tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
שם, התרוממות דיאפיר המלח של הר סדום אל פני השטח הרימה שכבות של סלעי משקע מתצורת עמורה שהורבדו מעל מלח סדום, עד כדי הצבתן במצב מאונך ושעון על הר סדום.
עובי חתך הסלעים באתר ארובותיים כ–320 מטרים, וגילו נע בין 740 ל–140 אלפי שנים טרם זמננו.
גילים אלה נקבעו על ידי שילוב בין תארוך באמצעות סדרות הפירוק של אורניום.
תצורת הלשון (ליסאן) מורכבת מורוות (שכבות של סלעי משקע) שהורבדו בימת הלשון בתקופה שבין 14–70 אלפי שנים לפני זמננו.
ימת הלשון התקיימה בבקע בתקופה שבין 14–70 אלפי שנים לפני זמננו.
האגם השתרע בין אזור חצבה שבדרום לכנרת שבצפון.
בשיאו, לפני כ-26,000 שנים, הגיע מפלסו עד כ-160 מטרים מתחת לפני הים, כלומר יותר מ-270 מטרים מעל מפלס ים המלח הנוכחי.
באגם הלשון הושקעו שכבות דקיקות (ורוות).
בעונות החורף שקעו בימה חרסיות וחומרי סחף שנשטפו על ידי מערכת נחלים לים ויצרו את השכבות הכהות.
בעונת הקיץ עלתה מליחות המים ונוצרו השכבות הבהירות משקיעה של ארגוניט.
עובי תצורת הלשון הוא כ-60–80 מטרים.
לפני כ-14,000 שנים החלה ימת הלשון להתכווץ עקב שינויי האקלים העולמי שהפך לחם יותר.
שאריות אותו אגם הם ים המלח וים כנרת.
חבורת הר הצופים היא חבורה גאולוגית שתחום תפוצתה בישראל ובמדינות הסובבות אותה.
החבורה מורכבת בעיקר מסלעי קירטון, אך יש בה גם מעט חוואר, פוספוריט, פצלים וצור.
עובי החבורה מגיע ל-300 מטרים בקירוב.
סלעים אלו אטומים בדרך כלל לזרימת מים ומשמשים כאקוויקלוד.
סלעים אלו נחשפים בהרים, במדבר יהודה ובנגב הצפוני.
החבורה נוצרה החל בגיל הסנון מתור קרטיקון ועד לתקופת פלאוקן בבסיס תור השלישון.
אומדן הופעתה הוא מלפני כ-90 מיליוני שנים ועד לפני כ-65 מיליוני שנים.
מתחת לחבורת הר הצופים מונחת חבורת יהודה ומעליה חבורת עבדת.
המסלע של חבורת הר הצופים נחשף בנגב במידה מועטה.
בחתך סטרטיגרפי החשוף ניתן למצוא את סלעי החבורה, כמו גם של תצורת מישאש בראש "הרי השולחן" בנגב הדרומי ובערבה.
במכתש רמון הצטמצמו מספר יחידות בחבורת הר הצופים עד להיעלמותן המוחלטת בזמן ההצפה הימית של האזור.
ההשקעה של חבורת הר הצופים יצרה מבנים תת-ימיים רדודים.
הפעילות הטקטונית התקיימה מהסנון המוקדם, ולכן בחתך של חבורת הר הצופים הופיעה סדרה של אי התאמות, כלומר קיים פער זמן משמעותי בין יחידות מסלע או הבדלים בגאומטריה ובהרכב שלהן המתבטא בחסרונן של שכבות שלמות או חלקן בטור הסטרטיגרפי.
בדרומו של הר הנגב הביאו תהליכים טקטוניים אלה ליצירה אינטנסיבית של יובלי ואדי אל עריש ונחל פארן היכן שהיה מסלע הרגיש לסחיפה של חבורת הר הצופים.
בקניון זו נובע עין עבדת.
הקניון נוצר במרחב של סלעי תצורת ע'רב ותצורת טקיה.
שיטפונות שהתרחשו באזור הביאו לחתירה מהירה של קניון שנסוג בהדרגה אל מיקומו הנוכחי בקרבת עין עבדת.
בשרשרת ההרים קיימת שכיחות לתצורות אלו: מנוחה (קירטון לבן ורך) ומישאש (שכבות צור כהה וקשה).
שתי התצורות נוצרו בסביבת היווצרות ימית ונוצרו בהם סלעי משקע.
בגלל ההבדלים בעמידות הסלעים לבלייה נוצרו, בתחום החשיפה של סלעי החבורה, "הרי שולחן" ו"הרי כפתור".
הקירטון הרך יוצר את מדרונות הגבעות, בעוד שסלע הצור משמר את שיא ההר.
במקומות בהן הוסרה תצורת מישאש, העשויה מצור, התפתח הנוף במהירות לנוף של גבעות מעוגלות.
הקירטון הרך נוח מאוד לחציבה, אולם אינו מתאים כחומר גלם לבנייה.
מדבר יהודה הוא אחד האזורים בארץ בו נפוצה חבורת הר הצופים.
היא חשופה יותר מסלעי חבורת יהודה העמידים לבלייה אירוזיבית.
חבורת יהודה וחבורת הר הצופים שולטות בנוף המצוי ממערב לחופי ים המלח: מצוק ההעתקים, רמת המדבר ועד לגבול המערבי של מדבר יהודה.
בבקעת חתרורים ובמעלה אדומים מצויה תצורת חתרורים במקום תצורות ע'רב, טקיה, עבדת וכו'.
הסיבה לכך היא שהשכבות של תצורת טקיה וע'רב ספוגות בביטומן, חומר אורגני שלעיתים מהווה עד 20% ממשקל הסלע.
בתקופה שבין לפני 16 מיליון שנים ל-3 מיליון שנים נחשפו סלעים אלו לאוויר וניצתו.
סלעי תצורת חתרורים הם תוצאה של בעירה זו.
החבורה בשומרון עובייה בין 150 מטר לבין 350 מטר.
בחלקה התחתון - קירטון לבן ובחלקה העליון חוואר חרסיתי.
במחצית החבורה יש שכבת אבן צור חום דקה מתצורת מישאש.
את אבני הצור ניתן לעיתים למצוא פזורים בשטח.
הקרקע הנוצרת היא רנדזינה לבנה.
סלעי הקירטון והחוואר של החבורה אטומים למים ולכן מתחתית החבורה שמעליהם חבורת עבדת נובעים מעיינות אשר נספגו באבני הגיר הנקבוביים.
חבורת הר הצופים בגליל העליון מתחלקת לתצורות הבאות: תצורת עין זיתים, תצורת ע'רב ותצורת טקיה.
מסלע החבורה בנוי בגליל העליון ברובו קירטון המחולק לסוגים: למעלה - קירטון פצלים אפור, במרכז - לבן ורך, כמקובל, ובחלקה התחתון - קירטון קשה שצבעו אדמדם, הנקרא כעכולה.
המסלע של החבורה כולל גם מעט חוואר וכן שכבת צור דקה מתצורת מישאש.
חבורת הר הצופים מכוסה במעטה נארי בעובי של 1–3 מטר.
על תשתית חבורת הר הצופים, במרכז הגליל ובמזרחו, נוצרים שטחי עיבוד חקלאיים על קרקע רנדזינה אפורה, הנוחה לעיבוד חקלאי.
חבורת הר הצופים מקיפה את הגליל כחגורה כעדות למבנה אנטיקליני.
זו עדות לכך שמבנהו הגאולוגי-טופוגרפי של הגליל נוצר מאז ששקעו סלעיה של החבורה ולא סבלו מתנועות חזקות של לוחות טקטוניים.
במתמטיקה, חבורת הארבעה של קליין, או פשוט חבורת קליין, היא חבורה אבלית בת ארבעה איברים הקרויה על שם פליקס קליין, ונהוג לסמנה באות V, קיצור לשם שקליין נתן לה: Vierergruppe.
חבורת הארבעה של קליין איזומורפית ל-Z2 × Z2, המכפלה הישרה של שני עותקים של החבורה הציקלית מסדר 2, והיא החבורה הקטנה ביותר שאינה ציקלית.
חבורת הארבעה של קליין מורכבת מקבוצה ופעולה * המוגדרת על ידי לוח הכפל:
כל איבר בחבורה הופכי לעצמו (ולכן הסדר של כל איבר בחבורה, פרט לאיבר היחידה e, הוא 2).
המכפלה של כל שניים מבין שלושת האיברים הלא טריוויאלים (a, b, c) היא האיבר השלישי.
בגלל הסימטריה הזו בין שלושת האיברים, כל תמורה על שלושת האיברים האלו מהווה אוטומורפיזם של חבורת הארבעה של קליין, ולכן חבורת האוטומורפיזמים של חבורת הארבעה איזומורפית לחבורה הסימטרית S3.
חבורת הארבעה והחבורה הציקלית Z4 הן החבורות היחידות מסדר 4 (עד כדי איזומורפיזם).
החבורה איזומורפית לחבורה הדיהדרלית D2 ולחבורת הסימטריות של מעוין ושל מלבן (שאינם ריבוע) - ארבעת האיברים הם העתקת הזהות, שיקוף בציר אנכי, שיקוף בציר אופקי וסיבוב בזווית שטוחה.
היא גם חבורת הסימטריות של כל תיבה לא ריבועית.
תת החבורה הנורמלית של החבורה הסימטרית , איזומורפית לחבורת הארבעה.
חבורת הקווטרניונים היא חבורה לא אבלית מסדר 8. מקובל לסמן את החבורה Q8 או פשוט Q.
ניתן להציג את החבורה כך: .
זוהי הצגה נוחה, אך בזבזנית של Q.
למעשה החבורה נוצרת גם על ידי שני איברים בלבד, וניתן להציגה כ-.
x, y הם כל שניים מבין i, j, k.
את לוח הכפל של החבורה אפשר לקרוא מן הטבלה הבאה (כאשר שינוי הסימן של אחד הגורמים משנה גם את הסימן של המכפלה):
חבורת הקווטרניונים עומדת בבסיס אלגברת הקווטרניונים של המילטון .
האחרונה היא אוסף הצירופים הליניאריים מעל הממשיים של איברי חבורת הקווטרניונים.
