tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
5- החברים הכי קרובים שלך, עליהם אתה סומך ופונה אליהם כדי לקבל עזרה ועצה.
15- החברים הטובים שאכפת לנו מהם ואנו שמחים ועצובים איתם.
50 - חברים שאיתם אנחנו בקשר לעיתים רחוקות
150 – מספר האנשים שאדם מכיר ומקיים איתם מערכות יחסים יציבות
1500- האנשים שנוכל לשייך את השם שלהם לפנים שלהם.
ממחקר מדעי שנעשה ב-2011 על ידי פרופ' רובין דאנבר, אנתרופולוג וחוקר תרבויות מאוניברסיטת אוקספורד עולה כי על-אף שללא מעט אנשים ישנם 5,000 חברי פייסבוק ויותר, המוח האנושי לא מסוגל להתמודד עם יותר מ-150.
הוא השווה את היקף תנועת הרשת של גולשים אשר בפרופיל האישי שלהם אלפי חברים לזו של פרופילים בני מאות חברים.
דאנבר גילה כי אין כל הבדל בין שתי הקבוצות.
זאת, כאשר "תנועה" נחשבת לפרופילים שנוצר איתם קשר פייסבוק לפחות אחת לשנה.
"על אף שבפייסבוק ניתן לצבור 1,500 חברים ומעלה, אנשים מנהלים את המעגל הפנימי שלהם סביב 150 בני אדם, בדיוק כמו בעולם האמיתי.
משתמשים ברשתות חברתיות נהנים מהמחשבה שיש להם הרבה חברים והם פופולריים, אבל בסופו של דבר הם לא מתנהגים באופן שונה מכל בני האדם"..
כשלים מתודולוגיים במחקרו של דאנבר
טענתו של דאנבר היא ש-150 הוא מספר הקשרים הממוצע של האדם ברשת החברתית.
הבעיה היא שרשתות חברתיות (גם רשת קשרים אנושית) אינן מתפלגות בהתפלגות נורמלית, כפי שהממוצע של דאנבר רומז, אלא בהתפלגות "זנב ארוך", והדבר אף עולה ממחקריו של דאנבר-עצמו.
בהתפלגות נורמלית, לרוב האנשים יהיה מספר קשרים מקורב לממוצע.
אך בהתפלגות "זנב ארוך", לרוב האנשים יהיה מספר קשרים נמוך משמעותית מהממוצע ולמיעוט קטן יהיה מספר קשרים גבוה בהרבה מהממוצע.
למשל, במאמר מ-2015, דאנבר חקר מאגר של רשת חברתית (פייסבוק) שמכילה 3 מיליון משתמשים.
במאמר נמצא שהרשת אכן מתפלגת "זנב ארוך" אך כדי להתאים את הנתונים למחקר, דאנבר מציין שהוא ברר מתוך ה-3 מיליון רק משתמשים שהגדיר כ"פעילים חברתית" (10 אינטראקציות בחודש).
לאחר סינון, נשאר דאנבר עם 130 אלף משתמשים שהם רק כ-7% מהדאטה המקורי, ועליהם ביצע את המחקר תוך התעלמות מכך של-93% מהמשתמשים היה מספר נמוך הרבה יותר של חברים.
דאנבר ביצע סינון דומה גם במחקר נוסף שבו חקר רשת סלולרית ובה 6 מיליון מכשירים, כשבחר לחקור רק כאלה שהגדיר כ"פעילים חברתית" (לפי הגדרתו, כאלה שהיו להם מעל 50 קשרים).
שיעורם בנתונים לא עלה על 5%.
כלומר, גם במחקר זה, 95% מהמשתמשים היו בקשר עם מספר נמוך מ-50.
במתמטיקה, ובפרט, בתורת הקבוצות האקסיומטית, מספר הרטוגס הוא סוג מסוים של מספר מונה (קרדינלי).
פרידריך הרטוגס הוכיח ב-1915 שניתן, באמצעות אקסיומות צרמלו-פרנקל בלבד (כלומר, ללא אקסיומת הבחירה) להראות כי לכל קיים מונה סדור היטב שאינו קטן יותר מעוצמה של .
אין זה הכרחי שקבוצה מסוימת תהיה סדורה היטב על מנת להגדיר את מספר הרטוגס שלה: אם קבוצה כלשהי, אזי מספר הרטוגס של היא הסודר המינימלי כך שאין העתקה חד חד ערכית מ-α ל-.
גם אם לא ניתן להגדיר על סדר טוב, הוא המונה הסדור היטב הקטן ביותר שעוצמתו גדולה או שווה לשל .
ההעתקה המעבירה את ל- נקראת לעיתים פונקציית הרטוגס.
כאשר ניתנת לסידור היטב, מספר הרטוגס שלה יהיה - המונה הראשון הגדול מעוצמת .
בהינתן מספר משפטים בסיסיים של תורת הקבוצות, ההוכחה פשוטה.
תחילה, נראה כי היא קבוצה.
היא קבוצה, בהסתמך על אקסיומת קבוצת החזקה ואקסיומת ההפרדה.
קבוצת החזקה של היא קבוצה, בהסתמך על אקסיומת קבוצת החזקה.
המחלקה המכילה את כל הסידורים הטובים הרפלקסיביים של תתי קבוצות של היא תת-מחלקה מוגדרת של הקבוצה הנ"ל, על סמך אקסיומת ההפרדה.
המחלקה של כל טיפוסי הסדר של סידורים טובים של היא קבוצה לפי אקסיומת ההחלפה, היות שניתן להגדירה באמצעות נוסחה פשוטה.
אבל, הקבוצה האחרונה היא בדיוק .
כעת, היות שקבוצה טרנזיטיבית של סודרים היא סודר אף היא, היא סודר.
בנוסף, אם ישנו שיכון מ-α לתוך , אזי נקבל את הסתירה שייך ל-.
נטען ש- הוא הסודר הקטן ביותר כך שאין שיכון ממנו אל .
אם , אזי שייך ל- ולכן קיים שיכון של ב-.
קיום מספר הרטוגס מוכיח כי המחלקה של מספרי האלף (המונים הסדורים היטב) לא חסומה על ידי שום עוצמה (כלומר אין קבוצה כך שכל סודר משוכן בתוכה בצורה חד חד ערכית).
בנוסף, מספרי הרטוגס (או וריאציות עליהם) נמצאים בבסיס ההוכחות שהשערת הרצף המוכללת גוררת את אקסיומת הבחירה כמו גם גרירות נוספות הקשורות לאקסיומת הבחירה.
מספר ביטוח לאומי הוא מספר בן תשע ספרות המונפק לאזרחי ארצות הברית, תושבי קבע, סטודנטים, ותושבים (עובדים) זמניים תחת סעיף 205(c)(2) של החוק לביטוח לאומי, שמופיע בקודיפיקציה כ-42 U.S.C § 405(c)(2).
המספר מונפק לכל אדם בנפרד במנהל הביטוח הלאומי, סוכנות עצמאית של ממשלת ארצות הברית.
בהיעדר חובת הזדהות בארצות הברית, הפך מספר הביטוח הלאומי, לצד תפקידו הרשמי לאפשר לבעל המספר לאדם לקבל שירותי ביטוח לאומי, לתעודת זהות לאומית לצורכי מיסוי, ולמטרות נוספות.
מספר ביטוח לאומי מתקבל לאחר שהאזרח ממלא את טופס SS-5 (בקשה עבור קבלת המספר).
מספר דבורה (Deborah number, De) הוא מספר חסר ממד בתורת הראולוגיה המאפיין את מעבר החומר בין מצבים של מוצק וזורם, תחת תנאי העמסה שונים.
מספר דבורה מוגדר כיחס בין "זמן הרפיה" (רלקסציה או "תפוגה") להגעת החומר לשיווי משקל בהפעלת מאמץ לבין הזמן האופייני בבעיה.
המספר מאפיין את התנהגות החומר כמוצק או כזורם במצב הנחקר.
המספר שימושי בחקר תכונותיהם של חומרים ויסקו-אלסטיים, המתנהגים כמוצקים או כזורמים בתנאים שונים, למשל פולימרים.
מספר זה הוצע על ידי המדען הישראלי מרכוס ריינר, שקרא את שמו בעקבות הפסוק בשירת דבורה המתאר את המעבר של הרים למצב זורם (או נוזל):
אפיון של חומר כמוצק או כ"זורם" תלוי בקשר בין מאמץ הגזירה המופעל על החומר למעוות שהחומר עובר.
עם הפעלת מאמץ גזירה, מוצק עובר "מעוות זוויתי-סופי".
המאמץ גורם לשינוי המרחק היחסי בין חלקיקי החומר ובכך לשינוי צורה (דפורמציה).
תכונה זו מתוארת כאלסטיות, ומקדם היחס (הפרופורציה) בין מאמץ הגזירה למעוות הזוויתי הוא מודול הגזירה.
לעומת זאת, עם הפעלת מאמץ גזירה הזורם עובר "מעוות-מתמשך", שמאפיין את הזרימה.
שינוי הצורה המתמשך, במקרה זה, הוא המהירות היחסית בין שכבות החומר – "גרדיינט המהירות", ומאמץ הגזירה, הוא למעשה החיכוך בין שכבות הזורם בתנועתם היחסית.
ב"זורם ניוטוני" המאמץ נמצא ביחס ישר לקצב המעוות (גרדיינט המהירות), עם הצמיגות כמקדם היחס (פרופורציה) בהתאם לחוק הצמיגות של ניוטון.
בהגדרת "זורמים ניוטוניים" נכללים כל הגזים וחלק מהנוזלים.
בזורם לא ניוטוני הקשר בין המאמץ לקצב-המעוות מורכב יותר, תלות זו אינה-ליניארית ויכולה להיות תלויה בזמן.
עם הפעלת מאמץ עובר החומר תהליך דינמי (תלוי בזמן) עד להגעה לשיווי משקל בהתנהגותו הראולוגית – תגובה למאמץ כמעוות.
לחלופין, באילוץ מעוות פתאומי בחומר, החומר עובר תהליך דינמי של "הסתגלות"המאמצים למצב שיווי משקל חדש.
תהליכים דינמיים אלו מאופניים על ידי קבוע זמן או "זמן רלקסציה" ("זמן הרפיה").
