tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
היא סיפרה בראיונות שעמדה להגיש בקשה לאבטלה כשנודע לה שלוהקה לתפקיד פנטין, וזהו במקרה גם התפקיד האחרון שגילמה כסטודנטית לתואר ראשון באוניברסיטת מישיגן, 11 חודשים קודם לכן.
נכון לשנת 2017, הנינגסן היא השחקנית הצעירה ביותר בתולדות ברודוויי שגילמה את התפקיד של פנטין.
ב-30 באוגוסט 2015, הנינגסן עזבה את ההפקה והוחלפה על ידי מונטגו גלובר.
באוגוסט 2016, הנינגסן גילמה את נלי פורבוש בהפקת המחזמר "דרום פסיפיק" של בית האופרה העירוני בפיטסבורג.
בפברואר 2017, הנינגסן הופיעה בתפקיד נינה בהפקת אוף-ברודוויי של המחזמר "עולם יקר" בתיאטרון יורק.
בקיץ אותה שנה, היא שבה להופיע בבית האופרה העירוני בפיטסבורג, הפעם בתפקיד סופי בהפקה האזורית של המחזמר "מאמה מיה!".
ביולי הוכרז כי הנינגסן תגלם את קיידי הרון בהפקה הניסיונית מחוץ לניו יורק של המחזמר "ילדות רעות".
הנינגסן כיכבה בתפקיד קיידי הרון במחזמר "ילדות רעות", שנכתב על ידי טינה פיי ומכיל לחן מאת ג'ף ריצ'מונד ומילים מאת נל בנג'מין.
הפקת הבכורה העולמית של המופע הייתה הפקה ניסיונית מחוץ לניו יורק בתיאטרון נשיונל.
ההפקה רצה מ-31 באוקטובר ועד 3 בדצמבר 2017. המחזמר, המבוסס על סרט בעל אותו שם, החל בהצגות מקדימות בברודוויי ב-12 במרץ 2018, ונפתח רשמית ב-8 באפריל באותה שנה, בתיאטרון אוגוסט וילסון.
על תפקיד זה הנינגסן הייתה מועמדת לפרס מעגל המבקרים החיצוני.
הנינגסן צילמה סדרה של בלוגי וידאו עבור Broadway.com בשם "Too Grool for School: Backstage at Mean Girls with Erika Henningsen", והעניקה לצופים מבט אל מאחורי הקלעים של אירועים כמו ערב הפתיחה, הקלטת אלבום השחקנים, וההופעה של צוות השחקנים בתוכנית "The Today Show".
ב-22 בפברואר 2022, הנינגסן עזבה את ההפקה והוחלפה על ידי סברינה קרפנטר.
ב-11 במרץ 2019, הנינגסן גילמה את הלן בהפקת המחזמר "ליל שבת" בתיאטרון הבמה השנייה כחלק מ"ימי שני מוזיקליים" – סדרת קונצרטים שבועיים של התיאטרון.
בינואר 2020 הוכרז שהנינגסן תצטרף לצוות השחקנים של המחזמר "לעוף מעל לשקיעה", אשר התעתד לעלות במרץ אותה שנה בתיאטרון ויויאן באומונט.
אולם ההפקה נדחתה לסתיו 2020 בעקבות מגפת הקורונה.
הנינגסן לא שבה להפקה, אשר חידשה הופעות בדצמבר 2021.
בשנת 2022, הנינגסן גילמה את ג'וי מנגנו בהפקת הבכורה העולמית של המחזמר "ג'וי" שהתקיימה בתיאטרון ג'ורג' סטריט בניו ג'רזי.
בשנת 2018, הנינגסן החלה לצאת עם קייל סליג, עמיתה לצוות השחקנים של המחזמר "ילדות רעות".
ב-1 ביולי 2021, השניים הכריזו על אירוסיהם.
ב-22 במאי 2023, הנינגסן וסליג התחתנו בניו יורק.
ביולי 2018, הנינגסן השתתפה באירוע "Broadway Barks" – אירוע שנתי המקדם אימוץ בעלי חיים ממקלטים לחיות.
בדצמבר אותה שנה, הנינגסן השתתפה בקונצרט השנתי השני של "Broadway Beats Hunger", אשר גייס כספים ליוזמת "מזון, בריאות ותקווה: תשובה לסוכרת" של קרן "Summit Medical Group".
בשנת 2019, הנינגסן תמכה בקמפיין "לא חולדת מעבדה" של איגוד השחקנים – המבקש ששחקנים המשתתפים בסדנאות הפיתוח להפקות חדשות יקבלו שכר מינימום גבוה יותר ויקבלו גם חלק מרווחי ההפקה.
במהלך מגפת הקורונה, הנינגסן גייסה כספים עבור הארגון "She's the First " – ארגון ללא מטרות רווח הפועל לאפשר השכלה לבנות – על ידי עידוד מעריציה לתרום לארגון.
כל מי שתרם תרומה קיבל קישור לקונצרט סלון בלעדי שלה, שהתקיים ב-12 במאי 2020.
שנהשםתפקידמיקוםהערות שוליים2013עלובי החייםקוזטתיאטרון אנקור2014ספינת השעשועיםקים ראוונלמרכז לינקולן2014-2015דיינרבת'תיאטרון סיגנטור2015להקת התיאטרון של דלאוורעלובי החייםפנטיןתיאטרון אימפריאל †2016דרום פסיפיקנלי פורבושבית האופרה העירוני בפיטסבורגFOUNDבקהלהקת התיאטרון של פילדלפיה2017עולם יקרנינהתיאטרון יורקמאמה מיה!סופיבית האופרה העירוני בפיטסבורגילדות רעותקיידי הרוןתיאטרון נשיונל (הפקה ניסיונית מחוץ לניו יורק)2018-2020תיאטרון אוגוסט וילסון †2022ג'ויג'וי מנגנותיאטרון ג'ורג' סטריט
שנהשםתפקידהערות שוליים2013Interfaceשרה2014Bad Girlsכריסטין בבקין2015Wide Awakeקנדי
(TV series) אניהדיבוב, 2 פרקים2024מלון הזביןהנסיכה צ'רלי מורנינגסטארדיבוב; 8 פרקים2025ארבע העונותג'יניתפקיד ראשי; 8 פרקים
שנהפרויקטהערותהערות שוליים2016The Theory of Relativityאלבום הקלטות של צוות השחקנים מקורי2018ילדות רעות2021בנות לנצחמוזיקה מהסדרה המקורית מבית Peacock
שנהפרויקטהערותהערות שוליים2018"Rockin' Around the Pole"The Hot Elves (עבור ילדות רעות)
שנהפרויקט מועמדפרסקטגוריהתוצאההערות שוליים2018ילדות רעותפרס בחירת הקהל של Broadway.comהופעה פורצת דרך אהובה (שחקנית)פרס מעגל המבקרים החיצונישחקנית יוצאת מהכלל במחזמר
שנהפרסתוצאההערות שוליים2018כוכבת השנה של Broadway.com
אריקה-קודי קנדי-סמית' , ידועה בשמה הפרטי אריקה-קודי, היא זמרת R&B עכשווי וכותבת שירים אירית.
סמית' נולדה בבית החולים רוטונדה שבדבלין, וגדלה בעיירה בבלדוייל.
אמה היא אירית, ואילו אביה נולד למשפחה אפרו-אמריקאי מקרוליינה הדרומית.
כילדה קיוותה לפתח קריירה כשחקנית כדורסל.
אולם בגיל 18 קרעה את הרצועה הצולבת הקדמית, ובהוראת רופא הפסיקה את אימוניה.
סמית' הייתה חברה בתנועת צופי אירלנד.
במהלך לימודיה בבית הספר בילי ברי סטייג' ערכה את הופעתה הראשונה כחימום לויזקיד.
באפריל 2019 הוציאה את המיני-אלבום הראשון שלה, Leoness.
סגנונה המוזיקלי תואר כדומה לזה של TLC ואליה.
היא הייתה אחת האמנים שהופיעו בפגישות הנעילה של Hot Press באפריל 2020.
בשנת 2020 השתתפה בהפגנות Black Lives Matter, וסיפרה בפומבי על החוויות הגזעניות שחוותה במהלך חייה.
מאוחר יותר נבחרה להופיע במדור המיוחד של Women to Watch in 2020.
בשנת 2021 ערכה הופעת קמע בסדרה גורל: סאגת ווינX מבית היוצר של נטפליקס.
בשנת 2022 הופיעה בעונה החמישית של הגרסה האירית ל-Dancing with the Stars.
הרקדן המקצועי שליווה אותה היה דניס סמסון, ויחד הם הגיעו למקום השני.
בינואר 2024 נחשף כי אריקה-קודי עתידה להשתתף בקדם האירי לאירוויזיון 2024 עם השיר "Love Me Like I Do".
התחרות אורגנה על ידי תאגיד השידור האירי, RTÉ, ושירה הגיע בערב הגמר למקום הרביעי.
שם פרטים Leoness יצא לאור: אפריל 2019
חברת תקליטים: ECM Love & Light יצא לאור: אוקטובר 2021
אריקה אלניאק היא שחקנית ודוגמנית אמריקאית-קנדית.
ידועה במיוחד בזכות גילום הדמות שוני מקליין בסדרה הטלוויזיה "משמר המפרץ" אשר הייתה אחת מתוכניות הטלוויזיה הנצפות ביותר בעולם במהלך שנות ה-90.
אריקה אלניאק נולדה בגלנדייל שבקליפורניה.
אביה הוא ממוצא אוקראיני ואמה היא ממוצא אסטוני וגרמני.
תפקידה הראשון בסרט קולנוע היה כאשר היא הייתה בת 12 ושיחקה בסרט "אי.טי.
- חבר מכוכב אחר" בתור הילדה אותה אליוט נישק בסצנה שהתרחשה בכיתתו.
ב-1988 היא שיחקה בתפקיד ויקי דה סוטו אשר הייתה קורבן בסרט האימה "The Blob", אשר היה גרסה מחודשת לסרט באותו השם משנת 1958.
בשנת 1989 זכתה לחשיפה ניכרת כאשר ביולי 1989 היא הייתה נערת החודש של מגזין פלייבוי.
ב-16 בנובמבר 1990 גילמה גם את קארי, חברתו מהתיכון של ג'סי (ג'ון סטיימוס), בפרק של קומדיית המצבים "צער גידול בנות".
בשנת 1992 אלניאק שיחקה בסרט "מצור ימי" לצד סטיבן סיגל כדוגמנית פלייבוי שהופכת לבת ערובה בספינת קרב של הצי האמריקני.
