tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מכאן שאם התהליך עוצר, הוא עוצר במספר הזה (הוכחה זו אינה מראה שהתהליך עוצר: הוא עשוי, א-פריורי, להגיע למחזור, או למספר כגון 3333; בדיקת כל האפשרויות מראה שהתהליך אכן מגיע בסופו של דבר ל-6174).
נניח כי המספר המתקבל מהסידור היורד הוא abcd, והמספר המתקבל מהסידור העולה הוא dcba, כך ש: .
נניח כי החיסור ביניהם נותן את המספר ABCD.
מתוך כללי החיסור, עולה כי:
המספר ABCD שיגרום לעצירת שרשרת הצעדים הוא מספר שספרותיו A, B, C ו-D הן תמורה מסוימת של הספרות a, b, c ו-d.
= 24 התמורות האפשריות מספקת מערכת של 4 משוואות עם 4 נעלמים, הניתנת לפתרון.
הפתרון היחיד שנותן מספרים שלמים בין 0 ל-9 הוא הפתרון שבו ABCD = bdac, והפתרון המספרי הוא: a=7, b=6, c=4, d=1. למערכת המשוואות אין פתרון אחר במספרים שלמים, ולכן 6174 הוא המספר היחיד בעל התכונות של קבוע קפרקר.
במתמטיקה, קבוע הרמיט הוא קבוע מספרי המודד את האריזה הצפופה ביותר של כדורים במרחב ה-n-ממדי, ובעיות גאומטריות דומות.
הקבוע קרוי על-שם המתמטיקאי שארל הרמיט, שהיה הראשון שחסם את ערכו.
הקבוע, , שווה לריבוע הערך הגדול ביותר האפשרי של אורך הווקטור הקצר ביותר בסריג, בין כל הסריגים בממד n שנפח המקבילון היסודי שלהם הוא 1. במילים אחרות, זהו ריבוע האורך הסיסטולי הגדול ביותר של כל הטורוסים מהצורה עבור סריג בעל דטרמיננטה 1.
ידוע שהקבוע (התלוי כמובן בממד, n) גדל ליניארית עם n.
קבוע מילס הוא קבוע מתמטי, שמוגדר בתור המספר הממשי החיובי הקטן ביותר A שמקיים את התכונה הבאה: לכל n טבעי ראשוני (כאשר היא פונקציית הערך השלם).
הוא נקרא על שם ויליאם מילס, שהוכיח ב-1947 את משפט מילס הקובע כי קבוע כזה קיים.
תוצאה מפתיעה לאור ההתנהגות הלא סדורה של סדרת הראשוניים.
לא ידוע ערכו של מספר זה, אבל אם מניחים שהשערת רימן נכונה, אז:
לא ידוע אם המספר רציונלי או אי-רציונלי.
הכללה של משפט מילס קובעת שלכל קיימים אינסוף ערכים כך ש- תמיד ראשוני, ושאינסוף זה הוא מעוצמת הרצף.
המספרים הראשוניים שמתקבלים על ידי הצבת מספר טבעי n בביטוי , נקראים הראשוניים של מילס.
השימוש בקבוע מילס אינו יעיל לשם מציאת ראשוניים גדולים, משום שלשם חישוב חזקות גבוהות שלו יש לדעת את הקבוע בדיוק רב, אולם כדי לחשב את הקבוע נדרשת סדרת ראשוניי מילס עצמה.
משפט מילס הקובע את הקיום של קבוע מילס מסתמך על משפט של אלברט אינגהם משנת 1937 הקובע שקיים קבוע , כך שלכל זוג ראשוניים עוקבים בסדרת הראשוניים מתקיים .
מהמשפט של אינגהם נובע שאם , ו- הראשוניים העוקבים המקיימים , אז מתקיים:
כלומר לכל קיים ראשוני כך ש-.
כעת בונים סדרה של ראשוניים באופן רקורסיבי: בוחרים ראשוני להיות האיבר הראשון.
ומגדירים את כראשוני המקיים .
נקבל סדרה עולה של ראשוניים .
קל לראות ש-, ושמהתנאי נובע ש- עולה ו- יורדת.
עולה וחסומה ולכן נוכל להגדיר .
A מקיים , כלומר .
העלאת האי-שוויון בחזקת נותנת , ולכן כנדרש.
קבוע קירי הוא קבוע פיזיקלי מתחום האלקטרומגנטיות המקשר בין הסוספטיביליות המגנטית של החומר לבין הטמפרטורה שלו.
קבוע קירי, ביחידות SI, נתון ע"י:
כאשר: הוא מספר האטומים, או המולקולות, המגנטים עבור יחידת נפח.
הוא המגנטון של בוהר ([J/T] 10-24×9.27400915) הוא המספר הקוונטי של התנע הזוויתי הוא קבוע בולצמן.
עבור מערכת מסדר שני עם מומנט מגנטי מתקבל:
קבוע קירי מופיע בחוק קירי המקשר בין המגנטיזציה של חומר פאראמגנטי לבין השדה המגנטי המופעל עליו והטמפרטורה.
קבוע הפנר-סרנק-מקורלי הוא קבוע מתמטי המייצג את ההסתברות שדטרמיננטות של שתי מטריצות ריבועיות של מספרים שלמים שנבחרו באקראי יהיו מספרים זרים.
ההסתברות תלויה במימד המטריצה n לפי הנוסחה:
כאשר pk הוא המספר הראשוני ה-k.
הקבוע הוא הגבול של הביטוי כאשר n שואף לאינסוף.
אילן ורדי מצא ביטוי חלופי לקבוע:
כאשר (ζ(k היא פונקציית הזטא של רימן.
הקבוע נקרא על שמם של ג'.
הפנר, פיטר סרנק וקווין מקורלי.
במתמטיקה, קבוע קטלן (על שם המתמטיקאי אז'ן שרל קטלן) הוא מספר המוגדר על ידי
כאשר היא פונקציית בטא של דיריכלה.
לא ידוע אם קבוע קטלן הוא מספר אי-רציונלי.
כאשר מוגדר להיות האינטגרל האליפטי.
על ידי קבוע קטלן אפשר להגדיר ערכים מסוימים של פונקציית פוליגמא כגון:
קבוע רמנוג'אן-סולדר במתמטיקה, הוא קבוע מתמטי שמוגדר להיות השורש היחיד של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי.
היא נקראת על שם סריניוואסה רמנוג'אן ויוהאן פון זולדנר (Johann Georg von Soldner).
הערך המקורב של הקבוע הוא:
בעקבות ההגדרה של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי, שהיא:
קבוע רמנוג'אן-סולדר היא נקודת האיפוס של הפונקציה, ומכאן:
ובכך מקלים על חישוב הפונקציה בשביל ערכים טבעיים.
בנוסף לכך, הקבוע הוא פתרון היחיד למשוואה:
בגאומטריה, קבוע קפלר-באוקמפ או קבוע המצולעים החסומים, הוא קבוע מתמטי שמוגדר להיות הגבול של הרדיוס בסדרה הבאה: נבנה מעגל עם רדיוס 1, נחסום בתוכו משולש שווה-צלעות, שנחסום בתוכו מעגל, שנחסום בתוכו ריבוע שנחסום בתוכו מעגל, וכך הלאה, שכול המצולעים הם מצולעים משוכללים.
קבוע המצולעים החוסמים הוא קבוע שמוגדר להיות ההפך בבנייתו של קבוע קפלר באוקמפ, בצורה שבה מתחילים עם מעגל בעל רדיוס 1, וחוסמים אותו במשולש שווה-צלעות, שאותו חוסמים במעגל, שאותו חוסמים בריבוע וכך הלאה, כל שכול המצולעים הם מצולעים משוכללים.
קבוע זה מוגדר להיות אחד חלקי קבוע קפלר-באוקמפ, והגבול הוא:
במתמטיקה, קבוע צאמפרנאוונה (Champernowne constant), המסומן כ-, הוא מספר ממשי שהצגתו העשרונית מתקבלת מהדבקת ההצגה של המספרים הטבעיים בזה אחר זה:
הקבוע הוגדר על ידי דייוויד צ'אמפרנאוונה בשנת 1933.
קבועים דומים אפשר להגדיר לכל בסיס ספירה: , הוא המספר שההצגה שלו בבסיס b מתקבלת מהדבקת ההצגה של המספרים הטבעיים בבסיס זה בזה אחר זה.
קבוע צ'אמפרנאוונה ה-b שווה לסכום הטור .
כל מספר הוא מספר טרנסצנדנטי נורמלי בבסיס : רצפי ספרות בפיתוח העשרוני מתנהגים כאילו נבחרו באקראי בהתפלגות שווה.
מידת האי-רציונליות של האיבר היא .
את המספר ניתן להציג כשבר משולב באופן הבא:
כאשר חושבים על קבוע צ'אמפרנאוונה כמילה אינסופית מעל האלפבית המתאים לבסיס הספירה (למשל, הופכת למילה אינסופית מעל האלפבית בן עשר הספרות), מתקבלת מילה מילה רקורנטית שאינה רקורנטית-אחידה.
במתמטיקה, מספר פיבונאצ'י ההופכי, המסומן באות ψ, הוא הסכום של כל המספרים ההופכיים של מספרי פיבונאצ'י:
על פי תנאי ההתכנסות של קושי, הטור מתכנס למספר.
ביל גוספר מצא אלגוריתם לקירוב מהיר של המספר אשר מספקת ספרות (משום שסדרת פיבונאצ'י מביא ערכים עבור k ערכים).
עובדה זו הושערה על ידי פאול ארדש ורונלד גראהם והוכחה בשנת 1989 על ידי ריצ'רד אנדרה-ג'ננין.
השבר משולב של המספר הוא:
למספר קשור ליחס הזהב וניתן להגדיר את מספר פיבונאצ'י ההופכי על פי הטור הבא:
במתמטיקה, קבוע הפרבולה האוניברסלי (המסומן באות P) הוא קבוע מתמטי טרנסצנדנטי אשר מוגדר עבור כל פרבולה כיחס בין אורך הקשת והקטע המחבר בין המוקד והמדריך .
הפרבולה והמעגל הם חתכי החרוט היחידים שיש להם קבוע אוניברסלי (למעגל יש את המספר פאי).
אם נסתכל על פרבולה , ונחשב ממנה את הקבוע:
המדריך של הפרבולה היא והמוקד הוא .
קבוע הפרבולה האוניברסלי הוא מספר טרנסצנדנטי מכיוון שאם נניח שהוא אלגברי ונחסר שורש שתיים ונעלה בחזקת e אז נקבל , ועל פי משפט לינדמן-ויירשטראס, אז זה אומר שהמספר שורש שתיים פחות אחד הוא מספר טרנסצנדנטי, וזה סתירה.
