tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מִי צָרַת הָאֻמָּה בִּלְבָבוֹ נָגָעָה"; לא הונם של העולים, ייחוסם, או תפיסת עולמם אמורה לקבוע האם ישוייכו אל מפעל ההתיישבות החדש בארץ, הממומן ברובו מקרנות לאומיות ועזרתם של נדבנים כגון הנדיב הידוע; אלא רק התמסרותם, הקרבתם, אכפתיותם ומעורבותם בשאלת גורל האומה ועתידה.
במתמטיקה, לֶמת רימן־לבג, על שם המתמטיקאים ברנהרד רימן ואנרי לבג, קובעת כי התמרת פורייה או התמרת לפלס של פונקציה ממרחב L1 מתאפסת באינסוף.
ללֶמה חשיבות רבה באנליזה הרמונית.
בהינתן פונקציה מדידה, שהיא L1 (כלומר: אינטגרל לבג של הוא סופי), אזי:
כלומר, התמרת פורייה של שואפת ל- כאשר שואף לאינסוף.
תהא פונקציה רציפה למקוטעין בקטע [L,L-], ויהיו An ו-Bn מקדמי טור פורייה שלה.
ניתן להכליל את הלֶמה של רימן-לבג לפונקציות אינטגרבליות ולאו דווקא רציפות.
הוכחה עבור פונקציות רציפות ומחזוריות לכל קיים פולינום טריגונומטרי כך ש- נובע מיידית ממשפט פייר כיוון שממוצע סאזרו הוא פולינום טריגונומטרי לכל (מקדמי פורייה של פולינום טריגונומטרי מקיימים: ).
בתורת הקבוצות, למת פודור היא טענה האומרת כי לכל מונה סדיר שאינו בן-מנייה, קבוצת שבת S ופונקציה דוחסת על S, קיימת תת-קבוצה של S כך שהפונקציה מצומצמת לתת-הקבוצה היא קבועה.
הלמה הוכחה בצורתה המודרנית על ידי ג'זה פודור בשנת 1956. גרסה חלשה יותר של הלמה הוכחה בשנת 1929 על ידי אוריסון ואלכסנדרוב.
יהא מונה סדיר שאינו בן-מנייה, תהא קבוצת שבת ותהא פונקציה דוחסת, כלומר פונקציה שמקיימת לכל איבר בתחום הגדרתה.
אז קיימים ו- כך ש:
נניח כי סדיר, וקיימת פונקציה דוחסת , כך שלכל האוסף אינו קבוצת שבת.
נראה כי S אינה קבוצת שבת.
נבחר לכל קבוצה סגורה ולא חסומה זרה ל-.
קבוצה זו מכונה החיתוך האלכסוני של האוסף .
ניתן לוודא כי D סגורה ולא חסומה.
D זרה ל-S, כי עבור איבר בחיתוך היה מתקבל כי:
ולכן בסתירה לכך ש-f דוחסת.
במהלך ההוכחה השתמשנו רק בעובדה שמסנן הקבוצות הסגורות ולא חסומות סגור תחת חיתוך אלכסוני (מסנן כזה נקרא נורמלי).
לכן, ניתן להכליל את הטענה לכל מסנן נורמלי.
תוצאה זו שימושית במיוחד כאשר יש ברשותנו על-מסנן נורמלי (למשל במונה מדיד).
במקרה הזה באמצעות הלמה של פודור ניתן יהיה להסיק כי כל פונקציה דוחסת היא למעשה קבועה על פני קבוצה ממידה 1, כלומר קבוצה מעל המסנן.
תומאס יך הכליל את מושג הקבוצה הסגורה ולא חסומה, ובהתאם את מושג קבוצת השבת, לתת קבוצות של (אוסף תתי הקבוצות של מעוצמה קטנה מ-).
במקרה הזה, פונקציה דוחסת מוגדרת להיות פונקציה שהטווח שלה הוא והיא מקיימת לכל x בתחום של פונקציה#תחום ההגדרה שלה.
מתקבל כי אם פונקציה דוחסת f, מוגדרת על קבוצת שבת S, אז קיימת תת-קבוצה של S שהיא שבת ועליה f קבועה.
ללמת פודור יש שימושים רבים בתורת הקבוצות ובתחומים הקרובים לה (כמו טופולוגיה קבוצתית).
נדגים שימוש אופייני - נוכיח שניתן לפצל את (המונה הראשון שאינו בן מנייה) ל- קבוצות שבת זרות.
זהו מקרה פרטי של משפט סולוביי.
נבחר לכל סודר גבולי סדרה מונוטונית עולה ששואפת ל-.
קודם כל, קיים n בו לכל האוסף הוא שבת.
הפונקציה דוחסת, ולכן לפי למת פודור קיימת קבוצת שבת כך שלכל , מתקיים .
באותו אופן, קיימת שבת עם ערך קבוע של שבהכרח יהיה גדול יותר מ-.
נמשיך כך באינדוקציה טרנספיניטית לאורך צעדים (כאשר בכל שלב אנחנו דואגים לכך ש-) ונקבל את התוצאה הרצויה - היא משפחה של קבוצות שבת זרות.
לאונרד קווין "לן" ביאס היה כדורסלן מכללות אמריקאי ששיחק בעמדות הפורוורד בקבוצת הכדורסל של אוניברסיטת מרילנד.
ביאס נבחר בבחירה השנייה בדראפט ה-NBA של שנת 1986 על ידי בוסטון סלטיקס, אך לא הספיק לשחק בליגת ה-NBA.
יומיים לאחר בחירתו בדראפט הוא נפטר מהפרעת קצב שנבעה ממנת יתר של קוקאין.
ביאס נחשב אחד משחקני הכדורסל הטובים ביותר שלא שיחקו ברמה מקצוענית.
ביאס נולד בלנדובר, מרילנד ושיחק בצעירותו במדי קבוצת הכדורסל בתיכון "נורת'ווסטרן" המקומי.
לאחר סיום לימודיו התיכוניים, נרשם ביאס לאוניברסיטת מרילנד והצטרף לקבוצת הכדורסל שלה המשחקת בחטיבת החוף האטלנטי (נקראת ה-ACC).
ביאס החל להשתלב בקבוצה, ובעונת ה כבר היה לקלעי השני בטיבו באוניברסיטה עם 15.2 נקודות, שני רק לבן קולמן עם 15.3 נקודות, וסייע לקבוצתו להעפיל עד לשלב שמינית-גמר טורניר אליפות המכללות.
כשהיה , כבר היה ביאס לקלעי המוביל של קבוצתו.
הוא רשם לאורך העונה 18.9 נקודות, והוביל את קבוצתו לאליפות החטיבה ולשמינית גמר טורניר אליפות המכללות, ונבחר לשחקן השנה בחטיבה, ולחמישייה השנייה של העונה בליגת המכללות כולה.
בעונתו האחרונה במכללות המשיך ביאס לשמור על יכולתו הגבוהה.
הוא קלע לאורך העונה 23.2 נקודות, כולל תצוגה של 35 נקודות מול אוניברסיטת קרוליינה הצפונית, המדורגת ראשונה בליגה, ונבחר פעם נוספת לשחקן השנה בחטיבה, ולחמישייה המצטיינת של העונה בליגת המכללות כולה.
לאחר ארבע שנים בליגת המכללות, עמד ביאס לבחירה בדראפט ה-NBA.
הוא נבחר בבחירה השנייה על ידי בוסטון סלטיקס שזכתה באליפות הליגה רק כשבוע קודם לכן.
נשיא הקבוצה, רד אאורבך, תכנן שביאס ייקח חלק כ שייתן גיבוי כמחליפו של לארי בירד, ולאחר פרישתו של בירד יהיה השחקן המוביל של הקבוצה בשנות ה-90 של המאה ה-20.
באנליזה מרוכבת, למת שוורץ (Schwarz lemma) היא טענה הקובעת כי פונקציה מרוכבת אנליטית ממעגל היחידה לעצמו המתאפסת באפס נשלטת על ידי פונקציית הזהות.
הלמה נובעת כמעט ישירות מעקרון המקסימום של פונקציות אנליטיות.
את הלמה ניסח והוכיח הרמן שוורץ.
הלמה, פשוטה ככל שתהיה, היא הבסיס לטענות רבות אחרות, חלקן מורכבות במיוחד, כמו משפט המיפוי של רימן.
יהי עיגול היחידה ללא השפה.
תהי פונקציה אנליטית, כך ש-.
אם בסעיף הראשון מתקיים שוויון עבור , או שמתקיים שוויון בסעיף השני, אזי קיים כך ש-.
לכל ולכל מתקיים לפי עקרון המקסימום:
אם משאיפים , שוב לפי עקרון המקסימום מקבלים , כלומר (הגרירה היא לכל , אך ל- זה ברור).
בפרט, עבור אי השוויון ל- ב- מקבלים .
כעת, אם מתקיים שוויון כנ"ל באחד הסעיפים, הרי ש- עבור נקודה פנימית של , ולכן לפי עקרון המקסימום קבועה ושווה לקבוע עם ערך מוחלט 1, ולכן מקבלים .
גרסה נוספת (ולמעשה שקולה) ללמת שוורץ היא למת שוורץ-פיק (על שם גאורג פיק):
קל לבדוק כי אנליטית והפיכה, עם הפכית .
אם כן הטענה שצריך להוכיח היא .
היות שהפונקציה הפיכה, אפשר להחליף , ונקבל ששקול להוכיח
כעת נשתמש בלמת שוורץ - נגדיר .
ומתקיים , ולכן מקבלים הדרוש.
כדי להסיק את אי שוויון שוורץ-פיק, נשים לב שמהחלק הראשון נובע
; אי השוויון נובע כאשר משאיפים .
להלן תוצאות נוספות מלמת שוורץ.
כל פונקציה אנליטית בעלת שתי נקודות שבת היא הזהות.
יהי חצי המישור המרוכב העליון.
כל פונקציה מקיימת את אי השוויון:
למת הנחש הוא משפט באלגברה הומולוגית העוסק בזוג סדרות קצרות מדויקות עם העתקות ביניהן, שיוצרות דיאגרמה מתחלפת.
המשפט קושר בין הגרעינים והקו-גרעינים של ההעתקות הנתונות, באופן המאפשר לקבל סדרה מדויקת חדשה.
ללמת הנחש תפקיד מרכזי בהוכחת הדיוק של סדרת מאייר-ויאטוריס המקשרת בין ההומולוגיה של מרחב טופולוגי לבין ההומולוגיה של כיסוי פתוח שלו.
