tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
בהתפלגות גאוסיאנית תלת־ממדית ספירית סימטרית של צפיפות המטען מתקיים:
כאשר הוא המטען הכולל, הפתרון של משוואת פואסון:
ניתן לבדוק את נכונות הפתרון על ידי הערכה של .
שימו לב שעבור גדול בהרבה מ-, מתקרבת ל-1 והפוטנציאל שואף לפוטנציאל של מטען נקודתי , כצפוי.
משוואת סווימי ג'יין היא משוואה בהידראוליקה המשמשת לחישוב מקדם החיכוך בזרימה בצינור.
משוואת סווימי ג'יין משמשת לחישוב ישיר של מקדם החיכוך הדרוש במשוואת דרסי וויסבך זאת לעומת החישוב הנומרי איטרטיבי הדרוש במשוואת קולברוק והדרך הגרפית בדיאגרמת מודי.
e - החיספוס של הצינור, מטר או פיט
D - קוטר פנימי של הצינור, מטר או פיט
e/D- החיספוס היחסי של הצינור, מספר חסר ממדים
Re - מספר ריינולדס, מספר חסר ממדים
vs - מהירות ממוצעת בחתך הצינור,
L - אורך אופייני ( L = 2r שווה לקוטר הצינור כאשר החתך של הצינור הוא עגול),
ערכים לחספוס דופן הצינור e
משוואת קולברוק, באנגלית Colebrook, היא משוואה בהידראוליקה המשמשת לחישוב מקדם החיכוך בזרימה בצינור.
הערך של מקדם החיכוך יכול לשמש במשוואת דרסי ויסבך לחישוב מפל הלחץ בזרימה בצינור.
קולברוק פרסם את המשוואה בלונדון, בשנת 1939 כאשר תשומת הלב הופנתה לאזור המעבר בזרימה המוראים בדיאגרמת מודי, אזור שהיה בעייתי לחישוב בעת ההיא.
e - חספוס של הדופן הפנימית של הצינור
את משוואת קולברוק ומשוואת קולברוק וויט מציגם גם בצורה שונה באמצעות מושג הרדיוס ההידראולי:
הביטוי 14.8 * R לצינור עגול הוא 3.7 * D כפי שמופיע במשוואת קולברוק למעלה.
ניתן לפתור את המשוואה על ידי פונקציית W של למברט, אך בדרך כלל פותרים את משוואת קולברוק בשיטה נומרית איטרטיבית.
מנחשים ערך ראשוני, מחשבים ערך שני ובודקים אם השינוי קטן מערך שנקבע מראש (כלל סיום החישוב) וחוזר חלילה.
הספרים מציגים פתרון אפשרי כזה.
בימנו פתרון סביר של משוואת קולברוק יעשה באמצעות מחשב.
הרדיוס ההידראולי הוא שטח חתך הזורם מחולק בהקף הרטוב:
A - שטח החתך של הזורם
P - ההקף הרטוב של הצינור
ערכים לחיספוס דופן הצינור e
משוואת מנינג , היא משוואה נסיונית בהידראוליקה לחישוב מהירות הזרימה בתעלות פתוחות או בתעלות סגורות בהשפעת כח הכובד.
המשוואה פותחה על ידי המהנדס האירי רוברט מנינג.
V - המהירות הממוצעת בחתך התעלה במטרים בשנייה
n - מקדם החיכוך או החיספוס במשוואת מנינג
S - השיפוע של התעלה או של הצינור במטר חלקי מטר
ערכים עבור מקדם מנינג n
A - חתך הזורם במטרים מרובעים
P - ההקף הרטוב במטרים
משוואת פל היא משוואה דיופנטית מן הצורה , כאשר הוא שלם לא ריבועי, ו- נעלמים שצריכים לקבל ערכים שלמים.
אם אין ל- מחלקים ריבועיים, אז למשוואה יש אינסוף פתרונות, שנובעים כולם מפתרון יסודי יחיד.
את הפתרון היסודי אפשר לקבל על ידי פיתוח השורש הריבועי של לשבר משולב.
משערים שבמקרה הטיפוסי, הפתרון היסודי הוא מסדר הגודל של .
משוואת פל נחקרה כבר ב לספירה בהודו, על ידי המתמטיקאי והאסטרונום בראהמגופטה, שפיתח את שיטת Chakravala לפתרון משוואות ממעלה שנייה, ובהן גם משוואת פל.
שיטתו זו מופיעה בספרו Brahma Sphuta SiddhaDta כבר בשנת 628, כאלף שנים בטרם זמנו של ג'ון פל.
ספרו זה תורגם לערבית בשנת 773, וללטינית ב-1126. הן Bhaskara II ב והן DarayaDa ב גילו פתרונות כלליים למשוואת פל ומשוואות ריבועיות דומות.
את "בעיית הבקר של ארכימדס", אפשר לתרגם למשוואת פל, שפתרונה הוא בן 206544 ספרות.
שם המשוואה נקבע על ידי לאונרד אוילר, אשר ייחס את חקירתה למתמטיקאי האנגלי ג'ון פל.
ישנם הטוענים שאוילר בלבל בין פל ללורד ברונקר, אשר היה המתמטיקאי האירופי הראשון שגילה פתרון כללי למשוואה.
אולם, התייחסות למשוואת פל מופיעה בספר של יוהאן ראהן, אשר נטען שפל תרם לה רבות, וייתכן שאוילר במודע קרא למשוואה על שמו של פל.
חקירה יסודית של המשוואה נעשתה על ידי ז'וזף לואי לגראנז'.
הערך הוא הנורמה של האיבר בשדה המספרים .
הפתרונות למשוואת פל, אם כן, הם מספרים כאלה, שהנורמה שלהם היא 1. לפי משפט 90 של הילברט, הפתרון הכללי למשוואה הוא
ובגלל ההומוגניות אפשר להניח כי שלמים.
זהו, אם כן, הפתרון הכללי במספרים רציונליים.
הדרישה שהמקדמים שלמים פירושה שמחפשים את האיבר דווקא בחוג , שבו איברים בעלי נורמה 1 הם איברים הפיכים.
למעשה האיברים ההפיכים הם בעלי נורמה 1 או 1-, ולכן מעוניינים גם בפתרונות למשוואה .
לעיתים מחפשים פתרונות בחוג השלמים של השדה, השווה לחוג אם , ולחוג אם .
במקרה האחרון האיברים ההפיכים מתאימים לפתרונות של המשוואות .
משפט היחידות של דיריכלה מתאר את אוסף האיברים ההפיכים בחוגים כאלה, ולכן אפשר לראות בו הכללה של פתרון משוואת פל.
היתרון בגישה זו הוא שהיא מציעה באופן טבעי פעולת כפל של פתרונות: הנורמה היא פונקציה כפלית, ולכן אם מתקבל פתרון נוסף מן המכפלה
באופן כזה אפשר ליצור מפתרון אחד סדרה אינסופית של פתרונות.
למעשה, אפשר להוכיח שאוסף הפתרונות הוא בעל מבנה כזה בדיוק: כולם נוצרים מפתרון יסודי אחד.
יתרה מזו, הפתרונות לכל משוואה מהצורה מתקבלים מהכפלת מספר סופי של פתרונות יסודיים של המשוואה, בפתרונות השונים של המשוואה .
ידוע שהפתרון היסודי מקיים את החסם , ומשערים שחסם זה הדוק, עד כדי סדר הגודל.
לדוגמה, עבור הפתרון הקטן ביותר למשוואה הוא
(זהו הפתרון היסודי הגדול ביותר עם ).
בפיזיקה ובכימיה, משוואת המצב של גוף היא יחס פונקציונלי הקושר בין שלושה גדלים אינטנסיביים מרכזיים של מערכת: הלחץ , הטמפרטורה , והצפיפות (או הנפח המולרי).
משוואת המצב קושרת את שלושת הגדלים, ומתארת כיצד שינוי בכל שניים מהם משפיע על השלישי.
משוואת המצב הפשוטה ביותר היא זו של גז אידיאלי, שבו אין אינטראקציות בין האטומים: , כאשר הוא קבוע בולצמן של הגז, ו- הוא מספר החלקיקים.
האטמוספירה של כדור הארץ מקיימת משוואה זו, בקירוב טוב.
אם קיימת אינטראקציה בין האטומים או המרכיבים השונים בגוף, משוואת המצב (הנקראת במקרים כאלה 'משוואת מצב של גז לא אידיאלי') נעשית מורכבת מאוד, וקשה לחישוב מדויק.
את המשוואה אפשר לפתח לטור חזקות, הנקרא הפיתוח הוויריאלי של משוואת המצב: .
מקדמי המשוואה, , נקראים "המקדמים הוויריאליים", והם תלויים בטמפרטורה בלבד.
כדי למצוא את משוואת המצב באופן אמפירי, או אמפירי-למחצה, עורכים סדרות של ניסויים, שבהם גלי הלם יוצרים אזור של לחץ גבוה, בתנאי טמפרטורה שונים, ומודדים את הצפיפות בכל מקרה ומקרה.
כאשר החומר צפוף והאינטראקציה בין המרכיבים משמעותית, יש לקחת בחשבון אפקטים קוונטיים, המסבכים את המצב עוד יותר.
התחום הקושר את משוואת המצב עם התכונות האטומיות של הגוף (התכונות המיקרוסקופיות) נקרא מכניקה סטטיסטית.
למשוואת מצב יש חשיבות גבוהה באסטרופיזיקה ומדעים פלנטריים: היחסים בין לחץ, נפח וצפיפות קובעים במידה רבה את המבנה הפנימי של גופים כמו כוכבים וכוכבי לכת.
אחת הבעיות הקשות בתחום זה היא חוסר האפשרות לבצע ניסוי מעבדה המגיע ללחצים גבוהים כמו שקיימים בליבות של כוכבי לכת או כוכבים.
במתמטיקה, משווה הוא קבוצה בה שתי פונקציות (או יותר) מקבלות ערכים שווים.
משווה הוא קבוצת הפתרונות של משוואה.
נניח כי ו- הן שתי קבוצות, וכי ו- הן שתי פונקציות מ- ל-.
המשווה של ו- מוגדר להיות קבוצת כל האיברים בהן שווה ל-.
בדרך זו ניתן להגדיר משווה לכל זוג פונקציות מ- ל-.
למעשה, אין צורך להגביל את ההגדרה לזוג פונקציות, או אף למספר סופי של פונקציות.
