tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
טאנגנס הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה (1,0) או היחס בין סינוס לקוסינוס
קוטנגנס הוא הערך על המשיק למעגל בנקודה (0,1) או היחס בין קוסינוס לסינוס
מעגל היחידה מהווה שיטה נוחה לזכור את הסימן (+/-) של ערכי הפונקציות הטריגונומטריות.
את טורי טיילור של הפונקציות הטריגונומטריות אפשר למצוא בעזרת חישובי נגזרות, שהבסיס להם הוא הגבול של sin(x)/x.
פונקציות הסינוס והקוסינוס הן פונקציות אנליטיות.
טורי טיילור שלהן מתכנסים אליהן במידה שווה על כל קבוצה קומפקטית בישר הממשי ובפרט בכל קטע סגור.
הטורים לא מתכנסים במידה שווה על כל הישר בבת אחת.
כדי לקבל קירובים טובים לפונקציות צריך באופן כללי לחשב כמה שיותר איברים בטור.
עם זאת, קצב התכנסות הטורים תלוי במרחק מהאפס - עבור נקודות הקרובות לאפס הטורים מתכנסים מאוד מהר וככל שמתרחקים ממנו הטורים מתכנסים יותר לאט.
מהסיבה הזו נוח יותר להעריך את הפונקציות באמצעות טור טיילור עבור זוויות שקרובות יחסית לאפס, ולהשתמש ככל הניתן בזהויות טריגונומטריות כדי לקבל תוצאות עבור זוויות גדולות יותר.
למשל, כדי לחשב את ניתן להשתמש בנוסחה ולחשב רק את , וזווית זו קרובה יחסית לאפס.
קירוב מסדר ראשון ושני של פונקציות אלו נמצא בשימוש נרחב בניתוחים פיזיקליים שונים ונקרא קירוב זוויות קטנות.
הקשר לפונקציות מעריכיות והרחבה לערכים מרוכבים
פונקציות הסינוס והקוסינוס הן פתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית
פתרון של משוואה זו בשדה המספרים המרוכבים הוא פונקציית האקספוננט של מספר מרוכב טהור.
נוסחת אוילר מקשרת בין פונקציית האקספוננט המרוכב והפונקציות הטריגונומטריות:
מהזוגיות של הפונקציות הטריגונומטריות מקבלים
הצגה זו של הפונקציות הטריגונומטריות מאפשרת לנו להרחיב את תחום ההגדרה שלהן לשדה המספרים המרוכבים.
בדרך זו מתקבלות פונקציות הולומורפיות במקרה של סינוס וקוסינוס ופונקציות מרומורפיות במקרה של טנגנס וקוטנגנס.
סינוס וקוסינוס של זוויות אי-רציונליות
מהצבה בפולינום צ'בישב נובע שהסינוס והקוסינוס של זווית (ברדיאנים) שהיא כפולה רציונלית של π הוא תמיד מספר אלגברי.
עם זאת, הערך אינו יכול להיות מספר רציונלי, אלא אם הזווית היא כפולה של π/6.
בטופולוגיה, פונקציית אוריסון היא פונקציה רציפה המפרידה בין שתי קבוצות: אם A ו-B הן שתי קבוצות זרות במרחב טופולוגי X, אז פונקציה רציפה המקיימת
נקראת 'פונקציית אוריסון עבור A ו-B'.
מרחב שבו קיימת פונקציה כזו לכל שתי נקודות שונות, נקרא מרחב האוסדורף לחלוטין.
מרחב שבו קיימת פונקציית אוריסון לכל קבוצה סגורה ונקודה שמחוץ לה, נקרא מרחב רגולרי לחלוטין.
הלמה של אוריסון, שבזכותה זכו פונקציות אוריסון לשמן, קובעת שבמרחב נורמלי קיימת פונקציית אוריסון לכל שתי קבוצות סגורות וזרות.
הפונקציות נקראות על שם פאבל סמואילוביץ' אוריסון.
במתמטיקה, פונקציות היפרבוליות אנלוגיות לפונקציות הטריגונומטריות הרגילות: בעוד שהנקודות יוצרות יחדיו מעגל, הנקודות מגדירות את החלק הימני של ההיפרבולה , ומכאן שמן.
הפרמטר הוא זווית היפרבולית המייצגת את כפליים השטח בין ציר ה־X, ההיפרבולה, והקו הישר שמחבר את ראשית הצירים לנקודה על העקום לעיל, כפי שמתואר באיור משמאל.
גרפי הפונקציות ההיפרבוליות נראות כך:
ניתן להביע את הפונקציות ההיפרבוליות כטורים:
, הוא מספר ברנולי ה-n־י
, הוא מספר אוילר ה-n־י.
כשם שהנקודות מגדירות מעגל, הנקודות מגדירות את החלק הימני של ההיפרבולה (הקביעה מתבססת על הזהות ועל כך ש- לכל ).
הפרמטר איננו זווית מעגלית, אלא זווית היפרבולית שמייצגת את פעמיים השטח בין ציר ה-x, ההיפרבולה, והקו הישר שמחבר את ראשית הצירים לנקודה על ההיפרבולה .
למרות זאת, הפונקציות ההיפרבוליות אינן פונקציות מחזוריות, בניגוד לפונקציות הטריגונומטריות הרגילות, שכן בהצגתן המעריכית של הפונקציות הטריגונומטריות הרגילות ישנו חלק מעריכי מרוכב אשר תורם למחזוריות הפונקציה, אך נעדר מן הפונקציות ההיפרבוליות.
ההצגות המעריכיות של הפונקציות ההיפרבוליות והרגילות הן דומות, פרט, כאמור, לקיומו של החלק המרוכב בפונקציות הטריגונומטריות הרגילות.
כך, למשל, פונקציית הסינוס מוגדרת כך: בעוד מקבילתה ההיפרבולית מוגדרת כך, כאמור:
בדומה לפונקציה , הפונקציה היא פונקציה זוגית (סימטרית סביב ציר Y)ו־cosh 0=1. באופן דומה, הן הפונקציה והן הפונקציה הן פונקציות אי זוגית (סימטרית סביב ראשית הצירים) ו .
הפונקציות ההיפרבוליות מקיימות זהויות רבות, כולן דומות לזהויות טריגונומטריות.
למעשה, חוק אוסבורן מראה שניתן להמיר כל זהות טריגונומטרית לזהות היפרבולית, על ידי החלפת סינוס בסינוס היפרבולי, קוסינוס בקוסינוס היפרבולי, והפיכת הסימן של כל מונום שיש בו מכפלה של שני סינוסים היפרבוליים.
השמות של פונקציות אלו מתחילים בתחילית (קיצור של area/שטח) או .
הגדרת הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות כטורים
ניתן להביע את הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות כטורים:
פונקציות היפרבוליות עבור מספרים מרוכבים
פונקציות היפרבוליות יכולות לקבל בתור ארגומנט מספר מרוכב.
ניתן, בעזרת נוסחת אוילר ()
להגיע לקשרים הבאים בין הפונקציות ההיפרבוליות לפונקציות הטריגונומטריות עבור ארגומנטים מרוכבים:
הפונקציות ההיפרבוליות מופיעות בבעיות רבות בתחומי המתמטיקה והפיזיקה, בהן מעורב אינטגרל המכיל את הביטוי : (זאת בעוד שהפונקציות הטריגונומטריות מופיעות בבעיות, בהן מעורב אינטגרל המכיל את הביטוי :).
קוסינוס היפרבולי הוא הפונקציה המתארת את צורתו של כבל תלוי בין שני עמודים (עקומת קו השרשרת).
טנגנס היפרבולי הוא הפונקציה המתארת את מהירותו של עצם הנופל נפילה חופשית כשהוא נתון להשפעתם של כוח הכובד ושל כוח התנגדות האוויר.
סינוס היפרבולי מופיע בביטוי לפוטנציאל הכבידתי של גליל, ובחישוב גבול רוש (Roche limit).
טנגנס היפרבולי מופיע בחישובי מהירות בתורת היחסות הפרטית.
סינוס, קוסינוס וטנגנס היפרבוליים מופיעים בחישובי תורת היחסות הכללית.
הפונקציות ההיפרבוליות מופיעות במשפטים בגאומטריה היפרבולית.
מבנה קשת השער מתוכנן על בסיס של פונקציית קוסינוס היפרבולי.
פונקציית אוילר (על שם המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר) היא דוגמה חשובה לפונקציה אריתמטית.
מקובל לסמנה באות היוונית (פי), והיא מוגדרת באופן הבא: שווה למספר המספרים הטבעיים הקטנים מ- וזרים לו.
למשל, , ואילו (1 הוא המספר הטבעי היחיד שזר לעצמו).
כלומר, זהו גודלה של חבורת אוילר המתאימה ל-.
הפונקציה מוכרת ושימושית בעיקר בזכות משפט אוילר, שלפיו הסדר של כל איבר בחבורת אוילר מסדר מחלק את .
אם מספר ראשוני, אזי כל המספרים הקטנים מ- זרים לו, ולכן .
באופן כללי יותר, המספרים שאינם זרים ל- הם כל אלה המתחלקים ב-, שמספרם , ולכן .
ממשפט השאריות הסיני נובע שפונקציית אוילר כפלית, כלומר עבור זרים.
מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה
כאשר הם הגורמים הראשוניים השונים של .
נכתוב ונקבל ממה שאנו כבר יודעים עבור חישוב פונקציית אוילר לחזקה של ראשוני כי:
פונקציית אוילר מקיימת את הזהות , אותה אפשר להסביר באמצעות חישוב הסדרים של איברים בחבורה הציקלית .
נוכל להסתכל על הזהות הזו כקונבולוציה כאשר פונקציית הזהות.
לכן, מנוסחת ההיפוך של מביוס נובע כי
נוכל לתת הוכחה נוספת, המבוססת על הנוסחה לחישוב הפונקציה שהראינו.
