tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
ב-10 בספטמבר 1825, הימאי האוסטרלי ג'ון הנרי רו John Henry Rowe, הגיע בספינתו ג'ון בול, לקרבת האי אך לא נחת עליו מכיוון שסביב ספינתו התאספו סירות קאנו מקומיות.
התיאור המפורט הראשון של האי ותושביו הוצג על ידי החוקר הרוסי פיודור ליטקה, שספינתו Senyavin העניקה לקבוצת האיים פונפיי, אנט ופקין את שמה איי סניאבין.
בין ה-14 ל-19 בינואר 1828, סירותיו ניסו לנחות על האי, אך לא הצליחו בשל העוינות שהפגינו תושבי האי, כשבמקביל עלו ילידים על סיפונה של הסניאבין.
על כך כתב פון Kittlitz, חבר במשלחת ליטקה .
פון Kittlitz, ערך תיאור נוסף, שכלל את החורבות שעל החוף של נאן מדול, הדוחות שלו סיפקו את הידע האמיתי הראשון על פונפיי.
לא ברור מי היו המבקרים הבאים; עם זאת, כאשר קפטן JH Eagleston מהספינה פרו ראה את האי ב-3 בינואר 1832, בכתובים שלו הוא קרא לאי כ"אי אסנסיון".
ריזנברג כתב כי לא ברור מי היה הראשון שקרא לאי לראשונה בשם אסנסיון Ascension Island, אך השם התקבע עד לתקופה הספרדית.
על פי היומן של הפריגטה השוודית יוג'יני, החל מאמצע המאה ה-19, ספינות ציד ומסחר הגיעו במספרים הולכים וגדלים.
מהר מאוד התבססה על החוף , שזוהו כ"דמויות רעות בעיקר".
המיסיונר הראשון שהגיע לאי היה האב לואיס דזירה מאיגרט, כומר קתולי.
ב-29 ביולי 1838, הוא הפליג מהונולולו על הסקונר נוטרדאם דה פאיה לולפראיסו, לאחר שבעה חודשים לא מוצלחים, הוא נחת באי.
בספינתו היו "כמה פולינזים וטהיטיים", שחלקם נשארו בפונפיי והותירו צאצאים.
עשר שנים מאוחר יותר חזר האב לואיס דזירה מאיגרט לממלכת הוואי כבישוף של הונולולו.
ב-1852, קבוצה של מיסיונרים פרוטסטנטים מניו אינגלנד התבססה לצמיתות בפונפיי.
המכתבים והכתבים שלהם מכילים מידע רב על האי והם נשמרים באוניברסיטת הרווארד.
ירידה דרסטית בגודל אוכלוסייה באי התרחשה לאחר 1854, עקב מגפת אבעבועות שחורות.
במהלך מלחמת האזרחים האמריקנית, ספינות הצי של מדינות הקונפדרציה עצרו ותפסו את ספנות הסחר של היאנקים כדי לנטרל את המצור של היאנקים על הנמלים שלהם.
ב-1 באפריל 1865 הפתיעה הספינה CSS Shenandoah ארבעה ספינות של ציידי לווייתנים של היאנקים באי אסנסיון (פונפיי) והשמידה את כולם.
המלך המקומי, Nananierikie, שמח לקבל הרבה מהשלל מהפעולה הזו.
עד 1886 תבעו הספרדים את איי קרוליין שהיו חלק מאיי הודו המזרחית הספרדיים, מבסיסם במנילה והחלו לפטרל באזור ולהפעיל סמכות ריבונית.
הם הקימו בפונפיי את העיר סנטיאגו דה לה אסנסיון שבהמשך שמה הוסב לקולוניה, (בירת מדינת פונפיי, מהמילה קולוניה או מושבה בספרדית).
הספרדים בנו בקולוניה כמה מבני ממשל, מבצר, כנסייה ובית ספר.
מספר נזרים מהמסדר הקפוצ'יני הספרדי, נשלחו גם ממנילה לפונפיי כדי להטיף לאמונה הקתולית.
לאחר מלחמת ספרד-אמריקה ב-1898, האימפריה הגרמנית רכשה מספרד את קבוצת איי קרוליין תמורת 25,000,000 פזטות (כמיליון לירות שטרלינג) ב-1899 יחד עם איי מריאנה (למעט גואם) וארבע שנים לאחר מכן את איי מרשל תמורת 17 מיליון מארק זהב.
במהלך הממשל הגרמני בוצע שינוי מהותי בבעלות על הקרקעות בפונפיי וברחבי האיים הקרולינים.
החל משנת 1907 הוחלפה בהדרגה השיטה הפיאודלית.
היתרונות הכלכליים של הצ'יפים צומצמו ורק כוח המסורת העניק להם כח.
בעלי קרקעות חייבו במיסים חדשים, במקום תשלום, הם נאלצו לעבוד 15 ימים בשנה בפרויקטים ציבוריים, כגון בניית רציפים, בניית כבישים וכו'.
מפקד אוכלוסין מיוחד שנערך בסוף 1947 הראה שהאוכלוסייה הכוללת באי עמדה על 5,628 נפש, מתוכם 4,451 פונפייאנים ו-1,177 ילידי איים אחרים באוקיינוס השקט.
בהסכם ורסאי, יפן כמעצמה מנדטורית קיבלה בחזרה את השליטה על כל הרכוש הקולוניאלי הגרמני שנכבש במלחמת העולם הראשונה, באוקיינוס השקט, מצפון לקו המשווה, שכלל את פונפיי איי קרוליין, איי מרשל, איי מריאנה (למעט גואם בבעלות אמריקאית) ומפרץ קיאוטשו.
בשנים שלאחר מכן ובמהלך מלחמת העולם השנייה, כוח חיל המצב היפני באיים היה מורכב מכ-2,000 אנשי הצי הקיסרי היפני IJN בפיקודו של קפטן ג'ון נאיטו ו-5,984 אנשי הצבא היפני הקיסרי IJA בפיקודו של לוטננט גנרל מסאו ווטאנבה.
האי פונפיי נעקף והוכנס לסגר ימי על ידי הצי של ארצות הברית, במהלך הקרבות האמפיביים, במסגרת אסטרטגיית דילוג האיים בין השנים 1943–1945. מאידך, האי הופגז במספר הזדמנויות, כולל על ידי ספינות הקרב האמריקאיות, כמו גם במספר התקפות אוויריות.
לאחר מלחמת העולם השנייה, האזרחים היפנים הוחזרו ליפן על ידי הצי האמריקני.
ממשל ארצות הברית, תחת פיקוח של האו"ם
מדינות הפדרציה של מיקרונזיה קבלו עצמאות בשנת 1986 לאחר שנוהלו על ידי ארצות הברית בחסות האו"ם מאז 1947, כחלק מטריטוריית הנאמנות של איי האוקיינוס השקט.
הנקודה הגבוהה ביותר באי נמצא בפסגת בגובה 782 מטרים.
האם פונפיי הוא ביתם של כמה עשרות מיני ציפורים כולל ארבעה מינים אנדמיים.
הזוחלים היחידים הם כמה מינים של לטאות.
במקור היונקים היחידים באי היו עטלפים.
חזירים, חולדות וכלבים שהגיעו על גבי הספינות שנחתו באי לאורך השנים, הפכו לפראים עם השנים.
הלגונות עשירות בדגים, רכיכות, צבים ובעלי חיים ימיים אחרים.
פונפיי שייכת לאזור האקלים הטרופי של יערות הגשם (Koppen: Af).
זהו אחד המקומות הרטובים ביותר על פני כדור הארץ שכמות הגשמים השנתית הממוצעת עומדת על 4,775 מ"מ בעיירות לאורך החוף וכ- 7,600 מ"מ במקומות הרריים.
אוכלוסיית המדינה בשנת 2020 הייתה כ-36,832 נפש.
בעוד שרוב האוכלוסייה מחשיבה את עצמה כפונפייאים אתניים, האי פונפיי מגוון מאוד מבחינה אתנית מכל אי אחר ב-FSM.
הסיבה לכך נובעת בעיקר מפני שהאי היה תחת כיבוש קולוניאלי זר של מספר מדינות במשך יותר ממאה שנים.
דבר שהביא לאי אוכלוסיות שונות מספרד, גרמניה, יפן, צ'מורו, פיליפינים, ארצות הברית, אוסטרליה, מערב אירופאים ואחרים, בנוסף באי נמצאת בירת הממשלה הפדרלית הלאומית של מיקרונזיה בעיר פליקיר, בה מועסקים מאות עובדי מדינה.
תושבים משלושה איים אחרים (מדינות אחרות בפדרציה המיקרונזית FSM) (יאפ, Chuuk, קוסראה) שהם בעלי מוצא אתני ותרבותי מובהקים שונים מילידי פונפיי.
המגוון הילידי כולל גם אוכלוסיות אתניות אזוריות מהאיים החיצוניים כגון תושבי האיים האוסטרליים.
מכאן, שהאי פונפיי הפך לכור ההיתוך של מיקרונזיה.
השפה הפונפיית (שנקראה בעבר "פונאפי") והדיאלקטים שלה הם השפות הילידיות של פונפיי.
ממשלת מדינות הפדרציה של מיקרונזיה משתמשת גם בפונפיית כשפה אזורית.
האנגלית והספרדית הן שפות רשמיות מדוברות באי.
האי מחולק ל-6 יחידות אדמיניסטרטיבות עירוניות:
, בצפון מערב, הכוללת את אטול פקין ואת פליקיר, בירת מיקרונזיה
בפנופיי יש תחנת טלוויזיה אחת בכבלים וחמש תחנות רדיו, שכולן ממוקמות בעיר קולוניה.
בעיר נמצא גם מטה רשות התקשורת של מיקרונזיה FSM Telecommunications Corporation, המספק כמעט את כל שירותי הטלפון והאינטרנט המקומיים והבינלאומיים.
לפני מלחמת העולם השנייה, מטוסים ימיים של חברת Dai Nippon Airways חיברו את נמל יוקוהמה, יפן עם האי.
משנת 2011 מתקיימות שלוש טיסות בשבוע מגואם וארבע טיסות בשבוע מהונולולו.
