tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
השלטון הסובייטי מינה גם הוא ועדת חקירה מיוחדת בנושא הפרשה, תחת "בית הדין המהפכני הגבוה" .
העדויות הוכיחו כי כל דרגי הממשל, מן הצאר דרך שר המשפטים, היו מעורבים בעלילה.
המשטר הסובייטי החזיר לעורך הדין מרגולין את זכויותיו כפרקליט.
כמה מהאחראים על העלילה כבר לא היו בחיים אז: שמאקוב, פראנייטיס, סיקורסקי וגולובב.
זמיסלובסקי הספיק לפרסם ספר על המשפט והצליח להימלט ליוגוסלביה.
על ויפר הוטל עונש מאסר לתקופה קצרה, במהלכו נפטר.
השרים שצ'גלוביטוב, מארקוב ומקלאקוב, וגם מנהל המחלק המשטרתי, בלצקי, הורשעו והוצאו להורג.
בשנים 1918–1919 הוצאו להורג גם ורה צ'בריאק וסינגאייבסקי.
כיום משמש קברו של אנדריי יושצ'ינסקי בקייב אתר עלייה לרגל לאנטישמים.
שלטונות אוקראינה הסירו, בעקבות סערה בינלאומית, שלט אשר קבע כי "כאן קבור הנער אשר עונה על ידי הז'ידים" (כינוי גנאי ליהודים בשפות הסלאביות).
בייליס סיפר בזיכרונותיו, כי בימים שלאחר זיכויו במשפט, הוצב שלט על עמוד התחבורה הציבורית שליד ביתו, עליו נכתב "תחנת בייליס", לטובת המבקרים הרבים שביקשו לפגוש אותו.
לדבריו, הגיעו לביתו כ-7,000 מבקרים וכן אלפי מכתבים מכל העולם.
עקב איומים על חייו, דרש ממנו מושל המחוז שיעזוב את קייב.
הוקמה ועדה ציבורית יהודית, שתפקידה היה לדאוג לשיקומו מחוץ לעיר.
לדברי בייליס, באחד הימים הגיע אליו ל.מ.
(לדעת מאיר קוטיק, מדובר בליאו מוצקין), ששכנע אותו לעלות לארץ ישראל.
בסוף 1913 עזבה משפחת בייליס את קייב ברכבת לעיר הנמל טרייסט באיטליה.
בתחנות שונות בדרכם, בהן לבוב ווינה, נערכו עבורו קבלות פנים בהשתתפות אלפי יהודים.
כעבור חודש ימים בטרייסט, הפליג לאלכסנדריה, שם התקבל על ידי אלפי יהודים ושימש סנדק בברית מילה של משפחה ספרדית.
בט"ז בשבט תרע"ד (1914) הגיע לנמל יפו, שם עלתה לאנייה משלחת בראשות הרבנים הראשיים קוק (שבירך אותו בעברית) ועוזיאל ואיתם לבונטין, מנחם שינקין, בן-ציון מוסינזון ומאיר דיזנגוף.
לדברי בייליס, גם הערבים שהעלו אותו בסירתם לחוף, בירכו אותו "יחי בייליס".
המוני יהודים הריעו לו לאורך הדרך למלון הרצליה בתל אביב, שם התקבל על ידי נציגי ועד העיר, באי-כח המושבות ונציגי מפלגות וארגונים שונים.
הוא זכה לקבלות פנים נוספות במקומות שונים, אולם בחר להשתקע בתל אביב.
על תקופה זו, סיפר בזיכרונותיו:
כעבור חצי שנה של מגורים בארץ ישראל, פרצה מלחמת העולם הראשונה ואף על פי שהייתה לבייליס נתינות עות'מאנית, הוא גורש מתל אביב לפתח תקווה ונותר ללא אמצעים.
בנו הבכור, פנחס, גויס לצבא העות'מאני ונשלח לאיסטנבול, אולם ערק ממנו, חזר לארץ ישראל והתגייס לגדוד העברי.
בייליס לא הסתדר תעסוקתית וכלכלית ובתחילת ינואר 1921 נסע לבדו לארצות הברית, כדי לגייס אמצעים כספיים שיסייעו לו בארץ ישראל.
בזמן שנסע בין קהילות יהודיות בארצות הברית, קיבל את הידיעה כי בנו הבכור התאבד.
בעקבות זאת, החליט בייליס להביא את משפחתו לארצות הברית.
ב-1922 היגרה משפחתו והתיישבה בניו יורק.
הוא התקשה מאוד למצוא עבודה וניסה את מזלו כשותף בשני בתי דפוס, בזה אחר זה, אך שני בתי העסק פשטו את הרגל.
בסוף ימיו עבד כסוכן ביטוח.
בייליס גולל את קורותיו בתקופת שבתו בכלא בעיתון יידי מקומי, שתורגמו לעברית.
ב-1925 הוציא בניו יורק, בהוצאה עצמית, את סיפורו, "די געשיכטע פון מיינע ליידען" ("סיפור ייסוריי"), וב-1926 באנגלית, "The Story of My Sufferings", סיפור שנפרש על פני 285 עמודים.
בייליס נפטר בכ"ד בתמוז תרצ"ד (יולי 1934).
הלווייתו התקיימה ב-9 ביולי והשתתפו בה למעלה מ-3,000 איש.
הרב אידל אידלסון, שניהל את הטקס בבית הכנסת ברחוב אלדרידג' בלואר איסט סייד של קהל עדת ישורון בניו יורק, ספד לבייליס: "שמו קדוש ליהודים רחבי עולם...
העם היהודי איבד אדם גדול...
כל עוד העם היהודי חי, רוחו של בייליס תמשיך להתקיים".
בייליס נקבר בבית העלמין Cypress Hills שבקווינס במדינת ניו יורק.
המשפט שימש כמוטיב מרכזי בספרו של שלום עליכם "מהתלת הדם" שהושלם לפני תום הפרשה בינואר 1913.
הפרשה הופיעה פעמים רבות בספרות לאחר המשפט.
תמליל המשפט פורסם בקייב בשנת 1913 בעיתון "חשיבת קייב" ויצא במהדורה מחודשת במוסקבה בשנת 2006.
לאחר פתיחת ארכיוני הצאר, נחשפו מסמכים רבים שהראו את התנהלותו הלא תקינה של השלטון בכל הנוגע למשפט והם נכללו במהדורת הספר "נפילת שלטון הצאר", שהוציא לאור המשטר הסובייטי.
בספר התחזקה העובדה כי בייליס לא היה אשם.
על פרשת בייליס כתב ברנרד מלמוד את ספרו "יום הדין" (The Fixer), שהתפרסם ב-1966. ב-1968 הוא עובד לסרט באותו שם.
ברוסית יצא לאור מחקרו של מוריס סמואל, "עלילת דם: ההשתלשלות המוזרה של משפט בייליס" (Кровавый навет.
ברם, לאחר 1934, בהוצאות הסובייטיות הפרשה לא הוזכרה כלל למעט אזכור קצר באנציקלופדיה הסובייטית הגדולה.
לאחר התפרקות ברית המועצות המחקרים בפרשה נמשכו.
באוקטובר 1993, במלאת 80 שנה למשפט, התקיים בקייב כנס מדעי בינלאומי, בו נידונו פרטי הפרשה.
באותה שנה יצא גם הספר "משפט בייליס", שכתב הפסיכיאטר מיכאיל בויאנוב, שהתמקד במחקר פסיכיאטרי.
בשנת 1999 פורסמו כל חומרי החקירה שניהלה הממשלה הסובייטית והממשלה הזמנית, בספרו של הנרי רזניק "פרשת מנחם בייליס" (Дело Менделя Бейлиса).
בשנת 2021 הוציאה שרי וולך ספר ילדים העוסק בנושא.
הספר שנקרא "החוקרים בתעלומת משפט בייליס", מציג את סיפורים של ילדים בני ימינו הנקלעים למשפט בייליס, ונעשים מעורבים בתככים שמאחורי הקלעים של המשפט.
הספר מתבסס על ספרו האוטוביוגרפי של בייליס, "משפטו של שעיר לעזאזל", ומביא פרטים אותנטיים מהמשפט עצמו.
הפרשה זוכה לפרסומים מחקריים רבים והוזכרה גם בספרים "תיעוב השחיתות" («Растление ненавистью») של סמיון רזניק, משנת 2001, "המאה השחורה ברוסיה" («Чёрная сотня в России») מאת סרגיי סטפאנוב משנת 2005 וספרו של לב לוריא "22 מיתות, 63 גרסאות" («22 смерти, 63 версии») משנת 2011 ועוד.
הסרט התיעודי הראשון על הפרשה הוקרן בשנת 1912 מחוץ לרוסיה.
שנה לאחר מכן הפיקו האחים פאתה (Pathé) סרט תיעודי נוסף שנאסר להקרנה ברוסיה.
באותו זמן, הבמאי יוסף סופר צילם סרט עלילתי בשם "סודות קייב, או משפט בייליס" («Тайны Киева, или Процесс Бейлиса»).
הסרט נמכר להפצה במדינות מערב אירופה וארצות הברית.
לאחר המהפכה בשנת 1917, יצר הבמאי ניקולאי ברשקו-ברשקובסקי סרט עלילתי על הפרשה, בשם "משפט בייליס" (ידוע גם בשם "ורה צ'בריאק"), שהוקרן בברית המועצות.
בשנת 1968 יצא הסרט "יום הדין" ("The Fixer"), שמבוסס על רומן באותו שם מאת ברנרד מלמוד ומגולל את סיפורו של יעקב בוק, שנכלא ברוסיה הצארית בשנת 1911 לאחר שהואשם בפשע שלא ביצע.
זאת כהשפעה ברורה ממשפט בייליס.
בשנת 1993 הפיק הבמאי הרוסי גריגורי אילוגדין את הסרט התיעודי "הלילה הארוך של מנחם בייליס" («Долгая ночь Менахема Бейлиса»).
הפרשה גם הגיעה לספרות העלילתית ברוסיה והמחבר גליה ריאבוב פרסם את הספר "הסוס של היהודי החיוור בייליס" («Конь бледный еврея Бейлиса»), שהודפס בשנת 2000.
בשנת 2019 החלה חברת הקולנוע "Sever" בהפקת הסרט העלילתי "משפט בייליס" (Дело Бейлиса), תוך שפנתה לקרן הקולנוע הרוסי הממשלתית לצורך תמיכה בפרויקט.
