tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
בניגוד לעימוד סטפנוס, המבוסס על תרגום בן שלושה כרכים של יצירותיו של אפלטון ואשר ממחזר מספרי עמודים נמוכים על פני שלושת הכרכים, המציג את האפשרות לעמימות אם היצירה או הכרך האפלטוני אינם מצוינים, מספרי העמודים של בקר עוברים במחזוריות מ-1 עד לסוף הקורפוס ללא קשר לכרך.
לפיכך יש למספור בקר יתרון בכך שהסימון שלו חד משמעי כמידע מספרי קומפקטי, אף על פי שהוא מסתמך על הסדר של יצירותיו של אריסטו כפי שהוצג במהדורה של בקר.
כדי לצטט יצירה של מהקורפוס האריסטוטלי ניתן לשלב מספור בקר עם מספרי ספרים, פרקים ושורות כדי לתת התייחסות מדויקת.
על פי מוסכמה אקדמית, וללא קשר לסגנון הציטוט האקדמי בו נקוטים.
לדוגמה, ההפנייה Metaphysics, 1.9,991b9-20 היא לשורות 9–20 בעמוד 991b של פרק 9 בספר הראשון של המטאפיזיקה.
יצירותיו של אריסטו במספור בקר
הכותרות ניתנות בהתאם לתקן שנקבע על ידי תרגום אוקספורד המחודש.
בטבלה מצוינים גם כותרים לטיניים, שעדיין משתמשים בהם לעיתים קרובות על ידי חוקרים.
הרשימה כוללת גם יצירות שכיום אינן מיוחסת לאריסטו.
חיבורים שמקורייתם מוטלת בספק מסומנים ב-"*".
יצירות שכיום אינן מיוחסות לאריסטו מסומנות בקו חוצה.
יצירות אריסטוטליות חסרות מספרי בקר
חוקת האתונאים (או ) לא נכלל במהדורה של בקר מכיוון שהוא נערך לראשונה בשנת 1891 מתוך גלילי פפירוס שנרכשו בשנת 1890 על ידי המוזיאון הבריטי.
ההתייחסות הסטנדרטית אליו היא לפי מספרי סעיפים (ותת-סעיפים).
קטעים ששרדו מיצירותיו האבודות הרבות של אריסטו נכללו בכרך החמישי של המהדורה של בקר, בעריכת ולנטין רוז.
עם זאת, אלה אינם מצוטטים על ידי מספור בקר, אלא על פי מספרי פרגמנט.
מספור דילס-קרנץ (בגרמנית Diels–Kranz; בקיצור: DK) היא השיטה הסטנדרטית להתייחסות ליצירותיהם של הפילוסופים היוונים הקדם־סוקרטיים, המבוססת על אוסף הציטוטים מעבודתם ועדויות אודותם.
השיטה מבוססת על אסופת הפרגמנטים Die Fragmente der Vorsokratiker, מאת הרמן דילס , שפורסמה לראשונה ב-1903, ולאחר מכן תוקנה והורחבה שלוש פעמים על ידי דילס, ולבסוף תוקנה במהדורה חמישית (1934–1937) ובמהדורה שישית (1952) על ידי ולטר קרנץ .
במספור דילס-קרנץ, לכל פריט מוקצה מספר המשמש לזיהוי ייחודי של האישיות העתיקה שבה הוא עוסק, ואת סוג הפריט שניתן.
המספור משמש באקדמיה עבור הפניות לפילוסופים קדם־סוקרטיים, והמערכת מקיפה גם סופיסטים ומשוררים פרה־הומריים ואף מיתולוגיים כמו אורפיאוס.
עימוד סטפנוס הוא השיטה המקבילה להפנייה לאפלטון, ומספור בקר היא המערכת המקבילה להפנייה לאריסטו.
יצירותיהם של ההוגים הקדם־סוקרטיים לא שרדו בשלמותם והידע אודותם קיים כיום רק באמצעות התייחסויות ביצירותיהם של פילוסופים מאוחרים יותר, בצורה של ציטוטים ופרפראזות, אשר הרמן דילס כינה "דוקסוגרפיה".
לדוגמה, הידע שלנו על תאלס מגיע בעיקר מיצירותיו של אריסטו, שחי מאות שנים אחריו.
דוגמה מעניינת נוספת למקור דוקסוגרפי הוא חיבור של היפוליטוס מרומא בן המאה ה-2 לספירה, "הפרכת כל הכפירות" אשר הנציח ציטוטים בלעדיים של הוגים שאת הגותם ניסה להפריך, מקור יחיד לרבים מהפרגמנטים של הרקליטוס.
ה-Fragmente, אסופת הפרגמנטים של דילס וקרנץ הפכה לטקסט הסטנדרטי במחקר המודרני של הפילוסופיה העתיקה הקדם־סוקרטית.
בשל השפעתו הרבה של החיבור, מספור דילס-קרנץ הפך לדרך הסטנדרטית להתייחס לחומרים העתקים ולהפנייה אליהם.
המספר המתאים לפריט מורכב משלושה חלקים:
מספר המייצג את האישיות שבה עוסק הפריט, חופף את מספר הפרק ב-Fragmente .
לדוגמה, "11", מתייחס לתאלס וגם לפרק האחד-עשר.
האותיות A, B, C מציינות את סוג הפריט:
A: "עדות" (Testimonia) - דיווחים עתיקים על חיי המחברים ותורותיהם.
B: "מילים מדויקות" (Ipsissima Verba) מכונה גם "פרגמנטים" - ציטוטים של מילותיו המדויקות של המחבר.
C: "חיקויים" (Imitations) - יצירות המשתמשות במחבר כמודל.
מספר המייצג את מיקומו של הפריט המסוים בפרק שלו.
בדוגמה שלהלן, 22 הוא מספרו של הרקליטוס, B מציין כי מדובר בפרגנט, ו35 מציין את מספרו בפרק:
לפעמים, מספר הפרק (אישיות) עשוי להיות פשוט מוחלף בשם ההוגה, מה שיכול לעזור במקרים שבהם הראשון זהה למספר הקטע.
הטבלה הבאה מציגה את מספור דילס-קרנץ של הפילוסופים הקדם־סוקרטיים, בהתאם למהדורה החמישית של ה-Fragmente.
מתוך 90 פרקים רוב הערכים (78) עוסקים באדם בודד בעוד שלמיעוט הנותר (12) יש הקשר מורכב יותר.
מבין אלה האחרונים, שמונה (10, 19, 39, 46, 53-56) עוסקים כל אחד בקבוצות של אישים בעלי שם, שבדרך כלל יש להם קשר ברור מסוג כלשהו כדי להצדיק את הקשר שלהם בכל ערך.
שני ערכים (58, 79) מוקדשים לא ליחידים, אלא לאסכולות (פיתגוריזם וסופיזם), והשניים האחרונים (89, 90) משחזרים טקסטים אנונימיים.
שמואל שקולניקוב, היראקליטוס ופארמנידיס: עדויות ופראגמנטים, מוסד ביאליק, 1988. (באתר כותר)
מֶסָּפים היו שבט שחי במספיה בעת העתיקה הקלאסית.
שני שבטים יאפיגים נוספים, ה וה, אכלסו את מרכז וצפון אפוליה בהתאמה.
כל שלושת השבטים דיברו מספית, אך פיתחו תרבויות ארכאולוגיות נפרדות עד המאה השביעית לפנה"ס.
המספים חיו באזור בעל אותו השם, שהשתרע מלאוקה בדרום-מזרח ועד קאיליה ואגנטיה בצפון-מערב, והשתרע על רוב חצי האי סלנטו.
אזור זה כולל את נפת לצ'ה וחלקים מהנפות ברינדיזי וטאראנטו כיום.
החל מהמאה השלישית לפנה"ס, סופרים יוונים ורומיים הבחינו באופן שונה בין האוכלוסייה הילידית של חצי האי סלנטו.
לפי סטראבון, השמות יאפיגים, דאוני, פאוסטיאנים ומספים היו יווניים בלבד ולא בשימוש הילידים, שחילקו את סלנטו לשני חלקים.
החלק הדרומי והיוני של חצי האי היה הטריטוריה של הסלנטינוי, החל מאוטרנטו ללאוקה ומלאוקה למנדוריה.
החלק הצפוני של הים האדריאטי היה שייך לקלברוי והשתרע מאוטרנטו ועד לפנים אגנטיה.
לאחר כיבוש סלנטו על ידי הרפובליקה הרומית בשנת 266 לפנה"ס היטשטשה ההבחנה בין השבטים היאפיגים כאשר הם בחברה הרומית העתיקה.
סטראבון מבהיר שבתקופתו, סוף המאה הראשונה לפנה"ס, רוב האנשים השתמשו בשמות מספיה, יאפיגיה, קלבריה וסלנטינה לסירוגין עבור סלנטו.
השם קלבריה עבור חצי האי כולו נעשה רשמי כאשר הקיסר הרומי, אוגוסטוס, חילק את איטליה לאזורים ונתן לכל אזור אפוליה את השם רג'יו II אפוליה אט קלבריה.
הארכאולוגיה עדיין עוקבת אחר החלוקה היוונית המשולשת המקורית של שבטים בהתבסס על העדויות הארכאולוגיות.
מֶסָּפית, או יאפיגית היא הודו-אירופאית נכחדת בדרום מזרח חצי האי האפניני, שבעבר דוברה בסלנטו על ידי עמי של האזור: הקלברי והסלנטיני (הידועים ביחד כמספים), ה וה.
מספית הייתה השפה הקדם-רומית, הלא איטלית, של אפוליה.
היא נשמרה בכ-600 כתובות שנכתבו באלפבית שמקורו בדגם יווני מערבי ומתוארכים מאמצע המאה ה-6 לפנה"ס עד לסוף המאה ה-2 לפנה"ס, אז היא נכחדה בעקבות הכיבוש הרומי של האזור.
