tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
יחידת מדידה (measuring or monitoring unit), המודדת ומגיבה לשינויים במשתנה או בתהליך המבוקר, כמו שינוי הטמפרטורה, הלחץ, מהירות הסיבוב וכו'.
בקר (controller), האומד את גודל השגיאה או הסטייה בין הערך הנמדד לערך הרצוי של המשתנה או התהליך המבוקר, ושולח אות תיקון למנגנון ההפעלה.
משוב או הפעלה (actuator), המאפשר תיקון.
למשל שסתום בקרה פנאומטי, הנשלט על ידי לחץ אוויר ופותח או סוגר מעבר נוזל, מפסק חשמלי המפעיל או מדמים מנוע חשמלי.
את מערכות הבקרה מסווגים לשני סוגים עיקריים:
מערכת בקרה בחוג פתוח, בה אין משוב מיחידת המדידה אל מנגנון ההפעלה באשר לתוצאות הביצוע של התהליך.
למשל: חימום אוכל במיקרוגל תלוי אך ורק בזמן שהגדרנו ולא למצב האוכל אחרי הפעולה.
מערכת בקרה בחוג סגור, שבה תלויה פעולת התיקון של הבקר במשוב של תוצאת התהליך המבוקר.
יחידת המדידה, המודדת את תוצאות התהליך, משפיעה בצורה ישירה על מנגנון התיקון או ההפעלה.
המשוב הוא קבלת מידע עדכני על מצב המערכת ותנאי הסביבה.
המשוב מבצע עדכון של פקודות הפעולה.
נהוג להגדיר את תהליך המערכת באמצעות דיאגרמת מלבנים.
דיאגרמת המלבנים מתארת את התהליך מהכנסת הכניסה (reference) ועד לקבלת הערך המצוי (system output).
בעזרת דיאגרמת מלבנים אפשר לתאר רכיבים במערכת הבקרה.
כל רכיב במערכת הבקרה יוצג במלבן.
את דיאגרמת המלבנים ניתן להמיר לפונקציית תמסורת, המתארת את היחס בין הערך המצוי לכניסה.
הוא יכול להיות אילוץ מדרגה (פועל/לא פועל), אילוץ שיפוע (הגברה/הנמכה), אילוץ הלם (אות בדיד), אילוץ סינוס (מתח AC) וכו'.
פונקציית תמסורת היא היחס בין המוצא לכניסה, כפונקציה של התדר המרחבי או הזמני, של מערכת ליניארית קבועה בזמן (LTI).
כך למשל, אם ניקח מנגנון שבו קיימת כניסה ומוצא , יהיה ניתן לתאר את פונקציית התמסורת כך:
האות הנכנס ל־ הוא .
מכאן נקבל שפונקציית התמסורת של המערכת היא:
את פונקציית התמסורת מקבלים מתוך משוואת המצב של המערכת.
בבקרה קלאסית ועבור מערכות של כניסה אחת ויציאה אחת מקובל למדל את המערכת באמצעות התמרת לפלס.
בשיטות מודרניות יותר מקובל למדל במישור הזמן על ידי מרחב המצב.
בקרה נפוצה של מערכות ליניאריות היא בקרת PID:
P – פרופורציונלי – מתקן את השגיאה העכשווית בצורה פרופורציונלית לשגיאה
I – אינטגרלי – מוסיף תיקון פרופורציונלי לאינטגרל בזמן על שגיאת העקיבה ובכך מבטיח שגיאת מצב מתמיד אפסית
D – דיפרנציאלי – מוסיף תיקון פרופורציונלי לנגזרת בזמן של השגיאה ובכך מוסיף ריסון למערכת ומונע תגובת יתר (overshoot).
היא לעולם אינה מגיעה לבד, כלומר תמיד תהיה ID או PD, כיוון שבמצב כזה לא תתקן שגיאה קבועה במערכת.
בנוסף, היא עלולה להפחית את יציבות המערכת בשל רגישותה לרעשים.
עקומת בודה – עקומות בודה הן דרך נוחה להצגת תגובת המשרעת (magnitue response) ותגובת התדר של מערכת.
באמצעות שימוש בתכונות הלוגריתם, ניתן לפרק את פונקציית התמסורת לסכומים והפרשים וכך לצייר את התוצאה באופן פשוט יחסית.
בין השיטות הנפוצות לבקרת PID נמנית שיטת זיגלר ניקולס.
קיימות שיטות שונות לבדיקת יציבות של מערכת:
עקומת נייקוויסט – באמצעות עקומת נייקוויסט של המערכת בחוג פתוח ניתן לקבוע האם המערכת יציבה בחוג סגור.
קריטריון נייקוויסט לא מצריך את ידיעת הקטבים של פונקציית התמסורת בחוג סגור לשם קביעת היציבות.
שיטת מיקום גאומטרי של שורשים (מג"ש, Root Locus ) – תיאור גרפי של תזוזת שורשי הפולינום האופייני (קטבי פונקציית התמסורת של המערכת) כתלות בהגבר הקבוע.
בהינתן פונקציית תמסורת של המערכת בחוג פתוח ובעזרת שיטת מיקום השורשים, ניתן למצוא את מיקום קטבי המערכת בחוג סגור עבור הגבר כלשהו.
בבלשנות השוואתית, תורת הגלים היא תאוריה הנותנת הסברים משלימים או חלופיים להסברים שמדמים את האבולוציה של השפה לאבולוציה של העולם החי.
בהקשר זה, פירוש המילה "גל" הוא דחף תרבותי לשינוי השפה עקב יצירת קשרי תרבות עם דוברי שפה אחרת.
זאת ועוד: התאוריה רואה באירועים תרבותיים נקודתיים מקור לשינוי לשוני, שמגיע גלים-גלים אל האוכלוסיות הסובבות כמו שזריקת אבן למים שקטים מפיצה אדוות.
את הבסיס הרעיוני לתורת הגלים הבלשנית הגו הבלשנים הגרמנים הוגו שוכרדט ב-1870 ויוהנס שמידט (Johannes Schmidt) בשנת 1872.
תורת הגלים טוענת שמקור ההשראה העיקרי של הבלשנות ההשוואתית, בתחילת דרכה, גרם לה לראות תמונת עולם חלקית ביותר בנוגע להתפתחות השפות הטבעיות.
מקור השראה זה היה האבולוציה של החי.
דהיינו, הבלשנים דימו את מערכת המידע של השפה הטבעית למערכת המידע התורשתית של מין טקסונומי.
דימוי זה בעייתי, משום שהמידע התורשתי של מין טקסונומי מוגן כמעט לחלוטין מעירוב עם מידע תורשתי של מין טקסונומי אחר.
לעומת זאת, שפות טבעיות בעלות מידת שוני כלשהי דווקא נוטות לשאול זו מזו מילים, מושגים, דימויים, דרכי הגייה ואפילו מבנים דקדוקיים.
על פי תורת הגלים, המסקנות השגויות ממקור ההשראה הביולוגי היו הצגת קבוצות שפות רבות כאילו כולן התפתחו, בהכרח, משפה קדומה משותפת (פרוטו-שפה), שרק בחלק מהמקרים אכן הייתה קיימת באמת.
בנוסף, השפות מוצגות כאילו הן רק הולכות ומתפצלות, מתגוונות ומשתנות מאם קבוצת השפות.
כאילו הן לעולם אינן מתאחדות ולעולם אינן מושפעות משום גורם אחר מלבד אותה אם קדומה.
לדוגמה: תורת הגלים הבלשנית מטילה ספק בקיום השפה הפרוטו-כנענית.
היא טוענת שעמים דוברי להגים שמיים שונים שהתיישבו יחדיו באזור הלבנט הושפעו זה מאופן דיבורו של זה, וכן מאופן דיבורם של עמי הים שעמם סחרו.
דוגמה שנייה: יוהנס שמידט טען שמעתק הגאים מתרחש במקביל בשפות קיימות, ואינו מוכיח אם קדומה אחת לשפות אלה.
הוא חיזק את טענתו זו בעזרת מספר היוצאים מן הכלל למעתק מסוים, מלטינית לצרפתית, בניבים שונים של הצרפתית.
המעתק הוא מ-C בלטינית, שנשמעת כמו כּ' דגושה – ל-CH בצרפתית, שנשמעת כמו שׁ' ימנית.
כך, לדוגמה, המילה "חדר" בלטינית היא "קַמֶרַה" ובצרפתית תקנית היא "שַׁמְבְּר".
אולם בניב הצרפתית של חבל נורמנדי אומרים "כַּמְבְּרֶה".
חבל נורמנדי רחוק ממרכז צרפת וממרכז אירופה ומהווה חצי אי בתוך תעלת למאנש.
שמידט טען שנורמנדי הייתה פחות חשופה לגורם התרבותי שיצר את השוני הלשוני הנ"ל.
(חוקר אחר, Trudgill, טען שככלל, מעתקים מגיעים מוקדם יותר ובאופן שלם יותר לניבים של מקומות יישוב מרכזיים יותר).
דוגמה הפוכה: מהרבה בחינות, הערבית הקלאסית היא השפה הדומה ביותר למודל השפה הפרוטו-שמית.
למשל, מכלל השפות השמיות, דווקא הערבית הקלאסית שמרה על מרבית עיצורי הפרוטו-שמית.
זאת אף על פי שלפי ממצאים ארכאולוגיים, הערבית הקלאסית התגבשה בסביבות שנת 500 לספירה הנוצרית – זמן רב אחרי שהרבה שפות שמיות (כגון האכדית, הפיניקית או העמונית), שפחות דומות למודל המקור, כבר התפתחו ואפילו מתו.
ההסבר של תורת הגלים הוא שהערבית הקלאסית התפתחה במקום בו היה לדובריה מגע כמעט אך ורק עם דוברי להגים שמיים רבים ושונים.
דהיינו, לפי תורת הגלים, הערבית הקלאסית היא השפה השמית המובהקת ביותר, בשל חוסר השפעות חיצוניות, לעולם הלהגים השמיים.
בנוגע לשפות השמיות, תורת הגלים נחשבת למודל היסטורי ירוד ולא מקובל.
קיימות גם דוגמאות חסרת עוררין לשינויים דומים בשפות שונות לחלוטין, בשל השפעה משותפת של שפה שלישית.
דוגמה אחת היא השפעת העברית על להגים שונים בתכלית של היהודים ברחבי העולם.