אז על פי זה, קבוע המספר האוניברסלי הוא מספר טרנסצנדנטי, מכאן הוא גם מספר אי רציונלי.
המספר גם משומש במשפט הבא:
המרחק הממוצע של נקודה אקראית למרכז ריבוע היחידה הוא:
קבוע זמן RC, המסומן (האות היוונית טאו), הוא קבוע הזמן של מעגל נגד-קבל (מעגל RC), ושווה למכפלה של התנגדות הנגד וקיבול הקבל (ביחידות SI הזמן נמדד בשניות, ההתנגדות באוהם והקיבול בפאראד):
זהו הזמן הדרוש לטעינת הקבל דרך הנגד ממתח טעינה התחלתי של אפס עד לכ־63.2% מהערך של המתח הישר המסופק, או הזמן הנדרש בכדי לפרוק את הקבל דרך אותו נגד עד לכ־36.8% ממתח הטעינה ההתחלתי שלו.
ערכים אלה נגזרים מהקבוע המתמטי e, כאשר ואילו .
נוסחאות אלו נכונות בהנחה שמופעל מתח קבוע על הקבל והנגד המחוברים בטור.
כדי לקבוע את המתח על פני הקבל כפונקציה של הזמן:
טעינת קבל מרוקן, כאשר הוא המתח שמספק מקור המתח – המתח על הנגד והקבל יחד:
פריקת קבל שהמתח ההתחלתי שלו עליו הוא :
קבוע הזמן קשור לתדר הקיטעון , שהוא פרמטר חלופי של מעגל RC המוגדר:
תדר הקיטעון מוגדר כתדר שמעבר לו (תדר גבוה יותר או נמוך יותר, לפי סוג המסנן) עוצמת האות פוחתת באופן משמעותי.
בדרך כלל נהוג לומר שזו הנקודה בה הספק האות יורד בחצי, או עוצמתו יורדת ב-3dB (יורדת ב-29.3%).
כאשר ההתנגדות מבוטאת ביחידות אוהם והקיבול בפאראד, הנוסחה נותנת את קבוע הזמן בשניות ואת תדר הקיטעון בהרץ.
כאשר הוא זמן טעינת הקבל מ־20% עד 80%
כאשר הוא זמן טעינת הקבל מ־10% עד 90%
לצרכים מעשיים, נהוג להשתמש בכלל האצבע .
כלל אצבע זה קובע כי בטעינת הקבל, מתח הקבל מגיע ליותר מ-99% מערכו המרבי אחרי פרק זמן של 5RC ולכן, ניתן להעריך שהתהליך של טעינת הקבל הגיע בקירוב טוב לסיומו.
קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.
בגישה הנאיבית לתורת הקבוצות, קבוצה היא אוסף כלשהו של איברים (ללא חשיבות לסדר).
בתורת הקבוצות האקסיומטית מושג הקבוצה אינו מוגדר, ותכונותיו מתקבלות מרשימת האקסיומות.
נהוג להציג קבוצה באמצעות סוגריים מסולסלים, שבתוכם מפורטים כל איברי הקבוצה (למשל {כלב, חתול, צרצר}), או על ידי תיאור לשוני של כלל המגדיר את איברי הקבוצה (למשל {x :x אזרח סין}).
לעיתים מוצגת הקבוצה באמצעות רשימה של חלק מאיבריה שבסופם '...' (שלוש נקודות), מתוך הנחה שהקורא יסיק מהחלק הנתון את יתר איברי הקבוצה.
עצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.
בין האיברים לא חייב להיות קשר כלשהו מעבר לכך.
כאשר עצם כלשהו הוא איבר בקבוצה נאמר שהוא שייך לקבוצה, על כל עצם אחר נאמר שהוא לא שייך לקבוצה זו.
אפשר שגם עצם השייך לקבוצה הוא קבוצה בעצמו.
בתיאור נאיבי קבוצה היא אוסף של עצמים.
כל עצם בעולם, או שהוא שייך לקבוצה (ואז הוא נקרא איבר של הקבוצה) או שאינו שייך לה.
לא ניתן להיות איבר של קבוצה יותר מפעם אחת.
שתי קבוצות הן שוות כאשר יש להן בדיוק אותם האיברים.
כאשר רוצים לבסס את תורת הקבוצות באופן ריגורוזי נחוצה הגדרה קשוחה יותר שאינה מסתמכת על תאורים עמומים.
ההגדרה המקובלת ביותר לקבוצה היא באמצעות אקסיומות ZF הכתובות בשפה מסדר ראשון.
האקסיומות מגדירות יקום שלאיבריו אנו קוראים קבוצות ומוגדר עליהן יחס של שייכות.
ביקום יש רק קבוצות ולכן איבריה של קבוצה הם תמיד קבוצות בעצמם.
האקסיומות מטילות מספר מגבלות על מה ראוי להיקרא קבוצה (למשל קבוצה לא יכולה להיות שייכת לעצמה) כדי למנוע סתירות דוגמת הפרדוקס של ראסל.
כמעט כל עצם במתמטיקה ניתן להגדיר כקבוצה, ולכן ניתן לומר שהיקום שנוצר על ידי אקסיומות ZF הוא זירת המשחקים לכמעט כל המתמטיקה.
{כלב, חתול, צרצר}: זוהי קבוצה סופית בעלת שלושה איברים.
ש, ת}: בקבוצה זו 27 איברים, שהם כל אותיות האלף-בית העברי (כולל אותיות סופיות) ואולי רק 22 איברים – אותיות האלף-בית העברי ללא אותיות סופיות (זו, אם כן, הצגה עמומה במקצת).
{כלב, ג, ירושלים, אברהם}: זו קבוצה בת ארבעה איברים.
{8,6,4,2, ...}: זו קבוצה אינסופית, הכוללת את כל המספרים הזוגיים החיוביים.
{כל המספרים השלמים שמתחלקים בשלוש ללא שארית}: גם זו קבוצה אינסופית.
{x :x אזרח סין} (קריאה: קבוצת כל ה-x-ים שמקיימים: x הוא אזרח סין): זו קבוצה סופית, שהרי יש מספר סופי של אזרחים בסין גם אם מספרם גדול מאוד והם אינם ידועים לנו במלואם.
בדוגמה זו הכלל, לפיו נקבעים איברי הקבוצה, נכתב בנוסחה.
זו קבוצת כל הנקודות שמקיימות את המשוואה לגבי שבקטע (קבוצה אינסופית זו היא פרבולה).
{קבוצת כל הקבוצות המכילות רק את המספרים 1, 2, 3 (כולם או חלקם)}: זו קבוצה שאיבריה הם קבוצות.
משמעות הסימון Ø הוא "הקבוצה הריקה", קבוצה שלא מכילה אף איבר ומוכלת בכל הקבוצות האחרות, לכן מוכלת גם בקבוצת שלושת באיברים שלנו {1,2,3}.
גם {1} וגם {1,1,1} מסמנים את אותה קבוצה, שאברה היחיד הוא המספר 1; זאת משום שאי אפשר להשתייך לקבוצה יותר מפעם אחת.
{אדום, אדום, כחול, צהוב, כחול, כחול, אדום, כחול}
{X :X הוא צבע יסוד}
הקבוצה הריקה: זו קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן (שמקורו באות הנורווגית "Ø") או באמצעות סוגריים מסולסלים ריקים {}.
שייכות לקבוצה מסמנים בסימון .
כאשר איבר שייך לקבוצה , נסמן זאת בצורה .
אם אינו שייך נסמן זאת .
קבוצה A מכילה או שווה לקבוצה B (או קבוצה B חלקית ל-A, או B היא תת קבוצה של A) אם כל איבר של B שייך גם ל-A.
אם כל איבר של B שייך גם ל-A אך ב-A נמצאים איברים נוספים נאמר ש B חלקית ממש ל-A ונסמן זאת בצורה: .
כדי לסמן שקבוצה אינה חלקית לקבוצה אחרת (כלומר, היא מכילה איברים שאינם נמצאים בקבוצה השנייה) נכתוב .
שתי קבוצות A ו-B נקראות קבוצות זהות או שוות אם כל איברי A נמצאים ב-B וגם כל איברי B נמצאים ב-A.
דרך נוספת להראות שוויון בין קבוצות היא להראות שכל אחת מהן חלקית לשנייה.
גודל של קבוצה נקרא עוצמה.
העוצמה מוגדרת באמצעות מספר האיברים הייחודיים בקבוצה ומסומנת באמצעות הסימן |.
לדוגמה, עוצמתה של הקבוצה הסופית {אדום, צהוב, ירוק} היא 3 ומסומנת |{אדום, צהוב, ירוק}|=3. עוצמתה של הקבוצה הריקה היא 0 ומסומנת |∅|=0. עוצמתה של קבוצה אינסופית היא סוגיה מרכזית בתורת הקבוצות.
הפרדוקס של ראסל הבהיר שההגדרה האינטואיטיבית של קבוצה, איתה התחלנו ערך זה, מובילה לסתירה פנימית (אנטינומיה).
בעקבות זאת ניתן לתורת הקבוצות, שהיא ענף המתמטיקה העוסק בחקר הקבוצות, ביסוס אקסיומטי, לשם היחלצות מסתירה זו.
קבוצת החזקה של קבוצה A היא הקבוצה שאבריה הם תת-הקבוצות של A, ומסמנים אותה ב-.
החיתוך של אוסף של קבוצות הוא קבוצה שמורכבת מהאיברים ששייכים לכל הקבוצות הנחתכות.
החיתוך של שתי קבוצות A,B מסומן ב-.
האיחוד של אוסף של קבוצות הוא קבוצה שמורכבת מהאיברים ששייכים ללפחות אחת מבין הקבוצות המאוחדות.
האיחוד מסומן בדומה לחיתוך, פרט לזה שאת הסימנים מחליפים .
הפרש של שתי קבוצות A,B הוא קבוצת האיברים של A שאינם שייכים ל-B, ומסמנים אותו ב- או .
ההפרש מאפשר להגדיר גם את ההפרש הסימטרי.
בתורת הקבוצות, קבוצה בַּת מְנִיָּה היא קבוצה שקיימת פונקציה חד-חד-ערכית ממנה לקבוצת המספרים הטבעיים, או לחלופין, קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים הטבעיים אליה.
קבוצה בת־מנייה היא סופית, או קבוצה אינסופית שעוצמתה אָלֶף אֶפֶס ().
על קבוצה כזו נאמר שהיא נמצאת בהתאמה לקבוצת המספרים הטבעיים.