הרי אם הגורמים הראשוניים השונים המחלקים את , נוכל להבחין כי
שהרי לכל מחלק , אם הוא לא מכפלת ראשוניים שונים אז מהגדרת פונקציית מביוס.
ניתן לראות זאת מתכונת הכפליות.
אם בעבור , אז .
אחרת ל- יש מחלק ראשוני אי-זוגי, כלומר הוא מהצורה , ולכן: , ו- זוגי.
הערך הממוצע של הפונקציה הוא .
הגבול התחתון של היחס הוא , כאשר הוא קבוע אוילר-מסקרוני.
ניתן לכתוב את טור דיריכלה של פונקציית אוילר באופן הבא:
כאשר פונקציית זטא של רימן.
בתורת גלואה, פונקציית אוילר מופיעה כממד של ההרחבה הציקלוטומית של שדה המספרים הרציונליים על ידי שורש היחידה מסדר (הסיבה לכך היא שהפולינום הציקלוטומי הוא אי פריק).
פונקציית אקרמן היא דוגמה פשוטה לפונקציה רקורסיבית שאיננה רקורסיבית פרימיטיבית.
פונקציה זו גדלה מהר יותר מכל פונקציה רקורסיבית פרימיטיבית.
הפונקציה נקראת על-שם מי שהגדיר אותה, בשנת 1928, המתמטיקאי הגרמני וילהלם אקרמן.
פונקציית אקרמן מחושבת על ידי ההגדרה הרקורסיבית הבאה:
ניתן לבטא את פונקציית אקרמן במונחי החץ של קנות' והחץ של קונוויי.
פונקציות זוגיות ואי-זוגיות הן פונקציות ממשיות בעלות סימטריה מוגדרת ביחס לישר (כלומר לציר ה-).
המונח "פונקציה זוגית" נטבע על ידי לאונרד אוילר, ומופיע לראשונה בספרו שיצא ב-1727, והשימוש הראשון הידוע במונח "פונקציה אי-זוגית" הוא בספר של תומאס לייבורן שיצא ב-1814. הסברה המקובלת היא שהכינויים "זוגי" ו"אי-זוגי" נובעים מהעובדה שהפונקציה היא פונקציה זוגית כאשר זוגי ופונקציה אי-זוגית כאשר אי-זוגי.
הגדרה: ערכה זהה עבור כל מספר בתחום ההגדרה ועבור המספר הנגדי לו, כלומר .
סימטריה: כל פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר ה-.
הגדרה: ערכה עבור כל מספר בתחום ההגדרה הוא המספר הנגדי של ערכה עבור המספר הנגדי לו, כלומר .
סימטריה: כל פונקציה אי-זוגית היא אנטי-סימטרית ביחס לציר ה- (כלומר יש לה סימטריית סיבוב של סביב לראשית).
ניתן לייצג כל פונקציה באמצעות סכום של פונקציה זוגית ואי זוגית:
מכאן נובע שמרחב הפונקציות כולן מהווה סכום ישר של מרחבי הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות (כשחיבור וכפל בסקלר מוגדרים נקודתית).
לפעמים, עבור פונקציות מרוכבות, הפונקציה הזוגיות והאי זוגית מיוצגים בהתאמה באופן הבא:
בצורת כתיבה זאת ניתן להוכיח בקלות רבה תכונות של התמרת פורייה.
סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות זוגיות ובפתוח של פונקציה זוגית מ- לטור פורייה יופיעו רק איברי הקוסינוס).
סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית אי-זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות אי-זוגיות ובפתוח של פונקציה אי-זוגית מ- לטור פורייה יופיעו רק איברי הסינוס).
מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
מנה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
מנה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
מנה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
באופן כללי כל מכפלה הכוללת פונקציות זוגיות ולא זוגיות בלבד (הפונקציה היא לא זוגית), הפונקציות הזוגיות משמרות את הזוגיות, והזוגיות תלויה האם מספר הפונקציות האי זוגיות זוגי או לא זוגי.
הרכבה הכוללת פונקציות זוגיות ולא כוללת פונקציות כלליות היא פונקציה זוגית.
הרכבה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה אי-זוגית.
הרכבה של כל פונקציה עם פונקציה זוגית היא זוגית, אך הרכבה של פונקציה זוגית על פונקציה כללית אינה בהכרח זוגית.
נגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית (אם אינה אפס).
נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
נגזרת של פונקציה כללית היא פונקציה כללית או זוגית.
הוכחה:הגדרת הנגזרת בנקודה , היא הגבול .
ניתן להגדיר את כ- ואת כ-
נראה שאם נחליף את הסימן של ושל נקבל לפונקציה זוגית, כלומר שסימן הגבול התחלף.
ולפונקציה אי זוגית נקבל, כלומר שסימן הגבול נשמר.
כל פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה המקדם החופשי שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות.
האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס.
האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי.
תכונת האפס: כל פונקציה אי זוגית המוגדרת ורציפה בנקודה חייבת לקיים .
במתמטיקה, הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות הן פונקציות המתקבלות על ידי הפיכת הפונקציות הטריגונומטריות היסודיות.
הפונקציות הטריגונומטריות אינן חד-חד ערכיות בתחום הגדרתן, לכן יש לצמצם את תחומן כדי להגדיר את הפונקציות ההפוכות.
הפונקציה ההפיכה של (סינוס) (קוסינוס) דרך נוספת לרשום את הפונקציה תחום הגדרה תמונה הכללה לכל הישר הממשי אם ורק אם
או עבור שלם כלשהו.זהות מרוכבת מונוטוניות מונוטונית עולה ממש מונוטונית יורדת ממש סימטריהפונקציה אי-זוגית: אסימפטוטות אין אין שורשים קיצון מקומי Minimum Maximum Minimum Maximum גרף למידע נוסף
הפונקציה ההפיכה של (טנגנס) (קוטנגנס) דרך נוספת לרשום את הפונקציה תחום הגדרה תמונה הכללה לכל הישר הממשי tan y = x אם ורק אם y = arctan x + kπ עבור שלם k כלשהו.
cot y = x אם ורק אם y = arccot x + kπ עבור שלם k כלשהו.
מונוטוניות מונוטונית עולה ממש מונוטונית יורדת ממש סימטריה פונקציה אי-זוגית: אסימפטוטות כאשר כאשר כאשר שורשים אין קיצון מקומי אין אין גרף למידע נוסף
הפונקציה ההפיכה של (סקאנס) (קוסקאנס) דרך נוספת לרשום את הפונקציה תחום הגדרה תמונה הכללה לכל הישר הממשי sec y = x אם ורק אם y = arcsec x + 2kπ
או y = π − arccsc x + 2kπ עבור שלם k כלשהו.
מונוטוניות בכל אחד ממרכיבי תחום ההגדרה הפונקציה עולה ממש בכל אחד ממרכיבי תחום ההגדרה הפונקציה יורדת ממש סימטריה פונקציה אי-זוגית: אסימפטוטות כאשר כאשר שורשים אין קיצון מקומי Minimum Maximum Minimum Maximum גרף למידע נוסף
במתמטיקה, פונקציית בֶּסֶּל היא פתרון למשוואה דיפרנציאלית הנקראת משוואת בסל:
כאשר p הוא קבוע (ממשי או מרוכב) הנקרא הסדר של פונקציית בסל.
ברוב המקרים במדע הוא מספר שלם או חצי-שלם.
משוואת בסל מופיעה בתחומים רבים בפיזיקה בהן תופעה בעלת סימטריה גלילית או כדורית מתוארת על ידי משוואה דיפרנציאלית הכוללת את אופרטור הלפלסיאן.
בין אלה ניתן למנות את משוואת לפלס באלקטרומגנטיות, משוואת החום המתארת זרימת חום, משוואת שרדינגר במכניקת הקוונטים ובתיאור תבנית עקיפה המתקבלת דרך מיפתח עגול.
פונקציית בסל הוגדרה לראשונה על ידי המתמטיקאי דניאל ברנולי והוכללה על ידי פרידריך בסל.
פונקציית בסל הופיעה לראשונה בעבודתו של דניאל ברנולי ב-1732, בעודו חוקר את הבעיה של מיתר מתנודד, בעיה שנחקרה קודם על ידי אביו יוהאן ברנולי.
דניאל התייחס לשרשרת גמישה בעלת צפיפות אורכית אחידה התלויה מנקודה קבועה בקצה העליון שלה וחופשית בקצה התחתון שלה (בעיית השרשרת התלויה של ברנולי).
הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית המתארת את אופני התנודה של השרשרת הוביל להצגה של הפונקציה הנקראת כיום פונקציית בסל מסדר אפס, .
ברנולי פיתח גם שיטה נומרית לחישוב שורשי הפונקציה.
לאחר מכן, לאונרד אוילר מצא ב-1736 קשר בין פונקציות אחרות (המכונות כיום פולינומי לאגר) לבין הפתרון של ברנולי.
אוילר התייחס גם לשרשרת בעלת צפיפות אורכית לא אחידה, מה שהוביל להצגה של הפונקציות הנקראות כיום פונקציות בסל מותאמות .
באמצע המאה ה-18, ז'אן לה רון ד'אלמבר מצא נוסחה המאפשרת לפתור את משוואת הגלים.
בשנת 1771, נתגלעה מחלוקת בין ברנולי, אוילר, ד'אלמבר וז'וזף לואי לגראנז' לגבי טבעם של הפתרונות המתארים מיתרים מתנודדים.
אוילר חקר ב-1778 את הבעיה של קריסה, והציג את המושג החשוב של עומס קריטי.
כדי לפתור את הבעיה הוא הציג את הטור האינסופי המייצג את .
אוילר גם פתר את הבעיה של תיאור התנודות של תופים דו-ממדיים עגולים ב-1780, בעזרת הפרדת משתנים בקואורדינטות גליליות.
כדי לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית שהתקבלה הוא הציג את הטורים האינסופיים המקושרים ל-, כאשר n טבעי.
