tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
דודה ייאוש: דודה ייאוש היא אשתו של ההורה הממושקף.
היא מסוממת ואלכוהוליסטית וכלל אינה מתאימה לתפקיד הורה.
מייקל סולס: מייקל סולס (מתורגם למייקל חסר נשמה souless) הוא מפיק הוליוודי שמייצג את כל מה שרע בתעשיית הסרטים.
הוא מפיק בעיקר את סרטי דוקטור סוס כמו הגרינץ' ומכר את נשמתו לשטן כדי להפיק אותם.
יש לו גם שני עוזרים בשם איש טבלא 1 ואיש טבלא 2.
אנשי הטבלא: אנשי הטבלא הם עוזריו של מייקל סולס ומבססים את הסרטים שהוא מפיק על פי קבוצות דמוגרפיות ושכבות גיל.
הם תמיד מופיעים עם טבלא ואם אינם רואים אותה הם מתאבדים.
רוג'ר: רוג'ר הוא מעין "המלאך השומר" של הקריטיק ולראשונה הופיע בפרק משלו כדי להראות לקריטיק איך היו נראים חייהם של האנשים שעובדים באתר "זה עם המשקפיים" אם לא היה קיים.
הקריטיק הצליח להרוג אותו לאחר שרוג'ר גילה שאלמלא היה הקריטיק קיים, הוא היה יורש את אלוהים.
בפרק האחרון שעשה ווקר לפני שפרש, רוג'ר מופיע בלימבו שנגרם מהסקירה ו"מדריך" את הקריטיק איך לטפל בבעיה.
שלושת הלא מרשימים בצורה שווה: פרודיה על ארבעת המופלאים.
בפרקים על ארבעת המופלאים, שלושת הלא מרשימים בצורה שווה מופיעים.
במקום להילחם בפשע, הם צופים בסדרות טלוויזיה ומשתכרים.
לאורך השנים יצר ווקר מספר תוכניות ספין אוף לנוסטלג'יה קריטיק.
הדמויות שכיכבו בהן גם הופיעו בתוכנית המקורית, בעיקר צ'סטר א.
סקירות מובטלות (Bum reviews): סקירות מהירות עם שימוש בג'אמפ קאט.
במרכז התוכנית נמצא צ'סטר א.
Bum), קבצן מסומם וטיפש שמדבר מבולבל.
מכיוון שצ'סטר מסומם עד מעל הראש יש את הג'אמפ קאט.
בכל פעם צ'סטר מסביר סרט מסוים וצוחק על דברים מסוימים תוך שהוא מציין שחלק מהדברים שקורים או קרו בסרט אף קרו לו.
כל ביקורת נפתחת כשצ'סטר צועק "או אלוהים, זה הסרט הכי טוב שראיתי בחיי!
ספויילרים!!!" ונסגרת כשהוא צועק "עודף!
נו בחייכם תעזרו לבנאדם!" התוכנית גם נפתחת ונסגרת עם מוזיקה קלאסית רגועה בניגוד מוחלט לאופייה המטורף והקצבי.
תשאלו את זה עם המשקפיים: זה עם המשקפיים הוא אינטלקטואל חייכן שמעשן מקטרת.
הוא עונה על שאלות כלליות כמו "למה השמיים כחולים?" בתשובות דביליות וחסרות כל היגיון ובזמנו הפנוי הוא גם רוקח.
הוא גם שימש כמבוגר האחראי והשפוי בסרטון שנעשה לציון שנה לפעילות "ערוץ אחלה".
יש לו גם עוזר בשם "מר גורי הבובה" (Mr.
Puppy the Puppet) שמציג לו שאלות רציניות או מטיל ספק בהיגיון שבתשובות.
וידויי וידאו (Video game confessions): ברמן קוקני בשם דומיניק שעובד בבאר חמישה כוכבים בשם "ארמון הפיקסלים", שאליו באים כל הדמויות המפורסמות ביותר כגון סוניק ומריו.
מאחר שדומיניק הוא ברמן הוא גם שומע את כל הסיפורים והסודות העסיסיים של דמויות משחקי הווידאו.
התוכנית משמשת גם כבמה לביקורת פוליטית מצדו של ווקר.
באחד הפרקים לדוגמה, הציפור האדומה מהמשחק אנגרי בירדס מספרת שהמשחק עצמו התחיל בתרחיש זהה מאוד לפריצת מלחמת עיראק.
במהלך כל פרק ווקר, שהוא גם צייר לא רע, מצייר את הדמויות ואת הסיפורים שהן מספרות לדומיניק.
דמו ריל: לאחר שהכריז על פרישה מתפקיד הנוסטלג'יה קריטיק, יצרו האחים ווקר את התוכנית "דמו ריל" בה דאג ווקר מגלם במאי בשם דוני, המנסה לשחזר סרטים מפורסמים.
עד השקתה של דמו ריל היה צוות השחקנים בנוי ברובו מדאג ורוב ווקר עם הופעות קמע של בהארגאב דרומנראג'ו, ממייסדי "ערוץ אחלה".
לצוות של דמו ריל הצטרפו טמרה צ'יימברס, מלקולם ריי, ג'ים ג'רוז וג'ייסון לוס בתפקידים משתנים וקבועים.
התוכנית לא זכתה לאהדה שלה זכה ווקר בתור הנוסטלג'יה קריטיק והיא נגמרה לאחר זמן לא רב.
לאחריה החליט דאג ווקר לחזור לתפקיד הנוסטלג'יה קריטיק.
שתוק ודבר (Shut up and talk): תוכנית בה דאג ווקר מראיין בתור עצמו אנשים מתעשיית הקולנוע והטלוויזיה.
רוב האנשים שהתארחו בתוכנית גם הופיעו בנוסטלג'יה קריטיק.
היחיד שהופיע בתוכנית אבל לא בנוסטלג'יה קריטיק הוא טומי וויסו, שיצר את הסרט "החדר" שהוגדר כ"סרט הגרוע ביותר שנעשה אי פעם" על ידי מבקרי הקולנוע בלי יוצא מן הכלל.
(!Pop quiz hotshot) שעשועון טריוויה בו הנוסטלג'יה קריטיק שואל שאלות בנושא ציטוטים וקטעים נוסטלגיים מסרטים וסדרות.
החוקים בתוכנית פשוטים: יש לענות על השאלות נכונה, אך אם לא יודעים את התשובה אפשר לנסות ולהצחיק את המנחה, מי שמצליח לגרום לנוסטלג'יה קריטיק לצחוק מקבל 10 נקודות אפילו עם לא ענה תשובה נכונה.
הסיבוב הראשון נגמר כשיצורים בשם "מתעוותים" מופיעים.
כאשר המתעוותים מופיעים על המתמודדים ללחוץ על זמזם והראשון שלוחץ מסיים את הסיבוב וצריך לצפות בסרטון אכזרי בכיכובם.
המועמד שלא לחץ על הזמזם צריך לעבור עונש משפיל שבוחר הקריטיק.
בסיבוב השני השאלות נעשות קשות יותר והסיבוב השלישי הוא בין בעל מספר הנקודות הרב ביותר והנוסטלג'יה קריטיק, על פרס של מאה דולר ומעלה.
אם הקריטיק מנצח הכסף עובר למנצח הבא ואם המתמודד בעל הנקודות מנצח הכסף עובר אליו.
את הקריטיק מלווה גנרל אניסטטיק (מתורגם ל"ניקיון כללי") שחוטף את המתמודדים ומוציא להורג את המפסידים.
עד כה יצאו שנים עשר פרקים לתוכנית כשפרק אחד הוא פרק פיילוט בהנחייתו של מבקר אינטרנט אחר, בראד ג'ונס, ה"סינמה סנוב".
סרטוני חמש שניות: סרטנים בני חצי דקה עם קטע קומי בן חמש שניות.
הסרטונים תמצתו סרטים שלמים לבדיחה אחת בת חמש שניות.
הסרטונים הוסרו מיוטיוב בגלל טענות להפרת זכויות יוצרים.
ולוגים (Vlogs): הוולוגים הם סרטונים בהם דאג מדבר בתור עצמו על סדרה מסוימת כשכל פרק מוקדש לפרק בסדרה.
האנשים שמתלווים לדאג ווקר מתחלפים מפעם לפעם.
בפרק ווקר והשותפים מנתחים את הפרק אך הם מסתמכים על ההנחה שהצופים בוולוגים גם צפו בסדרה המדוברת.
במתמטיקה, נוסחת לייבניץ ל-π,ידוע גם כנוסחת לייבניץ גרגורי על שם גוטפריד וילהלם לייבניץ וג'יימס גרגורי, היא הנוסחה:
ניתן להוכיח טענה זו בקלות על ידי טור טיילור של פונקציה הופכית של טנגנס (נקראת טור גרגורי) שאומרת:
ולהציב x = 1 ונקבל בקלות את הנוסחה.
ניתן להבין מהשורה האחרונה כי:
מכאן עבור n שואף לאינסוף, ניתן לראות כי:
נוסחת פנמן היא משוואה המתארת התאדות פוטנציאלית ממים או מקרקע.
היא פותחה על ידי המטאורולוג הבריטי הווארד פנמן בשנת 1948. ההתאדות היא גורם קריטי המשפיע על משק המים.
בתהליך האידוי נגרעים מים מהקרקע ומהצמחייה ולפיכך יש למלא את הגירעון באמצעות השקיה.
הנוסחה מבוססת על שיקולים של שימור אנרגיה ובנוסף מכניסה אלמנטים של מוליכות אוויר - שלא קיימים בחישוב על פי נוסחת יחס בואן.
בהצבת יחידות MKS מתקבלת ההתאדות ביחידות של ק"ג למטר בריבוע לשנייה.
בגאומטריה לא-אוקלידית, "נוסחת שלפלי" (Schlafli) קושרת בין השינויים בזוויות הדיהדרליות של טטראדר ואורכי צלעותיו לשינוי הנפח שלו.
הנוסחה נקראת על שם לודוויג שלֶפלי (Ludwig Schläfli), מתמטיקאי שווייצרי ואחד מיוצרי התאוריה של גאומטריה בממדים גבוהים, אשר גילה אותה במסגרת חקירותיו את הנפח של פאונים לא-אוקלידיים.
שלֶפלי ניסח והוכיח את הנוסחה שלו למקרים פרטיים, וזמן רב לאחר מכן Hellmuth Kneser נתן הוכחות לנוסחה הן במקרה של גאומטריה היפרבולית והן במקרה של גאומטריה כדורית.