לכן, ניתן לסדר את איבריה בסדרה, ללא חזרות.
לדוגמה, קבוצת המספרים הרציונליים וקבוצת המספרים האלגבריים, הן בנות־מנייה.
לעומת זאת, קבוצת המספרים הממשיים היא קבוצה שאינה בת־מנייה.
כל קבוצה אינסופית שאפשר לסדר את איבריה בסדרה, ואפילו עם חזרות, היא בת־מנייה (לפי משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין).
עובדה זו נדרשת בהוכחה של טענות יסודיות כמו שאיחוד קבוצות בן מנייה, גם הוא בן מנייה.
להלן הוכחת גאורג קנטור שקבוצת הזוגות של מספרים טבעיים היא בת־מנייה:
נסדר את הזוגות באופן הבא; ראשית יבוא (1,1), אחריו (1,2) ו-(2,1), אחר-כך שלושת הזוגות שסכום הקואורדינטות שלהם , אחר-כך ארבעת הזוגות שסכום הקואורדינטות שלהם 5, וכן הלאה.
(הזוגות שסכומם מסודרים לפי הערך של , מהקטן לגדול).
הרשימה כוללת כל זוג של מספרים טבעיים, ולכן אוסף הזוגות בן מנייה.
להתאמה שבהוכחה קוראים פונקציית זיווג.
מן ההוכחה הזו נובע למשל שאוסף המספרים הרציונליים (החיוביים) הוא בן מנייה: יש פונקציה מן הזוגות של מספרים טבעיים המכסה את כל המספרים הרציונליים, .
בדרך זו מתקבל כל מספר רציונלי יותר מפעם אחת (ולמעשה אינסוף פעמים) - אם רוצים ליצור רשימה שבה כל רציונלי יופיע פעם אחת, אפשר לדלג על זוגות שאינם זרים; כפי שהוסבר לעיל, ההוכחה תקפה גם ללא השיפוץ הזה.
הטיעון של קנטור מראה שכל מכפלה קרטזית של קבוצות בנות־מנייה, גם היא בת־מנייה.
באינדוקציה נובע שאם קבוצה בת־מנייה, אז לכל טבעי הקבוצה גם היא בת־מנייה.
יתרה מזו, גם איחוד של מספר בן מנייה של קבוצות, שכל אחת מהן בת־מנייה, הוא בן מנייה.
בניסוח אחר, קבוצת כל הסדרות הסופיות של מספרים טבעיים היא בת־מנייה.
אלא שיש קבוצות גדולות יותר: משיטת האלכסון של קנטור יוצא שקבוצת כל הסדרות בנות המנייה של מספרים טבעיים (ואפילו של המספרים 0 ו-1) היא גדולה מכדי להיות בת־מנייה.
מכיוון שכך, גם קבוצת המספרים הממשיים אינה בת־מנייה.
בטופולוגיה, קבוצה דלילה היא קבוצה שהפנים של הסגור שלה ריק.
כלומר, אם קבוצה, היא תיקרא דלילה אם מתקיים .
דלילות פירושה, במובן מסוים, ההפך מצפיפות.
אם המרחב שלנו הוא הישר הממשי, והקבוצה שלנו היא קבוצת המספרים השלמים, זוהי קבוצה דלילה - הסגור של המספרים השלמים הוא המספרים השלמים, והפנים של קבוצה זו ריק (שכן כל כדור פתוח סביב כל אחד מהמספרים השלמים מכיל גם מספרים לא שלמים).
לעומת זאת, קבוצת המספרים הרציונליים אינה דלילה, וזאת למרות שהפנים שלה ריק (כי כל כדור פתוח סביב מספר רציונלי מכיל מספרים אי רציונליים) - זאת מכיוון שהסגור של קבוצת המספרים הרציונליים הוא כל המרחב, ולכן הפנים שלו הוא גם כן כל המרחב.
נשים לב, שאת קבוצת המספרים הרציונליים ניתן להציג כאיחוד בן מנייה של קבוצות דלילות (הזזות של קבוצת השלמים במספר רציונלי).
תכונה זו לא מתקיימת בישר הממשי כולו.
קבוצת המספרים הממשיים לא ניתנת להצגה כאיחוד בן מנייה של קבוצות דלילות.
תכונה זו מוכחת על ידי משפט הקטגוריה של בר.
איחוד סופי של קבוצות דלילות הוא קבוצה דלילה.
לעומת זאת, איחוד אינסופי של קבוצת דלילות אינו בהכרח קבוצה דלילה.
קבוצה שהיא איחוד בן מנייה של קבוצות דלילות נקראת קבוצה מקטגוריה ראשונה, וקבוצות אחרות נקראות קבוצות מקטגוריה שנייה.
משפט הקטגוריה של בר אומר כי במרחבים מסוימים, הפנים של קבוצה מהקטגוריה הראשונה הוא תמיד ריק.
קבוצה היא סוג ייחודי של התארגנות חברתית בעלת כמה תכונות אופייניות כמו: יחסי גומלין, מטרה משותפת וזהות קבוצתית.
מושג הקבוצה מוכר בפסיכולוגיה חברתית ובפסיכולוגיה קבוצתית וארגונית.
כאשר בוחנים קבוצות שונות ניתן לראות שיש ביניהן הבדלים רבים, ועם זאת יש להן גם מאפיינים משותפים המייחדים אותן כיישות חברתית.
קבוצה מתקיימת כאשר שני אנשים או יותר מגדירים עצמם כחברים בה, וקיומה מוכר על ידי לפחות אדם אחד אחר.
קבוצה היא אוסף של פרטים בעלי קשרים זה עם זה ההופכים אותם לתלויים זה בזה באורח משמעותי.
על מנת שאוסף פרטים ייחשב כקבוצה חייבת להיות ביניהם אינטראקציה; עליהם להיות מצויים במידה מסוימת של קשר זה עם זה; צריכה להיות ביניהם תלות הדדית באופן כזה שכל חבר בקבוצה משפיע על זולתו ומושפע ממנו.
קבוצה היא מספר אנשים המתקשרים זה עם זה לרוב לפרק זמן ממושך, ושמספרם נמוך מספיק כך שכל חבר בקבוצה יהיה מסוגל לתקשר עם כל האחרים פנים אל פנים.
קבוצה היא יחידה חברתית המורכבת ממספר פרטים בעלי סטטוס ויחסים תפקידיים מוגדרים פחות או יותר, המחזיקים מערך של ערכים ונורמות המווסתים את התנהגות החברים, לפחות בכל הנוגע לקבוצה.
ניתן לסכם הגדרות כדלקמן: "קבוצה היא מספר אנשים שאופי ההתייחסות ביניהם מבחין אותם מכל האחרים".
קבוצה יכולה להיווצר באופן ספונטני או מתוכנן, כאשר ייווצרו אצל שלושה אנשים או יותר מרחב תפיסתי משותף וייצוג פנימי הדדי, אליהם תילווה תלות הדדית, קשרים רגשיים ופעילות גומלין.
נכון יהיה להציג את מושג הקבוצה על פני רצף, כעוצמת "הקבוצתיות" תיקבע על פי אינטנסיבית הקשר והתלות הדדית בין חברי הקבוצה.
השתייכות של אדם לקבוצה אינה סובייקטיבית - האדם אינו מחליט בעצמו האם הוא שייך לקבוצה או לא, מכיוון שחברי הקבוצה עשויים שלא לקבל את האדם אליה, למשל.
ההשתייכות לקבוצה גם אינה אובייקטיבית - היא אינה בלתי תלויה בדעותיהם של אנשים.
ההשתייכות לקבוצה היא אינטרסובייקטיבית - היא תלויה בשילוב החלטות סובייקטיביות של מספר אנשים.
קבוצות חברתיות עשויות להתבסס על אינטרס משותף, ערכים דומים ואף קרבה משפחתית, אך עצם קיומו של מאפיין כזה אינו מספיק - על המאפיין להיתפס כמאפיין מהותי לזהותו של החבר בקבוצה, וככזה שמבדיל אותו מאחרים, חסרי מאפיין זה.
כך, בארצות הברית של ימינו, היותו של אדם בעל שיער ג'ינג'י אינו גורם לשיוכו לקבוצה חברתית כלשהי, אך צבע עור כהה במיוחד יגרום לשיוכו לקבוצת האפרו-אמריקאים, שיוך בעל משמעויות חברתיות עמוקות עבור האדם וצורת חייו.
קבוצת השתייכות וקבוצת התייחסות מיוחדת
ניתן לסווג קבוצות לקבוצת השתייכות והתייחסות.
קבוצת השתייכות היא קבוצה שהפרט משתייך אליה.
כל אדם חבר במהלך חייו במספר רב של קבוצות.
כל קבוצה שאליה הוא משתייך דורשת מידה מסוימת של קונפורמיות, והתנהגות שתהיה תואמת לערכים ולנורמות של הקבוצה.
למשל, ילד המשתייך לקבוצת התלמידים - בכיתה יש ציפייה חברתית ממנו לשבת בצורה מסוימת, לדבר כשניתנת הרשות לכך וכו'; אותו ילד שחבר בקבוצת כדורגל מצופה להתנהגות מסוימת מבחינת התלבושת, האימונים, הציות למאמן וכו'.
קבוצת השתייכות מתחלקת לשלושה סוגים: קבוצת השתייכות מלידה - קבוצות לתוכן האדם נולד (למשל משפחה, מוצא); קבוצת השתייכות מבחירה - למשל חברים, חוג מקצועי; וקבוצת השתייכות שלא מבחירה - למשל השתייכות למסגרת חינוכית בשל חוק חינוך חובה, השתייכות למסגרת צבאית בשל חובת הגיוס לצה"ל, ועוד.
קבוצת התייחסות היא קבוצה שהפרט לא חבר בה אבל היא משפיעה על התנהגותו.
למשל, קבוצת התייחסות נורמטיבית - הפרט לא חבר בה אבל הוא מאמץ את הנורמות והערכים שלה, אפילו במחיר עזיבת קבוצת ההשתייכות שלו (לדוגמה מהגרים שמגיעים למדינה אחרת ומעוניינים להשתלב בחברה החדשה ולאמץ את הנורמות שלה).
קבוצה היא צורת התיישבות שיתופית שנוסדה בעלייה השנייה והתפתחה בעלייה השלישית, עקרונותיה מבוססים על קיום קבוצה שיתופית, קומונלית, קטנה ואינטימית.
מתיישבי הקבוצה חיו בשיתוף מלא (קופה משותפת להוצאות והכנסות, ללא רכוש פרטי) וללא שליטה חיצונית (מחסן א').