בשלהי המאה ה-18, פייר-סימון לפלס ומארק אנטואן פרסבל מצאו דרכים שקולות לייצג את פונקציות בסל.
פרסבל למשל מצא הצגה אינטגרלית של באמצעות פונקציית הקוסינוס.
בתחילת המאה ה-19, ז'וזף פורייה השתמש ב- כדי לפתור את משוואת החום בבעיה בעלת סימטריה גלילית.
פורייה זכה ב-1811 בפרס של האקדמיה הצרפתית למדעים על עבודתו זו.
עם זאת, רוב הפרטים של עבודתו זו, כולל השימוש בטורי פורייה, לא פורסמו עד 1822.סימאון דני פואסון, שהיה נתון באותו זמן בתחרות עם פורייה, הרחיב ב-1823 את עבודתו של פורייה, והציג תכונות חדשות של פונקציות בסל, כמו גם את פונקציות בסל מסדר חצי-שלם (שכעת נקראות פונקציות בסל כדוריות).
ב-1770, לגראנז' הציג את הפיתוח לטור אינסופי של פונקציות בסל במטרה לפתור את משוואת קפלר, משוואה טרנסצנדנטית ידועה באסטרונומיה.
פרידריך וילהלם בסל קרא את פתרונו של לגראנז' אולם מצא אותו קשה להבנה.
ב-1813 במכתב לקרל פרידריך גאוס, בסל פישט את החישוב של לגראנז' באמצעות פונקציות טריגונומטריות.
בסל פרסם את עבודתו ב-1819, ובאופן בלתי תלוי הציג את שיטת טורי פורייה, לה הוא לא היה מודע כי היא פורסמה כמה שנים מאוחר יותר.
ב-1824, בסל פרסם חקירה שיטתית ומקיפה של הפונקציות הללו, מה שבסופו של דבר הקנה לפונקציות הללו את שמו.
בספרות הישנה יותר פונקציות אלו נקראות לפעמים פונקציות גליליות או אף פונקציות בסל-פורייה.
בפתרון משוואת בסל כטור חזקות (לפי שיטת (טור) פרובניוס) מתקבלת פונקציית בסל מהסוג הראשון
כאשר p, הקבוע במשוואת בסל, הוא דרגת פונקציית בסל ו- היא פונקציית גמא.
פתרון נוסף מתקבל בשיטה זו על ידי החלפה של p ב-p-:
אם p איננו מספר שלם, ו הם שני פתרונות בלתי תלויים למשוואת בסל, שהיא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, ולכן צירוף ליניארי שלהם הוא הפתרון הכללי למשוואת בסל.
אך כאשר p הוא מספר שלם, ניתן להראות שמתקיים הקשר:
במקרה כזה הפתרונות אינם בלתי תלויים, והפתרון הנוסף הוא פונקציית בסל מהסוג השני.
עבור p חצי שלם, ניתנת להבעה באמצעות פונקציות טריגונומטריות.
שורשי פונקציית בסל, , הם הנקודות בהן פונקציית בסל מדרגה p מתאפסת.
אין נוסחה אנליטית לקבלתם, אך בפיזיקה ובתחומי ההנדסה נוהגים להניח מספר הנחות לגביהם שטרם הוכחו באופן פורמלי:
שורשי פונקציות בסל אינם מחזוריים.
עבור p טבעי, לפונקציה יש מספר אינסופי של שורשים.
לפונקציות בעלות דרגות p שונות אין שורשים משותפים מלבד זה שב-x=0.
פונקציית בסל מהסוג השני, הנקראת גם פונקציית נוימן או פונקציית וובר, היא פתרון שני של משוואת בסל מדרגה p שהיא מספר לא-שלם, והיא מתבדרת ב-x=0. הפונקציה מסומנת בדרך כלל והיא מוגדרת:
עבור דרגה p=n שהיא מספר שלם מגדירים את פונקציית בסל מהסוג השני להיות הגבול:
הפתרון הכללי למשוואת בסל מדרגה p יכול אם כן להיכתב בצורה הבאה:
פונקציות בסל המותאמות (לעיתים גם פונקציות בסל ההיפרבוליות), הן הפתרונות למשוואה שונה במקצת, אך דומה:
בשונה מפונקציות בסל הרגילות, הן אינן מתנדנדות סביב ציר ה־.
ישנם שני סוגים של פונקציות בסל המותאמות: המתבדרת כאשר ו־ המתבדרת ב־.
גם כאן כאשר הוא מספר שלם לוקחים גבול.
שאלת הפונקציונליזם מול האינטנציונליזם בשואה הוא ויכוח היסטוריוגרפי העוסק בדרך שבה התרחשה השואה, כמו גם בהיבטים רבים אחרים של הרייך השלישי, למשל הדרך שבה נוהלה מדיניות החוץ של גרמניה הנאצית.
ניתן למקד את הוויכוח בשתי שאלות עיקריות: האם השואה הייתה מתוכננת מראש, כחלק מתוכנית אב גדולה שאותה הגה אדולף היטלר?
תומכי האסכולה האינטנציונליסטית סבורים שהתשובה לשאלה זו חיובית; אדולף היטלר תכנן מראש את השמדת יהדות אירופה, והשואה היא הביצוע בפועל של תכנון זה; תומכי האסכולה הפונקציונליסטית חולקים על גישה זו, וסבורים שהשואה לא הייתה יוזמה מתוכננת מראש, אלא התהוותה תוך כדי התפתחות הרייך השלישי.
ושאלה נוספת: האם היוזמה לביצוע השואה הגיעה מלמעלה, בפקודה מאת אדולף היטלר, או שהחלה ביוזמה שבאה מתוך הפקידות הגרמנית?
האינטנציונליזם טוען שהפקודות ניתנו מן הדרג הגבוה ביותר, ואילו הפונקציונליזם סבור שהיוזמה באה מלמטה.
המונחים "פונקציונליסט" ו"אינטנציונליסט" נטבעו ב-1981 בידי ההיסטוריון המרקסיסט טימותי מייסון, אולם שורשי הוויכוח נעוצים עוד בשנים 1969–1970, עם פרסומם של הספרים The Hitler State ב-1969, מאת מרטין ברושאט, ו-The Twisted Road to Auschwitz ב-1970, מאת קארל שלוינס, שהציגו גישה פונקציונליסטית.
הואיל ומרבית ההיסטוריונים הפונקציונליסטים היו בני גרמניה המערבית, הצביעו היסטוריונים אינטנציונליסטים רבים – ובפרט אלו שמחוץ לגרמניה – על היסטוריונים דוגמת ברושט והנס מומסן, אשר בילו את נעוריהם בנוער היטלר, וטענו כי עבודותיהם אפולוגטיות כלפי הנאציזם.
תמיכתו של ראול הילברג היהודי באסכולה הפונקציונליסטית הייתה אתגר למבקרי האסכולה.
חיפוש מקורה של השואה החל מיד לאחר סיום מלחמת העולם השנייה.
התביעה במשפטי נירנברג, שבהם נשפטו ראשי המשטר הנאצי, הציגה את הפתרון הסופי כחלק מתוכנית ארוכת טווח שגובשה על ידי ראשי המפלגה הנאצית עוד עם התגבשותה ב-1919. תפיסה זו השפיעה על מרבית ההיסטוריונים בשנים שלאחר מכן, שנקטו רובם ככולם אותה גישה; גישה זו מוגדרת היום כגישה האינטנציונליסטית הקיצונית.
בסוף שנות ה-60 התפרסמו ספריהם של ברושט ושלוינס, שהוזכרו לעיל.
המחנות נקראו בפרפרזה על שם ספרו של שלוינס: החוקרים שדגלו בשיטה האינטנציונליסטית נקראו מחנה "הדרך הישירה לאושוויץ" ("The straight road to Auschwitz") או "מחנה התוכנית" (programmeists), משום שסברו שהיטלר פעל על פי תוכנית מוכנה מראש.
תומכי התפיסה הפונקציונליסטית נקראו מחנה "הדרך המתפתלת לאושוויץ" ("the twisted road to Auschwitz"), או ה"מבניים" (structuralists), משום שסברו שמקורה של השואה במבני הכוח הפנימיים של הרייך השלישי.
בשנת 1981 פרסם ההיסטוריון הבריטי טימות'י מייסון מסה שכותרתה הייתה "כוונה והסבר" ("Intention and Explanation").
מסה זו הייתה חלק מביקורת שמתח מייסון על תפיסתם של ההיסטוריונים קארל דיטריך בראכר וקלאוס הילדברנד.
מייסון טען, שבראכר והילדברנד התמקדו יתר על המידה באדולף היטלר כשורש ההסבר לשואה.
במאמר זה טבע מייסון את המינוח "פונקציונליסטים" לאותם היסטוריונים שנקראו עד אז אסכולת ה"מבניים", וסברו שהשואה התרחשה כתוצאה מן המבנה הפנימי במדינה הנאצית; במקביל, הגדיר מייסון את אסכולת ה"תוכנית" כ"אינטנציונליסטיים", משום שסברו שכוונותיו ותוכניותיו של היטלר הן שהביאו לשואה.
מונחים אלה נתקבלו במקום המונחים הקודמים שהיו מקובלים עד אז.
בהרצאה בפריז ב-1982 סיכם כריסטופר בראונינג את הוויכוח:
היסטוריונים הדוגלים בתפיסה האינטנציונליסטית בגרסתה המוקצנת ביותר, טוענים שלהיטלר היו תוכניות החלטיות לביצוע השואה עוד ב-1924, אם לא מוקדם יותר.
לוסי דווידוביץ' (Dawidowicz) סוברת, כאמור, שהיטלר החליט על השמדת היהודים כבר ב-1919. כתמיכה בטענתה מצביעה דוידוביץ' על מספר רב של התבטאויות אנטישמיות שאותן השמיע היטלר באותן שנים.
מבקריה של דוידוביץ' טוענים כנגדה שמעט מאוד מהתבטאויותיו של היטלר באותן שנים עוסקות בהרג יהודים.
