tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מופעים קודמים של מספרים כאלה ניתן למצוא בספר של החידונאי האנגלי הנרי ארנסט דודני בשם Amusements In Mathematics שיצא לאור בשנת 1917. הוא כתב חידה בשם "מספרי מונית" על חיפוש מספרי ערפד (למעשה "ערפד למחצה", ראו למטה)
המספר 153000 אינו מספר ערפד למרות הניבים 300 ו-510 בגלל ששניהם מסתיימים באפס (שלא כמו 1530=30*51 שהוא מספר ערפד).
להלן טבלה עם כמויות מספרי ערפד לפי n:
יש אינסוף מספרי ערפד, לחלקם ניבים מרובים.
למשל, מספר הערפד הראשון עם חמישה זוגות ניבים הוא
הוא מספר ערפד עם 100,025 זוגות ניבים.
ערפד ראשוני - מספר ערפד הוא "ראשוני" אם שני ניביו הם מספרים ראשוניים (וברור שבמקרה זה יש לו רק זוג ניבים אחד).
מספר נקרא ערפד למחצה (pseudovampire) אם לניבים שלו יש אורך שונה.
בתורת המספרים, מספר עגול הוא מספר שלם, שמספר הגורמים הראשוניים שלו גדול בהרבה מן הצפוי למספרים באותו גודל.
בשפת היומיום מקובל לייחס את התכונה של מספר עגול בעיקר למספרים המתחלקים בחזקה של 10, כלומר למספרים שהצגתם מסתיימת באפס אחד או יותר.
מקובל לסמן ב- את מספר הגורמים הראשוניים השונים של מספר טבעי , וב- את המספר הכולל של גורמים ראשוניים.
כלומר, אם ראשוניים שונים ו-, אז ו-.
הערך הממוצע (במובן של פונקציות אריתמטיות) של שתי הפונקציות הוא
יתרה מזו, לכל , הצפיפות של קבוצת המספרים המקיימים היא 0; כך גם עבור .
לכן, מספר שיש לו הרבה יותר מ- גורמים ראשוניים, עשוי להחשב "עגול".
בשפת היומיום מקובל לייחס את התכונה של מספר עגול בעיקר למספרים המתחלקים בחזקה גבוהה יחסית של 10, כלומר למספרים שהצגתם מסתיימת בכמה אפסים (בדר"כ לפחות מחצית ממספר הספרות).
פעולת העיגול מחליפה מספר נתון, במספר קרוב המתחלק ב-10 פעמים רבות יותר.
לבני אדם יש נטייה להשתמש במספרים עגולים, גם כאשר הם מתבקשים לציין מספר מדויק.
כך למשל, במפקדי אוכלוסין בארצות הברית נמצא דיווח יתר לגילים המתחלקים ב-5 וב-10, כמו גם לגילים זוגיים.
בעת מנייה, הגעה למספר עגול נחשבת משמעותית יותר.
כך, יום הולדת המתחלק ב-10 נחשב חגיגי יותר, ויום הולדת 100 נחשב חגיגי במיוחד.
נוסף על כך ימי נישואים עגולים או כל כמה שנים נחשבים מיוחדים יותר, כך יום נישואים 50 נחשב "יובל" ויום נישואים 25 הוא "חצי יובל".
גם ימי זיכרון שנתיים זוכים ליתר תשומת לב ציבורית בחלוף מספר שנים עגול.
נהוג לציין גם מספרים עגולים אחרים, כגון התייר המיליון.
גם בספירת השנים, שנה שמספרה מתחלק ב-100, ועוד יותר מכך שנה שמספרה מתחלק ב-1000, נחשבת לציון דרך מיוחד.
הרא"ש סבור כי גם התורה מעדיפה לכתוב מספר עגול, כאשר המנין האמיתי הוא פחות אחד:
שיטת הספירה הנפוצה היא השיטה העשרונית, אך למספר עגול יש משמעות גם בשיטות ספירה אחרות.
בקרב מתכנתים, למשל, הרגילים גם לשיטה הבינארית, יום הולדת 32 הוא יום הולדת חגיגי, משום שבכתיב בינארי 32 הם 100,000.
שתי המשמעויות, זו של תורת המספרים וזו של שפת היומיום, אינן מתלכדות.
בתורת המספרים, המספר 648, למשל, שלו שישה גורמים ראשוניים, עגול יותר מ-700, שלו רק חמישה גורמים ראשוניים, ואילו בשפת היומיום המצב הפוך: 700 הוא מספר עגול (מתחלק ב-100), ואילו 648 אינו עגול.
במתמטיקה, מספר קית' הוא מספר טבעי בעל n ספרות (שתיים לפחות), שמקיים את התנאי הבא: בהינתן סדרה שאיבריה הראשונים הם ספרותיו של המספר, ושאר איבריה מוגדרים על ידי נוסחת נסיגה הקובעת כי כל איבר בסדרה הוא סכום n האיברים הקודמים לו, המספר המקורי מופיע כאחד האיברים בסדרה.
שמם של מספרי קית' ניתן להם על שמו של המתמטיקאי מייק קית', אשר פרסם בשנת 1987 מאמר אודות מספרים אלה בכתב עת לשעשועי מתמטיקה.
בהינתן מספר בעל n ספרות המוגדר באופן הבא:
ניתן לייצר את הסדרה ש-n איבריה הראשונים הם , ושנוסחת הנסיגה שלה קובעת כי האיבר הכללי בסדרה הוא סכום n האיברים שלפניו.
אם המספר המקורי N מופיע בסדרה כאחד מאיבריה, אזי N הוא מספר קית'.
לדוגמה, עבור המספר 197 ניצור את הסדרה (שלושת האיברים הראשונים הם 1, 9 ו-7, הספרות מהן מורכב המספר 197).
ניתן לראות כי המספר המקורי 197 מופיע כאיבר בסדרה - ולכן הוא מוגדר כמספר קית'.
מהגדרת המספר ניכר שתכונה זו תלויה בשיטת הספירה שבה נכתב המספר - מספר שהוא מספר קית' בסיס עשרוני אינו בהכרח כזה בבסיס אחר.
14, למשל, הוא מספר קית' בבסיס עשרוני ובבסיס 5, אך אינו מספר קית' בבסיס 6.
עד כה לא הוכח האם מניינם של מספרי קית' הוא סופי או אינסופי.
מבין המספרים הטבעיים הקטנים מ-1019, רק 71 הם מספרי קית' - מה שהופך אותם לנדירים בהרבה ממספרים ראשוניים, למשל.
מספר פָּרִיק הוא מספר שלם חיובי שאפשר לכתוב אותו כמכפלה של שני שלמים גדולים מ-1. מספרים אלה נקראים 'גורמים' של המספר הנתון.
כל מספר שלם גדול מ-1 הוא או ראשוני או פריק.
לדוגמה, המספר 14 הוא פריק מכיוון שאפשר לפרק אותו כמכפלה של 2 ו-7, ולכן 2 ו- 7 הם הגורמים של 14.
הנפה של ארטוסתנס מוצאת את המספרים הראשוניים עד גבול שנקבע מראש, על ידי הסרת המספרים הפריקים ב'שכבות'.
ראשית מוסרים המספרים שמתחלקים ב-2, אז אלו שמתחלקים ב-3, וכן הלאה.
מספר הוא פריק אם ורק אם (לשם השוואה, משפט וילסון: אם n ראשוני אז ).
מי שמבקש לבדוק האם מספר נתון n מתחלק במספר קטן, כגון 3 או 11, עשוי למצוא עניין במבחני התחלקות המקלים על חישוב ידני מעין זה.
על מבחנים מתמטיים הבודקים פריקות של מספר, ראו בדיקת ראשוניות.
בדרך-כלל מבחנים אלה מזהים שהמספר פריק בלי למצוא לו מחלק, והם מהירים בהרבה מכל שיטה המוצאת מחלק במפורש.
השיטות המהירות ביותר לפירוק מספר גדול הן שיטת הנפה הריבועית ושיטת הנפת שדה מספרים.
זמן הריצה של שיטות אלה תלוי רק בגודלו של המספר שאותו מבקשים לפרק.
בהשוואה אליהן, שיטת רו של פולארד היא אלגוריתם הסתברותי, המוצא מחלק של n בזמן שהוא בקירוב , כאשר p הוא המחלק הקטן ביותר (שכמובן אינו ידוע מראש).
שיטה זו עדיפה, אם כן, כאשר ידוע שלמספר יש גורם ראשוני קטן יחסית.
הפריקות הרגילה מתייחסת לתכונות של מספרים שלמים, שהם איברים בחוג המספרים השלמים.
פריקות אפשר להגדיר גם בחוגים כלליים יותר: ראו תחום שלמות.
מספר קנודסן הוא שמו של גודל חסר ממדים מתחום מכניקת הרצף, המגדיר את היחס בין המהלך החופשי של החלקיקים במערכת פיזיקלית מסוימת לסקלה המייצגת של המערכת.
למעשה, מגדיר מספר קנודסן את התנאי לפיו ניתן להתייחס למערכת פיזיקלית כאל רצף ולהתעלם מההטרוגניות שלה.
המספר קרוי של שמו של מרטין קנודסן, פיזיקאי דני.
מספר קנודסן מוגדר על ידי היחס:
הוא המרחק האופייני בין מולקולות, המוגדר כ- .
היא הסקלה המאפיינת את הבעיה.
ככל שהמערכת קרובה יותר לרצף, נצפה לקבל .
יש לציין שלרוב יהיה המהלך החופשי גדול מהמרחק האופייני בין מולקולות, ולכן רשומה ההגדרה פעמים רבות רק בתור היחס בין המהלך החופשי לסקלת המערכת.
מספר קנודסן, כאמור לעיל, מגדיר מתי ניתן להתייחס למערכת מסוימת כאל רצף.
ענן כוכבים בין גלקטי, שהמהלך החופשי בו הוא מסדר גודל של 1010 ק"מ (כלומר, החלקיקים כמעט ולא נפגשים זה עם זה) אינו נראה, ממבט ראשון, כמתאים להנחת הרצף.
מאידך, כאשר מסתכלים על סקלת הבעיה (גודל הענן), מגלים שהיא בסדר גודל של 1013 ק"מ, ושהנחת הרצף מתקיימת בה בקירוב טוב.