לקבוצה קדמו קומונות: ניסיונות של אנשי ביל"ו לחיי שיתוף, קומונות לשם השגת עבודה במשותף ("קומונת הסתתים"), לצריכה משותפת ("קומונת רומני"), הקולקטיב בסג'רה (1907).
הרעיון להקמת "קבוצה" במתכונת דגניה הועלה ב-1909 בחוות כנרת שנוסדה על ידי המשרד הארצישראלי בהנהלת ד"ר ארתור רופין.
העולים שהגיעו בעלייה השנייה נתקלו במציאות כלכלית וחברתית קשה.
המשק היה עדיין בשלבי משבר כלכלי (משבר הכרמים) ממנו לא התאושש והיה מחסור בעבודה, המנהלים שמונו מטעם הברון לא אהדו את הפועלים והיה פער תרבותי בינם לבין יוצאי מזרח אירופה ובנוסף, הייתה אצל העולים התנגדות עקרונית להיות איכרים, מעמד שנתפש אצלם כבעלי בתים או בורגנים וסתר את השקפת עולמם.
הקבוצה השיתופית פתרה בעיות אלו.
הקמת הקבוצה באה כמענה למספר בעיות יסוד בהתיישבות בא"י.
בעקרונותיה של הקבוצה באו לידי ביטוי מסקנות שנבעו מכישלונם של אנשי ביל"ו ליצור קומונה או יישוב שיתופי בגדרה.
הקבוצה הוקמה כחלק מהניסיון לכיבוש העבודה במטרה להתמודד עם העבודה הערבית הזולה והיעילה יותר, כיבוש העבודה נתקל בקשיים כאשר פועלים יהודים ניסו להתפרנס לבד משכר העבודה שהיה מקובל באותה עת והמחשבה הייתה שלקבוצה קל יותר להסתדר עם 20 לירות מאשר ל-20 יחידים להסתדר עם לירה כל אחד.
הקבוצה נתפסה כתחליף למשפחה שנשארה מאחור.
לקבוצה של פרטים התומכים אחד בשני קל יותר להתמודד עם תנאי סביבה קשים, עם עבודה קשה, עם מצוקות נפשיות הנגרמות מבדידות וניתוק מהמשפחה הגרעינית שנשארה בגולה ועם קשיים הנובעים מתרבות שונה מהתרבות ממנה הגיעו החלוצים.
רצון להוכיח כי החלוצים, דהיינו הפועלים העבריים, מסוגלים להקים משק תוך קיום חיי שיתוף ושוויון, ניסיון שלא עלה יפה אצל אנשי הקולקטיב בסג'רה.
מטרה שהשתלבה ברצון למנוע ניצול מכל סוג שהוא.
הקבוצה נתפסה כאמצעי עזר יעיל לקליטת חלוצים - עולים חדשים ולהקלת ייסורי ההגירה וההשתלבות בארץ חדשה.
בנוסף היו שראו בקבוצה ובאנשיה אמצעי יעיל להגשמת מטרות ויעדים לאומיים תוך הבניית אידאולוגיה מוסרית-לאומית וחברתית שונה, אידאולוגיה הנשענת על כוחו של היחיד ואחריות עצמית שהוא נוטל על עצמו בתמיכת הקולקטיב כולו תוך מימוש בדרך של עבודת האדמה.
הקבוצה הראשונה שנוסדה בשנת 1910 ושלימים נקראה "אם הקבוצות" (ומאוחר יותר גם "אם הקבוצות והקיבוצים") הייתה דגניה א', שהוקמה באדמות אום ג'וני (שטח ממזרח לירדן שנרכש בשנת 1900 על ידי הקק"ל) ובשנת 1912 עברה למקום הקבע שלה במוצא הירדן מן הכנרת.
ב-1911 נוסדה הקואופרציה במרחביה, ב-1913 קבוצת כנרת, ב-1915 איילת השחר בתמיכת קפא"י.
כולן היו קבוצות על פי אורח חייהן והאידאולוגיה שלהן ולא היו משויכת למפלגה פוליטית.
אחרי מלחמת העולם הראשונה הוקמו קריית ענבים, דגניה ב' (1920) וקבוצות אחרות ובהן גני הדר (1927) קבוצת שילר (1927) וחולדה (1930) שנוסדו או נעזרו על ידי תנועת גורדוניה.
פרט לקבוצות שהצליחו לממש התיישבות חקלאית היו קבוצות נוספות (פלוגות), הן במושבים (בהם עברו הכשרה לחקלאות) והן בערים, פלוגות/קבוצות אלו המתינו להקצאת אדמות להתיישבות והיו מחויבות לרעיון הקבוצה.
היו קבוצות כיבוש עבודה בעבודות ציבוריות (בעיקר סלילת כבישים) ובבניין.
רוב הקבוצות הללו שאפו להגיע להתיישבות חקלאית אולם חלק מהקבוצות התפרקו ולא זכו להגשים את ההתיישבות.
היו קבוצות הכשרה, שנועדו להכשיר את חבריהן בעבודה החקלאית ובחיי שיתוף על מנת להתיישב בעתיד במשבצת קרקע.
חלק מקבוצות אלו התמזגו עם היישוב המארח.
בנוסף לקבוצות הקטנות היו פלוגות העבודה שהשתייכו לגדוד העבודה ובהתנהלות היום-יום היו דומות לקבוצה.
בעקבות רעיון הקבוצה הקטנה בא בשנות ה-20 רעיון הקבוצה הגדולה - הקיבוץ.
בשנת 1921 הוקם על ידי אנשי גדוד העבודה הקיבוץ הראשון - עין חרוד.
כבר ב-1927 הקיבוצים שדגלו בקיבוץ גדול ופתוח פרשו מחבר הקבוצות והקיבוצים והקימו את "הקיבוץ המאוחד", כתוצאה מכך, ב-1930 בכנס בגניגר החליף הארגון את שמו ל"חבר הקבוצות" ואחת החלטות הייתה להתמקד בחקלאות ולהפסיק לקיים פלוגות עבודה בערים.
המסגרות הקיבוציות הקיבוץ המאוחד, הקיבוץ הארצי ויתר התנועות הקיבוציות התפתחו בקצב מהיר יחסית ואילו חלקן של הקבוצות ירד בהדרגה.
כמו כן, נמחקו, בהדרגה, כל ההבדלים בין הקבוצה לקיבוץ והקבוצה הפכה קיבוץ לכל דבר.
גם מן הבחינה הארגונית נמחקו ההבדלים כאשר בשנת 1952 התמזג "חבר הקבוצות" (שהרוב הגדול של חבריו הזדהה עם מפא"י) עם "איחוד הקיבוצים" - הפלג שהזדהה עם מפא"י ופרש מן הקיבוץ המאוחד וביחד הקימו את איחוד הקבוצות והקיבוצים.
קיימים גם קיבוצים וקבוצות (אם כי מיעוט) במסגרות אחרות, מלבד ההסתדרותיות, למשל קבוצת יבנה ("אם הקבוצות הדתיות"), קיבוץ טירת צבי ואחרים במסגרת הקיבוץ הדתי, קיבוץ חפץ חיים של פועלי אגודת ישראל ועוד.
תת-קבוצה של מרחב מטרי היא קבוצה חסומה אם היא מוכלת בכדור.
כלומר, כל הנקודות שלה נמצאות במרחק קטן מקבוע ממשי מנקודה קבועה.
תנאי שקול לזה - הקבוצה חסומה אם המרחק בין כל שתי נקודות שלה אינו עולה על קבוע מסוים.
מרחב מטרי חסום נקרא מרחב חסום.
אפשר לחשוב על קבוצה חסומה כקבוצה 'קטנה'.
מדדים עדינים יותר לגודל הם קומפקטיות והדרישה שקבוצה תהיה חסומה כליל.
כל קבוצה קומפקטית היא חסומה כליל, וכל קבוצה חסומה כליל היא חסומה.
למשל בישר הממשי קבוצה חסומה היא קבוצה המוכלת בקטע סופי.
במילים אחרות, זו קבוצה שיש מספר שגדול מכל איבריה ומספר שקטן מכל איבריה.
בהינתן מרחב מטרי עם מטריקה וקבוצה , הקבוצה תקרא קבוצה חסומה אם היא מקיימת את אחד התנאים השקולים הבאים:
כלומר, הקוטר של הוא סופי.
קיים ו- כך שלכל מתקיים ש-.
כלומר, הקבוצה מוכלת בכדור שמרכזו בנקודה כלשהי של
לכל קיים כך שלכל מתקיים ש-.
כלומר, מכל נקודה ב- ניתן לבנות כדור שמכיל את כל .
כלומר, הקבוצה מוכלת בכדור שמרכזו בנקודה כלשהי של (לאו דווקא מ-)
כלומר, מכל נקודה ב- (לאו דווקא מ-) ניתן לבנות כדור שמכיל את כל .
הקבוצה הריקה היא קבוצה חסומה באופן ריק.
לכל , היחידון הוא קבוצה חסומה.
כל קבוצה המוכלת בקבוצה חסומה, היא קבוצה חסומה.
כל איחוד סופי של קבוצות חסומות, הוא קבוצה חסומה.
כל קבוצה סופית היא חסומה.
משפט היינה-בורל: במרחב אוקלידי , כל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית.
משפט בולצאנו-ויירשטראס: במרחב מטרי שלם, לכל קבוצה חסומה ואינסופית יש נקודת הצטברות.
ניתן להכליל את ההגדרה של קבוצה חסומה לכל מרחב וקטורי טופולוגי:
בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי מעל השדה (כאשר הוא שדה הממשיים או שדה המרוכבים) עם הטופולוגיה , קבוצה תקרא קבוצה חסומה אם לכל סביבה פתוחה של הראשית קיים כך ש-.
אם המרחב מטריזבלי, כלומר ניתן לבנות את הטופולוגיה שלו באמצעות כדורים פתוחים על-פי מטריקה כלשהי, אז הגדרה זו מתלכדת עם הגדרת הקבוצה החסומה במרחב המטרי.
קבועה הוא שבט בדואי בנגב, שמקום מושבו הוכר על ידי מדינת ישראל כיישוב ושמו קבועה, אך עדיין ללא מעמד מוניציפלי.
בתורת הגרפים, קבוצה בלתי תלויה (IS - Independent set) היא קבוצת קודקודים בגרף, אשר אין זוג מביניהם המחוברים ישירות דרך קשת אחת.
בצביעה חוקית של קודקודים בגרף (כמו זו שבה עוסק משפט ארבעת הצבעים), כל מחלקת צבע היא קבוצה בלתי תלויה.
גודל הקבוצה הבלתי תלויה המקסימלית בגרף מסומן לרוב ב-.
