tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
ההסכמה הכללית במחלקה בתקופה זו הייתה ש"בתי ספר שחורים לגמרי עם מורים שחורים יכולים לספק בצורה הטובה ביותר את הכישורים הדרושים לתלמידים שחורים כדי לשרוד בחברה שבה רובם ניצבו בפני הזדמנויות מוגבלות...
בתי ספר מופרדים, על ידי בידוד תלמידים שחורים מהתעללות לבנים, היו חיוניים לגיבוש הזהות השחורה ויכולו להפוך למרכזים קהילתיים מאחדים".
עבודת הגמר של פרוסר, ההתפתחות הלא-אקדמית של ילדים כושים בבתי ספר מעורבים ומופרדים, הפכה לטקסט חשוב לנושאים הקשורים לחינוך, רפורמה, התפתחות חברתית, זהות גזעית ונושאים בולטים אחרים הקשורים להפרדה .
זה היה "מחקר נלווה" לתזה של מרי קראולי משנת 1931, "השוואה של ההישגים האקדמיים של כושי סינסינטי בבתי ספר מופרדים ומעורבים" כאשר פרוסר החלה לאסוף נתונים למחקר שלה בנובמבר 1931, קראולי הצליחה לסייע לפרוסר בלהביא את אותם מוסדות לשתף פעולה במחקר שלה.
היא לקחה את המחקר של קראולי צעד קדימה על ידי התחשבות בנתונים הדמוגרפיים של ציבור התלמידים בבתי הספר.
בניגוד לקראולי, פרוסר חקרה משתנים שלדעתה הם אינדיקטורים אישיותיים.
פרוסר האמינה שבית ספר מעורב גרם לנזק בלתי הפיך לבריאות הנפשית של ילדים שחורים וזה היה הסיכון האמיתי מאחורי סוג זה של סביבה.
פרוסר ביקשה לבחון את ההבדל באישיות ובבריאות הנפשית בין תלמידים שחורים ב"בתי ספר מעורבים ובבתי ספר מופרדים".
עבודת הדוקטורט שלה ביקשה לענות על שבע שאלות עיקריות.
פרוסר מדדה את השאלות הבאות על ידי מתן סקרים לתלמידים על אישיות ותכונות אופי; השאלה הראשונה הייתה מה הרקע החברתי והתרבותי של הילדים בשתי הקבוצות?
שנית, מהם תחומי העניין התעסוקתיים ופעילותיים של שתי הקבוצות?
שלישית, באיזו מידה ילדים שחורים משתתפים בפעילויות לאחר בית הספר?
רביעית, אילו עמדות גזעיות מפגינה כל קבוצה?
חמישית, מהן התגובות הרגשיות של שתי הקבוצות כלפי אפליה?
שישית, מהי השפעת סוג בית הספר על אישיות הילדים?
לבסוף, באיזו מידה מטפחים תוקפנות וכניעה בשתי הקבוצות (1933)?
בעבודת הדוקטורט שלה, פרוסר טוענת שלעוולות גזעיות ולתחושות בידוד יש השפעות מזיקות על נפשם של ילדים שחורים.
ההשפעות פוגעות אף יותר ברמת החיים שכן היא חלה על מצב סוציו-אקונומי.
בהתחשב בכך שגודל המדגם שלה היה קטן (64 תלמידים), פרוסר נמנעה מלהציע הצעות מוחלטות.
היא טענה שהבחירה בביתי הספר צריכה להתבסס על אישיותו של התלמיד, שכן חלקם מצליחים היטב בבתי ספר משולבים בעוד שאחרים נהנים מבתי ספר מופרדים.
היא האמינה שרוב התלמידים השחורים מקבלים תוכנית לימודים מאוזנת יותר, חיבה, תמיכה ועקביות משפחתית-בית ספרית בבתי ספר מופרדים.
היא גם ציינה שבתי ספר מופרדים לא רק סיפקו הזדמנויות עבודה, אלא גם "סביבה מטפחת יותר" למורים שחורים וגם לתלמידים.
עבודתה הייתה חיונית בהוכחת התועלת בעיקר של בתי ספר שחורים כמו גם של אוניברסיטאות וקולג'ים שחורים בהיסטוריה (אייץ' בי סי יו) לנפש השחורה.
בשנת 2010 פרסמה האנציקלופדיה הבינלאומית לחינוך מאמר המדגיש את שלל ההטבות החיוביות שמקבלים תלמידים שחורים במוסדות מופרדים אלה.
המבחנים של פרוסר הגיעו למסקנה שילדים שחורים שהלכו לבתי ספר מעורבים היו מבודדים יותר, הרגישו הרבה יותר נחותים בבית הספר והתקשו להסתגל חברתית, הן עם מורים, תלמידים אחרים והן עם המשפחה.
הם תמכו במוסדות אלה כ"מרחבים בטוחים" עבור סטודנטים שחורים כדי לחזק את תחושת העצמי שלהם בקרב הדחיקה לשוליים העומדת בפניהם.
המשמעות של המחקר של פרוסר הייתה שהיא הגיעה למסקנה שגזע וגזענות ממלאים תפקיד בפיתוח האישיות של האדם.
למרות שפרוסר תכננה לכלול מגוון של מבחנים ומלאי כדי להעריך את האישיות, גודל המדגם של המחקר שלה היה קטן, עם רק 32 זוגות של תלמידים תואמים.
זה הוביל לכמה מסקנות שכנראה נובעות מטעות דגימה שבה הודתה פרוסר, והאמינה שההבדלים היו מינימליים אך הצדיקה אותם בכל זאת.
בשנים 1933 ו-1934, פרוסר גם הפיקה שבעה מאמרים בכתב העת החינוכי של מיסיסיפי, העיתון הרשמי של איגוד המורים במיסיסיפי בבתי ספר צבעוניים, שכותרתו "מגזין חודשי למורים בבתי ספר צבעוניים".
במאמרים אלה, פרוסר התמקדה בנושאים כמו ספרות אנגלית, קומפוזיציה, דקדוק ונושאים כלליים שיעזרו לשפר את הוראת האנגלית בבתי ספר צבעוניים.
בתי ספר עם הפרדה גזעית היו נושא די שנוי במחלוקת בזמן עבודת הדוקטורט של פרוסר.
פסק דין פלסי נגד פרגוסון "דוקטרינה נפרדת אך שווה" הייתה הנימוק להפרדה ב-17 מדינות, רובן בדרום ובמחוז קולומביה .
בתי ספר מופרדים היו ניכרים גם בצפון, כפי שהיה בסינסינטי, כי הורים שחורים רבים רצו שילדיהם ילמדו ממורים שחורים ויתקשרו עם ילדים שחורים אחרים.
פרוסר הבינה שבתי ספר מופרדים מספקים לילדים שחורים סביבה נוחה יותר שבה הם לא יצטרכו לדאוג מהתעללות ואפליה מצד עמיתים לבנים.
פרוסר הייתה מודעת מאוד לוויכוחים השנויים במחלוקת על בתי ספר מופרדים וזיהתה בעבודת הדוקטורט שלה שהפרדה מחייבת ומרצון הם שני דברים מאוד נפרדים.
פרוסר הצהירה, "המילה 'מופרד' טומנת בחובה קונוטציות שהכושים לומדו להתרעם עליהן.
עובדה זו מסבירה חלק ניכר מהתחושה המופגנת נגד בית הספר המופרד.
מערכות בתי ספר מסוימות בצפון פתחו בתי ספר מיוחדים לכיתות מיוחדות, שהורגלו כבר זמן רב בחינוך המותאם לצורכים האישיים והקבוצתיים.
כאן נראה לנכון לעשות הבחנה בין הפרדה מחייבת לבין הפרדה מרצון.
כפי שמובן בדרך כלל, להפרדה מחייבת מטרתה המפורשת בידוד של מרכיב לא רצוי באוכלוסייה; להפך, לבתי ספר מיוחדים המבוססים על הפרדה מרצון יש מטרה מבוטאת להתאים את החינוך לצורכי הקבוצה הנבדקת."
פרוסר הייתה אחת מדמויות המפתח בוויכוח כיצד לחנך בצורה הטובה ביותר תלמידים שחורים.
טיעונים שהועלו בעבודת הדוקטורט שלה שומשו בשנות ה-20 וה-30 בוויכוח על הפרדה בבית הספר.
עבודת הדוקטורט שלה "בחנה הבדלי אישיות של ילדים שחורים הלומדים בבתי ספר מופרדים או משולבים מרצונם, והגיעה למסקנה שילדים שחורים זכו לשירות טוב יותר בבתי ספר מופרדים" כפסיכולוגית שחורה, קולה של פרוסר היה מכריע בתקופתה ועכשיו בגלל שהקולות וההיסטוריה של הפסיכולוגיה השחורה והפסיכולוגים השחורים נעדרו מהנרטיבים של הפסיכולוגיה המרכזית האמריקאית.
למרות שמחקר עבודתה עדיין לא פורסם, עבודתה שנוכסה על ידי חוקרים אחרים שימשה בוויכוחים לקראת פסק דין בראון נגד מועצת החינוך של ארצות הברית משנת 1954, הטוען כי בתי ספר מופרדים אינם שווים מטבעם, ובכך מחייב שילוב בבתי הספר הציבוריים של האומות.
עבודותיה על החינוך ופיתוח הזהות של תלמידים שחורים לא הושפעו רק מניסיונה ההוראה והניהולי, אלא גם מחוויותיה היחידות בבית ספר "צבעוני" בטקסס.
בעוד פרוסר מכונה לעיתים קרובות כאישה האפרו-אמריקאית הראשונה שזכתה לתואר דוקטור בפסיכולוגיה, אחרים מאמינים כי רות ויניפרד הווארד (1900–1997) הייתה הראשונה.
אלה הטוענים שהווארד, שרכשה דוקטורט באוניברסיטת מינסוטה ב-1934, היא האישה האפרו-אמריקאית הראשונה שזכתה בתואר דוקטור, מחזיקים בדעה שפסיכולוג הוא מי שרכש את התואר במחלקה לפסיכולוגיה.
פרוסר הציגה טיעון רב עוצמה בנוגע להשפעות אי השוויון הגזעי על הבריאות הנפשית של ילדים אפרו-אמריקאים.