נמל התעופה הבינלאומי של פונפיי ממוקם באי Deketik, הנמצא צפונית-מערבית לעיר קולוניה.
נמל התעופה מקושר לקולוניה, בכביש שנסלל על גבי סוללת עפר המחברת בין שני האיים.
קוד שדה התעופה על פי IATA הוא PNI.
ספינות של השלטון הפדרלי מעבירות אספקה לכל האיים אחת לשלושה חודשים.
חברות ימיות בינלאומיות המקשרות את החוף המערבי של ארצות הברית עם אסיה עוברות דרך פונפיי.
הכביש המקיף את האי הוא באורך 85 קילומטרים.
סלילתו הושלמה בשנת 1986. אין תחבורה ציבורית באי, מאידך, מוניות שירות פרטיות מחליפות את התחבורה הציבורית.
החל מקיץ 2000 מקרונזיה שלחה ספורטאים למשחקי סידני שהשתתפו בתחרויות שטח, בשחייה והרמת משקולות.
הספורטאי הבולט ביותר של פונפיי הוא רץ המרתון אליאס רודריגז שהשתתף באולימפיאדת סידני.
רודריגס סיים אחרון בתחרות המרתון אך זכה לעידוד על ידי עשרות אלפי צופים כשהוא נכנס לאצטדיון האולימפי להקפה אחרונה רגע לפני טקס הסיום שנדחה כדי לאפשר לו את סיום הריצה.
את נבחרת הכדורגל הלאומית של פונפיי אימן מאמן הכדורגל הבינלאומי הצעיר בעולם, האנגלי.
ווטסון יזם והקים במיקרונזיה את תחרות גביע הקטרגל (פוטסל) השנתית, המתקיימת מדי שנה באי.
האי פונפיי (בשם Ponape) מוזכר במספר סיפורי אימה, פנטזיה ומדע בדיוני אמריקניים של הסופר ה.פ.
האי מוזכר בסיפור הקצר ב" Out of the Aeons " שיצא לאור בשנה 1935, מאת לאבקרפט והייזל הלד, הסיפור נכתב בהשראת חורבות נאן מדול, שכבר שימשו כרקע לסיפור מאת ובריכת הירח, שבה נקראים האיים נאן-מטאל.
פונפיי הוא מיקום מרכזי בספר השני בסדרת ההרפתקאות לילדים (1952), מאת הסופר האמריקאי-קנדי בהשתתפות האל ורוג'ר האנט, שהן דמויות דמיוניות.
האי פנופיי, או "Ponape" כפי שהוא מאוית, מוגדר כאי הבית של "מייק" בבלוג הפופולרי Dunce Upon A Time, שחיבר BC Woods.
ממערכת החינוך של פונפיי כוללת:
4 בתי ספר ממלכתיים ציבוריים.
5 בתי ספר תיכוניים פרטיים.
ההשכלה העל תיכונית מונגשת במכללת מיקרונזיה-FSM, שיש לה קמפוסים בכל אחת מארבע המדינות של פדרציית האיים.
הקמפוס הלאומי של המכללה נמצא בעיר הבירה פליקיר.
השלוחה באי יאפ כוללת גם את מכון הדיג והימים (FMI).
מוזיאון לידורקיני היה ממוקם בעיר קולוניה, עד לסגירתו בשנת 2012.
מדינת פונפיי (/ˈ p ɔː n p eɪ / ; באנגלית: Pohnpei State) היא אחת מארבע המדינות של פדרציית מדינות מיקרונזיה (FSM).
שטח המדינה 371.6 קילומטרים רבועים.
היא המדינה הגדולה ביותר מבין מדינות מיקרונזיה.
תקופהשניםתקופת הילידיםלפני 1825תקופה טרום ספרדית1825–1886תקופה ספרדית1886–1899התקופה הגרמנית1899–1914התקופה היפנית1914–1945תקופת ארצות הברית1945–1986תקופת העצמאותמאז 1986
ההיסטוריה הקדם-קולוניאלית של פונפיי מחולקת לשלוש תקופות: Mwehin Kawa או Mwehin Aramas (בערך 1100לספירה); Mwehin Sau Deleur (מ-1100 לערך עד 1628 לספירה); ו-Mwehin Nahnmwarki (מ-1628 לערך עד 1885 לספירה).
בפונפיי יש חורבות היסטוריות של ציוויליזציה מיקרונזית, עתיקה מהמאה ה-12, באתר נאן מדול.
ב-22 באוגוסט 1526, ביקר באיי קרוליין, (בתוכם נכלל האי פונפיי), חוקר הארצות הספרדי אלברו דה סאבדרה סרון.
ב-1 בינואר 1528, אלברו דה סאבדרה סרון, השתלט על האטול אוליטי בשם מלך ספרד.
מגלה הארצות והמושל הספרדי מיגל לופס דה לגאספי ביקר בארכיפלג בשנים 1542, 1543 1545 וב-1565.
המבקר האירופי הראשון בפונפיי היה מגלה הארצות והנווט הפורטוגזי בשירות ספרד, פדרו פרננדס דה קירוס, שפיקד על הספינה הספרדית סן ג'רונימו.
הוא ראה את האי ב-23 בדצמבר 1595; התיאור שלו קצר אף על פי שמעולם לא נחת עליו.
ב-10 בספטמבר 1825 האוסטרלי ג'ון הנרי רו, היה המבקר האירופי השני שביקר באי, כשספינתו ג'ון בול הגיעה לאי כשהיא מותקפת על ידי הילידים.
פונפיי, יחד עם איי סניאווין, נכללו במפות הניווט האירופיות לאחר שנצפו על ידי הנווט הרוסי פיודור ליטקה בשנת 1828. הספרדים קראו לאי בשם פונפיי והקימו את העיר סנטיאגו דה לה אסנסיון ששמה הוסב מאוחר יותר לקולוניה (מהמילה הספרדית מושבה).
המושבה הספרדית הייתה מורכבת מפקידים, אנשי צבא, מיסיונרים ופועלים פיליפינים.
קולוניה, ממוקמת במרחק של כ-4.5 קילומטרים מבירה פדרציית מדינות מיקרונזיה, פליקיר.
בשנת 1885, בהוראת ממשלת ספרד, אורגנה משלחת חדשה לפיליפינים, שהייתה אז מושבה של ספרד, כדי להמשיך בכיבוש הסופי של הארכיפלג איי קרולינה.
האי פונפיי, הנמצא בחלקו המזרחי של הארכיפלג, המשתרע על שטח של 2,000,000 קמ"ר באוקיינוס השקט, נבחר כמקום מושבו של המושל והממשל הספרדי ששלט על האיים שבמשולש מנילה-גואם-פונפיי.
המפקד פוסדילו (Isidro Mateo Posadillo) מונה לעמוד בראש המשלחת שהגיע לאי בסוף 1885. חיל המצב והציוד המינהלי שהוצבו באי היה דל.
בשנת 1887 הייתה התקוממות של הילידים באי, שרצחו את כל תושבי המושבה הספרדית שהוקמה.
על הכוחות שהרכיבו את המשלחת הספרדית הבאה פיקד המפקד דיאז וארלה (Diaz Varela).
מפקד נוסף מהצי, דון לואיס קדרסו אי ריי (Don Luis Cadarso y Rey), הצטרף למשלחת כמושל הארכיפלג.
הוא מת כעבור אחת עשרה שנים בקאוויט, גופתו הועברה לפונפיי על גבי ספינת הקרב האמריקאית אולימפיה, שהייתה ספינת הדגל של הצי האמריקאי.
האי פונפיי נכבש מחדש על ידי הספרדים בקרבות קשים עם המקומיים.
כל המבנים שהילידים הרסו נבנו מחדש.
גופתו של דון לואיס קדרסו אי ריי נקברה במבצר.
כאשר הילידים ראו את הנוכחות צבאית המוגברת באי, הם קיבלו על עצמם את הסמכות הספרדית.
שרידי מבצר אלפונסו ה-13, המכונה "החומה הספרדית", מתוארכים לתקופה הקולוניאלית.
לאחר מלחמת ספרד-אמריקה ב־1898, גרמניה קנתה את האי מספרד והאי עבר לריבונות גרמניה, במקביל שם המושבה הספרדית נקבע רשמית קולוניה.
האי פונפיי נכבש על ידי יפן במהלך מלחמת העולם הראשונה, שלאחריה חבר הלאומים הכריז שאיי הארכיפלג איי קרוליין הועברו לידי הממשל היפני, כחוב מלחמה של גרמניה, כמו גם איי מרשל ואיי מריאנה (למעט האי גואם, שהיה שטח בריבונות ארצות הברית).
הריבונות היפנית נמשכה בין השנים 1914 ל-1945.
מדינת פונפיי, הייתה מחוז בטריטוריית הנאמנות של איי האוקיינוס השקט, שהכיל בתחילה את האי קוסראה, שהיה עירייה במחוז.
בשנת 1977 האי קוסראה הפך למחוז נפרד.
בין השנים 1943 ל-1945, במהלך מלחמת העולם השנייה נעקפו האיים והיו תחת מצור של הצי והכוחות האמפיביים האמריקאיים.
מתקנים צבאיים יפנים שהיו בחופי האיים הותקפו במספר הזדמנויות, כולל הפצצות מסיביות של ספינות המערכה מסצ'וסטס (BB-59) ואיווה (BB-61), וכן תקיפה אווירית.
בתום המלחמה הפכו איי קרולינה לחלק מטריטוריית הנאמנות של איי הפסיפיק.
מדינות הפדרציה של מיקרונזיה זכו לעצמאות מלאה ב-1985. מאז, מדינת פונפיי נמצאת בחוזה הגנה עם ארצות הברית.
מדינת פונפיי ממוקמת באוקיינוס השקט בקצה המזרחי של ארכיפלג איי קרוליין.
היא נמצאת באמצע הדרך בין הונולולו למנילה.
שטח הקרקע (האדמה) של מדינת פונפיי הוא כ־344.5 קילומטרים רבועים.
המדינה כוללת בסך הכל 10 אטולים מארכיפלג איי קרוליין המרכזיים, כולל האי הראשי פונפיי (שהוא האי הגדול ביותר במיקרונזיה) עם יותר מ-30 האיים קטנים המקיפים אותו.