דוגמאות אחרות הן השפעת שפות הכובשים על נכבשים שונים, השפעת שפות הנכבשים על כובשים שונים, והשפעת שפות מהגרים ופליטים על קולטיהם.
השפה האנגלית מדגימה היטב את שלוש התופעות.
האנגלית הושפעה מאוד משפות העמים שהאנגלים כבשו (למשל, שאילת מילים רבות מצרפתית במלחמת מאה השנים), משפותיהם של עמים שכבשו את אנגליה (השפעה לטינית חזקה מצבאו של ויליאם הכובש), ומשפותיהם של בני עמים רבים, שהיגרו אל ארצות הברית.
מעבר לטענה כי מידת הדמיון בין שפות אינה מעידה בהכרח על מרחק התפתחותי משפת האם המשותפת וגם אינה מעידה בהכרח על קיום אם משותפת, תורת הגלים טוענת ששפות אינן בהכרח נוצרות מפיצול ומהיבדלות זו מזו, אלא גם מאיחוד להגים.
על פי טענה זו, יש לראות הרבה מהשפות המוכרות כאיחוד של מספר שפות קדומות.
דוגמאות לשפות שיצירתן מדגימה היטב תהליך של איחוד שפות הן האנגלית , הסואהילי והמרוקאית היהודית.
תורת הגלים מטילה גם ספק בתדירותו של הליך הפיצול כהליך בודד ליצירת שפות חדשות.
לדוגמה, תורת הגלים טוענת ששלל השפות הרומניות המוכרות לנו אינן רק תולדה של פיצול הקהילה דוברת הלטינית, אלא גם תולדה של איחוד תת-הקהילות שלה עם קהילות אחרות.
כך, למשל, הצרפתית הושפעה מהקלטית והספרדית הושפעה מהמורית ומהערבית.
מבחינת איורי הסכמות של היווצרות השפות, בעוד דימוי אבולוציית השפות לאבולוציה הביולוגית נותן השראה לאיורים אילן יוחסין של מוצא השפות, תורת הגלים נותנת השראה לאיורים דמויי אדוות מעגליות שהאירועים שבמרכזן משולים לזריקת אבן למים שקטים.
מרכזו של מעגל כזה יכול להיות גיבוש האסלאם או התפתחות מודל הפוליס היווני, שהפיצו שינויים תרבותיים ולשוניים ניכרים במזרח התיכון.
הומולוגיה של מרחב טופולוגי היא טכניקה ללמידת אוסף תכונות ומאפיינים שונים של מרחבים טופולוגיים.
בדומה להומוטופיה, הומולוגיה מודדת שינויים רציפים על פני מרחבים טופולוגיים תחת מעברים שונים.
לכל מרחב טופולוגי מתאימה סדרה של חבורות אבליות, , שכל אחת מהן נושאת מידע מסוים על המרחב X.
ההומולוגיה של מרחב טופולוגי גם מאפשרת להבדיל בין מרחבים שונים: למרחבים הומיאומואפיים ואף שקולים הומוטופית אותה ההומולוגיה.
במילים אחרות, חבורות ההומולוגיה הן "אינווריאנטים טופולוגיים והומוטופיים".
למרות המידע הרב שמספקות חבורות ההומולוגיה, הן אינן מזהות באופן מלא את המרחב - ובאופן כללי ייתכנו מרחבים טופולוגיים לא שקולים בעלי אותן חבורות הומולוגיה; בכל זאת, למשפט וייטהד יש מקבילה הומולוגית, בעזרת משפט הורוויץ.
האינווריאנט ההומולוגי הראשון והפשוט ביותר, החבורה , סופרת את מספר מרכיבי הקשירות המסילתית של המרחב.
החבורה הבאה, , איזומורפית באופן טבעי אל האבליניזציה של החבורה היסודית של המרחב.
לחישוב ההומולוגיה של מרחב טופולוגי מספר שיטות.
הנפוצה והבסיסית ביניהן היא סדרת מאייר-ויאטוריס, המקשרת את ההומולוגיה של מרחב טופולוגי להומולוגיה של כיסוי טוב שלו, ומקבילה במובן מסוים למשפט ואן קמפן בחישוב החבורה היסודית.
בעזרתה גם ניתן לפתח שיטה אלגוריתמית לחישוב מחלקה גדולה של מרחבי CW סוף-ממדיים.
דהיינו, פנקטורים שמתאימים לכל זוג מרחבים טופולוגי המקיים חבורה אבלית ומקיימים את התנאים הבאים:
הומוטופיה: לכל שתי פונקציות הומוטופיות ולכל n
סדרה מדויקת: לכל n קיימת פונקציה כך שהסדרה הבאה מדויקת: כשהפונקציות: i היא ההכלה מ-A ל-X ו- מעבירה כל איבר לעצמו.
קיצוץ (Excision): אם כך ש- אז ההכלה משרה איזומורפיזם:
טבעיות: לכל n ופונקציה של זוגות מתקיים .
גרפית, הדיאגרמה הבאה צריכה להתחלף:
מעתה נגדיר , לשם פשטות הסימון.
המשפטים הבאים יהיו נכונים בכל תורת הומולוגיה המקיימת את האקסיומות של הסעיף הקודם:
לכל זוג מרחבים טופולוגיים ההכלות משרות איזומורפיזם
תורת ההצגות המודולרית היא תחום באלגברה מופשטת, בו נחקרות הצגות של חבורות סופיות מעל שדות בעלי מאפיין חיובי.
זהו תת-תחום של תורת ההצגות, בה נחקרות הצגות כלליות של חבורות סופיות.
מקרה מעניין במיוחד בתורה זו הוא המקרה בו מאפיין השדה מחלק את גודל החבורה, בו משפט משקה לא תקף ולאלגברת החבורה יש רדיקל לא טריוויאלי.
בעוד שמדובר בנושא שעומד בפני עצמו, תחום זה גם קשור למספר תחומים בולטים נוספים במתמטיקה, בהם קומבינטוריקה, תורת המספרים וגאומטריה אלגברית.
יתרה מכך, למידת תורת ההצגות המודולרית תורמת בתורה לתחומים הנ"ל.
למחקר התחום עצמו תרמו מספר מתמטיקאים לאורך המאה ה-20, הבולטים בהם הם לאונרד יוג'ין דיקסון וריכרד בראואר.
עבודתו של בראוור בתחום תרמה רבות לפיתוח הכלים שהובילו למשפט המיון לחבורות פשוטות סופיות.
כאמור לעיל, המקרה המעניין בתורה זו הוא המקרה בו מאפיין השדה לא זר לגודל החבורה.
במקרה זה משפט משקה לא תקף; במקומו, חוקרים את המבנה של אלגברת החבורה בעזרת חלוקתה לבלוקים, שהם אוסף מקסימלי של אידיאלים דו-צדדיים שסכומם הישר שווה לאלגברה.
חישוב הבלוקים נעשה בעזרת פירוק איבר היחידה לסכום של אידמפוטנטים של מרכז האלגברה.
בלוקים אלו קשורים גם למודולים האי-פריקים של אלגברת החבורה, אשר בדרך כלל לא יהיו פרויקטיביים.
"השערת גובה אפס" של בראוור, שלפיה בחבורה לא אבלית תמיד יש הצגה אי-פריקה עם גורמי-p שאינם מוסברים על ידי חבורות הדפקט, הוכחה ב-2024 .
תורת האדם הוא ספר הלכה שחיבר הרמב"ן על ההלכות הנוגעות לסוף ימי האדם, בין הנושאים בספר: הלכות הנוגעות לרפואה, דיני קבורה והלכות אבלות.
הספר הוא מחיבוריו החשובים של הרמב"ן, ונחשב לספר יסוד בנושאים אלו.
ראשונים רבים הסתמכו על פסקי הרמב"ן שבספר, ולעיתים אף ציטטו ממנו הלכות שלמות כצורתן.
כפי הנראה, חיבור זה מאוחר לחידושי הרמב"ן לתלמוד.
שמו של הספר נעדר מכתבי היד של הספר, אך כבר מהמהדורה הראשונה של הספר מופיע על שער הספר: "זה ספר תורת האדם להרמב"ן זצ"ל".
כמו כן, מספרי הראשונים נקל לראות שכך הוא שמו; כך למשל כותב הרשב"א כאשר מביא את דעתו של הרמב"ן: ועוד ראשונים כמותו.
בפי הרמב"ן מכונה הספר "מגילת אבל", אך נראה שזהו כינוי בלבד.
הרב חיים דוב שעוועל, אשר ההדיר את כתבי הרמב"ן, כתב ששם הספר לקוח מהפסוק בספר שמואל .
כאמור, הספר הדן בהלכות רפואה, קבורה, אבלות והנושאים הנלווים לכך.
הספר נחשב לספר יסוד בפסיקה בנושאים אלו,
רבי יעקב בן אשר בספר הטור הסתמך רבות על דברי הרמב"ן בחיבור זה.
ניתן לראות את השפעת הספר על הטור בהלכות אבלות, בסימנים רבים בהלכות שבת ויום טוב הנוגעים לדיני חולה ומת בשבת ויום טוב, בדין חולה ביום כיפור, בהלכות חול המועד, ובהלכות תשעה באב.
בתחילת הלכות אבלות כותב רבי יעקב בן אשר עצמו שהלכותיו אלו הם .
כמו כן, ראשונים רבים שדנו בדינים אלו הסתמכו בעיקר על ספר זה.
הרא"ש בחיבורו מביא דינים רבים מספר זה, לעיתים בהשמטת מקור הדברים.
בספר הסתמך הרמב"ן על ראשונים רבים ביניהם: רש"י והתוספות, רבנו חננאל, הערוך, רי"ץ גיאת, הראב"ד, שאילתות דרב אחאי, הלכות גדולות ועוד.
הספר מחולק לשערים ועניינים, בחלק ממהדורות הספר, וכן בספרים שמביאים את דברי הרמב"ן, מחליפים לעיתים בניהם.
במקור הספר מחולק לארבעה שערים: שער המיחוש, שער הסוף, שער האבל ושער הגמול.
שער המיחוש - שער זה כולל את עניין הסכנה בלבד.
שער הסוף - כולל את: עניין הווידוי, עניין הרפואה, עניין הפטירה, עניין הקריעה, עניין מי שמתו מוטל לפניו, עניין ההספד, עניין ההוצאה, עניין הקבורה ועניין הכהנים.
