tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
פרקטיקה של בית המשפט העליון להפנות למשפט השוואתי (בעיקר מאנגליה וארצות הברית)
רפורמות חקיקה המבוססות על מודלים השוואתיים
במשפט הישראלי קיימת נטייה הולכת וגוברת לעבר המשפט האמריקני.
העולם כולו נע לכיוון אמריקה (עם זאת דבר זה יכול להוות בעיה שכן ישנם הבדלי תרבות וגישות).
שיטת משפט מעורבת (שואבת רבות מהדין האנגלי)
אנו שיטת משפט חדשה ורכה בשנים, חסר לה העומק של שיטות משפט ותיקות
בשונה מארצות הברית אין לנו פרקטיקה השוואתית כפדרציות או אזורית כדוגמת האיחוד האירופי
חברה הטרוגנית ורב תרבותית- רצון להיחשף לתרבויות שונות והשפעות שלהן
מערכת משפט מרוכזת (פרלמנט המורכב מבית אחד, מתנקזת לבית המשפט העליון)
ראשית הפרויקט ההשוואתי באירופה של המאה ה-19 עם הרצון לקידום קודים משפטיים מודרניים.
בשלב זה קיים עניין מועט בעולם האנגלו-אמריקני.
עיקר הדיון עסק ביתרונות-חסרונות של קודיפיקציה מול דין שנוצר בפסיקה.
מהגרים גרמנים שעזבו לארצות הברית אחרי עליית הנאציזם, כמו רודולף שלזינגר, הביאו איתם את התפיסה ההשוואתית ששלטה בגרמניה.
עולה האמונה כי משפט השוואתי ישמש כלי להעברת בשורת הליברליזם הקפיטליסטי והדמוקרטי למדינות מתפתחות ומדינות עולם שלישי.
מותם של מהגרים מגרמניה והתפכחות מאשליית הקדמה, הביאו לשקיעה של המשפט ההשוואתי משנות ה-70 של המאה הקודמת, אך בתקופה האחרונה אנו חווים פריחה מחודשת הבאה לידי ביטוי באמצעות:
גלובליזציה – בעידן בו כל העולם הוא כפר קטן המידע נגיש וחופשי, קל לבדוק המתרחש במקומות אחרים.
המשפט הבינלאומי והאזורי – משקל גדול למשפט הבינלאומי, התייחסות ויניקה משם.
עיסוק בשיטות משפט שבעבר לא עסקו בהן (סין – יפן, מוסלמי – יהודי, אפריקאי – לטיני).
תחומי עניין חדשים: זכויות אדם, משפט פלילי, משפט חוקתי ועוד.
באנליזה מרוכבת, משפט השאריות הוא משפט חשוב המאפשר לחשב אינטגרלים על מסלול סגור של פונקציות הולומורפיות באמצעות הכרת התנהגותן בנקודות הסינגולריות שלהן.
משפט זה הוא הכללה של משפט האינטגרל של קושי־גורסה ונוסחת האינטגרל של קושי, ובנוסף לחשיבותו בתחום האנליזה המרוכבת, הוא גם מאפשר חישוב נוח של אינטגרלים ממשיים שלעיתים לא ניתן לחשב בדרך אחרת.
יהי תחום פשוט קשר ויהיו אוסף סופי של נקודות ב-.
תהא מסילה סגורה ב- כך שכל הנקודות מוקפות על ידה.
השארית של הפונקציה בנקודה היא המקדם של החזקה בטור לורן של הפונקציה סביב הנקודה .
כמו כן נסמן ב- את מספר הפעמים שבו המסילה מקיפה את הנקודה (האינדקס של המסילה).
כלומר, האינטגרל על המסילה שווה ל- כפול סכום השאריות של נקודות הסינגולריות בתחום שמקיפה המסילה, כאשר כל שארית נלקחת כמספר הפעמים שמוקפת הנקודה הסינגולרית שלה.
בקוטב פשוט (קוטב מסדר 1) , השארית של נתונה על ידי .
אם הגבול הזה לא קיים, זוהי נקודת סינגולריות עיקרית.
אם הגבול קיים ושווה 0 אז אנליטית בנקודה או שזוהי נקודת סינגולריות סליקה.
אם הגבול קיים אך אינסופי אז הנקודה היא קוטב מסדר גבוה מ־1.
אם ניתן לכתוב את הפונקציה כמנה של שתי פונקציות, , כאשר ו־ הן פונקציות הולומורפיות בסביבה של , ו־ ו־, ניתן להראות באמצעות כלל לופיטל שמתקיים:
באופן כללי יותר, אם הוא קוטב מסדר , אזי ניתן למצוא את השארית של סביב הנקודה על ידי הנוסחה:
נרצה לחשב את האינטגרל הבא:
נשים לב כי בתוך המעגל נקודת הסינגולריות היחידה של היא .
נשתמש בפיתוח הפונקציה לטור לורן על מנת לחשב את השארית.
כמו שנכתב לעיל, השארית היא המקדם של האיבר בטור לורן ולכן נקבל ש: .
על פי משפט האינטגרל של קושי, די להראות כי כאשר האינטגרל נלקח על מעגל קטן דיו סביב הנקודה כך שאינו מכיל נקודות סינגולריות נוספות של הפונקציה.
מכיוון שהפונקציה אנליטית סביב הנקודה , ניתן לפתח אותה לטור לורן סביב נקודה זו: .
מכיוון שטור זה מתכנס במידה שווה מתקיים
כעת, עבור הפונקציה אנליטית בכל העיגול , ולכן על פי משפט אינטגרל קושי, .
עבור מתקיים גם כן ואילו עבור מתקיים .
את ההוכחה לכך ניתן לראות בהוכחת נוסחת האינטגרל של קושי.
מכל אלו נובע כי כמבוקש.
באמצעות המשפט ניתן לחשב אינטגרלים של פונקציות ממשיות, שיכולים להיות קשים לחישוב בכלים של אנליזה ממשית.
אינטגרל מוכלל בכל הישר הממשי של פונקציה רציונלית
לכל (כלומר, לכל x ממשי)
(כלומר, מעלת הפולינום g גדולה לפחות ב-2 ממעלת הפולינום f)
כאשר הם השורשים של בחצי המישור העליון (כפולינום עם משתנה מרוכב).
השימוש המקורי במשפט דורש להקיף את הנקודות הלא-אנליטיות.
הדרישה כאן להפרש בין מעלת המכנה למעלת המונה נדרשת כדי שניתן יהיה להזניח את התרומה של החלק במסילה שעובר בחצי המישור העליון בגבול שבו היקפו הולך לאינסוף, כך שנשארת רק התרומה על הציר הממשי כולו.
משפט השאריות הסיני הוא שמם של מספר משפטים בתורת המספרים ובתורת החוגים, הקשורים זה לזה.
בצורתו הבסיסית והמקורית המשפט עוסק במערכת של משוואות מודולריות ומבטיח קיום של פתרון למערכת תחת תנאים מסוימים.
מקורו של המשפט בספר מהמאה ה-3 של המתמטיקאי הסיני סן-צו, ומכאן שמו.
המשפט פורסם פעם נוספת ב על ידי מתמטיקאי סיני נוסף, צ'ין ג'יו-האו.
יהיו מספרים טבעיים זרים בזוגות (כלומר המחלק המשותף המקסימלי של כל שניים מהם הוא 1).
יהיו מספרים שלמים כאשר .
קיים פתרון יחיד מודולו .
בניסוח אחר, מופשט יותר, המשפט קובע שהחוג איזומורפי למכפלה הישרה של החוגים .
רעיון ההוכחה הוא למצוא בסיס בו מודולו הם 1 ומודולו (כאשר ) הם 0. תוצאות אלה בונות בסיס למרחב הפתרונות, והפתרון המבוקש הוא צירוף ליניארי של איברי בסיס עם המקדמים החופשיים במשוואות המודולריות.
נגדיר ואז מתקיים כי זרים (מאחר ש- זר לכל גורם במכפלה ).
לכן לקונגרואנציה הליניארית קיים פתרון יחיד .
נסכם בעזרת הדלתא של קרונקר:
אזי לכל מתקיים כי ומאחר שכל ה- זרים נובע שגם , ומכאן ששני הפתרונות שקולים מודולו .
בכך הסתיימה ההוכחה, שמציגה גם אלגוריתם מהיר לפתרון מערכת קונגרואנציות.
נפתור את מערכת המשוואות הבאה:
מסקנה של המשפט היא כי .
יהי , אפשר לשכן אותו ב- על ידי
לפי משפט השאריות הסיני קיים כך שמתקיים , ולכן נתאים
כאשר x הוא זה שמתקבל ממשפט השאריות הסיני והוא יחיד עד כדי מודולו .
שתי ההתאמות הללו הן הומומורפיזמים הופכיים אחד של השני ולכן מגדירות איזומורפיזם בין שני החוגים.
יהי חוג עם יחידה (לאו דווקא קומוטטיבי).
נניח כי האידיאלים זרים בזוגות (או "מקסימליים הדדית"), כלומר לכל .
אז חוג המנה איזומורפי, לפי ההטלה הטבעית, לסכום הישר של החוגים .
בפרט, אם קומוטטיבי והאידיאלים כולם אידיאלים מקסימליים ושונים זה מזה, אז הוא מכפלה ישרה של שדות.
משפט השלמות, אותו הוכיח קורט גדל בעבודת הדוקטורט בשנת 1929, הוא אחד המשפטים היסודיים בלוגיקה מתמטית.
המשפט קושר שתיים מן הדרכים היסודיות לטיפול המתמטי במושגים של אמת ושקר, נכון ולא נכון: הנכונות של טענה בכל מודל למערכת אקסיומות, לעומת האפשרות לבנות הוכחה מתוך האקסיומות.
לפי משפט השלמות, כל טענה שהיא נכונה - בכל מודל של מערכת אקסיומות נתונה - ניתן להוכיח באופן פורמלי מתוך מערכת האקסיומות.
בניסוח אחר, לכל תורה עקבית קיים מודל.
הוכחת משפט השלמות היא קונסטרוקטיבית, כלומר מראה כיצד ניתן לבנות מודל זה, ומתקבל שהוא בן מנייה אם מערכת האקסיומות של התורה סופית, וגודלו אינו עולה על גודלה של מערכת האקסיומות, אחרת.
