tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
שדה התעופה רובניימי (בפינית: Rovaniemen lentoasema) ממוקם 10 קילומטרים צפונית לעיר רובניימי שבפינלנד, סמוך לחוג הארקטי שחוצה את הקצה הצפוני של מסלול הטיסה.
שדה התעופה הוקם ב-1940, ובתחילה מסלולי הטיסה שלו לא היו סלולים.
חברת פינאייר חנכה באותה שנה קו טיסות סדיר בין הלסינקי לבין פטסמו (כיום העיר פצ'נגה שברוסיה), שכלל נחיתות ב-7 ערים נוספות ובהן רובניימי.
במהלך מלחמת ההמשך שימש שדה התעופה את הלופטוואפה.
שדה התעופה ניזוק במלחמת לפלנד, ושיקומו הסתיים ב-1948. במהלך שנות ה-80 ושנות ה-90 הוארך מסלול הטיסה ונבנו מבנים חדשים.
בשנת 2000 הותקנו בבניין הטרמינל שרוולי העלאת נוסעים.
במהלך שנת 2011 עברו בשדה התעופה קרוב ל-400 אלף נוסעים, והוא היה שדה התעופה הרביעי בגודלו בפינלנד מבחינת היקף הנוסעים.
מבחינת גודל פיזי, זהו שדה התעופה החמישי בגודלו במדינה.
הטיסות הסדירות היחידות במהלך כל ימות השנה הן טיסות של פינאייר ונורוויג'ן אייר שאטל להלסינקי.
בעונת התיירות (החורף), מפעילה פינאייר גם טיסות סדירות למורמנסק, וחברת טראנסאוויה.קום מפעילה טיסות לאמסטרדם ולפריז.
חברות תעופה רבות נוספות מפעילות טיסות שכר ליעדים שונים באירופה במהלך החורף, בין היתר לאמסטרדם, אתונה, בודפשט, בוקרשט, ברלין, ברצלונה, דבלין, ורשה, לונדון, מדריד, מילאנו, פראג, פרנקפורט, קייב ותל אביב, וכן לערי שדה נוספות בבריטניה ובגרמניה.
בנוסף, משמש שדה התעופה גם את חיל האוויר הפיני.
שדה ח'ורייס הוא שדה נפט הממוקם במחוז משנה אל-חסא של מחוז א-שרקייה בערב הסעודית, ממערב לשדה הנפט הגדול בעולם, גוואר.
ב-10 ביוני 2009 החלה הזרמת נפט מח'ורייס במסגרת מגה פרויקט של עראמקו הסעודית (בעלת כל נכסי הנפט בממלכה), בעלות של 10 מיליארד דולר, שנועד להגדיל את כושר תפוקת הנפט של הממלכה ל-12 מיליון חביות ביום (ח/י) כדי לענות על צורכי הביקוש העולמי העתידי.
"הפרויקט להגדלת התפוקה בח'ורייס", כפי שהוא מכונה, כלל בנוסף לשדה ח'ורייס, את פיתוחם של שני שדות נפט קטנים יותר הסמוכים לו - אבו ג'יפן ומזאליג'.
הפרויקט הוסיף 1.2 מיליון ח/י לכושר יצוא הנפט של הממלכה ולכושר הפקת הנפט הסעודי הקל (Arab Light Crude) בעל API °32 לערך, באמצעות מתקן מרכזי חדיש לעיבוד נפט (central processing facility, המספק מתקנים לעיבוד ולייצוב נפט גולמי), הגדול מסוגו בממלכה.
ח'ורייס הגיע לכושר תפוקה בר קיימא מקסימלי ב-2010. בנוסף להפקת נפט בעל איכות גבוהה, ניתן להפיק ממנו גם כ-450 מיליון רגל מעוקבת (ר"ק) סטנדרטית ליום של (עבור מתקן גז בשדקום, شدقم) ו-80,000 ח/י תעבית (קונדנסט) נוזלי גז טבעי (עבור מתקן גז בינבוע, ينبع).
מתקן גז תוכנן לעבד גז נלווה שמופק בשלושת השדות למוצרי גז טבעי נוזלי (LNG) ול לשיווק.
בשדה ח'ורייס קיימים 4 מתקני הפרדה בין נפט לגז (Gas Oil Separation Plants - GOSPs), ובשני השדות הסמוכים לו מתקן אחת בכל אחד מהם.
במסגרת הפרויקט הוגדל, בין היתר, "המתקן לטיפול במי ים בקוריה" (محطة معالجة مياه البحرفي القُريةَّ) והונח צינור להובלתן של 2 מיליון חביות ליום של מי ים (מן המפרץ הפרסי) מטופלים לצורך הזרקתם אל תוך שדה ח'ורייס כדי לשמור על הלחצים במאגרים.
כמו כן, נבנה מכל חדש לאחסון נפט גולמי בעל קיבולת של למעלה מ-840,000 חביות (בשדה ישנם 2 מכלי אחסון נוספים).
מבין התשתיות נקדחו 420 בארות, נסלל מסלול המראה, ונבנו מתקני מגורים וקומפלקס תעשייתי.
הפרויקט העסיק 26 קבלנים, 106 קבלני משנה ו-28,000 עובדים.
הפקה ניסיונית בח'ורייס החלה ב-1963 אך השדה מעולם לא פותח באופן מלא עד שנות ה-2000.
ב-14 בספטמבר 2019 הותקף השדה בשל המעורבות הסעודית במלחמת האזרחים בתימן, גורמים בממשל האמריקאי העלו טענה לפיה עמדה איראן מאחורי התקיפה
שדה התעופה קורשבל הוא שדה תעופה המשרת את אתר הסקי קורשבל , הממוקם באזור האלפים הצרפתיים.
שדה התעופה משמש בעיקר מטוסים קטני גוף כגון ססנה, כמו גם מסוקים.
במסלול אין אפשרות לנחיתה באמצעות מכשירים והוא לא מצויד בתאורת מסלול, כך שנחיתה בתנאי ערפל היא כמעט בלתי אפשרית.
שדה התעופה נחשב מסוכן בעיקר בגלל היותו בעל דרכי גישה מסובכים, המסלול המשופע, ובשל קרבתו למסלולי סקי סמוכים.
ערוץ ההיסטוריה דירג את שדה התעופה במקום השביעי ברשימת שדות התעופה המסוכנים בעולם.
בשנת 1980, טירולאן איירווייז הפעילה טיסות מסחריות בנמל באמצעות מטוס הדאש 7, כלי טיס המסוגל לשאת 50 נוסעים.
לאחרונה, דה הבילנד קנדה דאש 6 טווין אוטר ודה הבילנד קנדה דאש 7 שירתו בשדה התעופה.
באנליזה וקטורית, שדה וקטורי סולנואידי (לעיתים נקרא גם שדה וקטורי אי-דחיס, בהקשר למכניקת הזורמים) הוא שדה וקטורי v עם דיברגנץ אפס בכל הנקודות במרחב:
באופן אינטואיטיבי ניתן לומר שקווי השדה של שדה סולנואידי אינם "מתכנסים" לאף נקודה, כלומר שאין להם מקורות או בולענים (sink).
המשפט היסודי של האנליזה הווקטורית קובע שכל שדה וקטורי ניתן לבטא כסכום של שדה אי-רוטציוני ושדה סולנואידי.
התנאי של דיברגנץ אפס מתקיים רק כאשר לפוטנציאל המתאים לשדה וקטורי v יש מרכיב של פוטנציאל וקטורי בלבד, זאת כיוון שמההגדרה של הפוטנציאל הווקטורי A:
הטענה ההפוכה גם תקפה: בעבור כל שדה סולנואידי v קיים פוטנציאל וקטורי A כך ש- .
משפט הדיברגנץ מספק הגדרה אינטגרלית שקולה לשדה סולנואידי; לכל משטח סגור, השטף הכולל של שדה וקטורי סולנואידי v דרך המשטח חייב להיות אפס:
כאשר dS הוא הווקטור הנורמלי לאלמנט השטח.
שדה המהירות של זורם אי-דחיס,
שדה חשמלי באזורים נייטרליים (); זוהי דוגמה מנוונת כאשר עוסקים בשדות מגנטיים לא משתנים בזמן,
הפוטנציאל הווקטורי המגנטי A בכיול קולון.
שדה התעופה פושקין הוא שדה תעופה בפאתי העיר פושקין, 28 ק"מ דרומית למרכז העיר סנקט פטרבורג.
שדה תעופה המסוגל לקלוט מטוסים מדגמי IL-76, TU-154, AN-22, Yak-42, TU-134, AN-12, מטוסים קלים יותר (ייצור מקומי) ומסוקים מכל הסוגים.
זהו שדה תעופה המופעל במשותף על ידי כוחות האוויר והחלל של רוסיה, משרד התעשייה והאנרגיה של הפדרציה הרוסית, המשמר הלאומי של רוסיה וקולט טיסות נוסעים וטיסות מסחריות לערי קרליה.
בסתיו 1908 הוציא משרד המלחמה הרוסי מכרז לבניית שדה תעופה עבור צי התעופה החדש של צבא האימפריה הרוסית, לאחר שפארק הכדורים הפורחים שהיה פעיל משנת 1885 לא התאים לכך בשל גודלו הקטן יחסית.
אחד הנושאים המורכבים של בניית שדות תעופה היה נושא האדמות, שכן קשה היה למצוא שטחים שלא היו שייכים לאנשים פרטיים.
בפרברי פטרבורג, נחשבו השדות הצבאיים גצ'ינסקוי וקרסנוסלסקי, כמו גם שטח מחנה אוסט-יורה, למתאימים ביותר.
השדה הצבאי בגטצ'ינה, שנמצא מול הארמון הקיסרי, נחשב המתאים ביותר לבניית שדה תעופה - הקיסר רצה לראות טיסות תעופה מחלונותיו.
שם הוקם שדה התעופה הראשון של האימפריה הרוסית.
השדה שימש כשדה תעופה צבאי עד 1917, עת הועבר לידי הצבא האדום שהמשיך להשתמש בו כבסיס אימונים.
בספטמבר 1941 ננטש שדה התעופה כאשר ב-18 בספטמבר נכבשו העיר פושקין ושדה התעופה על ידי חיילים גרמנים.
למרות מצבו המשביע רצון, במהלך הכיבוש שדה התעופה לא שימש בפועל את הנאצים ונזנח, בשל מיקומו בסמוך לקו החזית וחשיפה להפגזות מלנינגרד.
