tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת לכל , נציב ונקבל .
: תהי פונקציה חלקה המקיימת לכל .
נשים לב כי , לכן לכל מתקיים .
עבור פונקציה גזירה והומוגנית חיובית מסדר נקבל כי היא הומוגנית מסדר .
תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי .
שכן על פי משפט אוילר:
הפעלת הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.
פונצ'אק ג'איה (באינדונזית: Puncak Jaya, נקרא גם קרסטנז פירמיד) הוא הר הנמצא בתחומה של אינדונזיה, בפארק הלאומי לורנץ שבאי גינאה החדשה.
ההר הוא הגבוה ביותר באוקיאניה, ובשל כך נחשב לעיתים כחלק משבע הפסגות.
ההר הוא גם הנקודה הגבוהה ביותר הנמצאת על אי והנקודה הגבוהה ביותר בין ההימלאיה והאנדים.
בצדו של ההר, במרחק מאות מטרים מן הפסגה נמצא מכרה ענק, שנכרים בו זהב, נחושת וכסף.
ההר וסביבתו היו מיושבים עוד בטרם דרכו האירופים על אדמת האי.
החוקר ההולנדי יאן קרסטנז היה האירופי הראשון שראה את ההר ואת קרחוניו, בשנת 1623. קרסטנז זכה לבוז באירופה עקב טענתו כי ראה שלג בקרבת קו המשווה.
שמו השני של ההר נושא את שמו.
ההעפלה המוצלחת המתועדת הראשונה נעשתה על ידי היינריך הארר, סופר אוסטרי שכתב את הספר שבע שנים בטיבט, עם שלושה מחבריו בשנת 1962. ב-1 במאי 1963, תפסה אינדונזיה בעלות של שטח ההר ושמה של הפסגה שונה לפונצ'ק סוקרנו (פונצ'אק פירושו פסגה) על שמו של נשיאה הראשון של אינדונזיה.
מאוחר יותר שונה השם לפונצ'אק ג'איה.
ג'איה פירושו ניצחון או תהילה.
בשנת 1994 הובילה מדריכת תיירים אינדונזית קבוצת תיירים אל הפסגה ביום גשום.
היא הייתה האדם הראשון מאינדונזיה שהגיע אל הפסגה.
גישה להר דורשת אישור ממשלתי.
הגישה למטיילים ותיירים הייתה אסורה בין השנים 1995–2005. משנת 2006 ניתן להשיג אישורי טיפוס דרך מגוון סוכנויות באי.
פסגת ההר אינה מושלגת, אך חלק ממורדותיו מכוסים קרחונים.
קרחונים אלה, עקב קרבתם לקו המשווה, הם מושא למחקרים רבים בנושא ההתחממות העולמית ומבנה והתנהגות של קרחון יבשתי.
הטיפוס להר הוא טיפוס מצוקים קשה וטכני, הנעשה לרוב מהמפנה הצפוני של ההר.
מחנה הבסיס של ההר נמצא במרחק של 100 קילומטרים משדה התעופה הקרוב, מהלך ארבעה - חמישה ימי הליכה.
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, פונקציה אופיינית של משתנה מקרי היא פונקציה המתארת את ההתפלגות שלו.
בעזרתה ניתן לנתח את ההתפלגות של משתנה אקראי באופן מלא מבלי להשתמש בפונקציית צפיפות ההסתברות או בפונקציית ההצטברות.
הפונקציה האופיינית שימושית במיוחד לתיאור ההתפלגות של צירוף ליניארי של משתנים אקראיים.
הפונקציה האופיינית של משתנה אקראי היא פונקציה מרוכבת המוגדרת כתוחלת של , כאשר הוא היחידה המדומה ו־ הוא מספר ממשי שמהווה את המשתנה של הפונקציה האופיינית:
בחישוב התוחלת כאינטגרל, הפונקציה האופיינית מתקבלת כצמוד של התמרת פורייה של פונקציית צפיפות ההסתברות.
לפונקציה האופיינית קשר פשוט לפונקציה יוצרת המומנטים (אם מרחיבים את תחום ההגדרה שלה למרוכבים):
בניגוד לפונקציה יוצרת מומנטים, הפונקציה האופיינית תמיד קיימת וממנה ניתן לקבל את פונקציית צפיפות ההסתברות ואת המומנטים או להסיק על אי קיומם.
הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי ממשי תמיד קיימת מכיוון שהיא אינטגרל של פונקציה חסומה ורציפה על מרחב שהמידה שלו סופית.
פונקציה אופיינית היא פונקציה רציפה במידה שווה בכל המרחב.
פונקציה אופיינית אינה מתאפסת בסביבת הנקודה אפס, שכן מההגדרה .
פונקציה אופיינית היא הרמיטית: .
בפרט, הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי סימטרי (סביב הראשית) היא ממשית וזוגית.
קיים יחס חד-חד ערכי בין התפלגויות הסתברות לבין פונקציות אופייניות.
כלומר לשני משתנים מקריים ו־ יש את אותה התפלגות אם ורק אם יש להם אותה פונקציה אופיינית .
אם המומנטים של משתנה מקרי מוגדרים עד סדר , אזי לפונקציה האופיינית יש נגזרות רציפות על כל הישר הממשי.
אם הנגזרת ה־ של פונקציה אופיינית מוגדרת באפס, אזי אם כל המומנטום של המשתנה המקרי מוגדרים עד המומנט ה־ אם זוגי, ועד המומנט ה־ אם אי-זוגי:
הפונקציה האופיינית של סכום של שני משתנים אקראיים בלתי תלויים סטטיסטית היא מכפלת הפונקציות האופייניות שלהם:
יהי משתנה המקרי המתקבל על ידי טרנספורמציה ליניארית של עם פרמטרים קבועים ו־.
הפונקציה האופיינית של היא .
עבור וקטורים מקריים ו- (כאשר היא מטריצה קבועה ו־ הוא וקטור קבוע), אזי:
התפלגות הפונקציה האופיינית התפלגות מנוונת התפלגות בינומית התפלגות פואסון התפלגות אחידה רציפה התפלגות אחידה בדידה התפלגות נורמלית התפלגות כי בריבוע התפלגות קושי התפלגות מעריכית התפלגות לפלס התפלגות ברנולי
פונקציות אופייניות שימושיות במיוחד לטיפול בפונקציות ליניאריות של משתנים אקראיים בלתי תלויים.
לדוגמה, אם היא סדרה של משתנים אקראיים בלתי תלויים (ולא בהכרח שווי-התפלגות), ואם
כאשר הם קבועים, אז הפונקציה האופיינית של היא
בפרט, עבור שני משתנים מקריים בלתי תלויים ו־
כדי להראות זאת מספיק להשתמש בהגדרה של הפונקציה האופיינית
אי התלות של ו- מבטיחה שהביטוי השלישי והרביעי שווים.
מקרה פרטי חשוב הוא כאשר הם משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות וכאשר .
אם נסמן את ממוצע המשתנים המקריים אז הפונקציה של תהיה:
ניתן להשתמש בפונקציה האופיינית כדי לחשב את המומנטים של משתנה מקרי.
פונקציה בוליאנית על משתנים, נקראת חמקנית (evasive) אם זמן הריצה של כל אלגוריתם עץ הכרעה עבורה הוא בדיוק .
או במילים אחרות, כל אלגוריתם שמחשב את , צריך להעריך את כל ביטי הקלט במקרה הגרוע ביותר.
לא כל פונקציה בוליאנית היא חמקנית.
נבחן לדוגמה את הפונקציה הבאה:
הפונקציה תלויה בשלושת המשתנים שלה: , אבל מספיק לשאול רק שתי שאלות כדי להעריך אותה: נגלה תחילה את הערך של .
אם הוא אמת, נברר את הערך של ונחזיר אותו כערך כל הפונקציה, ואם הערך של הוא שקר, נברר את הערך של ונחזיר אותו כערך כלל הפונקציה.
נבחן מקרה פרטי של עצי משחק, בו הערכים האפשריים לקודקודים הם 0 ו-1.
במקרה כזה, שחקן ה־ מחשב למעשה על הבנים שלו, ושחקן ה־ מחשב עליהם.
משפט: עבור עץ משחק כפי שתואר, בעל עלים, פונקציית ההערכה שלו היא חמקנית.
נוכיח באינדוקציה על שישנו יריב אופטימלי שגורר עומק לעץ ההכרעה.
עבור עלים, האלגוריתם יהיה חייב לברר את ערכו של העלה היחיד, ובמקרה זה לא משנה מה היריב יענה.
נניח כי קיים יריב אופטימלי עבור עצים בעלי עלים ונוכיח קיום גם בעבור עצים בעלי עלים.
עבור כללי, האלגוריתם מתחיל ומברר ערך של כלשהו.
היריב יענה 0 אם הקודקוד אליו מחובר העלה הוא קודקוד (כלומר אם השחקן הוא שחקן ), ו- 1 אם זהו קודקוד (כלומר שחקן ).
הערך שהיריב ענה לא גרם לתשובה חד-משמעית בעבור הקודקוד - במקרה של קודקוד העובדה שאחד הערכים הוא 0 לא קובעת את ערך הקודקוד וכך גם בעבור קודקוד בו ידוע שאחד הערכים הוא 1. בכל מקרה השחקן שמשחק את הקודקוד יאלץ לברר את ערכי שאר הבנים.
מכאן, היריב ימשיך כמו היריב האופטימלי לפונקציה המושרה בלי (שהיא בעלת עלים).
ומכאן באינדוקציה, היריב גרר עומק לעץ.
פונקציה אליפטית היא פונקציה מרוכבת מרומורפית בעלת שני מחזורים בלתי תלויים מעל R.
למשל, פונקציה אליפטית עשויה להיות בעלת מחזור ממשי טהור ומחזור מדומה טהור; בכך התורה של פונקציות אליפטיות עמוקה יותר מזו של פונקציות אלמנטריות, שעשויות להיות בעלת מחזור ממשי בלבד (למשל פונקציות טריגונומטריות מסוימות, להן מחזור ממשי ) או מחזור מדומה בלבד (למשל פונקציית האקספוננט, לה מחזור מדומה ).
ניתן להתייחס לפונקציות כאלו גם כאל פונקציות ממקבילית אל המישור המרוכב, או מטורוס אל המישור המרוכב.
