tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
הטבלאות האלו היו פלא מדעי של התקופה - תנועתו של הירח סבוכה ביותר, שכן הוא נמצא במיקום כזה במערכת השמש (הוא קרוב מאוד הן לכדור הארץ והן לשמש - לכן הבעיה הירחית היא בעיה תלת-גופית מובהקת) שגורם למסלולו פרטורבציות כבידתיות משמעותיות.
חיזוי מיקומו של הירח שנים קדימה דורש פתירה של בעיית שלושת הגופים, שכן כדור הארץ, הירח והשמש מעורבים כולם בהכתבת התנועה שלו.
רק לאחר הבשלת המודלים המתמטיים של תנועת הירח בערך באמצע המאה ה-18 - הודות לעבודתם המאומצת של מתמטיקאים ואסטרונומים דגולים רבים, ניתן היה לחשב טבלאות מיקומים ירחיים אמינות יותר.
המתמטיקאי אוילר פיתח שיטה נומרית בה עשו שימוש, שנקראת שיטת אוילר, ובעקבות כך קיבל מענק מוועדת קו האורך כדי שיבצע את החישובים.
לאחר שמצא את זמן גריניץ', הנווט השווה אותו עם הזמן המקומי (אותו מוצאים בעזרת תצפית נפרדת) כדי למצוא את קו האורך שלו.
במתמטיקה, שיטת המקדמים הלא ידועים היא גישה למציאת פתרון פרטי למשוואות דיפרנציאליות רגילות לא-הומוגניות מסוימות.
היא קשורה באופן הדוק ל"שיטת אופרטורי החיסול", שיטה במסגרתה עושים שימוש בסוג מסוים של אופרטור דיפרנציאלי בשביל להגיע ל"ניחוש מושכל" באשר לצורת הפתרון המתאימה, אשר נבדק לאחר מכן ביותר פירוט באמצעות הצבתו במשוואה הדיפרנציאלית.
על אף פשטותה הרבה יותר, שיטת המקדמים הלא ידועים אינה כללית כמו שיטת וריאציית הפרמטר, ומשום שהיא עובדת רק על משוואות דיפרנציאליות בעלות צורות מיוחדות מסוימות.
הרעיון המרכזי מאחורי "הניחושים המושכלים" של שיטת המקדמים הלא ידועים הוא ההנחה שצורת הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית הליניארית הלא-הומוגנית דומה לצורת החלק הלא-הומוגני.
רעיון זה מתבסס על "שיטת החיסול" (Annihilator method), שתתואר כעת.
בהינתן משוואה דיפרנציאלית ליניארית ולא הומוגנית (כאשר הסימון מייצג את האופרטור הדיפרנציאלי התואם למשוואה הדיפרנציאלית), נמצא אופרטור דיפרנציאלי נוסף כך ש- (במילים אחרות, נמצא משוואה דיפרנציאלית ליניארית ש- הוא פתרון שלה).
כעת, נפעיל את על שני אגפי המשוואה הדיפרנציאלית הלא-הומוגנית, ונקבל .
כעת, נכנסת לתמונה אחת התכונות המרכזיות של אופרטורים דיפרנציאליים ליניאריים (כלומר, התואמים למשוואות דיפרנציאליות ליניאריות): העובדה שהם חילופיים, שכן ניתן לדמות את הנגזרת מסדר n של y לחזקה ה-n של אופרטור הגזירה , כך שהרכבת אופרטורים דיפרנציאליים ליניאריים שקולה להכפלת פולינומים, שהיא פעולה קומוטטיבית.
לפיכך, ניתן להחליף את הסדר של ו- ולקבל: .
כל פתרון השייך למרחב הפתרונות של האופרטור הדיפרנציאלי (מרחב שכולל את ) פותר גם את המשוואה .
נובע מכך שאם , אז y פותר את ולכן פותר גם את ; אם מרחבי הפתרונות של המשוואות ו- זרים, אז עולה מכך ש-y בהכרח משתייך למרחב הפתרונות של , שכן הוא לא יכול לפתור את המשוואה ההומוגנית .
נסתכל על המשוואה הדיפרנציאלית (הרגילה) הלא-הומוגנית הבאה:
כאשר מסמל את הנגזרת מסדר i של , והמקדם הוא פונקציה של x.
שיטת המקדמים מספקת שיטה ישירה למציאת הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית הרגילה הזאת כאשר שני קריטריונים מתקיימים:
g(x) היא קבוע, פונקציה פולינומית, פונקציה מעריכית , פונקציות סינוס או קוסינוס או , או סכומים ומכפלות סופיים של הפונקציות הללו (כאשר , הם קבועים).
השיטה מורכבת ממציאת הפתרון ההומוגני הכללי למשוואה הדיפרנציאלית ההומוגנית המשלימה
ולאחר מכן ממציאת פתרון פרטי למשוואה הדיפרנציאלית הלא-הומוגנית המקורית, בהתבסס על הצורה של .
הפתרון הכללי למשוואה המקורית הוא סכום של הפתרון הפרטי והפתרון ההומוגני:
אם היא סכום של שתי פונקציות ו- הוא הפתרון הפרטי המתקבל כאשר לוקחים את להיות שווה ל-, בעוד ש- הוא הפתרון הפרטי המתקבל כאשר לוקחים את להיות שווה ל-, אז לפי עקרון הסופרפוזיציה הפתרון הפרטי למשוואה המקורית הוא:
הפתרונות המתאימים לצורות מיוחדות של החלק הלא-הומוגני
במסגרת שיטת המקדמים, כדי למצוא את הפתרון הפרטי למשוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית מסוימת יש לזהות תחילה את הצורה הכללית של החלק הלא-הומוגני של המשוואה, , ומיד לאחר מכן לנחש את צורת הפתרון, שבמרבית המקרים היא זהה לצורת החלק הלא הומוגני.
לאחר מכן, יש לקבוע את המקדמים בצורת הפתרון הפרטי באמצעות פתירת מערכת משוואות ליניאריות מתאימה.
שיטת המקדמים מצמצמת את הפתרון של משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות מסוימות לפתרון ישיר של מערכת משוואות ליניארית.
להלן מובאת טבלה של הצורות המיוחדות, הניתנות לפתרון בשיטה זו, של :
הערה: הוא פולינום ממעלה .
אם איבר מסוים בצורה הכללית של הפתרון הפרטי מופיע גם במרחב הפתרונות של המשוואה ההומוגנית המתאימה, אז נדרש להכפיל איבר זה בחזקה גבוהה מספיק של x הדרושה כדי להפוך אותו לבלתי תלוי ליניארית באוסף הפתרונות הבסיסיים של המשוואה הדיפרנציאלית ההומוגנית.
אם הפונקציה היא בעלת צורה מגוונת, כלומר סכום של כמה פונקציות מצורות שונות המופיעות בטבלה לעיל, אז הפתרון הפרטי המתקבל הוא סכום של הפתרונות הפרטיים המתאימים לכל אחד מהצורות בסכום המייצג את .
נמצא פתרון פרטי של המשוואה
אגף ימין הוא בעל הצורה
כאשר n = 2, α = 0, ו- β = 1. השורש α + iβ = i הוא שורש פשוט של המשוואה האופיינית המתאימה למשוואה ההומוגנית
בעוד שהאופרטור הדיפרנציאלי המתאים לחלק האי-הומוגני הוא , כך ש- הם גם שורשים (מרובים) שלו, ולכן מרחבי הפתרונות שתוארו בפסקה על שיטת החיסול אינם זרים.
לכן, לא מספיק להציב את הפתרון הפרטי מהטבלה במשוואה הלא-הומוגנית, אלא שיש לכפול אותו ב-t.
לאחר הצבת yp לתוך המשוואה הדיפרנציאלית, נקבל את הזהות
השוואת שני האגפים מובילה למערכת המשוואות הליניאריות
ולכן הפתרון הפרטי למשוואה הדיפרנציאלית הוא:
והפתרון הכללי מתקבל ממנו באמצעות הוספת הפתרון ההומוגני.
נשים לב שהחלק הלא הומוגני () תלוי ליניארית בפתרון הבסיסי של המשוואה ההומוגנית (), כך שהצבתו פשוט תפתור את המשוואה ההומוגנית (כלומר תיתן 0) ולא את המשוואה שרצינו; כתוצאה, ניאלץ להכפיל את הניחוש בחזקה גבוהה מספיק של x כדי להפוך אותו לבלתי תלוי ליניארית.
ולאחר הצבת פונקציה זאת ונגזרתה לתוך המשוואה הדיפרנציאלית, ניתן למצוא את A:
ולכן הפתרון הכללי למשוואה הוא:
נמצא את הפתרון הכללי של המשוואה:
הוא פולינום ממעלה 2, ולכן נחפש פתרון מאותה הצורה,
הצבת הפתרון הפרטי הזה לתוך המשוואה המקורית מניבה את מערכת המשוואות הליניאריות
ולאחר מציאת הקבועים נקבל את הפתרון הפרטי
הפתרון הכללי הוא סכום של הפתרון ההומוגני והפתרון הפרטי, כלומר:
שיטת המשגל המיושר היא שיטה שפותחה על-ידי הפסיכותרפיסט האמריקאי אדוארד אישל (Edward Eichel) ונועדה להגדיל את הסיכוי לאורגזמה משותפת ביחסי-מין עם חדירה.
הקבוצה הראשונה שלמדה את הטכניקה עשתה זאת כחלק מתוכנית פסיכותרפיה לזוגות במשך שנתיים.
הטכניקה מבוססת על גרסה של התנוחה המסיונרית, ונועדה למקסם את גירוי הדגדגן במהלך קיום יחסי מין.
שיטת המשגל המיושר מתבצעת כאשר הגבר שוכב מעל האישה, כך שכל חלקי הגוף שלו צמודים לגופה, וגופו מונח קדימה יותר מהתנוחה המיסיונרית הרגילה.
מגע זה צריך להישמר לאורך כל יחסי-המין, כך שנוצר חיכוך בין הדגדגן של האישה לבין הפין של הגבר.
בקיום יחסי-המין, בני הזוג משמרים קצב אחיד, נעים קדימה ואחורה ומנענעים את גופם עד ההגעה לאורגזמה משותפת.
לאורך השנים חוקרים הצביעו על החשיבות של קיום יחסי מין בין בני-זוג לסיפוק במערכת היחסים, וכן גם לבריאותם הנפשית.