חבורת הקווטרניונים ניתנת להצגה ליניארית כתת חבורה של , החבורה הליניארית המיוחדת מסדר 2 מעל המרוכבים, הכוללת את איברי החבורה הליניארית הכללית שהדטרמיננטה שלהם היא 1:
הצגה נוספת של Q היא כתת-חבורה של , חבורת המטריצות 2×2 מעל השדה הסופי מסדר 3 (שאיבריו הם ):
הצגה זו מראה ש-Q היא תת חבורה נורמלית מאינדקס 3 של (שהסדר שלה הוא 24).
המרכז של החבורה הוא .
חבורת המנה ביחס למרכז וחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של חבורת הקווטרניונים איזומורפיות לחבורת הארבעה של קליין.
חבורת האוטומורפיזם הכללית איזומורפית לחבורה הסימטרית S4 וחבורת האוטומורפיזם החיצונית ל-S3.
חבורה המילטונית היא חבורה לא אבלית, שכל תת-החבורות שלה הן נורמליות.
כל חבורה המילטונית היא מכפלה של חבורת הקווטרניונים בחבורה אבלית שהיא מכפלת חבורת-2 אלמנטרית בחבורה מפותלת שכל אבריה מסדר אי-זוגי.
(חבורה שהיא או אבלית או המילטונית נקראת לפעמים "חבורת דדקינד").
חבורת כוח-המוח היא סדרת ספרי ילדים בלשית שכתבה זוהר אביב.
הסדרה מספרת על ארבעה ילדים (ולאחר מכן חמישה) בכיתה ו' המקימים יחד חבורת בלשים ופותרים תעלומות.
הסדרה שמה דגש על פתרון בעיות באמצעות שכל והתנגדות לאלימות.
בנוסף ישנו עיסוק נרחב בסדרה ביחסים הרומנטיים והקשרים בין הבנים והבנות.
בסדרה נכללים 28 ספרים שיצאו בין השנים 1993- 2025, ובהתאם לז'אנר כל ספר מתאר "מעגל שלם" שנפתח עם התגלות תעלומה חדשה, ונגמר עם פתרונה.
בין ספר לספר יש המשכיות חלקית (לעיתים קרובות מדברים בספר אחד על אירועים או אנשים מספרים קודמים), אך לא מלאה: בני החבורה נשארים בכיתה ו' למרות השתלשלות האירועים, ולעיתים יש גרסאות שונות לאירועים שקרו בעבר.
אייל קורן - מנהיג החבורה, והמספר של הסדרה.
מאוהב בליטל שנמצאת בחבורה, והחל מהספר ה-13 הם נהיים חברים.
ניב פוגל - מכונה "ניב הזדוני", שמאופיין בהומור ציני ובערמומיות.
אריק שוהם/זוארץ - מכונה "אריק השמן" בשל היותו סובל מהשמנה.
רגוע וטוב לב, ואוהב טבע ואוכל.
הייתה לו כלבה בשם פזית (שהייתה חלק מהעלילה בספר הרביעי) אותה הוא אהב ושמתה בספר ה-21 כתוצאה מדריסה.
ליטל קופל - הבת היחידה בחבורה, שמאופיינת כעדינה וטובת לב.
כל אחד מהבנים מתאהב בה בשלב מסוים בסדרה.
בתחילה היא חברתו של אריק, ולאחר מכן חברתו של גל ובסוף היא נהיית חברתו של אייל החל מהספר ה-13. אביה דוד עורך דין.
גל - המרגל הסודי של החבורה שבתחילה הופיע בספר השביעי כנגד החבורה אך בסוף הצטרף אליה בספר השמיני.
בספר ה-28 הוא עובר עם משפחתו להוואי.
ישנן דמויות רבות המופיעות בספרים במשך הסדרה, אולם יש כמה דמויות שחוזרות בספרים רבים:
משפחתו של אייל - הוריו של אייל נקראים מירי-יעל/גליה ודודו/דור/רמי קורן, ויש לו אחות בשם בר שנולדה בספר הרביעי, ואח קטן בשם אור שנולד בספר ה-25. יחסי המשפחה תופסים חלק נרחב בסדרת הספרים, הוריו של אייל תומכים בקיומה של החבורה אבל לא מסכימים שקיומה יהיה על חשבון הלימודים.
ארני - בלש סטריאוטיפי שמעשן מקטרת ולובש כובע של בלשים שעובד במשטרה, ומופיע מהספר הראשון ומסייע לחבורה בפתרון תעלומות.
מהספר השני הוא בזוגיות עם מרים אמם של תומר וגיל מהספר הראשון, ובספר ה-16 הוא מציע למרים נישואים והיא מסכימה לכך.
עמליה - מנהלת בית הספר שבו לומדת החבורה.
בספר ה-28 היא מוחלפת במנהל בשם יהונתן.
יהונתן -מנהל בית הספר החדש המופיע בספר ה-28.
כוכבה בעדש/כהן - מחנכת הכיתה של בני החבורה.
אם לבן בשם קובי ובת בשם סתיו.
בספר ה-18 היא יוצאת לחופשת לידה ומוחלפת במורה בשם הגר מועלם, ובספר ה-19 היא חוזרת ללמד.
יחזקאל - אב הבית בבית הספר של בני החבורה שמיודד עמם, והם מסייעים לו כמה פעמים.
מופיע בספר השני, וגם בכמה ספרים נוספים.
מורדי (מרדכי) גלילי - האנטגוניסט בספר הראשון, ומופיע גם בכמה ספרים נוספים.
הסדרה היא רבת מכר, ואף זכתה בפרס "מצילה" בנושא מניעת אלימות בשנת 2000.
חבורת כוח-המוח - ופרשת הגנבות בכיתה (1993).
חבורת כוח-המוח - והבלגן בחדר המנהלת (1995).
חבורת כוח-המוח - והתעלומה באולם הספורט (1996).
חבורת כוח-המוח - ופרשת הכלבה החטופה (1996).
חבורת כוח-המוח - וטבעת המזל (1997).
חבורת כוח-המוח - והתקלה המסתורית (1998).
חבורת כוח-המוח - בעקבות הכסף האבוד (1998).
חבורת כוח-המוח - והמסיבה המדליקה.
חבורת כוח-המוח - וההצגה הגדולה (1999).
חבורת כוח-המוח - ותעלומת העטלף השחור (2000).
חבורת כוח-המוח - והמלכודת בטיול השנתי (2001).
חבורת כוח-המוח - בעקבות התלמיד שנעלם (2002).
חבורת כוח-המוח - בעקבות גנבי האופניים (2003).
חבורת כוח-המוח - ורוח הרפאים (2004).
חבורת כוח-המוח - וג'ודי הקוסמת (2005).
חבורת כוח-המוח - מסתורין בפינת החי (2005).
חבורת כוח-המוח - והקלף המקולל (2006).
חבורת כוח-המוח - נלחמים בשד האלימות (2007).
חבורת כוח-המוח - ולחישת הנחש (2008).
חבורת כוח-המוח - עושים סדר!
חבורת כוח-המוח - והסודות הגנובים (2009).
חבורת כוח-המוח - זאב במחשב.
עוסק בבטיחות ברשתות החברתיות ובפדופיליה (2010).
חבורת כוח-המוח - החרם הכפול.
עוסק בהתמודדות עם חרם (2012).
חבורת כוח-המוח - מסך שבור.
עוסק בהתמודדות עם איומים בווצאפ (2015).
חבורת כוח-המוח - תעלומה בזמן קורונה.
עוסק בהתמודדות עם אלימות במשפחה (2020).
חבורת כוח-המוח - סוד הכובעים והטאבלט.
עוסק בהתמודדות עם פוסט טראומה (2023).
חבורת כוח-המוח - מנהיג במבחן (2025).
חבורת הגופים היא סדרה לילדים בגיל הגן שהופקה עבור ניקלודאון ונוצרה על ידי ג'וני בלט ורוברט סקול.
הסדרה היא שילוב של מערכונים קומיים וחינוכיים יחד עם קטעים מוזיקליים, והיא סובבת סביב הרפתקאות תת-מימיות של קבוצת ילדים-גופים בשם מולי, גיל, גובי, דימה, אונה, נוני, זולי והמורה שלהם, מר מורה.
הגופים גרים במקום דמיוני מתחת למים בעיר שנקראת "תל בועה" (Bubbletucky), אשר יכול להיות משחק מילים של מדינת קנטקי (באנגלית).
הסדרה משודרת בניקלודאון וניתנת להורדה ב-iTunes.
לאחר ככמעט שלוש שנים מאז זמן שידורו המקורי של הפרק האחרון, חודשה הסדרה לעונה חמישית ב-4 ביוני 2019, עם 26 פרקים.
ב-19 בפברואר 2020 הזמינה ניקלודאון עונה שישית ששודרה לראשונה ב-19 באוקטובר 2021.
הסדרה הופקה באמצעות תוכנת תלת מימד.
בשנת 2012 נוצר המשחק "Bubble Guppies" עבור נינטנדו DS.
כל הפרקים בנויים בתבנית עלילה דומה:
הפרק מתחיל בהקדמה של גיל ומולי שאומרת: "היי זו אני מולי וזה הזמן ל..." רק כדי להיעצר על ידי גיל שמבצע מעשה שקשור לנושא עליו מדבר הפרק.
אחד מהם פונה לילדים ואומר: "זה הזמן לחבורת הגופים!", ושיר הפתיחה מתנגן.
לאחר שיר הפתיחה, הדגים הקטנים אומרים את שם הפרק.
כעת, אחד הילדים הולך לבית ספר ובדרך קורה לו משהו שקשור בנושא של הפרק.
הדמות או הדמויות האלו שהדבר הזה קורה להם, משמשות תפקיד מרכזי בעלילה.
כעת, מתחילים הלימודים והגופים אומרים: "בוקר טוב, מר מורה!".
הגופי בתפקיד הראשי מספר למר מורה את מה שקרה לו קודם, והמורה מציע: "בואו נחשוב על זה!", והדמויות מדברות על הנושא.
כעת מתנגן שיר פופ המתרכז בנושא של הפרק.
אחרי השיר, אחד מהגופים הולך לחנות כלשהי שקשורה בנושא של הפרק.
הבעלים של החנות (שהוא אחד מהגופים האחרים), ישאל שאלות בנוגע למה שהלקוח צריך.
