tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
המספר המועט של המתפללים בכל אחד מבסיסי צה"ל דרש ברוב המקרים שכולם יתפללו יחד כדי שיתפללו במניין.
לדעת המצדדים בנוסח אחיד, השימוש בנוסח אחיד ימנע ויכוחים על הנוסח בין המתפללים ויאפשר לכאלו המצטרפים לתפילה להתמצא יותר בקלות בתפילה.
הרב עובדיה יוסף התנגד לכך שספרדים יתפללו בנוסח האחיד כיוון שאינו תואם את נוסח הספרדים אלא את נוסח ספרד שהוא נוסח של יהודים אשכנזים, ובכך הספרדים נוטשים את מורשתם העדתית.
טיעון נוסף שהועלה נגד בחירת נוסח ספרד כנוסח אחיד היה שבין כה וכה רוב האשכנזים אינם מתפללים בנוסח אשכנז אלא בנוסח ספרד-חסידי ולפיכך פשרה אמיתית בין הספרדים לאשכנזים צריכה להיות פשרה בין נוסח הספרדים לנוסח ספרד-חסידי ולא בין נוסח הספרדים לנוסח אשכנז כפי שעשה הרב גורן.
הרב דב ליאור הסביר את ההתנגדות באופן שונה.
לטענתו, הניסיון ליצור נוסח אחיד יצר אמנם נוסח הדומה לנוסח שמתפללים יוצאי אשכנז, אך ניסיון ליצור נוסח אחיד שינה גם את הנוסח הזה.
על כן, הנוסח האחיד יוצא "קירח מכאן ומכאן", שכן אינו נוסח אשכנזי לגמרי ולא ספרדי לגמרי.
או כפי דבריו של הרב ליאור "הנוסח בצה"ל הוא אחיד בכך שכל אחד אומר 'זה לא הנוסח שלי'."
הנוסח האחיד לא השתרש, בסופו של דבר, בקרב חיילי צה"ל.
המקובל כיום במרבית בסיסי צה"ל הוא שהתפילה נערכת לפי המנהג בו רגיל להתפלל שליח הציבור (חזן ספרדי יתפלל בנוסח הספרדים, אשכנזי בנוסח אשכנז או ספרד וכו').
באלגברה, נוסחאות ויאטה (על שם המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט) הן נוסחאות המקשרות בין מקדמי פולינומים לבין שורשיהם בשדות סגורים אלגברית כמו שדה המספרים המרוכבים.
עבור פולינום מהצורה , עם שורשים (כולל ריבוי), מתקיים:
הנוסחה לכל אחד ואחד היא:
בפרט, עבור משוואה ממעלה שנייה מתקיים:
מאחר שעבור כל מטריצה, הערכים העצמיים שלה הם שורשי הפולינום האופייני, לפי נוסחאות ויאטה מתקיימים גם הקשרים הבאים:
כאשר היא המטריצה ו- הם הערכים העצמיים שלה.
זאת כיוון שהמקדם החופשי בפולינום האופייני הוא הדטרמיננטה, המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1 והמקדם של החזקה הבאה הוא מינוס העקבה של המטריצה.
בכתיב כימי, נוסחה אמפירית של תרכובת היא ביטוי פשוט של המספר היחסי של כל סוג אטום (יסוד כימי) בתוכה.
נוסחה אמפירית אינה מתייחסת לאיזומרים, למבנה או למספר האבסולוטי של האטומים.
נוסחה אמפירית היא התקן של תרכובות יוניות, כגון CaCl2 או מקרומולקולות כמו SiO2.
שם התואר "אמפירי" מתייחס לתהליך אנליזה יסודית (elemental analysis), טכניקה של כימיה אנליטית שמשתמשים בה כדי לקבוע את אחוז ההרכב הרלוונטי ביסודות של חומר כימי טהור.
לעומת זאת, הנוסחה המולקולרית מזהה את מספר האטומים המדויק של כל יסוד שנמצא במולקולה אחת של התרכובת.
לדוגמה, הקסאן יכול להיות מבנה מולקולרי של CH3CH2CH2CH2CH2CH3, שמראה שיש לו מבנה של שרשרת ישרה, 6 אטומי פחמן, ו-14 אטומי מימן.
הנוסחה המולקולרית של הקסאן היא
והנוסחה האמפירית של אותה מולקולה היא C3H7
בפיזיקה נוסחה אמפירית היא משוואה מתמטית שחוזה תוצאות שנבחנו, אבל אין לה בסיס תאורטי שיכול להסביר מדוע היא עובדת.
כלומר עצם השם רומז על כך שהנוסחה מתבססת על ניסויים.
לרוב הנוסחה היא לא סתם ניחוש אקראי, אלא מבוססת על היגיון, תצפיות ומדידות.
כאשר רוצים לתאר תופעה פיזיקלית כתלות בפרמטרים שונים, מבצעים סדרה של ניסויים, במהלכם מקבעים בכל פעם פרמטרים אחרים (במקרה האידיאלי כולם מלבד אחד), ובאמצעות שינוי הפרמטר הנותר ומדידת התוצאה, בונים גרף ממנו ניתן להסיק על הקשר המתמטי.
בשיטה זו, ניתן בהרבה מקרים (בהם הקשר המתמטי לא מסובך מדי) למצוא את צורת הקשר: ישר, הפוך או יותר מסובך, ולאחר שצורת הקשר ברורה, ניתן גם לבצע חישוב של קבועי פרופורציה אשר יביאו את המשוואה להתאמה מיטבית לתוצאות הניסויים.
לעיתים קרובות, המשוואות המתארות תופעות פיזיקליות הן מסובכות מאוד, אך בהתבסס על הבנה ומדידות ניסויים, מנסחים נוסחאות פשוטות יותר, אשר מהוות קירוב למשוואות המסובכות (כמובן שיחד עם הקירוב, מובאים גם התנאים בהם ניתן להשתמש בקירוב זה).
חוק טיטיוס-בודה: זהו חוק אמפירי שנכון ברוב המקרים לחישוב מרחקי כוכבי לכת מהשמש.
כיום מקובל לראות בו התאמה מקרית.
חוקי קפלר נוסחו ללא הבנה של העקרונות הפיזיקליים שעליהם הם מתבססים.
חלפו למעלה מ-40 שנה בטרם ניוטון העמידם על בסיס תאורטי מוצק.
נוסח פרובאנס הוא נוסח תפילה בו התפללו בתקופת ימי הביניים יהודי פרובאנס ודרום צרפת.
לאחר גירוש היהודים מהאזור ב-1501 על ידי מלך צרפת, הוא השתמר רק בקהילות קרפנטרה, אביניון, ל'איל-סור-לה-סורג וקוואיון, שהיו תחת שלטון האפיפיור והצו לא נאכף בהן.
באותן העיירות, הנוסח נשתמר עד לתקופה האחרונה, אבל נראה שהקהילות אימצו את נוסח הספרדים במאה השנים האחרונות.
השם 'צרפת' יוחד בימי הביניים רק לחלקה הצפוני של הרפובליקה הצרפתית דהיום, בעוד חלקה הדרומי כונה בפי היהודים "פרובינצא" (פרובאנס).
צרפת והחבלים דוברי-האוקסיטנית בדרום היו שונים לחלוטין מבחינה פוליטית, תרבותית ולשונית.
הבדל זה כמובן השפיע גם על מנהגי היהודים ועל נוסח התפילה.
יהודי צרפת התפללו בנוסח צרפת הקרוב יותר לנוסח אשכנז, ומנהגיהם (שהמקורות העיקריים לתיעודם הם מחזור ויטרי, סידור רש"י ומקורות נוספים) היו דומים בעיקר למנהגי אשכנז, אם כי היו הבדלים לא מבוטלים.
הדרום האוקסיטני היה קרוב לספרד.
בשל כך הושפעו מנהגי היהודים, ובעיקר נוסח התפילה, הושפעו הן מהרווח שם והן מצרפת בצפון.
קיימת גם השפעה מסוימת מהנוסח האיטלקי.
בניגוד ליהודי צרפת שגורשו ממנה באופן סופי בשנת 1394, יהודי פרובאנס נשארו עד לשנת 1501 בה גורשו כמעט כל יהודי פרובאנס.
בארבע ערים (אוויניון, קארפינטראץ, קוואליאון ול'איל-סור-לה-סורג) בלבד נשארו יהודים, כיוון שהיו תחת שלטון האפיפיור, שלא גירש את היהודים מנחלותיו.
רבים ממגורשי ספרד היגרו לדרום (כמו למשל משפחתו של ההיסטוריון היהודי ר' יוסף הכהן הרופא) דבר שהפר את האיזון בין ההשפעה הספרדית והצרפתית על המנהגים של היהודים שנשארו וקירב אותם יותר למנהגים הספרדיים.
המקורות לתולדות מנהגי יהדות פרובאנס
ישנם מספר מקורות המתארים את מנהגי יהדות פרובאנס, בין היתר:
ספר המנהיג שחיבר ר' אברהם בן נתן הירחי.
מחבר הספר הוא יליד העיר לוניל פרובאנס שנסע ללמוד בישיבות צרפת ובסוף ימיו השתקע בעיר טולדו שבספרד.
בספר המנהיג מתאר ר' אברהם הירחי את מנהגי יהודי פרובאנס, צרפת וספרד על השוני ביניהם.
ספר אורחות חיים שחיבר ר' אהרון הכהן מלוניל.
ספר זה הוא ספר הלכתי בעיקרו, אך הוא מכיל מנהגים רבים של יהודי פרובאנס וגם של קהילות קטלוניה.
ספר מגן אבות לר' מנחם המאירי, שבו מבוא ו-24 עניינים בנושאים הלכתיים שונים.
הספר נכתב בעקבות מחלוקת עם תלמידי הרמב"ן שרצו להנהיג בפרובאנס את מנהג רבם, והמאירי ביקש להגן על מנהג המקום.
סדר ברכות השחר הוא כמנהג הספרדים.
נוסח ברכת התורה הוא "על דברי תורה" כמו רוב העדות (ולא לעסוק בדברי תורה שהוא נוסח צרפת ואשכנז).
בקרפנטרה השתמר המנהג הקדום (שהשתמר גם בנוסח איטליה ובתכלאל) לומר את קטעי הקרבנות מיד לאחר ברכות התורה ורק לאחר מכן לומר את הקטעים "לעולם יהא אדם ירא שמים".
בשאר הקהילות נוהגים כמו בנוסח הספרדים ונוסח אשכנז.
ברוך שאמר נאמר לאחר אמירת הודו, כמו אצל הספרדים.