מחקרים נוספים הצביעו על כך שהיכולת להגיע לאורגזמה מעודדת קרבה במערכת היחסים ובחיי המין, סיפוק ממערכת היחסים וכן תקשורת טובה יותר בין בני הזוג.
יתרה מכך, חוקרים סוברים כי הגעה לאורגזמה באותו הזמן עם בן או בת הזוג מגבירה את האינטימיות בין בני זוג.
שיטת המשגל המיושר מתמקדת בניסיון להגיע לאורגזמה של שני בני-הזוג ללא גירוי חיצוני של הדגדגן, אלא תוך כדי קיום יחסי המין המערבים חדירה
התנוחה הוגדרה לראשונה בסוף שנות ה-80 של המאה ה-20, במאמר שנכתב בידי הפסיכותרפיסט אדוארד איישל (Edward Eichel), ופורסם בכתב העת המדעי הבריטי Journal of Sex & Marital Therapy משנת 1988. איישל טען כי נמצא התנוחה ממקסמת את גירוי הדגדגן בעת קיום יחסי המין.
איישל טען בנוסף כי שיטה זו יכולה לסייע לנשים שאינן מצליחות להגיע לאורגזמה, וכי שיטה זו מגבירה את ההנאה המינית גם של נשים וגם של גברים.
יתרה מכך, חלק מהלקוחות של איישל טענו כי השיטה הייתה עבורם החוויה המינית הכי טובה שהייתה להם עד כה.
מאז הפיתוח של שיטת המשגל המיושר, נערכו מחקרים שונים שבדקו את מידת תרומתה לשיפור יחסי המין.
בשנת 1992, חקרו קבוצה של עובדים בבית חולים בניו-יורק שביקשו לבדוק את השיטה, אך תוצאות המחקר לא היו דומות לתוצאותיו הטובות של אישל.
בניגוד למחקר הראשוני, השיטה לא נמצאה כיעילה עבור רוב המשתתפים; רבים מהם לא הגיעו לאורגזמה ביחד, לא העידו על שינוי בטיב האורזמה יותר והם לא דיווחו על מספר רב של אורגזמות.
חלק מהמשתתפות אף התלוננו על כאב במהלך השימוש בשיטה.
במחקר אחר, משנת 1995, החוקרים השוו בין אוננות לשיטת המשגל המיושר והשפעתן על האורגזמה הנשית.
החוקרים חילקו את המשתתפות לשתי סדנאות – אחת שבחנה את האוננות ואחת שבחנה את שיטת המשגל המיושר.
בשתי הסדנאות ניכר שיפור במספר האורגזמות, עקביות האורגזמה ועוצמתה.
ממצאים אלו מספקים תמיכה ליעילות של שיטות אלו.
יחד עם זאת, לפחות מחצית ממשתפות המחקר עדיין התקשו להגיע לאורגזמה, כך שהומלץ על חיפוש שיטות אפקטיביות יותר עבור נשים.
מחקר נוסף שנערך בשנת 1997 ניסה לנתח דיכאון אצל נשים באמצעות שיטת המשגל המיושר ותוכנית אימון של עקביות אורגזמית.
הנשים שנחקרו אובחנו עם הפרעה היפו-אקטיבית בתשוקה המינית .
כלומר, נשים שאינן בעלות תשוקה מינית או פנטזיה מינית.
המחקר חילק את הנשים לשלוש קבוצות - נשים בדיכאון, נשים בדיכאון קל ונשים שאינן בדיכאון כלל.
נמצא שנשים שהשלימו את תוכנית האימון עם שיטת המשגל המיושר חוו עלייה בתשוקה המינית, ללא קשר לרמת הדיכאון שלהן או לשאלת קיומו של דיכאון אצלן.
בשנת 2000, פורסמה סקירה של מספר מחקרים שבחנו את שיטת המשגל המיושר.
הסקירה מצאה כי הטכניקה מאתגרת תפיסות חברתיות לפיהן הגבר הוא האקטיבי והאישה פסיבית במהלך יחסי מין וכן נועדה לייצר הדדיות בהנאה המינית של שני בני-הזוג.
נראה כי מחקרים אלו מצביעים על הצלחה חלקית של השיטה בסיוע לנשים להגיע לאורגזמה.
יחד עם זאת, התעוררה ביקורת במהלך השנים על השיטה עצמה, על הצלחתה החלקית ועל המשמעות החברתית והתפיסתית שלה.
ביקורת ביחס לשיטת המשגל המיושר ולאורגזמה הנשית
ישנה ביקורת על שיטת המשגל המיושר, לפיה השיטה מתאפיינת בהתבוננות צרה ביחס למיניות וזוגיות.
לפי ביקורת זו השיטה עלולה לייצר תפיסה לפיה הטרוסקסואליות ומונוגמיה כהתנהגויות המיניות הנורמליות היחידות, ואף עלולה לייצר תפיסה לפיה יחסי המין היחידים שקיימים חייבים לכלול בתוכם את אקט החדירה.
יתרה מכך, היא עלולה לקדש את האורגזמה הנשית הנובעת מחדירה, בשונה מאורגזמה נשית המושגת באמצעות אקטים מיניים אחרים כמו אוננות, מגע ישיר בדגדגן ועוד.
כמו כן, ביקורות אלו גורסות כי בחברה קיימות ציפיות, תפיסות ואמונות אשר מגדירות כיצד יחסי מין אמורים להראות; יחסי מין עם חדירה, לפי תפיסה זו, שמים במוקד את הפין ואת הנאתו של הגבר בלבד, מצב שעלול לגרום להתעלמות מהדגדגן ומהעונג של האישה במהלכם.
למרות ששיטת המשגל המיושר מתייחסת גם להנאתה של האישה ולגירוי דגדגני, זוהי פרקטיקה שמתבצעת כחלק מיחסי מין המתקיימים באמצעות חדירה, ולפי ביקורות אלו יש לכך חשיבות במסגור היחסים המיניים.
בנוסף לכך, קיימת תפיסה לפיה יחסי-מין אינם צריכים לכוון למטרה מסוימת או לאורגזמה בלבד, בין היתר מכיוון שהדבר עלול לעורר חרדת ביצוע.
כלומר, לעיתים יש נטייה לתייג יחסי-מין כמוצלחים או ככושלים לפי הגעתה או אי-הגעתה של האישה לאורגזמה.
מצב זה מייצר תסכול גדול עבור נשים וגברים יחד.
לפיכך, לפי עמדה זו, חשוב שהמטרה תהיה קשורה בהנאה מינית של בני הזוג, ולא בהכרח באורגזמה עצמה.
סוגיה נוספת קשורה לסיווג הרפואי של בעיות התפקוד המיני של נשים.
בשנים האחרונות החלה לעלות ביקורת לגבי האופן בו מתייחסים לתפקודן המיני של נשים, ולגבי הסיווג הרפואי של נשים שחוות קושי בתפקוד המיני.
לפי טענה זו, בעיות של נשים בתפקוד המיני שונות משל גברים, ולא ניתנת להן התייחסות מספקת.
התפיסה אשר רואה בעיות בתפקוד המיני כפיזיולוגית גרידא מתעלמת מהיבטים אחרים כמו חוסר שביעות רצון וחוסר סיפוק הנוגעים בכל היבט רגשי, פיזי או בין-אישי של החוויה המינית.
גישה זו מבקשת לבחון את ההשפעה של היבטים חברתיים-תרבותיים, כלכליים ופוליטיים על יחסי מין.
הגישה מתייחסת לקשר עם בן או עם בת הזוג, וכן גם לקשיים פסיכולוגיים ובריאותיים, בניתוח מקרים אלו.
לפי גישה זו, שיטת המשגל המיושר נותנת לבעיית בתפקוד המיני של נשים מענה חלקי בלבד, משום שהיא ממוקדת בעיקרה בצורך הפיזיולוגי.
בנוסף, נטען כי במקום לייצר מידע על תפקודן של נשים, יש לבחון את האמונות והציפיות המשותפות במהלך קיום יחסי המין של בני זוג.
כך למשל נטען כי נשים אינן מענגות את עצמן מכיוון שישנה אמונה חברתית לפיה הגבר הוא האחראי על האורגזמה הנשית.
מצב זה מוביל לעיתים לכך שנשים מגבילות את עצמן, וכתוצאה מכך גם את הנאתן המינית, במהלך קיום יחסי מין.
לפיכך, על פי גישות אלו, יש לשים דגש על התקשורת בין בני הזוג בכל הקשור ליחסי המין, ולאו דווקא להתמקד בתנוחה מסוימת.
טענות אלו נתמכות על ידי מחקר שנערך על קבוצה גדולה של אנשים בארצות הברית.
במחקר התברר כי ישנו פער ברור בין נשים הטרוסקסואליות לגברים הטרוסקסואליים בהגעה לאורגזמה תוך כדי קיום יחסי מין.
בעוד כ-90% מהגברים ההטרוסקסואליים מגיעים לאורגזמה ביחסי מין, רק כ-65% נשים הטרוסקסואליות זוכות לכך.
לעומת זאת, נמצא כי 86% מהנשים הלסביות שהשתתפו במחקר העידו על הגעה לאורגזמה ביחסי מין.
עוד דווח במחקר כי נשים נטו להגיע לאורגזמה כאשר יחסי המין עירבו נשיקות ממושכות, מין אוראלי וגירוי וגינלי ידני.
לטענת החוקרים, הבדלים משמעותיים אלו נובעים מגורמים חברתיים-תרבותיים לצד גורמים ביולוגיים.
שִׁטַּת הַמְּשׂוּכוֹת (שם מדעי: .Vachellia farnesiana (L.) Wight & Arn, שם נרדף: .Acacia farnesiana Willd) היא עץ קטן ירוק-עד קוצני הנמנה עם משפחת הקטניות.
מין זה בעל עלים מנוצים פעמיים, תפרחותיו צהובים ופרותיו תרמילים גליליים.
מולדתו באזורים סובטרופיים וטרופיים של אמריקה וטיפוס תפוצתו העיקרי הוא טרופי יובשני.
הוא אוזרח ותורבת במדינות רבות בצרפת, ספרד, איטליה ומצפון אפריקה בואכה למזרח התיכון ועד מזרחה ודרומה של יבשת אפריקה, תת-היבשת ההודית ואוקיאניה.
בארץ ישראל הוא אוזרח בראשית המאה הקודמת ושמש כעץ גדרות לפרדסים ביישוב העברי וכתחליף לשיח הצבר ששמש את היישוב הערבי.
פרחיו של מין זה משמשים להפקת שמן אתרי לתעשיית תמרוקים כפי שנעשה בצרפת ובצפון אפריקה.