אחר כך מר מורה מודיע על זמן הארוחה, ושיר "הארוחה" מתנגן.
בארוחה שלושה גופים עושים "בדיחת אוכל" הקשורות לנושא הפרק.
אחרי האוכל מופיע מערכון נוסף של גיל ומולי.
כמעט בכל פרק אחרי הבדיחה הדגים הקטנים יגידו: "זה מגוחך" או: "זה מצחיק" אחרי שיחזרו על הבדיחה.
סדר השירים לפעמים משתנה בין פרק לפרק.
מר מורה אומר לכולם שזה הזמן לצאת החוצה ואז השיר "החוצה" מתנגן, והגופים מציגים סיפור וממחיזים אותו, הסיפור קשור לנושא של הפרק, שמערב בו טכנולוגיית Adobe Flash-animated.
אחרי כן גיל ומולי עושים עוד מערכון.
הגופים יוצאים לטיול שלפעמים הוא הפתרון לבעיה שהוצגה בתחילת הפרק (כמו בקטע שגובי איבד את המשאית שלו), ועוסק בנושא הפרק.
הטיול כולל גם את הדמות הראשית.
אחר כך מוצג עוד מערכון של מולי וגיל, ואז חוזר חלק קטן משיר הפתיחה.
מולי (Molly) – ילדת גופי אנרגטית ועליזה בת חמש, החכמה שבחבורה והמובילה שלה.
היא המנחה הראשית של התוכנית (יחד עם גיל) והחברה הכי טובה של גיל.
מולי מופיעה לצד גיל בקטעי המעבר, בהם היא עוזרת לו בתקווה שלא יתעוררו בעיות.
יש לה עור שזוף, שיער ורוד ארוך ועיניים חומות.
היא לובשת זנב עם פסים בכחול טורקיז וכחול קדט וביקיני תואם.
גיל (Gil) – ילד גופי שובב ומשעשע.
הוא המנחה המשני של התוכנית (יחד עם מולי) והחבר הכי טוב של מולי.
גיל נבהל בקלות ומופיע לצד מולי בקטעי המעבר.
בקטעים אלה, הוא לרוב מנסה לעשות משהו, אך התוצאה יוצאת בלתי צפויה.
יש לו עור בהיר, שיער כחול המסורק הצידה ועיניים כחולות.
הוא לובש זנב בצבע ירוק וירוק יער.
גובי (Goby) – ילד גופי בן חמש עם אישיות דמיונית ויצירתית.
הוא גם חבר טוב של גיל.
יש לו עור כהה, שיער מתולתל בצבע כחול ועיניים חומות.
הוא לובש זנב בצבע כחול וסגול.
דימה (Deema) – ילדת גופי עם דמיון פרוע שלעיתים קרובות מגלמת את תפקיד המוכרת בקטעי ה"חנות".
יש לה עור בהיר, שיער בלונדיני מתולתל וגדול, ועיניים כחולות.
היא לובשת זנב וביקיני בצבע כתום עם נקודות שמש זוהרות ועגילים כתומים.
אונה (Oona) – ילדת גופי מרושלת עם אישיות מתוקה.
יש לה עור בהיר, שיער סגול אסוף לפיגטיילים ועיניים חומות.
היא לובשת זנב סגול וחשמלי, ומחזיקה סיכת כוכב ורודה בשיער שלה.
נוני (Nonny) – ילד גופי עם אישיות אינטליגנטית ואדיבה.
הוא חכם ועוזר לדימה להגות מילים ועוזר לחבריו לענות על שאלותיהם.
אף על פי שאינו מחייך הרבה, הוא החבר הכי מנומס ובוגר בקבוצה.
הוא גם חברה הטוב של אונה.
יש לו עור בהיר, שיער כתום קצר ועיניים ירוקות.
הוא לובש זנב עם פסים בצבעים ירוק וכהה ועניבת צלילה כחולה.
זולי (Zooli) – ילדת גופי (דג גמבוזיה) אנושית שהוצגה בעונה 5 (מעולם לא הוצגה בישראל).
יש לה עור כהה, שיער סגול מתולתל אסוף בקוקו ועיניים חומות כהות.
היא לובשת זנב בגווני מג'נטה וורוד עם דוגמת מערבולות, ובשערה יש סרט ראש כחול בצורת צדפה.
Grouper) – דג זהב גדול וכתום והמורה של הגופים.
הוא מכבד את הדמיון, הרעיונות וההצעות של הילדים.
אחד המאפיינים הבולטים שלו הוא היכולת לשנות את עורו הכתום הטבעי למגוון רחב של צבעים ודוגמאות.
הוא עוזר לילדים להבין את הנושא של הפרק.
דגים קטנים (Little Fish) – קבוצה של דגי זהב קטנים וכתומים שמופיעים לאורך כל פרק כמדריכים עבור הצופים.
הם מכריזים על שם הפרק, צועקים את התשובות לשאלות המופנות לצופים ומספקים פרשנות בחלק מהסצנות.
Grumpfish) – דג שלילי אשר תמיד כועס.
כלבלב בועה (Bubble Puppy) – כלבלב המחמד של מולי וגיל, מעין כלב עם סנפיר.
חבורת החצר היא סדרת הנפשה מוזיקלית קנדית–אמריקאית שנוצרה על ידי ג'אניס בורג'ס.
הסדרה מתארת את קורותיהם של חמישה ילדים–חיות הנפגשים בחצר ביתם המשותפת ומשחקים יחדיו במשחקי דמיון רוויים הרפתקאות, ריקודים ושירים.
הדמויות עוצבו על ידי הסופר והמאייר דן יקרינו.
בישראל הסדרה שודרה לראשונה בשנת 2009 בערוץ הופ!.
לסדרה ארבע עונות ו-80 פרקים באורך 23 דקות כל אחד.
הסדרה סובבת סביב חמישה ילדים–חיות: עידו, מיכאלה, יוני, דנה וירון.
החמישה חולקים חצר אחורית בין הבתים שלהם, ובכל פרק הם נפגשים בחצר ומדמיינים את עצמם בשלל הרפתקאות.
ההרפתקאות שלהם מתרחשות במקומות ובתנאים שונים; רבות מהן מתארות ביקור באזורים שונים בעולם, מסע לעבר או לעתיד ושימוש בכוחות על טבעיים או בקסמים.
הדמויות מעניקות אחת לשנייה תפקידים בהתאם להרפתקה כמו בלשים, מדענים או אבירים.
החל מהעונה השנייה, רבות מהחוויות הן פרודיות על סיפורי ג'יימס בונד, מסע בין כוכבים, אינדיאנה ג'ונס או מכסחי השדים.
ההתחלה והסיום בכל פרק דומים ליתר הפרקים.
הסיפור מתחיל עם אחת הדמויות בחצר שמציגה את עצמה ומסבירה מה היא מדמיינת.
בסיום הפרק, אחרי שהחבורה סיימה את ההרפתקה, הפנטזיה מתפוגגת והדמויות חוזרות לחצר.
החבורה שרה שיר סיום תוך שכל הדמויות הולכות לאחד הבתים לאכול חטיף וסוגרות אחריהן את הדלת.
בסוף הפרק, לפחות דמות אחת פותחת את הדלת וצועקת משהו שקשור לנושא הפרק.
כל פרק משתמש בסגנון מוזיקה שונה בארבעה שירים, בהם הדמויות שרות ורוקדות.
לרוב, השירים משמשים להצגת תפקיד אחת הדמויות, לקדם את העלילה או להסביר בעיה.
בנוסף לשירה שהז'אנר שלה משתנה מדי פרק, גם מוזיקת הרקע משתנה בהתאם לפעולות של הדמויות.
עידו (Pablo) (אתי קסטרו) – פינגווין כחול עם מקור צהוב.
הצעיר והתמים ביותר מבני החבורה, אך בעל ביטחון עצמי רב.
מיכאלה (Uniqua) (טליה ברקאי) – סקרנית ובעלת ביטחון עצמי גבוה.
אין לה גזע מוגדר וצבעה ורוד.
מבוגרת יותר מעידו, אך צעירה משאר החבורה.
יוני (Austin) (עונה 1: דורון בן-עמי/עונות 2–4: דור סרוגו) – קנגורו סגול וביישן.
דנה (Tasha) (עינת אזולאי) – היפופוטמית צהובה.
השנייה המבוגרת ביותר מבני החבורה.
ירון (Tyrone) (עונה 1: ענבר גל/עונות 2–4: שירלי לילו) – אייל קורא כתום בעל כוונות טובות, אך מעט חששן.
חברו הטוב ביותר של יוני.
חבורת הצמות היא חבורה בעלת שימושים רבים בתחומים שונים של המתמטיקה, כמו טופולוגיה גאומטרית, גאומטריה אלגברית, הצפנה ועוד.
זוהי חבורה אינסופית בעלת הצגה סופית שבמידה מסוימת מכלילה את החבורה הסימטרית הסופית.
לחבורת הצמות מספר הגדרות שקולות, בעלות אופי שוני, המעידות על יישומיה של החבורה בתחומים שונים.
בהינתן מספר טבעי n גדול מ־1, חבורת הצמות מסדר היא החבורה בעלת ההצגה:
להצגה זו קוראים הצגת ארטין, על שם המתמטיקאי אמיל ארטין שעסק בחבורה והגיע להצגה זו לראשונה.
יחסי החבורה נקראים יחסי קומוטטיביות ויחסי הצמות בהתאמה.
גאומטרית, חבורת הצמות ה־ היא אוסף כל הצמות לאורך מסלולים (לא מעגליים), יחד עם פעולת הרכבת צמות.
ולעומת זאת, זו איננה צמה:
פעולת ההרכבה של צמות נעשית לדוגמה כך:
המינוח המדויק נתון במונחים של טופולוגיה אלגברית והומוטופיה, בדומה להגדרה של קשרים.
שיקולים שונים מראים כי הצמות בהגדרתן הגאומטרית אכן מקיימות את היחסים כלעיל (עד כדי הומוטופיה).
חקר הצמות באופן גאומטרי מכונה תורת הצמות.
את חבורת הצמות ניתן להגדיר בכלים של טופולוגיה אלגברית.
נסמן , ותהי קבוצת נקודות סופית.