מספר דבורה מוגדר כיחס של "זמן הרפיה" (רלקסציה – "תפוגה") המאפיין את משך הזמן שלוקח חומר להסתגל למאמץ או למעוות, לבין הזמן האופייני לחקר התגובה של החומר (משך הניסוי או הדמיית מחשב):
כאשר tc הוא זמן הרפיה (רלקסציה תפוגה) של החומר
ו- tp זמן אופייני בבעיה: זמן התהליך הנחקר, הניסוי או הדמיית המחשב.
הבחנה זו בין מוצק לזורם מבוססת על ההנחה, שעבור זמן ארוך דיו, חומר שלכאורה "מוצק" יתנהג כזורם, יעבור מעוות מתמשך ויתחיל "לזרום" באטיות – מצב "זחילה" (Creeping).
כך, שההבחנה זו אינה תלויה בתכונות החומר בלבד, אלא גם בזמן הבחינה של התופעה.
עבור ערכים קטנים של מספר זה החומר מתנהג כזורם (ובערכים קטנים מאוד כזורם ניוטוני) ובערכים גבוהים החומר מתנהג כזורם לא-ניוטוני ובערכים גבוהים מאוד כמוצק.
המספר דומה בשימושיו למספר וייסברג (Weissenberg) (Wi) המוגדר כיחס בין כוח חיכוך (מנוכחות צמיגות), הגורם למעוות מתמשך, לכוח האלסטי הגורם למעוות קבוע.
מספר דלנואה במתמטיקה מתאר את מספר המסלולים בסריג מלבני מהפינה הדרום-מערבית (0,0) עד הפינה הצפון-מזרחית (m,n) תוך התקדמות צפונה, מזרחה או צפון-מזרחה בלבד.
מספרי דלנואה נקראים על-שם המתמטיקאי הצרפתי הנרי דלנואה.
מספרים אלה גם נותנים את:
מספר הרצפים הגלובלי של שני רצפים באורך m ו n
מספר הנקודות בסריג בעל מספר שלם m של ממדים במרחק צעדים מקסימלי n.
באוטומט תאי את מספר התאים בסביבת פון נוימן במימד m וברדיוס n.
מספר דלנואה (3,3) הוא 63. באיור הבא מוצגים 63 מסלולי דלנואה בסריג 3 x 3:
תת הקבוצה של מסלולים שאינם חוצים את האלכסון דרום-מערב - צפון-מזרח ניתנת על ידי משפחת מספרים אחרת מספרי שרדר.
מערך דלנואה הוא מטריצה אינסופית של מספרי דלנואה.
במערך המספרים בעמודה הראשונה שוים תמיד ל 1, בעמודה השנייה תמיד אי-זוגיים, בעמודה השלישית והרביעית סוגי מספרים מצולעים.
ניתן לערוך את המספרים גם במערך משולש הדומה למשולש פסקל כאשר כל איבר הוא סכום שלושת האיברים שמעליו.
סדרת מספרי דלנואה המרכזיים היא אלכסון המערך ונותנת את מספר המסלולים בסריגים ריבועיים n X n.
ניתן לבטא אותה באמצעות פולינומי לז'נדר :
מספר ההתרבות הבסיסי הוא מדד לקצב שבו מגפה מתפשטת בתנאי שגרה.
המדד משמש לבחינת סיכויי הידבקות במחלה במטרה להגדיר את הכיסוי החיסוני הנדרש למיגור התפשטות מגפה.
מקדם ההדבקה הבסיסי הוא מספר האנשים שצפוי כל חולה להדביק בשגרה וללא נקיטת צעדי מנע.
לכל מחלה יש מקדם הדבקה משלה.
לדוגמה, אם צפוי במגפה מסוימת שכל חולה ידביק 4 אנשים נוספים, אז מקדם ההדבקה הבסיסי הוא 4. כל עוד מקדם ההדבקה גדול מ-1, מספר החולים גדל בקצב אקספוננציאלי; כאשר ננקטים צעדי מנע, מקדם ההדבקה יכול לרדת.
אם המדד קטן מ-1 המגפה נשלטת ומספר החולים הכולל יצטמצם בהדרגה.
חיסון האוכלוסייה הוא אחת הדרכים להקטין את מקדם ההדבקה, וניתן לחשב איזה חלק מן האוכלוסייה יש לחסן על מנת לשלוט במחלה.
גורמים נוספים שמשפיעים על מקדם ההתרבות הבסיסי הם:
תרבות: למשל מחלה כמו כלמידיה, המופצת בין אנשים המתקיימים יחסי מין בלתי מוגנים, תתפשט במהירות באוכלוסייה שיש בה ייצוג גבוה של אוכלוסייה זו, ולאט יותר באוכלוסייה ששיעור הפעילים מינית בה (או קצב תחלופת הפרטנרים) נמוך יותר.
סביבה ואקלים: למשל מלריה, המופצת באמצעות טפיל שביתוש האנופלס, מופצת כשיש סביבה בה יש הן את טפיל והן את התנאים הדרושים לקיום היתוש.
תנאי מחיה: תזונה, רמת הריחוק החברתי, מגע חברתי קרוב וקהילה צפופה שאי אפשר להימנע בה ממפגש הדוק, כגון שכונות עוני או בתי כלא.
ישנן שתי דרכים לבלימת הפצת מחלות: בידוד הנשאים וחיסון.
בשיטת הבידוד לא ניתן להבטיח כיסוי מלא מכיוון שייתכן שישנם נשאים שלא בודדו שימשיכו להפיץ את המחלה, וכן לא תמיד ניתן לזהות נשאי מחלה שכן ישנן מחלות שמדבקות לפני הופעת התסמינים, הדרך היעילה יותר היא לחסן מפני המחלות.
כדי לשלוט בהתפשטות המחלה יש להקטין את מדד ההתרבות הבסיסי אל מתחת ל-1. אם המדד הבסיסי הוא R0 (גדול מ-1), יש לחסן P = 1-1/R0 מן האוכלוסייה.
לדוגמה, אם R0=4, יש לחסן 75% מן האוכלוסייה.
אכן, מבין R0 הנדבקים הפוטנציאליים, צפוי ש-P*R0 יהיו מחוסנים, וכך ידבקו בפועל רק , כלומר חולה אחד.
דוגמאות למספר ההתרבות הבסיסי של מחלות זיהומיות שונות
ערכי R0, וסף חסינות עדר (HIT) של מחלות זיהומיות ידועות, טרם התערבות למניעתן:
במתמטיקה, מספרים היפר-ממשיים הם הרחבה של המספרים הממשיים הכוללת סוגים מסוימים של מספרים אינסופיים ואינפיניטסימליים.
מספר היפר-ממשי מוגדר כסופי אם ורק אם עבור מספר שלם כלשהו .
מוגדר כאינפיניטסימלי אם ורק אם עבור כל המספרים השלמים החיוביים .
המונח "היפר-ממשי" הוצג על ידי אדווין יואיט בשנת 1948.
המספרים ההיפר-ממשיים מקיימים את עקרון ההעברה, גרסה קפדנית של חוק הרציפות של לייבניץ.
עיקרון זה קובע כי משפטים מסדר ראשון שנכונים לגבי , נכונים גם לגבי (שדה ההיפר-ממשיים).
לדוגמה, חוק החיבור הקומוטטיבי, , מתקיים גם בהיפר-ממשיים בדיוק כפי שהוא מתקיים בממשיים; מכיוון ש- הוא שדה סגור ממשית, כך גם .
מאחר ש- עבור כל n שלם, כך גם עבור כל המספרים ההיפר-שלמים .
עקרון ההעברה עבור על-חזקות הוא תוצאה של משפט לוש משנת 1955.
החשש מתקפותם של טיעונים המבוססים על מספרים אינפיניטסימליים מקורו כבר במתמטיקה היוונית העתיקה.
לדוגמה, ארכימדס נמנע מהסתמכות על מושגים כאלה, ובמקום זאת עשה שימוש בשיטות חלופיות, כמו שיטת המיצוי, כדי להוכיח תוצאות מדויקות ללא שימוש באינפיניטסימליים.
בשנות ה־60 של המאה ה־20, הראה המתמטיקאי אברהם רובינזון כי ניתן לבסס תיאוריה מתמטית עקבית הכוללת מספרים אינפיניטסימליים באמצעות בניית שדה המספרים ההיפר־ממשיים.
רובינזון הוכיח כי שדה זה עקבי מבחינה לוגית אם ורק אם שדה המספרים הממשיים עקבי גם הוא.
ההוכחה הראתה כי כל עוד הטיעונים מתבססים על מערכת כללים לוגיים מדויקת ניתן להשתמש במספרים אינפיניטסימליים באופן קביל ולגיטימי במסגרת מתמטית פורמלית.
השימוש במספרים היפר-ממשיים—ובפרט עקרון ההעברה—בפתרון בעיות באנליזה נקרא אנליזה לא סטנדרטית.
אחד היתרונות המידיים של גישה זו הוא האפשרות להגדיר מושגי יסוד באנליזה, כגון נגזרת ואינטגרל, באופן ישיר ואינטואיטיבי מבלי להידרש למורכבות הלוגית הכרוכה בקיומם של כמתים הנמצאים בניסוח הסטנדרטי.
לכן, הנגזרת של הופכת ל- עבור אינפיניטסימלי, כאשר מייצגת את פונקציית החלק הסטנדרטי, אשר "מעגלת" כל מספר היפר-ממשי סופי למספר הממשי הקרוב ביותר.
באופן דומה, האינטגרל מוגדר כחלק הסטנדרטי של טור אינסופי מתאים.
הרעיון של שדה ההיפר-ממשיים הוא להרחיב את קבוצת המספרים הממשיים לשדה חדש , שכולל גם מספרים אינפיניטסימליים וגם אינסופיים, אך מבלי לשנות את האקסיומות הבסיסיות של האלגברה.
כל טענה מהצורה "לכל מספר x..." שמתקיימת בממשיים, נשארת נכונה גם בהיפר-ממשיים.
לדוגמה, האקסיומה "לכל x, מתקיים x + 0 = x" עדיין תקפה, וכך גם טענות עם כמתים של כמה משתנים כמו "לכל x ו-y, מתקיים xy = yx".
יכולת זו להעביר טענות מהממשיים להיפר-ממשיים נקראת עקרון ההעברה.עם זאת, טענות מהצורה "לכל קבוצה של מספרים S..." לא תמיד נשמרות.
ההבדלים בין הממשיים להיפר-ריאליים מופיעים רק בטענות שתלויות בקבוצות או מבנים מורכבים אחרים כמו פונקציות ויחסים.
