tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
בשנת 2013 קבעה יעדים לאומיים לחינוך תקשורתי ובשנים הבאות תגברה את הלימודים לזיהוי דיסאינפורמציה.
מחקר מתא-אנליזה שכלל 15 מחקרים, בחן את השפעתן של התערבויות להגברת אוריינות מיעד על התנהגויות בריאות מסוכנות בקרב בני נוער.
המחקר מצא שהתערבויות שכאלה משפרות את האוריינות המדיה, עם גודל אפקט בינוני.
המחקר מצא גם שיפור בעמדות ובהתנהגויות הקשורות להתנהגויות בריאות מסוכנות, אך האפקט היה קטן.
באופן כללי, תוכניות לאוריינות מדיה מנסות לקדם מיומנויות מדיה מגוונות: גישה, שימוש, הבנה, ניתוח, הערכה יצירה של תוכן במדיה.
בקרב האוכלוסייה הזקנה, רוב המחקרים בתחום בדקו את השימוש במדיה ובטכונולוגיות דיגיטליות.
כקבוצה, אוריינות המדיה של האוכלוסייה הזקנה פחות טובה מזו של האוכלוסייה הצעירה.
Fake Or Not הוא פרויקט המיועד למורים ותלמידים ואשר מקנה להם כלים לאוריינות מידע ברשת- המיומנות לזהות מידע מהימן מתוך הפייק שמציף את הרשת.
הוא נוצר בשיתוף פעולה של איגוד האינטרנט הישראלי, המכון הישראלי לדמוקרטיה ומכון מופ"ת.
אוריינות מדיה מייצרת מושגים חדשים להבנתה ומעניקה משמעויות חדשות למושגים קיימים.
תהליכי התלכדות אשר משנים את פני תקשורת ההמונים בעולם כולו.
הבסיס לתהליך ההתכנסות הוא תהליך הדיגיטציה.
תהליך ההתלכדות של אמצעי המדיה מביא לכך שפעולות ושימושים שלא היו נהוגים במכשירי מדיה מסוימים מתרחבים ופולשים זה לזה, כגון צפייה בערוצי טלוויזיה במחשב, בטלפונים סלולריים, קריאת עיתון במחשב מחובר לרשת האינטרנט, האזנה לרדיו באמצעות הטלוויזיה ועוד.
על-פי ח' אדוני וה' נוסק צרכני המדיה צריכים לפתח סוג אוריינות נוסף, זה של האוריינות המתכנסת (Convergent Literacy), על מנת לממש את הפוטנציאל המצוי במכשירים החדשים האלה.
"האוריינות המתכנסת מחייבת שליטה באוריינות המסורתית, באוריינות המדיה ובאוריינות התקשוב.
נוסף על כך, האוריינות המתכנסת מחייבת יכולת של יצירת תכנים וצריכה ביקורתית של התכנים המוצעים במדיה החדשים" .
המילה נוצרה על ידי הלחם בין המילה טקסט (Text) לבין המילה טכנולוגיה (Tech).
זהו טקסט טכנולוגי שמשלב אופנויות שונות (מלל, אימאז'ים שונים, קול, תנועה) ובעל תכונות של הייפר-טקסט.
המעבר מטקסט לטקסט משנה את אמצעי המישמוע ואת ההבניה שלהם.
הטקסט והמסך מייצגים סימנים שיוצרים משמעות באמצעות תצוגה [display].
כך נוצרות צורות ז'אנריות חדשות של ייצוג יצרני ודינמי .
בעבר אוריינות זוהתה עם קריאה וכתיבה של מלל, אך כיום היא מזוהה עם אופנים נוספים של צורות ייצוג כמו: תמונה, תרשים, ציור, ריקוד, תנועה, קול וצלילים.
האוריינות הדיגיטלית המולטי-מודאלית יוצרת דקדוקים חדשים של טקסטים מולטי מודאליים.
תהליך בו אדם, קבוצה או ארגון, מתייעצים או הופכים למעורבים בצורה פעילה בפרויקט, בתוכנית או בפעילות כלשהי, והופכים לחלק ממכלול גדול יותר.
זוהי התאגדות שמטרתה לחלוק את הרווח בין השותפים.
ברשת הרווח יכול להיות מגוון, דוגמת שיתוף של מידע וידע בפורומים, בבלוגים, במדיה (סרטים, מוזיקה), בתוכנות ועוד.
בכל אחד מהם ריבוי המשתמשים משפר את המערכת, את תפקודה ואת יעילותה.
אוריינות-מדיה היא כיום תרבות המעודדת השתתפות דמוקרטית ללא הדרה.
אוריינות מדיה בעולם שטוח זנב
"עולם שטוח זנב" הוא צירוף של שני מושגים: "עולם שטוח" ו"הזנב הארוך".
"עולם שטוח" הוא מונח אשר מסביר את התפתחות הכלכלה הגלובלית והתקשורת והשפעתן על משחק הכוחות העולמי ברמת המאקרו "הזנב הארוך" משפיע ברמת המיקרו שכן הוא נוגע ברמה פרטנית לכל אחד מאיתנו.
המונח לקוח מעולם הסטטיסטיקה והוא מתאר הרגלי צריכה חברתיים וכלכליים.
אשר עידן טוען כי "מאז ומתמיד היוו טכנולוגיות מידע גורם מרכזי בקביעת אופני האינטראקציה בין בני אדם" [...] במקום תכנים תאגידיים-מונולוגיים, מופיעות בזו אחר זו צורות חדשות של תכנים דיאלוגיים ומולטילוגיים: בלוגים עם טוקבקים, ויקי-ידע (שיתוף ידע) ורשתות חברתיות".
אלו מכונים "חוכמת ההמון" ויש לה משקל רב יותר על פני "חוכמת הגאון".
אוריינות סטטיסטית הוא מונח המשמש לתיאור היכולת של אדם או קבוצה להבין נתונים סטטיסטיים ולהעריך את השלכותיהם.
אוריינות סטטיסטית נחוצה כדי להבין מידע וכדי להעריך נכונה את תפקידם של גורמים מסוימים בתוך מכלול הנסיבות, לצורך קבלת החלטות.
אוריינות סטטיסטית מקנה לבעליה את היכולת להעריך באופן ביקורתי חומר סטטיסטי, ולהעריך את הרלוונטיות של גישות סטטיסטיות על כל היבטי החיים באופן כללי.
הרקע המתמטי הנדרש לאוריינות סטטיסטית
יש להבדיל כמובן בין אוריינות סטטיסטית כשלעצמה לעשייה ומחקר סטטיסטיים.
אספקטים שונים של אוריינות סטטיסטית
בכל יום, אנשים מוצפים במידע סטטיסטי: מפרסומות ("4 מתוך 5 רופאי השיניים ממליצים"), דיווחי החדשות ("סקר דעת קהל מראים כי המועמד מוביל בארבע נקודות"), ואפילו בשיחה כללית ("חצי מהזמן אני לא יודע על מה אתה מדבר").
מומחים ופעילים מרבים להשתמש בטענות מספריות כדי לחזק את טיעוניהם, ולכן אוריינות סטטיסטית היא מיומנות נחוצה כדי לעזור לאדם להחליט מה המומחים מתכוונים ובאילו להאמין.
מיומנות זו חשובה כי הסטטיסטיקה יכולה לייצר הצגה מסולפת של הנתונים אשר עשויים להיראות ברי-תוקף.
מטרת תומכי האוריינות הסטטיסטית היא לשפר את ההבנה הציבורית של מספרים ונתונים.
תוצאות של סקרי דעת קהל מצוטטים לעיתים קרובות על ידי ארגוני חדשות, אבל האיכות של סקרים אלה משתנה במידה ניכרת.
הבנה מסוימת של מונחים מתחום הסטטיסטיקה (למשל: מדגם, מהימנות) הכרחית כדי להיות מסוגלים לפרש נכון תוצאות של סקרים.
גודל המדגם עשוי להיות קטן מדי כדי להסיק מסקנות בעלות משמעות, ונשאלים עשויים להיות מוטים.
גם נוסח שאלה בסקר עשוי להיות מוטה, ויכול לשמש במתכוון כדי לייצר תוצאה מוטה.
סקרים טובים משתמשים בטכניקות בלתי משוחדות, כאשר הרבה זמן ומאמץ מושקע בעיצוב השאלות באסטרטגיית המדגם.
אוריינות סטטיסטית נחוצה כדי להבין מה הופך סקר לאמין ולשקול את ערך תוצאות הסקר ומסקנותיו.
בעיית האוריינות נובעת לעיתים גם מדרכי העבודה של סטטיסטיקאים.
רמת הקריאות של טבלאות המספרים הוא דוגמה שניתנה בספרם של ריצ'רד מ.
על פי המלצתם, במקום אוסף מבלבל של מספרים בעמודות לא מסודרות, הסטטיסטיקאי חייב להציג תוצאות קריאות, לדוגמה על ידי סידור מערך הנקודות העשרוניות כך שההצגה הוויזואלית תהיה קריאה יותר.
כדי להיות משכילים סטטיסטית, יש צורך גם בהבנה מוצקה של תורת ההסתברות.
מחקרים הראו כי הערכותיהם של בני האדם מהסתברויות מושפעות במידה רבה על ידי ההקשר והניסוח.
לדוגמה, אנשים בדרך כלל נותנים הערכה נמוכה מדי להסתברות להיות מעורב בתאונת דרכים בגלל האינטראקציה היומיומית שלהם עם כלי הרכב הנותן להם את הרושם כי הם בטוחים יותר ממה שהם באמת.
לעומת זאת, הם נוטים להעריך יתר על המידה את ההסתברות להיות מותקף על ידי כריש בגלל תשומת הלב התקשורתית הניתנת לאירועים נדירים אלה, או בגלל השפעות אחרות.
הימורים הוא אחד הסביבות בה חוסר אוריינות סטטיסטית יכול לעלות ביוקר.