בשבת המזמורים הנוספים נאמרים לפני הודו ולא אחריו (כמו בנוסח איטליה), ואומרים כל המזמורים שאומרים הספרדים (שלא כמו בנוסח אשכנז בו מצויים פחות מזמורים).
לפני ברוך שאמר ביום חול אומרים את מזמור י"ט בתהלים כמו מנהג ספרד הקדמון ומנהג הספרדים במערב אירופה, ושלא כמו המנהג הספרדי המאוחר ונוסח ספרד לומר את מזמור ס"ז.
לפני ישתבח אומרים את הפיוט כל ברואי מעלה ומטה של ר' שלמה אבן גבירול (כמו נוסח איטליה).
בקדיש אומרים "ויצמח", וכנוסח הספרדים.
נוסח הברכה השנייה של קריאת שמע הוא "אהבת עולם" כמו אצל הספרדים והאיטלקים, בניגוד לנוסח אשכנז.
נוסח הקדושה הוא "נקדש את שמך בעולם", כמו נוסח אשכנז (ולא "נקדישך ונעריצך" של הספרדים).
נוסח הברכה השלישית הוא "לדור ודור המליכו לאל כי הוא לבדו מרום וקדוש.
ברוך אתה ה' האל הקדוש", בין ביחיד בין בחזרת הש"ץ, בדומה לנוסח איטליה.
נוסח ברכת השנים הוא כמו הנוסח של ברכת השנים בחורף אצל הספרדים, אלא שאומרים אותו בין בחורף ובין בקיץ, אלא שבחורף אומרים "ותן טל ומטר לברכה" ובקיץ אומרים "ותן טל לברכה" (בדומה לנוסח איטליה).
בברכת שומע תפילה מוסיפים בחזרת הש"ץ בימים בהם אומרים תחנון את הקטע הבא:
נוסח ברכת שים שלום הוא "שלום רב" בכל התפילות, בניגוד לנוסח אשכנז שבו בשחרית ובמנחה שיש בה קריאת התורה אומרים שים שלום, ובניגוד גמור לנוסח הספרדים, האיטלקים והתימנים שאומרים שים שלום בכל התפילות.
אומרים וידוי ושלוש עשרה מידות בכל יום, כנראה בהשפעה ספרדית-קבלית.
בין הווידוי לשלוש עשרה מידות אומרים את הקטע "מה נאמר לפני יושב מרום" הלקוח מן הווידוי של יום הכיפורים, בדומה למנהג הספרדים אלא שבניגוד לספרדים הוא נאמר בכל יום (ואף בתפילת מנחה) והספרדים אומרים אותו רק בימים שני וחמישי ובתפילת שחרית בלבד.
המזמור של נפילת אפיים הוא מזמור כ"ה כמו אצל הספרדים והאיטלקים.
התחנונים של שני וחמישי ארוכים מהמקובל בשאר העדות, ומכילים תוספות רבות ביניהם תחינה לפי פרשת השבוע.
התוספות הן לפני נפילת אפיים חרף הדרישה הקבלית להסמיך נפילת אפיים לשלוש עשרה מידות.
נוסח אל ארך אפיים הנאמר לפני הוצאת ספר תורה הוא כמו אצל הספרדים.
את הקטע בריך שמיה אומרים רק בשבת כמו קצת קהילות האשכנזים והספרדים.
לאחר קריאת התורה נאמרים שני קטעי מי שברך לקהל.
באחד מהם מבקשים "המקום ברחמיו...יצילם מכל גרוש".
בשני מבקשים "המקום ברחמיו...הוא יתנם לחן ולחסד ולרחמים...בעיני אדוננו הפיפיור והחצרנים והסגנים לרחם על פלטתנו...".
הזכרת הגירוש אינה מפתיעה כלל שכן הגירוש היווה חלק נכבד בתודעתם ההיסטורית של יהודי ארבע הקהילות שהיו עדים לגירושים לא מעטים: גירוש יהודי צרפת הצפונית, לאחריו גירוש ספרד שממנו הגיעו פליטים רבים לאזורם, והגרוע מכל עבורם גירוש פרובאנס בו גורשו היהודים כמעט מכל ערי חבל ארץ זה.
היהודים שנשארו בפרובאנס היו אלו שחיו במובלעות שתחת שלטון האפיפיור, דבר המסביר את המי שברך השני.
החזרת ספר תורה בימים שני וחמישי היא מיד לאחר הקריאה בתורה, בדומה לנוסח אשכנז ולא כמו רוב הספרדים.
אומרים את מזמור פ"ד ופרשת התמיד.
בלישלוה ובקאוליאון אומרים גם את פרשת פיטום הקטורת כאן, אך בקרפנטרה ובאביניון פרשה זו נאמרת רק לאחר התפילה (מנהג זה היה מקובל בעבר בכמה קהילות ספרדיות והשתמר רק אצל יהודי פרובאנס).
בתפילת מנחה של צומות מפטירים את הפטרת "דרשו ה' בהִמצאו" כמו האשכנזים.
בברכת מעריב ערבים אומרים "אל חי וקיים תמיד ימלוך עלינו לעולם ועד" כמו נוסח אשכנז.
אומרים את ברכת ברוך ה' לעולם, שהיא ברכה שנתקנה בתקופת הגאונים.
היא נאמרת כברכה בפני עצמה כמו אצל האשכנזים בחו"ל, האיטלקים והמרוקאים (בניגוד לתימנים ההולכים כדעת הרמב"ם ומאחדים אותה עם ברכת השכיבנו).
קבלת שבת ותפילת ערבית של שבת
סדר קבלת שבת ייחודי לנוסח זה והוא כדלקמן:
פרק במה מדליקין (פרק שני במסכת שבת) ולאחריו קדיש דרבנן.
מזמור שיר ליום השבת ולאחריו מזמור ה' מלך גאות לבש (תהילים צ"ב, צ"ג).
מזמור לדוד (תהילים כ"ט), ולאחריו קדיש יהא שלמא.
הסדר זהה כמעט למנהג הספרדים במערב אירופה, למעט שאצל הספרדים פותחים באמירת מזמור לדוד ואצל יהודי פרובאנס חותמים בו, ולפיכך גם מוסיפים אחריו את הקדיש.
בשבתות מסוימות (למשל שבת חנוכה, שבת זכור) אומרים פסוקים מעניין אותה שבת לפני אמירת ברכו.
בברכת השכיבנו היא כמו ביום חול למעט שינוי בחתימת הברכה, כמו בנוסח אשכנז ושלא כמו אצל הספרדים המשמיטים חלק מגוף הברכה בשבת.
לפני אמירת ברוך שאמר אומר החזן את הפיוט "כי אשמרה שבת" לר' אברהם אבן עזרא
הקדושה בשחרית של שבת היא כמו בשחרית של יום חול, אבל בשבת חתן אומרים את הנוסח המורחב הקיים בנוסח אשכנז.
נוסח ברכת החודש בשבת לפני ראש חודש הוא ייחודי לנוסח פרובאנס, כדלקמן:
ראשית אומרים את ארבע תפילות יהי רצון, כמו בנוסח הספרדים (תפילות אלו נאמרות על ידי האשכנזים לאחר קריאת התורה בכל ימי שני וחמישי).
אומרים את יקום פורקן מן שמיא השני, ומי שברך לקהל כמו בנוסח אשכנז (אלא ששם אומרים אותם בכל שבת).
נוסח הכרזת החודש עצמה בדומה לנוסח איטליה: "כך גזרו רבותינו המכובדים שנכריז בכל קהילות הקודש, שיהיו יודעין גדולים וקטנים כשיהיה לנו ראש חודש.
בשבת לפני י"ז בתמוז ושבת לפני עשרה בטבת מכריזים על התענית כנהוג אצל הספרדים והתימנים.
נוסח הברכה האמצעית של תפילת העמידה של מוסף הוא "תכנת שבת" (כמו האשכנזים וחלק מהספרדים) ולא "למשה צוית" (כמו התימנים וחלק מהספרדים).
זהו מנהג קדום בפרובאנס ונזכר כבר בדברי ר' אברהם בן נתן בספר המנהיג.
נוסח הקדושה בתפילת מוסף הוא "כתר יתנו לך" כמו אצל הספרדים.
בברכת "בורא פרי הַגֶּפֶן" הגימל נאמרת בסגול, כמו אצל רוב הספרדים והאיטלקים.
ברכת המזון זהה (עם שינויים קלים) לנוסח איטליה.
ישנם מזמורי תהילים מיוחדים לכל אחד מן החגים הנאמרים לפני תפילת ערבית של החג, בדומה לנוסח הספרדים.
נוסח ההושענות הוא כמנהג הספרדים.
לא נהוג מנהג ההקפות בשמחת תורה.
אם י"ג באדר חל בשבת מתענים תענית אסתר ביום שישי ולא ביום חמישי (מגן אבות למאירי, עניין כ"ג).
"מנהג התינוקות בצרפת ופרובינצא לקחת חלוקי הנחל ולכתוב עליהם המן, ומקישין זו על זו כשהקורא מזכיר המן משום ושם רשעים ירקב..." (ספר המנהיג, מהדורת רפאל עמ' רמב).
מנהג דומה של מחיית המן נהוג כיום בעדות רבות.
אומרים אבינו מלכנו בשבת, בין ראש השנה שחל להיות בשבת, בין ביום הכיפורים שחל להיות בשבת ובין בשבת שובה (מגן אבות למאירי, עניין כ"ד).
מנהג זה נהוג עד היום אצל האיטלקים ורוב קהילות הספרדים.
נוסחת DuPont המוכרת גם כמודל הרווח האסטרטגי, היא דרך מקובלת לפרק את התשואה על ההון לשלושה מרכיבים חשובים.
הנוסחה קרויה על שם חברת הענק ליצור כימיקלים דו פונט, אשר החלה ליישם אותה בשנות העשרים, כחלק מן הניתוח הפיננסי שערכה על הדוחות הכספיים שלה במטרה לשפר ולייעל את פעילותה העסקית.
רווח שולי × מחזור הנכסים × מנוף פיננסי
רווח שולי = רווח נקי ÷ מכירות
מחזור הנכסים = מכירות ÷ נכסים
מנוף פיננסי = נכסים ÷ הון עצמי
כאשר מחלקים את התשואה על ההון לשלושה חלקים, קל יותר להבין את מהות השינויים שחלים בתשואה על ההון לאורך זמן.
לדוגמה: אם הרווח השולי גדל, כל מכירה תניב יותר כסף ובכך התשואה על ההון תהיה גבוהה יותר.
באופן דומה, אם מחזור המכירות יהיה מהיר יותר, החברה תייצר יותר מכירות עבור כל יחידת הון של נכסיה, ומכאן שהתשואה על ההון תהיה גבוהה יותר.
