tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
כשמסתכלים על כל הזרימה כזרימה פוטנציאלית, הסיבה לקיום התנאי היא שאי קיומו גורר שמהירות הזרימה בקצה הכנף היא אינסופית.
במציאות, על שפת הכנף נוצרת שכבת גבול, והזרימה בשכבה הזו היא שמזיזה את נקודת הסטנגציה תוך יצירת מערבולת התחלתית.
סוג מיוחד של כנף הוא כנף ז'וקובסקי המתקבלת באמצעות מיפוי קונפורמי של המרחב המרוכב לפי .
במיפוי זה, כל מעגל מהצורה יוצר כנף במישור (שהוא המישור הפיזיקלי) המוגדר על ידי העתקת ז'וקובסקי, כשמיקום המרכז והרדיוס , קובעים את צורת הכנף.
מאחר שההעתקה היא קונפורמית, קווי זרם במישור מועתקים לקווי זרם במישור .
הפתרונות האפשריים לזרימה במישור ידועים, מאחר שהם מתארים זרימה מסביב לגליל עם סירקולציה.
את הפוטנציאל המרוכב במישור ניתן להעתיק למישור הפיזי ובמישור זה ישנו ערך יחיד לסירקולציה המאפשר את קיום תנאי קוטה.
זוהי הסירקולציה שתתקבל מסביב לכנף.
קל לפתח את משפט קוטה ז'וקובסקי באמצעות תיאור הזרימה על ידי פוטנציאל מרוכב.
בתיאור כזה, לפי משפט בלסיוס, הכוח הפועל על אזור המוקף בלולאה מקיים:
כאשר היא צפיפות הזורם ו- הפוטנציאל המרוכב.
מאידך, היא פונקציה הולמורפית וחסומה באינסוף, לכן הפיתוח של לטור לורן מקיים .
מצד שני, מתכונות הפוטנציאל נקבל: ולכן .
את ניתן לחשב לפי משפט השארית:
כאשר האינטגרל השני מתאפס מכיוון ש:.
כעת ניתן להציב את שני האיברים האלו בטור ולקבל:
כל שנותר הוא לחשב את הכוח לפי משפט בלסיוס:
כלומר כוח העילוי ליחידת אורך מקיים והוא מאונך למהירות המציפה.
נשים לב שבמערכת צירים רגילה, בה מצביע ימינה, ו- למעלה, נקבל כוח עילוי חיובי עבור סירקולציה שלילית, כלומר סירקולציה עם כיוון השעון.
משפט קניג הוא משפט בתורת הגרפים, העוסק בכיסוי מינימלי ובשידוך מקסימום.
הוא קובע שבגרף דו צדדי הם שווים.
המשפט התגלה על ידי דנש קניג ונקרא על שמו.
כיסוי קודקודים היא קבוצת קודקודים המקיימת שלכל קשת יש קודקוד כך ש-.
כיסוי מינימלי הוא כיסוי שאין כיסוי עם פחות קודקודים ממנו.
מסמנים להיות גודל הכיסוי המקסימלי.
שידוך הוא קבוצת קשתות המקיימת שלכל קודקוד יש לכל היותר קשת אחת כך ש-.
שידוך מקסימלי הוא שידוך שאין שידוך עם יותר קשתות ממנו.
מסמנים להיות גודל השידוך המקסימלי.
תמיד , שכן כל שידוך תמיד קטן שווה מכל כיסוי (כי מכל קשת חייב להיות לפחות קודקוד אחד שישתתף בכיסוי).
משפט קניג קובע שאם הגרף דו-צדדי, גם .
נשים לב שמציאת שידוך מקסימלי ניתנת לפתרון פולינומי, בעוד שבעיית כיסוי הקודקודים היא NP קשה.
לכן, משפט קניג מוכיח שעבור גרף דו צדדי הבעיה איננה NP קשה.
יהי כיסוי מינימלי בגרף הדו צדדי .
זה יוכיח , וביחד עם כפי שהוזכר לעיל, ינבע .
נסמן ב- את תת-הגרף המושרה על .
אז נראה שיש זיווג שמרווה את A1 (כלומר כל קודקוד ב-A1 נוגע בקשת שמשתתפת בזיווג).
נעשה זאת בעזרת משפט החתונה של הול.
נטען ש (כאשר הם השכנים של x ב-G1) הוא כיסוי של G.
אכן, כל קשת ב-G נחתכת על T (כי הוא כיסוי) שהוא , ולכן יש לה קצה או ב-, או ב-, או ב-x ואז הקצה השני ב.
כיוון ש-T הוא כיסוי מינימלי, .
מצד שני, מתקיים וכן .
הראנו את תנאי הול על .
ממשפט החתונה של הול, יש בו זיווג המרווה את .
משיקולי סימטריה יש גם ב- (הגרף המושרה על ) יש זיווג המרווה את .
כיוון שהם זרים, איחודם הוא זיווג המרווה את ובפרט גודלו לפחות כרצוי.
ניתן להכליל את המשפט למקרים בהם הגרף ממושקל:
קשתות ממושקלות: נניח שלכל קשת משקל אי שלילי.
משקל של שידוך הוא סכום משקלי הקשתות.
כיסוי ממושקל הוא פונקציה מהקודקודים למספרים אי שליליים, כך שסכום הקודקודים בקצות כל קשת הוא לפחות משקל הקשת.
משקל של כיסוי כזה הוא סכום המשקלים.
אז בגרף דו צדדי, משקל הכיסוי המינימלי שווה למשקל השידוך המקסימלי.
קודקודים ממושקלים: נניח שלכל קודקוד משקל אי שלילי.
משקל של כיסוי הוא סכום משקלי הקודקודים.
שידוך ממושקל הוא פונקציה מהקשתות למספרים אי שליליים, כך שסכום הקשתות שיוצאות מקודקוד הוא לכל היותר משקל הקודקוד.
משקל של שידוך כזה הוא סכום המשקלים.
אז בגרף דו צדדי, משקל הכיסוי הקסימליי שווה למשקל השידוך המינימלי.
שני המשפטים נובעים ממשפט הדואליות החזק.
משפט קיילי-בכראך הוא משפט מתמטי לעקומים ממעלה 3 במישור הפרויקטיבי .
נניח ששני עקומים ממעלה 3 ו- במישור הפרויקטיבי נפגשים בתשע נקודות (שונות), כפי שהם עושים באופן כללי בשדה סגור אלגברית.
אזי שכל עקום ממעלה 3 שעובר דרך כל שמונה מהנקודות עובר גם דרך הנקודה התשיעית.
צורה טבעית יותר של משפט קיילי-בכראך מנוסחת כך:
כל עקום ממעלה 3 מעל שדה סגור אלגברית שעובר דרך קבוצה נתונה של שמונה נקודות עובר גם דרך נקודה תשיעית שתלויה רק ב (כולל ריבוי).
תוצאה קשורה על שניוניות הוכחה לראשונה על ידי הגאומטריקן הצרפתי מישל של ולאחר מכן הוכללה לעקומים ממעלה 3 על ידי ארתור קיילי ואיזק בכראך.
מקרה פרטי הוא משפט פסקל, ובמקרה זה שני העקומים מנוונים: בהינתן שש נקודות על שניונית (שיוצרות משושה), נשקול את הקווים המתקבלים על ידי הארכת צלעות נגדיות - נקבל זוג עקומים ממעלה 3 המורכבים משלושה ישרים כל אחד, אשר נחתכים ב-9 נקודות - 6 הנקודות על השניונית, ו-3 נוספות.
3 נקודות אלו נחות על ישר, מכיוון שהשניונית בנוסף לישר העובר דרך שתיים מנקודות אלו הוא עקום שלישי ממעלה 3 העובר דרך 8 מהנקודות.
מקרה פרטי של משפט פסקל הוא משפט המשושה של פפוס.
במקרה זה, השניונית היא מכפלה של 2 ישרים, שעליהם נחות הנקודות.
דוגמה נוספת לשימוש של קיילי בכראך הוא הוכחה של משפט מיקל: שלושת העקומים הם המכפלה של כל מעגל והישר של הצלע שמול הקודקוד שבו הוא עובר, ו-9 נקודות החיתוך הן 3 הקודקודים, 3 נקודות החיתוך של המעגלים על הצלעות, שתי הנקודות המעגליות באינסוף (אנ') ונקודת החיתוך של שלושת המעגלים.
ניזכר תחילה שבהינתן שני עקומים ממעלה , הם מגדירים עיפרון (מערכת ליניארית בעלת פרמטר אחד) של עקומים ממעלה על ידי לקיחת צירופים ליניאריים פרויקטיבים של המשוואות המגדירות אותם; זה מתאים לשתי נקודות הקובעות ישר פרויקטיבי במרחב הפרמטרים של העקומים, שהוא פשוט מרחב פרויקטיבי.
משפט קיילי-בכראך נוצר במעלה גבוהה בגלל מספר נקודות החיתוך של שני עקומים ממעלה , כלומר (לפי משפט בזו), גדל מהר יותר ממספר הנקודות הדרושות כדי להגדיר עקום ממעלה , הניתן על ידי
אלה שווים בפעם הראשונה עבור , וזו הסיבה שמשפט קיילי-בכרך מתרחש עבור עקומים ממעלה 3, ועבור דרגה גבוהה יותר גדול יותר, ומכאן ההכללות בדרגה גבוהה יותר.
בפרט, מספר הנקודות הנדרשות לקביעת עקום ממעלה הוא מספר המונומים ממעלה , פחות 1 מהפרויקטיביזציה.
עבור ערכי ה- הראשונים נקבל:
: 2 ו-1: שתי נקודות קובעות ישר, שני ישרים נחתכים בנקודה
: 5 ו-4: חמש נקודות קובעות שניונית, שתי שניוניות נחתכות בארבע נקודות
: 9 ו-9: תשע נקודות קובעות עקום ממעלה שלישית, שני עקומים ממעלה שלישית נחתכים בתשע נקודות
משפט קלאוזיוס (המכונה גם "אי השוויון של קלאוזיוס") הוא עיקרון בתרמודינמיקה הקובע כי עבור מערכת תרמודינמית , כגון מנוע חום או משאבת חום, המחליפה חום עם מאגרים תרמיים חיצוניים ועוברת תהליך מחזורי , מתקיים אי השוויון הבא:
כאשר מייצג את השינוי של האנטרופיה עם הסביבה במהלך תהליך תרמודינמי, הוא החום המועבר בין המערכת למאגרים החיצוניים ( כאשר חום נספג במערכת, ו- כאשר חום נפלט החוצה), ו- היא הטמפרטורה של המאגרים בזמן נתון.