אחת המוטיבציות לנוסחה היא העובדה שבגאומטריה לא-אוקלידית קיים קשר בין הזוויות הפנימיות של סימפלקס כלשהו לנפח שלו; עובדה זאת עומדת בניגוד למצב בגאומטריה אוקלידית שם יש אפשרות לדמיון בין פאונים כך שאין קשר בין הזויות של הפאון לגודל (שנמדד בנפח) הפאון.
למשל, בגאומטריה היפרבולית דו-ממדית קיים משולש שווה-צלעות יחידי (עד כדי איזומטריה).
במקרה של מרחב היפרבולי תלת-ממדי , נוסחת שלפלי מקבלת את הצורה:
כאשר K היא העקמומיות הקבועה של המרחב ההיפרבולי, היא אורך הצלע שמחברת את הקודקוד i עם הקודקוד j, ו- הוא השינוי בזווית הדיהדרלית של הצלע ij.
נוסחה זהה תקפה גם לגאומטריה כדורית (אלא שהעקמומיות K נעשית חיובית בגאומטריה זו).
בעבור המקרה של גאומטריה לא אוקלידית בכל מספר שהוא של ממדים, הנוסחה היא:
כאשר n הוא ממד המרחב, הסימון מייצג את הנפח ה- n-2 ממדי של "צלע מוכללת" F, ו- הוא השינוי בזווית הדיהדרלית המוכללת - דהיינו הזווית בין שתי פאות n-1 ממדיות סמוכות שהחיתוך שלהן הוא לאורך הצלע המוכללת F.
במקרה הדו-ממדי (n = 2) עם עקמומיות קבועה, נוסחת שלפלי שקולה למשפט גאוס-בונה.
נוסחת נויברג היא נוסחה לחישוב מתוקן של תוצאות בתחרויות ברידג' כאשר שיטת חישוב התוצאות היא Match Points ולוח אחד או יותר שוחקו מספר פעמים קטן יותר מהלוחות האחרים.
הנוסחה קרויה על שמו של המתמטיקאי הצרפתי ז'ראר נויברג .
שימוש בנוסחה הזו נפוץ במצבים שבהם יש "חצי שולחן", כלומר: מספר הזוגות המשתתפים בתחרות הוא אי זוגי ולכן בכל סיבוב זוג אחד אינו משחק.
מקרה שכיח נוסף לשימוש בנוסחה זו הוא המקרה בו משחקים תחרות שבה מספר סקציות מספר השולחנות בסקציות שונות אינו זהה.
כך למשל, נשתמש בנוסחת נויברג בתחרות שבה יש שתי סקציות כשבאחת יש 13 שולחנות ובשנייה 12 שולחנות.
יהיו ידיים שישוחקו רק בסקציה שבה 13 שולחנות.
מטרת השימוש בנוסחה היא הערכת ה-Match Points שהיו מושגות תוך שמירה על מתן משקל שווה ללוח שלא שוחק וללוחות ששוחקו.
N = מספר ההשוואות המקסימלי בתחרות
n = מספר ההשוואות בפועל על הלוח
mp = מספר התוצאות שהושגו בפועל על הלוח
לא משתמשים בנוסחת נויברג כאשר יש פחות מ-4 תוצאות.
כשיש תוצאה אחת שני הזוגות מקבלים 60% על יהד.
כשיש שתי תוצאות 55% עבור התוצאה הגרועה יחסית ו-65% עבור התוצאה הטובה יותר.
כשיש 3 תוצאות עבור התוצאה הגרועה ביותר מקבלים 50%.
עבור התוצאה האמצעית מקבלים 60% ועבור התוצאה הטובה ביותר מקבלים 70%.
יתר הלוחות שוחקו 7 פעמים.
חישוב מחדש על פי נוסחת נויברג.
נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות היא נוסחה באלגברה המבטאת את הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית באמצעות תמורות של איברי המטריצה.
היא נקראת על שם המתמטיקאי והפילוסוף גוטפריד וילהלם לייבניץ.
אם A היא מטריצה מסדר n×n, אז אם נסמן ב-ai,j את האיבר בשורה ה-i ובעמודה ה-j, הנוסחה היא:
כאשר sgn היא פונקציית הסימן של התמורות בחבורת התמורות Sn, והיא מחזירה 1+ אם התמורה זוגית (כלומר אם היא מתקבלת מתמורת הזהות על ידי מספר זוגי של חילופים) ו-1- אם התמורה אי-זוגית.
ויזואלית ניתן לדמות את הנוסחה כסכום מסומן של כל המכפלות האפשריות של n מאיברי המטריצה כאשר הם נבחרים כך שאין שניים באותה עמודה או שורה.
נוסחה זו היא הביטוי המתמטי היחיד המקבל כמשתנים את n2 איברי המטריצה, ומהווה תבנית מולטי-ליניארית (הווה אומר, ליניארית בכל אחד מאיברי המטריצה), מתחלפת (אנטי-סימטרית) ומנורמלת.
זו הגרסה הסגורה להגדרה הרקורסיבית של הדטרמיננטה באמצעות פיתוח למינורים לפי שורה או עמודה מסוימת.
את כמה מהתכונות הבסיסיות של הדטרמיננטה, כגון התאפסותה עבור מטריצה תלויית-שורות, ניתן להסביר כתוצא ישיר של הגדרה זו, וכפועל יוצא של הצורה המתמטית של הנוסחה.
למשל, אם שתיים משורות המטריצה הריבועית זהות (עד כדי כפל בסקלר), אז מאנטי-סימטריות הדטרמיננטה נובע שאם נחליף בין השורות הזהות ערך הדטרמיננטה ישתנה מ- ל-; אולם המטריצה נותרה אותו דבר (החלפנו שורות זהות), וכיוון שהמספר היחידי ששווה לנגדי של עצמו הוא 0 נובעת התאפסות הדטרמיננטה.
בנימה דומה, כלל קרמר נובע ישירות ממולטי-ליניאריות הדטרמיננטה.
חישוב ישיר של הדטרמיננטה על פי נוסחת לייבניץ דורש באופן כללי פעולות בשדה; זה מאוד לא יעיל בעבור מטריצות גדולות.
בעזרת דירוג מטריצות ניתן להוריד זאת ל-(O(n3, זאת שכן הדטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי שלה, ואת הדטרמיננטה המקורית ניתן לשחזר באמצעות "זכירת" הפעולות האלמנטריות שביצענו עד כה אשר שינו את ערכה.
אשר היא מתחלפת, מולטי-ליניארית ביחס לעמודות ושורות המטריצה, ומנורמלת כך ש-.
יחידות: תהי פונקציה כזאת, ותהי מטריצה מסדר .
בנוסף, תהי העמודה ה- של מטריצת הזהות.
כעת נרשום את כל אחת מהעמודות במונחי העמודות , כלומר
כיוון ש- היא מולטי-ליניארית, מקבלים:
כיוון ש-F מתחלפת, כל איבר עם אינדקסים חוזרים הוא 0. הסכום לפיכך מוגבל ל-n-יות עם אינדקסים לא חוזרים, או במילים אחרות תמורות:
כיוון ש-F מתחלפת, העמודות ניתנות לשחלוף עד אשר המטריצה הופכת למטריצת הזהות (הדבר שקול לכפל במטריצת תמורה).
פונקציית הסימן מוגדרת כך שתמנה את מספר חילופי העמודות הנחוצים ותביא לשינוי הסימן.
לפיכך אף פונקציה אחרת חוץ מזו המוגדרת על ידי נוסחת לייבניץ יכולה להיות מולטי-ליניארית, מתחלפת ומנורמלת כך ש-.
קיום: כעת נראה ש-F, כאשר F היא הפונקציה שמוגדרת של ידי נוסחת לייבניץ, היא בעלת שלוש תכונות.
לכל תהי ה-n-יה השווה ל- עם האינדקסים ו- מוחלפים.
לפיכך הפונקציות המולטי-ליניאריות ומתחלפות היחידות עם מוגבלות לצורה הפונקציונלית המוגדרת על ידי נוסחת לייבניץ, שלמעשה מקיימת את שלושת התנאים הללו.
נוסטה הוא מועדון כדורגל רוסי מהעיר נובוטרויצק, שנוסד בשנת 1991 על בסיס מועדונים קודמים ומתמודד בליגת הכדורגל המקצוענית מאז 2010. הקבוצה זכתה באליפות אורל של הליגה השנייה (1999, 2006) והישג השיא שלה הוא מקום חמישי בליגת הכדורגל הלאומית (2008).
סניף אורל של חברת Metalloinvest משמש כספונסר הקבוצה.
מועדון מטלורג לקח חלק באליפות ובגביע מחוז אורנבורג מאז שנות השבעים.
ב-21 באפריל 1991, מועדון מטאלורג נובוטרויצק ערך את הופעת הבכורה שלו בתחרויות באליפות ברית המועצות (באזור 7 בליגה השנייה התחתונה, כלומר הליגה הרביעית בחשיבותה במדינה).
בעונת הבכורה המועדון הגיע למקום 16, שנה לאחר מכן, כבר באליפות רוסיה, הקבוצה התגלתה כמוצלחת יותר - מקום 7 באזור החמישי בליגה השנייה (השלישית בחשיבותה).
בשנת 1993, מטלורג עלתה למקום השני באזור השישי בליגה השנייה.
בשנת 1995 מועדון הכדורגל הפך למועדון נוסטה (בחסות חברת "נוסטה" לייצור פלדה).
בשנת 1998, "נוסטה" סיימה כסגנית אלופת אזור אורל מהליגה השנייה (עם 29 ניצחונות, 3 שוויונות ו-2 הפסדים), בה זכתה קבוצת אמקר פרם.
בשנת 1999, "נוסטה" העפילה לפלייאוף ההעפלה לליגת המשנה, אחרי שזכתה באליפות "אוראל" והתמודדה על הזכות להעפיל לליגה הראשונה נגד מטלורג נובוקוזנצק והעפילה על חשבונה.
עונת הבכורה בליגה הראשונה התגלתה כבלתי מוצלחת.
הניצחון הראשון הגיע רק במחזור הרביעי על ספרטק נלצ'יק ואף על פי שהכדורגלנים מנובוטרויצק הפסידו בבית רק 4 פעמים (7 ניצחונות ו-8 שוויונות), במשחקי חוץ הם החזיקו במאזן של 5 ניצחונות בלבד, עם 2 שוויונות ו-12 הפסדים.