בשנת 1993 היא שיחקה בסרט "התפרנים מבוורלי הילס" אשר היה עיבוד קולנועי לתוכנית טלוויזיה פופולרית באותו השם.
במהלך שנות התשעים שיחה גם במספר סרטים נוספים כולל "Chasers" בשנת 1994, "סיפור אהבה של פירומן" בשנת 1995, ו"בורדו של דם" בשנת 1996, ושיחקה גם בסרטים עצמאיים שונים ובסרטים שהופצו ישירות לווידאו במהלך סוף שנות ה-90 ובמהלך העשור הראשון של המאה ה-21.
ביוני 2005 אלניאק הופיעה בסדרת המציאות "The Real Gilligan's Island".
במהלך העשור הראשון של המאה ה-21 אלניאק החלה לסבול מבעיות משקל, אשר הובילו לכך שבשלב מסוים היא סבלה מתת משקל עקב הפרעת אכילה שהובילה לכך שהיא אושפזה פעם אחת כתוצאה משימוש לרעה בחומר משלשל.
לקראת אמצע העשור הראשון של המאה ה-21 היא כבר תסבול מעודף משקל ובעקבות כך היא השתתפה בעונה הרביעית של תוכנית המציאות "Celebrity Fit Club" בערוץ VH1.
בשנת 2006 אלניאק השתתפה בפודקאסט הבריטי "'80s Movie and Music Fest Cafe" בו היא דנה בקריירה שלה יחד עם המגישים רוס דייר וג'וליאן בייס.
אלניאק הייתה מאורסת בעבר לשחקן בילי וורלוק אשר גילם גם את מושא אהבתה בסדרה "משמר המפרץ".
ב-22 במאי 1998 היא התחתנה עם השחקן ומפתח הגוף פיליפ גוגליה אך לבסוף הנישואים הללו הסתיימו בגירושים לאחר שישה חודשים בלבד.
יש לה בת אחת והיא מתגוררת כיום בעיר קלגרי שבקנדה.
+שנהשם המשחקתפקיד1995Panic in the Parkג'ייני/ג'יימי
אריקה ויקמן (בפינית: Erika Vikman; נולדה ב-20 בפברואר 1993) היא זמרת ופזמונאית פינית; נציגת פינלנד באירוויזיון 2025 עם השיר "Ich komme".
החלה את קריירת המוזיקה שלה כזמרת טנגו פיני.
בשנת 2020 הפכה למוקד התעניינות רב ברחבי אירופה עם יציאת השיר "Cicciolina".
אלבום הבכורה שלה, Erika Vikman, דורג בראש מצעד האלבומים הפיני.
ויקמן נולדה ב-20 בפברואר 1993 בטמפרה.
מאוחר יותר עברה עם משפחתה להתגורר בלמפה ואז בפורי.
גם אמה הייתה זמרת, שרה גם היא מוזיקת טנגו והתחרתה ב-Tangomarkkinat, פסטיבל הטנגו הוותיק בעולם.
אחותה, יניקה ויקמן, גם התמחתה בשירה.
ויקמן החלה לשיר בגיל צעיר, ואף זכתה במקצה הבנות של תחרות טנגו לילדים בשנת 2008.
ויקמן למדה בבית הספר התיכון של טמפרה עד 2013. לאחר מכן למדה גם שירת פופ-ג'אז במכללה למוזיקה של פירקאנמה.
בשנת 2013 התמודדה בעונה השביעית בגרסה הפינית ל"אמריקן איידול".
היא נמנתה בין 12 המתמודדים האחרונים של התחרות, וב-7 בנובמבר הודחה במקום התשיעי.
מאוחר יותר הוחזרה בשלב גלגל ההצלה, אך הודחה פעם נוספת במקום השביעי.
לאחר התחרות ביססה ויקמן את מעמדה כזמרת טנגו פינית.
בשנת 2015 השתתפה ב-Tangomarkkinat, והגיעה למקום השני.
בשנה שלאחר מכן התחרתה פעם נוספת בפסטיבל, הפעם דורגה במקום הראשון.
ויקמן חתמה על חוזה הקלטות עם חברת התקליטים סוני מיוזיק, והוציאה דרכה את "Ettei mee elämä hukkaan".
בשנת 2020 עברה לוורנר מיוזיק פינלנד.
באותה שנה אישר תאגיד השידור הפיני Yle את השתתפותה ב-Uuden Musiikin Kilpailu, הקדם הפיני לאירוויזיון 2020, שהיה אמור להתקיים ברוטרדם שבהולנד, אך בוטל בשל הקורונה.
שירה לתחרות היה "Cicciolina", שנכתב על שחקנית הפורנו האיטלקייה צ'יצ'ולינה.
ערב הגמר שודר ב-7 במרץ בעיר טמפרה.
ויקמן סיימה במקום השני, אחרי שהצופים דירגו אותה במקום הראשון, אך חבר השופטים דירג אותה שלישית.
השיר הפך ללהיט ברחבי פינלנד והמדינות הנורדיות.
באותה שנה הגיעה למקום השלישי בתחרות "הזמר במסכה" כשגילמה את דמות הצרעה.
באוגוסט 2021 הוציאה את אלבום הבכורה שלה, שהגיע למקום הראשון במצעד האלבומים הפיני.
בשנת 2025 חזרה להשתתף בקדם הפיני לאירוויזיון 2025, עם השיר "Ich komme".
היא הגיעה למקום הראשון ונבחרה לייצג את באירוויזיון 2025, שיערך בבזל שבשווייץ.
באירוויזיון הופיעה בחצי הגמר השני והעפילה לגמר.
בגמר דורגה במקום ה-11 עם 196 נקודות; 88 מהשופטים ו-106 נקודות מהקהל.
לאחר התחרות הביעה תסכול מהתוצאות ובמיוחד כלפי כמות הקולות שקיבלה ישראל מהקהל בטענה שישראל הפעילה מנגנון הצבעות רחב.
ויקמן יצאה מהארון כביסקסואלית ב-2020.
פרובינציית אריקה (בספרדית: Provincia de Arica) היא אחת משתי פרובינציות של המחוז הצפוני ביותר של צ'ילה, אריקה ופרינאקוטה.
המחוז גובל בצפון בפרו, בדרום בפרובינציית טמרוגל במחוז טרפקה, במזרח בפרובינציית פרינאקוטה ובמערב באוקיינוס השקט.
בירתה היא עיר הנמל אריקה.
שתי הפרובינציות במחוז הן:אריקה ופרינאקוטה.
בירת הפרובינציה אריקה נוסדה בשם וילה דה סן מרקוס דה אריקה בשנת 1541 באתר של התיישבות פרה-קולומביאנית.
האזור היה שייך לפרו עד 1879, אז נכבש על ידי הצ'יליאנים במלחמת האוקיינוס השקט והועבר רשמית לצ'ילה בהסכם אנקון ב-1883.
על פי מפקד האוכלוסין של 2002 שנערך על ידי המכון הלאומי לסטטיסטיקה (INE), הפרובינציה משתרעת על שטח של 8726.4 קילומטרים רבועים וכוללת אוכלוסייה של 186,488 תושבים (92,487 גברים ו-94,001 נשים), כלומר צפיפות אוכלוסין של 21.4 לקילומטר מרובע.
כפרובינציה, אריקה היא חטיבה מנהלית ברמה השנייה של צ'ילה.
עיר החוף אריקה משמשת כבירת הפרובינציה.
מושלת הפרובינציה היא מירתה פטרישיה ארנסיביה קרוז (Mirtha Patricia Arancibia Cruz).
אריקה דה סוזה (בפורטוגזית: Érika de Souza; נולדה ב-9 במרץ 1982 בריו דה ז'ניירו שבברזיל) היא כדורסלנית עבר ברזילאית ששיחקה בליגת ה-WNBA ובאירופה.
דה סוזה נולדה בריו דה ז'ניירו למשפחה ענייה וגדלה עם אם יחידנית ו-3 אחים ואחיות.
היא התחילה לשחק כדורסל בגיל 16.
לאחר שנה בודדת בספרד דה סוזה חתמה עם לוס אנג'לס ספארקס בשנת 2002. היא שיחקה שנה לצד ליזה לסלי אך לא קיבלה דקות משחק רבות.
לאחר שנה היא חזרה לשחק בספרד ובהונגריה.
בשנת 2007 דה סוזה חתמה חוזה עם קונטיקט סאן.
בשנת 2008 הוקמה קבוצה חדשה אטלנטה דרים ודה סוזה עברה לקבוצה זו.
בעונת 2009 היא הגיע עם קבוצתה לשלב הפלייאוף.
בשנצת 2010 קבוצתה הפסידה אליפות הליגה לסיאטל סטורם.
לקראת עונת 2025 היא עברה ךשיקגו סקיי.
בשנת 2017 היא עברה לקבוצה אחרת, נפצעה במלהך העונה ועזבה את הליגה.
דה סוזה שיחקה בקבוצות מובילות בספרד.
היא זכתה 8 פעמים באליפות ספרד ו-7 פעמים בגביע ספרד.
בשנת 2011 היא זכתה ביורוליג.
בשנת 2003 דה סוזה זכתה באליפות הונגריה.
דה סוזה הייתה בין כוכבי נבחרת ברזיל.
דה סוזה השתתפה עם נבחרתה ב-3 אלומפיאדות.
אָריתמֵטיקה (מהמילה היוונית αριθμός, אריתמוֹס, שפירושה מספר), הידועה גם בשם חשבון, היא הענף העתיק והבסיסי ביותר במתמטיקה.
זהו החלק היסודי בלימוד המתמטיקה, הוא משתלב ביתר ענפי המתמטיקה וחיוני להבנתם.
עקרונות האריתמטיקה הבסיסיים, המבוססים על ארבע פעולות החשבון וסדר בין מספרים, משמשים כל אדם מודרני לצורך ביצוען של משימות יום-יומיות פשוטות כגון הכנת מזון ותכנון כלכלת הבית.
לאריתמטיקה המתקדמת ולתחומים הקרובים אליה, הכוללים פעולות מתמטיות מורכבות יותר, יש שימוש רב בתחומי המדע, ההנדסה והטכנולוגיה השונים.
גבולותיו של ענף מתמטי זה אינם תחומים באופן חד, והם השתנו במרוצת השנים.
במובנה המצומצם, המילה מתייחסת לענף במתמטיקה העוסק במספרים שלמים ובתכונותיהם, כמו ראשוניות וכדומה.
מתמטיקאים משתמשים לעיתים במונח 'אריתמטיקה'
כתחליף לתורת המספרים, גם במובנה הרחב.