מאז סוף מרץ 1944 ועד פירוק ברית המועצות, גדוד התעופה ארוכת הטווח של חיל האוויר של הצבא האדום, שפשט על אובייקטים במדינות הבלטיות, הרבה מעבר לקו החזית.
כיום, בשדה התעופה חונים מסוקי Mi-8 ו-Mi-24 של כוחות חיל האוויר הרוסים, כמו גם המפעל ה-20 לתיקון כלי טיס של משרד ההגנה.
ב-11 באוגוסט 2012, נערך חג המוקדש לציון מאה שנה לחיל האוויר הרוסי בו הוצגו כאן מטוסי מיג-31 סוחוי Su-34, סוחוי Su-27, מיג-29, Su-24, מיג-25, אנטונוב An-12, An-26, An-72 ומסוקי Mi-8 ו-Mi-24. מאז ספטמבר 2012 משמש השדה כבסיס של חיל האוויר הרוסי ומשמש לעיתים לטיסות מסחריות לערי קרליה.
שדה התעופה קמישלי הוא שדה תעופה המשרת את קמישלי, עיר בצפון מזרח סוריה.
זהו גם השדה היחידי אשר נמצא בצפון המדינה.
אף על פי ששדה התעופה היה סגור לאזרחים בסביבות אוקטובר 2015, הוא נפתח מחדש, וחברות הטיסות הסוריות מספקות כעת טיסות סדירות לקמישלי מדמשק, לטקיה וביירות.
שדה התעופה נהג לקבל טיסות זרות עונתיות מגרמניה ושוודיה.
ב־21 בינואר 2016 דווח לראשונה על פעילותה של רוסיה שמטרתה להקים בסיס צבאי חדש בשדה התעופה הנשלט על ידי הממשלה ובעיקר נטוש.
ב־7 בדצמבר 2024 יום לפני נפילת משטר אסד, השתלטו כוחות הכוחות הסוריים הדמוקרטיים [SDF] בעקבות נסיגת החמושים התומכים במשטר.
מספר ימים לאחר מכן, התפרסמו דיווחים כי תקיפות אוויריות ישראליות כוונו למחסני נשק שנותרו במתקן.
מאוחר יותר באותו חודש, ב־16 בדצמבר, נסוגו משדה התעופה שני מטוסי תובלה צבאיים מסוג איליושין.
שדה התעופה של ולס הוא שדה תעופה המשמש את העיר ולס שבמדינת אוסטריה עילית, אוסטריה.
אף על פי שאינו משמש לטיסות מסחריות סדירות, הוא משמש לתעופה עסקית ותעופה כללית.
בנוסף, מתקיימות בו טיסות אימון, הן פרטיות והן צבאיות, וכן טיסות לפינוי רפואי והעברת מטופלים.
נמל התעופה פאסנה (קוד יאט"א NOS, קוד ICAO : FMNN) הוא נמל תעופה בינלאומי הממוקם באי נוסי בה , מול החוף הצפון-מערבי של מדגסקר, במחוז דיאנה.
מכיוון שנוסי בה היא אחת מיעדי התיירות המפותחים ביותר במדגסקר, נמל התעופה הוא אחד העמוסים ביותר במדינה.
גובהו מעל פני הים 11 מטר.
חברות תעופה הטסות משדה התעופה פאסנה
אייר אוסטרל לנמל התעופה ראוניון רולאן גארוס
אירלינק Airlink לנמל התעופה הבין-לאומי או.
Ewa Air לנמל התעופה הבין-לאומי דזאודזי-פאמאנדזי במיוט במצר מוזמביק
לוט פוליש איירליינס לנמל התעופה ורשה שופן.
אייר מדגסקר לאנטננריבו ואנצירננה ערים במדגסקר
נאוס לנמל התעופה מילאנו-מלפנסה בעיר מילאנו באיטליה, נמל התעופה לאונרדו דה וינצ'י-פיומיצ'ינו ברומא באיטליה, ובתקופות תיירות עונתיות טסים גם בטיסות צ'רטר לנמל התעופה ואצלב האוול בפראג צ'כיה
שדה התעופה קהיר מערב הוא שדה תעופה צבאי בצידה המערבי של קהיר, במצרים.
חלק מהתשתיות של שדה התעופה משותפות לנמל התעופה הבינלאומי ספינקס הסמוך.
שדה התעופה קהיר מערב היה במקור מתקן של חיל האוויר המלכותי.
בתחילה נקרא המקום רא"פ קילו 26 (RAF Kilo 26); במאי 1942 הוחלף הכינוי לרא"פ מנחת 224 (RAF Landing Ground 224).
ב-1 באוגוסט 1945 שוב שונה השם לרא"פ קהיר מערב (RAF Cairo West).
טייסת 104 של חיל האוויר המלכותי הפעילה משדה זה מפציצי ויקרס וולינגטון, שביצעו גיחות הפצצה כנגד כוחות הציר הנסוגים לאחר קרב אל עלמיין השני.
יחידת חיל האוויר המלכותי האחרונה שפעלה מן הבסיס הייתה טייסת 620, ששהתה בו בין ה-6 במרץ ל-14 ביוני 1946 והפעילה מטוסי הליפקס A.7.
טייסת מס' 14 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה במנחת בין ה-10 ל-25 באוגוסט 1942. הפעילה מפציצים מדגמי בריסטול בלנהיים IV, מרטין בולטימור II ומרטין מארודר
טייסת מס' 37 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה במנחת בתחילה בין ה-26 ל-29 ביוני 1942, ולאחר מכן בין ה-6 ל-13 בנובמבר 1942. הפעילה מפציצים מדגם ויקרס וולינגטון.
טייסת מס' 39 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה במנחת בין ה-3 ל-11 ביוני 1943. הפעילה מפציצי טורפדו מדגם בריסטול בופורט סימן II.
יחידה מטייסת מס' 46 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה במנחת בין מאי 1942 לינואר 1943. הפעילה מטוסי קרב-הפצצה מדגם בריסטול בופייטר סימן IF.
טייסת מס' 70 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה במנחת בין ה-26 ל-29 ביוני 1942, ולאחר מכן בין ה-6 ל-11 בנובמבר 1942. הפעילה מפציצים מדגם ויקרס וולינגטון סימן IC.
יחידה מטייסת מס' 76 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה במנחת בין אוקטובר 1941 לספטמבר 1942. הפעילה מפציצים מדגם הנדלי פייג' האליפקס סימן II.
טייסת מס' 104 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה במנחת בין 7 ל-12 בנובמבר 1942. הפעילה מפציצי וולינגטון סימן II.
טייסת מס' 267 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה במנחת בין 19 בינואר ל-18 בנובמבר 1943. הפעילה מפציצים קלים מדגם לוקהיד הדסון 4 ומטוסי תובלה מדגם דאגלס C-47 דקוטה.
טייסת מס' 450 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה במנחת בין 2 ל-14 באוקטובר 1942. הפעילה מטוסי קרב מדגם קרטיס P-40 קיטיהוק סימן III.
יחידה מטייסת מס' 454 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה במנחת בין אפריל לספטמבר 1942.
טייסת מס' 6 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה במנחת בין ה-22 בינואר ל-28 באפריל 1943. הפעילה מטוסי קרב מסוג הוקר הוריקן.
יחידה מטייסת מס' 74 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה בשדה בין אוקטובר לנובמבר 1943. הפעילה מטוסי קרב מדגם סופרמרין ספיטפייר, מדגמי VB, VC ו-IX.
יחידה מטייסת מס' 89 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה בשדה בין דצמבר 1941 לינואר 1943. הפעילה מטוסי בופייטר סימן IF.
טייסת מס' 96 של חיל האוויר המלכותי הבריטי;פעלה בשדה בין ה-30 במרץ ל-1 במאי 1945. הפעילה מטוסי הליפקס III ודקוטה.
טייסת מס' 216 של חיל האוויר המלכותי הבריטי; פעלה בשדה בין 27 בנובמבר 1942 ל-15 ביולי 1945. הפעילה מטוסי הדסון VI ודקוטה.
עם סיום הנוכחות הבריטית במצרים בשנת 1954, קיבל חיל האוויר המצרי לידיו את בסיסי האוויר שהותירו אחריהם.
לאחר עסקת הנשק הצ'כוסלובקית-מצרית, ב-1955, הוגדל מאד סדר הכוחות של הצבא המצרי.
במסגרת העסקה קיבלה מצרים 30 מפציצים סילוניים ארוכי טווח, מדגם איליושין Il-28. רוב המפציצים הללו - 20 במספר - הוצבו בבסיס קהיר מערב; 10 מטוסים נוספים הוצבו בבסיס לוקסור.
מטוסים אלו היו שייכים לפיקוד האסטרטגי של חיל האוויר המצרי.
סמוך למלחמת ששת הימים] הייתה מוצבת בבסיסי גם טייסת 59 של הפיקוד האסטרטגי, שהפעילה מפציצים ארוכי טווח מדגם טופולב Tu-16. מטוסים אלו, יחד עם מפציצי האיליושין, נחשבו לאיום חמור על מרכז מדינת ישראל.
חלק מהאיום נבע מיכולתם של המפציצים לשאת טילי אוויר-קרקע מסוג KSR-2 קלט, בעלי טווח של כ-200 ק"מ.
בנוסף היו בבסיס טייסות של מטוסי קרב מדגמי מיג 15, מיג 17, מיג 21 וסוחוי 7.
ב-5 ביוני 1967 היה שדה התעופה קהיר מערב בין אחד עשר שדות התעופה שהותקפו בגל הראשון.
בשל הימצאותם של מטוסי קרב בבסיס זה הוחלט שהמבנים שיתקפו אותו יהיו של מטוסי מיראז' 3 ("שחק").
כל מטוס נשא שתי פצצות, שנועדו לפגוע במסלולים.
לאחר הפצצת המסלולים היו המטוסים אמורים לבצע כמה יעפי צליפה כדי לפגוע במטוסים שבשדה, בעיקר המפציצים הכבדים.
בשל חשיבותו של השדה, בהיותו ביתם של המפציצים אורכי הטווח, הוקצו לבסיס שישה מבנים, שהגיעו לבסיס ברווח של כמה דקות זה מזה.