הגזע והענפים אינם ירוקים, אלא חומים-אפורים.
הלוואים קיימים והם ערוכים בזוגות בבסיס העלה, אורכם עד 3 ס"מ.
העלים מסורגים, מורכבים, מנוצים פעמיים, אורכם עד 6.5 ס"מ ובעלי 3 עד7 זוגות סעיפי עלים נגדיים.
לכל סעיף 10 עד 25 זוגות עלעלים נגדיים קירחים, דמוי סרגל שאורכם 0.2 עד 0.4 ס"מ.
ציר העלים ארוך ואינו קוצני.
התפרחות הן קרקפות כדוריות, גדולות, ריחניות מאוד וערוכות בקבוצות של 2 או 3 בחיקי ענפים בוגרים, צבען צהוב עז.
עוקצי התפרחות שעירים ואורכם 1.2 עד 1.8 ס"מ.
הפרחים דו-מיניים, נכונים (2 עד 5 מ"מ), זעירים מאוד, מרובים ומקובצים בצפיפות בקרקפות כדוריות.
עטיף הפרח כפול ואבקניו מאוחים לחוד מתחת לשחלה עילית.
הגביע דמוי פעמון, מספר עליו 5.
עלי הכותרת 5, מפורדים זה מזה בבסיסיהם.
אבקנים 10, כפליים ממספר עלי הכותרת, מפורדים ומאוחים לפחות בבסיסם, והם ארוכים בהרבה מעלי עטיף.
גרגרי האבקה דבוקים על פי רוב בקבוצות.
השליה, נושאת הביציות, עוברת לאורך תפר הבטן של השחלה שהוא קו החיבור של שולי עלה השחלה.
הפרי תרמיל מאורך, גלילי, ישר לעיתים עקום, מעוצה, ומלא לכה דביקה, אורכו 3 עד 7 ס"מ ולא יותר מ-10 ס"מ, צבעו ירוק שמשתנה עם בשלותו לחום כהה.
על פי רוב הוא נושר סגור למרגלות העץ בעודו סגור, לעיתים רחוקות הוא נפתח בשתי קשוות בעודו על העץ.
הזרעים חומים חלקים, אורכם כ-7 מ"מ.
בישראל שיטת המשוכות מוגבלת לאזורים מופרעים ושולי אזורים חקלאיים, במרבית חבלי הארץ למעט האזור המדברי עד רום של 1,300 מ'.
היא צמח אור מלא, עמיד בקרה, בשרב ובשריפות, רגיש לגיר ולמליחות.
גדל בקרקעות שונים ובכל אזורי הארץ, אם כי היא מצליחה מאוד בגידול על קרקעות חרסיתיות עמוקות ועשירות.
הסימביוזה שלה עם חיידקים קושרי חנקן מקבוצת הריזוביום, דבר שמסייע לה להתבסס בקרקעות עניות.
הסוג שיטה (.Acacia L) בכלל והמין שיטת המשוכות בפרט עברו תהפוכות בטקסונומיה (סיווג לפי מאפיינים).
הסוג שיטה ששויך בעבר למשפחת השיטיים, המימוזיים (Mimosacea) הועבר למשפחת הקטניות, והוא עצמו פוצל ל-5 סוגים שונים.
ואז שיטת המשוכות שויכה לסוג Vachellia המונה צמחים קוצניים.
פירוש המילה משוכה היא גדר, גבול, תחום.
השם "שיטת המשוכות" ניתן למין זה במילון "ילקוט הצמחים" (הערה 680) משנת 1930 ואושרר במילון צמחי ארץ ישראל 2003. השמות "שיטה" ו"תורנית" ניתנו לסוג כולו (Acacia) לפי הכתוב .
השם "שיטה" נקבע במילון "צמחי ארץ ישראל – שמות המשפחות והסוגים" משנת 1946 בסעיף 3.
שיטת המשוכות כחליל הרימון ואחרים
כחליל הרימון (Deudorix livia) שייך לפרפרי היום ותפוצתו באזורים טרופיים וסובטרופיים של אפריקה.
באזור הים-תיכוני הוא נפוץ מיולי עד דצמבר ובעמק הירדן ממאי עד דצמבר.
הוא מקים 6 עד 8 דורות בשנה, תלוי אזור.
ביצים עגולות, שטוחות בבסיסן, ירקרקות, ופניהם מרושתות.
הן מוטלות בדרך כלל אחת-אחת, לעיתים יותר מאחת, על קליפת התרמילים הירוקים וסביב העוקץ.
הזחל חודר לתוך התרמילים וניזון מן הזרעים.
אם תוכן התרמיל אינו מספיק להתפתחותו המלאה, הוא עובר לתרמיל אחר, מכרסם את דרכו פנימה וממשיך באכילה.
התפתחות הזחל אורכת כשלושה שבועות ואז הוא נוטש את התרמיל והתגלמותו נעשית בין הענפים או בפסולת העלים שעל הקרקע או בתוך התרמיל.
גולם הכחליל הוא גולם חנוט מטיפוס גולם חגורה (הגולם נאחז למצע בחגורת קורי משי).
כחליל הרימון אינו בלעדי לשיטת המשוכות.
נמצאו זחלים של פרפראים אחרים שנברו בזרעים ונמצאו זרעים הנגועים בחיפושיות נוברות ממשפחת הזרעוניתיים.
למרות הערפל סביב יסוד שיטת החילוקים, לפי החוקר שלם יהלום, את ניצני הפלפול אפשר לראות כבר בתוספות רבנו פרץ.
החיבור הראשון בשיטה זו הוא תוספות גורניש שהתחברה על ידי חכמי אוסטריה ומרכז גרמניה, בשנים שאחרי המגפה השחורה.
לדעת החוקרים הוא התחבר בין השנים 1360 – 1410, אז התפתח לראשונה סגנון הלימוד ששם דגש רק על דקדוק המילים וסברות המקשן והתרצן.
בהמשך התפתחה שיטה זו עוד בישיבת רגנסבורג שהמהר"י ברונא עמד בראשותו, ובישיבת נירנברג בראשות מהר"י וויל, שאף נהגו להקדיש חלק מהזמן הלימודים לפלפל בשיטת החילוקים.
כמו כן באותו זמן חיבר ר' יצחק קנפטון את ספרו דרכי התלמוד ובו הדרכה פרטנית איך ללמוד בשיטת החילוקים, עם מאפיינים קצת שונים מאשכנז, וכיהן בראש ישיבה ועל ידי תלמידיו התפשטה בישיבות ספרד.
בהמשך הביא הרב יעקב פולק שהיה תלמידו של הרב יעקב מרגלית בישיבת רגנסבורג את שיטת הפלפול החילוקים לפולין הוא הקים ישיבה גדולה בקראקא שבפולין שם העמיד והפיץ את שיטת הפלפול על פני ארץ פולין.
שם הפכה לשיטה העיקרית בישיבות למאות בשנים.
רובם של ספרי החידושים לתלמוד מאותה תקופה מיוסדים במידה מתונה על דרך זו, כמו חידושי הלכות למהרש"א, ספר מאיר עיני חכמים למהר"ם מלובלין והמהר"ם שיף, ועוד.
עיון ודקדוק במבנה הסוגיא וסידורו, בעלי הפלפול טענו שהעריכה של הספרות התלמודית התבצעה בצורה מופתית לכן כל נקודה נמצאת במיקום המיטבי ולכן אפשר לשאול מדוע הקושיא מופיעה דווקא כאן, ולא במקום אחר.
או מדוע הקושיא השנייה אחרי הראשונה ולא להפך, וכן בתירוצים.
דיוק ועיון במשמעות המדויקת של המינוח התלמודי, כמו סגנון הלשון - יתורי הלשון - ואפילו אותיות שמיותרות לכאורה.
בסוגיות שיש שם מקשן או הווה אמינא, יש לשוב ולבחון מה חשב המקשה כשהציג את שאלתו שהרי הוא ידע מראש התשובה הפשוטה שניתנה.
לראות בכל דבר ודבר מהו החידוש היוצא ממנו, כי לא כתבו דברים פשוטים, שהלומד יכול לעלות עליהם מכוחות עצמו.
בכל סוגיא תלמודית או פירושי הראשונים יש הסבר נוסף ששללו, ותפקיד המעיין הוא להבין מדוע נשמר המפרש מלהעלות את הפירוש החלופי.
בנוסף התפתחו סוגי קושיות שנקראו על שם הישיבות בהן הם נוצרו.
כך לדוגמה, "נירנברגר" היא קושיה המתעוררת כאשר התלמוד מקשה ממקור אחד נגד אחר, אך מתעלם מכך שקיים מקור נוסף המניח הנחת יסוד שונה.
דוגמה ל"פלפול נירנברגר" ניתן למצוא בסוגיית ריבית, שבה קיימת מחלוקת בין שני אמוראים (רבי אלעזר ורבי יוחנן), האם ריבית קצוצה נלקחת בכוח מהמלווה, או שההלוואה וההתחייבות לריבית בעינן עומדות ובית-דין אינם מתערבים.
התלמוד מקשה על אמוראים אלה משתי ברייתות שונות, מהאחת מוכח כי חלה חובת השבה ומהאחרת מוכח כי אין חובת השבה.
פלפול נירנברגר יקשה על סוגיה זו: אם התלמוד ידע מראש על קיומן של שתי הברייתות, מדוע הוא הביא בתחילה רק אחת מהן כדי להקשות, והעלים את השנייה?!
בסוג זה של קושיות, התאפיין בין השאר הפלפול הנירנברגאי.
סוג נוסף של פלפול נירנברגר נוצר כאשר אמורא מקשה שאלה על שתי שיטות, והפלפול מחפש שיטה שלישית שתתאים לעמדת האמורא השואל.
סוגי קושיות נוספות הם "אויסברנגר", קושיה שנוצרת במקרה שהגמרא מקשה על דברי אמורא ממקור תנאי, ומצטטת גם את תחילת המשנה, למרות שמספיק לצטט את סוף המשנה בשביל להקשות על דברי האמורא.
במקרה ההפוך קיימת קושיה בשם "פירברנגר", שמנסה לברר מדוע הגמרא ציטטה את סוף המשנה, הרי מספיק לצטט רק את תחילתה בשביל הקושיה, התירוץ בדרך כלל היה, שגם החלק השני של המשנה יוצר קושיה על האמורא, או שלולי הציטוט שלו, היה ניתן לתרץ את הקושיה באופן מסוים.