מקור שמן הוא מכך שהן נחקרו לראשונה כשגילו פונקציה הפוכה לאינטגרל אליפטי (שעוזר בחישוב אורך קשת של אליפסה).
פונקציה מרומורפית נקראת פונקציה אליפטית אם קיימים שני משתנים מרוכבים בלתי תלויים ליניארית כך שלכל
כלומר לפונקציות אליפטיות שני מחזורים
אם היא פונקציה אליפטית עם מחזורים יתקיים
לכל קומבינציה ליניארית כאשר .
המקבילית הנוצרת על ידי ו
היא התחום היסודי של הפועל על .
מבחינה גאומטרית המישור המרוכב מרוצף במקביליות.
כל מה שקורה בתחום יסודי אחד חוזר על עצמו בכל האחרים.
מסיבה זו אנו יכולים לראות את הפונקציה האליפטית כפונקציות שחבורת המנה היא התחום שלהן.
ניתן להמחיש את חבורת המנה זו, הנקראת עקום אליפטי, כמקבילית שבה מדביקים את הצלעות המנוגדות, כלומר, מבחינה טופולוגית, טורוס.
קבוצת הפונקציות האליפטיות מהווה שדה, שהוא בעצמו הרחבה לשדה המרוכבים (הוא מכיל אותם כפונקציות הקבועות).
מאחר שטורוס הוא מרחב קומפקטי ומכיוון שכל פונקציה אנליטית היא בפרט רציפה, לפי משפטי ויירשטראס היא מקבלת מקסימום על הטורוס, ואז בגלל משפט ליוביל היא בהכרח קבועה.
בעזרת משפט השאריות ניתן להראות בקלות גם כי אין פונקציה בעלת קוטב יחיד פשוט שהיא אליפטית.
עובדה זו גרמה לחיפוש אחר פונקציות אליפטיות שהן לא קבועות.
דרך אחת שהוצעה היא זו של פונקציית תטא של יעקובי – שהיא אנליטית אבל רק "קוואזי-מחזורית" (מחזורית עד כדי קבוע שנוסף כל מחזור), ודרך אחרת היא זו של פונקציית P של ויירשטראס שהיא לא אנליטית אבל כן מחזורית.
משפט אבל-יעקובי נותן דרך פשוטה לבדוק האם יכולה להיות פונקציה אליפטית בעלת קטבים ואפסים מסוימים: ראשית – מספר הקטבים (כולל ריבוי) צריך להיות שווה למספר האפסים (כולל ריבוי).
שנית – שסכום הנקודות (כנקודות במישור המרוכב) יהיה הראשית, כאשר קטבים נלקחים עם סימן מינוס ואפסים עם סימן פלוס (שניהם עם ריבוי).
זמן קצר לאחר התפתחות החשבון האינפיניטסימלי, החלו המתמטיקאים די פאגנאנו ואוילר לפתח את התיאוריה של פונקציות אליפטיות.
כאשר ניסו לחשב את אורך הקשת של למניסקטה, הם נתקלו בבעיות הקשורות באינטגרלים, שהכילו את השורש הריבועי של פולינומים מדרגה 3 ו-4.היה ברור שאינטגרלים אלה, שכונו אינטגרלים אליפטיים, אינם ניתנים לפתרון באמצעות פונקציות אלמנטריות.
ב-1750 פרסם פאגנאנו קשר אלגברי בין אינטגרלים אליפטיים.
אוילר הכליל מיד את תוצאותיו של פאגנאנו והציב את משפט החיבור האלגברי שלו לאינטגרלים אליפטיים.
לאחר מכן, חקר לז'נדר את האינטגרלים האליפטיים וכינה אותם פונקציות אליפטיות.
הוא סיווג אותם לשלושה סוגים, פישוט מכריע של התיאוריה המסובכת למדי באותה תקופה.
במאה ה-19 חידשו המתמטיקאים אבל ויעקובי את המחקר על פונקציות אליפטיות, וגילו במהירות תוצאות חדשות.
בהתחלה הם מצאו פונקציה הופכית לפונקציה האינטגרלית האליפטית.
הפונקציות ההפוכות הללו נקראות כיום פונקציות אליפטיות.
במתמטיקה, פוּנְקְצְיָה אוּנִימוֹדָלִית היא פונקציה שהיא פונקציה עולה משמאל לערך מסוים , ויורדת מימינו.
במקרה זה הערך המקסימלי של הוא ולא קיים אף מקסימום מקומי פרט אליו.
פונקציית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית היא אונימודלית סביב .
באופן כללי, המונח בא לתאר פונקציה העונה על התנאים לעיל, למשל כדי לציין שהיא ניתנת לחסימה.
בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות אונימודלית היא התפלגות שפונקציית צפיפות ההסתברות שלה היא אונימודלית; למשל: ההתפלגות הנורמלית (המוזכרת לעיל) היא אונימודלית.
פונקציות אונימודליות משמשות בדרך כלל באופטימיזציה, כאשר המטרה היא למצוא את ערך הקלט שממקסם או ממזער את הפונקציה.
בלמידת מכונה, פונקציות אונימודליות משמשות לעיתים קרובות כפונקציות הפעלה, אשר מיושמות על הפלט של כל נוירון ברשת עצבית כדי לקבוע אם יש להפעיל את הנוירון הזה או לא.
פונקציות אונימודליות משמשות גם בהערכת צפיפות, שם הן משמשות למודל של התפלגות נתונים, ובאשכול (clustering), שם הן משמשות לזיהוי קבוצות של נקודות נתונים דומות.
בחשבון אינפיניטסימלי, פונקציה גזירה היא פונקציה ממשית שיש לה נגזרת בכל תחומה.
לגרף של פונקציה גזירה יש משיק בכל נקודה והוא נראה "חלק" יחסית, ללא קווים שבורים ו"השתוללויות".
תכונה חשובה של פונקציה גזירה, שגם שקולה לגזירותה, היא האפשרות לקרב אותה ליניארית.
פונקציה גזירה בנקודה אם קיים הגבול:
תוצאת הגבול נקראת "הנגזרת של בנקודה " ומסומנת .
פונקציה גזירה בקבוצה אם לכל ב- מתקיים ש- גזירה ב-.
פונקציה גזירה אם היא גזירה בתחום שלה.
על פונקציה שהנגזרת שלה רציפה נאמר כי היא גזירה ברציפות.
אם הנגזרת של פונקציה גזירה בעצמה, נאמר כי הפונקציה "גזירה פעמיים", ובאופן כללי אם לפונקציה יש נגזרת n-ית נאמר כי היא גזירה n-פעמים או גזירה מסדר n.
פונקציה שהיא גזירה n-פעמים לכל n היא פונקציה גזירה אינסוף פעמים, או פשוט פונקציה חלקה.
קבוצת הפונקציות שגזירות n-פעמים ברציפות מסומנת , כאשר היא קבוצת הפונקציות הרציפות ו- היא קבוצת הפונקציות החלקות.
לכל n, מכילה את כאשר וכולן מכילות את .
פונקציה היא גזירה למקוטעין בקטע אם קיים אוסף בן מנייה (ואולי אף סופי) של נקודות עבורו לכל בקטע פתוח מתקיים כי גזירה ב-.
פונקציה היא גזירה מימין או גזירה משמאל כאשר הגבול המגדיר את הנגזרת קיים מימין או משמאל בהתאמה.
כאשר דנים בפונקציות בכמה משתנים, אז פונקציה גזירה חלקית לפי x אם קיימת לה נגזרת חלקית לפי המשתנה x.
תנאי חזק שמכליל גזירות בכמה משתנים הוא דיפרנציאביליות.
פונקציה דיפרנציאבילית היא פונקציה שניתן לקרב ליניארית, ובפרט היא גזירה חלקית לפי כל משתנה.
במשתנה אחד המונחים פונקציה דיפרנציאבילית ופונקציה גזירה מתלכדים.
כל פונקציה גזירה היא בהכרח רציפה (ולכן גם אינטגרבילית).
ניתן להוכיח זאת ישירות מהגדרת הנגזרת.
אם אינה רציפה ב- אז ולכן הגבול המגדיר נגזרת אינו קיים (הוא ביטוי מהצורה "" כאשר a שונה מאפס).
ההפך אינו נכון - לא כל פונקציה רציפה היא גם גזירה.
למשל פונקציית הערך המוחלט רציפה בנקודה x=0 אך אינה גזירה שם, כי הנגזרת מימין והנגזרת משמאל שונות זו מזו.
רוב הפונקציות הרציפות השימושיות גזירות כמעט בכל נקודה.
אולם ב-1872 מצא קארל ויירשטראס דוגמה ראשונה לפונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה: פונקציית ויירשטראס.
לפי משפט הקטגוריה של בר כמעט כל הפונקציות הרציפות אינן גזירות באף נקודה.
גזירות של פונקציה מרוכבת היא תנאי חזק בהרבה מגזירות של פונקציה ממשית.
פונקציה גזירה במובן המרוכב נקראת פונקציה הולומורפית.
באנליזה מרוכבת, פונקציה אוניוולנטית (Univalent function, simple, schlicht) היא פונקציה הולומורפית חד חד ערכית.
פונקציה מולטי-ולנטית היא פונקציה המקבלת כל ערך מספר סופי וחסום של פעמים.
התאוריה של פונקציות אוניוולנטיות היא רחבה ומסובכת.
משפט דה ברנז', אחד המשפטים החשובים בדבר פונקציות אוניוולנטיות, קובע כי המקדמים בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית על עיגול היחידה מקיימים .
המשפט נוסח תחילה כהשערה בשנת 1916 והיה בגדר בעיה פתוחה עד להוכחתו בשנת 1985, והוכחתו נחשבת להישג חשוב באנליזה מרוכבת.
השערת גודמן על פונקציות מולטי-ולנטיות מכלילה את משפט דה ברנז'.
אוניוולנטית (Univalent function) אם היא הולומורפית וחד חד ערכית.
מולטי-ולנטית (Multivalent function) אם היא הולומורפית והיא מקבלת כל ערך מספר סופי של פעמים.
עבור המקסימלי נקרא לה p-ולנטית.
בהינתן פונקציה אוניוולנטית , ניתן להגיע לצורה נורמלית שלה: קודם נשים לב שהקובע לא משנה, ולכן נשמיט אותו.
ניתן גם לחלק במקדם של , ולכן להניח מלכתחילה , כלומר הפונקציה מהצורה .
