tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
במגילות קומראן נמצא כתב יד המגולל גרסה אחרת של סיפורי בראשית.
כדורי מדגיש כי אין מגילה זו מאפיינת פרץ של יצירתיות לשמה, אלא היא באה לפתור סוגיות פרשניות.
לכן, אין המגילה מתאפיינת בניסיונות לטשטש את העובדה כי היא נכתבה מאוחר.
אחד הסיפורים המרכזיים שכותב המגילה משכתב הוא סיפור ירידת אברהם למצרים.
לפי כותב הטקסט פרשנות אפשרית לבעיה האידאית הנראית דרך הכתובים היא כי אברהם חלם חלום נבואי הדורש ממנו לומר כי שרי היא אחותו.
בחלום מתוארים שני עצים, כאשר ניתן לסווג בנקל את עץ הארז כמייצג דמות גברית ואיתנה במקרה זה את אברם, ואת עץ התמר כמייצג דמות נשית, כלומר את שרי.
כאשר באים בני האדם לכרות את הארז נזעקת התמרה וטוענת כי היא והארז משורש אחד, מאותו המקור המשפחתי.
התמר והארז מתוארים כאח ואחות.
בספרות הקדומה מקור החלומות מיוחס לרוב לאלוהים.
לכן, כאשר אברם מקבל חלום ונענה לו אין זו התנהגות פחדנית, אלא התנהגות המייצגת את העול שמקבל אברם בקיום מצוות האל.
לחלום זה ניתן לראות יסוד בפסוק המתאר את היוודעות אברם ליופייה של שרי.
אם מפרשים בעקבות כותב המגילה, ניתן להסב את המילים "הנה נא ידעתי", אשר לעיתים מופיעות בתנ"ך במשמעות של "גיליתי" או "נודע לי", על תגובת המצרים.
יתר על כן, אברם לא חושש מהתרחשות שעלולה להגיע אלא הוא מציג זאת בוודאות.
וכיוון שאברם לא היה יכול לדעת בוודאות מה יקרא ללא קבלת נבואה מסתבר כי הוא אכן התנבא.
ההקבלה לסיפור פרידת אברם ולוט
מיד לאחר סיפור ירידת אברם למצרים מופיע סיפור פרידת אברם ולוט, שעל אף שהוא שונה בתוכנו מסיפור ירידת אברם למצרים, הוא דומה לו במבנהו החיצוני, ויש בין הסיפורים כמה הקבלות לשוניות.
סיפור הפרידה מלוט פותח במילת הקישור "וגם", המחברת אותו לסיפור הקודם, המשווה את רכושו של לוט לרכושו של אברם: .
הפסוק שלאחריו מתאר את הבעיה שנוצרה מכך: .
פסוק זה דומה במבנהו החזרתי לפסוק הפותח את סיפור ירידת אברם למצרים: .
גם סיומם של שני הסיפורים זהה: שניהם מסיימים בתיאור האוהל והמזבח של אברם, ובביטויים דומים: בסוף סיפור הירידה למצרים, ו, בסוף סיפור הפרידה מלוט.
מבחינת המבנה הכללי, שני הסיפורים כמעט שווים באורכם (הראשון 15 פסוקים, והשני 14), ושניהם מתחלקים לשתי מחציות כמעט שוות, הראשונה עוסקת בבעיה כלשהי שניצבת בפני אברם, והשניה בפתרון הבעיה על ידי ה'.
לפי הרב אלחנן סמט, שני הסיפורים הם בעצם סיפור אחד המחולק לשניים, ועוסק ב"ניסיון כפול" שבו מתנסה אברם, לאחר שה' הבטיח לו שהוא יהיה לגוי גדול אשר יתברכו כו כל משפחות האדמה, והוא יתן לזרעו את ארץ כנען, ולפתע נוצרו סדקים בהבטחה, הן הבטחת הזרע, והן הבטחת הארץ.
בסיפור הראשון, מתברר שיש רעב בארץ, ואברם לא יכול להתקיים בארץ כלכלית.
הוא נאלץ לרדת למצרים, שהיא ארץ שבעה ויציבה ומהווה המחשה ניגודית לקשיים הכלכליים בארץ כנען, ועלולה לגרום לאברם להרהורים על אפשרות הקיום הקשה בארץ שהובטחה לו, כשהוא רועה בה את צאנו ותלוי באופן קיצוני בגשמים היורדים בה.
העלילה עצמה, מתמקדת בהיבט המשפחתי של הניסיון - שרי אשת אברם נלקחת אל בית פרעה, ועובדה זו יוצרת סדקים גם בהבטחת הזרע, שכן ללא אשתו, אין אפשרות לקיום ההבטחה "ואעשך לגוי גדול".
בחלק השני של הסיפור, לאחר שאברם עומד בניסיון ומקבל בשתיקה את כל הבא עליו, ה' מתערב וגורם לפרעה להחזיר את שרי לאברם, והוא חוזר לארץ כנען "כבד במקנה בכסף ובזהב", בדיוק למקום ממנו יצא בתחילת הסיפור.
בסיפור השני, המריבה בין רועי לוט לרועי אברם גורמת להם להיפרד, ואברם מציע ללוט לפנות לאן שירצה בארץ כנען, אך לוט בוחר לפנות אל מחוץ לגבולות הארץ שהציע לו אברם - אל כיכר הירדן, ש"כֻלָּהּ מַשְׁקֶה...
הרמז הלשוני הברור מרמז שכבר בירידה למצרים, לוט התחיל לחשוב על היפרדות מאברם לאזור טובה יותר כלכלית, כמו ארץ מצרים.
למעשה, מחשבה זו נרמזה כבר בעלייתם ממצרים: - הרכוש קודם בפסוק ללוט, שכן הרכוש הרב התחיל להפריד בין לוט לאברם, שחשב כבר על ההזדמנות הראשונה להיפרד מאברם.
הזדמנות זו לא איחרה לבוא, שכן מיד אחד כך, מסופר שמריבה בין רועי אברם לרועי לוט גרמה להם להחליט להיפרד, ולוט בחר לשבת בסדום אשר בכיכר הירדן, שהמים הרבים שבו מבטיחים רווח כלכלי, בדיוק כמו בארץ מצרים.
מעשה זה של לוט, יכול לגרום לאברם לחשוב שמא חיי הנוודות שלו בארץ כנען עם צאנו אינם רווחים כל כך, ועליו ללכת בעקבות לוט שבחר לו את החלק המשובח בארץ.
כמו כן, כיוון ששרי אשת אברם הייתה עקרה, לוט, בתור "בן אחיו" של אברם, היה יכול להיחשב ליורשו, ובכך הייתה מתממשת הבטחת הארץ לזרעו של אברם.
אך לוט נפרד ממנו, ולקח לעצמו את החלק הטוב, ובכך השאיר את אברם לבדו בחיי הנוודות הקשים, ללא זרע והמשך.
אבל גם כאן, כמו בסיפור הקודם, ה' מתגלה אל אברם, וחוזר ומבטיח לו שאין לו ממה לדאוג, כל הארץ שהוא רואה תנתן לזרעו עד עולם, זרעו יהיה כעפר הארץ, ואין לו לחשוש מחיי הנוודות, אלא להתהלך בארץ לאורכה ולרוחבה.
בספר בראשית מופיעים שלושה סיפורים שקווים מקבילים להם.
סיפור ירידת אברהם למצרים בשל הרעב בבראשית י"ב, סיפור שרה בבית אבימלך מלך גרר וסיפור רבקה בבית אבימלך.
עניינם סיפורי אישה-אחות וסכנות אשר נשקפו לנשותיהם של אברהם ויצחק.
בשלושת הסיפורים יורדים האבות באופן זמני כדי לגור במקום זר, והם נתונים לחסדי שליט ואנשי המקום.
בשני סיפורים גיבורי הסיפור נמצאים תחת חרדה קיומית.
השורש ג-ו-ר מופיע בשלושת הסיפורים.
בשלושת הסיפורים מביע האיש חשש כי יהרג בגלל יופייה של אשתו.
בשלושת הסיפורים נוקט הגבר באותה תחבולה ומספר כי היא אחותו.
בכל הסיפורים נוזף המלך הזר בזה שהטעה אותו.
ובשלושת הסיפורים יוצאים האבות ברכוש גדול.
סיפורו של יצחק מוצג בצורה מעודנת יותר.
אין בסיפור תיאור על רווח כלכלי ליצחק.
אברהם מתיישב בגרר ומספר ששרה היא אחותו והיא נלקחת לבית אבימלך מלך גרר.
ה' מופיע בחלומו של אבימלך.
אבימלך טוען כי עשה זאת בתום לב כי אברם טען בפניו שאחותו היא.
אבימלך קורא לאברם ומשלח אותו ואת שרה עם "צֹאן וּבָקָר, וַעֲבָדִים וּשְׁפָחֹת".
בבראשית כ"ו, יצחק משקר וטוען שרבקה היא אחותו אך לעומת סיפורי שרה בבית פרעה ושרה בבית אבימלך מלך גרר, רבקה אינה נלקחת ממנו.
כאשר תושבי גרר מגלים שאינה אחותו קמה זעקה על החטא שיכול היה להיות אם רבקה הייתה נלקחת.
המעשה היחידי בין הגבר לאישה הנרמז בסיפור הוא של יצחק ורבקה.
בסיפור ירידת אברם למצרים בגלל הרעב שפקד את הארץ קיימים רמזים לסיפור יציאת מצרים וזאת בבחינת מעשה אבות סימן לבנים.
אברם מהגר למצרים בשל הרעב וכך עושים גם בני יעקב.
פרעה מבקש להמית את הזכרים במצרים ולהחיות את הנקבות: "וְאִם-בַּת הִוא וָחָיָה" ובסיפור בבראשית י"ב פוחד אברם שפרעה יפגע בו ואילו שרה תינצל.
ה' פוגע בפרעה על פגיעתו באברם.
לפני יציאת בני ישראל ממצרים פוגע ה' במצרים בעשר מכות.
פרעה משלח את אברם ברכוש גדול וכך עושה פרעה בזמן יציאת מצרים ומשלח את בני ישראל ואלה יוצאים ברכוש גדול.
ירידת יעקב למצרים, הוא סיפור מקראי המופיע בפרשת ויגש שבספר בראשית, המתאר את ירידת יעקב ומשפחתו למצרים לאחר שבניו הודיעו לו על פגישתם עם יוסף במצרים.
לאחר מכירת יוסף, בניו של יעקב אמרו לו שיוסף מת, ויעקב מתאבל על יוסף שנים רבות.
