tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
משתי ההנחות הראשונות (ומהנחה מובלעת שיש כיום לפחות ביצה אחת או תרנגולת אחת ומההנחה שיש פרק זמן מינימלי שעובר בין הטלה להטלה) נובעת המסקנה שתמיד היו תרנגולות (לכל תרנגולת קדמה ביצה שקדמה לה תרנגולת, כלומר לכל תרנגולת קדמה תרנגולת).
בפרט, נובע מכך שהעולם התקיים במשך זמן אינסופי.
מסקנה זו מנוגדת להנחה השלישית הנסמכת גם על טיעוני הדתות הבריאתניות וגם על התאוריות המדעיות הטוענות יצירה או התפתחות של העולם.
שלוש ההנחות מכילות סתירה פנימית ולא כולן יכולות להיות נכונות, לכן זהו פרדוקס.
האזכור הקדום ביותר שנמצא של הפרדוקס מופיע במוראליה, כתבי הפילוסוף היווני פלוטרכוס.
בשפת הדיבור משתמשים בשאלה כדי להצביע על אינסופיות או על כך שלא ניתן להבדיל בקלות בין סיבה לתוצאה.
התפיסה האבולוציונית יוצאת כנגד ההנחה "כל ביצה של תרנגולת (ממנה בוקעת תרנגולת) הוטלה על ידי תרנגולת".
לפי התפיסה האבולוציונית, התרנגולת התפתחה מיצורים אחרים על ידי שורה של מוטציות גנטיות.
באיזשהו שלב, קרתה המוטציה שבעקבותיה נוצרה התרנגולת כפי שהיא מוכרת היום, ומתוך ביצה שהוטלה על ידי משהו שאינו תרנגולת בקעה תרנגולת.
אין זהות בין "ביצה של תרנגולת" בשני המובנים: ביצה שבקעה ממנה תרנגולת וביצה שהטילה תרנגולת.
במובן מסוים, קושיית הביצה והתרנגולת היא מקרה פרטי של פרדוקס הערמה.
אם בשאלה "מה הייתה קודם" הכוונה ב"ביצה" היא לביצה שממנה בקעה תרנגולת אז לפי תורת האבולוציה הביצה קדמה, ואם הכוונה לביצה שאותה הטילה תרנגולת - התרנגולת קדמה.
מאוחר יותר בהיסטוריה כבר לא היה הבדל בין שני המובנים של ביצה, ומכאן צמח הבלבול.
כל זאת מבלי להתייחס לביצים שהטילו בעלי חיים אחרים (כגון הדינוזאורים) שקדמו לתרנגולת בהרבה.
בשנת 1990 אותר קן גדול ובו שרידים של 12 ביצים מאובנות השייכות לדינוזאור, אך בניגוד לשאר הביצים שהטילו הדינוזאורים - צורתן דומה לביצי תרנגולת, בעלות חלק עליון מחודד.
רק בשנת 2008 שויכו הביצים לדינוזאור תרופוד, מהקבוצה של הדינוזאורים שמהם התפתחו העופות, ובכך נוצר הקשר האבולוציוני בין ביצת הדינוזאור לתרנגולת.
חוקרים מתייחסים לגילוי זה כפריצת דרך בהבנת התהליך האבולוציוני שהביא להיווצרות הביצה, ובפרט מוכיח מבחינתם את הטענה כי הביצה קדמה לתרנגולת.
גרסה מודרנית יותר לפרדוקס הביצה והתרנגולת הוא מוצא החיים ומנוסח כשאלה מה קדם למה: ה-RNA או החלבונים?
ה-RNA (ומאוחר יותר ה-DNA) והחלבונים שניהם יסודות מאוד הכרחיים לחיים כפי שאנחנו מכירים אותם.
ה-RNA מאפשר קידוד מידע תורשתי של הייצור החי ומכיל הוראות אילו חלבונים לסנתז.
החלבונים הם המנועים של תהליכי החיים ובין השאר מאפשרים רבייה על ידי שכפול ב-RNA בקצב אפקטיבי שכן הם מתפקדים גם כאנזימים.
שאלה זו ידועה כהכרעה בין השערות עולם ה-RNA ועולם החלבונים, ונכון ל-2025 עדיין אין לה תשובה.
עם זאת, ניתן לנסח את הפרדוקס בצורה כללית יותר על מוצא החיים: אם מוסכם שייצור חי נוצר רק מייצור חי שקדם לו ולא באופן ספונטני מחומר דומם (מוסכמה שהייתה רווחת בביולוגיה המוקדמת) - אז ממה נוצרו החיים?
על פי רוב הדתות, העולם נברא בנקודת זמן מסוימת וכלל מרכיבים הקיימים בעולם גם היום.
בשלב מסוים נבראו בעולם התרנגולות.
בכתבי הקודש לא מפורט תהליך בריאת התרנגולות.
ייתכן שהאל, בניגוד לגרסה הסינתזיונית, ברא תרנגולת ללא קיומה של אף ביצה לפניה - יש מאין.