האלפבית המספי הוא עיבוד של , במיוחד הגרסה הלאקונית-טרנטינית.
הכתובות המספיות בפועל מאושרות מהמאה ה-6 לפנה"ס ואילך, בעוד שהתיעוד האפיגרפי הפואקטי והדאוני (נכתב בגרסה מקומית של האלפבית היווני ולא בכתב המספי הישן יותר) מתחיל רק במאה ה-4 לפנה"ס.
+האלפבית המספיהאות המספיתהאות היוונית המזרחיתשם האותערך פונטיאלפא/a/בטא/b/גמא/g/דלתא/d/אפסילון/e/דיגמא/v/זטא/z/, /dz/, /dš/אטא/h/הטא/h/תטא/θ/יוטא/i/קפא/k/למדא/l/מו/m/נו/n/קסי/š/אומיקרון/o/, /u/פי/p/קופא/k/ (אחרי /o/)רו/r/סיגמא/s/טאו/t/כי/kʰ/ > -h-, -y- (בין-קולית לפני /i/) - -/tʰ/ > /θ/
מסעותיו של כריסטופר קולומבוס הם סדרה של ארבעה מסעות ימיים שביצע הנווט מג'נובה, בשירות המלכים הקתוליים, בשלהי המאה ה־15 ובתחילת המאה ה־16. מסעות אלו נחשבים לאבן דרך בהיסטוריה האנושית, משום שהם סללו את הדרך לעידן הקולוניאליזם האירופאי באמריקה.
קולומבוס האמין כי יוכל להגיע לאסיה דרך נתיב מערבי מהאוקיינוס האטלנטי, אך במקום זאת הגיע לאמריקה – יבשת שלא הייתה מוכרת לאירופאים בזמנו.
במהלך המאה ה־15 חיפשו האירופאים דרכים חדשות להגיע לאסיה, בשל הרצון לסחור בתבלינים, משי ומוצרים נדירים.
לאחר שפורטוגל השתלטה על נתיבי הסחר בדרום, ביקש קולומבוס לפתוח נתיב חדש מערבה.
בתחילה נדחתה בקשתו למימון על ידי מספר מדינות, כולל פורטוגל, אך בשנת 1492 הסכימה איזבלה הראשונה מקסטיליה לממן את המסע.
קולומבוס קיבל שלוש ספינות: הסנטה מריה, הפינטה והניניה, ויצא לדרך בסתיו של אותה שנה.
ב־3 באוגוסט 1492 הפליג קולומבוס מספרד מערבה, וחצה את האוקיינוס האטלנטי.
לאחר יותר מחודשיים, ב־12 באוקטובר, הגיע לאי בגוואנהאני (כיום באהמה), ובכך הפך לאירופאי הראשון שתיעד הגעה לאמריקה מאז התקופה הוויקינגית.
במהלך המסע ביקר באיים נוספים, בהם קובה והיספניולה, והקים שם את המושבה הראשונה: לה נבידד.
יחסו של קולומבוס אל הילידים היה פטרוני ולעיתים אלים, והוא כפה עליהם עבודות, ודת נוצרית.
המסע השני היה גדול בהרבה, וכלל 17 ספינות ויותר מאלף אנשי צוות.
קולומבוס יצא לדרך כדי לחזק את נוכחות ספרד בקריביים, להקים מושבות ולהרחיב את הידע על היבשת החדשה.
הוא ביקר באיים כמו אנטיגואה, פוארטו ריקו וג'מייקה.
מושבת לה נבידד נהרסה במהלך היעדרותו, והיחסים עם הילידים הידרדרו.
הוא ייסד את סנטו דומינגו, אחת המושבות הראשונות הקבועות באמריקה.
במסע השלישי הפליג קולומבוס דרומה יותר, והגיע לחופי ונצואלה – מה שהיווה את הקשר הראשון של אירופאים עם יבשת דרום אמריקה.
הוא זיהה כי מדובר ביבשת חדשה אך לא חזר מהטענה שמצא נתיב להודו.
באותה עת גברה הביקורת עליו בספרד, ובשל תלונות רבות על ניהולו והיחס לעבדים הוחזר לאירופה באזיקים.
במסע הרביעי ניסה קולומבוס לגלות מעבר ימי להודו דרך מרכז אמריקה.
הוא חקר את חופי הונדורס, ניקרגואה, קוסטה ריקה ופנמה.
התנאים היו קשים – סופות, התמרדויות, התנגשויות עם הילידים ואובדן ספינות.
הוא נאלץ לשהות כשנה בג'מייקה עד שחולץ.
המסע לא הצליח בגילוי נתיב חדש, אך תרם למיפוי מרכז אמריקה.
מסעותיו של קולומבוס החלו את תהליך הקולוניזציה האירופאית באמריקה, ששינה את פני העולם מבחינה דמוגרפית, כלכלית ותרבותית.
אף על פי שקולומבוס לא גילה את "הודו", המסעות שלו עוררו השראה לחוקרים כמו אמריגו וספוצ'י, אשר לימים נקראה על שמו יבשת אמריקה.
כיום קולומבוס נחשב לדמות שנויה במחלוקת, עקב יחסו אל הילידים והשפעת הכיבוש האירופאי על תרבויותיהם.
יום קולומבוס נחגג במספר מדינות, בעיקר בארצות הברית, אך בעשורים האחרונים מתנהל דיון ביקורתי נרחב לגביו.
קבוצות ילידיות ופעילים חברתיים דורשים להכיר בפשעי העבר, ובמקום לציין את קולומבוס – להנציח את תרבויות הילידים.
במקומות מסוימים שונה שמו של החג ל"יום העמים הילידיים" (כגון קנדה).
מוזיאונים ופרסומים היסטוריים מנסים להציג כיום תיאור מאוזן יותר של האירועים.
מספר הוא עצם מתמטי מופשט, שבמשמעותו המקובלת משמש לציון כמות.
השיטה המקובלת להצגת מספרים היא השיטה המצבית, המציגה כל מספר באמצעות רצף ספרות לפי בסיס מוסכם.
הבסיס המקובל לספירה ביומיום הוא הבסיס העשרוני המורכב מהספרות 0–9. במחשבים מקובלות שיטות ספירה אחרות, שבהן הבסיסים הם: 2 – בסיס בינארי, 8 – בסיס אוקטלי ו-16 – בסיס הקסדצימלי.
שיטות קדומות יותר להצגת מספרים הן, בין השאר, ספרות עבריות וספרות רומיות.
המספר 613 בבסיס עשרוני נכתב תרי"ג בספרות עבריות ו-DCXIII בספרות רומיות.
צורות ההצגה השונות אינן משנות את מהותו של המספר, אך הן משפיעות על האופן שבו מתבצעות הפעולות האריתמטיות.
על שמות של מספרים ראו בערך שמות מספרים.
המתמטיקה היוונית הכירה בשני מושגים נבדלים: מספר, שהוא בהכרח מספר טבעי במשמעותו דהיום, וגודל – אורך של קטע – שמנקודת מבט מודרנית יכול לייצג כל מספר ממשי חיובי.
ההתאמה בין שני המושגים התבססה על ההנחה הסמויה, שכל קטע אפשר להכפיל בשלם כדי לקבל שלם; כלומר, שכל אורך הוא למעשה מספר רציונלי.
המשבר שעברה המתמטיקה הפיתגוראית כאשר התברר שישנם מספרים לא רציונליים (כדוגמת השורש הריבועי של 2) חלף בלי להותיר חותם על תפיסת מושג המספר, וכך נותרה ההבחנה היוונית בעינה עד סוף המאה ה-15.
בתחילת המאה ה-16, בהשפעת המתמטיקאים ההודים, הפך האפס בהדרגה למספר לגיטימי.
המספרים השליליים רכשו את מעמדם העצמאי במהלך המאות ה-16 וה-17; ב־1591 סיכם פרנסואה וייט בספר את התגליות של ג'ירולמו קרדאנו, ניקולו טרטליה ואחרים על פתרונן של משוואות ממעלה שלישית ורביעית, וחולל מהפכה חשובה בסימון המתמטי, כשהכניס לשימוש אותיות במקום פרמטרים (ולא רק במקום נעלמים, כפי שהיה נהוג עד אז).
עם זאת, האותיות עדיין מייצגות מספרים חיוביים בלבד.
גם דקארט, שהנהיג את ההפרדה (המתודית) בין אותיות כ-a,b,c לציון פרמטרים ואותיות כ-x,y,z לציון משתנים, מניח מאליו שכל משתנה חייב לייצג מספר חיובי.
החידוש שבפתרון משוואות ממעלה גבוהה אילץ את המתמטיקאים בני התקופה להכיר בקיומם של מספרים מרוכבים, ויחד איתם גם במספרים ממשיים שליליים.
אצל ניוטון, ובמיוחד לייבניץ, שהיה אשף הסימון הקולע, כבר מתקיימים המספרים השליליים לצד החיוביים, ללא כל הבחנה.
עד סוף המאה ה-17 נכנסת גישתו של וייט לשימוש כולל, כאשר אותיות יכולות לייצג כל מספר, וה"מספר" מקבל את משמעותו הרחבה ביותר, מספר מרוכב.
אין במתמטיקה הגדרה אחידה למספר ולרוב המילה משמשת לציון איבר באחת הקבוצות הבאות:
יש הכוללים בתחילת המספרים הטבעיים את המספר 0. נהוג לסמן קבוצה זו באות .
מספרים שלמים: הקבוצה המכילה בנוסף למספרים הטבעיים גם את אוסף המספרים השליליים 1-, 2-, 3-, ...
ואת 0. נהוג לסמן קבוצה זו באות .
מספרים רציונליים: כל המספרים שניתן לבטא אותם כמנה של שני מספרים שלמים, כאשר המכנה שונה מ-0. נהוג לסמן קבוצה זו באות .