יהיו חבורות אבליות או מודולים מעל חוג או באופן כללי יותר אובייקטים של קטגוריה אבלית נתונה, ונניח כי הדיאגרמה הבאה מתחלפת,
כאשר הומומורפיזמים, וכן השורה העליונה והשורה התחתונה מהוות סדרות קצרות מדויקות.
אזי קיים הומומורפיזם טבעי כך שמתקבלת סדרה מדויקת מהצורה,
בנוסף, אם הוא מונומורפיזם, אז גם החץ הוא מונומורפיזם.
כמו כן, אם הוא אפימורפיזם אז גם החץ הוא אפימורפיזם.
הסיבה לשם למת הנחש, הוא האופן בו נבנית הסדרה המדויקת מתוך הדיאגרמה:
בניית ההעתקות של הסדרה המדויקת
ההעתקות בין הגרעינים והקו-גרעינים מושרות באופן טבעי.
לכן גם הדיוק של חלקה הראשון של הסדרה והדיוק של חלקה השני מתקבלים מההנחה כי הסדרות המקוריות מדויקות.
האתגר המרכזי הוא בניית ההעתקה .
נתאר את בניית ההעתקה עבור המקרה של חבורות אבליות או מודולים מעל חוג:
נתבונן בשיכון הטבעי , ונשתמש בכך ש- העתקה על.
מהתחלפות הדיאגרמה נובע כי , כאשר השוויון האחרון הוא כי .
מהיות השורה התחתונה מדויקת, נובע שקיים המקיים , והוא יחיד מההנחה כי חח"ע.
ניתן להראות כי אכן מוגדרת היטב, כי היא הומומורפיזם וכי אכן מתקבלת סדרה מדויקת.
כפי שהוזכר לעיל, ההעתקה היא טבעית.
כלומר, נתבונן במצב של דיאגרמה המתארת סיטואציה כפולה מזו שבלמת הנחש,
כאשר בנוסף להתחלפות של הדיאגרמה בעלת האינדקס 1 והדיאגרמה בעלת האינדקס 2, יש גם התחלפות של כל הדיאגרמה התלת-ממדית.
אז ניתן לקבל זוג סדרות ארוכות מדויקות על ידי הפעלת למת הנחש פעמיים, ומתקבלות העתקות בין הסדרות הארוכות המדויקות הללו בצורה הבאה,
למרקוס ריד השלישי הוא כדורסלן אמריקאי בעמדת הגארד אשר משחק בבלקן בוטבגרד מהליגה הבולגרית.
ריד החל את הקריירה שלו בעונת 2008/09 בקבוצת הכדורסל של אוניברסיטת טקסס ארלינגטון, שם שיחק כארבע עונות.
בסיום תקופות המכללות, ולאחר שלא נבחר בדראפט הצטרף לליגת הקיץ ונבחן בקבוצת ה-NBA פורטלנד טרייל בלייזרס, אך לאחר שלא הרשים בליגת הקיץ שוחרר מהקבוצה לאחר שני משחקים.
בסיום הקיץ, לאחר שלא הצליח למצוא קבוצה בארצות הברית, הצטרף ריד לאנטוורפ ג'יינטס מהליגה הבלגית, זמן קצר לאחר תחילת העונה שוחרר מהקבוצה וחתם בלולאה מהליגה השוודית הראשונה.
בעונת 2013/14 עבר לאתאה אגומיס מהליגה הקפריסאית במדייה הפך לשחקן דומיננטי ובעל יכולת קליעה מרשימה.
בעונת 2014/15 עבר לקבוצת אריס סלוניקי מצמרת הליגה היוונית.
באריס הרבה ריד לשחק ואף נחשב לשחקן מפתיע ובעל מהלכים לא צפויים אך על אף זאת עבר בסוף אותה עונה לרואן מהליגה הצרפתית השנייה.
במדי רואן לא הצליח ריד להרשים ובתום עונה חלשה יחסית עזב את הקבוצה.
בעונת 2015/16 עבר לקוטקה מהליגה הפינית, במדי קטוקה ריד השתלב מבחינה מקצועית והרבה לקלוע בעיקר מחוץ לקשת ומזריקות בחצי טווח, אך לא הרבה לקלוע מתחת לסל עקב גובהו הנמוך יחסית לשחקנים האחרים.
בעונת 2016/17 עבר לשחק בקבוצת קייבי פיה מBKT סופרליגה הקוסובית ושיחק במדיה גם בליגה הבלקנית.
במהלך העונה עבר לשחק בקבוצת מורש באסקט מהליגה הרומנית ושיחק עמה ביורופקאפ.
בעונות 2017/18 חתם בהפועל חיפה מהליגה הלאומית בישראל.
בינואר 2018 עזב ריד את הפועל חיפה.
לנאנרגו היא חברת אנרגיה וחשמל רוסית המספקת חשמל לצרכנים בעיר סנקט פטרבורג ובמחוז לנינגרד.
החברה מספקת חשמל לאוכלוסייה של מעל 6 מיליון אנשים — העיר סנקט פטרבורג (אוכלוסייה של מעל 5 מיליון אנשים) ומחוז לנינגרד (אוכלוסייה 1,7 מיליון אנשים).
מנכ"ל החברה הנוכחי, מאז ינואר 2018, הוא אנדריי ריומין
51% ממניות החברה שייכות לחברת רוס-סטי, 19% נמצאים בידי חברת "KES-Holding", הפועלת בכפיפות למינהל העיר סנקט פטרבורג, 4% מהמניות מפוזר בין חברות קטנות.
הניסיון הראשון להפעלת תאורה וחשמל במקום גז בעיר סנקט פטרבורג, בוצע על ידי מהנדס הארמון בסנקט פטרבורג, וסילי פשקוב במטרה להאיר את חדרי ארמון החורף במהלך חג המולד וערב השנה החדשה של שנת 1885. ב-9 בנובמבר 1885 אושר פרויקט בניית מפעל מיוחד לייצור חשמל, בהוראת אלכסנדר השלישי.
ב-4 (16) ביולי 1886, הקיסר אלכסנדר השלישי אישר את האמנה להקמת "החברה לתאורה חשמלית של 1886" (Общества электрического освещения 1886 года) בהנהלת קרל סימנס.
ב-1924 החברה שינתה את שמה ל"פטרוטוק" (Петроток) ולאחר מכן, עד 1932 נקראה בשם אלקטרוטוק (Электроток).
ב-1932 החברה שינתה את שמה לשמה הנוכחי, "לנאנרגו".
למת לחיצות הידיים קובעת כי במסיבה שבה חלק מהאנשים לוחצים ידיים, כמות האנשים שלחצו ידיים מספר אי זוגי של פעמים חייבת להיות זוגית.
ללמה שימושים בתורת הגרפים, וממנה נובע כי בכל גרף לא מכוון קיימים מספר זוגי של צמתים שדרגתם אי זוגית.
הלמה היא תוצאה של נוסחת סכום הדרגות (נקראת גם: משפט הדרגה או משפט הדרגות) לפיה לכל גרף מתקיים: .
שתי התוצאות אלו הוכחו על ידי לאונרד אוילר במאמרו על בעיית הגשרים של קניגסברג שהיווה את הבסיס לתורת הגרפים.
הצמתים בעלי דרגה אי זוגית נקראים לפעמים צמתים אי זוגיים או קודקודים אי זוגיים, ולפי המינוח הזה נוכל לומר שהלמה קובעת שבכל גרף לא מכוון יש מספר זוגי של צמתים אי זוגיים.
נוכיח קודם את נוסחת סכום הדרגות ובאמצעותה נוכיח את הלמה:
נספור בשתי דרכים שונות את מספר הזוגות כאשר מסמל קשת ו- הוא צומת ש- יוצאת ממנו, כל צומת נמצא ב- זוגות (שכן יוצאות מהצומת קשתות), לכן מספר הזוגות הוא סכום כל דרגות הצמתים בגרף.
אולם, ניתן לספור גם לפי הקשתות, כל קשת נמצאת ב-2 זוגות (עם כל אחד מהקצוות של ), ולכן מספר הזוגות הוא גם פעמיים מספר הקשתות.
כלומר קיבלנו את השוויון .
נוכיח באמצעות השוויון הקודם את הלמה:
נניח בשלילה שיש מספר אי זוגי של צמתים אי זוגיים בגרף לא מכוון כלשהו, סכום כל הדרגות של הצמתים האי זוגיים הוא אי זוגי (כיוון שחיברנו מספרים אי זוגיים מספר אי זוגי של פעמים), סכום הדרגות של הצמתים בעלי דרגה זוגית הוא זוגי (חיבור מספרים זוגיים תמיד יוצא מספר זוגי).
לכן הוא מספר אי זוגי (כחיבור של מספר זוגי ומספר אי זוגי).
בסתירה לכך שצד שמאל של השוויון הוא אי זוגי, ולכן מספר הצמתים האי זוגיים בכל גרף לא מכוון הוא זוגי.
מנוסחת סכום הדרגות נקבל שלכל גרף -רגולרי בעל צמתים יש קשתות.
אם אי זוגי, מספר הקשתות בגרף חייב להתחלק ב-.
כלומר, אם אי זוגי בגרף יש מספר זוגי של צמתים.
הלמה אינה נכונה בעבור גרפים אינסופיים, וזאת גם אם בגרף ישנם רק מספר סופי של צמתים בעלי דרגה אי זוגית.
לדוגמה, לגרף שרוך עם נקודת קצה אחת יש רק צומת יחיד עם דרגה אי זוגית, בניגוד ללמה.
למת הרגולריות של סמרדי או בקיצור למת הרגולריות, היא משפט שימושי בקומבינטוריקה קיצונית שהתגלה על ידי המתמטיקאי ההונגרי אנדריי סמרדי (Endre Szemerédi).
הלמה מאפשרת, בהינתן כל גרף (לא משנה כמה גדול הוא), לקרב אותו על ידי גרף בגודל קבוע, כשגודלו של הגרף המקרב נקבע רק על פי איכות הקירוב.
ללמה שימושים רבים, בקומבינטוריקה קיצונית ומחוץ לה, למשל במדעי המחשב.
למרות חוזקה, הקבועים הגדולים שמעורבים בה הופכים אותה לתאורטית בלבד.
הלמה התגלתה על ידי סמרדי, תחילה כמקרה פרטי שעסק בגרפים דו צדדים, שהשתמש בה כדי להוכיח את משפט סמרדי בשנת 1975. המשפט אינו עוסק באופן ישיר בתורת הגרפים, אלא בקיומן של סדרות חשבוניות ארוכות כרצוננו בתתי קבוצות של מספרים טבעיים.
הלמה נוסחה והוכחה באופן מלא על ידו בשנת 1978.