האיים והאטולים הכלולים במדינת פונפיי הם:
Minto Reef - בלתי מיושב (שונית אלמוגים השקועה ברובה).
עשרת האטולים כוללים בסך הכל כ-150 איים.
שטחה של המדינה הוא 344.5 קמ"ר, מתוכם 334 קמ"ר הם חלק מהאי הראשי פונפיי.
שלושת האטולים Pakin, Ant, Oroluk מהווים את איי סניאבין.
האטולים הנותרים מקובצים יחד כאיים חיצוניים.
באי פונפיי, למעט מישורי החוף, מדרונות דרדרת ומניפות סחף, רוב האי הוא אי געשי, הררי, יער גשם צפוף, שופע ומוריק, כשהפסגה הגבוהה ביותר שלו נמצאת בגובה 791 מטרים.
ביצות מנגרובים נרחבות נמצאות לאורך רוב החוף הנמוך.
האי הוא מעגלי, אורך היקף קו החוף, כ-130 קילומטרים.
המדינה מחולקת ל-11 רשויות, שש מהן נמצאות באי פונפיי, הכוללות גם את האטולים השכנים פאקין ואנט, כמו גם את האטולים הלא מיושבים אטול אורולוק ואטול מינטו שהוא ריף רחוק יותר בצפון מערב.
שני האטולים אורולוק ומינטו היוו עירייה נפרדת בשם אורולוק עד 1985, במפקד האוכלוסין של 1980 נפקדו בהם שישה נפשות בלבד.
חמש הרשויות הנותרות ממוקמות ב"איים החיצוניים".
בירת המדינה היא העיירה קולוניה הממוקמת באי פונפיי.
בירת פדרציית מדינות מיקרונזיה, היא העיירה פאליקיר, הנמצאת גם היא באי פונפיי.
על פי מפקד האוכלוסין לשנת 2021 נרשמו במדינת פונפיי 12 יישובים וכלל האוכלוסייה עמדה על 36,896 נפש.
להלן התפלגות האוכלוסייה לפי עיריות ויישובים:
אורולוק (ללא אוכלוסייה) מאז 1985 חלק מעיריית סוקהס)
הנצרות נהוגה באופן נרחב במדינה, כאשר 56% אחוזים מאוכלוסייה הזדהו כקתוליים במפקד של שנת 2000, ו-37 אחוז כפרוטסטנטים.
מדינת פונפיי היא אחת מארבע המדינות הפדרליות של פדרציית מדינות מיקרונזיה.
כפדרציה דמוקרטית, לכל מדינה יש את היכולת לחוקק חוקים ותקנות מקומיות המעניקים לממשל המקומי כוח רב של בתוך המדינה, כמו גם רמה מסוימת של ריבונות האופיינית למדינות פדרליות.
המנכ"ל של פונפיי הוא מושל המדינה.
בפונפיי בית המחוקקים הוא חד-בתי.
משרד החינוך הממלכתי של פונפיי מפעיל בתי ספר ציבוריים.
30 בתי ספר יסודיים ציבוריים ו-6 בתי ספר יסודיים פרטיים, 8 שנתיים (א'-ח').
4 בתי ספר תיכון ממלכתיים ציבוריים.
5 בתי ספר תיכון פרטיים.
הכלכלה המוניטרית של פונפיי היא המפותחת ביותר מבין מדינות מיקרונזיה, במקביל אליה קיימות גם כלכלות עצמאיות מסורתיות.
כמו במדינות אחרות, כלכלת המדינה מסתמכת בעיקר על יבוא של מוצרי יסוד רבים.
התעשיות העיקריות במדינת פונפיי הן מוצרים חקלאיים כמו: אגוזי קוקוס, קופרה, בננות וטארו, כמו גם דיג.
בראשית המאה ה-21 כלכלת המדינה מתמקדת גם בתיירות, בעיקר תיירות אקולוגית.
המוצרים המיוחדים שלה כוללים סבון ופלפל.
סניף של בנק גואם והמשרד הראשי של בנק מדינות הפדרציה של מיקרונזיה ממוקמים בקולוניה.
פוניינטה אלמריאנסה (בספרדית: Poniente Almeriense) היא קומרקה במחוז אלמריה, ספרד.
מוכרת בשם "ים הפלסטיק" (Mar de plástico) בשל האזור העצום המכוסה כולו בחממות.
הקומרקה מכילה עשר רשויות (העשירית, בלנגרה, נוצרה ב-2015 מחלק מעיריית ברחה) ו-259,357 תושבים בשטח של 971 קמ"ר.
"ים הפלסטיק" היה אחד מהנושאים של We feed the world, סרט דוקומנטרי משנת 2005; והתפאורה של דרמת הפשע הספרדית Mar de plástico.
התוצרת החקלאית האופיינית של החממות הם: מלפפונים, אבטיחים, חצילים, קישואים, אפרסקים, פלפלים ועגבניות, כאשר הקומרקה הפורה מייצרת לבדה כחמישית מהתוצרת פירות וירקות של ספרד כולה.
הקומרקה גובלת בים אלבוראן מדרום, העיר אלמריה ממזרח, סיירה דה גאדור מצפון ועיריית אלבונול (במחוז גרנדה) ממערב.
פרובינציית פונייה (בספרדית: provincia de Punilla) היא פרובינציה של מחוז ניובלה.
המחוז מחולק ל-3 פרובינציות: פונייה, איטטה ודיגיין.
בירתה היא העיר סן קרלוס .
כפרובינציה, פונייה היא מחוז מנהלי ברמה השנייה של צ'ילה, המנוהל על ידי נציג מחוזי הממונה על ידי נשיא צ'ילה ונשאר בתפקיד כל עוד הוא נהנה מאמונו.
מושלי הפרובינציה של פונייה 2018-2021
מושל מפלגה התחלת כהונה סוף כהונה נשיא צ'ילה כריסטובל מרטינס רמירז UDI 6 בספטמבר 2018 20 בנובמבר 2020 סבסטיאן פיניירה פיה סנדובל מנוסאלבה 20 בנובמבר 2020 14 ביולי 2021
נציגי הנשיא בפרובינציה (מאז 2021)
נציג מפלגה התחלת כהונה סוף כהונה נשיא צ'ילה פיה סנדובל מנוסאלבה UDI 14 ביולי 2021 11 במרץ 2022 סבסטיאן פיניירה רוסיו היזמרי פרננדס המק"ס 11 במרץ 2022 בתפקיד גבריאל בוריץ'
חואן פרננדו פונסקה קאררה (בספרדית: Juan Fernando Fonseca Carrera; נולד ב-29 במאי 1979) הוא זמר קולומביאני.
הוא נולד בבוגוטה, בחר במוזיקה בגיל צעיר, ולמד מוזיקה באופן רשמי במוסדות אוניברסיטת חבריאנה בבוגוטה ומכללת ברקלי למוזיקה בבוסטון.
אלבום הבכורה של פונסקה, הנושא את שמו, משך אותו לתשומת לב רבה בקולומביה.
אלבומו השני, Corazón יצא בשנת 2005 ובו השפעות של פופ/רוקה פוגשות ואיינאטו, bullerengue וטמבורה.
פונסקה הקליט את האלבום סינפוניקו בהופעה עם Orquesta Sinfónica Nacional de Colombia ב-2013. בתחילת 2015, פונסקה זכה בפרס "לה מוסה פרימיו טריונפאדור" מטעם היכל התהילה של כותבי השירים הלטיניים, ובמאי קיבל את פרס האייקון העכשווי הראשון אי פעם בטקס פרסי המוזיקה הלטינית של SESAC.
בסתיו של אותה השנה הוא הוציא את האלבום Conexión.
אלבום זה כלל שיתופי פעולה עם אמנים מוכרים כמו חואנס וויקטור מנואל.
פונסקה הוציא את האלבום Agustin בנובמבר 2018, שהיה מועמד לארבע פרסי הגראמי הלטיני ה-20.
בשנת 2018 קיבל פונסקה את "המסדר הרשמי של בויאקה", ההכרה החשובה ביותר שניתנה על ידי ממשלת קולומביה כחלק מעבודתו כמקדם פיוס ושלום.
במהלך הקריירה המוזיקלית שלו, פונסקה זכה בשבעה פרסי גראמי לטיניים והיה מועמד פעמיים לפרסי גראמי.
פרסשנהקטגוריהעבורתוצאהמקורפרס גראמי הלטיני2025השיר הטרופי הטוב ביותר"Nunca Me Fui""Venga Lo Que Venga"
במתמטיקה, פוּנְקְצִיָּה (נקראת גם העתקה) היא התאמה, המשייכת לכל איבר בקבוצה אחת, הנקראת תחום הגדרה של הפונקציה, או בקיצור תחום, איבר יחיד בקבוצה שנייה, הנקראת טווח של הפונקציה, או בקיצור טווח.
ייתכן שהתחום והטווח הם אותה קבוצה.
זהו מושג כללי ביותר, המופיע בכל תחומי המדעים המדויקים, וגם מחוץ להם.
מעצם הגדרתה, פונקציה מבטאת תלות בין משתנים (תלות של המשתנים בטווח של הפונקציה במשתנים שבתחום הפונקציה), וככזו מאפשרת הצגה פורמלית של אופי התלות בין גדלים שונים בתחומי המדע, ההנדסה והכלכלה.
פונקציה מקבוצה (תחום הפונקציה) לקבוצה (טווח הפונקציה) היא קבוצה של זוגות סדורים, כך שלכל איבר x ב־ יש איבר יחיד y ב־ שעבורו הסוג הסדור (x,y) שייך לקבוצה.
הסימון פירושו ש־ היא פונקציה מ־ ל־ .
מהגדרה זו משתמע שאם איננה ריקה אז איננה ריקה.
הקבוצה היא התחום של הפונקציה.
זוהי קבוצת כל האיברים עליהם הפונקציה מוגדרת.
זוהי קבוצה המכילה את כל האיברים מהם הפונקציה מתאימה לאיבר מ־.
אומרים שהפונקציה "קולטת" איברים מהתחום ו"מחזירה" איברים מהטווח .