לבסוף, הגדלת המנוף הפיננסי פירושה שהחברה תשתמש ביותר כסף שהגיע מאשראי שקיבלה ממלווים ביחס להון בעלי המניות.
הוצאות המימון מוכרות מבחינת המס, אך דיבידנדים לבעלי המניות אינם מוכרים.
מכאן, פרופורציה גבוה של חוב במבנה ההוני של החברה מביאה לתשואה על ההון גבוהה.
היתרונות של מנוף פיננסי קטנים ככל שסכנת פשיטת הרגל גדלה, עקב קושי לעמוד בתשלומי הקרן והריבית על ההלוואות, במיוחד לאור ציפיותיהם של המלווים לקבל ריבית יותר גבוהה על הלוואות נוספות עקב פרמיית הסיכון הגדלה, ולכן התשואה על ההון תרד.
חוב גדול יתרום תרומה חיובית לתשואה על ההון של החברה רק אם ההחזר על הנכסים (ROA) גבוה יותר משיעור הריבית על ההלוואה.
נוסחה, במתמטיקה ובמדע, היא דרך קומפקטית וסימבולית לכתיבת מידע או להצגת קשר כמותי בין גורמים אחדים.
נוסחאות משמשות בענפי מדע רבים ובמתמטיקה החיבור בין הגורמים נעשה באמצעות סימן השוויון "=".
הנוסחה (פורמולה) היא ביטוי אלגברי הממלא תפקיד של כלל לגבי כל השאלות מסוג אחד.
משפטים רבים במתמטיקה מבוטאים באמצעות נוסחה.
הנוסחה היא למעשה סוג של ביטוי שוויון (שוויון זהות), אשר מזהה את היחס שבין הביטויים בלבד.
להבדיל ממשוואה, אין הוא קובע את ערכם המספרי של ערכים אילו.
במקום האותיות בנוסחה יכולים לבוא מספרים שונים ורבים מאוד והשוויון לא יפגע.
לכן לאותיות בביטוי זה ערכים רבים, לאין שיעור.
לצורך כתיבת נוסחאות נהוג להשתמש באותיות הראשונות של האלף-בית הלטיני – a,b,c.
בגאומטריה משמשות נוסחאות לקביעת אורך, שטח ונפח.
אורך: הנוסחה הקושרת את רדיוס המעגל עם היקפו: 2πR.
שטח: כאשר נתונים אורכים a ו־b של שתי צלעות במשולש וגודלה של הזווית שביניהן, השטח שווה ל- .
נפח: נפח של כדור בעל רדיוס r הוא .
באלגברה משמשות נוסחאות לפתרון משוואות, כגון הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית: הפתרונות למשוואה הריבועית , כאשר היא הדיסקרימיננטה של המשוואה, הם
בחשבון אינפיניטסימלי משמשות נוסחאות לחישוב נגזרות ואינטגרלים .
חוקי פיזיקה רבים מבוטאים באמצעות נוסחאות.
שימוש בכלים מתמטיים קונבנציונליים להצגת תופעות בטבע בצורה פשוטה, כמעט לכל תאוריה פיזיקלית קיימת נוסחה אשר בצורה זו ניתן להבין את התנהגות אותה מערכת.
ישנן מערכות אשר מיוצגות בקשר ליניארי, קשר מעריכי ולעיתים מערכת משוואות.
נוסחה נודעת היא זו הקושרת בין מסה לאנרגיה, במסגרת תורת היחסות הפרטית: E=mc2. נוסחה אלמנטרית יותר היא זו הקובעת את הדרך כפונקציה של המהירות והזמן: x = vt, כמו כן קשר בין רכיבי המעגל החשמלי U=IR וכדומה.
בכימיה משמשת נוסחה כימית לתיאור אטומים, מולקולות, מבנים כימיים אחרים, תגובות כימיות ומנגנונים של תגובות כימיות.
היא הנוסחה של מולקולת מים, ופירושה שכל מולקולת מים מורכבת משני אטומי מימן ואטום חמצן אחד.
תגובה כימית מוצגת אף היא באמצעות נוסחה.
- תגובה בין שתי מולקולות דו-אטומיות של מימן ומולקולה אחת של חמצן לקבלת שתי מולקולות מים.
שפת תכנות מכילה כלים לכתיבה של נוסחאות, שהן מרכיב בסיסי במימושם של אלגוריתמים.
נוסחאות נכתבו בפקודת השמה (למשל, X := A + 5), או כחלק מפקודות אחרות.
בגיליון אלקטרוני נכתבות נוסחאות המחשבות ערכו של תא מסוים על-פי ערכיהם של תאים אחרים.
תא שבו נכתב =A1+A2 יכיל את סכום ערכיהם של התאים A1 ו-A2.
בהינתן שפה , נוסחה אטומית בשפה היא הפעלת אחד מבין סימני היחס על שמות העצם של השפה, כאשר כל שם עצם הוא שם משתנה או שם קבוע.
אם סימן יחס מקומי, כאשר היא אוסף סימני היחס של השפה , אז כאשר , כאשר אלו שמות הקבועים של השפה ו- אלו שמות המשתנים שלה.
נוסחה אטומית אינה משתנה תחת ייחוס.
הרחבה של נוסחה אטומית מתבצעת על ידי הוספת קשרים לוגיים וכמתים, ובכך אנו בעצם יכולים לבטא טענות יותר מסובכות מאשר הללו הבסיסיות אשר ניתנות לביטוי בידי הנוסחאות האטומיות בלבד.
המושג המכליל את מושג הנוסחה האטומית במובן לעיל הוא מושג הנוסחה.
בהינתן שפה , נוסחה בשפה היא הפעלת אחד מבין סימני היחס על שמות העצם של השפה, כאשר כל שם עצם הוא שם משתנה או שם קבוע, או צרוף של נוסחאות על ידי קשרים לוגיים.
נוסחה בתחשיב היחסים זקוקה לסמנטיקה על מנת להיקבע כנכונה או לא.
מבנה M המוגדר מעל מילון T (אוסף סימני היחסים, קבועים, פונקציות) מוגדר להיות בעל תחום לא ריק והגדרת הקבועים, יחסים ופונקציות המוגדרות במילון.
הנוסחא לרוב מוגדרת מעל המילון ומשמעותה נקבעת על פי המבנה.
אם נוסחה אטומית אז היא גם נוסחה (המונח "נוסחה" מכיל בתוכו את המונח "נוסחה אטומית" כמקרה פרטי).
אם נוסחה (לאו דווקא אטומית) אזי היא נוסחה.
נשים לב שהחל משלב זה כבר מדובר על נוסחאות שאינן אטומיות.
אם ו- נוסחאות כלשהן, אז לכל קשר לוגי (שאינו שלילה) הרי ש- היא נוסחה.
אם היא נוסחה ו- הוא משתנה, ו- הן נוסחאות.
נוסחאות הכפל המקוצר הוא שם קיבוצי, השגור בעיקר בהוראת המתמטיקה בבתי ספר תיכוניים, שמציין כמה זהויות מתמטיות המשמשות לפישוט ביטויים אלגבריים.
הוכחת כל הנוסחאות מתבססת על שימוש אינדוקטיבי בחוק הפילוג, חוק הקיבוץ וחוק החילוף ("פתיחת סוגריים וקיבוץ איברים").
שתי נוסחאות כפל מקוצר בסיסיות הן:
אלו הם מקרים פרטיים של נוסחת הבינום של ניוטון:
חישוב נעשה באמצעות הצבת במקום בבינום של ניוטון.
משפט המולטינום מאפשר לפתח את הביטוי המקביל למספר כלשהו של מחוברים.
שתי נוסחאות כפל מקוצר בסיסיות נוספות הן:
(כאשר הוא הסימן ההפוך מ-)
אלו מקרים פרטיים של הזהות הכללית:
זהות המתקבלת מפתיחת סוגריים וצמצום הטור הטלסקופי שמתקבל.
כאשר מספר אי-זוגי ניתן לקבל זהות מקבילה , ועל ידי הצבת במקום בזהות הקודמת מתקבל:
אם נתיר שימוש במספרים מרוכבים ניתן לפתח זהות דומה גם למקרה ש- זוגי מכיוון ש-, כאשר הוא שורש מסדר של (למשל: לפי זהות אוילר).
נוסח השומרונים לתורה ("נוסח שומרון") הוא הנוסח של חמישה חומשי תורה לפי מסורת הדת השומרונית.
נוסח שומרון לתורה נבדל מנוסח המסורה שבידי היהודים באלפי פרטים, בצורת הכתב השומרוני שבו הוא כתוב וכן בהגיית הכתוב.
מרבית ההבדלים נוגעים לדרך המסירה, לצורות לשון ולכתיב מלא וחסר ומקצתם נוגעים לעניינים אידאולוגיים-דתיים.
אף כי הנוסח הנמצא היום בהר גריזים חובר בימי הביניים, תגליות ים המלח חושפות את קרבתו היתרה לנוסחים עתיקים.
נוסח השומרונים לתורה כתוב בלשון האופיינית לתקופת בית שני, וניסוחו פשוט וקוהרנטי יותר ביחס לנוסח המסורה הן בצורה והן בתוכן.
עם זאת במקרים רבים עולה קושי להכריע איזו מבין הגרסאות היא הקדומה יותר.
בניגוד ליהודים ולנוצרים, השומרונים אינם מכירים בקדושתם של ספרי הנביאים, או בסמכותה של התושב"ע.
מכיוון שכך, 'נוסח שומרון' – המכיל את התורה בלבד – הוא הכתב הקנוני הבלעדי של השומרונים.
הבדלים בין נוסח השומרונים לבין נוסח המסורה
לפי המניין המקובל במחקר, שונה נוסח השומרונים מנוסח המסורה בכ-6,000 פרטים, מהם כאלפיים פרטים התואמים את גרסת תרגום השבעים.
קרבה הדוקה נמצאה גם לטקסטים שנמצאו במגילות מדבר יהודה.
כמו כן מאות הבדלים נוספים, שאינם משתקפים בנוסח הכתוב, עולים ממסורת הקריאה של השומרונים בתורתם.
לאור הקרבה בין נוסח השומרונים לתרגומים ולמגילות מדבר יהודה מבחינים בין רכיבים קדומים בנוסח השומרוני, שהוכנסו בנוסח לפני שהגיע לידי השומרונים (קדם-שומרוניים), לבין מאפייני הדת והלשון השומרונית כפי שהם ידועים ממקורות מאוחרים יותר.