בעבודת הדוקטורט שלה, היא דנה באפיקי חינוך אופציונליים, ובדקה נימוקים למתן הזדמנות לילדים להתחנך בהתאם ליכולתם, ולא לפי מצבם הסוציו-אקונומי.
היא ציינה דוגמאות ללחץ פסיכולוגי בקרב תלמידים שנגרמו כתוצאה מאי-התאמות גזעיות ובידוד גזעי.
פרוסר הביעה את תמיכתה בבתי ספר מופרדים ובסיבות שהם הועילו לתלמידים ולצוות, ויחד עם זאת סיפקה סיבות שבגינן הפרדה זו מזיקה לכל התלמידים והפרטים המעורבים.
רבים לא תמכו בבתי ספר מופרדים בשל העובדה שמוסדות חינוך היו מיקרוקוסמוסים של החברה הגזענית שהתקיימה מחוץ לכותלי בית הספר.
למרות שהנושא היה שנוי במחלוקת רבה, איגוד המחנכים האפרו-אמריקאים הפגין תמיכה מתמשכת בבתי ספר מופרדים בעשורים הבאים.
כמו פרוסר, הם מסכימים שאם משאבים מוקצים כראוי, היתרונות של בתי ספר מופרדים הם עצומים לנפש הילד השחור.
במהלך הוויכוחים על ההפרדה בבתי ספר בשנות העשרים של המאה ה-20, צוטטו רבים מטיעוניה.
היא הייתה קול ביקורתי עבור הקהילה האפרו-אמריקאית בתקופה שבה נשים אקדמיות היו נדירות.
ניתן להרגיש את תרומתה של פרוסר לשיפור החינוך לכל התלמידים במדיניות רבות שעדיין נמצאות בשימוש ברחבי קהילת ההוראה כיום.
חייה של פרוסר המשיכו גם דרך החינוך שהעניקה לאחיה הקטנים.
פרוסר הודתה שהיא תשלם עבור ההשכלה הגבוהה של אחיה, מה שאיפשר לחמישה מהם לזכות בתארים אקדמיים בעזרתה של פרוסר.
פרוסר הדריכה את אחיה בכך שנתנה להם כסף, ספרים והכווינה אותם באילו קורסים עליהם לשקול לקחת.
פרוסר תוארה כמי שרוצה בטובת אחיה, ועל כך שהיא תומכת אך לא שולטת.
פרוסר בילתה את שנת 1934 בשיפור הכשרת המורים שעבדו בבתי הספר השחורים של מיסיסיפי; פרוסר תכננה תוכנית קיץ למורים במכללת ג'קסון, ולעיתים קרובות הייתה מנחה סדנאות בתוכניות למורים.
לאחר שסיימה את תוכנית בית הספר לקיץ של ג'קסון, ב-28 באוגוסט, פרוסר, בעלה ואחותה קתרין בוורלי חזרו למיסיסיפי לאחר שביקרו משפחה בטקסס.
במהלך החזרה הם היו מעורבים בהתנגשות חזיתית ליד שרוויפורט, לואיזיאנה .
אחיו של פרוסר, רופוס, היה הנהג במכונית, וכל שלושת האנשים נפצעו.
בתאונה זו, פרוסר נפלטה דרך השמשה הקדמית ומתוך שלושת הנוסעים היא נפצעה באורח קשה ביותר.
1968 בסן אנטוניו, טקסס בתערוכת המיספייר היא צוטטה על תרומתה לתרבות טקסס.
מלגת מועצת החינוך הכללי של קרן רוקפלר
הופיעה על השער של המשבר באוגוסט 1933, המגזין הרשמי של האגודה הלאומית לקידום אנשים צבעוניים .
"ההתפתחות הלא אקדמית של ילדים כושים בבתי ספר מעורבים ומופרדים"
אינוק לינקולן היה פוליטיקאי אמריקאי שכיהן כמושל השישי של מדינת מיין בין השנים 1827–1829, וקודם לכן כחבר בית הנבחרים של ארצות הברית מטעמה ומטעם קהיליית מסצ'וסטס.
לינקולן נולד בווסטר שבמסצ'וסטס, בנם של לוי לינקולן האב ואשתו, ואחיו הצעיר של לוי לינקולן הבן.
בשנת 1807 השלים את לימודיו הגבוהים במכללת הרווארד , שם למד משפטים.
לאחר מכן התקבל ללשכת עורכי הדין של מסצ'וסטס והחל לעסוק בעריכת דין בעיר סיילם בשנת 1811. בין השנים 1815–1818 כיהן כתובע פדרלי מחוזי מטעם הממשל הפדרלי של ארצות הברית, ובשנת 1819 עבר להתגורר בעיר פריז שבמחוז מיין שם המשיך לעסוק במקצועו.
בנובמבר 1818 נבחר לינקולן לנציג מחוז מיין מטעם המפלגה הדמוקרטית-רפובליקנית בבית הנבחרים של ארצות הברית – בקונגרס ה-15 – במקומו של אלביון פריס שהתפטר.
הוא נבחר מחדש גם לקונגרס ה-16, וכהונתו נמשכה מ-4 בנובמבר 1818 ועד 3 במרץ 1821. בשנת 1819 נבחר לחבר ב"חברה האמריקנית לעתיקות" (American Antiquarian Society).
חלק ממסמכיו האישיים והמקצועיים שמור באוסף כתבי היד של החברה, במסגרת אוסף משפחת לינקולן.
עם קבלתה של מיין כמדינה מן המניין באיחוד, נבחר לינקולן לכהונה נוספת בבית הנבחרים כנציג המדינה הטרייה, הפעם בקונגרס ה-17, מטעם המפלגה הדמוקרטית-רפובליקנית.
הוא נבחר מחדש לקונגרס ה-18, אך הפעם מטעם המפלגה הלאומית הרפובליקנית, ולבסוף נבחר לקונגרס ה-19 כמועמד המזוהה עם נשיא ארצות הברית ג'ון קווינסי אדמס.
כהונתו נמשכה מ-4 במרץ 1821 ועד להתפטרותו בשנת 1826.
הוא נבחר שלוש פעמים לתפקיד, בכל פעם ברוב של למעלה מ-90% מהקולות, אך לא התמודד לכהונה רביעית.
לינקולן נפטר בעיר אוגוסטה שבמיין ב-8 באוקטובר 1829, לפני תום כהונתו כמושל ולאחר שכבר נבחר מחליפו, ג'ונתן הנטון.
עקב מותו נאלצו שניים מנשיאי הסנאט של מיין – ניית'ן קאטלר וג'ושוע הול – למלא את מקומו של לינקולן כמושל המדינה.
גופתו של לינקולן נטמנה בקבר אחים בפארק הקפיטול שממול לבית המחוקקים של מיין, אולם גופתו נעלמה ולהיעדרותה טרם סופק הסבר רשמי.
העיר לינקולן שבמיין נקראת על שמו.
הוא היה שאר בשר רחוק של הנשיא אברהם לינקולן, והשניים חלקו אב קדמון משותף בשם סמואל לינקולן, שהיגר לארצות הברית והתיישב בעיירה הינגהאם שבמסצ'וסטס במאה ה-17.
אינו- / נונה "אדם" / "ארץ" אָדָם אינופיאק דואלי : אינופיאק אֲנָשִׁים אינופיאט שָׂפָה אינופיאטון אוראראק מְדִינָה אינואיטים נונאט
האינופיאט (ביחיד: איניופיאק), הם קבוצה אחת בתוך העמים האינואיטים החיים בצפון ומערב אלסקה.
הם ידועים גם כ'אינואיט מאלסקה'.
האינופיאט חיים בשטח שמשתרע בין נורטון סאונד שבים ברינג ועד לחלק הצפוני ביותר של גבול קנדה-ארצות הברית.
קהילותיהם הנוכחיות כוללות 34 כפרים ברחבי איניופיאט נונאאט (אדמות איניופיאק), כולל שבעה כפרים אלסקניים ברובע המדרון הצפוני , המסונף לתאגיד האזורי המדרון הארקטי ; אחד עשר כפרים ברובע הארקטי הצפון-מערבי ; ושישה עשר כפרים המסונפים לתאגיד האזורי של מצר ברינג .
השם אינופיאט ([iɲupiɐt]) היא צורת הרבים של שם העם (למשל, האינופיאט חיים בכמה קהילות).
צורת היחיד היא אינופיאק ([iɲupiɑq]) (למשל, האישה הזו היא איניופיאק), שלעיתים מתייחס גם לשפה (למשל, היא מדברת איניופיאק).
באנגלית משתמשים בשתי האפשרויות, גם אינופיאץ' וגם איניופיאק (למשל, המורה איניופיאטית/אינופיאקית, שירים איניופיאטית/אינופיאקית).
משמעות השם iñuk היא "אדם" ו-- piaq שמשמעותו "אמיתי", כלומר, שם אנדונימי (שם ייחודי לקבוצת אנשים, מקום, שפה) שמשמעותו "אנשים אמיתיים".
שפת הילידים נקראת אינופיאטון גם בשפתם וגם באנגלית, והיא נמנית עם השפות האינואיטיות הקרובה לשפות האמריקאיות הילידיות.
Bering Strait האינופיאט של מצר ברינג
South Seward Peninsula האינופיאט בדרום חצי האי סיוארד
Nunamiut or Nunatamiut הנונאמיוט הממוקמים בצפון ובצפון-מערב אלסקה, בעיקר סביב מעבר אנקטובוק שבאלסקה.
Northwest Arctic Inupiat האינופיאט החיים בחלק הארקטי הצפון-מערבי של אלסקה.
North Alaska Coa st Iñupiat האינופיאט החיים במדרון הצפוני של אלסקה, ברכס ברוקס .
לפני הקולוניזציה האירופית באלסקה נוהל האזור על ידי עמים ילידיים כשכל קבוצה אתנית נוהלה באופן עצמאי, בהתאם למבנים החברתיים, התרבותיים והדתיים שלה.
כך נוהלו קהילות האינופיאטים גם אחרי רכישת אלסקה והעברת אדמות מרוסיה לארצות הברית.
בהמשך נחקק חוק - החוק הפדרלי של הילידים , המסדיר את הקשר בין הממשל הפדרלי לילידים האמריקאים.
החוק הזה הכיר בממשלות השבטיות כבעלות הגדרה עצמית מוגבלת.
בדצמבר 1971 נחתם חוק יישוב תביעות הילידים של אלסקה (ANCSA) שנועד לפתור את תביעת הקרקעות של האינואטים על אדמתם.