בקסידיתן גרף G, ושתי קבוצות קודקודים נגדיר את הצפיפות ביניהן על ידי כאשר
יש לציין שמספר זה אכן מציין (מנורמל במשקל של גודלי הקבוצות ) את השאלה עד כמה "מלא" תת-הגרף של הקשתות בין ל .
אפשר לאמת שמספר זה שווה ל-1 אך ורק כאשר הגרף הוא מלא.
כמו כן, מספר זה מציין את ההסתברות שבהגרלת זוג קודקודים אקראי בהתפלגות אחידה, יש ביניהם קשת בגרף.
נאמר שהקבוצות הן - רגולריות אם לכל שתי תתי קבוצות המקיימות מתקיים .
כלומר, הצפיפות של כל שתי תתי קבוצות גדולות מספיק דומה לצפיפות של הקבוצות הגדולות.
המשמעות האינטואיטיבית של זה היא שהקשתות בין X ל-Y מתפלגות "אחיד".
כדי להשתכנע בכך, אפשר לתאר לעצמנו מצב שבו מרבית הקשתות יוצאות ממספר קודקודים בודדים.
במקרה זה, אם נשמיט "מעט" קודקודים (פחות מ מגודל הקבוצה) עדיין נאבד את מרבית הקשתות.
במצב זה זוג הקבוצות לא יהיה רגולרי.
תהא חלוקה של צמתי הגרף לתתי קבוצות זרות זו לזו.
חלוקה של הגרף תקרא -רגולרית אם:
כל הקבוצות בגודל שווה, כלומר קיים מספר כך ש , ובמלים אחרות
מרבית הזוגות של מחלקות מתוך החלוקה הם רגולרים, וליתר דיוק - הם זוג קבוצות רגולריות - כמעט לכל - לכל הזוגות, למעט מתוך הזוגות האפשריים
כיוון שגודל הגרף לא תמיד מתחלק ב-k, התנאי הראשון לא תמיד מתקיים.
ישנן שתי דרכים להתגבר על כך:
להחליף את התנאי הראשון בתנאי , כלומר כל הקבוצות כמעט שוות בגודלן (שונות בלכל היותר 1)
להרשות קיום קבוצה נוספת (שמסמנים ב-) שמקיימת .
לכל ולכל קיים כך שלכל גרף על לפחות קודקודים יש חלוקה - רגולרית.
הלמה מבטיחה קיומה של חלוקה - רגולרית בגרף בגודל גדול דיו (לכל ) ועם לכל הפחות מחלקות.
היות שהמבנה של חלוקה כזו נוח לעבודה ונותן מידע רב על הגרף, כוחה של הלמה הוא במתן מידע על מבנה הגרף אך ורק לפי מספר הקודקודים שלו.
ההוכחה מתבססת על הגדרת פונקציה q שמקבלת חלוקה ומחזירה מספר בין 1 ל-0. הרעיון בהוכחה הוא להתחיל מהחלוקה הטריוויאלית לחלק אחד, וכל עוד היא לא ε-רגולרית, למצוא חלוקה שמעדנת אותה, כך ש-q גדלה.
לשם כך, עבור כל זוג קבוצות שאינן רגולריות, מוצאים שתי תתי קבוצות שהצפיפות שלהן רחוקה מהצפיפות של הקבוצות הגדולות (קיומן של קבוצות כאלו נובע מהגדרת הרגולריות) ולקיחת החלוקה הגסה ביותר כך שכל אחת מתתי הקבוצות האלו יהיו איחוד מחלקות בחלוקה החדשה.
אפשר להראות שערך ה-q גדל בלפחות ε5, ולפיכך תוך לכל היותר ε-5 צעדים נגיע לחלוקה שהיא בהכרח רגולרית (כי ערך ה-q לא יכול לעלות מעבר ל-1).
בכל איטרציה, חילקנו את כל אחד מהחלקים למספר חלקים שעלול להיות אקספוננציאלי במספר הקודם (כי לכל חלק אחר מוצאים תת-קבוצה אחרת, והחלוקה שמעדנת את כולן עלולה להיות אקספוננציאלית).
מכיוון שיש ε-5 שלבים בהוכחה, מתקבל חסם שהוא tower-type של ε.
בתחילה הייתה תקווה לשפר חסם זה, אך בשנת 1997 הוכיח טימותי גוורס חסם תחתון שגם הוא tower-type, ובכך ביטל תקווה זו.
מהלמה אפשר לקבל גרף ממושקל שהוא "כיווץ" של הגרף המקורי: מחליפים כל קבוצת קודקודים בקודוקוד בודד, ובין כל שתי קבוצות שמים קשת שמשקלה כצפיפות בין שתי הקבוצות המקוריות.
הגרף הזה מכיל את "כל המידע" על הגרף המקורי, ולפיכך פעולות שהיו קשות לעשייה על הגרף המקורי נהיות קלות יותר.
אפשר למשל להוכיח שכדי לספור את מספר המשולשים בגרף G אפשר למצוא את הגרף המקרב G', לספור בו משולשים (כאשר "מספר המשולשים" בין שלושה קודקודים הוא מכפלת משקולות הקשתות) ואפשר להוכיח שהיחס בין מספר המשולשים ב-G' לגודלו קרוב (עד כדי ביטוי שתלוי ב-ε) ליחס הזה בגרף G.
ה-graph removal lemma (למת ההסרה) היא למה חשובה שניתן להוכיח באמצעות למת הרגולריות.
הלמה קובעת שבהינתן גרף H, בתנאים מסוימים (קיומו של עותק של H לאחר הסרת מעט קשתות מהגרף באופן יחסי) ניתן להבטיח את קיומם של עותקים רבים בגרף של H.
יהי גרף על קודקודים ויהי H גרף על h קודקודים.
נניח שקיים כך שלכל הסרה של קשתות מן הגרף עדיין קיים שיכון של H בגרף.
אז קיימת שתלויה רק ב-H וב- (אבל לא ב-n) כך שהגרף מכיל לפחות שיכונים זרים של H.
בדרך כלל מתייחסים לגרף H כאל "קבוע" ואך G כ"שואף לאינסוף".
מקרה פרטי חשוב הוא כאשר H הוא משולש (מעגל מאורך 3) ואז הלמה נקראת triangle removal lemma (למת הסרת המשולשים).
הוכחת Graph Removal Lemma כיישום של הלמה של סמרדי
הפעלת הלמה של סמרדי וקבלת חלוקה
הסרת חלק מן הקשתות הלא נוחות בגרף שהתקבל
שימוש ברגולריות הקבוצות על מנת להסיק קיומם של עותקים רבים של H בגרף שהתקבל (עותקים אלה היו קיימים, כמובן, גם בגרף המקורי).
על פי הלמה של סמרדי עבור כאשר , נקבל כי קיימת חלוקה כפי שהוגדרה קודם לכן.
נסיר את הקשתות הבאות מן הגרף
היות ש , קיימות לכל היותר קשתות שכאלה
קשתות בין זוגות לא רגולריים .
קיימים לכל היותר זוגות כאלה על פי הגדרת החלוקה, והיות ו מתקיים שקיימים לכל היותר זוגות כאלה.
היות ש כמות הקשתות בתוך תת-הגרף היא לכל היותר וישנם לכל היותר רכיבים כאלה, כך שכמות הקשתות הכוללת היא
קשתות בין רכיבים עם צפיפות הנמוכה מ , כלומר הסרת כל הקשתות בין המקיימים
אם כן, כמות הקשתות שהסרנו בין רכיבים אלה היא לכל היותר - על פי התכונות של והקשרים ביניהם, בדומה למעברים קודם לכן -
כלומר סה"כ כמות הקשתות אותן הסרנו
הקשתות שנותרו בגרף אם כן הן קשתות בין מחלקות שונות בצפיפות הגבוהה מ-d שהן גם זוג קבוצות רגולריות
לאחר שמסכמים כל זאת, רואים שלא הסרנו יותר מאשר קשתות מן הגרף, מה שמבטיח לנו לפי ההנחה קיום של עותק של H בגרף שנותר.
ניתן לשים לב שכל קודקוד של H צריך להיות במחלקה אחרת (שהרי לא השארנו קשתות שעוברות בין שני קודקודים באותה המחלקה).
אם בין שני קודקודים של H (שנקרא להם x,y) הייתה קשת, אז בין המחלקות שהם שייכים אליהן הייתה לפחות קשת אחת.
זה אומר שהצפיפות ביניהן היא לפחות d (שהרי כרגע בין כל שתי מחלקות הצפיפות היא או 0 או לפחות d, וראינו שהיא לא 0) והן גם רגולריות.
להשלמת ההוכחה משתמשים ב-Graph Counting Lemma, שאומרת את הטענה הבאה:
יהי H גרף על הקודקודים עם s קשתות ויהיו קבוצות קודקודים זרות כך שלכל מתקיים ש- הן רגולריות.
אזי מספר העותקים של H בקודקודים הוא
כלומר, מספר העותקים קרוב למספר העותקים ה"צפוי" לפי צפיפויות הקשתות בין הקבוצות.
בעזרת למה זו ניתן להוכיח שקיימות לפחות עותקים של H ב-G.
אם נסמן (נזכור ש-k,d,s,h לא תלויים ב-n), נקבל לפחות עותקים של H כרצוי.
ללמה יש הכללות רבות, רבות מהן נוגעות להיפרגרף, בדרך כלל k-יוניפורמי (כלומר, שכל קשת חלה בדיוק k קודקודים; גרף רגיל הוא 2 יוניפורמי).
הכללות כאלו ניתנו על ידי גוורס, טרי טאו, נוגה אלון ועוד.
בכל ההכללות הללו, החסם המתקבל הוא תמיד השלב ה-k בהיררכית אקרמן (שלב 2 הוא מגדל חזקות).
הכללות נוספות נוגעות לשיפור הדיוק שהגרף המתקבל מקרב את הגרף המקורי.
לאונרד רוי "לן" צ'אפל היה כדורסלן אמריקאי, אשר שיחק בליגות ה-NBA וה-ABA בין השנים 1962–1972. לאורך 9 עונותיו ב-NBA שיחק עבור 8 קבוצות שונות, השתתף פעם אחת במשחק האולסטאר, ורשם ממוצעים כוללים של 9.5 נקודות ו-5.3 ריבאונדים למשחק.
צ'אפל נולד בעיר פורטג' שפנסילבניה, ובין השנים 1958–1962 למד באוניברסיטת וייק פורסט אשר בווינסטון סיילם.
בעונת 1961/1962 הוביל את קבוצת הכדורסל של האוניברסיטה לפיינל פור טורניר אליפות המכללות, לראשונה בתולדותיה, תחת המאמן בונס מקיני.