לכל קבוצה, פונקציה או יחס ממשיים יש הרחבה טבעית בהיפר-ממשיים, ששומרת על אותן תכונות לוגיות מסדר ראשון, כלומר טענות שלא כמותיות על קבוצות.
למרות השימור של תכונות רבות במעבר בין השדות, עקרון ההעברה אינו אומר שההתנהגות של ו- זהה.
לדוגמה, ב- קיים איבר ω כך ש
אך מספר כזה לא קיים ב-.
במילים אחרות, אינו מקיים את תכונת ארכימדס.
הדבר אפשרי משום שהקיום של המספר ω אינו ניתנת לניסוח במסגרת שפה מסדר ראשון ולכן אינו נשמר לפי עקרון ההעברה.
סימונים בלתי-פורמליים עבור גדלים לא-ממשיים הופיעו בהיסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי בשני הקשרים עיקריים: כאינפיניטסימליים, כמו , וכסימן , המשמש, למשל, בגבולות של אינטגרלים לא אמיתיים.
כדוגמה לעקרון ההעברה, הטענה שלכל מספר שונה מאפס x מתקיים , נכון עבור המספרים הממשיים, וכתוב בצורה שמאפשרת העברה, ולכן הוא נכון גם עבור המספרים ההיפר-ממשיים.
מכאן נובע שלא ניתן להשתמש בסמל כללי כמו כדי לייצג את כל המספרים האינסופיים במערכת ההיפר-ממשיים, מאחר שיש הבדלים בגודל בין אינסופים שונים, וכך גם בין אינפיניטסימלים שונים.
באופן דומה, השימוש הלא פורמלי בטענה ש- אינו תקף, כיוון שלפי עקרון ההעברה, לאפס אין הופכי כפלית והדבר נכון גם בהיפר-ממשיים.
הניסוח המדויק יותר עבור המספרים ההיפר-ממשיים הוא: אם הוא אינפיניטסימלי שונה מאפס, אז הוא מספר אינסופי.
עבור כל מספר היפר-ממשי סופי x, מוגדרת פונקציית החלק הסטנדרטי, , שהיא המספר הממשי הייחודי הקרוב ביותר ל-x, ונבדלת ממנו רק באינפיניטסימלי זניח.
ניתן להגדיר את פונקציית החלק הסטנדרטית גם עבור מספרים היפר-ממשיים אינסופיים באופן הבא: אם x הוא מספר היפר-ממשי אינסופי חיובי, יש להגדיר .
ובאופן דומה, אם x הוא מספר היפר-ממשי אינסופי שלילי, יש להגדיר .
הרעיון הוא שמספר היפר-ממשי אינסופי אינו "האינסוף האמיתי", אך הוא קרוב אליו יותר מכל מספר ממשי.
אחד השימושים המרכזיים במערכת ההיפר-ממשיים הוא מתן משמעות מדויקת לסימון הדיפרנציאלי שבו השתמש לייבניץ כדי להגדיר נגזרות ואינטגרלים.
עבור כל פונקציה ממשית , מוגדר הדיפרנציאל כפעולה שממפה כל זוג סדור – כאשר הוא ממשי ו- הוא אינפיניטסימלי שונה מאפס – בתור אינפיניטסימל.
פונקציה ממשית נקראת גזירה בנקודה מסוימת אם המנה
מחזירה אותה תוצאה עבור כל אינפיניטסימלי שאינו אפס.
במקרה כזה, המנה הזו היא הנגזרת של בנקודה .
לדוגמה, כדי למצוא את הנגזרת של הפונקציה הפרבולית , נניח ש- הוא אינפיניטסימלי שונה אפס.
השימוש במספרים היפר-ממשיים לצורך גזירה מאפשר גישה אלגברית נוחה יותר לטיפול בנגזרות.
בגזירה הסטנדרטית, דיפרנציאלים חלקיים ודיפרנציאלים מסדר גבוה אינם ניתנים לטיפול אלגברי עצמאי, אך במערכת ההיפר-ממשיים ניתן לבנות מערכת כזו, אם כי עם סימון מעט שונה.
שימוש מרכזי נוסף בשדה המספרים ההיפר-ממשיים הוא הענקת משמעות מדויקת לסימן האינטגרל , שבו השתמש לייבניץ כדי להגדיר את האינטגרל המסוים.
לכל פונקציה אינפיניטסימלית ניתן להגדיר את האינטגרל שפעולה שממפה כל משולש מסודר (כאשר ו- הם ממשיים, ו- הוא אינפיניטסימל בעל אותו סימן כמו ) לערך
כאשר הוא מספר היפר-שלם המקיים .
פונקציה ממשית נקראת אינטגרבילית על פני הקטע הסגור אם עבור כל אינפיניטסימל שונה מאפס , האינטגרל
במקרה כזה, האינטגרל נקרא האינטגרל המסוים של על הקטע .
שדה ההיפר-ממשיים הוא שדה סדור הכולל את הממשיים כתת-שדה.
בניגוד לממשיים, ההיפר-ממשיים אינם מרחב מטרי סטנדרטי, אך עקב הסדר שלהם הם נושאים טופולוגיית סדר.
מערכת ההיפר-ריאליים יכולה להיבנות באופן אקסיומטי או בשיטות קונסטרוקטיביות יותר.
מהות הגישה האקסיומטית היא לקבוע שקיים לפחות מספר אינפיניטסימלי אחד; ולהניח את תקפות עקרון ההעברה.
השיטה הקונסטרוקטיבית מאפשרת לבנות את ההיפר-ממשיים בהינתן אובייקט תאורטי בשם אולטרה-פילטר, אך האולטרה-פילטר עצמו לא ניתן לבנייה מפורשת.
כאשר ניוטון ולייבניץ הציגו את הדיפרנציאלים, הם השתמשו באינפיניטסימלים שנחשבו עדיין שימושיים על ידי מתמטיקאים מאוחרים יותר כמו אוילר וקושי.
עם זאת, כבר אז עמדו בפני חשדו, במיוחד על ידי ג'ורג' ברקלי שתקף את ההנחה ש- שונה מאפס בתחילת החישוב אך נעלם בסופו.
במאה ה-19, עם הנחת יסודות מוצקים לחשבון אינפיניטסימלי באמצעות הגדרת הגבול בשימוש ε ו-δ של בולצאנו, קושי, ויירשטראס ואחרים, האינפיניטסימלים נזנחו ברובם, אם כי המחקר בשדות שאינם-ארכימדיים נמשך.
עם זאת, בשנות ה-60 הראה אברהם רובינזון כיצד ניתן להגדיר בצורה קפדנית מספרים אינסופיים ואינפיניטסימליים, ופיתח את תחום האנליזה הלא סטנדרטית.
רובינזון עשה זאת בשיטה לא־קונסטרוקטיבית בעזרת תורת המודלים, אך ניתן גם לפתח את התיאוריה תוך שימוש באלגברה וטופולוגיה בלבד, ולהוכיח את עקרון ההעברה כתוצאה מההגדרות.
כלומר, למספרים ההיפר-ממשיים עצמם אין קשר הכרחי לתורת המודלים או לשפה מסדר ראשון, אף על פי שהם התגלו על ידי יישום טכניקות תאורטיות של מודלים מהשפה.
למעשה, שדות היפר-ממשיים הוצגו לראשונה על ידי אדווין יואיט ב-1948 באמצעות שיטות אלגבריות גרידא, בעזרת בנייה של על-חזקות.
תכונות של מספרים אינפיניטסימליים ואינסופיים
המספרים ההיפר-ממשים הסופיים מהווים חוג מקומי, ולמעשה תחום הערכה, כשהאידיאל המקסימלי היחיד הוא קבוצת האינפיניטסימליים; המנה איזומורפית למספרים הממשיים .
מכאן נובע שיש העתקה הומומורפית , מ- אל , כאשר הגרעין שלה הוא קבוצת האינפיניטסימלים, וכל x סופי מועתק למספר ממשי יחיד שההפרש ממנו הוא אינפיניטסימלי.
במילים אחרות, כל מספר היפר־ממשי סופי קרוב מאוד למספר ממשי יחיד, והמספר הזה נקרא החלק הסטנדרטי של x, או בקיצור .
הפונקציה הזו היא הומומורפיזם ששומר על סדר, כלומר אם אז , אבל ייתכן ש- אבל אם ההפרש ביניהם אינפינטסימלי.
אם גם x וגם y סופיים:
אם x הוא סופי ולא אינפיניטסימלי:
x הוא ממשי אם ורק אם
הפונקציה היא רציפה ביחס לטופולוגיית הסדר על המספרים ההיפר-ממשיים הסופיים; למעשה היא קבועה באופן מקומי, כלומר בכל סביבה קטנה מספיק של מספר היפר־ריאלי סופי, ערך הפונקציה לא משתנה.
נניח ש- הוא מרחב רגולרי לחלוטין, ו- הוא האלגברה של פונקציות ממשיות רציפות על .
אם הוא אידיאל מקסימלי ב- אז חוג המנה הוא שדה מסודר לגמרי המכיל את .
אם מכיל ממש את (כלומר לא שווה לו), אז קוראים ל- אידיאל היפר-ממשי ול- שדה היפר-ממשי.
חשוב לשים לב שלא מניחים כאן שגודל הקבוצה של גדול מזה של ; למעשה, הן יכולות להיות בעלות אותו העוצמה.
מקרה פרטי חשוב הוא כאשר הטופולוגיה על היא טופולוגיה דיסקרטית; במקרה כזה ניתן לזהות את עם קרדינל כלשהו , ואת עם האלגברה הממשית , קבוצת הפונקציות מ- ל-.
השדות ההיפר-ממשיים שמתקבלים במקרה זה נקראים על-חזקות של והם זהים לעל-חזקות שנבנים באמצעות על-פילטרים חופשיים בתורת המודלים.
מְסַפֵּר בלתי מהימן בספרות, בקולנוע, בתיאטרון ובסדרות טלוויזיה, הוא מספר שלא ניתן לסמוך על דבריו.
מהימנותו של המספר מושפעת ממידת מעורבותו בסיפור, מרמת השכלתו, מגילו או ממידת השפיות שלו.
בדבריו של המספר הבלתי מהימן מתגלות סתירות, והוא נמצא מוסר עובדות ומביע דעות שאינן מוכחות ביצירה.
מספרים בלתי מהימנים הם לרוב מספרים בגוף ראשון, אך בספרות ובקולנוע אפשר למצוא גם מספרים בגוף שני ושלישי שאינם אמינים.