באנליזה מתמטית, משפט בולצאנו־ויירשטראס קובע כי לכל סדרה אינסופית חסומה של נקודות ב- קיימת תת-סדרה מתכנסת.
ניסוח אחר (ושקול) של המשפט קובע כי לכל קבוצה אינסופית חסומה של נקודות ב- קיימת נקודת הצטברות.
המשפט הוכח לראשונה על ידי ברנרד בולצאנו ב-1817 כטענת עזר בדרך להוכחת משפט ערך הביניים.
חשיבות המשפט לא הוכרה אז והוא נשכח, עד שכחמישים שנה מאוחר יותר קרל ויירשטראס הוכיח אותו שוב באופן בלתי תלוי.
הרעיון האינטואיטיבי שעומד מאחורי המשפט הוא שאם קיימת קבוצה שיש בה אינסוף נקודות, והאיברים שלה לא יכולים "לברוח" רחוק מדי, לפחות חלק מהם אמורים להיות קרובים מאוד זה לזה.
המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן למצוא את הסדרה או נקודת ההצטברות המבוקשות, אך זו אינה דרך מעשית, מאחר שהיא מבוססת על תהליך אינסופי של חלוקת הקטע החסום לחלקים קטנים והולכים.
המשפט שקול ללמה של קנטור ולמשפט היינה-בורל, כלומר: כל אחד ממשפטים אלו ניתן להוכחה באמצעותו, וניתן להוכיח אותו מכל אחד ממשפטים אלו.
במרחבים מטריים כלליים המשפט אינו נכון עוד, אך הקשר בינו ובין הכללת משפט היינה בורל נשמר.
מרחב שמקיים את התכונה שעליה מצביע משפט היינה בורל נקרא מרחב קומפקטי, ואילו מרחב שמקיים את התכונה של משפט בולצאנו ויירשטראס (כלומר, לכל סדרה של נקודות בו יש תת-סדרה מתכנסת) נקרא מרחב קומפקטי סדרתית - ובמרחבים מטריים, שני המושגים הללו שקולים.
במעבר למרחבים טופולוגיים כלליים שקילות זו אינה נשמרת.
נציג כאן את הוכחת המשפט עבור סדרה חסומה ב-.
ההכללה ל- היא טכנית אך אינה מסובכת.
נשתמש בלמה של קנטור לצורך ההוכחה.
תהא סדרה חסומה, אז קיים כך ש-.
כעת, נחצה את הקטע לשניים, כלומר נביט בשני הקטעים הסגורים .
כיוון שהסדרה אינסופית בהכרח יש אינסוף איברים של הסדרה לפחות באחד משני הקטעים הללו (אחרת שני הקטעים מכילים מספר סופי של אברי הסדרה ואיחודם הוא קבוצה סופית).
נבחר את הקטע הזה ונסמן אותו בתור .
כעת נוכל לחלק גם את הקטע באותו אופן, וכן הלאה.
נמשיך בתהליך הבנייה הזה בצורה אינדוקטיבית, ונקבל סדרה של קטעים המקיימת את התכונות הבאות:
כל קטע מוכל בקטעים הקודמים לו.
סדרת אורכי הקטעים שואפת לאפס.
כל קטע מכיל אינסוף נקודות של .
כל התכונות פרט לשלישית נובעות ישירות מדרך בניית הקטעים.
כדי להיווכח בשלישית נשים לב כי מכיוון שאורכו של כל קטע הוא חצי מאורכו של הקטע הקודם לו, הרי שהנוסחה הכללית לאורכם של הקטעים היא עבור קטע מספר - וזוהי סדרה ששואפת לאפס.
אם כן, כל תנאי הלמה של קנטור מתקיימים, ולכן קיימת נקודה יחידה כך ש-.
נבנה תת-סדרה המתכנסת ל- בצורה אינדוקטיבית: בשלב ה- נבחר איבר אחד של הסדרה המקורית מהקטע , כך שהאינדקס שלו בסדרה המקורית יהיה גדול מהאינדקס של כל הנקודות שבחרנו עד עתה.
ניתן לעשות זאת בשל התכונה הרביעית של הקטעים, לפיה בכל קטע יש מספר אינסופי של איברים מהסדרה, ולכן בפרט אפשר למצוא כזה שהאינדקס שלו גדול מהמקסימום (הסופי) של אינדקסי האיברים שנבחרו עד עתה.
כעת, נשים לב כי בהינתן קטע הוא מכיל את כל האיברים מתת הסדרה החל מהמקום ה- ואילך (כי כולם שייכים לקטעים שמוכלים בו).
כמו כן, המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות השייכות לקטע זה אינו עולה על אורך הקטע, .
לכן, המרחק בין כל נקודות תת-הסדרה החל מהמקום ה- ואילך מהנקודה אינו עולה על , ומספר זה שואף לאפס.
לכן תת-הסדרה שבנינו שואפת ל-, ובכך הושלמה ההוכחה.
אפשר להוכיח את המשפט באמצעות שילוב של שתי טענות על סדרות ממשיות.
ראשית, לכל סדרה ממשית יש תת-סדרה מונוטונית, עולה או יורדת (במובן החלש).
הוכחה: לאיבר של הסדרה שהוא קטן או שווה לכל איבר שבא אחריו נקרא "זעירון".
אם יש בסדרה אינסוף זעירונים, הם מרכיבים סדרה מונוטונית עולה.
אחרת, נתרחק בסדרה עד למקום שממנו והלאה אין זעירונים - לכל איבר יש איבר קטן יותר שבא אחריו.
סדרה של איברים כאלה, שכל אחד קטן מקודמו, היא מונוטונית יורדת.
שנית, כל סדרה מונוטונית חסומה - מתכנסת (אל החסם העליון או התחתון שלה, בהתאמה לסוג הסדרה).
לבסוף, לסדרה חסומה במרחב ה--ממדי יש תת-סדרה שבה הרכיבים הראשונים מהווים סדרה מונוטונית; לזו יש תת-סדרה שבה הרכיבים השניים מהווים סדרה מונוטונית, וכן הלאה.
מכיוון שהמימד סופי, מתקבלת תת-סדרה שבה ההטלה לכל רכיב היא סדרה מונוטונית, המתכנסת - ולכן תת-הסדרה עצמה מתכנסת.
משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' הוא מן התוצאות הקלאסיות והאלגנטיות בתורת המספרים.
המשפט, אותו הוכיח ז'וזף לואי לגראנז' ב-1770, קובע שכל מספר טבעי אפשר לכתוב כסכום של ארבעה ריבועים: לכל מספר טבעי קיימים מספרים שלמים עבורם .
משפט ארבעת הריבועים מופיע לראשונה, בלי הוכחה, בהערות שהוסיף קלוד בשה למהדורת יסודות שהוציא לאור בצרפת ב-1621.
הצעד הראשון בהוכחה הוא הזהות המפתיעה
שדומות לה יש רק עבור שניים, ארבעה או שמונה נעלמים (משפט הורוויץ, וראו גם תבנית פיסטר).
הזהות מראה שאם אפשר להציג שני מספרים כסכום של ארבעה ריבועים, אפשר להציג כך גם את המכפלה שלהם.
לכן, די להראות שניתן להציג את כל המספרים הראשוניים כסכום של ארבעה ריבועים, כי כל מספר הוא מכפלת ראשוניים.
ההוכחה לטענה זו מבוססת על העובדה שלכל מספר ראשוני קיימים עבורם מתחלק ב-, ואז על שיטת הירידה של אוילר, המאפשרת להמיר הצגה של (עם ) כסכום של ארבעה ריבועים בהצגה דומה של עבור .
לאחר מספר סופי של צעדים מגיעים להצגה של p עצמו.
הצגות כסכום של ארבעה ריבועים קשורות קשר הדוק לאלגברת הקווטרניונים, ובעיקר לתת-החוג של הקווטרניונים השלמים (חוג הורוויץ השווה ל-
, וחוג ליפשיץ השווה ל-).
כבר ב, דיופנטוס שיער כי כל מספר מהצורה (למשל: 7, 15, 23) לא ניתן להציג כסכום של שלושה ריבועים.
רנה דקארט הוכיח זאת ב-1638. פייר דה פרמה שיער שאלו המספרים היחידים שלא ניתנים להצגה בצורה זו.
אדריאן-מארי לז'נדר הציג הוכחה סבוכה לטענה הזו ב-1798, ואילו קרל פרידריך גאוס הביא הוכחה שונה וקצרה בהרבה ב-1801. לדוגמה, 107 אינו מהצורה האסורה, ואכן .
ההוכחה של משפט זה קשה בהרבה מזו של משפט לגראנז', והיא הייתה חלק מהפיתוח של התורה של תבניות ריבועיות במספרים שלמים, שלה תרם גאוס תרומה מכרעת.
בהסתמך על תוצאה זו, ניתן להוכיח בדרך פשוטה תוצאה אחרת של גאוס: כל מספר הוא סכום של שלושה מספרים משולשיים או פחות.
באשר להצגה כסכום של שני ריבועים, פרמה כתב ב-1640 (במכתב למרסן) שאפשר להציג מספר ראשוני כסכום של שני ריבועים, אם ורק אם הוא נותן שארית 1 בחלוקה ל-4 (גם כאן, העובדה שמספרים מהצורה אינם ניתנים להצגה כסכום של שני ריבועים היא קלה מאוד להוכחה).
לא ברור אם פרמה ידע להוכיח טענה זו; ב-1749 שלח לאונרד אוילר (הפעם, במכתב לגולדבך) הוכחה מסודרת, המבוססת על שיטת הנסיגה האינסופית שפיתח.
תוצאות אלה על הצגה של מספרים כסכום של ריבועים הוכללו בבעיית וארינג, השואלת על המספר הקטן ביותר של חזקות-k שמספיקות להצגת כל מספר טבעי, ובבעיות על 'תבניות אוניברסליות' בתבניות ריבועיות.
מן התאוריה של הסה ומינקובסקי, המהווה מקרה פרטי של עקרון הסה, נובע שמשפט לגראנז' נכון לא רק בשלמים הרציונליים, הרגילים, אלא גם בכל שדה מספרים (ואף בכל שדה גלובלי): כל איבר בשדה כזה ניתן להציג כסכום של ארבעה ריבועים בשדה.