משפט הפוך למשפט השלמות הוא משפט הנאותות, שקובע כי אם ניתן להוכיח טענה כלשהי ממערכת אקסיומות נתונה, אזי טענה זו נכונה בכל מודל של מערכת זו.
גרסה פופולרית (ושגויה) של משפט האי-שלמות הראשון של גדל קובעת ש"בכל תורה קיימת טענה אמיתית שאינה ניתנת להוכחה".
משפט השלמות סותר במפורש את הניסוח הזה: כל משפט שהוא אמיתי (בכל מודל), ניתן להוכחה.
אכן, לפי משפט האי-שלמות קיימת בתורה (חזקה מספיק, דהיינו אריתמטית, אפקטיבית ועקבית) נוסחה שאינה ניתנת להוכחה (וגם לא לסתירה) – אבל אין זה נכון שנוסחה זו נכונה בכל מודל.
אדרבא, לפי משפט השלמות, קיים מודל עקבי שבו היא נכונה, וקיים מודל עקבי שבו היא אינה נכונה.
כאמור, משפט השלמות קובע כי אם טענה נכונה בכל מודל של תורה כלשהי, אז ניתן להוכיח את הטענה מתוך תורה זו.
נראה כי המשפט שקול לטענה כי לכל תורה עקבית קיים מודל.
בכיוון אחד, אם משפט השלמות מתקיים, ואם בשלילה קיימת תורה עקבית שאין לה מודל, אז תנאי משפט השלמות מתקיים באופן ריק עבור תורה זו: כל טענה נכונה בכל המודלים שלה (שהרי אין כאלו).
ממשפט השלמות נקבל שניתן להוכיח מתורה זו כל טענה, ובפרט ניתן להוכיח בה טענה ושלילתה, ולכן היא אינה עקבית, בסתירה להנחה.
בכיוון השני, נניח כי לכל תורה עקבית יש מודל.
אם נניח בשלילה כי משפט השלמות לא מתקיים, אז קיימת תורה עקבית וטענה , כך ש- נכונה בכל המודלים של , אולם לא ניתנת להוכחה מ-.
ממשפט הנאותות נקבל שגם שלילתה של אינה ניתנת להוכחה מ- (כיוון ש- עצמה מתקיימת בכל המודלים של , ואנו יודעים שקיים לפחות מודל אחד כזה), ולכן אפשר להרחיב את על ידי הוספת השלילה של אליה כאקסיומה חדשה, ו- עדיין תישאר עקבית.
עתה, מכיוון ש- מתקיימת בכל המודלים של , אז נקבל שלתאוריה החדשה שקיבלנו אין מודלים כלל, וזו סתירה לכך שהיא עקבית.
בגאומטריית המישור, משפט התיכון (ידוע גם כמשפט אפולוניוס) קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.
כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים:
משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט סטיוארט הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים:
במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1.
נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם אז p<0)
במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים:
במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים:
נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל:
על פי כלל המעבר, נקבל:
אם , המשולש שווה-שוקיים והתוצאה מתקבלת מידית מהפעלת משפט פיתגורס.
אחרת, , נחשב את שטח המשולש לפי נוסחת הרון:
נחשב את שטח המשולש ונקבל באותו אופן את התוצאה הבאה:
התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, כלומר .
נכפיל פי 4 ונעלה את שני האגפים בריבוע:
נצמצם ב- (זו פעולה חוקית מכיוון שהנחנו כי ) ונקבל את התוצאה:
משפט הרקורסיה (גם: משפט נקודת השבת, או משפט הרקורסיה של קליני) הוא משפט בתורת החישוביות הנוגע לקשר בין פונקציות בנות־חישוב לתיאור שלהן.
המשפט הוכח על ידי סטיבן קליני בשנת 1938.
המשפט מדגים כי לכל פונקציה בת־חישוב ניתן לבנות פונקציה "דומה" בעלת נקודת שבת מסוימת.
השלכות המשפט מאפשרות הוכחת אי־כריעות של שפות מסוימות (למשל, אי־כריעות בעיית העצירה), וכן הוכחת משפטי האי-שלמות של גדל.
משפט התוחלת השלמה או משפט ההחלקה הוא משפט בתורת ההסתברות, לפיו התוחלת של התוחלת המותנית של משתנה מקרי כלשהו שווה לתוחלת של אותו משתנה מקרי.
בלשון מתמטית, אם הוא משתנה מקרי אינטגרבילי (כלומר ), ואם הוא משתנה אקראי אחר (לאו דווקא אינטגרבילי), אזי מתקיים .
בהגדרה המודרנית של התוחלת המותנית, משפט ההחלקה הוא התכונה העיקרית המגדירה את התוחלת המותנית, וככזה הוא נובע ישירות מבניית התוחלת המותנית, למשל על ידי משפט רדון־ניקודים.
משפט ההחלקה שימושי כאשר נדרשים לטפל בתוחלת או בפונקציה הסתברותית אחרת של משתנה מקרי המוגדר בתורו על ידי מספר משתנים מקריים.
חישוב התוחלת במקרה זה עשוי לדרוש חישוב של פונקציית צפיפות או הסתברות הכוללת מספר משתנים מקריים.
השימוש בהתניה מפרק את חישוב התוחלת לשני חישובים המתבצעים באופן סדרתי: בחישוב התוחלת המותנית (הפנימית) אנו נדרשים לחשב תוחלת לפי הסתברות מותנית חד-ממדית, ולאחר מכן, התוחלת החיצונית מתבצעת על פונקציה של המשתנה בלבד, גם היא לפי פונקציית הסתברות חד-ממדית.
יהי משתנה מקרי המקבל את הערכים בהסתברות שווה, ויהי משתנה מקרי המקבל את הערכים בהסתברות שווה ובלתי תלוי ב-.
נרצה לחשב את התוחלת של המשתנה , וחישוב ישיר יצריך מציאת פונקציית ההסתברות .
בשימוש במשפט ההחלקה נקבל: .
נחשב תחילה את התוחלת הפנימית: , מכיוון שכאשר ערכו של ידוע (מותנה), ישנם שני ערכים המתקבלים בהסתברות שווה.
כעת נחשב את התוחלת החיצונית:
ללא צורך לחשב את ההתפלגות של המשתנה המקרי .
בהנדסה, מושג ההחלקה מתייחס להוספת התניה במשתנה העזר וביצוע התוחלת לסילוק המשתנה לאחר החישוב (כלומר: "החלקתו").
אי לכך, ניתן להשתמש בעקרון ההחלקה גם לחישוב של פונקציות הסתברותיות שונות, לדוגמה: אם נניח כי קיימות פונקציות הצפיפות , אזי לפי נוסחת ההסתברות השלמה נקבל כי: , כאשר התוחלת האחרונה היא לפי כלל ההסתברות של .
ניתן לנסח גרסה מוכללת עבור משפט ההחלקה למשתנים מקריים מותנים: יהיו שלושה משתנים מקריים, אזי התוחלת המותנית של בהינתן ניתנת לביטוי על ידי התניה נוספת במשתנה , כלומר: .
במקרה זה, התוחלת המותנית היא פונקציה של המשתנה המקרי .
גרסה מוכללת זו שימושית במיוחד באמידת פרמטרים באופן אופטימלי (במובן של מזעור הטעות הריבועית הממוצעת, שכן אומד למשתנה מקרי על-סמך משתנה אחר, , נתון במקרה זה על ידי התוחלת המותנית, .
במקרה זה, התניות נוספות לצורך חישוב האומד ידרשו שימוש במשפט ההחלקה המוכלל.
מובאת כאן ההוכחה עבור משתנים מקריים בדידים:
סכום ההסתברויות של המשתנה המקרי המותנה, שווה לפי הגדרה ל-1, כלומר, , ולכן,
ההוכחה דומה עבור משתנים רציפים, אם מחליפים את ההסתברויות בצפיפויות ואת הסכומים באינטגרלים.
משפט ויגנר-אקרט הוא משפט שחשיבותו העיקרית היא השימוש בו במכניקת הקוונטים.
לפי המשפט, ניתן לכתוב את אלמנטי המטריצה של אופרטור טנזורי אי פריק בין מצבים של תנע זוויתי כמכפלה של גורמים באופן הבא
כאשר מסמל את המספרים הקוונטיים שאינם קשורים לתנע הזוויתי.
הגורם נקרא "אלמנט המטריצה המצומצם", חישובו בדרך כלל מסובך אך ניתן להראות כי הוא איננו תלוי ב- וב- .
המקדמים הם מקדמים ידועים הנקראים מקדמי קלבש-גורדן.
תחת קירוב הדיפול החשמלי ובצימוד L-S, ההסתברות ליחידת זמן של מעבר קרינתי (פליטת פוטון) בין שני מצבים חד אלקטרוניים של אטום מתכונתית לריבוע אלמנט המטריצה
כאשר מייצג את המספרים הקוונטים שאינם קשורים לתנע הזוויתי.
מכיוון שכל אופרטור וקטורי, ובפרט האופרטור , ניתן לכתיבה כטנזור אי פריק מדרגה 1, נוכל להשתמש במשפט כדי לקבל שאלמנט המטריצה יחסי למקדמי קלבש גורדן
מתוך תכונות מקדמי קלבש גורדן, ניתן להסיק את כללי הברירה הבאים למעבר בתנאי דיפול חשמלי: מעבר מותר הוא מעבר שהמצבים ההתחלתי והסופי שלו מקיימים את התנאים
כמו כן, המעבר ממצב עם למצב עם הוא מעבר אסור.
משפט לנדה הוא מקרה פרטי של משפט ויגנר אקרט, עבור אופרטור טנזוריאלי מהמעלה הראשונה: , כלומר אופרטור וקטורי
משפט וזקנה או משפט הזקנה הוא תחום משפטי חדש הבוחן את יחס המשפט לזקנה.
התפתחות התחום כענף משפטי ייחודי, המוכר כתחום הדורש מומחיות והתמחות, החלה בארצות הברית רק בשנות ה-60 של המאה ה-20. בארצות אחרות, כדוגמת קנדה וישראל, התעוררה המודעות לקיומו של תחום משפטי זה רק בשנות ה-90.
הסיבות להתפתחות ענף המשפט זה נעוצות במהפכה הדמוגרפית של הזדקנות החברה האנושית, ובהתפתחות הליטיגציה הדנה בצרכים המשפטיים החדשים של אוכלוסיית הזקנים, לצד החיפוש של שווקים משפטיים על ידי אוכלוסייה גדלה והולכת של עורכי דין פרטיים.
