tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
הצד הראשון ביקש ליצור פשרה אמונית עם המדע המודרני והערכים הליברליים, בעוד שהאחרונים שאפו להגן על עיקרי הדת במלואם ובכל מחיר.
ברייאן היה אחד ממנהיגי הפונדמנטליסטים, והתדמית החשוכה והקנאית שהקנה סיקור המשפט למחנהו פגע בהם קשות.
עד 1929 נאלצו ראשיהם והוגיהם לפרוש ברובם מהכנסייה הפרסביטריאנית הצפונית, מהכנסייה הבפטיסטית הצפונית ומזרמים אוונגליסטיים אחרים, ולייסד מסגרות עצמאיות שנותרו בשולי חיי הדת עד שנות ה-70 של המאה ה-20.
ברבות השנים, המשפט שימש השראה למחזות, סרטים ואזכורים בקולנוע ובתוכניות טלוויזיה.
הידוע שבהם הוא המחזה ינחל רוח שכתב ג'רום לורנס ורוברט אדווין לי ב-1955. המחזה הציג גרסה בדיונית של המשפט ולפי כותביו הוא נכתב כביקורת לתופעת המקארתיזם שהתרחשה באותה תקופה בארצות הברית ומטרתו הייתה לעסוק בעיקר בחופש אינטלקטואלי.
המחזה מציג את דרו וברייאן כדמויות בשם הנרי דראמונד ומתיו בריידי בהתאמה.
בהקדמה למחזה, כותביו מציינים כי הוא אינו מתיימר להיות תיעוד היסטורי מדויק, ויש בו מספר רב של אירועים ששונו או הומצאו לחלוטין.
למרות ההבהרה בהקדמה שהמשפט הוא רק "מקור השראה" למחזה ואין מדובר בתיעוד היסטורי, הציבור ראה במחזה גרסה היסטורית של המשפט.
המחזה עובד לסרט בשנת 1960 בבימויו של סטנלי קריימר, עם ספנסר טרייסי בתפקיד דראמונד ופרדריק מארץ' בתפקיד בריידי.
הסרט כולל יותר אירועים מהמשפט האמיתי ביחס למחזה.
בנוסף, נעשו שלוש גרסאות טלוויזיוניות למחזה: בשנת 1965 בכיכובם של מלווין דאגלס ואד בגלי, בשנת 1988 בכיכובם של ג'ייסון רוברדס וקירק דאגלס, ובשנת 1999 בכיכובים של ג'ק למון וג'ורג' סי.
עיבודים נוספים ניסו להציג גרסה נאמנה יותר לאירועים ההיסטוריים.
כך למשל המחזה "ינחל האמת" שכתב גייל ג'ונסון ב-1987, התבסס על הפרוטוקולים המקוריים של המשפט.
המחזה נכתב כתגובת נגד למחזה ולסרט "ינחל הרוח", שלטענת תושבי דייטון לא הציגו את המשפט או את ויליאם ג'נינגס ברייאן בצורה נאמנה.
מחזה נוסף שניסה להישאר נאמן לאמת הוא המחזה "משפט הקופים הגדול של טנסי" שכתב פיטר גודצ'יילד בשנת 1993. בדומה למחזה "ינחל האמת" גם מחזה זה נכתב על בסיס מקורות ופרוטוקולים מקוריים מהמשפט.
בשנת 2009 שידרה ה-BBC גרסת רדיו של המחזה בכיכובם של ניל פטריק האריס ואד אסנר.
אזכורים נוספים של משפט הקופים בטלוויזיה ובקולנוע כללו את הפרק "ליסה הספקנית" בסדרה משפחת סימפסון.
הסצנה בפרק שבה ליסה עומדת למשפט בגין הרס שלד של אדם עם כנפיים שהמקומיים מאמינים שהוא מלאך, שאבה השראה ממשפט הקופים.
הסרט Alleged משנת 2010, דרמה רומנטית המתרחשת סביב משפט סקופס, יצא בהשתתפות בריאן דנהי בתפקיד קלרנס דרו ופרד תומפסון בתפקיד ברייאן.
למרות שהעלילה בדיונית, כל סצנות בית המשפט מבוססות על הפרוטוקולים המקוריים של המשפט.
בשנת 2013, הסדרה "היסטוריה שתויה" של ערוץ קומדי סנטרל הציגה גרסה מחודשת לחלקים מהמשפט בפרק "נאשוויל", בכיכובם של בראדלי ויטפורד כברייאן, ג'ק מקברייר כדרו, ודרק ווטרס כסקופס.
במסגרת ההפקה של הסדרה American Experience בערוץ PBS נכתבו סדרת שירי עם בהשראת משפט סקופס.
כמו כן, ברוס ספרינגסטין ביצע שיר בשם "Part Man, Part Monkey" (בתרגום מילולי לעברית: "מחצית אדם, מחצית קוף") במהלך סיבוב הופעות בשנת 1988 והקליט והפיץ אותו בהמשך בשנת 1998. השיר מתייחס למשפט סקופס וטוען שהמשפט היה יכול להימנע רק מהתבוננות בהתנהגותם של גברים סביב נשים (מילות השיר: ).
בשנים שלאחר המשפט נכתבו ספרי עיון רבים על המשפט.
המפורסם שבהם הוא של הסופר אדוארד לרסון שכתב את הספר "קיץ לאלים: משפט סקופס והוויכוח המתמשך בארצות-הברית על דת ומדע", שזכה בשנת 1998 בפרס פוליצר.
בנוסף הרומן של רונלד קיד "Monkey Town: The Summer of the Scopes Trial" (בתרגום מילולי לעברית: "עיירת הקופים: הקיץ של משפט סקופס") משנת 2006, מתרחש בקיץ 1925 בדייטון, טנסי, ומבוסס על משפט סקופס.
ב-1979, בוצע שחזר של אולם הדיונים שבקומה השנייה בבית המשפט של מחוז ריאה בעיר דייטון, בו התקיימו רוב הדיונים במשפט סקופוס.
במרתף בית המשפט, הוקם מוזיאון שכולל מוצגים כגון: המיקרופון ששימש לשידור המשפט וכן מסמכים, תצלומים ותיעודים אחרים מהמשפט.
מחוץ לבית המשפט ניצב שלט הנצחה שהוצב על ידי הוועדה ההיסטורית של טנסי, ועליו כתוב:
בניין בית המשפט של מחוז ריאה הוכרז כאתר היסטורי לאומי על ידי שירות הפארקים הלאומיים של ארצות הברית בשנת 1976.
משפט הקוסינוסים הוא משפט טריגונומטרי שמציין את הקשר בין צלעות משולש לאחת מזוויותיו.
המשפט הוא הכללה של משפט פיתגורס למשולש כלשהו.
והזווית שמול c היא ,
משפט פיתגורס מתקבל במקרה הפרטי שבו ולכן:
משפט הקוסינוסים מופיע כבר בספר 'יסודות' של אוקלידס מהמאה השלישית לפנה"ס.
הספר מכיל גרסה גאומטרית, ללא שימוש בפונקציות טריגונומטריות (כיוון שטרם הוגדרו).
המשפט מופיע בכרך 2 של ה'יסודות' כמשפט 12 עבור משולש קהה-זווית וכמשפט 13 עבור משולש חד-זווית.
בציור משמאל, גרסת המשפט עבור משולש חד-זווית: .
מכיוון ש מתקבל משפט הקוסינוסים בגרסתו המוכרת.
גרסה זו נוסחה בימי הביניים בעקבות פיתוחו של ענף הטריגונומטריה על ידי מתמטיקאים מוסלמים.
בתחילת המאה העשירית האסטרונום והמתמטיקאי המוסלמי אל-בתאני הכליל את המשפט לגאומטריה ספירית.
הכללה זו אפשרה לו לחשב את המרחק הזוויתי בין כוכבים.
המתמטיקאי ג'משיד אל-קאשי מסמרקנד בן המאה ה-15 חישב ערכים של פונקציות טריגונומטריות.
חישוביו הפכו את משפט הקוסינוסים ממשפט תאורטי למשפט שימושי.
בצרפתית משפט הקוסינוסים נקרא משפט אל-קאשי.
נעביר גובה לצלע c .
(השוויון נכון גם עבור משולש קהה זווית.
שם האנך חותך את c מחוץ למשולש וקוסינוס הזווית הקהה הוא שלילי).
נכפיל את השוויון הקודם ב-c ונקבל: .
באותו אופן מקבלים: , .
מחיבור שתי המשוואות הנ"ל נקבל: .
לאחר העברת אגפים נקבל: .
לפי השלב השני בהוכחה, אגף שמאל של המשוואה האחרונה שווה ל-c 2 ומתקבל משפט הקוסינוסים: .
הוכחה זו כאמור, נכונה עבור משולש כלשהו.
בהוכחות רבות הנעזרות בטריגונומטריה, נעשית הפרדה בין משולשים חדי-זווית למשולשים קהי-זווית.
ניקח משולש בעל צלעות , ו-, ובעל זוויות , ו- ממול לכל צלע בהתאמה.
נוריד גובה מקודקוד הזווית לצלע b.
את המשוואה נקבל באמצעות משפט פיתגורס על המשולש ישר הזווית השמאלי:
את המשולש ABC שצלעותיו BC = a AC = b AB = c,נחסום במעגל, כפי שניתן לראות בשרטוט משמאל.
נבנה משולש ABD החופף למשולש המקורי: AD=BC ו BD=AC.
מהקודקודים C,D נעביר גבהים החותכים את הצלע AB בנקודות F,E בהתאמה.
את המשפט קל להוכיח באמצעות חשבון וקטורים.
וקטור הוא גודל ליניארי מופשט הקיים במרחב וקטורי.
על וקטורים במישור ניתן לחשוב כעל חצים בעלי אורך וכיוון, ובאמצעותם לייצג צורות גאומטריות, ובפרט מצולעים כגון משולש.
שכן הזווית שמול הצלע c במשולש שווה לזווית בין הווקטורים ו- (שכן הן זוויות בין ישרים מקבילים הנוצרים מהעתקה מקבילה של הווקטור ).
האנלוג המרחבי של משפט הקוסינוסים
עבור סימפלקסים רב-ממדיים (מממד גבוה מ-2) קיימות נוסחאות טריגונומטריות בעלות צורה דומה לזו של משפט הקוסינוסים.