במשחק חצי הגמר הפסידה וייק פורסט מול אוניברסיטת המדינה של אוהיו, בה שיחקו ג'ון האבליצ'ק וג'רי לוקאס, חרף משחק מצוין של צ'אפל אשר קלע 27 נקודות והוריד 18 ריבאונדים.
בסיום אותה עונה, במהלכה רשם ממוצעים של 30.1 נקודות ו-15.2 ריבאונדים למשחק, נבחר לחמישיית העונה של ליגת המכללות (First-team All-American).
מאז סיום לימודיו ועד לשנת 2006 החזיק בשיא הנקודות לשחקן במחוז ACC, עד ששבר אותו שחקן אוניברסיטת דיוק, ג'יי.
בדראפט ה-NBA 1962 נבחר צ'אפל בבחירה הרביעית, על ידי קבוצת סירקיוז נשיונלס.
בעונתו המלאה היחידה בקבוצה קלע 8.9 נקודות בממוצע למשחק, כשחקן ספסל.
לאחר משחק אחד בעונת נרכש על ידי ניו יורק ניקס.
בעונתו הראשונה עם הניקס הציג שיפור משמעותי, רשם ממוצעי שיא של 17.3 נקודות ו-9.8 ריבאונדים למשחק, ונבחר להשתתף במשחק האולסטאר של ה-NBA לצד חברו לקבוצה טום גולה.
בשתי העונות הבאות בניו יורק סבל ממספר פציעות, ותרם 6.8 נקודות למשחק בלבד כשחקן ספסל.
בדראפט ההרחבה של שנת 1966 נבחר על ידי שיקגו בולס, ולאחר 19 משחקים במדיה הועבר בטרייד לסינסינטי רויאלס.
לאחר עונה אחת בדטרויט פיסטונס נבחר על ידי מילווקי באקס בדראפט ההרחבה של שנת 1968. בשתי עונותיו במילווקי קלע 11.5 נקודות בממוצע למשחק, וסייע לה להעפיל לגמר האזור המזרחי בעונת .
בשתי העונות הבאות שיחק עבור קליבלנד קאבלירס ואטלנטה הוקס מה-NBA, ודאלאס צ'אפרלס מליגת ה-ABA.
ב-12 ביולי 2018 נפטר צ'אפל, בגיל 77, לאחר שסבל מדלקת ריאות ושבץ מוחי.
באנליזה מרוכבת, למת ז'ורדן היא תוצאה שימושית, המיושמת בדרך כלל ביחד עם משפט השארית כדי לחשב אינטגרלים קוויים (במישור המרוכב) ואינטגרלים לא אמיתיים.
הלמה נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי קאמי ז'ורדן.
נתייחס לפונקציה מרוכבת ורציפה f המוגדרת על מסילה חצי-מעגלית:
שלה רדיוס חיובי R, הנמצאת בחצי המישור העליון ושמרכזה בראשית.
אם הפונקציה f היא מהצורה:
עם פרמטר a חיובי, אז למת ז'ורדן היא האי-שוויון הבא עבור האינטגרל לאורך המסלול החצי-מעגלי:
כאשר שוויון בין אגף שמאל לחסם העליון שבאגף ימין מושג כאשר g מתאפסת בכל מקום על המסילה, ובמקרה זה שני האגפים הם זהותית אפס.
טענה אנלוגית תופסת עבור מסלול אינטגרציה חצי-מעגלי בחצי המישור התחתון כאשר .
אם f רציפה על המסילה החצי-מעגלית CR בעבור R גדול במידה שרירותית ו-
למת ז'ורדן מספקת דרך נוחה לחשב את האינטגרל לאורך הציר הממשי של פונקציות מהצורה שהן הולומורפיות בחצי המישור העליון ורציפות בחצי המישור העליון הסגור למעט אולי מספר סופי של נקודות במישור המרוכב.
אינטגרלים מסוג זה מופיעים כאשר מוצאים התמרת פורייה או התמרת לפלס של פונקציות מסוימות, כך שלמת ז'ורדן היא שימושית ביותר בחישובים כאלו.
כדי להיווכח בכך, נסתכל על המסילה הסגורה C שהיא שרשור המסלולים הנראים באיור.
מכיוון שעל C2 המשתנה z הוא ממשי, האינטגרל השני הוא ממשי:
אגף שמאל יכול להיות מחושב בעזרת משפט השארית וכך נקבל, עבור כל R הגדול יותר מהמקסימום של , ש-
כאשר מסמל את השארית של f בנקודות הסינגולריות zk.
לפיכך, אם f מקיימת את התנאי (*), אז לאחר לקיחת הגבול שבו רדיוס החלק המעגלי של המסילה R שואף לאינסוף, האינטגרל המסילתי לאורך C1 מתאפס לפי למת ז'ורדן ומתקבל ערך האינטגרל הלא אמיתי
מקיימת את התנאי של למת ז'ורדן עבור כל גדול מ-0 ושונה מ-1, והפרמטר a שלה הוא 1. נשים לב שבעבור ,
מכיוון שהקוטב היחידי של f בחצי המישור העליון הוא ב־, היישום לעיל מניב
מכיוון ש־ הוא קוטב פשוט של f ו־, מקבלים
תוצאה זו מדגימה את האופן שבו ניתן לחשב בקלות, בעזרת אנליזה מרוכבת, אינטגרלים שקשה לחשב בעזרת שיטות קלאסיות.
לפי הגדרת האינטגרל המרוכב הקווי נקבל
בעוד אי שוויון המשולש בגרסתו האינטגרלית
בעזרת שימוש בהגדרת MR כפי שמופיעה בניסוח של למת ז'ורדן ובסימטריה , נקבל
מקעירות גרף הפונקציה באינטרוול נובע שהוא נמצא מעל הקו הישר שמחבר בין נקודות הקצה שלו ו-, ולפיכך
בעבור כל , מה שגורר גם
בטופולוגיה, למת הצינור היא לֶמה שבעזרתה ניתן להוכיח כי מכפלה של מספר סופי של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית, מבלי להידרש למשפט טיכונוף (הגורס זאת לאוסף כלשהו של מרחבים קומפקטיים).
את הקבוצה מכנים לעיתים צינור (tube).
ניתן להראות כי ניסוח שקול של הלמה בעזרת העתקות סגורות הוא כדלקמן: אם זוג מרחבים טופולוגיים כך ש- קומפקטי, אז ההטלה , היא סגורה.
הלמה ניתנת להרחבה באופן הבא:
ראשית, נעיין בכיסוי של החתך בידי קבוצות בסיסיות: כך שלכל , ו- פתוחות בטופולוגיות המתאימות.
נוכל להניח שכל הקבוצות האלו מוכלות ב- (ניתן הרי לחתוך כל אחת מהן עם הפתוחה, שניתנת גם לרישום כאיחוד קבוצות בסיסיות).
החתך קומפקטי, שכן הוא הומיאומורפי ל- , שקומפקטי לפי הנחת המשפט.
מכאן, הרי שקיים לו תת-כיסוי סופי .
נוכל להניח שכל אחת מקבוצות אלו חותכת את , שכן אחרת נוכל להשמיטה מהכיסוי.
זו קבוצה פתוחה כחיתוך סופי של קבוצות פתוחות, והיא גם מכילה את כי הוא שייך ל- לכל (מההנחה שכל קבוצה בכיסוי חותכת את החתך).
אם כן, , ונותר לוודא כי מכילה את .
זה נכון מכיוון ש- מהווה גם כיסוי של .
אכן, בהינתן נקודה נוכל לעיין בנקודה .
מהגדרת הכיסוי קיים עבורו , ולכן בפרט .
מתקיים כי שכן למעשה לכל מהגדרת כחיתוך כל ה- -ים.
לכן ואזי (הרי לכל ).
הדרישה בלמת הצינור ש- קומפקטי היא הכרחית.
למשל ב- (בוחרים ), הקבוצה הפתוחה מכילה את החתך , אך היא אינה מכילה אף צינור סביבו.
אכן, אם קיים בשלילה צינור המכיל את החתך ומוכל ב- , נובע כי לכל , מה שגורר כי , בסתירה להיותו קבוצה פתוחה ב- .
כאמור, מלמת הצינור ניתן להוכיח שמכפלה סופית של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית, באופן הבא (ההוכחה היא למכפלה של שני מרחבים קומפקטיים, וההכללה למספר סופי כלשהו באינדוקציה): יהיו זוג מרחבים קומפקטיים, ונראה שמכפלתם קומפקטית אף היא.
יהי כיסוי פתוח של , ויש להראות שקיים לו תת-כיסוי סופי.
לכל , החתך קומפקטי (הוא הומיאומורפי ל- ), ומכיוון ש- מכסה אותו הרי שקיים לו תת-כיסוי סופי .
הקבוצה פתוחה (כאיחוד של פתוחות) ומכילה את החתך .
לכן מלמת הצינור קיימת פתוחה כך ש- .
נסיק כי הוא תת-כיסוי סופי גם של .
האוסף מהווה כיסוי פתוח של הקומפקטי, ולכן קיים לו תת-כיסוי סופי .
מכאן הוא כיסוי סופי של , וכפי שהוצג קודם כל אחד מאיבריו מכוסה על ידי מספר סופי של איברי .
מכאן נסיק שיש ל- תת-כיסוי סופי מאיברי .
אין די בלמת הצינור בכדי להוכיח את משפט טיכונוף, המכליל את התוצאה הקודמת למכפלות אינסופיות של קבוצות קומפקטיות.
לנינגטון "לן" סמול היה פוליטיקאי אמריקאי מאילינוי, איש המפלגה הרפובליקנית, שכיהן כמושל אילינוי ה-26 בשנים 1921–1929, כחבר הסנאט של אילינוי בשנים 1901–1903, וכגזבר של אילינוי בשנים 1905–1907 ושוב בשנים 1917–1919. הוא נודע בשל האישומים נגדו במעילה.
לן סמול נולד במחוז קנקאקי שבאילינוי.
הוא למד במערכת החינוך הציבורית בבית הספר הנורמלי של צפון אינדיאנה, כיום אוניברסיטת ולפראיסו.
לאחר סיום לימודיו הוא היה למורה, והשקיע במקרקעין, ובסופו של דבר היו בבעלותו חווה, בנק והעיתון היומי של קנקאקי.
ב-1883 נשא סמול לאישה את אידה מור, ולשניים נולדו שלושה ילדים.
אידה נפטרה באופן פתאומי ב-1922, בגיל 60, שישה חודשים לאחר השבעתו של סמול כמושל, כתוצאה משבץ מוחי, כאשר הם שבו למעונם לאחר זיכויו של סמול מההאשמות במעילה.