חשיבות ענף המשפט והזקנה נובעת גם מהעמקת המודעות החברתית והפוליטית למושג הגילנות במסגרת הגישה הביקורתית למשפט, ולאור התפתחות ענפי המשפט הבאים למנוע אפליה חברתית.
אחד התחומים בהם משפט הזקנה מתפתח במסגרת המשפט הישראלי הוא בתחום דיני החוזים, בייחוד בשל הצורך בבדיקת המערכות החוזיות הנוגעות למסגרות הדיור החדשות לקשישים.
במסגרת זו נבחנים החוזים הנחתמים בין הקשישים הבאים בשערי מוסדות דיור מוגן, בתי אבות ובתי חולים סיעודיים.
לדוגמה, פסק הדין בעניין עזבון המנוחה הינדה מלגרום נגד משען.
פסק דין נוסף בעניין זה הוא פסק דין קסל נ' מלון עדן בו נדון תוקפו של הסכם שנחתם בין הנתבעים, בעלי בית אבות ומנהליו, ובין המנוחה, על-פיו המנוחה שילמה לנתבעים סך של 530,000 ש"ח תמורת האפשרות להמשיך ולשהות בבית האבות, וכחמישה שבועות לאחר חתימת החוזה הלכה המנוחה לעולמה.
התובעים, יורשיה של המנוחה, טענו כי החוזה נחתם על ידי המנוחה בתנאי עושק, השפעה בלתי הוגנת מצד הנתבעים, תוך עשיית עושר ולא במשפט.
מאידך, טען בית האבות כי המנוחה חתמה על החוזה בדעה צלולה, בהכרה, תוך הבנת החוזה ותוך קניית סיכון מקובלת בהסכמים מסוג זה.
בית המשפט שבחן את העובדות והטענות המשפטיות שהובאו בפניו דחה את תביעת התובעים.
לנוכח חוות הדעת הרפואיות ושאר המסמכים שהוצגו בפניו קבע בית המשפט כי בעת חתימתה על החוזה הייתה המנוחה בכושר פיזי ומנטלי תקין.
בית המשפט המחוזי הפך את התוצאה על בסיס הראיות שהוצגו בפניו וביטל את החוזה (אך לא שינה את ההלכה העקרונית).
תחום דיני עבודה התפתח רבות בעשור האחרון של המאה ה-20 בסוגיות של מניעת האפליה מטעמים שונים, ובהם מניעת האפליה מטעמי גיל המנוגדת לחוק שוויון ההזדמנויות בעבודה, התשמ"ח-1988.
משפט הזקנה ותחום דיני משפחה
גם בתחום דיני המשפחה מתפתח הטיפול בנושא משפט הזקנה, וזאת לאור הזדקנות החברה בישראל.
העלייה בתוחלת החיים, כמו גם העלייה הניכרת בשיעורי הגירושין, הביאה עימה גידול משמעותי בזוגיות שנייה ואף שלישית בגיל הזקנה, יחד עם מערכים משפחתיים תלת-דוריים ואף ארבע-דוריים.
לאור חובת המזונות החלה במשפט הישראלי - מכוח חוק לתיקון דיני משפחה (מזונות), התשי"ט-1959, של ילדים להוריהם, ואף לסביהם - מציאות חברתית של הזדקנות החברה הביאה עימה סוגיות משפטיות שבעבר כלל לא היו קיימות, או לחלופין, לא הגיעו לבתי המשפט.
לדוגמה, בפסק דין שניתן לאחרונה בבית המשפט לענייני משפחה בקריות המכונה היתומה נגד האלמנה בו נדונה תביעת סבתא לקביעת הסדרי ראיה עם נכדתה מבנה המנוח אשר נספה בתאונת דרכים, היות שהאלמנה סירבה לקיים קשר בין הסבתא לנכדתה.
בית המשפט קבע שיש להורות על ביקורים בין היתומה לסבתה כבר וקבע כי לסבתא קיימת זכות בדין לקיים קשר עם נכדתה.
תחום הביטחון סוציאלי ופנסיה בזקנה
תחום דיני הפנסיה, המשיק לתחום דיני העבודה ודיני המשפחה, שייך מעצם טבעו לתחום משפט הזקנה.
בתי המשפט דנים בזכויות הפנסיה השונות, בין היתר בהקשרים של גירושים בין בני זוג.
זקנה ומשפט כמודל רב ממדי
אחת הדרכים של המשפט להבנת תחום הזקנה והמשפט היא באמצעות מודל אותו ניתן לכנות מודל רב ממדי.
רכיב זה גורס שאין צורך בהסדרה חוקית ספציפית לזקנים, וניתן באמצעות עקרונות משפטיים כללים, כגון עקרון השוויון, להתמודד עם צורכי הזקנים בחברה.
רכיב זה דן בצורך לספק הגנה חוקית ספציפית וייחודית לזקנים הנתונים במצוקה או במצב הידוע כהתעללות בקשישים, כגון חוק ההגנה על חוסים משנת 1966, ומבוצע לרב בפועל על ידי פקיד סעד בשירות הזקן.
רכיב התמיכה בבני משפחה התומכים בהורים זקנים:
רכיב זה מתבסס על ההכרה בחשיבות בני המשפחה ומעגל המטפלים הלא פורמליים בכל הנוגע לזכויות הזקנים.
לפיכך, מימד זה דן בחוקים המגינים על זכויות הזקנים באמצעות תמיכה בבני המשפחה התומכים בהם.
דוגמה לחקיקה שכזו ניתן למצוא בחוק דמי מחלה (היעדרות בשל מחלת הורה) התשנ"ד-1993 המאפשר לעובד לקחת עד שישה ימי מחלה בשכר בעבור טיפול בהורה זקן הזקוק לטיפול ותמיכה, ובחוק פיצויי פיטורין, תשכ"ג-1963, המאפשר לעובד להתפטר בשל מצב בריאותו של בן משפחה.
רכיב זה דן בחוקים המאפשרים לאנשים להתכונן מבחינה משפטית לקראת זקנתם, ובכך למנוע או למתן דילמות חוקיות שעשויות להתעורר בשלב הסופי של חייהם ובסמוך לאחר מותם.
חוקים אלה מתייחסים הן לתחום הצוואות, והן לתחום הרפואי, לדוגמה: סעיף 16 לחוק זכויות החולה, התשנ"ו-1996, הדן בייפויי כוח המתייחסים להמשך הטיפול, או, לדוגמה, מסמך הנחיות רפואיות מקדימות, מכוח חוק החולה הנוטה למות, התשס"ו-2005.
רכיב זה מתייחס לפעילות העצמה פרו-אקטיבית כדי להטמיע וליידע את הזקנים אודות זכויותיהם.
לפיכך, הכוונה במימד זה לחוקים המדגישים את הצורך להעניק ידע וכוח לזקנים ככאלה ובכך לגרום לשינוי במצבם ומעמדם.
דוגמה חקיקתית להקשר זה היא חובת היידוע המוטלת כיום על רופאים והמצויה בחוק החולה הנוטה למות, התשס"ו-2005, בכל הנוגע לזכותם של חולים נוטים למות להכין הנחיות רפואיות מקדימות.
אפליה על רקע גיל אינה מוזכרת במפורש באמנות האומות המאוחדות לזכויות האדם.
זקנים זכאים לאותן זכויות האדם ככל בני האדם אך ההכרה באפליה על רקע גיל תלויה בגופי האמנות האחראים לפרש את האמנות.
בהיעדר מסגרת משפטית מקיפה ומאחר שאפליה על רקע גיל והתייחסות גילנית הן שכיחות ברוב המדינות, מנהגים מפלים לעיתים נחשבים ל"הגיוניים וסבירים", ולפיכך אינם אסורים, אף שהם מגלמים הנחות גילניות.
על רקע זה התגברה הקריאה במהלך המאה ה-21 לקידום זכויות הזקנים.
ב-2002 אומצה תוכנית הפעולה של מדריד לזיקנה.
ב-2010 הוקמה קבוצת העבודה של האו"ם לזקנה במטרה לבחון את המסגרת הבינלאומית לזכויות האדם של הזקנים ולזהות פערים אפשריים ואיך לטפל בהם, כולל האפשרות למנגנונים נוספים (כגון אמנה).
ב-2013 ייסדה מועצת זכויות האדם מנגנון ראשון, מנדט למומחית האו"ם לזכויות האדם של הזקנים.
ב-2015 אומצה האמנה האינטר-אמריקאית לזכויות הזקנים וב-2017 אומץ הפרוטוקול האפריקאי, אך תחולת שניהם מוגבלת למדינות שאשררו אותם ביבשות אמריקה וביבשת אפריקה.
משפט השלושים ושמונה (הל"ח) היה משפט של השלטונות הבריטים נגד חניכי קורס מפקדים של האצ"ל בשנת 1939, שהסתיים בענשי מאסר נגדם.
משפט זה ונסיבותיו, דומה למשפט מ"ג אסירי ההגנה שנערך זמן קצר לפניו אך מפורסם פחות ממנו.
במשפטים אלה רצו הבריטים להבהיר כי למרות הפשרת היחסים עם היישוב היהודי עקב מלחמת העולם השנייה והאויב הגרמני המשותף, הם לא יסכימו לפעולות מחתרתיות הן בשמאל והן בימין של היישוב היהודי בארץ ישראל.
ב-17 בנובמבר 1939 הסתיים קורס מפקדים של אצ"ל שנערך במושבה משמר הירדן.
זה היה הקורס הגדול מסוגו מאז קיום הארגון.
למחרת, ב-18 בנובמבר 1939 החליט מפקד הקורס להועיד את אותו יום לאימון בשימוש בחמרי נפץ.
לפנות בוקר יצאו 32 חניכי הקורס מלווים במפקד וסגנו ובארבעה נוטרים מהמושבה.
הפיצוצים נשמעו בתחנת המשטרה הבריטית ליד גשר בנות יעקב ושוטרים נשלחו למקום ברכב שעליו מכונת ירייה.
הם אסרו את חברי הקבוצה ומצאו במקום חמרי נפץ.
בחיפוש במושבה בבית בו התגוררו החניכים נמצאו שני רובים אוטומטים, אקדח, מחסניות וספרי הדרכה צבאיים.