לפי משפט המספרים המצולעים, אותו הוכיח קושי ב-1813, כל מספר ניתן להצגה כסכום של לכל היותר מספרים מצולעים מסדר .
המקרה הפרטי הוא משפט לגראנז'.
משפט בין-לאומי פרטי הוא ענף משפטי העוסק בסוגיות משפטיות בהן מעורב יסוד זר, שלו זיקה לשיטת משפט זרה (לדוגמה: אזרח זר, מקום ההתרחשות).
כבר בעולם העתיק היה קיים משפט בין-לאומי פרטי, אך תחום זה התפתח במיוחד ככל שהתגבשו המדינות המודרניות והכלכלה המודרנית.
רוב ענפי המשפט (דוגמת דיני החוזים ודיני הנזיקין) עוסקים במצבים בהם כל הגורמים המעורבים בסוגיה (כריתת חוזה, עוולה נזיקית) שייכים לשיטת משפט אחת.
המשפט הבין-לאומי הפרטי עוסק במקרים בהם מעורב יסוד זר עם רלוונטיות משפטית לסוגיה.
המשפט הבין-לאומי הפרטי עוסק בשלוש סוגיות ייחודיות אשר מתעוררות כאשר גורם זר מעורב במצב משפטי:
סמכות השיפוט – מיהו בית המשפט המוסמך לדון.
מה נפקותן של הכרעות שיפוטיות זרות בפני הערכאה המקומית.
למרות שמו, המשפט הבין-לאומי הפרטי אינו ענף משפטי בין-לאומי אלא ענף משפטי פנימי של כל מדינה ומדינה.
יש דיני משפט בין-לאומי פרטי ישראליים כשם שיש אותם לכל מדינה.
המונח "בין-לאומי" מתייחס לזיקה הבין-לאומית של הסכסוך.
השם 'משפט בין-לאומי פרטי' הוא תרגום של שמו של הענף מן המשפט הקונטיננטלי, שכן במשפט המקובל הענף מכונה "מתקל דינים" .
דוגמה לכך ניתן לראות באחד מספריו של הסופר גל אמיר:
משפט בין-לאומי פרטי ישראלי – רקע היסטורי
קודם לתחילת המנדט הבריטי בארץ ישראל לא היו בארץ כללים של משפט בין-לאומי פרטי.
המשפט העות'מאני לא התמודד עם הדינים הזרים.
באמצעות סימן 46 לדבר המלך במועצה על ארץ ישראל בו נקבע כי יחול בישראל המשפט האנגלי, הוחל בישראל המשפט הבין-לאומי הפרטי הבריטי.
אף שהיום זיקה זו לא נשמרה, עדיין ניתן להסתמך על המשפט האנגלי והאמריקאי בשל הדמיון בין השיטות.
כללי המשפט הבין-לאומי הפרטי הישראלי נקבעו בחקיקה הישראלית ובפסיקה.
החוקים המתייחסים לנושא הם בעיקר "חוק אכיפת פסקי חוץ" – 1958, וכן סעיפים שונים בחוק הירושה, חוק אימוץ ילדים, חוק הכשרות המשפטית והאפוטרופסות, חוק העונשין וחוק השטרות.
גבולות הסמכות של בתי המשפט הישראלים בדיון בעניינו של גורם זר
כעיקרון, סמכותו של בית משפט אינה משתרעת על כל האנשים והמקרים, וגם אם הם ממוקמים טריטוריאלית בישראל אין משמעות הדבר שלבית המשפט המקומי (בית המשפט דהכא) סמכות עליהם.
במדינת ישראל (בדומה לאנגליה) חל עיקרון סמכות השיפוט הנרכשת מכוח המצאה לנתבע של הזמנה לדין.
משמעות הדבר היא כי די בנוכחות ארעית של נתבע זר בישראל, מרגע שהומצא לו כתב בי דין, רכש בית המשפט הישראלי סמכות עליו.
כמו כן, תקנה 166 לתקנות סדר הדין האזרחי החדשות מונה רשימה של מקרים בהם יש לבית המשפט שיקול דעת באשר לאפשר המצאה אף מחוץ לתחום הטריטוריאלי.
המחוקק הישראלי ובתי המשפט נהגו בעבר ב"צרות עין" בטרם הרשו הענקת סמכות מחוץ לטריטוריה.
כיום, לעומת זאת, בעידן המרשתת והגלובליזציה, בתי המשפט נוהגים ביתר קלות לקבוע כי בסמכותם לדון בסכסוכים מחוץ לטריטוריה, אולם עדיין על בקשה מסוג זה לעמוד בכללים פרוצדורליים נוקשים.
שיקולים של יעילות - אפקטיביות הפסיקה.
פסק דין שאין התובע יכול לממשו - כאשר לא יכירו בו במדינה הזרה - הוא חסר תועלת.
שיקולי יעילות מערכתיים - למנוע עומס מיותר על מערכת בתי המשפט העמוסה.
שיקולי צדק והגינות - בראש ובראשונה כלפי נתבעים זרים.
אם הזיקה לישראל באותו עניין קלושה - אין זה הוגן להביא נתבע זר לישראל.
סוגיות מרכזיות במשפט הבין-לאומי הפרטי
בית המשפט מכיר בפסק חוץ (פסק דין הניתן במדינה זרה) אם הוא רואה אותו כפסק דין תקף, כלומר בעל נפקות משפטית בארץ.
אם בסיום הליך ההכרה בפסק הדין מחליט בית המשפט כי יש להכיר בפסק הדין, יכול הזוכה לאכוף פסק חוץ באמצעות מתן הוראה למערכת ההוצאה לפועל.
שימושים שונים בפסק חוץ כוללים:
השתק עילה (שימוש הגנתי) - משתמשים בפסק הזר על מנת להדוף תביעה מקומית שהוגשה.
הסתמכות בהליך המקומי על ממצא עובדתי או משפטי שנקבע בפסק הזר.
להבדיל מפסק מקומי, פסק חוץ איננו מחייב באופן אוטומטי (בניגוד לפסק ישראלי סופי, המחייב מהיותו פסק דין).
המגמה של בתי המשפט בישראל היא לאכוף פסקים זרים ולכבד אותם (מהסיבות שהוזכרו לעיל: הדדיות, יעילות וצדק).
בסוגיה בה מעורב גורם זר נשאלת השאלה מהו הדין שיחול עליה (לדוגמה, כאשר מטוס ישראלי מתרסק באיטליה בדרכו לארצות הברית - לפי איזה דין יש לתבוע פיצויים?).
כללי ברירת דין הם הכללים הקובעים איזה דין יחול על מקרה נתון.
לרוב כלל ברירת דין מורכבים מקטגוריה וחוליית קישור, אשר צירופם יקבע מהו הדין החל.
הכלל "על ענייני חוזים יחול דין מקום כריתת החוזה" - הקטגוריה היא דיני החוזים, בעוד שחוליית הקישור (היסוד הרלוונטי) היא מקום כריתת החוזה.
כיוון שהמשפט הבין-לאומי הפרטי הוא ענף פנימי של כל שיטת משפט (להבדיל מן המשפט הבין-לאומי הפומבי), ייתכנו מצבים בהן שיטות משפט שונות יחילו כללי ברירת דין שונים.
במצב בו קיים שוני בין כללי ברירת הדין של שיטות המשפט השונות, כתוצאה מעיצוב שונה של הקטגוריות השונות בכל שיטה ושיטה - כל שיטה תחיל דין שונה.
לדוגמה: נושא שצרפת תסווג כנזיקי, אנגליה תסווג כחוזי – והתוצאה יכולה להיות שיוחלו בכל מדינה ומדינה כללי משפט בין-לאומי פרטי שונים.
מכאן שמדינה אחת עשויה לקבוע שחל על הסוגיה דין מקום מושב התובע, אך מדינה אחרת תקבע שחל דין מקום ביצוע העוולה.
בעבר נטו לפרש כללי ברירת דין בצורה רחבה, כיום חל הליך של אטומיזציה (פירוק למרכיבים) ובתי המשפט בישראל בעקבות בתי משפט בכל העולם נוטים לצמצם אותם.
לדוגמה: בעבר על כל החוזים חל דין מקום ביצוע ההסכם.
כיום, מקובל שעל חוקיות החוזה חל דין מקום ביצוע החוזה, על כושר ביצוע החוזה יחול דין מקום מושב המתקשר, על תקיפת ההצעה והקיבול או דרישת התמורה יחול דין מקום עריכת החוזה.
לאחר שבוחר בית המשפט את הדין החל יש לבדוק על פי אותו דין מהו הדין החל.
מצב בו הדין הזר מפנה בחזרה לדין המקומי נקרא רנבואה (renvoi).
משפט אי-האפשרות של ארו (או פרדוקס ארו) הוא משפט מתמטי בתחום הבחירה החברתית (שמהווה חלק מתורת המשחקים) שהוכח על ידי הכלכלן קנת' ג'וזף ארו.
לפי המשפט, לא קיימת שיטה הוגנת לשקלול בחירתם של מספר מצביעים הבוחרים בין שלוש אפשרויות או יותר.
המערכת שבה דן משפט ארו כוללת פרלמנט בן מספר מצביעים, המבקשים לבחור אחת מבין כמה אפשרויות.
כל מצביע מדרג את האפשרויות מן הטובה ביותר לגרועה ביותר.
חוקה היא מנגנון המשקלל את הדירוגים הפרטיים, בדרך כלשהי, ומחזיר דירוג משלו.
דירוג זה הוא הדירוג הקיבוצי, על-פי החוקה.
בלשון מתמטית, כאשר N מצביעים בוחרים בין m אפשרויות, המנגנון הוא פונקציה , כאשר דירוג הוא תמורה של האפשרויות הנתונות.
חוקה (מנגנון שקלול) המקיימת את שלוש הדרישות הבאות תוגדר כחוקה הוגנת:
החוקה תכבד קונצנזוס: אם כל הפרטים מעדיפים את אפשרות A על-פני אפשרות B, מן הדין שגם הדירוג הקיבוצי יעדיף את A על B (לדרישה זו קוראים "יעילות פארטו").
אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות: מקומן היחסי של האפשרויות A ו-B בדירוג הקיבוצי תלוי רק במקומן היחסי בדירוגים הפרטיים (ולא במקומן בהשוואה לאפשרויות אחרות).
אין דיקטטור: לאף אדם אין כוח לקבוע את הדירוג הקיבוצי לבדו.
אין דרישה מהחוקה שתעניק לכל המצביעים מעמד שווה, כדי שתקרא הוגנת; קרי, מותר לחוקה לאפשר התחשבות בגורמים כמו ותק, או מבנה מדורג של ועדות.
משפט ארו התקבל בהפתעה רבה:
משפט ארו: לא קיימת חוקה הוגנת לבחירה בין שלוש אפשרויות או יותר.
נניח כי שלושה חברים: אבי, בני וגלית מעוניינים להזמין פיצה.
באפשרותם לבחור רק אחת מבין שלוש תוספות: פטריות, זיתים או תירס.
כמו כן, יכול להיות שחלק מהתוספות אזלו, ושלא ניתן להזמין אותן.
שלושת החברים מעוניינים לגבש סדר העדפות מסוים, שיבטא את העדפותיהם.
נסתכל על מספר שיטות לשקלול ההעדפות של החברים:
סידור אלפביתי: ניתן לקבוע את סדר ההעדפות של הקבוצה לפי סדר הופעת שמות התוספות במילון, כלומר זיתים, אחר-כך פטריות ולבסוף תירס.
שיטה זו אינה מוצלחת, כי היא מתעלמת מרצונותיהם של החברים.
בפרט, היא לא עונה על ההגדרה של "שיטה הוגנת", משום שהיא אינה מכבדת קונצנזוס: אפילו אם כל החברים מעדיפים תירס על זיתים, השיטה האלפביתית בחרה עבורם זיתים ולא תירס.
שיטת האפשרות הראשונה: ניתן לקבוע את סדר ההעדפות של הקבוצה לפי האפשרות הרצויה ביותר בעיני כל פרט.
למשל, אם שני חברים בוחרים בתירס כאפשרות המועדפת עליהם, ואחד בחר בפטריות, סדר ההעדפות המשוקלל יהיה: תירס, אחר-כך פטריות, ואחר-כך זיתים.
שיטה זו חשופה למניפולציות, משום שחבר שלטעמו זיתים עדיפים על תירס העדיף על פטריות, הרואה שלזיתים אין סיכוי להיבחר, עשוי להחליף את סדר העדיפויות של תירס וזיתים, על-מנת להבטיח את מקומו של התירס על-פני הפטריות שנואות נפשו.
השיטה מתחשבת במקומה של האפשרות השלישית בבואה לדרג שתי אפשרויות אחרות.
מלבד זה, שיטת האפשרות הראשונה אינה מכריעה בכל המקרים: אם כל חבר מעדיף תוספת אחרת, השיטה תותיר אותם בלי הכרעה.
דיקטטורה (של אבי): אבי, שבידיו הטלפון, יכול לבצע את ההזמנה לפי רצונותיו, בלי להתחשב בחבריו כלל.
שיטה זו איננה הוגנת כלפי בני וגלית שאינם יכולים להשפיע על הזמנת הפיצה.
נניח כי אנו משתמשים בשיטה לשקלול העדפות שעומדת בשני התנאים הראשונים, ונוכיח כי קיים בה דיקטטור.
את המשפט נוכיח באמצעות שני משפטי עזר.
המשפט: אם כל אחד מהפרטים ממקם את אפשרות בראש או בתחתית סדר ההעדפות שלו, אפשרות תהיה בראש או בתחתית סדר ההעדפות החברתי.
הוכחה: נניח בשלילה כי הטענה איננה נכונה.
אזי קיימות שתי אפשרויות שעבורן מתקיים בסדר ההעדפות החברתי: (כאשר משמעות הסימון היא: אפשרות רצויה יותר מאפשרות ).
נבנה חתך העדפות דומה לחתך הנתון, שבו אצל כל פרט, (ניתן להשיג זאת תוך שימוש רק בהחלפות בין שתי אפשרויות אלה, שלא משפיעות על הדירוג היחסי של כל אחת מהן לעומת , מאחר שאפשרות נמצאת בראש או בתחתית סדר ההעדפות).
נשקלל את ההעדפות בחתך ההעדפות החדש באמצעות השיטה ההוגנת שלנו.
הדירוג היחסי של לעומת נשאר זהה אצל כל פרט.
לפי דרישת האי-תלות בין אפשרויות לא רלוונטיות, עדיין .
לפי דרישת הקונצנזוס, בשקלול ההעדפות בחתך החדש .
בכך הגענו לסתירה, ומכאן שהטענה נכונה.
המשפט: קיים פרט שבחתך מסוים יכול לשנות את הצבעתו כך שאפשרות תעלה מתחתית סדר ההעדפות החברתי לראש סדר ההעדפות החברתי.
הוכחה: נבנה חתך העדפות שבו כל פרט מציב את אפשרות בתחתית סדר ההעדפות.
כעת נבחן את המצבים שמתקבלים כאשר כל אחד מהפרטים מעביר את לראש סדר ההעדפות, לפי הסדר.
לפני שהפרט הראשון יעשה זאת, לפי כלל הקונצנזוס, יהיה בתחתית סדר ההעדפות החברתי.
לעומת זאת, לאחר שהאחרון יעשה זאת, יהיה בראש סדר ההעדפות החברתי.
בכל שלב, יהיה בראש או בתחתית סדר ההעדפות החברתי.
לכן קיים פרט שכאשר הוא זה שיבצע את ההעברה, הוא ישנה את מקומו של .
בהמשך ההוכחה, נקרא לחתך ההעדפות שהיה לפני ההעברה של בשם חתך I, ולחתך ההעדפות שנוצר בעקבות ההעברה - חתך II.
ראשית, נראה שעבור שתי אפשרויות שונות שאף אחת מהן איננה , אם בסדר ההעדפות של מתקיים - כך גם בסדר ההעדפות החברתי.
לפי כלל האי-תלות, הדירוג היחסי של שתי האפשרויות בסדר ההעדפות החברתי תלוי אך ורק בדירוג היחסי שלהן אצל כל פרט.
לכן, דירוג זה לא ישתנה גם אם נניח ש- נמצא בראש סדר ההעדפות של כל פרט לפני , בתחתית סדר ההעדפות של כל פרט אחרי , ואצלו עצמו נמצא בין ל-, כלומר: .
אם נבחן את הדירוג היחסי של , נראה שאצל כל פרט הוא זהה לדירוג היחסי ביניהם בחתך I, ולכן בסדר ההעדפות החברתי , כפי שקורה בחתך I.
אם נבחן את הדירוג היחסי של , נראה שאצל כל פרט הוא זהה לדירוג היחסי ביניהם בחתך II, ולכן בסדר ההעדפות החברתי , כפי שקורה בחתך II.
כעת, נראה שעבור כל אפשרות שאיננה , הדירוג היחסי בינה לבין בסדר ההעדפות החברתי זהה לדירוג היחסי ביניהן בסדר ההעדפות של .
על פי משפט העזר השני, נמצא את , עבור כלשהו שאיננו או .
הוא קובע לבדו את הדירוג היחסי של כל שתי אפשרויות שאף אחת מהן איננה , לרבות האפשרויות .
אך מכיוון שבהוכחת משפט העזר השני ראינו כיצד בחתך מסוים הדירוג היחסי בין שתי אפשרויות אלה משתנה כאשר רק משנה את העדפותיו, נובע מכך: .
מכאן נובע, כי הוא דיקטטור.
הרחבת המשפט לבחירה חלקית של המועמדים
נרחיב את המשפט לפונקציות שבוחרות רק K מהמועמדים, כלומר, מחזירות דירוג על קבוצה בגודל קבוע של מועמדים.
נניח שישנם לפחות שלושה מועמדים.
כל פונקציה המתאימה יחס על תת-קבוצה של אפשרויות לכל וקטור של יחסי העדפות שמקיימת את הדרישות הבאות היא דיקטטורה.
פה אחד: אם כולם מעדיפים את A במקום ראשון אז A נבחר במקום ראשון (חזק)
מונוטוניות: אם A נבחר ביחס ההעדפות p ויש יחס ההעדפות שני q שבו מצבו של A אינו נגרע אז מצבו לא נגרע בדירוג של הפונקציה.
כלומר אם מתקיים שלכל שחקן ולכל אפשרות B אם שחקן העדיף את A על B ב-p אז גם ב-q, גורר שמצבו לא נגרע בדירוג של הפונקציה.
עבור זהו משפט גיבארד-סתרסוויט, ואם K הוא מספר המועמדים זהו משפט ארו.
נוכיח תחילה את המשפט באינדוקציה על K כאשר הטווח של הפונקציה הוא קבוצת יחסי העדפות חזקים על קבוצות בנות K אפשרויות.
נניח שהמשפט נכון עבור K ונוכיח אותו עבור .
פונקציה f מחזירה דירוג על איברים נגדיר את הפונקציה g להיות הפונקציה שמחזירה את K האיברים הראשונים שנבחרו לפי f (ניתן לבחור אותם כי f מחזירה יחס חזק על המועמדים).
הפונקציה g גם מקיימת את הדרישות מכיוון ש f מקיימת אותם ולכן g דיקטטורה .
אז f היא דיקטטורה ב-K האיברים הראשונים של שחקן i נניח בשלילה ש i לא דיקטטור באיבר האחרון
כלומר יש יחס ההעדפות p שבו i מעדיף את A במקום ה אבל B נבחר במקום הזה.
כיוון ש i דיקטטור של K
האיברים הראשונים i מעדיף את A על B אחרת B נבחר במקום יותר טוב מ , ובנוסף A לא נבחר.
אם i מחליף בסדר ההעדפות שלו בין A לאיבר ה K שלו אז A נבחר במקום ה K,
וB עדיין לא יכול להיבחר במקום טוב מ.
מצב B לא נגרע ולכן ממונוטוניות אין איברים חדשים שמנצחים אותו, אבל A מנצח את B בדירוג הפונקציה לכן סתירה ו f דיקטטורה.
עכשיו נוכיח לפונקציה f כלשהי כזאת שמקיימת את הדרישות.