שער האבל - כולל את: עניין קרובים מתאבלים, עניין ההתחלה, עניין האבלות, עניין שבתות וימים טובים, עניין שמועה וליקוט עצמות ועניין אבלות ישנה.
השער האחרון של הספר נקרא שער הגמול, הוא קנה חשיבות בפני עצמו, ואף הודפס פעמים רבות כספר בפני עצמו.
בשער הגמול, עוסק הרמב"ן בענייני השכר והעונש, צדיק ורע לו רשע וטוב לו, גיהנם וגן עדן, עולם הבא ותחיית המתים, והוא מגדיר את עניינם על פי התלמוד ואמונת ישראל.
ברוב כתבי היד שער הגמול מופיע כחלקו השני של הספר, אך שער הגמול נדפס כבר בשנת 1490 כשלושים שנה קודם תורת האדם.
ישראלי העלה השערה ששער הגמול הוא יצירה בפני עצמה שחוברה לתורת האדם על ידי אחד מתלמידי הרמב"ן בשל הנושאים החופפים.
ככל הנראה כתב הרמב"ן את פירושו על ספר איוב כהמשך לחיבור זה.
הספר זכה לתפוצה גדולה, וכיום מצויים עשרות כתבי יד של ספר זה.
הספר נדפס במהדורות רבות, חלקם כללו הערות ותוספות שונות:
מהדורה ראשונה נדפסה בקושטא בשנת רע"ט, 1519
מהדורה נוספת נדפסה בוינציאה בשנת תרל"ו/ 1876
זכתה למהדורות צילום רבות, והיא זו שהייתה נפוצה אצל הפוסקים האחרונים.
רבי איסר זלמן מלצר ליקט מהספר וסידרו על מסכת מועד קטן והדפיסו במהדורת חידושי הרמב"ן שלו.
על אף שהרמב"ן לא חיבר ספר הלכה מקיף כדוגמת הרי"ף, הרא"ש או הרמב"ם, דמותו ויצירתו הקנו לו מקום נרחב בפסיקה ההלכתית של "הטור" ולאחר מכן ב"שולחן ערוך", לעיתים אף נגד גדולי הראשונים, ובעיקר מספרו 'תורת האדם', שכאמור השפיע רבות על הטור והשלוחן עורך בהלכות אלו.
על אף חשיבות הספר, הוא לא היה מצוי בידי רבים מהפוסקים שדנו בדבריו, כך שנאלצו להסתמך על דבריו כפי שהובאו בספרים אחרים, דבר שגרם לטעויות שונות.
כך למשל כתב מחבר האבני נזר על אחד מפסקיו של המגן אברהם: .
תורת הביפורקציה היא מחקר מתמטי של שינויים במבנה האיכותי או הטופולוגי של משפחה של עקומות (כמו עקומות אינטגרליות של משפחה של שדות וקטורים), וכן פתרונות של משפחות של משוואות דיפרנציאליות.
תורת הביפורקציה בדרך כלל מיושמת במחקר מתמטי של מערכות דינמיות, כאשר ההתפצלות (ביפורקציה) מתרחשת כששינוי קטן בפרמטר מסוים של המערכת (פרמטר ההתפצלות) גורם לשינוי "איכותי" או טופולוגי פתאומי בהתנהגות המערכת.
התפצלויות (ביפורקציות) מתרחשות הן במערכות רציפות (מתוארות על ידי משוואות רגילות, משוואות דילאי, או משוואות חלקיות) והן במערכות בדידות (מתוארות על ידי מפות).
השם "ביפורקציה" הוצג לראשונה על ידי החוקר אנרי פואנקרה ב-1885 במאמר המתמטי הראשון שהראה התנהגות כזו.
נהוג לחלק את ההתפצלות לשתי מחלקות עיקריות:
התפצלות (ביפורקציה) מקומית, שניתן לנתח באמצעות שינויים במאפייני היציבות המקומיים של שיווי משקל,, מסלולים מחזוריים או קבוצות בלתי משתנות אחרות כאשר פרמטרים חוצים ספים קריטיים.
התפצלויות (ביפורקציות) גלובליות, המתרחשות לעיתים קרובות כאשר קבוצות של המערכת 'מתנגשות' זו בזו, או עם שיווי משקל של המערכת.
לא ניתן לזהות התפצלויות כאלו על ידי ניתוח יציבות של שיווי המשקל (נקודות שבת), אלא דרושה אנליזה נוספת.
התפצלות (ביפורקציה) מקומית מתרחשת כאשר שינוי פרמטר גורם לשינוי היציבות של נקודת שיווי המשקל (או נקודת השבת).
במערכות רציפות, ביפורקציה מתאימה לחלק הממשי של הערך העצמי של שיווי משקל העובר דרך האפס.
במערכות בדידות (מתוארות במפות), זה מתאים לנקודת שבת בעלת "מכפיל Floquet" עם מודולוס שווה לאחד.
בשני המקרים, שיווי המשקל אינו היפרבולי בנקודת ההתפצלות.
השינויים הטופולוגיים בגרף הפאזה של המערכת יכולים להיות מוגבלים לאזור קטן כרצוננו סביב נקודת הביפורקציה אשר מתרחשים בעת שינוי פרמטר ההתפצלות קרוב לנקודת ההתפצלות (ולכן התפצלויות אלו הן 'מקומיות').
מבחינה טכנית, בהינתן המערכת הדינמית הרציפה המתוארת על ידי המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה (ODE)התפצלות מקומית מתרחשת ב אם ליעקוביאן יש ערך עצמי עם חלק ממשי אפסי.
אם הערך העצמי שווה לאפס, הביפורקציה היא יציבה, אך אם הערך העצמי אינו אפס אלא מדומה טהור, זוהי התפצלות מסוג 'הופף' .
עבור מערכות דינמיות בדידות, בהינתן המערכתמתרחשת התפצלות מקומית ב אם המטריצה בעל ערך עצמי עם מודולוס שווה לאחד.
אם הערך העצמי שווה לאחד, ההתפצלות היא או צומת אוכף, 'חוצה קריטית' או התפצלות קלשון.
אם הערך העצמי שווה ל −1, זוהי התפצלות מסוג הכפלה (או היפוך), ואחרת זו נקראת התפצלות הופפ.
התפצלות גלובלית מתרחשת כאשר קבוצות 'גדולות' יותר, כגון מסלולים מחזוריים, מתנגשות עם נקודת שיווי משקל.
זה גורם לשינויים בטופולוגיה של המסלולים במרחב הפאזה, כיוון שהם לא יכולים להיות מוגבלים לאזור קטן (בניגוד למה שקורה עם התפצלות מקומית).
למעשה, השינויים בטופולוגיה מתרחבים למרחק גדול באופן שרירותי (ולכן הביפורקציה נקראת 'גלובלית').
התפצלות הומוקלינית שבה מעגל שבת מתנגש בנקודת אוכף.
התפצלות הומוקלינית יכולה להתרחש באופן סופר-קריטי או תת-קריטי.
הגרסה שלמעלה היא התפצלות הומוקלינית "קטנה".
בדו־ממד קיימת גם ההתפצלות הומוקלינית "גדולה" שבה המסלול ההומקליני "לוכד" את הקצוות האחרים של נקודת האוכף.
בשלושה ממדים או יותר, יכולות להתרחש התפצלויות גבוהות יותר, מה שיוצר דינמיקה מסובכת ואף כאוטית.
התפצלות הטרוקלינית שבה מעגל שבת מתנגש בשתי נקודות או יותר או יותר;
תורת המוזיקה היא תחום במוזיקולוגיה, הכולל בתוכו מחקר היסטורי, אנתרופולוגי, ופסיכולוגי של המוזיקה.
תורת המוזיקה חוקרת כיצד "עובדת" המוזיקה: היא בוחנת את השפה והתיווי של המוזיקה, ומבקשת לזהות דפוסים ומבנים בטכניקות של מלחינים שפעלו בז'אנרים שונים, בסגנונות שונים או בתקופות היסטוריות שונות.
כדי לזהות את הדפוסים, התאוריה של המוזיקה מזקקת ומנתחת את הפרמטרים הבסיסיים או האלמנטים של המוזיקה, ובהם קצב, הרמוניה (פונקציה הרמונית), מלודיה, מבנה, צורה, מרקם, וכדומה.
ככלל, תורת המוזיקה עשויה לכלול כל הצהרה, אמונה או תפיסה של מוזיקה או עליה.
אדם החוקר את המאפיינים הללו ידוע כ"תאורטיקן מוזיקה".
כמה מן החוקרים משתמשים באקוסטיקה, בפיזיולוגיה אנושית ובפסיכולוגיה כדי להסביר איך ולמה המוזיקה נתפסת כשם שהיא נתפסת.
מרכיבי מוזיקה הם גובה צליל, מקצב או "פעמה", קצב, מלודיה, הרמוניה, מרקם, תזמור, גוון או צבע, איכויות הבעה הדינמיקה וההבעה (ארטיקולציה), וכן צורה או מבנה.
על כך ניתן להוסיף את הסולמות ו/או המודוסים ואת הקונסוננס והדיסוננס.
גובה צליל הוא תחושה סובייקטיבית, המשקפת בדרך כלל את טיבו של צליל מסוים: נמוך-תדר או גבוה-תדר.
אף שניתן לשטות בתפיסת הצליל של האדם כדי ליצור אשליות שמע, כמעט תמיד קיים קשר הדוק בין הדרך בה הצליל נתפס במוח האדם לבין התדר הבסיסי שלו, וכן קשר הדוק פחות לרמת הלחץ של הצליל (עוצמתו), לתוכן ההרמוני (המורכבות) של מנגינה/אקורד מסוימים, וכן לקונוטציה ההיסטורית של גוון צליל מסוים שנשמע.
באופן כללי, ככל שהתדירות של הקול גבוהה יותר, הצליל הנתפס גבוה יותר, וככל שהתדירות של הגל נמוכה יותר, גובה הצליל הנתפס נמוך יותר.
עם זאת, אפילו עבור צלילים בעלי עוצמה שווה, הגובה הנתפס ותדר הגל הנמדד אינם עומדים במערכת יחסים ליניארית פשוטה.
כאשר התו נמצא בתדירות של בערך 1000 הרץ או מתחת לתדירות זו, הגובה הנתפס של הצליל נעשה נמוך יותר ככל שלחץ הצליל נעשה גבוה יותר.