יוסף נמכר לעבד במצרים, נכנס לבית הסהר ולאחר שפותר את חלומות פרעה, יוסף ממונה למשנה למלך מצרים.
כפי שפתר יוסף את חלומותיו של פרעה, היו 7 שנות שבע בארץ מצרים ואחריהם היו 7 שנות רעב.
מאחר שיוסף אגר תבואה במצרים לקראת שנות הרעב, כל האנשים מאזור ארץ מצרים היו צריכים לרדת למצרים כדי לקנות אוכל מיוסף.
בני יעקב יורדים מצרימה כדי לקנות מזון.
כשבאו לרכוש מזון מיוסף, הם לא זיהו את יוסף, אבל יוסף זיהה אותם.
אחרי שיוסף גורם להם להוריד את בנימין למצרים ולאחר ויכוח עם יהודה, יוסף מתגלה לאחיו ומבקש מהם לעלות חזרה לארץ כנען ולהביא את אביהם, יעקב, למצרים.
האחים חוזרים אל אביהם לחברון ומבשרים לו שיוסף חי.
בדרך דרומה, יעקב חונה בבאר שבע ומקריב שם קורבנות לה':
הפסוקים מתארים שה' אומר ליעקב לא לחשוש מהירידה למצרים ומבטיח ליעקב שהוא ירד איתו למצרים.
לפי המדרש, יעקב לא רצה לעזוב את הארץ, שבה יש את השכינה של ה', ולרדת למצרים, ולכן ה' הבטיח לו שהוא ירד איתו למצרים.
בספר היובלים פרק מ"ד הקרבת הקורבנות מתוארכת לשביעי בחודש השלישי (חודש אייר), ואחר כך נשאר יעקב לחגוג את חג הקציר שחל ב-15 בחודש השלישי בלוח השנה במגילות קומראן, בליל 16 בחודש נגלה אליו ה' ובבוקר 16 בחודש המשיך במסעו למצרים.
יעקב מגיע למצרים ופוגש את יוסף בארץ גושן.
יוסף בכה על צווארו של יעקב אביו.
בתחילת פרק מ"ז יוסף מודיע לפרעה שאביו ואחיו הגיעו למצרים ומסביר לפרעה שאחיו רועי צאן.
לאחר שיחה בין אחי יוסף ופרעה, פרעה מזמין אותם להתיישב בארץ גושן.
אחר כך, יוסף מביא את יעקב להפגש עם פרעה.
יעקב מברך את פרעה על הזמנתו ופרעה שואל את יעקב לגילו.
ברש"י מובא שברכו שיעלה נילוס לרגליו, לפי שאין מצרים שותה מי גשמים אלא נילוס עולה ומשקה, ומברכתו של יעקב ואילך היה פרעה בא אל הנילוס והוא עולה לקראתו ומשקה את הארץ.
על פי המדרש, כשיעקב הגיע למצרים נגמר הרעב במצרים, אף על פי שעברו רק שנתיים מתוך שבע.
יעקב חי במצרים שבע עשרה שנה, בניו עובדים כרועי צאן בארץ גושן.
לקראת סוף ימיו, יעקב חולה ומותו מתקרב.
יעקב לא רוצה להקבר במצרים, ולכן כשיוסף מגיע לבקר אותו, יעקב משביע את יוסף שכשהוא ימות, יוסף יקבור אותו במערת המכפלה, שם קבורים אבותיו.
אחרי שיעקב משביע את יוסף, יוסף מביא את שני בניו, אפרים ומנשה, כדי שיעקב יברך אותם.
יוסף רצה שיעקב יניח את ידו הימנית, ידו החזקה, על ראש מנשה הבכור ואת ידו השמאלית על ראש אפרים הצעיר, ולכן יוסף מעמיד את מנשה לימינו של יעקב ואת אפרים לשמאלו.
יעקב משכל את ידיו ושם את ידו הימנית על ראש אפרים ואת ידו השמאלית על ראש מנשה.
יעקב מברך את אפרים ומנשה בשמירה מרע ובצאצאים רבים:
יוסף מנסה להבין למה יעקב שיכל את ידיו ויעקב מסביר ליוסף שהוא יודע שצאצאיו של אפרים יהיו גדולים ממנשה, ואכן, יהושע שהכניס את עם ישראל לארץ היה משבט אפרים.
לאחר שבירך את אפרים ומנשה, יעקב מזמן אליו את בניו כדי לגלות להם את מה שיקרה באחרית הימים.
במקום לגלות להם את העתיד הוא מברך את כל אחד מבניו בברכה ייחודית ושונה.
המדרש מסביר שיעקב רצה לגלות להם את העתיד אבל ה' סילק ממנו את שכינתו ויעקב נאלץ לברך אותם במקום
יעקב נפטר בגיל 147 במצרים, יוסף מקיים את שבועתו וקובר אותו במערת המכפלה
ירידת אחי יוסף למצרים הוא סיפור המופיע בפרשת מקץ שבספר בראשית (פרקים מב מג מד).
לאחר מכירת יוסף, סיפור יוסף ואשת פוטיפר, ישיבתו בבית סוהר בעקבות כך, חלום שר המשקים ושר האופים ופתרון יוסף, שחרורו בעקבות חלומות פרעה על ידי המלצת שר המשקים ומינויו למשנה לפרעה מלך מצרים, יוסף אגר במצרים אוצרות מזון רבים בשנות השובע בשביל שנות הרעב.
כשהגיעו שנות הרעב לאחר שכלו שבע שנות השובע שהיו בארץ מצרים, פרעה שלח את אנשי מצרים ליוסף בדרישה שיעשו כל מה שיוסף יאמר להם "לכו אל יוסף אשר יאמר לכם תעשו", כשהגיעו ליוסף הוא מכר להם בכסף.
כשאנשי הארצות שסביב מצרים באו לקנות אוכל במצרים מפני הרעב ששרר באזור, יעקב שחי בארץ כנען שלח את בניו לרדת למצרים לקנות שם אוכל כדי ש"נחיה ולא נמות".
את בנימין הוא לא שלח מפחד שיקרה לו אסון כאחיו יוסף.
כאשר אחיו של יוסף ירדו מצרימה הם באו אל יוסף, השתחוו לו והשתטחו בפניו.
אחיו של יוסף לא זיהו אותו, מפני שצמח לו זקן מאז שהם הפילו אותו לבור ומכרו אותו.
אולם יוסף כן זיהה אותם אך הוא התנכר להם (לשון נכרי - לא מכיר אותם) ושאל אותם מאיפה הגיעו.
הם ענו לו, שהם באו מארץ כנען בשביל לקנות אוכל.
יוסף הצהיר בפניהם כי יהיה עליהם להביא את בנימין למצרים על מנת להוכיח שהם לא מרגלים, והציע להם לשלוח נציג שיביא את בנימין למצרים, בזמן ששאר האחים ישבו במאסר ("בזאת תבחנו, חי פרעה..." נעשה כאן שימוש בלשון שבועה, כאשר יוסף נשבע בחיי פרעה.
אולם, יוסף לא התכוון למלא אחר שבועה זו, אחרת הוא היה נשבע בשם ה').
כשלא הסכימו האחים להצעה, יוסף שלח אותם למאסר בן שלושה ימים בבית הסוהר על מנת להפחיד אותם, ולאחר מכן הצהיר בפניהם כי הוא ירא מ-ה' והציע להם הצעה חדשה: רק אח אחד יוחזק בבית הסוהר (על מנת להבטיח שהם יביאו את בנימין איתם) בזמן שהשאר ילכו ויביאו אוכל למשפחתם.
האחים הסכימו להצעה זו, תוך כדי שהם אמרו אחד לשני כי הצרה הזאת באה בעקבות שחטאו בהתנכלותם ליוסף ומכירתו; כאשר דיברו, הם לא ידעו שיוסף מבין את לשונם, כי המליץ (מנשה, שהבין גם את הלשון העברית) תרגם בשבילו את כל דבריהם לשפה המצרית.
בשלב זה, יוסף אסר את שמעון בבית הסוהר (בשביל להפריד אותו מלוי, כדי למנוע מהם לנקוט פעולה הדומה למעשה שכם) לעיניהם (ורק לעיניהם, וכשיצאו מיד האכיל והשקה אותו).
לאחר מכן הוא נתן לשאר האחים אוכל וציווה על עבדיו למלא בחשאי את שקיהם בכסף ששילמו לו.
כשיצאו משם לכיוון ארץ ישראל ועצרו במלון בדרך פתחו את שקיהם לתת מספוא לחמוריהם ולהפתעתם ראו שלכל אחד יש את כספו באמתחתו.
כשהגיעו ליעקב וסיפרו לו את קורותיהם ואת דרישת יוסף להביא את בנימין, אמר להם יעקב "שכלתם אותי, יוסף איננו, שמעון איננו, ואת בנימן תיקחו?".
ראובן הציע ש"את שני בני תמית אם לא אחזיר את בנימין אליך תן אותו אלי ואני אשיבנו אליך", יעקב לא קיבל את ההצעה כי אמר "בכור שוטה הוא זה, הוא אומר להמית בניו, מה זה יעזור לי, וכי בניו הם ולא בני?" ולא הסכים לירידת בנימין למצרים.
כשנגמר האוכל שהביאו ממצרים ביקש יעקב שירדו למצרים להביא עוד, יהודה הזכיר לו ש"האיש העיד בנו שלא נראה את פניו בלי שנבוא עם אחינו", והציע שהוא יהיה ערב שבנימין יחזור "אנכי אערבנו מידי תבקשנו אם לא הביאתיו אליך והצגתיו לפניך וחטאתי לך כל הימים (הכוונה לעולם הבא)".
מחוסר ברירה יעקב קיבל את ההצעה ואמר שייקחו לאיש מתנה מעט צרי (מין מתיקה) ומעט דבש נכאת (שעווה) ולט (בשמים) בטנים ושקדים, ושיחזירו את הכסף שהושב לשקיהם כי אולי הושב בטעות, ושהוא יתפלל עליהם.
כשהגיעו ליוסף, יוסף אמר לטבח הארמון לבשל לו ולהם ארוחת צהריים.
בתגובה אמר להם יוסף שכספו בא אליו ומה שהם מצאו לא שלו "שלום לכם אל תיראו אלהיכם ואלהי אביכם נתן לכם מטמון באמתחתיכם, כספכם בא אלי".
בהמשך יוסף הוציא אליהם את שמעון מבית הסוהר.