תורת ההסתברות מאפשרת להעריך או לחשב את דרך הפעולה העדיפה במשחקי מזל.
עם זאת, רוב האנשים מעריכים לא נכון את הסיכוי לתרחישים נדירים, לדוגמה השגת "בית מלא" (Full House) במשחק הפוקר.
חוסר הבנת הסתברויות אלו גורם לאדם להמר יותר או פחות מההימור ה"נכון" בהתחשב בהסתברות.
הגדלת אוריינות סטטיסטית והידע של הסתברות באמצעות יישומים בכיתה, דוגמאות לימוד, שיטות אחרות, תוביל ליצירת אזרחים משכילים יותר, המסוגלים לקבל החלטות מושכלות יותר.
סוכנויות סטטיסטיות רשמיות כגון: סטטיסטיקה בקנדה והלשכה האוסטרלית לסטטיסטיקה מקיימות תוכניות לחינוך תלמידים בבתי ספר על טבעה של הסטטיסטיקה.
פרויקט של המכון הבינלאומי לסטטיסטיקה הוא היחידי אשר מתמקד בקידום תוכניות לאומיות ומוטיבציה כדי להגדיל את רמת האוריינות סטטיסטית של כל חלקי החברה.
משאבים רבים ופעילויות, כמו כן גם גוף של מומחים בינלאומיים מסייעים לשמור על קמפיין מוצלח מאוד במדינות רבות בעולם.
סטטיסטיקה משומשת לניסויים מדעיים, מודלים עסקיים וכתיבת דוחות.
אנשים המעורבים בתחומים אלה בדרך כלל למדו את המשמעות של כמותיות, ממוצע וסטיית תקן.
מכללות רבות ואוניברסיטאות דורשות קורס במבוא לסטטיסטיקה כחלק מהתוכנית המקצועית.
לעיתים קרובות נפוצים קורסים שמטרתם להעניק יכולת-תמרון סטטיסטית, כקורסי תשתית במסגרת תארים אקדמיים במדעים, דוגמת אלו במדעי הטבע, החיים, החברה, ומדעי הבריאות.
חשיבותם לסטודנט ולעתידו האקדמי היא חד-משמעית, ולא ניתן לזכות לתואר במדעים ללא סיומם בהצלחה.
במחקרים דווח על חרדה הנפוצה בקרב סטודנטים מסוימים, מלימודי הסטטיסטיקה.
חרדה זו נובעת ברוב המקרים מאחד או יותר מהגורמים להלן:
חסכים משמעותיים בידע מתמטי פרוצדורלי או מהותי (להרחבה ראו חרדת מתמטיקה), אשר ניתן לפצות עליהם על ידי למידה ותרגול חומר בסיסי בהתאם, והבהרת המידע וההיגיון החשבוני והמתמטי החסר עבור הסטודנט.
לקות למידה ספציפית למתמטיקה (כגון דיסקלקוליה), יצוין שמקרים כאלו נדירים מאוד בהשוואה לשני הגורמים לעיל, שהם הגורם העיקרי לחרדת הסטטיסטיקה.
לאקדמיה מגיעים לעיתים אנשים אשר אינם בעלי הרקע המתמטי הנדרש ללמידה ועשייה של כימות סטטיסטי.
הסיבות לכך מגוונות, כגון שיכחת הפרוצדורות המתמטיות המשמשות במטלות השונות, או אי הכרות מוחלטת עם מתמטיקה מעבר לארבע פעולות החשבון והבנת מהותו של שבר פשוט ושבר עשרוני.
בעוד שחלק מהאנשים רוכשים את הידע הנדרש בהצלחה במהלך לימודיהם, יש הנכשלים בשל קשיי למידה שונים כגון חסך בחומר רקע רלוונטי.
לכן בדרך-כלל יש להם מוטיבציה נמוכה יחסית ללימודי סטטיסטיקה.
לפיכך, סטודנט בעל רקע של סלידה ממתמטיקה, עשוי לפתח פוביה ספציפית לקורסים סטטיסטיים, או לנהוג בדחיינות בעת למידתם.
סטודנטים עם חרדה סטטיסטית, המגיעים מרצונם ומסקרנותם ללמוד לתואר ראשון בתחום מדעי מסוים, עשויים להיקלע לדחק בשל קונפליקט בין רצונם להשלים התואר כסטודנטים מן המניין, לבין הקשיים או חוסר היכולת לעשות זאת, כביכול.
הדבר מסכן את המשך לימודם, ופוגע בפרודוקטיביות מדעית גם מאלו הצמאים לה.
סטודנטים נוקטים במגוון טכניקות כדי להבטיח את הבנתם ולמידתם של עקרונות סטטיסטיים, כפי הנדרש מהם.
יש המשתמשים בטכניקות פסיכולוגיות כגון שיטות שינוי-גישה (שמקורן בפסיכולוגיה הקוגניטיבית כמו כאלה הנסמכות על תורת הייחוס), או "חיסול" של מחשבות כוזבות (דפרסוגוניות) של סטודנטים המשכנעים את עצמם ליכולת פחותה או אי יכולת, עד כדי הכחדת התפיסות הכוזבות.
אפשרות נוספת היא היעזרות בספרות חיצונית אשר מסבירה את החומר הלימודי בלשון ורטוריקה אחרת, או היעזרות במורה פרטי הנתפס ככריזמטי יותר בעיני הסטודנט או מותאם יותר לצרכיו.
סטודנטים שונים יכולים להסתייע בהתאמות בבחינות בסטטיסטיקה, כגון שימוש במחשבון, דף נוסחאות מורחב, והארכת-זמן.
סטודנטים עם בעיות פיזיולוגיות קלות, דוגמת מַלְחֶצֶת כתיבה, או לקות כתיבה מאובחנת, יכולים להסתייע בכתיבתם במעבד תמלילים והארכת-זמן.
במקרים חמורים יותר ייתכנו התאמות נוספות בדרכי ההיבחנות, דוגמת הבטחת מועד בחינה נוסף לבעלי דיסקלקוליה, או התערבות פרמקולוגית להפחתת חרדה במבחן עצמו או בתקופת הלימוד, בכפוף להחלטת פסיכיאטר או רופא בעל הכשרה לכך.
אורים ותומים היא סדרת טלוויזיה ישראלית מסוגת דרמת מתח ששודרה בחברת yes.
הסדרה עלתה לשידור ב-15 במאי 2011 ומונה 12 פרקים.
פרקה האחרון שודר ב-31 ביולי 2011.
עלילת הסדרה עוסקת בישיבה התיכונית הבדיונית הר צור, ששמה לעצמה למטרה לגדל את הדור הבא של תלמידי החכמים בציונות הדתית.
הסדרה עוקבת אחרי חיי המורים, הרבנים, התלמידים וההורים בישיבה, בשנה בה הישיבה עוברת תהליך של חילוף משמרות, אחוזי ההרשמה הולכים ויורדים ובעיות כלכליות מאיימות על קיומה.
ראש הישיבה הוותיק פורש ואת מקומו תופש חתנו הצעיר, הנחוש לחולל מהפכה חינוכית למורת רוחו של הסגל הוותיק.
אך דווקא כאשר נראה שרוחות חדשות של פתיחות ורוך מנשבות בישיבה, הישיבה עוברת משבר קשה, כאשר גופתו של אחד התלמידים נמצאת במאגר המים הסמוך.
תעלומת מותו לא נותנת מנוחה לאחד התלמידים, והוא מנסה לחקור מה באמת קרה שם.
הסודות והשקרים שנחשפים תוך כדי החקירה שלו מאיימים לזעזע את אמות הסיפים של הישיבה, בה יש כלל אחד שאסור להפר: לכבס את הכביסה המלוכלכת בחוץ.
הרב גרנט (יהורם גאון) – ראש ישיבת הר צור הפורש, שמסתובב בה כמלך שנושל מתפקידו.
הרב חיים (דני גבע) – בוגר ישיבת הר צור וראשה הנוכחי, מנהל רומן עם נירה.
הרב אלישע (צחי גראד) - ר"מ (רב מחנך) ותיק בהר צור מהשנה הראשונה לקיומה.
יעקב מזוז (תום חגי) – תלמיד שישית בישיבת הר צור.
חוקר את סיבת המוות של חברו לחדר .
ביני מלצר (תום אבני) - נער הפוסטר של ישיבת הר צור.
נצר לשושלת של מצטיינים כפייתיים.
עוז (אור בן מלך) – תלמיד חדש בישיבת הר צור.
אבא שלו חזר בתשובה וניסה להחזיר גם אותו על הדרך.
מוטי זקס (ערן איוניר) – איש עסקים מצליח ועשיר.
בוגר ישיבת הר צור בעבר, ותורם כספי מרכזי שלה בהווה, ואבא של יניב זקס, התלמיד שמת.
מיכל (מון שביט) – הבת של הרב חיים.
מרגלית זקס (רונה ליפז-מיכאל) - אשתו של מוטי זקס ואמא של יניב, התלמיד שמת.
נירה (נתי קלוגר) - אחותה הצעירה והמרדנית של מרגלית זקס.
פאדי (מוסא זחאלקה) - אחראי המטבח בישיבת הר צור.
מנחם לוזון (יניב סוויסה) - רכז ההדרכה של ישיבת הר צור, האחראי על המשמעת בפנימיית הישיבה.
שמעון (ניר שטראוס) - תלמיד הישיבה שהתקבל להר צור בגלל ייחוס משפחתי.
מחזיק עמוק בבטן דחפים אפלים ואלימים.
קלישר (בועז בן צור) - אחד התלמידים בישיבה, עסקן בן עסקנים.
הוא החבר הטוב ביותר של ביני מלצר, אבל מאחורי החברות יש גם קנאה גדולה.
הנדלר (מתן לפיד) - תלמיד מחונן בישיבה, הסובל מבעיות חברתיות.