המשמעות העקרונית של המשפט היא כי האנטרופיה של הסביבה תמיד תישאר קבועה או תגדל בתהליך תרמודינמי, אך לא תוכל להצטמצם, להלן המשוואה: .
במקרים בהם יש אינטראקציה עם מספר מאגרי חום בעלי טמפרטורות שונות, , ניתן להכליל את המשפט ולבטא אותו כך:
כאשר הוא כמות החום המועברת מהמאגר למערכת.
משפט קלאוזיוס הוא תוצאה של יישום החוק השני של התרמודינמיקה על תהליך העברת חום אינפיניטסימלי.
המשפט קובע, כי אין אפשרות לבנות מכשיר אשר פעולתו היחידה תהיה העברת חום ממאגר קריר למאגר חם.
בהתאם לכך, חום זורם באופן ספונטני מגוף חם לגוף קר יותר, ולא להפך.
משפט קלאוזיוס הוא ייצוג מתמטי של החוק השני של התרמודינמיקה, שפותח על ידי הפיזיקאי רודולף קלאוזיוס.
המשפט מתאר את הקשר בין זרימת החום במערכת לבין השינוי באנטרופיה של המערכת וסביבתה.
קלאוזיוס פיתח את המשפט במסגרת מאמציו להגדיר את האנטרופיה באופן כמותי ולהבהיר את משמעות החוק השני של התרמודינמיקה.
רודולף קלאוזיוס היה מחלוצי המחקר בתחום האנטרופיה ואף טבע את המונח עצמו.
המשפט הקרוי על שמו, משפט קלאוזיוס, פורסם לראשונה בשנת 1862 בספר הזיכרונות השישי שלו, "על היישום של משפט ההשוואה של טרנספורמציות לעבודה פנימית".
במסגרת מחקרו, קלאוזיוס ביקש להדגים את הקשר הפרופורציונלי בין האנטרופיה לבין זרימת האנרגיה כתוצאה מהכנסת חום () לתוך מערכת.
בתוך מערכת תרמודינמית, אנרגיית חום זו יכולה להפוך לעבודה, ועבודה יכולה להפוך חזרה לחום באמצעות תהליך מחזורי.
קלאוזיוס ציין כי "הסכום האלגברי של כל השינויים המתרחשים בתהליך מחזורי יכול להיות קטן מאפס או שווה לאפס", להלן המשוואה:
כאשר הוא החום המועבר למערכת, ו- היא הטמפרטורה המוחלטת של המאגר.
המשוואה מתייחסת לתהליך הפיך שבו הסכום הכולל של האנרגיה המועברת במערכת שווה לאפס.
בהמשך, קלאוזיוס הרחיב את רעיונותיו והראה כי עבור כל תהליך מחזורי, בין אם הוא הפיך או לא, מתקיים אי-השוויון של קלאוזיוס:
כאשר הוא כמות החום המועברת מהמאגר אל המערכת, ו- היא טמפרטורת הסביבה בזמן נתון.
לפי החוק השני של התרמודינמיקה, האנטרופיה היא פונקציית מצב, כלומר היא תלויה רק במצב הסופי של המערכת ואינה מושפעת מהדרך שבה המערכת הגיעה אליו.
זאת בניגוד לכמויות החום () והעבודה () שהתווספו למערכת, אשר עשויות להשתנות בהתאם לנתיב התהליך.
בתהליך מחזורי, מאחר שהאנטרופיה היא פונקציית מצב, ערכה בתחילת המחזור ובסופו חייב להיות זהה (), ללא תלות בשאלה אם התהליך הפיך או בלתי הפיך.
עם זאת, בתהליכים בלתי הפיכים, כמות האנטרופיה הכוללת של מאגרי החום שסביב המערכת עולה.
לעומת זאת, בתהליכים הפיכים, אין שינוי באנטרופיה של המאגר.
אם ניתן למדוד את כמות החום שהתווספה למערכת ואת הטמפרטורה במהלך התהליך, ניתן להשתמש באי-השוויון של קלאוזיוס כדי לקבוע אם התהליך הוא הפיך או בלתי הפיך.
אם החישוב מראה שהשינוי באנטרופיה הוא אפס, מדובר בתהליך הפיך.
אם התוצאה חיובית, מדובר בתהליך בלתי הפיך.
ערך שלילי אינו אפשרי, מאחר שהוא היה מפר את החוק השני של התרמודינמיקה.
במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, משפט קושי-אדמר הוא משפט המוכיח שלכל טור חזקות קיים רדיוס התכנסות, ומספק נוסחה לחישוב רדיוס זה.
המשפט נוסח לראשונה על-ידי המתמטיקאי אוגוסטן לואי קושי בשנת 1821, אם כי הוכחה על-ידו באופן שאינו ריגורוזי.
המשפט התגלה מחדש והוכח כהלכה על-ידי המתמטיקאי ז'אק אדמר בשנת 1892.
יהי טור חזקות כך ש-.
אם סופי ושונה מ-0, לטור החזקות קיים רדיוס התכנסות סופי ומתקיים .
זאת אומרת שטור החזקות מתבדר כאשר ומתכנס כאשר .
המשפט לא מספק מידע על ההתכנסות כאשר .
אם , טור החזקות הוא פונקציה שלמה.
כלומר, הטור מתכנס לכל ורדיוס ההתכנסות הוא אינסופי.
אם , הטור מתבדר לכל .
כלומר, רדיוס ההתכנסות הוא 0.
בוחרים כלשהו ומסתכלים על הטור .
נשאלת השאלה מתי הטור הזה מתכנס.
כדי לענות על שאלה זו, אפשר להשתמש במבחן השורש לטורים מרוכבים.
מקרה ראשון - סופי ושונה מ-0: במקרה זה:
אם אז , ולפי מבחן השורש הטור מתכנס.
אם אז , ולפי מבחן השורש הטור מתבדר.
לכן אפשר לראות שלטור החזקות יש רדיוס התכנסות סביב שגודלו : לכל שבתוך רדיוס ההתכנסות הטור מתכנס, ולכל שמחוץ לרדיוס ההתכנסות הטור מתבדר.
מקרה שני - : במקרה זה, לכל :
לכן הטור מתכנס על כל , ולכן רדיוס ההתכנסות הוא אינסופי.
מקרה שלישי - : במקרה זה, לכל :
כלומר, טור החזקות מתכנס רק ב- ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 0.
מסתכלים על טור החזקות .
במקרה זה המקדמים של הטור הם .
מסתכלים על הגבול העליון של שורשי המקדמים:
לכן, לפי משפט קושי-אדמר, רדיוס ההתכנסות הוא .
כלומר, על הרדיוס קיימת נקודה סינגולרית והיא .
ניתן להשתמש בה כדי לחשב את הגבול העליון של שורשי המקדמים:
לכן, לפי משפט קושי-אדמר, טור החזקות מתכנס לכל .
לכן, לפי משפט קושי-אדמר, טור החזקות מתכנס אך ורק כאשר .
משפט רול (על שם המתמטיקאי הצרפתי מישל רול שניסח אותו ב-1691) הוא משפט בסיסי בחשבון אינפיניטסימלי, העוסק בתכונה של פונקציות רציפות וגזירות בקטע סגור.
המשפט אומר כי אם פונקציה רציפה בקטע סגור , גזירה בקטע הפתוח וערכיה בשני קצוות הקטע זהים, כלומר , אז קיימת נקודה c בקטע כך ש-, כלומר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זו הוא קו מאוזן ושיפועו שווה ל-0.
מבחינה לא פורמלית ניתן לתאר את המשפט כך: אם מצוירת פונקציה בין שתי נקודות באותו גובה (אותו ערך של ) בלי שהעיפרון מורם מהדף ובלי היווצרות 'שפיצים', תהיה לפחות נקודה אחת שבה העיפרון נע בדיוק במקביל לציר ה-x, ולא בשיפוע זוויתי כלשהו.
על פי משפט ויירשטראס השני, פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום.
אם גם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצוות (אשר, לפי הנתון, שווים בערכם) הרי שהפונקציה קבועה בקטע , והנגזרת שלה היא אפס בכל נקודה בקטע .
אחרת, המקסימום או המינימום מתקבלים בתוך הקטע ובכל אחד מהמקרים קיימת נקודת קיצון בקטע .
לפי תנאי המשפט, הפונקציה גזירה ב- ובפרט היא גזירה ב-, ולכן על פי משפט פרמה ערך הנגזרת ב- הוא אפס כנדרש.
אף שהמשפט נדמה כמעט טריוויאלי, קיימות לו שתי הכללות שימושיות מאוד: משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומשפט הערך הממוצע של קושי.
בקומבינטוריקה, משפט רמזי עוסק במבנים המוכרחים להופיע בגרף שלם שהקשתות שלו צבועות בשני צבעים, נאמר אדום וכחול.
המשפט קובע שלכל n, אם הגרף שצובעים גדול מספיק, לא ניתן להימנע מיצירת תת-גרף שלם בגודל n שכל הקשתות שלו צבועות בצבע אחיד.
את המשפט הוכיח פרנק רמזי, ובעקבותיו פותח תחום שלם בשם תורת רמזי.
לכל צביעה של הגרף האינסופי השלם בשני צבעים, קיים תת-גרף אינסופי שלם אשר כל קשתותיו צבועות באותו הצבע.
ניתן להכליל את המשפט לכל מספר סופי של צבעים.
ההוכחה תתבצע על ידי בניית סדרה של קודקודים.
נסמן את שני הצבעים באדום וכחול.
בהכרח קיימים לו אינסוף שכנים המחוברים בקשת אדומה, או אינסוף שכנים המחוברים בקשת כחולה.
נוכל להניח שקבוצת השכנים האדומים, שאותה נסמן ב-, היא אינסופית.
כך אפשר להניח, באינדוקציה, שבחרנו קודקוד וקבוצה אינסופית , שכל קודקודיה מחוברים בקשת אדומה לכל אחד מן הקודקודים .
כעת יש שתי אפשרויות: אם קיים לו אינסוף שכנים אדומים ב-, נבחר אותו ונסמן ב- את קבוצת הקודקודים המחוברים ל- בקשת אדומה.
אם התהליך ממשיך, נקבל באינסופו של דבר סדרה של קודקודים, אשר כל אחד מהם קשור לכל האחרים באמצעות קשת אדומה, היינו תת-גרף אשר כל הקשתות שלו אדומות.
