tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
עד למפגש עם העולם המערבי האמינו בני פולינזיה בפנתיאון של אלים רחוקים ובמגוון רוחות מקומיות ומשפחתיות שהשפיעו על חיי היומיום.
המיתוסים, סיפורי האלים והבריאה, התרבות והמנהגים הבסיסיים דומים באופן מפתיע ברחבי האזור, אבל בשל המרחקים העצומים בין קבוצות האיים השונות התפתחו בכל קבוצת איים צורות חברתיות מעט שונות, צורות חברתיות שונות, שפות מעט שונות וכן הבדלים בין סיפורי העם, המיתולוגיות והמנהגים
כיום קשה למצוא איים בהם נשמרה הדת כפי שהייתה קיימת במקור.
ההשפעה הנוצרית הייתה כל כך חזקה שמחקה כמעט כל סממן דתי ותרבותי מקורי.
אמנם מיסיונרים מוקדמים עודדו ריקודי אש וצורות אחרות של ביטוי תרבותי, כמו בטהיטי, אבל אלו משולבים בתוך האמונות הנוצריות.
ובכל זאת, גם כיום פולינזים רבים ממשיכים להאמין ברוחותיהם של אבותיהם הקדמונים המתאספים סביב הכפר ומהווים חלק מחייהם.
אבות קדמונים אינם נתפסים כדמויות רחוקות מהעבר, אלא כנוכחות חיה ופעילה בחייהם של צאצאיהם.
בני האיים מאמינים שאבותיהם הקדמונים ממשיכים להשפיע על העולם, ומספקים הדרכה, הגנה ולעיתים גם אזהרה.
אמונה זו חזקה במיוחד בתרבויות כמו סמואה, טונגה וטהיטי.
הנהג הפולינזי של קעקועים הם לא רק עניין דקורטיבי אלא המקועקעים נחשבים כמדיום שדרכו רוחות האבות מתקשרות עם החיים ומספקות כוח, הגנה וקשר לעבר.
הדת והמיתולוגיה הפולינזיות שמו דגש רב על הטבע, ובמיוחד על סביבת האוקיינוס.
הפולינזים הפכו לאמני ניווט ומיומנויות ים אחרות, ודתם והמיתוסים שלהם שיקפו מאוד את חשיבות הטבע והים.
הפולינזים האמינו שכל הדברים בטבע, כולל בני אדם, מכילים כוח קדוש ועל טבעי הנקרא מאנה (Mana), כוח או אנרגיה שניתנה על ידי האלים.
מאנה יכולה להיות טובה או רעה, ואנשים, בעלי חיים וחפצים מכילים כמויות משתנות של מאנה.
מכיוון שמאנה הייתה קדושה, הפולינזים המציאו כללים מורכבים כדי להגן עליה.
אנשים רגילים לא הורשו, למשל, לגעת אפילו בצילו של מנהיג גדול.
הם גם לא יכלו להיכנס לחורשות או מקדשים קדושים.
העונש על הפרת כללים חשובים, המכונים טאפוס (מקור המילה טאבו), היה לעיתים קרובות מוות.
מחלות וחוסר מזל נחשבו כנובעים מהפרת טאפוס קלים.
דת הפולינזים כללה אלים רבים, אלים מקומיים וכן את האלים הגדולים של הפנתיאון שלהם.
האנשים הרגישו קשר אישי קרוב לאלים שלהם ולגיבורים למחצה ואפילו לנוכלים שונים של המיתולוגיה שלהם.
הדמות הפופולרית ביותר הייתה מאווי, גיבור-נוכל ידוע ברחבי פולינזיה.
המיתוסים הידועים ביותר בפולינזיה עוסקים בבריאה ובמקורם של אלים, בני אדם ויצורים חיים אחרים.
הרפתקאותיהם של דמויות כמו פלה (אלת האש והרי הגעש) ומאווי תופסות מקום בולט גם הן.
כמה מיתוסים פולינזיים מתארים את הבריאה כתהליך של צמיחה או אבולוציה ממצב ראשוני של כאוס, כלום או חושך.
המיתוסים ההוואיים של אאו ופו, הכוחות הזכריים והנקביים של היקום, משקפים רעיון זה.
מתוך כאוס מימי גדול בתחילת הזמן, האל הבורא קו הפריד בין אאו לפו, ובכך יצר יום ולילה והפך את העולם לאפשרי.
מיתוסי בריאה פולינזיים אחרים מתמקדים בבורא קיים מראש שחי לבדו ויוצר את כל הדברים יש מאין.
רעיון זה בא לידי ביטוי בסיפורים מסמואה וטונגה על טנגלואה.
על פי האגדה, בזמן שטנגרואה שלט על מרחבי אוקיינוס עצומים, שליחו, הציפור טולי, חיפש ללא הרף מקום לנוח בו.
בסופו של דבר טנגלואה זרק כמה סלעים למים, ואלה הפכו לאיי סמואה וטונגה.
פולחן האלים כלל מזמורים ותפילות, טקסים מורכבים וקורבנות (כולל קורבנות אדם) שבוצעו על ידי מעמדות שונים של כוהנים, שחלקם שימשו כנביאי קודש.
קסם פרח גם בקרב הפולינזים, שהשתמשו בלחשים, קמעות וכישופים כדי לזמן את האלים או לבקש את הדרכתם או עזרתם.
האלים החשובים ביותר בפנתיאון הפולינזי היו אלו הקשורים למיתוסים ואגדות בריאה.
הידועים ביותר היו רנגי (אבא שמיים) ופאפא (אמא אדמה), שני אלי הבורא העליונים של העם המאורי בניו זילנד.
על פי האגדה המאורית, רנגי ופאפא שימשו כמקור שממנו הגיעו כל הדברים.
מקביליהם של רנגי ופאפא במיתולוגיה ההוואית היו אאו ופו.
אאו ייצג את הכוח הגברי ביקום והיה קשור לשמיים, ליום ולאור.
פו, הכוח הנשי, היה קשור לאדמה, לחושך וללילה.
על פי המיתוס ההוואי, אל בורא בשם קו הפריד בין אאו לפו.
קו עבד לאחר מכן עם לונו, אל השמיים, וקיין, אל הדור והצמיחה הראשי, כדי ליצור את כדור הארץ ואת כל היצורים החיים.
לאחר שקיין יצר את הגבר והאישה הראשונים, הוא כעס על התנהגותם הרעה והחליט שבני האדם יהיו נתונים למוות.
לאחר מכן הוא עזב את כדור הארץ והלך לחיות בגן עדן.
במיתולוגיה הטהיטית, האל הבורא העליון היה טא'ארואה, המכונה גם רואה-אי-טופרה (מקור צמיחה).
טא'ארואה יצא מביצה קוסמית והחל בתהליך הבריאה.
כדי למלא את הריק סביבו, הוא השתמש בחלק מהביצה כדי ליצור את השמיים ובחלק השני כדי ליצור את כדור הארץ.
מרוצה מהישגו, הוא מילא את העולם בכל היצורים והדברים שנמצאים בו כיום.
הטהיטיים האמינו שטא'ארואה שולח גם ברכות וגם קללות, וניסו לפייס אותו בקורבנות אדם.
אולי האלוהות הידועה והמפחידה ביותר בהוואי הייתה אלת האש פלה, דמות אלימה המקושרת להרי געש.
פלה, הידועה ביופיה אך גם ביכולתה להרוס, סימלה את כוחם של כוחות הטבע.
אגדות הוואיות רבות עוסקות במזגה הבלתי צפוי ובאופייה המסוכן.
במות מקדש פולינזיות עתיקות -Marae "מארה" עדיין נחשבות למקומות קדושים על ידי פולינזים רבים, למרות שהפרקטיקה הדתית הילידית פסקה במידה רבה.
להקות ריקוד מסורתיות מקצועיות מבצעות שחזורים פולחניים של טקסים עתיקים על במת מקדש משוחזרת ברובע פאאה של טהיטי עבור תיירים ואורחים נכבדים
מזמורי דת פולינזיים לכבודם של מנהיגי השבטים מפרטים את שושלות היוחסין שלהם עד האלים המרכזיים האחראים לסדר הנוכחי בעולם, ושנולדו לאמא אדמה ולאבא שמיים.
המזמורים מספרים כי הארץ והשמיים נוצרו מהריק והאפלה, בהם התקיים "המקור" או "היסוד" (Te Tumu).
על ידי זיווג תופעות שכליות וטבעיות נוצרו השמים והארץ.
מהזיווג בין הארץ והשמים בחשכה נולדו האלים טאנה (Tane), טו (Tu), רונגו (Rongo) וטנגארואה (Tangaroa).
טאנה הוא המנהיג בהפרדת הזוג הקדום ובהבאת האור לעולם.
מנהיגי השבטים היו אחראים לקשר עם האלים שהתקיים במקומות קדושים ששימשו כמקדשים.
במקומות אלו הוצעו לאלים מנחות ונישאו תפילות לשלומם והצלחתם של המנהיגים ובני שבטם.
צורת העננים וסימנים אחרים של הטבע פורשו כתגובות לתפילות.
בהוואי ובטהיטי פולחן התפילה נהיה מורכב עד כדי כך, שנדרשו בתי ספר לכוהנים על מנת לבצעו.
המנהיגים החשובים עברו האלהה לאחר מותם ונהגו להתפלל אליהם לעזרה.
לכל משפחה ולכל מקצוע היו אלים פרטיים משלהם.
שום פרויקט לא בוצע בטרם גויסה עזרת האלים לביצועו.
הפולינזים האמינו בכישוף וחששו ממכשפים.
לאחר שהפולינזים התנצרו המיתולוגיה הקדומה שולבה באמונה הנוצרית.
המרחקים העצומים בין קבוצות האיים וההבדלים האקולוגיים בין האיים היבשתיים לאיים געשיים והאלמוגיים יצרו מגוון תרבותי עשיר מאוד בכל איי פוליניזיה.
ובכל זאת, אפשר למצוא עקביות תרבותית משותפת לכל החברה הפולינזית.
התרבות הזו כוללת שפות הקשורות זו לזו, ארגון חברתי ופוליטי דומה וכן אמונות וטקסים דתיים דומים.
האמנות באיי פולינזיה הייתה חלק מהחיים, חלק מהפעילות המעשית היום יומית.
