tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מאוחר יותר, בשנת 1999, התגלה שהתפלגות טרייסי וידום מתארת גם את ההתפלגות של אורכו של , בעיה ידועה בתחום הקומבינטוריקה.
מיד לאחר מכן, התגלה בכמה מחקרים נפרדים שההתפלגות הזו מופיעה גם במודלי צמיחה אקראית שונים מתחום הפיזיקה הסטטיסטית, בפרט מודלים המנסים לתאר תהליכים הכוללים מעבר פאזה כמו מודל ה-PNG (Polynuclear Growth), ומודלים נוספים המבוססים על .
ב-2005, התגלה על ידי כי גם בעיית מכילה גם היא בתוכה את התפלגות טרייסי וידום, בפרט כאשר מדובר בסט סופי של אותיות מהן נדגמים הרצפים (כמו רצפים גנטים בביואינפורמטיקה).
2005 עד 2015 – התפתחות חקר זנבות ההתפלגות
כאמור, 10 שנים מניסוח ההתפלגות, תחומי מחקר שונים לחלוטין מצאו בה שימוש יסודי בבעיות שלהם.
אך לרוב (בדומה לגילוי הראשוני של רוברט מיי) השימוש היה בשיא ההתפלגות על מנת לתאר מעבר מיציבות של מערכת דינאמית לחוסר יציבות.
גילויים אלה הניעו חוקרים לחקור דווקא את זנבות ההתפלגות.
בשנת 2006 פרופסור Satya Majumdar נחשף למחקרים שגרסו כי נקודות יציבות בתורת המיתרים מקבילות לתת-קבוצה של מטריצות אקראיות שהערכים העצמיים הגדולים ביותר שלהן הם שליליים – רחוק משמאל לערך הממוצע של בשיא עקומת טרייסי-וידום.
הוא תהה עד כמה נדירות עשויות להיות נקודות יציבות אלו.
כדי לענות על השאלה, מג'ומדר ודייוויד דין, התחילו לחקור את הזנב הקיצוני השמאלי של התפלגות טרייסי-וידום, אזור בהתפלגות שטרם נחקר.
בתוך שנה, הם פרסמו את מחקרם בכתב העת Physical Review Letters, שם טענו כי בצד השמאלי, קצב הדעיכה של ההתפלגות הוא כפונקציה של .
בצד הימני, מג'ומדר ודין הופתעו לגלות שההתפלגות ירדה בקצב איטי יותר, כפונקציה של .
בשנת 2011, הצורה של הזנבות השמאלי והימני נתנה למג'ומדר וצוותו תובנה פתאומית: הם הבינו שהאוניברסליות של התפלגות טרייסי-וידום יכולה להיות קשורה לאוניברסליות של מעברי פאזה — אירועים כמו הקפאת מים לקרח, גרפיט שהופך ליהלום ומתכות רגילות שהופכות למוליכי-על.
בשולי ההתפלגות המיניאטוריים של טרייסי-וידום, מג'ומדר, וצוותו זיהו צורות מתמטיות מוכרות: עקומות נפרדות המתארות שני קצבים שונים של שינוי בתכונות של מערכת, היורדות משני הצדדים של שיא מעבר פאזה.
אלו היו סימני מעבר פאזה.
על מנת לתת הערכה נומרית להתפלגות טרייסי-וידום, נדרשו טכניקות נומריות להשגת פתרונות נומריים למשוואות פנלבה מסוגים II ו-V.
פתרונות אלה הוצגו לראשונה על ידי תבנית באמצעות MATLAB על ידי אנדלמן ופרסון.
טכניקות קירוב אלו קיבלו הצדקה אנליטית נוספת ושימשו לצורך הערכה נומרית של התפלגויות באמצעות S-PLUS, באותה העבודה ההתפלגויות קובעו בטבלה בדיוק של עד 4 ספרות בקפיצות של 0.01 ביחד עם טבלת מובהקות (p-value).
בשנת 2010 נוסח אלגוריתם מהיר לחישוב ערכי וערכי הצפיפות עבור .
האלגוריתם מספק חישוב נומרי של הממוצע, השונות, צידוד והגבנוניות יתרה:
באמצעות אלו, פותח אלגוריתם להתפלגות של הערך העצמי ה של האופרטור היכול לשמש לחישוב התפלגות טרייסי-וידום.
ב-R קיימת החבילה בשם 'RMTstat', ב-MATLAB קיימת החבילה בשם 'RMLab', ובפייתון קיימות מספר חבילות ביניהן scikit-rmt.
מטריצת השונות המשותפת נמצאת במרכז חקר הסטטיסטיקה ובפרט סטטיסטיקה הרב ממדית.
בידינו מטריצת נתונים המתארת דגימות מ משתנים (עמודה ב מתארת תצפית אחת מ משתנים).
אנו מניחים כי ולשם הפשטות .
הבעיה שלפנינו היא להסיק את תכונות מתוך מטריצת השונות הנצפית , ממנה ניתנים לחילוץ – הערכים העצמיים הנצפים של .
בדיקת השערות למטריצת השונות המשותפת
נרצה לבצע בדיקת השערות כאשר השערת האפס היא כי אין קורלציה בין המשתנים כלומר .
נרצה לפתח סטטיסטי תחת ההנחה כי .
תחת הנחה זו מצופה כי .
על מנת לאמוד כמה "קיצוניים" ערכי כך שיצדיקו דחיה של השערת האפס נחקור את ההתפלגות שלהם תחת הנחה זו.
התפלגות זו נחקרה ונקראת התפלגות וישארט (התפלגות זו היא הרחבה של התפלגות חצי המעגל של ויגנר).
כלומר נתעניין בכאשר הקשר בין התפלגות טרייסי וידום (הערך העצמי הגדול ביותר של ) להתפלגות וישארט היא תחת וכן מתקבל החסםכלומר תחת ההשערה התפלגות הערך העצמי הגדול ביותר הנצפה קרובה בדיוק מסדר שני להתפלגות טרייסי-וידום.
ולכן התפלגות זו היא התפלגות הסטטיסטי המבוקש ובאמצעותה ניתן לבצע את בדיקת ההשערות.
ובפרט קבועי הנרמול הרלוונטיים הם: דוגמה
נניח כי נתון: מקיימת , .
כעת, נניח כי הערך העצמי הגבוהה ביותר הנצפה הוא .
האם הוא קיצוני דיו עבורינו?
ראשית, נדרוש דיוק של 0.01 להתפלגות (התפלגות טרייסי וידום עם ), דיוק זה מתקבל בהסתברות לכל היותר .
בהנחה ואנו מסופקים מהסתברות זו (אחרת, ניאלץ לשנות את הקבועים שלנו) – ניתן נומרית לפתח את התפלגות לערכים נבחרים:
+ערכי עבור ההסתברות כאשר .09
אם כן, מובהקות התוצאה היא .
דוגמה נוספת לשימוש בהתפלגות טרייסי וידום הוא שילוב בדיקת ההשערות בניתוח מדגמים רועשים.
לעיתים רוצים לזהות האם יש "אות" בתוך הרעש.
לדוגמה, במקרה בו יש לנו מטריצת מתאם או שונות משותפת שמתארת נתונים, השאלה היא אם קיימת סטייה משמעותית שיכולה להעיד על מידע משמעותי (אות) או שהמדגם כולו מבוסס על רעש אקראי בלבד.
במילים אחרות, מטריצת השונות היא מהצורה והמטרה היא למצוא כי מדובר בערך העצמי ה .
ה-BBP Transition (נקרא על שמם של החוקרים Baik, Ben Arous, ו-Péché שגילו אותו לראשונה בשנת 2005 ) מתאר את הנקודה שבה האות נהיה חזק דיו כדי לגרום לערך העצמי הגדול ביותר לחרוג ממשטר של רעש אקראי.
נקודה זו נקראת "spike",זהו מעבר חד (כמו "מעבר פאזה" בפיזיקה, שבו המערכת עוברת ממשטר אחד לאחר).
נציין, כי במצב כזה המטריצה אינה מקיימת .
מחקרים שונים פתרו את הבעיה למקרים פרטיים שונים.
למשל, במקרה "הפשוט" בו מתקיים עבור .
במצב כזה ניתן למשל לפתח את – התפלגות של הערך העצמי ה- בגודלו המתאים ל כאשר .
נשים לב כי הערך העצמי ה במודל ה"ספייק" קטן סטוכסטית מהערך העצמי הגדול ביותר במודל עם משתנים.
ולכן נותר לבצע מבחן השערות (לא אסימפטוטי) באמצעות – התפלגות הערך העצמי הגדול ביותר לאחר ש"ניקינו" את הערכים העצמיים הגודלים.
אם כן, הערך העצמי ה במטריצה החדשה בעל התפלגות טרייסי וידום, כלומר שקולה נומרית ל על ידיומכאן ניתן לבצע את בדיקת ההשערות כפי שהוצגה לעיל.
התפלגות חצי המעגל של ויגנר, הקרויה על שם הפיזיקאי זוכה פרס נובל יוג'ין ויגנר, היא התפלגות על הקטע כך שפונקציית הצפיפות שלה מתארת חצי מעגל "מכווץ" (או "מנופח"), כלומר חצי אליפסה הממורכזת בראשית הצירים :
הפרמטר לרוב נקרא הרדיוס של ההתפלגות.
פונקציית ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות היא:
התפלגות זו מתארת את אחת התכונות הבסיסיות של מטריצות אקראיות לפיה לערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית (או הרמיטית במקרה המרוכב) אקראית (תחת תנאים מסוימים) יש התפלגות של חצי המעגל של ויגנר בגבול, כאשר הממד של המטריצה האקראית שואף לאינסוף.
פונקציית הצפיפות של התפלגות חצי המעגל של ויגנר היא סימטרית ומקבלת ערך מקסימלי ב-0. לפיכך, התוחלת, החציון והערך השכיח של ההתפלגות שווים לאפס.
מטעמי סימטריה, כל המומנטים מסדר אי-זוגי שווים לאפס.
בפרט במקרה שבו המומנטים הזוגיים הם בדיוק מספרי קטלן:
במעברים נעשה שימוש בתכונות של פונקציית בטא ופונקציית גמא.
למומנטים הללו חשיבות רבה כאשר מוכיחים התכנסות בהתפלגות של סדרת משתנים מקריים להתפלגות חצי המעגל של ויגנר באמצעות שיטת המומנטים.