לאחר שנכנסו לבית יוסף הביאו לו את המתנה שהביאו מארץ כנען והשתחוו לו, יוסף שאל בשלומם ושלום אביהם הזקן, כשענו שהוא חי יוסף לא היה יכול להתאפק ויצא לבכות בחדר.
כשיוסף יצא מהחדר הם באו לשבת לאכול ויוסף הכה בגביע שהיה לו וטען שהוא רואה בזה את הגילאים שלהם, והושיב אותם כסדר הגילאים שלהם (הם תמהו כי לא אמורים לדעת את הגילאים שלהם מפני שכולם נולדו בשבע שנים), כשהגיע לבנימין אמר שאין לו אם ולי אין אם ישב אצלי.
לבנימין נתן מנה גדולה פי 5 ממנת כולם.
באותו יום שתו יין והשתכרו אפילו שלא שתו מיום שמכרו אותו.
בהמשך יוסף ציווה את משרתו לתת להם אוכל ככל שיוכלו לסחוב בשקים ולשים כסף בשק של כל אחד מהם.
כשעלה השחר יוסף שילח אותם לדרכם.
רק הם יצאו מן העיר, ויוסף אמר למשרתו לרדוף אחריהם ולהגיד להם "למה שלמתם רעה תחת טובה הרי הגביע הזה שאדני שתה בו ונחש בו וככה גנבתם?
הֲרֵעֹתֶם אשר עשיתם", כשהמשרת אמר להם את זה ענו לו "למה ידבר אדני כדברים האלה, חלילה לעבדיך מעשות כדבר הזה הרי כסף שמצאנו באמתחתינו השבנו אליך מארץ כנען, ואיך נגנוב מבית אדוניך כסף או זהב?
מי שימצא אצלו הגביע ימות וגם אנחנו נהיה לאדני לעבדים", המשרת אמר להם שרק מי שימצא אצלו הגביע יהיה עבד, והשאר אין סיבה שיקבלו עונש.
המשרת חיפש בשקיהם התחיל מהגדול וסיים בקטן כדי שלא ירגישו שהיה יודע היכן הוא, ומצא את הגביע לבסוף באמתחת בנימין.
יהודה דיבר עם יוסף קשות על כך שהוא ערב להחזיר את בנימין "עבדך ערב את הנער מעם אבי לאמר אם לא אביאנו אליך וחטאתי לאבי כל הימים", והציע שהוא ימלא את מקומו "ועתה ישב נא עבדך תחת הנער (בנימין) עבד לאדני, והנער (בנימין) יעל עם אחיו".
בשלב זה יוסף כבר לא התאפק וגילה לאחיו שהוא יוסף.
ירידת אברהם לגרר הוא סיפור המופיע ב.
ה' מופיע בחלומו של אבימלך וזה טוען כי עשה זאת בתום לב כי אברהם טען בפניו שאחותו היא.
אבימלך קורא לאברהם ומשלח אותו ואת שרה עם "צֹאן וּבָקָר, וַעֲבָדִים וּשְׁפָחֹת".
הכתוב אינו מוסר את הסיבה לישיבתו של אברהם בגרר.
רש"י מפרש כי סיבת עזיבתו של אברהם היא שריפת הערים סדום ועמורה וסיפור לוט ובנותיו: "ויסע משם אברהם.
דָּ"אַ לְהִתְרַחֵק מִלּוֹט, שֶׁיָּצָא עָלָיו שֵׁם רָע, שֶׁבָּא עַל בְּנוֹתָיו." רד"ק מפרש כי זהו מנהגו של אברהם במסעותיו לנדוד ממקום למקום ולממש את הבטחתו של ה' אליו שארץ כנען תהיה שייכת לו ולזרעו ובכללם אזור גרר: "יסע משם" - מאלוני ממרא שהיה שוכן שם (ראה בראשית י"ח, א').
ואולי נסע משם לארץ פלשתים כדי לִשְׁכּן בכל הארץ אשר נתן לו האל, פעם בזה ופעם בזה, כדי שיחזיק בכולה".
בפסוק ב' אברהם מתיישב בגרר ואומר לשרה אשתו: "אֲחֹתִי הִוא" ומיד אבימלך מלך גרר שולח לקחתה אליו.
מבנה המשפט אינו ברור והכתוב בו אינו מוסר מידע רב.
ניתן להבין את הפסוק רק לאחר קריאת סיפור ירידת אברהם למצרים.
התורה מוסרת רק את המידע הנחוץ להבנת המשך העלילה.
אופן הדיבור הישיר: "אֲחֹתִי הִוא" מעורר קושי מפני שמיד אחר כך אבימלך לוקח את שרה.
הזיקה בין שני הסיפורים ירידת אברהם למצרים וסיפור הירידה לגרר מלמדת כי הסיפור בבראשית כ' הוא מאוחר יותר ובא לתקן קשיים העולים מהסיפור המופיע בבראשית י"ב.
האל מתגלה לנוכריים כדי להזהירם.
והמדרש בבראשית רבה מבאר:"למלך שהייתה לו אישה ופילגש.
כשבא אצל אשתו, בא אצלה בפרהסיא, וכשבא אל פילגשו בא אצלה בסתר.
כך אין הקב"ה נגלה אל נביאי האומות אלא בלילה..." התגלות ה' בחלום אשר אינה נעשית פנים אל פנים מרחיקה את הנוכרים ממפגש עם האל.
ה' מאיים על אבימלך, שאם יבעל את שרה שהיא אשת איש הוא ימות, וכך ה' מונע מאבימלך לחטוא בחטא הניאוף.
בסוף הסיפור מדווחת התורה כי ה' הכה את אבימלך ובני ביתו באי יכולת לקיים יחסי אישות.
ה' פעל בשני מקומות: הוא גרם לשרה ואבימלך לא לחטוא.
ה' אומר לאבימלך כיצד הוא ובני ביתו יוכלו להירפא מהמכה שנחתה עליהם.
ה' אומר לאבימלך להשיב את האישה לבעלה ובעזרת תפילתו ירפא.
תשובתו של אברהם לא מאחרת לבוא והוא מסביר כי הוא חשש לחייו ושרה באמת אחותו.
היא אינה בת אמו אך בתו של אביו.
אברהם מתגונן ואומר שפחד משום ש"אֵין-יִרְאַת אֱלֹהִים, בַּמָּקוֹם הַזֶּה".
עם זאת מודה אברהם, שביקש משרה לספר בכל מקום שיגיעו אליו: "אָחִי הוּא".
יש הטוענים כי הביטוי "כָּל-הַמָּקוֹם אֲשֶׁר נָבוֹא שָׁמָּה" המופיע בפסוק י"ג, מעיד על החלטה חוזרת והיא סימן לכך שייתכן וייתפס ויאלץ לספר את האמת.
השבתה של שרה אל אברהם
נוכח הסבריו של אברהם מעניק אבימלך לאברהם: " צֹאן וּבָקָר, וַעֲבָדִים וּשְׁפָחֹת" ומשיב לו את אשתו.
בהמשך מסופר כי אבימלך מפצה את שרה במתנות: "הִנֵּה נָתַתִּי אֶלֶף כֶּסֶף לְאָחִיךְ--הִנֵּה הוּא-לָךְ כְּסוּת עֵינַיִם, לְכֹל אֲשֶׁר אִתָּךְ; וְאֵת כֹּל, וְנֹכָחַת." רשב"ם מפרש כי הפיצוי שניתן לשרה נועד לפצותה על שמה הטוב שנפגע: "שלא יראו בך לגנאי".
אברהם מתפלל אל אלוהים שירפא את בית אבימלך מעונש העקרות שפקד ה' את ביתו ואלה נרפאים.
עיניינם סיפורי אישה-אחות וסכנות אשר נשקפו לנשותיהם של אברהם ויצחק.
סיפור ירידת אברהם למצרים, המופיע בספר בראשית, פרשת לך לך, מספר את סיפורו של אברם ושרי אשר בעקבות הרעב שפקד את כנען, ירדו למצרים.
בסיפור זה אברם מבקש משרי אשתו כי תאמר שהיא אחותו.
ה' פוגע בפרעה וזה מחזיר את שרי לאברם.
אברם ננזף אך יוצא ברכוש גדול.
סיפור זה קוטע את סיפור הליכתו של אברם בארץ.
הסיפור זכה לפרשנויות משני צדי המתרס.
ישנן ביקורות המדברות בגנותו של אברם, על כך שלא שם את מבטחו באלוהים, בעצם ירידתו מצרימה ועל כך שהפקיר את אשתו לחסדי המצרים וישנן פרשנויות המצדדות באברהם ובביטחונו בה'.
ירידת יצחק לגרר הוא אירוע מקראי המתאר את ירידת יצחק לגרר בעקבות הרעב בארץ כנען, ואת קורותיו בגרר.
הסיפור מובא בספר בראשית, פרשת תולדות, .
פרק זה הוא הפרק היחיד בתנ"ך שבו יצחק מופיע כדמות שעומדת בפני עצמה.
מאז לידתו של יצחק ועד פרק זה, מופיע יצחק כטפל לאברהם אביו, ומפרק זה והלאה, יצחק מופיע כטפל לבניו.
בעקבות רעב בארץ כנען, ועקב רצונו של יצחק לרדת למצרים כאברהם אביו, ה' התגלה בנבואה ליצחק, ואמר לו ללכת לגרר ובמקום למצרים:
הסבר של הנושא התקבל מהארכאולוגיה והאפיגראפיה, כשבארם נהריים (היום צפון עיראק) התגלתה העיר העתיקה נוזי.
מהארכיונים המשפחתיים שנמצאו שם התגלה שקשרי הנישואים נחשבו הדוקים ביותר, כאשר לאישה נשואה ניתן מעמד נוסף של אחות.
אם כן יצחק השתמש באמצעי המשפטי החזק ביותר שעמד לרשותו לפי החוק והמנהג של זמנם.
ההסבר לזה הוא שהמשפחה (אברהם) הגיעה מחרן שהייתה באותה השפעה תרבותית של נוזי.
זה הרקע להצגת האישה כאחות בשביל להגן עליהם מהשליטים שניסו לפגוע בהם.
בסיפור יצחק, אבימלך מגלה שרבקה היא אשת יצחק עוד לפני שהיא נלקחת לבית המלך.
אצל אברהם, פרעה מגלה ששרה היא אשת אברהם רק אחרי שהובאה לביתו.
בסיפור אברהם ואבימלך, הקב"ה מתערב ומזהיר את אבימלך שהוא ימות בעקבות לקיחת האישה, וכן בסיפור אברהם ופרעה הקב"ה פוגע במצרים (שולח נגעים).