במסגרת ההסדר העבירו את הבעלות על הקרקעות ל-13 תאגידים אזוריים של ילידי אלסקה ולמעלה מ-200 תאגידים כפריים מקומיים.
מטרת התאגידים האזוריים הייתה לעודד פיתוח כלכלי ברחבי אלסקה ולהקים ארגונים שאמורים לספק שירותים לחברי הקהילות המקומיות.
התאגידים ינוהלו בידי הילידים וכל אנשי המקום יצורפו לתאגידים כבעלי מניות.
בשנת 1993, הרחיב הממשל הפדרלי את ההכרה הפדרלית לשבטים ילידים באלסקה.
הממשל השבטי יחד עם הממשל הפדרלי לניהול הקימו תוכניות המועילות ישירות לעמים הילידים.
ברחבי אדמות האינופיאטים וממשלות שבטיות אזוריות וכפריות עוסקות ברווחה חברתית, חינוך, דיור, שירותים שבטיים, ומיכה במשפחות וקשר תרבותי למקום ולקהילה,
שלושה תאגידים אזוריים ממוקמים באדמות האינופיאט:
אינופיאק היא אחת השפות הרשמיות באלסקה, יחד עם אנגלית ושפות ילידיות אחרות.
השפה מדוברת על ידי בני האינופיאט בצפון ובצפון-מערב אלסקה, וכן בחלק קטן של הטריטוריות הצפון-מערביות של קנדה.
שפת האינופיאט היא חלק ממשפחת השפות האינואי-יופיק-אוננגן , והיא קרובה מאוד ומובנת על ידי דוברי שפות אינואיטיות אחרות בקנדה וגרינלנד.
מאז רכישת אלסקה והמגע עם השפה האנגלית נותר מיעוט קטן בלבד של אינופאט הדוברים את שפת האיניופיאק.
הערכה היא שישנם כ-2,000 דוברי אינופיאק מתוך 24,500 אינופיאטים, אבל רוב הדוברים הם בני 40 ומעלה.
לפיכך נמצאת השפה בסכנת היכחדות.
כיום מנסים לשמר את השפה בכמה קהילות.
מאמצי החייאה התמקדו בשפות הילידיות של אלסקה ובאורחות החיים שלה.
קיים immersion school (הכוונה לבית ספר דו-לשוני, המשמש להטמיע את שפות המקור), בשפה האינופיאקית בשם Nikaitchuat Iḷisaġviat, הממוקם בקוצבואה, אלסקה, נוסד בשנת 1998. משימתו של בית הספר היא להנחיל את הידע של הזהות האינופיאקית, כבוד לתרבות הילידית ולימוד השפה.
בית הספר היסודי ג'ון נלסון הוא בית ספר נוסף בקוצבואה שפועל לכלול תכנים נוספים בתוכנית הלימודים שלו בנוגע לשפה ותרבות האינופיאקית.
בית הספר היסודי בנום, אלסקה, גם יישם תוכניות לשלב תוכנית לימודים בשפה האינופיאקית.
ישנם קורסים רבים המוצעים בקמפוסים השונים כחלק ממערכת אוניברסיטת אלסקה .
אוניברסיטת אלסקה פיירבנקס מציעה מספר קורסים בשפת האינופיאקית.
אוניברסיטת אלסקה אנקורג' מציעה רמות מרובות של שפת האינופיאקית היסודית וקורסים אינטנסיביים ללימודי שטף בשפה הילידית של אלסקה.
מאז 2017, ארגנה קבוצה עממית של לומדי שפת איניופיאק סדנה אינטנסיבית בת שבועיים בשם "איכסקאטיווט", בה לומדים את שפת איניופיאק.
הסדנה מתקיימת ברחבי קהילות באזור אינופיאק, קוורק, ארגון ללא מטרות רווח מאזור מצר ברינג, יצר מילון מונחים הכולל מונחים מאינופיאק, כמו גם מונחים מאנגלית, יופיק ויופיק של האי סנט לורנס ובתחילת המאה ה-20 פיתחו מספר אינופיאטים שיטות כתיבה פיקטוגרפיות הידועות ככתיבה ציורית של אלסקה.
מקורם של בני האינופיק, כמו גם קבוצות אינואיטים אחרות, היא באנשי התולה , שתפסו את מקומם של תרבות דורסט המוקדמת יותר.
בני התולה היו קהילות שחיו, בין השנים 200 לפנה"ס עד כ-1600 לספירה, לאורך מצר ברינג, לפני שהתרחבו למזרח הארקטי.
תרבותם אופיינה בפיתוח כלים וטכנולוגיות ונראה שפגשו וסחרו עם הוויקינגים שהגיעו לחופי קנדה במאה ה-11. הם נקראים על שם אתר ארכאולוגי שהתגלה בגרינלנד, האזור המרוחק ביותר של התולה.
בסביבות שנת 300 לפנה"ס, היגרו בני התולה מהאיים בים ברינג למה שהוא כיום אלסקה.
עם הזמן התפחתה התרבות הת'ולאית והסתגלה לתנאים המשתנים של אזורם וצאצאיהם התפתחו למה שמכונה היום - אינואטים, שהאינופט הוא חלק מהם.
החל מהמאה ה-11 לערך, הם החלו האינופט לנוע מזרחה לקנדה הארקטית.
נראה שהנדידה החלה בשל שטחי ציד הלווייתנים העשירים שהיה לאזור להציע, שכן אנשי האינופיאט היו תלויים מאוד בלווייתנים למחייתם.
ציד של ליוויתן אחד היה יכול להאכיל בבשרו כפר שלם במשך ימים.
בסביבות מאה 14–16 ירדו הטמפרטורות של האזור ואנשים רבים החלו נודדים גם דרומה.
במאה ה-18 החלו סוחרי פרוות ומגלי ארצות רוסיים להגיע לאיי דיומיד, לאלסקה ולחוף הארקטי של אמריקה.
בעקבותיהם הגיעו גם אירופאים ואמריקאים שחיפשו את 'המעבר הצפון-מערבי'.האירופאים הביאו איתם ברזל, שאיפשר לאינופיאט לייצר סכינים וכלי מתכת ופתח אותם אל העולם החיצון.
אלא שהמפגש הזה הביא איתו גם ניצול מצד הזרים שהחלו לפתח פעילות באזור הארקטי ובעיקר בתעשיית ציד הלווייתנים, כשהאינופיאט נשכרו לעבוד על סירותיהם.
בתחילת המאה ה-20 החלה תעשיית ציד הלווייתנים לגווע.
אינואיטים רבים הפכו, באותן שנים, לנתינים או לאזרחים של המדינה הקנדית או האמריקאית, ללא שליטה על חייהם ורבים מהם הידרדרו לעוני.
כאמור, בדצמבר 1971 נחתם חוק יישוב תביעות הילידים של אלסקה (ANCSA) במסגרתו הועברו הקרקעות במערב אלסקה ל-13 תאגידים אזוריים של ילידי אלסקה וכ-200 תאגידים כפריים מקומיים, במטרה לפתור את תביעתם של האינופיאט לקרקעות בהם הם חיו מאות שנים.
ובשנת 1993, הרחיב הממשל הפדרלי את ההכרה בשבטים והעניק להם ממשל עצמי.
האינופיאט החיים בקנדה, יחד עם כל קהילת האינואיטים, זכו בטריטריה חדשה משלהם - נונאווט.
נונאווט הופרדה רשמית מהטריטוריות הצפון-מערביות ב-1 באפריל 1999, באמצעות חוק נונאווט וחוק הסכם תביעות הקרקע של נונאווט, שסיפקו את הטריטוריה הזו לאינואיטים לממשל עצמי.
במאה ה-21 יש לאינופיאט ממשל עצמי והם הבעלים של חלק גדול מהאוקיינוס הארקטי.
עם זאת, האוקיינוס הארקטי עדיין לא מפותח ברובו והזדמנויות התעסוקה מוגבלות.
האוכלוסייה במקום פעילה ותוססת והיא נלחמת על שימור המסורות האינואיטיות, חידוש השפה והתרבות, רווחה כלכלית ואישית ותעסוקה, בתקווה שהמאבק שלהם יעזור לשיפור ושגשוג באזורם.
עד לפני כ-30 שנה, היו האינופיטים, הם ציידים-לקטים, כמו רוב העמים הארקטיים .
הצייד שימש לא רק כמזון אלא גם לחומרים לייצור כלים, בניית מקלטים וייצור בגדים.
אורח החיים שלהם אורח החיים שלהם היה טבעי ככל הניתן והם השיגו את רוב צורכיהם מהסביבה הטבעית השברירית שלהם, מבלי להפר את האיזון שלה.
בחורף, הם צדו יונקים ימיים ויבשתיים, כמו (ניבתנים, כלבי ים, לווייתנים דובי קוטב, ו דגים) ובקיץ הם עברו לפנים הארץ כדי לצוד איילים, ברווזים, אווזים וארנבות, לדוג בנהרות ובאגמים, ללכוד ציפורים וללקט ביצים, פירות יער ועשבי תיבול.
הגברים צדו, הכינו כלים ובנו קיאקים ואילו הנשים הכינו פרוות של בעלי חיים, תפרו בגדים, ייבשו בשר, טיפלו בילדים, דגו וליקטו חזזיות, אצות וכו'.
תוך כדי כך הם גם השאירו הרבה זמן למשחקים שונים, לסיפור סיפורים ולריקוד.
השבטים החיים בפנים הארץ צדים גם קאריבו, כבשי דאל, דובי גריזלי ואיילים.
השבטים שחיים על החוף צדים סוסי ים, כלבי ים, לווייתני בלוגה ולווייתני ראש-קשת ולעיתים גם דובי קוטב.
הם השתמשו בכל חלק של הקריבו שהרגו.
את הבשר הם אכלו, והעור שימש לייצור בגדים, שמיכות, אוהלים ועורות קיאקים.
העור הקשוח ממצחו של בעל החיים שימש לסוליות נעליים והעור הרך יותר מבטנו לייצור חותלות.
מעיל הפארקה , (שהוא מעיל ארוך עם ברדס, עמיד לרוח ומים ומצויד בשכבת בידוד) וה-mukluks , המגפיים החמים והמבודדים.
להכנת הפארקה נדרשו ארבעה עורות קאריבו וזוג מכנסיים דרש שניים נוספים.
