tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
קבוצת המספרים השלמים מהווה תת-קבוצה של קבוצת המספרים הרציונליים שמהווה בעצמה תת-קבוצה של קבוצת המספרים הממשיים שהיא תת-קבוצה של קבוצת המספרים המרוכבים .
המספרים השלמים, עם פעולות החיבור והכפל, מהווים את חוג המספרים השלמים.
מבחינות רבות, המושג חוג הוא הפשטה אלגברית של המספרים השלמים.
בתורת המספרים האלגברית מתייחסים לעיתים למספרים שלמים כאל שלמים רציונליים כדי לבדל אותם מסוגי שלמים אחרים במתמטיקה כגון שלמים אלגבריים, שלמים של גאוס או שלמים של אייזנשטיין.
קבוצת המספרים השלמים מסומנת בדרך כלל ב- או ב- (האות Z מגיעה מהמילה הגרמנית zahlen שמשמעותה "מספרים"), ולפעמים מסומנת ב-.
תת-קבוצות מסוימות של מסומנות בסימון מיוחד:
קבוצת השלמים החיוביים מסומנת באחד מן הסימונים האלו: .
קבוצת השלמים האי-שליליים מסומנת ב-, ב-, ויש המשתמשים בסימון .
קבוצת השלמים השליליים מסומנת ב-.
לעיתים משתמשים בסימון או בסימון כדי לסמן את קבוצת השלמים שאינם אפס.
בנוסף, חוג השלמים ה-p-אדיים מסומן ב- וחבורה ציקלית מסדר מיוצגת על ידי הסימון .
פעולות חשבון בסיסיות במספרים שלמים
ניתן להרחיב את פעולת החיבור במספרים טבעיים למספרים שלמים באופן הבא:
חיבור של שני מספרים חיוביים שווה לפעולת החיבור הרגילה במספרים טבעיים.
חיבור של שני מספרים שליליים שווה לנגדי של חיבור הערכים המוחלטים של המספרים, .
חיבור של מספר חיובי ומספר שלילי שווה להפרש בין הערכים המוחלטים של המספרים וסימנו שווה לסימן המספר שהערך המוחלט שלו הוא הגדול מבין השניים, כאשר , ו- כאשר .
פעולת החיבור סגורה בתוך המספרים השלמים, כלומר חיבור של שני מספרים שלמים הוא גם מספר שלם.
ניתן להגדיר את הפעולה של חיסור מספר כחיבור של המספר הנגדי לו .
בשונה מהמספרים הטבעיים, פעולת החיסור סגורה אף היא במספרים השלמים, כלומר חיסור של שני מספרים שלמים הוא מספר שלם.
הטבלה הבאה מציגה את התכונות הבסיסיות של חיבור:
תכונה דוגמה סגירות הוא מספר שלם חילופיות אסוציאטיביות קיום איבר יחידה קיום איבר הופכי
פעולת הכפל במספרים טבעיים היא למעשה פעולת חיבור חוזרת: 2 כפול 3 הוא הסכום .
הרחבה של פעולת הכפל למספרים שלמים מתבצעת כך:
כפל מספר חיובי במספר חיובי היא פעולת הכפל הרגילה במספרים טבעיים.
כפל מספר שלילי במספר שלילי הוא מספר חיובי ששווה למכפלת הערכים המוחלטים של המספרים (כלומר משמיטים את סימן המינוס).
כפל מספר חיובי במספר שלילי הוא הנגדי של מכפלת הערכים המוחלטים של המספרים (כלומר אפשר להוציא את סימן המינוס מחוץ למכפלה).
הטבלה הבאה מציגה את התכונות הבסיסיות של הכפל:
תכונה דוגמה סגירות הוא מספר שלם חילופיות אסוציאטיביות קיום איבר יחידה חוק הפילוג ללא מחלקי אפס אם אז או (או שניהם)
במספרים שלמים, מחלק את אם קיים מספר טבעי כך שמתקיים .
כדי לציין ש- מחלק את משתמשים בסימון , וכדי לציין ש- לא מחלק את משתמשים בסימון .
פעולת החילוק אינה סגורה בקבוצת המספרים השלמים, משום שחילוק של 10 ב-3, למשל, נותן תוצאה שאינה מספר שלם.
בפעולת החזקה בצורתה הבסיסית, המעריך הוא מספר טבעי והיא מהווה קיצור של פעולת הכפל.
כלומר - בחזקת היא המכפלה של גורמים השווים כולם לבסיס : .
כדי להרחיב את פעולת החזקה למספרים שלמים יש לשמור על חוקי החזקות הבסיסיים ובפרט:
לכן נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל-1 תמיד וחזקה שלילית בתור ההופכי לחזקה החיובית הנגדית.
אולם, בשונה מהמספרים הטבעיים, המספרים השלמים אינם סגורים תחת פעולת החזקה (כיוון שתוצאת החזקה יכולה להיות שבר כאשר המעריך הוא מספר שלילי).
בדומה למספרים הטבעיים, המספרים השלמים סגורים תחת פעולות החיבור והכפל.
כלומר, חיבור של מספרים שלמים הוא מספר שלם וכפל של מספרים שלמים גם הוא מספר שלם.
אבל, בעקבות הקיום של אפס והמספרים השליליים המספרים השלמים סגורים גם תחת פעולת החיסור בשונה מהמספרים הטבעיים.
המספרים השלמים אינם סגורים תחת פעולת החילוק שכן רק ל- ו- קיים מספר הופכי שלם ביחס לכפל והמספרים ההופכיים של שאר המספרים השלמים הם שברים (חוץ מאפס שלו לא קיים מספר הופכי ביחס לכפל).
הטבלה הבאה מסכמת את התכונות של פעולות החיבור והכפל במספרים שלמים:
חיבור כפל סגירות הוא מספר שלם הוא מספר שלם אסוציאטיביות חילופיות קיום איבר יחידה קיום איבר הופכי האיברים ההפיכים היחידים הם ו- חוק הפילוג וגם ללא מחלקי אפס אם אז או (או שניהם)
במונחים של אלגברה מופשטת ניתן לומר שקבוצת המספרים השלמים יחד עם פעולת החיבור מהווים חבורה אבלית ציקלית, כיוון שכל מספר שונה מאפס ניתן לכתוב כסכום או כ-.
למעשה, קבוצת המספרים השלמים מהווה את החבורה הציקלית האינסופית היחידה – כל חבורה ציקלית אינסופית איזומורפית אליה.
מארבע התכונות הראשונות בטבלה למעלה נקבל שקבוצת המספרים השלמים עם פעולת הכפל מהווה מונואיד חילופי (אבלי), וכיוון שלא לכל מספר שלם קיים מספר הופכי שלם נקבל שהמספרים השלמים תחת פעולת הכפל אינם חבורה.
מצירוף כל התכונות שצוינו בטבלה (מלבד התכונה האחרונה) נקבל שקבוצת המספרים השלמים תחת פעולות החיבור והכפל מהווה חוג חילופי עם איבר יחידה – חוג המספרים השלמים.
מהתכונה שלא קיימים מחלקי אפס נקבל שחוג המספרים השלמים הוא תחום שלמות.
ומכך שלא קיימים איברים הפיכים ביחס לכפל – המספרים השלמים לא סגורים תחת חילוק, נקבל שחוג המספרים השלמים איננו שדה.
השדה הקטן ביותר שמכיל את המספרים השלמים כתת-חוג הוא שדה המספרים הרציונליים.
תהליך הבנייה של שדה המספרים הרציונליים מתוך חוג המספרים השלמים ניתן לחיקוי לכל תחום שלמות כדי ליצור את שדה השברים שלו.
ובכיוון ההפוך, משדה מספרים ניתן לקבל את חוג השלמים של השדה , שיחסו ל- דומה לזה שבין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים (ואמנם ).
אף על פי שהמספרים השלמים אינם סגורים תחת חילוק, ניתן לבצע בהם חלוקה עם שארית.
כלומר, לכל ולכל , קיימים כך ש- ו- (כאשר היא פונקציית הערך המוחלט).
בנייה פורמלית של המספרים השלמים
המספרים השלמים הם מערכת מספרים, שאותה ניתן לבנות מתוך המספרים הטבעיים בדרכים שונות, אחת מהן היא באמצעות שימוש בזוגות סדורים.
לאחר שנבנתה המערכת של המספרים הטבעיים עם פעולות החיבור והכפל שלהם, אפשר לחשוב על מספר שלם כאילו היה הפרש של שני מספרים טבעיים.
באופן פורמלי יותר, מגדירים יחס שקילות על קבוצת הזוגות הסדורים , כך: אם ורק אם .
באופן לא פורמלי מחלקת השקילות של הזוג , אותה מסמנים ב-, תייצג את ההפרש (ובכל מחלקה נמצאים כל הזוגות שההפרש ביניהם שווה).
רפלקסיביות: (כי חיבור במספרים טבעיים הוא חילופי ולכן ).
נחבר את השוויונות ונקבל .
נצמצם איברים זהים משני אגפי המשוואה, ונקבל , כלומר .
כעת נגדיר את קבוצת המספרים השלמים בתור קבוצת המנה של יחס השקילות.
כלומר: כל מספר שלם הוא אוסף הזוגות הסדורים שמקיימים זה עם זה.
על קבוצה זו נגדיר פעולות של כפל וחיבור, תוך הסתמכות על הגדרתם בקבוצת המספרים הטבעיים:
ניתן להראות כי החיבור והכפל שהגדרנו נותרים מוגדרים היטב גם על קבוצת המנה - כלומר, שניתן לכפול ולחבר מחלקות שקילות באמצעות נציגים בלי חשיבות לבחירת הנציג.
כל מחלקת שקילות מכילה איבר מהצורה או מהצורה (כאשר ), את מחלקת השקילות נסמן ב-, ואת מחלקת השקילות נסמן ב-, ואלו יהוו את המספרים השלמים (חוץ מאפס שיוגדר פעם אחת בלבד כ-, מכיוון ש-).
וכעת, בשונה מהמספרים הטבעיים, לכל מספר שלם קיים הופכי לחיבור, ההופכי לחיבור של הוא (זאת מכיוון שמתקיים ).
וניתן להגדיר חיסור על ידי חיבור של ההופכי לחיבור, כלומר:
(כאשר הוא הנציג של מחלקת השקילות ), ולכן המספרים השלמים סגורים תחת חיסור בשונה מהמספרים הטבעיים.