המבנה הראשון היה של שלושה מטוסים (המטוס הרביעי לא המריא עקב תקלה טכנית) מטייסת 101 בבסיס חצור, בהובלת מפקד הטייסת, רס"ן עמוס לפידות (לימים אלוף, מפקד חיל האוויר);
המבנה השני היה של ארבעה מטוסים, בהובלת רס"ן עודד שגיא, מטייסת 119, בבסיס תל נוף;
המבנה השלישי היה של ארבעה מטוסים, בהובלת רס"ן עמוס עמיר (לימים תת-אלוף וסגן מפקד חיל האוויר), מטייסת 101;
המבנה הרביעי היה של שלושה מטוסים, בהובלת רס"ן עודד מרום, גם הוא מטיסת 101;
המבנה החמישי היה של ארבעה מטוסים, בהובלת סרן דוד פורת, מטייסת 117, בבסיס רמת דוד.
שדה התעופה קהיר מערב היה מעבר לטווח של המיראז' בטיסה נמוכה עם מטען מלא, ולכן הוחלט שהמבנה שייצא מרמת דוד יהיה החמישי, בהנחה שעד אז כבר ינוטרל האיום המצרי וניתן יהיה לטוס בגובה רב;
המבנה השישי היה בהובלת סא"ל יעקב אגסי, מטייסת 119. אחד המטוסים במבנה זה היה מטוס צילום, שנועד לצלם את תוצאות התקיפה בגל הראשון.
עם סיום התקיפות בגל הראשון היה ברור שכל המפציצים הכבדים מדגם טופולב 16 הושמדו.
לאחר הגשת תקציב שנת הכספים 1981, הורה מזכיר ההגנה של ארצות הברית על ביצוע תוכנית "פנטום גאה", לבקשת מצרים.
במסגרת התכנית התבצעה פריסה טקטית לא מתוכננת, שלא הייתה חלק מתוכנית האימונים הסדירה.
שנים עשר מטוסי מקדונל דאגלס F-4E פנטום II ולפחות 400 אנשי צוות נשלחו מכנף הקרב הטקטית ה-347 בבסיס חיל האוויר מודי, ג'ורג'יה, לקהיר מערב, ביולי 1980.
ב-29 במאי 1981 התרסק מטוס לוקהיד C-130 הרקולס לאחר ההמראה מהבסיס.
במשך תקופה ארוכה הוזכר השדה לעיתים קרובות, על ידי עיתונאי תעופה, כבסיסה של חטיבת הקרב הטקטית ה-222 של חיל האוויר המצרי, המטיסה מטוסי מקדונל דאגלס F-4 פנטום II.
השדה היווה היה אתר תכוף לפריסות חיל האוויר של ארצות הברית.
כאשר הכנף ה-487 של חיל המשלוח האווירי התבססה בשדה זה במרץ-מאי 2003 במהלך הפלישה לעיראק בשנת 2003 .
משואת TACAN של קהיר מערב (מזהה: BLA) ממוקמת בשדה.
שְׂדֵה יַעֲקֹב הוא מושב עובדים שהוקם על ידי תנועת הפועל המזרחי במערב עמק יזרעאל, כ-2 ק"מ דרומית מזרחית לקריית טבעון, בתחום השיפוט של המועצה האזורית עמק יזרעאל.
המושב נוסד בשנת 1927 והוא היישוב הראשון של הפועל המזרחי.
הוא קרוי על שם הרב יעקב ריינס, ממייסדי התנועה וממנהיגיה וכן נקרא על שם המאמר בהפסוק בספר בראשית פרשת תולדות שיעקב ריחו כריח השדה הקמת היישוב לוותה בקשיים רבים שהערימו המוסדות המיישבים שלא התלהבו מיישוב דתי.
המושב נוסד בידי חלוצים ועובדי אדמה, עולים ממזרח אירופה.
בתחילה הם עלו לקרקע באדמת שייח אבריק הסמוכה ולאחר מכן עברו להתיישבות קבע במקום מושבם הנוכחי.
לאחר מותו של הרב שמואל חיים לנדוי (שח"ל) נטעו חברי המושב את היער לזכרו כביטוי להערכתם אליו כמחולל תנועת ההתיישבות הדתית בארץ ישראל.
במושב קיימים ענפי חקלאות רבים: מטעים (בפרט זיתים), מחלבות ודשא מוכן.
בפאתי המושב הוקם מבוך צמחים ענק לאוהבי המבוכים והבילוי למשפחה.
בשנת 2008 החלה במושב בנייתה של שכונת הרחבה קהילתית, אשר תושביה הם חלק מן הקהילה.
במושב בית-ספר יסודי ממלכתי-דתי אחד, שני בתי-ספר על-יסודיים: הישיבה התיכונית בני עקיבא תקוות יעקב וכפר הנוער הדתי מרחבים נוה עמיאל.
כן שוכנת בו המועצה הדתית של עמק יזרעאל.
במושב בית כנסת מרכזי (בתכנון האדריכל ישראל קומט), אשר בנייתו החלה בשנות הארבעים ונסתיימה בשנות החמישים במאה העשרים.
בית הכנסת היווה את המרכז הרוחני של המושב עד שנת 2010, בה הוכרז כמבנה מסוכן והכניסה אליו נאסרה.
במאי 2019, לאחר הרחבה ושיפוץ, וכן קבלת תואר מבנה לשימור, נחנך מחדש בית הכנסת, ומתקיימים בו שני מניינים במקביל בשני אולמות שונים, נוסח עדות המזרח ונוסח ספרד.
שדה חשמלי היא תכונה פיזיקלית של המרחב המקיף מטען חשמלי (או של אזור בו יש שדה מגנטי המשתנה בזמן).
שדה זה מפעיל כוח על גופים הטעונים חשמלית.
רעיון השדה החשמלי הוצע על ידי מייקל פאראדיי.
במערכת היחידות הבין-לאומית הוא נמדד ביחידות של ניוטון לקולון , או באופן שקול, ביחידות של וולט למטר .
באלקטרוסטטיקה (כאשר כל המטענים אליהם מתייחסים נמצאים במנוחה), כיוון השדה עבור נקודה כלשהי במרחב מוגדר על ידי כיוון הכוח החשמלי המופעל על מטען בוחן חיובי המונח בנקודה זו.
עוצמת השדה מוגדרת על ידי היחס בין גודלו של הכוח החשמלי המופעל על המטען המונח בנקודה זו לבין גודלו של המטען בנקודה.
הרעיון הוא לבדוק את השפעת כלל המטענים במרחב על מטען הבוחן, באופן כזה שלמטען הבוחן אין השפעה על השדה הנמדד.
השדה החשמלי מוגדר ככוח על מטען הבוחן ליחידת מטען בוחן:
הוא הכוח החשמלי הנתון על ידי חוק קולון.
המשוואה לעיל תקפה רק כאשר כל המטענים במנוחה.
במקרה הכללי של מטענים נעים המשוואה הנ"ל הופכת למשוואה של כוח לורנץ.
תיאור גרפי של השדה החשמלי
קיימות מספר דרכים לתיאור גרפי של שדה חשמלי.
שדה חשמלי סטטי יתואר בדרך כלל על ידי קווי שדה.
קווי שדה הם קווים שכיוונם מתאר את כיוון תנועתו של מטען חיובי מנקודה מסוימת, ואורכם מתאר את גודל הכוח שיפעל על אותו מטען.
צפיפותם היחסית של קווי השדה בנקודה מסוימת, מלמדים על עוצמת השדה החשמלי באותה נקודה: ככל שקווי השדה צפופים יותר כך עוצמת השדה גבוהה יותר, ולהפך.
שדה חשמלי חייב להיות סימטרי.
השדה החשמלי הנוצר על ידי מטען חיובי ידחה מטען בוחן חיובי, ולכן קווי השדה סביבו יתוארו על ידי חיצים הפונים החוצה.
באופן דומה השדה הנוצר על ידי מטען שלילי ימשוך מטען בוחן חיובי, ולכן קווי השדה סביבו יתוארו על ידי חיצים הפונים פנימה.
שדה חשמלי של מטען נקודתי
כל מקור טעון חשמלית יוצר שדה חשמלי במרחב.
עוצמת השדה בכל נקודה תלויה בהתפלגות המטען על המקור, ולכן קשה לחשב אותה למקרה כללי.
המקרה הבסיסי ביותר הוא כאשר המקור הוא חסר ממדים, כלומר הוא נקודה.
לכן מנתחים מרחב ריק שבו נמצא רק מטען אחד: חלקיק נקודתי.
הפיזיקאי שארל-אוגוסטן דה קולון היה הראשון שגילה את הקשר בין גודלו של מטען שמונח בשדה חשמלי שיוצר מטען אחר , לבין גודל הכוח החשמלי שמופעל עליו, .
הנוסחה המתארת את הכוח הזה נקראה על שמו – חוק קולון – ולפיה הכוח החשמלי שיפעל על מטען כלשהו שיונח בשדה יהיה מכפלה של גודל המטען בגודל המטען שיצר את השדה, מחולק בריבוע המרחק מהמטען.
במילים אחרות, השדה החשמלי במרחק ממקור חשמלי נקודתי יחיד שמטענו הוא , והכוח שמפעיל השדה על המטען נתון על ידי .
כיוונו של הכוח הוא רדיאלי, לכוון המטען שמחולל את השדה (אם המטענים הם מנוגדים, ואז הוא כוח משיכה) או החוצה ממנו (אם המטענים הם שווי-סימן, ואז הוא כוח דחייה).
נוח יותר לעבוד עם וקטורים, כדי לטפל בצורה נוחה יותר בכיווני הכוחות.
מסמנים ב- וקטור יחידה בכיוון מ- אל .
אם המטען אינו נמצא בראשית הצירים אלא במיקום שרירותי כלשהו , וקטור היחידה הוא (כיוונו הוא ככיוון וקטור ההפרש בין וקטורי המקום והוא מחולק בגודלו של וקטור ההפרש כדי לקבל וקטור שגודלו יחידה).
לכן הכוח הפועל בין שני מטענים נקודתיים הנמצאים בנקודות בהתאמה הוא
הקבוע הוא קבוע קולון במערכת היחידות SI.
במקומו רושמים לפעמים ( הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק, או פֶּרְמיטיביות הריק).
ביחידות cgs, ערכו של k הוא 1 משום שמודדים את המטען ביחידות esu.
ביחידות אלה חוק קולון הוא מהצורה:
זוהי נוסחה וקטורית שמשמעותה היא שגודל השדה הוא , וכיוונו הוא ככיוון הקו המחבר את הנקודה שבה בודקים את השדה עם הנקודה בה נמצא המטען היוצר את השדה.
הסימן החיובי של הנוסחה מציין ששני מטענים חיוביים דוחים זה את זה.
הפיתוח של נוסחת השדה החשמלי שיוצר מטען נקודתי, משמש בסיס למקרים כלליים ומורכבים יותר.