ישיבת "הר צור" תוארה בהשראת הישיבות נתיב מאיר ושעלבים, ששניים מיוצרי הסדרה נמנים עם בוגריהן.
באלגברה ליניארית אוריינטציה היא מבנה על מרחב ליניארי ממשי שמשמעותו האינטואיטיבית קשורה לכיוון.
על ישר, אפשר לחשוב על אוריינטציה כעל בחירת כיוון התקדמות לאורך הישר.
על מישור אפשר לחשוב על אוריינטציה כבחירת כיוון סיבוב (עם כיוון השעון או נגד כיוון השעון).
במרחב, אפשר לחשוב על אוריינטציה כעל בחירה של כלל יד ימין.
אוריינטציה על מרחב וקטורי ממשי כללי, היא בחירה של איזה בסיסים (סדורים) יקראו חיוביים, ואיזה יקראו שליליים.
יהיה מרחב ליניארי ממשי ממדי.
ניתן להגדיר את המושג אוריינטציה על כך:
אוריינטציה על היא מחלקת שקילות של בסיסים סדורים תחת יחס השקילות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהן היא חיובית.
נשים לב כי סדר האיברים בבסיס חשוב.
מטריצת המעבר בין שני בסיסים עם סידור שונה היא מטריצת תמורה.
בהתאם, מה שיקבע אם האוריינטציות שלהם יהיו זהות או הפוכות, הוא הדטרמיננטה של מטריצת תמורה זו, או במילים אחרות, הסימן של התמורה.
דרך אחרת להגדיר יחס שקילות זה היא על ידי השאלה הבאה:
האם אפשר לעבור באופן הדרגתי ורציף מבסיס אחד לבסיס אחר, כך שבכל שלב במעבר הווקטורים תמיד יהוו בסיס.
אם התשובה לשאלה זו היא חיובית אז הבסיסים שקולים.
מהגדרה זו נובע, שעל כל מרחב ליניארי (לא טריוויאלי) יש בדיוק שתי אוריינטציות.
בסיס במרחב ליניארי עליו נקבעה אוריינטציה נקרא חיובי אם הוא מגדיר את האוריינטציה שנקבעה כחיובית, ושלילי אם הוא מגדיר את האוריינטציה המנוגדת.
על מרחבים ליניאריים מסוימים מוגדר בסיס סטנדרטי.
אוריינטציה שבסיס זה מגדיר נקראת האוריינטציה הסטנדרטית על המרחב.
לדוגמה על המרחב האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי:
באופן דומה, על המרחב הפיזיקאלי הסובב אותנו, כלל יד ימין מגדיר את האוריינטציה הסטנדרטית.
במילים אחרות, כל בסיס מהצורה נקרא חיובי ביחס לאוריינטציה הסטנדרטית.
כמו כן, במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה.
ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על גם באמצעות -תבניות אנטי-סימטריות (להלן תבניות).
ליניארית על פי כל אחד מהמשתנים ב-
אנטי-סימטרית ביחס להחלפת כל שני משתנים ב-.
לכן בין כל שתי תבניות שונות מ-0 ניתן להגדיר את מושג היחס ביניהן (זהו מספר ממשי).
הגדרה: אוריינטציה על היא מחלקת שקילות של תבניות שונות מ-0 תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם היחס ביניהן חיובי.
הגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות בסיס כיוון שלכל בסיס ב- אפשר להתאים תבניות באופן הבא: התבנית היחידה המקיימת
הדטרמיננטה של מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא בדיוק היחס בין התבניות המתאימות להן.
מכאן ששני בסיסים שקולים אם ורק אם שתי התבניות המתאימות שקולות.
ההגדרות האלה לא ברורות במקרה ש .
במקרה זה המוסכמה היא שיש שתי אוריינטציות אחת מסומנת בסימן + או במספר 1 ונקראת חיובית והשנייה בסימן - או במספר 1- ונקראת שלילית.
העתקה ליניארית הפיכה ממרחב וקטורי לעצמו נקראת שומרת אוריינטציה אם הדטרמיננטה שלה היא חיובית והופכת אוריינטציה אם הדטרמיננטה שלה היא שלילית.
הגדרה אלטרנטיבית להעתקה שומרת אוריינטציה היא ההעתקה שניתן לשנות באופן הדרגתי ורציף כך שתתקבל בסופו של דבר העתקת הזהות וכך שבכל שלבי הביניים ההעתקה תישאר הפיכה.
במילים אחרות, ההעתקות הליניאריות שומרות האוריינטציה הן בדיוק ההעתקות שנמצאת ברכיב הקשירות של היחידה בחבורת ההעתקות ההפיכות .
ב-, סיבוב מסביב לציר ה- בזווית שומר אוריינטציה.
השיקוף לפי מישור ה- הופך אוריינטציה.
מטריצת תמורה שומרת אוריינטציה אם ורק אם התמורה המתאימה היא זוגית.
מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי עומד בבסיס מושג האוריינטציה על יריעה חלקה.
אוריינטציה על יריעה חלקה היא בחירה (רציפה) של אוריינטציה על המרחב המשיק בכל נקודה של היריעה.
בשונה ממרחבים ליניאריים, לא על כל יריעה חלקה יש אוריינטציה.
יריעה חלקה שעליה ניתן לבחור אוריינטציה נקראת אוריינטבילית.
הגדרת מושג האוריינטציה על יריעה טופולוגית כללית בדרך כלל לא מתבססת על מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי, אולם מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי מספק אינטואיציה טובה עבור הגדרת המושג אוריינטציה על יריעה טופולוגית כללית.
במתמטיקה ובפרט בטופולוגיה וגאומטריה, אוריינטציה היא מבנה שניתן (לעיתים), להגדיר על אובייקט גאומטרי.
בדרך כלל, מגדירים את המבנה על יריעה, אך לא על כל יריעה ניתן להגדיר אוריינטציה.
על יריעה אוריינטבילית קשירה ניתן להגדיר בדיוק שתי אוריינטציות.
שתי האוריינטציות האלה נקראות מנוגדות (או לעיתים הפוכות).
אם מסמנים אחת מהן ב- אז את השנייה מסמנים ב-.
יריעה אוריינטבילית שעליה נקבעה אוריינטציה נקראת מכוונת (oriented).
המשמעות האינטואיטיבית של אוריינטציה היא כיוון.
לדוגמה, בחירת אוריינטציה על עקום, שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום.
בממדים גבוהים יותר, מושג האוריינטציה הופך מורכב, אך במקרים מסוימים עדיין ניתן לתארו בצורה אינטואיטיבית.
לדוגמה, בחירת אוריינטציה על משטח במרחב, שקולה לבחירת "צד" של המשטח.
כיוון שלטבעת מביוס לא ניתן "לבחור צד", היא אינה אוריינטבילית.
באופן פורמלי, ניתן להגדיר את המושג אוריינטציה על מרחב ליניארי ממשי בתור מחלקת שקילות של בסיסים תחת יחס השקילות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהם היא חיובית.
אוריינטציה על יריעה חלקה היא אוריינטציה על המרחב המשיק לכל נקודה "התלויה באופן רציף" בנקודה.
באופן פורמלי, על יריעה חלקה ממדית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות ממעלה תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.
על יריעה טופולוגית -ממדית קשירה וסגורה בחירת אוריינטציה שקולה לבחירת יוצר של חבורת ההומולוגיה העליונה .
יוצר זה נקרא המחלקה היסודית של היריעה.
על יריעה טופולוגית -ממדית כללית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור התאמה "רציפה" של יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית עבור כל .
בניות רבות בגאומטריה בכלל וטופולוגיה דיפרנציאלית בפרט, מתבססת על בחירת אוריינטציה.
למשל, מכפלה וקטורית במרחב אוקלידי (תלת־ממדי), אינטגרציה של תבנית דיפרנציאלית על יריעה, מעלה של העתקה בין שתי יריעות (מאותו ממד), אינדקס חיתוך של שתי תת-יריעות (מממדים משלימים), דואליות פואנקרה , וקובורדיזם .
כמו כן, ניתן להגדיר כמה אינווריאנטים של יריעות באמצעות מושג האוריינטציה.
בניות המתבססות על מושג האוריינטציה תלוית בדרך כלל ב"מוסכמות סימן", כגון כלל יד ימין, מושג הכיוון החיובי וכדומה.
בערך זה נשתמש במוסכמות המקובלות ביותר, אך ישנן גם מוסכמות אחרות הנמצאות בשימוש.
מושג האוריינטציה הוא מופשט, וקשה באופן כללי לתיאור אינטואיטיבי, אולם במקרים פרטיים הדבר אפשרי.
בחירת אוריינטציה על עקום שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום.
באופן גרפי מקובל לעשות זאת על ידי סימון חץ על העקום.
אם העקום אינו קשיר, יש לשים חץ על כל רכיב קשירות.
מכאן אנו רואים שמספר האוריינטציות על עקום עם רכיבי קשירות הוא .
עובדה זו נכונה גם בממדים גבוהים יותר.
אם העקום נמצא במישור אז בחירת כיוון התקדמות לאורך העקום שקולה לבחירת צד של העקום באופן הבא: אנו מתאימים לכיוון התקדמות מסוים את הצד שנמצא לימיננו כאשר אנו מתקדמים לאורך העקום בכיוון הנבחר.
אמנם לא ברור מה המשמעות של "כיוון התקדמות לאורך משטח" אבל ניתן לבחור צד למשטח הנמצא במרחב,
בחירה כזאת מגדירה אוריינטציה על המשטח.
בחירת צד של המשטח שקולה לבחירת שדה וקטורי נורמלי למשטח המכוון לעבר הצד הנבחר.
הגדרה זו של אוריינטציה ניתנת להכללה לממדים גבוהים יותר, אולם היא תקפה רק למשטחי-על , זאת אומרת ליריעות ממדיות ב.