הרמוניזציה היא תופעה של שינויים, תוספות או השמטות בטקסט מתוך מטרה להתאים בין שני כתובים מקבילים שיש ביניהם זיקה מסוימת.
דוגמה להרמוניזציה היא תוספות גדולות הכוללות חזרות מתוך ספר דברים בספרים המוקדמים לו – שמות או במדבר וכן תוספות לטקסט שמטרתן ליצור אחידות.
כך למשל, עורך הנוסח השומרוני השווה את פרטיו של הנאום המסכם של משה בספר דברים לטקסטים המקבילים בספרים שמות ובמדבר.
אם פרט מסוים לא הופיע בספרים המוקדמים באותו ניסוח שבו הופיע בספר דברים הוא הוכפל באופן המציג את ספר דברים כמצטט סיפורים קודמים.
הרחבות נוספות בנוסח השומרוני נעשו באמצעות תוספות לטקסט במקומות שבהם נתפסו כהכרחיות.
תוספות מעין אלו נוספו למשל במקומות שבהם חסר פירוט של ביצוע הצווים האלוהים שניתנו למשה.
ההרמוניזציה מתבטאת גם בהתאמות במילים בודדות ובצירופים.
כך בסיפור תיבת נח בנוסח השומרונים: "מכל הבהמה הטהורה תיקח לך שבעה שבעה זכר ונקבה" כנגד "אִישׁ וְאִשְׁתּוֹ" בנוסח המסורה (הרמוניזציה זו מצויה גם בתרגום השבעים ובתרגומים נוספים).
ההעדפה לצירוף "זכר ונקבה" בפסוק זה באה לשם ההאחדה עם המשך הסיפור, שבו חוזר צירוף זה ולא "איש ואשתו".
הבדלים מן הסוג הזה נוגעים לקשיים הגיוניים מן ההיבט הספרותי שקיימים בנוסח המסורה ונעדרים מנוסח השומרונים.
לעומת זאת מציג נוסח השומרונים את הכתוב בהתאם הסמנטי הראוי ביחס לחושי האדם: "וְכָל הָעָם שֹׁמֵעַ אֶת הַקּוֹלוֹת וְאֶת קוֹל הַשּׁוֹפָר וְרֹאִים אֶת הַלַּפִּידִים וְאֶת הַר הֶעָשָׁן".
ואולם הבדלים מעין אלה מייצגים לא פעם מסורת כתיבה קדומה מנוסח המסורה, והם יכולים להעיד על טעויות סופרים שמקורן בהעתקות של נוסח המסורה.
לדוגמה, תחת הפסוק "וְאֶת-הָעָם--הֶעֱבִיר אֹתוֹ, לֶעָרִים" גורס נוסח השומרונים בחילופי אותיות דומות, רי"ש ודל"ת, "וְאֶת הָעָם הֶעֱבִיד אוֹתוֹ לַעֲבָדִים".
שינוי האותיות בפסוק הוביל לשינוי במשמעות הפסוק כולו.
שינוי זה מופיע גם בתרגום השבעים, ומסיבה זו חלק מהחוקרים הניחו שהטעות חלה דווקא בנוסח המסורה.
כמו כן הפסוקים הקודמים של אותו הפרק בספר בראשית מלמדים שהרפורמה של יוסף לא כללה את העברת העם לערים, אלא הפיכה של העם לעבדים.
אמנם חוקרים אחרים טענו שהביטוי "העביד לעבדים" לא מצוי בשום מקום, והוא המשובש.
כמו כן, חוקרים אחרים הצביעו על השימוש של מחברי התרגום השומרוני בתרגום השבעים, וייתכן שמשם זה חדר גם לנוסח השומרוני.
הבדלים פרשניים-רעיוניים נוגעים ליישוב קשיים תאולוגיים ואחרים בטקסט.
הבדלים רבים מסוג זה אינם ייחודיים לתורת השומרונים, ולרבים מהם יש מקבילות בתרגומי התנ"ך ובמדרשי חז"ל.
מן ההבדלים הפרשניים-רעיוניים בנוסח השומרונים הוא יישוב הקושי שבפסוק: "וַיְכַל אֱלֹהִים בַּיּוֹם הַשְּׁבִיעִי מְלַאכְתּוֹ אֲשֶׁר עָשָׂה".
כיוון שאי אפשר להניח שאלוהים עבד בשבת, תוקן הפסוק ובמקומו נכתב: "ויכל אלוהים ביום הששי" (זוהי הגרסה גם בתרגום השבעים ובפשיטתא).
השפעת המדרש ניכרת למשל בגרסת השומרונים לבראשית לד 1: "ותצא דינה להראות בבנות הארץ" במקום גרסת נוסח המסורה: "וַתֵּצֵא דִינָה...
וכך לפי המדרש: "לא יצאה אלא להראות עצמה ויפיה" (מדרש אגדה, עמ' 86; מדרש שכל טוב א', עמ' 189); "ותצא דינה בת לאה לראות וליראות" (מדרש תנחומא לפסוק).
השינוי האידאולוגי המרכזי בנוסח השומרונים נוגע למקום הפולחן המרכזי, הוא הר גריזים שמדרום לעיר שכם (הרגריזים; מילה אחת בכתיב השומרוני).
השומרונים מאמינים ששכם הוא המקום שבחר אלוהים ועל הר גריזים צוו בני ישראל להקים את המזבח, ולא על הר עיבל כפי שמצוין בנוסח המסורה.
בחירת הר גריזים כמקום פולחן מרכזי היא מיסודות אמונת השומרונים והיא מודגשת פעמים רבות בנוסח השומרונים, בין היתר באמצעות חילופי נוסח.
כך למשל, בכל מקום שבו נוסח המסורה מציין "במקום אשר יבחר" בלשון עתיד (כלומר ירושלים לא מזוהה בו כמקום המקודש) נמצא בנוסח השומרונים: "במקום אשר בחר", בלשון עבר, כרמיזה על כך שאלוהים כבר בחר בשכם ואין בכוונתו לבחור בירושלים.
אמונה זו הובילה גם לשינוי בדיבר העשירי מבין עשרת הדיברות בתורת השומרונים.
השומרונים הוסיפו לעשרת הדיברות שבספר שמות (כ) מיד אחר הדיבר "לא תחמד", הדיבר התשיעי בתורתם, את הצו לבנות "מזבח לה' אלוהים" בהר גריזים.
נוסח השומרונים עבר התאמה ללשון השומרונים בזמן התגבשותו, ועל כן הוא חולק קווי דמיון עם לשון בית שני, כפי שהיא נתונה במקורות חז"ל, וכפי שהיא משתקפת במגילות מדבר יהודה.
בין התופעות הלשוניות המאוחרות בנוסח השומרונים נמנות התופעות האלה: התמלאות הכתיב, ערעור האותיות הגרוניות אהח"ע, החלפת מילים נדירות בצורות שגורות יותר והתאמות דקדוקיות.
נוסח שומרון, ככתיבים מאוחרים נוספים, מתאפיין בשיטת הכתיב המלא, כגון "ריאשון", "ראישונה"; "מיתו"= מֵתוֹ ועוד.
שינויים רבים בין נוסח שומרונים לנוסח המסורה מצויים באותיות הגרוניות, כך מרובים חילופי "אל" ו"על", "והאלוהים אנח לידו" במקום "אִנָּה", "האפכה" במקום "הַהֲפֵכָה" ועוד.
השינויים הרבים באותיות הגרוניות שבנוסחת התורה השומרונית נובעים מערעור הגיית העיצורים הגרוניים בקרב השומרונים.
תהליך זה של ערעור הגרוניות תחילתו כבר בתקופת המקרא והוא ניכר ביותר במגילות מדבר יהודה ובלשון חז"ל.
החלפת מילים נדירות בצורות שגורות יותר
מילים נדירות וצורות חריגות מוחלפות בנוסח השומרונים במילה רגילה שגורה יותר משום שהכותב לא הבין את המילה הקדומה או לשם הבנת הקורא.
כך המילה "סותה" בפסוק "כִּבֵּס בַּיַּיִן לְבֻשׁוֹ, וּבְדַם-עֲנָבִים סוּתֹה" המקבילה אל " לְבֻשׁוֹ", הוחלפה בנוסח השומרונים במילה "כסות" שהייתה רגילה במציאות בת זמנו של השומרוני.
הדבר אמור גם בצורות ארכאיות, כגון סיומות יחסה מיושנות וה"א ונו"ן מאריכות, כך "וחית הארץ" במקום "וְחַיְתוֹ אֶרֶץ" וכן "ישמעו" על פני "יִשְׁמְעוּן".
צורות רבות בנוסח השומרון מותאמות לתפיסה פורמלית של דקדוק, למשל במקומות שאין התאמה במין או במספר בנוסח המסורה – מתאימם נוסח שומרון זה עם זה.
לדוגמה, תחת הכתוב "וַיַּרְא מְנֻחָה כִּי טוֹב" בנוסח המסורה, גורס נוסח השומרונים "כי טובה", כיוון שמנוחה לשון נקבה.
כתבי היד של התורה השומרונית
כתבי היד הקדומים ביותר של החומש השומרוני נכתבו בימי הביניים המוקדמים.
כתב היד הקדום ביותר הוא מהמאה ה-12, וכתבי יד מאוחרים יותר הם מהמאות ה-15-14. בין כתבי היד המרובים של הנוסח השומרוני מצויים חילופי כתיב מרובים, שעניינם כתיב מלא וחסר, דקדוק, תורת ההגה ותורת הצורות.
מעדויות עקיפות, כדוגמת התרגום הארמי של נוסח השומרונים, אפשר ללמוד שגם תוכנה של המסורת השומרונית לא היה אחיד, עד שהתגבש נוסח קבוע שהועתק בין כתבי היד.
כל כתבי היד של התורה השומרונית נחשבים בעיני השומרונים, כהעתק מן "המגילה הקדושה אשר בשכם".
מגילה זו מכונה בפי השומרונים "ספר אבישע", שכן לפי מסורת השומרונים הוא נכתב על ידי אבישע בן פנחס בן אלעזר הכהן במאה ה-13 לפנה"ס, בתקופת יהושע.
אולם לפי השערות החוקרים, מגילה זו מורכבת מכמה יריעות שהמוקדמות ביניהן נכתבו במאה ה-12 או במאה ה-13, ועליהן נוספו תוספות מאוחרות מן המאה ה-14.
כתבי היד של התורה השומרונית כתובים כולם בכתב השומרוני, שהתפתח מהכתב העברי הקדום, ולא בכתב הארמי המרובע המשמש בתורת היהודים.
מניתוח פלאוגרפי של הכתב העברי שבידי השומרונים עולה כי המגילות שנשתמרו משקפות צורה של הכתב העברי שרווחה בתקופת החשמונאים.