ברם, מעל 2000 הרץ בקירוב, גובה הצליל נעשה גבוה יותר בעוד הצליל מתחזק.
במוזיקה המערבית, קיימים סטנדרטים מתחרים לקביעת גובה צליל מדויק, המגדירים מערכות כיוון.
השימוש הרווח ביותר לקביעת גובה צליל הוא קולן המכוון על פי תו מסוים.
אך שיטה זו היא בעייתית שכן קשה לקבוע מהו התדר המדויק שבו התו צריך להיות.
הבעיה הבסיסית המונעת היווצרותו של סטנדרט אחד, אם כן, טמונה בפיזיקה של התנודות.
כדי להתגבר על בעיה זו נעשו ניסיונות לקבוע מהו התדר המסוים שצריך להיות לכל צליל (הדבר נחוץ בשביל יצרני כלים), אך גם סטנדרט זה השתנה עם השנים.
התו לה (A), למשל, הוגדר ב-1859 בצרפת כצליל שתדר הגל שלו הוא 435 הרץ, בעוד שבאנגליה באותה שנה, נע התדר הסטנדרטי בין 439 ל-452 הרץ.
בסופו של דבר, בשנת 1939 הומלץ לקבוע תקן שלפיו תדר התו לה יהיה 440 הרץ, ובשנת 1955 ארגון התקינה הבין-לאומי אישר את הבחירה.
כיום, A440 (לה בתדר של 440 הרץ), משמש באופן רחב (אם כי לא בלעדי) כלה (A) הנמצא מעל דו (C) מרכזי.
שני צלילים בעלי גובה שונה (תדירות גל שונה) נקראים מרווח.
המרווח הבסיסי ביותר הוא הפרימה, והוא ומתייחס לשני צלילים זהים (קרי, בעלי תדר גל זהה) המנוגנים בזה אחר זה או בד בבד (אוניסון).
מרווח פשוט אחר הוא האוקטבה, שהוא הכפלה או חלוקה לשניים של תדר הגל של צליל מסוים (לדוגמה, שני צלילי דו השונים זה מזה בגובהם).
ישנם אנשים אשר ניחנו ביכולת המכונה "שמיעה אבסולוטית" או פיתחו אותה, והם יכולים למקם כל צליל בסולם מוזיקלי.
ניתן לארגן תווים לסולמות ומודוסים שונים.
התאוריה של המוזיקה המערבית, מחלקת את האוקטבה לסדרה של 12 תווים, שבהם ניתן להשתמש על מנת להלחין יצירות שונות.
הסדרה של 12 התווים נקראת: "סולם כרומטי".
בסולם הכרומטי, המרווח בין שני תווים עוקבים נקרא "חצי צעד" או "חצי טון".
טיבו של סולם נקבע הן לפי מספר התווים בו והן לפי דפוס המרווחים שבין התווים הללו: כמה חצאי טון מפרידים בין התו הראשון בסולם לתו השני בו, בין התו השני לתו השלישי וכן הלאה.
הסולמות הנפוצים ביותר במוזיקה המערבית הם סולמות דיאטוניים (בעלי 7 תווים).
עם אלה נמנים הסולמות מז'ור, מינור טבעי, מינור הרמוני ומינור מלודי (ההבדל בין הסולמות המינוריים לסולמות המז'וריים נעוץ במרווח שבין התו הראשון לתו השלישי בסולם: טרצה גדולה או טרצה קטנה, כלומר, שלושה או ארבעה חצי טון).
סולמות נפוצים אחרים יכולים לכלול שמונה תווים (הסולם האוקטטוני המכונה גם "הסולם המוקטן") והסולם הפנטטוני (המורכב מחמישה צלילים בלבד), שנפוץ במוזיקה אתנית ובג'אז.
ישנם עוד סולמות רבים שניתן ליצור מ-12 התווים שבמוזיקה הקלאסית.
סולמות שונים אלו באים לידי ביטוי בעיקר במוזיקה המודרנית, שהמלחינים המצייתים לסגנונה אינם מוגבלים לכללי המוזיקה הקלאסית, ולכן ממציאים לעיתים קרובות את הסולמות המשמשים אותם.
הסולמות במסורות מוזיקליות לא-מערביות אינם מבוססים בהכרח על 12 התווים המוכרים מן המוזיקה המערבית ומהווים את הסולם הכרומטי.
אם נבחן למשל את המוזיקה המסורתית של פרס, הודו או ארצות ערב, נוכל לראות כי במוזיקה זו נוטים להשתמש גם במרווחי רבעי טון.
במוזיקה המסורתית של ארצות אלו ניתן לפיכך למצוא תווים רבים יותר וסולמות רבים יותר.
במוזיקה הקלאסית המערבית, העונה לחוקיות של סולמות מז'וריים או מינוריים בעלי 7 צלילים, המפתח של היצירה פירושו באיזה סולם נכתבה.
ניתן לראות, בהתאם לדרך שבה המפתחות בנויים (מעגל הקווינטות), את הקשר ההדוק שיש בין סולמות שונים במוזיקה המערבית.
למרות שכל סולם מאותו סוג (כל הסולמות המז'וריים למשל) בנוי על פי אותה חוקיות בדיוק, ניתן בכל זאת להבחין בהבדלים באופיים של הסולמות.
עם זאת, שינוי הסולם יכול גם להיות בלתי מורגש בשביל המאזין הפשוט, שכן היחסים בין התווים ביצירה אינם משתנים.
(ניתן לומר שגובה הוא דבר יחסי ולכן אם הצלילים יהיו מסודרים בגבהים מסוימים באותו יחס שבו הם היו מסודרים בגבהים הקודמים (של הסולם הקודם) אדם ללא שמיעה אבסולוטית לא יבחין בהבדל).
ניתן גם לחשוב על הדיסוננס והקונסוננס במונחים של יציבות: הרמוניות דיסוננטיות נחשבות לעיתים כ"לא יציבות" וכשואפות "להיפתר" על ידי מרווחים קונסוננטיים (למשל, כאשר נשמע אקורד דיסוננטי נרגיש צורך לשמוע אחריו אקורד קונסוננטי שיפתור לנו את ההרגשה הלא נעימה שמעורר הדיסוננס).
קצב הוא אופן סידור צלילים ושקט במרחב הזמן.
מד המסדר ומקבץ זמן בקבוצות בעלות דופק סדיר, נקרא תיבה.
המשקל מגדיר כמה פעמות יש בתיבה אחת, ואיזה ערך של תו נכתב צריך להרגיש כפעמה אחת (כלומר, מהו האורך של הצליל שתופס פעמה אחת).
במהלך יצירה, ייתכן שתווים מסוימים יודגשו לעיתים, כדי לבטא רגש מסוים.
ישנן מוסכמות במסורות שונות על סדר מסוים של הדגשות, שנועד לחזק את תחושת המשקל (בדרך כלל מדגישים את הפעמה הראשונה בתיבה למשל).
מקצבים משתנים הם מקצבים שמדגישים חלקים לא צפויים בתיבה.
נגינה של כמה מקצבים שונים בו זמנית נקראת פוליריתמיקה.
מלודיה ("מנגינה") היא סדרה של צלילים המושמעים ברצף.
צלילי המלודיה בדרך כלל נכתבים תוך כדי התייחסות לגורמים כמו סולמות ומודוסים.
הקצב של המלודיה בדרך כלל משקף הטעמות של שפת דיבור, מקצבים הנוחים פיזית לריקוד, או פעימות מחזוריות פשוטות.
המלודיה מחולקת לרוב למשפטים שמרכיבים מבנה קשתי.
האלמנטים שבאים לידי ביטוי במלודיה הם גובה הצלילים, אורכם, הדינמיקה של המלודיה והגוון שלה.
הרמוניה היא חקר צליליות אנכית במוזיקה.
כלומר, ההרמוניה חוקרת את היחסים הנוצרים בין צלילים שונים הנשמעים יחד; לרוב בו זמנית (אם כי מלודיה, כאשר היא מתווה מבנה הרמוני מסוים, יכולה גם היא לרמוז על הרמוניה).
היחס הנוצר בין שני צלילים נקרא מרווח בעוד שמבנים גדולים יותר, הכוללים יותר משני צלילים שונים, נקראים אקורדים.
במוזיקה מערבית קלאסית ובמוזיקה פופולרית, ההרמוניות (והאקורדים) בדרך כלל מבוססות על טרצות.
הצליל הרביעי יהיה במרווח של ספטימה מהצליל הראשון).
ישנן גם הרמוניות יוצאות דופן שאינן עונות להגדרה הקלאסית.
במוזיקה המודרנית של המאה ה-20 למשל, נחקרו סוגים רבים של צורות הרמונאליות שונות.
נעשה אז שימוש באקורדים כיד הדמיון, כאשר ההגדרה של "אקורד" השתנתה מהמובן המקובל (צלילים הבנויים במרווחים של טרצות) למובן רחב יותר של כל שלושה צלילים או יותר היוצרים אווירה טונאלית מסוימת, ללא כל קשר למרווחים בין הצלילים.
גם צורת סימון האקורדים בשיטה המוזיקה הקלאסית ובשיטה המודרנית אינה אחידה; במוזיקה המערבית הקלאסית מסמנים אקורדים בעזרת מערכת ספרות רומיות, בג'אז ובמוזיקה פופולרית לעומת זאת משתמשים באותיות ובמערכת סמלים מיוחדת לסימון האקורדים ואילו במוזיקה הפוסט-טונאלית משתמשים במגוון של שיטות.
צורת התפיסה של צליל יחיד בתוך הרמוניה תלויה במספר גורמים הכוללים בין היתר את האינטראקציה של תדרי הצלילים שבתוך ההרמוניה, ואת החספוס הנוצר על ידי פעימה מהירה של צלילים סמוכים.
תפיסת הצלילים תלויה גם במידת ההיכרות של המאזין עם המוזיקה, ואסוציאציות תרבותיות.
תאורטיקנים משתמשים במונח "הרמוניה" לתיאור כל "סימולטניות צלילית" ללא כל קשר לאיכויות הצלילים.
בשפה הרווחת לעומת זאת המילה "הרמוניה" משמשת לעיתים קרובות לתיאור צלילים נעימים לאוזן המשלימים זה את זה, דבר שבשפה המקצועית יקרא "קונסוננט".