נגדיר ב־ את קבוצות הדיפאומורפיזמים המקיימות (קבוצתית ולא נקודתית), ו־.
כעת, על הקבוצה נגדיר את יחס השקילות הבא: נאמר ש־ אם שניהם משרים את אותו האוטומורפיזם בחבורה היסודית .
נגדיר את חבורת הצמות להיות חבורת המנה לפי יחס שקילות זה.
כל חבורה היא בעלת הצגה כלעיל, ובפרט לכל שני דיסקים ולכל שתי קבוצות נקודות (מאותו גודל).
החבורה היא מודל טופולוגי של החבורה .
במילים אחרות, הגדרה זו אומרת שחבורת הצמות היא חבורת מחלקות ההעתקות (Mapping class group) של דיסק עם חורים.
זוהי שיטת הסתכלות שימושית העוזרת בהוכחת טענות על חבורת הצמות.
החבורה היסודית של מרחב התצורה
הגדרה נוספת של חבורת הצמות היא בתור החבורה היסודית של מרחב התצורה (Configuration space) של המרחב המרוכב .
נגדיר – כלומר, זוהי קבוצה פתוחה במרחב האפיני המרוכב, המהווה משלים של הקבוצה האפינית .
על קבוצה זו פועלת באופן טבעי החבורה הסימטרית, על ידי החלפת הקואורדינטות, וכך מתקבל המרחב .
העתקת המנה היא העתקת כיסוי מסדר .
בהינתן נקודה כלשהי , אפשר לזהות את חבורת הצמות עם החבורה היסודית , ואז .
המרחב הוא מרחב קשיר מסילתית, ועל כן מוגדרת, באי־תלות בנקודת המרכז, החבורה היסודית של המרחב, והיא מוגדרת להיות חבורת הצמות ה־.
יש הומומורפיזם טבעי מחבורת הצמות אל החבורה הסימטרית, המתקבל מכך ש"שוכחים" את המבנה הטופולוגי של הצמות ומתחשבים רק בפעולה שלהן על n הנקודות.
הפעולה שולחת את יוצר קוקסטר אל החילוף (ההעתקה היא על, משום שהחילופים יוצרים יחד את החבורה הסימטרית).
הגרעין של ההעתקה הזו מכונה חבורת הצמות הטהורה ומסומן .
כך מוגדרת סדרה מדויקת קצרה .
יש ייצוג של חבורת הצמות עם היוצרים (עבור ), והיחסים כאשר , ו־ כאשר .
ייצוג סימטרי זה הוצע על ידי Birman-Ko-Lee.
חבורת הצמות הטהורה נוצרת על ידי האיברים (עבור ), המתארים העברה של הפתיל ה־j מתחת לפתילים , ואז מעל ומסביב לפתיל ה־, ובחזרה מתחת לפתילים הנזכרים לעיל.
ידוע ייצוג על ידי יוצרים ויחסים של במונחי יוצרים אלה.
יוצרי חבורת הצמות פועלים על היוצרים באופן הבא: , ו־ לכל k אחר.
יש אפימורפיזם מ־ ל־, המתקבל ממחיקת הפתיל ה־־י (ובמונחי היוצרים, על ידי איפוס היוצרים ).
הטלה זו מגדירה סדרה מדויקת קצרה , שבה הגרעין הוא חבורה חופשית, הנוצרת על ידי ה־.
בפרט, לכל יש ל־ תת־חבורה חופשית לא אבלית.
נוצרת על ידי איבר אחד ובלי יחסים, ולכן איזומורפית לחבורה הציקלית האינסופית.
חבורת הצמות היא דוגמה קלאסית לחבורת ארטין, וחבורת קוקסטר המתאימה לה היא החבורה הסימטרית – כלומר, לשתי החבורות אותו מספר יוצרים, אך בחבורה הסימטרית נוספים יחסי השיקוף: .
חבורת הצמות היא חבורה חסרת פיתול.
צמות הן במידה מסוימת הכללה של שזרים.
כל צמה ניתן 'לסגור' (ללא קשר נוסף) ולקבל שזר.
התאמה זו של צמות אל שזרים היא על – כלומר כל שזר הוא צמה סגורה, אך איננה חח"ע (למשל, צמות צמודות הולכות אל אותו הקשר).
ניתן לעבור בין כל שתי צמות על ידי מספר סופי של צעדי ריידמייסטר.
במקרה של שתי צמות שמייצגות אותו השזר (כולל אוריינטציה), הטענה חזקה יותר – ניתן לעבור בין כל שתי צמות כנ"ל על ידי מספר סופי של צעדים כלהלן: איזוטופיית צמות, ייצוב (stabilization) ואי־ייצוב (destabilization), המכונים צעדי מרקוב.
במקרה של הקשר הטריוויאלי, הטענה עוד יותר טובה – כל צמה המייצגת את השזר הטריוויאלי ניתן להעביר ליוצר על ידי איזוטופיית צמות, ייצוב וצעדי המרה (exchange moves).
ראו את המאמר של בירמן וברנדל לפרטים מלאים.
חבורת הצמות היא חבורה ליניארית (אינסופית), כלומר ניתן לשכן אותה בחבורת מטריצות מסדר סופי, או במילים אחרות יש לה הצגה ליניארית נאמנה.
ההצגות של חבורת הצמות קשורות קשר הדוק באפימורפיזם – אף על פי שהגרעין שלו עצום (אינסופי), העתקה זו מאפשרת להרים הצגות של (שהמבנה שלהן ידוע בצורה דיי טובה בעזרת דיאגרמות יאנג) להצגות של .
הצגת בוראו (Burau representation) היא הרמה של ההצגה הנאמנה של המתאימה לדיאגרמת יאנג .
ההצגה (אותה גילה בוראו באופן בלתי תלוי) נתונה מפורשות על ידי שליחת היוצרים .
הצגה זו, כמו ההצגה של המתאימה לדאיגרמת יאנג , מתפצלת לשתי הצגות, אחת מממד אחד והשנייה מממד , המכונה הצגת באראו המצומצמת, ונתונה על ידי השולחת יוצרים: .
הצגת בוראו נאמנה עבור , אך איננה נאמנה עבור , ולא ידוע האם היא נאמנה עבור .
בעזרת הצגת בוראו ניתן לחשב ישירות את פולינום אלכסנדר, שהוא אינווריאנט קשרים: אם הנה צמה המתאימה אל הקשר , פולינום אלכסנדר שלו הוא .
בעזרת הצגת בוראו ניתן להכליל את פולינום אלכסנדר לפולינום בשני משתנים – פולינום ה־HOMFLY – שגם הוא אינווריאנט קשרים, וממנו גם ניתן להסיק כמקרה פרטי את פולינום ג'ונס.
לפולינום ה־HOMFLY תכונות טובות מאוד (לפרטים, ראו במאמר של בירמן וברנדל).
ההצגה הבאה שנציג היא הצגה על שמם של המתמטיקאית הישראלית רות לורנס ושל דן קרמר.
לורנס הציגה מספר מונחים כלליים יותר, הצגות לורנס.
הצגות לורנס–קרמר הן מקרה פרטי שלה.
אלו הן ההעתקות , אשר מהוות הצגה נאמנה לכל .
בכך הוכח שחבורת הצמות היא חבורה ליניארית.
לעובדה זה יש שימושים בתחומים שונים, כמו בהצפנה .
אחת ממעלותיה של חבורת הצמות היא שיש לה צורה נורמלית נוחה במיוחד, שגם ניתנת למימוש פשוט במחשב.
הצורה הראשונה שתוצג מכונה צורת גרסייד (Garside normal form).
כדי להגיע לצורה זו, יש ראשית להגדיר את הצמות החיוביות להיות כל הצמות שנוצרות מחזקות חיוביות בלבד של היוצרים.
אחד הצמות (החיוביות) החשובות היא הצמה היסודית (The fundamental Braid):
איבר זה בריבוע יוצר את המרכז של החבורה, כלומר .
איבר זה מקיים תכונה חשובה, והיא .
בנוסף, נגדיר צמה פשוטה: עבור יחס הסדר על , נאמר שצמה P היא פשוטה אם (כאשר 1 הוא איבר היחידה).
יש התאמה בין הצמות הפשוטות לאיבר החבורה הסימטרית (ובפרט כמותם היא ), ולמעשה יותר מכך – איברים אלו הם המקורות הקצרים ביותר של כל איברי לפי האפימורפיזם לעיל .
כעת הגענו למשפט ההצגה של גרסייד: כל צמה אפשר להציג ביחידות מהצורה , כאשר t מספר שלם ו צמות פשוטות.
צורה זו מכונה הצורה הנורמלית של האיבר.
קיים אלגוריתם המוצא את הצורה הנורמלית של צמה נתונה בעל זמן ריצה , ואלגוריתם טוב יותר ביעילות .
על האלגוריתם המפורט להבאת צמה שרירותית לצורה הנ"ל, ראו בקריאה נוספת (D.
צורה נורמלית נוספת (ובמובנים מסוימים אף טובה יותר) היא צורת בירמן, על השם המתמטיקאית ג'ואן בירמן (Joan Birman).
הוא בעל תכונות דומות לצמה היסודית, ומתקיים .
צורת בירמן של צמה כללית היא הצגה יחידה בצורה , כאשר , המכונים גורמים קנוניים (Canonical factors), ידועים מראש, כפונקציה של מהסעיף הקודם.
היתרון בצורה זו הוא שכמות הגורמים הקנוניים היא כמספר קטלן: ששווה אסימפטוטית ל־.
יותר מכך, יש אלגוריתם יותר יעיל למציאת צורה זו, ביעילות .
חבורת הצמות היא אחד המועמדים הטבעיים והטובים ביותר בפרוטוקולי הצפנה שונים בהצפנה לא קומוטטיבית.
הצגתה הנוחה שהוצגה לעיל, כמו גם העובדה שהיא ליניארית, מאפשרות לממש ייצוג במחשב שבעזרתו ובעזרת תכונות החבורה אפשר להכפיל ולהשוות את האיברים בצורה יעילה.
בנוסף, לחבורה בעיית חיפוש מצמיד קשה במיוחד, מה שפותח את הדלת לשימוש בפרוטוקולים רבים, כמו Ko, Lee, et.