השל"ה התנגד לתירוצים אלו וסבר שהתירוץ הפשוט הוא, שמכיוון שהגמרא ציטטה חלק מהמשנה, אגב כך ציטטה את כולה, כדי ללמד את הקוראים הלכות נוספות.
הסוג המוכר ביותר של חילוקים הוא "בלוסר", שנוצר כאשר הגמרא מניחה הנחה, ולאחריה שואלת שאלה, למרות שהשאלה יכולה להישאל גם בלי הנחת היסוד.
ה"בלוסר" ("בלא זאת" בהגיה אשכנזית) היא קושיה מדוע הגמרא הייתה צריכה הרי להניח את ההנחה, הרי הקושיה קשה גם בלעדיה?
והתירוץ מסביר למה לא קשה ללא הנחה.
רבי יאיר חיים בכרך טען שהאמרה "חזור חזור ואל תצטרך לבלזור" מדברת על הבלוסר ולא על צמח הבלדור.
עיקר ההתמקדות של השיטה הוא בחלק הטכני והפורמלי של ההלכה, בלא התבוננות בגדרי הדין וסברות וטעמי ההלכות.
השיטה לא חותרת ל"אסוקי שמעתתא אליבא דהלכתא", ועל כן היא גררה ביקורת חריפה.
המעיינים הניחו שהספרות הרבנית כתובה בצורה מושלמת – שלימות זו נובעת מרוח הקודש ששרתה על החכמים, וממעלתם האינטלקטואלית, כמו שמציג זאת של ר' יוחנן טריוויס רבה של פריז בסוף המאה ה-14:
וכן הרב יצחק חיות הכותב בהקדמת ספרו פני יצחק בשבח שיטת החילוקים, ותוקף את מתנגדי שיטת החילוקים, ובלשונו המליצית הוא כותב בין היתר:
בנוסף ראשי הישיבות רצו לפתח את יכול ההבחנה והעיון של התלמידים, ולשם כך התירו לומר אפילו חילוקים שאינן נכונים, בהתבסס על דברי התלמוד "ורבה נמי לחדודי לאביי הוא דבעי".
במאה החמש עשרה יצאו רבים נגד שיטה זו חלקם באופן עקיף ובהתייחס לצורך "אסוקי שמעתא אליבא דהלכתא", וחלקם התנגדו באופן ישיר כאשר ראו את תוצאותיה של השיטה בקהילותיהם שהובילה להספק לימוד דל, לעיסוק ממושך בנושאים מצומצמים ולעיוותים אינטלקטואליים.
בין המתנגדים לשיטה היו גדולי האחרונים כמו המהר"ל מפראג, רבי שלמה לוריא (מהרש"ל), רבי ישעיה הלוי הורוביץ (מחבר ספר השל"ה) החת"ם סופר ואחרים.
המהר"ל מפראג כתב: "אך הטיפשים בארצות אלו דרכיהם הפך זה.
מלמדים עם הנער מקרא מעט...
ויש שמעתיקין אותו אל הגמרא מיד.
יצפצף הנער בקול דברים בלבד ותמונת הפשט לא ידע להבין אף דבר מה ממנו...
ויכלו בהבל ימיהם ושנתם בבהלה לעסוק בפלפול של הבל".
גם אלו שהלכו בדרך החילוקים הסתייגו בשימוש בה בפסיקה ההלכתית.
כבר מהר"י ברונא, שהיה ראש הישיבה ברגשנבורג כותב על דרך לימוד זאת שיש להזהר מלפסוק הלכה על פיה:
כמו כן הרב יואל סירקיש בעל הב"ח כותב בהקדמתו לספרו על הטור, נגד ספר הרב יהושע פלק כץ בעל הסמ"ע על שמביא דברים שמיועדים רק ללימוד בישיבה לחידוד התלמידים ולא כדרך לפסיקת הלכה וכדבריו "כי רובי תורותיו בפלפולו לפרק הקושיות והדקדוקים בלשונות, גם כי אינו אמת".
בתורת ההסתברות, שיטת המומנטים היא שיטה להוכחת התכנסות בהתפלגות באמצעות התכנסות סדרה של מומנטים.
יש להבדיל בין שיטת המומנטים בתורת ההסתברות לבין שיטת המומנטים בסטטיסטיקה.
שתי השיטות משתמשות במומנטים של התפלגות אך בתורת ההסתברות, השיטה מסייעת להוכיח התכסנות בהתפלגות של סדרת משתנים מקריים.
לעומת זאת בסטטיסטיקה השיטה משמשת לאמידת פרמטרים.
כמו כן, בתורת ההסתברות, שיטת המומנטים דורשת שכל המומנטים קיימים ואילו בסטטיסטיקה, מספיק שמספר המומנטים הקיימים שווה למספר הפרמטרים שיש לאמוד.
יהי X משתנה מקרי שכל המומנטים שלו קיימים.
נניח שההתפלגות נקבעת לפי המומנטים, משמע לא קיימת התפלגות אחרת בעלת אותם המומנטים.
אם לכל מתקיים אז הסדרה מתכנסת בהסתברות ל .
שיטה זו היא למעשה משפט Fr´echet-Shohat .
דוגמה להתפלגות שלא נקבעת על ידי מומנטים
נראה שהדרישה שהתפלגות נקבעת לפי המומנטים שלה היא הכרחית .
נקח לדוגמה את ההתפלגות הלוג-נורמלית (עם ) המוגדרת על ידי פונקציית הצפיפות .
כמוכן, נגדיר סדרה של משתנים מקרים, שפונקציית הצפיפות שלהם מוגדרת על ידי לכל .
ניתן להראות שהמומנט ה של שתי ההתפלגויות הוא ובפרט הם בעלי מומנטים שווים.
מכאן שההתפלגות הלוג-נורמלית לא נקבעת על ידי המומנטים שלה.
בעזרת אינטגרציה, ניתן לראות שהסדרה לא מתכנסת בהתפלגות להתפלגות הלוג-נורמלית.
דוגמה זו מראה את הצורך בדרישה ליחידות ההתפלגות בהינתן המומנטים.
השאלה האם התפלגות נקבעת מהמומנטים שלה או תחת אילו תנאים הדבר קורה היא בעיה מוכרת הנקראת בעיית המומנטים.
יהיו , מספרים לא בהכרח שונים, המשוייכים לאלמנטים באוכלוסייה.
נניח שהדגימה מנורמלת באופן הבא
נקח דגימה בעלת חשיבות לסדר, מתוך המספרים הנתונים ונסמן .
נשים לב ש הוא היחס בין גודל הדגימה לבין גודל המדגם.
אילו היו בלתי תלויים, מההנחות על המדגם היינו מקבלים ש .
מאחר שזה לא בהכרח המקרה, ניתן להשתמש בשיטת המומנטים כדי להראות שאם התנאים הבאים מתקיימים אז בהתפלגות.
זה מראה שאם קטן ביחס ל, אז ההשפעה של התלות זניחה יחסית.
מלבד דרך להוכת התכנסות בהתפלגות של משתנים מקרים, ויישום בתורת הדגימה, שיטה משמשת כדרך נוספת להוכחת משפט הגבול המרכזי.
כמוכן, לשיטה יישומים בתורת המספרים בהוכחת משפט משפט ארדש-כץ .
שיטת הטרפז היא שיטה נומרית המשמשת להערכת אינטגרל מסוים של פונקציה רציפה בתחום סגור, על ידי חישוב שטחים תחת עקומת הפונקציה באמצעות קירוב לטרפזים.
זוהי טכניקה בסיסית ופופולרית באנליזה נומרית, המשמשת לחישוב ערכם של אינטגרלים מוגדרים כאשר פתרון אנליטי אינו מעשי או קשה מאוד לחישוב.
שיטת הטרפז מסתמכת על חלוקה של התחום הרצוי לרצועות קטנות, חישוב השטח של כל רצועה בהנחה שהיא קרובה לצורת טרפז, וסיכום השטחים הללו.
כך ניתן לקרב את ערך האינטגרל של פונקציה על התחום הסגור .
מאמר משנת 2016 שפורסם בכתב העת Science מציין כי כלל הטרפז היה בשימוש בבבל לפני שנת 50 לפני הספירה לצורך חישוב אינטגרלים של מהירות כוכב הלכת צדק לאורך מישור המילקה.
עבור פונקציה רציפה המוגדרת בקטע , מחלקים את הקטע לרשת של תתי-קטעים שווים ברוחב .
ערך האינטגרל מוערך באמצעות הסכום:
כאשר הם נקודות החלוקה של התחום.
שגיאת שיטת הטרפז המורכבת היא ההפרש בין ערך האינטגרל לבין התוצאה הנומרית:
בקירוב, השגיאה ניתנת להערכה באמצעות הנוסחה:
כאשר היא נקודה כלשהי בקטע .
כמו כן, רמת הדיוק של שיטת הטרפז תלויה במספר תתי-הקטעים ובמאפייני הפונקציה.
עבור פונקציות חלקות, שגיאת שיטת הטרפז קטנה ככל שמספר תתי-הקטעים גדל, והיא תלויה בערכה של הנגזרת השנייה של הפונקציה.
שיטת הרבדים היא שיטה חינוכית ללימוד התורה שבעל פה, ובעיקר התלמוד הבבלי, שפותחה על ידי הרב ד"ר פנחס היימן.
השיטה מדגישה את ההבחנה המחקרית בין הרבדים השונים שבטקסט התלמודי - בין הדורות השונים, ובין דברי האמוראים לסתמא דגמרא, דהיינו האמירות שאינן מיוחסות לאמורא מסוים, כולל דברי קישור, קושיות ותירוצים וכיוצא בזה.
השיטה מתבססת על גישת חלק מהחוקרים, שלפיה יש לייחס את ה"סתמא דגמרא" לחכמים מאוחרים יותר מאשר האמוראים, המכונים גם "סתמאים".
הפצת השיטה במוסדות דתיים לאומיים עוררה פולמוס נרחב בציבור זה משום שהיא מכניסה את הגישה האקדמית לישיבות, ומכיוון שהיא סותרת את ההבנה המסורתית (המקובלת גם בקרב חלק מהחוקרים) שה"סתמא דגמרא" הוא פעמים רבות אמוראי גם הוא, ואת ייחוס עריכתו הסופית של התלמוד הבבלי לרבינא ורב אשי.
ביקורת נמתחה גם על כך שעל פי שיטה זו אין מחויבות מהותית של חכמי כל תקופה לדעות החכמים מהתקופות הקודמות.