נוסטה סיימה במקום 16 מתוך 20 וחזרה לליגה השנייה.
בשנת 2001, עקב שינוי בהנהלת "נוסטה", מועדון הכדורגל התמודד עם קשיים כלכליים רבים.
כתוצאה מכך, מרבית השחקנים בסגל עברו למועדונים אחרים.
בשנת 2002 חברת "נוסטה" משכה את ידיה מהקבוצה ותקציבה הצטמצם.
בשנים 2003–2004, חברת "אורל פלדה" הפכה לבעלים החדשים ובתמיכתה בשנת 2005, "נוסטה" הגיעה למקום השלישי באזור שלה ובשנת 2006 זכתה באליפות אורל של הליגה השלישית והעפילה שוב לליגה הראשונה.
בעונת 2007 בליגה הראשונה היא סיימה במקום השביעי, בשנת 2008 התמקמה במקום החמישי, כאשר במשחק הלפני אחרון היא ניצחה את טורפדו מוסקבה ושלחה אותה לליגה השנייה.
בשנה שלאחר מכן "נוסטה" חזרה לליגה השנייה אחרי שסיימה במקום 16.
מאז 2010 "נוסטה" משחקת באליפות השנייה / אליפות הליגה המקצוענית (באזור "אורל-וולגה").
בגביע הרוסי "נוסטה" הגיעה שבע פעמים לשלב 16 האחרונות בגביע, בהן הצליחה שלוש פעמים לגבור על קבוצות ליגת העל ולהעפיל לשמינית הגמר.
ב-8 בספטמבר 2000, בנובוטרויצק, נערך משחק 16 האחרונות של הגביע הרוסי 2000/2001 בין "נוסטה" לספרטק מוסקבה שבו לנוסטה לא היה סיכוי והובסה בתוצאה 4:1.
בעונת 2020/2021 הליגה השנייה אורגנה מחדש ו"נוסטה" ממשיכה להשתתף בה, הפעם כחלק מבית 4. בעונת 2020/2021 הקבוצה השתתפה בשלב 1/128 אך לא העפילה לשלב הבא לאחר שספגה הפסד טכני בעקבות אי עמידה בתקני עריכת בדיקות קורונה, יומיים לפני עריכת המשחק נגד צ'ליאבינסק.
נוסטוצרס (שם מדעי: Nostoceras) הוא סוג של רכיכה נכחדת מקבוצת האמוניטים אשר התקיים במימי האוקיינוסים של הקרטיקון העליון שבין הקמפן למאסטריכט, לפני 93.9 עד 70.6 מיליון שנה מזמננו.
בסוג זה נכללים מינים רבים שממצאי הקונכיות שלהם התגלו ברחבי העולם.
סוג זה נקרא ב-1894 בידי החוקר האמריקאי אלפאוס היאט , כשמשמעות שמו: "nostos" - חזרה ו-"ceros" - קרן.
זאת עקב מבנה הקונכייה המזכירה ספירלה הפונה חזרה לתוך עצמה.
מבנה הקונכייה שלו הייתה בעלת מבנה סלילי מפותל בצורת האות U והפתח היה בקצה הקונכייה.
בחלק העליון היו מכוסים קוצים עדינים שאולי שימשו להגנה.
במראהו הוא הזכיר את הסוג Bostrychoceras ובאופן פחות את הסקפיטס והדיפלומוצרס.
ככל הנראה התקיים בדומה לנאוטילוסיים המודרניים.
בין השאר סוג זה ידוע ממאובנים שהתגלו בין השאר באנגליה, אוסטרליה, מדגסקר, אנגולה, אוסטריה, בלגיה, דנמרק, צרפת, גרמניה, עיראק, איטליה, הולנד, ניגריה, עומאן, ספרד וארצות הברית.
בתורת המספרים נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה היא נוסחה המקשרת בין מספר מחלקה של מספר שלם והערך של פונקציית של דיריכלה המתאימה לקרקטר דיריכלה ממשי המתאים ל - ב -1. את הנוסחה הוכיח דיריכלה בשנת 1839 כחלק מהוכחתו של משפט דיריכלה על ראשוניים בסדרות חשבוניות.
עבור מספר טבעי , קרקטר דיריכלה עם מנחה (condactor) הוא פונקציה המקיימת:
עבור קרקטר דיריכלה , פונקציית של דיריכלה מוגדרת כך:
קל לראות שטור זה מתכנס (בתנאי) עבור .
דיריכלה הבין שטור זה נושא מידע רב על ההתפלגות של מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות.
קרקטר דיריכלה נקרא ממשי אם כל ערכיו הם מספרים ממשיים.
דיריכלה הוכיח שערך לא מתאפס עבור קרקטרים שאינם ממשיים.
דיריכלה רצה להוכיח שזה נכון גם עבור קרקטר ממשי.
לשם כך הוא מיין תחילה את הקרקטרים הממשיים.
עבור כל מספר טבעי ומספר ראשוני אי־זוגי סימן לז'נדר מוגדר על ידי:
זר ל־ והוא שארית ריבועית מודולו .
זר ל־ ואינו שארית ריבועית מודולו .
סימן קרונקר הוא הרחבה של סימן לז'נדר שמוגדר באופן הבא:
שלם (שונה מ - 0) כלשהו מפרקים את לגורמים ראשוניים (לאו דווקא שונים) כאשר ומגדירים:
ניתן להראות שכל קרקטר דיריכלה ממשי ניתן לכתוב כ:
דיריכלה קישר את הערך של פונקציית L עבור קרקטר זה לעבודותיו של גאוס על תבניות ריבועיות בינאריות:
דיסקרימיננטה של תבנית רבועית מוגדרת להיות
מספר המחלקה של מספר שלם הוא מספר התבניות הבינריות בעלות דיסקרימיננטה עד כדי שקילות.
נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה קושרת בין הערך ובין מספר המחלקה .
כאשר קל יותר לנסח את נוסחת מספר המחלקה.
במקרה זה נוסחת מספר המחלקה קובעת ש:
כאשר חיובי, כדי לנסח את נוסחת מספר המחלקה יש להגדיר גודל שנקרא הרגולטור של .
גודל זה מתקבל מניתוח הפתרונות של משוואת פל: .
נמצא פתרון במספרים השלמים כך ש - ו - הקטן ביותר האפשרי.
במקרה זה נסחת מספר המחלקה קובעת:
מנקודת מבט מודרנית, הדרך הפשוטה להוכיח את הנוסחה היא להסיקה מנוסחת מספר המחלקה של דדקינד.
למעשה, אין צורך בנוסחת מספר המחלקה של דדקינד באופן כללי אלא רק בנוסחת מספר המחלקה של דדקינד עבור הרחבה ריבועית של .
מקרה זה של נוסחת מספר המחלקה של דדקינד קל משמעותית מהמקרה הכללי.
בפרט הוא לא דורש את משפט היחידות של דיריכלה אלה רק את ניתוח פתרונות משוואת פל.
נראה את הקשר בין נוסחת מספר המחלקה של דדקינד ובין נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה.
יהיה כמו קודם ותהי פונקציית זטא של רימן.
המכפלה שווה לפונקציית זטא של דדקינד עבור השדה לכן:
קל להראות ש - .
נוסחת מספר המחלקה של דדקינד נותנת נוסחה לאגף ימין של שיווין זה, שמתלכד במקרה זה עם אגף ימין של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה.
נוסחה נוספת לערך של פונקציית L
בנוסף לנוסחת מספר המחלקה דיריכלה פיתח נוסחה ל - עבור קרקטר דיריכלה כלשהו עם מנחה המציגה אותו כסכום סופי:
פיתוח הנוסחה מתבסס על פירוק של לצירוף ליניארי של קרקטרים אדיטביים באמצעות התמרת פוריה אדיטיבית.
זאת אומרת פירוק של לצירוף ליניארי של פונקציות מחזוריות המקיימות .
מקדמי פירוק זה הם סכומי גאוס סופיים.
נותר לחשב את טורי דיריכלה .
קל לפתח נוסחה סגורה לטורים אלה באמצעות פונקציות יוצרות.
בשונה מנוסחת מספר המחלקה, נוסחה זאת לא מספקת הוכחה לאי־התאפסות של .
לעומת זאת הנוסחה מספקת דרך קלה ומהירה לחשב את פונקציית L ב - 1 עבור קרקטר נתון.
בשילוב עם נוסחת מספר המחלקה, נוסחה זו נותנת ביטוי סגור וסופי בשביל מספר המחלקה של כל מספר שלם.
במקרה שהמנחה ראשוני (אי־זוגי) והקרקטר ממשי אז ניתן לפשט נוסחה זו באמצעות נוסחאות מפורשות לסכומי גאוס ולקבל (עבור לא טריבוויאלי):
השימוש הראשון בנוסחת מספר המחלקה היה הוכחת אי־התאפסות של עבור כל קרקטר דיריכלה .
טענה זו גוררת את משפט דיריכלה על מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות, ומהווה למעשה את חלק הארי של ההוכחה.
השימושים המודרניים בנוסחה הם בכיוון ההפוך: משתמשים בהערכות של הערך כדי לקבל את מספר המחלקה.
כיוון שמספר המחלקה שלם, אין צורך לחשב את במדויק.
חישוב מספיק מדויק מספק הערכת שגיאה של פחות מ - 1 בערך של מספר המחלקה, ומכאן אפשר להסיק את המספר במדויק.
שימוש זה בנוסחה הופך יעיל יותר כאשר משלבים אותה עם הנוסחה הנוספת לערך .
יחד הן נותנות ביטוי קל לחישוב של מספר המחלקה.
בשיטה זו אפשר לחשב את מספר המחלקה למספרים גדולים למדי (באמצעות מחשב).
קשר לנוסחת מספר המחלקה של דדקינד
מספר מחלקה של מספר שלם הוא מקרה פרטי של מספר המחלקה של שדה מספרים.
כמו שנוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מספקת נוסחה למספר המחלקה של מספר שלם, נוסחת מספר המחלקה של דדקינד מספקת נוסחה למספר המחלקה של שדה מספרים.
כפי שראינו מעלה, קל להסיק את נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מנוסחת מספר המחלקה של דדקינד עבור הרחבה ריבועית של .
בתורת המספרים נוסחת מספר המחלקה של דדקינד היא נוסחה המקשרת בין מספר מחלקה של שדה מספרים ושארית של פונקציית של דדקינד המתאימה לשדה - ב-1. את הנוסחה הוכיח דדקינד.