באופן יותר כללי, אם היא קבוצה של פונקציות מ- ל-, אז המשווה של איברי הוא קבוצת כל האיברים בהם כל הפונקציות ב- שוות.
כמקרה טריוויאלי, אם מכילה פונקציה בודדת , מאחר שלכל ב- מתקיים הרי ש-.
משווים ניתנים להגדרה באמצעות תכונה אוניברסלית, המאפשרת להכלילם מהקטגוריה של קבוצות לקטגוריה כלשהי.
בהקשר כללי זה, אם ו- הם שני אובייקטים ו- ו- הם שני מורפיזמים מ- ל-, המשווה של ו- הוא אובייקט ומורפיזם כך ש וכך שבהינתן אובייקט ומורפיזם , אם אז קיים מורפיזם יחיד כך ש , כך שמתקבלת דיאגרמה קומוטטיבית:
משוואת רציפוּת (או משוואת רצף) היא משוואה דיפרנציאלית המתארת מעבר פיזי במרחב של גודל פשיט (גודל אקסטנטיבי) כלשהו.
משוואת רציפות היא כלי פשוט ועוצמתי, במיוחד כשהיא מיושמת על כמות נשמרת (כלומר שקיים עבורה חוק שימור), אבל ניתן להכליל אותה עבור כל גודל פשיט, גם אם אינו נשמר.
מאחר שמסה, אנרגיה, תנע, מטען חשמלי וכן גדלים טבעיים נוספים נשמרים, ניתן לתאר מגוון של תופעות פיזיקליות באמצעות משוואות רציפות.
משוואת רציפות היא צורה מקומית וחזקה יותר של חוק שימור.
לדוגמה, גרסה חלשה של חוק שימור האנרגיה קובעת שלא ניתן ליצור או להשמיד אנרגיה.
כלומר, כמות האנרגיה הכוללת ביקום היא קבועה.
אמירה זו אינה שוללת את האפשרות שאנרגיה יכולה להיעלם מנקודה אחת ובו זמנית להופיע בנקודה אחרת.
אמירה חזקה יותר היא שאנרגיה נשמרת גם באופן מקומי: אנרגיה לא יכולה להיווצר או להיעלם, וגם לא יכולה "להתעתק" ממקום אחד למשנהו – היא יכולה לנוע רק בזרימה רציפה.
משוואת רציפות היא הדרך המתמטית לבטא אמירה כזו.
לדוגמה, משוואת הרציפות עבור מטען חשמלי קובעת שכמות המטען החשמלי בכל נפח כלשהו יכולה להשתנות רק בהתאם לכמות הזרם החשמלי שזורם לתוך נפח זה או החוצה ממנו דרך המעטפת שלו.
באופן כללי יותר, משוואת רציפות יכולה לכלול איברי מקורות ואיברי מִבלעים (מקורות שליליים), המאפשרים לתאר כמויות שלעיתים קרובות נשמרות אך לא תמיד, כמו צפיפות של מין מולקולרי (Molecular species), אותו ניתן ליצור או להשמיד על ידי תגובות כימיות.
דוגמה יומיומית: יש משוואת רציפות למספר האנשים החיים בעולם; יש להם "מקורות" שמהם אנשים נולדים, ו"מִבלעים" המייצגים מוות של אנשים.
לכל משוואת רציפות יש צורה אינטגרלית (המבטאת את הרציפות במונחים של שטף), החלה על כל אזור סופי, וצורה דיפרנציאלית (המבטאת את הרציפות במונחים של אופרטור הדיברגנץ) החלה על נקודה מסוימת.
משוואות רציפות עומדות בבסיס משוואות הולכה ספציפיות יותר כמו משוואת הסעה-דיפוזיה , משוואת ההולכה של בולצמן ומשוואות נאוויה-סטוקס.
ניתן להמחיש זרימות הנשלטות על ידי משוואות רציפות באמצעות דיאגרמת סאנקי .
משוואת רציפות שימושית כאשר ניתן להגדיר צפיפות שטף.
כדי להגדיר צפיפות שטף, חייבת להיות כמות שיכולה לזרום או לנוע ממקום למקום, כגון מסה, אנרגיה, מטען חשמלי, תנע, מספר מולקולות וכדומה.
נניח ש־ היא הצפיפות הנפחית של כמות זו, כלומר כמות ליחידת נפח.
הדרך שבה כמות זו זורמת מתוארת על ידי צפיפות השטף שלה.
להלן כמה דוגמאות ומאפיינים של צפיפות שטף:
לדוגמה, במשוואת רציפות המסה עבור מים זורמים, אם זורם 1 גרם מים בשנייה בצינור בעל שטח חתך של 1 סמ"ר, אז צפיפות שטף המסה הממוצעת בצינור הוא 1 , והכיוון שלה הוא לאורך הצינור בכיוון זרימת המים.
מחוץ לצינור אין מים ולכן צפיפות השטף היא אפס.
אם יש וקטור מהירות שמתאר זרימה (במילים אחרות, כל הכמות בנקודה נעה במהירות ), אז צפיפות השטף שווה בהגדרתה לצפיפות הנפחית כפול וקטור המהירות: .
במשוואת רציפות המסה עבור מים זורמים, לדוגמה, אם היא מהירות המים בכל נקודה, ו- היא צפיפות המים בכל נקודה, אז יהיה שטף המסה.
צפיפות שטף המטען החשמלי נקראת צפיפות זרם.
עבור משטח , האינטגרל המשטחי על צפיפות השטף דרך הוא הכמות שעוברת דרך המשטח ליחידת זמן:
הצורה האינטגרלית של משוואת הרציפות קובעת כי:
הכמות באזור כלשהו גדלה כאשר כמות נוספת זורמת פנימה דרך מעטפת האזור, ופוחתת כאשר היא זורמת החוצה;
הכמות באזור גדלה כאשר נוצרת כמות חדשה בתוך האזור, ופוחתת כאשר כמות מושמדת;
מלבד שתי האפשרויות הללו, אין דרך אחרת בה הכמות באזור יכולה להשתנות.
מבחינה מתמטית, הצורה האינטגרלית של משוואת הרציפות המבטאת את קצב העלייה של בתוך נפח היא:
הוא משטח סגור כשלהו, המקיף את הנפח
מציין אינטגרל משטחי על אותו משטח סגור
הוא הכמות הכוללת של הכמות בנפח
הוא קצב ההיווצרות של בתוך הנפח .
כאשר נוצר , נאמר שיש מקור של , המגדיל את .
כאשר מושמד, נאמר שיש מִבלע של , המקטין את .
אם , נאמר שהכמות משמרת.
לדוגמה, יכול להיות בניין ו- יכול להיות מספר האנשים בבניין כלשהו.
המשטח מורכב מקירות, דלתות, גג ויסוד הבניין.
משוואת הרציפות קובעת שמספר האנשים בבניין גדל כאשר אנשים נכנסים לבניין (יש שטף פנימה דרך המשטח), קטֵן כאשר אנשים יוצאים מהבניין (יש שטף החוצה דרך המשטח), גדל כאשר נולד מישהו בבניין (מקור – ), וקטן כאשר מישהו בבניין מת (מִבלע – ).
לפי משפט הדיברגנץ (משפט גאוס), ניתן לכתוב משוואת רציפות כללית גם בצורה דיפרנציאלית:
הוא הכמות ליחידת נפח – צפיפות נפחית
הוא ההיווצרות של ליחידת נפח ליחידת זמן.
איברים שיוצרים (כלומר, ) או משמידים (כלומר, ) מכונים "מקור" ו"מבלע" בהתאמה.
ניתן להשתמש במשוואה כללית זו כדי לקבל כל משוואת רציפות, החל ממשוואה פשוטה כמו משוואת רציפות הנפח וכלה במשוואות מסובכות כמו משוואות נאוויה-סטוקס.
משוואה זו מכלילה גם את משוואת ההסעה .
למשוואות אחרות בפיזיקה, כמו חוק השדה החשמלי של גאוס וחוק הכבידה של גאוס , יש צורה מתמטית דומה למשוואת הרציפות, אך בדרך כלל לא מתייחסים אליהן כמשוואת רציפות, מכיוון ש- באותם מקרים אינו מייצג זרימה של גודל פיזיקלי ממשי, אלא שדות.
במקרה בו היא כמות שקיים עבורה חוק שימור, כלומר שלא ניתן ליצור או להשמיד אותה (כגון אנרגיה), אז והמשוואה תהיה מהצורה:
באלקטרומגנטיות, משוואת הרציפות עבור המטען היא חוק אמפירי המבטא שימור מטען (מקומי).
מבחינה מתמטית משוואה זו נובעת ישירות ממשוואות מקסוול, אם כי שימור המטען הוא יסודי יותר ממשוואות מקסוול.
משוואת הרציפות קובעת שדיברגנץ צפיפות הזרם שווה לקצב השינוי השלילי של צפיפות המטען :
ניתן לכתוב את המשוואה גם כך:
כאשר הוא 4-וקטור צפיפות הזרם והמטענים החשמליים
זרם הוא תנועה של מטענים.
משוואת הרציפות אומרת שאם מטען יוצא מתוך נפח דיפרנציאלי (כלומר, הדיברגנץ של צפיפות הזרם חיובי) אזי כמות המטען בתוך הנפח הזה יורדת, כך שקצב השינוי בצפיפות המטען הוא שלילי.
לכן, משוואת הרציפות מסתכמת בשימור מטען.
אם קיימים מונופולים מגנטיים, תהיה משוואת רציפות גם עבור זרמי מונופולים מגנטיים.
חוק אמפר בצורתו המקורית, , לא מקיים את משוואת הרציפות הזאת.
לפי החוק, צפיפות הזרם פורפורציונית לרוטור השדה המגנטי, ולכן מתמטית הדיברגנץ של צפיפות הזרם חייב להתאפס תמיד, דבר שסותר את משוואת הרציפות כאשר צפיפות הזרם משתנה בזמן.
זו אחת מהבעיות בחוק המצריכות את תיקון מקסוול והגדרת זרם העתקה על מנת שהמשוואה תתקיים.
במכניקת הזורמים, משוואת הרצף קובעת כי, בתהליך יציב, קצב הכניסה של המסה למערכת שווה לקצב היציאה של המסה מן המערכת.
המשוואה בהצגה דיפרנציאלית נראית כך:
– אופרטור הדיברגנץ ( – נבלה, האופרטור הדיפרנציאלי של המרחב).