כבר בתקופה הפרהיסטורית, בני האדם החלו להבין את רעיונות המספר והחישוב, כנראה בעקבות הצורך בהגדרת בסיס להכללת עצמים.
האדם החל לפתח במוחו דרכים לחישוב יעיל ופשוט והשתמש באצבעותיו כדי לייצג עצמים ולספור אותם.
בתקופה זו חלה נקודת מפנה חשובה, כאשר האדם תפס לראשונה את החישובים שלו כ"מקרים פרטיים" – חלק מאוסף כללים אוניברסליים, שחלים על כל פעולה אריתמטית שיבצע, בכל צורה.
בכך החל האדם לתפוס כיצד לחשב בצורה יעילה יותר (נראה שהבנה זו התקבלה רק כאשר העביר האדם את חישוביו אל אמצעי עזר, כגון ספירת עצמים מוחשיים וכתב).
מאז, התפתחה האריתמטיקה ועברה שכלולים רבים עד לגלגולה המודרני.
לפי יוסף בן מתיתיהו ההיסטוריון הנודע של העת העתיקה בספרו 'קדמוניות היהודים' כותב שאברהם אבינו המציא את הארתימטיקה המורכבת ואת האסטרונומיה ולימד את המצרים שלימדו את היוונים.
המצרים הקדומים היו הראשונים שביצעו פעולות מורכבות בתחום האריתמטיקה.
כבר בראשית האלף ה-3 לפנה"ס לערך, פיתחו המצרים גרסה ראשונית של השיטה העשרונית, כשהיא נכתבת בצורה חיבורית, שבה סדר הגורמים איננו משנה את המספר.
הספרות המצריות שילבו כתב יתדות עבור הספרות 1–9 והשתמשו בציורי הירוגליפים עבור שאר הגדלים בהם השתמשו.
אחר כך עברו המצרים לשיטה יעילה יותר, שצמצמה את מספר הספרות שאותו היו צריכים לחרוט, אך חסרונה היה מספר הספרות הגדול, שהקשה על זכירת השיטה, והגביל אותה לאלו שהוכשרו במיוחד.
כמו כן, תרמו המצרים להתפתחות השברים.
ישנם מספר ממצאים, כמו פפירוס מוסקבה ופפירוס רינד (1650 לפנה"ס), המעידים על יכולת פתרון משוואות ליניאריות וריבועיות, אך בכל הממצאים הללו ניכר כי המצרים ראו באריתמטיקה מדע שימושי, ותו לא.
שיטת הספירה הבבלית הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: הבבלים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה לשיטה העשרונית בימינו, כאשר בסיס הספירה הוא 60. בסיס זה השפיע רבות על חיינו – אנו סופרים 60 שניות בדקה ו-60 דקות בשעה, ומחלקים את המעגל ל-360 מעלות.
ישנן עדויות המעידות על רמתם המתמטית של הבבלים, כמו לוח החרסית פלימפטון 322. חסרונה העיקרי של שיטת הספירה הבבלית, הוא היעדר סימן מיוחד לספרה אפס, שגרם לבבלים להשאיר רווח בכל מקום שבו אמורה להימצא הספרה.
חיסרון זה כובל את קריאת המספר הכתוב אל ההקשר שלו.
בעוד שהבבלים והמצרים ראו באריתמטיקה כולה בבחינת מדע שימושי, היוונים פיתחו את האריתמטיקה המחקרית במאה ה-5 לפנה"ס.
היוונים השתמשו במערכת אקסיומות כדי לבסס את חישוביהם, והתעניינו במהות הפילוסופית של המספרים.
הם מיינו את המספרים לסוגים שונים וחקרו את תכונותיהם הכלליות.
היוונים היו הראשונים שהוכיחו כי ישנם אינסוף מספרים ראשוניים; הם סללו את הדרך למציאת הוכחה ל"משפט היסודי של האריתמטיקה" ואף גילו שורשים שהם מספרים אי-רציונליים.
המתמטיקאי היווני דיופנטוס חיבר במאה השלישית את ספרו "אריתמטיקה" שנחשב המקביל האריתמטי-אלגברי ל"יסודות" של אוקלידס.
בספר זה הציג דרכים לפתירת מערכת משוואות שמספר הנעלמים בהן גדול ממספר המשוואות ופתרונותיהם הם מספרים שלמים בלבד; משוואות אלה קרויות על-שמו, משוואות דיופנטיות.
בזכות יצירה זו מכונה דיופנטוס בשם "אבי האלגברה".
תרבות המאיה, שהשתמשה בשיטת ספירה המתבססת על המספר 20, הביאה עמה את המספר 0 כחידוש רב משמעות.
סימונים למקומות "ריקים" היו קיימים עוד קודם לכן, אך ספרת ה-0, במשמעות הקרובה ביותר לזו המוכרת לנו כיום, החלה בשימוש על ידי המאיה.
השיטה העשרונית, שבה אנו משתמשים כיום, שיטה המציגה כל ספרה כסכום של חזקות של 10, החלה את קיומה בהודו.
הספרות העשרוניות המוכרות לנו כיום, התפתחו מספרות אלה ועברו שינויים צורניים עד אשר התקבעו במאה החמש-עשרה, בין היתר עקב השפעת מהפכת הדפוס.
ההודים פיתחו את כללי החשבון מן התרבות המצרית והתרבות הבבלית וביססו את המספרים השליליים ואת הבדלת ערכי השורש של מספר חיובי.
שיטה זו אומצה בהמשך על ידי התרבות הערבית אשר פיתחה את אופן כתיבת הספרות לצורתן הנוכחית.
לאונרדו מפיזה (הידוע גם בשם פיבונאצ'י) העביר את השיטה ההודית-ערבית לאירופה, באמצעות ספרו הנודע "ספר החשבונייה", שנכתב ב-1202.
במהלך ימי הביניים חוותה המתמטיקה בכללותה עצירה מסוימת בפיתוחה.
בימי הרנסאנס שב הפיתוח המתמטי לאירופה בכללותו, ובפרט עיסוק בנושא האריתמטיקה.
הבסיס הבינארי, שבו נעשה שימוש בשני סימנים בלבד – 0 ו-1, פותח במאה השבע-עשרה על ידי לייבניץ ונכנס לשימוש מעשי בעיקר עם התפתחות האלקטרוניקה הספרתית, בעיקר בזכות תרומתו של קלוד שאנון.
עם התפתחות המחשוב, נכנס בסיס זה לשימוש גם במחשב, אך עקב היותו מסורבל לשימושם של בני האדם, הממשק בין האדם למחשב נעשה בשיטה העשרונית, ומומר על ידי המחשב לבסיס בינארי לשם פעולתו הפנימית.
במקביל נכנסו לשימוש בתחום המחשוב שיטות ספירה שבסיסיהן הם חזקות טבעיות של 2 – בסיס אוקטלי ובסיס הקסדצימלי.
עם התפתחות המתמטיקה המודרנית, קיבלה המילה "אריתמטיקה" משמעויות נרחבות יותר מאשר "הענף העוסק בפעולות חשבוניות", ובאריתמטיקה המודרנית נכללים תחומים רבים בתורת המספרים, כגון תבניות ריבועיות ועקומים אלגבריים מסובכים יותר (ובפרט עקומים אליפטיים).
האריתמטיקה היסודית עוסקת במספר פעולות יסודיות: חיבור, חיסור, כפל וחילוק; פעולת הכפל החוזר, הקרויה העלאה בחזקה; הפעולות ההפוכות לחזקה – הוצאת שורש ולוגריתם.
ארבע הפעולות הראשונות נקראות ארבע פעולות החשבון:
פעולת החיבור קשורה להוספת מספר עצמים למספר אחר של עצמים.
את החיבור של a ו-b מסמנים ב-, קרי: "a ועוד b" או "a פלוס b".
שני המספרים a ו-b נקראים "מחוברים", ותוצאת החיבור היא ה"סכום" שלהם.
פעולת החיסור מתקבלת מגריעה של מספר עצמים ממספר אחר, או הפרדה של קבוצה לשתיים.
החיסור של b מ-a מסומן , קרי: "a פחות b" או "a מינוס b".
האיבר השמאלי מכונה "מחוסר" והימני "מחסר".
תוצאתה של פעולת החיסור נקראת "הפרש".
בפעולת הכפל אפשר לראות תהליך של חיבור חוזר: חיבור מספר נתון של כמויות שוות זו לזו.
הכפל של a ב-b מסומן או , קרי: "a כפול b" או "a פעמים b".
בפעולת הכפל כל איבר נקרא "כופל", והתוצאה נקראת "מכפלה".
פעולת החילוק הפוכה לכפל; היא עונה על השאלה: "כמה עצמים יהיו בכל חלק של קבוצה נתונה, אם יחלקו אותה למספר נתון של חלקים שווים".
החילוק של a ב-b מסומן a/b, או a:b, או גם , קרי: a חלקי b.
האיבר a הוא "מחולק" (או "מונה") והאיבר b הוא "מחלק" או ("מכנה").
תוצאתה של פעולת החילוק נקראת "מנה".
חוקי החשבון הם כללים יסודיים שאותן מקיימות ארבע פעולות החשבון, וניתן להיעזר בהם לפישוט תהליך החישוב.
הראשון שכתב את חוקי החשבון כפי שהם ידועים לנו כיום היה המתמטיקאי ההודי בראהמגופטה, ב-625 לספירה לערך.
חוקים חשובים אלה הופכים את פעולות החשבון לפעולות שימושיות ורבות יישומים.
באופן מוכלל, מבנה עשיר כדוגמת המספרים הרציונליים והממשיים המאפשר את פעולות החשבון ומקיים את כלליהן נקרא שדה.
להלן פירוט הכללים האריתמטיים היסודיים.
חוק הקיבוץ או חוק הצירוף (אסוציאטיביות)
חוק הפועל על פעולות החיבור והכפל.
סכומם או מכפלתם של כמות מספרים מסוימת בסדר קבוע, יכולים להופיע בסדר שונה וניתן לקבץ אותן בסוגריים מבלי שתוצאתם תשתנה, משום שאין חשיבות לסדר הפעלתן כאשר הן היחידות מסוגן.
ניתן לבטא זו בצורה מתמטית, כאשר a,b,c הם גורמים הערוכים בסדר מסוים:
כאשר מחברים או מכפילים שני מספרים, אין חשיבות לשאלה מי הראשון ומי השני.
לעומת זאת, פעולות החיסור והחילוק אינן קומוטטיביות.