דוגמאות לתופעות בעלי מספר קנודסן גבוה אשר לא ניתן להניח בהן את הנחת כרצף:
תנועת האוויר סביב לוויין באקסוספירה או תנועת האבק באטמוספירה - דלילות החלקיקים מכתיבה מהלך חופשי גדול, בעוד האובייקט הוא סדר גודל אחד יותר בקירוב מהחלקיקים.
תא לחץ בריק מאוד גבוה (UHV) - המגדיל את ה- המהלך החופשי.
רכיבי MEMS ו-NEMS (מיקרו וננו אלקטרונים) - רכיבים בעלי שכבות דקות שמאופיינים ב- "סקלה מאפיינת" קטנה וגורמים למולקולות זורם להיות מושפעים באופן משמעותי מהמגע עם המוצק.
מספר קנודסן קובע את דיוק החישובים כאשר מתארים מערכת מסוימת באמצעות כלים שפותחו במכניקת הרצף או במכניקת הזורמים כמו משוואות נאוויה-סטוקס.
ככל שמספר קנודסן יהיה קרוב יותר ל-1, כך ההנחות שנעשות, כאשר משתמשים בכלים אלו, יהיו פחות נכונות, והתוצאות שנקבל בעזרתן יהיו מדויקות פחות.
במקרים בהם מספר קנודסן שווה בקירוב או גדול מ-1, יש צורך לעשות שימוש בכלים פיזיקליים אחרים כמו מכניקה סטטיסטית.
גז עם מספר קנודסון הרבה יותר גדול מ-1 נקרא גז קלוש.
בתורת המספרים, מספר פסאודו-ראשוני הוא מספר פריק החולק תכונה כלשהי עם כל המספרים הראשוניים.
עיסוק מרכזי בתורת המספרים, בעל השלכות רבות לקריפטוגרפיה, הוא חקר מבחני ראשוניות הבודקים האם מספר נתון הוא ראשוני או פריק.
מבחני ראשוניות רבים בוחנים תכונה המתקיימת בכל הראשוניים, אך ייתכן גם שהיא מתקיימת במספרים פריקים מסוימים.
אם מספר כלשהו לא מקיים תכונה שכזו, הוא בהכרח פריק, אך אם מתגלה שמספר מסוים מקיים את התכונה, אין ודאות אם הוא ראשוני או פסאודו-ראשוני ביחס לתכונה.
מבחן ראשוניות יעיל הוא מבחן ששכיחות המספרים הפסאודו-ראשוניים ביחס אליו נמוכה.
ישנם מבחני ראשוניות, כגון מבחן AKS, שמזהים ראשוני בוודאות מוחלטת ואין מספר פסאודו-ראשוניים ביחס אליהם.
עם זאת, לצרכים מעשיים מעדיפים את השימוש במבחנים מהירים יותר, כגון אלגוריתם מילר-רבין, שיש סיכוי שיזהו כראשוני מספר שהוא פסאודו-ראשוני, אך ניתן להקטין את הסיכוי הזה באופן בלתי מוגבל.
הסוג המוכר ביותר של מספרים פסאודו-ראשוניים הם המספרים הפריקים המקיימים את המשפט הקטן של פרמה.
מספר פריק נקרא פסאודו-ראשוני פרמה בבסיס a אם מתקיים (n מחלק את an-a).
מספר שהוא פסאודו-ראשוני פרמה בכל בסיס נקרא פסאודו-ראשוני פרמה מוחלט או מספר קרמייקל.
הדוגמה הקטנה ביותר למספר כזה היא 561.
כבר במאה ה-6 לפנה"ס שיערו מתמטיקאים סינים ש- ראשוני אם ורק אם .
ב-1819 נתגלתה הדוגמה הנגדית הקטנה ביותר: , על אף ש- הוא מספר פריק.
אם ראשוני, ומספר מרסן פריק, אז הוא פסאודו-ראשוני בבסיס 2. כמו כן כל מספר פרמה פריק הוא גם כן פסאודו-ראשוני בבסיס 2.
לא קשה לבנות סדרה אינסופית עולה של פסאודו-ראשוניים בבסיס 2. אם מספר פסאודו-ראשוני בבסיס 2, אז גם כזה.
כדי לראות זאת נשתמש בתכונה בסיסית של מספרי מרסן, שאם , אז .
פריק ולכן קיים לא טריוויאלי.
כמו כן מכך ש- פסאודו-ראשוני נובע שקיים כך ש-, ולכן .
בתורת המספרים, מספר סקיוז הוא מספר הנכלל בקבוצה של מספרים גדולים ששימשו את סטנלי סקיוז כחסם מלעיל למספר הטבעי הקטן ביותר המקיים את האי-שוויון
כאשר היא הפונקציה המציגה את מספר המספרים הראשוניים הקטנים מ- (פונקציית המספרים הראשוניים), ו- היא פונקציית האינטגרל הלוגריתמי.
בשנת 1933 קבע סקיוז שבהנחה שהשערת רימן נכונה, קיים שמקיים את האי שוויון שקטן מהמספר ,מספר זה נקבע כמספר סקיוז הראשון.
בשנת 1955 קבע סקיוז, ללא קשר להשערת רימן, ש- חייב להיות קטן מ- , ומספר זה נקבע כמספר סקיוז השני.
אף על פי ששני המספרים גדולים מאוד, ו-, שניהם קטנים ממספר גרהאם.
נכון ל-2015 ידוע כי חסם מלרע של הוא , אך עדיין לא ידוע ערכו המדויק של .
מספר פרנטל הוא מספר חסר מימד, הנקרא על שמו של לודוויג פרנטל , שמייצג את היחס בין דיפוזיית התנע, לבין דיפוזיית החום.
הערך של מספר פרנטל מתקבל לפי הנוסחה הבאה:
כאשר הסימונים ויחידות המידה שלהן:
: מקדם דיפוזיית התנע - אשר נקרא צמיגות קינמטית, , ( m2/s)
: מקדם דיפוזיית החום , (m2/s)
: מקדם הולכת החום ( W/m*K)
: קיבול החום הסגולי (בלחץ קבוע), ( J/kg-K)
מספר פרנטל מתאר את היחס בין דיפוזיית התנע לבין דיפוזיית החום.
כאשר ניתן לומר שדיפוזיית התנע יותר משמעותית מאשר דיפוזיית החום.
דוגמה לכך היא שמן, חומר בעל צמיגות גבוהה.
כאשר ניתן לומר שדיפוזיית החום יותר משמעותית מדיפוזיית התנע.
דוגמה לכך היא מתכות נוזליות למיניהן, כספית, NaK וכדומה, להן צמיגות נמוכה ואילו מקדם הולכת חום מאוד גבוה, כצפוי במתכות.
מספר פרנטל, כמו כן, יכול להצביע על יחס בין גודל של שכבת גבול של המהירות לבין שכבת הגבול התרמית.
הסיבה לכך היא ששכבת הגבול של המהירות תלויה בצמיגות של נוזל (לדוגמה, כמה רחוק הוא מעביר תנע מתנאי אי-החלקה על השפה), ואילו שכבת גבול תרמית תלויה בדיפוזיית החום (לדוגמה, כמה רחוק עובר חום מטמפרטורה על השפה).
ניתן לומר באופן כללי כי קיים קשר
כאשר n היא חזקה חיובית ואילו מייצג את עובי שכבת הגבול של המהירות ו- מייצג את עובי שכבת הגבול של הטמפרטורה.
לדוגמה כאשר מדובר בחומרים בעלי Pr>0.6 ניתן לומר כי
מכיוון שמספר פרנטל מצביע על היחס בין עובי שכבת הגבול של המהירות לשכבת הגבול התרמית, ניתן לראות אותו משחק תפקיד בחישובים שונים של מקדמי הסעה כאשר ישנה הסעה טבעית או מאולצת.
לדוגמה עבור מקרה של זרימה מאולצת על פני פלטה קיימת הקורלציה הבאה, אשר מקשרת בין מספר נוסלט מקומי (שממנו ניתן להסיק על מקדם ההסעה המקומי) לבין מספר פרנטל וריינולדס.
מספר קוונטי (Quantum number) הוא ערך מספרי המתאר כמות נשמרת של גודל פיזיקלי בדינמיקה של מערכת קוונטית – מערכת של חלקיקים קוונטיים, אחד או יותר.
היבט חשוב של הפיזיקה הקוונטית הוא הקוונטיזציה של כמויות נצפות, הנובעת מכך שמספרים קוונטיים הם קבוצות בנות מנייה של סט דיסקרטי של מספרים שלמים, חצי שלמים או שליש שלמים.
הקוונטיזציה היא אחד ההבדלים החשובים בין מכניקת הקוונטים לבין המכניקה הקלאסית, בה הערכים המאפיינים את גודלי המערכת רציפים ולא בדידים.
מספרים קוונטיים רבים הם גודל חסר מימד.
לעומת זאת, חלק מהמספרים הקוונטיים הם ממדיים, כגון מטען חשמלי, הנמדד ביחידות של מטען יסודי, או ספין, הנמדד ביחידות של קבוע פלאנק המצומצם.
כל התהליכים הפיזיקליים מקיימים חוקי שימור: לאחר שחלקיק, או מערכת של חלקיקים, הופכים לחלקיקים אחרים, סכומם של חלק מהמספרים הקוונטיים, שאפיינו את החלקיקים הנכנסים, זהה לסכום אותם מספרים קוונטיים המאפיינים את החלקיקים היוצאים.
דוגמה לתהליך כזה היא המרה של קווארקים מסוימים לקווארקים אחרים, כפי שעושה למשל דעיכת בטא, הגורמת לכך שהאיזוספין של החלקיק היוצא יהיה שונה מזה של החלקיק הנכנס.
תהליכים אלו מתווכים על ידי הכוח החלש.
לפי משפט נתר, חוקי שימור קשורים לסימטריה.
לכן, תהליכים המפירים חוק שימור הם דוגמה לשבירת סימטריה, כגון שבירת סימטריה ספונטנית.
עבור כל מערכת קוונטית, קיים מספר קוונטי אחד או יותר המתאר אותה.
לכן, קשה למנות את כל המספרים הקוונטיים האפשריים.
המספרים הקוונטיים נחלקים לשתי משפחות עיקריות.
הראשונה היא מספרים קוונטיים כלליים, העשויים לתאר כל חלקיק קוונטי.