בחירת שדה נורמלי למשטח מגדירה, באמצעות כלל יד ימין, כיוון סיבוב במשטח.
בחירה של כיוון כזה היא דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על המשטח.
אוריינטציה על מרחב אוקלידי ומכפלה וקטורית
כדי להמחיש את מושג האוריינטציה על מרחב אוקלידי תלת-ממדי נשתמש במושג המכפלה הווקטורית.
נשים לב כי מושג המכפלה הווקטורית מוגדר רק עבור מרחבים אוקלידיים ספציפיים, למשל או המרחב הפיזי הסובב אותנו.
לא ניתן להגדיר מכפלה וקטורית על מרחב אוקלידי תלת-ממדי מופשט.
הסיבה לכך היא שלכלל יד ימין אין משמעות במרחב אוקלידי מופשט.
ניתן להתייחס אל מושג האוריינטציה בתור המבנה שנדרש כדי שלכלל יד ימין תהיה משמעות.
על כל מרחב אוקלידי תלת-ממדי ניתן להגדיר מכפלה וקטורית (ולתת משמעות לכלל יד ימין) על ידי בחירת בסיס אורתונורמלי (סדור) למרחב.
אולם בסיסים שונים עלולים לתת תוצאות מנוגדות.
ניתן להראות שאם דטרמיננטת מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא 1 אז הם יובילו לאותה תוצאה.
אולם אם דטרמיננטה זו היא 1- אז התוצאות תהיינה מנוגדות.
לאור אבחנה זו, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על מרחב אוקלידי בתור מחלקת שקילות של בסיסים אורתונורמליים תחת יחס השקילות הבא: שני בסיסים אורתונורמלים שקולים אם דטרמיננטת מטריצת המעבר ביניהן היא 1. הגדרה זו תקפה לממדים גבוהים יותר, אולם מוגבלת למרחבים אוקלידיים.
ניתן לגשת למושג האוריינטציה דרך המושג של העתקות שומרת אוריינטציה.
כל יריעה דו-ממדית נראית מקומית כקבוצה פתוחה במישור.
ניתן לחשוב על קבוצה כזו כעל פיסת בד גמישה מאוד.
נניח את היריעה על המישור ונצבע את צידה העליון של היריעה בשחור ואת התחתון בלבן.
העתקה מהיריעה למישור היא תהליך שלוקח כל נקודה ביריעה לנקודה חדשה במישור.
העתקה כזאת נקראת רציפה אם היא אינה קורעת את היריעה.
ההעתקה נקראת שיכון אם נקודות שנות עוברות לנקודות שנות.
שיכון רציף שומר אוריינטציה אם הצד השחור נשאר למעלה.
דרך אחרת להבין אם העתקה שומרת אוריינטציה היא להחליף את פיסת הבד בפיסה שקופה, לצייר עליה ציור של אדם העונד שעון על ידו השמאלית ולהפעיל את ההעתקה.
אולם אם עדיין השעון נמצא על ידו השמאלית אז ההעתקה שומרת אוריינטציה, אם השעון נראה על ידו הימנית אז ההעתקה הופכת אוריינטציה.
תיאור זה מראה כי סיבובים שומרים אוריינטציה בעוד ששיקופים הופכים אותה.
באופן כללי העתקה ליניארית שומרת אוריינטציה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה חיובית.
העתקה חלקה שומרת אוריינטציה אם ורק אם הדיפרנציאל שלה בכל נקודה שומר אוריינטציה.
עובדה זו תקפה לממדים גבוהים יותר.
טריאנגולציה היא חלוקה של משטח למשולשים באופן ששני משולשים יכולים לגעת אחד בשני רק לאורך צלע (מלאה) או קודקוד.
לאחר שביצענו טריאנגולציה למשטח, ניתן להגדר אוריינטציה על המשטח בתור בחירת אוריינטציה על כל אחד מהמשולשים באופן תואם עבור משולשים שכנים.
אוריינטציה על משולש היא בחירה של סדר ציקלי על קודקודי המשולש.
זאת אומרת כיוון התקדמות מחזורי בין הקודקודים שבו לא נקבע מי הקודקוד הראשון, אבל לכל קודקוד נקבע מי הבא אחריו.
שתי אוריינטציות על משולשים צמודם נקראות מתאימות אם שני הסדרים המושרים על הצלע המשותפת מנוגדים.
זאת אומרת שאם BC היא הצלע המשותפת אז באחד המשולשים B יבוא (מיד) לפני C, ובאחר C יבוא (מיד) לפני B (ראה איור).
לאחר שקבענו אוריינטציה על משולש אחד.
יש דרך יחידה לקבוע אוריינטציה על המשולשים השכנים, וכך הלאה.
לכן על כל יריעה קשירה יש לא יותר משתי אוריינטציות.
אולם לא תמיד ניתן לבחור אוריינטציה על כל המשולשים באופן מתאים.
לכן חלק מהמשטחים אינם אוריינטבילים, כמו טבעת מביוס או בקבוק קליין.
גם על יריעות רב ממדיות ניתן לעיתים להגדיר אוריינטציה בדרך זאת.
אולם צריך לבצע מספר שינויים בהגדרה, ויש לשיטה זאת מספר מגבלות:
טריאנגולציה (שילוש) של יריעה רב ממדית היא חלוקה שלה לסימפלקסים במקום למשולשים
אוריינטציה על סימפלקס איננה סדר ציקלי על קודקודיו, אלא מחלקת שקילות של יחסי סדר (מלאים) על קודקודיו תחת יחס השקילות הבא: שני יחסי סדר שקולים אם התמורה המעבירה ביניהם היא תמורה זוגית.
יש לשנות בהתאם את מושג ההתאמה בין אוריינטציות על סימפלקסים שכנים.
החל מממד 4 יש יריעות טופולוגיות שלא ניתן לבצע להם טריאנגולציה.
מסיבה זאת, לא ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה באופן כללי באמצעות טריאנגולציה.
ניתן להגדיר את המושג האוריינטציה על כך:
אוריינטציה על היא מחלקת שקילות של בסיסים סדורים תחת יחס השקיליות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהן היא חיובית.
בסיס במרחב ליניארי עליו נקבעה אוריינטציה נקרא חיובי אם הוא מגדיר את האוריינטציה שנקבעה ושלילי אם הוא מגדיר את האוריינטציה המנוגדת.
האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי:
במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה.
ההגדרות האלו לא ברורות במקרה ש .
משיכה ודחיפה של אוריינטציה (תחת איזומורפיזם)
יהי איזומורפיזם של מרחבים ליניאריים.
כל תבנית על מגדירה תבנית על באופן הבא:
בצורה זו ניתן להגדיר אוריינטציה עבור כל אוריינטציה על
תהליך זה נקרא משיכה לאחור של אוריינטציה.
ניתן גם להגדיר דחיפה קדימה של אוריינטציה על ידי
תהי יריעה חלקה מממד .
אוריינטציה על היא התאמה של אוריינטציה על המרחב המשיק לכל נקודה "התלויה באופן רציף" בנקודה .
אפשר להגדיר את המשמעות של "תלויה באופן רציף" בעזרת תבניות דיפרנציאליות.
תבנית דיפרנציאלית ממעלה (להלן תבנית דיפרנציאלית) היא התאמה חלקה של -תבניות אנטי-סימטריות על המרחב המשיק עבור כל .
תבנית דיפרנציאלית נקראת הפיכה אם היא אינה מתאפסת באף נקודה.
הגדרה: נקראת אוריינטבילית אם קיימת עליה תבנית הפיכה.
אוריינטציה על היא מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.
נשים לב שבהגדרה זו לא ניתן להשתמש בבסיסים במקום בתבניות, מכיוון שקימות יריעות אוריינטביליות שאינן ניתנות למיקבול (זאת אומרת יריעות שאי-אפשר לבחור עבור כל נקודה שלהן בסיס למרחב המשיק בצורה שתלויה באופן חלק ב-).
דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על היא לחזור על ההגדרה של יריעה חלקה אך להחליף את ההעתקות החלקות בהעתקות שומרות אוריינטציה.
דיפאומורפיזם נקרא שומר אוריינטציה אם הדיפרנציאל שלו בכל נקודה שומר אוריינטציה (זאת אומרת בעל דטרמיננטה חיובית).
אטלס חלק על נקרא אוריינטבילי אם העתקות המעבר שלו הן שומרות אוריינטציה.
אוריינטציה על היא אטלס חלק אוריינטבילי מקסימלי.
ניתן להראות בעזרת חלוקת היחידה שהגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות תבניות.
אוריינטציה מושרית על היפר-משטח ועל שפה של יריעה
יהי משטח-על ב- (זאת אומרת תת-יריעה ממדית).
שדה טרנסברסלי על הוא התאמה של וקטור משיק ל בכל נקודה כך ש־
בהינתן שדה טרנסברסלי על , האוריינטציה משרה אוריינטציה על באופן הבא: תהי תבנית המייצגת את .
נגדיר תבנית על על ידי נגדיר את להיות מחלקת השקילות של
במקום שדה טרנסברסלי ניתן להשתמש בשדה נורמלי לא מתאפס.
שדה נורמלי הוא חתך חלק של האגד הנורמלי במילים אחרות שדה נורמלי הוא התאמה חלקה של וקטור במרחב המנה לכל נקודה
שני שדות נורמליים יגדירו את אותה אוריינטציה אם המנה ביניהם היא פונקציה חיובית.
במקרה שעל נתונה מטריקה רימנית בנוסף לאוריינטציה , אנו מקבלים התאמה חד-חד-ערכית ועל בין אוריינטציות על ושדות נורמלים באורך יחידה על .
כיוון שעל יש אוריינטציה ומטריקה רימנית סטנדרטית, בחירה של שדה נורמלי על היפר-משטח ב- שקולה לבחירת שדה נורמלי באורך יחידה על בדומה למוסבר במבוא.