בשני הסיפורים של אברהם, הוא מתעשר מהמלך, לעומת זאת בסיפור יצחק אין לו רווח כלכלי מהמלך.
ירין אורון (נולד ב-1 בנובמבר 2012) הוא שחקן ומדבב ישראלי, הזוכה בפרס "תגלית השנה" בתחרות פרסי הטלוויזיה לילדים ולנוער בשנת 2021.
אורון נולד בהרצליה, הבכור מבין שלושה אחים, בנם של לימור ואיל.
התפרסם לראשונה ב-2020 בתפקיד סוף סטרטינר (בנה של שוני סטרטינר) בעונה השנייה של "קופה ראשית", לצד דורית לב-ארי.
משנת 2021 משחק בסדרה "לבד בבית" בתפקיד נבו צור, ובשנת 2023 השתתף בסדרה "בני מצווה".
בשתי הסדרות הוא משחק את אחת הדמויות הראשיות בסדרה, אחד מבני המשפחה.
בשנת 2022 דיבב בסדרה אייבי + בין את "טרוור" חבר של אייבי ובין.
אורון השתתף כפרזנטור בפרסומת לנט"ל.
בתחרות פרסי הטלוויזיה לילדים ולנוער הראשונה, בשנת 2021, זכה בפרס "תגלית השנה".
באותה תחרות היה מועמד בסבב המועמדויות הראשון לפרס השחקן הטוב בסדרה קומית על תפקידיו בסדרות "לבד בבית" ו"משפחה באוטו", אך לא עלה לגמר.
אורון מתגורר עם משפחתו בנס ציונה.
ירידה במשקל הוא תהליך של ירידה במסת הגוף הכללית, אשר כרוך בעיקר בירידה של אחוזי השומן בגוף.
ירידה במשקל יכולה להתרחש במכוון או שלא במכוון.
ירידה מכוונת במשקל מתרחשת כאשר אדם מנסה באופן פעיל להפחית את מסת הגוף הכוללת באמצעות שינויים באורח החיים, כגון שינויים בתזונה והגברת הפעילות הגופנית, במטרה לשפר את הבריאות והמראה החיצוני.
ירידה מכוונת במשקל יכולה לסייע להפחית סיכונים בריאותיים ולהגביר את הכושר הגופני.
קיימות טכניקות שונות לירידה מכוונת במשקל כמו שינויים בתזונה והגברת הפעילות הגופנית, אף על פי כן, על מנת להצליח בכך חייבים לבצע שינויים ארוכי טווח בתזונה ובאורח החיים.
ארגון הבריאות העולמי ממליץ לעשות זאת על ידי הפחתת הצריכה של מזון מעובד עתיר בשומנים רוויים, סוכרים ומלח, תוך הגברת הפעילות הגופנית.
במקרים של השמנת יתר חולנית הרופאים עשויים להציע להשתמש בתרופות או לעבור ניתוח בריאטרי, כמו ניתוח מעקף קיבה או ניתוח שרוול קיבה, עם זאת הדבר כרוך בסיכונים ועל כן יש לשקול היטב בחירה באפשרויות הללו.
ירידה בלתי מוסברת במשקל, שאינה מיוחסת לצריכת קלוריות מופחתת או לפעילות גופנית, מכונה קכקסיה והיא עלולה להיות סימפטום לבעיה רפואית חמורה.
בחברה המודרנית, השמנת יתר הפכה לבעיה חברתית מהותית, והדבר הוביל עם השנים להיווצרות שוק עצום ומשגשג של מוצרים ושירותים המתיימרים לספק פתרונות קלים, מהירים וזולים להרזיה.
עם זאת, ישנם חילוקי דעות לגבי היעילות והאמינות של אותם המוצרים והשירותים.
המוצרים הללו כוללים בין היתר ספרים, תקליטורי DVD, קרמים, כדורים, מרכזי כושר, מרפאות, מאמנים אישיים, קבוצות הרזיה, מוצרי מזון ותוספי מזון.
משקל בטווח הנחשב לבריא נחשב לגורם מכריע לכך שהבריאות הכללית של האדם תהיה טובה, שכן משקל עודף, ובמיוחד השמנת יתר חולנית, כרוכים בסיכון מוגבר לסיבוכים בריאותיים שונים, לרבות סוכרת מסוג 2, מחלות לב ומחלות כלי דם, סוגי סרטן מסוימים, וסיבוכים נוספים.
משום כך אנשי מקצוע בתחום הבריאות ממליצים לפציינטים שלהם לעיתים רבות לרדת במשקל על מנת להפחית את הסיכון שהם יסבלו בעתיד בקרוב או הרחוק מהסיבוכים הבריאותיים הללו, וכמו גם על מנת שהם יוכלו לשפר את איכות חייהם.
ביצוע שינויים בתזונה הוא לרוב המרכיב המרכזי שמסייע לאדם לרדת במשקל.
בחירה במזון עם ערכים תזונתיים, שאינו מעובד, אשר עתיר בחלבונים ומכיל כמות מופחתת של סוכר, והקפדה על גירעון קלורי סביר בתפריט היומיומי תסייע להוביל לירידה הדרגתית במשקל.
בנוסף, דפוסי תזונה מסוימים, כמו התזונה הים תיכונית או הדיאטה הקטוגנית הוכחו כיעילים לירידה במשקל ולשיפור הבריאות הכללית.
פעילות גופנית היא מרכיב חיוני נוסף לירידה במשקל וכמו גם לאופן בו ניתן לוודא שמצליחים להישאר לאורך זמן במשקל אשר בטווח הנחשב בריא.
כאשר משלבים באופן קבוע פעילויות גופניות הדבר עשוי לסייע רבות הן בשריפת הקלוריות, הן בהגברת חילוף החומרים בגוף והן לסייע לוודא ששומרים על הרכב גוף בריא.
פעילויות אירוביות כמו ריצה, רכיבה על אופניים ושחייה יכולות גם להועיל לשרוף שומן גוף תוך שמירה על מסת השריר.
שינוי דפוסי התנהגות הוא גם חלק אינטגרלי בתהליך הירידה במשקל.
הצבת יעדים ריאליים, הקפדה על איסוף נתונים המאפשרים לעקוב אחר ההתקדמות בתהליך הירידה במשקל, והשגת תמיכה מצד בני משפחה וחברים, וההכרה בבעיות שנובעות מאכילה רגשית ואימוץ מנגנונים בריאים להתגבר על כך יכולים לתרום רבות לירידה במשקל ולהישארות במשקל בריא לאורך זמן.
חשוב במיוחד לרדת במשקל באופן זהיר ולהימנע מדיאטות קיצוניות או שיטות לא בריאות אחרות לירידה במשקל שעלולות לפגוע בבריאות הפיזית והנפשית של האדם.
שיטות הרזיה מסוימות, המבטיחות השגת תוצאות יוצאות דופן באופן מזורז, עלולות לעיתים רבות לגרום לחוסרים תזונתיים, לדלדול מהיר במסת השרירים ולבעיות בריאות אחרות.
משום כך חשוב להקפיד שההתמקדות תהיה בראש ובראשונה בשיפור המצב הבריאותי הכללי של האדם ולא רק בירידה למספר מסוים במכשיר השקילה.
ירין הא , היא שחקנית אוסטרלית.
ירין הא נולדה ב-16 בינואר 1998 בסידני, שבאוסטרליה, להורים דרום קוריאנים.
סבתה היא השחקנית והפוליטיקאית הקוריאנית סון סוק , והוריה הכירו בבית ספר למשחק.
הא, שרצתה להיות שחקנית מגיל צעיר, חשבה שיהיה לה קשה לעשות במקצוע זה באוסטרליה מכיוון שהיו פחות שחקנים אסייתים בטלוויזיה האוסטרלית, החליטה להמשיך לשחק בדרום קוריאה בהמלצת הוריה, ובגיל 15 נבחנה בהצלחה לבית הספר התיכון לאמנויות קייוון בסיאול, בירת המדינה, שם למדה במשך שלוש שנים.
הא המשיכה וסיימה תואר ראשון במשחק, עם התמחות בתיאטרון מוזיקלי במכון הלאומי לאמנות דרמטית של סידני בשנת 2018.
הא גילמה את מוריס לצד מיה וסיקובסקה ואלייזה סקנלן בהפקה של התיאטרון של סידני בשנת 2019 של "בעל זבוב" בתיאטרון רוזלין פאקר .
היא ערכה את הופעת הבכורה שלה בטלוויזיה עם תפקיד חוזר בסדרה האמריקאית-צרפתית "Reef Break" .
בשנת 2019 הוכרז כי הא לוהקה לסדרת הטלוויזיה "Halo", עיבוד טלוויזיוני למשחק מחשב באותו השם, בהפקת סטיבן ספילברג.
עוד פורסם שהא תגלם את קוואן הא, דמות חדשה שלא הופיעה במשחקי המחשב.
הסדרה עלתה לראשונה ב-Paramount+ בשנת 2022.
הא הוכרזה ככוכבת עולה על ידי גילדת הליהוק של אוסטרליה בנובמבר 2021. היא הוצגה בצוות השחקנים הראשי של סדרת הטלוויזיה "Troppo" של ABC בתפקיד אה רא.
עוד באותה שנה היא עשתה את הופעת הבכורה שלה בסרט העלילתי "Sissy" .
בשנת 2023, הא כיכבה בסדרה "התנהגות רעה" של סטן, עיבוד בן ארבעה חלקים לרומן באותו שם מאת רבקה סטארפורד .
לאחר מכן, הא הופיעה בסדרת הפריקוול של HBO לסדרת "חולית" , "חולית: הנבואה", בתור קאשה הצעירה.
הסדרה יצאה לאקרנים בנובמבר 2024. בשנת 2025, הא כיכבה בסדרה "הניצולים" של נטפליקס.
באוגוסט 2024, הא לוהקה לתפקיד סופי בק, מושא אהבתו של בנדיקט ברידג'רטון, בעונה הרביעית של "ברידג'רטון", המבוססת על הספר השלישי בסדרת הרומנים "ברידג'רטון" של ג'וליה קווין, "הצעה מג'נטלמן".
כדי לכבד את שורשיה הדרום קוריאניים של הא, מנהלת הסדרה ג'ס בראונל שינתה את שם משפחתה של סופי, שהיה בקט ברומן, לבק.
הסדרה עלתה לראשונה ב-29 בינואר 2026.