נגדיר יחס ההעדפות קבוע W על קבוצת המועמדים ונגדיר g שמחזירה יחס ההעדפות כמו f אבל מפרידה בין איברים שווים על ידי W
אז g מקיימת את הדרישות, כי f מקיימת את הדרישות, והיא מחזירה דירוג חזק ולכן היא דיקטטורה של שחקן i
ולכן f היא דיקטטורה של שחקן i (שומרת על הסדר של יחס ההעדפות של שחקן i) אבל אולי מאפשרת לחברה להיות אדישה בין אפשרויות שלו.
נניח בשלילה שיש יחס ההעדפות p בו i מעדיף את A על B ושניהם במקומות ה-K ראשונים אבל החברה אדישה בין A ל-B.
מכיוון שלא בוחרים את כל המועמדים, כי אז זה משפט ארו והוכחנו, יש אפשרות אחרת C שלא נבחרה ולכן i ממקם אותה במקום גרוע מהמקום ה K,
נסתכל על יחס ההעדפות חדש בו i מחליף את מיקום C ,B ושם B לא נבחר כי i דיקטטור חלש.
אבל אם נחליף חזרה אז שוב כי חזרנו למצב הקודם בסתירה למונוטוניות כי מצב A לא נגרע אצל אף בוחר
אבל מצבו נגרע בדירוג של הפונקציה.
בנוסף להשלכותיו של משפט ארו בתחום קבלת ההחלטות בקבוצה, למשפט השלכות גם בתחום קבלת ההחלטות על ידי אדם יחיד, כאשר מתייחסים אל קריטריונים במקום לפרטים בקבוצה.
פרשנות זו של המשפט, עוסקת במקרה שבו אדם רוצה לקבוע סדר העדפות כללי בין מספר אפשרויות, על ידי שקלול סדרי העדפות בין אותן אפשרויות על פי קריטריונים שונים.
טבעי שהאדם ירצה שהשקלול יענה על שתי הדרישות הבאות:
כלל העליונות המוחלטת: אם אפשרות א' עדיפה על אפשרות ב' לפי כל קריטריון, אזי אפשרות א' עדיפה על אפשרות ב' גם באופן כללי.
אי-תלות בין אפשרויות לא רלוונטיות: הדירוג היחסי של אפשרות א' לעומת אפשרות ב' בסדר ההעדפות הכללי יהיה תלוי אך ורק בדירוג היחסי של אפשרות א' לעומת אפשרות ב' לפי כל קריטריון (ולא בדירוגן ביחס לאפשרויות אחרות, למשל).
לפי משפט ארו, השקלול היחיד שמקיים את שתי הדרישות הוא שקלול שלוקח בחשבון קריטריון אחד בלבד.
פרשנות זו של המשפט שקולה לפרשנות שמובאת בתחילת הערך.
אם משה רוצה לקנות מכונית, והוא מתלבט בין מכוניות שמספריהן בין 1 ל-4, חתך ההעדפות שלו יכול להיראות כך:
בטבלה זו, כל עמודה מייצגת את סדר ההעדפות על פי קריטריון מסוים.
טבלה זו בנויה באותו אופן כמו חתך ההעדפות של שלושת החברים לגבי התוספת לפיצה, לעיל.
על אף ניסוחו הקיצוני של המשפט, יש לשים לב למגבלותיו.
המגבלה העיקרית של המשפט היא שההגדרה הפורמלית ל"הוגנות" שבה משתמש המשפט, לא מתלכדת עם מה שמקובל להגדיר כ"הוגן" בשפה הטבעית.
הסיבה העיקרית לכך היא ההגדרה של "שיטה לשקלול העדפות".
על פי הגדרה זו, שיטה משקללת את סדר ההעדפות החברתי אך ורק על סמך סדר ההעדפות של כל פרט, ומתעלמת מפרמטרים נוספים.
אחד הפרמטרים האלה, למשל, הוא מידת ההעדפה.
אם על שני חברים לבחור אם לקנות לארוחה גבינה או סלט, כאשר אחד מהם מעדיף לקנות גבינה בגלל טעמה (אך מוכן לאכול גם סלט), ואילו האחר אלרגי לחלב ולא יכול לאכול גבינה כלל, רובנו היינו מגדירים התחשבות יתרה בחבר האלרגי כהוגנת.
עם זאת, שיטה שמתחשבת במידה שבה הוא מעדיף סלט על גבינה לא עונה על ההגדרה הפורמלית של "שיטה הוגנת", ולמעשה איננה נחשבת כלל לשיטה לשקלול העדפות.
באופן דומה, שיטה לשקלול העדפות של פרט עשויה להתחשב בסדר העדפותיו לפי כל קריטריון, אך לא במידת ההעדפה.
בדוגמה שהוצגה לעיל - קניית מכונית - השיטה יכולה להתחשב בכך שמכונית אחת יקרה יותר מחברתה, אך לא בהפרש בין המחירים.
מאחר שכל שיטה מעשית לשקלול הנתונים כן תתחשב במחירים עצמם ובהפרש ביניהם, למשפט אין בהקשר זה השלכות מעשיות.
שיטות שקלול שמתבססות על מתן נקודות לאפשרויות ייחשבו לרוב כשיטות הוגנות, אף על פי שאינן עונות להגדרה של "שיטה הוגנת".
על כן, משפט ארו לא חל לגביהן.
במתמטיקה דיסקרטית, משפט אֶרְדֶש–סֶקֶרֶש הוא משפט הקובע, שלכל טבעיים, בכל סדרה באורך של מספרים ממשיים שונים יש תת־סדרה עולה באורך או תת־סדרה יורדת באורך .
זהו משפט טיפוסי בתורת רמזי – במבנה גדול דיו אי־אפשר להימנע ממידה מסוימת של סדר.
את המשפט הוכיחו פאול ארדש וגאורגה סקרש, במאמר שפרסמו בשנת 1935.
יהיו מספרים טבעיים, ותהי סדרה של מספרים ממשיים שונים.
אזי יש תת־סדרה מונוטונית עולה ממש באורך , או שיש תת־סדרה מונוטונית יורדת ממש באורך .
המשפט נכון גם אם לא דורשים שהמספרים יהיו שונים, כאשר בניסוחו מחליפים את "יורדת ממש" ב־"יורדת" (כלומר, לא עולה), ואת "עולה ממש" ב־"עולה" (כלומר, לא יורדת).
החסם שנותן המשפט הוא הדוק, דהיינו, הטענה אינה נכונה עבור סדרות באורך .
נגדיר לכל את להיות אורך תת־הסדרה העולה הארוכה ביותר המתחילה ב, ובאופן דומה את להיות אורך תת־הסדרה היורדת הארוכה ביותר המתחילה ב.
באופן דומה אם עבור כך .
הוכחה: אם ו, אז לכל תת־סדרה עולה שמתחילה ב־ ניתן לצרף בתחילתה את ולקבל תת־סדרה עולה ארוכה יותר.
באופן דומה ניתן לקבל את הלמה על ו- .
כעת נעבור להוכחת המשפט עצמו.
נניח בשלילה כי אין מוצאים תת־סדרה עולה ממש באורך ואין תת־סדרה יורדת ממש באורך .
כמו־כן, ; אי־לכך, יש רק אפשרויות לערכי הזוג הסדור .
לעומת זאת, יש זוגות כנ"ל: .
מעקרון שובך היונים קיימים כך ש־.
על־כן, מהלמה וגם ; סתירה.
לכל מספר נבחר את להיות אורך הסדרה היורדת הארוכה ביותר המתחילה ב.
אם אחד מאיברי הסדרה גדול מ-, תת־הסדרה המתאימה לו היא תת־סדרה יורדת מאורך גדול מ־.
וָלא, על פי עקרון דיריכלה יש לפחות איברים בסדרה השווים זה־לזה, נסמן את תת־הסדרה המתאימה להם ב־ ואת ערכם המשותף ב־.
נשים לב ש־ בהכרח קטן מ־ (אחרת – היה אפשר לקחת את הסדרה המתחילה ב־, לאחריו ולאחר מכן, את הסדרה באורך המתחילה ב־, ובכך למצוא סדרה יורדת המתחילה ב־, בעלת אורך גדול מ־).
אותו נימוק תקף לכל האיברים, לפיכך, אם ניקח אותם נקבל סדרה עולה כמבוקש.
יתרונה של ההוכחה השנייה הוא שהיא קונסטרוקטיבית, כלומר, מספקת אלגוריתם למציאת הסדרה ולא רק מוכיחה את קיומה.
נשים לב שהסדרה מכילה את כל המספרים מ־1 ועד , ולכן יש בה בדיוק איברים.
כמו־כן, נשים לב שאחרי כל איבר יש לכל היותר איברים קטנים ממנו, ובפרט, סדרה יורדת מקסימלית היא באורך לכל היותר.
בנוסף, אם נחלק את הסדרה ל־ תת־סדרות באורך – אז עבור כל איבר – האיבר הבא אחריו, שגדול ממנו, חייב להימצא בתת־הסדרה הבאה.
לכן, תת־סדרה עולה מקסימלית היא באורך .
מכאן, אין קיימת לסדרה זו תת־סדרה יורדת באורך , ובנוסף, אין לה תת־סדרה עולה באורך .
בשל כך, אין משפט ארדש–סקרש מתקיים עבור סדרות באורך .
בפיזיקת המצב המוצק, משפט בלוך הוא משפט המאפיין את פונקציית הגל של חלקיק בפוטנציאל מחזורי, דוגמת אלקטרון הנע בגביש מחזורי.
פונקציות גל אלו מכונות גלי בלוך או פונקציות בלוך.
המשפט קרוי על שם הפיזיקאי פליקס בלוך שפרסם אותו בשנת 1928.
למשפט שימושים וחשיבות רבה בפיזיקת המצב המוצק, לדוגמה לגבי מבנה הפסים במתכות.
אם הוא פוטנציאל מחזורי של סריג כלשהו, כלומר מתקיים עבור כל וקטור הזזה סריגית , אזי ניתן לכתוב את הפתרונות למשוואת שרדינגר עבור האלקטרונים בסריג כך:
כאשר לפונקציה יש את אותה המחזוריות של הסריג, כלומר לכל בסריג ולכל הזזה סריגית מתקיים .
פונקציות גל אלו הן פונקציות עצמיות של ההמילטוניאן עבור האלקטרונים.