הפונקציה יוצרת מומנטים עבור ההתפלגות נתונה על ידי:
כאשר היא פונקציית בסל מותאמת מהסוג הראשון.
הפונקציה האופיינית של ההתפלגות נתונה על ידי:
כאשר היא פונקציית בסל מהסוג הראשון.
טרנספורמציית סטילטיס של ההתפלגות נתונה על ידי:
עבור מספר מרוכב עם חלק מדומה חיובי והקונבנציה שבשורש ריבועי מרוכב נלקח הערך עם החלק המדומה החיובי.
בעזרת הטרנספורמציה, בנוסף לשיטת המומנטים, נעשה שימוש על מנת להוכיח התכנסות סדרת התפלגויות להתפלגות חצי המעגל של ויגנר.
חוק חצי המעגל של ויגנר במטריצות אקראיות
אחת הבעיות המרכזיות בתורת המטריצות האקראיות, שזכתה לתשומת הלב הרבה ביותר, היא הבנת הערכים העצמיים של מטריצות אקראיות.
אין זו באמת בעיה יחידה, אלא מחלקה רחבה של בעיות: ישנן דרכים רבות לבנות מטריצה אקראית (מה שמוביל להתפלגויות ערכים עצמיים שונות באופן דרסטי), וישנם הרבה היבטים שונים להבנת הערכים העצמיים בכל מודל מטריצה אקראית נתון.
רוב היישומים המוקדמים של תורת המטריצות האקראיות עסקו בהתנהגות הגבולית של הספקטרום כאשר גודל המטריצה שואף לאינסוף, בין אם לפיתוח הבנה סטטיסטית של מטריצות "גדולות מאוד", או שימוש במטריצות גדולות כדי לקרב אופרטורים ממימד אינסופי.
מאז סוף שנות ה-50 של המאה ה-20, המחקר על ניתוח ספקטרלי גבולי של מטריצות אקראיות בממדים גבוהים מושך עניין רב בקרב מתמטיקאים, חוקרי הסתברות וסטטיסטיקאים.
כלי חשוב להבנת הערכים העצמיים של מטריצה אקראית הוא ההתפלגות הספקטרלית האמפירית (ESD): עבור מטריצה אקראית בעלת ערכים עצמיים ה-ESD של , המסומנת , מוגדרת כך:
עבור מטריצה אקראית הרמיטית (או סימטרית, במקרה הממשי) הערכים העצמיים שלה כולם ממשיים (על סמך משפט הפירוק הספקטרלי) ולכן ה-ESD של המטריצה תהיה התפלגות חד-ממדית ממשית.
במאמר פורץ דרך, הוכיח ויגנר כי עבור מטריצות אקראיות, ממשיות וסימטריות , ממימד , תחת האילוצים הבאים (עבור סימון איברי המטריצות בתור ):
איברי המטריצה על האלכסון הראשי ומעליו ( עבור ) מתפלגים באופן בלתי-תלוי.
ל- קיימים כל המומנטים והם חסומים (לא תלויים ב-).
בפרט, מסימטריות, כל המומנטים האי-זוגיים מתאפסים.
בעלי מומנט שני השווה לקבוע: .
ה-ESD של סדרת המטריצות המנורמלות מתכנס בתוחלת להתפלגות חצי המעגל.
תוצאה זו, הקרויה, חוק חצי המעגל של ויגנר, מהווה את אחת התוצאות האוניברסליות המרכזיות בתורת המטריצות האקראיות.
עבודתו המקורית של ויגנר הוכללה והורחבה רבות לאורך השנים ולהלן "שיפור" ל-התכנסות כמעט תמיד (קרוי לפעמים חוק חצי המעגל החזק):
נניח כי אוסף אינסופי של משתנים מקריים ממשיים כך ש- הם בלתי תלויים ושווי התפלגות () עם שונות 1 ומומנט רביעי סופי וכן הם .
יהיו המטריצות האקראיות הסימטריות המורכבות מהאיברים וכן ה-ESD של המטריצות המנורמלות: .
אז, כאשר שואף לאינסוף, מתכנסת כמעט תמיד להתפלגות חצי המעגל של ויגנר.
למעשה, עבור ערך עצמי אקראי במטריצה מסדר :
הסתברות חופשית היא ענף מתמטי תחת תורת ההסתברות, המהווה הרחבה של תורת ההסתברות, שעוסק במשתנים מקריים "לא קומוטטיביים".
בהסתברות חופשית, להתפלגות חצי המעגל של ויגנר תפקיד המקביל לזה של ההתפלגות הנורמלית בהסתברות הקלאסית.
בתורת ההסתברות החופשית, תפקידם של הקומולנטים נתפס על ידי "קומולנטים חופשיים" ובדיוק כפי שהקומולנטים מדרגה גבוהה מ-2 של התפלגות הם כולם אפס אם ורק אם ההתפלגות היא נורמלית, כך גם ה"קומולנטים החופשיים" מדרגה גבוהה מ-2 של התפלגות הם כולם אפס אם ורק אם ההתפלגות היא התפלגות חצי המעגל של ויגנר.
התפלגות פארטו, הנקראת על שם המהנדס האזרחי, הכלכלן והסוציולוג האיטלקי וילפרדו פארטו, היא התפלגות הסתברות המשמשת לתיאור של תופעות מתחומים מגוונים: חברתיות, בקרת איכות, מדעיות, גיאופיזיות, אקטואריות ועוד.
העיקרון, שיושם במקור לתיאור של חלוקת העושר בחברה, מתאים לתופעה לפיה חלק גדול מהעושר מוחזק על ידי חלק קטן מהאוכלוסייה.
עקרון פארטו או "כלל 80-20", הקובע ש-80% מהתוצאות נובעות מ-20% מהסיבות, נקרא על שם פארטו, אך רק התפלגויות פארטו עם פרמטר צורה שערכו ישקפו במדויק את עיקרון פארטו.
תצפיות אמפיריות הראו שהתפלגות 80-20 זו מתאימה למגוון רחב של תופעות טבע והתנהגות אנושיות.
אם X הוא משתנה מקרי עם התפלגות פארטו (סוג I), אזי ההסתברות ש- X גדול ממספר כלשהו x, כלומר, פונקציית ההישרדות (נקראת גם פונקציית זנב), נתונה על ידי
כאשר xm הוא הערך המינימלי האפשרי (חיובי בהכרח) של X, ו- α הוא פרמטר חיובי.
התפלגות פארטו מסוג I מאופיינת בפרמטר קנה-המידה xm ובפרמטר צורה α, הידוע כמדד הזנב.
אם התפלגות זו משמשת למודל של התפלגות העושר, אז הפרמטר α נקרא אינדקס פארטו.
מההגדרה, פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה מקרי שמתפלג פארטו עם הפרמטרים α ו- xm היא
על ידי גזירה מקבלים שפונקציית צפיפות ההסתברות היא
כאשר מציירים את ההתפלגות על צירים ליניאריים, ההתפלגות מתוארת על ידי עקומה בצורת האות J, ששואפת אסימפטוטית לשני הצירים.
כל מקטעי העקומה דומים לעצמם (עם פרמטרי קנה מידה מתאימים).
כאשר משרטטים בדיאגרמה שבה שני הצירים מכויילים לוגריתמית, ההתפלגות מיוצגת על ידי קו ישר.
התוחלת של משתנה מקרי שמתפלג פארטו היא
השונות של משתנה מקרי שמתפלג פארטו היא
(עבור α ≤ 1, השונות אינה מוגדרת)
הפונקציה היוצרת מוגדרת רק עבור ערכים שליליים או אפס
היות שהתוחלת אינה מתכנסת בקטע הפתוח המכיל את אנו אומרים שהפונקציה היוצרת אינה מוגדרת.
הפונקציה האופיינית נתונה על ידי
כאשר היא פונקציית גמא הלא שלמה.
ניתן לחלץ את הפרמטרים באמצעות שיטת המומנטים.
התפלגות ההסתברות המותנית של משתנה מקרי המתפלג פארטו, בהינתן המאורע שערכו של המשתנה המקרי גדול או שווה למספר מסוים , שגדול מ , היא התפלגות פארטו עם אותו אינדקס פארטו אך עם מינימום בִּמקוֹם :
הביטוי מרמז כל כך שהערך התוחלת המותנית (אם היא סופית, כלומר ) פרופורציוני ל- :
במקרה של משתנים אקראיים המתארים את משך חייו של אובייקט, המשמעות היא שתוחלת החיים היא פרופורציונלית לגיל, והיא נקראת אפקט לינדי או חוק לינדי.
נניח כי הם משתנים מקריים בלתי תלויים אשר התפלגות ההסתברות שלהם נתמכת בקטע עבור כלשהו.
נניח שלכל , שני המשתנים האקראיים ו הם בלתי תלויים.
אז ההתפלגות המשותפת היא התפלגות פארטו.
הממוצע ההרמוני ( H ) הוא
התפלגות ה'זנב הארוך' המעוקל האופיינית, כשהיא משורטטת בסקאלה ליניארית, אינה מגלה את הפשטות הבסיסית של הפונקציה.
כשהיא משורטטת על מערכת צירים בסקאלה לוגריתמית-לוגריתמית, היא מתוארת כקו ישר עם שיפוע שלילי, כפי שניתן לראות מהנוסחה עבור פונקציית צפיפות ההסתברות עבור x ≥ x m
מכיוון ש- α חיובי, השיפוע הוא שלילי.
פונקציית הנראות של פרמטרי התפלגות פארטו α ו- xm, בהינתן מדגם בלתי תלוי x = (x1, x2, ..., xn), הוא
לכן, הלוגריתם הטבעי של פונקציית הנראות הוא
אפשר לראות כי עולה מונוטונית עם xm, כלומר ככל שהערך של xm גדל, כך גדל הערך של פונקציית הנראות.
לפיכך, מכיוון ש- x ≥ xm, אנו מסיקים כי
כדי למצוא את המשערך של α, מחשבים את הנגזרת החלקית המתאימה ומוצאים את הערך שבו היא מתאפסת:
לפיכך משערך הנראות המרבית ל α הוא:
וילפרדו פארטו השתמש במקור בהתפלגות זו כדי לתאר את הקצאת העושר בין יחידים, כיוון שנראה היה שהיא מתארת היטב את האופן שבו בחברות שונות חלק גדול של העושר נמצא בבעלות אחוז קטן של האנשים.
הוא גם השתמש בהתפלגות זו כדי לתאר את חלוקת ההכנסה.