הקרניים שימשו לייצור כלים, הגידים יצרו חוטי תפירה, והשומן הפך לייצור שמן מנורה.
ציד יונקים ימיים כמו כלבי ים דרש עבודת צוות אמיתית.
בחורף הם השתמשו בכלבים שהיו מרחרחים את חורי הנשימה של היונקים בחורי הקרח ואז היו הציידים אורבים להם, וברגע שכלב ים עלה לאוויר היו לוכדים אותו.
באביב ניתן היה להרוג יונקים בזמן שהם השתזפו על הסלעים או הקרח.
בקיץ הם דגו בים באמצעות קיאקים.
כלבי ים הם טרף מועדף מכיוון שבשרם מזין מאוד ועורם, שמשמש למוצרים שונים, עמיד למים.
כך גם צייד לווייתנים, שהעור והשומן שלהם עשיר בוויטמינים A ו־C.
כיון שבשר הלווייתנים נאכל כשהוא נא, נשמרת תכולת ויטמין C והמזונות עשירים בוויטמינים ותורמים לבריאותם הטובה של בני השבטים, שהגישה שלהם לפירות וירקות מוגבלת.
גם שומן הלוויתן שימש את האינואטים כשמן לחימום והארת בתיהם ומעצמותיו עשו קשתות לציד וגם לייצור מזחלות.
כשאחת הקהילות לכדה לוויתן, זכה כל אחד מאנשי הקהילה בנתח מבשרו.
הבשר בותר ויחד עם השומן הוא חולק, לפי נוסחה מסורתית, לכל אחד מבני המשפחה, אפילו כאלו שחיים במרחק רב משם.
גם קרובים המתגוררים בערים, אלפי קילומטרים משם, זכאים לחלק מכל לוויתן שנהרג על ידי ציידים בכפר אבותיהם.
חלקים נוספים של בעלי החיים שימשו את הילידים.
מעי סוס הים שימש להכנת תופי ריקוד ושימש בבניית סירות העור המסורתיות - הקיאק והצלצל, האומיאק.
חטי סוס הים העשויים שנהב והמזיפות של לווייתני ראש-הקשת משמשים בכלים שימושיים ובאמנות מקומית.
כיום ישנה מדיניות של הגנה על ציד סוסי ים ולווייתנים וציד סוסי ים עבור השנהב בלבד אסור על פי חוק פדרלי ונושא אחריו עונשים כבדים.
מאז שנות ה-70, נפט ומשאבים אחרים היוו מקור הכנסה חשוב עבור שבט האינופיאט.
צינור אלסקה מחבר את בארות מפרץ פרודו עם נמל ולדז בדרום-מרכז אלסקה.
עם זאת, בגלל קידוחי הנפט בצפון הצחיח של אלסקה, דרך ציד הלווייתנים המסורתית מתנגשת עם אחת הדרישות הדוחקות ביותר של העולם המודרני: מציאת נפט נוסף.
אִינְטֶגְרָל או אַסְכֶּמֶת הוא מושג מתמטי בתחום החשבון האינפיניטסימלי, המהווה (עבור פונקציה ממשית) הכללה מתמטית של מושג הסכום.
לאינטגרל שימושים רבים ביותר, וּבהם חישוב שטח של תחום מישורי, נפח של מרחב רב־ממדי, מסה של גוף, אורך של מסילה עקומה, הסתברות של משתנים מקריים רציפים, כוח הפועל בין שני גופים, אנרגיית החום הכוללת של אמבט, מהירות מקומו המרחבי של גוף הנע בהשפעת כוח בעל עצמה משתנה ועוד.
המושג הכללי של אינטגרל כולל בתוכו שני מושגים שונים לכאורה: האינטגרל המסוים והאינטגרל הלא־מסוים.
האינטגרל המסוים של פונקציה אי־שלילית המוגדרת על קטע סופי, הוא מספר, שבהגדרתו ההיסטורית (הגאומטרית) מציין את השטח הכלוא, בין גרף הפונקציה, לבין ציר ה־ בקטע נתון שאותו נהוג לאפיין על ידי ההבחנה בין קצהו השמאלי לבין הקצה הימני .
להגדרה זו נמצאה ברבות הימים הגדרה שקולה שנשענה על מושג הסכימה האינסופית, של מכפלות - של אינפיניטסימלים בערכי פונקציה נתונה.
לצידן של הגדרות אלה לאינטגרל המסוים יש לו גם הגדרה שנשענת, לא על מושג - השטח/הסכימה (האינסופית) - שבהקשר לפונקציה נתונה, אלא על מציאת פונקציה קדומה כלשהי - שמקיימת מסוים (כדלהלן בהמשך הערך) - ושנגזרתה היא פונקציה נתונה.
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע ששני המושגים הללו קשורים באופן הדוק: אם הפונקציה אינטגרבילית בקטע (בהמשך יוגדרו התנאים לאינטגרביליות) וגם יש לה פונקציה קדומה, אז האינטגרל המסוים של בקטע שווה לביטוי , כאשר מסמנת את הפונקציה הקדומה של .
את האינטגרל מסמנים בסימן ∫ שניתן על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ ושמקורו ב־S הארוכה שבתחילת המילה הלטינית Summa (סְכוּם), שאותה הוא כתב כ־ſumma.
אין לבלבל בינו לבין האות ʃ באלפבית הפונטי הבינלאומי שמובנה אחר.
כאמור לעיל, האינטגרל המסוים של פונקציה ממשית, מעל קטע סגור, מוגדר גאומטרית בתור השטח שמתחת לגרף הפונקציה ומעל ציר ה־ (כאשר השטח שמתחת לציר ה־ מוגדר כשטח שלילי).
כדי לקבל הגדרה גאומטרית מסודרת של האינטגרל, יש לבחון את המשמעות המדויקת של המושג "שטח", במיוחד כאשר הגרף אינו ישר, ואף אינו בהכרח רציף.
השטח של מלבן מובן היטב, ואחת הדרכים להגדיר את השטח שמתחת לגרף היא לקרב את הצורה שמתחת לגרף באמצעות מלבנים זרים (וּמקבילים לצירים).
בהגדרה זו יש בעיה עקרונית: כל עוד מספר המלבנים סופי, והפונקציה אינה מלבנית, השטח הכולל שלהם אינו אלא קירוב של השטח האמיתי, וניתן לשפר את הקירוב על ידי הקטנת המלבנים והגדלת מספרם.
ברנרד רימן הפך את הבעיה הזו להגדרה של ערך האינטגרל: במקום לחפש את הקירוב הטוב ביותר, שלרוב אינו קיים, מסכמים מלבנים קטנים ורבים יותר, כך שהקירוב ילך וישתפר.
בסופו של דבר בוחרים את הגבול של סדרת הסכומים המתקבלת מסדרת הקירובים.
גישה דומה, המגיעה לאותן תוצאות, מבוססת על סכומי דארבו: כאן מקרבים את הצורה החוסמת מלמטה ומלמעלה באמצעות מלבנים הכלואים מתחת לגרף ומלבנים הכולאים אותו מלמעלה.
הראשון שהגדיר את האינטגרל המסוים במדויק היה רימן.
בעקבותיו הוצעו הכללות רבות: בתחום של פונקציה#תחום ההגדרה של הפונקציה (העשוי להיות הישר הממשי כולו, קובייה במרחב האוקלידי ה־n־ממדי, או כל מרחב קומפקטי מקומית), בערכים שהפונקציה עשויה לקבל (מספרים ממשיים או מרוכבים, מספרים p־אדיים, או וקטורים שאלו רכיביהם), ובאופי הפונקציות שעבורן מחושב האינטגרל.
סדרה (סופית) של נקודות נקראת חלוקה של הקטע .
את הסדרה אפשר לפרש כאילו היא מחלקת את הקטע ל־ תת־קטעים , החותכים זה את זה רק בנקודות הקצה שלהם.
לכל חלוקה אפשר להגדיר את קוטר החלוקה (או פרמטר החלוקה) באופן הבא: .
מכיוון שסכום אורכי הקטעים הוא , הקוטר של חלוקה בת קטעים הוא לפחות .
מכאן שכדי לקרב את קוטר החלוקה לאפס, יש להגדיל את מספר הנקודות באופן שאינו חסום.
חלוקה היא עידון של חלוקה , אם החלוקה הראשונה כוללת את כל הנקודות המופיעות בחלוקה השנייה.
הגדרת האינטגרל המסוים באמצעות סכומי רימן
בחלוקה נתונה , אפשר לבחור נקודה מכל תת־קטע.
חלוקה כזו, יחד עם הנקודות שנבחרו מהתת־קטעים, נקראת חלוקה מסומנת.
לחלוקה כזו אפשר להגדיר את סכום רימן .
זהו השטח הכולל של המלבנים שבסיסם הוא הקטע וגובהם (עבור ), כאשר השטח הוא "שטח מכוון" (העשוי להיות חיובי או שלילי, בהתאם לסימן של הפונקציה בנקודה ).
כל סכום רימן מהווה קירוב לשטח שמתחת לגרף הפונקציה, בקטע המדובר .
פונקציה , המוגדרת בקטע , היא אינטגרבילית לפי רימן, אם לכל בחירה של סדרת חלוקות מסומנות בעלות גדלים השואפים לאפס, הגבול קיים (היינו, הסדרה מתכנסת).
במקרה כזה, כל הגבולות שווים זה לזה, והאינטגרל המסוים מוגדר כערך (המשותף) של כל הגבולות; ערך זה הוא השטח שבין גרף הפונקציה לציר ה־.
אם לא כל הגבולות האלה קיימים, הפונקציה אינה אינטגרבילית לפי רימן.
הגדרה האינטגרל המסוים באמצעות סכומי דארבו
נניח ש־ חסומה בקטע הסגור .
לכל חלוקה , אפשר לחשב בנפרד את השטח שהחלוקה מאתרת מתחת לגרף, ואת השטח שהחלוקה מאתרת מעל לגרף.
לצורך כך נסמן בכל תת-קטע של החלוקה, את החסם העליון של הפונקציה ב־ , ואת החסם התחתון ב־ (אם לפונקציה יש בתת-הקטע הזה ערך מינימלי או מקסימלי, אלו יהיו הערכים של ושל בהתאמה).
באופן הזה, מובטח ש־ לכל בתת-הקטע.