בהינתן המילטוניאן כנ"ל, קיים וקטור , כך שהפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן מקיימות:
המליטוניאן עבור קירוב אלקטרונים לא-תלויים :
כאשר , ו־ הם וקטורי סריג פרימיטיביים ().
נגדיר אופרטורי הזזה בווקטור סריג עבור כלשהו כמוגדר לעיל:
מכיוון שהפוטנציאל שמור (invariant) להזזה בווקטור סריג (כלומר מתקיים עבור כל כמוגדר לעיל), אז גם ההמילטוניאן שמור להזזה בווקטור סריג.
ניתן להראות שההמילטוניאן חילופי עם אופרטורי הזזה בווקטור סריג :
כלומר הקומוטטור של ההמילטוניאן וּוקטור סריג כלשהו שווה לאפס: .
כמו כן, אופרטורי ההזזה הנ"ל חילופיים זה עם זה.
לפיכך ניתן למצוא פונקציות עצמיות משותפות להמילטוניאן ולאופרטורי ההזזה, כלומר ניתן לבחור את הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כך שיקיימו:
מכיוון שהזזה ב- ואחריה הזזה ב- שקולה להזזה ב-, מתקיים:
הפונקציה היחידה בעלת תכונה זו היא אקספוננט, ולכן:
וזה הניסוח השני של המשפט.
בנוסף להוכחה שהוצגה כאן, קיימות הוכחות אחרות, בהן בונים באופן מפורש את הפונקציות העצמיות.
נכפיל את שני האגפים ב־:
כלומר הפונקציה היא פונקציה מחזורית והמחזוריות שלה זהה למחזוריות הסריג.
דיון בדלתיים סגורות הוא דיון המתנהל בבית משפט או בפני ועדת חקירה ללא נוכחות קהל.
אחד מעקרונות המשפט קובע שעל הליך שיפוטי להיות פומבי, כדי שהצדק לא רק ייעשה, אלא גם ייראה.
בישראל מיושם עיקרון זה באמצעות של חוק בתי המשפט.
חרף עיקרון זה, בנסיבות מסוימות החוק מאפשר ניהול משפט, חלקו או כולו, ללא נוכחות קהל, ובלשון ציורית יותר – בדלתיים סגורות.
הנסיבות בהן ינוהל דיון בדלתיים סגורות בישראל מפורטות בסעיף 68(ב) של חוק בתי המשפט וכוללות:
מניעת פגיעה ביחסי החוץ של המדינה;
הגנה על עניינו של קטין או חסר ישע כהגדרתו ב לחוק העונשין, תשל"ז-1977;
הגנה על עניינו של מתלונן או נאשם בעבירת מין או בעבירה על פי החוק למניעת הטרדה מינית, תשנ"ח-1998;
הדיון הפומבי עלול להרתיע עד מלהעיד עדות חופשית או מלהעיד בכלל;
תוכן הדיונים המתנהלים בדלתיים סגורות אסור לפרסום ללא אישור בית המשפט.
אמצעי התקשורת מבקרים לעיתים קרובות החלטות בהן נסגרות דלתותיו של בית המשפט ובמיוחד כשמדובר בהחלטות גורפות, כמו ההחלטה לאסור פרסום מדיוני בתי משפט למשפחה.
גם כאשר המשפט נערך בדלתיים סגורות, פסק הדין הניתן בו מתפרסם (לעיתים תוך מחיקת פרטים מסוימים, כגון פרטים מזהים).
נשיא בית הדין הארצי לעבודה, סטיב אדלר, עמד על יתרונה של דרך זו, בעת דיון בתביעה שעניינה הטרדה מינית:
בבואנו לאזן את עקרונות המשפט הפומבי, ההגנה על העובדת, והמדיניות למניעת הטרדה מינית במקום העבודה, ננסה למצוא פתרון שיפגע פחות מעט ככל האפשר בזכויות הללו.
בכך טמון יתרון הפתרון של איסור פרסום בתקופת ניהול המשפט והיתר פרסום לאחר מתן פסק-הדין של בית-הדין האזורי.
בכך ניתנת הגנה לעובדת (וגם למואשם בהטרדה) נגד פרסום עובדות שאינן נכונות, וכן מושגת המטרה שהציבור ידע על פסקי-דין בנושא הטרדה מינית.
על-פי השיטה המוצעת, הפגיעה בזכות הציבור לדעת מצטמצמת באופן זה מ"פגיעה" מוחלטת של חוסר ידיעה מוחלט לפגיעה יחסית של חוסר הידיעה בתקופת המשפט.
פגיעה בציבור על ידי דחיית המידע על המשפט עד לפרסום פסק-הדין קטנה בהשוואה לנזק שייגרם למתלוננת על ידי הפרסום בעת המשפט.
מניעת מידע על העדויות לפני מתן פסק-הדין תמנע את הדיווחים הסנסציוניים והבלתי מוכחים בכלי התקשורת, דיווחים שהציבור אינו לומד מהם דבר מהותי כלשהו.
לעומת זאת, פרסום פסק-הדין הסופי יספק לציבור את מלוא המידע הדרוש כדי לחנך אותו ולהשפיע על התנהגותו.
כמו כן, ההגנה המוענקת למתלוננת משמעותית ביותר, שכן הפגיעה הגדולה בה תתאפשר על ידי פרסום עדויות שאינן נכונות.
דיווח בזמן המשפט "יאותת" לציבור שלא כדאי לאישה להגיש תובענה על הטרדה מינית, בשל ההשפלה הכרוכה בניהול המשפט, ואילו דיווח לאחר מתן פסק-הדין יראה לציבור שלא כדאי להטריד עובדת מינית.
באנליזה פונקציונלית, משפט אַרְצֶלָה-אַסְקוֹלִי (Arzelà–Ascoli, נקרא גם משפט אסקולי) מעניק אפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה.
המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס.
אם הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב- את מרחב הפונקציות הרציפות , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית.
זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת נורמת : .
כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה של היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.
משפט ארצלה אסקולי: תהי קבוצה חסומה.
אזי לכל סדרה ב- קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם רציפה במידה אחידה.
מסקנה: אם סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.
הוכחה: ממשפט ארצלה-אסקולי נובע כי אם חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת.
תוספת הנתון ש- סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך .
מכאן ש- מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות.
הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.
מסקנה: אופרטור האינטגרל המוגדר , כאשר גרעין רציף על , הוא אופרטור קומפקטי.
תהי קבוצה חסומה ונניח שאיברי רציפים במידה אחידה.
נראה שלכל סדרה ב- יש תת-סדרה מתכנסת.
תהי סדרה צפופה ב- (קיימת כזאת כי מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).
זוהי סדרה חסומה ב- בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת.
נסמן אותה ב- ואת גבולה ב-.
גם זו סדרה חסומה ב- לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב- ואת גבולה ב-.
וכך בתהליך איטרטיבי לכל נגדיר את הסדרה להיות תת-סדרה מתכנסת של ואת גבולה נסמן ב-.
אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות.
נתבונן בסדרת האלכסון המוגדרת לכל כך (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה--י שלה הוא האיבר ה--י בסדרה ה--ית).
לכל הסדרה מתכנסת ל- שכן הזנב שלה, , הוא תת-סדרה של .
אברי רציפים במידה אחידה לכן קיים כך שלכל ולכל , אם אזי (כאשר היא פונקציית המטריקה ב-).
אבל קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר שנסמנם ב-.
לכל קיים כך ש- (כי צפופה ב-).
כמו כן הסדרה מתכנסת ל- לכן לפי תנאי קושי קיים כך שלכל מתקיים .
כעת, לכל ולכל קיים כך ש- ומתקיים מאי שוויון המשולש.
לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה מתכנסת במידה שווה.
משפט בונדרבה-שפלי, הוא משפט בתורת המשחקים, בתחום של משחקים שיתופיים.
המשפט נותן לנו תנאי הכרחי ומספיק לכך שהליבה של משחק אינה ריקה.
המשפט נקרא על שם המתמטיקאים אולגה בונדרבה (Olga Bondareva) ולויד שפלי (Lloyd Shapley) אשר הוכיחו אותו כל אחד בנפרד (בונדרבה ב-1963, שפלי ב-1967).
כאשר אנו בוחנים משחק בצורה קואליציונית בו משתתפים מספר שחקנים, נרצה לדעת אילו קואליציות יכולים אותם שחקנים ליצור על מנת שיוכלו למקסם את הרווח האישי שיוכלו להשיג במשחק, או לחלופין למזער את ההפסד שלהם.
כמובן שכל שחקן ירצה להשתתף בקואליציה שתיתן לו את הרווח הגדול ביותר, כלומר, קואליציה חייבת למקסם את רווח כל השחקנים על מנת שחבריה יהיו מרוצים, ולא יפנו להרכבת קואליציה אחרת.
ניתן לחשוב על אינספור דוגמאות למשחקים כאלו ביומיום, בעולם העסקים, ההיי-טק, הפוליטיקה ולמעשה בכל ענף עליו נסתכל.
בבואנו לחשוב על וקטור תשלומים לפיו נקבע את חלוקת הרווח בין חברי הקואליציה, ניתן לחשוב על עקרונות מנחים שבעזרתם נוכל להניח האם חברי הקואליציה מרוצים או לא מרוצים מהקואליציה שהם יצרו.
בין עקרונות אלה נמנים יעילות, סבירות פרטית וסבירות קבוצתית.
הליבה של המשחק היא בדיוק הקבוצה שמכילה את כל הווקטורים המקיימים תנאים אלה.
הליבה היא מושג מרכזי בתחום תורת המשחקים והיא נותנת לנו את אותם וקטורים שבהם חברי הקואליציה מקבלים יחדיו לפחות את שווי הקואליציה.
סביר שווקטור התשלומים שיתקבל מחלוקת הרווח הכולל יהיה בליבה.
לכן, כאשר נסתכל על משחק בצורה קואליציונית, נרצה פעמים רבות לשאול האם ישנם וקטורים בליבה, מהם נוכל לבחור את וקטור התשלומים.
משפט בונדרבה-שפלי עונה בצורה מסוימת על שאלה זו, כאשר הוא נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך שליבה של משפחה מסוימת של משחקים אינה ריקה.