כל הנתפסים הועברו תחילה למשטרת צפת וכעבור ימים אחדים נשלחו הגברים לכלא עכו וארבע הנשים - לבית הסוהר לנשים בבית לחם.
ב-21 בדצמבר 1939 נפתח המשפט בבית דין צבאי בעכו.
ארבע הנשים נידונו לשנתיים מאסר, ששת הצעירים ביותר נידונו לחמש שנים ומפקד הקורס, סגנו, ארבעת הנוטרים ושאר 22 החניכים, נידונו לעשר שנות מאסר.
הנשים הועברו לרצות את ענשן בבית לחם אך מפקד הצבאי הראשי לא אישר את גזר דינן והן שוחררו ב-19 בינואר 1940 וחויבו במעצר בית ובהתייצבות במשטרה פעמיים ביום במשך שנה.
הגברים נכלאו בכלא עכו, שם נפגשו עם מ"ג אסירי ההגנה וכעבור חצי שנה הועברו למחנה המעצר מזרעה שמצפון לעכו.
מקץ שנה שוחררו ששת הצעירים ביחד עם המ"ג.
שאר אסירי משמר הירדן שוחררו שנה לאחר מכן.
באלגברה, משפט ודרברן-ארטין הוא משפט מרכזי בתורת המבנה של חוגים ארטיניים, ובפרט של אלגברות מממד סופי.
המשפט קרוי על שם ג'וזף ודרברן, שהוכיח אותו לאלגברות מממד סופי, ואמיל ארטין שהראה שהוא תקף גם בממד אינסופי אם מתקיים תנאי השרשרת היורדת.
כל חוג מטריצות מעל חוג עם חילוק D הוא פשוט וארטיני (כמודול שמאלי מעל עצמו).
משפט ודרברן-ארטין קובע שגם ההפך נכון: כל חוג פשוט ארטיני, איזומורפי לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק D.
יתרה מזו, החוג D וממד המטריצות נקבעים באופן יחיד על ידי החוג הנתון.
למעשה, כל חוג ראשוני ארטיני איזומורפי למטריצות מעל חוג עם חילוק.
הטענה מתבססת על משפט הצפיפות של ג'ייקובסון.
אומרים כי מודול מעל חוג הוא פריק לחלוטין אם לכל תת-מודול נתון שלו יש משלים (תת מודול נוסף, שחיתוכו עם תת-המודול הנתון הוא אפס וסכומם שווה למודול המקורי).
אם M מודול שמאלי מעל חוג R, אז אפשר לראות את M כמודול ימני מעל חוג האנדומורפיזמים , ויש הומומורפיזם מ-R אל חוג האנדומורפיזמים המתקבל, .
משפט הצפיפות קובע שאם M מודול פריק לחלוטין, אז תמונה זו של R בתוך היא צפופה: לכל מספר סופי של איברים במודול ולכל אנדומורפיזם, קיים אנדומורפיזם מתוך התמונה שפועל באותו אופן על אותם האיברים.
הרעיון העומד מאחורי משפט ודרברן-ארטין הוא שלחוג ארטיני יש אידיאל מינימלי, כלומר מודול (שמאלי) פשוט של החוג.
מן הראשוניות אפשר להוכיח שמודול זה הוא גם נאמן, ולכן החוג הוא למעשה פרימיטיבי.
חוג האנדומורפיזמים של האידיאל המינימלי הוא חוג עם חילוק (לפי הלמה של שור), והחוג המקורי אינו אלא מטריצות מעליו, דבר שנובע ממשפט הצפיפות בשילוב עם תכונת הארטיניות.
משפט וילסון הוא משפט בתורת המספרים, הקובע שאם מספר ראשוני אזי הוא מחלק את .
המשפט נקרא על שם ג'ון וילסון, אף על פי שלגראנז' היה הראשון להוכיח את המשפט, בשנת 1773.
הכיוון ההפוך למשפט נכון גם הוא, משום שאם ואינו ראשוני אז הוא מחלק את .
הראשון שגילה את המשפט היה ככל הנראה המתמטיקאי ההודי Bhāskara I, מאוחר יותר המשפט הוסבר על ידי המדען הערבי איבן אל-היית'ם שחי בתקופת ימי הביניים, בערך בשנת 1000 לספירה.
המשפט נקרא על שמו של וילסון, מתמטיקאי אנגלי וסטודנט של אדוארד וארינג, שהזכיר את המשפט ב.
וארינג הכריז על המשפט בשנת 1770 אף על פי שגם הוא וגם וילסון לא יכלו להוכיח אותו, ולגראנז', ב־1773, היה הראשון שסיפק לו הוכחה.
ישנן ראיות שלייבניץ היה מודע לכך כ-90 שנה קודם לכן, אך מעולם לא פרסם זאת.
לכל קיים יחיד עבורו (זהו ההפכי של בחבורת אוילר ).
אם הפוך לעצמו אז , ולכן המספרים היחידים ההפוכים לעצמם הם .
מכאן שבמכפלה , כל המספרים פרט ל- ניתנים לסידור בזוגות שמכפלתם מודולו היא 1, ולכן
אותה הוכחה מתאימה לתוצאה כללית יותר: מכפלת כל האיברים בחבורה אבלית סופית שווה למכפלת האיברים מסדר 2 בחבורה.
אם ראשוני אי-זוגי, אזי לפי משפט וילסון
נוכיח גרסה חזקה של המשפט ההפוך למשפט וילסון.
במקרה מתקיים כי אינו מתחלק ב-4.
נראה כי אם מספר פריק, אז מחלק את .
אם השורש הריבועי של , אז (כי ), ומכאן .
מאחר ש- הם כלולים במכפלה , ובפרט מכפלה זו מתחלקת במכפלתם , ולכן מחלק את .
אם אינו שורש של , אז הוא שונה מ-, ולכן מכפלתם מחלקת את .
קרל פרידריך גאוס הוכיח את ההכללה הבאה למשפט: לכל מתקיים
כאשר ראשוני אי-זוגי ו- שלם.
משפט וילסון מתקבל כאשר ראשוני.
המכפלה האחרונה היא למעשה מכפלת האיברים בחבורת אוילר .
את הטענה ניתן להכליל לכל חבורה אבלית סופית: מכפלת האיברים בחבורה כזו היא תמיד איבר היחידה, אלא אם כן קיים איבר יחיד מסדר 2, ואז המכפלה שווה אליו.
גאוס הוכיח שבמקרים חבורת אוילר היא חבורה ציקלית מסדר זוגי (הזוגיות נובעת מתכונות פונקציית אוילר) ולכן הוא אכן האיבר היחיד בה שסדרו 2.
בתורת המידה, משפט ויטלי הוא משפט של המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה ויטלי, הקובע כי לכל קבוצה מדידת לבג ממידה חיובית יש תת-קבוצה לא מדידה.
ההוכחה מבוססת על בחירת נציג מכל מחלקה של המספרים הרציונליים, ולפיכך תלויה באקסיומת הבחירה.
למה: תהי קבוצה מדידה לבג עם מידה חיובית .
אז קבוצת ההפרשים מכילה קטע פתוח לא ריק סביב נקודת האפס.
הוכחה: לפי ההגדרה של מידת לבג, קיימת סדרת קטעים פתוחים זרים המכסה את , עם .
אוסף החיתוכים האלה הוא כיסוי של A בקבוצות זרות ומדידות.
קיים n עבורו , משום שאחרת , בסתירה לבחירת הקטעים .
כעת נראה שלכל , החיתוך אינו ריק.
אחרת, , ומכאן , סתירה.
לכן לכל d כנ"ל, , והקטע כולו מוכל בהפרש , כנדרש.
תהי מדידת לבג עם מידה חיובית.
נבחר (באמצעות אקסיומת הבחירה) קבוצה P של נציג אחד מכל מחלקה של חבורת המנה (ביחס לחיבור).
נקבע מספור של המספרים הרציונליים.
נגדיר , אז איחוד זר של A, ולכן, אם הקבוצות כולן מדידות, אז מתקיים , ומכאן שיש קבוצה עם מידה חיובית.
זה סותר את הלמה, משום שההפרש אינו יכול להכיל מספר רציונלי שונה מאפס: אחרת יש כך ש , בסתירה לבחירת הקבוצה P.
נוכיח שקיימת קבוצה לא-מדידה של מספרים ממשיים בקטע [0,1].
ראשית, נגדיר את קבוצת המספרים הממשיים בקטע [0,1] כ"העולם".
נגדיר את המספר 0 כ"נציג א" ואת קבוצת המספרים הרציונליים בקטע [0,1] כ"קבוצה א".
נוריד את קבוצה א מהעולם.
עכשיו יש בעולם רק מספרים אי-רציונליים.
נבחר מספר כלשהו מהמספרים שנשארו בעולם (לשם כך נשתמש באקסיומת הבחירה); נקרא לו "נציג ב".
נגדיר את "קבוצה ב" בתור: כל המספרים ששווים לנציג ב ועוד מספר רציונלי כלשהו.
כל המספרים הללו לא רציונליים ולכן כולם נמצאים בעולם.
עכשיו נוריד את קבוצה ב מהעולם.
נבחר מספר אחר כלשהו מהמספרים שנשארו בעולם, "נציג ג".
נגדיר את "קבוצה ג" בתור: כל המספרים ששווים לנציג ג ועוד מספר רציונלי כלשהו.
כל המספרים הללו לא נמצאים באף קבוצה מהקבוצות הקודמות, כי אחרת נציג ג גם הוא היה שייך לאותה הקבוצות הקודמות ולא היינו יכולים לבחור אותו.
נמשיך כך לבחור נציג מהמספרים שנשארו בעולם ולהוריד את הקבוצה המתאימה לו מהעולם, עד שהעולם יתרוקן.
כמובן שזה ייקח אינסוף זמן - כל אחת מהקבוצות היא בת-מניה, ולכן מספר הקבוצות הכללי יהיה כעוצמת הרצף.
אבל אנחנו הרי לא ממהרים לשום מקום.
בסוף מתקבלת חלוקה של הקטע [0,1] למספר רציף של קבוצות בנות-מניה.
עכשיו נתבונן על קבוצת כל הנציגים.
זוהי קבוצה שעוצמתה כמספר הקבוצות - כלומר עוצמת הרצף.
מה המידה של קבוצה זו?