משום כך סביר לקבוע ששטחו של התחום המישורי המוגבל על ידי ציר ה־x, גרף הפונקציה, והישרים ו־ ,
גדול או שווה לשטח המלבן , וקטן (או שווה) לשטח המלבן .
אם נסכם את כל המלבנים, הסכום נקרא הסכום התחתון של החלוקה, ואילו
קל להוכיח שאם מהווה עידון של , אז , ולכן, כאשר מעדנים את החלוקה, המרחק בין הסכום העליון לתחתון מצטמצם.
החסם התחתון של כל הסכומים העליונים , עבור כל החלוקות האפשריות, הוא האינטגרל העליון.
החסם העליון של כל הסכומים התחתונים הוא האינטגרל התחתון.
הפונקציה אינטגרבילית לפי דארבו, אם שני ערכים אלו שווים זה לזה (פירושו של השוויון הוא שקיימת סדרה של חלוקות המעדנות זו את זו, כך שההפרש שואף לאפס).
אפשר להוכיח שהגדרת אינטגרביליות של פונקציה חסומה באמצעות סכומי רימן שקולה להגדרה באמצעות סכומי דארבו, ושהאינטגרל המתקבל בשני המקרים שווה.
ההגדרה שנתנה לעיל מתאימה לפונקציות חסומות, ולחישוב מעל קטע סגור.
עם זאת, אפשר להרחיב את ההגדרה גם למקרים כלליים יותר – ראו אינטגרל לא אמיתי.
את ערך האינטגרל המסוים מסמנים כך: .
הביטוי שבתוך האינטגרל, , נקרא אינטגרנד.
המשתנה בביטוי זה הוא "משתנה האינטגרציה", והוא קשור לתחום האינטגרציה – המשמעות היא שהנקודה השמאלית בתחום היא והנקודה הימנית היא .
ניתן להחליף את משתנה האינטגרציה, אך אז כדי לשמור על ערך האינטגרל המסוים יש לשנות את תחום האינטגרציה בהתאמה.
לדוגמה, אם , אזי מתקיים: .
הסכום של פונקציות אינטגרביליות (לפי רימן) והכפולה של פונקציה אינטגרבילית בסקלר נותנים פונקציות אינטגרביליות; לכן אוסף הפונקציות האינטגרביליות מעל קטע קבוע מהווה מרחב וקטורי מעל שדה המספרים הממשיים, ואף מוגדרת בו מכפלה פנימית.
משפט לבג מאפיין אינטגרביליות באופן הבא: פונקציה חסומה היא אינטגרבילית במובן רימן, אם ורק אם קבוצת נקודות אי־הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס.
לדוגמה, כל פונקציה רציפה וכל פונקציה מונוטונית בקטע סגור, היא אינטגרבילית.
גם פונקציית רימן אינטגרבילית (והאינטגרל שלה הוא אפס).
לעומת זאת, פונקציית דיריכלה אינה אינטגרבילית לפי רימן.
ההתאמה היא פונקציונל ליניארי המוגדר על המרחב הזה, משום שהאינטגרל של פונקציות מקיים את התכונה .
האינטגרל מונוטוני, במובן הבא: אם אינטגרביליות בקטע , ולכל מתקיים , אז ואם לכל אז מתקיים אי השוויון החזק .
הגדרת האינטגרל המסוים שאינה נשענת על מושג השטח/הסכום
מהמשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי נובע כי: לגבי כל קטע סגור, שמכיל מספר נתון שבאמצעותו מסומנת - פונקציה נתונה של המשתנה [בקטע] - שהיא פונקציה קדומה שנגזרתה היא פונקציה נתונה מתקיים (עבור נתון שבקטע) ובלבד שמתקיים
הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי מחשבת את ערך האינטגרל המסוים, אם ידועים: הן קצות הקטע שעליו מחושב האינטגרל המסוים, והן האינטגרל הלא־מסוים .
אם האינטגרל הלא מסוים נתון כביטוי מפורש - אז גם ערך האינטגרל המסוים יתקבל כביטוי מפורש, אחרת לקבלת ערך האינטגרל המסוים יש להפעיל - שיטות אנליטיות מיוחדות - או שיטות נומריות.
פונקציה נקראת פונקציה קדומה של בקטע כלשהו, אם לכל נקודה x בקטע מתקיים:, כלומר היא הנגזרת של בקטע.
האינטגרל הלא מסוים של פונקציה המוגדרת בשדה F כלשהו מוגדר לרוב בתור אוסף הפונקציות הקדומות שלו.
בסימון: , כאשר היא פונקציה קדומה של ו־ הוא קבוע שרירותי.
ניתן להצדיק את הסימון בכך שכל הפונקציות הקדומות של פונקציה ניתנות לכתיבה בתור קבוע ועוד פונקציה קדומה כלשהי.
מצד אחד, אם אז ברור כי גם כי נגזרת של קבוע היא 0. מצד שני, אם פונקציות קדומות של אז מתקיים , כלומר הפונקציה קבועה, כלומר , כנדרש.
בהינתן פונקציה אינטגרבילית בקטע הסגור ניתן להגדיר פונקציה באופן הבא:
ערכה של פונקציה זו בכל נקודה הוא ערך האינטגרל המסוים של בין נקודה זו לנקודת מוצא כלשהי.
פונקציה זו היא תמיד רציפה, אך אינה בהכרח גזירה ולכן אינה בהכרח פונקציה קדומה של .
עבור פונקציית מדרגה, למשל, לא יהיה אינטגרל זה גזיר, שכן פונקציית מדרגה אינה מקיימת את תכונת הנגזרת הבאה לידי ביטוי במשפט דארבו.
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי אומר ש גזירה בכל מקום בו רציפה.
כלומר: אם רציפה ב אזי מתקיים ש .
כלומר, היא פונקציה קדומה של באופן כללי, לא חייבת להיות גזירה בכל מקום.
על כן, המשפט היסודי קושר בין האינטגרל המסוים ובין האינטגרל הלא מסוים של הפונקציה, וממנו נגזרת הנוסחה היסודית המאפשרת לחשב אינטגרל מסוים באמצעות שימוש בפונקציה קדומה.
ידוע כי הנגזרת של היא .
על כן כל פונקציה קדומה של נבדלת מ- בקבוע, ונכתוב: .
בניגוד לפעולת הגזירה, שהיא טכנית בעיקרה ומבוססת על כמה כללים ברורים היטב, אין "מתכון" בטוח למציאת אינטגרל לא מסוים של פונקציה.
באמצעות נוסחאות הגזירה ניתן למצוא מיידית אינטגרלים לפונקציות האלמנטריות הבסיסיות, ועל מנת לבצע אינטגרציה לפונקציות מסובכות יותר ישנן שיטות אינטגרציה (החלפת משתנים, אינטגרציה בחלקים ועוד) שמאפשרות לפשט את הפונקציה ולהפוך אותה לפונקציה אחרת, שעבורה קל יותר למצוא את האינטגרל.
גם אם לא ניתן לבטא את האינטגרל הלא מסוים באמצעות פונקציה אנליטית, אין זה אומר שהאינטגרל המסוים אינו קיים.
בהרבה מקרים (למשל במשוואות דיפרנציאליות) ביטויים מהצורה נחשבים לפתרון קביל.
למעשה, סכום רימן הוא חלוקה של הקטע למלבנים צרים שגובהם הוא , סיכום שטחיהם ומעבר לגבול כאשר פרמטר החלוקה שואף לאפס.
באנליזה נומרית יש חשיבות גדולה לבחירת נקודות הביניים כדי לקבל התכנסות מהירה של הקירוב הנומרי לערך המדויק (שלרוב אינו ניתן לחישוב).
אינטגרל לבג הוא הכללה של אינטגרל רימן לפונקציות מדידות שפותחה על ידי המתמטיקאי אנרי לבג במסגרת מחקרו על תורת המידה.
אינטגרל לבג מתבסס על מידת לבג המוגדרת מעל הישר הממשי והוא מזדהה עם אינטגרל רימן לכל פונקציה חסומה שהיא אינטגרבילית במובן רימן.
בהיות האינטגרל של לבג הכללה של אינטגרל רימן, מאפשר מושג זה לחשב אינטגרל לפונקציות שאינן אינטגרביליות במובן רימן.
הרעיון באינטגרל לבג הוא לחשב את השטח לפי התמונה של הפונקציה ולא לפי התחום שלה.
היתרון בגישה זו היא שלרוב התמונה של הפונקציה פשוטה בהרבה ו"פתולוגית" הרבה פחות מתחום הגדרתה.
לכן, מחלקת הפונקציות שהן אינטגרביליות במובן לבג רחבה יותר ממחלקת הפונקציות האינטגרביליות רימן.
למעשה, גם פונקציות שאינן רציפות באף מקום יכולות להיות אינטגרביליות לבג (בעוד שאינן אינטגרביליות רימן).
אחת הדוגמאות הבסיסיות והיפות לפונקציה כזאת היא פונקציית דיריכלה.
אינטגרל רימן-סטילטיס הוא הכללה אחרת של אינטגרל רימן.
אינטגרל רימן־סטילטיס של פונקציה ממשית של משתנה ממשי ביחס לפונקציה ממשית מסומן:
ומוגדר להיות הגבול של הביטוי:
כאשר נמצא ברווח ה־ בחלוקת הקטע לקטעים וכאשר אורך הקטע המקסימלי בחלוקה שואף ל־0.
האינטגרל אינו מוגדר כאשר לשתי הפונקציות ו־ יש נקודת אי־רציפות משותפת.
יש הכללה שתגדיר את האינטגרל כאשר בנקודת אי הרציפות המשותפת אחת הפונקציות רציפה מימין והשנייה משמאל.
הכללה נוספת היא אינטגרל לבג-סטילטיס, שהוא הכללה הן של אינטגרל רימן־סטילטיס והן של אינטגרל לבג.
שתי ההגדרות, של אינטגרל רימן־סטילטיס ושל אינטגרל לבג־סטילטיס הן הגדרות זהות כאשר הפונקציה היא פונקציה מונוטונית עולה, וזהו המקרה בו אינטגרל זה משמש בסטטיסטיקה ובמשתנים מקריים כאשר הפונקציה היא פונקציה ההסתברות (המצטברת).
שימוש חשוב של האינטגרל הוא מציאת שטח.
השטח בין פונקציה אי־שלילית (כלומר: ) בקטע ובין ציר הוא .