אחרת, התהליך נעצר בקבוצה אינסופית , אשר לכל אחד מן הקודקודים שלה יש מספר אינסופי של שכנים כחולים ורק מספר סופי של שכנים אדומים.
לכן, אם נחזור על התהליך עבור הקשתות הכחולות בקבוצה , התהליך לא יעצר ונקבל קבוצה אין סופית של קודקודים שכל שניים ממנה מחוברים בקשת כחולה.
ניתן להכליל את הטענה גם עבור צבעים, באמצעות טיעון אינדוקטיבי, על ידי התבוננות בקשתות בעלות צבע מסוים, וקשתות ב- הצבעים הנותרים.
משפט ארדש-רדו: יהי מונה אינסופי.
בכל צביעה ב- צבעים (או פחות מזה) של הגרף השלם שעוצמת קבוצת הקודקודים שלו גדולה מ-, יש תת-גרף מונוכרומטי שעוצמתו גדולה מ-.
למשל, בכל צביעה של הגרף השלם שעוצמת קבוצת הקודקודים שלו גדולה מ-, יש תת-גרף מונוכרומטי שאינו בן מניה.
מספר רמזי הוא הגודל הקטן ביותר של גרף שלם שקשתותיו צבועות בשני צבעים, נאמר אדום וכחול, המבטיח שהגרף יכיל תת-גרף שלם בן n קודקודים שכולו אדום, או תת-גרף שלם בן m קודקודים שכולו כחול.
העובדה שמספרים אלה קיימים היא משפט רמזי.
ההוכחה, באינדוקציה, מראה שלמעשה , ומכיוון ש- , מתקיים .
הערכים המדויקים של מספרי רמזי אינם ידועים עבור .
ב-2020 הצליח Ashwin Sah, בעזרת שיטות של קוואזי-אקראיות, להכפיל את החסם העליון בגורם של כאשר c קבוע .
ב-2023 הושג, לראשונה מאז 1935, שיפור אקספוננציאלי של החסם העליון: .
את ההגדרה לעיל אפשר להרחיב למספר סופי כלשהו של צבעים, ולגרפים כלשהם במקום תת-הגרפים השלמים.
ניסוח מהופך של המשפט קובע שבכל צביעה בשני צבעים של הגרף השלם על n קודקודים, יש תת-גרף חד-צבעי בן d קודקודים, כאשר ; תוצאה זו היא הטובה ביותר האפשרית.
ברור ש- לכל n,m, משום שקודקוד בודד הוא גרף שלם בגודל 1 (וכל אפס הקשתות שלו אדומות וגם כחולות).
נניח נתון גרף מלא בגודל שקשתותיו צבועות בכחול ואדום.
נבחר ממנו צומת v ונסמן ב B את כל הצמתים שיש מהם קשת כחולה ל v ונסמן ב A את כל הצמתים שיש מהם קשת אדומה ל v.
על ידי סימון זה מקבלים ש .
לא ייתכן שגם וגם - נניח תחילה ש .
אם בגרף הנפרש על ידי צומתי יש קליקה בגודל שכל הקשתות בה צבועות בצבע אדום, אז יחד עם הצומת מקבלים קליקה בגרף בגודל שכל קשתותיה אדומות.
אחרת, מהנחת האינדוקציה מקבלים שבגרף הנפרש על ידי צומתי ישנה קליקה בגודל שכל קשתותיה כחולות.
בצורה דומה, אם אז או שבגרף הנפרש על ידי יש קליקה בגודל שכל קשתותיה צבועות באדום, או שיש קליקה בגודל שכל קשתותיה צבועות בצבע כחול, ואז יחד עם מקבלים קליקה ב בגודל שכל קשתותיה צבועות בצבע כחול.
סה"כ מקבלים שב ישנה קליקה אדומה בגודל או קליקה כחולה בגודל .
באנליזה מרוכבת, משפט רושה, נקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי אז'ן רושה, מאפשר להסיק שבתנאים מסוימים, לשתי פונקציות הולומורפיות יש אותו מספר אפסים בתחום נתון.
זהו משפט שימושי באיתור אפסים של פונקציות, משום שהוא מאפשר להשוות פונקציה מסובכת לפונקציה פשוטה, שהאפסים שלה ידועים.
נניח ש- הוא תחום פתוח ששפתו היא מסילה פשוטה; למשל, מעגל או מצולע.
נניח ש- שתי פונקציות הולומורפיות על התחום, ורציפות על השפה.
אם לכל נקודה על השפה, אזי לפונקציות יש אותו מספר אפסים בתחום, כאשר כל אפס נספר בריבוי המתאים.
לפונקציה יש בעיגול היחידה אותו מספר אפסים כמו ל-, משום ש- לכל על שפת המעגל.
ל- יש אפס בודד בתחומי המעגל, ולכן כך הדבר גם עבור הפונקציה .
נבחין כי גם היא פונקציה הולומורפית על ורציפה על .
כעת נראה כי לכל מתקיים .
מאי שוויון המשולש ההפוך מתקיים:
ואמנם, מהנתון ידוע , לכן באמת כמו שרצינו.
למעשה, עכשיו אנו יכולים להשתמש בעקרון הארגומנט על .
כאמור הולומורפית, לכן אין לה קטבים בתחום, ולפי עקרון הארגומנט מספר האפסים שלה הוא בדיוק .
כעת נגדיר פונקציה חדשה: .
מרציפות האינטגרל רציפה על הקטע הסגור .
בנוסף אנו יודעים כי מקבלת רק ערכים שלמים, לכן ממשפט ערך הביניים נובע ש- פונקציה קבועה.
כלומר, מספר האפסים של שווה למספר האפסים של .
משפט רייס (מאנגלית: Rice's theorem), הוא משפט מרכזי בתחום החישוביות, שעוסק ביכולת של אלגוריתמים לחקור אלגוריתמים אחרים.
המשפט אומר שאין תוכנית מחשב שמקבלת כקלט תוכנית מחשב אחרת, ומכריעה האם הפונקציה שמחשבת תוכנית מחשב זו היא בעלת תכונה מסוימת "לא-טריוויאלית" או לא (כלומר, תכונות אשר מאפיינות חלק מהפונקציות שמחושבות בידי תוכנית מחשב, אך לא את כולן).
יש לשים לב שהתכונה היא תכונה של הפונקציה, ולא של תוכנית המחשב עצמה.
באופן אינטואיטיבי המשפט טוען שתוכנית מחשב אינה יכולה לדעת כמעט מאום על הפלטים של תוכניות מחשב הנתונות לה כקלט.
באופן פורמלי, שפת הקידודים למכונות הטיורינג, שהשפה שלהן ב- היא שפה בלתי כריעה אם היא קבוצה לא-טריוויאלית של שפות.
בנוסף, אם מתקיים כי אזי השפה אינה כריעה למחצה.
הקבוצה תחשב טריוויאלית אם היא הקבוצה הריקה (אינה מכילה אף שפה), או קבוצת כלל השפות מזוהות טיורינג.
הסימון מציין מחרוזת בינארית המהווה קידוד של מכונת טיורינג .
הוכחת המשפט מפרידה בין שני מקרים, תוך שימוש בפונקציה הריקה.
הפונקציה הריקה היא פונקציה שתחום ההגדרה שלה ריק.
אלגוריתם מחשב את הפונקציה הריקה אם ורק אם הוא לא עוצר על אף קלט, כלומר נכנס תמיד ללולאה אינסופית או שערכי הביניים של האלגוריתם גדלים תמיד ללא הגבלה.
מקרה ראשון: הפונקציה הריקה אינה בעלת התכונה
נניח בשלילה שקיים אלגוריתם שמכריע האם הפונקציה שמחשב אלגוריתם נתון היא בעלת התכונה, ונראה כי ניתן לפתור בעזרתו את בעיית העצירה.
מכיוון שהתכונה לא טריוויאלית, קיים אלגוריתם כלשהו המחשב פונקציה שיש לה את התכונה הזו.
בעזרת נבנה תוכנית שתפתור את בעיית העצירה.
התוכנית מקבלת את הקלט הסטנדרטי עבור בעיית העצירה: אלגוריתם וקלט , ומטרתה לומר האם מסיים את ריצתו על או ממשיך לרוץ לנצח.
התוכנית שלנו תיצור מ- ו- אלגוריתם חדש, , שפועל בצורה הבאה על הקלט :
הפעל את על הקלט (אם קיים פלט, נתעלם ממנו).
הפעל את על הקלט והחזר את התוצאה כפלט.
כלומר, האלגוריתם מורכב משני שלבים שאינם קשורים זה בזה.
החשיבות של השלב הראשון בכך שהוא מהווה אבן בוחן לשאלה האם עוצר על ; אם הוא אינו עוצר, לא יגיע לעולם לשלב השני.
בשל אופן הבנייה שלו, מחשב אחת משתי פונקציות: אם לא עוצר על , הרי ש- מחשב את הפונקציה הריקה - שכן ללא תלות בקלט , הוא פשוט רץ לנצח.
אם לעומת זאת כן עוצר על , הרי שהוא יחשב בשלב הבא את פעולת הפונקציה של על הקלט .
מכיוון שהפונקציה הריקה אינה בעלת התכונה, ואילו כן בעלת התכונה, נובע מכך שהכרעה בשאלה האם מקיימת את התכונה מכריעה גם את השאלה האם עוצרת על .
לכן כל מה שהתוכנית שלנו עושה כדי לפתור את בעיית העצירה הוא לבדוק באמצעות האם בעלת התכונה, ולענות כמוהו.
כלומר, מצאנו פתרון לבעיית העצירה - וזה בלתי אפשרי, בסתירה להנחה הראשונה שקיים אלגוריתם שבודק את קיום התכונה.
מקרה שני: הפונקציה הריקה בעלת התכונה
נשים לב כי לכל תכונה ניתן לחשוב על התכונה ה"משלימה" לה, .
פונקציה מקיימת את אם ורק אם היא אינה מקיימת את .
אם קיים אלגוריתם שמכריע האם הפונקציה שמחשב היא בעלת התכונה , אז ניתן ליצור בעזרתו אלגוריתם אחר שבודק האם היא בעלת התכונה – הוא פשוט מריץ את על ועונה הפוך ממנו.