קבוצת המספרים השלמים היא קבוצה סדורה ליניארית ללא חסם מלעיל או מלרע.
הסדר של המספרים השלמים נתון על ידי , מספר יקרא חיובי אם הוא גדול ממש מאפס ושלילי אם הוא קטן ממש מאפס, אפס הוא המספר היחיד שאינו חיובי ואינו שלילי.
נגדיר את הסדר של המספרים כך שיכבד את פעולות החיבור והכפל כך:
מכאן שקבוצת המספרים השלמים עם הסדר שהוגדר לעיל היא שדה סדור.
המספרים השלמים הם החבורה האבלית היחידה הלא טריוויאלית (כלומר חבורה שמכילה לפחות שני איברים) בעלת סדר ליניארי שסדר האיברים החיוביים שלה הוא סדר טוב.
באמצעות הסדר ניתן להגדיר פונקציות חשובות:
פונקציית הסימן - מחזירה לכל מספר ממשי ערך המתאים לסימן שלו.
פונקציית הערך המוחלט , מסומנת גם ב- - מחזירה לכל מספר את המרחק בינו לבין נקודת האפס על ציר המספרים.
כלומר, אם המספר חיובי, הערך המוחלט שלו הוא הערך של המספר עצמו, ואם המספר שלילי ערכו המוחלט יהיה הערך של המספר הנגדי לו.
ערכו המוחלט של 0 הוא 0.
הפונקציות משלימות אחת את השנייה, יחדיו הן מפרקות כל מספר לשני חלקים .
נראה שקיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת המספרים השלמים לקבוצת המספרים הטבעיים, ולכן קבוצת המספרים השלמים היא בת מנייה, ועוצמתה שווה ל- (אָלֶף אֶפֶס).
את הפונקציה אנו יכולים להגדיר בשני אופנים, כיוון שאפשר להניח כי אפס הוא מספר טבעי או להניח שלא.
אם אפס נחשב למספר טבעי, אזי הפונקציה היא:
אלו הן פונקציות חד-חד ערכיות ועל בין קבוצת המספרים השלמים לקבוצת המספרים הטבעיים ולכן נקבל שקבוצת המספרים השלמים היא בת מנייה.
מספרים שלמים נמצאים בשימוש נרחב בחקר של אובייקטים שמטבעם אינם ניתנים לחלוקה או שתכונות הבעיה מונעות חלוקה של האובייקטים (לדוגמה, בעיות שעוסקות באנשים, בניינים או ספינות).
ניתן להשתמש במספרים שליליים גם בבעיות כאלו - למשל, כאשר מתכננים עסקאות סחר, אפשר לציין מכירות עם מספרים חיוביים ורכישות עם מספרים שליליים.
דוגמה נוספת, מספר קוונטי מגנטי בפיזיקה מבדיל בין האורביטלים האפשריים בתוך תת-קליפה אלקטרונית, ומשמש לחישוב הרכיב הזוויתי של וקטור האורביטל במרחב וערכו יכול לנוע במרווחים שלמים בטווח שבין כולל הערך אפס (כאשר הוא המספר הקוונטי הזוויתי).
על מנת לפתור בעיות שכאלו פותחו שיטות מתמטיות מיוחדות.
בפרט, הפתרונות של משוואות אלגבריות נחקרים במסגרת משוואות דיופנטיות, ופתרונות בדידים/שלמים לבעיות אופטימיזציה נחקרים במסגרת תכנון ליניארי בשלמים ואופטימיזציה קומבינטורית.
ישנן בעיות מעשיות בהן יש צורך לעגל ערך ממשי למספר שלם, כלומר להחליף אותו במספר השלם קרוב ביותר (בכיוון זה או אחר).
ישנן כמה דרכים שבהן ניתן לעגל ערך ממשי למספר שלם:
- פונקציית הערך השלם או פונקציית הרצפה (floor), מחזירה לכל מספר ממשי את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל-, (מעגלת כלפי מטה).
- פונקציית התקרה (ceiling), מחזירה לכל מספר ממשי את המספר השלם הקטן ביותר שגדול או שווה ל-, (מעגלת כלפי מעלה).
- פונקציית קיטום, מחזירה לכל מספר ממשי את החלק השלם שלו לאחר קיטום של החלק השברי שלו.
מתנהגת כמו פונקציית הרצפה עבור מספרים חיוביים, וכפונקציית התקרה בעבור מספרים שליליים.
- פונקציית השלם הקרוב ביותר, לעיתים רחוקות מסומנת גם ב- או ב- - מחזירה לכל מספר ממשי את המספר השלם הקרוב ביותר אליו, כאשר כל מספר שהחלק השברי שלו הוא חצי מעוגל למספר הזוגי הקרוב ביותר.
מספר שלם הוא אחד מטיפוסי הנתונים הפרימיטיביים בשפות תכנות.
הוא נתמך מבחינות רבות ישירות על ידי המעבד, על ידי פעולות חיבור, הוספת אחד, הכפלה ב-2 או חלוקה ב-2 ועל פי רוב גם כפל וחילוק של שני מספרים שלמים כלשהם.
מכיוון שגודל הזיכרון במחשב מוגבל, בכל ייצוג שנבחר לא נוכל להציג את כל המספרים השלמים, ולכן בזמן תכנון השפה או כתיבת מימוש לשפה (מהדר או מפרש) צריך להחליט מהו טווח הערכים הרצוי.
ישנן כמה שיטות לבחירת הטווח שנבדלות זו מזו במהירות החישובים ובגודל הזיכרון הנדרש.
עם זאת, הטווח עדיין מוגבל, וקיימת בעיה שהוא נעשה תלוי-מכונה - כלומר, תוכניות עלולות להתנהג שונה בהרצה על מחשבים שונים.
הגדרה זו עשויה לבוא יחד עם התאמה למכונה (כמו בשפות C או ++C) או על ידי הגדרה חד משמעית של הטווח עבור כל טיפוס (כמו בשפת ג'אווה).
מספרים טבעיים מיוצגים בזיכרון המחשב בייצוג בינארי פשוט.
מספרים שליליים, לעומת זאת, מיוצגים בשיטת המשלים ל-2 או שיטת המשלים ל-1, ועקב כך החלוקה של המספרים השלמים במחשב היא בדרך כלל למספרים שליליים ומספרים א-שליליים בלבד, בשונה מהחלוקה ה"רגילה" של המספרים השלמים למספרים חיוביים, שליליים ואפס (למרות זאת, מחשב מסוגל לחשב האם מספר הוא חיובי ממש).
מספר ריבועי הוא מספר שלם חיובי שיכול להיכתב כריבוע של מספר שלם אחר, כלומר הוא מהצורה כש-n שלם.
לדוגמה, 9 הוא מספר ריבועי כיוון ש-.
מספר הוא חופשי מריבועים אם איננו מתחלק באף מספר ריבועי גדול מ-1.
קל להבין שמספר נתון יקרא ריבועי אם ורק אם ניתן לסדר עצמים בריבוע, למשל -
באיורים האחרונים ניתן גם לראות שהמספר הריבועי הבא יתקבל מהוספת המספר המתאים בסדרת המספרים האי-זוגיים (המעוינים הוורודים).
זה מבטא את הקשר: , המספר 2n+1 הוא האי-זוגי במקום ה-n+1 בסדרת האי-זוגיים הטבעיים.
את הקשר הזה ניתן גם לבטא כסכום כל המספרים הטבעיים האי-זוגיים עד מספר מסוים: .
50 המספרים הריבועים הראשונים הם:
במתמטיקה, ראשוני וילסון, הוא מספר ראשוני p שעבורו p² מחלק את , כאשר !
המספרים קרויים על שם המתמטיקאי האנגלי ג'ון וילסון , שהוכיח ש- תמיד מתחלק ב-p (משפט וילסון).
ידועים כיום רק שלושה מספרים כאלו: 5, 13 ו-563; אם קיימים אחרים הם חייבים להיות גדולים מ-5 · 108. משערים שישנם אינסוף מספרים ראשוניים וילסון, ושמספרם עד x הוא מסדר הגודל של .
מספר שופע הוא מספר שסכום מחלקיו (לא כולל המספר עצמו) עולה על המספר.
מספר שופע (abundant number) הוא מספר טבעי שעבורו מתקיים , כאשר היא פונקציית המחלקים: סכום כל המחלקים החיוביים של , כולל עצמו.
חלוקת המספרים ל"שופעים", "חסרים" ומשוכללים מופיעה לראשונה אצל ניקומאכוס, בסביבות שנת 100.
ביתר פירוט, לכל k, קיימים אינסוף מספרים שופעים המתחלקים ב- k, ואינסוף מספרים שופעים הזרים ל- k.
הסיבה העקרונית לכך היא שהמכפלה , על-פני כל הראשוניים, היא אינסופית, ואילו היחס שווה לפחות ל- כאשר המכפלה היא על פני המחלקים הראשוניים של n.
על ידי בחירת מספיק גורמים ראשוניים, אפשר לעבור כל יחס רצוי.
בשנת 1998 הראה מארק דלגליש שהצפיפות של המספרים השופעים היא בין 0.2474, ל-0.2480.
מספר שופע שאיננו "דמוי משוכלל" נקרא "מספר מוזר".
בעיה פתוחה עתיקת יומין היא, האם קיים מספר (שופע) המקיים .
(מספר כזה נקרא מספר קוואזי משוכלל).
המספר השופע האי-זוגי הקטן ביותר הוא 945.
במתמטיקה, מספרים רב משוכללים הוא הכללה של המספרים המשוכללים.
לכל מספר טבעי k, מספר מסוים n נקרא מספר רב משוכלל מסדר k אם סכום כל המחלקים החיוביים (פונקציית המחלקים שלו, ) שווה ל-kn; לפי הגדרה זו, מספר משוכלל הוא בעצם מספר רב משוכלל מסדר 2. נכון לינואר 2009, ידועים מספרים רב משוכללים עד לסדר 11.
ניתן להוכיח שמתקיימות התכונות הבאות:
אם 3n הוא מספר רב משוכלל מסדר 4k ו-n לא מתחלק ב-3 אז n הוא מספר רב משוכלל מסדר 3k.