במחצית השנייה של המאה ה-19 כתב ריכרד דדקינד את הספר הרצאות בתורת המספרים (Vorlesungen über Zahlentheorie).
הספר סיכם את עבודותיו של דיריכלה על תורת המספרים האנליטית והכיל עבודות של דדקינד.
בספר זה הוא ניסח מחדש את הוכחת משפט דיריכלה על מספרים ראשוניים בסדרה חשבונית בצורה מודרנית וקונספטואלית יותר.
חלק חשוב בהכחתו של דיריכלה הייתה נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה.
דדקינד ניסח מחדש את הנוסחה ואת הוכחתה במונחים קונספטואליים ומודרניים יותר.
דבר זה אפשר לו לנסח ולהוכיח נוסחה כללית בהרבה שנקראת נוסחת מספר המחלקה של דדקינד.
נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה נותנת קשר בין מספר המחלקה של מספר שלם ובין ערך של פונקציית L של דיריכלה מתאימה.
נוסחת מספר המחלקה של דדקינד נותנת קשר בין מספר המחלקה של שדה מספרים ולבין הקוטב בנקודה 1 של פונקציית זטא של דדקינד מתאימה.
קל להסיק את נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מזאת של דדקינד .
הן מספר המחלקה של שדה מספרים והן פונקציית זטא שלו קשורות לחוג השלמים של השדה.
חוג השלמים של שדה מספרים
בהינתן שדה מספרים חוג השלמים ב- הוא אוסף האיברים ב- שמקיימים משוואה פולינומית מתוקנת עם מקדמים ב- .
מספר המחלקה של שדה מספרים
בהינתן שדה מספרים נסמן ב- את חוג השלמים ב- .
מספר המחלקה של מוגדר להיות הסדר של חבורה זאת.
כאשר עובר על האידיאלים (הלא טריוויאליים) של חוג השלמים , ו-
גם במקרה הכללי, הטור המתאר את פונקציית זטא מתכנס עבור , וקיימת עבורו המשכה לפונקציה מרומורפית בכל המישור המרוכב, עם קוטב פשוט יחיד ב-.
בנוסחת מספר המחלקה מופיעה השארית של בקוטב זה.
אולם למעשה אין צורך באנליזה מרוכבת כדי לנסח או להוכיח את נוסחת מספר המחלקה.
לצורך העינין ניתן להגדיר את השארית בתור
מלבד שארית פונקציית זטא של דדקינד ומספר המחלקה, הנוסחה מכילה גדלים נוספים:
מספר השיכונים של לתוך .
מספר השיכונים של לתוך שתמונתם לא ב- .
נשים לב שזהו מספר זוגי מכיוון שעבור כל שיכון כזה יש גם את הצמוד המרוכב שלו.
זהו גודל שקשור לחבורת ההפיכים בחוג השלמים של
חבורת שורשי היחידה ב- .
ההוכה מתבססת על "חישוב" הטור .
החישוב איננו מדויק אלא מקורב, אך הקירוב מספיק טוב כדי לא להשפיע על הגבול
החישוב הוא במונחים של הגדלים הגדלים
ולכן הם נמצאים באגף ימין של הנוסחה.
החישוב מתבסס על השלבים הבאים:
קירוב הסכימה על כל האידיאלים בסכימה על אידיאליים ראשיים בלבד.
החלפת הסכימה על כל האידיאלים הראשיים בסכמה על חלק מאיברי חוג השלמים .
רדוקציה לסכימה על אידיאלים ראשיים
הסכום ב- הוא סכום על פני כל האידיאלים.
נגדיר באופן דומה, אלא שהסכום ירוץ רק על האידיאלים הראשיים.
מכיוון שלפי ההגדרה הוא "החלק של האידיאלים הראשיים בין כל האידיאלים", ניתן להראות כי היחס בין ל- הוא בקירוב .
נשים לב ששלב רדוקציה זה הוא המקום היחיד בו מופיע מספר המחלקה.
יתר השלבים אחראיים לשאר הגדלים הקשורים לשדה.
רדוקציה לסכימה על איברים בחוג השלמים
לצורך חישוב הגבול האחרון נשים לב שהנורמה של אידיאל ראשי שווה לנורמת גלואה של היוצר .
לכאורה ניתן להסיק מכאן ש:
אולם הסקה כזאת היא שגויה מכיוון שהסכום צריך להיות רק על האידיאלים עצמם ואיברים שונים יכולים ליצור אותו אידיאל, לכן כשאנו סוכמים על האיברים אנחנו סוכמים אותו אידיאל מספר רב של פעמים.
שני איברים יוצרים את אותו אידיאל אםם היחס ביניהם הוא איבר הפיך (ז"א איבר ב- ).
לכן, אם - סופי אז מקבלים
באופן כללי יותר יש לבחור קבוצה של נציגים של קבוצת המנה ואז מקבלים
רדוקציה לחישוב אינטגרל והוכחת הנוסחה
כדי לבחור קבוצה נוחה משתמשים במשפט היחידות של דיריכלה (והוכחתו).
משפט היחידות של דיריכלה מספק תיאור מפורש לחבורה .
בהשתמש בתיאור זה אפשר להציג את בתור חיתוך כאשר הוא סריג ב- (איזומורפי ל- ) ו - הוא תחום ב- .
יתר על כן לפנוקציה יש הרחבה טבעית לפונקציה על .
כעת ניתן לקרב את הטור באמצעות האינטגרל:
באופן מפורש מקבלים שההפרש: חסום בסביבת .
הגדלים , ו- מאפינים את התחום והפונקציה , לכן הם באים לידי ביתוי בחישוב האינטגאל האחרון.
הנוסחה עבור שדה המספרים הרציונליים
המקרה פשוט בהרבה מהמקרה הכללי.
לכן אגף ימין של הנוסחה הוא 1.
כמו כן פונקציית זטא של דדקינד במקרה זה היא פשוט פונקציית זטא של רימן.
מכאן שהנוסחה נובעת מהוכחה הסטנדרטית לקיים המשחת פונקציית פונקציית זטא של רימן לחצי המישור .
אם בוחנים את סכמת ההוכחה למעלה למקרה זה, ראוים ששלבים 1 ו- 2 מיותרים, שכן פונקציית זטא של רימן מוגדרת מלכתחילה כסכום על הטבעיים.
שלב 3 פשוט למדי, ומתבטה בהחלפת הסכום בפונקציית זטה של רימן באינטגרל .
חישוב אינטגרל זה (שלב 4) גם הוא פשוט.
שנ השלבים האחרונים מהווים למעשה את מהוכחה הסטנדרטית לקיים המשחת פונקציית פונקציית זטא של רימן לחצי המישור החיובי.
הנוסחה עבור הרחבה ריבועית של שדה המספרים הרציונליים
המקרה מסובך יותר, אולם עדיין פשוט יותר מהמקרה הכללי.
מצד שני הוא מכיל את רוב הרעיונות של ההוכחה של המקרה הכללי (אם כי את חלקם בצורה מנוונת).
מקרה זה מתחלק לשני מקרים:
המקרה השלילי פשוט יותר, מכיוון שבמקרה זה הרגולטור לא משחק תפקיד.
כמו כן, במקרה זה חבורת ההפיכים היא סופית ולכן .
מכאן, שכמו שהוסבר בסכמת ההוכחה למעלה די לקרב את הסכום:
זהו למעשה סכום על סריג במישור.
קל לקרב סכום זה על ידי אינטגרל של פונקציה על המישור (כמו במקרה ), ואותו קל לחשב על ידי מעבר לקואורדינטות פולריות.
כמו כן, במקרה זה חבורת ההפיכים היא המכפלה של והחבורה של האיברים של הנורמה שלהם היא 1. חבורה זאת היא חבורה ציקלית חופשית והיא מתוארת על ידי ניתוח הפתרונות של משוואת פל.
ניתוח זה הוא למעשה מקרה פרטי פשוט יחסית של משפט היחידות של דיריכלה והוא משחק תפקיד מקביל למשפט זה במקרה של הרחבה ריבועית של עם דיסקרימיננטה חיובית.
את הרגולטור של ההרחבה אפשר להביעה באמצעות הפתרון הפרימיטיבי של משוואת פל (זאת אומרת יוצר של החבורה ).
קשר לנוסחת מספר המחלקה של דיריכלה
עבור מספר שלם , מספר המחלקה של השדה הוא מספר מחלקה של המספר .
כמו שנוסחת מספר המחלקה של דדקינד מספקת נוסחה למספר המחלקה של שדה מספרים, נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מספקת נוסחה למספר המחלקה של מספר שלם.
קל להסיק את נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מנוסחת מספר המחלקה של דדקינד עבור הרחבה ריבועית של .
באופן מפורש יותר נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מתקבלת ממנה של 2 נוסחאות מחלקה של דדקינד.
האחת בשביל הרחבה ריבועית של והשניה בשביל עצמו.
המנה היא פונקציית L של דיריכלה עבור קרקטר מתאים.
בהתאם אגף שמאל של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה הוא הערך של פונקציית L של דיריכלה ב- .
אגף ימין של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה זהה לאגף ימין של נוסחת מספר המחלקה של דדקינד (עבור הרחבה ריבועית מתאימה).
נוסחת מספר המחלקה של דדקינד פותחה כהרחבה של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה.
הוכחתה סיפקה הוכחה אלגנטית וקונספטואלית לנוסחת מספר המחלקה של דיריכלה.
השימוש הראשון של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה היה אי־התאפסות של פונקציית L של דיריכלה ב-1 עבור קרקטר דיריכלה ממשי.
נוסחת מספר המחלקה של דדקינד נותנת הוכחה לאי־התאפסות של פונקציית L של דיריכלה ב-1 עבור קרקטר דיריכלה כלשהו.
זאת לא הייתה תוצאה חדשה כיוון שדיריכלה הוכיח זאת באמצעים אחרים, אך מדובר בהוכחה קונספטואלית ומפורשת יותר.
באופן כללי יותר, ניתן להסיק מנוסחת מספר המחלקה של דדקינד את אי-ההתאפסות ב-1 של פונקציית L של ארטין במקרים מסוימים.
אי־התאפסות זאת עומדת בבסיס ההוכחות של משפט הצפיפות של צ'בוטרב.
השימושים האלה משתמשים בנוסחה כדי לקבל מידע על אגף שמאל באמצעות מידע על אגף ימין.