אמנם המוטיבים האמנותיים, והסגנונות שונים מתרבות לתרבות, ובכל זאת, ישנם מוטיבים הנפוצים באופן נרחב בפולינזיה.
לדוגמה, ברוב התרבויות אפשר למצאו מספר אלמנטים דקורטיביים גאומטריים קטנים, דוגמאות משוננות או קווים אלכסוניים.
כמו כן, אפשר למצוא אלמנטים פרחוניים וגם דמויות של בעלי חיים ודמויות שונות עם פנים מואנשות, עם עיניים בולטות ולשון בולטת בולטים בכל סוגי הפיסול.
אלו מופיעים גם בקעקועים וגם בכלים שימושיים או כלים שנועדו לקישוט.
הפולינזים גם מרבים להשתמש בקעקועים על כל משטח עור חשוף, כשהם יוצרים צורות גאומטריות מורכבות.
למעשה המילה האנגלית לקעקוע, Tattoo, מקורה במילה הפולינזית tatau.
האדריכלות הייתה מפותחת מאוד כמעט בכל מקום בפולינזיה, אך רק מבני האבן ההרוסים של האיים הפולינזיים המזרחיים נותרו כדי להעיד על המיומנות האדריכלית הניכרת של הפולינזים.
מקדשי האבן של איי הפסחא, איי החברה ואיי מרקיז, אפילו במצבם ההרוס, מציגים פרופורציות ועיצוב בולטים; שימוש חכם באבנים בצבעים, צורות ומרקמים שונים; ועדויות לשילוב איתן של הנדסה מעשית עם מטרות אמנותיות.
למרבה הצער, רוב האמנות הפולינזית שהייתה מפותחת מאוד נעלמה בשל התכלותם של חומרים ששימשו אותה, כמו עצים, קליפות עץ ונוצות, וכן מפני שפריטים רבים נלקחו עם בו האירופאים ונסחרו בתמורה לנשק, משקאות חריפים וכלי ברזל.
המוזיקה, השירה והריקוד הם חלק מהותי מאוד מהתרבות הפולינזית.
השירה היא קולית, וניתן בה דגש על הקצב ועל תבנית המילים.
השירים הנפוצים היו שירי אהבה ושירי מחול.
אבל השירה והדיבור החזק משמשים גם ככלי לשבח את המנהיגים או המבקרים רמי דרג בשבט.
הטקסטים המסורתיים שבעל פה מספרים על מעשיו של המנהיג ועל קרבתו לאלים.
המחול הוא הרחבה של השירה ונותן מימד נוסף לתהילה שניתנת לרמי המעלה.
תנועות המחול הן בעיקר של ידיים וזרועות עם דגש על סיבוב הזרוע וכיפוף והארכה של שורש כף היד, כמו גם הטיה מהירה הצידה של הראש.
הרגליים משמשות בעיקר לשמירה על קצב בתנועות צעידה הצידה, ויש היעדר בולט של תנועת הירך או פלג הגוף העליון.
הרקדנים אינם הופכים לדמויות בדרמה, והמחוות המסוגננות שלהם אינן תואמות מילים או רעיונות.
הרקדן מפרש סיפור בעל פה, בדרך כלל מזמר או מדקלם שירה ארוכה, ומלווה את המילים בפעולות.
השירה היא לעיתים קרובות הכלי לאמירת משהו אחר, בדרך כלל משהו הרלוונטי לאירוע בו היא מוצגת,
ריקוד חשוב היה המ'אטו'ופאקי (me'etu'upaki) - ריקוד משוטים שבוצע על ידי קבוצה גדולה של גברים או נשים, בנפרד, בליווי שירה, צינורות ריקוד ארוכים מבמבוק, מקלות הקשה וגונג - שלרוב נוגן על ידי הבכיר ברוקדים.
ריקוד זה עדיין מבוצע כיום.
בהוואי הריקוד (הולה Hula) היה חשוב עד כדי כך שנהיה למקצוע שמומחים לימדו אותו בבתי ספר.
המוזיקה המערבית לה נחשפו הפולינזים יצרה בסופו של דבר סגנון חדש שעירב את המסורת הפולינזית עם החופש המלודי של המוזיקה המערבית.
תרבויות אוקייניות פיתחו מגוון רחב של כלי נגינה להפקת צליל.
כלי הנגינה הנפוצים הם התוף המכוסה עור כריש, מקלות במבוק, דלעת מיובשת, חליל אף עשוי חזרן, וקונכיות.
אחד מהכילים הייחודיים עשוי שלושה עד ארבעה לוחות מגולפים מגוש עץ ומשפשפים בידיים כדי להפיק צלילים צווחניים או חלולים, בהתאם לגודל (8 עד 80 אינץ' עבור הכלי כולו).
כלים רבים משמשים לא בהקשרים מוזיקליים אלא למטרות אחרות - למשל, להפקת קולות של יצורים על-טבעיים (במלנזיה), כפיתיונים (רעשנים של כרישים), כצעצועים ולתקשורת.
כלי הנגינה עצמם הם בדרך כלל כלים פשוטים, חסרי גיוון מוזיקלי.
לחלילים, למשל, אין או מעט חורים לאצבעות ואין תעלות אוויר, התופים לא ניתנים לכיוון וכלי המיתר בסיסיים.
בתרבות של איי פולינזיה המוזיקה הכלית חשובה פחות מבחינה תרבותית ממוזיקה קולית, ובאזורים מסוימים היא נעדרת לחלוטין.
עם זאת, באזורים אחרים, כמו איי שלמה, יש תזמורות חליל פאן מפותחות מאוד ובכמה מן האיים יש תופים בצורת גליל, חלילי אף וחצוצרות עשויים קונכיות ים.
הטכנולוגיה הפולינזית המסורתית הסתמכה ברובה על חמישה חומרים: עץ, אבן, סיבים צמחיים, קונכייה ועצם.
תושבי המקום נעזרו בכלים עשויים מאבן או מקונכייה, מסכינים עשויים נתזי אבן, פצירות עשויות אלמוגים, קיפודי ים או אבן גולמית.
המקדחות היו עשויות מעצם, אבן או קונכייה והגילוף העדין נעשה באמצעות שיני אבן או עצמות בעלי חיים, כמו חולדות או כרישים.
האבן הקשה ביותר שהייתה זמינה להם הייתה עשויה שביבי בזלת דקים.
מכל אלו הם עיצבו את סירות הקאנו שלהם, בתים, כלי בית, כלי נשק, פיסול דתי ומגוון כלים נלווים אחרים.
חלקי הכלים שנוצרו - קטנים כגדולים, חוברו יחד בחבלים עשויים מסוגים שונים של סיבים צמחיים, כגון קליפת היביסקוס, סיב עלי פנדנוס, סיב קוקוס או קליפת באניאן.
קאנו ענקיים בעלי גוף כפול, שאורכם 30 עד 45 מטרים, נבנו ממרכיבים קטנים רבים מעץ, שהוחזקו יחד רק על ידי חיבור וקשירה, אך הם יכלו לעמוד בפני מכות הרוח והגלים לאורך אלפי קילומטרים.
בגדים ובדים לשימושים שונים יוצרו ממקור צמחי.
כך השתמשו בקליפת עץ התות או עץ הבניאן ליצירת בדים.
חומר זה נטחן ליריעות קטנות שניתן היה להרכיב אותן לאחר מכן כדי לייצר כיסויי חלציים, גלימות, חצאיות וכיסויי ראש.
פריטים עשויים מבד קליפת עץ עוטרו על ידי צביעה וסימני מים ועל ידי חיבור נוצות, קונכיות, שיני בעלי חיים וקישוטים אחרים.
מחצלות ארוגות דק שימשו גם כלבוש במערב פולינזיה ומחצלות אחרות שימשו לישיבה ולשינה, וכן להגנה מפני פגעים מזג האוויר.
קליפות קוקוס ודלעות בקבוקים שומשו ככלי קיבול, יחד עם סלים וחפצים אישיים שנארגו מסיבי עלים.
אחד המאפיינים העיקריים של תרבויות פולינזיות מסורתיות הוא הסתגלות יעילה לסביבת האוקיינוס ושליטה בה.
הפולינזים היו יורדי ים מעולים.
מסעותיהם נמשכו עד צ'ילה, כ-3,500 ק"מ מזרחית לאי הפסחא.
הם היו מאורגנים ומצוידים היטב כדי להתמודד עם הסכנות הרבות של סביבת האוקיינוס השקט היפה אך המאתגר.
הדיג היה ענף התעסוקה המרכזי וספק האוכל העיקרי של תושבי האיים.
הים סיפק את רוב החלבון בתזונה הפולינזית המסורתית.
הדייגים צדו כרישים, דגי טונה, רכיכות, סרטנים ודגי ים שונים.
ניצודו גם שרימפסים, לובסטרים, תמנונים וכן אצות ים.
הדיג בוצע על ידי יחידים, באמצעות חנית, חוט או רשת, או על ידי קבוצות, כשאנשים רבים פרשו וגררו רשתות ענק במפרצים או בלגונות.
לעיתים הדייגים דחפו דגים לעבר החוף, שם נלכדו ברשתות שהוחזקו במים רדודים.
בכמה חברות פולינזיות (למשל, באיי מרקיז וסמואה), מומחים ניהלו את מאמצי הדיג ההמוניים ואת הטקסים הדתיים המורכבים שנלוו אליהם.
גם יונקים ימיים כמו פוקיניים ולווייתנים נלכדו.
היו דייגים שהרחיקו אל תוך הים הפתוח בחיפושם אחרי דייג מתאים.
ידועים בכך תושבי איי פסחא שיצאו למסע של כ-500 ק"מ עד שונית הדגים בסאלס אי גומז.
שני דפוסי התיישבות עיקריים היו בשימוש בפולינזיה לפני כניסת האירופאים לאיים: האחד - חיים בכפרים קטנים שכללו כמה משקי בית או משפחה מורחבת או שתיים והיו נפוצים באיים הגעשיים הגדולים יותר, שם משאבי המזון היו מגוונים ופזורים על פני אזורי מחיה מגוונים.
דפוס התיישבות כזה אפשר לראות באיי מרקיז, שבפולינזיה הצרפתית.