במקרה התלת-ממדי, הסימפלקס המתקבל הוא הטטראדר, והנוסחה האנלוגית למשפט הקוסינוסים קושרת בין השטחים של שלוש פאות והזוויות הדיהדרליות ביניהן לשטח הפאה הרביעית.
אם נסמן את השטחים של ארבע הפאות של הטטראדר ב-α,β,γ,δ ואת הזווית הדיהדרלית בין שתי פאות בסימון (למשל) , אז:
השלב המרכזי בהוכחה הוא להראות שאם נשרטט וקטור ניצב לכל פאה אשר אורכו שווה לשטח שלה, אז סכום ארבעת הווקטורים שיתקבלו יהיה אפס.
אם נציב את הראשית באחד מקודקודי הארבעון ונניח שכיוון כל אחד משלושת הווקטורים המייצגים את שלוש הצלעות שנפגשות באותו קודקוד הוא אל הראשית (ולא החוצה), אז אם נסמן את שלושת הווקטורים הללו ב-, נקבל ששלושת הווקטורים המייצגים את שלוש הצלעות הנותרות הם: .
כל אחד מווקטורי הנורמל לפאות שווה למחצית המכפלה הווקטורית שמתאימה לו:
בעוד המכפלה הווקטורית המתאימה לפאה האחרונה היא:
אם נחבר את ארבעת וקטורי הנורמל תוך שימוש בדיסטריביוטיביות המכפלה הווקטורית, נקבל:
חוק הקוסינוסים בעבור טטראדר מתקבל מעובדה זו בצורה מיידית באמצעות שוויון הנורמה בריבוע של עם המכפלה הסקלרית
אבל, מהגדרת הזווית הדיהדרלית נובע: , מה שמשלים את ההוכחה.
משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא משפט בחשבון אינפיניטסימלי העוסק במשיק לגרף של פונקציה רציפה בקטע סגור.
לפי המשפט, אם הפונקציה גזירה בכל הנקודות הפנימיות בקטע, אז יש נקודה שבה המשיק מקביל לקו המחבר את קצות הגרף של הפונקציה.
משפט זה מהווה הרחבה פשוטה יחסית של משפט רול, שבו מניחים ששני הערכים שהפונקציה מקבלת בקצות הקטע שווים זה לזה.
ההנחה על קיום הנגזרת חיונית: אם הפונקציה אינה גזירה בכל הקטע הפתוח, ואפילו רק בנקודה אחת, ייתכן שהמשיק המבוקש אינו קיים.
אחד השימושים החשובים של המשפט הוא בהערכת השגיאה כאשר מקרבים פונקציה בעזרת טור חזקות.
בניסוח אחר, המשפט מתייחס להשתנות של הפונקציה בין נקודות הקצה של הקטע - ומראה שתמיד קיימת נקודה שהשינוי הרגעי בה שווה לשעור ההשתנות הממוצע.
לדוגמה, אם מכונית עוברת מרחק של 100 קילומטר בשעתיים, בהכרח היה רגע במהלך הנסיעה שבו מהירותה הייתה בדיוק 50 קמ"ש (וזאת כמובן בהנחה שפונקציית המרחק שהמכונית עוברת רציפה וגזירה - כלומר שלמכונית יש מהירות בכל רגע נתון).
אף שהמשפט אינו נותן כלי מעשי למציאת הנקודה שבה מתקבל הממוצע, יש לו חשיבות תאורטית רבה והוא שימושי בהוכחתם של משפטים רבים, שכן הוא מסייע להעריך את השינוי בערכה של פונקציה באמצעות הערכת נגזרתה.
משפט הערך הממוצע: תהי פונקציה רציפה בקטע הסגור וגזירה בקטע הפתוח .
אז קיימת נקודה שעבורה .
הוכחה: תהא נוסחת הקו הישר שעובר דרך הנקודות ו-.
זוהי פונקציה רציפה וגזירה בכל מקום, שנגזרתה קבועה, .
אנו מעוניינים להראות כי הנגזרת של שווה, בנקודה מתאימה, לשיפוע של הישר המיוצג על ידי , כלומר ל-.
לשם כך נשתמש במשפט רול על פונקציה חדשה, שהיא ההפרש בין ו-.
הסיבה לכך היא שאנו מעוניינים להוכיח שקיימת נקודה שבה שתי הנגזרות שוות זו לזו, כלומר, נגזרת ההפרש היא 0.
נגדיר את פונקציית ההפרש .
זוהי פונקציה רציפה ב- (כהפרש של פונקציות רציפות), גזירה ב- (כהפרש של פונקציות גזירות), ומקיימת (זאת משום ש- ובדומה גם לגבי הנקודה ).
לכן, ממשפט רול נובע כי קיימת נקודה כך ש-.
למשפט הערך הממוצע לנגזרת יש גרסה מקבילה לאינטגרל.
המשפט קובע כי לכל פונקציה רציפה בקטע קיים כך שמתקיים: .
המשמעות הגאומטרית לפונקציה אי-שלילית היא שקיימת נקודה על הגרף של כך שהשטח מתחת לגרף של שווה לשטח המלבן שאורכו אורך הקטע וגובהו כגובה הנקודה .
הוכחה: תהי פונקציה קדומה של .
על פי הגרסה הרגילה של משפט הערך הממוצע, נקבל שקיימת נקודה c כך ש-.
על פי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, נקבל .
ממשפט הערך הממוצע נובע שאם פונקציה גזירה בקטע פתוח והנגזרת שלה זהותית אפס בו, אז הפונקציה בהכרח קבועה.
משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז'.
ממשפט הערך הממוצע ניתן לקבל את שארית לגראנז' של פיתוח טיילור.
ממשפט הערך הממוצע נובע כי פונקציה גזירה בעלת נגזרת חסומה מקיימת את תנאי ליפשיץ (ולכן רציפה במידה שווה).
בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' עבור זוג פונקציות.
למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל.
תהיינה ו- פונקציות רציפות בקטע וגזירות בקטע .
נניח שהנגזרת של לכל .
אזי קיימת נקודה כך שמתקיים .
הערה: מכך שהנגזרת אינה מתאפסת בקטע ומקונטרה פוזיטיב למשפט רול מתקבל ולכן אין חלוקה באפס.
משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא מקרה פרטי של משפט הערך הממוצע של קושי, עבור .
ראשית נשים לב כי אם אז על פי משפט רול קיימת נקודה כך ש-, וזאת בסתירה להנחה.
כעת נגדיר פונקציה חדשה: פונקציה זו נבנית מהפונקציות באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו , היא רציפה בקטע וגזירה בקטע .
אם נציב, נקבל את השוויון .
לכן F מקיימת את תנאי משפט רול, ומכאן שקיימת נקודה כך ש-.
על פי הנתון, ולכן ניתן לחלק, ולקבל , כמבוקש.
באנליזה מתמטית, משפט הפונקציות הסתומות עוסק באפשרות לחלץ ממשוואה בכמה משתנים חלק מהמשתנים כפונקציה של האחרים.
כלומר, המשפט מראה באילו תנאים משוואה מציגה פונקציה באופן סתום, ומהן התכונות של אותה פונקציה.
המשפט הוא מקומי (כלומר, הוא מראה שמשוואה מגדירה פונקציה רק בסביבתה של נקודה מסוימת), ואינו נותן דרך להציג את הפונקציה באופן מפורש.
למעשה, קיימים מקרים בהם לא ניתן לחלץ את המשתנים התלויים מתוך המשוואה בדרך אלגברית.
במקרים האלו האינפורמציה היחידה לגבי הפונקציה ניתנת לנו מתוך משפט הפונקציות הסתומות.
בעזרת משפט זה ניתן לחשב את הנגזרות של הפונקציה בנקודה בה מופעל המשפט, ובכך לקבל מידע על התנהגותה של הפונקציה באותה נקודה.
משוואה זו מתארת מעגל ברדיוס 1. נניח כי אנו רוצים לחלץ את ולהציגו כפונקציה של .
על ידי העברת אגפים והוצאת שורש נקבל .
מכיוון שלכל ערך של מותאמים שני ערכים עבור ברור כי זוהי אינה פונקציה, כי פונקציה צריכה להתאים לכל ערך של ערך יחיד של .
עם זאת, כאשר אנו מתבוננים בנקודה כלשהי על המעגל ומגבילים את ערכי לסביבה קטנה שלה, נקבל כי באותה סביבה ניתן לחילוץ.
למשל, עבור הנקודה ניתן לקחת סביבה ברדיוס ועבורה להגדיר את הפונקציה .
כך נקבל פונקציה שעוברת דרך הנקודה ונקודותיה הן בדיוק נקודות המעגל בסביבה הנתונה.
עם זאת, לא עבור כל נקודה ניתן לבצע את החילוץ הזה.
שתי הנקודות ה"בעייתיות" הן .
הבעיה בנקודות אלו היא כי בכל סביבה שלהן, אם ננסה לחלץ את כפונקציה של , נקבל ערכים של להם מתאימים שני ערכים של .
בלשון מעט ציורית, ניתן לתאר את מה שאנו עושים כך: אנו "חותכים" קטעים מהמעגל, ובודקים האם הקטעים הללו נראים כמו גרף של פונקציה.
כדי שקטע מעגל יראה כמו גרף של פונקציה, צריך להתקיים שכל קו אנכי חותך את קטע המעגל בנקודה יחידה- כלומר לפונקציה יהיה ערך אחד בלבד עבור כל נקודה.
אם הקו לא חותך אותו כלל, פירוש הדבר היה שהפונקציה לא מוגדרת בנקודה שהיא קואורדינטת ה- של הקו האנכי.
אם הוא חותך אותו בשתי נקודות או יותר פירוש הדבר היה שכמה ערכי מתקבלים עבור אותו ערך של , ולכן זה לא גרף של פונקציה.
מעגל נראה כמו הדבקה של שני חצאי מעגל (אחד מעל ציר ואחד מתחתיו), ולכן עבור כל נקודה שאינה בעייתית ניתן לחתוך המעגל בסביבה כזו שתכיל רק חלק מאחד משני חצאי המעגל, ויתקבל גרף של פונקציה.
לעומת זאת, בנקודות הבעייתיות, כל סביבה שניקח תחתוך חלק משני חצאי המעגל יחד, ולכן לא יתקבל גרף של פונקציה.