רוב התאוריה עוסקת בפונקציות כנ"ל מעיגול היחידה, כלומר .
את אוסף הפונקציות האוניוולנטית מעיגול היחידה ובעלות צורה נורמלית כנ"ל נסמן ב-.
בהינתן פונקציה , ניתן להביט בפונקציה הנתונה על ידי .
מתקיים ש- אוניוולנטית ב- ולא מקבלת את אפס.
היא נקראת פונקציה דואלית ל-.
אוסף פונקציות המקיימות את שתי הדרישות האחרונות יסומן ב-.
מובן שיש התאמה 1:1 בין לבין , הנתונה כנ"ל.
הפונקציה היא אוניוולנטית בעיגול היחידה, בעוד ש- איננה אוניוולנטית שם.
פונקציית קוב הנתונה על ידי היו אוניוולנטית בעיגול היחידה.
זוהי פונקציה חשוב מאוד בתאוריה, והיא למעשה ה"מקסימלית" מבין הפונקציות האוניוולנטית, לפי משפט דה ברנז'.
אם עוברים לפונקציה ב-, נקבל את הפונקציה הדואלית לפונקציית קוב - .
נניח , ולכל נגדיר , אז גם .
בהינתן פונקציה , גם הפונקציות הבאות הן ב-:
השטח של תחום המתקבל כתמונה של פונקציה אוניוולנטית מ- טומן בחובו נוסחאות ומשפטים רבים.
משפט אם אוניוולנטית על , השטח של נתון על ידי .
בפרט, כאשר אז והשטח הוא .
מסקנה - אם אוניוולנטית על טבעת מהצורה , השטח של הוא .
מסקנה - אם אוניוולנטית על .
אז השטח של הוא .
כעת, אם משאיפים במסקנה, ניתן לקבל את משפט השטח:
שוויון מתקיים אם ורק אם התמונה מכסה את כל המישור המרוכב, פרט לקבוצה ממידה אפס.
אחד העניינים המרכזיים בתאוריה של פונקציות אוניוולנטיות הוא עניין המקדמים.
לאורך כל המאה ה-20 נוסחו הרבה טענות על המקדמים, חלקן תחת הנחות נוספות על הפונקציות.
הטענה המרכזית היא משפט דה ברנז', שהיה ידוע עד שנת 1985 בתור השערת ביברבך או השערת המקדמים, הטוען כי .
הוכחת המשפט בשנת 1985 על ידי לואי דה ברנז' היוותה נקודת ציון חשובה.
לטענות חלקיות, שקולות והכללות ראו בספרו של גודמן בקריאה נוספת.
אלפונסו מריה רודריגס סלס (בספרדית: Alfonso María Rodríguez Salas, נולד ב-29 באפריל 1939 בסן קריסטובל דה לה לגונה שבספרד, נפטר ב-20 במרץ 1994 בל'הוספיטלט שבספרד) היה כדורגלן ספרדי ששיחק בעמדת הבלם ונודע בכינוי פונצ'ו (Foncho).
את עיקר הקריירה שלו בילה במדי ברצלונה, שם שיחק בין 1960 ל-1967. בנוסף שיחק לתקופות קצרות בקבוצות טנריפה, מורסיה וריאל סרגוסה.
יתר על כן, ערך שתי הופעות במדי נבחרת ספרד.
פונצ'ו נולד וגדל בסן קריסטובל דה לה לגונה שבאיים הקנאריים.
בתחילת 1956, בהיותו בן 16 הצטרף לאחת משתי הקבוצות הבכירות באזור, טנריפה, ששיחקה באותה תקופה בליגה השנייה, והוא ערך את הופעת הבכורה במדיה בהפסד 4-1 לריאל בטיס ב-1 באפריל.
בשנתיים הבאות הופיע פעמים בודדות במדי הקבוצה, ולכן לקראת עונת 1958/1959 עבר לאלדנסה, קבוצה נוספת מהליגה השנייה.
שם היה שחקן הרכב קבוע ובמהלך העונה שותף ב-26 משחקים בהם הבקיע פעמיים - הראשון ב-15 במרץ 1959, בניצחון 2-0 על הרקולס, והשני בתיקו 1-1 עם לבאנטה ב-29 במרץ.
אלו היו השערים היחידים שהבקיע במדי קבוצה כלשהי במהלך כל הקריירה.
אלדנסה ירדה לליגה השלישית בסוף העונה ופונצ'ו עבר למורסיה, שגם שיחקה בליגה השנייה.
יכולתו הטובה של פונצ'ו משכה את תשומת לבה של ברצלונה, מהבכירות בכדורגל בספרד, שצירפה אותו לשורותיה בקיץ 1960. ברוב תקופתו בברצלונה פונצ'ו לא היווה בורג משמעותי בסגל הקבוצה, אולם הוא מילא את תפקידו נאמנה בכל פעם שנדרש.
לאחר שלא שיחק כלל בחצי הראשון של העונה, ב-22 בינואר 1961 ערך את הופעת הבכורה הרשמית במדי ברצלונה, בניצחון 2-1 על ריאל בטיס בליגה.
עד סוף העונה הופיע ב-10 משחקי ליגה נוספים ועזר לברצלונה לסיים במקום ה-4. כמו כן השתתף עמה בגביע אירופה, והוא פתח במשחקי רבע וחצי גמר הטורניר וכן במשחק הגמר, בו הפסידה ברצלונה 3-2 לבנפיקה ליסבון.
בעונה הבאה שותף ב-11 משחקי ליגה וברצלונה הגיעה למקום השני.
הוא לקח חלק במספר משחקים בגביע ערי הירידים, אך לא שותף בגמר נגד ולנסיה, שהביסה את ברצלונה וזכתה בתואר.
עונת 1962/1963 הייתה העונה בה לקח פונצ'ו את החלק המשמעותי ביותר בקריירה שלו במשחקי ברצלונה.
הוא פתח ב-28 משחקי ליגה, אך ברצלונה, שהייתה לא יציבה באותה עונה והחליפה מאמן באמצעה, הידרדרה למקום ה-6. הוא השתתף בכל משחקיה בגביע ערי הירידים, שם הודחה בשמינית הגמר על ידי הכוכב האדום בלגרד.
בגביע הספרדי פתח ב-9 משחקים, אך הוא לא שותף במשחק החוזר של חצי הגמר וכן בגמר, בו ניצחה ברצלונה 3-1 את ריאל סרגוסה וזכתה בתואר.
לאחר מכן שב למלא תפקיד משני יחסית בקבוצה, ובעונה הבאה פתח ב-10 משחקי ליגה וכן ב-4 משחקים בגביע מחזיקות הגביע, בו הגיעה ברצלונה רק לשמינית הגמר.
מעמדו נותר זהה גם בעונות הבאות.
בעונת 1964/1965 שותף פונצ'ו ב-14 משחקי ליגה, 2 משחקים בגביע ערי הירידים ו-6 נוספים בגביע הספרדי, שם הודחה ברצלונה ברבע הגמר על ידי סראגוסה.
בעונה הבאה פתח רק ב-5 משחקי ליגה, אך הוא פתח בגומלין חצי גמר גביע ערי הירידים נגד צ'לסי, אז ניצחה ברצלונה את יריבתה 5-0 ועלתה לגמר.
לאחר הפסד 1-0 במשחק הראשון של הגמר לסראגוסה, פתח פונצ'ו בהרכב ועזר לברצלונה לזכות בתואר עם ניצחון 4-2 בהארכה.
בעונת 1966/1967 שיחק ב-13 משחקי ליגה, כולם בחציה הראשון של העונה, לצד הופעות בודדות בגביע ערי הירידים ובגביע הספרדי.
ברצלונה סיימה את העונה כסגנית האלופה, ולמעשה לא הצליחה לזכות באף אליפות במהלך תקופתו של פונצ'ו עמה.
בסוף העונה עזב פונצ'ו את ברצלונה והצטרף לריאל סרגוסה, ששיחקה בליגה הראשונה גם היא, תחת המאמן רוקה אולסן, שאימן את פונצ'ו בברצלונה בשנה שלפני כן.
הופעת הבכורה שלו במדיה הייתה במשחק הליגה נגד קבוצתו הקודמת, ברצלונה, ב-10 בספטמבר 1967, וסראגוסה ניצחה 3-2. בחודשים הקרובים ערך 7 הופעות נוספות בליגה, בנוסף ל-4 הופעות בגביע ערי הירידים, אך לאחר שאיבד את מקומו בהרכב בדצמבר 1967, פרש ממשחק בסוף העונה, בהיותו בן 29 בלבד.
פונצ'ו הופיע פעמיים במדי נבחרת ספרד.
שתי ההופעות היו נגד אותה הנבחרת, , במסגרת מוקדמות מונדיאל 1962. בראשון, ב-19 באפריל 1961, גם הבקיע שער, שעזר לנבחרתו לנצח 2-1. במשחק השני, ב-18 במאי, עזר לנבחרתו לסיים בתיקו 1-1 ולהעפיל לפלייאוף הבין-יבשתי אירופה-אפריקה.
פונצ'ו לא זומן לסגל הנבחרת למונדיאל.
הוא זומן למספר משחקים נוספים במסגרות מוקדמות יורו 1964 ו-1968, אך לא שותף באף משחק, וכך תמה דרכו בנבחרת.
באלגברה, פונקציה אָדִיטִיבִית (או פונקציה חיבורית) היא פונקציה ששומרת על פעולת החיבור, כלומר פונקציה מוגדרת כאדטיבית אם היא מקיימת את המשוואה , הנקראת המשוואה הפונקציונלית של קושי.
בתורת המספרים, פונקציה אריתמטית נקראת אדיטיבית אם היא מקיימת את השוויון .
פונקציה אדיטיבית שהיא גם הומוגנית מסדר ראשון נקראת "פונקציה ליניארית".
באופן פורמלי, זהו מקרה פרטי של הומומורפיזם בין הקבוצות תחת פעולת החיבור: .
כל פונקציה ליניארית היא אדיטיבית.
מכפלה פנימית היא אדיטיבית בשני המשתנים.
בנוסף, היא הומוגנית מסדר ראשון במשתנה הראשון, ולכן גם ליניארית בו.
מעל הממשיים, היא הומוגנית (וליניארית) גם במשתנה השני, אך מעל המרוכבים, היא לא הומוגנית, אלא "הומוגנית עד כדי הצמדה", ולכן אינה ליניארית בו.