הטקסט של התלמוד הבבלי בנוי משכבות היסטוריות שונות, כדברי רב שרירא גאון באיגרתו: "דרא בתר דרא איתוסף תלמודא".
מוסכם כי התלמוד כולל ארבעה רבדים עיקריים:
המשנה שנחתמה על ידי רבי יהודה הנשיא.
המקורות התנאיים המורחבים לדוגמה התוספתות והברייתות שמקורם בתקופת התנאים (עד שנת 240 לערך).
המקורות האמוראיים שמקורם בתקופה האמוראית (מסוף תקופת התנאים עד שנת 500 לערך)
רובד רביעי ואחרון, המציג ומפרש את המקורות התנאיים והאמוראיים.
רובד זה נקרא על ידי הראשונים בשמות שונים: "סתמא דגמרא", "סתמא דתלמודא", "רבנן בתראי" ועוד.
לגישת החוקרים (ובכללם 'שיטת הרבדים'), רובד זה הוא מאוחר לתקופה המיוחסת לחתימת התלמוד על ידי רבינא ורב אשי, ונכתב בתקופה הסבוראית.
יש חוקרי תלמוד שאף מאחרים סוגיות מסוימות ברובד זה עד לאמצע תקופת הגאונים.
מכיוון שחכמי כל רובד לא הכירו את הרבדים שנוצרו אחריהם, יש ללמוד ולהבין את דבריהם רק בהקשר למה שנאמר לפניהם.
על פי שיטת הרבדים יש ללמוד כל רובד במנותק מהרבדים האחרים, ורק אחר כך לנסות להבין את המכלול כפי שהוא לפנינו.
השיטה הדידקטית מבוססת על תוצאות המחקר הביקורתי של התלמוד, והאופן שבו הוא מתארך סוגיות וחלקי-סוגיות לתקופה שאחרי ימי האמוראים.
בבסיס המוטיבציה ליצירת השיטה והפצתה, ציינו חלק מהוגיה, ש-70% מבוגרי הישיבות התיכוניות אינם מסוגלים ללמוד דף גמרא בעצמם, אף שרובם ככולם מקדישים כ-15 שעות שבועיות למקצוע זה וניגשים לבגרות בו.
כמחצית מבוגרי ישיבות ההסדר נכשלים במבחני אנסין במבחן כניסה למכוני ההוראה שנעשה בשנה הרביעית ללימודיהם.
חוקרים ציינו כי בקרב תלמידי הציונות-הדתית התלמוד נחשב למקצוע השנוא ביותר.
תומכי השיטה הציעו לחפש את שורשי הבעיות "בהוראת הגמרא בהיעדר כמעט מוחלט של מיומנויות למידה שיטתיות, מוגדרות ומדורגות" כפי שנעשה במקצועות אחרים.
השיטה נוסתה במספר מוסדות של החינוך הממלכתי-דתי, וגרסאות שלה או שיטות דומות מיושמות בישיבות כמו ישיבת אורות שאול, ישיבת מעלה גלבוע (שבה לימד הרב דוד ביגמן שיטה דומה עוד קודם להפצת שיטת הרבדים), ישיבת הדר וישיבת מחנים.
על שיטת הרבדים, ובעיקר על הכוונה להכניסה כמתודת לימוד שיטתית בבתי הספר הדתיים, התקיים פולמוס שעורר הדים רבים.
במיוחד כאשר הומלצה על ידי משרד החינוך בתוכנית הלימודים למכוני הוראה, שרבים מתלמידי הישיבות הציוניות משתתפים בהם.
למעשה, ברקע הפולמוס ניצבת רתיעה משימוש במחקר ביקורתי-טקסטואלי לטקסט מקודש, והחשש שתיארוך מאוחר של קטעים מן התלמוד יביא לזילזול בתוקף ההלכתי המיוחס להם במסורת הדתית.
ההשוואה לביקורת המקרא והשפעתה על עזיבת האמונה עולה לעיתים קרובות במפורש.
תומכי השיטה טוענים שהלימוד בדרך זו "מציעה דרך בהירה ומעניינת ללימוד תורה שבעל פה.
השיטה מעניקה לכל אדם כלים להתמודד בעצמו עם דף הגמרא ולהבין את דרך השתלשלותה של תורה שבעל פה".
משפט נוסף שנפוץ בקרב תומכי השיטה הוא "לרש"י לא היה רש"י" - כלומר כמו שרש"י פירש את הגמרא כך גם האמוראים פירשו את המשנה וניתן ללמוד את המקורות באופן עצמאי.
לעומתם, טוענים שוללי השיטה, ששיטת הלימוד מהווה התרחקות מדרך הלימוד המסורתית המקובלת מימים ימימה, ובפרט בשתי נקודות:
שוללי השיטה מסתייגים מאיחור חתימת התלמוד (על ידי שיטת הרבדים) לתקופה המאוחרת לתקופת החתימה המקובלת במסורת היהודית.
לטענת חלק מן המתנגדים, יש בכך משום ערעור סמכותו ההלכתית של התלמוד הבבלי, באשר לשיטתם סמכותו נובעת מהיותו פרי הסכמה של רוב חכמי ישראל שבאותו זמן - טענה המתערערת עם איחור החתימה לתקופת הסבוראים והגאונים.
כמו כן, הלימוד של רובד אחד (למשל, המשנה) במנותק ובאופן עצמאי מהפרשנות לו ברבדים מעליו (הפרשנות התלמודית), מבטא את טענת שיטת הרבדים, שחכמי הרובד המאוחר (האמוראים) פירשו את הרובד הקדום בשונה מהכוונה המקורית של הדברים (במתכוון), דבר שהוא מנוגד לתפיסה היהודית המסורתית.
כמו כן, פרסמו רבנים נוספים את התנגדותם, בהם הרבנים אריה שטרן וצבי קוסטינר.
בנוסף, לחלק מהרבנים הפריעה העובדה שמפתחי השיטה (כגון הרב ד"ר פנחס היימן) באים משורות האקדמיה, ובכך מכניסים צורות לימוד אקדמאיות במקום אלו המסורתיות.
דברים קרובים כתב הרב יעקב אריאל שהתנגד כיוון שסבר שיש בשיטה זו אפשרות להרחיק את הלומד מן העיקר.
דעה מורכבת הציג הרב אביגדור הלוי נבנצל שהתנגד לשיטה באופן עקרוני אך נפגש עם רבני ישיבת עתניאל על מנת לברר כיצד בכל זאת ניתן להשתמש בשיטה כפרשנות נוספת תוך מחויבות הלכתית לפרשנות האמוראית והשתלשלותה.
הרבנים שמואל אריאל ויעקב נגן, ציינו כי בעבר היו רבנים שהשתמשו בשיטה זו ואין מניעה משימוש בה ככלי נוסף בתוך מערכת הכלים של הלימוד.
לדבריהם, מותר לפרש את המשנה בפירוש אחר מאשר פירשוהו האמוראים, כל זמן שהפירוש איננו ננקט להלכה, ושאין פוגעים בסמכות של ה"סתמא דגמרא" שהם דברים שנכתבו בשם עורכי התלמוד.
הם עוד העירו, על ההתקפה הבוטה שנעשתה בידי מתנגדי השיטה כנגד מצדדיה, והעירו שאין לה מקום.
גם הרב יובל שרלו תמך בשיטה, ויצא בביקורת כנגד ההתקפות עליה.
שיטה חדשה, המאמצת רבים מעקרונות שיטת הרבדים ומתמודדת עם אותן הבעיות, הוצגה לציבור הרחב ב-2009 עם צאת ספרו של הרב שג"ר - "בתורתו יהגה".
שיטת הפִּלְפּוּל היא תופעה שרווחה בעולם היהודי בתקופות שונות, ונפוצה במיוחד בימי הביניים.
להבדיל מהמונח "פלפול" הרווח במשנה ובתלמוד, "שיטת הפלפול" הוא כינוייה של תופעה שרווחה החל מבעלי התוספות, עבור למעטים בין הראשונים, והתגברה במיוחד בתקופת האחרונים – בייחוד ביהדות אשכנז.
תופעה זו לבשה צורות שונות בתקופות השונות, אך עם זאת, התאפיינה לרוב בצורות חשיבה והנחות יסוד דומות; בהן, הלכדה של התורה שבעל פה תוך השקפה כי כולה מקשה-אחת, עיסוק בחשיבה תאורטית שאינה נוגעת לפסיקת הלכה ונטייה לחידוד וחריפות לשמן.
תופעה זו הייתה סלע מחלוקת שנים רבות, וזכתה מצד רבנים וחכמים לגינוי בצד עידוד.
במשנה ובספרות המדרשית נעשה שימוש בפלפול בעיקר תוך לימוד הפסוקים ובעימות של הלכות שונות זו מול זו.
פלפול מוקדם זה אופיין בדרך חשיבה הפכפכה: כשמו כן הוא, "פל-פל" – הטיית הדעה אנה ואנה; צורת חשיבה שאינה מתמקדת במהותם של הדברים, אלא ביכולת הלוגית המופשטת לטעון אותם, וכתוצאה מכך לכל A תמיד ניתן לטעון לא-A.
בנוסף, פלפול מוקדם זה החל לרוב בדיון הלכתי שטמן בחובו השלכות מעשיות, על אף שהמשך הדיון יכול ליסוב גם על נושאים תאורטיים לחלוטין.
מאוחר יותר, הפכה המשנה עצמה למושא שיטה זו, וסוג חדש של פלפול התבסס בעיקרו על מעין שעשוע בדברי הלכה; כלומר, שימוש בנימוקים אנטי-הלכתיים באופן שברור היה כי על-אף שהם עוסקים בנושא מעשי – אין כל ספק שאין ביכולתם לשנות הלכה פסוקה.
הפלפול המאוחר יותר החל להתפתח לאחר כתיבת התלמוד, שהפכה ליסוד משמעותי בחשיבה הפלפולית והמסורתית.
אירוע זה של כתיבת התלמוד הציב הנחות-יסוד חדשות בבסיס הפלפול – הנחות שחלקן אף הפכו לעקרונות אידאולוגיים.
כך לדוגמה, היו שדגלו בגישה של הרמוניזציה כלל-הלכתית לכל התורה שבעל פה, וסברו כי ההלכה אובייקטיבית ואינה תלויה במקום ובזמן או בדעות שונות – גישה שלפיה לא תיתכן סתירה בהלכה, הגם שזו סתירה בין שני מקורות מרוחקים מאוד זה מזה – כרונולוגית או גאוגרפית.