תרנגולת זו, שקדמה לכל ביצה ממנה הגיעו צאצאיה.
מפשטות סיפור הבריאה בו מוזכרות חיות ועופות בוגרים, עולה כי בעלי החיים נבראו בוגרים, ולכן התרנגולת קדמה לביצה.
בדגש לגבי העופות שהמקרא מתאר איך שהמים השריצו נפש חיה, ועוף שמעופף על הארץ, לפיכך יוצא שהתרנגולת קדמה לביצה, שכן היא נבראה עם התכונות המאפשרות לה להתרבות, כמו שנאמר "והעוף ירב בארץ".
על פי גישה אחת, ניתן לפרש את סיפור הבריאה בצורה סמלית, כך שימי הבריאה מתארים זמן ארוך יותר.
על פי גישה זו, הפרדוקס ייושב כמתואר בפסקה הקודמת והמסקנה תהיה שהביצה ממנה בקעה תרנגולת נבראה לפני התרנגולת והביצה אותה מטילה התרנגולת נוצרה לאחר התרנגולת.
פרדוקס ההצבעה או פרדוקס קונְדוֹרְסֶה (בצרפתית Paradoxe de Condorcet) הוא מצב שהובחן לראשונה על ידי המרקיז דה קונדורסה בסוף המאה ה-18, בו העדפות קבוצתיות עשויות להיות מעגליות (לא טרנזיטיביות), אף אם ההעדפות של כל פרט מן המצביעים אינן מעגליות.
לדוגמה נניח בחירות בהן שלושה מועמדים, B, A ו-C ושלושה מצביעים שהעדפותיהם הן:
מצביע 1: מעדיף את A על פני B ואת B על פני C
מצביע 2: מעדיף את B על פני C ואת C על פני A
מצביע 3: מעדיף את C על פני A ואת A על פני B
אם נבחר את C ניתן לטעון שיש לבחור את B במקומו, מכיוון ששני מצביעים (1 ו-2) מעדיפים את B על פני C ואילו רק מועמד 1 (3) מעדיף את C על פני B.
כפי שניתן לראות, מטעמי סימטריה, לא ניתן לבחור מועמד מבלי שלשניים מבין שלושת המצביעים יהיה מועמד משותף עדיף על פניו.
כאשר משתמשים בשיטה העונה לתבחין קונדורסה לקביעת מנצח בבחירות, קיומו של פרדוקס הצבעה בתוצאות מצביע על כך שלא קיים בבחירות מועמד קונדורסה (או מנצח קונדורסה).
שיטות קונדורסה שונות נבדלות באופן בו הן פותרות את אי-הבהירות הנוצרת בהצבעה.
לדוגמה המובאת כאן לא קיים פתרון הוגן ודֶּטֶרְמִינִיסְטִי מכיוון שכל אחד מהמועמדים נמצא במצב סימטרי לחלוטין לכל אחד מהמועמדים האחרים.
פרדוקס בנטלי הוא שמו של פרדוקס-לכאורה שהציג הכומר ריצ'רד בנטלי בפני אייזק ניוטון ב-1692, זמן-מה לאחר פרסום הפרינקיפיה מתמטיקה.
לפי ניוטון, כוח הכבידה אינו מוגבל בטווח, והוא מושך כל שני גופים זה אל זה.
אם כך, שאל בנטלי, אם נניח שהיקום סופי - היה עליו לקרוס לתוך עצמו לפני זמן רב; ואם נניח שהוא אינסופי - הרי שעל כל כוכב מופעל כוח אינסופי, ושוב צריך היקום לקרוס.
ניוטון השיב שאם היקום אינסופי אבל סימטרי לחלוטין, המשיכה הפועלת מעברים שונים של אותו כוכב מאוזנת כך שהכוח הכולל הוא אפס.
עם זאת, הוא הבין שזהו פתרון בלתי יציב, ושכל תנודה תגרום ליקום כזה לקרוס, משום שהכוחות בצד אחד יגברו על אלה שניצבים מנגד.
פתרונו היה דאוס אקס מכינה: "דרוש נס מתמשך אשר ימנע מהשמש ומכוכבי השבת לדהור זה לקראת זה מכוח הכבידה".
ההנחה המקובלת היום היא שהיקום אינסופי ומתפשט, ושכוח הכבידה המשולב מאט את ההתפשטות באופן מקומי (בין עצמים מאותה גלקסיה) אך מתגמד לעומת הכוח הדוחה של האנרגיה האפלה במרחקים גדולים יותר (בין גלקסיה אחת לשנייה) והיא נתמכת בתצפיות.
מיצ'יו קאקו, עולמות מקבילים, עמ' 41-40.
פרדוקס בְּרָס (Braess's paradox), הנקרא על שם המתמטיקאי הגרמני דיטריך ברס, הוא דוגמה למצב שבו הוספת קשת נוספת לרשת שבה הישויות הנעות בוחרות את מסלול הזרימה האופטימלי באופן אנוכי, יכולה לגרום לירידה בביצועים הממוצעים של הרשת (זאת כמובן על אף האינטואיציה שאומרת שיותר מסלולים תמיד יובילו לביצועים משופרים).