שם, בתקופות פרהיסטוריות, כמו גם כיום, האוכלוסייה התפשטה על צלעות העמקים העמוקים והצרים באשכולות של אולי ארבעה עד חמישה בתים, לעיתים קרובות עם גינות, ערוגות טארו ועצי קוקוס ופרי עץ הלחם בסביבה הקרובה.
דפוס אחר של התיישבות היה בבתים שנבנו על פלטפורמות מלבניות, שגובהן והרכבן היו תלויים ביוקרתו של הבעלים.
אנשים בעלי מעמד נמוך יותר גרו בבתים מרוצפים פשוטים, מלבן שגובהו לא יעלה על כמה סנטימטרים, בעוד שלוחמים, אנשי הדת או ראשי מעמד התגוררו בבתים שניצבו על פלטפורמות שגובהן 2.1 עד 2.4 מטרים.
רוב הפעילות הביתית התרחשה ב"מרפסת", או בחלק הקדמי הלא מקורה של הפלטפורמה, שהיה מרוצף באבני בזלת חלקות שהועברו מאפיקי נחלים.
בתים של ראשי מעמד ואנשים אחרים בעלי מעמד גבוה עשו שימוש לעיתים קרובות בלוחות אבן חתוכות לקישוט הפלטפורמה.
לרבים היו גם בורות מלבניים בפלטפורמות לאחסון מזון, כמו גם מטמונים קטנים שבהם נקברו עצמותיהם של בני משפחה חשובים, שנוקו ונארזו בקפידה.
הבית עצמו נבנה על במה שחצתה את החלק האחורי של הפלטפורמה.
הבית הטיפוסי, שהורכב ממסגרת עץ מחוברת ומכוסה בגג קש, היה פתוח לכל אורך החזית וקצוותיו מרובעים.
הגג השתפל מעמוד רכס גבוה ישירות לרצפת הרציף בחלק האחורי.
בפנים, בול עץ קוקוס מלוטש נמתח לעיתים קרובות לכל אורך הבית, ושימש ככרית קהילתית.
הרצפות היו מכוסות במחצלות, עלים גרוסים או קליפות עץ.
חפצים היו תלויים בצרורות מהקורות.
המאורים בניו זילנד, וכך גם בסמואה, בנו כפרים מבוצרים גדולים ומרשימים במיוחד על ראשי גבעות, ועולים על אלו של כל התרבויות הפולינזיות האחרות.
תעלות, גדרות, שוחות וטרסות הגנו על מבצרים אלה.
בפנים המבצרים נבנו עוד אמצעי הגנה למקרה שההגנות החיצוניות נפגעו על ידי מתקפת אויב.
בתי המאורים היו עשויים עץ, מלבניים בתוכניתם, ובדרך כלל נחפרו כ-0.3 מטר לתוך פני האדמה.
משפחה פולינזית טיפוסית כללה שלושה דורות או יותר.
קבוצות קרבה משפחתית היו הבסיס להיררכיות החברתיות הפולינזיות.
באופן כללי, אנשים עקבו אחר מוצאם דרך השושלת הגברית, מערכת שבה ילדים שייכים לשושלת אביהם (פטריליניאליות).
לאחר הנישואין רוב הזוגות התגוררו עם משפחת הבעל (פטרילוקליאליות).
לפיכך, משפחה טיפוסית כללה גבר מבוגר, בניו ונכדיו, בנות זוגם וילדיהם הלא נשואים של הקבוצה.
עם זאת, אם הדבר היה לטובת ילד או משפחתו הרי לעיתים ניתן היה לייחס את השושלת דרך הנשים, ולעיתים גם על ידי אימוץ של ילדים, על ידי דודים או סבים, וכך הילדים יכלו לנוע בחופשיות בין כל המשפחות ומשקי הבית.
האדם בעל המעמד הגבוה ביותר בחברה הפולינזית היה הצ'יף.
אבל לעיתים הוא נחשב והתנהג כ-ראשון בין שווים.
בלבושו והתנהגותו היה שונה משאר הגברים.
כוחו היה מקודש והוא היווה סמל לקשריה של החברה עם העבר וככלי שבאמצעותו יונצחו קשרים אלו בדורות הבאים.
חברות פולינזיות רבות, כמו אלו שבניו זילנד, הוואי וטונגה ובאיי החברה, פיתחו היררכיות חברתיות מורכבות עם שושלות מדורגות ומנהיגים רבי עוצמה.
דירוגים אלה נגזרו בעיקר מתפיסת הפולינזים את ירושת האלוהות, וכתוצאה מכך, מהחזקת המאנה של המנהיג.
מנהיגים נבדלו מאחרים גם ביכולתם להוביל בקרב, בהצלחתם באיסוף וחלוקת כמויות גדולות של מזון וחפצי ערך אחרים, ובכישוריהם הדתיים בתקשורת עם האלים.
השפות הפולינזיות הן קבוצת שפות שהיא ענף של משפחת השפות האוסטרונזיות.
זוהי קבוצה של כ-30 שפות השייכות לענף המזרחי של משפחת השפות האוסטרונזיות (מלאיו-פולינזית) הקרובות מאוד לשפות של מיקרונזיה ומלנזיה.
את השפות האלו מדברים פחות ממליון איש בשטח ענק באוקיינוס השקט.
למרות המרחק הגדול בין האיים ישנה הומוגניות, יחסית, בין השפות השונות, דבר המעיד על שפה קדומה משותפת ועל כך שהפיזור נעשה רק לפני כ-2,500 שנים ממרכז אחד, כנראה טונגה-סמואה.
ייחודן של השפות הפולינזיות היא העדרן, כמעט לגמרי, של עיצורים ושימוש רב בתנועות.
ישנן תנועות ארוכות ותנועות קצרות.
הקהילה הגדולה ביותר שמדברת פולינזית היא בסמואה.
סמואית היא השפה הלאומית של סמואה (לשעבר סמואה המערבית) ומדברים אותה כ-200,000 איש.
בניו זילנד מדברים רק 100,000 איש בשפה המאורי ולא ידוע כמה אנשים עדיין מדברים טהיטית.
גם ההוואית מדוברת רק על ידי בודדים.
למרות המורשת העשירה של השפות הפולינזיות הרי כיום הן מתמודדות עם סכנת הכחדה, כשרק פחות ממליון איש בעולם עדיין יודעים את השפות.
לאחרונה ישנה התעוררות מסוימת וניסיונות להחיות את השפות.
כך בהוואי, כשמאמצים נעשים להתחבר מחדש לשורשים התרבותיים והלשוניים.
פולינום מתוקן הוא פולינום שהמקדם המוביל בו הוא 1. כלומר הוא מהצורה:
לדוגמה, הפולינום הוא פולינום מתוקן, בעוד ש- אינו מתוקן.
כאשר הפולינום מוגדר מעל שדה (למשל פולינום שמקדמיו רציונליים או ממשיים), אפשר לתקן אותו על ידי חילוק במקדם העליון.
אם הפולינום מוגדר מעל חוג כללי יותר, התיקון לא תמיד אפשרי.
שורש של פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים נקרא שלם אלגברי.
באלגברה מופשטת, פולינום מינימלי של איבר באלגברה הוא הפולינום בעל המעלה הקטנה ביותר שאם נציב בו את האיבר נקבל אפס.
איבר שיש לו פולינום כזה נקרא איבר אלגברי, ואיבר שאינו מאפס אף פולינום נקרא "איבר טרנסצנדנטי".
לדוגמה הפולינום המינימלי של (מעל שדה המספרים הרציונליים) הוא כי ואין פולינום ממעלה שנייה או ראשונה עם מקדמים רציונליים שמתאפס על .
הפולינום המינימלי של המטריצה הריבועית הוא , משום ש- (כאשר היא מטריצת היחידה מסדר 2), ואין פולינום ממעלה ראשונה המאפס את המטריצה .
אם הוא חוג (אסוציאטיבי, או אפילו בעל חזקה אסוציאטיבית) מעל חוג , אז בכל פולינום אפשר להציב איברים של באופן הבא:
פולינום מינימלי של מעל הוא פולינום בעל מעלה קטנה ביותר כך ש- (בתנאי שיש פולינום כזה).
אם הוא שדה, מקובל להניח שהפולינום מתוקן, וניתן להוכיח שקיים פולינום מינימלי יחיד ל- שכזה.
מאידך, במקרה הכללי (למשל, אם הוא חוג המספרים השלמים), ייתכן שלא יהיה קיים פולינום מינימלי מתוקן.
בכל זאת, אם הוא תחום פריקות יחידה, קיים פולינום מינימלי יחיד ל- שהוא גם פרימיטיבי, כלומר כך שהמקדמים שלו זרים במידה גלובלית.
על-מנת לאפיין את הפולינום, יש לציין את חוג הבסיס או השדה שמעליו האלגברה מוגדרת: זהו החוג שממנו מותר לבחור את מקדמי הפולינום.
לדוגמה, הפולינום המינימלי של המספר המרוכב מעל לשדה המספרים הממשיים הוא , אבל הפולינום המינימלי מעל שדה המספרים הרציונליים הוא , ומעל המרוכבים הוא פשוט הפולינום הליניארי: .
לפי משפט קיילי-המילטון, הפולינום המינימלי של מטריצה ריבועית מחלק את הפולינום האופייני שלה.
ידוע גם שלשני הפולינומים יש בדיוק אותם גורמים אי-פריקים.
לפולינום המינימלי חשיבות מרכזית כאשר מבקשים להעביר את המטריצה לצורה רציונלית קנונית או צורת ז'ורדן.
הריבוי של שורש מסוים של הפולינום המינימלי הוא הגודל של בלוק ז'ורדן הגדול ביותר שמתאים לו.
פולינום מינימלי של איברים בתחום שלמות שהוא גם אלגברה מעל שדה
אם הוא תחום שלמות המהווה אלגברה מעל שדה (ובפרט, אם הוא שדה המכיל את F), אז הפולינום המינימלי של איבר הוא אי-פריק (כלומר, לא ניתן לכתוב אותו כמכפלה של שני פולינומים), והוא מינימלי גם לגבי יחס החלוקה, במובן הבא: אם , אז מחלק את .
יתרה מזו, תת-החוג מהווה תת-שדה של , שממדו מעל שווה למעלה של .