יתרה מכך, התלמוד עצמו הפך למושא לפלפול, וכך רווחה הגישה כי התלמוד כולו מקשה אחת ללא סתירות, ושיש להתאמץ כדי ליישבן.
הנחות יסוד אלה לגבי התלמוד כללו את זו שכל התנאים והאמוראים הכירו את מכלול ההלכות שהתחברו בתקופתם, ומכאן שבמקרה של סתירה יש ליצור 'חילוק' – אבחנה דקה ככל שיידרש, כדי להסביר את ההבדל בין שני המקרים.
במסורת ניתן למצוא הדים לגישה מכלילנית זו כלפי התורה שבעל פה כולה, בדבריו של ריש לקיש, שאמר: .
עבודת המפלפלים כללה השוואות בין הטקסטים השונים, סיווגם, יישוב סתירות ביניהם, והמצאת חילוקים רבים בין נושא למשנהו – גם אם היה צורך להמציא המצאות מופלגות ללא בסיס טקסטואלי.
שיטת לימוד זו הובילה לעיסוק בחריפות לשמה והשעשוע האינטלקטואלי שבלימוד פלפלני הפך לערך בפני עצמו, דבר שהוביל להתרחקות מפסיקת הלכה, ועיסוק בלימוד לשם ההנאה האינטלקטואלית שבכך.
באמצע המאה ה-14 החלה להתפתח שיטת החילוקים, ולמרות הערפול סביב ייסוד שיטת הפלפול המאוחר – שיטת החילוקים – ידוע כי מקורה הוא באשכנז.
החיבור הראשון שהתחבר בשיטה זו הוא תוספות גורניש המיוחסת לחכמי אשכנז אחרי המגפה השחורה ובהמשך התפתחה עוד בישיבות גרמניה, בישיבות ששכנו בערים אאוגסבורג, נירנברג ורגנשבורג.
לאחר מכן הובאה השיטה לפולין בידי הרב יעקב פולק, שהיה ראש ישיבה בקרקוב, והשיטה שהתפתחה בדורות שאחריו לכיוונים שונים יוחסה אליו.
תלמידו, רבי שלום שכנא, המשיך את דרכו של רבו בשיטת החילוק והפלפול בישיבתו הפופולרית "ישיבת חכמי לובלין".
רבי יעקב לא כתב שום חיבור, ואין יודעים במדויק במה דגל, והאם תמך בשיטתו בקיצוניות דומה לזו שהתפתחה בדורות שלאחר מכן.
כך, רבי ברכיה בירך שפירא מהלל את שיטת החילוקים של רבי יעקב פולק, אך מתנגד נמרצות לקיצוניות שאליה הגיעו הדורות שלאחר מכן.
המהר"ם מלובלין מביא בחידושיו פלפול אך כותב: "ואפסיק מזה, כי אין כוונתי לזה בחיבור זה ולא כתבתי זה אלא כדי להלהיב את לב התלמידים...".
דוגמה ל"פלפול נירנברגר", היא סוגיית ריבית, שבה קיימת מחלוקת אמוראים בין רבי אלעזר לרבי יוחנן, האם ריבית קצוצה – ריבית קבועה – יוצאת בדיינים, כלומר, נלקחת בכוח מהמלווה, או שההלוואה וההתחייבות לריבית בעינן עומדות ובית-דין אינם מתערבים.
התלמוד מקשה על אמוראים אלה משתי ברייתות שונות, מהאחת מוכח כי חלה חובת השבה ומהאחרת מוכח כי אין חובת השבה, אך אם התלמוד ידע מראש על קיומן של שתי הברייתות, מדוע הוא הביא בתחילה רק אחת מהן כדי להקשות, והעלים את השנייה?!
סוג נוסף של פלפול נירנברגר הוא כשאמורא מקשה שאלה על שתי שיטות, לחפש שיטה שלישית שתתאים לעמדת האמורא השואל.
סוגי קושיות נוספות הם "אויסברנגר", כלומר, במקרה שהגמרא מביאה קושיה ממשנה על דברי אמורא ואינה צריכה להביא את תחילת המשנה ובכל זאת מביאה, ועל כך קשה שהבאת כל דברי המשנה זה מיותר.
וכך בצורה הפוכה "פירברנגר" שהגמרא יכלה להביא רק את תחילת המשנה ולא את סופה, התירוץ בדרך כלל היה, שקשה גם מתחילת המשנה וגם מסופה, או שלולי סוף המשנה היה ניתן לתרץ באופן מסוים.
השל"ה התנגד לתירוצים אלו וסבר שהתירוץ הפשוט הוא, שמכיוון שהגמרא הביאה חלק מהמשנה אגב כך הביאה את כולה, בכדי ללמד את הקוראים הלכות נוספות.
שיטת הפלפול 'גג על גג' וה'לשיטתו'
בין אלו שהשתמשו בדרך לימוד זה נמנו רבי יחזקאל לנדא בספרו דורש לציון ואף האדמו"ר רבי מאיר יחיאל מאסטרובצה, ורבי מאיר שפירא.
שיטת לימוד שבמובנים מסוימים (אם כי לא בכולם) דומה לאופן הלשיטתו היא דרך הלימוד של "אחדות התורה" אותה התחיל הרגוצ'ובר והמשיך הרבי מלובביץ'.
דרך לימוד זה היה מקובל בעיקר בפולין, בגליציה, בליטא ובהונגריה, במאה השמונה עשרה ואילך אולם בימינו התמעט השימוש בה, ומקובלת בעיקר בחצרות צאנז, וסאטאמר.
רבים התנגדו לשיטה זו, חלקם באופן עקיף ובהתייחס לצורך "אסוקי שמעתא אליבא דהלכתא", וחלקם התנגדו באופן ישיר כאשר ראו את תוצאותיה של השיטה בקהילותיהם שהובילה להספק לימוד דל, לעיסוק ממושך בנושאים מצומצמים ולעיוותים אינטלקטואליים.
למעט רבי יעקב פולק היו תומכים נוספים לשיטה, אם כי באופן מסויג יותר, ביניהם המהרש"א, מהר"ם שיף, היעב"ץ והפני יהושע.
הרמב"ם קדם למהר"ל בהתנגדותו הנחרצת לפלפול, וראה בשיטה זו בזבוז זמן (באיגרתו לתלמידו ר"י בן יהודה).
ואכן בארצות בהן הושפעה היהדות מהרמב"ם ניכרה מגמה של לימוד תלמוד על מנת לפסוק הלכה – .
מהר"י ברונא, שהיה ראש הישיבה ברגשנבורג כותב על דרך לימוד זאת שיש להיזהר מלפסוק הלכה על פיה:
שיטת טורנס היא שיטה לרישום זכויות במקרקעין.
היא נקראת על שמו של רוברט טורנס , מושל מדינת אוסטרליה הדרומית, שהגה אותה והחל ביישומה באוסטרליה בשנת 1858. שיטה זו היא שיטת מרשם הזכויות (Title registration).
בארץ ישראל החלה השיטה להיות מיושמת על ידי שלטונות המנדט הבריטי.
שיטת טורנס היא שיטת רישום המקרקעין הנהוגה כיום בישראל.
שיטת טורנס מבוססת על שלושה עקרונות:
עקרון השיקוף (mirror principle) – מרשם המקרקעין (טאבו) משקף באופן מדויק ומושלם את העובדות העדכניות לגבי מקרקעין מסוימים.
הן פרטי בעלי הזכויות והן גבולות המקרקעין ושטחם מתועדים במרשם המקרקעין.
בכל יחידת מקרקעין מתבצעת מדידה קדסטרית, המבוססת על מערכת קואורדינטות בהתאם לתקנות.
כמו כן, לגבי כל יחידת מקרקעין נרשמות זכויותיהם של בעלי הזכויות, לאחר תהליך שנועד לברר מי הם הבעלים החוקיים ולהפיק "שורה תחתונה" קניינית משרשרת העברות המקרקעין שבוצעו בעבר.
זה הוא התהליך של הסדר זכויות במקרקעין (land title settlement).
אופן ביצוע תהליך ההסדר קבוע בחוק.
מקרקעין שעברו תהליך זה הם מקרקעין מוסדרים.
עקרון מסך המרשם (curtain principle) או עקרון סופיות המרשם – הרישום בטאבו הוא סופי (conclusive) וחותך (indefeasible).
אדם אינו זקוק לאף מסמך, פרט לנסח הטאבו, כדי לדעת מי הוא בעל הזכויות במקרקעין, חד וחלק.
עצם הרישום בטאבו הוא היוצר את הזכויות במקרקעין.
בהגדרה, זכויות שלא נרשמו בטאבו הן זכויות שכלל אינן קיימות (כזכויות קנייניות).
רק בנסיבות מסוימות, הנקבעות בדין, מתקיימים חריגים לכלל זה.
כך לדוגמה: זיקת הנאה מכח השנים אינה טעונה חובת רישום, אולם המעוניין ברישומה, רשאי לעשות כן.
עקרון השיפוי (indemnity principle) – המדינה, שהיא המנהלת את מרשם המקרקעין, אחראית כלפי מי שעשוי להיפגע מטעויות במרשם.
לדוגמה, אם נרשם שטח לא נכון של המקרקעין או אם מי שנרשמו בטאבו כבעלי זכויות אינם הבעלים הנכונים שהיו צריכים להיות רשומים כדין (כגון עקב תרמית או תקלת מחשב), על המדינה לפצות את מי שנפגע מהטעות.
מרשם זכויות מול מרשם שטרות
שיטת טורנס היא שיטה של מרשם זכויות.
בשיטה זו, מה שמתועד במרשם המקרקעין הן הזכויות עצמן.
הרישום הוא המקים והיוצר את הזכויות.
זאת, בניגוד לשיטה הישנה יותר, של מרשם שטרות, במסגרתה מתועדים במרשם המקרקעין השטרות (deeds או instruments) הנוגעים למקרקעין מסוימים.
בשיטה זו אין ודאות כמו בשיטת מרשם הזכויות.
לא ניתן להסתמך על נסח הטאבו ונדרש לבדוק את השטרות עצמם, על מנת לוודא שזכותו של מי שנחזה להיות בעל הזכות במקרקעין אכן שרירה ולא מופרעת על ידי זכות קודמת.
כמו כן, בשיטת מרשם השטרות, אין מיפוי מדויק של המקרקעין, על שטחם וגבולותיהם.
לרוב נעשה שימוש בתיאור מילולי של גבולות המקרקעין (לדוגמה, תיאור לפי עצים, דרכים או שמות השכנים), שעשוי לאבד מתוקפו עם חלוף הזמן.
