tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
שלטון הבעת' בעיראק נמשך עד הפלישה האמריקנית לעיראק ב-2003. מאז שהחל הפיצול בין השלוחות בשנות ה-60, וביתר שאת בשנות ה-70 וה-80 הגבול העיראקי-סורי הפך לגבול מבוצר שכמעט לא ניתן לחצות אותו, ולאורכו נבנו ביצורים שונים שהפכו אותו להיות אזור סטרילי נרחב, בעל תעלות משני צידיו ותלוליות עפר גבוהות.
המעברים בגבול צומצמו באופן כמעט מוחלט והוגדרו אזורים אסורים לגישה ברכב.
עם תחילת מלחמת עיראק ב-2003 שהחלה כחלק ממה שכינו האמריקנים "המלחמה העולמית בטרור", חלה הקלה במעברי הגבול והתאפשר מעבר בין הצדדים, אם כי הגבול נותר מבוצר ומאובטח באופן שהקשה את המעבר בפועל והפך אותו ללא נעים.
בעקבות הפלישה האמריקנית, הפך אזור הגבול בין עיראק לסוריה לבלתי יציב ותקריות צבאיות רבות התרחשו באזור בין הצדדים הלוחמים.
מצב זה אף הוחרף משנת 2011 שבה פרצה מלחמת האזרחים המתמשכת בסוריה ולאחר התבססותו של ארגון המדינה האסלאמית (דאעש) בצד הסורי של הגבול ובאזורים נרחבים נוספים.
מצב זה גרם לסגירתם של חלק מהמעברים שנפתחו לאורך הגבול בידי ממשלת עיראק, שביקשה להגן על עצמה מהכאוס שהתחולל בסוריה.
במשך מספר שנים אזור הגבול נשלט בידי ארגון הטרור שפלש לעיראק והשתלט על צידו השני של הגבול.
מיד עם חציית ביצורי הגבול וכניסתם לעיראק, החלו אנשי ארגון דאעש במבצע "ריסוק הגבול" (ער' – כּסר אל-חודוד) שמטרתו הייתה פריצת הגבול ופתיחתו לתנועה חופשית של נתיני הח'ליפות.
באמצעות מבצע זה השיג הארגון שליטה על הגבול משני צדדיו.
המקטע הצפוני של הגבול, שאחריו מתחיל הגבול עם טורקיה נותר בשליטת רשויות החבל הכורדי.
ארגון המדינה האסלאמית איבד את השליטה על הגבול לאחר שהובס בשורת קרבות שניהלו מולו כוחות עיראקיים וכורדיים בתמיכת כוחות הקואליציה הבין-לאומית בשנת 2017, ובכלל זאת גם את השליטה על ערי הבירה של הח'ליפות, במוסול ובא-רקה.
במרץ 2019, הוכרז כי הארגון הובס גם בסוריה ובשנה זו חוסל מנהיג הארגון, אבו בכּר אל-בגדאדי.
הפיכתו של אזור הגבול לרווי באירועים ביטחוניים והעובדה כי פועלים בו שחקנים מדינתיים וגם א-מדינתיים טשטשה את הקווים הרשמיים בין מוסדות פורמליים ובלתי פורמליים ובעצם את השליטה בשטח לאורך הגבול, עליה מתחרים מוסדות המדינה עם מיליציות לא-מדינתיות.
לאורך הגבול שבין עיראק לסוריה קיימים שלושה מעברי גבול רשמיים ומעבר ארעי אחד:
מעבר הגבול רבּיעה, על כביש א-שדאדה – מוסול, הוא המעבר הרשמי הצפוני ביותר.
מעבר הגבול אל-קאים בין אל-בוכמאל בסוריה, לאל-קאים בעיראק.
המעבר נסגר בעקבות מלחמת האזרחים המתמשכת בסוריה, אך נפתח מחדש ב-30 בספטמבר 2019 לאחר שהיה סגור משך שמונה שנים בעקבות מלחמת האזרחים בסוריה.
מאז פתיחתו מחדש של מעבר זה, מחזיקה ומנהלת בשליחות איראן מיליציית "גדודי חזבאללה" הנתמכת על-ידי איראן, את קו הגבול בצד העיראקי של הגבול.
לטענת גורמי מודיעין אמריקניים וישראליים, דריסת הרגל האיראנית הבאה לידי ביטוי בנוכחותו של כוח משמעותי הפועל תחת חסותה במעבר הגבול, הפכה את המעבר לנקודת השפעה ומפגש בין איראן לבעלות בריתה.
במשך שני העשורים הראשונים של המאה ה-21, המעבר הפך לאזור בו מתנהל חלק מהעימות בין כוחות איראניים לכוחות אמריקניים וישראליים, בעיקר באמצעות התקפות אוויריות.
מעבר הגבול אל-וליד, הידוע בסוריה כמעבר א-תנף, ממקום במחוז א-רוטבה סמוך למשולש הגבולות עיראק-סוריה-ירדן לנקודה המערבית ביותר בעיראק ולנקודה הצפון-מזרחית ביותר של ירדן, באזור מדברי במחוז א-רוטבה ובמרחק של כ-150 ק"מ מהעייר א-רוטבה.
הוא משמש כמעבר הגבול היחיד על הכביש המהיר בין דמשק לבגדאד.
מחסום א-תנף בצד הסורי של הגבול, במחוז חומס הופצץ והוא לא קיים עוד.
משני צדי הגבול קיימים מחנות פליטים פלסטיניים: מחנה אל-וליד בצד העיראקי ומחנה א-תנף בצד הסורי.
המעבר נכבש על-ידי המדינה האסלאמית במאי 2015 אך השליטה עליו הושבה לעיראק במרץ 2016.
מעבר הגבול סימאלקא (פישח'אבור) הוא גשר צף החוצה את נהר החידקל.
הגשר הוקם על-ידי ממשלת חבל כורדיסטן העיראקית האוטונומית ברוב המכריע של תחומי המנהל, אבל פורמלית אינה אמורה לנהל את מעברי הגבול.
לכן, פתיחת מעבר הגבול על-ידי ממשלת החבל היא צעד חשוב מאוד אך מרחיק לכת, ומדגישה את כוח המיקוח של ממשלת החבל אל מול הממשל בבגדאד באותה העת.
המעבר נפתח במהלך מלחמת האזרחים הסורית כקילומטר אחד ממשולש הגבולות עיראק-סוריה-טורקי.
המעבר לא נפתח כמעבר גבול עיראקי-סורי, אלא כמעבר גבול בין חבל כורדי אוטונומי אחד בעיראק, לחבל כורדי אוטונומי אחר, בסוריה.
למעבר המאולתר הזה הייתה חשיבות רבה בשנים של מלחמת האזרחים בסוריה, כאשר מאות אלפי פליטים עברו עליו מצד לצד, לרבות בתקופה בה השתלט ארגון הטרור דאעש על חלקים נרחבים גם בעיראק.
גבול ישראל–קפריסין הוא חלק מגבולות מדינת ישראל.
גבול זה מהווה קו הגבול הימי היחיד של ישראל עם מדינה שאיננה גובלת בה יבשתית.
במהלך העשור הראשון של המאה ה-21 פעלו חברות גז רבות בישראל לעיכוב חקיקה בכנסת, שהייתה אמורה לעגן בחוק את הגבולות הימיים של ישראל בים התיכון.
גורם נוסף, שעיכב את קביעת הגבולות בין ישראל לקפריסין, היה סכסוך גבולות ימי ביחסי ישראל–לבנון, סכסוך שנמשך עד 2022, והסתיים לאחר חתימת הסכם הגבול הימי בין ישראל ללבנון.
ב-17 בדצמבר 2010, לאחר שנים של משא ומתן בנושא, חתמו שר התשתיות עוזי לנדאו ושר החוץ הקפריסאי מרקוס קיפרנאו על הסכם, בו נקבע באופן רשמי קו הגבול הימי בין המדינות.
במסגרת ההסכם התחייבו המדינות לעבוד בשיתוף פעולה זו עם זו לפיתוח מאגרי גז טבעי חוצי גבולות, אם יתגלו כאלו.
לבנון ראתה בהסכם זה הפרה של זכויותיה הריבוניות והכלכליות, ופנתה בעקבות כך במכתב למזכיר הכללי של האו"ם.
עד לחתימת ההסכם, לא הוגדר גבול מים כלכליים רשמי בין ישראל לקפריסין, וקפריסין החליטה לקבוע גבול באופן חד-צדדי, כ-210 קילומטרים מהחופים הדרום מזרחיים של קפריסין (בערך באמצע המרחק שבין ישראל לקפריסין), ואף החלה לשווק את השטחים באזור ליזמי נפט וגז.
עם זאת, החל מ-2011 הייתה מחלוקת קטנה בין ישראל לקפריסין לגבי החלוקה במאגר הגז אפרודיטה-ישי, שרובו במים הכלכליים של קפריסין ומיעוטו, כ-2%-10%, במים הכלכליים של ישראל.
בשנים הראשונות לאחר מציאת המאגר לא הייתה כדאות כלכלית בפיתוחו בשל הצריכה הנמוכה של גז כמקור אנרגיה בקפריסין, אך בעקבות העלייה הגדולה בצריכת גז בקפריסין לאורך השנים גדלה הכדאיות הכלכלית.
ב-2019 העניקה ממשלת קפריסין זיכיונות לתפעול המאגר, אך ישראל הודיעה כי היא לא מתכוונת לוותר על חלקה במאגר.
ב־2021 הסכימו המדינות לאפשר לחברות המחזיקות בזיכיון הישראלי ובזיכיון הקפריסאי להגיע להסכמות ביניהן.
כיוון שהחברות לא הגיעו להסכמות בנושא, החליטה שרת האנרגיה, קארין אלהרר על החזרת המשא ומתן לדרג המדינות עצמן.
בספטמבר 2022, במהלך המשא ומתן על הסכם הגבול הימי בין ישראל ללבנון נפגשו אלהרר ומנכ"ל משרד האנרגיה, ליאור שילת עם שרת האנרגיה הקפריסאית נטשה פילידס, שם דנו השלושה לגבי מאגר הגז והזכויות בו.
גבול מצרים – רצועת עזה הוא גבול באורך 12 קילומטרים בין רצועת עזה למצרים.
ישנו אזור חיץ לאורך הגבול שאורכו כ-14 ק"מ.
מעבר רפיח הוא נקודת המעבר היחידה בין מצרים לרצועת עזה.
הוא ממוקם על הגבול הבינלאומי שאושר בהסכם השלום בין מצרים לישראל משנת 1979. במעבר רפיח מאושר בעיקר מעבר של אנשים.