פולינום מינימלי של איבר בתחום פריקות יחידה
אם הוא תחום פריקות יחידה, ו- הוא אלגברי מעל שדה השברים של A, אז ל- פולינום מינימלי יחיד שהוא גם פרימיטיבי (ראה לעיל).
בנוסף ניתן להוכיח שכל פולינום אחר שמאפס את נחלק ב-.
מסקנה פשוטה היא זו: אם הומומורפיזם של חוגים, אם מסמן תמונתו של ב- , ו- הוא שורש של בהרחבה אלגברית של שדה השברים של , אז ניתן להרחיב את להומומרפיזם על ידי .
מסקנה אחרת היא שכל תחום פריקות יחידה סגור בשלמות.
הפולינום המינימלי מאפשר להגדיר אינווראנטים חשובים של אלגברות מממד סופי.
תהי אלגברה (אסוציאטיבית, או לכל הפחות אלגברה לא אסוציאטיבית שהיא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט), מממד סופי מעל שדה .
נבחר בסיס , ונתבונן באיבר של האלגברה המתקבלת מהרחבת סקלרים מ- לשדה הפונקציות .
במקרה כזה, קיים פולינום מינימלי מתוקן המאפס את , והוא נקרא הפולינום המינימלי הגנרי של .
המעלה של נקראת גם הדרגה של .
אם כותבים , אז המקדמים הם פולינומים הומוגניים במשתנים .
על ידי הצבה אפשר לחשב מ- פולינום המאפס כל איבר נתון של האלגברה (אם כי זה אינו בהכרח פולינום מינימלי).
המקדם , המקיים את תנאי האדיטיביות , נקרא העקבה הגנרית , והמקדם האחרון הוא הנורמה הגנרית .
לדוגמה, עבור אלגברת המטריצות , העקבה הגנרית מתלכדת עם העקבה הרגילה, והנורמה הגנרית מתלכדת עם הדטרמיננטה.
בין השימושים הרבים של הפונקציות הללו אפשר למנות את העובדה הבאה: נניח ש- ו- (כאשר ו- הם הקומוטטור והאסוציאטור, בהתאמה; הנחות אלה מתקיימות ממילא בכל אלגברה אסוציאטיבית).
אם אינה מנוונת (במובן הבא: אם לכל , אז ), אז ספרבילית.
פוליסה (או פוליסת ביטוח) היא מסמך בכתב המשקף את הסכמות הצדדים לחוזה ביטוח, המבטח מצד אחד והמבוטח או בעל הפוליסה מהצד השני.
בפוליסה מרוכזים תנאי הביטוח, בהם: היקף הכיסוי, החריגים, זהות הצדדים והמוטבים, תקופת הביטוח, דמי הביטוח (פרמיה) ואופן מימוש הזכאות לתגמולי ביטוח במקרה מימוש הסיכון המבוטח.
במשפט הישראלי פוליסה נחשבת חוזה אחיד, אשר תנאיו מנוסחים מראש על ידי המבטח ומוצעים לציבור הרחב, ולפיכך חלים עליה גם דיני החוזים הכלליים, דיני החוזים האחידים והוראותיו המיוחדות של חוק חוזה הביטוח, התשמ"א-1981.
מבחינה משפטית, פוליסה היא דרך הביטוי הכתובה של חוזה הביטוח.
סעיף 2 לחוק חוזה הביטוח מחייב את המבטח למסור למבוטח פוליסת ביטוח שבה יפורטו תנאי החוזה, אלא אם כן מדובר בענף ביטוח שבו נהוג שלא להוציא פוליסה נפרדת.
פרטי המבטח, בעל הפוליסה, המבוטח והמוטבים
תיאור הנכס המבוטח או הסיכון המבוטח (דירה, רכב, חבות מקצועית, אובדן כושר עבודה)
סכום הביטוח או תקרת האחריות (limit of liability)
משך תקופת הביטוח ומועד תחילת הפוליסה
תנאים מקדימים לכיסוי הביטוחי, תנאים לקיומו ונסיבות הפקיעה
בפועל מקובל להבחין בין תנאים כלליים של הפוליסה, המנוסחים באחידות לכל מבוטחי אותו מוצר ביטוחי, לבין תנאים מיוחדים הקובעים התאמות אישיות למבוטח מסוים (כגון הרחבות כיסוי, שינוי סכומי ביטוח או רשימת נהגים).
שורשים מוקדמים להסדרים דמויי ביטוח מתועדים כבר בעולם העתיק, בין היתר בחוקי חמורבי שבמסופוטמיה, שבהם הוסדרו מצבים של פיזור סיכון בין סוחרים ומלווים.
לצד זאת פעלו באירופה של ימי הביניים גופים קהילתיים וגילדות מקצועיות, שהעניקו לחבריהם סיוע כלכלי במקרה של נזק לרכוש או למחלה, ועליהם נוהגים לעיתים להצביע כאבותיהם של מנגנוני ביטוח הדדי מודרניים.
במאה ה-17 וה-18 התפתחו בלונדון שווקים לביטוח ימי ולביטוח אש סביב בתי קפה, ובראשם "Lloyd's Coffee House", שהיו מרכז מפגש לסוחרים ולבעלי אוניות.
מסמכי הביטוח שנערכו שם, שבהם ציינו "החתומים מטה" (underwriters) את חלקם בסיכון, נחשבים לאב טיפוס של לוידס לונדון ושל פוליסות הביטוח המודרניות.
התופעה של מסחר בביטוח סביב בתי קפה בלונדון מתוארת גם בספרות ההיסטורית על התפתחות שוק הביטוח בבריטניה ובארצות הברית.
השרפה הגדולה של לונדון בשנת 1666 המחישה את פוטנציאל ההרס של שרפות עירוניות והאיצה את הקמתן של חברות ביטוח אש ייעודיות.
יזמים רבים הקימו לאחר השרפה מיזמים לתיקון בתים ולכיסוי נזקי אש, ובהמשך נוצרו משרדי ביטוח אש ומערכות מאורגנות יותר של כיבוי אש בערים מרכזיות באירופה.
מוזיאוני ביטוח ותצוגות היסטוריות מקשרים בין השרפה לבין "לידתו" של ביטוח האש המודרני וראשית פעולתן של חברות ביטוח ייעודיות בתחום זה.
במאה ה-18 וה-19 התרחב ענף ביטוח האש והביטוח הימי בבריטניה ובארצות הברית, ונוסדו חברות ביטוח מניות וחברות ביטוח הדדיות שהוציאו פוליסות כתובות לביטוח חיים, לרכוש ולחבויות שונות.
בתקופה זו נוסחו פוליסות על ידי כל חברת ביטוח בנפרד, והיו הבדלים משמעותיים בין נוסח לנוסח.
פוליסות רבות היו ארוכות, מורכבות ומכבידות על מבוטחים ועל בתי המשפט בפרשנותן.
במחצית השנייה של המאה ה-19 החל תהליך של סטנדרטיזציה של נוסחי פוליסות, בעיקר בביטוח אש.
בשנת 1873 אימצה מדינת מסצ'וסטס בארצות הברית פוליסה תקנית ראשונה לביטוח אש, שחברות ביטוח נדרשו להשתמש בה.
בשנים שלאחר מכן אימצו מדינות נוספות בארצות הברית פוליסות תקניות, והמודל תרם להתפתחות נוסחים אחידים וליצירת "הפוליסה התקנית לביטוח אש" (Standard Fire Policy) ששימשה בסיס לחוזי ביטוח רכוש רבים במאה ה-20.
במאה ה-20, עם התרחבות ענפי הביטוח (ביטוחי חיים ובריאות, ביטוחי רכב, ביטוחי אחריות מקצועית ועוד), הפכו פוליסות הביטוח למסמכים מפורטים יותר, הכוללים תנאים כלליים אחידים ותנאים מיוחדים למוצר ביטוחי או לקבוצת מבוטחים.
במקביל התחזק הפיקוח הרגולטורי על ענף הביטוח, ונקבעו בחקיקה ובהוראות פיקוח כללים לגבי נוסח הפוליסה, הבלטת תנאים מגבילים ושקיפות כלפי המבוטחים.
בסוף המאה ה-20 ובראשית המאה ה-21 עבר שוק הביטוח תהליך דיגיטציה, פוליסות שהודפסו בעבר על גבי נייר הוחלפו בהדרגה בפוליסות אלקטרוניות הנמסרות למבוטחים באמצעות דואר אלקטרוני או "אזור אישי" באתר חברת הביטוח.
רשויות פיקוח במדינות שונות החלו לעודד ואף לחייב שימוש ב"שפה פשוטה" (plain language), קביעת סטנדרטים למדדי קריאות והקמת קבוצות עבודה ייעודיות לשיפור קריאותם ושקיפותם של מסמכי ביטוח לצרכנים.
במרבית שיטות המשפט מקובל לראות בפוליסת ביטוח חוזה מובנה, המחולק למספר חלקים עיקריים.
רשויות פיקוח ומדריכים לצרכנים מתארים בדרך כלל ארבעה רכיבים בסיסיים: דף פרטים (declarations), הסכם הכיסוי (insuring agreement), החרגות (exclusions) ותנאים (conditions).
בפועל נוספות לרכיבים אלה הגדרות, נספחים, כתבי צד (endorsements) ומסמכי הסבר שונים.
פוליסת ביטוח טיפוסית בנויה ממספר חלקים משלימים, ובהם:
הצעה לביטוח וטפסי גילוי - מסמכים שבהם מוסר המבוטח מידע על עצמו ועל הסיכון (למשל פרטי בריאות, היסטוריית תביעות או מאפייני הנכס המבוטח), המשמשים את החיתום והתמחור של הפוליסה.
במקרים רבים מצוין בפוליסה כי ההצעה מהווה חלק בלתי נפרד מן החוזה וכי הצהרות המבוטח מחייבות אותו.
דף פרטים אישיים (schedule / declarations page) - עמוד או שניים המרוכזים בתחילת הפוליסה, ובהם פרטי הזיהוי של המבטח, בעל הפוליסה, המבוטחים והמוטבים, סוג הכיסוי הביטוחי, סכומי הביטוח או גבולות האחריות (limit of liability), סכומי ההשתתפות העצמית, שיעור ותדירות הפרמיה ותקופת הביטוח.
