tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
עבור כל k-אלגברה קומוטטיבית עם יחידה נוצרת סופית וללא נילפוטנטים קיימת ויחידה (עד כדי איזומורפיזם קנוני) יריעה אלגברית אפינית כך ש: .
כאמור המרחב הטופולוגי המתאים ליריעה זאת תלוי בשאלה האם אנו חושבים עליה כעל יריעה או סכמה.
לכן כדי למנוע בלבול זה, אם רוצים לחשוב עליה כעל יריעה מסמנים את המרחב הטופולוגי המתאים ב ואם רוצים לחשוב עליה כעל סכמה מסמנים .
האות באה מהעוֹבדה שיש התאמה בין הנקודות של לאידיאלים מקסימליים ב- והאות באה מהעוֹבדה שיש התאמה בין הנקודות של לאידיאלים ראשוניים ב-.
בדרך כלל הסימון מסמן את .
עבור יריעה אלגברית מעל , ו--אלגברה קמוטטיבית עם יחידה נוצרת סופית וללא נילפוטנטים , ניתן להגדיר את קבוצת הנקודות של מעל על ידי , כאשר מסמן את קבוצת המורפיזמים בין שתי יריעות.
כאשר יריעה אפינית אז היא קבוצת הפתרונות של מערכת המשוואות המגדירה את כאשר המשתנים רצים ב- במקום ב-.
הפונקטור נקרא פונקטור הנקודות של .
ניתן לשחזר את היריעה מפונקטור הנקודות שלה.
טענה זאת היא מעין גרסה חזקה של הלמה של יונדה (Nobuo Yoneda).
לכן נתן להגדיר יריעה אלגברית בתור פונקטור מקטגורית ה--אלגבראות קמוטטיביות עם יחידה הנוצרות סופית וללא נילפוטנטים לקבוצות המקיימים תנאים מסוימים.
גישה זאת אבסטרקטית למדי ולכן אינה פופולרית עבור יריעות אלגבריות, אך היא משמשת לעיתים כדי להגדיר סכמות, והיא הגישה המקובלת כדי להגדיר הכללות של מושג הסכמה כמו מרחב אלגברי וסטקים אלגבריים.
עבור שדות לא סגורים אלגברית
ניתן להגדיר יריעה אלגברית מעל שדה גם כאשר אינו סגור אלגברית.
באופן כללי, כאשר שדה מושלם אחת הדרכים לחשוב על אובייקטים מעל היא בתור אובייקטים מעלֹ הסגור האלגברי ביחד עם פעולה של חבורת גלואה שאינה שומרת בדיוק על המבנה של האובייקט מעל אך משנה אותו בצורה המושרת מהפעולה של על .
באופן מפורש כאשר שדה מושלם ניתן להגדיר יריעה אלגברית מעל בתור יריעה מעל יחד עם פעולה של על כך שעבור כל ההעתקה מקיימת:
רציפה על פי טופולוגית זריצקי.
לכל קבוצה פתוחה ולכול פונקציה רגולרית הפונקציה המוגדרת על ידי היא פונקציה רגולרית על .
כאשר אינו מושלם הגדרה זאת איננה מספקת.
לדוגמה אם סגור ספרבילית אז טריוויאלית, אך אין זה הגיוני להגדיר יריעה אלגברית מעל כמושג המתלכד עם יריעה אלגברית מעל .
יש מספר דרכים להגדיר יריעה אלגברית גם במקרה זה.
אולם בדרך כלל נהוג לטפל במקרה זה כמקרה פרטי של סכמות.
אף על פי שמושג היריעה האלגברית כללי למדי, יש למושג זה מספר מגבלות:
נדרש לקבוע את השדה , לכן לא ניתן לטפל בו זמנית ביריעות מעל שדות שונים.
מגבלה זאת מקשה על שימושים בתורת המספרים כאשר רוצים לקשר בין פתרונות של מערכת משוואות מעל שדה סופי ובין הגאומטריה של היריעה המוגדרת על ידי מערכת זאת מעל .
כמו כן הגדלת השדה מאפשרת הוספה של מספרים טרנסצנדנטים מה שמאפשר יצירה של נקודות גנריות, זאת אומרת נקודות שימצאו בכל קבוצה פתוחה זריצקי המוגדרת מעל השדה המקורי.
יריעות לא מאפשרות טיפול בפתרונות של מערכות משוואות מעל חוגים שאינם שדות.
גם מגבלה זאת מקשה על שימושים בתורת המספרים שאחת הבעיות המרכזיות בה היא ניתוח של משוואות דיופנטיות.
יריעות לא מאפשרות טיפול בשורשים מרובים.
לדוגמה היריעה המוגדרת על ידי המשוואה זהה ליריעה המוגדרת על ידי המשוואה .
אולם כאשר מנתחים שורשים של פולינום נהוג לקחת בחשבון את ריבוי השורשים ולכן להתייחס לקבוצת השורשים של באופן שונה מאשר לקבוצת השורשים של .
התייחסות לריבוי השורשים משפרת את הניסוח והשימושיות של מספר משפטים.
למשל את המשפט היסודי של האלגברה.
כדי להתמודד עם מגבלות אלה פיתח גרותנדיק את מושג הסכמה.
כדי להבין את ההבדל בין סכמות ויריעות אפשר להסתכל תחילה על המקרה האפיני.
סכמות אפיניות, כמו יריעות אפיניות מוגדרות על ידי חוג הפונקציות עליהם, אלא שבמקרה של סכמה מסירם את רוב ההגבלות מחוג זה.
ראשית לא דורשים שהוא יהיה נוצר סופית מעל שדה, זה מאפשר להתמודד עם מגבלות 1,2 למעלה.
שנית מאפשרים לו להכיל נילפוטנטים, זה מאפשר להתמודד עם מגבלה 3. הסרת מגבלת הנילפוטנטים גורמת לכך שהחוג כבר לא חוג פונקציות.
לכן כאשר מגדירים סכמה כללית לא מגדירים אותה בתור מרחב טופולוגי עם אלומת פונקציות אלה בתור מרחב טופולוגי עם אלומה של אלגבראות אבסטרקטיות.
מבנה כזה נקרא מרחב מחויג.
לוויתור על הנוצרות סופית של חוג הפונקצוית הרגולריות ישנן השלכות.
כאשר מתאימים לאלגברה יריעה אפינית, משתמשים בספקטרום המקסימלי שלה, זאת אומרת אוסף האידיאלים המקסימליים שלה, בעוד שכשמתאימים לחוג סכמה אפינית, משתמשים בספקטרום הראשוני שלו, זאת אומרת אוסף האידיאלים הראשוניים שלו.
הצורך להשתמש בספקטרום ראשוני נובע מכך שבהינתן העתקה בין חוגים כלליים (לאו דווקא נוצרים סופית מעל שדה) אין זה נכון שתמונה הפוכה של אידיאל מקסימלי היא אידיאל מקסימלי, אבל נכון שתמונה הפוכה של אידיאל ראשוני היא אידיאל ראשוני.
הבדל נסף בין סכמות ליריעות הוא הוויתור על הדרישה שהכיסוי של סכמה על ידי סכמות אפיניות היה סופי.
דורשים רק קיום של כיסוי פתוח על ידי סכמות אפיניות.
ויתור זה אינו פועל יוצא של אחת המגבלות שתוארו מעלה, אלה בא לאור העבדה שסכמות הן מושג מאוד כללי ולכן מוותרים על כל ההגבלות שאינן הכרחיות.
סכמות בעלות כיסוי סופי כזה נקראות סכמות קוואזי-קומפקטיות.
במקרים רבים כשחוקרים סכמות מצמצמים את הדיון לסכמות קוואזי-קומפקטיות, מכיוון שמשפטים רבים אינם תקפים לסכמות שאינן קוואזי-קומפקטיות.
גם למושג הסכמה יש מגבלות, לדוגמה, אין מושג של סכמת מנה של סכמה על פי יחס שקילות.
אפילו כאשר היחס שקילות בעל תיאור מגאומטריה אלגברית, ואפשר לצפות משיקולים גאומטריים שמנה כזאת צריכה להיות, למשל כאשר מדובר במנה של סכמה על פי פעולה חופשית של חבורה סופית (שפועלת על ידי העתקות אלגבריות).
כדי להתמודד עם מגבלה זאת פותח המושג מרחב אלגברי.
גם הכללה זאת איננה המילה האחרונה.
המושג סטק אלגברי מהווה הכללה שלו.
הכללה זאת לא נועדה כדי להרחיב את האובייקטים הגאומטריים שעליהם אפשר לדבר, אלה כדי להוסיף מידע נוסף (שאינו לחלוטין גאומטרי) ליריעה.
באופן אינטואיטיבי, סטק אלגברי הוא גרופואיד אשר על אוסף האובייקטים שלו יש מבנה של יריעה אלגברית (או באופן כללי יותר מרחב אלגברי).
בשונה מיריעות, סכמות ומרחבים אלגבריים, אוסף הסטקים האלגבריים אינו מהווה סתם קטגוריה, אלא 2-קטגוריה.
מקרה פרטי חשוב של סטק אלגברי שמכליל את המושג מרחב אלגברי הוא סטק דלין-ממפורד.
מתחילת המאה ה-21 כאשר מושג ה--קטגוריה תפס תאוצה בזכות עבודותיהם של יעקב לוריא (Jacob Lurie) ואחרים, הכלל מושג הסטק האלגברי למושג ה--סטק ו--סטק.
לעיתים מכנים -סטק בשם -סכמה, כך שאפשר לקרוא ל--סטק גם -סכמות.
אוסף ה--סטקים אינו מהווה סתם קטגוריה, אלא -קטגוריה.
מושג ה--קטגוריה הוליד גם הכללה של -סטקים והיא -סטקים נגזרים.
הטבלה הבאה נועדה להסביר את האופי של הכללה הזאת:
מהות האובייקט מהות האובייקט כאשר הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה מהות אוסף הפונקציות על .
יריעה אלגברית קבוצה אלגברה חסרת נילפוטנטים אלגברה נוצרת סופית מעל שדה סכמה קבוצה חוג קמוטטבי עם יחידה מרחב אלגברי קבוצה חוג קמוטטבי עם יחידה סטק דלין-ממפורד גרופואיד בעל חבורת אוטומורפיזמים סופיות חוג קמוטטבי עם יחידה סטק אלגברי גרופואיד חוג קמוטטבי עם יחידה -סטק -גרופואיד.
