tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
הדירוג הכללי זוכה לתשומת הלב הגדולה ביותר, אך מוענקים פרסים נוספים לקטגוריות אחרות: החולצה הירוקה מוענקת למובילת קטגוריית הנקודות לספרינטריות, החולצה המנוקדת למובילת קטגוריית ההרים למטפסות, החולצה הלבנה לרוכבת הצעירה המצטיינת עד גיל 23, ודירוג קבוצתי, המבוסס על זמני שלוש המסיימות הראשונות מכל קבוצה בכל קטע.
ניצחון בקטע בטור נחשב גם הוא ליוקרתי, ומושג לרוב על ידי הספרינטרית או על ידי רוכבת המשתתפת בבריחה.
במהלך השנים נערכו מספר מרוצי אופני כביש מקצועיים לנשים ברחבי צרפת נערכו כמקבילה לטור דה פראנס, כאשר הראשון מביניהם נערך ב-1955. בשנים 1984–2009 נערך מרוץ כזה באופן עקבי, אך בשמות שונים: טור דה פראנס פמינין, טור ה-EEC לנשים, טור סיקליסט פמינין וגרנד בוקל פמינין אינטרנשיונל.
אחת הרוכבות הבולטות במרוצים אלו הייתה הצרפתייה ז'ני לונגו, שזכתה בהם ב-1987, 1988 ו-1989.
מרוצים אלה התמודדו עם קשיים כלכליים, סיקור תקשורתי מוגבל, סקסיזם ובעיות סימן מסחר עם מארגני הטור דה פראנס לגברים.
לה קורס מבית הטור דה פראנס
ב-2013 הקימו הרוכבות קתרין ברטין, מריאנה ווס ואמה פולי והטריאתלטית כריסי ולינגטון קבוצת פעולה בשם "הטור כולו" במטרה לעתור ל-ASO להשיק טור דה פראנס לנשים.
בעקבות סיקור תקשורתי נרחב ועצומה שנחתמה בידי כ-100,000 איש, ב-2014 השיקה ASO את מרוץ לה קורס בשנת 2014. המרוץ התקיים במקביל לטור דה פראנס, כאשר המהדורה הראשונה התקיימה כמרוץ אופניים חד-יומי בשאנז אליזה שבפריז לקראת הקטע האחרון של מרוץ הגברים.
בשנים שלאחר מכן נערך המרוץ במגוון מקומות כמו פו, ניס ומעבר איזואר במקביל למרוץ הגברים, בטענה שזו "הדרך הטובה ביותר להאיר את נושא רכיבת האופניים הנשית".
המרוץ זכה בתחילה לשבחים על החשיפה שנצברה בזכות "חלוקת הבמה" עם הטור דה פראנס, אך ספג גם ביקורות בטענה שהוא אינו "טור דה פראנס מלא", שהטור מאפיל עליו ושאין בו מסלול מאתגר מספיק.
גם ארגון ASO ספג ביקורת על כך שלא עשה מספיק כדי לקדם את המרוץ.
הארגון הגיב שבעיות לוגיסטיות גורמות לכך שלא ניתן יהיה לקיים בו זמנית טור דה פראנס מלא לגברים ולנשים, וכי כל מרוץ חייב להיות בר קיימא מבחינה כלכלית.
ביוני 2021 הודיעה ASO כי תשיק מרוץ קטעים חדש לנשים, שייקרא הטור דה פראנס לנשים.
למרוץ קטגוריות ודירוג זהה לאלו של הגברים: החולצה הצהובה לדירוג הכללי, החולצה הירוקה לקטגוריית הנקודות, החולצה המנוקדת לקטגוריית ההרים והחולצה הלבנה לקטגוריית הרוכבת הצעירה.
הטור הראשון התקיים בין 24 ל-31 ביולי 2022, ונערכו בו 8 קטעים באורך כולל של 1,033.6 קילומטר.
הטור נפתח בפריז, בקטע ממגדל אייפל לשאנז אליזה, ונגמר בלה פלאנש דה בל פי.
הזוכה הראשונה בטור הייתה אנמיק ואן פלוטן ההולנדית מקבוצת מוביסטאר, מריאנה ווס זכתה בקטגוריית הנקודות ודמי וולרינג זכתה בקטגוריית ההרים וסיימה במקום השני הכללי.
הוא נפתח בקלרמון-פראן ביום סיום הטור דה פראנס 2023, והמשיך דרומה דרך הרי המסיף סנטרל לכיוון הרי הפירנאים.
הקטע האחרון היה מרוץ נגד השעון בפו.
במרוץ זכתה דמי וולרינג, לאחר שגברה על ואן פולטן במעבר טורמאלה.
לוטה קופקי זכתה בחולצה הירוקה וסיימה במקום השני הכללי, וקטז'ינה ניוויאדומה זכתה בחולצה המנוקדת וסיימה במקום השלישי.
מהדורת 2024 נפתחה לראשונה מחוץ לצרפת, כשהקטע הראשון מתוך 8 נערך בין רוטרדם להאג שבהולנד.
המרוץ לא נערך מיד לאחר הטור דה פראנס, אלא במרווח בין אולימפיאדת פריז (2024) ל.
המרוץ הגיע לצרפת רק בקטע החמישי, לאחר שעבר גם בדורדרכט שבהולנד ובלייז' ובסטון שבבלגיה, פנה דרומה לכיוון הרי האלפים והסתיים בפסגה באלפ ד'ואז.
במרוץ זכתה ניוויאדומה כשהיא מקדימה את וולרינג בארבע שניות בלבד.
מריאנה ווס זכתה בחולצה הירוקה של קטגוריית הנקודות בפעם השנייה, וג'סטין גקייר זכתה בדירוג ההרים.
ב-2025 הוארך הטור ל-9 קטעים, וזכתה בו הצרפתייה פולין פראן-פרבו , שהפכה לזוכה הצרפתייה הראשונה בטור לנשים ולרוכבת הצרפתייה הראשונה שזוכה בטור דה פראנס מאז ברנאר אינו ב-1985. לורנה ויבס זכתה בחולצה הירוקה של קטגוריית הנקודות, ואליס שאבי זכתה בחולצה המנוקדת של קטגוריית ההרים.
טור 2026 ייפתח בשווייץ, עם קטעים בלוזאן, אגל וז'נבה.
בנוסף הוכרז כי מהדורת 2027 תיפתח ב, אך המיקום המדויק של הקטע הראשון טרם אושר.
החל משנת 2026 יעניק האיגוד הבין-לאומי לאופניים (UCI) יותר נקודות דירוג לג'ירו רוסה (ג'ירו ד'איטליה לנשים), טור דה פראנס נשים והוואלטה פמנינה (וואלטה אספניה לנשים) בהשוואה למרוצים אחרים בסבב העולמי, מה שצפוי להעלות את מעמדם של שלושת המרוצים.
שנהרוכבתקבוצהזמןהפרש2022 אנמיק ואן פלוטןקבוצת מוביסטאר26 שעות, 55 דקות ו-44 שניות3 דקות ו-48 שניות2023 דמי וולרינגSD Worx25 שעות, 17 דקות ו-35 שניות3 דקות ו-3 שניות2024 קטז'ינה ניוויאדומהקניון–SRAM24 שעות, 36 דקות ו-7 שניות4 שניות2025 פולין פראן-פרבו ויסמה-ליס א בייק29 שעות, 54 דקות ו-24 שניות3 דקות ו-42 שניות
בעוד שהדירוג הכללי הוא הנחשב ביותר, המרוץ כולל תחרויות נוספות.
החולצה הירוקה מוענקת לזוכה בקטגוריית הנקודות, שניתנות על סיום במקומות גבוהים בקטעים ועל ספרינטים, ובדרך כלל זוכות בה ספרינטריות.
החולצה המנוקדת מוענקת לזוכה בקטגוריית ההרים, והדירוג בה מתבצע על פי הרוכבת הראשונה שמגיעה לפסגה בטיפוסים ספציפיים.
החולצה הלבנה מוענקת לזוכה בקטגוריית הרוכבת הצעירה, שנמדדת לפי הזמן הכולל בדומה לחולצה הצהובה אך רק מבין הרוכבות עד גיל 23.
שנה קטגוריית הנקודות קטגוריית ההרים קטגוריית הרוכבת הצעירהדירוג הקבוצות2022 מריאנה ווס דמי וולרינג שירין ואן אנרויקניון–SRAM2023 לוטה קופקי קטז'ינה ניוויאדומה סדרין קרבאולSD Worx2024 מריאנה ווס ג'סטין גקייר פוק פיטרסלידל–טרק2025 לורנה ויבס אליס שאבי נינקה וינקהFDJ–סואץ
במתמטיקה, ובפרט באנליזה מרוכבת, טור לורן (Laurent) הוא טור מהצורה .
כלומר, זהו טור חזקות שבו מופיעות גם חזקות שליליות.
הטור נקרא על שם מי שגילה אותו לראשונה, המתמטיקאי פייר אלפונס לורן.
טור לורן מהווה הכללה של טור טיילור, וניתן להשתמש בו כדי לתאר מספר רב יותר של פונקציות מאשר באמצעות טור טיילור - בעיקר עוסקים בו לתיאור פונקציות מרוכבות.
כל פונקציה אנליטית בטבעת ניתנת בה לפיתוח כטור לורן (להבדיל מפונקציות שאנליטיות בעיגול, ואותן ניתן להציג באמצעות טור טיילור).
באופן כללי, כל טור מפותח סביב נקודה כלשהי (רגולרית או סינגולרית).
אם הטור מפותח סביב הנקודה אז צורתו תהיה .
הטור מתכנס בטבעת , כאשר רדיוס ההתכנסות הפנימי ורדיוס ההתכנסות החיצוני נתונים ע"י:
נציין כי יכול להיות אינסוף (כאשר ).
כאשר פונקציה מפותחת לטור לורן סביב נקודת סינגולריות מבודדת שלה (הדבר אפשרי כי בסביבה מנוקבת של נקודת סינגולריות מבודדת הפונקציה אנליטית) נקבע סוג נקודת הסינגולריות לפי מספר החזקות השליליות בפיתוח לורן:
אם אין כלל חזקות שליליות בפיתוח לורן (כלומר, זהו בעצם פיתוח טיילור) - הנקודה היא רגולרית או סינגולרית סליקה.
אם יש מספר סופי של חזקות שליליות, כשהשלילית ביותר היא , הנקודה היא קוטב מסדר .
