tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
קבוצה פורשֹת (או קבוצת יוצרים) היא קבוצת וקטורים שבאמצעותם ניתן להציג כצירוף ליניארי את כל ואך ורק וקטורים במרחב הנפרש.
קבוצת כל הצירופים הליניאריים של איברי קבוצת וקטורים נתונה מסומנת ב-.
ניתן להראות שקבוצה זו תמיד מקיימת את אקסיומות המרחב הווקטורי, ולכן ניתן לדבר על "המרחב הנפרש על ידי הקבוצה ".
בהתאם לכך, פורשת את אם ורק אם .
קבוצה פורשת מינימלית, או קבוצה פורשת בלתי תלויה, מהווה בסיס למרחב הווקטורי.
אם משמיטים מקבוצה כזו וקטור אחד (או יותר), היא כבר לא פורשת.
אם קבוצה זו אינה מינימלית אז קיים בקבוצה וקטור שניתן להצגה כצירוף ליניארי של האחרים ולכן היא תלויה ליניארית.
נתבונן במערכת הצירים הקרטזית הדו-ממדית במישור.
מערכת זו מתוארת על ידי שני הווקטורים (1,0) ו-(0,1) אשר פורשים את כל המישור: ניתן לייצג כל וקטור על המישור כצירוף ליניארי של שני וקטורי היחידה האלה.
אף על פי שנוח להשתמש במערכת צירים זו, אין זו מערכת הצירים היחידה שפורשת את המישור - כל זוג וקטורים שאינם תלויים ליניארית יכולים לפרוס את המישור.
אם הווקטורים תלויים ליניארית, הם "יושבים" על אותו ישר ולכן אינם יכולים לפרוס את המישור.
אפשר לתת משל ממכונית על שלט בעלת מקש שליטה אחד.
לעולם לא יהיה אפשר להגיע איתה לכל מקום על מרחב הרצפה, כי השליטה בה היא רק האם להזיז את המכונית קדימה ואחורה.
אך אם נוסיף למכונית כפתור שליטה נוסף שנע לצדדים, נקבל שליטה בשני וקטורי כיוון, שאינם תלויים ליניארית, ובעזרתם נוכל להגיע - אם נקיש את "הצירוף ליניארי" הרצוי - לכל מקום ברצפה.
כעת, דמיינו לעצמכם שכפתור השליטה השני אינו פונה ימינה ושמאלה אלא בזווית מסוימת.
שינוי זה אולי יסרבל את השליטה במכונית, אבל לא ישנה את העובדה שהמכונית תוכל להגיע לכל נקודה שנרצה (עם צירוף ליניארי אחר).
רק במקרה שהכפתור השני ישלוט גם הוא על ההתקדמות קדימה או אחורה (אפילו אם יש לו רגישות שונה), לא נוכל לפרוש את המרחב כי הווקטורים תלויים ליניארית.
ניתן להרחיב את מושג הפריסה למערכת מרובת ממדים.
אם יש לנו רחפן, נצטרך כפתור שליטה נוסף כדי להביא את הרחפן לככל נקודה במרחב, משום שרחפן נע בשלושה ממדים ולכן הוא צריך 3 וקטורים שונים כדי לפרוס את המרחב.
בהכללה, לכל מרחב n ממדי דרושים n וקטורים בלתי תלויים ליניארית כדי לפרוס אותו.
וקטורים אלה נקראים הבסיס של המרחב.
הקבוצה פורשת את קבוצת המספרים הממשיים, מפני שכל מספר ממשי הוא צירוף ליניארי שלה (כי לכל מספר ממשי קיים כך שמתקיים ).
בדומה, כל קבוצה של מספרים ממשיים – למעט הקבוצה הריקה ויחידון האפס () – פורשת את קבוצת כל המספרים הממשיים ׁ(אבל לאו דווקא פורשת מינימלית).
למשל: , המספרים הטבעיים או הן כולן קבוצות אשר פורשות את המספרים הממשיים.
הקבוצה פורשת את המרחב , כי לכל , קיים כך שמתקיים .
בהתאם לדוגמאות שלעיל נוכל לסמן:
קבוצה קומפקטית היא תת-קבוצה של מרחב טופולוגי, שלכל כיסוי פתוח שלה קיים תת-כיסוי סופי.
אם המרחב הטופולוגי כולו מקיים את התכונה הזו, הוא נקרא מרחב קומפקטי.
מושג הקומפקטיות מכליל תכונות שמתקיימות על ידי קבוצות סגורות וחסומות במרחבים מטריים, כדוגמת הקטע בישר הממשי.
כדי להכליל את המושג של קטע סגור וחסום למרחבים טופולוגיים שאינם מטריים, משתמשים בעובדה שתכונות רבות של הקטעים הסגורים נובעות ישירות מכך שאם מכסים קטע סגור בקטעים פתוחים, מובטח שקיים מספר סופי של קטעים מבין אלה המשתתפים בכיסוי המכסה את הקטע הנתון.
קומפקטיות היא תכונה בעלת חשיבות יסודית באנליזה מתמטית, משום שמשפטים חשובים הנוגעים לפונקציות רציפות בקטע סגור, כגון משפט קנטור על רציפות במידה שווה ומשפטי ויירשטראס, תקפים גם עבור פונקציות ממשיות שהן רציפות בקבוצה קומפקטית.
במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא סגורה וחסומה.
משפט היינה-בורל קובע שבמרחבים האוקלידיים , גם ההפך נכון: כל קבוצה סגורה וחסומה במרחב כזה היא קומפקטית.
מושג הקומפקטיות הופיע בצורה מפורשת רק בתחילת המאה העשרים, אך ניצניו מצויים בהתפתחויות עיקריות באנליזה המתמטית מתחילת הרבע האחרון של המאה התשע-עשרה.
ב-1817 אפיין בולצאנו את תכונת החסם העליון של הממשיים, שעל בסיסה הוכיח ויירשטראס ב-1877 את משפט בולצאנו-ויירשטראס: קבוצה בממשיים כוללת גבול לכל סדרה אם ורק אם היא סגורה וחסומה.
במקביל לגישה זו שחקרה את הממשיים באמצעות סדרות, התפתחה גישה הלומדת אותם באמצעות קטעים פתוחים.
ב-1872 הוכיח אדוארד היינה (1821-1881) שפונקציה רציפה בקטע סגור היא רציפה במידה שווה (דיריכלה הוכיח זאת כבר ב-1852, אלא שהגרסה שלו לא פורסמה עד 1904).
בהמשך לעבודתו של היינה, הראה אמיל בורל בעבודת הדוקטורט שלו ב-1894 שקטע סגור בממשיים הוא, במונחים מודרניים, קומפקטי.
מושג הרציפות במידה שווה עמד ביסוד משפט ארצלה-אסקולי (1883 ו-1893) על התכנסות במידה שווה של סדרות של פונקציות רציפות.
מוריס פרשה היה זה שזיהה את החשיבות של הקומפקטיות כמושג עצמאי, ואף טבע את המונח ב-1906, כשהוא מגדיר מה שידוע היום כקומפקטיות יחסית (לקבוצה יש סגור קומפקטי).
את ההגדרה המקובלת היום טבעו פבל אלכסנדרוב ופבל סמואילוביץ' אוריסון ב-1923 (בתחילה בשם "בי-קומפקטיות").
בורבקי (בשנות הארבעים) כינה מרחבים קומפקטיים בשם קוואזי-קומפקטיים, כשהוא שומר את המונח עצמו למרחבים קומפקטיים האוסדורף.
כיסוי פתוח של קבוצה במרחב טופולוגי הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שהקבוצה מוכלת באיחוד שלהן.
במילים אחרות, כל נקודה של שייכת לפחות לאחת הקבוצות באוסף.
אם אוסף קטן יותר מהווה כיסוי של אותה קבוצה , הוא נקרא תת כיסוי.
קבוצה קומפקטית היא קבוצה בעלת התכונה הבאה: לכל כיסוי פתוח של הקבוצה, קיים תת-כיסוי סופי.
לדוגמה, כל קבוצה סופית היא קומפקטית, ובמידת מה אפשר לחשוב על הקומפקטיות כעל הכללה טופולוגית של מושג הסופיות; הקבוצות הקומפקטיות הן 'הקבוצות הקטנות' של המרחב הטופולוגי.
בעזרת הדואליות בין קבוצות פתוחות וקבוצות סגורות, אפשר לנסח את תכונת הקומפקטיות גם באופן הבא: במרחב קומפקטי, אם אוסף של קבוצות סגורות מקיים את תכונת החיתוך הסופי (החיתוך של כל מספר סופי של קבוצות מהמשפחה אינו ריק), אז גם החיתוך של המשפחה כולה אינו ריק.
בספרים אחדים (במיוחד בתחום הגאומטריה האלגברית) מייעדים את התואר 'קומפקטי' רק למרחבי האוסדורף קומפקטיים, אולם זוהי הגדרה פחות מקובלת של המושג.
בספרים אלו מרחב שהוא קומפקטי ואינו האוסדורף נקרא קוואזי-קומפקטי.
אפשר לפרק את תכונת הקומפקטיות לשני מרכיבים חלשים יותר.
קבוצה מקיימת את תכונת לינדלוף אם לכל כיסוי אינסופי שלה יש תת-כיסוי בן מנייה; וקבוצה נקראת קומפקטיות מנייתית אם לכל כיסוי בן מנייה שלה יש תת-כיסוי סופי.
כמובן, קבוצה קומפקטית מקיימת את שתי התכונות האלה.
באופן יותר כללי, בהינתן מונה , נאמר שמרחב טופולוגי הוא -קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו יש תת-כיסוי שעוצמתו קטנה ממש מ-.
מרחב שהוא איחוד סדרה בת מנייה של קבוצות קומפקטיות נקרא סיגמא-קומפקטי.
מרחב מקיים את תכונת מנגר אם לכל סדרה של כיסויים פתוחים שלו, אפשר לבחור תת-קבוצה סופית מכל כיסוי, כך שאיחוד כל הקבוצות שנבחרו מכסה את המרחב.
עבור מרחבים מטריים, תכונה זו שקולה לכך שלכל בסיס של המרחב יש תת-כיסוי בן-מנייה עם קוטר השואף לאפס.
מרחב מקיים את תכונת הורביץ' אם לכל סדרה של כיסויים פתוחים שלו אפשר לבחור תת-קבוצה סופית מכל כיסוי, כך שכל נקודה במרחב מכוסה על ידי איחוד הקבוצות בכמעט כל .
