tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לכן מופיעה התפלגות זו בכל מקום בו לוקחים ממוצע של משתנים רבים, כגון גובה ממוצע של אנשים באוכלוסייה, ממוצע טעויות מדידה מקריות במדידות חוזרות של אותו גודל, וכדומה.
מדדים פסיכומטריים שונים, כגון מבחן מנת משכל, מתוכננים בכוונה תחילה להתפלג באופן נורמלי.
ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית (קרויה גם התפלגות Z) היא השימושית ביותר במשפחת ההתפלגויות הנורמליות.
על ידי מתיחה (כלומר, הכפלה בקבוע) והזזה (הוספת קבוע) של משתנה מקרי בעל התפלגות נורמלית סטנדרטית, מתקבלת משפחה כללית יותר של התפלגויות, שכל אחת מהן היא התפלגות נורמלית.
זוהי דוגמה למשפחה מעריכית של התפלגויות.
בתוך המשפחה, אפשר לזהות התפלגות נורמלית מסוימת על-פי שני פרמטרים: התוחלת והשונות שלה.
להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית יש תוחלת 0, ושונותה 1.
ההתפלגות הנורמלית נקראת גם גאוסיאן על שמו של קרל פרידריך גאוס, וגם עקומת הפעמון, משום שהגרף של פונקציית הצפיפות שלה מזכיר בצורתו פעמון.
המתמטיקאי אברהם דה מואבר הציג את ההתפלגות הנורמלית לראשונה בשנת 1733 בספרו "תורת הסיכויים" ("The Doctrine of Chances") כקירוב להתפלגות הבינומית עבור מספר גדול של דגימות (מאמרו בעניין התגלה רק ב-1924).
לפלס השתמש בעקומה הנורמלית לתאר "התפלגות של שגיאות" בשנת 1783.
את ההתפלגות הנורמלית כפי שאנחנו מכירים כיום הציג קרל פרידריך גאוס בספרו משנת 1809 "תורת התנועה של הגופים השמימיים הנעים סביב השמש בחתכים חרוטיים", שהכיל גם תרומות חשובות רבות אחרות למתמטיקה ואסטרונומיה.
עבודתו של גאוס על ההתפלגות הנורמלית הניחה את הבסיס לפיתוח שיטות סטטיסטיות וממשיכה להיות בשימוש נרחב ונחקר כיום.
גאוס השתמש בהתפלגות הנורמלית לניתוח מידע אסטרונומי ב-1809. המדען הבלגי אדולף קטלה הראה כי התפלגותם של משתנים רבים (כגון גובהו של אדם) היא נורמלית.
פונקציית הצפיפות של התפלגות נורמלית בעלת תוחלת ושונות היא:
זוהי פונקציה סימטרית סביב התוחלת, ובעלת שתי נקודות פיתול במרחק סטיית תקן אחת מן הממוצע, כלומר בנקודות .
את העובדה שמשתנה מקרי הוא בעל התפלגות כזו, מקובל לציין בסימון .
במקרה המיוחד של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית , מתקבלת הפונקציה
פונקציית ההתפלגות המצטברת, או הסיכוי שמשתנה מקרי יקבל ערך קטן או שווה ל- נתון, שווה ל-
כדי לחשב את ערכי פונקציית ההתפלגות המצטברת בעלת פרמטרים כלשהם, די בידיעת ערכיה של פונקציית ההתפלגות המצטברת הסטנדרטית, משום שאם ניתן להגדיר משתנה מקרי חדש ולגביו יתקיים .
- מסמל את פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה נורמלי סטנדרטי.
בשל תכונות הסימטריה של ההתפלגות הנורמלית, בדרך כלל לא נתונים ערכיה השליליים של ההתפלגות הסטנדרטית בטבלאות המשמשות למציאתה.
כדי למצוא אותם משתמשים בזהות .
הפונקציה איננה פונקציה אלמנטרית (כלומר, היא אינה מתקבלת מהרכבה סופית של פולינומים, פונקציית האקספוננט והפונקציות הטריגונומטריות, והפונקציות ההפוכות להם).
משום כך, כמעט כל ספר העוסק במבחנים סטטיסטיים כולל גם טבלה המכילה את הערכים המקורבים להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, שחושבו בשיטות נומריות.
הקירוב הבא שימושי למדי כאשר z גדול:
ההתפלגות מתפרשת על פני כל הישר הממשי.
ההתפלגות היא סימטרית וחד-שיאית (יונימודלית).
התוחלת, החציון והשכיח מתלכדים בציר הסימטריה.
אם נתון משתנה מקרי ו־ מספרים ממשיים, אזי: .
אם ו־ משתנים מקריים בלתי תלויים, אז סכומם מתפלג נורמלית עם הפרמטרים או .
אם X ו־Y הם משתנים נורמליים סטנדרטיים ובלתי תלויים, אז הצירופים הליניאריים בלתי-תלויים אם ורק אם וקטורי המקדמים מאונכים, כלומר .
פיזור ערכי ההתפלגות - החוק האמפירי: 68.26% מן הערכים נמצאים במרחק של לא יותר מציון תקן אחד מהממוצע (ציר הסימטריה).
במרחק של עד שני ציוני תקן (z=2) נמצאים 95.44% מהערכים ובמרחק עד שלושה ציוני תקן נמצאים 99.74% מהערכים - רק ב-0.26% יהיה ציון התקן גבוה מ-3.
גרף ההתפלגות נודע גם בשם "גרף פעמון" או "פעמון גאוס", שכן כאשר הוא משורטט בתור גרף המציין את מספר הערכים בכל תחום, מקבלת העקומה צורה דמוית פעמון - גבוהה במרכזה ונמוכה בשני צדדיה.
צורת הפעמון מוכתבת על ידי הממוצע וסטיית התקן של ההתפלגות.
סימולציה של משתנים המתפלגים נורמלית
הצורך ליצור נתונים שהתפלגותם היא בקירוב התפלגות נורמלית עולה בתחומים רבים.
בשפות תכנות רבות קיים מחולל פסבדו אקראי המייצר משתנים המתפלגים, בקירוב, התפלגות אחידה על הקטע , ולכן דרושה שיטה להפוך את המשתנה המקרי האחיד למשתנה המתפלג התפלגות נורמלית סטנדרטית.
ישנן מספר דרכים לעשות זאת (לאורך כל הדוגמאות המובאות בפסקה זו יסמן משתנה מקרי המתפלג אחיד על קטע היחידה):
דרך אינטואיטיבית (אך לא יעילה) ליצור משתנה מקרי המתפלג נורמלית בקירוב היא על ידי שימוש במשפט הגבול המרכזי הקובע כי סכום של מספר גדול של משתנים מקריים אחידים שואף להתפלגות נורמלית.
על מנת ליצור התפלגות נורמלית סטנדרטית יש לדאוג שתוחלת הסכום תהיה שווה לאפס וסטיית התקן לאחת.
מתפלג בקירוב התפלגות נורמלית סטנדרטית, וככל שמספר המחוברים גדל, כך גדל הדיוק.
שיטה כללית יותר, ומדויקת מבחינה מתמטית מתקבלת על ידי הפיכת פונקציית ההסתברות המצטברת.
באופן כללי, אם היא פונקציית ההסתברות המצטברת של התפלגות נתונה, אז מתפלג בהתפלגות זו.
מתפלג נורמלית, כאשר היא פונקציית השגיאה.
על מנת להשתמש בשיטה זו יש לדעת לחשב את פונקציית השגיאה, שהיא אינה פונקציה אלמנטרית.
שיטה יעילה יותר שגם היא מדויקת מבחינה מתמטית נקראת טרנספורמציית בוקס-מולר.
טרנספורמציה זו משתמשת בעובדה שהתפלגות כי בריבוע עם שתי דרגות חופש היא התפלגות מעריכית, וקיימת נוסחה מדויקת להפיכת משתנה מקרי אחיד למשתנה המתפלג מעריכית.
טרנספורמציית בוקס-מולר לוקחת שני משתנים מקריים אחידים ומחזירה שני משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים נורמלית על ידי הנוסחה
מבחני נורמליות מעריכים את הסבירות שאוסף נתונים מגיע מהתפלגות נורמלית.
בדרך כלל השערת האפס היא שהתצפיות מתפלגות נורמלית עם ממוצע כלשהו ושונות , מול ההשערה החלופית שההתפלגות היא שרירותית.
מבחנים רבים (מעל 40) הומצאו לבעיה זו, להלן הבולטים שבהם:
בדיקות חזותיות יותר מושכות מבחינה אינטואיטיבית, אבל בו בזמן הן סובייקטיביות מכיוון שנסמכות על שיפוט אנושי בלתי פורמלי על מנת לקבל או לדחות את השערת האפס.
תרשים צפיפות אמפירי - בדיקת ההיסטוגרמה או תרשים הצפיפות לראות האם התפלגות נראית נורמלית.
תרשים Q-Q של הערכים הממוינים של אוסף הנתונים כנגד הערכים הצפויים של השברונים המתאימים מההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.
זהו תרשים של נקודות מהצורה כאשר ו־ הוא קבוע ההתאמה, שיכול לקבל כל ערך בין 0 ל-1. אם השערת האפס נכונה, נקודות התרשים אמורות להיות בערך על הקו הישר.
תרשים P-P דומה לתרשים ה-Q-Q אבל בשימוש נדיר הרבה יותר.
בשיטה זו מייצגים בתרשים את הנקודות כאשר .
בשביל הנתונים המתפלגים נורמלית, תרשים זה אמור להיות בערך על הקו הליניארי שבין (0,0) ובין (1,1).
מבחן שפירו-ווילק משתמש בעובדה שלקו בתרשים Q-Q יש שיפוע .
המבחן משווה את הערכת הריבועים הפחותים של השיפוע עם ערך השונות המדגמית, ודוחה את השערת האפס אם שני הערכים האלה שונים משמעותית.
מבחן ליליאפורס (אדפטציה של מבחן קולמוגורוב-סמירנוב).