כאשר מקבלת גם ערכים שליליים, האינטגרל מחשב את השטח שכלוא בין גרף הפונקציה לציר x אך מחזיר אותו עם סימן בהתאם למיקום של השטח ביחס לציר ה־x: סימן חיובי אם השטח כלוא מעל ציר ה־x וסימן שלילי אם השטח כלוא מתחתיו.
כך ייתכן למשל, ששטחים יקזזו זה את זה כאשר חלק מהם מעל לציר ה־x וחלק מהם מתחתיו.
אורך של גרף הפונקציה שהיא גזירה ברציפות בקטע הוא
זאת כמקרה פרטי של הנוסחה לאורך עקומה גזירה ברציפות ורגולרית: .
בנוסף, אפשר להשתמש באינטגרל לחישוב נפח של גוף סיבוב.
גוף סיבוב הוא גוף המתקבל על ידי סיבוב של פונקציה אחת סביב ציר.
נפח גוף הסיבוב של הפונקציה סביב ציר x בקטע הוא .
נפח גוף הסיבוב של הפונקציה סביב ציר בקטע הוא .
שטח הפנים של גוף סיבוב הוא (ללא שטח הבסיסים) .
הנפח של הגוף ששטח החתך שלו עבור כל שיעור הוא שווה ל־.
הערך הממוצע של ערכי הפונקציה בקטע הוא
ארכימדס, מתמטיקאי שפעל ביוון העתיקה במאה השלישית לפני הספירה, השתמש בשיטה שנקראת "שיטת המיצוי" כדי לחשב שטחים שמתחת לעקומות.
הוא עשה זאת באמצעות חיבור של צורות קטנות רבות, בדומה לרעיון של אינטגרל, אך ללא שימוש בשפה של פונקציות, גבולות או נגזרות.
זו הייתה גישה אינטואיטיבית וחסרת בסיס פורמלי.
רק בסופה של המאה השבע עשרה, עם הופעתו של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, נוצר מושג האינטגרל במובנו המודרני — כחלק מהחשבון האינפיניטסימלי וכמושג הקשור קשר הדוק לנגזרות.
אייזק ניוטון מאנגליה וגוטפריד וילהלם לייבניץ מגרמניה פיתחו את רעיונות האינטגרל והנגזרת במסגרת מתמטית שיטתית.
ניוטון עבד על כך בסביבות שנת 1666, אך פרסם את עבודתו רק בשנת 1687. לייבניץ פרסם את רעיונותיו בנושא אינטגרלים כבר בשנת 1684. הוא גם היה זה שהמציא את הסימון המודרני "∫", כצורה מוארכת של האות s, כמייצגת את המילה הלטינית "summa", דהיינו סכום.
בעוד הסימון של ניוטון משמש בעיקר בתחום הפיזיקה.
במהלך המאה התשע עשרה, המתמטיקאים אוגוסטין לואי קושי וברנרד רימן ניסחו הגדרות מדויקות למהותם של אינטגרל וגבול.
רימן הגדיר את אינטגרל רימן — הגדרה פורמלית לאינטגרל כסכום גבולי של חלקים קטנים.
מאוחר יותר פותח גם אינטגרל לבג, אשר הרחיב את הרעיון לתחומים מתמטיים רחבים יותר.
כאשר היא פונקציה קדומה של
אינטגרל לבג הוא הכללה של אינטגרל רימן לפונקציות מדידות שפותחה על ידי המתמטיקאי אנרי לבג במסגרת מחקרו בתורת המידה.
אינטגרל לבג מתבסס על מידת לבג המוגדרת מעל הישר הממשי.
לכל פונקציה שהיא אינטגרבילית רימן (המושג יוגדר להלן) אינטגרל לבג קיים, וערכו זהה לערכו של אינטגרל רימן.
באינטגרל לבג מחושב השטח באמצעות התמונה של הפונקציה ולא באמצעות התחום שלה.
היתרון בגישה זו הוא שלרוב התמונה של הפונקציה פשוטה יותר ו"פתולוגית" פחות מתחום ההגדרה של הפונקציה.
כלומר, עבור פונקציות שתחום ההגדרה שלהן מסובך והתמונה שלהן פשוטה, ניתן לעיתים לחשב את אינטגרל לבג אך לא את אינטגרל רימן, ולעיתים ניתן לחשב את אינטגרל רימן הלא אמיתי אך לא את לבג.
אינטגרציה היא פעולה מתמטית שבאופן אינטואיטיבי אפשר לתארה כחישוב השטח הכלוא בין העקומה לבין ציר ה־.
ארכימדס הצליח לבצע אינטגרציה במקרים מסוימים אחדים, אך לא פיתח שיטה כללית לאינטגרציה.
במאה ה-17 פיתחו אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ (כל אחד בנפרד) שיטה לביצוע אינטגרציה, המבוססת על כך שאינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה.
את תוצאתם ניסחו ב, המתאר את הקשר בין אינטגרל לנגזרת, ונותן נוסחה לביצוע אינטגרציה עבור מחלקה גדולה של פונקציות.
שיטתם של ניוטון ולייבניץ לא הייתה מבוססת על הגאומטריה, אלא על חשבון אינפיניטסימלי - תחום שבתקופתם לא היה מבוסס מבחינה לוגית.
כך, ההוכחות שכתבו לא היו ריגורוזיות והכילו סתירות .
במאה ה-19 פיתח אוגוסטן לואי קושי תורה ריגורוזית של גבולות והעניק בסיס מוצק לחשבון אינפיניטסימלי.
ברנהרד רימן לקח את המנגנון של קושי ובאמצעותו הגדיר את האינטגרל באופן ריגורוזי, הגדרה שנודעה כאינטגרל רימן.
רימן חילק את השטח שמתחת לעקומה למלבנים קטנים, שרוחבם קטן באופן שרירותי וגובהם תלוי בערכה של הפונקציה בתוך הקטע המגדיר את בסיס המלבן.
אינטגרל רימן הוא גבול סכום שטח המלבנים כאשר רוחב המלבן שואף לאפס.
עם זאת, רימן גילה שקיימות פונקציות שעבורן לא קיים גבול של סדרת שטחי המלבנים.
על כן, לא היה ניתן לחשב עבורן אינטגרל רימן.
לפונקציות כאלה קראו פונקציות שאינן אינטגרביליות לפי רימן.
בעקבות תגלית זו נקטו מתמטיקאים כמה גישות לטיפול בבעיה:
אפיון כל הפונקציות שעבורן קיים אינטגרל רימן (מחלקה זו של פונקציות נקראות פונקציות אינטגרביליות רימן).
הגדרת אינטגרלים לא-אמיתיים (Improper Integral) באמצעות גבולות.
ניסיון להכליל את האינטגרל של רימן עבור פונקציות "בעייתיות" יותר.
לבג נקט בגישה השלישית, אך גם סיפק אפיון מלא לפונקציות שהן אינטגרביליות רימן: פונקציה היא אינטגרבילית רימן אם ורק אם היא חסומה וקבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס.
כלומר, כאשר יש לפונקציה "יותר מדי" נקודות אי-רציפות, לא ניתן לחלק את תחום הפונקציה למלבנים בהם התמונה אחידה יחסית, ואז אינטגרל רימן לא מוגדר.
לבג החליט להכליל את אינטגרל רימן.
ראשית, חקר לבג בתורת המידה והגדיר את מידת לבג על הישר הממשי (אותה נסמן באות m).
מידת לבג היא הכללה של מושג האורך ומאפשרת למדוד אורך של קבוצות שהן לאו דווקא איחוד סופי של קטעים (אורך של קטע קל לחישוב: אם קצות הקטע הם ו- אזי אורך הקטע הוא ).
אחרי שהכליל את מושג האורך באמצעות פונקציית מידה פנה לבג להגדיר את האינטגרל.
בחישוב אינטגרל לבג מופיעה סכימה שונה מזו המופיעה באינטגרל רימן.
באינטגרל רימן מותאם לכל קטע הגובה שלו (שהוא ערך שמקבלת הפונקציה בו).
לעומת זאת, באינטגרל לבג מתייחסים דווקא לטווח הערכים של הפונקציה.
לכל ערך שהפונקציה מקבלת מתאימים את המידה של קבוצת הנקודות בתחום המקבלת ערך זה.
באופן פורמלי, ראשית מקרבים את הפונקציה על ידי סדרה של פונקציות פשוטות (פונקציות המקבלות מספר סופי של ערכים, כלומר סכום של פונקציות מדרגה).
הסדרה נבנית כך שהקירוב של הולך ומשתפר.
אינטגרל לבג של פונקציה פשוטה הוא סכום סופי והוא קל לחישוב.
האינטגרל של ייקבע כגבול של האינטגרלים של הפונקציות הפשוטות, כאשר הוא קיים.
את תהליך הבנייה נפרט להלן.
כלומר, כל פונקציה חסומה ואינטגרבילית רימן היא אינטגרבילית לפי הגדרת לבג.
למעשה, אינטגרל לבג קיים לכל הפונקציות המדידות.
זו אומנם מחלקה רחבה יותר מהפונקציות שהן אינטגרביליות רימן, אך קיימות פונקציות שאינן אינטגרביליות לפי לבג.
לפונקציות אינטגרבילית הן לפי רימן והן לפי לבג ישנו ערך זהה לשני סוגי האינטגרלים.
כמו כן, ערכו של אינטגרל לבג זהה לערך אינטגרל רימן גם ברוב המקרים של אינטגרלים לא אמיתיים אך לא בכולם - למשל באינטגרלים שאינם מתכנסים בהחלט כמו אינטגרל דיריכלה.
אינטגרל הנסטוק הוא כללי יותר משני סוגי האינטגרלים, וממנו אפשר להסיק גם את אינטגרל רימן וגם את אינטגרל לבג.
בסעיף זה מוסברת בניית אינטגרל לבג והרעיון שבבסיסה.
מומלץ לקרוא על אינטגרל רימן ואת מידת לבג לפני שקוראים קטע זה.
אינטגרל לבג של פונקציות פשוטות חיוביות
פונקציה פשוטה היא פונקציה שמקבלת מספר סופי של ערכים, כלומר, הטווח שלה הוא קבוצה סופית.
כל פונקציה פשוטה (שהמציינים שלה הן על קבוצות מדידות) היא פונקציה מדידה.