אם היא יריעה עם שפה אז השפה של היא היפר-משטח ב-.
ניתן (בעזרת חלוקת היחידה) לבחור שדה טרנסברסלי חיצוני על זאת אומרת שדה טרנסברסלי על אשר לא נמצא בחצי-מרחב המשיק ל באף נקודה האוריינטציה ששדה זה מגדיר נקראת האוריינטציה המושרית על
קל לראות שאוריינטציה זו לא תלויה בבחירת השדה הטרנסברסלי החיצוני.
הערה: אף על פי שהבניות בפרק זה מוגדרות היטב הן תלוית במוסכמות סימן שרירותיות למדי: האוריינטציה הסטנדרטית על , העדפת הנורמל החיצוני על הפנימי והצבת השדה הנורמלי בתור המשתנה הראשון ולא האחרון.
בעזרת משפט ז'ורדן ניתן להסיק מתהליך השראת האוריינטציה על שפה של יריעה את הקריטריון הבא עבור אוריינטביליות:
טענה: היפר-משטח סגור (Closed Hypersurface) (במרחב ליניארי) תמיד אוריינטבילי.
משיכה של אוריינטציה (תחת דיפאומורפיזם מקומי)
העתקה חלקה נקראת דיפאומורפיזם מקומי (או העתקת אטאל ) אם הדיפרנציאל שלה בכל הוא איזומורפיזם.
לפי משפט הפונקציה הסתומה תנאי זה שקול לכך שלכל קיימת סביבה פתוחה כך ש היא קבוצה פתוחה והצמצום הוא דיפאומורפיזם.
בהינתן אוריינטציה על ניתן להגדיר את המשכיה לאחור שלה על ידי
במילים אחרות יש לבחור תבנית דיפרנציאלית המייצגת את , ולהגדיר את להיות מחלקת השקילות של
העתקת אטאל בין יריעות מכוונות (יריעות שנקבעה עליהן אוריינטציה) נקראת שומרת אוריינטציה אם המשיכה לאחור של האוריינטציה על שווה לאוריינטציה
אחת המוטיבציות להגדרת מושג התבניות הדיפרנציאליות היא האפשרות להגדיר אינטגרל של תבנית דיפרנציאלית.
אפשרות זו מותנית בקביעת אוריינטציה על היריעה
תהי קבוצה פתוחה דיפאומורפית ל ניתן להגדיר את האינטגרל של תבנית דיפרנציאלית על באופן הבא: כאן הוא דיפאומורפיזם שומר אוריינטציה ואינטגרל של תבנית דיפרנציאלית על מוגדר על ידי הזיהוי הסטנדרטי בין תבניות דיפרנציאלית לפונקציות.
הגדרה זו לא תלויה בבחירת הדיפאומורפיזם ובלבד שהוא שומר אוריינטציה, אולם אילו היה הופך אורנטצייה אז התוצאה המתקבלת הייתה מנוגדת.
ניתן להכליל הגדרה זו עבור קבוצה פתוחה כללית על ידי חלוקת היחידה.
כמו כן ניתן להגדיר אינטגרלים של k-תבניות דיפרנציאליות לאורך תת-יריעות מכוונות k ממדיות.
אם תבנית הפיכה על אז היא מגדירה אוריינטציה, ולכן ניתן להגדיר את האינטגרל שלה ביחס לאוריינטציה שהיא עצמה מגדירה גם אם לא נקבע אוריינטציה על אינטגרל זה תמיד חיובי, ומסמנים אותו ב
ניתן להכליל הגדרה זאת גם לתבניות לא הפיכות (ואף למקרה ש לא אוריינטבילית) ע"י:
אוריינטציה על היריעה היא מושג מקומי: בכל נקודה של היריעה אפשר להגדיר את האוריינטציה בנקודה בתור אוריינטציה על המרחב המשיק (חיובית או שלילית).
נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה ב- (זו קבוצה בת שני איברים).
ניתן לאגד קבוצות אלו למרחב כיסוי .
כיסוי דו-יריעתי זה נקרא כיסוי האוריינטציות.
אפשר להפוך את כיסוי האוריינטציות לאגד (הנקרא אגד האוריינטציות) או לאלומה (הנקראת אלומת האוריינטציות).
באמצעות כיסוי האוריינטציות ניתן להגדיר את "קרקטר האוריינטציות" של החבורה היסודית .
אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה.
ניתן להתייחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף אוריינטבילי עבור יריעה לא אוריינטבילית.
אוריינטציה על אגד ואוריינטציה יחסית
יהי אגד וקטורי -ממדי מעל מרחב טופולוגי
אוריינטציה על היא אוריינטציה על כל אחד מהסיבים (Fibers)
התלויה באופן רציף בנקודה שמעליה הסיב.
בהתבסס על מושג האוריינטציה על אגד אפשר להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית של ההעתקה בשני מקרים:
בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על כיסוי האוריינטציות:
כל אלה יהיו אובייקטים מעל
על מנת להגדיר את מושג האוריינטציה על נגדיר תחילה את כיסוי האוריינטציות .
כמו במקרה החלק, אוריינטציה על תהיה חתך של כיסוי האוריינטציות.
כמו במקרה החלק, הגדרת כיסוי האוריינטציות מבוססת על מושג האוריינטציה בנקודה.
היא יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה ב-
נשים לב שמכיוון ש איזומורפית ל-, הקבוצה בת שני איברים.
נגדיר </center> כאשר הטופולוגיה על מוגדרת, דרך המקרה על ידי הזיהוי .
קל לראות שאם יריעה חלקה אז הגדרה זאת מתלכדת עם ההגדרה במקרה החלק.
כמו קודם ניתן להגדיר את האגד ואת האלומה אבל, להבדיל מהמקרה החלק לא ניתן להגדיר את האגדים או שאר הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות.
נניח כי יריעה סגורה (זאת אומרת קומפקטית בלי שפה).
תהי אוריינטציה על ניתן להרכיב ממחלקות ההומולוגיה מחלקה אחת ב
משפט: קיימת ויחידה מחלקת הומולוגיה
כאשר היא ההעתקה הטבעית, ו היא המחלקה שמוגדרת על ידי האוריינטציה
מחלקת הומולוגיה נקראת המחלקה היסודית .
באופן אינטואיטיבי ניתן לחשוב על המחלקה היסודית בתור המחלקה המייצגת את "כל היריעה".
אם קשירה אז יוצרת את חבורת ההומולוגיה אשר איזומורפית ל-.
במקרה זה ניתן להגדיר אוריינטציה בתור בחירה של מחלקה יסודית (זאת אומרת בתור יוצר של ).
אם לא אוריינטבילית (אבל קשירה) אז ).
עבור יריעות קומפקטיות עם שפה ניתן להגדיר את המחלקה היסודית בתור איבר בהומולוגיה היחסית
עבור יריעות לא קומפקטיות (בלי-שפה) המחלקה היסודית מוגדרת בתור איבר בהומולוגית בורל-מור (המושג הדואלי לקוהומולוגיה עם תומך קומפקטי )
עבור יריעות (סגורות) לא אוריינטביליות (או עבור יריעות עליהן לא נקבעה אוריינטציה), המחלקה היסודית מוגדרת בתור איבר בהומולוגיה או בהומולוגיה של עם מקדמים באלומת האוריינטציות .
ניתן גם להגדיר את ההכללה המשותפת של ההכללות הקודמות
תהי העתקה רציפה של מרחבים טופולוגיים.
באופן אנלוגי למקרה החלק, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית (ואת המושגים הנלווים ) כאשר אחד התנאים הבאים מתקיים:
האנלוג של אימרסיה: לכל קיימת סביבה פתוחה ומספר טבעי כך ש היא תת-קבוצה סגורה מקומית והצמצום ניתן לפירוק כאשר הוא השיכון הסטנדרטי ו הוא הומיאומורפיזם לתמונה.
האנלוג של סובמרסיה: לכל קיימת סביבה פתוחה ומספר טבעי כך ש היא קבוצה פתוחה והצמצום ניתן לפירוק כאשר הוא הומיאומורפיזם ו הוא ההטלה.
נשים לב שתנאים אלה מתקיימים לעיתים גם כאשר המרחבים הטופולוגיים אינם יריעות.
הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה יחסית במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות.
יריעה נקראת אוריינטבילית אם ניתן להגדיר עליה אוריינטציה.
באופן מקומי כל יריעה איזומורפית ל- ולכן ניתן לבחור עליה אוריינטציה.
אולם מכיוון שבכל נקודה יש שתי אפשרויות לבחירה זו, לעיתים לא ניתן לבצע בחירה באופן גלובלי.
זאת הסיבה שחלק מהיריעות אינן אוריינטביליות.
הטבלה הבאה מסכמת את הדוגמאות למעלה ועוד מספר דוגמאות כמו גם קריטריונים לאורינטביליות (והעדרה).
יריעות אוריינטביליות יריעות לא אוריינטביליות עקומים
מעגל טבעת רגילה טבעת מביוס מרחבים ליניאריים
מרחב פרויקטיבי (ממשי) מממד אי-זוגי מרחב פרויקטיבי ממשי מממד זוגי
מישור פרויקטיבי טורוס בקבוק קליין יריעה המועתקת על ידי הומיאומורפיזם מקומי ליריעה אוריינטבילית
תת-קבוצה פתוחה של יריעה אוריינטבילית
איחוד של שתי קבוצות פתוחות אוריינטביליות בעלות חיתוך קשיר
סכום קשיר של יריעות אוריינטביליות
משטחים אוריינטבילים – סכום קשיר של ספירות וטורוסים יריעה אליה מועתקת יריעה לא אוריינטבילית על ידי הומאומורפיזם מקומי
יריעה בעלת תת-קבוצה פתוחה לא אוריינטבילית
סכום קשיר של יריעה לא אוריינטבילית עם יריעה כלשהי
משטחים לא אוריינטבילים – סכום קשיר של מישורים פרויקטיבים מכפלה של יריעות אוריינטביליות מכפלה של יריעה לא אוריינטבילית עם יריעה כלשהי משטחי-על סגורים (Closed Hypersurfaces)
יריעות אשר לחבורה היסודית שלהן אין תת-חבורות מאינדקס 2
לאורינטציה תפקיד בבניות רבות בטופולוגיה דיפרנציאלית.