במילים אחרות טיפוס הומוטופיחוג קמוטטבי עם יחידה -סטק נגזר -גרופואיד חוג ניגזר קמוטטבי עם יחידה, זאת אומרת -גרופואיד בעל מבנה של חוג קמוטטבי עם יחידה.
הגאומטריה המודרנית חוקרת מספר מחלקות של אובייקטים גאומטריים.
יריעות אלגבריות מהוות אחת ממחלקות אלו, לצידם חוקרים גם יריעות טופולוגיות, יריעות חלקות (differentiable manifolds), יריעות אנליטיות, מרוכבות וממשיות, סוגים שונים של יריעות אלגבריות למחצה (למשל יריעות נאש), יריעות אנליטיות p-אדיות, מרחבים אנליטיים קשיחים, מרחבי ברקוביץ', מרחבים פרפקטואידים ועוד.
שלוש המחלקות האחרונות הן גרסאות מודרניות ומעודנות יותר של יריעות אנליטיות p-אדיות.
יריעות אלה בתורן הן גרסה לא ארכימדית של יריעות אנליטיות מרוכבות וממשיות.
יריעות נאש הן יריעות ממשיות חלקות אלגבריות למחצה, הן דומות מאוד ליריעות אלגבריות ממשיות חלקות.
אם נקבע , נראה שטבעי להשוות בין יריעות אלגבריות, יריעות אנליטיות ויריעות חלקות.
בהשוואה זאת, יריעות אלגבריות הן המחלקה הקשיחה ביותר, ויריעות חלקות הן המחלקה הגמישה ביותר.
כל פונקציה אלגברית היא אנליטית וכל פונקציה אנליטית היא חלקה.
על ציר זה (גמישות/קשיחות) יריעות אנליטיות קרובת בהרבה ליריעות אלגבריות מאשר ליריעות חלקות.
אחת הסיבות לכך היא שביריעות חלקות יש את משפט פיצול היחידה בעוד שביריעות אלגבריות ואנליטיות הוא לא יכול להתקיים מכיוון שהוא סותר את משפט היחידות (שלא מתקיים עבור פונקציות חלקות; אך מתקיים עבור פונקציות אלגבריות ואנליטיות).
של סר מתאר שקילות קטגורית בין יריעות אלגבריות פרויקטיביות מרוכבות ובין יריעות אנליטיות פרויקטיביות מרוכבות.
קשיחות זאת גורמת לכך שבמיקרים רבים על יריעה חלקה אחת יש רצף של מבנים של יריעה אלגברית או אנליטית.
הבדל מובהק בין יריעות אלגבריות ואנליטיות הוא העובדה שמשפט הפונקציה ההפוכה לא תקף במקרה האלגברי.
הבדל זה הוא המוטיבציה המרכזית להגדרת טופולוגית אטל על יריעות אלגבריות.
טופולוגיה זאת מאפשרת במקרים רבים להחליף את משפט הפונקציה ההפוכה ובכך לצמצם את הפער בין יריעה אלגברית ואנליטית.
הבדל נוסף בין יריעות אלגבריות לאנליטיות נובע מכך שבעולם האנליטי (כמו גם בעולם החלק) לכל מד"ר יש פתרון ולרוב המד"רים אין פתרונות אלגבריים.
ברמה הפרקטית מה שמיחד יריעות אלגבריות משאר האובייקטים בגאומטריוה זה האלגבריות שלהן, זאת אמרת שניתן לתאר כל יריעה אלגברית באמצעות כמות סופית של מידע.
דבר זה אינו אפשרי עבור אובייקטים גאומטריים אחרים.
הטבלה הבאה מסכמת את ההבדלים בין העולם האלגברי האנליטי והחלק במקרה הממשי:
יריעות אלגבריות ממשיות יריעות אנליטיות ממשיות יריעות חלקות (דיפרנצאבילות)משפט הפונקציה ההפוכהלא תקף.
המעבר לטופולגית אטל נועד כדי לפתור בעיה זאת תקף תקףמשפט הפונקציה הסתומהלא תקף.
אולם רק מפני שמשפט הפונקציה ההפוכה לא תקף.
קיימות עבור שדות מקומיים, אך שונות למדי ובחלק מהמקרים ללא גרסה מוסכמת אחת כמעט לא קיימות, לשדות מקומיים יש גרסאות מסוימות אך לא מפותחות ולא פופולריות.נתנות לתיאור על ידי מידע סופיכן לא לא
ישנן מחלקות רבות של ירעות שנחקרות במסגת הגאומטריוה אלגברית.
התרשים הבא מסכם את חלקן.
בהינתן שדה סגור אלגברית , הנקודה היא היריעה האלגברית הקשירה היחידה ממד 0 מעל .
היא האובייקט הסופי בקטגוריה של יריעות אלגבריות מעל .
כל יריעה אלגברית ממד 0 מעל היא קו-מכפלה של נקודות.
זאת אומרת קבוצה סופית בדידה.
לכן מחקר של יריעות אלגבריות ממד 0 לא מהווה עינין.
מעל שדה לא סגור המצב מסובך יותר.
למשל, אם השדה מושלם אז יריעות 0-ממדיות מעליו ניתנות לתיאור על ידי קבוצות סופיות יחד עם פעולה של חבורת גלואה האבסולוטית של השדה.
אובייקט זה מסובך בהרבה, אך אינו גאומטרי כלל והמחקר שלו לא מתבצע במסגרת הגאומטריה האלגברית בדרך כלל.
להבדיל, המצב עם סכמות אינו כזה.
סכמות ממד 0 מסובכות בהרבה, אומנם הן עדין אובייקט אלגברי ביסודו, אך למחקר שלהן השלכות רבות בגאומטריה אלגברית.
המרחב האפיני הוא הארכי טיפוס של הירעות האפיניות.
לשאלות רבות על יריעות אפיניות יש רדוקציה למרחבים אפיניים.
לדוגמה, ניתן לשכן את קטגורית האלומות הקוהרנטיות על יריעה אפינית לתוך קטגורית האלמות הקוהרנטיות על המרחב האפיני.
למרות פשטותו היחסית, יש מספר השערות קשות הקשורת אליו.
המפורסמת בהן היא השערת היעקוביאן.
חבורת האוטומורפיזמים של מרחב אפיני עשירה מאוד.
ישנן מספר השערות הקשורות לחבורה זאת.
באופן דומה המרחב הפרויקטיבי הוא הארכי טיפוס של היריעות הפרויקטיביות.
לשאלות רבות על יריעות פרויקטיביות יש רדוקציה למרחבים פרויקטיביים.
יתר על כן, באמצעות הלמה של צ'ו ניתן גם להכליל תשובות לשאלות אלה ליריעות שלמות.
חבורת האוטומורפיזמים של מרחב פרויקטיבי עשירה למדי אך לא מסובכת.
היא החבורה האלגברית הליניארית (מממד סופי) .
סדרה של טרנספורציות (אלגבריות, הפיכות) של המישור האפיני, אשר הולכות ונהיות מסובכות יותר.
טררנספורמציות אפיניות הן טרנספורמציות אלגבריות פשוטות ביותר (שילוב של הזזות וטרנספורמציות ליניאריות)
דוגמאות לטרנספורמציות (אלגבריות, הפיכות) של המישור הפרויקטיבי.
טרנספורמציות כאלה נקראות טרנספורמציות פרויקטיביות.
עקום אלגברי הוא יריעה אלגברית חד-ממדית.
בדרך כלל דושים שעקום יהיה בלתי-פריק.
אם לא דורשים זאת אז דורשים שכל רכיבי האי-פריקות שלו יהיו חד־ממדיים.
עקום שלם הוא תמיד פרויקטיבי.
למרות פשטותם היחסית, המחקר של עקומים אלגבריים הוא עשיר ומאתגר.
משפטים רבים בגאומטריה אלגברית הוכחו תחילה עבור עקומים ואחר כך הוכללו עבור יריעות כלליות.
במקרים רבים הוכחת המשפט לעקומים שונה מאוד מהרדוקציה מיריעה כללית לעקום.
בהרבה מקרים ההוכחה לעקומים בתבססת על חישובים מפורשים בעוד שהרדוקציה למקרה של עקום מתבססת על כלים כללים של גאומטריה אלגברית.
יש מיון ידוע של עקומים חלקים שלמים.
האינווריאנט הממיין הראשי של עקומים כאלה הוא הגנוס.
במקרה המרחב הוא משטח טופולוגי סגור אורינטבילי, והגנוס של הוא הגנוס של כמשטח טופולוגי.
מזה נובע שמחלקת הדיפאומורפיזם של תלויה רק בגנוס של אם הוא עקום שלם חלק מרוכב.
בהינתן גנוס קבוע יש מבנה של יריעה אלגברית (ליתר דיוק של סטק דלין ממפורד) על אוסף כל מחלקות האיזומורפיזם של עקומים מגנוס .
יש עקום יחיד מגנוס 0. הוא הישר הפרויקטיבי.
זה העקום החלק השלם היחיד המהווה יריעת פאנו.
עקומים מגנוס 1 נקראים עקומים אליפטיים.
יש משפחה חד פרמטרית של עקומים כאלה (הפרמטר נקרא אינווריאנט של העקום והוא רץ ב-).
לעקומים אליפטיים מקום מיוחד בחקר העקומים ובגאומטריה אלגברית בכלל.
על כל עקום אליפטי יש מבנה של חבורה אלגברית.
חבורת האוטומורפיזם של עקום אליפטי (כשחושבים עליו כיריעה) היא הרחבה סופית של העקום עצמו (כשחושבים עליו כחבורה).
עקומים אליפטיים הם העקומים החלקים השלמים היחידים המהווים יריעות קאלאבי-יאו.
עקום אלגברי שלם חלק שהתפרסם בזכות הקשר שלו למשפט פרמה הוא עקום פרמה.
לכל עקום אלגברי חלק יש קומפקטיפיקציה (זאת אומרת עקום שלם המכיל אותו כתת-קבוצה פתוחה צפופה) חלקה יחידה.
לכן ניתן למיין עקומים אלגבריים חלקים באמצעות עקומים חלקים שלמים.
באופן מפורש יותר, כדי לתאר עקום חלק, צריך לתאר עקום חלק שלם ולהוציא ממנו קבוצה סופית של נקודות.
אם העקום אינו חלק אז כל הסינגולריות שלו מבודדות.
לכן נהוג לחקור עקומים לא חלקים רק מקומית בסביבת הסינגולריות.