רק התבטאות אחת של היטלר, בספרו מיין קאמפף, מדברת על רצח יהודים; שם אומר היטלר כי לו היו 12,000 עד 15,000 יהודים נחנקים בגז במקום החיילים הגרמניים שנהרגו בדרך זו במלחמת העולם הראשונה, כי אז "הקרבתם של מיליונים בחזית לא הייתה לשווא".
מבקריה של דוידוביץ' טוענים ששורה אחת בספר בן 694 עמודים היא ראייה קלושה מדי לטענתה.
גרסה מתונה יותר של האסכולה האינטנציונליסטית גורסת שהיטלר החליט על השמדת היהודים בסוף שנות ה-30 של המאה ה-20, ומכל מקום לא יאוחר מ-1939, או 1941. אחת הראיות המובאות על ידי ההיסטוריונים השייכים לאסכולה זו היא נאומו המפורסם של אדולף היטלר בפני הרייכסטאג, ב-30 בינואר 1939, ובו אמר:
יהודה באואר מקשה על גישה זו, ומראה שאף על פי שבנאום זה אכן ישנו אזכור מפורש של השמדת עם, בפועל לא עשה היטלר שום צעד מעשי לקראת ביצוע ההשמדה.
איאן קרשו מביא ציטוטים מיומנו של יוזף גבלס, מהם ניתן להתרשם שגבלס הופתע מהתרחשות ההשמדה, משמע שלא הייתה ידועה לו תוכנית כזו.
הגרסה הקיצונית ביותר של האסכולה הפונקציונליסטית טוענת, שהשואה הייתה פרי יוזמתה של הבירוקרטיה הגרמנית, ושהנהגת הרייך השלישי לא הייתה קשורה כלל ליוזמה זו.
ההיסטוריון גץ עלי (Götz Aly) הביא כראיה לתפיסה זו מסמכים רבים של הפקידות הגרמנית בגנרלגוברנמן, שטחה המרכזי של פולין שלא סופח לגרמניה לאחר כיבושה במלחמת העולם השנייה; במסמכים אלה ישנו דיון פנימי ער על הקטנת אוכלוסייתה של פולין ב-25%, כדי לאפשר לכלכלתה לצמוח.
מבקריה של אסכולה זו מצביעים על כך שאין בכך כדי להסביר מדוע נשלחו יהודים מצרפת והולנד למחנות השמדה בפולין – מהלך מנוגד לגמרי למגמה העולה מן המסמכים שהביא עלי; מעבר לכך, אין כאן תשובה לשאלה מדוע היו דווקא יהודי פולין המטרה להשמדה, במקום להשמיד 25% אקראיים מאוכלוסייתה של פולין.
היסטוריונים כקארל שלוינס (Karl Schleunes) וכריסטופר בראונינג מציגים תפיסה מתונה יותר של האסכולה הפונקציונליסטית.
לדעתם, היה מבנה הכוח במדינה הנאצית לא יציב ומלא מתחים ויריבויות בין הגופים השונים שבו.
מתחים אלה הם שיצרו את הכוח המניע שהביא להתרחשותה של השואה.
החוקרים המשתייכים לאסכולה זו סבורים שמטרתם הראשונה של הנאצים הייתה גירוש כל יהודי אירופה אל מחוצה לה (למזרח אירופה, למדגסקר, למרכז אפריקה, ואף לארץ ישראל), אך משהסתבר שאין סיכוי לבצע מדיניות זו, הוחלט על השמדה.
דרך זו נקראת "הדרך העקומה" לרצח עם.
כמה חוקרים, ובהם יהודה באואר ואיאן קרשו, מציגים תפיסה היוצרת סינתזה בין האסכולות השונות.
לשיטתם, להיטלר לא הייתה תוכנית סדורה להשמדת היהודים.
המניע להשמדתם הגיע גם כיוזמה של דרגי השטח, וגם כהנחיה מן הדרגים הגבוהים.
ההנחיה שעברה לדרגים הנמוכים גובתה ביוזמה מצידם של גורמי השדה, ששוב הפכה להנחיה מעל, וחוזר חלילה.
היטלר, כאמור, לא הגה את התוכנית, אך היה הכוח הנחרץ שהניע את השואה.
בהקשר זה נעשה שימוש במונח "רדיקליזציה מצטברת" (cumulative radicalisation), כדי להגדיר את התחרות הקיצונית בין גורמי הממשל הנאצי השונים, שלוותה ברטוריקה חריפה, והביאה לנקיטת מדיניות שהלכה והקצינה כלפי היהודים.
פונקציית בחירה חברתית בתורת המשחקים היא פונקציה המקבלת כקלט את יחסי ההעדפות של הבוחרים בבחירה חברתית ומחזירה כפלט את המועמד הנבחר או האלטרנטיבה הנבחרת.
במקרים רבים החברה אינה צריכה לדרג את כל האפשרויות לפי סדר, אלא לבחור באפשרות אחת.
לאפשרות זו נקרא מעתה האפשרות העדיפה על החברה כולה.
זה המצב, למשל, בבחירות לנשיאות, לנציג לקונגרס או לראשות ועד, או בחירת המהלך המדיני או הכלכלי "הטוב ביותר" (לדעת קבוצת המחליטים).
השאלה היא האם ניתן להתאים לכל פרופיל העדפות חזקות אפשרות אחת, האפשרות העדיפה על החברה כולה, כך שמצד אחד שיטת הבחירה תקיים תכונות רצויות, ומצד שני לא תהיה דיקטטורית.
פונקציית בחירה חברתית בתורת המשחקים, היא פונקציה שמטרתה לבחור את המועמד המועדף על כלל הבוחרים מבין האפשרויות הנתונות.
פונקציית בחירה חברתית מתאימה לכל פרופיל העדפות חזקות אפשרות אחת, שתיקרא "האפשרות העדיפה" על החברה.
בפרט, על פי הגדרה זו אין אפשרות שהחברה תבחר בשתי אפשרויות שונות כעדיפות.
דוגמאות לפונקציה שכזו ניתן לראות למשל בבחירות לראשות הממשלה, בבחירות לנציגות גוף מסוים, בסקר על אבקת כביסה יעילה ביותר וכדומה.
תהי קבוצת האפשרויות, או המועמדים לבחירה, ותהי קבוצת הבוחרים.
יחס העדפות על קבוצת האפשרויות הוא יחס סדר חזק.
את קבוצת יחסי ההעדפות החזקים על מסמנים ב ,
והעדפה חזקה של על לפי יחס הסדר מסמנים ב.
לכל בוחר יש יחס העדפות על קבוצת האפשרויות .
רשימת יחסי ההעדפות החזקות של כל הבוחרים נקראת בשם פרופיל העדפות חזקות, והיא תסומן ב.
פונקציית בחירה חברתית היא פונקציה , המתאימה לכל וקטור של יחסי העדפות חזקים
נאמר שהמועמד הוא המועמד המועדף על החברה, כאשר יחסי ההעדפות של הבוחרים ניתנים על ידי פרופיל ההעדפות .
ישנן מספר תכונות שניתן לדרוש אותן או לחלופין להימנע מהן עבור פונקציית הבחירה החברתית:
פונקציית בחירה חברתית נקראת דיקטטורית אם קיים בוחר כך שלכל פרופיל העדפות חזקות מתקיים ש היא האפשרות המועדפת ביותר על .
פונקציית הבחירה הדיקטטורית היא מונוטונית.
כמו במקרה של פונקציית רווחה חברתית, תנאי סביר לדרוש מפונקציית בחירה חברתית הוא שהיא תהיה יעילה פארטו, היינו שאם כל הפרטים בחברה מעדיפים את אפשרות a על פני אפשרות b, אזי אפשרות b לא תיבחר.
פונקציית בחירה חברתית F מקיימת את תכונת הפה-אחד אם לכל שתי אפשרויות ולכל פרופיל העדפות
חזקות מתקיים : אם לכל פרט אזי .
פונקציית בחירה היא מונוטונית אם עבור פרופיל העדפות חזקות מסוים נבחרת האפשרות a, אזי בכל פרופיל העדפות חזקות אחר שבו השתפר מיקומו של a, או לפחות לא הורע אצל כל הפרטים, נבחרת גם כן האפשרות a אף אם הסדר בין הפרטים האחרים השתנה.
פונקציית בחירה חברתית נקראת מונוטונית אם לכל שני פרופילי העדפות חזקות ,
המקיימים: לכל בוחר , ולכל אם לכל שונה מ מתקיים
לפי משפט גיבארד-סתרסוויט, כשיש שלושה מועמדים לפחות אם פונקציה היא מונוטונית אזי היא או דיקטטורית או לא יעילה פארטו ולכן דרישה זו לא מתקיימת לרוב בפונקציות שימושיות.
פונקציית בחירה חברתית מקיימת את תבחין קונדורסה אם השיטה בוחרת מועמד המנצח כל מועמד אחר בהתמודדות ראש בראש אם קיים כזה, מועמד כזה נקרא מנצח קונדורסה.
כלומר, אם A הוא מנצח קונדורסה, אזי לכל מועמד אחר, B, רוב הקבוצה מעדיפה את A על B.
בפסיכולוגיה, פונקציונליזם היא אסכולה המתייחסת אל הנפש וההתנהגות במונחים של הסתגלות פעילה של האדם אל סביבתו.
הגישה נוצרה על ידי ויליאם ג'יימס ותאורטיקנים אמריקאים נוספים, בסוף המאה ה-19, כתגובת-נגד לגישה הסטרוקטורליסטית של אדוארד טיצ'נר ואחרים.
הסטרוקטורליסטים עסקו בחקר מבנים נפשיים ומרכיביהם, באמצעות מחקרי מעבדה ואינטרוספקציה, והחלו לבסס את ענף הפסיכולוגיה כמדע.
לעומתם, הפונקציונליסטים הושפעו מתורת האבולוציה של דרווין, וטענו כי האדם מתפקד בעולם באופן שנועד לאפשר הסתגלות אופטימלית לסביבתו, ולפיכך אין זה מתאים לדון בנפש כמבנה הניתן לפירוק למרכיבים.