ההכללה הנכונה של התפלגות נורמלית לווקטור משתנים מקריים היא זאת: אומרים ש- מתפלג רב-נורמלית (או גאוסיאנית) אם כל צירוף ליניארי שלו מתפלג נורמלית (חד-ממדי), כלומר .
זה קורה אם ורק אם הפונקציה האופיינית של המשתנה היא:
כאשר היא מטריצת השונויות המשותפות.
היות שהמטריצה הזו סימטרית, אפשר ללכסן אותה אורתוגונלית.
המטריצה האלכסונית המתקבלת קובעת את סינגולריות המשתנה.
אומרים שהמשתנה רגולרי אם ורק אם אין ערכים עצמיים לא אפס, והיותו של המשתנה רגולרי שקולה לכך שיש לו פונקציית צפיפות (ביחס למידת לבג).
למשתנים מקריים רב-נורמליים מספר יישומים בתורת ההסתברות וסטטיסטיקה, כמו בקביעת התפלגות של ממוצע וסטיית תקן של מדגם נרחב של משתנים מקריים נורמליים.
בתורת ההסתברות, התפלגות פואסון () היא התפלגות של משתנה מקרי בדיד, הקרויה על שם המדען הצרפתי סימאון דני פואסון (1781–1840).
כמו התפלגויות חשובות אחרות, התפלגות פואסון היא למעשה משפחה של התפלגויות בעלת פרמטר אחד, ה"קצב", המסומן בדרך כלל באות .
הפרמטר יכול לקבל כל ערך ממשי חיובי.
אם הוא משתנה מקרי בדיד שמתפלג פואסונית, אז הוא יכול לקבל רק ערכים שלמים אי שליליים, וההסתברות לקבלת הערך היא
כאשר מקבל ערכים בתחום (עבור אחר ההסתברות היא אפס).
התפלגות פואסון מתקבלת כאשר סופרים אירועים שמתרחשים בפרק זמן קבוע.
אם האירועים מתרחשים באופן בלתי תלוי ובקצב (ממוצע) קבוע, אזי מספר האירועים שהתרחשו בפרק זמן נתון מתפלג פואסונית.
דוגמה לכך היא מספר השיחות המתקבלות במרכזיית טלפונים במשך דקה.
הנוסחה מתארת את הסיכוי שיקרו אירועים בזמן שפרופורציוני ל-.
התפלגות פואסון מתקבלת מהתפלגות בינומית כאשר המכפלה של מספר הניסויים בסיכויי ההצלחה בכל ניסוי נשארת קבועה (ושווה ל-), ומספר הניסויים שואף לאינסוף.
ניתן לפרש את הפרמטר כמספר המאורעות הממוצע המתרחש לכל דגימה.
הקירוב הזה מתיישב עם העובדה שהתוחלת והשונות של משתנה מקרי פואסוני שוות שתיהן ל-.
מאידך, כאשר , ההתפלגות של מתקרבת להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית (משפט הגבול המרכזי).
זמן ההמתנה בין הופעות בהתפלגות פואסון הוא בעל התפלגות מעריכית, ומספר ההופעות בזמן קבוע של תופעות שזמן ההמתנה ביניהן מעריכי (עם פרמטר קבוע), הוא פואסוני.
לפיכך, התפלגות פואסון היא ההתפלגות היחידה שלפיה זמן ההמתנה בין אירועים מתפלג ללא זיכרון.
להתפלגות פואסון חשיבות רבה בתורת התורים.
אם מניחים שלקוחות נוספים לתור באופן בלתי תלוי זה בזה, מתברר שזמן ההמתנה בין לקוח ללקוח הוא בעל התפלגות מעריכית, ומספר הלקוחות שנוספים לתור מדי שעה מתפלג פואסונית.
התפלגות פואסונית מתאימה לתיאור מספר התופעות המתרחשות בפרק זמן מסוים, כאשר ההסתברות להתרחשות התופעה בפרק זמן קצרצר היא קבועה.
הכלכלן לדיסלב פון בורטקייביץ' , שהיה פרופסור בברלין בשנים 1901–1931, הוא אחד הראשונים שהבינו את החשיבות המעשית של התפלגות פואסון.
בספרו "חוק המספרים הקטנים" הוא נתן דוגמאות (מקבריות) רבות, שאחת הידועות שבהן היא ההתפלגות של מספר החיילים בגדוד של חיל הפרשים הפרוסי שנהרגו בשנה מבעיטת סוס.
מספר האטומים שמתפרקים בפרק זמן נתון בחומר רדיואקטיבי.
מספר המכוניות שעוברות דרך נקודה מסוימת בכביש בפרק זמן מסוים.
מספר שיחות הטלפון במרכז תמיכה בדקה.
מספר המוטציות במקטע DNA לאחר חשיפה מסוימת לקרינה.
מספר עצי האלון ביחידת שטח של יער.
מספר הקוצים על חוטר של ורד.
מספר הדוורים הננשכים על ידי כלבים במשך יום עבודה.
מספר רעידות האדמה ההרסניות שמתרחשות על העתק גאולוגי או על מערכת של העתקים באורך נתון.
הקשר בין התפלגות פואסון להתפלגות הבינומית
כפי שנכתב לעיל, ניתן לראות את התפלגות פואסון בתור גבול של סדרת התפלגויות בינומיות שבה מספר הניסויים שואף לאינסוף, ותוחלת מספר ההצלחות נשארת קבועה.
לכל טבעי נביט בהתפלגות הבינומית של מספר ההצלחות ב- ניסויים בעלי הסתברות הצלחה , כלומר ההתפלגות .
בנוסף, לפי תכונות ידועות של הקבוע e, ו- כי החזקה אינה תלויה ב-, והביטוי שבתוך הסוגריים שואף ל-1. לכןשהיא ההסתברות שמשתנה פואסוני עם תוחלת יקבל את הערך .
חיבוריות – סכום של משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים פואסונית אף הוא משתנה פואסון, והפרמטר שלו הוא סכום הפרמטרים של המשתנים המקריים המחוברים.
למשל, עבור שני משתנים, אם וגם ובנוסף בלתי תלויים, אז .
באופן כללי, אם קבוצה של משתנים בלתי תלויים, ולכל , מתקיים כי , אז מתקיים: .
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות מעריכית (או התפלגות אקספוננציאלית, Exponential Distribution), היא התפלגות רציפה על המספרים האי-שליליים.
ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה שהיא חסרת זיכרון, והיא מאופיינת באופן מלא על ידי תכונה זו.
משכך, היא מתארת תופעות אקראיות שהסיכוי להתרחשותן קבוע בזמן, כגון התפרקות רדיואקטיבית או הזמן עד לתקלה בנורה או ברכיב חשמלי.
התפלגות מעריכית היא התפלגות רציפה, שפונקציית הצפיפות שלה היא
היא הפרמטר של ההתפלגות, המכונה גם קצב או קבוע דעיכה.ההתפלגות מתוארת לעיתים באמצעות ההופכי של פרמטר הקצב, כלומר באמצעות פרמטר הפיזור .
במקרה זה, פונקציית הצפיפות היא:
משתנה מקרי המתפלג מעריכית עם פרמטר מסומן בדרך כלל .
הערכים שמשתנה מקרי שכזה יכול לקבל הם המספרים האי-שליליים, כלומר התומך של ההתפלגות המעריכית הוא הקטע .
ניתן להגדיר את ההתפלגות המעריכית גם באמצעות פונקציית ההתפלגות המצטברת שלה, שהיא
ההתפלגות המעריכית מתאימה לתיאור הזמן בין אירועים המתרחשים באקראי אך בקצב ממוצע קבוע.
דוגמאות לתופעות הניתנות (בקירוב) לתיאור כזה הן
פליטה של חלקיקים במהלך התפרקות רדיואקטיבית
מתמטית, תופעות כאלה מתוארות לעיתים קרובות כתהליכי פואסון הומוגניים בזמן, שבהם הזמן הבין מופעי מתפלג מעריכית.
בתורת התורים (Queueing Theory), ההתפלגות המעריכית משמשת לעיתים לתיאור זמן השירות.
תחת הנחה זו (והנחות נוספות), מערכות תורים ניתנות לתיאור כשרשראות מרקוב, וקל יחסית לנתח את התנהגותן.
בתורת האמינות (Reliability Theory) ובניתוח שרידות (Survival Analysis), ההתפלגות המעריכית משמשת לעיתים לתיאור (חלקי או מלא) של משך החיים של רכיב או של חולה.
בפיזיקה סטטיסטית, במערכות שבהן האנרגיה יכולה לקבל ערכים רציפים והאנרגיה הכוללת של המערכת ידועה (כלומר, בצבר הקנוני), התפלגות האנרגיה היא התפלגות מעריכית עם פרמטר התפלגות כאשר הוא קבוע בולצמן.
התפלגות זו נקראת גם התפלגות בולצמן.
לדוגמה, האנרגיה הקינטית של מולקולות גז בטמפרטורה נתונה מתפלגת מעריכית.
עובדה זו נובעת מתכונת האנטרופיה המקסימלית המתוארת להלן.
התוחלת של משתנה מקרי , הקרויה גם "זמן החיים הממוצע" של ההתפלגות, היא ; השונות היא .
משתנה מקרי מעריכי הוא חסר זיכרון, כלומר לכל מתקיים כי
בניסוח אחר: אם , אז ההתפלגות המותנית של , בהינתן , גם היא .
המשמעות המילולית של תכונה זו היא כדלקמן: כשאנו ממתינים לאירוע שהזמן עד להתרחשותו מתפלג מעריכית, הזמן שחלף עד כה אינו משנה את התפלגות הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע, וזמן זה (הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע) ממשיך להתפלג מעריכית, בדיוק כאילו התחלנו להמתין זה עתה.
ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון.
היא צריכה לקיים את התכונה
נקח שוב את השוויון המקורי, ונחסר מכל אגף :
תחת הנחות קלות למדי, פתרון משוואה זו הוא פונקציה מעריכית.
החציון של משתנה מקרי הוא .
גודל זה קרוי לעיתים זמן מחצית החיים.