אם יש אינסוף חזקות שליליות ורדיוס ההתכנסות הפנימי הוא 0, הנקודה היא נקודה סינגולרית עיקרית .
הערה: כאשר יש אינסוף חזקות שליליות ורדיוס ההתכנסות הפנימי גדול מ-0, הפונקציה עשויה אף להיות רגולרית ב-c (כמו שניתן לראות בדוגמה 1 להלן).
החלק של הטור שמכיל את החזקות השליליות נקרא החלק העיקרי של הטור.
נביט בפונקציה : בעיגול קיים לה פיתוח טיילור סביב : (זהו טור הנדסי מתכנס).
זהו למעשה טור לורן של הפונקציה בטבעת .
אנו רוצים לראות כיצד ניתן לתאר את הפונקציה גם "מעבר" לעיגול הזה.
גם פיתוח זה התבסס על ההיכרות שלנו עם נוסחת הטור ההנדסי המתכנס.
במקרה זה הפעלנו אותה על הפונקציה ולכן הפיתוח מתכנס בתחום , כלומר .
גם טור זה הוא טור לורן של הפונקציה סביב , רק בטבעת אחרת: , הטבעת של המישור כולו, פרט לעיגול היחידה.
טור לורן של פונקציה זו סביב הוא פשוט .
ניעזר בטור טיילור של פונקציית הסינוס, ונקבל פיתוח לורן ל- סביב : .
נמצא את טור לורן שלה סביב באמצעות הטור הידוע של האקספוננט: .
ניתן להיווכח שהטור מתכנס בטבעת .
בטור יש אינסוף חזקות שליליות וגם רדיוס ההתכנסות הפנימי הוא , ולפיכך נסיק כי היא נקודה סינגולרית עיקרית.
הערה: נשים לב כי עבור הפונקציה הממשית , הנק' היא נקודה סינגולרית סליקה (הגבול של הפונקציה ב- הוא ).
למעשה, אם נגדיר נקבל פונקציה חלקה ב- (גזירה אינסוף פעמים בכל מקום, כולל ב-), אך לא אנליטית ב- , שכן טור טיילור שלה סביב נק' זו הוא זהותית, ולא מזדהה עם הפונקציה בשום סביבה של .
טוּר חֲזָקוֹת הוא טור הבנוי כסכום של חזקות מ-0 עד אינסוף של נעלם.
טורי חזקות יכולים לתאר כל פונקציה אנליטית ומשמשים באנליזה מתמטית, לחישוב ערכן של פונקציות אנליטיות, בגלל הפשטות שבחישוב כל אחד מאברי הטור הדורשת אך ורק שימוש בפעולות אריתמטיות רגילות.
טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה כאשר היא סדרה של מקדמים (לרוב אלו מספרים ממשיים או מרוכבים), ו- היא הנקודה שסביבה מפותח הטור.
תכונה חשובה של טורי חזקות במספרים ממשיים או מרוכבים המבדילה אותן מטורי פונקציות אחרים היא קיום רדיוס התכנסות לטור חזקות.
אם הוא טור חזקות, אז קיים כך שלכל הטור מתכנס בהחלט, ולכל תת-קבוצה קומפקטית של הטור מתכנס במידה שווה.
כאשר הטור מתכנס נקודתית עבור כל מספר, והוא מתכנס במידה שווה על כל המרחב אם ורק אם הטור הוא פולינום.
אחרת, הטור מתכנס במידה שווה רק על קבוצות חסומות בו.
על המעגל, או שתי הנקודות במקרה הממשי, לא ניתן בוודאות לומר האם הטור מתכנס או מתבדר (קיימות דוגמאות לכאן ולכאן).
רדיוס ההתכנסות של טור חזקות נתון על ידי נוסחת קושי־אדמר: (אם הגבול הוא אפס, הטור מתכנס תמיד).
נוסחה זו תמיד מניבה את הרדיוס המבוקש, אך לעיתים קשה לחשב אותה.
הנוסחה (דאלמבר) נכונה כאשר הגבול קיים (סופי או אינסופי; לשם כך הכרחי שכמעט תמיד ), ולעיתים היא קלה יותר לחישוב.
סכום שני טורי חזקות הוא טור החזקות שמקדמיו הם סכום המקדמים של הטורים המחוברים, בדומה לטורי פונקציות רגילים:
מכפלת טור חזקות בקבוע היא טור החזקות שמקדמיו הם מכפלת הקבוע בטור החזקות המוכפל:
בתוך תחום ההתכנסות ניתן לגזור את טורי החזקות איבר-איבר, וכן גם לבצע עליהם אינטגרציה איבר-איבר:
לאחר גזירה: אם הטור לאחר הגזירה מתכנס בגבולות אז הטור המקורי גם מתכנס, אך לא בהכרח שאם הטור המקורי התכנס גם הטור לאחר הגזירה יתכנס.
לאחר אינטגרציה (כמו בגזירה רק הפוך): אם הטור המקורי מתכנס אז הטור לאחר האינטגרציה מתכנס, אך לא בהכרח שאם הטור לאחר האינטגרציה מתכנס אז הטור המקורי יתכנס.
השימוש הנפוץ של טורי חזקות הוא לתיאור של פונקציות אנליטיות.
אם פונקציה היא אנליטית בנקודה , אז מקדמי טור החזקות סביב שמתאר את הפונקציה בסביבת הם .
כלומר, טור החזקות המתאר את הפונקציה הוא טור טיילור שלה באותה נקודה.
ניתן להראות שכל תיאור של פונקציה באמצעות טור חזקות יהיה טור טיילור.
במישור המרוכב, רדיוס ההתכנסות של טור חזקות שמתאר פונקציה הולומורפית סביב נקודה מסוימת, הוא רדיוס המעגל המקסימלי סביב אותה נקודה, שלא מכיל אף נקודה סינגולרית.
ניתן להכליל את מושג טורי החזקות כדי לתאר פונקציות שאינן אנליטיות בנקודה, אך אנליטיות בסביבתה, על ידי טורי לורן.
באלגברה מופשטת ובקומבינטוריקה, משתמשים בטורי חזקות פורמליים ככלי חישובי, כאשר בתחומים אלו אין עניין של התכנסות טורי החזקות, והם מוגדרים רק בשביל האריתמטיקה המיוחדת שלהם.
בקומבינטוריקה הטורים מכונים פונקציות יוצרות.
הפונקציות היוצרות משמשות כמעט רק לספירת עצמים, על ידי מקדמי החזקות המתאימות, ולכן בדרך כלל אין חשיבות להתכנסות הטורים.
כך לדוגמה, טור החזקות שמתבדר עבור כל מספר ששונה מאפס הוא פונקציה יוצרת לגיטימית.
לכל שדה F ולכל חבורה אבלית סדורה , השדה של טורי החזקות המוכללים כולל את כל הסכומים הפורמליים שיש להם תומך סדור היטב.
הפונקציה האקספוננציאלית ניתנת להצגה כטור חזקות: .
ניתן להראות שהתכונה הבסיסית של הפונקציה – העברת חיבור לכפל – נובעת ישירות מאופן הפעולה של הכפל על טורים ומהבינום של ניוטון.
גם את הנוסחה אפשר לקבל ישירות מאופן הפעולה של הנגזרת על טורי החזקות.
תכונות אלו ניתן להרחיב גם לחוגים ולאלגבראות בנך באופן כללי, אם כי התכונה הראשונה תלויה בקומוטטיביות של המכפלה, ולא מתקיימת באופן כללי.
פונקציית הסינוס (טריגונומטריה) ניתנת להצגה כטור חזקות: .
פונקציית הקוסינוס (טריגונומטריה) ניתנת להצגה כטור חזקות: .
טור החזקות שמקדמיו שווים ל-1 מתכנס לפונקציה:
ובמקרה זה טור החזקות מתכנס עם רדיוס התכנסות 1=r כפי שניתן להוכיח בקלות בעזרת משפט דאלמבר שלעיל.
לעיתים ניתן למצוא את הפונקציה שאליה מתכנס טור חזקות נתון על ידי ביצוע מניפולציות על הטור הנתון כדי להגיע לטור שידוע לאיזו פונקציה הוא מתכנס, ולאחר מכן ביצוע מניפולציות הפוכות על הפונקציה שהתקבלה, לקבלת הפונקציה שאליה מתכנס הטור המקורי.
טוּר פוּרְיֶה הוא טור (סופי או אינסופי) של פונקציות מחזוריות, שמטרתו לקרב פונקציה נתונה.
באופן עקרוני, טור פורייה הוא דרך לתאר כל סוג של פונקציה מחזורית ואת ההרמוניות שלה (שהן אותה פונקציה בסיסית עם תדר הולך וגדל) בעזרת חיבור של פונקציות טריגונומטריות בסיסיות (סינוס וקוסינוס).
שיטה זו פותחה על-ידי המתמטיקאי הצרפתי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה, והיא קרויה על שמו.
ניתן להוכיח שאפשר להציג כל פונקציה חלקה מספיק כסכום (ליתר דיוק, טור) של הרמוניות.
המרה כזו של פונקציה נקראת פירוק פורייה, והסכום שנוצר נקרא טור פורייה.
המרה זו היא שימושית ביותר בתחומים רבים כגון פיזיקה והנדסת אלקטרוניקה, והיא הכלי העיקרי לעיבוד תמונות ועיבוד אודיו.
במתמטיקה, לעיתים קרובות נוח להציג פונקציה מסוימת בתור סכום או טור של פונקציות פשוטות יותר.
בצורה זו ניתן להעמיק את ההבנה של התנהגות הפונקציה על ידי הבנת התנהגות אברי הסכום (הטור).
טור פורייה הוא סוג של טור שכזה, שבו מוצגת פונקציה כסכום (טור) של פונקציות מחזוריות.
בפיזיקה ובהנדסה, בעיקר בתחומים הנוגעים לגלים, נוח להציג את המידע בצורת סכום (טור) של הרמוניות.
גם יישומי מחשב העוסקים בעיבוד תמונה וקול משתמשים רבות בטורי פורייה לצורך ניתוח ודחיסה של המידע.
בניסוח פורמלי יותר, טור פורייה הוא הצגה של פונקציה שריבועה הוא אינטגרבילי-לבג בקטע סופי כטור אינסופי של פונקציות הרמוניות וטריגונומטריות.
זוהי בעצם גרסה בדידה להתמרת פורייה (או טרנספורם פורייה).
