tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
השימוש באזורי חיוג מאפשר שימוש במספר טלפון קצר יותר מאשר אלמלא החלוקה לאזורים אלה, כאשר אין הכרח לרוב בחיוג קידומת האזור.
במדינות רבות, כמו צרפת או נורווגיה, הקידומת הפכה לחלק ממספר הטלפון ואיבדה בעצם את מעמדה המזהה באופן חלקי או מלא.
גם בישראל נדרש לעיתים לעשות שימוש בקידומת הטלפונית בחיוג בין מנויים השייכים אליה (לדוגמה ברשתות הסלולריות).
עד שנת 2007, חיוג מספר טלפון עם קידומת בישראל, מתוך האזור עצמו, נחשב לטעות ונענה בצליל תפוס.
טעות זו נחשבה לטעות החיוג הנפוצה ביותר.
בבזק חקרו וגילו כי מעל מיליון חיוגי סרק מסוג זה בוצעו בשנה.
בעקבות זאת, הוחלט לשנות את המערך הטכני, ולאפשר לחייג את קידומת האזור גם מתוך האזור עצמו, מבלי שהדבר יחשב כשגיאה.
מספרי הטלפון כיום ברוב העולם הם בעלי 6-9 ספרות, כאשר למספר זה מצטרפת קידומת אזור החיוג (לרוב מספר דו או תלת ספרתי המתחיל לעיתים בספרה "0").
בעת רישום מספרי הטלפון נהוג להפריד בין קבוצות של ספרות (כאשר מפרידים בין שלוש לארבע ספרות) במקף.
החל מאמצע המאה ה-20 החל בארצות הברית בקרב חברות מסחריות שימוש באותיות הרשומות על מספר הטלפון על מנת להקל על זכירת המספרים המסחריים.
במכשירי הטלפון חולקו אותיות האלפבית האנגלי על גבי 8 מתוך 9 הספרות, כאשר 24 האותיות חולקו לקבוצות של שלוש אותיות, למעט האותיות Q ו-Z.
באנגליה הוצבו אותיות אלה על הספרה "0", בשל דמיונם לאותיות אחרות, ולספרה "6" הוקצו רק האותיות M ו-N, ואילו לספרה 7 הוקצו האותיות P, R ו-S.
הקצאת האותיות אפשרה לחברות להשתמש בשם החברה או במותג שלה כחלק מהמספר, כאשר האותיות מהוות למעשה המספר, ומספר האותיות בהן נעשה שימוש היה כמספר הספרות במספר הטלפון, כך לדוגמה הצירוף "ABE" משמעו "223".
שימוש באותיות נעשה לעיתים על מנת להבדיל בין אזורים גאוגרפיים שונים, כאשר שתי הספרות הראשונות הוחלפו באותיות שנועדו להקל על זכירת האזור.
השימוש בטלפון חוגה גרם לכך שמשך זמן החיוג לספרות 8,9 ו-0 היה ארוך יותר ממשך זמן החיוג לספרות קטנות יותר, ולכן נהוג היה להשתמש בספרות אלה בעיר למספרי טלפונים ציבוריים אליהם לא נהוג לחייג.
מספר טלפון בישראל לפי מגזר
בציבור החרדי בישראל נפוצים מספרי טלפון סלולרי המזהים שזהו סלולרי כשר.
בקרב חסידי חב"ד נהוג לשלב את הספרות 770 במספר הטלפון, ובקרב חסידי ברסלב את המספר 148, שהוא גימטריה של "נחמן" או "נצח".
בטופולוגיה, מספר לֶבֶּג של כיסוי פתוח של קבוצה במרחב מטרי, הוא המספר δ הגדול ביותר שכל תת-קבוצה שלה שקוטרה קטן ממנו, מוכלת באחד ממרכיבי הכיסוי.
לפי הלמה של לבג, לכל כיסוי פתוח של קבוצה קומפקטית יש מספר לבג חיובי ממש.
את הלמה הוכיח המתמטיקאי אנרי לבג.
תהא קבוצה קומפקטית במרחב מטרי, ויהא כיסוי פתוח של .
מהקומפקטיות נובע שקיים תת-כיסוי סופי.
לכל , נגדיר ; אלו קבוצות סגורות.
נגדיר פונקציה לפי הנוסחה (כאן d מסמן את המרחק בין הנקודה לקבוצה.
מרחק זה יכול גם להיות 0).
כיוון ש- הוא כיסוי, לכל נקודה יש אינדקס i כך ש .
כיוון ש קבוצה פתוחה, הרי שקיים ε > 0 כך שה־ε-סביבה של מוכלת ב , ואז .
בפרט, הפונקציה לעולם אינה מתאפסת.
אבל זוהי פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית, ולכן היא מקבלת שם מינימום.
מינימום זה הוא חסם תחתון למספר לבג של הכיסוי.
מספר ליוביל הוא מספר ממשי שניתן לקרב אותו דיופנטית מכל סדר שהוא.
פורמלית, מספר ליוביל אם לכל טבעי קיימים ו- שלמים כך שמתקיים:
מספרי ליוביל נקראים על שם ז'וזף ליוביל שהוכיח ב-1844 את משפט ליוביל שממנו נובע כי הם מספרים טרנסצנדנטיים.
מספרי ליוביל היו המספרים הטרנסצנדנטיים הראשונים שהתגלו.
הדוגמה המוכרת ביותר למספר ליוביל היא קבוע ליוביל שהוגדר על ידי ליוביל ב-1851:
הספרה 1 מופיעה בפיתוח העשרוני של המספר במקום ה- לאחר הנקודה העשרונית לכל טבעי ובכל מקום אחר מופיעה הספרה 0.
בזכות משפט ליוביל, קבוע ליוביל היה לדוגמה הראשונה המוכרת למספר טרנסצנדנטי.
קל לראות שכל מספר ליוביל הוא אי-רציונלי: נניח בשלילה כי מספר ליוביל רציונלי.
נבחר גדול מספיק כך ש-, ואז לכל ו- מתקיים:
לפי משפט ליוביל כל מספר אלגברי אי-רציונלי אינו ניתן לקירוב דיופנטי מסדר הגדול מהדרגה שלו (מעלת הפולינום המינימלי שלו).
מכיוון שמספרי ליוביל אי-רציונליים וניתנים לקירוב מכל סדר הם בהכרח טרנסצנדנטיים.
נוכל להחליף את המופעים של הספרה 1 בקבוע ליוביל בכל סדרת ספרות שנחפוץ, והמספר עדיין יישאר מספר ליוביל.
מכאן שעוצמת קבוצת מספרי ליוביל היא כעוצמת קבוצת סדרות הספרות, שהיא עוצמת הרצף.
כלומר יש "הרבה יותר" מספרי ליוביל מאשר מספרים אלגבריים (שהם בני-מנייה).
לעומת זאת, קבוצת ליוביל היא קבוצה ממידה אפס והיא זניחה ביחס לקבוצת המספרים הטרנסצנדנטיים (שהמשלים שלה ממידה אפס).
במילים אחרות, כמעט כל המספרים הטרנסצנדנטיים אינם מספרי ליוביל.
לכל ו- נגדיר איחוד של קטעים פתוחים:
נסמן את קבוצת מספרי ליוביל.
כל מספר ליוביל נמצא ב- ל- מסוים ולכל .
למספרי ליוביל ממד האוסדורף אפס.
מבחינה טופולוגית מספרי ליוביל צפופים ב.
מספר טלפון וירטואלי (Direct inward dialing- DID), או חיוג ישיר פנימה, בקיצור "חיפ", הוא מספר טלפון קווי או נייד רגיל למראית עין.
ייחודו הוא בעובדה שאין לו שיוך קבוע למכשיר טלפון מסוים.
המספר למעשה רשום ברשת מפעיל התקשורת המספק את שירות המספר הווירטואלי, והלקוח יכול בכל רגע נתון להחליט לאן יגיעו השיחות, למשל לשלוחה מסוימת במרכזייה במשרד, טלפון נייד, תא קולי, פקס וכו'.
כמו במספרי טלפון ברשת טלפוניה "מסורתית", גם מספרים וירטואליים הנם מסוגים שונים.
ניתן לקבל מספרים קוויים, מספרים סלולריים תומכי קבלת שיחה בלבד, מספרים סלולריים תומכי קבלת שיחה והודעות, מספרים בקומת חינם, ועוד.
סוגי המספרים מכתיבים לא רק את סוג הרשת אליה שייך המספר אלא גם את כמות השיחות הבו-זמניות אשר ניתן לקבלת עליו (ערוצי שיחה).
הרעיון המקורי היה לאפשר ללקוחות עסקיים בעלי מרכזייה דיגיטלית להגדיר מספרי טלפון ישירים לשלוחות, אך כיום גם לקוחות פרטיים נהנים משירותים אלו.
חברות הסלולר, לדוגמה, מציעות שירות מספר טלפון וירטואלי.
לדוגמה, אפשר לשייך מספר טלפון נוסף לקו הסלולרי ולפרסם אותו במודעה למכירת הרכב; לאחר שהרכב נמכר, ניתן לבטל את מספר הווירטואלי וכך לא נחשף מספר הטלפון האישי.
בעידן האינטרנט והגלובליזציה עלה הצורך לשירותי מספר וירטואלי גם מחוץ לגבולות המדינה.
לדוגמה, חברת אשראי רוצה לספק שירות טוב יותר ללקוחותיה ורוצה לפרסם מספרי טלפון להתקשרות אל שירות הלקוחות במדינות רבות, אך אין לחברה סניפים או עובדים באותן מדינות.
הפתרון הוא שירות מספר וירטואלי בכל אחת מאותן המדינות, המפנה את השיחה באמצעות רשת האינטרנט בטכנולוגיית VOIP למרכזייה של החברה.
ניתן למצוא היום ספקי שירות שמציעים שירותי מספרים וירטואליים במדינות רבות בעלות חודשית נמוכה.
מספר טרסקי של חבורה הוא מדד מספרי למרחק של החבורה מתכונת האמנביליות, המכמת ומכליל את פרדוקס בנך-טרסקי.
מספר טרסקי מוגדר כמספר הקטן ביותר של חלקים בפירוק פרדוקסלי של החבורה .
לחבורה סופית, ובאופן כללי יותר לחבורה קומפקטית, אין פירוקים פרדוקסליים.