כאשר נתגלו המגילות במאה ה-17 כתובות בכתב העברי, נראו הן כמקוריות וקדומות לכתבי היד של נוסח המסורה שהיו כתובים בכתב המרובע.
הראשון שערער על קדמותו של הנוסח היה וילהלם גזניוס שהשווה בספרו מ-1815 בין נוסח השומרונים לנוסח המסורה ומצא שמונה סוגים של הבדלים בין הנוסחים.
בעקבות מחקרו רווחה ההנחה במחקר שנוסח השומרונים הוא נוסח מתוקן וערוך, כלומר משני לנוסח מסורה המקורי.
הנחה זו עוררה קשיים בעיקר בשל הדמיון בין נוסח השומרונים לתרגומים ולמדרשים.
מאה שנים מאוחר יותר קבע פאול קאלה ששני הנוסחים הנתונים, היהודי והשומרוני, התפתחו משני טיפוסי טקסט שהתקיימו בעת העתיקה.
הטקסט שהשומרונים אימצו משמר מצד אחד גרסאות קדומות, הדומות לגרסאות תרגום השבעים, ספר היובלים, ספר חנוך א' והמובאות מן התורה שבברית החדשה, ומצד שני הוא פשוט מנוסח המסורה ובהיר ממנו משום השינויים שנעשו בו והתוספות שנוספו אליו.
השערה זו של קאלה, שנוסח השומרונים מורכב מנוסח קדום שרווח בימי בית שני ומתוספות מאוחרות יותר, הובהרה עם מציאת קטעי תורה 'קדם-שומרוניים' במגילות מדבר יהודה.
טקסטים אלה תרמו למחקר בנוסח השומרוני וסייעו לקבוע את זמנו של נוסח השומרונים לתורה.
טקסטים "קדם-שומרוניים" הוא כינוי שנתנו חוקרי מגילות מדבר יהודה לקטעי תורה קדומים שנמצאו בין המגילות והם בעלי דמיון מובהק לנוסח השומרונים לתורה.
טקסטים אלה אינם שומרוניים, שכן נעדרים בהם סממנים אידאולוגיים-דתיים הייחודיים לשומרונים, אך הם דומים מאוד לנוסח השומרונים בבחינת תוספות ההרמוניזציה שנמצאו בהם.
מהקרבה ההדוקה בין טקסטים קדם-שומרוניים אלה לבין נוסח השומרונים עולה כי השומרונים משמרים נוסח קדום הדומה לנוסח שבמגילות אלה.
התפיסה במחקר היא שנוסח השומרונים מייצג מסורת ארץ ישראלית של התורה במקביל לשני טיפוסים אחרים של התורה שהתקיימו באותה עת: תרגום השבעים, המייצג טיפוס שהתפתח במצרים, ונוסח המסורה, המייצג טיפוס שחל בבבל.
השומרונים אימצו את הנוסח שעליו מתבססת תורתם ככל הנראה כבר במהלך המאה השנייה לפני הספירה, עם הקמת ממלכת החשמונאים.
על הנוסח הקדום הוסיפו תוספות משלהם - אידאולוגיות ולשוניות - במהלך המאה השנייה לפנה"ס, טרם חורבנו של המקדש השומרוני בהר גריזים, בשנת 111 לפני הספירה.
הנוסח השומרוני כולל אך ורק את כתיב האותיות ללא ניקוד שיטתי.
את הנוסח מלווה מסורת קריאה שמועברת בעל מפה מדור לדור בקפידה רבה.
מסורת זו היא הדרך היחידה להכרתה של הגיית השומרונים, הנחשבת חטיבה בפני עצמה בכלל המסורות של עדות ישראל.
זאב בן חיים חקר את קריאת השומרונים בתורה וניתח אותה מבחינה פונולוגית ומורפולוגית.
הוא ערך את מחקרו בזיקה לתורת מדקדקי השומרונים בימי הביניים, וממחקרו עלה כי מסורת הקריאה בתורה בפי השומרונים בימינו מתמשכת מדורות קדמונים.
כמו כן ההבדלים בין שתי מסורות הקריאה מתועדים במהדורה של אברהם טל ומשה פלורנטין לנוסח השומרונים לתורה.
נוסח השומרונים לתורה תורגם לארמית ולערבית.
התרגום הארמי השומרוני לתורה הוא תרגום מילולי בדומה לתרגום אונקלוס.
לתרגום זה חדרו מילים יווניות המעידות שהתרגום נערך במאות ה-4-1, בתקופה שבה הייתה השפעה חזקה של היוונית על הארמית.
נוסח השומרונים לתורה תורגם לערבית על ידי אב-חסדה (אבו אל-חסן) הצורי במאה ה-11. במשך הזמן נספגו לתרגום פירושים מתרגומו של רבי סעדיה גאון, הסותרים לא פעם את הפרשנות השומרונית.
במאה ה-13 ערך אבו סעיד בן אבי אל-חוסיין את התרגום והסיר כל השתמעות שעשויה לסתור את הנוסח השומרוני.
התרגום בעריכתו של אבו סעיד יצא לאור בשלמותו עם פרסום מהדורותיו של חסיב שחאדה ב-1990 וב-2002.
התייחסות לנוסח שומרון ביהדות ובנצרות
החומש השומרוני היה ידוע בייחוד נוסחאותיו גם ליהודים וגם לנוצרים עוד בתקופה עתיקה.
חז"ל כינו את השומרונים "כותים" (מתוך הנחה שאין מוצאם מעם ישראל, אלא מן האנשים שהובאו לשומרון על ידי האשורים במאה ה-8 לפנה"ס) והציגו את ההבדלים בנוסח התורה שלהם כזיופים.
בימי הביניים התייחס רבי אברהם אבן עזרא בן המאה ה-12 אל השומרונים כאל עובדי עבודה זרה הכופרים בשם ה'.
גם בנצרות ישנם אזכורים להבדלים בין הנוסח השומרוני לבין נוסח המסורה.
אולם בנצרות מוצג נוסח השומרונים בדרך כלל, בניגוד לחז"ל, כעדיף מנוסח המסורה.
כך אוריגנס, אבי הכנסייה הנוצרית, בעל ההקספלה, בן המאה השנייה לספירה, מביא מספר גרסאות בנוסח השומרונים, שאינן מופיעות בנוסח המסורה.
כן מזכירים את נוסח השומרונים הירונימוס, מתרגם הוולגטה, בן המאה הרביעית לספירה, וגם אבות כנסייה אחרים.
נוסח תפילה הוא מכלול הטקסטים של התפילה והמנהגים הנלווים אליהם.
החל מזמן אנשי כנסת הגדולה ועד לעת החדשה התפתחו ביהדות עשרות נוסחי תפילה.
נוסח התפילה בו מתפלל אדם מסמל בדרך כלל את שייכותו לקהילה מסוימת בה מונהג אותו נוסח.
התפילה היא מצווה מרכזית ביהדות, אך מדאורייתא לא נקבע נוסח לתפילה.
במשנה ובתלמוד הוזכרו לראשונה נוסחי תפילות, שסודרו מאוחר יותר עם תוספות שונות כנוסח קבוע ומחייב בסידור התפילה.
המונח "נוסח התפילה" מתייחס בעיקר לטקסט התפילה, אך גם לסדר הטקסטים, הניגון, והפעולות הנלוות.
החוקרים חלוקים בשאלה האם אי פעם היה נוסח אחיד לתפילה.
לדעת יוסף היינימן מעולם לא נקבע נוסח תפילה אחיד ומחייב, והנוסחים הקיימים התפתחו בהדרגה ובאופן ספונטני.
עזרא פליישר נחלק עליו וטען כי לא מסתבר לחייב כל יחיד ויחיד להתפלל מבלי להציע לו נוסח.
לדעתו, כאשר נקבעה התפילה לחובה יומית סדירה, נקבע גם נוסח בסיסי לתפילת העמידה, וכל הנוסחים הקיימים התפתחו ממנו ועל בסיסו.
מכל מקום, כבר בתקופות קדומות, התפצלו נוסחי התפילה לשני ענפי נוסח מרכזיים: נוסח ארץ ישראל ונוסח בבל, ואולי בין קהילות אחרות.
נוסחי התפילה המקובלים בקהילות ישראל השונות מבוססים על נוסח בבל כפי שהתגבש הסידור החל מתקופת הגאונים.
רב נטרונאי גאון סידר 'סדר מאה ברכות' שחייב כל אדם לברך בכל יום.
הסידור הראשון שהגיע לידינו הוא סידורו של רב עמרם גאון, שנערך ככל הנראה לבקשתה של קהילת ברצלונה בירת קטלוניה, ואחריו ערך גם רב סעדיה גאון סידור תפילה משלו.
נראה שקדם לסידורים אלה סידור הגאונים הקדום.
עם הופעתם של הסידורים הראשונים במאות ה-9 וה-10 התגבשו 15 נוסחים העיקריים שאפשר לקרותם 'אבות נוסח':
ארבעה נוסחי תפילה שסודרו על ידי חכמים שונים 1) רב עמרם גאון; 2) רב סעדיה גאון; 3) סידור רשב"ן; 4) רמב"ם;
מתוך 15 הנוסחים ה'יסודיים' הללו יוצאים ענפים ותרכובות שלהם שאפשר לכנות 'נוסחים מורכבים': נוסח צרפת; נוסח החסידים; נוסח כפא; נוסח קטלוניה; ועוד.
נוסף על כך, התפתחו נוסחים שונים בעקבות פסקי ההלכה של הפוסקים המקומיים, חילופי גרסאות, פיוטים ותוספות שהונהגו בקהילות מסוימות, ועוד.
בתקופה יותר מאוחרת, החסידים אמצו את נוסח ספרד בגלל שיקולים קבליים, והיו משכילים ומדקדקים ששנו נוסחאות מעצמם מפני סיבות דקדוקיות (אך קשה לקרוא לשינויים אלו נוסחאות בפני עצמם).
בעת החדשה נוצרו מספר נוסחים נוספים, כדוגמת הנוסחים הלא אורתודוקסיים שנוצרו בעקבות זרמים חדשים שנוסדו כגון הרפורמי והקונסרבטיבי.
בשנים האחרונות, על רקע קיבוץ הגלויות במדינת ישראל, נעשתה נפוצה מציאות של משפחות וקהילות הכוללות מתכנסים בני עדות שונות הרגילים לנוסחי תפילה שונים.
בשל כך, נעשו יוזמות שונות המבקשות ליצור נוסח אחיד או לשלב בין נוסחים שונים.