הקריירה הפוליטית של סמול החלה ב-1901, כאשר הוא נבחר לסנאט של אילינוי.
הוא כיהן בסנאט עד 1905.
בשנים 1908–1912 הוא היה עוזר הגזבר של ארצות הברית שאחראי על השלוחה של מחלקת האוצר של ארצות הברית בשיקגו.
בשנים 1908, 1912 ו-1932 הוא היה נציג לוועידה הארצית של המפלגה הרפובליקנית.
ב-1920 נבחר סמול כמושל אילינוי, וב-1924 הוא נבחר לתקופת כהונה שנייה.
שישה חודשים לאחר השבעתו הוא הואשם במעילה בסכום של יותר ממיליון דולר במסגרת מזימה להלבנת הון שבה הוא הפקיד כספי מדינה לבנק פיקטיבי כאשר היה גזבר אילינוי.
במשפט הוא זוכה, אך שמונה מבין אנשי חבר המושבעים קיבלו מאוחר יותר משרות בשירות המדינה, ובכך עלו חשדות להשפעה פסולה.
כמושל, העניק סמול חנינה לעשרים חברי מפלגת הפועלים הקומוניסטית של אמריקה, שהורשעו במסגרת החוק נגד ההסתה של 1919. הוא גם חנן יותר מאלף עבריינים מורשעים, כולל הארי גוזיק, אחיו של ג'ייק גוזיק מכנופיית שיקגו, שהורשע בחטיפת נערות צעירות ואילוצן לעבוד בזנות ("עבדות לבנה").
ב-1923, שוחרר מהכלא מבריח המשקאות אדוארד "ספייק" אודונל מדרום שיקגו בזכות סמול.
אודונל שב לשיקגו והיה למנהיג אחת מכנופיות הברחת המשקאות החזקה ביותר בעיר.
בסופו של דבר ניזוק סמול מהמוניטין שלו כאדם מושחת בבחירות, כאשר ב-1928 הוא נוצח בבחירות המקדימות של המפלגה הרפובליקנית שכונו "בחירות האננס" , על שם הכינוי "אננס" שניתן לרימוני יד.
בבחירות אלו נוצח סמול על ידי מזכיר המדינה המכהן של אילינוי, לואיס לינקולן אמרסון שזכה ב-63 אחוזים של הקולות, מול 37 האחוזים של סמול.
ב-1932, ושוב ב-1936, ניסה סמול להתמודד ללא הצלחה בבחירות למשרת המושל.
לן סמול נפטר בקנקאקי ב-17 במאי 1937. הוא נטמן בבית הקברות מאונד גרוב שבעיר.
למתודה חטאתיו הוא פיוט הקדמה לנפילת אפיים מאת רבי משה אבן עזרא.
הפיוט נאמר בחלק מקהילות הספרדים בהקדמה לנפילת אפיים בסליחות, במקום הפיוט בזכרי על משכבי.
הפיוט בנוי בצורה של פזמון אזורי, ומכיל ארבעה בתים, כאשר בין בית לבית חוזר כפזמון הפסוק .
הבית הראשון, בן שלוש שורות, מהווה בית הקדמה, ושלושת שורותיו חורזות בחרוז החוזר של הפיוט 'מָיו'.
שלושת הבתים הבאים יוצרים אקרוסטיכון של המילה "משה".
שלושת הבתים כוללים ארבע שורות בכל בית, שלושת השורות הראשונות חורזות בחריזה פנימית, והשורה האחרונה חורזת בחריזה האזורית "מָיו", ומובילה אל הפזמון.
נוסף לחריזה בין השורות, כל שורה בנויה משתי צלעיות, וכל צלעית ראשונה בשורה חורזת בחרוז פנימי נפרד לבית.
(כך למשל, החריזה הפנימית של הבית השני היא "נִי", והחריזה של הצלעיות הראשונות היא "תִּי").
צלעיות המעבר לפזמון הן שיבוץ מקראי.
בשני הבתים הראשונים, הפיוט מציג על צערו של האדם שחטא כל ימיו, וכעת מבין שמעשיו היו טעות.
בשני הבתים הבאים, הפיוט מספר את הצרות העוברות על האדם ועל עם ישראל, ומתאר את התחושה שהקב"ה זנח אותו.
שורת הפזמון של הפיוט, "נִפְּלָה נָּא בְּיַד ה' כִּי רַבִּים רַחֲמָיו", משמשת כפתיחה לנוסח נפילת אפיים הנהוג כיום בקהילות אשכנז.
בקהילות ספרד נהוג לומר את הפרק לְדָוִד אֵלֶיךָ ה' נַפְשִׁי אֶשָּׂא, אך יש שכתבו שכאשר אומרים את הפיוט "למתודה חטאתיו" (או את מקבילו בזכרי על משכבי, שלו פזמון זהה) יש לומר קודם "לדוד אליך ה'" את "הפסוק "נפלה נא".
יש קהילות שנהגו לומר במקום חציו השני של הפיוט את הבית האחרון של "בזכרי על משכבי".
באופטימיזציה קמורה, למת הנגישות קובעת שכל הנקודות בקטע המחבר נקודה פנימית ונקודת שפה של קבוצה קמורה, למעט נקודת השפה, הן נקודות פנימיות.
הלמה חשובה מכיוון שהיא משמשת להוכחת משפט התמיכה – משפט שעוזר להגיע לתוצאות מרכזיות בתחום, כמו משפט קרוש-קון-טאקר.
תהי קבוצה קמורה עם פנים ושפה לא ריקים.
יהיו ו- , כאשר ו- הם הפנים והשפה של , בהתאמה.
אז ה"קו החצי פתוח" מ- ל- מכיל אך ורק נקודות פנימיות.
נניח כי אחרת וברור שהנקודה בפנים של .
נתון ולכן קיים המקיים .
נשים לב לשתי תכונות של :
מהתכונות הנ"ל נסיק ש יוצרת קשר חח"ע ועל בין לבין .
נתון ולכן הכדור נחתך עם .
מאחר ש אז קיים כך ש.
כמו קודם, יוצרת קשר חח"ע ועל בין לבין .
נהר הלנגבורן הוא נהר תת-קרקעי הזורם בעיר לונדון באנגליה, אשר מיקומו המדויק אינו ידוע והוא נחשב לאחד "הנהרות האבודים של לונדון".
נהר זה נתן את שמו לשכונת לנגבורן של הסיטי של העיר.
מקורות ספרותיים מתארים את תוואי הנהר לאורך הרחובות פנצ'רץ', לומברד ושרבורן, אולם לא ברור היכן נשפך הנהר אל התמזה.
בשל כיוון הרחובות, המקביל לנהר התמזה ולא ניצב אליו, מקובל להניח שה"נהר" המתואר בספרות התקופה, הוא למעשה לשון סגי נהור המתארת את תעלות הביוב העירוניות הפתוחות שעברו באותם רחובות.
לנגדוק-רוסיון היה אחד מ-26 חבלי הארץ (régions) של צרפת על פי החלוקה המנהלית שנהגה בה עד לסוף 2015. משנת 2016 הוא כלול בחבל החדש אוקסיטניה.
חבל ארץ זה מורכב מחמשה מחוזות (départements), והוא גובל במדינות ספרד, אנדורה, ובמפרץ של הים התיכון, אשר נקרא "מפרץ האריה" (Golfe du Lion).
לנגדוק-רוסיון גובל בחבלי הארץ הבאים: פרובאנס-אלפ-קוט ד'אזור, אוברן-רון-אלפ ודרום פירנאים.
כמו כן גובל חבל הארץ בהרי הפירנאים.
68.7% משטח לנגדוק-רוסיון הוא שטחה המקורי של חבל לנגדוק.
השפות המדוברות בחבל ארץ זה בנוספות לצרפתית הן אוקסיטנית וקטלאנית.
מקור השם לנגדוק הוא בכינוי אשר הודבק לאוקסיטנית ולדובריה "lenga d'òc" - שפת ה"אוק", שזוהי המילה "כן" בשפה הזאת.
הגאוגרפיה של חבל ארץ לנגדוק-רוסיון מאוד מגוונת.
מצד אחד יש את האזורים ההרריים לפנים הארץ, ומצד שני שפלת החוף המורכבת מחופים חוליים ארוכים המגנים על אגמים נרחבים, כשהאגם הגדול יותר הוא "אגם תו", Étang de Thau.
לנגדוק-רוסיון מתאפיין באופן כללי באקלים ים תיכוני, אולם ישנם חלקים בחבל בהם החורף קשה יותר ואף יכול לכלול סופות שלג.
עיר הבירה של החבל במהלך קיומו העצמאי הייתה מונפלייה.
ערים חשובות אחרות: נים, קרקסון, בזייה.
הכלכלה של לנגדוק-רוסיון מבוססת על אלמנט בסיסי, השמש, המשרתת את שני המגזרים החיוניים - התיירות והחקלאות.
חבל ארץ זה נגוע קשות באבטלה - שיעור האבטלה בו הוא מן הגבוהים בצרפת, 12.6%.
בבחירות המקומיות שנערכו בשנת 2004, כבש ראש העיר של מונפלייה, ז'ורז' פרש (Georges Frêche) הסוציאליסט, את נשיאות האזור כשהוא מביס את הנשיא המרכזי-ימני הקודם, ז'אק בלאן (1986-2004).
פרש המשיך לכהן כנשיא החבל עד למותו באוקטובר 2010.
לַנְבָל (Lanval), הוא אחד משנים עשר הסיפורים הברטונים שחיברה הפייטנית מארי דה פרנס, ככל הנראה בין 1180-1160. אסופת הסיפורים הקצרים נכתבה באנגלו נורמנית, תחת חסותה של המלכה אליאנור מאקווטניה והמלך הנרי השני פלנטג'נט.
הסיפור מגולל את סיפורו של אביר בחצר המלך ארתור, שהאחרון מתעלם ממנו.
האביר מחוזר בהצלחה בידי גבירת-פיות שממטירה עליו מתנות מכל הבא ליד, ולאחר מכן הוא דוחה את חיזוריה של המלכה.
העלילה מסתבכת בשל הבטחת האביר לנבל שלא לחשוף את זהות אהובתו, הבטחה אותה הוא מפר מתוך סערת רגשות, לאחר שהמלכה מאשימה אותו באשמת שווא.
בפני המלך ארתור, המלכה מאשימה את האביר בניסיון לתקוף אותה ובהלבנת פניה ברבים, והמלך, בסצנת משפט ארוכה, תובע ממנו לגלות את שם גבירתו.
על-אף ההבטחה המנותצת, הפיה המאהבת חסה על חייו והופעתה מזכה את האביר לנבל מכל אשמה.