מבחינה פורמלית פונקציה היא תת־קבוצה של המכפלה הקרטזית (כלומר קבוצה של זוגות סדורים שהאיבר הראשון בכל זוג הוא מ־ והשני מ־) שמקיימת את שני התנאים הבאים:
לכל קיים כך ש־ (מלאות ).
לכל , אם וגם אז (חד ערכיות).
קבוצת הזוגות הסדורים המרכיבה את קרויה גרף הפונקציה.
זאת משום שבמקרה הפרטי של פונקציות ממשיות ניתן לתאר אותה באופן ויזואלי כגרף במערכת צירים קרטזית.
מסמנים אם ורק אם .
במקרה כזה האיבר קרוי התמונה (או הדמות) של , ו־ קרוי מקור של (ייתכנו כמה מקורות לאיבר מסוים.
אם קיים לכל איבר מקור יחיד, נאמר שהפונקציה חד־חד־ערכית).
התנאי הראשון מבטיח שלכל ב־ יש תמונה.
התנאי השני מבטיח שתמונה זו היא יחידה.
יחס שהוא גם חד ערכי וגם מלא נקרא פונקציה.
אם מוותרים על התנאי הראשון (לא לכל איבר יש בהכרח תמונה) אז מתקבלת פונקציה חלקית, ואם מוותרים על התנאי השני (ייתכנו איברים עם יותר מתמונה אחת) מתקבלת פונקציה מרובה.
אם מוותרים על שני התנאים יחדיו מתקבל יחס במובנו הכללי.
שתי פונקציות , עם אותו תחום וטווח, מוגדרות כשוות רק כאשר לכל .
לכל (תת־קבוצה כלשהי של ) הקבוצה (לפעמים מסומנת גם ) היא תת־קבוצה של המוגדרת: .
כלומר זוהי התת־קבוצה של הכוללת את כל האיברים שהם תמונות של איברי .
אומרים על שהיא התמונה של .
בפרט, הקבוצה הכוללת את כל האיברים ב־ שהם תמונה של איבר כלשהו ב־, נקראת התמונה של הפונקציה ומסומנת לעיתים או .
לכל הקבוצה היא תת־קבוצה של המוגדרת: .
כלומר זוהי התת־קבוצה של הכוללת את כל האיברים שהתמונה שלהם היא איבר ב־.
אומרים על שהיא המקור של .
אם היא פונקציה, ו־, אז הפונקציה המוגדרת , נקראת הצמצום של ל־.
זוהי הפונקציה שתחומה מוגבל לקלטים מ .
לכל איבר ב־ יש תמונה יחידה, אבל לאיבר ב־ יכולים להיות כמה מקורות או אף מקור בכלל.
לכן באופן כללי לא תמיד מתקיים או .
ההתאמה המתאימה לכל אדם את גילו היא פונקציה מקבוצת האנשים לקבוצת המספרים הטבעיים, כי לכל אדם יש גיל יחיד.
ההתאמה המתאימה לכל מספר ממשי את ריבועו היא פונקציה מקבוצת המספרים הממשיים לעצמה.
ניתן לתארה באמצעות השוויון .
ההתאמה המתאימה לכל אדם את המדינה שבה הוא אזרח אינה פונקציה מאחר שיש אנשים בעלי מספר אזרחויות.
ההתאמה המתאימה לכל אדם את מד הכושר שלו בשחמט אינה פונקציה כי יש אנשים שאינם מדורגים על ידי פיד"ה.
בתחומים שונים של המתמטיקה חוקרים ומתעניינים בתכונות שונות ומגוונות של פונקציות.
על פי רוב מדובר בתכונות הקשורות במבנה המוגדר על התחום או הטווח של הפונקציה (למשל רציפות של פונקציות ממשיות ושימור מרחק של איזומטריות).
עם זאת ישנן מספר תכונות כלליות של פונקציות שאינן תלויות כלל במבנה של הקבוצות עליהן הן מוגדרות.
פונקציה נקראת חד־חד ערכית (חח"ע) אם מתקיים: .
כלומר אם לכל שני איברים שונים זה מזה בתחום מותאמים שני איברים שונים זה מזה בטווח.
במילים אחרות, לכל איבר בטווח יש לכל היותר מקור אחד.
פונקציה נקראת על אם לכל קיים כך ש־.
כלומר אם התמונה של הפונקציה שווה לטווח שלה ().
במילים אחרות, לכל איבר בטווח יש לפחות מקור אחד.
במקרה כזה גם אומרים ש־ היא פונקציה על .
פונקציה חד־חד־ערכית ועל (חחע"ע) היא פונקציה שהיא הן חד־חד־ערכית והן על.
לפונקציה שכזו מתקיים שלכל איבר בטווח יש בדיוק מקור אחד.
קיום פונקציה שכזו בין שתי קבוצות מראה שהן שקולות.
שם אחר לפונקציה חחע"ע הוא פונקציה הפיכה.
זאת משום שלפונקציות שכאלו ניתן להגדיר פונקציה הופכית: המקיימת לכל , כאשר הוא האיבר היחיד ב־ המקיים .
אם היא פונקציה הפיכה, אז לכל ולכל מתקיים: ו־.
פונקציה (מקבוצה לעצמה) שהיא חד־חד־ערכית ועל נקראת תמורה.
על איבר (איבר שנמצא הן ב־ והן ב־) נאמר שהוא נקודת שבת של אם מתקיים .
להלן דוגמאות לפונקציות בסיסיות המוגדרות באופן כללי לקבוצות ללא תלות במבנה מסוים.
פונקציית הזהות על קבוצה היא פונקציה המוגדרת לכל .
כאשר רוצים להדגיש שמדובר בפונקציית הזהות של קבוצה מסוימת מסמנים את הפונקציה כ־.
פונקציית הזהות היא פונקציה חד־חד־ערכית ועל (ולכן גם תמורה).
כל איבר ב־ הוא נקודת שבת שלה.
הפונקציה ההופכית שלה היא היא עצמה ().
פונקציית הזהות היא איבר היחידה ביחס להרכבת פונקציות (כמפורט בהמשך).
היא משמשת כדי להראות שכל קבוצה שקולה לעצמה.
הפונקציה הריקה לקבוצה היא הפונקציה היחידה .
כלומר זוהי הפונקציה היחידה מהקבוצה הריקה לקבוצה כלשהי .
מכיוון שבקבוצה הריקה אין איברים, הפונקציה לא קולטת שום איבר ואינה מחזירה אף איבר.
הפונקציה מקיימת את התנאים שבהגדרת הפונקציה באופן ריק.
הפונקציה היא חד־חד־ערכית (באופן ריק), אך אינה על, למעט במקרה .
פונקציה שמקיימת שלכל מתקיים נקראת פונקציה קבועה.
הפונקציה הריקה היא קבועה באופן ריק.
אם היא פונקציה קבועה שאינה הפונקציה הריקה, אז קיים כך שלכל מתקיים (ואז מסמנים ).
אם אינה ריקה ואינה יחידון, אז אף פונקציה קבועה ממנה אינה חד־חד־ערכית (לעומת זאת כל פונקציה מיחידון היא חד־חד־ערכית).
אם אינה ריקה ואינה יחידון, אז פונקציה קבועה אליה אינה על.
פונקציה נקראת פונקציה מציינת של תת־קבוצה אם לכל מתקיים:
כלומר זאת פונקציה שמחזירה לכל איבר של , ומחזירה לכל איבר שאינו ב־.
הפונקציה המציינת מסומנת גם .
פונקציה ־מקומית או פעולה ־ארית היא פונקציה מהצורה .
כאשר היא קבוצת ה־n־יות הסדורות של איברי .
כאשר רושמים את התמונה של פונקציה ־מקומית מקובל להשמיט את הסוגריים של ה־־יה הסדורה.
פונקציה ־מקומית נקראת גם פעולה אונארית.
המקרה החשוב ביותר הוא של פונקציה ־מקומית, הקרויה גם פעולה בינארית.
זוהי פעולה המתאימה לכל זוג סדור של איברים בקבוצה, איבר בקבוצה.
הדוגמאות המוכרות ביותר לפעולות בינאריות הן ארבע פעולות החשבון המוגדרות על קבוצות של מספרים.
במקרה כזה נהוג להחליף את הסימון הסטנדרטי לתמונת הפונקציה בסימן פעולה שמופיע בין איברי הזוג.
במקום לסמן מסמנים כאשר הוא סימן מוסכם כלשהו שמסמן את פעולת .
פונקציה ־מקומית נקראת פעולה טרינארית.
על קבוצה של פונקציות ניתן להגדיר פעולה בינארית בסיסית הקרויה הרכבת פונקציות.
בהינתן פונקציה ופונקציה , מגדירים את ההרכבה שלהן בתור פונקציה המוגדרת לכל בתור .
כלומר תוצאת ההרכבה היא פונקציה המוגדרת על ידי הפעלת על איבר ועל התמונה המתקבלת מפעילים את .
הרכבת פונקציות אינה פעולה קומוטטיבית (לרוב גם אם שני האגפים מוגדרים).
עם זאת, זוהי פעולה אסוציאטיבית (כאשר יש שרשרת של פעולות הרכבה בזו אחרי זו, ניתן להוסיף בתוכה סוגריים היכן שרוצים בלי לשנות את התוצאה).
פונקציית הזהות היא איבר יחידה (שמאלי או ימני) ביחס להרכבת פונקציות.
בהינתן פונקציה מתקיים וכן .
אם הפיכה, אז מתקיים גם וכן .
מהתכונות שנמנו כאן נובע שקבוצת הפונקציות מקבוצה כלשהי לעצמה (פונקציות מהצורה ) היא מונואיד ביחס לפעולת הרכבת הפונקציות.
פונקציית היחידה היא איבר היחידה (הדו־צדדי) של המונואיד.
האיברים ההפיכים במונואיד הם הפונקציות ההפיכות.
את קבוצת הפונקציות מקבוצה לקבוצה מסמנים .
יש קשר הדוק בין קבוצה זו לפעולת החזקה.
לכל קבוצה יש עוצמה שניתן לתארה אינטואיטיבית כ"מספר האיברים" בה.
העוצמות של קבוצות סופיות הן מספרים טבעיים.