מעבר סחורות חייב להתבצע במעבר כרם שלום שבשליטת ישראל, או במעבר סלאח א-דין.
ב-1 באוקטובר 1906 הוסכם קו הגבול בין ארץ ישראל בשלטון העות'מאני לבין מצרים שנשלטה אז על ידי הבריטים, בין טאבה לרפיח.
עם תום מלחמת העולם הראשונה עבר ארץ ישראל לשלטון המנדט הבריטי, והגבול נשמר כדי לשלוט בתנועת הבדואים המקומיים.
בשנת 1948 נכבשה עזה על ידי מצרים.
כתוצאה מכך, היה הגבול בין רצועת עזה למצרים עצמה לגבול מינהלי בלבד וללא ביקורת גבולות.
ב-1967 במהלך מלחמת ששת הימים נכבשו חצי האי סיני ורצועת עזה ועברו מידי מצרים לישראל.
ב-1979 נחתם הסכם שלום בין ישראל ומצרים שהחזיר את חצי האי סיני, הגובל ברצועת עזה, לשליטה מצרית.
כחלק מאותו הסכם, הוקמה אזור חיץ בין רצועת עזה למצרים ברוחב 100 מטר, הידוע בשם ציר פילדלפי.
בהסכם השלום, גבול עזה-מצרים שהוקם מחדש עבר דרך העיר רפיח.
כשישראל נסוגה מסיני ב-1982, חולקה רפיח לחלקים מצריים ופלסטינים, תוך פיצול משפחות, שהופרדו על ידי מחסומי תיל.
ציר פילדלפי הוא רצועת חיץ בין רצועת עזה למצרים, שהוקמה עם העברת סיני מישראל למצרים ב-1982 בעקבות הסכם השלום בין ישראל למצרים, והייתה בשליטה ביטחונית ישראלית גם לאחר הסכמי אוסלו, עד ספטמבר 2005.
הקמת הציר והגדר לאורכו החלה בינואר 1982. עם תחילת העבודות, העלה שר הביטחון אריאל שרון הצעה של הרגע האחרון, לחילופי שטחים בין ישראל למצרים כך ששכונת קנדה תישאר בצד הישראלי.
בהסכם השלום נקבע שתושבי השכונה יעברו לצד הישראלי לשכונה חדשה ב"תל סולטאן" בצפון מערב רפיח.
עבודות ההקמה נמשכו עד אפריל 1983, במהלכן פונו ונהרסו 330 בתים, נוצרה רצועה ברוחב 40 מטר, נבנתה גדר מערכת אלקטרונית והוקם מעבר רפיח שסביבו ארבע גדרות.
במהלך האינתיפאדה השנייה השקיע צה"ל מאמצים בניסיון לחשוף את המנהרות מתחת לציר, אך הצלחתו הייתה מוגבלת.
ציר פילדלפי הפך לזירת קרב שבה ירו מחבלים פלסטינים מאות טילים ורקטות נ"ט, הפעילו מאות מטענים וביצעו אלפי אירועי ירי לעבר כוחות ומוצבי צה"ל בציר.
בתגובה ולשם הרתעה, הרס צה"ל מאות בתים לאורך הציר, הקים שני מוצבים חדשים לאורכו ובקטע מסוים אף בנה חומת ברזל בגובה 10 מטר שנודעה בשם "קיר השיגומים".
מטרת החומה הייתה להגן על החיילים השומרים על הציר וכן למנוע חפירת מנהרות בעומק של עד 20 מטרים.
באסון הנגמ"שים, אחד האירועים הקשים במסגרת הלחימה בציר, נפגע נגמ"ש של צה"ל שנסע בציר ועסק באיתור מנהרות, ונהרגו חמישה חיילים.
בתגובה פתח צה"ל במבצע קשת בענן למלחמה בתשתית הטרור של רפיח.
במבצע נהרגו בצד הפלסטיני 41 מחבלים ו-12 אזרחים, אותרו שלוש מנהרות ונהרסו 56 בתים.
ב-12 בדצמבר 2004 הושמד כליל המוצב הצפוני אשר חצץ בין מעבר רפיח לשטח הרשות הפלסטינית (JVT) באמצעות מנהרת תופת שחפרו מחבלים פלסטינים.
חמישה חיילים מגדוד הסיור הבדואי נהרגו באירוע.
מאז ירדה כמות תקריות האש באזור, אם כי אירעו מספר פיגועים כנגד חיילים ואזרחים שעבדו על תחזוקת מערכת ההגנה על הציר.
תוכנית צבאית לחפירת חפיר לאורך הגבול בוטלה ב-2005 לאחר שהתברר כי היא תידחה ככל הנראה על ידי היועץ המשפטי לממשלה, מני מזוז, משום שנדרשה להרוס 3,000 בתים נוספים ברפיח.
במקום זאת, החל צה"ל בבניית חומת בטון בגובה 7–9 מטר (כ-20–30 רגל) לאורך הגבול ברצועת אבטחה ברוחב 60–100 מטר (כ-200–300 רגל), המצוידת בחיישנים אלקטרוניים ובטון תת-קרקעי ומחסומים למניעת חפירת מנהרות.
גדר ההפרדה בין מצרים לרצועת עזה
בדצמבר 2009 החלה מצרים, בסיוע ארצות הברית, בבניית גדר ההפרדה בין מצרים לרצועת עזה לאורך גבול עזה, המורכבת מקיר פלדה.
באוקטובר 2014 הודיעה מצרים כי היא מתכננת להרחיב את אזור החיץ בין עזה למצרים, בעקבות מתקפת טרור מעזה שבה נהרגו 31 חיילים מצרים.
החיץ נוצר "במהלך שנועד לעצור את המעבר של כלי נשק וחמושים דרך מנהרות הברחה חוצות גבולות, אך גם על מנת להפעיל לחץ רב יותר על חמאס".
הרשויות המצריות הורו לתושבים המתגוררים לאורך הגבול המזרחי של המדינה לפנות את בתיהם לפני הריסתם.
אזור החיץ היה אמור לכלול תעלות מלאות במים כדי לסכל חפירת מנהרות.
רוחבו היה אמור להיות 500 מטרים ולהימשך לאורך הגבול באורך 13 ק"מ.
בעקבות הודעתו של ראש ממשלת מצרים, אבראהים מחלב, כי כל התושבים שלא יסכימו לעבור יסולקו בכוח מבתיהם, עזבו תושבים רבים את האזור.
ב-17 בנובמבר 2014 הודיעה מצרים כי אזור החיץ יוכפל לקילומטר אחד, בשל המנהרות הארוכות מהצפוי שהתגלו.
יו"ר הרשות הפלסטינית אבו מאזן הסכים עם המבצע, וטען שמנהרות ההברחה מתחת לגבול יצרו אלפי מיליונרים, ושימשו להברחת נשק, סמים, כסף מזומן וציוד לזיוף מסמכים.
אבו מאזן המליץ על איטום או הרס של המנהרות, באמצעות הצפתן במי ים ולאחר מכן ענישה של בעלי הבתים שבהם נמצאו כניסות למנהרות, באמצעות הריסת אותם בתים.
חלק מהמנהרות שהתגלו היו באורך של יותר מקילומטר אחד, והכילו מערכות תאורה, אוורור וטלפונייה.
בפברואר 2015, בתגובה לפעילות המצרית, ערף דאעש את ראשם של עשרה גברים שלטענתם ריגלו עבור המוסד והצבא המצרי.
ביוני 2015 השלימה מצרים את חפירת התעלה במעבר רפיח, ברוחב של 20 מטר ובעומק של 10 מטר.
היא ממוקמת שני קילומטרים מהגבול עם עזה מחוץ לעיר רפיח ומהווה חלק מאזור החיץ המוגדל.
ב-11 בספטמבר 2015 החל צבא מצרים להזרים מים מהים התיכון למנהרות.
לדברי נשיא מצרים עבד אל-פתאח א-סיסי, הצפה של המנהרות בוצעה בתיאום עם הרשות הפלסטינית.
מספר פלגים פלסטיניים גינו את הצפת הגבול במי ים, משום שהיא מהווה איום חמור על הסביבה ומי התהום.
הוא שוכן על הגבול הבינלאומי שאושר על ידי הסכם השלום בין מצרים לישראל משנת 1979 והנסיגה הישראלית מחצי האי סיני ב-1982. מעבר רפיח יכול לשמש רק למעבר אנשים.
כל תנועת הסחורות חייבת להתבצע במעבר כרם שלום בגבול ישראל – רצועת עזה, או דרך מעבר סלאח א-דין.
במתמטיקה, גבול עליון וגבול תחתון הם שני מושגים הקשורים למושג הגבול.
הגבול העליון מסומן לרוב ב- או ב-, והגבול התחתון מסומן לרוב ב- או ב-.
הגבול העליון והתחתון מקבלים משמעות שונה כתלות בהקשר שבו הם באים לידי ביטוי.
כך למשל, עבור סדרות, הגבול העליון הוא הערך הגבוה ביותר שסדרה יכולה לשאוף אליו והגבול התחתון הוא הערך הנמוך ביותר שסדרה יכולה לשאוף אליו.
מנגד, עבור פונקציות, הגבול העליון והגבול התחתון בנקודה הם הערכים אליהם הסופרמום והאינפימום של סדרת סביבות הולכת וקטנה שואפים אליהם.
מונחים אלו שימושיים מאוד במגוון תחומים במתמטיקה, בהם אנליזה מתמטית, תורת הקבוצות, תורת המידה, תורת ההסתברות ועוד.
מושג הגבול הוא מושג מרכזי וחשוב במתמטיקה עם שימושים רבים בכל תחומי המתמטיקה השונים.
עם זאת, עבור סדרות למשל, הגבול לא תמיד קיים.
כך למשל הסדרה איננה מתכנסת ולכן הגבול אינו מוגדר עבורה.
עם זאת, אפשר לנתח את התנהגותה של הפונקציה ככל ש- שואף לאינסוף.
בפרט, אפשר להראות שהערכים החיוביים של הסדרה שואפים ל- והערכים השליליים שלה שואפים .
הגבול העליון והגבול התחתון יכולים לייצג תובנה זו.
מעבר לכך, בניגוד למונח הגבול שאינו מוגדר היטב תמיד לכל סדרה שהיא, הגבול העליון והגבול התחתון מוגדרים תמיד כאשר הסדרה נמצאת על הישר הממשי המורחב (כלומר: כולל ).