אפשרות א: המידה של קבוצת הנציגים גדולה מאפס.
אם כך, גם המידה של כל קבוצת נציגים אחרת גדולה מאפס.
אם כך, מהי המידה של הקטע [0,1] כולו?
לפי תכונת האדיטיביות בהגדרה של מידה, מידה של סכום בן-מניה של קבוצות, צריכה להיות שווה לסכום המידות של הקבוצות.
אם כך, המידה של הקטע [0,1] צריכה להיות שווה לסכום כל המידות של קבוצות הנציגים.
אבל המספר של קבוצות הנציגים הוא אינסופי (כמספר המספרים הרציונליים), ולכן המידה של הקטע [0,1] צריכה להיות אינסופית.
אבל אנחנו יודעים שהמידה של הקטע היא 1 - הגענו לסתירה.
אפשרות ב: המידה של קבוצת הנציגים היא אפס.
לפי אותם שיקולים, המידה של הקטע [0,1] צריכה להיות אפס - שוב הגענו לסתירה.
הגענו למסקנה, שכל ניסיון לייחס מידה כלשהי לקבוצת הנציגים מוביל לסתירה עם עובדות ידועות - מכאן שהקבוצה אינה מדידה.
משפט השונות השלמה הוא משפט בתורת ההסתברות העוסק בפירוק של שונות של משתנה מקרי לגורמים של שונות של תוחלת מותנית ותוחלת של שונות מותנית במשתנה אחר.
אם X ו־Y הם משתנים מקריים, והשונות של Y היא סופית, אז משפט השונות השלמה אומר כי:
ניתן לשכתב את הביטוי למומנט השני של Y:
לבסוף, ניתן לזהות את הביטוי בסוגריים כשונות התוחלת המותנית :
משפט השופטים בגרמניה ובשמו הרשמי ארצות הברית נגד יוזף אלטסטוטר ואח' היה השלישי בסדרת משפטי נירנברג הנוספים, בהם הועמדו לדין נאשמים בפשעי מלחמה בפני בתי דין של צבא ארצות הברית בהיכל הצדק בנירנברג, גרמניה, עם תום מלחמת העולם השנייה.
במשפט השופטים הועמדו לדין 16 שופטים ועורכי דין גרמנים.
תשעה מן הנאשמים היו בעלי משרות במשרד המשפטים של גרמניה הנאצית, אחרים היו תובעים ושופטים בבתי משפט מיוחדים ובבתי דין עממיים (Volksgerichtshof) בגרמניה הנאצית.
בין היתר הואשמו הנידונים במשפט בכך שקידמו את תוכנית טוהר הגזע בחקיקת חוקי גזע ובאאוגניקה.
אב בית הדין במשפט היה קרינגטון מרשל, נשיא בדימוס של בית המשפט העליון של אוהיו.
היושבים בדין היו ג'יימס ברנד, שופט בית המשפט העליון של אורגון, ומלורי בלייר, שופט בית המשפט לערעורים בטקסס.
עורך הדין ג'סטין הרדינג שימש כשופט מחליף.
ב-19 ביוני 1947, עוד במהלך המשפט, נאלץ אב בית הדין לפרוש עקב מחלה.
השופט ברנד היה מאותה עת לאב בית הדין ואילו השופט המחליף הרדינג הפך לשופט הרכב.
כתב האישום הוקרא ב-4 בינואר 1947 וההליכים התקיימו מ-5 במרץ ועד 4 בדצמבר 1947. עשרה מתוך הנאשמים נמצאו אשמים, ארבעה מתוכם נידונו למאסר עולם ויתרתם לתקופות מאסר שונות.
ארבעה מן הנאשמים זוכו מכל אשמה.
השתתפות בתוכנית משותפת או קשירת קשר לביצוע פשעי מלחמה ופשעים נגד האנושות.
פשעי מלחמה באמצעות ניצול לרעה של ההליך השיפוטי והפלילי אשר תוצאתו הייתה רצח המוני, עינוי, ובזיזת רכוש פרטי.
פשעים נגד האנושות מסיבות דומות, כולל האשמה בעבדות.
חברות ארגון פשע, המפלגה הנאצית או האס אס.
שםגזר דיןיוזף אלטסטוטר (Josef Altstötter) 5 שנות מאסר בהפחתת תקופת מעצרו.
שוחרר בשנת 1950. מת בשנת 1979 בנירנברג.וילהלם פון אמון (Wilhelm von Ammon)10 שנות מאסר בהפחתת תקופת מעצרו.
שוחרר בשנת 1951 בחנינת הנציב העליון ג'ון מק'קלוי.
מת בשנת 1992.פאול ברניקל (Paul Barnickel)זוכה.
מת בשנת 1966 במינכן.הרמן קוהורסט (Hermann Cuhorst)זוכה.
מת בשנת 1991 בקרסברון אם בודנזי (Kressbronn am Bodensee).קארל אנגרט (Karl Engert)משפטו הופסק עקב מצב בריאותו.
מת ב-8 בספטמבר 1951.גונתר יואל (Günther Joel)10 שנות מאסר בהפחתת תקופת מעצרו.
מת במינכן ב-1978.הרברט קלם (Herbert Klemm)מאסר עולם.
שנת מותו אינה ידועה.ארנסט לוץ (Ernst Lautz)10 שנות מאסר בהפחתת תקופת מעצרו.
מת בשנת 1979 בלובקוולפגנג מתגנברג (Wolfgang Mettgenberg)10 שנות מאסר בהפחתת תקופת מעצרו.
מת בשנת 1950 בכלא לנדסברגגונטר נבלונג (Günther Nebelung)זוכה.
מת בשנת 1970 בססן רודולף אושי (Rudolf Oeschey)מאסר עולם.
מת בשנת 1980 בנויס (Neuss)האנס פטרסן (Hans Petersen)זוכה.
מת בשנת 1963.אוסוואלד רוטאוג (Oswald Rothaug)מאסר עולם.
שוחרר ב-22 בדצמבר 1955. מת בקלן בשנת 1967.קורט רוטנברגר (Curt Rothenberger)7 שנות מאסר בהפחתת תקופת מעצרו.
מת בשנת 1959 בהמבורגפרנץ שלגלברגר (Franz Schlegelberger)מאסר עולם.
שוחרר בשנת 1950. מת בשנת 1970 בפלנסבורגקארל וסטפל (Carl Westphal)התאבד בשנת 1946 לאחר הגשת כתב האישום, אולם בטרם נפתח משפטו.
בכירי מערכת המשפט בגרמניה הנאצית נכללו בין הנאשמים במשפט זה ולא הועמדו לדין כלל.
מי שהיה בחיים אך לא נשפט היה הנס גלובקה, שהיה שותף בניסוח חוקי נירנברג.
לאחר המלחמה כיהן גלובקה כראש מטה אדנאואר בממשלת גרמניה המערבית בשנים 1953–1963. הוא עדיין היה תחת חקירה על מעורבותו במפלגה הנאצית כאשר בשנת 1963 נערך במזרח גרמניה משפט ראווה שבו הורשע שלא בפניו בפשעי מלחמה ונידון למאסר עולם.
עם זאת, החוק המזרח גרמני לא הוכר במערב גרמניה.
משפט השופטים שימש השראה לסרט משפטי נירנברג (1961).
בטופולוגיה אלגברית, משפט ואן קמפן (van Kampen theorem) הוא משפט המאפשר למצוא חבורה יסודית של מרחב טופולוגי באמצעות מכפלת היתוך של החבורות היסודיות של שתי תתי קבוצות פתוחות שלו, המקיימות תנאים מסוימים.
זהו משפט יסודי וחשוב בטופולוגיה אלגברית, המהווה את אחד הכלים המרכזיים לחישוב חבורות יסודיות.
בפרט, משתמשים בו כדי לחשב את החבורה היסודית של מרחבי CW.
השימוש במשפט בפועל דורש לעיתים הבנה גאומטרית עמוקה של האובייקטים אותם מעוניינים לחקור.
הבנה זו והשימוש במשפט עוזרים בתחומים נוספים, כמו בהומולוגיה טופולוגית.
יהי מרחב טופולוגי קשיר מסילתית, ויהיו שתי תתי קבוצות פתוחות, המקיימות:
אזי החבורה היסודית איזומורפית למכפלת ההיתוך
כאשר ההעתקות הן הומומורפיזמי ההכלה היחסיים (למשל, ).
הדיאגרמה הבאה ממחישה את שרטוט החבורות:
כאן הוא ההומומורפיזם הנובע מבניית מכפלת ההיתוך, וטענת המשפט היא שהוא איזומורפיזם.
-זר - זהו מרחב בו הולחמו מעגלים בנקודה משותפת.
לוקחים את להיות כל הזר בלי איבר מהמעגל הראשון, ואת להיות המעגל הראשון וקצת מהמעגלים ליד (כדי שתהיה קבוצה פתוחה).
החיתוך של כל שתי סביבות הוא מרחב כוויץ ולכן בעל חבורה יסודית טריוויאלית (ולכן אין משמעות להעתקות ).
לפי במשפט ואן קמפן ואינדוקציה, נובע כי החבורה היסודית היא , חבורה חופשית ב- יוצרים.
מישור פרויקטיבי - אחת ההצגות של המישור הפרויקטיבי היא בעזרת הדבקה של שפה של טבעת מביוס עם שפה של עיגול, כאשר ההדבקה היא של השפה.
מהצגה זו ניתן לחשב את החבורה היסודית בעזרת משפט ואן קמפן - נבחר את להיות השפה של טבעת מביוס וקצת מהעיגול (כדי שתהיה פתוחה), ובדומה את להיות השפה של העיגול וקצת מהטבעת.
החיתוך הוא הטבעת ולכן , ל- יש נסג עיוותי לטבעת ולכן , ול- יש נסג עיוותי לדיסק והוא בעל חבורה טריוויאלית.
כעת, היות שמדובר בשפה של טבעת מוביוס, ההעתקה שולחת את היוצר (סיבוב אחד על המעגל) ליוצר בטבעת מביוס, שהוא שני סיבובים על המעגל, ולכן ההעתקה היא .
לכן, לפי הצגה על ידי יוצרים ויחסים של מכפלת היתוך, מקבלים:
החבורה היסודית של סכום קשיר טורוסים, המסומן היא:
בפרט נובע כי האבליניזציה שלו היא חבורה אבלית חופשית ב- יוצרים.