לקבוצות אינסופיות יש עוצמות אינסופיות, שעשויות להיות שונות זו מזו (תורת הקבוצות מבחינה בין גדלים שונים של אינסוף).
את העוצמה של קבוצה מסמנים .
אם ו־ הן קבוצות סופיות, אז מספר הפונקציות בקבוצה הוא מספר האיברים ב־ בחזקת מספר האיברים ב־.
בניסוח קומפקטי לפי הסימונים שהנהגנו זה עתה: .
הזהות נובעת משיקול קומבינטורי פשוט שמסתמך על עקרון הכפל: נניח שבקבוצה יש איברים, ובקבוצה יש איברים.
נבחר איבר ראשון ב־, הוא יכול לעבור לכל אחד מ־ איברים.
נבחר איבר שני ב־, גם הוא יכול לעבור לכל אחד מ־ איברים.
וכן הלאה עד שנגיע לאיבר ה־ ב־.
נכפיל את כל האפשרויות יחדיו לכל איברי כדי לקבל את מספר האפשרויות הכולל ונקבל .
לקבוצות אינסופיות מחליטים לקבל זהות זו כהגדרה של חזקה בין עוצמות אינסופיות.
לכל זוג עוצמות מגדירים .
זוהי הגדרה מוצלחת, שכן היא מקיימת את חוקי החזקות והיא עדיין מהווה פעולת כפל מקוצר ביחס לכפל המוגדר בין עוצמות.
באנליזה מתמטית, פונקציה דיפרנציאבילית היא פונקציה ממשית בכמה משתנים, שיש לה קירוב ליניארי (דיפרנציאל).
פונקציה דיפרנציאבילית במשתנה אחד היא פונקציה גזירה.
בפונקציות של כמה משתנים יכולה להיות נגזרת (וקטור הנגזרות החלקיות) גם אם היא אינה דיפרנציאבילית.
הפונקציה תיקרא דיפרנציאבילית בנקודה אם אפשר לכתוב , כאשר קבועים, ו- פונקציות השואפות לאפס כאשר שואף לאפס.
בניסוח שקול, דיפרנציאבילית בנקודה אם קיימת העתקה ליניארית כך שמתקיים
פירוש ההגדרה הוא כדלהלן: בסביבות הנקודה אפשר לייצג את הפונקציה בקירוב טוב בתור פונקציה ליניארית ב- משתנים, כשהמקדמים הם .
זהו "קירוב טוב" כי השאריות (הפונקציות ) קטנות מאוד יחסית לחלק הליניארי של הפונקציה.
ניתן להכליל את ההגדרה גם לפונקציות וקטוריות: פונקציה תיקרא דיפרנציאבילית בנקודה אם כל ההטלות שלה דיפרנציאביליות ב-.
אם פונקציה היא דיפרנציאבילית בנקודה, אז היא רציפה שם, יש לה נגזרות חלקיות, והמקדמים בקירוב הליניארי אינם אלא הנגזרות החלקיות של הפונקציה: .
במקרה המוכלל, ההעתקה הליניארית יחידה, והמטריצה המייצגת שלה בבסיס הסטנדרטי היא מטריצת יעקובי של בנקודה.
קיומן של נגזרות חלקיות אינו מבטיח שהפונקציה תהיה דיפרנציאבילית (או אפילו רציפה).
מאידך, אם הנגזרות החלקיות קיימות ורציפות, אז הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה זו.
פונקציה אנליטית היא פונקציה שיש לה פיתוח לטור חזקות המתכנס אליה בסביבה כלשהי.
בזכות מבחן השורש של קושי, גם הנגזרת של פונקציה אנליטית היא אנליטית, ולכן אפשר לגזור פונקציה כזו אינסוף פעמים.
ניתן להוכיח כי פונקציה מרוכבת היא הולומורפית אם ורק אם היא אנליטית מרוכבת.
זהו הסוג החשוב ביותר של פונקציה אנליטית, עד כדי כך שלפעמים מחליפים בין המושגים.
פונקציות אלה הן האובייקט המרכזי באנליזה מרוכבת.
באופן רחב יותר, תכונת האנליטיות יכולה לחול על כל פונקציה משדה מקומי לעצמו, ובפרט ישנן פונקציות אנליטיות ממשיות.
לטור החזקות המייצג פונקציה אנליטית ממשית (או מרוכבת) יש רדיוס התכנסות גדול מאפס.
תהי פונקציה ממשית או מרוכבת.
נאמר ש- אנליטית בנקודה אם מוגדרת בסביבה של , וניתנת לפיתוח לטור חזקות שמתכנס ל- בסביבה של :
לטור כזה יש סביבת התכנסות המכילה כדור פתוח ברדיוס , נאמר, ומוכלת בכדור הסגור בעל אותו רדיוס.
ממבחן השורש של קושי נובע שטור החזקות המייצג את הוא גזיר, והנגזרת בעלת אותו רדיוס התכנסות.
לכן פונקציה אנליטית גזירה אינסוף פעמים בנקודה .
הדוגמה הפשוטה לפונקציה אנליטית היא פולינום בעל מקדמים ממשיים או מרוכבים.
אומרים שפונקציה היא אנליטית בתחום פתוח אם היא אנליטית בכל נקודה בתחום .
נניח כעת כי היא פונקציה (שוב, ממשית או מרוכבת) של משתנים.
נאמר ש- אנליטית בנקודה אם מוגדרת בסביבה של וניתנת לפיתוח לטור חזקות שמתכנס ל- בסביבה של :
סכום של פונקציות אנליטיות (בנקודה) היא פונקציה אנליטית (באותה נקודה).
מכפלה של פונקציות אנליטיות היא אנליטית.
אם אנליטית ב- ו- אנליטית ב-, אז ההרכבה אנליטית ב-.
אם אנליטיות ב- ו- אז גם אנליטית באותה נקודה.
דוגמאות לפונקציות אנליטיות בכל המישור המרוכב
פונקציית הצמוד המרוכב ופונקציית הערך מוחלט אינן אנליטיות (באף נקודה).
אם לפונקציה אנליטית יש מספר בן מנייה של אפסים ולהם נקודת הצטברות בתוך התחום, אזי שווה לאפס בכל תחום הקשירות המכיל את נקודת ההצטברות.
אם הנגזרות מכל הסדרים של פונקציה אנליטית בנקודה מסוימת הן אפס אזי היא קבועה בכל תחום הקשירות של נקודה זו.
אם פונקציה היא אנליטית אזי היא גזירה אינסוף פעמים.
במילים אחרות, כל פונקציה אנליטית היא חלקה.
יש פונקציות ממשיות שהן גזירות אינסוף פעמים, ואינן אנליטיות.
לדוגמה, הפונקציה (כאשר מגדירים ) היא פונקציה גזירה אינסוף פעמים, אך כל הנגזרות שלה בנקודה 0 שוות ל-0, ולכן טור טיילור שלה באותה נקודה הוא פונקציית האפס, ולפיכך אינו מתכנס אל באף סביבה של 0 .
אם אנליטית ב-0 אזי טור החזקות של הוא טור טיילור שלה.
פונקציה הולומורפית (לעיתים נקראת גם פונקציה רגולרית) היא פונקציה מרוכבת של משתנה מרוכב אחד או יותר, הגזירה במובן המרוכב בסביבת כל נקודה בתחומה.
אלו הן הפונקציות המרכזיות שנחקרות בתורה של האנליזה המרוכבת.
ביתר פירוט, פונקציה הולומורפית היא פונקציה מרוכבת שתחומה הוא קבוצה פתוחה במישור המרוכב וקיימת לה נגזרת מרוכבת בכל נקודה בתחומה.
תהא קבוצה פתוחה במישור המרוכב.
נאמר ש- גזירה במובן המרוכב בנקודה אם קיים הגבול
העניין החשוב בהגדרה הזו היא שהגבול (1) לא תלוי בבחירת המסלול שיעשה המשתנה בדרכו לנקודה , דהיינו שהגבול (1) אכן קיים כאשר שואף לאפס.
קיום הגבול (1) שקול לקיום קשר, שניתן לתאר באמצעות משוואה דיפרנציאלית חלקית, בין הנגזרות החלקיות של הפונקציות הממשיות המרכיבות את – אלו הן משוואות קושי-רימן.
אם הפונקציה גזירה בכל נקודה , נאמר עליה שהיא הולומורפית בקבוצה .
לפעמים אומרים ש- הולומורפית בנקודה אם היא גזירה בכל נקודה באיזושהי סביבה של .
המונח "הולומורפיות" הוצג על ידי תלמידיו של אוגוסטן לואי קושי, בריו (1817–1882) וז'אן-קלוד בוקה (1819–1885), ומקורו במילה היוונית ὅλος (הולוס) שפירושה שָׁלֵם או מלא וב־μορφή (מורפי) שמשמעותה צורה או מראה.
כיום, לעיתים המושגים פונקציה הולומורפית ופונקציה אנליטית משמשים במשמעות זהה, אף על פי שהאחרון הוא מושג כללי יותר.
מכיוון שכל מספר מרוכב מזוהה עם זוג סדור של מספרים ממשיים, ניתן לראות בפונקציה מרוכבת פונקציה בין זוגות של מספרים ממשיים, או באופן שקול כפונקציה בין זוגות של משתנים ממשיים לבין המספרים מרוכבים.
מזווית הראייה הזו, התכונה המהותית של גזירות מרוכבת, או הולומורפיות, היא שהנגזרת הכיוונית בנקודה כלשהי בתחום איננה תלויה במסלול שאותו עושה המשתנה במישור המרוכב בדרכו לנקודה; עבור כל המסלולים שבהם יכול לנוע המשתנה המרוכב בדרך אל הנקודה, נגזרת הפונקציה בנקודה זהה (ובאופן כללי תהיה מספר מרוכב).
לכן, הולומורפיות היא תכונה שונה מקיומן של נגזרות חלקיות עבור שני המשתנים הממשיים – משמעותה לא רק שהנגזרות החלקיות הללו קיימות, אלא גם שהן קשורות זו לזו באופן הדוק: קשר המבוטא במשוואות קושי-רימן.
האנליזה המרוכבת היא תורה פשוטה יותר, ובמובנים רבים שלמה יותר, מן האנליזה הממשית.