המונח "מספר בלתי מהימן" נטבע על ידי וויין קלייסון בות' בספרו משנת 1961, "הרטוריקה של הסיפורת".
מספר בלתי מהימן הוא מספר אשר דמותו ודבריו עומדים בניגוד לנורמות שהיצירה מבטאת, או לחלק מהן.
רוב המספרים הבלתי מהימנים אינם משקרים ביודעין, אלא טועים או מרמים את עצמם, כאשר מידת אי־המהימנות של המספר שונה בכל יצירה.
לעיתים, חוסר אמינותו של המספר נחשפת באופן מידי.
לדוגמה, המספר פותח את דבריו בטענה שקרית או הזויה בעליל, או בהודעה על כך שהינו סובל ממחלת נפש חמורה.
הדבר דומה גם כאשר דמותו של המספר בסיפור המסגרת היא דמות של אדם לא אמין.
כאשר אי-מהימנותו של המספר מתגלה רק לקראת סוף הסיפור והקורא נוכח לדעת שבתחילת הסיפור המספר הסתיר או סילף חלקי מידע חיוניים, הוא נאלץ לשקול מחדש את התייחסותו לכל המסופר, או להפוך למעין בלש שמנסה לגלות את הפרטים הנכונים ואת המהלך האמיתי של העלילה.
כאשר, חוסר אמינותו של המספר אינה נחשפת באופן מפורש אלא רק במרומז, הדבר מאלץ את הקורא לתהות עד כמה אפשר לתת אמון בדבריו וכיצד נכון לפרש את הסיפור.
ויליאם ריגן הגדיר בשנת 1981 ארבעה סוגים של מספרים בלתי מהימנים שהם מספרים בגוף ראשון:
הפיקרו, (מספרדית: picaro, נוכל או נבל) הוא המספר בגוף ראשון של הרומן הפיקרסקי.
הרומן הפיקרסקי הופיע לראשונה בספרד של המאה ה-16 ומתאפיין בראייה ביקורתית וסאטירית של מוסכמות התקופה.
הביקורת נשמעת במרומז מפיו של הפיקרו, אדם שמשתייך למעמד חברתי נמוך ביותר, החי בשולי החברה ואינו מכבד את קודי הכבוד, העקרונות והמוסכמות החברתיים של המעמד השליט בתקופתו.
הפיקרו נודד ממקום למקום והנכנס לשירותם של אדונים ממעמדות שונים, דבר המפגיש אותו עם ההונאה, הצביעות והשקר המאפיינות את התנהגותם, תכונות אותן הוא מבליט ומבקר בצורה חריפה.
הרומן הראשון בסגנון זה, חיי לסריו איש טורמס, קורותיו ותלאותיו, הופיע בשנת 1554. לסריו, הגיבור הראשי של היצירה והמספר בגוף ראשון, הוא ילד ממעמד נמוך שאביו החורג נאשם בגניבה.
הוא מתחנך אצל קבצן עיוור ומגיע במרוצת הזמן למעמד של משרת של ארכיבישוף.
באמצעות סיפורו האוטוביוגרפי הבלתי סביר בעליל, הוא מעביר ביקורת חריפה על הכנסייה הקתולית.
מספר זה נוהג במסורת השוטה או ליצן החצר.
סיפוריו הם סאטירה חברתית מוסווית הבנויה על אירוניה, דו משמעות, משחקי מילים, אבסורד ונונסנס.
טריסטרם שנדי, ברומן חייו ודעותיו של טריסטרַם שנדי, ג'נטלמן מאת הסופר האנגלי לורנס סטרן, הוא דוגמה קלאסית של מספר "ליצן" שחורג כל העת מהעלילה כדי לספר בדיחות, להתפלסף או לפנות ישירות לקורא, דבר שהופך את סיפורו לבלתי שיגרתי ובלתי מהימן.
מספר נאיבי אינו מסוגל להבין את משמעותם של העיוותים המתרחשים לנגד עיניו משום שתפיסת העובדות והמציאות שלו אינה בשלה, נאיבית, או מוגבלת, בהשוואה לנקודת המבט של הקורא.
לדוגמה הולדן קולפילד ברומן התפסן בשדה השיפון מאת גיי.ד.
סלינג'ר והאקלברי פין בספר הרפתקאותיו של האקלברי פין מאת מארק טויין.
הולדן הוא נער בן שש עשרה שנבדל מהמחבר המרומז בגילו, ברגשותיו ובחוסר הידע שלו לגבי העולם הסובב אותו.
הוא מודיע לקורא כבר בתחילת סיפורו שאין לסמוך על פרשנותו לגבי האירועים השונים.
האקלברי פין, יתום בן שתים עשרה או שלוש עשרה, מתלבט אם לדווח לרשויות על ג'ים, העבד הנמלט, אך בסופו של דבר הוא משכנע את עצמו ברוב תמימותו שהמעשה הנכון הוא לא לבגוד בחברות שנוצרה ביניהם.
המספר המשוגע הוא אדם נוירוטי, שקרן, הסתגלותו לחברה היא בעייתית ואינה תואמת את הנורמות המקובלות.
הוא מצטייר לעיתים קרובות בעיני הקורא כחסר חשיבות, קטנוני, מסוגר, מתגונן, חולם, זדוני או הגיוני בצורה מעוותת.
המספרת הבלתי מהימנה, חנה גונן, ברומן מיכאל שלי מאת עמוס עוז היא אשה שנפשה שסועה בין המציאות האפורה (לפי דעתה) לבין חלומותיה והזיותיה על עולם ססגוני רווי אלימות.
בספרו של רון ברקאי "האישה שאהבה סיפורים", הקורא פוגש את ההיסטוריון של מלחמת האזרחים בספרד, המאושפז בבית חולים לחולי נפש בתל אביב, המעורר בקורא את התחושה כי רבים מסיפורי הרפתקאותיו הם הזיות היסטוריות-ספרותיות של גבר בודד שאיבד את שפיותו.
ויין קלייסון בות' היה בין המבקרים הראשונים שניסח גישה ממוקדת קורא לעניין אמינותו של המספר, תוך ביצוע הבחנה בין מספר מהימן למספר בלתי מהימן על סמך מידת התאימות בין אמירות המספר לבין הנורמות והערכים הכלליים.
חוקרי ספרות נוספים, ביניהם פיטר ג'.
רבינוביץ , תמר יעקבי , אנסגר נונינג (גר') וגרטה אולסון בחנו את סוגיית הגדרתו של המספר הבלתי מהימן והציעו כלים שונים לביצוע ההבחנה בין מספר מהימן למספר בלתי מהימן.
רבינוביץ' הגדיר לצורך כך ארבעה סוגי קהלים: הקוראים בשר ודם, הקהל הספציפי אליו מתייחס המחבר, הקהל הדמיוני אליו פונה המספר בעולם היצירה והקהל האידיאלי אליו פונה המספר והציע לבחון את מהימנותו של המספר ביחס לקהלים אלה.
תמר יעקבי הגדירה חמישה קריטריונים להגדרת מהימנותו של המספר, בעוד שגרטה אולסון הציעה לבנות סולמות של דרוג טעויות וחוסר מהימנות באמצעותם הקורא יוכל לאמוד את מידת המהימנות של המספר.
גילוי רמזים לסיפור בלתי מהימן
לצורך גילוי רמזים לסיפור בלתי מהימן מציע אנסגר נונינג להסתמך על:
רמזים המופיעים בתוך הטקסט, כגון סתירות בתוך דברי המספר, אמירת דברים שקריים לדמויות אחרות
סתירות שמתגלות בין דברי המספר לבין הידוע לקורא על העולם החיצוני, או אמירת דברים הנראים בלתי אפשריים מבחינה לוגית
בקיאות הקורא במוסכמות ובאמצעים הסגנוניים של סוגות ספרותיות שונות.
במתמטיקה, המספרים הטבעיים הם המספרים 0, 1, 2, 3, וכו' עד אינסוף, לעיתים ללא המספר אפס.
יש המגדירים את הטבעיים בתור המספרים השלמים האי-שליליים, 0,1,2,3..., בעוד שאחרים מתחילים מ־1, ומגדירים אותם בתור המספרים השלמים החיוביים 1,2,3...
יש מחברים שמתייחסים לשתי ההגדרות, לפי הצורך.
מקובל לסמן את קבוצת המספרים הטבעיים באות .
המספרים הטבעיים הם הקלים ביותר להבנה, והראשונים שנלמדים על ידי ילדים.
מנייה, למשל: יש שלושה תפוחים על השולחן.
סדר, למשל: זו העיר השלישית בגודלה במדינה.
תכונותיהם של המספרים הטבעיים נחקרות במסגרת תורת המספרים.
מספרים טבעיים יכולים להיות זוגיים (כלומר מתחלקים ב-2 ללא שארית) או אי-זוגיים (אינם מתחלקים ב-2).
קבוצת המספרים הטבעיים היא אינסופית ובת מנייה, כלומר עוצמתה היא (אָלֶף אֶפֶס).
המספרים הטבעיים הם הראשונים שהופיעו כמושגים נבדלים: מספר טבעי מונה את האיברים בקבוצה.
אפשר לראות את ההבחנה שיש משהו משותף בקבוצה של שלושה אנשים, שלושה תפוחים או שלושה נמרים כהכללה המתמטית הראשונה שעשו בני האנוש (ישנם מחקרים המראים שגם לבעלי חיים מסוימים יש יכולת הכללה זו).
לאופולד קרונקר אמר ש"האל יצר את המספרים הטבעיים – כל השאר הוא יציר האדם".
במסגרת היציקה המודרנית של המתמטיקה לשפת תורת הקבוצות, הציע הלוגיקאי גוטלוב פרגה שהמספר שלוש הוא, בפשטות, קבוצת כל הקבוצות שיש בהן שלושה איברים (היינו, שהאיברים שלהן נמצאים בהתאמה לקבוצה מסוימת בת שלושה איברים).
בגישה זו יש פרדוקסים, הנובעים מכך שאוסף כל הקבוצות הוא מקור לפרדוקסים מחמת גודלו, ואינו יכול להוות קבוצה בפני עצמו .
הבניה של מערכת פאנו מאפשרת לקבוע שמספר טבעי הוא איבר של מערכת פאנו (כל המודלים של אקסיומות פאנו הם איזומורפיים).
פון נוימן הציע בנייה מפורשת, המקובלת היום כייצוג סטנדרטי של המספרים הטבעיים בתוך תורת הקבוצות האקסיומטית: המספר 0 מוגדר כקבוצה הריקה, וכל מספר מוגדר כקבוצה .