השאלה "בהינתן גרף ומספר , האם קיימת בגרף קבוצה בלתי תלויה בגודל " היא בעיה NP-שלמה והיא אחת מ-21 הבעיות הראשונות לגביהן הוכיח ריצ'רד קארפ כי הן NP-שלמות
ההוכחה הייתה בעזרת רדוקציה חישובית מבעיית SAT.
חיפוש של קבוצה בלתי תלויה שקול לחיפוש של קליקה (תת גרף מלא) בגרף המשלים (שקבוצת הקשתות שלו משלימה את קבוצת הקשתות של הגרף הנתון).
בעיה נוספת לה קשר הדוק היא בעיית הכיסוי קודקודים (קבוצת קודקודים "הנוגעת" בכל הקשתות): עבור קבוצה בלתי תלויה, ההפרש הוא כיסוי בקודקודים.
לאחר שהתברר שחישוב הגודל המדויק של קבוצה בלתי-תלויה מקסימלית בגרף הוא בעיה קשה, החלו ניסיונות למצוא קירוב לגודל זה.
ידוע שלא רק החישוב המדויק, אלא גם קירוב של הגודל עד כדי טעות של בגרף עם קודקודים, היא עדיין בעיה NP-שלמה
האלגוריתם הטוב ביותר הידוע מוצא קירוב שהשגיאה בו היא עד סדר גודל של
באשר לאלגוריתמים מדויקים, זמן הריצה של האלגוריתמים המהירים ביותר הידועים הוא בסביבות
האלגוריתמים המהירים ביותר הידועים המוצאים עבור k נתון אם קיימת קבוצה בלתי תלויה בגודל k מבוססים על כפל מטריצות מהיר, וזמן הריצה שלהם הוא מסדר כש- הוא המעריך של זמן הריצה של כפל מטריצות - דהיינו לכפול מטריצות ניתן לביצוע בזמן מסדר (הערך הידוע של הוא בסביבות 2.376).
אחת ממחלקות הגרפים הגדולות שעבורן ידועים אלגוריתמים פולינומיים למציאת הקבוצה הבלתי תלויה הגדולה ביותר היא גרפים מושלמים.
כך, למשל, מחלקה זו כוללת את הגרפים הדו צדדיים, עבורם ניתן למצוא את הקבוצה הבלתי תלויה הגדולה ביותר באמצעות אלגוריתם למציאת השידוך הגדול ביותר.
לעומת זאת, בגרפים מישוריים הבעיה היא עדיין NP-קשה.
קבועי לאמה (Lamé) הם קבועים המחושבים מתכונות החומר והמשמשים בהצגת הקשרים בין מאמצים לבין מעוותים של חומרים אלסטיים ליניאריים.
הקבועים המשמשים בתורת האלסטיות נקראים על שמו של המתמטיקאי גבריאל לאמה, Gabriel Lamé שחי בצרפת מיולי 1795 עד מאי 1870, השימוש בקבועי לאמה היא דרך נוספת להצגת התכונות האלסטיות של החומר ושל חוק הוק.
השימוש בדרכים השונות להצגת התכונות האלסטיות של החומר קשור להתפתחות ההיסטורית של תורת החוזק ושל תורת האלסטיות.
הקבוע השני של לאמה מוכר גם כמודול הגזירה.
הקבוע הראשון של לאמה והקבוע השני של לאמה, בדומה למודול האלסטיות, הם גדלים בעלי ממדים של מאמץ, כלומר, כח ליחידת שטח, למשל ג'יגה פסקל, ניוטון למטר מרובע או ליברה לאינץ' מרובע.
הקשר בין מאמץ לבין מעוות
את הקשר בין מאמצים לבין מעוותים בחומרים אלסטיים ליניאריים מציגים בדרך כלל באמצעות חוק הוק, ישירות באמצעות מודול האלסטיות ובאמצעות מקדם פואסון.
קבועי לאמה משמשים בהצגת קשרים בין מאמצים לבין מעוותים בחומרים אלסטיים ליניאריים בדרך נוספת.
נסמן את סכום המעוותים היחסיים הראשיים:
ואת סכום המאמצים בכוונים הראשיים:
מתקיים הקשר בין ההתפשטות הנפחית לבין סכום המאמצים הראשיים:
הביטוי הזה מציג את הקשר בין יחידת ההתפשטות הנפחית e לבין הלחץ ההדרוסטטי הפועל על הקובייה.
הוא ביטוי הנקרא מודול ההתפשטות הנפחית ובאנגלית Bulk Modulus.
חוק הוק התלת־ממדי מציג את המעוות כתלות בשלושת המאמצים הראשיים וכתלות בתכונות החומר - מודול האלסטיות ומקדם פואסון:
פותרים את המשוואות עבור המאמצים הראשיים בתנאי של לחץ הדרוסטטי אחיד ששעורו p-
לכל אחד מהכוונים i = x,y,z מקבלים ביטוי הקושר בין המאמץ לבין המעוות:
את הקשר בין המאמצים לבין המעוותים בתנאי של לחץ הידרוסטטי אחיד אפשר להציג בצורה פשוטה תוך שימוש בקבועי לאמה:
- מאמץ (ניצב לשטח החתך) בכיוון
הקשר בין מאמץ הגזירה למעוות הגזירה
- הוא הקבוע השני של לאמה המשמש כאן כמודול הגזירה בדומה למודול האלסטיות במאמץ מתיחה לפי חוק הוק.
מהירות הגל האורכית במוט נתונה על ידי הביטוי:
- היא מהירות התפשטות הגל האורכית במוט
- הוא הקבוע הראשון של לאמה
- הוא הקבוע השני של לאמה
- היא צפיפות המסה של חומר המוט (מסה ליחידת נפח)
המאמצים בשלושת הכוונים הראשיים מושפעים בצורה אחידה על ידי ביטוי שינוי הנפח ובצורה ייחודית על ידי ביטוי המעוות בכיוון המאמץ וקשיחות הגוף .
כל שינוי בנפח הגוף מביא בהכרח למאמצים בשלושת הכוונים הראשיים.
המאמצים ומאמצי הגזירה מושפעים על ידי ביטויים זהים המתייחסים למודולי הקשיחות ולמעוותים המתאימים.
המאמצים ומאמצי הגזירה מתייחסים למעוות אבל המאמצים מתייחסים גם לשינוי הנפח.
המאמצים גורמים לשינוי בנפח ומאמצי הגזירה גורמים לשינוי הצורה.
קבוצה היא מספר חניכים הנפגשים למטרה מסוימת או מתוך עניין משותף.
הקבוצה שייכת בדרך כלל למסגרות ארגוניות כמו תנועה או ארגון והיא התא הבסיסי ביותר במבנה החברתי או הארגוני.
לכל קבוצה יש מבנה מסוים, ולרוב מנחה אותה מדריך או צוות מדריכים.
בין חברי הקבוצה והמדריך מתקיימים יחסי גומלין, והתפקידים והאחריות מחולקים ביניהם.
כל אלו משרתים מטרות מסוימות ומנוהלים על פי נורמות ודרכי תקשורת מוגדרים.
לדוגמה, בארגוני נוער ובתנועות נוער הקבוצות מוגדרות כתאים הבסיסיים במבנה הארגוני.
בכל קבוצה מספר חניכים, לרוב מאותה שכבת גיל ומדריך המבוגר מהם.
מסגרת יחסי הגומלין מוגדרת היטב בתדירות המפגשים ועיתויים, וכן בתוכן המפגשים ומאפייניהם.
את הפעולה מכין המדריך: בחירת נושא המפגש, האופן בו הוא יתקיים והמתודות בהן ישתמש.
מסגרת הפעולות ומכלול יחסי הגומלין עונות על מטרות משותפות.
המטרות מוגדרות על ידי הקבוצה בהנחיית המדריך, ולרוב גם על ידי הארגון או התנועה בו הם פועלים.
לרוב, ניתן יהיה לאפיין את הקבוצה גם בשם, בצורת לבוש, בדרכים ליצירת קשר, בדמי חבר או בסוג תשלום אחר, ולעיתים גם בסמלים, בהמנון ובטקסים.
בקבוצה מתרחשים תהליכים בעלי משמעויות אינטרסובייקטיביות.
הקבוצה מעניקה את המשמעויות הללו לתהליכים ולסמלים המייחדים אותה.
הקבוצה מספקת לחניך צרכים בסיסיים של שיוך חברתי ופעילות פנאי, העשרה, תמיכה, קבלה והגשמה.
החברות בקבוצה משפיעה על חשיבותו של הפרט בעיני עצמו, על התנהגותו, ועל תפיסת העולם שלו.
בקבוצה פועלים כוחות של לחץ חברתי, רמות של קונפורמיות, רמות לכידות עליהם משפיעים גם התנהלות המדריך ומנגנוני הפיקוח של הקבוצה והמסגרת.
כל אלה משפיעים על החניך ועל התנהגותו.
הקבוצה והמדריך יכולים להפעיל סנקציות כדי ליצור קונפורמיות.
הקבוצה תגיב לחבר שסוטה מהנורמות של הקבוצה.
תגובת הקבוצה או המדריך תשתנה על פי המידה שבה פוגעת הסטייה בהשגת מטרות הקבוצה, מיקום החבר בקבוצה ומידת הלכידות בקבוצה.
קבוצות מסוימות מציגות תנאים לקבלת חבר לקבוצה.
בתנועות נוער התנאים הם שכבת גיל, מיקום מגורים או שיוך לבית ספר.
בשכבות בוגרות יותר ובארגוני נוער נבחנים החברים בהזדהות עם מטרות הקבוצה וכן בעשייה המיועדת להגשמתן.
לעיתים גם קיימים נהלים מוסדרים להדחת חבר מהקבוצה אם לא עמד בדרישות מסוימות.
הקבוצות מוגדרות על ידי המבנה שלהן, תהליך קבלת ההחלטות ומאופיינות בבגרותן ובמסגרת בה פועלת הקבוצה.
ההחלטות מתקבלות על ידי המדריך כאשר בידיו היכולות לשתף את הקבוצה או חלקים ממנה בקבלת ההחלטות.
לרוב השיתוף נובע ממטרה חינוכית או מרצון להשפיע על דעתם ותפיסתם.
הקבוצה פועלת על פי חוזה קבוצתי שנאמר או נכתב ובו הסכמות קבוצתיות והגדרות נוספות של המדריך והמסגרת.
ההחלטות מתקבלות על ידי כל חברי הקבוצה לרוב בתוך מסגרת של חוקים דמוקרטיים.
אופן קבלת ההחלטות מעוגן בחוזה קבוצתי.