תהא קבוצה פתוחה ותהא פונקציה ב- משתנים, כך ש- (כלומר גזירה ברציפות, או באופן שקול: בעלת נגזרות חלקיות רציפות בקטע).
נניח כי קבוצה זו לא ריקה.
(אנו רוצים להראות כי קבוצת נקודות זאת היא גרף של פונקציה המוגדרת בסביבת הנקודה ).
זוהי הנקודה שסביבה נרצה לבצע את החילוץ.
נביט בתת-המטריצה הבאה של מטריצת יעקובי של : .
אם תת-מטריצה זו היא הפיכה אז קיים ופונקציה כך ש-, ומתקיים: (כלומר, היא הפונקציה שחיפשנו).
נדגים כיצד ניתן להשתמש במשפט כדי לחשב את נגזרת הפונקציה החלקית.
נדגים זאת על פונקציה שניתן להציג בקלות בצורה מפורשת, כדי להראות שמקבלים את אותה התוצאה בשני המקרים.
ראשית נחלץ מהביטוי את בצורה מפורשת: , כלומר (פונקציה זו לא מוגדרת עבור ).
כעת נשתמש במשפט הפונקציות הסתומות על הביטוי .
אז הנגזרת החלקית על פי היא .
פונקציה זו היא היעקוביאן שאנו רוצים שיהיה שונה מאפס, מה שמתקיים לכל נקודה פרט ל-.
כלומר בכל נקודה פרט ל- ניתן לחלץ את (נשים לב שזה זהה למה שקיבלנו כאשר ביצענו את החילוץ ישירות).
מכאן שבסביבת כל קיימת פונקציה המציגה את כפונקציה של (בחישוב שעשינו קודם ראינו כי , אך משפט הפונקציות הסתומות לא נותן לנו את הפונקציה בצורה מפורשת).
נציב אותה בביטוי שלנו ונקבל: .
כעת נגזור את הביטוי תוך שימוש בכלל המכפלה ונקבל: .
נחלץ בצורה אלגברית את :
באמצעות הכרת ערכי בנקודות שונות אנו מסוגלים להסיק מהביטוי שקיבלנו את ערכי באותן נקודות.
אם נציב את הביטוי שמוכר לנו עבור בנוסחה שקיבלנו, נראה כי קיבלנו את אותן תוצאות בשתי השיטות.
לכאורה, כאן השימוש במשפט הפונקציות הסתומות יעיל פחות מאשר חילוץ ישיר.
אלא שחילוץ ישיר לא תמיד אפשרי, ואילו משפט הפונקציות הסתומות מאפשר את חישוב הנגזרות גם במקרה שבו קיימת פונקציה מפורשת אך אין לנו דרך למצוא אותה.
משפט הקוף המקליד הוא טענה מתמטית, לפיה אם נבחר טקסט באורך סופי, אז הוא יופיע ברצף אינסופי של תווים אקראיים המוגרלים מהתפלגות אחידה (אך לאו דווקא מהתפלגות זו) בהסתברות .
בניסוח פופולרי, ברוח מאמרו של המתמטיקאי הצרפתי אמיל בורל, בו הופיע המשפט לראשונה, אפשר לומר שאם קוף מקליד תווים אקראיים במכונת כתיבה – בסופו של דבר יופיעו בטקסט כל כתבי ויליאם שייקספיר.
אכן, יצירה אקראית של טקסט בן כמה משפטים תיקח זמן ארוך מגילו של היקום.
עם זאת הוספה של מנגנון של שיפור הדרגתי, כגון "נעילה" של אותיות נכונות כאשר אלה מוקלדות, מאיצה מאוד את התהליך.
טיעון זה משמש בהקשר של הפרכת טיעון נפוץ נגד אבולוציה – טורנדו במגרש גרוטאות.
ההסתברות שיתרחשו שני מאורעות בלתי-תלויים שווה למכפלת ההסתברויות שלהם; לדוגמה, אם ההסתברות שפרוסת לחם תיפול על הצד המרוח בחמאה היא , וההסתברות ש"נמר עם גדי ירבץ" היא , הרי שההסתברות ששני המאורעות יתרחשו היא , זאת בהנחה שאין תלות בין המאורעות.
נניח כעת שברשותנו מקלדת בעלת חמישים תווים, ונאמר שעל הקוף להקליד את המילה "אנציקלופדיה".
ההסתברות שהאות הראשונה שיקליד תהיה אל"ף היא אחת לחמישים, דהיינו, .
ההסתברות שיקליד את האות אל"ף ואחריה את האות נו"ן היא אחת לחמישים כפול אחת לחמישים, לשון אחר, .
הסיכוי שאחת־עשרה אותיות רצופות שיקליד יאייתו את המילה "אנציקלופדיה" הוא נמוך מאוד: אחת לחמישים בחזקת , שהן .
ההסתברות, , לכך שאחת-עשרה האותיות הראשונות לא ייצרו את המילה "אנציקלופדיה" היא כמעט ודאית:
ניתן לקוף להדפיס עוד אותיות.
אם עדיין לא מופיעה המילה "אנציקלופדיה", הרי שהיא אינה מופיעה במקטע בן אחת-עשרה האותיות הראשונות, וגם לא באחת-עשרה האותיות האחרונות.
מכיוון שאלו מקטעים זרים, האותיות נבחרות באופן בלתי-תלוי בכל אחד מהם בנפרד, ולכן גם המאורעות "המילה אינה מופיעה במקטע הראשון" ו"המילה אינה מופיעה במקטע השני" בלתי-תלויים.
לכן ההסתברות שהמילה לא תופיע בשני המקטעים שווה ל- .
מכאן נובע שההסתברות לכך שהמילה אינה מופיעה בשום מקום ברצף בן עשרים ושתיים האותיות, קטנה מ-.
באופן דומה, עבור מקטעים של אותיות למקטע, ההסתברות שהמילה לא תופיע היא לכל היותר .
היות ש־, כאשר גדל לאינסוף, ההסתברות שהמילה לא תופיע בכלל שואפת לאפס, וההסתברות שההפך הוא הנכון שואפת לאחת, כלומר, המילה תופיע כמעט בוודאות.
אותו טיעון אפשר להחיל על טקסט בכל אורך סופי – כמו כל כתביו של שייקספיר לדוגמה.
תוחלת הזמן להופעת קטע מסוים
אפשר להראות שעבור קטע נתון (כגון המילה "אנציקלופדיה"), לא רק שההסתברות להופעתה בסופו של דבר בסדרת התווים שהקוף מדפיס שווה ל-, אלא אף תוחלת זמן ההמתנה למאורע זה היא סופית.
תוחלת הזמן עד להופעת קטע בן אותיות המורכב מ- סוגי תווים, בהנחה שכל תו נבחר בהסתברות אחידה, אינה עולה על .
על-פי המשפט שהוצג לעיל, טקסט סופי נתון וקבוע יופיע בהסתברות אחד בסדרה אקראית אינסופית.
אפשר להוכיח יותר מזה: בהינתן סדרה אקראית אינסופית (שבה האותיות מוגרלות מאלפבית סופי, באופן אחיד ובלתי תלוי), כל טקסט סופי יופיע (שוב, בהסתברות ).
יתרה מזו, כל טקסט מקרי מופיע בשכיחות השווה להסתברות שלו להופיע בכל מקום בסדרה.
להרחבה בנושא זה, ראו מספר נורמלי.
התוצאה האינטואיטיבית שלפיה אפשר לצפות לתופעות מוזרות בסדרה, בתנאי שהיא ארוכה מספיק, מופיעה פעמים רבות בקומבינטוריקה.
הלמה של בורל-קנטלי היא דוגמה לא פשוטה לכך, שהיא בעלת השלכות חשובות בתורת החוגים.
בשנת 2003 נערך "ניסוי" בגן החיות של פיינטון על ידי מרצים וסטודנטים מאוניברסיטת פליימות', שבמהלכו ניתנו שש מכונות כתיבה לקופי מקוק.
במשך חודש הפיקו הקופים חמישה עמודים בלבד, ואלה הורכבו בעיקר מחזרות על האות האנגלית "S".
יתרה מכך, הקופים השחיתו את המקלדות במגוון אופנים.
משך זמן הניסוי זניח לחלוטין ביחס לפרק הזמן הדרוש בתוחלת כדי להפיק יצירה בעלת משמעות, וכן תנאי הניסוי הושפעו ממשתנים מפריעים נוספים, וכך למשל הקופים הרסו חלק ממכונות הכתיבה במקום להקיש בהן אותיות.
דרך מלאכותית לעריכת הניסוי מספק האתר "סימולטור הקופים של שייקספיר", המכיל תוכנית Java, המדמה הקלדות אקראיות של קופים רבים.
עד היום נתקבלו בסימולציה זו תוצאות המכילות עשרים וארבעה תווים רצופים מתוך מחזהו של שייקספיר, הנרי הרביעי, חלק שני.
בספר השען העיוור מתאר ריצ'רד דוקינס ניסוי דמיוני דומה, כדי להמחיש את ההבדל בין קצב הופעה של סדר (או תופעה מורכבת) עקב תהליך מקרי לגמרי, לבין קצב התפתחות סדר עקב תהליך שמשלב בחירה מקרית יחד עם בבחירה לא-מקרית.
הוא משתמש בהבחנה זו כדי להסביר עקרונות חשובים באבולוציה וכדי לסתור טעות נפוצה המשמשת מתנגדים לאבולוציה.
מתנגדי האבולוציה מתארים אותה לעיתים קרובות כתהליך מקרי לגמרי ומגיעים למסקנה נכונה כי לא סביר שתהליך כזה יגרור הופעה של סדר מורכב.
עם זאת אבולוציה אינה תהליך מקרי לגמרי שכן משולבת בה ברירה טבעית ודבר זה משנה מאוד את הסיכוי להופעת סדר והתפתחות של סדר כזה.
דוקינס מתחיל בתיאור ניסוי דמיוני דומה, שבו מגיעים לכך שהסיכוי לקבל סדר, ואפילו פשוט, עקב תהליך מקרי לגמרי, לוקח זמן רב מאד.