כאשר מתרגמים את אופרטורי החילוק והחיסור לאופרטורי חיבור וכפל משנים את האופרנד השני, ולכן ישנה חשיבות לסדר האופרנדים.
אין זה מקרי שקיבלנו מספרים ששונים בסימנם – זוהי תכונה כללית.
החוק הקושר את פעולות החיבור והכפל.
הוא קובע שלכל שלושה מספרים מתקיים:
קיום איבר יחידה ואיברים נגדיים
לפעולת החיבור ולפעולת הכפל קיימים איברי יחידה תואמים שאינם משנים את תוצאת החישוב לאחר הפעלתם.
המספר 0 הוא איבר היחידה של חיבור – תוצאת חיבור מספר עם אפס היא המספר עצמו: .
בצורה דומה 1 הוא איבר היחידה של כפל: .
לחיסור ולחילוק אין איברי יחידה.
בנוסף לכל מספר יש איבר נגדי שתוצאת הפעלתו עם המספר נותנת את איבר היחידה.
המספר הנגדי למספר ביחס לחיבור מסומן והוא מקיים: .
האיבר הנגדי ביחס לכפל נקרא גם מספר הופכי ומסמנים אותו והוא שווה ל-.
במספרים שלמים, פעולת החזקה אינה אלא שם מקוצר לפעולת כפל חוזרת של מספר בעצמו: המכפלה של a בעצמו b פעמים נקראת "a בחזקת b", ומקובל לסמן אותה בסימון .
כאשר b מספר קטן, מקצרים בעברית וקוראים ל- "a בריבוע" ל-
"a בשלישית", ל- "a ברביעית", וכדומה.
a נקרא "בסיס החזקה" ו-b ה"מעריך".
שורש היא פעולה שעונה על השאלה "מהו המספר שאם נעלה אותו בחזקה מסוימת יתן לנו תוצאה נתונה?" שורש מסדר a של b מסומן .
קרי: שורש מסדר a של b.
לוגריתם היא פעולה ההפוכה לפעולת החזקה.
פעולה זו מוצאת את החזקה בהינתן בסיס ותוצאה; עונה על השאלה "באיזה חזקה נצטרך להעלות מספר נתון כדי לקבל מספר נתון אחר?".
לוגריתם של a לפי בסיס b נכתב .
מן הגדרה שהבאנו לעיל, ניתן להסיק את חוקי החזקות:
מכפלה של שתי חזקות בעלות אותו בסיס שווה לחזקה בעלת אותו בסיס, שהמעריך שלה הוא סכום המעריכים של שתי החזקות המוכפלות, כלומר:
חזקה של חזקה בעלת בסיס נתון, תהיה שווה לחזקה של אותו הבסיס שהמעריך שלה הוא מכפלת המעריכים של שתי החזקות הקודמות, כלומר:
חזקה של מכפלת שני בסיסים, שווה למכפלת החזקות בעלות אותו המעריך של שני הבסיסים, כלומר:
כדי שחוק המכפלה של חזקות ישמר, יש להגדיר לכל a שונה מאפס כי ו-.
ניתן להציג כל מספר נתון במספר צורות בהתאם לטווח הספרות הנתון בידינו לצורך הצגתו.
בחיי היום יום משתמשים בעיקר בשיטת הספירה העשרונית.
מבחינה היסטורית, קודם לשימוש בבסיס העשרוני, הופיעו שיטות ספירה נוספות אשר התבססו על רצף ספרות המייצגות מספר בתלות בערך אליו משויכת כל ספרה ולעיתים בתלות במקומה, כך שלמקום לא הייתה משמעות טכנית מבחינת סדר הגודל הכללי, אלא בתלות בספרות אחרות.
בשיטות הספירה העברית, למשל, מבטאת כל אות מספר הקבוע מראש בלא תלות במקומה במילה.
בעת כתיבה בספרות רומיות, שהיא שיטת כתיבה המבוססת על אותיות לטיניות, נעשה שימוש בהקבצה: לכל אות משויך ערך מסוים, ומיקומה קובע את חיבור ערכה או חיסור ערכה ביחס לאותיות שלידן היא עומדת.
החיסרון העיקרי של שיטות אלה נוגע לסרבול שלהן בעת הצגת מספרים גדולים, ובפרט בעת ביצוע חישובים באמצעותם או אחד כלפי השני כאשר הם בייצוג שונה.
בשיטה הבבלית מופיע לראשונה הרעיון של קשר בין המיקום של הסימן לסדר הגודל אותו הוא מבטא כאשר שיטה זו משלבת עקרונות של קיבוץ ושל סכום חזקות שבסיסן שישים.
עם הופעת השיטה הערבית-הודית, הפך השימוש בבסיס העשרוני לנפוץ במיוחד וכיום הוא משמש כשיטה כמעט בלעדית לצורכי יום-יום בעולם כולו.
בתחומי האלקטרוניקה הספרתית והמחשבים בפרט, נעשה שימוש רב בבסיס בינארי לצורכי הפעלת מעגלים, כאשר לרוב '0' מציין מתח פעולה נמוך ו-'1' מציין מתח פעולה גבוה.
פעולות עם בסיס בינארי מסורבלות למדי לבני אדם, משום שהמספרים ארוכים יחסית, נהוג להציג את זיכרון המחשב בבסיסים כמו אוקטלי והקסדצימלי, או בשיטות אחרות שבסיסן עבור n טבעי.
כמו כן, נמצאים בשימוש מצומצם יחסית בסיסים נוספים כמו בסיס דואודצימלי.
במעבר מבסיס כללי K כלשהו לבסיס עשרוני, תיוצג המילה כך:
מבחינה מתמטית, שינוי שיטת הספירה אינו משנה את מהותו של המספר, אך הוא משנה את האופן הטכני בו תבוצענה עליו הפעולות האריתמטיות.
כך, למשל, בעת ביצוע פעולת חיסור בבסיס הקסדצימלי יילקח לווה השווה ל-10 בבסיס הקסדצימלי שהם 16 בבסיס עשרוני.
המונח "אריתמטיקה" מתקשר לעיתים גם לתורת המספרים בהקשר של תכונות ומציאת אלגוריתמים העוסקים בנושאים כגון ראשוניות, מבחני התחלקות ופירוק לגורמים, כמו גם פתרון משוואות דיופנטיות.
בעבר נהוג היה להתייחס אל תורת המספרים בכללותה, בהרחבה, כאל "אריתמטיקה", אף כי היום אין נהוג לעשות עוד שימוש במונח זה למטרה זו.
הדים לשימוש זה ניתן למצוא, למשל, במונחים "המשפט היסודי של האריתמטיקה" ו"פונקציות אריתמטיות".
המשפט היסודי של האריתמטיקה עוסק בפירוק לגורמים.
משפט זה קובע כי כל מספר טבעי יכול להיכתב כמכפלה ייחודית של מספרים ראשוניים, פרט לשינוי סדר הגורמים.
כפי שנרמז משמו, למשפט זה חשיבות רבה בתורת המספרים, שכן הוא מראה כי המספרים הראשוניים הם "אבני הבניין" של כלל המספרים.
שמו של משפט זה מהווה דוגמה להכללה של המונח "אריתמטיקה" כך שהוא כולל גם נושאים המוכללים כיום בשם הרחב יותר "תורת המספרים".
פונקציות אריתמטיות הן פונקציות שמבואן הוא מספר טבעי ומוצאן הוא מספר טבעי אף הוא, כאשר המוצא נקבע לפי תכונות החלוקה של המבוא.
דוגמה לפונקציה זו היא פונקציית מביוס.
השם אשר נבחר לקבוצת פונקציות זו מדגים אף הוא מבט כולל יותר על גבולות האריתמטיקה.
הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף פילוסופי העוסק בשאלות הנוגעות למדע המתמטיקה בפרט.
מתוקף היות האריתמטיקה ענף מרכזי מאוד במתמטיקה, עולות סביבה שאלות פילוסופיות רבות אשר נוגעות ליסודות מהן "בנויה" המתמטיקה.
כמו כן, שאלות רבות הנוגעות לפילוסופיה של האריתמטיקה, נושקות אף לתחומים אחרים, כגון תורת המספרים.
התפתחויות אריתמטיות רבות, הושפעו בתקופתן מהפילוסופיות והדתות אשר מהן הושפעו המתמטיקאים.
כך, למשל, פילוסופיות קוסמולוגיות של דת הג'ייניזם ההודית הובילו לעיסוק מורחב של המתמטיקאים ההודים במספרים גדולים ולפיתוחים נלווים.
היחס הפילוסופי אל האריתמטיקה בכללותה הכתיב לא אחת את אופן ההתפתחות שלה במקומות ובזמנים שונים.
היוונים הקדומים, למשל, התייחסו אל האריתמטיקה כאל תחום מדעי-מחקרי בנוסף להיותו כלי שימושי ולפיכך ניסו לבססו על מערכת של אקסיומות ומשפטים הנובעים מהם ותרמו לפיתוח וארגון הידע האריתמטי בתקופתם.
הרומים, לעומתם, התייחסו אל האריתמטיקה כאל כלי טכני-יישומי ולפיכך לא התעמקו בחקרה ולא אמצו חלק מן הידע של קודמיהם היוונים.
דוגמה נוספת להשפעה פילוסופית על התפתחות המתמטיקה היא סוגיית ההתפתחות של המספר והמכלול הרעיוני שמאחורי האפס.
במשך שנים רבות לא הוכר האפס כמספר בפני עצמו ויוצג כ"מקום ריק" בכתיבת מספרים.
זאת, בין היתר, עקב הקושי הפילוסופי שעוררה המחשבה כי ניתן "לייצג שום דבר".
קיומם של מספרים, הוא נושא לתהיות פילוסופיות רבות.
האם, ובאיזה מובן, קיימים המספרים?
האם המספרים הם ישויות מוחלטות או פרי מערכת אקסיומות "סתמית"?
האם ישנו הבדל בין משמעות קיומם של מספרים טבעיים לרציונליים, אי-רציונליים, טרנסצנדנטיים או אף מרוכבים?
בהקשר זה ידועים דבריו של המתמטיקאי לאופולד קרונקר: "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה ידי אדם".
אף סביב הפעולות האריתמטיות עולות שאלות פילוסופיות רבות.
למשל: האם הפעולות האריתמטיות המוכרות לנו הן מוחלטות, או תלויות במערכת הגדרות ואקסיומות "סתמיות"?
האם ייתכנו מערכות אריתמטיות שבסיסן שונה באופן מהותי מן האריתמטיקה המוכרת לנו?
