככל שידיעת האדם את פעולות אלוהים בעולם גדלה, כך גדלה אהבתו לאלוהים.
הפיכת הידיעה לעקרון דתי מושפעת ככל הנראה מן הפילוסופיה המוסלמית, שקיבלה רעיונות ומושגים רבים מן הפילוסופיה היוונית.
תורתו של אלדבאג, אף היא פילוסופית, אבל מושפעת באופן ברור מן הפילוסופיה הניאופלטונית.
התמודדות ההוגים המוסלמים והיהודים עם השפעת הפילוסופיה והרציונליזם
נושא ההתמודדות של הוגי הדעות המוסלמים והיהודים עם השפעת הפילוסופיה והרציונליזם עובר כחוט השני במאמריו של אברהמוב.
כך למשל, תורת הסיבתיות אצל אלגזאלי מהווה מיזוג מיוחד בין התפיסה המסורתית על כוחו האבסולוטי של האל לבין התפיסה הפילוסופית על הסיבתיות הטבעית.
הסיבות לפי אלגזאלי הן תנאים אשר בלעדיהם אף פעולה לא הייתה מתרחשת.
אבל מה שגורם לתנאים האלה לפעול הוא הכוח האלוהי השרוי בכל התנאים האלה.
כך חיים הם תנאי לידיעה, ידיעה היא תנאי לרצון, רצון הוא תנאי ליכולת ויכולת תנאי לפעולה.
אבל מה שמפעיל את השרשרת הזו הוא כוחו של האל.
אלוהים אינו יכול לבצע פעולות בלתי הגיוניות; הוא אינו יכול לטעת ידיעה בגוף מת.
תפיסה זו של אלגזאלי מנוגדת לתפיסתם של מספר תאולוגים מוסלמים שסברו שבכוחו של האל לעשות כל דבר, אף אם הוא בלתי הגיוני.
אפילו תורות דתיות עממיות, כמו ביקור בקברים זכו באסלאם להסבר פילוסופי.
פח'ר אלדין אלראזי (נפטר ב-1209), אחד מגדולי התאולוגים באסלאם, שהושפע בערוב ימיו מן הפילוסופיה של אבן סינא (נפטר ב-1037) ומן הפילוסופיה של אבו אלברכאת אלבגדאדי (נפטר ב-1164 לערך), פילוסוף יהודי שהתאסלם, מנסה להראות כי נפש הנפטר צמודה לקבר, וכאשר המבקר מגיע לקבר, נוצר קשר בין שתי הנפשות.
בניגוד לתפיסה המסורתית של הוכחת הנבואה על ידי הנסים שהנביא מבצע, מוכיח פח'ר אלדין אלראזי כי נביא הוא מי ששכלו ומוסריותו עולים ברמתם על כל בני דורו וכמו כן הנביא ניחן בכישרון להשפיע באופן מוסרי על בני האדם.
הקשר בין ההגות המוסלמית להגות היהודית
מספר ממאמריו של אברהמוב בוחנים את הקשר בין ההגות המוסלמית להגות היהודית.
רב סעדיה גאון (נפטר ב-942) דן בשאלה האם המקור לידיעת אלוהים, תאריו ונביאיו הוא השכל או המסורת.
התאולוגיה המוסלמית הקדומה התחבטה אף היא בשאלה זו, ואחד הפתרונות המפורסמים הוצע על ידי אבו אלחסן אלאשערי (נפטר ב-935), שטען כי מאמין בר שכל חייב להוכיח את מה שלמד בדרך של מסורת וקבלה מהורים וממורים על ידי שימוש בראיות שכליות.
חובה זו נתפסה כחובה דתית.
המועתזלים היו אף יותר רציונליסטים וטענו כי החובה הראשונה המוטלת על האדם היא לדעת את האל.
בספרו "אמונות ודעות", מתפלמס רס"ג עם דעות אלה בטענו כי היכולת השכלית אינה נחלתם של אנשים רבים, השימוש בה אורך זמן רב וייתכן אף כי אדם לא יגיע למסקנות הדתיות הנכונות אחרי השימוש בראיות שכליות.
לפיכך הוא דוחה את שתי העמדות האלה, ומעדיף את דרך המסורת לרוב בני האדם.
לפי תפיסתו אין חובה דתית להוכיח את עקרונות הדת לפי השכל.
הופעת מקורות מוסלמיים בספרות הפילוסופית ובספרות הדתית היהודית נדונה גם במאמרים "מאזני העיונים ומקורותיו" וכן "כתאב אלחקאיק ומקורותיו".
התרבות הערבית הייתה חלק מתרבותם של היהודים בארצות האסלאם והדבר בא לידי ביטוי ביצירות היהודיות שנכתבו בערבית יהודית.
הגותו של המיסטיקאי אבן אלערבי
במאמרו Ibn al-Arabi's Theory of Knowledge מראה אברהמוב כי אבן אלערבי מצא פתרון לשאלת הניגוד בין התגלות מיסטית לדיון שכלי.
לפי אבן אלערבי לשכל שני תפקידים, תפקיד פעיל ותפקיד סביל.
בתפקיד הפעיל הוא יוצר ראיות שכליות, היקשים וכיוצא בזה, בעוד שבתפקידו הסביל הוא כלי הקיבול של ההתגלות המיסטית.
נוסף לכך, למרות היותו מיסטיקאי, אבן אלערבי ראה בשכל הפעיל כלי חשוב ביותר לצרכים הדתיים, אם כי הוא תקף לא פעם את הרציונליסטים בין אם הם מועתזלים או אשערים.
התופעה הזו של שימוש בראיות שכליות בד בבד עם פולמוס עם קבוצות רציונליסטיות מאפיינת חלק ניכר מן התאולוגים המוסלמים שהתמודדו עם בעיית השכל אל מול ההתגלות.
אברהמוב מסביר במאמריו כמה מושגי יסוד ותאוריות של התאולוגיה המוסלמית: תאוריית רכישת המעשים (כסב), העזרה האלוהית לאדם (לטף), הקץ הקצוב לחיים (אג'ל), ידיעה הכרחית (עלם צ'רורי), תיאורית קבלת הביטויים האנתרופומורפיים כפי שהם (בלא כיף), תיאורית ביטול הדתות האחרות על ידי האסלאם (נסח').
חלק ממושגים אלה נדון תוך כדי תרגום יצירות מוסלמיות לאנגלית.
במתמטיקה, בניית קיילי-דיקסון היא תהליך הבונה מאלגברה נתונה אלגברה חדשה, שממדה כפול.
את הבניה תיאר באופן כללי לאונרד יוג'ין דיקסון (1874-1954), על-פי השיטה שבה השתמש ארתור קיילי כדי לבנות (ב-1845) את אלגברת האוקטוניונים.
התהליך פותח באלגברה (לאו דווקא אסוציאטיבית) עם אינוולוציה מטיפוס מסוים, ומחזיר אלגברה עם אינוולוציה מאותו טיפוס.
כאשר מיישמים אותו לשדה המספרים הממשיים, מתקבל בצעד הראשון שדה המספרים המרוכבים, ואחריו אלגברת הקווטרניונים של המילטון ואלגברת האוקטוניונים של קיילי.
התהליך בונה כל אלגברת קווטרניונים מהרחבה ריבועית של שדה הבסיס, וכל אלגברת אוקטוניונים מאלגברת קווטרניונים מתאימה.
אלגברות מדרגה 2 עם אינוולוציה
בניית קיילי-דיקסון מתייחסת לאלגברות, לאו דווקא אסוציאטיביות, מעל שדה (כלשהו) , המצוידות במבנה נוסף: אינוולוציה , המקיימת את התנאים ו- לכל x.
באלגברה כזו כל איבר מקיים פולינום ממעלה שנייה מעל השדה, , ולכן זו אלגברה ריבועית (היינו אלגברה מדרגה 2).