המונח מונופוניה מתאר מוזיקה המורכבת מקו מלודי אחד ויחיד (באופן מופשט: מנגינה ללא ליווי).
אם המנגינה היחידה הזו מלווה על ידי אקורדים המרקם נקרא "הומופוני".
בהומופוניה הקו המלודי (המנגינה) נמצא בדרך כלל, אבל לא תמיד, בקול הגבוה ביותר.
מרקם נוסף הנקרא "פוליפוניה", מורכב מכמה מלודיות המושמעות בו זמנית, שלכולן חשיבות שווה.
מרקם מוזיקלי הוא האופי הכללי של יצירה מוזיקלית.
מרקם בדרך כלל מתואר בהתאם למספר הקולות, או היחסים בין הקולות, הקיימים ביצירה מוזיקלית.
סוגי המרקמים הם בין היתר: מונופוניה, הטרופוניה, פוליפוניה, הומופוניה ומונודיה.
המרקם הנתפס של יצירה מסוימת יכול להיות מושפע גם מגוון הצליל של הכלים המנגנים אותה, ממספר הכלים המנגנים ומהפרשי הגובה בין הקולות השונים.
גוון, המתואר לעיתים גם כ"צבע", או "גוון צליל", היא האיכות או ה"סאונד" של קול או כלי.
איכות גוון הצליל משתנה באופן משמעותי בין כל כלי שונה או קול שונה.
אפילו גוון הצליל של כלי אחד יכול להשתנות במהלך הנגינה על ידי שימוש בטכניקות מסוימות.
לדוגמה, גוון הצליל של חצוצרה משתנה כאשר הנגן משתמש בעמעם, דוגמה נוספת ניתן להביא מעולם השירה: גוון הקול האנושי יכול להשתנות בעזרת הפעלת מניפולציות שונות על מנגנון הקול (למשל על מיתרי הקול, על הפה או על הסרעפת).
ככלל, אין צורת סימון מסוימת הנועדה להורות על גוון דרוש מסוים בעת ביצוע יצירה (אם כי קיימים סימונים הדורשים הבעת רגש מסוים בעת נגינה, הנמכה או הגבהה של ווליום הצלילים, ושימוש בטכניקות מיוחדות.
דברים אלו משנים בעקיפין את גוון הצליל).
איכויות ההבעה במוזיקה, הם אלמנטים היוצרים שינוי במוזיקה שאינם קשורים למונחים טכניים כמו גובה צליל או קצב.
איכויות ההבעה כוללות: דינמיקה וארטיקולציה.
במוזיקה, המונח "דינמיקה", מתייחס בדרך כלל לרכות או לעוצמה של מנגינה או תו, למשל: פיאניסימו או פורטיסימו.
בעבר, רוב הדינמיקה הכתובה (ההערות שנכתבו יחד עם התווים והורו על הדינמיקה הדרושה) נכתבה באיטלקית, אך בימינו ניתן גם לראות מדי פעם הוראות כתובות המתורגמות לאנגלית.
עוד משמעות למילה "דינמיקה" היא התייחסות לכל היבט בנוגע לאופן ההוצאה לפועל (על ידי נגינה) של אירועים ביצירה; או סגנונית (סטקטו, לגאטו וכדומה) או תפקודית (מהירות היצירה).
המונח מתייחס גם להערות הכתובות על דף התווים שנועדו להורות לנגן על הדינמיקה הדרושה.
ארטיקולציה היא עיצוב מעטפת הצליל וגונו על ידי המבצע; לדוגמה: סטקטו או לגאטו.
ארטיקולציה לרוב מתוארת בכלליות על דף התווים ולא באופן מספרי מדויק או אף לא באופן כמותי, ובהתאם לכך ניתן למבצע מקום נרחב לפרשנות הארטיקולציה, והוא יבחר בדרך שלדעתו מביעה את היצירה המוזיקלית בצורה הטובה ביותר.
לדוגמה: סטקטו מוגדר לעיתים בצורה כללית כביצוע מופרד של רצף צלילים כאשר קיים ניתוק מסוים בין כל צליל וצליל.
עם זאת לא נאמר במדויק עד כמה יש להפריד בין כל צליל (מה אורך ה"הפסקה" בין הצלילים ועד כמה יש להדגיש את ההפרדה).
דבר זה נתון לבחירתו של המבצע.
בחירת הארטיקולציה תעשה, כפי שנאמר לעיל, בהתאם לתוכן היצירה ולמסר שהיא רוצה להעביר.
כמו כן, הסגנון של הארטיקולציה תלוי גם בסוג הכלי שמנגן את היצירה ובתקופה ההיסטורית שאליה משתייכת היצירה (לדוגמה: התקופה הקלאסית).
עם זאת, ישנן סוגי ארטיקולציות שמתאימות, באופן כללי, לכל הקולות והכלים.
הארטיקולציות המשותפות הן (בסדר של הארוך ביותר עד לקצר ביותר):לגאטו ("חלק", "מחובר"), טנוטו ("יחד", "ארוך אך מנותק"), מרקאטו("מנותק", "מבוטא בכבדות", "בעל משקל כבד"), סטקטו ("מופרד", "מנותק"), מרטלה או אקצנט ("חד וקצר").
כל הנ"ל יכולות להשתלב יחד כדי ליצור ארטיקולציות ב"מצב ביניים".
לדוגמה: פורטטו זה שילוב של טנוטו וסטקטו.
לכמה מהכלים יש ארטיקולציות מיוחדות משלהם ודרכים מיוחדות להפיק צלילים.
למשל: פיציקטו בכלי קשת הוא טכניקה של משיכת המיתרים בעזרת האצבעות (במקום בעזרת הקשת) היוצרת צלילים עמומים וחלשים.
הארטיקולציות מסומנות מעל התווים בצורת • המורה לנגן את הצליל סטקטו (קצר) והסימון המאונך − מורה לנגן את הצליל במלואו.
לארטיקולציה חשיבות רבה בנגינה קבוצתית של כמה כלי נגינה יחד, לדוגמה קבוצת כלי נשיפה (בראס סאקשן)או קבוצת כלי מיתר (סטרינגס)
כשנגן אחד מתוך הקבוצה לא ינגן צליל מסוים בארטיקולציה כפי שהיא כתובה תתקבל תחושה של חוסר מקצועיות כהרכב וחוסר תיאום מדויק בין הנגנים מה שמוריד באיכות ההרכב ובאיכות הסימטרית של המוזיקה
"מבנה" הוא פן של תורת המוזיקה, החוקר את המושג של "תחביר מוזיקלי", ברמה הפרטנית (ניתוח פנימי ומדוקדק של יצירה) וברמה הכללית (ניתוח כללי של יצירה).
התחביר מוסבר לעיתים קרובות במונחים של "משפטים" (המורכבים משאלה ותשובה) או "אפיזודות" (ברמה הפרטנית), ובמונחים של ז'אנרים ותקופות (ברמה הכללית).
דוגמאות לצורות שונות במוזיקה הקלאסית המערבית כוללות את צורת הפוגה, צורת הסונאטה, צורת הקאנון, הצורה הסטרופית, נושא ווריאציות, ורונדו.
מוזיקה פופולרית בדרך כלל עושה שימוש בצורה הסטרופית בשילוב עם בלוז 12 תיבות.
כתיבה כוראלית בארבעה קולות משמשת על מנת ללמד ולנתח את מוסכמות היסוד של המוזיקה, מימי הביניים ועד התקופה הרומנטית (פרק זמן שנמשך מ-1650–1900 בקירוב).
במוזיקולוגיה הגרמנית המסורתית, שיטת כתיבה זו מכונה: "הרמוניה פונקציונלית".
הכוראלים לארבעה קולות של יוהאן סבסטיאן באך, שנכתבו למען מטרות דתיות, משמשים עד היום כמודל להרמוניה פונקציונלית בעבור תלמידי מוזיקה, ומהווים תצוגה יוצאת דופן לחשיבתו הליניארית של באך.
כשמנתחים מוזיקה, מסתכלים גם על ה"פרטים" (מסתכלים על כל קול בנפרד ומנתחים את התייחסותו לשאר הקולות ואת מידת היותו עצמאי), וגם על "הכלל" (הפונקציות ההרמונאליות הנוצרות משילוב של כל הקולות ועוד גורמים המשפיעים על כלל הקולות כמו המשקל).
לאחר שהתלמידים לומדים לנתח יצירות שונות, הם מתבקשים להרמן כוראלים בעצמם, לעיתים קרובות באמצעות מנגינות נתונות, על קו בס מסוים, או באמצעות הלחנה על התקדמות הרמונאלית נתונה, כאשר הם מתבקשים לציית לכללי הולכת הקולות.
למרות שבאופן מסורתי נתפס התרגיל כתרגיל ווקאלי עבור סופרן, אלט, טנור, ובס, נפוצים גם תרגילים אחרים המתייחסים לרביעיית כלי נשיפה (שתי חצוצרות, קרן צרפתית וטרומבון) או לרביעיית מיתרים (כינור ראשון, כינור שני, ויולה וצ'לו).
ישנם שבעה אקורדים בסיסיים שבהם נהוג להשתמש כאשר מהרמנים בשיטה הקלאסית.
שבעת האקורדים מבוססים כל אחד על תו אחר בסולם.
את האקורדים מסמנים בדרך כלל בעזרת ספרות רומיות: I, II, III, IV, V, VI, VII המתייחסות לאקורדים בעלי שלושה צלילים (הבנויים בטרצות) הנבנים בהתאמה על כל תו עוקב בסולם המז'ורי או המינורי שהיצירה כתובה בו.
ישנן כמה גישות לגבי אופן כתיבת האקורדים.
חלק מהחוקרים טוענים כי, בעת הניתוח, יש להבדיל בין אקורדים בעלי אופי מז'ורי (I,IV,V7 וכו'), הכוללים גם אקורדים מוגדלים (לדוגמה: +VII),שיסומנו בעזרת ספרות רומיות רישיות, ובין אקורדים בעלי אופי מינורי, הכוללים גם אקורדים מוקטנים (לדוגמה: ii,iii,vi, vii-dim), שיסומנו בעזרת ספרות רומיות קטנות.
כמו כן, הם טוענים, כי יש לציין כאשר בקו הבס מופיע תו שהוא אינו התו הבסיסי של האקורד (אינו התו שעליו בנוי האקורד, כלומר הוא אינו צליל הפרימה), והאקורד הוא אקורד מהופך.