תת־החבורות (שצריכות להתחלף ביניהן) שאפשר לבחור בפרוטוקולים כלעיל הן .
על פי אחת ההמלצות המקובלות, יש להשתמש בפרוטוקולים כמו הנ"ל בחבורת הצמות מסדר 80 ובתת חבורות עם 12 יוצרים לפחות.
מתוך ההגדרה לעיל, ניתן להגדיר את חבורת הצמות האינסופית.
את חבורת הצמות מסדר n ניתן לשכן באופן טבעי בחבורת הצמות מסדר n+1, כלומר אפשר לומר כי .
אם כן, חבורת הצמות האינסופית מוגדרת בתור הקו־גבול: ; הלכה למעשה, ניתן לחשוב על כך כעל האיחוד על פני השרשרת .
על חבורה זו ניתן להגדיר טופולוגיה כך שתהיה חבורת מחלקות ההעתקות של דיסק עם מספר בן מנייה של חורים.
חבורת הצמות הטהורה האינסופית איזומורפית לחבורה היסודית של קוביית הילברט (Hilbert Cube) פחות האיברים מהצורה .
בתורת הקשרים, חבורת הקשר (Knot Group) של קשר נתון היא החבורה היסודית של המשלים שלו במרחב - .
חבורה זו היא אינווריאנט קשרים בסיסי וחשוב בתורת הקשרים - בעזרתו ניתן למיין קשרים וללמוד על התכונות הגאומטריות שלהם.
בכל זאת, אינווריאנט זה איננו שלם.
קשר הוא שיכון של ספירה במרחב התלת-ממדי .
מעצם ההגדרה, קשר כאובייקט עצמאי הומיאומורפי לספירה (ההעתקה ההפכית רציפה כהעתקה ממרחב קומפקטי להאוסדורף), ולכן מחקר תכונות שלו ברמה הזו הוא חסר טעם - המידע הטמון בתוך הקשר הוא אופן שיכונו בתוך המרחב.
בהינתן קשר , ניתן להביט במשלים שלו - זהו אינווריאנט של הקשר (המשלימים של שני קשרים שקולים גם הם שקולים), אך דיי קשה לחקור אותו כאובייקט העומד בפני עצמו - למשל, לא ידוע האם הוא אינווריאנט שלם (כלומר, האם משלימים שקולים גוררים קשרים שקולים).
בכל זאת, ניתן להרכיב על המשלים פונקטורים שונים, ובעזרתם ללמוד על הקשר.
לכן, מגדירים את החבורה של הקשר (Knot group) להיות החבורה היסודית של המשלים - .
אינווריאנט זה מתגלה כמוצלח, ומצליח להבדיל בין מספר קשרים בסיסיים ומאפשר ללמוד על הקשר.
החבורה היסודית היא אכן בחירה "מוצלחת" של אינווריאנט בצורת חבורה - כך למשל, כל חבורות ההומולוגיה (וגם הקו-הומולוגיה) של המשלים נקבעות ללא תלות בשיכון - היא אפס בפרט להומולוגיה הראשונה, שהיא החבורה הציקלית האינסופית.
בפרט, נובע כי האבליניזציה של חבורת הקשר של כל קשר היא ציקלית אינסופית.
את החישוב ניתן לעשות בעזרת סדרת מאייר-ויאטוריס.
לעיתים מגדירים את חבורת הקשר להיות המשלים של הקשר ב-, אך למעשה ההגדרות שקולות - שתי חבורות אלו איזומורפיות.
במקרים רבים, נוח לחשב חבורות של קשרים בעזרת הצגת וירטינגר (Wirtinger presentation) של הקשר .
הקשר הטריוויאלי הוא שיכון של המעגל ללא הצטלבויות, והחבורה שלו היא .
ביתר כלליות, לקשר טריוויאלי מקו-ממד 2 יש חבורה יסודית ציקלית אינסופית - תחת שיכון טבעי מתקיים .
לקשר טורוס מטיפוס (המספרים זרים) חבורת הקשר היא .
יתרה מזאת, החבורה הזו גם קובעת את קשר הטורוס - שני קשרי טורוס הם זהים אם ורק אם הטיפוס שלהם זהה (עד כדי קשר טריוויאלי וסימן).
ניתן לחשב את החבורה של קשר התלתן בשתי דרכים - בעזרת הדוגמה לעיל מקבלים , ובעזרת הצגת וירטינגר מקבלים - חבורת הצמות השלישית.
בפרט, נובע שאלו הן שתי הצגות לאותה החבורה.
לקשר השמינית חבורת הקשר .
לקשר הריבוע ולקשר הסבתא אותה חבורת הקשרים, אך הם אינם שקולים.
חבורת הסיבוב בשלושה ממדים, המכונה (SO(3 היא חבורת כל הסיבובים סביב ראשית צירים במרחב , תחת הרכבה.
(SO(3 היא חבורת לי קומפקטית מממד 3. מנקודת מבט כללית יותר, (SO(3 היא החבורה האורתוגנלית המיוחדת של התבנית הריבועית .
החבורה (SO(3 משמשת לתיאור כל סימטריות הסיבוב של גוף, כמו גם כל האוריינטציות האפשריות שלו במרחב.
היא נמצאת בשימוש נרחב בחישובים פיזיקליים ובמיוחד בפיזיקה גרעינית כאשר מתארים חלקיקים אלמנטריים עם ספין שלם, וכן בתחומי התעופה, הטילאות ובכלל בכל מקום שנדרשת הדמיה של גופים נעים ומסתובבים במרחב.
על פי הגדרה, סיבוב סביב ראשית הצירים הוא טרנספורמציה המשמרת את ראשית הצירים, את המרחק האוקלידי (ולכן היא איזומטריה), ואת האוריינטציה.
כל סיבוב לא-טריוויאלי מוגדר על ידי ציר הסיבוב (קו העובר דרך ראשית הצירים) וזווית הסיבוב.
פונקציית הזהות מקיימת את תנאי הסיבוב ולכן מהווה סיבוב בעצמה.
לכל סיבוב ישנו ערך הופכי יחיד.
לפי משפט הסיבובים של אוילר, הרכבה של שני סיבובים מוגדרת על ידי סיבוב שקול.
סיבובים הם טרנספורמציות ליניאריות במרחב וניתנות לייצוג על ידי מטריצה לאחר שנבחר בסיס של .
בפרט, אם נקבע בסיס אורתונורמלי של , כל סיבוב יהיה מיוצג על ידי מטריצה אורתוגונלית 3X3.
החבורה (SO(3 יכולה איפה להיות מוגדרת על ידי חבורת המטריצות המתוארות לעיל תחת פעולת כפל מטריצות.
מטריצות אלו מכונות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות" (Special Orthogonal Matrices), ולכן הסימון SO.
בטופולוגיה, חבורת האיזומטריות של מרחב מטרי היא חבורת ההעתקות ההפיכות מהמרחב אל עצמו, אשר משמרות מרחק -- הנקראת גם איזומטריות.
חבורה זו מכילה את המידע אודות הסימטריות של המרחב, ובעזרתה ניתן ללמוד על המבנה שלו.
בהינתן מרחב מטרי , איזומטריה של היא העתקה , חח"ע ועל, אשר משמרת מרחקים: .
קל להיווכח בכך שהרכבה של שתי איזומטריות והפכית של איזומטריה גם הן איזומטריות.
על כן, אוסף האיזומטריות של מרחב נתון מהווה חבורה, המכונה חבורת האיזומטריות של המרחב .
חבורת האיזומטריות של ספירה הנה החבורה האורתוגונלית (O(3.
חבורת האיזומטריות של המספרים השלמים (עם המרחק הרגיל בין מספרים) הנה החבורה הדיהדרלית האינסופית.
חבורת האיזומטריות של מרחב מינקובסקי הנה חבורת פואנקרה.
בתורת החבורות, חבורת הייזנברג היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל , עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות.
החבורה נקראת כך על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג.
לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות.
מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בחקר תכונות של חבורות-p.
חבורת הייזנברג (מממד 3) מעל החוג היא החבורה שאיבריה הם המטריצות: , כאשר .
הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה.
המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל:
ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים יהיו הפיכים בעצמם):.
חבורת הייזנברג מסדר היא: .
כאשר החוג הוא שדה המספרים הממשיים , מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה.
במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר.
כאשר החוג הוא חוג המספרים השלמים , מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית.
זוהי חבורה נילפוטנטית חופשית ממחלקה 2, ונוצרת על ידי:
לחבורה הייצוג הבא: , כאשר הם כדלעיל ו-.
במקרה זה, האיבר יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה.
בתור חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית, לחבורת הייזנברג הדיסקרטית גידול פולינומי וממד גלפנד-קירילוב שלה הוא 4. מתברר כי ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית, טור הילברט של חבורת הייזנברג הוא פונקציה רציונלית (היינו, מנה של שני פולינומים במקדמים שלמים).
תופעה זו, המכונה 'פאן-רציונליות', הוכחה על ידי דוצ'ין ושפירו.
חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי היא מסדר ומאקספוננט .
ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים:
חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות - חבורת-p בה המרכז איזומורפי ל- וחבורת המנה היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר .
במקרה של , מתקבלת החבורה הדיהדרלית .
לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות:
איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית:
ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה.
חבורת הזבל: הסרט הוא סרט קולנוע אמריקאי משנת 1987, אשר מהווה עיבוד קולנועי מסוג לייב אקשן לסדרת קלפי ההחלפה לילדים "חבורת הזבל", אשר זכו לפופולריות רבה במהלך שנות ה-80 של המאה ה-20. את הסרט ביים רוד אמאטאו, אשר גם לקח חלק בכתיבת התסריט.
הקלפים שיצאו לשוק לראשונה בארצות הברית בשנת 1985 היו מעין פרודיה לסדרת הבובות "Cabbage Patch Kids" וכל קלף כלל ילד מחבורת הזבל אשר לו היה לרוב מראה חריג.
עלילת הסרט התמקדה בשבע מהדמויות (אשר גולמו על ידי שחקנים גמדים בתלבושות אנימטראוניות) אשר חיו בעולם האמיתי והתיידדו עם ילד רגיל בשם דודג'ר.