קבוצה עם מדריך או ועד מתוכה
הקבוצה ממנה חניך אחראי או קבוצת חניכים לתקופה זמנית.
החניך הנבחר מקבל אחריות כמו של מדריך.
הוא אחראי על הקבוצה, על קיום הפעילות והשגת המטרות הקבוצתיות.
לעיתים קיים מנגנון פיקוח על המדריך הזמני וקיימים נהלים ברורים להדחתו ולקיום בחירות עם סיום תקופת כהונתו.
דוגמאות לקבוצות כאלו ניתן לראות בחוגי הורים ובארגונים המבוססים על עקרון "מנהיגות עצמית" המאגדים בהם מספר קבוצות.
בקבוצה פועלים מספר תתי קבוצות בעלי אחריות מוגדרת המאפשרת להם לקבל החלטות המחייבות את כל חברי הקבוצה.
חברי הוועדה נכללים בוועדה מתוך החלטה של חברי הקבוצה, של המדריך, של הוועד או מתוך רצונם הבלתי תלוי.
לרוב קיימת גם תת-קבוצה האחראית על תפקוד הוועדות והמסגרת הרחבה של הקבוצה.
הקבוצה היא חלק ממסגרת חברתית כללית.
לכל פרט קבוצות השתייכות וקבוצות התייחסות מגוונות המשפיעות על התנהגותו.
רוב הקבוצות מאוגדות בתוך מסגרת רחבה יותר של פעילות המגדירה רבים ממאפייני הקבוצה.
בתנועות ובארגוני הנוער בארץ הקבוצות השונות מאורגנות בסניפים, בקנים, במעוזים או בשבטים, הם מאורגנים בתוך מחוזות או אזורים המאורגנים במסגרת התנועה או הארגון.
לכל רמת ארגון מאפייני עבודה, בעלי תפקידים הפועלים בה, פעילות ניהולית ואירועים קבועים לאורך השנה.
בקבוצה קיימת הזדהות עם מטרות המסגרת והיא פועלת על פי חוקי המסגרת.
חברי הקבוצה חשים הזדהות עם הקבוצה, עם המסגרת ועם חניכים נוספים בקבוצות אחרות, אך באותה מסגרת.
עם זאת, קיימת לרוב תחרות בין קבוצות בתוך כל רמות המסגרת.
היחסים בין קבוצות נעים בין קטבים של שיתוף פעולה ושל תחרות ואיבה.
שיתוף יכול להיווצר במאפייני סטטוס דומים, במהלך פעילות גומלין בין הקבוצות המאפשרים אינטימיות וגיבוש מטרות ואינטרסים משותפים.
יריבות ממותנת בין קבוצות יכולה להועיל לגיבוש בתוך הקבוצה.
קבוצה אינסופית היא קבוצה שמספר איבריה אינו סופי, כלומר קבוצה שאינה קבוצה סופית.
קבוצות אינסופיות הן נושא מרכזי בתורת הקבוצות ובענפים נוספים של המתמטיקה.
בתורת הקבוצות האקסיומטית נקבע קיומה של קבוצה אינסופית באקסיומת הקבוצה האינסופית (או אקסיומת האינסוף).
קבוצת כל הנקודות בקטע כלשהו.
תכונה המבדילה קבוצה אינסופית מקבוצה סופית היא שקבוצה אינסופית יכולה להיות שקולה לתת קבוצה שלה השונה ממנה.
לדוגמה, קבוצת כל המספרים הטבעיים שקולה לקבוצת כל המספרים הזוגיים , על-פי ההתאמה שמתאימה לכל מספר טבעי את המספר הזוגי .
תכונה זו של המספרים הטבעיים הוצגה על ידי גלילאו גליליי, ברעיון שזכה לשם הפרדוקס של גלילאו.
תכונה זו היא ההגדרה הפורמלית של קבוצה אינסופית בתורת הקבוצות הנאיבית, והיא הוצגה לראשונה על ידי ריכרד דדקינד: קבוצה אינסופית היא קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.
בניסוח אחר: קבוצה היא אינסופית אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית מ- ל- שאינה על .
כאשר מתקיימת שקילות בין שתי קבוצות אינסופיות פירוש הדבר שיש להן אותה עוצמה.
הראינו שלקבוצת המספרים הטבעיים ולקבוצת המספרים הזוגיים יש אותה עוצמה.
קבוצת המספרים הטבעיים היא קבוצה בת מנייה, וכך גם כל קבוצה השקולה לה (כגון קבוצת המספרים הזוגיים).
האלכסון של קנטור הוא הוכחתו של גאורג קנטור שהמספרים הממשיים אינם בני מנייה כלומר, לא קיימת התאמה חד-חד ערכית בינם לבין המספרים הטבעיים.
תכונותיהן של קבוצות אינסופיות עשויות להיראות מפתיעות למדי למי שמורגל לעסוק רק בקבוצות סופיות (שהן הקבוצות שאנו פוגשים בחיי היומיום).
המחשה פופולרית של אחדות מתכונות אלה ניתנה על ידי המתמטיקאי הנודע דויד הילברט בסיפור שזכה לשם המלון של הילברט.
כאשר נתונה קבוצה אינסופית של קבוצות (כלומר קבוצה אינסופית שאיבריה הם קבוצות), האיחוד של קבוצות אלה הוא קבוצה אינסופית.
קבוצת החזקה של קבוצה אינסופית היא קבוצה אינסופית שעוצמתה גבוהה יותר (לפי משפט קנטור).
כל קבוצה שיש לה תת-קבוצה אינסופית היא קבוצה אינסופית.
כאשר קבוצה אינסופית מחולקת למספר סופי של תת-קבוצות, לפחות אחת מהן היא קבוצה אינסופית.
המכפלה הקרטזית של קבוצה אינסופית וקבוצה שאינה ריקה היא קבוצה אינסופית.
כאשר קבוצה אינסופית מסודרת בסדר טוב, יש לה תת-קבוצה לא ריקה שאין בה איבר גדול ביותר.
ייצוג קבועים טריגונומטריים מדויקים על ידי ביטויים מתמטיים שימושי להמרת ביטויים טריגונומטריים לביטויים רדיקלים (ביטויים מהצורה ).
ערכי סינוס, קוסינוס וטנגנס של כפולות 3° ניתנים לפיתוח על ידי זהויות טריגונומטריות מתוך הערכים הידועים של 0°, 30° ו-45°.
הרשימה כאן אינה שלמה, כיוון שניתן להמשיך ולחלק כל זווית נתונה לזוויות קטנות ממנה.
ערכים נוספים מחוץ לטווח הרשימה ניתן לחשב בקלות על ידי זהויות טריגונומטריות.
מתומן, מצולע בעל שמונה צלעות - 22.5°
משושה, מצולע בעל שש צלעות - 30°
מחומש, מצולע בעל חמש צלעות - 36°
ריבוע, מצולע בעל ארבע צלעות - 45°
משולש, מצולע בעל שלוש צלעות - 60°
בתורת הקבוצות, קבוצה היא טרנזיטיבית אם היא מכילה עם כל איבר את כל האיברים שלו.
סגור טרנזיטיבי של קבוצה הוא הקבוצה הטרנזיטיבית הקטנה ביותר (לפי סדר הכלה) המכילה את .
בהינתן קבוצה , הסגור הטרנזיטיבי של הוא האיחוד של כל האיברים ב־, וחוזר חלילה: .
מכאן נובע שכל קבוצה מוכלת בקבוצה טרנזיטיבית.
קבוצה היא טרנזיטיבית אם ורק אם .
קבוצה אשר כל איבריה הם קבוצות בפני עצמם היא טרנזיטיבית אם ורק אם .
קבוצה היא סוג של מבנה נתונים מופשט שכל ערך מופיע בו לכל היותר פעם אחת, ואין חשיבות לסדר בין הערכים.
אפשר להגדיר קבוצה כמקרה פרטי של מבני נתונים אחרים: רשימה בה מתעלמים מהסדר ולא מאפשרים הוספה של ערכים קיימים, או מילון שהמפתחות שלו הם הפריטים עצמם, והערכים בו הם קבוע כלשהו.
קבוצה תיקרא סטטית, אם לא ניתן להוסיף אליה או להוריד ממנה ערכים לאחר יצירתה, או דינמית אם לפחות אחת מפעולות אלה מותרת.
קבוצה סטטית מאפשרת לבדוק האם פריט מסוים נמצא בה, האם היא ריקה, מה מספר האיברים בה וכדומה.
מימוש של קבוצה דינמית יאפשר, בנוסף לאלה, ליצור קבוצה חדשה בעלת תכולה מוגדרת, להוסיף פריט, להסיר פריט, לבצע פעולות איחוד וחיתוך בין קבוצות ועוד.
ניתן לממש קבוצה בדרכים רבות, ובין המימושים ישנם הבדלים בסיבוכיות של פעולות ובפשטות המימוש.
בין המימושים הנפוצים של קבוצה:
מערך הוא המימוש הפשוט ביותר.
טבלאות גיבוב המאפשרות סיבוכיות במקרה הממוצע אבל במקרה הגרוע, ברוב ההקשרים.
עצים המאפשרים סיבוכיות למציאת פריט.
מימוש קבוצה בעזרת עץ דורש הגדרה של סדר כלשהו בין איברי הקבוצה, אך סדר זה מוגדר במטרה לשפר יעילות ולא משנה את הגדרת הטיפוס.
כמו כן, מימושים רבים של קבוצה כעץ אינם מאפשרים שינוי של פריט בקבוצה על מנת לא לפגוע בסדר שהוגדר בעץ, וכדי לשנות פריט יש להוציא אותו מהקבוצה, לשנות אותו ואז להחזיר.
קבוצה המאפשרת קיום של מספר פריטים בעלי אותו ערך נקראת מולטי קבוצה.
במתמטיקה, קבועי פייגנבאום הם שני קבועים מתמטיים המבטאים יחסים במפות ביפורקציות של מפות לא ליניאריות.
הם קרויים על שמו של המתמטיקאי האמריקאי מיטשל פייגנבאום.
הקבוע הראשון מתאר את הגבול של יחסי המרחקים בין הכפלות של זמני מחזור.
כלומר, אם an הוא הערך בו מתרחשת הכפלת זמן המחזור ה-nית אז הגבול הבא מוגדר ושווה לקבוע פייגנבאום הראשון:
הקבוע השני מתאר את הגבול של היחס בין גודל הפיצול ה-n לגודל הפיצול ה-n+1:
קבוצה אחת בטאלין הוא השם שניתן למשחק המתוכנן שבין אסטוניה לבין סקוטלנד.
