tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
המשפט מוכח על ידי התבוננות בפעולת החבורה על חוג הפונקציות הרגולריות על עצמה.
משום שהחוג נוצר סופית, והפעולה סופית מקומית, קיימת לחוג תת-הצגה ממימד סופי שיוצרת אותו.
ההצגה הזאת מהימנה, כלומר מגדירה שיכון של החבורה לתוך חבורת האיזומורפיזמים הליניאריים של המרחב, מה שהופך אותה לחבורה ליניארית.
לטענה זאת יש הכללות עבור סכמות חבורה אולם המצב שם מסובך יותר.
חבורות אלגבריות ליניאריות סגורות לגבי תת-מנות והרחבות.
אם חבורה אלגברית ליניארית ו- תת-חבורה (סגורה זריצקי) שלה אז גם חבורה אלגברית ליניארית.
אם חבורה אלגברית ליניארית ו- תת-חבורה נורמלית (סגורה זריצקי) שלה אז גם חבורה אלגברית ליניארית.
אם חבורה אלגברית ו- תת-חבורה נורמלית (סגורה זריצקי) שלה כך ש- ו- חבורות אלגבריות ליניאריות, אז גם חבורה אלגברית ליניארית.
סוגים של חבורות אלגבריות ליניאריות
חבורה אלגברית נקראת קשירה אם היא קשירה כיריעה אלגברית (זאת אומרת קשירה על פי הטופולוגיה של זריצקי).
עבור כל חבורה אלגברית רכיב הקשירות של היחידה הוא תת-חבורה נורמלית (סגורה) וקשירה.
מכאן שכל חבורה אלגבית היא הרחבה של חבורה סופית וחבורה קשירה.
לכן עיקר העיסוק בחבורות אלגברית בכלל וחבורת אלגבריות ליניאריות בפרט מתמקד בחבורות קשירות.
חבורה אלגברית קשירה נקראת פשוטת קשר אם היא לא מנה של חבורה אלגברית בתת-חבורה לא טריוויאלית.
זה שקול לכך שהיא פשוטת קשר כיריעה אלגברית (זאת אומרת שהיא לא תמונה של
העתקת אטל נאותה שאיננה איזומורפיזם).
אם שדה ההגדרה הוא אז זה גם שקול לכך שקבוצת הנקודות של החבורה היא פשוטת קשר בטופולגיה האנליטית (המושרית מ-)
משפחה חשובה של חבורות אלגבריות ליניאריות היא חבורות אוניפוטנטיות.
דוגמה לחבורה אוניפוטנטית היא החבורה של מטריצות משולשיות עליונות שכל איברי האלכסון שלהן שווים ל-1. חבורה נקראת אוניפוטנטית אם היא איזומורפית לתת חבורה אלגברית סגורה של .
חבורות אוניפוטנטיות סגורות לגבי תת-מנות והרחבות.
אם המציין של שדה ההגדרה הוא -0, אז כל חבורה אוניפוטנטית היא קשירה ופשוטת קשר.
החבורה איזומורפית לחבורה החיבורית של שדה ההגדרה .
אפשר לראות בדוגמה זו את הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה אוניפוטנטית.
במובן מסוים כל החבורות האוניפוטנטיות מורכבות ממנה.
לכל חבורה אוניפוטנטית יש מרכז לא טריוויאלי.
אם מרכז זה אינו סופי אז הוא מכיל תת-חבורה איזומרפית ל-.
אם המציין של שדה ההגדרה הוא -0, אז מרכז זה הוא חזקה של החבורה .
מכאן ניתן להסיק, שאם שדה ההגדרה סגור אלגברית וממציין , אז עבור חבורה אלגברית הדברים הבאים שקולים:
ל - סדרה מרכזית שגורמיה הם .
ל - סדרה נורמלית שגורמיה הם .
אם מציין שדה ההגדרה הוא מספר אז חבורת רכיבי הקשירות של חבורה אוניפוטנטית היא חבורת p
חבורה אלגברית נקראת טורוס אם, לאחר הרחבת סקלרים לסגור האלגברי, היא חזקה של החבורה הכיפלית .
תנאי זה שקול להיות החבורה חבורה אלגברית רדוקטיבית וחילופית (וקשירה).
זה גם שקול לכך שכל הצגה אלגברית מתפרקת לסכום ישר של הצגות חד-ממדיות.
חזקה של החבורה הכיפלית נקראת טורוס מתפצל.
חבורה אלגברית נקראת קומוטטיבית אם היא קומוטטיבית בתור חבורה רגילה.
כל חבורה אלגברית קמוטטיבית קשירה היא מכפלה של טורוס וחבורה אוניפוטנטית קמוטטיבית.
אם מציין שדה ההגדרה הוא 0 אז חבורה אוניפוטנטית קמוטטיבית היא חזקה של החבורה .
בדומה לחבורות רגילות, חבורה אלגברית ליניארית נקראת פתירה אם יש לה סדרה נורמלית המורכבת מתת-חבורות סגורות זריצקי שגורמיה הם חבורות קמוטטיביות.
באופן שקול, פתירה אם הסדרה המוגדרת על ידי:
כאשר מסמנת את החבורה הנגזרת (האלגברית) של , זאת אומרת סגור הזריצקי של החבורה הנוצרת מבטויים מהסוג
בדרך כלל, בהקשר של חבורות אלגבריות, הביטוי "חבורה פתירה" כולל גם דרישה שהחבורה תהיה קשירה.
מעל שדה סגור אלגברית, חבורה ליניארית היא פתירה אםם היא תת-חבורה של חבורת המטריצות המשולשיות עליונות.
חבורה קשירה היא פתירה אםם היא הרחבה של חבורה אוניפוטנטית וטורוס (כשהחבורה האוניפוטנטית היא תת-חבורה נורמלית של החבורה הפתירה).
במקרה שמציין שדה ההגדרה הוא 0 אז הרחבה זו היא מכפלה חצי ישרה.
חבורות אלגבריות רדוקטיביות הן חבורות אלגבריות ליניאריות שאין להן תת-חבורות נורמליות אוניפוטנטיות.
מעל שדה ממציין 0 חבורות אלגבריות הן רדוקטיביות אםם כל הצגה אלגברית שלהן פריקה לגמרי.
כל חבורה רדוקטיבית איזוגנית למכפלה של חבורה פשוטה למחצה וטורוס.
בהקשרים רבים, הביטוי "חבורה רדוקטיבית" כולל גם דרישה שהחבורה תהיה קשירה.
כל חבורה אלגברית ליניארית היא הרחבה של חבורה רדוקטיבית וחבורה אוניפוטנטית.
אם מציין שדה ההגדרה הוא 0 אז ההרחב הזאת היא מכפלה חצי ישרה.
חבורות אלגבריות פשוטות למחצה הן חבורות אלגבריות ליניאריות שאין להן תת-חבורות נורמליות פתירות (לא טריוויאליות).
כל חבורה פשוטה למחצה היא צורה של חבורה שאיזוגנית למכפלה של חבורות אלגבריות פשוטות.
בהקשרים רבים, הביטוי "חבורה פשוטה למחצה" כולל גם דרישה שהחבורה תהיה קשירה.
חבורה פשוטה למחצה נקראת כמעט פשוטה אם אין לה תתי-חבורות נורמליות נאותות אין-סופיות.
היא נקראת פשוטה אם אין לה תתי-חבורות נורמליות נאותות לא טרוויאליות.
חבורות כמעט פשוטות הן קשירות.
חבורת המנה של חבורה כמעט פשוטה על פי המרכז שלה היא פשוטה.
במקרה כזה אומרים ש- היא כיסוי של .
לכל חבורה פשוטה יש מספר סופי של כיסויים.
בדיוק אחד מהם הוא פשוט קשר (זאת אומרת שהוא לא מנה של אף כיסוי אחר).
כך שיש בייקציה בין חבורות פשוטות ובין חבורת כמעט פשוטות פשוטות קשר.
מעל שדה סגור אלגברית החבורת הפשוטות ממוינות על ידי דיאגרמות דינקין.
כל חבורה (קשירה) פשוטה למחצה היא מנה, על פי תת-חבורה מרכזית סופית, של מכפלה של חבורות כמעט פשוטות פשוטות קשר.
לעיתים חבורות כמעט פשוטות מכונות "חבורות פשוטות" לפי טרמנולגיה זו מכנים חבורות פשוטות כ"חבורות פשוטות חסרות מרכז".
לסיכום, ניתן לתאר את המבנה הכללי של חבורה אלגברית ליניארית כך:
כל חבורה אלגברית ליניארית היא הרחבה של חבורה קשירה וחבורה סופית.
כל חבורה אלגברית ליניארית קשירה היא הרחבה (במציין 0, מכפלה חצי ישרה) של חבורה רדוקטיבית (קשירה) וחבורה אוניפוטנטית (קשירה).
מעל שדה סגור אלגברית ממציין 0, כל חבורה אוניפוטנטית היא הרחבה של מספר עותקים של
מעל שדה ממציין, כל חבורה אוניפוטנטית (קשירה) היא הרחבה של צורות של חזקות של
במציין יש להוסיף לאלו גם את החבורה הציקלית על איברים.
כל חבורה רדוקטיבית (קשירה) היא מנה של מכפלה של טורוס ושל חבורה פשוטה למחצה פשוטת קשר על פי תת-חבורה סופית מרכזית.
טורוס הוא צורה של חזקה של
חבורה פשוטה למחצה פשוטת קשר היא מכפלה של חבורות פשוטות קשר כמעט פשוטות.
מעל שדה סגור אלגברית כל חבורה פשוטת קשר כמעט פשוטה היא חבורה מתפצלת.
חבורות חבורות מתפצלות פשוטות קשר כמעט פשוטות ממוינות על ידי דיאגרמות דינקין.
חבורות פשוטות קשר כמעט פשוטות הן צורות של חזקות של חבורות מתפצלות פשוטות קשר כמעט פשוטות.
מכאן אפשר להסיק את המסקנה הבאה: כל חבורה אלגברית ליניארית היא הרחבה של החבורות הבאות:
חבורה פשוטה היא צורה של חזקה של אחת החבורות הבאות:
חבורה אלגברית קשירה היא חבורה אלגברית שבתור יריעה אלגברית היא יריעה אלגברית קשירה (זאת אומרת קשירה על פי הטופולוגיה של זריצקי).