בתורת המספרים, מספר ראשוני רגולרי הוא מספר ראשוני גדול מ-2, המקיים תכונה מסוימת, שתוצג בהמשך.
את המושג הציע ארנסט קומר, שגם הוכיח בשנת 1847 את המשפט האחרון של פרמה עבור ראשוניים כאלה.
עד 100, הראשוניים היחידים שאינם רגולריים הם: 37, 59 ו-67. משערים שצפיפות הראשוניים הרגולריים בין שאר הראשוניים היא , אבל לא ידוע אפילו האם ישנם אינסוף כאלה.
ב-1915 הוכיח יוהאן ינסן שיש אינסוף ראשוניים שאינם רגולריים.
עבור מספר טבעי , שורש יחידה מסדר הוא מספר מרוכב שכאשר מעלים אותו בחזקת n (אבל לא בחזקה קטנה יותר) מתקבל 1. לדוגמה, הוא שורש היחידה מסדר 3, ו- הוא שורש יחידה מסדר 4.
"החוג הציקלוטומי" הוא, על-פי ההגדרה, החוג הקטן ביותר המכיל את המספרים השלמים ואת שורשי היחידה מסדר n.
(זהו חוג השלמים של השדה הציקלוטומי מסדר n).
נזכיר שבחוג קומוטטיבי R, כל קבוצה הסגורה לחיבור וחיסור ולכפל באברי החוג נקראת אידיאל, בעוד שאידיאלים מן הצורה המיוחדת הם "אידיאלים ראשיים".
חוג שבו כל האידיאלים ראשיים, נקרא תחום ראשי – אלא שבדרך כלל החוג הציקלוטומי אינו כזה.
הראשוני הוא ראשוני רגולרי אם לכל אידיאל של , מן ההנחה ש- הוא אידיאל ראשי נובע שגם עצמו הוא ראשי.
במילים אחרות, מספר ראשוני הוא רגולרי אם הוא אינו מחלק את סדר חבורת המחלקות של השדה הציקלוטומי המתאים.
ב-1753 הוכיח לאונרד אוילר את המשפט האחרון של פרמה עבור החזקה : אין פתרונות שלמים למשוואה , פרט לפתרונות הצפויים, שבהם אחד המשתנים שווה לאפס.
ב-1770 הגדיר אוילר את החוג , והשתמש בתכונות שלו כדי לתת הוכחה נוספת לאותה טענה.
הרעיון הבסיסי בהוכחה זו היה הפירוק של הביטוי למכפלה , שבו הגורמים אינם עוד מספרים שלמים, אלא איברים של החוג הציקלוטומי.
במקרה החוג הזה מקיים תכונות אריתמטיות חזקות מאוד (זהו חוג אוקלידי, ובפרט חוג ראשי), וכך יכול היה אוילר להסיק שאם המכפלה שווה לחזקה שלישית , כך צריך להיות כל אחד מן הגורמים (עד כדי כפל באיברים הפיכים של החוג).
בשיטה זו הוכיחו את משפט פרמה גם עבור החזקות ו-.
ב-1847 הראה ארנסט קומר שאם הוא איבר הפיך בחוג הציקלוטומי מסדר p, אז הוא מספר שלם.
הבחנה זו אפשרה לו להכליל את הרעיונות של קודמיו, והוא הראה ששיטת ההוכחה של אוילר שוללת את קיומם של פתרונות שלמים למשוואה לכל ראשוני אי-זוגי p, ובלבד שהאידיאלים בחוג הציקלוטומי מקיימים תכונה מסוימת.
לתכונה זו קרא קומר "רגולריות" של p.
קומר לא הסתפק בהוכחה של משפט פרמה עבור ראשוניים רגולריים – הוא מצא גם תנאי חישובי לרגולריות, מתחום אחר לחלוטין, והוכיח כי ראשוני הוא רגולרי אם ורק אם הוא אינו מחלק את המונה של מספרי ברנולי , המתקבלים מפיתוח טיילור .
בתורת המספרים, מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ-1, שלא ניתן להציגו כמכפלה של שני מספרים טבעיים קטנים ממנו, כלומר הוא מתחלק רק ב-1 ובעצמו.
מקובל להתייחס אל המספרים הראשוניים כאבני הבניין של תורת המספרים, משום שאפשר להרכיב מהם, באמצעות פעולת הכפל, כל מספר טבעי.
כבר אוקלידס ידע להוכיח שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים.
ענפים מרכזיים בתורת המספרים עוסקים בתכונות שונות של המספרים הראשוניים, בצפיפות שבה הם מופיעים, במידת הסדירות של הופעות אלה, ועוד.
הכללות של המספרים הראשוניים לשדות שמעבר למספרים הרציונליים נלמדות במסגרת תורת המספרים האלגברית ותורת החוגים.
לפי "המשפט היסודי של האריתמטיקה", כל מספר טבעי גדול מ-1 אפשר להציג באופן יחיד כמכפלה של מספרים ראשוניים (למשל: ).
ההצגה הזו יחידה עד כדי שינוי סדר.
ראשוניים אלה נקראים גורמים של המספר.
בלשון מודרנית, חוג המספרים השלמים הוא תחום פריקות יחידה.
תהליך מציאת המספרים הראשוניים המרכיבים מספר שלם נתון נקרא פירוק לגורמים.
זוהי בעיה קשה מבחינה אלגוריתמית, ולא ידוע עבורה אלגוריתם יעיל (כלומר, בעל סיבוכיות פולינומית).
חוזקן של שיטות הצפנה מרכזיות נובע מן הקושי לפרק מספר גדול לגורמיו הראשוניים.
ההוכחה הראשונה לכך ניתנה בספרו של אוקלידס, "יסודות".
ברור שלכל מספר גדול מ-1 יש גורם ראשוני (זו טענה שאפשר להוכיח באינדוקציה מתמטית).
נניח שיש רק מספר סופי של ראשוניים, .
המספר (מכפלת n הראשוניים הללו פלוס 1) אינו מתחלק באף אחד מהם, ולכן אין לו גורמים ראשוניים – אבל זו סתירה לכך ש- .
מכאן שאין רשימה סופית הכוללת את כל הראשוניים.
כאשר סופרים את הראשוניים בקטעים ארוכים (כגון: עד 1,000, בין 1,000 ל-2,000, וכן הלאה), מגלים ששכיחותם הולכת ויורדת.
גאוס עסק רבות בחישובים בקשר לסוגיה זו, ושיער ששכיחות הראשוניים בין 1 ל-x יורדת, בקירוב, ביחס הפוך ללוגריתם הטבעי של x.
כחמישים שנים אחר-כך חקר רימן את פונקציית זטא הקרויה על שמו, במטרה להוכיח את ההשערה של גאוס.
על היסודות שהניח רימן, הצליחו לבסוף המתמטיקאים של סוף המאה ה-19 להוכיח את משפט המספרים הראשוניים: מספר הראשוניים הקטנים ממספר נתון שווה בקירוב ל- :
כאשר הוא הלוגריתם הטבעי של .
ממשפט המספרים הראשוניים אפשר להסיק היכן נמצא, בקירוב, הראשוני ה-n-י, :
ליתר דיוק, עבור כל שלם , מתקיים
לפי השערת ברטראן (שהוכחה במאה ה-19), יש מספר ראשוני בכל קטע מהצורה .
עם זאת, לא ידוע האם לכל n טבעי קיימים ראשוניים בקטע .
ברווח שבין ראשוניים סמוכים עוסקת השערת המספרים הראשוניים התאומים.
לא קיים פולינום שאינו קבוע, אפילו בכמה משתנים, המקבל (כאשר מציבים בו מספרים שלמים) רק ערכים ראשוניים.
לתוצאה זו יש הכללות רבות.
למשל, היא נכונה גם עבור פונקציות אלגבריות (פונקציה F היא אלגברית אם קיים פולינום P כך ש- ; לדוגמה, אלגברית).
פונקציה מהצורה , שבה הפולינומים בעלי מקדמים שלמים, והמספרים שלמים, שאינה קבועה, אינה יכולה לקבל רק ערכים ראשוניים כאשר מציבים במשתנים ערכים טבעיים.
לעומת זאת, אפשר להציג מספרים ראשוניים באמצעות פונקציות שאינן אלגבריות.
לדוגמה, אם מגדירים את הפונקציה , ו- היא השארית של y בחלוקה ל־x (עם ), אז הראשוני ה-n-י מתקבל מהנוסחה .
בעזרת טכניקות שפותחו במסגרת פתרון הבעיה העשירית של הילברט, נמצאו פולינומים בעלי מקדמים שלמים, כך שקבוצת הערכים הטבעיים שהפולינום מקבל, כאשר מציבים ב- מספרים טבעיים, מתלכדת עם קבוצת המספרים הראשוניים.
משפט מילס קובע כי קיים קבוע כך ש- ראשוני לכל n טבעי (כאשר היא פונקציית הערך השלם).
צורה ויזואלית של התפלגות המספרים הראשוניים ניתנת להצגה על ידי ספירלת אולם.
אופן הצגה זה מדגיש את הראשוניים המופיעים בסדרות ריבועיות, כמו .
את הספירלה גילה המתמטיקאי ומדען האטום סטניסלב אולם.
את משפט המספרים הראשוניים הכליל דיריכלה לסדרות חשבוניות:
אם הם מספרים זרים, אז ישנם אינסוף מספרים ראשוניים השקולים ל- מודולו .
דיריכלה הוכיח שבכל , המספרים הראשוניים מפוזרים באופן אחיד בקירוב, בין השאריות האפשריות מודולו .
אם מייצג את כל המספרים הראשוניים בטווח השקולים ל- מודולו , כאשר , אזי
לעומת זאת, לא ידוע האם יש אינסוף ראשוניים מצורות שאינן ליניאריות, כגון .
ידוע שסכום הטור ההרמוני הוא (כאשר הוא קבוע אוילר-מסקרוני).
לעומת זאת, כאשר מסכמים על ראשוניים בלבד, , כאשר B קבוע.
ובפרט טור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר.
באופן דומה, המכפלה , בעוד ש-.
נכון ל-2019, המספר הראשוני הגדול ביותר שהתגלה הוא מספר מרסן הראשוני ה-51, .
המספר התגלה באמצעות חישוב מבוזר קהילתי של מיזם GIMPS על ידי פטריק לארוץ'.