בערך זה נסמן ב-, ו- את קבוצת המספרים הטבעיים, הממשיים והממשיים המורחבים (קבוצת הממשיים בתוספת אינסוף ומינוס אינסוף).
הסימונים ו- מייצגים סופרמום ואינפימום בהתאמה.
תהי סדרה של מספרים ממשיים ויהי .
הוא הגבול החלקי הגדול ביותר.
אם מקיים את אחד התנאים השקולים הללו, אזי אומרים ש- הוא הגבול העליון של ומסמנים אותו ב-.
ניתן להוכיח כי הגבול העליון קיים תמיד במובן הרחב (כלומר, הוא יכול להיות גם אינסוף או מינוס אינסוף) וכי הוא יחיד.
הוא הגבול החלקי הקטן ביותר.
אם מקיים את אחד התנאים השקולים הללו, אזי אומרים ש- הוא הגבול התחתון של ומסמנים אותו ב-.
ניתן להוכיח כי הגבול התחתון קיים תמיד במובן הרחב וכי הוא יחיד.
ניתן להשתמש בגבול העליון והגבול התחתון כדי לספק הגדרה אלטרנטיבית למושג הגבול:
עבור סדרה כלשהי הסדרה מתכנסת אם ורק אם .
במקרה זה מגדירים את הגבול של הסדרה להיות .
כמו כן, יהי מספר ממשי כלשהו.
אם אז קיים כך שלכל מתקיים ש-.
אם אז לכל קיים כך ש-.
יהי ו- סדרות של מספרים ממשיים.
אם ו- הן סדרות אי-שליליות, מתקיים ש- ו-.
יהי ו- סדרות של מספרים ממשיים כך ש- קיים ושווה ל-.
עבור הסדרה מההקדמה , מתקיים ש- ו-.
בהינתן שני מספרים טבעיים זרים זה לזה, ניתן להסתכל על הסדרה .
משפט אוילר מוכיח כי .
תהי קבוצה פתוחה ופונקציה .
כמו כן, ניתן להגדיר את הגבול העליון והגבול כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף או למינוס אינסוף:
התכונות של הגבול העליון והגבול התחתון של פונקציה אנלוגיות לתכונות עבור סדרות המופיעות לעיל.
ניתן להשתמש במושגים של גבול עליון וגבול תחתון של פונקציה בנקודה כדי לספר הגדרה אלטרנטיבית למושג הרציפות:
עבור קבוצה פתוחה , פונקציה ו-, ניתן להראות ש- רציפה ב- אם ורק אם .
יתרה מזאת, ניתן להשתמש בגבול העליון ובגבול התחתון כדי להגדיר סוג חלש שיותר של רציפות שנקרא רציפות למחצה:
תקרא רציפה למחצה מלמעלה ב- אם ורק אם .
תקרא רציפה למחצה מלמטה ב- אם ורק אם .
עבור הפונקציה המוגדרת על-ידי מתקיים כי ו-.
יהי תחום כלשהו ותהי סדרה של פונקציות כך ש- לכל .
מגדירים זוג פונקציות ו- כך שלכל :
הפונקציות ו- נקראות הגבול העליון של והגבול התחתון של בהתאמה.
מכיוון שהגבול העליון והגבול התחתון מוגדרים סדרתית נקודה-נקודה, הן מקיימות ככלל את כל התכונות האריתמטיות שצוינו לעיל.
תכונה חשובה נוספת של סדרות של פונקציות נוגעת למרחבי מידה:
אם היא סיגמא-אלגברה על , היא מידה ביחס לסיגמא אלגברה זו, וכל הפונקציות מדידות לפי , אזי גם ו- הן פונקציות מדידות לפי .
נתונה סדרת פונקציות כך שלכל ולכל מתקיים ש:
ניתן לראות כי כל הפונקציה בסדרה מדידות לפי מידת לבג וכן גם הגבול העליון והתחתון.
תהי קבוצה כלשהי וסדרה של תתי-קבוצות שלה .
אזי, מגדירים את הגבול העליון והגבול התחתון של הסדרה באופן הבא:
ניתן גם להגדיר את הגבול העליון והגבול התחתון של סדרת קבוצות באופן השקול הבא:
אם ורק אם לכל קיים כך ש-.
אם ורק אם קיים כך שלכל מתקיים ש-.
אם מתקיים ש אז אומרים שהסדרה מתכנסת וש-.
יהי ו- סדרות של קבוצות תחת קבוצה כלשהי.
( מייצג את המשלים ל-, כלומר )
עבור , אם הגבול קיים ושווה ל-, אזי ו-.
בפרט, עבור , אם הגבולות ו- קיימים ושווים ל- ול- בהתאמה, אזי גם הגבולות ו- קיימים ושווים ל- ו- בהתאמה.
נתונה סדרת הקטעים הסגורים .
קצות הקטעים הללו מתכנסים ל-1 ול-2, אך מבצעים תנודות למעלה ולמטה לסירוגין סביב כל קצה שכזה.
עבור כל אפשר להראות כי וגם .
עם זאת, הדבר איננו נכון עבור הקצוות 1 ו-2. למעשה, הוא הקטע הפתוח בעוד הוא הקטע הסגור .
הגבול העליון והגבול התחתון באים לידי שימוש במגוון רחב של למות ומשפטים בתחומים מתמטיים רבים.
כך למשל, למספר מבחני התכנסות של סדרות ושל טורים ישנן גרסאות חזקות העושות שימוש בגבול העליון והגבול התחתון במקום הגבול הסטנדרטי.
גרסאות אלו של המבחנים הללו מאפשרות להוכיח התכנסות במקרים שבהם המבחן הסטנדרטי נכשל.
דוגמאות למבחנים כאלו הם מבחן המנה ומבחן השורש.
מספר משפטים חשובים נסובים סביב הגבול העליון והתחתון, למשל משפט קושי-אדמר והלמה של פאטו באנליזה, או חוק האפס-אחד של קולמוגורוב והלמה של בורל-קנטלי בהסתברות.
ככלי בהוכחת משפטים, ניתן להשתמש בגבול העליון והתחתון להוכיח משפטים שונים כגון הלמה של פקטה והמשפט הארגודי של קינגמן .
גְּבוּלוֹת הוא קיבוץ בנגב המערבי, משתייך לקיבוץ הארצי.
מייסדיו הגיעו מבולגריה, מרומניה ומטורקיה.
הוקם כראשון משלושת המצפים בנגב (יחד עם רביבים ובית אשל) בשנת 1943, על ידי חברי קיבוץ ארץ-ישראלי ג' של תנועת השומר הצעיר, שעברו לאחר מכן להתיישב בחצור.
קיבוץ גבולות, השוכן בצפון מערב הנגב, באזור חבל אשכול (חבל הבשור), עלה לקרקע ב-12 במאי 1943 כתחנת ניסיון חקלאית (מצפה) - הראשון משלושת המצפים בנגב.
מצפה גבולות שימש בסיס יציאה במבצע להקמת 11 הנקודות במוצאי יום כיפור 1946, ממנו יצאו מקימי הקיבוצים אורים ונירים.
חברי הקיבוץ הפעילו מאפייה אזורית אשר סיפקה לחם ליישובים בעת המצור על הנגב.
מפעל ליטוש יהלומים הוקם ב-1949 בקיבוץ גבולות, לאחר מלחמת העצמאות, כפתרון פרנסה לחברי הקיבוץ.
המפעל פעל במתחם המצפה והיה אחד מהתשתיות הראשונות שפותחו במקום לאחר שהמקום שימש כבסיס פיקודי של הפלמ"ח במהלך המלחמה, אבל כעבור כמה שנים נסגר המפעל ממחסור בכוח אדם.
כיום המפעל משוחזר באתר מצפה גבולות.
לאחר מלחמת העצמאות הועתק היישוב למקומו הנוכחי, כקילומטר צפונית מזרחית למצפה.
כיום מצפה גבולות הוא אתר לאומי המקיים ביקורים ופעילויות חינוכיות חווייתיות.
הקיבוץ הוקם בשנת 1946 על ידי חברי גרעין "אלמגור".
באוגוסט 1947 הותקף טנדר של הקיבוץ על ידי ערבים.
אחד מחברי הקיבוץ, בנימין רוזנברג, נרצח, ושלושה אחרים נפצעו מדקירות סכין.
בשנים 2004-2005 עבר הקיבוץ הפרטה בגלל קשיים כלכליים ובעקבותיה הגיעו חברים חדשים ליישוב, נבנה הרחבה קהילתית והיישוב שגשג.
בשנים האחרונות קיבוץ גבולות עבר שורה של שינויים מהותיים, הנהיג "שכר דיפרנציאלי" והפריט את רוב השירותים הניתנים לחברים.
עם זאת, הקיבוץ מקיים מסגרות משותפות (חינוך, תרבות וחגים) וכמו כן מערכת סולידרית לעזרה הדדית (רשת ביטחון).
לקיבוץ מערכת חינוך מלאה (מלידה ועד י"ב), הכוללת:
הגיל הרך: בית תינוקות, עבור תינוקות עד שנה וחצי; פעוטון-גן צעיר "אמנון ותמר", מגיל שנה וחצי עד שלוש; גן נרקיס: גן מעורב, מגיל 3 שנים ועד 5, כולל הכנה לקראת כיתה א' - גן טרום חובה וחובה.
גיל בית הספר יסודי: ילדי גבולות לומדים בבית ספר הקיבוצי "ניצני אשכול", ומתחנכים ב"בית אשלים", מרכז פעילות לגילאי 6 - 12.
גיל תיכון: רוב בגבולות לומד בבית החינוך המשותף "נופי הבשור", ומעבר לכך בקיבוץ קיימת
מערכת לפעילות בשעות אחה"צ וחינוך בלתי פורמלי - "נעורים גבולות".
פסטיבל המוזיקה האלטרנטיבית אינדינגב נערך במצפה גבולות מדי שנה, מאז 2007.
קיבוץ גבולות לא הותקף ב-7 באוקטובר.
רוב התושבים פונו למלונות ברחבי הארץ, והחלק שנשאר סייע במאמץ המלחמתי — שימש כמרכז לוגיסטי, מקום לכלי עזרה לבית הספר האזורי ולתפקידים נוספים.
מאחר שהקיבוץ ממוקם בסמוך לעוטף, עברו דרכו חיילים ואספקה רבים.
נכון לשנת 2025, הקיבוץ משגשג ומציע מגוון תחומים ושירותים ייחודיים; רבים שבו לחיים בקיבוץ — לדוגמה, פרויקטים כמו בית הספר.