דוקינס שואל מה הסיכוי לקבל את המשפט, "נדמה לי שהוא כמו סמוּר" (METHINKS IT IS LIKE A WEASEL) מתוך המחזה המלט, על ידי הגרלה מקרית מתוך אותיות באנגלית ומקש רווח.
במשפט האנגלי יש תווים (כולל רווחים) הסיכוי לנחש נכון את האות הראשונה הוא .
הסיכוי לנחש שתי אותיות נכונות באופן מקרי הוא , וכך הלאה – כך שניחוש כל המשפט באנגלית הוא שהם בקירוב .
גם אם במקום קוף נכניס תוכנת מחשב שתבחר במהירות אותיות באופן מקרי, הזמן הממוצע הנדרש להגיע לתוצאה נכונה צפוי להיות מאות מיליארדי שנים – ארוך יותר מגיל היקום.
הנכונות של "משפט הקוף המקליד" נבעה מכך שמניחים באופן משתמע את קיומו של זמן ארוך ככל שנרצה לסיום התהליך – דבר זה נכון במקרה של משפט מתמטי תאורטי אבל לא מתקיים בהכרח בשאלות מעשית.
המסקנה של דוקינס היא כי מאד לא סביר להגיע לסדר באמצעות מקריות בלבד.
דוקינס ממשיך את הדיון בכך שהוספת מימד של בחירה לא מקרית, יחד עם שמירה על מקריות משנה את התוצאה מקצה לקצה.
בעזרת תוכנה כזו ניתן להגיע מכל קלט תחילי של אותיות וניחוש מקרי של אותיות אחרות, למשפט המטרה, תוך כמה עשרות איטרציות של התוכנה, כלומר תוך כמה שניות במקרה של תוכנת מחשב וכמה דקות במקרה של קוף מקליד.
"תוכנת הסמור" שונה מאבולוציה, בכך שהמתכנת של התוכנה יודע מראש מה יהיה הסדר שיתקבל בסוף.
דוקינס מתאר בהמשך דוגמאות נוספות לשילובים של החלטות מקריות וחוקים לא מקריים, שמובילים להופעה של סדר – לדוגמה "ביומופרים" – תוכנה שמייצרת ציורים של מעין "עצים" במחשב שמשתנים על פי מספר "גנים" ויכולים לעבור "מוטציות" מקריות וסלקציה לא מקרית.
תוכנה זו דומה יותר לאבולוציה מתכנת הסמור כי לא יודעים מה תהיה התוצאה הסופית.
דוגמאות נוספות לדבר זה הן משחק החיים – שבו יש חוקים קבועים פשוטים והחלטה (מקרית או לא) של המצב התחילי של המשחק – למרות פשטות החוקים האוטומט יכול להגיע בחלק מהמקרים לדפוסים מורכבים שקשה לחזותם מראש.
הניסוי מוזכר ביצירות תרבות שונות, בספרות ובטלוויזיה והקולנוע:
בספרו של דאגלס אדמס, "מדריך הטרמפיסט לגלקסיה", לאחר שמופעל מנוע אי-ההסתברות, ארתור דנט אומר שישנם אינסוף קופים מחוץ לספינה שרוצים לדבר על התסריט שהם כתבו להמלט.
בספרו של מיכאל אנדה "הסיפור שאינו נגמר" מוזכרת עיר דמיונית המכונה "עיר הקיסרים שעבר זמנם" שתושביה עוסקים יומם וליל בכתיבה רנדומלית של צירופי אותיות שונים, וחזקה עליהם שיכתבו כל חיבור שייכתב אי פעם.
הסיפור הקצר "הספרייה בבבל", באוסף הסיפורים "בדיונות" מאת חורחה לואיס בורחס, רומז גם הוא לניסוי, ומתאר היכל דמיוני המכיל אינסוף ספרים שבהם מופיעים כל צירופי האותיות האפשריים.
אאוגוסטו מונטרוסו מתאר את ההתנשאות האירופית והאמריקנית כלפי היוצרים של אמריקה הלטינית בדימוי של קוף מקליד:
בסרט על החוף (1959 ,On the Beach), רב חובל מזכיר "הסיפור הישן אודות מספר אינסופי של קופים ומספר אינסופי של מכונות כתיבה".
בסדרת הטלוויזיה ורוניקה מארס (עונה 2, פרק 3), ורוניקה אומרת "איפשהו, מיליון השימפנזים האלו, עם מיליון מכונות כתיבה שלהם מוכרחים לכתוב את 'המלך ליר'".
בסדרת הטלוויזיה משפחת סימפסון, בפרק "יציאה אחרונה לספרינגפילד", מר ברנז מציג להומר חדר שבו אלף קופים מקלידים על אלף מכונות כתיבה.
מר ברנז קורא את הטקסט שכתב אחד הקופים – "זה היה הטוב שבזמנים, זה היה הרע שבזמנים" (שורת הפתיחה של הספר בין שתי ערים מאת צ'ארלס דיקנס) ומתעצבן כאשר הוא מוצא בו שגיאת כתיב.
בסדרת הטלוויזיה איש משפחה (עונה 2, פרק 7), ישנה סצנה שבה קופים מנסים לכתוב את השורה מהמחזה רומיאו ויוליה של שייקספיר, "A rose by any other name would smell as sweet".
משפט הקומפקטיות הוא משפט מרכזי בלוגיקה מתמטית, המאפשר לטפל במערכות אינסופיות של אקסיומות על ידי הבנת חלקים סופיים שלהן.
כמשפטים רבים אחרים מלוגיקה, קיימות למשפט זה שתי גרסאות: בתחשיב הפסוקים, ובשפה מסדר ראשון.
בתחשיב הפסוקים המשפט קובע כי לאוסף פסוקים יש מודל אם ורק אם לכל תת-קבוצה סופית שלו יש מודל (הכוונה במודל של פסוק היא להשמה של ערך אמת לפסוקים האטומיים, המספקת את הפסוק).
שמו של המשפט בא מקיומה של הוכחה טופולוגית עבורו, המתבססת על קומפקטיות של מרחב טופולוגי מסוים ומשפט טיכונוף.
את גרסת המשפט לשפה מסדר ראשון הוכיח אנטולי מלצב ב-1936. בגרסה זו המשפט קובע שאם לכל תת-קבוצה סופית של קבוצת פסוקים נתונה בשפה מסדר ראשון יש מודל, אז יש מודל לקבוצה כולה.
את המשפט ניתן להוכיח בעזרת אקסיומת הבחירה (וליתר דיוק, גרסה מוחלשת של אקסיומת הבחירה, כדוגמת למת העל-מסננים, מספיקה), ולכן הוא עשוי שלא להיות תקף כאשר מפתחים את תורת הקבוצות ללא אקסיומה זו.
הן בתחשיב הפסוקים והן בתחשיב היחסים, קיימות הוכחות רבות למשפט הקומפקטיות.
ההוכחה הנפוצה ביותר היא זו המסתמכת על משפט השלמות של גדל.
נציג את עיקרי ההוכחה הזו בשפה מסדר ראשון (קיימת גרסה דומה לתחשיב הפסוקים):
משפט הקומפקטיות הוא סמנטי במהותו (עוסק במודלים), ולא תחבירי (עוסק בהוכחות).
הרעיון בהוכחה זו הוא להראות שמספיק להוכיח גרסה תחבירית של משפט הקומפקטיות: "בהינתן קבוצת פסוקים, אם כל תת-קבוצה סופית שלה היא עקבית, אז הקבוצה כולה עקבית".
ההוכחה של הטענה הזו קלה מאוד ומסתמכת על כך שכל הוכחה היא סופית.
הקושי הוא, אם כן, לעבור לגרסה התחבירית הזו; הכלי שמאפשר לקשר בין סמנטיקה לתחביר הוא משפט השלמות של גדל, לפיו "עקביות" ו"קיום מודל" הם היינו-הך.
מרגע שתפסנו את האבחנה הזו, ההוכחה טריוויאלית.
נעיר שקיימת הוכחה של משפט השלמות של גדל מתוך משפט הקומפקטיות: משפט הקומפקטיות ומשפט השלמות של גדל שקולים במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל לגרסה חלשה יותר של אקסיומת הבחירה, והיא למת העל-מסננים (לפיה כל מסנן על קבוצה כלשהי ניתן להרחבה לעל-מסנן).
כפי שציינו, קיימת הוכחה טופולוגית למשפט הקומפקטיות, ומכאן שמו.
עיקרי ההוכחה: בתחשיב הפסוקים הסטנדרטי, קבוצות ההשמות המקיימות פסוקים נתונים הן קבוצות סגורות במרחב הטופולוגי הקומפקטי של כל ההשמות, ולכן אם החיתוך של כל מספר סופי מהן אינו ריק, אז גם החיתוך של כולן אינו ריק.
בשפה מסדר ראשון, קיימת הוכחה נוספת ואלגנטית מתחום תורת המודלים, הנעזרת בעל-מכפלות ובמשפט Łoś.
ניתן להוכיח בקלות יחסית את גרסת המשפט לתחשיב הפסוקים מגרסתו בשפה מסדר ראשון.
בראש ובראשונה, ובדומה למשפטי לוונהיים-סקולם, משפט הקומפקטיות מעיד על חולשה כלשהי של הלוגיקה מסדר ראשון.
באמצעותו ניתן למצוא תכונות שלא ניתנות להבעה באמצעות קבוצות של פסוקים מסדר ראשון.
נדגים זאת: יישום טיפוסי של משפט הקומפקטיות הוא לבניית שדה סדור לא ארכימדי השקול אלמנטרית לשדה הממשיים.
מכאן, תכונת הארכימדיות היא תכונה שלא ניתן להביע באמצעות שפה מסדר ראשון.
יישום נוסף, המיוחס לסקולם, של משפט הקומפקטיות, הוא לבניית מודל בן מניה לא-סטנדרטי של האריתמטיקה.
מודל כזה הוא מבנה בן מניה השקול אלמנטרית למספרים הטבעיים בשפת אריתמטיקת פאנו (גרסה מסדר ראשון של מערכת פאנו), אך אינו איזומורפי להם.
הדרך לבנות מודל כזה היא לצרף לתורה השלמה של הטבעיים את אוסף הנוסחאות: לכל מספר טבעי .
נקבל אוסף מורחב של נוסחאות.
כל תת-קבוצה סופית של אוסף זה היא עקבית (המספרים הטבעיים מהווים מודל שלה), ולכן יש מודל לאוסף כולו.