דף זה משקף את ההתאמות האישיות שבוצעו במוצר הביטוחי עבור מבוטח מסוים, ונחשב לסיכום תמציתי של הכיסויים, הגבולות והעלות.
תנאים כלליים - חלק זה כולל את ההגדרות הבסיסיות בפוליסה (כגון "מקרה ביטוח", "נזק", "אירוע ביטוחי"), את פירוט הכיסויים העיקריים (insuring agreement), רשימת ההחרגות, חובות הצדדים (למשל חובת הגילוי והודעה על קרות מקרה הביטוח), מנגנוני ביטול וחידוש, הוראות בדבר התיישנות, יישוב סכסוכים ועוד.
תנאים כלליים אלה מנוסחים באחידות לכלל המבוטחים באותו מוצר ביטוחי, ולעיתים מאושרים מראש בידי רשות פיקוח.
החרגות - סעיפים המפרטים מצבים, סוגי נזק או סוגי סיכונים שהפוליסה אינה מכסה, גם אם הם נכללים לכאורה במסגרת הכללית של מקרה הביטוח.
בהדרכות לצרכנים מודגשות לעיתים החרגות נפוצות, כגון נזק שנגרם בזדון על ידי המבוטח או סיכונים הדורשים כיסוי נפרד (למשל רעידות אדמה ושיטפונות בביטוחי דירה).
תנאים מיוחדים, הרחבות וצמצומים (endorsements / riders) - כתבי צד או נספחים המשנים את התנאים הכלליים עבור מבוטח מסוים או קבוצת מבוטחים.
הם יכולים להרחיב את הכיסוי (למשל הוספת כיסוי לנזקי שיטפון, הרחבת אחריות מקצועית או כיסוי לתכשיטים) או לצמצם אותו (החרגת פעילות מסוימת, הגבלת סכומי ביטוח וכדומה).
ספרות מקצועית ומדריכי צרכנים מתארים endorsement כתיקון או תוספת לפוליסה, העשויים להוסיף, למחוק או לשנות כיסוי.
נספחים ורשימות (schedules) - רשימות מפורטות של פריטים, נכסים או מבוטחים הכלולים בפוליסה, כגון רשימת כלי רכב בביטוח רכב, מבנים בפוליסת רכוש, עובדים בפוליסת אחריות מעבידים, או פריטים יקרי ערך בפוליסת ביטוח דירה.
בעולם הביטוח משמש המונח "schedule" לציון רשימה המפרטת את הפרטים המבוטחים, הגבולות וההשתתפויות, ולעיתים גם את שוויים המוצהר של פריטים מסוימים.
מסמכי הסבר ו"תקציר כיסוי" - לצד הפוליסה המלאה נוהגות חברות ביטוח לפרסם לעיתים דפי מידע, שאלות ותשובות או "תקציר כיסוי" (summary of coverage) המיועדים להציג בשפה פשוטה את עיקרי הכיסוי, ההחרגות וההשתתפויות העצמיות.
במסמכים רגולטוריים בארצות הברית וברשויות פיקוח אחרות מודגשת חשיבותם של תקצירים אלה להבנת תנאי הפוליסה על ידי צרכנים, אם כי מבחינה משפטית חלים בדרך כלל תנאי הפוליסה המלאה במקרה של סתירה.
בפועל מקובל להבחין בין נוסח הפוליסה התקני או הכללי, שנוסח מראש על ידי המבטח ולעיתים נקבע בחקיקה או בהוראות רשות שוק ההון, ביטוח וחיסכון, לבין רכיבי הפוליסה המותאמים אישית למבוטח (דף הפרטים האישיים, רשימות וכתבי צד).
מאחר שהפוליסה נחשבת בחלק ניכר מן השיטות המשפטיות חוזה אחיד, נטו בתי המשפט לפרש תנאים עמומים בפוליסה על פי ציפיותיו הסבירות של המבוטח, ובמקרים מסוימים נגד המנסח (חברת הביטוח).
פוליסת ביטוח אינה מסמך סטטי בלבד, אלא חלק מתהליך מתמשך הכולל כריתת חוזה, הנפקת פוליסה, חידוש פוליסה, שינוי וביטול.
שלבים אלה מוסדרים ומעוגנים בדיני חוזים ובדיני ביטוח וכן בתנאי הפוליסה עצמה, ולעיתים אף בהוראות רגולטוריות ייחודיות לענף ביטוח מסוים.
חוזה הביטוח נכרת בדרך כלל בעקבות פנייה של המבוטח, בין אם באמצעות הצעה חתומה, מילוי טופס מקוון, שיחה עם סוכן ביטוח או רכישה דרך אתר אינטרנט.
לפני הכריתה מבקש המבטח מהמבוטח למלא טופס הצעה ולהשיב על שאלות הנוגעות לסיכון, מידע המשמש את המבטח לצורכי חיתום ותמחור.
במשפט הישראלי מחייב סעיף 2 לחוק חוזה הביטוח את המבטח למסור למבוטח פוליסה בכתב שבה יפורטו תנאי החוזה, בתוך פרק זמן סביר לאחר כריתתו, אלא אם כן נהוג בענף מסוים שלא להוציא פוליסה נפרדת.
לפי החוק אי מסירת פוליסה או מסירתה באיחור עלולות לפגוע ביכולת המבוטח להבין את היקף הכיסוי ולהשוות הצעות, ולכן נקבעו כללים מפורטים לעניין אופן המסירה ופרקי הזמן למסירה, ובעיקר בביטוחי בריאות וקבוצתיים.
בענפים מסוימים נהוג להנפיק תעודת כיסוי זמנית או אישור ביטוח קצר טווח, הנותן כיסוי לתקופה מוגבלת עד להנפקת הפוליסה המלאה (כך למשל בביטוח רכב או ביטוח נסיעות לחו"ל).
תעודות כאלה נחשבות בדרך כלל לחוזי ביטוח לכל דבר ועניין, אך תנאיהן מפנים לעיתים לנוסח הפוליסה התקני של המבטח.
פוליסות רבות נערכות לתקופה קצובה, לרוב לשנה אחת, ובסיומה רשאי המבטח להציע את חידושה.
החידוש יכול להיות אוטומטי, באמצעות חיוב אמצעי התשלום של המבוטח לתקופה נוספת, או מותנה בהסכמה מפורשת של המבוטח, בהתאם לדין המקומי ולתנאי הפוליסה.
במהלך החידוש רשאית חברת הביטוח לעדכן פרמיות, תנאים והחרגות, בכפוף למגבלות הדין ולהוראות רשות שוק ההון, ביטוח וחיסכון או רשויות פיקוח אחרות.
רגולטורים במדינות שונות מחייבים לעיתים את המבטחים להודיע למבוטחים מראש על שינויים מהותיים בתנאי הפוליסה או על אי חידושה, במועדים שנקבעו בחקיקה, כדי לאפשר למבוטחים להשוות הצעות ולהחליף מבטח במידת הצורך.
שינוי תנאים במהלך תקופת הביטוח
לאורך תקופת הביטוח עשוי המבוטח לבקש לשנות חלק מן הנתונים או הכיסויים בפוליסה.
לדוגמה, שינוי כתובת המבוטח, הוספת נהג נוסף בביטוח רכב, העלאת סכומי ביטוח למבנה או לתכולה, או הרחבת כיסוי אחריות מקצועית.
שינויים כאלה נעשים בדרך כלל באמצעות הנפקת נספח או כתב צד, שבו נקבע במפורש כיצד משתנים התנאים הכלליים או דף הפרטים האישיים.
כאשר השינוי מביא להחמרת סיכון מהותית, למשל בשינוי ייעוד של מבנה מבוטח לשימוש מסחרי עתיר סיכונים, או שינוי באופי הפעילות העסקית, עשוי המבטח לדרוש פרמיה נוספת, לקבוע תנאים מחמירים יותר או לסרב להמשך הכיסוי.
בחלק מן השיטות המשפטיות חלה על המבוטח חובת גילוי גם לאחר כריתת החוזה, ואם לא עמד בה עשויים להתעורר סכסוכים בדבר היקף הכיסוי וזכאותו לתגמולי ביטוח.
פוליסת ביטוח עשויה להסתיים בכמה דרכים:
פקיעה אוטומטית - בתום תקופת הביטוח שנקבעה בפוליסה, אם לא חודשה.
ביטול ביוזמת המבוטח - למשל כאשר הוא מחליף מבטח או אינו זקוק עוד לכיסוי.
בחלק גדול מענפי הביטוח זכאי המבוטח להחזר פרמיה יחסי (pro rata או לפי טבלת קצר מועד) בגין התקופה שלא נוצלה, בהתאם לתנאי הפוליסה ולדין.
ביטול ביוזמת המבטח - למשל עקב אי תשלום פרמיה, גילוי מצג כוזב חמור או החמרת סיכון שלא הוצהרה.
דיני ביטוח רבים מחייבים את המבטח למסור למבוטח הודעה מראש על הביטול ולציין את עילתו, ולעיתים מגבילים את המקרים שבהם מותר לבטל פוליסה במהלך התקופה.
פקיעה עקב מימוש מלא של מקרה הביטוח - בפוליסות מסוימות (בעיקר חלק מביטוח חיים) עשוי מקרה הביטוח להביא לסיום החוזה לאחר שתשלום תגמולי הביטוח הושלם.
בפוליסות אחרות, בעיקר בביטוחי רכוש ואחריות, המשך קיומה של הפוליסה אינו מושפע מקרותו של מקרה ביטוח בודד, אלא אם כן נקבע אחרת במפורש.
במחלוקות משפטיות הנוגעות לביטול או לפקיעת פוליסה נבחן, בין היתר, האם עמד המבטח בחובות ההודעה והגילוי כלפי המבוטח, האם ניתנה למבוטח הזדמנות סבירה להסדיר חוב פרמיה או להציע תיקון לתנאים, והאם הביטול נעשה בהתאם לדין ולסמכויות שנקבעו בפוליסה.
ספרות משפטית ופסיקה במדינות שונות מדגישות את הצורך באיזון בין זכותו של המבטח לנהל את סיכוניו לבין הגנה על המבוטחים כצד החוזי החלש.
