tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
סך חומר הנפץ שהכילו כלל הזימוניות ומכשירי הקשר יחד לא עלה על כמות המקבילה למוקש סטנדרטי אחד.
הוא ציין שמבצע מכשירי הקשר תוכנן כבר לפני כעשור, בתקופת כהונתו של תמיר פרדו, והמשיך תחת יוסי כהן.
מבצע הזימוניות הונח תשתיתית רק בשלהי 2022. הוא אמר שהיו גורמים שביקשו להפעיל את המבצע כבר בתחילת המלחמה, אך במקרה כזה הייתה מושגת רק כעשירית מהפגיעה שנגרמה מהזימוניות וכמחצית מהפגיעה שנגרמה ממכשירי הקשר שהתפוצצו בסופו של דבר.
בטרם הפעלת פיצוץ הזימוניות, היו בידי חזבאללה כ-5,000 מכשירי זימונית מדגם "AR-924 Rugged" של חברת "גולד אפולו" הטאיוואנית, שיוצרה בזיכיון חברת "BAC" ההונגרית, שהיא בעצם חברת קש (יחד עם חברות קש נוספות אותן הקימה ישראל).
דגם זה גדול וכבד יותר מהמכשיר המקורי שיצרה חברת האם הטיוואנית.
עם זאת, החברה ההונגרית הבטיחה מכשיר משודרג בעל יכולות משופרות, כגון חיי סוללה ארוכים של 85 ימים בטעינה אחת, ועמידות במים ואבק בהשוואה לדגם המקורי.
לצורך כך, הופקו פרסומות וביקורות חיוביות מזויפות באינטרנט כדי לייצר מראית עין של אמינות, פרסומים אלו עוררו עניין גם בקרב לקוחות שאינם קשורים לחזבאללה.
כדי להרתיע לקוחות אלה מלרכוש את הביפרים, הוצעו להם מחירים גבוהים ולא אטרקטיביים, בעוד שחזבאללה קיבל הצעות במחירים מפתים במיוחד.
המוסד השתמש באשת המכירות המקורית של גולד אפולו (כנראה ללא ידיעתה כי מדובר במוסד).
בתחילה נמכרו לחזבאללה 16,000 מכשירי קשר ממולכדים, אך מאחר שמכשירי הקשר משמשים רק בשדה הקרב, החל בשנת 2022 ייצור של מכשיר הביפר שאותו פעילי חזבאללה יישאו בקביעות.
עד להפעלת מנגנון הפיצוץ בספטמבר 2024 נמכרו לחזבאללה 5,000 ביפרים.
חזבאללה בחר להשתמש בזימוניות כדי להעביר הודעות לפעילי הארגון, מתוך מחשבה שזו דרך מוצפנת ובטוחה יותר להעברת מסרים לעומת מכשירי סלולר (זימוניות אינן מחזירות מיקום ואין בהן מצלמה).
לפי סוכן המוסד שהתראיין בתוכנית 60 דקות, המכשיר "טיפש" ולא שימש למעקב אחרי פעילי חזבאללה אלא רק כדי "לקבל הודעות טקסט ולשאת כמה גרמים של חומר נפץ".
סביב בחירת העיתוי להפעלת המבצע שררו חילוקי דעות במערכת הביטחון.
הרמטכ"ל הרצי הלוי ושר הביטחון יואב גלנט ביקשו לפוצץ את מכשירי הקשר כחלק מפתיחת מערכה כנגד חזבאללה ב-11 באוקטובר 2023, לאחר שהמחבלים יצטיידו במכשירים.
ראש הממשלה נתניהו התנגד לפתיחת מערכה רחבה נגד חזבאללה באותה עת.
הוא צירף לקבינט המלחמה את בני גנץ ואת גדי איזנקוט, ובכך עצר את פתיחת המערכה ואת פיצוצי מכשירי הקשר.
לפי חלק מהדיווחים נשיא ארצות הברית ביידן היה מעורב בעצירת המבצע, אולם נתניהו הכחיש.
פורסם שבעת הפעלת המבצע בפועל ההחלטה התקבלה בחילוקי דעות כאשר בהמלצת ראש המוסד דדי ברנע, ראש הממשלה נתניהו ביקש להפעיל את המבצע, בעוד שר הביטחון יואב גלנט והרמטכ"ל הרצי הלוי התנגדו.
דדי ברנע אמר בכנס השנתי של ה-INSS: "ראש הממשלה קיבל בסופו של דבר את ההחלטה בניגוד מוחלט לעמדה הרווחת בדיון, והנה אנחנו כאן מקבלים את הפרס".
לפי תחקיר של רונן ברגמן ויובל רבוביץ, היה הפרסום שקרי.
ההחלטה התקבלה בין היתר בשל חשש לחשיפת חומר הנפץ בידי חזבאללה.
בתחילת חודש אוגוסט 2024 חזבאללה שלחו מכשירים לבדיקה באיראן, ובעקבות כך ישראל הרגה בכיר חזבאללה שהוביל את הבדיקה, יחד עם פעיל נוסף שהיה עמו, בכדי לטשטש את מטרת ההריגה.
אולם, מכשירים עדיין נשלחו לבדיקה.
קיימים חילוקי דעות וספקולציות באשר לנזק שהיה נגרם בהפעלת המתווה הראשון.
לאורך המלחמה הוזרמו אלפי מכשירי ביפר נוספים לחזבאללה, אולם מנגד, פיצוץ מכשירי הקשר שהיו מאופסנים במחסנים בגל השני, הביא לתוצאה פחותה מאשר היה מביא פיצוצם בשלב קודם.
החל מ־17 בספטמבר בשעות אחר הצהריים (15:30), ובמשך כחצי שעה, התפוצצו אלפי מכשירים ברחבי לבנון וסוריה.
אלפים נפצעו בדאחייה בביירות בירת לבנון ובאזורים נוספים בלבנון ובהם הר הלבנון והגבול הדרומי עם ישראל.
הפיצוצים גרמו לבהלה נרחבת – תיעודים אשר הופצו בשעות הראשונות לאירוע, העידו על בלבול ותדהמה בקרב הציבור בלבנון ובסוריה ובארגון חזבאללה בפרט.
בתי חולים שטיפלו בפצועים קראו לציבור לתרום דם.
חלק מבתי החולים לא פתחו את שעריהם מהחשש לתקיפה נוספת ספציפית נגד פעילי חזבאללה שפונו לבתי החולים.
לפחות 13 אנשים נהרגו ועוד כ־4,000 נפצעו, מהם לפחות 400 באופן קשה עד אנוש, כתוצאה מפיצוץ הזימוניות בלבנון.
מוג'תבא אמאני, שגריר איראן בביירות, נפגע במתקפה בעת ששהה בסוריה, איבד אחת מעיניו ועינו השנייה נפגעה באופן משמעותי ותפקודה לקוי.
בנוסף, לפי דיווחים בסוריה, 7 מפקדים של חזבאללה נהרגו ו־19 חיילים של משמרות המהפכה האסלאמית נהרגו.
מהדי עמאר, בנו של חבר ב מטעם מפלגת חזבאללה, עלי עמאר , נהרג.
בהרוגים גם ילדה בת 10, בתו של פעיל חזבאללה.
ביום זה נהרגו בלבנון ובסוריה לפחות 39 אנשים.
לאחר האירוע דווח כי לתוך הסוללה הוחדרו כ-6 גרם של חומר נפץ קטלני מסוג PETN, יחד עם רצועת הצתה ששימשה כנפץ.
הסוללה נראתה כלפי חוץ כמו סוללת ליתיום רגילה, עם הכיתוב "made in China" וללא שם יצרן, אך הדגם LI-BT783 אינו קיים באמת בשוק.
על מנת להקנות לדגם אמינות, הוקמו חנויות מקוונות מזויפות, נוצרו דפי אינטרנט, ואף התקיימו שיחות בפורומים מקצועיים ששיבחו את הדגם והסוללה כדי ליצור לו היסטוריה מזויפת.
באתר חברת האם "גולד אפולו" מטאיוואן הוצג הביפר תחת השם AR-924 ותואר כמוצר חדשני, המציע סוללה ייחודית בעלת זמן טעינה של עד 85 יום.
חומר הנפץ PETN נטול מתכות, ולכן קשה יותר לגילוי במערכות אבטחה בנמלי תעופה.
מקורות לבנוניים אישרו לרויטרס שחזבאללה בדק את הביפרים במכשירי שיקוף בנמל התעופה של ביירות כדי לוודא שאינם ממולכדים, אך לא הצליח להבחין בחומר הנפץ.
חומר הנפץ הוטמן במכשירים כמה חודשים לפני מסירתם לחזבאללה.
בעקבות האירועים, משרד הבריאות הלבנוני קרא לאזרחים להיפטר ממכשירים מסוג זה.
בתחקיר שערך "הוושינגטון פוסט" דווח כי הזימוניות תוכננו בצורה שבה כדי לקבל הודעה שנחשבה לסודית היה צורך להשתמש בשתי הידיים וכך הובטחה פגיעה בכשירותם של מקבלי ההודעה.
ההודעה נשלחה לפעילים, וכאשר פתחו אותה, הוביל הדבר לפיצוץ המכשיר.
בזימוניות שבהן לא נפתחו ההודעות לאחר חצי שעה, הופעל מנגנון הפיצוץ ללא קריאת ההודעה.
בתחקיר התוכנית "60 דקות" טען סוכן המוסד כי קיימות "שמועות מבוססות" שנסראללה היה עד לפציעתם של בכירי חזבאללה ששהו בקרבתו בעקבות התפוצצות הזימוניות.
ג'וואד נסראללה, בנו של מזכ"ל חזבאללה חסן נסראללה, חשף בראיון כי מתקפת הזימוניות גרמה לאביו "צער רב" והשפיעה עליו באופן דרמטי.
חסן נסראללה עצמו התייחס למתקפה כ"מכה חסרת תקדים בהיסטוריה של ההתנגדות בלבנון".
ב־18 בספטמבר, החל מהשעה 17:00, התפוצצו בדאחייה שבביירות ובדרום לבנון מכשירי קשר רבים מסוג ווקי-טוקי, ולא זימוניות מסוג אלה שהתפוצצו יום קודם לכן.