רואים זאת בעזרת משפט ואן קמפן - לוקחים את להיות דיסק על השפה, ואת להיות ה- טורוס בלי דיסק שיושב ממש בתוך , כך שיש ביניהם טבעת חפיפה.
אז כוויץ החיתוך שקול למעגל.
הפענוח של הוא גאומטרי - לאחר הוצאת דיסק מהטורוס ניתן להרחיב את החור סביב הכיוונים האופקי והאנכי, ואז מקבלים מרחב השקול ל- זר.
ההעתקה שחשוב להבין היא מהשפה (מעגל) לתוך הזר - שיקולים גאומטריים מראים כי ההעתקה על יוצר של חבורת השפה היא .
מכאן החישוב נעשה ישירות לפי משפט ואן קמפן.
באופן דומה לדוגמה הקודמת, החבורה היסודית של סכום קשיר של מישורים פרויקטיביים, המסומן , היא
כדי לראות זאת פועלים באופן דומה: הוצאת דיסק מהמרחב מביאה מרחב השקול ל- זר של מעגלים (למעשה, של טבעות מביוס), והעתקה החשובה הפעם היא .
ניתן להשתמש במשפט ואן קמפן כדי לקבוע מפורשות מהי החבורה היסודית של מרחבי CW.
בפועל, החבורה נקבעת על ידי השלד ה-2-ממדי בלבד.
ראשית, נשים לב ששלד 1-ממדי הוא גרף; נניח כי זהו גרף קשיר (אחרת נחלק את המרחב המקורי למרכיבי הקשירות המסילתית שלו).
לכל גרף קשיר ניתן למצוא עץ פורש.
כל עץ הוא כוויץ, ולכן הוא פשוט קשר.
נראה, בעזרת משפט ואן-קמפן, כי כל צלע שנוספת על העץ הפורש נותנת עוד יוצר חופשי לחבורה היסודית: יהי המסלול עד הצלע שנוספה ובחזרה עד השורש, הוא אותו מסלול רק בלי הצלע שנוספה.
אז שניהם פשוטי קשר, ו- ולכן החבורה היא .
לכן באינדוקציה, החבורה היסודית של עץ שנוספו לו צלעות היא .
בפרט, אם בגרף (הקשיר) יש קדקודים ו- צלעות, בעץ פורש שלו יהיו צלעות, ולכן החבורה היסודית שלו היא .
כעת, נעבור בבנייה של מרחבי CW לשלד ה-2 ממדי.
בכל שלב, מדביקים את השפה של דיסק לפי העתקות ההדבקה ממבנה ה-CW.
כדי למצוא את החבורה היסודית אחרי ההדבקה, נעזר שוב במשפט ואן קמפן - נסמן ב- את המרחב שהתקבל עד כה, יחד עם חלק מהדיסק, ואת להיות הדיסק יחד עם קצת מהמרחב שהתקבל עד כה.
אזי החיתוך הוא טבעת, כלומר , המרחב הראשון הוא בעל נסג עיוותי למה שהיה קודם, והמרחב השני הוא בעל נסג עיוותי לדיסק, שהוא פשוט קשר.
לכן לפי משפט ואן קמפן, נקבל כי אחרי ההדבקה החבורה היא , כאשר ההעתקה מוסיפה את היחסים שבאים מהעתקות ההדבקה.
כעת, נראה שזה מספיק - כאשר נדביק כדורים מממדים גבוהים יותר, החיתוך יהיה שהוא פשוט קשר, ולכן החבורה היסודית תישאר כמו קודם.
כדי להמחיש את הבנייה, נביט במבנה CW עם , כלומר הגרף הוא עיגול ולכן בעל חבורה , ואת ההדבקה של הדיסק ניקח להיות הדבקה ששולחת סיבוב אחד על שפת הדיסק ל- סיבובים על הגרף.
אז היחס הנובע מההדבקה הוא , ולכן החבורה היסודית היא בתוספת היחס, כלומר .
לכל חבורה מתאים מרחב CW
הבנייה של החבורה היסודית של מרחב CW מאפשר להסיק שלכל חבורה (גם לא נוצרת סופית) יש מרחב CW שהיא החבורה היסודית שלו.
כדי לראות זאת, ניקח הצגה של החבורה.
את השלד ה-1 ממדי במבנה ה-CW ניקח להיות גרף עם כמות מעגלים ככמות היוצרים.
לכל יחס בחבורה, נוסיף דיסק שישרה את היחס הזה.
לפי הבנייה לעיל נקבל כי החבורה היסודית היא בדיוק החבורה שלקחנו.
באנליזה מרוכבת, משפט הרבע של קוב (Koebe quarter theorem) קובע כי התמונה של מעגל היחידה תחת פונקציה אוניוולנטית מכילה כדור ברדיוס .
פונקציית קוב היא דוגמה לפונקציה שממקסמת את הטענה, ולכן לא ניתן לשפרה.
המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי הגרמני שתיאר אותו בשנת 1907. חשיבותו של המשפט טמונה בכך שהוא נותן הערכה תחתונה מדויקת לגבי מידת הפתיחה של פונקציות אוניוולנטיות, ומהווה כלי בסיסי להבנת ההתנהגות הגאומטרית של פונקציות אלו.
מקור נוסף שמחזק את ההבנה של המשפט הוא משפט הקירוב של קוב, הקובע כי כל פונקציה אוניוולנטית במעגל היחידה יכולה להיות מקורבת במידת הרצון על ידי פונקציות אוניוולנטיות מסוג ספציפי הממקסמות את רדיוס ההכללה של התמונה.
משפט הרבע של קוב הוא דוגמה לאחת מהתוצאות הרבות באנליזה מרוכבת שמחברות בין תכונות אנליטיות של פונקציות מרוכבות לבין התנהגותן הגאומטרית.
תהי פונקציה אוניוולנטית, כלומר פונקציה הולומורפית וחד חד ערכית, כאשר הוא מעגל היחידה.
משפט הרבע של קוב טוען כי התמונה מכילה כדור ברדיוס סביב .
על ידי תהליך נרמול ניתן להניח כי , כלומר .
לכל , נגדיר ; היא גם אוניוולנטית ב-.
לפי משפט דה ברנז' על עבור , נקבל , לכן , כדרוש.
פונקציית קוב היא הפונקציה ההולומורפית הנתונה על ידי .
זוהי פונקציה חשובה במיוחד, שכן היא מהווה דוגמה לטענות רבות.
ראשית, היא ממקסמת את משפט הרבע של קוב - מתקיים ו-.
פונקציית קוב ממקסמת גם את משפט דה ברנז', הטוען כי המקדמים בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית מקיימים .
את פונקציית קוב ניתן לבנות כהרכבת פונקציות באופן הבא.
הפונקציה מעבירה את לכל המישור המרוכב בלי הקרן .
כעת, נבצע את תהליך הנרמול על ונקבל את פונקציית קוב - .
במילים אחרות, פונקציית קוב נבנית מפונקציה קונפורמית בין מעגל היחידה למישור בלי הקרן השמאלית, עליה מפעילים את תהליך הנירמול.
במכניקה קלאסית, משפט הקליפה מפשט בעיות גרביטציוניות הקשורות בכוח המשיכה שפועל על גופים מבחוץ או מבפנים לגוף בעל סימטריה כדורית.
למשפט זה יש חשיבות רבה באסטרונומיה.
אייזק ניוטון הוכיח את משפט הקליפה וקבע ש-:
1. גוף בעל סימטריה ספירית משפיע כבידתית על גופים אחרים באותו אופן כאילו כל המסה שלו הייתה מרוכזת בנקודה אחת שהיא מרכזו.
2. אם גוף הוא קליפה כדורית אחידה (כדור חלול), היא לא מפעילה כוח כבידתי על עצם שנמצא בתוכה, וללא קשר למיקומו של העצם בחלק הפנימי שלה.
כמסקנה מן המשפט נובע שבתוך כדור עם צפיפות מסה אחידה, הכוח הכבידתי משתנה ליניארית עם המרחק מהמרכז, ונהיה אפס במרכז הכדור.
התוצאות האלה היו חשובות לאנליזה של ניוטון את התנועות הפלנטריות; הן לא ברורות מאליו - ההוכחה המקורית של ניוטון עשתה שימוש ארוך בחשבון אינפיניטסימלי, בניגוד להוכחה המודרנית הפשוטה למשפט הקליפה הנעזרת בחוק גאוס לכבידה.
בנוסף לכבידה, משפט הקליפה יכול להיות מיושם גם כדי לתאר את השדה החשמלי הנוצר על ידי קליפה כדורית הטעונה בצפיפות מטען חשמלי אחידה, או באופן דומה לכל תופעה אחרת שנשלטת על ידי חוק היפוך ריבוע.
גוף מוצק בעל סימטריה כדורית ניתן למידול כמספר אינסופי של קליפות כדוריות קונצנטריות בעובי אינפיניטסימלי.
אם נוכיח שקליפה כדורית יוצרת שדה כבידה זהה לזה של מסה נקודתית הממוקמת במרכזה, אז ינבע מכך שמערכת של קליפות כאלה (כמו כדור) גם מפעילה משיכה כאילו כל המסה שלה הייתה מרוכזת במרכזה.
ראשית נחלק את הקליפה הכדורית לאוסף של פרוסות מעגליות ברדיוס משתנה, כך שכל הנקודות על פרוסה מעגלית נמצאות באותו מרחק מהחלקיק החיצוני (הפרוסה היא בעצם הפס המוכחל באיור).
לפי חוק הכבידה העולמי של ניוטון, הכוח שמפעיל אלמנט מסה על פרוסה מסוימת על חלקיק חיצוני הוא:
עם זאת, כיוון שאודות לטבע הווקטורי של הכוח אלמנטים שונים של מסה על הפרוסה מבטלים חלקית את הכוחות שמפעילים אלמנטים אחרים של המסה, סה"כ הכוח שיוצרת הפרוסה בכיוון r (הרדיוס שמחבר בין החלקיק החיצוני ומרכז הקליפה) הוא:
כאשר הוא סה"כ המסה של הפרוסה שמתאימה למרחק s מהחלקיק.
הכוח הכולל על m, הוא פשוט סכום הכוחות שיוצרת כל אחת מהפרוסות המעגליות בנפרד.