שנהשיראמן הערות 2016 "I Gotta Have You" פלויר וג'סי מרנץ
שנהפרויקטתפקיד הערותסימוכין 2019בעל זבוב מוריס תיאטרון רוזלין פאקר 2025 המשרתות מחסן דונמר
שנהמסגרתקטגוריה יצירה מועמדתתוצאהסימוכין 2023 פרסי לוג'י שחקנית המשנה המצטיינת ביותר התנהגות רעה 2026 פרסי WhatsOnStage שחקן המשנה הטוב ביותר במחזהמשרתות
בגאומטריה מרוכבת וגאומטריה אלגברית, יריעות קאלאבי-יאו (Calabi Yau) מהוות מחלקת יריעות בעלות תכונה גלובלית מסוימת.
יש מספר הגדרות למושג זה הדומות אחת לשנייה אך לא שקולות.
בהקשרים שונים מקובלות הגדרות שונות.
העיסוק ביריעות קאלאבי יאו החל מהשערה ששיער אאוג'ניו קאלאבי ב-1957 והוכיח שינג-טונג יאו ב-1977.
ליריעות אלה חשיבות רבה בתורת המיתרים.
ב-1957 קאלאבי שיער שכל קומפקטית ש הממשית הראשונה שלה מתאפסת (מחלקת צ'רן הממשית ה-n-ית של יריעה חלקה היא איבר מסוים בחבורת הקוהומולוגיה ) היא בעלת מטריקת קהלר שעקמומיות ריצ'י שלה מתאפסת.
למעשה קאלאבי שיער השערה חזקה יותר הנקראת השערת קאלאבי.
השערה זו הוכחה ב-1977 על ידי Shing-Tung Yau.
השערה זו משכה את תשומת הלב ליריעות המקיימות את תנאי ההשערה, ויריעות אלה (ולעיתים מחלקות צרות יותר של יריעות) נקראו יריעות קאלאבי-יאו.
קיימות מספר הגדרות למושג יריעת קאלאבי-יאו.
לפי המחמירה בהן, יריעה מרוכבת נקראת יריעת קאלאבי-יאו אם היא יריעת קהלר קומפקטית שאגד התבניות הדיפרנציאליות העליונות ההולומורפיות עליה טריוויאלי.
במילים אחרות, קיימת תבנית דיפרנציאלית עליונה הולומורפית על שלא מתאפסת באף נקודה.
תנאי זה גורר שמחלקת צ'רן השלמה הראשונה של היריעה (ז"א מחלקת צ'רן הראשונה כאיבר בחבורת הקו-הומולוגיה השלמה ) מתאפסת.
ההפך אינו נכון באופן כללי.
לפי הגדרה פחות מחמירה יריעה מרוכבת נקראת יריעת קאלאבי-יאו אם היא יריעת קהלר קומפקטית כך שהתנאים השקולים הבאים מתקיימים:
ל- יש מרחב כיסוי מדרגה סופית המקיים את ההגדרה המחמירה של יריעת קאלאבי-יאו.
חזקה טנזורית מסוימת של אגד התבניות הדיפרנציאליות העליונות על טריביאלית.
מחלקת צ'רן הממשית הראשונה של מתאפסת.
תנאי זה חלש יותר מהדרישה שמחלקת צ'רן השלמה הראשונה של היריעה מתאפסת.
על קיימת מטריקת קהלר שעקמומיות ריצ'י שלה מתאפסת.
השערת קלבי, אותה הוכיח יאו גוררת שתנאי זה נובע מהקודם.
הגרירה לכיוון השני פשוטה יותר.
קיימת גם הגדרת בינים שדורשת שמחלקת צ'רן השלמה הראשונה של היריעה מתאפסת.
בדרך כלל המושג יריעת קאלאבי-יאו מתייחס ליריעות חלקות וקומפקטיות.
אולם לעיתים מרחיבים אותו ליריעות לא קומפקטיות ולא חלקות (בתנאי שהן יריעות גורנשטיין).
המושג קאלאבי-יאו קיים גם בגאומטריה אלגברית.
ניתן לחזור על ההגדרה למעלה גם עבור
יריעה אלגברית מעל שדה כלשהו.
בגאומטריה אלגברית יתר מקובלת ההגדרה החזקה, אם כי גם לחלק מהתנאים השקולים של ההגדרה החלשה יש משמעות.
לפי ההגדרה אם אז יריעת קאלאבי-יאו אם ורק אם היריעה המרוכבת של הנקודות שלה היא יריעת קאלאבי-יאו.
אפשר לפרק את בעיות המיון של יריעות קאלאבי-יאו לשתיים:
מיון של הטיפוסים הטופולוגיים שלהן, ז"א מיון של היריעת עד כדי הומיאומורפיזם.
מיון של יריעות קאלאבי-יאו בעלות טיפוס טופולוגי נתון.
בממד 1, הטיפוס הטופולוגי האפשרי היחיד עבור יריעת קאלאבי-יאו הוא הטורוס, כלומר העקום מגנוס 1. יריעה מרוכבת מטיפוס זה נקראת עקום אליפטי.
מיון העקומים האליפטיים נתון על ידי העקום המודולרי (ז"א חצי המישור העלון מודולו טרנספורמציות מביוס הנתונות על ידי ).
כל עקום אליפטי הוא יריעת קאלאבי-יאו.
בממד 2 יש שני טיפוסים טופולוגיים אפשריים ליריעות קאלאבי-יאו: הטורוס מהממד המתאים, ומשטחי K3.
המיון של יריעות קאלאבי-יאו מממד 3 הוא בעיה פתוחה, שחשיבותה רבה בגלל הקשר לתורת המיתרים בפיזיקה תאורטית.
יאו עצמו שיער שיש מספר סופי של טיפוסים טופולוגיים אפשריים של יריעות כאלה, אולם יש המשערים שמספר הטיפוסים הוא אין סופי.
באחד המודלים המקובלים של תורת המיתרים, העולם הוא בעל עשרה ממדים.
ממדים אלו כוללים את שלושת ממדי המרחב המוכרים לנו, ממד הזמן, ושישה ממדים 'מכורבלים', שהמבנה המדויק שלהם עדיין אינו ידוע.
Strominger ואדווארד ויטן, שהתנאים לכך שאותם ממדים מכורבלים יתמכו בגרסה סופרסימטרית של המודל הסטנדרטי, שקולים לכך שממדים אלה מהווים יריעת קאלאבי-יאו מממד 3 מעל המרוכבים (שממדה מעל הממשיים 6).
בנוסף, הם הראו שקבועים יסודיים של המודל הסטנדרטי (כגון מסות של חלקיקים) ניתנים להמרה לפרמטרים מספריים, הקובעים את הגאומטריה של אותה יריעת קאלאבי-יאו.
אחת הבעיות הקשות בפניה ניצבת תורת המיתרים המודרנית היא לפתור את המשוואות המאפשרות לבחור איזו יריעת קאלאבי יאו (מתוך המבחר הענק) מתאימה לחלקיקים ולכוחות הנצפים ביקום שלנו.
לדוגמה יריעה עם בדיוק 3 'חורים' טופולוגיים רב ממדיים - תתן הסבר עמוק לשאלה מדוע יש ביקום הנצפה בדיוק 3 משפחות חלקיקים יסודיים, אך ישנם הרבה מאוד יריעות קאלאבי יאו העונות על דרישה זו.
במתמטיקה, יריעה היא מרחב מתמטי מופשט אשר במבט מקרוב (מבט מקומי) דומה למרחב בעל גאומטריה אוקלידית, אך במבט כולל הוא בעל תכונות מורכבות יותר.
שטח פני כדור הארץ הוא דוגמה ליריעה; מקרוב הוא נראה שטוח אך במבט כולל מתגלה צורתו הכדורית.
היריעות מתאפיינות בעיקר בעובדה שניתן לפרק אותן למספר אזורים שכל אחד מהם הוא בעצם קבוצה במרחב האוקלידי שנמתחה או כווצה.
אף על פי שבאופן מקומי היריעה דומה למרחב אוקלידי התכונות הכלליות שלה יכולות להיות מאוד מפתיעות.
לדוגמה, בעוד שבמישור האוקלידי סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות, על פני כדור (שדומה למישור באופן מקומי) ניתן למצוא משולשים עם שלוש זוויות ישרות.
כאשר עוסקים במבנים טופולוגיים מורכבים, הרבה פעמים נוח לבחון רק חלקים קטנים שלהם, ששם מתקיימות תכונות מעניינות (קומפקטיות מקומית, קשירות מקומית ועוד), ומהסביבות האלו להסיק לגבי תכונות המרחב כולו.
מקרה מיוחד, הוא כאשר הסביבות האלו נראות כמו מרחב טופולוגי מוכר אחר – מרחב וקטורי מעל הממשיים למשל.
במקרה כזה אפשר "למפות" את המרחב על ידי קבוצה גדולה (ואפילו אינסופית) של חלקים ממנו שכל אחד מהם נראה כמו המרחב הטופולוגי המוכר (כלומר הומאומורפי אליו).
כל אחד מהחלקים האלו, יחד עם ההומאומורפיזם שלו למרחב המדובר, נקרא מפה, ואוסף כל המפות נקרא אטלס.
מקרה חשוב במיוחד הוא כאשר המרחב הטופולוגי שאליו משוים את החלקים של המרחב המקורי הוא המרחב האוקלידי מממד מסוים.
במקרה הזה המבנה נקרא יריעה, וממד היריעה נקבע להיות ממד המרחב האוקלידי שאליו היריעה הומומורפית באופן מקומי.
כיוון ששני מרחבים אוקלידיים הם הומאומורפיים אם ורק אם יש להם את אותו ממד – ממד היריעה נקבע באופן יחיד.
מקרה חשוב נוסף הוא כאשר המרחב הטופולוגי שאליו משווים חלקים של המרחב המקורי הוא מרחב וקטורי מממד סופי מעל שדה המספרים המרוכבים.
במקרה הזה היריעה נקראת יריעה מרוכבת וממדה הוא ממד המרחב הווקטורי שאליו היא מושווית.
כל יריעה מרוכבת מממד n היא גם יריעה ממשית רגילה מממד 2n.
יריעה היא מרחב האוסדורף, שמקיים את אקסיומת המנייה השנייה, בעל התכונה שלכל נקודה במרחב יש סביבה שהומיאומורפית ל-.
אותו n מוגדר להיות ממד היריעה.
באופן שקול ניתן לדרוש שקיים אוסף של קבוצות פתוחות שמכסה את המרחב, כלומר האיחוד של כל הקבוצות באוסף הוא המרחב כולו, כך שכל קבוצה בכיסוי הומיאומורפית לסביבה פתוחה של ראשית הצירים ב-, (או לחלופין, של כל נקודה שרירותית אחרת ב- או ל- עצמו).