על-פי משפט טרסקי, לחבורה קיימת חלוקה פרדוקסלית אם ורק אם אינה אמנבילית; לכן מספר טרסקי הוא סופי אם ורק אם החבורה אינה אמנבלית.
פירוק של G לקבוצות זרות נקרא פירוק פרדוקסלי אם יש איברים כך ש
אם ל- קיים פירוק פרדוקסלי, מספר טרסקי של , המסומן , מוגדר להיות המספר המינימלי של חלקים בחלוקה פרדוקסלית שלה.
אם אין פירוק כזה, מספר טרסקי של מוגדר להיות אינסוף.
קיימת בספרות הגדרה נוספת של פירוק פרדוקסלי של חבורה.
בהגדרה זו, מתווספת הדרישה ש יהוו חלוקה של והדרישה שהאיחודים ו- יהיו איחודים זרים.
השוני בהגדרה לא משפיע על הערך המספרי של מספר טרסקי, המוגדר בשני המקרים להיות המספר המינימלי של חלקים בפירוק פרדוקסלי של החבורה.
מכיוון שהזזה של תת-קבוצה אמיתית אינה יכולה לכסות את החבורה, בכל חלוקה פרדוקסלית מספרי החלקים מקיימים .
לכן, מספר טרסקי של חבורה הוא לכל הפחות ארבע.
ב-2013 הוכיח מרק ספיר כי קיימות חבורות בעלות מספרי טרסקי סופיים גדולים כרצוננו.
יתר על כן, לכל גדול מספיק, קיימת חבורה בעלת מספר טרסקי בין ל .
למרות זאת, המספרים היחידים המהווים בוודאות מספרי טרסקי של חבורות הם ו-.
תהי חבורה חופשית מדרגה 2. לכל אות , נגדיר את הקבוצה להיות קבוצת כל המילים המצומצמות ב־ הנגמרות ב־.
אזי, הן תת-קבוצות זרות של .
לכן, מספר טרסקי של הוא לכל היותר 4. לפי האמור לעיל, .
מכאן נתן להסיק (בעזרת תכונה 1 למטה) כי אם לחבורה יש תת-חבורה חופשית לא אבלית אז מספר טרסקי של הוא .
על פי משפט של ג'ונסון ודקר ההפך גם נכון: אם מספר טרסקי של חבורה הוא אז ל־ יש תת-חבורה חופשית לא אבלית.
השערת וון ניומן-דיי, שהופרכה ב־1980 על ידי אולשנסקי, טענה כי כל חבורה לא אמנבילית מכילה תת-חבורה חופשית לא אבלית.
במונחים של מספרי טרסקי, ההשערה טענה כי לא קיימות חבורות לא אמנביליות בעלות מספר טרסקי .
לכן, חבורות לא אמנביליות בעלות מספרי טרסקי גדולים יכולות להיחשב דוגמאות נגדיות חזקות להשערה.
אם היא תת-חבורה או תמונה הומומורפית של , אז .
אם היא תת-חבורה מאינדקס סופי.
אם היא תת-חבורה נורמלית אמנבילית אז .
אם חבורה מפותלת, אז .
באופן כללי יותר, אם כל תת-חבורה נוצרת- של היא סופית, אז .
אם כל תת-חבורה נוצרת- של היא אמנבילית, אז .
הכללה: פעולה של חבורה על קבוצה
ניתן להכליל את ההגדרות של חלוקה פרדוקסלית ומספר טרסקי למקרה של פעולת חבורה על קבוצה.
הגדרה: תהי פעולה של חבורה על קבוצה.
נגיד כי ל קיימת חלוקה פרדוקסלית אם קיימים טבעיים, תתי קבוצות זרות ואיברים כך ש-.
מספר טרסקי של הפעולה, המסומן , הוא המספר המינימלי של חלקים המשתתפים בחלוקה פרדוקסלית שלה.
כך, מספר טרסקי של חבורה , הוא למעשה מספר טרסקי של הפעולה של על עצמה באמצעות כפל מימין.
אם והמייצב של כל הוא אמנבילי, אז .
בשנת 2014, הוכיחה גילי גולן שכל מספר הוא מספר טרסקי של פעולה טרנזיטיבית נאמנה של חבורה חופשית לא אבלית.
מספר וֶבֶּר (Weber number) הוא גודל חסר ממד במכניקת הזורמים החיוני עבור זורמים נוזליים ובמיוחד עבור ממשק בין שני נוזלים שונים, ועבור כמה זורמים שבהם שטח הפנים מעוקל.
המספר קרוי על שם .
ניתן לחשוב על מספר ובר כעל מדד לחשיבות אינרציית הנוזל בהשוואה עם מתח הפנים.
הכמות חיונית לניתוח סרט זורם דק ומבנה טיפות ובועות.
מספר ובר נרשם בצורה הבאה:
אורך אופייני, בדרך כלל בקוטר אגל (m).
שווה ליחס בין האנרגיה הקינטית לאנרגיית פני השטח,
אחד השימושים למספר וובר הוא בחקר צינורות חום.
כאשר שטף המומנטום בליבת האדים של צינורות חום גבוה, קיימת אפשרות שמאמץ הגזירה המופעל על הנוזל בפתיל יכול להיות גדול מספיק כדי לעלות לרכבת הטיפות בזרם האדים.
מספר ובר הוא הפרמטר החסר ממדים שמגדיר לנו את תחילת התופעה (שם התופעה) (מספר ובר גדול או שווה 1).
במקרה הזה מספר ובר מוגדר כיחס המומנטום בשכבת האדים מחולק בכוח מתח הפנים שמרסן הנוזל, כאשר הגודל האופייני בו הוא גודל נקבובית המשטח.
בתורת המספרים, מספר טבעי ייקרא מספר כמעט ראשוני אם יש קבוע K גדול מ-1 כך שלמספר יש לכל היותר K גורמים ראשוניים.
מספר כמעט ראשוני n יסומן Pr אם ורק אם מספר הגורמים הראשוניים של n, כאשר הם נספרים בהתאם לריבוי שלהם, הוא לכל היותר r.
מספר טבעי ייקרא מספר k - כמעט ראשוני אם יש לו בדיוק k גורמים ראשוניים, כאשר הם נספרים בהתאם לריבוי שלהם.
באופן יותר פורמלי, מספר טבעי n הוא מספר k - כמעט ראשוני אם ורק אם Ω(n) = k כאשר (Ω(n הוא המספר הכולל של גורמים בפירוק לגורמים ראשוניים:
על כן מספר טבעי הוא מספר ראשוני אם ורק אם הוא מספר 1-כמעט ראשוני, וחצי-ראשוני אם ורק אם הוא מספר 2-כמעט ראשוני.
אוסף כל המספרים ה-k-כמעט ראשוניים מסומן בדרך כלל Pk.
המספר ה-k כמעט ראשוני הקטן ביותר הוא 2k.
המספרים ה-k כמעט ראשוניים הראשונים הם:
המספר (πk(n של מספרים טבעיים הקטנים או שווים ל-n שלהם לכל היותר k מחלקים ראשוניים (לא בהכרח זרים) הוא אסימפטוטי ל-:
תוצאה ששוערה לראשונה על ידי גאוס ב-1797 והוכחה לראשונה על ידי אדמונד לנדאו ב-1901.
מספר זומרפלד (מסומן באות S) הוא גודל חסר ממד שנעשה בו שימוש באנליזה של סיכה הידרודינמית כחלק מתכנון מסבים הידרודינמיים.
גודל זה הוא חשוב מאוד באנליזת סיכה, שכן הוא מכיל את כל המשתנים הנדרשים בדרך כלל על ידי המתכנן.
המספר קרוי על שמו של ארנולד זומרפלד.
מספר זומרפלד נתון על ידי המשוואה הבאה:
S הוא מספר זומרפלד, או מספר המסב האופייני
הוא הצמיגות המוחלטת של נוזל הסיכה
N הוא מהירות הסיבוב של הגל ביחידות סיבובים לשנייה
P הוא העומס ליחידת שטח המסב המוטל
הצד הימני של המשוואה, לפי הצורה הנ"ל, מוכר גם כמספר הרסי.
ניתן אפוא להגדיר את מספר זומרפלד בצורה אלטרנטיבית, בהתבסס על מהירות זוויתית:
היא המהירות הזוויתית של הגל ביחידות rad/s
מספר חשבון ביטוח אישי הוא מספר שמונפק ומשמש את קרן הפנסיה של הפדרציה הרוסית לתושבי רוסיה לצורך מעקב אחר חשבונות הביטוח שלהם.
המספר שהיה בעבר מונפק על גבי כרטיס פלסטיק ירוק, אך מאז 4 באפריל 2019 הושעתה הנפקת כרטיסים וכיום המספר מונפק בצורה אלקטרונית בלבד, בעוד שהכרטיסים שהונפקו לפני מועד זה עדיין תקפים.
מי שמחפש לקבל עבודה חוקית בפדרציה הרוסית או להגיש בקשה להטבות חייב להחזיק במספר שכזה.
המספר משמש באופן אוניברסלי כמספר אישי ראשוני למתן שירותים מהממשלה.
כל מי שמתגורר ברוסיה באופן קבוע רשאי להגיש בקשה למספר.
ניתן להגיש בקשה גם בשם ילד שאך נולד.
המספר נדרש לקרן הפנסיה של הפדרציה הרוסית לארגן מידע אישי אודות עובד והסכומים שתרם מעביד לחשבון הפרישה האישי של העובד בגין פנסיה עתידית.
המספר הוא ייחודי לכל אדם.
החשבון האישי של האדם מכיל את כל הנתונים על דמי הביטוח שנצברו ושולמו על ידי מעסיקים במהלך כל עבודתו הפעילה.
לאחר מכן נלקח בחשבון כאשר נקבעים או מתאימים לראשונה את הטבות הפנסיה עבורו.
מספר ביטוח מוקצה באופן אוטומטי כדי לפשט ולזרז את התהליך לקביעת גמלת פרישה מביטוח.
פורמט המספר הוא "123-456-789-12" כאשר תשע הספרות הראשונות יכולים להיות כל ספרה והשניים האחרונים הם סיכום ביקורת.