באופן כללי יותר, השברון (quantile) ה-p של ההתפלגות המעריכית הוא
אם הם משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים, כך ש-, אז גם המינימום שלהם מתפלג מעריכית, עם פרמטר , כלומר
בפרט, המינימום של משתנים מעריכיים בלתי תלויים עם פרמטר הוא משתנה מקרי מעריכי עם פרמטר .
המקסימום של משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים לא מתפלג מעריכית, גם אם לכולם אותו פרמטר.
אם הם משתנים מקריים בלתי תלויים כך ש-, ו- , אז
אם (כלומר לכולם אותו פרמטר), אז
מבין כל ההתפלגויות הרציפות על שהתוחלת שלהן , ההתפלגות המעריכית עם פרמטר היא בעלת אנטרופיה מקסימלית.
פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות המעריכית היא קבועה, וערכה הוא .
ההתפלגות המעריכית היא במובן מסוים גבול של ההתפלגות הגאומטרית: נניח שעורכים סדרה של ניסויי ברנולי בלתי תלויים, כך שהזמן בין ניסוי לניסוי הוא , והסתברות ההצלחה בכל ניסוי היא .
אזי מספר הניסוי בו תתקבל ההצלחה הראשונה מתפלג גאומטרית (עם פרמטר ), ואילו הזמן עד ההצלחה הראשונה, כש-n שואף לאין-סוף, מתכנס (בהתפלגות) להתפלגות מעריכית עם פרמטר .
כשם שההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון, כך ההתפלגות הגאומטרית היא ההתפלגות הבדידה היחידה בעלת תכונה זו.
אם , אז הערך השלם העליון של (כלומר המספר השלם הנמוך ביותר שגדול או שווה ל-, המסומן ), מתפלג גאומטרית עם פרמטר .
אם תופעה מסוימת מתרחשת מפעם לפעם, כך שפרקי הזמן בין התרחשות להתרחשות הם משתנים מקריים בלתי תלויים , אז מספר ההתרחשויות בפרק זמן שאורכו מתפלג פואסונית עם פרמטר .
תהליך שכזה נקרא תהליך פואסון (הומוגני בזמן).
כדוגמה קונקרטית, נניח שבידנו מספר נורות שזמן החיים של כל אחת מהן מתפלג , ונחשוב על המערכת הבאה: מחברים את הנורות לחשמל ומדליקים את הנורה הראשונה בלבד; ברגע שהיא נשרפת, מדליקים את הנורה השנייה; ברגע שגם היא נשרפת, מדליקים את הנורה השלישית; וכן הלאה.
אזי מספר הנורות שנשרפות עד זמן מתפלג פואסונית עם פרמטר , כלומר
ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי (כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי .
היות שהתפלגות גמא עם פרמטר צורה שלם נקראת לעיתים התפלגות ארלנג על שם ממציאה אגנר קרוייף ארלנג, ההתפלגות המעריכית היא גם מקרה פרטי של התפלגות ארלנג.
הסכום של משתנים מקריים בלתי תלויים מתפלג .
אם הוא משתנה מקרי רציף המתפלג אחיד על הקטע , אז
זהו מקרה פרטי של דגימה מטרנספורמציה הופכית , ועל בסיס תוצאה זו ניתן לחולל ("להגריל") מספרים מקריים מעריכיים, לצורכי סימולציה ממוחשבת.
ההתפלגות המעריכית עם פרמטר היא מקרה פרטי של התפלגות כי בריבוע: משתנה מקרי (כלומר עם שתי דרגות חופש) הוא משתנה מקרי .
ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות וייבול: משתנה מקרי (כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי .
התפלגות לפלס, הקרויה גם "התפלגות מעריכית כפולה", היא ההתפלגות של ההפרש בין שני משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים בעלי אותו פרמטר.
כלומר, אם הם בלתי תלויים, אז מתפלג התפלגות לפלס.
בהינתן מדגם של תצפיות בלתי תלויות מהתפלגות מעריכית בעלת פרמטר לא ידוע , אומד הנראות המרבית הוא ההופכי של ממוצע התצפיות, כלומר
אותו אומד בדיוק מתקבל גם בשיטת המומנטים.
התפלגות היפרגאומטרית היא התפלגות של המשתנה המקרי הבדיד הסופר את ההוצאות המוצלחות (ללא החזרה וללא חשיבות סדר) שיצאו בקבוצה חלקית, כאשר ידוע מספר ההצלחות האפשריות בסדרת הניסויים כולה.
הסימון מתאר שהמשתנה המקרי מתפלג היפרגאומטרית עם הפרמטרים , ו-, אם הוא סופר את מספר ההצלחות ב- הניסויים הראשונים (ללא החזרה) מתוך , כשידוע שבסדרת הניסויים כולה היו הצלחות פוטנציאליות.
כך לדוגמה, התפלגות זו מתארת את מספר הכדורים הלבנים שמתקבלים כאשר מוציאים כדורים מכד שיש בו כדורים, ומתוכם יש כדורים לבנים.
ההסתברות לכך ש- היא .
היחס מבטא סדרה היפרגאומטרית, ומכאן שמה של ההתפלגות.
אחת הדוגמאות הנפוצות לשימוש בהתפלגות היפרגאומטרית היא הוצאת כדורים מכד ללא החזרה.
בדוגמה ישנו כד עם D כדורים בצבע א' ו-S כדורים בצבע ב' ומוציאים n כדורים מהכד ללא החזרה, כדי לחשב את המשתנה המקרי של מס' הכדורים מצבע א' שייצאו מהכד יש להציב את הנתונים בנוסחה כאשר , ושאר הנתונים בהתאמה.
התפלגות פרמי-דיראק (או סטטיסטיקת פרמי-דיראק) היא פונקציית התפלגות סטטיסטית בעזרתה ניתן לתאר תכונות של חלקיקים פרמיונים זהים חסרי אינטראקציה.
ההתפלגות קרויה על שם הפיזיקאים אנריקו פרמי ופול דיראק.
באופן מפורש, האכלוס הממוצע של רמת אנרגיה מסוימת במערכת של פרמיונים זהים הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי נתון על ידי הפונקציה הבאה:
הוא המספר הממוצע של חלקיקים שימצאו במצב (או לחלופין ההסתברות למציאת חלקיק במצב).
היא האנרגיה של מצב זה.
בעזרת פונקציה זו, ובעזרת צפיפות מצבים , ניתן לחשב תכונות תרמודינמיות שונות של המערכת.
את התפלגות פרמי-דיראק ניתן לקבל בקלות על ידי שימוש בצבר הגרנד קנוני.
אם מדובר בפרמיונים, בגלל עקרון האיסור של פאולי ייתכן רק .
מכאן ניתן לקבל את מספר החלקיקים הממוצע על ידי שימוש
ב, או על ידי כאשר .
דבר זה מבטא את עקרון האיסור של פאולי - שני פרמיונים זהים לא יכולים להיות באותו מצב.
בפרט המספר הממוצע של פרמיונים בכל מצב קטן (או שווה) מאחד.
בגבול של טמפרטורה נמוכה ( ) התפלגות פרמי-דיראק שואפת לפונקציית מדרגה, בה כל הרמות בעלות אנרגיה מאוכלסות, ואילו כל הרמות בעלות אנרגיה אינן מאוכלסות.
האנרגיה המקסימלית של המצבים המאוכלסים מסומנת ונקראת אנרגיית פרמי.
התפלגות לוגיסטית היא התפלגות רציפה, שעד כדי הזזה וכיווץ, הקובעים את התוחלת והשונות, פונקציית ההתפלגות המצטברת שלה היא הפונקציה הלוגיסטית .
צורת ההתפלגות דומה לזו של ההתפלגות הנורמלית, אך היא בעלת גבנוניות גדולה יותר (החריגות מהתוחלת הן גדולות ונדירות יותר).
ההתפלגות הלוגיסטית מאופיינת בשני פרמטרים, (התוחלת) ו־.
פונקציית ההסתברות המצטברת של ההתפלגות היא הפונקציה הלוגיסטית המוזזת ב- ומכווצת פי :
פונקציית הצפיפות היא הנגזרת של פונקציה זו:
למשתנה מקרי בעל התפלגות כזו יש תוחלת , ושונות .
פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות לוגיסטית היא:
בשחמט, דירוג השחקנים מחושב על פי התפלגות לוגיסטית במד הכושר.
באקולוגיה, משמשת ההתפלגות הלוגיסטית לתיאור הגידול הטבעי באוכלוסיית מינים, התלוי בגודל האוכלוסייה הקיימת ובכמות המשאבים הזמינים.
באפידמיולוגיה – לתיאור התפשטות מגפות.
בפסיכולוגיה – לתיאור תהליכי למידה.
תיאור האופן שבו טכנולוגיות, מקורות אנרגיה או מוצרי שיווק מסוגים שונים נפוצים ומחליפים אלו את אלו.
בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות מותנית היא ההתפלגות של משתנה מקרי בעל התפלגות משותפת עם משתנה מקרי אחר בהינתן ערכו של המשתנה המקרי האחר.
כלומר יהיו שני משתנים מקריים בעלי התפלגות משותפת.
בהינתן – מסומנת כהתפלגות של – היא ההתפלגות של כאשר ערכו של ידוע וקבוע.
עבור התפלגות בדידה, ההתפלגות המותנית מוגדרת על ידי הסתברות מותנית של פונקציית ההסתברות, כלומר: , באופן הבא:
באופן דומה, עבור התפלגות רציפה, פונקציית הצפיפות תוגדר על ידי באופן הבא:
כאשר ו- הן ההתפלגויות השוליות של .
התפלגות כי בריבוע (, נהגה בכ' רפה, לעיתים נכתב חי בריבוע) היא התפלגות בעלת חשיבות רבה בסטטיסטיקה.
חשיבותה העיקרית בהסקה סטטיסטית נובעת מהעובדה שתחת הנחות סבירות, גדלים הניתנים לחישוב באופן פשוט מתפלגים בקירוב בהתאם להתפלגות זו תחת השערת האפס.
בין היתר, ההתפלגות משמשת כבסיס למבחן כי בריבוע.
השם "כי בריבוע" מקורו באות היוונית , כי.