כלומר, אם נוכל לסווג את המשחק עליו אנו מסתכלים ולשייך אותו לאחת מאותן משפחות שמקיימות את תנאי המשפט, נוכל לומר האם הליבה של אותו ריקה או לא ריקה.
המשפט מתאר תנאי הכרחי ומספיק לקיום ליבה לא ריקה, ולמעשה מגדיר משפחה של משחקים הנקראים משחקים מאוזנים.
כלומר, כל משחק העונה על התנאי המוצג במשפט – נקרא משחק מאוזן, לכן ניתן לומר שהליבה של משחק איננה ריקה אם ורק אם המשחק הוא משחק מאוזן.
למשפט ישנם שני ניסוחים שקולים.
הניסוח השני נועד להביא את הבעיה לצורה של בעיית תכנון ליניארי ועל ידי כך לפשט את הוכחת המשפט.
הוכחת המשפט שמוצגת כאן היא עבור הניסוח השני של המשפט, ומשתמשת בפתרון בעיית תכנון ליניארי.
עבור המשחק , כאשר היא קבוצת השחקנים ו היא הפונקציה הקואליציונית.
תנאי הכרחי ומספיק לכך שהליבה של המשחק איננה ריקה הוא שלכל אוסף מאוזן של קואליציות ולכל אוסף של וקטורי מקדמים מאזנים מתקיים:
המשפט: תנאי הכרחי ומספיק לכך שהליבה של המשחק איננה ריקה הוא שלכל מתקיים:
הוכחת המשפט היא עבור הניסוח השני שלו.
היא תינתן בשלבים ותיעשה בעזרת פתרון בעיית תכנון ליניארית.
שלב ראשון – הגדרת בעיית תכנון ליניארי (הבעיה הפרימאלית)
נתבונן בבעיית התכנון הליניארי במשתנים :
הערה: בסימונים רגילים של בעיית תכנון ליניארי:
קבוצת הפתרונות האפשריים של בעיה זו היא , שהיא קבוצה קומפקטית ולא ריקה, ולכן סופי.
שלב שני – הבעיה הדואלית
ניתן להראות כי הבעיה הדואלית לבעיה שהוגדרה בשלב הראשון היא:
כפי שראינו סופי, ולכן ממשפט הדואליות של תכנון ליניארי נובע ש- אף הוא סופי ומתקיים .
בשלב זה נראה שאם הליבה אינה ריקה אז .
לכן, מקיים את כל האילוצים הקיימים בבעיה הדואלית.
כמו כן, ערך פונקציית המטרה ב- הוא .
בשלב זה נראה את הכיוון ההפוך, כלומר אם אז הליבה אינה ריקה.
יהי וקטור אפשרי בבעיה הדואלית שבו מתקבל המינימום, כלומר .
מכיוון ש- מקיים את האילוצים של הבעיה הדואלית, הוא סביר קבוצתית.
מכיוון שההנחה היא ש - , מתקיים כי .
עבור האילוץ הוא למעשה , כלומר נקבל כי .
לכן, נמצא בליבה, כלומר הליבה אינה ריקה, כנדרש.
לסיום ההוכחה נראה כי אם ורק אם תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים.
ממבט על הבעיה הפרימאלית אם ורק אם לכל פתרון אפשרי מתקיים , וזהו בדיוק תנאי בונדרבה-שפלי.
בשלב השני הוכחנו כי ובשלבים שלוש וארבע הראינו כי אם ורק אם הליבה אינה ריקה.
בסך הכול קיבלנו כי הליבה אינה ריקה אם ורק אם מתקיים תנאי בונדרבה-שפלי.
בפיזיקה, משפט בל, ולחלופין אי שוויונות בל הוא שם כללי לאילוצים על תיאור של מכניקת הקוונטים בעזרת משתנים חבויים.
אי-השוויונות מתארים את האילוצים על מערכות המקיימות את עקרון המקומיות: פעולה על מערכת פיזיקלית הנמצאת במקום אחד לא משפיעה באופן מיידי על מערכת מרוחקת, ההשפעה יכולה להגיע רק בעתיד – למשל אחרי פרק הזמן שייקח לאור להגיע מהנקודה הראשונה לשנייה.
הנחה נוספת היא שתכונות פיזיקליות שהן ברות מדידה מוגדרות גם אם אינן ידועות.
(זה המצב למשל במכניקה קלאסית: לחלקיק נקודתי יש מקום ותנע ברגע נתון גם אם אינם ידועים).
המשפט גם מניח שלנסיונאי יש את חופש הבחירה לבחור אילו גדלים ימדוד.
המשפט ואי-השוויונות נקראים על שמו של ג'ון סטיוארט בל שהופיעו לראשונה במאמרו בשנת 1964. בשנת 2022 הוענק פרס נובל לפיזיקה לג'ון קלאוזר, אלן אספה, ואנטון זיילינגר על ניסויים בלתי תלויים שהוכיחו הפרה של אי-שוויונות בל במערכות קוונטיות עם פוטונים שזורים.
ניתן לראות את משפט בל כמקרה פרטי של משפט בל-קושן-שפקר , על שמם של המתמטיקאי הקנדי סיימון ברנרד קושן , והמתמטיקאי השווייצרי ארנסט שפקר.
במדעי המחשב, אי שוויונות בל משמשים לווידוא יכולות הצפנה ומחשוב קוונטים.
כותרת המאמר של ג'ון סטיוארט בל ב-1964 היא: "על הפרדוקס של איינשטיין פודולסקי ורוזן".
המחברים הגדירו "אלמנט של מציאות פיזיקלית" תופעה שניתן לחזות אותה, מבלי שתהליך המדידה יתערב ויפריע לתופעה.
מהגדרה זו נובע שמקום החלקיק השזור B הוא אלמנט של מציאות.
באופן דומה, מדידת התנע של חלקיק A מאפשרת לדעת את התנע של חלקיק B, ולכן גם התנע הוא אלמנט של מציאות פיזקאלית, בניגוד (לכאורה) לעקרון אי הודאות של הייזנברג.
ולכן, מכניקה קוונטית אינה נותנת תיאור מלא של המציאות.
איינשטיין האמין שקיים תיאור שלם של המציאות.
תיאור שלם של מכניקה קוונטית באמצעות משתנים חבויים ניתן בשנת 1952 הוצע על ידי דייוויד בוהם.
התורה של משתנים חבויים היא תורה דטרמיניסטית (חורצנית), והאופי ההסתברותי של מכניקה קוונטית בא לידי ביטוי כאשר מתייחסים למשתנים החבויים כמשתנים אקראיים קלאסיים.
בתיאור של בוהם, המשתנה החבוי הוא פונקציית הגל של שרדינגר שאינה מקומית.
התרומה החשובה של בל לדיון הייתה התובנה שהשאלה המטה-פיזיקלית במאמר של איינשטיין פודולסקי ורוזן, אם תיאור המציאות במכניקת הקוונטים שלם כמו גם התיאור של מכניקת הקוונטים בעזרת משתנים חבויים, ניתנות להכרעה נסיונית.
בל הראה שלתאוריה המקיימת את עקרון המקומיות והמציאות (local realism), יש מגבלות על פונקציות המתאם (קורלציות) של מדידות שנעשות במקומות שונים.
מגבלות אלו מופרות במערכות קוונטיות עם חלקיקים שזורים.
בשנת 1972 הראו פרידמן וקלאוזר, לראשונה באופן ניסויי, הפרה של אי שוויון בל הידוע כ-CHSH, במערכת של פוטונים שזורים.
בשנת 1982 פרסם אלן אספה מאמר ששיפר משמעותית את התוצאות של פרידמן וקלאוזר.
בפרט, הניסוי של אספה סגר את הפרצה של האפשרות לזליגת מידע בין מקור הפוטונים השזורים לגלאים.
בנוסף, טכניקת המדידה שופרה גם היא כך שהמובהקות של ההפרה גדלה מאוד.
בשנת 2022 קיבלו השניים, יחד עם אנטון זיילינגר, את פרס נובל בפיזיקה על "ניסויים בפוטונים שזורים וביסוס ההפרה של אי-שוויונות בל".
בפיזיקה קלאסית, במכניקה של ניוטון, בתורת הנוזלים, בתורה האלקטרומגנטית, ובתורת הכבידה של איינשטיין (הידועה גם כיחסות כללית), בכולן קיומן וערכיהן של תכונות פיזיקליות אינם מותנים במדידתם, התורות מקיימות את עקרון הממשיות.
כמו כן, בכולן אין פעולה ממרחק: פעולה המתבצעת בנקודה מסוימת יכולה להשפיע מיידית רק על אובייקטים הנמצאים באותה בנקודה.
ההשפעה על אובייקט מרוחק תקרה רק עם חלוף הזמן.
התורות הקלאסיות לכן מכבדות את עקרון המקומיות.
אי-שוויונות בל הם אילוץ על תאוריה שמקיימת את תנאי הממשיות והמקומיות.
כיוון שמכניקה קוונטית מפרה את אי-שוויונות בל, נובע שהיא אינה תורה שהיא גם מקומית וגם ממשית.
משפט בל מראה את השוני המהותי בין מכניקה קוונטית והפיזיקה הקלאסית, ומכאן חשיבותו.
פריצת הדרך של בל הייתה התובנה שהשאלות הפילוסופית לכאורה שהעלו איינשטיין פודולסקי ורוזן ניתנת להכרעה על ידי עימות בניסויים במעבדה.
ואכן, הניסיונות של קלאוזר ואספה בהם נמדדה הפרה משמעותית של אי-שוויון בל במערכת של פוטונים שזורים הראו שמכניקה קוונטית לא מכבדת את עקרונות הממשיות והמקומיות.
אי שוויון בל חשוב הוא CHSH על שם מחבריו ג'ון קלאוזר, מיכאל הורן, אבנר שמעוני וריצ'רד הולט.
ההפרה של אי שוויון זה זיכתה את קלאוזר ואספה בפרס נובל.
כדי לתאר את אי השוויון נדון קודם במדידת הקיטוב של פוטון יחיד.
מדידה קיטוב נותנת תוצאה אקראית בינארית: הפוטון מקוטב אופקית או אנכית (במישור המאונך למסלול).
נסמן את (בחירת) הכיוון האופקי במישור באות , ואת המשתנה האקראי הבינארי שמתאים למדידת הקיטוב המתאימה ב .