מעמד הקיבוץ והעתירה לבג"ץ: יחד עם קיבוצים נוספים במועצה האזורית אשכול (אורים וצאלים), גבולות הגיש עתירה לבג"ץ נגד המדינה.
העתירה דרשה להכיר בתושבי הקיבוץ כמפונים, להעניק להם את מלוא הזכאויות הכלכליות שניתנו למפונים מיישובים אחרים, ולהכליל את הקיבוץ במסגרת יישובי "חבל תקומה", למרות שהוא ממוקם מעבר לקו ה-7 ק"מ מהגבול(העוטף).
בחשבון אינפיניטסימלי, גבול של סדרה ממשית הוא מספר, שאיברי הסדרה הולכים ומתקרבים אליו כך שהמרחק בין האיברים לגבול קטן כרצוננו.
מושג זה מהווה אבן פינה באנליזה המתמטית, בכך שהוא מאפשר לנסח ולחקור בכלים סופיים את ההתנהגות של סדרות, פונקציות ותהליכים אינסופיים אחרים.
סדרה שיש לה גבול נקראת סדרה מתכנסת.
סדרה שאין לה גבול (אינה מתכנסת) נקראת סדרה מתבדרת.
באופן כללי יותר, אפשר להגדיר גבול לסדרה גם אם אבריה אינם דווקא מספרים ממשיים: ראו גבול בטופולוגיה.
את הטענה "הגבול של הסדרה הוא " ניתן לכתוב באופן או (ולפעמים גם ).
הצירוף lim הוא קיצור של המילה הלטינית limes שפירושה "גבול".
בסימון , האות מציינת את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו- הוא אינדקס, המציין את מספרו הסידורי של האיבר בסדרה.
הסמל מסמל את מושג האינסוף.
החץ מסמל שאיפה של הביטוי המצוין בתחילת החץ לזה שבסופו.
כך ש מציין ש- שואף לאינסוף.
אינטואיטיבית, מספר ממשי הוא גבול של סדרת מספרים אם אברי הסדרה הולכים ומתקרבים אליו.
עם זאת הגדרה זו מעורפלת ואינה שימושית.
כדי לתת הגדרה מדויקת יותר יש להשתמש במושגים של סביבה ומרחק, שיחולו על אברי הסדרה ממקום מסוים ואילך.
קבוצת המספרים שמרחקם מערך נתון אינו עולה על גודל קבוע (כלשהו), נקראת סביבה של .
בהקשר זה, מקובל להשתמש באות היוונית אפסילון () כדי לייצג את רדיוס הסביבה.
רדיוס הסביבה הוא מספר חיובי (), אשר יכול להיות קטן כרצוננו.
סביבה זו כוללת את כל המספרים המקיימים את התנאי .
במסגרת מושגים אלו ניתן להגדיר את אברי הסדרה ה"קרובים" אל הגבול בצורה מדויקת יותר כנמצאים בסביבה של הגבול, כך שהמרחק של מ- יהיה קטן מ-; כלומר .
משום ש- יכול להיות קטן כרצוננו, על אברי הסדרה לענות על תנאי זה עבור כל .
הסימון המתמטי של "לכל" הוא .
על כן, נכתוב את התנאי "לכל רדיוס סביבה חיובי אברי הסדרה נמצאים בסביבת הגבול" בצורה הבאה: .
עם זאת, משום שהגדרנו את אברי הסדרה כ"הולכים ומתקרבים" לגבול ולא כ"קרובים" אליו, אין צורך שכל אברי הסדרה יהיו בסביבת הגבול כדי לענות להגדרה זו.
כלומר, מספיק שכמעט כל האיברים יהיו בסביבת הגבול, החל ממקום מסוים שאותו נהוג לסמן באות גדולה או .
הגדרה מדויקת של מושג הגבול תדרוש כי עבור כל סביבה של הגבול, ניתן למצוא מקום מסוים המסומן באות גדולה או , שהחל ממנו כל אברי הסדרה מצויים בתוך סביבה זו.
דהיינו, עבור כל מרחק "קטן כרצוננו" מהגבול, קיים מספר טבעי (שיכול להיות גדול מאוד, ותלוי בבחירה של ), כך שכל איברי הסדרה מעבר לאותו מספר נמצאים בתוך מרחק זה מהגבול (הסימן של "קיים" הוא ).
כיוון ש- עד יש רק מספר סופי של אינדקסים וממנו והלאה יש מספר אינסופי של אינדקסים.
לכן אפשר לומר שעבור כל , כמעט כל אברי הסדרה נמצאים במרחק שקטן מ- מהגבול - כלומר לא משנה עד כמה נצמצם את הסביבה של הגבול, עדיין כמעט כל הסדרה תישאר בתוך אותה סביבה.
הגדרה: תהא סדרה של מספרים ממשיים.
נאמר על הסדרה שהיא מתכנסת למספר הממשי , או ש- הוא הגבול של הסדרה, ונסמן זאת או בקיצור אם לכל מספר ממשי (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי כך שלכל המקיים מתקיים .
איתור המספר הראשון שממנו והלאה אברי הסדרה נמצאים בסביבת הגבול
יש לשים לב שהאינדקס של המספר תלוי ב -.
ככל ש יהיה קטן יותר, המתאים לו, עשוי להיות גדול יותר.
לעיתים מסמנים או במקום כדי להדגיש עובדה זו.
כמו כן, יש לזכור שהאינדקס הוא מספר טבעי ().
כלומר, על פי הגדרת הגבול עליו להיות מספר שלם חיובי.
לעיתים במהלך החישוב או ההוכחה של גבול של סדרה מסוימת יתקבל מספר ממשי חיובי שאינו שלם.
במקרה זה האינדקס יהיה הערך השלם העליון של המספר שהתקבל בחישוב.
שכן משום שהוא גדול יותר מהמספר שהתקבל, גם ממנו והלאה אברי הסדרה יתכנסו לעבר הגבול.
כדי להדגיש שמדובר בערך העליון (פונקציית התקרה) הוא יסומן כך: .
תנאי קושי הוא אפיון שקול לכך שסדרה ממשית מתכנסת.
סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה שהמרחק בין כל שני איברים שגדולים מאינדקס כלשהו, קטן כרצוננו.
נאמר על הסדרה שהיא מקיימת את תנאי קושי אם לכל מספר ממשי (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי כך שלכל המקיימים מתקיים .
אומרים שסדרה שואפת לאינסוף (או שאינסוף הוא גבול הסדרה), אם לכל מספר ממשי קיים מספר טבעי כך שלכל המקיים מתקיים .
ההגדרה של שאיפה למינוס אינסוף דומה.
כך למשל סדרה כמו שואפת לאינסוף, כי ה"זנב" שלה גדול מכל מספר ממשי שנרצה, אולם הסדרה אינה שואפת לאינסוף, כי היא אמנם גדולה כרצוננו, אולם לא כל איברי ה"זנב" גדולים כרצוננו.
בתוך המרחב הווקטורי של כל הסדרות הממשיות, שאותו מסמנים ב- או , אוסף הסדרות המתכנסות מהווה אלגברה, שעליה מוגדר אופרטור הגבול: האופרטור מחזיר, עבור סדרה מתכנסת , את גבולה , שהוא מספר ממשי.
לפי אריתמטיקה של גבולות, בהינתן שתי סדרות מתכנסות ו- וקבוע מתקיים
כאשר בסעיף האחרון נדרש ש- וש- לכל .
כאשר סדרה אינה מתכנסת, אין לה גבול במובן שהוגדר למעלה, ואז נדרשים כלים מעט אחרים.
ההרחבה הטבעית הראשונה היא לסדרות שגבולן אינסוף או מינוס אינסוף, והן "מתכנסות במובן הרחב", כפי שהוסבר לעיל.
גבול של תת-סדרה נקרא גבול חלקי של הסדרה המקורית.
כאשר סדרה מתכנסת כל הגבולות החלקיים שלה שווים.
אוסף כל הגבולות החלקיים מתאר במובן ידוע את הסדרה המקורית; הגבול החלקי הקטן ביותר נקרא גבול תחתון, והגדול ביותר הוא גבול עליון.
סוגיית גבולות הזמן היא סוגיה פילוסופית מדעית חשובה, העוסקת בתכונותיו הלוגיות של הזמן כביטוי כמותי.
שתי הפנים העיקריות לסוגיה זו הן שאלת גבולותיו החיצוניים של הזמן (תחילתו וסופו), ושאלת רציפותו וחלוקתו הפנימית.
אחד המאפיינים הפילוסופיים של הזמן, הוא חוסר היכולת האנושי לדמיין לזמן "תחילה" ו-"סוף".
רוב הדתות מתארות את בריאת העולם כאירוע המתרחש "בתחילת הזמן", אולם ההשגה האנושית מסוגלת לתאר כי היו התרחשויות גם לפני כן.
אינסופיות הזמן תלויה בעיקר בשאלת הגישה הבסיסית לזמן.
גישה אובייקטיבית טהורה, מעמידה את הזמן כרעיון מוחלט, אשר באופן תאורטי עשוי להתקיים גם בלא כל חומר המוגדר על-פיו.
גישה זו מקבלת את אינסופיותו התאורטית של הזמן.
גישה אובייקטיבית התולה את הזמן בקיומה של תנועה, כלומר מבטאת את הזמן כתכונה של גופים, ולא כביטוי מוחלט, מעמידה את אינסופיות הזמן כשאלה של אינסופיות התנועה.
במקרה זה, ייתכן מצב בו התנועה החלה בנקודת זמן מסוימת, היא ראשית הזמן.
עם זאת, נקודה זו בעייתית, שכן היא שוברת את מבנה הסיבתיות, ומניחה כי עשוי להתקיים אירוע (תחילת התנועה), בלא התרחשות של אירוע לפניו.
לעומת זאת, גישה סובייקטיבית טהורה, התולה את משמעותו של הזמן רק עבור תודעה החשה בו, מעמידה את אינסופיות הזמן ביחס לתודעה, כלומר- הזמן אינסופי רק אם התודעה מסוגלת לתפוס את הזמן כביטוי ללא גבולות.
השאלה האם התודעה מסוגלת לתפיסה שכזו, נתונה לפרשנות פילוסופית.
גישה סובייקטיבית טהורה פחות, מתארת את תחילתו וסופו של הזמן כתחילתו וסופו של מושג התודעה.
סטיבן הוקינג, תאורטיקן שהתייחס להיווצרות היקום ועתידו, ניסח תאוריה המעמידה את מושג אינסופיות הזמן בצורה שונה לחלוטין.