הם טענו כי הנפש וההכרה התפתחו במטרה להנחות את כלל התנהגות האדם והסתגלותו לסביבה.
על פי הגישה, אין צורך בניסויים פסיכולוגיים מדעיים במטרה לבנות תאוריות על נפש האדם.
למעשה לא ניתן לבדוק רעיונות על אופני הסתגלות האדם לסביבתו במנותק מהסביבה, במסגרת מעבדה, אלא יש לעסוק בחקר התנהגות האדם ואופן הסתגלותו בסביבתו הטבעית.
הפונקציונליסטים תרמו להעלאת המודעות לחשיבות חקר ההתנהגות הגלויה של האדם; אך למרות הדמיון לביהביוריסטים בנקודה זו - הביהביוריסטים התנגדו לפונקציונליזם בשל התרחקותם מגישות מחקר וניסוי מדעיות ואובייקטיביות, וטענו כי בשל כך הגישה אינה מבוססת ובעלת יכולת ניבוי מועטה.
הביהביוריסטים גם טענו כי התנהגות אינה תוצאה של הנפש וההכרה, אלא של התניה קלאסית ואופרנטית בלבד.
תאורטיקנים נודעים שדגלו בפונקציונליזם הם ג'ון דיואי, ג'ורג' הרברט מיד, ג'יימס אנג'ל, ג'יימס קאטל, אדוארד לי תורנדייק ועוד.
גישה תאורטית שהתפתחה מאוחר יותר בתחום הפסיכולוגיה, ומבוססת בין השאר על הפונקציונליזם הקלאסי, היא פסיכולוגיה אבולוציונית.
פונקציית בטא היא פונקציה של שני מספרים מרוכבים המוגדרת על ידי האינטגרל:
הפונקציה נחקרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר ואדריאן-מארי לז'נדר ושמה ניתן לה על ידי ז'אק בינֶה.
פונקציית בטא מגדירה את פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות בטא והיא משרעת הפיזור הראשונה שהתגלתה בתורת המיתרים, על ידי הפיזיקאי גבריאל ונציאנו.
פונקציית בטא היא פונקציה סימטרית:
היא קשורה באופן הדוק לפונקציית גמא:
בדומה להרחבת פונקציית העצרת לערכים מרוכבים בעזרת פונקציית גמא, ניתן להרחיב מקדמים בינומיים בעזרת פונקציית בטא:
באופן דומה להכללת פונקציית גמא לפונקציית גמא הלא שלמה, ניתן להכליל את פונקציית בטא לפונקציה בטא הלא שלמה על ידי הנוסחה הבאה
עבור פונקציית בטא הלא שלמה שווה זהותית לפונקציית בטא.
עבור a ו b שלמים פונקציית בטא הלא שלמה היא פולינום מדרגה עם מקדמים רציונליים.
על ידי ההצבות ו אפשר להראות ש
פונקציית בטא הלא שלמה הרגולרית מוגדרת באמצעות פונקציית בטא הלא שלמה ופונקציית בטא
פונקציית בטא הלא שלמה הרגולרית היא פונקציית ההסתברות המצטברת של התפלגות בטא.
קיים קשר בין פונקציית בטא הלא שלמה הרגולרית ופונקציית התפלגות של משתנה מקרי בינומי.
עבור משתנה מקרי בינומי ,
פונקציית בסיס-13 של קונוויי היא פונקציה ממשית המקבלת כל ערך ממשי בכל קטע.
הפונקציה המבוססת על הצגת ערכים בבסיס 13 ובבסיס 10, תוארה על ידי המתמטיקאי ג'ון הורטון קונוויי.
כמו הפתרונות הלא רציפים של המשוואה הפונקציונלית של קושי, הגרף של הפונקציה צפוף במישור הממשי, והיא אינה רציפה באף נקודה.
פונקציות רציפות נתפסות באופן אינטואיטיבי (ולא מדויק) כפונקציות שניתן לצייר את הגרף שלהן בלי להרים את העיפרון מהדף.
לפי תפיסה אינטואיטיבית זו, אם פונקציה רציפה מקבלת בשתי נקודות שונות שני ערכים שונים, אז בדרכה מערך אחד לאחר היא תעבור גם דרך כל ערך שביניהם.
זהו אכן התוכן של משפט ערך הביניים.
נשאלת השאלה האם גם הכיוון ההפוך נכון: האם פונקציה העוברת בדרכה מערך אחד לאחר דרך כל ערך שביניהם, היא בהכרח רציפה?
בניסוח מתמטי מגדירים פונקציה כ"פונקציית דארבו" אם לכל שתי נקודות ו- המקיימות ולכל המקיים קיים בין ל- כך ש-.
בעזרת מושג זה ניתן לנסח את משפט ערך הביניים בתור הטענה "כל פונקציה רציפה היא פונקציית דארבו".
השאלה שנוסחה קודם היא למעשה השאלה "האם כל פונקציית דארבו היא פונקציה רציפה?" התשובה לשאלה שלילית.
לפי משפט דארבו כל פונקציה שיש לה פונקציה קדומה (כלומר היא הנגזרת של פונקציה כלשהי) היא פונקציית דארבו, אף שישנן פונקציות שיש להן פונקציה קדומה והן אינן רציפות.
הדוגמה הטיפוסית לטענה כי לא כל פונקציית דארבו רציפה היא הפונקציה (כשמוסכם כי ).
פונקציה זו היא פונקציית דארבו בכל קטע שהוא, עם זאת היא אינה רציפה בנקודה (הפונקציה "משתוללת" בנקודה זו, ראו עקומת הסינוס של הטופולוגים).
על אף שדוגמה זו מספיקה כדי להפריך את המשפט ההפוך למשפט ערך הביניים ולתת תשובה שלילית לשאלה ששאלנו, היא אינה דוגמה חזקה במיוחד.
זאת משום שהפונקציה שבדוגמה אינה רציפה בנקודה יחידה בלבד, ורציפה בכל נקודה אחרת.
ניתן לעדן את המשפט ההפוך כך שהדוגמה הזו לא תספיק: נשאל את השאלה, "האם פונקציית דארבו מוכרחה להיות רציפה כמעט בכל נקודה?".
הפונקציה שהצגנו רציפה בכל נקודה פרט לאפס, ולכן אין היא מספיקה כדי לשלול את הטענה בשאלה החדשה.
לשם כך הציג קונוויי פונקציה מתוחכמת מעט יותר, שהיא פונקציית דארבו לכל דבר, ובכל זאת, אינה רציפה באף נקודה.
פונקציית בסיס-13 של קונוויי היא פונקציה המוגדרת לכל כך:
מציגים את בבסיס 13 בעזרת הספרות , כאשר הן הספרות המייצגות את 10,11,12 העשרוניים בהתאמה (ונמנעים מחזרה אינסופית על הספרה בדומה לבסיס עשרוני בו נמנעים מהייצוג למספר 1).
נניח שבייצוג של בבסיס 13 יש רק מספר סופי של ספרות לא עשרוניות (), ומביניהן האחרונה היא וזו שלפניה היא (כלומר או ).
אז אפשר לכתוב , כאשר שלוש הנקודות הראשונות מסמלות ספרות כלשהן, ו- הן ספרות עשרוניות.
במקרה כזה מגדירים , בכתיב העשרוני בו הסימן נקבע לפי הסימן של S והנקודה באמצע (במקום של D) היא נקודה עשרונית.
אם הייצוג של x אינו כזה, אז .
(הבחירה בבסיס 13 נעשתה מטעמי נוחות, כדי שהתוצאה הסופית תתקבל בבסיס עשרוני.
ניתן להפעיל אותה הגדרה לכל בסיס בן 5 ספרות ומעלה, ולקבל פונקציה בעלת אותן תכונות.)
הפונקציה מקבלת כל ערך ממשי בכל קטע המוכל בתחום ההגדרה שלה.
אכן, יהי קטע (המכיל יותר מנקודה אחת), ויהי מספר ממשי.
נייצג את בבסיס 13 ואת בבסיס עשרוני:
כאשר הם האיברים המשותפים בתחילת ההצגה של ו- (אם ישנם כאלו).
נשים לב כי קיים כך ש- (כי נמנענו מהצגות בהן יש חזרה אינסופית על ).
קטן מ- כי הייצוג שלו זהה לשל עד הנקודה בה מתקיים (מכיוון ש-), והוא גדול מ-c כי הייצוג שלו זהה לו עד הנקודה בה מתקיים .
לפי הגדרת הפונקציה, התמונה של היא , כפי שרצינו.
מכאן נובעת מיד תכונת דארבו, והפונקציה אינה יכולה להיות רציפה באף נקודה: היא מקבלת ערכים לא חסומים בכל סביבה.
התומך של פונקציית הבסיס-13 של קונוויי, דהיינו, קבוצת הנקודות שבהן היא מקבלת ערך שונה מאפס, היא קבוצה מעניינת בפני עצמה, הדומה בתכונותיה לקבוצת קנטור.
העוצמה של היא עוצמת הרצף (כי מתאימה אותה על הרצף) והיא צפופה בקטע .
מידת לבג של היא 0, כי היא חלקית לקבוצת המספרים שאינם נורמליים (כי בייצוג של כל איבר ב- בבסיס 13 הספרות מופיעות רק מספר סופי של פעמים), שלפי הלמה של בורל-קנטלי מידתה אפס.
מהגדרת הפונקציה נובע ש- היא קבוצת בורל.
במתמטיקה, פונקציית בטא של דיריכלה הנקראת על שם יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה היא פונקציה אשר קשורה לפונקציית זטא של רימן.
פונקציית בטא של דיריכלה מוגדרת על ידי :
הפונקציה מוגדרת לכול מספר מרוכב שמקיים .
אפשר גם להגדיר את פונקציית בטא של דיריכלה על ידי פונקציית פוליגמא אשר מאפשרת הכללה לכול מספר בתחום המישור המרוכב.