מכאן שכל חבורה אלגברית היא הרחבה של חבורה אלגברית סופית וחבורה קשירה.
במתמטיקה ובפרט בגאומטריה אלגברית חבורה אלגברית רדוקטיבית היא חבורה אלגברית ליניארית שאין לה תת-חבורה נורמליות אוניפוטנטית.
מעל שדה ממציין 0 חבורה אלגברית היא רדוקטיבית אםם כל הצגה אלגברית שלה פריקה לגמרי.
כל חבורה רדוקטיבית (קשירה) איזוגנית למכפלה של חבורה פשוטה למחצה וטורוס.
ליתר דיוק היא מנה של מכפלה של חבורה פשוטה למחצה פשוטת קשר וטורוס על פי תת-חבורה סופית.
רוב תורת ההצגות של חבורת אלגבריות מתמקדת בחקר חבורת רדוקטיביות.
מעל שדה סגור אלגברית, חבורות אלגבריות רדוקטיביות ממוינות על ידי מבנה קומבינטורי שנקרא מידע שורשים .
זוהי גרסה מעודנת יותר של מערכת שורשים.
במתמטיקה ובפרט בגאומטריה אלגברית חבורות אוניפוטנטיות מהוות משפחה חשובה של חבורות אלגבריות ליניאריות.
דוגמה לחבורה אוניפוטנטית היא החבורה של מטריצות משולשיות עליונות שכל איברי האלכסון שלהן שווים ל-1. חבורה נקראת אוניפוטנטית אם ורק אם היא איזומורפית לתת חבורה אלגברית סגורה של .
אם שדה ההגדרה סגור אלגברית וממציין - 0, אז מרכז זה הוא חזקה של החבורה .
מכאן ניתן להסיק, שבמציין - 0, עבור חבורה אלגברית הדברים הבאים שקולים:
אם מציין שדה ההגדרה הוא מספר אז חבורת רכיבי הקשירות של חבורה אוניפוטנטית היא חבורת p.
כמו כן ניתן להראות כי אם שדה ההגדרה סגור אלגברית וממציין , אז עבור חבורה אלגברית הדברים הבאים שקולים:
ל - סדרה מרכזית שגורמיה הם והחבורה הציקלית בעלת איברים .
ל - סדרה נורמלית שגורמיה הם ו - .
לחבורת אוניפוטנטיות תפקיד חשוב בתורת המיון והמבנה של חבורות אלגבריות ליניאריות.
במתמטיקה ובתורת החבורת, חבורה אלגברית פשוטה למחצה היא חבורה אלגברית שאין לה תת-חבורה נורמלית פתירה (לא טריוויאלית).
כל חבורה פשוטה למחצה היא ליניארית.
אלגברת הלי של חבורה אלגברית פשוטה למחצה היא אלגברת לי פשוטה למחצה.
עבור כל אלגברת לי פשוטה למחצה קיים מספר סופי של חבורות אלגבריות פשוטות למחצה שאלגברת הלי שלהם היא .
בידיוק אחת מהן פשוטת קשר ובידיק אחר מהן חסרת מרכז.
בתורת החבורות האלגבריות, חבורות אלגבריות פשוטות מהוות מחלקה של חבורות אלגבריות.
הן מהוות את חלק הארי מ"אבני הבניין של חבורות אלגבריות".
למושג חבורות אלגבריות פשוטות יש שתי הגדרות לא שקולות אבל דומות.
חבורות אלגבריות פשוטות (לפי ההגדרה המצומצמת יותר) הן אובייקטים פשוטים בקטגוריית החבורת האלגבריות.
ההפך אינו נכון אך הפער אינו מהותי.
חבורה אלגברית נקראת כמעט פשוטה אם היא מקיימת את התנאים הבאים:
אין לה תת חבורה נורמלית נאותה אין-סופיות.
נקראת פשוטה אם אין לה תתי-חבורות נורמליות נאותות לא טרוויאליות.
חבורות כמעט פשוטות פשוטות קשר
אם חבורה אלגברית היא מנה של חבורה אלגברית על-פי תת-חבורה סופית
אז אומרים ש- היא כיסוי של .
הכסוי נקרא טריוויאלי אם המנה היא על פי תת-חבורה טריוויאלית.
אם ל - אין כיסוויים לא טריוויאליים אז אומרים ש פשוטת קשר.
בדיוק אחד מהם הוא פשוט קשר.
כל חבורה כמעת פשוטה "כלואה" בין חבורה כמעט פשוטה פשוטת קשר וחבורה פשוטה במובן הבא:
ישנן איזוגניות (זאת אומרת העתקות מנה בתת-חבורה סופית) .
ו - מוגדרות ביחידות על ידי .
החבורה היא המנה של על פי המרכז שלה ו - נקראת הכיסוי האוניברסלי של .
כל חבורה כמעט פשוטה היא פשוטה למחצה ובפרט ליניארית.
חבורה אלגברית רדוקטיבית נקראת חבורה מתפצלת אם יש לה טורוס מקסימלי שהוא טורוס מתפצל.
מעל שדה סגור אלגברית, כל חבורה רדוקטיבית היא חבורה מתפצלת.
החבורת הפשוטות המתפצלות (ובהתאם גם החבורות הכמעט פשוטות פשוטות קשר מתפצלות) ממוינות על ידי דיאגרמות דינקין.
להלן המיון של חבורות כמעט פשוטות מתפצלות:
+דיאגרמת דינקיןחבורה פשוטהחבורה כמעט פשוטה פשוטת קשרחבורות כמעת פשוטותכל מנה של על פי תת-חבורה של המרכז שלה (החבורה הציקלית על איברים), , ו - ו - , , ו - הפשוטה פשוטת הקשר הפשוטה ו - פשוטת הקשר הפשוטה פשוטת הקשר הפשוטה ו- פשוטת הקשר
חבורה נקראת פשוטה אבסולוטית אם לאחר הרחבת סקלרים לסגור האלגברי היא נותרת חבורה פשוטה .
לא כל חבורה פשוטה היא פשוטה אבסולוטית: לדוגמה צמצום סקלרים (תחת הרחבה ספרבילית סופית) של חבורה פשוטה היא פשוטה אך לא פשוטה אבסולוטית.
חבורה מתפצלת פשוטה תמיד פשוטה אבסלוטית.
חבורה פשוטה אבסולוטית היא צורה של חבורה פשוטה מתפצלת.
באופן כללי יותר, חבורה פשוטה היא צורה של חזקה של חבורה פשוטה מתפצלת.
כל הדברים בפרק זה תקפים גם כשמחליפים חבורת פשוטות בחבורות כמעט פשוטות או בחבורות כמעט פשוטות פשוטות קשר.
קשר לאובייקטים פשוטים בקטגוריית החבורות האלגבריות
לפי ההגדרה אובייקט פשוט בקטגוריית החבורות האלגבריות היא חבורה אלגברית שיש לה בדיוק 2 תת-חבורות נורמליות: והחבורה הטריוויאלית.
מנקודת מבט קטגורית, זה המושג המקביל לחבורה פשוטה רגילה.
אולם מושג זה לא שקול למושג "חבורה אלגברית פשוטה".
קל לראות שכל חבורה אלגברית פשוטה היא אובייקט פשוט בקטגוריית החבורות האלגבריות.
אולם יש עוד 2 סוגים של אובייקטים פשוטים בקטגוריית החבורות האלגבריות שאינים חבורות פשוטות:
חבורות אלגבריות סופיות פשוטות: מעל שדה סגור אלגברית אלו הן החבורת הפשוטות הסופיות.
מעל שדה כללי הסיטואציה מעט יותר מורכבת אך דומה.
במציין - 0, חבורות אוניפונטיות קמוטטיביות המהוות אובייקטים פשוטים.
מעל שדה סגור אלגברית מדובר רק בחבורה החיבורית .
בתור אבני הבניין של חבורות אלגבריות
עבור חבורה רגילה נוצרת סופית, משפט ז'ורדן-הלדר מבטיח את קיומה של סדרה נורמלית שגורמים שלה הן חבורת פשוטות.
טענה כזאת לא נכונה עבור חבורות אלגבריות, גם אם במקום חבורות פשוטות אנחנו מאפשרים גורמים שהם אובייקטים פשוטים.
את זאת קל לראות מהתבוננות בחבורה הכפלית למשל.
היא איננה אובייקט פשוט (יש לה תתי חבורות סופיות נורמליות לרוב) אבל המנה שלה על פי כל חבורה נורמלית נאותה שלה איזומורפית ל - בעצמה.
כך שלא נוכל "להתקדם" לקראת הסדרה הנורמלית הנדרשת.
אולם, ניתן להראות שעבור חבורה אלגברית קיימת סדרה נורמלית שגורמיה הם מהצורה הבאה:
חבורות אוניפונטיות קמוטטיביות אינסופיות שאין להן תת-חבורות נורמליות נאותות אינסופיות.
טורוסים כמעט פשוטים (זאת אומרת טורוסים ללא תתי-חבורות אינסופיות).
מעל שדה סגור אלגברית מדובר ב - בלבד.
יריעות אבליות כמעט פשוטות (זאת אומרת יריעות אבליות ללא תתי-חבורות אינסופיות)
אוסף הגורמים של סדרה זו אינו מוגדר ביחידות (כפי שאפשר לראות מהדוגמה של למעלה) אולם בהוספת דרישות מינימליות מתאימות ניתן להפוך את אוסף הגורמים של הסדרה להיות מוגדר ביחידות (כמו במשפט ז'ורדן-הולדר)
קשר לחבורות סופיות מטיפוס לי
בהינתן חבורה אלגברית רדוקטיבית (קשירה בדרך כלל) המוגדרת מעל שדה סופי חבורת הנקודות שלה נקראת חבורה סופית מטיפוס לי.
גם חבורות סופיות נוספות המתקבלות מחבורות אלה בפרוצדורות אלגבריות מסוימות נקראות חבורות סופיות מטיפוס לי.
בדרך כלל מתמקדים בחבורות מטיפוס לי שמקורן בחבורה כמעט פשוטה .
ככלל חבורות לי כאלו אינן פשוטות (גם אם פשוטה) אך קל לקבל מהן חבורות פשוטות באופן הבא:
בהינתן חבורה אלגברית כמעט פשוטה המוגדרת מעל שדה סופי נתבונן בהעתקה שהוגדרה מעלה.