בקבוצה זו נכללים המספרים השלמים, וכן השברים, לדוגמה .
מספרים ממשיים: קבוצה שבה נכללים כל המספרים המהווים אורך (מכוון) של קטע.
אלו כוללים את המספרים הרציונליים ואת המספרים האי-רציונליים.
נהוג לסמן קבוצה זו באות .
המספר פאי הוא דוגמה למספר ממשי אי-רציונלי.
מספרים מרוכבים: מספרים מהצורה , כאשר הם מספרים ממשיים, ו-.
נהוג להציגם כנקודות במישור המרוכב.
מספרים מהצורה קרויים מספרים מדומים.
קווטרניונים: מספרים מהצורה כאשר הם מספרים ממשיים, ו-.
את המספרים המרוכבים ניתן לחלק לשתי קבוצות:
מספרים אלגבריים: מספרים המהווים שורש של פולינום שמקדמיו הם מספרים רציונליים, כגון 1, השורש הריבועי של 2 ו-.
מספרים טרנסצנדנטיים: מספרים שאינם אלגבריים, כגון π ו-e.
מספר אטומי הוא מספר הפרוטונים הנמצאים בגרעין של אטום מסוים.
מספר זה קובע את היסוד הכימי של האטום.
לכל יסוד יש מספר אטומי מסוים, שונה מזה של כל יסוד אחר.
כאשר האטום נייטרלי חשמלית (אינו יון), אופיו הכימי, להבדיל מאופיו הפיזיקלי של האטום, נקבע על ידי מספר זה.
לעומת זאת, אופיו הפיזיקלי של האטום נקבע גם על ידי האיזוטופ שלו.
כל יסוד עשוי להתקיים כאיזוטופים שונים, שלכל אחד מהם מספר אטומי זהה אך מספר מסה שונה.
עם פיתוח הטבלה המחזורית של היסודות השתמשו הכימאים במספר האטומי לציון מקומו הסידורי של היסוד בטבלה.
דמיטרי מנדלייב סידר בטבלה שלו את היסודות לפי דמיון בתכונות כימיות.
בסדר זה רואים כמה אי-התאמות לסידורם לפי המשקל האטומי.
כפי שניתן לראות בגרף משמאל, לדוגמה, משקלו האטומי של יוד () הוא מעט נמוך מזה של טלוריום ().
זאת, על אף שהמספר האטומי של יוד גבוה ב-1 מזה של טלוריום (53 לעומת 52).
אי ההתאמות הוסברו באופן מדעי במחקרו של הנרי מוזלי בשנת 1913, בו הוא גילה קשר ישיר בין אורך הגל של קרני X הנפלטים מיסוד המופגז בקרן אלקטרונים, לבין מקומו בטבלה המחזורית.
בהמשך, במסגרת פיתוח פיזיקת החלקיקים, הבינו החוקרים שהמספר האטומי מתאים למטען החשמלי של גרעין האטום, אשר נובע אך ורק ממספר הפרוטונים שבו.
מטען זה הוא הקובע את תכונותיהם הכימיות של יסודות, לא המשקל האטומי.
ההבדל בין שני המספרים נובע מהימצאותם של נייטרונים בגרעין האטום.
במקרה של היוד (53 פרוטונים) והטלוריום (52 פרוטונים), ההפרש בין מספר הפרוטונים קטן מההפרש בין מספר הנייטרונים בגרעין של טלוריום (76 באיזוטופ השכיח ביותר של טלוריום) לעומת היוד (74 באיזוטופ השכיח).
לכן, המשקל האטומי של טלוריום גבוה יותר.
הסמל הכימי של יסוד קובע חד-חד-ערכית את מספרו האטומי.
אולם, לעיתים, כאשר מבקשים לציין את המטען החשמלי של האטום (למשל, ברישום תגובה כימית), המספר האטומי נכתב גם הוא, משמאל ולמטה לסימן היסוד.
מספר המסה של האיזוטופ מסומן משמאל ולמעלה.
למשל, האיזוטופ פחמן-12 עשוי להיות מסומן .
במשוואות, המספר האטומי מסומן לפעמים באות "Z".
מספר אי-רציונלי הוא מספר ממשי שאינו מספר רציונלי, כלומר שלא ניתן להציגו כמנה של שני מספרים שלמים.
כל מספר ממשי הוא רציונלי או אי-רציונלי (אך לא שניהם גם יחד).
לעיתים קשה לקבוע לאיזו משתי הקבוצות משתייך מספר מסוים .
בהצגה של מספר אי-רציונלי כשבר עשרוני יש מימין לנקודה מספר אינסופי של ספרות, ללא מחזוריות כלשהי, ולכן ביכולתנו לרשום רק מספר סופי של הספרות הראשונות שמימין לנקודה (ברמת הדיוק הרצויה לנו), ואת ההמשך לסמן בשלוש נקודות (למשל: ).
ההתייחסות למספרים לא רציונליים כגון שורש 2 הופיעה בתרבויות קדומות שונות כחלק מחקירת צורות גאומטריות, אך גילוי המספרים האי-רציונליים, כלומר זיהוי ייחודיותם, מיוחס לכת הפיתגוראים.
נהוג לייחס את הגילוי הראשון של מספר אי-רציונלי, שורש 2, לתלמיד של פיתגורס, היפאסוס.
קיומם של המספרים האי-רציונליים היה מכה קשה לפילוסופיה הפיתגוראית שהחזיקה באמונה ביופיים ושלמותם של המספרים ובכך שכל תופעה ניתנת לתיאור באמצעות הרמוניות בין מספרים טבעיים (כלומר, יחסים שהם מספרים רציונליים); היפאסוס נהרג בטביעה, הנחשבת כהוצאה להורג בידי חבריו לכת הפיתגוראית.
ברם, בסופו של דבר הגילוי הוביל להגדרה וחקירה של מספרים אי-רציונליים.
במסגרת החקירה זיהו היוונים מספר רב של מספרים שאינם רציונליים, גילו מאפיינים שונים שלהם ופיתחו שיטות שונות להתייחסות וטיפול בהם.
תיאודורוס מקירנה בן המאה הרביעית לפני הספירה, הוכיח (לפי פרוקלוס) שהשורשים של המספרים השלמים מ-2 עד 17 (למעט הריבועים 4, 9 ו־16) אינם רציונליים.
אחת התגליות של היוונים הייתה שכל שורש ריבועי של מספר טבעי שאינו מספר שלם הוא מספר אי-רציונלי.
ייסוד תורת המספרים האי-רציונליים מיוחסת לאאודוקסוס מקנידוס.
חקירה מעמיקה של יחסים רציונליים ואי-רציונליים הוצגה על ידי אוקלידס, הנודע מבין הגאומטריקנים היוונים, בספר "יסודות", הנחשב לפסגת הישגיו.
בין החוקרים המודרניים יש התופסים את "יסודות" כספר שיעדו המרכזי הוא העיסוק בתורת המספרים האי-רציונליים.
הדוגמה הקלה והמפורסמת ביותר למספר אי-רציונלי היא שורש 2, שהוא מספר ממשי השווה לאורך האלכסון של ריבוע שצלעו יחידה אחת .
ההוכחה שמספר זה אינו רציונלי היא בדרך השלילה:
נניח כי הוא מספר רציונלי, כלומר קיימים שני מספרים שלמים זרים (מספרים שהמספר היחיד שמחלק את שניהם הוא 1) שמקיימים (כל מספר רציונלי ניתן להצגה בצורה זו, שהרי מספרים שאינם זרים ניתן לצמצם).
כעת נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה ונקבל , ולכן .
צד ימין של המשוואה הוא מספר זוגי (כי הוא מתחלק ב-2), ולכן גם צד שמאל של המשוואה הוא מספר זוגי, כלומר הוא מספר זוגי.
ריבוע של מספר הוא זוגי אם ורק אם המספר עצמו הוא זוגי (כי מכפלה של שני מספרים אי זוגיים היא אי זוגית, ובפרט ריבוע של מספר אי זוגי הוא אי זוגי), כלומר קיים מספר שלם כך שמתקיים .
מטענה אחרונה זו נגזר כי , כלומר , הוא מספר זוגי, ומכאן שגם הוא מספר זוגי.
קיבלנו כי וגם הם מספרים זוגיים, ולכן אינם זרים (שניהם מתחלקים ב-2).
ההנחה כי הוא מספר רציונלי הובילה אותנו לסתירה, ולכן אינה נכונה, כלומר הוא מספר אי-רציונלי.
הוכחה זאת עובדת לכל מספר חופשי מריבועים.
כדי להוכיח עבור מספר טבעי שאינו ריבועי אך גם אינו חופשי מריבועים, יש לפרק אותו למכפלה של מספר ריבועי ומספר חופשי מריבועים.
מכפלת השורשים של מספרים אלו היא השורש של המספר המקורי; זוהי מכפלה של מספר רציונלי במספר אי-רציונלי, הנותנת מספר אי-רציונלי.
דוגמה נוספת למספרים אי-רציונליים מתייחסת לפונקציית לוג (): לכל שני מספרים ראשוניים שונים, p ו-q, המספר אינו רציונלי, משום שאם היחס היה רציונלי, אפשר היה לכתוב עבור a ו-b שלמים, אבל אז , וזה בלתי אפשרי.
דוגמה אחרת למספר אי רציונלי היא המספר π (פאי), שהוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו.
ערכו הוא , קרוב ל- , אך הוכח שאין שני מספרים שלמים שחלוקתם זה בזה תיתן את ערכו המדויק של π.
מספרים אי-רציונליים מפורסמים נוספים הם e ויחס הזהב.
כל מספר טרנסצנדנטי (מספר שאינו אלגברי) הוא אי-רציונלי.
למשל ויחס הזהב הם מספרים אלגבריים אי-רציונליים.