בספרות ההלכה דנו הפוסקים האם מותר לאדם לשנות מהנוסח בו התפללו אבותיו, יש שאסרו, משום "אל תטוש תורת אמך", אך יש שכתבו שאיסור "בל תטוש" לא שייך "אלא בדבר שיש בו נדנוד איסור".
בספרות הקבלה מוסבר כי ישנם 12 חלונות ברקיע כנגד 12 השבטים וכל נוסח של כל שבט עולה דרך החלון המיוחד לו, ולכן כל אחד צריך להתפלל בנוסח שבו התפללו אבותיו.
יש שהוסיפו כי נוסח הספרדים עולה בכל אחד מ-12 החלונות.
נוסח קטלוניה (קטלוניא, בספרות הרבנית ובכתבי־היד) הוא נוסח תפילה שבו התפללו בתקופת ימי הביניים יהודי קטלוניה, ולנסיה ומיורקה.
לאחר גזרות קנ"א (1391) והגירוש בשנת רנ"ב (1492), המגורשים שמרו על מנהגם ועל נוסח התפילה שלהם באיטליה, באימפריה העות'מאנית, בצפון אפריקה ובארץ ישראל עד המאה העשרים, לכל הפחות בימים הנוראים.
בשל הפסקת השימוש בו בראשית תקופת הדפוס, נוסח קטלוניה לא נדפס מעולם (מלבד מחזורים לימים נוראים), והוא מופיע בכתבי יד בלבד.
בשנת תשע"ט, הוציא לאור עידן פרץ, "סידור כמנהג ק"ק קטלוניא", סידור תפילה המבוסס על שישה כתבי יד, ומשחזר את נוסח קטלוניה הקדמון.
הסידור כולל תפילות לכל השנה וגם הלכות, מנהגים והנהגות שלוקטו על ידי אחד מתלמידי רבי יונה גירונדי בבית מדרשו בברצלונה.
קטלוניה הייתה שונה משאר הממלכות הנוצריות בספרד מבחינה פוליטית, תרבותית ולשונית.
הבדל זה השפיע גם על מנהגי היהודים ועל נוסח התפילה.
קטלוניה הייתה קרובה לפרובאנס בצפון ולספרד בדרום, והיהודים הושפעו משני המרכזים הללו.
יהדות קטלוניה פיתחה מאפיינים ייחודיים, שכללו מסורת פסיקת הלכה, מנהגים ונוסח תפילה.
למרות זאת היום נוהגים לכלול את יהדות קטלוניה כחלק מיהדות ספרד.
המקורות לתולדות מנהגי יהדות קטלוניה
ישנם מספר מקורות המתארים מנהגים שנהגו ביהדות קטלוניה, ביניהם:
ספר אורחות חיים שחיבר רבי אהרון הכהן מלוניל.
ספר זה הוא ספר הלכתי בעיקרו, אך הוא מכיל מנהגים רבים של יהודי פרובאנס וגם של יהודי קטלוניה.
ספר מגן אבות לרבי מנחם המאירי.
הספר נכתב בעקבות מחלוקת עם תלמידי הרמב"ן שרצו להנהיג בפרובאנס את מנהג קטלוניה, והמאירי ביקש להגן על מנהג המקום.
ספרות השו"ת של חכמי קטלוניה, בעיקר שו"ת הרשב"א, הריב"ש ותשב"ץ.
מדברי רבי מנחם המאירי בספר מגן אבות אפשר ללמוד שבתקופה קדומה (המאה ה-10 והמאה ה-11) בקטלוניה נהגו ברוב הדברים כמו בספרד ובמאה ה-12 הייתה התקרבות לפרובאנס.
כבר במאה ה-13 יש לנו סידורי תפילה בכתבי־יד שמעידים על מנהגים ונוסח תפילה בפני עצמו, שמכונה על ידי החכמים נוסח קטלוניה.
המנהג להוציא מי שאינו בקי ומתחיל החזן בבית הכנסת ומברך על נטילת ידיים וסדר ברכות השחר.
נהגו לומר "התכבדו מכובדים וכו" טרם כניסה לבית הכיסא, כדין התלמוד.
נוסח ברכת התורה הוא "לעסוק בדברי תורה" כמו נוסח צרפת ואשכנז.
אחרי ברכת התורה אומרים 'פרשת צו' ורק לאחר מכן ברכת כהנים.
המנהג בספרד ובצרפת היה הפוך לומר אחר ברכת התורה 'ברכת כהנים' ואילו פרשת צו בתוך הקורבנות.
לבישת טלית והנחת תפילין אחרי הקורבנות, לאחר שלוש עשרה מידות של ר' ישמעאל (בדומה לקצת קהילות אשכנז המערבי).
לפני 'הודו' אומרים הפסוק 'ברכי נפשי'.
לפני 'ברוך שאמר' ביום חול ובשבת אומרים הפיוט 'האדרת והאמונה'.
אחרי 'שירת הים', לפני 'ישתבח' ביום חול ולפני 'נשמת' בשבת, אומרים הפיוט 'כל ברואי מעלה ומטה' לרבי שלמה אבן גבירול, כמו במנהג איטליה.
ב'ברכו' בשעה שהחזן אומר "ברכו את ה' המבורך" הקהל אומר בלחש "ברכי נפשי את ה' וכל קרבי את שם קדשו יתברך וישתבח ויתפאר ויתרומם ויתנשא ויתעלה ויתהלל שמו של מלך מלכי המלכים הקב"ה שהוא ראשון והוא אחרון ומבלעדיו אין אלהים.
ה' אלהי גדלת מאד הוד והדר לבשת, ברוך שם כבוד מלכותו לעולם ועד".
היחיד לא אומר 'קדושת יוצר' ו'קדושה דסידרא'.
ב'ברכת יוצר' של קריאת שמע לפני החתימה מופיע המשפט "והתקין מאורות לשמח עולם".
פסקה זו מצויה במקורות קדומים: סידור רע"ג, סידור רס"ג, מנהגי תפילה ארץ־ישראליים ובמחזורי רומניה, רומא ופרובאנס, וחסרה בנוסחי אשכנז וספרד בלבד.
ב'אמת ויציב' מופיע המשפט "מושך חסד ליודעיו וצדקתו לישרי לב" כמו בנוסח פרובאנס, ורומניה.
לפני החתימה מופיע המשפט "יחד כלם הודו והמליכו ענו ואמרו".
שליח צבור אינו אומר 'ה' שפתי תפתח' ולא לבסוף 'יהי לרצון אמרי פי' ולא פוסע שלש פסיעות לאחוריו.
אחרי קריאת התורה אומרים: 'אשרי', 'למנצח מזמור לדוד יענך', 'ובא לציון', 'ברוך הוא אלהינו שבראנו', 'צדקתך צדק לעולם', 'שיר מזמור לאסף', 'קדיש יהא שלמא', 'עוצו עצה ותפר', 'נפשנו חכתה לה' עזרנו ומגננו הוא', 'יהי ה' אלהינו עמנו', 'אין כאלהינו', 'פטום הקטורת', 'תנא דבי אליהו', 'קדיש על ישראל', 'עלינו לשבח'.
'עלינו לשבח' נהגו לומר רק החצי הראשון וכמנהג ספרד הישן.
אומרים 'שיר מזמור לאסף' בשחרית ובערבית.
בברכה שלישית אומרים "לדור ודור אתה קדוש וּשְׁמָךְ קדוש וקדושים בכל יום יהללוך סלה.
ברוך אתה ה' האל הקדוש".
נוסח זה ייחודי לנוסח קטלוניה (בפרובאנס נאמר נוסח זה רק בתפילות הימים הנוראים).
ב'חונן הדעת' הנוסח הוא 'דעה ובינה והשכל', כמו רוב הנוסחים הישנים.
כבכל הנוסחים הישנים, מוסיפים בתענית ציבור ב'סלח לנו' סליחות.
ב'ברכת רפאנו' אומרים "והעלה רפואה שלמה לכל מכותינו ולכל מכאובינו ולכל תחלואינו כי אל רופא רחמן ונאמן אתה".
ב'ברכת השנים' אומרים 'ברך עלינו' המורחב גם בקיץ.
ב'ברכת המשפט' אומרים 'וצדקנו במשפט', כמו באשכנז ובפרובאנס.
מאחר שמדובר בנוסח מימי הביניים, 'ברכת המינים' מופיעה בנוסח שקודם לשינויי הצנזורה: 'למשומדים אל תהי תקוה וכל המינין והמלשינים והמסורות כלם כרגע יאבדו וכל אויבי עמך ישראל מהרה יכרתו ומלכות זדון מהרה תעקר ותשבר ותמגר ותכריע ותכניע ותשפיל ותפיל את כל אויבינו ותכלם במהרה בימינו.
ברוך אתה ה' שובר אויבים ומכניע זדים".
בברכת 'על הצדיקים' אומרים "על הצדיקים ועל החסידים ועל גרי הצדק ועל פליטת עמך בית ישראל ועלינו".
ב'ברכת שומע תפילה' אומרים "אב הרחמן ה' אלוהינו שמע קולנו חוס ורחם עלינו וקבל ברחמים וברצון את תפילתינו כי אל שומע תפילות ותחנונים אתה ומלפניך מלכנו ריקם אל תשיבנו (בתענית היחיד אומר פה עננו) ועננו אבינו כי אתה שומע תפלת עמך ישראל ותחנונים אתה ברחמים", וקרוב לזה בנוסח פרובאנס.
ב'רצה' אומרים "ואתה ברחמיך הרבים תחפוץ בנו ותרצנו ותחזינה עינינו בשובך לציון ולירושלם עירך ברחמים [תשוב] כמאז", בדומה קצת לנוסח פרובאנס.
לפני ברכת כהנים אומרים "האמורה מפי אהרן ובניו הכהנים לְעַם קָדְשֶׁךָ".
הכוהנים מברכים את הברכה שלפני 'יברכך' בלחש.
אחרי 'אלוהי נצור' אומרים 'שלום בשמאלי ושלום בימיני עושה שלום במרומיו הוא ברחמיו יעשה שלום עלינו ועל כל ישראל: אמן".
נוסח הקדושה הוא: "נקדש את שְּׁמָךְ בעולם כשם שמקדישין אותו בשמי מרום", בדומה לנוסח אשכנז ולנוסח הספרדים בתשעה באב.
אומרים קדושה רבה (הנוסח: "כתר יתנו לך ה' אלהינו") במוסף של שבת ויום טוב, וביום הכיפורים במוסף ובנעילה.
אבל בחול ובתענית, בראש חודש ובחול המועד לא אומרים קדושה רבה.