על-פי תאוריה זו, צורת המרחב-זמן סגורה, כך שליקום, הפרוס על פני המרחב-זמן, צורה המתארת כדור (בעל יותר משלושה ממדים, שכן הזמן הוא מימד נוסף בתיאור זה).
על פי תאוריה זו, יחס הזמן לצורת ה"כדור", הוא כיחס הציר "צפון-דרום" לכדור הארץ.
במובן זה, קיימת נקודה מסוימת המתארת את ראשית הזמן, שבה אין רלוונטיות לשאלה, מה היה לפניה (ובהתאמה: נקודת סיום לזמן), שכן שאלה זו מקבילה לשאלה, איזו נקודה צפונית לקוטב הצפוני.
מבחינה פילוסופית-פסיכולוגית, אינסופיות הזמן בעייתית, שכן היא הופכת את התודעה לבטלה ביחס לטבע.
בעייתיות מסוימת היא כישלון תיאור קיום האדם באופן פילוסופי, בהתחשב באינסופיות הזמן.
בעייתיות אחרת היא פסיכולוגית בטבעה, ובאה לידי ביטוי בכך שהאדם חש בלתי-משמעותי ביחס לאינסופיות הזמן.
הפילוסוף בלז פסקל התייחס לסוגיה זו כמניע מרכזי לאמונה באל.
לעומת בעיית האינסופיות, ניתן לתאר גם את בעיית סופיות הזמן.
על-פי גישה סובייקטיבית, סופיות הזמן נגזרת ממותה הצפוי של התודעה.
סופיות הזמן עבור התודעה, נחשבת למצוקה פילוסופית-פסיכולוגית ידועה.
בעייתיות אחרת בסופיות הזמן, היא סופו הצפוי של החיים, באופן כללי.
קיימות תפיסות המתארות את שאיפת האדם המרכזית כרצון לטבוע חותם באינסוף.
אם התודעה מנמקת את מעשיה בחתירה לאינסופיות מעשיה, אזי סופיות החיים מציבה בפניה מצוקה פילוסופית.
מצוקה כזו מתוארת בנימה היתולית בספר האיגיון המסעדה שבסוף היקום, של דאגלס אדמס.
בספר זה, נשלחות קבוצות תיירים לעתיד, לחזות בסוף היקום.
מנחה האירוע משבח את קהלו על כך שהוא אמיץ דיו לצפות במחזה זה, אך לחזור לאחר מכן לעבר ולהילחם עבור הטוב שלו.
סוגיית רציפות הזמן היא סוגיה חשובה נוספת במסגרת הדיון סביב גבולות הזמן.
במסגרת סוגיה זו, נשאלת השאלה האם הזמן ניתן לחלוקה אינסופית, ומה ההשלכות של תכונה זו.
רוב הפילוסופיות מציגות את הזמן כניתן לחלוקה אינסופית, אך הפילוסוף היווני זנון הציג בפרדוקסים שלו את הבעייתיות הלוגית של היותו של הזמן רציף, מחד, אך מורכב מפרקי זמן בני חילוץ, מאידך.
ניתן לנסח בעייתיות זו בכך שכל פרק זמן מורכב מאינסוף קטעי זמן קטנים, ועל כן, מבחינה לוגית, אינו יכול להיגמר לעולם.
גישה מדעית מודרנית מתארת "חלקיק זמן": יחידת הזמן הקטנה ביותר, אותה לא ניתן לחלק ליחידות קטנות יותר.
חלקיק זמן, כפי שחושב על ידי תאורטיקנים, מכונה זמן פלאנק.
הרפובליקה הגבונית היא מדינה במערב מרכז אפריקה.
היא גובלת בגינאה המשוונית ובקמרון בצפון, ברפובליקה של קונגו במזרח ובדרום, ובמפרץ גינאה במערב.
אוכלוסיית גבון מונה כ-2.4 מיליון נפש.
היא גם מדינה חברה בארגון לשיתוף פעולה אסלאמי.
בשלהי המאה ה-15 הקימו הפורטוגלים תחנות מסחר בגבון והאזור הפך למרכז לסחר העבדים האטלנטי.
באמצע המאה ה-19, התיישבו הצרפתים בגבון.
גבון זכתה בעצמאותה מצרפת ב-17 באוגוסט 1960. מאז ידעה עליות ומורדות במצבה הפוליטי והכלכלי.
עד לאחרונה המשטר בה היה יציב יחסית לשכנותיה, ואף קיימה סממנים דמוקרטיים מסוימים, ומבחינה כלכלית, בעיקר הודות לרווחי הנפט, היא משגשגת ביחס לרוב מדינות אפריקה.
עם זאת ב-30 באוגוסט 2023 עם קבלת תוצאות הבחירות בוצעה בה הפיכה צבאית.
נשיאה השני של גבון, עומאר בונגו, שלט בה כשליט דיקטטורי יחיד לאורך רוב שנות עצמאותה, משנת 1967 ועד מותו ב-2009.
בשנים האחרונות לשלטון בונגו הותר מעט רסן השלטון והותרה להלכה פעילותן של מפלגות אופוזיציה.
לאחר מותו של עומר בונגו נבחר בנו עלי בונגו לנשיא.
גורמי אופוזיציה טענו לזיוף רחב היקף בבחירות, ובעקבות טענות אלה החל גל מהומות במדינה.
ב-6 בינואר 2019, נכשל ניסיון הפיכה במדינה שתוכנן על ידי חיילים בצבא גבון.
ב-30 באוגוסט 2023 נעשה ניסיון הפיכה צבאית נוסף, כאשר דקות ספורות לאחר שוועדת הבחירות במדינה הודיעה כי הנשיא עלי בונגו זכה בכהונה שלישית, קבוצת קצינים בכירים בצבא גבון הודיעה בשידורי טלוויזיה כי תפסה את השלטון.
הפרלמנט של גבון מורכב משני בתים: הסנאט והאספה הלאומית.
אסטואר (העיר הראשית ליברוויל), אוגואואה עילית (העיר הראשית פרנסוויל), אוגואואה התיכונה (העיר הראשית לאמברנה), נגוניה (העיר הראשית מואילה), ניאנגה (העיר הראשית צ'יבנגה), אוגואואה איוינדו (העיר הראשית מאקוֹקוּ), אוגואואה עילית (העיר הראשית לוֹלוֹ), אוגואואה הימית (העיר הראשית פור ז'נטיל), ווֹלֶה נְטֵם (העיר הראשית אוֹיֶים).
התמ"ג לנפש בגבון נמוך אומנם משמעותית מרמתו במדינות המערב, אך הוא בין הגבוהים באפריקה, וגבוה פי ארבעה מהממוצע באפריקה שמדרום לסהרה.
המקור העיקרי לשגשוג היחסי הוא הנפט, שהתגלה במים הטריטוריאליים של גבון בשנות השבעים של המאה העשרים.
כיום הוא מהווה כ-81% מהיצוא של המדינה ו-43% מהתמ"ג.
קודם לכן נשענה הכלכלה על ענפי העץ והמנגן.
קיימים פערים גדולים מאוד בחלוקת העושר בגבון, כשקבוצת עלית מצומצמת של תעשיינים נוטלת לעצמה את רוב הרווחים ממחצביה הרבים של המדינה.
שיעור האבטלה גבוה ועומד על כ-20%.
גבון מצויה על חוף האוקיינוס האטלנטי, בקרבת קו המשווה.
כ-88% משטח המדינה מכוסים יערות גשם.
אורכו של הנהר הגדול ביותר במדינה, נהר האוגווה, כ-1,200 ק"מ.
עם המשאבים הטבעיים שבה נמנים נפט, מגנזיום, ברזל, זהב ואורניום.
בשנת 1972 התגלו באזור אוקלו ראיות לקיומם של כורים גרעיניים טבעיים קדומים, שתוארכו לתור הפרוטרוזואיקון.
ב-2007 העניק אונסק"ו לפארק הלאומי לופה-אוקנדה, שבמרכז גבון, מעמד של אתר מורשת עולמית.
בחלקו הצפוני מצויים השרידים האחרונים של סוואנת הדשא שנוצרה במרכז אפריקה במהלך עידן הקרח האחרון, לפני כ-15,000 שנים.
אחד הפארקים הלאומיים הגדולים במדינה הוא הפארק הלאומי לואנגו.
השפה הצרפתית בניב המקומי מהווה גורם מאחד, ומרבית ההשפעה התרבותית החיצונית באה מצרפת.
קיים מיעוט של כ-154 אלף תושבים שהם ממוצא אירופאי המתגוררים במדינה, כשמתוכם כ-120 אלף הם ממוצא צרפתי.
התושבים הם ברובם הגדול בני בנטו, ומשתייכים ליותר מ-40 קבוצות שבטיות שונות, שהגבולות ביניהן מטושטשים יותר מאשר במדינות אפריקאיות אחרות.
אוכלוסייתה של גאבון מונה כ-2.4 מיליון איש, אך עם זאת היא אחת המדינות דלילות האוכלוסין ביותר ביבשת האפריקאית, לאחר שמסיבות היסטוריות וסביבתיות קטנה אוכלוסייתה בין השנים 1900–1940. תוחלת החיים עומדת על כ-69.7 שנים בממוצע.
שיעור הפריון עומד על 3.31 ילדים בממוצע לאישה.
על פי אומדן של ה-Pew Research Center מ-2020, הנצרות היא הדת הבולטת ברפובליקה הגאבונית כאשר כ-76% מאוכלוסייתה הם נוצרים (בפרט קתולים), לצד כ-12% מהגאבונים שהם מוסלמים (בעיקר בני הזרם האסלאמי-סוני), וכ-6% מהם בני אמונות אפריקאיות שבטיות ופולקיסטיות שלרוב מוגדרים גם כאנימיסטים.
גבול של פונקציה הוא מושג יסוד בחשבון אינפיניטסימלי, שמתאר לאיזה ערך מתקרבת הפונקציה כאשר המשתנה הבלתי תלוי הולך ומתקרב לנקודה מסוימת בתחום ההגדרה של הפונקציה (פרט אולי לנקודה עצמה), גדל בלי הגבלה או קטן בלי הגבלה.
מושגי יסוד רבים באנליזה מוגדרים בשפה של גבולות של פונקציות, לדוגמה הרציפות והגזירות מוגדרים על ידי קיום של גבולות מסוימים.
כאשר עוסקים בפונקציה ממשית, יש עניין רב בשאלה לאן "שואפים" ערכי הפונקציה כאשר ערכי המשתנה מתקרבים לנקודה מסוימת.