(יתרה מכך, ממשפט לוונהיים סוקלם היורד ניתן למצוא מודל כזה שהוא בן מניה).
אם כן, מודל זה לא איזומורפי לטבעיים אך שקול אלמנטרית להם - זהו מודל לא סטנדרטי לאריתמטיקה.
מסקנה מעניינת היא שאקסיומת האינדוקציה אינה ניתנת לניסוח בלוגיקה מסדר ראשון, שכן ניתן להשתמש בה (ובשתי אקסיומות נוספות מסדר ראשון) כדי לאפיין את הטבעיים עד כדי איזומורפיזם.
אקסיומה זו כן ניתנת לניסוח בלוגיקה מסדר שני, ולכן קיבלנו שמשפט הקומפקטיות כושל בלוגיקה זו (ומכאן גם משפט השלמות לא תקף בה).
ניתן להשתמש במשפטי הקומפקטיות על מנת להוכיח מגרסתו הסופית של משפט ארבעת הצבעים את גרסתו האינסופית, וכנ"ל לגבי משפט החתונה של הול.
יישומים טיפוסיים אלו מדגימים את האופן שבו מושג הקומפקטיות מקשר בין הסופי לאינסופי.
כך, למשל, ניתן להסיק ממשפט הקומפקטיות שאם לקבוצת נוסחאות יש מודלים סופיים גדולים כרצוננו, יש לה מודל אינסופי.
משפט הקומפקטיות הוא אחת משתי תכונות מפתח המשמשות במשפט לינדסטרום לאפיון השפה מסדר ראשון.
התכונה השנייה היא משפט לוונהיים-סקולם היורד.
משפט הקטגוריה של בר (Baire) הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית ובטופולוגיה קבוצתית.
המשפט קובע כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הם מרחבי בר.
המשפט מהווה בסיס מרכזי להוכחת משפטים חשובים אחרים, ביניהם משפט ההעתקה הפתוחה, משפט הגרף הסגור ומשפט בנך-שטיינהאוס.
המשפט מוכיח כי המרחבים הם מרחבי בר עם הטופולוגיה הסטנדרטית.
המשפט הוכח לראשונה בשנת 1899 על-ידי המתמטיקאי הצרפתי רנה-לואי בר.
בהינתן מרחב טופולוגי וטופולוגיה :
קבוצה תקרא קבוצה דלילה אם ורק אם לכל קבוצה פתוחה לא ריקה קיימת תת-קבוצה פתוחה לא ריקה כך ש-.
לחלופין, הפנים של הסגור של ריק.
קבוצה תקרא קבוצה מקטגוריה ראשונה אם ורק אם היא יכולה להכתב כאיחוד בן מניה של קבוצות דלילות.
המרחב כולו ייקרא מרחב בר אם ורק אם לכל תת-קבוצה מקטגוריה ראשונה יש פנים ריק.
באופן כללי קבוצה מקטגוריה ראשונה אינה בהכרח דלילה.
כך לדוגמה, המספרים הרציונליים הם קבוצה מקטגוריה ראשונה (כאיחוד בן מנייה של יחידונים, שהם דלילים), והפנים של הסגור שלהם הוא כל הישר הממשי.
משפט בר הראשון: יהי מרחב מטרי שלם.
משפט בר השני: יהי מרחב רגולרי קומפקטי מקומית.
הדבר נכון בפרט כאשר הוא מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית.
נתון מרחב טופולוגי וטופולוגיה העונה לתנאים של אחד המשפטים לעיל.
כמו כן, נתונה קבוצה מקטגוריה ראשונה .
כדי להוכיח ש- הוא מרחב בר, יש להוכיח כי הפנים של ריק.
מספיק להוכיח כי לכל קבוצה פתוחה קיימת נקודה שאינה ב-, כלומר .
כיוון ש- קבוצה מקטגוריה ראשונה, ניתן להגדיר כאשר קבוצות דלילות.
בונים סדרה של קבוצות קומפקטיות כך שלכל :
(הפנים של ) לא ריק, ולכן גם לא ריק.
יש לשים לב כי בשתי גרסאות המשפט מובטח כי כל קבוצה קומפקטית היא סגורה, לכן קבוצות סגורות.
כאשר מדובר במרחב מטרי, נבנים בעזרת כדורים סגורים.
במקרה של מרחב טופולוגי קומפקטי מקומית, בונים את על-ידי לקיחת סביבה קומפקטית לאיבר כלשהו מ- העומדת בתנאים.
יש להוכיח כי אינו ריק.
מניחים בשלילה כי קבוצה ריקה.
לכן משפחת המשלימים היא כיסוי פתוח של .
בגלל הקומפקטיות של קיים תת-כיסוי סופי.
ניתן להסיק מכך כי קיים כך ש-.
מצד שני , וזו סתירה.
מכיוון ש- אינו ריק, קיים .
משמע , ובכך מוכיחים את המשפט.
במרחב הפונקציות הרציפות עם מטריקת המקסימום, אוסף הפונקציות הגזירות בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה.
מכאן, כמעט כל הפונקציות הרציפות אינן גזירות אפילו בנקודה אחת.
יש לשים לב שהמשפט אינו קונסטרוקטיבי, דהיינו, הוא אינו מראה כיצד בונים פונקציה כזו.
דוגמה ראשונה לפונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה ניתנה על ידי ויירשטראס בשנת 1872.
כאמור, ניתן להסיק ממשפט הקטגוריה של בר מספר משפטים חשובים באנליזה פונקציולית, ביניהם משפט ההעתקה הפתוחה, משפט הגרף הסגור ומשפט בנך-שטיינהאוס.
קבוצת הנקודות הרציונליות על הישר הממשי אינה קבוצת (קבוצה הניתנת להצגה כחיתוך בן מנייה של קבוצות פתוחות).
אין פונקציה שרציפה בכל נקודה רציונלית ואינה רציפה באף נקודה אי-רציונליות (פונקציית רימן מקיימת את המקרה ההפוך).
סדרת פונקציות רציפות שמתכנסת נקודתית מתכנסת לפונקציה רציפה כמעט בכל מקום (אינה רציפה בקבוצה מקטגוריה ראשונה).
במתמטיקה, בחקר משוואות דיפרנציאליות, משפט הקיום והיחידות, הוא משפט חשוב על הקיום והיחידות של פתרונות לסוג מסוים של בעיות התחלה.
המשפט נקרא גם משפט פיקאר-לינדלוף (Picard-Lindelöf), משפט הקיום של פיקאר או משפט קושי-ליפשיץ על שמם של המתמטיקאים: אמיל פיקאר, ארנסט לינדלוף , רודולף ליפשיץ ואוגוסטן לואי קושי.
יהי מלבן סגור המכיל את הנקודה .
תהי פונקציה בשני משתנים, שהיא חסומה ורציפה ב-, המקיימת שם את תנאי ליפשיץ ביחס למשתנה השני.
אז קיימת פונקציה אחת ויחידה המוגדרת בקטע פתוח סביב וגזירה שם, הפותרת את המשוואה הדיפרנציאלית לכל בקטע, ובנוסף מקיימת את תנאי ההתחלה .
הוכחה פשוטה לקיום הפתרון היא על ידי קירוב ההולך ומשתפר (השיטה נקראת גם איטרציות פיקארד):
אז ניתן להראות, באמצעות משפט נקודת השבת של בנך, שהסדרה של (הנקראת איטרציות פיקארד) מתכנסת וגבולה הוא הפתרון לבעיה.
שימוש בלמה של גרנוול על , כאשר ו- הם שני פתרונות, יראה ש-, ולכן הפתרון הוא יחיד.
במתמטיקה, ובפרט באלגברה ליניארית ואנליזה פונקציונלית, משפט הפירוק הספקטרלי (הנקרא לעיתים משפט הלכסון האוניטרי) הוא שורה של תוצאות הנוגעות לאופרטורים ליניאריים או למטריצות.
במונחים רחבים, המשפט הספקטרלי מספק תנאים שתחתיהם אופרטור ליניארי או מטריצה ניתנים ללכסון (כלומר, ניתן להציגם כמטריצה אלכסונית ביחס לבסיס כלשהו).
מושג הלכסון הוא מוגדר למדי עבור אופרטור על מרחב סוף-ממדי, אך הוא דורש התאמה מסוימת עבור המקרה של אופרטור על מרחב אינסוף-ממדי.
באופן כללי, המשפט הספקטרלי מזהה מחלקה של אופרטורים ליניאריים אשר ניתנים להצגה כאופרטורי הכפלה ואופרטורים שכאלה הם יחסית קלים להבנה.
בשפה יותר מופשטת, המשפט הספקטרלי הוא טענה על אלגבראות סי כוכב קומוטטיביות.
למשפט יש שימושים באנליזת פורייה ובתחומים רבים אחרים.
בגרסתו הפשוטה ביותר, המשפט אומר שכל מטריצה הרמיטית (מעל שדה המספרים המרוכבים או שדה המספרים הממשיים) היא לכסינה אוניטרית מעל אותו שדה וכל ערך עצמי שלה הוא ממשי.
כלומר, אם , אז קיימות מטריצה אוניטרית ומטריצה אלכסונית ממשית כך ש-.
את המשפט ניתן להכליל למטריצות נורמליות ובאופן כללי יותר, לאופרטורים נורמליים על מרחב הילברט.
גרסה מתוחכמת יותר של המשפט אף אומרת שבהינתן משפחה של אופרטורים נורמליים מתחלפים בכפל (כלומר לכל שני אופרטורים במשפחה), ניתן ללכסן את כל האופרטורים במשפחה "סימולטנית".
המשפט הספקטרלי מספק בנוסף פירוק קנוני של המרחב הווקטורי עליו האופרטור פועל.
פירוק זה ידוע בתור הפירוק הספקטרלי.
נניח ש- היא מטריצה הרמיטית מרוכבת מסדר (ניתן להסתכל באופן שקול על אופרטור הרמיטי על מרחב מכפלה פנימית סוף-ממדי, אך למען הפשטות נציג את המשפט במקרה המטריציוני).
לכל שני וקטורים , או באופן שקול ש-, כאשר מסמן את הצמוד ההרמיטי של .
אם היא מטריצה ממשית, זה שקול לכך ש- (כלומר, מטריצה סימטרית).