טור פורייה הוא תוצאה פרטית של התורה העוסקת בבסיסים אורתונורמליים על מרחב הילברט.
מבחינה אלגברית, מדובר בהצגת איבר במרחב וקטורי על ידי צירוף ליניארי של איברי בסיס אורתונורמלי של המרחב.
מכיוון שהבסיס הוא אורתונורמלי, את המקדמים אפשר לחשב באמצעות הטלה:
ומובטח שהמקדמים יתאפסו עבור כל איברי הבסיס פרט לקבוצה בת-מנייה.
לכן ניתן לכתוב את ההצגה של כל איבר במרחב זה בצורה זו:
טור פורייה הוא מקרה פרטי של בנייה זו.
מאחר שמדובר בטור אינסופי, יש לטפל בבעיות התכנסות ולהראות שהטור אכן מתכנס אל האיבר שאותו מציגים.
בסעיפים הבאים נעסוק בנושאים הקשורים ישירות לטור פורייה הטריגונומטרי.
זהו טור פורייה הנפוץ ביותר ולעיתים קרובות כאשר אומרים "טור פורייה" סתם, מתכוונים אליו.
תהי פונקציה, , כאשר הוא אוסף הפונקציות המדידות שריבוען אינטגרבילי-לבג בקטע.
אזי אפשר להציג את כפיתוח לטור אינסופי באופן הבא:
כאשר מקדמי פורייה, , נתונים על ידי:
(נוסחה זאת נובעת משיקולי אורתוגונליות.
כל איבר בטור זה נקרא אופן תנודה, Fourier mode או הרמוניה.
על ידי שימוש בנוסחת אוילר אפשר להציג את טור פורייה כצירוף ליניארי של סינוסים וקוסינוסים באופן הבא:
כאשר המקדמים נתונים על ידי:
את הקשר בין מקדמים אלה למקדמים ניתן לחלץ בקלות והוא כאשר .
באמצעות החלפת משתנים ניתן להכליל את הפיתוח הזה לכל קטע סופי שהוא.
תהי הפונקציה הליניארית בקטע .
כדי שטור פורייה שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להרחיב אותה באופן מחזורי.
הפונקציה המורחבת נקראת גם "גל שן מסור".
הרחבה זו איננה פונקציה רציפה, אך הפיתוח לטור פורייה עדיין קיים.
ניתן לחשב את מקדמי פוריה שלה בהצגה הטריגונומטרית (נוח להשתמש בהצגה זו עבור פונקציות זוגיות או אי-זוגיות כפי שנראה להלן).
מאחר ש־ היא פונקציה אי-זוגית, ו־ הן פונקציות זוגיות לכל , המכפלות הן פונקציות אי זוגיות.
כתוצאה מכך כל המקדמים של הקוסינוסים מתאפסים:
כעת, ניתן לחשב את מקדמי הסינוסים:
בסך הכל, טור פורייה של בקטע הוא:
חישוב סכומים חלקיים של איברי הטור ייתן קירוב של הפונקציה, שיהיה טוב יותר ככל שניקח יותר איברים, כמודגם בתמונה.
בטור זה אפשר להשתמש כדי לחשב את הערך של פונקציית זטא של רימן עבור בעזרת שוויון פרסבל המאפשר להמיר את בעיית חישוב הטור לבעיה של חישוב אינטגרלים (אותה אפשר לחשב מפורשות).
המרחב כולל את הפונקציות שריבוען אינטגרבילי-לבג בקטע, כלומר, עבור , פונקציה מדידה ומתקיים .
מרחב זה הוא מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית
במרחב הילברט זה – על אף שהוא מממד אינסופי – קיימת מערכת אורתונורמלית שלמה, הפורשת קבוצה צפופה במרחב.
ניתן לראות בכך הכללה של מושג הבסיס (ובפרט בסיס אורתונורמלי) של מרחב וקטורי מממד סופי (לעיתים קוראים גם למערכת אורתונורמלית שלמה אינסופית בשם "בסיס").
המתמטיקאי ז'וזף פורייה וממשיכיו הוכיחו שהפונקציות ההרמוניות יוצרות מערכת אורתונורמלית שלמה.
טור פורייה הוא למעשה דרך להציג איבר במרחב כצירוף ליניארי (בדרך כלל אינסופי) של איברי הבסיס הזה, כאשר המקדמים של הצירוף הליניארי נקראים מקדמי פורייה.
ניתן לעשות זאת גם עם בסיסים אורתונורמליים אחרים, אבל ביישומים רבים מתגלה השימוש בטורי פורייה כיעיל במיוחד.
בסיס ההרמוניות הוא בסיס אורתונורמלי, כי:
מכאן נובעות הנוסחאות לחישוב המקדמים:
באופן דומה גם בסיס הסינוסים והקוסינוסים הוא אורתונורמלי:
אפשר להשתכנע בכך בבדיקה ישירה או מכך שמקבלים אותו על ידי התמרה אוניטרית מבסיס ההרמוניות.
כאשר עוסקים בהתכנסות של טור פורייה יש להבדיל בין התכנסות בנורמה של הטור, לבין התכנסות נקודתית.
ההתכנסות בנורמה פירושה שהטור מתכנס במרחב על פי הנורמה המוגדרת בו.
במילים פשוטות: כאשר מגדילים את מספר האיברים בטור החלקי של לאינסוף, הנורמה של ההפרש בין הפיתוח החלקי לבין (שהיא האינטגרל של פונקציית ריבוע ההפרש) שואפת לאפס.
תכונה זו מתקיימת עבור כל טור פורייה, בהיותו הצגת איבר ב- על פי בסיס אורתונורמלי.
התכנסות בנורמה לא מחייבת התכנסות של הטור לערך של בכל נקודה בקטע – ההתכנסות הנקודתית של טור פורייה היא תכונה מורכבת יותר, ומחקר רב עוסק במציאת תנאים שבהם היא תתקיים במסגרת האנליזה ההרמונית.
בחישוב של טור פורייה לפונקציה נתונה יש שני שלבים הפוכים זה לזה.
בשלב ראשון מחשבים, מכיוון שעבור פונקציה מחזורית קיים שוויון מהצורה , את המקדמים המספריים ו־.
חישוב כזה ניתן לערוך לכל פונקציה השייכת למרחב הפונקציות .
לאחר מכן, עבור הצגת הפונקציה באמצעות המקדמים שהתקבלו, נדרש שהטור באגף ימין יתכנס לערכה של הפונקציה בנקודה לכל .
כאשר פיתח פורייה את התאוריה שלו, ב-1807, לא היו בידיו כלים שיענו על הצורך בהתכנסות נקודתית, וזו הסיבה העיקרית לכך שעבודתו נדחתה בתחילה על ידי מתמטיקאים חשובים בני זמנו.
בשאלה איזה הנחות של רציפות נכללות בהגדרת מושג הפונקציה היה ערפול מסוים במחצית הראשונה של המאה ה-19, ועבודתו של פורייה רק הקשתה על הבהרת התמונה.
ב־1913 ניסח האנליטיקאי הרוסי ניקולאי לוזין את ההשערה שטור פורייה של פונקציה רציפה יתכנס נקודתית בכל מקום, אלא שב־1926 מצא מתמטיקאי רוסי אחר, אנדריי קולמוגורוב, דוגמה נגדית שהפריכה השערה זו.
פתרון לבעיה זו ניתן על-ידי המתמטיקאי השוודי לנרט קרלסון ב-1966, כאשר הוא הוכיח שלכל פונקציה ששייכת למרחב , ובפרט לכל פונקציה רציפה, יש טור פורייה המתכנס אליה כמעט בכל נקודה בקטע (מידתה של קבוצת הנקודות שבה אין התכנסות היא אפס).
כלומר ההתכנסות של טור פורייה במקרים כאלה היא כמעט בכל מקום.
על עבודתו זו, שנחשבה לפריצת דרך באנליזה הרמונית, ועל עבודות רבות אחרות, זכה קרלסון בפרס אבל לשנת 2006.
תופעת גיבס היא תופעה שבה טור פורייה של פונקציה שאינה רציפה בנקודה, מתכנס בנקודה זו לממוצע הגבולות מימין ומשמאל ().
יתרה מכך, סביב נקודת אי-רציפות מתקבלות תנודות חזקות; ככל שמוסיפים יותר איברים לקירוב, מצטמצמת הסביבה בה מופיעות התנודות, אך גובהן לא נחלש.
קיים קשר ישיר בין "מידת החלקות" של פונקציה מסוימת לקצב הדעיכה של מקדמי פורייה שלה, קשר שבתורו מכתיב את טיב הקירוב של הפונקציה על ידי סכום פורייה סופי.
עבור פונקציה ממחלקה , כלומר הגזירה ברציפות פעמים, הערכים המוחלטים של מקדמי פורייה שלה אינם דועכים מהר יותר מ- לכל .
תופעה זו נובעת מן העובדות הבאות:
עבור פונקציות רציפות למקוטעין: "אבני הבניין" של טורי פורייה הן הרמוניות טריגונומטריות, שהן עצמן פונקציות רציפות במידה שווה.
כיוון שכך, ניתן להראות שבסביבת נקודת אי-רציפות מסוג ראשון סדרת הסכומים החלקיים של טור פורייה לא יכולה להתכנס במידה שווה לממוצע של הגבול הימני והשמאלי של הפונקציה (תמיד ישנו "רעש" סופי מסוים בסביבת נקודת האי רציפות; ראו גם: תופעת גיבס).
על פי מבחן M של ויירשטראס, התנהגות זו חייבת לבוא לידי ביטוי בהתכנסות בתנאי של סדרת המקדמים (ולא בהתכנסות בהחלט).
מצד שני, לפי למת רימן-לבג, מקדמי פורייה שואפים בערכם המוחלט לאפס כאשר שואף לאינסוף.
לכן, ממבחן ההשוואה הגבולי עם הטור ההרמוני המתבדר, נובע שהערכים המוחלטים של מקדמי פורייה דועכים לאפס לאט יותר מאשר , לכל .
עבור פונקציה ממחלקה , ניתן להסתכל על הנגזרת ה-, שהיא על פי ההנחה פונקציה רציפה למקוטעין, ואז לבצע אינטגרציה לאחור פעמים כדי לשחזר את הפונקציה המקורית.
בכל צעד אינטגרציה, מקדם פורייה ה- מוכפל ב-, ולכן מקדם פורייה ה- של מתנהג כמו .