רוב השימושים המאוחרים יותר לנוסחת מספר המחלקה של דדקינד הם דווקה בכיוון ההפוך.
ליתר דיוק, על-ידי העברת אגפים מקבלים נוסחה שמביעה את מספר המחלקה באמצעות השארית של פונקציית זטא של דדקינד בנקודה 1 ובאמצעות יתר הגורמים בנוסחה.
את יתר הגורמים קל יחסית לחשב (במקרים מסוימים).
את השארית קשה לחשב במדויק אך ניתן לחשב בקירוב.
מכאן אפשר לקבל קירוב למספר המחלקה.
אולם, מספר המחלקה הוא מספר שלם.
לכן, כשדיוק הקירוב טוב יותר מ- אפשר לגלות מספר זה במדויק (וכך גם את השארית לפונקציית זטא של דדקינד).
נוסטוק, הידוע גם כחמאת טרולים, כוכב נופל, חמאת מכשפות (אין לבלבל אותה עם הפטריות הידועות בכינויין חמאת מכשפות ), וג'לי מכשפות, הוא הסוג הנפוץ ביותר של אצות כחוליות המצוי במגוון של סביבות מימיות ויבשתיות כאחת.
חיידקים אלו עשויים ליצור מושבות המורכבות מסלילים של תאים דמויי סליל במעטפת ג'לטינית של פוליסכרידים.
הוא עשוי גם לגדול באופן סימביוטי בתוך רקמות הצמחים, וכך לספק חנקן למארח שלו באמצעות פעולתם של תאים שהתמיינו להיות הטרוציסטים.
"נוסטוק" הוא סוג הכולל מינים רבים המגוונים במורפולוגיה, תפוצת בתי גידול והתפקוד האקולוגי שלהם.
את מושבות ה"נוסטוק" ניתן למצוא באדמה, על סלעים לחים, בתחתית אגמים ומעיינות, ולעיתים רחוקות בבתי גידול ימיים.
הם עשויים להימצא גם בסביבות יבשתיות ממוזגות, מדבריות, טרופיות או בסביבות הקוטב.
השם Nostoc נטבע בעת החדשה המוקדמת על ידי פאראצלסוס השווייצרי והוא שילוב של ה-"nostril" מאנגלית ו-"Nasenloch" מגרמנית שמשמעותם "חור אף, נחיר", ככל הנראה בשל הופעתן של מושבות מינים רבים הדומות לרירית האף.
כאשר היא גדלה על הקרקע, מושבת "נוסטוק" בדרך כלל אינה נראית לעין, אך לאחר גשם היא מתנפחת למסה בולטת דמוית ג'לי, שבעבר חשבו שמקורה מהשמים, ומכאן השמות העממיים, כמו ג'לי כוכבים, חמאת טרולים, וחמאת מכשפות שהוזכרו לעיל.
"נוסטוק" הם סוג של אצות כחוליות גראם-שליליות המבצעות פוטוסינתזה.
למינים רבים של "נוסטוק" יש שכבה חיצונית ורקמה פנימית רחבה עשויה פוליסכרידים (רבי-סוכר), המעניקה להן את המראה הג'לטיני שלהם, וכן עוזרת להגן עליהם מסביבתם ויכולה לסייע בספיגת לחות.
תכונה זו מאפשרת למושבות נוסטוק לשרוד מצבי לחץ כמו תנודות בטמפרטורות, בצורת, מתח מלחים, ייבוש, קרינת UV וזיהום על ידי פתוגנים.
למינים מסוימים בתוך הסוג השכבה החיצונית כוללת סלילים הטרוציסטים מקבעי חנקן.
סמיכות "נוסטוק" אחד לשני מייצרות מושבות.
מושבות אלו יכולות להגיע לקוטר של כמה סנטימטרים.
מושבות אלו מורכבות משטיחים או מסות ג'לטיניות שנוצרו על ידי צבר בועיות נספחות שיכולות להופיע במגוון צבעים (בהתאם למין) כגון חום, צהוב או ירוק.
בנוסף, מינים מסוימים של "נוסטוק" מסוגלים להיכנס לשלבים רדומים, המסייעים עוד יותר בהישרדותם בתנאים שליליים, ומאפשרים להם לחדש את חילוף החומרים כשהם מוחזרים למצבם הלח.
מושבות "נוסטוק" ניתן למצוא במגוון רחב של סביבות, יבשתיות ומימיות, בהתאם לסוג.
השכבה החיצונית והרקמה שלהם מאפשרים להם לשרוד ולשגשג במגוון תנאים והרגלים, החל ממדבריות, מדבריות למחצה, שטחי עשב, אזורי הקוטב ואזורים טרופיים, בהתאם למין המסוים של "נוסטוק".
בסביבות מימיות, "נוסטוק" תועד שנמצא באופן טבעי במים ימיים, מים מתוקים, כמו גם מים מליחים.
בהתאם למין, מושבות "נוסטוק" יכולים להתקיים עצמאית בסביבתם, או שהם עשויים ליצור קשרים סימביוטים עם האורגניזמים האחרים בסביבתם, כגון צמחים, פטריות או חיידקים אחרים.
מכיוון שמושבות "נוסטוק" מסוגלים ליצור מושבות על פני השטח של מינרלים חשופים, הם מסוגליפ לספק סביבה יציבה יותר לצמחייה וסקולרית בסביבתם.
מינים מסוימים של "נוסטוק" יוצרים גם קשרים עם צמחים חסרי רקמת כלי דם כמו טחבים בגלל יכולתם לקבע חנקן.
כמו כן, נמצא כי "נוסטוק" יוצרים אסוציאציות סימביוטיות וקשרים אחרים עם חיידקים אחרים בסביבתם.
כמה מינים של "נוסטוק" היוצרים מושבות בסביבות מים מתוקים מספקים בית גידול לחיידקי מים מתוקים אחרים.
בנוסף, מינים מסוימים כמו N.
flageliforme יוצרים קשרים עם חיידקים הטרוטרופיים ואקטינובקטריות הקיימות בסביבתם, ככל הנראה בשל העובדה שהם מהווים שחקן משמעותי פוטנציאלי במחזור החנקן במערכות אקולוגיות מימיות.
"נוסטוק" תועד כמייצר תרכובות רבות בעלות עניין, כולל כאלו שהן אנטי-ויראליות, אנטי-גידוליות, אנטי-פטרייתיות ואנטי-בקטריאליות.
בנוסף לשימוש הפרמצבטי המוצע, ניתן להשתמש "בנוסטוק" גם כדשן ביולוגי מוצע, ומקור לחומצות שומן לייצור דלק ביולוגי.
ל"נוסטוק" יש את היכולת הייחודית לשרוד ולהתיישב על משטחים מינרלים חדשים וחשופים בסמוך לטחב וצמחים וסקולריים אחרים, מה שמאפשר לאחר מכן יצירה של אדמה אורגנית יותר וצמחייה יציבה.
הוצע להשתמש ב-"נוסטוק" בסביבות של קרחונים נסוגים על מנת לבסס נוכחות חדשה ויציבה יותר של צמחייה על משטחי מינרלים שנחשפו לאחרונה.
"נוסטוק" שימש באופן היסטורי כמזון בריא וכרפואה מסורתית, בעיקר באסיה מבחינה היסטורית, המינים N.
commune נצרכו למאכל בסין, שם הוא שימש לשרוד ברעב ושימש כמין מרכיב ברפואה סינית מאז שושלת ג'ין המזרחית.
בנוסף, ל"נוסטוק" היה שימוש קולינרי מתועד בהודו, אינדונזיה, פרו, בוליביה ואקוודור.
"נוסטוק" גם מזין מאוד, מכיל חלבונים וויטמין C, כמו גם את כל חומצות האמינו החיוניות .
מדענים הציעו אותו כמזון אנטי דלקתי וכן כנוגד חמצון.
בשל כך, "נוסטוק" נחשב גם למועמד חזק לחקלאות מחוץ לכדור הארץ.
בשל תנועת הולכי רגלי, כלי גינון ומערכות השקיה מזוהמות, מושבות "נוסטוק" התפתחו בדרך כלל מחוץ לבית הגידול הטבעי שלהן במשתלות צמחים ובחממות.
מספר שיטות בקרה שונות יכולות להיות יעילות בהדברת "נוסטוק" לא רצוי מסביבות אלו, לרבות יישום ניקוז וביוב מוגבר במתקנים אלו, הסרה פיזית של "נוסטוק" על ידי ניכוש באש או בסיוע מיקוד קרני שמש.
"נוסטוק" הוא בן למשפחת ה-Nostocaceae של סדרת Nostocales.
באלגברה ליניארית, הנוסחה של שרמן-מוריסון נקראת על שם ג'ק שרמן וויניפרד ג'יי מוריסון.
הנוסחה מחשבת היפוך מטריצה "בעדכון מדרגה 1" למטריצה שההיפוך שלה חושב בעבר.
כלומר, בהינתן מטריצה הפיכה והמכפלה החיצונית של וקטורים ו הנוסחה מחשבת .
הנוסחה של שרמן-מוריסון היא מקרה מיוחד של הנוסחה של וודברי.
נניח מטריצה ריבועית הפיכה ו־ הם וקטורי עמודות.
אז מטריצה הפיכה אם ורק אם .
כאשר, הוא המכפלה החיצונית של שני וקטורי עמודה ו .
"נוסטלגיה" הוא שיר מאת הזמר-יוצר אביב גפן והזמרת שרון ליפשיץ.
השיר יצא לאור ב-15 בנובמבר 2011, והיה לסינגל הרביעי מתוך אלבום האולפן השנים-עשר של גפן "פסיפס", אשר יצא לאור שנה לאחר מכן.
לאחר הקלטת אלבומה השלישי והאחרון "קו האושר", פרשה ליפשיץ מתחום המוזיקה והפסיקה להקליט ולהופיע.
לבקשתו של גפן, שבה באופן חד-פעמי לפעילות לאחר כמעט שני עשורים, למטרת הקלטת דואט זה.
היה זה שירה הראשון שהוציאה לאור מאז הסינגל "בלילה הדובה" בהשתתפות להקת אנרגיה חולנית מ-1993.
לאחר גניזת "רייכל גפן", אלבומו המתכונן עם המוזיקאי עידן רייכל, כלל גפן את הדואט באלבום חדש בשם "פסיפס", לצד מספר שירים שהיו אמורים להכלל ב"רייכל גפן" וביצועים חיים עם להקת התעויוט ואביתר בנאי.