רבים מאלו הם מספרים קוונטיים של טעם (flavor quantum numbers), הקובעים את סוג החלקיק.
השימוש במספרים אלו נפוץ בתחום פיזיקת החלקיקים.
המשפחה השנייה היא מספרים קוונטיים אלקטרוניים, המתארים את רמות האנרגיה של אלקטרונים באטומים.
מספרים אלו מוגדרים כ"סט של ערכים מספריים אשר נותנים פתרונות מקובלים של משוואת הגלים של שרדינגר עבור אטום המימן".
השימוש במספרים אלו נפוץ בתחום פיזיקת הקוונטים.
מטען חשמלי הוא מספר קוונטי הקובע את אופן ההתנהגות של חלקיקים תחת השפעת הכוח האלקטרומגנטי.
מושג המטען החשמלי היה מוכר זמן רב לפני פיתוח התאוריה הקוונטית.
למעשה, המטען החשמלי הוא אחת התופעות החשובות ביותר בפיזיקה הקלאסית.
בה בעת, הוא מאפיין מרכזי של מערכות קוונטיות – אלו מביניהן הטעונות חשמלית.
החלקיקים הידועים ביותר, הנושאים מספר קוונטי זה, הם הפרוטון והאלקטרון, בעלי מטענים חשמליים של 1 ומינוס 1, בהתאמה.
קווארקים נושאים מטען חשמלי שאינו מספר שלם, אלא כפולה של .
הקווארקים למעלה, קסום ועליון הם בעלי מטען חשמלי של , בעוד הקווארקים למטה, מוזר ותחתון הם בעלי מטען חשמלי של מינוס .
האנטיקווארקים של כל אחד מאלו נושאים את המטען החשמלי הנגדי.
קווארקים תמיד מחוברים לכדי חלקיקים מורכבים, האדרונים, שהמטען החשמלי שלהם הוא תמיד מספר שלם.
כך, לדוגמה, שני קווארקי למעלה ועוד קווארק למטה מרכיבים את הפרוטון, שמטענו החשמלי 1 (דהיינו, ועוד מינוס ).
שני קווארקי למטה ועוד קווארק למעלה מרכיבים את הנייטרון, שמטענו החשמלי 0 (דהיינו, מינוס מינוס ועוד ).
שני קווארקי אנטי-למעלה ועוד קווארק אנטי-למטה מרכיבים את האנטיפרוטון, שמטענו החשמלי מינוס 1 (דהיינו, מינוס מינוס ועוד ).
קווארק למעלה וקווארק אנטי-למטה מרכיבים את הפאיון החיובי, שמטענו החשמלי 1; האנטי-חלקיקים שלהם מרכיבים את הפאיון השלילי; קווארק למעלה וקווארק אנטי-למעלה, או קווארק למטה וקווארק אנטי-למטה, מרכיבים את הפאיון הנייטרלי.
הפוטון נושא את הכוח האלקטרומגנטי, הפועל בין חלקיקים בעלי מטען חשמלי.
לפוטון עצמו יש מטען חשמלי של 0.
לפי חוק שימור המטען החשמלי, שהוא דוגמה לשימור מדויק (exact conservation), המטען החשמלי הוא מספר קוונטי הנשמר תמיד, כלומר, אף תהליך פיזיקלי מוכר אינו משנה את סכום המטענים החשמליים משני צדי התהליך.
ספין או תנע זוויתי פנימי (spin או intrinsic angular momentum), המסומן s, הוא מספר קוונטי המתאר ערך עצמי של אופרטור תנע זוויתי פנימי, S, באופן הבא:
הספין של חלקיק קובע האם החלקיק הוא בוזון או פרמיון.
כאשר הספין הוא מספר שלם, החלקיק הוא בוזון.
כאשר הספין הוא מספר חצי שלם, החלקיק הוא פרמיון.
פרמיונים מצייתים לעקרון האיסור של פאולי, הקובע ששני פרמיונים אינם יכולים להימצא באותו מצב קוונטי בו זמנית.
ספין אינו מספר קוונטי חיבורי (additive quantum number), כלומר, הספין הוא תמיד חיובי או אפס.
כתוצאה מכך, סכום הספינים לפני ואחרי תהליך פיזיקלי אינו בהכרח שווה.
מספר באריוני (baryon number) הוא מספר קוונטי המתאר את שליש ההפרש בין כמות הקווארקים לכמות האנטיקווארקים המצויים בחלקיק.
המספר הבאריוני של כל באריון הוא 1, בעוד המספר הבאריוני של כל אנטי-באריון הוא מינוס 1. לדוגמה, לפרוטון ולנייטרון יש מספר באריוני של 1, בעוד לאנטיפרוטון ולאנטינייטרון יש מספר באריוני של מינוס 1. לכל קווארק יש מספר באריוני של .
לכל אנטיקווארק יש מספר באריוני של מינוס .
לחלקיקים שאינם באריונים או קווארקים יש מספר באריוני של 0. בהתאם, למזונים – האדרונים המורכבים מקווארק ואנטיקווארק – יש מספר באריוני של 0, זאת ולו מהסיבה הפשוטה שהמספר הבאריוני של הקווארק מבטל את המספר הבאריוני של האנטיקווארק.
בתחום ההאדרונים האקזוטיים, חישוב המספר הבאריוני מאפשר להבחין בין באריונים אקזוטיים, להם מספר באריוני של 1, למזונים אקזוטיים, להם מספר באריוני של 0.
מספר לפטוני (lepton number) הוא מספר קוונטי המתאר את ההפרש בין כמות הלפטונים לכמות האנטילפטונים המצויים בחלקיק.
לאלקטרון, למואון ולטאו יש מספר לפטוני של 1. לאנטי-חלקיקים שלהם – פוזיטרון, אנטימואון ואנטיטאו – יש מספר לפטוני של מינוס 1. לניוטרינו יש מספר לפטוני של 1, בעוד לאנטיניוטרינו יש מספר לפטוני של מינוס 1. לחלקיקים שאינם לפטוניים יש מספר לפטוני של 0.
בדעיכת בטא מינוס או פלוס, נפלט יחד עם האלקטרון או הפוזיטרון גם אנטיניוטרינו או ניוטרינו, בהתאמה.
הסיבה לכך היא שדעיכת בטא משמרת את המספר הלפטוני.
סכום המספרים הלפטוניים של האנטיניוטרינו והאלקטרון, או של הניוטרינו והפוזיטרון, הוא 0, בדיוק כמו המספר הלפטוני של החלקיק הנכנס, שהוא נייטרון או פרוטון.
איזוספין חלש (weak isospin) הוא מספר קוונטי הקובע את אופן ההתנהגות של חלקיקים תחת השפעת הכוח החלש.
ניתן לתאר את האיזוספין החלש כ"מטען הכוח החלש" של חלקיק.
הדיון על האיזוספין החלש להלן מתייחס לרכיב השלישי של האיזוספין החלש (third component of weak isospin), המסומן T3.
מבין הבוזונים הנושאים את הכוח החלש, האיזוספין החלש של בוזון הוא 1, של בוזון הוא מינוס 1 ושל בוזון Z הוא 0. לכל הפרמיונים היסודיים יש איזוספין חלש של או מינוס .
לגבי קווארקי למעלה ולמטה, הרכיב השלישי של האיזוספין שווה לאיזוספין החלש, כלומר I3=T3. לקווארקים שמטענם החשמלי חיובי (למעלה, קסום, עליון) יש איזוספין חלש של .
לקווארקים שמטענם החשמלי שלילי (למטה, מוזר, תחתון) יש איזוספין חלש של מינוס .
ללפטונים הטעונים שלילית יש איזוספין חלש של מינוס .
ללפטונים הנייטרליים, כלומר, חלקיקי ניוטרינו, יש איזוספין חלש של .
לאנטי-חלקיקים של כל אחד מאלו יש את הערך הנגדי.
כל ערכי האיזוספין החלש הנזכרים לעיל מתייחסים לחלקיקים בעלי כיראליות שמאלית, או ימנית עבור אנטי-חלקיקים.
האיזוספין החלש חווה שבירת סימטריה כיראלית בין שמאלית (left-handed chirality) לימנית (right-handed chirality).
תחת כיראליות ימנית, או שמאלית עבור אנטי-חלקיקים, האיזוספין החלש הוא 0. פרמיונים עם כיראליות ימנית, כמו אנטיפרמיונים עם כיראליות שמאלית, אינם משתתפים בתהליכים של הכוח החלש.
לחלקיקים שאינם יסודיים, כלומר, האדרונים, אין כלל ערך של איזוספין חלש.
זאת, מכיוון שהאדרונים הם תוצאה של תהליך של הכוח החזק, שאינו משמר את האיזוספין החלש.
היפרמטען חלש (weak hypercharge) הוא מספר קוונטי המקשר בין המטען החשמלי, Q, לבין האיזוספין החלש, T3, של חלקיק.
ההיפרמטען החלש הוא המספר הקוונטי המאפיין את הכוח האלקטרו-חלש.
הוא קשור לסימטריית הכיול .
ההיפרמטען החלש מתאר סימטריה שהתקיימה בעידן האלקטרו-חלש, השלב של המפץ הגדול שלאחר ההיפרדות בין הלפטונים לקווארקים, אך טרם הפיצול של הלפטונים והקווארקים לטעמים ולדורות שונים.
לכן, לכל הלפטונים יש ערך זהה של היפרמטען חלש, מינוס 1; לכל האנטילפטונים יש היפרמטען חלש של 1; לכל הקווארקים יש היפרמטען חלש של ולכל האנטיקווארקים יש היפרמטען חלש של מינוס .
לגבי קווארקים, ההיפרמטען החלש שווה למספר הבאריוני.
לגבי לפטונים, ההיפרמטען החלש נגדי למספר הלפטוני.
נתונים אלו מתייחסים לחלקיקים בעלי כיראליות שמאלית ולאנטי-חלקיקים בעלי כיראליות ימנית.
כדי שלחלקיק יהיה ערך של היפרמטען חלש, נדרש שיהיה לו ערך של איזוספין חלש – ולהפך.
על כן, נתון זה קיים רק עבור חלקיקים יסודיים.
להאדרונים אין כלל ערך של היפרמטען חלש.