בנוסף לזה מניחים שהתבנית הריבועית אינה סינגולרית.
בגלל הזהות , האיברים ההפיכים ב-A הם אלו שהנורמה שלהם אינה מתאפסת.
כאשר A אלטרנטיבית, היא אלגברת חילוק אם ורק אם תבנית הנורמה היא "תבנית אנאיזוטרופית" (כלומר, אין לה אפסים לא טריוויאליים).
ראו כאן לגבי אלגברת קיילי-דיקסון מממד 16.
בבניית האלגברה החדשה נכנסים שני מרכיבים: אלגברה עם אינוולוציה כאמור, וסקלר סקלר.
הרחבת קיילי-דיקסון הנוצרת מ- ו- היא האלגברה , שאבריה נכתבים כסכומים פורמליים עבור , והכפל בה מוגדר לפי היחסים , היינו, .
בפרט, C מכילה את A כתת-אלגברה, יש לה יחידה , והיוצר הנוסף z מקיים .
האינוולוציה מורחבת ל-C לפי הנוסחה .
האינוולוציה על C מקיימת את התכונות ו- לכל , ולכן גם הרחבת קיילי-דיקסון של A היא אלגברה מאותו סוג; כך אפשר להמשיך את הבניה פעמים נוספות.
הנורמה מורחבת לפי , והיא איזומורפית למכפלה הטנזורית , כאשר היא הנורמה של , ו- היא תבנית פיסטר מסדר ראשון.
בפרט, אם היא תבנית פיסטר, גם הנורמה החדשה היא כזו.
האלגברה C היא קומוטטיבית אם ורק אם A=F; אסוציאטיבית אם ורק אם A קומוטטיבית; אלטרנטיבית אם ורק אם A אסוציאטיבית; ותמיד מקיימת את הזהות הגמישה.
יש לה אותם איברים סימטריים כמו ל-A, והמרכז שלה מורכב מן האיברים הסימטריים במרכז של A (אלא אם A=F).
בבניה הקלאסית של שדה המספרים המרוכבים, הקווטרניונים של המילטון והאוקטוניונים, בוחרים .
הבחירה בשלושת הצעדים נותנת, במקום זה, את הסכום הישר , את אלגברת המטריצות , ואת אלגברת האוקטוניונים המפוצלת מעל .
אחת הסיבות לחשיבות של בניית קיילי-דיקסון היא האפשרות לחזור על התהליך עם האלגברה המורחבת, וליצור הרחבות נוספות בממדים הולכים וגדלים.
האלגברות המתקבלות באופן כזה משדה הבסיס נקראות אלגברות קיילי-דיקסון (אף על פי שבמובן הצר, המונח מתייחס לפעמים רק לאלגברות המתקבלות מן הבניה מעל שדה המספרים הממשיים, עם הקבוע 1- בכל צעד של ההרחבה).
מעל שדה כללי, אם A היא ההרחבה הריבועית K/F, הבניה נותנת את אלגברת הקווטרניונים .
בדומה לזה, אם A היא אלגברת הקווטרניונים , הבניה נותנת את אלגברת האוקטוניונים .
אלגברות אלו הן היחידות עם נורמה כפלית (כזו המקיימת את הזהות ).
מכיוון שקבועי המבנה אינם מתאפסים, כל אלגברות קיילי-דיקסון הן פשוטות, מרכזיות וריבועיות.
הזהויות שהן מקיימות הופכות אותן לאלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות; בפרט, הן אלגברות גמישות בעלות חזקה אסוציאטיבית בהחלט.
החלפת המשתנה ב- (כאשר ) מגדירה איזומורפיזם , בתנאי ש- , כל האסוציאטורים , ולכל a,b ב-A מתקיים .
אם A אסוציאטיבית, זהויות אלה מתקיימות לכל k, ואז הכפלת בנורמה של איבר מ-A אינה משנה את האלגברה .
לכן יש התאמה בין ההרחבות האפשריות של A, לבין חבורת המנה .
כאשר אסוציאטיבית, הכפלת באיבר שהנורמה שלו 1 היא אוטומורפיזם של A, אף על פי שיש גם אוטומורפיזמים אחרים.
חבורות האוטומורפיזמים (מעל ) של אלגברות קיילי-דיקסון הראשונות, היינו השדה F והרחבות ריבועיות שלו, הן סופיות.
האוטומורפיזמים של אלגברת קווטרניונים מהווים חבורה אלגברית מטיפוס , וחבורות האוטומורפיזמים של אלגברת אוקטוניונים היא חבורה אלגברית ספורדית, מטיפוס .
בנים אינם בוכים הוא סרט דרמה אמריקאי עצמאי משנת 1999, המבוסס על סיפור חייו של ברנדון טינה, גבר טרנסג'נדר שנאנס ונרצח ב-31 בדצמבר 1993 על ידי חבריו, לאחר שנתגלה להם כי הוא סומן כנקבה בלידה.
בסרט מככבת הילרי סוונק כברנדון טינה, וקלואי סביני כחברתו של ברנדון, לאנה טיסדל.
טינה ברנדון (הילרי סוונק) הוא גבר טרנסג'נדר שקרא לעצמו ברנדון טינה.
ברנדון מסתבך עם בני משפחתה של הבחורה עמה יצא, לאחר שגילו שהוא טרנסג'נדר.
לאחר מכן הוא מסתכסך עם בן דודו שאיתו הוא מתגורר, ולאחר הסתבכות עם החוק הוא בוחר לעבור לעיירה פולס סיטי.
במקום מגוריו החדש הוא מתיידד עם ג'ון לוטר (פיטר סארסגארד) ותום ניסן (ברנדן סקסטון), אסירים לשעבר, ועם ידידותיהם קאדס (אלישה גורנסון) ולאנה (קלואי סביני).
הוא מפתח מערכת יחסים רומנטית עם לאנה, מבלי שהיא מודעת לכך שהוא טרנסג'נדר.
אולם, עברו של ברנדון משיג אותו, והוא נעצר לאחר שלא התייצב לדיון בבית המשפט בעיר מגוריו.
לאנה משחררת אותו בערבות מהכלא, וכאשר היא שואלת אותו למה הוא הוכנס לאגף הנשים בכלא, ברנדון משקר לה וטוען שהוא אנדרוגינוס ושהוא עתיד לעבור ניתוח להתאמה מגדרית.
לוטר וניסן, ידידיה של לאנה, מגלים את עובדת היותו של ברנדון נקבה ואונסים אותו באכזריות.
ברנדון מצליח להימלט מידיהם ולהגיש נגדם תלונה במשטרה.
בנקודה זאת לוטר וניסן מחליטים לרצוח את ברנדון, ומבצעים זאת לאחר שמוצאים אותו במקום מחבואו.
כיוון שמדובר היה בהפקה עצמאית והפצה מינורית, הייתה ההצלחה הקופתית של הסרט צנועה יחסית, אך הוא זכה לשבחי הביקורות ונחשב על ידי רבים ממבקרי הקולנוע לאחד הסרטים הטובים של שנת 1999.
הילרי סוונק, שגילמה בסרט את ברנדון טינה, זכתה על משחקה בפרס אוסקר לשחקנית הטובה ביותר.
קלואי סבייני הייתה מועמדת לפרס אוסקר לשחקנית המשנה הטובה ביותר.
בנימין (בנקו) אדר (1934, יוגוסלביה – 1986, ישראל) היה עיתונאי ועורך העיתון "על המשמר".
נולד ביוגוסלביה ובשנת 1944 עלה לארץ ישראל ללא הורים ביחד עם אחותו.
הוא התחנך בקבוצת "אורן" בקיבוץ עין שמר.
למד היסטוריה בסמינר אורנים ואחר כך לימד בתיכון "מבואות עירון".
היה עיתונאי בעיתון "על המשמר" ועורכם של השבוע בקיבוץ הארצי, המוסף לתרבות והמוסף "חותם".