כל מרחב סיגמא-קומפקטי מקיים את תכונת הורביץ'; כל מרחב הורביץ' מקיים את תכונת מנגר (ההפך אינו נכון אפילו בישר הממשי - חבר ופול, 2002); כל מרחב מנגר הוא בפרט לינדלוף.
מרחב בר הוא לינדלוף אבל אינו מנגר.
כל "קבוצת לוזין" היא מנגר אבל לא סיגמא-קומפקטית, וקבוצות לוזין קיימות תחת השערת הרצף.
(קבוצת לוזין היא תת-קבוצה של הישר הממשי, שאינה בת-מנייה, אבל החיתוך שלה עם כל קבוצה דקה הוא בן-מנייה לכל היותר).
אחת התכונות החשובות של קבוצות קומפקטיות במרחבים מטריים מתוארת במשפט בולצאנו-ויירשטראס: לכל סדרה בקבוצה קומפקטית יש תת-סדרה מתכנסת.
קבוצה המקיימת תכונה זו היא קומפקטית סדרתית.
במרחב מטרי התכונה שקולה לקומפקטיות, אבל במרחבים טופולוגיים כלליים אלו שתי תכונות שונות, שאינן בהכרח גוררות זו את זו.
במרחבים המקיימים את תכונת המנייה הראשונה, קומפקטיות סדרתית שקולה לקומפקטיות מנייתית.
מכיוון שמרחב מטרי קומפקטי הוא קומפקטי סדרתית, כל מרחב כזה הוא שלם (שהרי סדרת קושי שיש לה תת-סדרה מתכנסת, היא בעצמה סדרה מתכנסת).
מרחב מטרי הוא קומפקטי בחסימות (boundedly compact) אם כל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית (די בכך שכל כדור סגור הוא קומפקטי).
משפט היינה-בורל קובע שהמרחב האפיני הוא קומפקטי בחסימות.
כל מרחב קומפקטי הוא קומפקטי בחסימות.
כל מרחב קומפקטי בחסימות הוא שלם.
כל יריעת רימן שלמה היא קומפקטית בחסימות (משפט Hopf-Rinow).
מרחב הוא קומפקטי אם ורק אם לכל חיתוך כלשהו של סגורות קיים חיתוך סופי שהוא ריק.
עובדה זו נובעת מן ההגדרה.
תחת אקסיומת הבחירה קיימים על מסננים, ואז מתקיים כי המרחב קומפקטי אם ורק אם כל על מסנן מתכנס.
בכיוון אחד, נניח כי קומפקטי ויהא על מסנן.
נסמן ב- את החיתוך של כל הקבוצות הסגורות ב-.
בגלל קומפקטיות אינו ריק (שהרי אם היה ריק אזי היה חיתוך סופי ריק בסתירה להגדרת מסנן).
כעת ברור כי הוא גבול של כי כל סביבה פתוחה שלו שייכת ל- (שאם לא כך, יש סביבה פתוחה שלא ב- אבל אז המשלים שלה ב- כי על מסנן והמשלים שלה סגור ולכן שייך אליו בסתירה לכך שהוא ב-).
בכיוון שני, נניח כי כל על מסנן מתכנס ונוכיח כי המרחב קומפקטי.
יהיו סגורות כך שכל חיתוך סופי שלהם לא ריק ונראה שהחיתוך של כולם גם לא ריק.
אכן, כיוון שכל חיתוך סופי שלהם לא ריק אזי קיים מסנן ולכן על מסנן שמכיל את שלפי הנתון קיים לו גבול .
כעת, בחיתוך של כולם כי אחרת קיימת ש- לא שייך אליה אזי המשלים של שנסמנו הוא סביבה פתוחה של שינו מכיל באף קבוצה של (שהרי החיתוך עם ריק + תכונת מסנן).
במרחב האוסדורף, כל קבוצה קומפקטית היא סגורה (מרחב שבו כל קבוצה קומפקטית היא סגורה נקרא מרחב-KC; כל מרחב האוסדורף הוא KC, וכל מרחב KC מקיים את תכונת ההפרדה T1).
הוכחה: תהי קבוצה קומפקטית ותהי נקודה מחוץ ל-.
מספיק להראות שקיימת קבוצה פתוחה המכילה את וזרה ל-.
תכונת ההפרדה מבטיחה שלכל נקודה קיימות קבוצות פתוחות זרות ו- , כך ש- ו- .
האוסף מהווה כמובן כיסוי פתוח של , ולפי הקומפקטיות יש לו תת-כיסוי סופי .
החיתוך הוא קבוצה פתוחה המכילה את וזרה ל-.
קבוצה סגורה במרחב קומפקטי היא קומפקטית.
הוכחה: תהי סגורה במרחב , ויהיה כיסוי פתוח של , אז הוא כיסוי פתוח של ולכן יש לו תת-כיסוי סופי, שהוא בפרט תת-כיסוי סופי של .
מסקנה: במרחב האוסדורף קומפקטי, קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה.
מתכונה זו ניתן להראות שמרחב שהוא האוסדורף קומפקטי נמצא ב"שיווי משקל" מבחינת גודל הטופולוגיה שלו.
כל טופולוגיה עדינה יותר אינה קומפקטית (כי היא מכילה קבוצה סגורה שאינה קומפקטית) וכל טופולוגיה גסה יותר אינה האוסדורף (כי היא מכילה קבוצה קומפקטית שאינה סגורה).
במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא חסומה, ואפילו חסומה כליל.
הוכחה: נבחר נקודה כלשהי, אז הכדורים הפתוחים מהווים כיסוי פתוח של הקבוצה, שיש לו תת-כיסוי סופי.
מרחב מטרי הוא קומפקטי אם ורק אם מתקיימות התכונות השקולות הבאות:
לכל קבוצה אינסופית יש נקודת הצטברות.
המרחב הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור .
מרחב מטרי קומפקטי הוא ספרבילי.
מרחב שהוא קומפקטי והאוסדורף הוא גם מרחב נורמלי.
במרחב האוסדורף, חיתוך של שתי קבוצות קומפקטיות הוא קומפקטי.
(במרחב שבו הקבוצות הפתוחות הן הקטעים ואלו המכילות את , שתי הקבוצות ו- קומפקטיות, אבל החיתוך שלהן אינו קומפקטי).
משפט טיכונוף אומר כי מרחב מכפלה הוא קומפקטי אם ורק אם כל רכיביו קומפקטיים.
המשפט היסודי בעניין זה הוא:
תמונה רציפה של קבוצה קומפקטית היא קומפקטית.
כלומר, אם מרחבים טופולוגיים ו- פונקציה רציפה, ו- קומפקטית, אז קומפקטית.
ההוכחה קלה מאד: אם כיסוי פתוח של , אז כיסוי פתוח של , ולכן יש לו תת-כיסוי סופי, שתמונתו תחת היא תת-כיסוי סופי של .
בפרט, פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית היא בעלת תמונה סגורה וחסומה, ומכאן נובעים מיד שני משפטי ויירשטראס בנוסחם הכללי:
פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת שם את המקסימום שלה.
ההכללה של משפט קנטור למרחבים מטריים קובעת כי:
פונקציה רציפה במרחב מטרי קומפקטי, היא רציפה במידה שווה.
באנליזה מתמטית, קבוצה פתוחה במרחב מטרי היא קבוצה המכילה כדור סביב כל נקודה שלה.
אם כך, במרחבים מטריים מושג הקבוצה הפתוחה מוגדר על פי המטריקה, שהרי זו קובעת את הכדורים.
מאידך, בטופולוגיה הכללית, מושג הקבוצה הפתוחה הוא מושג יסודי: קבוצה היא פתוחה אם היא שייכת לטופולוגיה.
בכל מרחב מטרי, הכדור הפתוח הוא בעצמו קבוצה פתוחה, משום שלכל x בכדור מתקיים לפי אי-שוויון המשולש כי .
עובדה זו מראה שבהגדרת הקבוצה הפתוחה אין הבדל בין הדרישה שהקבוצה U תכיל כדור ש*מרכזו* x לכל נקודה x ב-U, לבין הדרישה שהקבוצה תכיל כדור *המכיל* את x לכל x ב-U.
באופן אינטואיטיבי, בקבוצה פתוחה אף נקודה אינה "על הקצה": תמיד ניתן לזוז מעט בכל כיוון במרחב מבלי לצאת מהקבוצה.
לעומת זאת הקטע אינו פתוח, כי לנקודה אין סביבה בשום גודל שכולה מוכלת בקטע (אם ניקח את ונזוז אפילו מעט בכיוון החיובי, נימצא מחוץ לקטע הנתון).
בכל מרחב טופולוגי X, הפנים של קבוצה A הוא הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר המוכלת ב-A.
מושג זה מוגדר, משום שהאיחוד של משפחה כלשהי של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה; אם כך הפנים של A הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-A.
לפנים יש כמה תכונות חשובות: הוא מונוטוני (כלומר ); אידמפוטנטי (כלומר ); שומר חיתוך (); ואינו משנה את המרחב ().
גם להפך, כל אופרטור על תת-הקבוצות של X המקיים את ארבע התכונות האלה מגדיר טופולוגיה שבה הוא מהווה אופרטור הפנים (הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן בדיוק אלה המקיימות ).
הקבוצה הריקה והישר כולו הן קבוצות פתוחות (וגם סגורות);
האיחוד - לאו דווקא סופי - של קבוצות פתוחות מהווה קבוצה פתוחה;
החיתוך של מספר סופי של קבוצות פתוחות הוא פתוח, אבל זה לא נכון עבור חיתוך של מספר אינסופי של קבוצות פתוחות ;
המשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה.
החיתוך של מספר אינסופי של קבוצות פתוחות לא בהכרח קבוצה פתוחה.
לדוגמה, החיתוך האינסופי של הקטעים הפתוחים: בממשיים הוא , וזוהי קבוצה לא פתוחה עם המטריקה הרגילה.
נשים לב ש'פתיחות' קבוצה מסוימת תלויה במרחב בו היא מוגדרת.
למשל, אם מוגדרת כקבוצת המספרים הרציונליים בקטע אז פתוחה בקבוצת המספרים הרציונליים (דהיינו, בטופולוגיה המושרית עליהם מהטופולוגיה הסטנדרטית על הממשיים).