איזוספין (isospin) הוא מספר קוונטי המתאר את כמות קווארקי למעלה וקווארקי למטה, או האנטיקווארקים שלהם, המצויים בחלקיק.
הרכיב השלישי של האיזוספין, המתואר להלן, נקבע לפי הנוסחה:
האיזוספין כשלעצמו, המסומן I, נושא ערך שיכול להיות רק חיובי או אפס.
כך, לדוגמה, הן לקווארק למעלה והן לקווארק למטה יש איזוספין של .
נתון משמעותי יותר הוא הרכיב השלישי של האיזוספין (third component of isospin), המסומן I3 או Iz ומהווה השלכה (projection) של האיזוספין, המאפשרת ערך חיובי, שלילי או אפסי.
כך, לדוגמה, לקווארק למעלה יש I3 של , לקווארק למטה יש I3 של מינוס , לפרוטון יש I3 של , לנייטרון יש I3 של מינוס , לפאיון החיובי יש I3 של 1, לפאיון השלילי יש I3 של מינוס 1 ולפאיון הנייטרלי יש I3 של 0.
ניתן לראות את המספר הקוונטי I3 כמשלב לתוכו את המספר למעליות (upness) ואת המספר למטיות (downness), שאינם מוכרים כמספרים קוונטיים כשלעצמם, בניגוד למוזרות, קסם, תחתיות ועליוניות.
הרכיב השלישי של האיזוספין הוא מחצית סכום הלמעליות והלמטיות של חלקיק.
לחלקיקים שאינם מהווים או כוללים קווארקי למעלה או למטה, או את האנטיקווארקים שלהם, יש איזוספין של 0.
קסם (charm) הוא מספר קוונטי המתאר את ההפרש בין כמות קווארקי קסום לכמות קווארקי אנטי-קסום המצויים בחלקיק.
הקסם של קווארק קסום הוא 1 ושל קווארק אנטי-קסום הוא מינוס 1. קסם מסומן C.
מוזרות (strangeness) היא מספר קוונטי המתאר את ההפרש בין כמות קווארקי אנטי-מוזר לכמות קווארקי מוזר המצויים בחלקיק.
המוזרות של קווארק מוזר היא מינוס 1 ושל קווארק אנטי-מוזר היא 1. מוזרות מסומנת S.
עליוניות (topness) היא מספר קוונטי המתאר את ההפרש בין כמות קווארקי עליון לכמות קווארקי אנטי-עליון המצויים בחלקיק.
העליוניות של קווארק עליון היא 1 ושל קווארק אנטי-עליון היא מינוס 1. עליוניות מסומנת T.
קווארקי עליון אינם עוברים תהליך של האדרוניזציה (hadronization), עקב אורך החיים הקצר שלהם, כך שהם אינם יכולים להוות מרכיב של חלקיקים מורכבים כלשהם אותם המספר עליוניות יהיה עשוי לתאר.
על כן, העליוניות של כל ההאדרונים היא 0.
תחתיות (bottomness) היא מספר קוונטי המתאר את ההפרש בין כמות קווארקי אנטי-תחתון לכמות קווארקי תחתון המצויים בחלקיק.
התחתיות של קווארק תחתון היא מינוס 1 ושל קווארק אנטי-תחתון היא 1. תחתיות מסומנת .
היפרמטען (hypercharge) הוא מספר קוונטי המשלב את המספרים הקוונטיים של הטעם הקשורים לכוח החזק.
כך, לדוגמה, לפרוטון ולנייטרון יש היפרמטען של 1, מכיוון שמספר הבאריון שלהם הוא 1 ואילו מספרי הקסם, מוזרות, עליוניות ותחתיות שלהם הם 0.
תהליכים של הכוח החלש עשויים להפר אותו, אם כי הוא נשמר בחלק מהם, לרבות דעיכת בטא.
נוסחת גל-מן-נישיג'ימה (Gell-Mann–Nishijima formula) מקשרת בין היפרמטען, איזוספין ומטען חשמלי של קווארקים והאדרונים:
טבלת מספרים קוונטיים של חלקיקים
הטבלה להלן מפרטת חלק מהמספרים הקוונטיים של חלקיקים אחדים, לרבות כל החלקיקים היסודיים.
המספרים הקוונטיים האלקטרוניים הם ארבעה מספרים קוונטיים, המתארים באופן חד-חד-ערכי כל אלקטרון הקיים באטום מסוים.
חלק מהמספרים הקוונטיים האלקטרוניים עשויים להיות זהים עבור שני אלקטרונים באותו אטום, אך לא ייתכן שכל הארבעה יהיו זהים.
מספרים אלו מרכיבים פתרון שלם ומלא של משוואת שרדינגר עבור אטום המימן.
ארבעת המספרים הקוונטיים האלקטרוניים הם:
מספר קוונטי זוויתי (azimuthal quantum number), שסימנו .
מספר קוונטי מגנטי (magnetic quantum number), שסימנו או .
מספר קוונטי ספיני שניוני (secondary spin quantum number), שסימנו .
אינטראקציית אורביטל-ספין יוצרת יחס בין מספרים אלה.
לפיכך, תיאור מלא של המערכת יכול להינתן גם עם פחות מ-4 מספרים קוונטיים, אם נעשות בחירות אורתוגונליות מתאימות עבור וקטורי הבסיס.
מודלים רבים ושונים הוצעו לאורך ההיסטוריה של מכניקת הקוואנטים, אך מערכת הנומנקלטורה החשובה ביותר נוצרה מהתאוריה האורביטלית מולקולרית של פרידריך הונד ורוברט מוליקן ומתרומותיהם של שרדינגר, סלייטר וג'ון לנרד ג'ונס .
מערכת זו של נומנקלטורה משלבת את מודל רמות האנרגיה של בוהר, התאוריה האורביטלית של הונד-מוליקן ותצפיות על ספין האלקטרון המבוססות על ספקטרוסקופיה וכללי הונד.
מודל זה מתאר קליפות אלקטרונים באמצעות ארבעה מספרים קוונטיים, כדלקמן.
זהו גם המינוח המשותף בתיאור הקלאסי של קליפות חלקיקים גרעיניים (פרוטונים ונייטרונים).
תיאור קוונטי של אורביטל מולקולרי דורש מספרים קוונטיים שונים, בגלל ההמילטוניאן והסימטריות השונות שלו (קשרי סיגמא, פאי, דלתא, פי).
מתאר את הקליפה, או רמת האנרגיה של אלקטרון.
ערכו של נע במרווחים שלמים בין 1 לבין מספרה של הקליפה החיצונית ביותר באטום אשר מכילה את אלקטרוני הערכיות:
לדוגמה: עבור צסיום (Cs) אלקטרון הערכיות החיצוני ביותר נמצא ברמת אנרגיה מספר 6 ולכן אלקטרון צסיום מתואר על ידי ערכי בטווח .
עבור חלקיקים בפוטנציאל לא תלוי זמן (ראה משוואת שרדינגר), מספר זה מציין את הערך העצמי ה--י של ההמילטוניאן (H), דהיינו האנרגיה, E ללא התרומה של התנע הזוויתי ().
לכן, למספר זה יש תלות רק במרחק בין האלקטרון לבין הגרעין (הקואורדינטה הרדיאלית, r).
מרחק זה גדל עם n, ולכן מצבים קוונטיים עם מספרים קוונטיים יסודיים שונים משויכים לקליפות שונות.
ידוע גם כמספר קוונטי אורביטלי, מתאר תת-קליפה אלקטרונית ומבטא את הגודל של התנע הזוויתי (מסומן כאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי ) דרך היחס הבא:
בכימיה ובספקטרוסקופיה, מסומן כאורביטל , מסומן כאורביטל , מסומן כאורביטל ו - מסומן כאורביטל .
ערכי משתנים בטווח במרווחים שלמים מאחר שהרמה הראשונה מכילה רק אורביטל , הרמה השנייה מכילה בנוסף ל- גם אורביטל , השלישית מכילה בנוסף ל- ו- גם אורביטל וכן הלאה:
למספר זה יש חשיבות רבה בכימיה שכן הוא מגדיר את האורביטל האטומי ומשפיע על הקשר הכימי ועל זווית הקשר.
מתאר אורביטל מסוים (או "ענן") בתוך תת-קליפה אלקטרונית ומבטא את היטל התנע הזוויתי של האורביטל לאורך ציר מוגדר:
ערכי משתנים בטווח במרווחים שלמים:
תת קליפת מכילה רק אורביטל אחד ולכן המספר הקוונטי המגנטי של אלקטרון ברמה זו, , תמיד יהיה שווה ל-אפס.
לעומת זאת, תת-קליפת מכילה 3 אורביטלים ולכן המספר הקוונטי המגנטי של אלקטרון ברמה זו, , יכול לקבל את אחד מ-3 הערכים:
בתת קליפה ישנם 5 אורביטלים ולכן המספר הקוונטי המגנטי של אלקטרון ברמה זו, , יכול לקבל אחד מ-5 הערכים:
מכונה גם מספר קוונטי ספיני היטלי, מתאר את , הספין (תנע זוויתי פנימי) של האלקטרון בתוך האורביטל ומבטא את היטלו לאורך ציר :
לאלקטרון בודד יש מספר ספין וכתוצאה מכך המספר הקוונטי הספיני השניוני שלו הוא שמשמעותו פיצול לרמות אנרגיה או למצבים עצמיים:
ספין "מעלה" ("spin up") - מתאים לערך
ספין "מטה" ("spin down") - מתאים לערך
עקב עיקרון האיסור של פאולי, האלקטרונים המאכלסים אורביטל יחיד חייבים להיות במצבים קוונטיים שונים זה מזה.
לכן, כל אורביטל יכול להכיל רק 2 אלקטרונים (עם מצבים עצמיים שונים) לכל היותר.
כללי 4 המספרים מסוכמים בטבלה הבאה:
שםסימולמשמעות מרחביתטווח הערכיםדוגמאות לערכיםמספר קוונטי יסודיקליפת אלקטרוניםמספר קוונטי זוויתיתת קליפת אלקטרוניםעבור : מספר קוונטי מגנטיאורביטל בודד בתוך תת קליפת אלקטרוניםעבור :מספר קוונטי ספיני שניוניהיטל או כיוון הספין של האלקטרונים בתוך אורביטל בודד - ספין "מעלה" או ספין "מטה"עבור אלקטרון ולכן
דוגמה: המספרים הקוונטיים של אלקטרוני הערכיות בשכבה החיצונית ביותר של אטום הפחמן (C), הנמצאים באורביטל , הם: - הקליפה האלקטרונית השנייה, - תת-קליפה אלקטרונית , אחת מ-3 האפשרויות: ו- - עבור ספינים מקבילים.