כתב את הספר "מפלגה אחת ושתי דרכים", שלא יצא לאור בחייו.
בניית אתר אינטרנט או פיתוח אתר אינטרנט (מאנגלית: Web Development) הוא עיסוק ומקצוע הכרוך בתכנון, אפיון, עיצוב ובנייה טכנית של אתר אינטרנט.
העוסק במקצוע זה עיסוק של קבע נקרא בונה אתרים, ורבים מהעוסקים בו רכשו או רוכשים במהלך עשייתם, ידע בתחומי פיתוח אינטרנט נוספים כגון עיצוב אתרים (Web design), וקידום אתרים (SEO).
לאחר השלמת בניית האתר הפועל ועיצובו, התוצר הסופי מועלה לשרת כדי להפכו לנגיש לקהל היעד שלו.
רבים מבוני האתרים משתמשים במערכות ניהול תוכן, דוגמת ג'ומלה, דרופל, ו-וורדפרס, לבניית אתריהם, כאשר לכל מערכת היתרונות והחסרונות שלה.
מערכות אלה הן למעשה תוכנות אשר מפשטות במקרים רבים את התהליך ומבטיחות תוצר סופי עשיר עם ניהול קל בהמשך.
העוסקים בבניית אתרים הם קהל עוסקים מגוון יחסית, שאינו בהכרח חולק מאפיינים כלליים משותפים מלבד ניסיון עם עולם האינטרנט, ויכולת עבודה טכנית עם קוד (תחביר בשפת תכנות מסוימת), תוכנות מחשב, או שניהם.
לחלק מהעוסקים רקע אקדמי במדעי המחשב או הסמכה במסגרת של לימודי תעודה בעבודה עם שפות תכנות שונות או תוכנות שונות לבניית אתר (על שני אלו יפורט בהמשך).
בניית אתר מתחילה לרוב בתכנון או אפיון דרישות האתר, השירותים או התכנים שיוצעו בו ואופן פעולתו והצגתו לגולשי האינטרנט.
תכנון ואפיון נכון הם שלבים מרכזיים בבניית אתר אינטרנט.
אפיון מדויק של הצרכים, המטרות והקהל היעד יכול להוביל לחוויית משתמש טובה יותר, לייעול הבנייה ולמניעת בעיות בהמשך.
כאשר מאפיינים את האתר כראוי, מתחשבים במבנה הדפים, הזרימה הלוגית, הפונקציונליות והתוכן הדרוש.
תהליך זה משפיע על כל היבטי הבנייה, החל מבחירת הטכנולוגיות וכלים מתאימים ועד לניהול נכון של משאבים וזמן.
אפיון לקוי עלול לגרום לשינויים ותיקונים יקרים בזמן הפיתוח.
את השיטות לבניית אתר ניתן לחלק לשני ענפים עיקריים, בנייה הנעשית בעיקר על ידי מערכת ניהול תוכן, ובנייה הנעשית בעיקר על ידי קוד.
מערכת ניהול תוכן (Content Management Systems) היא תוכנה המאפשרת יצירה של תוכן באתר אינטרנט ותחזוקה שלו.
תוכנה זו מהוות פלטפורמה וממשק משתמש גרפי לבניית האתר.
חלק ממערכות אלו מוצעות ללא עלות, וחלקן אפשריות לשימוש בתשלום, דוגמאות: ויקס, וורדפרס, ג'ומלה, דרופל, ואחרות.
שיטה זו מאופיינת בכתיבה של תחביר בשפה מקובלת מסוימת (כגון PHP) אשר האתר הוא היישום הפונקנציונאלי של התחביר הספציפי שנכתב בה.
ההבדל בין שיטה זו לקודמתה הוא שעבודה עם תוכנה בונה את הקוד בשביל בונה האתר, במקום שזה יכתוב אותו בעצמו.
אנשים שהם בעלי ידע בתכנות, לפחות בשפת התכנות בה נבנה האתר שלהם, יכולים להכניס שינויים בקוד האתר שהתוכנה בה השתמשו כתבה עבורם ברמת התחביר הבסיסי של האתר.
בונה האתר בעצמו או לקוחו, מחליטים יחד על השיטה העדיפה לבניית האתר הספציפי.
כיום רבים מהאתרים נבנים על ידי תוכנה, מה שמאפשר ניהול קל שלהם גם על ידי אנשים שאינם בעלי ידע טכני נרחב בתחום זה, כמו למשל, לקוחות של חברות המציעות שירותי בנייה לאנשים החסרים ידע זה.
יתרון נוסף בבניית אתר בתוכנה הוא שהיא מאפשרת להכניס את הלקוח עצמו אל תוך עולם הבנייה והשינוי של אתרים, ובכך פותחת בפניו דלתות שונות, אף כאלה הקשורות לאפשרות פרנסה.
את אתרי הרשת ניתן לחלק חלוקה גסה לאתרים סטטיים ודינאמיים, כאשר ייתכן ובונה אתרים מסוים יבקש להתמקד בעיסוקו על בניית סוג מסוים כזה של אתרים.
ניתן לבנות אתרי וורדפס מגוונים, סטטיים ודינאמיים באמצעות מערכת וורדפרס עצמאית או עם חברה העוסקת בתחום.
על פי רוב, בניית אתר תתבצע לפי מספר שלבים כלליים היוצרים תוואי כללי לעבודה כולה.
בשלב זה, לרוב, בעל האתר מנסח אפיון מסודר, בו הוא מתאר את מהות האתר, השלבים והתהליכים השונים, ויוצר מעין חוברת בה כלל המעורבים בעניין ימצאו מענה.
שלב זה מתמקד בשפה הוויזואלית של האתר.
בשלב זה ייקבע לרוב עיצוב האתר, כך ששאר המעורבים בנושא יוכלו לצפות בתצוגה כללית מוקדמת של האתר, כפי שהוא ייראה בסופו של דבר.
בפועל, עיקר העבודה מתבצעת בשלב זה.
העיצוב שנקבע בשלב הקודם הופך בשלב זה לאתר מתפקד, בעוד המתכנתים בונים או מתאימים את הפלטפורמה ומטמיעים את העיצוב, ואנשי התוכן ממלאים את החללים שנועדו לתוכן בטקסטים ותכנים אחרים.
בשלב זה האתר, למעשה, מוכן, וניתן לבצע בדיקות של תפקודו בצורה פנימית או מול קהל בודקים מסוים.
כל השגיאות והתקלות המאותרות בשלב זה ייפתרו עד להשקת האתר.
בשלב זה האתר "מועלה לאוויר" – האתר יקושר לדומיין או יועלה לשרת המתאים, במסגרת השקתו לקהל הרחב.
לאחר שהאתר כבר עלה לרשת, ניתן לעסוק בתהליכי השיפור והקידום שלו, כולל שיפור מיקומיו במנועי החיפוש השונים, פרסומו, שיווקו והזנת תכנים נוספים לאתר.
בהתאם למטרת האתר לעיתים מבוצעים שלבים נוספים, כגון הבטחת איכות, או שמעורבים בבנייתו אנשי מקצוע, כגון מתכנתים או גרפיקאים.
מאחר שאין דרך אחידה לבניית אתר, התהליך יכול לקחת פרק זמן קצר או ארוך, בהתאם לרמת המורכבות הנדרשת.
העלויות משתנות ונעות בין חינם לבין חוסר גבול עליון – כתלות בגורמים דוגמת יכולות השרת, עבודת מקים האתר, עיצוב ייחודי, הפלטפורמה הטכנולוגית וכן הלאה.
בדרך כלל, לאחר סיום תהליך בניית האתר, יחלו תהליכים מקבילים של קידום אתרים במנועי חיפוש או פרסום באינטרנט, על מנת להביא לידי מיצוי את היתרון שבבניית האתר.
אבטחת האתר עם תעודת SSL
כדי להבטיח את אבטחת המידע באתר, חשוב להשתמש בתעודת SSL.