בפרט, נובע מכך שעבור פונקציות חלקות (ממחלקה ), מקדמי פורייה דועכים "מהר מאוד" לאפס.
כאשר מונח ש-, ו־ הן פונקציות המוגדרות על כל הישר באמצעות המשכה מחזורית של הגדרתן בקטע .
הזהויות הבאות מראות את האוניטריות של הפירוק לטור פורייה.
כלומר, פעולה זו שומרת על נורמה ומכפלה פנימית.
זהות פרסבל (על שם מארק אנטואן פרסבל):
משפטים אלה אפשר להוכיח באמצעות אורתוגונליות.
אם היא קונבולוציה ציקלית של ו-, כלומר:
כאשר היא מחזורית עם מחזור , אזי טור פורייה של מקיים:
באופן הפוך, אם המקדמים הם קונבולוציה של ו־, כלומר:
תכונות אלה מוכחות באמצעות אורתוגונליות.
נניח שנתונה פונקציה , אינטגרבילית בריבוע בקטע זה, וממשיכים אותה באופן מחזורי בכל הישר הממשי, אזי טור פורייה שלה מוגדר על ידי:
את מקדמי פורייה ניתן לחשב באמצעות הנוסחה:
במונחי סינוסים וקוסינוסים הביטויים יראו כך:
טור ריניווי (בהולנדית, צרפתית ואנגלית: Renewi Tour) הוא מרוץ אופני כביש רב שלבי השייך לסבב המרוצים UCI World Tour.
בעבר נקרא גם בשמות: "אנקו טור", "בינקבנק טור" ו"בנלוקס טור".
המרוץ מאורגן על ידי מדינות בנלוקס: בלגיה, הולנד ולוקסמבורג, ונערך בהן.
עד 2016 הייתה חברת האנרגיה ההולנדית Eneco המממנת הראשית של המרוץ והוא נקרא אנקו טור (Eneco Tour).
החל ב-2017 המממנת הראשית של המרוץ היא חברת ברוקראז' הולנדית להשקעות באמצעות המרשתת בשם Binck Bank.
עד שנת 2021 נקרא המרוץ "בינקבנק טור", בשנה הזו הפסיקה חברת בינקבנק לשמש כספונסרית הראשית של המרוץ, והוא עבר להיקרא "טור בנלוקס".
בשנת 2022 המרוץ בוטל ונדחה לשנת 2023 וזאת, לטענת המארגנים, כתוצאה מאילוצים וצפיפות בלוח מרוצי האופניים.
ב-2023 הפך תאגיד המיחזור "Renewi" למממן הראשי של המרוץ והוא נקרא בשמו.
המרוץ הראשון התקיים בין ה-3 באוגוסט ל-10 באוגוסט 2005. קדמו לו הטור של הולנד, הטור של לוקסמבורג והטור של בלגיה, והוא מהווה איחוד של שלושתם.
החלטה זו הביאה לגידול במספר המשתתפים, מ-120 ל-184, לגידול בסיקור התקשורתי ולגידול של 150% בתקציב.
למרות זאת, ממשיכים להתקיים גם "הטור של בלגיה" (בסוף חודש מאי) ו"הטור של לוקסמבורג" (בתחילת חודש יוני).
בשנותיו הראשונות נמתחה ביקורת על המרוץ, על כך שהקטעים המישוריים שמרכיבים את עיקרו מסתיימים בדרך כלל במאוצים רבי-משתתפים ומביאים לחד-גוניות.
ב-2012 שילבו המארגנים מסלול מקוצר של המרוץ הקלאסי רונדה ון פלנדרן כקטע באנקו טור.
ב-2013 הוסיפו המארגנים גם קטע מקוצר של המרוץ הקלאסי לייז'–בסטון–לייז' כקטע במרוץ.
בהמשך לביקורות החיוביות על מתכונתו החדשה של המרוץ, נוסף ב-2014 קטע שכלל מסלול מקוצר של המרוץ הקלאסי אמסטל גולד.
עם זאת, המרוץ עדיין (נכון ל-2017) כולל שבעה קטעים בלבד והקטעים ה"קלאסיים" החליפו קטעים רגילים שנכללו קודם לכן במסלול המרוץ.
מתכונתו החדשה של המרוץ הביאה לו יוקרה והפכה אותו ליעד מבוקש לחלק מהרוכבים המתמחים במרוצים הקלאסיים החד-יומיים.
2007 - חוזה איוון גוטיירז
2008 - חוזה איוון גוטיירז
2009 - אדוואלד בואסון האגן
2011 - אדוואלד בואסון האגן
טוראי היא הדרגה הצבאית הנמוכה ביותר הקיימת במרבית צבאות העולם.
בצה"ל ניתנת הדרגה לחיילים שזה עתה התגייסו לשירות חובה ביום גיוסם.
משמעות דרגת הטוראי בעברית נלקחת מהמילה "טור", ומשמעותה כי החייל בתחילת דרכו ומצוי כחלק מ"טור" של חיילים מתחילים.
בצה"ל ובצבאות נוספים כגון הכוחות המזוינים של בריטניה, אין סימון לדרגה זו, וטוראים הולכים ללא הדרגה על מדיהם.
סימון הדרגה על פי תקנות נאט"ו הוא OR-2.
סימון דרגת טוראי בעולם (OR-2)
מכיוון שטוראי היא הדרגה הנמוכה ביותר האפשרית בצבא, בצבאות רבים קוראים לטוראים גם בשמות חלופיים, חלקם שמות גנאי וחלקם בעלי כפל משמעות.
בצבא ארצות הברית - חייל שזה עתה התגייס נקרא גם "Recruit" (מגויס).
בחיל הנחתים של ארצות הברית (המארינס) נקרא חייל מגויס "boot".
בצבאות אחרים ישנם גם "טוראי ראשון" (Private First Class) שאין בצה"ל (אולם היא הייתה בעבר), טוראי שני וטוראי שלישי (בצבא אירלנד למשל), המעידים על התפתחות החייל בצבא על סמך ותק.
טור טיילור הוא טור חזקות המשויך לפונקציה חלקה ולנקודה כלשהי פנימית לתחום הגדרתה, שמקדמיו מחושבים על ידי ערכי הנגזרות של הפונקציה ב"נקודת הפיתוח" של הטור.
לעיתים טור טיילור של הפונקציה מתכנס אליה בסביבה כלשהי של נקודת הפיתוח, ובמקרה זה הסכומים החלקיים של הטור, כלומר פולינומים, מקרבים את הפונקציה בסביבה זו.
זוהי למעשה הכללה של הקירוב הליניארי (קירוב מסדר ראשון)
שמתקבל על ידי משפט הערך הממוצע של לגראנז'.
היתרון העיקרי של טור טיילור הוא האפשרות לחשב באופן מקורב את הערכים של פונקציות מסובכות (כגון סינוס) באמצעות פולינומים, כלומר באמצעות פעולות חיבור וכפל בין מספרים ממשיים.
לעיתים ניתן גם לחשב באופן מקורב את הנגזרת והאינטגרל של פונקציות אלה באמצעות חישוב הנגזרות והאינטגרלים של הפולינומים בטור.
תורה זו העסיקה מתמטיקאים כמו ברוק טיילור וקולין מקלורן.
שאיפתם הייתה למצוא קירוב באמצעות פולינומים לפונקציות כמו האקספוננט, הלוגריתם והקוסינוס.
כדי לבצע קירוב זה, מנסים למצוא את הפולינום שקרוב מספיק לפונקציה בתחום מסוים, כזה שאת ההפרש (השגיאה) בינו לבין הפונקציה עצמה ניתן להקטין כרצוננו, כך שההבדל בין הפונקציה לפולינום ילך ויהפוך זניח.
את המטרה הזו משרתים טורי טיילור, שמתברר כי הפולינומים שמרכיבים אותם מוגדרים באופן יחיד לכל פונקציה ולקירוב מכל סדר.
הטור נקרא על שמו של ממציאו ברוק טיילור.
טור טיילור המפותח בנקודה נקרא טור מקלורן (הדמיון בין שם זה לשמו של טור לורן, שהוא הכללה של טור טיילור, הוא מקרי).
טור טיילור (המפותח בנקודה מסוימת ) מתכנס לפונקציה בסביבה מסוימת של אם ורק אם סדרת השאריות שבפיתוח טיילור של הפונקציה אפסה בכל נקודה בסביבה הנ"ל.
במקרה כזה, נאמר שהפונקציה היא אנליטית בנקודה .
טור טיילור מאפשר לחשב פונקציה על פי התנהגות הפונקציה בנקודה מסוימת.
נביט, לדוגמה, בפונקציה המתארת את מיקומה של מכונית כפונקציה של הזמן, t.
אם ידוע המיקום של המכונית בזמן מסוים, כלומר אם אנחנו יודעים את הערך של , אז הקרוב הבסיסי ביותר הוא שזהו המיקום של המכונית בכל זמן שהוא, כלומר .
הקרוב הזה מדויק אם המכונית חונה, כלומר אם המהירות שלה היא אפס, והתאוצה שלה אפס.
הקירוב הבא למיקומה של המכונית הוא זה שמתחשב במהירות המכונית.
הביטוי המתמטי למהירות הוא הנגזרת של פונקציית המיקום בזמן: , ואם מתחשבים במהירות המכונית מקבלים קירוב מסדר ראשון למיקום המכונית: .
קירוב זה הוא מדויק כאשר המהירות של המכונית קבועה, כלומר התאוצה שלה היא אפס.
באופן מתמטי פירושו של דבר שהנגזרות מסדרים גבוהים מאחד (הנגזרת מסדר אחד היא המהירות) מתאפסות כולן.
באופן דומה אפשר להמשיך ולהכניס תיקונים לפונקציית המיקום של המכונית המתחשבים בסדרים גבוהים יותר: התיקון מסדר שני מתייחס לתאוצה של המכונית, התיקון מסדר שלישי מתייחס לקצב שבו התאוצה משתנה וכך הלאה.
הדרך לתיקונים תהיה: מכיוון שהפונקציה הקדומה מסדר n של הקבוע היא (מכיוון ש-), נוסיף כל פעם את האיבר .
מבחינה מתמטית, המשמעות של טור טיילור היא שניתן לשחזר באופן מלא התנהגות של פונקציה אם יש לנו מידע מלא על ההתנהגות שלה בנקודה מסוימת - כלומר אם ידועות לנו הנגזרות של הפונקציה מכל סדר שהוא בנקודה.