נניח שעבור כל צומת ברשת ידוע מספר המכוניות שיוצאות ממנו (דרגת היציאה) ומספר המכוניות שנכנסות אליו (דרגת כניסה).
תחת תנאים אלה נרצה לשערך את התפלגות התנועה ברשת.
ההחלטה אם לנסוע בכביש כזה או אחר תלויה לא רק באיכות הכביש, אלא גם בצפיפות התנועה עליו.
אם כל נהג יבחר בדרך שנראית לו אופטימלית (עבורו בלבד) התוצאה לא בהכרח תהיה אופטימלית עבור כל הנהגים.
יתר על כן, קיימת דוגמה שבה הרחבת רשת הכבישים אינה גורמת לקיצור זמני הנסיעה ואף מאריכה אותם.
נסתכל על מערכת כבישים כמו בציור.
יש 4000 מכוניות הנוסעות מהמקור אל היעד.
הזמן שלוקח לעבור כל כביש מצוין באיור, כאשר T הוא מספר המכוניות שנמצאות על אותו הכביש.
על שניים מהכבישים זמן הנסיעה קבוע, ואילו על השניים האחרים זמן הנסיעה תלוי בעומס.
נניח בתחילה שהכביש המקווקו אינו קיים.
אם a נהגים עוברים דרך נקודה A זה לוקח דקות ואם b נהגים בוחרים לעבור דרך נקודה B זה לוקח להם דקות.
המקרה הגרוע ביותר הוא כאשר כל הנהגים יבחרו לנסוע באותו הנתיב.
אז ההאטה מקסימלית והנסיעה כולה לוקחת 85 דקות.
אך בחירה אקראית באחד הנתיבים תוביל לתוצאה טובה יותר.
אם מחצית מהנהגים יסעו בכל אחד מהנתיבים, זמן הנסיעה של כולם יתקצר ל- דקות.
דרך העקיפין עדיפה על הדרך התחתית, משום שהדרך העוקפת ל-B היא קצרה יותר בכל מקרה מאשר הדרך הישירה לשם.
דרך העקיפין עדיפה גם על הדרך העילית, משום שהדרך ליעד מ-B קצרה יותר מאשר ישירות מ-A.
לכן כל הנהגים יסעו ראשית ל-A ואז ל-B, והדרך תיקח לכולם 80 דקות.
הפתרון האופטימלי, שבו מחצית הנהגים נוסעים דרך B והמחצית השנייה ישירות דרך A (ב-65 דקות לכולם) אינו יציב, משום שלכל נהג בדרך העילית עדיף לקצר ולנסוע מ-A אל היעד דרך B, ולכל נהג בדרך התחתית עדיף לקצר ולנסוע ל-B דרך A.
הוספת הכביש הרעה את ביצועי המערכת.
בתרמודינמיקה ובמכניקה סטטיסטית, פרדוקס גיבס (על שמו של ג'וסיה וילארד גיבס) הוא סתירה לכאורה, הנוצרת כאשר האנטרופיה של גז אידיאלי במערכת מחושבת ללא התחשבות בחילופיות של חלקיקים, זאת אומרת תוך התייחסות לתמורות של מצבים זהים כשונים.
האנטרופיה המחושבת באופן כזה יוצרת ערך שאינו אקסטנסיבי, דבר המוביל לסתירה של החוק השני של התרמודינמיקה, ולהיותה של האנטרופיה פונקציית מצב.
בכלים של תרמודינמיקה בסיסית, פתרון הפרדוקס לא מתאפשר - הדבר נובע מכך שהגדרת האנטרופיה בתרמודינמיקה מתבססת על גדלים מאקרוסקופיים בלבד, וההבחנה בין חלקיק לחלקיק אינה נלקחת בחשבון.
על מנת לפתור את הפרדוקס, יש להשתמש בהגדרה הסטטיסטית של האנטרופיה, המקשרת בינה לבין מספר המצבים האפשריים בהם המערכת יכולה להימצא (פונקציית הריבוי).
נתבונן בשתי מערכות סגורות זהות של חלקיקים זהים בנפח , עם אנרגיה פנימית כוללת , אותן נסמן כ-.
נחכה להגעת המערכות לשיווי משקל תרמודינמי.
במצב זה, מעקרון המקסימום של האנטרופיה , האנטרופיה בשתי המערכות מקסימלית, ובהתאם לחוק השני של התרמודינמיקה היא גם קבועה.
כעת, נציב מחסום באמצע מערכת , כך שנקבל שתי מערכות בנפח , עם מספרי חלקיקים .
ניקח מספר חלקיקים גדול מספיק ביחס לנפח של המערכת, כך שנוכל להניח כי (ההסתברות לכך שאחד מצדי המחיצה ריק שואפת ל-0).
נחכה שמערכת תגיע לשיווי משקל תרמודינמי, ונסמן את האנטרופיה שלה כ-.