אחרי תפילת שמונה עשרה אומרים תחינה ונפילת אפים.
נוסח התחינות הוא ייחודי למנהג קטלוניה.
בשני וחמישי סדר התחינות שונה ואומרים שלוש עשרה מדות.
אחרי כן יש סדר תחינות 'אחרות' שהן פיוטים של גדולי המשוררים רבי לוי אבן אלתבאן, רבי יהודה הלוי, רבי עזרא בן שלמה, רבי זרחיה הלוי ג'ירונדי ועוד אחרים לא מזוהים.
יש תחינות מיוחדות לעשרה בטבת, תענית אסתר, י"ז בתמוז ותשעה באב.
אחרי 'והוא רחום' הקהל עונה "כי אל רחום ה' אלוהיך לא ירפך ולא ישחיתך ולא ישכח את ברית אבתיך אשר נשבע להם".
בברכת 'המעריב ערבים' נוסח המשפט הסמוך לחתימה הוא "ה' חי וקיים לעולם ועד".
ב'אמת ואמונה' אחרי המשפט "האל הנפרע לנו וכו'" מופיע המשפט "העושה גדולות עד אין חקר ונפלאות עד אין מספר", בדומה לנוסח אשכנז.
ב'אמת ואמונה' לפני הפסוק "ה' ימלוך לעולם ועד" מופיע המשפט "מלכותך ה' אלוהינו ראו בניך בוקע ים לפני משה זה אלי הודו והמליכו ענו ואמרו".
אחרי 'השכיבנו' אומרים פסוקים שבהם יש שמונה עשר הזכרות ואחר כך אומרים 'יראו עינינו'.
'במה מדליקין' נאמר אחר ערבית ולא לפניה (כמו בנוסח אשכנז ואיטליה הישן).
ב'נשמת כל חי' בין המשפט "עד הנה עזרונו רחמיך...
ולא עזבונו חסדיך" ובין "על כן איברים שפלגת בנו" מופיע המשפט "אל תטשנו ה' אלהינו ואל תשכחנו לנצח", כמו בפרובאנס ואשכנז.
ב'ברכת יוצר' המטבע הוא "לאל אשר שבת מכל המעשים ביום השביעי נתעלה וישב על כיסא כבודו תפארת עטה ליום המנוחה עונג קרא ליום השבת זה שיר שבח של יום השביעי שבו שבת אל מכל מלאכתו וביום השביעי משבח ואומר מזמור שיר ליום השבת", כעין הספרדים.
אחרי זה ממשיך: "לפיכך יפארו ויברכו לאל כל יצוריו שבח וגדולה יתנו לאל מלך יוצר כל ומנחיל מנוחה לעמו ישראל ביום שבת קדש שמך ה' אלוהינו יתקדש זכרך מלכנו יתפאר בשמים ממעל ועל הארץ מתחת ועל כל שבח מעשה ידיך ועל מאורי אור שעשית הם יפארוך סלה".
אחרי קריאת התורה אומרים 'קדיש קצר' ואחר כך 'תהילה לדוד' ומוסף וכנהוג.
במוסף אומרים 'תקנת שבת' ולא 'למשה צווית' כמנהג ספרד הישן.
בקטלוניה המנהג היה לקרוא מסכת אבות בין פסח לשבועות, פרק אחד בכל שבת אחרי מנחה, ומכיוון שיש שש שבתות סידרו חכמים פרק שישי מברייתות וקוראים אותו בשבת השישית, וקראו לפרק זה 'קניין תורה'.
מקור המנהג הוא בבלי, בתשובות הגאונים נמסר בשם רב שלום גאון מסורא: "שמנהג בית רבינו שבבל שאחר תפילת המנחה בשבת שונין אבות וקניין תורה".
אחרי תפילת שמונה עשרה אומרים 'קדיש קצר', 'ויהי נועם', 'יושב בסתר עליון', 'ואתה קדוש', 'קדיש תתקבל', 'הבדלה', 'ויתן לך האלהים מטל השמים', 'אין כאלהינו', 'פטום הקטרת', 'קדיש על ישראל', 'עלינו לשבח' ו'קדיש קצר'.
כשאומרים הבדלה בבית, לפני הברכות קיים נוסח ייחודי: "בשמחה נועדנו בבית הזה בברכה טובה והצלחה מרובה וכו'", כשאומרים הבדלה בבית הכנסת מדלגים על זה.
במוסף של ראש חודש, לפני החתימה המטבע הוא "ויהיה ראש החדש הזה קץ וסוף לכל צרותינו תחילה וראש לכל רווחותינו ולפדיון נפשנו כי בישראל עמך בחרת מכל האומות וחוקי ראשי חדשים להם קבעת".
במוסף לראש חדש אומרים 'קדושה' רגילה, כמנהג אשכנז ועוד.
במוסף לשבת ראש חדש אומרים 'קדושה רבה' כמו בכל שבת.
בשבת זכור אומרים הפיוט 'מי כמוך ואין כמוך' לרבי יהודה הלוי, וכנהוג גם אצל הספרדים עד היום.
אחרי הברכה שלאחר קריאת המגילה אומרים הפיוט 'קוראי מגילה' לרבי אברהם אבן עזרא.
בערבית 'ערב פסח' (ליל הסדר) אומרים בתפילת ערבית פיוט מערבית המתחיל "ליל שמורים אותו אל חצה" כמנהג פרובאנס ואשכנז, וכמנהג איטליה הישן.
לא אומרים הלל בבית הכנסת בערב פסח (כמנהג אשכנז המקורי) ומברכים על ההלל שבתוך ההגדה (כמו שמופיע בהרבה הגדות מימי הביניים, אך לא נהוג בשום קהילה היום).
בחג השבועות אומרים אזהרות לרשב"ג, ביום הראשון אומרים את הפיוט 'שולמית שחרחורת' (רשות לאזהרות לרשב"ג) ואומרים את הפיוט 'שמור לבי מענה' (מצוות עשה).
ביום השני אומרים את הפיוט 'אמת עלי לספר מאמרות' (רשות לאזהרות, מיוחס לרס"ג) ואומרים את הפיוט 'בצל שדי אחסה' (מצוות לא תעשה).
בסוף האזהרות אומרים את הפיוט 'יום יצאה כלת עדנים' לרבי זרחיה הלוי.
לסוכות ויום ערבה (הושענה רבה) אומרים נוסח 'הושענות קטלאניש' (הושענות ייחודיות לנוסח קטלוניה).
פיוטי ההושענות הם בעיקר של רס"ג ורבי יוסף בן אביתור, לצד פיוטים של פייטנים נוספים.
אחרי קריאת התורה במנחה של תענית צבור לא נהגו לומר קדיש.
אחרי הזימון עונים: "ברוך שאכלנו משלו ובטובו חיינו ברוך משביע רעבים ברוך משקה צמאים", והמזמן אומר: "ברוך הוא וברוך שמו ברוכה מתנתו לעד ולנצח".
בברכת הארץ אומרים "על ארצנו ועל נחלתנו נודה לך וכו'".
בבונה ירושלים מופיעים המשפטים "מפני שמתנתם מעוטה וחרפתם מרובה", "ויבוא אליהו הנביא ומשיח בן דוד עבדך במהרה בימינו ויביאו לנו שמועה טובה מארץ מרחק".
אחרי החתימה עונים: "אמן בחיינו אמן במהרה בימינו תבנה עיר ציון ותיכון העבודה בירושלים"', ונזכר מנהג זה בתשובות רב נטרונאי גאון, ובדומה לנוסח איטליה עד היום.
בשבת במקום ברכת 'בונה ירושלים' אומרים 'נחמנו' ו'רצה והחליצנו', החתימה היא: "ברוך אתה ה' מנחם עמו ישראל בבנין ירושלים", ועונים: "אמן בחיינו", וכמנהג הישן של רוב קהילות ישראל ולדעת הרבה ראשונים הוא דין התלמוד בברכות מח ע"ב.
קיים נוסח ייחודי של ברכת המזון קצרה ליחיד בדרך.
נוסח צפון אפריקה הוא נוסח התפילה הקדום שנהג בקרב יהדות צפון אפריקה בימי הביניים.
על פי מחקריו של אהרן גבאי, התקיימו בצפון אפריקה הקדומה שני נוסחי תפילה: נוסח אחד נהג בלוב, באלג'יר ובג'רבה, ונוסח שני נהג במרוקו.
בעקבות גלי ההגירה של יהודי ספרד לצפון אפריקה לאחר גזירות קנ"א, וביותר לאחר הגעת מגורשי ספרד החל מ-1492, השליטו המהגרים בארצותיהם החדשות את נוסח הספרדים, ובסופו של דבר העלימו לחלוטין את נוסחי צפון אפריקה הקדומים, מלבד שרידים ספורים.
לא נותר תיעוד מספיק של נוסח התפילה בארצות צפון אפריקה קודם השתלטות נוסח הספרדים, והמחקר מתבסס על שרידים בלבד.
בעבר, סברו שמוצאו של רבי שלמה בן נתן מסג'למאסה ומשכך נוסח סידורו משקף נוסח תפילה צפון-אפריקאי, אך כיום הוכח שמדובר בזיהוי מוטעה בין אישים שונים, וסידור רבי שלמה בן נתן הוא נוסח מזרחי, המשלב בין נוסח סידור רב סעדיה גאון לנוסח ארם צובא, ונכתב בארצות המזרח, כנראה בסוריה.
מקור חשוב שמתעד את נוסח צפון אפריקה לפני גירוש ספרד הוא סידור "אהבת הקדמונים", אשר הוציא הרב רפאל אהרן בן שמעון בשנת ה'תרמ"ט (1889) על פי כתב יד שמצא ביד חזן קהילת התושבים בשם רבי שלמה הכהן, אשר לפיו התפללו בזמנו בקהילת התושבים בפאס.
הרב בן שמעון לא הדפיס בו את הסידור בשלימותו אלא העתיק את הפיוטים ושם דגש על סדרי התפילה ומנהגיה.
בנוסף, ד"ר שלמה אלקיים הוציא לאור את הספר "סדר פסח" ובו הוא הדפיס, מתוך כתב יד ליידן שבו השתמר נוסח התפילות של פאס לכל השנה, את סדר התפילות לפסח עם ההגדה של פסח, בתוספת מבוא.
התפשטות נוסח הספרדים בצפון אפריקה
עם גלי ההגירה של יהודי ספרד החל מ-1391 לאחר גזירות קנ"א, וביתר שאת לאחר גירוש ספרד ב-1492, הגיעו לצפון אפריקה יהודים רבים, שמרו מגורשי ספרד שהגיעו לצפון אפריקה שמרו על מנהגיהם ועד דרכי פסיקתם, כמו גם על תפילה בנוסח הספרדים.