המשחק הסתיים כעבור שלוש שניות משריקת הפתיחה, לאחר שהנבחרת האסטונית לא התייצבה למשחק, כתוצאה ממחלוקת על שעת המשחק והשלכותיה.
סקוטלנד הניחה כי תקבל ניצחון טכני, אך פיפ"א הקשתה על ההליכים ובסופו של דבר נקבע משחק חוזר במונקו שהסתיים בתיקו מאופס.
במסגרת משחקי מוקדמות מונדיאל 1998 שובצו אסטוניה וסקוטלנד בבית ד' עם ארבע נבחרות נוספות: אוסטריה, בלארוס, לטביה ושוודיה.
אסטוניה פתחה את הקמפיין עם הפסד בתוצאה 1 - 0 לבלארוס בעוד שסקוטלנד סיימה בתיקו מאופס נגד אוסטריה.
במחזור הבא ניצחו שתי הנבחרות, והן הגיעו למשחק ביניהן כאשר נקודה אחת הפרידה ביניהן.
סקוטלנד התאמנה באצטדיון קדריורג בלילה שלפני המשחק עם התאורה הזמנית באצטדיון שהייתה לקויה.
סקוטלנד מחתה על כך בפיפ"א.
לאחר דיון בפיפ"א, הוקדם זמן המשחק מ-18:45 ל-13:00. התאחדות הכדורגל האסטונית לא הייתה מרוצה משעת המשחק שנקבעה, לאור החשש מאובדן הכנסות מזכויות שידור.
מנהל צוות הטלוויזיה של אסטוניה אמר כי היה מוכן וערוך לשדר את המשחק אך התאחדות הכדורגל האסטונית סירבה לכך בתוקף.
לפני המשחק שרו האוהדים הסקוטים שיר שטבע את כינויו של המשחק, "קבוצה אחת בטאלין, רק קבוצה אחת".
השופט היוגוסלבי מירוסלאב רודמן שרק את שריקת הפתיחה ולאחר נגיעה אחת בכדור שרק את שריקת הסיום.
הסקוטים נטשו את המגרש והחלו בהכנות לנסיעה הביתה.
האסטונים לעומת זאת הגיעו ערוכים למשחק בשעות אחר הצהריים המאוחרות אך הופתעו לגלות שהמגרש שומם וריק.
בכימיה, קבוצה או משפחה היא מקבץ טורי (קו אנכי) של יסודות שבטבלה המחזורית.
קיימים 18 קבוצות שכאלה בטבלה, כאשר הטורים בבלוק f (שבין קבוצה 2 לקבוצה 3) הם חסרי מספר.
כל היסודות באותה קבוצה הם בעלי תכונות פיזיקליות וכימיות דומות, היות שהם בעלי אותה כמות של אלקטרונים בקליפת הערכיות.
מרבית התכונות האופייניות של יסוד כלשהו למעשה נובעות מכמות האלקטרונים בקליפת הערכיות.
ישנן שלוש שיטות למספור הקבוצות:
השיטה המודרנית של מספור מ-1 עד 18, שמומלצת לפי ארגון ה-IUPAC מאז שנת 1990.
שיטת A-B, בה השתמש ארגון ה-IUPAC עד 1990 (היה בשימוש בעיקר באירופה).
שיטת A-B-A, שהומלצה לפני 1990 על ידי ה-CAS.
השיטה לחילוק הטבלה ל-18 קבוצות מקובלת על פי רוב, אך קיימים כמה חילוקי דעות לגבי מיקומם של המימן וההליום ולגבי בלוק ה-f.
לחלק מהקבוצות יש שם ייחודי משלהן, לדוגמה השם "כלקוגנים" מזוהה עם הקבוצה ה-16. ולחלק מן הקבוצות קוראים בשם היסוד הראשון בקבוצה, למשל קבוצת המנגן מזוהה עם הקבוצה ה-7.
במהלך ההיסטוריה נעשו שימושים בכמה סטים של שמות לקבוצות:
ומתכות אלקליות c שם לפי יסודcקבוצת ניאוןקבוצת פלואורקבוצת חמצןקבוצת חנקןקבוצת פחמןקבוצת בורוןקבוצת אבץקבוצת נחושתקבוצת ניקלקבוצת קובלטקבוצת ברזלקבוצת מנגןקבוצת כרומיוםקבוצת ונדיוםקבוצת טיטניוםקבוצת סקנדיוםקבוצת בריליוםקבוצת ליתיום מחזור 1HeH מחזור 2NeFONCBBeLi מחזור 3ArClSPSiAlMgNa מחזור 4KrBrSeAsGeGaZnCuNiCoFeMnCrVTiScCaK מחזור 5XeITeSbSnInCdAgPdRhRuTcMoNbZrYSrRb מחזור 6RnAtPoBiPbTlHgAuPtIrOsReWTaHfLuLa-YbBaCs מחזור 7OgTsLvMcFlNhCnRgDsMtHsBhSgDbRfLrAc-NoRaFr
a - קבוצה 1 מכילה את היסוד מימן (H) ואת המתכות האלקליות.
ליסודות קבוצה זו יש אלקטרון אחד באורביטל ה-s הכי חיצוני.
למרות זאת, מימן אינו נחשב מתכת אלקלית משום שאינו מתכת, אפילו שבתכונותיו הוא הכי דומה לקבוצה זו.
n/a - אין מספר קבוצה ליסודות אלו
b - קבוצה 18, הגזים האצילים, לא הייתה ידוע בזמן של הטבלה המקורית מנדלייב, והתגלתה רק בשנת 1902. מנדלייב אישר את גילוי היסודות החדשים והכניס אותם לטור חדש שאותו הוא מספר כ"קבוצה 0".
c - שם הקבוצה המומלץ לפי ארגון ה-IUPAC
בנוסף, קיימים כמה שמות שהוצעו במהלך השנים אך לא קיבלו הכרה עולמית כמו:
מתכות נדיפות (volatile metals) לקבוצה 12.
שיטת CAS ושיטת IUPAC הישנה
בעבר היו נהוגות שתי שיטות למספור הקבוצות: שיטת CAS ושיטת IUPAC הישנה.
שתי השיטות השתמשו גם בספרות (רומיות) וגם באותיות A ו-B.
שתי השיטות היו זהות מבחינת הספרות, שציינו את דרגת החמצון הכי גבוהה שיכולה להיות ליסוד מקבוצה זאת, לדוגמה, לאשלגן (K) יש אלקטרון ערכיות אחד, ולכן הוא ממוקם בקבוצה 1, ולקלציום שני אלקטרוני ערכיות, ולכן הוא ממוקם בקבוצה 2. למרות הדמיון בספרות בין שתי השיטות, השימוש באותיות היה שונה בכל שיטה.
בשיטת IUPAC הישנה השתמשו באות A ליסודות הנמצאים בשמאל הטבלה, ובאות B ליסודות הנמצאים בימין הטבלה.
בעוד שבשיטת CAS השתמשו באות A ליסודות מהקבוצות העיקריות, ובאות B ליסודות מהקבוצות של מתכות המעבר.
שיטת IUPAC הישנה הייתה נפוצה בעיקר באירופה, בעוד שיטת CAS הייתה נפוצה בעיקר באמריקה.
שיטת IUPAC החדשה נוצרה על מנת להחליף את שתי השיטות הישנות, על מנת להפסיק את הבלבול שנוצר עקב זה שבשתי השיטות השתמשו באותן אותיות וספרות לציון קבוצות שונות.
שיטת IUPAC החדשה לא משתמש כלל באותיות, והיא פשוט ממספרת את הקבוצות מ-1 עד 18 בסדר עולה.
השיטה הוצעה לראשונה לציבור בשנת 1985, ובשנת 1990 היא הוכנסה באופן רשמי למונחון IUPAC.
במתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית, קבוצה בולעת היא קבוצה במרחב וקטורי מעל הממשיים או המרוכבים, שניתן להרחיב אותה עד לנקודה שבה תכיל כל איבר מהמרחב.
לקבוצות מסוג זה חשיבות רבה, בפרט עבור מרחבים וקטוריים טופולוגיים בהם כל סביבה פתוחה של הראשית היא קבוצה בולעת.
בהינתן שתי קבוצות מוגדר כי בולעת את אם ורק אם מתקיימים התנאים השקולים הבאים:
קיים כך שלכל עבורו מתקיים .
התנאי ש- בתנאים 3 ו-4 הוא תנאי הכרחי.
משמעות ההגדרה היא ש- בולעת את אם ורק אם ניתן להרחיב את עד לנקודה שממנה היא תמיד מכילה את , או לחלופין ניתן לכווץ את עד לנקודה אשר ממנה היא תמיד תהיה מוכלת ב-.
בהינתן קבוצה ונקודה מוגדר כי בולעת את אם ורק אם מתקיימים התנאים השקולים הבאים:
גם כאן התנאי ש- בתנאים 4 ו-5 הוא תנאי הכרחי.
באופן דומה כפי שזו מוגדרת עבור בליעת קבוצות, בליעת נקודה מתאפשרת על-ידי הרחבת הקבוצה הבולעת או כיווץ הנקודה הנבלעת.
בהינתן קבוצה , תקרא קבוצה בולעת, אם ורק אם היא מקיימת את התנאים השקולים הבאים:
הקבוצה בולעת את לכל .
לכל קיים כך שלכל עבורו מתקיים .
התנאי ש- בתנאים 4 ו-5 הוא תנאי הכרחי.
קבוצה בולעת היא למעשה קבוצה שניתן להרחיב אותה עד שתכיל כל נקודה במרחב.
מאחר שכל קבוצה בולעת בולעת גם את הראשית, כל קבוצה בולעת מכילה את הראשית.
כלומר, אם קבוצה בולעת אז בהכרח .
עבור כל מרחב וקטורי, המרחב כולו מהווה קבוצה בולעת.
קבוצה המכילה קבוצה בולעת, היא קבוצה בולעת.
כיווץ או הרחבה של קבוצה בולעת מהווה קבוצה בולעת.
כלומר, אם ו- אז היא קבוצה בולעת.
חיתוך של שתי קבוצות בולעות היא קבוצה בולעת.
כלומר, אם שתיהן קבוצות בולעות אז היא קבוצה בולעת.
נובע מהתכונה לעיל כי כל חיתוך סופי של קבוצות בולעות הוא קבוצה בולעת.
עבור מרחב וקטורי טופולוגי, כל סביבה פתוחה של הראשית היא קבוצה בולעת.
עבור כל קבוצה בולעת קיימת נורמה-למחצה עבורה היא בדיוק כדור היחידה לפי .
נורמה למחצה זו היא פונקציונל מינקובסקי של .