כעת, נסיר את המחיצה מהמערכת, ושוב נחכה להגעה לשיווי משקל.
את האנטרופיה הסופית במערכת נסמן כ- בעזרת הנוסחה לשינוי אנטרופיה בתהליך של ערבוב נקבל כי
ברם, נשים לב כי המערכת נמצאת כעת במצב תרמודינמי זהה לחלוטין לזה של מערכת , ועל כן, מכיוון שהאנטרופיה היא פונקציית מצב, בהכרח מתקיים .
אם כך, קיבלנו כי בהוספת המחיצה למערכת , השינוי באנטרופיה הוא
וזאת בסתירה לחוק השני של התרמודינמיקה.
יתרה מכך, קיבלנו סתירה להיותה של האנטרופיה פונקציית מצב של המערכת - כאשר הוספנו את המחיצה למערכת , על אף שלא דרשנו זאת מפורשות, ניתן להיווכח כי המערכת נותרה בשיווי משקל (לא הוסרה מגבלה כלשהי מהמערכת).
עם זאת, האנטרופיה השתנתה בהוספת המחיצה, דבר שאינו מתיישב עם כך שהאנטרופיה היא פונקציית מצב, ועם כך שהיא גודל אקסטנסיבי (במקרה זה לא ניתן להסתכל על האנטרופיה של מערכת כסכום של האנטרופיה בשתי תתי מערכות משלימות ב-).
נתבונן במערכת תרמודינמית בה חלקיקים זהים בלתי תלויים זה בזה (האנרגיה של כל חלקיק אינה מושפעת מזו של שאר החלקיקים), המצומדת לאמבט חום אינסופי בטמפרטורה , כך שטמפרטורת המערכת קבועה ושווה לזו של אמבט החום.
במקרה זה, מדובר במערכת המתאימה לצבר הקאנוני.
בהתאם לכך, נרצה לחשב את פונקציית החלוקה, , בעזרתה נוכל לקבוע את כל הגדלים התרמודינמיים במערכת.
ביטוי שגוי לפונקציית החלוקה של המערכת
נציג הוכחה שגויה לכך שעבור שני חלקיקים זהים בלתי תלויים זה בזה, פונקציית החלוקה הכוללת היא מכפלת פונקציות החלוקה של כל אחד מהחלקיקים, כלומר
השוויון השני נובע מכך שהחלקיקים זהים.
פונקציית החלוקה מוגדרת על ידי: , כאשר הסכום הוא על כל המצבים האפשריים של המערכת.
היא האנרגיה במצב ה-, T היא הטמפרטורה ו-הוא קבוע בולצמן.
החלקיקים בלתי תלויים, ולכן מתקיים:
המעבר שסומן בכוכבית הוא המעבר השגוי, והסיבה לכך שאינו נכון תוסבר בהמשך.
אם כך, במערכת התרמודינמית הנתונה, הוכחנו שלכאורה מתקיים .
בהתאם, האנרגיה החופשית של הלמהולץ במערכת זו היא
על מנת להמשיך מכאן, עלינו לדעת מה היא , שכן האנטרופיה נתונה על ידי הביטוי
חישוב שגוי עבור גז אידיאלי
על מנת לחשב פונקציית החלוקה עבור אטום יחיד של גז אידיאלי מונואטומי בקופסה בנפח , יש לפתור את בעיית החלקיק בקופסה.
לאחר החישוב, פונקציית החלוקה נתונה בקירוב על ידי:
כאשר היא "הצפיפות הקוונטית של המערכת".
על כן, בעזרת הביטוי הנ"ל של האנרגיה החופשית של המלהולץ, נקבל
כעת, אם ניקח זוג מערכות זהות בנפח המכילות גז אידיאלי מונואטומי בלחץ וטמפרטורה שווים, האנטרופיה של זוג המערכות המופרדות ביחד תהיה לכאורה
אם נפתח בחזרה את המחסום בין שתי המערכות, נקבל מערכת אחת עם חלקיקים ונפח של כך שהאנטרופיה תהיה כעת
קיבלנו שעם פתיחת המחסום, האנטרופיה גדלה ב אף על פי שאיחוד זוג המערכות הזהות היה בשיווי משקל (מצב בו האנטרופיה מקסימלית), זאת בסתירה להיותה של האנטרופיה פונקציית מצב.
בנוסף, ישנה סתירה לחוק השני של התרמודינמיקה - אם כעת נחזיר את המחסום, האנטרופיה לכאורה תקטן בחזרה בערך זה.
דרך נוספת לראות את הבעיה בצורה מעט יותר מתמטית היא להתבונן בביטוי שקיבלנו לאנטרופיה של המערכת.
הציפייה היא שכל פונקציית מצב תרמודינמית תהיה גודל אקסטנסיבי - כלומר, שניתן יהיה לכתוב: .