תעודה זו מצפינה את המידע שעובר בין השרת למשתמש, ומבטיחה שהנתונים הרגישים, כמו פרטי כרטיסי אשראי או מידע אישי, לא ייפלו לידי גורמים זדוניים.
בנוסף, אתרים עם SSL זוכים לדירוג גבוה יותר בגוגל.
נגישות לאתר היא מרכיב קריטי להבטחת חוויית גלישה מיטבית לכל המשתמשים, כולל אנשים עם מוגבלויות.
אתרים נגישים עומדים בתקנים ומאפשרים לכל אדם להשתמש בהם בקלות.
כדי להבטיח שהאתר עומד בדרישות החוק ומספק חווית גלישה נעימה ונגישה לכולם ישנם מספר כללי עבודה
הרב בנימין אייזנברגר (נולד בשנת ה'תשל"ה, 1975) הוא משפיע חסידי, רב קהילת היכל התפילה בבורו פארק שבניו יורק.
למד בלוצרן אצל הרב יצחק דוב קופלמן ונחשב לתלמיד מובהק שלו.
הרב קופלמן התאכסן בביתו בביקוריו בארצות הברית.
למד גם בישיבת מיר בירושלים אצל רבי נתן צבי פינקל.
חמיו הוא הרב שמואל חיים בנדיקט המכהן כראש הקהל בקהילת חוג חתם סופר זכרון מאיר בבני ברק.
משנת ה'תש"ס בערך לבקשת רבו רבי נתן צבי פינקל החל למסור שיעורים באגדה ובמוסר, בעיקר בדרך המהר"ל, לקבוצת תלמידים מישיבת מיר המתגוררים בבורו פארק.
תלמידיו הקימו את בית הכנסת היכל התפילה.
הרב אייזנברגר מוסר מדי בוקר שיעור בגפ"ת בעיון לבני קהילתו.
מלמד נ"ך בימי ראשון, חומש עם רש"י בליל שבת, ובשבתות הקיץ פרקי אבות.
בערב שבת סמוך לזמן כניסת השבת הוא מוסר שיעור דרך הטלפון לנשות הקהילה.
הרב אייזנברגר מלמד בעיקר ומציע לאנשי קהילתו דרכים לשמירה על יראת שמים יחד עם עבודה בין גוים וגלישה באינטרנט.
הרב אייזנברגר היה נוסע בעבר עם אנשי קהילתו לישראל אחת לשנתיים בל"ג בעומר למירון.
בעקבות קשיים כלכליים לחלק מחברי הקהילה החליט הרב להפסיק את הנסיעות היקרות הללו, אבל עדיין עורך בכל שנה בלג בעומר מעמד הדלקה מרכזי והמוני ברחובה של עיר.
בשנת תשס"ג פתחה קהילתו קופת צדקה בשם "בלב אחד".
בשנת תשעח הקים את ישיבתו הנקראת 'היכל התלמוד' ומאז את עיקר יומו משקיע הרב בהרבצת התורה בישיבתו.
התלמידים מקושרים אליו מאד, ורבים מהם ממשיכים ללמוד ולהתפלל בישיבה גם אחר נישואיהם.
בימי החופשה בחודשי הקיץ עובר הרב עם ישיבתו למתחם מיוחד בהרי הנופש אותו רכשה הישיבה, הנקרא בשם 'כפר היכל'.
שיעוריו ניתנים לשמיעה בקול הלשון.
מסילות הנביאים (ארבעה חלקים) על יהושע, שופטים ושמואל א'.
מסילות באגדה (שני חלקים) - ביאורי אגדות חז"ל
מסילות בלבבם (שני חלקים) - על הפרשיות והמועדים, ברוקלין תשע"ג
הרב בנימין (בינו) אטיאס (נולד בשנת תשכ"ח, 1968) הוא הרב הראשי הספרדי ואב"ד בפתח תקווה.
נולד בבני ברק, כחודשיים לאחר שהוריו עלו ממרוקו עם שלושת ילדיהם הגדולים.
אביו, הרב חיים אטיאס, הוא ממנהלי סמינר אור החיים בבני ברק.
אמו, פדות, היא בתו של הרב רפאל בירדוגו, שהיה אב בית דין במקנס שבמרוקו, משושלת משפחת בירדוגו.
אחיו, אריאל אטיאס (פוליטיקאי), היה חבר כנסת, שר וממנהיגי מפלגת ש"ס.
אחיו, הרב אברהם אטיאס, הוא אב"ד בבית הדין של הרב ניסים קרליץ בבני ברק.
גדל בבני ברק, למד בישיבת משכן יעקב בחיפה ולאחר מכן בישיבת "היכל התורה" (פרשבורג) בירושלים.
בשנת 1990 נישא לאורלי קקון.
לאחר נישואיו למד לרבנות ודיינות בכולל "הליכות עם ישראל" בקריית אונו.
שימש גם כמשגיח כשרות ומפקח מטעם הרבנות פתח תקווה ובד"ץ בית יוסף.
בשנת 1995 הוסמך לרבנות ובשנת 2002 קיבל כושר לדיינות.
כיהן כדיין בית הדין לממונות בקריית אונו בראשות הרב רצון ערוסי.
בשנת 2004 עלה שמו כמועמד לדיינות בבית הדין הרבני, ובשנת 2007 התמנה לדיין מטעם הרבנות הראשית לישראל וכיהן בבית הדין הרבני בתל אביב.
הרב אטיאס היה חבר מכון "המאור" בראשות הרב דניאל ביטון, והשתתף במספר פרויקטים של המכון, ובהם הוצאתו החדשה של ספר ארבעה טורים וכן פירוש על התלמוד ירושלמי.
בשנת 2010 עלה שמו על ידי מפלגת ש"ס כמועמד למשרת מנהל בתי הדין הרבניים, ומשלא נבחר עלה שמו לכהונת הרב הספרדי של העיר פתח תקווה.
ב-21 בפברואר 2012, לאחר 15 שנים שבהן לא היה רב ראשי ספרדי בפתח תקווה וכשלוש שנים שבהן לא היה רב ראשי כלל לעיר, נבחר הרב אטיאס לתפקיד, יחד עם עמיתו האשכנזי, הרב מיכה הלוי.
לאחר בחירתו עתר יושב ראש המועצה הדתית בעיר לבג"ץ לפסול את הבחירה, בטענה שהוא הודר מוועדת הבחירות מטעמים פוליטיים.
בית המשפט העליון הוציא צו על תנאי המורה לשר הדתות להסביר כיצד התנהל הליך הבחירה, ולאחר הדיון פסק הבג"ץ שהמינוי היה תקין.
מתגורר בשכונת הדר גנים-עמישב בפתח תקווה.
החזן הראשי של בית הכנסת הגדול בתל אביב בשנות ה-40 וה-50.
אונגר נולד ב-1907 בעיר יאסלו שבגליציה, אוסטריה (לימים בפולין), בנם של רייזל לבית פָאיֶיר (פוֹיֶר) ומשה אונגר (ממשפחת האדמו"ר מזבנה).
קיבל חינוך תורני מסורתי בחדר ובישיבה בווינה ובטרנבה וחינוך מוזיקלי בחזנות בקונסרבטוריונים בווינה ומגדבורג.
בשנת 1933 נישא להניה הנדלר.
עסק בפעילות ציונית בגרמניה הנאצית, וב-1937–1938 ניהל משק הכשרה של עליית הנוער ליד ברלין.
הוא היה חזן בבתי כנסת גדולים בתל אביב ובתוכם בבית הכנסת הגדול.
הופיע ברדיו (בשידורי קול ישראל, קול ציון לגולה וגלי צה"ל), טלוויזיה ובתקליטים רבים.
היה יושב ראש ארגון החזנים בישראל.
בשנת 1983 הוענק לו התואר יקיר תל אביב.
נפטר ב-1983. היה אב לשתיים: מרים וורדה.