אין מיון מלא של כל הסינגולריות האפשריות של עקומים, אבל בהנחות מסוימות על הסינגולריות לעיתים קיים מיון.
אחד הדברים שמקלים על המיון הזה היא העובדה שעקום נורמלי הוא תמיד חלק.
לכן נורמליזציה של עקום מהווה התרת סינגולריות קנונית שלו.
עקום מישורי אפיני הוא עקום השוכן במישור האפיני בתור תת-קבוצה סגורה.
עקום כזה תמיד ניתן להגדרה על ידי משוואה אחת (משני משתנים).
המעלה של המשוואה הזאת נקראת המעלה של העקום.
באופן דומה עקום מישורי פרויקטיבי ממעלה הוא עקום במישור הפרויקטיבי הנתון על ידי משוואה הומוגנית אחת ממעלה משלושה משתנים.
אוסף כל העקומים המישוריים הפרויקטיבים ממעלה הוא מרחב פרויקטיבי ממד
ניתן לחלק מרחב זה לתתי יריעות לפי הטיפוסים השונים של העקומים.
מיון של עקומים מישוריים ממעלה נתונה איננה משימה פשוטה.
מנקודת מבט מודרנית, מבין כל משימות מיון העקומים המישוריים, קל יותר למיין עקומים מישוריים פוריקטיביים מעל שדה סגור אלגברית (למשל ).
ולכן בדרך כלל מתחילים במקרה זה, אחר כך מנסים לעדן את המיון שיתאים לשדות אחרים (למשל ) ולמקרה האפיני.
אולם, היסטורית, שדה המרוכבים והגאומטריה הפרויקטיבית התפתחו מאוחר, לכן עקומים ממעלה נמוכה נחקרו תחילה במקרה הממשי האפיני.
עקומים מישוריים ממעלה 1 הם ישרים.
אפשר לראות במיון של עקומים מישוריים ריבועיים כנקודת ההתחלה של הגאומטריה האלגברית, הוא היה ידוע עוד ביוון העתיקה.
היפרבולה (איזומורפית לישר בלי נקודה)
מעגל עם רדיוס 0 (יריעה בעלת נקודה ממשית 1)
מעגל עם רדיוס שלילי (יריעה ללא נקודות ממשית כלל)
זוג ישרים מקבילים מדומים (יריעה ללא נקודות ממשיות כלל)
המקרה הפרויקטיבי המרוכב פשוט יותר.
יש רק שני סוגים של עקומים כאלה: ישר פרויקטיבי וזוג ישרים פרויקטיבים נחתכים.
המיון של עקומים מישוריים ממעלה שלישית מסובך בהרבה, הוא התבצע באופן חלקי על ידי ניוטון ובאופן מלא על ידי פלוקר וכלל למעלה מ-100 מקרים.
בשונה ממעלות נמוכות יותר, יש אינסוף מחלקות איזומורפיזם של כאלה עקומים.
אולם, במקרה הפריקטיבי המרוכב ניתן לתאר את כל העקומים האלה בקלות יחסית:
העקומים חלקים: אלה בדיוק העקומים האליפטיים.
יש אינסוף מחלקות איזומורפיזם של עקומים כאלה, אך יריעות הנקודות שלהם הומיומורפיות.
עקום נודלי: עקום בלתי פריק עם סינגולריות נודלית.
סינגולריות נודלית היא סינגולריות הנראית (מקומית בטופולוגית אטל או האנליטית) כמו זוג ישרים נחתכים.
הנורמליזציה של עקום זה היא הישר הפרויקטיבי.
אפשר לתאר את החלק האפיני של העקום על ידי המשוואה
עקומים נודליים (לצד ניוונם - עקומים קספידיים) הם העקומים המישוריים הרציונליים ממעלה 3. זאת אומרת, עקומים שיש להם פרמטריזציה על ידי זוג פולינומים ממעלה 3. מסיבה זאת הם שימושיים בגרפיקה וקטורית.
מושג ה-cubic spline מבוסס על עקומים אלה.
כאשר מציגים עקום בגרפיקה וקטורית באמצעות cubic spline, מחלקים אותו למקטעים המהווים עקום נודלי.
אומנם עקומים נודליים מכילים חיתוכים עצמיים, חיתוכים אלה נמצאים בדרך כלל מחוץ למקטעים, ולכן לא מופיעים ב-spline.
עקום קספידלי: עקום בלתי פריק עם סינגולריות יחידה בצורת חוד.
גם הנורמליזציה של עקום זה היא הישר הפרויקטיבי.
ישר ועקום (בליתי פריק) ממעלה 2 הנחתכים בשתי נקודות.
עקום זה איזומורפי לאיחוד של שני ישרים פרויקטיביים הנחתכים ב-2 נקודות.
ישר ועקום (בליתי פריק) ממעלה 2 המשיקים בנקודה אחת.
עקום זה איזומורפי לאיחוד של שני ישרים פרויקטיביים המשיקים בנקודה אחת.
שלושה ישרים הנחתכים ב-3 נקודות.
שלושה ישרים הנחתכים בנקודה אחת.
שני ישרים נחתכים (אחד מהם כפול)
הגנוס של עקום מישורי פרויקטיבי חלק ממעלה הוא
משטח אלגברי הוא יריעה אלגברית דו-ממדית.
משטחים אלגבריים מסובכים בהרבה מעקומים אך עדיין פשוטים יותר מיריעות כלליות.
משטחים חלקים שלמים הם תמיד פרויקטיביים אולם משטחים שלמים שאינם חלקים לאו דווקא.
סינגולריות של משטח נורמלי היא תמיד מבודדות, לכן כשחוקרים אותה בדרך כלל מתמקדים בסביבה של נקודה סינגולרית.
גם כאן כמו בעקומים אין מיון כללי אולם אם מגבילים את הסינגולריות לפעמים ניתן למין אותן.
לדוגמה יש מיון אלגנטי של כל סוגי הסינגולריות של משטחים שהם רציונלים וגורנשטיין.
המיון מתאים לסינגולריות אלה דיאגרמות דינקין מטיפוסים A,D,E (דיאגרמות ללא קשתות מרובות; simply laced diagrams).
סינגולריות אלה נקראות סינגולריות דה-ואל (וגם סינגולריות קליין, סינגולריות משטחית פשוטה, נקודה רציונלית כפולה).
ניתן לקשר בין סינגולריות אלה והתת חבורות הסופיות של (או של ) הממוינות על ידי אותן דיאגרמות.
משפט בריסקונד גם מקשר בין סינגולריות אלה ואלגבראות הלי הפשוטות שמתאימות לאותן דיאגרמות.
התרת סינגולריות עבור משטחים פשוטה יותר מאשר עבור יריעות אלגבריות כלליות.
היא הוכחה על ידי זריצקי כעשור לפני שהוכחה על ידי הרונקה עבור יריעות אלגבריות כלליות (מעל שדה עם מאפיין 0).
כמו כן היא הוכחה גם עבור מאפיין חיובי, בעוד שהתרת סינגולריות במקרה הכללי עודנה פתוחה עבור מאפיין חיובי.
בכל מחלקת שקילות בירציונלית קיים משטח חלק שלם שאינו ניפוח (לאורך מרכז חלק) של אף משטח חלק אחר.
משטח זה נקרה מודל מינימלי של המחלקה.
ברוב המקרים משטח זה יחיד, ובאלה שהוא אינו יחיד יש תיאור פשוט לכל המודלים המינימליים.
עובדה זאת מקלה על מיון המשטחים עד כדי שקילות בירציונלית.
בממדים גדולים יותר המצב מסובך יותר, הניסיונות להבין אותו נקראים "תוכנית המודל מינימלי".
החקר של משטחים במרחב דומה במקצת לחקר עקומים מישוריים (אך מסובך בהרבה).
גם כאן ניתן למין אותם לפי מעלתם.
משטחים ממעלה 1 הם מישורים.
במקרה הפרויקטיבי המרוכב יש רק 3 טיפוסי איזומורפיזם של משטחים ממעלה 2: מישור פרויקטיבי, זוג מישורים פרויקטיבים נחתכים והחרוט הריבועי.
במקרה האפיני הממשי, יש את הטיפוסים הבאים:
פרבולואיד היפרבולי, גליל פרבולי, פרבולואיד אליפטי.
גליל מרדיוס 0 (יריעה שהנקודות הממשיות שלה מהוות ישר)
אליפסואיד מרדיוס 0 (יריעה שהנקודות בעלת נקודה ממשית 1)
אליפסואיד מרדיוס שלילי (יריעה ללא נקודות ממשיות כלל)
גליל מרדיוס שלילי (יריעה ללא נקודות ממשיות כלל)
זוג מישורים מקבילים מדומים (יריעה ללא נקודות ממשיות כלל)
יש אינסוף טיפוסי איזומורפיזם של משטחים מרחביים ממעלה 3. אולם, יריעות הנקודות של משטחים מרוכבים פרויקטיביים חלקים ממעלה 3 כולן הומיאומורפיות.
כמו כן כל אחד ממשטחים אלה מכיל בדיוק 27 ישרים.
אוסף כל המשטחים הפרויקטיביים במרחב ממעלה הוא מרחב פרויקטיבי מממד
היפר-משטח הוא יריעה מממד (במקרה שהיריעה פריקה דורשים את אותו התנאי על כל רכיב אי-פריקות) במרחב (פרויקטיבי או אפיני) מממד .
היפר-משטחים הם הכללה ישירה של עקומים מישוריים ומשטחים מרחביים.
המחקר של היפר-משטחים קל יותר מאשר של יריעות כלליות.
הסיבה המרכזית לכך היא שהם מוגדרים על ידי פולינום בודד.
כך שלחקור אותם זה בעצם לחקור את הפולינום הזה.
אפשר ללמוד הרבה על ההיפר משטח מפאון ניוטון של הפולינום הזה.
אחת הדוגמאות הפשוטות ביותר להיפר-משטח סינגולרי היא הקונוס הריבועי.
במקרה האפיני זאת היריעה המוגדרת על ידי המשוואה כאשר הם פרמטרים קבועים שאינם מתאפסים.
אם סגור אלגברית אז אין חשיבות לערכם של פרמטרים אלו.
אוסף כל ההיפר-משטחים הפרויקטיביים במרחב מממד ממעלה הוא מרחב פרויקטיבי מממד
חבורה אלגברית היא יריעה אלגברית שיש עליה מבנה של חבורה, כך שהעתקות הכפל והיפוך הן מורפיזמים של יריעות אלגבריות.