רעיון זה מתבטא לפעמים בצורה פשוטה יותר כעקרון פארטו או "כלל 80-20", שאומר ש-20% מהאוכלוסייה שולטת ב-80% מהעושר.
התפלגות זו אינה מוגבלת לתיאור עושר או הכנסה.
הדוגמאות הבאות נתפסות לפעמים כבעלות התפלגות פארטו בקירוב:
ארבעת המשתנים של מגבלת התקציב של משק הבית: צריכה, הכנסת עבודה, הכנסת הון ועושר.
הגדלים של יישובים אנושיים (מעט ערים, כפרים/כפרים רבים)
התפלגות גודלי קבצים בתעבורת אינטרנט המשתמשת בפרוטוקול TCP ( קבצים קטנים רבים, קבצים גדולים מעטים)
בהידרולוגיה, התפלגות הפארטו מיושמת על אירועי קיצון כמו כמות גשמים מקסימלית מדי שנה של יום אחד וספיקה של נהרות.
התמונה הכחולה ממחישה דוגמה להתאמת התפלגות פארטו לכמות גשמים מקסימלית שנתית מדורגת של יום אחד, המציגה גם את רווח בר סמך של 90% בהתבסס על ההתפלגות הבינומית.
נתוני הגשמים מיוצגים על ידי התווית מיקומים כחלק מניתוח התדירות המצטבר.
התפלגות פארטו היא התפלגות הסתברות רציפה.
חוק זיף הוא התפלגות בדידה, המפרידה בין הערכים לדירוג פשוט.
שניהם הם חוקי חזקות פשוטים עם מעריך שלילי, מנורמלים כך שההתפלגות המצטברת שלהם שווה ל-1. ניתן לגזור את חוק זיף מהתפלגות פארטו אם ערכי ערכים (ההכנסות) מחולקים ל דליים, כך שמספר האנשים בכל דלי מתנהג כהופכי של הדירוג שלו.
ההתפלגות מנורמלת על ידי ההגדרה של כך שיתקיים , כאשר הוא המספר ההרמוני המוכלל.
כך, פונקציית צפיפות ההסתברות של זיף מהווה מקרה פרטי של התפלגות פארטו:
כאשר , N הוא מדרגת ההכנסה הגבוהה ביותר ו- הוא מספר שלם המייצג דירוג מ-1 עד N.
אז לאדם שנבחר באקראי (או מילה, קישור לאתר או עיר) מאוכלוסייה (או שפה, אינטרנט או מדינה) יש הסתברות לדירוג .
חוק "80–20", לפיו 20% מכלל האנשים מקבלים 80% מכלל ההכנסה, ו-20% מ-20% האמידים ביותר מקבלים 80% מאותם 80%, וכן הלאה, מתקיים כאשר מדד פארטו הוא .
תוצאה זו יכולה להיגזר מנוסחת עקומת לורנץ.
יתר על כן, הוכח כי הטענות הבאות שקולות מתמטית:
ההכנסה מחולקת לפי התפלגות פארטו עם מדד α > 1.
קיים מספר כך שחלק יחסי p מכלל האנשים מקבלים חלק יחסי מההכנסה., ובאופן דומה עבור כל מספר ממשי 0<n (לא בהכרח מספר שלם) חלק יחסי של כלל האנשים יקבל חלק יחסי מכלל ההכנסה.
α ו- p קשורים ב-
התפלגויות פארטו, שעבורן אשר, כפי שצוין לעיל, יש להן עתוחלת אינסופית, אינן יכולות לשמש כמודל סביר להתפלגות של הכנסה.
התפלגות מרצ'נקו פסטור היא פונקציית התפלגות מתחום המטריצות האקראיות.
השימוש העיקרי בה הוא תיאור ההתנהגות האסימפטוטית של ערכים עצמיים של מטריצות אקראיות בעלות ערכים ממשיים, בלתי תלויים ושווי התפלגות.
ההתפלגות (שלעיתים נקראת גם חוק מרצ'נקו-פסטור) קרויה על שם צמד המתמטיקאים הסובייטים וולודימיר מרצ'נקו וליאוניד פסטור שהוכיחו אותה בשנת 1967.
תהי מטריצה אקראית בגודל שערכיה הם משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות המקיימים ו- לכל
בנוסף נניח כי כך ש- , ונסמן.
נשים לב כי מטריצה חיובית ויהיו ערכיה העצמיים.
כמו כן, נסמן ב- את פונקציית התפלגות הערכים העצמיים שלה (Empirical Spectral Measure) אשר אותה נרצה לאמוד.
פונקציית ההתפלגות מוגדרת לכל קבוצה חלקית של על ידי:
כאשר תנאי המשפט מתקיימים, הפונקציה מקיימת כאשר היא פונקציה המוגדרת באופן הבא:
במקרה זה מתקיים כי המטריצה היא בסבירות גבוהה הפיכה והפונקציה מוגדרת על ידי:
במקרה זה למטריצה יש ערך עצמי 0 עם ריבוב התלוי בפרמטר .
זה בא לידי ביטוי בפונקציה בתור נקודת מסה בנקודה 0. השינוי ביחס למקרה מתקבל על ידי הוספה של הביטוי כאשר זוהי פונקציית דלתא, כך שבמקרה זה הפונקציה היא:
לעיתים מקובל לחבר את שני המקרים לביטוי אחד באופן הבא:
מגדירים את הפונקציה ובכך ניתן להחליף את המחובר הראשון עם הביטוי ובכך מקבלים ביטוי יחיד עבור שני המקרים.
התפלגות זו נקראת גם "חוק רבע המעגל".
ניתן לשים לב לדמיון הרב בין ביטוי זה להתפלגות חצי המעגל של ויגנר.
עבור המומנט ה- של ההתפלגות נתון על ידי:
מהצבה של ניתן לחשב כי תוחלת ההתפלגות היא .
כעת על ידי ההצבה השונות שמתקבלת היא .
אחת הדרכים להוכחת המשפט היא באמצעות שיטת המומנטים.
מכיוון שהתומך של קומפקטי היא נקבעת באופן בלעדי באמצעות המומנטים שלה.
המשפט מוכח באמצעות שימוש בלמה של בורל-קנטלי, בכך שמוכיחים כי
טרנספורמציית סטילטיס של ההתפלגות נתונה על ידי הפונקציה:
עבור מספר מרוכב בעל ערך מדומה אי-שלילי, וכאשר השורש הריבועי נלקח גם כן להיות בעל ערך מדומה אי-שלילי.
פונקציה זו היא פתרון למשוואה הריבועית
טרנספורמציית סטילטיס משמשת גישה נוספת להוכחה של המשפט באופן הבא:
תחילה מראים כי הטרנספורמציה של מרוכזת סביב התוחלת שלה, כלומר אם נסמן את הטרנספורמציה שלה ב- אז מתקיים:
בנוסף, יש להראות כי פונקציה זו פותרת את המשווה:
לבסוף מראים יציבות של המשוואה האחרונה.
דוגמה לשימוש בהתפלגות מרצ'נקו פסטור היא במודל spiked covariance.
כאשר עובדים עם מטריצה שערכיה רועשים, ניתן לעיתים להניח כי הרעש מבוטא כמטריצה שערכיה הם שווי התפלגות ובלתי תלויים, ולכן ערכיה העצמיים מתפלגים לפי מרצ'נקו פסטור.
כעת מוסיפים למטריצת הרעש את המטריצה המקורית, מקבלים שערכיה העצמיים של המטריצה המקורית לא השתנו בהרבה, ולכן אם הם נמצאים מחוץ לתומך של מרצ'נקו פסטור ניתן יהיה לזהות אותם מבין הערכים העצמיים של המטריצה החדשה.
בנוסף ניתן יהיה לשחזר בקירוב את הערך העצמי המקורי ואת הווקטור העצמי המתאים לו.
דרך זו היא דוגמה להפחתת רעשים בעזרת התפלגות מרצ'נקו פסטור.
ניתן להיעזר בהתפלגות במרצ'נקו פסטור בשימוש ב-PCA.
השימוש בהתפלגות עוזר למצוא את הרכיבים העיקריים שיעזרו לאפיין את הסיגנל המקורי, ולהפריד אותם מרכיבים אחרים שככל הנראה מאפיינים רעש.
בדרך זו אפשר לחשוב על קצה התומך הימני של ההתפלגות בתור "סף" אשר קובע באילו ערכים עצמיים (או באופן שקול רכיבים עיקריים) נשתמש ובאילו לא.
מלבד הפחתת רעשים, השילוב בטכניקה זו עוזר גם בכיווץ, ובהבנה טובה יותר של המידע, והוא נפוץ במגוון תחומים, ביניהם: רפואה, גנומיקה וביואינפורמטיקה, ניתוח טכני, כיווץ תמונות וסרטונים, אסטרונומיה, ועוד.
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות זטא היא התפלגות הסתברות בדידה.
אם X הוא משתנה אקראי המתפלג זטא עם פרמטר s, אז ההסתברות ש- X מקבל את הערך השלם החיובי k נתונה על ידי פונקציית ההסתברות
כאשר ζ ( s ) היא פונקציית זטא של רימן (שאינה מוגדרת עבור s = 1).
פונקציית זטא של רימן היא סכום כל האיברים עבור מספר שלם חיובי k.
פונקציה זו נראית כגורם נירמול של התפלגות Zipf .
המונחים "התפלגות Zipf" ו"התפלגות זטא" משמשים לעיתים קרובות לסירוגין.
אבל בעוד שהתפלגות זטא היא התפלגות הסתברות בפני עצמה, היא אינה קשורה לחוק Zipf עם אותו מעריך.
התפלגות זטא מוגדרת עבור מספרים שלמים חיוביים , ופונקציית ההסתברותית שלה נתונה על ידי
כאשר הוא הפרמטר, ו היא פונקציית הזטה של רימן.
פונקציית ההתפלגות המצטברת נתונה על ידי
כאשר הוא המספר ההרמוני המוכלל
המומנט הגולמי ה- n מוגדר כערך התוחלת של Xn :
הטור מימין היא רק ייצוג של פונקציית זטא של רימן, אבל היא מתכנסת רק כאשר גדול מ 1. כלומר:
היחס בין פונקציות זטא מוגדר היטב, אפילו עבור n > ס − 1 מכיוון שניתן לבצע המשכה אנליטית של הייצוג של פונקציית זטא כטור.