בגלל עקרון הסופרפוזיציה, כאשר יש במרחב מספר מטענים נקודתיים סטטיים (שאינם נעים), מחשבים את השדה החשמלי שמפיק כל אחד מהם, והשדה הכללי המתקבל הוא סכום וקטורי של השדות של כל המטענים הנקודתיים.
אם כל מטען נמצא בנקודה , הנוסחה לשדה החשמלי הכולל שיתקבל בכל נקודה היא לפיכך .
בגבול שבו המטען החשמלי אינו אוסף של מטענים בדידים אלא הוא התפלגות מטען רציפה, כלומר כשאנחנו רוצים לחשב שדה שיוצר גוף טעון בעל נפח, הסכום הופך לאינטגרל:
שלושת סימני האינטגרל מסמנים אינטגרציה בשלושת הממדים.
האינטגרל סוכם את המטענים האינפיניטסימליים לאורך כל הנפח בו הם מפוזרים.
כאשר מייצגת את פונקציית הצפיפות, פונקציה אשר מתאימה לכל נקודה במרחב את צפיפות המטען ביחס ליחידת נפח המצויה בו.
במקרים שבהם פיזור המטען במרחב כפוף לסימטריה כלשהי (כגון תיל ארוך טעון או קליפה כדורית טעונה), ניתן לבחור מערכת קואורדינטות שמתאימה לסימטריה, ולהיעזר בה לחישוב השדה החשמלי שנובע ממטען זה.
כך למשל, אם נתונה התפלגות מטען בעלת סימטריה כדורית, כדאי לנתח את הבעיה כשהיא מנותחת בקואורדינטות כדוריות, כי אז, משיקולי סימטריה, הרכיבים הזוויתיים של השדה החשמלי חייבים להיות אפס, ורק הרכיב הרדיאלי אינו מתאפס.
בהינתן שדה חשמלי, נרצה מדד כלשהו להגדיר את מידת העוצמה שבה הוא פועל על משטח מסוים.
מדד זה מוגדר מתמטית בעזרת שטף, על פי הנוסחה: , כאשר הוא הווקטור המוגדר על ידי המשטח, גודלו כשטח המשטח וכיוונו ניצב אליו.
על פי ההגדרה, השטף תלוי בשלושה פרמטרים: בעוצמת השדה, בגודל המשטח, ובזווית שבה המשטח מוטה.
על פי חוק גאוס, אם נקח מעטפת העוטפת כמות מטענים, ישנו קשר ישיר וליניארי בין השטף של השדה החשמלי שהם יוצרים, לבין כמות המטענים שבתוך המעטפת, ללא תלות בצורת המעטפת ובשאר הנתונים של הבעיה.
הקשר נקבע על פי הנוסחה:
, כאשר הוא השטף החשמלי, הוא המטען הכלוא בתוך המעטפת, ו- הוא קבוע דיאלקטריות הריק.
החוק הוא יישום פיזיקלי של משפט גאוס המתמטי, והוא נכון במקרים רחבים יותר מהקשרו החשמלי.
עם זאת, בחשמל חוק גאוס בצורתו הדיפרנציאלית נחשב לאחת מתוך ארבע משוואות מקסוול שפורסות באופן שלם את האלקטרומגנטיות, מה שמעיד על חשיבותו הרבה, ועל המשמעויות הרבות שנובעות ממנו.
דוגמאות לשימוש בחוק יבואו בהמשך הערך.
הניסוח המתמטי המלא של החוק בצורתו האינטגרלית הוא:
כאשר הוא השדה החשמלי, הוא אלמנט שטח אינפיניטסימלי על המעטפת , אשר כיוונו מוגדר כניצב למשטח, כלפי חוץ, הוא צפיפות המטען החשמלי בנקודה , ו- הוא אינטגרל על המשטח הגיאוסי המהווה מעטפת סביב נפח .
גזירה מתוך הפוטנציאל החשמלי והמגנטי
השדה החשמלי מושרה כתוצאה מנוכחות מטען חשמלי (התפלגות מטען) או כתוצאה משינויים בזמן בשדה המגנטי.
ליתר דיוק, השדה החשמלי מושרה על ידי הפוטנציאל החשמלי (זהו 4-וקטור) לפי הנוסחה:
שדות חשמליים של מטענים לא נקודתיים
בהינתן כדור שסך המטען עליו הוא , ופיזור המטען עליו אחיד.
שיקולי סימטריה מראים כי קווי השדה החשמלי שייווצרו מחוץ לכדור חייבים להיות מכוונים רדיאלית, כך שהם יהיו מאונכים לפני הכדור.
את השדה שייווצר ניתן לחשב לפי חוק גאוס, תוך בחירת מעטפת כדורית שמרחקה ממרכז הכדור הוא .
תחילה נחשב את השדה מחוץ לכדור.
לפי החוק, עבור כל גדול מרדיוס הכדור עצמו (כלומר, כל נקודה מחוץ לכדור):
מאחר ששטחה של קליפה כדורית הוא והשדה עליה קבוע מהסימטריה, מקבלים
כאשר השוויון האחרון נובע מערכיהם של הקבועים.
כלומר, השדה החשמלי שיוצר כדור שטעון בצפיפות מטען אחידה, במרחב שמחוץ לו, הוא זהה לשדה שהיה יוצר מטען זהה שהוא נקודתי.
על מנת לחשב את השדה בתוכו תחילה יש לחשב את צפיפות המטען ליחידת נפח.
מכיוון שהצפיפות אחידה: , כעת על מנת לחשב את השדה בנקודה מסוימת ברדיוס r בתוך הכדור נבנה מעטפת גאוס כדורית כך שמרכז המעטפת נמצא במרכז הכדור והנקודה מוכלת בשפתו.
נבודד את השדה, את הכיוון אנחנו יודעים מפאת סימטריה כדורית שהוא רדיאלי.
כאשר דנים בבעיות בהם החומר הוא מוליך, ידוע שהשדה בתוך התווך המוליך הוא שווה לאפס כל עוד אין המוליך מכיל מטענים מקובעים בתוכו (מה שאומר שהוא לא מוליך לגמרי אלא בין מוליך למבודד).
עובדה זו נובעת מכך שכל המטענים מתרכזים על שפת המוליך, כתלות בנסיבות:
בהיעדר שדה חיצוני, המטענים נדחים אחד מפני השני והולכים לקצוות.
כאשר מופעל שדה חיצוני, האלקטרונים בתוך המוליך חופשיים לנוע בתגובה לשדה החיצוני, עד למצב שיווי משקל כך שהשדה הנוצר בין שפות המוליך מנוגד בכיוון לשדה המקורי ושווה לו בגודלו.
כיוון שכמות האלקטרונים גדולה בכמה סדרי גודל מכל שדה סטנדרטי שנוצר, יכולים האלקטרונים לבטל כל שדה סטנדרטי.
לכן בתוך הכדור, אם ידוע שהוא מוליך, השדה הוא אפס.
בהינתן תיל שאורכו אינסופי, ושצפיפות המטען ליחידת אורך עליו היא , שיקולי סימטריה מראים כי קווי השדה החשמלי שייווצרו מחוץ לתיל חייבים להיות מאונכים לתיל.
משיקולים דומים יהיה השדה החשמלי שהתיל מפעיל תלוי רק במרחק מהתיל.
בגלל הסימטריה הגלילית מחשבים את השדה לפי חוק גאוס תוך שימוש במעטפת בצורת גליל, שמוצבת מסביב לתיל.
מכיוון שהשדה מאונך לתיל (ולמעטפת הגליל), השטף שלו יהיה מקסימלי דרך מעטפת הגליל, ו-0 דרך בסיסי הגליל.
מציין יחידת אורך מסוימת – את אורך המוט המוגבל על ידי המעטפת הגלילית.
אין זה משנה איזה אורך בוחרים, מאחר שהוא מצטמצם בחישוב:
תוצאה זו נכונה כל עוד המרחק מהמוט זניח ביחס לאורך המוט, שכן המודל מניח כאמור מוט שאורכו אינסופי.
אם על פניו של לוח אינסופי מפוזר באופן אחיד מטען כלשהו, כך שצפיפותו ליחידת שטח היא , ניתן לראות, כתוצאה משיקולי סימטריה, שהשדה החשמלי שהוא מפעיל יהיה מאונך לפני הלוח.
כמו כן אין זה משנה מול איזה חלק של הלוח יוצב המטען המושפע מהשדה (בהנחה שהלוח אינסופי או שהמרחקים קטנים מאוד), כי גודל עוצמת השדה יושפע רק ממרחק המטען מהלוח.
המעטפת הגלילית שנבחר לצורך השימוש בחוק גאוס תהיה מאונכת ללוח, ואחד מבסיסי הגליל שלנו יעבור בדיוק באמצעו.
אם מדובר בלוח מוליך, לא יהיה בתוכו שדה חשמלי.
קווי השדה היוצאים מהלוח יהיו מאונכים לבסיס השני של הגליל ומקבילים למעטפת שלו, כך שרק דרך הבסיס האחד יעבור שטף חשמלי.
עתה נחשב את השדה במרחק r מהלוח המוליך:
בדומה למקרה הקודם, גם כאן A מציינת יחידת שטח זמנית – את שטח בסיס הגליל שדרכו עובר השטף, ואת השטח על פני הלוח שתופסים המטענים הכלואים במעטפת הגלילית.
התוצאה הזאת מפתיעה שכן קיבלנו חוסר תלות גם במרחק מהלוח, מה שאומר תיאורתית שאם הלוח אינסופי אז השדה בכל נקודה במרחב כולו יהיה שווה, והשדה תלוי אך ורק בצפיפות המטען של הלוח.
מובן שכל האמור נכון רק ללוח אינסופי או למרחק קטן מאוד מלוח טעון גדול מאוד.
השדה במקרה של קבל לוחות הוא סופרפוזיציה של השדות של שני הלוחות והוא:
בין הלוחות, ואפס מחוץ לקבל.
שדה מגנטי הוא תכונה של המרחב סביב זרם חשמלי או חומר מגנטי, המפעילה כוח על מגנטים וזרמים חשמליים.
במילים אחרות, השדה המגנטי הוא ביטוי לכוח שמפעילים זרמים חשמליים או חומרים מגנטיים זה על זה.
השדה נמדד ביחידות טסלה (T) במערכת היחידות הבין-לאומית.
השדה המגנטי הוא שדה וקטורי, ובכך מתאים וקטור לכל נקודה במרחב, ומתואר באיורים על ידי קווי שדה.