במערכות בהן הצפיפות קבועה (נוזל שאינו דחיס), מהירות הזרם נשארת קבועה לאורך כל הזורם:
משוואה זו נכונה, מכיוון שכאשר הצפיפות והנפח קבועים, המהירות אינה יכולה להיות שונה בחלקים שונים של הזרימה, אחרת אחד מהשניים יהיו חייבים להשתנות עם הזמן.
באסטרופיזיקה, משוואת ליין-אמדן היא סוג של משוואת פואסון עבור הפוטנציאל הכבידתי של זורם (בדרך כלל גז) פוליטרופי המצוי בשיווי משקל הידרוסטטי במערכת בעלת כבידה עצמית המפוזרת בצורה כדורית סימטרית, בדרך כלל כוכב.
היא נקראת על שם האסטרופיזיקאים ג'ונתן הומר ליין ורוברט אמדן.
המשוואה מתארת את פרופיל הצפיפות (ובזכות המשוואה הפוליטרופית, גם את הלחץ) כתלות ברדיוס.
כאשר זטא מוגדרת על ידי
והיא פרמטר חסר ממדים המתאר את הרדיוס,
והיא פרמטר חסר ממדים המתאר את הצפיפות, כאשר האינדקס c מציין שהצפיפות (והלחץ) נמדדים במרכז הכוכב.
החזקה n היא האינדקס הפוליטרופי של משוואת המצב הפוליטרופית:
פיזיקלית, שיווי משקל הידרוסטטי מקשר את גרדיאנט הפוטנציאל, את הצפיפות ואת גרדיאנט הלחץ, בעוד שמשוואת פואסון מקשרת את הפוטנציאל עם הצפיפות.
ממשוואה זו עולה שמספיק לדעת את הקשר בין הלחץ והצפיפות כדי להגיע לפתרון ולהסיק משהו לגבי מבנה הכוכב.
הבחירה הספציפית במודל פוליטרופי של הגז הופכת את הניסוח המתמטי של הבעיה לממצה, דבר שמוביל למשוואת ליין-אמדן.
זהו פתרון "מסדר אפס" עבור כדורים גזיים בעלי כבידה עצמית, כגון כוכבים.
במקרים מסוימים זהו קירוב שימושי, אך בדרך כלל בעל הנחות מגבילות למדי.
את המשוואה ניתן לפתור אנליטית רק כאשר האינדקס הפוליטרופי n שווה ל-0, 1 או 5. במקרים אחרים (כגון במקרים הפיזיקליים) יש לפתור את המשוואה נומרית.
כאשר מייצג את רדיוס הכוכב חסר הממדים המנורמל ב-a.
עבור n=1 הפתרון הוא פונקציית sinc שכן המשוואה הופכת למשוואת בסל כדורית.
משוואת מסטר (מכונה גם משוואת M) היא אוסף של משוואות דיפרנציאליות המתארות התפתחות בזמן של מערכת סטוכסטית מרקובית עם מצבים בדידים.
כל משוואה מתארת את השינוי בהסתברות של המערכת להימצא במצב מסוים.
למשוואה שימושים בתחומים מדעיים מגוונים - החל מאסטרוכימיה וכלה בביופיזיקה.
במאמר משנת 1940 הציגו Nordsieck, Lamb, Uhlenbeck משוואה מסוג זה, וכינו אותה בשם משוואת מסטר (The master equation "המשוואה הראשית"), כיוון שממנה ניתן לקבל את יתר המשוואות והתוצאות במאמר.
נתבונן במערכת לה מצבים אפשריים .
המערכת יכולה לעבור בין מצבים אלו.
דינמיקת המעבר היא מרקובית כלומר קצב המעבר בין המצבים תלוי אך ורק במצב הנוכחי של המערכת.
נסמן את קצב המעבר ממצב למצב ב-, ואת ההסתברות שהמערכת תהיה בזמן במצב ב-.
ההתפתחות בזמן של ההסתברויות הנ"ל נתונה על ידי משוואת המסטר:
האיבר הראשון באגף ימין מתאר גידול בהסתברות להיות במצב כתוצאה ממעבר ממצב כלשהו אל מצב , ואילו האיבר השני מתאר יציאה ממצב אל מצב המקטינה את ההסתברות להיות במצב .
המשוואה הנ"ל מתאימה למערכת עם מצבים דיסקרטיים.
קיימות הכללות של המשוואה למערכת עם רצף של מצבים.
נתונים חלקיקים רדיואקטיביים לא יציבים המתפרקים בקצב .
את ההסתברות שבזמן נותרו חלקיקים שלא התפרקו.
ההתפתחות בזמן של ההסתברות מתוארת על ידי משוואת המסטר:
האיבר הראשון באגף ימין מתאר מעבר ממצב בו יש חלקיקים למצב בו יש חלקיקים כתוצאה מהתפרקות אחד החלקיקים, והאיבר השני מעבר ממצב בו יש חלקיקים למצב בו יש חלקיקים.
משוואה זו ניתן לפתור תוך שימוש בפונקציה היוצרת של ההתפלגות .
באופן כללי לא ניתן לפתור את משוואת המסטר באופן אנליטי ויש לפותרה באופן נומרי או להשתמש בשיטות קירוב שונות.
פעמים רבות, לא מתעניינים בתלות בזמן של ההסתברות, אלא בפונקציית ההתפלגות אליה ההסתברות מתכנסת לאחר זמן רב, המאופיינת על ידי לכל (מצב עמיד steady state).
פונקציית ההתפלגות במצב עמיד עשויה להיות מסובכת, אולם עבור מקרים בהם מתקיים התנאי (לכל ) ההתפלגות במצב יציב יחסית פשוטה.
במערכות המקיימות תנאי זה, המכונה תנאי איזון מפורט (detailed balance) קיימת פונקציית "אנרגיה" כך שההסתברות למציאת המערכת במצב נתונה על ידי התפלגות בולצמן:
לא כל מצב עמיד הוא יציב, כלומר ישנם מצבים אשר מקיימים לכל אבל הם אינם יציבים תחת שינויים קטנים של פונקציית ההתפלגות, כלומר עבור שינוי אינפיניטסימלי בפונקציית ההתפלגות המערכת לא תחזור למצב "שיווי המשקל" אלא תתרחק ממנו.
משוואת פוקר פלאנק היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המתארת התפתחות בזמן של מערכת סטוכסטית מרקובית בעלת רצף של מצבים.
המשוואה קרויה על שמם של אדריאן פוקר ומקס פלאנק.
לעיתים מכונה המשוואה גם משוואת קולמוגורוב או משוואת סמולוכובסקי (Smoluchowski).
כל המדענים הנ"ל עסקו בהיבט כזה או אחר של משוואה זו.
את משוואת פוקר-פלאנק ניתן לקבל מתוך משוואת צ'פמן-קולמוגורוב או כגבול הרצף של משוואת המסטר.
המשוואה מתארת את ההתפתחות בזמן של פונקציית צפיפות ההסתברות של המערכת.
במימד אחד, ניתן לסמן פונקציה זו ב-
ומשוואת פוקר פלאנק עבורה תהיה:
באגף ימין שני איברים התורמים לשינוי בהסתברות:
האיבר מכונה איבר הסחיפה (drift) מתאר שינוי דטרמיניסטי במערכת.
האיבר מכונה איבר דיפוזיה והוא מתאר שינויים סטוכסטיים לוקליים במערכת (משוואת פוקר פלאנק אינה מתארת תהליכי קפיצה בין מצבים 'רחוקים' זה מזה).
השפעת שני האיברים על פונקציית ההתפלגות מודגמת בציור משמאל.
הדוגמה הקלאסית למשוואת פוקר פלאנק היא משוואת דיפוזיה - זוהי משוואת פוקר פלאנק ללא איבר סחיפה ועם מקדם דיפוזיה קבוע .
משוואת פוקר פלאנק שקולה למשוואה דיפרנציאלית סטוכסטית הבאה:
עבור מימד כללי משוואת פוקר-פלאנק נראית כך:
משוואת קליין-גורדון היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המשמשת לתיאור של חלקיק קוונטי יחסותי חסר ספין, ובכך היא מעין הכללה יחסותית של משוואת שרדינגר.
המשוואה קרויה על שמם של אוסקר קליין וולטר גורדון, אשר הציגו אותה באופן בלתי תלוי בשנת 1926. קליין הגיע למשוואה במסגרת ניסיון לאיחוד תורת הקוונטים, תורת היחסות הכללית והאלקטרומגנטיות , בעוד שגורדון הגיע אליה במסגרת מחקר של אפקט קומפטון.
יש לציין כי קליין וגורדון לא היו הראשונים שפיתחו את המשוואה הקרויה על שמם.
ארווין שרדינגר השתעשע במשוואה דומה כבר בשנת 1925, אך זנח אותה כאשר לא הצליח לשחזר בעזרתה את ספקטרום האנרגיה של אטום המימן.
גם פיזיקאים נוספים (ולדימיר פוק, לואי דה ברויי ועוד) עסקו במשוואה או פיתחו אותה באופן בלתי תלוי.
משוואת קליין-גורדון סובלת ממספר בעיות אשר גרמו לפיזיקאים לזנוח אותה לטובת משוואת דיראק.
החל מאמצע שנות ה-30 של המאה ה-20 זכתה המשוואה להתעניינות מחודשת עם פיתוח תורת השדות הקוונטית ועם גילוי חלקיקים בעלי ספין 0. כיום השימוש במשוואה נעשה במסגרת של תורת השדות.
משוואת קליין-גורדון עבור חלקיק חופשי
משוואת קליין-גורדון מתקבלת מתוך 'יחס הדיספרסיה' של חלקיק חופשי רלטיביסטי על ידי ההצבה ו- .
זאת בדומה למשוואת שרדינגר המתקבלת על ידי הצבת הנ"ל ביחס הדיספרסיה .
במערכת היחידות בה , המשוואה מקבלת את הצורה:
מקובל גם לכתוב את המשוואה בעזרת אופרטור הד'אלמברטיאן כ-
את המשוואה ניתן לקבל מתוך הלגרנז'יאן .
הפתרון הכללי של המשוואה עבור חלקיק חופשי הוא סופרפוזיציה של גלים מן הצורה , כאשר ו- מקיימים .
ניתן לקבל זאת על ידי הפרדת משתנים - נפריד ונקבל את המשוואה .
כעת, נסמן את אגף שמאל ב ואת אגף ימין ב.