לצד היותם מושא מחקר חשוב בתורת החבורות ותורת ההצגות, חבורה אלגברית מהוות מקור חשוב לדוגמאות של יריעות אלגבריות.
בדרך כלל המחקר של חבורות אלגבריות מתחלק לשני סוגי חבורות:
יריעות אבליות - אלו הן חבורות אלגבריות אשר שלמות כיריעות אלגבריות.
חבורות ליניאריות - אלו הן חבורות אלגבריות אשר אפיניות כיריעות אלגבריות.
באופן שקול אלו הן חבורות המהוות תתי-חבורות של החבורה .
במובן מסוים כל חבורה אלגברית מתקבלת משילוב של חבורת מסוגים אלו.
(פורמלית: לפי משפט שבלה על המבנה של חבורות אלגבריות כל חבורה אלגברית קשירה היא הרחבה של חבורה ליניארית ויריעה אבלית)
מנקודת מבט של תורת החבורות, יריעות אבליות אינן מציגות עניין רב.
הן תמיד קמוטטיביות, ובמקרה חבורת הנקודות שלהן איזומורפית כחבורת לי לחבורה .
לכן עיקר המחקר עליהן הוא במסגרת הגאומטריה האלגברית.
יריעות אבליות חד-ממדיות הן עקומים אליפטיים.
ליריעות האבליות יש תפקיד חשוב בגאומטריה אלגברית מכיוון שרכיב הקשירות של היחידה בחבורת פיקאר של יריעה אלגברית חלקה שלמה מעל שדה ממאפין 0 היא יריעה אבלית.
החבורות הרדוקטיביות מהוות תת-מחלקה חשובה של החבורות הליניאריות.
מנקודת מבט של גאומטריה אלגברית חבורות רדוקטיביות הן המעניינות ביותר בין החבורות הליניאריות.
לדוגמה אם אז כל חבורה ליניארית קשירה איזומורפית כיריעה אלגברית לחבורה רדוקטיבית כפול מרחב אפיני.
יש מיון של חבורות רדוקטיביות הדומה למיון של אלגבראות לי פשוטות למחצה אך קצת יותר מסובך.
מיון זה כולל בין היתר את הסדרות הבאות:
מיון זה נותן בנק של דוגמאות של יריעות אלגבריות.
חבורות אלה מהוות בסיס לבנייתן של יריעות נוספות.
אם תת-חבורה סגורה, אז המנה היא יריעה קוואזי-פרויקטיבית.
נניח לצורך דיון זה כי חבורה רדוקטיבית.
אם היריעה היא פרויקטיבית אז היא נקראת יריעת דגלים (חלקית) ו- נקראת תת-חבורה פרבולית.
יש מיון של תתי-חבורות פרבוליות (הן מתאימית לתתי-קבוצות של קבוצת השורשים הפשוטים של אלגברת הלי של ) קימת תת-חבורה פרבולית מינימלית יחידה.
היא נקראת תת-חבורת בורל (במקרה ש- סגור אלגברית).
יריעת הדגלים המתאימה נקרת יריעת דגלים המלאים.
במיקרה של יריעת הדגלים היא אוסף כל הסדרות העולות של תת-מרחבים ב- ממדים נתונים.
אם הסדרה היא מקסימלית (ז"א שהממדים הם בדיוק כל המספרים מ1 עד n) אז הדגל נקרא דגל מלא וכך מתקבלת יריעת הדגלים המלאים.
דוגמאות נוספות ליריעות דגלים של הן המרחב הפרויקטיבי (יריעת כל תתי המרחבים ממד 1 ב-) והכללתו - יריעת גרסמן (יריעת כל תתי המרחבים ממד ב-).
יריעות סימטריות: אם היא חבורת נקודות השבת של אוטומורפיזם מסדר 2 של אז היא נקראת תת-חבורה סימטרית של והמנה נקראת יריעה סימטרית.
יש מיון של יריעות סימטריות (ביחס לחבורות רדוקטיביות) הדומה למיון של חבורות רדוקטיביות אך מסובך ממנו.
הדוגמה הקלאסית למרחב סימטרי היא מרחב התבניות הריבועיות הלא מנוונות על מרחב ליניארי, ביחס לפעולת החפיפה של .
כל חבורה היא מרחב סימטרי ביחס לחבורה .
אפשר לחשוב על יריעות סימטריות כעל הכללה של דוגמה זאת, וכך על חקר של יריעות סימטריות כעל הכללה של תורת החבורות האלגבריות.
יריעות ספריות: יריעה ספרית היא יריעה נורמלית עליה פועלת חבורה אלגברית (רדוקטיבית) כך שלתת-חבורת בורל של יש מספר סופי של מסלולים על .
מחקר של מרחבים ספריים בדרך כלל מתמקד במרחבים ספריים טרנזיטיביים.
הוא מרחב ספרי אז נקראת תת-חבורה ספרית.
כל יריעה סימטרית הוא ספרית.
יריעות דגלים גם כן ספריות.
יש מיון של יריעות ספריות טרנזיטיביות אפיניות הדומה למיון של יריעות סימטריות אך מסובך ממנו בהרבה.
יריעת שוברט היא סגור של מסלול של תת-חבורה פרבולית על יריעת דגלים של .
חקר יריעות שוברט והאינטראקציה ביניהן הוא תחום חשוב בגאומטריה אלגברית.
לתחום זה יש שימושים רבים בתורת ההצגות.
הקשר בין יריעות שוברט לתורת ההצגות מבוסס על
שהוכחו על ידי בילינסון-ברנשטיין וברלינסקי-קשיווארה.
יש אנלוג של יריעת שוברט עבור מרחבים ספריים: סגור של מסלול של חבורה פרבולית על מרחב סימטרי.
כל חבורה פועלת על עצמה על ידי הצמדה.
אחד מנושאי המחקר בחבורות אלגבריות הוא המסלולים של פעלוה זאת עבור חבורות רדוקטיביות .
בזכות פירוק ז'ורדן (ומשפט החתך של לונה) כדי להבין שאלות רבות על מסלולים אלה, די להבין שני מקרים:
מסלולים פשוטים-למחצה – מסלולים סגורים
מסלולים אוניפוטנטיים – מסלולים שאיבר היחידה נמצא בסגור שלהם.
המסלולים הפשוטים-למחצה קלים יחסית לניתוח.
לכן עיקר העניין הוא במסלולים האוניפוטנטיים.
יש מספר סופי של מסלולים אוניפוטנטיים.
הוא איזומרפי (כיריעה אלגברית יחד עם הפעולה של ) לקונוס הנילפוטנטי המהווה את אוסף כל האיברים הנילפוטנטים באלגברת-הלי של החבורה .
ז"א איברים ש-0 נמצא בסגור של המסלול שלהם תחת הפעולה הצמודה של
באופן שקול, אלה הם האיברים של האלגברה הנגזרת
הקונוס הנילפוטנטי, כמו גם סגורים של מסלולים נילפוטנטיים מהווים נושא מחקר חשוב בגאומטריה אלגברית ותורת החבורות האלגבריות.
ליריעות אלה יש התרת סינגולריות -אקויברינטית טבעית המבוססת על יריעות דגלים.
במקרה שהמסלול הנלפוטנטי הוא רגולרי, אנו מקבלים התרה של הקונוס הנילפוטנטי הנקראת התרת שפרינגר.
המרחב המתיר בהתרה זאת הוא האגד הקו-משיק ליריעות הדגלים המלאה של .
הסיב של נקודה תחת התרה זאת נקרא סיב שפרינגר.
מחלקת האיזומורפיזם שלו תלויה רק במסלול של הנקודה (ולכן לכל חבורה יש רק מספר סופי של סיבי שפרינגר).
לסיבי שפרינגר חשיבית רבה בגאומטריה אלגברית ותורת ההצגות.
עבור בחבורה האלגברית הפשוטה הקטנה ביותר הקונוס הנילפוטנטי הוא הקונוס הריבועי במרחב.
יש גם קונוס נילפוטנטי במרחב הדואלי ל-.
אם רדוקטיבית, אז כהצגות של (ביחס לפעולה הצמודה).
לכן גם הקונוסים הנילפוטנטיים איזומורפיים.
אולם לחבורה אלגברית ליניארית כללית זה לא נכון.
בהרבה מקרים דווקא הגרסה הדואלית יותר שימושית בתורת ההצגות.
למשל בשיטת המסלולום של קוסטנט-קירילוב.
לקונוס הנילפוטנטי יש גם גרסה עבור מרחב ספרי: בהינתן -מרחב ספרי ונקודה , יש לנו העתקה .
הקו-דיפרנציאל של ההעתקה הזאת היא שיכון .
התמונה ההפוכה של הקונוס הנילפוטנטי תחת שיכון זה נקראת הקונוס הנילפוטנטי היחסי של המרחב הספרי .
בהינתן חבורה אלגברית וחבורה (דיסקרטית) נוצרת סופית ניתן להגדיר מבנה טבעי של יריעה אלגברית על אוסף ההומומורפיזמים מ- ל-.
ליריעה זאת קראים יריעת ההצגות (של ב-).
החבורה פעלת על יריעת ההצגות המתאימה.
לעיתים מתעניינים במנה על פי פעולה זאת (ובהתאם להקשר גם היא לעיתים מכונה יריעת ההצגות).
מקרה פרטי חשוב מהווה הדוגמה .
במקרה זה יריעת ההצגות מכונה גם היריעה המתחלפת.
הכללה מעניינת של דוגמה זאת היא המקרה בו , כאשר הוא משטח רימן קומפקטי.
לאור התאמת רימן הילברט יריעת ההצגות הזאת קשורה קשר הדוק למרחב ההשתנות של ה--מערכות מקומיות על .
גרף מכוון לאו דווקא פשוט) , הצגה שלו היא התאמה של מרחב ליניארי לכל קודקוד והעתקה ליניארית לכל חץ.
ממד של הצגה של קויבר הוא רשימת הממדים של המרחבים הליניאריים המתאימים לקודקודים.
על אוסף ההצגות מממד נתון של קויבר נתון (עד כדי איזומורפיזם) יש מבנה טבעי של יריעה אלגברית.
ליריעה זאת קוראים יריעת הקויבר של .
ישנן מספר בנייות המבוססת על בנייה זאת הנקראות (בהתאם להקשר) אף הן יריעת קויבר.
לדוגמה יריעת הקויבר של לוסטיג ויריעת הקויבר של נקג'ימה.
יריעת ההצגות של חבורת משטח למקרה של קשורה בקשר הדוק ליריעת הקויבר של לוסטיג של קויבר בעל קודקוד יחיד ומספר קשתות המתחילות ונגמרות בו.