נזכיר כי וקטור עצמי של הוא וקטור (שונה מאפס) כך ש- לאיזשהו סקלר .
במקרה זה נקרא הערך העצמי המתאים ל-.
משפט הפירוק הספקטרלי: קיים בסיס אורתונורמלי של המורכב מווקטורים עצמיים של וכל ערך עצמי של הוא ממשי.
הוכחה: על פי המשפט היסודי של האלגברה, לכל פולינום (מעל שדה המספרים המרוכבים) יש לפחות שורש אחד.
בפרט, לפולינום האופייני של יש שורש שהוא ערך עצמי של .
נסמן ערך עצמי זה ב-.
נסמן ב- את הווקטורים העצמיים המתאימים לערך העצמי .
בהסתמך על תהליך גרם-שמידט, נוכל להניח, ללא הגבלת הכלליות, שהווקטורים אורתוגונליים זה לזה ולנרמל אותם כך שיהוו בסיס אורתונורמלי למרחב העצמי המתאים לערך העצמי .
נשים לב שתת-המרחב אינווריאנטי תחת .
מההרמיטיות של נובע ש- גם הוא אינווריאנטי תחת (כלומר ניתן להביא את המטריצה לצורת מטריצת בלוקים אלכסונית כך שיש בלוק שמתאים ל- ויש בלוק אחר שמתאים ל-).
כעת מאותו שיקול עבור תת-המרחב נובע שקיים ערך עצמי ומרחב עצמי מתאימים עבור הבלוק המתאים לו.
כך ניתן להמשיך עד שהמרחב הניצב למרחב העצמי המתקבל הוא מרחב האפס.
בכך נקבל בסיס אורתונורמלי ל- המורכב מווקטורים עצמיים של .
הערכים העצמיים שהתקבלו בתהליך זה הם ממשיים, כי אם הוא ערך עצמי של המתאים לווקטור עצמי , אז ואז
מאחר ש-, ניתן לצמצם ולקבל ש- ולכן הוא ממשי.
מסקנה: כל מטריצה הרמיטית היא לכסינה אוניטרית.
כלומר, אם , אז קיימות מטריצה אוניטרית ומטריצה אלכסונית כך ש-.
הוכחה: הייצוג של כמטריצה אלכסונית התקבל בהוכחת המשפט לעיל.
כמו כן, בהינתן בסיס אורתונורמלי למרחב כפי שמובטח לנו מהמשפט, נסמן את המטריצה המלכסנת (קרי, המטריצה ששורותיה הם הווקטורים העצמיים של ) ב- ונשים לב שכיוון שהווקטורים העצמיים אורתונורמליים, זוהי מטריצה אוניטרית.
נסמן כעת ב- את הערכים העצמיים השונים של וב- את ההטלה האורתוגונלית על המרחב העצמי המתאים ל-.
אז מהמשפטים לעיל נובע שניתן לכתוב את באופן הבא:
זהו הפירוק הספקטרלי של .
בנוסף מתקיים (שהרי הווקטורים העצמיים מהווים בסיס למרחב) וכן לכל (מכיוון שהמרחבים העצמיים המתאימים לערכים עצמיים שונים הם אורתוגונליים זה לזה, לפי ההוכחה).
קיימת גם גרסה של משפט הפירוק הספקטרלי עבור מטריצות הרמיטיות ממשיות (קרי, מטריצות סימטריות).
בגרסה זו המשפט אומר שכל מטריצה סימטרית ניתנת ללכסון אורתוגונלי, כלומר אם , אז קיימות מטריצה אורתוגונלית ממשית ומטריצה אלכסונית ממשית כך ש-.
טענה זו אינה נובעת באופן מיידי מהמשפט לעיל כי משפט זה רק מבטיח שיש למטריצה וקטורים עצמיים מעל שדה המרוכבים ואילו כאן אנו מעוניינים בלכסון מעל הממשיים.
המשפט נכון באופן כללי גם למטריצות נורמליות (או באופן אנלוגי, לאופרטורים נורמליים).
כלומר, אם מטריצה מרוכבת המקיימת , אז היא לכסינה אוניטרית.
זוהי המחלקה הגדולה ביותר של מטריצות מרוכבות עבורן המשפט תקף - ניתן להראות שכל מטריצה לכסינה אוניטרית היא נורמלית.
את השקילות בין נורמליות ללכסינות אוניטרית ניתן להראות למשל באמצעות פירוק שור למטריצות.
עבור מטריצה נורמלית הערכים העצמיים אינם חייבים להיות ממשיים.
אם הן מטריצות נורמליות מתחלפות בכפל (כלומר לכל ), אז ניתן ללכסן את כולן סימולטנית.
כלומר, קיימת מטריצה אוניטרית כך ש- היא מטריצה אלכסונית לכל .
במצב זה יש פירוק ספקטרלי משותף לכל המטריצות.
כלומר, קיימות הטלות אורתוגונליות וסקלרים (עבור ) כך ש- לכל .
כמו קודם, ההטלות מקיימות ו- עבור , כלומר הן מכסות את כל המרחב וניצבות זו לזו.
משפט הפירוק הספקטרלי מקל בצורה משמעותית על ביצוע חישובים על המטריצה.
למשל, אם הוא פולינום מרוכב ו- היא מטריצה בעלת פירוק ספקטרלי
ההצבה של בפולינום שווה ל-
זה נובע מכך ש- הן הטלות אורתוגונליות אשר פורשות את המרחב וניצבות זו לזו.
בפרט הדבר מאפשר חישוב מהיר במיוחד של חזקות טבעיות של המטריצה.
ניתן להשתמש בפירוק גם כדי לחשב שורש ואקספוננט של מטריצה.
משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים צמודים עצמית
במרחב הילברט כללי, משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים צמודים עצמית בעיקרו זהה לנוסח הסוף-ממדי של המשפט.
המושגים של וקטור עצמי, ערך עצמי, מרחב עצמי ואופרטור צמוד עצמית מוגדרים במקרה האינסוף-ממדי באותו האופן כמו במקרה הסוף-ממדי.
משפט: יהי אופרטור קומפקטי צמוד עצמית על מרחב הילברט (מרוכב או ממשי) .
אז קיים בסיס אורתונורמלי של המורכב מווקטורים עצמיים של וכל ערך עצמי של הוא ממשי.
קבוצת הערכים העצמיים של מורכבת כולה מנקודות מבודדות, פרט אולי ל- (אם הוא בכלל ערך עצמי) והיא בפרט בת מנייה.
המרחב העצמי המתאים לכל ערך עצמי שונה מאפס הוא סוף-ממדי.
כמו בהוכחה של המשפט הספקטרלי במקרה הסוף-ממדי, גם כאן הרעיון המרכזי הוא להוכיח את קיומו של לפחות וקטור עצמי אחד של .
מרגע שעשינו זאת, ניתן לקבל באופן אינדוקטיבי מערכת אורתונורמלית של וקטורים עצמיים של ובעזרת הקומפקטיות של ניתן להראות שמערכת זו היא בסיס אורתונורמלי למרחב.
במקרה כללי זה, לא ניתן להשתמש במשפט היסודי של האלגברה כדי להוכיח את קיומו של וקטור עצמי (שהרי הפולינום האופייני כלל לא מוגדר עבור אופרטורים במרחב הילברט כללי).
על ידי שימוש בכופלי לגרנז', ניתן להוכיח שעבור אופרטור הרמיטי על מרחב הילברט סוף-ממדי, הערך העצמי הגדול ביותר שלו שווה ל-.
מכאן ניתן לשער שעבור אופרטור קומפקטי צמוד עצמית על מרחב הילברט שרירותי, המספר יהיה ערך עצמי שלו גם אם המרחב הוא אינסוף-ממדי.
השערה זו מסתברת כנכונה וזוהי תמצית ההוכחה לגרסה זו של המשפט הספקטרלי.
הפירוק הספקטרלי ל- אשר ניתן על ידי המשפט הוא
כאשר הם וקטורים עצמיים של עם ערכים עצמיים מתאימים .
הסכום באגף ימין אינו חייב להיות אינסופי (ייתכן של- יש רק מספר סופי של ערכים עצמיים) אך כאשר הוא אינסופי, מתקיים בהכרח כאשר .
במקרה זה, האופרטור שמגדיר אגף ימין בשוויון לעיל לא רק מתכנס נקודתית ל- אלא גם מתכנס אליו בנורמה האופרטורית.
הצגה אחרת לפירוק הספקטרלי של היא כדלקמן:
כאשר היא ההטלה האורתוגונלית על המרחב העצמי של וההתכנסות באגף ימין (אם מדובר בסכום אינסופי) היא בנורמה האופרטורית.
בנוסף, מתקיים גם ו- עבור , באופן אנלוגי למשפט הפירוק הספקטרלי הסוף-ממדי.
אם הוא בסיס אורתונורמלי ל- כפי שמובטח במשפט (כלומר, הוא וקטור עצמי של עם ערך עצמי מתאים ) אז ניתן להגדיר העתקה אוניטרית על ידי .
לפי הגדרה, דומה אוניטרית לאופרטור על וקל לבדוק שמתקיים .
כלומר, דומה אוניטרית לאופרטור "אלכסוני" על או "לכסינה".
בדרך כלל הוא ספרבילי ואז ניתן לזהות את עם ולהציג את האופרטור בתור המטריצה האינסופית , באנלוגיה מוחלטת למקרה הסוף-ממדי.
נוסחי המשפט לעיל נכונים באופן כללי לאופרטורים נורמליים (אם כי להם יכולים להיות ערכים עצמיים מרוכבים) וכמו במקרה הסוף-ממדי, גם כאן ניתן למצוא פירוק ספקטרלי משותף עבור משפחה של אופרטורים קומפקטיים נורמליים מתחלפים בכפל (ההצגות המתקבלות הן דומות לאלה שבמקרה הסוף-ממדי).
כמו כן, בהינתן פונקציה מרוכבת חסומה , ניתן להגדיר אופרטור קומפקטי נורמלי חדש לפי:
בכך מתקבל תחשיב פונקציונלי עבור משפחת האופרטורים הקומפקטיים הנורמליים, בדומה למקרה הסוף-ממדי.
יהי מרחב הפונקציות המרוכבות האינטגרביליות לבג בריבוע על הקטע .