שיטת טורנס מתגברת על הבעיות האמורות ומאפשרת לדעת באופן סופי ומדויק, אך ורק מנסח הטאבו וממסמכי המיפוי המופקדים בלשכת רישום המקרקעין, את כל הנתונים הנוגעים הן לזהות בעלי הזכויות במקרקעין והן לשטח ולגבולות המקרקעין.
עקרון סופיות המרשם מקדם חיי מסחר תקינים ונוחים.
מי שמסתמך בתום לב ובתמורה על הרישום בטאבו יקבל לידיו זכות תקפה, אפילו אם נפל פגם בשרשרת ההעברות הקודמות של המקרקעין.
המקרקעין עברו מיפוי קדסטרי שמבטיח רישום מדויק של הגבולות ושל שטח המקרקעין.
הרישום המדויק מקטין באופן משמעותי סכסוכים על גבולות מקרקעין.
הרישום מבטיח את זכויות הבעלים גם אם הם לא נוכחים במקרקעין.
רק בעל הזכות במקרקעין יכול להעביר את זכותו.
שיטת זילברמן היא שיטה לימודית בתלמודי תורה, הקרויה על שם מייסדה, הרב יצחק שלמה זילברמן.
השיטה מבוססת על הבנה בסיסית ושינון רב של התנ"ך והמשנה, בעוד ההעמקה ולימוד הגמרא נדחים לגיל מבוגר יותר.
סדר לימודים זה שונה מהמקובל ברוב מוסדות החינוך הדתיים, בהם אין מקובל ללמוד את כל התנ"ך ואת כל המשנה, ולימוד המקרא והתלמוד בעיון מתחיל בגיל צעיר.
השיטה מבוססת על הנאמר בפרק ה' במסכת אבות: "בן חמש שנים למקרא, בן עשר למשנה, בן חמש עשרה לתלמוד"; וכן על דברי התלמוד הבבלי "ליגמר איניש והדר ליסבר" (ילמד אדם תחילה את הדברים ואחר כך את סברותיהם).
על פי השיטה, הילדים מתחילים בכיתה א' בלימוד התנ"ך עם טעמי המקרא.
לאחר שמסיימים ללמוד את התנ"ך כולו סמוך לגיל עשר, מתחילים ללמוד ששה סדרי משנה.
רק לאחר מכן, קרוב לגיל חמש עשרה, מתחילים ללמוד תלמוד.
בתלמודי התורה לפי שיטת זילברמן לומדים בכל ימי השנה, לרבות שבתות וחגים (במספר שעות מצומצם יותר, ועל פי רוב לא בגדר חובה), למעט ביום תשעה באב, שבו אסור ללמוד תורה.
הדרכה זו מבוססת על דברי ריש לקיש: "אין מבטלין תינוקות של בית רבן אפילו לבניין בית המקדש", ועל פסק הרמב"ם.
תחילת השיטה בתלמוד תורה אדרת אליהו שייסד הרב זילברמן בעיר העתיקה בירושלים בתחילת שנות השמונים (על שם הגאון מווילנה, שבו ראה הרב זילברמן את מורה דרכו).
הוא הקים מוסד זה בעקבות כמה ניסיונות שלא צלחו להנחיל את שיטתו בתלמודי תורה קיימים, דוגמת "הדר ציון" ו"קמניץ" שהיה ממייסדיהם.
את השיטה מפיצים לאחר פטירתו בניו, הרב יום טוב זילברמן והרב אליהו זילברמן.
בציבור החרדי לאומי ישנם כעשרים תלמודי תורה המבוססים על השיטה, מקצתם מופעלים על ידי רשת "מישרים".
גם בציבור החרדי, השמרן יותר, ישנם כמה מוסדות.
השיטה נתמכת על ידי כמה רבנים, בהם הרב אהרן יהודה לייב שטיינמן, שאף עמד בנשיאות מספר תלמודי תורה המלמדים לפי השיטה, בבני ברק ובביתר עילית.
הרב זילברמן כתב שגם הרב יעקב ישראל קניבסקי תמך בשיטה ועודדו להפיצה.
שיטת השוברים בחינוך היא שיטת תיגמול המשתמשת בשוברים כאמצעי למימון ציבורי של חינוך פורמלי.
בשיטה זו, מקבלים הורי הילדים "שובר" (קופון) בערך כספי ידוע, באמצעותו הם מממשים את תוכנית החינוך לילדיהם לפי בחירתם.
לטענת תומכיה, נועדה השיטה להגדיל את חופש הבחירה של הורים בבחירת מוסד חינוכי עבור ילדיהם וכך לשפר את ביצועי בתי ספר באמצעות יצירת תחרות על תלמידים.
ניצנים לרעיון של מימון ציבורי של החינוך, תוך שמירה על זכות ההורים לבחור, נמצאים אצל מספר כותבים בסוף המאה ה-18. אדם סמית, בספרו עושר האומות (ספר חמישי, פרק ראשון, חלק שלישי) מציין שתחרות בחינוך נדרשת על מנת שלמורים תהיה מספיק מוטיבציה ללמד.
תומאס פיין בספרו "זכויות האדם" (1791) מציע להעניק לכל ילד מלגה המספיקה לשש שנות לימוד, ומציין שזו דרך יותר יעילה מבתי ספר ציבוריים.
ביהדות מופיע הרעיון של מימון ציבורי לחינוך כבר אצל הרב מאיר הלוי אבולעפיה במאה ה-13. האדמו"ר הזקן, רבי שניאור זלמן מלאדי (בין 1770–1800), מחזיק גם הוא בעמדה שעל הקהילה יש חובה לממן את הלימודים של כל הילדים בעיר, עשירים ועניים.
הוא מציין גם בחירה מסוימת בכך שהוא כותב שחובת המימון הוא ברמה של 25 תלמידים בכיתה, ואם ההורים רוצים כיתות קטנות יותר עליהם להשלים את העלות הנוספת מכיסם.
חובה זו הנמצאת במשפט העברי, מילאה תפקיד בפסיקות בית המשפט בישראל.
הראשון להציע תוכנית מלאה לשוברים בחינוך היה ג'ון סטוארט מיל.
בשנת 1955 העלה מילטון פרידמן את רעיון השוברים לסדר היום, בספרו "כלכלה ואינטרס ציבורי".
בארצות הברית שימשו השוברים, בעיקר במדינות הדרום, למימון בתי ספר פרטיים ללבנים בלבד.
זאת לאחר שבשנת 1954 פסק בית המשפט העליון של ארצות הברית בתיק בראון נגד מועצת החינוך כי הפרדה על רקע גזעי בחינוך הציבורי בארצות הברית אינה חוקית.
מחקרים העלו ממצאים שונים באשר להשפעות השוברים.
דיווח משנת 1992 מספר על מחקר בסקוטלנד שלא מצא שהורים בוחרים בתי ספר על פי הישגים במבחנים, אך מצא שהשוברים גוררים ריבוד חברתי.
בנוסף מדווח על מחקר מקליפורניה שלא מצא שיפור בהישגים הודות לתוכנית שוברים.
ספר של ויליאם האוול ופול פטרסון טוען על סמך מידע עדכני יותר שאפרו אמריקאים הרוויחו משמעותית מתוכניות שוברים במקומות שונים בארצות הברית.
לפי מחקר משנת 2019, תלמידים שהשתמשו בשוברים ללימודים בבתי ספר פרטיים הציגו תוצאות גרועות יותר במתמטיקה ובקריאה לעומת תלמידים בבתי ספר ציבוריים.
המחקר בוצע במחוז קולומביה על ידי משרד החינוך האמריקאי.
החל משנות ה-80 של המאה ה-20 הופעלו תוכניות של שוברים ("school vouchers") במדינות רבות בארצות הברית.
רוב התוכניות מיועדות לקבוצות מוגבלות של ילדים באזורים ספציפיים ו/או כאלו הבאים ממשפחות עם הכנסות נמוכות.
תוכניות שוברים הופעלו במילווקי ובקליבלנד כמו גם באזורים אחרים.
בפסק דין זלמן נגד סימונס-האריס החליט רוב של שופטי בית המשפט העליון של ארצות הברית שתוכנית השוברים בקליבלנד היא חוקתית, למרות שרוב השוברים נוצלו ללימודים בבתי ספר דתיים.
בין השנים 1990–2000 עלה מספר התלמידים שקבלו שוברים מ-5000 ליותר מ-60,000, כאשר קרוב ל-50,000 מהשוברים נתנו בשנת 2000 על ידי מוסדות צדקה פרטיים.
ביוני 2022 חוקק באריזונה תוכנית שוברים אוניברסלית הכוללות את כל התלמידים, ללא כל דרישות מבתי הספר הפרטיים.
באוקטובר 2022 קבע בית המשפט בוירג'יניה המערבית כי תוכנית השוברים האוניברסלית של המדינה היא חוקתית.
בשנת 2023 חוקקו תוכניות שוברים ב-14 ממדינות ארצות הברית, בשישה מתוכן: אוקלהומה, יוטה, ארקנזס, פלורידה, איווה, אינדיאנה, חוקקו תוכניות אוניברסליות.
בינואר 2025 חוקק בטנסי חוק המעניק עד 20,000 שוברים אוניברסליים, מחציתם לבעלי הכנסות נמוכות ומחציתם ללא הגבלה על הכנסות.
השימוש בשוברים נמצא במחלוקת עמוקה בארצות הברית.
הצד של המפלגה הדמוקרטית נוטה להתנגד לשוברים כיוון שלטענתם הם מדלדלים את משאבי בתי הספר הציבוריים ומעבירים כספים שנגבו במיסים לבתי ספר פרטיים.
במיוחד הם מתנגדים להשתתפות המדינה במימון בתי ספר דתיים.
מנגד, התומכים רואים בשוברים דרך לתת להורים בחירה רבה יותר באשר לחינוך ילדיהם.
סקרים שנעשו בין השנים 2000–2002 הראו רוב קטן לתומכים בתוכניות שוברים.
בשנת 1994 נכנסה לתוקף בשוודיה גרסה של תוכנית שוברים במערכת החינוך.
הרפורמה קבעה שהרשויות המקומיות, דרכן עובר תקציב החינוך, ישלמו לבית הספר סכום שווה לכל ילד (בהתאם למקום מגורים ולקבוצת הגיל).
הסטנדרטים לפתיחת בית ספר ולקליטת תלמידים אליו הפכו בסיסיים.