ניתן להגדיר על המספרים הטבעיים יחס סדר אשר מגדיר באופן חד-ערכי את היחסים "גדול מ-" ו"קטן מ-".
בהינתן שני מספרים טבעיים אומרים כי גדול מ- ומסמנים אם ורק אם קיים מספר טבעי שונה מ-0 כך ש-.
באופן דומה אומרים כי קטן מ- ומסמנים אם ורק אם .
היחס על המספרים הטבעיים הוא יחס סדר מלא.
כלומר, עבור כל שני מספרים טבעיים כלשהם מתקיים בדיוק אחד משלושת התנאים הבאים:
יתרה מכך, היחס הוא יחס סדר טוב.
כלומר, לכל תת-קבוצה לא ריקה של המספרים הטבעיים בהכרח קיים מינימום.
הוכחה ש- הוא יחס סדר טוב:
בהינתן ש- אינה ריקה, בהכרח קיים כלשהו.
אם ריקה, בהכרח הוא האיבר הקטן ביותר ב-.
אחרת היא בהכרח קבוצה סופית, זאת מכיוון שבקבוצת המספרים הטבעיים, קבוצת המספרים הקטנה ממספר כלשהו היא בהכרח סופית.
אם כך, היא קבוצה סופית סדורה בסדר מלא , ולכן יש לה איבר קטן ביותר, נסמנו ב-.
זה הוא האיבר המינימלי ב-.
בתורת המספרים, מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ-1, שלא ניתן להציגו כמכפלה של בדיוק שני מספרים טבעיים קטנים ממנו.
הראשוניים הם אבני הבניין של תורת המספרים, משום שאפשר להרכיב מהם, באמצעות פעולת הכפל, כל מספר טבעי.
מספר טבעי גדול מ-1 שאינו ראשוני נקרא מספר פריק.
המספר 1 אינו נחשב ראשוני, וגם לא פריק.
לפי "המשפט היסודי של האריתמטיקה", שהוצג לראשונה עם הוכחה, על ידי אוקלידס, כל מספר טבעי גדול מ-1 אפשר להציג באופן יחיד כמכפלה של מספרים ראשוניים (למשל: ).
מספר הרשאד (Harshad number), או מספר ניבן (Niven number) הוא מספר שלם בבסיס ספירה מסוים המתחלק בסכום ספרותיו באותו בסיס ספירה.
בבסיס ספירה כלשהו, המספרים בין 1 לבסיס הספירה (מספרים חד-ספרתיים והמספר "10" בבסיס הספירה) הם מספרי הרשאד.
מספרי הרשאד הראשונים בעלי יותר מספרה אחת, בבסיס ספירה עשרוני, הם:
מספר שמהווה מספר הרשאד בכל בסיס ספירה נקרא מספר כל-הרשאד, או מספר כל-ניבן.
מספרים היכולים להיות מספרי הרשאד
מבחן ההתחלקות של המספר 9 בבסיס ספירה עשרוני יכול לרמוז שכל המספרים המתחלקים ב-9 הם מספרי הרשאד בבסיס זה.
אולם כדי לבדוק אם מספר הוא הרשאד, ספרות המספר מחוברות פעם אחת והמספר חייב להתחלק בסכום זה, אחרת הוא אינו הרשאד.
לדוגמה: המספר 99 אמנם מתחלק ב-9, אך אינו מתחלק בסכום ספרותיו 18.
בנוסף למספרים החד-ספרתיים שהם מספרי הרשאד באופן טריוויאלי, גם מספר הבסיס הוא מספר הרשאד, כיוון שהוא נכתב "10", וכל מספר מתחלק ב-1.
מספר ראשוני הוא מספר הרשאד בדיוק בכל בסיסי הספירה השווים לו או גדולים ממנו.
בכל בסיס ספירה קטן יותר, סכום ספרותיו הוא מספר גדול מ-1 וקטן מהמספר עצמו, ומעובדת היותו ראשוני נובע שאינו מתחלק בסכום.
אף על פי שמספרי העצרת הראשונים בבסיס 10, הם מספרי הרשאד, לא כל מספרי העצרת הם מספרי הרשאד בבסיס 10. המספר הראשון שאינו מספר הרשאד הוא !432.
קנדי הוכיח בשנת 1982 שבלתי אפשרי לקבל יותר מ-21 מספרי הרשאד עוקבים.
בשנת 1993 הוכיחו קרטיס קופר ורוברט אי.
קנדי שניהם מהמחלקה למתמטיקה באונ' מרכז מיזורי שבוורנסבורג, שלא יותר מ-20 מספרי הרשאד עוקבים אפשריים.
הוכיחה בשנת 1994 שלא קיימים רצפים של יותר מ-2n מספרי הרשאד עוקבים בבסיס n.
כמו כן, היא מצאה את רצף 20 מספרי הרשאד העוקבים הקטנים ביותר.
מספרים אלו הם מסדר גודל 1044.
הראה ב-1996 שבבסיס ספירה בינארי יש אינסוף רצפים של 4 מספרי הרשאד עוקבים, וב יש אינסוף רצפים של 6 מספרי הרשאד עוקבים.
בבסיס אונרי, כל המספרים הם מספרי הרשאד.
הערכת הצפיפות של מספרי הרשאד
נציין ב מציין את מספר מספרי הרשאד הקטנים או שווים ל-x.
וניקולה דויון (Doyon); הוכיחו שלכל ε > 0 מתקיים:
יתר על כן, דה קונינק, דויון וקטאי (Kátai) הוכיחו ש:
במתמטיקה מספר טרנסצנדנטי הוא מספר שאינו מאפס שום פולינום בעל מקדמים רציונליים.
מספרים טרנסצנדנטיים נודעים הם הקבועים המתמטיים π ו-e .
כל מספר טרנסצנדנטי הוא מספר אי-רציונלי, אך ההפך אינו נכון: , למשל, הוא מספר אי-רציונלי שאינו מספר טרנסצנדנטי, שכן הוא פתרון למשוואה הפולינומית .
למונח הוצע גם השם העברי מספר נעלה.
מספר שאינו טרנסצנדנטי נקרא אלגברי.
במבט ראשון נראים המספרים הטרנסצנדנטיים חריגים, וברור שאין אנו מרבים לפגוש אותם בחיי היומיום, אך ניתן להוכיח שכמעט כל המספרים הם טרנסצנדנטיים.
את התכונה הזאת הוכיח בשנת 1874 גאורג קנטור.
הוא הראה שעוצמת קבוצת המספרים האלגבריים היא (קרי: אָלֶף אֶפֶס), ואילו עוצמת קבוצת המספרים הטרנסצנדנטיים היא .
ההוכחה שמספר נתון כלשהו הוא מספר טרנסצנדנטי איננה פשוטה.
קיומם של מספרים טרנסצנדנטיים הוכח לראשונה בשנת 1844 בידי המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ליוביל, והתוצאה קרויה על שמו: משפט ליוביל.
על סמך המשפט נתן ליוביל בשנת 1851 דוגמה ראשונה למספר טרנסצנדנטי הנקרא קבוע ליוביל:
במספר ליוביל הספרה ה-n מימין לנקודה העשרונית היא 1 כאשר n הוא עצרת, ו-0 אחרת .
המספר הראשון שהוכח שהוא מספר טרנסצנדנטי, מבלי שהמספר נבנה מלכתחילה למטרה זו, הוא הקבוע המתמטי e.
את ההוכחה סיפק שארל הרמיט בשנת 1873 .
בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן שקובע, בין השאר, ש־ (פאי) הוא מספר טרנסצנדנטי.
מהוכחה זו נובע שלא ניתן לבנות בסרגל ובמחוגה ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון, משום שלא ניתן לבנות עימם יחס טרנסצנדנטי.
הוכחה זו פתרה את בעיית ריבוע העיגול, שהיא אחת מן הבעיות הגאומטריות של ימי קדם, שראשיתן ביוון העתיקה.
הבעיה השביעית ב-23 הבעיות של הילברט ביקשה תשובה לשאלה:
האם טרנסצנדנטי, כאשר אלגברי ו- אלגברי אי-רציונלי?
בשנת 1900 הציג את הבעיה הילברט, ותשובה חיובית לה נתן בשנת 1934 אלכסנדר גלפונד במשפט הידוע בשם משפט גלפונד-שניידר.
סדרה של שברים מהווה "סדרת קירובים רציונליים מסדר " של המספר הממשי , אם סדרת המכנים עולה,
את הטרנסצנדנטיות של מספר ליוביל אפשר להוכיח בעזרת משפט ליוביל: מספר אלגברי מדרגה d (כלומר, מספר המהווה שורש לפולינום ממעלה d בעל מקדמים רציונליים) אינו ניתן לקירוב מסדר גבוה מ-d; מכיוון שכך מספר שיש לו סדרת קירובים רציונליים מכל סדר, מוכרח להיות טרנסצנדנטי (מספר כזה נקרא מספר ליוביל).
על איברים אלגבריים וטרנסצנדנטיים בהקשר רחב יותר, ראו איבר אלגברי.
במתמטיקה, מספר כמעט משוכלל (לעיתים נקרא גם מספר פגום במעט) הוא מספר טבעי כך שסכום כל מחלקיו שווה ל- (סכום כל מחלקיו מלבד הוא עצמו שווה ל-).
המספרים הכמעט משוכללים היחידים שידועים כיום הם מהצורה , למספר טבעי כלשהו .
השאלה אם אלה הם המספרים הכמעט משוכללים היחידים היא בעיה פתוחה במתמטיקה.
בפרט – לא ברור אם קיים מספר אי זוגי שהוא מספר כמעט משוכלל.
מספרים כמעט משוכללים הם תת-קבוצה של מספרים חסרים.
המספרים הכמעט משוכללים הראשונים הם 1,2,4,8,16,32 וכן הלאה.
מספר חסר הוא מספר טבעי אשר מקיים כאשר היא פונקציית המחלקים: סכום כל המחלקים החיוביים של , כולל עצמו.
הערך נקרא החסרות של .
ישנם אינסוף מספרים חסרים זוגיים ואי-זוגיים.
לדוגמה, כל המספרים הראשוניים, כל החזקות של הראשוניים (עם מעריך טבעי) וכל המחלקים של מספרים חסרים או משוכללים הם מספרים חסרים.