זאת מכיוון שבמקרה זה אין מספרים אי רציונליים אליהם אנו יכולים לזוז ולכן התזוזה הקטנה ביותר האפשרית היא ממספר רציונלי אחד למשנהו (שכידוע יכולה להיות קטנה כרצוננו).
בנוסף, לא משנה עד כמה איבר של קרוב ל- או ל- תמיד קיים מספר רציונלי בין האיבר ל- או ל- אליו ניתן לזוז מבלי לצאת מ-.
כאשר מתייחסים לקבוצה כתת-קבוצה של המספרים הממשיים הקבוצה אינה פתוחה.
זאת מכיוון שבין כל שני מספרים רציונליים נמצאים אינסוף מספרים אי רציונליים לא ניתן לזוז מאיבר ב- אפילו מעט לאחד הכיוונים מבלי לעבור במספרים אי רציונליים (שאינם שייכים ל-).
בנוסף נשים לב כי ישנן קבוצות שהן גם פתוחות וגם סגורות: דהיינו פתיחות וסגירות של קבוצה הן לא דבר והיפוכו.
ב- ובמרחבים קשירים אחרים רק הקבוצה הריקה והמרחב כולו הם גם סגורים וגם פתוחים.
ברציונליים למשל, קבוצת כל המספרים הרציונליים הקטנים מהשורש הריבועי של שתיים היא גם פתוחה וגם סגורה.
כמו כן, קבוצה יכולה להיות לא פתוחה ולא סגורה (למשל בישר הממשי).
במתמטיקה, קבוצה סגורה היא קבוצה שמכילה את השפה שלה, כלומר שכל הנקודות ש"צמודות לה" שייכות לה.
זוהי המשמעות האינטואיטיבית ביותר של המושג, אך משמעותו המדויקת תלויה בהקשר המסוים שבו משתמשים בו.
דוגמה לקבוצה סגורה היא הקטע שעל הישר הממשי, אשר כולל את כל הנקודות בין 0 ל-1, ואת השפה שהיא 0 ו-1, ולכן הוא סגור.
באנליזה, כאשר עוסקים במרחב האוקלידי ה-n ממדי, קבוצה היא סגורה אם היא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה.
הגדרה זו תקפה גם עבור מרחב מטרי כלשהו.
ניתן גם להגדיר קבוצה סגורה בעזרת שימוש במושג הסגור: קבוצה סגורה היא קבוצה ששווה לסגור שלה.
במרחב טופולוגי כללי לא בהכרח מוגדר מושג המרחק, ולכן לא ניתן להגדיר קבוצות סגורות באמצעותו.
לכן מגדירים קבוצה סגורה בתור קבוצה שהמשלים שלה הוא קבוצה פתוחה.
נשים לב כי במרחבים מטריים כלליים העובדה שקבוצה שמשלימתה סגורה היא קבוצה פתוחה נכונה תמיד, ניתן להוכיח זאת מתכונות המרחב, ולכן הגדרה זו היא הכללה של מושג הקבוצה הסגורה.
קבוצה יכולה להיות גם פתוחה וגם סגורה.
לדוגמה, בכל מרחב טופולוגי, הקבוצה הריקה וכן המרחב כולו הן קבוצות שגם פתוחות וגם סגורות.
מרחב טופולוגי הוא קשיר אם ורק אם אלו הקבוצות היחידות שגם פתוחות וגם סגורות.
כמו כן, קבוצה יכולה להיות לא סגורה ולא פתוחה.
ניתן גם להשתמש בקבוצה הסגורה בתור מושג היסוד שעליו נבנית הטופולוגיה של המרחב – עבור קבוצת אברי המרחב בוחרים משפחה של קבוצות חלקיות לה שמקיימות מספר תכונות מיוחדות (המתקיימות לקבוצות סגורות במובן המטרי) ומגדירים אותן "קבוצות סגורות".
מהגדרה זו ינבעו כל הקבוצות הפתוחות שבמרחב, ועל כן דרך הגדרה זו אינה שונה מהגדרת טופולוגיה באמצעות קבוצות פתוחות.
התכונות הבסיסיות של קבוצות סגורות הן שחיתוך כלשהו של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה ואיחוד סופי של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה.
איחוד אינסופי של קבוצות סגורות אינו בהכרח סגור.
קבוצה בעלת מידה אפס היא קבוצה שמידת לבג שלה היא אפס.
אינטואיטיבית זוהי קבוצה ש"אורכה" , היא קטנה כל כך עד כדי כך שהיא איננה משפיעה על אינטגרל לבג של פונקציות המוגדרות בקבוצה כלשהי המכילה אותה.
באופן ישיר, נאמר שקבוצה בישר הממשי היא בעלת מידה אפס או קבוצת אפס אם לכל קיים כיסוי בן-מנייה של קטעים פתוחים המכסה את ושסכום אורכיו קטן מאפסילון.
עבור מידה שלמה (ומידת לבג היא שלמה) כל קבוצה בעלת מידה אפס היא מדידה, וכך גם כל תת-קבוצה שלה מדידה ובעלת מידה אפס.
כאמור בתחילת הערך, המשמעות האינטואיטיבית של היות קבוצה בעלת מידה אפס היא שהקבוצה "זניחה" כך שהיא איננה משפיעה על תכונות אינטגרליות (במובן לבג) של הפונקציה.
למשל: פונקציה חסומה היא אינטגרבילית במובן רימן אם ורק אם קבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס.
אם ו- אינטגרביליות רימן, ו- נבדלת מ- רק על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס, אזי אינטגרל רימן של שווה לאינטגרל רימן של .
אם נבדלת מ- רק על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס אזי אינטגרל לבג של שווה לאינטגרל לבג של .
פונקציה מונוטונית גזירה כמעט בכל מקום, כלומר: קבוצות הנקודות שבהן הפונקציה לא גזירה היא קבוצה בעלת מידה אפס.
דוגמאות לקבוצות בעלות מידה אפס
להלן מספר דוגמאות ומקרים כלליים של קבוצות בעלות מידה אפס:
כל קבוצה בעלת מספר סופי של איברים.
כל קבוצה בת מנייה בישר הממשי.
הוכחה: יהי ותהי מנייה של איברי הקבוצה .
נכסה כל איבר בקטע הממורכז סביבו שאורכו הוא .
ברור ש- וכמו כן (סכום טור הנדסי) ולכן כיסינו את באמצעות קטעים שאורכם הכולל קטן מ-.
קבוצת קנטור: זו דוגמה לקבוצה בעלת מידה אפס אף על פי שהיא איננה בת-מנייה אלא עוצמתה היא עוצמת הרצף.
קבוצת המספרים שאינם נורמליים: גם זו קבוצה בעלת מידה אפס שאינה בת-מנייה.
ישר הוא קבוצה ממידה אפס במישור (כאשר מידת לבג היא הכללה של שטח).
באופן יותר כללי, קבוצת הנקודות של כל יריעה אלגברית ואף כל יריעה אנליטית ממימד קטן מ- ב- היא ממידה אפס.
בכימיה, קבוצה פונקציונלית היא קבוצת אטומים בתרכובת, המשפיעה באופן מכריע על התנהגותה הפיזיקלית והכימית.
המונח מתייחס בדרך כלל לקבוצות כימיות של תרכובות אורגניות.
הגדרתן של קבוצות פונקציונליות (שהן למעשה תבניות ייחודיות) מאפשרת לסווג תרכובות כימיות למשפחות שלהן תכונות כימיות ופיזיקליות דומות.
מונחון IUPAC מסדיר את אופן מתן השמות לתרכובות הפחמן לפי הקבוצה הפונקציונלית שלהן.
התכונות הנקבעות על ידי הקבוצות הפונקציונליות
קשרי מימן במולקולות המכילות חנקן, חמצן או פלואור כאטומים צמודים למימן;
קבוצת OH (הידרוקסיל) שמאפיינת כהלים.
קבוצת NH (נגזרות אמוניה) שמאפיינת בסיסים אורגנים.
קבוצת COOH שמאפיינת חומצות אורגניות.
קשרי ואן דר ואלס במולקולות שאינן מכילות את היסודות חנקן, חמצן או פלואור כאטומים צמודים למימן.
כל המולקולות הנזכרות בסעיף הקודם יכולות לקיים קשרי מימן בקצה של הקבוצות הפונקציונליות הנ"ל ובמקביל לקיים גם קשרי ואן דר ואלס באמצעות השרשרת הפחמנית שלהן.
קבוצות שיכולות לקיים אך ורק קשרי ואן דר ואלס הן:
CHX (ההלוגנים Cl, Br, I) שמאפיינים אלקילהלידים.
יש להבחין בין קבוצת OH המאפיינת כהלים שבה קבוצת OH מקיימת קשר קוולנטי יחיד עם השלב הפחמני לעומת קבוצת CHO (אלדהיד) שבה מקיים אטום הפחמן קשר יחיד עם המימן וקשר כפול עם החמצן.
אטום החמצן נמצא בין הפחמנים כאשר הוא חולק קשר יחיד עם כל אחד מהם ולכן אינו מקיים קשרי מימן.
CONa - מתכות אלקליות מטור ראשון במערכה המחזורית המקיימות תגובה עם כהלים שבמהלכה נפלט המימן (במצב צבירה גז) מקבוצת OH של הכהל, היסוד האלקלי יוצר עם התרכובת האורגאנית חומר יוני באמצעות החמצן הנותר מקבוצת OH.
חומרים נטרליים שאינם מתפרקים לחומצה או בסיס;
אלקאנים (פחמימנים בעלי שלד פחמימני בלבד וקשרים יחידים).
אלקנים (פחמימנים בעלי שלד פחמני בלבד וקשרים כפולים).
חומצות אורגניות בעלות קבוצה COOH.
הפחמן של קבוצה זו מקיים קשר יחיד עם הפחמן שלפניו בשרשרת הפחמנית, קשר כפול עם חמצן אחד וקשר יחיד עם קבוצת OH.
בשל האלקטרושליליות הגבוהה של שני הפחמנים, משתחרר המימן למים והופך אותם מH2O לH3O+ (יוני הידרוניום).
בסיסים אורגנים בעלי קבוצת NH.
שרשראות פחמימניות בעלות קבוצה פונקציונלית המקיימת קשרי מימן מסיסות גם במים (בשל קשרי המימן של המים) וגם בנוזלים וגזים אחרים (בשל קשרי ואן דר ואלס של השרשרת הפחמימנית עצמה).
הערה: מידת המסיסות במים תיקבע על ידי אורך השרשרת הפחמימנית ומספר ההסתעפויות שלה.