אף שמספרים אי-רציונליים נפוצים פחות בחיי היום-יום, ניתן להראות כי כמעט כל המספרים הם אי-רציונליים.
זאת משום שעוצמת המספרים הרציונליים היא בעוד עוצמת המספרים האי-רציונליים היא .
מספר אי-רציונלי בחזקת מספר אי-רציונלי
אם a אי-רציונלי, אז גם ההפכי הוא אי-רציונלי, וכך גם השורשים (עבור n טבעי).
החזקה , כאשר r רציונלי, עשויה להיות רציונלית.
מספר אי-רציונלי בחזקת מספר אי-רציונלי יכול להיות רציונלי.
הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך ניתנת על ידי הצגת המספר והמספר .
קל לראות שהראשון הוא מספר אי-רציונלי בחזקת אי-רציונלי ושהשני הוא מספר שלם ולכן רציונלי.
מכאן נובע שלפחות אחד מהשניים מראה כי הטענה הנ"ל נכונה, שכן אם המספר הראשון הוא רציונלי אז סיימנו, אחרת השני הוא אי-רציונלי בחזקת אי-רציונלי שתוצאתו רציונלית ועל כן סיימנו.
לדוגמה זו בפרט ניתן להוכיח כי הוא טרנסצנדנטי תוך שימוש במשפט גלפונד-שניידר האומר כי אם הוא אלגברי שאינו או ו- הוא מספר אלגברי אי-רציונלי, אז הוא טרנסצנדנטי.
מספר אטומי אפקטיבי (effective atomic number), הוא מספר האלקטרונים המקיפים מתכת מעבר כאשר היא נמצאת בתוך קומפלקס.
המספר האטומי האפקטיבי שווה על פי רוב למספר האלקטרונים של הגז האציל הנמצא באותו מחזור כמו המתכת.
מספר זה כולל את אלקטרוני המתכת עצמה ואת האלקטרונים של הקשר עם הליגנדים.
מספנת אינגלס היא מספנה הממוקמת בפסקגולה שבמיסיסיפי.
היא נוסדה ב-1938, וכיום היא חלק מנורת'רופ גרומן שיפ סיסטמס.
בעבר הייתה יצרנית הספינות המובילה עבור הצי האמריקני, ועם 10,900 עובדים, המעסיקה הפרטית הגדולה ביותר במיסיסיפי.
אינגלס הייתה ממוקמת בשפך נהר פסקגולה למפרץ מקסיקו.
היא התחילה בבניית ספינות מסחר, אך בשנות החמישים החלה להשתתף במכרזים של הצי האמריקני, וב-1957 זכתה במכרז לבניית 12 צוללות תקיפה גרעיניות.
ליטון אינדוסטריז רכשה את אינגלס ב-1961, וב-1968 הרחיבה את מתקניה לצידו השני של הנהר.
אינגלס ייצרה גם ציוד קידוח לקידוחים מרוחקים מהחוף, ספינות שיוט וביצעה מיזמים ימיים עבור מצרים, ישראל וונצואלה.
במספנה נבנו גם שלושת ספינות הטילים סער 5 עבור חיל הים הישראלי, והנחתות נחשון.
בשנות החמישים, ניסתה אינגלס להיכנס לייצור קטרים לרכבות.
הם שיווקו קו מוצרים נרחב, אולם רק קטר אחד, הידוע כאינגלס 4-S, יוצר.
הוא נמכר לחברת "גולף, מובייל & אוהיו ריילרואד".
ב-29 באוגוסט 2005, מתקני המספנה נפגעו על ידי סופת ההוריקן קטרינה.
מרבית הספינות שעגנו ואלו שהיו בבנייה לא נפגעו בצורה משמעותית.
בניית הספינות הופסקה לזמן מה עקב ההרס של מבנים רבים בשטח המספנה, מרבית כלי הרכב, והמנופים הגדולים, המתקן ממשיך לפעול כיום, כאשר בשנת 2010 הסתיימה עבודת השיקום העיקרית של המתקן.
מספר CAS registry number) CAS) הוא מספר זיהוי יחיד במינו הניתן על ידי שירות התקצירים בכימיה (Chemical Abstracts Service – CAS) של האגודה האמריקנית לכימיה, לכל חומר שתואר בספרות המקצועית.
סוגי החומרים הממוספרים הם יסודות, איזוטופים, חלקיקים תת-אטומיים, מתכות, סגסוגות, מינרלים, אורגנומתכות, חלבונים, חומצות גרעין, פולימרים, תרכובות ותערובות נוספות.
מטרת המספור להקל על חיפושים במסדי נתונים, שכן אותו חומר מופיע לעיתים קרובות בשמות שונים.
מרבית מסדי הנתונים של מולקולות בעולם תומכים היום בחיפוש לפי מספר CAS.
נכון לנובמבר 2013, המרשם של CAS כולל מעל 75 מיליון חומרים.
כ-50 אלף מספרים חדשים נוספים בממוצע כל שבוע.
מספר CAS בנוי משלושה חלקים המופרדים במקפים.
בחלק הראשון עד שש ספרות ובחלק השני שתי ספרות; שני חלקים אלה ניתנים לחומרים באופן עוקב, ללא משמעות למספרים.
החלק השלישי הוא ספרת ביקורת, המחושבת כך: מסכמים את הספרה האחרונה, עם הספרה הלפני אחרונה כפול 2, עם הספרה שלפניה כפול 3, וכן הלאה.
ספרת הביקורת היא השארית מחלוקת הסכום ב-10.
לדוגמה, מספר ה-CAS של מים הוא 7732-18-5; ספרת הביקורת היא 5, שכן:
8007-40-7 שמן חרדל, שהוא תערובת של חומצה אולאית (oleic acid), חומצה לינולאית (linoleic acid) וחומצה ארוקית (erucic acid)
מספרי או"ם הם מספרים בני ארבע ספרות המציינים חומרים מסוכנים בעת הובלתם.
בין המספרים כאלה המציינים חומר כימי בודד, ואחרים מציינים קבוצת חומרים בעלי תכונות דומות.
המספרים ניתנים על ידי קבוצת מומחים של האו"ם להובלת חומרים מסוכנים.
תחום המספרים שברשימה הנוכחית (יש מספרים שניתנו בעבר ובוטלו) הוא בין 0004 (אמוניום פיקראט - Ammonium Picrate) ל-3376
כמו כן החומרים מסווגים לקבוצות לפי תכונותיהם.
אין חוקיות במספרים עצמם - לא ניתן להסיק מסקנות על החומר לפי מספרו, אלא רק מחיפוש בטבלה שבהמלצות האו"ם.
המלצות האו"ם להובלת חומרים מסוכנים אומצו במדינות רבות.
במדינת ישראל החוק הקובע הוא חוק שירותי הובלה, התשנ"ו-1997 ותקנות שרותי הובלה, התשס"א-2001. בתקנות 2001, תוספת רביעית - "סימון רכב" מוגדר שלט הסימון בו יש לשלט רכב המוביל חומרים מסוכנים, ובו, בין היתר, חובה לציין את מספר האו"ם של החומר המובל.
המלצות האו"ם להובלת חומרים מסוכנים - בחלק 2 מוגדרות קבוצות הסיכון, וחלק 3 מכיל רשימה מלאה של כל מספרי האו"ם.
חוק שירותי הובלה, תשנ"ז-1997, באתר משרד התחבורה.
מִסְפַּר אַבֶּה (Abbe) הוא גודל חסר ממד המבטא את הנפיצה (דיספרסיה) של אור בחומר.
הנפיצה היא השתנות מקדם השבירה עם אורך הגל.
ככל שהנפיצה גדולה החומר יהיה "יעיל" יותר בהפרדת אור לבן למרכיביו הספקטרליים.
המספר קרוי על שמו של הפיזיקאי הגרמני ארנסט אבה (Ernst Abbe; 1840–1905) שהגדיר אותו.
הוא מקדם השבירה של החומר באורך גל 589.2nm (קו D של נתרן)
הוא מקדם השבירה של החומר באורך גל 486.1nm (קו F של מימן)
הוא מקדם השבירה של החומר באורך גל 656.3nm (קו C של מימן)
ככל שמספר אבה נמוך יותר הנפיצה גדולה יותר, מכיוון שהפרש מקדמי השבירה נמצא במכנה.
מספר אבה הוא מדד לנפיצה רק בתחום האור הנראה של הספקטרום.
משתמשים במספר אבה לאפיין זכוכיות מבחינה אופטית.
לבדולח מספר אבה נמוך מ-50, ויכול להגיע עד 20 בהרכבי בדולח כבדים (תכולת עופרת גבוהה).
בזכוכיות אופטיות מספר אבה גדול מ-50 ומגיע ל-80 בזכוכיות פלואורידיות.
קיימת הגדרה חלופית למספר אבה שבה הוא קו פליטה של הליום ב-587.56 ננומטר.
מתכננים של מערכות אופטיות נוהגים להשתמש בדיאגרמת אבה לבחירת החומרים שמהם ייוצרו אלמנטים אופטיים שונים.
בדיאגרמה מופיעים סוגי זכוכיות שונים בהתאם לתכונותיהן האופטיות: הציר האנכי הוא מקדם השבירה והציר האופקי הוא מספר אבה.
כל הרכב זכוכית הוא נקודה בדיאגרמה.
מספר דקדוקי הוא תכונה דקדוקית המציינת הבחנה כמותית (בעיקר של שמות עצם), ומשפיעה על נטייה של מילים במסגרת התאם (בדומה למין דקדוקי ולגוף דקדוקי).
ההבחנה הכמותית הבסיסית ביותר הקיימת ברוב שפות העולם היא בין יחיד ובין רבים.
בדרך כלל צורות היחיד היא הצורה הבסיסית ואילו צורת הרבים היא הצורה המסומנת מורפולוגית.