מפיצוצי מכשירי הקשר ביום זה נהרגו 25 מחבלים ונפצעו למעלה מ־608.
הפיצוצים גרמו למספר מוקדי בעירה בבתים פרטיים בלבנון.
לפי עדויות וסרטונים, נראה כי עוצמת הפיצוץ הייתה גבוהה יותר מזו של הזימוניות.
אחד מהפיצוצים תועד ברשתות החברתיות במהלך לוויה של אחד מההרוגים מאנשי חזבאללה יום קודם לכן.
לטענת מקורבי יואב גלנט, רוב מכשירי הקשר היו במחסני חזבאללה בזמן הפיצוץ.
לפי התוכנית המקורית הם היו אמורים להתפוצץ לאחר כניסה קרקעית של צה"ל, כאשר מחבלי חזבאללה היו נושאים אותם על גופם.
במבצע בפועל ישראל נאלצה לפוצץ אותם לפני כן, יום לאחר פיצוץ הזימוניות.
גורמי מודיעין אמריקניים העריכו כי המבצע תוכנן על ידי ישראל במשך כ-15 שנה, והשתתפו בו כ-150 בני אדם.
בחזבאללה האשימו את ישראל בהתפוצצויות, שאותן הם תיארו כ"תוקפנות פושעת", והתחייבו להשיב "גמול צודק".
בכיר בחזבאללה אמר כי המקרה הוא "פרצת האבטחה הגדולה ביותר עד כה בארגון".
ב־19 בספטמבר נאם נסראללה והגיב אודות האירועים שהתרחשו יומיים לפני כן.
בנאומו הוא כינה את מה שקרה "רצח עם", ואמר כי רק הפסקת הלחימה בעזה תוביל לחזרת תושבי הצפון.
הוא אמר שחזבאללה ספג "מכה קשה", שיכולה להיחשב כהכרזת מלחמה, ושיהיה על כך עונש קשה.
ראש ממשלת לבנון, נג'יב מיקאתי, גינה את האירוע ואמר כי התקיפה היא "תוקפנות ישראלית פושעת, המהווה הפרה חמורה של ריבונות לבנון ופשע בכל קנה מידה אפשרי".
ממשלת לבנון פנתה לאו"ם בבקשה להכריז שישראל היא האחראית על התקיפה.
בנוסף הוחלט בתגובה לסגור את כל בתי הספר, המכללות והאוניברסיטאות ביום שלמחרת ההתפוצצויות.
שר החוץ האיראני, עבאס עראקצ'י, כינה את התפוצצות הזימוניות "טרור ישראלי".
הוא שוחח עם שר החוץ הלבנוני עבדאללה בו-חביב והבטיח לספק סיוע רפואי למשפחות הקורבנות והפצועים.
בשעות שלאחר ההתפוצצות נועדו ראש ממשלת ישראל בנימין נתניהו, שר הביטחון יואב גלנט ובכירים מצה"ל, מהשב"כ ומ"המוסד" במתחם הקריה בתל אביב.
מדינת ישראל וצה"ל סירבו להתייחס רשמית לאירוע.
ב־18 בספטמבר, בתום הערכת מצב בפיקוד הצפון, אמר הרמטכ"ל הרצי הלוי: "יש לנו הרבה יכולות שעוד לא הפעלנו, ראינו פה חלק מהדברים, זה נראה לי במוכנות טובה ואנחנו מכינים את התוכניות האלה קדימה".
בארצות הברית הכחישו כל מעורבות וקשר לאירוע וטענו כי לא ידעו מראש על התקיפה שעומדת להתרחש.
בנוסף, ארצות הברית גם קראה לאיראן להימנע מלהגיב על הפיצוצים.
הנציג העליון של האיחוד האירופי לענייני חוץ ומדיניות ביטחון, ז'וזפ בורל, גינה את התקיפה ואמר: "גם אם התקיפות היו לכאורה ממוקדות, היו להן נזקים נלווים כבדים וחסרי הבחנה בקרב אזרחים, כולל ילדים שהיו בין הקורבנות".
נציגת מזכ"ל האו"ם למשימת הסיוע של האומות המאוחדות בלבנון, ז'נין הניס-פלאסחארט, גינתה את התקיפה ואמרה שבהתאם לכללי המשפט ההומניטרי אין לפגוע באזרחים בלתי מעורבים.
פולקר טירק, נציב זכויות האדם של האו"ם, אמר כי פיצוץ מכשירי הקשר בלבנון הפר את החוק הבין-לאומי, וקרא לחקירה נגד יוזמי המהלך ומבצעיו.
לדבריו, במבצע נהרגו ונפגעו אזרחים רבים.
התפוצצות הזימוניות סוקרה בהרחבה באמצעי התקשורת בעולם.
רבים מהם הגדירו את המקרה כמתקפה מתוחכמת וחסרת תקדים, וציינו שההתקפה מהווה החרפה בסכסוך ועשויה להוביל למלחמה בהיקף נרחב.
בעקבות ההתקפה, חברות תעופה שונות השעו את טיסותיהן לישראל, וחלקן גם ללבנון ואיראן.
ליאון פאנטה, שהיה ראש ה־CIA ומזכיר ההגנה של ארצות הברית בעת ממשל אובמה, ביקר את הפעולה בראיון ל־CBS ואמר כי לדעתו התפוצצות הזימוניות היא "סוג של טרור, שפגע ישירות בשרשרת האספקה".
וכי "הפעולות של ישראל עלולות להוביל לפעולות קטלניות נוספות בהמשך המלחמה." בינואר 2025 ראיין המגזין "פייננשל טיימס" עשרות בכירים בארגוני ביון מערביים שהודו שהמבצע היה יוצא דופן.
רק שלושה מתוך העשרות אמרו כי היו מאשרים פעולה דומה, וחלקם הזהירו מפני ניסיון של ארגוני הטרור לחקות את המבצע.
טענות על מבצע תודעה של לשכת ראש הממשלה לניכוס קרדיט
בדצמבר 2025 פורסם תחקיר של "ידיעות אחרונות" לפיו לאחר המבצע חש ראש הממשלה בנימין נתניהו שהוא לא מקבל מספיק קרדיט על חלקו בפעולה, ובלשכה יצאו למבצע תודעה במטרה "לנכס את הקרדיט" לנתניהו.
בין היתר הופץ נרטיב לפיו נתניהו אישר את מבצע הביפרים למרות התנגדויות של הרמטכ"ל ושר הביטחון.
הנרטיב פורסם בכלי תקשורת שונים, אך לאחר לחצים מגורמים בכירים במערכת הביטחון, לשכת ראש הממשלה הכחישה את פרטי התחקיר ומסרה ש"הפרסומים לגבי דיונים פנימיים בימים האחרונים אינם נכונים".
ב-25 בפברואר 2025 קיבל ראש "המוסד" דדי ברנע על המבצע פרס מטעם המכון למחקרי ביטחון לאומי בכנס השנתי של המכון.
באפריל 2025 נבחרו שלושה אנשי "המוסד" שהיו מעורבים במבצע להדליק משואה בטקס הדלקת המשואות לציון יום העצמאות ה-77 לישראל.
התפוצה האיראנית (או הגולים האיראניים) היא אוכלוסיית אזרחים איראניים או אנשים ממוצא איראני החיים מחוץ לאיראן.
ראשית היווצרותה נעשתה לאחר המהפכה האסלאמית של 1979 אז ברחו רבים מתושבי איראן עקב רדיפות פוליטיות תחת משטר הרפובליקה האסלאמית.
מגמה זו נמשכה והתעצמה בשנות ה-2020 עקב חוסר יציבות כלכלית ואי שקט פוליטי במדינה.
בשנת 2021, פרסם משרד החוץ האיראני נתונים סטטיסטיים המראים כי 4,037,258 איראנים התגוררו מחוץ לאיראן.
עד דצמבר 2025, נתוני האו"ם הצביעו על כך שיש 1.6 מיליון מבקשי מקלט איראנים ברחבי העולם, דבר המצביע על כך שכ-1 מכל 15 איראנים עזב את המדינה.
כיום, למעלה ממיליון איראנים חיים בארצות הברית, עם אוכלוסיות משמעותיות (בין 100,000 ל-500,000) באוסטרליה, קנדה, גרמניה, ישראל, שוודיה, טורקיה ובריטניה.
בתחילת 2026, התפוצה האיראנית החלה לקיים עצרות ברחבי העולם לתמיכה במחאות האיראניות בשנים 2025–2026.
איראן חוותה גלי הגירה מאז 1979. הממשלה הציעה את הקמתו של משרד הגירה בעקבות דיווחים המצביעים על סטטיסטיקות הגירה קריטיות, המונעות בעיקר על ידי חוסר יציבות פוליטית וסנקציות כלכליות.
בני התפוצה האיראנית הם בדרך כלל חילונים.
רוב גדול של הציבור לא מקפיד על טקסים אסלאמיים בסיסיים, כגון תפילות יומיות או צום, ואימצו במידה רבה את החילוניות המערבית.
על פי סקר משנת 2008, 42% מהאמריקאים האיראנים הזדהו כמוסלמים, 9% כנוצרים, 6% כיהודים, 5% כזורואסטרים, 7% כבהאים ו-31% כאחרים או לא דתיים.
בתקופה שבין 1961 ל-2005, ארצות הברית הפכה ליעד העיקרי של מהגרים איראנים.
לוס אנג'לס רבתי הוערכה כביתם של כ-114,712 מהגרים איראנים, מה שזיכה את אזור ווסטווד בלוס אנג'לס בכינוי "טהראנג'לס".
בסטטיסטיקה ותורת ההסתברות, התפלגות (לפי האקדמיה ללשון הִתְפַּלְּגוּת־הַהִסְתַּבְּרוּת או באנגלית: probability distribution) היא מרכיב בסיסי בתיאור ההתנהגות של תופעה או תהליך שיש בהם היבטים אקראיים.
מרחב ההסתברות מהווה את קבוצת כל התוצאות האפשריות של התהליך, וההתפלגות קובעת מהו הסיכוי של כל מאורע, ובכך מאפשרת להבדיל בין תהליכים אקראיים שונים המתרחשים באותו מרחב.