מאז ינואר 2012 המספר יכול להיות מוענק גם לאזרחים זרים המתגוררים ברוסיה באופן זמני ועובדים במדינה אך רק אם הם עובדים מעבר לשלושה חודשים.
מספר ליילנד בתורת המספרים הוא מספר מהצורה: כאשר x ו-y הם שלמים גדולים מ-1.
מספרים אלו קרויים על שמו של המתמטיקאי הבריטי פול ליילנד.
מספרי ליילנד הראשונים הם: ().
הדרישה ששני המספרים יהיו גדולים מ-1 חשובה, מכיוון שבלעדיה כל שלם חיובי יהיה מספר ליילנד מהצורה .
בנוסף, עקב עקרון הקומוטטיביות של החיבור, התנאי x ≥ y מוסף בדרך כלל כדי להימנע מכפילות בקבוצת מספרי ליילנד (כך שמתקבל התנאי: 1 < y ≤ x).
ליילנד ראשוניים (Leyland primes) הם מספרי ליילנד שהם גם ראשוניים.
בתחילת 2011 הוא היה המספר הראשוני הגדול ביותר שהוכח שהוא ראשוני על ידי הוכחת ראשוניות בעזרת עקומות אליפטיות.
ישנם מספרים רבים גדולים יותר אשר נחשבים "כנראה ראשוניים" , כגון 3147389 + 9314738, אולם קשה להוכיח מתמטית את ראשוניותם של מספרי ליילנד גדולים.
פול ליילנד כתב באתרו: "לאחרונה התברר כי מספרים אלו הם אבן בוחן אידיאלית עבור תוכניות להוכחת ראשוניות.
יש להם מבנה אלגברי פשוט אולם אין להם תכונות ציקלוטומיות (cyclotomic) מיוחדות הניתנות לניצול".
ישנו פרויקט בשם XYYXF שמטרתו למצוא רכיבי ליילנד של מספר ליילנד נתון.
מספר ליילנד מהסוג השני הוא מהצורה:, כאשר x ו-y הם שלמים גדולים מ-1.
גם עבור הסוג השני ישנה חשיבות למספרים הראשוניים.
מספר טרנספיניטי או מספר על־סופי הוא מספר הגדול מאשר כל מספר סופי.
המספרים הטרנספיניטיים כוללים מספרים מונים (קרדינלים), המשמשים לציון הגודל של קבוצה אינסופית, ומספרים סודרים (אורדינלים), המשמשים לציון סדר בקבוצות אינסופיות.
את המושג "טרנספיניטי" טבע המתמטיקאי גאורג קנטור בשנת 1895, כשרצה להימנע מכמה מההשלכות של המילה "אינסופי" בקשר עם אובייקטים אלה, שבכל אופן לא היו סופיים.
מעטים מהכותבים בני זמננו חולקים חששות אלה; כיום מקובל להתייחס לקרדינלים טרנספיניטיים ולאורדינלים כאל מספרים אינסופיים.
אף על פי כן, גם המונח "טרנספיניטי" נשאר בשימוש.
עבודה בולטת על מספרים טרנספיניטיים נעשתה על ידי המתמטיקאי הפולני ואצלב שרפינסקי, בספרו משנת 1928 "Leçons sur les nombres transfinis", שמהדורה מורחבת שלו, בשם "Cardinal and Ordinal Numbers" יצאה לאור ב־1958 ובמהדורה שנייה ב־1965.
כל מספר טבעי סופי יכול לשמש לפחות בשתי דרכים: כמספר מונה וכמספר סודר.
מספרים מונים מציינים את הגודל של קבוצות (למשל, "שקית של חמש גולות"), בעוד שמספרים סודורים מציינים את המיקום של איבר בתוך קבוצה מסודרת (למשל, "האיש השלישי משמאל").
מספר מונה טרנספיניטי משמש לתיאור גודל של קבוצה אינסופית, בעוד שמספר סודר טרנספיניטי משמש לתיאור המיקום בתוך קבוצה אינסופית מסודרת.
המספרים המונים והסודרים הנודעים ביותר הם, בהתאמה:
(אלף אפס): המספר המונה הטרנספיניטי הראשון.
זוהי גם העוצמה של קבוצת המספרים הטבעיים.
כאשר אקסיומת הבחירה מתקיימת, המספר המונה הבא הוא .
כאשר אינה מתקיימת, ייתכנו מספרים מונים אחרים שאינם ניתנים להשוואה ל־ וגדולים מ־.
כך או כך, אין מספרים מונים בין לבין .
(אומגה): המספר הסודר הטרנספיניטי הנמוך ביותר.
זהו גם טיפוס הסדר של המספרים הטבעיים לפי הסדר הליניארי הרגיל שלהם.
השערת הרצף היא הטענה שאין מספרים מונים בין לבין עוצמת הרצף (העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים): או לחלופין ש־ הוא הקרדינליות של קבוצת המספרים הממשיים.
בתורת הקבוצות של צרמלו–פרנקל לא ניתן להוכיח את השערת הרצף ולא את שלילתה.
כמה מחברים, כולל פטריק סופס וג'ין רובין , משתמשים במונח קרדינל טרנספיניטי כדי להתייחס לקרדינליות של קבוצה אינסופית לפי הגדרת דדקינד בהקשרים שבהם זה אולי שקול ל"קרדינל אינסופי"; כלומר, בהקשרים שבהם האקסיומה של בחירה בת־מנייה אינה משוערת או אינה ידועה כמתקיימת.
בהינתן הגדרה זו, כולם שווים:
כלומר, יש קבוצה שהיא אינסופית לפי הגדרת דדקינד כך שהקרדינליות של היא .
יש מספר מונה כך שמתקיים .
למרות שאורדינלים טרנספיניטיים וקרדינלים שניהם מכלילים רק את המספרים הטבעיים, מערכות מספרים אחרות, כולל המספרים ההיפר־ריאליים והמספרים הסוריאליסטיים, מספקות הכללות של המספרים הממשיים,
בתאוריה של המספרים הסודרים של קנטור, לכל מספר שלם חייב להיות עוקב.
המספר השלם הבא אחרי כל השלמים הרגילים, כלומר המספר השלם האינסופי הראשון, נקרא .
בהקשר הזה, גדול מ־ ו־, ו־ גדולים עוד יותר.
מציינים מספר סודר, וניתן לחשוב עליו כקבוצת כל המספרים השלמים עד למספר זה.
למספר נתון יש בדרך כלל ביטויים מרובים המייצגים אותו, עם זאת, יש צורה נורמלית ייחודית של קנטור המייצגת אותו, שהיה בבסיסה רצף סופי של ספרות שנותנים מקדמים של חזקות יורדות של .
עם זאת, לא כל המספרים השלמים האינסופיים יכולים להיות מיוצגים על ידי צורה נורמלית של קנטור, והראשון שלא ניתן לייצגו הוא הגבול המכונה .
הוא הפתרון הקטן ביותר למשוואה , והפתרונות הבאים נותנים אורדינלים גדולים יותר, ויכולים להימשך עד שמגיעים לגבול , שהוא הפתרון הראשון ל־.
זה אומר שכדי להיות מסוגל לציין את כל המספרים השלמים הטרנספיניטיים, צריך לחשוב על רצף אינסופי של שמות: כי אם נציין מספר שלם יחיד גדול ביותר, תמיד אפשר יהיה לציין את העוקב הגדול ממנו.
אבל כפי שציין קנטור, אפילו זה רק מאפשר להגיע למחלקה הנמוכה ביותר של מספרים טרנספיניטיים: אלה שגודל הקבוצות שלהם תואם למספר המונה .
בתורת הגרפים, מספר לובאס של גרף הוא מספר ממשי המהווה חסם עליון על קיבולת שאנון של הגרף.
הוא ידוע גם כפונקציית תטא של לובאס ומסומן בדרך כלל על ידי , תוך שימוש בצורת כתיב זו של האות היוונית תטא כדי להבדיל אותו מהתטא הגדולה המשמשת לקיבולת שאנון.
גודל זה הוצג לראשונה על ידי לסלו לובאס במאמרו משנת 1979.
ניתן לחשב קירובים מספריים מדויקים למספר זה בזמן פולינומי על ידי תכנות חיובי למחצה ושיטת האליפסואידים.
מספר לובאס של המשלים של כל גרף נמצא בין המספר הכרומטי של הגרף לגודל הקליק המקסימלי, וניתן להשתמש בו לחישוב מספרים אלה על גרפים בהם אלו שווים, כולל גרפים מושלמים.
קבוצה סדורה של וקטורי יחידה נקרא ייצוג אורתונורמלי של ב , אם ו אורתוגונליים בכל פעם שהצמתים ו אינם סמוכים ב : לכל גרף קיים ייצוג אורתונורמלי עם : ניתן לייצג את הצמתים על ידי וקטורי הבסיס הסטנדרטי של .
בהתאם למבנה הגרף, ייתכן שניתן יהיה לקחת קטן משמעותית ממספר הקודקודים .
מספר לובאס של גרף מוגדר כך: כאשר הוא וקטור יחידה ב-, ו- הוא ייצוג אורתונורמלי של ב .
המינימום נלקח באופן משתמע גם על פני הממד , אולם ללא הגבלת הכלליות די לשקול את המקרה בו .
באופן אינטואיטיבי, זה מתאים לבחירת המינימום של חצי-הזווית של חרוט המכיל את כל הווקטורים המייצגים ייצוג אורתונורמלי של .
אם הזווית האופטימלית היא , אז ו- מתאים לציר הסימטריה של החרוט.
תהי מטריצה שנבחרת מתוך מטריצות סימטריות בגודל , כך ש בְּכָל פַּעַם ש- או שהצמתים ו- אינם סמוכים, ויהי הערך העצמי הגדול ביותר של .
דרך חלופית לחישוב מספר לובאס של הוא כדלקמן:
השיטה הבאה היא דואלית לקודמתה.
טווח על פני הכל מטריצות סימטריות חיוביות למחצה כך ש- בכל פעם שהצמתים ו- שכנים, וכך שהעקבה (סכום הערכים האלכסוניים) של היא .
נגדיר את להיות מטריצה של אחדות בגודל .
אז נשים לב כי הוא פשוט סכום כל הערכים של .
ניתן לחשב את מספר לובאס גם במונחים של הגרף המשלים .
יהי להיות וקטור יחידה ו- ייצוג אורתונורמלי של .