בהינתן מספר טבעי (כלומר, שלם וחיובי), נאמר כי למשתנה מקרי רציף יש התפלגות כי בריבוע עם דרגות חופש, אם צפיפות ההסתברות שלו נתונה בביטוי
בהינתן משתנים מקריים בלתי תלויים, שלכולם התפלגות נורמלית סטנדרטית (כלומר: התפלגות נורמלית עם תוחלת 0 ושונות 1), המשתנה
מתפלג כי בריבוע עם דרגות חופש.
התפלגות כי בריבוע היא מקרה פרטי של התפלגות גמא, עם פרמטר צורה ופרמטר קצב .
בפיזיקה ניסונית, התפלגות כי בריבוע מתארת את מדד טיב ההתאמה של פונקציה בהינתן מספר מדידות N ושגיאותיהן וכמו כן עבור מספר המקדמים בהתאמה שנסמן k (דרגות החופש).
ניתן להוכיח כי ולכן נגדיר גודל חדש המתחשב בדרגות החופש, כי בריבוע מצומצם יוגדר ע"ידוגמאות לגורמי השפעה על מדד כי בריבוע המצומצם:
הערכת שגיאות - הערכת יתר מקטינה את ערך כי בריבוע המצומצם
מדידה חריגה - מגדילה את ערך כי בריבוע המצומצם
גורמים פיזיקליים שלא התחשבו - מגדילה את ערך כי בריבוע המצומצם
כמו כן קיים קשר בין מדד זה למדד ערך p - "בהנחה שהתקבל ערך α והמודל מתאר את המערכת הפיזיקלית, מה ההסתברות לקבל כי בריבוע גדול או שווה ל-α?"
התפלגות לוג-נורמלית היא התפלגות של משתנה אקראי, שפונקציית הצפיפות שלה היא בתחום .
אם הוא משתנה אקראי שמתפלג נורמלית, אז מתפלג לוג-נורמלית, וההפך – אם הוא משתנה אקראי שמתפלג לוג-נורמלית, אז מתפלג נורמלית.
בסיס הלוגריתם לא משנה - שכן לוגריתמים בבסיסים שונים קשורים בקשר ליניארי.
לפי משפט הגבול המרכזי, מכפלה של מספר רב של משתנים חיוביים בלתי תלויים ובעלי אותה התפלגות, מתפלגת בקירוב טוב, לוג-נורמלית.
התפלגות כזו מופיעה כאשר הערך הנמדד נוצר על ידי הצטברות כפלית של גורמים רבים.
לדוגמה, המשקל ולחץ הדם של בני אדם, מספר המילים במשפטים שכתב ג'ורג' ברנרד שו, זמן השרידה של חיידקים בחומר חיטוי, הנחתה בתקשורת אלחוטית ועוד.
אם הוא משתנה אקראי שמתפלג לוג נורמלית, אז:
פונקציית הצפיפות של X היא והיא מוגדרת רק על החצי החיובי של הישר הממשי.
הפרמטרים הם התוחלת וסטיית התקן של הלוגריתם הטבעי של המשתנה.
פונקציית ההצטברות היא , כאשר erfc היא פונקציית השגיאה המשלימה, ו- היא פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה נורמלי סטנדרטי.
המומנט ה-n-י נתון על ידי: , ולכן הפונקציה יוצרת המומנטים אינה מתכנסת פרט לנקודת הראשית.
בהקשר זה, התפלגות לוג-נורמלית אינה נקבעת באופן יחיד על ידי סדרת המומנטים שלה ().
התוחלת החלקית של משתנה אקראי X המתפלג לוג-נורמלית ביחס לחסם תחתון k היא:
לנוסחה זו שימושים בענפי הכלכלה והביטוח.
כך למשל, היא משמשת בהוכחת הנוסחה של מודל בלק ושולס.
לנתונים צידוד , המצביע על נטיית-מה בין הנתונים הרחוקים מן הממוצע להיות נמוכים ממנו, וגבנוניות , המצביעה על חריגות מן הממוצע, המתבטאות בזנבות עבים של ההתפלגות.
מלבד גורמים אלה, התפלגות הלוגריתם קרובה להתפלגות נורמלית: אורכם של ערכים בוויקיפדיה העברית מתפלג, בקירוב, לוג-נורמלית.
אם מתפלג נורמלית עם אז מתפלג לוג-נורמלית עם אותם פרמטרים.
אם מתפלג לוג-נורמלית עם , אז מתפלג נורמלית עם אותם פרמטרים.
אם הם משתנים אקראיים בלתי-תלויים המתפלגים לוג-נורמלית עם אז מכפלתם מתפלגת לוג-נורמלית עם .
אם X מתפלג לוג-נורמלית עם אז מתפלג לוג-נורמלית עם .
בפרט, מתפלג לוג-נורמלית עם .
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות גמא (Gamma Distribution) הוא שמה של התפלגות השייכת למשפחה דו-פרמטרית של התפלגויות רציפות על המספרים האי-שליליים, שאותן מסמנים .
המשפחה כוללת את ההתפלגות המעריכית ואת התפלגות כי בריבוע.
התפלגות גמא משמשת לעיתים קרובות כמודל לתיאור זמן ההמתנה עד לאירוע מסוים, כגון קלקול במערכת אלקטרונית או מוות ממחלה.
הסיבה לכך היא שההתפלגות היא ההתפלגות המעריכית חסרת הזיכרון (שמסומנת גם ), והמשפחה אדיטיבית ברכיב הראשון.
לכן, אם משך החיים של נורה בודדת מתפלג מעריכית עם הפרמטר , אז משך החיים של מערכת שבה נכנסות לפעולה נורות כאלו בזו אחר זו, מתפלג .
ערכים לא שלמים של מאפשרים לקרב גם מודלים מורכבים יותר.
התפלגות גמא היא התפלגות רציפה, שפונקציית הצפיפות שלה היא
כאשר הוא פרמטר הנקרא פרמטר קצב, הוא פרמטר הנקרא פרמטר צורה, ו- היא פונקציית גמא, המוגדרת על ידי .
כשהפרמטר הוא מספר שלם, התפלגות גמא נקראת לעיתים התפלגות ארלנג.
ההתפלגות מתוארת לעיתים באמצעות ההופכי של פרמטר הקצב, כלומר באמצעות פרמטר , הנקרא פרמטר סקאלה.
במקרה זה, פונקציית הצפיפות היא
משתנה מקרי המתפלג התפלגות גמא עם פרמטרים ו- מסומן בדרך כלל .
הערכים שמשתנה מקרי שכזה יכול לקבל הם המספרים האי-שליליים, כלומר התומך של התפלגות גמא הוא הקטע .
פונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות גמא היא
כאשר היא פונקציית גמא הלא שלמה התחתונה: .
כשהפרמטר הוא מספר שלם (כלומר ההתפלגות היא התפלגות ארלנג), ניתן לכתוב את פונקציית ההתפלגות המצטברת בצורה יותר מפורשת,
התוחלת של משתנה מקרי היא והשונות היא .
פונקציית הסיכון (Hazard function) של התפלגות גמא, , היא .
אם תופעה מסוימת מתרחשת מפעם לפעם, כך שפרקי הזמן בין התרחשות להתרחשות הם משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים , אז מספר ההתרחשויות בפרק זמן שאורכו מתפלג פואסונית עם פרמטר .
תהליך שכזה נקרא תהליך פואסון (הומוגני בזמן), ומתקיים בו שהזמן מתחילת התהליך עד להתרחשות מספר מתפלג .
אזי מספר הנורות שנשרפות עד זמן מתפלג פואסונית עם פרמטר , והזמן מתחילת התהליך עד שריפת נורה מספר מתפלג .
התפלגות כי בריבוע היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי (כלומר עם דרגות חופש) הוא משתנה מקרי .
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות זנב עבה היא תכונה המיוחסת להתפלגויות שזנבן אינו ניתן לחסימה מעריכית.
אינטואיטיבית מדובר בהתפלגויות בהן ישנה אוכלוסייה מעטה עם הסתברות גבוהה ואוכלוסייה רבה עם הסתברות נמוכה, ש"מזדנבת".
תופעה זו מכונה גם "זנבות כבדים" או "זנב פרטו".
על פי רוב העניין מרוכז בזנב הימני, כלומר בערכים החיוביים הקיצוניים, אך באותה מידה התפלגות זנב עבה יכולה להיות בעלת זנב שמאלי ארוך או זנב ימני וגם שמאלי.
ההתפלגויות עבות זנב מתחלקות לשני תתי-סוגים: התפלגויות זנב ארוך והתפלגויות תת-מעריכיות, אך לכל צורך מעשי משתמשים בהתפלגויות תת-מעריכיות.
יועץ שהתקשה להמחיש ללקוחותיו את העוצמה של הזנב הארוך תיאר אותו כך: תדמיינו ערימה של מאות מטבעות אחד על השני, ולידה ערימה כזו קטנה יותר, לידה ערימה קטנה עוד יותר וכן הלאה.
אוכלוסיות רבות מתנהגות בהתפלגויות בעלות זנב ארוך.
שכיחות המילים באנגלית: המילה the היא 7% מהמילים בטקסט טיפוסי, of מהווה 3.5% וכן הלאה.
רוב המילים נדירות יחסית, ובכל זאת מרכיבות את חלק הארי של הטקסטים.
נאמר שההתפלגות של משתנה מקרי בעל פונקציית הצטברות היא בעלת זנב ימני עבה אם:
אם נגדיר את פונקציית התפלגות הזנב בתור: , אז נקבל כי:
הגדרה שקולה ניתנת באמצעות פונקציה יוצרת מומנטים המתאימה ל-, המסומנת .
אם היא אין-סופית לכל , ההתפלגות היא בעלת זנב עבה.
ההגדרות להתפלגויות זנב שמאלי עבה או התפלגויות בעלות שני זנבות עבים מתקבלות על ידי הגדרות דומות.
נאמר שההתפלגות של משתנה מקרי בעל פונקציית הצטברות היא בעלת זנב ארוך אם לכל :
הסבר אינטואיטיבי להתפלגות זנב ארוך הוא שלא משנה כמה "רחוק" נלך ימינה על הזנב, תמיד ההסתברות שנקבל ערך שגבוה מהערך שבו אנו נמצאים שואף לאחד.