הסכום הזה יכול להיות מיוצג באמצעות האינטגרל הבא:
כיוון ש-G ו-m הם קבועים, ניתן להוציא אותם מהאינטגרל ולקבל:
כדי להעריך את האינטגרל הזה, נכתוב את כפונקציה של הזווית θ והדיפרנציאל שלה dθ.
השטח הכולל של קליפה כדורית הוא: , בעוד השטח של פרוסה דקה בין הזוויות θ ו-θ + dθ הוא:
לכן, אם המסה של הקליפה היא M, נקבל ש-:
שתי המשוואות האלה קושרות בין שלושת הפרמטרים θ, s ו-φ שמופיעים באינטגרל יחדיו.
כאשר θ עולה מ-0 ל- π רדיאנים, φ עולה מערך התחלתי אפס לערך מקסימלי ולאחר מכן מתחיל לרדת בחזרה עד ל-0 (כאשר θ = π).
הפרמטר s לעומת זאת גדל מערך התחלתי של r − R לערך סופי של r + R כאשר θ גדל מ-0 ל- π רדיאנים.
הסיטואציה כולה מומחשת באנימציה הבאה.
כדי להפוך את האינטגרנד לפונקציה של משתנה אחד, צריך להפוך s למשתנה אינטגרציה בלתי תלוי.
באמצעות גזירה של הביטוי השני של חוק הקוסינוסים ניתן לקבל:
כאשר משתנה האינטגרציה החדש s משתנה בין הגבולות r − R ל- r + R.
לסיום, נחליף כעת את (cos(φ בביטוי של s באמצעות המשוואה הראשונה של חוק הקוסינוסים ונקבל:
אם נציב את הגבולות r − R ו-r + R במשתנה האינטגרציה בפונקציה הקדומה הזאת, מקבלים את התוצאה:
בעבור נקודה בתוך הקליפה, ההבדל הוא שכאשר θ שווה לאפס, φ מקבל את הערך π רדיאנים ו-s את הערך R - r.
כאשר θ עולה מ-0 ל-π רדיאנים, φ קטן מהערך ההתחלתי של π רדיאנים ל-0 ו-s משתנה מ-R - r ל-R + r.
ניתן לראות את התמונה באיור הבא.
אם נציב את הגבולות האלה בפונקציה הקדומה:
אחת התוצאות המרכזיות בפרינקיפיה של ניוטון היא ההוכחה שגופים מסתחררים יאמצו צורה ספרואידית כתוצאה משילוב ההשפעות של הכבידה העצמית והסיבוב העצמי שלהם.
כיוון שרבים מהגופים במערכת השמש מגלים סיבוב עצמי, קירוב הצורה הכדורית לא תקף להם, ונוצר הצורך בכלים אנליטיים חזקים יותר כדי לתאר את הכבידה שמפעיל האליפסואיד הכללי.
בעיה חשובה זו העסיקה מתמטיקאים ואסטרונומים רבים מאז פרסום חוק הכבידה האוניברסלי על ידי ניוטון ב-1687, בהם קולין מקלורן, פייר-סימון לפלס, ז'וזף לואי לגראנז' ועוד.
הראשון שהצליח לגזור ביטוי מתמטי מפורש לכבידה בחלק הפנימי של אליפסואיד הומוגני היה קרל פרידריך גאוס במאמר משנת 1813 שדן בכוח הכבידה שיוצר אליפסואיד הומוגני.
גאוס גזר את הביטוי הבא לכוח המשיכה בתוך האליפסואיד: , כאשר:
כאן הוא רכיב שדה הכבידה המקביל לציר ה-i של האליפסואיד, הוא המרחק ממרכז האליפסואיד בכיוון המקביל לציר ה-i שלו, ו- היא צפיפות המסה של האליפסואיד.
למשל, במקרה של כדור נקבל, ששלושת חצאי הצירים של האליפסואיד שווים באורכם ושווים ל- (רדיוס הכדור), והאינטגרל שווה כעת ל-, כך שהביטוי למשיכה הכבידתית בתוך הכדור הוא: , וזוהי בדיוק התוצאה שתתקבל על ידי חישוב בדרך הרגילה.
בתורת ההסתברות ובפרט בתהליכים מקריים, משפט הרציפות של קולמוגורוב הוא משפט המבטיח שתהליך מקרי שהמומנטים שלו מקיימים תנאי מסוים, ניתן להתייחס אליו כאל תהליך מקרי רציף, במובן זה שהוא שווה לתהליך רציף בהסתברות 1.
יהי תהליך מקרי המוגדר עבור .
נניח כי לכל קיימים קבועים ממשיים וחיוביים , כך שמתקיים לכל ,
אזי קיימת "גרסה" של שהיא תהליך רציף.
כלומר, קיים תהליך מקרי שהוא רציף במשתנה , כך שמתקיים כי לכל .
יתרה מזו, המסילות מקיימות את תנאי הלדר לכל קבוע .
משפט זה משמש באחת הבניות של תנועה בראונית, יחד עם משפט ההרחבה של קולמוגורוב.
משפט ההרחבה מאפשר בנייה של תהליך מקרי המקבל ערכים במרחב האוקלידי שהתפלגותו היא כשל תנועה בראונית, ומשפט הרציפות מבטיח כי מתוך התהליך המתקבל ממשפט ההרחבה ניתן לקבל תהליך שהוא אכן רציף.
תכונה זו חיונית ביישומים מעשיים, שכן רציפות התהליך משקפת התנהגות חלקה של תופעות אקראיות לאורך זמן.
בעולם האמיתי, התנועה הבראונית משמשת בתחומים מגוונים: בפיננסים היא מהווה בסיס למודלים כמו מודל בלאק ושולס לחישוב מחירי אופציות, שבהם הרציפות מייצגת תנודות מחירים ריאליסטיות.
בפיזיקה, התהליך מתאר תנועת חלקיקים זעירים בסביבה נוזלית, כפי שנצפתה בניסויי תנועה בראונית קלאסיים.
בטופולוגיה, משפט וייטהד הוא טענה שלפיה מרחבים טופולוגיים שחבורות הומוטופיה שלהם איזומורפיות באופן יוניפורמי, הם שקולים הומוטופית.
מדובר במשפט משמעותי שווייטהד הוכיח בשני מאמרים משנת 1949, המראה כי חבורות ההומוטופיה של מרחב (המכילות מידע טופולוגי-גאומטרי מצומצם יחסית על המרחב) יכולות לקבוע את סוג ההומוטופיה שלו במקרים המדוברים.
המקבילה ההומולוגית למשפט וייטהד היא משפט הורוויץ, הקובע טענה דומה עבור מרחבים מסוימים בעלי חבורות הומולוגיה איזומורפיות יוניפורמית.
יהיו שני מרחבי CW קשירים מסילתית, ותהי .
יהי הומומורפיזם של מרחבים טופולוגיים, כך שההעתקה המושרית היא איזומורפיזם של חבורות ההומוטופיה, לכל .
אזי, מהווה שקילות הומוטופית בין המרחבים .
התנאי במשפט, לפיו הפונקציה משרה את האיזומורפיזם בין כל חבורות ההומוטופיה, הוא הכרחי.
כלומר, גם אם כל החבורות איזומורפיות על ידי העתקות שונות, המרחבים לא חייבים להיות שקולים הומוטופית.
דוגמה לכך הם המרחבים ו-: למרחבים אלו חבורה יסודית זהה (והיא ), ומרחב כיסוי אוניברסלי זהה, ולכן כלל חבורות ההומוטופיה שלהם זהות.
עם זאת, הם אינם שקולים הומוטופית, שכן על פי משפט קנות' יש להם חבורות הומולוגיה שונות.
בנוסף, המשפט לא תקף למרחבים טופולוגיים כלליים (שאינם מרחבי CW) - קיימים מרחבים בעלי חבורות הומוטופיה טריווילאיות, אך שאינם שקולים הומוטופית לנקודה.
סימפסון הוא משפט פלילי שנערך בבית המשפט המחוזי של לוס אנג'לס נגד או.
סימפסון, שחקן פוטבול נערץ ב-NFL ודמות בולטת בעולם הבידור.
הוא הואשם כי ב-12 ביוני 1994 רצח את אשתו לשעבר, ניקול בראון סימפסון, ואדם נוסף בשם רון גולדמן.
המשפט זכה לחשיפה רבה בתקשורת האמריקאית, ואף כונה "משפט המאה".
המשפט נמשך כ-11 חודשים לאחר השבעת חבר מושבעים ב-9 בנובמבר 1994. סימפסון יוצג בידי קבוצת סנגורים מפורסמים שזכו לכינוי "צוות החלומות" , בהובלת עורכי הדין ג'וני קוקרן, רוברט שפירו ואלן דרשוביץ, ואיתם שני מומחי די-אן-איי.
פסק הדין ניתן ב-3 באוקטובר 1995. למרות ראיות שהצביעו על אשמתו בשני מעשי הרצח, נפסק בהתאם להחלטת חבר המושבעים שהוא אינו אשם.
לאחר זיכויו, נפסקה החקירה בעניין הרציחות ולא נעצרו נחקרים אחרים.
למרות זיכויו במשפט הפלילי, כשנתיים לאחר מכן התקיים משפט אזרחי שבו נפסק כי סימפסון אחראי למותם של גולדמן ושל גרושתו ניקול.
הוא חויב לשלם 33 מיליון דולר פיצויים למשפחות הקורבנות, אך סכום זה טרם שולם במלואו.
ניקול בראון הייתה אמריקאית שנולדה ב-1959 בפרנקפורט לאם ילידת גרמניה ואב מארצות הברית.
בראון וסימפסון נפגשו בבברלי הילס ב-1977, כשהייתה בת 18, ועבדה כמלצרית במועדון.
השניים החלו לנהל מערכת יחסים אף שסימפסון היה נשוי באותה העת.
הוא התגרש ב-1979, ובשנה זו גם פרש מקריירת הפוטבול שלו.
ב-2 בפברואר 1985 השניים נישאו, ונישואים אלו נמשכו שבע שנים, במהלכם נולדו להם שני ילדים.
מספר פעמים במהלך נישואיה בראון האשימה את סימפסון בהתעללות, ואף אושפזה בבית חולים לפחות פעם אחת.
ב-1989, טענה בפני המשטרה שהיא הזעיקה לביתה בגלל תקיפה, שבכוונתו להרוג אותה.