ככל שהשרשרת גדולה יותר ופחות מסועפת, כך גדל שטח המגע בין מולקולות החומר האורגאני ובמקרים מסוימים המולקולה כל-כך גדולה עד שמסיסותה במים זניחה למרות היותה בעלת קבוצה פונציונלית המקיימת קשרי מימן.
שרשראות פחמימניות בעלות קבוצה פונקציונלית שאינה מקיימת קשרי מימן אלא רק קשרי ואן דר ואלס, אינן מסיסות במים אך מסיסות במגוון נוזלים וגזים אחרים.
הערה: קבוצה יוצאת דופן היא CONa שאינה יוצרת קשרי מימן אך משום שהיא יוצרת חומר יוני מקוטב, המולקולה מסיסה במים.
קבוצה נוסחת מבנה מבנה לואיס אלקאן R(CH2)nH אלקן R2C=CR2 אלקין RC≡CR' R-C{\equiv}C-R'הלואלקאןR-X R-X בנזיל RC6H5RPh
קבוצה נוסחת מבנה מבנה לואיס הידרוקסיל (כוהל) ROH קטון RCOR' אלדהיד RCHO אציל RCOX קרבונט ROCOOR' קרבוקסיל (חומצה קרבוקסילית) RCOOH קרבוקסילט RCOO− אסטר RCOOR' הידרופראוקסיד ROOH פראוקסיד ROOR' אתר ROR' המיאצטל RCH(OR')(OH) המיקטאל RC(ORʺ)(OH)R' אצטל RCH(OR')(OR")
קבוצה נוסחת מבנה מבנה לואיס תיול RSH סולפיד (תיואתר) RSR' דיסולפיד RSSR' סולפוקסיד RSOR' סולפון RSO2R' חומצה סולפינית RSO2H חומצה סולפונית RSO3H תיוציאנט תיוציאנט RSCN איזותיוציאנט RNCS תיוקטון RCSR' תיאל RCSH תיואסטר RSOSR סולפונאמיד RSO2NR2
קבוצה נוסחת מבנה מבנה לואיס פוספין R3P חומצה פוספונית RP(=O)(OH)2 פוספאט ROP(=O)(OH)2 פוספודיאסטרHOPO(OR)2
במתמטיקה, קבוצת נקודות במרחב וקטורי היא קמורה אם לכל שתי נקודות שבתוכה, גם הקטע המחבר את שתי הנקודות נמצא כולו בתוכה.
למשל, משולש, עיגול או מקבילית הן צורות קמורות, אבל טבעת או פרסה אינן צורות קמורות.
מושג הקמירות מופיע גם בהקשר של פונקציות.
הגדרה שקולה לפונקציה קמורה היא פונקציה כך שקבוצת הנקודות שנמצאות מעל הגרף שלה היא קבוצה קמורה.
עם זאת, בעוד שבפונקציות קיים המושג הנגדי פונקציה קעורה, אין משמעות למונח "קבוצה קעורה".
קבוצה יכולה להיות קמורה או לא-קמורה.
לקמירות שימושים ברבים מתחומי המתמטיקה.
למשל, בתחום האנליזה הפונקציונלית, אם קבוצה במרחב הילברט כלשהו היא קמורה וסגורה, זה מבטיח שלכל נקודה במרחב קיימת נקודה אחת ויחידה בקבוצה שמרחקה ממנה מינימלי.
לפי משפט נקודת השבת של בראואר, לכל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית קמורה במרחב האוקלידי אל עצמה, יש נקודת שבת.
תהא קבוצה כלשהי במרחב וקטורי ממשי.
נאמר כי קמורה אם ורק אם לכל שתי נקודות ולכל מתקיים .
במרחבים נורמיים אפשר להכליל את מושג הקמירות לתכונה חזקה יותר.
קבוצה K במרחב נורמי נקראת -קמורה או Perfectly Convex אם לכל סדרת מספרים ממשיים חיוביים שסכומה 1, ולכל סדרת נקודות מתקיים: .
כל קבוצה סיגמא-קמורה היא קמורה.
את מושג הקמירות אפשר להכליל לכל מרחב מטרי.
קבוצה C במרחב מטרי היא קמורה, אם כל שתי נקודות אפשר לחבר על ידי עקום גאודזי (דהיינו תמונה איזומטרית של קטע) שעובר כולו ב-C.
מושג הקמירות הזה מכליל את ההגדרה הקודמת, משום שבמרחב נורמי ממשי עקום גאודזי אינו אלא קטע.
תכונה חלשה יותר נקראת קמירות מנגר (Menger), ודורשת רק שלכל שתי נקודות (שונות) x,y ב-C תהיה קיימת נקודה z ב-C הנמצאת ביניהן (כלומר , כאשר d היא המטריקה של המרחב).
קבוצה קמורה היא גם קמורת-מנגר, אבל לא להפך.
עם זאת, במרחב מטרי שלם, המושגים מתלכדים.
בהינתן קבוצה ואוסף של תתי-קבוצות של , נאמר שהזוג הוא מרחב קמירות אם מתקיים:
חיתוך של אוסף כלשהו של איברים מ- נמצא ב-.
איחוד של שרשרת איברים מ- גם ב-.
לאיברים ב- קוראים קבוצות קמורות.
הקמור של קבוצת נקודות הוא הצורה הקמורה הקטנה ביותר שמכילה את הנקודות; הקמור הוא החיתוך של כל הקבוצות הקמורות שמכילות את קבוצת הנקודות.
בכתיב מתמטי, לכל מרחב וקטורי מעל הממשיים ולכל הקמור של מוגדר להיות:
מפני שהמרחב הווקטורי הוא קבוצה קמורה בעצמו, הקמור של מוגדר היטב מכיוון שהוא מהווה חיתוך של לכל הפחות קבוצה אחת.
מרחב וקטורי הוא קבוצה קמורה.
הקבוצה הריקה אף היא קמורה באופן ריק.
כל חיתוך (סופי או אינסופי) של קבוצות קמורות הוא קבוצה קמורה
במרחב הדו-ממדי, מקבילית, ריבוע, מלבן, עיגול, אליפסה, משולש וכן כל מצולע משוכלל, כולם קמורים.
במרחב התלת-ממדי, ארבעון, פירמידה, קוביה, ספירה, וכן כל הפאונים המשוכללים, כולם קמורים.
בכל מרחב בעל מספר ממדים סופי, הסימפלקס הוא קבוצה קמורה.
בחישוביות, קבוצה בת מנייה נקראת ניתנת למנייה רקורסיבית (נל"ר) או בת מנייה רקורסיבית (במ"ר) או כריעה חיובית (כריעה למחצה) אם קיים אלגוריתם שבהינתן קלט, עוצר אם האיבר הנקלט שייך לקבוצה זו.
לחלופין, קיים אלגוריתם שמייצר רשימה (ייתכן ואינסופית) של כלל האיברים בקבוצה.
קבוצת בעיות אלו מסומנת לרוב בסימון RE (Recursively Enumerable), מכיוון שקיים אלגוריתם המונה את אבריהם.
תת קבוצה של המספרים הטבעיים היא נל"ר אם קיימת פונקציה ניתנת לחישוב
אם ו- הן נל"ר אז גם וגם הן נל"ר.
קבוצה והמשלים של הן נל"ר אם"ם A היא קבוצה רקורסיבית.
התמונה של קבוצה נל"ר תחת פונקציה ניתנת לחישוב היא גם קבוצה נל"ר.
קבוצת הקבוצות הניתנות למנייה רקורסיבית מכילה ממש את קבוצת הקבוצות הרקורסיביות - בעיית העצירה היא דוגמה לקבוצה לא רקורסיבית הניתנת למנייה רקורסיבית.
כל קבוצה רקורסיבית היא נל"ר.
שפה ניתנת למנייה רקורסיבית היא תת-קבוצה נל"ר בקבוצת כל המילים תחת אלפבית של שפה מסוימת.
באופן שקול, ניתן להגדיר קבוצה כריעה למחצה (שלילית), עבורה קיים אלגוריתם שעוצר אם הקלט אינו שייך לקבוצה (אבל אולי לא עוצר עבור קלט בקבוצה).
קבוצת כל הבעיות מסוג זה מסומנת לרוב על ידי co-RE (התחילית co מסמנת "משלים", complement).
קבוצה פרוסטטית היא מרכיב לא-חלבוני (כלומר שאינה מורכבת מחומצות אמינו) הקשור בחוזקה למבנה חלבוני מורכב.
הקבוצה הפרוסטטית יכולה להיות אורגנית (כגון סוכר, חומצת שומן או ויטמין) או אי-אורגנית (בדרך כלל יון מתכתי כלשהו).
קבוצה פרוסטטית בדרך כלל קשורה בקשר קוולנטי לחלבון.
הקבוצה הפרוסטטית בעלת תפקיד חשוב לפעילות חלבונים ובעיקר באנזימים.
דוגמה מוכרת לקבוצה פרוסטטית זו קבוצת ההם בהמוגלובין.
חלבון המכיל קבוצה פרוסטטית נקרא הולופרוטאין וחלבון אשר חסר את הקבוצה הפרוסטטית שלו נקרא אפופרוטאין.
קבוצה פרוסטטית נקראת גם קו-פקטור או קו-אנזים (כאשר הן אורגניות) כיוון שהן חיוניות לתפקוד החלבון.
באנזימים הקבוצה הפרוסטטית היא לרוב חלק מהאתר הפעיל שבו מתבצעת הפעילות העיקרית של האנזים.
דוגמאות לקבוצות פרוסטטיות אורגניות (ויטמינים): טיאמין (ויטמין B1), טיאמין פירופוספאט, פירודוקסאק (ויטמין D6) ופירודוקסאל פוספאט.
זוהי עוד סיבה לחשיבותם של הוויטמינים במזון שאנו צורכים.
קבוצות פרוסטטיות אי-אורגניות הן בדרך כלל יוני מתכת כגון: ברזל (בקבוצות הם כגון בציטוכרום C אוקסידאז והמוגלובין), אבץ (למשל בקרבוניק אנהידראז), מגנזיום (בחלק מהקינאזות) ומוליבדנום (למשל בניטראט רדוקטאז).
קבוצה מונחית היא צורת התארגנות חברתית בעלת מטרה מוגדרת, הכוללת חברי קבוצה ומנחה.