בבעיות פיזיקליות לעיתים קרובות התרומה העיקרית להתנהגות פונקציה מגיעה מהאיברים הראשונים בטור – ולכן אפשר להזניח את האיברים הגבוהים יותר.
לדוגמה, חוק הוק הקובע שהכוח שמפעיל קפיץ פרופורציונלי לאורך המתיחה של הקפיץ, למעשה איננו מתאר במדויק את התנהגותם של קפיצים אמיתיים – הוא רק קירוב מסדר ראשון (קירוב ליניארי) להתנהגות זו, אך במקרים רבים קירוב זה טוב מספיק.
הקירוב מסדר שני, שגם בו נעשה שימוש רב בפיזיקה, נקרא הקירוב ההרמוני.
טור טיילור של פונקציה ממשית במשתנה יחיד , הגזירה אינסוף פעמים סביב הנקודה , הוא טור החזקות
כאשר היא הנגזרת מסדר של בנקודה , (נהוג לסמנה גם ), ומוסכם שעבור מתקבל .
הסכומים החלקיים של טור טיילור נקראים פולינומי טיילור ובפרט הסכום החלקי
נקרא פולינום טיילור מסדר של סביב הנקודה .
טור טיילור מוגדר, כאמור, כאשר הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בנקודה.
עבור הפונקציות האלמנטריות אקספוננט, סינוס וקוסינוס, הטור מתכנס בכל הישר.
מאידך, ייתכן שהטור יתכנס רק בקטע מסוים (עם או בלי קצות הקטע).
אם הטור מתכנס אל הפונקציה בקטע פתוח כלשהו, היא נקראת אנליטית.
לא תמיד טור טיילור של פונקציה מתכנס אליה, גם אם היא גזירה אינסוף פעמים.
קושי הציע את הדוגמה הבאה: הפונקציה
שהגרף שלה מוצג משמאל, גזירה אינסוף פעמים על כל הישר, וערכי הנגזרות באפס הם אפס, כך שטור טיילור שלה מתכנס זהותית לאפס, אף על פי שהפונקציה מקבלת ערך זה רק בנקודה אחת.
הטור מהווה כלי חשוב באנליזה נומרית על מנת להעריך את ערכה הנומרי של פונקציה על ידי חישוב סדרת חזקות בלבד.
שימוש בטור טיילור הוא אחת הדרכים בה יכולים מחשבים להחזיר ערכים מספריים של פונקציות דוגמת סינוס, אם כי ישנן שיטות קירוב נוספות, שחלקן יעילות יותר במקרים מסוימים.
עם זאת, לטור טיילור, פרט לחשיבותו בחישובים מספריים יש גם חשיבות תאורטית רבה בזכות העובדה שהוא מתאר פונקציה שיכולה להיות מסובכת באמצעות טור של פונקציות פשוטות.
נוסחת אוילר, לדוגמה, מוכחת באמצעות פיתוח טיילור של פונקציית האקספוננט.
אם טור טיילור של פונקציה מתכנס בכל הישר הממשי, הוא מאפשר להרחיב את ההגדרה של הפונקציה לכל אלגברת סי כוכב.
למשל באופן זה ניתן להגדיר את האקספוננט של מטריצה ממשית או מרוכבת.
לאחר חישוב הסכום של מספר סופי של איברים בטור טיילור של פונקציה, עדיין קיים לרוב הפרש בין ערך הפונקציה בנקודה שבה מחשבים את הטור ובין הסכום שהתקבל.
לכן פותחו מספר נוסחאות שמיועדות לתת הערכה של גודל השארית.
זו הערכה בלבד ולא מספר מדויק – הרי אם היינו יודעים בכמה בדיוק הסכום שלנו רחוק מערך הפונקציה, היינו יודעים מהו ערך הפונקציה.
שתי צורות מקובלות להערכת השארית הן השארית לפי לגראנז' והשארית לפי קושי.
צורות הערכה אלו מניחות כי אם הקירוב נעשה עד האיבר ה- בטור טיילור, הפונקציה צריכה להיות גזירה פעמים.
הביטוי של השארית המתקבלת לאחר סכימת איברים בצורת לגראנז' הוא בדיוק , ובצורת קושי הוא בדיוק , כאשר בשתי הצורות היא נקודה לא ידועה ששייכת לקטע שבין ל-.
מכיוון שאיננו יודעים בדיוק מהי נקודת ביניים זו, איננו יכולים לדעת במדויק את גודל השארית אלא רק להעריכה.
הערכות השארית בצורה זו נובעת ממשפט הערך הממוצע של לגראנז' או באופן שקול מההכללה שלו – משפט הערך הממוצע של קושי.
הפיתוח הלא-טריוויאלי הפשוט ביותר של טור טיילור הוא של פונקציית האקספוננט, סביב הנקודה .
פשטות הפיתוח נובעת מכך שנגזרת האקספוננט היא הפונקציה עצמה, כלומר .
לכן כל הנגזרות בנקודה הן .
על ידי הצבה בנוסחה מקבלים מיידית את הטור הבא: .
את השוויון ניתן לכתוב משום שפונקציית האקספוננט היא אנליטית, ולכן טור טיילור שלה מתכנס אליה.
טורי טיילור ומקלורן של פונקציות נפוצות
להלן מספר טורי טיילור ומקלורן של פונקציות נפוצות.
כל הפיתוחים נכונים גם עבור ארגומנטים מרוכבים.
כמקובל, מקבל את הערך 1 לכל x.
הבינום של ניוטון: לכל מספר מרוכב , הטור מתכנס לכל .
אם טבעי, יש בטור רק מספר סופי של מקדמים שונים מאפס, ובמקרה הזה הטור סופי ולכן מתכנס לכל .
כאשר מספרי ברנולי ו- מספרי אוילר.
את טור טיילור של פונקציה ב- משתנים סביב הנקודה ניתן למצוא באמצעות הפעלת כלל השרשרת על המקרה החד־ממדי, והוא:
לדוגמה, עבור פונקציה התלויה בשני משתנים , פולינום טיילור מסדר שני סביב הנקודה יהיה:
כאשר הסימון מציין גזירה חלקית לפי המשתנה ולאחריו לפי המשתנה (או להפך), ואילו הסימונים מציינים גזירה חלקית פעמיים לפי אחד מהמשתנים.
את פיתוח טיילור מסדר שני של פונקציה סקלרית של יותר ממשתנה אחד ניתן לרשום בצורה קומפקטית כך:
כאשר הוא הגרדיאנט ו- היא מטריצת הסיאן.
באמצעות סימון מרובה אינדקסים ניתן לרשום את פיתוח טיילור עבור מספר משתנים כך:
באנלוגיה מלאה למקרה הפרטי של משתנה אחד.
באנליזה מרוכבת, טור לורן (Laurent) הוא הכללה של טור טיילור לטור מהצורה, כלומר טור לורן טור חזקות שבו מופיעות גם חזקות שליליות.
הטור נקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר אלפונס לורן.
במתמטיקה, טור פונקציות הוא סכום, בדרך כלל אינסופי, של פונקציות שמסודרות בסדרה.
טורי פונקציות משמשים רבות באנליזה מתמטית.
כך לדוגמה פונקציית ויירשטראס ופונקציית זטה של רימן מוגדרות באמצעות טורים.
הם משמשים גם בקירובים נומריים לערך של פונקציה בנקודה מסוימת, בפתרון של משוואות דיפרנציאליות, ובפיתוח פשוט יותר של נגזרות ואינטגרלים.
ההגדרה הפורמלית של התכנסות טורי פונקציות מתבסס על הגדרת התכנסות טור מספרים רגיל:
נאמר שהטור מתכנס בקבוצה וסכומו הוא הפונקציה אם לכל ב- הטור המספרי מתכנס ושווה ל-.
ניתן להרחיב את ההגדרה כך שהפונקציות יהיו מקבוצה כלשהי למרחב נורמי.
כמו בטור מספרי, התכנסות הטור לא תלויה בפונקציות הראשונות שלו וניתן לשנות אותן כרצוננו בלי להשפיע על ההתכנסות (אם כי שינוי פונקציות אלו ישנה את תוצאת הטור).
התכנסות הטור תלויה רק בזנב הטור – הסכום האינסופי של הפונקציות החל ממקום מסוים והלאה.
לפי הגדרת הטור, התכנסות הטור היא למעשה התכנסות סדרת הסכומים החלקיים.
סכומים אלו מוגדרים תמיד, כי הם חיבור של מספר סופי של פונקציות.
טור מתכנס במידה שווה אם הוא מתכנס, ולכל קיים מספר טבעי כך שניתן לחסום את הערך המוחלט של ערך זנב הטור עד ידי , בלי תלות ב-.
התכנסות במידה שווה היא תכונה יותר חזקה מהתכנסות, והיא מבטיחה שאם כל פונקציות הטור היו רציפות – גם סכום הטור יהיה פונקציה רציפה.
לטורי פונקציות יש תכונות משותפות רבות עם סדרות פונקציות, כך טור של סכום הוא סכום הטורים וכן גם מכפלת טור בפונקציה שקולה להכפלת כל אחד באיברי הטור באותה פונקציה.
כמו כן, התכנסות נקודתית איננה מבטיחה שימור תכונות כמו רציפות או גזירות.
כל סדרת פונקציות ניתן להציג כטור, כאשר יוצרים ממנה טור טלסקופי:
ההעברה הזו אפשרית גם בכיוון השני על ידי סדרת הסכומים החלקיים.
השקילות הזו בין סדרות פונקציות לטורי פונקציות מאפשרת להעביר כל תוצאה או הגדרה מתחום אחד לתחום שני.
במקרים רבים נוח לבצע פעולות של גזירה ואינטגרציה על טורים, יותר מאשר על סדרות, בגלל האפשרות לגזור או לבצע אינטגרציה איבר-איבר.
בצורה כזו ניתן למשל ליצור פיתוח מיידי של פונקציית הלוגריתם הטבעי לטור חזקות.
הרעיון הבסיסי הוא שבתנאים מסוימים תכונת הליניאריות של הנגזרת ושל האינטגרל יכולה להתרחב גם לסכומים אינסופיים:
עבור פעולת האינטגרציה, תנאי מספיק לקיום השוויון הוא שהפונקציות הנסכמות יהיו רציפות, ושהטור יתכנס במידה שווה.
במצב הזה סכום הטור הוא פונקציה רציפה (ובפרט אינטגרבילית) וטור האינטגרלים מתכנס במידה שווה לאינטגרל הטור.