בשפות שונות ישנן הבחנות כמותיות נוספות, כגון:
זוגי – הבחנה דקדוקית מיוחדת לציון המספר 2 (ערבית, סלובנית, וכן בשמות עצם רבים בעברית; למשל: "יומיים" לעומת "ימים").
הבחנה דקדוקית לציון המספר 3 או 4 ().
הבחנה דקדוקית לציון קבוצה קטנה, הגדולה מ-2 וקטנה מ-10 ().
הבחנה דקדוקית (מסומננת מאוד) לציון הכמות 0, כלומר היעדר (לטבית).
לפי הנחיות האקדמיה ללשון העברית, שם עצם אחרי מספר יופיע בצורת רבים במספרים 2 עד 10 (לדוגמה, "שלושה שקלים"), ומהמספר 11 ואילך הוא יכול להופיע בין בצורת יחיד ובין בצורת רבים (לדוגמה, "חמישים ושלושה שקל" או "חמישים ושלושה שקלים").
עם זאת, גם מהמספר 11 ואילך, השימוש בצורת יחיד נפוץ בעיקר בשמות המצויים בספירה (כמו יום, שנה, נפש, איש, ראש, אחוז, שמות מטבעות וכדומה).
בשמות אחרים (כמו מחשב או מזגן) פחות מקובל השימוש בצורת יחיד.
חריג נוסף קיים שמות לועזיים לציון מידות ומשקלות, (מטר, קילוגרם, דונם, דולר, וכדומה) בהם מקובלת צורת היחיד גם במספרים עד עשר.
לדברי רוביק רוזנטל "בעברית החדשה יש ערבוב כמעט מלא בין שתי החלופות, בעיקר מ-11 ואילך".
כמו כן, גם במקורות ניתן למצוא הרבה יוצאים מן הכלל ל"כלל הגדול" – שימוש בצורת הרבים למספרים גדולים מעשר.
השימוש בכלל הגדול גם יוצר צירופים שלא נשמעים נכונים לדוברי העברית.
לכן, רוזנטל מציע להשתמש גם בצורת היחיד וגם בצורת הרבים עבור מספרים גדולים מעשר.
בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני , שהוא סופי בצד החזקות השליליות , ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות.
במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות.
אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר , וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה.
עשויים המקדמים להיות מספרים שלמים כלשהם.
אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח , והצגה זו היא יחידה.
על כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים.
מבין מספרים ה-p-אדיים, השלמים ה-p-אדיים הם הביטויים , שבהם אין חזקות שליליות של .
בין מספרים ה-p-אדיים מגדירים מרחק לפי חזקת הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר.
באופן פורמלי, אם אזי , כאשר .
תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים הולכים ונעשים קטנים יותר.
בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה היא השואפת לאפס.
היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת.
לפי ההגדרה, המקדמים בהצגה כטור חזקות הם חיוביים, ולכאורה אי אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדיים.
נחבר לו את המספר 1, ונקבל
שכן ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה.
במקרה הכללי מתקיים כי .
אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של מתכנס במטריקה ה-p-אדית).
כעת, כל מספר שלילי ניתן להציג כמכפלה של ההצגה ה-p-אדית של בהצגה ה-p-אדית של .
כל מספר רציונלי ניתן להציג באופן יחיד בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית).
אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור מתכנס, וסכומו על פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים .
לכן הסכום לעיל מתכנס ל- .
השבר המצומצם הוא שלם p-אדי, אם ורק אם אינו מחלק את המכנה .
למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי.
כאשר , ו- הוא מספר שלם זר ל- ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל- שורש p-אדי אם ורק אם הוא שארית ריבועית מודולו .
בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מאחר שלמספר השלילי תמיד יש שורש p-אדי.
חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים.
הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד.
על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי.
ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה:
כך שלכל מתקיים (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו ).
כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא:
או באופן שקול, המעבר מ- ל- נעשה על ידי .
נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי.
עבור ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים .
אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל.
למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: ).
זהו חוג עם אפס ויחידה .
יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה.
שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן .
גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל.
מעבר בין ההצגה כטור חזקות להצגה כגבול הפוך
נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך:
כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא:
בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא:
כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל ).
שדה המספרים וחוג השלמים ה-p-אדיים
קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הנקרא שדה המספרים ה-p-אדיים.
אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב-, מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים.
לשדה המספרים ה-p-אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים.
למשל, כדי להוכיח כי למשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה.
כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר .
אוסף ההעתקות הרציפות מ- למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה .
מספר 23 הוא סרט מתח, בכיכובו של ג'ים קארי, שיצא לאקרנים ב-23 בפברואר 2007 בארצות הברית.
הסרט בוים על ידי ג'ואל שומאכר, ונכתב על ידי פרנלי פיליפס.
עלילת הסרט מבוססת על אדם המגלה אובססיה למספר 23.
גיבור הסרט הוא וולטר ספארו, שלפרנסתו תופס בעלי חיים.
ביום הולדתו הוא נקרא לתפוס כלב, ולאחר מרדף הוא מאבד אותו בבית קברות.
אשתו, אגת'ה, קונה לו ליום הולדתו ספר הנקרא "המספר 23" מאת "טופסי קרטס".
ספארו קורא את שני הפרקים הראשונים של הספר, ומגלה נקודות דמיון רבות בינו לבין הדמות הראשית, פינגרלינג.
אט אט, הוא מתחיל לפתח אובססיה לגבי המספר 23. הוא מגלה את המספר במקומות שונים וחולם עליו.
הוא מנסה לחקור לגבי מקור הספר, ומגלה שהמחבר הוציא אותו בעצמו וכי זה ספרו היחיד.
ספארו חולם שכמו גיבור הספר הוא רוצח את בת זוגו.
הוא נוסע למלון ומבקש לשכור את חדר 23, ובו הוא ממשיך לקרוא ומגלה שהספר מסתיים בפרק 22. בפרק זה, גיבור הספר מתלבט אם להתאבד בקפיצה מהמרפסת.
למחרת ספארו רואה מחלון המלון את הכלב שברח לו, ושוב הוא רודף אחריו לבית הקברות.
הוא יורה בו חץ הרדמה ואז פוגש כומר ואת גנן בית הקברות שאומרים לו שהכלב שוהה לעיתים קרובות לבית הקברות ויושב ליד הקברים, ובמיוחד ליד זה של לורה טולינס, קורבן רצח שגופתה מעולם לא נמצאה.
הוא מוצא ידיעה בעיתון אודות פרשת הרצח, שדומה גם היא לעלילת הספר.
ספארו נוסע לבית הכלא על מנת לפגוש את הרוצח, בו הוא חושד שכתב את הספר תחת שם עט.
הרוצח טוען שלעולם לא היה עושה דבר כזה, ולא היה בוחר שם כמו "טופסי קרטס", שנשמע כמו "טופ סיקרטס" (סודות כמוסים).
בנו של ספארו, רובין, מגלה כתובת בצדו האחורי של הספר, והם שולחים אליה 23 חבילות, כדי לתפוס את הסופר מחוץ לביתו.
טופסי קרטס נבהל בראותו את ספארו, טוען שספארו אמור להיות מת, ומתאבד בחיתוך צווארו.
אגת'ה מוצאת תעודה מזהה של מוסד פסיכיאטרי שבה מזוהה האדם כדוקטור סיריוס לירי והולכת למוסד.
היא מגיעה למשרדו של לירי, שבו היא רואה חישובים עם המספר 23 על הקירות וקופסה עם שמו של וולטר.
באותה עת וולטר ורובין ממשיכים לבחון את הספר ומוצאים הודעות מוצפנות ובעקבותיהן הם הולכים לפארק קזנובה.
הם יורדים בגרם מדרגות שמכונה "מדרגות לגן העדן", ובתחתיתו הם חופרים באדמה ומוצאים שלד.
כשהם חוזרים לשם עם שוטר הם מגלים שהעצמות נעלמו.
אגת'ה מגיעה לשם והם נוסעים לביתם ובדרך הם רואים את הכלב על הכביש.
וולטר מנסה לדרוס אותו, ובסוף אגת'ה תופסת את ידו והוא עוצר רגע לפני פגיעה.
כשהיא נוגעת בו הוא רואה שיש אדמה על היד שלה.
בבית הוא מתעמת אתה ומאשים אותה בגנבת העצמות ובכתיבת הספר.
היא מודה שהעבירה את העצמות כדי להגן עליו, מפני שלטענתה הוא כתב את הספר בעצמו.
היא מראה לו את תוכן הקופסה שמצאה במוסד הפסיכיאטרי: קומיקס על בלשים, כתב היד של "המספר 23" עם שמו של וולטר עליו וסקסופון, הכלי שבו מנגן פינגרלינג בספר.
כמו כן, היה בקופסה צמיד רגל שהיה שייך ללורה טולינס.
ספארו חוזר למלון ותולש את הטפט מהקיר, ומגלה שכתוב על הקיר הפרק ה-23 של הספר.
בפרק מוסבר שהסיפור היה וידויו של וולטר והוא נזכר בהתאבדות אביו אחרי מות אמו.
וולטר אהב את לורה טולינס ופיתח אובססיה למספר 23 בעקבות הופעתו בפתק ההתאבדות של אביו.
הוא הזהיר את טולינס מפני המספר 23 לאחר שהיא התחילה לשכב עם המרצה שלה.
הם התעמתו והוא רצח אותה וקבר אותה בפארק.
המרצה של טולינס נכנס לחדר שבו נרצחה, הרים את הסכין, השאיר עליו את טביעות האצבעות שלו וידיו הוכתמו מהדם.
וולטר הלך למלון, כתב בחדר 23 את הספר ואת הפרק האחרון הוא כתב על הקיר.