העתקה זו משרה העתקה בין חבורת הנקודות נסמן את התמונה של העתקה זו ב - .
משפט: למעט מספר סופי של מקרים היא חבורה פשוטה.
חבורות פשוטות המתקבלות כך נקראות חבורות פשוטות מטיפוס לי.
חבורות פשוטות מטיפוס לי מהוות את עיקר החבורות הפשוטות.
מלבדן יש רק עוד את חבורות התמורות הזוגיות ואת 26 החבורות הספורדיות.
ישנן עוד 3 סדרות של חבורות פשוטות מטיפוס לי שאינן מתקבלות בדרך זו בדיוק.
הן מתקבלות כחבורות נקודות שבת של אוטומורפיזמים (מסוימים) של חבורות כאלה.
חבורת אלו נקראות חבורות רי (חבורת מאחת משלוש הסדרות האלה נקראות גם חבורות סוזוקי).
גם כאן, למעט מספר סופי של מקרים, חבורת רי הן פשוטות.
באחד מהמקרים בהם חבורת סוזוקי אינה פשוטה, החבורה הנגזרת שלה היא פשוטה, ולא ניתן לקבל אותה בצורות שתוארו מעלה.
חבורה פשוטה זאת נקראת חבורת טיץ (Tits).
גם היא נחשבת בדרך כלל לחבורה פשוטה מטיפוס לי.
לעיתים 2 חבורות פשוטות המתקבלות בדרך זו (עבור זוגות שונים של ו - ) אזומורפיות.
דבר זה קורה במספר סופי של מקרים.
אף על פי שההעתקה היא על ההעתקה איננה על.
החבורות , , כולן בעלות אותו מספר איברים.
למעשה גם יש להן את אותם גורמי ז'ורדן-הלדר.
אולם הסדר של הגורמים שונה (ככלל): מופיעה כתת-חבורה ב - , כחבורת מנה ב - וכתת-מנה ב - .
יתר גורמי ז'ורדן-הלדר של שלושת חבורות אלה הם קמוטטיביים.
במתמטיקה ובפרט בתורת החבורות חבורה סופית היא חבורה בעלת מספר סופי של איברים.
חקר החבורות הסופיות מהווה חלק חשוב בתורת החבורות.
בעוד שעבור חבורות אין-ספיות בדרך כלל נדרש מבנה נוסף או לפחות תכונות נוספות כדי לקבל תורה מעניינת, יש תורה עשירה ועמוקה שתקפה עבור כל החבורות הסופיות.
אין מיון מלא ושימושי שמתאר את כל החבורת הסופיות.
יש גם אינדיקציות רבות לכך שהדבר אינו אפשרי.
אולם, אפשר לתת מיון חלקי שמספק מידע רב על המבנה האפשרי של חבורות סופיות.
צעד הראשון בהבנת המבנה של חבורה כללית הוא האבחנה שאם לחבורה יש תת-חבורה נורמלית אז ניתן להבין הרבה על מתוך החבורה וחבורת המנה .
במקרה כזה, החבורה נקראת הרחבה של החבורות ו - .
אם היא החבורה טריוויאלית או ש - אז שיטה זאת להבנת מבנה החבורה נכשלת.
בהתאם, אם ל - יש רק 2 תת-חבורות נורמליות ( והחבורה הטריוויאלית) אז לא ניתן להשתמש בשיטה זאת.
במקרה כזה נקראת חבורה פשוטה.
על ידי הפעלה חוזרת של הטיעון למעלה, קל לראות שבהינתן חבורה סופית ניתן למצא סדרה של חבורות
כך ש: היא חבורה פשוטה.
במילים אחרות כל חבורה סופית מתקבלת מהרחבה חוזרת של חבורות סופיות פשוטות.
סדרת החבורות נקראת סדרת הרכב של והמנות נקראות גורמי הסדרה.
משפט ז'ורדן-הלדר קובע כי אוסף הגורמים של סדרת הרכב תלוי רק בחבורה ולא בבחירת סדרת ההרכב.
בהתאם, לגורמים אלה קוראים לעיתים גם הגורמים הפשוטים של
לאור משפט זה ניתן לחלק את משימת המיון של חבורות סופיות לשתי משימות:
מיון כל החבורות בעלות אוסף גורמים פשוטים נתון.
במילים אחרות מיון כל הדרכים בהם ניתן להרחיב חבורות פשוטות אחת עם השנייה (שוב ושוב).
המשימה הראשונה הייתה קשה ביותר, והיא הושלמה באופן מספק למדי במהלך המאה ה-20 ומהווה את משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות.
משפט זה מהווה את אחת התוצאות המורכבות במתמטיקה.
לאומת זאת, המשימה השנייה קשה בהרבה, נחשב שלא ניתן להציג לה פתרון כללי ושימושי.
אולם במקרים מסוימים ניתן לספק לה פתרונות חלקיים.
משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות
משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות קובע שכל חבורה סופית פשוטה שייכת לאחת מבין ארבע הקבוצות הבאות, שמהן שלוש הראשונות אינסופיות:
חבורות של תמורות זוגיות מסדר 5 ומעלה.
חבורות פשוטות סופית מטיפוס לי.
חבורות אלה כוללות את החבורות הפשוטות הסופית הקלאסיות, את החבורת הפשוטות הסופיות מחמשת הטיפוסים המיוחדים של חבורות לי, ואת ה"עיוותים" של כל אלה.
רשימה ידועה של 26 חבורות ספורדיות.
יש חיתוך מסוים בין קבוצות 2 ו - 3, אך חיתוך זה סופי (שלוש חבורות) וידוע באופן מפורש.
המשפט ידוע בכך שהוא לקח זמן רב מאוד להוכחה.
העבודה על המשפט נמשכה כמה עשרות שנים, השתתפו בה כמאה מתמטיקאים, והיא משתרעת על-פני 500 מאמרים בכתבי עת מקצועיים, הכוללים כ-15,000 עמודים.
משפט המיון הוא משפט מרכזי בתורת החבורות הסופיות, והוא מהווה אחד ההשגים הגדולים ביותר של המתמטיקה במאה העשרים.
חבורה נקראת אבלית אם כל שני איברים בה מתחלפים (זאת אומרת ).
מיון חבורות סופיות אבליות היא משימה פשוטה בהרבה.
קל לראות שחבורות אבלית פשוטות הן בדיוק החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
גם המיון של חבורת אבליות סופיות כלליות אינו מסובך ומהווה מקרה פרטי של משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית.
לפי משפט זה כל חבורה אבלית סופית היא מכפלה ישרה של חבורות ציקליות סופיות.
בדרך כלל, את אותה החבורה האבלית ניתן לכתוב במספר דרכים שונות בתור מכפלה של חבורות ציקליות סופיות.
אולם, אם דורשים דברים נוספים מפרוק זה אז הוא נהיה יחיד.
לדוגמה, כל חבורה אבלית סופית ניתן לכתוב באופן יחיד בתור מכפלה ישרה של חבורות ציקליות שסדרן הוא חזקת ראשוני.
חבורות פתירות (סופיות) הן חבורות (סופיות) שגורמיהן הפשוטים הם חבורות אבליות.
החבורת האבליות הפשוטות קלות מאוד לתיאור - אלו הן החבורות הציקליות מסדר ראשוני.
אולם קשה מאוד לתאר את כל ההרחבות שלהן.
בהרבה מובנים, עיקר הקושי במיון כל ההרחבות של חבורת פשוטות בא לידי ביטוי כבר במיון החבורות הפתירות.
החבורות הנילפוטנטיות מהוות מחלקה חשובה של חבורת פתירות.
חבורה נילפוטנטית היא חבורה פתירה שקיימת עבורה סדרת הרכב מרכזית.
כך שהגורם הוא תת-חבורה של המרכז של .
במילים אחרות, חבורה נילפוטנטית היא חבורה המתקבלת מהרחבות מרכזיות חוזרות.
המבנה של חבורות נילפוטנטיות קשור קשר הדוק למבנה של חבורת-.
עבור מספר ראשוני , חבורת- היא חבורה שסדרה הוא חזקה של .
הקשר בין חבורות נילפוטנטוית וחבורות- ניתן על ידי המשפט הבא:
משפט: אם היא חבורה סופית אז הדברים הבאים שקולים:
היא מכפלה ישרה של חבורת-.
הפרוק של חבורה נילפוטנטית למכפלה של חבורת- הוא יחיד.
כדי להבין את המבנה של חבורות נילפוטנטיות די להבין את הבנה של חבורות-.
חבורות- הן חבורות המתקבלות מהרחבות (חוזרת) של החבורה הציקלית מסדר - .
למרות המבנה הפשוט של החבורה ולמרות העבדה שהרחבות כאלה חיבות להיות מרכזיות.
תיאור מלא ושימושי של ההרחבות האלה באופן כללי נחשב למשימה בלתי אפשרית.
אוסף חבורות ה- הוא עשיר מאוד.
למעשה אחוז החבורות (עד סדר נתון ) שהן חבורת מתוך כל החבורת הנילפוטנטיות עד אותו הסדר שואף ל-1 כאשר שואף לאינסוף.
משערים, שגם אחוז החבורות הנילפוטנטיות במין כל החבורת עד סדר שואף ל-1.
עץ מיון של חבורות סופיות
אומנם מיון מלא ושימושי של הרחבות אינו בנמצא, אבל יש סוגים של הרחבות הקלים יותר להבנה.
הסוג הפשוט ביותר של הרחבה הוא מכפלה ישרה.
בהינתן שתי חבורות המכפלה הישרה שלהן מסומנת ב - ומהוה את אוסף כל הזוגות של איברים שהראשון בהם הוא איבר ב- והשני הוא איבר ב-.
המכפלה של זוגות כאלה מוגדרת על ידי
מכפלה ישרה נקראת גם הרחבה טריוויאלית.
חבורה נקראת מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורות שלה אם מתקיים:
, כלומר כל איבר ב- ניתן לכתוב כמכפלה של איבר ב- ואיבר ב-.
המכפלות החצי-ישרות של ו- (עד כדי איזומורפיזם) ממוינות על-ידי פעולות של על (עד כדי יחס שקילות מתאים).
ככלל, ככול ש - "יותר קמוטטיבית" כך יש יותר דרכים ל - לפעול עליה (עד כדי הצמדה ב-).