נשים לב שייתכן ש ו הם מדומים ולכן לא פגענו בכלליות הפתרון.
נתמקד באגף שמאל, הזמני - נקבל ונקבל אקספוננט מדומה,
פתרון משוואה זו ניתן על ידי הפרדת משתנים נוספת, אך זו משוואה מוכרת ופתרונה הוא .
משוואת קליין-גורדון עבור חלקיק לא חופשי
משוואת קליין-גורדון עבור חלקיק בעל מטען הנע בהשפעת פוטנציאל חשמלי , פוטנציאל וקטורי , מתקבלת באופן דומה למשוואת קליין-גורדון עבור חלקיק חופשי, מתוך יחס הדיספרסיה:
או לחלופין על ידי החילוף (נגזרת קווריאנטית) במשוואה .
אם בנוסף פועל על החלקיק פוטנציאל סקלרי הוא מתווסף לאיבר .
ניתן לפתור את משוואת קליין גורדון עבור 'אטום דמוי מימן'.
במקרה זה הפוטנציאל הסקלרי הוא פוטנציאל קולון (כאשר e הוא מטען האלקטרון ו-Z הוא מספר הפרוטונים בגרעין) והפוטנציאל הווקטורי מתאפס.
כאשר הוא קבוע המבנה העדין
( המספר הקוונטי של התנע הזוויתי ו- מספר קוונטי רדיאלי (שלם, אי שלילי)).
את הביטוי הנ"ל ניתן לפתח לטור ב- ולקבל:
האיבר מסדר אפס הוא אנרגיית המנוחה, האיבר מסדר ראשון מתאים לספקטרום האנרגיה של אטום המימן, אך האיבר מסדר שני לא מתאר נכון את המבנה הדק של אטום המימן.
משוואת קליין-גורדון עם מקור ופונקציית גרין
את משוואת קליין-גורדון עם מקור ניתן לכתוב כ:
כאשר הוא פתרון כלשהו של המשוואה ההומגנית ו-
היא פונקציית גרין של המשוואה (כלומר פתרון המשוואה עבור ).
למשוואת קליין-גורדון מספר בעיות אשר מונעות את השימוש בה כהכללה יחסותית פשוטה של משוואת שרדינגר.
הבעיה הראשונה היא שלא ניתן לתאר בעזרת המשוואה חלקיקים בעלי ספין.
בשל עובדה זו כשל הניסיון להשתמש במשוואה על מנת לתאר את תנועת האלקטרון (חלקיק בעל ספין 1/2) באטום המימן (לשם כך יש להשתמש במשוואת דיראק).
מכאן שמשוואת קליין-גורדון מוגבלת ביחס למשוואת שרדינגר.
בעזרת משוואת שרדינגר ניתן (ברמת העיקרון) לתאר חלקיקים בעלי ספין כל שהוא (כל עוד הוא אינו יחסותי) בעוד שמשוואת קליין-גורדון מוגבלת לחלקיקים בעלי ספין 0.
הבעיה השנייה, והמהותית יותר, היא בעיית האנרגיות וההסתברויות השליליות.
ניתן להראות כי עבור משוואת קליין-גורדון לא קיימת צפיפות הסתברות חיובית נשמרת (כלומר מקיימת משוואת רציפות), זאת בניגוד למשוואת שרדינגר בה מהווה צפיפות הסתברות כזו.
לכן לא ניתן ליחס משמעות הסתברותית לפתרונות משוואת קליין-גורדון.
בנוסף קיימים למשוואה פתרונות לא פיזיקליים בעלי אנרגיה שלילית.
עבור חלקיק חופשי ניתן להתעלם מפתרונות אלו, אך בהינתן אינטראקציה החלקיק יוכל לעבור גם לפתרונות בעלי אנרגיה שלילית.
במקרה זה אין רמת יסוד (אין חסם תחתון לאנרגיה) והמערכת אינה יציבה, חלקיק יכול "ליפול" עוד ועוד מרמה לרמה ולפלוט כמות אינסופית של אנרגיה.
מסיבות אלו לא ניתן להשתמש במשוואת קליין-גורדון על מנת לתאר חלקיק יחיד, אך ניתן להשתמש בה במסגרת של תורת שדות קוונטית בה מספר החלקיקים לא קבוע, ואף יכולים להיות אנטי-חלקיקים בעזרתם ניתן להסביר את ההסתברויות והאנרגיות השליליות.
במסגרת תורת השדות משוואת קליין-גורדון היא משוואה עבור אופרטור השדה הקוונטי היוצר או הורס חלקיקים.
בכימיה פיזיקלית, משוואת קצב או חוק קצב הם כלים לתיאור המהירות בה מתרחשת תגובה מסוימת.
למשוואה שימוש נרחב בקינטיקה כימית.
משוואת הקצב מקשרת בין קצב התגובה לריכוזים או לחצים של המגיבים והתוצרים בתגובה.
באופן כללי, עבור התגובה A + B -> C משוואת הקצב תהיה:
בטמפרטורה קבועה, הוא קבוע הקצב ויחידותיו משתנות בהתאם לכמות החומרים בריאקציה.
הוא הסדר החלקי של חומר A.
(הסוגרים המרובעים מציינים ריכוז, בדרך כלל ביחידות מולר)
הוא הסדר החלקי של חומר B.
סכום הסדרים החלקיים הוא הסדר הכולל של הריאקציה.
בתגובה אלמנטרית, סכום המקדמים הסטוכיומטרים של המגיבים הוא סדר התגובה.
קיימות משוואות קצב מסובכות יותר עבור תגובות שאינן אלמנטריות.
לתגובות כאלה יש מנגנון, המורכב מכמה שלבים של תגובות אלמנטריות.
משוואת הקצב היא משוואה דיפרנציאלית.
האינטגרל על משוואת הקצב נותן "פתרון" למשוואה, פתרון המקשר בין ריכוזי המגיבים והתוצרים ביחס לזמן.
גם זרזים ומעכבים יכנסו למשוואה, על אף שריכוזם אינו משתנה, מכיוון שהם משפיעים על קצב התגובה.
לזרזים יהיה סדר חלקי חיובי, ומעכבים יהיו בעלי סדר חלקי שלילי.
בתגובות מסדר אפס, קצב התגובה אינו תלוי בריכוז המגיבים.
העלאת ריכוז המגיבים לא יעלה את קצב התגובה.
חוק הקצב לתגובה כזאת יהיה:
כאן, יחידותיו של קבוע הקצב תהיינה ריכוז/ זמן.
ניתן לתאר את השתנות הריכוז ביחס לזמן לפי:
פתרון משוואת הקצב (האינטגרל על חוק הקצב) ייתן:
כאשר מייצג את ריכוז החומר בזמן מסוים, ו- מייצג את הריכוז ההתחלתי.
התגובה היא מסדר אפס אם שרטוט גרף של הריכוז כנגד הזמן הוא קו ישר (ליניארי).
שיפוע הישר הוא k, קבוע הקצב.
זמן מחצית החיים של התגובה מתאר את הזמן הדרוש לחומר להגיע למחצית מריכוזו ההתחלתי.
עבור תגובה מסדר אפס הוא נתון בנוסחה:
תגובות מסדר ראשון תלויות בריכוז של חומר אחד בלבד (תגובה אונימולקולרית).
עשויים להיות מגיבים אחרים, אך הסדר החלקי שלהם יהיה אפס.
בסדר ראשון, יחידותיו של k תהיינה , ומאינטגרל על משוואת הקצב מתקבל
שרטוט של גרף נגד הזמן, יתן גרף ליניארי ששיפועו .
בסדר ראשון, זמן מחצית החיים אינו תלוי בריכוז ההתחלתי והוא נתון בנוסחה:
תגובה מסדר שני תהייה מורכבת משני מגיבים שהסדר החלקי של כל אחד מהם אחד, או מגיב שהסדר החלקי שלו 2.
במקרה הראשון, משוואת הקצב תראה כך:
כאשר הריכוזים ההתחלתיים של A ושל B חייבים להיות שונים זה מזה.
סיכום לתגובות מסדרים שונים עם מגיב בודד
סדר אפססדר ראשוןסדר שניסדר nמשוואת הקצבפתרון משוואת הקצב[למעט סדר ראשון]יחידות קבוע הקצב (k)גרף ליניארי לחילוץ k[למעט סדר ראשון]זמן מחצית חיים<small>[למעט סדר ראשון]
משוואת קפוסטינסקי היא משוואה הנותנת אומדן מקורב לערכה של אנרגיית הסריג (UL) עבור גביש יוני כלשהו.
על מנת לקבוע באופן נסיוני את אנרגיות הסריג של גבישים יוניים, נדרשים תנאים פיזיקליים וכימיים יוצאי דופן.
בכך מתגלה יתרונה של משוואת קפוסטינסקי הנותנת חישוב תאורטי לאנרגיות אלו וחוסכת את הצורך הניסויי.
המשוואה נקראת על שמו של הכימאי הפולני או הרוסי אנטולי פדורוביץ' קפוסטינסקי , שפיתח את הנוסחה ופרסמה בשנת 1956.
ν הוא מספרם של היונים בנוסחה האמפירית של הסריג,
+z הוא כמות המטען החיובי שבקטיון,
-z הוא כמות המטען השלילי שבאניון,
+r הוא רדיוסו היוני של הקטיון,
-r הוא רדיוסו היוני של האניון.
אנרגיית הסריג המחושבת על פי משוואה זו, נותנת אומדן טוב לגבי אנרגיית הסריג הנסיונית; ברוב המקרים, לא יעלה ההפרש שבין הערך המחושב לערך התצפית על 5%.
אם ידועה אנרגיית הסריג הרלוונטית, ניתן אף לחלץ מתוך המשוואה את ערכי הרדיוסים היוניים.
בפיזיקה, משוואת יאנג-לפלס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית בלתי-ליניארית המתארת את הפרש הלחץ הקפילרי בין שני זורמים סטטיים, כמו אוויר או מים, עקב תופעת מתח פנים או היווצרות מאמץ היקפי בגליל דק דופן.
משוואת יאנג-לפלס קושרת בין הפרש הלחץ לבין צורת הממשק בין הזורמים ובעלת חשיבות בסיסית בחקר משטחים קפילריים סטטיים.
זהו מאזן בין מאמצים נורמליים הפועלים על הזורם הסטטי בעת מפגש עם משטח השקה, כאשר מתייחסים לעובי משטח ההשקעה כאל משטח בעל עובי אפסי.