מסמנים זאת בעזרת מספרים שיופיעו מעל הספרות הרומיות.
באקורדים משולשים ההיפוכים יהיו: סקסטאקורד (ההיפוך הראשון, מסומן בעזרת הספרה 6), וקורטסקסטאקורד (ההיפוך השני, מסומן ב-4 6).
בספטאקורדים ההיפוכים יהיו: קוינטסקסטאקורד (ההיפוך הראשון, מסומן ב-5 6), טרצקוורטאקורד (ההיפוך השני, מסומן ב-3 4), וסקונדאקורד (ההיפוך השלישי, מסומן ב-2).(דוגמה).
מנגד, ישנם חוקרים, המתבססים על התאוריות של היינריך שנקר וטוענים כי אין זה משנה מה מצב האקורדים בזמן הניתוח הסופי, ולכן יש לסמן את כולם בספרות רומיות רישיות.
המיומנות הדרושה בהירמון כוראל בסגנון באך, כרוכה ביכולת להתחיל את הקטע בסולם אחד, ובהמשכו לעשות מודולציה (לעבור) לסולם אחר, בסוף המשפט המוזיקלי הראשון, או בתחילתו או סופו של המשפט השני.
כשמהרמנים כוראל, קיימת לעיתים קרובות האפשרות לעבור למספר מגוון של אזורים טונאליים קרובים (סולמות שהשוני בינם לבין הסולם המקורי קטן).
האזורים הקרובים הם בדרך כלל: הסולם של הדרגה (האקורד) החמישית V (ידועה גם כדומיננטה) או של הדרגה המינורית המקבילה לה iii, הסולם של הדרגה הרביעית (סאב-דומיננטה) IV או של הדרגה המינורית המקבילה לה ii, הדרגה ה־III בסולם המינורי, הידועה גם כ"מז'ור המקביל" והדרגה ה־VI בסולם המז'ורי הידועה גם כ"מינור המקביל".
ניתן גם להשתמש באקורדים כרומטיים (שיש בהם צלילים החורגים מהסולם) שמקלים בדרך כלל על המעבר בין הסולמות וגורמים לו להשמע יותר טבעי ופחות "מקרטע".
לדוגמה האקורד שנקרא "דומיננטה שניונית" שהוא בעצם "הדומיננטה של הדומיננטה" (הדרגה החמישית בסולם שהצליל הראשון שלו הוא הדרגה החמישית של הסולם המקורי) והוא מעין גרסה מז'ורית לאקורד II, מקל עלינו לעשות מודולציה לדרגה ה־V של הסולם.
למרות שישנו מגוון רחב של אקורדים שבהם ניתן לעשות שימוש על מנת לבצע מודולציה, ניתן להבחין בקדנצות מסוימות שבהן מרבים להשתמש, ושחלקן אף הפכו לסטנדרט.
נציין לדוגמה את הקדנצה הנפוצה: IIb7-V7-I.
"דקדוק מוזיקלי" פותח על ידי התאורטיקנים ג'קנדוף ולרדאהי.
בעזרת שימוש ברקע של ג'קנדהוף כבלשן וברקע של לרדאהי כתאורטיקן ומלחין מוזיקה, יצרו השניים סדרה של חוקים מוגדרים שנועדה להסביר את המבנה ההיררכי של המוזיקה הטונאלית.
כללי הדקדוק המוזיקלי מתמקדים ב"קיבוץ מוזיקלי", וחוקרים כיצד שיטות שבהן קבוצות קצביות של תווים והיררכיות הרמונאליות מסוימות, נתפסות על ידי המאזינים.
על פי שיטת הדקדוק המוזיקלי, ישנן שלוש קבוצות שעל פיהן המאזין מקבץ מבנים במוזיקה הטונאלית: קבוצת חוקי "קיבוץ הצורה הטובה", קבוצת חוקי "קיבוץ על פי עדיפויות", וקבוצת "החוקים המשתנים".
בעזרת שיטות הקיבוץ השונות, המאזין מפלח את המוזיקה שהוא שומע לקבוצות של אירועים שונים, מה שבסופו של דבר יוצר, בתפיסתו של המאזין, מבנה היררכי מסוים במוזיקה.
אף על פי שתאוריית הדקדוק המוזיקלי התקבלה בהסכמה על ידי תאורטיקנים רבים, היא בהחלט אינה התאוריה היחידה שדנה בקוגניציה מוזיקלית.
כיום אין תאוריה שהתקבלה כבלעדית וניתן לדון בקוגניציה מוזיקלית מהיבטים שונים.
שיטת שנים-עשר הטונים פותחה על ידי ארנולד שנברג, והיא מסדרת את כל 12 הטונים של הסולם הכרומטי בסדר מחזורי מסוים.
בשנת 1947, פותחה שיטה זו במקביל (וללא ידיעה שהיא כבר פותחה על ידי שנברג) על ידי מקורות אנגליים וצרפתיים והיא כונתה על ידם כ"שיטה הסריאליסטית" (אם כי שיטה זו היא רחבה יותר וכוללת בתוכה עוד שיטות חוץ מ-12 הטונים).
השיטה יוצרת שורה מסוימת המורכבת מ-12 הצלילים, שבעזרתה ניתן לחקור את כל המעברים ההרמונאליים והטונאליים האפשריים.
הטכניקה האנליטית כרוכה בכתיבת מטריצה של 12X12 המסמלת את כל הטונים בסולם הכרומטי, ואת כל הדרכים בהן ניתן לסדר אותם (על ידי טרנספוזיציות, היפוכים, נסיגות ועוד דרכים רבות ושונות למשל מעגל הקוורטות).
טכניקה זו מזוהה בעיקר עם מלחיני האסכולה הוינאית השנייה, ברם, היא חדרה לתוך שפות מוזיקליות של מלחינים רבים.
המונח "סריאליזם", כאמור, לא מתייחס בהכרח רק לשיטת 12 הטונים.
ניתן לראות זאת במיוחד בשפה המוזיקלית הגרמנית; מלחינים גרמנים רבים חקרו שיטה זו על ידי שימוש בפחות מ-12 צלילים, כאשר הם חוזרים על תווים בתוך השורה.
עם הזמן, כאשר מלחינים רבים חקרו את השיטה בצורות שונות, נוצרו זרמים בתוך השיטה הסריאליסטית: סריאליזם של סולמות מיקרוטונאליים, סריאליזם פרמוטונאלי (שבו הסדר של התווים לא קבוע), סריאליזם תפוצתי, ויצירות סריאליסטיות בלי תווים בכלל (קצביות).
בנוסף, מלחינים כמו פייר בולז חקרו סריאליזם אינטגרלי, כלומר, הסדרה של כל הפרמטרים המוזיקליים האפשריים (לא רק צלילים אלא גם קצב, דינמיקה וכדומה).
תורת הקבוצות המוזיקלית היא גישה נוספת העוזרת לנו להבין מוזיקה א-טונאלית סדרתית (או שאינה סדרתית).
למרות שמבחינה מתמטית, תורת הקבוצות המוזיקלית דומה יותר לתורת החבורות המתמטית מלתורת הקבוצות המתמטית, היא קיבלה את רשימת המונחים של תורת הקבוצות המתמטית.
תורת הקבוצות המוזיקלית, מציגה את סוגי הצלילים כמספרים על מנת לאפשר חקר של מוזיקה שאין לה הרמוניה טונאלית או משולשת (המבוססת על טרצות).
שיטת הקבוצות, מאפשרת חקר של מוזיקה עם שורות טונים סדרתיות וגם של מוזיקה א-טונאלית עם מבנים פחות ברורים.
הטכניקה הורחבה, תוך התייחסות רבה למתמטיקה של מערכות מוזיקליות טונאליות ואטונאליות, על ידי דוד לוין (David Lewin) בגישתו הטרנספורמציונאלית המתייחסת לרשתות בעלות מבנים דומים.
תיווי מוזיקלי הוא הייצוג הסמלי של המוזיקה.
מבחינה היסטורית, ובאופן מופשט ביותר, הייצוג של המוזיקה מושג בעזרת סמלים גרפיים.
עם זאת, יש דרכים נוספות לייצג מוזיקה; ניתן לייצג מוזיקה בעזרת שפה מדוברת (שמות התווים, שמות האקורדים, שמות הארטיקולציות וכדומה) ובעזרת סימני ידיים מיוחדים (תנועות מיוחדות שפותחו לציון התווים, ניצוח שקובע את הקצב וכדומה).
כיום, ניתן לייצג מוזיקה אף בעזרת קובצי מחשב בפורמט מסוים.
בתיווי הסטנדרטי (התיווי הקלאסי המערבי), המוזיקה מיוצגת בצורה גרפית על ידי תווים שממוקמים בתוך תיבות.
לתיבות חמישה קווים אופקיים, שמנסים לדמות בערך את גובה הצליל, כך שצליל גבוה יותר יהיה מונח מעל צליל נמוך יותר, והמרחק ביניהם ייקבע בכמות הצלילים שניתן להכניס ביניהם.
כמו כן לתיבות יש קווים אנכיים המפרידים בין אחת לרעותה, ומסדרים את הפעימות או הקצב.
הצורות של ראשי התווים ("העיגולים" שיכולים להיות חלולים או מלאים), הגבעולים (הקו שמחובר לראש תו), נקודות שמוספות במקומות מסוימים וקשתות נועדו לקבוע את משך הצלילים.
סמלים נוספים מסמלים את המפתח, הטמפו, הדינמיקה, ההדגשות, ההפסקות וכו'.
המונחים מוזיקה ומתמטיקה קשורים זה לזה בחוזקה.
מקריאת הערך השלם שלעיל, ניתן לראות התייחסויות רבות למונחים מתמטיים, מהפשוטים שבהם (כגון ספרות) ועד תאוריות יותר מורכבות (מטריצה וכדומה).
למעשה, תאורטיקנים רבים משתמשים במתמטיקה על מנת לבסס ולפתח תאוריות מוזיקליות חדשות (דוגמאות לתאוריות מוזיקליות המבוססות על מתמטיקה הן, בין היתר: תורת הקבוצות המוזיקלית והתאוריה הטרנספורמציונאלית).
חלק משיטות ההלחנה גם הן מבוססות על מתמטיקה: יאניס קסנאקיס (Iannis Xenakis), למשל, פיתח מספר שיטות כאלה בהתבסס על תאוריות סטוכסטיות.