ארכיונו, הכולל עיבודים מוזיקליים, שמור בספרייה הלאומית.
בשנת 2007, במלאת מאה שנים להולדתו, הוסר הלוט מעל שלט הנצחה על ביתו בתל אביב בטקס בו השתתפו ראש העיר רון חולדאי וחזנים רבים.
בנימין אונגר היה אח בלשכת הכוכב מס' 13 של הבונים החופשיים בחסות הלשכה הגדולה למדינת ישראל.
הרב בנימין אביעד (ה'תר"ץ, 1930 – י"ט באלול ה'תשס"ד, ספטמבר 2004) היה רב מועצה אזורית שפיר וחבר מועצת הרבנות הראשית.
נולד בשנת ה'תר"ץ (1930) בסלוניקי שביוון לאברהם ורג'ינה אלבלה.
בגיל צעיר עלה לארץ ישראל וגדל בתל אביב.
למד בצעירותו בישיבת "כפר הרואה" אצל הרב משה צבי נריה.
לאחר מכן נסע ללמוד בירושלים אצל הרב יעקב כלאב בישיבת משכן ישראל ששכנה במכון הארי פישל, תוך שילוב בלימוד בישיבת מרכז הרב, שם נמנה עם תלמידיו המובהקים של הרב צבי יהודה הכהן קוק והרב דוד כהן המכונה "הרב הנזיר".
היה חבר בגרעין ו' בתנועת בני עקיבא שנמנו על מגיניה של ביריה הגלילית הסמוכה לצפת, שבימים האחרונים לשלטון המנדט בארץ הייתה אחד מסמלי המאבק של היישוב להרחבת גבולות ההתיישבות ולקביעת גבולותיה של הארץ.
הרב נשא לאישה את חנה לבית גלר ועבר להתגורר ביישוב משואות יצחק בדרום.
גם לאחר המעבר לדרום, המשיך להשתתף בקביעות בשיעוריהם של הרב צבי יהודה הכהן קוק והרב דוד כהן בכל יום רביעי, אליהם היה מגיע יחד עם הרב חיים דרוקמן והרב אליעזר ולדמן שגרו אף הם בדרום באותה תקופה.
טרם היכנסו לתפקיד רבני, שימש הרב אביעד כמורה ללימודי קודש בבית הספר האזורי בשפיר, בו הייתה חווה חקלאית.
לאחר זמן פנה אליו ראש המועצה האזורית שפיר משה מושקוביץ והציע לרב לקבל על עצמו את תפקיד הרב האזורי במועצה.
הרב כיהן כרב מועצה אזורית שפיר במשך ארבעים ושש שנה (ה'תשט"ו–ה'תשס"א; 1955–2001).
הרב השגיח על לימוד הצעירים והפנה אותם ללימודי מקצועות הרבנות כשחיטה ומילה על מנת שבבוא הזמן יהיו לעזר למנהיגים הרוחניים והרבנים המבוגרים.
בימי החול היה הרב עובר בין מושבי האזור לצורך מלאכתו רכוב על ווספה ומשום כך זכה לכינוי "הרב על הווספה" וכן לכינוי "הרב הנודד".
במסגרת תפקידו הקים ביישוב אבן שמואל כולל אברכים להשתלמות רבני ושוחטי האזור.
במסגרת הכולל התקיים "בית-ועד" שבו התוועדו מדי יום שלישי רבנים כדי ללמוד תורה וללבן סוגיות והלכות בתורה שבעל-פה.
בין הרבנים שהשתתפו ב"בית-הוועד": הרב מרדכי אליהו, הרב חיים דוד הלוי, הרב יוסף שרביט רבה של אשקלון והרב שבתאי בן חיים רב אזורי של מועצה אזורית לכיש.
בשנת ה'תשל"ג (1973), בזמן כהונתם של הרבנים הראשיים הרב שלמה גורן והרב עובדיה יוסף, נבחר למועצת הרבנות הראשית לישראל.
הרב היה נשוי לחנה לבית גלר, היא נפטרה בי"ב בתמוז ה'תש"פ.
חתנו הוא הרב שלמה בן אליהו – רבה של מועצה אזורית מטה אשר.
הרב אביעד נפטר בי"ט באלול ה'תשס"ד.
במדעי המחשב, המושג בניית תוכנה מתייחס לתהליך של הפיכת קובצי קוד מקור לתוצרי תוכנה עצמאיים (standalone) הניתנים להרצה על מחשב.
כמו כן, המושג יכול להתייחס גם לתוצר עצמו של תהליך זה.
אחד השלבים העיקריים של בניית תוכנה הוא תהליך ההידור (קומפילציה), בו קובצי קוד מקור הופכים לקוד הניתן להרצה (executable code).
בעוד שעבור תוכניות פשוטות תהליך הבנייה מורכב רק מהידור של קבצים בודדים, קוד המקור של תוכנות מורכבות יכול להיות פרוס על פני קבצים רבים אותם ניתן לשלב בדרכים שונות לקבלת הרבה גרסאות שונות.
ישנם כלי אוטומציה של בניית תוכנה (build tool) - תוכנה אשר שולטת באופן אוטומטי על תוכנות אחרות ומתאמת את הפעילות שלהן, הנמצאים בשימוש נפוץ לבניית תוכנות.
דוגמאות לתוכנות כאלה הן "Make", "Maven", "Gradle", "Ant" ו"ג'נקינס".
הכלי לבניית תוכנה צריך להדר ולקשור את הקבצים השונים, בסדר הנכון.
אם קוד המקור בקובץ מסוים לא השתנה, ייתכן שאין צורך להדר אותו מחדש (עם זאת, ייתכן שבכל זאת יהיה צורך להדר אותו מחדש אם הוא תלוי בקבצים אחרים שנעשה שינוי בקוד המקור שלהם).
כלים חכמים לבניית תוכנה מנסים להימנע מלהדר מחדש קוד שאינו דורש זאת, על מנת לחסוך בזמן הנדרש לביצוע הבנייה.
כלי בנייה מודרניים יכולים להיות משולבים בתוך תוכנות לניהול גרסאות כדוגמת גיט, בפרט בשירותים רחבים יותר כמו גיטהאב.
תהליך מורכב יותר עשוי לכלול גם תוכנות נוספות המפיקות קוד או נתונים עבור תהליך הבנייה.
בנים על פני פרחים (בקוריאנית: 꽃보다 남자) היא סדרת טלוויזיה דרום קוריאנית בכיכובו של לי מין-הו, קו הי-סן, קים היון-ג'ונג, קים ג'ון וקים סו-יון.
הסדרה שודרה ברשת KBS2 מ-5 בינואר עד 31 במרץ 2009 בימי שני ושלישי בשעה 21:50 וכללה 25 פרקים.
הסדרה זכתה להצלחה רבה ברחבי העולם, והפכה את כוכביה למפורסמים.
הסדרה מבוססת על מאנגת שוג'ו יפנית באותו שם שנכתבה על ידי יוקו קאמיו.
הסדרה היא העיבוד הטלוויזיוני החמישי למאנגה זו.
העלילה היא סיפור סינדרלה קלאסי על נערה ענייה אך חכמה הלומדת בבית ספר השייך למעמד הגבוה שמושכת את עיניהם של ארבעה נערים, בנים למשפחות עשירות מאד.
גאום ג'אן די (קו הי-סן) לומדת בשינווה, בית ספר יוקרתי, אליו היא התקבלה בזכות מלגה.
לדעתה, בני כיתתה הם רדודים ובלתי נסבלים, במיוחד חבורת F4 הידועה לשמצה: גו ג'ון-פיו (לי מין-הו), יון ג'י-הו (קים היון-ג'ונג), סו יי ג'ונג (קים בום), וסונג וו בין (קים ג'ון), מלכי בית הספר הבלתי מעורערים שאף אחד, כולל המורים, לא מעז להתחיל איתם.