עבור פעולת הגזירה התנאי המספיק הוא הפוך – טור הנגזרות צריך להתכנס במידה שווה, בעוד שמספיק שהטור עצמו יתכנס נקודתית.
הסיבה להיפוך הוא שאת תכונת טור הנגזרות מוכיחים על סמך ההוכחה, של טור האינטגרלים על ידי היפוך התפקידים – מסכמים את טור הנגזרות ועליו מפעילים את האינטגרציה.
ניתן להראות, על סמך התכונה של האינטגרציה, שחזרנו אל הטור המקורי (עד כדי תוספת של קבוע).
התוצאה המבוקשת מתקבלת על ידי גזירת השוויון.
בתורת המידה, משפט ההתכנסות המונוטונית הוא משפט בסיסי לגבי הפעלת אינטגרל לבג על טורי פונקציות (או על סדרה עולה של פונקציות).
לפי משפט זה אם סדרת פונקציות מדידות לבג אי שליליות, ו-E קבוצה מדידה מתקיים השוויון:
כאשר הערכים הן של הסכום והן של האינטגרל יכולים להיות אינסופיים, והשיויון ישמר.
טוראיי בראגס הוא כדורסלן עבר אמריקאי.
גובהו 2.03 מטרים, ששיחק בעמדות הפאוור פורוורד והסנטר.
שיחק בעברו בישראל בקבוצות הפועל ירושלים ועירוני רמת גן.
בוגר אוניברסיטת זייבייר, לאחר סיום לימודיו נרשם לדראפט ה-NBA לשנת 1998 ונבחר במקום ה-#57 על ידי קבוצת יוטה ג'אז.
למרות הבחירה בדראפט הוא נאלץ לשחק שנתיים מחוץ לארצות הברית, בליגות הראשונות בספרד במדי קנטבריה וגראן קנריה ובוונצואלה ממנה עבר לשחק מספר חודשים בקבוצת הרוקפורד לייטנינג מליגת ה-CBA, עד שהוחתם על ידי קבוצת דטרויט פיסטונס על חוזה של חודש ימים בשנת 2000.
בשנת 2003 הוחתם על ידי היוסטון רוקטס בה שיחק מספר משחקים ושוחרר.
הוא חזר ל-CBA ושיחק במדי יאקימה סאן קינגס אך לאחר עונה הוחתם על ידי הוושינגטון ויזארדס ושיחק 5 משחקים בטרם שוחרר, ממנה המשיך לסו פולס סקייפורס מה-CBA בטרם עבר לספרטק סנקט פטרבורג מרוסיה, שלאחריה חתם שוב ביוסטון רוקטס וזכה לשחק 14 משחקים בשנת 2005.
בהמשך שנת 2005 חתם בקוריאה הדרומית ושוחרר, ממנה עבר לטולסה 66 מה-NBDL.
בהמשך עונת 2006 חתם בקבוצת ספרטק פרימוריה ולדיווסטוק מרוסיה.
בעונת 2006/2007 חתם בעירוני רמת גן, ממנה שוחרר לאחר שעלותו (15 אלף דולר לחודש) הייתה גבוהה מדי לקבוצה, וחתם בקבוצה הלטבית א.ס.ק.
את עונת 2008 העביר בין קבוצה ממקסיקו לליגה האיראנית (עזב קבוצה לטובת איראן ואז חזר אליה).
בעונת 2008/2009 שיחק במקסיקו ובוונצואלה.
ב-2010/2011 שיחק בארגנטינה, ברפובליקה הדומיניקנית ובאורוגוואי.
בעונת 2011/2012 שיחק בוונצואלה ובקולומביה טרם פרש.
טור מלכא (מארמית: הר המלך) היה יישוב יהודי ביהודה שהתקיים בימי חורבן בית שני.
"הר המלך" נזכר במקורות חז"ל כאזור איכותי במיוחד.
כך למשל דרשו חז"ל על הפסוק: "ההר הטוב הזה" - זה הר המלך".
בחז"ל מובא שלעשירי העם היו בו נחלות שונות:
נחוניון כהן גדול, בנו של שמעון הצדיק, שברח להר המלך לאחר שאחיו ביישו.
"ששים רבוא עיירות היו לו לינאי המלך בהר המלך, וכל אחת ואחת היו בה כיוצאי מצרים".
"עשרת אלפים עיירות היו בהר המלך, ולר' אלעזר בן חרסום אלף מכולם, וכנגדן אלף ספינות בים, וכולהם חרבו".
בדברי חז"ל הללו נזכרים מספרים מופרזים אודות כמות התושבים שחיו בה, אך יש שרואים במספרים אלו כמדויקים ומוכיחים דבריהם מהגמרא.
הדעה הרווחת היא שאמנם הייתה בה כמות תושבים רבה מאוד אך לא כמו המובא בגמרא.
המהר"ל מפראג מסביר שחכמים אמרו את הכמות שהייתה ראויה בטור מלכא שהיה מקום הריבוי, אך זה אינו מחייב שהיה שם באמת כך.
על פי המהר"ל מדובר בכלל בדברי חכמים שמדברים על מה שהיה ראוי מצד המהות, בלי להתחשב במציאות שמעוצבת גם ממניעות מצד האנשים, כיוון שהם רצו להסביר את ברכת הריבוי שהייתה בארץ מצדה המהותי.
השם "הר המלך" זוהה עם "הרודיון", מבצרו של הורדוס מלך יהודה והעיר שלמרגלותיו, שאותה הפך לבירתה של טופרכיה (השם "הרודיון" אינו נזכר בספרות התלמודית).
יוסף בן מתתיהו אינו מזכיר את השם "הר המלך" (בעוד שהוא מזכיר את הרודיון פעמים רבות).
על פי חז"ל, "הר המלך" שימש כאחד המבצרים החשובים ביותר במרד בר כוכבא (132–136 לספה"נ) ואחד ממעוזיו האחרונים.
עם זאת, נראה שהשם "הר המלך" התפשט במקורות כמונח גאוגרפי לאזור נרחב יותר.
במדרש ובתלמוד נזכר "הר המלך" בסמיכות לביתר, ונראה כי הדבר מלמד על חשיבות האתר במהלך מרד בר כוכבא.
כך למשל נאמר בתלמוד הבבלי: "אקמצא ובר קמצא חרוב ירושלים אתרנגולא ותרנגולתא חרוב טור־מלכא אשקא דריספק חרוב ביתר" ("בשל קמצא ובר קמצא חרבה ירושלים, בשל תרנגול ותרנגולת חרב הר המלך, בשל יצול של עגלה חרבה ביתר").
כך גם במדרש הגדול: "והצר לך בכל שעריך, אילו כרכים גדולים שבארץ ישראל כגון הר־המלך ובית־תר וכיוצא בהן".
ישנה הקבלה בין "הר המלך" במקורות הבבליים () ל"טור שמעון" במקורות הארץ־ישראליים (תלמוד ירושלמי, תענית, ד' ח', ס"ט ע"א; מדרש איכה רבה, ב, ד).
השם "טור שמעון" התגלגל כנראה משמו של אחד המבצרים שהקים שמעון החשמונאי, והוא מופיע באגדות החורבן כפי הנראה בהקשר למרד בר כוכבא.
על בסיס ההקבלה בין "הר המלך" ל"טור שמעון", ועל פי השם "שמעון", הניחו חוקרים ש"הר שמעון" הוא מבצרו של שמעון בן כוסבא (בר כוכבא).
שמואל קליין וזאב ספראי סברו שיש לזהות את "הר המלך" בצפון הר בית אל, בטופרכיות גופנא ורמתיים.
עמוס קלונר הציע את האפשרות ש"הר המלך" הוא האזור שסביב בית גוברין.
התלמוד הבבלי, כחלק מאגדות החורבן, מגולל את סיפור חורבנה של טור מלכא:
על פי תיאור המעשה, בטור מלכא היו נוהגין להוליך תרנגול ותרנגולת לפני החתן והכלה בדרך לחופתם, כשכוונתם לרמז בזה שהחתן והלכה יזכו לפרות ולרבות כתרנגולים.
באחת הפעמים שנהגו כן עברה באותה הזמן פלוגת חיילים שחטפו את התרנגולים, בני העיר שראו זאת התנפלו עליהם במטרה להשיב אותם.
פלוגת החיילים, כאות מחאה, שלחה לקיסר כי יהודי המקום מורדים בו, דבר שאכן גרם לקיסר לצאת להילחם בבני העיר.
באותה העת היה גר בעיר אדם בשם 'בר דרומא' שהיה קופץ למרחק מיל ותוך כדי קפיצתו היה הורג בחיילים.
כשראה זאת הקיסר הוא הוריד את הכתר שעל ראשו והניחו על הארץ ופנה לאלוהים: אם טוב בעיניך, אל תגרום לי ולחיילי למות בידיו של 'בר דרומא'.
באותה הזמן 'בר דרומא' ציטט את הפסוק בתהילים "הלא אתה אלהים זנחתנו ולא תצא אלוהים בצבאותינו", כאשר כוונתו כי אכן אין לו צורך בעזרת אלוהים.
כשנכנס 'בר דרומא' לבית הכיסא לעשות צרכיו' הגיע נחש והכישו, ומת מאותה הכשה.
הקיסר על אף שראה במיתת בר דרומא, אמר הואיל ונעשה לי נס שלא נהרגתי על ידו, אפסיק את המלחמה איתם.
מיד כשפנה הקיסר לשוב לביתו, תושבי המקום החלו לשמוח, וערכו מסיבות גדולות עם אוכל ושתייה, והדליקו נרות להאיר להם.
הקיסר שראה מרחוק את אותן חגיגות, הבין כי היהודים מזלזים בו במעשה זה, והחליט לחזור ולהילחם בהם.
ואכן בחזרתו החריב את כל המקום.
בתלמוד מסופר בשם רבי אסי, שחיילי הקיסר כללו שלוש מאות אלף 'שולפי חרבות' שהרגו בטור מלכא במשך שלושה ימים ושלושה לילות.
וכאשר הם הרגו בצדו האחד של טור מלכא, לא נודע הדבר לתושבים בצדו השני, אשר המשיכו בחגיגות הניצחון.
עין טור מלכא, שם העט של המשוררת עליזה גרינברג, ניתן לה על ידי בעלה אורי צבי גרינברג על שם היישוב "טור מלכא".