למשל, נוכל לבדוק גובהן של נשים בוגרות באוכלוסייה.
כל מדידה של גובהה של אישה מסוימת, נקראת "מאורע".
נמצא כי מאורעות שבהם נמדדים גבהים כמו 160 ס"מ או 165 ס"מ שכיחים למדי, ואילו מאורעות שבהם נמדדים גבהים כמו 180 ס"מ או 150 ס"מ שכיחים פחות.
אם למשתנה מקרי יש התפלגות עם פרמטרים: , נהוג לסמן זאת על ידי: .
מבחינה טכנית, התפלגות היא פונקציית מידת הסתברות המוגדרת על הקבוצות המדידות במרחב מדיד; קיומה של פונקציה כזו הופך את המרחב למרחב מידה שהוא למעשה מרחב הסתברות.
במילים אחרות, ההתפלגות היא פונקציה, הקובעת את הסיכוי לכל מאורע אפשרי.
מבחינים בין שני סוגים עיקריים של התפלגויות:
התפלגות בדידה – נוסחה או טבלה, המתאימה, לכל מאורע אפשרי, מספר חיובי בין 0 ל-1, שהוא ההסתברות של אותו מאורע.
אם ההסתברות של מאורע מסוים קרוב ל-1, המאורע נחשב שכיח.
אם הסתברות המאורע קרובה ל-0, המאורע נחשב נדיר.
התפלגות רציפה – פונקציה המתאימה, לכל קטע ממשי, את ההסתברות של אותו קטע, באופן שמקיים את אקסיומות ההסתברות, וכך שההסתברות לכל נקודה היא אפס.
קיימת גם התפלגות שאינה בדידה ואינה רציפה (או התפלגות שהיא בחלקה רציפה ובחלקה בדידה) – פונקציה המתאימה, לכל קטע ממשי, את ההסתברות של אותו קטע, באופן שמקיים את אקסיומות ההסתברות, וכך שקיימות נקודות שהסתברותן חיובית, אולם סכום הסתברויות אלה קטן מ־1.
את הסוג השני (והשלישי) אפשר להכליל להתפלגויות המוגדרות על מרחבים רב־ממדיים.
ההתפלגות מתייחסת למשתנה מקרי, העשוי לקבל ערכים בקבוצה נתונה (סופית, או מוכלת בישר הממשי).
במקרה הראשון, ההתפלגות מתארת את הסיכויים לכל תופעה מן הסוג .
במקרה השני, ההתפלגות של המשתנה מתארת בקטע את ההסתברות , כלומר, ההסתברות לכך שהמשתנה יקבל ערך בקטע .
פונקציית הצטברות של משתנה ממשי
כל משתנה מקרי המקבל ערכים ממשיים, מאפשר להגדיר פונקציית הצטברות (או "פונקציית התפלגות מצטברת"), לפי הנוסחה
הפונקציה מתארת את הסיכוי למאורע , כאשר הוא מספר ממשי, ולכן היא מונוטונית עולה עם .
מאידך, פונקציית ההצטברות מאפשרת לחשב את הסיכוי לכך שהמשתנה ייפול בקטע נתון, וכך קשורות התכונות שלה באופן הדוק לתכונות של המשתנה המקרי.
עבור משתנה מקרי בדיד, המקבל מספר בן מנייה של ערכים, פונקציית ההצטברות היא קבועה למקוטעין.
התפלגות נקראת רציפה אם פונקציית הצטברות ההסתברות שלה רציפה.
התפלגויות רציפות בהחלט הן כאלה שניתן לבטא באמצעות פונקציית צפיפות , על ידי אינטגרל: (ישנן התפלגויות רציפות שאינן רציפות בהחלט, ראו פונקציה סינגולרית).
הפונקציה נדרשת להיות מוגדרת על הממשיים, אי־שלילית, אינטגרבילית לפי לבג, ולקיים את התנאי .
במקרה כזה , ומכאן שפונקציית ההצטברות נדרשת להיות פונקציה גזירה, ולא סתם רציפה.
התומך של התפלגות היא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר שלמשלים שלה הסתברות אפס (מידה אפס).
לכמה התפלגויות שהן בעלות חשיבות תאורטית או מעשית רבה יש שמות:
ההתפלגות המנוונת ב־, שבה מקבל בוודאות את הערך .
התפלגות זו אמנם אינה אקראית, אך היא עונה על ההגדרה של משתנה מקרי.
התפלגות זו מאפשרת לראות קבועים כמקרה פרטי של משתנים מקריים.
ההתפלגות האחידה הבדידה, שבה לכל האיברים בקבוצה סופית הסתברות שווה.
זו אמורה להיות ההתפלגות של מטבע הוגן, קובייה הוגנת, רולטה או חפיסת קלפים שנטרפה היטב.
כמו כן, ניתן להשתמש במדידות של מצבים קוונטיים כדי לייצר משתנים מקריים אחידים.
אולם כל אלה הם מכשירים פיזיים או מכניים, הסובלים מפגמים והפרעות, כך שההתפלגות האחידה היא רק קירוב של התנהגותם.
במחשבים ספרתיים, סדרות פסאודו-אקראיות משמשות ליצירת התפלגות בדידה אחידה אקראית מבחינה סטטיסטית.
התפלגות ברנולי, שבה הערך 1 מתקבל בהסתברות והערך 0 בהסתברות .
ההתפלגות הבינומית, שמתארת את מספר ההצלחות בסדרה סופית של ניסויי כן/לא בלתי תלויים.
ההתפלגות ההיפרגאומטרית, שמתארת את מספר ההצלחות ב־ הניסויים הראשונים מתוך סדרה של ניסויי כן/לא, כאשר מספר ההצלחות הכולל בסדרה ידוע.
ההתפלגות הגאומטרית, שמתארת את מספר הניסיונות הדרושים לקבלת ההצלחה הראשונה בסדרה של ניסויי כן/לא בלתי תלויים.
התפלגות בינומית שלילית, הכללה של ההתפלגות הגאומטרית להצלחה ה־.
התפלגות פואסון, שמתארת את מספר המאורעות הנדירים שהתרחשו בפרק זמן מסוים.
ההתפלגות האחידה הרציפה על , שבה כל הנקודות בקטע סופי הן שוות־סיכוי.
התפלגות בטא על , שההתפלגות האחידה הרציפה על היא מקרה פרטי שלה, ושיש לה שימושים בהערכת סיכויי הצלחה.
בעלות קרן כתומך, בדרך כלל
ההתפלגות המעריכית, המתארת את משך הזמן בין מאורעות אקראיים נדירים.
התפלגות גמא, המתארת את הזמן עד התרחשותו של המאורע הנדיר ה־י.
התפלגות כי בריבוע, שהיא סכום הריבועים של משתנים נורמליים בלתי תלויים.
התפלגות זו היא מקרה פרטי של התפלגות גמא.
משמשת כמבחן כמותי לטיב ההתאמה בין אוסף מדידות ובין פונקציה אנליטית שאמורה לתאר את התנהגות הגודל הנמדד.
ההתפלגות הלוג־נורמלית, המתארת משתנים שניתנים להצגה כמכפלה של הרבה משתנים קטנים בלתי תלויים חיוביים.
התפלגות וייבול, שההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי שלה, משמשת כמודל למשך חייהם של מכשירים טכניים.
התפלגות F, שהיא ההתפלגות של היחס בין שני משתנים נורמליים, המשמשת בניתוח שונות.
התפלגות בולצמן, שיש לה חשיבות בפיזיקה סטטיסטית, המתארת את ההסתברויות של רמות אנרגיה שונות במערכת שנמצאת בשיווי משקל תרמי.
התפלגות זטא, שיש לה שימושים בסטטיסטיקה שימושית ובמכניקה סטטיסטית, ושעשויה לעניין חוקרים בתורת המספרים.
בעלות תומך שהוא כל הישר הממשי
ההתפלגות הנורמלית, הקרויה גם התפלגות גאוסיאנית או עקומת פעמון.
היא שכיחה מאוד בטבע ובסטטיסטיקה הודות למשפט הגבול המרכזי; כל משתנה שניתן להצגה כסכום של הרבה משתנים קטנים בלתי תלויים הוא נורמלי בקירוב.
התפלגות t של סטודנט, השימושית באומדן ממוצעים לא ידועים של אוכלוסיות גאוסיאניות.
התפלגות קושי, דוגמה להתפלגות שאין לה תוחלת או שונות.
בפיזיקה היא נקראת בדרך כלל התפלגות לורנץ, והיא התפלגות האנרגיה של מצב בלתי יציב במכניקת הקוונטים.
התפלגות בולצמן היא מושג מרכזי במכניקה סטטיסטית.
ההתפלגות מתארת את ההסתברות של מערכת הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי עם מאגר חום בטמפרטורה T, להיות במצב מסוים המתואר על ידי האינדקס i, כאשר אנרגיית המערכת היא Ei.
הסתברות זו נתונה על ידי:
במכניקה סטטיסטית מתייחסים לאוסף המערכות המוגדרות על ידי אותה הבעיה הפיזיקלית, ואותם גדלים מקרוסקופיים (טמפרטורה, לחץ, פוטנציאל כימי, וכדומה), אך נבדלים על ידי המצב המיקרוסקופי של כל החלקיקים.
אוסף זה נקרא צבר (ensemble), ועל ידי התייחסות למשקלים סטטיסטיים בהתאם להתפלגות ההסתברות, מתאר צבר זה נכונה מערכות בשיווי משקל תרמודינמי.
התפלגות בולצמן מתאימה לצבר קנוני, המוגדר על ידי מספר קבוע של חלקיקים בכל המערכות, ועל ידי הטמפרטורה של הצבר בכללותו.
בגבול שבו מתקרבת הטמפרטורה לאפס המוחלט, מתבדרת פונקציית החלוקה (או מתקרבת ל-0 אם כל האנרגיות חיוביות), וההסתברויות עבור מערכת ללא ניוון נוטות כולן ל-1 ול-0, עבור מצב היסוד ומצבים מעוררים בהתאמה.
במקרה שיש יותר ממצב אחד עם אנרגיה מינימלית, נאמר שמצב היסוד מנוון, והאנטרופיה תהיה שונה מ-0 גם בטמפרטורה 0 קלווין.