ניתן לייצג שאלה זו באופן ציורי יותר: אם נפגוש חיזרים תבוניים, האם הבסיס האריתמטי עליו נשענת המתמטיקה שלהם יהיה זהה במהותו?
במתמטיקה המודרנית, המונח "אריתמטיקה" משמש, בהכללה, לתחום העוסק בקיום פתרונות למשוואות, או מערכות של משוואות, מעל השדות של תורת המספרים, ובמיוחד שדות מקומיים וגלובליים.
תחום זה, הנקרא לפעמים גם אריתמטיקה גאומטרית, עוסק למשל בקיום פתרונות למשוואות כמו (כאשר n הוא מספר טבעי), כאשר המשתנים x,y,z צריכים להיות מספרים רציונליים.
אחת השאלות המרכזיות בתחום קשורה בהיקף התחולה של עקרון הסה, הקובע שבמקרים מסוימים, קיומו של פתרון למשוואה מעל כל השלמה של השדה K, מבטיח שקיים פתרון גם בשדה K עצמו.
עקרון הסה חל על תבניות ריבועיות, אבל הוא נכשל, לדוגמה, עבור עקומים אליפטיים.
פירושו של דבר הוא שלמשוואה מהצורה (עם מקדמים רציונליים) יכולים להיות פתרונות מעל הממשיים ומעל כל שדה של מספרים p-אדיים, בשעה שאין לה פתרונות מעל הרציונליים.
את המידה שבה נכשל עקרון הסה ניתן לכמת באמצעות חבורה הנקראת חבורת שפרביץ', שאותה מגדירים בכלים קוהומולוגיים.
משערים שחבורה זו סופית, אך לעת עתה לא נמצאה לכך הוכחה.
האריתמטיקה נושקת גם לתורת השדות, בה מביאות שאלות אריתמטיות למחקר ענֵף של תכונות של שדות.
כך למשל נחקרים "שדות Cn", שבהם מובטח פתרון למשוואות הומוגניות מסוימות, ושדות פסאודו-סגורים אלגברית, המחקים היבטים מסוימים של השדות הסגורים אלגברית.
חיי היום-יום דורשים מהאדם לבצע פעילויות אריתמטיות פשוטות כחלק מהתנהלותו השגרתית.
כך, למשל, שימוש בפעולות אריתמטיות פשוטות נעשה בבישול, בנהיגה, בקריאת שעון, בתכנון כלכלת הבית ולצרכים רבים נוספים.
כלים בסיסיים מתחום האריתמטיקה נחשבים לחלק בלתי נפרד מן האוריינות.
נוסף על כך, האריתמטיקה היסודית מהווה את הבסיס ההכרחי לרכישת ידע מתקדם יותר במתמטיקה, כאשר המתמטיקה בכללותה נחשבת כדיסציפלינת מדע מרכזית; הידע המתמטי בכללותו מהווה לא אחת מדד מרכזי בקביעת השכלתו הפורמלית של אדם (למשל, במבחן הפסיכומטרי או ה-SAT לצורך קבלה ללימודים אקדמאיים).
לפיכך, מקנה החברה חשיבות רבה לרכישת מיומנויות אריתמטיות כבר בגיל צעיר.
אריקה מאן הייתה שחקנית וסופרת גרמנייה ממוצא יהודי.
כבתם של הסופר זוכה פרס נובל תומאס מאן ואשתו קטיה פרינגסהיים באה אריקה מאן כבר בילדותה המוקדמת במגע עם דמויות בולטות בעולם התרבות הגרמנית של תחילת המאה ה-20.
עוד כתלמידת גימנסיה במינכן הופיעה על בימת התיאטרון הגרמני בברלין, לאחר שמקס ריינהרט התערב לטובתה.
לאחר שהשלימה את חוק לימודיה התחילה ללמוד משחק בברלין, אך פרשה בשל עומס ההופעות הרב.
ב-24 ביולי 1926 התחתנה עם עמיתה השחקן גוסטף גרינדגנס, שביחד איתו ועם אחיה קלאוס ואשתו פמלה ודקינד זכתה להצלחה בימתית גדולה עם המחזה "אנייה ואסתר".
בשנת 1929 התגרשו בני הזוג.
ביחד עם אחיה קלאוס יצאה בשנת 1927 למסע חובק עולם בן כמה חודשים, ששני האחים עיבדו בספר המסע "Rundherum".
היא הייתה מעורבת כשחקנית בסרט משנת 1931 המספר על רומן לסבי בין שתי נשים, "נערות במדים" , בבימויה של לאונטין סייגן, אך עזבה את ההפקה לפני השלמתה.
ב-1932 פרסמה את "שטופל ממריא מעל הים" , הראשון מבין שבעה ספרי ילדים שכתבה.
התחזקות הנאציזם בגרמניה בשנת 1932 הגבירה את מעורבותה הפוליטית, שאותה ביטאה במספר רב של כתבות בעיתונים.
התעמתותה עם הנאצים הביאה גם לסוף הקריירה שלה בתיאטרון.
בשנת 1933 ייסדה עם אחיה קלאוס את הקברט הפוליטי מטחנת הפלפל.
כמה חודשים אחרי כן עזבה משפחת מאן את גרמניה.
תחילה היגרו לעיר סנרי-סיר-מר שבצרפת ולאחר מכן לקיסנאכט שבשווייץ.
שם המשיכו הופעותיה של "מטחנת הפלפל".
ההופעות סווגו בידי הרשויות הגרמנית כ"עוינות לגרמניה", ובשל כך נשללה אזרחותה הגרמנית ביוני 1935. ב-15 ביוני התחתנה עם איש הספרות ההומוסקסואל ויסטן יו אודן, שאותו לא פגשה לפני כן מעולם, ובשל כך הוענקה לה אזרחות בריטית.
בקיץ 1937 היגרה משפחת מאן לארצות הברית.
שם המשיכה מאן את פעילותה נגד הרייך השלישי, פרסמה כתבות בעיתונות והרצתה ברחבי המדינה.
בתוך כך נודעה לה השפעה גדולה על אביה, במיוחד בכל הקשור בעמדתו הביקורתית כלפי גרמניה.
בשנת 1938 טיילו אריקה ואחיה קלאוס ברחבי ספרד, כדי להתרשם ממלחמת האזרחים הספרדית.
בין 1940 ל-1946 דיווחה מאן על מלחמת העולם השנייה, בין השאר עבור ה-BBC ועבור הצבא האמריקאי.
לאחר תום המלחמה התחזק הקשר בינה לבין אביה, והיא שימשה כיד ימינו בעבודתו.
במסגרת תפקיד זה ביקרה בארץ ישראל בספטמבר 1943.
בשל החשד שדבק במשפחת מאן בתקופת המקארתיזם, עזבה אריקה ביחד עם הוריה את ארצות הברית בשנת 1952 ושבה לשווייץ.
את שנותיה האחרונות הקדישה לטיפול בעזבונם של אחיה קלאוס, שמת ב-1949, ושל אביה, שמת ב-1955.
בין כתביה גם ספרי ילדים ונוער רבים.
מאן מתה ב-27 באוגוסט 1969 בציריך מגידול במוח.
הספר האורות כבים, ובו עשרה סיפורים שכתבה מאן, ראה אור בעברית בשנת 2019 בהוצאת "אפרסמון" ובתרגומה של עידית שורר.
הספר "בית ספר לברברים – החינוך ברייך השלישי", ראה אור בעברית בהוצאת אפרסמון בשנת 2024 בתרגומו של ארז וולק.
מאן הייתה נשואה פעמיים לתקופה קצרה, והחל משנות ה-40 ניהלה אורח חיים לסבי באופן גלוי, כאשר ניהלה מערכות יחסים עם העיתונאית בטי קוקס, שאותה הכירה במהלך עבודתן כעיתונאיות אשר סיקרו את מלחמת העולם השנייה.
עוד קודם לכן, ב-1930, ניהלה רומן קצר עם הסופרת והצלמת אנמארי שוורצנבך, שנשארה אחר כך חברה קרובה של משפחת מאן, ואחר כך עם השחקנית תרזה גיזה, שהקימה יחד עם אריקה מאן וקלאוס מאן את הקברט הפוליטי האנטי-נאצי 'מטחנת הפלפל' ב-1933.
בשנת 2005 ויולה רוגנקאמפ פרסמה ספר Eine jüdische Tochter.
בחשבון אינפיניטסימלי, כללי האריתמטיקה של גבולות (לעיתים בראשי תיבות: אש"ג) הם חוקים בסיסיים העוסקים בגבולות של פונקציות המתקבלות מביצוע פעולות אריתמטיות בין פונקציות (ממשיות או מרוכבות) נתונות.
תהיינה ו- פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של שעבורן קיימים הגבולות הסופיים ו-.
בתנאים אלו מתקיימים הכללים הבאים:
הגבול של סכום פונקציות, שווה לסכום הגבולות של הפונקציות, כלומר:
הגבול של מכפלת פונקציות, שווה למכפלת הגבולות של הפונקציות, כלומר:
אם נבחר בפונקציה , קבוע, יתקבל המקרה הפרטי .
בפרט ומכאן נובע "כלל ההפרש", המקביל בצורתו לכלל הסכום, ועוסק בגבול של הפרש פונקציות.
הגבול של מנת פונקציות, שווה למנת הגבולות של הפונקציות בתנאי ש: , כלומר:
כללי האריתמטיקה לגבולות סופיים תקפים גם כאשר .
תהיינה ו- פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של שעבורן מתקיים:
, כאשר (כלומר מספר סופי).
בתנאים אלו מתקיימים כללי האריתמטיקה לגבולות אינסופיים שלהלן:
כאשר לא ניתן לדעת באופן מיידי את ערכו של הגבול מכיוון שגבול זה אינו מוגדר היטב, שכן הוא מהצורה של "" ולכן במקרה זה לא ניתן לדעת דבר על הגבול או על קיומו.
יש לחפש דרכים אחרות לחישוב הגבול, ביניהן כלל לופיטל.
כללי האריתמטיקה לגבולות האינסופיים תקפים גם כאשר .
תהי פונקציה המוגדרת בסביבה (נקובה או לא) של שעבורה מתקיים:
קיימת סביבה מנוקבת של בה מתקיים .
הערה: המשפט אנלוגי לגמרי עבור המקרה בו קיימת סביבה נקובה של בה מתקיים ובמקרה הזה הגבול הוא .
גם כלל זה תקף כאשר .
אם ו- פונקציות שעבורן וכן גם (עבור כלשהם),
ומתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים (1) (כלומר רציפה ב ) (2) בסביבה מנוקבת של
אז הגבול של הרכבת הפונקציות בנק' קיים ושווה ל- .