הפונקציה יוצרת מומנטים מוגדרת כ
הטור היא למעשה ההגדרה של הפולילוגריתם, תקף עבור כך ש
מכיוון שביטוי זה לא מתכנס בקטע פתוח המכיל את , הפונקציה יוצרת מומנטים לא קיימת.
ζ (1) הוא אינסופי כסדרה ההרמונית, ולכן אין משמעות למקרה s = 1. עם זאת, אם A היא קבוצה כלשהי של מספרים שלמים חיוביים בעלת צפיפות, כלומר אם הגבול
קיים, כאשר N(A, n), מספר האיברים של A הקטנים או שווה ל n, אז
הגבול האחרון יכול להתקיים גם במקרים מסוימים שבהם ל-A אין צפיפות.
לדוגמה, אם A הוא קבוצת כל המספרים השלמים החיוביים שהספרה הראשונה שלהם היא d, אזי ל-A אין צפיפות, אבל למרות זאת הגבול השני שניתן לעיל קיים, והוא פרופורציוני ל
ההתפלגות הנורמלית המוכללת (GND; מכונה גם התפלגות גאוסיינית המוכללת – GGD) כוללת שתי משפחות של התפלגויות הסתברות רציפות על הישר הממשי.
בשתי המשפחות מתווסף פרמטר צורה להתפלגות הנורמלית.
באחת מהן מתווסף פרמטר סקלה, ופונקציית הצפיפות סימטרית.
באחרת, מתווסף פרמטר צידוד, ופונקציית הצפיפות של התפלגויות במשפחה זו אינו בהכרח וסימטרית.
בערך זה נתייחס להתפלגות הנורמלית המוכללת הסימטרית
ההתפלגות הנורמלית המוכללת הסימטרית, המכונה גם התפלגות חזקה מעריכית, היא משפחה פרמטרית של התפלגויות סימטריות.
המשפחה כוללת את ההתפלגויות הנורמלית התפלגות לפלס, וכמקרה גבולי את כל ההתפלגויות האחידות הרציפות באינטרוולים חסומים על הישר הממשי.
משפחה זו כוללת את ההתפלגות הנורמלית כאשר (עם תוחלת ושונות ) ואת התפלגות לפלס כאשר .
כאשר , הצפיפות מתכנסת נקודתית לצפיפות אחידה בקטע .
משפחה זו מאפשרת זנבות עבים מהזה של ההתפלגות הנורמלית (כאשר ) או דקים יותר (כאשר ).
זוהי דרך שימושית לאפיין רצף של צפיפויות פלטיקורטיות סימטריות, שלהן שייכת מההתפלגות הנורמלית () לצפיפות אחידה (), ורצף של צפיפויות סימטריות, לפטוקורטיות הנפרשות מהתפלגות לפלס ( ) לצפיפות הרגילה ( ).
פרמטר הצורה שולט גם על ערך השכיח בנוסף לזנבות.
חקרו גישות של אומדן פרמטרים באמצעות נראות מקסימלית ושיטת המומנטים.
אין נוסחה סגורה לאומדנים ויש לחשב אותם נומרית.
הוצעו גם אומדנים שאינם דורשים חישוב נומרי.
לפונקציית הנראות של ההתפלגות הנורמלית המוכללת אינסוף נגזרות רציפות (כלומר היא שייכת למחלקה של פונקציות חלקות) רק אם הוא מספר חיובי.
אחרת, לפונקציה יש נגזרות רציפות.
כתוצאה מכך, התוצאות הסטנדרטיות לעקביות ולנורמליות אסימפטוטית של אומדני נראות מקסימלית של חל רק עבור .
ניתן להתאים את ההתפלגות הנורמלית המוכללת באמצעות שיטת נראות מקסימלית מקורבת.
מאותחל למומנט הראשון של המדגם , ו- מוערך על ידי שימוש בתהליך איטרטיבי של ניוטון-רפסון, gם אתחול ,
הוא מומנט הראשון של הערכים המוחלטים ו הוא המומנט השני.
וכאשר ו הם פונקציית הדיגמה ופונקציית הטריגמא.
בהינתן ערך של , אפשר לאמוד את על ידי מציאת המינימום של
לבסוֹף אומדים את על ידי
עֲבוּר , חציון הוא אומדן מתאים יותר של .
כאשר יש אומדן ל , ניתן לאמוד את ו כמתואר לעיל.
ההתפלגות הנורמלית המוכללת הסימטרית שימושית במודלים שבהם יש חשיבות לריכוז הערכים סביב הממוצע והתנהגות הזנב.
ניתן להשתמש במשפחות התפלגויות אחרות אם ההתמקדות היא בסטיות אחרות מהנורמליות.
אם חשוב לבדוק את הסימטריה של ההתפלגות, ניתן להשתמש במשפחה הנורמלית המוכללת הלא סימטרית.
אם התנהגות הזנב היא העניין העיקרי, ניתן להשתמש במשפחת התפלגות t, שמתכנס להתפלגות הנורמלית כאשר מספר דרגות החופש שואף לאינסוף.
להתפלגות t, שלא כמו התפלגות נורמלית מוכללת, זנב עבה יותר מבלי לייצר חוד בראשית הצירים.
יהי משתנה מקרים בעל התפלגות נורמלית מוכללת עם תוחלת אפס, פרמטר צורה ופרמטר קנה מידה .
המומנטים של קיימים וסופיים עבור כל k גדול מ-1. עבור כל מספר שלם אי-שלילי, המומנטים המרכזיים הם
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות לפלס היא התפלגות הסתברות רציפה הקרויה על שם פייר-סימון לפלס.
היא נקראת לפעמים גם התפלגות מעריכית כפולה, כיוון שניתן לראותה כשתי התפלגויות מעריכיות (עם פרמטר מיקום נוסף) המחוברות יחדיו, אם כי המונח משמש לעיתים גם להתייחסות להתפלגות גומבל .
פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות לפלס עם פרמטרים ו־ היא:
הוא פרמטר מיקום, ו־ הוא פרמטר קנה מידה.
אִם ו־, ההתפלגות על חצי הישר הממשי זהה להתפלגות המעריכית עד כדי פקטור 1/2.
פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות לפלס דומה לזו של ההתפלגות הנורמלית; עם זאת, בעוד שההתפלגות הנורמלית מתבטאת במונחים של ריבוע ההפרש מהממוצע , צפיפות לפלס מתבטאת במונחי הערך המוחלט של ההפרש מהממוצע.
כתוצאה מכך, להתפלגות לפלס יש זנב עבה יותר מזה של ההתפלגות הנורמלית.
זהו מקרה פרטי של ההתפלגות הנורמלית המוכללת וההתפלגות ההיפרבולית .
התפלגויות סימטריות רציפות שיש להן זנבות אקספוננציאליים, כמו התפלגות לפלס, אך בעלות פונקציות צפיפות הסתברות בעלות נגזרת רציפה גם בשכיח כוללות את ההתפלגות הלוגיסטית והתפלגות הסקנט ההיפרבולי .
קל לבצע אינטגרציה של פונקציית הצפיפות של התפלגות לפלס, לקבל את פונקציית ההתפלגות המצטברת:
הפונקציה ההופכית להתפלגות המצטברת היא:
אם אז (התפלגות נורמלית מוכללת).
אם (התפלגות נורמלית) אז and .
אם אז (התפלגות כי בריבוע).
אם (התפלגות אחידה רציפה) אז .
אם ו־ (התפלגות ברנולי) בלתי תלוי ב־, אז .
אם מתפלג ראדמאכר ו־ אז .
ההסתברות שמשתנה מקרי המתפלג לפלס גדול ממשתנה מקרי המתפלג לפלס
יהיו משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים לפלס: ו־.
נרצה לחשב את ההסתברות .
ניתן לפשט את באמצעות התכונות לעיל ל־, כאשר , ו־.
כאשר ניתן להמיר את שני הביטויים בגבול שלהם כאשר :
כדי לחשב את המקרה נשים לב כי
ניתן לייצג משתנה מקרי המתפלג לפלס כהפרש של שני משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות (iid) המתפלגים מעריכית.
אחת הדרכים להראות זאת היא באמצעות גישת הפונקציה האופיינית.
לכל קבוצה של משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים, לכל שילוב ליניארי של אותם משתנים, ניתן לרכוש את הפונקציה האופיינית שלו (שקובעת באופן ייחודי את ההתפלגות) על ידי הכפלת הפונקציות האופייניות המתאימות.
בהינתן דגימות בלתי תלויות ושוות התפלגות , אומד הנראות המקסימלית (MLE) של הוא חציון המדגם:
אומד ה-MLE של הוא הסטייה המוחלטת הממוצעת מהחציון:
התפלגות לפלס שימשה בזיהוי דיבור כדי למדל התפלגויות פריוריות על מקדמי התמרת פוריה בזמן בדיד (DFT) ובדחיסת תמונת JPEG.
הוספה של רעש שנלקח מהתפלגות לפלס, עם פרמטר קנה מידה המתאים לרגישות הפונקציה, לפלט של שאילתת מסד נתונים סטטיסטי היא אמצעי נפוץ לספק פרטיות דיפרנציאלית במסדי נתונים סטטיסטיים.
בניתוח רגרסיה, אומדן הסטיות הפחות אבסולוטיות מתעורר כאומדן הסבירות המקסימלית אם לשגיאות יש התפלגות לפלס.
ניתן להתייחס למודל לאסו כאל רגרסיה בייסיאנית עם הסתברות פריורית לפלס.
בהידרולוגיה התפלגות לפלס מיושמת לאירועי קיצון כגון כמות גשמים מרבית שנתית של יום אחד וספיקה של נהרות.
האיור הכחול, ממחיש דוגמה להתאמת התפלגות לפלס לכמות הגשמים המקסימלית השנתית המדורגת של יום אחד, המציגה גם את רווח בר סמך של 90% על סמך ההתפלגות הבינומית.
להתפלגות לפלס יש יישומים בתחום הפיננסים.
לדוגמה, מודל למחירי מכשירים פיננסיים המשלב התפלגות לפלס כדי לטפל בבעיות של צידוד, וגבנוניות המתרחשות לעיתים קרובות בעת שימוש בהתפלגות נורמלית לתמחור מכשירים אלה.
התפלגות לפלס, בהיותה התפלגות מורכבת או כפולה, ישימה במצבים שבהם הערכים הנמוכים מקורם בתנאים חיצוניים שונים מהגבוהים כך שהם עוקבים אחר דפוס שונה.