המשוואה הפונקציונלית של פונקציית בטא של דיריכלה (אשר מוגדרת לכול מספר מרוכב) היא
הנה כמה ערכים מיוחדים של פונקציית בטא של דיריכלה
( G נקרא קבוע קטלן)
כאשר היא מוגדרת להיות פונקציית פוליגמא.
בצורה יותר כללית, לכל מספר טבעי :
כאשר הוא מספר אוילר ה--י.
על ידי הכללה אפשר להסיק שלכל מספר טבעי :
פונקציות ברילואן ולנז'וון הן זוג פונקציות מיוחדות המשמשות לחקר חומר פאראמגנטי אידיאלי במכניקה סטטיסטית.
פונקציית ברילואן (על שמו של לאון ברילואן) היא פונקציה מיוחדת המוגדרת על ידי המשוואה הבאה:
הפונקציה מיושמת בדרך כלל (ראה להלן) בהקשר שבו x הוא משתנה ממשי ו-J הוא מספר חיובי שלם או חצי-שלם.
במקרה זה, הפונקציה משתנה מ-1 עד 1, מתקרבת ל-1 כאשר ול-1- כאשר .
הפונקציה ידועה בעיקר בשל השימוש שנעשה בה לצורך חישוב המגנוט של פאראמגנט אידיאלי.
ליתר פירוט, היא מתארת את התלות של המגנטיזציה M בשדה המגנטי B ובתנע הזוויתי הקוונטי הכולל J של המומנטים המגנטיים המיקרוסקופיים של החומר.
הוא מספר האטומים ליחידת נפח.
הוא היחס בין אנרגיית זימן של המומנט המגנטי בשדה החיצוני לבין האנרגיה התרמית :
הוא קבוע בולצמן ו- היא הטמפרטורה.
במערכת היחידות SI, השדה המגנטי נמדד ביחידות טסלה ו- כאשר הוא השדה המגנטי בריק הנמדד ביחידות A/m ו- הוא קבוע הפרמאביליות בריק.
בגבול הקלאסי, כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי, והתנע הזוויתי .
אזי, ניתן לפשט את פונקציית ברילואן לפונקציית לנז'וון, (על שמו של פול לנז'וון):
עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון על ידי חיתוך טור טיילור:
חלופה טובה יותרכאש לקירוב עבור פונקציית לנז'וון ניתן לקבל מהצגת כשבר משולב על פי למברט:
פונקציית לנז'וון ההפוכה , מוגדרת במרווח הפתוח (1, 1-).עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון ההפוכה על ידי חיתוך טור טיילור:
כאשר , כלומר, כאשר קטן מאוד - בגבול טמפרטורה גבוהה, ערך המגנטיזציה ניתן לקירוב על ידי חוק קירי:
כאשר, הוא קבוע ומגנטון בוהר האפקטיבי הוא .
כאשר פונקציית ברילואן שואפת ל-1. אזי, המגנטיזציה מגיעה לרוויה כאשר כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי:
פונקציית גאוס היא פונקציה מתמטית בעלת שימושים רבים במתמטיקה, פיזיקה ומדעי המחשב.
פונקציה זו נקראת על שם קרל פרידריך גאוס.
פונקציית הגאוסיאן מכונה בשם פונקציית הפעמון כפי שניתן להיווכח מצורתה הייחודית.
בפונקציה, שמיוצגת לרוב על ידי שלושה פרמטרים, הפרמטר a מבטא את הגובה של הגאוסיאן, הפרמטר b מבטא את מיקום המרכז של הגאוסיאן, ו-c מבטא את רוחבו של הגאוסיאן.
הגאוסיאן משמש בהסתברות כפונקציית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית, שם מקשרים בין הפרמטרים לבין הממוצע של המשתנה, וכן סטיית התקן שלו.
אינטגרל על גאוסיאן מבוצע באמצעות מעבר לקואורדינטות פולריות, שמפשט את האינטגרל באמצעות היעקוביאן ומקל על החישוב.
גם כאשר עוסקים בהילוך שיכור הגאוסיאן מופיע, וכן במקרה הרציף של הילוך שיכור - פתרון משוואת הדיפוזיה אשר שניהם מתארים תנועה אקראית.
החשיבות של הגאוסיאן, ומקור הופעתו בטבע, היא בחוק המספרים הגדולים - חוק מתמטי, אשר לפיו סכום של משתנים אקראיים רבים שאינם תלויים ישאף (באופן מסוים מאוד) לגאוסיאן.
כך למשל מתקבל המופע של הגאוסיאן בהילוך שיכור.
הפונקציה מופיעה במקומות רבים, כגון ציוני מבחנים ותוצאות מבחני אינטליגנציה (IQ).
כאשר מתבוננים בשטח שמתחת לגאוסיאן בטווח עד סטיית תקן אחת מהממוצע, מתקבל שטח המהווה כ מתוך השטח שנמצא מתחת לגאוסיאן זה נובע מהחוק האמפירי .
אם מדובר בגאוסיאן שמייצג התפלגות, אז המשמעות היא ש מהאוכלוסייה נמצאת בטווח .
כך, למשל, ליותר ממחצית מהאוכלוסייה מנת משכל בין 85 לבין 115.
חישוב האינטגרל אינו טריוויאלי, כיוון שהפונקציה הקדומה של אינה אלמנטרית (זוהי פונקציית השגיאה).
עם זאת, האינטגרל פתיר אנליטית במספר דרכים (מעבר לדו־מימד, התמרת לפלס, משפט השאריות על מסילה מרוכבת, ועוד).
האינטגרל חיובי ומתכנס, ולכן אם נעלה את האינטגרל בריבוע, נוכל להעביר על ידי משפט פוביני את האינטגרל לדו־ממדי.
כאשר ה- הנוסף מגיע מהיעקוביאן של קואורדינטות פולאריות.
כעת הפונקציה הפנימית נראית כמו .
אך הביטוי ממנו התחלנו הוא , לכן קיבלנו
כיוון שהפונקציה זוגית, מתקיים גם: .
כעת, נתעניין בחישוב אינטגרל מסובך מעט יותר - .
על ידי ההצבה ניתן להיפטר מאחד הגורמים.
כמו כן ה רק מוסיף פקטור מחוץ לאינטגרל.
ההצבה הנוספת תתן אינטגרל מהצורה שכבר פתרנו, עם פקטור נוסף של .
במדעי הטבע, פונקציית איירי (או פונקציית איירי מהסוג הראשון) שסימונה Ai היא פונקציה מיוחדת שקרויה על שם האסטרונום הבריטי ג'ורג' בידל איירי (1801–1892).
הפונקציה והפונקציה הקשורה לה , הן פתרונות בלתי תלויים ליניארית של המשוואה הדיפרנציאלית
המכונה משוואת איירי או משוואת סטוקס.
זו המשוואה הליניארית הדיפרנציאלית הכי פשוטה עם נקודת מפנה (Turning Point, נקודה בה הצורה של הפתרונות משתנה מפתרון אוסילטורי מתנדנד לפתרון מעריכי).
משוואת איירי היא הפתרון של משוואת שרדינגר עבור חלקיק כלוא בתוך בור פוטנציאל קובי, או עבור חלקיק הנמצא תחת השפעת כח קבוע.
מאותה הסיבה, הוא משמש גם כפתרון סמי-קלסי אחיד לקירוב ליד נקודת מפנה בקירוב WKB, כאשר הפוטנציאל ניתן לקירוב מקומי כפונקציה ליניארית של המקום.
פונקציית איירי עומדת גם בבסיס הצורה של עוצמת האור ליד ריכוז קרניים אופטיות, כמו זה של קשת.
מבחינה היסטורית, זו הייתה הבעיה שהובילה את איירי לפתח את הפונקציה.
פונקציה אחרת בשם "פונקציית איירי" ממלאת תפקיד חשוב במיקרוסקופיה ובאסטרונומיה.
היא מתארת את תבנית התאבכות שנוצרת על ידי מקור מעגלי נקודתי בעקבות עקיפה והתאבכות.
זוהי פונקציה דו־ממדית, והיא פונקציית בסל של הרדיוס.
עבור ערכים ממשיים של x, ניתן להגדיר את פונקציית איירי מהסוג הראשון על ידי אינטגרל רימן לא אמיתי:
שיתכנס כי תנודות מהירות נוטות לבטל זו את זו.
למשוואה הזו יש שני פתרונות בלתי תלויים ליניארית.
עד כדי כפל בסקלר, הוא הפתרון בכפוף לתנאי כאשר .
הבחירה הסטנדרטית עבור הפונקציה השנייה היא פונקציית איירי מהסוג השני, שמסומנת (מכונה לעיתים בֵּיירִי, על משקל איירי).
הוא מוגדר כפתרון עם אותה משרעת תנודה כמו כאשר השונה בפאזה של π/2:
הערכים של ו- ונגזרותיהם ב-x = 0 נתונים על ידי
כאן, Γ, מציין את פונקציית גמא.
ניתן לראות מכן שהוורונסקיאן של ו- הוא .
כאשר x הוא חיובי, היא חיובית, קמורה, ודועכת מעריכית לאפס, ו- חיובית, קמורה, וגדלה באופן מעריכי.
כאשר x הוא שלילי, ו- נעים סביב אפס תדירות שעולה ומשרעת שדועכת.
ניתן לראות זאת בבירור בנוסחאות האסימפטוטיות שיופיעו להלן.
פונקציות איירי מאונכות זו לזו במובן שמתקיים
כאשר משתמשים, שוב, באינטגרל רימן לא אמיתי.
כפי שיוסבר להלן, ניתן להרחיב באופן אנליטי את פונקציות איירי לכל המישור המרוכב, לקבלת פונקציות שלמות.
את ההתנהגות האסימפטוטית שלהן, כאשר |z| הולך לאינסוף על ערך קבוע של תלוי ב- : מה שמכונה תופעת סטוקס.