קווים אלה מתארים את הכיוון אליו תצביע מחט של מצפן בכל נקודה במרחב.
היחידה הבסיסית ביותר אשר מפיקה שדה מגנטי היא דיפול מגנטי, שהוא חלקיק בעל שני קטבים מגנטיים מנוגדים צמודים.
דיפול מגנטי יכול להיות קטע מתיל עם זרם חשמלי, חלקיק טעון בתנועה, או חלקיק טעון בעל תנע זוויתי עצמי.
ההשפעה של שדה מגנטי על גוף מוליך זרם תלויה בכיוון הזרם ביחס לכיוון השדה.
אם כיוון הזרם מקביל לכיוון השדה, לא תהיה השפעה כלל, ואם כיוון הזרם אנך לכיוון השדה ההשפעה תהיה מקסימלית.
תופעת המגנטיות, כמשיכה ודחייה בין אבנים, מוכרת מזה אלפי שנים.
שימוש במצפן למציאת הצפון באמצעות השדה המגנטי של כדור הארץ מוכר מזה כאלפיים שנה.
הנס כריסטיאן ארסטד גילה בשנת 1820 שזרם חשמלי יוצר שדות מגנטיים.
השדה המגנטי קשור באופן הדוק לשדה חשמלי, וניתן לחשב את הכח המגנטי שיוצר חלקיק טעון חשמלית בתנועה (המהווה זרם חשמלי), מתוך השדה של מטען חשמלי והדרישה לשימור המטען במעבר בין מערכות ייחוס יחסותיות.
מעבר כזה נקרא טרנספורמציית לורנץ.
המשוואות אשר קושרות בין שדה מגנטי לחשמלי נקראות משוואות מקסוול.
מגנטיות ככוח בין חומרים מגנטיים ידועה כבר מימי קדם.
במאה ה-19 נחקר הקשר בין חשמל ומגנטיות, והוכלל לתורה אחת, תורת האלקטרומגנטיות, עם המשוואות היסודיות של התורה שהן משוואות מקסוול.
בראשית המאה ה-20 באמצעות תורת היחסות הפרטית פותחה תורה שלמה ועקבית המוכללת במשוואות מקסוול בצורה יחסותית.
לחישוב ערכם של שדות מגנטיים והכח שהם מפעילים, נדרשת פעולה מתמטית שנקראת מכפלה וקטורית, המסומנת כ-.
מכפלה וקטורית מתבצעת בין שני וקטורים והתוצאה שלה היא וקטור.
תוצאת המכפלה תהיה הווקטור , כאשר:
גודל הווקטור, , הוא ערכה של המכפלה,
וכיוונו ניצב לכיוונם של שני הווקטורים, ונקבע על פי כלל יד ימין (להרחבה על הסימונים ראו וקטור).
חלקיק נע בעל מטען חשמלי
השדה המגנטי בנקודה מסוימת שיוצר מטען נע (וגם זרם חשמלי) נקבע על פי חוק ביו-סבר.
השדה יחסי לגודל המטען ומהירותו ויחסי להיפוך ריבוע המרחק בין המטען לנקודה שבה השדה נמדד.
השדה ניצב לכיוון תנועת המטען ולקו (הווקטור) בין המטען לנקודה.
קווי השדה המגנטי מסודרים במעגלים הולכים וגדלים סביב למסלול המטען היוצר אותו ומכוונים לפי כלל יד ימין .
בניסוח מתמטי, השדה המגנטי שיוצר חלקיק בעל מטען חשמלי הנע במהירות , בנקודה שנמצאת במיקום במרחב ביחס לחלקיק, הוא:
כאשר הוא מקדם המגנטיות של הריק, שערכו .
באופן דומה עבור תיל קצר באורך וכיוון עם זרם חשמלי :
הכוח שמפעיל שדה מגנטי על חלקיק טעון נע נקרא כוח לורנץ.
הכוח ניצב למהירות החלקיק הטעון ולשדה המגנטי שיצר אותו.
כאשר חלקיק טעון נע בשדה מגנטי קבוע ואחיד, הוא נע במסלול לולייני שבו ציר הסליל מקביל לשדה המגנטי וגודל מהירות החלקיק נשאר קבוע.
מכיוון שהכוח המגנטי תמיד מאונך לתנועה, הוא לא מבצע עבודה על חלקיק טעון ובודד במרחב.
בעקיפין יכול השדה המגנטי לעשות עבודה באמצעות השדה החשמלי שנוצר כתוצאה משדה מגנטי משתנה.
בניסוח מתמטי, הכוח שמפעיל שדה מגנטי על מטען שנע במהירות הוא:
מקרה פרטי של נוסחה זו הוא הכוח שפועל על קטע תיל ישר באורך וכיוון שזורם בו זרם :
ניתן לקבל את הכוח המגנטי הפועל על יחידת נפח במוליך שזורם בו זרם בצפיפות אחידה על ידי:
כאשר הוא צפיפות הכוח המגנטי (כוח ליחידת נפח).
דיפול מגנטי הוא זוג מטענים מגנטיים מנוגדים צמודים (צפון-דרום), והוא יחידה בסיסית היוצרת שדה מגנטי.
לא נמצא עד כה בניסוי מטען מגנטי בודד (מונופול מגנטי) וחיפוש אחר חלקיק זה הוא אחד מתחומי המחקר של פיזיקת חלקיקים.
מציאתו תסביר תופעות כמו, למשל, קוונטיזציה של המטען החשמלי ביקום.
הגודל המאפיין את חוזק המגנט הוא המומנט המגנטי , וקטור שכוונו הציר שבין המטענים, מהמטען החיובי לשלילי.
השדה שיוצר דיפול מגנטי מתואר באיור.
דיפול מגנטי יכול להיות גם מתואר באמצעות לולאת זרם:
כאשר הוא שטח הלולאה, הוא כיוון מומנט הדיפול שניצב לשטח הלולאה על פי כלל יד ימין, ו- הוא הזרם בלולאה.
שדה מגנטי אחיד לא יפעיל על הדיפול כוח כולל, אולם יפעיל עליו מומנט כוח:
הנוסחאות הבסיסיות שהוצגו בעייתיות, מאחר שלא מוגדרת בהן מערכת ייחוס.
בנוסחת כח לורנץ, למשל, המהירות אינה מוגדרת היטב, וניתן לראות שבחירת מערכת ייחוס הנעה במהירות שונה משנה את הכח שפועל על החלקיק, תוצאה שאינה פיזיקלית שכן בשתי מערכות הייחוס נמדדת אותה תאוצה.
סתירה זו נפתרת באמצעות תורת היחסות הפרטית שמאחדת את השדה המגנטי עם השדה החשמלי לגודל פיזיקלי הנקרא טנזור השדה האלקטרומגנטי.
למעשה, אפשר לקבל את השדה המגנטי מהשדה חשמלי, ולהפך, על ידי טרנספורמציית לורנץ, שהיא מעבר מערכת ייחוס בתורת היחסות.
שדה מגנטי נייח מקיים את שתי משוואות מקסוול הבאות (עוד שתיים אינן מוצגות כאן):
המשוואה הראשונה נכונה כל עוד אין במערכת מונופולים מגנטיים (ולא התגלו כאלו עד כה), כלומר כל חלקיק מגנטי הוא דיפול בעל קוטב צפוני ודרומי.
מכיוון שלכל שדה וקטורי מתקיים , ניתן להציג את השדה באמצעות פוטנציאל וקטורי , על ידי:
מן הפוטנציאל הווקטורי גוזרים את השדה המגנטי, כפי שמהפוטנציאל החשמלי גוזרים את השדה החשמלי.
משמעות המשוואה השנייה היא ששדות מגנטים נייחים נוצרים רק מזרמים חשמליים ושכיוון השדה הוא מסביב לתנועת הזרם.
צורה זו של המשוואה איננה מדויקת, כי כאשר שדה חשמלי משתנה בזמן, הוא משרה שדה מגנטי בסביבתו, בדיוק כמו זרם חשמלי.
הצורה המתוקנת של המשוואה השנייה על פי מקסוול היא:
הנגזרת של השדה החשמלי לפי הזמן נקראת זרם העתקה, בהתאם לתפקידה כמקור של שדה מגנטי.
באופן דומה, שדה מגנטי משתנה בזמן יוצר שדה חשמלי והקשר ביניהם ניתן על ידי משוואת מקסוול נוספת (חוק פאראדיי):
שתי משוואות אלה מתארות את הקשר בין שדות חשמליים ומגנטיים כאשר הם אינם קבועים.
שדה שנוצר על ידי תיל אינסופי
השדה המגנטי הנוצר על ידי תיל ישר אינסופי שזורם בו זרם חשמלי ניתן על ידי חוק אמפר, שהוא גרסה אחרת של חוק ביו-סבר.
חוק אמפר בצורתו האינטגרלית אומר ש־, כאשר מציין מסלול כלשהו (הנקרא "מסלול אמפר"), ו- הוא סך הזרמים החוצים את השטח המגודר על ידי מסלול זה.
אנחנו כבר יודעים מהסעיף הקודם שהשדה המגנטי שנוצר על ידי זרם שהולך בקו ישר הוא במעגלים סביב כיוון הזרם, ולכן אנחנו מקבלים את הנוסחה הבאה לשדה מגנטי הנוצר על ידי תיל במרחק r מהתיל: .
שדה מגנטי הנוצר בין שני תיילים מקבילים נושאי זרם
כאשר יש שני תיילים הנושאים זרם, נוצר ביניהם שדה מגנטי, וכתוצאה מכך מופעלים על התיילים כוחות בהתאם לכיוון השדה.
כאשר שני תיילים מקבילים נושאים זרם באותו הכיוון נוצר בין שני התיילים כח משיכה.
נניח שהתיילים נושאים זרם לכיוון "מעלה".
הוא יוצר מימינו (איפה שנמצא התייל השני) שדה מגנטי פנימה, כלומר אם נדמיין את שני התיילים על שולחן הוא יוצר שדה בכיוון מטה, כלומר בכיוון מהשולחן לרצפה (שדה בכיוון x).
התייל השני נמצא כעת בתוך שדה מגנטי שכיוונו x, ולכן לפי חוקי הפיזיקה ("כלל יד ימין") הוא יימשך שמאלה, כלומר לכיוון התייל הראשון.
ניתן להוכח באותה צורה שהתיל השמאלי נמשך אל הימני, או לחלופין להסיק זאת מהחוק השלישי של ניוטון.
כאשר שני התיילים נושאים זרם בכיוונים מנוגדים, נוצר בין התיילים כח דחייה.