צורת שימוש אחת באוריינטציה, היא בהרחבת מושג הספירה.
יסוד השימוש טמון בניתוח של יריעות קומפקטיות מממד אפס, דהיינו קבוצות דיסקרטיות סופיות.
יריעות אלה ממוינות על פי מספר הנקודות בהן.
מספר הנקודות הוא מספר טבעי והוא למעשה האינווריאנט היחיד שניתן להגדיר עבור יריעות אלה.
אולם, אם נתבונן ביריעה קומפקטית מממד אפס מכוונת, נראה כי ניתן להגדיר אינווריאנט נוסף: "המספר המכוון" של הנקודות ביריעה.
כלומר מספר הנקודות בעלות אוריינטציה "+" פחות מספר הנקודות בעלות אוריינטציה "-".
מתברר כי אינווריאנט זה יציב יותר ובעל שימושים רבים יותר.
ניתן להגדיר אינווריאנטים רבים של אובייקטים שונים בטופולוגיה דיפרנציאלית לפי הסכמה הכללית הבאה: לבנות יריעה מממד אפס המבוססת על האובייקט הנלמד (בדרך כלל בנייה זאת תלויה בבחירות מסוימות), להתבונן במספר המכוון של הנקודות שלה ולהוכיח כי התוצאה לא תלויה בבחירות.
בדרך כלל לאינווריאנטים אלה יש גרסה עבור אובייקטים לא מכוונים, אולם אז צריך להחליף את המספר המכוון של הנקודות במספר הנקודות מודולו 2 (מספר הנקודות עצמו יהיה תלוי בדרך כלל בבחירות), מכאן שבמקום לקבל אינווריאנט עם ערכים ב- אנו מקבלים אינווריאנט עם ערכים ב , מה שהופך אותו לחלש יותר.
להלן מספר דוגמאות של אינווריאנטים כאלה.
תהי העתקה חלקה של יריעות חלקות מכוונות מממד .
לפי הלמה של סארד יש להעתקה זאת ערך רגולרי .
הסיב של הנקודה הוא יריעה מממד אפס.
המעלה של מוגדרת להיות המספר המכוון של נקודות היריעה .
תהי יריעה חלקה, קומפקטית ומכוונת מממד ויהיו תת-יריעות סגורות מכוונות.
במקרה כזה ניתן להגדיר את אינדקס החיתוך של ו .
לשם כך יש להשתמש בעיקרון הטרנסוורסליות (המבוסס על הלמה של סארד), שאומר שאפשר לשנות מעט את היריעות כך שהחיתוך יהיה טרנסבווסלי.
מכאן שהחיתוך הוא יריעה מממד 0. האורינטציות על ו מגדירות אוריינטציה על .
אינדקס החיתוך של ו מוגדר להיות המספר המכוון של נקודות היריעה .
מקרה נוסף בו משתמשים בספירה מכוונת הוא בתורת מורס.
תורת מורס, או ליתר דיוק גרסתו של סמיל לתורה זאת מתאימה לשלשה
(במצב כללי) המורכבת מיריעה חלקה סגורה פונקציית מורס ומטריקה רימנית , קומפלקס שרשרת .
החבורות האבליות הן חבורת האבליות החופשיות הנפרסות על ידי הנקודות הקריטיות של מאינדקס מורס .
הדיפרנציאל מוגדר בעזרת ספירה מכוונת של מסלולים גרדיינטים בין שתי נקודות קריטיות בעלות אינדקס עוקב.
להבדיל מהמקרים הקודמים, תורת סמיל מורס תקפה גם כאשר אינה אוריינטבילית, מבלי הצורך להחליף את חוג השלמים בחבורה .
לשם כך יש לבחור אוריינטציות מקומיות בסביבת כל נקודה קריטית, המתאימות אחת לשנייה במובן מסוים שלא מספיק חזק כדי לאפשר הרכבת אוריינטציה אחת מכולם.
תהליך זה מורכב, ולכן במקרים מסוימים מעדיפים להסתפק בתורת מורס עם מקדמים ב-.
הדבר בולט עוד יותר בתורת פלויר, שהיא הכללה מרחיקת לכת של תורת מורס.
בטופולוגיה אלגברית, למחלקות רבות של יריעות אפשר להגדיר חבורת קובורדיזם מתאימה.
לדוגמה חבורת הקובורדיזמים של היריעות הסגורות מוגדרת כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות ממדיות שקולות אם האיחוד הזר הוא שפה של יריעה ממדית.
האיחוד הזר מגדיר את הפעולה (החיבורית) על חבורה אבלית זאת.
קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מממד 0 היא החבורה .
באופן דומה ניתן להגדיר את חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות מכוונות
ממדיות שקולות אם האיחוד הזר הוא שפה של יריעה ממדית.
קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מכוונות מממד 0 היא החבורה .
באופן כללי יותר, חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות היא תמיד מפיתול 2 (זאת אומרת מרחב ליניארי מעל השדה הסופי ) בעוד שחבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות לעיתים חסרת פיתול כלל.
מדוגמאות אלה רואים כי חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות מכילה מידע שלא נמצא בחבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות, ובמובנים מסוימים עשירה ממנה.
את האינווריאנטים שתוארו בפרק הקודם (מעלה, ואינדקס חיתוך) אפשר לראות כאינווריאנטים שערכיהם בחבורת הקובורדיזם של יריעות מממד 0. אם היריעות המקוריות מכוונות, אז האינווריאנטים הם עם ערכים ב-, אם לא, אז הערכים ב-.
בעזרת המחלקה היסודית ומכפלת הספל ניתן להגדיר את דואליות פואנקרה.
תהי יריעה סגורה מכוונת מממד .
דואליות פואנקרה היא דואליות (זאת אומרת זיווג לא מנוון) בין הקו-הומולוגיה והקו-הומולוגיה כאשר שדה ממציין 0. הזיווג מוגדר על ידי
כאשר היא מכפלת הספל, והזיווג באגף שמאל הוא הזיווג הסטנדרתי בין הומולוגיה וקו-הומולוגיה.
זיווג זה מגדיר איזומורפיזם .
בצורה זאת דואליות פואנקרה תקפה עבור הומולוגיות בכול חוג מקדמים.
לדואליות פואנקרה יש גם גרסאות עבור יריעות כלשהן, בדומה לגרסאות השונות של המחלקה היסודית.
לדואליות פואנקרה הכללה מרחיקת לכת – דואליות ורדיה.
ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים קומבינטוריים בעלי אופי גאומטרי.
למשל אוריינטציה על גרף משמעה הפיכתו לגרף מכוון, זאת אומרת בחירת כיוון עבור כל
אין כל דרישה להתאמת הכיונים בקודקודים.
לכן, להבדיל מיריעה, אין משמעות למושג אוריינטביליות בהקשר של גרף ועל כל גרף אפשר להגדיר אוריינטציה.
באופן דומה ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים קומבינטוריים מורכבים יותר, כמו קומפלקס סימפלקסיאלי.
באובייקטים קומבינטוריים אחרים, כמו קבוצה סימפלקסיאלית, האוריינטציה מובנית בתוך ההגדרה של האובייקט עצמו.
ניתן לחשוב על מחלקת הומולוגיה בתור "אובייקט גאומטרי" מכוון מממד בתוך (עד כדי יחס שקילות מסוים).
לדוגמה, ציקלוס סינגולרי הוא למעשה קומפלקס סימפלקסיאלי מכוון, המועתק לתוך היריעה.
אם מוותרים על האוריינטציה על הקומפלקס הסימפלקסיאלי ב- אז מקבלים מחלקת הומולוגיה עם מקדמים ב-.
בגישות אחרות לתורת ההומולוגיה ובאופן כללי יותר בתורות הומולוגיה מוכללות, מחליפים את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים באובייקטים גאומטריים אחרים.
לדוגמה, אם נחליף את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים ביריעות, נקבל את חבורות הקובורדיזם של .
גם בתורות קו-הומולוגיה האוריינטציה באה לידי ביטוי.
למשל קו-הומולוגית דה-ראהם מבוססת על מושג התבניות הדפרנציאליות.
מושג זה קשור למושג האוריינטציה על יריעה חלקה.
מושג האוריינטציה אינו מוגדר למרחבים טופולוגיים שאינם יריעות.
אולם ניתן להכליל את אלומת האוריינטציות (ואת אלומת האוריינטציות היחסית) למרחבים טופולוגיים קומפקטיים מקומית.
הדבר נעשה במסגרת דואליות ורדיה.
דואליות ורדיה היא למעשה מימוש של פורמליזם ששת הפונקטורים של גרותנדיק עבור מרחבים טופולוגיים.
הפורמליזם כולל פונקטורים שונים בין קטגוריה הנגזרת של קטגוריות האלומות על מרחבים שונים.
אחד מהפונקטורים האלה הוא המוגדר עבור העתקה רציפה כאשר היא הקטגוריה הנגזרת של קטגורית האלומות על .
פונקטור זה הוא הצמוד מימין של הפונקטור הנגזר של פונקטור התמונה הישרה עם תומך קומפקטי .
באמצעות הפונקטור ניתן להגדיר את הקומפלקס המדאל היחסי על ידי כאשר היא האלומה הקבועה על .
כאשר הוא נקודה, אנו מקבלים את הקומפלקס המדאל .
אלומת האוריינטציות ואלומת האוריינטציות היחסית הן מקרים פרטיים של הקומפלקס המדאל והקומפלקס המדאל היחסי.