פונקציה ממשית יכולה להיות גזירה, אבל הנגזרת שלה עלולה שלא להיות גזירה.
היא עשויה להיות גזירה 18 פעמים, אבל לא 19. היא עשויה להיות גזירה כל מספר פעמים שהוא, מבלי שיהיה לה יצוג כטור חזקות.
אף אחד מן ה"חסרונות" הללו אינו קיים באנליזה המרוכבת.
מתוך משפט האינטגרל של קושי-גורסה הוסק שכל פונקציה הולומורפית היא אנליטית מרוכבת, ומכך נובע שהיא גזירה אינסוף פעמים, ולכן גם הנגזרת שלה היא פונקציה הולומורפית.
יתרה מזאת, יש לה יצוג כטור חזקות.
גם המשפט ההפוך נכון; כל פונקציה אנליטית מרוכבת היא הולומורפית, ולכן במסגרת האנליזה המרוכבת משתמשים בשני המושגים באותה משמעות.
אמנם לא היה מלכתחילה ברור שכך המצב, והתגלית ששתי התכונות הללו אכן שקולות הייתה תגלית מרכזית בהיסטוריה של האנליזה המרוכבת.
חשיבותן של הפונקציות ההולומורפיות במתמטיקה נובעת מכך שרבות מהפונקציות המרוכבות בעלות החשיבות בענפי המתמטיקה השונים, הן הולומורפיות.
כך למשל פולינומים, הסינוס, האקספוננט, פונקציית הזטא של רימן, ואף העתקות קונפורמיות (משמרות זווית) במישור – כולן פונקציות הולומורפיות.
משפט ההעתקה של רימן מראה במובן מסוים עד כמה רחב המגוון האפשרי של פונקציות הולומורפיות, שעשוי להראות דל בתחילה.
התורה של הפונקציות ההולומורפיות היא תורה מפותחת היטב, וטבען המופשט של פונקציות כאלו מובן בצורה טובה יחסית.
פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב קרויה פונקציה שלמה.
כאשר אומרים על פונקציה שהיא "הולומורפית בנקודה", הכוונה לכך שהיא גזירה בסביבה כלשהי של הנקודה.
כל פולינום במספרים מרוכבים הוא פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב, וכך גם פונקציית האקספוננט , ופונקציות הקוסינוס והסינוס המרוכבות ו־.
הפולינומים ופונקציית האקספוננט הן פונקציות שלמות.
דוגמאות פחות טריביאליות לפונקציות הולומורפיות הן פונקציית זטא של רימן, או פונקציית גמא.
בניגוד לפולינומים ולאקספוננט, פונקציות אלה אינן שלמות, ויש להן קטבים.
כיוון שהתנאי לגזירות במובן המרוכב חזק יותר מגזירות במובן הממשי, קיימות פונקציות "יפות" שאינן הולומורפיות, בניגוד לאינטואיציה הממשית.
דוגמאות בולטות הן ו- כאשר Arg היא פונקציית הארגומנט הראשי.
דוגמה נוספת היא הפונקציה .
פונקציה זו הולומורפית בכל תחום הגדרתה, אך היא אינה הולמורפית בנקודה , (וגם אינה מוגדרת בה).
בכל נקודה אחרת היא גזירה, ולכן היא הולומורפית בקבוצה .
עם זאת, קיים הגבול .
נקודה שבה הגבול הוא אינסוף נקראת קוטב.
פונקציה, אשר הולומורפית בכל נקודה שאיננה קוטב בתחום כלשהו, קרויה פונקציה מרומורפית באותו התחום.
קיימות גם פונקציות שאינן גזירות במובן חזק יותר.
לדוגמה, לפונקציה אין כלל גבול בנקודה .
נקודה כזו נקראת סינגולריות עיקרית, והיא מקיימת תכונה מעניינת – לפי המשפט הגדול של פיקאר, אם פונקציה הולומורפית בתחום, ו־ סינגולריות עיקרית בתחום, אזי התמונה של כל סביבה של היא כולה, למעט אולי נקודה אחת.
סכום, מכפלה והרכבה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית.
מנה של פונקציות הולומורפיות הוא פונקציה הולומורפית בתנאי שהמכנה אינו מתאפס.
כל פונקציה הולומורפית היא אנליטית: היא גזירה אינסוף פעמים וניתנת לתיאור על ידי טור טיילור.
ערכיה של פונקציה הולומורפית בתחום כלשהו (כולל שפתו) נקבעים בצורה יחידה על ידי הערכים שהפונקציה מקבלת על שפת התחום.
זאת לפי נוסחת האינטגרל של קושי.
פונקציה הולומורפית נקבעת בכל התחום על פי ערכיה בקבוצה עם נקודת הצטברות.
פונקציה הולומורפית שנגזרתה אינה מתאפסת בנקודה מסוימת היא קונפורמית – היא שומרת את הזווית בין עקומים שהיא מעתיקה.
בצורה יותר כללית: אם כל הנגזרות שלה עד לנגזרת ה- מתאפסות (לא כולל), היא מכפילה את הזווית בין העקומים שהיא מעתיקה פי .
עקרון המקסימום – פונקציה הולומורפית לא קבועה בתחום פתוח לא יכולה לקבל מקסימום (בערך מוחלט) בפנים התחום, אלא רק על שפתו.
תכונה מרכזית של פונקציות הולומורפיות היא אנליטיות.
תכונה זו נובעת מנוסחת האינטגרל של קושי.
די להראות זאת סביב 0. אם הולומורפית בעיגול , אז לפי נוסחת האינטגרל של קושי, לכל בפנים של :
מכיוון ש- אפשר לפתח את לטור הנדסי ולקבל:
כאשר ההתכנסות במידה שווה מובטחת ממבחן M של ויירשטראס.
לפי נוסחת האינטגרל של קושי לנגזרת מקבלים:
כלומר טור טיילור של מתכנס אליה.מ.ש.ל
באופן אנלוגי לאמור לעיל, ניתן להגדיר להכליל את המושג פונקציה הולומורפית לפונקציה של כמה משתנים.
פונקציה ב משתנים היא אנליטית בסביבה אם קיימת סביבה של שבה שווה לטור חזקות מתכנס ב- משתנים מרוכבים.
היא הולומרפית בתחום פתוח של אם היא אנליטית בכל נקודה ב .
הלמה של אוסגוד מראה כי לפונקציה רציפה , התנאי לעיל שקול לכך ש הולומורפית לכל משתנה בנפרד.
משפט הרטוגס מוכיח שהנחת הרציפות אינה הכרחית: פונקציה היא הולומורפית אם ורק אם היא הולומורפית בכל אחד מהמשתנים שלה בנפרד.
בתורת המספרים, פונקציה המקבלת מספר טבעי ומחזירה ערך התלוי בתכונות אריתמטיות של , נקראת פונקציה אריתמטית.
חקר של פונקציות כאלה, ובעיקר הערך הממוצע שלהן, הוא ענף מרכזי בתורת המספרים האלמנטרית.
הפונקציה מוגדרת כך ש- הוא מספר המחלקים השונים של .
מספר הוא מספר ראשוני אם ורק אם .
פונקציית מביוס מוגדרת לפי מספר המחלקים הראשוניים: , אם יש ל- גורמים ריבועיים, ו- אם הוא מכפלת ראשוניים שונים.
פונקציית אוילר (פי) מוגדרת לפי מספר המספרים הזרים למספר נתון וקטנים ממנו: שווה למספר המספרים הקטנים מ- וזרים לו.
הפונקציה מוגדרת על ידי סיכום המחלקים (החיוביים) של מספר.
מספר משוכלל הוא כזה המקיים .
באופן כללי יותר, הפונקציה (פונקציית מחלקים) מוגדרת על ידי סיכום חזקות- של המחלקים.
הפונקציה המחזירה לכל את מספר הפתרונות השלמים למשוואה .
אם נסמן את סכומם של מחלקי הנותנים בהתאמה שארית 1 או 3 בחלוקה ל-4, אזי מתקיים , ומכאן שתמיד .
פונקציית ליוביל , מחזירה או לפי זוגיות מספר המחלקים הראשוניים של .
אם היא פונקציה אריתמטית, הערך מחזיק משהו מן האריתמטיקה של המספר .
אם רוצים להבין תכונות אריתמטיות באופן כללי, טבעי לשאול מהו הערך הממוצע של , כלומר, כיצד מתנהג הממוצע .
לעיתים קרובות קל לקבל את סדר הגודל של הממוצע, אבל הערכה טובה של גורם השגיאה היא בדרך כלל בעיה אריתמטית ואנליטית קשה.
הגודל הממוצע של הפונקציה לעיל הוא (פאי), כלומר: בממוצע ניתן להציג מספר כסכום של שני ריבועים ב- דרכים.
הערך הממוצע של מספר המחלקים הוא .
את גורם השגיאה אפשר לשפר ל- (Huxley, 2003).
הערך הממוצע של הוא .
הערך הממוצע של פונקציית אוילר הוא .
פונקציית מביוס מקבלת את הערכים בצפיפות , ו-0 בשאר הזמן.
למרבה ההפתעה, התוצאה (הצפויה לכאורה) שהערך הממוצע שואף לאפס, שקולה למשפט המספרים הראשוניים, ואילו הטענה שהערך הממוצע קטן מ- שקולה להשערת רימן.
פונקציה אריתמטית המקיימת לכל זוג מספרים זרים נקראת פונקציה כפלית.
כל הפונקציות שפגשנו קודם לכן (למעט ) הן כפליות.
בגלל המשפט היסודי של האריתמטיקה, פונקציה כפלית נקבעת על ידי ערכיה במספרים כאשר ראשוני, ועובדה זו מקלה מאוד על החישוב.
למשל, סכום המחלקים של שווה ל-, בלי שנצטרך לסכם את כל המחלקים.
פונקציה המקיימת את השוויון הנ"ל לכל (גם אם אינם זרים) נקראת כפלית לחלוטין (completely multiplicative) או כפלית במובן החזק (strongly multiplicative).