בכל טמפרטורה סופית יהיה סיכוי לאכלוס של מצבים בעלי אנרגיות גבוהות יותר.
ככל שהאנרגיה של מצב גבוהה יותר, ההסתברות להימצא בו נמוכה יותר.
סיכוי סביר לאכלוס יהיה במצבים שהפרש האנרגיה שלהם ממצב היסוד הוא בסדר גודל של kBT.
עבור מערכות קלאסיות, התפלגות בולצמן נותנת את התפלגות מקסוול-בולצמן למהירויות.
בנוסף, ההתפלגות חסרת זיכרון בהיותה התפלגות מעריכית.
לפי התורה הארגודית כל מערכת דינמית תגיע לבסוף לשיווי משקל, שבו הסיכויים לאכלוס מצב מתוארים על ידי התפלגות בולצמן.
למרות זאת, העולם שסביבנו רווי במערכות שאינן בשווי משקל.
אנרגיית השמש מחזיקה את אטמוספירת כדור הארץ מחוץ לשיווי משקל ובכך מאפשרת את תופעות מזג האוויר, הנובעות משאיפת המערכת לחזור לשיווי משקל תרמודינמי.
עקרון הפעולה של הלייזר מבוסס על דחיפת מערכת קוונטית אל מחוץ לשיווי משקל ליצירת היפוך אוכלוסייה.
גזירת התפלגות בולצמן מעקרונות ראשוניים
כל מערכת פיזיקלית בעלת מספר גדול מאוד של חלקיקים תשאף למצב מקרוסקופי כזה שמספר המיקרו-מצבים התואמים לו, בכפוף לאילוצים שנובעים משיווי המשקל התרמי, הוא מקסימלי.
טענה זאת היא תוצאה ישירה מן ההנחה שמסלולה של מערכת במרחב הפאזה (מסלול ביחס לזמן) "מבקר" בכל אחד מהמצבים המיקרוסקופיים בהסתברות שווה, כך שהמצב המקרוסקופי המסתבר ביותר הוא זה שמתייחס למספר מרבי של מיקרו-מצבים.
כדוגמה, נניח כי למערכת מסוימת המצויה בטמפרטורה יש שלוש רמות אנרגיה, ונוסחת התפלגות בולצמן מנבאת ש-1/2 מן החלקיקים יימצאו ברמת היסוד, 1/3 ברמה השנייה ו-1/6 ברמה השלישית.
מן השיקולים שהוסברו בפסקה הראשונה עולה שמצבה של מערכת בעלת מספר חלקיקים גדול ומצויה בשיווי משקל תרמי עם אמבט חום בטמפרטורה יתייצב במצב של אנטרופיה מקסימלית (זהו החוק השני של התרמודינמיקה).
לפיכך, ניתן לגזור את התפלגות בולצמן עבור מערכת של חלקיקים ורמות אנרגיה אפשריות מן העיקרון של מיקסום האנטרופיה בתוספת האילוצים שמספר החלקיקים קבוע ושהאנרגיה הכוללת של המערכת קבועה (שיווי משקל תרמי).
נסמן ב- את מספר החלקיקים להם אנרגיה .
לפי נוסחת האנטרופיה של בולצמן, האנטרופיה של המערכת עבור מצב מקרוסקופי מסוים נתונה על ידי מכפלת קבוע בולצמן בלוגריתם של פונקציית הריבוי .
פונקציית הריבוי נתונה על ידי המקדם המולטינומי , ולכן האנטרופיה היא:
ניעזר בקירוב סטרלינג עבור גדול מאוד, ונקבל:
האיבר מתאפס בכפוף לאילוץ שמספר החלקיקים קבוע.
נחפש את נקודת הקיצון של האנטרופיה , ולשם כך נשווה את הדיפרנציאל שלה לאפס:
מכיוון שמספר החלקיקים קבוע מתקיים ולכן נקבל .
כדי להתחשב באילוצים נפעיל את שיטת כופלי לגראנז' - האילוצים הם ו- ולכן נוסיף אותם בעזרת משתנים מלאכותיים :
כדי שהשוויון יתקיים ביחס לווריאציה (שינוי) בכל אחד מהמשתנים המקדם של צריך להתאפס לכל , ולפיכך:
את הקבוע נמצא מהנחת הנרמול, וכך נקבל .
הקבוע מוכרח להיות בעל יחידות הופכיות לאנרגיה, וכן מצב המערכת חייבת להתכנס לרמת היסוד (כל החלקיקים יהיו ברמת היסוד) כאשר הטמפרטורה שואפת לאפס המוחלט, , מה שמוביל למסקנה ש-.
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות בדידה מתארת התפלגות של משתנה מקרי אשר טווח ערכיו האפשריים הוא קבוצה בת מנייה.
התפלגות בדידה נבדלת מהתפלגות רציפה שמאופיינת בקבוצה רציפה של ערכים אפשריים, כלומר בקבוצה שאינה בת מנייה.
התפלגות בדידה יכולה לשמש כמודל לספירה של מאורעות מוגדרים, למשל:
מספר ההצלחות מתוך מספר נתון של ניסיונות.
לדוגמה מספר הטלות הקוביה שתוצאתן 6 מתוך מספר נתון של הטלות (התפלגות בינומית).
מספר הניסיונות עד לקבלת מספר נתון של הצלחות, לדוגמה מספר הזריקות הכושלות עד לקליעה המוצלחת החמישית לסל אם לכל זריקה יש הסתברות קבועה להצלחה (התפלגות בינומית שלילית).
מספר הניסיונות הנדרשים עד להצלחה הראשונה (התפלגות גאומטרית).
ספירת מאורעות המתרחשים באופן בלתי תלוי ובקצב (ממוצע) קבוע כגון מספר הלקוחות שהגיעו לחנות בפרק זמן מסוים (התפלגות פואסון).
כמו כן התפלגות בדידה מהווה מודל לשאלת כן\לא בהסתברות מסוימת (התפלגות ברנולי) או מודל לשאלה בעלת מספר סופי של תשובות שלכל אחת מהן הסתברות מוגדרת.
במקרה הפרטי שבו לכל תשובה יש הסתברות זהה, תהיה זו התפלגות אחידה בדידה.
שאלות לדוגמה יכולות להיות: "מה תהיה תוצאת ההטלה של קובייה בעלת שש פאות?" (שש תשובות בעלות הסתברות זהה של שישית: {1,2,3,4,5,6}) או לחלופין "האם תוצאת ההטלה תהיה זוגית?" (שאלת כן/לא עם הסתברות של חצי להצלחה).
בתורת ההסתברות, נאמר שהתפלגות היא התפלגות בדידה אם היא מאופיינת על ידי פונקציית הסתברות (להבדיל מפונקציית צפיפות).
לפיכך ההתפלגות של משתנה מקרי היא בדידה, ו- ייקרא משתנה מקרי בדיד אם:
כאשר עובר על כל אחד מהערכים ש- יכול לקבל.
מכאן נובע שאם משתנה מקרי הוא בדיד, אזי קבוצת כל הערכים שהוא יכול לקבל בהסתברות שונה מאפס היא סופית או בת מנייה, שכן סכום איבריה של קבוצה שאינה בת מנייה וכל איבריה ממשיים חיוביים (ושונים מאפס) יתכנס תמיד לאינסוף.
להתפלגות הבדידה יש פונקציית הסתברות לא רציפה עבורה לכל ערך שאינו בקבוצת הערכים האפשריים של ההתפלגות.
פונקציית ההצטברות של התפלגות בדידה נראית כפונקציית מדרגות מונוטונית עולה, כאשר לכל ערך עבורו יש לפונקציית ההצטברות נקודת אי רציפות.
דוגמה קלאסית למשתנה מקרי בדיד היא מספר הנקודות המתקבל על הפאה העליונה כשמטילים קובייה, או פונקציה כלשהי של מספר זה.
התפלגות אחידה בדידה היא התפלגות בדידה שבה לכל האיברים בקבוצה סופית הסתברות שווה.
כלומר, לכל אחד מ- האיברים הסתברות של .
לרוב הקבוצה הסופית כוללת מספרים שלמים עוקבים, ובמקרים אלו מקובל הסימון: , כלומר מקבל כל אחד מהמספרים השלמים בין ל-,
1. אם ניתן ערכים מספריים לתוצאה של הטלת מטבע הוגן, למשל "עץ"=0 ו"פלי"=1, אז התוצאה של הטלת המטבע היא משתנה אחיד בדיד המתפלג: .
2. תוצאת הטלת קובייה הוגנת, היא משתנה אחיד בדיד המתפלג: ; כל אחד מהמספרים מתקבל בסיכוי .
3. התוצאה של סיבוב רולטה הוגנת, היא משתנה אחיד בדיד המתפלג: ; כל אחד מהמספרים מתקבל בסיכוי .
4. המספר של הקלף הנשלף מחפיסת קלפים הוא משתנה אחיד בדיד המתפלג: .
כמו כן, ניתן להשתמש במדידות של מצבים קוונטיים כדי לדגום מהתפלגות אחידה בדידה.
התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה, המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של ניסויי ברנולי בלתי תלויים עם הסתברות הצלחה בכל אחד.
אם משתנה מקרי בינומי המתאים לסדרת ניסויים שכזו מסמנים .
ההתפלגות של משתנה בינומי היא
עבור , ונהוג לסמן את ההסתברות לכישלון בניסוי בודד .
הסימון מתייחס למקדם הבינומי, שממנו קיבלה ההתפלגות את שמה.
אכן, ההסתברות להצליח בדיוק פעמים בסדרה של ניסויי ברנולי עם פרמטר הצלחה שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות האפשריות של תוצאות שיש בהן הצלחות ו־ כישלונות.
מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הסיכוי של סדרה מסוימת (כגון הצלחה–הצלחה–כישלון–כישלון–הצלחה) שווה למכפלה .
לכן ההסתברות הכוללת שווה למספר הדרכים לבחור את הניסויים המוצלחים מתוך כלל הניסויים, שהוא המקדם הבינומי , כפול .
כמו בכל התפלגות, סכום ההסתברויות לכל התוצאות האפשריות הוא 1. אפשר לסכם את ההסתברויות ישירות על ידי נוסחת הבינום: .
התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא , והשונות שלו היא .
מטילים פעמים מטבע בעל סיכוי ל"עץ" של .
נניח שההטלות הן בלתי תלויות זו בזו.
אם נסמן את מספר הפעמים בהן התקבל "עץ" ב־ אז .
ההסתברות לקבלת "עץ" פעמים בדיוק היא
נאמר שמשתנה מקרי מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים אם
כאשר היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.
סכום של משתנים מקריים בינומיים
אם וכן הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי אותו פרמטר הצלחה אז , זאת אומרת סכומם של המשתנים המקריים גם כן מתפלג בינומי.
התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי של התפלגות בינומית כאשר ונהוג לסמן .
למעשה, ניתן לראות בכל התפלגות בינומית Bin(n, p) כסכום של התפלגויות ברנולי בלתי תלויות שלכולן אותה הסתברות .
קירוב על ידי התפלגות פואסון
ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי גדולים מאוד וערכי קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר .
באופן פורמלי, אם סדרת משתנים מקריים המתפלגים אז כאשר .
קירוב על ידי התפלגות נורמלית
אם גדול מספיק חוסר הסימטריה שבהתפלגות לא יהיה גדול, במקרה זה נוכל לקרב את ההתפלגות הבינומית על ידי ההתפלגות הנורמלית .
כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש בתיקון רציפות על מנת לשפר את איכות הקירוב.
עם החזרה בלי החזרה מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות התפלגות בינומית התפלגות היפרגאומטרית מספר הוצאות עד מספר הצלחות התפלגות בינומית שלילית התפלגות היפרגאומטרית שלילית
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, ההתפלגות הגאומטרית היא אחת משתי התפלגויות ההסתברות הבדידות הבאות:
התפלגות ההסתברות של – מספר ניסויי ברנולי הנדרשים עד להשגת הצלחה אחת.
התפלגות ההסתברות של – מספר הכישלונות בניסויי ברנולי לפני ההצלחה הראשונה.
כיצד נקבע מי משתי התפלגויות אלו מכונה ההתפלגות הגאומטרית הוא עניין של מוסכמה ונוחות, בהתאם להקשר.
אם ההסתברות להצלחה בכל ניסיון היא , אז ההסתברות ש- ניסיונות נדרשים עד להשגת ההצלחה הראשונה היא:
בצורה דומה, ההסתברות שיהיו כישלונות לפני ההצלחה הראשונה היא:
בשני המקרים, סדרת ההסתברויות היא סדרה גאומטרית, ומכאן שמה של ההסתברות.
לדוגמה, נניח כי קוביית משחק רגילה מוטלת שוב ושוב עד הפעם הראשונה בה מופיע המספר 1. התפלגות מספר זריקות הקוביה היא התפלגות גאומטרית עם הפרמטר .
ככל ש עולה, ההתפלגות נעשית מרוכזת יותר סביב הממוצע, עם פחות ערכים קיצוניים.
ככל ש יורד, ההתפלגות נעשית מפוזרת ושטוחה יותר, עם ערכים קיצוניים יותר.
ככל ש עולה, ההתפלגות הופכת מפוזרת יותר, עם ערכים קיצוניים יותר.
כאשר יורד, ההתפלגות נעשית מרוכזת יותר סביב הממוצע, עם פחות ערכים קיצוניים.
כאשר שואף לאפס ההתפלגות שואפת להתפלגות בינומית שלילית.
כאשר כאשר שואף ל-1 ההתפלגות שואפת להתפלגות היחידה.
במקרה (כלומר, יש רק כישלון אחד לפני ההצלחה הראשונה) נקבל את ההתפלגות הבינומית השלילית עם .
לאחר כישלונות הסיכוי להצלחה בניסיון ה-, שווה לסיכוי להצלחה בניסיון ה-: .
הסיכוי שההצלחה הראשונית תקרה לאחר n ניסיונות הוא הסתברות ל- כישלונות רצופים: .
התוחלת והשונות של מספר הניסיונות עד להצלחה כולל:
התוחלת והשונות של מספר הכישלונות עד להצלחה:
מדגימה את מספר ניסויי ברנולי (כלומר, ניסויים עצמאיים עם שתי תוצאות אפשריות בלבד) הנדרשים כדי להשיג הצלחה בודדת.
בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות ברנולי, על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך או ערך בהסתברות ו-.
מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון.
במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב- (כלומר: ).
למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על היא, ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא .
אם תסומן התוצאה כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון, אז המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר .
את העובדה שלמשתנה מקרי יש התפלגות ברנולי מסמנים (לעיתים ).
משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה לכל (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ומכאן שכל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־.
משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית.
סכום של משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, (ובפרט, ההתפלגות היא התפלגות ברנולי).
אם הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי:
פונקציית הסתברות של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא:
צורה שקולה לביטוי זה היא:
בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור .
גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של .
עבור ערכי ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה.
התוחלת של משתנה מקרי המתפלג ברנולי היא:
זאת משום שעבור בו יחד עם מתקבל:
השונות של משתנה מקרי המתפלג ברנולי היא:
הצידוד של משתנה מקרי מפולג ברנולי הוא:
התפלגות בוז-איינשטיין (או סטטיסטיקת בוז-איינשטיין) היא פונקציית התפלגות סטטיסטית שבעזרתה ניתן לתאר תכונות של בוזונים (חלקיקים בעלי ספין שלם) זהים חסרי אינטראקציה.
ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאי ההודי סאטינדרה נאת בוז, שפיתח אותה ב-1920 עבור פוטונים, ועל שם אלברט איינשטיין, שהכליל אותה עבור אטומים ב-1924.
באופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת אנרגיה מסוימת במערכת של בוזונים זהים הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי הוא
הוא המספר הממוצע של חלקיקים שימצאו במצב ה-.
היא דרגת הניוון של המצב ה-.
היא האנרגיה של המצב ה-.
הבוזונים הם חלקיקים בעלי פונקציית גל סימטרית.
בניגוד לפרמיונים, המצייתים לעקרון פאולי ולהתפלגות פרמי-דיראק, הבוזונים יכולים להימצא באותו מקום ובאותו מצב שבו נמצאים חלקיקים זהים נוספים.
בשימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין, ותוך ידיעת צפיפות המצבים , ניתן לחשב תכונות תרמודינמיות שונות של המערכת.
לדוגמה, האנרגיה הממוצעת נתונה על ידי:
את התפלגות בוז-איינשטיין ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש בצבר הגרנד קנוני.
במסגרת צבר זה, ההסתברות למציאת מערכת במצב i עם חלקיקים ואנרגיה כוללת נתונה על ידי
, כאשר היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית.
ניקח כמערכת רמת אנרגיה (חד-חלקיקית) מסוימת .
אם אין אינטראקציה בין החלקיקים כאשר הוא מספר החלקיקים הנמצאים ברמה זו.
כאשר מדובר בבוזונים אין הגבלה על ערכי n כלומר .
פונקציית החלוקה במקרה זה תהיה .
מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש ב- כאשר .
התפילה בדת הבהאית היא אחת המצוות החשובות והמרכזיות ביותר שעליה מצווים המאמינים, והיא תופסת מקום מרכזי וחשוב בחייהם.
מטרת התפילה היא להביא את המאמין לכדי קרבה רוחנית אל האל ואל מייסד הדת, בהאא אללה.
התפילה היא כלי הכוונה עבור היחיד, המאמין, אשר באמצעותו יוכל לשפר את התנהלותו בחיים הארציים ולבקש הנחיה וסיוע שמימיים.
בהאא אללה וכמוהו מנהיגי הדת אחריו כתבו לאורך השנים תפילות רבות אשר בתוכן מצויות הנחיות למאמין, חלק מן התפילות נוסחו כמכתבים שיועדו אל המאמינים ממנהיגיהם ונכרכו בספר הקדוש של הדת הבהאית, "אל-כתאב אל-אקדס".
התפילות ברובן נכתבו בערבית ובפרסית ומיעוטן בטורקית ותורגמו לשפות רבות.
לכל תפילה ישנו סדר וצורה שונים והן אינן זהות האחת לשנייה.
פתיחת התפילה בתחינה אל האל היא המשותפת לכל התפילות, לאחריה יכתבו שבחים והלל רבים לאלוהים ובסופה תגיע בקשה לסיוע או הכוונה מבורא עולם.
בסופה של התפילה בדרך כלל מונה המתפלל את מעלותיו של האל.
הספר הקדוש לדת הבהאית נקרא "אל-כתאב אל-אקדס" ובו מצויות הנחיות למאמין הכוללות את התפילה הבהאית.
בדת הבהאית ישנן שלוש תפילות חובה ביום שמטרתן לפתח אצל המאמין, עם הגיעו לגיל 15, את הצניעות והמסירות לאמונה.
שלוש תפילות החובה שונות זו מזו באורכן ולמאמין יש את החופש להחליט איזו מבין שלוש התפילות לקיים בבוקר, בצהריים או בערב.
אם בחר המאמין את התפילה הארוכה או הקצרה רשאי הוא להתפלל פעם אחת ביום בלבד.
ואם בחר את התפילה הבינונית עליו לומר אותה שלוש פעמים ביום.
מכיוון שבהאא אללה בא מן העולם המוסלמי, מכילה התפילה אלמנטים מוסלמים בולטים, בעיקר בולט הממד הפיזי של תנוחות הגוף: הכריעה אפיים ארצה, ההשתחוות והישיבה על עקבי הרגל.
קודם אמירת תפילות החובה חייב המאמין בהיטהרות הכוללת את רחיצת הפנים והידיים.
ככלל, כיוון פני התפילה הוא לעבר הקיבלה הבהאית אשר שוכנת במקדש אל בהאג'ה בעכו, שם קבור בהאא אללה.
כאשר המאמין מקיים את מצוות התפילה על ידי אמירת תפילות הרשות, אותן חיברו בהאא אללה ובנו עבד אל בהאא, הוא איננו מחויב בכלל זה.