כל קבוצה בכיסוי, יחד עם ההומאומורפיזם שלה, נקראת מפה, ואוסף כל המפות נקרא אטלס.
מרחב טופולוגי M נקרא יריעה טופולוגית אם הוא מרחב האוסדורף, מקיים את אקסיומת המנייה השנייה וקיים לו כיסוי פתוח
(כאשר קבוצת אינדקסים) כך שכל הומיאומורפי לקבוצה פתוחה , .
פונקציית ההומאומורפיזם בין ל- מסומנת ב-.
שהיא פונקציה מ- לעצמו היא פונקציה רציפה (בתחום שבו ההרכבה מוגדרת).
הזוג נקרא מפה ואוסף כל המפות נקרא אטלס.
לכל , כאשר היא פונקציה חד חד ערכית מ-M אל .
הפונקציות נקראות קואורדינטות מקומיות של M.
למעשה התנאי ההכרחי לגבי רציפות ההרכבות הוא כמעט מספיק.
כלומר בהינתן קבוצה M שמכוסה על ידי אוסף בן מנייה, כך שלכל קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל שמעבירה את לקבוצה פתוחה ב-, אז ניתן לבנות על M מבנה של יריעה טופולוגית אם כל הפונקציות הן פונקציות רציפות (בתחום שבו ההרכבה מוגדרת), כפונקציות מ- לעצמו.
הבניה מתבצעת בשיטת הטופולוגיה החלשה על ידי הגדרת בסיס הטופולוגיה כאוסף כל ההעתקות ההפוכות של הקבוצות הפתוחות שחלקיות ל-, עבור כלשהו.
כדי שהמרחב שמתקבל יהיה גם מרחב האוסדורף צריך לדרוש בנוסף שלכל שתי נקודות שונות קיימת קבוצה בכיסוי שמכילה את שתיהן, או שקיימות שתי קבוצות זרות בכיסוי כך שהקבוצה הראשונה מכילה את הנקודה הראשונה והקבוצה השנייה מכילה את הנקודה השנייה.
בעצם, המבנה של היריעה מוגדר על ידי אוסף הסביבות שמכסה אותו וההרכבות מהצורה .
אם הפונקציות שמתקבלות מההרכבה הן רציפות אז ניתן להעביר (ברמה מסוימת) את המבנה הטופולוגי של ולהגדיר בעזרתו מבנה טופולוגי על M.
אם נדרוש מהפונקציות להיות גם גזירות, חלקות או אנליטיות אז הפונקציות יגדירו מבנה דיפרנציאלי מסוים על M, בנוסף למבנה הטופולוגי.
כל קבוצה פתוחה (ולא ריקה) של היריעה מהווה יריעה בעצמה, שממדה הוא ממד היריעה המקורית.
המפות של היריעה החדשה מתקבלות על ידי צמצום המפות המקוריות לאותה קבוצה פתוחה (כשמתייחסים למפות כפונקציות).
יריעה חלקה (או יריעה דיפרנציאלית) היא יריעה טופולוגית שבה דורשים מהפונקציות להיות פונקציות חלקות.
האטלס של היריעה החלקה נקרא אטלס דיפרנציאלי.
שני אטלסים נקראים שקולים אם האיחוד שלהם יוצר שוב אטלס דיפרנציאלי, כלומר המבנים שמוגדרים על ידי כל אחד מהאטלסים לא "מתנגשים" אחד בשני.
(אפשר לראות בקלות שזהו בעצם יחס שקילות על קבוצת כל האטלסים.)
היריעה החלקה היא מבנה חשוב באנליזה שמאפשר הכללות של משפטים בסיסיים (כמו משפט הפונקציות הסתומות, משפט הקיום והיחידות במשוואות דיפרנציאליות רגילות וכו') מהמרחב האוקלידי.
עצמים מתמטיים רבים בנויים כיריעה דיפרנציאלית עם תוספת מבנה לדוגמה אם נוסיף ליריעה דיפרנציאלית מבנה של חבורה (כך שפעולות הכפל וההופכי הן חלקות) נקבל חבורת לי, אם נבנה על היריעה מטריקה חלקה – נקבל יריעה רימנית וכן הלאה.
הוא יריעה חלקה מממד n, על ידי מפה יחידה שפורשת את כל המרחב, יחד עם העתקת הזהות.
כל מרחב וקטורי מממד סופי n, הוא יריעה חלקה מממד n על ידי מפה יחידה שמכסה את כל המרחב, והקואורדינטות שמוגדרות על ידי בסיס כלשהו.
הספירה ה-n ממדית, , שהיא שפת כדור היחידה ה-n+1 ממדי, היא יריעה חלקה מממד n.
לדוגמה את , הספירה החד-ממדית (שמשוכנת במישור), ניתן לפרק למפות כמו שמתואר בציור.
המפה הירוקה לדוגמה ניתנת לביטוי על ידי הזוג:
כאשר האיבר הימני בזוג הוא הקבוצה שאותה הפונקציה ממפה – הצד הימני של המעגל, והאיבר השמאלי הוא הפונקציה, שהיא פשוט הטלה של הנקודה על ציר ה-Y.
על ידי זיהוי , עם מעגל היחידה ב- ניתן לראות של- יש גם מבנה של חבורה, שנובע מהכפל במרוכבים.
התכונה החשובה ביותר של היריעות החלקות היא היכולת להגדיר עליהן מושגים של גזירות ו-חלקות בלי תלות במערכת הקואורדינטות המקומית, מה שלא ייתכן ביריעה טופולוגית כללית.
פונקציה נקראת "פונקציה חלקה בנקודה p" אם קיימת מפה כך שהפונקציה חלקה.
כמו במרחב האוקלידי גם על יריעות קבוצת הפונקציות החלקות בנקודה מהווה חוג.
אפשר לראות שכיוון שלכל זוג אינדקסים היא פונקציה חלקה, אז גם כאשר על סביבה מסוימת מוגדרות מספר מפות, פונקציות שחלקות לפי מפה אחת יהיו חלקות גם לפי כל מפה אחרת (כי:
, כלומר זו הרכבת פונקציות חלקות שהיא תמיד פונקציה חלקה).
מהבחינה הזו המושג של פונקציה חלקה היא אינווריאנטי ביחס לשינוי קואורדינטות.
לפי אותו רעיון פונקציה היא פונקציה חלקה בין היריעות M ו-N אם לכל שתי מפות הפונקציה היא חלקה בתחום הגדרתה.
אם נתייחס לקטע הפתוח כאל יריעה (עם המבנה הטבעי כקבוצה פתוחה במרחב האוקלידי – שהוא יריעה חלקה) אז העקומה היא עקומה חלקה (או מסילה חלקה) אם היא פונקציה חלקה בין היריעות (a,b) ו-M.
אחת התכונות החשובות של יריעות חלקות היא האפשרות לבנות פונקציות חלקות ששוות ל-1 על קבוצה סגורה נתונה ומתאפסות מחוץ לקבוצה פתוחה שמכילה אותה (bump function).
פונקציות אנליטיות כאלו לא קיימות כלל על יריעות אנליטיות, ואפילו לא במרחב האוקלידי, כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על קטע מסוים – היא מתאפסת על כל הישר.
המרחב המשיק הוא מרחב וקטורי שנבנה על יריעה חלקה ומתפקד כ"קירוב ליניארי" של אותה יריעה באופן מקומי, במובן שהוא מתאר את הכיוונים השונים שבהם ניתן להתקדם על היריעה כווקטורים (שאותם ניתן לחבר ולהכפיל בסקלר).
למושג כיוון אין מובן טבעי ביריעות אבל לנגזרת כיוונית יש, ולכן מגדיר את הווקטורים במרחב המשיק כהכללה של הנגזרות הכיווניות.
לכל נקודה p, המרחב המשיק בנקודה שמסומן , הוא מרחב וקטורי שאיבריו הם פונקציונלים שפועלים על הפונקציות החלקות כמו הנגזרת הכיוונית הרגילה כלומר הם ליניאריים ומקיימים את כלל הגזירה ("כלל לייבניץ"):
כאשר הן פונקציות חלקות ו- הוא וקטור במרחב המשיק.
הווקטורים של המרחב המשיק נקראים וקטורים משיקים.
בדומה להגדרת היריעה החלקה – יריעה אנליטית היא יריעה טופולוגית שהמפות שלה מתנגשות באופן שמהווה פונקציה אנליטית כלומר לכל זוג מפות הפונקציה היא פונקציה אנליטית.
על יריעות כאלו ניתן להגדיר אלו פונקציות הן פונקציות אנליטיות באופן שאינו תלוי במערכת הקואורדינטות.
השוני העיקרי בין היריעות החלקות והאנליטיות נובע מאי-קיומה של חלוקת יחידה אנליטית באופן כללי, בעוד שחלוקת יחידה חלקה תמיד קיימת.
יריעה טופולוגית היא מרחב טופולוגי שבאופן מקומי נראה כמו המרחב האוקלידי מממד n (אותו n מוגדר להיות ממד היריעה.)
במרחב כזה נשמרות התכונות המקומיות של המרחב האוקלידי כמו קומפקטיות מקומית, והשקילות בין קשירות וקשירות מסילתית, אבל לא נשמרות התכונות הכלליות – לדוגמה יריעה טופולוגית יכולה להיות לא קשירה, למרות שהמרחב האוקלידי קשיר.
הדמיון המקומי ל- לא מספיק חזק כדי להבטיח קיום של תכונות בסיסיות של המרחב הטופולוגי ולכן דורשים מהיריעה הטופולוגית להיות מרחב האוסדורף, שמקיים את האקסיומה השנייה של המנייה, בנוסף לדרישה הראשונה שלכל נקודה במרחב יש סביבה שהיא הומיאומורפית למרחב האוקלידי.
מבחינה אינטואיטיבית, נראה שההומאומורפיזם המקומי למרחב האוקלידי צריך לחייב שהמרחב יהיה מרחב האוסדורף (כי המרחב האוקלידי הוא כזה, ותכונת האוסדורף היא מקומית), אבל למעשה אלו שתי תכונות בלתי תלויות כמו שניתן לראות מהדוגמאות הנגדיות.
במקרים רבים, נוח יותר לבנות אוסף של קבוצות פתוחות שמכסה את המרחב, כך שכל קבוצה בכיסוי הומיאומורפית לסביבה פתוחה של ראשית הצירים ב-, (או של כל נקודה שרירותית אחרת) ובכך להראות שהמרחב הטופולוגי הוא יריעה טופולוגית, במקום לבדוק את התקיימות התכונה עבור כל נקודה.