זהו מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית .
בהינתן פונקציה , ניתן להגדיר אופרטור ליניארי על באופן הבא:
זהו אופרטור ליניארי חסום על .
קל לבדוק שהצמוד ההרמיטי של הוא האופרטור , כאשר .
מכאן נובע בקלות ש- הוא אופרטור נורמלי ובעזרת משפט ארצלה-אסקולי ניתן להראות שהוא אופרטור קומפקטי.
לכן ניתן להפעיל את המשפט הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים נורמליים ולקבל את ההצגה הבאה עבור :
כאשר הם הווקטורים העצמיים של (בהקשר זה, יותר מקובל לקרוא להם פונקציות עצמיות) ו- הם הערכים העצמיים המתאימים להם.
הסכום באגף ימין (אם הוא אינסופי) מתכנס ביחס לנורמה של , כלומר
באותו נושא, ראו משפט מרסר.
משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים חסומים צמודים עצמית
כעת נדון במקרה של אופרטור חסום וצמוד עצמית על מרחב הילברט כלשהו .
במקרה זה, הנוסח המקורי של משפט הפירוק הספקטרלי (במקרה הסוף-ממדי או במקרה של אופרטור קומפטי) אינו בהכרח מתקיים.
למשל, אופרטור ההכפלה על הוא חסום וצמוד עצמית אבל כלל אין לו ערכים עצמיים.
הפתרון לבעיה זו הוא להחליף את קבוצת הערכים העצמיים בספקטרום של (אשר בניגוד לקבוצת הערכים העצמיים, מובטח לנו שהוא תמיד אינו ריק).
בצורה זו ניתן לקבל הכללות לנוסחים האחרים של המשפט הספקטרלי.
במקרה זה, האופרטור לא יתפרק לסכום בן מניה של הטלות, אלא לאינטגרל ביחס למעין מידה על הספקטרום של האופרטור.
גם הנוסח השני של המשפט ניתן להכללה בהקשר זה: האופרטור יהיה דומה אוניטרית לאופרטור הכפלה על (עבור מרחב מידה מתאים ).
כמו במקרים הקודמים, גם כאן המשפט ניתן להכללה לאופרטורים נורמליים.
כמו כן, אם היא משפחה של אופרטורים חסומים ונורמליים אשר מתחלפים בכפל זה עם זה, ניתן למצוא פירוק ספקטרלי משותף לכל משפחת האופרטורים.
במקרה זה אלגברת האופרטורים הנוצרת על ידי היא אלגברת סי כוכב קומוטטיבית והדבר מאפשר שימוש בטכניקות החזקות של תורת גלפנד כדי לקבל הוכחה קצרה לגרסה כללית זו של המשפט הספקטרלי.
לפני הצגת גרסה זו של המשפט, אנו צריכים מספר מושגים מקדימים.
למען הפשטות, נניח ש- הוא מרחב הילברט מעל שדה המספרים המרוכבים.
תהי תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של (אוסף האופרטורים הליניאריים החסומים על ).
נקראת לא מנוונת אם היא מפרידה נקודות ב-.
כלומר, אם לכל אז הוא וקטור האפס ב-.
דרישה זו מתקיימת למשל אם אופרטור היחידה שייך ל-.
הספקטרום של , אשר מסומן ב-, הוא אוסף כל הפונקציונלים הליניאריים הכפליים על .
כלומר, איבר ב- הוא הומומורפיזם של אלגבראות בנך מ- ל- אשר אינו הומומורפיזם האפס.
ניתן לצייד את הספקטרום בטופולוגיה החלשה-* וכאשר האלגברה היא לא מנוונת, מתקבל מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית.
אם , מסמן את התמרת גלפנד (נקרא גם טרנספורם גלפנד) של .
זוהי פונקציה מרוכבת רציפה המוגדרת על הספקטרום של באופן הבא: .
משפט גלפנד-נאימרק אומר שההעתקה היא איזומורפיזם של אלגבראות סי כוכב מ- ל- (הסימון האחרון מתייחס לאוסף הפונקציות המרוכבות הרציפות על המתאפסות באינסוף).
לכן התמרת גלפנד ההפוכה (המוגדרת להיות פשוט ההעתקה ההפוכה להעתקה ) היא מוגדרת היטב.
הוא אוסף כל הפונקציות המרוכבות על אשר חסומות ומדידות בורל.
גם זו היא אלגברת סי כוכב ביחס לפעולות האלגבריות הנקודתיות, הצמדה קומפלקסית ונורמת הסופרמום.
נוסח המשפט משתמש במושג של מידה -הטלתית, שהיא העתקה על מרחב מדיד אשר מחזירה הטלות אורתוגונליות על מרחב ההילברט ומקיימת אקסיומות דומות לאלה של מידה חיובית.
ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה מרוכבת חסומה ביחס לכל מידה הטלתית.
לפרטים, ראו את הערך על מידות הטלתיות.
כעת אנו יכולים לנסח את המשפט הספקטרלי בהקשר הנוכחי.
משפט: תהי תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של ונניח שהיא לא מנוונת.
נסמן ב- את הספקטרום שלה.
אזי קיימת מידה -הטלתית רגולרית יחידה על כך שמתקיים לכל .
בנוסף, אם הוא אופרטור חסום כלשהו, התנאים הבאים שקולים:
מתחלף עם עבור כל קבוצת בורל .
מתחלף עם עבור כל .
המידה במשפט מכונה לעיתים המידה הספקטרלית המתאימה ל-.
ההעתקה מציגה את האלגברה כאוסף של אופרטורים חסומים על (ספציפית, בתור האלגברה ).
ניתן להרחיב הצגה זו ל- באופן הבא.
אם , ההעתקה היא פונקציונל ליניארי חסום על בעל נורמה החסומה מלעיל על ידי .
ממשפט ההצגה של ריס לפונקציונלים ליניאריים חסומים על נובע שקיימת מידת בורל מרוכבת רגולרית יחידה על כך ש- לכל וכך ש-.
מכונה לעיתים המידה הספקטרלית המתאימה ל- ו-.
קל לבדוק שהתבנית היא ססקווילינארית ואי-השוויון לעיל מראה שהיא חסומה, לכן לפי משפט ההצגה לתבניות ססקווילינאריות חסומות על מרחב הילברט, קיים אופרטור חסום יחיד כך ש- לכל וכך ש-.
בכך הרחבנו את התמרת גלפנד ההפוכה להצגה של האלגברה כתת-אלגברת סי כוכב של (המכילה את ).
זהו המפתח להוכחת נוסח זה של המשפט הספקטרלי, שכן כעת ניתן פשוט להגדיר לכל קבוצת בורל , כאשר היא הפונקציה המציינת של .
בכך מתקבלת מידה -הטלתית אשר מקיימת את כל התכונות במשפט.
לכן מקיימת גם את השוויון לכל .
כעת נציג את ההכללה של הנוסח השני של משפט הפירוק הספקטרלי, אשר מדבר על דמיון אוניטרי של אופרטור (או באופן כללי יותר, אלגברת אופרטורים) לאופרטור הכפלה על (או באופן כללי, אלגברה של אופרטורי הכפלה).
אזי קיים מרחב מידה פריק וסמי-סופי , העתקה אוניטרית והומומורפיזם איזומטרי של אלגבראות סי כוכב מ- ל- כך ש- לכל ולכל .
ניתן לבחור את להיות איחוד זר של עותקים של תתי-קבוצות מסוימות של כך ש- היא סופית על כל קבוצה באיחוד ומתקיים על כל קבוצה באיחוד.
אם הוא ספרבילי, ניתן לבחור את להיות מידה סופית.
יש חיסרון מסוים בנוסח זה של המשפט הספקטרלי ביחס לנוסח שניתן קודם לכן - מרחב המידה וההעתקה האוניטרית , בניגוד למידה ההטלתית , אינם נקבעים באופן יחיד על ידי .
הדבר מקשה על מציאת קריטריון לדמיון אוניטרי בין שני אופרטורים נורמליים חסומים שרירותיים.
עם זאת, המשפט עודנו שימושי בנוסח זה.
נעיר שלמרות חוסר היחידות במשפט, קיימת בחירה קנונית של מרחב המידה וההעתקה , אשר ניתנת על ידי תורת האן-הלינגר של ריבויים ספקטרליים.
אופרטור נורמלי חסום על מרחב הילברט ותחשיב פונקציונלי
נצמצם כעת את כל התאוריה הכללית לעיל למקרה של אופרטור נורמלי יחיד על מרחב הילברט .
במקרה זה, תהי האלגברה הנוצרת על ידי ו-.
זוהי אלגברת סי כוכב קומוטטיבית ולא מנוונת (הקומוטטיביות נובעת מהנורמליות של ) וניתן להפעיל עליה את המשפטים הקודמים.
יתרה מזאת, תורת גלפנד אומרת שבמקרה זה ניתן לזהות את הספקטרום של עם (הספקטרום של האופרטור ) כך שהתמרת גלפנד של מזוהה עם הפונקציה על .
לכן קיימת מידה הטלתית על כך ש-.
התכונות הסטנדרטיות של מידות הטלתיות (ובפרט אינטגרציה ביחס להן) הופכות הצגה זו של האופרטור לנוחה במיוחד.
למשל, היא מאפשרת לזהות בקלות את הערכים העצמיים של האופרטור T: אם אז התמונה של ההטלה שווה לגרעין של המרחב העצמי המתאים ל-, כלומר ל-.
לכן הוא ערך עצמי של אם ורק אם תמונת ההטלה היא שונה ממרחב האפס.
בפרט, ל- אין ספקטרום נקודתי (כלומר, אין לו ערכים עצמיים) אם ורק אם המידה היא לא אטומית.
אם הוא פולינום מרוכב ב- ו-, ההצבה הפורמלית של בפולינום (במקום המשתנה ) שווה לאופרטור .
מסיבה זו טבעי להגדיר את האופרטור (עבור שרירותית) באופן הבא:
בצורה זו מתקבל תחשיב בורל פונקציונלי עבור האופרטור .
שימוש טיפוסי בתחשיב זה הוא לצורך הגדרת שורש של אופרטור חיובי חסום.
קל להראות שהספקטרום של אופרטור חיובי מכיל רק מספרים ממשיים אי-שליליים ולכן ניתן להגדיר את לפי הנוסחה הנ"ל.