בהקלטת השיר נטלו חלק הפסנתרן שלומי שבן, גיטריסט להקת מוניקה סקס פיטר רוט והמוזיקאי שם טוב לוי.
אביב גפן - זמרה, גיטרה בס, קולות רקע
תזמורת לונדון סשן - כלי מיתר
נוע"ם (ראשי תיבות של נוער מסורתי) היא תנועת הנוער של התנועה המסורתית בישראל (קונסרבטיבית).
התנועה הוקמה בשנת 1977 וכיום יש לה 14 מוקדים ברחבי הארץ, ומעניקה פעילות חינוכית בלתי פורמלית לילדים ונוער בגילאי כיתות ג'–יב'.
נוע"ם רואה עצמה כתנועה ציונית א-מפלגתית עולמית השואפת להנחיל ערכים יהודיים מסורתיים יחד עם ערכים מודרניים לחברה באופן פלורליסטי, לפי העיקרון המנחה של "יהדות פתוחה, כהלכה" עם "דרך ארץ" ופעילות לקידום חברה שוויונית צודקת ודמוקרטית.
צבעי התנועה הם ירוק וכתום.
בראש תנועת הנוער עומדת מועצת נוע"ם המורכבת מתלמידי כיתות י'–י"ב המרכיבים 8 ועדות שחולשות על כל תחומי פעילות התנועה.
לנוע"ם ישנן תנועות אחיות בבריטניה, גרמניה, ברזיל, ארגנטינה, קניה, ספרד, אוגנדה, צ'ילה, אוסטרליה, שוודיה, מקסיקו, צרפת ובאוקראינה שנקראות גם הן נוע"ם.
בארצות הברית ובקנדה קיימת תנועת "USY" שהיא גם חלק מתנועת היהדות הקונסרבטיבית.
התנועה מגדירה שישה ערכי יסוד לפעילותה:
לנוע"ם ישנן חמש אג'נדות הממקדות את המעורבות החברתית של התנועה.
הארגון תומך בהן ומנסה לקדם אותן בסדר היום כחלק מערך התעל"ה של התנועה.
כל שלוש שנים אנשי השכבה הבוגרת (שכבות התיכון והש"ש) של התנועה בוחרים מחדש באופן ארצי את האג'נדות של נוע"ם, בכינוס ארצי בחג החנוכה המכונה "ועידה".
האג'נדות הנוכחיות של נוע"ם, שנבחרו בדצמבר 2025, הן:
שיקום החברה הישראלית מהשבעה באוקטובר
ערבות הדדית ותמיכה באוכלוסיות מוחלשות
יצירת תהליך חינוכי רציף לפעילי נוע"ם מילדות לבגרות ברוח חזון וערכי התנועה.
סיפוק לימוד וחוויה יהודית-מסורתית לפעילי נוע"ם.
יצירת אווירה קהילתית המעניקה יחס אישי ואהבת החניכים והצוות.
שילוב כל גוני האוכלוסייה בנוע"ם והגדלת מספר הפעילים.
העצמת התיכוניסטים במתן הזדמנויות להובלת התנועה.
יצירת מחויבות להירתמות ועשייה של בני הנוער והצוות בתנועה ובחברה הישראלית וקיום ערך התעל"ה.
פיתוח הצוות כדמויות חינוכיות משמעותיות שיהוו כתובת לצרכים שונים של הפעילים.
חיזוק הקשר ההדדי בין נוע"ם לתנועה המסורתית וקהילותיה.
השתלבות בתהליך גיבוש זהותה היהודית של המדינה.
חדירה למודעות והכרה על ידי החברה הישראלית.
יצירת תרבות ארגונית לומדת ויעילה.
מתן מענה ושירות מקצועי ואיכותי לפעילי התנועה והוריהם, קהילות התנועה וכל דורש.
לנוע"ם ישנם 16 סניפים ברחבי הארץ המחולקים לפי חטיבות אזוריות.
חטיבת שהם: מודיעין, מזכרת בתיה, קטורה וירושלים – רמות ציון, ותלפיות מזרח.
חטיבת ברקת: רעננה, תל אביב צפון , יד אליהו ֿ(תל אביב), רחובות, קרית גת, ובאר שבע.
חטיבת ספיר: חיפה, זכרון יעקב, חנתון וכפר ורדים.
הסניף הראשון של התנועה הוקם ב-1978, רמות ציון
בנוע"ם ישנה מועצה שנקראת "מועצת נוע"ם" – גוף שנבחר בבחירות דמוקרטיות על ידי שכבת התיכוניסטים ומורכב מהם.
המועצה היא הגוף המוביל והמנהיג של התנועה, אחראי על הוצאה לפועל של פרויקטים בתחומים שונים, בנוסף לכך שהיא מהווה גוף מקשר בין התיכוניסטים להנהלה ולצוות התנועה.
המועצה מורכבת מ-6 ועדות החולשות על כלל מרכיבי ומאפייני התנועה.
ועדת חיברות ובוגרים: אחראית על הגיבוש והוויי של שכבת התיכון, ועל הקשר עם בוגרי התנועה.
ועדת תקשורת: אחראית על כל הקשור בתקשורת (מדיה, עיתונות, פרסום והפצה, גיוסים, קשרי חוץ).
ועדת מסורת: אחראית על המסורת התנועתית והדתית.
ועדת תעל"ה: אחראית על המעורבות החברתית בתנועה.
ועדת החטיבות :(המכילה יושבי ראש לכל ועדה: שהם, ספיר וברקת) אחראים על תהליכים ואירועים בחטיבות האזוריות.
ועדת הדרכה: אחראית על שיפור רמת ההדרכה בתנועה, היא אחראית גם על הכשרת תיכוניסטים.
מחנה רמה הוא המחנה הארוך ביותר שיש לתנועת נוער להציע.
מחנה רמה אורכו עד כשלושה שבועות, במחנה החניכים עוברים תכנים חינוכים, הם עוברים חוגים על מספר נושאים ביהדות.
במחנה רמה ישנו איסור על חניכים להיות בטלפון.
למעלה מעשור מחנה רמה היה ביער חנתון, אך אילוצים של התנועה גרמו לכך שהמחנה עבר ליער יתיר.
במחנה רמה מתקיימים מספר ימי שיא
יום נוע"ם- תחרות בין החטיבות.
ערב בוגרים- ערב שבו בוגרי נועם מכל השנים מתכנסים, בנוסף באותו ערב שכבת עולים לי"ב חושפים את השם שלהם, שם זה ילך איתם עד אחריי הגרעין.
באותו יום מסיימי י"ב מקבלים שרוך ירוק המסמל את מעברם ממד''צים (מדריכים צעירים) למד"בים (מדריכים בוגרים).
שבת לבנה- שבת שבה שכבת נופים (העולים לשכבה י') מעירים את כל המחנה.
באותה שבת כל המחנה לובש לבן, יש באותו יום טקס וריקוד מסורתי של שכבת נופים.
השבת היא הכנה לטקס שרוך לבן שמתקיים בסוף המחנה.
טקס שרוך לבן- בסיום המחנה שכבת נופים מקבלת שרוך לבן, שרוך זה מסמל את היותם מדריכים, בעצם מסמן את סיום קורס ההדרכה שלהם והפיכתם למדריכים.
לנוע"ם ישנם חמישה מוקדי שנת שירות ברחבי הארץ: ירושלים, חיפה, תל אביב, באר שבע וקיבוץ קטורה.
לכל קומונה ישנה עשיה חברתית שונה, קומונת ירושלים עוסקת בעשיה חינוכית בתחום אקטיביסטי-רב תרבותי.
קומונת חיפה פועלת בין היתר עם ילדים בחינוך מיוחד.
קומונת תל אביב מקדמת ילדים ונוער בסיכון.
קומונת קטורה עוסקת בחיי קיבוץ ונוער בסיכון, וקומונת באר שבע עובדת עם נוער בסיכון.
כהמשך למוקדי שנת השירות שלה ישנו גרעין הנח"ל.
"פרק ההקמה" של גרעין הנח"ל מתקיים בקטורה.
בנוסף לנוע"ם יש מוקד "פרק משימה"
לנוע"ם ישנה רשימה ארוכה של גרעיני נח"ל ותנועת בוגרים של צעירי התנועה המסורתית בשם מרום.
מכינת נוע"ם קול עמי היא מכינה חצי-שנתית ייחודית המשלבת צעירים ישראליים מכל הארץ עם צעירי יהדות התפוצות.
המכינה, הממוקמת בקיבוץ קריית ענבים שבהרי ירושלים, מעודדת פיתוח של זהות אישית יהודית ועולמית, ומאפשרת למשתתפים בה לעבור תהליך של למידה מעמיקה בכיתה ומחוץ לה.
יחד, כקהילה, אנו מייצרים מפגשים עם כל פניה של עם ישראל ומדינת ישראל, רוכשים כישורי מנהיגות ומאתגרים את מחשבותינו ואת של חברינו.
רשת הצהרונים הוקמה במטרה להפגיש בין ילדים/ות מבתים שונים ומגוונים על הרצף היהודי-ישראלי (חילונים, מסורתיים ודתיים) במטרה לבסס את זהותם ולייצר לבסוף חברה מכילה, שוויונית ודמוקרטית בהתאם לערכי ארגון נוע"ם.
אנו מאמינים בחברה סובלנית שחיה יחדיו תוך יצירת חיים משותפים, ועל כן יש ליצור היכרות, וללמד פתיחות מחשבתית וקבלת השונה כבר מגילאים צעירים.
אגף צהרונים משלבים מונה לנכון צהרון אחד ומסגרות חינוך בלתי-פורמליות מגוונות.
בקיבוץ קטורה בעבר נוע"ם קיימה את גרעין הנח"ל.
הקיבוץ אינו משויך לתנועה המסורתית.
קיבוץ חנתון הקיבוץ של התנועה המסורתית ונוע"ם משתמשת בו לחלק מהמפעלים הארציים, בנוסף כיום מקיימת נוע"ם את "פרק ההקמה" של גרעין הנח"ל שלה בקיבוץ.
חולצת התנועה היא חולצה ירוקה עם שרוך ( כתום לחניך, אדום לקורס הדרכה, לבן למדריך צעיר וירוק למדריך בוגר) וסמל התנועה שהוא העץ שענפיו יוצרים את האותיות נ' ו' ע' ו-ם' וכך את שם התנועה, על כיס השמאלי.