ב-25 בפברואר 1992 בראון הגישה בקשת גירושין.
החל משנת 1993 ניסו בני הזוג לגשר על הבעיות ביניהם אך ללא הצלחה, ובאותה שנה הם התגרשו.
קורבן הרצח השני היה רונלד (רון) לִיל גולדמן יליד 2 ביוני 1968, יהודי-אמריקאי, בנם של פרד ושרון גולדמן ממחוז קוק שבאילינוי.
כשהיה בן 6 התגרשו הוריו והוא גדל אצל אביו.
עם סיום התיכון הוא למד סמסטר בודד באוניברסיטת אילינוי , ולאחר מכן במכללה (קולג') ב-לוס אנג'לס שבמדינת קליפורניה, לשם עבר עם משפחתו.
את הלימודים מימן במלצרות וכמדריך טניס.
לדברי קרובת משפחתו, בספר שהוציאה לזכרו, גולדמן טיפל בבעלי שיתוק מוחין, היה לוחם קראטה בעל חגורה שחורה, והתחרה בשעשועון טלוויזיוני ב-1992. בכוונתו היה לפתוח פאב ומסעדה בשם "ANKH", על שם סמל דת מצרי.
גולדמן נרצח מספר שבועות לאחר הגיעו לגיל 26 ונקבר בקליפורניה.
כחמישה עשר חודשים לאחר גירושיה של ניקול, ב-13 ביוני 1994 בשעה 00:10, נמצאו השניים ללא רוח חיים ועם סימני דקירות סכין, בבונדי דרייב, שבעיר לוס אנג'לס, ניקול בראון נמצאה במדרגות לשביל שבפתח ביתה ורון גולדמן בסמוך לשביל.
קודם לכן בשעה 22:15 שמע השכן נביחות רמות וקולות בכי נמשכים של הכלב של ניקול.
בצהרי יום הרצח הייתה הופעת ריקוד של בִּתָּם המשותפת, בה צפו שני ההורים, או ג'יי וניקול.
לאחר ההופעה בסביבות השעה 16:00, ניקול וילדיה ובני משפחה נוספים סעדו במסעדת מצלוּנָה בה מילצר גולדמן, אף שבארוחה זו לא הוא היה המלצר שלהם.
הם עזבו את המקום בסביבות השעה 20:00. בשעה 21:15 צלצלה אחות של ניקול למסעדה וביקשה שיחפשו את המשקפיים שאמא שלה שכחה שם.
המשקפיים נמצאו במרזב מחוץ למסעדה, וגולדמן התנדב להביא אותם לניקול עם סיום עבודתו.
היו שרצו לפרש זאת בדיעבד כהוכחה לכך שגולדמן וניקול ניהלו מערכת יחסים זוגית, אבל חבריו סיפרו שגולדמן טען בפניהם שהם היו רק ידידים.
לפני שיצא לביתה עצר גולדמן בדירתו על מנת להחליף בגדים ואולי גם להתרחץ.
המשטרה סברה שגולדמן הגיע לאזור מעט אחרי שניקול כבר נרצחה בביתה, ורק אז נדקר למוות.
בדיקת המשטרה העלתה ששתי הגופות נמצאו כשעתיים לאחר הרצח.
רוברט ריסק, אחד משני קציני המשטרה הראשונים שהגיעו למקום, מצא שם כפפה אחת מגואלת בדם.
או ג'יי הגיע עם חבר, ברייאן קֵיילין, שהתארח בדירת אירוח אצלו באחוזה, והשניים חזרו לביתם בשעה 21:45.
ניקול בראון נדקרה פעמים רבות בראש בצוואר ובגב.
היא נפצעה בידיה באופן שהצביע על מאבק וניסיון להגן על עצמה.
הרצח היה ברוטלי ואלים במיוחד, וסימני הרצח שהותיר היו מחרידים.
הרוצח שיסף את גרונה והותיר פצע פעור שחשף את הגרון, הוא דקר אותה 12 פעמים, סימני הסכין נחרטו בחוליות הגב שלה, וראשה כמעט הוסר מן הגוף .
לפי עדותם, בחמש בבוקר למחרת (כארבע שעות וחצי לאחר היוודע דבר הרצח), יצאו שני בלשי משטרה לביתו של סימפסון.
לפי עדותם, עם הגיעם לפני השער, מצאו כתמי דם בשביל המוליך אל הבית, ומעט אחר כך סימני דם מרוחים על מכונית מדגם פורד ברונקו ספורט לבנה שחנתה מאחורי ביתו.
הבלש מארק פוּרמן העיד שטיפס על קיר חיצוני סביב החצר, ופתח לאחרים את השער, אף שלא היה ברשותם צו חיפוש, לדבריהם עקב הנסיבות הדחופות, שביל הדם שהוביל אל תוך הבית והחשש שמא גם סימפסון נפגע, או פגע באנשים נוספים.
סימפסון יצא בלימוזינה שכורה אל שדה התעופה בשעה 23:15 וטס לשיקגו, שם היה בשעת הבוקר כשהשוטרים הגיעו לביתו.
פורמן מצא כפפה נוספת עם דם, שבבדיקת דנ"א נמצאה תואמת את זו שנמצאה בזירת הרצח.
הדם על כפפה זו הגיע משני הקורבנות.
עניין זה, יחד עם ראיות נוספות מהשטח היוו עילה סבירה להוציא צו מעצר נגד סימפסון.
סימפסון שהה בימים שלאחר הרצח בבית חברו הקרוב רוברט קרדשיאן, והובא למעצר רק כעבור ימים אחדים.
בעת המעצר נסע במכונית עם חברו איי.סי קאולינג, והמשטרה ביצעה אחריו "מרדף" של כ-20 מכוניות משטרה שנסעו אחריו בנסיעה איטית.
בערוצי החדשות נטען כי סימפסון ניסה לעבור את הגבול למקסיקו, אך טענות אלה לא הוכחו מעולם.
צוות תביעה, סגני הפרקליטים המחוזיים, מרשה קלארק וכריסטופר דרדן, טענו שסימפסון אשם בשני מקרי הרצח.
שאריות דם הקורבנות שהתגלו במכונית הפורד ברונקו בביתו.
העובדה שהכפפה השנייה בביתו תאמה את הכפפה מזירת האירוע ודגימות הדי-אן-אי שלו היו עליה.
דם של סימפסון בזירת הפשע.
שיער שדומה לשיער של סימפסון ונמצא מפוזר בזירה כתוצאה ממאבק בין הנרצחים לרוצח.
גרביים ונעליים של סימפסון עם סימני דם.
סימפסון שכר להגנתו כמה מעורכי דין הידועים ביותר בארצות הברית: ג'וני קוקרן, רוברט שפירו, פ.
לי ביילי, אלן דרשוביץ, רוברט קרדשיאן, שון הולי, קארל א.
דאגלס, ג'רלד אולמן, בארי שצ'ק ופיטר נויפלד.
קוקרן טען בפני חבר המושבעים שיש ספק סביר לגבי עדויות הדי-אן-אי, שהיו עדות חדשה יחסית למשפטים באותה עת.
הועלתה הטענה שהבדיקה נלקחה ברשלנות, ושקיים ספק סביר שהייתה טעות בזיהוי הדגימה.
סימפסון, שטען לחפותו, הדגים שהכפפות קטנות עליו.
לאחר מכן עלתה האפשרות שהכפפה התכווצה מהדם שעליה; כמו כן, התובע דרדן הביע חששו בפני השופט שסימפסון הפסיק ליטול תרופה נגד דלקת מפרקים שיש לו והדבר גרם לנפיחות דלקתית בידיו.
צוות ההגנה של סימפסון הוסיף והעלה טענות על ריבוי מקרים של התנהגות בלתי הולמת וגזענות מצד משטרת לוס אנג'לס (במיוחד לאור משפטו של רודני קינג).
בנוסף לזה, במהלך עדותו הראשונה של הבלש שעמד בראש צוות החקירה המשטרתית - מארק פורמן, חשפה ההגנה הקלטות שסתרו את דבריו על כך שאינו גזען.
בהקלטות נשמע פורמן מצדיק הפללת אפרו-אמריקאים, מתבטא בגזענות קשה ואף ומעודד רצח עם לשחורים.
ההגנה טענה שדעותיו לא שונות מאלו של היטלר.
פורמן הואשם בהמשך במתן עדות שקר.
צוות התביעה נאלץ להודות שפורמן הוא אכן גזען, אך טענו שאסור שזה יגרע מן הראיות שמעידות על אשמתו של סימפסון.
בעדותו השנייה נשאל פורמן האם שתל ראיות בביתו של סימפסון - פורמן שמר על זכות השתיקה.
ההגנה טענה שאין לדעת אם מדובר בעלילה נוספת ממניע גזעי.
בעקבות כך, במהלך המשפט הפלילי בשנת 1995, סקרים לאומיים הראו הבדלים דרמטיים בהערכת אשמתו או חפותו של סימפסון בין אמריקאים ממוצא שחור - שסברו ברובם שהוא אינו אשם או שלא היו בטוחים באשמתו, לאמריקאים לבנים מהעבר השני שסברו שהוא אשם ברצח.
בשנת 2016 גם רוב האמריקאים השחורים האמינו שהוא אשם.
לבסוף, ב-3 באוקטובר 1995, חבר המושבעים קבע שסימפסון אינו אשם ברצח, באירוע תקשורתי שנצפה על ידי 150 מיליון אמריקאים, למעלה ממחצית האוכלוסייה.
רבים תולים את זיכויו של סימפסון בעדות השקר של הבלש מארק פורמן, אשר נחשף במהלך המשפט כגזען ופגע קשות באמינות התביעה אל מול חבר מושבעים שהורכב ברובו מאפרו-אמריקאים.
לאחר המשפט הפלילי, בו כאמור סימפסון נמצא לא אשם, משפחותיהם של בראון וגולדמן הגישו תביעה אזרחית נגד סימפסון.
ב-4 בפברואר 1997, נקבע במשפט זה כי סימפסון אחראי לשני מקרי המוות.
לטובת המשפחות נפסקו פיצויים בסך 33.5 מיליון דולר, אך הן קיבלו רק חלק מסכום זה.
ב-2006 הודיע סימפסון על תוכניתו להוציא ספר בשם "אילו עשיתי זאת" (If I Did It) ובו תיאור היפותטי של הרציחות, אם אכן היה מבצע אותן.