תהי פונקציה פשוטה, כאשר הוא תחום ההגדרה שלה.
לכל ערך בטווח של הפונקציה המקורית מתאימים את מידת לבג של הקבוצה (קבוצת כל האיברים שערך הפונקציה בהם הוא ).
אינטגרל לבג של מוגדר להיות
כאשר היא התחום עליו מתבצעת האינטגרציה, והוא מתוך תחום ההגדרה של .
עבור פונקציה פשוטה הטווח הוא סופי, ולכן הסכום סופי.
כך, כל עוד ו- מקבלת ערכים סופיים בלבד, הסכום יתכנס.
במקרה בו ו- מכפלת שניהם מוגדרת להיות אפס.
מכיוון ש- מקבלת רק מספר סופי של ערכים, אפשר להציגה כ-,כש- הוא ערך שהפונקציה מקבלת, הוא הקבוצה שעליה הוא מתקבל, ו- הוא הסימון לפונקציה מציינת של .
כך, מההגדרה לעיל אינטגרל לבג של הפונקציה לפי המידה יהיה .
עבור פונקציה פשוטה רציפה למקוטעין, הגדרה זו מתלכדת עם אינטגרל רימן ומתקבלת אותה התוצאה.
היתרון בגישה זו הוא שהשימוש במידה מתייחס לכל המלבנים שהם בעלי גובה כמאוחדים למלבן אחד, שאורך בסיסו הוא .
בפונקציה המקורית, מלבנים בעלי אותו גובה יכולים להיות מפוזרים לאורך כל תחום ההגדרה ולא להיות בדבוקה אחת.
ניתן לפזר את המלבנים באופן שהגבול של אינטגרל רימן לא קיים עבורם.
ברם, באינטגרל לבג, כאשר האורך הכולל של בסיסי כל המלבנים שגובהם הוא מחושב באמצעות מידת לבג - מידת הפיזור איננה משנה, אלא רק המידה הכוללת.
פונקציית המידה "חזקה" מאוד ויכולה לטפל בקבוצות פתולוגיות כגון קבוצת קנטור, קבוצת כל המספרים האי-רציונליים וכדומה.
פונקציית דיריכלה היא פונקציה בקטע המוגדרת באופן הבא:
אם הוא מספר אי רציונלי
לפונקציה זו אין אינטגרל במובן רימן, שכן בכל קטע - לא משנה כמה קטן - תמיד קיימים גם מספרים רציונליים וגם מספרים אי-רציונליים ולכן לא ניתן להגדיר מלבנים כך שתמונת הפונקציה עליהם אחידה פחות או יותר.
לכן, הגבול בהגדרת אינטגרל רימן אינו מתכנס.
לעומת זאת, חישוב אינטגרל לבג של פונקציית דיריכלה הוא מיידי.
המידה של המספרים הרציונליים בקטע [0,1] היא אפס.
המידה של הקטע [0,1] היא 1. לכן המידה של קבוצת המספרים האי-רציונליים בקטע היא 1. מכאן, לפי ההגדרה:
הכללה לפונקציות מדידות אי-שליליות כלשהן
לפונקציות אלה, התמונה איננה בהכרח סופית.
ההכללה של אינטגרל לבג עבורן מתבצעת על ידי קירוב הפונקציה באמצעות סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות, חישוב האינטגרל עבור הפונקציות הפשוטות ומעבר לגבול תוצאות האינטגרל.
באופן פורמלי, בהינתן סדרת פונקציות פשוטות אי-שליליות המתכנסת במידה שווה ובאופן מונוטוני ל-, אינטגרל לבג על מוגדר להיות גבול האינטגרלים על סדרה זו.
הגדרה שקולה, אך פשוטה יותר ונוחה יותר: תהי פונקציה מדידה ואי-שלילית.
נגדיר את אינטגרל לבג של להיות .
כדי לטפל בפונקציה שיכולה להיות גם חיובית וגם שלילית, מחלקים את הפונקציה לשני חלקים:
ואז אינטגרל לבג מוגדר להיות:
ככלל, ייתכן שתוצאת אחד האינטגרלים באגף ימין תהא אינסוף; במקרה בו אחד האינטגרלים הוא אינסופי והשני סופי, האינטגרל הכללי מוגדר להיות פלוס או מינוס אינסוף (בהתאם לסימן שלפני האינטגרל שמתבדר).
כאשר שני האינטגרלים באגף ימין מתבדרים, אינטגרל לבג אינו מוגדר.
באופן כללי, אינטגרל לבג מקיים את כל התכונות של אינטגרל רימן בנוגע לאלגברה של אינטגרלים.
בנוסף לתכונות אלה מתקיימות גם מספר תכונות מיוחדות, הנובעות מתורת המידה ומהשימוש במידה להגדרת האינטגרל.
אינטגרל לבג של פונקציה מציינת של קבוצה מדידה הוא המידה של , כלומר: .
אינטגרל לבג לא מושפע משינויים שנעשים על הפונקציה בקבוצת נקודות שמידתה אפס.
באופן פורמלי, אם ו- נבדלות זו מזו רק על קבוצת נקודות שמידתה אפס, כלומר:
אם ו- פונקציות מדידות ו סקלרים, אזי
אם ו- קבוצות זרות, אזי .
אם אינטגרבילית רימן היא בפרט אינטגרבילית לבג ואינטגרל לבג שלה שווה לאינטגרל רימן שלה.
שיטת אינטגרלי המסלול היא תיאור של מכניקת הקוונטים על פיה, למשל, ניתן להציג את הסתברות המעבר של חלקיק מנקודה אחת לאחרת כסכום (אינטגרל) על כל המסלולים האפשריים בהם החלקיק יכול לעבור בין שתי הנקודות.
שיטה זו פותחה על ידי הפיזיקאי חתן פרס נובל ריצ'רד פיינמן ב-1948. גישה זו מצטרפת לאלו של שרדינגר והייזנברג כתיאור נוסף של מכניקת הקוונטים.
היא מדגישה את השוני בין המכניקה הקוונטית והמכניקה הקלאסית, כיוון שבזו האחרונה, מעבר חלקיק בין שתי נקודות נתונות מתבצע לאורך מסלול אחד ויחיד.
אינטגרלי מסלול הוכיחו עצמם כיעילים מאוד לצורך פיתוח התמונה הפיזיקלית, ופתרון של בעיות רבות בתורת הקוונטים, וההכללה שלהם לתורת שדות היא כיום ה"שפה" המקובלת של הפיזיקה התאורטית.
אינטגרלי המסלול (path integrals) שהוצגו על ידי פיינמן ב-1948 ובהם דן ערך זה, הומצאו מתוך ניסיון להבנה עמוקה יותר של מכניקת הקוונטים והם שונים בתכלית מאינטגרלי המסלול במתמטיקה.
במתמטיקה אינטגרלי מסלול (או אינטגרלים מסילתיים) מתייחסים לאינטגרלים של פונקציות (סקלריות או וקטוריות) לאורך מסילות במרחב.
לעומת זאת כאן האינטגרציה היא של פונקציונלים והמסילות במרחב הן למעשה משתני האינטגרציה.
כשם שחשבון וריאציות הוא הכללה של פעולת הנגזרת עבור פונקציונלים, אינטגרלי מסלול, בהקשר בו נדון כאן, מהווים הכללה של פעולת האינטגרציה.
בניגוד למכניקה הקלאסית הדטרמיניסטית, תיאור הדינמיקה של מערכות קוונטיות נעשה במונחים של הסתברות.
בפרט, משוואת שרדינגר מתארת את ההתפתחות בזמן של מערכת קוונטית, היא משוואה עבור אמפליטודת הסתברות או פונקציית הגל אשר הערך המוחלט שלה בריבוע נותן את ההסתברות עבור מציאת החלקיק במקום מסוים או במצב מסוים.
אינטגרלי המסלול של פיינמן מבטאים את אמפליטודת ההסתברות למעבר מנקודת ההתחלה לנקודת הסיום , לאחר זמן, כסכום על כל המסלולים האפשריים המחברים נקודות אלו, כלומר מסלולים שנקודת ההתחלה שלהם היא ונקודת הסיום :
כאן המקדם מייצג את המשקל (המידה) של תרומת המסלול ה-י, ואילו הוא פונקציונל הפעולה הקלאסית של החלקיק הנע לאורך המסלול זה.
אם, בפרט, נניח שחלקיק בעל מסה נע תחת ההשפעה של האנרגיה הפוטנציאלית , אזי פונקציונל הפעולה המתייחס למסלול כלשהו הוא:
הוא הלגראנז'יאן של המערכת, ו- מציין את מהירות החלקיק או הנגזרת לפי הזמן של מיקומו.
הפעולה המחולקת בקבוע פלאנק מיצגת את הפאזה שצובר החלקיק לאורך המסלול.
הפרוש של נוסחה זו הוא שחלקיק קוונטי עובר מנקודה אחת לשנייה דרך כל המסלולים האפשריים בו זמנית, וההתאבכות של התרומות מכל המסלולים היא שקובעת את אמפליטודת ההסתברות (ולכן גם את ההסתברות) למעבר.
ההצגה בעזרת אינטגרלי מסלול מבהירה את הבדל בין הדינמיקה הקלאסית והקוונטית: הדינמיקה הקלאסית נקבעת מעקרון הפעולה המינימלית לפיו המסלול בו נע החלקיק הוא זה עבורו פונקציונל הפעולה מינימלי.
לעומת זאת התורה הקוונטית מאפשרת תנועה של החלקיק גם במסלולים אחרים עבורם הפעולה אינה מינימלית.
למרות זאת, כפי שנראה בהמשך, למסלולים הקלאסיים, בהיותם "נקודות מינימום" של פונקציונל הפעולה (ע"ע חשבון וריאציות), מעמד מיוחד, ותרומתם בגבול של אורכי גל קצרים דומיננטית.
בחלק זה נראה תמצות לדרך בה מקבלים, באופן פורמלי, את ההצגה של אמפליטודת ההסתברות בעזרת אינטגרלי המסלול.
החישוב המפורט, מראשיתו ועד סופו, מופיע בערך המורחב.
לשם פשטות, נתבונן במערכת חד-ממדית המתוארת באמצעות ההמילטוניאן:
כאשר היא מסת החלקיק, התנע שלו, מיקומו ו- האנרגיה הפוטנציאלית שלו.