תוצאות ספקטרוסקופיה מראות כי אורביטל אטומי יכול לאכלס עד שני אלקטרונים.
עם זאת, על פי כללי הונד, אשר כוללים בתוכם גם את עקרון האיסור של פאולי, שני אלקטרונים לא יכולים להיות באותו מצב קוונטי בדיוק ולא באותה קבוצה של מספרים קוונטיים.
הנחת אד הוק הייתה כי למספר הקוונטי הרביעי יש רק שני ערכים אפשריים.
הנחה זו אומתה מאוחר יותר על ידי ניסוי שטרן-גרלך ומכניקת הקוונטים היחסותית.
מספרים קוונטיים של תנע זוויתי כולל
כאשר נלקחת בחשבון אינטראקציית אורביטל-ספין (Spin–orbit interaction), האופרטורים ו- כבר לא קומוטטיביים עם ההמילטוניאן ולכן ערכיהם העצמיים משתנים עם הזמן.
במקרה זה, מספרים קוונטיים אחרים משמשים לתיאור התנע הזוויתי:
מבטא את הגודל של התנע הזוויתי הכולל (המסומן כאופרטור ) דרך היחס הבא:
מאחר ש- ערכי משתנים במרווחים שלמים בטווח הבא:
מבטא את היטל התנע הזוויתי הכולל לאורך ציר מוגדר:
כאשר ניתן לבטא זאת באנלוגיה גם כך:
סימטריית שיקוף (parity) מציינת את היפוך הקואורדינטות של המרחב בדומה לשיקוף במראה:
המספר הקוונטי מבטא את הערך העצמי של סימטריה זו:
עבור מצבים קוונטיים שמקורם בתנע זוויתי, , זוגי, השיקוף חיובי ונקרא זוגי .
עבור מצבים קוונטיים שמקורם בתנע זוויתי, , אי-זוגי, השיקוף שלילי ונקרא אי-זוגי .
המצבים הקוונטיים במערכת זו ניתנים לתיאור כקומבינציה ליניארית של 8 המצבים שלעיל.
אך, בנוכחות של אינטראקציית אורביטל-ספין, המערכת מתוארת על ידי 8 מצבים חדשים אחרים המהווים ערכים עצמיים של ההמילטוניאן ומקורם במצבים הישנים:
בפיזיקה והנדסה, מִסְפַּר־פוּרְיֶה (Fourier number, מסומן ב־Fo), הקרוי על שם ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה, הוא גודל חסר ממד המאפיין את אופן מעבר החום.
בהגדרה, מספר פורייה הוא היחס בין שיעור המעבר בפעפוע או הולכה לשיעור כמות החום (אנרגיה תרמית) או החומר (חלקיקים).
מספר זה הוא תולדה של הפיכת משוואת החום (הידועה גם בשם חוק פורייה) או את חוק הפעפוע השני של פיק (משוואת הפעפוע) לחסרות ממדים, והוא משמש יחד עם מספר ביו לנתוח תופעות מעבר חום וחומר תלויות הזמן.
באופן כללי מספר פורייה מוגדר כך:
מספר פורייה בהקשרים תרמים, Foh, מוגדר על ידי יחס שיעור הולכת החום לשיעור אגירת האנרגיה התרמית:
הוא מקדם הדיפוזיה התרמית (ביחידות SI: m2/s)
t הוא אופייני זמן (s)
L הוא אורך שדרכו מתרחשת הולכה (m)
עבור מעבר מסה על ידי דיפוזיה מוגדר באופן מקביל מספר פורייה למסה, Fom, כך:
D הוא מקדם הדיפוזיה (m2/s)
t הוא זמן אופייני (s)
L הוא אורך בקנה מידה אופייני לבעיה (m)
את שתי הצורות של מספר פורייה שהוגדר לעיל ניתן למצוא על ידי הפיכת המשתנים של משוואת הדיפוזיה התלויה בזמן לחסרי ממדים.
נגזור לדוגמה את מספר פורייה להעברת חום, Foh.
ממשוואת החום בממד אחד, שהיא:
נניח כי נתון מוט באורך L המחומם מטמפרטורה ההתחלתית, T0, על ידי קביעת טמפרטורה גבוהה יותר, TL, בנקודה x=L.
והתפלגות הטמפרטורה המקוזזת ("טמפרטורה" חסרת ממדים), u, מוגדר על ידי, כך ניתן לסדר מחדש את המשוואה הדיפרנציאלית לצורה חסרת ממדים לחלוטין:
ה"זמן" חסר הממדים במשוואה זו, מגדיר את מספר פורייה, Foh = αt/L2.
ניתן לבצע את אותו אלגוריתם על חוק הדיפוזיה השני של פיק ולגזור ממנו את מספר הפורייה למסה, Fom, ולהחיל אותו על בעיות מעבר מסה תלויות זמן, בהתאם.
עבור בעיות הולכה במצב לא־תמידי במוצקים (הסעה משתנה בזמן), מספר פורייה משמש לעיתים קרובות כפרמטר זמן לא־ממדי.
יחד עם מספר ביו, ניתן להשתמש במספר פורייה כדי לקבוע את החימום או קירור של העצם.
אם מספר ביו קטן מ־0.1, אז ניתן לטפל במערכת כולה כבעלת טמפרטורה אחידה.
המשוואה הבאה, הנגזרת מתולדה של מספרי ביו ופורייה, משמשת להעריך את הזמן בו הגוף יגיע לטמפרטורה מסוימת:
כאשר T היא טמפרטורת העצם בזמן t, וְ־T0 היא הטמפרטורה ההתחלתית, ∞T היא הטמפרטורה של מאגר הזורם, V הוא הנפח של העצם, A הוא שטח הפנים שלו, וְ־h הוא מקדם הסעת החום של זורם במערכת הנתונה.
במכניקת הקוונטים, מספר קוונטי יסודי (principal quantum number), אשר מסומן ב-, הוא אחד מתוך 4 מספרים קוונטיים אלקטרוניים המתארים אלקטרון באטום.
הראשון שבהם הוא המספר הקוונטי היסודי, מתאר את הקליפה, או רמת האנרגיה של אלקטרון.
כמשתנה בדיד, המספר הקוונטי היסודי הוא תמיד מספר טבעי.
ככל שמספר זה גדל, מספר הקליפות האלקטרוניות גדל והאלקטרון נמצא זמן רב יותר רחוק מהגרעין.
ככל שמספר זה גדל, האנרגיה הפוטנציאלית של האלקטרון גדלה ולכן הוא פחות קשור לגרעין.
המספר קוונטי היסודי נוצר לראשונה במסגרת מודל האטום הסמי-קלאסי של בוהר, כדי להבדיל בין רמות אנרגיה שונות.
עם התפתחותה של מכניקת הקוונטים המודרנית, מודל בוהר הפשוט הוחלף בתאוריה מורכבת יותר - אורביטלים אטומיים.
ההבדל העיקרי הוא שבמודל בוהר, מסלולי האלקטרונים, קרי האורביטלים, משויכים חד-חד ערכית לרמות האנרגיה ואילו במודל המודרני, רמות האנרגיה של האלקטרונים יכולות להיות מנוונות, כלומר, מסלולים שונים משויכים לרמות אנרגיה זהות.
עם זאת, התאוריה המודרנית עדיין כוללת את המספר קוונטי היסודי.
מלבד המספר הקוונטי היסודי, ישנם מספרים קוונטים אחרים המתארים אלקטרונים קשורים כגון: מספר קוונטי זוויתי, מספר קוונטי מגנטי ומספר קוונטי ספיני שניוני.
הפתרון הכללי של משוואת הגלים של שרדינגר מורכב מסופרפוזיציה קוונטית של המצבים העצמיים ושל האנרגיות העצמיות המהוות ערכים עצמיים של ההמילטוניאן.
אנרגיות המצבים הקשורים (האנרגיות העצמיות) של האלקטרון באטום המימן נתונות על ידי:
ערכו של נע במרווחים שלמים בין 1 לבין מספרה של הקליפה החיצונית ביותר באטום אשר מכילה את אלקטרוני הערכיות.
סימון זה של רמות האנרגיה כבדידות (לא רציפות) הוצג לראשונה במודל האטום של בוהר.
הרעיון פותח במשוואת שרדינגר ממודל בוהר הדו־ממדי למודל פונקציית הגל התלת־ממדי.
במודל בוהר, המסלולים המותרים לתנועת האלקטרונים נגזרו מהערכים המקוונטטים (הבדידים) של התנע הזוויתי המרחבי, , על פי המשוואה הבאה:
כאשר: ונקרא מספר קוונטי יסודי ו- הוא קבוע פלאנק.
נוסחה זו אינה נכונה במכניקה קוונטית, שבה התנע הזוויתי המרחבי, , מתואר על ידי מספר קוונטי אחר - מספר קוונטי זוויתי שסימנו .
עם זאת נוסחה זו מתארת באופן מדויק את רמות האנרגיה הכוללת השווה לסכום האנרגיות הקינטית והפוטנציאלית.
במודל המודרני במכניקה קוונטית, המספר קוונטי היסודי,, מייצג את האנרגיה הכוללת היחסית של כל אורביטל.
אנרגיה זו עולה ככל שגדל המרחק מהגרעין.
אוסף כל האורביטלים האטומיים בעלי אותו הערך , מכונה קליפת אלקטרונים או רמת אנרגיה.
האנרגיה המינימלית המוחלפת במהלך אינטראקצית גל-חומר שווה למכפלת תדירות הגל בקבוע פלאנק :
עבור חלקיק קוונטי, האנרגיה אינה רציפה אלא מורכבת ממנות בדידות מעין אלו הנקראות קוונטות.
ההפרש האנרגטי בין רמות אנרגיה בעלות מספר קוונטי יסודי, , שונה, קובע את ספקטרום הפליטה של החומר.