נסמן ב- וב- את הגבולות של ושל בהתאמה.
יש להוכיח כי קיים כך שלכל
מהנתונים על הגבולות של ו- נסיק כי:
קיים כך שלכל המקיים מתקיים (1).
קיים כך שלכל המקיים מתקיים (2).
יש להוכיח כי קיים כך שלכל המקיים מתקיים .
קיים כך שלכל המקיים מתקיים
נקבל, על-פי אי-שוויון המשולש, כי:
כלומר, הראינו שאם מקיים אזי , ומכאן נובע כלל המכפלה.
נתון ש- רציפה בנקודה , לכן קיים כך שלכל המקיים (כולל ) מתקיים
ולכן קיים כך שלכל המקיים מתקיים
מ-(2) נסיק כי לכל המקיים מתקיים ולכן עבור נקבל מ-(1) כי , כנדרש.
במקרה השני, אנחנו ניאלץ לדרוש ש-, ולכן נבחר קטן מספיק (כפי שחייב להיות לפי התנאי השני), שעבורו כפי שרצינו.
היענותו של סוזה מנדש למצוקת הפליטים נבעה לדבריו מקול מצפונו ומהמוסר הנוצרי שלו.
הוא הצהיר כי "אני מעדיף להיות עם אלוהים נגד האדם, מאשר להיות עם האדם נגד אלוהים".
הוא הפר במוצהר את הוראות ממשלתו כשהנפיק כ-30,000 אשרות ליהודים ולנרדפים בני לאומים אחרים, ובכך סיכן ביודעין את הקריירה שלו ואת עתיד משפחתו, בהצילו אגב כך מספר רב של אנשים ממוות.
בשנת 1966 הכיר בו יד ושם כחסיד אומות העולם.
חייו לפני מלחמת העולם השנייה
סוזה מנדש נולד בשנת 1885 למשפחה אריסטוקרטית, בעיר קאבאנאש דְה ויריאטו בפורטוגל.
אביו היה שופט בבית המשפט העליון ואחיו התאום, סזאר, היה לימים שר החוץ בין השנים 1932–1933 בממשלתו של הרודן אנטוניו דה אוליביירה סלזר.
סוזה מנדש למד משפטים באוניברסיטת קוימברה וקיבל תואר שני במשפטים.
ב-1910 נישא לאהובת נעוריו, אנז'לינה.
זמן קצר אחר כך החל קריירה דיפלומטית.
ב-1929 מונה לקונסול בג'נובה (איטליה), אך לא כיהן בתפקיד, מכיוון שנשלח לשרת כקונסול כללי באנטוורפן.
לאחר כמעט עשור של שירות בבלגיה הוצב סוזה מנדש באוגוסט 1938 כקונסול כללי בקונסוליה הפורטוגלית בעיר הנמל בורדו, צרפת, לשם עבר עם אשתו ו-14 ילדיהם והיה אחראי על כל אזור דרום מערב צרפת.
פועלו במהלך מלחמת העולם השנייה
במהלך מלחמת העולם השנייה פלש הצבא הנאצי לצרפת ולארצות השפלה במלחמת בזק ב-10 במאי 1940. אלפי פליטים נסו לבורדו, בתקווה להספיק לעבור את הגבול לספרד לפני הגעת הנאצים לשם.
בפורטוגל נקט אמנם הרודן סלזר מדיניות של נייטרליות, אך מאידך הורה לקונסוליות שלא להנפיק אשרות פורטוגליות ל"זרים שנתינותם אינה מוגדרת או שנויה במחלוקת, לחסרי נתינות וליהודים שגורשו מארצות מוצאם".
אשרות הונפקו רק על ידי הממשל בליסבון, ורק לאחר בדיקה פרטנית של כל בקשה.
הפליטים היהודים בבורדו, ונציגם הרב חיים קרוגר, לחצו על סוזה מנדש להנפיק להם אשרות מעבר פורטוגליות.
הוא ניסה לפעול על פי הנהלים ושלח מאות מברקים מוצפנים, כנדרש, של בקשות לאשרות לליסבון, אך לרוב לא נענה.
לאחר היסוסים החליט סוזה מנדש לפעול בניגוד להנחיות ממשלתו, בחוזר 14 שציין קטגוריות של פליטי מלחמה שמשטרת פורטוגל (PVDE) ראה בהם "בלתי נוחות או מסוכנים." הקטגוריות כללו "יהודים שגורשו מארצותיהם או אלה שמהם הם יוצאים, חסרי אזרחות, וכל אלה שאינם יכולים לחזור בחופשיות למדינות שמהן הם באים.
סוזה מנדש החליט להנפיק אשרות לכל דורש תוך שיתוף פעולה עם הדיפלומט הספרדי אדוארדו פרופר דה קאייחון.
בעזרת הרב קרוגר החתים את דרכוניהם של אלפי פליטים באשרות מעבר פורטוגליות, בעבודה רצופה ללא הפסקה ב"פס יצור" של הנפקת אשרות.
בשל עומס העבודה חתם לעיתים בשם "מנדש" בלבד.
לחסרי הדרכונים מבין הפליטים נמסרו פיסות נייר שהוחתמו באשרות.
בין הפליטים שקיבלו אשרות אלו היו גם בני משפחת המלוכה מבית הבסבורג, בראשם אוטו פון הבסבורג, יורש העצר של הכתר האוסטרו-הונגרי.
גם הפסנתרן נורברט ג'ינגולד והסופר הצרפתי שארל אולמון ניצלו בזכות האשרות שהנפיק סוזה מנדש.
ב-19 ביוני הופצצה בורדו, והפליטים המבוהלים נסו לעיר באיון הקרובה יותר אל הגבול הספרדי.
סוזה מנדש הותיר את משפחתו בבורדו והמשיך עמם לקונסוליה הפורטוגלית בבאיון, שם המשיך בהנפקת האשרות.
ב-22 ביוני נשלחו אליו, לבורדו ולבאיון, מברקים מסלזר המורה לו להפסיק את הנפקת האשרות.
אך הוא לא קיבלם, שכן המשיך בעקבות הפליטים אל אנדֶה (Hendaye), העיר הדרום-מערבית ביותר בצרפת, בגבול ספרד.
שם המשיך בהנפקת האשרות ברחוב.
הוא אף התלווה אל הפליטים בדרכם אל מעבר הגבול, על מנת לוודא כי האשרות יכובדו.
ב-23 ביוני שגריר פורטוגל בספרד הגיע אל מעבר הגבול ופגש את סוזה מנדש.
הוא דיווח לממשלתו כי סוזה מנדש נוהג "כאדם מופרע".
סוזה מנדש נשאר ברחובות אנדה על מנת להמשיך לעזור לפליטים עד 26 ביוני, אז נכנסו הגרמנים לבאיון.
כשחזר לבורדו, מצא את מברקו של סלזר מ-24 ביוני בו נמסר לו כי משרתו נשללה ממנו וכי עליו לעזוב את צרפת.
הגרמנים כבשו את בורדו ב-27 ביוני וסוזה מנדש המשיך לעזור לפליטים, ואף הנפיק דרכונים פורטוגלים כדי למנוע גירושם של פליטים למחנות ריכוז.
בשל כך קיבל שוב פקודה מליסבון לעזוב, אך השתהה בצרפת עד ל-8 ביולי.
בינתיים מלאה פורטוגל פליטים שהביעו בפומבי את הכרת תודתם לשלטון הפורטוגלי.
העיתונות העולמית הכתירה את סלזר בתוארי כבוד.
סלזר כבר לא יכל לסגור את הסכר שפתח סוזה מנדש ולמנוע מפליטים להגיע לפורטוגל.
אולם הוא לא סלח לסוזה מנדש על שהכריח אותו לפעול כך.
סוזה מנדש הוכרז "בלתי כשיר מקצועית", הורחק ונודה.
ניסיונותיו לערער או אף לזכות בשימוע עלו בתוהו.
התערבותו של אחיו התאום, שר החוץ לשעבר, עלתה לאח בהשעיית משרתו לחמש שנים.
כשהביע הרב קרוגר באוזניו את צערו על הסבל שנגרם לו בעקבות מעשיו, ענה לו סוזה מנדש:
הנס ריי ואשתו מרגרט (מחברי ספרי ג'ורג' הסקרן) היו בין אלה שקיבלו ממנו ויזה.
מנדש נקרא לליסבון לעמוד למשפט על הפרות הסדר שלו כביכול.
בשימוע טרם המשפט רצה לטעון לעצמו כיוון שהיה עורך דין.
לצורך משפטו הוקם בית דין משמעתי מיוחד.
סוזה מנדש לא הורשה להגן על עצמו.
בתצהיר שהגיש לשופטיו כתב בין השאר: "אכן הייתה זו מטרתי, להציל את כל אותם האנשים, אשר סבלם היה בל-יתואר.
מעולם לא חדל להדריכני במילוי חובותיי, בידיעה מלאה של אחריותי."
מחוץ להפרות החוזרות ונשנות של כל הוראותיו של סָלָזָר, הייתה תלויה כנגדו גם התלונה המוזרה של השגרירות הבריטית בבורדו, שהאשימה את מֵנְדֶשׁ בדחיית הטיפול במבקשי אשרות בריטיים, שהיו זכאים לאשרות על פי הנחיית סָלָזָר.
בית-הדין מצא אותו "בלתי-כשיר מקצועית" והמליץ להשעותו לשישה חודשים, אם כי הכיר בנסיבות מקלות לעבירותיו.
למרות החלטת בית הדין, משטרו של סלזר המשיך בנקמתו: למנכ"ל משרד החוץ סַמְפָּיוּ היה חשבון אישי עם אחיו, מהימים שכיהן כשר החוץ, ועליו הוטל לאשר את גזר הדין.
הוא ביטל את הנסיבות המקלות, ובהתחשב בעובדה שהקונסול היה עוד גאה במעשיו המליץ להורידו בדרגה לצד ההשעייה.
התיק הועבר לעיונו ואישורו של הרודן.
מנדש ביקש להזכיר את רגשותיו בתור אב לשנים-עשר ילדים, אך הבקשה הרגיזה את סלזר שהיה רווק ערירי והתגורר עם שתי אחיותיו, שהיו בתולות זקנות.
לסלזר היו כנראה סיבות נוספות לנקום במנדש, הן בשל מעשיו הוא והן בשל מעשיו של אחיו.