הוא הפרש הלחץ לאורך משטח ההשקעה
הוא וקטור יחידה המצביע אל מחוץ למשטח
ו- הם רדיוסי העקמומיות הראשיים
יש לשים לב לכך שרק המאמץ הנורמלי נלקח בחשבון במשוואה, שכן קיום הממשק הסטטי אפשרי רק בהיעדר מאמצים משיקים.
המשוואה קרויה על שמם של תומאס יאנג, שפיתח את תאוריית מתח הפנים באופן איכותי בשנת 1805, ופייר-סימון לפלס, שהשלים את התיאור המתמטי כשנה לאחר מכן.
לעיתים המשוואה נקראת גם משוואת יאנג-לפלס-גאוס, שכן קרל פרידריך גאוס איחד את עבודתם של יאנג ולפלס בשנת 1830 ופיתח את המשוואה הדיפרנציאלית ותנאי השפה המתאימים תוך שימוש בעקרון העבודה הווירטואלית של יוהאן ברנולי.
פרנסיס האקסבי ביצע כמה מהתצפיות והניסויים הראשונים שתועדו ב-1709. הניסויים בוצעו שוב ב-1718 על ידי ג'יימס ג'ורין אשר הבחין כי גובה הנוזל בעמוד קפילרי נקבע רק על ידי שטח החתך של המשטח, ולא על ידי שום מידה אחרת של העמוד.
תומאס יאנג הניח את אבן הפינה של המשוואה במאמר שפרסם ב-1805 שעסק בקוהזיה של נוזלים.
במאמר תיאר יאנג את העקרונות המרכזיים השולטים בהתנהגות החומר בעת מגע בין נוזלים (בנוסף, תיאר יאנג במאמר את התנהגות הנוזל בהיבטים רבים אחרים).
פייר-סימון לפלס עקב אחר עבודתו ושיחזר בתורו תיאור סמלי של יחסי הגומלין שתואר עוד קודם לכן על ידי יאנג.
לפלס קיבל את הרעיון שהוצג על ידי האקסבי בספרו: (Physico-mechanical Experiments (1709 בו טען שכוח המשיכה משמעותי רק במרחקים אינפיטיסימליים קטנים.
החלק שמתעסק במוצק על נוזל והפעולה ההדדית של שני נוזלים לא נפתר באופן יסודי, אבל בסופו של דבר נפתר על ידי גאוס.
בשלב מאוחר יותר תרם פרנץ ארנסט ניומן (1798-1895) מס' פרטים נוספים להשלמת התמונה.
אם הפרש הלחצים לאורך המשטח הוא אפס כמו שמתרחש בשכבת סבון דקה ללא גרביטציה, הממשק יקבל את צורת המשטח המינימלי האפשרי.
יש לשים לב שמצב זה איננו נכון עבור בועות סבון, כיוון שהנפח הפנימי של הבועה תחום במעטפת סגורה ובעל לחץ השונה מלחץ הסביבה.
המשוואה מסבירה גם את האנרגיה הדרושה ליצירת תחליב.
ליצירת טיפות קטנות ומעוגלות מאוד האופייניות בתחליבים, דרושה אנרגיה נוספת על מנת להתגבר על הלחצים הגדולים הנוצר כתוצאה מהרדיוס הקטן שלהן.
בצינור צר מספיק (כלומר במס' בונד קטן) בעל חתך מעגלי (רדיוס a) הממשק בין שני זורמים יוצר צורת סהרון המהווה חלק ממשטח ספירה בעלת רדיוס R.
עליית הלחץ לאורך המשטח מבוטאת ע"י:
ניתן להראות זאת על ידי כתיבת משוואת יאנג-לפלס בצורתה הכדורית (ספרית) עם תנאי שפה של נקודת מגע ותנאי שפה של גובה הנקבע נניח, בתחתית הסהרון.
הפתרון למשוואה הוא חלק מספירה, והפתרון יתקיים רק עבור הפרש הלחץ שהוזכר לעיל.
זהו פתרון משמעותי כיוון שלא קיימת משוואה אחרת או חוק המציינים את הפרש הלחצים.
קיום של פתרון ספציפי עבור הפרש הלחצים קובע אותו.
רדיוס הספירה יהיה פונקציה של זווית המגע, θ, שתלויה בעצמה במאפיינים של הנוזלים או המוצקים שמגע:
כעת הפרש הלחצים יבוטא ע"י:
על מנת לשמור על שיווי משקל הידרוסטטי, הלחץ הקפילרי המושרה מאוזן על ידי שינוי בגובה h, שיכול להיות שלילי או חיובי, כתלות בזווית ההרטבה שיכולה להיות גדולה או קטנה מ90°.
עבור נוזל בעל צפיפות ρ:
כאשר g זוהי תאוצת הכובד.
זה ידוע גם כגובה ג'ורין או חוק ג'ורין - על שם ג'יימס ג'ורין שלמד את האפקט ב-1718.
עבור שפופרת (צינור) זכוכית מלאה במים המצויה באוויר ובלחץ אטמוספירי:
יתקבל כי גובה עמוד המים:
כלומר עבור שפופרת בקוטר 2 מ"מ (הרדיוס 1 מ"מ), עמוד המים יגבה ב14 מ"מ.
לעומת זאת, בשפופרת קפילרית ברדיוס 0.1 מ"מ - עמוד המים יגבה ב14 ס"מ.
מתקבל כי בהקטנת הקוטר פי 10, גדל עמוד הנוזל פי 10.
למעשה, ניתן להכליל ולומר כי תחת שמירה על אותם תנאי סביבה וחומרים - מתקיים קשר ליניארי הפוך בין קוטר הצינור לגובה עמוד המים המתקבל.
במקרה הכללי, עבור משטח חופשי וכאשר מופעל לחץ מספק Δp עבור ממשק המצוי בשיווי משקל, קיים איזון בין הלחץ המופעל, הלחץ ההידרוסטטי ואפקטים של מתח פנים.
משוואת יאנג לפלס במקרה זה -
המשוואה יכולה להיות בצורה אל-ממדית במובן של סקלת אורך אופיינית, האורך הקפילרי:
עבור מי-שתייה בטמפ' החדר ובלחץ אטמוספירי האורך הקפילרי המתקבל הוא ~ 2 מ"מ.
לפיכך, צורת המשטח נקבעת על ידי פרמטר אחד בלבד, לחץ-היתר של הנוזל *Δp והסקאלה של המשטח הניתנת על ידי האורך הקפילרי.
הפתרון עבור משוואה זאת דורש תנאי התחלה עבור מיקום, וגרדיאנט המשטח בנקודת ההתחלה.
הצורה של המשטח האקסימסימטרי וחסר הממדים (r(z יכולה להתקבל על ידי החלפת ביטויים כלליים של עקמומיות ובכך קבלת הצורה ההידרוסטטית של משוואות יאנג-לפלס:
ברפואה ישנה התייחסות לתופעה כחוק לפלס, והחוק משמש במחקרים בנושא קרדיולוגיה - תנועת הדם בכלי הדם, ופיזיולוגית הנשימה.
משוואת קושי-אוילר (לעיתים נקראת משוואת אוילר בלבד) היא משוואה דיפרנציאלית רגילה, אשר לה דרך פתרון ייחודית שקשורה לפתרון משוואות דיפרנציאליות ליניאריות עם מקדמים קבועים.
קרויה על שמותיהם של המתמטיקאים אוגוסטן לואי קושי ולאונרד אוילר.
צורתה הכללית של משוואות אוילר ההומוגנית היא כלהלן:
כאשר המקדמים הם מספרים ממשיים, ו- היא פונקציה ממשית משתנה.
הסדר של המשוואה הנ"ל הוא אם מתקיים .
במקרה זה, היות שמדובר במשוואה ליניארית הומוגנית, יש לה n פתרונות בלתי תלויים המהווים מרחב וקטורי.
משוואות אוילר הלא הומוגנית היא מהצורה:
כאשר המקדמים ממשיים ו- היא פונקציה ממשית כלשהי.
לעיתים דנים במשוואה המנורמלת, כלומר כאשר המקדם של הנגזרת מהסדר הגבוה ביותר הוא 1. במשוואה מסדר , תמיד ניתן להגיע לצורה זו על ידי חלוקה במקדם, ולכן מעתה נתייחס למשוואה כבצורה:
- אפשר להיווכח בכך ש- וגם הם פתרונות בלתי-תלויים למשוואה, ולכן צירוף ליניארי שלהם הוא הפתרון הכללי.
- הפונקציה היא פתרון למשוואה, כמו גם .
היות שהם בלתי-תלויים ליניארית, שניהם מהווים בסיס ולכן הפתרון הכללי הוא צירוף ליניארי של שני אלו.
- שני הפתרונות הבלתי-תלויים למשוואה הם .
מעבר למשוואה עם מקדמים קבועים
עובדה חשובה אודות משוואת אוילר היא שהיא שקולה למשוואה ליניארית עם מקדמים קבועים - משוואה מהצורה
השקילות מתבצעת על ידי ההצבה .
לצורך הפשטות, נניח שלפנינו משוואת אוילר הבאה:
אם נגביל את הדיון עבור , נשתמש בהצבה , ומתוכה נקבל .
הנגזרות נתונות, לפי כלל השרשרת, על ידי:
אם נציב חזרה על המשוואה המקורית נקבל:
, אכן משוואה ליניארית עם מקדמים קבועים.
משוואת אוילר ההומוגנית שקולה למשוואה ליניארית עם מקדמים קבועים.
פתרון של משוואה ליניארית עם מקדמים קבועים הוא אקספוננט ולכן גם פתרון המשוואה הנ"ל לפי t הוא אקספוננט: .
אם נחזור למשתנה x, נקבל: .
לכן, הפתרון של משוואת אוילר נתון על ידי חזקה של x.
לאור עובדה זו, בדרך כלל אין שימוש בפועל בשיטה של מעבר למשוואה ליניארית.
אלא, מנחשים פתרון מהצורה הנ"ל, ומוצאים את r שיקיים אותו.
אם נחזור לדוגמה של משוואה מסדר 2 כלעיל, ננחש פתרון מהצורה הבאה: .
זה גורר שבהכרח מתאפס הפולינום לפי r: .
פולינום זה נקרא המשוואה האינדיציאלית של המד"ר.
פתרון המשוואה יביא אל הפתרון הכללי של המשוואה הדיפרנציאלית המקורית.