בסימון המקובל לפי הטבלה המחזורית, קליפות האלקטרונים העיקריות מצוינות כך בהתאם ל-:
הקשר בין המספר קוונטי היסודי,, והמספר הקוונטי הרדיאלי, מבוטא כך:
כאשר, הוא המספר הקוונטי הזוויתי ו- הוא מספר הצמתים (nodes) בפונקציית הגל הרדיאלית.
במכניקת הקוונטים, מספר קוונטי זוויתי (azimuthal quantum number), הידוע גם כמספר קוונטי אורביטלי, מסומן ב-, הוא השני מתוך 4 מספרים קוונטיים אלקטרוניים המתארים אלקטרון באטום.
מספר זה קובע עבור אורביטל אטומי את התנע הזוויתי המרחבי שלו ומתאר את צורת המסלול (אורביטל) או תת-הקליפה האלקטרונית.
המספר הקוונטי הזוויתי נלקח ממודל האטום של בוהר והוצג על ידי ארנולד זומרפלד.
מודל בוהר נגזר מניתוח ספקטרוסקופי של האטום בשילוב עם המודל הפלנטרי של רתרפורד.
הרמת הקוונטית הנמוכה ביותר נמצאה בעלת תנע זוויתי של אפס.
אורביטלים עם תנע זוויתי 0 נחשבו כמטענים מתנדנדים בממד אחד ולכן תוארו כ"אורביטלי מטוטלת".
בשלושה ממדים האורביטלים הופכים לכדוריים ואינם מכילים צמתים (nodes) - כמו חבל המתנדנד בדילוגים על פני מעגל גדול.
משוואת הגלים של שרדינגר ניתנת לפירוק ל-3 משוואות אשר פתרונן (חלקים שונים של פונקציית הגל המהווה וקטור עצמי של ההמילטוניאן) מוביל ל-3 המספרים הקוונטיים האלקטרוניים הראשונים:
המספר הקוונטי הזוויתי נובע מתוך החלק הפולרי של פונקציית הגל, (בהקשר זה, מושגי הזווית המרחבית והאזימוט מובנים יותר כאשר עוברים למערכת קואורדינטות כדוריות).
הערכים העצמיים של אופרטור התנע הזוויתי של האלקטרון באטום, , ניתנים על ידי המשוואה הבאה:
כאשר, הוא קבוע פלאנק המצומצם ו- היא פונקציית הגל של האלקטרון.
ערכי משתנים במרווחים שלמים בטווח: , כאשר, הוא המספר הקוונטי היסודי המגדיר את רמת האנרגיה.
בכימיה ובספקטרוסקופיה מקובל לסמן כל סוג אורביטל אטומי באות לטינית בהתאם למספר הקוונטי הזוויתי המתאים:
סוגי האורביטלים נבדלים אחד מהשני בצורתם ובשכיחותם בכל רמת אנרגיה:
- אורביטל כדורי, קיים אחד כמותו בכל רמת אנרגיה;
- אורביטל בעל צורה הדומה לשל שעון חול, קיימים שלושה כמותו בכל רמת אנרגיה, אחד לכל ציר במרחב: .
לאורביטלים הבאים, ו-, צורות מורכבות יותר, כאשר מספר האורביטלים מכל סוג בכל רמת אנרגיה הוא (כאשר מסמן את מספר הסוג).
רמתהאנרגיהמספראורביטלים כוללמספראורביטלי sמספראורביטלי pמספראורביטלי dמספראורביטלי fn = 111n = 2413n = 39135n = 4161357פונקציות הגל של האורביטלים הן בעלות צורה של הרמוניה כדורית ולכן מתוארות על ידי פולינומי לז'נדר.
האורביטלים השונים המתייחסים לערכי שונים נקראים תת-קליפות אלקטרוניות ומגדירות אכלוס אלקטרונים מקסימלי בצורה הבאה:
ℓאותמספר אלקטרונים מקסימליצורהשם0s2ספירהsharp1p62 משקוליותprincipal2d104 משקוליות או צורה ייחודית אחתdiffuse3f148 משקוליות או 2 צורה ייחודיותfundamental4g185h226i26
האותיות לאחר ממשיכות בסדר אלפביתי פרט ל- והאותיות שכבר נעשה בהן שימוש.
בפועל, 4 האותיות מספיקות על מנת לתאר באופן מלא את כל האטומים שהתגלו עד 2017 המסודרים בטבלה המחזורית.
ישנן מספר מנמוניקות לסדר זה:
כל אחת מרמות התנע הזוויתי השונות יכולה לאכלס אלקטרונים.
הדבר נובע מהמספר הקוונטי השלישי, המספר הקוונטי המגנטי, , אשר משתנה בין ל- במרווחים שלמים ומגדיר מצבים קוונטים אפשריים המבטאים אורביטלים נפרדים ומובחנים.
כל אחד מאורביטלים אלו, בעל השלשה הקוונטית: , יכול להכיל עד 2 אלקטרונים עם ספינים הפוכים (המוגדרים על ידי המספר הקוונטי הרביעי, מספר קוונטי ספיני שניוני, ) ולכן בסה"כ כל תת-קליפה אלקטרונית, , יכולה להכיל עד אלקטרונים.
עבור מספר קוונטי יסודי נתון, , ערכי משתנים במרווחים שלמים בטווח: ולכן הרמה הראשונה המכילה תת-קליפת בלבד יכולה להכיל עד 2 אלקטרונים, הרמה השנייה המכילה תתי קליפות ו- יכולה להכיל עד 8 אלקטרונים, הרמה השלישית המכילה את תתי הקליפות , ו- יכולה להכיל עד 18 אלקטרונים וכן הלאה.
באופן כללי רמת אנרגיה מסדר יכולה להכיל עד אלקטרונים.
המספר הקוונטי הזוויתי משפיע על מספר הצמתים (nodes) בפונקציית הגל הרדיאלית.
הצמתים מתוארות כנקודות האמצע בין אמפליטודות השיא והשפל של גל אלקטרומגנטי.
נקודות אלו לא זזות ולכן נמצאות כל הזמן במנוחה.
אורביטל - אין אף נקודת צומת ולכן: .
אורביטל - ישנה נקודת צומת אחת ולכן: .
במקרה זה אורך המיתר הוא: .
בהתאם לערך המספר הקוונטי היסודי, , מקבלים את הרשימה הבאה.
אורכי המיתרים המפורטים הם עבור אטום מימן:
- סדרת בלמר (אור נראה)
- סדרת ריץ-פשן (אינפרא אדום)
- סדרת ברקט (אינפרא אדום קרוב)
- סדרת פונד (אינפרא אדום בינוני)
במכניקת הקוונטים, מספר קוונטי מגנטי (magnetic quantum number) אשר מסומן ב-, ולעיתים ב-, הוא השלישי מתוך ארבעה מספרים קוונטיים אלקטרוניים המתארים אלקטרון באטום.
המספר הקוונטי המגנטי מבדיל בין האורביטלים האפשריים בתוך תת-קליפה אלקטרונית, ומשמש לחישוב הרכיב הזוויתי של וקטור האורביטל במרחב.
אלקטרונים בתת-קליפה מסוימת מוגדרים לפי ערכי המספר הקוונטי הזוויתי, .
ערך יכול לנוע במרווחים שלמים בטווח שבין כולל הערך אפס.
לפיכך, תת-הקליפות מכילות מספרי אורביטלים וטווחי ערכי שונים בהתאם:
כל אחד מהאורביטלים יכול להכיל עד שני אלקטרונים (עם ספינים מנוגדים) המהווים את הבסיס לטבלה המחזורית.
המספר הקוונטי המגנטי נובע מתוך החלק האזימוטלי של פונקציית הגל, (בהקשר זה, מושגי הזווית המרחבית והאזימוט מובנים יותר כאשר עוברים למערכת קואורדינטות כדוריות).
פתרון המשוואה הדיפרנציאלית עבור הוא מהצורה .
מאחר שכל 2 ערכים של הזווית האזימוטלית בעלי הפרש של ביניהם מייצגים את אותה נקודה במרחב ולכן פונקציה אינה יכולה לגדול עבור כל ערך שרירותי של הזווית כמו באקספוננט ממשי ולכן כדי לייצר אקספוננט מרוכב, המקדם חייב להיות מקוונטט בכפולות של :
כפולות אלו הן המספרים הקוונטים המגנטיים.
המספר הקוונטי המגנטי, , משתנה בין ל- במרווחים שלמים ומגדיר יחד עם המספר הקוונטי היסודי, והמספר הקוונטי הזוויתי, , את מערך הפתרונות (הערכים העצמיים או המצבים העצמיים) של משוואת שרדינגר עבור אטום מימן - מצבים קוונטים אפשריים המבטאים אורביטלים נפרדים ומובחנים.
כל אחד מאורביטלים אלו, בעל השלשה הקוונטית: , יכול להכיל עד 2 אלקטרונים עם ספינים הפוכים (המוגדרים על ידי המספר הקוונטי הרביעי, מספר קוונטי ספיני שניוני, ) ולכן בסה"כ כל תת-קליפה אלקטרונית, , יכולה להכיל עד אלקטרונים:
יחס בין המספרים הקוונטייםתת קליפהערכי מספר אורביטלים (מספר ה- האפשריים)מספר אלקטרונים מרביs12p36d510f714g918
המספר הקוונטי המגנטי מתאר את היטל וקטור התנע הזוויתי של האורביטל, , בכיוון אשר נבחר באופן שרירותי ונקרא בדרך כלל כיוון או ציר קוונטיזציה.
גודלו של רכיב זה, , מחושב על פי המספר הקוונטי המגנטי :
כאשר, הוא קבוע פלאנק המצומצם.
גודלו של התנע הזוויתי הכולל, , ניתן על ידי הנוסחה הבאה:
כאשר הוא המספר הקוונטי הזוויתי.
עבור ומשוער ל- עבור גבוה.
לא ניתן למדוד את התנע הזוויתי ב-3 הצירים בו-זמנית.
תכונות אלו הוכחו לראשונה בניסוי שטרן-גרלך על ידי אוטו שטרן ווולטר גרלך.
בהיעדר שדה מגנטי חיצוני, כל ההרמוניות הכדוריות המתאימות לערכים השרירותיים השונים של המספר הקוונטי המגנטי, , שוות ערך (ניוון של ) ולכן אין תלות של רמות האנרגיה ב-.