נוסע הוא על פי רוב אדם אשר נמצא בכלי תחבורה, ועובר באמצעותו ממקום למקום.
משתמשים במונח "נוסע" בהקשרים הבאים:
אדם נוסע במכונית, מבלי לציין אם שילם תמורת הנסיעה או לא.
אדם הנוסע בתשלום בתחבורה ציבורית: אוטובוס, רכבת, מטוס או אונייה.
אנשי צוות אוויר או צוות האונייה לא ייחשבו לנוסעים, אך נהג שכיר המסיע רכב ייחשב כנוסע.
אדם הנוסע במעלית, דרגנוע ואמצעי הסעה דומים.
למשל, בנימין מטודלה מכונה "נוסע יהודי".
במסגרת סמכויות משפטיות, החוק קובע את חובותיו של המוביל הציבורי כלפי הנוסע.
בנוסף לכך את חובות הנהג, הטייס או הרב חובל כלפי הנוסעים שהוא מוביל בכלי התחבורה שלו.
מחנה הפליטים נוּסֵיירַ֫את הוא מחנה פליטים פלסטינים הנמצא ברצועת עזה בין עזה לדיר אל-בלח ומשתייך מוניציפלית לנפת דיר אל-בלח.
ממזרח למחנה, מעבר לדרך סלאח א-דין (המשכו של כביש 4), נמצא מחנה הפליטים אל-בורייג'.
על פי הלשכה הפלסטינית המרכזית לסטטיסטיקה, מנתה אוכלוסיית המחנה ב-2007 27,677 נפש.
היישוב הסמוך נוסייראת מנה באותה עת 36,123 נפש על פי אתר אונר"א, מונה אוכלוסיית המחנה כ-66,000 נפש.
נכון למרץ 2005, רשת ביוב מוסדרת קיימת רק בחלק מהמחנה והביוב בחלקים האחרים זורם בצמוד לדרכים ולכבישים שבמחנה ומתנקז דרך שטחים חקלאיים לוואדי עזה.
תופעה זו מהווה מפגע בריאותי מהותי במחנה.
כל בתי המחנה מחוברים לרשת מים המקבלת את מימיה מחברת המים הישראלית, מקורות ומבארות פרטיות.
עד סגירת מעברי הגבול בין הרשות הפלסטינית בעזה ובין ישראל ב-2004 הייתה מבוססת פרנסת רוב תושבי המחנה על עבודה במשק הישראלי ועל עבודה בחקלאות בשטחים הסמוכים.
יש הטוענים כי המחנה נקרא על שם שבט בדואי מקומי.
במפקד האוכלוסין של 1931 נמנו בנוסייראת 1,104 תושבים, כולם מוסלמים.
בשנת 1940 נכללה נוסייראת באזורים שבהם נאסר למכור קרקעות ליהודים.
בשנת 1944 נוסד במקום בית ספר לילדי הבדואים.
ליד נוסייראת הוקם מחנה צבא גדול עבור חיילים אוסטרלים.
בעקבות כיבוש האיים הדודקאנסיים על ידי גרמניה הנאצית בנובמבר 1943, הגיע זרם פליטים גדול של יוונים לטורקיה.
לאחר מספר חודשים הועברו רבים מהם למחנה פליטים שהוקם עבורם בנוסייראת, כ-15 קילומטר מהעיר עזה, ונוהל על ידי אונרר"א.
במאי 1944 היו במחנה כ-9,000 פליטים, ובספטמבר 1944 עמד המספר על כ-12,000. המחנה היה מורכב ממספר מחנות משנה והיה מוקף בעצי פרי, במיוחד תמרים, שהשתייכו לבדואים באזור.
כל הגברים הבריאים שהגיעו למחנה נדרשו להתגייס לצבא יוון ואלו מה-ELAS שסירבו להתגייס הושמו במחנות מעצר, כך שהמחנה כלל כמעט רק נשים וילדים.
למחנה הגיעו באוקטובר 1944 432 פליטים יהודים מספרד.
רובם ברחו מהמחנה וחברו ליישוב היהודי בארץ ישראל, והשאר עברו ליוון יחד עם הפליטים היוונים במחנה.
במהלך 1944–1945 התקיים במחנה סניף של הדואר המנדטורי.
קבוצה ראשונה של 250 פליטים שבה מהמחנה ליוון ביוני 1945. ביולי 1945 יצאה קבוצה נוספת של כ-1,600 פליטים ועדיין נותרו במחנה מעל 7,000 פליטים ועוד קבוצה יצאה באוגוסט אותה שנה.
אחרוני הפליטים היוונים הועברו מהמחנה, אל מחנה הפליטים הבריטי באל שאט שליד תעלת סואץ, בספטמבר 1945, והמחנה הושב לידי הצבא.
בסוף אוגוסט 1945 הובאו למחנה 96 מגולי מאוריציוס מהאטלנטיק, שביקשו לשוב לאירופה ושוכנו באופן זמני במחנה.
הם פונו ממנו כעבור חודש עם הפליטים היוונים.
בשנת 1946, התקיימו במקום מחנות עבודה של עובדים יהודים מסולל בונה ועובדים ממצרים שעבדו בעבודות תשתית עבור הצבא הבריטי.
חוקר הבדואים יצחק ביילי מציין כי אוכלוסיית הפליטים המקורית של המחנה בשנת 1948 כללה פליטים משבט התיאהא.
במלחמת העצמאות הגיעו למקום כ-16,000 פליטים פלסטינים מאזור באר שבע והנגב ומאזור חיפה ועכו.
הפליטים יושבו תחילה במבני מחנה צבאי בריטי ששימש גם ככלא.
סוכנות הסעד לפליטים, אונר"א, מפעילה 15 בתי ספר במחנה.
תשעה בתי ספר יסודיים ושישה בתי ספר מכינים.
בשנת הלימודים 2004–2005 היו רשומים במערכת החינוך של אונר"א 18,177 תלמידים.
מרכז בריאותי הוקם במקום ב-1963 ועבר שיפוץ והרחבה ב-1992. המרכז מאויש על ידי צוות בן 50 איש ומטפל בכ-19,000 פונים בחודש.
במחנה פועלים גם מרכזים של אונר"א לתוכניות לנשים ולפעילויות נוער, ספורט ותרבות.
כמו כן, החל מ-1993, פועל במחנה מרכז לשיקום בעלי מוגבלויות שונות וב-1999 מימנה ממשלת יפן את שיפוצו.
כמו במחנות פליטים אחרים ברצועת עזה, גם בנוסייראת, רמת המעורבות של האוכלוסייה במאבק מול ישראל וצה"ל היא גבוהה יחסית.
ב-20 באוקטובר 2003 ירו מסוקים של חיל האוויר הישראלי טילים על מכונית של מבוקשים.
כתוצאה מהתקיפה נהרגו גם אזרחים ופרשה זו התפרסמה בעיקר על רקע כשלים באמינות המידע שמסר צה"ל לתקשורת.
ב-7 במרץ 2004 פעלו כוחות קרקעיים של צה"ל בנוסייראת ובאל-בורייג' ו-14 פלסטינים נהרגו כתוצאה מהפעולה.
ב-2 בינואר 2009 במסגרת מבצע עופרת יצוקה, תקף חיל האוויר הישראלי את ביתו של פעיל חמאס הבכיר, עימאד עקל.
ב-12 ביולי 2014, במסגרת מבצע צוק איתן, הרסו מטוסי חיל האוויר את מסגד אל-פארוק במחנה באמצעות שני טילים.
לטענת צה"ל אוחסנו במבנה אמצעי לחימה.
ב-10 במרץ 2024, במהלך מלחמת חרבות ברזל, הרג צה"ל את מרואן עיסא במרחב תת-קרקעי במחנה הפליטים, וב-11 באפריל 2024 פעלו כוחות קרקעיים של צה"ל נגד תשתיות חמאס.
ב-8 ביוני 2024 חילצו לוחמים ישראלים ארבעה חטופים שהוחזקו באזור השוק של המחנה.
נוֹסְטְרָה אֵטָאטֶה הוא שמה המקובל של ה"הצהרה בדבר יחס הכנסייה לדתות הלא־נוצריות" (Declaratio de Ecclesiae habitudine ad religiones non-Christianas), ומקורו בשתי המילים הראשונות של המסמך.
ההצהרה הוקראה על ידי האפיפיור פאולוס השישי ב-28 באוקטובר 1965, עם סיומה של ועידת הוותיקן השנייה.
המבוא - הכנסייה הקתולית מתייחסת בכבוד לאמונות אחרות שאינן נוצריות במהותן, שכן יש בהן קרן אור של אמת.
סעיף 2 - ההינדואיזם, הבודהיזם ו"דתות אחרות" גם הן דתות המחפשות את האמת האלוהית, והכנסייה הקתולית אינה דוחה את האמיתי והקדוש באמונות אלה וקוראת לקתולים לנהל דו־שיח עם מאמיניהן.
סעיף 3 - מדגיש גישות משותפות לנוצרים ולמוסלמים כמו תפילה לאל אחד והודאה בנבואת ישו, וקורא להבנה בין מאמיני שתי הדתות תוך התעלמות ממעשי האיבה בעבר.
סעיף 4 - עוסק ביחס ליהודים.
סעיף 5 - מוקדש לאחוות האדם וקורא לנוצרים להימנע מאפליה כלפי בני אדם אחרים בגלל גזע, צבע עור, מעמד או דת.
כותרת ההצהרה היא אמנם יחס הכנסייה לדתות לא־נוצריות, אבל ההצהרה אינה מתייחסת ליהדות או לאסלאם אלא רק ליהודים ולמוסלמים, להבדיל מההינדואיזם, הבודהיזם והדתות האחרות.
כהכנה לקראת כינוס הוועידה הטיל האפיפיור על הקרדינל הישועי הגרמני אוגוסטין באה, ראש "המועצה לקידום האחדות הנוצרית" של הקוריה הרומאית בוותיקן, את ניסוח המסמך בנוגע ליהודים.
באה החל במלאכה בעזרת קבוצת עבודה ממשרדו, בחודש יולי 1960, וסיים אותה לאחר 14 חודשים בנובמבר 1961, היינו כשנה לפני כינוס הוועידה.
המסמך שניסח הסיר מהעם היהודי את אשמת צליבת ישו, והודה כי לאנטישמיות הדתית היה חלק לא מבוטל באסונות שהתרגשו על העם היהודי.