אפשר להגדיר פעולה בינארית הנקראת קונבולוציית דיריכלה בין פונקציות אריתמטיות, באופן הבא:
ביחס לפעולה זו אוסף הפונקציות האריתמטיות הופך למונואיד, שהפונקציות ההפיכות בו הן כל אלו המקיימות (וכך הפונקציות האריתמטיות שלא מקבלות ב- הן חבורה אבלית ביחס לקונבולוציה).
תכונות מעניינות רבות של פונקציות אריתמטיות אפשר לבטא באמצעות שוויונות בחבורה הזו.
נעיר שאם שתיהן כפליות, אז גם כפלית וגם כפלית (אבל אין הדבר כן לכפליות חזקה).
נגדיר עוד כמה פונקציות שימושיות:
, הפונקציה המחזירה לכל .
פונקציית היחידה השווה ל- אם , ול- אחרת.
זהו איבר הזהות בחבורת הפונקציות.
את התכונה החשובה ביותר של פונקציית מביוס אפשר לבטא כך: אם , אז .
במילים אחרות, , כלומר היא ההפכית של הפונקציה בחבורה.
המשוואה הראשונה היא ניסוח מקוצר לזהות .
פונץ' היא להקת רוק ישראלי שהוציאה את אלבום הבכורה שלה ביולי 1991 כחלק מגל הלהקות הישראליות הצעירות שפרצו באותה שנה כ"נושאי המגבעת", "רוקפור" ו"כרמלה גרוס ואגנר".
פונץ' החלה את דרכה ב-1986 כשלישייה בשם שד"ק (שמאל דתי קיצוני).
היו חברים בה הסולן יוסי בבליקי, הגיטריסט אלי שאולי והמתופף שלומי רוזנבלום.
שיר אחד, "אדי", משך את תשומת לבם של עורכים בגלי צה"ל ושל רונן בן-טל מ"די.בי הפקות", ועם צירופו של הבאסיסט, הזמר והיוצר שלום גד, הפכה הלהקה לרביעיית "פונץ'".
ב-1988 יצא הסינגל של הלהקה "ונדמה שישוב", שגם זכה להשמעות רבות ברדיו.
בהפקתו המוזיקלית של רונן בן-טל יצא אלבום הבכורה של פונץ', "פונץ'" ביולי 1991. הוא כלל, בין היתר, את השירים: "ונדמה שישוב" (1988) "עדינה" (1989), ו"אני מאוהב בבחורה מבת-ים" (1990).
חלק מהשירים כללו מחאה בנושאים חברתיים, אבל בעטיפה מלודית מאוד.
אלבומה השני של הלהקה, "הצוללת", יצא אחרי פחות משנה, ביוני 1992. האלבום המשיך את קו הרוק הרזה של אלבום הבכורה וכקודמו הוא יצא בחברת NMC.
השיר הבולט באלבום "הוא מסתכל בה כל הזמן" הוקלט שוב לאלבום השלישי "דנה ראתה עב"מ" ונכלל בפסקול של הסדרה "שבתות וחגים".
הלהקה חדלה להתקיים (למעט הופעה חד-פעמית באביב 1996, במסגרת פסטיבל "נקסט") ושני הסולנים שלה, שלום גד ויוסי בבליקי, הוציאו (ביוני 1996) אלבומי סולו בחברת "הד ארצי".
שלום גד את "סוף המדבר" ויוסי בבליקי את "אלבום המצעדים".
בפסטיבל ערד 1994 ביצעו ירמי קפלן ואיפה הילד?
נורית גלרון הקליטה את "נדמה שישוב" לפרויקט עבודה עברית.
ב-2006 הקליט הזמר עידן יניב גרסה ל"נדמה שישוב" לכבוד מצעד הפזמונים השנתי של גלגלצ.
בשנת 2002 חזרה הלהקה לאולפן עם קלידן להקת "החשמליות" בועז כהן שהצטרף להרכב לקראת סיום הקלטות לאלבום השלישי "דנה ראתה עב"מ", שבמפתיע הפך לאלבום המצליח ביותר, מבחינה מסחרית, של הלהקה.
פונץ' הקליטה מחדש את השיר "הוא מסתכל בה כל הזמן", שהופיע במקור באלבום "הצוללת", וגם גרסה חדשה להמנון הלאומי "התקווה" שהוקלט במקור לפרויקט עבודה עברית, אבל לא זכה להיכנס אליו.
ביוני 2002 הוציאה חברת NMC מחדש, תחת השם "נדמה שישוב", מארז הכולל את כל שירי הראשון ורוב שירי האלבום השני של פונץ', שאזלו מן השוק והפכו עם השנים לפריט אספנים.
"דנה ראתה עבמ", שיצא באוגוסט 2002 החזיר את להקת פונץ' לעשייה בזירת המוזיקה המקומית.
האלבום זכה לביקורות מצוינות והלהקה קיבלה, לראשונה, גם סיקור אוהד נרחב בתקשורת.
ב-2003 פרש שלום גד מן ההרכב, לטובת קריירה עצמאית.
המתופף שלומי רוזנבלום פרש לעסקים פרטיים והוחלף בשמעון בן-לולו מ"החשמליות" וללהקה צורפה גם דנה בקר כסולנית נוספת לצדו של בבליקי.
בהרכב הזה הוציאה פונץ' את האלבום הרביעי של הלהקה ב-2007, "פינוקיו" ששירים אחדים מתוכו נחשפו קודם לקהל במסגרת סדרת הטלוויזיה של עוזי וייל "8 דקות ביום".
השקת האלבום התקיימה בשלושה ערבים רצופים של "פסטיבל פונץ'" בתיאטרון תמונע בתל אביב.
מתוך שלושת ימי הפסטיבל נבחרו 30 קטעים שיצאו באלבום הכפול "חור בשמיים כחולים" שיצא לאור ב-2009.
בדצמבר 2012 הוציאה פונץ' את אלבום האולפן החמישי (והאחרון) שלה, "רמז לעתיד".
לאחר סיבוב הופעות קצר חדלה לפעול.
בסוף 2022 חזרה הלהקה להופיע כרביעייה - עם יוסי בבליקי, אלי שאולי ושלומי רוזנבלום (מההרכב המקורי) והבסיסט הצעיר אלעד בן-הרוש.
בשנת 2025 הצטרף לפונץ' קלידן להקת "Pentagon", אסף וינטר, לקראת אלבום חדש של פונץ', עדכון הסאונד של הלהקה ומסע הופעות בישראל.
חור בשמיים כחולים (אלבום כפול בהופעה חיה) - ינואר 2010
נדמה שישוב (2002) (שני האלבומים הראשונים על גבי דיסק אחד)
פונץ' הוא משקה אלכוהולי על בסיס רום.
מקור השם במילה ההינדית פאנץ', שפירושה "חמש", על שם חמשת המרכיבים מהם עשוי פונץ' באופן מסורתי: אלכוהול, סוכר, מים, לימון ותה או תבלינים.
את הפונץ' מכינים מערבוב רום, מים וסוכר עם מיץ סחוט מפרי הדר או מאננס.
אפשר להוסיף גם תמצית תה, שמשנה את צבעו.
ניתן גם להכין פונץ' ללא אלכוהול על ידי עירוב יתר המרכיבים.
את הפונץ' אפשר להגיש קר או חם, לפי הטעם.
פונקציה מרוכבת או ממשית (במשתנה אחד) היא פונקציה אלמנטרית אם ניתן לבנות אותה על ידי מספר סופי של פעולות האריתמטיקה הבסיסיות והרכבה ממספר פונקציות בסיסיות:
הפונקציה המעריכית (האקספוננט) - .
הלוגריתמים - (כאשר הלוגריתם הוא לפי הבסיס הטבעי).
הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות - וכדומה.
לדוגמה, הפונקציה היא פונקציה אלמנטרית, ולעומתה פונקציית הערך השלם [x] אינה אלמנטרית.
קיים אלגוריתם רקורסיבי שמחשב את הנגזרת של פונקציה אלמנטרית כלשהי, באמצעות כללי הגזירה והנגזרות של הפונקציות הבסיסיות.
לעומת זאת, פונקציה קדומה של פונקציה אלמנטרית אינה בהכרח אלמנטרית.
לדוגמה הפונקציה מפורסמת בכך שאינה אלמנטרית .
אם פונקציה קדומה היא אלמנטרית, ניתן (בהכרח) למצוא אותה מהנגזרת שלה על ידי אינטגרציה, על ידי אלגוריתם ריש .
מן הפונקציות ברשימה לעיל אפשר לבנות כל פונקציה מעריכית עם ; את הפונקציות , ועוד.
בגלל הקשר ההדוק בין הפונקציות הטריגונומטריות לפונקציית המעריך, דרך הפונקציות ההיפרבוליות, אפשר לוותר על חלק מן הפונקציות ברשימה, ולקבל אותן מתוך פונקציות אחרות.
ליתר דיוק, כאשר דנים בפונקציות אלמנטריות במספרים מרוכבים, ניתן להסתפק רק ב- והפונקציות הקבועות המרוכבות כדי לבנות את כל הפונקציות האלמנטריות.
ניתן לפתח את מבנה הפונקציות האלמנטריות באמצעות מושג הגזירה האלגברית.
גזירה אלגברית על שדה R היא אופרטור אדיטיבי המקיים את כלל לייבניץ (לכל ).
נתחיל משדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד מעל המרוכבים, , שהוא שדה השברים של חוג הפולינומים.
על שדה זה מוגדרת פעולת גזירה טבעית - הנגזרת המרוכבת הרגילה.
שדה זה הוא תת-שדה של שדה הפונקציות המרוכבות הגזירות.
את שדה הפונקציות האלמנטריות ניתן ליצור באמצעות מגדל של הרחבות, באינדוקציה, כך שפונקציה כלשהי היא אלמנטרית אם היא מופיעה בשלב מסוים במגדל.
בשלב ה-k נתון השדה .
נוסיף אלמנטים לשדה שיתפקדו כמו הפעלת אקספוננט או לוגריתם על איבר בשדה הקודם.
התוספות נקבעות לפי פעולת אופטור הגזירה עליהן, כלומר כפתרון של משוואה דיפרנציאלית.
נשלים את מה שנוצר לשדה סגור אלגברית, באמצעות לקיחת החיתוך של כל תתי השדות של שדה הפונקציות הגזירות שהם גם סגורים אלגברית, גם מכילים את כל איברי וגם מכילים את כל האלמנטים שהוספנו (האקספוננטים והלוגריתמים).