ואף לקחה אותו עמה לאבלון.
הסיפור זכה לאהדה רבה, ועובד לאנגלית לגרסאות סיפוריות שונות, כ"סר לנדבל", "סר לנפל" ו"סר למבוול".
הסיפור הברטוני ידוע במיוחד ממספר סיבות.
סצנת המשפט הנרחבת מעניקה מידה של הצצה למערכת המשפטית באותם הימים, המתועדת גם מנקודת-מבט משפטית אותנטית בימיו של הנרי השני מאנגליה.
במאמר המנתח את מעמד המשפט, מזהה גורביץ' הקבלות בין התקנות שהנהיג מלך אנגליה, הנרי השני באותה עת לדמותו של המלך ארתור המתואר בסיפור.
הפיה אינה מוזכרת בשמה (וגם זהות המלכה לא נאמרת), התיאורים בסיפור עוסקים בעיקר בשפעת יופייה ובעושרה, מתוך הנחה שהמאזין בן התקופה מזהה מיהי הכוהנת הגדולה של האי אבלון אשר בחרה לה בסר לנבל כמאהב (fee amante).
יחד עם זאת, במאמר המבאר שצרפה גורביץ לתרגום סיפוריה של מארי היא תוהה, בין היתר מדוע בחרה מארי להותיר דווקא את שלוש הנשים הקשורות לעולם האחר נטולות שם: הגבירה ב"יונק", הגבירה ב"גיז'מר" והפיה ב"לנבל" (על זהותה האפשרית של הפיה בסיפור לנבל בהרחבה, ראו גורביץ', 2020: 214-204) .
הסיפורי הברטוניים של מארי מתייחסים לסמלים המזוהים עם הארתוריאנה, כאשר לנבל הוא המובהק שבהם (ובמידה רבה גם "יערה" שמספר אפיזודה מסיפור אהבתם הידוע של טריסטן ואיזולדה):
לנגד עיניים מערביות הוא סרטו העלילתי הראשון אותו כתב, ביים והפיק יוסף פיצ'חדזה ויצא בשנת 1996. בסרט שיחקו השחקנים עזרא כפרי ואייל שכטר.
הסרט, שאותו צילם שי גולדמן, צולם בשחור לבן.
הסרט מספר את סיפורו של בחור צעיר ממוצא רוסי התר אחר אביו שברח מכלא ביטחוני לאחר שהואשם בריגול לטובת ברית המועצות.
הסרט השתתף בפסטיבל ברלין וזכה בפרס האקומני ופרס וולג'ין בפסטיבל הקולנוע ירושלים.
לנגדוק הוא חבל ארץ היסטורי בדרום צרפת, באזורים שבהם חיו צרפתים דוברי אוקסיטנית.
ובחלוקה המנהלית של צרפת המודרנית, התחלק חבל לנגדוק לשני חלקים: לנגדוק עילי Haut-Languedoc, התואם בערך את מידי-פירנה של ימינו, ולנגדוק תחתי Bas-Languedoc התואם בערך את לנגדוק-רוסיון של ימינו.
שם החבל, כמו שם השפה המדוברת בו, נגזר מהדרך שבה ביטאו תושבי המקום את המילה כן – òc (אוק), להבדיל מתושבי צרפת הצפוניים.
משמעות המילה לנגדוק היא 'שפת אוק'.
הערים העיקריות בחבל הן טולוז ומונפלייה.
בימי הביניים נשלט החבל על ידי הרוזנות לבית טולוז.
במאה ה-12 היה חבל לֶנְגָּדוֹק בעל רמת עיור גבוהה ועשיר למדי.
הוא לא היה נתון למרותו של מלך צרפת, והשלטון בו התפזר בין אצילים מקומיים, הרוזנים מבית טולוז, והוויקונטים מבית טרנקבל ומועצות הערים.
באותה תקופה החלה להתפשט בו (כמו בכל רחבי דרום צרפת וצפון איטליה) כת דתית שאוהדיה נודעו כ"קתרים", ואשר בצרפת כונו "אלביגנזים" על שום מרכזם בעיר אלבי.
לאחר שמספר חסידיה של הכת הלך וגדל בהתמדה במאה ה-13, היה החבל זירת קרבות של מסע הצלב האלביגנזי, שהביא לדילול האוכלוסייה ושינוי אופיו.
במהלך האירועיים האלה עברה השליטה על החבל לידי בית המלוכה הצרפתי.
במסגרת רפורמת החלוקה המנהלית משנת 2016 בצרפת התמזגו מחדש לנגדוק העילי או מידי-פירנה עם לנגדוק התחתי או לנגדוק-רוסיון כדי ליצור חבל מנהלי שכונה "אוקסיטניה"
בצרפתית נקרא תחילה אזור זה בשם בנקבה "לאנג ד'אוק" (Langue d'oc) ובלטינית "lingua occitana'" לפי שם השפה הרומאנית שדוברה ועדיין מדוברת בו – השפה האוקסיטנית.
שם השפה וכך גם שם האזור נגזרים מהמילים "לאנג" – langue – "שפה" בצרפתית והמילה oc "אוק" שמשמעותה "כן" באוקסיטנית.
כשם גאוגרפי הוא הפך בהמשך לשם מולחם ממין זכר – "לנגדוק" Languedoc (או באוקסיטנית – Lengadòc).
הוא התחיל להיות בשימוש החל מהעשור האחרון של המאה ה-13, אחרי שבשנת 1271 סופחה הרוזנות טולוז לכתר צרפת והיה נהוג באופן שוטף רק החל משלהי המאה ה-14
אוכלוסיית החבל מונה כ-4 מיליון תושבים.
כבירת הרוזנות טולוז לשעבר וכמושב "הפרלמנט של טולוז" שהייתה לו סמכות באזור, נחשבה העיר טולוז תכופות ל"בירת" חבל לנגדוק.
כך היא מסומנת במפות עתיקות יותר אך גם מודרניות של הפרובינציות ("gouvernements") של צרפת בשנת 1789. עם זאת, החלוקה המורכבת מבחינה מנהלית ומשפטית איפשרה לעיר מונפלייה להיקרא גם כן בירה של החבל.
במאה ה-18 העדיפה המלכות באופן ברור את מונפלייה, שהייתה עיר יותר קטנה ובעלת פחות לגיטימיות היסטורית מטולוז ונעדרת רשויות מקומיות אוטונומיות כמו הפרלמנט והקפיטולט שהיו עלולות לערער על השלטון המלכותי.
בחבל התקיימו קהילות יהודיות ששורשיהן הגיעו לתקופת האימפריה הרומית, בעיקר בערים נרבון, לוניל, בזייה וקרקסון.
בתקופת רוזני טולוז הייתה בחבל סובלנות דתית, שממנה נהנו גם היהודים, שעסקו בתחומים רבים ומגוונים, כולל עבודת האדמה, והגיעו לעמדות בכירות בממשל המקומי.
במהלך מסע הצלב נרצחו רבים מהם.
לנארט גאורג מרי (באסטונית: Lennart Georg Meri; 29 במרץ 1929 – 14 במרץ 2006) היה סופר, במאי קולנוע ופוליטיקאי אסטוני.
כיהן כנשיא אסטוניה השני, והראשון לאחר עצמאותה המחודשת בשנים 1992 עד 2001.
מרי נולד בטאלין בירת אסטוניה.
לאמו אליס-בריגיטה אנגמן (ממוצא שוודי) ולאביו גאורג מרי, דיפלומט ומתרגם.
עקב עבודתו של אביו עזבה המשפחה את אסטוניה ושהתה במדינות שונות, לכן החליף מרי במהלך ילדותו תשעה בתי ספר שונים בארבע שפות שונות.
בנוסף לאסטונית למד מרי גם פינית, גרמנית, צרפתית, רוסית ואנגלית.
התקופה בה שהה בפריז ולמד בגימנסיה הותירה בו זכרונות נעימים במיוחד.
מרי ומשפחתו התגוררו בארצם בעת בה אסטוניה יחד עם לטביה וליטא סופחה לברית המועצות ביוני 1940. ביוני 1941 גורשו הוא ומשפחתו יחד עם כ-10,000 תושבי אסטוניה אחרים מן המעמד הבורגני לסיביר.
כיוון שהאב הופרד ממשפחתו ונשלח למחנה עבודה, מרי החל מגיל 12 לעבוד כחוטב עצים כדי לכלכל את משפחתו.
בנוסף עבד גם כמשיט מעבורות.
בתקופה זו של גלות כפויה התעניין בשפות פינו-אוגריות אליהן התוודע במקום שהותו.
קרבת האסטונית לשפות אלה נשארה כמוטיב חוזר ביצירותיו.
מרי ומשפחתו הצליחו לחזור לאסטוניה והוא התחיל את לימודיו האקדמיים בפקולטה להיסטוריה ושפות של אוניברסיטת טרטו.
במהלך לימודיו נעצר אביו שוב על ידי השלטונות ועל כן מרי עבד בכתיבה במקביל ללימודיו.
אחיו הצעיר סולק מלימודיו האקדמיים על ידי השלטונות ועבד כנהג מונית.
בשנת 1953 סיים את לימודיו בהצלחה, אך כיוון שהשלטונות הסובייטים לא התירו לו לעבוד כהיסטוריון, מצא משרה כמחזאי בתיאטרון ואנמוינה (Vanemuine), התיאטרון האסטוני הוותיק ביותר.
בשנים 1955–1961 הפיק תסכיתים עבור הרדיו האסטוני.
את רומן הביכורים שלו כתב בשנת 1958 בעקבות ביקור בהרי טיין שאן (במרכז אסיה) ובמספר ערים מוסלמיות עתיקות במדבר קאראקום (בטורקמניסטן).
הרומן התקבל בעניין רב בקרב ציבור הקוראים.
בשנת 1963 הצטרף לאגודת הסופרים האסטונית ובשנת 1964 פרסם את "אל ארץ הרי האש" (Tulemägede Maale) שהוא סיפור המסע שערך יחד עם גאולוגים, בוטנאים, צלם ואמן בקמצ'טקה.
הוא האמין ש"המדע ישחרר אותנו מכבלי העיר הגדולה ויחזיר אותנו לטבע".
בשנת 1963 החל לעבוד כתסריטאי באולפן הסרטים האסטוני (Tallinnfilm) ומאוחר יותר הפך גם למפיק.
את עיסוקו באולפן סיים ב-1971. ב-1974 פרסם את הספר "בשער אורות הצפון" (Virmaliste Väraval) על מסע שערך במסלול ימי מן האוקיינוס האטלנטי לאוקיינוס השקט לאורך החוף של רוסיה במזרח הרחוק וסיביר (המעבר הצפון-מזרחי).