אלא שהפונקציה הריקה אינה בעלת התכונה (שכן הנחנו שהיא כן בעלת התכונה ) ולכן הגענו לסתירה לתוצאה שהוכחנו בסעיף הקודם - הראינו כיצד ניתן להכריע האם אלגוריתם נתון מחשב פונקציה בעלת תכונה לא טריוויאלית שהפונקציה הריקה לא מקיימת.
משפט קרונקר-ובר הוא אחד המשפטים המרכזיים בתורת המספרים האלגברית.
המשפט קובע שכל הרחבת גלואה אבלית סופית של שדה המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי, כלומר שדה מהצורה כאשר הוא שורש יחידה מסדר n.
לאופולד קרונקר הציע את הרעיונות המרכזיים של ההוכחה בשנת 1853, אבל את המשפט הוכיח בסופו של דבר היינריך ובר בשנת 1886.
עובדה בסיסית בתורת גלואה קובעת כי חבורת גלואה של הרחבה מן הדגם איזומורפית לחבורת אוילר המתאימה לְ־n ומכאן שהיא אבלית.
כך, אפשר לראות את משפט קרונקר-ובר כתשובה - חיובית - לשאלה ההפוכה (האם כל הרחבה אבלית מוכלת בהרחבה ציקלוטומית) בתיאור שהוא מעניק להרחבה האבלית המקסימלית של הרציונליים.
נעיר שכל חבורה אבלית סופית ניתנת למימוש כחבורת גלואה של הרחבת גלואה של הרציונליים.
הדבר נעשה באמצעות בחירת שדה שבת מתאים של הרחבות ציקלוטומיות ודרך עיון בתורת המבנה של חבורות אוילר.
משפט קרונקר-ובר מבטיח, אם כן, שהדרך היחידה לממש אותן היא אכן בתור חבורות גלואה של הרחבות שמוכלות בהרחבות ציקלוטומיות.
באמיתות המשפט במקרה של הרחבות ריבועיות ניתן להשתכנע באופן הבא: כל הרחבה ריבועית של הרציונליים באה מסיפוח שורש של מספר שלם חופשי מריבועים, ולכן מספיק לדון במקרה של סיפוח שורש של ראשוני (אי־זוגי).
כאמור, כל הרחבה p־ציקלוטומית היא אבלית (מממד זוגי) ולכן מכילה הרחבה ריבועית יחידה (היא שדה השבת המתאים לתת־החבורה היחידה מאינדקס 2 של החבורה הציקלית מסדר p-1).
מכאן שכל הרחבה ריבועית מוכלת בהרחבה ציקלוטומית.
ניסוח הטענה בלשון חבורת גלואה האבסולוטית
כשקובעים ראשוני p ושורש היחידה באשר q חזקה של p ניתן להתאים לכל אוטומורפיזם בחבורת גלואה האבסולוטית סדרה שבה במקום ה־n־י כתובה החזקה של שאליה שולח אותו האוטומורפיזם.
כשנותנים למעריך של p לשאוף לאינסוף מתקבל אבר בחבורה הכפלית של חוג השלמים ה־p־אדיים, וההומומורפיזם המושרה משליחת כל אוטומורפיזם לסדרה המתאימה לו נקרא הקרקטר ה־p־אדי ציקלוטומי.
כעת ניתן 'להדביק' את כל הקרקטרים הללו ביחד ולקבל (באמצעות מכפלה ישרה של הקרקטרים) הומומורפיזם מן החבורה האבסולוטית למכפלת החבורות הכפליות של חוגי השלמים ה־p־אדיים, שאיזומורפית בתורה - כמעין הכללה למשפט השאריות הסיני - לחבורה הכפלית של החבורה הפרו־ציקלית (הגבול ההפוך של מערכת החבורות הציקליות הסופיות).
כעת, כדי להבין טוב יותר את ההרחבה האבלית המקסימלית של הרציונליים, עוברים לנסות לתאר את חבורת הגלואה שלהם.
היא נתונה באמצעות האבליניזציה של חבורת הגלואה האבסולוטית של הרציונליים, כלומר המנה של החבורה האבסולוטית בתת-החבורה הסגורה הנורמלית הנוצרת על ידי תת-חבורת הקומוטטורים (כאשר הטופולוגיה היא הטופולוגיה הפרו־סופית הרגילה).
אכן, מאחר שתמונת ההומומורפיזם שהוגדר קודם (דרך מכפלת הקרקטרים) אבלית, הוא מוגדר כהומומורפיזם מן האבליניזציה, היא חבורת גלואה של ההרחבה האבלית המקסימלית.
משפט קרונקר־ובר קובע אפוא שההומומורפיזם המושרה מן האבליניזציה הוא למעשה איזומורפיזם.
כך, התנהגות החלק האבלי של ההרחבות האלגבריות של הרציונליים נקבעת אך ורק על־פי ההתנהגות של ההרחבות ה־p־ציקלוטומיות ומכאן ניסוחו השני של המשפט: כל הרחבת גלואה אבלית סופית של שדה המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי.
מאידך, בעזרת למת הנזל ניתן להוכיח שכל הרחבה לא מסועפת של ההשלמה ה־p־אדית של מתקבלת באמצעות סיפוח שורש היחידה מתאים.
משפט ראו-בלקוול הוא משפט יסודי בתורת האמידה.
בהינתן אומד חסר הטיה, גרוע ככל שיהיה, המשפט מאפשר לבנות אומד עדיף, שהוא לעיתים קרובות האומד הטוב ביותר האפשרי.
המשפט נקרא על שם מגליו: קליאמפודי ראדאקרישנה ראו ודויד בלאקוול
תורת האמידה עוסקת בהתפלגות 'סודית', שהידע עליה חסר: ידוע שהיא שייכת למשפחה מוכרת של התפלגויות (כגון התפלגות מעריכית או התפלגות בינומית), אבל הפרמטרים הקובעים את ההתפלגות הפרטית (התוחלת במקרה הראשון, הסתברות ההצלחה בכל ניסוי במקרה השני) אינם ידועים.
המטרה המרכזית של הסטטיסטיקאי היא לאמוד את הפרמטרים, באמצעות מדגם שהוגרל מן ההתפלגות הסודית.
משימה זו דורשת הפעלת אומד, שהוא פונקציה ניתנת לחישוב של המדגם.
לאומד אסור להיות תלוי בפרמטרים, שהרי אלו אינם ידועים.
כמעט בכל מקרה מחפשים אומד שיהיה חסר הטיה: התוחלת של האומד צריכה להיות שווה לערכו של הפרמטר שמבקשים לאמוד.
ההשוואה בין אומדים שונים נעשית על-פי השונות שלהם: ככל שהשונות קטנה יותר, האומד מוצלח יותר (משום שהוא יציב יותר, ופחות תלוי בגורמים אקראיים).
דגימה מתוך התפלגות שאינה ידועה מערבת שני גורמי אי-ודאות: הפרמטר שאינו ידוע, והאקראיות המובנית בפונקציות ההתפלגות.
לפעמים אפשר לפצל את חוסר הוודאות הזה באמצעות סטטיסטי, שהוא (בדיוק כמו אומד) פונקציה ניתנת לחישוב של המדגם.
אם ההתפלגות המותנית של המדגם, בהינתן ערכו של הסטטיסטי, אינה תלויה עוד בפרמטר הלא-ידוע, אז הסטטיסטי נקרא סטטיסטי מספיק.
מספר שגיאות הכתיב בעמוד מודפס הוא משתנה מקרי בעל התפלגות פואסון.
ההתפלגות המדויקת תלויה בפרמטר , השווה לתוחלת ההתפלגות.
ערכו של הפרמטר תלוי כמובן במידת ההקפדה של הסופר ושל העורך, ובטיב ההגהה וההדפסה.
אם דוגמים עשרה עמודים בספר וסופרים את השגיאות בכל אחד מהם, אפשר לנסות ולאמוד את מתוך עשרת המספרים שהתקבלו.
במקרה זה, מתברר כי מספר השגיאות הכולל S מהווה סטטיסטי מספיק.
כאשר מבקשים לחשב את הסיכוי לתופעה מסוימת במדגם (למשל, לכך שבעמוד השלישי יהיו שתי שגיאות), אפשר להסתפק בידיעת S; ערכו המדויק של הפרמטר לא יוסיף שום מידע לחישוב.
גם ההפך נכון: את כל שאפשר להסיק על מתוך עשרת מספרי השגיאות, אפשר להסיק כבר מן הסכום S.
נניח ש- S הוא סטטיסטי מספיק, ו- T הוא אומד חסר הטיה עבור הפרמטר שמבקשים לאמוד.
נגדיר משתנה חדש, השווה לתוחלת המותנית .
המשתנה גם הוא חסר הטיה.
תלוי ב- S ותו לא.
לכל ערך של הפרמטר, השונויות מקיימות .
אם אינו שווה ל- T בהסתברות 1, אז לפחות עבור ערכים מסוימים של הפרמטר.
הווה אומר, המקרה היחיד שבו המשתנה החדש אינו טוב יותר, הוא כאשר המשתנה החדש שווה לישן, ובפרט, כאשר המשתנה T תלוי במדגם רק דרך S.
לעובדה שמשפט ראו-בלקוול מייצר אומד חסר-הטיה התלוי רק בסטטיסטי המספיק S יש חשיבות מיוחדת.
אם הסטטיסטי S הוא, בנוסף להיות מספיק, גם סטטיסטי שלם, אז משפט להמן-שפה מבטיח שהאומד הוא בעל שונות מינימלית מבין כל האומדים חסרי ההטיה, וזאת באופן אחיד (על-פני כל ערכי הפרמטר).
עם כל חשיבותו של המשפט, ההוכחה פשוטה למדי, ומבוססת על מה שמכונה 'הפירוק האורתוגונלי' של השונות:
במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה אלגברית ובאנליזה מרוכבת, משפט רימן רוך הוא משפט חשוב המאפשר לחשב את המימד של מרחבי פונקציות מרומורפיות עם אפסים וקטבים נתונים על משטחי רימן קומפקטיים ומאפשר להסיק את קיומן של פונקציות המוגדרות על המשטח ומקיימות אילוצים מסוימים על האפסים והקטבים שלהן.
תחילה הוכיח ברנהרד רימן טענה חלשה יותר הנקראת אי שוויון רימן.
לאחר מכן הוכיח אחד מתלמידיו, גוסטב רוך, את המשפט במלואו בשנות ה-50 של המאה ה-19.
מאוחר יותר הוכחו הכללות רבות של המשפט, בין היתר לעקומים אלגברים וליריעות אלגבריות מממדים גבוהים יותר.