ניתן לסווג פוליסות ביטוח על פי כמה קריטריונים:
ביטוח פרטי - פוליסה הנערכת מול יחיד או משפחה (כגון ביטוח דירה, רכב, בריאות, נסיעות לחו"ל).
ביטוח עסקי - פוליסה המיועדת לעסק, תאגיד או גוף מוסדי, כגון ביטוח אחריות מקצועית, ביטוח אחריות נושאי משרה, ביטוח עבודות קבלניות או ביטוח סייבר.
ביטוח קבוצתי - פוליסה אחת שבה המבוטחים הם קבוצה מוגדרת (עובדי מעסיק, חברי ארגון מקצועי וכדומה), כאשר בעל הפוליסה הוא בדרך כלל המעסיק או הארגון.
תנאי הפוליסה נקבעים מול הקבוצה, ולעיתים מיטיבים ביחס לפוליסה פרטית בשל כוח המיקוח של בעל הפוליסה הקבוצתית.
ביטוחי רכוש - פוליסות לכיסוי נזקים לדירה, לתכולה, לרכב, למלאי ולציוד, וכן ביטוחי פרויקטים הנדסיים.
ביטוחי אחריות - פוליסות המכסות אחריות נזיקית או חוזית כלפי צדדים שלישיים (אחריות כלפי צד שלישי ברכב, אחריות מקצועית, אחריות מוצר ועוד).
ביטוחי אדם - ביטוחי חיים, בריאות, תאונות אישיות ואובדן כושר עבודה.
ביטוחי חבילה (package policy) - פוליסה אחת המשלבת כמה סוגי כיסויים (למשל ביטוח עסק הכולל רכוש, אובדן רווחים ואחריות כלפי צד שלישי).
בפוליסת ביטוח קיימים מספר תפקידים מובחנים, שלעיתים מתערבבים בשימוש היומיומי:
בעל הפוליסה - הצד שחותם על חוזה הביטוח ומשלם את הפרמיה.
המבוטח - האדם או הגוף שהסיכון לגביו מכוסה.
לעיתים הוא זהה לבעל הפוליסה, ולעיתים שונה (למשל: מעסיק כבעל פוליסה ומועסק כמבוטח).
המוטב - מי שמיועד לקבל את התגמולים מן המבטח במקרה מימוש ביטוח החיים או הכיסוי הרלוונטי.
ההבחנה בין המעמדות השונים חשובה לצורך קביעת הזכות לתגמולים, האפשרות לשנות מוטבים או לשעבד את הזכויות בפוליסה, ואופן העמידה בחובת הגילוי למבטח.
לפוליסות ביטוח יש תפקיד מרכזי בכלכלה המודרנית: היא מתארת את חלוקת הסיכונים הכספיים בין המבטח לבין המבוטח, ואת התמורה שהמבוטח משלם בעד פיזור סיכונים אלה.
בתוך כך משתקפות בפוליסה סוגיות של אי ודאות, א-סימטריית מידע, כוח מיקוח, רגולציה צרכנית והתנהגות צרכנים.
מנקודת מבט כלכלית, ביטוח נועד לאפשר ליחידים ולארגונים להימנע מנשיאה בלעדית בנזקי אירועים נדירים ויקרים, על ידי תשלום פרמיה קבועה וידועה מראש.
הפוליסה היא המסמך שבאמצעותו מתורגם רעיון זה לחוזה קונקרטי, הקובע אילו סיכונים מועברים מן המבוטח למבטח, באילו תנאים ובאילו גבולות אחריות.
ספרות כלכלית על ביטוח מדגישה כי בהיעדר פוליסה ברורה ומדויקת קשה להעריך את תוחלת הנזק ואת תוחלת התשלום, ומופר האיזון בין הצדדים לחוזה.
פיזור הסיכון באמצעות פוליסות ביטוח מאפשר למשקי בית ולעסקים לקבל החלטות השקעה וצריכה תוך הסתמכות על הגנה מפני אירועים חריגים, כגון שריפות, תאונות דרכים, אשפוזים ממושכים או תביעות נזיקין.
בכך תורם שוק הביטוח ליציבות פיננסית וליכולת לתכנן לטווח ארוך.
יחסי הכוחות בין חברת ביטוח לבין מבוטח מאופיינים בדרך כלל באסימטריית מידע: למבוטח יש מידע טוב יותר על מצבו הבריאותי, על הרגלי הנהיגה או על איכות תחזוקת הנכס, בעוד למבטח יתרון מקצועי בהבנת תנאי הפוליסה והמודלים האקטואריים.
מצב זה מזוהה בספרות הכלכלית עם תופעות כמו בחירה שלילית (adverse selection), שבה נוטים לרכוש ביטוח דווקא מי שהסיכון אצלם גבוה מהממוצע, וסיכון מוסרי (moral hazard), שבה ביטוח עלול לעודד התנהגות מסוכנת יותר משום שהנזק לא ייפול במלואו על המבוטח.
מבנה הפוליסה משמש כלי לצמצום בעיות.
לדוגמה, קביעת השתתפות עצמית וגובה פרמיה התלוי ברמת הסיכון (כגון היסטוריית תביעות או שימוש ברכב) נחשבים לאמצעים להפחתת סיכון מוסרי ולעידוד התנהגות זהירה.
כוח מיקוח, תיווך ורגולציה צרכנית
בגלל מורכבות הפוליסות והידע המקצועי הנדרש להבנתן, נתפסים המבוטחים ברוב השווקים כצד החלש בחוזה.
חברות ביטוח ומבטחים מוסדיים נהנים בדרך כלל מיתרון גודל, מידע ויכולת ניסוח, בעוד שהמבוטחים מתמודדים עם מגוון רחב של מוצרים וקושי להשוות תנאים.
מחקרים ודו"חות רגולטוריים מצביעים על כך שמבוטחים רבים מתקשים להבין את גבולות האחריות, את החריגים ואת חובות הדיווח המוטלות עליהם.
בהקשר זה ממלאים סוכן ביטוח ויועצי ביטוח תפקיד של מתווכים בין המבטח למבוטח, הן במכירת הפוליסה והן בעת הגשת תביעה.
רגולטורים במדינות רבות מטילים על מתווכים אלה חובות נאמנות, גילוי וניהול ניגודי עניינים, כדי לצמצם את בעיית אי הסימטריה במידע ולהבטיח שהפוליסה הנמכרת מתאימה לצורכי הלקוח.
כחלק מהגנה על צרכני ביטוח, נוקטים רגולטורים רבים צעדים לשיפור שקיפות הפוליסות, כגון דרישות ל"שפה פשוטה" (plain language), חובת הבלטת תנאים מגבילים, קביעת נוסחים תקניים לענפים מסוימים, ופרסום מסמכי הסבר השוואתיים ("דפי מידע מוצריים") באתרי הרגולטור.
ריבוי סעיפים, הגדרות והחרגות בפוליסות ביטוח מודרניות מעורר חשש שהמבוטחים מתקשים לקרוא את הפוליסה במלואה ולהבין את משמעותה.
מחקרים בתחומי משפט וכלכלה התנהגותית מצביעים על כך שצרכנים נוטים להסתמך על דפי סיכום קצרים, על המלצות סוכנים או על גובה הפרמיה בלבד, מבלי להשוות לעומק תנאים כמו השתתפות עצמית, חריגים או מנגנוני עדכון פרמיה.
ביקורת זו תרמה למגמה של קיצור והפשטת מסמכי הביטוח, להוספת "תקצירי כיסוי" ולפיתוח כלי השוואה מקוונים המאפשרים לצרכנים להשוות בין פוליסות שונות.
עם זאת, נשמעת בספרות גם ביקורת על כך שתקצירים קצרים מדי עלולים לפשט יתר על המידה את הכיסוי ולהסתיר מורכבות חיונית, ולכן מדגישים רגולטורים כי במקרה של סתירה בין תקציר לבין נוסח הפוליסה, גובר בדרך כלל הנוסח המלא.
הדין הישראלי המסדיר את פוליסות הביטוח נשען בעיקר על שני מקורות נורמטיביים:
חוק חוזה הביטוח - קובע הוראות מהותיות לגבי כריתת חוזה הביטוח, חובת הגילוי, מסירת הפוליסה, חובת ההבלטה של תנאים מגבילים, פרשנות תנאי הפוליסה וזכויות הצדדים בעת קרות מקרה הביטוח.
חוק הפיקוח על שירותים פיננסיים (ביטוח) - מסמיך את הממונה על שוק ההון, ביטוח וחיסכון לקבוע כללים לצורת הפוליסה, דרכי הצגתה לציבור ואישורה מראש על ידי הרגולטור במקרים מסוימים.
הבלטת תנאים מגבילים - סעיף 3 לחוק חוזה הביטוח מחייב את המבטח להבליט בפוליסה תנאים שעניינם הגבלה או שלילה של אחריות ביטוחית (כגון חריגים מהותיים או דרישות סף), שאם לא כן עשוי התנאי להתבטל או להתפרש לטובת המבוטח.
פרשנות לטובת המבוטח - בפסיקת בית המשפט העליון נקבע כי פוליסת ביטוח היא חוזה אחיד וכי במקרה של עמימות או ספק בפרשנות תנאיה, יש לפרש את הפוליסה לפי ציפיותיו הסבירות של המבוטח, ובמקרים מסוימים נגד המנסח (חברת הביטוח).
בנוסף לחוקים אלה פורסמו תקנות והוראות פיקוח הקובעות נוסחים אחידים או תנאי מינימום בענפי ביטוח מסוימים, כגון:
תקנות הפיקוח על עסקי ביטוח (תנאי חוזה לביטוח דירות ותכולתן)
הוראות הפיקוח על עסקי ביטוח (תנאי חוזה לביטוח רכב פרטי).
בישראל ובעולם נשמעת ביקורת על מורכבותן של פוליסות הביטוח, אורכן הרב והקשיים שהן מציבות בפני מבוטחים מן השורה בהבנת היקף הכיסוי והחריגים.
ארגוני צרכנים ורגולטורים הצביעו על הקשר בין ניסוח לא בהיר לבין ריבוי תלונות ותביעות, וקדמו מהלכים להסדרת נוסחים אחידים, קיצור ו"הפשטה" של מסמכי הביטוח, וכן הוספת "תקציר כיסוי" ידידותי למבוטח לצד הפוליסה המלאה.