כשהוגש פסק-הדין לאישורו, הנחית את המהלומה האחרונה: בעוד סַמְפָּיוּ ניסה לפחות להציל את פרנסתו של מֵנְדֶשׁ לצד הורדתו בדרגה, הורה סָלָזָר כי בתום ההשעיה יפוטר מֵנְדֶשׁ ללא גמלאות.
מֵנְדֶשׁ ההמום ערער על פסק דינו בנובמבר אך ערעורו נדחה.
הוא עוד הרחיק לכת וחתם עם בניו על עצומה למען הדמוקרטיה בפורטוגל.
בתגובה זומנו כולם לחקירה במשטרה.
מעתה היו מוסדות החינוך חסומים בפני הבנים.
תחת שלטונו הרודני של סלזר, לא יכול סוזה מנדש להתקבל לכל משרה שהיא, ואף לא לקבל פיצויי פיטורין או פנסיה.
גם מילדיו נשללה כל אפשרות לעבוד.
סוזה מנדש נאלץ למכור את אחוזת המשפחה בקאבאנאש דה ויריאטו, והמשפחה הגדולה רעבה ללחם.
הם נעזרו בשירותי בית תמחוי שנוהל על ידי ארגון עזרה יהודי לפליטים בליסבון (היא"ס).
המשטרה החשאית עקבה אחריו ואחר ילדיו.
אשתו, אנז'לינה לבית קואליו, שתמכה בזמנו בפעילותו, נפטרה בשנת 1948 בגיל 60. סוזה מנדש נפטר חסר כל בשנת 1954.
ארגון היא"ס עזר לילדיו להגר מפורטוגל לארצות הברית ולמדינות אחרות.
אשתו הראשונה, שהייתה מעורבת בסיוע לפליטים, הייתה מריה אנזלינה לבית קואליו (Maria Angelina Coelho de Sousa Mendes 1948-1888)
ב-1949 התחתן סוזה מדגש עם אנדרה סיביאל.
סוזה מנדש לא זכה להכרה בחייו על פועלו.
גם תקוותו כי ינוקה מאשמה על ידי ממשלתו לא התגשמה בימיו.
עוד בימי חייו, בשנת 1952 כתב אחד מבניו, סבסטיאו מיגל דוארטה דה סוזה מנדש, ספר ראשון על פועלו.
בשנת 1966 הוכר סוזה מנדש כחסיד אומות העולם על ידי יד ושם, ועץ ניטע על שמו בשדרת חסידי אומות העולם.
ב-1987 בנו התשיעי, ג'ון פול אברנשש (2009-1932), שהתגורר בקליפורניה, הקים את הוועד הבינלאומי להנצחתו של ארישטידש דה סוזה מנדש.
ב-1987 העניק נשיא פורטוגל מריו סוארש לסוזה מנדש את אות "מסדר החירות" והתנצל פומבית בפני המשפחה על העוול שנגרם לו על ידי ממשלת סלזר.
ב-1988 קיבל הפרלמנט של פורטוגל החלטה פה אחד על החזרתו הרשמית של סוזה מנדש, אחרי מותו, לסגל הדיפלומטי של פורטוגל.
באותה שנה הוענקה לו גם אזרחות כבוד של מדינת ישראל.
ב-1994 הקדיש נשיא פורטוגל סוארש לסוזה מנדש פסל בדמותו, שהוצב בבורדו.
ממשלת פורטוגל החליטה על הקמת מרכז לימוד וזיכרון על שמו ועל תשלום פיצויים למשפחתו.
ב-1998 הנפיק השירות הבולאי בישראל, בשיתוף יד ושם, בול ליום הזיכרון לשואה ולגבורה, הנושא את דיוקנותיהם של חמישה דיפלומטים חסידי אומות העולם, ביניהם ארישטידש דה סוזה מנדש.
ב-2004 יצא לאור בהוצאת יד ושם ספר הקומיקס של ג'וזה רוי: "אריסטידס דה סוזה מנדס – גיבור בתקופת השואה".
הספר תורגם לעברית בידי שבח דוד, ומיועד לבני נוער.
בשנת 1995 הנפיק השירות הבולאי של פורטוגל בול עם דמותו של סוזה מנדש.
ב-11 במאי 2005 ערך אונסק"ו מחווה לזכרו של סוזה מנדש - רסיטל של זמר האופרה הפורטוגזי ז'ורז'ה שָמינֶה.
הסופר הצרפתי ז'אן לקוטיר שיבח את הרסיטל: "בחמישים שנותי כמאזין בכל קצווי עולם מעודי לא האזנתי להופעה מדהימה כזו.
איזו מחווה מופלאה לאדם דגול זה!".
ב-2007–2008 הוצגה במשכן הכנסת תערוכה אודות חייו ופועלו.
התערוכה גם הוצגה במשרד החוץ (במסגרת יום השואה הבינלאומי 2008) וב"יד ושם".
ב-2011 הופק סביב סיפורו סרט דרמה (דובר פורטוגזית) 'הקונסול של בורדו' (O Cônsul de Bordéus).
ב-2017 נפתח בווילאר פורמוסו, עיירת גבול בין פורטוגל לספרד, מוזיאון המתעד את פעילות ההצלה של סוזה מנדש.
בתל אביב קיים על שמו רחוב.
בפתח תקווה קיים על שמו גן ציבורי.
בירושלים ברחוב זנגוויל נקראה כיכר על שמו.
אנשים ידועים שקבלו אשרות מסוזה מנדש
הנס ריי ואשתו מרגרט ריי (מחברי ספרי ג'ורג' הסקרן)
אריתה לואיז פרנקלין הייתה זמרת גוספל, מוזיקת נשמה ורית'ם אנד בלוז אמריקאית, שנולדה בממפיס שבטנסי, וגדלה בדטרויט שבמישיגן.
כונתה במשך שנים "מלכת שירי הנשמה" או "גברת נשמה".
היא נודעה בהקלטות שירי מוזיקת נשמה ורית'ם אנד בלוז, אך הרבתה לבצע גם יצירות ג'אז, רוק, בלוז, פופ, גוספל ואפילו אופרה.
מוזיקאים ועיתוני מוזיקה דוגמת "רולינג סטון" הגדירו אותה כאחת הזמרות הטובות ביותר אי-פעם, ושיבחו את יכולתה לחדור בשירתה אל עומק הנשמה (ומכאן הכינוי "גברת נשמה") ואת האמונה הפנימית העמוקה ששירתה חדורה בה, ואחת היא מה נושא השיר.
פרנקלין ניצבת במקום השלישי ברשימת הזמרות הפופולריות עטורות הפרסים בהיסטוריה של פרסי גראמי, אחרי ביונסה ואליסון קראוס.
פרנקלין זכתה בשמונה-עשר פרסי גראמי, מתוכם אחד-עשר על הביצוע הווקאלי הטוב ביותר של זמרת רית'ם אנד בלוז, הישג ללא תקדים.
בשמונה מבין אלה זכתה ברציפות.
מדינת מישיגן הגדירה את קולה כ"פלא טבע".
ב-2005 העניק לה הנשיא ג'ורג' ווקר בוש את מדליית החירות הנשיאותית, עיטור הכבוד האזרחי הגבוה ביותר בארצות הברית.
דורגה במקום הראשון ברשימת 100 הזמרים הגדולים בכל הזמנים של רולינג סטון.
משפחתה התגוררה לאחר מכן זמן קצר בבאפלו שבניו יורק ואז עברה לדטרויט, מישיגן.
כשהייתה בת שש הוריה התגרשו ואמה, ברברה - זמרת גוספל אף היא - עזבה את המשפחה.
ארבע שנים לאחר מכן נפטרה.
פרנקלין גדלה עם אביה, שהיה כומר בפטיסטי, ונודע גם הוא ביכולותיו המוזיקליות.
כילדה שרה אריתה עם אחיותיה, קרולין וארמה, בכנסייה שבה שימש אביה בתפקיד הכומר.
אביה לימד אותה לנגן בפסנתר משמיעה וצירף אותה אליו לסבב הופעות בסגנון גוספל בכל ארצות הברית.
בתקופה זו, בעודה נערה צעירה להפליא, ילדה פרנקלין את שני בניה הראשונים: קלרנס נולד כשהייתה בת 12, ואדוארד (אדי) שנתיים וחצי אחריו.
זמן קצר לאחר לידתו של אדוארד נשרה מהלימודים בתיכון, וסבתה לקחה אליה את שני הילדים כדי שפרנקלין תוכל להמשיך בפיתוח הקריירה שלה.
בעידוד אביה היא התחילה להקליט בגיל 14 בחברת צ'קר/צ'ס משיקגו.
אחד משני אחיה, ססיל, שימש ביחד עם אביה כמנהל עסקיה של פרנקלין לזמן מה עד שהתמנה לכומר.
האח השני, ווהן, היה לטייס מקצועי בחיל האוויר.
פרנקלין נישאה לטד וייט ב-1962 והוא הפך למנהל עסקיה בשנותיה עם תקליטי קולומביה.
לזוג נולד בן אחד, תיאודור (טדי) וייט ג'וניור (1964).
הנישואים תמו בשנת 1969. כמה הכפשות שפורסמו בכלי התקשורת בתקופה זו הניעו את פרנקלין לשמור ביתר שאת על פרטיותה, ובמשך כמה שנים היא נמנעה מראיונות כל וכול.
בדצמבר 2010 נמסר כי פרנקלין סובלת מסרטן ועוברת טיפולים.
ב-13 באוגוסט 2018 חלה הידרדרות במצבה הרפואי כתוצאה מסרטן הלבלב, וב-16 באוגוסט 2018, הלכה לעולמה בגיל 76 בביתה בדטרויט.
פרנקלין חתמה על חוזה עם "קולומביה רקורדס", אחרי שהתגלתה על ידי ג'ון האמונד.
בראשית שנות ה-60 היו לה כמה שירים פופולריים, ואם כי חברת קולומביה רצתה לבנות אותה כזמרת ג'אז התוצאות לא העידו על כשרונותיה של פרנקלין במלואם.
הישגיה הגדולים והחדשנים ביותר עוד היו שמורים לעתיד לבוא.
אחרי שעברה ל"תקליטי אטלנטיק" בשנת 1967, עבדה פרנקלין עם המפיקים ג'רי וקסלר ואריף מארדין, והתוצאה
הייתה כמה מהקלטות ה-R&B המרשימות ביותר בשנות ה-60, ביניהן
שיר עתיר רגש ומלהיב פי כמה מרוב שיריה הקודמים.
בסוף אותו עשור כבר דבק באריתה פרנקלין הכינוי "מלכת הנשמה", משהייתה לאמנית בעלת פרסום בינלאומי וסמל גאווה לקהילת האפרו-אמריקאים בארצות הברית.