בתחילה הביא לידי מחלוקת, אך בסופו של דבר, מגורשי ספרד "נצחו", ותושבי צפון אפריקה אמצו את דרך הפסיקה של הספרדים ואת נוסח הספרדים, למעט מקרה אחד יוצא דופן והוא קהילת התושבים בפאס שבמרוקו, שבבית הכנסת שלה צלאת אל פאסיין שמרה באדיקות על מנהגי התפילה ועל נוסחאותיה.
נוסחת אוילר־מקלורן היא נוסחה, שמחשבת את ההפרש בין אינטגרל מסוים והטור שקשור אליו.
ניתן להשתמש בה כדי לתת קירוב לאינטגרלים מסוימים על ידי סכומים סופיים, או להפך להעריך סכומים סופיים וסדרות אינסופיות באמצעות אינטגרלים ומכונות החשבון.
לדוגמה, הרחבות אסימפטומטיות רבות נגזרות מהנוסחה, והנוסחה של ברנולי לסכום חזקות של מספרים עוקבים היא תוצאה מיידית.
הנוסחה התגלתה באופן עצמאי על ידי לאונהרד אוילר וקולין מקלורן בסביבות 1735. אוילר נזקק לזה כדי לחשב סדרות אינסופיות המתכנסות באטיות, בעוד שמקלורן השתמש בה לחישוב אינטגרלים.
מאוחר יותר הנוסחה הוכללה לנוסחה של דרבוקס מכיוון ששניהם לא הצליחו לבטא את שארית השגיאה.
אינטגרל מסוים מחשב את השטח שמתחת לגרף של פונקציה כאשר היא פונקציה אינטגרבלית.
בשביל לקבל קירוב לשטח נחלק את השטח למלבנים קטנים שפאה אחת של כל מלבן תהיה תת־קטע של הקטע [a,b] והפאה האנכית לה תהיה הערך של הפונקציה באחד הערכים שנמצאים בתת־הקטע שבחרנו.
ניקח כל מלבן שיצרנו נחשב את שטחו שזה פשוט אורך כפול רוחב ונסכום את השטחים.
בעזרת השיטה הזאת שנקראת סכומי דארבו אפשר להגדיר אינטגרל מסוים (להרחבה אינטגרל מסוים) אנחנו נתמקד רק בקירוב שיצרנו ובמקרה בו a וb הם שלמים.
במקרה הזה נבחר לחלק את הקטע [a,b] לתת קטעים כאשר לכל , [x,x+1] הוא תת־קטע שלנו.
אם נבחר את x להיות הערך עבורו נחשב את גובה המלבן אז יצא לנו שסכום דארבו שקיבלנו יהיה הסכום הבא: ואם נבחר בכל מלבן דווקא את הערך ב־x+1 נקבל את הסכום הבא: .
אם m,n הם מספרים טבעיים ו־ היא פונקציה ממשית או מורכבת רציפה לכל מספר ממשי הגדול מ־m וקטן מ־n אז האינטגרל:
יכול להיות מקורב לפי הטור (או הטור לפי האינטגרל): נוסחת אוילר־מקלורן נותנת בצורה מפורשת את ההפרש בין הטור S לאינטגרל בעזרת הנגזרות של .
משמעות הנוסחה היא, שעבור מספר שלם חיובי ופונקציה הניתנת לגזירה ברציפות פעמים בקטע , מתקיים:
כאשר הוא מספר ברנולי ה־k (כאשר ) היא הנגזרת מסדר k-1 של ו־ הוא שארית השגיאה והוא תלוי ב־n,p,m.
מפני שמספרי ברנולי במקומות האי זוגיים שווים ל־0 (חוץ מ־) אפשר לרשום את הנוסחה גם בצורות הבאות:
כאשר ו־ הוא פולינום ברנולי.
באנליזה נומרית, הנוסחאות של ניוטון-קוטס, הנקראות גם כללי הריבוע של ניוטון-קוטס או פשוט כללי ניוטון-קוטס, הן קבוצה של נוסחאות לאינטגרציה נומרית (נקראת גם ריבוע) המבוססת על הערכת האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה.
הם נקראים על שם אייזק ניוטון ורוג'ר קוטס.
נוסחאות ניוטון-קוטס יכולות להיות שימושיות אם ניתן הערך של האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה.
אם אפשר לשנות את הנקודות שבהן מוערך האינטגרנד, אז כנראה ששיטות אחרות כמו תרבוע גאוס ותרבוע קלנשו-קרטיס מתאימות יותר.
ההנחה היא שערך הפונקציה המוגדרת ב ידוע ב נקודות שוות מרחק: .
ישנן שתי מחלקות של ריבוע ניוטון-קוטס: הן נקראות "סגורות" כאשר ו , כלומר הן משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה של המרווחים, ו"פתוחות" כאשר ו , כלומר הן לא משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה.
שימוש בנוסחאות ניוטון-קוטס באמצעות נקודות ניתן להגדרה (עבור שתי המחלקות) כ- כאשר
עבור נוסחה סגורה, , עם ,
עבור נוסחה פתוחה, , עם .
המספר נקרא גודל צעד, נקראות משקולות .
ניתן לחשב את המשקולות כאינטגרל של פולינומי לגרנז' בסיסיים.
הם תלויים רק ב ולא על הפונקציה .
יהי פולינום האינטרפולציה בצורת לגראנז' עבור הנקודות , אזי
ניתן לבנות נוסחת ניוטון-קוטס בכל דרגה .
עם זאת, עבור גדול כלל ניוטון-קוטס יכול לפעמים לסבול מתופעת רונגה שבה השגיאה גדלה באופן אקספוננציאלי עבור גדול.
שיטות כמו נצב גאוס וניצב קלנשאו-קרטיס עם נקודות מרווחות באופן לא שווה (מקובצות בנקודות הקצה של מרווח האינטגרציה) הן יציבות ומדויקות הרבה יותר, ובדרך כלל הן מועדפות על ניוטון-קוטס.
אם לא ניתן להשתמש בשיטות אלו, מכיוון שהאינטגרנד ניתן רק ברשת הניתנת בחלוקה שווה, אז ניתן להימנע מהתופעה של Runge באמצעות כלל מורכב, כפי שיוסבר להלן.
לחלופין, ניתן לבנות נוסחאות ניוטון-קוטס יציבות באמצעות קירוב ריבועים קטנים במקום אינטרפולציה.
כך ניתן לבנות נוסחאות יציבות מבחינה נומרית גם לדרגות גבוהות.
טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הסגור.
+נוסחאות ניוטון-קוטס סגורות גודל צעד שם נפוץ נוּסחָה מונח שגיאה 1 שיטת הטרפז 2 שיטת סימפסון 3 4 שיטת בול
שיטת בול מכונה לעיתים שיטת בוד, כתוצאה מהפצת טעות דפוס ב־Abramowitz and Stegun, ספר עיון מוקדם.
המעריך של גודל הצעד h ברכיב השגיאה מגדיר את הקצב שבו יורדת שגיאת הקירוב.
סדר הנגזרת של f ברכיב השגיאה מגדיר את הדרגה הנמוכה ביותר של פולינום שלא ניתן עוד לשלב במדויק (כלומר בשגיאה שווה לאפס) עם הכלל הזה.
את המספר יש לקחת מהקטע (a, b ), לפיכך תחום השגיאה שווה לרכיב השגיאה כאשר .
טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הפתוח.
+פתח את נוסחאות ניוטון-קוטס גודל צעד שם נפוץ נוּסחָה מונח שגיאה 0 כלל מלבן, או כלל נקודת האמצע 1 2 כלל מילן 3
כדי שחוקי ניוטון-קוטס יהיו מדויקים, גודל הצעד צריך להיות קטן, מה שאומר שמרווח האינטגרציה חייב להיות קטן בעצמו, וזה לא נכון רוב הזמן.
מסיבה זו, בדרך כלל מבצעים אינטגרציה נומרית על ידי פיצול לתת-מרווחים קטנים יותר, החלת כלל ניוטון-קוטס על כל תת-מרווח, וחיבור התוצאות.
זה נקרא כלל מורכב .
במתמטיקה ובמכניקה, נוסחת אוילר – רודריגס מתארת סיבוב של וקטור במרחב תלת־ממדי.
הוא מבוסס על נוסחת הסיבוב של רודריגס, אך משתמש בפרמטריזציה אחרת.
הסיבוב מתואר על ידי ארבעה פרמטרי אוילר שיצר לאונרד אוילר .
נוסחת הסיבוב של רודריגס (על שם אולינדה רודריגס), היא שיטה לחישוב המיקום של נקודה המסתובבת, השיטה משומשת ביישומי תוכנה מסוימים, כגון סימולטורים של טיסה ומשחקי מחשב .
סיבוב סביב המקור מיוצג על ידי ארבעה מספרים ממשיים, , , , כך ש-
כאשר הסיבוב מוחל, נקודה במיקום מסתובבת למיקומה החדש,
ניתן לקרוא לפרמטר פרמטר סקלרי ול- הפרמטר הווקטורי .
בסימון הווקטור הסטנדרטי, נוסחת הסיבוב של רודריגס לובשת את הצורה הקומפקטית.
הפרמטרים ו- מתארים את אותו סיבוב.
מלבד סימטריה זו, כל קבוצה שונה של ארבעה פרמטרים מתארת סיבוב ייחודי במרחב התלת־ממדי.
ההרכב של שני סיבובים הוא עצמו סיבוב.
יהי ו- שני סיבובים המורכבים מהפרמטרים של אוילר.
הפרמטרים של סיבוב ההרכבה (סיבוב 2 לאחר סיבוב 1) הם כדלקמן:
זה פשוט, אם כי מייגע, לבדוק ש- .
(זו בעצם זהות ארבעת הריבועים של אוילר .)
כל סיבוב מרכזי בתלת מימד נקבע באופן ייחודי על ידי ציר הסיבוב שלו (מיוצג על ידי וקטור יחידה ) וזווית הסיבוב .
הפרמטרים של אוילר עבור סיבוב זה מחושבים באופן הבא:
שימו לב שאם גדל בסיבוב מלא של 360 מעלות, הטיעונים של סינוס וקוסינוס גדלים רק ב-180 מעלות.
הפרמטרים המתקבלים הם הפוכים מהערכים המקוריים, ; ולכן הם מייצגים את אותו סיבוב.
בפרט, טרנספורמציה של הזהות (סיבוב אפס, ) תואמת לערכי פרמטר .
סיבובים של 180 מעלות סביב כל ציר מביאים ל- .