התפילה הגדולה היא גם התפילה הארוכה ביותר ולכן על המאמין הבוחר בתפילה זו לומר אותה אחת לעשרים וארבע שעות.
על המתפלל לעמוד על רגליו תוך הכוונתו לעבר העיר עכו ואל אלוהיו.
התפילה הבינונית קצרה בהרבה מן התפילה הארוכה ועל הבוחר בה לומר אותה שלוש פעמים ביום – בשחרית, במנחה ובערבית.
קודם התפילה על המאמין ליטול את ידיו ובעת הרחיצה עליו לומר: "אלוהי, חזק את ידי כדי שתיטול את ספרך בביטחון ולא יוכלו למנוע אותה כל צבאות תבל; אף שמור תשמרנה לבל תשלח בכל אשר לא לה הוא.
התפילה הקצרה תאמר על ידי הבוחר בה פעם אחת ביום בכל עת שיבחר, מהצהריים ועד השקיעה.
נוסח התפילה: "אלוהי, הנני מעיד עלי שאתה בראתני למען אדעך ואעבודך.
אני מעיד עלי בשעה זו שקצר יד אנוכי ואתה אמיץ כוח, שחלש אנוכי ואתה נאדר בגבורה, ושעני אנוכי ואתה לעושרך אין קץ.
אין אלוה אלא אתה השליט על הכל, הקיים לעד".
בהאא אללה ראה בקיום התפילה דבר חיובי מאוד אשר מפתח ומחזק את הרוחניות של המאמין ולכן דגל בקיום תפילה לעיתים מזומנות, לבד או בקבוצה, וללא כללים נוקשים אשר ימנעו את קיומה.
בהאא אללה וממשיכי דרכו תפסו את התפילה כחלק אינטגרלי מההתפתחות הרוחנית של המאמין והאמינו כי יצר התפילה הוא טבעי ולכן התפילה היא איננה המטרה אלא רק האמצעי להגיע למצב רוחני רם יותר.
מרעיונות אלו התפתחה התפיסה כי עדיפה תפילה קצרה אשר תביא את המאמין לכדי התעלות רוחנית מתפילה ארוכה שלא תשיג תוצאה דומה.
ניתן לקיים את התפילה למען מטרות סיוע חומרי, אך המטרה העיקרית של התפילה בדת הבהאית היא לקרב את המאמין אל האל ולכן עדיפה תפילה לאהבת האל ולפארו בלבד, ללא דרישות נוספות.
המאמין יכול לבחור להפנות את תפילתו אל האל, אל בהאא אללה, אל עבד אל בהאא או אל שליחיו האחרים של האל.
את תפילות החובה על המאמין לקיים ביחידות ואין לומר אותן בציבור.
לעומתן, תפילות הרשות יכולות להיאמר תוך התכנסות הציבור, רק בתנאי שהן אינן באות במקום תפילות החובה.
בנוסף, אצל הבהאים אין פולחן ציבורי או ריטואלים דתיים, ואין להם כוהני דת.
התפילה הבהאית מול התפילה המוסלמית
התפילה היא אחת מהמצוות החשובות והבולטות ביותר הן בדת הבהאית והן בדת המוסלמית.
בשתי הדתות חלה על המאמין חובת התפילה, בדת הבהאית כאמור רשאי המאמין לבחור באחת מבין שלוש תפילות ביום ואילו בדת המוסלמית על המאמין להתפלל חמש פעמים ביום, מצווה זו קרויה באסלאם "צלאה".
את התפילה הבהאית יש לקיים ביחידות ולא במבנה פולחן מיוחד ואילו באסלאם רשאי המאמין להתפלל ביחידות אך עליו לקיים את התפילה בפני איש דת, אמאם, במסגד בימי שישי וחגים.
הקיבלה (כיוון התפילה) בדת הבהאית היא לכיוון העיר עכו, והקיבלה המוסלמית היא לכיוון העיר מכה, העיר הקדושה לאסלאם ובה נמצאת הכעבה, האבן השחורה.
מטרת התפילה בשתי הדתות דומה: להביא את המתפלל לכדי רוחניות וקרבה אל האל, להלל ולהכיר בתכונותיו הבלתי נדלות של האל ולהוקיר אותו על כל מעשיו.
הדת הבהאית התפתחה מן האסלאם השיעי ובשל כך ניתן להצביע על קווי דמיון שנשתמרו מן האסלאם והועברו אל הבהאים, ביניהם בולט הממד הפיזי של התפילה.
המאמין הבהאי והמאמין המוסלמי קודם תפילתם חייבים בהיטהרות ובשלבים שונים בתפילה עליהם לבצע מספר תנועות גוף, רכעות.
הרכעות על פי סדר התפילה: עמידה, כריעה, השתחוות מלאה, ישיבה והשתחוות מלאה נוספת.
ניתן לראות אם כן שקיים דמיון בקיום התפילה בין שתי הדתות אך ישנם דברים שלא נשתמרו ושונו בתפילה הבהאית, כדוגמת התפילה ביחידות.
התפילה על המת נכנסת תחת תפילות החובה והיא התפילה היחידה בה מצווים המאמינים הבהאים להתפלל בחברותא, כקבוצה, וללוות יחד את המת אל קבורתו.
את התפילה מקריא בן אדם אחד כאשר סביבו עומדת קהילת המאמינים בשתיקה ומקשיבה לדבריו.
בהאא אללה הבהיר כי את התפילה יש לומר רק על בהאי אשר מלאו לו חמש עשרה שנים.
בדת הבהאית ישנו יחס מיוחד אל המת מתוך רצון שלא להפריע את מנוחתו ולכן המתים מובאים לקבורה במהירות האפשרית מבלי לענות את נשמתם או לטלטל את גופתם מעל למרחק של שעה ממקום הפטירה.
בהאא אללה הלך בעקבות הבאב ודאג להנחיל בקרב מאמיניו את עניין כבוד המת ולכן ציווה עליהם לנהוג בכבוד ולדאוג שגופת המת תכוסה בתכריכים יפים ותיקבר בארון מפואר וזאת כשראש המת פונה לכיוון העיר הקדושה לבהאים, עכו.
בתפילה זו נאמרים דברי תחינה ובקשת מחילה על כל מעשי החטא, המאמינים מפארים את שם האלוהים ודורשים ממנו כפרה ובקשה לרחמיו.
שאיפתו של מייסד הדת הבהאית, בהאא אללה, הייתה להקים מבני פולחן בהאים בכל הערים בעולם שיאפשרו למאמינים לבוא ולהתפלל בהם.
שאיפתו זו התממשה בחלק מן הערים בעולם (שיקגו, ניו דלהי, פנמה סיטי, סידני, קמפלה, פרנקפורט ואפּיה (סמואה)), וכמו כן נרכשו קרקעות למטרה זו במאה ערים נוספות בעולם.
לפי חזונם של מנהיגי התנועה הבהאית, עתידים בתי התפילה הבהאים להוות חלק ממרכזים לפעילות חברתית, הומניטרית, חינוכית ומדעית, אך מטרה זו טרם הושגה.
בהווה משמשים בתי התפילה הבהאים אך ורק לפעילות דתית כתפילה או ללימודי דת ופגישות בהאיות אחרות מתקיימות במרכזים בהאים, בבתים פרטיים או במבנים שכורים.
בית התפילה הבהאי נזכר לראשונה על ידי בהאא אללה בספרו אל-כתאב אל-אקדס, ואופיו של המוסד פותח על ידיו מאוחר יותר וכן על ידי בנו ויורשו, עבד אל-בהאא.
לפי הכתבים הבהאים, יהיו בתי התפילה פתוחים בפני כל מאמיני הדתות, ובהם יוכלו הכל לעבוד את האל ללא קשר להשתייכותם הדתית.
הקמת בתי התפילה הבהאים השונים התבססה על תרומות, ויצאה אל הפועל כאשר הקהילה המקומית הייתה מסוגלת לעמוד בהוצאה.
בניגוד למקובל בדתות אחרות, אין הבהאים גובים כספים בעת טקסים דתיים, ורק בני האמונה הבהאית רשאים לתרום מכספם לקופת הקהילה.
לכל בתי התפילה הבהאים יסודות אדריכליים משותפים, ולפי קביעתו של עבד אל בהאא, עליהם להיות עגולים בצורתם הכללית ולכלול תשע צלעות.
המושבים בכל בתי התפילה הבהאים הקיימים פונים לעבר הקיבלה הבהאית, שהיא מקדש הקבר של בהאא אללה באל-באהג'ה שבעכו.
בתורת ההסתברות, התפלגות t של סטודנט (Student's t-distribution), או בפשטות התפלגות t, היא משפחה של התפלגויות רציפות שמהווה הכללה של ההתפלגות הנורמלית.
כמו ההתפלגות הנורמלית, התפלגות t היא סימטרית סביב אפס, ובעלת צורה דמוית פעמון, אך יש לה זנב עבה.
מסת ההסתברות בזנבות נשלט על ידי הפרמטר .
כאשר התפלגות t ההיא התפלגות קושי, שהזנבות שלה "עבים".
עבור ההתפלגות שואפת להתפלגות הנורמלית שהזנבות שלה "דקים" מאוד.
ההתפלגות מתארת את הערכים הצפויים למדגם מתוך אוכלוסייה המתפלגת נורמלית, כאשר השונות של האוכלוסייה אינה ידועה.
התפלגות t היא הבסיס למבחן t, המשמש לבדיקת מובהקות ההפרש בין הממוצעים של שני מדגמים של אוכלוסייה וכן לניתוח רגרסיה ליניארית.
בסטטיסטיקה, התפלגות t נגזרה לראשונה כהסתברות פוסטריורית ב-1876 על ידי המתמטיקאים הגרמנים הלמרט ולורות'.
בספרות האנגלית, ההתפלגות קיבלה שמה מהמאמר של ויליאם גוסט מ-1908 בכתב העת Biometrika תחת השם הבדוי "סטודנט".
גוסט עבד באותו זמן ככימאי במבשלת הבירה של גינס בדבלין, אירלנד והתעניין בבעיות של דגימות קטנות.
למשל, התכונות הכימיות של שעורה בדגימות שגודלן קטן.
המאמר של גוסט מתייחס להתפלגות כ"התפלגות התדירות של סטיות תקן של דגימות שנלקחו מאוכלוסייה נורמלית".