ספר זה זכה לפרסום רב בכל רחבי ברית המועצות ותורגם לפינית כחלק מסדרת ספרים על הספרות הסובייטית.
ביצירה זו חיבר מרי בין ההווה לפרספקטיבה ההיסטורית כאשר השתמש בממצאים שנתגלו על ידי חוקרים מפורסמים כגון ג'יימס קוק, פרדיננד וראנגל, גאורג פורסטר, קוקרן ואחרים.
יצירתו הנודעת ביותר היא, קרוב לוודאי, "לבן כסוף" (Hõbevalge) משנת 1976. ספר זה משחזר את ההיסטוריה של אסטוניה ושל הים הבלטי, עוסק בימאות ומנסה לפתור את תעלומת האי האגדי ת'ולה (Thule).
ביצירה זו שילב מרי, כמו ביצירות אחרות שלו, מחקר מדעי ומקורות היסטוריים בתוכן דמיוני.
בשנת 1977 סיפוריו תורגמו לפינית ופורסמו בפינלנד באוסף ספרות אסטונית לצד יצירות של לילי פרומט וסופרים אסטונים נוספים.
הסרט "רוחות שביל החלב" (Linnutee tuuled) משנת 1977, שהיה הפקה משותפת של אסטוניה, פינלנד והונגריה, נאסר להקרנה בברית המועצות, אך זכה בפרס הכסף בפסטיבל ניו יורק לפרסום.
במאמר שכתב טען שתרומות האסטונים לתרבות האירופית בעת העתיקה היו גילוי ועיבוד הענבר, עיבוד עורות והפצת חיטה שעברה ייבוש בתנור ליבוני.
חיטה זו נשתמרה לתקופות ארוכות ושימשה לזריעה בכל רחבי אירופה בעיתות בצורת.
חלק מיצירותיו וסרטיו נכללו בתוכנית הלימודים של בתי הספר בפינלנד.
בשנות ה-70 נבחר כחבר לשם כבוד באגודת הספרות הפינית (SKS) וב-1986 הוענק לו תואר דוקטור לשם כבוד מטעם אוניברסיטת הלסינקי.
בשנת 1988 הקים מרי את "המכון האסטוני" (Eesti Instituut), שהוא מוסד ללא כוונת רווח בלתי-ממלכתי, במטרה ליצור קשרי תרבות עם מדינות במערב ולאפשר לסטודנטים אסטונים ללמוד באוניברסיטאות זרות באמצעות חילופי סטודנטים.
בסוף שנות ה-70 נאותו השלטונות הסובייטים, לאחר שנים של סירוב, לאפשר למרי לצאת לביקורים מעבר ל"מסך הברזל".
מרי ניצל הזדמנויות אלה להזכיר למערב את קיומה של אסטוניה ויצר קשרים עם פוליטיקאים, עיתונאים ואסטונים גולים.
הוא גם פרסם במערב את פעולות המחאה של אסטונים כנגד הכוונה לכרות פוספטים באסטוניה.
המחאה בענייני הסביבה הפכה למחאה לאומית אנטי-סובייטית ב"מהפכה המזמרת" שאותה הובילו אנשי רוח אסטונים.
מרי פנה בנאום לאוכלוסייה האסטונית וביקש מהם לא לאבד תקווה, נאום זה זכה לתהודה רבה במערב.
בשנת 1988 נמנה מרי על מייסדי "החזית העממית האסטונית" תנועה זו תיאמה את פעולותיה עם תנועות דומות שקמו בלטביה ובליטא.
לאחר הבחירות הרב-מפלגתיות הראשונות באסטוניה בשנת 1990 נבחר מרי לשמש כשר החוץ.
בתפקידו זה הקים למעשה את משרד החוץ האסטוני.
הוא אסף סביבו עובדים צעירים, רבים מהם דוברי אנגלית, על מנת לקיים תקשורת יעילה עם מדינות המערב ולאפשר ייצוג הולם למדינה בזירה הבינלאומית.
ללא ספק עזרו לו מאוד ידיעת השפות וקשריו הדיפלומטיים משנות ה-80 לקידום האינטרסים של אסטוניה.
במסגרת תפקידו ייצג את אסטוניה בפגישות הארגון לביטחון ולשיתוף פעולה באירופה וכן בוועידת היסוד של מועצת המדינות הבלטיות.
מרי זכה להיות הנציג הראשון של מדינה מזרח-אירופאית שהופיע בפני מטה נאט"ו בבריסל.
בשנת 1992 שימש מאפריל עד אוקטובר כשגריר בפינלנד.
מרי התמודד על משרת הנשיאות מול ארנולד רוטל והפסיד בסיבוב הראשון, אולם זכה בסיבוב ההצבעה השני, שנערך בפרלמנט, בעקבות הצבעתם של חברי המפלגה השמרנית "פרו-פאטריה" בעבורו.
ב-6 באוקטובר 1992 נבחר לנשיא השני של אסטוניה ומילא תפקיד זה במשך שתי תקופות כהונה (ב-1996 נבחר לכהונה שנייה) עד שנת 2001.
לנארט מרי היה נשוי פעמיים.
לאשתו הראשונה רגינה נישא במרץ 1953 ונולדו להם שני בנים.
מאשתו השנייה הלֵה (Helle), שחקנית תיאטרון, נולדה לו בת אחת.
מבניו היו לו ארבעה נכדים.
למרי אח צעיר הינדרק-פטר (Hindrek-Peeter) שנולד בברלין ובשנים 1990–1997 שימש בתפקיד מבקר המדינה.
בן דודו, ארנולד מרי, לחם כקצין בשורות הצבא האדום במלחמת העולם השנייה וזכה לעיטור גיבור ברית המועצות.
לאחר המלחמה שימש ארנולד מרי כפקיד בכיר ובשיא הקריירה שלו מונה לסגן שר החינוך בממשלת הרפובליקה הסובייטית הסוציאליסטית של אסטוניה.
באמצע שנת 2005, לאחר שסבל מכאבי ראש חזקים, אובחן גידול במוחו והוא נותח בחודש אוגוסט.
מרי נפטר מסרטן במרץ 2006 לאחר אשפוז ממושך
הסופר הנבחר של הרפובליקה הסובייטית האסטונית, 1979
דוקטור לשם כבוד של אוניברסיטת הלסינקי, 1986
חבר האקדמיה האירופית למדעים, אמנות וספרות משנת 1989
דוקטור לשם כבוד של אוניברסיטת טורקו, 2000
חבר האקדמיה האסטונית למדעים משנת 2001
מרי גם זכה לעיטורי כבוד רבים ממדינות שונות, ביניהם: אות לגיון הכבוד הצרפתי וצלב מסדר הכבוד של הרפובליקה הפדרלית של גרמניה
ב-29 במרץ 2009 נקרא נמל התעופה הבינלאומי של טאלין על שמו.
לנבוכי הדור הוא כינוי לחיבור של הרב אברהם יצחק הכהן קוק, העוסק בדרכי ההתמודדות של היהדות עם הלכי הרוח המודרניים.
החיבור נכתב ככל הנראה בשנותיה הראשונות של המאה ה־20, שהיו שנות השלושים לחייו של הרב קוק, כשכיהן ברבנות העיר בויסק שבלטביה, והוא מציג גישה מהפכנית לזמנו בכל הקשור ליחס התורני הנדרש אל הזרמים המחשבתיים החדשים.
היות שכתב יד זה נכתב מראש כספר שלם, הגותו של הרב קוק בנושאים אלו מוצגת בחיבור זה בצורה מבוארת ונרחבת יותר מאשר בכתביו המאוחרים יותר, שחלקם הגדול הוא פסקאות מלוקטות.
ישנם הטוענים שבחלקים מסוימים בספר נראה כי הרב קוק שינה את גישתו ואת סגנונו מאוחר יותר.
כתב היד של החיבור תואר בעבר בשם 'מורה נבוכים החדש' (בהשאלה מספרו המפורסם של הרמב"ם).
החיבור מופיע ברשימת כתבי הראי"ה שפרסמה האגודה להוצאת כתבי הרב קוק שנוסדה לאחר מותו במטרה לפרסם את כתביו.
גרסה בלתי ערוכה (אך שלמה מבחינה תוכנית) הופצה ברשת בשנת 2010. כמה חודשים לאחר מכן, בתמוז תש"ע, יצא לאור החיבור בהשמטות, בתוך הספר פנקסי הראי"ה - חלק ב', בהוצאת מכון הרצי"ה, בשם "פנקס מתקופת בויסק".
מהדורה שלמה, ערוכה ומוגהת יצאה לאור בשנת תשע"ד 2014, על ידי הרב שחר רחמני בהוצאת ידיעות ספרים.
המהדורה מבוססת על עבודת הדוקטורט של רחמני שעוסקת בספר ובמקומו בין כתבי הרב קוק.
המהדורה כוללת גם תוכן מפורט, מפתח מקורות ומפתח הפניות לכתבי הרב קוק.
בסוף המהדורה הוסיף רחמני אחרית דבר בשם "שיפולי גלימתו", הממקמת את החיבור על רצף כתביו של הראי"ה ומתארת את תולדות כתב היד של החיבור.
בניגוד לרובם של כתבי הרב קוק, הספר לא עבר עריכה של בנו הרב צבי יהודה הכהן קוק או של הרב דוד כהן ("הרב הנזיר").
יש הטוענים כי הרב קוק עצמו החליט שלא לפרסמו, ועל כן, יש מן הרבנים, בהם הרב שלמה אבינר, שאמרו על עצמם שהם נמנעים מללמוד בספר זה.
בפרק ב' של החיבור מציג הרב קוק את מטרת כתיבת החיבור, ומזכיר בכך את הקדמתו של הרמב"ם לספר מורה הנבוכים, ממנו שאל הרב קוק את שם ספרו:
העיקרון המרכזי ביותר בחיי האדם "שלא ייתכן לשום אדם בעל תכונה אנושית להכחישו, הינו היושר והצדק".
לכן על אנשי התורה למצוא את הדרך להסביר את המקומות בהם נראה כי דברי התורה מנוגדים למוסר האנושי, על ידי העמקה גם במוסר על ידי דרישת טעמי התורה והדגשת הצד הלאומי שבהם.
גדולי ישראל דחו מכל וכל את "שיטת הקדמות" של אריסטו, לפיה העולם קיים מאז ומתמיד, ולא נברא, בעיקר מכיוון שהמסקנה הנובעת ממנה היא כי העולם "מוכרח" (דטרמיניסטי), ואם כן אין לכאורה מקום לרצון ולבחירה החופשית.