בהינתן משתנה מקרי בעל התפלגות אחידה רציפה בקטע , למשתנה המקרי
התפלגות לפלס עם פרמטרים ו־.
תוצאה זו נובע מפונקציית ההתפלגות המצטברת ההופכית שנתונה לעיל.
התפלגות לפלס מכונה לעיתים קרובות "חוק השגיאות הראשון של לפלס".
פייר סימון לפלס פרסם אותו בשנת 1774, תוך מידול תדירות שגיאה כפונקציה מעריכית של גודל השגיאה בערך מוחלט.
לפלס יחליף מאוחר יותר את המודל הזה ב"חוק השגיאות השני" שלו, שהתבסס על ההתפלגות הנורמלית, לאחר גילוי משפט הגבול המרכזי.
ב-1911 פרסם קיינס מאמר המבוסס על התזה המוקדמת שלו, שבה הראה שהתפלגות לפלס מזערה את הסטייה המוחלטת מהחציון.
בהסתברות ובסטטיסטיקה, ההתפלגות הלוגריתמית היא התפלגות הסתברות בדידה הנגזרת מפיתוח טור מקלורין
שמובילה ישירות לפונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג Log(p):
בגלל הזהות לעיל, ההתפלגות מנורמלת כראוי.
כאשר B היא פונקציית הבטא הלא שלמה.
אם N הוא משתנה אקראי המתפלג פואסון ו הוא רצף אינסופי של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות שכל אחד מהם מתפלג Log(p), אז הסכום
הביולוג רונלד פישר תיאר את ההתפלגות הלוגריתמית במאמר מ-1943 כמודל של התפלגות מינים בטבע.
בתורת תורת ההסתברות וסטטיסטיקה, התפלגות וישארט היא הכללה של התפלגות גמא למספר ממדים.
ההתפלגות נקראת על שמו של המתטיקאי ג'ון וישארט (John Wishart), שהשתמש בה לראשונה ב־1928
זוהיא משפחה של התפלגויות המוגדרת על מטריצות אקראיות, סימטריות וחיוביות למחצה עם שימושים רבים בהסקה בייסיאנית.
התפלגות וישארט התגלתה במחקר אנתרופומטרי, אשר מטריצות שונות משותפת בממדים גבוהים, בעלת חשיבות משמעותית.
התפלגות וישארט היא התפלגות הסתברות בסיסית בסטטיסטיקה רב-ממדית.
זוהי הכללה רב-ממדית של התפלגות כי-בריבוע, והיא מופיעה באופן טבעי כהתפלגות של מטריצות שונות משותפות (covariance matrices) של דגימות מהתפלגות נורמלית רב-ממדית.
ההתפלגות הוצגה לראשונה בשנת 1928 על ידי המתמטיקאי הבריטי ג'ון וישארט במסגרת מחקריו על מטריצות רב ממידיותת והכללת התפלגות כי.
להתפלגות וישארט תפקיד תאורטי מרכזי בתורת המטריצות המקריות, הסקה בייסיאניתת וניתוח סטטיסטי מרובה משתנים.
בנוסף התפלגות וישארט היא בעלת שימושים פרקטיים רבים בתחומי של למידת מכונה וכן במכניקת הקוונטים.
יהיו משתנים בעלי התפלגות רב-נורמלית בת"ל עם תוחלת 0 ומטריצת שונויות כאשר נגדיר:
ונאמר כי ל התפלגות וישארט עם פרטרים כאשר ייקרא דרגות חופש ב-
, כאשר אופרטור הדטרמיננטה וכמו כן היא פונקציית גמא הרב ממדית כאשר המטריצה , סימטרית וחיובית למחצה, וכמו כן פונקציית גמא הרב-ממדית מכלילה את פונקציית גמא החד-ממדית ובעלת אינטגרל מנורמל ל-1.
מההגדרה השנייה נובע כי לכל מטריצה חיובית למחצה דרגת חופש ניתן ליצור התפלגות וישארט, וזאת ללא שימוש במשתנים רב נורמליים, וניתן להכליל ולבחור שאינו שלם, ובתנאי ש (ובתנאי שאינה קטנה מדרגת המטריצה).
התפלגות וישארט נתמכת ומוגדרת על כל המטריצות בגודל סימטריות וחיובית למחצה.
ניתן לכתוב כאשר בגודל עבור דרגת החופש.
כאשר המטריצה הפיכות כמעט תמיד, וכאשר דרגת החופש המטריצה כמעט תמיד סינגולרית (קרי אינה הפיכה) ובמקרה זה נאמר כי המטריצה "מתפלגת וישארט סינגולרית".
עבור מטריצה מסדר , תת-המטריצה מסדר המורכבת מבלוק של השורות והעמודות הראשונות של , יוצרת מטריצה בעלת התפלגות וישארט, תכונה חשובה זאת עוזרת לנתח התנהות וקירוב בממדים גבוהים.
ולכן , ואם כך עבור ,נקבל 0. על ידי שימוש בנוסחת איזרלה (לחישוב מומנטים של התפלגות רב נורמלית) מקבלים את הנוסחה (משתמשים בכך שהמשתנים בעלי תוחלת 0)
פונקציה אופיינית (כפונקציה של ):
אנטרופיה: האנטרופיה של משתנה :
ערכים עצמיים של מטריצה בעלת התפלגות וישארט מהווים חלק מרכזי בהבנת ההתהנגות של מטריצת שונויות נדגמת , במיוחד בממדים גבוהים ובמקרה בו מספר המשתנים עולה על מספר הדגימות (), דבר אשר מתרחש בתחומים רבים כמו פיננסים, ניתוח גנטי ולמידת מכונה.
עבור מטריצה מסדר עם כניסות בת"ל ושווי התפלגות עם תוחלת 0 ושנות נגדיר את מטריצת השונויות הנדגמת בתור: , אזי אם , קבוע חיובית אזי ההתפלגות הספקטרלית האמפירית מתכנסת כמעט תמיד להתפלגות מרצ'נקו-פסטור, אשר נתמכת על הקטע ברדיוס סביב 0.
נכניס נתונים אלו למטריצת המסחר מסדר , כאשר אנו מניחים אי תלות בין הכניסות והתפלגות נורמלית (כלומר אנו מניחים התפלגות נורמלית רב - ממדית), כאשר כל שורה מייצגת יום מסחר בשנת המסחר וכל עמודה מייצגת את אחד מנכסי החברה (מנייה).
היות שההתפלגות עצמה אינה יודעה, התוחלת , השונות , ומטריצת השונות המשותפת אינן ידועות.
נשתמש במטריצת השונויות הנדגמת (קירוב מדיד של מטריצת השונויות האמיתית) , אשר תחת ההנחות שלנו (התפלגות רב נורמלית) מתפלגת התפלגות וישארט , אם כך הערכים העצמיים של המטריצה משקפים כמה שונות קיימת ברכיבים העיקריים של החזר הערך מהנכסים.
במקרה זה הערכים העצמיים אינם דטרמינסטיים אלא מתפלגים אקראית (לפי התפלגות מנצנסקו-פסטור) ותלויים בערכים האמיתיים (), מחוק המספרים הגדולים כאשר , הקירוב טוב דיו לשימוש פרקטי, לעומת זאת במקרה בו , המדידות רועשות למדי ויש להשתמש בכלים הסתברותיים של ניתוח רב-ממדי.
חוק MP מתאר את התפלגות הערכים העצמיים כאשר היחס בין כמות המשתנים למספר הדגימות מתכנס לקבוע, בתהליך הפיננסי שתואר, משתמשים בעובדה זאת כדי לסנן מידע מרעשים, באופן ספציפי הערכיים העצמיים הקרובים או שייכים לתומך המתקבל מחוק MP ייחשבו כרעשים ואלו שמחוצה לו ייחשבו בעלי חשיבות והשפעה סטטיסטית.
התפלגות וישארט והתפלגות וישארט הפוכה, חשובים בהסקה בייסיאנית עקב קשריהן להתפלגות הרב נורמלית (אותה אנו מניחים שיש לדגימות), שכן לאחר הוספת המידע (הסקה בייסאנית), ההתפלגות נשארת וישארט/וישארט הפוכה בהתאמה ועל כן מקלה על חישובים חדשים, וכן ניתן להשתמש בידע ותכונות ידועות מוקדמות של התפלגויות אלו.
פורמלית: עבור מטריצה , עם התפלגות וישארט/וישארט הפוכה ומידע מ- דגימות ומטריצת שוניות נדגמת , אזי
התפלגות וישארט מהווה הכללה של מספר משתנים מקריים למספר ממדים גבוה, ובעלת קשר הדוק למשתנים מקריים חשובים נוספים כמו:
1.התפלגות כי בריבוע (כאשר p=1), כמו כן העקבה של מטריצה המתפלגת וישארט היא סכום של משתנים מקריים בעלי התפלגות כי בריבוע.
2. התפלגות נורמלית מטריציונית (בעזרת כפלה וסכום ניתן לייצר את תפלגות וישארט)
3. תפלגות וישארט ההפוכה (ההתפלגות ההופכית כמעט תמיד כאשר אנו לוקחים את המטריצה ההופכית)
התפלגות וישארט הפוכה: מטריצה מסדר , עם דרגת חופש ומטריצה , אם תיקרא בעלת התפלגות וישארט הפוכה
4.התפלגות מרצ'נקו-פסטור (כמתארת תכונות ספקטרליות ואת הערכים העצמיים אם קיימים בממדים גדולים)
תהי מסדר אזי בעלת התלפגות וישארט עם פרמטרים
מסקנה: ניתן לייצר כל מטריצה עם התפלגות ויישהארט בעזרת הפרמטרים ומטריצות מסדר (שכן לכל מטריצה חיובית קיים שורש חיובי)
טענה: יהיו עם פרמטרים בת"ל, אזי עם פרמטרים (מיידי מההגדרה של התפלגות ויישראט כסכום של משתנים רב-נורמליים ובלתי תלויים)
טענה: יהיו בת"ל כאשר בעלי התפלגות כי בריבוע עם דרגות חופש, נניח בנוסף כי בת"ל ובעלי התפלגות נורמלית סטנדרטית ובלתי תלויים במשתני הכי בריבוע.: וכמו כן:
מסקנה: הדטרמיינטה של מטריצת בעלת תפלגות וישארט:
בעלת התפלגות וישארט עם , ומהטענה האחרונה מקבלים כי מתפלג וישארט בנוסף ממהטענה על הצמדות של מטריצות וישארט, מתפלגת וישארט עם מטריצה בפרמטר, ומחוקי דטרמיננטה:
התפסן בשדה השיפון הוא רומן מאת ג'יי די סלינג'ר, שראה אור בשנת 1951 (ב-1945 וב-1946 התפרסמו פרקים ממנו כסיפורים קצרים בכתבי עת).