או במילים אחרות, אם ככל שהולכים ימינה המצב פחות טוב עבורנו, גם כשאנחנו חושבים שהגענו הכי רחוק שאפשר, כנראה שהמציאות עוד יותר גרועה.
מן ההגדרה נובע שכל ההתפלגויות ארוכות הזנב הן גם עבות זנב, אך לא כל התפלגות זנב עבה היא גם זנב ארוך.
כל התפלגויות הזנב העבה הנפוצות הן התפלגויות תת-אקספוננציאליות.
בין התפלגויות הזנב הימני הנפוצות ניתן למנות את התפלגות פארטו, ההתפלגות הלוג-נורמלית, התפלגות לוי והתפלגות וייבול.
בין ההתפלגויות הסימטריות (בעלות שני זנבות) שהן גם זנב עבה הנפוצות הן התפלגות t והתפלגות קושי.
בתורת ההסתברות, התפלגות מנוונת היא התפלגות של משתנה מקרי בדיד שלו תומך המכיל איבר יחיד, כלומר המשתנה המקרי יכול לקבל ערך אחד בדיוק.
בעוד שמרבית המשתנים המקריים מכילים מספר ערכים, ההתפלגות המנוונת מייצגת מרחב מאורעות שלו אפשרות יחידה.
למשל קובייה שעל כל פאותיה מופיעה אותה ספרה, או מטבע ששני צדדיה "ראש".
משתנה מקרי שייצג את מרחב המאורעות המתאים לשתי דוגמאות אלו יוכל לקבל ערך יחיד.
התפלגות זו אינה מייצגת אקראיות כלשהי במובן האינטואיבי, אך היא עונה על הגדרתה של ההתפלגות ומהווה מקרה פרטי שבאמצעותו ניתן להתייחס למשתנים שערכם קבוע ואינו תלוי באקראיות כלשהי כאל משתנים אקראיים.
ההתפלגות המנוונת יכולה לקבל את ערכו של מספר ממשי יחיד, , ועל כן פונקציית ההסתברות שלה נתונה על ידי:
כאשר את פונקציית הצפיפות ניתן לתאר באמצעות פונקציית דלתא של דיראק:
בתורת ההסתברות, משתנה מקרי קבוע הוא משתנה מקרי בדיד שלו ערך קבוע ללא תלות במאורע שהתרחש.
באמצעות שימוש במשתנים מקריים קבועים ניתן להמיר ערכים קבועים למסגרת העבודה ההסתברותית, וזאת נעשה באמצעות ההתפלגות המנוונת.
בתורת ההסתברות התפלגות מולטינומית היא הכללה של ההתפלגות הבינומית וניתן לקבלה באופן הבא: נתון ניסוי מסוים, עם תוצאות אפשריות שונות (מאורעות זרים או קטגוריות) כאשר ההסתברות לקבל תוצאה היא .
חוזרים על הניסוי פעמים בלתי תלויות ומסכמים את התוצאות באמצעות משתנים מקריים בינומיים , כאשר מציין את מספר הפעמים שהתקבלה התוצאה מתוך החזרות.
לווקטור המקרי יש התפלגות מולטינומית.
עבור מקבלים את ההתפלגות קטגוריאלית.
פונקציית ההסתברות של הווקטור המקרי היא:
מאחר שהחזרות בלתי תלויות, ההסתברות ל--יה ספציפית של תוצאות שבה התקבל פעמים, התקבל פעמים,...
ו- התקבל פעמים, היא .
את המספר הזה נכפול במספר ה--יות מסוג זה ואותו ניתן לחשב בדרך באה: תחילה נחשב את מספר הדרכים למקם פעמים את התוצאה ב--יה -.
את המספר הזה נכפול במספר הדרכים למקם פעמים את התוצאה ב- המקומות הריקים שנותרו- .
כך נמשיך עד שבסוף נכפול את התוצאה במספר הדרכים למקם את התוצאה ב- המקומות שנותרו- .
עבור הפעמים של התוצאה יוותרו בדיוק מקומות ולכן רק דרך אחת למקם אותם.
בסופו של דבר תוצאת הכפל תהיה:
התוצאה הסופית של הכפל, המתקבלת כתוצאה של צמצומים, שווה למספר ה--יות המבוקש.
זהו המקדם המולטינומי שמופיע כחלק מהנוסחה.
נתון כד ובו 10 כדורים.
חמישה מהכדורים בכד כחולים, שלושה אדומים ושניים ירוקים.
בכל פעם מוציאים כדור מהכד ומחזירים אותו.
חוזרים על הפעולה 8 פעמים.
מהי ההסתברות שמתוך 8 הפעמים ב-3 פעמים הוצא כדור כחול, ב-4 הוצא כדור ירוק ופעם אחת הוצא כדור אדום?
במקרה כזה, הניסוי שחוזר על עצמו הוא הוצאה והחזרה של הכדור.
יש לניסוי הזה שלוש תוצאות אפשריות : - התקבל כדור כחול, - התקבל כדור אדום ו-- התקבל כדור ירוק.
ההסתברות לקבל כדור כחול בניסוי בודד היא , לקבל כדור אדום ולקבל כדור ירוק .
חוזרים על הניסוי 8 פעמים .
ההסתברות שמתוך 8 הפעמים ב-3 הוצא כדור כחול , ב-4 הוצא כדור ירוק ופעם אחת הוצא כדור אדום היא:
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות וייבול היא התפלגות הסתברות רציפה.
היא נקראת על שם המתמטיקאי השוודי וולודי וייבול, שתיאר אותה בפירוט בשנת 1951, על אף שהיא זוהתה לראשונה על ידי רנה מוריס פרשה ויושמה לראשונה על ידי רוזין ורמלר לתיאור התפלגות גודל חלקיקים.
פונקציית צפיפות ההסתברות של משתנה מקרי וייבול היא:
כאשר k > 0 הוא פרמטר הצורה ו-λ > 0 הוא פרמטר הפיזור של ההתפלגות.
הפונקציה המצטברת המשלימה של ההתפלגות היא פונקציה מעריכית מתוחה.
התפלגות וייבול קשורה למספר התפלגויות הסתברות אחרות; בפרט, זה אינטרפולציה בין ההתפלגות מעריכית (k = 1) והתפלגות ריילי (k = 2 ו-).
אם הפרמטר x הוא "זמן הכישלון", התפלגות וייבול נותנת התפלגות שפונקציית הסיכון שלה הוא יחסי לחזקה של הזמן.
פרמטר הצורה, k, הוא החזקה הזו בתוספת אחת, כך שהוא יכול להתפרש כלדקמן:
ערך של k < 1 מצביע על כך שפונקציית הסיכון פוחתת עם הזמן.
דבר זה קורה אם יש "תמותת תינוקות" משמעותית, או שפריטים פגומים קורסים מוקדם ופונקציית הסיכון יורדת לאורך זמן כשפריטים פגומים ממופים מהאוכלוסייה.
ערך של k = 1 מצביע על כך שפנקציית הסיכון היא קבועה לאורך זמן.
דבר זה עשוי להצביע על אירועים חיצוניים אקראיים שגורמים תמותה, או קריסה.
ערך של k > 1 מצביע על כך שפונקציית הסיכון עולה עם זמן.
דבר זה קורה אם יש תהליך של "הזדקנות", או שיש חלקים שהסיכוי שלהם לקרוס גובר עם הזמן.
בתחום הנדסת חומרים, פרמטר הצורה k של התפלגות נקודות החוזק ידוע כמודולוס וייבול.
הצורה של פונקציית הצפיפות של התפלגות וייבול משתנה באופן דרסטי עם הערך של k.
עבור פונקציית הצפיפות יורדת ממש, והיא שואפת ל- ∞.
עבור פונקציית הצפיפות יורדת ממש ושואפת מלמעלה ל- .
עבור , פונקציית הצפיפות שואפת לאפס כש-x שואף ל-0 מלמעלה, עולה עד לערך השכיח של התפלגות, ואחר כך יורדת אסימפטוטית לאפס.
כאשר k שואף לאינסוף, התפלגות וייבול מתכנסת לפונקציית דלתא של דיראק סביב x = λ.
הצידוד והיחס בין התוחלת וסטיית התקן של ההתפלגות תלויים רק בפרמטר הצורה k.
הפונקציה המצטברת עבור התפלגות וייבול היא:
פונקציית השברון (הפונקציה ההופכית להתפלגות המצטברת) להתפלגות וייבול היא:
פונקציית הסיכון, h, ניתנת על ידי:
הזמן הממוצע בין כישלונות, MTBF, הוא
הפונקציה יוצרת מומנטים של הלוגריתם של משתנה המקרי של התפלגות וייבול ניתנת על ידי:
כאשר Γ הוא פונקציית גמא.
כמו כן, הפונקציה האופיינית של log X ניתנת על ידי:
בפרט, המומנט ה-nי של X ניתן על ידי:
התוחלת והשונות של המשתנה המקרי וייבול יכולים לבוא לידי ביטוי כ:
כאשר μ הוא התוחלת ו-σ היא סטיית התקן.
הגבנוניות העודפת ניתנת על ידי:
את הגבנוניות העודפת ניתן גם לבטא כ:
מגוון רחב של ביטויים זמינים עבור הפונקציה יוצרת מומנטים של X.
כטור חזקות, מאחר שהמומנטים כבר ידועים:
לחלופין, אפשר לבטא את הפונקציה יוצרת המומנטים כאינטגרל:
אם מניחים שהפרמטר k הוא מספר רציונלי מהצורה k = p/q, כאשר p ו-q הם מספרים שלמים, ניתן לחשב אינטגרל זה באופן אנליטי.
אם נחליף את t ב- t-, מתקבל
הנראות המקסימלית של הפרמטר בהינתן הוא:
הנראות המקסימלית של הפרמטר הוא:
זאת היא פונקציה סמויה, ולכן יש בדרך כלל לפתור את המשוואה עבור k כמספר שלם.