מספר טיפולוגי (נקרא גם מספר נוסחאי) הוא מספר בעל מבנה טיפולוגי, כלומר מבוסס על זיקה לסימנים או תופעות מסוימות ובהתאם לכך מייצג תכונות מהותיות הקשורות לתחום זה.
למספר טיפולוגי יש משמעות מיוחדת והוא בדרך כלל מסמל קדושה, ייחוד וערך על פי תרבויות, דתות ומיתוסים שונים.
המספר משמש בדרך כלל כמספר בעל משמעות סמלית ללא קשר למשמעותו הכמותית המדויקת.
הקביעה אילו מספרים נחשבים לטיפולוגיים היא תלויית תרבות וזמן.
כך למשל במקרא, המספר 7 הוא מספר טיפולוגי: שבעה ימים שבהם נברא העולם והיום השביעי – שבת, השנה השביעית – שמיטה, נפילת חומות יריחו לאחר שבעה סיבובים סביבן, ולאחר שבע שביעיות – יובל.
גם המספר 40 הוא מספר טיפולוגי במקרא: משה שהה על הר סיני 40 יום ו-40 לילה, הגשם במבול נמשך 40 יום ו-40 לילה, בספר שופטים נכתב מספר פעמים "ותשקוט הארץ ארבעים שנה", בני ישראל נדדו במדבר 40 שנה ועוד.
מספרים נוספים הם 3, שמופיע בשלוש הרגלים ו-12, שמופיע ב-12 שבטי ישראל.
המספר 70 מופיע פעמים רבות, כך למשל בספר בראשית מצוין כי מספר הנפשות של יעקב ובניו היה 70 (), בפרשת נח נזכרים 70 בני נח שהיו לאומות העולם וכך בביטוי שבעים פנים לתורה.
תרגום המקרא ליוונית נקרא כך על פי מספר מחבריו, על אף שעסקו במלאכה 72 מחברים.
בספרות חז"ל, המספרים 7 ו-10 הם מספרים טיפולוגיים, כפי שמופיעים במשנה בפרק החמישי במסכת אבות, בעשרת הדברות, בן שלוש עשרה למצוות ועוד.
בספר מלכים, מפורט כי לשלמה המלך היו 1000 נשים: .
המספר 18 נחשב ביהדות לבר-מזל, כיוון שבגימטריה הוא שווה בערכו למילה חי.
יהודים נוהגים לתרום בכפולות של ח"י שקלים (כגון, פעמיים ח"י או ח"י עשרות או ח"י אלפים).
במקרא, חזרה על ביטוי או על מילה מסוימת מספר טיפולוגי של פעמים היא אלמנט ספרותי המקנה לו הדגשה וחשיבות יתרה.
חזרה זו מופיעה גם ביצירות שירה ופרוזה כלליות, ומודגשת בעיקר במקרא.
בתרבויות אירופאיות נוצריות, המספרים 3, 7 ו-12 הם מספרים טיפולוגיים.
7 ו-12 מרכיבים את לוח השנה, ואילו 3 מייצג את השילוש הקדוש.
בנוסף, 13 הוא מספר הנחשב "רע" ומסמל חוסר מזל.
על פי האמונה הנוצרית, בסעודה האחרונה של ישוע (שהתרחשה ביום שישי ומסמנת את גזר דינו) סעדו 13 אנשים — ישוע ו-12 השליחים.
יש הטוענים כי עקב כך יום שישי ה-13 נחשב ליום מועד לפורענות.
בגלל האמונה לגבי המספר 13 (שלעיתים ידועה אפילו בתור "פחד מהמספר 13"), יש יישובים בכמה מדינות מערביות שבהם נמנעים משילוט עם הסימון "13".
בסלנג עברי, מספר ירוק (זכות ציבורית) הוא רישיון להפעלת מונית בישראל.
כללי הרישיון מוסדרים בפקודת התעבורה ובתקנות התעבורה.
בימי המנדט הבריטי הונהג בארץ שימוש במספרי רישוי של מכוניות בעלי רקע בצבעים שונים: אדום, לבן, כחול.
הרקע הירוק של מספר הרישוי העיד על המכונית שהיא זכאית לשמש כמונית ולכן הפך לשם נרדף לרישיון להפעלת מוניות, ביטוי זה נשאר כמטבע לשון גם לאחר שנוהג הרקע הירוק בוטל.
מיד לאחר הקמת מדינת ישראל הוקצו מספרים ירוקים ברובם לחיילים משוחררים ולנכי צה"ל.
במקביל להקצאת מספרים ירוקים על ידי הממשלה התפתח שוק שחור של מסחר במספרים ירוקים והועלו הצעות להאבק במסחר זה.
לטענת ארגון בעלי המוניות רוב מוכרי המספרים הירוקים היו אלו שקבלו אותם ממשרד הביטחון ומכרו אותם כמעט מיד בשוק השחור.
פנחס בן שאול, המפקח על התעבורה בשנת 1987 תיאר את שיטת חלוקת המספרים הירוקים בשנות ה-50 וה-60:
"בשנות ה-50 חולקו המספרים הירוקים בשיטת הפתקאות.
מי שהיה מביא פתק מחבר בעל השפעה, היה מקבל מספר ירוק.
בשנות ה-60 זה עבר לשיטה המקומית: לכל ראש רשות מקומית הייתה רשימה של החברים שלו, והם היו הראשונים שנהנו מהזכות.
התנאי היה שהנהג יעבוד באזור שלו.
כך נוצר מצב, שבראש העין יש היום 300 נהגי מוניות, בשעה שלמעשה נחוצים שניים."
בסוף שנת 1970 הוחלט לשנות את השיטה ומספרים ירוקים ניתנו לבעלי ותק של 8–10 שנים בנהיגה במוניות כנהגים שכירים.
כמו כן, 30% מהמספרים הירוקים הוקצו לנכי צה"ל ועולים חדשים.
לראשונה גם הוחלט לגבות אגרה של בין 15–20 אלף לירות ממקבלי מספר ירוק, הגם שבשוק השחור נמכרו רישיונות בכ-60 אלף לירות.
בשנת 1986 שונה החוק והוחלט שמספרים ירוקים יימכרו לזוכים בהגרלה.
שר התחבורה החליט מדי שנה על מספר המספרים הירוקים החדשים שהונפקו, חלקם הוקצו לנכי צה"ל ומשפחות שכולות והשאר ניתנו לזוכים בהגרלה תמורת אגרה שהייתה נמוכה עשרות מונים ממחיר השוק.
שיטה זאת משכה אלפי אנשים להשתתף בהגרלה.
בחוק נתנו הוראות מעבר שאפשרו לנהגים ותיקים לקנות מספר ירוק מחוץ להגרלה.
בשנת 1995 תוקן החוק ונקבעה אגרה של 135,000 ש"ח עבור מספר ירוק.
בינואר 1998 תוקן החוק ובוטלו כל המכסות למספרים ירוקים.
במקום זאת נקבעה אגרה עבור מספר ירוק בגובה של 205,000 ש"ח (או 110,000 ש"ח לנהגים ותיקים) וכל מי שהיה מעוניין היה יכול לקבל מספר ירוק ללא הגבלה.
בשנת 2009, בגלל ירידה בביקוש למוניות היה מחיר מספר ירוק בשוק החופשי נמוך מהאגרה הממשלתית.
במתמטיקה, במדעי המחשב ובלוגיקה חישובית, מספר חשיב, הנקרא גם מספר רקורסיבי, הוא מספר ממשי שאפשר לחשב אותו, בכל דיוק רצוי, בזמן סופי.
החישוב יכול להתבצע על ידי מכונת טיורינג, האמורה להחזיר את הספרות של המספר בזו אחר זו.
קיימות למושג הגדרות שקולות אחרות, במונחים של פונקציות רקורסיביות או תחשיב למדא.
מספרים אלו הוגדרו לראשונה על ידי אלן טיורינג כחלק ממחקרו בנושא בעיית הכריעות (Entscheidungsproblem).
כל מספר אלגברי ממשי, לרבות המספרים הרציונליים, הוא חשיב.
גם מספרים טרנסצנדנטיים רבים, כגון פאי ו-e, הם חשיבים.
מספר יקרא חשיב, אם קיימת מכונת טיורינג שמקבלת כקלט מספר ופולטת את הייצוג הבינארי של עד הספרה ה-.
באופן שקול ניתן להגדיר מכונה העובדת בבסיס עשרוני ולא בינארי.
הגדרה שקולה מבוססת על קירוב המספר בין שני מספרים רציונליים קרובים כרצוננו.
המכונה תפלוט מספר , כך ש .
אוסף המספרים החשיבים הוא שדה סדור, סגור ממשית, ולצרכים מסוימים אפשר לראות בו תחליף לשדה המספרים הממשיים.
קבוצת המספרים החשיבים היא בת מנייה (משום שיש רק מספר בן מנייה של מכונות טיורינג), ולכן כמעט כל המספרים הממשיים אינם חשיבים.
עם זאת, לא קיים אלגוריתם המונה את המספרים החשיבים.
ניתן להוכיח זאת בלכסון בדומה לאלכסון של קנטור: נניח בשלילה כי קיים אלגוריתם שפולט את סדרת המספרים החשיבים (ליתר דיוק בהינתן n ו-m האלגוריתם פולט את m הספרות העשרוניות הראשונות של n המספרים הראשונים בסדרה כלשהי של כל המספרים החשיבים).
נגדיר אלגוריתם שבהינתן קלט , פולט רצף של ספרות עשרוניות באופן הבא: לקביעת הספרה ה-k ברצף, מריץ את כדי למצוא את הספרה ה-k של (נמנעים מייצוגים עם אינסוף תשעיות חוזרות).
אם הספרה ה-k של היא 0, אז הספרה ה-k ברצף תהיה 1, ואם הספרה ה-k של אינה 0, אז הספרה ה-k ברצף תהיה 0. האלגוריתם מגדיר מספר חשיב שנקבע על ידי רצף הספרות ש- פולט.
עם זאת, לכל k, נבדל מ- בספרה ה-k שלו, ולכן אינו מופיע בסדרה , בסתירה להנחה שזוהי סדרת כל המספרים החשיבים.
מספר זהות הוא מספר הניתן על ידי מרשם האוכלוסין המתנהל במסגרת רשות האוכלוסין, ההגירה ומעברי הגבול במשרד הפנים לכל תושב ישראל (כולל תושבי קבע שאינם אזרחים), וכן לאזרח ישראל שאינו תושב ישראל.