נניח כי X הוא משטח רימן קומפקטי, וכי D הוא מחלק על X.
כזכור, מחלק D על משטח רימן קומפקטי הוא פשוט סכום סופי כאשר הם מספרים שלמים, ו הן נקודות בX.
הדרגה של D מוגדרת להיות .
יחס סדר חלקי על מחלקים
נניח כי הם שני מחלקים על X כך שמתקיים
(כל שני מחלקים אפשר לכתוב עם אותם אינדקסים בדיוק משום שייתכן ש או שווים ל0 עבור אינדקסים מסוימים).
נגדיר יחס על המחלקים על X באופן הבא:
נאמר ש אם לכל מתקיים .
ניתן להראות שזהו יחס סדר חלקי על קבוצת המחלקים על X.
לדוגמה, אם הן נקודות על X, ו, , אז מכיוון שהמקדם של כל נקודה ב קטן או שווה מהמקדם של כל נקודה ב, הרי ש.
בהינתן מחלק D על משטח רימן קומפקטי X, מסמנים את שדה כל הפונקציות המרומורפיות על X ב .
נשים לב ששדה הפונקציות המרומורפיות של X הוא מרחב וקטורי מעל שדה המספרים המרוכבים.
נגדיר את המרחב (L(D שהוא תת-מרחב של שדה הפונקציות המרומורפיות באופן הבא:
כזכור, הוא המחלק המתאים לפונקציה המרומורפית f.
רק לפונקציות מרומורפיות השונות מפונקציית ה0 מתאים מחלק, ולפיכך יש להוסיף את פונקציית ה0 על מנת לקבל מרחב וקטורי.
נסביר כעת את משמעות ההגדרה.
לשם כך, נניח כי הן נקודות בX, ונניח כי הוא מחלק על X.
בדוגמה זו, המרחב יכיל את פונקציית ה0 וכן את כל הפונקציות המרומורפיות כך שמתקיים
בפרט, לכל נקודה כך ש ו מתקיים .
לפיכך לכל נקודה x כזאת, f הולומורפית בx.
בנקודה y על f לקיים , ולפיכך לf יכול להיות קוטב בנקודה זו, כאשר סדר הקוטב הוא לכל היותר 3. בנקודה z על f לקיים , ולפיכך בנקודה זו יש לf אפס מסדר 4 לפחות.
כל פונקציה f שהיא פונקציה מרומורפית על X ואשר מקיימת את התנאים הללו תהיה שייכת למרחב (L(D עבור D הנ"ל.
באופן כללי, התנאים של השתייכות למרחבי (L(D עבור פונקציה הם תנאים מ3 הסוגים הבאים:
עבור נקודות x שעבורן , על f להיות הולומורפית בנקודה x.
עבור נקודות x שעבורן , בנקודה x לפונקציה f מותר שיהיה קוטב מסדר לכל היותר n.
עבור נקודות x שעבורן , בנקודה x לפונקציה f חייב להיות אפס מסדר n לפחות.
ניתן להראות כי (L(D הוא מרחב וקטורי ממימד סופי מעל שדה המספרים המרוכבים.
משפט רימן רוך מאפשר לחשב את המימד של (L(D.
נניח כי X משטח רימן קומפקטי, D הוא מחלק על X וכי הגנוס של X הוא g.
אי שוויון רימן נותן חסם תחתון למימד של (L(D על ידי:
לעומת זאת, משפט רימן רוך מאפשר לחשב במדויק את המימד של (L(D באמצעות הנוסחה הבאה:
כאשר היא קוהומולוגיית צ'ך הראשונה של האלומה .
בהסתמך על הגדרת המרחב הווקטורי (L(D, בהינתן מחלק D על משטח רימן קומפקטי X, נגדיר אלומה שתסומן על ידי , אשר תאפשר להסיק מידע גלובלי ממידע מקומי על המרחב (L(D.
בהינתן קבוצה פתוחה נגדיר את להיות אוסף הפונקציות המרומורפיות על U, שביחס לקבוצה הפתוחה U שייכות ל(L(D.
כאשר מסמן את שדה הפונקציות המרומורפיות על U.
נזכור כי U כתת-קבוצה פתוחה של משטח רימן היא בעצמה משטח רימן, ולכן יש למושג שדה הפונקציות המרומורפיות על U את משמעותו הרגילה.
הומומוריפזמי הצמצום הם צמצומים רגילים של פונקציות.
מכיוון ששייכות לקבוצה זו הוגדרה באמצעות תכונה מקומית, הרי שקל לוודא שאקסיומת ההדבקה מתקיימת וזוהי אכן אלומה של מרחבים וקטורים.
משפט ראווה הוא כינוי שלילי להליך משפטי ציבורי, שבו פסק הדין הוחלט למעשה טרם המשפט.
מטרת המשפט, אם כן, אינה לדון באשמת הנאשם, אלא לפרסם בציבור את אופן הענישה והנימוקים לה, כאזהרה.
לפיכך במשפטים אלו ניתן להרשיע אדם חף מפשע מבלי לתת לו משפט הוגן.
משפטי ראווה הם אמצעי לרדיפת מתנגדי משטר או אנשים אחרים שהמשטר חפץ לפגוע בהם.
מטרת גזר הדין היא בראש ובראשונה להתנקם או להעניש את הנאשמים על הפשעים המיוחסים להם, ולא לשקמם.
במקרים רבים, קיימות חריגות מסדרי הדין ואף מן החוק עצמו במשפט ראווה.
הנאשמים אינם מקבלים זכות להתגונן, והצהרותיהם נגבו מהם תחת עינויים או כפייה אחרת להודות באשמתם.
משפטו של צ'ארלס הראשון, מלך אנגליה לאחר מלחמת האזרחים האנגלית (1649)
משפטו של לואי השישה עשר, מלך צרפת (1792/3)
משפט ריום שנערך בצרפת של וישי במטרה להוכיח כי מנהיגי הרפובליקה הצרפתית השלישית בין 1936 ל-1940 הם האשמים בתבוסת צרפת.
משפטי קשר העשרים ביולי בגרמניה הנאצית
משפטי ראווה נגד יהודים מטעמים אנטישמיים ואנטי-ציוניים: משפטו של שפיק עדס בעיראק (1948); משפטי פראג בצ'כוסלובקיה (1952); משפטי הרופאים בברית המועצות (1953)
משפטם התיאטרלי של כנופיית הארבעה בסין (1980)
משפטי אנשי תנועת המחאה לאחר הבחירות לנשיאות איראן 2009
משפט רפואי (Medical Law; או משפט בריאות) הוא תחום העוסק בתפר שבין משפט ורפואה.
בעבר התמקד המשפט הרפואי רק בנושאים מינהליים שהתייחסו לרופא ועבודתו: תנאי רישוי הרופא ותנאי העסקתו, עבודות, אחריותו וסמכויותיו.
ברבות השנים החלו העוסקים בתחום לגלות עניין בחקר בעיות חברתיות ומוסריות שקשורות ברופא, בחולים, בבריאות ובמחלה וכדומה.
אף שכותרת העיסוק נותרה זהה, תוכנו התרחב ויש המכנים תחום נרחב זה כיום "משפט בריאות".
המשפט הרפואי בהגדרתו הרחבה מהווה מערכת כללים משפטיים שמסדירים את המפגש בין המטפל למטופל ובין המטפל לצרכני הבריאות בכלל, בין המטפל לבין יתר אוכלוסיות של מטפלים, בין המטפל למדינה - לרבות קבלת רישיון לעסוק במקצוע, וכן את המפגש שבין המטפל למערכת הבריאות, כולל חובותיו, זכויותיו וסמכויותיו.
בחשבון אינפיניטסימלי, משפט רימן הוא משפט הקובע שלכל טור המתכנס בתנאי ולכל מספר ממשי ניתן לשנות את סדר האיברים של הטור ולקבל טור המתכנס למספר.
בנוסף ניתן לשנות את סדר איברים ולקבל טור המתבדר ל- או אפילו טור שאינו מתכנס גם במובן הרחב.
את המשפט הוכיח ברנהרד רימן במאה ה-19.
משפט רימן הוא דוגמה נפוצה לתוצאה מתמטית הנוגדת את האינטואיציה.
תכונה מוכרת של פעולת החיבור היא חילופיות; כאשר נתון סכום עם מספר סופי של מחוברים, ניתן לשנות בחופשיות את סדר הסכימה של האיברים והדבר לא ישפיע על התוצאה.
לעומת זאת, משפט רימן מראה שבמקרים מסוימים, תכונה זו נכשלת בסכומים עם מספר אינסופי של מחוברים, שם סדר הסכימה כן חשוב.
נאמר כי טור מתכנס בתנאי (בניגוד למתכנס בהחלט) אם מתכנס אך מתבדר.
נסמן ב- תמורה על קבוצת המספרים הטבעיים, כלומר היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל.
הטור הוא הטור המתקבל מ- על ידי שינוי סדר איבריו לפי התמורה .
לכל מספר ממשי , קיימת תמורה כך ש-.
קיימת תמורה כך ש- (או ), וקיימת תמורה כך ש- אינו מתכנס גם במובן הרחב.
דוגמה ידועה למשפט הוא הטור ההרמוני המתחלף:
מאחר שזהו טור לייבניץ, טור זה מתכנס.
לפי טור טיילור של הלוגריתם הטבעי ידוע כי סכומו של הטור הוא .
מצד שני, טור הערכים המוחלטים של איבריו הוא הטור ההרמוני שידוע כי הוא מתבדר.
על כן הטור ההרמוני המתחלף מתכנס בתנאי.
נבחן את הטור הבא המתקבל מהטור ההרמוני המתחלף על ידי שינוי סדר איבריו:
ברור כי זהו שינוי פשוט בסדר האיברים, כי כל איבר מהטור ההרמוני המתחלף יופיע גם בטור החדש פעם אחת ויחידה.
נקבץ איברים ונקבל (מותר לקבץ את הטור לקבוצות של שלוש כי בחינה מדוקדקת של הסכומים החלקיים תגלה שההפרשים בין כל שלושה סכומים עוקבים שואף ל-0):
כלומר סכום הטור השתנה לחצי מסכום הטור לפני שינוי סדר האיברים.
נניח ללא הגבלת הכלליות כי אין בטור איברים השווים לאפס (הם אינם משפיעים על סכום הטור ולכן ניתן להתעלם מהם).
נפריד את איברי הטור לשני טורים זרים; טור האיברים החיוביים וטור האיברים השליליים .