הניסוח המורכב של פוליסות ביטוח והיקפן הרחב של ההחרגות והתנאים המתלים הם מקור שכיח לסכסוכים בין מבוטחים לחברות ביטוח, הנידונים בבתי המשפט ובמוסדות בוררות.
מחלוקות נפוצות נוגעות, בין היתר:
לשאלה האם אירוע מסוים נכלל בהגדרת "מקרה הביטוח"
לטענה כי תנאי מגביל לא הובלט כנדרש בחוק
לטענה בדבר אי גילוי או מסירת מידע כוזב מצד המבוטח.
פסיקה ענפה עסקה בשאלות אלה, ובספרות המשפטית הישראלית הוקדשו פרקים נרחבים לפרשנות פוליסות ביטוח ולהצדקות הנורמטיביות למתן הגנה למבוטח כצד החלש בחוזה.
גם בשיטות משפט אחרות כמו משפט משווה, מתוארת פוליסת הביטוח כחוזה סטנדרטי (contract of adhesion) שבו מרבית התנאים מוכתבים על ידי המבטח והם נתונים לפיקוח חקיקתי ומשפטי.
ספרות משפטית רחבה עוסקת בשאלה האם פוליסת ביטוח היא "חוזה ככל חוזה" או שמדובר במכשיר בעל מאפיינים ייחודיים, המצדיקים הגנה מיוחדת על המבוטחים.
פוליסטירן (Polystyrene; בעברית נפוץ השם "קלקר" לפוליסטירן מוקצף) הוא פולימר עשוי מהמונומר סטירן, פחמימן נוזלי שמיוצר באופן מסחרי מנפט.
בטמפרטורת החדר, פוליסטירן הוא בדרך כלל תרמופלסטי מוצק, אך ניתך בטמפרטורות גבוהות יותר, לטובת עיצוב או הבלטה ואז מיצוק מחדש.
סטירן הוא מונומר ארומטי, ופוליסטירן הוא פולימר ארומטי.
פוליסטירן התגלה בשנת-1839 על ידי אדוארד סימון, רוקח מברלין, סימון זיקק מתוך סטוראקס, שרף ריחני של העץ Liquidambar orientalis הגדל בטורקיה ומשמש בתעשיית הבשמים, חומר שמנוני, אותו הוא כינה "סטירול".
מספר ימים אחר כך מצא סימון שהסטירול הסמיך, כנראה בגלל חמצון, הפך לג'לי אותו הוא כינה תחמוצת סטירול ("סטירולוקסיד").
ב-1845 הכימאי האנגלי ג'ון בלית' והכימאי הגרמני אוגוסט וילהלם פון הופמן מצאו כי אותה טרנספורמציה של סטירול מתרחשת בהיעדרות חמצן.
הם קראו לחומר שלהם מטאסטירול.
ניתוח מאוחר יותר, הראה כי החומר זהה באופן כימי ל"סטירולוקסיד".
ב-1866 גילה הכימאי הצרפתי מרסלן ברתלו כי התהוות של מטאסטירול מסטירול היא תהליך פולימרי.
כ-80 שנה חלפו עד שהובן כי חימום של סטירול מתחיל תגובת שרשרת שיוצרת מאקרומולקולה, בעקבות התיזה של הכימאי האורגני הגרמני הרמן שטאודינגר (1881–1965).
חברת אי גה פארבן החלה לייצר פוליסטירן בלודוויגסהאפן, גרמניה, בערך ב-1931 בתקווה ליצור תחליף ליציקות אבץ ביישומים רבים.
הצלחה הושגה כאשר הם פיתחו כור (ריאקטור) המפיק את החומר ובתהליך שיחול (אקסטרוזיה) מייצר פוליסטירן מוקצף (בצורת כדוריות).
פוליסטירן מוצק טהור הוא חסר צבע, פלסטיק קשה המוגבל בגמישותו.
אפשר להזריקו לתוך תבניות עם פרטים עדינים.
פוליסטירן יכול להיות שקוף או בצבעים שונים.
הפוליסטירן חסכוני ושימושי לייצור דגמי הרכבה מפלסטיק, סכו"ם פלסטיק, מארזי תקליטורים ומוצרים אחרים אשר דורשים קשיחות נאותה, מחיר זול ושימוש בצבעים רבים.
כמו כן, החומר הוא מבודד תרמי קל משקל ולכן משתמשים בו לבידוד בבנייה וכן לכלי קיבול המאפשרים שמירה על קור.
לעומת ABS גמישותו פחותה, וכן עמידותו לאורך זמן.
פוליסטירן מוקצף (קלקר) נחשב כחומר שאינו מתכלה.
קצף פוליסטירן מיוצר על ידי חומרים מנפחים אשר יוצרים בועות ומנפחים את הקצף.
בפוליסטירן מורחב, הם בדרך כלל פחמימנים כמו פנטאן, אשר עלולים להתלקח במהלך הייצור או האחסון של חומר מיוצר חדש, אבל יש להם השפעה סביבתית מועטה.
פוליסטירן משוחל בדרך כלל עשוי מפחמימנים פלואורים אשר יש להם פוטנציאל לתרום להתחממות עולמית של פי 1000–1300 מזו של פחמן דו-חמצני.
לפוליסטירן לוקח מאות שנים עד שהוא מתכלה והוא עמיד בפני חימצון.
בעלי חיים לא מזהים פוליסטירן מוקצף כחומר מלאכותי ואפילו יכולים לזהות אותו בטעות כמזון.
קצף פוליסטירן נסחף ברוח וצף על מים עקב המשקל הסגולי הנמוך שלו.
בשנת 2015 גילו חוקרים מאוניברסיטת סטנפורד שזחלי חיפושית הקמח יכולים לאכול ולפרק פוליסטירן.
בישראל לפוליסטירן מוקצף נפוץ יותר השם קלקר, ומקורו במפעל "קל-קר עין כרמל" בקיבוץ עין כרמל, אשר מייצר מוצרי פוליסטירן מוקצף מאז 1967. שם זה כרוך בשמו של אחד המוצרים הראשונים של החברה – ג'ריקן פלסטיק העטוף בפוליסטירן מוקצף על מנת לבודד את המים מהתחממות.
מפעל נוסף בישראל הוא "פוליביד" בקיבוץ משמר הנגב שהוקם בשנת 1966.
בישראל ישנם מפעלים לייצור "קלקר" וביניהם "קל מוצרי בידוד" "קל-קר עין כרמל", "קל קל תעשיות אלון תבור" ו"פוליביד"
הקלקר משמש ליישומים רבים ולשווקים שונים בעולם הבניה, התעשייה, החקלאות והמזון.
פוליסטירן מוקצף מכיל 98% אוויר, ולכן לוחות פוליסטירן מוקצף משמשים כמוצר מוביל לבידוד תרמי של אלמנטים ומעטפות מבנים.
פולינומי הרמיט, על שמו של המתמטיקאי שארל הרמיט, הם סדרה (אינסופית) של פולינומים אורתוגונליים רציפים המשמש בעיקר בפיזיקה (פתרון לאוסצילטור הרמוני קוונטי ופתרון משוואת הגלים עבור אלומת לייזר) ובקומבינטוריקה.
מבחינה מתמטית, הפולינומים הם פתרונות למשוואה הדיפרנציאלית עבור תחום ההגדרה ,
לכאורה פונקציית בסל מהווה פתרון למשוואות מסוג זה, אולם יש לשים לב כי המקדם בהגדרתה שווה למספר שלילי.
קל לראות כי ניתן להציג את המשוואה הדיפרנציאלית שלעיל כאופרטור שטורם-ליוביל: , ולכן על פי תורת שטורם ליוביל פולינומי הרמיט הם מערכת אורתוגונלית:
בשל תכונת האורתוגונליות של הפולינומים, ניתן לפתח כל פונקציה לטור פונקציות על בסיסו:
כאשר את המקדם ניתן לחשב על ידי
הפונקציה היוצרת, דהיינו פונקציה של שני משתנים ממנה ניתן ליצור את על ידי גזירות היא
כאשר כדי ליצור פולינום הרמיט מסדר , יש לגזור את הפונקציה היוצרת פעמים ולהציב .
ניתן להגדיר את פולינום הרמיט מסדר באמצעות יחס הרקורסיה:
ניתן להציג את הפולינום גם על ידי הביטוי המפורש הבא (בעזרת שימוש בפונקציית הערך השלם):
הצגה אינטגרבילית של פולינום הרמיט:
פולינומי הרמיט מופיעים באוסצילטור הרמוני קוונטי שם הפונקציות העצמיות הן
במתמטיקה, פולינומי לז'נדר הם פולינומים אורתוגונליים המהווים את סדרת הפתרונות למשוואת לז'נדר:
הפולינומים נקראים על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן־מארי לז'נדר.
המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות הללו מופיעות באופן טבעי במגוון בעיות פיזיקליות, בפרט, בפתרון משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות.
למשוואה זו נקודות סינגולריות רגולריות (Regular Singular Point) ב־, והיא ניתנת לפתרון בשיטת טור חזקות (שיטת פרובניוס).
את הפולינום ה־ ניתן לחשב באמצעות נוסחת רודריגז:
להלן רשימת אחד עשר הפולינומים הראשונים (כלומר, עד n=10):
להלן גרף של ששת הפולינומים הראשונים, בתחום 1>|x|.
סדרות רבות של פונקציות המהוות פתרון למשוואה דיפרנציאלית מקיימות תנאי אורתוגונליות עבור מכפלה פנימית מסוימת (מרחב הילברט).
לרוב, לכל סדרת פונקציות בנפרד יש מכפלה פנימית שונה שעבורה הסדרה אורתוגונלית.
המכפלה הפנימית עבורה פולינומי לז'נדר הם אורתוגונליים נתונה על ידי:
ניתן להגיע אל הפולינומים בעזרת תהליך גרם־שמידט עבור חֲזקות שלמות של לפי המכפלה הפנימית שהוגדרה.
הפונקציה היוצרת, של פולינומי לז'נדר היא:
ניתן להשתמש בה לחישוב ערכים של פולינומי לז'נדר.