טוראנה היא סוג של שער המאפיין אדריכלות הינדואיסטית ובודהיסטית.
טוראנות קשורות לסטופות כגון הסטופה הגדולה בסאנצ'י.
הינדים בדרום-מזרח אסיה מכינים טוראנות מסורתיות מפרחים ואפילו עלים, שהם תולים מעל הדלת.
לפי האמונה הבודהיסטית וההינדואיסטית הטוראנות מביאות מזל טוב ומסמלות אירועים חגיגיים או מביאי מזל.
טוראניזם (טורקית Turancılık) הוא רעיון אידאולוגי שקובע כי קיים קשר גזעי, אתני, תרבותי, לשוני והיסטורי בין כל העמים הטוראנים, ומרחיב את רעיון הפאן-טורקיות או טורקיזם (Türkçülük או Türkizm) הטוען באופן דומה לגבי כל העמים הטורקיים הדוברים שפות טורקיות.
טוראן הוא שם פרסי עתיק לכל האזורים שממזרח לאיראן.
לפי הטוראניזם כל העמים הטורקים: מהאוזבקיים ותושבי חצי האי קרים ועד הבלקן קשורים זה לזה.
הטוראניזם אומץ על ידי תנועת הטורקים הצעירים.
בשנת 1911 הוקם ארגון "המדורות הטורקיות" על ידי איסמאיל אנוור פאשה.
הארגון הילל את ה"טורקי האמיתי" - האיכר הפטריוטי הפועל באזור אנטוליה וקבע כי על כל אזרחי המדינה לחקותו.
רעיון הטוראנזים והפאן-טורקיות אומצו גם על ידי גורמים לאומנים טורקיים אחרים, ובראשם על ידי אלפארסלן טירקש וארגונו הזאבים האפורים, וכן על ידי גורמים לאומנים מחוץ לטורקיה, כמו מפלגת יוביק ההונגרית.
טוֹרָאגָ'ה היא קבוצה אתנית המתגוררת באזור הררי בדרום האי סולאווסי באינדונזיה.
אוכלוסייתם מונה כ-650,00 נפש, מתוכם כ-450,000 מתגוררים ב"טאנה טוראג'ה" - ארץ הטוראג'ה שבמחוז דרום־סולאווסי.
מרבית האוכלוסייה נוצרית, ומיעוטה מוסלמית או אנימיסטית.
המילה "טוראג'ה" מקורה בשפת הבוגיס ומשמעו "אנשי ההרים".
השלטון הקולוניאלי ההולנדי הוא שהעניק שם זה באופן רשמי בשנת 1909. הטוראג'ה ידועים בטקסי לוויות מורכבים וססגוניים, אתרי קבורה החצובים בצוקי סלע, גגות משופעים מסיביים ותחריטי עץ צבעוניים.
טקסי ההלוויה הטוראג'יים הם אירועים חברתיים חשובים הנערכים בהשתתפות מאות אנשים, ונמשכים מספר ימים.
לפני המאה העשרים התגוררו הטוראג'ה בכפרים אוטונומיים מבודדים למדי, וחיו לפי האמונות המקומיות המכונות "אלוּק".
בתחילת המאה העשרים החלו מיסיונרים הולנדים להמיר את דתם של הטוראג'ה לנצרות.
בשנות השבעים, נפתח האזור ביתר שאת למגע עם העולם החיצון, והפך ליעד תיירותי חשוב באינדונזיה ולמושא מחקר אנתרופולוגי.
עד לשנות התשעים כבר השתנתה טוראג'ה משמעותית, כשהחברה האגררית החיה עדיין במידה רבה לפי ה"אלוּק", הפכה ליותר נוצרית ונשענת יותר על תיירות.
עד שהגיעו מיסיונרים הולנדים במאה העשרים לא הייתה זהות של טוראג'ה.
בני הטוראג'ה הזדהו עם הקהילה בה חיו.
היה דמיון במנהגים ובטקסים, אבל הם לא ראו את עצמם כחלק מקבוצה אתנית.
המיסיונרים ההולנדים עזרו להם לגבש זהות אתנית.
גם התפתחות התיירות גרמה לבני הטואג'ה ולקבוצות אתניות אחרות באי סולאווסי להגדיר את עצמם כקבוצה.
אימוץ הדת הנוצרית, בשונה משכניהם המוסלמים, חיזק את הזהות האתנית שלהם.
בפועל הם שומרים גם על הדת ומערכת האמונות המסורתית שלהם הקרויה: אלוק .
מערכת האמונות המסורתית שלהם היא אנמיסטית.
התרגום המילולי של Aluk הוא: "הדרך" או "החוק".
באינדונזיה חייב כל אזרח להשתייך לאחת משש הדתות הרשמיות.
הטוראג'ה פסלו את האסלאם בגלל התנגשות בין האיסור לאכילת בשר חזיר והאיסור לשתיית יין והטקסים המסורתיים שלהם ובחרו בנצרות.
על פי האלוק, קיים קשר מתמשך בין עולם המתים לעולם החיים.
הרוחות של האבות הקדומים שומרות על אלו הנמצאים בעולם החיים.
מוות אינו אירוע עצוב, אלא הזדמנות של רוחו של הנפטר להצטרף לרוחות של האבות הקדומים ולעזור לחיים.
בתי המקור (בשפת הטוראג'ה: Tongkonan) הם מבנים דמויי סירה גדולה המיועדים לרוחות האבות הקדומים.
בנוסף לכך מתגוררים בהם קשישים ונמצאות גוויות נפטרים עד לקיום טקס הלוויה.
בתי המקור הם המבנים החשובים ביותר בעיירת טוראג'ה מסורתית.
הם מהווים מרכז של חיי החברה והטקסים המסורתיים של בני הטוראג'ה.
בנייתם הוא תהליך האורך זמן, הנעשה על ידי המשפחה המורחבת.
מול כל בית מקור נבנה אסם בתוכו מאוחסנים יבולי האורז.
טקסי לוויה עשויים להיערך חודשים ולפעמים יותר משנה לאחר המוות.
בני הטוראג'ה מאמינים כי בתקופה עד ללוויה ולקבורה המת אינו מת, אלא חולה בראש שאינו יכול להבריא.
לפי אמונתם, צריך לבצע את טקסי הלוויה והקבורה באופן נכון על מנת שהמת יוכל להיות חלק מרוחות האבות הקדומים.
טקס הלוויה משתנה בהתאם לגילו ולמעמדו של הנפטר.
הטקסים הפשוטים ביותר הם טקסי לוויה של תינוקות או ילדים צעירים, הנקברים בתוך עצים.
טקס הלוויה הוא אירוע שמח, משום שהנפטר מתחיל בתהליך ההצטרפות לרוחות האבות הקדומים.
המשפחה מתכננת את הטקס במשך מספר חודשים.
לטקס מוזמנים כל בני הקהילה.
מספרם של המוזמנים עשוי להגיע למאות ולפעמים ליותר מאלף.
מרבית המוזמנים שוהים באתר בו מתקיים הטקס במשך כל השבוע.
משפחות עשירות עשויות להוציא עשרות אלפי ולפעמים גם מאות אלפי דולרים על לוויה.
בני הטוראג'ה חוסכים כסף ללוויות הוריהם.
הירושה מתחלקת בין הצאצאים, על פי החיסכון שחסכו לצורך לווית ההורים.
ההיערכות לטקס כוללת בנייה באתר בו מתקיים הטקס.
על פי אמונתם של בני הטוראג'ה, לאחר הטקס יש להרוס את כל המבנים.
הלוגיסטיקה הנדרשת כוללת: מזון לכל המשתתפים, מים, במה לניהול הטקס, מבנים בהם יכולים מוזמנים ללון, שירותים ועוד.
לצורך כך מעסיקה משפחת הנפטר בעלי מקצוע, כגון: בנאים, נגרים וכיוצא בזה.
במהלך ימי הטקס אוכלים המשתתפים בעלי חיים הנטבחים לצורך מאכל.
המשתתפים אוכלים חזירים, תאואים, עופות ובעלי חיים נוספים.
טקסי הלוויה הם הזדמנות של עניים בני טוראג'ה לאכול בשר.
אורחים צריכים להביא מתנות למשפחת הנפטר.
המתנה צריכה להיות בשווי זהה למתנה שהביא הנפטר למשפחת האורח בטקס לוויה של הוריו.
על מנת לוודא ששווי המתנה זהה, בני הטוראג'ה מנהלים רישום של מתנות הלוויה שמביאים אורחים.
בתי הקברות הן אחוזות קבר משפחתיות.
הם נחצבים לרוב בסלעים ואם הם מספיק גדולים, ארונות הקבורה מונחים בהם במבנה של כוורת.
הם מעוטרים בתחריטים, בתמונות נפטרים, בראשי פרים ובקישוטים נוספים.
העשירים מציבים בובות "טאוטאו", אלו בובות קטנות דמויות אדם המפוסלות בעץ או מבמבוק וחימר.
בקברים נהוג להשאיר אוכל ושתייה עבור הנפטרים.
על פי האלוק קיימים עשרות אלים בפנתיניאון הישויות הקוסמיות.
האל הראשי הוא פונג מטואה .
על מנת להיות בכל מקום הוא נעזר בשליחים.
שליחים אלה הם: פואנג רנגאי מאטה (אחראי על הארץ ועל חיי אנשים בעולם הזה), פונג גואם טיאם בונג (אחראי על השמים, העננים, הברק והגשם), פואנג טולק פואנג (אחראי על רעידות אדמה, הימים האגמים והנהרות).
השליחים החשובים ביותר הם טומם באלי פואנג (רוחות האבות הקדמונים), האחראים על טקסי הלוויות ומות והמעבר התקין של המתים לעולם רוחות האבות הקדמונים),
בעיירת טוראג'ה טיפוסית עשויים להיות 10 סוגי אתרים.
המבנים באתר עשויים להיות מבני מגורים או בתי מקור.
מול מבני מגורים ומול אתרי מקור יש אסמים (alangs).
מספר המבנים עשוי להגדיר את סוג האתר.
אתרים נוספים הם אתרי קבורה (liang).
סוגי האתרים נקבעים על פי מספר המבנים.
בנוסף למבנים יש שדות אורז, יערות במבוק, שדות מרעה לתאואים ולחזירים.
טוראית בנג'מין הוא סרט קומי אמריקאי משנת 1980 בכיכובה של גולדי הון.