ניתן באופן מיידי לראות כי הדבר לא מתקיים עבור הביטוי שקיבלנו לאנטרופיה - הכפלה פי 2 של מספר החלקיקים תוביל להכפלה פי 2 של האנטרופיה, אך אם מכפילים גם את הנפח פי 2 מקבלים תוצאה שגדולה יותר מהכפלה של האנטרופיה המקורית פי 2.
הבעיה בחישוב שבוצע לעיל, היא השימוש בכך ש-.
ההוכחה שבוצעה לכך אכן נכונה במקרה שבו החלקיקים שונים זה מזה, וניתן להבדיל ביניהם בצורה כלשהי.
עם זאת, במקרה שמתואר בפרדוקס החלקיקים זהים לחלוטין.
משמעות הדבר היא שהמצב המיקרוסקופי עבורו , בו לחלקיק 1 יש אנרגיה ולחלקיק 2 יש אנרגיה , זהה למצב , בו לחלקיק 1 יש אנרגיה ולחלקיק 2 יש אנרגיה .
קיים אם כך צורך להתחשב בחילופיות החלקיקים - כל התמורות האפשריות של אנרגיות החלקיקים צריכות להיספר פעם אחת בלבד בחישוב פונקציית החלוקה.
משיקולים קומבינטוריים, עבור חלקיקים זהים לכל מצב אפשרי יש תמורות, ולכן פונקציית החלוקה תהיה (בקירוב)
ביטוי זה מקורב שכן מלכתחילה ישנם מצבים שנספרו פעם אחת בלבד - לצורך העניין, במקרה של שני חלקיקים, המצב בכל מקרה נספר רק פעם אחת.
למרות זאת, אפשר לדרוש ממערכת מסוימת שהסיכוי שלשני חלקיקים שונים תהיה אנרגיה זהה (כלומר החלקיקים יהיו באותו מצב קוונטי) יהיה אפסי, ובמקרה זה החלוקה ב - היא אכן קירוב טוב.
על התנאי המדויק שהסיכוי יהיה אפסי יורחב בהמשך.
חישוב נכון עבור גז אידיאלי
ניעזר שוב בקשר , ומתוכו נקבל:
במעבר האחרון נעשה שימוש בקירוב סטרלינג (), וכן בהגדרת צפיפות מספרית .
ואם נחזור לדוגמה של זוג המערכות הזהות, סכום האנטרופיה שלהן בין אם הן מחוברות ובין אם לא (כלומר בין אם יש ביניהן מחיצה ובין אם לא), היא:
ובכך נפתרת הסתירה לחוק השני של התרמודינמיקה ולכך שהאנטרופיה היא פונקציית מצב.
חוסר היכולת לפתרון הפרדוקס בתרמודינמיקה
בתרמודינמיקה, אנטרופיה מוגדרת בצורה שונה בבסיסה מההגדרה שלה במכניקה סטטיסטית (על אף שלבסוף מתקבלות תוצאות מקרוסקופיות זהות, כשאיפתה של המכניקה הסטטיסטית), ומבוססת בעיקרה על ההבחנה של פיזקאים שעבודה המושקעת ליצירת חום אינה זהה לעבודה המושקעת ליצירת עבודה מכנית, וכן על ההבחנה שתהליכים מסוימים בטבע אינם הפיכים.
על כן, המושג של ספירת מצבים מיקרוסקופיים לא היה קיים בתוך הגדרת האנטרופיה, ומכאן שאין סיבה ברורה למהות הבעיה כאשר מסתכלים על הבעיה במונחי התרמודינמיקה.
במהלך פיתוחה של התרמודינמיקה לא מתבצעת הפרדה בין חלקיקים מובחנים לבין חלקיקים שאינם מובחנים, כך שאין דרך לטפל בפרדוקס.
הבחנה בין חלקיקים במכניקה קלאסית ובמכניקה קוונטית
הבחנה בין חלקיקים במכניקה קלאסית
במכניקה קלאסית, ניתן להבחין בין כל שני חלקיקים - מכיוון שהמיקום של כל חלקיק ניתן למדידה ודאית בכל זמן נתון, אפשר לסמן בצורה כלשהי כל חלקיק במערכת ובכך להבדיל ביניהם.
על כן, לכאורה אין הצדקה ממשית לחלוקה בפקטור במהלך פתרון הפרדוקס של גיבס.
אם כך, באופן אינטואיטיבי, ניתן לומר כי ההבדל בין הבחנה בין חלקיקים במכניקה קלאסית למכניקה קוונטית היא היעדרותו של עקרון אי-הודאות במכניקה הקלאסית.
הדבר אינו מהווה את ההסבר במלואו שכן ההבדלים בין המכניקה הקלאסית למכניקה הקוונטית אינם מסתכמים בעקרון אי-הודאות, אך זו כן דרך אינטואיטיבית לחשוב על כך.
הבחנה בין חלקיקים במכניקה קוונטית
במכניקת הקוונטים, בניגוד למכניקה הקלאסית, אכן יש משמעות לזהות בין חלקיקים: מערכת קוונטית מרובת חלקיקים מאופיינת על ידי פונקציית גל, המתארת את ההסתברות לקבלת מצב כלשהו במערכת (לצורך העניין, המיקום של חלקיק מסוים במרחב).