הסרט נחשב בקרב רבים כאחד הסרטים הגרועים ביותר שנוצרו אי פעם.
הסרט שהופק בתקציב של מיליון דולר הרוויח רק 1.6 מיליון דולר בקופות וירד מכל בתי הקולנוע בארצות הברית לאחר שבועיים בלבד.
הסרט הוקרן בישראל בשנת 1988 בתרגום עברי, והופץ בדיבוב עברי ישירות לווידאו בלבד.
הסרט הוא כיום מרכיב עיקרי בלימודים של מגמת ההפקה בבית הספר לקולנוע וטלוויזיה ע"ש סטיב טיש ומתואר שם בתור "סרט ניסיוני אוונגרד".
חבורת הפראים הוא מערבון אמריקאי משנת 1969, בבימויו של סם פקינפה.
מככבים בו ויליאם הולדן, רוברט ראיין, בן ג'ונסון, אדמונד אובראיין וארנסט בורגניין.
הסרט נחשב לשנוי במחלוקת בשל האלימות הגרפית הרבה המוצגת בו.
חבורת פורעי חוק מגיעה לעיירה קטנה בטקסס.
הם חולפים על פני קבוצת ילדים בעיצומו של משחק, הילדים מענים עקרבים ומשליכים אותם לתוך קן נמלים אדומות.
חבורת הגברים המזדקנים, ובראשם המנהיג פייק בישופ, מתכננים לבצע שוד במשרד תחנת הרכבת.
זה אמור להיות השוד האחרון של החבורה טרם יפרשו סופית.
כאשר הם מגיעים אל התחנה, ממתינה להם חבורת ציידי ראשים יריבה שבראשה ת'ורנטון, שותפו לשעבר של פייק.
מתרחש קרב יריות גדול ובו נהרגים כמה מחברי חבורתו של פייק וכן מספר אזרחים שלקחו חלק בתהלוכה בסמוך.
אנשי החבורה ששרדו את הקרב נמלטים ומגיעים לעיירה קטנה במקסיקו.
הם מבינים כי הוטעו וכי השלל שבזזו בתחנת הרכבת למעשה חסר כל ערך.
העיירה הקטנה נשלטת על ידי מאפאצ'ה, מפקד אכזר של הצבא המקסיקני, אשר עושק את התושבים ומטיל אימים עליהם.
אחד מהחברים, אנג'ל, רואה כי אהובתו לשעבר נמצאת כעת בזרועות המפקד המקסיקני ויורה בה למוות.
כדי לפייס את המפקד הנסער, מציע פייק כי החבורה תעבוד בשבילו.
המקסיקנים מורים לחבורה לגנוב משלוח נשק מרכבת של הצבא האמריקני, בתמורה לזהב.
בעיצומו של שוד הרכבת מגיעה למקום חבורתו של ת'ורנטון.
הם רודפים אחרי חבורתו של פייק עד לנהר, שם נפגעים אנשיו של ת'ורנטון ממטען דינמיט שהוצמד לגשר.
לאחר שהם מתאוששים מהפגיעה, ת'ורנטון ואנשיו ממשיכים לרדוף אחרי חבורתו של פייק למקסיקו.
אחד מבני החבורה, אנג'ל, מוותר על חלקו בשלל ושולח רובים ותחמושת ליריביו המורדים של המפקד מאפאצ'ה.
כאשר מאפאצ'ה מגלה על מעשיו, מנסה אנג'ל להימלט אולם נתפס ועובר עינויים.
לאחר לילה של הוללות ושתייה, פייק ואנשיו מחליטים לשוב אל העיירה ולחלץ את חברם השבוי.
המפקד מאפאצ'ה רוצח את אנג'ל ולאחר מכן נורה למוות על ידי פייק.
פייק, שכבר גמר אומר למות, יורה גם ביועצו של מאפאצ'ה והורג אותו.
כתוצאה מכך מתחיל קרב יריות רווי דם בין אנשיו של מאפאצ'ה והחבורה.
אנשיו של פייק נופלים בקרב.
פייק עצמו מוצא בקרב את מותו במטר כדורים.
לאחר סיום הקרב, ת'ורנטון ואנשיו מגיעים למקום ובוזזים את גופות המקסיקנים.
הוא מורה לאנשיו להחזיר את גופותיהם של אנשיו של פייק לטקסס לקבלת הפרס על ראשיהם, אולם בוחר להישאר במקסיקו.
אנשיו של ת'ורנטון נהרגים בדרכם למקסיקו במארב.
בסיומו של הסרט מגיע לעיירה סייקס, אחד מבני החבורה שנפצע, יחד עם המורדים המקסיקנים שהרגו את אנשיו של ת'ורנטון.
סייקס מציע לת'ורנטון להצטרף אליו.
ת'ורנטון מחייך ומסכים, ורוכב עם סייקס מהמקום.
על אף הבעייתיות שבה נודע פקינפה בעבודתו על סטים, ואף על פי שפוטר מעבודתו על הסרט "סינסינטי קיד", מפיקי אולפן האחים וורנר היו מעוניינים כי יביים סרט עבורם לאחר הצלחתו בסדרת הטלוויזיה Noon Wine.
פקינפה הגיש למפיקים תסריט, שכתב יחד עם וולאן גרין, בהתבסס על סיפור קצר מאת גרין ורוי סיקנר.
המפיקים התלהבו מהתסריט הלא שגרתי והחליטו לאשר את ההפקה.
שאיפתם של המפיקים הייתה להתחרות ביציאתו לאקרנים של הסרט "קיד וקסידי" של אולפן פוקס המאה ה-20 המתחרה.
הפקת הסרט יצאה לדרכה באביב שנת 1968. הסרט צולם ברובו במקסיקו.
את הדמויות המקסיקניות בסרט מגלמים שחקנים שרובם הגדול מקסיקנים, חלקם לא היו שחקנים מקצועיים.
צילומי סיקוונס קרב היריות הסופי ארכו כ-12 ימים.
במהלך הצילומים מחלקת ההלבשה הייתה צריכה להתמודד עם מחסור במדי צבא עבור הניצבים ונאלצה לאלתר בדרכים יצירתיות ולהשתמש מספר פעמים בכל תלבושת, לאחר שנוקו ממנה כתמי הדם המלאכותי.
צילומי הסרט התעכבו בשבועיים מעבר לתאריך המצופה, לאחר שאחד מגלגלי הפילם אבדו ונדרשו צילומי השלמות.
בעקבות כך אנשי הצוות וחלק מן השחקנים נדרשו לשוב למקסיקו לצילומים נוספים, מה שהאריך את משך ההפקה.
אחד ההיבטים החדשניים בסרט הוא העריכה שבו.
הסצנות האלימות מוצגות לעיתים בתנועה איטית ולעיתים בתנועה מואצת, כשהעורך לו לומברדו עבר לסירוגין בין שתי הטכניקות.
בסיקוונס הקרב הסופי בין החבורה לחיילים המקסיקנים יש מעל 300 קאטים ואורך כל שוט הוא פחות משנייה אחת, מה שיוצר עריכה מהירה ותזזיתית במיוחד.
פקינפה שאף לצבור כמה שיותר חומר גלם מצולם לפני ההגעה לחדר העריכה.
כדי לעשות זאת השתמשו הצלמים במצלמות רבות במקביל וחלק מן הסצנות צולמו בשש מצלמות יחד, שכל אחת מהן פעלה במהירות אחרת בין 24 ל – 125 פריימים לשנייה לצורך השגת שלל אפקטים אפשריים לכל שוט.
בסך הכל צולמו מעל 101,000 מטרים של פילם במהלך ההפקה.
בחדר העריכה, ניתן היה לעבור ממהירות מואטת למואצת באותה סצנה וכך ליצור אפקט מיוחד ולהדגיש את האלימות.
האלימות המתוארת בתנועה איטית הפכה עם השנים לסימן היכר של פקינפה ויוצרי קולנוע רבים אחריו השתמשו בה בסרטיהם, עד שהפכה לקלישאה קולנועית.
בשנת 1995 יצאה גרסת הבמאי של הסרט, כעשור אחרי מותו של פקינפה וכ-35 שנים אחרי צאת הגרסה המקורית.
אורך הגרסה 145 דקות ונכללו בה עשר דקות נוספות של חומרים שלא נכללו בגרסאותיו הקודמות.
החומרים החדשים שנוספו בגרסה זו מתמקדים בעיקר בסיפור הרקע של הדמויות ובנסיבות שהביאו אותן למקסיקו.
בין היתר מתואר כיצד פייק, גיבור הסרט, בגד בעבר בשותפו ת'ורנטון (בגילומו של רוברט ראיין) וכן את האשמה שהוא חש לאחר מעשה זה.
בעיני הבמאי היו סיפורי רקע אלה חשובים להבנת הסרט, הוא שאף שדרך התוודעות לעברן של הדמויות הצופים יחושו סלידה מהן והתנהגותן האלימה.
בספטמבר 2018, הוכרז כי מל גיבסון יעמוד בראש עיבוד מחדש לסרט "חבורת הפראים", אותו הוא צפוי לביים ולכתוב.
גיבסון צפוי לשמש גם מפיק בפועל בפרויקט.
הסרט יצולם תחת אולפני האחים וורנר.
בשנת 2019 נודע כי צוות השחקנים בעיבוד צפוי לכלול את מייקל פסבנדר, ג'יימי פוקס ופיטר דינקלג'.
נכון לשנת 2020, טרם ידוע מתי יחלו צילומי הסרט ומתי ייצא לאקרנים.
בצאתו לאקרנים מבקרים רבים הביעו הסתייגות מן האלימות הגרפית שבסרט.
היו שחשבו כי פקינפה הפריז בתצוגת האלימות, או שהשתמש בה באופן חסר טעם ושטחי, לצורך יצירת פרובוקציה.
כך למשל, בעיתון "Los Angeles Times" נכתב ביולי 1969 כי "זהו המערבון האלים ביותר שנוצר וכנראה אחד הסרטים האלימים ביותר מכל סוג שהוא".
בהקרנות הראשונות של הסרט, מבקרים רבים התרעמו בגלוי על האלימות המוצגת ואחדים אף יצאו מן האולם בשאט נפש לאחר סצנות גרפיות במיוחד.