מספר לובאס חושב עבור הגרפים הבאים:
גרָף מספר לובאס הגרף המלא הגרף הריק גרף המחומש מעגל כללי גרף פיטרסן גרפי קנזר גרפים מרובי חלקים מלאים
נגדיר את בתור גרף המכפלה החזקה של הגרפים ו-, אז:
אִם הוא המשלים של , אז: כאשר שוויון מתקיים אם הוא טרנזיטיבי בצמתים.
"משפט הסנדוויץ'" של לובאס קובע שמספר לובאס תמיד נמצא בין שני הגדלים הבאים, שהם NP-שלמים לחישוב: כאשר הוא גודל הקליק המקסימלי ו- הוא המספר הכרומטי של (מספר הצבעים הקטן ביותר הדרוש לצביעת קודקודי כך ששני קודקודים סמוכים לא יקבלו את אותו הצבע).
הערך של ניתן לנסח כתוכנית חיובית למחצה, ולקרב אותה באופן נומרי בשיטת האליפסואיד בזמן המוגבל על ידי פולינום במספר הקודקודים של G.
עבור גרפים מושלמים, המספר הכרומטי שווה לגודל הקליק המקסימלי, ולכן שניהם שווים ל-.
על ידי חישוב קירוב של ולאחר מכן עיגול לערך השלם הקרוב ביותר, ניתן לחשב את המספר הכרומטי ומספר הקליקות של גרפים אלה בזמן פולינומי.
קיבולת שאנון נוסחה לראשונה על ידי קלוד שאנון (1956) על מנת לנתח את היעילות המרבית של ערוץ תקשורת עם רעש, במקרה בו סמלים מסוימים עלולים להיקרא בצד השני של הערוץ בתור סמלים אחרים.
אנו מגדירים את גרף הבלבול של הערוץ להיות גרף בו יש צומת לכל סמל, וקשת בין סמלים שעלולים להיקרא אחד בתור השני בשל רעש בערוץ התקשורת.
קיבולת שאנון של הגרף מוגדרת כך: כאשר הוא גודל הקבוצה הבלתי תלויה המקסימלית של הגרף , ו- הוא גרף המכפלה החזקה של עם עצמו פעמים (המייצג שליחה של מחרוזת סמלים באורך דרך הערוץ).
ברור כי , ומצד שני מספר לובאס מספק גבול עליון על קיבולת שאנון של הגרף:
נניח כי גרף הבלבול של ערוץ תקשורת הוא , כלומר המחומש.
מאז המאמר המקורי של שאנון הייתה זו בעיה פתוחה לקבוע את הקיבולת .
באמצעות חישוב מספר לובאס, לאסלו לובאס מצא כי .
מספר לובאס הוכלל עבור "גרפים לא קומוטטיביים" בהקשר של תקשורת קוונטית.
מספר לובאס עולה גם בהקשר קוונטי בניסיון להסביר את כוחם של מחשבים קוונטיים.
במתמטיקה, מספר מרוכב הוא מספר מהצורה כאשר ו־ הם מספרים ממשיים, ו־ הוא השורש של הפולינום: , כך שמתקיים: .
המספרים המרוכבים יוצרים את שדה המספרים המרוכבים שמסומן בסימן .
כיוון שהריבוע של כל מספר ממשי הוא אי שלילי, למספרים השליליים אין שורש ריבועי.
המספרים המרוכבים מתקבלים על ידי "המצאת" מספר שאינו ממשי, , ושילובו במספרים הממשיים.
מספרים מרוכבים, כדוגמת , מתקבלים באמצעות הפעולות האריתמטיות הרגילות בין המספרים הממשיים לבין המספר ה"חדש".
שלא כמו במספרים הממשיים, מעל המספרים המרוכבים יש שורש לכל פולינום, לא רק למשוואה , שעל מנת למצוא לה פתרון הוגדר מלכתחילה, אלא גם למשוואות כמו או אפילו .
תכונה זו של שדה המספרים המרוכבים מנוסחת במשפט היסודי של האלגברה, והיא שהופכת את המספרים המרוכבים למרכזיים כל כך במתמטיקה המודרנית.
יצירתם של המספרים המרוכבים, בתחילת המאה ה־16, מיוחסת לג'ירולמו קרדאנו, שנעזר בהם כדי לפתור את המשוואה ממעלה שלישית.
באותה עת נחשבו מספרים כאלה ללא אמיתיים.
דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב".
הגדרה פורמלית של המספרים המרוכבים
כל מספר מרוכב ניתן להציג (באופן יחיד) כסכום , כך ש־ ו־ הם מספרים ממשיים ו־ הוא היחידה המדומה, המקיימת את התנאי .
בניסוח זה, נקרא החלק הממשי של המספר, ומסומן ; באופן דומה הוא החלק המדומה של , ומסמנים
מזהים כל מספר מרוכב עם הזוג הסדור (או, באופן שקול, עם נקודה במישור האוקלידי), ומגדירים פעולות חיבור וכפל מיוחדות על נקודות אלו.
כתוצאה מכך מתקבל שדה אלגברי.
(לפרטים נוספים על הבנייה ראו שדה המספרים המרוכבים ולהסבר כללי על שיטת הרחבה זו ראו הרחבת שדות).
ניתן לייצג מספרים מרוכבים בצורה גאומטרית על גבי מערכת צירים קרטזית במישור המרוכב.
בחירת השמות "מספר מדומה" מול "מספר ממשי" מקורה בחוסר האמון שניתן בתחילה למספרים המרוכבים ובתחושה שהם מציאותיים פחות מהמספרים הממשיים.
תחושה זו אינה שוללת את תקפותם כמספרים, ובתקופות שונות שרר חוסר אמון גם במספרים השליליים, ואחריהם במספרים הממשיים שאינם רציונליים.
ערך מוחלט: – הערך המוחלט מציין את "גודלו" של המספר המרוכב (מרחקו מן הראשית, כאשר מסתכלים על המספר כעל נקודה במישור המרוכב).
תכונה זו מאפשרת לבצע את פעולת החילוק בין שני מספרים מרוכבים באופן הבא (תחת ההנחה שהמכנה הוא מספר מרוכב שאינו אפס, מה שמבטיח באופן מיידי שגם הצמוד של המכנה הוא מספר מרוכב שאינו אפס): .
את פעולת החיסור בין שני מספרים מרוכבים ניתן להגדיר בקלות בדומה להגדרת פעולת החיבור: .
מספר מרוכב שאינו אפס ניתן להציג גם באמצעות המרחק שלו מהראשית והזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של הציר הממשי, כלומר עם ציר x (אם המספר הוא אפס, אז הזווית אינה נקבעת באופן יחיד: ניתן לקחת כל זווית שהיא).
הצגה זו נקראת הצגה קוטבית (או הצגה פולרית או הצגה טריגונומטרית).
על ידי שימוש בטריגונומטריה, ובסימון מקבלים .
כמו כן הוא בסיס הלוגריתם הטבעי, על כל התכונות האלגבריות המשתמעות מכך.
בחלק מהספרים מסומן לעיתים (כאשר ).
צורת הצגה זו שימושית ביותר.
למשל, בהינתן ההצגה הקוטבית של מספר מרוכב פעולות הכפל והחילוק הופכות נוחות ומהירות יותר, מאחר שניתן להיעזר בחוקי חזקות.
לדוגמה, בהינתן שני מספרים מרוכבים הנתונים בהצגתם הקוטבית נוכל לבצע את פעולת הכפל ביניהם באופן הבא: .
מפעולת הכפל בהצגה הפולרית ניתן לראות שכפל במספר מרוכב עם ערך מוחלט 1 וארגומנט , משמעה סיבוב המספר המרוכב הנכפל בזווית .
כמו כן, ניתן להשתמש בנוסחת דה־מואבר (לפיה ) על מנת למצוא שורש של מספר מרוכב .
יש בעיות רבות במתמטיקה ובפיזיקה שקל יותר לתאר ולפתור בעזרת מספרים מרוכבים, גם כאשר אין למספרים אלו זכר בניסוח הבעיה ואף לא בתוצאה הסופית שלה.
המספרים המרוכבים הומצאו במקור כדי לפתור משוואות פולינומיות, כגון משוואה ממעלה שלישית, או המשוואה .
מאוחר יותר התגלה, שלכל פולינום בעל מקדמים שהם מספרים מרוכבים יש שורש שהוא מספר מרוכב.
באמצעות משפט השארית אפשר לחשב אינטגרלים ממשיים, בייחוד אינטגרלים מוכללים (המכונים גם לא־אמיתיים או לא־נאותים) על כל הישר הממשי: מאפס (או מינוס אינסוף) עד אינסוף.
כמו כן, באמצעות ההצגה הקוטבית ניתן לפתור גם משוואות דיפרנציאליות.
פונקציית זטא של רימן, שהיא פונקציה מרוכבת, קשורה באופן מפתיע להתפלגות של מספרים ראשוניים .
בפיזיקה הקלאסית ניתן להשתמש בהצגה הקוטבית של מספרים מרוכבים בפתירת משוואות התנועה של מתנד הרמוני, שהן משוואות דיפרנציאליות.
כמו כן הרבה פעמים נוח לחישובים לייצג גלים בצורה מרוכבת (לרוב מתייחסים לחלק הממשי בלבד כגודל בעל משמעות פיזיקלית).
מספרים מרוכבים שימושיים במיוחד גם בתיאור גדלים מחזוריים, באופטיקה פיזיקלית, בתורת החשמל ובהנדסת אלקטרוניקה.
בתחומים אלה משתמשים בפאזורים (גדלים מרוכבים הכוללים משרעת ומופע).
בשני התחומים האחרונים נהוג לסמן את החלק המרוכב באות במקום באות , הואיל וזו כבר משמשת בהם לסימון זרם.
בעוד שבדוגמאות הקודמות השימוש הפיזיקלי במספרים מרוכבים היה רק לשם נוחות מתמטית, במכניקת הקוונטים המספרים המרוכבים הם חלק אינהרנטי והכרחי בתיאוריה.
מבחינה פורמלית, מאחר שמשוואת שרדינגר כוללת במפורש את i, בסיס המצבים של כל מערכת כלול במרחב הילברט מעל המספרים המרוכבים.