לפי הגישה הזו אפשר לחשוב על יריעה טופולוגית מממד n כמרחב טופולוגי שניתן לכסות אותו על ידי העתקים מעוותים של המרחב האוקלידי ה-n ממדי, או קבוצות פתוחות ממנו, כאשר המרחבים יכולים להיחתך אחד עם השני.
מרחב טופולוגי M נקרא יריעה טופולוגית אם הוא מרחב האוסדורף, מקיים את האקסיומה השנייה של המנייה ולכל נקודה קיימת קבוצה פתוחה U שמכילה את p והומאומורפית ל-.
או באופן שקול – קיים לו כיסוי פתוח
לעיתים לא דורשים מהיריעה לקיים את האקסיומה השנייה של המנייה ומסתפקים באקסיומה הראשונה של המנייה שנובעת מהדמיון המקומי למרחב האוקלידי.
יריעות כאלו עשויות לא להיות פרקומקטיות, ולכן לא תהיה להן באופן כללי חלוקת יחידה רציפה.
לכל , כאשר היא פונקציה חד-חד-ערכית מ-M אל .
למעשה התנאי ההכרחי הזה הוא כמעט מספיק.
כלומר בהינתן קבוצה M שמכוסה על ידי אוסף בן מנייה, כך שלכל קיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל שמעבירה את לקבוצה פתוחה ב-, אז ניתן לבנות על M מבנה של יריעה טופולוגית אם כל הפונקציות הן פונקציות רציפות כפונקציות מתחום ההרכבה ל-.
הבניה מתבצעת בשיטת הטופולוגיה החלשה על ידי הגדרת בסיס הטופולוגיה כאוסף כל ההעתקות ההפוכות של הקבוצות הפתוחות במרחב האוקלידי – , עבור V קבוצה פתוחה ב- , כלשהו.
במקרים האלו היריעה תיקרא יריעה גזירה, יריעה חלקה או יריעה אנליטית, בהתאם.
כיוון ששני מרחבים אוקלידיים הומאומורפיים זה לזה אם ורק אם הם בעלי אותו ממד – ממד היריעה נקבע באופן יחיד עבור כל יריעה שאיננה ריקה.
כדי להימנע מכל מיני אנומליות של היריעה הריקה (כמו העובדה שממדה הוא יכול להיות כל מספר טבעי), יש הגדרות שדורשות שהיריעה לא תהיה ריקה.
זוג ישרים שנחתכים זה עם זה בנקודה זו (כמו הקבוצה: {x, y) : xy=0)} )לא מהווים יריעה כיוון שאין סביבה של נקודת החיתוך שנראית כמו קו ישר אחד.
כדי ליצור מרחב טופולוגי שדומה למרחב האוקלידי באופן מקומי, אבל אינו האוסדורף נשתמש בטופולוגיית המנה: נגדיר קודם את המרחב X להיות זוג הישרים {x,y) : y=1}, {(x,y): y=-1)} עם הטופולוגיה המושרית עליהם מהמישור.
לכל נדביק את הנקודות (x,1) ו-(x,-1) על ידי הגדרתם כשקולים.
בצורה הזו נקבל מרחב טופולוגי חדש – M שבו כל סביבה של (0,1) נחתכת עם כל סביבה של (1-,0) (שהן עדיין נקודות שונות) ולכן המרחב אינו האוסדורף.
לכל נקודה יש סביבה שהומאומורפית לישר.
יריעה חלקה או יריעה דיפרנציאלית היא יריעה טופולוגית שבה המפות מתנגשות באופן חלק, כלומר אם ו- הן מפות אז הפונקציה היא פונקציה חלקה מהמרחב האוקלידי אל עצמו.
האטלס של היריעה החלקה (שהוא אוסף המפות) נקרא אטלס דיפרנציאלי.
(אפשר לראות בקלות שזהו באמת יחס שקילות על קבוצת כל האטלסים.)
עצמים מתמטיים רבים בנויים כיריעה דיפרנציאלית עם תוספת מבנה.
לדוגמה, אם נוסיף ליריעה דיפרנציאלית מבנה של חבורה (כך שפעולות הכפל וההופכי הן חלקות) נקבל חבורת לי, אם נבנה על היריעה מטריקה חלקה - נקבל יריעה רימנית וכן הלאה.
ניתן להגדיר יריעות חלקות בתור מרחבים מחויגים בעזרת אלומת הפונקציות החלקות, שאיזומורפיים למרחב האוקלידי עם אלומת הפונקציות החלקות הרגילה.
ביתר פרוט, נגדיר יריעה חלקה כזוג סדור של יריעה טופולוגית עם אלומה, שמתאימה לכל קבוצה פתוחה ביריעה תת-אלגברה של אלגברת הפונקציות הרציפות מן היריעה לממשיים.
מכריזים על פונקציות ששייכות לאלגברה הזו כפונקציונלים חלקים.
כמתחייב מתפקידה כאלומה, ההתאמה מקיימת שצמצום פונקציונל חלק לתת קבוצה פתוחה שוב פונקציונל חלק, וכן פונקציה רציפה שהיא פונקציונל חלק מקומית היא פונקציונל חלק.
מבנה זה נקרא לעיתים מבנה פונקציונלי.
כעת ניתן להגדיר מורפיזמים של מבנים פונקציונליים: אלו הם פונקציות רציפות בין היריעות הטופולוגיות כך שהרכבת פונקציונל חלק איתן נותנת פונקציונל חלק.
באופן דומה ניתן להגדיר איזומורפיזם של מבנים פונקציונליים.
מבנה פונקציונלי חשוב ובסיסי ניתן על ידי המרחב האוקלידי, המצויד באלגברת הפונקציות החלקות (גזירות אינסוף פעמים) בתור מבנה פונקציונלי.
מבנה פונקציונלי שהוא איזומורפי למרחב האוקלידי (האיזומורפיזם כאן הוא של מבנים פונקציונליים) ייקרא יריעה.
הגדרה זו שקולה להגדרה הראשונה שניתנה כאן, כלומר ניתן לצייד באופן טבעי כל מבנה פונקציונלי שאיזומורפי למבנה האוקלידי באטלס מתאים ולהפך, יריעה טופולוגית עם אטלס משרה אלומת פונקציות חלקות (באמצעות הרכבה עם פונקציות חלקות מהממשיים לעצמם).
כמו כן גם כל קבוצה פתוחה בתוך המרחב האוקלידי היא יריעה חלקה, על ידי אותה העתקה.
הספירה ה-n ממדית, - שפת כדור היחידה ה-n+1 ממדי, היא יריעה מממד n שמשוכנת במרחב האוקלידי ה-n+1 ממדי.
ניתן לראות שזו יריעה על ידי ההטלה הסטיראוגרפית הבאה: נבחר נקודה אחת להיות "הקוטב הצפוני", N, לדוגמה- .
נסמן את הנקודה האנטיפודית ל-N ב-S, (במקרה הזה ) ואת המישור (ה-n ממדי) המאונך לקוטר NS נסמן ב-P.
לכל נקודה חוץ מ-N נגדיר את להיות הנקודה (היחידה) הנוצרת מהחיתוך של הקו הישר XN עם המישור P.
כדי "למפות" גם את N נבנה מפה שנייה באותה צורה רק שנחליף את התפקידים של N ו-S כלומר הפעם הקו הישר שנחתך עם P יהיה XS.
מהבניה נובע שקיים הומאומורפיזם בין Rn לבין הספירה ה-n ממדית לאחר הוצאת הנקודה N.
כיוון שהספירה כולה היא מרחב קומפקטי, בנייה זאת יוצרת קומפקטיפיקציה של Rn .
ניתן לבנות מפות יותר אינטואיטיביות לספירות ה-n ממדיות.
כאשר האיבר הימני בזוג הוא הקבוצה שאותה הפונקציה ממפה- הצד הימני של המעגל, והאיבר השמאלי הוא הפונקציה, שהיא פשוט הטלה של הנקודה על ציר ה-Y.
על ידי זיהוי , עם מעגל היחידה במרוכבים ניתן לראות של- יש גם מבנה של חבורה, שנובע מהכפל במרוכבים.
פונקציה נקראת פונקציה חלקה בנקודה p אם קיימת סביבה של p כך שהפונקציה חלקה.
אם נתייחס לקטע הפתוח כאל יריעה (עם המבנה הטבעי) אז העקומה היא עקומה חלקה (או מסילה חלקה) אם היא פונקציה חלקה כפונקציה בין היריעות (a,b) ו-M.
לדוגמה, הפונקציה היא פונקציה חלקה על (כי הפונקציה , שמתקבלת מכל המפות, חלקה בתחום ).
לעומת זאת הפונקציה (כאן אנו מתייחסים ל- כאל מעגל היחידה ב-, לפי הזיהוי הקודם ומשתמשים בנוסחת אוילר) איננה פונקציה חלקה על כל בגלל שיש לה "קפיצה" בגודל בין הנקודות שמתחת ציר הממשי והנקודות שמעליו (כלומר היא בכלל לא רציפה שם).
למעט נקודה זו, הפונקציה רציפה וחלקה בכל היריעה.
הפונקציה שמחזירה לכל נקודה את הנקודה האנטיפודית שלה: היא פונקציה חלקה מהספירה ה-n ממדית לעצמה (למעשה זהו דיפאומורפיזם).
כדי להראות זאת נשתמש במפות הכלליות שהגדרנו.
צריך להראות שהפונקציה חלקה כפונקציה ממשית (כאשר ו- הן קואורדינטות מקומיות).
נשתמש בבניה הכללית של המפות לספירה שבנינו בדוגמה.
היות שתכונת החלקות של פונקציה לא תלויה בקואודינטות המקומיות וכל נקודה מכוסה על ידי שתי המפות חוץ מ-N ו-S, נבחר את המפות בצורה שנוחה לנו.
נתייחס אל כאל כדור היחידה ב-.
נבחר את המפה הראשונה להיות ההטלה דרך N ואת השנייה להיות ההטלה דרך S ונראה שבכל נקודה חוץ משתי אלו הפונקציה חלקה, ואז כיוון שבחירת N היא שרירותית- יתקבל שהפונקציה חלקה על כל הספירה.
אפשר לראות את זה מכיוון גאומטרי: הפונקציה הראשונה, , מעבירה את הנקודה לנקודה על הספירה שנמצאת גם על הישר שעובר בין הנקודות N ו-(t,0).
משם לוקחת אותה הפונקציה לנקודה האנטיפודית לה (שהיא בעצם הנקודה שנוצרת מהחיתוך של הישר שעובר דרך והראשית עם הספירה).