לכל קבוצה בולעת קיימת קבוצה בולעת אחרת כך ש-.
קבוצת כל הקבוצות הבולעות עבור מרחב וקטורי כלשהו מהווה מסנן.
במתמטיקה, ובפרט בטופולוגיה, קבוצה כמעט פתוחה (נקראת גם קבוצה עם תכונת בר) היא קבוצה אשר ניתנת לייצוג כהפרש סימטרי בין קבוצה פתוחה לקבוצה מקטגוריה ראשונה.
כלומר, קבוצה כמעט פתוחה היא קבוצה פתוחה עד כדי החסרת או הוספת מספר בן מניה של קבוצות דלילות.
קבוצות מסוג זה נחקרו לראשונה בראשית המאה ה-20 על-ידי המתמטיקאי הצרפתי רנה-לואי בר.
בהינתן מרחב טופולוגי עם הטופולוגיה וקבוצה , הקבוצה תקרא קבוצה כמעט פתוחה אם ורק אם היא מקיימת את אחד התנאים השקולים הבאים:
קיימת קבוצה פתוחה וקבוצה מקטגוריה ראשונה כך ש-
קיימת קבוצה פתוחה כך ש- היא קבוצה מקטגוריה ראשונה.
קיימת קבוצה סגורה וקבוצה מקטגוריה ראשונה כך ש-
קיימת קבוצה סגורה כך ש- היא קבוצה מקטגוריה ראשונה.
קיימת קבוצה מסוג (חיתוך בן מניה של קבוצות פתוחות) וקבוצה פתוחה כך ש-.
קיימת קבוצה מקטגוריה ראשונה כך ש- היא קבוצה מסוג (איחוד בן מניה של קבוצות סגורות).
סיגמא-אלגברה של קבוצות כמעט פתוחות
משקילות ההגדרות של קבוצה כמעט פתוחה ניתן להסיק כי:
המשלים של קבוצה כמעט פתוחה הוא קבוצה כמעט פתוחה.
איחוד בן מניה של קבוצות כמעט פתוחות הוא קבוצה כמעט פתוחה.
כלומר, כל הקבוצות הכמעט פתוחות מהוות סיגמא-אלגברה.
מכיוון שכל קבוצה פתוחה היא קבוצה כמעט פתוחה, סיגמא-אלגברת הקבוצות הכמעט פתוחות מכילה את סיגמא-אלגברת בורל.
לבסוף, מכיוון שסיגמא-אלגברת בורל היא הסיגמא-אלגברה המינימלית המכילה את הקבוצות הפתוחות, משמעות הדבר היא שכל קבוצה בסיגמא-אלגברת בורל היא קבוצה כמעט פתוחה, ובפרט:
תחת הטופולוגיה הסטנדרטית במרחב המספרים הממשיים , הקבוצות הבאות כמעט פתוחות:
קבוצת כל המספרים האי-רציונליים בין 0 ל-1:
ניתן לייצר דוגמה נגדית לקבוצה כמעט פתוחה תחת מרחב המספרים הממשיים על-ידי שימוש באקסיומת הבחירה.
דוגמה לקבוצה שאיננה קבוצה כמעט פתוחה היא קבוצת ויטלי.
קבוצה אתנו-דתית (או קבוצה אתנית-דתית) היא קבוצה חברתית אנושית המתאפיינת במוצא אתני משותף לצד דת משותפת.
זוהי תת-קטגוריה של המושג "קבוצה אתנית", הכולל גם תת-קטגוריות נוספות, כדוגמת קבוצה אתנו-לשונית .
במובן הצר ביותר, מונח זה מתייחס לקבוצות באוכלוסייה שבהן האתניות ואמונותיהן בדת מסוימת, שלובות זו בזו ביחד ברקע, לכל הפחות מבחינה היסטורית; או לכל היותר, במקרים רבים, גם מבחינה גאוגרפית.
המאפיינים המרכזיים של קבוצות אתנו-דתיות הם קשרי יוחסין של "סגנון חברתי, רקע היסטורי ואמונות תאולוגיות".
מאפיין בולט המבדיל קבוצות אתנו-דתיות מקבוצות אחרות בסביבתן הוא הקפדה על אֶנְדּוֹגַמְיָה (נישואין לאדם מרקע משפחתי דומה במידה מסוימת).
באופן כללי, קבוצות אתנו-דתיות מגדירות את הזהות שלהן באמצעות שילוב: בין מוצא אתני משותף, לבין השתייכות משותפת לדת כלשהי או לזרמים מסוימים מתוכה.
לקבוצות אתנו-דתיות יש היסטוריה משותפת ומסורת תרבותית – שניתן להגדיר כדתית – המבחינה אותן מקבוצות אחרות.
במקרים רבים קבוצות אתנו-דתיות הן גם קבוצות אתנו-תרבותיות בעלות דת אתנית מסורתית; במקרים אחרים קבוצות אתנו-דתיות מתחילות את דרכן כקהילות דתיות בלבד (בעלות מערכת אמונה משותפת), ובאמצעות אנדוגמיה, חברי הקהילה יוצרים ביניהם גם קשרי דם וקשרים תרבותיים.
זהותן של חלק מהקבוצות האתנו-דתיות מתוחזקת באמצעות החוויה של חיים בתוך קהילה גדולה יותר כמיעוט נפרד.
קבוצות אתנו-דתיות יכולות להתאפיין בלאומיות אתנית אם לקבוצה האתנו-דתית יש בסיס היסטורי באזור מסוים.
בקבוצות אתנו-דתיות רבות מושם דגש על אנדוגמיה ורתיעה מנישואים בין-דתיים או קיום יחסי מין עם פרטים מחוץ לקהילה, כאמצעי לשימור היציבות ואריכות הימים ההיסטורית של הקהילה והתרבות.
הקבוצות הבאות הוגדרו כולן כקבוצות אתנו-דתיות בידי מקורות מהימנים:
+היתוך אתנידת אתניתאתניות דתית אמיש
עוד קודם לגלות בבל בראשית המאה ה-6 לפנה"ס, בני ישראל כבר התקיימו כקבוצה אתנו-דתית נבחנת, כנראה לפני תקופת הושע במאה ה-8 לפנה"ס.
האופי האתנו-דתי של העם היהודי בעת העתיקה זוהה גם על ידי חוקרים כדוגמת שלום בארון, שדיבר על "האחדות האתנו-דתית של בני ישראל", וכן שייע כהן, בתארו את הזהות היהודית בשלהי תקופת בית שני.
בחוק האוסטרלי, החוק נגד אפליה של ניו סאות' ויילס מגדיר את מונח-הכזב "גזע" ("race") ומתקן אותו בצורה מהימנה ומדעית, כמי שכולל קבוצות ממוצא "אתני, אתנו-דתי או לאומי".
המונח "אתנו-דתי" נוסף לחוק בתיקון שנערך בשנת 1994. ג'ון האנפורד, התובע הכללי של ניו סאות' ויילס דאז, הסביר שתיקון זה "נועד להבהיר כי גם לקבוצות אתנו-דתיות, כגון יהודים, מוסלמים וסיקים, יש גישה להוראות ההשמצה והאפליה הגזעית שנחקקו בחוק".
ההגדרה של "גזע" בחוק נגד אפליה (1998) כוללת גם כן התייחסות ל"מוצא אתני, אתני-דתי או לאומי".
עם זאת, בניגוד לחוק נגד אפליה של ניו סאות' ויילס, הוא גם אוסר על אפליה על רקע "אמונה או השתייכות דתית" או "פעילות דתית".
בבריטניה, פסק הדין בתיק Mandla v Dowell-Lee הציב הגדרה משפטית על קבוצות אתניות בעלות קשרים דתיים, אשר, בתורה, סללה את הדרך להגדרה בחוק של קבוצות אתנו-דתיות.
בעקבות זאת, יהודים וסיקים נקבעו כקבוצות אתניות דתיות על פי החוק נגד אפליה (תיקון) משנת 1994. חוק זה התבסס על פסק הדין בתיק Mandla v Dowell-Lee, שהגדיר את מאפייני הקבוצה האתנו-דתית כך:
היסטוריה משותפת ארוכה, שהקבוצה מודעת לה כמבדילה אותה מקבוצות אחרות, ואת הזיכרון שלה היא שומרת בחיים;
מסורת תרבותית משלה, לרבות מנהגים ונימוסים משפחתיים וחברתיים, הקשורה לעיתים קרובות, אבל לא בכל המקרים, גם לאדיקות בדת כלשהי או בזרם/פלג יוצא דת זו.
בנוסף לשני המאפיינים לעיל החיוניים להגדרה הבסיסית של המונח "קבוצה אתנו-דתית", המאפיינים להלן עשויים להיות רלוונטיים, גם-כן:
או מוצא גאוגרפי משותף, או מוצא ממספר קטן של אבות משותפים;
שפה משותפת, לא בהכרח ייחודית לקבוצה;
דת משותפת שונה מזו של קבוצות שכנות או מהקהילה הכללית הסובבת אותה;
קבוצה שמהווה מיעוט או קבוצה מדוכאת או דומיננטית בקרב קהילה גדולה יותר.
לדוגמה, עם שנכבש (נניח, תושבי אנגליה זמן קצר לאחר הכיבוש הנורמני) וכובשיו עשויים להיות שניהם בני קבוצות אתניות נפרדות החולקים את אותה טריטוריה ריבונית במדינה.
בעקבות פסק דין זה, קבוצות כמו יהודים וסיקים נעשו מוגנות תחת חוק יחסי ה"גזע" של שנת 1977, שנועד למנוע אפליה על-בסיס "גזע" בממלכה המאוחדת.
בטופולוגיה, תת-קבוצה של מרחב טופולוגי נקראת קבוצה צפופה, אם כל קבוצה פתוחה ולא ריקה ב-, מכילה איבר מתוך .
תכונה זו שקולה לכך שהסגור של שווה למרחב כולו.
אם מרחב מטרי, פירושו של דבר שניתן להתקרב כרצוננו לכל נקודה ב- בעזרת נקודות מ-: לכל ולכל , יש המקיימת .
קבוצת המספרים הרציונליים, , היא למשל צפופה בקבוצת המספרים הממשיים, , עם הטופולוגיה הסטנדרטית (כלומר ).
היא גם צפופה בישר של סורגנפריי, .
מרחב שקיימת בו קבוצה צפופה בת מנייה נקרא מרחב ספרבילי.
לדוגמה, קבוצת המספרים הרציונליים צפופה בישר הממשי, שכן כל קטע פתוח בישר הממשי מכיל מספרים רציונליים (זוהי תכונת הארכימדיות של הממשיים).