לכל פונקציית גל יש מופע מרוכב שלא משפיע על גודל המשרעת שלה אלא רק על "כיוון" הגל, ומאפשר לה להתאבך עם פונקציות גל אחרות.
אף על פי כן, ההסתברות למדידת גודל פיזיקלי מדיד מסוים היא תמיד ממשית ולא־שלילית.
בתורת הקבוצות, מספר סודר הוא טיפוס סדר של קבוצה סדורה היטב.
את רעיון המספרים הסודרים הגה לראשונה אבי תורת הקבוצות גאורג קנטור, במסגרת עבודתו על קבוצות נגזרות.
המוטיבציה להגדרת המספרים הסודרים מגיעה מהרצון להכליל את התכונות המועילות של המספרים הטבעיים.
למספרים הטבעיים שני תפקידים עיקריים:
במסגרת תורת הקבוצות מגדירים את המספרים המונים כהכללה של המספרים הטבעיים במובן הראשון, כך שניתן יהיה לייצג גם כמויות אינסופיות.
המספרים הסודרים מוגדרים במטרה להכליל את המובן השני, כך שניתן יהיה לדבר על איברים במקומות "אינסופיים" בסדרה.
המספרים הסודרים הראשונים הם המספרים הטבעיים (בתורת הקבוצות מקובל להחשיב את כמספר טבעי).
לאחריהם מגיע הסודר האינסופי הראשון, (אומגה).
מתאפיין בכך שהוא "הסודר הקטן ביותר שגדול מכל מספר טבעי".
למספרים הסודרים מספר הגדרות, להלן הנפוצה שבהם.
קבוצה נקראת סודר אם מתקיימים התנאים הבאים: היא קבוצה טרנזיטיבית.
יחס השייכות ל־ הוא סדר טוב על .
התכונה הראשונה שמופיעה מאפשרת הגדרת סדר בין סודרים: עבור סודרים .
כמו כן סדר זה בין סודרים הוא סדר טוב.
סודר ייקרא סודר עוקב, אם קיים סודר אחר כך שמתקיים , וסודר גבולי אחרת (לעיתים לא מתייחסים ל־0 כאל סודר גבולי מטעמי נוחות).סודר מונה (לעיתים נקרא "סודר פותח") הוא סודר שאינו שווה־עוצמה לאף סודר קטן יותר.
אקסיומת היסוד מבטיחה שאם היא קבוצה טרנזיטיבית ויחס השייכות ל־ הוא סדר קווי על , אז יחס זה הוא גם סדר טוב על .
סודר נקרא סודר סופי אם הוא או שהוא עוקב של סודר סופי.
בניית המספרים הטבעיים של ג'ון פון נוימן מתלכדת עם המספרים הסודרים הסופיים:
הסודרים הסופיים הם סודרים עוקבים וסודרים מונים.
לפי אקסיומת הקבוצה האינסופית קיימת קבוצת כל הסודרים הסופיים.קבוצה זו: , היא הסודר האינסופי הקטן ביותר.
ניתן להמשיך ולהגדיר סודרים נוספים בעזרת פעולת העוקב ובעזרת איחוד הסודרים הקודמים.
כל איבר של סודר הוא סודר בעצמו;
אם סודר, אז גם סודר;
אם היא קבוצה של סודרים, אז הוא סודר;
אם היא קבוצה (או מחלקה) של סודרים, אז הוא סודר.
סודר זה הוא המינימום ב־;
עבור שני סודרים שונים, מתקיים בדיוק אחד מהבאים: או ;
קבוצת הסודרים הסופיים מהווים מודל לתורה של אקסיומות פאנו.
תכונה מעניינת נוספת שמתקבלת היא הפרדוקס של בּוּרָלִי–פוֹרְטִי, ששולל את קיום "קבוצת כל המספרים הסודרים".
משום כך, לא ניתן לדבר בתורת הקבוצות על "קבוצת כל המספרים הסודרים", כשם שבגלל הפרדוקס של ראסל לא ניתן לדבר על "קבוצת כל הקבוצות".
בלשון תורת הקבוצות, נאמר כי אוסף כל הסודרים הוא מחלקה ולא קבוצה.
לכל קבוצה ויחס סדר שלה , אם הסדר הוא סדר טוב קיים סודר יחיד כך ש־, כאשר הסימון מציין שקיים איזומורפיזם ביניהם (פונקציה חד־חד־ערכית ועל, ששומרת את הסדר בין האיברים).
נקרא טיפוס הסדר של ומסומן .
נציין כי ניתן להגדיר מספר סדרים טובים על אותה קבוצה לפי יחס סדר שונה.
מהתכונה הנ"ל ניתן להסיק תכונה מעניינת נוספת: תהי קבוצה שניתנת לסידור טוב (כלומר, שניתן להגדיר עליה סדר טוב אחד או יותר).
נסתכל על קבוצת הסודרים שאיזומורפיים לה: .
הקבוצה היא קבוצה של סודרים.
כפי שאמרנו, חיתוך של קבוצת סודרים הוא סודר, ולכן סודר.כעת נוכל להגדיר את העוצמה של הקבוצה כסודר המינימלי שאיזומורפי לה, קרי: .ניתן להראות שסודר מסוג זה הוא תמיד סודר מונה.
אחת המטרות של הגדרת הסודרים היא לתת ביסוס פורמלי למושג העוצמה, ואכן ניתן להשיג מטרה זו בהנחת אקסיומת הבחירה.
במערכת האקסיומות של צרמלו–פרנקל, אקסיומת הבחירה שקולה למשפט הסדר הטוב, ולכן כל קבוצה ניתנת לסידור טוב, ומכאן הגדרת העוצמה שהוצגה קודם מוגדרת היטב עבור כל קבוצה.
נוכל להגדיר את המספרים המונים בתור הסודרים המונים.
באופן זה נזהה כל מונה כסודר המונה שעוצמתו היא המונה הנ"ל, למשל את (אָלֶף אֶפֶס) נזהה עם .
תחת הגדרה זו ישנה טריכוטומיה בין עוצמות של קבוצות; כלומר, עבור שתי קבוצות שונות זו מזו, מתקיים בדיוק אחד מהבאים: או (לא ניתן להוכיח זאת ללא אקסיומת הבחירה).
כפי שניתן להגדיר פעולות על מספרים מונים, ניתן גם להגדיר פעולות על מספרים סודרים.
פעולות על סודרים אינן בהכרח מתלכדות עם פעולות על מונים.
למשל, מזוהה עם , אולם לפי ההגדרה מטה , בעוד שלפי משפט קנטור .
ניתן להגדיר חיבור סודרים במספר דרכים; נציג שתיים מתוכן:
הגדרה זו היא הגדרה אינדוקטיבית.
, עבור חיבור עם ;
, עבור חיבור סודר עוקב ;
, עבור חיבור סודר גבולי .
נגדיר את באופן הבא: נסתכל על יחד עם יחס הסדר בו איברי שומרים על סדרם הפנימי, איברי שומרים על סדרם הפנימי ואיברי קטנים מאיברי .
ניתן להראות, כי יחס סדר זה הוא יחס סדר טוב.
כעת ניתן להגדיר את החיבור כטיפוס הסדר של האיחוד הנ"ל, תחת יחס הסדר המדובר: .
ניתן להראות, כי שתי ההגדרות שהוצגו שקולות זו לזו.
באופן דומה, ניתן להגדיר כפל סודרים במספר דרכים; נציג שתיים מתוכן:
הגדרה זו היא הגדרה אינדוקטיבית, בדומה להגדרת החיבור.
, עבור כפל בסודר עוקב ;
, עבור כפל בסודר גבולי .
באופן דומה להגדרת החיבור השנייה, נגדיר כאשר יחס הסדר הוא יחס הסדר הלקסיקוגרפי.
באופן דומה, ניתן להגדיר העלאה בחזקת סודרים במספר דרכים; נציג את אחת הדרכים.
בדרך זו נגדיר חזקה באופן אינדוקטיבי.
, עבור העלאה בחזקת ;
, עבור העלאה בחזקת סודר עוקב ;
, עבור העלאה בחזקת סודר גבולי .
מספר משוכלל או מספר מושלם הוא מספר טבעי השווה לסכום כל המחלקים הטבעיים שלו מלבד המספר עצמו.
עיקר העניין במספרים משוכללים היה בימי הביניים, מסיבות נומרולוגיות.
היום הם משמשים אבן בוחן ליכולת החישוב בבדיקת ראשוניותם של ראשוניים גדולים.
ארבעת המספרים המשוכללים הראשונים היו ידועים כבר ליוונים הקדמונים.
אוקלידס היה הראשון שהבחין שכל המספרים האלה תואמים לתבנית , כאשר הוא מספר ראשוני (ההוכחה לכך שכל מספר מצורה זו הוא משוכלל מובאת בהמשך).
רק בשנת 1356 התגלה המספר המשוכלל החמישי, 33,550,336, שגם הוא תואם לנוסחה של אוקלידס (עם n=13).
כדי ש־ יהיה ראשוני, נדרש שגם עצמו יהיה ראשוני.
מספרים ראשוניים מן הצורה הזו נקראים מספרי מרסן ראשוניים, על שמו של המתמטיקאי הצרפתי מרן מרסן (Marin Mersenne), שהודיע – בטעות – על מציאת מספרים משוכללים חדשים בשנת 1644.
לאונרד אוילר הראה שכל מספר משוכלל זוגי מתאים לתבנית שמצא אוקלידס.
השאלה האם קיימים אינסוף מספרים משוכללים זוגיים, או לחלופין האם קיימים אינסוף מספרי מרסן ראשוניים, עודנה פתוחה.
בשנת 1952 החלו להיעזר במחשבים לשם מציאת מספרים משוכללים ובאותה שנה כבר נודעו 17 מספרים שכאלה.
מאז ממשיך החיפוש ביתר שאת בעזרת מחשבי-על ובעזרת חישוב מבוזר קהילתי, ונכון ל-2023 ידועים 51 מספרים משוכללים.
החיפוש הוא אחר ראשוניי-מרסן, שמהם נוצרים מספרים משוכללים זוגיים בלבד, ולכן אין בו כדי לסייע בתשובה לשאלת הקיום של מספרים משוכללים אי-זוגיים.
מספר משוכלל הוא מספר המקיים את המשוואה כאשר היא פונקציית סכום המחלקים.