לכן ככל של - יש ייותר גורמים קמוטטיביים, כך המכפלות החצי ישרות של ו - מאפשרות מגוון עשיר יותר של הרחבות.
מכפלה חצי ישרה נקראת גם "הרחבה מתפצלת".
מקרה פרטי של מכפלה חצי ישרה הוא מכפלת זר.
במקרה זה היא מכפלה ישרה של מספר עותקים של חבורה והפעולה של על - היא על-ידי תמורות של עותקים אלו.
אם כל הגורמים הפשוטים של חבורה הם לא אבליים אז ההרחבות בין הגורמים השונים דומות למדי למכפלות זר (אם כי לא בהכרח מתפצלות)
בהינתן חבורה ותת-חבורה של המרכז של אומרים ש- היא הרחבה מרכזית של על ידי .
ניתן למיין הרחבות מרכזיות באמצעות כלים של אלגברה הומולוגית.
ההרחבות המרכזיות של חבורה על ידי חבורה אבלית ממוינות על ידי הקוהומולוגיה
אם חבורה מושלמת, אז הבעיה נהיית פשוטה יותר.
אם חבורה סופית אז החבורה היא חבורה סופית.
חבורה זו נקראת כופל שור של .
לחבורה סופית מושלמת יש הרחבה מרכזית על ידי כופל שור שלה שנקראת ההרחבה המרכזית האונברסלית של .
כל הרחבה מרכזית מושלמת של היא מנה של בתת-חבורה של .
כחלק ממשפט המיון לחבורות פשוטות סופיות מוינו גם כל ההרחבות המרכזיות של חבורות אלו.
ניתן למיין את כל ההרחבות של 2 חבורות בכלים של אלגברה הומולוגית.
מיון זה נקרא לעיתים תורת שרייר.
להלן תיאור של מיון זה:
בהינתן הרחבה של חבורה עם חבורה אנו מקבלים פעולה של על (על ידי הצמדה).
במילים אחרות אנו מקבלים הומומורפיזם כאשר
היא חבורת האוטומורפיזמים של .
קל לראות שהומומורפיזם מגדיר הומומורפיזם כאשר היא חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים של של .
מכאן, כדי למיין את כל ההרחבות של ו- , יש לענות על 2 השאלות הבאות:
עבור אילו הומומורפיזמים קיימת הרחבה של ו - שנותנת את ?
בהינתן הומומורפיזמים כאלה, איך ממינים את כל ההרחבות שנותנות את ?
התשובה לשאלה הראשונה נתונה במונחים של איבר בחבורת הקוהומולוגיה .
התשובה לשאלה השנייה היא שהמיון נתון על ידי איברי חבורת הקוהומולגיה .
הערה: בשני המקרים הקוהומוליגיה היא ביחס לפעולה של על הנתונה על ידי ההומומורפיזם (כל איבר ב - מגדיר אוטומורפיזם של ).
אומנם תיאור זה מפורש, אך במקרים רבים הוא רחוק מלתת תשובה מלאה.
לדוגמה, אם ו- הם מרחבים וקטוריים מעל שדה סופי אז חישוב (ביחס לפעולה הטריוויאלית) שקול לבעיה פראית באלגברה ליניארית, כך שאפילו בעיית המיון של הרחבות מרכזיות של חבורות אבליות היא פראית.
כמו כן, אפילו המקרה של מכפלה חצי ישרה (או אפילו מכפלת זר), יכול להיות מאוד קשה למיון.
לדוגמה, בעיית המיון של כל הפעולות של על קבוצה סופית מכליה את בעיית המיון של תתי החבורת של עד כדי הצמדה, שבתורה, במקרה ש- היא חבורת התמורות, מכילה את בעיית המיון של כל החבורות.
אחת הבניות הבסיסיות של חבורה היא חבורת האוטומורפיזמים של אובייקט מתמטי .
במקרה ש- הוא חבורה סופית, קל לראות שחבורה זאת היא סופית.
לכול חבורה יש הומומורפיזם טבעי הנתון על ידי פעולת ההצמדה (כל איבר עבר לאוטומורפיזם המתקבל מההצמדה ב- ).
הגרעין של ההומומורפיזם הזה הוא המרכז של .
התמונה של ההומומורפיזם הזה נקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של ומסומנת ב- .
ממשפט האיזומורפיזם הראשון נובע ש- .
החבורה נקראת חבורת האוטומורפיזמים החצוניים של ומסומנת ב - .
החבורה היא הרחבה של - עם - .
הרחבה זאת מהווה את אחת הדוגמאות החשובות להרחבה של חבורות .
הרחבה זאת לא תמיד מתפצלת (לדוגמה עם היא החבורת הסימטרית על 6 איברים).
אם היא חבורה סופית פשוטה אז יודעים לתאר במפורש את - ו- , ובפרט יודעים לתאר מתי ההרחבה הנ"ל מתפצלת.
כמו כן, ידוע שכש- היא חבורה סופית פשוטה אז תמיד פתירה (כמעט בכל המקרים היא קומוטטיבית).
תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של חבורה פשוטה סופית המכילה את כל האוטומורפיזמי הפנימיים נקראת חבורה סופית קואזי פשוטה.
פירוק ז'ורדן-הולדר של חבורה סופית אינו יחיד.
עם זאת, ישנן מספר סדרות נורמליות קנוניות (זאת אומרת סדרות מהסוג כך שתתי החבורות מתוארות באופן קנוני) שנותנות דרכים קנוניות לנתח את המרכיבים של חבורה נתונה.
על מנת להגדיר סדרה נורמלית קנונית עבור חבורה , די להגדיר תת-חבורה (נורמלית, לא טריוויאלית) קנונית של .
לאחר מכן יש להפעיל אותה בחירה קנונית על ולהמשיך כך עד שמגיעים לחבורה טריוויאלית.
באופן כללי, לא ניתן לקבל בצורה כזאת סדרת הרכב ל - .
זאת מכיוון שחבורת תתי-חבורות קנוניות הן תמיד קרקטריסטיות (זאת אומרת שהן אינווריאנטיות לגבי אוטומורפיזמים של ), ולא תמיד יש סדרת הרכב שבנויה מחבורת קרקטריסטיות (לדוגמה עבור חבורת קליין אין סדרה כזאת).
אולם ניתן לקבל סדרות נורמליות עם מנות קלות לנתוח בהרהבה מהחבורה המקורית.
אחת הדרכים להגדיר תת-חבורה קנונית של כל חבורה היא התשתית.
מושג זה הוא מקרה פרטי של מושג התשתית באלגברה המגדיר בהקשרים רבים תת-אובייקט קנוני.
התשתית של חבורה היא התת-חבורה הנוצרת על ידי תת-חבורות נורמליות מינימליות של .
קל לראות שהתשתית של היא גם המכפלה של תת-החבורות הנורמליות מינימליות של ושחבורת אלו הן פשוטות.
התשתית של חבורה מסומנת בדרך כלל ב - .
קל ליראות שאם סופית ולא טריוויאלית אז התשתית שלה לא טריוואלית.
מכאן, שאפשר להשתמש בתשתית כדי להגדיר סדרה נורמלית עבור .
המנות העוקבות של סדרה זאת יהיו מכפלות של חבורות פשוטות, כך שקל להפוך סדרה זאת לסדרת הרכב על ידי בחירת סדר על החבורת הפשוטות האלה.
סדרה זאת, כמובן איננה קנונית.
הסדרה הנורמלית הנתונה על ידי התשתיות מהווה כלי חשוב לחקר חבורות סופיות.
יתרונה בכך שהיא מוגדרת עבור כל חבורה סופית וקרובה להיות סדרת הרכב.
חסרונה הוא שהיא לא מספקת הבנה של ההרחבות בין המנות העוקבות.
לכן, במקרים רבים מעדיפם להשתמש בתת-חבורת קנוניות אחרות.
המרכז של חבורה הוא אוסף האיברים בחבורה המתחלפים עם כל איבר בחבורה.
המרכז של חבורה מסומן בדרך כלל ב - .
לא לכל חבורה יש מרכז לא טריוויאלי.
לכן לא לכל חבורה נויתן לבנות סדרת הרכב ממצה על ידי שימוש במרכז.
חבורה תהייה חבורה נילפוטנטית אםם הסדרה המתקבלת על ידי הנוסחה הרקורסיבית (כאשר מתחילים מ-) מגיעה לחבורה הטריוויאלית.
במילים אחרות אם שימוש חוזר במרכז נותן סדרה נורמלית ממצה עבור .
המנות העוקבות של סדרה זאת הן אבליות.
החבורה הנגזרת של חבורה היא החבורה הנוצרת על ידי ביטויים מהסוג כאשר .
ניתן לקבל סדרה נורמלית באמצעות החבורה הנגזרת, באופן הדואלי לאופן שתואר מעלה: מגדרים רקורסיבית
סדרה זאת נקראת סדרת הנגזרות של .
סדרה זאת לאו דווקה ממצה.
היא ממצה (זאת אומרת ש עבור מספיק גדול) אם ורק אם החבורה היא פתירה.
אם החבורה לא פתירה, אז בשלב מסוים הסדרה נעצרת בחבורה מושלמת, זאת אומרת חבורה המקיימת .
חבורה זאת נקראת הליבה המושלמת של .
הליבה המושלמת של חבורה מושלמת היא החבורה עצמה.
סדרת הנגזרת מאפשרת להציג כל חבורה פתירה בתור הרחבה של חבורות אבליות באופן קנוני.
כמו כן היא מאפשרת להציג כל חבורה סופית בתור הרחבה של חורה מושלמת וחבורה פתירה.
סדרה דומה לסדרת הניגזרות נקראת הסדרה המרכזית התחתונה.
גם היא מתחילה בחבורה ההנגזרת, אך ממשיחה באופן שונה.
היא מוגדרת על ידי הכלל הרקורסיבי
כאשר היא החבורה הנוצרת על ידי ביטויים מהסוג כאשר .
סדרה זו ממצה אם ורק אם החבורה היא נילפוטנטית.
אם החבורה לא נילפוטנטית, אז בשלב מסוים הסדרה נעצרת בחבורה הנקראת שארית נילפוטנטית של .
הסדרה המרכזית התחתונה מאפשרת להציג כל חבורה נילפוטנטית בתור הרחבה של חבורות אבליות באופן קנוני.