יש הטוענים כי הבסיס להתארגנות בקבוצות הנחיה, הוא תחושת הניכור למול העוצמה הטכנולוגית המתפתחת ואובדן תחושת ההשתייכות, האופייניים למאה העשרים.
קבוצות למידה ושיפור מיומנויות קבוצות בהן נושא העבודה מוגדר, ממוקד ומובנה.
מטרת חברי הקבוצה היא רכישת מיומנויות לביצוע מטלה מסוימת כגון: סדנה לניהול יעיל של זמן, סדנה לשיפור תהליך של קבלת החלטות, התנהגות אסרטיבית וכו'.
המאפיין הבולט של קבוצה זו הוא מאפיין הפגישות, כל פגישה היא יחידה בפני עצמה, ומנהל הקבוצה אינו מנחה אלא מאמן המשמש מעין מורה-מדריך, ולפיכך יהיה דידקטי מאוד, ישיר ונוטל חלק פעיל בתהליך הלמידה.
קבוצות לצמיחה אישית צמיחה אישית היא תהליך בו הפרט "גדל מתוך עצמו" ומרחיב את מודעותו לחלקים נוספים באישיותו, שלא היה מודע להם.
בקבוצה מגלה הפרט את הפוטנציאל הטמון בו ומתאמן בשימוש בו.
הקבוצה מהווה מיקרוקוסמוס של החיים ומעין בבואה של התנהגות האדם בסביבתו.
תהליך זה יכול להתרחש רק באווירה תומכת, אכפתית ואינטימית שבה המשתתף אינו חש מאוים ויכול לדבר בחופשיות על קשיים וחולשות.
בסוג זה של קבוצה המנחה מהווה גורם מסייע ותומך, אופי ההנחיה נקבע על פי תפיסת העולם של המנחה, לפי השיטות הטיפוליות בהן הוא עובד וכן לפי אישיותו וגישתו.
קבוצות התערבות / תמיכה קבוצות הנוצרות בעקבות צורך ומצוקה מסוימים של המערכת הקהילתית ושל הפרט, מטרתן לספק תחושת יחד, שותפות במצוקתו (כגון משפחות שכולות).
בקבוצות אלו מתאפשר אוורור של רגשות בזכות הימצאות של כל החברים באותו מצב.
בקבוצה זו ירגישו האנשים שבאמת מבינים אותם ושאינם חריגים, כאן יוכלו לקבל תמיכה אמיתית מאדם שבשבילו מצבם אינו תאורטי אלא אדם שחווה זאת "על בשרו".
למידה זו מחזקת את החברים ומאפשרת להם להמשיך למרות הקושי.
דבר זה מורגש ומודגש במיוחד בקבוצות התמכרות כגון אלכוהוליסטים ואנשים הסובלים מאכילה כפייתית.
קבוצות מניעה קבוצות אשר בשונה מקבוצות התערבות אינן נוצרות עקב צורך או מצוקה מסוימת אלא מתוך רצון לספק תמיכה ולמידה בקבוצה, בה יכול כל חבר ללמוד מיומנויות ולרכוש כלים לתקשורת והסתגלות יעילות יותר.
קבוצות אלו מאפשרות לחבריהן לחנך, להתחנך וללמוד דרכי מניעה על ידי לימוד של דרכי היווצרותן של בעיות, תקשורת יעילה, דרכי משא ומתן, פתרון קונפליקטים ועוד.
לדוגמה, קבוצות הכנה לנישואים, העשרת זוגיות, הדרכה להורות וכו'.
לסיום הקבוצה מהווה מראה ומשמשת הזדמנות להרחבת המודעות העצמית, לזיהוי מיומנויות חדשות ולתרגלן ולהגברת מיומנויות קיימות.
קבוצות מפגש בין תרבותי קבוצות שמטרתן שיפור יחסים בין קבוצות תרבותיות, לאומיות ואתניות.
ניתן למצוא מודלים של קבוצות כאלה על רצף שנע בין גישות התומכות בסטאטוס קוו הקיים בין הקבוצות הנפגשות לגישות אשר קוראות לשינוי חברתי-פוליטי.
בתורת הקבוצות, קבוצה סופית היא קבוצה שיש לה מספר סופי של איברים.
לכאורה ההבחנה בין קבוצה סופית וקבוצה אינסופית היא פשוטה ואינטואיטיבית, אבל במהלך הפיתוח האקסיומטי של תורת הקבוצות הייתה נחוצה הגדרה מדויקת, והתברר שכמה משפטים מובנים מאליהם אינם תקפים במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל, אלא אם מניחים את אקסיומת הבחירה.
הראשון שהגדיר קבוצה סופית היה ריכרד דדקינד, ב-1888 .
ב-1905 הבחין ראסל שכדי להוכיח שקבוצת החזקה של קבוצה סופית במובן של דדקינד היא סופית באותו מובן, נחוצה אקסיומת הבחירה.
ב-1924, בהשפעת עבודות של ואצלב שרפינסקי וקזימיירז קורטובסקי, כתב אלפרד טרסקי מאמר סקירה מקיף בנושא , ובו השווה חמש תכונות, שכולן אמורות לתאר את הסופיות של A:
בכל משפחה של תת-קבוצות של A, יש תת-קבוצה מקסימלית ביחס להכלה;
בכל משפחה של תת-קבוצות של A שיחס ההכלה מסדר אותה ליניארית, יש תת-קבוצה מקסימלית;
אין תת-קבוצה אמיתית של קבוצת החזקה שהיא שוות-עוצמה ל-;
אין תת-קבוצה אמיתית של A שהיא שוות-עוצמה ל-A (זו ההגדרה של דדקינד);
אי-אפשר להציג את A כאיחוד זר של שתי קבוצות שכל אחת מהן שוות-עוצמה ל-A.
טרסקי הראה שכל תכונה גוררת את הבאות אחריה, ושכולן שקולות אם מניחים את אקסיומת הבחירה; מתמטיקאים שבאו בעקבותיו הראו שללא אקסיומת הבחירה, חמש התכונות אינן שקולות זו לזו.
ב-1938 בחן טרסקי שלוש תכונות נוספות:
6. לכל סדר טוב S על A, גם הסדר ההפוך הוא סדר טוב על A;
7. אם יש ב-A יותר מאיבר אחד, אז אפשר לפרק אותה לאיחוד זר של שתי קבוצות שעוצמתן קטנה משל A;
8. אם יש ב-A יותר מאיבר אחד, אז עוצמתה קטנה משל המכפלה הקרטזית .
טרסקי הראה שהשקילות בין כל אחת מההגדרות האלה להגדרה 1 שלעיל גוררת את אקסיומת הבחירה.
ההגדרה המודרנית קובעת שקבוצה היא סופית אם ורק אם היא איזומורפית לאיבר של הקבוצה , וממילא היא סדורה היטב.
הגדרה זו שקולה לכל האחרות בנוכחות אקסיומת הבחירה, ומספקת גמישות מקסימלית אפילו בהיעדרה.
בתורת הקבוצות, קבוצה סדורה היא צפופה אם בין כל שני איברים שלה, יש איבר נוסף.
קבוצה A עם סדר חלקי נקראת "צפופה" אם לכל יש כך ש-.
בקבוצה צפופה אין משמעות למושג "האיבר הקטן ביותר הגדול מ-x", משום שלכל איבר הגדול מ-x, יש איבר נוסף ביניהם.
בפרט, בין כל שני איברים בקבוצה צפופה יש אינסוף איברים אחרים.
לדוגמה, קבוצת המספרים הרציונליים צפופה: הממוצע החשבוני של כל שני מספרים רציונליים הוא רציונלי.
לעומתה, קבוצת המספרים הטבעיים אינה צפופה: אין מספר טבעי בין 1 ל-2. גאורג קנטור הוכיח שקבוצת המספרים הרציונליים היא הקבוצה הסדורה היחידה (עד כדי איזומורפיזם) שהיא בת-מניה, צפופה, ונטולת מינימום ומקסימום.
תת-קבוצה B של קבוצה סדורה A היא תת-קבוצה צפופה, אם בין כל שני איברים של יש איבר של , כלומר לכל שעבורם , קיים כך ש-.
לדוגמה, קבוצת המספרים הרציונליים צפופה בקבוצת הממשיים (זו תוצאה של הארכימדיות של הממשיים).
קבוצה היא צפופה (במובן שהוגדר לעיל) אם ורק אם היא צפופה כתת-קבוצה של עצמה.
אם B צפופה ב-A, אז כל אחת מהן מוכרחה להיות צפופה.
סדר ליניארי צפוף והישר הממשי
כל קבוצה סדורה ליניארית בת מניה ניתן לשכן בקבוצת המספרים הרציונליים.
קנטור הראה ב-1895 שהמספרים הרציונליים הם הקבוצה הסדורה-ליניארית הצפופה בת-המניה היחידה שאין לה איבר ראשון ואחרון.
המספרים הממשיים הם הקבוצה הסדורה-ליניארית הספרבילית והשלמה היחידה שאין לה איבר ראשון ואחרון.
(קבוצה סדורה היא ספרבילית אם יש לה תת-קבוצה צפופה בת-מניה, ושלמה אם היא מקיימת את אקסיומת החסם העליון).
קבוצה צדדית היא קבוצת מולקולות המחוברת לשרשרת העיקרית של מולקולה ארוכה, בדרך כלל פולימר.
הקבוצה הצדדית היא מקרה פרטי של מתמיר.
לדוגמה, בפוליסטירן קבוצות פניל הן קבוצות צדדיות על השרשרת המרכזית.
קבוצות צדדיות גדולות, כמו אדמנטיל (adamantyl) גורמות להעלאת טמפרטורת המעבר הזכוכיתית (Tg) של הפולימר, כיוון שהן מונעות מעבר חלק של השרשראות אחת על פני השנייה.
קבוצות צדדיות אלקיליות קצרות עשויות להפחית את טמפרטורת המעבר על ידי יצירת אזורים אמורפיים - מניעת התגבשות במבנה בעל קשרים בין-מולקולריים חזקים.
דוגמה נוספת לקבוצות צדדיות ניתן לראות בחלבונים - החלבונים מורכבים מחומצות אמינו הנבדלות זו מזו בקבוצות הצד שלהן.
בלוגיקה מתמטית, קבוצה ניתנת להגדרה היא תת-קבוצה של מודל, המוגדרת על ידי נוסחה בשפה של המודל.
כלומר, זוהי קבוצה מהצורה .
לדוגמה, בשדה המספרים הממשיים (כמודל אקסיומטי של שדה סדור), הקבוצות הניתנות להגדרה הן איחודים סופיים של נקודות וקטעים.