הספר הוא רומן התבגרות ריאליסטי המתאר שלושה ימים בחייו של המספר, הולדן קולפילד, תלמיד תיכון בעיר ניו יורק.
הספר נחשב לפורץ דרך ומן המשפיעים בספרות האמריקנית, למרות היותו שנוי במחלוקת.
דמותו של קולפילד ברומן נתפסה כפֶה לדור החדש ולתחושת הניכור של בני הנעורים מהחברה.
כך הפך הולדן קולפילד לסמל למרד נעורים.
הספר נמכר בעשרות מיליוני עותקים, ומדי שנה נקנים כ-250,000 עותקים ממנו.
הספר נכלל ברשימת 100 הספרים הטובים ביותר שנכתבו באנגלית מאז שנת 1923. רשימה זו הורכבה על ידי העיתון TIME.
מקור שמו של הספר מבואר בפנטזיה דמיונית העולה במוחו של הגיבור.
בפנטזיה זו משגיח הולדן על קבוצת ילדים המשחקים ומתרוצצים בשדה שיפון, ואינם מודעים לכך שבקצה השדה נפערת תהום עמוקה.
בדמיונו, קולפילד ממלא תפקיד של מציל, כי הוא תופס את הילדים לפני שהם נופלים לתהום.
המושג "שדה שיפון" מופיע בברכת הודיה על המזון בנצרות ופירושו שימינו יתנהלו בנעימים כמו בהליכה בשדות שיפון אינסופיים.
אולם בפנטזיה שבסיפור תהום רובצת לצד שדות הביטחון והשאננות ורק גיבור הספר היכול להושיע.
יש הרואים בכך ביטוי למסר העיקרי של הספר על התמימות המבורכת של הילדות הנמצאת בסכנה של נפילה לעולם המבוגרים.
הולדן קולפילד בן ה-17, מספר בגוף ראשון על מה שקרה לו לאחר שסולק מפנימיית פֶּנסי היוקרתית, טרם חג המולד, בשל כישלונותיו בלימודים.
הוא מחליט לעזוב את פנסי מספר ימים קודם למועד העזיבה המתוכנן, במוצאי שבת, ולנסוע לניו יורק.
במהלך יום וחצי של נדודים בניו יורק (ממוצאי שבת ועד יום שני בבוקר) הוא עובר ממקום למקום, פוגש אנשים שונים, ומנסה למצוא מישהו שיבין אותו.
הוא נפגש עם תיירות, נהגי מוניות, ידידים וידידות ותיקים, ידידים-של-ידידים, זונה והסרסור שלה, אחותו הקטנה ומורה ותיק.
בכל הפגישות (ושיחות הטלפון) האלו הוא מנסה למצוא אוזן קשבת ובני שיח.
אחדים מהאנשים כלל לא מבינים אותו, אחרים מנסים להבין אך נכשלים, וכמה מהם מבינים אותו היטב אבל מתנגדים לדרכו ולמעשיו.
הפנטזיה של הולדן קולפילד היא להיות תפסן בשדה של שיפון, לתפוס ילדים העומדים ליפול מצוק.
זוהי מטפורה לרצונו למנוע מהילדים ליפול מתוך עולמם התמים אל עולמם המזויף של המבוגרים, מוטיב החוזר לאורך כל הספר.
רעיון זה גם נרמז משמו.
הולדן מהמילה "Hold", להחזיק (או מ-"Hold 'em", "תחזיק אותם"), ואילו קולפילד, שדה מכוסה, אותו שדה שיפון שבו הוא רוצה לתפוס את הילדים הנופלים.
במהלך הרומן קולפילד עובר תהליך של נפילה פיזית שמצביעה על נפילה נפשית.
באופן מטפורי זו נפילה אל תוך עולם המבוגרים.
המסע בניו יורק הוא גם מסע מציאותי, אך גם מסע מטפורי, אל תוך הנפש.
הסיפור כולו מסופר תוך שימוש תדיר בלשון סבילה, על-מנת להמחיש כי הסופר מבקש להרחיק את עצמו מהמתרחש בעולם.
על פי התנהגותו ניתן ללמוד באפיון עקיף על הערכים החשובים בעיניו.
הערך העליון בעיניו הוא התחשבות בזולת.
כך לדוגמה במפגש עם הנזירות, מאוד חשוב לו לא לפגוע ברגשותיהן או להביך אותן ולכן לא נעים לו לדבר על רומיאו ויוליה, כי הוא נהיה מאוד מיני בקטעים מסוימים.
ההתחשבות שלו בזולת אף גדולה יותר כאשר מדובר ביחס לחלשים בחברה.
כשנפגש עם סאני הזונה הוא מתכונן ומתגנדר.
הוא חושב עליה כעל אדם.
הוא שומר על כבוד הבנות איתן נפגש ומתחשב ברגשותיהן.
לא כופה עצמו עליהן, רואה בהן אדם ראוי להערכה ואהבה, ולא אובייקט מיני (וכועס על סטרדלטר המתייחס אליהן כאל חפץ).
גם בהקשרים אחרים, כשהוא מדבר על בנות עם לוס, הוא אומר שאינו יכול לחשוב על יחסי מין ללא אהבה.
תהליך ההתבגרות קשה לקולפילד, כיוון שהוא אוהב את הכנות, הפשטות והחמלה שהוא מזהה בעולם הילדות.
הולדן סולד מכל מה שסימל בעיניו את הזקנה.
הוא מספר שהוא חשב על מר ספנסר המורה להיסטוריה די הרבה, ואם חושבים עליו יותר מדי, מתחילים להתפלא בשביל מה בכלל הוא עוד חי.
בן שבעים או יותר והוא כבר כפוף לגמרי וצריך שיעזרו לו בכל פעולה שהיא קצת מסובכת מבחינה פיזית.
התלות הזו מעוררת בו מורת-רוח, התנהלות האדם הזקן לא מוצאת חן בעיניו.
להבדיל מזאת, כשהולדן מזהה דפוסי פעילות ילדותיים בהתנהלותו של ספנסר, הוא מתחיל לגלות כלפיו חיבה, "הוא חי לא רע...
מישהו כל-כך זקן, כמו ספנסר הזה, והוא עוד יכול ליהנות נורא מקניית שמיכה".
היחס של הולדן לרוב "חברת המבוגרים" הוא יחס מזלזל, פוגע ולא מתחשב.
הולדן מראה סימנים קלים של ניסיון ליצור איזשהו קשר עם הזולת, אך לטענתו אין מי שיקשיב לו.
יש להולדן מה שדרוש כדי להיות בחברה הבוגרת אך הוא בוחר לסלוד ממנה ולא להשתלב בה.
הדמות היחידה איתה הולדן מזדהה היא אחותו הקטנה פיבי, אליה יש לו יחס מיוחד.
פיבי בת העשר אהובה על הולדן במיוחד.
היא מייצגת בעיניו את עולם הילדות, הטוהר, התמימות וההבנה לרגשותיו.
מערכת היחסים של הולדן עם פיבי מציגה אותו באור שונה לגמרי מכל התנהגותו עם החברה.
הוא רואה אותה כילדה אידיאלית ודרך האהבה אליה, ניתן לראות את אהבתו לעולם הילדים.
במפגש עם פיבי ניתן לראות את אהבתו לעולם הילדים בניגוד לסלידה שחש כלפי מר ספנסר הזקן.
הולדן פונה במהלך העלילה לדמויות מבוגרים רבות, ומחפש אחר מישהו שיסביר לו כי עולם המבוגרים אינו רע כל כך.
הולדן מבקש את הקשב של חברים, מורים לשעבר, זונה, נהגי מונית, נזירה, אך בשום שלב הוא לא מגיע למצב שהוא מצליח לשאול את השאלות באופן ישיר.
כל דמויות המבוגרים מתעלמות ממנו ואינן מקשיבות לו, והדמות היחידה שכן מקשיבה, עניינה של ההקשבה במניעים זרים: המורה לאנגלית לשעבר של הולדן, מר אנטוליני, מארח אותו בביתו ומקשיב לו באהדה, אבל כאשר הולדן מתעורר ואנטוליני מלטף את ראשו, הוא נמלט מביתו כי נבהל בחושבו שאנטוליני ניסה לנצל אותו מינית.
נידוי וגלות – הולדן מורחק מבית-הספר, הוא מרגיש בניו יורק כמו בג'ונגל, בלי משפחה (מלבד פיבי, אחותו) ובלי חברים קרובים.
הוא חש בדידות, ואינו מצליח ליצור קשר משמעותי, ולו רגעי.
כובע הקסקט אותו הוא חובש משמש לו כמסיכה המספקת הגנה מפני העולם החיצון.
כשהולדן במצוקה הוא מעביר את הקסקט קדימה, כעוטה על עצמו מסיכה.
הדימוי מומחש כשהולדן מוריד את הקסקט ומכסה את עיניו לצד חברו, ומכריז כמה פעמים כי הוא חושב שהוא מתעוור, בקול שהולך ודועך, ומסיים בקריאה "אמא אמא הכל נהיה חשוך".
הבדידות שהולדן חווה מבוטאת באמצעות מוטיב העיוורון.
הולדן קורא וחוזר במהלך משחק עם חברו אקלי "אמא אמא תני לי יד", וחסרונה של אימו מתקשר למצוקה ולחשיכה.
בהמשך הסיפור, חסרונה של אימו מוזכר במרומז כשהוא מתחבא לה בארון של פיבי: לאחר שהאם יוצאת מן החדר וסוגרת את הדלת, משתרר בחדר חושך מוחלט.
המחשבה על ההורים לא מקנה להולדן ביטחון.
הקשר עם ההורים מתקשר עם חושך ובדידות ולא עם תמיכה ואהבה.
לקראת סוף הרומן מוטיב החשיכה מגיע לשיא כאשר הולדן בורח מהביתו של אנטוליני, המורה שלו לאנגלית לשעבר, והוא במצוקה רגשית הנובעת מבלבול ופגיעה באמון.