איש לא מערער על מעמדם לבד מג'אן-די, שכועסת על גסותם ומבקרת בחריפות את ג'ון-פיו, מנהיג החבורה, מה שגורם לו לזעום עליה.
ג'ון פיו מתאהב בג'אן-די, אבל היא מנהלת ידידות קרובה עם ג'י-הו, הרגיש והשקט.
לאחר שג'י-הו טס לחו"ל כדי לחבור לחברתו הדוגמנית, ג'אן-די וג'ון-פיו הופכים להיות קרובים יותר, ואט אט מפתחים רגשות הדדיים האחד כלפי השני.
אך מערכת היחסים ביניהם יוצרת בעיות.
אמו של ג'ון-פיו, אשת עסקים אנוכית וחסרת רחמים, שמשמת כנשיאה של שינווה, משתדלת להפריד ביניהם ככל יכולתה.
בינתיים חוזר ג'י-הו מחו"ל ומתכנן להתוודות בפני ג'אן-די על רגשותיו.
חברת בנים לגבולם הייתה חברה שהוקמה בשנת 1944 במטרה לעודד ולסייע להתיישבותם של הספרדים ובני עדות המזרח במושבים ברחבי ארץ ישראל.
חברת "בנים לגבולם" הוקמה במאי 1944 מאיחוד של הגורמים הבאים: ארגון "לשדה" של עולי יוון שהקימה את צור משה, "החברה ליישוב עולים מבולגריה" שנוסד בידי מרדכי רומנו ועסקה בביסוס כפר חיטים ובית חנן ו"ועדת ארגנטינה", ונציגי יהדות מצרים.
בראש החברה עמד ליאון רקנאטי ונשיאה היה הראשון לציון, הרב בן-ציון מאיר חי עוזיאל.
הנהלת החברה מנתה את ליאון רקנאטי, משה קרסו, יצחק ארדיטי, ה.
פרץ, חיים קרישפין, עו"ד ב.
פרדו, אברהם אסא, יצחק לוי, י.
תג'ר, אברהם אלמליח, אבולעפיה ואליהו אלישר.
לאחר מותו של רקנאטי החליף אותו משה קרסו בתפקיד יו"ר החברה ויצחק ארדיטי היה לסגנו.
מטרת החברה הייתה לעזור לעולי הבלקן, טורקיה וארצות המזרח להתיישב על הקרקע וכן למשוך את האוכלוסייה הספרדית העירונית אל המשק החקלאי במושבים.
שם החברה ניתן לה על פי הצעת הרב עוזיאל.
לאחר הקמתה, החברה לקחה מהסוכנות היהודית הלוואות לצורך ביסוס צור משה, כפר חיטים ובית חנן.
לקראת סוף 1944 פעלה החברה להקמת מושב בית הלוי וליישוב ספרדים בהר-טוב.
כן סייעה החברה לעולי כורדיסטן שהקימו מחדש את כפר אוריה.
בהמשך סייעה החברה לקיבוץ מעברות שכלל גרעין של יוצאי בולגריה, להגושרים, לנחשונים, לחסנה, לאייל, לגזית, לחצור, לאלמגור, לאיתנים, ליקום, למסילות, לארגון ריקנטי ולאורים.
הפעילות של סיוע לספרדים להתיישב בקיבוצים קיימים הייתה למורת רוח לחלק מחברי החברה שבקשו שהחברה תקים יישובים עצמאיים לספרדים והביאה להתרחקותם של אלו מפעילות בחברה.
בנימין הוא סרט קומדיה רומנטית-להט"בית משנת 2018 בבימויו של הבמאי והקומיקאי סיימון אמסטל.
הסרט עוקב אחר בנג'מין, קולנוען, שמתאהב במוזיקאי צרפתי.
בשנת 2017 הודיעה חברת "Open Palm Films" כי סיימון אמסטל כותב בשבילה סרט.
הסרט הוקרן לראשונה בפסטיבל הסרטים של לונדון 2018. הוא יצא רשמית לבתי הקולנוע ב-15 במרץ 2019.
בנים ואוהבים הוא סרט קולנוע בריטי בשחור-לבן משנת 1960, עיבוד קולנועי לספר "אבות ובנים" של ד.ה.
ב-1981 הפיק ה-BBC סדרת טלוויזיה על הספר עם איילין אטקינס וקארל ג'ונסון בתפקידים הראשיים.
הסרט צולם בנוטינגהאם ובאולפני פינווד בבריטניה.
בתפקידים הראשיים - דין סטוקוול, טרוור הווארד, ונדי הילר, מרי יור והת'ר סירס.
נעימת הנושא של הסרט זכתה לפרסם בביצוע תזמרתו של פרסי פיית'.
עיירת הכורים בסטווד נמצאת ליד עיר המחוז נוטינגהאם בבריטניה.
רוב תושביה מוצאים את פרנסתם בעבודה במכרה פחם וממשיכים את מסורת משפחתם.
וולטר מורל (טרוור הווארד) עבד כל ימיו במכרה.
את תסכולו הוא מוציא על שתיית אלכוהול ומכות לאשתו גרטרוד (ונדי הילר).
הבן הבכור ויליאם, עזב את הבית ללונדון, הצליח בעבודה, נשא אישה וניצל מהחיים בעיירה.
הבן הצעיר המשיך לעבוד עם האב ונהרג בתאונה במכרה.
הבן האמצעי פול (דין סטוקוול) הוא בעל נפש פיוטית וחובב ציור.
כשחלק מציוריו הוצגו במוזיאון בנוטינגהאם, מבקר אחד התרשם מהם והציע לו מלגה להשתלמות בציור בלונדון אך לאחר ריב קשה בין הוריו הוא החליט להישאר במקום ולהגן על אמו.
היחסים בין פול ואמו הם הדוקים וכמעט אדיפלים היא דורשת אותו לעצמה ומתנגדת לכל בחורה שהוא יוצא אתה.
הוא מתאהב במרים לייברס (הת'ר סירס) שגרה עם אמה בחווה סמוכה לעיירה.
אמה של מרים היא אדוקה ושמרנית, מתנגדת ליחסים לפני הנישואים ומחשיבה נישואים רק למטרות רבייה ולא לתאוות בשרים.
מרים מושפעת ממנה אך לבסוף מסכימה לקיים יחסים עם פול והוא מסתייג ממנה כי היא עושה זאת רק למענו.
פול מתקבל לעבודה בבית מלאכה לתפירת בגדי נשים.
המנהל (דונלד פלזנס) מציג אותו לפני הבחורות המגחכות ומרכלות ומבטו נופל על קלרה דווס (מרי יור) המבוגרת ממנו ופרודה מבעלה בקסטר (קונרד פיליפס) העובד באותו מקום.
קלרה היא אישה ליברלית המשתתפת בהפגנות למען זכויות בחירה לנשים.
הוא מתחיל במערכת יחסים איתה ושניהם יוצאים לנופש.
אמו גרטרוד מתנגדת לקשר הזה כמו לשאר קשריו עם נשים.
כשהם חוזרים לנוטינגהאם פוגש בו בקסטר ומכה אותו כדי שיעזוב את אשתו.
לבסוף מחליטה קלרה לחזור לבעלה.
אמו של פול גוססת והוא אתה ברגעיה האחרונים כשאביו מתנהג בחוסר אכפתיות.
לאחר ההלוויה הוא נפגש שוב עם מרים שרוצה להתחתן אבל הוא לא מוכן לקבל מרות מאף אחד ומסרב לה.
שם השחקן/ית שם הדמות הערותדין סטוקוולפול מורלונדי הילרגרטרוד מורלטרוור הווארדוולטר מורלהת'ר סירסמרים לייברסמרי יורקלרה דווסויליאם לוקאסויליאם מורלקונרד פיליפסבקסטר דווסרוזלי קרצ'ליגב' לייברסאמא של מריםדונלד פלזנסמר פפלוורת'מנהל חנות
פרדי פרנסיס זכה בפרס אוסקר לצילום הטוב ביותר, שחור-לבן.