בשדה המספרים המרוכבים (כמודל של האקסיומות המגדירות שדה סגור אלגברית), אפשר להגדיר רק קבוצות סופיות וקבוצות שהמשלים שלהן סופי (מודל כזה נקרא מינימלי).
המעבר לשדה אקספוננציאלי מאפשר להגדיר ב- את קבוצת המספרים השלמים (לפי הנוסחה ).
לא ידוע האם , כשדה אקספוננציאלי, הוא "קוואזי-מינימלי" (כלומר, אפשר להגדיר בו רק קבוצות בנות מניה וכאלה שהמשלים שלהן בן-מניה).
קבוצה לא רשמית או בקיצור קבוצה היא דרגה טקסונומית שאינה מוגדרת על ידי נומנקלטורה של גופים רשמיים הקובעים שמות מדעיים.
השימוש בסוג כזה של קבוצה נעשה לרוב כאשר היא איננה מוגדרת היטב.
פעמים רבות קבוצות כאלו מבוטלות לאחר שמחקרים חדשים מצליחים לשייך את הטקסונים בתוכה לקבוצות רשמיות.
לעיתים במקרים אחרים כאשר קיים קושי להבין את הקשרים בין הטקסונים מחליטים להעביר את הקבוצה לדרגה הרשמית של סדרה.
סוג זה של קבוצה יכול להיות פרפיליטי או פוליפיליטי.
בזואולוגיה דוגמה לסוג של קבוצה כזו היא למשל הקבוצה "ענף", קבוצה פילוגנטית הכוללת אורגניזם מסוים ואת כל צאצאיו, למשל בסיווג של חלזונות: אחורני-זימים, Sorbeoconcha, חלזונות גבוהים, ו-Ptenoglossa.
בתחום הפלאונטולוגיה השימוש בקבוצה נפוץ יחסית משום שפעמים רבות חסר מידע רב כדי להבין כיצד לשייך מאובנים לדרגה הטקסונומית הנכונה.
דוגמאות כוללת את הקבוצות: עופות קמאים, לאבירנתודונטיה ומיאקויים.
קבוצות כמו הדיינוניכוזאוריה מצויות במחלוקת, כאשר מספר חוקרים רואים בהם קבוצה לגיטימית בעוד אחרים רואים בהם קבוצות לא רשמיות.
לרוב קבוצות לא רשמיות הקרובות לדרגה הטקסונומית סדרה, אך לעיתים קיימות גם קבוצות קטנות מאוד למשל בטקסונומיה האנושית, הדרגה הטקסונומית הבלתי רשמית של הגזע נחשבת מקבילה לדרגת תת-מין.
בבוטניקה הקבוצה הבלתי רשמית alliance שימשה בעבר כקבוצה של שבטים או סוגים אך בוטלה לפי החלטה של ICN (סעיף 17.2) וכל הקבוצות מוגדרות היום תחת הדרגה הרשמית סדרה.
באלגברה ליניארית, קבוצה מאוזנת היא תת-קבוצה של מרחב וקטורי כלשהו מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים אשר סגורה לכפל בסקלר בעל ערך מוחלט קטן מ-1.
לקבוצות מאוזנות חשיבות גדולה באנליזה פונקציונלית ובפרט עבור מרחבים וקטוריים טופולוגיים.
לעיתים קרובות ניתן לצמצם או להרחיב קבוצה נתונה כלשהי לכדי קבוצה מאוזנת, תוך שימור תכונותיה.
כמו כן, נסמן ב- את השדה מעליו פועל כאשר (שדה הממשיים) או (שדה המרוכבים).
לבסוף, עבור , ו- נסמן:
קבוצה תקרא קבוצה מאוזנת אם ורק אם לכל ולכל עבורו מתקיים כי .
במקרה שבו , ההגדרה שקולה לכך ששני התנאים הבאים מתקיימים:
סגורה לכיווץ: לכל ולכל מתקיים
סימטרית: לכל מתקיים כי .
במקרה שבו , ההגדרה שקולה לכך ששני התנאים הללו מתקיימים ובנוסף מתקיים התנאי:
סגורה לסיבוב מרוכב: לכל ולכל מתקיים .
בעוד שכל קבוצה מאוזנת היא בהכרח סימטרית, ההפך איננו בהכרח נכון.
אין להתבלבל בין קבוצה מאוזנת לקבוצה פתוחה או סגורה.
למעשה, קבוצות מאוזנות יכולות שלא להיות פתוחות (סגורות) וקבוצות פתוחות (סגורות) יכולות שלא להיות מאוזנות.
בהינתן קבוצה כלשהי (לאו דווקא מאוזנת), ניתן להגדיר:
הקבוצה נקראת הקליפה המאוזנת של (balanced hull) והקבוצה נקראת הליבה המאוזנת של (balanced core).
ניתן להוכיח כי ו- שתיהן קבוצות מאוזנות ומתקיים .
כלומר, ניתן להרחיב או לצמצם כל קבוצה על-מנת שתהיה קבוצה מאוזנת.
יתרה מכך, היא הקבוצה המאוזנת המינימלית המכילה את בעוד היא הקבוצה המאוזנת המקסימלית המוכלת ב-.
ניתן להוכיח כי התנאים הבאים שקולים:
עבור מרחב וקטורי , עצמו הוא קבוצה מאוזנת, היא קבוצה מאוזנת (באופן טריוויאלי) וכן הקבוצה הריקה היא קבוצה מאוזנת באופן ריק.
כל קבוצה מאוזנת ולא ריקה מכילה את הראשית.
כלומר, אם היא קבוצה מאוזנת אז .
אם היא קבוצה מאוזנת ו- אז היא קבוצה מאוזנת.
אם היא קבוצה מאוזנת ו- כך ש-, אז בהכרח .
הדבר נכון בפרט עבור .
אם שתיהן קבוצות מאוזנות אז הקבוצות , ו- כולן מאוזנות.
בהינתן מרחב נורמי, כל כדור פתוח או סגור סביב הראשית הוא קבוצה מאוזנת.
במקרה שבו הוא מרחב וקטורי טופולוגי ו- קבוצה פתוחה כלשהי, היא קבוצה פתוחה (נובע מרציפות הכפלה בסקלר).
אם לחלופין היא קבוצה סגורה, אז היא קבוצה סגורה.
במתמטיקה, ובפרט בטופולוגיה, קבוצה מקטגוריה ראשונה (נקראת גם קבוצה דלה, באנגלית: meagre set) היא קבוצה אשר נוצרת מאיחוד בן-מניה של קבוצות דלילות.
קבוצה אשר איננה קבוצה מקטגוריה ראשונה נקראת קבוצה מקטגוריה שניה.
לקבוצות מקטגוריה ראשונה חשיבות רבה בניסוח משפט הקטגוריה של בר, משפט מרכזי בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית.
בהינתן מרחב טופלוגי עם טופולוגיה וקבוצה , הקבוצה תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם היא מקיימת את אחד מהתנאים השקולים הבאים:
הפנים של הסגור שלה ריק, כלומר
לכל קבוצה פתוחה קיימת קבוצה פתוחה כך ש- ו-
קבוצה תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא ניתנת לכתיבה כ- כאשר כולן קבוצות דלילות.
מאידך, תקרא קבוצה מקטגוריה שניה אם ורק אם היא אינה מקטגוריה ראשונה.
באנגלית נקראת קבוצה מקטגוריה ראשונה גם כ-Meager Set שפרושו המילולי הוא קבוצה דלה או קבוצה דלילה, אולם בעברית המונח קבוצה דלילה נוגע לקבוצות שהן Nowhere Dense.
אין קשר בין קבוצות מקטגוריה ראשונה (או שנייה) לתורת הקטגוריות.
מרחבי בר ומשפט הקטגוריה של בר
מרחב בר הוא מרחב טופולוגי שעבורו המשלים לכל קבוצה מקטגוריה ראשונה הוא קבוצה צפופה.
משפט הקטגוריה של בר מוכיח כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הם מרחבי בר.
ממשפט זה נובע כי הוא מרחב בר.
הגדרה אלטרנטיבית באמצעות משחק בנך-מזור
ניתן להגדיר את המונח קבוצה מקטגוריה ראשונה באמצעות המשחק הטופולוגי משחק בנך-מזור.
עבור מרחב טופולוגי וקבוצה , משחק בנך-מזור משוחק על-ידי שני שחקנים אליס ובוב.
ניתן להוכיח כי בוב יכול לשחק לפי אסטרטגיה מנצחת (כלומר, תוכנית פעולה שתבטיח את ניצחונו לכל בחירת פעולות של אליס) אם ורק אם היא קבוצה מקטגוריה ראשונה.
בכך, ניתן להגדיר באופן אלטרנטיבי קבוצה מקטגוריה ראשונה להיות קבוצה שעבורה יש לבוב אסטרטגיה מנצחת במשחק בנך-מזור.
כל קבוצה דלילה היא קבוצה מקטגוריה ראשונה.
קבוצת המספרים הרציונליים היא קבוצה מקטגוריה ראשונה תחת עם הטופולוגיה הסטנדרטית, אך היא אינה קבוצה דלילה (למעשה, היא קבוצה צפופה)
הקבוצה הריקה היא מהקטגוריה הראשונה בכל מרחב טופולוגי.
אם היא קבוצה מקטגוריה ראשונה, אז כל גם היא מקטגוריה ראשונה.
אם הן קבוצת נקודות מקטגוריה ראשונה אז מקטגוריה ראשונה.
במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות קבוצה מכוונת היא קבוצה עם יחס רפלקסיבי וטרנזיטיבי שבה לכל זוג איברים קיים חסם עליון.
לקבוצות מכוונות יש חשיבות רבה מכיוון שהן מהוות הבסיס למבנים מתמטיים אחרים כגון רשת, סריג ומסנן.
בהינתן קבוצה ועליה יחס , היחס יקרא יחס מכוון אם ורק אם הוא מקיים את התכונות הבאות:
טרנזיטיביות: אם וגם , אז בהכרח גם
כיווניות כלפי מעלה: לכל קיים כך ש- וגם
הזוג הסדור נקרא קבוצה מכוונת מעלה או בקצרה קבוצה מכוונת.
לפי תנאים 1 ו-2, היחס הוא קדם-סדר.
עם זאת, היחס הוא לא בהכרח אנטי-סימטרי ולכן הוא אינו נדרש להיות יחס סדר חלקי .