סצנות מסוימות נחתכו על ידי אולפני האחים וורנר מן הסרט לצורך המשך הצגתו בבתי הקולנוע, במטרה למתן את האלימות בסרט לאור התגובות שקיבל.
לצד הסתייגויות אלה, מבקרים אחרים שיבחו את הסרט והכתירו אותו כיצירה מהפכנית.
הסרט זכה לפרסים וכן היה מועמד למספר פרסי האקדמיה לקולנוע.
בשנת 1970 היה מועמד לפרס האקדמיה לקולנוע בקטגוריות התסריט המעובד הטוב ביותר והפסקול הטוב ביותר.
באותה שנה היה מועמד גם לפרס גילדת הבמאים האמריקאים על הבימוי הטוב ביותר.
כמו כן, זכה בפרס איגוד עורכי הסאונד (Motion Picture Sound Editors) על עריכת הסאונד ובפרס איגוד המבקרים האמריקאי על הצילום.
ארכיון הסרטים הלאומי של ארצות הברית בחר לכלול בשנת 1999 את הסרט לשימור בספריית הקונגרס על חשיבותו האמנותית, האסתטית והתרבותית.
בשנת 2008 בחר מכון הסרטים האמריקני (AFI) בסרט זה כאחד מעשרת המערבונים הטובים ביותר, כחלק מרשימת עשרת הסרטים הטובים בעשר קטגוריות וז'אנרים.
כמו כן, הוא הגיע למקום ה-80 בדירוג 100 הסרטים האמריקאים הטובים ביותר של מכון הסרטים האמריקאים.
כיום נחשב הסרט לאבן דרך בתולדות הקולנוע האמריקני ועם השנים זכה לשבחים רבים מקולנוענים אחרים שהושפעו ממנו וקיבלו ממנו השראה.
בין הבמאים שהושפעו מן הסרט נכללים מרטין סקורסזה, ג'ורג' לוקאס וקת'רין ביגלו.
קוונטין טרנטינו אף ציין כי סיקוונס הקרב האחרון הוא בעיניו יצירת מופת.
חבורת וייטהד המצומצמת של חוג A היא חבורה אבלית, שמסמנים , המודדת באיזו מידה מטריצות בעלות דטרמיננטה 1 מעל A הן מכפלה של קומוטטורים.
אפשר להגדיר את החבורה כשיש דטרמיננטה מחבורות המטריצות מעל החוג; למשל כאשר A קומוטטיבי, או כאשר A אלגברה פשוטה מרכזית.
זוהי תת-חבורה של חבורת וייטהד המוגדרת עבור כל חוג A.
החבורה קרויה על שמו של המתמטיקאי הבריטי ג'ון וייטהד.
נסמן ב- את חבורת המטריצות ההפיכות מכל סדר מעל A (גבול ישר של חבורות המטריצות מממדים סופיים).
הדטרמיננטה מגדירה סדרה קצרה מדויקת .
חלוקה בחבורת הקומוטטורים מגדירה את הסדרה , כאשר , ו- הוא הגרעין של הדטרמיננטה מהחבורה הזו לחבורת ההפיכים של A.
תהי A אלגברה פשוטה מרכזית מממד סופי מעל שדה F כלשהו.
אפשר לשכן אותה באלגברת מטריצות מעל שדה הפיצול של F, וכך להפעיל את ההגדרות של המקרה הקומוטטיבי.
באופן יותר מפורש, יש פונקציה כפלית (הנורמה המצומצמת), המתלכדת עם הנורמה על כל תת-שדה.
את חבורת האיברים בעלי נורמה 1 מסמנים ב-.
תת-חבורת הקומוטטורים של מוכלת ב-, וחבורת המנה היא חבורת וייטהד המצומצמת של A; מסמנים אותה ב-.
השערת Tannaka-Artin (שהיא השערת Kneser-Tits לחבורות אלגבריות מטיפוס ) סברה ש- פרט לשני מקרים יוצאי דופן (מטריצות מממד 2 מעל שדה מסדר 2 או 3).
השערה זו הופרכה על ידי פלטונוב (1975).
החבורה טריוויאלית עבור מטריצות מעל השדה (פרט ליוצאי הדופן שהוזכרו לעיל).
החבורה תלויה רק במחלקה של A בחבורת בראוור (בזכות דטרמיננטת דודונה).
האקספוננט שלה מחלק את האינדקס של האלגברה.
והיא כפלית ביחס לפירוק למכפלה טנזורית של אלגברות מדרגות זרות.
מסיבות אלה מספיק להבין את כאשר A אלגברת חילוק מדרגה שהיא חזקת ראשוני.
החבורה טריוויאלית עבור אלגברות מדרגה ראשונית (Wang, 1950).
תלות בתכונות של שדה הבסיס
טריוויאלית מעל שדות מקומיים ומעל שדות מספרים.
יינצב'סקי הראה ש- אם שדה הבסיס הוא בעל התכונה (העתקת הנורמה היא על לכל אלגברה פשוטה מרכזית מעל הרחבה סופית; כל שדה בעל התכונה הוא גם , אבל לא להפך).
מהתכונה נובע ש- כאשר הוא הממד הקוהומולוגי של F; ואם F שדה מושלם, גם להפך (מרקורייב-סוסלין, 1985).
תהי A אלגברה שהאינדקס שלה הוא חזקת-p.
אם F שדה ממאפיין שונה מ-p וממד-p הקוהומולוגי של F הוא לכל היותר 2, אז .
אם אז לכל שתי אלגברות קווטרניונים Q ו-'Q.
השערת סוסלין היא שזה נכון לכל אלגברה.
חבורת הדרום הייתה אחת מקבוצות העבודה שהוקמו בשנות ה-20 של המאה ה-20 (תקופת העלייה הרביעית) לעזור לעולים שרצו להשתלב בעבודה החקלאית בארץ ישראל.
החבורות התמקמו לצד המושבות שבהן חיפשו העולים עבודה.
ההתארגנויות נתמכו על ידי ארגוני העבודה הציוניים.
על פי עדותה של רבקה גובר, חבורת הפועלים שוכנה במאהל שהיה מחוץ למושבה.
צריפים שימשו כחדר אוכל, חדר תרבות, חדר חולים, ומשרד.
חיי הפועלים התנהלו באופן עצמאי ושיתופי, והבישול הקומונלי נוהל בתורנות.
תנאי החיים היו קשים, גם בגלל התנאים בשטח: חרקים היו מציקים לדרים באוהלים, ומחלות פרצו בין הפועלים, כמו קדחת הפופטאצ'י, על פי עדותה של גובר (גובר עמ' 114), וגם בגלל העוני שנבע מהמחסור בעבודה.
הפועלים השתדלו לקיים חיי תרבות כמו ללמוד את השפה העברית, או לחגוג ערבי שבתות בסעודה, שירים, וריקודים.
הלהט האידאולוגי עזר להם לשרוד בתנאים הקשים.
חיים ארלוזורוב מזכיר לטובה את לילות השבת בחבורת הדרום במכתבו אל אחותו ליזי.
רבקה גובר, "אם הבנים", חיה במשך תקופה מסוימת בחבורת הדרום, והנה תיאורה את ערבי השבתות ב"חבורה":
היחסים בין אנשי החבורה לאיכרי המושבות
חיי הפועלים התנהלו בניתוק מחיי האיכרים במושבות אליהן סופחו.
היה פער בין האינטרסים של האיכרים, שלא היססו להעסיק פועלים ערבים בגלל היותם זולים יותר ומיומנים יותר בעבודת האדמה, לבין הפועלים שדרשו מחיר גבוה יותר בגלל היותם חסרי תשתית תומכת.
כנגד טענת האיכרים שהעסקת פועלים יהודים פוגעת בריווחיות, טענו האחרונים שהפועל העברי הוא בעל מוטיווציה ונאמות גבוהה יותר.
מעבר לזה היה גם פער אידאולוגיה בין שתי הקבוצות, כאשר קבוצות הפועלים העולים היו חדורי אידאולוגיה סוציאליסטית של תיקון ושיפור עולם מעבר למטרה הקרובה יותר של עבודת האדמה.
הנה עדותה של רבקה גובר על הניתוק בין חיי הפועלים התנהלו בניתוק מחיי האיכרים:
במקומות אחרים, כפי שמסופר למשל בעדותה של חנה סברדלוב מהקבוצה בגדרה, התחברו נשות החבורה עם בחורי המושבה ונישאו להם.
הן נחשבו "בוגדות" בעיני בחורי החבורה.
חבורת הדרום התפרקה ב-1927 אחרי תקופת הקטיף.
הרקע לכך היה המשבר הכלכלי שפקד את הארץ באותה שנה.
רוב אנשי החבורה עזבו את המושבות בהן שהו, חלקם אפילו עזבו את הארץ, ואחדים התגבשו לקבוצות שיצאו להתיישבות במשקים קיבוציים קיימים, או יצרו גרעיני התיישבות משל עצמם (כמו למשל כפר ביל"ו, או קבוצת גבע) כל זאת בסיוע המרכז החקלאי.
במושבה נס ציונה, הפך אחד מצריפי החבורה לצריף מועצת הפועלים, שהוא אחד ממבני ההסתדרות במושבה.
איש החבורה יהודה הוכמן מונה למרכז לשכת העבודה במושבה.
אחדים מאנשי החבורה בנס ציונה רכשו קרקעות במושבה והקימו את שכונת הפועלים "מעבר לכביש".
חבורת הלוחמים הוא סרט פעולה-פולחן משנת 1979 בבימויו של וולטר היל.
הסרט מבוסס על רומן מאת סול יוריק משנת 1965 שהיה מבוסס על אנבסיס של קסנופון.
ועוקב אחר כנופיית רחוב בשם "הלוחמים" מניו יורק, המואשמת ברצח מנהיג כנופיות אחר, סיירוס.
החבורה נאלצת להימלט ממנהטן חזרה לשכונתם בקוני איילנד, בעוד כל כנופיות העיר רודפות אחריהם.
לאורך הלילה הם נלחמים במגוון כנופיות צבעוניות, מה שהפך את הסרט לקלאסיקת פעולה ייחודית.
לאחר דיווחים על ונדליזם ואלימות, סרטי פרמאונט עצרו זמנית את מסע הפרסום שלהם ושחררה את בעלי אולמות הקולנוע מהחוזה להקרנת הסרט.