בנוסף, בית הספר הצרפתי למוזיקה ספקטרלית, מנחיל לתלמידיו את השימוש בניתוח מתמטי של צלילים על מנת להלחין מוזיקה.
בהיסטוריה של המוזיקה, התאוריות המתמטיות, שפותחו על ידי היוונים בין 500 ל-530 שנה לפני הספירה, היוו את הבסיס להבנת הצלילים בפעם הראשונה, ולבניית מערך מרווחים וסולמות.
הגילוי כי קיים יחס בין אורכי המיתרים ובין הצלילים המופקים מתנודותיהם, נעשה על ידי פיתגורס.
על סמך ממצאים אלו, פיתגורס ניסח את מיקומי הלחיצה במונוקורד, כך שיוכל ליצור מרווחים שונים קבועים, דבר שהיווה בסיס למערך המרווחים המוזיקליים שנוסד בהמשך.
בנוסף לתרומה החשובה של תגלית זו לעולם המוזיקה, הייתה לתגלית השפעה עצומה גם על עולם המתמטיקה; בעקבות התגלית, הסיק פיתגורס שניתן לתרגם כל דבר למספרים ושכל דבר הוא התגלמות של מספר או נוסחה מספרית.
לאחרונה, גילה בוגר אוניברסיטת פרינסטון דימיטרי טימוצ'קו (Dmitri Tymoczko), שהיחסים בין הצלילים קיימים בצורות גאומטריות רב ממדיות.
טימוקסקו גילה זאת כששרטט בטור, על דף נייר, את כל המרווחים האפשריים שניתן ליצור משני תווים.
אחרי שעשה זאת בדק טימוקסקו את האפשרות שישנו דפוס מסוים לתווים.
טימוקסקו חתך את הנייר לשני משולשים, הפך אחד מהמשולשים (והפנה את קודקודו מטה) וחיבר חזרה את המשולשים במקומות שבהם המרווחים חפפו.
טימוקסקו הבחין בכך שהמרווח שבקצה אחד של הנייר החדש, היה בדיוק ההיפוך של המרווח שבקצה השני.
כשהוא עיקם את הנייר וחיבר את שני קצותיו, המרווחים הסתדרו בשורה.
מרווחים בעלי שני תווים (כאשר התווים מנוגנים בו זמנית), מיוצגים בצורה גרפית על ידי טבעת מביוס, צורה דו־ממדית שמוטמעת בתוך מרחב תלת מימדי.
כאשר מנגנים יותר משני צלילים בד בבד (אקורד), הצורה הגאומטרית שנוצרת נעשית מסובכת יותר (עם כל צליל שנוסף).
אקורדים בעלי שלושה צלילים מיוצגים על ידי צורות תלת־ממדיות מעוותות ואקורדים בעלי ארבעה תווים מיוצגים על ידי צורות עם ארבעה ממדים.
יש לציין כי לצורות הנוצרות בדרך כלל יש משמעות בעיני המתבונן (נוצרות צורות בעלות משמעות אסתטית כגון: כוכב, קשתות וכדומה).
ישנם עוד עקרונות מתמטיים רבים שמיושמים בעולם המוזיקה.
ישנם גם עקרונות מתמטיים רבים שחלים על כל הז'אנרים המוזיקליים ושגם יושמו, ללא כוונה, על ידי מלחינים כבר בימי הביניים.
המשמעות של ממצאים אלה היא בעיקר להוראה וליישום חוקים מוזיקליים.
ניתוח מוזיקלי הוא המאמץ לתאר ולהסביר מוזיקה.
ניתוח מוזיקלי, על רגל אחת, הוא מונח כללי המתאר את תהליך הפירוש של כל חלק במוזיקה.
הניתוח המוזיקלי מתייחס גם לתחומי ניתוח ספציפיים כמו האנליזה הרשמית או האנליזה הסגנונית.
האנליזה הרשמית מנסה לענות על שאלות העוסקות בהיררכיה ובצורה של המוזיקה, בעוד האנליזה הסגנונית מנסה לתאר את סגנון היצירה.
לעיתים קרובות שני התחומים הללו חופפים.
האנליזה המנתחת מבנים הרמוניים עושה שימוש בדרך כלל בספרות רומיות בעת ניתוח.
עם זאת, במהלך השנים, כאשר המוזיקה ותורת המוזיקה התפתחו, נוצרו שיטות רבות וחדשות לניתוח המוזיקה והן עושות שימוש בסימונים נוספים לצד או ללא הספרות הרומיות.
שתי שיטות חדשות, שהפכו פופולריות במיוחד, הן: שיטת שנקריין (Schenkerian) ותאוריית נאו- ריימניין (Neo-Riemannian).
שיטת שנקריין מנסה "לצמצם" מוזיקה לשכבות של "חזית", "אמצע" ו"רקע"; לו מייחסים חשיבות רבה יותר.
שיטת הנאו-ריימניין (או השיטה הטרנספורמציונאלית), החלה בתור הרחבה של התאוריות המוזיקליות של הוגו ריימן (Hugo Riemann).
יוצרי השיטה, הרחיבו את המונחים התפיסתיים של ריימן על המושגים "צליל" ו"שינוי מוזיקלי", והפכו אותם לשפה מתמטית עשירה העוזרת לנתח מוזיקה.
בעוד ששתי התאוריות הנ"ל החלו כשיטות לניתוח מוזיקה טונאלית, שתיהן הורחבו עם הזמן וכיום משתמשים בהן גם לניתוח מוזיקה אטונאלית.
מיומנות שמיעתית היא היכולת לזהות דפוסים מוזיקליים בעזרת האוזן (וע"י כך לכתוב תווים משמיעה בלבד).
למרות שמונח זה נשמע קצר ופשוט, על המאזין לפתח מיומנות שמיעתית רבה במגוון רחב של נושאים מוזיקליים על מנת שיוכל להגיע לזיהוי כל הדפוסים הקיימים במוזיקה.
שמיעה מפותחת היא מיומנות חשובה בשביל מוזיקאי והיא בדרך כלל נלמדת לצד לימודי התאוריה של המוזיקה.
רוב לימודי (או בעצם "אימוני") פיתוח השמיעה, מתמקדים בפיתוח חוש קצב ושמיעה יחסית אצל התלמיד, (שמיעה יחסית היא היכולת לזהות מרווחים מוזיקליים בצורה אינטואיטיבית).
סולפג' (היכולת לשיר מוזיקה לא מוכרת ישירות מהתווים הכתובים וללא סיוע), הוא חלק חשוב ומרכזי בשיעורי פיתוח השמיעה.
שמיעה אבסולוטית היא היכולת לזהות צליל בשמו על פי תדר בלבד, דהיינו - על פי גירוי שמיעתי בודד, ולא בהסתמך על היחס בינו לבין צלילים נתונים אחרים (שלא כמו בשמיעה יחסית).
תורת היחסות הוא שמן המשותף של שתי תאוריות מדעיות פיזיקליות – תורת היחסות הפרטית ותורת היחסות הכללית – שפותחו על ידי אלברט איינשטיין בראשית המאה ה־20 ושינו את תפיסת העולם האנושית בכל הנוגע למושגי היסוד של הפיזיקה – זמן, מרחב, מסה ואנרגיה.
בעקבות המהפכה שחוללו תאוריות אלה, הרגיש איינשטיין צורך "להתנצל" בפני סר אייזק ניוטון על כך שתיקן את כללי המכניקה הקלאסית שלו.
תורת היחסות הפרטית יחד עם תורת השדות הקוונטית מהווה את הבסיס התאורטי של המודל הסטנדרטי של פיזיקת חלקיקים.
מודל זה, יחד עם תורת היחסות הכללית, נחשב כבסיס התאורטי לכלל הפיזיקה כיום.
התיאוריה הראשונה, "תורת היחסות הפרטית", שפרסם אלברט איינשטיין בשנת 1905, באה לענות על סתירות לכאורה שהתעוררו בין המכניקה הקלאסית העוסקת בהתנהגות גופים לתאוריה האלקטרומגנטית הקלאסית, העוסקת בחשמל ומגנטיות.
סתירות אלה באו לידי ביטוי בקשיים בהבנת התנהגות האור.
תוצאות ניסוי מייקלסון-מורלי, אשר פיצל אלומת אור למספר כיוונים והוחזר, היו בלתי מובנות על בסיס ההנחה שגם ביחס למהירות האור, כמו ביחס לכל מהירות אחרת, מתקיים הכלל של חיבור מהירויות.
בבסיס ההסבר שנתנה תורת היחסות הפרטית לתופעה זו עומדות שתי הנחות (פוסטולטים):
מהירות האור קבועה לכל הצופים ללא תלות במהירותם היחסית.
נהוג לסמנה באות C (מהירות האור בריק וערכה הוא 299,792,458 מטרים בשנייה).
חוקי הטבע זהים בכל המערכות האינרציאליות, דהיינו אלה שנשמעות לחוקי התנועה הראשון והשני של ניוטון.
אלה הן מערכות הנעות במהירות קבועה זו ביחס לזו.
מהנחות אלה עולה כי צופה במנוחה יגלה שלוש תופעות במערכת הנמצאת בתנועה יחסית אליו:
התארכות הזמן – לדוגמה, אם מישהו נע ביחס אלי במהירות השווה למחצית מהירות האור, אגלה כי השעון שלו מתקתק בקצב איטי של כשנייה אחת על כל 1.15 שניות החולפות בשעון שלי.
אם הוא יצפה בשעון שלי, הוא יגלה את אותו הדבר – שהשעון שלי מתקתק בקצב איטי יחסית לשלו, מהסיבה הפשוטה שמבחינתו אני נע במהירות השווה למחצית מהירות האור.
התקצרות האורך – לדוגמה, אם חללית נעה ביחס אלי במהירות השווה למחצית מהירות האור, אגלה שאורכה קצר בכ־13% לעומת האורך שלה במנוחה.
נוסע הנמצא בחללית לא יבחין בשינוי כי הוא נמצא במנוחה יחסית אליה.
עליית המסה – לדוגמה, אם חללית נעה ביחס אלי במהירות השווה למחצית מהירות האור, אגלה כי מסתה גבוהה בכ־15% מהמסה שלה במנוחה, אבל מי שבחללית לא יוכל לזהות שינוי כלשהו במסתה.