טרוור הווארד היה מועמד לפרס אוסקר לשחקן הטוב ביותר.
מרי יור הייתה מועמדת לפרס אוסקר לשחקנית המשנה הטובה ביותר.
ג'ק קארדיף היה מועמד לפרס אוסקר לבמאי הטוב ביותר.
תומאס קלרק וגווין למברט זכו בפרס אוסקר לתסריט המעובד הטוב ביותר.
ונדי הילר הייתה מועמדת לפרס באפט"א לשחקנית הטובה ביותר בתפקיד ראשי.
במתמטיקה, ישנן דרכים שונות להגדיר מהו שדה המספרים הממשיים, רובן משתמשות בקיום שדה המספרים הרציונליים.
לא כל הבניות מובילות בסופו של התהליך אל אותה הקבוצה, אך העיקר הוא האיזומורפיזם בין המבנים הנוצרים בכל אחת מהבניות; כלומר, בכל הבניות מגיעים לשדה סדור שלם שהוא גם ארכימדי.
בכל הבניות מגיעים גם לקבוצה בעלת אותה עוצמה.
משמעות הבנייה היא יצירת קבוצה שמוגדרות עליה שתי פעולות (כפל וחיבור), ויחס סדר מלא (חזק או חלש) אשר מקיימת מספר אקסיומות (שיתוארו להלן).
במשך מאות שנים, מספר ממשי היה מספר שמייצג אורך של קטע, לאחר שהוסיפו לו כיוון (כלומר הוא יכול להיות גם שלילי).
לאחר שהגאומטריה תוארה באמצעים אלגבריים, הובן שיש פה בעיה של הגדרה מעגלית: השדה הממשי מוגדר באמצעות גאומטריה, והגאומטריה מוגדרת באמצעות השדה הממשי.
לכן, ב־1872, פרסם גאורג קנטור את דרכו לבניית השדה הממשי מתוך השדה הרציונלי, כשהוא עושה שימוש בסדרות קושי של מספרים רציונליים.
מעט מאוחר יותר באותה שנה פרסם ריכרד דדקינד את הגדרתו שלו, העושה שימוש בחתכי דדקינד.
מאז פורסמו עוד הרבה מאוד בניות, וחלקן מובאות בערך זה.
המטרה של כל הבניות זהה: יש ליצור קבוצה , שעליה מוגדרות פעולות ויחס סדר (או ), כך שמתקיימות האקסיומות הבאות:
היא קבוצה סדורה בסדר מלא.
כשדה, הוא שדה סדור שלם ביחס הסדר , כלומר:
לכל תת־קבוצה לא־ריקה וַחסומה מלמעלה יש חסם עליון: קיים כך שלכל מתקיים , וכל שעבורו לכל מתקיים , מקיים .
אם הסדר המוגדר הוא חזק (), אז יש להחליף כל מופע של באקסיומות ב, למעט האקסיומה האחרונה, בה יש להשתמש ביחס הסדר החזק .
ניתן לראות כי כל מודל ביחס חזק הוא גם מודל ביחס החלש המוגדר כמו קודם, וכן כל מודל ביחס הוא גם מודל ביחס החזק .
סדרות קושי של מספרים רציונליים
בנייה זו של קנטור מסתמכת על העובדה האינטואיטיבית לפיה גם ללא הגדרה של מספרים ממשיים, מתקיים שכל מספר ממשי הוא גבול של סדרת מספרים רציונליים.
נוכל אם כן להגדיר את המספר להיות סדרה זו.
מכיוון שיש כמה סדרות המתכנסות למספר הממשי, נגדיר את המספר להיות קבוצת הסדרות המתכנסות אליו.
נגדיר לשם כך יחס שקילות על קבוצת הסדרות שיש להם פוטנציאל להתכנס (אף שאינן מתכנסות, שכן בשדה הרציונלי יש "חורים"), הלוא הם סדרות קושי.
תהי קבוצת כל סדרות קושי ב-, כלומר קבוצת כל הסדרות של מספרים רציונליים כך שלכל (רציונלי) קיים טבעי כך שלכל זוג טבעיים מתקיים .
נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס, כלומר הסדרות ו- שקולות אם ורק אם לכל (רציונלי) קיים טבעי כך שלכל טבעי מתקיים .
נראה כי הגדרה זו אכן מגדירה יחס שקילות:
רפלקסיביות: לכל סדרה , לכל ולכל , מתקיים .
סימטריות: ולכן אם האחד קטן מ- גם השני קטן ממנו.
טרנזיטיביות: יהי , ו- .
יהי קיימים כך שלכל מתקיים ולכל מתקיים .
נבחר ונקבל לכל : (על פי אי-שוויון המשולש), לכן .
קבוצת המנה (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן - זהו שדה המספרים הממשיים.
את המספרים הרציונליים נזהה בממשיים על ידי מחלקות השקילות המתאימות, עבור רציונלי מחלקת השקילות המתאימה היא מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה .
את פעולות החיבור והכפל נגדיר איבר איבר, באופן הבא:
נראה כי ההגדרות לא תלויות בבחירת הנציגים:
קיימים כך שלכל מתקיים ולכל מתקיים .
כפל: כל סדרת קושי היא חסומה, לכן יהי המקסימום בין החסמים של , כלומר לכל מתקיים וכן .
נראה כי תחת הפעולות הנ"ל, הקבוצה היא שדה:
קיימים כך שלכל מתקיים , ולכל מתקיים .
נבחר ונקבל לכל : .
תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות, קיום איבר האפס וקיום האיבר הנגדי נובעות מידית מתכונות אלו בשדה , כאשר מגדירים , וכן .
נשתמש שוב בכך שכל סדרת קושי היא חסומה ונסמן ב את המקסימום מבין החסמים של הסדרות.
נסמן ונקבל לכל : .
תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מתכונות אלו בשדה , כאשר מגדירים .
קיום איבר הופכי: נראה קודם כל כי אם ב יש אינסוף אפסים, אז היא שקולה לאיבר האפס: מכיוון שיש אינסוף אפסים, אז לכל קיים כך ש.
קיים כך שלכל מתקיים .
לכל מתקיים , לכן .
כלומר יש להוכיח את קיום האיבר ההופכי רק עבור סדרות שאין בהם אינסוף אפסים.
מכיוון שאין אינסוף אפסים, אז יהי כך שלכל מתקיים .
נסמן ב את הסדרה המוגדרת על פי .
ברור ש-, וכן שכל איברי הסדרה שונים מאפס, לכן ניתן להניח כי לכל .
נרצה להראות כי זוהי סדרת קושי: נניח בשלילה שלכל ולכל קיים כך ש-.
אז בהינתן , קיים כך שלכל מתקיים .
בנוסף מההנחה קיים כך ש.
לכן, לכל מתקיים , כלומר , בניגוד לכך ש-.
לכן קיימים כך ש לכל .
נגדיר ונקבל (כי מתקיים , וכן ), וכן לכל .
קיים כך שלכל מתקיים , לכן לכל מתקיים .
כלומר היא סדרת קושי, וקל לראות .
בנוסף, את הסדר על סדרות קושי ב- נגדיר כך: אם ורק אם קיים וקיים טבעי כך שלכל טבעי מתקיים .
נראה כי ההגדרה לא תלויה בנציגים:
נניח ש- וכן שקיימים כך שלכל מתקיים .
במקרה זה קיימים כך שלכל מתקיים (או בנוסח אחר: ), ולכל מתקיים (או בנוסח אחר: ).
נראה כי זהו אכן יחס סדר חזק:
אנטי-רפלקסיביות: לכל ולכל , מתקיים ולכן לא מתקיים , כלומר .
טרנזיטיביות: יהיו , וכן כך שלכל מתקיים , ולכל מתקיים .