מספרים שעבורם נקראים מספרים חסרים, ואלו שעבורם נקראים מספרים שופעים.
הראשון מחכמי ישראל שמזכיר מספרים משוכללים, הוא הפילוסוף היהודי פילון האלכסנדרוני שכתב, בהתבסס על פילוסופיה יוונית, על מספרים וחשיבותם בסיפור בריאת העולם.
לדעתו המספרים המשוכללים הם ביטוי לשלמות, ומשום כך נברא העולם בשישה ימים.
גם רבי אברהם אבן עזרא הזכיר מספרים אלה בפירושו לתורה (), הוא מכנה אותם "מספרים שווים".
מספרים משוכללים רבים הם מהצורה עבור כך ש- הוא מספר מרסן ראשוני.
להלן הוכחה לכך שכל המספרים מהצורה הזו הם אכן משוכללים:
נתון שהמספר ראשוני, שנסמן מעתה באות .
עלינו להוכיח שהמספר הוא מספר משוכלל.
ראשית נמצא את כל מחלקיו של המספר (מלבד המספר עצמו):
כעת נראה כי סכום איברים אלה שווה למספר עצמו.
ומאחר שסכום כל חזקות ה-2 עד כלשהו שווה ל: (מכיוון שזהו סכום של סדרה הנדסית), ניתן לכתוב סכום זה כך:
וזהו בדיוק המספר המקורי, ובכך הושלמה ההוכחה.
בערך 2000 שנה אחרי אוקלידס עשה המתמטיקאי לאונרד אוילר צעד משמעותי, כאשר הוכיח שכל מספר משוכלל זוגי הוא בהכרח מן הצורה המתוארת לעיל.
נניח ש- הוא מספר משוכלל זוגי.
ניתן לרשום את בצורה כאשר ו- הוא מספר אי זוגי שבפרט זר ל-.
נרצה לחשב את , כאשר היא פונקציית סכום המחלקים.
מכיוון ש- היא פונקציה כפלית על מספרים זרים, מתקיים:
, אבל באותו הזמן משוכלל, ולכן
מצירוף השוויונות מתקבל , ומכאן ש- מחלק את ; אבל ו- זרים, ולכן מחלק את , ונכתוב .
אם נציב הצגה זו של במשוואה האחרונה ונצמצם, נקבל: .
בין המחלקים של אפשר למנות לפחות את ואת עצמו (השונים זה מזה), ולכן .
מכאן שאי-השוויון החלש הוא למעשה שוויון, ולכן ו- הם המחלקים היחידים של ; אבל 1 מחלק את , ולכן .
הוכחנו כי , וכי הוא ראשוני.
באשר למספרים משוכללים אי-זוגיים, לא ידוע האם קיים ולו אחד כזה.
שאלת קיומם היא כנראה הבעיה המתמטית הפתוחה העתיקה ביותר שטרם הוכרעה, והיא רמוזה ביסודות שכתב המתמטיקאי אוקלידס בראשית המאה השלישית לפנה"ס.
כן ידוע שלמספר משוכלל אי-זוגי (אם קיים) יש לפחות 1,500 ספרות עשרוניות, לפחות 101 גורמים ראשוניים (כולל כפילויות - גורמים ראשוניים החוזרים כמה פעמים) ולפחות 10 גורמים ראשוניים שונים זה מזה, גורם ראשוני הגדול ביותר, גדול מ-100,000,000, גורם שהוא חזקת ראשוני הגדול מ- (ב.י.
Hagis Jr., 1980), גורם ראשוני שלישי בגודלו, הגדול מ-100, ומספר מחלקים אי זוגי .
אייסטיין אור חקר את היחס בין מספר המחלקים של n לבין סכום ההפכיים של המחלקים; אם n משוכלל, אז היחס הזה שלם.
אור שיער שאם n אי-זוגי היחס אינו שלם (חוץ מהמספר 1) (זו הכללה של ההשערה המפורסמת על אי קיומו של משוכלל אי-זוגי).
במתמטיקה, מספר ממשי הוא כל מספר רציונלי או אי רציונלי במערכת המספרים, כגון או .
בעזרת מספרים ממשיים ניתן למדוד גדלים רציפים, כגון טמפרטורה, מרחק, וכו'.
ניתן לראות את המספרים הממשיים החיוביים כאורכים של קטעים על ישר אינסופי (הקרוי, לפיכך, הישר הממשי).
לכל מספר חיובי מתאים גם מספר שלילי באותו גודל, המודד את אותו קטע בכיוון ההפוך.
קיימת התאמה בין הישר הממשי למספרים הממשיים, כך שכל מספר ממשי מייצג נקודה אחת ויחידה על הישר הממשי וכל נקודה על הישר הממשי מייצגת מספר ממשי אחד ויחיד.
על המספרים הממשיים ניתן להגדיר פעולות חיבור וכפל שהופכות אותם למבנה אלגברי הקרוי שדה.
שדה זה נקרא שדה המספרים הממשיים ומסומן על ידי .
בנוסף, מוגדר על הממשיים יחס סדר טבעי לפי מיקומם על הישר הממשי.
שתי תכונות אלו יחדיו הופכות את קבוצת המספרים הממשיים לשדה סדור שלם.
בעזרתם של המספרים הממשיים מוגדרים מושגים יסודיים במתמטיקה בכלל ובחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי בפרט, כגון: גבול, רציפות, אינטגרל, חסם עליון ונגזרת.
התפיסה לפיה קיימות נקודות רבות בין מספרים רציונליים, כמו השורש הריבועי של 2, הייתה מוכרת היטב ליוונים הקדמונים.
קיומו של ישר מספרים רציף נחשב מובן מאליו, אך טבעה של המשכיות זו, הנקראת כיום שלמות, לא הובן.
המתודולוגיה הריגורוזית שפותחה עבור הגאומטריה לא עברה למושג המספרים עד למאה ה-19.
עבור מתמטיקאים יוונים, מספרים היו רק המספרים הטבעיים.
מספרים ממשיים נקראו "פרופורציות", שהם היחסים של שני אורכים, כלומר, מידות של אורך במונחים של אורך אחר, הנקרא יחידת אורך.
שני אורכים הם "ניתנים להשוואה", אם יש יחידה שבה שניהם נמדדים במספרים שלמים, כלומר, בטרמינולוגיה המודרנית, אם היחס שלהם הוא מספר רציונלי.
אאודוקסוס מקנידוס (בערך 390-340 לפנה"ס) סיפק הגדרה לשוויון של שתי פרופורציות אי-רציונליות באופן הדומה לחתכי דדקינד (שהוכנסו יותר מ-2,000 שנים מאוחר יותר).
ניתן לראות זאת כהגדרה הראשונה של המספרים הממשיים.
ימי הביניים הביאו את קבלתם של אפס, מספרים שליליים, מספרים שלמים ושברים, תחילה על ידי מתמטיקאים הודים וסינים, ולאחר מכן על ידי מתמטיקאים ערבים, שהיו גם הראשונים להתייחס למספרים אי-רציונליים כעצמים אלגבריים (האחרונים התאפשרו על ידי התפתחות האלגברה).
השם "מספר ממשי" ניתן למספרים אלה במאה ה-17 על ידי דקרט, שעשה זאת כדי להבחין בין שורשים ממשיים לבין שורשים מדומים של פולינום.
בפיתוחו של החשבון האינפיניטסימלי במאה ה-18 נעשה שימוש נרחב במספרים ממשיים, אף על פי שלא הייתה עדיין הגדרה נאותה שלהם.
התיאורים הבלתי פורמליים לעיל של המספרים הממשיים אינם מספיקים כדי להבטיח את נכונותן של הוכחות למשפטים הכוללים מספרים ממשיים.
ההבנה שדרושה הגדרה טובה יותר, והפיתוח של הגדרה כזו היו התפתחות מרכזית של המתמטיקה של המאה ה-19. ב-1872 פרסם גאורג קנטור מאמר שבו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של ריכרד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות חתכי דדקינד פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה.
לאחר שקובעים את אורכה של יחידה המידה היסודית, האורך של מספר יחידות כאלה נקרא מספר שלם.
מספר ממשי שאפשר לבטא כיחס בין שני מספרים שלמים נקרא מספר רציונלי, אך רוב המספרים הממשיים אינם כאלה.
עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים היא עוצמת הרצף שאיננה בת מנייה (כפי שהוכח באמצעות האלכסון של קנטור), ואילו אוסף המספרים הרציונליים הוא בן-מנייה.
המספרים הממשיים שאינם רציונליים, כגון שורש 2, או e, נקראים אי-רציונליים.
את קבוצת המספרים האי-רציונליים אפשר לחלק לשתי תת-קבוצות:
קבוצת המספרים האלגבריים: מספרים המהווים שורש של פולינום בעל מקדמים רציונליים (או שלמים, אין הבדל).
קבוצת המספרים טרנסצנדנטיים: מספרים שאינם מספרים אלגבריים.
זו קבוצה שאינה בת מנייה ועוצמתה היא עוצמת הרצף.
קיומם של מספרים טרנסצנדנטיים הוכח לראשונה בשנת 1844 על ידי המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ליוביל והתוצאה קרויה על שמו משפט ליוביל.
לכל מספר ממשי אי-שלילי יש שורש ריבועי ממשי, ולכל מספר ממשי שלילי אין שורש ריבועי ממשי.
למספרים שליליים יש שורש מדומה.
למעשה, השורשים באים בזוגות: אם אז שניהם שורשים ממשיים של ואם אז שניהם שורשים מדומים של .
באופן כללי, הפתרון של משוואה ריבועית הוא שני מספרים מרוכבים (כולל ריבוי).
כל מספר ממשי הוא גם מספר מרוכב.
כל מספר ממשי אפשר להציג כשבר עשרוני, בעל מספר סופי או אינסופי של ספרות מימין לנקודה.
מספרים שהם שברים עשרוניים סופיים ניתנים להצגה כשברים אינסופיים בשתי דרכים:
הוספת כמות אינסופית של אפסים אחרי הספרה העשרונית האחרונה.
למספרים האי-רציונליים הייצוג כשבר עשרוני אינו מחזורי.
למשל, הוא מספר טרנסצנדנטי, והייצוג העשרוני שלו אינו מחזורי.
חמישים הספרות הראשונות הן .