קדם לו המספר שהתגלה ב-26 בדצמבר 2017 שהוא מספר מרסן הראשוני ה-50, שהתגלה על ידי ג'ון פייס ממיזם GIMPS.
ב-12 באוקטובר 2024 נמצא על ידי המתנדב לוק דוראנט מספר ראשוני חדש, מספר המרסן הראשוני ה-52, שהוא , המספר הוא בן 41,024,320 ספרות.
גילוי המספר החדש הוא לאחר כ-6 שנים שלא התגלה מספר חדש, והוא נמצא על ידי תוכנת החיפוש Mersenne Prime Search (GIMPS) המספר פורסם רשמית ב-21 באוקטובר 2024 (לאחר שהסתיימה בדיקתו ב-19 באוקטובר) מוצא המספר זכה בפרס בסך 3000 דולר ארצות הברית.
מאז המצאת שיטת RSA ב-1977, הפכו המספרים הראשוניים למרכיב יסודי כמעט בכל מערכת הצפנה המשלבת מפתחות ציבוריים ופרטיים.
במקרים רבים, חוזק ההצפנה מבוסס על הקלות היחסית שבה אפשר לבצע פעולות של כפל והעלאה בחזקה מודולריות, גם במספרים גדולים (בני מאות ספרות), ומאידך על הקושי העצום שבפירוק מספרים כאלה לגורמיהם הראשוניים.
מציאת כל המספרים הראשוניים הקטנים ממספר נתון
ארטוסתנס, מתמטיקאי ואסטרונום יווני בן המאה ה-3 לפנה"ס, פיתח אלגוריתם פשוט ויעיל למציאת כל המספרים הראשוניים הקטנים ממספר נתון, הקרוי על שמו: הנפה של ארטוסתנס.
אלגוריתם זה מאתר מספרים ראשוניים בהדרגה ככאלה שאינם מספרים פריקים, אשר אותם הוא מפיק עבור כל מספר ראשוני, החל מ 2, על ידי ספירה בכפולות של אותו מספר.
קובעים 2 כמספר ראשוני הראשון, סופרים ממנו בצעדים של 2 ומסמנים את כל המספרים האלה (שיהיו המספרים הזוגיים) כפריקים.
קובעים ש 3 הוא הראשוני הבא ומסמנים את כפולותיו על ידי ספירה בשלשות (יהיו אלה כל הכפולות של 3).
5 הוא הראשוני הבא (את 4 סימנו כבר בשלב הראשון), ואת כפולותיו מסמנים על ידי ספירה בצעדים של 5, וכך הלאה.
הנפה של ארטוסתנס יעילה מבחינת סיבוכיות הזמן הנדרש לביצוע המשימה ליצירת רשימה של מספרים ראשוניים הקטנים מגבול מסוים, אך אינה יעילה לבדיקת ראשוניות של מספר נתון; לשם כך יש דרכים אחרות.
כדי להוכיח שמספר נתון אינו ראשוני, די להציג פירוק שלו לשני גורמים.
מכאן שזיהוי מספרים לא ראשוניים הוא בעיה שהיא לפחות במחלקת הסיבוכיות NP.
גם בדיקה האם מספר הוא ראשוני שייכת ל-NP, בהתבסס על כך שמספר p הוא ראשוני אם ורק אם קיים מספר מסדר p-1 בחבורת אוילר של p, ותנאי זה ניתן לבדיקה באופן יעיל בהינתן הפירוק של p-1 (כך שהוכחת NP לראשוניות p תכלול את הפירוק הזה ואת המספר מסדר p-1).
בשנת 2002 הציגו מנינדרה אגרוול, נירג' קייל וניטין סקסנה אלגוריתם פולינומי להוכחת ראשוניות, הנקרא על שמם מבחן AKS לראשוניות.
בכך הראו שהוכחת ראשוניות שייכת למחלקת הסיבוכיות P ולפיכך גם הבעיה הדואלית (האם מספר אינו ראשוני) שייכת ל-P.
הדרך הנאיבית לבדיקת ראשוניות של מספר נתון נקראת "חלוקה ניסיונית" (Trial division): ניסיון לחלק את המספר הנתון בכל המספרים מ־2 ועד לשורש הריבועי של המספר הנתון.
אם המספר לא התחלק באף אחד ממספרים אלו הוא גם לא יתחלק באף מספר גדול יותר ולכן הוא ראשוני.
במספרים קטנים (ובסמוך להפעלת שיטת הנפה של ארטוסתנס), עדיף לבצע את החילוק הניסיוני רק במספרים ראשוניים.
לשתי השיטות סיבוכיות או קרוב לזה, והן אינן יעילות עבור מספרים גדולים (בני עשרות ספרות עשרוניות).
אלגוריתמים מתקדמים יותר לבדיקת ראשוניות מתחלקים לשני סוגים עיקריים:
אלגוריתם בדיקת ראשוניות אקראי, אלו אלגוריתמים אקראיים, המקבלים מספר כלשהו ומחזירים תשובה "אמת" או "שקר" לגבי ראשוניותו של המועמד.
אלגוריתם כזה עשוי לטעות בכיוון אחד: התשובה "שקר" פירושה שהמספר פריק, ואילו התשובה "אמת" פירושה שהמספר ראשוני בסיכוי גבוה מאד.
בדיקת ראשוניות דטרמיניסטית, נקראת גם בדיקת ראשוניות אמיתית.
בניגוד לשיטה הקודמת, התשובה שמחזיר אלגוריתם כזה היא נכונה בוודאות.
הוודאות נקנית במחיר של סיבוכיות גבוהה יותר.
מבחנים רבים, משתי המחלקות, מבוססים על המשפט הקטן של פרמה: עבור כל ראשוני ושלם זר ל-, מתקיים השוויון .
לפיכך, אם השוויון אינו מתקיים, זוהי ראיה לכך ש- אינו ראשוני.
קיימים אלגוריתמים יעילים לחישוב הערך של מודולו , כגון אלגוריתם ריבוע וכפל (העלאה חוזרת בריבוע, וכפל ב-a על-פי ההצגה הבינארית של n), שסיבוכיותו פולינומית באורך של n.
כל מספר ראשוני יעבור את המבחן, אולם לכל a ישנם מספרים פריקים שהמבחן לא יאתר – אלו קרויים פסאודו ראשוניים.
גרי מילר ניצל תכונות ידועות של המשפט הקטן של פרמה ליצירת אלגוריתם דטרמיניסטי פולינומי למבחן ראשוניות, המתבסס על השערת רימן המוכללת (ERH).
מיכאל רבין הרחיב את האלגוריתם מיד לאחר מכן, למבחן ראשוניות פולינומי אקראי.
האלגוריתם נקרא על שמם אלגוריתם מילר-רבין.
רוברט סולוביי ופולקר שטראסן הציעו אלגוריתם למבחן ראשוניות אקראי המבוסס על סימן יעקובי.
עבור ראשוני כלשהו מתקיים עבור כל .
גם אלגוריתם זה ניתן להרחבה למבחן ראשוניות דטרמיניסטי, בהנחה שהשערת רימן המורחבת נכונה.
שפי גולדווסר וג'ו קיליאן הציעו אלגוריתם אקראי למבחן ראשוניות המתבסס על עקום אליפטי, שזמן הריצה שלו פולינומי כמעט עבור כל קלט.
בהתבסס על רעיון זה, פיתח ארתור אטקין אלגוריתם דטרמיניסטי יעיל מאוד מבחינה מעשית לבדיקת ראשוניות הנקרא Atkin's test.
יתרונה של הגישה הוא שהיא מספקת הוכחות קצרות לראשוניות (primality certificate).
לאונרד אדלמן והואנג פרסמו אלגוריתם הסתברותי שלעולם אינו טועה, אולם רק ניתן לומר שתוחלת זמן הריצה שלו פולינומית, כלומר הם הראו שבדיקת ראשוניות היא במחלקת הסיבוכיות ZPP = RP ∩ Co-RP.
מבחינה תאורטית לפחות סוגיית הסיבוכיות של בדיקת ראשוניות יושבה ב-2002 כששלושה מדעני מחשב הודיים, אגרוול, קייל וסקסנה, הראו אלגוריתם פולינומי דטרמיניסטי לבדיקת ראשוניות הנקרא על שמם AKS.
האלגוריתם מבוסס על הכללה של המשפט הקטן של פרמה לחוגי פולינומים מעל שדות סופיים.
סיבוכיות האלגוריתם היא בסביבות .
חוג המספרים השלמים אינו אלא אחד מני תחומי שלמות רבים.
בתחום שלמות כללי יש שני סוגי איברים שאפשר לראות בהם הכללה של המספרים הראשוניים: איבר אי-פריק של תחום שלמות הוא איבר a (לא הפיך ושונה מאפס) שאין לו מחלקים לא טריוויאליים, כלומר, אם a=bc אז כל אחד משני הגורמים b ו-c הוא הפיך או כפולה של a באיבר הפיך.
איבר p הוא איבר ראשוני, אם כל אימת ש-p מחלק מכפלה bc, הוא מחלק את אחד הגורמים שלה.
כל איבר ראשוני הוא אי-פריק, אבל ההפך אינו בהכרח נכון.
בחוג השלמים שני המושגים מתלכדים (זוהי הלמה של אוקלידס), ומגדירים את המספרים הראשוניים המוכרים, והמספרים הנגדיים להם: .
התכונה הבסיסית של המספרים הראשוניים (בחוג השלמים) מתבטאת במשפט היסודי של האריתמטיקה: כל מספר אפשר לפרק לגורמים ראשוניים, באופן יחיד.
גם כאן, כשבוחנים תחום שלמות כללי במקום חוג השלמים, שתי התכונות האלה עשויות שלא להתקיים.
ישנם תחומי שלמות שבהם הראשוניים נדירים יותר, וקיים פירוק לגורמים אי-פריקים, אבל לא לגורמים ראשוניים (לדוגמה: בחוג אפשר לפרק ; הגורמים אי-פריקים אבל אינם ראשוניים).
ישנם גם תחומי שלמות שבהם אין פירוק אפילו לגורמים אי-פריקים (אלו חוגים שאינם נתריים).
עם זאת, כאשר קיים פירוק לגורמים ראשוניים, הוא יחיד (אפילו בין כל הפירוקים לגורמים אי-פריקים).