בשלב האחרון המפה לוקחת את הנקודה שהתקבלה על הספירה ומחזירה את הנקודה שנוצרת מהחיתוך של הישר שעובר דרכה ודרך S עם ה"מישור" .
למעשה כל המעברים מתרחשים רק על מישור אחד שמכיל את הנקודות והראשית.
זה בגלל הקו הראשון הוא בין N ו- (t,0) ולכן מוכל במישור, הקו השני הוא בין הנקודה שהתקבלה לבין הראשית, שגם היא במישור ולכן הוא נשאר במישור והקו השלישי עובר בין S, שנמצאת במישור לבין הנקודה מהשלב הקודם ולכן גם הוא במישור.
אם נצייר את הקווים נראה שקיימת סימטריה הפוכה בין הישר וחצי הראשונים (מ-(t,0) ל-N ומנקודת החיתוך עם הספירה לראשית) לבין ההמשך (מהראשית לספירה והישר שעובר דרך S והנקודה האנטיפודית) ולכן נקודת החיתוך האחרונה סימטרית לנקודת ההתחלה כלומר וזו היא פונקציה ליניארית, ובפרט חלקה.
פונקציות אנליטיות כאלו לא קיימות כלל על יריעות אנליטיות, ואפילו לא במרחב האוקלידי, כי אם פונקציה אנליטית מתאפסת על קטע מסוים - היא מתאפסת על כל הישר.
לכל נקודה p, המרחב המשיק בנקודה שמסומן , הוא מרחב וקטורי שאיבריו הם פונקציונלים שפועלים על הפונקציות החלקות כמו הנגזרת הכיוונית הרגילה כלומר הם ליניאריים ומקיימים את כלל הגזירה ("כלל לייבניץ'"):
באופן פורמלי: ביריעה M המרחב המשיק בנקודה p, שמסומן TpM, הוא האוסף הבא:
זהו מרחב וקטורי בעל ממד ששווה לממד היריעה.
מערכת קואורדינטות מקומיות בנקודה p אז הווקטורים המשיקים שמוגדרים על ידי
הם בסיס למרחב המשיק בנקודה (כאשר ti הוא הציר ה-i-י במערכת הצירים ב- ).
מכלל הגזירה נובע שלכל וקטור משיק v ולכל קבוע c, .
באופן מפתיע, המבנה הדיפרנציאלי של המרחב לא תלוי בבחירת הבסיס כלומר לכל שני בסיסים, האטלסים הנוצרים מהם הם שקולים.
כדי להראות זאת מספיק להראות שפונקציית המעבר מבסיס לבסיס היא חלקה- וזה נכון כי פונקציה זו היא אופרטור ליניארי על וכל פונקציה ליניארית היא חלקה.
הקבוצה שהיא קבוצת כל המטריצות ההפיכות במרחב .
זוהי קבוצה פתוחה ולכן יריעה שממדה הוא ממד המרחב המקורי כלומר .
זוהי גם חבורה ביחס לפעולת הכפל (כפל מטריצות).
מבנה זה נוצר על ידי "הדבקת" כל שתי נקודות אנטיפודיות בספירה ה-n ממדית.
על פי תיאורי המקרא, יְרִיעוֹת הַמִּשְׁכָּן הן שם כולל לארבעה כיסויים שכיסו את המשכן.
האוהל שימש כתקרה למשכן שלא הייתה לו תיקרה קבועה, ובכך הסתיר את תוכנו של המשכן ואת כלי הקודש מעיני מתבונן חיצוני, הגן על כלי הקודש מאיתני הטבע ואף היה אחד האמצעים ששימשו לפאר את המשכן.
היריעות שימשו "מכסה" לאוהל מועד, כפי שמצוין בספר שמות:
ארבעת הכיסויים שכיסו את המשכן היו:
יריעות המשכן היו הכיסוי הפנימי ביותר של המשכן.
יריעות אלה עשויות היו מאריגה של עשרים וארבעה חוטים של תכלת, ארגמן, תולעת שני ושש.
היריעות, בדומה לפרוכת נארגו בצורה של כרוב בדמות אריה מצד אחד ובדמות נשר מהצד השני ("כְּרֻבִים מַעֲשֵׂה חֹשֵׁב").
את היריעות ניתן היה לראות במבט מעלה מתוכו של המשכן, ומתבונן חיצוני לא יכול היה לראותן.
היריעות היו תפורות במחט זו בצד זו בשתי קבוצות של חמש, שנקראו "חוברות" או "מחברות".
לכל אחת מהחוברות היו לולאות תכלת - אליהן הוכנסו קרסי זהב כדי לחבר בין החוברות, כפי שכתוב:
הקרסים מזהב נראו מתוך אוהל מועד, כאמור בתלמוד הבבלי: .
בהתבסס על דברי הבבלי, פירש המלבי"ם שבאחת החוברות היו הלולאות בקצה היריעה ובלטו ממנה, ובחוברת האחרת הן היו בשטחה של היריעה מבלי לבלוט ממנה, בצד המופנה כלפי אוהל מועד.
כך, עת שחוברו היריעות, לא היה ביניהן מרווח, והן חפפו זו את זו:
היריעות כיסו את כל אוהל מועד וקצוותיהן הגיעו לגובה של אמה אחת מעל האדנים - כך שאמה אחת מהקרשים המוזהבים הייתה נראית למתבונן מן החוץ, אלמלא יריעות האוהל.
השכבה השנייה של כיסויי המשכן, שהונחה מעל יריעות המשכן הייתה יריעות עזים שחורות.
יריעות אלה מתוארות בספר שמות:
אחת עשרה יריעות עיזים שהיו מחוברות לשתי יריעות - חמש יריעות חוברו ליריעה אחת ושש ליריעה שנייה.
שתי אלה חוברו אף הן, בדומה ליריעות המשכן, על ידי קרסים - הפעם - קרסי נחושת (כיוון שקרסים אלה לא ניראו מתוכו של המשכן).
יריעות אלה הגיעו עד האדנים, שכן היו ארוכות מיריעות המשכן, ואף היו ארוכות מספיק שאמה אחת נשרכה על הקרקע כך שהמתבונן מבחוץ לא ראה את האדנים.
עורות אֵילים מאודמים ועורות תחשים
מעל יריעות האוהל הונחו יריעות עור:
עורות אילים מאדמים הם עורות אילים הצבועים אדום.
בברייתא דמלאכת המשכן (פרק ג') מובאת מחלוקת לגבי אופן ההנחה של העורות: לפי רבי יהודה, הן עורות האילים המאודמים והן עורות התחש הונחו זה על זה על גג המשכן, ואורך היריעות היה 30 אמות על 10 אמות.
לפי רבי נחמיה, מחצית הגג כוסתה בעורות אילים מאדמים ומחצית בעורות תחשים.
רש"י, בפירושו על התורה, מחליף בין הדעות:
היינו, רבי יהודה טוען שמחצית הגג כוסתה בעורות אילים מאודמים ומחצית בעורות תחשים ואילו רבי נחמיה סבור ששתי השכבות כיסו את הגג לחלוטין והיו זו על זו.
לרמב"ם שיטה שלישית, ולפיו כיסו עורות האילים רק את קירות המשכן ועורות התחש רק את גגו של המשכן.
ירך (TA: Femur) היא החלק העליון של הרגל.
מבחינה אנטומית היא מוגדרת כנמצאת בין אזור האגן לברך.
הירך בנויה מעצם הירך, וממסה גדולה של שרירים המניעים את מפרק הירך ואת הברך.
דרך הירך עוברים כלי דם ועצבים גדולים האחראים לאספקת הדם ולעצבוב של הירך ושל הרגל כולה.
המבנים בירך משתתפים במילוי תפקידי הגפה התחתונה, כגון מתן ניידות, שמירה על שיווי המשקל ונשיאת משקל הגוף.
הגבול העליון של תחום הירך (Regio femoris) הוא תל הירך הגדול, שנמצא בחלק העליון של עצם הירך, והגבול התחתון של תחום הירך הוא מפרק הברך, שהוא המפרק המחבר בין הירך לשוק.
בלתי נפרד מתחום הירך הוא תחום החלציים (Regio coxae), הנמצא מעט מעל תחום הירך, כאשר גבולו התחתון הוא תל הירך הגדול, וגבולו העליון הוא רכס הכסל של עצם הכסל.
מעל חלקה האחורי של הירך נמצא תחום העכוז המכיל שרירים המשפיעים על הירך וכן כלי דם ועצבים שחלקם מגיעים לירך.
עצם הירך, הבסיס הגרמי של הירך, היא העצם הגדולה והחזקה ביותר בגוף האדם.
היא ממוקמת בשלד בין עצמות האגן לבין השוקה.
ראש עצם הירך מופרק עם שקע המרחשת באגן להרכבת מפרק הירך.
חלקה התחתון של עצם הירך מופרק עם עצם הפיקה ועם השוקה ומרכיב את מפרק הברך.
החיתולית השטחית של הירך והמחתלה הרחבה
בירך נמצאות שתי שכבות של חיתולית, חיתולית שטחית וחיתולית עמוקה.
החיתולית השטחית, הנמצאת עמוק יותר מעור הירך, נפרדת במספר מקומות לשתי שכבות.
בין שכבות החיתולית השטחית נמצאות קשריות לימפה ונעים כלי דם שטחיים ועצבים.
חלקים מהחיתולית השטחית עבים יותר מאחרים, למשל האזור שעוטף את גבששות השת ("עצמות הישיבה") מכיל רקמת שומן עשירה בסיבים לשם נשיאת משקל הגוף בישיבה.
החיתולית העמוקה של הירך מכונה המחתלה הרחבה (Fascia lata).
המחתלה הרחבה מורכבת מרקמת חיבור צפופה והיא עוטפת בצורה הדוקה את שרירי הירך.
היא מונעת מהשרירים לבלוט יתר על המידה בעת כיווצם ומשפרת את יעילותם.
תחילת המחתלה הרחבה באזור האגן, היא מחוברת לרצועת המפשעה (Ligamentum inguinale), לרכס הכסל, לחלק האחורי של עצם העצה ועצם העוקץ, לרצועת העצה והגבשוש (Ligamentum sacrotuberale), לגבששת השת ולקשת החיק ועצם החיק.
בחלק העליון של המחתלה הרחבה נמצא פתח בשם מבקע הַצָּפוּן (Hiatus saphenus), המאפשר לווריד הצפון הגדול השטחי להעמיק ולהתנקז לוווריד הירך.