יריעה טורית היא יריעה -ספרית כאשר היא טורוס אלגברי (זאת אומרת חבורה אלגברית המהווה מכפלה של מספר עותקים של החבורה הכפלית של שדה ההגדרה).
במילים אחרות יריעה טורית היא יריעה אלגברית נורמלית המכילה טורוס אלגברי בתור קבוצה פתוחה צפופה, כך שפעולת הטורוס על עצמו מתרחבת לפעולה אלגברית של חבורה על היריעה.
יש תיאור של כל הירעות הטוריות.
כל יריעה טורית מתוארת על ידי מבנה קומבינטורי בשם מניפה.
תכונת רבות של יריעות טוריות (למשל: חלקות, שלמות, פרויקטיביות...) ניתנות לתיאור על ידי תכונות קומבינטוריות של המניפה המתאימה.
יריעות טוריות מהוות בנק של דוגמאות ליריעות אלגבריות.
בזכות התיאור הקומבינטורי שלהן ניתן לבדוק בקלות יחסית השערות רבות עליהן ולקבל מכך אינדיקאציות ליריעות אלגבריות כלליות.
לדוגמה קל יחסית לבנות דוגמה ליריעה טורית שלמה ולא פרויקטיבית.
למרות פשטותה היחסית של דוגמה זאת, היא איננה הדוגמה הראשונה, וקדמו לה דוגמאות מסובכות יותר.
משפחה מעניינת של דוגמאות של יריעות אלגבריות, מתקבלת מניסיון למיין מבנים מסוימים בגאומטריה אלגברית.
לעיתים על אוסף כל המבנים האלה (עד כדי איזומורפיזם) יש מבנה של יריעה אלגברית.
יריעה זאת נקראת מרחב השתנות (באנגלית Moduli space).
הדוגמה הקלאסית של מרחב השתנות היא יריעת כל העקומים מגנוס נתון.
יריעות הקויבר כמו גם יריעות ההצגות של חבורת משטח שתוארו מעלה הן דוגמאות ליריעות השתנות.
כיום נהוג לדבר בדרך כלל על סטקים של השתנות במקום יריעות השתנות.
הם קיימים ביותר מקרים ונותנים תמונה מדויקת יותר.
אם יריעת ההשתנות קימת ניתן לקבלה מהסטק המתאים לאחר תהליך פשוט מסוים.
בגאומטריה אלגברית, יריעת גראסמן (או גראסמניאן) היא יריעה אלגברית פרויקטיבית חלקה , שהנקודות שלה נמצאות בהתאמה למרחבים מממד (אפיני) קבוע במרחב וקטורי .
לדוגמה, אינו אלא המרחב הפרויקטיבי .
אם מרחב מממד , יריעת גראסמן, שמקובל לסמן אותה גם ב-, משוכנת (על ידי שיכון פלוקר) במרחב הפרויקטיבי .
נקראת על שם הרמן גראסמן.
יריעות גראסמן מופיעות באופן טבעי במחקר של יריעות חלקות, משום שאם היא היריעה מממד ומשוכנת במרחב האפיני ה- ממדי, אז המרחב המשיק בכל נקודה הוא תת-מרחב ממדי של , כך שהמרחב המשיק מגדיר העתקה רציפה מ- אל יריעת גראסמן .
את הרעיון הזה אפשר להכליל לאגד משיק כללי.
הדואליות בין מרחבים מממד למרחבים מממד (שהיא הדואליות בין קבוצות משוואות למרחבי פתרונות), מראה כי .
בפרט, אם ו-, היריעה מקודדת את הישרים דרך הראשית במרחב התלת־ממדי, ואינה אלא המישור הפרויקטיבי.
הדוגמה הפשוטה ביותר שאינה מרחב פרויקטיבי, היא היריעה של המישורים דרך הראשית במרחב הארבעה ממדי.
החבורה הליניארית הכללית פועלת טרנזיטיבית על אוסף התת-מרחבים מממד .
המייצב של תת-מרחב הוא התת-חבורה הפרבולית של מטריצות הבלוקים (עם בלוקים אלכסוניים בגודל ו-), וכך מתקבלת הזהות .
בפרט, הממד של יריעת גראסמן הוא .
אם מצויד במכפלה פנימית (או ביתר כלליות בתבנית ריבועית אנאיזוטרופית), אז הפעולה על תת-קבוצות אורתוגונליות מספקת את הזהות .
המעבר לחבורת האיזומטריות המיוחדות מגדיר את יריעת גראסמן המכוונת , שהיא כיסוי כפול של יריעת גראסמן מאותם ממדים.
מעל המרוכבים, הצגה דומה באמצעות חבורת המטריצות האוניטריות שהיא חבורה קומפקטית, מראה שיריעת גראסמן (הממשית או המרוכבת) היא קומפקטית.
נוכחות המכפלה הפנימית הופכת את יריעת גראסמן למרחב מטרי, אם מגדירים , המרחק בין ההטלות של על ושל על , לפי הנורמה האופרטורית.
קואורדינטות פלוקר של יריעת גראסמן מתקבלות מבחירת בסיס למרחב ה--ממדי, על ידי מעבר על כל התת-קבוצות בגודל .
הצגה בקואורדינטות אלה מספקת את השיכון , המוגדר על ידי משוואות ריבועיות.
בגאומטריה אלגברית, יריעה קוואזי-פרויקטיבית (Quasi-projective variety) היא תת-קבוצה פתוחה המוכלת ביריעה פרויקטיבית, לפי טופולוגיית זריצקי.
כל יריעה פרויקטיבית, כל יריעה אפינית וכל יריעה קוואזי-אפינית היא קוואזי-פרויקטיבית, אבל לא להפך.
בהקשר של יריעות קוואזי-פרויקטיביות ישנם מספר משפטים בסיסיים, המלמדים על המבנה שלהן ובפרט על מבנה של יריעות פרויקטיביות ואפיניות.
באופן קלסי, טרם ההגדרה של יריעה אלגברית התרכזה הגאומטריה האלגברית בחקר יריעות קוואזי-פרויקטיבית.
יהי מרחב פרויקטיבי מממד (מעל שדה סגור אלגברית ).
יריעה קוואזי-פרויקטיבית היא תת-קבוצה פתוחה של יריעה פרויקטיבית מתוך .
יריעה קוואזי-פרויקטיבית היא אי-פריקה אם הסגור שלה אי-פריק (בתור יריעה פרויקטיבית).
כל יריעה אפינית היא פתוחה במישור הפרויקטיבי, ולכן היא קוואזי-פרויקטיבית.
כל יריעה פרויקטיבית היא פתוחה בתוך עצמה, ולכן היא גם קוואזי-פרויקטיבית.
כל יריעה קוואזי-אפינית, זאת אומרת, תת-קבוצה פתוחה ביריעה אפינית, היא גם קוואזי-פרויקטיבית.
לכל , הקבוצה היא קוואזי-פרויקטיבית, אך איננה אפינית (אם או פרויקטיבית.
העתקה בין יריעות קוואזי-פרויקטיבית היא העתקה רציונלית אם קיימים פולינומים הומוגניים בעלי אותה מעלה ב- משתנים, לא כולם מתאפסים ב-, כך ש- מעביר נקודות לנקודות .
ייצוג זה אינו יחיד, ולמעשה ניתן להוכיח ששני ייצוגים הם שקולים אם ורק אם מתקיים , לכל .
כאשר הפולינומים כולם מתאפסים בנקודה מסוימת, נאמר שהנקודה היא סינגולרית תחת ייצוג זה.
אם נקודה היא סינגולרית תחת כל ייצוג, נאמר שהיא סינגולרית עבור ההעתקה.
אוסף הנקודות הסינגולריות תחת כל הייצוגים הוא קבוצה סגורה (בטופולוגיית זריצקי), ועל המשלים שלה (שהיא קבוצה פתוחה) הפונקציה מוגדרת.
היות שכל קבוצה פתוחה בטופולוגיית זריצקי היא קבוצה צפופה, ההגדרה "מספיק טובה".
איזומורפיזם בי-רציונלי הוא העתקה רציונלית, כך שיש העתקה רציונלית הפוכה לה (על תחום הגדרתה).
שתי יריעות קוואזי-פרויקטיבית נקראות שקולות בי-רציונלית אם קיים ביניהן איזומורפיזם בי-רציונלי.
מורפיזם יריעות קוואזי-פרויקטיביות הוא העתקה רציונלית המוגדרת על כל התחום, כלומר אין לה נקודות סינגולריות.
איזומורפיזם הוא העתקה שעבורה קיימת העתקה הפוכה לה (המוגדרת על כל הטווח), ובמקרה כזה אומרים ששתי היריעות הן איזומורפיות.
שני המושגים הנ"ל שונים מהותית.
כך למשל, מבנה האיזומורפיזמים של מישור פרויקטיבי (אל עצמו) ידוע היטב - זוהי החבורה הליניארית הפרויקטיבית (Projective linear group).
מאידך, המבנה של חבורת האוטומורפיזמים הבי-רציונליים של הרבה יותר מסובכת ועשירה.
חבורה זו נקראת חבורת קרמונה (Cremona group), והיא מהווה נושא מחקר פורה גם בימינו .
כמו במקרה האפיני, גם כאן נרצה להגדיר מכפלה בין יריעות.
במקרה הקוואזי-פרויקטיבי זה מעט יותר מסובך.
ראשית, נשים לב שמספיק להגדיר את המיפוי על מישורים פרויקטיביים (אז נצמצם את המיפוי על קבוצות קוואזי-פרויקטיביות כלליות).
מכפלה של שני מרחבים פרויקטיביים איננה משוכנת לתוך (בניגוד למקרה האפיני).
למעשה, קורדו סגרה הציג את הפתרון המלא לבעיה הקרוי גם שיכון סגרה - ניתן לשכן את לתוך רק עבור .
השיכון נתון על ידי מכפלת כל הרכיבים, ומפורשות:
תמונת תחת המיפוי היא הקבוצה הסגורה הנתונה על ידי המשוואות
נציג כעת את משפטי המבנה הבסיסיים של יריעות קוואזי-פרויקטיביות, מהם גם ניתן להסיק על תכונות של יריעות פרויקטיביות ואפיניות.
משפט: לכל נקודה של יריעה קוואזי-פרויקטיבית יש סביבה שאיזומורפית ליריעה אפינית.