בכתיב דיראק, פונקציית הגל מסומנת על ידי .
על פי משפט ספין-סטטיסטיקה, כל החלקיקים בטבע מחולקים לשתי קטגוריות:
פרמיונים - חלקיקים בעלי פונקציית גל אנטי-סימטרית להחלפה בין שני חלקיקים במערכת, כלומר: .
חלקיקים אלה מאופיינים בכך שהספין שלהם חצי שלם.
בוזונים - חלקיקים בעלי פונקציית גל סימטרית להחלפה בין שני חלקיקים במערכת, כלומר: .
חלקיקים אלה מאופיינים בכך שהספין שלהם שלם.
סיבה מרכזית לכך שההבחנה בין בוזונים לפרמיונים חשובה היא הקיום של עקרון האיסור של פאולי - משפט הקובע כי שני פרמיונים לא יכולים להיות במצב קוונטי זהה, בעוד שעבור בוזונים אין הגבלה מסוג זה.
חשוב כעת לציין כי הגודל המגדיר את ההסתברויות לקבלת מצבים כלשהם הוא הגודל של פונקציית הגל, מועלה בריבוע.
כלומר פונקציית הגל מוגדרת עד כדי פאזה מרוכבת קבועה , ובפרט אינה מושפעת משינוי בסימן.
אם כך, מערכת של פרמיונים או בוזונים מאותו הסוג יכולה לתאר חלקיקים בלתי מובחנים, ועל כן בפועל ישנה הצדקה ממשית להתחשבות בחילופיות החלקיקים.
על מנת להראות כי למערכת מרובת חלקיקים חייבת להיות פונקציית גל סימטרית או אנטי-סימטרית להחלפה בין שני חלקיקים, ניתן להשתמש בפיזיקה קוונטית לא יחסותית ולהראות זאת תוך שימוש באופרטור ההחלפה , שפעולתו על פונקציית גל של שני חלקיקים היא:
מדרישה שהחלקיקים זהים, כך שההמילטוניאן, המאפיין באופן מלא את התפתחות המצבים במערכת כפונקציה של הזמן, סימטרי להחלפה בין שני החלקיקים - ניתן להראות כי פונקציית הגל חייבת להיות זהה עד כדי סימן.
עם זאת, כדי להראות שהתכונה של סימטריות ואנטי-סימטריות קשורה לספין, יש צורך במעבר לפיזיקה קוונטית יחסותית ולמשוואת דיראק, החוזה את קיומו של הספין (בניגוד למשוואת שרדינגר שאינה יחסותית, ולא חוזה את קיום הספין).
העובדה שהיה צורך לדרוש שחלקיקים חילופיים זה עם זה, דבר שאינו מתיישב עם המכניקה הקלאסית, היה במובן מסוים רמז מטרים לעובדה שמכניקת הקוונטים נחוצה.
רמזים מסוג זה הופיעו מספר פעמים במהלך פיתוחה של המכניקה הסטטיסטית.
התייחסות מתמטית להבחנה בין חלקיקים
כאמור, החלוקה בפקטור של אינה מדויקת, מכיוון שקיימת האופציה ששני חלקיקים יאכלסו רמת אנרגיה זהה.
על מנת לכמת את מספר החלקיקים שמאכלסים רמות אנרגיה זהות, נתבונן בסיכוי שחלקיק כלשהו יאכלס רמת אנרגיה מסוימת, הנקבע בעזרת פקטור בולצמן:
כאשר אי השוויון נובע מכך שהאנרגיה גדולה מ-0 שכן מדובר במצבי האנרגיה של בור פוטנציאל אינסופי.
אם כך, תוחלת מספר החלקיקים ברמת אנרגיה מסוימת היא:
אם כך, הדרישה שמספר החלקיקים שמאכלסים רמות אנרגיה זהות תהיה אפסית היא:
ומכאן שמה של הצפיפות הקוונטית - הצפיפות הקוונטית מאפיינת את צפיפות מצבי האנרגיה הקוונטיים במערכת.
יתרה מכך, בעזרת ניתוח של התפלגות פרמי-דיראק וכן של התפלגות בוז-איינשטיין המתארות את אכלוסי המצבים האנרגטיים של פרמיונים ושל בוזונים, ניתן לראות כי בגבול של , פרמיונים ובוזונים מתנהגים בצורה זהה - והפיזיקה של שניהם "קורסת" לפיזיקה של גז אידיאלי.
הדבר כמובן הגיוני שכן כאמור, הדבר המבדיל בין פרמיונים לבוזונים הוא עקרון האיסור של פאולי, שמונע מפרמיונים לאכלס רמות אנרגיה זהות.
עם זאת, כאשר מספר המצבים הקוונטיים במערכת גדול מספיק, בכל מקרה ניתן לומר כי כל רמת אנרגיה מאוכלסת על ידי לכל היותר חלקיק אחד, כך שהמערכות זהות.