הולדן ביקש להישען על אנטוליני, דמות מוערכת על-ידו, אך בורח ממנו לאחר שפירש את מעשיו כניסיון לניצול מיני.
הולדן עולה על הרכבת התחתית בתחנת הסנטרל פארק, שם הוא נרדם.
הוא מאבד תיאבון, מקבל כאב ראש בהמשך לכאבי ראש קודמים שצוינו בעלילה, ומתעוררת בו תחושה של בחילה.
כאביו הפיזיים של הולדן הם תולדה של הייסורים הנפשיים, וכאשר מצבו הנפשי משתפר, הולדן מעיר כי "כבר לא הייתה לי סחרחורת כל כך חזקה."
מוות סמלי – מוטיב המוות הוא אחד המוטיבים המרכזיים בסיפור.
במשך כל הרומן הולדן מרגיש מצוקה נוראה בגלל הפחד מפני מה שיקרה לו, מפני הפחד ממה שקורה לאנשים שמתים ולמה אנשים מתים.
המחשבות על המוות רודפות אותו.
הפחד מפני המוות שמתעורר כתוצאה ממות האח, בא לידי ביטוי אצלו בעיסוק אובססיבי במחלות.
הוא מספר לאנשים שונים שיש לו מחלות שונות.
כשפגש את אמו של ארנסט שיקר לה ואמר שיש לו גידול במוח.
לסאני הוא אומר שהוא חולה מאוד בעמוד השדרה.
כשהוא כותב לספנסר, המורה להיסטוריה, חיבור על מצרים העתיקה, הוא מתמקד במומיות וחניטת גופותיהן.
דוגמה נוספת: לאחר שהוא בורח מהבית של אנטוליני, בתחנת הרכבת, הוא מוצא שבועון וקורא בו מאמר על כך שכאשר יש פצעים בפה זה סימן לסרטן.
משיאי הרומן היא הסצנה שבה הולדן נמצא במוזיאון האמריקאי לתולדות הטבע ומגיע לחדר המומיות.
כשהוא נשאר לבדו הוא אומר: "זה ככה מצא חן בעיני, איכשהו....
היה שם כל-כך נעים ושלו..".
הולדן מרגיש במידה רבה שהמוות הוא אמצעי מפלט שבאמצעותו הוא לא יצטרך להתבגר ולסבול.
במוזיאון הוא נופל ומתעלף (נפילה בעלת משמעות סמלית): ברורות לו שתי האפשרויות שניצבות בפניו – מוות נפשי שיוביל למוות פיזי (התאבדות), או התמודדות עם בעיותיו וחזרה לחברה ולמשפחה, גם אם הן אינן מושלמות.
הולדן למעשה נכנע למוות, והכניסה לקבר משלבת את מוטיב החשיכה עם מוטיב המוות.
מוטיב נוסף שמעצב את מוטיב המוות הוא מוטיב הנפילה.
הולדן מתאר מצב שבו הוא כמעט החליק ונפל על הכביש הקפוא, כאשר היה בדרך למורה שלו להיסטוריה ספנסר.
הסיטואציה הזו מתרחשת על רקע ההודעה בדבר סילוקו מפנסי.
הנפילה מתרחשת על רקע הקטטה שהייתה לו עם סטרדלטר.
גם פה הולדן חש מובס, המחשבה בדבר הקשר האינטימי בין ג'יין לסטרדלטר מעוררת אצלו כאב עצום המתבטא בכעס בלתי נשלט ובאלימות.
במהלך הקטטה הולדן נופל, ומעיד על עצמו כי כמעט ושבר את הגולגולת.
בחירתו של הולדן לייחס לנפילתו פגיעה בראש קשורה בנפילתו אל המוות, וחוזרת בשנית כאשר הולדן מחליט להסתלק מהפנימיה, מועד על קליפת בוטנים, וכתוצאה מכך כמעט מחליק ושובר את ראשו.
הולדן נופל בפעם נוספת, הפעם בדרכו לפתוח לסאני הפרוצה את דלת החדר.
המעידות הכרוניות כמעט המשתלטות על יציבותו חוזרות בכל פעם שהוא חש חוסר ביטחון.
לידה מחדש – לאחר קבלת ההחלטה הוא נעזר בבני משפחתו ובסיוע חיצוני, וככל הנראה מתאשפז בסנטוריום שבו הוא מקבל טיפול פסיכולוגי.
ההתפתחות של קולפילד היא תהליך של שינוי והתבגרות, כשחג המולד (=הלידה) משמש רקע להתרחשויות.
גם קולפילד עובר תהליך של התחדשות ולידה.
הטריגר לאותה לידה הוא אחיזתה של פיבי, אחותו של הולדן, בידו – אותה יד שהולדן קרא לאימו במהלך המשחק מול אקי שתאחז בה.
פיבי נותנת להולדן תחושה שהוא אינו לבד וסודקת את תחושת הבדידות שלו.
תהליך ההיפתחות של הולדן לפני פיבי מתחיל כאשר בתחילה אחותו מוותרת על חסכונותיה עבורו, מה שמביא את הולדן לבכות ולפרוק את העצב האצור בו ולהתמודד עם כאבו באופן ישיר.
בהמשך, הולדן מתוודא בפני אחותו על תוכניתו לברוח, ופיבי קושרת את גורלה עימו ומודיעה לו כי היא מוכנה להצטרף אליו, תוך שהיא מוותרת על תוכניותיה וההצגה החשובה לה.
סדיקת הבדידות מגיעה לשיאה כשהולדן צופה בפיבי משתתפת בתחרות רכיבה על סוסים, והולדן מוותר על אידיאל התפסן ומכיר בהכרחיות של תהליך ההתבגרות.
הולדן מתייחס לכל אורך הרומן אל סביבתו מנקודת מבט ביקורתית, חברת המבוגרים נתפסת כמזויפת, הוא מבקר את הקפיטליזם, החומרנות, חוסר ההתייחסות לצורכי הפרט, חוסר הרגישות והשטחיות של החברה האמריקאית בשנות ה-50 של המאה ה-20.
אחת התופעות העיקריות שכלפיהן יוצא הולדן בביקורתו היא הזיוף והצביעות של עולמו.
בשל סלידתו של הולדן מהחברה, הוא מרבה להשתמש בהכללות ("אנשים אף-פעם לא שמים לב לשום דבר"), להשתמש בציניות ולתאר מצבי סלידה קיצוניים.
הולדן שונא את הזיוף אך מעיד על עצמו "אני השקרן הכי גדול שפגשתם אי פעם", והוא אכן משקר לעיתים, כמו ששיקר לאמו של ארנסט מורו בנסיעה ברכבת.
אף על פי שמתעב את בנה, וחשב ש"בנה היה בטח הממזר הכי גדול שאי-פעם למד בפנסי...
הפרצוף הזה מורו היה רגיש בערך כמו קרש של בית-שימוש" אומר לה: "הוא אחד מהנערים הכי מבוקשים בפנסי...
יש לו אופי כזה מיוחד...
הוא מעיד על עצמו, כאשר הוא מספר על הנסיעה עם אמא של ארנסט מורו: "התחלתי לקשקש כל מיני קשקושים...
ואז באמת התחלתי למרוח אותה לגמרי".
הוא אפילו שיקר לגבי זהותו והציג עצמו בפניה כ"רודולף שמידט".
הולדן מפנה את ביקורתו גם כלפי כמרי הדת שאמורים לייצג את הקדושה, אך במקום זאת הם מדברים "בקול קדוש כזה"...
"זה נשמע כל כך מזויף" – הכמרים אמורים לייצג משהו טהור, כן ואמיתי.
הולדן מבקר את המלאכותיות שבטקסיות הדתית, מלאכותיות שריח של צביעות נודף ממנה.
בדוגמאות הללו מציג הולדן את הזיוף שיש בכל אחד.
הוא מוצא דבר מזויף בכל תחום חיים ויש ציפייה שאם כל כך קשה לו בחברה של "מזויפים", אז הוא יצטרך לעשות שינוי מסוים באידיאלים שלו ובדרך שבה הוא רואה את הדברים כדי לשרוד.
הולדן אדיש להיבט החומרני שבחייו.
לכן איננו מקפיד לקבל עודף, הוא מאבד חפצים, ומצטער שלא נתן יותר כסף לנזירות.
בסוף הוא תמיד עושה אותך עצוב נורא." גם באלקטון הילס הוא חווה חוויה שהעידה על חוסר השוויון בחברה ועל ערכים שנחשבים בחברה האמריקאית.
בחדרו של הולדן התגורר נער נוסף ממעמד סוציו-אקונומי נמוך יותר.
כדי לא להביך את אותו נער, החביא הולדן את מזוודותיו היקרות מתחת למיטה והופתע לגלותן שוב ושוב על המדף.
התברר שהנער, שותפו לחדר, הקפיד להניחן שם כדי שיחשבו שאלה מזוודותיו שלו.
מחד, אותו נער הקניט את הולדן על מזוודותיו ה"בורגניות" ועל עטו ה"בורגני".
ומאידך, באופן אירוני, דווקא אותו הנער היה שבוי בידי החומרנות והסנוביזם החברתי.
הולדן מצידו ניסה בכל הזדמנות לטשטש את חוסר השוויון החברתי.
הוא הרגיש לא בנוח עם העובדה שהוא בעל אמצעים כלכליים רבים משל האחרים.
לכן הרגיש לא נוח בשעה שאכל ארוחת בוקר מלאה ועשירה, בעוד הנזירות הסתפקו בקפה.
כך למשל, הולדן נזכר בביקורו של אוסנבורגר, תורם עשיר שלמד בפנסי, בבית-הספר.
באמצעות תיאור הביקור הולדן מביע את דעתו לגבי ההון ובעלי ההון.
הוא מבטא את הגועל שהוא מרגיש כלפי אוסנבורגר, כלפי ההון, באמצעות הדגשת העובדה שאוסנבורגר התעשר מעסקי קברנות.
הוא גם מבקר את יחסו המזויף לדת של אוסנבורגר ואת ההתנשאות הגורמת לו להטיף לתלמידי בית-הספר.
נדמה כי הולדן מזלזל כל-כך באוסנבורגר, שמייצג את בעלי ההון, עד שמספר כי אחד התלמידים בכנסייה "הפליט נאד אדיר כזה", כאשר אוסנבורגר נשא את נאומו המזויף.
אקלי – אקלי מתואר על ידי הולדן כמפסידן גמור.