בתחומים ראשיים, כל איבר אי-פריק הוא ראשוני, ויש פירוק יחיד לגורמים.
תחום המספרים הראשוניים כולל שאלות פתוחות רבות, ובהן:
השערת גולדבך – האם כל מספר זוגי גדול מ-2 הוא סכום של שני ראשוניים?
השערת המספרים הראשוניים התאומים – האם יש אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2?
האם לכל d טבעי קיימים אינסוף זוגות של מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2d?
(הכללה של שתי ההשערות הקודמות).
האם יש אינסוף מספרי פיבונאצ'י ראשוניים?
האם יש אינסוף מספרי פרמה ומספרי מרסן ראשוניים?
האם יש אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה ?
(בתורת המספרים השאלה ידועה כבעיית אוילר); איוונייץ הוכיח (1972), בעזרת שיטת הנפה, שיש אינסוף מספרים מהצורה האמורה שיש להם לכל היותר שני גורמים ראשוניים.
בספר המדע הבדיוני "מגע" מאת קרל סייגן מזהה גיבורת הספר, העובדת במיזם SETI, שידור המגיע מהחלל של סדרת קולות שהיא סדרת המספרים הראשוניים מתחילתה ועד 907, ומשוכנעת שמקורו בחיים תבוניים מחוץ לכדור הארץ.
ספרו של אפוסטולוס דוקסיאדיס, "הדוד פטרוס והשערת גולדבך", הוא רומן המתרחש על רקע חיפוש הוכחה להשערת גולדבך, הקובעת שכל מספר זוגי גדול מ-2 ניתן להציג כסכום של שני מספרים ראשוניים.
עד תום המועד שנקבע למתן ההוכחה לא נמצאה ההוכחה המבוקשת.
כריסטופר, המספר בספרו של מארק האדון "המקרה המוזר של הכלב בשעת לילה", הוא ככל הנראה בעל תסמונת אספרגר או תסמונת סוואנט, הוא מחונן ואוהב מתמטיקה.
הדבר בולט כבר במספור הפרקים במספרים ראשוניים ולא במספרים מונים כמו בספרים אחרים (פרק 2 הוא הפרק הראשון של הספר).
הוא מציג את עצמו כמי מכיר את כל המדינות בעולם ובירותיהן ואת כל המספרים הראשוניים עד 7,507.
בספר "האיש שחשב שאשתו היא כובע" מתאר הנוירולוג אוליבר סאקס את חוויותיו הטיפוליות עם מספר מטופלים, בהם הפרק "התאומים", על אודות תסמונת סוואנט.
סאקס נפגש עם זוג תאומים אוטיסטים, שלא היו מסוגלים לקרוא או לבצע פעולות כפל וחילוק, אך היו מסוגלים למצוא בצורה ספונטנית, וכשעשוע קליל, טווח נרחב של מספרים ראשוניים.
בעוד שהתאומים "שולפים מן המותן" מספרים ראשוניים בעלי שש עד עשרים ספרות, סאקס נזקק לטבלה המכילה את רשימת המספרים הללו, על מנת לעקוב אחריהם.
המלחין הצרפתי אוליבייה מסייאן השתמש במספרים ראשוניים בהלחנת יצירותיו La Nativité du Seigneur ו-Quatre Études de rythme .
מספר ריינולדס (מסומן Re) הוא גודל חסר ממד, שמבטא את היחס בין כוחות האינרציה של זורם לבין כוחות החיכוך הפועלים בתוכו.
ככל שמספר ריינולדס קטן יותר, כך השפעתה של הצמיגות גדולה יותר; וככל שהוא גדול יותר, כך גדלה השפעתו של התמד הזורם.
מספר ריינולדס יכול לשמש במכניקת הזורמים על מנת לקבוע אם זרימה היא טורבולנטית או למינרית.
מצבי זרימה בהם מספר ריינולדס נמוכים מאוד () נקראים לעיתים זרימה זוחלת (Creeping flow).
המספר נקרא על שם המדען הבריטי אוסבורן ריינולדס.
באופן טיפוסי, מספר ריינולדס מוגדר תוך שימוש ביחס הבא:
- מהירות אופיינית של הזורם
- גודל אופייני עבור הבעיה
- צמיגות דינמית של הזורם
- צמיגות קינמטית של הזורם.
הצמיגות הקינמטית שווה ליחס בין הצמיגות הדינמית לצפיפות הנוזל, .
בגאומטריות שונות, ערכים שונים של מספר ריינולדס יכולים להבדיל בין התחומים שבהם הזרימה היא למינרית או טורבולנטית.
עבור צינור בעל חתך עגול, מתחת ל-2,300 הזרימה היא למינרית.
מעל 4,000 הזרימה היא טורבולנטית.
עבור שני לוחות אינסופיים הגבול הוא 500,000.
ערכים מספריים אלו משתנים במערכות שונות, ותלויים בגורמים רבים (למשל הפרעות לזרימה בכניסה לצינור, חספוס פני שטח הצינור וכדומה).
נבחן דוגמה בה מזרימים שמן, שהצמיגות הקינמטית שלו היא בטמפרטורת החדר, בצינור עגול שקוטרו 0.1 מטר (שטח חתך של ).
עבור זרימה בצינור נהוג להגדיר את מספר ריינולדס תוך שימוש בביטוי הבא -
כאשר כאן היא הספיקה דרך הצינור, ו הוא שטח החתך של הצינור.
במצב בו הספיקה שווה לליטר אחד כל שנייה (), מספר ריינולדס הוא .
ערך זה הוא מעט מעל אזור המעבר, ולכן הזרימה תהיה טורבולנטית.
הורדת הספיקה לחצי ליטר בשנייה תהפוך את הזרימה ללמינרית.
באווירודינמיקה ובהידרודינמיקה יש למספר ריינולדס חשיבות רבה בגלל חוק הדמיון, שלפיו שתי מערכות בעלות גאומטריה דומה ומספר ריינולדס זהה יתנהגו בצורה דומה.
עקרון מנחה זה מאפשר בניית מודלים מוקטנים של מטוסים, לדוגמה, ולבדוק את תפקודם במנהרת רוח.
כתלות בבעיה המדוברת ייתכנו מספרים חסרי ממד נוספים עליהם יש לשמור על מנת לקיים את תנאי הדמיות (לדוגמה, מספר מאך, מספר פרוד וכיוצא בזאת).
במודל המערכת הנבדקת היא קטנה יותר מהמערכת המקורית (L קטן יותר), ולכן צריך לאזן את מספר ריינולדס על ידי הגדלת המהירות באותו יחס או לחלופין, להשתמש בתווך בעל צמיגות קינמטית קטנה באותו יחס.
הניסוי שעל פיו הגיע ריינולדס לנוסחה ומכאן למספר הקרוי על שמו נקרא ניסוי ריינולדס.
בניסוי זה בשנת 1883 לקח ריינולדס מכל זכוכית גדול כאשר לתוכו כל הזמן זורמים מים (באופן שלא יגרמו למערבולות) וכל הזמן יוצאים ממנו מים דרך צינור זכוכית כאשר לתוך צינור הזכוכית מוכנסת קשית המכילה דיו שהפיה שלה נמצאת במרכז הצינור, כך שהדיו זורם ביחד עם המים היוצאים מן המכל.
על ידי שינוי הספיקה חל מעבר בין משטרי הזרימה השונים, כאשר ניתן לחזות בשינויי משטר הזרימה על פי מידת הערבוב של זרם הדיו בזרם המים לאורך הצינור (הדיפוזיה זניחה).
במתמטיקה, מספרי לוקאס הם סדרה של מספרים טבעיים הקרויה על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס (1842-1891).
הגדרתה דומה לזו של סדרת פיבונאצ'י: כל איבר בסדרה הוא סכום שני קודמיו.
היא נבדלת מסדרת פיבונאצ'י בתנאי ההתחלה: האיבר האפס והאיבר הראשון הם 2 ו-1 בהתאמה.
זהו מקרה פרטי של סדרת לוקאס.
ההגדרה הרקורסיבית של הסדרה היא:
כמו כל סדרה בה כל איבר מוגדר באופן רקורסיבי כצירוף ליניארי של האיברים הקודמים, ניתן לבטא את סדרת לוקאס בנוסחה סגורה על ידי סכום של שתי סדרות הנדסיות (כאשר הוא יחס הזהב):
מכיוון שהרכיב השני בסכום שואף ל-0 כש-n שואף לאינסוף, ניתן גם לחשב את מספרי לוקאס (מלבד השניים הראשונים) באמצעות עיגול חזקות של יחס הזהב:
כל איבר בסדרה שווה לסכום שני מספרי פיבונאצ'י המופיעים משני צדדיו של האיבר המקביל לו בסדרת פיבונאצ'י:
לדוגמה, האיבר הרביעי בסדרה הוא 7 השווה לסכום של 2 ו-5, האיברים השלישי והחמישי בסדרת פיבונאצ'י.
במתמטיקה, סדרת מספרי ברנולי היא סדרה של מספרים שגילה יאקוב ברנולי, ובזכות תכונותיה הבסיסיות היא מופיעה בהקשרים שונים באנליזה של פונקציות מרוכבות ובתורת המספרים.
הסדרה אפשרה לברנולי לחשב את הסכום ב"פחות מרבע שעה" (Ars Conjectandi, 1713).
אבריה הראשונים של הסדרה הם:
והאיברים האי-זוגיים (פרט ל-) הם אפס.
מספרי ברנולי מופיעים כמקדמים בפיתוח טיילור של פונקציות טריגונומטריות ושל הפונקציות ההיפרבוליות המקבילות להן.
אוילר גילה שמספרים אלה קשורים לערכים מיוחדים של פונקציית זטא של רימן, והם הופיעו שוב בפתרונו של קומר למשפט האחרון של פרמה, עבור ראשוניים רגולריים.
ואחרות, היו ידועות זמן רב לפני ברנולי.
ברנולי ביקש נוסחה כללית לסכום , שתהיה קלה לחישוב לכל קבוע, כלומר פולינום ממעלה במשתנה .
הוא הבחין שאפשר להציג את כטור טלסקופי, , והסיק מכך את נוסחת הנסיגה .
מנוסחה זו הסיק ברנולי את השוויון ,
כאשר המקדמים, מספרי ברנולי , מוגדרים לפי נוסחת הנסיגה
מנוסחת הנסיגה של הסדרה אפשר להסיק את השוויון החשוב (על ידי הכפלת שני אגפי השוויון בפונקציה ).