פונקציית ההצמדה , המקבלת העתקה ליניארית (או מטריצה) ומחזירה את ההעתקה הצמודה לה (או את המטריצה הצמודה לה), אדיטיבית כאשר מעל שדה אוקלידי, וליניארית אם מעל שדה הממשיים.
לכל , פונקציה המקבלת פונקציה מרוכבת ומחזירה את מקדם פורייה ה- שלה (כלומר הפונקציה: כאשר ), היא פונקציה אדיטיבית.
פונץ' הוא אלבום הבכורה של להקת פונץ' שיצא לאור ב-1991.
"נדמה שישוב" היה מהשירים המושמעים ביותר מהאלבום לצד "עדינה (חייל אמריקאי במיטה)" שהגיע למקום ה-21 במצעד השנתי והשיר "אני מאוהב בבחורה מבת ים" שהגיע למקום ה־13 במצעד השנתי של רשת ג' וזכה להשמעות רבות בתחנות הרדיו.
יוסי בבליקי: שירה, קלידים, מילים
שלום גד: בס, שירה, מילים
איתמר גפני, גיל תורן, מירון יניב, ערן שפר: טכנאי הקלטות
באנליזה מרוכבת, פונקציה אנטי-הולומורפית היא פונקציה מרוכבת אשר גזירה בסביבת הנקודה לכל בתחום הגדרת הפונקציה, כאשר הוא הצמוד המרוכב.
אנטי-הולומורפיות קשורות קשר הדוק לפונקציות הולומורפיות; פונקציה הולומורפית על תחום פתוח היא אנטי-הולומורפית בתחום .
על כן, כל פונקציה אנטי-הולומורפית ניתן לפתח לטור חזקות לפי המשתנה , בסביבת כל נקודה בתחום ההגדרה.
פונקציה שהיא גם הולומורפית וגם אנטי-הולומורפית היא קבועה על כל רכיב קשירות בתחומה.
פונקציה ממשית f היא אינטגרבילית בהחלט אם פונקציית הערך המוחלט היא פונקציה אינטגרבילית.
כל פונקציה אינטגרבילית בהחלט היא בפרט אינטגרבילית.
הגדרה דומה חלה על פונקציה מרוכבת.
פונקציה עשויה להיות אינטגרבילית לפי רימן אבל לא אינטגרבילית בהחלט, כגון בטווח .
בתורת המידה, האינטגרל של פונקציה חיובית מוגדר כסופרימום האינטגרלים של הפונקציות הפשוטות החסומות על ידה.
האינטגרל של פונקציה ממשית f מוגדר כהפרש , כאשר ו- הן המרכיב החיובי והשלילי, בהתאמה; הפונקציה אינטגרבילית בתנאי ששני המרכיבים אינטגרביליים.
ממילא, האינטגרל של הערך המוחלט הוא , כך שהערך המוחלט אינטגרבילי לפי לבג אם ורק אם הפונקציה עצמה אינטגרבילית.
במתמטיקה, ניתן לגזור פונקטורים מסוימים על מנת לקבל פונקטורים אחרים הקשורים לפונקטור המקורי.
בעוד שפעולה זו מופשטת מאוד, היא מקשרת מספר בניות במתמטיקה.
נביא מספר דוגמאות מאלגברה הומולוגית, הממחישות את הצורך בפונקטורים נגזרים.
נתבונן בפונקטור (כאשר היא קטגוריית המודולים מעל החוג החילופי ) המוגדר באמצעות: .
כידוע, זהו פונקטור מדויק מימין, כלומר - בהינתן סדרה מדויקת קצרה , הפנקטור משרה לנו את הסדרה המדויקת:
שאלה טבעית שעולה כעת היא כיצד ניתן להמשיך את הסדרה משמאל, כך שתתקבל סדרה מדויקת ארוכה?
התשובה לשאלה זו ניתנת על ידי הפונקטור הנגזר השמאלי של , שמסומן לכל וממשיך את הסדרה בצורה הבא:
את הבנייה הזו ניתן להכליל לכל פונקטור מדויק מעל כל קטגוריה אבלית שמקיימת תנאי מסוים.
פונקציה בוליאנית (לעיתים נקראת פְּרוֹפּוֹזִיצְיה או פְּרֵדִיקָט) היא פונקציה המתאימה בין ערכים בקבוצה מסוימת (תחום) לבין קבוצה בת שני ערכים (טווח), אשר מבטאים הבחנה דיכוטומית בין ערך "אמת" ו"שקר".
בשפה המתמטית פונקציה f תקרא בוליאנית אם היא פונקציה וזו מקיימת את הגדרת פונקציה (חד ערכית)
בפרט 0 ו-1 יכולים לבטא כל שני ערכים כלשהם כמו למשל אמת או שקר, כן או לא וכדומה לכך
לוגיקה בוליאנית הוא ענף בלוגיקה מתמטית ובאלגברה בוליאנית המקבל את שמו ממפתחה ראשון, ג'ורג' בול.
במדעים הפורמליים, מתמטיקה, לוגיקה מתמטית, סטטיסטיקה והתחומים היישומיים שלהם, פונקציית ערך-בוליאני משמשת אף כפונקציה מתארת, פונקציית בוחן, פרדיקט או פרופוזיציה.
למשל (בצורה של פסאודו קוד):
בחישוביות, פונקציה בת-חישוב היא פונקציה מקבוצת המספרים הטבעיים אל עצמה (היינו, סדרה של מספרים טבעיים), שניתן לחשב כל ערך שלה בזמן סופי.
קבוצה של מספרים טבעיים היא בת-חישוב אם הפונקציה המציינת שלה בת-חישוב.
אף על פי שמושג החישוביות חל מלכתחילה על קבוצות של מספרים טבעיים, אפשר להכליל אותו לכל קבוצה בת-מניה שאפשר לסדר באופן אפקטיבי, ודרך כך לבעיות אמת-או-שקר שיש להן קלט סופי.
יחס טיורינג בין פונקציות (מהטבעיים לעצמם) מוגדר כך ש- אם ניתן לחשב את f באמצעות תוכנית המשתמשת ב-g בתור אורקל.
יחס הסדר הזה מגדיר יחס שקילות (שתי פונקציות הן שקולות אם אפשר לחשב כל אחת מהן באמצעות השנייה), ומחלקות השקילות נקראות דרגות טיורינג.
יחס הסדר על הפונקציות משרה גם יחס בין הדרגות.
הדרגה הנמוכה ביותר היא זו של הפונקציות הניתנות לחישוב, ומסמנים אותה ב-0. כל דרגה כוללת רק מספר בן מניה של פונקציות, ולכן עוצמת קבוצת הדרגות היא עוצמת הרצף.
ידוע שיש קבוצה מעוצמת הרצף של דרגות טיורינג שאינן בנות השוואה.
בין הדוגמאות החשובות ביותר לבעיות שאינן בנות חישוב אפשר למנות את: בעיית העצירה (K), בעיית המלה בחבורות מוצגות סופית (WP), הבעיה העשירית של הילברט (HTP), אוסף הפסוקים הנכונים בשפה מסדר ראשון של המספרים הטבעיים (עם הקבועים 0 ו-1, פעולות החיבור והכפל, ויחס הסדר) (TA), ועוד.
בעיית העצירה ניתנת להכללה באופן הבא: לכל דרגת טיורינג f, מסמנים ב-'f את דרגת טיורינג הכוללת את כל התוכניות העוצרות בזמן סופי, שמותר להן להשתמש ב-f.
הקפיצה שומרת על יחס הסדר, ותמיד מקיימת .
מתברר שסדר טיורינג בין בעיות טבעיות רבות, כגון אלה, הוא ליניארי.
השערת מרטין (על שם דונלד מרטין) קובעת שעבור בעיות מסוימות סדר טיורינג ניתן לתיאור באמצעות שרשראות של קפיצות טיורינג.
פונצ'ולינג (בדזונגקה: ཕུན་ཚོགས་གླིང་) היא עיירה שנמצאת ליד גבול בהוטן–הודו, במחוז צ'וקה , בהוטן.
ב-5 באפריל 1964 נרצח ראש הממשלה ג'יגמי פלדן דורגי בפונצ'ולינג.
העיירה ממוקמת כ-73 ק"מ מבירת בהוטן, טהימפהו.
העיירה נמצאת ליד הנהר טורסה .
החודש הכי חם הוא אוקטובר (22 מעלות צלזיוס).
החודש הכי קר הוא אוגוסט (14 מעלות צלזיוס).
כמות המשקעים הממוצעת היא 4,062 מילימטרים בשנה.
חודש יוני הוא החודש הגשום ביותר (964 מ"מ גשם), וחודש דצמבר הוא החודש היבש ביותר (4 מ"מ גשם).
בגבול קיימת גדר עם שער בהוטני אחד.
מקומיים יכולים לעבור את הגבול לעיתים אף ללא הצגת מסמכים.
תיירים מהודו, בנגלדש, והמלדיביים לא נדרשים לוויזה לבהוטן, אך נדרשים להציג תעודה מזהה ואישור כניסה לפונצ'ולינג.
תיירים זרים אחרים נדרשים להציג ויזה שנרכשת על ידי מדריך תיירים.
פּוּנָקָה (בדזונגקה: སྤུ་ན་ཁ་) היא עיירה במחוז פונקה , בהוטן.
כק"מ מהעיירה, נמצאת פונקה דזונג , שמשמשת כמרכז הרוחני של תושבי המחוז.
העיירה ממוקמת כ-28 ק"מ מבירת בהוטן, טהימפהו.
בנוסף, העיירה נמצאת ליד נהר סנקוס והנהר מו צ'ו .
החודש הכי חם הוא אוקטובר (14 מעלות צלזיוס).
כמות המשקעים הממוצעת היא 1,010 מילימטרים בשנה.
חודש יולי הוא החודש הגשום ביותר (210 מ"מ גשם), וחודש נובמבר הוא החודש היבש ביותר (2 מ"מ גשם).
במתמטיקה, פונקציה אלגברית היא פונקציה שניתן להגדיר כשורש של משוואה פולינומית.
לעיתים קרובות למדי פונקציות אלגבריות הן ביטויים אלגבריים המשתמשים במספר סופי של מונחים, הכוללים רק את הפעולות האלגבריות חיבור, חיסור, כפל, חילוק והעלאה לחזקת שבר.