בהתאם לכך, גז אידיאלי מוגדר על ידי הצפיפות הקוונטית - נוכל לאפיין גז כגז אידיאלי אם הצפיפות הקוונטית גדולה בהרבה מהצפיפות המספרית במערכת, ואחרת יש לבצע ניתוח מעמיק יותר של גזים קוונטיים.
פרדוקס היא דרמת פשע מדע-בדיונית שנוצרה על ידי ה-BBC.
היא עוסקת במספר שוטרים, ובראשם פקחית הבילוש רבקה פלינט, הפועלים למען מניעת אירוע שעומד להתרחש בעתיד - ובמקביל לגלות מה עומד מאחורי "ראיית העתיד" הזו.
הסדרה, ששודרה לאורך 5 פרקים בשנת 2009, במעין מצב פשוט של פרדוקס - כאשר השוטרים יודעים, כביכול, מה הולך לקרות בעתיד, אך עדיין מנסים למנוע זאת - ולפעמים גם מצליחים.
בעקבות ביקורות שליליות על הסדרה ותוכנה, החליט ה-BBC שהסדרה לא תמשיך לעונה נוספת, אף על פי שסופה של העונה הראשונה משאיר סימני שאלה פתוחים וציפייה להמשך.
פרסום של ה-BBC מסביר את ההחלטה: "למרות צוות שחקנים והפקה נהדר, 'פרדוקס' לא תפסה את הקהל שלה בדרך שבה קיווינו".
כמו כן, התוכנית לא זכתה לנתוני רייטינג טובים במיוחד (בפרק האחרון צפו כמיליון וחצי צופים פחות מבפרק הראשון), ואנשים מהפקת הסדרה התאכזבו מהביקורות השליליות.
במחשבו של האסטרופיזיקאי ד"ר כריסטיאן קינג (אמון אליוט), מועלות 8 תמונות אקראיות, המציגות דימויים שונים מכדור הארץ.
פריצת האבטחה לא מובנת, ועל כן מזומנת למקום פקחית הבילוש רבקה פלינט (טמזין אאוטווייט) - שם כריסטיאן מסביר לה במה הדברים אמורים.
הוא משער, שבעוד זמן מוגבל של שעות, יתרחש אירוע, כנראה אסון, בכדור הארץ, ושהתמונות האלו לקוחות מזירת האירוע, בשנייה שבה הוא בוצע (לכל הנקודות אותו ציון-זמן).
היא מגיבה בזלזול, אך לאחר מכן חושבת שנית על מעשיה, וחוזרת למשרדו של קינג, מלווה בסמל הבילוש בן הולט (מארק בונאר) איתו גם תפתח יחסים רומנטיים בהמשך העונה, וכן בשוטר קאלום גאדה (צ'יקה אוקונקוו).
ביחד, הם עוקבים אחרי המסקנות הנובעות מן התמונות, בתקווה שאלו יובילו אותן אל האסון, ויעזרו להם במניעתו.
במקביל, כריסטיאן, בליווי אחראים על המבצע מטעם משרד ההגנה, מנסה להבין מה פשר התמונות הללו - מאין הגיעו וכיצד הן יודעות לנבא את העתיד בדיוק בצורה שתוביל את החוקרים אל מקום האירוע.
הוא מצטרף אל חוקי המשטרה בניסיונותיהם למנוע את האסונות העתידיים, ובכך מבין יותר על מהות התמונות, והעתיד שהן מנבאות.
במהלך כל הסדרה אנו עדים לתופעת ה"פרדוקס" - מצב לוגי שלכאורה בלתי-אפשר להגיע אליו.
כלומר, כיצד ייתכן שהחוקרים ישנו את מה שקורה בעתיד, אם הוא מוצג לפניהם בתמונות ברורות, שידוע שהיו אכן קורות כך ללא התערבות.
כמו כן, מוצגת גם התייחסות לתופעת ה"חור תולעת (גשר איינשטיין-רוזן)" בפיזיקה, כחלק מההשערות ליוצר תופעת התמונות שמנבאות את העתיד.
כריסטיאן מלווה את הסבריו בנימוקים מתחום תורת היחסות, בעיקר במידע העוסק ביקומים מקבילים.
במכניקת הזורמים, פרדוקס ד'אלמבר (או הפרדוקס ההידרודינמי) מתייחס לסתירה בין התיאוריה לתופעות הנצפות בניסוי אליה הגיע ב-1752 המתמטיקאי הצרפתי ז'אן לה רון ד'אלמבר.
ד'אלמבר הוכיח שבזרימה פוטנציאלית בלתי דחיסה ובלתי צמיגה, כוח הגרר על גוף שנע במהירות קבועה יחסית לזורם שווה לאפס.
פרדוקס פיזיקלי מציין פגם בתאוריה.
בשל פגם זה, מכניקת הזורמים איבדה את האמון של קהילת המהנדסים, דבר אשר על פי חתן פרס נובל בכימיה סיריל נורמן הינשלווד, הביא לפיצול מצער - בין ההידראוליקה, שהייתה התבוננות בתופעות שלא ניתן להסביר, ומכניקת זורמים תאורטית המסבירה תופעות שלא ניתן להבחין בהן.