מכיוון שהטור הכללי מתכנס בתנאי, ידוע לנו שהטורים החיובי והשלילי אינסופיים ומתבדרים לאינסוף ומינוס אינסוף בהתאמה.
כמו כן מכיוון שהטור הכללי מתכנס, ידוע לנו שסדרת האיברים של כל אחד מן הטורים מתכנסת לאפס (האיבר הכללי של הטורים הולך ומתקרב לאפס).
יהי מספר ממשי חיובי (ההוכחה למספר שלילי אנלוגית), נראה כי קיימת תמורה של איברי כך שהסכום מתכנס ל-.
ראשית נסכום את איברי הטור החיובי לפי הסדר עד המספר שהוא הראשון שלגביו מתקיים , כלומר:
עתה נמשיך בכך שנוסיף לסכום את איברי הטור השלילי לפי הסדר עד המספר שהוא הראשון שלגביו מתקיים
נחזור לטור האיברים החיוביים ונמשיך לסכום עד שהוא הראשון שלגביו הטור חוזר להיות גדול מ-L, ואז עוברים לטור השלילי וכן הלאה עד אינסוף.
זהו תהליך מוגדר היטב שקל לראות שהוא מגדיר תמורה על איברי הטור.
בכל פעם ההפרש בין L לטור הולך וקטן, שכן מצורת הבנייה ההפרש ביניהם הוא האיבר האחרון שמוסיפים לטור, כלומר: או , ואיברי הטור הולכים וקרבים לאפס ותרומתם לסכום קטנה, ובפרט .
פורמלית, לכל קיים כך שלכל מתקיים , ולכן ההפרש בין והסכום עד והלאה בהכרח קטן מהאיבר האחרון שבו חל חילוף יחס הסדר, ואיבר זה קטן מ- .
כדי שהטור יתבדר לאינסוף נסכום את האיברים החיוביים עד שהסכום גדול מ- (האיבר הראשון בטור השליליים) ואז נחבר איבר זה.
נחזור לטור החיוביים ונחבר מספיק מחוברים כך שהסכום גדול מ- ומחברים גם אותו.
ובאופן כללי מחברים מספיק מחוברים כך שהסכום יהיה גדול מ- ואז מחברים את .
מכאן שבדרך זו הסכום גדול מכל מספר טבעי ולכן הטור מתבדר לאינסוף.
באופן דומה ניתן להחליף בין התפקיד של החיוביים והשליליים ולקבל טור המתבדר למינוס אינסוף.
נבחר שני מספרים, נניח 0 ו-1. נסכום את האיברים החיוביים עד שהסכום גדול מ-1, נוסיף את האיברים השליליים עד שהסכום קטן מ-0, ונחזור להוסיף חיוביים עד שהסכום גדול מ-1 וכן הלאה.
0 ו-1 יהיו שניהם גבולות חלקיים של סדרת הסכומים החלקיים ולכן הסכום לא יתכנס גם במובן הרחב.
אם הדיון מוגבל לטורים מתכנסים, הרי שהמשפט ההפוך נכון גם הוא.
טור שסכומו יכול להשתנות עם שינוי סדר הסכימה הוא בהכרח טור מתכנס בתנאי.
כלומר, בטור מתכנס בהחלט ניתן לשנות את סדר הסכימה בחופשיות.
משפט רושה-קפלי הוא משפט בסיסי באלגברה ליניארית המאפיין את הפתרונות של מערכת משוואות ליניאריות.
המשפט קובע תנאי הכרחי ומספיק לקיום פתרון של מערכת משוואות ליניאריות, וכן את הממד של מרחב הפתרונות.
המשפט נקרא משפט רושה-קפלי באיטליה, משפט קרונקר-קפלי ברוסיה, משפט רושה-פונטן בצרפת ומשפט רושה-פרובניוס בספרד.
נתונה מערכת משוואות ליניאריות מהצורה הכללית הבאה:
נסמן ב- מטריצת המקדמים הסקלריים, ב- את וקטור המשתנים וב- את וקטור המקדמים החופשיים:
המשפט קובע כי למערכת המשוואות קיים פתרון, אם ורק אם הדרגה של המטריצה , שווה לדרגה של המטריצה , המתקבלת מהוספת כעמודה ב-.
כמו כן, כאשר יש פתרונות הם מהווים מרחב אפיני מממד (הזזה של מרחב וקטורי מאותו ממד).
בפרט כאשר המרחב הוא אפס ממדי ויש פתרון אחד בלבד.
הוכחה כי למערכת המשוואות קיים פתרון אם ורק אם הדרגה של שווה לדרגה של .
נניח כי למערכת יש פתרון .
מכאן ש- הוא צירוף ליניארי של העמודות של .
כלומר הוא שייך למרחב שנפרש על ידי וקטורי העמודות, ולכן ממד מרחב העמודות (הוא הדרגה של ) נשמר כנדרש.
נניח כי הדרגה אחרי הוספת זהה.
כלומר , כאשר הם העמודות של .
הוא תת-מרחב וקטורי של , ומכיוון שממדיהם שווים הם בהכרח שווים,
הוכחנו ש-, ולכן הוא צירוף ליניארי של הווקטורים .
מקדמי הצירוף מהווים פתרון למערכת המשוואות .
הוכחה כי קיים למערכת המשוואות פתרון יחיד אם ורק אם .
נניח כי עבור המערכת קיים פתרון יחיד, ונניח בשלילה כי .
מההנחה כי נובע שעבור המערכת קיימים לפחות שני פתרונות.
זה עומד בסתירה להנחה שלמערכת יש פתרון יחיד, כי אם פתרון שלה, הרי שגם אם נוסיף לו כל אחד משני הפתרונות של המערכת שערכה נקבל את אותה תוצאה.
נניח כי , ונניח בשלילה שלמערכת קיימים שני פתרונות שונים.
מהנתון נובע כי למערכת יש פתרון יחיד – הפתרון הטריוויאלי .
אם נבחן את ההפרש של שני הפתרונות של נקבל גם כן , ולכן בהכרח שני הפתרונות שווים.
משפט ריום היה משפט ראווה שיזמו שלטונות צרפת של וישי במטרה להוכיח כי מנהיגי הרפובליקה הצרפתית השלישית אחראים לתבוסה במערכה על צרפת במלחמת העולם השנייה.
המשפט נערך בשנת 1942 בעיר ריום.
ב-30 ביולי 1940 ציווה המרשל אנרי פיליפ פטן, שהיה ראש משטר וישי, על הקמת בית משפט עליון לצדק, שיבחן האם "השרים לשעבר או הכפופים להם ישירות בגדו בחובותיהם ותרמו למעבר ממצב שלום למצב מלחמה לפני ספטמבר 1939, ולאחר מכן אף הרעו את התוצאות של המצב שנוצר".
התקופה אותה הוסמך בית המשפט לבחון הייתה משנת 1936, בה עלתה לשלטון "החזית העממית" של לאון בלום, עד לממשלתו של פול רנו ב-1940.
הנאשמים הצליחו לרוב להדוף את ההאשמות נגדם, והכיסוי בעיתונות הבינלאומית היה כיסוי אוהד.
במרץ 1942 הושעה המשפט, ובמאי 1943 הוכרז על הפסקתו הסופית.
לאון בלום - ראש ממשלת צרפת מטעם המפלגה הסוציאליסטית הצרפתית בין 1936 ל-1938. כיהודי שימש מטרה לשנאה מיוחדת של אנשי וישי והנאצים, ונתפס כנאשם העיקרי במשפט.
אדואר דאלאדיה - ראש ממשלת צרפת בין 1938 ל-1940. לאחר התבוסה הצרפתית ניסה דאלאדיה להימלט למושבות בצפון אפריקה, על סיפון האוניה "מאסיליה" ביחד עם ז'ורז' מנדל, על מנת להכריז שם על ממשלה צרפתית בגולה.
עם הגיעו למרוקו נעצר והוחזר לצרפת.
ז'ורז' מנדל - שר הפנים לשעבר, יהודי אף הוא, שהיה מראשי המתנגדים לגרמניה ולהיטלר בשנים שלפני מלחמת העולם השנייה.
מנדל ניסה אף הוא, ביחד עם דאלאדיה, להימלט על סיפון המאסיליה, ואף הוא נעצר והוחזר לצרפת.
פול רנו - שהיה ראש הממשלה בשנת 1940 עם פרוץ המתקפה הגרמנית.
מוריס גמלאן - מפקד הצבא הצרפתי עם פרוץ המתקפה הגרמנית.
במהלך המערכה הוחלף בגנרל מקסים וייגאן, שהיה מראשי התבוסתנים ושימש כשר ההגנה במשטר וישי.
גי לה שמבר - שר התעופה בממשלת ריינו.
לה שמבר שהה בארצות הברית לאחר התבוסה הצרפתית, אך כאשר קיבל את ההזמנה לדין, ציית לה והתייצב למשפטו בריום.
רובר ז'אקומט - המנהל הכללי של הצבא לשעבר.
פייר קוט - פוליטיקאי מחוגי השמאל ששימש כשר התעופה שקדם ללה שמבר.
קוט אף הוא שהה בארצות הברית, אך סירב להזמנת בית הדין, והודיע כי אינו מכיר בממשל וישי וכי אהדתו נתונה לצרפת החופשית.
בכוונת התביעה היה להביא יותר מ-400 עדים, ביניהם חיילים שיעידו כי עם פתיחת המתקפה הגרמנית סבל הצבא מחוסר בציוד.
כוונת התביעה הייתה להוכיח כי החקיקה הסוציאלית בה תמך בלום, שבוע העבודה בן 40 השעות שהנהיג, החופשות בתשלום וההלאמה של מפעלים מסוימים פגעו בחוסנה הכלכלי של צרפת וביכולתה להתכונן למלחמה, וכי הנאשמים לא פעלו מספיק "לדיכוי אלמנטים חתרניים ומהפכניים".
כן הייתה למשפט מטרה נוספת - להוכיח כי האשמה בפרוץ המלחמה אינה על גרמניה, כי אם על שלטונות צרפת בשנים שקדמו למלחמה.
הכנת המשפט נמשכה באיטיות מהיום בו הוציא פטן את הצו, ופתיחתו התמהמהה.
שמונה תובעים שעסקו בהכנת המשפט התפטרו, מכיוון שלא רצו להיות קשורים במשפט זה.
בשל ההקשר הבינלאומי, והלחץ הגרמני שנבע בין היתר בעקבות מבצע ברברוסה, הפלישה הגרמנית לברית המועצות, ביוני 1941, ושחיקת מעמדו של משטר וישי בדעת הקהל, החליט פטן להאיץ את ההליכים.
הוא הכריז ברדיו כי הוא עצמו יטען כנגד הנאשמים, לאחר שהתייעץ עם "מועצת הצדק הפוליטי" (Conseil de justice politique) שהקים.
לאחר מכן החליט למחוק את האישומים כנגד מנדל ורנו, ללא כל סיבה (השניים נותרו במאסר, ונמסרו לגרמנים.
מנדל נרצח לאחר מכן על ידי אנשי המיליס).
ב-19 בפברואר 1942 נפתח המשפט בעיר ריום.
אב בית הדין, השופט פייר קאו, אפשר לנאשמים להגן על עצמם באופן הוגן.
גמלאן, מפקדו של הצבא הצרפתי לשעבר, סירב להכיר בסמכות בית המשפט, ושתק.
לה שאמבר וז'אקומט נתפסו כדמויות משניות, ועיקר נטל ההגנה הוטל על כתפיהם של דאלאדיה ובלום.
בלום, שהיה עורך דין מיומן, ונואם מוכשר, חקר בעצמו את עדי ההגנה, וחשף את השקרים ואי הלגיטימיות שבאישומים.
הוא הוכיח כי עיקר הקיצוצים בתקציב הביטחון נעשו בממשלות בהן ישבו ראשי וישי, פטן ולאוואל.
כן הוכיח כי תחת שלטון "החזית העממית" נעשו ההכנות הנמרצות ביותר למלחמה משנת 1918. הנאשמים השכילו להרחיב את טווח העדויות מעבר לתקופה נשוא האישומים, והראו כי האחריות לכישלון הצבא הצרפתי הייתה בעיקרה כישלון כולל של המטה הכללי הצרפתי.
כן הראו כי הסכם הכניעה עליו חתמה ממשלת וישי נחתם כאשר היה עוד הצבא הצרפתי בעל כוח לחימה.
דאלאדיה אף העז להזכיר באולם המשפט את שמו של דה גול.
עיתונאים ממדינות נייטרליות הורשו לסקר את המשפט, וסיקור זה הביך את ממשלת וישי.
הסיקור כפר בלגיטימיות של בית המשפט, ועורר סימפתיה כלפי הנאשמים בארצות רבות.
העיתונות בצרפת סיקרה את תחילת המשפט בהתלהבות, אך ככל שהתקדם המשפט המעיטה בסיקור.
התפתחויות אלו עוררו את זעמו של היטלר.
באמצעות נציגו בפריז, אוטו אבץ הורה ללאוואל להשהות את המשפט.
ב-14 באפריל 1942 הושהה המשפט, כביכול על מנת "לאסוף מידע נוסף".
ב-21 במאי 1943 הוכרז על ביטול המשפט.
בלום ודאלאדיה הוגלו לגרמניה ונשלחו למחנה הריכוז בוכנוואלד, שם נותרו עד לסיום המלחמה.
משפט קריין-מילמן הוא משפט באנליזה פונקציונלית העוסק בתכונות של קבוצות קמורות במרחב וקטורי טופולוגי.
ממקרה פרטי של המשפט נובע שכל מצולע קמור נקבע על ידי הקודקודים שלו - כלומר מספיק לדעת את קודקודי המצולע כדי לקבוע את צורתו באופן יחיד.
תוצאת המשפט אינה נכונה כאשר לא מגבילים את המצולע להיות קמור, כיוון שניתן לצייר מספר מצולעים שונים (לא קמורים) שיש להם אותם קודקודים.
המשפט הוכח על ידי מארק קריין ודוד מילמן.
באופן פורמלי: אם X מרחב וקטורי טופולוגי (האוסדורף) קמור מקומית, ו-K היא תת-קבוצה קמורה וקומפקטית של X, אז K הוא הסגור של הקמור של קבוצת הנקודות הקיצוניות שלו:
כאשר עבור קבוצה קמורה A, נקודה קיצונית היא נקודה בקבוצה שאיננה נמצאת ב"אמצע" בין שתי נקודות בקבוצה A, או באופן פורמלי: נקודה קיצונית אם לכל מתקיים .
כיוון אחד של המשפט הוא ברור - אוסף הנקודות הקיצוניות של K הוא תת-קבוצה של K.
K קמורה ולכן הקמור שלו מוכל ב-K.
K קומפקטית, ובפרט סגורה, ולכן הסגור של הקמור מוכל ב-K.
הכיוון המעניין הוא הכיוון ההפוך - משפט קריין-מילמן טוען שלכל קבוצה קומפקטית קמורה K יש מספיק נקודות קיצוניות כדי שניתן יהיה לשחזר אותה מתוכן.
המשפט המקורי (בגרסה מעט פחות כללית מהגרסה הזו) הוכח על ידי מרק קריין ודוד מילמן.
מינקובסקי הראה לפניהם שבכל מרחב מממד סופי K הוא הקמור של הנקודות הקיצוניות שלו.
קריין ומילמן הראו שכדי להרחיב את התוצאה למרחבים אינסופיים יש להוסיף את הסגור.
כמו שנאמר למעלה ההכלה ברורה.
נותר להוכיח את הכיוון השני.
ראשית נראה שיש ל-K נקודות קיצוניות.
נגדיר פאה של K להיות תת-קבוצה קמורה המקיימת , כלומר כל צירוף קמור הנמצא ב- נוצר על ידי איברים מ .
נשים לב שמההגדרה, נקודה קיצונית היא פאה המכילה נקודה אחת.
יהי אוסף הפאות של K.
נשים לב כי כיוון ש-K היא פאה של עצמה.
חיתוך של סדרה יורדת של פאות הוא פאה (החיתוך לא ריק מקומפקטיות) ולכן מהלמה של צורן יש פאה מינימלית .
נראה כי מכילה נקודה אחת.
אחרת, ממשפט האן-בנך נקבל שקיים פונקציונל ליניארי רציף ממשי על X שאינו קבוע על .
הקבוצה היא פאה של ולכן של המוכלת ממש ב-, בסתירה להנחה.
כעת נראה את ההכלה .
יהי נניח בשלילה כי .
ממסקנה ממשפט האן בנך קיים פונקציונל ליניארי ממשי רציף כך שמתקיים .
מתקיים אבל פאה סגורה (ולכן קומפקטית) של K ומהחלק הראשון נקבל ש אינו ריק.
למשפט קריין מילמן יש את הבעיה שהסגור של הנק' הקיצוניות עלול להיות הרבה יותר גדול מהנק' הקיצוניות לכן יש עניין במשפט של גוסטב שוקת (Choquet) שטוען שבמקרים מאוד כלליים, ניתן לבנות מידת רדון המקיימת, בין השאר כי התומך שלה הוא נק' הקיצון של K.
תוצאה ממשפט זה היא, למשל, משפט הפירוק הארגודי.
למשפט קריין מילמן יש משפט "הפוך", משפט מילמן: נניח ש X תת-קבוצה קומפקטית קמורה של מרחב קמור מקומית ו כך ש .
אז הנק' הקיצוניות של X מוכלות בסגור של Z.
משפט קרופ, ובשמו הרשמי: ארצות הברית נגד אלפריד קרופ ואח' ( היה העשירי מבין שנים-עשר משפטי נירנברג הנוספים אשר נידונו בפני בית דין צבאי אמריקאי בהיכל הצדק בנירנברג, גרמניה, לאחר תום מלחמת העולם השנייה.
משפט קרופ היה השלישי מבין משפטיהם של תעשיינים גרמנים אשר שיתפו פעולה עם הממשל הנאצים בתקופת המלחמה, שני האחרים היו משפט פליק ומשפט אי גה פארבן.
במשפט קרופ עמדו לדין שנים-עשר מנהלים של תאגיד קרופ אשר הואשמו בכך שאפשרו את חימוש הכוחות המזוינים של גרמניה ובכך השתתפו באופן פעיל בהכנות הנאצים לפתיחה במלחמה, כן הואשמו בהעסקת כוח אדם בתנאי עבדות בחברותיהם.
הנאשם הראשי במשפט היה אלפריד קרופ, מנכ"ל חברת קרופ החזקות מאז 1943 ובנו של גוסטב קרופ אשר היה נאשם במשפט נירנברג של פושעי המלחמה העיקריים אשר התנהל בפני בית הדין הבין-לאומי (שם שוחרר מן המשפט מסיבות בריאות).
שופטי בית הדין היו יו סי.
אנדרסון, אב בית הדין ונשיא בית המשפט לערעורים בטנסי, אדוארד ג'יי.
כתב האישום הוגש ב-17 בנובמבר 1947. המשפט התנהל מ-8 בדצמבר 1947 ועד 31 ביולי 1948. נאשם אחד זוכה בדין, שאר הנאשמים נידונו לתקופות מאסר שבין שלוש לשתים-עשרה שנים והנאשם הראשי, אלפריד קרופ, הצטווה למכור את כל החזקותיו בחברה.
פשעים נגד השלום בהשתתפות בתכנון ובביצוע מלחמות תוקפניות ומלחמות העומדות בניגוד לאמנות בין-לאומיות.
פשעים נגד האנושות בהשתתפות בביזה, הרס וניצול של מדינות כבושות.
פשעים נגד האנושות בהשתתפות ברצח, השמדה, שעבוד, כליאה, עינוי ושימוש בכוח אדם בתנאי עבדות, של אזרחים אשר עברו לשליטת גרמניה, אזרחים גרמניים ושבויי מלחמה.
השתתפות בתוכנית משותפת או בקשירת קשר לבצע פשעים נגד השלום.
כל הנאשמים הואשמו בסעיפים 1,3 ו-4 בכתב האישום.
נאשמים להמן וקופקה לא הואשמו בסעיף 2 לכתב האישום.
סעיפים 1 ו-4 לכתב האישום נמחקו בשלב מוקדם של המשפט בהיעדר ראיות.
NameFunctionSentenceאלפריד קרופבעלים ומנכ"ל קרופ12 שנות מאסר והחרמת רכוש.
שוחרר ב-1951, מת ב-1967אוולד לוזר (Ewald Löser)מנהל הכספים לשעבר בקרופ7 שנות מאסר.
שוחרר ב-1955, מת ב-1970.אדוארד הודרימונט (Eduard Houdremont)מנהל, ראש מפעלי הפלדה10 שנות מאסר.
מת ב-1958.אריך מולר (Erich Müller)מנהל, ראש מפעלי הנשק12 שנות מאסר.
מת ב-1984.ורנר להמן (Werner Wilhelm Heinrich Lehmann)גיוס כוח אדם, סגנו של אין.6 שנות מאסרהאנס קופקה (Hans Albert Gustav Kupke)ראש מחנות העבודהשנתיים וחודשיים מאסר.
כל 11 המורשעים נמצאו אשמים בהעסקת עובדי כפייה (סעיף 3 לכתב האישום), ומבין עשרת הנאשמים שהואשמו בביזה כלכלית (סעיף 2), שישה הורשעו.
הרשעתם ספגה ביקורת בגרמניה בשל מה שהוצג כרדיפת והשחרת פניה של התעשייה הגרמנית.
ב-31 בינואר 1951, שנתיים וחצי לאחר שנתנו גזרי הדין, כל המורשעים להוציא את לוזר, נחונו בידי הנציב העליון לאזור הכיבוש האמריקאי ושוחררו מבית הסוהר.
אלפריד קרופ קיבל לידיו חזרה את השליטה במפעלי החברה בגרמניה המערבית.
החברה המשיכה להיות אחת מחברות התעשייה הכבדה הגדולות בגרמניה המערבית.
באנליזה פונקציונלית, משפט רליך-קונדרשוב הוא משפט לגבי שיכון קומפקטי (כלומר, שיכון רציף שהוא גם אופרטור קומפקטי) בין שני מרחבי סובולב.
המשפט קרוי על שם המתמטיקאי הגרמני-אוסטרי פרנץ רליך והמתמטיקאי הרוסי ולדימיר קונדרשוב.
תהי קבוצה פתוחה, חסומה וליפשיצית ויהי .
אזי מרחב הסובולב ניתן לשיכון רציף במרחב ה-Lp ולשיכון קומפקטי במרחב לכל .
היות ששיכון הוא קומפקטי אם ורק אם אופרטור השיכון (הזהות) הוא אופרטור קומפקטי, נובע ממשפט רליך-קונדרשוב שלכל סדרה חסומה במידה שווה במרחב קיימת תת-סדרה המתכנסת במרחב .
המסקנה הזאת ידועה כמשפט הבחירה של רליך-קונדרשוב.
משפט רליך-קונדרכוב שימושי להוכחת אי-שוויון פואנקרה לפיו לכל (כאשר עומד בתנאי משפט רליך-קונדרכוב) מקיים:
כאשר הקבוע C תלוי רק בערך p ובתכונות הגאומטריות של וכן
הוא הערך הממוצע של u בתחום .
משפט קראיובה היה משפט צבאי מיוחד, שנערך ברומניה, ב-1936, נגד קבוצה גדולה של פעילים קומוניסטים עם אנה פאוקר בראשם, באשמה של פעילות נגד המדינה הרומנית והפרת השקט במדינה.
תחילה תוכנן לקיים את המשפט ב-27 בפברואר, בבוקרשט, אבל לאחר הפגנות ענק של הזדהות עם הנאשמים, במהלך שלושה ימים רצופים, מול בנין מועצת המלחמה בבוקרשט, הפגנות שבמהלכן נאלצו החיילים לירות מעל ראשי המפגינים, כדי להרגיע את הרוחות, הועבר המשפט לקראיובה, שם החל ב-5 ביוני והסתיים ב-7 ביולי.
השלטונות בחרו בעיר קראיובה משום שלא הייתה בה התארגנות קומוניסטית משמעותית וגם משום שכבר הצליחו בעבר לקיים בעיר זו משפט של שובתי בתי המלאכה של מסילות הרכבת.
ליתר ביטחון המשפט לא קוים בעיר עצמה, אלא במפקדה צבאית במרחק שבעה קילומטרים מהעיר.
סוכני סיגורנצה עקבו אחרי שני אישים המזוהים עם המפלגה הקומוניסטית, אנדריי ברנת (Andrei Bernath) שהיה ידוע גם בשמות המחתרתיים אנדור ברנרד, וָאס ו-סמי; ואסתרָה ראדוסובצקי (Estera Radosovețki), שעתידה להיות לאחר נישואיה סטלה מוגיורוש (Stela Moghioroș).
המעקב הוביל לחשיפת הנהגת איגוד הצעירים הקומוניסטים, בית דפוס מחתרתי ופעילים נוספים, שנעצרו על ידי סיגורנצה.
רשימת העצורים כללה את: אנדריי ברנת, ברוק סאמויל, הרבך יאנקס, שוין ארנסט, שטפאן קאזאר, אנה קאזאר, שטפאן נאגי, אלכסנדרו מוגיורוש, ליובה קישינבסקי, גרימברג לייזר ואלכסנדרו דרגיצ'י.
על גופם של שלושת העצורים נמצאו מסמכים רבים הנוגעים למפלגה הקומוניסטית של רומניה והם שימשו את התביעה במשפט.
בנוסף לאנה פאוקר, דימיטר גנב, שמיל מרקוביץ' והזוג אמנואיל קאופמן ורעייתו, ששכרו את בית המפגש, נעצרו גם וילמה קאיסקו, דונקה סימו ולדיסלאו עדי, מפעילי בית דפוס מחתרתי ובעל הנכס בו ניצב בית הדפוס, סמואל קרוג.
כדי להגן על הנאשמים נרשמו 24 עורכי דין מקראיובה ומבוקרשט, ובהם אלה נגרוצי, פאול איליסקו, יון גאורגה מאורר, לוקרציו פטרשקנו,ג' קוסטה-פוֹרוּ, ניק יוּניאן, ו"ו סטאנצ'יוּ, וכן שט' ניצוּלֶסקוּ.
באנליזה מתמטית ותורת המידה, משפט רדון־ניקודים (או לבג־רדון־ניקודים) הוא תוצאה יסודית וחשובה המאפשרת תחת תנאים מסוימים להשוות בין שתי מידות שונות המוגדרות על מרחב מדיד.
המשפט מבטיח את הקיום של פונקציה המכונה נגזרת רדון־ניקודים, ולה תפקיד חשוב בין השאר בפיתוחה התאורטי של תורת ההסתברות.
כך למשל פונקציית צפיפות הסתברות של משתנה מקרי, מתוארת באופן פורמלי כנגזרת רדון־ניקודים של מידת ההסתברות שמושרית על ידי המשתנה המקרי ביחס למידת לבג (לרוב).
שימוש תאורטי חשוב נוסף הוא הוכחת הקיום של תוחלת מותנית.
המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האוסטרי יוהאן רדון, שהוכיח מקרה פרטי של המשפט בשנת 1913, והמתמטיקאי הפולני אוטו ניקודים, שהוכיח את המשפט הכללי בשנת 1930. בשנת 1936 פרסם הנס פרוידנטל הכללה נוספת, שבה נכלל משפט רדון־ניקודים כמקרה פרטי.
בהינתן מרחב מדיד ושתי מידות סיגמא־סופיות ו- המוגדרות על המרחב כך ש- היא מידה רציפה בהחלט ביחס למידה , אזי קיימת פונקציה פונקציה אינטגרבילית ביחס ל- כך שמתקיים לכל קבוצה מדידה .
הדוגמה הבאה מראה מדוע הדרישה לסיגמא־סופיות הכרחית.
תהי מידת המניה על , כלומר (בכל מקרה בו אינסופית נגדיר ).
תהי מידת לבג על .
קל לראות כי רציפה בהחלט ביחס ל-.
אם בשלילה המשפט היה תקף גם במקרה זה, אז הייתה נגזרת רדון־ניקודים אינטגרבילית ביחס למידת המניה, כך שמתקיים .
אבל לכל מתקיים, , כלומר .
אבל מכך נובע כי , וזו סתירה.
במקרה שבו היא מידה סופית מגדירים את הקבוצה:
באמצעות הלמה של צורן ניתן להוכיח כי קיים ב- איבר מקסימלי, נסמנו ב-.
לכל מתקיים כי כמעט בכל מקום.
לפי הגדרה, לכל מתקיים .
נותר רק להוכיח כי מתקיים אי השוויון בכיוון ההפוך.
מגדירים פונקציה חדשה כך שלכל מתקיים .
זאת היא בהכרח מידה מסומנת, לכן לפי משפט הפירוק של האן קיימת לה קבוצה חיובית כך ש- קבוצה שלילית.
מגדירים פונקציה חדשה כך ש:
ניתן להוכיח כי וכי .
לכן, לפי המקסימליות של , חייבת להיות ממידה אפס.
מתקבל אם כן כי לכל מתקיימים אי השוויונות , לכן בהכרח .
כלומר, היא הפונקציה המבוקשת במשפט.
אם מידה סיגמא-סופית ניתן לפרק את לאוסף בן מניה של קבוצות זרות ממידה סופית .
לכל מגדירים מידה חדשה כך שלכל מתקיים .
ניתן להוכיח כי היא מידה סופית רציפה בהחלט ביחס , לכן לפי משפט רדון-ניקודים למידה סופית קיימת לה נגזרת רדון-ניקודים אשר מתאפסת מחוץ ל-.
ניתן לראות כי מתקיים לכל :
הכללה למידות מסומנות ומידות מרוכבות
ניתן להרחיב את משפט למידות מסומנות ומידות מרוכבות באופן הבא:
עבור מרחב מדיד, מידה סיגמא־סופית וחיובית על המרחב ו- מידה מסומנת (מרוכבת) המקבלת ערכים סופיים בלבד ורציפה בהחלט ביחס ל-, אזי קיימת פונקציה פונקציה אינטגרבילית ביחס ל- (לא בהכרח חיובית) כך שמתקיים לכל קבוצה מדידה .
משפט הפירוק של לבג מאפשר לעדן את התנאי לרציפות בהחלט של משפט רדון-ניקודים.
עבור מרחב מדיד, מידה סיגמא־סופית וחיובית על המרחב ו- מידה סיגמא-סופית ומסומנת, קיימות זוג מידות מסומנות כך ש:
קיימת פונקציה יחידה , כך שמתקיים לכל קבוצה מדידה .
פונקציה זו מכונה נגזרת רדון־ניקודים, והיא מסומנת .
משפט קרתיאודורי הוא משפט באנליזה מרוכבת הקובע כי העתקה קונפורמית מתחום פשוט קשר החסום על ידי עקומת ז'ורדן אל מעגל היחידה מורחבת באופן רציף אל שפת התחום, ומהווה הומיאומורפיזם בין עקומת הז'ורדן לבין שפת העיגול.