בסוף הכתיבה הוא קפץ מהמרפסת.
הוא נשאר בחיים אך נפצע באורח חמור ואיבד את הזיכרון.
במוסד הפסיכיאטרי שבו אושפז, ד"ר לירי הדפיס את הספר שכתב ספארו ופיתח בעצמו אובססיה למספר 23. בצאתו של ספארו מהמוסד הוא פגש את אגת'ה.
וולטר מסגיר את עצמו למשטרה, המרצה של לורה טולינס משתחרר וגופתה מובאת לקבורה.
למרות שהוא נשלח למאסר, וולטר מרגיש אופטימי.
הוא חושב שהושג צדק, אך נדמה כי בריאותו הנפשית עדיין מעורערת.
בסוף הסרט מוצג חלק מפסוק 23 בפרק ל"ב של ספר במדבר: "ודעו חטאתכם אשר תמצא אתכם".
ג'ים קארי - וולטר ספארו \ הבלש פינגרלינג
וירג'יניה מדסן - אגתה ספארו \ פבריציה
לוגאן לרמן - רובין ספארו
דני יוסטון - אייזק פרנץ'
בספרות, מְספר הוא הקול או הדמות המובילה את הסיפור.
מאחר שסיפור הוא ייצוג של עולם (ע"ע: נרטולוגיה), פעמים רבות יש בו מייצג, דמות המתווכת בין העולם המיוצג לבין הקורא.
בספרים רבים יש יותר ממספר אחד.
ברומן מכתבים, לדוגמה, יש בדרך כלל לפחות שני מספרים.
סיפורים כאלו נקראים סיפורים פוליפוניים (מלטינית פולי - ריבוי, פון - קול).
המקביל למספר בעולם השירה הוא הדובר.
מספר כל יודע - מספר הנמצא מחוץ לעולם שעליו הוא מספר, ומסוגל לשוטט בזמן ובחלל כרצונו.
תוך כדי הסיפור הוא מסוגל לתאר את המחשבות והרגשות של גיבוריו, את המצבים הנעלמים מעיני אחרים ואת העבר והעתיד של הדמויות.
המספר הכול יודע מספר הכול ברמה האובייקטיבית, הוא יודע הכל בוודאות, ולעולם אינו תוהה על דבר זה או אחר.
(לדוגמה: "ולפתע נכנס לחדר אדם, שכנראה היה חברו של הילד." המספר הכול יודע לעולם לא ישער/יתהה לגבי הדמות, הוא מספר כל יודע - הוא יודע בוודאות שזהו חברו של הילד, לכן יכתוב: "ולפתע נכנס לחדר אדם, הוא היה חברו של הילד".)
מספר חיצוני - מספר הצמוד לנקודת המבט של אחת הדמויות: המחבר מתאר את המראות מנקודת מבט של אחת הדמויות.
הוא מספר את הסיפור מנקודת הראייה המצומצמת שלה.
דמות זו אינה חייבת להיות דמות מרכזית.
מספר בלתי מהימן - מידת המעורבות כמו גם מאפיינים אחרים (למשל: רמת ההשכלה, מידת השפיות, התגלות סתירות בדברי המספר ועוד) יכולה להשפיע על מהימנותו של המספר.
מספר בלתי מהימן הוא מספר העשוי להסתיר את האמת ולמסור עובדות ודעות שאינן מוכחות ביצירה, והמחבר המובלע מתנגד לדעותיו.
מספר דמות - מספר המהווה חלק מעולם הסיפור, ומתוכו מספר אותו.
מספר עד - המספר מספר על דמויות שפגש או על אירועים שחווה ולפיכך הוא מעורב בסיפור.
מעורבות זו מקנה לו עמדה מסוימת ואינה מאפשרת לו להיות נייטרלי.
הוא מצוי בתוך הסיפור, ולכן ידיעתו מוגבלת.
מספר גיבור - זהו למעשה מספר-עד המעמיד את עצמו בתור הגיבור המרכזי.
המספר הגיבור מספר את הסיפור בגוף ראשון.
הוא עשוי להגביה את עצמו, לגמד את דמותו או לתאר את חייו הפנימיים בפירוט רב.
מידת המעורבות של המספר מתחלקת גם היא לשני סוגים:
מספר בלתי מתערב - מספר המשתדל להיות נייטרלי ואובייקטיבי ככל האפשר.
הוא אינו נוקט עמדה מוצהרת בסיפור.
מספר מתערב - מספר הנוטה להביע את עמדתו כלפי הדמויות או ההתרחשויות בסיפור הקצר.
הוא עשוי לפרש התנהגות הגיבורים לפי ראות עיניו.
יש שהוא מעדיף דמות אחת על פני הדמויות האחרות.
ההבחנה המקובלת ביותר היא בין מספר בגוף ראשון, מספר בגוף שני או שלישי.
מספר בגוף ראשון - המספר הוא דמות בסיפור, לעיתים הגיבור ולעיתים עד למאורעות.
המספר הזה אופייני לחלקים בספרות הפסיכולוגית של המאה ה-19 והמאה ה-20. דוסטויבסקי, למשל, משתמש במספר כזה בחלקים מהרומן "החטא ועונשו" כדי לתת חלון לתוך המוח החולה של דמותו.
מספר בגוף שני - המספר פונה לדמות אחרת, לעיתים הקורא עצמו, בגוף שני, נוכח.
הסגנון הזה אופייני בעיקר בספרות פוסט מודרנית למשל ברבים מספורי אתגר קרת, ובספרות אימה, למשל סדרת ספרי הילדים צמרמורת.
השימוש הנוסף למספר בגוף שני הוא בספרות מכתבים.
מספר בגוף שלישי - המספר אינו חלק מהעולם המיוצג, והוא מדבר על הדמויות בגוף שלישי.
הסגנון הזה הוא הסגנון הקלאסי, והשכיח ביותר, ניתן למצוא אותו באין ספור סיפורים.
המספר בגוף שלישי לרוב יודע את כל מה שיש לדעת בסיפור, והוא נקרא לעיתים גם מספר כל יודע.
הספרות הפוסט מודרנית חולקת על ההבחנה בטענה שהיא מיושנת ומגבילה, ושאין שום סיבה לא לשבור אותה, שהרי אין מגבלה של ממש שמחייבת את המאפיינים של המספרים.
ויין בות', בספרו The Rhetoric of Fiction, ערער על הבחנה זו.
לטענתו, מדובר בהבחנה רדוקטיבית ומטעה.
ראשית, אין הכרח שמספר הנמצא מחוץ לעולם המיוצג (מספר בגוף שלישי) לא ישתמש בגוף ראשון, וידבר על עצמו.
כך, למשל, המספר ב"קורות טום ג'ונס" של פילדינג מתייחס לעצמו בגוף ראשון, מבלי שהוא יהיה חלק מהעולם המיוצג.
הבחנה זו מניחה שישנם שלושה סוגים כלליים של מספרים, ושלכל סוג תכונות משלו.
כך, למשל, מספר בגוף ראשון אינו יכול להיות "כל יודע", והוא תמיד מוגבל בידיעתו.
כמו כן, נטען רבות כי מספר בגוף ראשון הוא מספר בלתי מהימן.
ייתכנו ספרים בהם המספר הוא דמות בעולם, ועדיין זו תהיה כל יודעת ומהימנה לגמרי.
במקום הבחנה זו, מציע בות' הבחנה מורכבת יותר.
המספר נמדד בהתאם לתכונותיו הספציפיות ביצירה, ובהתאם ל"מרחק" שלו מן המחבר המובלע (סך הנורמות והערכים העולים מהספר) ומן הקורא.
כך, למשל, מספר יכול להיות שונה מן המחבר המובלע בנורמות המוסריות שלו, אולם קרוב אליו בנורמות ותכונות אחרות, כמו, למשל, ידיעה או נורמות סגנוניות (בדומה להומברט ב"לוליטה").
בעיני בות' וממשיכיו, מספר בלתי מהימן אינו בהכרח מספר שאינו כל יודע.
מספר בלתי מהימן הוא מספר שמרוחק מהמחבר המובלע בנורמות שלו ובערכיו.
כלומר, מספר המחזיק בנורמות וערכים שונים מאלה העולים מן הספר.
כך, למשל, בסיפור "גימפל תם" של יצחק בשביס-זינגר המספר הוא גיבור הסיפור, המודה בטיפשותו בעצמו.
אולם הסיפור כולו מקדם נורמות וערכים אחרים, שגימפל שותף להם.
עם זאת, לעיתים קרובות המספר והמחבר המובלע מחזיקים במספר נורמות וערכים דומים, אולם רחוקים זה מזה בנורמות וערכים אחרים.
כאמור, "לוליטה" היא דוגמה טובה, אולם יש דוגמאות נוספות כאופרה הצפה של ג'ון בארת'.
שיפוט מהימנותו של המספר, אם כן, נעשה ביחס לעמדותיו של המחבר המובלע.
מספר בלתי מהימן הוא מספר שבינו לבין המחבר המובלע יש יחס אירוני.
מדובר במהלך מורכב, מאחר שעמדות המחבר המובלע מוסקות על ידי הקורא מקריאת הסיפור, שמסופר, כזכור, על ידי המספר.
לעיתים נוצרות בשל כך טעויות פרשניות.
אחד האמצעים העיקריים בהם משתמשים מחברים כדי לסמן את המספר כבלתי מהימן היא על ידי יצירת מרחק בין הנורמות שלו לבין הנורמות של הקורא.
ב"הצעה צנועה" של ג'ונתן סוויפט, מציע המספר לפתור את בעיית הרעב באירלנד על ידי מכירת ילדי העניים למאכל לעשירים.
הקורא מבין שמדובר במספר בלתי מהימן מאחר שהצעתו מנוגדת לערכים המוסריים בהם הקורא מחזיק.