כש- כש- הם הדגימות הכי גדולות מבסיס נתונים הגדול מ- דגימות, הנראות המקסימלית של הפרמטר בהינתן הפרמטר הוא:
כמו כן, בהינתן אותם תנאים הנראות המקסימלית של הפרמטר הוא:
שוב, זאת היא פונקציה סמויה, ולכן יש לפתור אותה עבור k כמספר שלם.
ההתאמה של הנתונים להתפלגות וייבול ניתן להעריך מבחינה ויזואלית באמצעות תרשים וייבול.
תרשים וייבול הוא תרשים של כפונקציית התפלגות מצטברת אמפירית של נתונים על תרשים מסוג Q-Q.
הסיבה לשינוי זה של משתנים היא שפונקציית ההתפלגות המצטברת יכולה להיות ליניארית:
אשר ניתן לראות להיות בצורה סטנדרטית של קו ישר.
לכן אם הנתונים הגיעו מהתפלגות וייבול אז יופיע קו ישר על תרשים הווייבול.
ישנן גישות שונות להשגת פונקציית ההתפלגות האמפירית מהנתונים: שיטה אחת היא להשיג תיאום אנכי לכל נקודה באמצעות כאשר היא בדרגה של נקודת נתונים ו- הוא המספר של נקודת הנתונים.
גם רגרסיה ליניארית יכולה לשמש כדי להעריך את טיב ההתאמה ולהעריך את הפרמטרים של התפלגות וייבול.
השיפוע משפיע ישירות על פרמטר הצורה וניתן להסיק גם את קנה המידה של הפרמטר .
בהנדסת חשמל לייצוג מתח יתר המתרחש במערכת חשמלית.
בהנדסת תעשייה לייצוג כמות הייצור והאספקה.
כדי לתאר את פיזור מהירות רוח, מכיוון שפיזור הטבעי תואם לעיתים קרובות את צורת וייבול.
במערכות מכ"ם למודל הפיזור של רמת האותות על ידי סוגים מסוימים של אי-סדר.
מודל לדהיית ערוצים בתקשורת אלחוטית, כפי שנראה עד כה מודל דהיית וייבול מהפגין התאמה טובה למדידות דהיית ערוץ תקשורת ניסיוני.
בביטוח אלמנטרי לייצירת מודל לגודל של תביעות ביטוח שנה, והפיתוח המצטבר של הפסדי אזבסטוזיס.
בחיזוי שינויים טכנולוגיים (הידוע גם כמודל שריף-אסלאם).
בהידרולוגיה התפלגות וייבול מוחלת על אירועים קיצוניים כגון גשמים מרביים ליום אחד ושחרור נהר.
התמונה הכחולה ממחישה דוגמה של התאמה של התפלגות וייבול לכמות הגשמים המקסימלית של גשמים ביום אחד וגם רווח בר-סמכה של 90% המבוסס על ההתפלגות הבינומית.
נתוני הגשם מיוצגים על ידי התוויית עמדות כחלק מניתוח התדירות המצטבר.
התפלגות וייבול מתורגמת (או וייבול בעל 3 פרמטרים) מכיל פרמטר נוסף.
ל- ו-f(x; k, λ, θ) = 0 ל-x < θ, כאשר הוא פרמטר הצורה, הוא פרמטר הפיזור ו- הוא פרמטר המיקום.
כאשר θ=0, דבר זה מפחית את ההתפלגות לשני פרמטרים.
את התפלגות וייבול ניתן להתפלגות של משתנה מקרי W כך שהמשתנה:
הוא ההתפלגות מעריכית סטנדרטית בעוצמה 1.
משמעות הדבר הוא כי התפלגות וייבול יכולה גם להיות מאופיינת במונחים של התפלגות אחידה: אם U מפוזר באופן אחיד על (0,1),אז המשתנה האקראי הוא התפלגות וייבול עם הפרמטרים k ו-λ.
(לא ש- כאן שווה ל- אלא הוא מעליו.) דבר זה מוביל לתוכנית מספרית המיושמת בקלות להדמיית התפלגות וייבול.
התפלגות וייבול מהווה אינטרפולציה בין ההתפלגות מעריכית עם עוצמה intensity 1/λ כאשר k = 1 והתפלגות ריילי מסוג כאשר k = 2.
התפלגות וייבול היא מקרה מיוחד של חלוקת הערך הקיצונית הכללית.
קשר זה זוהה לראשונה על ידי מוריס פרוג'קט בשנת 1927. התפלגות פרוג'קט קשורה באופן הדוק עם פונקציית צפיפות ההסתברות:
חלוקת משתנה מקרי שמוגדרת כמינימום של מספר משתנה מקרי, כשכל אחד מן ההתפלגויות וייבול הן שונות, היא התפלגות פולי-וייבול.
התפלגות וייבול יושמה לראשונה על ידי רוזין ורמלר (1933) לתיאור התפלגות גודל חלקיקים.
בהתפלגות נעשה שימוש נרחב בעיבוד מינרלים לתאר התפלגות גודל חלקיקים בתהליכי ריסוק.
בהקשר זה ההתפלגות המצטברת ניתנת על ידי:
: האחוזון ה-80 של התפלגות גודל החלקיקים.
: פרמטר המתאר את ההתפשטות של התפלגות
בגלל זמינותו בגיליונות האלקטרוניים, הוא משמש גם איפה שההתנהגות הבסיסית מדוגמת טוב יותר על ידי התפלגות ארלנג.
בהסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות משולשת היא התפלגות רציפה עם גבול תחתון a, גבול עליון b ושכיח c, כך שמתקיים: ו-.
ההתפלגות המשולשת מייצגת התפלגות בסיסית המבוססת רק על חסם עליון, חסם תחתון ושכיח.
מהסיבות הללו, יש המכנים אותה "התפלגות של חוסר נתונים".
לרוב משתמשים בהתפלגות משולשת כאשר אין מספיק נתונים וההתפלגות אינה אחידה.
אולם בעיקר משתמשים בהתפלגות משולשת כאשר היחס בין המשתנים ידוע.
בהתפלגות משולשת ניתן גם בקלות לחשב את ההסתברות של קבוצה בתחום, על ידי חישוב השטח שמתחת לעקומה הבנוי ממשולש.
בשל מאפיינים אלו, משתמשים לרב בהתפלגות משולשת בסימולציות ובתהליכי קבלת החלטות.
משתמשים גם בהתפלגות משולשת בשילוב התפלגות בטא בניהול פרויקטים.
קיימים מקרים מיוחדים בהם הנקודות הן ידועות ויש שימוש בערך מסוים של c.
ההתפלגות נהיית יותר פשוטה כאשר a=c או b=c.
לדוגמה אם a=0 ו-b=c=1 אז בקטע שבו , פונקציית הצפיפות ופונקציית ההצטברות מוגדרות להיות:
התפלגות של ממוצע שני משתנים עם התפלגות אחידה
בהינתן שני משתנים מקריים בלתי תלויים, X1, X2 שלשניהם התפלגות אחידה רציפה על הקטע , אז ההתפלגות של X = (X1 + X2)/2 מתאימה למקרה שבו , ו-.
התפלגות המרחק בין שני משתנים מקריים אחידים
בהינתן שני משתנים מקריים בלתי תלויים, X1, X2 שלשניהם התפלגות אחידה רציפה על הקטע , אז ההתפלגות של מתאימה למקרה שבו a = 0, b = 1 ו-c = 0.
יצירת משתנים מקריים בעלי התפלגות משולשת
כאשר נתון משתנה מקרי U שמתפלג באופן אחיד על הקטע , אז (בעזרת דגימה מהעתקה הופכית) המשתנה
כאשר F היא פונקציית ההתפלגות של התפלגות משולשת עם פרמטרים a, b ו-c, ומכאן שמתקיים F(c) = (c-a)/(b-a).
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות היפרגאומטרית שלילית היא התפלגות בדידה המתארת הסתברויות לדגימה ללא החזרה מאוכלוסייה סופית המחולקת לשתי קטגוריות זרות שמכונות באופן שרירותי "הצלחות" ו-"כישלונות".
כאשר נערך מדגם מקרי מתוך האוכלוסייה, כמו בהתפלגות ההיפרגאומטרית, כל בחירה אקראית של איבר במדגם מקטינה את האוכלוסייה ומשנה את ההסתברות ל-"הצלחה".
בניגוד להתפלגות היפרגאומטרית המתארת את מספר ההצלחות בגודל מדגם קבוע, ההתפלגות ההיפרגאומטרית השלילית, מתארת את ההסתברות לדגימת "הצלחות" עד שנדגמו r "כישלונות".
נתונה קבוצה של איברים, מתוכם מוגדרים כ"הצלחות" והשאר "כישלונות".
בוחרים באופן אקראי, מתוך הקבוצה, איבר, איבר ללא החזרה, עד שמבין האיברים שנבחרו יש כישלונות.
מספר ה-"הצלחות" שנבחרו עד אותו הרגע מהווה משתנה מקרי עם ההתפלגות ההיפרגאומטרית השלילית.
ניתן לסמן זאת באופן הבא: .
ההתפלגות ההיפרגאומטרית השלילית היא מקרה פרטי של ההתפלגות הבטא-בינומית עם פרמטרים שלמים ו ו- .
בנתונים אלו, כדי לקבל , חייבות להתרחש במהלך ה- הבחירות הראשונות בדיוק בחירות של "הצלחות" (ההסתברות לכך ניתנת לחישוב באמצעות יישום ישיר של ההתפלגות ההיפרגאומטרית ), ואז הבחירה ה- חייבת להיות "כישלון" (ההסתברות לכך היא ה-"כישלונות" שעדיין לא נבחרו לחלק במספר כל האיברים שעדיין לא נבחרו ).
לכן, ההסתברות שיש בדיוק "הצלחות" עד ל"כישלון" ה- -י כשל היא מכפלה שתי ההסתברויות :
לכן, פונקציית ההסתברות (pmf) של משתנה מקרי עם התפלגות היפרגאומטרית השלילית ניתנת על ידי
הוא מספר כלל האיברים המוגדרים כ"הצלחה",
הוא מספר האיברים שיבחרו שהם "כישלונות",
הוא מספר האיברים שיבחרו שהם "הצלחות",
התפלגות היפרגאומטרית שלילית (כמו ההתפלגות ההיפרגאומטרית) עוסקת בהגרלות ללא החזרה, כך שההסתברות ל"הצלחה" שונה בכל בחירה.