תופעה נוספת בה טיפל איינשטיין בתורת היחסות היא:
יחסיות הבו זמניות – לא ניתן לקבוע סימולטניות של שני אירועים רחוקים זה מזה במרחב.
ייתכן כי שני אירועים יראו סימולטניים לצופה א', בעוד צופה ב' יראה אותם מתרחשים בזמנים שונים.
דוגמה לביטויה של שקילות זו במלואה ניתן לראות כאשר חלקיק חומר מתנגש בחלקיק אנטי-חומר והם מתאיינים תוך שחרור מלוא האנרגיה המסתית שלהם, ללא השארת שארית ממהותם המקורית.
בשנת 1915 חולל איינשטיין מהפכה גדולה עוד יותר כשפרסם את תורת היחסות הכללית, העוסקת בגופים בתאוצה ומנסה להסביר את תופעת הכבידה – המשיכה הקיימת בין כל שני גופים בעלי מסה.
ההסבר אומר שכל מסה מעקמת את המרחב-זמן סביבה ויוצרת מעין "שקע" אשר קובע את תנועת החומר ואף האנרגיה – כפי שמתבטא בתופעה המכונה "עידוש כבידתי", שבה אור משנה מסלולו בקרבת מסה גדולה.
עיקום המרחב-זמן מתבטא באופן שמשנה את ההגדרה של קווים ישרים, כך שתנועה בקו ישר לידה אינה נראית כך מרחוק.
לפיכך, המסה תגרום לגופים הנעים לידה, לנוע באופן שייראה כסטייה ממסלול ישר.
תאוריה זו נבדקה במספר רב של ניסויים, ורובם הגדול אימת את תחזיותיה בדייקנות גבוהה.
תורה זו חוזה את קיומם של חורים שחורים ובעלת השלכות משמעותיות על הקוסמולוגיה וצורת התפתחות היקום.
אולם, היא לא מתיישבת עם מכניקת הקוונטים המתארת את העולם הפיזיקלי בקנה מידה זערורי ושתחזיותיה אומתו אף הן בדייקנות רבה.
כדי להבין לעומק מה קרה בראשית היקום ומה מתחולל בחורים שחורים, מנסים לבנות תורה פיזיקלית הממזגת את שתי התורות הללו.
התחום העוסק בניסיון לאיחוד כזה קרוי תורת כבידה קוונטית.
תורת היחסות הפרטית היא תאוריה מדעית פיזיקלית, מהפכנית בזמנה, שפותחה ופורסמה על ידי אלברט איינשטיין בשנת 1905 (שנת הפלאות).
תורת היחסות באה לפתור את הסתירות שהתגלו בין המכניקה הקלאסית והתורה האלקטרומגנטית, והיא יוצאת מתוך שתי הנחות יסוד:
מהירות האור בוואקום היא קבועה בכל מערכת ייחוס.
חוקי הפיזיקה זהים בכל מערכות הייחוס.
אחת התוצאות המפתיעות הנובעות מהנחות אלו היא שאין זמן ומרחב מוחלטים – ככל שמערכת ייחוס נעה במהירות גבוהה יותר (עם מהירות האור כחסם עליון), ממד האורך של המערכת בכיוון התנועה מתכווץ ביחס לצופה נייח, והזמן המקומי שלה מתקדם לאט יותר מנקודת מבטו של אותו צופה.
בשנת 1915 הרחיב אלברט איינשטיין את תורת היחסות על מנת להתמודד עם מושג התאוצה, ובכך יצר את תורת היחסות הכללית, אשר אחד ההישגים החשובים שלה הוא הסבר של כוח הכבידה מתוך התעקמות של המרחב-זמן.
בעוד מדענים חשובים כמו מקס פלאנק קיבלו את התורה בהתלהבות, רבים בקהילה הפיזיקלית שללו אותה מכול וכול.
מסיבה זאת, כאשר הוחלט להעניק לאיינשטיין את פרס נובל לפיזיקה בשנת 1921, הפרס ניתן על ההסבר של האפקט הפוטואלקטרי ולא על תורת היחסות.
נקודת המפנה בקבלת תורת היחסות הייתה תצפית שנערכה בשנת 1919 על ידי משלחת שבראשה עמד ארתור אדינגטון שדיווחה שצפתה בהסטה במיקומם של כוכבים הנראית בזמן ליקוי חמה, שנובאה על ידי תורת היחסות הכללית.
למעשה, תוצאות הניסוי לא היו חד משמעיות.
פרסום הניסוי הפך את איינשטיין לדמות מוכרת ברחבי העולם.
באופן דומה, הנוסחה E=mc2, המבטאת את שקילות המסה והאנרגיה, שהיא אחת מהתגליות המפתיעות של תורת היחסות הפרטית, הפכה לסמל תרבות ומדע.
כיום תורת היחסות מקובלת על הרוב המוחלט של הקהילה הפיזיקלית, מהווה אבן בסיס של הפיזיקה המודרנית, ותוצאותיה נבדקות בתחומים רבים.
בסוף המאה ה-19 ניסח ג'יימס קלרק מקסוול את חוקי ההתפתחות של שדות חשמליים ומגנטיים, הקרויים היום על שמו.
בין התוצאות החשובות של חוקים אלו היה גילוי קיומם של גלים אלקטרומגנטיים – גלים המבוססים על שדות חשמליים ומגנטיים המתנדנדים בזמן.
בכך הצליח מקסוול לראשונה להסביר את האור, ואת מדע האופטיקה באמצעות חשמל ומגנטיות.
חוקים אלו, שהתווספו על חוקי התנועה של ניוטון ועל חוקי התרמודינמיקה, הביאו מדענים רבים בסוף המאה ה-19 לחשוב שהפיזיקה מצאה את כל החוקים היסודיים של הטבע.
ואולם מספר מדענים העירו שישנה בעיה בשילוב של חוקי מקסוול והמכניקה הניוטונית.
קרינה אלקטרומגנטית ומדידת מהירות האור
על פי המכניקה הקלאסית, כל גל מתקדם בתווך מסוים ומהירות ההתקדמות שלו (שנקבעת על פי משוואת הגלים) נמדדת ביחס לתווך.
במאה ה-19 סברו שהאור נע בתווך שכונה "אתר", שהיה עשוי מחומר דק הממלא את כל היקום.
בשנת 1887 ביצעו הפיזיקאי אלברט אברהם מייקלסון ועמיתו אדוארד מורלי את הניסוי המפורסם – ניסוי מייקלסון-מורלי.
מטרתם הייתה לבדוק את מהירות כדור הארץ באתר.
הרעיון מאחורי הניסוי היה לצרף שתי קרני אור, אשר אחת מהם נעה בכיוון התקדמות כדור הארץ, ואחת מהם נעה בניצב אליו.
בהנחה שהאור מתקדם באתר ושכדור הארץ נע ביחס אליו, צריך להיות הבדל במהירות של אותן שתי קרניים, והאינטרפרומטר של מייקלסון מורלי היה רגיש מספיק בשביל למדוד הבדל זה.
ממדידת ההבדל ניתן היה, לפי הנחתם, להסיק את מהירות כדור הארץ.
אולם, תוצאות הניסוי העלו שמהירות האור שנמדדה בשני הכיוונים הייתה זהה.
תוצאה זו זכתה לפרשנויות שונות.
מייקלסון ומורלי סברו שהמכשור לא היה רגיש דיו, וניסו לחזור על הניסוי בווריאציות שונות, ואילו הפיזיקאים הנדריק לורנץ וג'ורג' פיצג'רלד הציעו ב-1892 כי הגופים הנעים מתכווצים בכיוון התנועה באתר, השערה הדומה מאוד לעקרונות היחסות שיתגלו בהמשך.
לאחר שאיינשטיין פרסם בשנת 1905 את תורת היחסות הפרטית, פורש ניסוי מייקלסון-מורלי בדיעבד כאישוש שלה וכהפרכת קיומו של האתר, על אף שבשעתו הוא לא נתפס כך כלל.
אף על פי כן, היו שהמשיכו להתנגד לה, כמו הפיזיקאי האמריקאי דייטון מילר (1866–1941) שהמשיך לבצע שחזורים של ניסוי מייקלסון-מורלי באמצעים מדויקים יותר עד אמצע שנות השלושים, ואף פרסם ממצאים שמדדו, לטענתו, שינוי במהירות האור ביחס לאתר, ובכך הפריכו לכאורה את תורת היחסות.
אולם בשלב זה תורת היחסות הייתה מקובלת היטב והקהילה המדעית איבדה ברובה עניין בניסוייו.
ייתכן כי איינשטיין התוודע לניסוי מייקלסון מורלי ולתוצאותיו מתוקף היותו סטודנט לתואר ראשון לפיזיקה.
מיתוס היסטורי נפוץ מתייחס לכישלונם של מייקלסון ומורלי למדוד שינוי במהירות האור ביחס לתנועת כדור הארץ באתר כגורם העיקרי שהביא את איינשטיין לפיתוח תורת היחסות הפרטית.
אולם ככל הנראה מיתוס זה שגוי או לכל הפחות מוגזם.
איינשטיין לא הזכיר את הניסוי במאמרו משנת 1905, שם פיתח את תורת היחסות הפרטית משיקולים תאורטיים טהורים.
מידת השפעתו של ניסוי מייקלסון-מורלי על איינשטיין שנויה במחלוקת בקרב היסטוריונים של המדע, אף כי בכל מקרה מקובל לחשוב שהיא פחותה ממה שהנרטיב המקובל מניח.
במאמר שפרסם על יחסות פרטית, שנקרא "על האלקטרודינמיקה של גופים נעים", כתב איינשטיין שהמניע אשר דחף אותו לפתח את התורה היה חוסר הסימטריה שביסודה של תופעה אלקטרומגנטית בסיסית.
מדובר בתופעה שבה תנועה יחסית בין מוליך לשדה מגנטי יוצרת זרם חשמלי במוליך.
לתופעה זו הציעה האלקטרומגנטיות הקלאסית שני הסברים שונים לחלוטין:
אם המוליך זז ביחס לשדה, הרי שהמטענים נעים במהירות כלשהי ולכן פועל עליהם כוח לורנץ הגורם להם לנוע בתוך המוליך ובכך יוצר זרם.
אם השדה המגנטי משתנה ביחס למוליך, אזי השטף המגנטי שדוגם המוליך משתנה, ולפי חוק פאראדיי נוצר כוח אלקטרו-מניע במוליך שגורם למטענים לנוע כזרם.