מבחינה טופולוגית, מורפיזמים הן פונקציות רציפות:
משפט: לכל מורפיזם בין יריעות קוואזי-פרויקטיביות, המקור של קבוצה פתוחה (סגורה) היא קבוצה פתוחה (סגורה).
משפט (ההטלה הסגורה): אם יריעה פרויקטיבית, יריעה קוואזי-פרויקטיבית, אזי העתקה ההטלה היא סגורה.
משפט: בתנאי המשפט הנ"ל, אם מורפיזם, אז קבוצה סגורה.
(כדי להוכיח זאת, יש להביט בגרף של , שהוא קבוצה סגורה, ולהשתמש במשפט ההטלה הסגורה).
כעת נציג כמסקנה הכללה של משפט ליוביל לגאומטריה אלגברית:
משפט: כל מורפיזם , כאשר יריעה פרויקטיבית ו- יריעה אפינית, הוא קבוע.
לכל יריעה קוואזי-פרויקטיבית אי-פריקה ניתן להגדיר את שדה הפונקציות הרציונליות שלה.
עבור כל העתקה מהיריעה למרחב פרויקטיבי חד־ממדי (או בשקילות אל הספירה של רימן), כלומר מהצורה , מגדירים פונקציה רציונלית על ידי מנת שני הערכים שהיא מקבלת, כלומר .
כך מתקבל שדה, המסומן .
כעת, אם מורפיזם דומיננטי בין יריעות קוואזי-פרויקטיביות, ניתן לבנות העתקה דואלית , הנתונה על ידי .
שדה זה מכיל למעשה את כל המידע על היריעה.
משפט - איזומורפיזם בירציונלי אם ורק אם איזומורפיזם שדות.
יריעה נקראת רציונלית אם היא איזומורפית בירציונלית למרחב אפיני.
לפי המשפט, יריעה היא רציונלית אם ורק אם שדה הפונקציות הרציונליות שלה הוא , כלומר שדה השברים של חוג פולינומים.
יריצ'וב נובי (באוקראינית: Новий Яричів, נובי יריצ'יב; בפולנית: Jaryczów Nowy; ביידיש: יאריטשאוו) היא עיירה במחוז לבוב שבמערב אוקראינה, בה התקיימה עד השואה קהילה יהודית גדולה.
היישוב נוסד בשנת 1451, ובשנת 1563 הוענקו לו זכויות עיר.
עד חלוקת פולין בסוף המאה ה-18 היה היישוב בבעלות משפחות אצולה פולניות, וסבל מפלישות הטטרים.
שרפה שפקדה את העיירה בשנת 1872 כילתה את רוב בתיה.
התיעוד הראשון לישיבת יהודים בעיירה הוא משנת 1577. במהלך המאות ה-18 וה-19 גדל היישוב היהודי בעיירה, אך בעקבות השרפה הגדולה של שנת 1872, נותרו רוב יהודי היישוב ללא קורת גג.
העיירה היא המקור של חסידות יאריטשוב.
במהלך הכיבוש הרוסי במלחמת העולם הראשונה שרפו החיילים הרוסים כ-200 בתי יהודים ביישוב, ובמגפה שהתפשטה בעיירה לאחר מכן נספו כ-140 יהודים.
בעת השלטון הזמני האוקראיני לאחר המלחמה גויסו יהודי העיירה לעבודות כפייה.
בשנים שלאחר מכן, עזבו את העיירה קרוב למחצית מיהודיה.
בין מלחמות העולם נמנו בעיירה כ-1,000 יהודים, כמחצית מתושביה, והתקיימה בה פעילות ציונית וחסידית.
הפעילות הציבורית היהודית בעיירה נאסרה עם כיבוש האזור בידי הסובייטים בספטמבר 1939.
עם כיבוש העיירה בידי הגרמנים במהלך מבצע ברברוסה בקיץ 1941, הוטלו על יהודיה גזירות שונות, ובהן חובת ענידת סרט זרוע, הגבלות תנועה, חובת ביצוע עבודות כפייה וחובת תשלום דמי כופר לשלטונות, תוך רצח יהודים שנלקחו כבני ערובה.
בהמשך העלו הגרמנים והאוקראינים באש את בית הכנסת ובית המדרש בעיירה, והחלו לשלוח יהודים מהעיירה למחנות עבודה, בהם רובם נספו.
בסתיו 1942 רוכזו יהודי העיירה בגטו מגודר שהוקם בה, אליו הובאו גם יהודים מיישובי הסביבה כמו בורשצ'וביצ'י , יריצ'וב סטרי , קוקיזוב ורודנצי , ואשר התקיימו בו תנאי צפיפות ותברואה קשים ביותר.
ב-15 בינואר 1943 פשטו על הגטו שבעיירה שוטרי משטרת העזר האוקראינית, ורצחו כ-2,000 מיהודיו בבורות ירי ביער סמוך.
כעבור מספר ימים נרצחו בשטח בית העלמין היהודי בעיירה כל יתר היהודים שנתפסו בה.
ירין חסן (נולד ב-22 במרץ 1994) הוא כדורגלן ישראלי המשחק בעמדת הבלם.
חסן התחיל את הקריירה שלו במחלקת הנוער של מכבי נתניה.
ב-28 בנובמבר 2012 ערך את הופעת הבכורה שלו בקבוצה הבוגרת בניצחון 3–2 נגד מכבי חיפה במסגרת גביע הטוטו.
ב-29 בדצמבר 2012 ערך את הופעת הבכורה שלו בנתניה בליגה בהפסד 4–3 לעירוני קריית שמונה ועד לסיום העונה רשם עוד 5 הופעות בליגה במדי נתניה שגם ירדה לליגה הלאומית.
בעונת קיבל יותר הזדמנויות בהרכב כשבמקביל הוא גם משחק בקבוצת הנוער.
ב-3 בינואר 2015 הבקיע את שער הבכורה שלו במועדון בהפסד 1–3 לעירוני קריית שמונה.
ב-2015/2016 מונה לקפטן המועדון, לאחר פרישתו של עומר פרץ.
ב-1 בדצמבר 2016 חתם בהפועל פתח תקווה מהליגה הלאומית.
ב-22 באוגוסט 2019 חתם לעונה אחת בהפועל חדרה.
ב-8 במרץ 2021, חסן חתם בביסאקלי מהסרייה ג', אולם ביוני 2021 התיר את חוזהו במועדון וחתם בהפועל אום אל-פחם מהליגה הלאומית.
לאחר 3 חודשים ביקש חסן לעזוב את אום אל-פחם וחוזהו בוטל.
ב-14 ביוני חתם בהפועל ניר רמת השרון.ב-29 בינואר 2024 חתם באיחוד בני שפרעם.
ירין שטרן (נולד ב-25 בספטמבר 1995) הוא נהג מרוצים ישראלי, אלוף ליגת ה-G1 Series האיטלקית בשנים 2019 ו-2018. התחרה בעבר באליפות אירופה בפורמולה 3 במשך שלוש שנים, וזכה חמש פעמים באליפות ישראל בקארטינג.
גדל בקיבוץ נען שבשפלת יהודה, שטרן החל להתחרות באליפות ישראל בקארטינג בגיל 12. במרוץ הבכורה סיים במקום השלישי מתוך 25 מתחרים ועלה לראשונה לפודיום.
בשנת 2009, עונתו השנייה באליפות, ניצח את קטגורית רוטקס מקס (Rotax Max) וסיים כשסגן האלוף בקטגוריית ימאהה KT-100. שנה לאחר מכן, זכה בתוארי האליפות בשתי הקטגוריות (Rotax Max ו-ימאהה KT-100).
בשנת 2011 התחרה רק באליפות הימאהה KT-100 וזכה בתואר האליפות במרוץ המסכם שהתקיים באילת במהלך אירוע "פורמולה ישראל".
לקראת סיום שנת 2012 החל להתאמן בקטגוריית הפורמולה ב.מ.וו בקבוצת "אמילו דה-ויוטה מוטורספורט" הספרדית.
אחרי יומיים של אימונים קיבל הזדמנות לנהוג ברכב הפורמולה 3 של הקבוצה והפתיע את מנהלי הקבוצה כשקבע זמני הקפה מהירים יותר מצמד נהגי הקבוצה בקטגוריה.
בעקבות זאת הצטרף בשנת 2013 לנהגי הקבוצה באליפות אירופה הפתוחה בפורמולה 3. במרוץ השני, שהתקיים בתנאי גשם סיים במקום השני.
בסיום העונה דורג במקום השמיני מתוך 36 נהגים.
בעונת 2014 המשיך להתחרות באליפות, אך עבר לקבוצת ווסט-טק הבריטית.
בשל גיוסו לצה"ל הפסיד את מרבית ההכנה לעונה.
מרוץ פתיחת העונה התקיים יומיים לפני סיום הטירונות והוא שוחרר למרוץ רק יום לפני המרוץ.
בעונה הגיע שש פעמים לפודיום ובסיומה דורג במקום החמישי עם 125 נקודות.
גם את עונת 2015, עונתו השלישית באליפות, סיים במקום החמישי.
במרוץ פתיחת העונה השיג את הפול פוזישן הראשון שלו באליפות.
הוא ניצח שבעה מרוצים וזכה באליפות.
בשנת 2019 זכה באליפות בפעם השנייה ברציפות.
בשנת 2020 השתתף בתוכנית המציאות "נינג'ה ישראל".
ירין פרי (נולדה ב-12 ביוני 2005) היא שחקנית, מנחת טלוויזיה, מדבבת, דוגמנית, אושיית רשת וזמרת ישראלית.
פרי נולדה וגרה בראשון לציון, לומדת בנוער הבימה בניהולו של שי פיטובסקי, למדה ב"סטודיו במה", משחק מול מצלמה (נאור זילברמן), הייתה בלהקה צעירה בבי"ס ל"מיומנה", היפ הופ, מודרני, למדה בבי"ס למוזיקה "ווקאל", למדה בבית הספר מרכז רון ורדי לטיפוח ילדים מחוננים ומצטיינים, שותפה בצמד המוזיקלי 2sweet.
ב-2023 התגייסה לצה"ל והיא משרתת כעיתונאית בדובר צה"ל בחיל הים.
בשנת 2017 השתתפה בספיישל בת מצווה עם נועה קירל בתוכנית זמר חתונות בערוץ 24, התוכנית מסקרת את היום של שתיהן במקביל ומסתיימת בהופעה משותפת בבת המצווה של ירין.