עבור יש נוסחה אסימפטוטית ל-:
ואחת דומה עבור , אבל רק כאשר :
נוסחה מדויקת יותר עבור , ונוסחה עבור כאשר או, באופן שקול, על ו- כאשר אבל לא אפס, הן:.
כאשר , הקירובים טובים אבל אינם קירובים אסימפטוטיים מבחינה פורמלית, כי היחס בין או לקירוב לעיל מתבדר כאשר הקוסינוס או הסינוס מתאפסים.
הרחבות אסימפטוטיות עבור הגבולות האלה זמינות גם כן.
ניתן לראות אותן, למשל, ב-(Abramowitz and Stegun, 1954) ו-.
ניתן להרחיב את ההגדרה של פונקציית איירי למישור המרוכב על ידי האינטגרל
כאשר האינטגרל הוא על מסילה
או כל מסילה שמתנהגת דומה אסימפטוטית.
לחלופין, ניתן להשתמש במשוואה הדיפרנציאלית y" − xy = 0 כדי להרחיב את הפונקציות ו- להיות פונקציות שלמות במישור המרוכב.
הנוסחה האסימפטוטית של Ai עדיין בתוקף על המישור המרוכב אם לוקחים ערך מוחלט של x2/3, ו-x אינו על הציר הממשי השלילי.
הנוסחה עבור תקפה עבור x בגזרה עבור דלתא חיובית.
כמו כן, הנוסחאות עבור ו- תקפות אם x הוא בתחום
מההתנהגות האסימפטוטית שלהן נובע שלשתי פונקציות איירי יש אינסוף אפסים על הציר הממשי השלילי.
לפונקציה אין אפסים נוספים במישור המרוכב, בעוד שלפונקציה יש אינסוף אפסים בתחום {z ∈ C: π/3 < |arg(z)| < π/2}.
עבור קלטים חיוביים, פונקציות איירי מקושרות לפונקציות בסל:
כאשר I ו-K הם פונקציות בסל מותאמות (modified), דהיינו, הפתרונות של משוואת בסל המותאמת
הנגזרת הראשונה של פונקציית איירי היא
את הפונקציות K1/3 ו - K2/3 ניתן להציג עם אינטגרלים שמתכנסים במהירות.
אם הקלט (x) שלילי, ניתן לקשר בין פונקציות איירי לבין פונקציות בסל (הרגילות):
כאן, J±1/3 הם פונקציות בסל, דהיינו, הן פותרות את משוואת בסל:
יש גם קשר לפונקציות סקורר , שפותרות את המשוואה y" − xy = 1/π.
ניתן לתאר את הפונקציות האלה בעזרת פונקציות איירי ואינטגרלים עליהן:
בעזרת ההגדרה של פונקציית איירי, ניתן לראות באופן ישיר שהתמרת פורייה שלה היא
שימושים אחרים של המונח פונקציית איירי
פונקציית ההעברה של אינטרפרומטר פברי-פרו מכונה לעיתים גם היא "פונקציית איירי"
כאשר לשני המשטחים יש החזרה R, ומגדירים
בלי קשר למובנים האחרים, ישנה משמעות שלישית של המונח - הצורה של דיסקת איירי, תבנית העקיפה שנוצרת מחריץ מעגלי.
סוג זה של הפונקציה קשור באופן הדוק לפונקציית בסל - מדובר ב"סיבוב" של פונקציית בסל סביב הציר האנכי.
פונקציית איירי קרויה על שם האסטרונום והפיזיקאי הבריטי ג'ורג' בידל איירי (1801–1892), שנתקל בה כשחקר אופטיקה (Airy, 1838).
הכיתוב Ai(x) הוצג על ידי הרולד ג'פרי.
איירי מונה לאסטרונום המלכותי הבריטי בשנת 1835, והחזיק במשרה עד פרישתו בשנת 1881.
בתורת המספרים ובתחומים אחרים במתמטיקה, פונקציית L הוא שם לכמה פונקציות מרוכבות החולקות מספר תכונות משותפות עם הדוגמה הראשונה והחשובה ביותר לפונקציה כזו - פונקציית זטא של רימן.
המושג אינו מוגדר באופן מדויק אך בדרך כלל מוסכם למדי.
המושג פונקציית L מתייחס בדרך כלל לפונקציות מרוכבות המקיימות את ארבע התכונות הבאות:
יש להן פיתוח לטור דיריכלה, בצורה , המתכנס כאשר החלק הממשי של s גדול מספיק.
יש להן פיתוח למכפלת אוילר, מהצורה , כאשר המכפלה היא על-פני המספרים הראשוניים, ו - הן פונקציות רציונליות ב -.
הן מקיימות משוואה פונקציונלית, את עם הדומות לזאת שמקיימת בפונקציית זטא של רימן.
תכונות 2,3 קשיחות, וכל הדוגמאות לפונקציות L מקימות אותן.
תכונה 1 רכה יותר, וישנן דוגמאות לפונקציות הנקראות פונקציות L אך לא ידוע אם הן מקימות תכונה זו, אם זאת במקרים אלה משערים שהתכונה אכן מתקיימת.
תכונה 4 לא מנוסחת היטב, ובהקשרים שונים מנסחים אותה באופן שונה.
גם היא במקרים רבים השערה בלבד.
בין הסוגים החשובים ביותר של פונקציות L אפשר למצוא את פונקציות L של דיריכלה, פונקציות זטא של דדקינד, פונקציות L של ארטין, פונקציות L של תבניות מודולריות, פונקציות L של עקומים אליפטיים ורבות אחרות.
אם המקדמים של הפיתוח של פונקציית L לטור הדיריכלה חיוביים, אז נהוג לקרא לפונקציית L, פונקציית זטא.
אולם המושג פונקציית זטא גמיש יותר ומכיל לעיתים גם פונקציות שלא מקימות את התכונות 1-4 למעלה.
נוסחת המכפלה של אוילר (תכונה 3 למעלה) יוצרת קשר בין פונקציית L (כפונקציה מרוכבת אחת) ובין שאלות הקשורות למספרים ראשוניים.
באופן מפורש יותר, אם לוקחים לוגריתם לשני צדדי הנוסחה ומציבים ערכים שונים של מקבלים שוויון הקושר בין ערכי פונקציית L לבין סכומים של ביטויים מתאימים על כל הראשוניים.
באופן פרקטי, בדרך כלל עדיף להחליף את הלוגריתם בנגזרת הלוגוריתמית מכיוון שהיא שומרת על המרומורפיות של הפונקציה.
יתר התכונות של פונקציית L מספקות מידע רב על אגף שמאל של שוויון זה.
לאפסים של פונקציית L יש תפקיד מיוחד מכיוון שהם הקטבים של הנגזרת הלוגוריתמית של פונקציית L (ונקודות הסתעפות של הלוגריתם שלה)
השערת רימן המוכללת נוגעת למידע על אפסים של פונקציות L רבות.
הטבלה הבאה מסכמת מספר דוגמאות לקשר בין פונקציות L למספרים ראשוניים.
+פונקציית Lאובייקט נחקרתוצאות על התפלגות מספרים ראשונייםפונקציית זטא של רימןמספרים ראשונייםהתבדרות טור ההופכיים של המספרים הראשוניים, משפט המספרים הראשוניים, הנוסחה המפורשת של רימן-מנגולדפונקציית L של דיריכלהמספרים ראשוניים בסדרה חשבוניתמשפט דיריכלה וגרסאותיו הכמותיותפונקציית L של ארטיןאיברי פרובניוס של ראשוניים שונים בהרחבה נתונהמשפט הצפיפות של צ'בוטרב, משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית)
פונקציות L משמשות להשוואה בין אובייקטים מתחומים שונים במתמטיקה.
לעיתים לשני אובייקטים כאלה מתאימה אותה פונקציית L.
דבר זה מצביע על קשר ביניהם ויכול לשמש להעברת מידע בין תחומים שונים במתמטיקה.
דוגמה קלאסית לתופעה זו היא השערת טניאמה-שימורה (כיום משפט המודולריות) שמראה את הקשר בין פונקציות L של עקומים אליפטיים ופונקציות L של תבניות מודולריות.
המשפט קובע כי לכל עקום אליפטי ישנה תבנית מודולרית בעלת פונקציית L אשר זהות זו לזו.
משפט זה היווה חלק מרכזי בהוכחת המשפט האחרון של פרמה.
גם בתוכנית זו לפונקציות L יש תפקיד מרכזי בהתאמה בין האובייקטים השונים.
בשפות תכנות, פונקציית למדא או ביטוי למדא הוא הגדרה של פונקציה שאינה שייכת לשם מזהה, ולכן נקרא גם פונקציה אנונימית.
מכיוון שמדובר בביטוי שהטיפוס שלו הוא פונקציה, ההקשרים שבהם נעשה בו שימוש הם הקשרים שבהם הפונקציה מהווה אובייקט (למשל השמת ערכו למשתנה או שימוש כארגומנט לפונקציה שמקבלת פונקציה כפרמטר), ולכן אופייני מאוד לתכנות פונקציונלי.
מקור השם "למדא" (על פי האות היוונית) נגזר מ"תחשיב למדא", שהוא מודל חישובי המהווה את הבסיס התאורטי לתכנות פונקציונלי.
ביטויי למדא נכללו בשפת התכנות Lisp (1958), שבה lambda היא מילה שמורה המשמשת אופרטור להגדרת הביטוי.
מאז, פונקציות אנונימיות נכללו בשפות תכנות רבות, בהן גם שפות מרובות פרדיגמות (שאינן שפות פונקציונליות טהורות).
בחלקן המילה lambda משמשת גם כן כמילה שמורה להגדרת הביטוי, למשל Python ו-Ruby.
בשפות רבות התומכות בפונקציות אנונימיות, היתרון הבולט בהן הוא תחביר מקוצר בהשוואה להגדרת פונקציה רגילה.