המספר מוטבע בתעודת הזהות של כל תושב ועל-כן מקובל לכנותו "מספר תעודת זהות", אך למעשה מלווה מספר הזהות של האדם מיום רישום לידתו, שנים רבות לפני שמונפקת עבורו תעודת הזהות.
מספר הזהות מלווה את תושב ישראל בכל צעדיו.
הוא מתקבל לראשונה עם רישום הלידה ולאחריה בתעודת הלידה.
הוא מופיע בתעודת הזהות שלו, בדרכונו, ברישיון הנהיגה שלו, בכל מסמכי המסים, בכל חשבונות ומסמכי הבנק שלו ואף בתעודות צה"ל, פנקס חוגר, תעודת קצין, פנקס מילואים ותעודת הפטור המוענקת למי ששוחרר משרות צבאי.
לאחר מות התושב, מופיע מספר הזהות שלו בתעודת הפטירה, בצווי הירושה וצווי קיום הצוואה.
כן נוהגים להוסיף את מספר הזהות במסמכים פרטיים ומשפטיים שונים – הסכמים חוזיים, תצהירים, כתבי תביעה וכתבי אישום.
מספר הזהות אינו יחיד – ברישיון הנהיגה מופיע גם מספר הרישיון, בפנקס חוגר מופיע גם מספר אישי ובדרכון מופיע גם מספר דרכון, אך מספר הזהות משותף לכולם.
מספר הזהות של כל תושב אינו ניתן לשינוי, והוא ממשיך ללוות אותו כל חייו ואיננו נמחק ממרשם האוכלוסין, אף במקרה של עזיבת הארץ או פטירה (כשהוא משמש לזיהוי הנפטר בכל הקשור לעזבונו).
חריגים לעניין זה הם מקרה של אימוץ קטין על-פי צו בית משפט, שבו ניתנים לקטין שם ומספר זהות חדשים, כדי שינותק כליל הקשר בינו לבין הוריו הביולוגיים ועל מנת שאלה לא יוכלו לאתרו.
גם הרשות להגנה על עדים מורשית לשנות מספר זהות של עד מוגן.
בתקופה שבין סיום מלחמת ששת הימים לבין כינון הרשות הפלסטינית, הוקצו מספרי זהות לתושבי השטחים (כשהם נקובים בתעודות זהות כתומות שניתנו להם, על-מנת להבדילן מהתעודות הכחולות של תושבי ישראל).
עם כינון הרשות הפלסטינית העבירו שלטונות המדינה לרשותה של הרשות את מסד הנתונים שבו מספרי הזהות של תושבי השטחים.
בהתקרב מלחמת העצמאות לסיומה, ולקראת הבחירות לאספה המכוננת, החליטה ממשלת ישראל לערוך מפקד אוכלוסין של כל תושבי המדינה ולתת לכל תושב מספר זהות.
לעריכת המפקד היו שלוש סיבות עיקריות:
לדעת את מספר תושבי ישראל, יהודים וערבים בקום המדינה ולעמוד על האופי של מדינת ישראל עם הקמתה.
להכין את פנקס הבוחרים לאספה המכוננת.
לייסד מרשם אוכלוסין מסודר ושיטתי המתבסס על מספרי זהות, לאחר תום שלטון המנדט הבריטי שלא היה לו מרשם אוכלוסין.
יחד עם זאת, אף כי לא הייתה זו אחת הסיבות העיקריות להענקת מספר זהות אישי לכל תושב, תרם להחלטה המצב הביטחוני של המדינה, שעמדה לסיים את המלחמה ללא גבולות קבועים וללא אפשרות למנוע הסתננות עוינת לתחומיה ממדינות ערב השכנות ומחלקי ארץ ישראל, שהיו בשליטה ירדנית (הגדה המערבית) ומצרית (רצועת עזה).
כמו כן התעורר הצורך לכך עקב העלייה ההמונית שהגיעה למדינה, עם פתיחת שערי הארץ לכל יהודי בתום המנדט הבריטי, עלייה אשר בחלקה הגיעה ממדינות הגוש המזרחי שייחסיהן עם המדינה הלכו והעכירו, ובחלקה הגיעה ממדינות ערב האויבות.
מתן מספר זהות לכל תושב איפשר את מילויין של שלוש המטרות הללו וכן איפשר פיקוח ביטחוני הולם, מנע נטילת זהות בדויה ואיפשר לאתר אנשים שלא נכללו במרשם האוכלוסין.
במרוצת הזמן התבררו יתרונותיה של השיטה גם בכל תחומי החיים האחרים, כמו במערכות הבריאות והסעד, בסדרי הבחירות לכנסת ולרשויות המקומיות, במערכת גביית המיסים, בתחום הסטטיסטיקה ובכל תחום מנהלי אחר.
על חשיבות מספר הזהות לצורך זיהוי ודאי של בעל המקרקעין ולמניעת הונאות במקרקעין, עמד אגף מרשם המקרקעין רק בשנת 1960, כאשר חייב שכל רישום של זכויות ושעבודים במקרקעין, של כל אדם, ישא גם את מספר הזהות שלו.
עד אז, במשך 12 שנים, המשיך המרשם להתנהל על-פי שם פרטי ושם משפחה בלבד, כפי שהיה נהוג בימי המנדט הבריטי.
ב־8 בנובמבר 1948 התקיים מפקד אוכלוסין כללי.
המפקד נעשה על פי תכנונו של פרופסור רוברטו בקי, המנהל הראשון של הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה.
כדי לקיים את המפקד כהלכה הוטל עוצר בית על כל תושבי המדינה משעה 5 אחר הצהרים ועד חצות.
כ-14,000 פוקדים מטעם הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה עברו מבית לבית ופקדו את כל המתגוררים בו ללא הבדל מוצא (יהודים, ערבים או בני לאומים אחרים), מין וגיל (לרבות ילודים, תינוקות וילדים).
כל אדם שנפקד קיבל מספר זהות.
רק במועד מאוחר יותר, לקראת הבחירות לאספה המכוננת, הונפקו לתושבים תעודות זהות, שבהן הופיע המספר שהוענק לתושב בעת המפקד.
מאחר שהיה זה זמן מלחמה ורבים היו מגויסים לצה"ל, נערך המפקד אף בבסיסי הצבא.
כמו כן נערך המפקד במחנות העולים שהיו פזורים ברחבי המדינה.
מאחר שהמפקד לא יכול היה להדביק את ההתקדמות המהירה באותה עת של כוחות צה"ל בנגב ובגליל, הוחלט כי המפקד יתבצע רק באותם אזורים שהיו בשליטת צה"ל והמדינה עד 14 באוקטובר 1948, כך שהתושבים הערבים של האזורים שנכבשו אחרי המפקד, לא נכללו בו ונפקדו במועד מאוחר יותר.
טרם המפקד חולקו שאלונים לכל יחידת דיור, ובמהלך המפקד בדקו הפוקדים את השאלונים, עזרו לתושבים למלאם ואספו את השאלונים.
בשאלונים נכללו פרטים אישיים ודמוגרפיים של כל בני הבית, והקצו בעת המפקד מספר זהות לכל אחד מבני הבית.
בני הבית קיבלו מן הפוקדים שוברים שכנגדם קיבלו מאוחר יותר תעודות זהות.
כשסיימו הפוקדים לפקוד בית אחד, עברו לבית הסמוך לו ופקדו את יושביו.
יושבי אותו בית קיבלו מספרי זהות עוקבים, כשהראשון בהם היה המספר העוקב למספר האחרון שנפקד בבית הקודם.
יוצא כי כל תושבי אותו רחוב או שכונה נספרו בסדרת מספרים עוקבים.
מאחר שמספר תושבי מדינת ישראל טרם הגיע אז למיליון, הוקצו לאוכלוסייה מספרים בני ארבע, חמש ושש ספרות.
סדרות מספרים שונות הוקצו ליישובים שונים.
המספרים הראשונים בני ארבע וחמש ספרות הוקצו לתושבי ירושלים.
ראשון המספרים היה המספר 1001. בהגיע הפוקדים לצפון הארץ, לעמק יזרעאל ולגליל, הם כבר העניקו לתושביהם מספרים בני שש ספרות.
באופן זה ניתן היה לדעת, במשך שנים רבות, על-פי מספר הזהות של אדם, מאיזה יישוב, שכונה ורחוב הוא.
בין היתר התפקדו במפקד גם 511 עולים שהגיעו באותו יום בספינה לנמל חיפה, וכן כ־100 עולים שהגיעו במטוס שנחת באותו יום בשדה התעופה בחיפה.
נטורי קרתא סירבו ליטול חלק במפקד ולא שיתפו פעולה עם הפוקדים.
במרוצת הזמן כשנזקקו לפנקסי נקודות בתקופת הצנע ולדרכונים כדי לצאת את הארץ, הם התפקדו בהדרגה.
העוצר נשמר ביום המפקד על ידי חיילי צה"ל, אנשי משמר העם ונערי הגדנ"ע.
בדיעבד נתברר כי במפקד, שהתבסס על תשאול מילולי ומילוי של טפסים בכתב יד (בתקופה שלא היו עדיין מחשבים בישראל) וכלל מאות אלפי מתפקדים, ניתן אותו מספר עצמו לאלף אנשים שונים.
תסבוכת זו גרמה לתקלה רבתי ונדרשו זמן ומאמצים להתירה.
לאחר סיום המפקד, ניתנו להורי תינוקות, בבית החולים שבו נולדו, שוברים עם הפניה למשרד הפנים לשם מילוי טפסים וקבלת מספרי זהות עבור הילודים.
רק החל משנת 1952 הוענקו מספרי הזהות לילודים ישירות בבתי החולים.
לעולים שהגיעו לארץ לאחר המפקד ניתנו המספרים עם הגיעם ארצה, בנמלי הים והתעופה, ומספרים אלו נרשמו בתעודות העולה שלהם ובהמשך נרשמו בתעודות הזהות שנמסרו להם.
בשנות המדינה הראשונות מספרי זהות שהונפקו היו בני ארבע, חמש ושש ספרות.
בתחילת שנות השישים, הונפקו מספרי זהות בני שבע ספרות ולמספרי הזהות הקצרים נוספה קידומת בת אות אחת מהאותיות א' עד ה' ו-ז' (מימין למספר).
במרוצת הזמן, עם הנהגת מיכון משרדי בישראל, חדלו מנוהל זה ומספרי הזהות בתעודות לא כללו יותר אותיות (האות הומרה בערכה הגימטרי משמאל למספר, לדוגמה: המספר ה/1234 הוחלף למספר 05001234).