לצרכים מעשיים ניתן להסתפק בדיוק נמוך יותר, ומקובל להסתפק בקירובים 3.14 או 3.14159.
בטופולוגיה, קבוצת המספרים הממשיים יוצרת מרחב מטרי, שבו המרחק בין ל- מוגדר כערך המוחלט .
בדרך זו התאמתם של המספרים הממשיים לנקודות על הישר הממשי מאפשרת לבטא את אורכו של כל קטע במישור.
על פי תכונת ארכימדס, לכל מספר ממשי קיים מספר טבעי שגדול ממנו.
נובע מכאן שהמרחב המטרי של המספרים הממשיים הוא מרחב ספרבילי, משום שקבוצת המספרים הרציונליים, שהיא בת מנייה, היא קבוצה צפופה (שכן כל קטע פתוח מכיל מספר רציונלי).
הארכימדיות מאפשרת להגדיר את הערך השלם של , בתור המקסימום של .
באריתמטיקה, המספר הנגדי למספר הוא מספר, שכאשר מוסיפים אותו בפעולת חיבור למספר מתקבל המספר 0. המספר הנגדי של מספר מסומן ומתקיים .
לכל מספר מרוכב (ולכן גם לכל מספר שלם, או מספר ממשי) קיים מספר נגדי.
עבור מספרים שלמים או ממשיים או מרוכבים, המספר הנגדי של מספר מקיים את השוויון .
למעשה שוויון זה מתקיים בכל מבנה אלגברי בו מוגדרות פעולות חיבור וכפל, מתקיים חוק הפילוג של הכפל מעל החיבור, ולכל מספר קיים מספר נגדי.
לדוגמה, המספר הנגדי של המספר הוא המספר השלילי .
המספר הנגדי של הוא .
קיים דמיון בין מושג זה לבין המושג מספר הופכי.
שניהם מקרים פרטיים של איבר הופכי.
כמה תכונות של מספרים נגדיים
התכונות הבאות מתייחסות למספרים שלמים, ממשיים או מרוכבים.
לכל מספר קיים מספר נגדי אחד ויחיד.
הנגדי של כל מספר, מלבד אפס, שונה מהמספר.
הנגדי לנגדי של מספר הוא המספר עצמו.
על ציר המספרים, המרחק מ-0 למספר כלשהו שווה למרחקו מהמספר הנגדי (זהו ערכם המוחלט של מספרים אלו).
חזקה זוגית של מספר שווה לחזקה הזוגית של המספר הנגדי לו.
במתמטיקה, מספר מצולע, הוא מספר שלם המקיים את התכונה שאפשר לארגן נקודות כקודקודים של שרשרת מצולעים משוכללים בעלי קודקוד משותף.
הדוגמאות הפשוטות ביותר הן מספרים משולשיים, שהם מספרים מהצורה , ומספרים ריבועיים, מהצורה .
באופן כללי, מספרים שאפשר לסדר כקודקודים של שרשרת מצולעים בעלי k צלעות הם מהצורה: , כאשר הוא המספר המשולשי ה-n-1. נוסחה זו מוצדקת על ידי חלוקת המצולע למשולשים.
מתמטיקאים במאות ה-17 וה-18 עסקו במספרים מצולעים.
פרמה ניסח את משפט המספרים המצולעים אך לא פרסם הוכחה שלו.
ב- 1730 מצא אוילר את הנוסחה הכללית למספרים שהם גם משולשים וגם ריבועיים, באמצעות פתרון של משוואת פל מתאימה.
לדוגמה, המספר 10 הוא מספר משולשי, משום שאפשר לארגן אותו בצורת משולש משוכלל שבו יש סדרה של משולשים משוכללים בעלי 1, 2, 3, ו-4 נקודות על כל צלע:
את המספר 10 לא ניתן לתאר בצורת ריבוע; אבל את 9 אפשר.
בריבוע זה יש סדרה של ריבועים בעלי 1, 2, ו-3 נקודות על כל צלע, ולכן 9 הוא מספר ריבועי.
ישנם מספרים שאפשר לארגן גם בצורת משולש וגם בצורת ריבוע, למשל 36 :
השיטה להגדלת מצולע לגודל הבא הוא להוסיף לשתי צלעות סמוכות נקודה אחת ואז להוסיף את כל הנקודות הדרושות לצדדים בין שתי הנקודות האלה.
בדיאגרמה להלן, כל שכבה נוספת מוצגת בצבע אדום.
בין היתר ניתן למצוא את המספרים המשולשים בתור העמודה השנייה של משולש פסקל.
מצולעים עם מספר גדול יותר של צלעות, כמו מחומשים ומשושים, יכולים להיות מיוצגים גם כן בנקודות (עם המוסכמה ש-1 הוא מספר מצולע לכל מספר של צלעות).
מספר מאך הוא יחידת מידה חסרת ממד למדידת מהירות, המוגדרת כיחס בין המהירות הנמדדת ובין מהירות הקול בתווך הנתון.
משתמשים במספר מאך בעיקר לתיאור מהירותם של עצמים בנוזל או בגז (למשל מטוסים וטילים באוויר), או לתיאור מהירותם של נוזלים בתעלות וצינורות שונים, כמנהרות רוח.
מספר מאך נקרא על שמו של הפיזיקאי האוסטרי-צ'כי, ארנסט מאך.
vobject היא מהירות האובייקט ביחס לתווך
vsound היא מהירות הקול בתווך.
במכניקת זורמים תופעות עם מספר מאך נמוך מ-1 או גבוה מ-1 הן שונות מאוד באופיין, ולכן נוהגים לאפיין זרימה כתת-קולית או כעל-קולית בהתאמה, כחלוקה גסה, ולצרכים הנדסיים נהוגות תת-חלוקות מדויקות יותר.
מכיוון שמהירות הקול עולה עם עליית הטמפרטורה, מהירותו של עצם הנמדדת במאך, תהיה תלויה בטמפרטורת הסביבה.
בטמפרטורה של 15 מעלות צלזיוס בגובה פני הים, מהירות הקול באטמוספירה היא 343.3 מטר לשנייה (1,235 קילומטר לשעה, 761.2 מייל לשעה, 661.5 קשר או 1,116 רגל לשנייה).
עם זאת, 1 מאך אינו מספר הקבוע במהירות, ושינויי גובה, טמפרטורה ותנאים סביבתיים אחרים יכולים להשפיע על ערכו משמעותית.
זרימה סביב גופים במהירות גבוהה
זרימה (או טיסה) במהירות גבוהה ניתנת לחלוקה למספר קטגוריות:
תת-קולית (מספר מאך קטן מ-1)
קולית (מספר מאך שווה ל-1)
על-קולית (מספר מאך גדול מ-1)
שגא-קולית (מספר מאך גדול מ-5)
במהירויות עבר-קוליות (מספר מאך בין 0.8 ל-1.3), הזרימה סביב העצם כוללת אזורים בהם מתקיימת זרימה תת-קולית ואזורים אחרים בהם הזרימה על-קולית.
כאשר האזורים הראשונים מגיעים לזרימה במהירות על-קולית (בכנפי מטוס אלו בדרך כלל חלקי הכנף העליונים) נוצר גל הלם שבו מאט האוויר חזרה את מהירותו למהירות תת-קולית (במטוסים, מיד מאחורי שפת הזרימה של הכנף).
כאשר המהירות עולה, אזור הזרימה העל-קולית מתרחב והולך לעבר שפות ההתקפה והזרימה של הכנף.
עם ההגעה למהירות הקול ומעבר לה, גל ההלם מתלכד עם שפת הזרימה ונחלש, הזרימה סביב כל הכנף נותרת על-קולית, גל הלם נוצר לפני הכנף ואזור קטן של זרימה תת-קולית מתקיים לפני שפת ההתקפה.
זרימה סביב כנף במספר מאך קטן מ-1זרימה סביב כנף במספר מאך גדול מ-1
כאשר מטוס נע במהירות על-קולית, כלומר מהירות גבוהה ממאך 1, נוצר הפרש לחצים גדול לפני המטוס.
הפרש לחצים זה, הקרוי "גל הלם" מתפשט אחורה ולצדדים בצורת חרוט.
אדם שגל ההלם חוצה את מיקומו שומע רעש חזק מאוד הנקרא "בום על-קולי" וביכולתו אף לשבור זגוגיות של חלונות בבתים.
צורתו של חרוט זה מושפעת ממהירות המטוס, וככל שזו עולה, החרוט מחודד יותר.
במהירות מאך 1 החרוט נראה כקיר מכופף קלות לאחור בקצותיו.
ככל שהמהירות עולה, החרוט הופך להיות צר יותר ויותר והתווך מתחמם עד כדי כך שהוא מתיינן.
זרימה כזו נקראת זרימה היפר-קולית.
גופים המיועדים לנוע במהירות כזו חייבים להיות בנויים מחומרים עמידי חום מתאימים, שכן הגוף הנע יכול להיות מותך עקב החום העז.
שדה זרימה מוגדר תת-קולי אם לכל נקודה בשדה מספר מאך קטן מ-1. זרימות תת-קוליות מוגדרות כבעלות קווי זרם חלקים (ללא ניתוקים).
יתרה מזאת כיוון שבשדה הזרימה המהירות קטנה ממהירות הקול, הפרעות בשדה הזרימה מתפשטות במורד ובמעלה הזרימה ומורגשות בכל השדה.
כאשר M של הזרימה הפוטנציאלית קטן מ-1, אין הדבר מבטיח זרימה תת-קולית לגבי גוף אווירודינמי בזורם, כי במעבר סביב גוף אווירודינמי מהירות הזרימה גדלה מעל מהירות הזרימה הפוטנציאלית.
מכך מתקבל כלל אצבע של M<0.8 עבור הזרימה הפוטנציאלית על מנת לקבל זרימה תת-קולית סביב גופים "רזים".
עבור גופים "רחבים" נדרש מספר מאך קטן יותר על מנת להבטיח זרימה תת-קולית.
מאופיינות על ידי נוכחות גלי הלם שבסביבתם תכונות הזרימה וקווי הזרם משתנים לקיטועין (וזאת בניגוד לקווי הזרם ה"חלקים" של זרימה תת-קולית)
זרימה על קולית גבוהה במיוחד המאופיינת בטמפרטורות גבוהות לאחר גל ההלם, שכבת גבול גבוהה, השפעות צמיגות ושינוי בתכונות החומר של הזורם.