במצבים שונים עשויים להיות יתרונות נוספים, כגון מניעה מכוונת של שימוש בהגדרת הפונקציה מחוץ להקשר שבו הוגדרה (לטובת כימוס למשל), וכן הימנעות מ"זיהום" של מרחב השם.
לכן, השימוש בפונקציות אנונימיות עשוי להועיל כאשר יש צורך בהגדרת פונקציה לשימוש נקודתי וחד-פעמי בקוד המקור, כלומר מקרים שבהם לא צפוי להיעשות שימוש חוזר באותה הגדרה של פונקציה.
בשפת התכנות פייתון, התחביר להגדרת פונקציה אנונימית הוא:
כאשר parameters הם הפרמטרים של הפונקציה (שהם אופציונליים, ומופרדים בפסיק אם ישנם יותר מאחד), ו-expression הוא ביטוי שבאופן טיפוסי מכיל את אותם הפרמטרים, וערכו הוא תוצאת הפונקציה.
לצורך המחשת ההבדל בין הגדרה כזו לפונקציה רגילה, נדגים שימוש בפונקציה המובנית map, שבתיאור פשטני מקבלת שני פרמטרים: פונקציה ואובייקט רב-איברים (כמו רשימה), ומחזירה אובייקט שהוא תוצאה של הפעלת הפונקציה על כל אחד מהאיברים (זהו תיאור גס שהופשט לשם הבהירות).
נניח שהמשתנה my_list הוא רשימת מספרים, והפעולה שהיינו רוצים לבצע על כל איבר היא העלאתו בריבוע.
ללא פונקציה אנונימית, ניתן לבצע זאת על ידי הגדרת פונקציה קצרה המעלה מספר נתון בריבוע, ואז להשתמש בה כארגומנט לפונקציה map, למשל כך:
לעומת זאת, בשימוש בפונקציה אנונימית ניתן לבצע זאת בשורה אחת:
במתמטיקה, הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות הן הפונקציות ההופכיות לפונקציות ההיפרבוליות, כלומר לכל h פונקציה היפרבולית .
פונקציות היפרבוליות מופיעות בחישובי זוויות ומרחקים בגאומטריה היפרבולית, משוואות דיפרנציאליות, משוואות מעוקבות, ומשוואת לפלס בקואורדינטות קרטזיות.
המשוואות של לפלס חשובות בתחומים רבים בפיזיקה, כולל תיאוריה אלקטרומגנטית, העברת חום, דינמיקת נוזלים, ותורת היחסות הפרטית.
סטנדרט ISO 80000-2 קובע שהשמות של הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות יורכבו מהתחילית ar ואחריה השמות של הפונקציות ההיפרבוליות המתאימות.
לדוגמה, הפונקציה ההפוכה ל-sinh תיקרא arsinh.
ניתן למצוא גם שימוש שגוי בקידומת arc בתור אנלוגיה לשמות של הפונקציות הטריגונומטרית ההפוכות.
קידומת זו לא מתאימה לפונקציות ההיפרבוליות מכיוון שהיא קיצור למילה הלטינית arcus (קשת), בעוד שהקידומת ar היא קיצור של המילה האנגלית area (שטח).
אחרים מעדיפים להשתמש בתחילית arg, שהיא קיצור למילה הלטינית argumentum.
במדעי המחשב נהוג לקצר את התחילית לאות a (לדוגמה asinh, acosh וכו').
הכתיב גם נמצא בשימוש, חרף העובדה שהוא עלול להתפרש בטעות כחזקה.
פונקציות היפרבוליות הם פונקציות ממשיות על ממעלה שנייה לכל היותר ניתן להפוך אותן באמצעות הנוסחה הריבועית ואז באמצעות הלוגריתם הטבעי לקבל את x.
למספרים מורכבים, הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות, השורש הריבועי והלוגריתם הם פונקציות רב ערכיות, ולכן עבור ערכים שונים יכול להיות שהפונקציות יחזירו את אותו ערך.
לכל הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות (חוץ מהקוטנגנס, הקוסכנת ההיפרבולים ההפוכים), תחום של פונקציה#תחום ההגדרה של הפונקציה הממשית קשיר.
תחום ההגדרה הוא כל הישר הממשי.
תחום ההגדרה הוא הקטע: .
הרכבת פונקציות היפרבוליות על פונקציות היפרבוליות הפוכות
המרות בין פונקציות היפרבוליות הפוכות שונות
כפונקציות של משתנה מורכב, פונקציות היפרבוליות הפוכות הן פונקציות רב ערכיות שהן אנליטיות, למעט במספר סופי של נקודות.
מפני שהפונקציות הן רב ערכיות במישור המורכב אז כמו בפונקציות טריגונומטריות הפוכות מעדיפים להגדיר אותם רק מעל תחום מסוים בו הן חד ערכיות.
ההגדרה של הסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב
ההגדרה של הסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב ניתן על ידי
התוצאה השורש הריבועי הוא מספר ממשי שאינו חיובי, אם ורק אם .
אם הערך המוצב בלוגריתם הוא ממשי, הרי שתוצאת הלוגריתם היא מספר חיובי.
לפיכך נוסחה זו מגדירה תחום בו arcsin הוא חד ערכי.
הגדרת קוסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב
הגדרת הטנגנס והקוטנגנס ההיפרבוליים ההפוכים במישור המורכב
באנליזה מתמטית, פונקציית בליטה היא פונקציה על המרחב האוקלידי שהיא חלקה (במובן שנגזרותיה מכל סדר הן רציפות) ונתמכת בקבוצה קומפקטית.
קבוצת כל פונקציות הבליטה בעלות תחום ההגדרה יוצרת מרחב וקטורי, המסומן או .
לפונקציות בליטה יש חשיבות תאורטית בהדגמת פונקציות חלקות שאינן אנליטיות, וכן ביישומים שונים כמו יצירת מעבר "חלק" בין שתי מפלסים שונים.
התנהגותן של פונקציות בליטה שונה מזו של מרבית הפונקציות האלמנטריות הסטנדרטיות (ואלו כוללות גם פונקציות טרנסצנדנטיות כמו האקספוננט ופונקציות טריגונומטריות), שוני הנובע בבסיסו מכך שהתומך של פונקציות סטנדרטיות אלו אינו קומפקטי (כלומר אינו סגור וחסום).
היא דוגמה לפונקציית בליטה בממד אחד.
ברור מאופן הבנייה שלה שלפונקציה זו תומך קומפקטי, שכן לפונקציה על הישר הממשי יש תומך קומפקטי אם ורק אם התומך שלה מוכל במלואו בקבוצה סגורה וחסומה.
חלקות הפונקציה נובעת מכך שהיא מוגדרת כפונקציה מעריכית עם מעריך המהווה פונקציה חלקה בקטע הפתוח , ולכן האקספוננט כולו חלק בעצמו.
פונקציית זאת ניתנת לפירוש במובן מסוים גם כשינוי קנה מידה של הפונקציה הגאוסיאנית הנעשה באופן כזה שהפונקציה תיכנס במלואה בדיסק היחידה: ההצבה שולחת את ל-.
ככל פונקציות הבליטה, פונקציה זו אינה אנליטית, שכן כל נגזרותיה מחוץ לקטע מתאפסות, ולכן פיתוח טיילור של הפונקציה סביב נקודה מחוץ לקטע זה אינו מתכנס אל הפונקציה בכל הישר הממשי.
דוגמה פשוטה לפונקציית בליטה ב- משתנים מושגת באמצעות לקיחת המכפלה של עותקים של פונקציית הבליטה במשתנה אחד שהובאה לעיל, כך ש-:
פונקציית בוכשטאב היא הפונקציה הרציפה היחידה , שמוגדרת על ידי משוואת שיהוי דיפרנציאלית:
יש להשתמש בנגזרת שבנקודה u = 2, כאשר u שואפת ל-2 מימין.
הפונקציה נקראת על שמו של המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר בוכשטאב (Александр Адольфович Бухштаб, 1905–1990), שכתב עליה בשנת 1937.
אם מסמן את קבוע אוילר-מסקרוני, אז מתברר כי פונקציית בוכשטאב מתקרבת במהירות אל כאשר .
למעשה, , כאשר ρ היא פונקציית דיקמן (Dickman).
כמו כן, הערך מתנודד באופן רגיל, לסירוגין - בין נקודות הקיצון - לבין האפסים; נקודות הקיצון מתחלפות בין נקודות מקסימום חיוביות לבין נקודות מינימום שליליות.
המרווח שבין נקודות קיצון עוקבות שואף ל-1 כאשר u שואף לאינסוף, וכך גם המרווח בין אפסים עוקבים.
פונקציית בוכשטאב משמשת למניית מספרים מחוספסים: אם Φ(x, y) הוא מספר המספרים השלמים החיוביים שקטנים או ששווים ל-x ללא גורם ראשוני שקטן מ-y, אז לכל u > 1 קבוע, מתקיים:
במתמטיקה פונקציית L של דיריכלה היא טור דיריכלה שסדרת מקדמיו היא קרקטר דיריכלה.
דיריכלה הגדיר מושג זה כחלק מרכזי בהוכחתו של משפט דיריכלה על מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות.
זוהי הדוגמה הראשונה לפונקציית L (שאיננה פונקציית זטא).
דוגמה זו הובילה לדוגמאות רבות נוספות ונחשבת לעיתים ללידתה של תורת המספרים האנליטית.
טור דיריכלה הוא טור מהצורה
כאשר היא סדרת מקדמים ו - הוא משתנה מרוכב.
אם סדרת המקדמים לא גדלה מהר מידי, אז טור זה מתכנס בהחלט בקבוצה מהצורה כאשר הוא מספר ממשי.
המספר (ולעיתים גם הישר ) נקראים אבסיסת ההתכנסות (Abscissa of convergence) של הטור.
הדוגמה הבסיסית ביותר לטור דיריכלה היא פונקציית זטא של רימן.
במקרה זה כל המקדמים שווים ל - 1. לפונקציית זטא של רימן יש תכונות רבות שאין לרוב טורי דיריכלה.