אז נבחר ונקבל לכל : .
אז לכל ולכל , קיים כך ש- וכן .
בנוסח אחר נאמר כי .
לכן לכל מתקיים , ולכן .
נראה כי ההגדרות הנ"ל הופכות את השדה לשדה סדור:
לכל מתקיים ולכן גם ובסה"כ .
נניח בנוסף כי (כזכור, 0 הוא מחלקת השקילות ).
לכל , מתקיים (ובפרט ), ולכל מתקיים .
העובדה היחידה החסרה לנו היא השלמות, כלומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל קיים סופרמום (חסם מלעיל קטן ביותר).
נוכיח עובדה זו:תהי תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי .
נגדיר כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ- (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל).
מכיוון ש- אינה ריקה, קיים מספר רציונלי שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי .
כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם חסם מלעיל אז ו-, אם הוא אינו חסם מלעיל אז ו-.
קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות.
נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-.
קל להראות באינדוקציה כי לכל טבעי חסם מלעיל ל- בעוד ש- לא, מעובדה זו נובע כי חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר.
נניח כי מקיים , אז קיים טבעי עבורו , ומכיוון ש- מונוטונית עולה נקבל כי לכל גם מתקיים , אך ראינו כבר ש- אינו חסם מלעיל ולכן שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.
בנייה זו של ריכרד דדקינד מסתמכת על תכונה אחרת אף שקולה: כל מספר ממשי הוא סופרמום של קבוצה של רציונלים, לכן נגדיר אותו להיות קבוצה זו.
חתך דדקינד של מספרים רציונליים הוא קבוצה המקיימת:
ל אין מקסימום: לא קיים כך שלכל מתקיים .
לכל מספר רציונלי , החתך הוא החתך המייצג את .
עבור מספרים שאינם רציונליים יש צורך למצוא חתך מתאים.
למשל עבור יתאים החתך , ועבור (מספר אוילר) יתאים החתך .
את קבוצת חתכי דדקינד נסמן - שדה המספרים הממשיים.
נגדיר יחס סדר על השדה: .
את הכפל נגדיר מאוחר יותר, לאחר שנראה את תכונות החיבור:
יהי כך שלכל מתקיים .
נגדיר ולכן לכל מתקיים , לכן .
מכך שA,B הם חתכים נקבל ש-.
לכל קיים כך ש-, וכן לגבי .
אז קיימים בקבוצות A,B בהתאמה.
מתקיים , וכן , לכן ל אין מקסימום.
תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר האפס נובעות מידית מתכונות אלו בשדה , כאשר מגדירים .
קיום איבר נגדי: נגדיר את .
נראה שמתקיים : יהי .
יהי , אז מתקיים .
הקבוצה היא חתך ולכן חסומה מלעיל.
יהי ונגדיר , כלומר , וכן נגדיר .
קיבלנו ייצוג של a כ- , לכן .
אם לפחות אחד מהחתכים A,B הוא שלילי, נגדיר .
כעת נראה שמתקיימות תכונות הכפל בשדה:
סגירות: נראה זאת כאשר .
שאר המקרים נובעים ממקרה זה.
נגדיר את כמו קודם, ונשים לב שהם חיוביים.
יהי .אז קיימים בקבוצות A,B בהתאמה.
מתקיים וכן , לכן ל אין מקסימום.
תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מידית מקיום תכונות אלו בשדה , כאשר מגדירים .
קיום איבר הופכי: נגדיר .
מכיוון ש, נקבל , לכן .
דיסטריבוטיביות: נראה זאת עבור : על פי ההגדרה, .
נראה כי יחס הסדר שהגדרנו על השדה, , הוא אכן יחס סדר חלש:
מכיוון שהיחס הוא יחס סדר חלקי חלש על כל אוסף של קבוצות, עלינו להוכיח רק את תכונת ההשוואה: יהו , ונניח כי , כלומר קיים כך ש.
לא ייתכן כי , כי אז יתקיים .
לכן , ומכיוון שA חתך נקבל .
נראה כי השדה הוא שדה סדור:
איזוטוניות ביחס לכפל: יהי , ונניח כי .
נראה כי השדה הוא שדה סדור שלם: תהי קבוצה לא ריקה וחסומה של מספרים ממשיים, ונגדיר .
נראה כי M הוא מספר ממשי, כלומר חתך של מספרים רציונלים:
מכיוון שA לא ריקה, גם M לא ריקה.
מכיוון ש חסומה, קיים כך שלכל מתקיים , כלומר .
מכיוון שA חתך, קיים כך ש.
נראה כי חתך זה הוא הסופרמום של הקבוצה S: .
לכן M הוא חסם מלעיל.
יהי חסם מלעיל של .
לכן הוא החסם העליון הקטן ביותר של .
כל מספר ממשי ניתן לייצג על ידי קירוב רציונלי על פי .
מספיק לדבר על הפונקציה .
תכונה מעניינת של פונקציה זו היא שמתקיים , במובן שיתואר להלן.
אם נדבר על אוסף כל הפונקציות המקיימות תכונה זו, נראה שניתן לייצג כל מספר ממשי באמצעות כמה פונקציות כאלו.
בניה זו מדלגת על הרציונלים, ומגדירה את הממשיים הישר מתוך חוג המספרים השלמים.
נאמר כי פונקציה היא קוואזי-הומומורפיזם, אם קיים כך שלכל מתקיים .
הקבוע יכונה קבוע-האדיטיביות של .
ניתן להוכיח באינדוקציה כי מתקיים , ולכן גם (מתכונה זו נובע כי היא סדרת קושי, המתכנסת ל.
ניתן לראות כאן דמיון לבנייה של קנטור).
את קבוצת כל הקוואזי-הימומורפיזמים בחוג השלמים נסמן .
נגדיר יחס שקילות על : אם ורק אם קיים כך ש לכל (למעשה, אם נחזור לדבר על סדרות הקושי, המשמעות היא ש במובן שתואר בבנייה של קנטור).
נראה כי זהו אכן יחס שקילות:
את קבוצת המנה נסמן - יצרנו את קבוצת הממשיים.
לכל מספר רציונלי q אפשר להתאים את המחלקה של הפונקציה ; זהו אכן קוואזי-הומומורפיזם.
במקרה של מספר שלם מתקבלת הפונקציה .
חיבור: החיבור הרגיל של פונקציות, כלומר .
נחבר מחלקות שקילות באמצעות חיבור נציגים.
כפל: הרכבת פונקציית, כלומר .
נכפול מחלקות שקילות באמצעות כפל נציגים.
נראה כי ההגדרות לא תלויות בנציגים: יהו כאשר מקיים , ו מקיים את התכונה לגבי .
מתקיים , לכן הביטוי חסום בסביבה כלשהי של , כלומר קיימים כך ש.
נראה כי הפעולות הפוכות את הקבוצה לשדה:
תכונות האסוציאטיביות, הקומוטטיביות, קיום איבר האפס והאיבר הנגדי נובעות מידית מקיום תכונות אלו בחוג , כאשר מגדירים ו-, וכן ו-.
מכיוון ש הם פונקציות חסומות, והפונקציה חסומה על קבוצה סופית (כי תמונת קבוצה סופית היא סופית, ובפרט חסומה), הביטוי כולו חסום.
תכונות האסוציאטיביות וקיום איבר היחידה נובעות מידית מקיום תכונות אלו לכל קבוצה של פונקציות, כאשר מגדירים ( היא פונקציית הזהות ב)
קומוטטיביות: אם נציב באי-שוויון , נקבל , ולכן גם .
נשים לב שמתקיים , לכן , לכן .
בכל זאת הנחנו כי , מה שמתקיים רק עבור .
לכן נגדיר , ונקבל .
לפני שניגש להוכיח את תכונת ההפיכות, נגדיר חיוביות של קוואזי-הומומורפיזם: חיובית אם"ם קיים כך שלכל , .