בכל שלב הוספנו אלמנטים מהצורה:
u הוא אקספוננט של a, איבר של אם הוא פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית: .
u הוא לוגריתם של a, איבר של אם הוא פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית:
בכל שלב השדה המתקבל גדול ממש מהשדה הקודם, ועדיין מוכל בשדה הפונקציות המרוכבות הגזירות.
האיחוד העולה של כל השדות הוא גם כן שדה, ולכן הוא סגור תחת חיבור, חיסור, כפל וחילוק.
בנוסף שדה זה סגור גם תחת הרכבת פונקציות, ומכיל את הפונקציות הבסיסיות שמהן בונים את הפונקציות האלמנטריות (האקספוננט, הלוגריתם והקבועים המרוכבים) ולכן הוא שווה לשדה הפונקציות האלמנטריות.
לא ידוע האם קיים אלגוריתם המכריע האם פונקציה אלמנטרית נתונה שווה זהותית לאפס.
אלגוריתם ריש מבצע רדוקציה של בעיית חישוב האינטגרל הלא מסוים של פונקציה אלמנטרית, לבעיית הזיהוי של פונקציית האפס.
פונצ'ו הוא בגד פשוט, שתכליתו שמירה על חום הגוף.
לחלופין, כאשר הפונצ'ו עשוי מחומר עמיד בפני מים, תכליתו היא שמירה על יובש הגוף כאשר יורד גשם.
במהותו מדובר ביריעת בד או חומר אחר גדולה ובה פתח לראש, ולעיתים פתחים נוספים לידיים.
לעיתים לפונצ'ו יש גם ברדס, בעיקר לאלו המיועדים להגן מפני רטיבות.
כיום משמש הפונצ'ו גם כאביזר אופנה.
ככזה, הפונצ'ו הוא, בדרך כלל, בעל עיצוב דומה לזה הפשוט והמקורי, אך עשוי מחומרים אחרים ומעוטר בצבעים ועיטורים שנועדו להעניק לו מראה נוח, רפוי ועדכני.
אלו עשויים, מאריג או סריג מצמר, או מחוט סינתטי.
לפעמים מייצרים אותם גם מחוטי כותנה.
הפונצ'ו יכול להיות עגול, מרובע, עשוי ממלבן אחד או שניים.
בעוד שהפונצ'ו מהווה פריט לבוש מסורתי בחלקים נרחבים מהעולם, הוא גם נכנס לשימוש סטנדרטי בצבאות רבים וכמעיל גשם למטיילים ולעוסקים בספורט.
פונצ'ו, כמו גלימה, אדרת, שכמיה וצעיף גדול משמש כתחליף למעיל.
המשותף לכולם שהם קלים ללבישה מהירה מעל האדם ואפילו מעל התיק שלו, בגלל צורתם הם נוחים לקיפול ולנשיאה כאשר מתחמם ולא זקוקים להם.
פונצ'ו - ברוב חלקי אמריקה הלטינית, ספרד ובמרבית העולם.
צ'מנטו (Chamanto) - במרכז צ'ילה בלבד.
בשאר חלקי המדינה נפוץ הכינוי פונצ'ו.
חורונגו (Jorongo) או סרפה (Sarape) - מקסיקו.
קוצה (Kotze) או "Wetterfleck" - אוסטרליה, שווייץ ובווריה; בגד ירוק כהה וחום המשמש לציד.
פאנואלה (Paenula) ברומא העתיקה; סוג של שכמיה או מעיל.
קסל (Kasel) או פלוביאלה (Pluviale) - פריט לבוש בכנסייה הקתולית.
פונצ'ו צ'ילוטה (Poncho Chilote) - פונצ'ו כבד עשוי צמר.
גורגל (Gurgel) - כינוי ימי-ביניימי לפונצ'ו קצר, לעיתים עם ברדס.
רואנה (Ruana) - בגד דמוי פונצ'ו מאזוריה הקרים של קולומביה וונצואלה.
בטרילוגיית הסרטים "בעבור חופן דולרים", "הצלפים" ו"הטוב, הרע והמכוער" מגלם קלינט איסטווד את דמות האיש ללא שם.
הפונצ'ו מהווה את אחד מסימני ההיכר העיקריים של דמות זו, ומשמש בין היתר להסתרת האקדח שהיא נושאת.
הפונצ'ו מוסיף לאפקט הדרמטי כאשר איסטווד מניף את חלקו הקדמי מעל לכתפו וחושף את אקדחו.
במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, פוּנקטוֹר (נקרא גם העתקן; לפעמים מבוטה פָנקטוֹר בדומה לשמו באנגלית) הוא סוג של העתקה בין קטגוריות.
פונקטורים הוגדרו לראשונה בטופולוגיה אלגברית, שם שויכו מבנים אלגבריים למרחבים טופולוגיים (למשל החבורה היסודית), והומומורפיזמים אלגבריים שויכו לפונקציות רציפות.
כיום, פונקטורים קיימים בכל תחומי המתמטיקה, והם מאפשרים ליצור קשרים בין תחומים מתמטיים שונים.
את המונח טבע רודולף קרנפ, והוא אומץ על ידי אחד ממייסדי תורת הקטגוריות, סאונדרס מק'ליין.
פונקטור קו-וריאנטי מ- ל- הוא המידע הבא:
לכל אובייקט קיים אובייקט .
לכל מורפיזם ב- יש מורפיזם ב-.
לכל אובייקט המורפיזם הוא מורפיזם הזהות של .
לכל זוג מורפיזמים ו- מתקיים .
במילים אחרות, הפונקטור משמר את מורפיזם הזהות ואת פעולת הרכבת המורפיזמים.
העתקה בין שתי קטגוריות המקיימת את כל התכונות של פונקטור, פרט לכך שעבור מורפיזמים היא פועלת בכיוון ההפוך,
לכל זוג מורפיזמים ו- מתקיים
ההעתקה מקטגורית החבורות לקטגורית הקבוצות, המעתיקה חבורה לקבוצת האיברים שלה, ומעתיקה הומומורפיזם בין חבורות למורפיזם בין קבוצות המגדיר אותו, הוא פנקטור קווריאנטי.
פונקטורים מהצורה הזאת, אשר שוכחים חלק מהמבנה של האובייקטים והמורפיזמים בקטגוריה, נקראים פונקטורים שוכחים.
ההעתקה המתאימה לכל מרחב וקטורי את המרחב הדואלי לו, ולכל העתקה ליניארית את ההעתקה הצמודה לה היא פונקטור קונטרה וריאנטי מהקטגוריה של מרחבים וקטורים לעצמה.
ההעתקה המתאימה לכל חבורת לי אלגברת לי היא פונקטור.
במקרה זה, למורפיזם של חבורות לי הפונקטור מתאים את הדיפרנציאל (נגזרת) .
דוגמה מגאומטריה אלגברית: ההעתקה מקטגוריית היריעה אלגבריות אפיניות מעל שדה לקטגוריית לאלגברות הפולינומים מעל k היא פונקטור קונטרה-וריאנטי.
לכל יריעה אלגברית אפינית הפונקטור מתאים את חוג הקואורדינטות ולכל מורפיזם של יריעות אפיניות שהוא העתקה פולינומית הפונקטור מתאים הומומורפיזם המוגדר כך: לכל שהיא העתקה פולינומית , וזו העתקה פולינומית מ- ל- (כהרכבה של שני פולינומים).
יהיו ו- קטגוריות קטנות מקומית (כלומר: אוסף המורפיזמים בין כל שני עצמים בקטגוריה הוא קבוצה קטנה).
הפונקטור משרה פונקציה בין קבוצות
לכל זוג עצמים ו- ב-.
נאמן (faithful) אם הוא פונקציה חד-חד-ערכית (injection) לכל זוג עצמים ו- ב-.
מלא (full) אם היא פונקציה על (surjection) לכל זוג עצמים ו- ב-.
נאמן ומלא (fully faithful) אם היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל (bijection) לכל זוג עצמים ו- ב-.
עבור שני פונקטורים , העתקה טבעית מתאימה לכל אובייקט מורפיזם כך שלכל מורפיזם ב- מתקיים .
התנאי הזה שקול לכך שהדיאגרמה הבאה קומוטטיבית
אם לכל ההעתקה היא איזומורפיזם ב-, אז ההעתקה נקראת איזומורפיזם טבעי והפנקטורים נקראים איזומורפים.
במתמטיקה, פונקציה הומוגנית מסדר היא פונקציה אשר בעת שהארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע , ערך הפונקציה מוכפל ב־.
תהי פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה , ויהי מספר שלם.
אזי תיקרא הומוגנית מסדר אם לכל ולכל .
כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר כאשר הדרישה צריכה להתקיים רק עבור חיובי, ו- יכול להיות כל מספר מרוכב.
כמו כן, במקרה שבו הוא שדה הממשיים או המרוכבים, מגדירים פונקציה הומוגנית בהחלט מסדר אם מתקיים לכל .
כל העתקה ליניארית היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות: לכל ולכל .
כל מונום (חד-איבר) ב- משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית .
לדוגמה, שטח של ריבוע הוא מונום הומוגני מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר .
סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני.
לדוגמה: הוא פולינום הומוגני מסדר 5.
הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת.
כלומר אם פולינום הומוגני מסדר ו- פולינום הומוגני מסדר , אזי היא פונקציה הומוגנית מסדר בכל הנקודות חוץ מבשורשים של .
פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון , מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.
כל פונקציה תת-ליניארית היא בהחלט הומוגנית חיובית מסדר 1, זאת על פי הגדרתה.
לעומת זאת, כל נורמה-למחצה (ובפרט כל נורמה) היא הומוגנית בהחלט מסדר 1.
לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית , לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים .
במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנותרו בחומר לאחר פרק זמן נתון על ידי , ובעוד שמתקיים , קרי היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור , היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.
תהי פונקציה חלקה אזי הומוגנית חיובית מסדר אם ורק אם:
: תהי פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר .
נגזור את שני האגפים לפי ונקבל