בנוסף, השתתפה בסרט בערוץ "חינוכית" במסגרת פרויקט זיכרון, וכן היא שיחקה בפאנל הילדים בתוכנית "בין השורות חגים ומועדי ישראל" בחינוכית.
משנת 2018 שחקנית בפאנל הילדים בתוכנית אירוח שבועית - "הערב יהיו כאן" עם ירון ברובינסקי, (ערוץ 11 - פינת הילדים), שיחקה בתפקיד גלי בסדרה קופיקו במשטרה, שיחקה בתפקיד ספיר בסדרה חברות, משחקת בתפקיד יעל הבת של שי ושני בסדרה סברי מרנן החל מהעונה הרביעית.
משנת 2019 כותבת ומנחה תוכנית אירוח שבועית בערוץ Kidz, חיים בסלפי, כמנחה הראשונה והצעירה ביותר בתוכנית מסוגה בישראל.
היא גם מנחה ושחקנית בתוכנית בלאגניקס המשודרת בערוץ TeenNick, מנחה בערוץ הטיולים בסדרה מטיילים בארץ בפרקים ראשון לציון וכפר סבא וכן מתפעלת ערוץ מתיחות ביוטיוב.
כמן כן, פרי השתתפה בכמה פרסומות בטלוויזיה, ובכלל זה בפרסומת לרלב"ד ומשרד החינוך.
אבן דרך - סרט קצר עם אסתי זקהיים ואלחי לויט - זכה בפרסים בפסטיבלים בעולם.
שיר אמונה - סרט קצר, פסטיבל דרום.
המטפלת - סרט קצר עם יעל לבנטל, אוניברסיטת תל אביב.
סרט קצר - פסטיבל טרבייקה.
סרטון קצר "הרמוניקה", עופר בן חיון, אוניברסיטת תל אביב.
סרט קצר "נעורים", זיו הרמלין, אוניברסיטת תל אביב.
2018 - קודי קא-פאו, ערוץ הופ בתפקיד מיי.
2018 - וטרינרים צעירים ערוץ לוגי בתפקיד אוליביה.
2017 - קופיקו במשטרה בתפקיד גלי.
2017 - חברות בתפקיד ספיר.
2018–הווה - סברי מרנן (סדרת טלוויזיה) בתפקיד יעל.
2019 - בלאגניקס בתפקיד עצמה (מנחה).
ירין פרץ (נולד ב-17 ביולי 1998) הוא כדורגלן ישראלי, המשחק בעמדת הבלם.
פרץ התחיל את הקריירה שלו בקבוצת הילדים של הפועל באר שבע ובגיל 14 הצטרף למחלקת הנוער של בית"ר טוברוק.
ב-27 במרץ 2018, פרץ ערך את הופעת הבכורה שלו בקבוצה הבוגרת בניצחון 0–1 נגד הפועל אורנית.
באותה עונה, כבש מעמדת הבלם 9 שערים בקבוצת הנוער והיה שותף לחזרה שלה לליגת העל בכדורגל לנוער.
ב-2 ביולי 2018, פרץ חתם בהפועל תל אביב מליגת העל, וכעבור כחודש הושאל להפועל חדרה.
ב-7 באוגוסט, פרץ ערך את הופעת הבכורה שלו בקבוצה בניצחון 0–4 נגד מכבי חיפה במסגרת גביע הטוטו.
ב-12 בינואר 2019, פרץ הבקיע את שער הבכורה שלו בקריירה בניצחון 1–2 נגד בני סכנין.
בקיץ , פרץ חזר לסגל של הפועל תל אביב ורשם 4 הופעות במדיה במסגרת גביע הטוטו, אך לא חזר למגרשי הכדורגל עקב פציעות חוזרות ונשנות.
ב-31 ביולי 2020, פרץ חתם בקרמיוטיסה מליגת העל הקפריסאית.
ב-11 ביולי 2021, פרץ חזר לישראל וחתם בהפועל נוף הגליל.
בינואר פרץ חתם בבית"ר תל אביב בת ים מהליגה הלאומית.
ב-11 באוגוסט חתם במכבי שעריים מליגה א.
פרץ, שיחק בכל הנבחרות הצעירות של ישראל.
בגאומטריה אלגברית יריעה אבלית היא חבורה אלגברית קשירה אשר בתור יריעה אלגברית היא יריעה שלמה.
אם שדה ההגדרה הוא אז קבוצת הנקודות של יריעה אבלית (קשירה) איזומורפית כחבורת לי לטורוס ממד זוגי (פעמיים ממד הירעה האבלית).
רכיב הקשירות של היחידה בחבורת הפיקאר של יריעה אלגברית שלמה וחלקה מהווה יריעה אבלית.
זו אחת הסיבות שבגללה יריעות אבליות מהוות תחום מחקר חשוב בגאומטריה אלגברית.
אולם, מכיוון שהן קומוטטיבוית, הן אינן מהוות מוקד עינין משמעותי מנקודת מבט של תורת החבורות ותורת ההצגות.
יריעת הצלה היא סוג של ציוד חילוץ אשר שימש בעבר כבאים על מנת להציל אנשים שנלכדו בבניינים בוערים.
יריעת ההצלה הומצאה ב-1887 על ידי המורה האמריקני תומאס פ.
בראודר והיא הפכה פופולרית במיוחד בסוף המאה ה-19 ובתחילת המאה ה-20 כשיטה לחלץ אנשים לכודים שלא הייתה להם דרך אפשרות אחרת מלבד לקפוץ מהקומות העליונות של בניינים בוערים.
יריעות ההצלה היו הכי יעילות בקפיצה בניינים בני שש קומות ומטה, אף על פי שהיו לאורך השנים מקרים בהם אנשים שקפצו אל יריעות ההצלה מגובה רב יותר הצליחו לשרוד את הנפילה.
אף על פי שיריעות ההצלה הצילו לאורך השנים אנשים רבים, יעילותן הייתה מוגבלת – במיוחד כאשר אנשים קפצו מגובה רב מדי, או כאשר אנשים פספסו את יריעת ההצלה או התנגשו במכשולים שונים בדרך למטה.
לעיתים רבות יריעות ההצלה אף נקרעו כאשר יותר מדי אנשים קפצו בבת אחת עליהן.
במקרים אחרים הכבאים עצמם נפצעו או נהרגו מהנפילות.
בשל כך הן הוחלפו בהדרגה לאורך השנים בשיטות חילוץ מתקדמות יותר כמו שימוש בסולמות ארוכים במיוחד שהותקנו על משאיות כיבוי, כריות אוויר מתנפחות, ואפילו מנופים שימשו לצורך חילוץ אנשים מבניינים רבי קומות.
בנוסף, שיפורים בתקנות הבנייה לאורך השנים הובילו לכך שבמרבית המבנים המודרניים נוספו נתיבי מילוט נוספים, ומערכת כיבוי שריפות אשר הפחיתו את הצורך בשימוש בציוד חילוץ חירום מלכתחילה.
החל משנות ה-80 של המאה ה-20 צוותי הכבאים הפסיקו לגמרי להשתמש ביריעות הצלה.
כיום ניתן לראות יריעות הצלה במוזיאוני כיבוי אש שונים ברחבי העולם.
מבני יריעה, נקראים גם מבני ממברנה הם מבני מתיחה מרחביים העשויים יריעות מתוחות עליהם פועלים רק מאמצי מתיחה.
ניתן לחלק את השימוש המבני ליריעות מתוחות אנכית או אופקית, מבנים פנאומטיים (מבנים המנופחים ומתוחים בלחץ אוויר), וכיפות או צורות שונות המבוססות על רשת.
בשלושת סוגי המבנה הללו, היריעות פועלות יחד עם כבלים, עמודים, ורכיבי בנייה אחרים כדי לקבוע את צורתם.
היריעות הנפוצות לשימוש במבני ממברנות:
בד פוליאסטר מצופה PVC – לשימושים קטנים או זמניים
בד פוליאסטר מצופה PVDF – לקירויים בינוניים עד גדולים
בד סיבי זכוכית מצופה PTFE – לקירויים גדולים לאורך שנים
יריעות ETFE – לקירויים וחיפויים בעלי שקיפות מסוימת
יריעות משמשות גם כחיפוי לא מבני, כמו באצטדיון הלאומי של בייג'ינג, שם מולאו הרווחים בין חלקי המבנה המסיביים מפלדה בבד סיבי זכוכית מצופה PTFE ורדיד ETFE.
לצד האצטדיון שנבנה לקראת אולימפיאדת הקיץ 2008, נבנה מרכז ענפי ספורט המים הלאומי בייג'ינג, הידוע גם בשם קוביית המים.
הוא עטוף כולו ב-100,000 מ"ר של יריעות ETFE מנופחות ככריות ומסודרות כמבנה תאי אקראי לכאורה.
ירין לוי (נולד ב-1 באוגוסט 2005) הוא כדורגלן ישראלי המשחק בעמדת הקשר בבית"ר ירושלים, בהשאלה ממכבי חיפה, ובנבחרת ישראל.
לוי גדל במושב שדה צבי שבצפון הנגב והחל לשחק כדורגל בהפועל באר שבע, ובגיל 14 חתם במכבי חיפה.
ב-19 באוגוסט 2023 ערך את הופעת הבכורה שלו בקבוצה הבוגרת בניצחון 0–2 על מכבי פתח תקווה במסגרת גביע הטוטו.
ב-18 ביולי 2024 חתם לשלוש שנים עם אופציה לשנתיים נוספות, והושאל לבית"ר ירושלים.
ב-21 באפריל 2025 הבקיע את שער הבכורה שלו בקריירה בניצחון 1–3 נגד מכבי תל אביב.
לאחר סיום עונת 2024/2025, עונתו הראשונה בקבוצת בוגרים, נבחר לתגלית העונה בליגת העל.
ב-6 ביוני 2025 ערך הופעת בכורה בנבחרת ישראל הבוגרת, בניצחון 1–3 על אסטוניה במסגרת מוקדמות מונדיאל 2026 באירופה.
ארבעה ימים לאחר מכן ערך את הופעת הבכורה שלו בהרכב הפותח במשחק ידידות מול .
יִרְכַּא הוא יישוב דרוזי במחוז הצפון בישראל.
הוכרז כמועצה מקומית בשנת 1959. בסוף 2022 התגוררו בירכא כ-16.5 אלף תושבים – 98.5% מהם דרוזים.
כבר במאה ה-11, עם התפצלות הדת הדרוזית מהאסלאם השיעי, הוזכר כפר בשם ירכא ככפר דרוזי.