כעת נפתור את המשוואה שהובאה בדוגמה 1 לעיל: .
המשוואה האינדיציאלית היא ששורשיה הם .
לכן, הפתרונות הבלתי-תלויים למשוואה הם וגם , כנאמר לעיל.
השורשים של המשוואה האינדיציאלית יכולים להתחלק לכמה סוגים:
שורש ממשי עם ריבוי - לכל שורש המופיע בריבוי במשוואה האינדיציאלית, הפתרונות הם: .
שורש מרוכב - אם הוא שורש, אז גם הוא שורש, והפתרון עבורם נתון על ידי:
שורש מרוכב עם ריבוי - אם הוא שורש מרוכב עם ריבוי m, אזי הפתרונות הם:
שיטת פתרון המשוואה הלא הומוגנית
כמו בכל משוואה ליניארית, גם כאן הפתרון למשוואה הלא הומוגנית הוא פתרון ההומוגנית ועוד פתרון פרטי של הלא הומוגנית.
לכן, פתרון בעיה זו מתחלק לשני שלבים: ראשית, יש למצוא את הפתרון למשוואה ההומוגנית, בשיטה שתוארה לעיל.
שנית, יש למצוא פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית.
במציאת פתרון כזה נעסוק כעת.
ונניח שכבר מצאנו את הפתרון להומוגנית.
מה שנכון עבור משוואות דיפרנציאליות ליניאריות, נכון אנלוגית גם כאן.
ואם הוא שורש של המשוואה האינדיציאלית מסדר m, אז הפתרונות הם:
משוואת קורטווג דה וריז או משוואת ה-KdV היא משוואה דיפרנציאלית חלקית, לא ליניארית, מסדר שלישי.
המשוואה פותחה כמודל של גלי ים במים רדודים.
בנוסף, יש לה יישומים לסריגים המתוארים על ידי קפיצים לא ליניארים וקווי העברה לא ליניארים ועוד.
למשוואה זו פתרונות יציבים הנקראים סוליטונים.
למרות האי-ליניאריות של המשוואה, המשוואה פתורה אנליטית, על ידי שימוש בטרנספורמציית ה inverse scattering.
המשוואה הוצגה לראשונה על ידי המתמטיקאי הצרפתי בוסינסק (Joseph Valentin Boussinesq) ב-1877, ונתגלתה מחדש על ידי גוסטאב דה-וריז ודידריק קורטווג בשנת 1895
המשוואה המקורית של קורטווג ודה וריז שפורסמה ב-1895 ומתארת גלי ים ארוכים בעלי אי-ליניאריות חלשה היא:
הסימון נועד להבדיל בין הגל שנע שמאלה וימינה.
T - הוא מתח הפנים של המים.
על ידי שימוש בטרנספורמציות :
שהן מקרה פרטי של חבורת לי ומשחק בערכים של נוכל להגיע לצורות השקולות הבאות:
למשוואה פתרונות יציבים של גלים סוליטריים (או סוליטונים), גלים אשר הצורה שלהם נשמרת לאורך הזמן ורק עוברים העתקה, תופעת הסוליטונים איננה ייחודית למשוואת ה-KdV, הצורות הללו במשוואה שלנו יהיו פונקציות אליפטיות (המרכזית שבהן cn) המייצגת את ה-cnoidal waves וסקאנטים היפרבוליים בריבוע.
את היציבות הזו אפשר להסביר אינטואיטיבית על ידי שתי תופעות מנוגדות, הליניארית מסדר גבוהה, והתופעה הלא ליניארית.
אם נשתמש בקירוב של אמפליטות נמוכות(), כלומר אי ליניאריות חלשה נקבל כי
לה יחס הנפיצה (דיספרסיה) הבא : ולכן מהירות פאזה ומהירות חבורה ולכן חבילת גלים תשאף להתרחב.
כעת נתעלם מהאיבר בסדר גבוהה במשוואה, אך לא מהחלק הלא ליניארי כלומר:
על ידי שימוש בשיטת הקרקטריסטיקות נוכל להיווכח כי ללא קבלת תנאי התחלה הפתרון הכללי למשוואה הוא:
כלומר ההפרעה נעה במהירות שפרופורציונלית לאמפליטודה שלה, חלקים גבוהים ינועו מהר ונמוכים ינועו לאט, כך שהחלקים הגבוהים בהפרעה יגשרו על הפער ההתחלתי והפונקציה תהפוך תלולה יותר עד שהקירוב של המשוואה ישבר או ייווצר גל הלם (בדומה לשבירה של גלי ים)
כלומר הסדר הגבוה במשוואה יגרור התרחבות ואילו החלק הלא ליניארי יגרור היצרות, שילוב של השניים יהיה זה שמייצב צורות מסוימות בסוליטונים.
נחפש עבור המשוואה הסטנדרטית פתרונות מהצורה יש לשים לב כי כרגע c איננו מוגדר בתור מהירות אבל קל להשתכנע כבר עכשיו שהוא יהיה מהירות הגל.
נציב את הפתרון במשוואה הסטנדרטית:
על ידי כלל השרשרת נקבל:
על ידי העברת אגפים וביצוע אינטגרל נקבל
הכפלה ב- וביצוע אינטגרל פעם נוספת
נוכל לקבל כי וע"י שימוש בהצבה
הפתרונות היציבים יהיו מהצורה :
פתרונות יציבים נוספים, שלא תחת ההנחה שהקבועים הם אפס, יכולים להכתב על ידי פונקציות אליפטיות, ובפרט גל קונאידלי (cnoidal wave) המתואר על ידי הפונקציה האליפטית cn.
מתברר שאת המשוואה אפשר לפתור נומרית על ידי שימוש בעזרת טרנספורם פוריה ב"שיטת השלבים" כלומר קודם את החלק הליניארי ואז את הלא ליניארי.
לכן הטרנספורם פורייה של המשוואה יהיה
בשיטת השלבים נעסוק בחלק הליניארי בלבד
בולאחר מכן בחלק הלא ליניארי
את החלק הלא ליניארי נפתור בצורה נומרית על ידי קידום בזמן בשיטת אוילר, הרעיון מאחורי שיטת השלבים הוא שפתרון שתי בעיות אלו במקביל, באופן בלתי תלוי במהלך הקידום בזמן בין ל , לא משנה משמעותית את הפתרון.
ולכן סדר הפעולות מפורשות על ידי פורייה יהיה:
במשוואה קיימים גם וגם אולם הקשר ביניהם הוא פשוט טרנספורם פורייה.
מימוש לדוגמה במטלאב של הפתרון הנומרי בשיטת אוילר, תוך שימוש ב'שיטת השלבים'.
משוואת ריינולדס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המתארת את פילוג הלחץ בשכבות דקות של זורם צמיג במכניקת הזורמים.
המשוואה פותחה לראשונה על ידי אוסבורן ריינולדס ב-1886. ניתן להשתמש במשוואת ריינולדס כמעט לכל סוג של מסוב בו שני החלקים המוצקים מופרדים על ידי נוזל או גז.
עבור המקרה במתואר בתמונה משמאל משוואת ריינולדס היא:
- לחץ כפונקציה של .
- פרופיל המשטח העליון כפונקציה של .
- מהירות בכיוון של המשטח התחתון.
- מהירות בכיוון של המשטח העליון.
- מהירות בכיוון ציר של המשטח התחתון.
- מהירות בכיוון ציר של המשטח העליון.
הזורם הוא ניוטוני, כוחות הגזירה פרופורציונליים למהירות.
שינויים בלחץ לאורך ציר זניחים כלומר
(עבור זרימה טורבולנטית יש להשתמש במשוואת ריינולדס שונה)
אפקטים עקב עקמומיות המשטח העליון זניחים.
כלומר עובי הזורם קטן בהרבה מעובי ואורך המיסב.
- זרימת הזורם עקב גרדיאנט לחץ.
-זרימת הזורם עקב גזירה (זרימת קוואט).
- לחיצה כתוצאה מהגאומטריה של המשטח העליון.
- לחיצה עקב תנועה של שני המשטחים אחד כלפי השני.
- התפשטות מקומית של הנוזל.
הרחבת איבר הזרימה עקב גזירה
שינוי הגאומטריה הוא האיבר החשוב ביותר והוא הגורם ליצירת לחץ במיסב.
על מנת לקבל לחץ חיובי על המשטח להיות
האיבר של שינוי הצפיפות לאורך ציר זניח בדרך כלל ביחס לאיבר של שינוי הגאומטריה.
פתרון משוואה זו אינו משימה קלה, אך בגאומטריות פשוטות משוואה זו ניתנת לפתרון אנליטי.
בדוגמה הבאה ישנן שתי פלטות, התחתונה נעה בכיוון ציר במהירות קבועה והעליונה סטטית אך בשיפוע.
זורם בלתי דחיס וצמיגות קבועה .
מימד הגובה קטן בהרבה ממימד העומק והרוחב.
בעיה דו־ממדית, כלומר מימד העומק גדול מאוד ביחס לממדים האחרים ואין כל שינוי במימד זה.
עבור הנחות אלו משוואת ריינולדס מצטמצמת לצורה הבאה:
בידיעת פרופיל המשטח העליון ניתן למצוא את פילוג הלחץ בצורה אנליטית.
באלקטרוניקה, משוון הוא מכשיר שמשווה בין שני מתחים או זרמים ומוציא אות דיגיטלי המציין מי את הגדול מביניהם.
הקלט הוא שתי כניסות אנלוגיות ו־ והפלט הוא מוצא דיגיטלי, בינארי ואידיאלי .
המשוון מורכב ממגבר הפרש בעל הגבר גבוה במיוחד.
משוונים משמשים בדרך כלל במכשירים המודדים וממירים אותות אנלוגיים לדיגיטליים (ADCs), במעגלים של רבי רטטים וביניהם במתנדים.
מימוש משוון מתח באמצעות מגבר שרת
למגבר שרת יש כניסת הפרש מאוזנת היטב בעלת הגבר גבוה במיוחד.
נתונים אלה מתאימים למאפיינים של משוונים, ולכן מגבר שרת סטנדרטי הפועל בחוג פתוח (כלומר ללא משוב שלילי) יכול לשמש כמשוון ביישומים שאין להם דרישות ביצועים מיוחדות.
כאשר הקלט בכניסה (V+) גבוה מהמתח בכניסה הפוכת המופע (V-), אז ההגבר הגבוה של המגבר גורם למוצא להיות ברוויה במתח הגבוה ביותר האפשרי.