סדרה זו שונה (באופן כללי) מסדרת המרכזים שתוארה מעלה.
שימוש חוזר בשארית הנילפוטנטית מאפשרת להציג כל חבורה פתירה סופית כהרחבה של חבורות נילפוטנטיות.
בהינתן מספר ראשוני p, הרדיקל ה-p של חבורה סופית מוגדר להיות תת-חבורת ה-p הנורמלית המקסימלית של .
קל לראות שמקסימום זה יחיד.
ממשפטי סילו נובע שהרדיקל ה-p של הוא החיתוך של כל חבורת ה-p-סילו של .
נהוג לסמן את הרדיקל ה-p של ב - .
מושג הרדיקל ה-p שימושי בעיקר עבור חבורות סופיות מטיפוס לי כשבוחרים את p להיות מציין השדה אשר באמצעותו מוגדרת החבורה.
במקרה כזה, הרדיקל ה-p מקביל לרדיקל האוניפוטנטי של החבורה האלגברית המתאימה.
לא ניתן להשתמש ברדיקל ה-p כדי ליצור סדרה נורמלית ל - (באורך גדול מ - 2).
לאומת זאת, הרדיקל ה-p, מאפשר להציג את בתור הרחבה של (שהיא חבורה עם רדיקל -p טריוויאלי) ו - שהיא חבורת p.
הרחבה זו מקבילה לפירוק לוי של חבורות אלגבריות ליניאריות.
תת-חבורת פיטינג של חבורה סופית מוגדרת להיות תת-החבורה הנילפוטנטית הנורמלית המקסימלית של .
לעיתים קוראים לתת-חבורת פיטינג "הרדיקל הנילפוטנטי".
נהוג לסמן את תת-חבורת פיטינג של ב - או .
ניתן להראת כי כאשר רץ על כל הראשוניים.
חברת פיטינג יכולה להיות טריוויאלית (לדוגמה אם היא חבורה פשוטה לא אבלית).
(ולא טריוואלית) אז חבורת פיטינג לא טריוויאלית.
למעשה, היא פתירה אםם אפשר לקבל, באמצעות תת-חבורות פיטינג סדרה נורמלית ממצה עבור .
במקרה כזה, הגורמים של הסדרה הנורמלית יהיו חבורות נילפוטנטיות.
לתת-חבורת פיטינג יש תפקיד חשוב בהבנת המבה של חבורות פתירות בזכות משפט פיטינג הקובע כי אם פתירה אז המרכז של מוכל ב -.
משפט זה, מאפשר (במקרה ש - פתירה) לשכן את לתוך בצורה שתכיל את .
במילם אחרות, עד כדי המרכז של החבורה תהיה הרחבה של ותת-חבורה של .
ניתן לומר שמשפט פיטינג מאפשר להבין את המבנה של כל חבורה פתירה (ברמה מסוימת) באמצעות חבורת האוטומורפיזמים של חבורה נילפוטנטית.
תת-חבורה נאותה היא תת-חבורה שאיננה כל החבורה.
תת-חבורה מקסימלית היא תת-חבורה נאותה שאננה מוכלת באף תת-חבורה נאותה אחרת.
תת חבורת פרטיני מוגדרת להיות החיתוך של כל התת-חבורות המקסימליות.
על פניו, מושג זה דואלי למושג התשתית.
ואכן אם חבורה סופית נילפוטנטית, אפשר לקבל משימוש חוזר בחבורת פרטיני סדרה נורמלית יורדת, באופן דואלי לסדרה הנורמלית העולה המתקבלת מהתשתית.
אולם, אם איננה נילפוטנטית, אז תת-חבורת פרטיני מתנהגת באופן שונה, ולא ניתן לקבל ממנה סדרה נורמלית ממצה.
תת-חבורת פרטיני של חבורה סופית היא תמיד נילפוטנטית.
מכאן שהיא תמיד מוכלת בתת-חבורת פיטינג.
אם היא חבורה סופית לא נילפוטנטית אז תת-חבורת פרטיני שווה לתת-חבורת פיטינג.
תת-חבורת פיטינג לא יעילה כאשר החבורה איננה פתירה.
כדי לחקור את המבנה של חבורות שאינן פתירות פותח המושג של השכבה של חבורה.
מושג זה משלים את חבורת פיטינג בכך שהשכבה רחוקה מאוד מלהיות פתירה או נילפוטנטית.
מושג השכבה מבוסס על המושג חבורה סופית פשוטה למחצה שבתורו מבוסס על המושג חבורה סופית כמעט פשוטה.
חבורה סופית כמעט פשוטה היא הרחבה מרכזית מושלמת של חבורה פשוטה סופית לא אבלית.
חבורה סופית נקראת חבורה פשוטה למחצה אם קימות לה תתי-חבורות כך ש:
השכבה של מוגדרת להיות התת-חבורה הפשוטה למחצה המקסימלית של .
היא מסומנת ב - .
בדומה לחבורת פיטינג, גם השכבה יכולה להיות טריוויאלית (למשל אם פתירה).
בעוד שתת-חבורות פיטינג וגם השיכבה יכולות להיות טריוויאליות עבור חבורה סופית כללית, השילוב שלהן לא יכול.
תת-חבורת פיטינג המוכללת מוגדרת להיות המכפלה של תת-חבורת פיטינג והשיכבה.
ניתן להראות שתת-חבורת פיטינג והשיכבה מתחלפות.
ומכאן שתת-חבורת פיטינג המוכללת היא אכן תת-חבורה.
נהוג לסמן את תת-חבורת פיטינג המוכללת של ב - .
לתת-חבורת פיטינג המוכללת יש תפקיד חשוב בהבנת המבה של חבורת סופיות בזכות משפט בנדר הקובע כי המרכז של מוכל ב -.
משפט זה, מאפשר לשכן את לתוך בצורה שתכיל את .
במילם אחרות, עד כדי המרכז של החבורה היא הרחבה של ותת-חבורה של .
ניתן לומר שמשפט בנדר מאפשר להבין את המבנה של כל חבורה סופית (ברמה מסוימת) באמצעות חבורת האוטומורפיזמים של מכפלה (מתחלפת) של חבורה פשוטה למחצה עם חבורה נילפוטנטית.
לתיאור זה של חבורה כללית באמצעות תת-חבורת פיטינג המוכללת שלה תפקיד משמעותי במשפט המיון לחבורות פשוטות סופיות.
כאמור ישנם משפטים רבים התקפים לחבורות סופיות.
משפט הלדר - כל חבורה מסדר שהוא מכפלה של פחות מ - 4 גורמים ראשוניים.
משפט פייט-תומפסון - כל חבורה מסדר אי-זוגי היא פתירה.
משפט ברנסייד - כל חבורה שלסדר שלה יש רק 2 גורמים ראשוניים היא פתירה.
התרשים להלן מסכם מספר משפטים בסיסים בתורת החבורות.
בתורת החבורות, חבורה אמנבילית היא חבורה שעבורה אפשר להגדיר אופרטור מיצוע שהוא אינווריאנטי תחת פעולת החבורה על ידי כפל משמאל.
המושג הוגדר על ידי ג'ון פון נוימן ב-1929 בהקשר של פרדוקס בנך-טרסקי תחת השם הגרמני messbar ("מדיד"), וקיבל את שמו האנגלי ב-1949.
חבורה בדידה (נטולת מבנה טופולוגי) היא אמנבילית אם אפשר להגדיר עליה מידת הסתברות אדיטיבית, שהיא אינווריאנטית לכפל משמאל.
(המידה אינה מוכרחה להיות סיגמא-אדיטיבית).
קיומה של מידה מאפשר להגדיר אינטרגל לבג של פונקציות חסומות על החבורה.
חבורה בדידה בת מניה היא אמנבילית אם ורק אם:
יש סדרת וקטורי יחידה כך ש- לכל (תנאי דיסמייר);
יש סדרה של תת-קבוצות סופיות כך ש- לכל (תנאי פלנר);
יש גם תנאים שקולים רבים אחרים.
כל חבורה סופית היא אמנבילית.
כל חבורה אבלית היא אמנבילית.
אוסף החבורות האמנביליות סגור למעבר לתת-חבורה סגורה, למעבר לחבורת מנה, להרחבות, לגבולות ישרים.
בפרט, חבורה שהיא אמנבילית מקומית היא אמנבילית; וכל חבורה פתירה היא אמנבילית.
אמנביליות של חבורה קומפקטית מקומית
חבורה קומפקטית מקומית היא אמנבילית אם יש לה פונקציית מיצוע אינווריאנטית משמאל.
פונקציית מיצוע היא אופרטור אדיטיבי , שהוא חיובי על פונקציות חיוביות כמעט בכל מקום, ואינווריאנטי משמאל (כלומר
כאן הוא מרחב הפונקציות החסומות-עקרונית ביחס למידת האר.
לדוגמה, החבורה הציקלית האינסופית (עם הטופולוגיה הבדידה) היא קומפקטית מקומית.
פונקציית המיצוע מוגדרת על פונקציות שיש להן גבולות שווים באינסוף ובמינוס אינסוף בתור הגבול הזה, ומומשכת אל מרחב הפונקציות החסומות בעזרת משפט האן-בנך.
החבורות השייכות לאוסף החבורות הנוצר על ידי החבורות הסופיות והאבליות על ידי פעולות של מעבר לתת-חבורה, לחבורת מנה, להרחבות ולגבולות ישרים, נקראות אמנביליות-אלמנטרית.
כל חבורה אמנבילית אלמנטרית היא אמנבילית.
חבורות בעלות גידול ביניים (יותר מכל פולינום ופחות מגידול מעריכי), כמו חבורת גריגורצ'וק, הן אמנביליות (כי אוסף הכדורים שמרכזם בראשית מהווה סדרת פלנר), אבל לא אמנביליות-אלמנטרית.
חבורות פשוטות נוצרות סופית אינן יכולות להיות אמנביליות-אלמנטרית (ידוע שיש חבורות אמנביליות כאלה).
חבורה המכילה חבורה חופשית לא אבלית, אינה יכולה להיות אמנבילית.
השערת פון נוימן סברה שזוהי ההפרעה היחידה, כלומר שכל חבורה שאינה מכילה תת-חבורה חופשית היא אמנבילית.