הסרט היה אחד משוברי הקופות הגדולים של תחילת שנות ה-80. הוא היה מועמד לפרס אוסקר בשלוש קטגוריות: שחקנית ראשית, שחקנית המשנה והתסריט המקורי.
ג'ודי בנג'מין היא יהודייה צעירה, שמתגייסת לצבא ארצות הברית לאחר שבעלה הטרי נפטר מהתקף לב במהלך קיום יחסי מין בליל הכלולות שלהם.
כבר בטירונות היא מגלה כי הצבא הוא לא בדיוק מה שהובטח לה בלשכת הגיוס.
בימים הראשונים היא סובלת מהמשמעת הצבאית ואף שוקלת לפרוש, אך לאחר תקופה מסוימת מסתגלת ואף זוכה לשבחים ממפקדיה.
באחת החופשות מהצבא היא פוגשת בהנרי טרמונט, רופא צרפתי שרמנטי ומתאהבת בו.
הרומן שלהם נמשך תקופה קצרה מאוד – הנרי חייב לחזור לפריז.
ג'ודי, שנחושה להמשיך את היחסים מצליחה להשיג לעצמה הצבה לשרת במפקדת כוחות נאט"ו בבריסל.
עם הגיעה לאירופה היא מחדשת את הקשר עם הנרי והוא מציע לה נישואין.
קפטן לואיס, המפקדת של ג'ודי, מגלה כי הנרי חבר במפלגה קומוניסטית ודורשת ממנה להיפרד ממנו, אחרת היא תאלץ אותה לפרוש מן הצבא.
ג'ודי בוחרת לפרוש מן השירות ועוברת להתגורר בביתו של הנרי בפריז.
בחייהם המשותפים בפריז מתגלה צדו האחר של הנרי הוא מנסה לשלוט בכל צעדי של ג'ודי, מאלץ אותה לחתום על הסכם ממון ואף בוגד בה עם האקסית שלו ועם המשרתת.
לג'ודי נמאס מהתנהגותו והיא עוזבת אותו באמצע טקס הנישואין שלהם.
גולדי הון – טוראית ג'ודי בנג'מין
איילין ברנן – קפטן דורין לואיס
ארמנד אסנטה - הנרי טרמונט
רוברט וובר – קולונל קליי תורנבוש
סאם ונאמייקר – טדי בנג'מין, אביה של ג'ודי
ברברה ברי – הארייט בנג'מין, אמה של ג'ודי
הארי דין סטנטון – סמל ראשון ג'ים באלארד
נלסון - קפטן ויליאם וודברידגי
אלברט ברוקס - ייל גודמן
בעקבות הצלחת הסרט הפיקה רשת CBS סדרת טלוויזיה בעלת אותו שם.
הסדרה שודרה במשך 3 עונות בשנים 1981 – 1983 וזכתה בפרס אמי ובפרס גלובוס הזהב.
טור עבדין (בסורית: ܛܘܼܪ ܥܒ݂ܕܝܼܢ) הוא אזור הררי בדרום מזרח טורקיה, מערבית לנהר החידקל.
משמעות המילה בארמית היא "הר העבדים (של האל)".
למקום חשיבות גדולה עבור הסורים־אורתודוקסים, בהיותו המרכז התרבותי והנזירי.
האשורים הגרים במקום קוראים לעצמם סוּרוֹיֵא או סוּריוֹיֵא ומדברים בניב ארמי הנקרא טורית .
טוראקו אדום ציצית או טוראקו אדום רכס (שם מדעי: Tauraco erythrolophus) הוא מין של עוף טרופי במשפחת הטוראקיים.
לטוראקו מספר מאפיינים מיוחדים כגון צבע ירוק אמיתי (פיגמנט ירוק במקום שילוב הפיגמנטים צהוב וכחול) והזזת האצבע הרביעית קדימה ואחורה.
הטוראקו חי באזור אנגולה וקונגו ואף נקרא באנגלית גם "טוראקו אנגולי".
בית הגידול המועדף על הטוראקו הוא היער, שם יוכל להשיג פירות בשפע.
אורכו של הטוראקו עד 43 ס"מ ומשקלו בממוצע מ-210 עד 325 גרם.
גופו בצבע ירוק בהיר, אך כנפיו בצבע כהה יותר.
ראשו בצבע לבן, ומקורו קצר מאוד ובצבע צהוב בהיר.
כמו בשמו, ציצית ראשו אדומה.
זנבו בצבע ירוק כהה מאוד.
הטוראקו הוא העוף היחיד בעולם שמשתמש בפיגמנט ירוק בצבע נוצותיו, ולא בשילובי פיגמנטים צהובים וכחולים המבוססים על קרוטנואידים (הנפוצים מאוד בציפורים).
הפיגמנט הירוק הטבעי קרוי על שם המין, טוראקוורדין (Turacoverdin).
פיגמנט נדיר נוסף, טוראקין, מעניק לטוראקו צבע אדום עז הייחודי למינו, ושונה בהרכבו הכימי מפיגמנטים אדומים הנפוצים בעופות אחרים.
הטוראקו יכול להזיז את אצבעו הרביעית, מה שעוזר לו להיאחז בענפים ולנוע מהר יותר.
צבעי הטוראקו מאפשרים לו הסוואה בין העצים, ורק קולו יכול להסגירו לטורפים.
הטוראקו הוא עוף חברתי וחי בלהקות של כ-30 פרטים.
כשהטוראקו מתרגש הציצית שלו נפרשת וכל שערה יכולה להגיע לגובה של כ-5 סנטימטר.
תזונתו מורכבת בעיקר מפירות אך גם מזרעים, טרמיטים, תאנים, חרקים וחלזונות.
הטוראקו חי לרוב על העצים, ולא יורד לקרקע לעיתים קרובות.
הקן נמצא על העץ בגובה של כ-5 מטר מעל האדמה.
הנקבה דוגרת על הביצים כ-20 יום, והזכר מביא לה מזון.
הגוזלים לא בוקעים עירומים כמו אצל רוב העופות אלא מכוסים בפלומת נוצות בצבעים שחור או חום.
בגיל שלושה שבועות, עוד לפני המעוף הראשון, הגוזלים יוצאים מהקן ו"מטיילים" בסביבתו.
הגוזלים מתחילים ללמוד לעוף בגיל 4–5 חודשים.
תוחלת חייו של הטוראקו מגיעה ל-9 שנים.
כשהטוראקו נבהל הוא חושף מתחת לכנפיו כתם אדום שמפחיד אויבים.
טור סטרטיגרפי הוא מונח בגאולוגיה ובענף המשנה שלה, הסטרטיגרפיה, המתאר את החתך האנכי של יחידות סלע באזור מסוים בתרשימים ובמפות.
טור סטרטיגרפי טיפוסי מראה את רצף סלעי המשקע כאשר הסלעים העתיקים ביותר בחלק התחתון והסלעים הצעירים ביותר בחלקו העליון.
באזורים מורכבים יותר מבחינה גאולוגית, דוגמת אלו המכילים סלעים מותמרים, סלעי מחדר, העתקים ו/או אי התאמות, יכולים טורים סטרטיגרפיים לציין את המיקומים היחסיים של יחידות סלע אלו ביחס שביניהן.
עם זאת, במקרים אלו, הטור הסטרטיגרפי יכול להיות או טור מבני, שבו יחידות הסלע מגובבות כפי שהן שנצפות בשטח לאחר שהועתקו ממקומם המקורי, או טור על פי זמן, שבו יחידות הסלע מגובבות על פי הסדר שבו נוצרו.
הטור גם מראה את הליתולוגיה של יחידות הסלע.
טור סטרטיגרפי צריך להיות מורכב ממסגרות מרובעות קטנות המכילות את הסמל המזהה את סוג יחידת הסלע.
שם יחידת הסלע ייכתב בצמוד למסגרת הרלוונטית.
גובה כל מסגרת אמור לציין את עובייה היחסי ליחידות אחרות בטור.
אם מסגרת מסוימת לא נכנסת לדף אחד נוהגים לפצל את הטור.
את הגבול בין השכבות נוהגים לשרטט כקו אופקי למעט מקרים של יחידות סלע שנוצרות באופן בלתי אופקי בולט כמו מחדרים.
הטור הסטרטיגרפי אמור גם לציין אי התאמות (כפי שמצוינת למשל אי ההתאמה הגדולה בשרטוט של הגרנד קניון משמאל) והעתקים.
לעיתים נוהגים לציין את התקופות הגאולוגיות במקביל לשכבות (כפי שניתן לראות בטור הסטרטיגרפי של מפרץ סואץ מימין), וכמו כן מקובל לספק מפתח לתבניות הליתולוגיות המופיעות במסגרות.
טוראון (בספרדית: Torreón) היא עיר במדינת קואווילה במקסיקו.
העיר שוכנת על גדות נהר נסס (Nazas), המשמש כגבול המערבי של קואווילה עם מדינת דורנגו.
ב-2010 התגוררו בעיר למעלה מ-600,000 תושבים, מה שהופך אותה לעיר השנייה בגודלה בקואווילה אחרי הבירה סלטיו, ובמטרופולין שלה, הידוע בשם קומרקה לגונרה, התגוררו למעלה מ-1.2 מיליון תושבים, מה שהופך אותה למטרופולין הגדול בקואווילה.
בסביבות 1850 נבנה במקום מגדל גדול (שנקרא בספרדית "טוראון") שסביבו התפתחה התיישבות.
טוראון התחילה לגדול באופן משמעותי לקראת סוף המאה לאור הביקוש לכותנה מהאזור וכן בגלל קרבתה לצומת מסילות רכבת.
ב-1893 טוראון קיבלה מעמד של עיירה, וב-15 בספטמבר 1907 היא קיבלה מעמד של עיר.
העיר נכבשה מספר פעמים על ידי הפלגים השונים במהלך המהפכה המקסיקנית, שהתרחשה בין 1910 ו-1921. אחד הכובשים שלה במהלך המהפכה היה פנצ'ו וייה.
במקור כלכלת טוראון התבססה על חקלאות מהאזור.
עם גדילתה היא הפכה למרכז תמיכה חשוב לחקלאות ולייצור הכותנה באזור.
בנוסף הכלכלה המקומית מתבססת על תיירות ותעשייה, הכוללת ייצור טקסטיל וביגוד וכן עיבוד מתכות.
בגבעת סרו דה לאס נואס בטוראון נמצא פסל קריסטו דה לאס נואס, פסל בדמות ישו בגובה של למעלה מ-20 מטרים.