פרנקלין עצמה אמרה על תקופה זו, "כשעברתי לאטלנטיק, הם פשוט הושיבו אותי ליד הפסנתר והלהיטים התחילו לצאת."
היא הוציאה מספר רב של להיטי צמרת בסוף שנות ה-60 וראשית שנות ה-70: מוזיקת גוספל ופופ, מוזיקה פסיכדלית ורוקנרול, ביניהם גרסאות כיסוי לשירים של הביטלס ("אלינור ריגבי") וסיימון וגרפונקל ("גשר על מים סוערים").
Live at Fillmore West ו"חסד מופלא" היו שניים מפרסומיה המשפיעים ביותר באורך מלא.
הלהקה שליוותה אותה בתקליט הראשון כללה את הנגנים קינג קרטיס, ברנרד פרדי ובילי פרסטון; התקליט היה אריך נגן כפול של מוזיקת גוספל חיה, שהוקלטה בכנסייה בפסטיסטית בלוס אנג'לס.
פרנקלין לא הגיעה מעולם אל פסגת מצעד הפזמונים הבריטי - התוצאה הטובה ביותר שלה הייתה המקום הרביעי, בגרסה שלה ל"אני אומרת תפילה קטנה" של ברט בכרך ב-1968.
בראשית שנות ה-70 התמתנה המוזיקה שלה במידת מה, אם כי לא איבדה דבר מעוצמתה.
היא המשיכה בקשריה עם וקסלר ומארדין, שקצרו הצלחה עצומה, ובמקביל החלה לקחת חלק גדל והולך בהפקת עבודתה.
שותפות עם קווינסי ג'ונס הובילה לאלבום מאכזב בשנת 1973 ("הצד האחר של השמים"), אבל שיר אחד התבלט בו בכל זאת, "מלאך", שכתבה אחותה קרוליין והיה לשיר נשמה קלאסי.
היא חזרה לעבוד עם וקסלר, ותקליטם המשותף האחרון, "You", יצא באטלנטיק בשנת 1975. אחריו הוציאה עוד כמה תקליטים עם חברת אטלנטיק, האחרון שבהם בשנת 1976.
בסוף שנות ה-70 ובמהלך שנות ה-80 חלה ירידה בפופולריות ובהצלחה שלה בעיני המבקרים.
רובם ביטלו את החומר שהפיקה בשנים שאחרי חברת אטלנטיק כנופל בהרבה מהקלטותיה במחצית השנייה של שנות ה-60.
פרנקלין החליפה בהתראה של הרגע האחרון את לוצ'אנו פבארוטי בשירת האריה "נסון דורמה" (Nessun Dorma) מתוך "טורנדוט" של פוצ'יני בשידור הטלוויזיוני של גראמי בשנת 1998.
בתקופה האחרונה של חייה התגוררה בדטרויט.
ב-5 בפברואר 2006 שרה עם ארון נויל וד"ר ג'ון, בלוויית מקהלה בת 150 זמרים, את ההמנון הלאומי לפני משחק אליפות בניו אורלינס, שהייתה בשלבי שיקום לאחר הוריקן קתרינה.
בשנת 2008 הוציאה את אלבום חג המולד הראשון שלה, This Christmas, Aretha.
ב-20 בינואר 2009 שרה במהלך טקס השבעתו של הנשיא ברק אובמה.
ב-2021 יצא סרט קולנוע המבוסס על סיפור חייה בשם "ריספקט".
אריקו מלטסטה (באיטלקית: Errico Malatesta; 14 בדצמבר 1853 – 22 ביולי 1932) היה אנרכו-קומוניסט איטלקי בעל אמונה חזקה, אותה חלק עם ידידו פיוטר קרופוטקין, לפיה המהפכה האנרכיסטית תתרחש בקרוב.
שהה חלק גדול מחייו בגלות ממולדתו ולמעלה מ-10 שנים היה אסור בכלא.
מלטסטה כתב וערך מספר עיתונים רדיקאלים והיה חברו של מיכאל באקונין.
מלטסטה היה אנרכיסט של עקרונות - תמך תמיד בעקרונות האנרכיסטים ללא תלות בסיטואציה.
כך דחה פוליטיקה של מפלגות, ומהפכה פוליטית, והעדיף מהפכה חברתית; הוא היה אפילו חשדן כלפי השימוש בארגוני עובדים מהפכניים, כפי שהציעו האנרכו-סינדיקליסטים.
עבודתו המתמשכת כמארגן ודובר גילמה את האידיאלים שלו של התאגדות חופשית: עבור מלטסטה, היה טעם להצטרף להתארגנות רק לשם המטרה של עשייה משותפת עם קבוצה זו של אנשים.
לא היה שום הגיון עבורו בלהשתייך לקבוצה פשוט לצורך ההשתייכות.
מלטסטה היה מחויב למהפכה: הוא האמין שהמהפכה האנרכיסטית תבוא בקרוב, ושאלימות תהיה חלק הכרחי ממנה היות שהמדינה נשענת בסופו של דבר על כפייה אלימה.
כפי שכתב במאמר "ה'חפזון' המהפכני":
מלטסטה, אם כן, הטיף לאלימות כחלק "הכרחי" לצורך שחרורו של מעמד הפועלים.
מלטסטה פרסם כ-15 ספרים באיטלקית על אנרכיזם.
רק ספרים ספורים תורגמו לאנגלית או לשפות אחרות.
במאה ה-21 ראו אור מספר ספרים המתעדים שיחות עם מלטסטה, וכן אסופות של מאמריו.
כמו כן פורסמו מחקרים רבים על חייו ועל תפיסותיו.
אריקו פטרלה (איטלקית: Errico Petrella; 10 בדצמבר 1813, פאלרמו - 7 באפריל 1877, ג'נובה) היה מלחין אופרה איטלקי.
כמלחין שמרן מן האסכולה הנאפוליטנית, נחל פטרלה הצלחה רבה בכתיבתו האופראית בשנות ה-50' וה-60' של המאה ה-19 באיטליה, שני רק לוורדי, שהתייחס אליו בבוז.
בזמנו היה פופולרי הן כמחבר אופרה בופה והן בחיבור יצירות רציניות יותר.
יצירותיו המוקדמות, שביצועי הבכורה שלהן היו בין 1929 ל-1839, לא היו מוצלחות במיוחד.
רק כאשר הוצגה "קרנבל בוונציה" (נאפולי, נואובו, 20 במאי 1851) זכה לתשומת לב של ממש.
"אלנה מטולוזה" (נאפולי, פונדו, 12 באוגוסט 1852) הייתה הבאה בתור.
לבסוף, ב-1854, הסתער פטרלה על עולם האופרה האיטלקית וכבש אותו באחת עם "מארקו ויסקונטי" (נאפולי, סאן קארלו, 1854).
"המצור על לאידה" (לה סקאלה, 1856) הייתה הרביעית בסדרת ניצחונותיו הרצופים, ו"יונה" (לה סקאלה, 1858) הייתה אירוע חשוב ונשארה ברפרטואר עד ראשית המאה ה-20. מלבד שתי יוצאות מן הכלל ("הרוזנת מאמלפי" על פי ובסטר ו"הארוסים" על פי מנצוני) האופרות שכתב בשנות ה-60' של המאה ה-19 היו כישלונות, בדרך כלל.
מכל מקום, אולי בגלל התנגדותו של ורדי, עברו קרוב ל-50 שנה מאז זכתה איזו שהיא מיצירותיו לביצוע מחודש מלא באיטליה.
הביצוע היחיד שאפשר להשיג על תקליטור, של האופרה "יונֶה", היה בקראקס, ונצואלה ב-1981. הביצוע לא היה לכבוד המלחין אלא משום שהאופרה הוצגה בעונה הראשונה של התיאטרון העירוני בעיר זו 100 שנה קודם לכן.
"קרנבל בוונציה" או "אמצעי הזהירות" (1851)
אֶריקָה לנדאו (Erika Landau; 15 באוקטובר 1931 – 5 באוגוסט 2013) הייתה פסיכולוגית ישראלית וחוקרת בתחום עתידנות, יצירתיות, מחוננות וחינוך.
מייסדת ומנהלת המכון לקידום נוער ליצירתיות ומצוינות, המרכז הראשון למחוננים בישראל, מדריכה בתוכנית לפסיכותרפיה של בית הספר לרפואה באוניברסיטת תל אביב, וכן פסיכותרפיסטית למבוגרים.
לנדאו נולדה בשם אריקה שכנר בעיר צ'רנוביץ שברומניה, בתם של רוזה ואוסקר שכנר, שעסק בייבוא תפוזים מארץ ישראל.
עם הפלישה הסובייטית לעיר ב-1940, בעת מלחמת העולם השנייה, ירדה המשפחה למחתרת כדי להימנע מגירוש לסיביר.
כשנכבשה העיר על ידי הנאצים ביולי 1941, כשהייתה כבת עשר, נשלחה לנדאו עם משפחתה למחנה עבודה ליד נהר דנייסטר.
בתום ארבע שנים במחנות שוחררו בני המשפחה.
אביה נפטר כשנה לאחר השחרור, וב-1947 עלתה לארץ ישראל עם אמה החולה.
כדי לפרנס אותה ואת אמה יצאה לעבוד כפועלת במפעל לטקסטיל.
שם החל רומן עם מנהל המפעל, שלומי לנדאו, שלחם במלחמה עם כוחות בנות הברית.
בהיותה בת 17 וחצי נישאה ללנדאו, שהיה מבוגר ממנה בעשרים שנה.
ב-1960 החלה ללמוד פסיכולוגיה ותולדות האמנות באוניברסיטת תל אביב.
לאחר שקיבלה תואר בוגר, המשיכה ללמוד בה לתואר מוסמך בפסיכולוגיה.
ב-1965, לאחר שסיימה, נסעה בעצת מרטין בובר לכתוב את הדוקטורט שלה בשפת אמה, גרמנית, באוניברסיטת מינכן שבגרמניה.
הדיסרטציה (1968), בנושא "הפסיכולוגיה של היצירתיות" (Psychologie der Kreativität), התפרסמה ב-1969 כספר ותורגמה למספר שפות.
ב-1968, כששבה לישראל, הקימה את המחלקה לחינוך במוזיאון הארץ (שבו עבדה עוד קודם לנסיעתה לגרמניה) והחלה לעבוד עם ילדים בפיתוח יצירתיות ועם מבוגרים (ובפרט עם אמנים) כפסיכותרפיסטית.