הוא מכוער מאוד, דוחה, לא חכם, לא רגיש, קנאי, מתוסכל, מריר ודחוי.
הולדן מבטא בביקורתו את סלידתו הרבה מכיעור: "ומי שראה אותו..
כמעט בא לו להקיא"; את רגישותו העצומה והקיצונית-משהו לפגמים פיזיים ואת סלידתו מחוסר רגישות: "כמעט נהרגתי...
אבל את אקלי זה כמעט הרס לגמרי.
סטרדלטר – סטרדלטר מוצג כהפך הגמור מאקלי.
הוא מתואר כמצליחן נאה, גברי, עשיר ואהוב על בנות.
למרות זאת, הולדן מסתייג גם ממנו.
הוא מאשים את סטרדלטר בהערצה עצמית, הוא לא סובל את הנרקיסיזם ובייחוד את הערצת הגוף האופיינית לסטרדלטר: "הוא היה מאוהב בעצמו עד שיגעון".
כמו כן מוזכרת שוב רגישותו לחוסר ניקיון, כשהוא מגדיר את סטרדלטר "מזניחן חשאי".
גם סטרדלטר מוצג כמי שאיננו מבין את הולדן, הוא בחור שטחי ורדוד, "הוא קצת כמו אקלי".
הולדן מבליט את סלידתו מהאגוצנטריות של סטרדלטר ומחוסר הרגישות שלו: "אני זה שעומד לעוף מפה מרוב נכשלים, ואתה מבקש ממני לכתוב לך חיבור מזדיין".
כמו אקלי, הוא לא מסוגל להבין את משמעות כובע-הציידים האדום בעיני הולדן, "'כביר', הוא אמר.
הוא אבל רק התחנף אליי".
המועדון של ארני – הולדן מסכים כי ארני הוא פסנתרן מעולה, אך הוא מתעצבן מההערצה אליו.
לדעתו הערצה מופרזת פוגעת בחשיבה הביקורתית אצל המעריץ.
כך למשל, הולדן הוא היחיד באולם שהרגיש כי ארני קלקל את השיר.
היא גם פוגעת במוערץ, אשר מתחיל להאמין שאין מקום לשיפור.
הוא לא יכול לסבול שהופכים בן-אנוש לדמות על-אנושית.
הולדן מעיד על עצמו, שלו הוא היה מפורסם, הערצת הסובבים לא הייתה מחמיאה לו, אלא הייתה מעצבנת אותו.
הולדן בז לביטחון העצמי שארני מפגין.
לתפיסתו, אמן לעולם לא מפתח ביטחון-עצמי, לא מסתפק במה שהשיג ולא עובד "בשביל" הקהל.
ההתבטאות הזו מזכירה את יחסו לאחיו די.בי., המכונה על-ידו "זונה", כי הוא יוצר את מה שאנשים רוצים שיצור, ולא את מה שהוא עצמו רוצה.
הספר מסופר מנקודת מבטו הסובייקטיבית של הולדן, ובכך מאפשר לקורא לעקוב אחר תהליך החשיבה של הולדן.
יש מעין זרימה בין סיטואציות שעל פניו לא נראות קשורות אחת לשנייה, לדוגמה סיטואציות בהן הולדן מבצע פעולות פשוטות וטריוויאליות למדי (לקיחת ספר, התבוננות בשולחן) מובילות את הולדן להתדיין עם עצמו על חוויות העבר.
כיוון שהוא נכתב מנקודת מבטו של הולדן המתבגר, הספר כתוב במשלב לשוני נמוך ותוך שימוש בביטויים מעולם המתבגרים של אותה התקופה, ועל כך זכה לביקורות חיוביות ממבקרי הספרות.
התרגומים בעברית, שיצאו בהפרש שנים ניכר זה מזה, השתדלו אף הם "להתאים" את המשלב הלשוני וביטויי הסלנג שבספר לנהוג באותן התקופות בהן יצאו התרגומים (התרגום של גילי בר-הלל לדוגמה, שיצא בשנות ה-2020, מלא בביטויי סלנג אופייניים לדור ה-Y וה-Z)
"לאן הברווזים הולכים כשהאגם קפוא"
שאלה זו ששאל הולדן הפכה למשפט המוכר והמייצג ביותר בספר.
עליו קמו פירושים שונים למהות השאלה ולכוונתו של הולדן.
אנלוגיה לשכבה החלשה בחברה בניו יורק המתמודדת עם הניכור וחוסר האכפתיות.
כאמור, הולדן מרגיש שאנשים מייחסים חשיבות גבוהה מדי לנושאים חומריים ומאבדים את האמינות וההגינות.
כתוצאה מכך נפגעת השכבה החלשה שאינה מקבלת את העזרה והתמיכה הנדרשת.
הולדן מזדהה עם השכבה החלשה וחש אמפתיה כלפיהם.
האגם הוא משל לגוף, והברווזים הם משל לנשמה.
ובעצם הולדן תוהה עקב מותו של אחיו הצעיר – מה קורה לברווזים (לנשמה) כשהאגם (כשהגוף) קופא (מת)?
האגם הוא משל למסגרת (חברה, בית ספר) והברווזים הם משל לבני אדם.
לאן הולך אדם כשאינו מתקבל על ידי החברה?
לאן אדם הולך אחרי שסולק מבית הספר?
כמו כן, ההתעניינות של הולדן בברווזים מבטאת את הצד הרומנטי שלו, את עולמו הרוחני העשיר.
הוא נמשך אל הטבע, שמיוצג גם על ידי הברווזים.
המוטיב מייצג גם את רגישותו של הולדן, את מצוקתו בחברה אדישה, מנוכרת, שמתעלמת מאיתותי המצוקה שלו.
ניתן לערוך אנלוגיה בין הסיטואציה של הברווזים לבין מצבו של הולדן.
הוא משליך עליהם את תחושותיו.
הבריכה הקפואה יכולה לשקף הן את מזג האוויר מבחינה פיזית – קור חג המולד, אך בעיקר מבחינה מטפורית – החברה הקרה, האדישה, המנוכרת, מתעלמת מבעיות הפרט.
את עטיפת הספר בשפה העברית, ובה ריבוע בצבע צהוב ומתחתיו מופיעים שם הספר ומחברו בגופן אורון, עיצב המעצב שמעון זנדהאוז בשנת 1972 כחלק מסדרת כריכות להוצאת עם עובד והיא זכתה למעמד מיוחד על אף המבנה הפשוט שלה.
המחבר ג'רום דייוויד סלינג'ר קבע באופן נחרץ בחוזה עם ההוצאות שהדפיסו את ספריו כי לא יכללו איורים או תמונות שיסיטו את תשומת הלב מתוכן הספר.
זנדהאוז שעיצב עד אז את כל הספרים בהוצאה בפורמט אחיד ובו תמונה צבעונית שהוקפה במסגרת ומתחתיה שם הספר בפונט אורון, המשיך בקו זה והשאיר את הריבוע ומילא אותו בצבע צהוב כצבע השיפון.
העיצוב התקבע ונשאר גם בחלק מהוצאות המאוחרות אחריו.
העיצוב בשנת 2023 שונה באופן ניכר לטובת המראה המקורי שהעדיף סלינג'ר וכולל את שם הספר בכתב יד בגוון צהוב על רקע כחול.
לסיפור ההתנקשות של מרק דייוויד צ'פמן בג'ון לנון יש קשר מיוחד עם הספר "התפסן בשדה השיפון".
צ'פמן התחבר מאוד רגשית לדמות הראשית בספר, הולדן קולפילד, ולערכיו.
בלילה שבו רצח את לנון הוא נותר בזירת הרצח, קורא בעותק של הספר, עליו כתב "זוהי הצהרתי" וחתם בשמו של הולדן.
יש שטוענים שצ'פמן הונע למעשה הרצח בעקבות דעות שמופיעות בספר.
את הספר קרא צ'פמן לראשונה בעקבות המלצה של חבר.
הסיפור קבל משמעות אישית עצומה בחייו, אותם עיצב סביב עקרונותיה וחייה של הדמות הראשית בסיפור, הולדן קולפילד.
צ'פמן הושפע מכעסו של הולדן כלפי הצביעות בחברה וכן מהצורך שלו להגן על אנשים, ילדים במיוחד.
במכתב ששלח לחברתו לינדה אייריש בספטמבר 1980, חודשיים לפני הרצח, הוא ביטא את ההשפעה העמוקה של הספר, "אני משתגע", הוא כתב וחתם "התפסן בשדה השיפון".
יש שטוענים, ביניהם גם הפסיכיאטר שנכח במשפטו, דניאל שוורץ, שצ'פמן הונע לרצח לנון משום שראה אותו כ"מזויף", סמל לצביעות החברתית אותה קולפילד מתעב.
צ'פמן בעצמו הודה מאוחר יותר שקיווה כי באמצעות רצח לנון הוא יהפוך להולדן קולפילד, "מעין מושיע" או "מלאך שומר".
בנוסף, בדיון על שחרורו על תנאי, אמר צ'פמן, "אני מרגיש שעכשיו אני רואה את לנון לא כסלבריטי.
ראיתי אותו כדמות קרטון על עטיפת אלבום.
[...] עכשיו הגעתי להבנה של העובדה שג'ון לנון היה בן אדם.
בלי קשר להיותו חבר הביטלס או להיותו מפורסם."
צ'פמן נזכר שהקשיב לאלבום John Lennon/Plastic Ono Band מספר שבועות לפני הרצח, וסיפר: "הקשבתי למוזיקה ונעשיתי כועס עליו [לנון], על זה שאמר שהוא לא מאמין באלוהים...
זה מאוד עצבן אותי, אף על פי שהאלבום יצא עשר שנים לפני כן.
רציתי לצעוק בקול רם, 'מי הוא חושב שהוא, אומר את הדברים האלה על אלוהים, על גן עדן ועל הביטלס?
אומר שהוא לא מאמין בישו ודברים כאלה'.
בנקודה הזו המוח שלי כבר היה בחשכה המוחלטת של כעס וזעם, [..] בשטח של 'התפסן בשדה השיפון', שם המוח שלי היה הולדן קולפילד, ופעלתי נגד צביעות".
בנוסף אמר צ'פמן שאף על פי שהולדן לא היה אלים, הייתה לו "דרך מחשבה אלימה, לפיה היה יורה במישהו, מרוקן אקדח תופי אל הבטן שלו, אם היה עושה לו רע".