המשתנה האקראי מקבל את הערכים (עבור התוצאה אופקי ואנכי בהתאמה).
במדידת המתאם בקיטוב של שני פוטונים, נקרא לפוטון האחד הפוטון של אליס ולפוטון השני הפוטון של בוב.
אליס מודדת את הפוטון שלה באחד משני הכוונים או .
בדומה, בוב מודד את הפוטון שלו באחד משני הכוונים או .
כיוון שארבעת המשתנים הבינארים מקבלים את הערכים מתקיימת הזהות
את המשוואה הזו אי אפשר לעמת מול ניסוי כיוון שכל ניסוי מתייחס רק לאבר אחד מארבעת האיברים במשוואה.
אבל, למשוואה הזו יש מובן בתאוריה ריאליסטית שמניחה שגם קיטובים שלא נמדדו יש להם ערך.
נסמן ב את המשתנים החבויים וב את פונקציית הפילוג שלהם.
בתורת המשתנים החבויים ערך התוחלת, , של בניסיון נקבע בנוסחה .
ערך זה הוא בר-מדידה בניסיון .
נוסחאות דומות תקפות לשאר הניסיונות.
את אי-השוויון דלעיל ניתן לכן לכתיבה כאי שוויון של תוחלות של ארבע ניסיונות שונים
אי-שוויון שניתן להוכיח או להפריך אותו בניסוי.
אי-השוויון מופר במכניקה קוונטית עבורה מתקיים חסם צירלסון
את החסם ניתן לרוות על ידי בחירה מתאימה של הכיוונים ואז מתקבלת הפרה מקסימלית של אי-שוויון בל.
קלאוזר ופרידמן היו הראשונים שהראו בשנת 1972 הפרה של אי-שוויון CHSH.
המקור לזוג הפוטונים השזורים היו אטומי סידן מעוררים באמצעות מנורת קשת של מימן שפלטו זוג פוטונים שזורים באורכי גל 5513 ו-4227 אנגסטרום.
הקצב האיטי של יצירת פוטונים שזורים גרם לכך שאיסוף מספיק נתונים כדי להראות הפרה מובהקת של אי השוויון בשיעור של שש סטיות תקן, לקח כ-200 שעות.
בשנים 1981–1982 ערך אלן אספה ניסויים עם מקורות בהירים יותר של פוטונים שזורים שנוצרו באמצעות ערור ליזר של אטומי הסידן.
ניסיונות אלה הראו הפרה של אי שוויון בל בעשרות סטיות תקן.
חשוב מכך, סגרו את פרצת המקומיות: אי-שוויון בל מניח שאין העברת מידע על כיווני המדידה בין אליס לבוב.
הדרך להבטיח שאין מעבר מידע היא לבחור את הכיוונים של מדידות אליס ובוב באופן אקראי ובלתי תלוי במהירות מספיק גבוהה שלא תתאפשר העברת מידע בין אליס לבוב על הכוונים שנבחרו.
(המחמירים מונים הנחות סמויות נוספות כמו חופש הבחירה של אליס ובוב ואי-תלות של מדידות בזוגות פוטונים עוקבים).
בתורת המחשוב הקוונטי משפט בל תוחם את היכולות של מחשוב עם עיבוד מידע קלאסי.
הפרה של אי-שוויונות בל מהווה עדות ליכולות עיבוד מידע קוונטי.
ניתן להציג את היתרונות של מחשוב קוונטי כמשחק.
משחק כזה הוא המשחק של GHZ, שנקרא על שם ממציאיו דניאל גרינברגר, מיקל הורן ואנטון ציילינגר.
במשחק משתתפים שלושה שחקנים אליס, בוב וצ'רלי שאין ביניהם תקשורת במהלך המשחק, אבל הם חולקים מצב שזור של שלושה קיוביטים: כל אחד מהשחקנים מחזיק בקיוביט אחד, ויש לו יכולת למדוד את הקיוביט שלו.
שלושת השחקנים משחקים כקואליציה נגד שופט R עם תקשורת לכל אחד מחברי הקואליציה.
R מציג שאלה לכל אחד משלושת חברי הקואליציה, והקואליציה זוכה אם התשובות מקיימות תנאים מתאימים.
אליס אינה יודעת איזו שאלה נשאלו בוב וצ'רלי, וכו'.
חוקי המשחק: R שואל כל אחד מחברי הקואליציה שאלה אחת, משני סוגי שאלות אפשריים – שאלה או שאלה .
תשובה חוקית לשאלה היא .
השאלות נלקחות באופן אקראי ממאגר של ארבע שאלות: , .
כלומר, או שכל חברי הקואליציה נשאלים אותה שאלה , או ששניים נשאלים את השאלה ואחד נשאל את השאלה .
הקואליציה זוכה במשחקון אם מכפלת התשובות של A,B,C לשאלה מטיפוס היא ולשלוש השאלות האחרות הקואליציה מנצחת אם המכפלה היא .
כיוון שהמשתתפים לא יודעים איזו שאלה נשאלו חבריהם לקואליציה, הם צריכים לגבש מראש אסטרטגיה שאינה מותנית בארבע השאלות.
אין אסטרטגיה קלאסית שמאפשרת לקואליציה לזכות בכל משחקון, כיוון שלא ניתן למלא את הטבלה בערכים .
ממכפלת השורות נובע שמכפלת כל אברי הטבלה היא .
מאידך ממכפלת העמודות נובע שמכפלת הערכים בטבלה היא .
( בכל עמודה מופיע פעמיים ומופיע פעמיים).
קיבלנו סתירה שמראה שלא ניתן למלא את הטבלה כפוף לאילוצי המשחק, ולכן אין אסטרטגיה קלאסית שתנצח בכל משחקון.
אסטרטגיה שמאפשרת לנצח בהסתברות של 3/4 היא למשל שכל המשתתפים ישיבו לכל שאלה או .
הקואליציה תפסיד בשאלה ותזכה בשלוש השאלות האחרות.
אסטרטגיה קוונטית: מאידך, לשחקנים עם יכולות קוונטיות יש אסטרטגיה לזכות בכל משחקון (בהסתברות ): התשובה, של כל אחד מהשחקנים, לשאלה היא התוצאה (הבינארית, אקראית) של מדידת מטריצת פאולי על הקיוביט שלו, והתשובה לשאלה היא התוצאה (הבינארית, אקראית) של מדידת מטריצת פאולי על הקיוביט שלו.
ארבע השאלות מיוצגות על ידי ארבע אופרטורים מתחלפים:
הוא מצב עצמי עם ערכים עצמיים:
ולכן מובטח שהקואליציה תנצח בכל משחקון בוודאות.
בכל משחקון הקואליציה משתמשת במצב GHZ אחד.
בטופולוגיה, משפט בורסוק-אוּלַם הוא משפט מתמטי הקובע שכל פונקציה רציפה מהספירה ה-n ממדית למרחב האוקלידי ה-n ממדי מעתיקה שתי נקודות אנטיפודיות כלשהן לאותה נקודה.
למשפט שימושים רבים בטופולוגיה ובתחומים אחרים, כגון בקומבינטוריקה ובמדעי המחשב.
הוכחה ראשונה של המשפט פורסמה ב-1933 על ידי המתמטיקאי הפולני קרול בורסוק.
במאמרו ציין בורסוק שסטניסלב אולם שיער את המשפט.
ישנן שתי דרכים נפוצות להמחיש את המשפט במקרה הדו-ממדי (n=2).
דרך אחת היא לקחת כדור ים, להוציא ממנו את האוויר, למעוכו, לעוותו ולשטחו על הרצפה.
משפט בורסוק-אולם קובע שהיו שתי נקודות מנוגדות זו לזו (אנטיפודיות) על הכדור המנופח שכעת נמצאות זו על גבי זו על הרצפה.
דרך שנייה להמחיש את המשפט היא לומר שבכל רגע נתון יש על פני כדור הארץ שתי נקודות אנטיפודיות שיש בהן אותה טמפרטורה ואותו לחץ אוויר.
זאת בהנחה שטמפרטורה ולחץ אוויר משתנים באופן רציף על פני הכדור.
קל להשתכנע בנכונות המקרה האפס-ממדי והמקרה החד-ממדי.
במקרה האפס-ממדי המשפט טוען שפונקציה רציפה מהקבוצה לקבוצה מעבירה נקודות אנטיפודיות לאותה נקודה.
במקרה הזה זה נכון באופן טריוויאלי גם ללא דרישת הרציפות.
במקרה החד-ממדי המשפט טוען שפונקציה רציפה ממעגל (שאפשר להניח ללא הגבלת הכלליות שהוא מעגל היחידה) לישר הממשי מעתיקה זוג נקודות אנטיפודיות לאותו מספר.
אם נניח בשלילה ש- היא פונקציה רציפה שסותרת את המשפט, אז לכל זוג נקודות אנטיפודיות מתקיים .
אולם פונקציה זו יכולה לקבל רק את הערכים והיא מקבלת את שניהם בכל זוגות נקודות אנטיפודיות (), בסתירה למשפט ערך הביניים.
למשפט בורסוק-אולם גרסאות רבות שכולן נכונות וכולן שקולות זו לזו.
לכל רציפה קיימת נקודה כך ש-.
לכל אנטיפודית קיימת נקודה כך ש-.
לא קיימת אנטיפודית על השפה .
משפט לוסטרניק-שנירלמן: כל כיסוי של באמצעות n+1 קבוצות שכל אחת מהן פתוחה או סגורה מכיל קבוצה אחת שיש בה זוג נקודות אנטיפודיות.
נוכיח כי כל הגרסאות שקולות:
(1) גורר את (2): תהי פונקציה אנטיפודית.
לפי (1) והאנטיפודיות קיימת נקודה כך ש-, ולכן .
(2) גורר את (1): תהי פונקציה רציפה.
זוהי פונקציה אנטיפודית ולכן לפי (2) קיימת נקודה כך ש-, כלומר .
(2) גורר את (3): , ולכן אם קיימת אנטיפודית, אז היא בפרט פונקציה אנטיפודית שאינה מתאפסת, בסתירה ל-(2).
(3) גורר את (2): נניח בשלילה ש- אנטיפודית ולא מתאפסת.
(3) גורר את (4): הפונקציה היא הומאומורפיזם של ההמיספירה הימנית של על הכדור ("שיטוח" של ההמיספירה על מישור).