למרות קבלת הפנים השלילית בתחילה, הלוחמים הפך מאז לסרט פולחן וזוכה להערכה מחדש על ידי המבקרים.
בספרו על הסרט, הסופר שון איגן סיכם את כוח המשיכה שלו: "בעוד שהסביבה בה מתרחש 'הלוחמים' הייתה בדרך כלל מוצגת בסרטים כבחינה של בעיה חברתית, סרט זה תיאר את החיים מנקודת המבט של כנופיות הרחוב.
זו הייתה גישה ברורה אך מהפכנית, שהדהדה בקרב מעמד הפועלים העירוני, ובמיוחד בקרב הדור הצעיר שבו".
לאחר שמנהיג הכנופיות סיירוס נורה למוות במהלך פגישה גדולה של כנופיות ניו יורק, "הלוחמים" מוצאים את עצמם מואשמים ברצח שלא ביצעו.
הם נאלצים להימלט ולהגיע חזרה לאזור הבית שלהם בקוני איילנד, תוך כדי שהם מתמודדים עם הכנופיות השונות שרודפות אחריהם.
המסע המורכב עובר דרך שכונות עוינות, תחנות רכבת, וסמטאות חשוכות, תוך שהחבורה נאבקת לשרוד.
דבורה ואן ואלקנבורג בתפקיד מרסי
דייוויד פטריק קלי בתפקיד לות'ר
לאחר שבועיים ללא תקריות, הרחיבה חברת ההפצה את קמפיין המודעות של הסרט כדי לנצל ביקורות חיוביות ממבקרים ידועים, כולל פאולין קייל מהמגזין "הניו יורקר".
קייל כתבה: "הלוחמים הוא סרט של קולנוענים אמיתיים: מבחינה ויזואלית יש לו את ההשפעה שהייתה ל-'Rock Around the Clock' מאחורי כתוביות הפתיחה של הסרט זרע הפורענות.
הלוחמים הוא כמו רוק ויזואלי".
בתיאטרון Grand Illusion Cinema בסיאטל, מתכנת הסרטים זאק קרלסון נזכר: "אנשים נדחסו פנימה, שכבו על הרצפה והריעו".
בשבוע השישי להקרנתו, הכניס הסרט 16.4 מיליון דולר, הרבה מעבר לתקציב המוערך של 4 עד 7 מיליון דולר.
"הלוחמים" קיבל ביקורות שליליות ממבקרים בני זמנו, שגינו את חוסר הריאליזם בסרט ומצאו את הדיאלוגים בו מאולצים.
בביקורתו עבור השיקגו סאן-טיימס, העניק רוג'ר איברט לסרט שניים מתוך ארבעה כוכבים, וכתב כי למרות יכולות הבימוי של וולטר היל, הסרט אינו מציאותי בסגנונו המאנייריסטי, מה שמונע מהדמויות עומק וספונטניות: "למרות הרושם שמודעות הפרסום עשויות ליצור, הסרט הזה כלל לא מתכוון להיות סרט פעולה.
זהו בלט של אלימות גברית מסוגננת".
בשנת 2024 יצא אלבום קונספט, מעין מחזמר המבוסס על עלילת הסרט, שכתב והלחין לין מנואל מירנדה.
חבורת האש היא קבוצה של לוחמי הפלמ"ח, שרובם באו מתוך המחלקה הערבית.
יחידה זו עסקה בין היתר בפעולות של חבלה וריגול בקרב ערביי ארץ-ישראל והמדינות השכנות, ובעזרה בהבאת עולים יהודים לארץ.
אנשי החבורה היו נוהגים להיאסף בשעות הערב, ולשיר שירי רועים ורעות מסביב למדורה, ולכן נקראו "חבורת האש".
יוסף (יוסק'ה) יפת, הידוע בכינויו "יוסק'ה כל הארץ", כיוון שהכיר את כל הארץ, ושימש כמושל ברצועת עזה.
פרופ' מנשה (מנשק'ה) הראל-בביוף, חתן פרס ישראל לידיעת הארץ.
עזרא כדורי, ממקימי המחלקה ערבית בפלמ"ח.
אליהו גמליאל, בוגר להקת "ענבל" ומהוותיקים שביוצרי ריקודי העם בישראל.
שלמה כהן, הידוע כ"סולימאן הגדול", ואשתו שרה כהן, הוריהם של הזמרים יזהר, ורדינה, פיני, וחופני כהן.
עמנואל זמיר, היה מלחין, משורר ומחנך ישראלי, יצר שירים רבים וייסד את תרבות השירה בציבור.
את המנון החבורה, "עֲלִי, עֲלִי הָאֵשׁ" כתב והלחין עמנואל זמיר בשנת 1949:
(קטע מהשיר, מאת: עמנואל זמיר)
גם אחרי פירוק הפלמ"ח והקמת המדינה, המשיכה החבורה להתקבץ ולהופיע ברחבי הארץ, כשלצידם מופיעים בשנות ה-50, עמנואל זמיר, אילקה ואביבה רווה, הפרברים ואמנים אחרים.
החבורה שרה ופרסמה רבים משיריו של עמנואל זמיר, כגון "עלי האש" ו"דבקה החמור".
שירים נוספים המזוהים עם חבורת האש הם "אייל אייל בן קרניים", "מה יפים הלילות בכנען", "סורו מני", "גדליה רבע איש", ו"שושנת תימן".
המוזיקאי יוסי לב, שהיה מלווה באקורדיון את עמנואל זמיר בהופעותיו ברחבי הארץ, הפיק ערב שירה בליווי חבורת האש המקורית, לזכרו של זמיר, בשנת 1988.
באלגברה, חבורת מנה היא חבורה המתקבלת מ"קיפול" האיברים של חבורה נתונה, בהתאמה לתת-חבורה נורמלית.
הבניה של חבורות מנה היא מן הבניות היסודיות ביותר בתורת החבורות (ובאלגברה בכלל), וחבורות המנה מופיעות באופן טבעי בכל מקום שבו מוגדר הומומורפיזם מחבורה לחבורה אחרת, או כאשר חבורה פועלת על מרחב.
תהא חבורה ותהא תת-חבורה נורמלית שלה.
הנורמליות פירושה שלכל איבר בחבורה, המחלקות שוות זו לזו.
כפל הקבוצות מראה שהפעולה מחזירה איבר של , ואינה תלויה בנציגים.
פעולה זו הופכת את לחבורה, הנקראת "חבורת המנה של ביחס ל-".
האיבר האדיש בחבורה זו הוא הקבוצה .
הוכחה כי חבורה ביחס לכפל מחלקות:
הפעולה אסוציאטיבית משום שלכל מתקיים לפי אסוציאטיביות הכפל ב-.
המחלקה היא איבר יחידה של הפעולה, משום שלכל מתקיים .
לכל יש איבר הופכי, – שהרי .
חבורת המנה איננה תת-חבורה של .
איבריה הם תת-קבוצות של ולא איברים של .
הסדר של חבורת המנה הוא האינדקס של בתוך , שאותו מסמנים ב-, ומתקיים .
כאשר סופיות, האינדקס שווה ל- – מנת הסדרים של .
העובדה שסדר זה חייב להיות שלם מוכיחה, למעשה, את משפט לגראנז'.
נביט ב-, חבורת המספרים השלמים עם פעולת החיבור, ובתת-החבורה שלה , חבורת כל המספרים הזוגיים עם פעולת החיבור.
זוהי תת-חבורה נורמלית שכן חילופית ולכן כל תת-חבורה שלה נורמלית.
לכן , כלומר חבורת המנה איזומורפית לחבורת השלמים מודולו 2 (שהיא החבורה היחידה בת שני איברים עד כדי איזומורפיזם).
ובאופן כללי , כאשר היא תת-החבורה של הכוללת את האיברים המתחלקים ב-.
מסמנים ב- את חבורת המטריצות ההפיכות מסדר מעל השדה , וב- את חבורת המטריצות שהדטרמיננטה שלהן שווה ל-1. השנייה היא תת-חבורה נורמלית בראשונה, וחבורת המנה איזומורפית לחבורה הכפלית של השדה.
את אוסף המחלקות השמאליות אפשר לבחון לכל תת-חבורה , גם אם היא אינה נורמלית ב-.
חשיבותה העיקרית של קבוצה מסוג זה היא בכך שהחבורה פועלת עליה פעולה טרנזיטיבית, , כאשר המייצב של הנקודה הוא החבורה עצמה.
מתברר שכל קבוצה שעליה פועלת באופן טרנזיטיבי איזומורפית לקבוצת מנה מן הטיפוס הזה.
חבורת לוּל הוא שמה של חבורת אמנים שפעלו בעיקר בתחילת שנות ה-70 של המאה ה-20 בתל אביב והשפיעו רבות על התרבות הישראלית.
יחד הם יצרו סרטי קולנוע, תוכנית טלוויזיה, מערכונים ואלבומי מוזיקה.
החבורה החלה להתגבש ולפעול ביחד בשנת 1969 תחת חברת ההפקות "הגר".
את החבורה הובילו אורי זוהר, אריק איינשטיין, שלום חנוך, צבי שיסל ובועז דוידזון.
יצירתם המשותפת הראשונה הייתה סרט הקולנוע "שבלול", בבימויו של בועז דוידזון, שיצא לאקרנים במאי 1970, ובעקבותיו יצא גם האלבום המוזיקלי "שבלול", שהכיל ברובו שירים שהופיעו בסרט.
השם "שבלול" נגזר מכינויו של איינשטיין על ידי שלום חנוך.
בשנת 1970 עלתה לשידור בערוץ הראשון גם תוכנית טלוויזיה בת ארבעה חלקים שיצרה החבורה בשם "לול".
בהמשך אותה השנה יצא האלבום המוזיקלי "פלסטלינה", שנוצר במהלך העבודה על תוכנית הטלוויזיה וסיכם את פעילות החבורה.
באוקטובר 1970 עזב חנוך לבריטניה וכך התפרק הציר המוזיקלי המרכזי של החבורה.
בשנת 1972 ביים זוהר את הסרט "מציצים", בו הוא גם כיכב לצידם של איינשטיין ושיסל, על הווי החוף הנהנתני של תל אביב שאפיין אז את חבורת לול.