השערה זו הופרכה על ידי אולשנסקי (באמצעות Tarski monsters) וגרומוב ב-1980. גם חבורות ברנסייד האינסופיות אינן אמנביליות (Adyan).
ב-2002 בנו אולשנסקי וספיר חבורה לא אמנבילית מוצגת סופית.
חבורה עליזה (בהולנדית: Vrolijk gezelschap) היא יצירה מרכזית במכלול יצירתה של יודית לייסטר, ומדגימה את שליטתה בז'אנר החברתי, רמיזה מוסרית דקה, טכניקה מתקדמת וחדשנות קומפוזיציונית – הישגים מרשימים במיוחד לנוכח מעמדה כאישה בעולם אמנות שנשלט ברובו המכריע על ידי גברים.
היצירה צוירה בצבע שמן על בד בסביבות שנת 1629, כאשר לייסטר הייתה בת כעשרים בלבד.
הציור נחשב לאחת מיצירות המופת שלה, ונמכר במכירה פומבית של כריסטי'ס בלונדון ב-6 בדצמבר 2018 בסכום של 1,808,750 ליש"ט – הסכום הגבוה ביותר שנרשם עד כה עבור אחת מיצירותיה.
חבורה עליזה מציגה סצנה הומוריסטית ותוססת של שלושה צעירים חוגגים, באווירה של שמחה, נגינה וריקוד.
הגבר בלבוש כחול מנגן בכינור – מוטיב המזוהה עם בידור וריקוד בציורי התקופה.
לצדו מופיעה דמות בלבוש אדום ובכובע מנוצה, פריט המזוהה עם דמות ה"שוטה" בתרבות החזותית האירופית.
מבעד לחלון פתוח בצד שמאל נראים גבר, אישה וילד – שלישיית צופים המגיבה לסצנה, מוטיב נדיר יחסית בשנות ה-30 של המאה ה-17, שיהפוך נפוץ בהמשך אצל אמנים כיאן סטיין ויאן מינסה מולנר.
הסצנה משדרת עליצות אך גם כוללת רמזים מוסריים – במיוחד בהקשר של פסטיבל ה-Shrovetide ("חג השוטים"), שנודע בתלבושות פרועות, חיקויים וקרנבל חברתי.
בכך, לייסטר מרמזת על השבריריות שבין חגיגה לבין פריצות.
לייסטר פעלה בשיטה חדשנית לזמנה: היא שרטטה את הקומפוזיציה ישירות על גבי הבד בעזרת מכחול, ללא רישום מקדים.
שיטה זו, שנמצאה גם אצל רמברנדט ופרנס הלס, מלווה לעיתים ב-pentimenti – שינויים במהלך הציור.
ניתן להבחין בכך למשל בתיקון במיקום הרגל של הדמות המרכזית.
בניגוד להלס, שהותיר אזורים מהבסיס גלויים, לייסטר נהגה להניח שכבות כהות על גבי בהירות ולעבוד בשיטת "רטוב על רטוב" (wet-in-wet), תוך דגש על מודולציה צבעונית.
קפלי הבדים בצבעים אדום וכחול ממחישים זאת היטב.
החוקרת אנה טאמרס הדגישה שלמרות הדמיון להלס, סגנונה של לייסטר עצמאי ומובחן.
הציור עבר בין ידיהם של אספנים וסוחרי אמנות בולטים, ובהם סר ג'ורג' דונלדסון (לונדון, סביב 1903), בית המכירות פרדריק מולר (אמסטרדם, 1908), תומאס אגניו ובניו (לונדון, 1910), ר.ו.
פטיגרו (1929), משפחת ואן דן הונרט (Blaricum) וד"ר ומרת פ.ל.
הוא נמכר והוצג דרך גלריות חשובות באמסטרדם, לונדון ומאסטריכט.
היצירה הושאלה והוצגה בתערוכות מרכזיות, בהן:
מוזיאון פילדלפיה, גלריה לאמנות בברלין והאקדמיה המלכותית בלונדון (1984)
הגלריה הלאומית לאמנות בוושינגטון (2009–2010)
הטיפה האחרונה – זוג ציורים (Pendant) בעל מסר מוסרי
חבורה עליזה קשורה הדוקות ליצירה נוספת של לייסטר, הטיפה האחרונה (The Last Drop, מוזיאון פילדלפיה לאמנות).
שתי היצירות נחשבות לזוג ציורים תלויים – כלומר, נוצרו מתוך כוונה שיוצגו יחד, זה לצד זה, תוך קשר חזותי ותוכני ביניהן (pendants).
הציורים דומים בגודלם, בקומפוזיציה, ובטיפוסי הדמויות.
שניהם מציגים רצפת עץ אחידה, המרמזת על חלל משותף.
כמו כן, שניהם עברו בבעלותם של אותם אספנים – ובמיוחד סר ג'ורג' דונלדסון – דבר המחזק את ההנחה שהוצגו יחד.
בניגוד לסצנת היום העליזה של חבורה עליזה, הטיפה האחרונה מציגה סצנת לילה רוויית סכנה מוסרית – שיכרות, שלד, גולגולת ושעון חול, סמלים של מוות והוללות.
הקבלה זו יוצרת מסר מוסרי: משמחה לפריצות, מיום ללילה, משפע לקץ.
החוקרת סינתיה קורטנהורסט-פון בוגנדורף רופרת ציינה שגם בתוך חבורה עליזה יש רמזים מוסריים – למשל בדמות הלובשת אדום וחובשת כובע מנוצה, המאזכרת את דמות השוטה במסורת הקרנבלית.
בכך, הסכנה מצויה כבר ברגעי השמחה.
דיוקן עצמי – אזכור מכוון לדמות מתוך הציור
בציור דיוקן עצמי של לייסטר (כ-1633, הגלריה הלאומית לאמנות בוושינגטון, האמנית מציגה את עצמה מציירת את דמות הכנר מ-חבורה עליזה.
סריקות אינפרא אדום הראו כי בתחילה הופיע על הקנבס דיוקן נשי אחר, שלייסטר שינתה – אולי כדי להדגיש את כישוריה כציירת ז'אנר ודיוקן גם יחד.
חוקרות כמו פרימה פוקס הופריכטר פירשו את דמות הכנר כסמל לחוש השמיעה, לטבע הסנגוויני או לחדוות היצירה.
פיטר ווילוק הציע שהקבלה בין קשת הכינור למכחול של לייסטר מדגישה את שליטתה המקצועית.
שילוב דמות זו בציור אישי מעיד על חשיבותה בעיני האמנית עצמה.
פרנס הלס – חוגגי שרובטייד (1616): קומפוזיציה דומה ניכרת, במיוחד בדמות המציגה תנועה מנוגדת בין המבט למחווה.
רופרת ציינה כי לייסטר מעבדת מוטיב מהציור של הלס – הדמות המרכזית ברקע המצביעה לצד אחד ומביטה לשני – כהתכתבות ישירה.
ז'אק קאיו – Balli di Sfessania (1622): סדרת תחריטים איטלקית המציגה ליצנים רוקדים (זאני) מהקומדיה דל'ארטה.
לייסטר ככל הנראה הושפעה מהדימויים האלה: הדמויות בציור מזכירות את הביגוד וההבעה של ליצני הקרנבל.
ייתכן שלייסטר הכירה את הסדרה דרך הפצתו בהולנד.
יאן סטיין ויאן מינסה מולנר: למרות שהשימוש בדמויות המציצות בסצנה ייהפך נפוץ יותר ביצירתם, בתקופתה של לייסטר המוטיב היה נדיר.
לייסטר הייתה חלוצה בשילוב זה.
יתרה מזאת, מולנר – בן זוגה – השתמש באותו אביזר מוזיקלי (כינור), דבר המרמז על ציוד סטודיו משותף.
הציור משלב ריאליזם חברתי עם מסר סמוי.
דמות הליצן והאזכורים לקרנבל מצביעים על ביקורת מוסרית עדינה, בסגנון שמאזכר את ספינת השוטים של סבסטיאן ברנט (1494).
רופרת סברה כי הכללת דמות הכנר בדיוקן העצמי קשורה לפתגם ההולנדי: "ככל שהוא יותר צייר – כך הוא יותר פרוע" (מתוך קארל ואן מאנדר, Het Schilder-Boeck, 1604).
ציור זה, על כל משמעויותיו, מעיד על מודעות עצמית של לייסטר כבעלת קול מוסרי באמנות.
חבורה מוזיקלית הוא ציור ז'אנר מאת הצייר ההולנדי חרארד טר בורך, המתוארך לסביבות 1642–1644. היצירה מתארת שלישיית נגנים בחלל פנים בורגני, באווירה אינטימית של נגינה ביתית.
הנערה היושבת מול כלי המקלדת מזוהה עם חסינה טר בורך, אחותו החורגת של האמן, ולפי ההשערה מדובר בהופעתה הראשונה כמודל בציור ז'אנר.
היצירה מבליטה את עניינו המוקדם של טר בורך ביחסים שבין גברים לנשים, בעדינות פסיכולוגית, ובאמצעות ייצוג מרומז של מוזיקה כמטפורה לאהבה והרמוניה.
הציור מציג סצנה שקטה של שלושה נגנים: נערה צעירה מנגנת על וירג'ינל, צעיר אלגנטי המנגן מולה על ויולה דה גמבה, וגבר נוסף שמנגנים על ויולה דה בראצ'ו מאחוריה.
החבורה שקועה במוזיקה, בעוד משרתת הנכנסת לחדר עם סל עצים נותרת בצללים.
עיצוב הרקע כולל אח בוערת, מיטת אפיריון ופריטים מבולגנים על הרצפה, המצביעים על חלל בורגני פעיל ורווי חיים.
הקומפוזיציה והאור יוצרים אווירה אינטימית ומעודנת.
על גבי מכסה הווירגינלס מופיעה הכתובת החלקית "Musica…", המזוהה עם הביטוי הלטיני Musica Donum Dei ("המוזיקה היא מתת אלוהים").
לצידה מופיעות האותיות "So…", המזוהות עם Soli Deo Gloria ("לכבוד אלוהים לבדו").
הנגנים מנגנים ללא תווים, תוך תיאום חזותי ושמיעתי.
הקשר בין הנערה לנגן מולה מרומז באמצעות מבטים והשתקפויות אור.