לעומת זאת, התפלגות בינומית שלילית (כמו ההתפלגות הבינומית) עוסקת בבחירות עם החזרה, כך שההסתברות להצלחה זהה והניסויים בלתי תלויים.
הטבלה הבאה מסכמת את ארבעת ההתפלגויות הקשורות:
עם תחליפים אין תחליפים מספר "הצלחות" מתוך מספר קבוע של בחירות אקראיוח התפלגות הבינומית התפלגות היפרגאומטרית מספר "הצלחות" שמתרחש עד שמתקבל מספר קבוע מראש של "כישלונות" התפלגות בינומית שלילית התפלגות היפרגאומטרית שלילית
אם הוא משתנה מקרי בעל התפלגות היפרגאומטרית שלילית, ו- הוא משתנה מקרי היפרגאומטרי, אז מתקיים , כאשר הן פונקציות ההצטברות (cdf) של בהתאמה.
באופן שקול ניתן לכתוב, .
לעיתים מגדירים את ההתפלגות ההיפרגאומטרית השלילית כמספר ההגרלות הנדרשות עד לקבלתה"כישלון" ה--י.
אם נסמן ב- את המספר הזה אז ברור ש כאשר הוא כפי שהוגדר למעלה.
אם נסמן ב- את כלל האיברים שהם "כישלונות" אז,
התומך של הוא הקבוצה ולכן,
בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות דיריכלה (על שם Peter Gustav Lejeune Dirichlet ), מסומנת לעיתים קרובות , היא משפחה של התפלגויות רב-משתניות רציפות המוגדרות על ידי וקטור של ממשיים חיוביים.
זוהי הכללה רב-משתנית של התפלגות ביתא, ומכאן שמה החלופי - התפלגות בטא רב-משתנית (MBD).
התפלגות דיריכלה משמשת בדרך כלל כהתפלגות פריורית בסטטיסטיקה בייסיאנית, ולמעשה, התפלגות דיריכלה היא ההתפלגות הצמודה של ההתפלגות הקטגוריאלית וההתפלגות המולטינומית.
ההכללה האינסוף-ממדית של התפלגות דיריכלה היא תהליך דיריכלה.
להתפלגות דיריכלה מסדר עם פרמטרים , יש פונקציית צפיפות, לפי למידת לבג במרחב האוקלידי , המתוארת באמצעות:
כאשר שייכים לסימפלקס תקני, או באופן שקול, לכל , .
הקבוע המנרמל הוא פונקציית בטא רב-משתנית, שניתן לבטאו במונחים של פונקציית גמא:
התומך של התפלגות דיריכלה היא קבוצת וקטורים ממדיים שהערכים שלהם הם מספרים ממשיים בקטע [0,1] כך ש , כלומר סכום הקואורדינטות שווה ל-1. למשל עבור התומך הוא משולש שווה-צלעות המשוכן במרחב התלת-ממדי, שקודקודיו בנקודות (1,0,0), (0,1,0) ו (0,0,1), כלומר נמצאים על צירי הקואורדינטות במרחק 1 מהראשית.
מטריצת הקוויראנס היא אם כך סימטרית והפיכה.
השכיח של ההתפלגות הוא הווקטור כאשר
ההתפלגות השוליות הן התפלגויות בטא
בהסתברות בייסיאנית, אם ההתפלגות הפוסטריורית שייכת לאותה משפחת התפלגויות כמו ההתפלגות הפריורית אז שתי ההתפלגויות הן צמודות זו לזו וההתפלגות הפריורית נקראת התפלגות צמודה ביחס לפונקציית הנראות.
העבודה עם התפלגויות צמודות נוחה מבחינה אלגברית, מאחר שהיא מבטיחה ביטוי פשוט יחסית עבור ההתפלגות הפוסטריורית; אחרת, מאוד ייתכן שתדרש אינטגרציה נומרית.
כמו כן לעיתים קרובות כאשר ההתפלגויות צמודות העדכון של פונקציית ההתפלגות לפונקציית התפלגות פוסטריורית על ידי פונקציית הנראות הוא יותר אינטואיטיבי.
המושגים האלו, הוצגו על ידי הווארד רייפה ורוברט שלייפר בעבודתם על תורת קבלת ההחלטות הבייסיאנית.
מושג דומים התגלו באופן עצמאי ידי ג'ורג' אלפרד ברנרד.
ניתן להסיק מפונקציית ההסתברות (או מפונקציית הצפיפות כאשר המשתנה המקרי רציף) את הצורה של ההתפלגות הפריורית.
לדוגמה, פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי בינומי היא:
ההתפלגות הצמודה המקובלת עבור משתנה בינומי היא התפלגות בטא :
כאשר ו- נבחרו כדי לשקף הנחה, אמונה או מידע קיים (למשל היא התפלגות אחידה) ו- היא פונקציית בטא המשמשת כקבוע מנרמל.
בהקשר הזה ו- נקראים היפרפרמטרים (פרמטרים של ההתפלגות הפריורית, כדי להבדילם מפרמטרים של המודל המדובר ().
אם נקח דגימה של המשתנה המקרי, ונשתמש במשפט בייס, נקבל את ההתפלגות הפוסטריורית:
קיבלנו שוב התפלגות בטא עם מקדמים מעודכנים .
התפלגות פוסטריורית זו יכולה לשמש שוב כהתפלגות פריורית עבור דגימות נוספות, כאשר בכל פעם מעדכנים את ההיפרפרמטרים בהתאם לתוצאות.
כל דגימה מקטינה את השונות של ולכן משפרת את הידיעה שלנו עליו.
בהינתן שני משתנים מקריים המוגדרים על אותו מרחב הסתברות, ההתפלגות המשותפת היא האופן שבו ההסתברות מתפלגת על זוגות ערכים אפשריים של שני המשתנים.
באופן דומה ניתן להגדיר התפלגות משותפת לכל מספר נתון של משתנים מקריים.
מתוך ההתפלגות המשותפת יניתן לקבל את ההתפלגויות השוליות, שהן ההתפלגויות של כל אחד מהמשתנים המקריים.
ניתן גם לקבל את ההתפלגויות המותנות, שהן ההתפלגויות של משתנה מקרי אחד כאשר הערכים של המשתנים המקריים האחרים נתונים.
באופן פורמלי בתורת המידה, ההתפלגות המשותפת ניתנת על ידי מידה, פונקציה לא שלילית המוגדרת על מרחב המדגם.
במקרה של משתנים מקריים המקבלים ערכים ממשיים, ניתן לתאר את ההתפלגות משותפת, באמצעות פונקציית ההתפלגות המצטברת הרב-משתנית, או על-ידי פונקציית צפיפות רב-משתנית במקרה של משתנים רציפים ופונקציית הסתברות רב-משתנית במקרה של משתנים בדידים.
עבור זוג משתנים מקריים , פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת (CDF) ניתנת על ידי,
כאשר הצד הימני מייצג את ההסתברות שהמשתנה המקרי מקבל ערך קטן או שווה ל- וגם מקבל ערך קטן או שווה ל- .
בהינתן משתנים מקריים , פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת ניתנת ע"י,
ניתן להתייחס ל- משתנים מקריים כווקטור מקרי .
במקרה כזה נהוג להשתמש בסימון,
במקרה של משתנים מקריים בדידים משתמשים בפונקציית ההסתברות המשותפת של שני משתנים מקריים ,
אם הוא מרחב המדגם, ו- הם קבוצות הערכים ש- ו- יכולים לקבל, אז במקרה של שני משתנים מתקיים,
באמצעות פונקציית ההסתברות ניתן לחשב הסתברות של כל מאורע המוגדר באמצעות ו-, ,
באופן דומה, עבור משתנים אקראיים קיימת פונקציית הסתברות משותפת,
נתון כד עם ארבעה כדורים, שניים כחולים, אחד אדום ואחד לבן.
מוציאים מהכד שני כדורים ללא החזרה.
נגדיר משתנה מקרי כמספר הכדורים האדומים שהוצאו, ומשתנה מקרי כמספר הכדורים הכחולים שהוצאו.
הטבלה להלן מתארת את פונקציית ההסתברות המשותפת של ו-.
באמצעות פונקציית ההסתברות המשותפת ניתן לחשב מאורעות המוגדרים באמצעות ו-.
כהדגמה של חישוב פונקציית התפלגות מצטברת משותפת נחשב, .
במקרה שהמשתנים המקריים רציפים משתמשים עבור שני משתנים מקריים בפונקציית צפיפות משותפת .
בתנאים מסוימים ניתן לקבלה על ידי הביטויים,
או באמצעות נגזרות חלקיות של פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת,
מתקיימים ביטויים דומים עבור יותר משני משתנים מקריים,
באמצעות נגזרות חלקיות מתוך ההתפלגות המצטברת המשותפת,
מכיוון שמדובר בהתפלגויות, עבור שני משתנים מתקיים,
לכל תחום (המקיים תנאים מסוימים) מתקיים באופן דומה נחשב עבור דוגמה
נתונים משתנים מקריים רציפים ו- עם פונקציית צפיפות משותפת:
נדגים את חישוב ההסתברות ש- ,
הדגמה של חישוב פונקציית התפלגות מצטברת,
התפלגות משותפת של משתנים בלתי תלויים
באופן כללי שני משתנים מקריים ו הם בלתי תלויים אם ורק אם פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת מתקיימת
שני משתנים מקריים בדידים ו הם בלתי תלויים אם ורק אם פונקציית ההסתברות המשותפת מקיימת
באופן דומה, שני משתנים מקריים רציפים הם בלתי תלויים אם ורק אם
כאשר שני משתנים מקריים מוגדרים על מרחב הסתברות, ומעוניינים למדוד את הקשר בין המשתנים.
מדד מקובל לקשר בין שני משתנים מקריים הוא השונות המשותפת.
השונות המשותפת בין המשתנים המקריים ו-, המסומנת כ- היא,
המתאם הוא מדד נוסף לקשר בין שני משתנים מקריים.