ניתן לראות, שבתוך סליל ישנה צפיפות גבוהה של קווי שדה מגנטי, בניגוד למרחב שמחוץ לסליל.
ניתן לראות גם, שהשדה המגנטי בתוך הסליל הוא בעיקרו בקו ישר ומציית לכלל יד ימין בצורה הפוכה: הפעם, האגודל מציינת את כיוון השדה המגנטי הנוצר בסליל, וכף היד – את כיוון הזרם היוצר אותו.
גודל השדה, שניתן לחשבו אם משתמשים בחוק אמפר ומניחים שהשדה מחוץ לסליל הוא 0, הוא , כאשר N הוא מספר הליפופים בסליל, L הוא אורך הסליל ו-I הוא הזרם הזורם בסליל.
קווי השדה המגנטי של כדור הארץ מסודרים בקירוב לכיוון צפון.
חומר מגנטי על פני כדור הארץ נוטה להסתדר לפי קווים אלו.
ניתן לראות בכדור הארץ מגנט עצום, שקטביו בקוטב הצפוני ובקוטב הדרומי.
לשדה המגנטי של כדור הארץ חשיבות רבה מבחינת קיום החיים על פניו בכך שהשדה הודף ומסיט חלקיקי קרינה המגיעים מהשמש והמסוכנים ליצורים חיים.
הקטבים המגנטיים של כדור הארץ סוטים מעט מהקטבים הנוצרים כתוצאה מציר הסיבוב של כדור הארץ.
לכן, ניתן למצוא במפות מדויקות קו הצפנה ל"צפון המגנטי" וקו הצפנה מעט שונה ל"צפון האמיתי".
מציאת הצפון המגנטי נעשית באמצעות מצפן, מכשיר ובו מחט הנעה על ציר ומתיישרת לאורך הרכיב המשיקי של קו השדה המגנטי של כדור הארץ בנקודה הנמדדת.
מחט המצפן היא דיפול מגנטי קטן בפני עצמה, וצדה הפונה צפונה הוא צד ה"דרום" בדיפול זה.
שְׂדֵה נַחוּם הוא קיבוץ השוכן בעמק המעיינות, ונמנה עם יישובי מועצה אזורית עמק המעיינות.
הקיבוץ נקרא על שם גרעין המייסדים - "השדה" - ועל שמו של נשיא ההסתדרות הציונית העולמית נחום סוקולוב, שנפטר זמן קצר לפני הקמת היישוב.
כיום מונה היישוב כ-500 תושבים, המקום בעל אופי חילוני.
הקיבוץ נוסד ב-1937. הוא מבין יישובי "חומה ומגדל" כפי שניתן לראות בתיעוד.
מייסדיו היו בוגרי מקוה ישראל וחברי פלוגת הקיבוץ המאוחד שראשוניה היו נוער חלוצי מאוסטריה.
אליהם הצטרפו בהמשך חלוצים שעלו מפולין, רוסיה וגרמניה.
חברי גרעין השדה עברו הכשרה בראשון לציון.
ב-1947 הוקם בקיבוץ מפעל השימורים "שלדג" שפעל עד שנות ה-60 וייצר שימורי דגים ופרי.
במפעל הועסקו חברי קיבוץ ועובדים שכירים, בעיקר מבית שאן.
בשנות ה-50 החלה לפעול בשדה נחום קבוצת הכדורגל "הפועל שדה נחום"
כיום יש בקיבוץ כ-100 חברים.
חברי היישוב מוצאים את פרנסתם בחקלאות, תעשייה, שירותים מקומיים, עבודות חוץ בכל התחומים, יזמות עצמית ועוד.
באזור קיים פארק תעשייה בשם "שלוחת צבאים".
בשנות ה-90 החליט הקיבוץ להרחיב את היישוב על ידי הקמת שכונה קהילתית צמודה לו.
שדה נחום היה הראשון בארץ להקים שכונת הרחבה בשטחו, יוזמה שנהגתה בשיתוף המועצה אזורית עמק המעיינות.
התכנית כללה הקמה של כ-230 יחידות משפחתיות בארבע שכונות שונות.
בשנת 2000 התחיל אכלוס שכונת "אורן" בה מתגוררים בנים ממשיכים יחד עם תושבים חדשים שהצטרפו לקיבוץ.
בעשור השני של שנות ה-2000 הושקו שכונות הרחבה נוספות: "ברוש", "גפן" ו"דקל".
הקהילה מנוהלת בידי ועד ובו חברים מהקיבוץ ומההרחבה.
הוועד מפעיל בשיתוף פעולה עם הקיבוץ שירותים קהילתיים כמו חינוך, תרבות, וספריה.
בשנת 2009 הוקם בית כנסת ביישוב, בשיתוף של המשרד לשירותי דת.
זוכה פרס נובל בכימיה לשנת 2013, פרופ' אריה ורשל, הוא יליד הקיבוץ.
שדה ניצן (שְׂדֵה נִצָּן) הוא מושב בחבל אשכול שבמערב הנגב הצפוני, ממערב למושב תלמי אליהו ומדרום למושב מבטחים ומשתייך לאיחוד החקלאי ולמועצה אזורית אשכול.
שמו נגזר משם הנדבנים היהודים הקנדים ברנרד ולואיס בלומפילד (Bloomfield - שדה פרחים).
נכון ל-26 ביוני 2022 במושב מתגוררים 557 אנשים והוא היישוב ה-11 בגודלו במועצה האזורית אשכול מבחינת אוכלוסייה.
היישוב נוסד בשנת 1973 על ידי עולים מאנגליה ומארצות הברית.
המושב נחשב היום לאחד מאחרוני המושבים השיתופיים, אומנם הוא איננו שיתופי לגמרי אך קיימים בו עדיין יוזמות ומפעלים ברוח השיתופית של פעם.
במושב הוקם מפעל לירקות טריים קצוצים, המשווקים בקירור.
בתחילת דרכו נקרא המפעל א.נ.פ.
בע"מ, על שם בעלי החברה, אבי ונורית פרחי.
במהלך העשור הראשון של המאה ה-21 נרכש המפעל על ידי חברת שטראוס, ושמו שונה לשטראוס בריאות ירקות טריים בע"מ.
שְׂדֵה מֹשֶׁה הוא מושב בחבל לכיש ליד העיר קריית גת השייך למועצה אזורית לכיש.
המושב הוקם ב-1956 בסיועה של יק"א, על אדמות הכפר הערבי הנטוש עיראק אל-מנשייה.
הוא נקרא על שמו של מוריס הירש (הברון הירש) שהיה ממייסדי יק"א, ונקרא תחילה "שדה ישעיהו" על שם ישעיהו פרס.
המושב בעל צביון חילוני, אולם מתגוררים בו גם תושבים שומרי מסורת.
שְׂדֵה יִצְחָק הוא מושב במזרח השרון, דרומית-מזרחית לחדרה השייך למועצה אזורית מנשה.
המושב הוקם בשנת 1952 על ידי עולים מפולין, פרס ותימן על אדמות שלפני-כן ישב עליהם קיבוץ להבות חביבה ששינה את מיקומו ועבר כ-3 ק"מ מזרחה.
שמו של המושב ניתן לו על שמו של יצחק שדה, שהיה מייסד הפלמ"ח ומפקדו הראשון.
בגבולו המזרחי של המושב זורם נחל חביבה היורד מהשומרון ונמצא גם פארק נחל חביבה, מעברו המזרחי של הנחל נמצא קיבוץ להבות חביבה.
שְׂדֵה יוֹאָב הוא קיבוץ מתנועת הקיבוץ הארצי השומר הצעיר באזור הדרום, בין הערים אשקלון, קריית גת וקריית מלאכי, השייך למועצה אזורית יואב.
היישוב עלה על הקרקע ב-1 ביוני 1966 בידי בני גרעין נח"ל "אתגר" מרמתיים, פתח תקווה, נתניה ונווה שאנן.
היישוב נקרא על שם לוחם הפלמ"ח סגן-אלוף יצחק דובנו – ש"יואב" היה שם הצופן שלו – אשר נהרג בעת הגנת קיבוץ נגבה הסמוך, בהפצצות מ"מצודת יואב" של ימינו (מצודת יואב הייתה מצודת משטרה בריטית שעברה לידיים מצריות עם צאתם של הבריטים מהארץ).
ליד שדה יואב היה יישוב ערבי בשם עיראק סואידן, אשר ננטש בשנת 1948 עם כיבוש הנגב.
שְׂדֵה נְחֶמְיָה הוא קיבוץ באצבע הגליל בצפון עמק החולה, כ-5 ק"מ ממזרח לקריית שמונה, המשתייך למועצה אזורית הגליל העליון.
הקיבוץ הוקם בשנת 1940 על ידי עולים מאוסטריה, צ'כיה והולנד (אשר השתייכו לתנועת הנוער ה מכבי הצעיר), על אדמות שנקנו מהכפר הערבי א-דווארה.
הקיבוץ נקרא על שם נחמיה דה לימה, ציוני הולנדי, שהיה יושב ראש ההסתדרות הציונית ההולנדית בשנים 1912–1918, ויו"ר קק"ל (קרן קיימת לישראל) בשנים 1919–1922.
הקיבוץ, המשויך ל, הוקם על ידי קבוצת "חוליות" של יוצאי הולנד שעברה הכשרה בזכרון יעקב ולאחר מכן באזור נטעים–נס ציונה.
במהלך שנות ההכשרה הצטרפו אליהם עולים מצ'כיה וקבוצה של גורדוניה מווינה.
כשבוע לפני חנוכה של שנת תש"א, סוף 1940, עלו על הקרקע, שנרכשה על ידי הקרן הקיימת, שבעה מחברי הקבוצה, ללא שהיה להם אישור של המוסדות המיישבים.
על הקרקע התחרו גם חברי ארגון "משק משותף", ולאחר שהללו התיישבו בבית הלל בינואר 1940, זכו חברי חוליות באדמות המקום.
היישוב נקרא בתחילה "כפר נחמיה", על שם נחמיה דה-לימה, שהיה מנהיג ציוני בהולנד.
ביישוב שררה אווירה הולנדית, כפי שהעיד שר החוץ ההולנדי שביקר במקום ב-1968, במסגרת הנוהג להביא מנהיגים הולנדים שביקרו בישראל לקיבוץ.
ביוני 1941, נתקבל אישור המוסדות המיישבים על היאחזות קבוצת חוליות במקום ואז שהו בו 30 איש.
שאר חברי הקבוצה עדיין שהו בנטעים.