המשרתת הנכנסת לחדר נושאת סל עצים ונבלעת בצללים, בניגוד לשלישיית הנגנים המוארת באור ממוקד.
השימוש בתאורה דרמטית מדגיש את ההבחנה בין מלאכה יומיומית לבין פעילות מוזיקלית בעלת ממד רוחני.
הנערה היושבת מול הווירגינלס מזוהה עם חסינה טר בורך, ילידת 1631 ואחותו החורגת של הצייר.
היא מופיעה כאן כנערה צעירה, והציור נחשב כציור הז'אנר הראשון שבו שימשה כמודל.
פניה המובחנות ניכרות בכעשרים ציורים נוספים של טר בורך.
רישום מקדים שבוצע בפחם שחור מעיד כי הסצנה צוירה מהתבוננות ישירה.
הרישום כולל קווים סכמטיים ותנוחות דומות לאלו שביצירה הסופית, עם שינויים קלים בפרטים כגון זווית הראש של חסינה, מיקום כובעו של אחד הנגנים ותנוחת המשרתת.
ברישום מופיע גם כובע נוסף על הספסל, שהושמט מן הציור.
נושא החבורה המוזיקלית היה מקובל בציור ההולנדי של התקופה, לרוב באורח עליז וצבעוני.
בניגוד לכך, טר בורח מציג סצנה שקטה, פרטית ומהורהרת.
בכך הוא נבדל מציירים כגון דירק האלס, יאן מיינזה מולנאר, פייטר קודה ואנתוני פאלהמדז, ומציע גישה אינטימית ואישית יותר לז'אנר זה.
חבורה מוזיקלית מתוארכת לסביבות 1642–1644, בשלב מוקדם יחסית בקריירה של חרארד טר בורך.
ככל הנראה, הציור נוצר לאחר שובו ממסעותיו בחו"ל ולפני שהתיישב באמסטרדם, בתקופה שבה ביקר את משפחתו בזוולה.
היצירה קרובה בסגנונה לציור חיילים משחקים קלפים מול חורבה עתיקה השמור במוזיאונים הממלכתיים בברלין, אשר גודלאוגסון מתארך לסביבות 1643. היא דומה גם לציורו החתום והמתוארך הראשון מ־1635, הייעוץ, אף הוא מוצג במוזיאונים הממלכתיים בברלין, במיוחד בשימוש הדרמטי באור ובביצוע הקפדני של השתקפויות.
הציור כולל מאפיינים שיופיעו גם ביצירתו הבשלה של טר בורך בשנות ה־50 וה־60 של המאה ה־17, כגון יכולתו יוצאת הדופן לתאר את האפקטים החזותיים של בדים – כפי שמרמז האור המוקרן על בד הסאטן השחור של שמלת הנערה – וכישרונו לתאר מפגשים מעודנים בין המינים.
הנושא של אהבה ומשיכה תחת כסות של נגינה יהפוך לנושא חוזר, כפי שנראה ביצירות כמו ביקור המחזר בגלריה הלאומית לאמנות וושינגטון (כ־1658) ומסיבת המוזיקה במוזיאון לאמנות בסינסינטי (כ־1668–1670).
בתורת החבורות, חבורה ציקלית או חבורה מעגלית היא חבורה הנוצרת על ידי איבר אחד.
כלומר כל אחד מאברי החבורה הוא חזקה של האיבר היוצר.
כל חבורה כזו היא אבלית לפי כללי חזקות וחילופיות פעולת החיבור.
חבורות ציקליות הן הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה, ולפי משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית, אפשר להרכיב מהן (באמצעות מכפלה ישרה) את החבורות האבליות הנוצרות סופית.
אם מרשים הרכבה מסובכת יותר, אפשר לבנות מן החבורות הציקליות את כל החבורות הפתירות.
חבורות ציקליות הן דוגמה למושג הכללי יותר, מודול ציקלי.
באופן פורמלי, חבורה ציקלית היא חבורה שבה קיים איבר שהחזקות שלו מרכיבות את החבורה כולה.
לאיבר כזה קוראים יוצר של החבורה.
כאשר משתמשים בכתיב כפלי, מקובל לסמן את החבורה הציקלית הנוצרת על ידי איבר בסימון .
כל שתי חבורות ציקליות בעלות אותו סדר הן איזומורפיות זו לזו, ולכן מוצדק לדבר על החבורה הציקלית מסדר n, בה' הידיעה.
כאשר רוצים להדגיש את סדר החבורה, מקובל לסמן את החבורה הציקלית הנוצרת על ידי איבר מסדר , כ- ואפילו .
החבורה האינסופית הכוללת את כל המספרים השלמים, ביחס לפעולת החיבור, היא ציקלית.
כל איבר שלה מתקבל מסיכום היוצר לעצמו, מספר סופי של פעמים.
חבורת המנה , המורכבת מן המספרים עם פעולת החיבור מודולו המספר הטבעי , היא חבורה ציקלית מסדר , כאשר גם כאן, הוא יוצר של החבורה.
בהתאם לאיזומורפיזם של חבורות ציקליות מאותו סדר, נהוג להשתמש בחבורות אלו לייצוג כל החבורות הציקליות, כך שחבורה ציקלית מסדר מיוצגת על ידי הסימון (כלומר ), וכל חבורה ציקלית אינסופית מיוצגת על ידי הסימון .
בכל חבורה, תת-החבורה הנוצרת על ידי איבר אחד (ומורכבת, על-פי ההגדרה, מכל החזקות ), היא חבורה ציקלית.
היוצר של חבורה ציקלית כמעט לעולם אינו יחיד.
החבורה הציקלית האינסופית נוצרת על ידי או על ידי .
לחבורה ציקלית מסדר יש יוצרים (כאשר היא פונקציית אוילר), שהם בדיוק החזקות עבורן זר ל-.
באופן כללי יותר, הסדר של איבר הוא , כאשר הוא המחלק המשותף המקסימלי של .
מכיוון שאוטומורפיזם מוכרח להעביר יוצר של החבורה ליוצר אחר, יש לחבורה הציקלית מסדר בדיוק אוטומורפיזמים, וניתן להבחין שחבורת האוטומורפיזמים שלה איזומורפית לחבורת אוילר .
גאוס מצא שחבורת אוילר היא ציקלית בדיוק כאשר שווה ל-2, 4, חזקה של ראשוני אי-זוגי, או פעמיים חזקה של ראשוני אי-זוגי.
המכפלה הישרה של שתי חבורות ציקליות היא חבורה ציקלית, אם ורק אם ו- זרים.
במקרה זה, כמובן, היא איזומורפית ל-.
מן המשפט היסודי של האריתמטיקה נובע שאפשר לפרק כל חבורה ציקלית למכפלה ישרה של חבורות ציקליות שכל אחת מהן מסדר חזקה של ראשוני.
בתורת החבורות, חבורה פתירה היא חבורה שיש לה סדרה נורמלית סופית שכל הגורמים בה אבליים.
מקורו של השם בתורת גלואה: אפשר לפתור משוואה פולינומית באמצעות ארבע פעולות החשבון והוצאת שורש (פתרון על ידי רדיקלים), אם ורק אם חבורת גלואה של הפולינום היא חבורה פתירה.
כל חבורה נילפוטנטית (ובפרט, כל חבורה אבלית וכל חבורת p) היא פתירה.
מאידך, חבורה פתירה נוצרת סופית שבה כל נגזרת היא נילפוטנטית ("תנאי אנגל"), היא נילפוטנטית.
אחד הרעיונות המרכזיים בתורת החבורות הוא שאפשר ללמוד חבורה באמצעות תת-חבורה נורמלית וחבורת המנה ביחס אליה.
כשממשיכים ללמוד כל אחד משני הגורמים האלה באותו אופן, מגיעים לפירוק ל"גורמי הרכב", באמצעות סדרת הרכב (ומשפט ז'ורדן-הולדר).
מגורמי ההרכב ומידע על האינטראקציות ביניהם אפשר, בעקרון, לבנות בחזרה את החבורה.
חבורה שכל גורמי ההרכב שלה אבליים, נקראת חבורה פתירה.
מאידך, לחבורה שאינה פתירה יש גורם הרכב שהוא חבורה פשוטה לא אבלית.
התכונות הבאות משמשות הגדרות שקולות לכך שהחבורה פתירה:
ציקלית, או שיש לה תת חבורה נורמלית לא טריוויאלית , כך ש- ו- שתיהן פתירות.
ציקלית או שיש לה סדרה נורמלית (לא טריוויאלית) שהגורמים שלה הם חבורות פתירות.
קיים טבעי כך ש- (כאשר תת חבורת הנגזרת מסדר .)
(כאשר החבורה סופית) יש לחבורה סדרת הרכב שגורמיה חבורות ציקליות.
אוסף החבורות הפתירות סגור לכמה פעולות יסודיות: כל תת-חבורה (אפילו אינה נורמלית) וכל חבורת מנה של חבורה פתירה הן פתירות; ולהפך, כל הרחבה של חבורות פתירות היא חבורה פתירה.
בפרט, המכפלה הישרה של חבורות פתירות היא חבורה פתירה.
למעשה, אוסף החבורות הפתירות הוא האוסף הקטן ביותר של חבורות הכולל את החבורות האבליות וסגור להרחבות.
כל החבורות שסדרן קטן מ-120 הן פתירות, פרט לחבורת התמורות הזוגיות , שהיא חבורה פשוטה מסדר 60.
ב-1968 הוכיח תומפסון (Thompson) שאם כל תת-חבורה של חבורה הנוצרת על ידי שני איברים היא פתירה, אז עצמה פתירה.
ההוכחה מבוססת על מיון החבורות הפשוטות שכל תת-חבורה שלהן הנוצרת על ידי שני איברים היא פתירה.
בחבורה אפשר להגדיר סדרה של תת-חבורות נורמליות, לפי הנוסחה , כאשר .
מכיוון ש- היא תת-חבורת הקומוטטורים של , המנות כולן אבליות, ובמקרה שהן נוצרות סופית, אפשר להציג אותן כסכום ישר של חבורות ציקליות.
אם משמיטים את המרכיבים המפותלים מתקבלת חבורה מהצורה .
הסכום נקרא דרגת הירש של החבורה.
אם לשתי חבורות פתירות נוצרות סופית יש גרפי קיילי קוואזי-איזומטריים, אז יש להן אותה דרגת הירש.