העבודה התפרסמה בזכות עבודתו של רונלד פישר, שכינה את ההתפלגות "התפלגות סטודנט" וייצג את ערך המבחן באות t.
אחת הגרסאות לשימוש בשם הבדוי בפרסום המאמר היא שהמעסיק של גוסט, העדיף שהצוות ישתמש בשמות עט בפרסום מאמרים מדעיים במקום בשמם האמיתי ולכן גוסט בשם הבדוי "סטודנט".
גרסה אחרת היא שגינס לא רצו שהמתחרים שלהם ידעו שהם משתמשים במבחן t כדי לקבוע את איכות חומר הגלם.
פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות t היא:
כאשר הוא מספר דרגות החופש ו- היא פונקציית גמא.
בפרט כאשר הוא מספר שלם מתקבל:
פונקציית צפיפות ההסתברות היא סימטרית, וצורתה הכללית דומה לצורת הפעמון של משתנה מתפלג נורמלית עם ממוצע 0 ושונות 1, אלא שהיא מעט נמוכה ורחבה יותר.
ככל שגדל מספר דרגות החופש, התפלגות t מתקרבת להתפלגות נורמלית עם ממוצע 0 ושונות 1. מסיבה זו ידוע גם בתור פרמטר הנורמליות.
האיורים הבאים מציגים את פונקציית הצפיפות של התפלגות t עבור ערכי הולכים וגדלים.
ההתפלגות הנורמלית מוצגת כקו כחול להשוואה.
שימו לב שהתפלגות t (קו אדום) מתקרבת להתפלגות הנורמלית כאשר עולה.
ניתן לכתוב את פונקציית הצפיפות המצטברת בעזרת , פונקציית בטא הלא שלמה הרגולרית.
ביטוי אחר שתקף למקרה :
כאשר הוא מקרה פרטי של הפונקציה ההיפרגאומטרית.
עבור המומנטים של התפלגות t הם
מומנטים מסדראו מסדר גבוה יותר אינם קיימים.
עבור k זוגי ניתן לפשט את האיבר ל באמצעות התכונות של פונקציית גמא
עבור התפלגות t עםדרגות חופש:
השונות היא עבור אחרת השונות אינה מוגדרת.
הצידוד הוא 0 עבור , אחרת הצידוד אינו מוגדר.
הגבנוניות היא עבור , עבור , אחרת הגבנוניות אינה מוגדרת.
ניתן להגדיר את התפלגות t עםדרגות חופש באמצעות משתנה מקרי T
כאשר Z הוא משתנה מקרי מתפלג נורמלית עם תוחלת אפס ושונות 1, V משתנה מקרית עם התפלגות כי בריבוע עםדרגות חופש ו-Z ו-V הם בלתי תלויים.
התפלגות t עשויה להתקבל באמצעות דגימה של משתנה מקרי נורמלי.
יהיו דגימות בלתי תלויות ושוות התפלגות מתוך התפלגות נורמלית עם תוחלת ושונות .
ממוצע המדגם ואומד חסר הטיה לשונות נתונים על ידי
הסטטיסטי יהיה בעל התפלגות t עם דרגות חופש.
התפחה היא יצירת מארג בועיות גז קטנות, הלכודות בבצק או בבלילה, על מנת שלאחר האפייה או הבישול יתקבל מאפה בעל מרקם תפוח ואוורירי.
אמצעי התפחה הם חומרים או גורמים ביולוגיים שהוספתם לבצק טרם אפייתו מביאה לתגובה כימית היוצרת בועיות גז (לרוב פחמן דו-חמצני), הנלכדות במארג 'רשת' החלבונים שבבצק.
כאשר מערבבים בצק או בלילה, העמילן שבקמח מתערבב עם המים שבבצק, כך שנוצר מארג (הנתמך לעיתים גם על ידי חלבונים כגון גלוטן או סוכרים כגון פנטוז) שנקרש ומתייצב ובו בועות אוויר שנלכדו.
בועות אלו, גם אם הן תורמות ליצירת מאפה תפוח ו"ספוגי", אינן חלק מתהליך התפחה, משום שלא נוצרו כתוצאה מתגובה כימית.
התפחה ביולוגית היא צורת ההתפחה המקובלת ביותר באפיית לחם וכוללת ערבוב של מיקרואורגניזמים ממשפחת השמרים לתוך העיסה.
אלו פולטים פחמן דו-חמצני כחלק ממחזור החיים שלהם וגז זה נלכד בבצק.
שמרים מותירים תוצרי לוואי (בעיקר אתנול שמתאדה במהלך האפייה, ותוצרי אוטוליזה - עיכול עצמי) התורמים לטעמם הייחודי של מוצרי בצק שמרים.
ללחמי שאור טעם ייחודי בגלל השימוש בשמרי בר שחיים בסימביוזה עם חיידקי חומצת חלב שמייצרים תרכובות חומציות בבצק.
התפחה באמצעות שמרים מבוססת על תסיסה המשנה את המבנה הכימי של הפחמימות בבצק.
בניגוד להתפחה כימית, המופעלת לרוב מיידית כאשר המים מחברים בין הבסיס לחומצה, התפחה על ידי שמרים דורשת השהייה המאפשרת לשמרים לפרק את הפחמימות ולייצר פחמן דו-חמצני הנלכד בבצק.
הוספת ביצים, תפוחי אדמה או סוכר לבצק גורמת להאצת גדילת השמרים, בעוד הוספת מלח או שומנים כגון חמאה מאטים את גדילתם.
שמרים משמשים גם להתססת משקאות חריפים כגון בירה ויין.
בתהליך התסיסה נוצר קצף הבירה, העשוי לשמש אף הוא כחומר מתפיח ושימש ככזה בעבר, לפני שהחל גידול השמרים התעשייתי.
בעידן המודרני נעשה שימוש בשמרי אפייה שהותאמו בצורה מיטבית להתפחת בצק ושגודלו בתהליכים תעשייתיים.
לצד שמרי האפייה, בהתפחת מוצרי מאפה ביתיים נעשה שימוש גם במוצרים המכילים שמרים מסוגים אחרים או חיידקים, המביאים גם הם לתוצאה הרצויה של בועיות גז הלכודות בבצק.
לדוגמה: בירה לא-מפוסטרת (המכילה שמרים חיים), חובצה, בירת זנגביל, קפיר, מחמצת שאור ויוגורט.
סוכני התפחה כימיים הם תערובות או תרכובות כימיות המשחררות פחמן דו-חמצני או גז אחר כתגובה לחום או לחות.
כמעט תמיד הן מבוססות על שילוב של חומצה (לרוב חומצה אורגנית בעלת משקל מולקולרי נמוך) ובסיס.
מתפיחים כימיים משמשים בהכנת עוגות בחושות, עוגיות ומוצרים נוספים, בהם תסיסה ביולוגית אינה מעשית או אפשרית.
כדי לייצר חומר התפחה כימי שיהיה גם יעיל וגם חסר טעמי לוואי נדרשת מומחיות בכימיה.
לכן חומרים כאלו נמכרים בתערובות מוכנות שמרכיביהן מדודים מראש.
תערובות אלו מכונות לרוב אבקת אפייה.
אבקת אפיה כוללת לרוב לפחות אחד מהבאים: סודה לשתייה, זרחות כגון זרחת מונו-סידן וזרחת נתרן אלומיניום, אמוניום ביקרבונט, אשלגן פחמתי, קרם טרטר ועוד.
כאשר מקציפים סוכר עם שומן מוצק (לרוב חמאה) במערבל מזון, גבישי הסוכר חותכים פיזית את מרקם השומן, כך שמוחדרות לתערובת בועות אוויר קטנות.
להתפחה מכנית זו מוסיפים בדרך כלל גם מתפיח כימי.
שיטה זו משמשת במתכוני עוגיות רבים.
שימוש במטרפה להקצפת נוזלים מסוימים כגון שמנת וחלבוני ביצה יוצר קצף באמצעות פעולה מכנית.
הקצפת חלבוני ביצים היא השיטה המשמשת להכנת עוגות ספוג, בהן מארג חלבון ביצה הנוצר על ידי הקצפה עזה הוא התורם העיקרי למרקמו של המוצר הסופי.
בבריטניה פותחה שיטת אפיית לחם המערבת התפחה ביולוגית ומכנית (השיטה מכונה CBP).
בשיטה זו זמן ההתפחה הביולוגית מקוצר כיוון שחלק מההתפחה מבוצע על ידי ערבול עז מאוד של הבצק במהירות גבוהה.
לפיכך מקוצר הזמן הדרוש ליצור המוצר הסופי - כיכר לחם.
השיטה נחשבת יעילה להתמודדות עם קמח החיטה הרך המופק בחקלאות הבריטית, אולם היא שנויה במחלוקת בשל האיכות הירודה של הטעם והמרקם של המוצר הסופי, כמו גם נחיתותו התזונתית בשל שימוש בכמות גדולה יותר של שמרים ומלח.
למרות זאת השיטה אומצה על ידי מאפיות תעשייתיות באזורים נוספים בעולם.
אוויר או קיטור עשויים לשמש כמתפיחים כיוון שהם מתרחבים בחום.
על מנת לנצל תכונה זו, על האפייה להתבצע בחום גבוה מספיק להפיכת המים לאדים, עם בלילה בה האוויר ילכד ויוותר עד שהבלילה תתגבש באפייה.
התפחה כזו משמשת במאפים מסוג פודינג יורקשייר ובמידה פחותה בטמפורה.
חמצן דו-חנקני משמש כחומר מניע במכלי תרסיסי קצפת.
התנדפות הגז מקציפה את התרסיס.
התפיסה הליברלית בכלכלה פוליטית בינלאומית היא אסכולה מסורתית שהתפתחה לראשונה בבריטניה במהלך המאה השמונה עשרה.
מטרתה הייתה לאתגר את התפיסה המרקנטיליסטית, שהייתה דומיננטית באותה תקופה.
המלומדים הבולטים המשויכים לתפיסה זו הם אדם סמית' ודייוויד ריקרדו, ובאמצעות תפיסתם הם ניסו לשנות את המדיניות הכלכלית של הממשלה הבריטית, שהייתה מרקנטיליסטית באותה תקופה.