בסביבות 1944, נקבע השם הרשמי של היישוב – "שדה נחמיה".
ב-1947, ייסד הקיבוץ את מפעל הפלסטיק "חוליות – תעשיות פלסטיק" המייצר אביזרי אחסון למשרד וצנרת מתקדמת.
בשנת 1958, חובר היישוב לרשת החשמל הארצית.
בשנת 1963, סבל הקיבוץ משיטפונות, שהציפו את בתי הקיבוץ עד יותר מגובה של מטר.
בשנת 2002, החל הקיבוץ בתהליך הפרטה.
בשנת 2010, הוקמה בצמוד לקיבוץ שכונת הרחבה שכוללת כ-150 בתים.
לאחר כ-80 שנות קיומו, ובעקבות השינויים הדמוגרפיים, הוחלט לראשונה, על הקמת בית כנסת בקבוץ.
כך, הוקם בשנת 2017, בית הכנסת "מורשת תמר", ע"ש סרן תמר אריאל שנספתה ברכס האנאפורנה בנפאל, והייתה קשורה לאחד מחברי הקבוץ.
בשנת 2023 בעקבות טבח שבעה באוקטובר ופרוץ מלחמת חרבות ברזל נשאר הקיבוץ בין היישובים הבודדים בקו העימות שלא פונו על ידי המדינה.
על כך נמתחה ביקורת רחבה בקרב תושבי הקיבוץ.
מקור ההכנסה העיקרי של הקיבוץ הוא מפעל הפלסטיק "חוליות תעשיות", מהמפעלים המובילים בארץ בתחום הפלסטיקה והצנרת.
המפעל פועל מהקמפוס המרכזי שבקיבוץ וממפעלים נוספים בישראל, בסלובניה, בהודו ובפורטוגל.
בעבר שלושת ענפי החקלאות העיקריים של הקיבוץ היו מטעי תפוחים, בריכות דגים ואספסת לקמחים.
כמו כן בעבר הייתה גם רפת בקיבוץ.
כיום השטחים החקלאיים של הקיבוץ מתופעלים של ידי קבלן חיצוני.
בנוסף פועל בקיבוץ ענף הלול.
בשנים האחרונות, כחלק ממגמת הגיוון הכלכלי, החל הקיבוץ להשכיר נכסי נדל"ן בשטחו למגוון עסקים.
בין העסקים הפועלים כיום בשטח הקיבוץ ניתן למצוא מספרה, משרדים לעסקים שונים, שירותי קייטרינג המופעלים ממטבח חדר האוכל הקיבוצי, פיצרייה וגלידרייה.
מערכת החינוך בקיבוץ מתאפיינת במגוון מסגרות ושירותים: לגיל הרך קיימים בית תינוקות וגנים רב-גילאיים הפעילים גם בתקופות חופשת הקיץ.
תלמידי בית הספר היסודי לומדים בבית הספר האזורי "הגומא" בכפר בלום, ואילו תלמידי התיכון לומדים בבית הספר האזורי "עמק החולה", אף הוא בכפר בלום.
המועצה האזורית מספקת שירותי הסעות מסודרים לבתי הספר.
בנוסף למערכת הפורמלית, פועלת ביישוב מערכת חינוך בלתי פורמלית המציעה פעילויות חברתיות לילדים ולנוער אחרי שעות הלימודים, בימי שישי ובחופשות, וכן פעילויות ברמה האזורית.
בסמוך לקיבוץ ממוקם מרכז קלור למוזיקה ולמחול של המועצה האזורית, המשלים את ההיצע החינוכי-תרבותי באזור.
בקיבוץ שוכן "מוזיאון הצריף הירוק" - מוזיאון היסטורי לתולדות ההתיישבות הקיבוצית בגליל העליון.
מבנה המוזיאון, ששימש כבית הילדים הראשון של הקיבוץ, נחנך ב-1951 ונקרא כך בשל קירותיו הירוקים.
המוזיאון מציג אוסף של פריטים מחיי הקיבוץ בשנות ה-50 וה-60, כולל כלים חקלאיים, חפצים ביתיים ותצלומים.
התצוגה מחולקת לחדרי נושא, ביניהם חדר החלוצים וחדר המדמה סלון קיבוצי.
במקום גם אוסף עתיקות ארכאולוגיות מעמק החולה שנאספו על ידי תושב הקיבוץ אריה גל.
המוזיאון מציג גם חוויה אטרקטיבית לילדים, הכוללת אפשרות לטפס על טרקטורים ישנים.
בכניסה לשדה נחמיה מתחיל "שביל עמי" – טיילת לאורך נהר הירדן, המובילה עד לכפר בלום.
סמוך ליישוב עצמו נמצא מפגש הנחלים היוצרים את נהר הירדן.
"גן רפי" - גן לזכרו של רפאל רייס, מחברי הגרעין שהקים את הקיבוץ, מצנחני היישוב אשר נפל בשליחותו להצלת יהודים בסלובקיה במלחמת העולם השנייה.
בית הכנסת "מורשת תמר" - מנציח את סגן תמר אריאל ז"ל, הנווטת הדתייה הראשונה בחיל האוויר, ומשמר את מורשתה כסמל לשילוב בין דת, שירות צבאי ופריצת דרך לנשים דתיות בישראל.
"המסלול" ע"ש דרור שלזינגר - מתחם אתגרי הכולל מסלול מתקנים בסגנון נינג'ה ומסלול הכנה לצה"ל, המיועד לטפוח ערכי מנהיגות, מצוינות ואהבת הארץ בקרב בני נוער.
"דרך רגב" - מכינה קדם-צבאית לזכרו של בן הקיבוץ סמ"ר רגב אמר ז"ל שנפל במלחמת "חרבות ברזל".
המכינה מכשירה צעירים למנהיגות, מצוינות ותרומה לקהילה, מגשימה את חזונו של רגב להנצחה במעשים ומחזקת את הגליל בתקופה מאתגרת.
בשנת 1959 זכה אברהם שטיינר (צור) וצוות עובדי המטע ביישוב בפרס קפלן.
הקיבוץ גם גידל בוטנים ואף זכה על כך בשנת 1956, במקום שלישי בגידול בוטנים.
במתמטיקה, שדה מקומי הוא שדה קומפקטי באופן מקומי ביחס לערך מוחלט לא טריוויאלי.
לשדות מקומיים יש אריתמטיקה פשוטה במיוחד, ומכאן התפקיד המרכזי שיש להם בתורת המספרים, ובפרט באריתמטיקה של שדות גלובליים.
את משפחת השדות המקומיים אפשר למיין באופן מלא.
: אלו הם שדות מקומיים שהערך המוחלט שלהם ארכימדי.
יש בידיוק 2 שדות כאלה - שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים
השדות המקומיים עם ערך מוחלט לא ארכימדי שייכים (עד כדי איזומורפיזם) לשתי קבוצות:
שדות מקומיים לא ארכימדיים בעלי מאפיין 0: הרחבות סופיות של שדה המספרים ה-p אדיים .
שדות מקומיים לא ארכימדיים בעלי מאפיין 0 נקראים גם .
שדות מקומיים בעלי מאפיין : טורי לורן פורמליים מעל שדה סופי ממאפיין p.
פעמים רבות מתייחס המונח "שדה מקומי" לשדות שהערך המוחלט שלהם לא-ארכימדי, הנקראים גם "שדות מקומיים לא ארכימדיים".
ערך מוחלט לא ארכימדי של שדה מקומי אפשר להגדיר על ידי הערכה דיסקרטית, שהיא פונקציה , המקיימת את האקסיומות
הערך המוחלט מוגדר במקרה כזה לפי הנוסחה , כאשר הוא קבוע.
בשדה מקומי בעל הערכה דיסקרטית F משתלבים כמה מושגים בסיסיים בטופולוגיה ובאלגברה:
כדור היחידה הסגור , שהוא קבוצה קומפקטית, מהווה תת-חוג של השדה, הנקרא חוג השלמים .
שדה השברים של הוא F עצמו.
חבורת האיברים ההפיכים בחוג השלמים שווה לספירת היחידה .
חוג השלמים הוא חוג מקומי, שהאידיאל המקסימלי שלו שווה לכדור היחידה הפתוח .
זהו אידיאל ראשי, ואם יוצר שלו, אז כל איבר שונה מאפס בשדה אפשר לכתוב, באופן יחיד, כמכפלה כאשר u הפיך בחוג השלמים.
היוצר מקיים את התכונה .
חוג המנה הוא שדה סופי (מאחר שהוא קומפקטי ודיסקרטי), הנקרא שדה השאריות.
כל כדור אפשר לפרק כאיחוד של כדורים מרדיוס קטן יותר; לפיכך, השדה הוא מרחב טופולוגי לא קשיר לחלוטין.
חוג השלמים בשדה מקומי (עם הערכה) הוא תחום ראשי מקומי, והמנות שלו כולן סופיות.
גם ההפך נכון: כל חוג ראשי מקומי סופי הוא מנה של חוג שלמים בשדה מקומי מתאים.
המספרים הp-אדים: חוג השלמים של שדה המספרים ה-p-אדיים הוא חוג השלמים ה-p-אדיים .
האידיאל הראשוני הוא ושדה השאריות הוא , שדה מסדר p.
השדה של טורי לורן הפורמליים מעל : חוג השלמים הוא האוסף טורי החזקות הפורמליים, .
האידיאל המקסימלי נוצר על ידי t, ושדה השאריות שווה ל- .
אוסף טורי לורן הפורמליים מעל שדה המספרים הממשיים אינם מהווים שדה מקומי - שדה השאריות של שדה זה הוא שדה המספרים הממשיים, שאינו שדה סופי.
אם E הרחבה מממד סופי מעל שדה מקומי לא ארכימדי F, אז יש המשכה יחידה של ההערכה המוגדרת על F, להערכה המוגדרת על E (כלומר, לכל איבר x של F), וגם E הוא שדה מקומי.
את ההרחבות הסופיות ממיינים לפי שני אינווריאנטים מספריים חשובים, הנקראים באופן מסורתי e ו- f.
קבוצת הערכים שההערכה החדשה מקבלת כוללת, כמובן מאליו, את כל המספרים השלמים, אבל היא עשויה להיות גדולה יותר, מן הצורה , כאשר e מספר טבעי.
שדה השאריות של E הוא מרחב וקטורי מעל שדה השאריות של F; מסמנים את הממד ב- f.
הפרמטר e מודד את מידת הסיעוף (ramification) של ההרחבה, בעוד ש- f מודד את השינוי בשדה השאריות.