ניתן לחשוב על גבול של פונקציה באופן פשטני כנקודה שאם נוסיף אותה לפונקציה היא תהיה המשך "טבעי" שלה.
באופן אינטואיטיבי הוא הגבול של הפונקציה בנקודה אם כאשר הולך ומתקרב ל- אז ערך הפונקציה מתקרב ל-.
באופן כללי, הפונקציה לא צריכה להיות מוגדרת בנקודת הגבול.
יתר על כן, פעמים רבות גם כאשר הפונקציה מוגדרת בנקודת הגבול, הגבול לא שווה לערך הפונקציה.
לדוגמה, לפונקציה הבאה יש גבול בנקודה x=0 והוא שווה ל-0, אף על פי שערך הפונקציה בנקודה הוא 1:
בנוסף לכך קיימים הגבול מימין והגבול משמאל של פונקציה.
הגבול מימין של הנקודה מוגדר, באופן אינטואיטיבי, כמספר שכאשר הולך ומתקרב ל- מימין (כלומר מתקרב מכיוון המספרים הגדולים מ-) אזי ערך הפונקציה הולך ומתקרב ל-.
באופן דומה מוגדר גם הגבול משמאל (הפעם המשתנה שואף ל- מכיוון המספרים הקטנים ממנו).
הצורך בגבולות אלו מתברר כאשר רוצים לחשב גבול של פונקציה מהסוג הבא:
בנקודה לפונקציה לא קיים גבול, מאחר שלא קיים מספר אחד שאליו שואפת הפונקציה כאשר שואף ל-0. לעומת זאת קיימים גבולות מימין ומשמאל.
הגבול מימין שווה ל-0 והגבול משמאל שווה ל-2. כפי שניתן לראות, אין חובה לכך שהגבול מימין יהיה שווה לגבול משמאל ואין חובה לכך שאחד מהם יהיה שווה לערך הפונקציה בנקודה עצמה.
ניתן להגדיר את מושג הגבול של פונקציה בשתי דרכים שקולות: אחת מסתמכת על הגדרת הגבול בסדרות ומסתכלת על התנהגות הסדרות ששואפות לנקודה, והשנייה עומדת בפני עצמה.
הגדרת הגבול בעזרת סדרות מאפשרת להחיל משפטים שנכונים על גבולות של סדרות גם לגבולות של פונקציות.
בהגדרה באמצעות סדרות, אומרים שפונקציה מתכנסת לגבול בנקודה מסוימת, אם ורק אם עבור כל הסדרות שמתכנסות לאותה נקודה, הסדרות המתקבלות מהפעלת הפונקציה על אברי אותן סדרות מתכנסות לאותו גבול.
ההגדרה העצמאית אומרת שעבור כל סביבה של נקודת הגבול, ניתן למצוא סביבה של הנקודה שאליה ערכי ה-x מתקרבים כך שכל התמונות של הנקודות הקרובות לנקודה שאותה בודקים יעברו לאותה סביבה של נקודת הגבול.
תמונת הפונקציה באותה נקודה שאליה מתקרבים ערכי ה-x לא רלוונטית לגבול, אלא רק הערכים שקרובים אליה.
רק כאשר פונקציה היא רציפה יש חשיבות גם לנקודה שאליה מתקרבים.
עד כה דנו בגבול מבלי להגדיר אותו מתמטית ובאופן מדויק.
כיום מקובלות שתי הגדרות (שקולות) של גבול.
הראשונה, של קארל ויירשטראס, מבוססת על עבודתו של קושי, ומנוסחת בשפה של אפסילון ודלתא.
השנייה, על-פי היינה, מבוססת על התנהגות של סדרות.
ההגדרות שקולות זו לזו: כל פונקציה המתכנסת לגבול ℝ ∪ {∞,-∞}∋ L כלשהו בהתאם להגדרה אחת, מתכנסת לגבול L גם בהתאם לאחרת.
תהא פונקציה המקבלת ומחזירה ערכים ממשיים, המוגדרת בסביבה של (אך לא בהכרח בנקודה עצמה).
לפונקציה יש גבול בנקודה אם לכל (קטן כרצוננו) קיים מתאים כך שאם - אזי .
לפונקציה יש גבול בנקודה אם לכל סדרה שכולן שונות מ-, אם אז .
כאמור לעיל, ההגדרות שקולות זו לזו ומעבר בין ההגדרות מסייע רבות לחישובי גבולות שונים.
אפיון גבול של פונקציה לפי קושי
תנאי קושי הוא אפיון שקול לגבול של פונקציה בנקודה.
פונקציה המקיימת את תנאי קושי בסביבה נתונה, היא פונקציה שאם המרחק בין כל שני איברים בתחום שלה קטן מגודל נתון אז גם המרחק בין כל שני ערכי הפונקציה של איברים אלה קטן כרצוננו.
הגדרה: לפונקציה יש גבול בנקודה אם לכל (קטן כרצוננו) קיים מתאים כך שלכל , אם - וגם אזי .
נוסח ראשון (הגדרת הגבול בלשון ):
הפונקציה שואפת לאינסוף בנקודה אם לכל (גדול כרצוננו) קיים מתאים כך שלכל - מתקיים .
נוסח שני (הגדרת הגבול בלשון הסדרות - משפט היינה):
הפונקציה שואפת לאינסוף בנקודה אם לכל סדרה המקיימת ו- מתקיים .
אם הן מתקיימות, מסמנים .
באופן דומה ניתן להגדיר שאיפה למינוס אינסוף כאשר בנוסח הראשון ההבדל מתבטא בכך ש וש, ובנוסח השני מתקיים .
הגדרת הגבול מימין והגבול משמאל
לפונקציה יש בנקודה אם לכל (קטן כרצוננו) קיים מתאים כך שאם אזי .
לפונקציה יש גבול סופי כאשר אם לכל (קטן כרצוננו) קיים מתאים כך שלכל - מתקיים .
לפונקציה יש גבול סופי כאשר אם לכל סדרה המקיימת מתקיים .
באופן דומה ניתן להגדיר גבול כאשר , כאשר ההבדלים בהגדרה בנוסח הראשון הם: ו, ובנוסח השני .
הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר אם לכל (גדול כרצוננו) קיים מתאים כך שלכל - מתקיים .
הפונקציה שואפת לאינסוף כאשר אם לכל סדרה המקיימת מתקיים .
גם כאן ניתן להגדיר באופן דומה עבור גבולות השואפים למינוס אינסוף ועבור גבולות ב.
גבולות מדינת ישראל מגדירים את השטח הנתון לריבונותה של מדינת ישראל, ושעליו חל המשפט, השיפוט והמינהל של המדינה.
לישראל גם שלושה גבולות ימיים, בים התיכון, בים המלח ובים סוף, שבהם יש חשיבות לגבול המים הטריטוריאליים ולגבול המים הכלכליים של ישראל.
מדינת ישראל לא הצהירה על גבולותיה במגילת העצמאות.
במלחמה זו כבשה ישראל שטחים נרחבים מהשטחים שהיו בשליטת שכנותיה – סוריה, ירדן ומצרים, ומתוכם הכריזה ישראל על שטחי ירושלים והגולן כשטחים ריבוניים שלה.
בנובמבר 1967 החליטה ממשלת ישראל, בישיבתה כוועדת השרים לענייני ביטחון, לסמן במפות את גבולות מדינת ישראל בקווי הפסקת האש של מלחמת ששת הימים: שטחי יהודה ושומרון, רצועת עזה, חצי האי סיני ורמת הגולן תחת אלו של הסכמי שביתת הנשק בתום מלחמת העצמאות – הקו הירוק.
הסכם השלום בין ישראל למצרים, במסגרתו חזר חצי האי סיני לשליטת מצרים, הביא להסכמה על גבול ישראל–מצרים.
הסכם השלום בין ישראל לירדן הביא לייצוב קו הגבול בין ישראל לירדן, תוך הסכמה על שינויים זעירים בו.
חלק מגבולותיה של מדינת ישראל נחשבים כגבולות זמניים: "קווי שביתת נשק", "קוי הפרדת כוחות" או "קווי הפסקת אש".
ריבונותה של ישראל ברמת הגולן נמצאת בלב המחלוקת בין ישראל לסוריה על גבולן המשותף.
על הגבול היבשתי בין ישראל ללבנון קיימת הסכמה למרבית הגבול למעט שטח קטן בחוות שבעא.
הסכם הגבול הימי בין ישראל ללבנון ב-2022 קבע קו תיחום של האזור הכלכלי הבלעדי וקו תיחום של המים הטריטוריאליים בין שתי המדינות כאשר לגבי חמשת הקילומטרים המזרחיים ("קו המצופים") הוסכם לשמר את מעמדם בפועל עד להסדרת הגבול היבשתי בין המדינות.
בשנות ה-90 ובעשור הראשון של המאה ה-21 התקיים מעת לעת משא ומתן בין ישראל לרשות הפלסטינית בנוגע להקמת מדינה פלסטינית בשטחי יהודה ושומרון.
לצד זאת הועלו תביעות בציבור הישראלי להחלת ריבונות ישראלית חלקית או מלאה על שטחים אלו באופן חד-צדדי או כחלק מהסדר מדיני.
גבול סוריה: 92 ק"מ (מבוסס הקו הסגול).
גדר רצועת עזה: 59 ק"מ
בדומה לאזורים אחרים שהיו נתונים לשלטון קולוניאלי, גם הגבולות הנוכחיים במזרח התיכון הושפעו במידה רבה מהסדרים בין המעצמות ששלטו באזור.
גבולותיה של ישראל החלו להתעצב בהסדרים בין המעצמות של ראשית המאה ה-20. הסכמי שביתת הנשק, הסכמי השלום והסדרים בתיווך בין-לאומי אישרו מחדש, בדרך כלל, את התוואי שנקבע בהסדרים הבין-מעצמתיים.
במקרים שבהם נקבע תוואי גבול חדש, הוא נקבע על-פי רוב בעקבות מלחמה, בדרך כלל לאורך קו החזית האחרון.
ברוב המקרים שבהם נקבע תוואי גבול חדש הוא נותר שנוי במחלוקת וזמני.
תהליכים אחדים שהתרחשו קודם להכרזת המדינה תרמו לעיצוב גבולותיה:
ייסוד מטולה ב-1896. "...קיומה של התיישבות במטולה במשך עשרים וחמש השנים שקדמו לדיוני הגבול, הביא גם הוא לקביעתו של קו הגבול במקום שנקבע".
סימון קו הגבול בין מצרים שהייתה בשליטה בריטית ובין האימפריה העות'מאנית – "קו עקבה–רפיח" בשנת 1906.