בהתבסס על הקומפלקס המדאל ניתן להגדיר את פונקטור הדואליות של ורדיה על ידי .
מנקודת המבט של דואליות ורדיה, דואליות פואנקרה היא מקרה פרטי של הטענה הבאה:
מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי מבוסס על כך שלחבורה יש שני רכיבי קשירות.
לכן על מרחב ליניארי יש שתי אוריינטציות.
שני בסיסים מגדירים אותה אוריינטציה על מרחב אם מטריצת המעבר ביניהם נמצאת ברכיב הקשירות של היחידה ב, הם מגדירים אוריינטציות הפוכות אם המטריצה נמצאת ברכיב השני.
המצב במרחבים עם מכפלה פנימית דומה מכיוון שלחבורה האורתוגונלית יש גם כן שני רכיבי קשירות.
עם זאת, אם מאפשרים למכפלה הפנימית לא להיות חיובית לחלוטין, ניתן לעדן את מושג האוריינטציה.
הסיבה לכך היא שלחבורה יש ארבעה רכיבי קשירות.
בהינתן תבנית ריבועית מסיגנטורה על מרחב וקרקטר כפלי ניתן להגדיר יחס שקילות על קבוצת הבסיסים האורתונורמליים באופן הבא: שני בסיסים ו שקולים אם .
מכיוון של יש שלושה קרקטרים לא טריוויאליים אנו מקבלים שלושה יחסי שקילות.
לכל אחד מהיחסים האלה אפשר להתאים גרסה של מושג האוריינטציה.
כך בנוסף לאוריינטציה נקבל שני מושגים נוספים הנקראים, בהשראת תורת היחסות, אוריינטציית מרחב ואוריינטציית זמן.
באופן דומה מגדירים מושגים אלה על יריעה פסוודו-רימנית.
מכיוון שמושג האוריינטציה מבוסס על רכיבי הקשירות של החבורה הוא מושג ממשי מטבעו, ולכן לא מוגדר עבור יריעות אלגבריות מעל שדה כללי.
על יריעה אלגברית ממשית חלקה (ובאופן כללי יותר על יריעת נאש) יש מבנה טבעי של יריעה חלקה ולכן ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה עבור יריעות נאש.
יתר על כן על כיסוי האוריינטציות, אגד האוריינטציות ועל אגד הצפיפויות של יריעת נאש גם ניתן להגדיר מבנה של יריעת ואגדי נאש.
בשונה ממושג האוריינטציה, לדואליות ורדיה דוקה יש גרסאות עבור יריעות אלגבריות מעל שדה כללי (ואף לסכמות מסוימות).
גרסה אחת, עבור אלומות קוהרנטיות, נקראת דואליות גרותנדיק.
הקשר של גרסה זאת לאוריינטציה רופף כי בה אלומת האוריינטציות מוחלפת באלומת התבניות הדיפרנציאליות.
יש גרסאות נוספות עבור D-מודולים, אלומות -אדיות ואלומות סוטות -אדיות.
גרסאות אלה קשורות יותר למושג האוריינטציה.
אוריינטליזם הוא ספר שפרסם ב-1978 חוקר הספרות הפלסטיני-אמריקאי אדוארד סעיד.
הספר מעורר המחלוקת הגדיר מחדש את המונח "אוריינטליזם" כמכלול של הנחות שווא העומדות ביסוד הגישה המערבית כלפי חקר המזרח התיכון.
לפי סעיד המזרחנות מאופיינת "בדעה קדומה אירוצנטרית, מתוחכמת ועקבית, כנגד העמים הערבים-אסלאמיים ותרבותם".
סעיד טוען שמסורת ארוכה של דימויים רומנטיים של אסיה והמזרח התיכון בתרבות המערבית, נתנה באופן עקיף הצדקה לשאיפות האימפריאליות האירופיות והאמריקאיות במזרח.
באותה תקיפות, סעיד מגנה את הנטייה של האליטות הערביות להפנים את הרעיונות של המזרחנות המערבית אודות התרבות הערבית.
אוריינטליזם נחשב לספר החשוב ביותר של אדוארד סעיד ותורגם ל-36 שפות לפחות.
הוא היה המוקד של מספר רב של דיונים ופולמוסים, במיוחד עם ברנרד לואיס, שעל עבודתו נמתחה ביקורת בפרק האחרון של הספר, תחת הכותרת "אוריינטליזם בן זמננו: השלב האחרון".
באוקטובר 2003, חודש לאחר מותו של סעיד, פובליציסט בעיתון לבנוני כתב כי באמצעות השפעת ספרו אוריינטליזם "המבקרים של סעיד מסכימים עם מעריציו בכך שהאיש עשה במו ידיו מהפכה בלימודי המזרח התיכון בארצות הברית".
הוא ציטט ביקורת שטוענת כי מאז פרסום אוריינטליזם "לימודי המזרח התיכון בארצות הברית נשלטים על ידי הפרדיגמה הפוסט קולוניאלית של סעיד" (Daily Star, October 20, 2003).
אומנם, אוריינטליזם איננו המחקר הראשון שביקר את הידע המערבי ואת המחקר המערבי אודות המזרח: "לעבד אלרחמן אלג'ברתי, הכרוניקאי המצרי ועד ראייה לפלישת נפוליאון למצרים ב-1798, לדוגמה, לא היה ספק בכך שמשלחת המחקר של נפוליאון אינה אלא כיבוש צבאי במסווה".
גם בעשורים האחרונים נעשו מחקרים שהראו את הזיקה בין הכתיבה המזרחנית לבין השלטון האירופי וייצוגיו.
עם זאת, אוריינטליזם מתייחד בהיותו מחקר פרטני ומשפיע בתוך המחקר האוריינטליסטי.
אכן, הספר מתאר איך "הדימוי המקודש של האוריינטליסט כדמות קפדנית שלא מתחשבת בעולם הסובב אותה ושקועה כל כולה בכתבים בשפות זרות ומסתוריות נצבעה בגוון כהה עת התברר היאך העסק האפל של שליטה בעמים אחרים היווה רקע לאותו מחקר".
מבקרי סעיד, כמו המזרחן ברנרד לואיס, טוענים שהסקירה של סעיד מכילה אי דיוקים, וטעויות מתודולוגיות וקונספטואליות רבות.
סעיד מתעלם מהתרומות הרבות והמקוריות לחקר תרבויות המזרח שנעשו על ידי חוקרים מערביים במהלך עידן הנאורות והתקופה הוויקטוריאנית.
התאוריה של סעיד לא מסבירה מדוע הצרפתים והאנגלים התעניינו במחקר האסלאם במאה ה-16 וה-17, הרבה לפני שהייתה להם איזושהי תקווה לשלוט על המזרח התיכון.
עוד טענו נגדו שהוא התעלם מהתרומה של חוקרים איטלקים, הולנדים, ובמיוחד מהתרומה העצומה של המלומדים הגרמנים (סעיד עצמו הודה בהתייחסות המועטה לגרמנים בהקדמתו לספר).
לואיס טען שהמחקר המזרחני שיצא ממדינות אלה היה יותר חשוב מהמחקר שיצא מבריטניה וצרפת, אבל סעיד לא הזכיר אותם מכיוון שלמדינות אלה או שלא היה מושבות קולוניאליות במזרח התיכון כלל (הולנד, גרמניה), או שלא היה קשר בין מושאי המחקר שלהן לבין המושבות שלהן (איטליה).
ובקיצור, כשסעיד בא להוכיח את טענתו בדבר המניע האימפריאלי של המחקר האוריינטליסטי, הוא ברר מתוך ים המחקר העצום רק את החלקים המתאימים לשיטתו, והתעלם מחומרים רבים וחשובים לא פחות, ואולי אפילו יותר, שאין בינם לבין אימפריאליזם דבר וחצי דבר.
לואיס טען שהאוריינטליזם צמח מההומניזם, הנבדל מהאידאולוגיה האימפריאליסטית, ולפעמים אף נוגד אותה.
המחקר האוריינטלי על האסלאם צמח מדחיית הדוֹגמה הדתית, והיה לתמריץ חשוב לגילוי תרבויות אלטרנטיביות.
לואיס כינה כ"פרוטקציה אינטלקטואלית" את הטיעון שרק בני תרבות מסוימת יכולים לבקר את תרבותם באופן יעיל.
סעיד טען בתגובה, שאת הביקורת של לואיס צריך לשים בהקשר הנכון.
הטיעון הבסיסי של סעיד אומר שהאוריינטליזם נוצל ככלי אימפריאלי, ולכן אי אפשר לראות את הביקורת של לואיס כאובייקטיבית וחפה מאינטרסים, כמו שלואיס היה רוצה להציג את עצמו, אלא לאור מה שסעיד טען, הנטיות הניאו אימפריאליות של לואיס, כמו שעולה מהקריירה הפוליטית או פוליטית למחצה של האחרון והתבטאויותיו.
בריאן טורנר ביקר את עבודתו של סעיד בכך שסעיד עשה למחקר האוריינטלי מה שהוא טען שהמחקר האוריינטלי עשה למזרח.
לפי טורנר, סעיד לקח את המסורת האוריינטלית המגוונת ורבת הפנים והכניס את כולה תחת אותה תווית.
מבקרים אחרים טוענים שאומנם קיימים עיוותים ופנטזיות רבות במחקר, אבל הטענה כאילו המחקר האוריינטלי צייר את המזרח כתמונת ראי של המערב היא מוגזמת ואינה נכונה.
כתב בספרו (2006), שזו הייתה טעות מצידו של סעיד לתאר את האוריינטליזם כמרוכז ברובו במזרח התיכון, ובמיוחד בפלסטין ובמצרים, מכיוון שהמנדט על פלשתינה (1920–1948) ו (1882–1956) היו בשליטה אירופית ישירה רק לזמן קצר, בסוף המאה ה-19 ובתחילת המאה ה-20; לפיכך הם דוגמאות גרועות לתאוריה של סעיד על האימפריאליזם התרבותי המערבי.