מכפלת שני הפרמטרים האלה שווה תמיד לממד ההרחבה.
שני הפרמטרים e ו-f כפליים, כלומר, אם שדות מממד סופי, אז (לפי נוסחת המכפלה לממדים של שדות), וכן ל- e.
הרחבה שבה e=1 נקראת הרחבה לא מסועפת של F - ויש בדיוק אחת כזו מכל מימד.
את ההרחבה הלא-מסועפת המקסימלית של F (שממדה אינסופי) מסמנים ב- , וחבורת גלואה של איזומורפית לחבורת גלואה האבסולוטית של שדה השאריות של F, היינו להשלמה הפרו-סופית .
הרחבות שבהן f=1 הן הרחבות מסועפות לחלוטין, והן נוצרות על ידי סיפוח שורשים לפולינום אייזנשטיין מעל חוג השלמים.
בכל הרחבה E של F יש תת-שדה לא מסועף מקסימלי, וההרחבה של E מעליו היא מסועפת לחלוטין.
תורת שדות המחלקה (class field theory) היא אחת מאבני היסוד של תורת המספרים האלגברית.
עבור שדות מקומיים אפשר לסכם את עיקריה כדלקמן.
לכל הרחבת גלואה K/F של שדות מקומיים, עם חבורת גלואה G מסדר n, חבורת הקוהומולוגיה השנייה (שהיא חבורת בראואר היחסית של ההרחבה) היא ציקלית מסדר n.
יש העתקה כפלית בשני המרכיבים , כך שאם קובעים יוצר של החבורה במרכיב הראשון, ההעתקה היא על, והגרעין ברכיב השני הוא תת-חבורת הקומוטטורים של G.
בפרט איזומורפית לאבליניזציה של .
בתורת המספרים ויישומיה המתמטיים, שדה מספרים הוא שדה, המהווה הרחבה מממד סופי של שדה המספרים הרציונליים.
כל האיברים של שדה מספרים הם מספרים אלגבריים, וגם להפך: השדה הנוצר על ידי מספר סופי של מספרים אלגבריים הוא שדה מספרים.
שדות אלה מהווים אחת משתי המחלקות של שדות גלובליים.
תורת המספרים האלגברית עוסקת, במידה רבה, בהכללת תכונות של מספרים שלמים למספרים אלגבריים כלליים.
מנקודת מבט זו, עניינה של תורת המספרים האלגברית הוא הכללת הידוע על שדה המספרים הרציונליים, לשדות מספרים מסובכים יותר.
פעמים רבות מופעים כל שדות המספרים כרוכים יחד, בלי שניתן להבדיל באופן מהותי את המספרים הרציונליים משאר המספרים האלגבריים (לדוגמה, המבנה של סריגים אריתמטיים בחבורות לי), ובפעמים אחרות משפטים על מספרים רציונליים נכונים באותה מידה ומאותן סיבות בכל שדה מספרים.
לאחר שדה המספרים הרציונליים עצמו, שדות המספרים הקטנים ביותר הם השדות הריבועיים , שממדם מעל הוא 2. השדות הציקלוטומיים, הנוצרים על ידי סיפוח של שורשי יחידה מסדר נתון, מהווים מחלקה חשובה אחרת של דוגמאות.
אוסף השלמים האלגבריים בשדה מספרים מהווה תת-חוג , שיחסו ל-K דומה לזה של חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים (ואמנם ).
חוג השלמים הוא חוג דדקינד, ששדה השברים שלו הוא השדה .
האידיאלים הראשוניים (הלא טריוויאליים) של חוג השלמים ממלאים את התפקיד של המספרים הראשוניים בין המספרים השלמים.
השדות המקומיים המכילים את מוגדרים בעזרת הערכות דיסקרטיות, הנבנות מהאידיאלים הראשוניים של חוג השלמים.
לשדה מספרים יש מספר סופי, , של שיכונים בשדה המספרים הממשיים, ועוד מספר סופי של שיכונים שאינם ממשיים בשדה המספרים המרוכבים.
האחרונים מסודרים בזוגות צמודים, ומספר השיכונים הכולל מקיים , כאשר הוא הממד של מעל הרציונליים.
ביחד, שיכונים אלה מגדירים את הערכים-המוחלטים הארכימדיים של השדה.
השיכונים הממשיים מגדירים את הדרכים לסדר את השדה.
אם יוצר של השדה מעל , אז הוא מספר השורשים הממשיים בפולינום המינימלי של , בעוד ש- הוא מספר השורשים המרוכבים, שאינם ממשיים.
בשפה של המכפלה הטנזורית, השיכונים הארכימדיים מתבטאים בכך ש- .
הדיסקרימיננטה היא כלי מרכזי בתורת המספרים האלגברית.
בנוסף לדיסקרימיננטה הרגילה של הרחבת שדות, , שהיא איבר מוגדר היטב של חבורת המנה , בהרחבה של שדות מספרים אפשר לבחור בסיס של , שכל איבריו יבואו מחוג השלמים של (בסיס כזה נקרא בסיס שלם).
לפעמים (למשל, כאשר חוג השלמים של K הוא ראשי), מהווה מודול חופשי, ואז אפשר לבחור בסיס של שיהיה גם בסיס של .
במקרים אלה, הדיסקרימיננטה היא איבר מוגדר היטב של חוג השלמים, מודולו הריבועים של חבורת האיברים ההפיכים בחוג (שהיא נוצרת סופית, על-פי משפט היחידות של דיריכלה, כלומר, קטנה באופן יחסי).
בפרט, הדיסקרימיננטה של שדה מעל היא מספר שלם מוגדר היטב, משום שהאיברים ההפיכים היחידים ב- הם .
במקרה הכללי אינו בהכרח חופשי, ואז הדיסקרימיננטה של מוגדרת כאידיאל הנוצר על ידי כל הדיסקרימיננטות של הבסיסים השלמים.
שארל הרמיט הוכיח שמספר שדות המספרים בעלי דיסקרימיננטה נתונה (מעל ) הוא סופי, וקיימות טבלאות מפורטות של שדות מספרים בעלי דיסקרימיננטה קטנה.
אחד השימושים העיקריים של הדיסקרימיננטה היא בהגבלת ההתנהגות של אידיאלים ראשוניים תחת הרחבה: ראשוני (של ) הוא מסועף בהרחבה , אם ורק אם הוא מחלק את הדיסקרימיננטה.
הרמן מינקובסקי הוכיח כי בכל הרחבה של שדה המספרים הרציונליים יש לפחות ראשוני מסועף אחד.
שדה מרס , הוא שמו של אזור ששטחו כשני קילומטר רבוע במרכז העיר רומא.
המקום המשוער של שדה מארס הוא החל מגבעת קווירינאלה בצפון, בה נמצא כיום הקווירינאלה – מעונו הרשמי של נשיא איטליה, עד לגבעת פינצ'ו שבדרום, אשר בבסיסה מצויה פיאצה דל פופולו, בתוואי של ויה דל קורסו.
השדה גובל בנהר הטיבר וסמוך לגבעת הקפיטולין.
שדה מרס הוא מישור נמוך מזרחית לנהר הטיבר, מערבית לגבעת הקווירינאליס, צפונית מערבית לגבעת הקפיטולין וצפונית לאי הטיבר.
על פי האמונה הרומית היה האזור שדה שעורים בבעלות לוקיוס טארקוויניוס סופרבוס, אחרון מלכי רומא.
אמונה זו גורסת כי השדה נשרף במהלך המהפכה שהולידה את הרפובליקה הרומית.
לאחר הקמת חומת סרוויוס היה האזור מחוץ לחומות אלה, ושימש כאזור לרעיית צאן וסוסים, וכן כשדה תרגולים צבאיים עבור הצבא הרומי (ומכאן שמו של השדה על שם אל המלחמה מרס).
בשל היות האזור מחוץ לתחום הפומריום (שטח העיר המקודש), היה מותר לבנות בשדה מקדשים לאלים שאינם רומיים.
בשנת 221 לפנה"ס נבנה הקירקוס פלאמיניוס – מגרש מרוצי מרכבות על שם גאיוס פלאמיניוס – בחלקו הדרומי של שדה מרס.
בשנת 33 לפנה"ס נבנה בשדה מרס הפורטיקוס אוקטביה.
בתקופת שלטונו של הקיסר אוגוסטוס הפך שדה מרס באופן רשמי לחלק מהעיר (שחולקה ל-14 רבעים).
שדה מרס חולק בין שני רבעים: "ויה לאטה" (הרובע השביעי) במזרח שדה מרס, ו"קירקוס פלאמיניוס" (הרובע התשיעי) במערב שדה מרס.
בתקופה זו נבנה הארה פאקיס – מזבח האלה פאקס (אלת השלום הרומאית).
מרקוס ויפסניוס אגריפה בנה בשדה מרס מרחצאות שכונו "מרחצאות אגריפה" וכן את הפורטיקוס אגריפה והפנתאון המקורי (שנהרס ונבנה מחדש על ידי אדריאנוס).
בשנת 19 לפנה"ס הושלמה הקמת האקווה וירגו – אקוודוקט שהביא מים למרחצאות.
בצפון שדה מרס נבנה מאוזוליאום אוגוסטוס שיועד להיות מקום קבורתם של בני משפחתו של הקיסר אוגוסטוס.
כמו כן במאה הראשונה לספירה נבנו באזור תיאטרון מרקלוס, מקדש לאלה איזיס, וכן הקיסר נרון בנה מרחצאות נוספות.
לאחר שרפה שכילתה את אזור שדה מרס בשנת 80, בנה דומיטיאנוס את האצטדיון שהפך לימים לפיאצה נאבונה.
בשנת 270 נבנו חומות אורליאנוס אשר הגנו על אזור שדה מרס.
במהלך ימי הביניים, ובעקבות התקפות ופלישות השבטים הברבריים, נהרסו אמות המים שהביאו מים לעיר רומא.
אוכלוסיית העיר הצטמצמה, ותושבי העיר התרכזו באזור שדה מרס בשל קרבתו לנהר הטיבר שסיפק מי שתייה (על אף הצפות האזור על ידי הנהר בחודשי החורף).
בימי הביניים הפכו אזור שדה מרס ואזור הוותיקן לאזורים המאוכלסים ביותר ברומא.
הדרכים הראשיות שהוליכו מרומא לצפון איטליה ולמזרחה – ויה קאסיה וויה פלמיניה – יצאו דרך פורטה דל פופולו ("שער העם") בקצהו הצפוני של שדה מרס.