אם תת-חבורת הקומוטטורים אבלית (כלומר ), החבורה נקראת מטא-אבלית; כל חבורה כזו היא כמובן פתירה.
חבורות מטא-אבליות נוצרות סופית אינן בהכרח בעלות ייצוג סופי; עם זאת, אפשר להציג אותן כמודול נוצר סופית מעל החוג הקומוטטיבי .
חבורות מטא-אבליות נוצרות סופית הן residually finite, ומקיימות את תנאי השרשרת העולה (דבר שאינו נכון לחבורות פתירות ממחלקה גבוהה יותר).
הירש הוכיח שכל חבורה פתירה נוצרת סופית המקיימת את תנאי השרשרת העולה היא חבורה פולי-ציקלית.
"חבורת A4" הייתה קבוצה ישראלית של אמני קומיקס, בראשם דודו גבע, שיזמו, יצרו ומכרו יחד עבודותיהם בין 2003 ל-2004.
"חבורת A4" הוקמה בשנת 2003 על ידי דודו גבע, יובל כספי, ניר מטרסו, רפאל פוגל, פאולינה פוגל, אורן ג'קמן וגלנדון ואיזבלה.
רעיון היוזמים היה יצירת קבוצה פתוחה שתדפיס במסגרת עצמאית יצירות קומיקס אינדיבידואליות של מגוון אמנים, ותמכור אותן, בצורה משותפת ובפורמטים שונים, לקהל הרחב.
הקבוצה, שהוקמה ביוזמתו הראשית של גבע, קמה כאלטרנטיבה לאמנים, מחוץ למסגרות ממסדיות כמו מערכות עיתונים והוצאות ספרים.
רעיון אנטי-ממסדי זה הפתיע אמנים ומעריצים רבים של גבע, שראו בו, למרות החתרנות והעוקצנות הרבה של עבודותיו, אמן ממוסד, וזאת עקב עשרים שנות עבודותיו האחרונות, שכללו מדורי עיתונות בעיתונים כמו "הארץ" ו"מעריב" וספרים שיצר במשך השנים לבדו ועם קובי ניב.
החלטה משונה זו של גבע הייתה חלק מהשינוי האידיאולגי שעבר, בו החליט ללכת נגד העיתונים וההוצאות הגדולות.
בריאיון לעיתון "ידיעות אחרונות" אמר גבע: "העיתונות לדעתי לא מעניינת ולא תשרוד עוד הרבה זמן ולכן כדאי לברוח כבר עכשיו.
כל החוברת שאני מוציא עכשיו התחילו מקומיקס שהעורכים והמו"לים סירבו להוציא".
גבע חבר לחבריו האמנים, ביניהם יובל כספי ומשפחת פוגל, במטרה להוציא קומיקס עצמאי חסר גבולות ופשרות, במטרה לתת לאמנים, מוכרים ולא מוכרים, במה עצמאית ופתוחה: "דודו חש שיש יוצרים רבים וטובים שלא מקבלים במה בגלל לחץ של עורכים ושל הממסד" אמר יובל כספי: "וכך הוחלט להוציא את סדרת חוברות 'A4'".
לאחר יצירת הרעיון הכללי והמטרות, הוחלט על פורמט; "חוברות" קומיקס נפרדות על נייר פשוט בגודל A4 מקופל לשניים, כך שנוצרים שער, שני עמודים פנימיים ושער אחורי.
הוחלט שכל אמן המשתתף במיזם ייצור עמוד A4 מאויר משל עצמו באותו הפורמט, ועמוד זה יימכר בשקל חדש אחד בלבד.
החבורה הצליחה להמריא ולגבש קהל קוראים, רובם מסצנת הקומיקס והאמנות התל אביבית.
רוב החוברות נמכרו באירועים עצמאיים של החבורה וחלקם באירועי קומיקס שונים ברחבי הארץ.
החבורה הוציאה שש חוברות אוספים, שבכל אחת מהן התפרסמו שש-עשרה עבודות.
בשנת 2004 התפרקה החבורה מסיבות שונות.
אך יוזמיה, חבריה ומשתתפיה המשיכו לפרויקטים שונים בתחום הקומיקס והאיור; חלקם מפרסמים חומריהם במסגרות אישיות (לרוב אתרי אינטרנט) וחלקם פונים למסגרות ולחבורות קומיקס שונות: למשל לפרויקט החדשני שדודו גבע יזם בשנת 2005- פרויקט ספרות זולה: "כמעט כל המשתתפים ב'ספרות זולה' הם אנשים שהכירו בחבורת 'A4'" אמר כספי בראיון.
בפברואר 2005 נפטר גבע מהתקף לב, רוב חברי הקבוצה, אותם גילה גבע, השתתפו במחוות שונות לכבודו; ביניהן הפרויקט שיצרו ילדיו של גבע יחד עם עפרה רודנר, ומחוות עיתונאיות שונות.
בשנת 2016 התאחדה החבורה, בהרכב מרוענן שכלל שמות מהגרעין המייסד לצד משתתפים חדשים.
בשנת 2019 שבה החבורה לפעילות.
כשישים קומיקסים חדשים, שנוצרו בהתאם לפורמט המוכר וסביב הנושא "מחאה חברתית", הוצגו ונמכרו באירוע שנערך באוזן בר בתל אביב, וכלל הופעות חיות של להקות אינדי.
בהמשך קובצו הקומיקסים לאסופה שיצאה לאור בחודש יוני 2020, בספר "חבורת A4: עידן המחאה".
עורכי הספר, גלנדון ואיזבלה, כתבו בהקדמה כי "הקומיקסים בספר הזה נוצרו רגע לפני הבחירות הראשונות ב-2019. יש כיום הוכחות ברורות שאותו אירוע אי 4, גרם באופן ישיר לקריסת המדינה אל תוך לופ כיפי של מערכות בחירות חוזרות...".
חבורת אוילר (נקראת בדרך כלל חבורת ההפיכים מודולו ) היא החבורה של המספרים השלמים הזרים ל- (כלשהו), עם פעולת הכפל מודולו .
לחבורות אלה תפקיד יסודי בתורת המספרים האלמנטרית: לאונרד אוילר נעזר במבנה הזה – עוד לפני שתורת החבורות באה לעולם – כדי להוכיח את ההכללה של המשפט הקטן של פרמה, הידועה בשם "משפט אוילר".
מקובל לסמן את החבורה ב-, או (הסימון האחרון מדגיש כי זוהי חבורת ההפיכים בחוג ).
בחבורת אוילר של יש איברים, כאשר היא פונקציית אוילר.
מנקודת מבט זו, משפט אוילר הוא משפט לגראנז' המיושם לחבורת אוילר.
לדוגמה, חבורת אוילר מסדר 15 כוללת את המספרים .
קיומה של החבורה מבוסס על עובדה שהייתה ידועה כבר לאוקלידס ומופיעה בספרו "יסודות": אם שני מספרים הזרים ל-, אזי גם המכפלה זרה ל-.
במילים אחרות, הקבוצה סגורה לכפל.
בנוסף לזה, אם זר ל- אזי אלגוריתם אוקלידס המורחב מאפשר למצוא מספרים שלמים עבורם , ובחישוב מודולו מתקבל כי הוא ההופכי של (הנקרא הופכי כפלי מודולרי של ); מכאן שהקבוצה כוללת, עבור כל איבר שלה, גם איבר הפכי – ולכן היא חבורה.
חבורת אוילר מאגדת את התכונות הבסיסיות של החישוב בשאריות מודולו , ואין פלא שהיא מופיעה תדיר בשימושים של תורת המספרים; לדוגמה, בשיטת ההצפנה RSA.
בחישוב המבנה של חבורת אוילר עסק גאוס, שמצא כי החבורה ציקלית בדיוק כאשר שווה ל-1, 2, 4, חזקה של מספר ראשוני אי-זוגי, או פעמיים חזקה כזו .
על-פי ההגדרה, חבורת אוילר היא חבורת האיברים ההפיכים של החוג .
אם המספרים זרים זה לזה, אפשר להוכיח באמצעות משפט השאריות הסיני, בין אם באופן ישיר ובין אם בעזרת הזהות , את האיזומורפיזם .
מכאן יוצא שכדי לתאר את חבורת אוילר כמכפלה של חבורות ציקליות, די לתאר חבורה זו עבור שהוא חזקת ראשוני.
כאשר ראשוני, חבורת אוילר היא ציקלית.
לדוגמה, החבורה נוצרת על ידי 2. לעובדה שתמיד קיימים יוצרים קטנים יחסית של החבורה יש חשיבות רבה במבחני ראשוניות.
טענה זו, על הציקליות של , היא מקרה פרטי של משפט כללי יותר - תת-חבורה כפלית, סופית, של שדה היא תמיד ציקלית.
כדי להוכיח את הטענה, יש להבחין כי למשוואה יש (בשדה) לכל היותר פתרונות; מצד שני, אם מחלק את , אז הפולינום מחלק את הפולינום , וכך אפשר לראות שלמשוואה יש בדיוק פתרונות.
אם יסמן את מספרם של המספרים שסדרם שווה ל-, אפשר להוכיח באינדוקציה על את השוויון .
כדי לראות שחבורת אוילר ציקלית גם עבור חזקות , די להצביע על איבר מסדר (מכפלתו של איבר כזה באיבר מסדר היא מסדר ).
ואכן, כאשר אי-זוגי, האיבר הוא כזה.
במקרה של חזקת 2 החבורה אינה ציקלית, ובמקום זה (כאשר ).
את החבורה יוצרים המספרים .
כך אפשר לפרק את חבורת אוילר באופן כללי.
ומכאן שהאקספוננט של חבורה זו הוא .
במילים אחרות, לכל a שאינו מתחלק ב-2 או ב-5, מתקיים , והמספר 80 הוא הקטן ביותר בעל תכונה זו.
את האקספוננט של חבורת אוילר מסדר מסמנים ב-, בעוד שפונקציית אוילר של מתקבלת מהכפלת כל המספרים , הפונקציה שווה לכפולה המשותפת המינימלית של כל המספרים האלה (לאחר שהגורם מוחלף ב-, אם ).
במתמטיקה, חבורת גלואה האבסולוטית של שדה היא חבורת גלואה של הסגור הספרבילי מעל (הסגור הספרבילי שווה לסגור האלגברי עבור שדות ממאפיין אפס).