ניתן לנסח את תנאי 3 לעיל באופן השקול הבא:
לכל תת-קבוצה סופית קיים חסם עליון.
כלומר, קיים כך שלכל מתקיים ש-.
יש לשים לב שתנאי זה נכון אך ורק כאשר סופית.
כאשר אינסופית, לא מובטח קיום של חסם עליון.
הזוג הסדור יקרא קבוצה מכוונת למטה אם ורק אם הזוג הסדור הוא קבוצה מכוונת (מעלה), כאשר הוא היחס ההופכי של .
בהינתן קבוצה סדורה חלקית ותת-קבוצה , תקרא תת-קבוצה מכוונת של אם ורק אם קבוצה מכוונת, זאת כאשר הוא צמצום היחס ל-.
כלומר, גם במקרה שבו קבוצה סדורה חלקית היא לא קבוצה מכוונת, תיתכן לה תת-קבוצה שהיא מכוונת.
באמצעות הלמה של צורן ניתן להוכיח כי לכל קבוצה סדורה חלקית קיימת תת-קבוצה מכוונת מקסימלית.
לא כל תת-קבוצה של קבוצה מכוונת היא בהכרח מכוונת.
כל קבוצה סדורה ביחס סדר מלא היא קבוצה מכוונת.
בהינתן קבוצה מכוונת, אם קיים בה איבר מקסימלי הוא בהכרח האיבר הגדול ביותר בה.
אחד השימושים החשובים ביותר עבור קבוצות מכוונות הוא בהגדרת רשתות.
רשת היא למעשה הכללה של מונח הסדרה.
בהינתן קבוצה מכוונת וקבוצה , פונקציה תקרא רשת.
היתרון המשמעותי של שימוש ברשתות הוא בכך שניתן להתבונן מה קורה לערך הפונקציה ככל ש- גדל.
מאחר ש- מכוונת, גם עבור שאינם בני השוואה, ניתן למצוא שגדול משניהם.
כלומר, לא משנה היכן מתחילים לבחון את הרשת, אם ב- או ב-, ישנו לבסוף כלשהו גדול מספיק שבו הענפים של ו- מתלכדים ואפשר לבחון מה קורה לערך הפונקציה החל מערך זה.
תכונה זו מאפשרת להגדיר האם רשת מתכנסת, זאת כאשר הטווח שלה מצויד בטופולוגיה כלשהי : הרשת מתכנסת ל- אם ורק אם לכל סביבה של קיים כך שלכל מתקיים ש-.
האיבר ייקרא הגבול של הרשת.
במקרה שבו היא קבוצת המספרים הטבעיים, עם יחס הסדר "גדול מ-", ההגדרה של התכנסות רשת מתלכדת עם הגדרת התכנסות של סדרה.
בהינתן קבוצה סדורה חלקית ותת-קבוצה , הקבוצה תקרא מסנן של אם ורק אם היא מקיימת את התכונות הבאות:
כלומר, לכל קיים כך ש- וגם
כלומר, לכל ולכל המקיים , מתקיים ש-.
למסננים חשיבות רבה בתורת הקבוצות, טופולוגיה ולוגיקה.
קבוצה סדורה חלקית תקרא סריג-למחצה עליון אם ורק אם לכל תת-קבוצה סופית של קיים סופרמום.
ניתן לראות כי כל סריג-למחצה עליון הוא בהכרח קבוצה מכוונת מכיוון שאם לקבוצה סופית קיים סופרמום, אותו סופרמום הוא גם חסם עליון לפי הגדרה.
מן הצד השני, לא כל קבוצה מכוונת היא בהכרח סריג-למחצה עליון מכיוון שלא מובטח קיומו של סופרמום לכל תת-קבוצה סופית, רק קיומו של חסם עליון כללי.
באופו זהה, תקרא סריג-למחצה תחתון אם ורק אם לכל תת-קבוצה סופית של קיים אינפימום.
ניתן לראות כי כל סריג-למחצה תחתון הוא קבוצה מכוונת מטה, באופן דומה לסריג-למחצה העליון.
כאמור, לא כל קבוצה מכוונת מטה היא בהכרח סריג-למחצה תחתון.
קבוצה סדורה שהיא סריג-למחצה תחתון ועליון נקראת סריג.
לסריגים חשיבות רבה בתחומים רבים במתמטיקה, ביניהם אלגברה וטופולוגיה.
קבוצת המספרים הטבעיים , קבוצת המספרים השלמים , המספרים הרציונלים והמספרים הממשיים , כולן קבוצות מכוונות לפי היחס "גדול מ-".
בהינתן קבוצה , קבוצת החזקה היא קבוצה מכוונת לפי יחס ההכלה .
למעשה, קבוצה זו היא סריג.
בהינתן קבוצה , הקבוצה (כל תת-הקבוצות של למעט הקבוצה הריקה) היא קבוצה מכוונת מעלה שאינה מכוונת מטה (לכל זוג יחידונים אין חסם תחתון).
הקבוצה היא קבוצה מכוונת (מעלה) לפי יחס ההכלה .
עם זאת, קבוצה זו אינה סריג-למחצה עליון מכיוון שלזוג האיברים ו- יש שלושה חסמים עליונים אך אין להם סופרמום.
בהינתן קבוצת המספרים השלמים , ניתן להגדיר עליה את הקדם-סדר "מחלק את" כך שעבור מסמנים ש- (נקרא כ-" מחלק את ") אם ורק אם קיים כך ש-.
זהו קדם סדר מכיוון שהוא רפלקסיבי וטרנזיטיבי, אך זהו לא סדר חלקי מכיוון שהוא לא אנטי-סימטרי ( מחלק את וגם מחלק את , אך הם אינם שווים).
ניתן להוכיח כי הוא יחס מכוון מאחר שלכל קיים חסם עליון לפי והוא .
כלומר, הוא דוגמה ליחס מכוון שאיננו סדר חלקי.
קבוצות הבחירה של המחנות העולים הוא שמה של תנועת הבוגרים של תנועת הנוער המחנות העולים.
בעבר הייתה קבוצות הבחירה תנועת נוער נפרדת שדגלה בחלוציות, סוציאליזם וציונות.
פעילותה ההיסטורית היא היום חלק מפעילות תנועת הנוער המחנות העולים.
המושג "קבוצות הבחירה" מתייחס כיום לכלל הבוגרים של תנועת המחנות העולים וקבוצות הבחירה ההיסטורית.
חברי "קבוצות הבחירה של המחנות העולים" חיים בקבוצות שיתופיות במגדל העמק, בנוף הגליל, בבת ים, בראשון לציון, בקיבוץ נערן ובאילת.
החברים בקבוצות השיתופיות עובדים בעיקר בחינוך, בין השאר במיזמים חינוכים וחברתיים של תנועת הבוגרים ובתנועת הנוער המחנות העולים.
תחילתה של התנועה בחטיבת בני הקיבוצים של הנוער העובד והלומד בתק"ם בשנת 1986. קבוצות הבחירה היו קבוצות של בני נוער מקיבוצי התק"ם שנפגשו אחת לחודש לסוף שבוע של פעילות מודרכת, ובחופשים למפגשים ארוכים יותר שחלקם משותפים לכלל התנועה.
השם "קבוצות הבחירה" נבע מכך שההשתתפות בפעילותן הייתה מתוך בחירה, ולא מתוך חובה, כפי שהייתה כלל הפעילות בחטיבת בני התק"ם.
בגלל צורת הפעילות ראתה עצמה תנועת קבוצות הבחירה תנועת נוער "אמיתית" שתכניה לא נקבעים מראש על ידי אנשים מבוגרים.
הקבוצות הרבו לעסוק בנושאי החברה הישראלית והתנועה הקיבוצית וביצעו פרויקטים מעשיים שונים על פי בחירתן.
חלק מהקבוצות המשיכו יחד לשנת שירות, לגרעיני נח"ל ולחיים משותפים אחרי הצבא.
בשנת 1998 החלה להתגבש תנועת בוגרים לקבוצות הבחירה על בסיס חברי תנועה שבתום שירותם הצבאי לקחו אחריות על ריכוז פעילותה, והחלו לחיות ביחד חיי שיתוף בערים מגדל העמק ונצרת עילית.
לאחר פירוק חטיבת בני הקיבוצים, ב"ועידת יגור" בשנת 1989, הוחלט על צירוף בני התק"ם למחוזות וקיני הנוער העובד והלומד.
למרות שמדריכי הקבוצות היו מעתה משויכים לנוע"ל נשארו קבוצות הבחירה נבדלות מפעילות קיני הנוע"ל בגלל האופי השונה של הפעילות ואוכלוסיית היעד שלהן.
עם השנים החלה התנועה לפנות גם לבני נוער שאינם בני קיבוצים ובמקביל עברה להתמקד בעיקר באזור הצפון, שם הייתה לה מראש אחיזה חזקה יותר עקב ריבוי הקיבוצים.
פעילות התנועה נעשתה מקבילה יותר ויותר לפעילות השכבות הבוגרות של הנוע"ל באזור הצפון, ופנתה פעמים רבות לאותם החניכים.
בשנת 2000 התנתקה תנועת קבוצת הבחירה מהנוע"ל, בין השאר עקב מחלוקות ארוכות על אזורי הפעילות של הקבוצות.
תנועת קבוצות הבחירה פעלה כשנה כתנועה נפרדת, ובשנת 2001 נכנסה לתהליך איחוד עם תנועת המחנות העולים, וזאת, היות ששתי התנועות חלקו מטרות משותפות כלפי החברה הישראלית, קשיים ארגוניים בפעולה כתנועה נפרדת, וכן בעקבות קשרים אישיים בין בוגרי קבוצות הבחירה ובוגרי המחנות העולים.
התנועות הכריזו על איחודן ב-26 במרץ, שנת 2005. בתהליך ההסמלה המחודשת שעברו התנועות עם איחודן הוחלט כי השם "קבוצות הבחירה" ישמש מעתה והלאה כשם כולל לתנועת הבוגרים של שתי התנועות.
כיום פעילות קבוצות הבחירה מוטמעת ומשולבת בתוך פעילות תנועת הנוער המחנות העולים.
הפעילות פונה לבני נוער מכתה ט' ומעלה וכוללת פעילות חינוכית ערכית, גיבוש גרעינים לשנת־שירות ולנח"ל, ופעילות משימתית־חברתית.