בנוכחות שדה מגנטי חיצוני, מתרחש אפקט זימן - עם הפעלתו של השדה (בכיוון ציר Z, ללא הגבלת הכלליות), נשברת הסימטריה ומוסר הניוון, כך שנוצר פיצול של כל רמת אנרגיה ל- רמות אנרגיה שכל אחת מהן מיוצגת על ידי מספר שונה - מכאן מקור השם: "מספר קוונטי מגנטי".
עם זאת, מומנט דיפול מגנטי של אלקטרון באורביטל אטומי מורכב לא רק מהתנע הזוויתי של האלקטרון המבוטא על ידי המספר הקוונטי המגנטי, אלא גם מספין האלקטרון, המבוטא על ידי המספר הקוונטי הספיני השניוני.
מאחר שלכל אלקטרון יש מומנט מגנטי בשדה מגנטי, הוא יהיה כפוף למומנט כוח אשר מטה את כיוון וקטור התנע הזוויתי, , לכיוון השדה המגנטי , תופעה הידועה בשם נקיפת לרמור.
במכניקת הקוונטים, מספר קוונטי ספיני שניוני (secondary spin quantum number) אשר מסומן ב-, הוא הרביעי מתוך 4 מספרים קוונטיים אלקטרוניים המתארים אלקטרון באטום.
מספר זה המכונה גם מספר קוונטי ספיני היטלי, מתאר את הספין (תנע זוויתי פנימי) של האלקטרון בתוך אורביטל אטומי ומבטא את היטלו לאורך ציר .
בשנת 1922, ביצעו הפיזיקאים הגרמנים אוטו שטרן ווולטר גרלך ניסוי שהדגים את קווינטוט האוריינטציה המרחבית של התנע הזוויתי.
בניסוי נודפו אטומי כסף על ידי חימום כסף בתנור, ולאחר מכן הם הוכוונו כאלומה דרך שדה מגנטי לא אחיד.
בכניסה לשדה המגנטי האוריינטציה המרחבית של אטומי הכסף הייתה אקראית.
ביציאה מהשדה המגנטי הוצבה כגלאי לוחית, ועליה הצטברו אטומי הכסף בהתאם למקום פגיעתם.
מהרישום שהותירו החלקיקים בגלאי התברר כי התנע הזוויתי שלהם מתפלג סביב שני ערכים בלבד, במקום סביב רצף ערכים המתבקש על פי המכניקה הקלאסית.
המסקנה מתוצאה זו היא שהתנע הזוויתי אינו רציף, ומקבל ערכים בדידים.
ב-1927 הפעילו פיפס וטיילור מערך ניסוי הדומה לזה של שטרן וגרלך, על אלומת אטומי מימן.
גם בניסוי זה התפלג התנע הזוויתי סביב שני ערכים בדידים.
מניסוי זה התברר כי מקור התנע הזוויתי ב-2 הניסויים (שטרן-גרלך ופיפס-טיילור) הוא אלקטרון ערכיות בודד ומכאן שלאלקטרון יש ספין (תנע זוויתי פנימי).
1925 - עקרון האיסור של פאולי
ב-1924 הציע הפיזיקאי האוסטרי, וולפגנג פאולי דרגה קוואנטית חדשה, כדי לפתור אי-עקביויות בין ספקטרומים מולקולריים נצפים לבין מכניקת הקוונטים המתפתחת.
ב-1925 ניסח את עקרון האיסור שלו, ככל הנראה עבודתו החשובה ביותר, אשר קבעה ששני אלקטרונים לא יכולים להיות באותו מצב קוואנטי.
ב-1927 הוא הציג את מטריצות פאולי, כבסיס לאופרטורים של הספין, ובכך טווה את התאוריה הלא-יחסית של הספין.
1928 - פיתוח רמות אנרגיה ממשוואת דיראק
בשנת 1928 פיתח פול דיראק משוואת גל יחסותית, שחזתה את המומנט המגנטי של הספין בצורה נכונה, ובמקביל התייחסה לאלקטרון כאל חלקיק דמוי נקודה.
פתרון משוואת דיראק (בניגוד למשוואת שרדינגר המקורית) עבור רמות האנרגיה של האלקטרון באטום המימן, כולל את כל 4 המספרים הקוונטיים האלקטרוניים ותואם את תוצאות הניסויים.
כפתרון למשוואה דיפרנציאלית חלקית מסוימת, ניתן לבטא את התנע הזוויתי המקוונטט:
היא הנורמה של וקטור הספין ,
הוא המספר הקוונטי (הראשוני והעיקרי) של וקטור הספין ,
בהינתן כיוון שרירותי (בדרך כלל מוגדר על ידי שדה מגנטי חיצוני) היטל הספין על ציר הוא:
כאשר הוא המספר הקוונטי הספיני השניוני המשתנה בטווח במרווחים שלמים:
ובסה"כ עבור כל ערך ספין, , קיימים מצבים קוונטיים אשר כל אחד מהם מתואר על ידי מספר קוונטי ספיני שניוני, שונה.
ערך הספין, , הוא מספר חיובי שלם עבור בוזונים (כגון פוטון ומזון) וחצי שלם עבור פרמיונים (כגון: אלקטרון, פרוטון ונייטרון).
עקב עיקרון האיסור של פאולי, האלקטרונים המאכלסים אורביטל יחיד חייבים להיות במצבים קוונטים שונים זה מזה.
באנלוגיה לאופרטור התנע הזוויתי, , ניתן לחשב את גודלו של אופרטור הספין, :
וכן את גודלו של היטל אופרטור הספין על ציר :
מספר זיהוי קטלוג לוויינים (באנגלית Satellite Catalog Number ידוע גם בשם NORAD Catalog Number, מספר קטלוג נוראד, זיהוי USSPACECOM) הוא מספר של 5 ספרות, הניתן על ידי פיקוד החלל בצבא ארצות הברית.
מספר זה ניתן לכל הגופים המשוגרים למסלול סביב כדור הארץ, לפי סדר שיגורם.
המספר ניתן לכל מה שנשאר במסלול: לוויינים, חלקי משגרים, חלקי לוויינים שהתפוצצו ועוד.
הקטלוג הראשוני היה מתוחזק על ידי פיקוד הגנת האוויר והחלל של צפון אמריקה (נוראד).
המספר הראשון הוענק לשלב הסופי של המשגר (SL-1 R/B) שהביא את הלוויין ספוטניק 1 (ונשאר במסלול סביב כדור הארץ במשך חודשיים).
ספוטניק עצמו קיבל את המספר 2.
שני אירועים אשר הוסיפו פריטים רבים לקטלוג היו התנגשות הלוויינים אירידיום 33 וקוסמוס 2251, אשר יצרה 1,668 חלקיקים שהיו במעקב, מתוכם 1,141 נשארו במסלול נכון לאפריל 2016, והשמדת הלוויין הסיני פנגיון 1C, אשר יצרה 3,428 חלקיקים במעקב, מתוכם 2,880 נשארו עדיין במסלול נכון לאפריל 2016.
נכון ל-2017, הגוף האחראי על קטלוג ומעקב כל הלוויינים, המשגרים ופסולת חלל הוא פיקוד החלל של חיל האוויר של ארצות הברית USSPACECOM (United States Space Command).
קטלוג הלוויינים מכיל שברי לוויינים ומשגרים שניתן לעקוב אחריהם ולחזות את מסלולם.
גודל האובייקט המינימלי בקטלוג הוא באורך של 10 סנטימטרים (כתלות ביכולות הטכנולוגיות לאיתור אובייקטים בחלל החיצון).
נכון ל-2019, יש למעלה מ-44,336 גופים אשר עוקבים אחריהם, כולל למעלה מ-8,558 לוויינים אשר שוגרו לחלל מאז 1957.
החל מקיץ שנת 2020, הקטלוג צפוי לעבור ל-9 ספרות, בעקבות כניסת מערכת מבצעית מהדור השני בשם (Space Fence), בתפעול ובאחריות גף בקרת החלל ה-18 של חיל האוויר של ארצות הברית.
מספר קטלוגי (בראשי תיבות: מק"ט) הוא מספר מזהה (הכולל לעיתים אותיות) של פריט במערכת ניהול מלאי.
מספר קטלוגי הוא משני סוגים:
מספר קטלוגי ייחודי: לכל פריט בודד במערכת ניתן מספר קטלוגי משלו, למעקב אחר פריט זה.
דוגמה: בספרייה ניתן לכל ספר מספר קטלוגי ייחודי, למעקב אחר מצבו של ספר זה (מושאל, נמצא על המדף, הועבר לכריכה מחדש וכדומה).
מספר קטלוגי כללי, לקבוצה של פריטים זהים.
דוגמה: בהוצאת ספרים ניתן מספר קטלוגי (למשל מסת"ב או דאנאקוד) זהה לכל העותקים של ספר מסוים.
במקרה זה אין צורך בהבחנה בין העותקים השונים, ונדרש רק מידע על המלאי הכולל של העותקים של ספר מסוים.
כאשר גודל הפריט ומהותו מאפשרים זאת, המספר הקטלוגי מוצג על הפריט עצמו, לעיתים גם בצורת ברקוד או קוד QR, לשם קריאה מכנית של המספר הקטלוגי.
במקרים אחרים יופיע המספר הקטלוגי על האריזה של הפריט.
דוגמה: על קופסת ברגים מופיע המספר הקטלוגי של הברגים שבתוכה.
במערכת ניהול המלאי מקשר המספר הקטלוגי למידע מקיף על הפריט, כגון תיאורו, שימושיו, כמות במלאי ועוד.
לזיהוי טעויות כתיבה והקלדה, פעמים רבות המספר הקטלוגי כולל ספרת ביקורת.
יצירות מוזיקליות של מלחינים פוריים במיוחד נהוג להציג לא רק לפי שמן, אלא גם לפי מספר קטלוגי שניתן להן, למשל ברשימת יצירות באך או רשימת קכל של יצירות מוצרט.
מספר פרנל (F), על שמו של הפיזיקאי אוגוסטן-ז'אן פרנל, הוא גודל חסר ממדים המופיע באופטיקה, בפרט בעקיפה.
עבור גל אלקטרומגנטי העובר דרך צמצם ופוגע במסך, מספר פרנל, F, מוגדר כ
הוא הגודל האופייני (למשל הרדיוס) של הצמצם
מספר פרנל הוא מושג שימושי באופטיקה פיזיקלית.