לתפיסה הליברלית יש מספר עקרונות.
ראשית, יש חליפין וולונטרי שיוצר רווח.
לפי הליברליזם, שיתוף פעולה הוא דבר חיובי.
כמו כן, לשוק יש עליונות כי הוא מנגנון יעיל שיודע לנהל משאבים בזמן מחסור.
זוהי גישה כלכלית נאו-קלאסית, הטוענת שהשוק יעיל בעיקר בענייני מחסור.
השוק יודע לעבוד טוב, הודות ל"יד הנעלמה", שמסדירה אותו.
לכן ליברליזם מתיישב עם ליברליזציה בסחר.
ליברליזציה במסחר היא סחר חופשי.
לפי הליברליזם, ככל שיהיו פחות מכסים ויהיה יותר סחר כלכלי בינלאומי, כולם ירוויחו מזה ויהיה שלום והרמוניה.
תפקיד הממשלה הוא רק להבטיח את כללי המשחק: לדאוג לביטחון, לכסף, ולמנוע מונופולים.
תפקיד הממשלה לדאוג שלא נוצרים מונופולים או שחקנים עם עוצמה רבה מדי.
הרווחים הם אבסולוטיים, כלומר רווח של אחד אינו בהכרח הפסד של מישהו אחר.
לכאורה, כולם יכולים להיות המרוויחים.
כולם מרוויחים אם הסחורות, שירותים, הון ועבודה נעים בחופשיות.
משטר בינלאומי נחוץ להבטחת התחרות ההוגנת.
לתפיסה הליברלית בכלכלה פוליטית בינלאומית יש מספר מאפיינים.
ראשית, התפיסה הליברלית מנסה להתוות קו חזק בין פוליטיקה לכלכלה, ולפיכך לפי הליברליזם, מטרת הפעילות הכלכלית הייתה להעשיר את האינדיוודואלים ולא לקדם את כוחה של המדינה.
בנוסף, הליברליזם טוען כי מדינות אינן מעשירות את עצמן באמצעות הפעלת עודפי מסחר.
במקום זאת, המדינות מרוויחות מהמסחר תוך כדי התעלמות מהשאלה האם שיווי המשקל של הסחר הוא חיובי או שלילי.
כמו כן, לפי הליברליזם, מדינות מתעשרות על ידי ייצור מוצרים שהן יכולות לייצר בְּעלות נמוכה יחסית בתוכָן, וסוחרות בהם עבור סחורות שיכלו להיות מיוצרות בתוך אותן מדינות רק בְּעלות גבוהה יחסית.
לפיכך, הליברליזם טוען שממשלות צריכות לעשות מאמץ קטן בלהשפיע על שיווי המשקל של המסחר של המדינות או לעצב את סוגי הסחורות שהמדינה מייצרת.
מאמצי הממשלה להקצות משאבים רק יורידו את הרווחה הלאומית.
בנוסף, לפי הליברליזם, הרווחה החברתית תהיה ברמה הגבוהה ביותר כאשר אנשים יהיו חופשיים להגיע להחלטות כיצד להשתמש במשאבים שברשותם.
לכן, משאבים צריכים להיות מוקצבים דרך עסקאות של חליפין וולונטרי בין אינדיבידואלים.
באופן הזה, הרווחיות כמעט ודאית.
כמו כן, בשוק העובד באופן מושלם, האנשים ימשיכו לקנות משאבים ולמכרם עד שההקצבה לא מציעה עוד הזדמנויות לתחלופה הדדית רווחית.
באשר למדינה, הרי שהיא צריכה לכונן זכויות ברורות לגבי בעלות על רכוש ומשאבים.
המערכת המשפטית צריכה לאכוף את הזכויות הללו ואת החוזים המעבירים בעלות מאדם אחד לשני.
כמו כן, הממשלה צריכה לפתור את כשלי השוק שעולים, ולהבטיח את כללי המשחק.
אם כך, על פי הגישה הליברלית, השחקן הכי חשוב בכלכלה הפוליטית הבינלאומית הוא האינדיבידואל, הפרט.
כמו כן, תפקיד המדינה הוא לבנות ולאכוף זכויות קניין ולהקל על השינויים והתחלופות בשוק.
בנוסף, מבחינת התדמית של המערכת הכלכלית הבינלאומית, הרי שיש הרמוניה.
הכלכלה הבינלאומית מציעה רווחים לכל המדינות.
האתגר הוא ליצור מסגרת פוליטית המאפשרת למדינות להגשים את הרווחים הללו.
המטרה העיקרית של הפוליטיקה הכלכלית היא חיזוק המצרף של רווחה סוציאלית.
ברמה הכלכלית הבינלאומית, הליברלים מאמינים שהרמוניה של אינטרסים קיימת בין המדינות כשם שהיא קיימת בתוך המדינות.
הם טוענים שכל המדינות ייהנו מבחינה כלכלית, כאשר סחורות ושירותים ינועו בחופשיות דרך גבולות לאומיים.
אילו התקיים סחר חופשי כלל־עולמי, הרי שכל המדינות היו נהנות מהרמה הגבוהה ביותר של יעילוּת ולא היה יסוד כלכלי לסכסוך בינלאומי או למלחמה.
הליברלים גם מאמינים שממשלות צריכות לקחת חלק בניהול הכלכלה הבינלאומית בנושאים הקשורים לייסוד כללים ורגולציות.
למעשה, תפקיד הממשלות הוא להבטיח שאף מדינה לא נפגעת מתחרות בינלאומית שאינה הוגנת.
צמיחה כלכלית – הגדלת התוצר
הליברליזם נקשר אל הגישה הכלכלית הנאו קלאסית בהסבר הצמיחה הכלכלית, וטוען שישנם מספר גורמים המשפיעים על הצמיחה, והם: גידול באוכלוסייה, רמת החיסכון וטכנולוגיה.
יש לעשות ויתור במאזן בין ייצור לצריכה.
גידול באוכלוסייה גורם לעלייה בגורמי הייצור המעלה את התוצר.
לפעמים אם הממשלה מתערבת אפשר להגיע למצב שבו לא כל גורמי הייצור מנוצלים בשוק, ולכן להגיע לאי־יעילות.
שיפורים טכנולוגיים עשויים להביא לצמיחה.
ההנחה העומדת מאחורי הגישה הנאו קלאסית היא שאין עלויות עסקה, וההנחה הזאת אינה נכונה.
ישנם סוגים שונים של עלויות עסקה.
יש עלויות קלאסיות כמו עלויות של תחבורה ותעבורה.
כמו כן, יש עלויות בהובלת חקלאות למשל.
עלות עסקה יכולה להיות גם אינפורמציה, ושערי חליפין.
סוג עלויות העסקה המטרידות ביותר הן עלויות של חוסר ודאות לגבי מהימנותו וצרכיו של שותף הסחר הפוטנציאלי.
על פי התאוריה של רונלד קואס, כשיש עלויות עסקה, יש חשיבות רבה למוסדות.
מי שיש זכות קניין על מוצר כלשהו יכול לסחור בחופשיות.
אם אין עלויות עסקה, המשק עובד בצורה יעילה, כי כאשר יש עלויות עסקה יש התערבות בחלוקה של הקניין, ואין זה יעיל.
בהיעדר עלויות עסקה, אין זה משנה אם הממשלה תתערב בזכויות קניין, כי היא יכולה לשנות את חלוקת הרווחים בין הפרטים, אך היא לא יכולה לשנות את סך הרווחה במשק.
אם קיימות עלויות עסקה, המשמעות היא שיש בעיית יעילות, היות שסך הרווחה במשק משתנה.
לכן, מוסדות יכולים לצמצם את עלויות העסקה ולהגדיל את הרווחה.
לכאורה, ניתן לצמצם את עלויות העסקה באמצעות יצירת מסגרת חברתית הדוקה.
ברם, לחליפין במסגרת חברתית מצומצמת יש מחיר כלכלי גבוה, כי במצב הזה אין תחרות.
על כן, חליפין אנונימי מעלה את עלויות העסקה, אף־על־פי שהוא עשוי להיות יעיל.
קואס טוען שלמוסדות יש חשיבות רבה כאשר יש עלויות עסקה.
לדידו, מוסדות יוכלו לצמצם את עלויות העסקה.
מוסדות הם כללים, דרכי אכיפתם ונורמות התנהגות המעצבים קשרי גומלין אנושיים.
מוסדות מושפעים מהגירה, שינויים טכנולוגיים, שינויים בנורמות ומשינויים במידע.
אמנם, עלות המוסדות גבוהה מבחינת הבירוקרטיה ונושא האכיפה.
בנוסף, מוסדות יכולים להשתנות במהירות בהתאם לנסיבות ולעלויות, וזה אחד היתרונות הבולטים בהם.
למדינה יש תפקיד מרכזי ביצירת המוסדות ובתחזוקתם.
יחד עם זאת, המעורבות הממשלתית עלולה להביא לכך שבעלי הון וכוח יכפו כללים שלא יהיו יעילים מבחינה כלכלית לחברה, וזאת על ידי ייצור זכויות קניין לא יעילות שיביאו לקיפאון ואף לשקיעה כלכלית.
עד לראשית המאה השש עשרה הן בבריטניה והן בספרד המלך היה מתקיים על בסיס השיטה הפאודלית, והיו לו אחוזות פרטיות.
לפיכך התפתחו יחסי תלות בין צמיתים לאצילים.
כמו כן, ההישרדות הפוליטית של מנהיגים הייתה תלויה בהגדלת ההכנסות.
אולם, חידושים בטכנולוגיה הצבאית – הופעת הנשק החם – הביאו לשינוי באופי המלחמה, ולפיכך הכוח של האצולה עבר לצבאות קבע שהייתה להם עלות כספית.
לאור כל זאת, ובשביל להגדיל את ההכנסות במדינה, המלך היה צריך לשנות את יחסיו עם הכפופים לו.
המלך היה מונופוליסט מפלה, וכוח המיקוח שלו מול קבוצות שונות היה אסימטרי.
בנוסף, המלך היה צריך לפתח בירוקרטיה שתעקוב אחר הפעילות הכלכלית ותגבה מסים.