מספר מסה (), הקרוי גם מספר נוקליאון וסימנו A, הוא מספר הנוקליאונים – פרוטונים ונייטרונים – הנמצאים בגרעין האטום של אטום מסוים.
מספר המסה ייחודי לכל איזוטופ של יסוד כימי מסוים.
ישנם איזוטופים שונים החולקים את אותו מספר מסה, אך כל אחד מהם הוא של יסוד אחר – לדוגמה, חמצן-16 וחנקן-16. מספר המסה נכתב אחרי שם היסוד או בכתב עילי משמאל לסמל היסוד.
לדוגמה, הסימול של פחמן-12 הוא .
מספר המסה שלו הוא 12, מכיוון שבגרעין שלו נמצאים 6 פרוטונים ו-6 נייטרונים.
לעיתים, הסימול כולל גם את המספר האטומי (Z), שהוא מספר הפרוטונים בגרעין האטום.
מספר זה מופיע בכתב תחתי משמאל לסמל היסוד ומתחת למספר המסה:
מכיוון שמסת הפרוטון, כמו זו של הנייטרון, גדולה כמעט פי 2,000 ממסת האלקטרון, הרי כמעט כל המסה של האטום נובעת מהמסה של הנוקליאונים.
לכן, קיימת קרבה הדוקה בין מספר המסה לבין המסה האטומית של אטום.
המשקל האטומי של יסוד מסוים הוא הממוצע של המסות האטומיות של כל האיזוטופים של אותו יסוד, משוקללים לפי שכיחותם היחסית.
מספר המסה הוא נתון חשוב בתחום הפיזיקה, אך יש לו חשיבות פחותה בתחום הכימיה, שם המספר האטומי חשוב יותר.
מספר מדומה (לעיתים מכונה בטעות "מספר דמיוני") הוא מספר שריבועו הוא מספר ממשי שלילי או אפס.
כל מספר מדומה אפשר להציג כמכפלה של מספר ממשי עם "היחידה המדומה" (שהיא אחד משני השורשים, ו- של מינוס אחת: ).
לדוגמה , כאשר הוא מספר ממשי, ו- הוא היחידה המדומה.
לפי הגדרה זו 0 הוא גם מספר ממשי וגם מספר מדומה.
כיוון שהריבוע של כל מספר ממשי הוא חיובי או אפס, למינוס אחת (שהוא מספר שלילי) אין שורש ממשי.
על ידי 'המצאה' של מספר שאינו ממשי, , ושילובו עם שדה המספרים הממשיים, מתקבל שדה גדול יותר, הנקרא "שדה המספרים המרוכבים".
מספר מרוכב בנוי מחלק ממשי וחלק מדומה בצורה כאשר מספרים ממשיים.
שדה המספרים המרוכבים סגור להוצאת שורש בכלל, ולהוצאת שורש ריבועי בפרט.
כיוון שלמספר שלילי אין שורש ריבועי בשדה המספרים הממשיים, מתמטיקאים התייחסו אל משוואה כגון כאל משוואה שאין לה פתרון.
הצורך בהתייחסות שונה לשורש של מספר שלילי התעורר כאשר ג'ירולמו קרדאנו גילה, בתחילת המאה ה-16, שהדרך לפתרון משוואה ממעלה שלישית, גם כאשר פתרון זה הוא מספר ממשי, מובילה אותו לנוסחה שבה מופיעים שורשים של מספרים שליליים.
בעקבות קרדאנו הוגדרו המספרים המרוכבים במפורש, בשנת 1572, על ידי רפאל בומבלי (Rafael Bombelli).
באותה עת נחשבו מספרים כאלה לעזרי חישוב שאינם מייצגים גודל אמיתי.
מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, וביניהם רנה דקארט.
דקארט הוא שטבע את הכינוי הלגלגני מעט "מספר מדומה" בשנת 1637, הוא התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב".
קרל פרידריך גאוס העדיף לקרוא למספרים המדומים "מספרים צִדיים" (lateral) משום שהם שוכנים בניצב לציר המספרים הממשיים.
הוא אמר "הסיבה שנושא המספרים הדמיוניים הוא אפוף ערפל מסתורי היא בעיקר בגלל השם הלא מוצלח שניתן להם.
היו נקראות 'ישרה, הפוכה וצדית' במקום 'חיובית, שלילית ודמיונית', הערפול הזה היה נעלם."
את האות (בעקבות המילה imaginary), שהפכה לסימון המקובל במתמטיקה עבור היחידה המדומה, בחר אוילר בשנת 1777; בהנדסת חשמל נהוג לסמן מספר זה באות , כדי לא להחליף בינו לבין זרם חשמלי, המיוצג גם הוא באות .
אוילר, באחת מעבודותיו החשובות הצליח לשלב בין לוגריתמים לבין תורת המספרים המרוכבים.
הקשר בין מספרים מרוכבים לטריגונומטריה הפך את המספרים המרוכבים לשימושיים במדע ובטכנולוגיה, שכן ניתן לייצג תופעות גליות או מחזוריות בעזרת הפרדה לרכיב אופקי (מספר ממשי) ורכיב אנכי (מספר מדומה).
קבוצת המספרים המדומים, כלומר קבוצת כל המספרים מהצורה כאשר הוא מספר ממשי, סגורה תחת חיבור: (כחבורה חיבורית, הקבוצה איזומורפית לקבוצת הממשיים), אך אינה סגורה תחת כפל, משום שמכפלת שני מספרים מדומים היא מספר ממשי.
פעולת ההעלאה של היחידה המרוכבת i בחזקת מספר מדומה היא תמיד ממשית: .
מספרי מרסן, הנקראים על שם המתמטיקאי האב מרן מרסן, הם מספרים שהם חזקה של שתיים פחות 1, כלומר, בתבנית: .
בתצוגה בינארית, מספר מרסן הוא יחידה חוזרת המורכבת מ-n מופעים של הספרה 1. לדוגמה: המספר 31, השווה ל-, מוצג בבסיס בינארי כמספר 11111.
למספרי מרסן ראשוניים יש קשר הדוק למספרים משוכללים, שהם מספרים השווים לסכום מחלקיהם.
מבחינה היסטורית, המחקר על מספרי מרסן בא מקשר זה: אוקלידס הראה במאה ה-4 לפנה"ס שאם הוא מספר מרסן ראשוני אז הוא מספר משוכלל.
כעבור כאלפיים שנה, במאה ה-18, הראה אוילר שכל המספרים המשוכללים הזוגיים הם בתבנית זו.
לא ידוע האם יש אינסוף מספרי מרסן ראשוניים.
הפירוק מראה ש- יכול להיות ראשוני רק אם עצמו ראשוני, מה שמקל במידה ניכרת על חיפוש מספרי מרסן ראשוניים.
אך ההפך אינו נכון: יכול להיות פריק כאשר ראשוני.
נכון ל-2025 מספר מרסן הראשוני הגדול ביותר שהתגלה הוא מספר מרסן הראשוני ה-52, .
למספר זה 41,024,320 ספרות עשרוניות והוא התגלה על ידי מיזם GIMPS.
הוא גם מספר מרסן הראשון שהתגלה בעזרת שימוש במעבד גרפי (GPU).
החיפוש אחר מספרי מרסן ראשוניים
קיימים אלגוריתמים מהירים למציאת מספרי מרסן ראשוניים (כמו מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן), וכתוצאה מכך המספרים הראשוניים הגדולים ביותר הידועים היום הם מספרי מרסן.
החל מסוף המאה ה-20 התפתח מאוד התחום של חישוב מבוזר קהילתי.
מציאת מספר ראשוני גדול כרוכה בפעולות חישוביות רבות, אך ניתן לחלק את כלל המספרים לבדיקה בין משתמשים רבים כך שכל אחד בודק מספר אחר, ובדרך כלל יוקצה מספר זהה לשני בודקים שונים.
למעשה, נכון לדצמבר 2025, נבדקו כל מספרי מרסן ברצף עד המספר .
המיזם שנטל על עצמו את ניהול המספרים, הקצאתם לבדיקה ובדיקת התוצאות החוזרות הוא GIMPS.
ב-7 בינואר 2016 הוכרז המספר באופן רשמי אך, תאריך הגילוי הקובע הוא היום בו נשלחה לראשונה (17 בספטמבר 2015) ההודעה לשרת.
למגלי המספר הראשוני הראשון שלו מאה מיליון ספרות ממתין פרס בן $150,000 מטעם קרן החזית האלקטרונית.
בתורת המספרים, מספר טבעי נקרא מספר משולשי אם אפשר לסדר עצמים בצורת משולש שווה-צלעות.
המספר המשולשי ה-n-י מסומן , והוא שווה לסכום כל המספרים הטבעיים מ-1 עד n.
הסיבה לכך היא שכדי לבנות משולש שווה-צלעות שאורך צלעו הוא n, מסדרים n עצמים בשורה, מעליהם n-1 עצמים בשורה, וכן הלאה עד הקדקוד הכולל עצם אחד.
ישנה נוסחה מפורשת הנותנת את המספרים המשולשיים: .
אל נוסחה זו ניתן להגיע בדרכים רבות.
הנוסחה הייתה ידועה כבר לפיתגורס במאה ה-6 לפנה"ס.
הוכחה באמצעות סכום סדרה חשבונית
הדרך הידועה ביותר להוכחת הנוסחה היא בעזרת הנוסחה הידועה לסכום סדרה חשבונית.
הוא סכום סדרה בת n איברים שאיברה הראשון הוא 1 והפרשה 1. לכן לפי הנוסחה:
אגדה ידועה מספרת שכאשר גאוס היה בן 7, הטיל עליו מורהו את המטלה לסכום את כל המספרים מ-1 עד 100 (כלומר לחשב את ).
תוך שניות מעטות הדהים גאוס את המורה והגיע לתשובה, 5050. גאוס הבין כי ניתן לסדר את המספרים בזוגות: 1+100, 2+99, 3+98...
וכן הלאה, כך שישנם זוגות שסכומם 101. כלומר:
הטיעון של גאוס מחשב למעשה כל סדרה חשבונית.
כל אחד לוחץ פעם אחת את היד לכל אחד אחר במסיבה.
כמה לחיצות ידיים היו במסיבה?