מאחר שהקורא מניח שהמחבר מחזיק באותם ערכים, או ערכים דומים, הוא מניח שיש מרחק בין ערכי המספר לערכי המחבר המובלע.
יש הטוענים שפער כזה הוא פער בין ערכי המספר לבין ערכי "הקורא המובלע" (או: "האידיאלי" או "המשתמע").
בכך אפשר לחמוק מהבעיה שעלולה להיווצר כאשר המחבר הביוגרפי מודה בפירוש שכוונתו הייתה אמיתית.
כך, למשל, נאמר על שיר שנכתב כמתנה למלכה ויקטוריה במאה ה-19, שהוא אירוני ובעצם מבקר את המלכה.
המחבר הביוגרפי, עם זאת, טען שהוא התכוון לכל מילה.
כאן היה מועיל לדבר על פער בין ערכי הקורא לערכי המספר, ולא על פער בין המחבר המובלע לערכי המספר.
במקרים מסוימים המחבר מבקש להעלות על נס נורמות וערכים השונים מערכי הקורא, ולכן עליהם לעמול כדי להציג את המספר כמהימן, לבנות מעין "מערכת פיצויים".
אחת הדרכים העיקריות לעשות זאת, היא ליצור מספר החופף בחלק מערכיו לאלו של הקורא, ושונה בחלק מערכיו.
הערכים אותם מבקש המחבר לקדם מוצגים כהכרחיים.
כך, לדוגמה, מאיר שטרנברג טוען שב"אודיסיאה" להומרוס, מוצג אודיסיאוס בחלק ניכר מהזמן כנוכל, דמות הרחוקה מאוד מזו של הגיבור ההומרי נוסח אכילס או הקטור.
אולם הקורא מגלה במהרה שדווקא ערמומיותו של אודיסיאוס מותירה אותו בחיים.
אותה ערמומיות היא גם זו שעזרה לאכאים לכבוש את טרויה.
סיפורו של אודיסיאוס אנלוגי במידה רבה לזה של אגממנון.
שניהם שבים לביתם לאחר מסע ארוך, ובשני המקרים נשותיהם מחוזרות.
בעוד שאגממנון לא שורד את המסע לביתו ונרצח, אודיסאוס שורד.
במקרים מורכבים אף יותר, מבקש המחבר להעלות על נס נורמות וערכים השונים מאלה של הקורא באמצעות מספר בלתי מהימן, מספר שחולק את הנורמות והערכים של הקורא.
במקרים אלה, המחבר מנסה להציג את העמדות המקובלות כבעייתיות.
הסיפור "סונטת קרויצר" של לב טולסטוי הוא אחת הדוגמאות הנדירות למקרה מעין זה: אף על פי שטולסטוי צירף לסיפור הקדמה, בה הוא מסביר במפורש שהמספר מהימן, פרשנים רבים חלוקים בנוגע לפרשנות הסיפור.
חלקם טוענים שטולסטוי ניסה ליצור מספר מהימן, אולם לא הצליח, והסיפור מקדם, למעשה, ערכים שונים מאלו שטולסטוי כיוון אליהם.
המבע המשולב הוא טכניקה בה מתערבבים שני מספרים.
לרוב, המספר בגוף שלישי מתערבב עם אחת מהדמויות.
כך למשל ב"סיפור פשוט" של ש"י עגנון אנחנו לומדים על אופייה של צירל לפי הדיבור שלה שנכנס לדיבורו של המספר: כאשר המספר מתאר את הסוציאליסטים כ"נוראיים" כי הם לוקחים את המשרתות בשעה חמש, ברור שצירל היא זו שחושבת כך.
אחד החוקים הבסיסיים בחקר הספרות הוא שאין לבלבל בין מספר לבין מחבר היצירה.
ראשית, מחברים רבים משתמשים במספרים השונים מהם באופן מהותי.
כך, למשל, המספר העיקרי בספר "לוליטה" של ולדימיר נבוקוב הוא הומברט הומברט, פדופיל מבוגר.
אמנם, נבוקוב והומברט דומים במאפיינים מסוימים - לשניהם, למשל, חיבה למשחקי מילים ולשפה עשירה - אולם אין הכרח להניח שנבוקוב היה פדופיל בעצמו.
לעיתים תכופות משתמש המחבר במספר שיצור אירוניזציה על דברים מסוימים, בכך שהוא יהיה קיצוני.
למשל כאשר מוצגת דמות קפיטליסטית בתור המספר, היא יכולה להיות קיצונית וגרוטסקית כל כך שכל הקפיטליזם יצא מגוחך.
האקלברי פין, גיבור ספרו של מרק טוויין, מבטא לאורך היצירה תודעת חטא מפותחת ואירונית במובהק על חלקו בבריחתו של העבד ג'ים.
כך, אף שאין בכל היצירה ביטוי מפורש של התנגדות למוסד העבדות, היצירה כולה מבטאת ביקורת חריפה על התודעה הדתית והחברתית המעוותת שמאפשרת אותו.
עם זאת, בז'אנרים שונים, כדוגמת אוטוביוגרפיה או רומן הווידוי, המספר ביצירה הוא המחבר.
בתקופה הרומנטית ההבחנה בין מספר למחבר טושטשה, אם כי במיוחד בשירה, אך גם בפרוזה.
הנחה לגבי מספר, שלפיה הוא מספר בלתי מהימן, היא בראש ובראשונה היפותזה.
קורא המניח מספר בלתי מהימן יצטרך להסביר מדוע בחר המחבר המובלע לשים את הדברים בפי מספר שנבדל ממנו בערכים, בנורמות ובאידאולוגיה.
לא ניתן ליצור רשימה ממצה של כל התכונות שניתן לייחס למספרים.
אולם ישנן מספר תכונות עיקריות, שבאמצעותן אנו שופטים מספרים ומתייחסים אליהם:
ידיעה – אחת ההבחנות המקובלות בנוגע למספרים היא ההבחנה בין מספר כל יודע למספר מוגבל.
לידע של המספר יש השלכות הן לגבי מהימנותו, והן לגבי צורת הסיפר.
יכולת – בדומה לתכונה הקודמת, גם תכונה זו היא איכותית.
במקרים רבים, מספר כל יכול מדגיש את בדיוניות היצירה, את העובדה שהוא מספר סיפור מומצא, שהוא זה ששולט בו.
במקרים אחרים הוא מדגיש את האבסורד שביצירה, או את הפן ההומוריסטי.
מסירה – מנחם פרי ומאיר שטרנברג במאמרם "המלך במבט אירוני", הדגישו כי יש הבדל בין מספר כל יודע למספר כל מוסר.
את הפער הזה נהוג לנתח במושגים של זמן סיפר וזמן סופר.
מודעות לתקשורת – בספרו Expositional Modes, טוען מאיר שטרנברג כי תכונה זו מהותית להבנת המספר.
מודעות המספר לכך שהוא צד אחד בתקשורת, גורמת לו לספר דברים באופן שונה מאשר אילו הוא לא היה מודע לכך.
זרם תודעה הוא דוגמה לסוג ספרות בו המספר אינו מודע לתקשורת.
המספר חושב, והוא אינו יודע שמחשבותיו גלויות לפני הקורא.
שטרנברג מבחין בין מספר, שהוא מספר המודע לתקשורת, לבין אינפורמנט, מספר שאינו מודע לתקשורת.
אירוניה – הבחנה איכותית נוספת היא אם המספר הוא מספר ישיר או אירוני.
כלומר אם המחבר המובלע משתמש במספר כדי להעביר ישירות את המסר, או שהוא משתמש בו כדי להגחיך אלמנט מסוים וכך ליצור מסר קצת יותר מורכב.
קיימות גם תכונות נוספות, יחסיות: השכלה, סגנון כתיבה, ערכים מוסריים וכדומה.
אחת הדרכים להתייחס למספר היא כאל ציטוט של המחבר.
חיבור בין הפרספקטיבה הלשונית, האידאולוגית, האסתטית וכו' של המספר המצוטט לבין הפרספקטיבה של המספר המצטט.
לפי תאוריה זו, המחבר מצטט את המספר.
תאוריה זו אינה שונה בהרבה מזו שמציג וויין בות', אולם היא ממקמת את התאוריה של המספר בתוך הקשר רחב יותר, ויש לכך יתרונות.
המחבר מצטט את המספר, שמצטט בעצמו את הדמויות.
נוצרת שרשרת ציטוטים, כאשר בין כל מצטט למצוטט יש יחסים טלאולוגיים (יחסים תכליתיים – המחבר מצטט את המספר למטרותיו, והוא מצטט את הדמויות למטרותיו וכן הלאה).
ג'ון בארת' אף דואג להדגיש את העובדה שממספר בציטוט על ידי הוספת מירכאות כפולות, משולשות ומרובעות לכל משפט.
שטרנברג טוען כי תכונותיו של המספר הן בעלות השפעה מכרעת על הנרטיב.
מספר כל יודע לא צריך להסביר מאין השיג את ידיעותיו.
עם זאת, יש למספר מסוג זה חולשה חשובה אחת - הקורא שואל את עצמו מדוע המספר בוחר לא להיות כל מוסר.
אינפורמנט, כלומר מספר שאינו מודע לתקשורת, אינו חייב להסביר דברים מסוימים.
בדרך כלל, בסיפור המסגרת המספר מודע לתקשורת, והוא טוען שמצא את היומן, ועתה הוא מפרסם אותו לרווחת הכלל.
במקרים אחרים, המספר מגביל את נקודת התצפית שלו לזו של הגיבור לאורך כל הסיפור, והאקספוזיציה נמסרת בהדרגה, כחלק מהעלילה.
כך המספר חופשי למסור את העבר כחלק ממחשבות הדמות בהווה.