הסכם סייקס–פיקו משנת 1916 שבו דנו בעלות הברית בריטניה וצרפת בחלוקת שטחי האימפריה העות'מאנית ביניהן לאחר מלחמת העולם הראשונה.
ועידת סן רמו ב-1920 שבה נוסח כתב המנדט הבריטי על ארץ ישראל שכלל גם את עבר הירדן המזרחי, ואת רובו המוחלט של הגולן, 1,176 קמ"ר מתוך 1,300 קמ"ר, שמחזיקה ישראל מאז מלחמת ששת הימים.
הנוסח אושר על ידי חבר הלאומים ביולי 1922.
פרסום דבר המלך במועצה על ארץ ישראל מאוגוסט 1922 שבו הופרד השטח בעבר הירדן המזרחי (לימים ממלכת ירדן) משטח המנדט המקורי שיועד כולו להקמת הבית הלאומי היהודי כפי שנקבע בוועידת סן רמו.
קביעות אדמיניסטרטיביות והסכמים של ממשלת המנדט עם צרפת ועם חבר הלאומים באשר לגבולות ארץ ישראל במהלך שלטון המנדט הבריטי.
תוכנית החלוקה של ועדת אונסקופ, שהתקבלה בעצרת הכללית של האו"ם בשנת 1947, שבה נקבע ביטול המנדט הבריטי וחלוקת שטחו בין שתי מדינות, יהודית וערבית.
תוכנית זו לא יצאה לפועל בשל התנגדות הערבים, וביום הקמת המדינה היא כבר הייתה חסרת תוקף מעשי.
בתום מלחמת העצמאות ב-1949 נחתמו הסכמי שביתת הנשק בין ישראל לשכנותיה – לבנון, סוריה, מצרים וירדן, אולם אלה לא הכירו בישראל באופן רשמי, וסירבו לדון על גבולות בין-לאומיים קבועים, אך נקבע בהם הקו הירוק כקו שביתת הנשק.
קו זה שימש כגבולה בפועל של ישראל עד למלחמת ששת הימים.
בשנים 1949–1967 התקיים שלטון צבאי מצרי ברצועת עזה, ושטחי יהודה ושומרון ומזרח ירושלים סופחו לירדן, סיפוח שזכה להכרה בין-לאומית פורמלית ולא-פורמלית מצד בריטניה, ארצות הברית, פקיסטן, עיראק ומדינות נוספות.
בתום מלחמת ששת הימים ב-1967 נקבעו קווי הפסקת האש, שבהם כבשה ישראל שטחים נרחבים שהיו קודם לכן בשליטת שכנותיה:
רצועת עזה, חצי האי סיני והאיים טיראן וסנפיר נכבשו מידי מצרים.
יהודה ושומרון נכבשו מידי ירדן, והוחל עליהם השלטון הישראלי ביהודה ושומרון.
רמת הגולן נכבשה מידי סוריה.
כפועל יוצא, ריבונות ישראל וחוקיה אינם חלים ישירות בהתנחלויות, אך דה-פקטו הוחלו חלקים של החוק הישראלי באמצעות צו אלוף על ההתנחלויות או על תושביהן.
לפי הסכמים אלה נסוגה ישראל מהשטחים שכבשה במלחמת יום הכיפורים, וכן נסוגה בסיני למרחק 20 ק"מ ממזרח לתעלת סואץ ונסוגה ברמת הגולן משטח של 25 קמ"ר שכבשה במלחמת ששת הימים.
הסכם הפרדת הכוחות בין ישראל לסוריה הוא ההסכם הטריטוריאלי האחרון שנחתם בין שתי המדינות, ולכן הוא מגדיר את גבול ישראל–סוריה הנוכחי ואת ההסדרים הצבאיים הנלווים.
ב-14 בדצמבר 1981 אישרה הכנסת את חוק רמת הגולן, שקבע כי "המשפט, השיפוט והמינהל של המדינה יחולו בשטח רמת הגולן".
בשנים 1993–1995 נחתמו הסכמי אוסלו שבמסגרתם הועברו שטחים מרצועת עזה, יהודה ושומרון לסמכות הרשות הפלסטינית.
באוגוסט 2005, עם ביצוע תוכנית ההתנתקות, נסוגו כוחות צה"ל מרצועת עזה, תוך המשך השליטה הביטחונית המלאה על המרחב האווירי והימי של הרצועה.
מעמדם החוקי של גבולות ישראל מגוון.
גבולותיה של ישראל עם מצרים וירדן מוכרים בין-לאומית בעקבות הסכמי שלום.
גבול ישראל–לבנון מקובל על ידי הקהילה הבין-לאומית, אך לא על ידי לבנון עצמה.
בגבול ישראל–סוריה קיים קו הפסקת אש שהחוק הישראלי מכיר בו כגבול סופי אך רוב הקהילה הבין-לאומית אינה מקבלת אותו.
עם רצועת עזה יש קו שבאופן מעשי הוא כמו קו הפסקת אש, שמקובל בעולם אך אינו מגובה בחוק.
ואילו ההפרדה בין מדינת ישראל לבין השטחים המאוכלסים בפלסטינים ביהודה ושומרון מוכרת כגבול זמני, למעט באזור ירושלים ששם החוק הישראלי מכיר בהפרדה כסופית, אף כי בתהליך השלום הישראלי-פלסטיני עלו מפעם לפעם הצעות לחלוקת ירושלים בין ישראל לפלסטינים.
גבול ישראל–מצרים מוכר כגבול בין-לאומי.
גבול ירדן–ישראל מוכר כגבול בין-לאומי בקטע העובר בערבה, ובקטע העובר ממזרח לעמק בית שאן.
בהסכם השלום עם ירדן נקבעו שטחים הנמצאים בריבונות ירדנית אולם ישראלים רשאים להיכנס אליהם ולעבדם, ללא צורך בדרכון.
גבול ישראל–לבנון אושר על ידי האו"ם בשנת 2000 לפי בקשת ישראל, והוא מתבסס על התיקונים להסכם ניוקומב-פולה משנת 1924, בשינויים קלים.
מכיוון שגדר הגבול מצד ישראל לא תמיד יכולה לחפוף בצורה מרבית את הקו, וכדי למנוע מחלוקות – הקו מסומן בחביות כחולות עליהן רשום UN (או"ם), ומוצבות כל 100 מטר.
גבול ישראל–ירדן מקטע הגבול הבין-לאומי בין ישראל לירדן, במקטע בין עין גדי לבין בית שאן, אשר נקבע לאחר מלחמת ששת הימים, אינו מוכר כגבול בין-לאומי.
גבול ישראל–סוריה נקבע על ידי ישראל באופן חד-צדדי בשנת 1981 ב"חוק רמת הגולן" אשר החיל את המשפט הישראלי על רמת הגולן.
הגבול הבין-לאומי בין המנדט הבריטי לסוריה, עובר מעט מזרחה ל"קווי הארבעה ביוני".
לגבי קו שביתת הנשק שנקבע ב"הסכמי רודוס" (1949) קיימת מחלוקת.
לפי הסכם רודוס נקבע "אזור מפורז" בין הגבול הבין-לאומי של סוריה ושטח המנדט הבריטי לבין קו מערבה לו.
לפי עמדת ישראל – האזור המפורז היה בריבונות ישראל (אם כי תוך הגבלת הכוח הצבאי המותר), אולם סוריה לא קיבלה עמדה זו.
בפועל, ישראל וסוריה השתלטו על חלקים מן האזור המפורז.
גבול ישראל – רצועת עזה נקבע חד-צדדית על ידי ישראל בשנת 2005 בהתבסס על הסכמי שביתת הנשק עם מצרים משנת 1949.
בין ישראל לבין הרשות הפלסטינית (שטחי A+B) וחלק מיהודה ושומרון:
במזרח ישראל שוכן אזור יהודה ושומרון, שטח שמעמדו הסופי טרם נקבע, ואשר חלקו נתון לשליטה ברמות שונות של הרשות הפלסטינית, לפי הסכמי אוסלו.
תחום "הגדה המערבית" נקבע בהסכמי רודוס (1949), והחוק והמשפט בו שונים מאלו של מדינת ישראל, אולם כפופים לשליטתה.
בעשור הראשון של המאה ה-21 החלה ישראל בהקמת גדר ההפרדה בינה לבין מרבית שטח יהודה ושומרון, אולם זו אינה צמודה לתוואי קווי שביתת הנשק עם ירדן ששורטטו ב-1949. הגדר אינה מוגדרת כגבול רשמי, אם כי לאורך השנים, במהלך תהליך השלום הישראלי-פלסטיני, עלתה האפשרות להשתמש בגדר הפרדה כגבול אפשרי בהסכם קבע.
בפועל, חסימה ואיסור מעבר לישראלים מבוצע בגבול שטחי האוטונומיה של הרשות הפלסטינית (שטחי A+B) אשר אינו מגודר, וקיים מעבר חופשי לשטחי C אשר בשליטה ישראלית מלאה.
באזור מזרח ירושלים – ביוני 1967 החילה מדינת ישראל את החוק הישראלי על החלק המזרחי של העיר ירושלים ועל כמה כפרים ועיירות ממזרח לה (שסופחו לשטח המוניציפלי של ירושלים).
גם מעשה זה אינו מוכר על ידי רוב הקהילה הבין-לאומית .
גבול הצפון – סוריה ולבנון
ההתיישבות היהודית בצפון הגליל העליון התחדשה בסוף המאה ה-19 (מטולה הוקמה ב־1896), התעבתה בזמן מלחמת העולם הראשונה ונודעה בשם אצבע הגליל.
שטח זה, יחד עם חלק ניכר מהגליל התחתון יועד לפי הסכם סייקס-פיקו מ-1916 להיות תחת שליטה צרפתית בסדרים החדשים שיונהגו במזרח התיכון לאחר תום המלחמה.
בפועל, לאחר שהכוחות הבריטים נסוגו ממנו בראשית 1919, הצרפתים לא קיימו בו נוכחות צבאית מתמדת.
הלאומנים הסורים שאפו לספחו לממלכה הערבית של סוריה ושבטים מקומיים גם הם בחשו בקדירה.
האזור היה לשטח הפקר ומריבה עד לסימונו הסופי של הגבול לפי הסכם ניוקומב-פולה מ-1924 (קו כחול) והוא התוואי המוכר מאז כגבול הבין-לאומי בין ישראל, סוריה ולבנון.