בתחילת שנות השבעים, כשהבשיל עידן המחשוב, הורחבו מספרי הזהות למספרים בני תשע ספרות, כאשר הספרה האחרונה (מימין) היא ספרת ביקורת, ואילו משמאל הוספו אפסים במידת הצורך על-מנת להשלים את מספר הספרות לתשע.
הטמעתה של ספרת הביקורת נמשכה שנים רבות, ונכון ל-2023 עדיין ישנם מקרים אשר אדם מוסר את מספר הזהות שלו, והוא נשאל, כדי להסיר ספק, האם המספר כולל את ספרת הביקורת.
כאמור לעיל, בעת הקביעה הראשונית של מספר הזהות לתושבי המדינה נוצר קשר בין המספר ובין המקום שבו נפקד האדם, כתוצאה של תהליך הפקידה.
כאשר התברר הנזק בוטלה ההחלטה, וסדרת מספרים זו ניתנה גם לילדים לא מאומצים, כדי להביא לביטול משמעותה.
כן קיים קשר בין מספר הזהות לתאריך הלידה: בשנות ה-50 וה-60 ניתנו מספרים גדלים והולכים המתחילים בספרות 05 לנולדים בארץ, וניתן לדעת בקירוב את מועד הלידה על פי הספרות הראשונות של מספר הזהות (0534 - 1956, 0560 - 1959, 0565 - 1960 וכיוצא באלה).
הוא הדין בסדרות מספרים בהן נעשה שימוש מאוחר יותר.
מספר חזק 2000 הוא כתב עת להוראת המתמטיקה בבית הספר היסודי ובקדם-יסודי, היוצא לאור במתכונת דו-שנתית, על ידי מרכז מורים ארצי למתמטיקה בחינוך היסודי והקדם-יסודי שבאוניברסיטת חיפה.
בעבר הודפס כתב העת ונשלח לבתי הספר היסודיים בארץ ולמוסדות אחרים.
כיום כתב העת הוא מקוון בלבד.
מערכת זה"ב (ראשי תיבות של זיכוי העברות יומניות בזמן אמת, באנגלית: RTGS - Real Time Gross Settlement) היא מערכת בנקאית המאפשרת לבצע העברת כספים מחשבון בנק אחד לאחר באופן מיידי, באמצעות מספר חשבון ייחודי (מספר זה"ב) שנוצר לכל חשבון התואם למערכת.
הרשם הרשמי של מספרי זה"ב הוא האגודה העולמית לתקשורת פיננסית בין בנקאית (SWIFT).
מספר זה"ב הוא תקן בינלאומי ISO 13616 המציין באופן ייחודי את מספר חשבון הבנק, מספר הסניף, זיהוי הבנק והמדינה בה מתנהל החשבון.
בישראל מורכב המספר מ-23 תווים, הכוללים את קוד המדינה, את מספר הבנק, את מספר הסניף, את מספר חשבון הבנק של הלקוח, וכן ספרות ביקורת.
מספר התווים מהם מורכב המספר משתנה ממדינה למדינה.
המערכת אומצה בעיקר באירופה ובמזרח התיכון, כאשר מדינות נוספות מאזורים גאוגרפיים אחרים בוחנות את התקן את השפעתו על מערכת הבנקאות שלהן בעקבות אימוץ המערכת.
בתוך האזור הכלכלי האירופי כל המדינות חייבות להשתמש במערכת, ועל פי החלטת הפרלמנט האירופי, עד פברואר 2014 כל מדינות גוש האירו היו חייבות להחליף את המערכות הלאומיות שלהן ולעבור לבצע העברות בנקאיות רק באמצעות מערכת SEPA (אזור תשלומים אירופי אחיד, Single European Payments Area), שבה נעשה שימוש בלעדי במספרי זה"ב.
בישראל המערכת נכנסה לשימוש ב-3 בספטמבר 2007, והיא פועלת בכל הבנקים ומאפשרת לבצע העברות כספים בין כל החשבונות בכל הבנקים.
העברה שמתבצעת באמצעות מערכת זה"ב היא סופית ואינה ניתנת לביטול.
העברות בין חשבונות המתנהלים בבנקים בישראל מתבצעות באותו יום עסקים.
החל מ-4 ביולי 2007 כל העברת כספים בשקלים המתבצעת בין חשבונות בבנקים ישראליים בסכום של 3 מיליון ש"ח ומעלה חייבת להתבצע באמצעות מערכת זה"ב.
בסכום הנמוך מ-3 מיליון ש"ח, ניתן היה לבחור לבצע העברת זה"ב.
החל מ-10 ביוני 2010 הוחלט כי סכום הגבוה ממיליון ש"ח חייב יהיה להיסלק באמצעות המערכת.
לכל מדינה מבנה שונה בהתאם למערכת הבנקאות הלאומית שלה.
בישראל, למשל, מבנה חשבון הבנק הייחודי הוא כדלהלן: ILkk BBBN NNCC CCCC CCCC CCC, כאשר האותיות k מציינות ספרות ביקורת, האותיות B מסמנות את מספר הבנק, האותיות N את מספר הסניף, והאותיות C - את מספר החשבון (13 ספרות המתחילות באפסים).
מספר זהות הוא מספר (אך לעיתים כולל גם אות או אותיות) שממשלות במדינות רבות משתמשות בו על מנת לזהות כל אחד מאזרחיהן ותושביהן, זאת למטרות שונות כמו עבודה, מיסוי, בנקאות והטבות.
המספרים מהווים מזהה ייחודי המקושר במסד נתונים מה שמפחית ומונע את הסיכוי לזיהוי שגוי של אדם, מספר זה בדרך כלל מופיע בתעודת הזהות של האדם.
מספר מדינות העניקו לכל אזרח מספר אישי למטרה מסוימת אך בפועל מספר זה נהייה למספר זהות, לדוגמת ארצות הברית שפיתחה מערכת מספר ביטוח לאומי כאמצעי לארגון חלוקת קצבת רווחה.
במדינות רבות מספר הזהות כולל גם ספרת ביקורת, לשם איתור טעות בהקלדתו.
מספר הזהות הוא ביסודו מספר חסר משמעות, אך לעיתים ניתנת משמעות לחלק מספרותיו, למשל לזיהוי המחוז שבו ניתן מספר זה.
כיוון שאדם נדרש להציג את מספר הזהות שלו בפני גורמים רבים, מתן משמעות לספרות במספר הזהות עלול להיחשב לפגיעה בפרטיות.
בישראל לכל אדם מוענק מספר זהות מיד לאחר לידתו או עלייתו לישראל או הפיכתו לתושב קבע בה.
מספר ליישרל הוא מספר טבעי שאינו יוצר פלינדרום כאשר מחברים אותו עם היפוך הספרות שלו בבסיס ספירה כלשהו וחוזרים על הפעולה.
הפעולה נקראת גם אלגוריתם 196, מפני ש-196 הוא המספר הקטן ביותר החשוד כמספר ליישרל (בבסיס עשרוני).
השם ליישרל הומצא על ידי וייד ואן-לנדיגהם (Wade Van Landingham).
השם הוא אנגרמה של השם הפרטי של ארוסתו - שריל (Cheryll).
תהליך מציאת מספרי ליישרל מתבצע על ידי לקיחת המספר והוספה של מספר שסדר ספרותיו הפוך.
רוב המספרים יוצרים פלינדרום לאחר מספר איטרציות קטן של התהליך והם לא מספרי ליישרל.
כך, למשל, כל המספרים עם ספרה אחת או שתיים (1–99) אינם מספרי ליישרל כאשר 89 הוא המספר עם מספר החזרה על התהליך הארוך ביותר, 24 חזרות.
כ-80% מהמספרים עד 10,000 יוצרים פלינדרום לאחר 4 חזרות על התהליך ופחות.
כ-90% מהמספרים יוצרים פלינדרום אחרי 7 חזרות.
טרם נמצאה הוכחה למציאת מספר ליישרל.
לכן, כיום, נעשים חישובים לפסילת מספרים כמספרי ליישרל על ידי מציאת הפלינדרום שנוצר (אם נוצר).
כך למשל ל-196 נעשה התהליך מיליוני פעמים עד שהגיעו למספר בעל 300 מיליון ספרות ועדין לא נוצר פלינדרום.
גם על מספרי ליישרל אחרים נעשה תהליך ההיפוך וחיבור מיליוני פעמים למציאת פלינדרום.
196 הוא המספר הקטן ביותר כיום שלא ייצר פלינדרום גם אחרי שהגיעו למספר באורך של 300 מיליון ספרות.
דוגמאות למספרים שאינם מספרי ליישרל
מספר דוגמאות למספרים שאינם מספרי ליישרל:
seed – הוא מספר ליישרל הקטן ביותר שלא נוצר ממספרים אחרים, למשל: 196 (בהנחה שהוא אכן מספר ליישרל, כמובן).
kin – מספר ליישרל שאינו seed.
למשל 887 הוא מספר ליישרל, אך הוא תוצר של תהליך היפוך וחיבור של 196.
מספר טלפון הוא רצף של ספרות המשמשות לזיהוי של אתר בו ממוקם טלפון, ומאפשרות התקשרות באמצעות מרכזייה עם אותו אתר.
לאחר המצאת הטלפון החל שימוש במספרי טלפון ככתובת אשר ניתנה למרכזנית, וזו קישרה ידנית את שני משתמשי הקצה.
מספרי טלפון אלה כללו מספר מועט של ספרות (לרוב שתים או שלוש ספרות) וניתנו בעל פה למרכזנית.
עם התפתחות מערכת הטלפוניה, והפיכת המרכזיות למרכזיות אוטומטיות החל השימוש בחיוג המספר על מנת להתקשר עם משתמש הקצה המזוהה עם אותו מספר, וכמות הספרות של מספר הטלפון, הלך וגדל.
מספר הטלפון הוא מספר חד-ערכי בכל אזור חיוג.
אורכו של מספר הטלפון יכול להשתנות באזור חיוג מסוים, ולרוב ניתנים לשירותי חירום מספרים קצרים יותר.
כך לדוגמה מקובל בארצות רבות בעולם שמספר הטלפון "911" משמש את שירותי החירום השונים (המשטרה, כוחות כיבוי אש וכוחות פינוי רפואי; גם בישראל מספר זה משמש לשם יצירת קשר עם שירותי החירום בשפה האנגלית, בעוד שלמענה טלפוני הניתן על ידי שירותי החירום בשפה העברית ניתנו מספרים מקוצרים אחרים).