מתח זה הוא מתח האספקה החיובי של מגבר השרת.
כאשר הקלט בכניסה (V+) נמוך מהמתח בכניסה הפוכת המופע (V-), אז ההגבר הגבוה של המגבר גורם למוצא להיות ברוויה במתח הנמוך ביותר האפשרי.
מתח זה הוא מתח האספקה השלילי של מגבר השרת.
משוואת קלרו , שנקראת על שם אלכסיס קלוד קלרו, היא נוסחה בגאומטריה דיפרנציאלית שמתארת את ההתנהגות של גאודזות על משטחי סיבוב.
קלרו גזר את הנוסחה ראשית עבור גאודזות של כדור, ולאחר מכן הראה שהיא תקפה גם למשטח סיבוב שרירותי; הוא יישם אותה במאמר מ-1733 למקרה של גאודזות על משטחי סיבוב ממעלה רביעית.
הנוסחה קושרת בין המרחק (r(t מנקודה על מעגל גדול של ספירת היחידה לציר ה-z, לזווית (θ(t בין הווקטור המשיק לעקום למעגל המתאר את קו הרוחב המקומי:
הקשר הזה נשאר תקף למשטח סיבוב שרירותי.
ניסוח מתמטי פורמלי של משוואת קלרו הוא כדלהלן:
ניתן לתת גם פרשנות פיזיקלית לקביעה זאת; משוואת קלרו מבטאת את הרעיון שהתנע הזוויתי של חלקיק יחסית לציר הסיבוב של המשטח המחליק לאורך מסילה גאודזית ללא השפעת כוחות חיצוניים (פרט לאלו השומרים אותו על המשטח) צריך להישמר.
משוואת ריצ'רדס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית, לא ליניארית, המתארת זרימה של מים בסביבה נקבובית לא רוויה (למשל, בתוך קרקע).
פיתוח המשוואה מיוחס ללורנצו א.
ריצ'רדס על אף שפיתוח דומה הוצג תשע שנים מוקדם יותר, בשנת 1922 בספרו של לואיס פ.
ניסוח המשוואה מבוסס על משוואת מאזן המסה ועל חוק השטף של דרסי.
פתרון שדה זרימת המים על ידי משוואת ריצ'רדס הוא בעל חשיבות בתחומים כמו הזנת הצמח, השקיה והסעת מומסים.
לא ניתן לעסוק בחיזוי וניתוח של תנועת מומסים בקרקע ללא פתרון של משוואת ריצ'רדס ולכן המעקב אחר תנועה של נוטריינטים, חומרי הדברה ואירועי זיהום מחייב את פתרונה.
ניסוח וקטורי של משוואת ריצ'רדס הוא:
הוא מקדם המוליכות ההידרולית (ביחידות של אורך לזמן)
הוא העומד ההידרולי הכולל (ביחידות אורך)
היא תכולת הרטיבות (ביחידות של נפח מים לנפח כולל)
משוואת ריצ'רדס כוללת שני נעלמים, העומד הכולל, , ותכולת הרטיבות, .
לאור זאת, כדי לפתור את משוואת ריצ'רדס יש להוסיף משוואה המכונה עקום התאחיזה המתארת את התלות בין תכולת הרטיבות והעומד המטריצי ().
בנוסף, היות שמקדם המוליכות תלוי בתכולת הרטיבות, פתרון של משוואת ריצ'רדס מחייב שימוש במשוואה המתארת את מקדם המוליכות כתלות בתכולת הרטיבות.
עם זאת, השימוש בעקום התאחיזה לצורך תיאור הקשר בין שני המשתנים התלויים במשוואת ריצ'רדס מתאים כל עוד התלות בין שני המשתנים הגיעה למצב שיווי המשקל שמתואר על ידי עקום התאחיזה ושהעקום לא סובל מתופעת ההיסטרזה.
מפתרון מלא של משוואת ריצ'רדס ניתן לקבל את השדה התלת־ממדי של תכולת הרטיבות בכל רגע בזמן.
לאור הקשר בין תכולת הרטיבות לעומד המטריצי, ניתן גם לקבל מהפתרון את שדה העומד המטריצי שהוא אחד ממרכיבי העומד הכולל.
היות שהמשוואה מתאימה לתנועה האיטית שמתרחשת בקרקע (מספר ריינולדס קטן מאחד), מרכיבי העומד הכולל כוללים את עומד הרום והעומד המטריצי בלבד, בעוד תרומת העומד המהירותי זניחה.
המשוואה בצורתה המקובלת לא כוללת אברי בור ומקור שנובעים, למשל, מצריכת שורשי צמחים.
בנוסף, היא אינה כוללת מנגנוני זרימה שנובעים מהבדלים בצפיפות המים (למשל, באזור הפן ביני) ומניחה שהמטריצה המוצקה שמרכיבה את הסביבה הנקבובית לא תופחת ולא מתכווצת.
לשם תיאור מנגנונים אלה ניתן להוסיף למשוואה איברים מתאימים שיוגדרו עבור כל אחד מהמנגנונים הללו.
תיאור של שדה הזרימה בקרקע רוויה הוא מקרה פרטי של משוואת ריצ'רדס.
היות שתכולת הרטיבות בקרקע רוויה שווה לנקבוביות, משוואת ריצ'רדס מקבלת את הצורה של משוואה המתאימה לפתרון של תנועה של מי תהום, .
במקרים בהם מקדם המוליכות ברוויה אחיד במרחב, משוואת ריצ'רדס מקבלת את הצורה של משוואת לפלס, .
ניסוח וקטורי של משוואת מאזן המסה הוא:
כאשר היא צפיפות המים ו- מתאר את שטף המים.
משוואת ריצ'רדס מתאימה לזרימה בלתי דחיסה () ולכן, ניתן לכתוב :
מהצבה של חוק דרסי לתיאור השטף והעברת אגפים תתקבל משוואת ריצ'רדס כדלקמן:
ניסוח תלוי θ ותלוי h
הניסוח של משוואת ריצ'רדס הכולל גם את תכולת הרטיבות וגם את העומד המטריצי (,) נקרא הניסוח המעורב (Mixed form).
בספרות ניתן למצוא שני ניסוחים נוספים – ניסוח שבו המשתנה התלוי היחיד הוא וניסוח שבו המשתנה התלוי הוא .
המעבר מהניסוח המעורב לשני הניסוחים מתקבל על ידי שימוש בכלל השרשרת.
ניסוח תלוי h עבור בעיה חד־ממדית אנכית
כאשר הפונקציה היא הנגזרת של עקום התאחיזה ו- חיובי כלפי מעלה.
ניסוח תלוי θ עבור בעיה חד־ממדית אנכית
כאשר מכונה מקדם הדיפוזיביות ושווה למכפלה של מקדם המוליכות ושיפוע עקום התאחיזה, .
הבחירה בתיאור של מקדם המוליכות כפונקציה של תכולת הרטיבות עדיפה על תיאורו כפונקציה של העומד המטריצי ממספר סיבות.
חלק מהסיבות קשורות ליעילות הפתרון הנומרי של המשוואה וחלקן מבוססות על ההלימה בין התיאור המנגנוני של השינוי במוליכות ההידרולית בקרקע המתרחש עם שינוי בתכולת הרטיבות לבין הביטוי המתמטי למוליכות ההידרולית כתלוי בתכולת הרטיבות .
להלן הסבר פשוט לצידוק המנגנוני : עם עליה בתכולת הרטיבות, חלק גדול יותר מנקבובי הקרקע מלאים במים כך שמסלולי תנועת המים בתווך הנקבובי קצרים יותר, המרחק של חלקיקי הזורם מהדופן של חלקיקי הקרקע גדול יותר ועל כן מקדם המוליכות ההידרולית גדל.
כתלות במרחב הבעיה, פתרון במערכת קואורדינטות שונה מהמערכת הקרטזית עשוי להיות דרוש.
לדוגמה, ניתן לתאר את התנועה התלת־ממדית של מים בתוך בקבוק מלא חול תוך כדי יציאתם דרך פתח הבקבוק על ידי ההנחה שהזרימה מתרחשת תוך שמירה על סימטריה צירית (בעיה אקסי-סימטרית).
הניסוח של משוואת ריצ'רדס המתאים לדוגמת הבקבוק יהיה ניסוח בקואורדינטות גליליות עם סימטריה צירית:
הוא העומד המטריצי (ביחידות אורך)
היא הקואורדינטה האנכית (ביחידות אורך, חיובי כלפי מעלה)
היא הקואורדינטה הרדיאלית (ביחידות אורך)
דוגמאות לפתרונות של משוואת ריצ'רדס החד־ממדית
מאחר שמשוואת ריצ'רדס vht משוואה לא ליניארית, והיות ויש למצוא פונקציות שמתארות את מקדם המוליכות ועקום התאחיזה לצורך פתרון מדויק, פתרון אנליטי כללי לא קיים.
כלים אלה משתמשים, על פי רוב, במשוואות מקובלות לתיאור עקום התאחיזה כמו משוואת ון-גנוכטן ופונקציית מקדם המוליכות כמו משוואת מועלם, תוך שימוש בפרמטרים שמתאימים לקרקעות ולתצורות הסלע בהם מתרחשת הזרימה.
הפתרונות האנליטיים שפותחו עבור משוואת ריצ'רדס מוגבלים למקרים פרטיים בלבד, כמו פתרונות עבור זרימה תמידית חד־ממדית ומפותחת היטב (fully developed flow) שמתארים את תנועת המים בתווך בלתי רווי כתוצאה, למשל, מהתאדות קבועה ממפלס מי התהום.
דוגמה אחרת כוללת פתרונות עבור זרימה חד־ממדית אופקית או אנכית תוך הנחה שהמקדמים כמו מקדם המוליכות ומקדם הדיפוזיביות קבועים.
להלן שתי דוגמאות של פתרונות כלליים למשוואת ריצ'רדס המבוססים על קירוב למשוואת החום.
פתרונות אלה אינם מיוחדים לתיאור זרימה בתווך נקבובי ונעשה בהם שימוש גם עבור בעיות מעבר חום, זרימה צמיגה, דיפוזיה מולקולרית ועוד.
בהמשך, מובאת דוגמה לשימוש במשוואת ריצ'רדס לתיאור זרימה אופקית חד־ממדית בקרקע במצב תמידי.