עם זאת, לא ניתן לבטא כמה פונקציות אלגבריות על ידי ביטויים סופיים כאלה (זהו משפט אבל-רופיני).
זה המקרה, למשל, עבור רדיקל ברינג, שהוא הפונקציה המוגדרת במרומז על ידי
במונחים מדויקים יותר, פונקציה אלגברית של תואר n במשתנה אחד x היא פונקציה שהיא רציפה בתחום שלה ומקיימת פולינום משוואה
כאשר המקדמים הם פונקציות פולינומיות של x, עם מקדמים שלמים.
ניתן להראות שאותה מחלקה של פונקציות מתקבלת אם מקבלים מספרים אלגבריים עבור המקדמים של ה-.
אם מספרים טרנסצנדנטליים מתרחשים במקדמים, הפונקציה היא, באופן כללי, לא אלגברית, אבל היא אלגברית על פני השדה שנוצר על ידי מקדמים אלה.
הערך של פונקציה אלגברית במספר רציונלי, ובאופן כללי יותר, במספר אלגברי הוא תמיד מספר אלגברי.
לפעמים, נחשבים מקדמים שהם פולינום מעל טבעת R, ואז מדברים על "פונקציות אלגבריות מעל R".
פונקציה שאינה אלגברית נקראת פונקציה טרנסנדנטלית, כפי שהיא למשל המקרה של .
הרכב של פונקציות טרנסצנדנטליות יכול לתת פונקציה אלגברית: .
מכיוון שלמשוואה פולינומית בדרגה n יש עד n שורשים (ובדיוק n שורשים מעל שדה סגור אלגברית, כמו המספרים המרוכבים), משוואת פולינום אינה מגדירה באופן מרומז פונקציה בודדת, אלא עד n פונקציות, הנקראות לפעמים גם ענפים.
קחו למשל את המשוואה של מעגל היחידה: , זה קובע את y, אלא רק עד סימן כולל; בהתאם, יש לו שני ענפים: .
פונקציה אלגברית ב-m משתנים מוגדרת באופן דומה כפונקציה אשר פותר משוואה פולינומית בm + 1 משתנים :
בדרך כלל ההנחה היא ש-p צריך להיות פולינום בלתי ניתן לצמצום.
קיומה של פונקציה אלגברית מובטח אז על ידי משפט הפונקציות המרומזות.
באופן פורמלי, פונקציה אלגברית ב-m משתנים מעל השדה K היא מרכיב של הסגירה האלגברית של שדה הפונקציות הרציונליות K(x1, ..., xm).
פונצ'ה (בפורטוגזית: Poncha) הוא משקה אלכוהולי מסורתי הנפוץ בארכיפלג הפורטוגלי מדיירה.
המשקה עשוי מאלכוהול מזוקק העשוי מקני סוכר, דבש, סוכר, מיץ לימון או תפוזים, אותם מערבבים עם כלי בשם מקסלוטה (Mexelote).
שם המשקה נגזר מהמילה ההינדית פאנץ', שפירושה "חמש", על שם חמשת המרכיבים מהם עשוי המשקה פונץ'.
במתמטיקה, בפרט בתורת הקטגוריות, זוג פונקטורים צמודים מתאר יחס בין שתי קטגוריות שהוא מעט דומה לשקילות אך חלש ממנה.
זוג הפונקטורים המקשרים בדרך זו בין שתי קטגוריות נקרא זוג פונקטורים צמודים, כאשר אחד הוא צמוד משמאל, והאחר צמוד מימין.
זוגות פונקטורים צמודים מופיעים במתמטיקה בכל מקום.
המושג פונקטור צמוד נוסח על-ידי דניאל קאן בשנות ה-50 של המאה ה-20.
זוג הפונקטורים ו- נקרא זוג פונקטורים צמודים אם נתון איזומורפיזם טבעי בין שני פונקטורים .
פונקטור נקרא צמוד משמאל ואילו צמוד מימין.
אם פונקטור צמוד משמאל לפונקטור , קיימות העתקות טבעיות 0 (יחידה) ו- (קו-יחידה), כך שההרכבות
גם ההפך הוא נכון: בהינתן שתי קטוגוריות , שני פונקטורים
ו-, וכן יחידה וקו-יחידה המקיימים את הזהויות , זה מגדיר את זוג הפונקטורים הצמודים.
תהי קטגוריה של קבוצות, קטגוריה של מרחבים וקטוריים
הפונקטור שולח כל מרחב וקטורי לקבוצה (פונקטור שוכח)
ואילו שולח כל קבוצה למרחב וקטורי הנפרש על-ידי (זהו המרחב הווקטורי שאיברי מהווים בסיס שלו).
העובדה שהפונקטורים ו- צמודים מבטאת את הטענה הידועה באלגברה ליניארית האומרת שכל העתקה ליניארית מוגדרת חד משמעית על-ידי ערכיה על איברי בסיס.
תהי קטגוריה של קבוצות, קטגוריה של מרחבים טופולוגיים.
פונקטור , כמו בדיגמה הראשונה, הוא פונקטור שוכח את הטופולוגיה.
הפונקטור מעביר כל קבוצה למרחב טופולוגי בדיד
לפונקטור קיים גם צמוד מימין: הוא מצייד של קבוצה בטופולוגיב טריוויאלית (זאת שאין בה תת-קבוצות פתוחות פרט ל- ולקבוצה ריקה).
אם לפונקטור קיים צמוד משמאל, הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם יחיד.
כל פונקטור צמוד משמאל שומר על קו-גבולות שקיימים ב-.
כנ"ל כל פונקטור צמוד מימין שומר על גבולות קיימים.
פונצנו ונטו (באיטלקית: Ponzano Veneto) היא קומונה בנפת טרוויזו במחוז ונטו באיטליה, הממוקמת כ-30 קילומטרים מצפון לוונציה וכ-6 קילומטרים מצפון מערב לטרוויזו.
סביר להניח שהמקום היה מיושב בעת העתיקה, בשל העובדה שהאזור נחצה על ידי דרך פוסטומיה, הדרך הרומית המחברת בין ג'נובה לאקוויליה .
בשנת 1807 התאחדו שלוש עיריות שהיו בעבר שלושה כפרים: פונצנו, פדרנו ומרנגו, ויצרו את קומונה די פונצנו, ב-1869 שונה שם הקומונה לפונצנו ונטו.
בפונצנו ונטו נמצא המטה של חברת בנטון, אחד מבתי האופנה האיטלקיים ומותגי הלבוש הגדולים בעולם.
מטה החברה ממוקם בווילה מינלי, אשר נקנתה על ידי הקבוצה ב-1969, והפכה למטה הראשי של החברה בשנות ה-80.
פונקציה חד-חד-ערכית (חח"ע) היא פונקציה המקבלת כל ערך פעם אחת לכל היותר.
כלומר, אין שני איברים שונים בתחום של הפונקציה שלשניהם מתאימה הפונקציה אותו ערך בטווח.
פונקציה היא חד-חד-ערכית, אם השוויון עבור ב-, מחייב (או בניסוח מקביל גורר ).
המונח "פונקציה חד-ערכית" אינו בשימוש, משום שכל פונקציה היא, מעצם הגדרתה, חד-ערכית: פונקציה מתאימה ערך יחיד לכל איבר בתחום שעליו היא מוגדרת.
בפונקציה חד-חד-ערכית גם הכיוון ההפוך נכון: היא מתאימה מקור יחיד, , לכל ערך בתמונה שלה.
פונקציות חד-חד-ערכיות ממלאות תפקיד דומה גם כאשר הן מוגדרות בין קבוצות שיש עליהן מבנה נוסף (כגון יחס סדר, פעולות של מבנה אלגברי, טופולוגיה, ועוד).
במקרה כזה (ולפעמים, כאשר מתקיימים תנאים נוספים), הפונקציה נקראת גם שיכון, משום שהיא משכנת את המבנה כתת-מבנה בתוך המבנה , ובכך מאפשרת ללמוד מזה על זה, ולהשוות ביניהם.
החד-חד-ערכיות של פונקציה מאפשרת להגדיר לה פונקציה הפוכה מן התמונה אל המקור : לכל , הפונקציה ההפוכה מקבלת את הערך היחיד המקיים (היחידות שקולה כמובן לכך ש- חד-חד-ערכית).
יש להבחין שהפונקציה אינה מוגדרת על כל , אלא רק על התמונה של , ואכן ההרכבה היא פונקציית הזהות על , ואילו ההרכבה היא פונקציית הזהות על , אבל אינה מוגדרת על כל .
אם פונקציה ו- תת-קבוצות של , אז , אבל בדרך כלל אין שוויון בין הקבוצות; אם חד-חד-ערכית מתקבל שוויון.
נניח ש- ו- הן שתי פונקציות.
אם ההרכבה שלהן חד-חד-ערכית, אז גם בהכרח כזו (אולם לא בהכרח חד-חד-ערכית).
מצד שני, אם גם וגם חד-חד-ערכיות, גם ההרכבה מקיימת תכונה זו.
תכונת החד-חד-ערכיות שקולה לתכונת ה"צמצום משמאל", במובן הבא: חד-חד-ערכית, אם ורק אם לכל שתי פונקציות כך ש-, מתקיים .
עובדה זו מאפשרת להגדיר בתורת הקטגוריות את המושג "פונקציה אינג'קטיבית", שהוא הכללה של "פונקציה חד-חד-ערכית" מן הקטגוריה של הקבוצות לקטגוריה כללית.
מעצם קיומה של פונקציה חד-חד-ערכית אפשר להסיק שבקבוצה יש לפחות אותו מספר איברים כמו ב- (אחרת לא ניתן היה להתאים לכל איבר של ערך נפרד).
הבחנה זו עומדת בבסיס התורה של עוצמות: אומרים שהעוצמה של קטנה-או-שווה לעוצמה של (היינו ) אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מ- ל-.
הפונקציה היא פונקציה חד-חד-ערכית בכל הישר הממשי.
הפונקציה היא פונקציה חד-חד-ערכית בתחום אך אינה חד-חד-ערכית בכל הישר הממשי, מפני שלכל מתקיים:
הפונקציה הממשית המוגדרת לפי השוויון היא חד-חד-ערכית, משום שאם אז בהכרח .
לעומת זאת, הפונקציה , המוגדרת על כל המספרים הממשיים, אינה חד-חד-ערכית, משום ש- .