במתמטיקה, מספר מחלק-הרמוני, או מספר אור (Ore), ולעיתים אף מספר אור-הרמוני, על-שם המתמטיקאי הנורווגי אייסטיין אור (Øystein Ore) שהגדיר את המספרים הללו בשנת 1948, הוא מספר טבעי חיובי שהממוצע ההרמוני של המחלקים שלו הוא מספר שלם.
לדוגמה, 6 הוא מספר אור, משום שיש לו ארבעה מחלקים, 1, 2, 3, ו-6 עצמו, שהממוצע ההרמוני שלהם הוא מספר שלם:
גם כאן התוצאה היא מספר שלם, ולכן גם 140 הוא מספר אור.
אור הבחין שלכל מספר שלם כלשהו , מכפלת הממוצע ההרמוני והממוצע החשבוני של מחלקיו שווה ל- עצמו.
מכאן נובע ש- הוא מספר אור-הרמוני אם ורק אם הממוצע (החשבוני) של מחלקיו מחלק את .
אור הראה שכל מספר מושלם הוא גם אור-הרמוני.
כדי להיווכח בכך, נשים לב שסכום כל המחלקים של מספר מושלם הוא בדיוק .
לכן, הממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא , כאשר הוא מספר המחלקים של .
לכל , הוא מספר אי-זוגי אם ורק אם הוא מספר ריבועי, מכיוון שאחרת ניתן לזווג לכל מחלק של , מחלק שונה ממנו - .
אך מספר מושלם אינו יכול להיות מספר ריבועי.
הדבר נובע מהצורה הידועה של מספרים מושלמים זוגיים ומהעובדה שלמספרים מושלמים אי-זוגיים (אם הם קיימים) חייב להיות גורם מהצורה , כאשר .
לכן, עבור מספר מושלם כלשהו , הוא זוגי והממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא .
אור שִׁיער ש-1 הוא המספר האי-זוגי היחיד שהוא גם אור-הרמוני.
אם ההשערה נכונה, פירוש הדבר הוא שלא קיימים מספרים מושלמים אי-זוגיים.
Mills הראה שלכל מספר אור אי-זוגי הגדול מ-1 חייב להיות גורם ראשוני שחזקתו גדולה מ-107, ו-Graeme L.
Cohen הראה שלכל מספר כזה יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים שונים.
Cohen, Takeshi Goto ואחרים, כולל אור עצמו, החלו להשתמש במחשבים כדי לחפש מספרי אור קטנים.
תוצאות החיפושים הללו הם רשימות של כל מספרי אור עד לבערך 2×109, ושל כל מספרי אור שהממוצע ההרמוני של מחלקיהם הוא 300 לכל-היותר.
אם הוא מספר אור-הרמוני שאינו מתחלק בשום מספר ריבועי, אז או .
אם הוא מספר שקול ל-3 (mod 4), אז הוא לא אור-הרמוני.
אם הוא מספר אור-הרמוני וגם מכפלה של שתי חזקות של מספרים ראשוניים, אז הוא מספר מושלם זוגי.
מספנות ישראל בע"מ היא המספנה הגדולה בישראל, ונוסף על כך היא מפעילה נמל פרטי, עוסקת ביבוא מלט ומספקת שירותי תובלה.
מתקני החברה ומשרדיה ממוקמים בחלקו המזרחי של נמל הקישון בחיפה, על שטח של 335 דונם שנחכר מחברת נמלי ישראל.
לרשות החברה רציף באורך של 900 מטרים עם מים בעומק של 12 מטרים.
חברת האם של המספנה, חברת "תעשיות מספנות ישראל בע"מ", היא חברה ציבורית שמניותיה נסחרות ב.
ב-1956 הקים מנכ"ל משרד הביטחון, שמעון פרס, ועדה שתדון בדרכים להקמת מספנה לבנייה ותיקון אניות בארץ.
ראש מספן הציוד בחיל הים, אלוף-משנה אברהם זכאי, שלמד הנדסת אוניות במכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס, מונה כיועץ טכני של הפרויקט.
הוועדה הגישה ביולי 1956 סיכום והמלצות על הדרך שבה יש לנקוט להקמת המספנה.
ביולי 1957 נשלח זכאי לביקור במספנות באירופה כדי לברר וללמוד נושאים הקשורים להקמת המספנות.
ב-2 בדצמבר 1957 סיים זכאי את תפקידו במספן הציוד ומונה למנהל הטכני של צוות ההקמה.
זכאי ערך הכנות להקמת המספנות כולל ניתוח כלכלי.
חברת מספנות ישראל הוקמה באופן רשמי בשנת 1959 כחברה ממשלתית, כאשר ישראל ליברטובסקי מונה למנהל המספנה הראשון (ושימש בתפקיד עד 1981).
ליברטובסקי יצא לסיור לימודי באירופה עם צוות ההקמה, ביקר במספר מספנות וביקש הצעות לסיוע בהקמתה.
במקביל משלחת מיפן הגישה הצעה להקים את המספנות עבור מדינת ישראל.
לאחר שנבדקו מספר הצעות, במרץ 1959 התקבלה ההצעה של מספנת דה-סכלדה (De Schelde) ההולנדית לספק את הידע לבנייתה, לאחר משא ומתן של מספר חודשים אישרה ועדת השרים לכלכלה את ההסכם שנחתם באוגוסט 1959. עלות ההקמה הוערכה בכ-40 מיליון ל"י, היא תוכננה להעסיק כ-2,000 עובדים ונועדה לבנות ולתחזק כלי שיט אזרחיים.
בפברואר 1960 הוגשו התוכניות לאישור, והחלו בהכנת המכרזים.
באוגוסט 1960, הסכימה הולנד לתת הלוואה להקמת המספנה ופורסם מכרז להקמת הרציפים.
בנובמבר 1960, נחתם חוזה עם חברת בריטית להקמת מבני המספנה.
חברת סולל בונה זכתה בחוזה לחפירת המעגנה של המספנה.
טקס הנחת אבן הפינה למספנה נערך ב-26 בינואר 1961 בנוכחות שגריר הולנד בישראל.
הקמת המספנה לוותה בסכסוך עם חברת "הימה", שהוקמה על ידי ישראל קירשטיין שהיה אדריכל ימי מוכר עוד בימי המנדט, והייתה בבעלות משותפת של סולל בונה וצים.
"הימה" הפעילה כבר מספנה קטנה בצידו השני של נמל הקישון ועסקה בהרחבתם באותה עת.
תחילה דובר ש"הימה" תפעיל ותנהל גם את מספנות ישראל, בשותפות שווה עם ממשלת ישראל, אך לבסוף ממשלת ישראל החזיקה במלוא הבעלות ואף הוחלט להעביר את המבדוק הקיים בנמל חיפה לחזקת מספנות ישראל.
פתרון נוסף שהוצע היה למזג את שתי החברות.
ביוני 1962 אושר מיזוג "הימה" "מספנות ישראל", והסכם המיזוג נחתם בספטמבר 1962.
במהלך שנת 1962 נחתמו החוזים הראשונים לבניית ספינות במספנה, שתי ספינות משא עבור צים ושלוש ספינות מתוך הזמנה של תריסר עבור חברת הספנות "סלע", כקבלן משנה של מספנה הולנדית.
התוצרת הראשונה שייצא מהמספנה כללה דוברות עבור מפעלי ים המלח ונחתת עבור חיל הים.
טקס מסירת הנחתת (כלי השיט הראשון שהמספנה בנתה), אח"י עציון גבר פ-51, נערך ב-24 בינואר 1963, בנוכחות מפקד חיל הים יוחאי בן-נון, סגן שר הביטחון שמעון פרס ושר התחבורה ישראל בר-יהודה.
פרויקט נוסף שביצעה ב-1963 היה פירוק אוניית נוסעים ישנה של צים.
טקס השקת האונייה "אסתר", האנייה הראשונה שנבנתה במספנות, נערך ב-7 באפריל 1964. "אסתר" הייתה אוניית משא, במעמס של כ-3,000 טון, שנבנתה עובר צים אולם לאחר שלוש שנות פעילות המספנה לא עמדה בציפיות וחברת צים סרבה למסור עבודות תחזוקה ותיקונים למספנה, עקב המחיר הגבוה והתפוקה הנמוכה.
גם ההזמנה של חברת הספנות "סלע" בוטלה.
עם זאת, בדצמבר 1965, הושקה "חנה", אוניית משא שנייה שנבנתה עובר צים.
בינואר 1966 פרסם מבקר המדינה דו"ח ביקורת על המספנות, שעיקרו היה ביקורת על הניצול חלקי של כושר הייצור ועל הפסדים צבורים של עשרה מיליון ל"י.
בשנים 1968–1970 הפכה המספנה רווחית לראשונה.
בין כלי השיט שבנתה באותן שנים היו שש גוררות עבור רשות הנמלים, שתי דוברות תדלוק עבור חברת "פי גלילות", מחפר צף למפעלי ים המלח ומבדוק צף עבור יוון.
בשנות ה-70 נבנו במספנה אוניות קטנות, כלי שיט צבאיים (ובהם ספינות טילים מדגם "סער 4") בהובלתו של חיים שחל ומבדוקים.
לשיא פעילתה הגיעה החברה באמצע שנות ה-70, אז העסיקה כ-1,000 עובדים.
בנוסף לתחום הימי עסקה החברה גם בעבודות מתכת שונות בנצלה את מתקניה ואת כוח האדם המיומן שלה.
בתחילת שנות ה-80 נקלעה החברה לקשיים כלכליים לאחר שהיקף ההזמנות מישראל ומחוצה לה ירד בשיעור ניכר, החברה לא מצאה פתרון למצב זה וספגה הפסדים כבדים.
רק ב-1984 הכינה החברה הצעה לתוכנית הבראה תלת שנתית ששני הצעדים המרכזיים בה היו צמצום כוח האדם וקבלת תמיכה ממשלתית לבניית אוניות.