עבור ניסוח חד־ממדי אופקי תלוי ובהנחה ש- קבוע, נקבל את המשוואה :
עבור תחום חצי אינסופי, תנאי התחלה ותנאי שפה מסוג דיריכלה כדלהלן,
ו- הן רטיבות הקרקע ברוויה ובתכולת הרטיבות השאריתית ו-erfc היא פונקציית השגיאה המשלימה.
עבור ניסוח חד־ממדי אנכי תלוי , ובהנחה ש- קבוע, נקבל את המשוואה:
על ידי שימוש בכלל השרשרת, ניתן לכתוב :
עבור בעיה חצי אינסופית, בצירוף תנאי שפה דומים לדוגמה עבור הזרימה האופקית ובהנחה כי ו- קבועים, הפתרון יינתן על ידי :
פתרון לזרימה אופקית, תמידית בקרקע
משוואת ריצ'רדס עבור זרימה תמידית עבור בעיה חד־ממדית אופקית, כאשר מקדם המוליכות מבוטא כפונקציה של העומד המטריצי היא:
ממשוואה זו נובע כי הביטוי הוא קבוע וגודלו שווה לשטף בכיוון ציר ה- :
כעת, נשתמש במודל גרדנר לתיאור :
נפתור על ידי הפרדת משתנים ואינטגרציה, בהינתן שהעומד המטריצי ב הוא :
נקבל ביטוי לעומד המטריצי כפונקציה של המיקום:
במכניקת הקוונטים נפוצות כמה שיטות לתיאור ההתפתחות בזמן של מערכת.
השתיים ה"קלאסיות", מראשית תורת הקוונטים, הן תמונת הייזנברג ותמונת שרדינגר, אשר מבוססות שתיהן על משוואת שרדינגר.
המונח היסודי בפורמליזם זה הוא הפרופגטור, המסומן לרוב ב-K, שמסמן את אמפליטודת ההסתברות למעבר.
כפי שהתמונות המוזכרות לעיל שקולות בתוצרים שהן מייצרות ובניבויים הפיזיקליים שלהן, כך גם פורמליזם אינטגרלי המסלול נותן תוצאות זהות לאלה שתיתן משוואת שרדינגר.
בפרט, עבור ניסוי שני הסדקים (שהיווה מוטיבציה ומקור רעיוני לשיטת אינטגרלי המסלול) מתקבלת תוצאה זהה.
כוחו המרכזי של פורמליזם אינטגרלי המסלול הוא הפשטות בה ניתן לעבור למערכות רבות חלקיקים בלי שינוי עקרוני במתודות, בעוד שבמשוואת שרדינגר יש צורך לעסוק בקוונטיזציה שנייה.
אינטגרלי המסלול הם גם הכללה של עקרון הפעולה המינימלית למכניקה הקוונטית, כפי שיוזכר גם בהמשך.
בעזרת הכללות פשוטות יחסית של שיטת אינטגרלי המסלול ניתן לעסוק בחישובים מתחום המכניקה הסטטיסטית ולחשב פונקציית חלוקה באופן קוונטי.
מאמר זה מציג את היסוד לפורמליזם זה, באמצעות הצגת הקשר הישיר בין משוואת שרדינגר לבין פורמליזם אינטגרלי המסלול של פיינמן, וזאת באמצעות שימוש בהמילטוניאן לא-רלטביסטי חד-חלקיקי המורכב מאנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית, המקרה הכי בסיסי בו ניתן לעסוק באינטגרלי מסלול.
את הפיתוח שמופיע בהמשך ניתן למצוא בספרים ובמקורות רבים, עם הבדלים מועטים, דוגמת Altland & Simons או Lancaster & Blundell.
כאשר משתמשים בסימון דיראק ניתן לכתוב את משוואת שרדינגר כך:
את אופרטור ההמילטוניאן אפשר לכתוב כך:
כאשר היא אנרגיה פוטנציאלית, היא המסה ואנחנו מניחים שיש רק מימד מרחבי אחד, .
הפתרון הפורמלי של משוואת שרדינגר בתמונת שרדינגר נתון, באופן כללי, על ידי
ולכן סיכוי המעבר מהמצב ההתחלתי למצב סופי כלשהו הוא
פורמליזם אינטגרלי המסלול טוען שהסתברות המעבר נתונה על ידי אינטגרל על הגודל
על כל המסלולים האפשריים מהמצב ההתחלתי למצב הסופי, כאשר מסמל את הפעולה הקלאסית.
הניסוח מחדש הזה עבור סיכוי המעבר, שנהגה במקור על ידי דיראק ושוכלל על ידי פיינמן, מהווה את הבסיס של פורמליזם אינטגרלי המסלול.
ממשוואת שרדינגר לפורמליזם אינטגרלי המסלול
הגזירה שלהלן עושה שימוש בנוסחת המכפלה של טרוטר, שקובעת שעבור כל שני אופרטורים הרמיטיים ו- (המקיימים תנאים מסוימים) מתקיים
אפילו אם ו- אינם מתחלפים.
ניתן לחלק את מרווח הזמן ל- מקטעים מאורך
ולכן אפשר לכתוב את אמפליטודת המעבר כך:
ניתן להכניס את מטריצת הזהות
פעמים (בין כל זוג אקספוננטים) ונקבל את השוויון
אף על פי שהאנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית אינן מתחלפות (ולכן, אי אפשר לפרק את האקספוננט של ההמילטוניאן למכפלת אקספוננט של האנרגיה הקינטית ואקספוננט של הפוטנציאלית), נוסחת טרוטר מאפשרת להתעלם מהאי-התחלפות ולכתוב בכל מקטע זמן קטן
ולכן לאחר שימוש בנוסחה נקבל:
עכשיו ניעזר בזהות נוספת למטריצת הזהות:
ולאחר הכנסה של הזהות לתוך האמפליטודה נקבל:
כאשר נעזרנו בעובדה שהפונקציות העצמיות של המקום ושל התנע מקיימות
ניתן לבצע אינטגרציה על התנע , מכיוון שזהו אינטגרל גאוסיאני ולכן הוא פתיר ולקבל:
ולכן נקבל שאמפליטודת המעבר עבור כל תקופת הזמן (לאחר הצבה של הנוסחה האחרונה באמפליטודה) היא:
כאשר שואף לאינסוף, נקבל שאת הביטוי בסוגריים הקטנים ניתן להחליף בנגזרת של לפי הזמן, ולכן נקבל בתוך הסוגריים העגולים הגדולים את הלגרנז'יאן.
בגבול הסכום נהפך לאינטגרל, ולכן נקבל
כאשר היא הפעולה הקלאסית, שמוגדרת כך:
ו- הוא הלגראנז'יאן הקלאסי שמוגדר כך:
עבור כל נתיב אפשרי של החלקיק, שמגיע מהמצב ההתחלתי למצב הסופי, מחשבים את התרומה שלו על ידי הגבול שסימנו בסימון הקומפקטי :
על אף הצורה הקומפקטית שיש למשוואה האחרונה למעלה, בפועל הביטוי הזה הוא הדרך בה מחשבים דברים בשיטת אינטגרלי המסלול – על ידי לקיחת גבול של אינטגרל על מקטעים.
המקדם דואג ליחידות, אך אין לו משמעות אמיתית בשימושים פיזיקליים.
הפיתוח הנ"ל מכסה את הפיתוח של פורמליזם אינטגרלי המסלול (החד-חלקיקי) של מכניקת הקוונטים כאשר מתחילים ממשוואת שרדינגר.
ניתן להעיר שהפורמליזם מכליל את עקרון הפעולה המינימלית, שכן שיטת הפאזה הסטציונרית גורסת שהתרומה המרכזית לאינטגרל בגבול בו קבוע פלאנק שואף לאפס נובעת מהמצב בו הפעולה מינימלית, ולכן זהו המסלול שיתקבל בסבירות הכי גבוהה.
במכניקה מסלולית, משוואת קפלר קושרת בין תכונות גאומטריות שונות של מסלולו של גוף הנתון להשפעת כוח מרכזי.
המשוואה נגזרה לראשונה על ידי יוהאנס קפלר ב-1609 בפרק 60 של ספרו אסטרונומיה חדשה, בעוד שבכרך החמישי של ספרו "הצגה של אסטרונומיה קופרניקאית" (1621) הוא הציע גם תהליך איטרטיבי לפתרונה.
המשוואה מילאה תפקיד חשוב בהיסטוריה של הפיזיקה והמתמטיקה, במיוחד במכניקה שמיימית.
האנומליה הממוצעת היא היחס השברי בין הזמן שחלף מרגע אפס מסוים לבין זמן המחזור של תנועת הגוף במסלולו האליפטי, והיא מבוטאת כזווית היחסית לשבר זה.
היא שווה לזווית שהיה מכסה הרדיוס הווקטור של גוף דמיוני שנע במסלול מעגלי עם אותו זמן המחזור כמו של המסלול האליפטי הנתון (מעגל עם קוטר השווה לאורך הציר הראשי של המסלול האליפטי הנתון).
המהירות הזוויתית הממוצעת של הגוף היא:
מה שנותן את הזווית שיוצר הרדיוס וקטור בזמן t עם זה שברגע .
האנומליה האמיתית לעומת זאת, היא פרמטר זוויתי אמיתי שמגדיר את המיקום של הגוף במסלול קפלרי.
היא מוגדרת כזווית בין כיוון הפריאפסיס ובין המיקום הנוכחי של הגוף, כפי שהיא נמדדת במוקד הראשי של האליפסה (הנקודה סביבה הגוף חג).
היא מסומנת בדרך כלל באחת מהאותיות v,θ או f.
האנומליה האקסצנטרית היא גודל שימושי בניתוח התנועה הרדיאלית (כלומר ניתוח השינוי ברדיוס התנועה שלו) של גוף המצוי בתנועה מסלולית.
זהו פרמטר זוויתי המוגדר כך:
כאשר x ו-y הן הקואורדינטות של מיקום הגוף במסלול במערכת צירים שממורכזת במרכז האליפסה (לא במוקד שלה).
זו למעשה הזווית שיוצר רדיוס מסוים של מעגל ברדיוס a (כאשר a הוא חצי הציר הראשי) עם כיוון הציר הראשי של המסלול, כאשר הרדיוס המסוים הוא זה שחותך את האנך לציר הראשי המורד מהנקודה ששיעוריה (x,y) בנקודה שנמצאת על שפת המעגל .