הפונקציה מקבלת כל ערך (לכל היותר) פעמיים, ואם מצמצמים את תחום של פונקציה#תחום ההגדרה שלה אל המספרים החיוביים בלבד, הפונקציה המתקבלת היא חד-חד-ערכית.
פונקציה מעריכית היא פונקציה מתמטית מהצורה .
כאשר מגדירים את הפונקציה כפונקציה ממשית, מגבילים לרוב את בסיס החזקה ודורשים .
המספר e הוא בסיס מיוחד לפונקציה המעריכית.
ייחוד זה בא לידי ביטוי, למשל, בכך שנגזרת של פונקציה מעריכית ש-e הוא בסיסה, זהה לפונקציה עצמה.
פונקציה מעריכית שבסיסה הוא e נקראת אקספוננט.
הפונקציה ההופכית לפונקציה המעריכית היא פונקציית הלוגריתם.
כפונקציה ממשית, פונקציה מעריכית היא פונקציה עולה אם בסיסה גדול מ-1. אם הוא 1 היא הפונקציה הקבועה 1, ואם הוא קטן מ-1 וגדול מ-0 היא יורדת.
בפונקציות מעריכיות ממשיות, מגבילים את בסיס הפונקציה המעריכית למספרים חיוביים בלבד, מכיוון שבבסיס שלילי, הפונקציה לא תהיה מוגדרת עבור מספרים מסוימים (0.5 וכדומה).
במסגרת החשבון האינפיניטסימלי, הדרך הקלה והמהירה ביותר להגדיר את הפונקציה המעריכית, היא באמצעות האקספוננט () והלוגריתם הטבעי, כאשר את הפונקציה , ואת הקבוע e מגדירים באמצעות טור חזקות: .
מבחני ההתכנסות הסטנדרטיים מראים שהטור מתכנס לכל ערך ממשי x, ולכן ניתן להגדיר באופן טבעי .
ניתן להגדיר באופן כללי את הפונקציה המעריכית באמצעות פיתוח חוקי החזקות של חתכי דדקינד מתוך פעולת החזקה של המספרים הרציונליים, בלי תלות בפונקציית האקספוננט.
כל תכונות הפונקציה המעריכית נובעות מתכונות האקספוננט.
כך, הפונקציה המעריכית היא פונקציה רציפה וגזירה.
הפונקציה המעריכית הפיכה כאשר בסיסה שונה מאחד, כלומר (כלומר כאשר ).
הפונקציות המעריכיות מעבירות חיבור לכפל, וכפל לחזקה כלומר מתקיימות התכונות:
למעשה, קל לראות שאם פונקציה כלשהי מעבירה כפל לחזקה (מקיימת את התכונה השנייה), אז היא בהכרח פונקציה מעריכית.
לעומת זאת פונקציה שמעבירה חיבור לכפל (מקיימת את התכונה הראשונה) איננה בהכרח פונקציה מעריכית, אם היא לא רציפה.
פונקציה מעריכית ממשית גדלה מהר יותר מכל פולינום (, לכל ולכל ), אבל לאט יותר מכל חזקה חיובית של פונקציית העצרת ().
קצב הילודה - אם לכל אדם נולדים שני ילדים (4 ילדים לזוג), אז קצב הילודה הוא אקספוננציאלי בבסיס 2.
פריקת וטעינת קבל דרך נגד מבוטאת על ידי הקשר .
דעיכה רדיואקטיבית - בחומר רדיואקטיבי, כמות האיזוטופ הרדיואקטיבי מבצעת דעיכה מעריכית
כש- היא הכמות המקורית, היא הכמות שנשארת אחרי זמן ,
הוא חצי אורך החיים של החומר, הוא אורח החיים הממוצע של החומר ו-λ הוא קבוע הדעיכה.
שלושת הפרמטרים , ,ו-λ קשורים על ידי המשוואות
בתחומי ההונאה היצירתית: מזימת פירמידה.
במתמטיקה, המונח פונקציה ליניארית מתייחס לשני מושגים שונים אך קשורים:
בחדו"א ובגאומטריה אנליטית, פונקציה ליניארית (או פונקציה קווית) היא פונקציה שהגרף שלה הוא קו ישר לא אנכי.
באלגברה ליניארית, אנליזה מתמטית ובאנליזה פונקציונלית, פונקציה ליניארית היא העתקה ליניארית.
בחדו"א, גאומטריה אנליטית ותחומים קרובים, פונקציה ליניארית היא פולינום מדרגה 1 (או פחות, לרבות פולינום האפס).
פונקציה ליניארית היא פונקציה מהצורה , כאשר ו- הם קבועים, לרוב מספרים ממשיים.
הגרף של פונקציה ליניארית עם משתנה יחיד הוא ישר לא אנכי החותך את ציר ה- בדיוק פעם אחת בנקודה .
נקרא השיפוע של הישר, ו־ נקודת החיתוך עם ציר ה־.
אם אז הגרף הוא ישר לא אופקי החותך את ציר ה- בדיוק פעם אחת בנקודה .
הערך הוא פתרון המשוואה , הנקרא גם השורש של .
אם אז שיפוע הגרף הוא חיובי והגרף עולה.
אם אז שיפוע הגרף הוא שלילי והגרף יורד.
אם אז זוהי פונקציה קבועה ונחשבת לפונקציה ליניארית, שכן היא פולינום מדרגה אפס או פולינום האפס, והגרף שלה הוא קו ישר אופקי.
אם , אז הפונקציה הליניארית נקראת הומוגנית, והגרף שלה חותך את ראשית הצירים.
במקרה זה, אם פונקציה כזו מתארת יחס ישר בין ל- , ואם , יחס הפוך ביניהם.
אם ו- אז היא פונקציית הזהות.
ניתן להכליל את ההגדרה עבור מספר כלשהו של משתנים, עבור פונקציה מהצורה , הנוסחה הכללית היא
והגרף שלה הוא היפר-מישור מממד .
מציאת משוואת ישר: צורות שיפוע-חיתוך, נקודה-שיפוע ושתי נקודות
פונקציה ליניארית נתונה ניתנת לכתיבה במספר צורות המציגות את תכונותיה השונות.
ממנה ניתן לראות מיד את השיפוע ואת הערך ההתחלתי , שהוא נקודת החיתוך עם ציר ה- של הגרף .
בהינתן שיפוע וערך ידוע אחד , נכתוב את הפונקציה בצורת נקודה-שיפוע:
זהו ישר בעל שיפוע העובר דרך הנקודה .
צורה נוספת, בהינתן שתי נקודות ו-.
מחשבים את השיפוע ומציבים אותו בצורה של שיפוע-חיתוך:
הגרף שלה הוא הישר היחיד העובר דרך הנקודות .
ניתן גם לכתוב את המשוואה בצורה המדגישה את קבוע השיפוע:
גוף הנע במהירות קבועה , ניתן לראות את הדרך שלו (משתנה תלוי) כפונקציה ליניארית של הזמן (משתנה בלתי תלוי) כאשר הוא המיקום ההתחלתי: .
ניתן לראות מעלות פרנהייט כפונקציה של מעלות צלזיוס כך .
בהינתן משוואה ליניארית בשני משתנים , אם נתון ש- , ניתן לפתור משוואה זו עבור , ולקבל:
כלומר, ניתן להתייחס ל- כמשתנה תלוי (פלט) המתקבל מהמשתנה הבלתי תלוי (קלט) באמצעות פונקציה ליניארית: .
במישור הקואורדינטות , הערכים האפשריים של יוצרים קו, הגרף של הפונקציה .
אמנם אם במשוואה , הישר המתקבל הוא אנכי, ולא ניתן לכתוב אותו כ-, ואינו גרף של פונקציה.
באלגברה ליניארית מגדירים פונקציה ליניארית (הנקראת גם העתקה ליניארית) בין מרחבים וקטוריים כפונקציה שמקיימת את שני התנאים הבאים:
כאשר ו- וקטורים במרחב ו- מייצג קבוע בשדה סקלרי כלשהו (למשל, שדה המספרים הממשיים), שמעליו מוגדרים המרחבים הווקטוריים.
במילים אחרות, פונקציה ליניארית שומרת על חיבור וקטורי וכפל בסקלר.
קשר בין פונקציה ליניארית (העתקה) לפונקציה ליניארית (פולינום)
בהינתן פונקציה ליניארית (העתקה) (אשר מההגדרה מקיימת אדיטיביות והומוגניות), אזי קיים כך ש- , כלומר היא גם ליניארית (כפולינום).
באנליזה מתמטית, פונקציה חסומה היא פונקציה, בדרך-כלל ממשית או מרוכבת, שכל ערכיה קטנים בערכם המוחלט ממספר קבוע כלשהו.
אומרים שהפונקציה חסומה בתחום A אם קיים קבוע M כך שלכל , .
פונקציה ממשית נקראת חסומה מלמעלה (או חסומה מלעיל) אם קיים קבוע M כך ש- לכל x בתחום, וחסומה מלמטה (או חסומה מלרע) אם קיים קבוע m כך ש- לכל x בתחום.
באנליזה מתקדמת, חסימות אבסולוטית איננה תכונה מספיק כללית (למשל, פונקציית דלתא).
על כן, לעיתים מתעסקים עם פונקציות חסומות פרט לתת-קבוצה ממידה אפס בתחום.
פונקציה היא חסומה אם ורק אם התמונה שלה, היא קבוצה חסומה.
בפרט, פונקציה היא חסומה אם ורק אם התמונה שלה מוכלת בתוך קטע בעל אורך סופי.
פונקציה היא חסומה אם ורק אם היא חסומה מלמעלה וגם חסומה מלמטה.
לפי משפט ויירשטראס הראשון, כל פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה בו.
זהו מקרה פרטי של תכונה כללית יותר: כל פונקציה רציפה המוגדרת על מרחב קומפקטי היא חסומה.
כל פונקציה קבועה (כזו המקבלת ערך קבוע לכל הצבה) היא חסומה.
באופן כללי יותר, פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים ממשיים היא חסומה.
הפונקציה חסומה, כי כל הערכים שהיא מקבלת קטנים או שווים בערכם המוחלט מ-1. למעשה, תמונתה היא הקטע הסגור .
הפונקציה אינה חסומה, כי לכל חסם , מתקיים .
לכל נקודה בתחום מתקיים .