מכיוון שהפונקציה זוגית (כאשר היא פונקציית הקוטנגנס ההיפרבולי), נובע מן השוויון כי לכל אי-זוגי.
על ידי הצבה מתאימה מתקבל טור לורן של הקוטנגנס: .
מפיתוח אחר לפונקציית הקוטנגנס הסיק לאונהרד אוילר את הזהות , כאשר היא הפונקציה שלימים תקרא פונקציית זטא של רימן.
מכאן נובע מיד כי הסימנים של מתחלפים, וגם כי , כך שהסדרה גדלה מהר מאוד (חרף הערכים הקטנים המופיעים בתחילתה).
בזכות הקשר שלהם לפונקציות היסודיות וקוטנגנס, הופיעו מספרי ברנולי מאז בנוסחאות רבות מספור.
במחצית השנייה של המאה ה-19 גילה ארנסט קומר שמספר ראשוני הוא רגולרי אם ורק אם אינו מחלק את המונים של .
מונים אלה עדיין אינם מובנים די הצורך.
באשר למכנים של מספרי ברנולי – אותם קל לחשב, מכיוון ש- (משפט של Claussen ו-von Straudt, משנת 1840).
בתכנות מחשבים, מספר קסם (magic number) הוא בדרך כלל קבוע מספרי שרירותי או שרירותי לכאורה, כלומר שלא ניתן להבין מערכו באופן מיידי מהם משמעותו והשימוש שהתוכנה עושה בו.
נוהג קלוקל של מתכנתים הוא לכתוב קוד מקור ולשלב בו ישירות קבועים מספריים ללא כל הסבר או פירוש.
קטע הפסאודו קוד הבא מדגים את הליקוי שבמספרי קסם מהסוג הזה:
למתכנת הקורא את הקוד לעיל לא קל להבין את תכליתו ואת משמעותו של המספר 52. הרבה יותר קל לבחון את הקוד בצורתו כדלהלן -
ולהבין מיד שמדובר בפעולת ערבוב של חפיסת קלפי משחק, והמספר 52 מייצג את מספר הקלפים בחפיסה.
מעבר ליתרון שבקוד הקריא יותר, מאפשר השימוש בקבוע גם שינוי של הערך במקום אחד (אם בעתיד נרצה לערבב מספר שונה של קלפים) והימנעות מבאגים הנובעים משינוי הערך במקום אחד והשארת הערך הישן במקום אחר.
כמו כן מאפשר הדבר גילוי קל יותר של שגיאות הקלדה, משום שהקלדה שגויה של שם המשתנה תגרום לשגיאת מהדר, בעוד שהקלדת מספר לא נכון תגרום להתנהגות לא צפויה בזמן ריצת התוכנית.
אל מול יתרונות אלה עומד החסרון שבשורות קוד ארוכות יותר (במיוחד כאשר מעורבים בחישוב מספר קבועים בעלי שמות ארוכים) ובקושי שבניפוי שגיאות, משום שאחדים מהמנפים אינם מציגים את ערכיהם של קבועים.
במספר מקרים יוצאים מן הכלל אין לגנות שימוש במספרים באופן ישיר בקוד.
לדוגמה, אין כל צורך להחליף בקבוע את המספר 0 המאתחל מונה לולאה.
גם השימוש בקבוע בעל שם משמעותי אינו מושלם, משום שהמספר בסופו של דבר אינו טיפוס נתונים של ממש וניתן לעשות עליו פעולות שאינן הגיוניות.
לכן עדיף להשתמש בטיפוס מיוחד הנקרא ספירה (enum, enumeration), המאפשר למתכנת למספר ערכים לוגיים שונים מבלי להפוך אותם בפועל למספרים לכל דבר.
אמנם ברוב השפות (למעט JAVA) מוחלפים מאחורי הקלעים טיפוסים אלה במספר פשוט, אולם טעויות כגון חישוב אריתמטי והשוואה עם משתנה שהוא במהותו לוגי, נמנעות.
מזהה של קובץ או פרוטוקול תקשורת
סוג נפוץ אחר של מספרי קסם הם המזהים המופיעים בכותרת (header) של קבצים בינאריים ושל הודעות בפרוטוקולי תקשורת.
מטרתם לאפשר לתוכנה הקוראת את הקובץ או את ההודעה לבדוק באופן מיידי, על ידי השוואה פשוטה, האם המידע הבינארי הוא מהסוג שהיא מצפה לו.
תוכנות קוראות מורכבות יותר יכולות גם לקרוא את המזהה ולברור מבין תוכנות אחרות, את זו המיועדת לטפל בסוג המידע המתאים למספר הקסם שקראה.
דוגמה למספר קסם כזה הוא הקבוע 0xCAFEBABE (בבסיס הקסדצימלי) שמהווה את ארבעה הבתים הראשונים של כל קובץ מהודר בשפת תכנות JAVA.
בבואו להריץ מחלקה נתונה, יכול ה-JVM לקרוא את ארבעת הבתים הראשונים ובמקרה שהם שונים ממספר הקסם, לדחות את המחלקה בהודעת שגיאה, מבלי לנסות לקרוא ממנה עוד.
באופן דומה, כל הודעה בפרוטוקול התקשורת SMB, מתחילה בקבוע 0xff534d42, כאשר שלושת הבתים האחרונים הם ערכי האותיות SMB.
בעוד ששימוש כגון זה במספר קסם אינו רע כשלעצמו, עדיין ראוי שקוד המקור של התוכנה הקוראת את המידע הבינארי, כאשר היא משווה את מה שקראה עם מספר הקסם, תעשה זאת באמצעות קבוע בעל שם משמעותי ולא מספר סתום.
מספרי קסם המשמשים לניפוי שגיאות הם ערכים מיוחדים, הנכתבים לכתובות בזיכרון מחשב בעת הקצאת זיכרון דינמית או שחרורו.
הרעיון מאחורי כתיבה זו, הוא לאפשר למתכנת להבחין מיד מתי התוכנה משתמשת בערכי "זבל", כלומר בערכים שלא אותחלו, על ידי כך שהוא רואה בזיכרון המחשב (באמצעות מנפה השגיאות או זריקת זיכרון (core dump)) שהיא טוענת ומשתמשת בערך שהוא מכיר כמספר קסם.
לדוגמה, פונקציית ()HeapAlloc של מיקרוסופט, כאשר היא מופעלת במצב ניפוי שגיאות, מקנה את הערך ה"קסום" 0xABABABAB לכל הבתים על הערימה שלא הוקצו, אך נמצאים בסמוך לשטחים מוקצים.
באופן זה קל לגלות גלישת חוצץ אל בתים אלה.
בשימוש במספר קסם לצורך ניפוי שגיאות גלומה הנחה הסתברותית, שאותו מספר לא יוצב בדרך מקרה בזיכרון על ידי התוכנית כחלק מפועלה התקין.
במקרה בלתי סביר זה ייתכן שמנפה השגיאות יודיע על באג שלא קיים באמת, או שיכשל בגילוי באג קיים.
מספר שמח מתייחס למספרים שעבורם התהליך של חישוב סכום ריבועי הספרות (בבסיס 10), וחוזר חלילה, מסתיים במספר 1.
במילים אחרות, אם נחבר את סכום ריבועי הספרות שלו שוב ושוב נקבל בסופו של דבר 1.
בניסוח פורמלי יותר: כאשר נתון מספר טבעי , נגדיר את הסדרה , , ...
שבה הוא סכום ריבועי הספרות של .
הוא מספר שמח אם ורק אם קיים שעבורו .
דוגמה: 19 הוא מספר שמח, משום שמתקיימת בו הסדרה הבאה:
תחילתה של סדרת המספרים השמחים היא:
מההגדרה נובע שכל חזקה טבעית של 10 היא מספר שמח.
נגדיר פונקציה כך ש- הוא סכום ריבועי הספרות של .
הריבוע של הספרה הגדולה ביותר, 9, הוא 81, ולכן סכום הריבועים של מספר טבעי n, שלו יש m ספרות, הוא לא יותר מאשר 81m.
כך שבתהליך זה כל מספר גדול מ-1000 הולך וקטן, ובפרט קטן מספר הספרות של איברי הסדרה.
כאשר הסדרה מגיעה למספר קטן מ-1000, המספר שסכום ריבועי ספרותיו הוא הגדול ביותר הוא 999, והסכום המתקבל הוא 243.
בהתאם לכך, כל מספר גדול מ-99 הולך וקטן בתהליך זה, כלומר: לכל מספר שנבדוק, נגיע בשלב כלשהו בסדרה למספר קטן מ-100. בדיקה של כל המספרים בטווח 1 עד 99 מגלה שכל מספר בטווח זה הוא מספר שמח או שהוא מגיע למחזור המתואר להלן.
מכאן נובע שהפעלה חוזרת של f מוכרחה להסתיים או בנקודת השבת (היינו, מספר m שעבורו ), או במחזור סופי.
נקודת השבת היחידה היא , ומספרים שעבורם התהליך מסתיים בה, נקראים "שמחים".
בדיקה ישירה של המספרים הקטנים מראה שכל מספר שאינו שמח מגיע למחזור באורך 8,
מקיומם של מספר שמח אחד ומספר אחד שאינו שמח, קל לראות שישנם אינסוף מספרים "שמחים", ואינסוף מספרים שאינם כאלה.
אם k הוא מספר שמח, הרי מספר המורכב מ-k מופעים של הספרה 1 וממספר מופעים כלשהו של הספרה 0 גם הוא שמח (משום שסכום ריבועי ספרותיו הוא k), כלומר מצאנו אינסוף מספרים שמחים.
באופן דומה ניתן לייצר אינסוף מספרים שאינם שמחים, בעקבות מספר נתון אחד שאינו שמח.
"מספר שמח-ראשוני" הוא מספר שהוא גם מספר שמח וגם מספר ראשוני.
נכון ל-2010, המספר השמח הראשוני הגדול ביותר שהתגלה הוא מספר מרסן הראשוני .
מספר שמח עוקב הוא מספר שמח שצמוד לו קיים מספר שגם הוא שמח, קיימים אינסוף מספרים שמחים עוקבים.