לבתי הספר הותר לפעול כמוסדות בעלי כוונת רווח, אך עם זאת הוטלו גם מספר מגבלות: בית ספר לא יכול לדרוש תשלומים נוספים מההורים, והקבלה אליו היא על בסיס "כל הקודם זוכה", כך שבית הספר לא יכול לסנן תלמידים על פי העדפות שאינן רלוונטיות ללימודים (למשל על פי מצב כלכלי).
בנוסף, רשות מפקחת בלתי תלויה מקפידה על קיום תנאי הסף של תוכניות הלימודים הבסיסיות של שוודיה גם במערכת הפרטית.
לאחר הרפורמה, עלה מספר התלמידים במערכת הפרטית בשוודיה משבריר אחוז ליותר מ-10%.
ברפורמה תומכים כיום פוליטיקאים סוציאל-דמוקרטים שהתנגדו בעבר לתוכנית (שהועברה בזמן שהמפלגה הסוציאל-דמוקרטית הייתה באופוזיציה).
הסוגיה הועלתה שוב לדיון זמן מה לאחר החלת שיטת השוברים בשוודיה, במהלכה נרשמה עלייה בציוני התלמידים ברמה הארצית, ולמרות זאת חלה ירידה עקבית בהישגי התלמידים השוודים במבחן פיז"ה.
הסתירה בין שתי המגמות ממשיכה לעורר מחלוקת במדינה אודות המדיניות הרצויה בתחום החינוך.
שיטת הריבועים הפחותים (מכונה גם "שיטת הריבועים המזעריים", "שיטת הריבועים המינימליים", "שיטת מינימום ריבועים") היא שיטת אמידה סטטיסטית, שבה אומדים גודל לא ידוע מתוך קבוצת תוצאות מדודות כלשהן.
הראשון שתיאר את השיטה הוא קרל פרידריך גאוס, בתחילת המאה ה-19 בעת שניסה לאמוד את מקומו של כוכב הלכת הננסי קרס.
אומדן זה מאפשר השוואה בין ההתאמה של מודלים סטטיסטיים שונים לבין המדידות שהללו מנסים להסביר, כל זמן שהמודלים השונים מציעים נוסחאות מתמטיות שונות מאותו סוג (כגון פולינומים בני אותה מעלה).
לעיתים רוצים למצוא קשר מתמטי בין שני משתנים שהתקבלו במדידות נסיוניות, אך הקשר בין שני המשתנים אינו נראה לעין באופן מיידי.
הסיבה לכך היא שעבור כל ערך של משתנה אחד, נמדד במשתנה השני טווח שלם של ערכים, ולא ערך בודד ויחיד.
הסיבות לכך רבות ומגוונות, למשל במדידת גודל פיזיקלי: ייתכן שהמשתנה הראשון עצמו אינו קבוע אלא משתנה בתחום מסוים, ייתכן שהוא אינו המשתנה היחיד המשפיע על המשתנה השני (למשל, אם המשתנה השני תלוי גם בטמפרטורה), ואף ייתכן שיש מגבלות בציוד המדידה.
לכן, כדי לעמוד על טיב הקשר בין המשתנים באופן המדויק ביותר משתמשים בכלים סטטיסטיים.
שיטת הריבועים הפחותים היא אחד הכלים הסטטיסטיים הללו.
מקרה חשוב שבו שיטת הריבועים הפחותים בשימוש נפוץ הוא מקרה ליניארי.
כאשר נתונות m דוגמאות ולכל דוגמה משויכות n תכונות, אם קיים קשר ליניארי בין התכונות למשתנה, ניתן לייצגו כמערכת משוואות:
עם m משוואות, ומקדמים לא ידועים β1,β2,…,βn, כאשר m > n, ובייצוג מטריציוני:
כיוון שלמערכת המשוואות אין בהכרח פתרון, המטרה היא למצוא את הערכים של β שנותנים את התוצאה ה"קרובה" במובן של מינימיזציה ריבועית:
והפונקציה שאותה ממזערים S היא:
כאשר n העמודות של המטריצה X אינן תלויות ליניארית, משפט גאוס-מרקוב קובע כי קיים לבעיית מזעור זו פתרון יחיד.
ניתן לראות זאת באמצעות חישוב הנגזרות החלקיות והשוואתן ל-0:
כאשר מניחים שיש קשר בין משתנה מסוים (X) לבין משתנה אחר (Y), אולם מעריכים שבנוסף ל-X גם משתנים אחרים משפיעים על Y ושלא כל המשתנים האלה ידועים.
מציאת מודל סטטיסטי מאפשר הערכה מראש מיטבית של ערכו של Y, על פי ערכו של X.
דוגמה למשתנים כאלה היא X = גילו של ילד בשנים ו-Y= גובהו בסנטימטרים.
המודל הסטטיסטי שאנו מחפשים הוא נוסחה המקשרת את X ל-Y.
נעשית השוואה של הנוסחאות המוצעות השונות, שיש להן אותה מעלה חזקתית בעזרת שיטת הריבועים הפחותים.
הנוסחה שנותנת את ערך סכום הריבועים הנמוך ביותר היא זו שמייצגת את הקשר בין המשתנים באופן המיטבי.
(השוואה של נוסחאות מסוגים שונים נעשית על ידי מדדים אחרים ולוקחת בחשבון לא רק את דיוק הצפי אלא גם את פשטות הנוסחה.
ההנחה היא שעדיף אומדן פשוט ומדויק ושפשטות ודיוק עשויים לבוא זה על חשבון זה).
המחשב משתמש במדד שקרוי R2 להערכת דיוק האומדן שהוא אחת מינוס מנת סכום ריבועי שגיאות האמידה בסכום ריבועי הפרשי ערכי המדידה מהממוצע שלהם.
היתרון של השימוש במדד זה על מדד הריבועים הפחותים הוא שניתן לתת הערכה לאיכות האומדן המיטבי על פיו.
אם האומדן הטוב ביותר שמצאנו נותן R2 = 1 אזי לא ייתכן בכלל אומדן טוב ממנו.
אם R2 = 0 אזי לא ייתכן אומדן רע ממנו.
כאשר מנסים לאמוד גודל מסוים על פי תוצאות מדידה כלשהן, , גורס עקרון הריבועים הפחותים כי האומדן הטוב ביותר, x, הוא הערך שעבורו סכום ריבועי הסטיות של המדידות מ-x יהיה מינימלי.
במקרה כללי יותר, מנסים להתאים פונקציה מסוימת לסדרה של מדידות .
כאן הוא אוסף של פרמטרים.
דוגמה לכך היא ניסיון מציאת קשר בין הזרם החשמלי והמתח על נגד, בודקים בסדרה של מדידות של המתח בהתאם לשינוי בזרם: .
אם מניחים שהקשר בין המתח והזרם הוא לפי חוק אוהם, , הבעיה היא מציאת הערך של שייתן את ההתאמה המיטבית לאוסף המדידות.
בניסוח מתמטי, נדרש למצוא את שיביא את הסכום לערכו המינימלי.
שיטת הסָלָמִי (הונגרית: Szalámitaktika) היא הכינוי שהוענק לשיטה הסטליניסטית של כפיית תהליך הקומוניזציה והסובייטיזציה בארצות מזרח אירופה, לאחר מלחמת העולם השנייה, ויצירת "הגוש המזרחי".
השיטה הופעלה בשנים 1944–1948 בשש מדינות: פולין, מזרח גרמניה, הונגריה, צ'כוסלובקיה, רומניה ובולגריה.
את המונח טבע הסטליניסט היהודי-הונגרי מתיאש ראקושי, שכוונתו הייתה שהשלטון ייתפס שלא במהפכה – אלא בצעדים מדודים, וכך יחוסלו האופוזיציות ללא זעזועים מיותרים או מחאות ציבוריות.
השם "שיטת הסלמי" משמש בהשאלה לכל טקטיקה שמטרתה השתלטות עוינת בשלבים, כשכל שלב מבוצע כביכול מרצונו החופשי של הקורבן, שאינו רואה את התמונה הכוללת ואת התוצאה הסופית.
המונח משמש, לדוגמה, גם בעולם העסקים: הצגת בעיה עסקית או פתרונה בשלבים מורכבים, המקשים על תפיסת התמונה בכללותה.
כשפורסים נקניק סלמי, פורסים פרוסה דקה אחר פרוסה דקה, קמעא קמעא ושלב אחר שלב.
לאחר פריסת פרוסה אחת – קשה להבחין בשינוי כלשהו בגודל הסלמי הנשאר, אולם לאחר פריסות חוזרות ונשנות – הנקניק הפך כולו לפרוסות.
סטלין היה נחוש בדעתו להשתלט על מזרח אירופה, ובוועידת יאלטה (1945) אף נראה היה כי קיבל לכך את הסכמתם של רוזוולט ושל צ'רצ'יל.
התנאי היה שלא ייגע ביוון בשל חשיבותה הסמלית לתרבות המערב.
סטלין אכן עמד בדיבורו ולא הפעיל את השיטה ביוון, על אף שהייתה למפלגה הקומוניסטית ביוון תמיכה עממית רחבה והיה ביכולתו להשתלט עליה בקלות.
בהימנעו מהדבר, הבטיח לעצמו סטלין חופש פעולה במספר מדינות אחרות שהיו בעלות חשיבות בעיניו, תוך העלמת עין מצד ארצות הברית ואנגליה, שנרתעו מהסלמת המלחמה הקרה על אדמת אירופה.
עם תום מלחמת העולם השנייה היו מדינות מזרח אירופה הרוסות מבחינת התשתית החברתית והכלכלית.
בכולן (חוץ מצ'כוסלובקיה) לא הייתה מסורת של משטר דמוקרטי.
רוב אנשי האליטה והמשכילים במדינות אלה נהרגו על ידי הנאצים, ובפולין הם נהרגו על ידי הסובייטים בטבח יער קאטין.
לכן נכנסו הסובייטים לתוך "חלל ריק", פיזי ורוחני.
בפולין, מזרח גרמניה, הונגריה, צ'כוסלובקיה, רומניה ובולגריה שהה הצבא האדום כצבא כיבוש, וזה הקל על סטלין את המלאכה.
בשלב הראשון הקימו הסובייטים בכל אחת מהמדינות הללו מפלגה קומוניסטית שנקראה בשם "סוציאל-דמוקרטית", או בשם מקביל דומה.
אז קוימו בחירות דמוקרטיות, אחריהן הוקמו קואליציות של מפלגות אחדות בכל מדינה.