בשנת 2007 הכריזו בוגרי התנועה על הקמת קיבוץ עירוני, שנקרא באופן בלתי רשמי "נעמה", לפי ראשי התיבות של הערים נצרת עילית ומגדל העמק.
בשנת 2012 נרשמו חברי הקיבוץ העירוני אצל רשם האגודות כקיבוץ משעול.
נכון לאוגוסט 2012 מונה קיבוץ משעול כ-80 חברים ו-40 ילדים החיים ב-8 קבוצות.
קבוצת 47 הייתה קבוצה ספרותית חשובה בגרמניה לאחר מלחמת העולם השנייה.
ראשית הקבוצה בהקמת המגזין הספרותי Der Ruf ("הקריאה") על ידי אלפרד אנדרש (Alfred Andersch) וולתר קולבנהוף (Walter Kolbenhoff) בשנת 1946 במינכן.
מטרתם הייתה ללמד את הציבור הגרמני על הדמוקרטיה לאחר עידן היטלר.
כוחות הכיבוש האמריקאים שללו את רישיונם באפריל 1947 באשמת ניהיליזם מוגזם.
אנשי "דר רוף" לשעבר נפגשו בספטמבר 1947 במטרה להקים מגזין חדש, Der Skorpion.
הם נחלו כישלון בשל מחסור בבסיס כלכלי יציב.
אולם, בהשראת הקבוצה הספרדית Group 98 הם החליטו לייסד את "קבוצת 47" (Gruppe 47).
אנשי הקבוצה נפגשו באופן קבוע פעמיים בשנה.
במהלך הפגישות סופרים צעירים הקריאו כתבי יד שטרם פורסמו, עליהם חיוו חברי הקבוצה את דעתם.
בתחילה, המטרה המוצהרת של אנשי "קבוצת 47" הייתה לעודד סופרים צעירים, מה שכונה Nachkriegsliteratur (ספרות בתר-מלחמה).
בנוסף, אנשי הקבוצה מתחו ביקורת פומבית על הפרוזה המודרנית המציגה אידיאליזציה, פואטית, ורגשנית עד דמעות.
הם גם ביקרו את הנטייה לכתוב על זמנים עברו במקום על כאן ועכשיו.
"קבוצת 47" זכתה לפופולריות מיידית, בעיקר בזכות אנשי השם שהיו חברים בה, והפכה חיש קל לחלק מהממסד הספרותי בגרמניה.
תחילת שקיעתה החלה קצת לפני הפגנות הסטודנטים של 1968. התגלו מחלוקות פוליטיות עמוקות בין חברי הקבוצה, ואנשיה הפסיקו להפגש באוקטובר 1967, ובשנת 1977 פורקה הקבוצה באופן רשמי.
בחישוביות, קבוצה בת מנייה נקראת רקורסיבית או כריעה אם ניתן לבנות אלגוריתם המסתיים לאחר מספר סופי של צעדים הקובע האם איבר מסוים שייך לקבוצה או לא.
תת קבוצה S של המספרים הטבעיים נקראת רקורסיבית אם קיימת פונקציה ניתנת לחישוב
באופן שקול, קבוצה היא רקורסיבית אם הפונקציה המציינת שלה היא פונקציה רקורסיבית.
אם היא קבוצה רקורסיבית אז המשלים של היא קבוצה רקורסיבית.
אם ו- הן קבוצות רקורסיביות אז וגם הן קבוצות רקורסיביות.
היא קבוצה רקורסיבית אם"ם והמשלים של הן קבוצות הניתנות למנייה רקורסיבית.
התמונה של קבוצה רקורסיבית תחת פונקציה שלמה וניתנת לחישוב היא קבוצה רקורסיבית.
במתמטיקה, זוג קבוצות הן זרות אם אין להן איבר משותף.
על פי ההגדרה, זוג קבוצות ו- הן זרות אם החיתוך שלהן הוא הקבוצה הריקה, כלומר אם מתקיים:
הקבוצות באוסף לא ריק של קבוצות הן זרות בזוגות אם כל זוג קבוצות (שונות) באוסף הוא זר, כלומר לכל זוג אינדקסים שונים, ו-, מתקיים:
לדוגמה, הקבוצות באוסף הקבוצות הן זרות בזוגות.
לעיתים משתמשים פשוט במונח זרות במשמעות זאת.
אם הוא אוסף קבוצות זרות בזוגות אז החיתוך שלו הוא ריק,
לעומת זאת, הכיוון ההפוך אינו נכון: החיתוך של האוסף הוא ריק, אך הקבוצות בו אינן זרות בזוגות, למעשה אין שום זוג קבוצות זרות באוסף.
חלוקה של קבוצה היא פירוק של הקבוצה לאוסף של תת-קבוצות זרות שאיחודן הוא הקבוצה עצמה.
במילים אחרות, בהינתן קבוצה , הקבוצות הן חלוקה של , אם הן זרות בזוגות וכן: .
קבוצות המאבק של מעמד הפועלים הייתה הזרוע הצבאית של מפלגת האיחוד הסוציאליסטי של גרמניה ברפובליקה הדמוקרטית הגרמנית.
מפלגת האיחוד הסוציאליסטי נוכחה לדעת שהיא זקוקה לכוח צבאי מפלגתי נאמן לאחר אירועי המרד המזרח גרמני ביוני 1953, והקימה את קבוצות המאבק של מעמד הפועלים.
השימוש הגדול ביותר בקבוצות המאבק נעשה בשנת 1961 בזמן בניית חומת ברלין.
קבוצות המאבק שנחשבו הכי אמינות מבחינה אידאולוגית השתתפו בבנייה ובשמירה על החומה.
כ-8,000 איש, שהיו 20% מקבוצות המאבק, השתתפו במאמץ הבנייה.
כעדות לנאמנותם האידאולוגית תעיד העובדה שרק 8 חברים ניצלו את ההזדמנות כדי לערוק לגרמניה המערבית.
המפלגה נמנעה משימוש בקבוצות המאבק כדי לדכא את ההפגנות שפרצו בשנת 1989 מכיוון שרבים מחבריה הזדהו עם המפגינים, וכמה אף השתתפו בהפגנות.
עם נפילתה של מפלגת האיחוד הסוציאליסטי והדמוקרטיזציה בגרמניה המזרחית קיומם של קבוצות המאבק איבד את הצדקתו, ובדצמבר 1989 החליט הפולקסקאמר לפרקן.
תהליך הפירוק התחיל באותו החודש והושלם במאי 1990.
קבוצות המאבק היו כפופות באופן ישיר לפיקודו של הפוליטביורו של מפלגת האיחוד הסוציאליסטי.
יחידות קבוצות המאבק היו מאורגנות לפי מקומות העבודה של חבריהם, ופעילותם הייתה מוגבלת לרמה האזורית מלבד יחידות מיוחדות שיועדו לכך.
מספר החברים בקבוצות המאבק היה בערך 210,000 איש, מתוכם 187,000 איש בשירות פעיל והשאר בשירות מילואים.
החברים נדרשו להיות חברי מפלגה או לחלופין להיות חברים באיחוד האיגודים המקצועים החופשי גרמני.
אימונם של חברי קבוצות המאבק נעשה על ידי הפולקספוליציי, ומחנות אימונים נערכו אחד לשנה למען ריענון מוכנות הקרב.
קבוצות המאבק היו מצוידות בנשקים לפיזור הפגנות של המשטרה.
את האינדוקטרינציה הפוליטית חברי קבוצות המאבק קיבלו מהסניף המקומי של מפלגת האיחוד הסוציאליסטי.
אנטיביוטיקה היא קבוצת תרכובות אורגניות הגורמות למותם או להפסקת התרבותם של חיידקים.
את קבוצות האנטיביוטיקה מקובל לחלק לרוב ביוכימית: לכל התרופות המשתייכות לקבוצה מסוימת הרכב כימי וכן דרך פעולה דומים.
התרופות הנמנות עם קבוצת הפניצילינים נקשרות לאנזימים המכונים penicillin binding proteins (בראשי תיבות- PBP) .
חלבונים אלו נמצאים בקרום הפנימי של תא החיידק, ותפקידם לייצר את דופן התא.
הפניצילינים מעכבים את ייצור דופן תא החיידק אשר מורכב משכבת פפטידוגליקן העוטפת את הקרום הפנימי של תא החיידק.
לפעולת החלשת דופן תא החיידק מצטרפת פעולת אנזימי החיידק הקרויים אאוטוליזינים אשר מזרזת את פירוק הדופן הקיימת של תא החיידק.
שתי הפעולות המשולבות הללו גורמות להיחלשות דופן תא החיידק.
פרוק דופן התא מאפשר חדירת מים אל תא החיידק.
מכאן שתרופות אלו הן "בקטריוליטיות" - קוטלות את החיידק, גורמות לפירוקו ולא רק מונעות ממנו להתחלק.
תרופות אנטיביוטיות מקבוצת הצפלוספורינים הן תרופות, אשר בדומה לקבוצת הפניצילין, מכילות טבעת בטא לקטם.
אלו הן תרופות עמידות יותר כנגד האנזים בטא לקטמאז בהשוואה לקבוצות הפניצילין, ומסוגלות להשמיד זני חיידקים רבים יותר.
מקובל לסווג תרופות אלו על פי דורות הפיתוח של התרופות.
הדורות שונים זה מזה ביציבות בפני האנזים בטא לקטמאז, ובסוג החיידקים עליהם הן פועלות.
כך למשל, ככל שמתקדמים בשלושת הדורות הראשונים, כך היעילות כנגד חיידקים גראם-חיוביים מוחלפת ביעילות כנגד חיידקים גראם-שליליים.
כיום נמצא בפיתוח דור חמישי אשר צפוי להיות עמיד הן כנגד חיידקים גראם-שליליים והן כנגד חיידקים גראם-חיוביים.
הצפלוספורין Ceftobiprole נועד לטיפול כנגד חיידקי Staphylococcus aureus (סטפילוקוק זהוב) העמידים למתיצילין – MRSA.
מנגנוני עמידות לצפלוספורין – תרופות אלו כוללות כאמור טבעת בטא לקטאם, אשר עלולה להינזק על ידי האנזים בטא-לקטמאז המכונה צפלוספורינאז .
חיידקים המייצרים אנזים זה עמידים בפני תרופות אלו.
בנוסף לשני מנגנוני העמידות הקיימים לפניצילין, שמקורו בשינוי באתר הקישור או ייצור בתא-לקטמאז, קיימים שני מנגנוני עמידות נוספים המאפיינים משפחה זו.