לדברי ארווין, האוריינטליזם היה צריך להתרכז בדוגמאות ראויות לציון של אימפריאליזם והגמוניה תרבותית, כמו המושבה הבריטית הודו (1858–1947) והמושבות הרוסיות באסיה (1721–1917), אבל הוא לא עשה זאת, משום שכאינטלקטואל ציבורי, אדוארד סעיד היה מעוניין יותר להעלות נקודות פוליטיות על הפוליטיקה של המזרח התיכון בכלל, ושל פלסטין בפרט.
יתרה מזו, על ידי התרכזות יתרה במזרחנות הבריטית והצרפתית, סעיד התעלם מכך שהחוקרים הדומיננטיים בלימודי המזרח של המאה ה-19 היו אקדמאים ואינטלקטואלים גרמנים והונגרים, שלמדינותיהם לא היו מושבות במזרח.
ארווין אומר בכנות כי "הספר נראה לי כיצירה של שרלטנות ממארת שקשה להבחין בה בין טעויות כנות לבין מצגי שווא מכוונים."
חוקר הדת האמריקני ג'ייסון אננדה ג'וזפסון טען כי נתונים מיפן מסבכים את התזה של סעיד על האוריינטליזם כתחום הקשור לכוח האימפריאלי.
לא רק שאירופים חקרו את יפן ללא כל תקווה ליישב אותה, אלא שאקדמאים יפנים מילאו תפקיד בולט כמודיעים וכבני שיח בדיסציפלינה אקדמית זו, וסיפקו מידע הן על שיטות העבודה וההיסטוריה שלהם והן על ההיסטוריה של סין.
יתרה מזו, ג'וזפסון תיעד כי ועידות אירופיות על מזרח אסיה קדמו לוועידות האירופיות על המזרח התיכון שתיאר סעיד, מה שמחייב כרונולוגיה חלופית של ההתעניינות האקדמית המערבית במזרח.
הוצאת עם עובד, תרגמה: עתליה זילבר, 2000
אורימולסיה היא אמולסיה של (כ-70%), מים (30%), וחומרים פעילי שטח (0.2%), המשמשת כדלק לתחנות כוח.
דלק פוסילי נוזלי זה הופק ממרבצי ביטומן ברצועת אורינוקו שבוונצואלה, והוא פרי פיתוח משותף של חברת הנפט הממלכתית של ונצואלה (PDVSA) וחברת בריטיש פטרוליום.
הדלק היה בשימוש בתחנות כוח של כמה מדינות (איטליה, דנמרק, יפן, ליטא, סין, קנדה) והיווה תחליף לפחם ולמזוט.
בטופולוגיה, אוריינטציה על אגד היא מבנה רציף של אוריינטציות על הסיבים של האגד.
המושג מבוסס על מושג האוריינטציה על מרחב וקטורי, וניתן לבסס עליו את מושג האוריינטציה על יריעה חלקה.
יתר על כן ניתן להגדיר באמצעותו את מושג האוריינטציה היחסית עבור העתקות מסוימות בין יריעות חלקות
כדי להגדיר זאת באופן פורמלי נזדקק למושג התבניות.
תבנית על היא חתך (רציף) של אגד התבניות במילים זאת פונקציה רציפה ממכפלת הסיבים ל כך שלכל הצימצום לסיב
הגדרה: נקרא אוריינטבילי אם קיימת עליו תבנית הפיכה.
כמו מושג האוריינטציה על יריעה חלקה, גם מושג האוריינטציה על אגד הוא מקומי ולכן ניתן להגדיר את כיסוי האוריינטציות , אגד האוריינטציות , אגד הצפיפויות ואלומת האוריינטציות של האגד .
ניתן להכליל את ההגדרה הזאת למקרה ש איננו אגד וקטורי אלא אגד סיבים שהסיבים שלו הם יריעות.
ניתן גם להגדיר את האובייקטים המקומיים במקרה זה אולם אז הם יהיו אובייקטים מעל המרחב הכולל
אם יריעה חלקה ו הוא האגד המשיק
שלה אז, אוריינטציה על שקולה לאוריינטציה על כמו כן
נשים לב כי אף על פי שמושג האוריינטציה מוגדר לאגד מעל מרחב טופגולוגי כלשהו, ניתן להגדיר באמצעותו אוריינטציה על רק אם יריעה חלקה, זאת מכיוון שהאגד המשיק מוגדר רק עבור יריעה חלקה.
אוריינטציה על יריעה טופולוגית כללית, צריך להשתמש בשיטה אחרת.
ניתן להתייחס אל אגד וקטורי ממדי, כאל -טורסור.
מנקודת מבט זאת אגד מכוון (אגד עליו נקבעה אוריינטציה) הוא -טורסור.
כאן היא חבורת המטריצות עם דטרמיננטה חיובית.
-טורסור מעל מרחב טופולוגי הוא מרחב המועתק ל שהסיבים שלו הם מרחבים הומוגניים עיקריים מעל .
זאת אומרת ש פעולת עליהם באופן טרנזיטיבי, עם מייצבים טריוויאליים.
לכל אגד וקטורי מעל ניתן להתאים -טורסור באופן הבא:
הפעולה של נתונה על ידי החלפת בסיס.
קל לראות שהתאמה זאת נותנת התאמה חח"ע ועל בין מחלקות איזומורפיזם של אגדים ומחלקות איזומורפיזם של טורסורים.
באופן אנלוגי, לכל אגד וקטורי מכוון מעל ניתן להתאים -טורסור באופן הבא:
בניות דומות קיימות גם עבור מבנים אחרים.
אגד עם מכפלה פנימית הוא -טורסור.
אגד עם תבנית סימפלקטית הוא -טורסור.
אגד (מממד ) עם מבנה מרוכב הוא -טורסור.
אגד עם תבנית נפח הוא -טורסור.
בטופולוגיה, אוריינטציה יחסית היא גרסה של מושג האוריינטציה שניתן להגדיר עבור העתקות מסוימות בין יריעות (ולפעמים אף מרחבים טופולוגיים).
האוריינטציה היחסית מודדת, אינטואיטיבית, את מה שחסר לבניית אוריינטציה על בהינתן אוריינטציה על והעתקה .
את האוריינטציה היחסית של העתקה חלקה בין יריעות חלקות אפשר להגדיר בשני מקרים:
לכל אחד מהמקרים למעלה יש גרסה כללית יותר שכוללת העתקות בין יריעות ללא מבנה חלק ואף העתקות בין מרחבים טופולוגיים.
גם במקרים אלו ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית.
העתקה חלקה נקראת אימרסיה (או הטבעה) אם הדיפרנציאל שלה בכל הוא חד-חד-ערכי.
לפי משפט הפונקציה הסתומה תנאי זה שקול לכך שלכל קיימת סביבה פתוחה כך ש היא תת-יריעה סגורה מקומית והצמצום הוא דיפאומורפיזם.
במקרה כזה ניתן להגדיר את האגד הנורמלי ל בתוך ע"י
כאשר אנו מתייחסים לדיפרנציאל בתור העתקה מהאגד המשיק למשיכה לאחור של האגד המשיק
הגדרה: אוריינטציה יחסית על (ביחס ל) היא אוריינטציה על האגד הנורמלי
העתקה חלקה נקראת סובמרסיה אם הדיפרנציאל שלה בכל הוא על.
לפי משפט הפונקציה הסתומה תנאי זה שקול לכך שלכל קיימת סביבה פתוחה כך ש היא קבוצה פתוחה והצמצום
במקרה כזה נתבונן בגרעין בתור תת-אגד של
הגדרה: אוריינטציה יחסית על (ביחס ל) היא אוריינטציה על האגד
קשר בין אוריינטציה יחסית ואוריינטציה
בהינתן אוריינטציה על ואוריינטציה יחסית על ניתן להגדיר אוריינטציה על התאמה זאת לוקלית, כך שניתן להגדיר איזומורפיזם
במקרה החלק כל האיזומורפיזמים האלה מבוססים על ההבחנה הבאה: בהינתן סדרה מדויקת קצרה של מרחבים ליניאריים
הערה: האיזומורפיזמים האלה מכלילים את מושג האוריינטציה המושרית על היפר-משטח.
לכן כמוהו הם תלויים במוסכמות סימן.
מוסכמות אלו מורכבות יותר מאשר במקרה של היפר-משטח ואין להן גרסה מקובלת יחידה.
מצב זה גורם לעיתים לבלבולים וטעויות.
מטבע הדברים טעויות אלו הן טעויות סימן, ולכן בדרך כלל אינן משמעותיות.
אוריינט תאי איירליינס (בתאית: โอเรียนต์ไทยแอร์ไลน์, באנגלית: Orient Thai Airlines) הייתה חברת תעופה תאילנדית, שהפעילה טיסות סדירות וטיסות שכר ליעדים בדרום-מזרח אסיה.
חברת התעופה נוסדה בשנת 1995. למרות שאינה חברת התעופה הלאומית, קיבלה החברה היתר ממלך תאילנד להוסיף בצביעת המטוסים שלה את דגל תאילנד, זאת עקב יחסים קרובים בין מנכ"ל החברה למלך.
ב-3 בדצמבר 2003, הקימה אוריינט את חברת הבת שלה, One-Two-Go איירליינס.
בחודש ספטמבר 2004, טס מטוס בואינג 747 במרחק של 200 מטרים ממגדל טוקיו שבמרכז העיר טוקיו, יפן.
ב-16 בספטמבר 2007, התרסקה בשדה התעופה של פוקט טיסה 269 של ואן-טו-גו איירליינס בה נהרגו 89 בני אדם.
אחת הסיבות לתאונה הייתה עייפות הטייסים, בעקבות שעות עבודה רבות.