אמפילטודת המעבר מנקודה לנקודה נתונה בביטוי:
כאשר השתמשנו בסימון דיראק בו המצב מציין מצב מקום.
לגודל זה נהוג גם לקרוא אופרטור ההתפתחות בזמן (או הפרופגטור) כיוון שהוא מקדם את המערכת בזמן.
מכיוון שהמערכת אינה תלויה מפורשות בזמן אפשר לרשום את האופרטור כמכפלה של גורמים כאשר .
בשלב הבא מציבים בין כל זוג גורמים במכפלה הזו את אופרטור הזהות המבוטא באמצעות יחס השלמות של מצבי המקום:
כאשר לשם נוחות ההצגה החלפנו את המציין של נקודת הסיום להיות .
אופרטור ההתפתחות בזמן עבור פרק זמן קטן הוא:
ולכן אמפליטודת המעבר בגבול היא
לנוסחה זו ניתן לתת את הפרוש הבא: אמפליטודת ההסתברות למעבר בין שתי נקודות נתונות בפרק זמן היא מכפלה של אמפליטודות הסתברות למעבר דרך סדרת נקודות כאשר פרק הזמן למעבר בין כל שתי נקודות שכנות הוא , ויש לסכם על כל נקודות הבינים האפשריות.
אם נפרש את המשתנים כדגימה של הפונקציה , המתארת את מסלול החלקיק, בזמנים , אזי האינטגרל שלמעלה מתאר אינטגרציה על כל המסלולים האפשריים המחברים את נקודת ההתחלה והסיום.
השלב האחרון הוא בסך הכול הסימון של האינטגרל שלעיל.
בהנחה ש- הן נקודות הדגימה של מסלול החלקיק , ניתן להבין את הסכום באספוננט כסכום רימן אשר בגבול נותן את הפעולה לאורך המסלול:
ולכן נהוג לסמן את האינטגרל המסלולי בצורה:
כאשר הוא הלגראנז'יאן של המערכת.
הסמל אנלוגי לסמל באינטגרציה של פונקציות, ומשמעותו שיש לסכם על כל המסלולים עם משקל (מידה) הנקבעת דרך הדיסקרטיזציה של האינטגרל לנקודות זמן , בגבול .
אינטגרלי מסלול, שהוצגו כאן עבור חלקיק יחיד בממד אחד, ניתנים להכללה בכמה אופנים:
חלקיק יחיד הנע בממד גבוה יותר: במקרה יש ההכללה נעשית על ידי מעבר מהקואודינטה לווקטור הקואורדינטנות בעל ממד גבוה יותר, בפרט בשלושה ממדים .
חלקיק הנע תחת השפעה של שדה מגנטי: ההכללה במקרה זה לוקחת בחשבון את ההתנהגות הלא-מקומית הנובעת מאפקט אהרונוב-בוהם.
כמו כן אופן הבחירה של משקלות המסלולים (המידה) שונה מעט (ע"ע חשבון איטו).
מערכות מרובות חלקיקים (בוזונים או פרמיונים): זוהי ההכללה החשובה ביותר של אינטגרלי מסלול כיוון שהיא מאפשרת לדון במערכות פיזיקליות כלליות כמו מתכות או אטומים מרובי אלקטרונים.
תיאור מערכות בשיווי משקל תרמודינמי: מתקבל על ידי המשכה אנליטית של אינטגרלי המסלול לזמן דמיוני.
המכניקה הקוונטית מהווה תיאור מיקרוסקופי מדויק של חוקי הפיזיקה, ולכן אפשר לצפות שחוקי המכניקה הקלאסית מתקבלים כגבול של התורה הקוונטית, כשם שחוקי ניוטון מתקבלים מתורת היחסות הפרטית בגבול של מהירויות נמוכות ממהירות האור.
במקרה דנן, המכניקה הקלאסית מתקבלת מהגבול בו קבוע פלאנק שואף לאפס .
כדי לראות שגבול זה מזדהה עם עקרון הפעולה המינימלית (ממנו נגזרים חוקי המכניקה הקלאסית) יש לזהות מהם המסלולים בעלי התרומה הגדולה ביותר לאינטגרל המסלולי המתאר את אמפליטודת המעבר בין שני מצבים.
כפי שאפשר לראות אמפליטודת המעבר בעלת סינגולריות עיקרית בגבול .
משמעות הדבר, כאן, שבגבול שינוי קטן בצורת המסלול משנה את הפאזה שלו באופן משמעותי, ולכן הסכום על המסלולים, בדרך כלל, יתמצע לאפס בדומה לאינטגרציה של פונקציה מחזורית שהממוצע שלה אפס.
יוצאים מן הכלל הם המסלולים אשר שינויים קטנים שלהם אינם משנים את הפאזה באופן משמעותי.
מסלולים אלו הם המסלולים עבורם:
הוא פונקציונל הפעולה, ו- מציינת וריאציה קטנה של המסלול , והאפס באגף ימין הוא עד כדי אבר מסדר שני בווריאציה (ע"ע חשבון וריאציות).
המסלולים היחידים שתורמים בגבול הקלאסי הם, אם כן, אלו שפעולתם מינימלית, ובכך הוכחנו את עקרון הפעולה המינימלית.
הקשר בין אינטגרלי מסלול ומכניקה סטטיסטית
מתברר שאינטגרלי המסלול של פיינמן, ובפרט פרופוגטורי פיינמן, הם אנלוגיים לפונקציית החלוקה של מערכת קלאסית (בעלת מימד אחד גבוה יותר מהמימד של המערכת הקוונטית).
אם אנו מעוניינים לעקוב אחרי דמיון זה, עלינו לבצע אינטגרל בזמן מדומה.
לקשר זה משמעות גדולה כיוון שהוא מספק נקודת מבט נוספת על מערכות קוונטיות.
נדגים אותו באמצעות דוגמה: נתבונן במיתר המתוח בין שתי נקודות ו- ונניח שהוא יכול לבצע תנודות רוחביות בכיוון ציר הניצב לישר שלאורכו מתוח המיתר כאשר הוא במנוחה.
נוכל לתאר את צורת המיתר בעזרת הפונקציה .
נניח כעת שהמיתר נמצא תחת השפעה של פוטנציאל כך שהאנרגיה של אלמנט אורך אינפינטיסימלי היא .
בנוסף לכך אם מתיחות המיתר היא אז האנרגיה הכרוכה בעיוות המיתר ממצב שיווי המשקל שלו לצורה כלשהי נתונה על ידי הפונקציונל:
פונקציית החלוקה של מערכת זו, , מוגדרת להיות הסכום על כל מצבי המיתר האפשריים כאשר המשקל של מצב בעל אנרגיה הוא .
כאן הוא קבוע בולצמן ו- היא הטמפרטורה, ולכן:
אמפליטודת המעבר עבור זמן מדומה נתונה באינטגרל המסלולי:
המבנה של שני הביטויים שקיבלנו, פונקציית החלוקה של מיתר קלאסי, ואמפליטודת המעבר בזמן מדומה, זהה, ומכאן נובעת האנלוגיה בין שתי הבעיות.
בטבלה הבאה מסוכמת אנלוגיה זו בין הבעיות:
האנלוגיה בין פונקציית חלוקה ואמפליטודת מעבר פונקציית חלוקה אמפליטודת מעבר טמפרטורה קבוע פלאנק אורך המיתר זמן המעבר המדומה מתיחות מסה צורת המיתר מיקום החלקיק כפונקציה של הזמן המדומה
אינטגרלי המסלול של פיינמן, האנלוגיה שלהם לבעיות בפיזיקה סטטיסטית, כמו גם אינטגרציה בזמן מדומה, אינן שעשוע מתמטי ותו לא.
לאינטגרלי המסלול של פיינמן אפליקציות רבות ומגוונות בתחומים כגון מחקר של פולימרים, של DNA, של תנועה בראונית ואף של תנודות הבורסה.
אינטגרלי המסלול של פיינמן נותנים אף רקע להבנה אינטואיטיבית של ההבדלים בין הסטטיסטיקה הפרמיונית והבוזונית.
במתמטיקה, אינטגרל קווי (לעיתים גם אינטגרל לאורך עקום, אינטגרל מסלולי או אינטגרל מסילתי) הוא אינטגרל המחושב לאורך מסילה במרחב, ולאו דווקא לאורך קטע ממשי.
כמו האינטגרל הרגיל, האינטגרל הקווי מסכם ערכים של פונקציה נתונה ומשקלל אותם לפי אורך המסילה, באופן המכליל סיכום של מספר סופי של ערכים.
הפונקציה שאת האינטגרל שלה מחשבים עשויה לקבל ערכים ממשיים, או ערכים וקטוריים בכל מרחב בנך (ובכלל זה המרחב האוקלידי).
האינטגרל נקרא לפעמים מסוג ראשון כאשר הוא מסכם פונקציה סקלרית (ממשית או מרוכבת), או מסוג שני כאשר הוא מסכם פונקציה וקטורית.
האינטגרל מהסוג השני הוא למעשה סכום של רכיבים של וקטור, שרכיביו הם בעצמם אינטגרלים מהסוג הראשון.
לשני הסוגים ישנן משמעויות פיזיקליות שונות, ולכן לעיתים דרך הטיפול בהם שונה.
הצורך באינטגרל קווי עולה בעת ניתוח גדלים הקשורים בתנועה במסלול שאינו ישר, או בתכונות פיזיקליות של גוף שניתן לתיאור כקו עקום במרחב, כגון חוט דק.
בדרך זו, ניתן לחשב גדלים כדוגמת אורך, מסה, או מטען חשמלי.
האינטגרל הקווי מחשב כוח הפועל על גוף שצורתו ניתנת לתיאור על ידי עקום, או עבודה של כוח הפועל על מסה אשר נעה לאורך מסלול כלשהו, כמו גם התנהגות של שדות פיזיקליים (למשל, שדה חשמלי) על פני מסלולים.
לאינטגרלים קוויים של פונקציות אנליטיות או הרמוניות ישנן תכונות מתמטיות הקושרות אותם לערכי הפונקציה במשטח שאותו סוגר העקום.
בקשרים אלה עוסקים כמה משפטים באנליזה מרוכבת, באנליזה וקטורית ובאנליזה הרמונית.
נהוג לסמן אינטגרל קווי לאורך מסלול בסימן .
אם הוא מסלול סגור, מסמנים אותו לעיתים .