עוד במהלך מלחמת העולם הראשונה פעלו המעצמות לחלוקת השטח ביניהן: בריטניה ראתה בארץ ישראל, החוף המערבי של המפרץ הפרסי והשטח שלימים נודע כעיראק שטח השפעה בריטי עתידי, ואילו צרפת תבעה דריסת רגל בסוריה, לבנון, אסיה הקטנה ותראקיה.
גבולו הצפוני של השטח בארץ ישראל המערבית, שנועד להיות תחת חסות משותפת – השטח שלימים נודע כליבתה של פלשתינה-א"י, נקבע מעט צפונית לעכו באזור אכזיב וירד דרומה עד לכנרת, באזור טבחה ואילו גבולו הדרומי נמתח בין עזה לחברון.
לאחר סיום מלחמת העולם הראשונה נוצר מצב שבו לא ראתה עצמה בריטניה מחויבת לאמור בהסכמי סייקס-פיקו ככתבם וכלשונם, ולעומת זאת, מדיניותה הרשמית, המוצהרת בהצהרת בלפור צידדה בהקמת בית לאומי לעם היהודי בארץ ישראל.
בוועידת השלום של פריז, בינואר 1919, דרשה התנועה הציונית את השטח עד לנהר ליטני (כולל הגולן והחורן), שבו ראתה מקור מים חיוני לבית הלאומי העתידי, וכן את האזור הכולל את מקורות נהר הירדן, שכלל רצועה מעבר הירדן.
הבקשה שהופקדה ונרשמה, זכתה לתמיכתם של המלך פייסל (תחת הסתייגות) ושל נשיא ארצות הברית וודרו וילסון.
ההסכם אושר מחדש ב-15 בספטמבר 1919 כהסכם שנחתם בין לויד ג'ורג', ראש ממשלת בריטניה, לבין ז'ורז' קלמנסו ראש ממשלת צרפת.
לפי הסכם זה פינו האנגלים את האזורים שכבשו מצפון לקו שנמתח בין ראש הנקרה לבין בואזיה בחולה (מעט צפונה מאיילת השחר של היום), ובשטח שמסרה אנגליה לרשות המנדט הצרפתי על סוריה היו ארבע נקודות יהודיות מבודדות – תל חי, מטולה, כפר גלעדי וחמארה.
צרפת לא ביססה את שלטונה באזור זה ולא שלחה אליו כוחות צבא מספיקים אלא נאחזה בתחילה לאורך החוף, באזור צידון.
את המצב ניצלו ערביי המקום כדי למרוד בשלטון הצרפתי (ולהמליך את פייסל הראשון על סוריה), ואף להתנכל לכפרי הנוצרים באזור שלהם נתנה צרפת את חסותה.
על רקע זה אירע במרץ 1920 הקרב על תל חי.
במקביל, התנהלו דיונים בין בריטניה לצרפת על מיקומו של הגבול.
בוועידת סן רמו באפריל 1920 אושר המנדט הבריטי על ארץ ישראל.
על פי החלטות הוועידה השטח שהוקצה למנדט הבריטי היה 118,000 קמ"ר.
ב-23 בדצמבר 1920 הושגה הבנה בין בריטניה לצרפת.
צרפת ויתרה על מקצת משטחי הגליל, והותירה בידיה את הנהר ליטני, את מקורות הירדן, את מרבית רמת הגולן ואת החרמון.
הנימוק הצרפתי היה שמירת אחדותם של המתואלים השיעים שישבו משני צדי הליטני.
הגבול נמתח מצמח, חצה את הכנרת, עלה ברמת הגולן עד לאזור עין זיוון וקונייטרה משם עד לבניאס.
משם פנה מערבה, שמר את מטולה בשטח המנדט, וירד דרומה עד סמוך לקיבוץ סאסא, ומשם, תוך פיתולים מסוימים, מערבה עד ראש הנקרה.
התוצאה הייתה הכללתה של אצבע הגליל, על שלושת יישוביה, מטולה, תל חי וכפר גלעדי, בתחום המנדט הבריטי לאחר שבמשך ארבע שנים וחצי הייתה שטח הפקר בין המנדטים הצרפתי והבריטי.
רבים ייחסו את שינוי הגבול והכללת אצבע הגליל בתחומי ארץ ישראל, ומכאן בתחומי המדינה היהודית העתידית, להתיישבות היהודית במטולה ובתל חי.
באפריל 1921 הסכימו צרפת ובריטניה על הגבול הבין-לאומי החדש, על פי הסיכום מדצמבר 1920, אך נקבע כי הגבול כפוף לשינויים בעקבות מדידות מפורטות שתערכנה.
את המדידות ערכה ועדה צבאית בראשות הצרפתי פולה (Paulet) והבריטי ניוקומב (Newcombe).
כך, למשל, נערך בלבנון מפקד אוכלוסין על ידי השלטונות הצרפתיים, ונכללו בו (וכתוצאה מכך גם קיבלו אזרחות לבנונית) גם תושבי שבעת הכפרים המתואלים בגליל, שנותרו לאחר מכן בשטח ארץ ישראל, כמו גם תושבי מטולה וכפר גלעדי.
בוועדה זו דרשו הבריטים את מוסול שבכורדיסטן העיראקית שהתגלה בה נפט, והתקזזו עם הצרפתים שקיבלו בתמורה את הגולן שבכתב המנדט היה שייך לתחום הבריטי.
ב-7 במרץ 1923 חתמו צרפת ובריטניה על הסכם ניוקומב-פולה.
רק בשנת 1924 קיבל הגבול את צורתו הסופית.
צרפת ויתרה על שטח מחצית הכנרת, ושטח באזור קיבוץ ברעם (אז הכפר בירעם), והשיבה לעצמה את השטחים ברמת הגולן ממזרח לירדן.
גבול זה, שנקבע במשא ומתן בין המעצמות, הפך לגבול הבין-לאומי המוכר בין המדינות הריבוניות ישראל, סוריה ולבנון.
קטע הגבול בין ארץ ישראל לסוריה ברמת הגולן נקבע תוך התחשבות בשיקולי מקורות מים.
כך נקבע כי הגבול עובר במרחק 10 מטרים מחוף הכנרת בחלקה הצפון מזרחי, קביעה דומה נעשתה לגבי עין דן, וכן נקבע כי מימי הבניאס שייכים לארץ ישראל ולא לסוריה (אף על פי שהמעיין לכאורה בשטחה).
הגבול עם לבנון לאחר הקמת מדינת ישראל
בין ישראל ללבנון לא נחתם הסכם שלום ואין גבול בין-לאומי מוסכם ביבשה.
קו הגבול הזמני שבתוקף בין ישראל ללבנון הוא "הקו הכחול" שחזר ונתקבע בשלושה הסכמים בין-לאומיים במהלך המאה ה-20:
הסכם ניוקומב-פולה 1923 לסימון הגבול בין המנדט הבריטי בארץ ישראל למנדט הצרפתי בלבנון וסוריה
הסכמי שביתת הנשק בתום מלחמת העצמאות 1949
בעקבות הנסיגה מרצועת הביטחון בשנת 2000 אישר האו"ם שישראל השלימה נסיגתה מלבנון בהתאם להחלטה 425 של מועצת הביטחון וחזרה לגבול הבין-לאומי.
נכון לשנת 2024, ישנן 14 נקודות כולל חוות שבעא, שטחן קטן יחסית, לאורך גבול ישראל–לבנון שלבנון דורשת את נסיגת ישראל מהן.
העמדה הלבנונית הדורשת תיקון בסימון הנקודות בגבול היבשתי, שעלתה לראשונה בשנת 2000, אינה עולה בקנה אחד עם התקבעות הגבול היבשתי בחסות האו"ם.
לעניין חוות שבעא הרי על פי סימון האו"ם לקראת נסיגת צה"ל בשנת 2000 אזור החוות הוא חלק מרמת הגולן ולא מלבנון, ולכן השליטה בו כפופה להסדר עתידי בין ישראל לסוריה על-פי החלטות 242 ו-338 של מועצת הביטחון.
בהחלטה 1701 של מועצת הביטחון, שהביאה לסיום מלחמת לבנון השנייה, מורה מועצת הביטחון לישראל וללבנון לכבד את הקו הכחול.
עם זאת, ההחלטה כוללת בקשה ממזכ"ל האו"ם לבחון את סוגיית חוות שבעא ולהציע דרכים לפתרון הבעיה.
בדוח שהגיש מזכ"ל האו"ם למועצת הביטחון ב-12 בספטמבר 2006 בנוגע ליישום החלטה 1701 הוא מציע שתי דרכים לפתרון בעיית חוות שבעא:
משא ומתן בין סוריה ללבנון, שיביא להסכם בעניין הגבול הבין-לאומי ביניהן.
העברת שטח חוות שבעא ואזור כפר שובא לחסות האו"ם עד להכרעה בעניין הריבונות עליו.
מלחמת העצמאות והסכמי שביתת הנשק
במהלך מלחמת העצמאות פלש צבא לבנון לתחום ארץ ישראל המנדטורית (בצפון השטח שהוקצה על פי החלטת האומות המאוחדות למדינה הערבית) ואף החזיק בראש הנקרה.
במבצע חירם, באוקטובר 1948, כבש צה"ל את מרכז הגליל העליון וחלקים מן הגליל התחתון, ובכך השתלטה ישראל על כל שטחו של הגליל.
צה"ל לא נעצר בקו הגבול הבין-לאומי עם לבנון.
חטיבת כרמלי בפיקודו של משה כרמל חצתה את הגבול, והצליחה לתפוס 14 כפרים ולהשתלט על שטחים המגיעים עד לנהר ליטני.
במסגרת הסכמי רודוס, בשנת 1949, נדון גם קו הגבול בין שתי המדינות.
השיחות בין ישראל ללבנון התקיימו בראש הנקרה במהלך חודש מרץ 1949. בסיום השיחות הוסכם על נסיגת הכוחות ועל סימון הגבול על פי קו הגבול המנדטורי, הוא קו הגבול המוכר מבחינה בין-לאומית.
ישראל נסוגה מן הגליל הלבנוני, ואילו לבנון נסוגה מראש הנקרה.
מעבר ארגוני הטרור הפלסטינים מירדן ללבנון ומלחמת האזרחים
לבנון לא נטלה חלק פעיל במלחמות שהתקיימו בשלושת העשורים הראשונים לקיום המדינה: מבצע סיני, מלחמת ששת הימים ומלחמת יום הכיפורים.
לאחר אירועי ספטמבר השחור בשנת 1970, החלו ארגונים פלסטינים להתבסס בלבנון ושלטו על אזורים שונים (לדוגמה פתחלנד).