הפונקציה אינה חסומה בתחום : שכן אם היה קיים חסם , כל מספר טבעי הגדול מ- הרי מקיים .
הפונקציה חסומה מלמטה כי לכל אך איננה חסומה מלמעלה.
מלמטה היא חסומה על ידי 0 כי היא תמיד חיובית ומלמעלה היא חסומה על ידי 1 שכן לכל .
בתורת המידה, מונח הפונקציה החסומה איננו מספיק - פונקציות יכולות לקבל גם ערכים אינסופיים, ולכן, למשל, לפי ההגדרות לעיל הפונקציה
כדי להתגבר על בעיה זו, מגדירים את ה־essential supremum וה- essential infimum של פונקציה מדידה באופן הבא:
ואומרים שפונקציה היא חסומה בעיקר אם .
הגדרה זו שימושית בעיקר בתורת המידה, בהגדרת המרחב באופן קונסיסטנטי.
במתמטיקה, פונקציה הפיכה היא פונקציה, אשר קיימת פונקציה נוספת שפעולתה הפוכה לזו של הראשונה, כך שכאשר שתי הפונקציות מופעלות בזו אחר זו על ערך כלשהו, מוחזר הערך שעליו הן הופעלו.
בלשון מעט יותר פורמלית: הרכבתן של הפונקציות נותנת את פונקציית הזהות.
בקבוצה עליה לא מוגדר כל מבנה מתמטי נוסף, על מנת שניתן יהיה להפוך את פעולתה של פונקציה על ידי פונקציה אחרת, צריכים להתקיים שני תנאים: ראשית, הפונקציה שמבקשים להפוך צריכה להיות חד-חד-ערכית.
זאת כי אם שני ערכים שונים מועתקים לערך יחיד, לא ברור לאן הפונקציה ההפוכה תעתיק ערך זה, וכל ניסיון לבחור ערך שרירותי יוביל לכך שהרכבת הפונקציה וההופכית שלה לא יתנו את פונקציית הזהות.
ניתן לחשוב על כך בצורה זו: אם הפונקציה אינה חד-חד-ערכית, קיים איבוד של מידע בזמן הפעלת הפונקציה, ולכן לא ניתן לשחזר את פעולתה.
שנית, הפונקציה שאותה מבקשים להפוך צריכה להיות על הטווח שלה.
זאת כי אנחנו רוצים להגדיר את הפונקציה ההופכית על טווח זה, מה שמחייב אותנו להגדיר אותה עבור כל ערך בטווח.
אם הפונקציה אינה על, הרי שקיים איבר בטווח שלא מתקבל על ידה, ואז שוב לא ניתן להגדיר את ההופכית על ערך זה מבלי להגיע למצב שבו הרכבת הפונקציות אינה פונקציית הזהות.
ניתן לחשוב על כך בצורה זו: אם הפונקציה אינה על, היא אינה מספקת מספיק מידע מלכתחילה כדי שניתן יהיה להגדיר לה הופכית על הטווח כולו.
עם זאת, בעיה זו "חמורה פחות" מאשר מחסור בחד-חד-ערכיות, שכן תמיד ניתן לצמצם את תחום הגדרת ההופכית לקבוצת הערכים שמתקבלת על ידי הפונקציה (התמונה שלה) ובתחום זו הפונקציה הפיכה.
אז קיימת פונקציה שנקראת ההופכית שלה, כך שמתקיים:
לכל פונקציה הפיכה קיימת פונקציה הופכית יחידה, מה שמצדיק את השימוש בביטוי "ההופכית" (ואת הסימון בו נקטנו עבורה).
כמו כן, כל פונקציה הפוכה גם היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל.
הרכבת שתי פונקציות הפיכות מחזירה פונקציה הפיכה ולכן אוסף כל הפונקציות על קבוצה היא חבורה המכונה החבורה הסימטרית של .
אם קיימת פונקציה הפיכה מהקבוצה אל הקבוצה נאמר של- ול- יש את אותה עוצמה.
כיוון שקיום פונקציה הפיכה בין ל- מחייב קיום של פונקציה הפיכה בכיוון ההפוך וכן בגלל שהרכבת פונקציות הפיכות היא הפיכה - זהו יחס שקילות.
יש לשים לב כי משתמשים בסימון גם כדי לתאר את המקור של קבוצה על ידי הפונקציה , וסימון זה נהוג גם כאשר הפונקציה אינה הפיכה.
כאשר הפונקציה היא הפיכה סימון זה מתלכד עם המשמעות שהוצגה כאן: המקור של קבוצה על ידי הוא בדיוק תמונת אותה קבוצה על ידי .
עבור הפונקציה המתאימה לכל אדם את מספר תעודת הזהות שלו הפונקציה ההופכית היא הפונקציה המתאימה לכל מספר תעודת זהות את האדם שזה מספרו.
עבור הפונקציה הממשית הפונקציה ההופכית היא .
הפונקציה הראשונה "מזיזה" את הנקודה שהיא מקבלת ימינה, והפונקציה השנייה "מזיזה" אותה שמאלה בשיעור זהה.
למרות זאת רוצים להגדיר לה הופכית, ולכן מסתפקים בצמצום התחום של הפונקציה רק למספרים הלא שליליים.
בתחום זה הפונקציה חד-חד-ערכית, וקיימת לה הופכית: .
הפונקציה ההפוכה לפונקציית הלוגריתם הטבעי היא פונקציית האקספוננט: .
מכיוון שפונקציית האקספוננט מחזירה ערכים חיוביים בלבד היא אינה פונקציה על כאשר מסתכלים על הטווח בתור הישר הממשי כולו, ולכן לא ניתן להגדיר את הלוגריתם הטבעי על הישר הממשי כולו, והוא מוגדר רק עבור ערכים הגדולים מאפס.
הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות בהתאמה הן הפונקציות (שמסומנות לעיתים גם ).
גם הפונקציות הטריגונומטריות אינן חד-חד-ערכיות ולכן מצמצמים אותן לתחום שבו הן חד חד ערכיות על מנת להגדיר את ההופכיות.
כל איזומורפיזם בין קבוצה לקבוצה הוא הפיך והפונקציה ההופכית לו היא איזומורפיזם מ- ל-.
את הנגזרת של הפונקציה ההפיכה אפשר לחשב גם בלי להפוך את הנגזרת ישירות, לפי המשפט הבא:
משפט: תהי פונקציה הפיכה ורציפה בסביבת , גזירה בה ומקיימת .
אזי גזירה בנקודה ונגזרתה בה היא:
לדוגמה, עבור הפונקציה נבחר נקודה .
בפונקציה ההפוכה קיימת נקודה .
הנגזרת של בנקודה היא , ולכן
נוכל לנסח את המשפט גם לפי כתיב לייבניץ שעשוי להקל על זכירתו:
פונקציה מונוטונית היא פונקציה מקבוצה סדורה אחת לשנייה, השומרת על יחס הסדר.
מכיוון שהן שומרות על המבנה, התפקיד של פונקציות מונוטוניות בתורת הקבוצות הסדורות (ובפרט בתורת הסריגים) דומה לזה של הומומורפיזם בין חבורות למחצה.
וזה אומר שפונקציה מונוטונית מתרגמת תכונות מסוימות של הקבוצה הסדורה הראשונה לתכונות מתאימות בקבוצה הסדורה השנייה.
על פונקציה ממשית מונוטונית, ראה פונקציה עולה.
תהיינה קבוצות שמוגדר עליהן יחס סדר חלקי.
עולה (או "עולה ממש") אם
לא יורדת (או עולה באופן חלש או במובן הרחב) אם
יורדת (או "יורדת ממש") אם
פונקציות מכל הסוגים הללו, ולא אחרות, נקראות פונקציות מונוטוניות.
פונקציות מונוטוניות עולות ויורדות ("ממש") הן גם חח"ע.
במתמטיקה, פונקציה חלקית מתחום לטווח היא יחס בינארי בין ל-, המקיים את התנאי של "חד ערכיות", כלומר: לכל איבר בקבוצה X קיים לכל היותר איבר אחד בקבוצה כך שהזוג שייך ליחס.
אם לכל איבר בתחום קיים בדיוק איבר אחד בטווח כך שהזוג שייך ליחס, אז היא נקראת פונקציה שלמה, או בפשטות: "פונקציה".
לדוגמה, מ- ל- היא פונקציה חלקית, כי התחום שלה מכיל את כל המספרים השליליים, אשר לא מוגדרים עבור פונקציית השורש הריבועי.
אולם מ- ל- היא פונקציה שלמה, כיוון שהיא מוגדרת לכל ששייך ל-.
במדעי המחשב ובקריפטוגרפיה, פונקציה חד-כיוונית היא פונקציה שממירה קלט לפלט באופן שקשה מאוד מבחינה חישובית להפוך את הפונקציה, דהיינו לשחזר את הקלט בהינתן הפלט.
ביתר פירוט, בהינתן קלט כלשהו , קל לחשב את הפלט על ידי הפעלת הפונקציה החד-כיוונית בזמן פולינומי, דהיינו במהירות וביעילות אולם הפעולה ההפוכה שהיא בהינתן הפלט חישוב הוא משימה קשה חישובית.
בניסוח פורמלי לא קיים אלגוריתם פולינומי הסתברותי המקבל את ומצליח למצוא כלשהו המקיים את אלא בהסתברות זניחה.
הקושי החישובי בהיפוך הפונקציה מודד את כוח החישוב הדרוש כדי למצוא זוג של (קלט, פלט) מתאימים, אך אינו אומר דבר על מידע חלקי הזולג מהפונקציה.
סיבית שהסיכוי לחשב אותה הוא זניח בהינתן נקראת סיבית קשה.
פונקציה חד-כיוונית היא מאבני הבניין של הקריפטוגרפיה המודרנית ומשמשת כפרימיטיב בפרוטוקולים קריפטוגרפיים רבים.
שימוש נפוץ בפונקציה חד-כיוונית הוא כפונקציית גיבוב.
אין הוכחה לקיומה של פונקציה חד-כיוונית מבחינה מתמטית - כי להוכחה כזו תהיינה השלכות מרחיקות לכת על תורת הסיבוכיות, אלא רק שקיימות מועמדות מעשיות לפונקציות חד-כיווניות שההשערה היא שקשה מאוד להפוך אותן.
על בסיס השערה זו ניתן לבנות מערכת הצפנה שתהיה בטוחה כל עוד ההשערה נותרת בעינה.