לפני הצגת התכונות של התחשיב הפונקציונלי, נגדיר מושג של התכנסות אשר מופיע באופן שכיח בהקשר זה.
אם היא סדרה של פונקציות מרוכבות על קבוצה כלשהי , נאמר ש- נקודתית ובחסימות אם לכל ו-.
משפט (תחשיב בורל פונקציונלי לאופרטורים נורמליים חסומים): יהי אופרטור נורמלי.
אזי קיים הומומורפיזם יחיד של אלגבראות כוכב מ- ל- עם התכונות הבאות:
אם נקודתית ובחסימות, אז בטופולוגיה האופרטורית החזקה.
בנוסף יש לו את התכונות הבאות:
אם היא תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של המכילה את , היא התמרת גלפנד של ביחס לאלגברה , ו- היא המידה הספקטרלית המתאימה ל-, אז .
אם מתחלף עם , אז מתחלף עם , לכל .
נדגים את התחשיב הפונקציונלי עבור אופרטור הכפלה.
יהי מרחב מידה ויהי .
נניח ש- הוא אופרטור של הכפלה בפונקציה (כלומר לכל ).
אז קל להראות שהספקטרום של הוא הטווח העיקרי של , כלומר קבוצת הנקודות עבורן הקבוצה היא ממידה חיובית לכל בחירה של .
מכאן נובע ש- לכמעט כל (ביחס למידה ).
מאחר ש- הוא מרחב של מחלקות שקילות (אנו מזהים פונקציות אשר שוות זו לזו -כב"מ), ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות ש-.
אז ניתן להראות ש- הוא אופרטור הכפלה ב- עבור כל בחירה של .
משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים כלליים צמודים עצמית
קיימת גם גרסה של המשפט הספקטרלי לאופרטורים ליניאריים נורמליים אשר אינם בהכרח חסומים.
למשל, על פי רוב, אופרטורים דיפרנציאליים הם לא חסומים.
גרסה זו של המשפט הספקטרלי משמשת בהוכחת משפט סטון על חבורות חד-פרמטריות אוניטריות.
משפט הצפיפות של צ'בוטרב הוא משפט מרכזי בתורת המספרים האלגברית.
עבור הרחבת גלואה נתונה של שדות מספרים, עם חבורת גלואה G, המשפט מתאר כיצד מתפלגת בין איברי G העתקת פרובניוס המתאימה לראשוני הנבחר, כביכול, באקראי.
משפט הצפיפות מהווה הכללה משותפת למשפט דיריכלה על ראשוניים בסדרות חשבוניות ולמשפט פרובניוס על פירוק פולינום שלם מודולו ראשוניים שונים.
בין המסקנות החשובות מהמשפט: בכל שדה מספרים, האידיאלים הראשוניים מתפלגים באופן אחיד (במובן של צפיפות דיריכלה) בין המחלקות השונות של חבורת מחלקות האידיאלים.
משפט הצפיפות: תהי K/F הרחבת גלואה של שדות מספרים, עם חבורת גלואה .
עבור כל מחלקת צמידות C של G, לקבוצת הראשוניים p שעבורן העתקת פרובניוס שייכת ל-C יש צפיפות דיריכלה השווה ל- .
יש להבחין שהעתקת פרובניוס המתאימה לראשוני p (של F) אינה מוגדרת היטב כאיבר של G, אלא עד כדי הצמדה.
לכן קובע המשפט למעשה שהעתקת דיריכלה מקבלת כל ערך אפשרי בחבורה, ב"הסתברות" אחידה.
אם f הוא פולינום מתוקן בעל מקדמים בחוג השלמים האלגבריים של F, אז העתקת פרובניוס המתאימה לראשוני p (שהוא אידיאל ראשוני בחוג השלמים) פועלת על שורשי הפולינום בשדה השאריות באמצעות העלאה בחזקת .
לפי תורת גלואה של שדות סופיים, מבנה המחזורים של פעולה זו שווה לתבנית הפירוק של הפולינום f מעל השדה .
כך אפשר להסיק ממשפט הצפיפות של צ'בוטרב את משפט פרובניוס.
צ'בוטרב (1894-1947) הוכיח את המשפט ב-1922, באמצעות רדוקציה של הרחבת שדות כללית להרחבה ציקלוטומית.
כדי להוכיח את המשפט עבור הרחבה ציקלוטומית K/F, הוא פירק את פונקציית זטא של השדה K כמכפלה של פונקציות L של השדה F, בדומה לאופן שבו הוכיח דיריכלה את המשפט שלו.
ההוכחה פורסמה ב-1923 ברוסית, ואז ב-1925 בגרמנית.
שנתיים אחר-כך נעזר אמיל ארטין בשיטת הרדוקציה של צ'בוטרב כדי להוכיח את משפט ההיפוך שלו, ושיטה זו היא עדיין צעד חיוני בכל הוכחה של משפט ההיפוך.
את המשפט של צ'בוטרב, לעומת זאת, גוזרת הספרות המודרנית ממשפט ההיפוך, המטפל באופן ישיר בכל הרחבת שדות אבלית.
משפט הקופים הוא סרט קולנוע אודות משפט הקופים שהתנהל בקיץ 1925 במדינת טנסי שבארצות הברית, בו הועמד לדין המורה ג'ון סקופס והואשם בכך שלימד בכיתה את תורת האבולוציה של דרווין.
הסרט הופק בשנת 1960 על ידי אולפני יונייטד ארטיסטס בבימויו של סטנלי קריימר ובהפקתו לפי מחזה באותו שם מאת ג'רום לורנס ורוברט אי.
בסרט מככבים פרדריק מארץ', ג'ין קלי וספנסר טרייסי, שהיה מועמד לפרס אוסקר לשחקן הטוב ביותר.
למרות היותו סרט היסטורי, הסרט מהווה עיבוד קולנועי דרמטי של האירועים ולא תיעוד שלהם.
הוא מתמקד בעיקר בטיעוני חופש הדיבור וזאת במידה רבה כאמצעי למתיחת ביקורת על הגבלת חירות זו בתקופת המקרתיזם שרדף שחקנים ואמנים בעלי דעות שמאלניות בעת שיצא לאקרנים.
ב־13 במרץ 1925, נחקק בטנסי חוק שאסר על לימוד תאוריית האבולוציה ממניעים דתיים.
האיגוד האמריקאי לזכויות האזרח הציע את הגנתו לכל מי שיואשם בלימוד האבולוציה בניגוד לחוק, ואף חיפש מורה שיתנדב לעשות זאת, מתוך תקווה שכאשר יובא הנושא לבית המשפט, יוכלו להוכיח את חוסר החוקתיות של החוק הנ"ל.
לבסוף נמצא המתנדב, ג'ון סקופס, שהיה אז בן 24, מורה למדעים ומדריך ספורט בבית הספר המקומי בכפר קטן בשם דייטון.
המשפט נפתח ב-10 ביולי, כאשר את התביעה ייצג המטיף והפוליטיקאי ויליאם ג'נינגס ברייאן, שאף היה מועמד לנשיאות ארצות הברית ואילו את ההגנה ייצג בהתנדבות עורך הדין קלרנס דרו.
כמעט כל עלילת הסרט מתרחשת בין כותלי בית המשפט.
הסרט מתמקד בעיקר בשלושה: שני עורכי הדין, התובע מת'יו האריסון בריידי, המבוסס על דמותו של בראיין, ושגולם על ידי פרדריק מארץ', והסנגור הנרי דראמונד המבוסס על דמותו של דרו ושגולם על ידי ספנסר טרייסי; ועיתונאי ציני שנשלח לסקר את המשפט, שמבוסס על ה.
מנקן, בגילומו של ג'ין קלי.
עלילת משנה נוגעת בדמותו של המורה סקופס, שהיה דמות משנית גם במשפט שכן לא נחקר כמעט כלל על דוכן העדים.
בשיאו של הסרט חוקר דרו את ברייאן על אמונתו בתנ"ך המתבררת כאמונה מילולית בכתוב, שמובילה אותו לאבסורדים.
לפי עלילת הסרט ברייאן מת במהלך נאום נמלץ שהוא נושא מיד לאחר הקראת גזר הדין באולם בית המשפט, במציאות נפטר ברייאן חמישה ימים לאחר המשפט.
הסרט היה מועמד לארבעה פרסי אוסקר: לשחקן הטוב ביותר (טרייסי), לעיבוד הקולנועי, לצילום שחור-לבן ולעריכה.
בפסטיבל ברלין זכה מארץ' בפרס "דב הכסף" לשחקן הטוב ביותר וקריימר זכה בפרס על בימוי סרט מתאים לצפייה לדור הצעיר והיה מועמד לפרס דב הזהב לסרט הטוב ביותר.
הסרט היה מועמד גם לפרסי באפט"א ופרס גלובוס הזהב.
הסרט זוכה לביקורות מעולות לאורך מספר עשורים, בעיקר על הפגנת המשחק של השחקנים הראשיים, בהם ג'ין קלי שאין לו בסרט כל תפקיד בשירה ובריקוד והוא מפגין משחק דרמטי.
הוא קיבל דירוג גבוה במיוחד של 90% ביקורות חיוביות באתר "Rotten Tomatoes".
באנליזה מתמטית, משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה גזירה ברציפות היא הפיכה.
תהי (גזירה ברציפות) כאשר פתוחה ותהי נקודה .
נניח שהיעקוביאן בנקודה זו מקיים (כלומר הדיפרנציאל בה, , הפיך).
אזי, קיימת קבוצה פתוחה כך ש- אף היא פתוחה, והפונקציה חד-חד-ערכית ועל.
יתרה מכך, הפונקציה ההופכית אף היא גזירה ברציפות, והדיפרנציאל שלה בנקודות מתקבל על ידי
לכל , כאשר (צורות רישום נוספות: או ).
תהי הפונקציה המוגדרת על ידי .
פונקציה זו לא חד-חד-ערכית: הרי היא מקבלת אותם ערכים עבור כל מחזור של ערכי .
עם זאת, זו פונקציה גזירה ברציפות עם
מהמשפט נקבל שהפונקציה היא חד-חד-ערכית באופן מקומי בסביבת כל נקודה, וקיימת לה פונקציה הפוכה שם, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית.