tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
נוסחה לרצח הוא סרט מותחן פסיכולוגי אמריקאי משנת 2002 בבימויו של ברבט שרודר, על פי תסריט מאת טוני גייטון.
הסרט מציג את סנדרה בולוק בתפקיד הבלשית קייסי מייוות'ר, לצד בן צ'פלין, ראיין גוסלינג ומייקל פיט.
העלילה עוקבת אחר חקירת רצח בעיירה קטנה בקליפורניה, שבה שני תלמידי תיכון מבריקים מנסים לבצע את הפשע המושלם.
הסרט הופק בתקציב של 50 מיליון דולר והכניס כ-56.7 מיליון דולר ברחבי העולם.
הסרט הוקרן בפסטיבל קאן 2002, אך לא נכלל בתחרות.
כאשר גופת אישה צעירה מתגלה ביער סמוך לעיירה סן בניטו שבקליפורניה, הבלשית קייסי מייוות'ר ושותפה הצעיר סם קנדי מקבלים את תיק החקירה.
במהלך החקירה, הם נתקלים בראיות המצביעות על מעשה אלימות אקראי, אך קייסי חושדת שמדובר בתכנון מתוחכם.
החקירה מובילה אותם לשני תלמידי תיכון, ריצ'רד הייווד וג'סטין פנדלטון, שמנסים להוכיח את עליונותם האינטלקטואלית באמצעות ביצוע פשע מושלם.
סנדרה בולוק – קייסי מייוות'ר, בלשית מנוסה עם עבר טראומטי.
בן צ'פלין – סם קנדי, שותפה הצעיר והשאפתן של קייסי.
ראיין גוסלינג – ריצ'רד הייווד, תלמיד תיכון עשיר ומקובל.
מייקל פיט – ג'סטין פנדלטון, תלמיד תיכון מבריק ומופנם.
אגנס ברוקנר – ליסה מילס, תלמידת תיכון וחברתו של ריצ'רד.
כריס פן – ריי פדרס, בלש ותיק במחלק הרצח.
טום וריקה - התובע הראשי אל סוונסון
הסרט "נוסחה לרצח" קיבל ביקורות מעורבות מהמבקרים.
באתר Rotten Tomatoes, הסרט זכה לציון של 31% על סמך 138 ביקורות, עם הקונצנזוס: "למרות הופעה חזקה של סנדרה בולוק, הסרט סובל מעלילה צפויה ודמויות שטחיות." באתר Metacritic, הסרט קיבל ציון ממוצע של 50 מתוך 100, המבוסס על 35 ביקורות, המעיד על "ביקורות מעורבות או ממוצעות".
רוג'ר אברט העניק שלושה כוכבים מתוך ארבעה אפשריים, ואמר: "בולוק עושה כאן עבודה טובה בניסיון לעבוד נגד החביבות הטבעית שלה, ויוצרת דמות שהייתם רוצים לחבב, ויכולים לחבב, אם היא לא הייתה כל כך עצובה, מוזרה ומסוגרת בתוך עצמה.
היא משקיעה את עצמה בעבודת המשטרה לא כל כך מתוך מסירות, אלא משום שהיא זקוקה להסחת הדעת, צריכה להישאר עסוקה ולהיות טובה כדי להבטיח לעצמה את הערך שלה.
ככל שהיא מצמצמת את הרשת, ונתקלת ביותר סכנות ובהתנגדות רשמית גוברת, הסרט מתחיל באופן כמעט חסר אונים לחשוב לעצמו על הצוק הזה מעל הים, אבל לפחות השיא מראה לנו שבולוק מסוגלת להישאר בדמות לא משנה מה."
בשם "נוסח ריינוס" מכונה סדר התפלה הנהוג מאז ימי הבינים בקהלות מערב אירופה עם דגש על העיר פרנקפורט דמיין.
כיום מתפללות בנוסח זה קהלות בודדות בשווייץ, ארצות הברית ומנינים ספורים בישראל.
בארץ, הרב בנימין שלמה המבורגר נחשב לחלוצי המחקר של נוסח עתיק זה.
במקור תֵאר נוסח אשכנז אשכנז את הנוסח הזה אחר בחלוף השנים התפצל נוסח אשכנז לשנים – "מזרחי" של פולין ואף מזרחה של גרמניה ומזרחה ונוסח ריינוס של מערב גרמניה ומערבה, בעיקר שווייץ והולנד.
לדעת הרב המבורגר, משמר נוסח ריינוס את מנהג קהילות שו"ם העתיק ומקורות מראשוני אשכנז, רבי אלעזר מגרמייזא ואנשים נוספים מתקופת הראשונים.
על ידי הצבת פרמטרים לתוך הנוסחה, בהתייעצות עם מדענים שונים שכל אחד מומחה בתחומו (כימיה, ביולוגיה וכדומה), הגיע דרייק לערכים שונים עבור N.
אחד הפרמטרים שעודכן בעשור האחרון הוא - אחוז הכוכבים שיש להם מערכת פלנטרית.
עד שנת 2019 התגלו כ־3872 כוכבי לכת חוץ שמשיים בכ־1200 מערכות פלנטריות שונות.
ב-18 באפריל 2018 שוגר טלסקופ החלל TESS שהחליף את טלסקופ החלל קפלר, ושיפר רבות את יכולת וקצב זיהוי כוכבי לכת חיצוניים, ולמעשה לשפר את הסיכוי לגלות כוכבי לכת דמויי ארץ, עליהם תיתכן, אולי, ציוויליזציה תבונית.
בספרם כדור הארץ הנדיר (Rare Earth), שהתפרסם בשנת 2000, מצביעים פיטר ווארד ודונלד בראונלי על שגיאה של דרייק.
הספר מציג את "היפותזת כדור־הארץ הנדיר": חיים פשוטים (בקטריולוגיים) הם נפוצים מאוד ביקום; חיים מורכבים (בעלי־חיים רב תאיים, קל וחומר תבוניים) הם נדירים עד מאוד.
השגיאה, לפי היפותזת "כדור הארץ הנדיר", בחישוב של דרייק, ביסודו של דבר, הייתה בהנחה כי די לו לכוכב לכת שיהיה במרחק המתאים משמש הולמת כדי שיתפתחו עליו חיים מורכבים בסבירות גבוהה.
למעשה, טוענים ווארד ובראונלי, עלינו לסקור כל אחת ואחת מהתכונות של כדור הארץ, ולהעריך מחדש את חשיבותה לקיום חיים.
במתמטיקה, ובפרט בקומבינטוריקה ותורת המספרים האנליטית, נוסחת ההיפוך של מביוס היא נוסחה המקשרת בין שתי פונקציות אריתמטיות כאשר אחת מהן מנוסחת כסכום ערכי הפונקציה השנייה על המחלקים של מספר טבעי.
הנוסחה הוכחה לראשונה על ידי אוגוסט פרדיננד מביוס בשנת 1832.
בערך זה נשתמש בסימון המקובל לקבוצת המספרים הטבעיים ונגדירה ללא המספר 0 (כלומר, המספרים הטבעיים יחלו מהמספר 1).
באופן דומה נסמן ב- את קבוצת המספרים המרוכבים, כמקובל.
בהינתן זוג מספרים טבעיים , נאמר כי מחלק את ונסמן אם ורק אם קיים כלשהו כך ש-.
הפונקציה האריתמטית נקראת פונקציית מביוס והיא מוגדרת כך שלכל :
הפונקציה האריתמטית נקראת פונקציית היחידה והיא מוגדרת כך שלכל :
לבסוף, לכל זוג פונקציות אריתמטיות מגדירים את קונבולוציית דיריכלה שלהן כך שלכל :
יהי שתי פונקציות אריתמטיות .
אזי, שני התנאים הבאים שקולים:
מגדירים את הפונקציה האריתמטית כך שלכל מתקיים ש-.
תחת קונבולוציית דיריכלה, פונקציית היחידה משמשת כאיבר יחידה.
כלומר, לכל פונקציה אריתמטית מתקיים ש-.
בנוסף, ניתן להוכיח כי ו- הן איברים הופכיים תחת קונבולוציית דיריכלה, כלומר -.
מכל זה ניתן להראות כי:
לכל מתקיים ש-, כאשר היא פונקציית אוילר, לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס .
לכל מתקיים ש-, כאשר היא פונקציית ז'ורדן מסדר , לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס .
לכל מתקיים ש-, כאשר היא פונקציית פון מנגולד, לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס ותכונות פונקציית הלוגריתם, מתקבל כי .
לכל מתקיים ש-, כאשר היא פונקציית ליוביל, לכן לפי נוסחת ההיפוך של מביוס .
בהינתן זוג פונקציות המתאפסות בקטע הפתוח ופונקציה אריתמטית כפלית לחלוטין , שני התנאים הבאים שקולים:
נוסחת אוילר היא נוסחה יסודית באנליזה מרוכבת, הקושרת את הפונקציה המעריכית הטבעית המרוכבת לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס.
הנוסחה נקראת על-שמו של לאונרד אוילר.
הנוסחה קובעת כי: לכל ממשי, כאשר e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו-i הוא היחידה המדומה.
את יש הנוהגים לסמן בצורה המקוצרת .
לנוסחה שימושים רבים, בין היתר היא מסייעת בפתרון משוואות דפרנציאליות ליניאריות עם מקדמים קבועים, שלהן יישומים רבים בפיזיקה ובהנדסה.
כאשר מציבים בנוסחה את כערכה של הזווית , מתקבל:
תוצאה הקרויה זהות אוילר ומקשרת בצורה פשוטה בין 5 קבועים מתמטיים בסיסיים.
בהינתן מספר מרוכב השונה מאפס, ניתן למתוח קטע במישור המרוכב בין ראשית הצירים לנקודה .
האורך של , , מכונה הערך המוחלט של , ואילו הזווית (ברדיאנים) בין הכיוון החיובי של הציר הממשי ל- (נגד כיוון השעון), , מכונה הארגומנט של .
הזוג מכונה ההצגה הקוטבית של .
אם נציג את בצורה , אז ו- הם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית שיתרו הוא .
לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות מתקיים ו-.
הצגה זו של מספר מרוכב נוחה לשימוש במקרים רבים.
למשל כאשר כופלים אותם: .
מסקנה מיידית מהצגה זו היא משפט דה-מואבר הקובע כי ל-n טבעי ו-x ממשי.
לפי נוסחת אוילר זהו פשוט השוויון .
מנוסחת אוילר נובע שההעתקה היא הומומורפיזם של חבורות מן הישר הממשי כחבורה ביחס לפעולת החיבור, אל מעגל היחידה במישור המרוכב כחבורה ביחס לפעולת הכפל.
זהו אפימורפיזם שאיננו איזומורפיזם שכן .
הגרעין של הוא הקבוצה ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון מעגל היחידה איזומורפי ל-, או אחרי נרמול .
קיימות מספר הוכחות לנוסחה, שמתבססות על ההגדרה של פונקציית האקספוננט המרוכבת לפי טור טיילור של הפונקציה הממשית או כפונקציה המקיימת את התכונות הידועות של הפונקציה הממשית.
זוהי הוכחה של נוסחת אוילר באמצעות פיתוח טור טיילור וכן העובדות הבסיסיות אודות החזקות של :
אפשר לבטא את הפונקציות הממשיות , ו- באמצעות פיתוח טור טיילור שלהן סביב 0:
עבור מספרים מרוכבים נגדיר את הפונקציות האלה באמצעות הטורים הללו, על ידי החלפת המספר הממשי במספר המדומה (כאשר עצמו ממשי).
לפי הגדרה זאת אפשר לראות ש:
(החלפת סדר האיברים מוצדקת משום שכל הטורים מתכנסים בהחלט).
נגדיר את הפונקציה , במשתנה ממשי , בתור:
הנגזרת של (f(x, לפי חוק המכפלה, היא:
לכן, חייבת להיות פונקציה קבועה ביחס ל-.
משום ש- ידוע, הקבוע ש- שווה אליו עבור כל ממשי גם ידוע.
על ידי הכפלת שני הצדדים ב- ושימוש בשוויון
ניתן להכליל את נוסחת אוילר מהמספרים המרוכבים אל הקווטרניונים על ידי הנוסחה כאשר r הוא נקודה על כדור היחידה התלת-ממדי במרחב הקווטרניונים ה-4 ממדי הנקרא ורסור.
באנליזה מרוכבת, נוסחת האינטגרל של קושי היא נוסחה מרכזית, המתארת פונקציה הולומורפית בעיגול באמצעות הערכים שהיא מקבלת על שפת העיגול.
הנוסחה ניתנת להכללה גם אל הנגזרות של פונקציה כזו.
את נוסחת האינטגרל של קושי מוכיחים באמצעות משפט האינטגרל של קושי.
מהוכחת הנוסחה נובע בין היתר כי כל פונקציה הולומורפית היא פונקציה אנליטית - בעלת אינסוף נגזרות וניתנת לפיתוח לטור חזקות.
כמו כן נובעים ממנה משפטים חשובים דוגמת משפט ליוביל.
תהא קבוצה פתוחה במישור המרוכב, המכילה עיגול .
אז לכל פונקציה שהיא הולומורפית ב- ולכל בפנים של העיגול,
, כאשר היא שפת העיגול ומגמת האינטגרל היא נגד כיוון השעון.
ניתן להרחיב את הנוסחה לכל הנגזרות של :
למעשה, על פי משפט האינטגרל של קושי, המשפט תקף לא רק בעבור מעגלים אלא גם בעבור עקומים פשוטים סגורים כלשהם (כאשר הנקודה נמצאת בתוך התחום המוגדר על ידי המסילה).
כמו כן, די לדרוש כי הפונקציה תהיה הולומורפית בתוך התחום, ורציפה בלבד על השפה.
מנוסחאות אלו ניתן להוכיח את משפט השאריות, שמהווה הכללה מרחיקת לכת שלהן.
נוכיח גרסה בסיסית של המשפט, עבור המקרה , שממנה מסיקים את השאר:
מכיוון ש- הולומורפית, היא בפרט רציפה, כלומר עבור כלשהו קיים כך ש- לכל , וכך שהעיגול הזה מוכל כולו בקבוצה .
כעת, לפי משפט אינטגרל קושי, אפשר להחליף את העקומה במעגל , שהרי .
ראשית נחסום את האינטגרל השמאלי בסכום:
כעת נחשב במדויק את האינטגרל הימני בסכום.
תוך כדי כך נחשב גם את כל האינטגרלים הדומים לו, ונשיג תוצאה שימושית גם להוכחת משפט השאריות, שהוא הכללה של נוסחת אינטגרל קושי.
נרצה להשתמש בפרמטריזציה לחישוב האינטגרל .
נשים לב שזהו אינטגרל על מעגל ברדיוס סביב הנקודה .
לכן נשתמש בפרמטריזציה (המשתנה הוא הזווית ).
בפרמטריזציה זו, , כלומר קיבלנו .
כמו כן נשים לב שעל ידי אותו החישוב נקבל לחזקות שונות מ-1 ().
בסיכומו של דבר, הראינו כי עבור כלשהו מתקיים .
מכיוון שזה נכון עבור חיובי שרירותי, בהכרח .
על כן, קיבלנו , כמבוקש.
בגאומטריה, נוסחת הֵרון משמשת לחישוב שטח של משולש על-פי אורכי שלוש צלעותיו.
הנוסחה קובעת שהשטח הוא , כאשר b ,a, ו-c הם אורכי הצלעות, ו- היא מחצית ההיקף.
אי-שוויון המשולש מבטיח שכל הביטויים תחת סימן השורש חיוביים.
גילוי הנוסחה מיוחס להרון מאלכסנדריה במאה הראשונה, והוכחה לנוסחה מופיעה בספרו "מטריקה" (Metrica).
אף על פי כן, כיום מאמינים כי ארכימדס כבר הכיר את הנוסחה ואף ייתכן כי הנוסחה הייתה ידועה זמן רב קודם לכן.
המתמטיקאי הסיני צ'ין ג'יו-האו גילה אותה מחדש במאה ה-13.
להלן הוכחה מודרנית הנעזרת באלגברה ובטריגונומטריה.
הוכחה זו שונה למדי מההוכחה שניתנה על ידי הרון.
נניח כי a, b, c מייצגות את צלעות המשולש, וכי A, B, C מייצגות את הזוויות הנגדיות להן, בהתאמה.
באמצעות שימוש באלגברה מגיעים ל-:
הגובה לבסיס a הוא (bsin(C, ומכאן נובע ש-:
נוסחת הרון היא למעשה מקרה פרטי של נוסחת ברהמגופטה (Brahmagupta's formula) לשטח של מרובע החסום במעגל, ושניהם הם למעשה מקרים פרטיים של נוסחת ברטשניידר לשטח של מרובע.
הצגת נוסחת הרון באמצעות דטרמיננטה במונחים של ריבועי המרחקים בין שלושה קודקודים,
ממחישה את הדמיון לנוסחת טרטליה עבור נפח של פירמידה משולשת.
נוסחת הרון כפי שהוצגה לעיל אינה יציבה מספרית עבור משולשים בעלי זווית קטנה מאוד, בחישוב העושה שימוש בנקודה צפה.
חלופה יציבה מצריכה סידור מחדש של צלעות המשולש, כך ש-a ≥ b ≥ c וחישוב של הנוסחה
הסוגריים הכרחיים למניעת אי יציבות מספרית בהערכה.
נוסחת המסה של ויצאקר היא נוסחה חצי-אמפירית המתארת את מסתו של גרעין האטום כתלות במספר האטומי שלו Z (זהו מספר הפרוטונים) ומספר המסה שלו A (זהו מספר הנוקליאונים שלו, כלומר המספר הכולל של פרוטונים ונייטרונים).
הנוסחה מורכבת מ-6 איברים, כל אחד מהם מקורו בתאוריה אך המקדמים שלהם נמצאו באמצעות התאמה לתוצאות ניסיוניות.
מכיוון שהמקדמים מחושבים באמצעות שיטות להתאמה מרבית לתוצאות ניסיוניות, קיימות כמה אפשרויות לערכם המספרי התלוי בשיטת ההתאמה בה משתמשים.
לכן ייתכנו הבדלים ניכרים בין המקדמים שחושבו בשיטות התאמה שונות, במיוחד עבור האיברים מסדר גבוה (החמישי והשישי).
נוסחת המסה נותנת קירוב למסתו של הגרעין לגביו חושבה, כאשר האיבר הראשון הוא איבר המאסה והאיברים השני ואילך הם אנרגיית הקשר, כאשר יש להפחית את סכומם מהאיבר הראשון.
הנוסחה נקראת גם מודל הטיפה מכיוון שהיא מבוססת על עקרונות תרמודינמיים דומים לאלו של טיפת חומר בעל צפיפות גבוהה ומתח פנים.
האיבר הראשון בנוסחה הוא מסת המנוחה של הנוקליאונים:
איבר זה מייצג את האנרגיה (שמתבטאת במסה) של האינטראקציה בין נוקליאונים תוך הנחה שהאינטראקציה מתפלגת באופן אחיד על פני נפח הגרעין.
רדיוס הגרעין פרופורציוני ל- ולכן הנפח פרופורציוני ל-A.
דרך נוספת להבין איבר זה נובעת מכך שהאינטראקציה של הכוח הגרעיני החזק היא קצרת טווח, ובקירוב כל נוקליאון מקיים אינטראקציה רק עם שכניו.
לפיכך, האנרגיה פרופורציונית בקירוב למספר הנוקליאונים A.
נדרש תיקון עבור נוקליאונים שאינם מוקפים מכל צדדיהם בנוקליאונים אחרים, כלומר כאלה שהם בפני השטח של הגרעין, ותיקון זה מוצג באיבר הבא (איבר השטח).
ערך זה ניתן להבין כמספר הנוקליאונים המקיפים כל נוקליאון שאינו על פני השטח (בקירוב 6), כפול ערכה של האנרגיה הנובעת מן האינטקרציה הגרעינית (כ-1.5 MeV)
איבר זה הוא תיקון לאיבר הנפח ובעצם לוקח בחשבון את האינטראקציה של הנוקליאונים על השפה, שם יש להם פחות שכנים.
איבר זה מייצג את הדחייה החשמלית בין הפרוטונים.
איבר זה הוא תוצאה של שיקולים קוונטיים.
הנוקליאונים הם פרמיונים ולכן, לפי עיקרון האיסור של פאולי, שני נוקליאונים זהים אינם יכולים לאכלס את אותו המצב הקוונטי.
בכל רמת אנרגיה ניתן לאכלס מספר סופי של נוקליאונים מכל סוג, וכאשר יש עודף של נוקליאונים מסוג מסוים, הם יתפסו רמות יותר גבוהות, שגובהן תלוי בצפיפות המצבים שפרופורציונלית לנפח הגרעין.
האנרגיה המינימלית תושג כאשר מספר הנוקליאונים שווה (כלומר A=2Z) ואז שניהם מגיעים בקירוב עד לאותה רמת אנרגיה מקסימלית.
סיבה נוספת ואף חשובה יותר נובעת מהעובדה שהאינטראקציה הגרעינית (הנובעת מהכוח החזק) חזקה יותר בין פרוטון לנייטרון מאשר בין זוגות נוקלאונים זהים (פרוטון-פרוטון או נייטרון-נייטרון).
איבר זה יוצר העדפה לגרעינים בעלי מספר קרוב של נייטרונים ופרוטונים על פני גרעינים שבהם יש עודף גדול של סוג נוקלאונים אחד על פני האחר.
איבר זה נובע משיקולים קוונטיים של תכונת הספין של הנוקלאונים ומבטא העדפה לצירופים בעלי מספר זוגי של נוקלאונים מכל סוג על פני צירופים אי זוגיים.
הוא שווה ל- כאשר מספר הפרוטונים אי-זוגי ומספר הנייטרונים אי-זוגי.
הוא שווה ל- כאשר מספר הפרוטונים זוגי ומספר הנייטרונים אי-זוגי ולהפך.
הוא שווה ל- כאשר מספר הפרוטונים זוגי ומספר הנייטרונים זוגי.
נוסחת זרניצקי היא נוסחה המשמשת בשמאות מקרקעין למציאת אומד לשוויו של נכס, בהתבסס על העיקרון הכלכלי של תועלת שולית פוחתת.
נוסחת זרניצקי הוצעה לראשונה בשנות השישים על ידי מ' זרניצקי, סגן השמאי הממשלתי הראשי באותה תקופה, ופורסמה ב-1964 בסיכומי "הוועדה לגיבוש קווים מנחים לגבי בעיות מיוחדות בשמאות מקרקעין" (הידועים בשם "הקווים המנחים ההיסטוריים").
- אומד לשוויו של הנכס הנישום;
, - מקדם לשווי שולי פוחת (מהווה את גמישות השווי ביחס לשטח הנכס).
בהצעתו המקורית של זרניצקי נלקח הערך עבור מקדם השווי השולי - וזאת לשם פשטות החישוב בימים של טרום עידן המחשוב.
אולם אמידה מודרנית במודל רגרסיה הראתה כי 0.75 הוא ערך מדויק יותר.
הנוסחה מתארת את שווי הנכס כפונקציה של שטחו , עם שווי שולי פוחת ( , ו- הם פרמטרים קבועים).
ודוק: במקרה הפשוט בו מתקבלת הנוסחה .
כלומר, האומד לשווי הנכס מתקבל ממכפלת שטחו במחיר הממוצע ליחידת שטח בנכס ההשוואה (למשל, ש"ח/מ"ר).
התוצאה של כל "הרצה" של הנוסחה היא אומד יחיד לשווי הנכס, גורם אחד מני רבים לקביעת השווי.
נוסחת זרניצקי היא הרכבה של שתי פונקציות תועלת של הצרכן - זו עבור הנכס הנישום וזו עבור נכס ההשוואה.
יוצא כי היא מבטאת את שוויו של הנכס כנגזרת של צד הביקוש בלבד, דבר הנוגד לכאורה את פרדיגמת הביקוש וההיצע של הכלכלה הנאו-קלאסית.
אלא שבטווח הקצר כמות הבנייה קבועה (עקומת ההיצע קשיחה לחלוטין) ולכן מחירי הנכסים נקבעים על ידי צד הביקוש בלבד.
הקשר לתחשיב לפי שטח שווה-ערך
תחשיב לפי שטח שווה-ערך ("שטח אקוויוולנט") הוא תחשיב שמאי שבו מוענקים משקלים שונים (מקדמים) לחלקים שונים בנכס.
לדוגמה: כאשר שווי מ"ר שטח עיקרי נקבע ל- ש"ח וביחס אליו שווי מ"ר שטחי שירות נקבע ל- ש"ח.
דוגמה נוספת: שווי מ"ר שטח גרעין נקבע ל- ש"ח וביחס אליו שווי מ"ר שטח שולי נקבע ל- ש"ח.
מקור המונח "שטח שווה-ערך" בכך שבמקום להכפיל את המקדמים השונים בשווי ליחידת שטח מסוימת, ניתן להכפילם בשטחים עצמם.
כך, אם בנכס מסוים קיימים 200 מ"ר שטחים עיקריים ו-100 מ"ר שטחי שירות, הרי ששטחו במונחי שטח שווה-ערך לפי הדוגמה הקודמת הוא: מ"ר שווה-ערך (שווי הנכס הוא ש"ח).
באופן דומה אם 160 מ"ר נם שטח גרעין ו- 40 מ"ר שטח שולי, שטחו במונחי שטח שווה-ערך הוא מ"ר שווה-ערך (שווי הנכס הוא ש"ח).
להלן הוכחה כי תחשיב לפי שטח שווה-ערך מהווה קירוב לשימוש בנוסחת זרניצקי וכי , מקדם השווי השולי בנוסחה, זהה למקדם השטח השולי:
ניתן לרשום את הנוסחה באופן הבא:
הביטוי שבתוך הסוגריים בצד ימין של המשוואה הוא השטח שווה-הערך של הנכס הנישום.
למשוואה עצמה הצורה הכללית כמו בדוגמה לעיל.
נוסחת אוילר היא נוסחה מרכזית בתורת הגרפים שפיתח לאונרד אוילר.
על פי הנוסחה, עבור גרפים מישוריים קשירים, ישנו קשר בין מספר הקשתות , מספר הצמתים , ומספר הפאות , כאשר גם השטח שמסביב לגרף נספר בתור פאה:
בזכות נוסחת אוילר, מאפיין אוילר של המישור קשור מוגדר היטב ושווה לביטוי .
ניתן להכליל את הנוסחה על ידי השמטת הדרישה שהגרף קשיר, ואז יתקיים:
כאשר הוא מספר רכיבי הקשירות.
דרך קלה להיווכח שהנוסחה נכונה הוא בשיטה של מחיקת קשתות.
נמחק את קשתות הגרף בזו אחר זו.
תחילה נמחק קשתות המשתתפות במעגל (נשים לב שמחיקה כזו אינה פוגעת בקשירות הגרף).
כל קשת כזו מפרידה בין שתי פאות (כזכור גם האזור מחוץ לגרף נחשב פאה), ולכן מחיקת הקשת מקטינה את מספר הקשתות באחת וגם את מספר הפאות באחת.
לאחר שלא נותר מעגל, הגרף שמתקבל הוא עץ ויש פאה אחת בלבד.
כעת נמחק בזה אחר זה עלה עם הקשת המחברת אותו.
באופן זה אנו מוחקים צומת אחד וקשת אחת בכל פעם.
מכאן שבסוף תהליך המחיקה מספר הקשתות שנמחקו שווה למספר הפאות + מספר הצמתים שנמחקו.
לבסוף נשארים עם צומת בודד ופאה בודדת, ומכאן מתקבלת הנוסחה.
הוכחה זו ניתנה על ידי קושי ב-1811 והיא מוכיחה כי מאפיין אוילר עבור פאונים אפלטוניים או במישור דו-ממדי הוא 2. הוכחה זו מראה כי הנוסחה של אוילר עובדת לכל פאון קמור, ובאופן כללי יותר לכל פאון שהגבול שלו הוא שקול טופולוגית לספירה ושהשטחים שלו שקולים טופולוגית לדיסק.
יהי פאון אשר פאה אחת שלו מופנית כלפי מעלה.
נסיר פאה זו כך שהקודקודים והמקצועות הסמוכים לו נשארים במקום וכעת יש לנו "קופסה" פתוחה.
נמתח את הקופסה הפתוחה ככה שהקודקודים בפתח הפאון יקיפו (על משטח דו־ממדי) את כל שאר הקודקודים ובכך יצרנו גרף של קודקודים ומקצועות (בעצם, מקצועותיו של הפיאון הן הקשתות של הגרף) ולכן גם שטח בין קשתות אלו (כלומר האזורים שהיו הפיאות של הפאון) נוצר גם הוא.
לשטחים הללו נקרא שטחי הגרף (להלן איור א').
לכל שטח הכלוא בין קשתות נקרא שטח גרף פנימי.
לאזור שמחוץ לגרף נקרא שטח גרף חיצוני.
נתייחס לשטח האחרון כפאה שהסרנו בהתחלה.
ביצירת גרף אין אנחנו מסירים או מוסיפים ישר או קודקוד ולכן מספר הקודקודים בגרף, (vertices), זהה למספר הקודקודים של הפאון.
כמו כן מספר הקשתות , (edges), זהה גם הוא.
נסמן , (face), את מספר השטחים הכלואים בין ישרים בגרף + שטח הגרף החיצוני.
סכום שטחים אלה זהה לסכום פיאות הפאון (להלן איור ב').
3 צעדים יבוצעו על הגרף שלנו:
אם לשטח גרף פנימי יש יותר מ3 צדדים, נעביר מיתר מקודקוד מסוים לקודקוד שאינו מחובר אליו כבר בקשת (להלן איור ג').
נבחין כי עבור צעד בודד מספר הקודקודים לא השתנה, התווספו שטח אחד וקשת אחת.
כעת אם לאחד המשולשים קיימת קשת משותפת עם שטח הגרף החיצוני, אז נסיר אותו.
נבחין כי עבור צעד בודד מספר הקודקודים לא השתנה, החסרנו שטח אחד והחסרנו קשת אחת.
כעת אם לאחד המשולשים יש שתי קשתות משותפות לשטח הגרף החיצוני, נסיר אותו.
נבחין כי עבור צעד אחד החסרנו קודקוד אחד, שטח אחד ושתי קשתות.
נציין שצעד 1 יבוצע עד הסוף עוד לפני צעד 2 וצעד 3. כלומר עד שכל שטח גרף פנימי יהיה משולש (איור ג').
כאשר אפשרי, צעד 3 תמיד יבוצע לפני צעד 2 (איור ד').
בסוף תהליך זה נקבל משולש אחד ויחיד.
מאחר שלאורך כל התהליך הביטוי נשאר זהה ומתקיים עבור הגרף, הוא מתקיים אז בווודאי עבור הפאון ומקיים .
ניתן לתאר את השלד של פאון (המורכב מן הקודקודים והצלעות שלו) בגרף מישורי, על ידי מתיחת אחת הפאות (כל קודקוד יהווה צומת, וכל צלע תהווה קשת), ולכן נוסחת אוילר תקפה גם עבורם.
מנוסחת אוילר אפשר להסיק את המיון של הפאונים האפלטוניים, שהם פאונים שבהם כל הפאות חופפות לאותו מצולע משוכלל (נאמר, בן n צלעות), ובכל קודקוד נפגש אותו מספר פאות (נאמר, m).
אם f הוא מספר הפאות, אז מספר הצלעות שווה ל-, ומספר הקודקודים הוא .
על פי נוסחת אוילר , כלומר , וזה צריך להיות כמובן מספר טבעי.
כאשר מוסיפים את הדרישה , מתקבלים למשוואה הדיופנטית הזו רק חמישה פתרונות.
נוסחת ההסתברות השלמה היא אחת הנוסחאות האלמנטריות בתורת ההסתברות.
היא מאפשרת לחשב הסתברות של מאורעות מסובכים, על ידי פירוק מרחב ההסתברות למרכיבים זרים, וחישוב ההסתברות בכל אחד מהם בפני עצמו.
במקרה הכללי ביותר מפרקים את המרחב לאיחוד זר של מאורעות (אולי אפילו אינסופי, אך בן מנייה), ואז מתקיים , כאשר היא ההסתברות המותנית ו־ היא מרחב ההסתברות.
בגרסתה הפשוטה ביותר, הנוסחה מפרקת את מרחב ההסתברות כאיחוד של קבוצה עם המשלימה שלה: .
במקרה זה הנוסחה קובעת שלכל מאורע מתקיים:
הוכחת הנוסחה מיידית מהגדרת ההסתברות המותנית והאקסיומות של קולמוגורב למרחבי הסתברות:
מכיוון ש־ היא איחוד זר של המרכיבים .
בתאוריה האנליטית של שברים משולבים, נוסחת אוילר לשברים משולבים היא זהות מתמטית, הקושרת סכומים סופיים של מכפלות עם שברים משולבים מוכללים.
הנוסחה מאפשרת להציג טורים אינסופיים מסוימים כשבר משולב.
נוסחה זו היא הבסיס להוכחות מודרניות רבות של התכנסות של שברים משולבים.
אוילר הציג את הזהות במקור כמניפולציה מתמטית המאפשרת להציג סכומים סופיים של מכפלות כשבר משולב סופי:
קל להוכיח את הזהות באמצעות אינדוקציה על , ולפיכך הזהות ישימה בגבול; אם הביטוי באגף שמאל מורחב ומייצג טור אינסופי מתכנס, הביטוי באגף ימין ייצג שבר משולב אינסופי מתכנס.
פונקציית האקספוננט ניתנת להצגה כפיתוח לטור אינסופי:
היישום של זהות אוילר הוא מיידי:
שבר משולב זה שקול לשבר המשולב הבא:
מהצבת מתקבלת ההצגה המפורסמת של e כשבר משולב אינסופי שאינו מחזורי:
באלגברה ליניארית שבמתמטיקה, נוסחת וודברי (או נוסחת וודברי להיפוך מטריצות) היא נוסחה לחישוב ההופכי של מטריצה אחרי שינוי מדרגה k.
הנוסחה נקראת על שם מקס וודברי, אשר פרסם את התוצאה ב-1950.
גרסה לנוסחה זו עבור שינוי מדרגה 1 נקראת נוסחת שרמן-מוריסון.
U,V מטריצות בגודל ו- בהתאמה.
ניתן לבדוק בקלות את נכונות הנוסחה, על ידי חישוב הכפל:
בהינתן חישב מוקדם של ההופכי של A, סיבוכיות החישוב של היא במקום בחישוב נאיבי.
בגאומטריה אוקלידית, נוסחת בְּרַהמָגוּפְּטָה, היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע בר חסימה, על בסיס צלעותיו.
פותחה על ידי המתמטיקאי ההודי בראהמגופטה.
שטח K של מרובע בר חסימה, שאורך צלעותיו הם a ,b ,c ,d, ו-s הוא מחצית ההיקף של הצורה ( ) הוא:
הנוסחה היא הכללה לנוסחת הרון למשולשים, וניתן להסתכל עליה כך כאשר אורך אחת הצלעות הוא 0. ניתן לרשום את הנוסחה גם מהצורה:
אנחנו נביא כאן הוכחה שבה השתמשנו באלגברה ובטריגונומטריה, והוכחה זה היא שונה מהוכחתו המקורית של ברהמגופטה.
מרובע חסום ABCD ששטחו K הוא סכום השטחים של המשלושים ADB△ ו-BDC△,
מכיוון שמרובע ABCD הוא בר חסימה, אז DAB = 180° − ∠DCB∠, מכאן sin A = sin C,אז ניתן לרשום את השטח כ-
ניתן לפתור עבור צלע DB במשולש ADB△ על ידי משפט הקוסינוסים, אז
ובגלל ש-cos C −cos A (מכיוון שהם זוויות שמשלימות ל-360), ומכאן
ניתן לפרק את הביטוי על ידי נוסחת כפל מקוצר, אז
ועל ידי הצבה של מחצית ההיקף S, אז נקבל
נוציא שורש ונחלק ב-16,ונקבל את הנוסחה:
ניתן להכליל את הנוסחה למרובע שאינו בר חסימה,
כאשר θ זה מחצית סכום הזוויות ההפוכות (בחירת הזוויות היא שרירותית, כי אם נבחר את הזוג השני, אז הזווית תהיה 180 פחות θ, אז cos(180° − θ) = −cos θ, ומכאן cos2(180° − θ) = cos2 θ, אז הזוויות לא משנה), נוסחה זו ידועה בתור נוסחת ברטשניידר.
כאשר המרובע הוא בר חסימה, אז θ שווה ל-90°, אז:
בגאומטריה אוקלידית, נוסחת ברטשניידר היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע כלשהו על בסיס צלעותיו וזוויותיו, והיא
כאשר a,b,c ו-d הם צלעות המרובע, s היא מחצית ההיקף ו-α ו-γ הן זוויות נגדיות.
הנוסחה נקראת על שם קרל אנטון ברטשניידר, אשר גילה אותה בשנת 1842. נוסחת ברטשניידר היא הכללה של נוסחת ברהמגופטה, שמתבססת על נוסחת הרון.
נסמן באות K את שטח המרובע, אז:
אז שתי הצלעות שוות לאורך הצלע BD בריבוע, אז ניתן לרשום את הנוסחה כ:
עכשיו נחבר את הנוסחה הזו לנוסחה שלמעלה ונקבל:
מכאן נשתמש באותה הדרך שבה הוכחה נוסחת ברהמגופטה, נקבל כי:
נציב את מחצית ההיקף בנוסחה בתור:
נחלק ב-16 ונוציא שורש ונקבל את נוסחת ברטשניידר.
במתמטיקה, נוסחת השרוך (נקרא גם אלגוריתם השרוך או נוסחת גאוס), היא נוסחה לחישוב שטח של מצולע במישור הקרטזי על בסיס קודקודיו.
שמה של הנוסחה נובע מדרך החישוב שלה על ידי מטריצות (יפורט בהמשך).
המשפט נובע ממשפט גרין, אך ניתן לחשב אותו על ידי חלוקת המצולע למשולשים וחישוב הצלע של כל אחד מהם.
הנוסחה היא לחישוב שטח של מצולע כלשהו, לא משנה אם הוא מצולע קמור או לא.
על פי הנוסחה ניתן לחשב את הנוסחה עבור משולש כאשר n הוא 3:
עבור מרובע כאשר n הוא 4:
ועבור מחומש כאשר n הוא 5:
מקור השם הוא בחישוב השטח על ידי מטריצה.
לדוגמה, ניקח את הצורה שקדקודיה הם {(2,4),(1,2),(3,-8)}, אז ניתן לרשום את המצולע בתור המטריצה הבאה:
עכשיו נצייר קווים אלכסוניים ימניים:
ואז נצייר קווים אלכסוניים שמאליים:
במכניקה סטטיסטית, המשוואה של בולצמן (הידועה גם בשם המשוואה של בולצמן-פלאנק) היא משוואה הסתברותית, המקשרת את האנטרופיה S של גז אידיאלי לפונקציית ריבוי W, אשר מייצגת את מספר מצבי המיקרו (microstate) המתאימים למצב המקרו של הגז (macrostate).
כאשר k B הוא קבוע בולצמן (שלעיתים נכתב כ-k) ושווה ל .
כלומר, נוסחת בולצמן מציגה את הקשר בין אנטרופיה למספר הדרכים בהן ניתן לסדר אטומים או מולקולות של מערכת תרמודינמית .
המשוואה נוסחה במקור על ידי לודוויג בולצמן בין 1872 ל-1875, אך לאחר מכן שונתה לצורתה הנוכחית על ידי מקס פלאנק בשנת 1900 בערך.
כפי שאמר פלאנק - "הקשר הלוגריתמי בין אנטרופיה והסתברות נאמר לראשונה על ידי ל' בולצמן בתורת הגזים הקינטית שלו".
הערך של נועד במקור להיות פרופורציונלי ל-Wahrscheinlichkeit (הסתברות בגרמנית) של מצב מקרוסקופי לצורך חלוקת הסתברות מסוימת של מצבי מיקרו אפשריים - אוסף (בלתי ניתן להבחנה) של "דרכים" במצבו (המדיד) התרמודינאמי של מערכת ניתן לחישוב על ידי הקצאת מיקומים ותנעים שונים למולקולות השונות.
באופן המתפרש, הנוסחה של בולצמן היא הנוסחה הכללית ביותר לאנטרופיה התרמודינמית.
עם זאת, הפרדיגמה של בולצמן הייתה גז אידיאלי של חלקיקים זהים, מהם ה- במצב המיקרוסקופי ה- של מיקום ותנע.
במקרה הזה, ההסתברות של כל מצבי המיקרו של מערכת שווה, ולכן בולצמן חישב את מספר מצבי המיקרו המתאימים לכל מצב מאקרו, ומכאן הוא היה יכול להסיק את ההסתברות של כל מצב מקרו.
פורש על ידי אחרים כ"מספר מצבי המיקרו", אף על פי שלא לכך התכוון בולצמן.
פירוש זה תפס, ועל כן הוא בשימוש כיום.
ניתן למנות את באמצעות הנוסחה לתמורות (פרמוטציות):
כאשר נע בין כל המצבים המולקולריים האפשריים, ו- "!" מציין עצרת.
ה"תיקון" במכנה נובע מהעובדה שלא ניתן להבחין בין חלקיקים זהים באותו מצב.
נקרא לפעמים "ההסתברות התרמודינמית" מכיוון שמדובר במספר שלם גדול מאחד, ואילו הסתברויות מתמטיות הן תמיד מספרים בין אפס לאחד.
הנוסחה של בולצמן תקפה למצבי מיקרו של היקום בכללותו, כאשר כל מצב מיקרו אפשרי צפוי להיות סביר באותה מידה.
אך בתחום התרמודינמיקה חשוב להיות מסוגלים לבצע את הקירוב של חלוקת היקום למערכת המעניינת, ולסביבתה; ואז להיות מסוגלים לזהות את האנטרופיה של המערכת.
מצבי מיקרו של מערכת תרמודינמית כזו אינם שווי הסתברות - למשל, מצבי מיקרו עם אנרגיה גבוהה סבירים פחות מאשר מצבי מיקרו עם אנרגיה נמוכה עבור מערכת תרמודינמית אשר נשמרת בטמפרטורה קבועה (למשל, על ידי מגע עם אמבט חום).
עבור מערכות תרמודינמיות בהן מצבי המיקרו של המערכת עשויים להיות בעלי הסתברות לא שווה, ההכללה המתאימה, הנקראת אנטרופיית גיבס, היא: כאשר ההסתברויות שוות, משוואה זו הופכת למשוואה ().
בולצמן השתמש בנוסחה בסגנון כבר בשנת 1866. הוא פירש את כצפיפות במרחב הפאזה - מבלי להזכיר הסתברות - אך מכיוון שזה מספק את ההגדרה האקסיומטית של מדידה הסתברותית, נוכל לפרש זאת בדיעבד כהסתברות.
גיבס נתן פרשנות הסתברותית מפורשת בשנת 1878.
בולצמן עצמו השתמש בביטוי הזהה ל- () בעבודתו המאוחרת וזיהה את זה כביטוי כללי יותר ממשוואה ().
כלומר, משוואה () היא תוצאה של משוואה () - ולא להפך.
בכל מצב בו משוואה () תקפה, משוואה () תקפה גם היא - ולא להפך.
המונח אנטרופית בולצמן משמש לעיתים גם כדי לציין אנטרופיות המחושבות על סמך הקירוב לפיו ניתן לחשב את ההסתברות הכללית על ידי חישוב חלקיק בודד, ומשם הכללה לסך החלקיקים - בהנחה שלכל חלקיק יש הסתברות בלתי תלויה וזהה (IID), והתעלמות מאינטראקציות ומתאמים (correlation) בין החלקיקים.
זה מדויק לגז אידיאלי של חלקיקים זהים, ועשוי להיות קירוב טוב למערכות אחרות.
האנטרופיה של בולצמן מתקבלת אם מניחים שניתן להתייחס לכל החלקיקים המרכיבים מערכת תרמודינמית כאל בלתי תלויים סטטיסטית.
ואז התפלגות ההסתברות של המערכת כולה ניתנת לכתיבה כמכפלת N ביטויים זהים, ביטוי אחד לכל חלקיק; והאנטרופיה של גיבס הופכת לאנטרופיה של בולצמן: כאשר הסכימה מתבצעת על כל מצב אפשרי במרחב הפאזה ה-6-ממדי של חלקיק בודד (3 ממדים למיקום, ו-3 לתנע), ולא על מרחב הפאזה ה-6 N-ממדי של המערכת כולה.
זה משקף את פונקציית האנטרופיה הסטטיסטית המקורית שהוצגה על ידי לודוויג בולצמן בשנת 1872. למקרה המיוחד של גז אידיאלי הוא מתאים בדיוק לאנטרופיה התרמודינמית הנכונה.
עם זאת, לכל דבר פרט לגזים מאוד דלילים, הוא מוביל לתחזיות שגויות של אנטרופיות והתנהגויות פיזיקליות, על ידי התעלמות מהאינטראקציות והמתאמים בין מולקולות שונות.
במקום זאת יש לעקוב אחר גיבס, ולהתחשב בהרכב מצבי המערכת בכללותה, ולא במצבים של חלקיקים יחידים.
אחד הדברים שהטרידו את בולצמן היו התפתחויות אסימטריות בזמן של מערכות מקרוסקופיות, אשר נובעות ממשוואות אסימטריות בזמן, כמו, למשל, משוואת הדיפוזיה.
משוואות אלו, במקרים רבים, נובעות מהמשוואות המקרוסקופיות (חוקי ניוטון או משוואת שרדינגר), אשר הן בעצמן סימטריות בזמן.
בולצמן קדם למכניקת הקוונטים, וגם לתורת היחסות הפרטית והכללית, ועל כן עסק במכניקה ניוטונית.
אחת המסקנות של בולצמן היא שמעבר ממצב אחד למצב אחר של מערכת מאקרוסקופית מאופשר על ידי חוקי ניוטון כמו שגם מעבר מהמצב השני לראשון.
אבל, כיוון אחד יותר סביר, והכיוון השני אף פעם לא נצפה.
הכיוון הסביר מצביע בעצם על כיוון הזמן.
הטענה של בוצלמן: "למצב המקרו של שיווי המשקל יש הסתברות גדולה בהרבה מכל מצב מקרו אחר (אז הוא מכיל את הרוב המוחלט של מצבי המיקרו הזמינים למערכת)"
ניתן להסתכל על דוגמה על מנת להמחיש את כוונתו.
במקרה של מודל פרומגנט, אשר מורכב מחלקיקים (אלקטרונים) בעלי מצב בינארי (למעלה או למטה).
במקרה זה, ניתן לחשב ישירות את , מספר המצבים האפשריים של המערכת, ולראות כי , כאשר הוא מספר החלקיקים.
בנוסף, במקרה זה, מספר החלקיקים בעלי ספין מעלה () ומספר החלקיקים בעלי ספין מטה מקיימים, במצב שיווי משקל:
נראה כי למצב שיווי המשקל יש את הסתברות גדולה בהרבה מכל מצב אחר, שכן אם קיים מצב מקרו בו יש חלקיקים עם ספין למעלה, אז הסיכוי למצוא את המערכת במצב הזה הוא:
וכן בגבול בו גדול מאוד, ההסתברות פרופורציונלית כך:
ועל כן, סביר רק למצוא את המערכת במצב שיווי המשקל שלה.
אם ניקח שתי מערכות, כאשר הראשונה בעלת אנטרופיה והשנייה בעלת אנטרופיה , ונצמיד אותן, כך שהן יהיו במצב של צימוד תרמי (זאת אומרת, המערכות יוכלו להעביר אנרגיה אחת לשנייה, אך כל מערכת תישאר ללא שינוי בנפח או במספר החלקיקים), נקבל שאחרי זמן מה, המערכות יגיעו לשיווי משקל.
בשיווי משקל ניתן לומר כי לא תעבור יותר אנרגיה בין המערכות, ועל כן, נוכל לכתוב את השוויון הבא:
כאשר הנגזרת החלקית נלקחת לפי האנרגיה הפנימית של כל מערכת , וכן הנפח ומספר החלקיקים של כל מערכת מוחזקים קבועים.
מכן ניתן להגדיר את הטמפרטורה, , באופן הבא:
כאשר, גם כאן, הנפח ומספר החלקיקים קבוע.
הגדרה זו תואמת לחוק האפס של התרמודינמיקה, שכן אם מערכת ומערכת נמצאות בצימוד תרמי, ולא זורמת ביניהן אנרגיה, אז ניתן לומר כי:
ובנוסף, אם מערכת ומערכת נמצאות בצימוד תרמי, ולא זורמת ביניהן אנרגיה, אז ניתן לומר בנוסף כי:
בהתייחסות לתרמודינמיקה מחוץ לשיווי משקל נדרוש כי אין צורך בבחירת אנסמבל ספציפי על מנת לראות את הכיווניות של הזמן בהתפתחות המערכת.
במבט שנובע מאנטרופית בולצמן, נראה כי מצב מקרוסקופי, אשר ניתן לתיאור על ידי פרמטרים מקרוסקופיים , בעצם נובע ממצב (או אוסף מצבים) מיקרוסקופיים.
באופן דומה, מחוץ לשיווי משקל, ניתן להראות כי ההתפתחות בזמן של תיתן על ידי פתרון משוואת הדיפוזיה, וכן בכל זמן, האנטרופיה של אותו מצב, תקיים את החוק השני של התרמודינמיקה.
אנטרופיית שאנון מגיעה מתורת האינפורמציה, ועם זאת, ניתן לראות כי היא דומה לאנטרופיה של בולצמן, המגיעה מהתרמודינמיקה בפיזיקה.
נוסחת הנקמה היא סדרת טלוויזיה רוסית בבימויו של סרגיי קורוטאייב, שצולמה בשנת 2019. שידור פרק הבכורה התקיים ב-21 באוקטובר 2019 בערוץ הראשון.
הסדרה היא השישית בסדרת הסדרות על מייג'ור צ'רקאסוב ממחלק החקירות הפליליות, הכוללת את סדרת הטלוויזיה "מוסגז", "התליינית", "העכביש", "התן", "מבצע שטן", "קוצן נקוד" ו"מוסגז: מלכודת".
שנת 1977. איוואן פטרוביץ' צ'רקאסוב, עסוק בחקירת מקרה מורכב ומבלבל.
הסימנים מובילים להיפודרום בו מת הבחור, שם מוצאים את גופתו של אחד המלווים במסלול המרוצים.
החשודים הם תושבי בית מובחר, אנשי תרבות.
ביניהם זמרת, מעצבת אופנה ושחקנים מפורסמים שמרבים לבקר במסלול המרוצים.
צ'רקאסוב מנחש שהפושע הוא אחד מהם.
די מהר הוא עולה על עקבות מבצעי הרצח, אבל יש גם מארגן פשעים נוסף, שאת טיבו צ'רקאסוב מתקשה להבין.
בתורת הגלים, נוסחת ד'אלמבר היא הפתרון הכללי למשוואת הגלים החד-ממדית, , כאשר פונקציית הגל היא פונקציה של המקום והזמן.
הפתרון תלוי ונקבע באופן יחידי בהינתן תנאי ההתחלה של המערכת ברגע : פונקציית הגל ברגע זה ונגזרתה לפי הזמן ברגע זה, .
העובדה שעבור מרבית הגלים המכניים תנאי ההתחלה האלה מספיקים כדי לקבוע את צורת הגל בכל רגע תואמת את התפיסה הדטרמיניסטית של המכניקה הקלאסית, לפיה בהינתן מהירותו ומיקומו של כל חלקיק ברגע מסוים ניתן לחשב את מיקומו של כל חלקיק בעתיד.
למשל, עבור גלים במיתר, בהינתן מיקומו ומהירותו הרוחבית של כל מקטע במיתר, ניתן יהיה לחזות את צורתו בכל רגע בעתיד.
פתרון ד'אלמבר מנוסח בצורה הבאה:
הוא נקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אן לה רון ד'אלמבר, אשר גזר אותו ב-1747 כפתרון כללי לבעיית המיתר התונד.
הקרקטריסטיקות של משוואת הגלים הם , כך שניתן לבצע החלפת משתנים (בעבור הפתרון החיובי) ו- (בעבור הפתרון השלילי) כדי להמיר את משוואת הגלים במשוואה .
הפתרון הכללי למשוואת הגלים יהיה לפיכך מהצורה כאשר ו- הן פונקציות רציפות וגזירות ברציפות.
מבחינה פיזיקלית, שתי הפונקציות הללו מתארות גלים נוסעים המתקדמים במהירות , כאשר היא פונקציית הגל הנוסע שמאלה ו- פונקציית הגל הנוסע ימינה (הכיוון החיובי של ציר x מוגדר להיות ימינה).
מכיוון שמשוואת הגלים היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית, הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה (צירוף ליניארי) של שתיהן.
כעת נתייחס לתנאי ההתחלה, שהוא כל מה שידוע למעשה על פונקציית הגל בזמן .
אז מכך ש- נקבל .
כעת ניתן לבצע אינטגרציה על המשוואה האחרונה ולקבל
קיבלנו איפה שתי משוואות ליניאריות ב- ו-, אותן ניתן לפתור ולקבל:
כעת, אם נעשה שימוש בעובדה ש-
אז נוסחת ד'לאמבר תקבל את הצורה:
לנוסחת ד'אלמבר ניתן לפתח המשגה פיזיקלית, המבוססת על תמונת האינטראקציה בין אלמנטים אינפיניטסימליים של התווך הנושא את הגל.
נתייחס לדוגמת המיתר התונד, ולהתנהגות של מקטע שרירותי עליו.
את הביטוי שבסוגריים ניתן לפרש כממוצע החשבוני של מעתקי מקטעי המיתר המרוחקים ממנו מרחק , מימינו ומשמאלו.
את האינטגרל שבנוסחה ניתן לפרש, אף על פי שהוא נסכם במשתנה המקום x, כמעין אינטגרל לפי הזמן על מהירות רוחבית השווה לממוצע החשבוני של מהירויות מקטעי המיתר המרוחקים ממנו מרחק , מימינו ומשמאלו, כאשר דיפרנציאל הזמן הוא .
לאור זאת, ניתן להבין את נוסחת ד'אלמבר מתוך התבוננות בשני מקרים פרטיים: כאשר פונקציית הגל מתאפסת זהותית (כלומר כאשר המיתר אופקי לגמרי ברגע ההתחלתי), וכאשר הנגזרת לפי הזמן שלה מתאפסת זהותית (כלומר כאשר נתונה הפרעה התחלתית בצורת המיתר, אך כל המהירויות הרוחביות מתאפסות).
נתייחס תחילה למקרה השני, ונניח הפרעה מלבנית התחלתית בצורת המיתר, שגובהה .
במקרה זה, טיעון המבוסס על פעולת היפוך זמן מראה שכעבור זמן מספיק, ההפרעה תתפצל לשתי הפרעות מלבניות הנעות בכיוונים מנוגדים, עם משרעת השווה למחצית המשרעת המקורית ורוחב השווה לרוחב המלבן המקורי.
עבור צורת גל כללית, ניתן לדמיין כל מקטע של המיתר כהפרעה מלבנית אינפיניטסימלית, כך שמקטע זה מהווה מעין "מקור גלים" השולח גלים נוסעים לכיוונים מנוגדים, בהתאם לדפוס שתואר מקודם (עם משרעת ).
כתוצאה מכך, המיקום של מקטע כלשהו על המיתר מושפע בדיוק מאותן הפרעות ש"הגיעו אליו" באותו רגע, כלומר אלו שנוצרו על ידי שני המקטעים המרוחקים ממנו מרחק .
מעקרון הסופרפוזיציה של גלים עולה שתרומת הפרעות אלו למעתק של המקטע הוא סכומן, כך שדימוי פיזיקלי זה מסביר את שני האיברים הראשונים בנוסחת ד'אלמבר.
כעת נתייחס למקרה הראשון - כאן מקטעי המיתר נעים במהירות רוחבית (כלומר בניצב לו) אך מעתקם הרגעי הוא אפס.
גם כאן, ניתן לדמות כל מקטע של המיתר כ"מקור גלים" המשלח הפרעות במהירות הרוחבית ובכיוונים מנוגדים.
מטעמי סימטריה ושימור התנע והאנרגיה, כל הפרעה מלבנית אינפיניטסימלית במהירות הרוחבית שגובהה (כלומר כשגרף המהירות הרוחבית לפי המקום הוא פונקציית מלבן שגובהו ) תתפצל לשתי הפרעות מנוגדות בשיעור כל אחת, אך עם מחצית רוחב המלבן המקורי.
בהינתן שני קצוות של קטע מיתר קטן מספיק, מהירות אמצע הקטע תהיה שווה לממוצע החשבוני של מהירויות שני הקצוות.
כפועל יוצא מכך, המהירות הרוחבית של מקטע מיתר שרירותי ברגע מסוים תהיה שווה לממוצע החשבוני של המהירויות הרוחביות של המקטעים המרוחקים ממנו מרחק .
כתוצאה, המעתק של מקטע שרירותי, המתקבל מאינטגרציה לפי הזמן של המהירות הרוחבית שלו, שווה לאיבר השלישי בנוסחת ד'אלמבר (האינטגרל).
אף על פי שנוסחת ד'אלמבר נועדה במקור לתאר גלים במערכות ללא נפיצה, רעיונות הלקוחים מתוך הבנייה של פתרון ד'אלמבר מאפשרים, בשילוב עם הכלי המתמטי של התמרת פורייה, לספק תיאור מלא של התפתחות הפרעה גלית לפי הזמן בהינתן תנאי ההתחלה (פונקציית הגל ונגזרתה לפי הזמן ברגע t=0) ויחס הנפיצה של המערכת.
מכיוון שנוסחת ד'אלמבר תקפה רק לגלים המתקדמים במהירות קבועה c ללא שינוי צורתם, כדי ליישם אותה לתיאור מערכות דיספרסיביות יש לפרק את ההפרעה הגלית ההתחלתית למרכיביה המונוכרומטיים, לכתוב את נוסחת ד'אלמבר עבור כל מרכיב כזה, ולבסוף לסכום את כולם באמצעות אינטגרל על כל מספרי הגל.
לשם כך, נציג בקצרה את הכלי המתמטי של "התמרת פורייה".
התמרת פורייה היא כלי מתמטי המאפשר להעביר פונקציות לא מחזוריות ממרחב המקום למרחב מספרי הגל; בעוד שטורי פורייה מאפשרים לייצג פונקציות מחזוריות כסכום בדיד של הרמוניות טריגונומטריות יסודיות, התמרת פורייה עוסקת במקרה שבו המחזור של הפונקציה המתוארת שואף לאינסוף.
במקרה כזה, אין משמעות לטור פורייה בדיד היות שמספרי הגל המתאימים הולכים ומצטופפים ככל שאורך המחזור הולך וגדל, והופכים לרצף כאשר שואף לאינסוף.
התמרת פורייה של פונקציה , המסומנת , מתארת את המשקל של כל מספר גל , ומכילה למעשה את כל המידע על הפונקציה המקורית.
באופן כללי, היא פונקציה מרוכבת, שכן לכל מרכיב מונוכרומטי של הפונקציה המקורית (כלומר מספר גל יחיד) יש גם פאזה יחסית (הוא עשוי למשל להיות סינוס וגם להיות קוסינוס); לפיכך, ניתן לומר שמשרעת המרכיב המונוכרומטי יחסית ל- והפאזה שלו נקבעת על ידי הארגומנט של .
הנוסחה להתמרת פורייה של פונקציה היא:
והנוסחה המשחזרת את הפונקציה המקורית מתוך התמרת פורייה שלה (התמרת פורייה הפוכה) היא:
בהינתן תנאי ההתחלה של הפרעה גלית ו-, נסמן ב- ו- את התמרות פורייה המתאימות.
נראה כעת כיצד לבנות מנוסחת ד'אלמבר את הפתרון הכללי עבור מערכת דיספרסיבית.
ניתן לייחס לכל מרכיב מונוכרומטי של f משרעת , וכמו כן כתוצאה מהזזה של פונקציית הגל בשיעור רכיב ה-k בהתמרת פורייה שלה רוכש פאזה .
לפיכך, הביטוי המרחבי בנוסחת ד'אלמבר עבור מרכיב זה מקבל את הצורה:
הנימוק לביטוי הזה הוא שהביטוי לגל המתקדם שמאלה הוא הצמוד המרוכב של הגל המתקדם ימינה.
בדומה לכך, הביטוי הזמני בנוסחת ד'אלמבר עבור מרכיב זה יקבל את הצורה:
מכיוון שהאינטגרל מתבצע במשתנה המקום , תוצאת האינטגרל היא
כאשר הקיצור C.c הוא בעבור "complex conjugate", כלומר יש להוסיף למחובר הראשון את הצמוד המרוכב שלו.
לפיכך, נוסחת ד'אלמבר למרכיב מונוכרומטי היא בעלת הצורה:
וכדי לתאר את פונקציית הגל יש לבצע אינטגרל על כל מספרי הגל:
וזוהי הנוסחה הכללית להתפתחות פונקציית הגל במערכת דיספרסיבית.
במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, נוסחת האינטגרל החוזר של קושי היא נוסחה המאפשרת לחשב את התוצאה של הפעלה חוזרת ונשנית של אינטגרל על פונקציה ממשית.
נוסחה זו היא הבסיס להגדרת אינטגרל רימן-ליוביל.
הנוסחה נוסחה לראשונה על-ידי אוגוסטן לואי קושי בשנת 1823.
בהינתן שני מספרים ממשיים מסמנים ב- את מרחב הפונקציות הממשיות האינטגרביליות לפי לבג על הקטע .
עבור מספר ממשי , מגדירים אופרטור כך שלכל ולכל :
עבור כל בחירה של הגבול התחתון של האינטגרל , אם רציפה אז גם רציפה.
כלומר מסמן את הפעלת אופרטור האינטגרציה פעמים.
נוסחת האינטגרל החוזר של קושי קובעת כי:
בכך היא מאפשרת חישוב ישיר של הפונקציה כאינטגרל יחיד.
הוכחת נוסחת האינטגרל החוזר מתבססת על שימוש באינדוקציה על המשתנה .
עבור המקרה נכונות הנוסחה טריוויאלית:
נניח את נכונות הנוסחה עבור ונוכיח עבור .
באמצעות כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל ניתן להראות כי:
ובכך השלמנו את צעד האינדוקציה.
עבור האופרטור שהוגדר לעיל נהוג להגדיר כי כאשר הוא אופרטור הזהות ולכל להגדיר כאשר הוא אופרטור הגזירה.
בכך ניתן להרחיב את הגדרת לכל מספר שלם .
אף על פי כן, נוסחת האינטגרל של קושי איננה נכונה עבור שלילי או 0.
עם זאת, ישנה דרך להרחיב את נוסחת האינטגרל החוזר עבור חזקות מרוכבות עם חלק ממשי חיובי.
כלומר, עבור כאשר ניתן להגדיר:
הגדרה זו מתלכדת עם נוסחת האינטגרל החוזר עבור ערכי שהם מספרים טבעיים.
אינטגרל מסוג זה נקרא אינטגרל רימן-ליוביל.
ניתן להוכיח כי אינטגרל רימן-ליוביל מקיים חיבוריות.
כלומר, לכל עם חלק ממשי חיובי מתקיים:
נוסחת האינטרפולציה של ויטאקר-שאנון () או אינטרפולציית sinc היא שיטה לבניית פונקציה בזמן רציף בעלת רוחב פס סופי מסדרה של מספרים ממשיים.
הנוסחה מתוארכת לעבודותיהם של בורל ב-1898, ושל א.ט.
ויטאקר ב-1915, והיא צוטטה מעבודותיו של ג'.מ.
ויטאקר ב-1935, ובניסוח משפט הדגימה של נייקוויסט-שאנון של קלוד שאנון ב-1949.
נוסחה זאת נקראת גם נוסחת האינטרפולציה של שאנון ונוסחת האינטרפולציה של ויטאקר.
ויטאקר, שפרסם אותה ב-1915, כינה אותה סדרת הקרדינלים (Cardinal series).
בהינתן סדרה של מספרים ממשיים, , אזי לפונקציה הרציפה
יש התמרת פורייה, , שמכילה תדרים בתחום בלבד.
כאשר נמדד בשניות ורוחב הפס, , נמדד במחזורים לשנייה (הרץ).
הסדרה מייצגת דגימות בזמן בכל שניות של פונקציה רציפה, כלומר ; התדר נקרא קצב הדגימה ו־ הוא תדר נייקוויסט המתאים.
כאשר לפונקציה שנדגמה יש רוחב פס סופי הנמוך מתדר נייקוויסט, היא שחזור מושלם של הפונקציה המקורית .
אחרת, רכיבי התדר שמעל תדר נייקוויסט עוברים "קיפול" לאזור תת-תדר נייקוויסט של , הגורם עיוות.
ניסוח שקול – קונבולוציה או מסנן מעביר נמוכים
נוסחת האינטרפולציה נגזרת במאמר משפט הדגימה של נייקוויסט-שאנון, המציין שניתן לבטא אותה גם כקונבולוציה של רכבת הלמים עם פונקציית sinc:
הגדרה זו שוות ערך לסינון רכבת ההלמים במסנן מעביר תדרים נמוכים (LPF) אידיאלי עם הגבר של 1 (או 0 dB).
אם קצב הדגימה גבוה מספיק, האות המקורי מועבר ללא שינוי דרך המסנן ושאר השכפולים שלו מסוננים על ידי המסנן.
נוסחת האינטרפולציה תמיד מתכנסת בהחלט ובמידה שווה באופן מקומי כל עוד מתקיים:
לפי אי-שוויון הלדר תנאי זה מתקיים אם הסדרה שייכת לכל אחד מהמרחבים כאשר , כלומר:
תנאי זה מספיק, אך אינו הכרחי.
לדוגמה, הסכום בדרך כלל יתכנס אם סדרת הדגימות מגיעה מדגימה של כמעט כל תהליך סטציונרי, ובמקרה זה סדרת הדגימות אינה ניתנת לסיכום ריבועי, ואינה נמצאת בשום מרחב .
אם היא סדרה אינסופית של דגימות של פונקציית דגימה של תהליך אקראי סטציונרי במובן הרחב (WSS), אז היא אינה שייכת לאף מרחב , עם הסתברות 1; כלומר, לסכום האינסופי של דגימות המועלות בחזקה אין תוחלת סופית.
עם זאת, נוסחת האינטרפולציה מתכנסת עם הסתברות 1. ניתן להראות התכנסות זו בקלות על ידי חישוב השונות של איברים קטומים של הסכום, ושניתן להפוך את השונות לקטנה באופן שרירותי על ידי בחירת מספר מספיק של איברים.
אם ממוצע התהליך אינו אפס, יש להתייחס לצמדי איברים כדי להראות גם שהתוחלת של האיברים הקטומים מתכנסת לאפס.
מכיוון שלתהליך אקראי אין התמרת פורייה, תנאי ההתכנסות שונים.
לתהליך אקראי סטציונרי יש פונקציית מתאם עצמי (אוטוקורלציה) ומכאן צפיפות ספקטרית לפי משפט וינר-חינצ'ין .
תנאי מתאים להתכנסות הסכום לפונקציית דגימה מתוך התהליך הוא שהצפיפות הספקטרית של התהליך תהיה אפס בכל התדרים השווים למחצית קצב הדגימה או גדולים ממנו.
נוסחת האברסין קובעת את מרחק המעגל הגדול בין שתי נקודות על ספירה בהינתן קווי האורך והרוחב שלהן.
לנוסחא הייתה חשיבות רבה בניווט ימי, והיא מהווה מקרה פרטי של נוסחה כללית יותר בטריגונומטריה ספירית, חוק האברסינים, המקשר את הצלעות והזוויות של משולשים על פני הספירה.
הטבלה הראשונה של האברסינים בשפה האנגלית פורסמה על ידי ג'יימס אנדרו בשנת 1805. חוסה דה מנדוזה אי ריוס פרסם טבלאות האברסינים קודם לכן, בשנת 1801. המונח "האברסין" נטבע בשנת 1835 על ידי ג'יימס אינמן.
שמות אלו נובעים מהעובדה שנהוג לכתוב את הנוסחאות במונחים של פונקציית האברסין, הנתונה על ידי .
באותה מידה ניתן היה לכתוב את הנוסחאות במונחי פונקציות טריגונומטריות אחרות.
אך לפני הופעת המחשבים, פישוט זה הוכיח את עצמו מספיק נוח, כדי שטבלאות של ערכי ההאברסין ולוגריתמים נכללו בטקסטים של ניווט וטריגונומטריה של המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20.
הזווית המרכזית בין שתי נקודות על הספירה מקיימת
הוא המרחק בין שתי הנקודות לאורך מעגל גדול של הספירה (ראה מרחק מעגל גדול),
נוסחת האברסין מאפשרת לחשב את ההאברסין של ישירות מקווי הרוחב (מיוצגים על ידי ) וקווי האורך (מיוצגים על ידי ) של שתי הנקודות :
, הם קוי הרוחב של נקודות 1 ו-2, בהתאמה.
, הם קווי האורך של נקודות 1 ו-2, בהתאמה.
לבסוף, פונקציית האברסין לעיל, המופעלת הן על הזווית המרכזית והן על ההפרשים של קווי הרוחב והאורך, היא
כדי למצוא את המרחק , יש להפעיל את הפונקציה archav, הפונקציה ההופכית ל או להשתמש בפונקציה הטריגונומטרית ההופכית arcsin:
בעת שימוש בנוסחאות אלו, יש לוודא כי אינו עולה על 1 עקב שגיאת נקודה צפה ( הוא ממשי רק עבור ).
שואף ל-1 עבור נקודות אנטיפודיות, ובסביבה זו, עלולות להופיע שגיאות נומריות משמעותיות כאשר נעשה שימוש בחישוב בדיוק סופי.
אולם מכיוון ש- גדול (מתקרב ל , חצי מההיקף) השגיאה היחסית אינה גדולה במקרה יוצא דופן זה (אם כי יש נוסחאות אחרות למרחק מעגל גדול הנמנעות מבעיה זו).
לעיתים משתמשים בנוסחה לעיל בפונקציה ארקטנגנס, אך גם היא סובלת מבעיות נומריות דומות ליד .
כפי שמתואר להלן, ניתן לכתוב נוסחה דומה באמצעות משפט הקוסינוסים של הגאומטריה הספירית (שאין להחליפו בחוק הקוסינוסים של גאומטריית מישור) במקום האברסינים.
אבל אם שתי הנקודות קרובות זו לזו (למשל במרחק של קילומטר זה מזה, על כדור הארץ) ייתכן שהתוצאה תהיה מה שיוביל לתוצאה לא מדויקת.
נוסחת האברסין אינה סובלת מבעיה זו מכיוון שהיא משתמשת בפונקציית הסינוס.
הנוסחאות לעיל הן מקורבות כאשר הן מיושמות על כדור הארץ, שאינו כדור מושלם: רדיוס כדור הארץ, משתנה מ-6356.752 ק"מ בקטבים ל-6378.137 ק"מ בקו המשווה.
חשוב מכך, רדיוס העקמומיות של קו צפון-דרום על פני כדור הארץ בקטבים (≈6399.594 ק"מ) גדול ב-1% מאשר בקו המשווה (≈6335.439 ק"מ) - כך שלא ניתן להבטיח שנוסחת ההאברסין וחוק הקוסינוס יהיו מדויקים ברמה של 0.5%.
שיטות מדויקות יותר המתחשבות באליפטיות של כדור הארץ ניתנות על ידי נוסחאות וינסנטי.
בהינתן ספירת יחידה, "משולש" מוגדר על ידי שלושה המעגלים הגדולים המחברים שלוש נקודות , ו- על הספירה.
מכיוון שמדובר בספירת היחידה, האורכים , , ו- שווים לזוויות (ברדיאנים) המשתרעות על ידי הצלעות הללו ממרכז הכדור (עבור כדור שאינו יחידה, כל אחד מאורכי הקשת הללו שווה לזווית המרכזית שלו מוכפל ברדיוס של הכדור).
על מנת לקבל מחוק זה את נוסחת האברסין של הסעיף הקודם, יש לקחת את המקרה הפרטי שבו הוא הקוטב הצפוני, בעוד ו- הן שתי הנקודות שביניהן יש לקבוע את המרחק .
במקרה כזה, ו- הם , הוא ההפרש של זוויות האורך ו-c הוא המרחק המתאים לספירת היחידה, כלומר .
שימוש בזהות נותן ישירות את נוסחת האברסין.
על ידי המרת הנקודות הנתונות על ידי קו הרוחב והאורך שלהן לקואורדינטות קרטזיות, ואז לקחת את המכפלה הסקלרית שלהן.
תהיינה שתי נקודות על ספירת היחידה, הנתונות על ידי קו הרוחב שלהם וקווי אורך :
ייצוגים אלה דומים מאוד לייצוג בקואורדינטות כדוריות, אולם קו הרוחב נמדד כזווית מקו המשווה ולא מהקוטב הצפוני.
הייצוג של הנקודות בקואורדינטות קרטזיות הוא:
מכאן נוכל לנסות ישירות לחשב את המכפלה הסקלרית ולהמשיך, אולם ניתן לפשט את הנוסחאות אם לוקחים בחשבון את העובדה הבאה: המרחק בין שתי הנקודות לא ישתנה אם נסובב את הכדור לאורך ציר ה-Z.
סיבוב כזה למעשה יוסיף קבוע ל .
ששיקול דומה אינו חל על קווי הרוחב - הוספת קבוע לשני קווי הרוחב עלולה לשנות את המרחק בין הנקודות.
על ידי בחירת הקבוע שלנו להיות , והגדרה , הנקודות החדשות שלנו הופכות ל:
אם מציין את הזווית בין ו , מתקבל
נוסחת ההתייחסות העצמית של טאפר היא נוסחה, שעבור ערך ספציפי, מציגה את עצמה באופן חזותי, על פני מישור דו-ממדי (x,y).
הנוסחה הוגדרה על ידי ג'ף טאפר ומופיעה כדוגמה במאמר שכתב עבור הכנס השנתי בנושא גרפיקה ממוחשבת SIGGRAPH משנת 2001, על אלגוריתמים אמינים של גרפים ממוחשבים דו-ממדיים.
מאמר זה דן בשיטות הקשורות לתוכנת הגרפים הנוסחתיים GrafEq שפותחה על ידי טאפר.
נוסחת טאפר היא אי-שוויון המנוסח כך:
כאשר היא פונקציית רצפה, המסמלת את הערך השלם התחתון של המספר , שמוגדר להיות המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל-.
ואילו היא פעולת מודולו, המסמלת את הערך שמתקבל כאשר מחלקים את המספר , במספר ולוקחים את השארית הנותרת לאחר החלוקה.
הצגת הנוסחה על גבי מישור
מציבים בערך את המספר השלם הבא (בן ה-543 ספרות):
כאשר מציגים על גבי מישור את אוסף הנקודות מתוך נוסחת טאפר, עבור ערכי : , וערכי : , מקבלים את התמונה הבאה:
הנוסחה היא שיטה כללית לפענוח של מפת סיביות הנמצאת בתוך קבוע , וניתן להשתמש בה כדי לצייר כל תמונה שהיא.
עבור הגבולות שהוצבו ל- ול-, כאשר אי-השוויון בנוסחה מתקיים, הנקודה במיקום זה נצבעת בצבע שחור.
אם אי-השוויון לא מתקיים, מותירים את הנקודה בצבע לבן.
נוסחת טאפר מתארת אלגוריתם כללי להצגת נקודות על גבי משטח דו-ממדי.
הערך של הוא המספר שהספרות הבינאריות שלו יוצרות את התמונה.
בפוליטיקה השווייצרית, נוסחת הקסם היא נוסחה אריתמטית לחלוקת שבעת המושבים במועצה הפדרלית בין ארבע מפלגות הקואליציה.
הנוסחה יושמה לראשונה בשנת 1959. היא העניקה למפלגה הדמוקרטית החופשית, מפלגת העם הדמוקרטית-נוצרית ול שני מושבים לכל אחת, בעוד שמפלגת העם השווייצרית קיבלה מושב אחד.
הנוסחה אינה דרישה חוקית אלא תוצאה של הסכם בין ארבע המפלגות.
לאחר הבחירות הכלליות של 2003, הנוסחה שונתה ומפלגת העם קיבלה מושב נוסף על חשבון הדמוקרטים הנוצרים בעקבות תוצאות הבחירות.
בהמשך, עקב שינויים פנימיים במפלגה צומצם כוחה במועצה, אך הוא חזר לעצמו ב-2021.
זהו הרכב המועצה הפדרלית לאחר הבחירות למועצה הפדרלית בשווייץ בשנת 2023.
מפלגת העם השווייצרית: שני מושבים
נוסחת בתה או נוסחת בתה-בלוך מתארת את אובדן האנרגיה הממוצע ליחידת מרחק של חלקיקים טעונים קלים (פרוטונים, חלקיקי אלפא, יונים אטומיים) החוצים תווך חומרי (במינוח מדויק, הנוסחה מתארת את כוח העצירה של התווך).
בעבור אלקטרונים אובדן האנרגיה מתנהג בצורה שונה אודות למסה הקטנה שלהם (המצריכה תיקונים יחסותיים), כשבנוסף לכך המסה הקטנה שלהם פירושה שהם חווים תאוצות גדולות יותר ולכן גם מאבדים הרבה יותר אנרגיה דרך קרינת בלימה, כך שהביטוי המתאר את אובדן האנרגיה מכיל איברים נוספים המתחשבים באפקט הקרינתי.
חלקיקים טעונים מהירים הנעים דרך חומר מקיימים אינטראקציה עם האלקטרונים של האטומים בחומר.
אינטראקציה זאת מעוררת או מייננת את האטומים, מה שמוביל לאובדן אנרגיה של החלקיק הנע.
תקפותה של נוסחת בתה הוכחה תאורטית וניסיונית עבור מנעד רחב מאוד של מהירויות, החל ממהירויות לא יחסותיות ועד למהירויות אולטרה-יחסותיות.
עם זאת, היא אינה תקפה עבור מהירויות נמוכות מדי, כאלו שבהן האנרגיה הקינטית של החלקיק הנע היא ברת-השוואה לאנרגיית העירור הממוצעת I, ומשום שאז החלקיק אינו מסוגל כמעט לעורר/ליינן אטומים בדרכו וההנחות עליהן מבוסס החישוב כולו קורסות.
נוסחה קלאסית לא-יחסותית לתיאור אובדן האנרגיה נמצאה על ידי נילס בוהר ב-1913 (תיאור חלקי של עקרונות הפיתוח של בוהר מובא בהמשך הערך).
גרסה קוונטית לא-יחסותית של הנוסחה נמצאה על ידי הנס בתה ב-1930, והגרסה הקוונטית היחסותית (מוראית למטה) נמצאה על ידו ב-1932.
בעבור חלקיק בעל מהירות v, מטען z (ביחידות של מטען האלקטרון), ואנרגיה E, הנע מרחק x לתוך מטרה עם צפיפות מספרית של אלקטרונים n ואנרגיית עירור ממוצעת I (להסבר ראו למטה), הגרסה היחסותית של הנוסחה היא (במערכת היחידות SI):
כאשר c היא מהירות האור, ε0 הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק,, ו-e ו-me הם מטען האלקטרון ומסת המנוחה שלו בהתאמה.
צפיפות האלקטרונים הנפחית n של החומר ניתנת לחישוב בנוסחה
כאשר ρ היא צפיפות התווך, Z המספר האטומי שלו, A המסה האטומית היחסית שלו, NA הוא מספר אבוגדרו ו-Mu קבוע המסה המולרי.
בעבור אנרגיות נמוכות ומהירויות לא יחסותיות, כלומר כאשר β << 1, נוסחת בתה מקבלת את הצורה הפשוטה יותר:
ניתן לראות שבאנרגיות נמוכות, אובדן האנרגיה לפי נוסחת בתה פוחת בקירוב כמו v−2 עם העלייה באנרגיה.
עובדה זאת ניתן להסביר אינטואיטיבית בכך שחלקיקים איטיים חשים את הכוח החשמלי של אלקטרונים באטומים למשך זמן ארוך יותר, כך שהמתקף שהם מפעילים גדול יותר.
בתאוריה של בתה, התווך החומרי מאופיין באופן מלא על ידי מספר יחיד, שהוא אנרגיית העירור הממוצעת I.
ב-1933, פליקס בלוך הראה שאנרגיית העירור הממוצעת של אטומים ניתנת לקירוב על ידי:
כאשר Z המספר האטומי של האטומים של החומר.
אם קירוב זה מוכנס לנוסחת בתה, אז הביטוי המתקבל נקרא נוסחת בתה-בלוך.
מכיוון שכיום ישנן בספרות המדעית טבלאות מדויקות של I כפונקציה של Z, השימוש בטבלאות כאלה יניב תוצאות טובות יותר מאשר נוסחת בתה-בלוך.
האיור משמאל מציג ערכים מנורמלים של I, הלקוחים מתוך טבלה.
השיאים והעמקים בתרשים מובילים בהתאמה לעמקים ושיאים בכוח העצירה.
תנודות אלו מכונות "תנודות-Z2" או "מבנה-Z2" (כאשר Z2 = Z משמעו המספר האטומי של המטרה).
המנגנון הפיזיקלי וגזירה (חלקית) של הנוסחה
עם זאת, ניתוח מתמטי קלאסי, המבוסס על התאוריה של פיזור רתרפורד, מסייע מאוד להבנת חלק ממאפייני הנוסחה, ואף מאפשר לקבל במדויק את המקדם של הלוגריתם בנוסחה.
בפיזור רתרפורד, חלקיק טעון קל יחסית (בהשוואה לחלקיק המטרה, המשמש כמרכז פיזור) מפוזר קולומבית בהשפעת הכוח החשמלי בין החלקיק לגרעין המטרה.