מדד זה קל יותר לפרשנות מאשר השונות המשותפת.
המתאם מתקבל מהנירמול של השונות המשותפת באמצעות חילוק בסטיות התקן (השורש של השונות) של כל משתנה.
כתוצאה מכך, המתאם הוא חסר מימד וניתן להשתמש בו כדי להשוות את הקשר הליניארי בין זוגות של משתנים המבוטאים ביחידות שונות.
אם הנקודות בהתפלגות המשותפת של ו- מקבלות הסתברות חיובית נמצאות בקרבתו קו עם שיפוע חיובי (או שלילי), קרוב ל- (או ).
אם שווה ל- או , ניתן להראות שהנקודות בהתפלגות המשותפת שמקבלות הסתברות חיובית נמצאות על ישר.
שני משתנים מקריים עם מתאם שאינו אפס אמורים נקראים מתואמים.
בדומה לשונות משותפת, המתאם הוא מדד לקשר הליניארי בין משתנים מקריים.
המתאם בין המשתנה המקרי ו- ניתן על ידי
משפחות מוכרות של התפלגויות משותפות כוללות את ההתפלגות הרב-נורמלית, ההתפלגות המולטינומית, ההתפלגות המולטינומית השלילית, ההתפלגות ההיפרגאומטרית הרב-משתנית וההתפלגות האליפטית.
התפלגות טרייסי-וידום היא פונקציית התפלגות בתחום המטריצות אקראיות.
ההתפלגות מתארת את גודלו של הערך עצמי הגדול ביותר אצל סוגים מסוימים של מטריצות אקראיות כשהגודל שלהן שואף לאינסוף.
ההתפלגות הוצגה לראשונה על ידי ו בשנת 1993.
אחת התכונות יוצאות הדופן של התפלגות טרייסי-וידום היא האוניברסליות שלה.
כלומר ההתפלגות מצליחה לתאר את גודלו של הערך העצמי הגדול ביותר עבור מגוון רחב של קבוצות מטריצות אקראיות (בתנאי שהמטריצות מקיימות תנאי סימטריה מסוימים).
אוניברסליות זו הפכה את התפלגות טרייסי-וידום לאובייקט יסוד בתורת המטריצות האקראיות, ומצאה גם יישומים בתחומים שונים כגון פיזיקה סטטיסטית, תורת המספרים וקומבינטוריקה.
התפלגות טרייסי-וידום מסומנת ב כאשר מייצגת את סוג המטריצה עבורה תחושב התפלגותו של (נקראת גם "אינדקס דייסון").
קיימות שלוש צורות רווחות : מטריצה אורתוגונאלית (), מטריצה אוניטארית (), וסימפלקטית ().
בפועל, יכולה להיות כל ערך טבעי.
הגדרה כגבול (חוק מספרים גדולים / משפט הגבול המרכזי)
ניתן להגדיר את , פונקציית התפלגות מצטברת של התפלגות טרייסי-וידום עבור נתונה, כגבול של התפלגויות, בדומה למשפט הגבול המרכזי.
עבור מטריצה אקראית בגודל , שמוגרלת מההתפלגות המתאימה (כתלות ב- שנבחרה), כאשר השונות של הערכים מחוץ לאלכסון היא .
נגדיר את להיות פונקציית ההתפלגות המצטברת של הערך העצמי המקסימלי.
או במילים: ההפרש בין לבין מרכז ההתפלגות () שואף לקבוע בקצב של .
ההצגה הגבולית נותנת פירוש נוסף להתפלגות טרייס וידום: תיאור ה"תנודות" של על קטע צר בגודל פרופורציוני ל סביב .
הסטיה נובעת מהתפלגות חצי המעגל של ויגנר.
הקובעת כי בגבול צפיפות הערכים העצמיים מתכנסת לחצי העיגול ברדיוס .
הכפלה בגורם משמשת לתיקון, כי סטיית התקן של ההתפלגות גדלה כמו (פותח לראשונה ב).
כאמור, ההתפלגות יכולה מהגדרתה להתרחב לכל .
יכולה להיות מיוצגת על ידי הדטרמיננטה של פרדהולם :כאשר האינטגרל מחושב על חצי המעגל וכן היא פונקציית גרעין המוגדרת: נקראת פונקציית איירי.
נניח כי מייצגת פתרון של הטרנסצנדנטים של פנלבה מסדר שני:עם חסם גבולי של .
כעת נגדיר כך שאז התפלגות (ההתפלגות המצטברת של טרייסי-וידום) תוגדר להיותבעזרת אותה ניתן לתאר גם נוספות:
כאמור, האוניברסליות של התפלגות טרייסי-וידום הביאה חוקרים לחקור את זנבותיה.
חקר הזנבות מתבסס על הייצוג של ההתפלגות לפי משוואת פנילבה שהוזכרו לעיל.
תהי פונקציית הצפיפות אזניתן לראות כי ההתפלגות אכן בעלת זנב ימני.
כלומר יותר סביר כי יהיה גדול מ .
נזכור כי ההתפלגות הגבולית היא התפלגות חצי העיגול, ולכן ה"זנביות" נובעת מה"דחיה" ממרכז ההתפלגות, ולכן הסיכוי של להיות קטן יקטן.
עבור הזנב השמאלי קיים פיתוח סגור יותר: עבור קבוע כלשהו התלוי ב .
דוגמה לקצב דעיכת הזנבות של
מהגדרה, הצפיפות של מוגדרת להיות אם כן, עבור חיובי גדול מספיק, נקבל (מהגדרות שהוזכרו לעיל) כי ולכן סך הכל .
בעבור הזנב השמאלי, הוכח כבר כי עבור שלילי מתקבל ואכן נקבל את המקרה הפרטי עבור כי הזנב השמאלי של מתנהג כמו .
פונקציית ההסתברות המצטברת תחת :
כאשר פונקציית זטא של רימן כך ש .
בצורה כזו פונקציית ההתפלגות המצטברת ניתנת לניתוח לכל זנב בנפרד.
תהא מטריצה המוגדרת β-הרמיטית בגודל , נניח כי כלומר אוניטארית.
כניסות המטריצה נדגמו מהתפלגות גיאוסיאנית קרי לכן פונקציית הצפיפות המשותפת של כל הערכים העצמיים (הבלתי תלויים, ללא סדר מסוים):כאשר הוא קבוע נרמול .
הרכיב הוא אופרטור הגזירה .
מוטיבציה – התפלגות הערך העצמי המקסימלי ונקודות שיווי משקל
תהי מערכת המכילה בתוכה אובייקטים הנעים במרחב בצורה רנדומלית ובלתי תלויה לחלוטין.
נרצה לחקור את התנועה במערכת (כוחות דוחפים\מושכים) – ובפרט לפתח את היכולת למצוא בה נקודות שיווי משקל.
אם נדמיין את התנועה במרחב הרב-ממדי בתור וקטור הרי שנקודות שיווי המשקל \יציבות יתאפיינו על ידי (נק' סטציונאריות).
לכן נתעניין בהסיאן של :כעת – הערכים העצמיים של המטריצה יקבעו את טבע התנועה במערכת (מינימום\מקסימום לוקאלי\גלובאלי ואוכף).
למשל עבור יהיו שני ערכים עצמיים :אם כן, עבור נקודת מינימום נרצה שכל הערכים העצמיים יהיו שליליים .
נסמן ב את הערך העצמי המקסימלי ונקבל את השקילות .
במילים אחרות, הסיכוי ליציבות של המערכת (מינימום לוקאלי) תלויה בהתפלגותו של הערך העצמי המקסימלי של ההסיאן.
ניתן גם לפתח התפלגות לערכים העצמיים השני והשלישי בגודלם.
אמצע המאה ה-20 – תוצאות ספקטרליות של מטריצות אקראיות
התפתחות ענף המטריצות האקראיות מתחיל באמצע המאה ה-20. הפיזיקאי יוג'ין ויגנר הציג את המטריצות האקראיות בפיזיקה בשנות ה-50, במקור על מנת לדמות את רמות האנרגיה של גרעיני אטומים כבדים.
בשנת 1951, ויגנר הציג את מה שנודע לאחר מכן כהתפלגות חצי המעגל של ויגנר, המתארת את ההתפלגות של ערכים עצמיים עבור מטריצות סימטריות אקראיות גדולות.
עבודה זו היוותה את הבסיס לתורת המטריצות האקראיות, שמצאה יישומים בפיזיקה גרעינית, כאוס קוונטי ותחומים נוספים.
ויגנר הראה כי עבור מטריצה אקראית פונקציית הצפיפות של הערכים העצמיים מתכנסת (בהתפלגות) לחצי העיגול סביב הטווח .
ניתן להסיק מכך שפיזור של ערכים עצמיים על טווח זה יצור מרחק ממוצע בין ערכים עצמיים סמוכים פרופורציונלי ל .
בנוסף, התפלגותו של הערך עצמי המקסימלי יהיה סביב .
בהמשך לתובנותיו של ויגנר, מתמטיקאים ופיזיקאים חקרו במהלך העשורים הבאים היבטים שונים של מטריצות אקראיות.
התפתחות חשובה הגיעה בשנות ה-70 כאשר יישם את מושגי המטריצות האקראיות בתחום האקולוגיה, תוך שימוש בהן כדי לנתח את היציבות של מערכות אקולוגיות מורכבות.
מיי גילה ב"תאוריית האינטראקציה" שלו נקודה קריטית, שמעבר לה המערכת האקולוגית הופכת לבלתי יציבה.
נקודת מפנה זו, כפי שהתברר מאוחר יותר, הייתה קשורה באופן הדוק להתפלגות טרייסי-וידום.
שנות ה-90 ועד ל-2005 – ארבע בעיות שונות – אותה ההתפלגות
בשנים אלו התגלה כי בעיות שונות שנחקרו בהרחבה חולקות את אותה פונקציית התפלגות – התפלגות טרייסי-וידום.
הבעיה הראשונה היא תחום המטריצות האקראיות, שם מקומה של ההתפלגות בבעיה התגלה על ידי טרייס ווידום עצמם.