קונספטואלית, זהו מספר חצאי-המחזור במשרעת חזית הגל, אשר נספרים מהמרכז לקצה הצמצם, כפי שנצפה בהדמיה.
מספר חצאי-המחזור מוגדר כאשר חזית הגל משתנה ב כשעוברים מחצי-מחזור אחד לאחר.
הגדרה מקבילה היא שמספר פרנל הוא ההפרש, הנספר כחצאי אורך-גל, בין המרחק מהדמות לקצה הצמצם לבין המרחק האורתוגונלי מנקודת התצפית למרכז הצמצם.
מספר פרנל קובע קריטריון גס בין קירובי השדה הקרוב והרחוק.
ככלל, אם מספר פרנל קטן - פחות מ-1 - הקרן בקירוב של שדה רחוק.
אם מספר פרנל גדול מ -1, נאמר כי הקרן בקירוב שדה קרוב.
הקירוב להתפשטות גלים בשדה הקרוב הוא עקיפת פרנל.
קירוב זה עובד היטב כאשר המרחק אל הצמצם גדול מגודל הצמצם.
במקרה זה אכן, בקירוב, .
כאשר המרחק אל הצמצם גדול בהרבה מגודל הצמצם, ההתפשטות מתוארת היטב על ידי עקיפת פראונהופר.
באריתמטיקה של שדות, מספר פיתגורס של שדה שווה למספר הריבועים הנחוץ להצגת כל סכום של ריבועים בשדה.
מקובל לסמן את מספר פיתגורס של השדה F ב-p(F).
כתכונות אריתמטיות רבות אחרות, מספר פיתגורס של שדות עשוי להיות קשה לחישוב.
הערך של מספר פיתגורס הוא 1 אם ורק אם כל סכום של ריבועים הוא ריבוע, כלומר השדה הוא שדה פיתגורי.
מספר פיתגורס של שדות שאינם סדורים
אפשר לסדר שדה אם ורק אם 1- אינו סכום של ריבועים.
אם השדה F אינו ניתן לסידור, הגובה שלו הוא מספר הריבועים הנחוץ להצגת 1-.
ידוע שהגובה, s(F), הוא תמיד חזקה של 2. עבור שדות שאינם ניתנים לסידור, .
מספר פיתגורס של שדה טורי לורן הוא 2.
מספר פיתגורס של שדה המספרים הרציונליים הוא 4 (זהו משפט ארבעת הריבועים של לגרנז', בצירוף העובדה ש-7 אינו ניתן להצגה כסכום של שלושה ריבועים).
בכל שדה מקומי, ובכל שדה מספרים שאינו ניתן לסידור, מתקיים .
בשדה מספרים K הניתן לסידור, מספר פיתגורס הוא 3 אם לכל ראשוני דיאדי הממד של מעל שדה המספרים ה-2-אדיים זוגי, ו-4 אחרת.
אם K/F הרחבה סופית של שדות ניתנים לסידור, אז .
ההתנהגות של מספר פיתגורס עם המעבר לשדה פונקציות אינה ברורה.
לא ידוע אפילו האם סופי לכל שדה K שמספר פיתגורס שלו סופי.
חישוב מספר פיתגורס של שדה הפונקציות קשור בבעיה ה-17 של הילברט.
ידוע שהמספר הזה אינו עולה על ; זה נכון לכל שדה שדרגת הטרנסצנדנטיות שלו מעל שדה סגור ממשית (כגון שדה הממשיים ) היא n.
עבור n>2 ידוע רק ש-.
באופן כללי יותר, לכל שדה מספרים ניתן לסידור K מתקיים ; ולכל שדה מספרים K שאינו ניתן לסידור, .
עבור , הסגור הפיתגורי של שדה המספרים הרציונליים, .
מסמנים ב- את הסופרימום של מספרי פיתגורס של ההרחבות הטרנסצנדנטיות מדרגה 1 של F.
מספר רציונלי הוא מספר אשר ניתן להצגה כמנה של מספרים שלמים, הנקראים מונה ומכנה.
לדוגמה, כל מספר שלם z הוא מספר רציונלי, משום שאפשר לכתוב אותו בצורה .
אפשר להציג כל מספר רציונלי כשבר בדרכים רבות.
למשל, המספר יכול להיכתב גם בתור או .
עם זאת, לכל מספר יש הצגה מצומצמת אחת ויחידה, שבה המונה והמכנה זרים זה לזה, והמכנה חיובי.
הקבוצה הכוללת את כל המספרים הרציונליים עם פעולות החיבור והכפל שלהם היא מבנה אלגברי, הנקרא שדה.
לשדה זה קוראים שדה המספרים הרציונליים, ומקובל לסמן אותו באות .
שני מספרים רציונליים שווים זה לזה אם .
פעולות החיבור והכפל עבור מספרים רציונליים מוגדרות לפי הנוסחאות הבאות:
(זהו חיבור על פי מכנה משותף).
לכל מספר רציונלי קיים הופכי חיבורי: .
לכל מספר רציונלי שונה מאפס () קיים הופכי כפלי: .
על כן, על המספרים הרציונליים מוגדרות גם פעולות החיסור והחילוק.
בנייה פורמלית של המספרים הרציונליים
שדה המספרים הרציונליים הוא מערכת מספרים, שאותה אפשר לבנות מתוך המספרים השלמים באמצעות שימוש בזוגות סדורים.
ראשית, נתחיל מהקבוצה של כל הזוגות הסדורים בהם האיבר הראשון שלם, והשני טבעי, כלומר,
על קבוצה זו נגדיר פעולות של כפל וחיבור, תוך הסתמכות על הגדרתם בקבוצת המספרים השלמים:
כעת, כדי שהמספרים שהגדרנו יקיימו את התכונה שמספרים בעלי אותו צמצום הם שווים, נגדיר את יחס השקילות על הקבוצה:
נראה כי זהו באמת יחס שקילות:
רפלקסיביות: (כי כפל בשלמים הוא קומוטטיבי ולכן .
סימטריות: אם אז (כי שוויון הוא סימטרי) ולכן אם אז .
טרנזיטיביות: נניח כי אז .
נכפול את השוויון השני ב ונקבל .
נציב את השוויון הראשון בשני ונקבל .
כעת, ולכן ניתן לצמצם בו, ונקבל , כלומר .
כעת נגדיר את קבוצת המספרים הרציונליים בתור קבוצת המנה של יחס השקילות.
כלומר: כל מספר רציונלי הוא אוסף הזוגות הסדורים שמקיימים זה עם זה.
נותר להראות כי החיבור והכפל שהגדרנו נותרים מוגדרים היטב גם על קבוצת המנה - כלומר, שניתן לכפול ולחבר מחלקות שקילות באמצעות נציגים בלי חשיבות לבחירת הנציג.
כעת: וזה מה שרצינו להוכיח (הסתמכנו על כך שעל פי הנתון, ).
וזה ברור מיידית מכך ש.
ניתן גם להגדיר סדר מלא על קבוצת המספרים הרציונליים: .
ניתן להראות על ידי בדיקה ישירה של האקסיומות כי קבוצת המספרים הרציונליים יחד עם פעולות החיבור והכפל שמוגדרות עליה מהווה שדה - זהו שדה המספרים הרציונליים.
בצורה זו נבנה שדה מקבוצת המספרים השלמים, שהיא חוג בלבד.
בניית המספרים הרציונליים היא מקרה פרטי של בניית שדה שברים מתחום שלמות (תחום שלמות הוא חוג קומוטטיבי שאין בו מחלקי אפס).
כקבוצה סדורה, המספרים הרציונליים מהווים קבוצה צפופה: עבור כל שני מספרים רציונליים, ניתן למצוא מספר רציונלי שגדול מהקטן יותר וקטן מהגדול יותר (למעשה, יש אינסוף כאלו).
כמו כן, כאשר מסתכלים על הישר הממשי בתור מרחב מטרי, ניתן להתקרב כרצוננו לכל מספר ממשי באמצעות מספרים רציונליים, כלומר, המספרים הרציונליים הם קבוצה צפופה בממשיים.
קיומו של סידור כמו זה הנראה בתמונה מוכיח שניתן לכתוב את קבוצת הזוגות הסדורים של מספרים טבעיים כסדרה.
זה מוכיח כי קבוצת הרציונליים האי-שליליים היא בת מנייה, משום שיש התאמה עליהם מאוסף הזוגות של מספרים טבעיים (ניתן לדלג על שבר שהמספרים שבמונה ובמכנה שלו אינם זרים).
אם נבצע את אותו התהליך עם הזוגות הסדורים של מספר טבעי ומספר שלילי נקבל שגם קבוצה זו בת מנייה.
בסך הכול נקבל פונקציה חד-חד-ערכית ועל בין השלמים לרציונליים.
היות שיש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין השלמים לטבעיים, הסידור דלעיל מהווה הוכחה שקיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בין קבוצת המספרים הטבעיים לקבוצת המספרים הרציונליים, ועל כן המספרים הרציונליים הם קבוצה בת מנייה .
ההתאמה בין קבוצת הזוגות הסדורים של מספרים טבעיים למספרים הטבעיים, המתוארת בתמונה לעיל, ניתנת באופן מפורש על ידי פונקציית ה"זיווג" של קנטור, אשר אותה אנו יכולים להגדיר בשני אופנים, כיוון שאנחנו יכולים להניח כי אפס הוא מספר טבעי או להניח שלא.
התאמה זו, כפי שמראה הסידור בתמונה (המתאים לפונקציה העליונה), היא אכן חד-חד-ערכית ועל.
דרך פשוטה להוכיח זאת פורמלית היא להראות שהיא הפיכה, כלומר שלכל מספר טבעי המתקבל על ידיה, ניתן למצוא זוג סדור יחיד של מספרים טבעיים אשר עבורו הפונקציה נותנת מספר זה.
מספר שלם הוא מספר ללא מרכיב של שבר.
לדוגמה, ו- הם מספרים שלמים, אך ו- אינם מספרים שלמים.
קבוצת המספרים השלמים מורכבת מהמספר אפס, המספרים הטבעיים () והמספרים הנגדיים להם (המספרים השליליים ) ומסומנת בדרך כלל ב-.
בדומה למספרים הטבעיים, קבוצת המספרים השלמים היא אינסופית בת מנייה.