למעשה אפשר להוכיח שפונקציה חד-כיוונית היא תנאי הכרחי כמעט בכל משימה קריפטוגרפית.
למשל צופן בלוקים מבוסס על תמורה פסאודו-אקראית שהיא פרימיטיב קריפטוגרפי המבוסס על ההשערה שפונקציה חד-כיוונית קיימת.
הפונקציות הקיימות כיום בשימוש מעשי נחשבות למועמדות טובות במובן שטרם נמצאה דרך קלה להפוך אותן.
למשל AES נחשב לפונקציה חד-כיוונית אם כי לא הוכח תאורטית והוא אחד האלגוריתמים הנפוצים ביותר בהצפנה מודרנית.
מהיבט תאורטי ניתן לבנות פונקציה חד-כיוונית מוכחת תחת מודל ביטחון אסימפטוטי או אחר אולם חסרונה הוא שיעילותה נמוכה בהשוואה לפונקציות הקיימות בשימוש מעשי.
הבעיה העיקרית בקריפטוגרפיה מודרנית היא לגשר על הפער בין הוכחות תאורטיות לבין יישום מעשי יעיל.
תהי פונקציה המקבלת קלט באורך כלשהו מבצעת חישוב מסוים ומחזירה פלט באורך כלשהו (המיוצג על ידי הכוכבית).
הפונקציה תקרא חד-כיוונית אם מתקיימים התנאים הבאים:
לכל מכונה הסתברותית פולינומית ופונקציה הנקראת פונקציית זניחות, עבור קלטים באורך כלומר , מתקיים:
התנאי הראשון קובע שהפונקציה קלה לחישוב.
התנאי השני מהווה את עיקר ההגדרה, הוא קובע שלכל יריב בעל עוצמת חישוב פולינומית לכל היותר, סיכויו זניח להצליח "להפוך" את הפונקציה.
אם ליריב ידוע , הסיכוי שיימצא כלשהו כך ש- זניח.
גם אם חושב במקור כתמונה של ערך , ייתכן שיהיו קלטים נוספים הממופים על ידי לאותו ערך.
לכן היריב נדרש למצוא אחד מהם ולאו דווקא את הערך המקורי .
פונקציה שאינה חד-כיוונית אינה בהכרח קלה להפיכה בכל המקרים או ברוב המקרים.
למעשה ההגדרה ההופכית להגדרת פונקציה חד-כיוונית היא שקיים אלגוריתם הסתברותי פולינומי ופונקציית זניחות כך שהאלגוריתם מצליח להפוך את הפונקציה בהסתברות שהיא לפחות כאשר הקלט נבחר באקראי.
אם לדוגמה קיים אלגוריתם שמסוגל להפוך את הפונקציה בהסתברות מסוימת רק עבור קלטים זוגיים ולא עבור קלטים אי-זוגיים היא אינה נחשבת חד-כיוונית אפילו לא חלקית.
כל פונקציה ניתנת להפיכה, בהינתן מספיק זמן.
למעשה אפשר להפוך את הפונקציה פשוט על ידי ניסוי כל האפשרויות או מחצית מהאפשרויות במקרה הממוצע, להתקפה כזו קוראים כוח גס.
אולם סיבוכיות אלגוריתם כזה היא מעריכית.
עובדה זו למעשה מוכיחה כי פונקציה חד-כיוונית נקראת כך רק ביחס לעוצמת המחשוב הדרושה כדי להפוך אותה.
לעיתים יש צורך בפונקציה חד-כיוונית עם תכונה מבנית נוספת.
אם הפונקציה משמרת אורך כלומר עבור כל והפונקציה היא חד-חד-ערכית ועל היא נקראת פרמוטציה (תמורה).
תהי פונקציה חד-כיוונית משמרת אורך, ונניח ש- מגבילה את התחום של כך ש- מזה נובע .
היא תקרא פרמוטציה חד-כיוונית אם עבור כל הפונקציה היא חד-חד-ערכית ועל.
בניגוד לפונקציה חד-כיוונית בפרמוטציה חד-כיוונית עבור כל קיים רק מקור יחיד לכן .
המשמעות היא ש- למעשה מכיל מידע לגבי ולמרות זאת עדיין קשה למצוא אותו.
ההגדרה של פונקציה או תמורה חד-כיוונית לא מטיבה לתאר את הפונקציות או התמורות החד-כיווניות המועמדות בפועל, כי היא מדברת על פונקציה יחידה מעל מקור ותמונה אין סופיים.
הגדרה יותר קולעת היא שקיים אלגוריתם המפיק פרמטר כלשהו המגדיר פונקציה/תמורה כלשהי מעל מקור כלשהו , כך שהיא תהיה חד-כיוונית כמעט לגמרי למעט הסתברות זניחה מעל .
מפני שכל ערך של מגדיר פונקציה אחרת אפשר להתייחס אליה כאל "משפחה" של פונקציות/תמורות חד-כיווניות.
ההגדרה כעת בניסוח פורמלי היא, השלישייה המייצגת אלגוריתם פולינומי הסתברותי, נקראת משפחה של פונקציות אם:
אלגוריתם ההכנה Gen מפיק פרמטר כך שמתקיים שמגדיר את המקור ותמונה של הפונקציה המוגדרת להלן.
אלגוריתם הדגימה Samp פולט בהינתן אלמנט מתוך בהתפלגות אחידה למעט הסתברות זניחה ביחס ל-
אלגוריתם ההערכה , בהינתן ו- פולט את האלמנט .
מציינים זאת על ידי .
באופן דומה כדי לקבל הגדרה של משפחה של תמורות, ההבדלים הם שבתמורות והפונקציה היא חד-חד-ערכית ועל.
תחילה מריצים את Gen כדי להפיק את ואז את הפונקציה כדי לקבל את ואז מחשבים את .
האלגוריתם מקבל את ואת ומפיק את .
תוצאת הניסוי היא '1' אם .
ניתן להגדיר פונקציה חד-כיוונית במובן חלש, שהוא פונקציה הניתנת לחישוב בזמן פולינומי, והעונה לתנאי הבא:
לכל מכונת-טיורינג מטילת מטבעות ולכל קבוע , עבור קלטים ארוכים מספיק , מתקיים, .
ניתן להראות שקיומה של פונקציה חד-כיוונית במובן החלש מעיד על קיומה של פונקציה חד-כיוונית במובן החזק, כלומר, בעזרת פונקציה חד-כיוונית במובן חלש, ניתן לבנות פונקציה חד-כיוונית במובן החזק.
פונקציה חד-כיוונית עם דלת צונחת
פונקציה חד-כיוונית עם דלת צונחת , היא פונקציה חד-כיוונית שקל לחשבה בכיוון אחד אך קשה לחשבה בכיוון ההפוך אלא אם כן קיים מידע נוסף הנקרא "דלת צונחת" שמאפשר לחשב את הפונקציה ההופכית בקלות.
בניסוח פורמלי, הפונקציה קלה לחשוב בעוד שהפונקציה קשה מאוד לביצוע ללא הרמז הנוסף.
המידע הנוסף נקרא בהקשר זה מפתח פענוח.
דוגמה קלאסית לפונקציה עם דלת צונחת היא מציאת שורש ריבועי מודולו מספר פריק שהוא כפולה של שני ראשוניים גדולים.
העלאה בריבוע של מספר גדול היא פעולה קלה במחשב, בעוד שהפעולה ההפוכה קשה, לא קיים אלגוריתם יעיל לחישוב שורש ריבועי מודולו מספר פריק.
לעומת זאת קיימים אלגוריתמים לחישוב שורש ריבועי מודולו מספר ראשוני.
אם ידועים הגורמים הראשוניים של המודולוס אפשר לחשב תחילה את השורשים הריבועים של המספר מודולו כל אחד מהגורמים ואז לחלץ מזה ארבעה פתרונות אפשריים מודולו המספר הפריק.
במקרה זה, ידיעת הגורמים הראשוניים של המודולוס מאפשרת לבצע את הפעולה ההפוכה, קרי הוצאת שורש בקלות.
לכן הגורמים הראשוניים של המודולוס נחשבים מהיבט זה דלת צונחת.
רק מי שיודע מה הם הגורמים הראשוניים יכול לפתור את הבעיה בקלות.
המונח דלת צונחת הוטבע לראשונה על ידי ויטפילד דיפי ומרטין הלמן במאמרם משנת 1976 "כיוונים חדשים בהצפנה".
מאז הוצעו מועמדים רבים לפונקציה חד-כיוונית עם דלת צונחת.
קיים מגוון בעיות מתמטיות קשות לא בהכרח מתורת המספרים שאפשר לבסס עליהן פונקציה חד-כיוונית.
לדוגמה בעיית מציאת הווקטור הקצר ביותר בתורת הסריגים.
אולם המכשול העיקרי הוא שכאשר מוסיפים דלת צונחת, הבעיה הופכת בעצם למקרה פרטי של הבעיה הכללית ואין הוכחה שהיא נותרת קשה לפתרון כמו הבעיה הכללית ולא הוחדרו חולשות כלשהן מבלי משים.
מקרה אחד מעניין הוא הצפנת תרמיל.
לאחר מחקר של שנים הסתבר שכל הניסיונות לייצר פונקציה חד-כיוונית עם דלת צונחת המבוססת על בעיית התרמיל, כשלו.
למרות חשיבותה הרבה בקריפטוגרפיה קשה מאוד למצוא פונקציה חד-כיוונית עם דלת צונחת שהיא גם יעילה וגם בטוחה.
קיימות כמה משפחות של מועמדים לפונקציות חד-כיווניות עם דלת צונחת שההשערה לגביהן שהן בטוחות:
פונקציות מבוססות פירוק לגורמים כמו RSA ורבין.
פונקציות מבוססות בעיית הלוגריתם הדיסקרטי.
פונקציות מבוססות בעיות מתורת הסריגים.
קיומן של פונקציות חד-כיווניות מחייב שקיימות בעיות חישוביות אשר שייכות ל-NP ואינן שייכות ל-BPP (מחלקת הבעיות אשר ניתנות לפתרון בזמן ריצה פולינומי עם אלגוריתמים אקראיים), מאחר שלא ידוע האם (שאלה חזקה יותר, ומפורסמת יותר, היא האם P=NP), לא ניתן להצביע על קיומן של פונקציות כאלה.