המסמך הסתמך גם על החלטת ועידה אקומנית קודמת, ועידת טרנטו מהמאה ה-16, אשר פורסמה ב-30 בספטמבר 1566.
ניסוח יחס הכנסייה אל היהודים ואל היהדות, התאפיין במחלוקת רבה ביחס לניסוח עמדותיה כלפי הדתות האחרות.
שש טיוטות נערכו בעניין זה, והמסמך זכה לשם "המסמך היהודי" או "המסמך בעניינם של היהודים" (Decretum de Judaeis).
בסופו של דבר, רק חלק מהמסמך היהודי אומץ, והוא היה לסעיף 4 של הנוסטרה אטאטה.
סעיף 4 - היחס ליהודים
סעיף 4 לנוסטרה אטאטה עומד על הרקע המשותף לנצרות וליהדות:
הוא ממשיך ומציין את מקורה של הנצרות ביהדות, בקובעו כי השליחים ורבים מתלמידיו הראשונים של ישו יצאו מקרב העם היהודי.
אולם החידוש העיקרי ביחס הכנסייה הקתולית אל היהודים, כפי שהוא בא לידי ביטוי בנוסטרה אטאטה, הוא, כי הוא דוחה את הרעיון שכל היהודים בזמנו של ישו, וכל היהודים כיום, אחראים למותו של ישו יותר מאשר הנוצרים, ולכן הוא קורא להימנע משנאה, רדיפות וגילויי אנטישמיות כלפי יהודים:
הרקע לאימוץ סעיף 4 והשפעתו
הנוסטרה אטאטה העיד בעצמו על הרקע לניסוחו במשפט המבוא שלו, כדקלמן:
אולם אם ניתן לנקוב באירוע אחד שאין בלתו, להנעת התהליך שהחל בעבודה על "המסמך היהודי" בשנת 1960, והסתיים חמש שנים לאחר מכן בקבלתו של הנוסטרה אטאטה, הרי ברי שמדובר בשואה.
למעשה, השואה ניערה את הנהגת הכנסייה הקתולית, והכריחה אותה להתעמת עם עברה ועם יחסה אל היהדות והיהודים משך מאות שנים.
למרות שהדברים נדונו בעקיפין בעבר, ועידת הוותיקן השנייה הייתה ההזדמנות הראשונה, בוודאי בתקופה המודרנית, בה הכנסייה הקתולית נדרשה באופן מפורש לתרומתה הישירה לאנטישמיות ולסבלו של העם היהודי, אשר הגיעו לשיאם בשואה.
מבחינה היסטורית, הדבר התאפשר גם על ידי מינויו של האפיפיור הליברלי יוחנן העשרים ושלושה, אשר החליף ב-1958 את פיוס השנים עשר השנוי במחלוקת, האפיפיור אשר כיהן בעת מלחמת העולם השנייה והשואה.
כבר ב-1959 הורה יוחנן העשרים ושלושה להשמיט מתפילת יום שישי הטוב למען היהודים את הדיבור "היהודים הבוגדניים/חסרי האמונה", ובמקום המשפט "Oremus et pro perfidis Iudaeis" ("הבה נתפלל למען היהודים הבוגדנים/חסרי האמונה") להנהיג את המשפט "Oremus et pro Iudaeis" ("הבה נתפלל למען היהודים").
למרות הוויכוחים הכבדים שאפפו את ניסוחו וקבלתו, הנוסטרה אטאטה היה רק אחד מ-16 מסמכים שונים שהתקבלו במהלך הוועידה האקומנית.
הוא הקצר מבין כל ה-16 והוא אינו נושא הד למחלוקת שניצבה ברקע לו.
עם זאת, נראה כי הוותיקן לא העריך את מלוא השפעתו ומשמעותו של המסמך בעת קבלתו, במיוחד בכל הנוגע ליחס אל היהודים והיהדות, וכתוצאה מכך ובשלב מאוחר יותר, גם כלפי מדינת ישראל.
בשנת 1965 הוקמו ברומא "השירות הבינלאומי לתיעוד יהודי-נוצרי" (Service International de Documentation Judéo-Chrétienne או SIDIC), שנועד להכשיר את הקרקע ליישום החלטות הוועידה האקומנית תוך בדיקת המצב בשטח.
בדיקה זו העלתה פערים מהותיים בין החלטות הוועידה האקומנית לבין המצב בשטח, בו היהודים היו ונותרו "רוצחי האל".
"המשרד לקידום האחדות הנוצרית" בראשותו של הקרדינל באה, היה אמור גם הוא לטפל, בין ענייניו האחרים, גם בנושא היהודי.
בשנת 1969, במטרה לקדם את הפיוס עם היהדות, הקימו הכנסייה הקתולית ומספר ארגונים יהודים אמריקאים וישראלים את "הוועדה הבינלאומית לקשרים קתולים-יהודים" (International Catholic-Jewish Liaison Committee).
הוועדה נפגשה מדי שנה והיו בה חמישה חברים יהודים וחמישה חברים קתולים (המפגשים נמשכים גם כיום).
בשנת 1970, וכפועל יוצא של הנוסטרה אטאטה, שונתה תפילת למען היהודים לחלוטין, ובמקום הנוסח הקודם:
התקבל הנוסח החדש, שבו אין התייחסות ליהודים כפרטים.
במקום זאת, ישנה בו הכרה ביהודים כקולקטיב, כעם:
בתחילת שנות ה-70 היו מספר יוזמות של ועדות ומועצות קתוליות לאומיות אשר פרסמו הנחיות מקומיות בעניין היחס ליהודים.
מסמכים כאלה התפרסמו לדוגמה בהולנד ובצרפת.
ב-22 באוקטובר 1974 הקים האפיפיור פאולוס השישי ועדה אפיפיורית קבועה ליחסים דתיים עם היהודים, ומטרתה הראשונה הייתה לפרסם הנחיות ליישום משמעויותיו של סעיף 4 של הנוסטרה אטאטה.
הוועדה השלימה את מלאכתה ב-1 בדצמבר 1974, והמסמך פורסם ב-3 בינואר 1975. ההנחיות גינו כל צורה של אנטישמיות ואפליה, כנוגדות את רוח הנצרות ואת כבוד האדם, והפצירו בנוצרים לרכוש ידע אודות היהדות ומסורתה הדתית, כדי לאפשר קשרים ויחסים טובים בין שתי הדתות.
ההנחיות הציעו פעולה בארבע דרכים - דו-שיח, פולחן, הוראה וחינוך, ופעילות חברתית משותפת:
דו-שיח - בניגוד לתכונות ה"מונולוג" שאפיינו את יחסי הנוצרים והיהודים בעבר, על הדו-שיח בין הדתות להתאפיין בכבוד הדדי וכבוד כלפי אמונתו והשקפתו של האחר.
על הדו-שיח להיות עדין ולהימנע משליחות מיסיונרית שתפגע בכבודם של היהודים.
יש להבין את הקשיים העומדים בפני היהודים לקבל את המסתורין שבהתאנשותו של האל, בשל תפיסתם הנשגבת והטהורה של האלוהות.
פולחן - יש להעמיק את ההיכרות עם הפולחן והליטורגיה היהודיים, ואת החלק המשותף בתחום זה לשתי הדתות, דוגמת כתבי הקודש, ואגב מאמץ להבין טוב יותר כל דבר בברית הישנה השומר על ערכו העצמי הנצחי, ואשר לא בטל בברית החדשה.
הוראה וחינוך - יש להדגיש כי ישו, שליחיו וחלק ניכר מחסידיו הראשונים נולדו כולם לעם היהודי, וכי מה שקרה בדרך הייסורים, החל ממשפטו של ישו ועד צליבתו, אינו אשמתם של כל היהודים שחיו בתקופתו, ובוודאי שאינו אשמתם של אלה החיים כיום.
יש להדגיש כי הברית הישנה איננה ספר חוקים יבשים שנמנע מהטפה לערכי אהבת האל והרֵע, וכי ישו קבע את תורתו החדשה במקרים רבים על-פי הכתוב בברית הישנה.
נודעת חשיבות רבה להסברה בכל רמות ההדרכה הנוצריות, בין בספרי הוראת הדת וההיסטוריה, ובין באמצעי התקשורת.
יש לעודד מחקר בנושאים יהודיים ובנושא יחסי יהודים ונוצרים, וליסד, ככל הניתן, קתדרות ללימודי יהדות במוסדות קתולים להשכלה גבוהה, תוך עידוד שיתוף פעולה עם מלומדים יהודים.
פעילות חברתית משותפת - פעילות משותפת בכל הרמות.
הוועדה המשיכה בפעולות לימוד ומעקב של הנושא, ובשל היותה מודעת לכך שההנחיות החדשות חלחלו באיטיות לדרגים הנמוכים בכנסייה הקתולית, היא פרסמה אנציקליקה בשנת 1985 בעניין "הערות לדרך הנכונה שבה יש להציג את היהודים והיהדות בהטפה ובהוראת עיקרי האמונה הקתולית".
מסמך זה שב ועמד על החשיבות שבהוראת היהדות לציבור המאמינים בדרך "נכונה, אובייקטיבית, קפדנית ומדויקת" וכדי "להרחיקם מסכנת האנטישמיות" האנציקליקה שבה וחזרה על העקרונות המרכזיים שבהנחיות משנת 1974, וציינה שיש להציג את העם היהודי באופן אובייקטיבי, גם בהקשרו של האמור בברית החדשה.
לשם כך, יש לראות את האמור בכתבי הקודש הנוצריים בהקשרם ההיסטורי.
האנציקליקה ציינה כי העם היהודי המשיך והתקיים בגולה, וחידשה בכך שבמסגרתה התייחסה הכנסייה הקתולית לראשונה אל מדינת ישראל:
שנה לאחר מכן, ב-13 באפריל 1986, ערך האפיפיור יוחנן פאולוס השני את ביקורו ההיסטורי בבית הכנסת הגדול של רומא, ונפגש עם הרב הראשי של רומא, אליהו טואף; וב-30 בדצמבר 1993 חודשו היחסים הדיפלומטיים בין הכס הקדוש למדינת ישראל, עם חתימת הסכם היסוד בין הכס הקדוש ומדינת ישראל.
עקב קבלת ההחלטה, הכריז הארכיבישוף השמרני מרסל לפבר שהוותיקן הוא סוטה וכופר והקים את אגודת הקדוש פיוס העשירי, שאינה מכירה עוד בסמכות האפיפיור ורואה בעצמה את ההמשך האמיתי של הנצרות הקתולית.