מכיוון שהמדע העכשווי (סוף המאה ה-19) נוטה לדעה שהעולם מוכרח, הרי שיש להדגיש כי גם אם כך הדבר, הרי גם מציאות הרצון עצמו היא מוכרחת ביסודה, אלא שהשגתנו אינה מאפשרת הבנה של מושג זה כשלעצמו, ואדרבה - כבני אדם אנו פועלים לפי תחושתנו כבעלי רצון חופשי.
גם למעשה עץ הדעת מוצע פירוש מוסרי-טבעי (בהתאם לגישה הכללית של החיבור), לפיו האדם הגיע "מטבעו ורגשו הפנימי" להכרה כי ראוי לו שלא להיכנע לתשוקותיו מעבר למה שראוי לו, ואז נגלה אליו דבר ה' שציווהו לאכול מכל עץ הגן מלבד עץ הדעת.
לו דבק האדם במצב "המנוחה הטבעית" (= ללא תשוקה אל הרע), אזי לא היה צורך בפירוד הנפש מן הגוף, והאדם היה חי לעולם.
לפיכך אין ולא יכולה להיות כל סתירה בין גילויי המדע לבין התורה, ואדרבה - כל הגילויים החדשים רק יגרמו להגדלת דעת האלהים, אהבתו ויראתו.
מבקרי התורה שבעל-פה כפרו בסמכותה, בטענם כי היא התפתחה בידי בני אדם במשך הדורות, ולא באופן אלוהי (בהקבלה לתורת האבולוציה בעולם הפיזי).
טענה זו שגויה מעיקרה, שהרי אינה דומה התפתחות פיזית הדורשת זמן רב, ל"תעופת השכל" המסוגל ברגע קט לסקור עולם ומלואו.
אך מעבר לכך, עיקר אמונתנו בתורה שבעל-פה אינה רק מצד אלהיותה, אלא גם - ואולי בעיקר - מצד קבלת האומה שקיבלה על עצמה את התורה שבעל-פה, בין אם נאמרה למשה משמיים ובין אם נוצרה על ידי חכמי כל דור ודור.
וראיה לכך, שאפילו לעשרת הדיברות עצמן, שוודאי נאמרו מפי ה', נדרשה הסכמת עם ישראל, שאמר "נעשה ונשמע".
לפיכך, כל הכופר בסמכות התורה שבעל-פה מאיזו סיבה שלא תהיה, הריהו מוציא עצמו מכלל האומה, ו"הדבר הזה הוא ממושכלות הפשוטות שחובת האומה בכללה להתנהג אחרי זקניה וחכמיה, וזאת היא ודאי חובת דין תורה ממש, והיא למעלה מכל חובה".
תורת עם ישראל והיחס לתורות שהסתעפו ממנה
אושרה של האנושות יתאפשר רק כאשר כל אומה תפתח את כשרונותיה, ללא שאומות אחרות יצרו את צעדיה.
הכישרון של האומה הישראלית הינו חכמת האלהות והמוסר (וזה מוכח הן על פי טבע האומה והן על פי ההיסטוריה שלה), ועל כן תפקידה הלאומי הוא להיות לאור גויים על ידי חכמת התורה, ומכאן ששמירת התורה היא צורך לאומי ולא רק דתי.
עם זאת, אין לראות את התורות שהסתעפו מתורת ישראל בעין רעה, שכן יש בהן גרעין מוסרי חיובי (ולכן אף ייתכן שלמייסדיהן נעשו מופתים ושהייתה להם מעין רוח הקודש), אך בתנאי שיבטלו את טענתם לפיה בטל ערכו של עם ישראל, שהרי טענה זו עוקרת את כל ההצדקה לקיומן.
מכאן ניתן להבין את ההתנגדות החריפה של עם ישראל להמרת דת, שמהווה למעשה בגידה לאומית.
ואף המרת דת ליהדות (גיור) הינו תהליך שלא קל לעם ישראל לקבלו, שכן לגר אין את התודעה הלאומית של העם והוא אף נטש את לאומיותו-שלו, אך עם זאת סוף כל סוף הוא תורם בגיורו לקידום האנושות כולה את יעדה.
לנאפי היא קבוצה מאורגנת של מספר עמים ילידים אמריקאים (אינדיאנים) שחלקו מאפיינים תרבותיים ולשוניים.
השם "לנאפי" הוא הכינוי בו כינו את עצמם, ופירושו "האנשים".
הם לעיתים גם קראו לעצמם "לני לנאפי" ("האנשים האמיתיים") ולעיתים ידועים גם כ"אינדיאני דלאוור", מכיוון שבמהלך המאה ה-17 הם היו תושבי עמק נהר דלאוור (כפי שהאנגלים קראו לו) בצפון-מזרח ארצות הברית.
המתיישבים האנגלים קראו לנהר על שם לורד דה-לה-וור, שליט מושבת ג'יימסטאון.
הלנאפי היו מחולקים לשלושה עממים עיקריים המונסי, האונאמי והאונלאצ'טיגו.
בתקופת המפגש הראשון עם האירופים, הלנאפי התגוררו באזור שנקרא לנאפיהוקינג, הקטע בין הדלאוור ונהר ההאדסון.
שטח זה כולל כיום שטחים במדינות ניו ג'רזי, מזרח פנסילבניה, צפון חוף דלאוור ודרום-מזרח מדינת ניו-יורק.
שתי לשונות היו שגורות בקרב בני הלנאפי, שתיהן ממשפחת הלשונות האלגונקיניות, הידועות כשפות דלאוור: אונאמי ומונסי.
הכיבוש הקולוניאלי ולאחר מכן ארצות הברית דחקו את הלנאפי לאזורי הספר.
העממים נאלצו לעקור ממקומם למעלה מ-20 פעמים מפני המתיישבים ממוצא אירופי.
רבים היו קורבנות הסכסוכים השונים באזור - מלחמות קולוניאליות, מלחמות נגד עממים ילידיים ומלחמת העצמאות האמריקאית.
נכון ל-2005 חיים בשבע מדינות שבצפון ארצות הברית ובאחת הפרובינציות של קנדה כ-13,500 מצאצאי הלנאפי.
לַנֶּגֶב הייתה אוניית מעפילים, שאורגנה על ידי המוסד לעלייה ב' של "ההגנה".
נבנתה לאחר מלחמת העולם הראשונה, כאוניית מפרשים קטנה מעץ עם מנוע, בעלת שני תרנים.
בתורן הקדמי מפרשים מלבניים ובתורן האחורי מפרש משולש גדול; תפוסה: 400 טון; מנוע 150 כוח סוס; מהירות 6 קשר; שמה הקודם היה Merica.
נרכשה על ידי המוסד לעלייה ב' באמצעות דאנדריה "הגוץ" - יווני שהתגורר באיטליה.
צוות ההכנה להפלגה כלל את בעלי האונייה ופועלים מקומיים.
הוכנו דרגשי לינה ל-650 בני אדם בשלוש קומות, זו מעל זו.
לכל דרגש הייתה חגורת הצלה.
לספינה חוברו שתי סירות הצלה, ו-30 רפסודות.
הובאו דלק ל-11 ימי הפלגה, מזון ל-20 יום, שלא הספיק ואזל לאחר 15 יום.
אנשי המוסד לעלייה ב' התקינו משדרי רדיו; מכשיר אס.או.אס, מכשיר למילוי סוללות וספק כוח.
רב החובל ואחד עשר אנשי הצוות היו איטלקים, ביניהם קצין ימייה איטלקי בדרגת קצין ראשון, ושני מכונאים.
מפקד האונייה היה איש הפלי"ם אפרים טלמון-טאומן (שחר) ולצדו משה דפני-סיילור (יפת) איש הפלי"ם והגדעוני ראובן ארנון-ארנובסקי שכינויו 'יוסף'.
אתר העלייה לאונייה היה בנמל סט בצרפת.
647 המעפילים היו ניצולי שואה באו מפולין, הונגריה רומניה: כ-120 נפש מתנועת בית"ר, כ-80 נפש "נוער ציוני" (ציונים כלליים), כ-200 פרטיזנים לשעבר, וקבוצת נוער מאנגליה וארצות הברית, של נוער "החלוץ",וגם קבוצה של חלוצים צעירים ממרוקו מתנועת בח"ד (ברית חלוצים דתיים)
,הם נאספו במחנות בסאן ז'רום וחמישה מחנות נוספים, לכל תנועה בנפרד.
המשטרה הצרפתית ידעה על מבצע ההעפלה, נופקו תעודות פליט למעפילים, ואלה נלקחו מהם בצורה מסודרת לפני עלייתם לספינה.
המעפילים הובאו אל האונייה במשאיות בשעות אחר הצהרים.
הראשונים סירבו להיכנס לאונייה, כי ראו את המעברים הצרים ותנאי המגורים הצפופים, והיה צורך לזרז אותם בשידולים וצעקות.
מאחר שהסתדרו בטור, אלה שהיו מאחור דחפו את אלה שהיו בפתח, כי לא ידעו מה מצפה להם.
בגלל אי הסדר שהשתרר, ההעמסה נמשכה ארבע שעות.
שני המלווים הארץ ישראליים התחלקו ביניהם בתפקידים; האחד עם הצוות הזר של הספינה והשני עם המעפילים והתחלפו ביניהם.
המעפילים התארגנו בקבוצות וקיבלו על עצמם תפקידים של ניקיון, מטבח ושמירה.
בלילה הראשון להפלגה החלו לחדור מים לספינה, והמשאבות התקלקלו.
המכונאים תיקנו את המשאבות, ובינתיים שאבו ידנית בדליים.
בגלל סערה, שונה הנתיב לכיוון נמל ייר (Hyeres) בצרפת, שם מצאה האונייה מחסה, ומשם שטה למצר בוניפציו.
ב-21 בינואר נשבו רוחות חזקות שלא אפשרו התקדמות.
ב-24 בינואר התחוללה סערה במפרץ מסינה, והספינה חזרה לצפון סיציליה לתפוס מחסה.
ב-25 בינואר עגנו בצפון סיציליה והורידו סירה עם רב המלחים ושני מלחים נוספים כדי לקנות מזון.
השלושה ברחו עם הכסף והשאירו את הסירה על החוף.
בעזרת דייגים מקומיים הוחזרה הסירה.
ב-27 בינואר שוב עגנה הספינה דרומית למצר מסינה כדי לקנות מצרכים.
המזון בספינה היה גרוע ומועט, והקנייה שיפרה את המצב.
במקום נכחה המשטרה האיטלקית, ורק באמצעות שכנוע ושוחד הם שחררו את הספינה לאחר 24 שעות.