זאב וילנאי משער שזה היישוב "ארכּה" שנזכר בתעודה צלבנית, בלטינית, במאה ה-13. או על שם חושי הארכי,
עד המאה ה-19 אין פרטים על היישוב.
בתחילת התקופה העות'מאנית בארץ ישראל ירכא היה אחד הכפרים הגדולים ב ובשנת 1596, גרו בו 712 תושבים (לעומת 339 תושבים בעכו ההרוסה).
רוב התושבים היו דרוזים שעסקו בחקלאות.
במשך כל התקופה העות'מאנית, נשאר מספר האוכלוסייה בכפר כמעט יציב.
במהלך התקופה העות'מאנית התחזקה משפחת מועדי שבראשה עמד סעיד מרזוק מועדי, שקיבלה זיכיון לגביית המיסים עבור השלטון העות'מאני.
החל מסוף שנות ה-50 של המאה ה-19 ביקרו בכפר תיירים וגאוגרפים אירופאים, בהם יוהנס צלר וויקטור גרן, אשר מתארים את הכפר ככפר חקלאי דרוזי הבנוי על חורבות מבנים עתיקים.
הכפר נבנה מבתי אבן שנבנו בצפיפות סביב חצר מרכזית ו"מנזול" (בית האורחים).
גרן, שהגיע לכפר בשנת 1870, כתב כי במקום התגוררו 850 דרוזים, תיאר את בית השיח', וציין כי מצא בכפר אבני גזית נאות עתיקות למראה, נציבי עמודים שבורים שמקורם לא נודע, בורות מים עתיקים, ובוסתנים בהם עצי משמש, תות, ותאנה לצד גידולי טבק.
במפקד האוכלוסין של 1922 נמנו בכפר 15 נוצרים ו-937 דרוזים.
בתקופת המנדט נסללה דרך מכפר יסיף לירכא והחלה בנייה מחוץ לגרעין הכפר של בתים מודרניים מבטון וברזל.
במבנה החברתי הפוליטי והכלכלי לא חל שינוי רב בתקופת המנדט הבריטי, אך השליטה בכפר עברה בהדרגה ממשפחת מועדי למשפחת מולה.
בשנת 1965 כבר הושלם המעבר למשפחת מולה, כאשר נציגם קיבל 5 מתוך 9 מקומות במועצה, בעוד משפחת מועדי זכתה בשני נציגים בלבד.
במשך השנים סבל הכפר ממריבות בין חמולות.
בתקופת מלחמת העצמאות לא נפגע הכפר ירכא ותושביו שיתפו פעולה עם שלטונות מדינת ישראל מיד עם הקמתה.
ב-10 ביולי 1948, במבצע דקל, שנערך במסגרת קרבות עשרת הימים במלחמת העצמאות, נכנסו כוחות צה"ל לירכא ללא קרב.
באותה תקופה היו בכפר כ-2,000 תושבים.
ב-1956 הוקמה בכפר מועצה מקומית ובשנות ה-60 של המאה ה-20 נסלל אל הכפר כביש מודרני והוא חובר לרשת המים הארצית ולרשת החשמל הארצית.
לאחר שנת 1967 הכפר גדל במהירות, הן במספר תושביו והן במספר המבנים ובשטח אותם תפסו.
התושבים ברובם זנחו את עבודת האדמה והתפרנסו מתעשייה, קבלנות, ומשירות במשטרה ובכוחות הביטחון.
בשנת 1992 הגיע מספר התושבים ל-8,500 איש, נבנו בתי ספר רבים כולל בית ספר תיכון.
במסגרת תוכנית החירום הכלכלית של 2003 אוחדה ירכא עם שכנותיה, אבו סנאן, יאנוח-ג'ת וג'וליס לרשות מקומית אחת - גיי"א.
כעבור כשנה בוטל האיחוד, וירכא חזרה להיות מועצה מקומית עצמאית.
באפריל 2007 החליט שר הפנים על החלפתם של ראש המועצה וחבריה, בשל הגירעון החריף אליו נקלעה המועצה, ובשל שיעורי הגבייה הנמוכים של הארנונה וחשבונות המים.
בשנת 2010, מונתה למועצה ועדה קרואה נוספת.
הפעם בראשותו של חסין פארס, שהיה קודם מפקד משמר הגבול.
בעבר פעל בכפר מפעל מתכת, לאחר סגירתו הוקם בשטחו קניון.
בירכא קיימים שבעה מרכזי קניות ומסחר.
הגדולים בהם אלה "מרכז המזון" ו"מיי בייבי" - מרכז קניות לצורכי תינוקות.
בעשורים האחרונים נפתחו מרכזי קניות רבים כמו מרכז BIG.
א-נבי א-צדיק: מבנה קדום, בן חדר אחד ומעליו כיפה, בתוך היישוב.
זאב וילנאי זיהה את המבנה כקברו של חושי הארכי.
החוקר יוסף ברסלבי שמע ב-1923 מפי תושבי המקום על יהודים שהתגוררו בכפר עשרות שנים קודם לכן, אשר נקברו ליד קבר הצדיק בכפר.
הספר "ידי משה" מציין את קברו של חושי הארכי בכפר.
ח'ילוות אל רוג'אב: שוכנת בקצה המזרחי של ירכא, על ההר.
הבניין נבנה ב-1927 על ידי איש הדת מוחמד מועדי, בדמות ה"ח'ילווה אל ביאדה" (הח'ילווה הלבנה) בחאצביא שבבקעת הלבנון, דהיינו מבנה מרובע גדול שבצידו הדרומי והמערבי מרפסות פתוחות גדולות המוקפות בעמודים וקשתות.
במשך עשרות שנים היה הבית, המרוחק מהכפר, עזוב.
התושבים העדיפו להתפלל בח'ילווה במרכז ירכא.
ב-1980 שופץ הבית והוא משמש היום כבית תפילה ולימוד דת.
מהבית יש תצפית יפה על הגליל המערבי.
מרכז החלל הדרוזי ע"ש אילן רמון: הוקם ביוזמת העמותה הדרוזית למדעים.
המרכז מכיל פלנטריום משוכלל ובו טלסקופ שמש ומספר טלסקופים לכוכבים וכן מעבדת ניסויים.
במרכז מתקיימים גם כנסים בינלאומיים.
התיכון הדרוזי למדעים ולמנהיגות - דרכא- בית ספר תיכון על-יסודי מוביל הפועל ביישוב.
בשנת 2023 נחנך בירכא בית כנסת.
הוא מיועד בעיקר לתיירים וממוקם במתחם התיירות.
בירכא פועלת קבוצת הכדורסל מכבי ירכא.
הקבוצה מתאמנת באולם הפיס ביישוב ומשתתפת בליגת הנוער המחוזי צפון.
בשנת 2015 הגיעה הקבוצה למקום העשירי בליגה.
יִרְמְיָהוּ (או יִרְמְיָה) בן חלקיהו היה נביא וכהן שהתנבא בסוף תקופת בית המקדש הראשון ולאחר חורבנו.
ירמיהו ידוע כנביא חורבן, אך חלק מנבואותיו הן נבואות נחמה.
נבואותיו כלולות בספר ירמיהו והמסורת מייחסת לו גם את כתיבת ספר מלכים ומגילת איכה.
לפי כותרת הספר, ירמיהו החל לנבא בשנה ה-13 ליאשיהו היא שנת 627 לפנה"ס (יאשיהו עלה למלכות בשנת 639 לפנה"ס), ואילו לפי הכרונולוגיה שבסדר הדורות, השנה האחרונה של נבואת ירמיהו הייתה ה-568 לפנה"ס – שנת ג'ש"נ בלוח עברי.
הוא המשיך לנבא עד לחורבן יהודה בידי הבבלים.
הוא נשא את נבואותיו ביהודה, אך כמה מהן נאמרו במצרים.
התייחסות לאירועים מתקופת יאשיהו, כדוגמת ריכוז הפולחן, ניתן למצוא רק בספר מלכים, ומלך יהודה הראשון שנזכר בשמו בספר ירמיהו הוא שלום בן יאשיהו ().
ירמיהו החל להתנבא זמן קצר לאחר הנביא צפניה, והיה בן-דורו של יחזקאל.
נביאים נוספים שניבאו בימיו הם נחום (סביב 612 לפנה"ס), חולדה וחבקוק (ככל הנראה גם כן סביב 612 לפנה"ס, כלומר נפילת אשור ועליית בבל).
האימפריות ששלטו על ארץ ישראל בתקופת ירמיהו
כשירמיהו החל לנבא הייתה האימפריה האשורית במגמת דעיכה, וכבר לא שלטה בארץ ישראל.
עוד בתקופת יאשיהו מלך יהודה התחרו ביניהן ממלכת יהודה והאימפריה המצרית על השליטה בשטחי ארץ ישראל.
בשלב מסוים השתלטה מצרים על ארץ ישראל והפכה את יהודה לממלכה גרורה שלה.
על יהודה מלך אמנם יאשיהו, אך הוא היה כפוף לשלטון המצרי.
לפי ספר מלכים, יאשיהו אף הומת על ידי מלך מצרים ().
לאחר שיהואחז בן יאשיהו מרד במלך מצרים הוא הוסר מכס המלוכה ותחתיו הומלך אחיו אליקים, המכונה גם יהויקים ().
נקודת מפנה במאזן הכוחות בין האימפריות מצרים ובבל הוא קרב כרכמיש, שהתרחש בשנת 605 לפנה"ס.
קרב זה התרחש על גדות הפרת, ובסופו נחלה מצרים תבוסה.
עדות לקרב זה מצויה בספר ירמיהו (), בה נושא הנביא קינת לעג על התבוסה המצרית בקרב.
בעקבות הקרב, איבדה מצרים את שליטתה בארץ ישראל, ויהודה בראשות המלך יהויקים הפכה לממלכה גרורה של בבל ().
בשנת 601 ניסה נבוכדנצר מלך בבל לפלוש למצרים, וצבאו נבלם בקרב בשערי מצרים.
עם זאת, יהודה נשארה כפופה לאימפריה הנאו-בבלית.
לאורך כל ימי ירמיהו שלטה בבל על ארץ ישראל.
האימפריה הבבלית חדלה להתקיים רק בשנת 539 לפנה"ס, כאשר השתלט עליה כורש מלך פרס.
על קורותיו של ירמיהו קיימות יותר ידיעות, מאשר על כל נביא אחר.
ירמיהו היה ענתות הייתה עירו של אביתר הכהן, ושם ישב לאחר ששלמה הדיחו מן הכהונה.