חיפוש ממוחשב עד ל-1020 מעלה כי בערך 12% מהמספרים הם "שמחים", אך הצפיפות המדויקת אינה ידועה.
מספרי אוילר הם המקדמים בפיתוח לטור טיילור של פונקציית סקאנט היפרבולי (אחד חלקי הקוסינוס ההיפרבולי):
ניתן לחשב את המקדמים על ידי נוסחת הנסיגה: ,
מכיוון שהקוסינוס ההיפרבולי הוא פונקציה זוגית, המקדמים האי-זוגיים הם אפס.
עשרת המקדמים הזוגיים הראשונים מופיעים להלן:
מספרי ברזל היא שיטת מנייה המאפשרת לבדוק במהירות אם קבוצה מסוימת נוכחת במלואה.
בניגוד לשיטות דומות לעריכת בדיקה זו, כגון הקראת שמות, שיטת מספרי הברזל יכולה להתבצע בזריזות, בתנאי ראות קשה וכשמפעיל השיטה אינו זוכר את שמותיהם של כל בני הקבוצה.
שיטה זו נהוגה בצבא כחלק מהתרגולות המקובלות בחיל הרגלים, אך גם קבוצות מטיילים גדולות נוהגות בשיטה זו.
חלוקת מספרי ברזל מתבצעת כאשר ידוע שכל האנשים בקבוצה נוכחים.
בצה"ל נהוג שהמפקד עובר בין האנשים ומחלק להם מספרים עולים.
כך, הראשון יהיה מספר אחת, אחריו יהיה מספר שתיים וכולי כאשר המפקד הוא האחרון.
לאחר החלוקה מתבצעת בדיקת נוכחות על מנת לוודא שכל הנוכחים הבינו את מספרם.
כל אחד מחברי הקבוצה צריך לזכור את מספר הברזל שלו והאם הוא האחרון בקבוצה.
לעיתים נכתבים המספרים בטוש על גוף החייל על מנת לסייע לו לזכור את המספר שהוקצה לו.
כאשר יש צורך לבדוק את מצב נוכחות הקבוצה, האחראי מכריז "מספרי ברזל להתפקד", וכל אחד מאנשי הקבוצה מכריז את המספר שלו בתורו לפי סדר עולה, החל מ-1 ועד לאחרון.
האחרון בקבוצה מוסיף את המילה "ואחרון" אחרי הכרזת המספר שלו על מנת להראות שהספירה הסתיימה, לדוגמה: "17 ואחרון".
אם אחד מאנשי הקבוצה חסר או לא מרוכז, הספירה תיעצר.
במקרה כזה יש להכריז שנית על המספר האחרון שהוכרז ולהימנע מלקרוא את המספר החסר.
לדוגמה: אם בקבוצה של 17 איש הספירה נעצרה לאחר המספר 8, נושא המספר 9 חסר או שאינו מרוכז.
לכן יש לשאול "מי הבא אחרי 8" ואסור לשאול "מי זה 9".
אם אחד מבני הקבוצה שואל בטעות "מי זה 9", האחרים עשויים לחשוב שהמספר 9 הוכרז על ידי מי שאמור היה להכריזו.
אם בדיקת הנוכחות לא התבצעה באופן תקין יש לבצע את הבדיקה שוב.
אם מגלים שאחד מאנשי הקבוצה חסר, מכנסים את הקבוצה לבירור זהותו של החבר החסר.
מספר קַפְּרֵקַר הוא מספר טבעי, השווה לסכום הרישא והסיפא של הייצוג העשרוני של ריבועו.
אפשר באותו אופן להגדיר מספרי קפרקר בכל בסיס אחר.
המספרים קרויים כך על-שם המתמטיקאי ההודי דאטארייה רמאצ'אנדרה קפרקר.
בניסוח מדויק יותר, הוא מספר קפרקר (בבסיס ) אם אפשר לפרק כך שמתקיים עבור שלם כלשהו: , כאשר .
Iannucci הוכיח שמספרי קפרקר בבסיס b עם רישא באורך n עומדים בהתאמה מלאה לפירוקים של לגורמים זרים.
היינו, אם כאשר d ו- 'd זרים, ו- הוא ההפכי של d מודולו 'd, המקיים , אז d*t הוא "מספר קפרקר", וכל מספר קפרקר מתקבל באופן הזה.
כך אפשר לתרגם את כל הבעיות הקשורות למספרי קפרקר לשאלות על מחלקים של מספרים מן הצורה .
לכן 95121 הוא מספר קפרקר.
מספרי קפרקר הקטנים ביותר בבסיס 10 הם:
בבסיס בינארי, כל המספרים המשוכללים הזוגיים הם גם מספרי קפרקר.
קל להוכיח שכל מספר בבסיס b שהוא מהצורה הוא מספר קפרקר:
ומספר זה ניתן לפצל לרישא ולסיפא 1, שסכומם הוא המספר המקורי (תכונה זו נשמטה מעיניו של קפרקר במאמר שבו הציג את המספרים לראשונה).
לפיכך בכל בסיס קיימים אינסוף מספרי קפרקר.
מספרי טראומה ידועים גם בשם מַלְעַ"כּ (ראשי תיבות של: מספריים לחיתוך עם כפתור;), הם מספריים מיוחדים המיועדים לשימוש כוחות הצלה במקרי טראומה המצריכים הסרת בגדים מעל גוף הנפגע.
מספריים אלה מיוחדים בכך שבלהבים שבהם קיים כיפוף הקרוי "כפתור", אשר נועד לספק בטיחות לגוף המטופל ולמנוע פציעה במקרה של נגיעה בגוף המופשט מבגדים על ידם.
תיאור מספרי הטראומה והשימוש בהן
המַלְעַ"כּ הוא מספריים חזקים בדרך כלל, המיועדים לגזור גם חומרים קשים לחיתוך, כגון: עור; בדים עבים כמו ג'ינס; חגורות בטיחות בתאונות דרכים; בגדי רוכבים ממוגנים; נעליים ומגפיים, ואפילו מתכות דקות.
הסוגים החזקים של המלע"כ יכולים לחתוך מטבעות מתכת.
לִשני לַהֲבֵי המלע"כ, יש זווית קהה של כ-145 מעלות באמצעם.
כאשר מעמידים את בסיס המספריים במאונך או בזווית של כ-30 מעלות ביחס לגוף המטופל, מתאפשרת חדירה נוחה ובטוחה יותר מתחת לבגדיו של אדם בלא לסכן את גופו בפציעה.
קיימים מספר גדלים במלע"כים, אך הגודל הנפוץ שבהם הוא כ-20 ס"מ.
מַלְעַ"כּ מצוי בשימוש פרמדיקים, חובשים ואנשי צוות רפואי בשטח ובמיון.
כמו כן הוא מצוי בשימוש צוללנים, מטיילים מקצועיים, ויחידות צבאיות המבקשים מספריים אשר מסוגלים לחתוך חומר חזק כמו רשתות או חוטי ברזל.
השימוש במלע"כ חיצוני בלבד ולא נועד לפעולות כירורגיות פנימיות כלשהן.
כמו כן כלי זה דורש מיומנות לא פשוטה במקרי טראומה מסוימים הדורשים חיתוך לבוש.
באופן כללי ובסיסי, השימוש בו נעשה באופן שהלהב הכפוף כלפי מטה והלהב החד כלפי מעלה.
מקור השם מלע"כ, ככל הנראה בצה"ל ושם הומצא השימוש בשם זה; לאחר מכן הפך לשימוש נרחב יותר בישראל.
גם כיום, בטופסי הרישום הרשמיים של מד"א נקראים מספריים אלה בשם מלע"כ.
רבים תמהים על המילה "כפתור" המשולבת בראשי תיבות זה; לפי אבן-שושן, המילה "כפתור" מציינת בין היתר בעברית החדשה "כינוי לבליטה כלשהי מעוגלת וכדורית, במכשיר, בגוף בעל-חיים ועוד".
לפי זה ניתן לשער בפשיטות שהכיפוף הבולט בתחילת מספרי הטראומה הוא הכפתור; ולמרות שאינו עגול וכדורי, הכיפוף שבו נחשב אפוא למעוגל.
ראשי התיבות של המלע"כ, שובשו לא פעם מחוסר ידע בנושא, כך למשל ניתן למצוא כאלה שכינו את המלע"כ כ"מל"כ" שראשי תיבותיו: "מספריים לחיתוך כפתורים", פתירה שאין לה משמעות רלוונטית.
כמו כן ניתן למצוא פתרון: "מספרים לחומר עם כפתור", "מספריים ללא כפתור", אשר גם הם עם משמעות לא ברורה.
בתורת המספרים, מספר קרמייקל או מספר פסאודו-ראשוני מוחלט הוא מספר טבעי פריק המקיים את מסקנת המשפט הקטן של פרמה: לכל שלם.
המספרים נקראים כך על שם המתמטיקאי רוברט דניאל קרמייקל, שמצא את מספר קרמייקל הקטן ביותר: , והעלה את ההשערה שישנם אינסוף מספרים כאלו.
משפט פרמה הקטן קובע שאם n ראשוני, אז לכל .
כאשר n אינו ראשוני השוויון בדרך כלל אינו מתקיים, ואפשר לבסס על כך מבחנים פשוטים לראשוניות של n.
אם n אינו ראשוני ובכל-זאת , הוא נקרא פסאודו-ראשוני ביחס ל-b.
מספרי קרמייקל הם פסאודו-ראשוניים ביחס לכל הבסיסים.
למשל, יש 20,138,200 מספרי קרמייקל בין 1 ל-1021, כלומר בערך 1 מכל 50 מיליארד מספרים בטווח זה, והם נעשים נדירים יותר ככל שהמספרים גדלים.
התנאים הבאים שקולים עבור מספר פריק :
חופשי מריבועים (כלומר מכפלת ראשוניים שונים) ולכל מחלק ראשוני מתקיים גם .
לכל b מתקיים (כלומר הוא מספר קרמייקל).
לכל b זר ל-n מתקיים .
השקילות של 1 ו-2 קרויה קריטריון קורסלט (Korselt).
קריטריון זה משמש לזיהוי מספרי קרמייקל באלגוריתמים לבדיקת ראשוניות כמו אלגוריתם מילר-רבין.
מסקנה מיידית מקריטריון קורסלט היא שכל מספרי קרמייקל הם אי-זוגיים: מתנאי 1 נובע שקיים למספר קרמייקל מחלק ראשוני אי-זוגי (כי הוא לא חזקה של 2).