לדוגמה, אם נציב נקבל: , וזהו טור טיילור מוּכר שניתן לתיאור על ידי: .
כעת, כיוון שחזקת המשתנה היא זוגית, כל האיברים האי־זוגיים מתאפסים, וכל מה שנשאר הוא להשווֹת את האיברים הזוגיים בין הסכומים.
בנוסף לנוסחת חישוב כללית (המצריכה בעצם פעולת צעד־צעד, היות שצריך לחשב נגזרות מסדרים גבוהים), ישנה אפשרות לחשב את פולינומי לז'נדר בעזרת נוסחה רקורסיבית; שמחשבת פולינום מסדר מסוים בעזרת הפולינומים הקודמים לו.
נוסחת הרקורסיה נתונה על ידי:
הצגה אינטגרבילית של פולינום לז'נדר:
פולינומי לז'נדר שימושיים מאוד בפיזיקה ומשמשים למגוון חישובים.
הידועים שבהם הם בתחום האלקטרוסטטיקה ותורת הקוונטים.
באזור ללא מטענים חשמליים (אך עם תנאי שפה שונים מאפס), כאשר לבעיה יש סימטריה גלילית, ניתן לחשב את הפוטנציאל החשמלי במרחב בעזרת:
כאשר המקדמים ו־ ייקבעו בהתאם לתנאי השפה של הבעיה.
כאשר רוצים לחשב את הפוטנציאל החשמלי של מטען נקודתי אשר איננו נמצא בראשית מערכת צירים (במערכת קואורדינטות כדורית), ניתן לחשבו בעזרת (שימו לב שמדובר בפרופורציוניות ולא בשיויון.):
את הפונקציה הזו ניתן לחשב בעזרת פולינומי לז'נדר לפי הצורה הבאה:
פולינומי לז'נדר משמשים בנוסף כפתרון לחלק הזוויתי (הזווית הנפתחת מציר ה־z) של משוואת שרדינגר עבור מקרה של פוטנציאל מרכזי.
במקרה זה, ישנה גם תלות במרחק מהראשית r וכן בזווית סביב ציר z (החלק האזימותלי).
את התלות המשותפת בשתי הזוויות ניתן להציג בעזרת הרמוניות ספריות.
באנליזה נומרית פולינומי לג'נדר ממלאים תפקיד חשוב בחישובים נומריים של אינטגרלים בתרבוע גאוס־לז'נדר.
בכלל תרבוע זה, אינטגרל של פונקציה מקורב על ידי סכום ממושקל של הערכים של הפונקציה בשורשים של פולינומי לג'נדר.
המשקולות גם כן מחושבות באמצעות פולינומי לג'נדר.
נסתכל על המשוואה הדיפרנציאלית הבאה:
עבור נקבל את משוואת לז'נדר הרגילה.
פתרון המשוואה באופן כללי מניב את פולינומי לז'נדר המוכללים וניתן לחשב אותם בצורה הבאה על ידי שימוש בנוסחת רודריגז:
פולינומי לז'נדר המוכללים מהווים את החלק הזוויתי בהרמוניות הספריות, ויחס האורתוגונליות ביניהם הוא:
המונח פולינומי צ'בישב (על שם המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב) מתייחס לשתי סדרות של פולינומים בעלי מקדמים שלמים: פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון , ופולינומי צ'בישב מהסוג השני , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות.
לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן מקיים את האי-שוויון , והפולינומים הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון.
בערך זה נסמן ב- את קבוצת המספרים הטבעיים החל מ-1, וכן נסמן , כלומר קבוצת המספרים הטבעיים ואפס.
כמו כן, נסמן ב-, , ו- את קבוצות המספרים השלמים, הרציונליים, הממשיים והמרוכבים בהתאמה.
לבסוף, כלל הפונקציות הטריגונומטריות בערך זה מחושבות ברדיאנים.
באמצעות זהויות טריגונומטריות ניתן להוכיח כי לכל מספר טבעי ולכל זווית ממשית מתקיימות הזהויות הבאות:
על-ידי סכימת שתי המשוואות והעברת אגפים מתקבל כי:
זהות זו, ביחד עם העובדה כי מעידה על כך שכל פונקציה מהצורה עבור ניתנת לחישוב כצירוף ליניארי של חזקות של .
כלומר, לכל קיים פולינום במקדמים שלמים כך שלכל מתקיים השוויון .
פולינומים אלו נקראים פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון.
באופן זהה, בעקבות הזהות , ניתן להוכיח כי לכל קיים פולינום במקדמים שלמים כך שמתקיים שלכל השוויון .
פולינומים אלו נקראים פולינומי צ'בישב מהסוג השני.
הגדרה ותכונות יסוד של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון
אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה , שבגללה לכל .
לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית:
מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה--י היא .
באינדוקציה (מעל המרוכבים) אפשר להוכיח את הנוסחה
פולינומי צ'בישב מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת .
הגדרה של פולינומי צ'בישב מהסוג השני
כמו לפולינומי צ'בישב מהסוג הראשון, גם לפולינומי צ'בישב מהסוג השני ישנן מספר הגדרות שקולות.
ניתן להגדיר את סדרת פולינומים זו בעזרת נוסחא טריגונומטרית
בנוסף, קיימת נוסחת הנסיגה הבאה:
אפשר לשים לב שנוסחאות הנסיגה של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון והשני זהות, למעט ההבדל ש
להלן רשימת פולינומי צ'בישב הראשונים משני הסוגים:
לכל מספר טבעי ולכל מספר ממשי מתקיים ש:
כלומר, פולינומי צ'בישב הם פונקציות זוגיות עבור זוגי ואי-זוגיות עבור אי-זוגי.
לכל ולכל פולינומי צ'בישב מקיימים את הזהויות הטריגונומטריות:
על-ידי החלפת ב- ניתן להוכיח כי מתקיימות הזהויות הבאות עבור הפונקציות ההיפרבוליות:
הנגזרות של פולינומי צ'בישב מקיימות את הזהויות הבאות:
ניתן להוכיח כי לכל , הפולינומים ו- מקבלים את הערכים הבאים:
באמצעות הזהות הטריגונומטרית , ובעקבות כך שהשורשים של פונקציית הקוסינוס הם מהצורה לכל , עולה כי השורשים של הפולינום הם עבור .
לפי המשפט היסודי של האלגברה, לכל פולינום מדרגה יש בדיוק שורשים, ולכן אלו הם בדיוק כל השורשים של הפולינום .
באופן דומה, מאחר שמתקיימת הזהות הטריגונומטרית , ובעקבות כך שהשורשים של פונקציית הקוסינוס הם מהצורה לכל , עולה כי השורשים של הפולינום הם עבור .
גם כאן מדובר בכל השורשים של הפולינום .
באמצעות העובדה כי , ערכי הקיצון של הפולינום נמצאים ב- עבור .
אם מוסיפים לכך ש- וש- עולה כי בתחום , כל פולינומי צ'בישב חסומים בין ל-.
מכך שמעלת היא נובע כי פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה , ובפרט הממד .
אם בוחרים מתקבל , ולעיתים קרובות הוא הפולינום המינימלי של .
הוכחת אלגבריות של ערכי פונקציות טריגונומטריות
בהינתן מספר רציונלי ניתן להשתמש בפולינומי צ'בישב כדי להוכיח ש- הוא מספר אלגברי.
מאחר ש- רציונלי, קיימים כך ש-.
משמע ש- הוא שורש של הפולינום , ולכן הוא אלגברי.
ניתן להשתמש בשיטות דומות כדי להוכיח כי ו- אף הם אלגברים.
בתורת המספרים במתמטיקה, פולינום פקטה הוא הפולינום המוגדר לכל ראשוני על ידי:
כאשר הם סימני לז'נדר, והסכום הוא עבור
פולינומים אלה היו ידועים בחקר פונקציות L של דיריכלה שנערכו במאה ה-19, ולמעשה גם לדיריכלה עצמו.
הם נקראים על שם מיכאל פקטה, שהבחין שהיעדרם של אפסים ממשיים של פולינום פקטה עם גורר שלפונקציית L אין אפסים עם .
לתכונה זו עניין רב בתורת המספרים, בהקשר של אפס זיגל ליד .
פוליסולפון (PES) הוא שם כולל למשפחה של פולימרים תרמופלסטיים.
פולימרים אלו ידועים בתכונות הקשיחות שלהם והיציבות בטמפרטורות גבוהות.
המונומר (היחידה החוזרת של הפולימר) היא aryl-SO2-aryl שזו למעשה יחידת הסולפון.
פולמרים אלו סונתזו לראשונה בשנת 1965 על ידי Union-Carbide.
תגובה אופיינית לייצור היא תגובה בין דיפנול והחומר bis(4-chlorophenyl) sulfone תגובה היוצרת פוליאתר תוך הוצאת נתרן כלורי.
תגובה כזו דורשת מונומר יחסית טהור על מנת לקבל תוצר בעל משקל מולקולרי גבוה יחסית.
פולימרים תרמופלסטיים בכלל והפוליסולפון בפרט הם קשיחים, חזקים ובעלי טווח טמפרטורות נרחב מאוד.
הטמפרטורה הזכוכיתית של החומר היא בסביבות 150 מעלות צלזיוס.
כמו כן הוא עמיד בפני התקפה כימית נרחבת כמו: בסיסים, מינרלים, ואלקטרוליטים וכן ישנה עמידות בפני גורמים מחמצנים וכן לחומרים פעילי שטח ולשמנים הידרוקרבוניים.
כמו כן, ישנו טווח גדול של pH- בין 2 ל-13.
לעומת זאת, הפוליסולפונים אינם עמידים לממסים אורגניים א-פולריים כמו קטונים, הידרוקרבוניים ארומטיים וכו'.
ישנה מסיסות טובה בדיכלורומתאן וכן במתילפירולידין.
בעל תכונה חשובה בתחום: יכולת שליטה על גודל הפורות.
ממברנות מפוליסולפון משמשות בהמודיאליזה, שפכים תעשייתיים, תעשיית המזון וכן להפרדת גזים.
ניתן לחזק עוד יותר את הפולימר על ידי צילוב עם סיבי זכוכית.
חומר מרוכב זה הוא בעל מודול יונג מוגדל פי שלושה.