כעת, אם מספר קרמייקל הוא זוגי, לפי תנאי 2 נובע .
אבל הוא אי-זוגי, ואילו הוא זוגי, ומספר זוגי לעולם לא יכול לחלק מספר אי-זוגי.
ולכן לא ייתכן ש- הוא מספר זוגי.
מסקנה נוספת: למספר קרמייקל יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים.
אחרת המספר הוא מהצורה כאשר p,q ראשוניים, ו-p-1 מחלק את , כלומר p-1 מחלק את q-1; וגם להפך; לכן p=q, בסתירה לתנאי הראשון.
1 גורר את 2: נניח ש- חופשי מריבועים ולכל מחלק ראשוני שלו מתקיים גם .
ראשית נניח ש- זר ל-.
לכל גורם ראשוני של מתקיים לפי משפט פרמה הקטן, ולפי משפט השאריות הסיני נובע מכך שגם .
שנית נניח ש- ראשוני המחלק את .
לכל גורם ראשוני מתקיים מאותה סיבה כמו במקרה הראשון, ולכן , ומכאן ש-.
אבל כל מספר אפשר לכתוב כמכפלה של מספר זר ל-n וגורמים ראשוניים המחלקים את n, ולכן הטענה נכונה לכל .
2 גורר את 3: אם b זר ל-n, אז נובע מההנחה משום ש-b הפיך מודולו n.
3 גורר את 1: יהי מחלק שהוא חזקת מספר ראשוני.
אם p=2 נניח מלכתחילה ש-.
בעזרת משפט השאריות הסיני, נבחר מספר a שהוא גם שורש פרימיטיבי של (זהו איבר מסדר בחבורת אוילר ; נאלצנו להניח ש- אינו מתחלק ב-8, משום של-8 אין שורש פרימיטיבי), וגם זר לכל גורם ראשוני אחר של n.
לכן a זר ל-n, ולפי ההנחה , ולכן גם .
מכאן ש- מתחלק בסדר של בחבורת אוילר , כלומר .
לצד זה, אם r>1 מתקבל גם , וזו סתירה לכך ש-, ומכאן ש- גם חופשי מריבועים.
קורסלט היה הראשון שציין תכונות של מספרי קרמייקל, אך הוא לא מצא דוגמאות למספרים כאלו.
ב-1910, מצא קרמייקל את מספר קרמייקל הקטן ביותר, , ומשום כך נקראים המספרים על שמו.
ניתן לראות ש- מקיים את תנאי משפט קורסלט: הפירוק לגורמים לא מכיל ראשוני ממעלה שנייה, ומתקיים וגם וגם .
מספרי קרמייקל הבאים הם ():
נסמן ב- את מספר מספרי קרמייקל שקטנים או שווים ל-.
התפלגות מספרי קרמייקל לפי חזקות 10 היא:
בשנת 1953, הוכיח קנדל (Knödel) את החסם:
ההערכה של עבור X=10^N כאשר N הולך וגדל היא באזור: .
לכיוון השני, הוכיחו ב-1994 ויליאם אלפורד, אנדרו גרנוויל וקרל פומרנץ שקיימים אינסוף מספרי קרמייקל.
בפרט, הם הוכיחו שעבור גדול דיו:
צ'רניק הבחין ב-1939 שכל מספר מהצורה , כאשר שלושת הגורמים ראשוניים, הוא מספר קרמייקל.
השאלה האם קיימים אינסוף מספרי קרמייקל מצורה זו היא בעיה פתוחה.
לו וניבור מצאו ב-1992 כמה מספרי קרמייקל גדולים במיוחד, כולל מספר קרמייקל עם 1,101,518 גורמים ומעל 16 מיליון ספרות.
המספר הטבעי n הוא מספר קרמייקל אם האקספוננט של חבורת אוילר של n מחלק את n-1. מכיוון שהאקספוננט תמיד מחלק את הסדר , הדרישה היא דרישה חזקה יותר.
השערת להמר , שעודנה פתוחה, קובעת שאין מספרים כאלה שאינם ראשוניים.
בקומבינטוריקה, מספרי בל (על שם המתמטיקאי האמריקאי אריק טמפל בל) ניתנים על ידי נוסחת הנסיגה הבאה:
עבור מספר החלוקות הזרות של קבוצה לא-ריקה , כאשר איחוד הקבוצות מכסה את .
לקבוצה בת 3 איברים ישנן 5 חלוקות זרות שונות:
ללא הגבלת הכלליות, נבחר איבר כלשהו ונוסיפו לקבוצה בת איברים שאותם נבחר ב- אפשרויות.
על כל אפשרות כזו ישנן אפשרויות לחלוקת האיברים הנותרים לקבוצות לא-ריקות.
על פי זהות פסקל נקבל:
משולש בל (נקרא גם משולש פרס או משולש ), הדומה למשולש פסקל, מספק את ערכי הסדרה:
בשמאל השורה הבאה נכתוב את האיבר הימני ביותר בשורה הקודמת.
כל איבר (החל מהשני משמאל) הוא סכום האיבר השמאלי לו והאיבר מעל השמאלי לו.
בפיזיקה ובכימיה ישנן מספר דוגמאות לתופעות שבהן עבור מספרים ספציפיים של חלקיקים מתקבלים גופים יציבים במיוחד.
מספרי קסם נובעים מתופעות קוונטיות, הקשורות למילוי של רמות קוונטיות - או לתופעות גאומטריות הקשורות לסידור מרחבי של חלקיקים.
כאשר חוקרים את היציבות של אטומים כתלות במספר האלקטרונים שבהם מתגלה שעבור גדלים מסוימים המתאימים למספרים 2, 10, 18, 36, 54, 86 ו-118 מתקבלים אטומים יציבים במיוחד.
עבור אטומים נייטרליים (שבהם מספר האלקטרונים זהה למספר האטומי כלומר למספר הפרוטונים בגרעין האטום) האטומים הללו ידועים בשם גזים אצילים, מיקומם בטבלה המחזורית הוא העמודה הימנית ביותר, והם מתאפיינים בין היתר בכך שהם בפאזה גאזית בטמפרטורת החדר, ובכך שהם אינם נוטים ליצור קשרים כימיים עם אטומים אחרים.
ההסבר ליציבות יוצאת הדופן של הגזים האצילים נובעת מתופעה של מילוי רמות קוונטיות.
תנועת אלקטרון סביב גרעין האטום, על פי תורת הקוונטים, היא מקוונטטת - כלומר האלקטרון יכול להימצא במספר בדיד של רמות.
ברמת האנרגיה הנמוכה ביותר (המתאימה למספרים הקוונטיים n=1, L=0), יש שני מצבים אפשריים, שתי הרמות הבאות (המתאימות למספרים הקוונטיים n=1, L=1 ו-n=2, L=0) הן שוות אנרגיה ויחדיו יש בהן שמונה מצבים אפשריים, וכן הלאה.
רמת האלקטרונית של אטום נבנית מאכלוס של הרמות, החל מהרמות הנמוכות ביותר, ומתברר שכאשר האלקטרונים ממלאים באופן מדויק מספר רמות קוונטיות מתקבלים אטומים יציבים במיוחד.
משום כך אטום ההליום שבו שני אלקטרונים ממלאים בדיוק את רמת האנרגיה הנמוכה ביותר, אטום הניאון שבו עשרה אלקטרונים מאכלסים את שתי הרמות הנמוכות ביותר ושאר הגזים האצילים הם אטומים יציבים במיוחד.
גילוי המחזוריות בתכונות הפיזיקליות והכימיות של אטומים היווה את הבסיס לגילוי הטבלה המחזורית אשר בתורה מהווה אבן בסיס חשוב להבנת התכונות הכימיות של חומרים.
על פי מחקרה של מריה גופרט-מאייר, בפיזיקה גרעינית מספרי קסם מציינים מספרים של נוקלאונים (כלומר פרוטונים או נייטרונים) עבורם מתקבלים גרעינים יציבים במיוחד - כלומר אנרגיית הקשר של נוקלאון בגרעין שכזה גדולה בהרבה מהאנרגיה לה ניתן היה לצפות על פי מודלים סמי-אמפיריים פשוטים.
מספרי הקסם המוכרים ביותר הם: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, 184. אטומים יגלו יציבות מיוחדת כאשר מספר הנייטרונים או מספר הפרוטונים שלהם הוא אחד ממספרי הקסם, אך לא כאשר סכומם הוא מספר קסם.
יציבות גדולה עוד יותר תתרחש כאשר הן מספר הנייטרונים והן מספר הפרוטונים הם מספרי קסם.
אחת ההשלכות של מספרי קסם קשורה ביצירתם של יסודות טרנס-אורניים.
אלו גרעינים שמספרם האטומי גדול יותר מזה של אורניום (92) ורובם אינם יציבים ומתפרקים במהירות על ידי דעיכה רדיואקטיבית.
ואולם יסודות שבגרעין שלהם יש מספר קסם של נוקלאונים יציבים אמורים על פי חישובים ליצור אי של יציבות, כלומר ליצור יסודות כבדים יציבים מאוד (יסודות אלו טרם התגלו בניסוי).
המקור הפיזיקלי למספרי הקסם הגרעיניים הוא במילוי רמות קוונטיות בתוך גרעין האטום.
מספרי קסם בצברים אטומיים ומולקולריים
עם תחילת המחקר בצברים של אטומים או מולקולות התברר שרבות מהתכונות של הצברים אינן מתפתחות באופן הדרגתי כפונקציה של גודל הצבר, אלא מתאפיינות על ידי מספרי קסם.
בפרט, עבור מספרים מסוימים של אטומים בצברים מתקבלים צברים יציבים במיוחד.
שתי הסיבות המרכזיות שגורמות ליציבות צברים בגודל מספרי הקסם הן מילוי של רמות אלקטרוניות (במיוחד עבור צברים מתכתיים חמים) והסידור הגאומטרי של האטומים בתוך הצבר.
בניסוי מפורסם משנת 1984 נמדדה כמות הצברים של נתרן שנוצרו במקור יונים כפונקציה של גודל הצבר.
התקבלו כמויות גדולות של צברים - דבר המעיד על כך שצברים בגדלים אלו הם יציבים במיוחד.