על פי הקונצנזוס המדעי, הסתירה נובעת מההשפעות הקטנות של הצמיגות.
התיאוריה הפוטנציאלית מזניחה לחלוטין את קיומן אך במציאות יש להן חשיבות על הזרימה.
במהלך המאה ה-19 היו התקדמויות עצומות בתחום של חיכוך בזרימה צמיגה; התקדמויות אלו כללו התקדמויות ניסיוניות ותאורטיות.
בפרט, בעניין הפרדוקס, התקדמויות אלו הגיעו לשיאן בגילוי ותיאור של שכבות גבול דקות על ידי לודוויג פרנטל ב-1904. פרנטל גילה שאפילו במספרי ריינולדס גבוהים מאוד, ייוצרו שכבות גבול דקות כתוצאה מכוחות הצמיגות.
על אף ששכבות אלו דקות, פרנטל הראה שקיומן יוצר אזור לחץ נמוך במרד הזרם ובכך יוצר גרר על גופים.
מבחינה מעשית, הפרדוקס נפתר בהתאם לתיאור שהוצע על ידי פרנטל.
אך מבחינה פורמלית - מתמטית - חסרה הוכחה שהזרימה אותה פרנטל הציע היא הזרימה המתקבלת מפתרון מלא של משוואות נאוייה-סטוקס (אשר בהן משתמשים לתאר זרימה צמיגה).
הוכחה זו קשה לספק, כמו בבעיות רבות אחרות בזרימה המערבות את משוואות נאוויה-סטוקס.
חיכוך צמיגי: סן-ונה, נאוויה, וסטוקס
הצעדים הראשונים לקראת פתרון הפרדוקס נעשו על ידי סן-ונה, שמידל חיכוך נוזל צמיג.
זמן קצר לאחר מכן, בשנת 1851, סטוקס חישב את הגרר הפועל על כדור בזרימת סטוקס, המכונה חוק סטוקס.
זרימת סטוקס מתרחשת בגבול התחתון של מספרי ריינולדס בהן משוואות נאוויה-סטוקס עוסקות.
עם זאת, כאשר הזרימה מתוארת על ידי המשוואות הלא-ממדיות, משוואות נאוויה-סטוקס הצמיגות מתכנסות למשוואות אוילר הבלתי צמיגות בגבול של מספרי ריינולדס גבוהים.
דבר זה מעיד שהזרימה צריכה להתכנס לפתרון הבלתי צמיג של זרימה פוטנציאלית.
כלומר, הגבול התאורטי של משוואות הזרימה במספר ריינולדס גבוה מוביל לתוצאה תאורטית של אפס גרר עליה מצביע פרדוקס ד'אלמבר.
באופן מעשי הזורם מפעיל גרר לא אפסי בזרימה זו.
לכן, שאלות הנוגעות לאמינות של מכניקת זורמים הועלו שוב במחצית השנייה של המאה ה-19.
היפרדות של זרימה לא צמיגה: קירכהוף וריילי
במחצית השנייה של המאה ה-19, המוקד עבר שוב לכיוון שימוש בתאוריית זרימה לא צמיגה לתיאור של גרר - בהנחה שהצמיגות הופכת להיות פחות חשובה במספרי ריינולדס גבוהים.
המודל המוצע על ידי קירכהוף וריילי היה מבוסס על התאוריה של הלמהולץ ומורכב משובל תמידי מאחורי הגוף.
ההנחות אשר חלו על האזור של השובל כוללות: מהירות הזורם שווה למהירות הגוף, והלחץ קבוע.
האזור של שובל זה מופרד מהזרימה הפוטנציאלית שמחוץ לגוף ולשובל בעקבות מערבולות סדורות עם קפיצות רציפות במהירות המשיקית על פני הממשק.
על מנת לקבל שאין אפס גרר על הגוף, אזור השובל חייב להמשיך עד אינסוף.
ניתן לפתור באופן מלא את התיאוריה הזו עבור זרימת קירכהוף בניצב למשטח.
התאוריה קובעת בצורה נכונה שכוח הגרר צריך להיות פרופורציונלי לריבוע של המהירות.
בהתחלה, התאוריה יכלה להיות מיושמת רק לזרימות המופרדות בקצוות חדים.
מאוחר יותר, בשנת 1907, התאוריה הורחבה על ידי לוי-צ'יוויטה לזרימות המופרדות מגבולות חלקות ומעוגלות.
כבר בעת פיתוח התיאוריה, היה ידוע שחלק מהנחות התיאוריה אינן מתקיימות במציאות מאחר שבאופן מעשי בזרימות כאלו השובל אינו יציב, שכן, המערבולת הסדורות פיתחו אי יציבות קלווין – הלמהולץ.
מודל זה של זרימה מתמידה נחקר עוד בתקווה שעדיין יוכל לתת אומדן סביר של גרר.
עם זאת, התנגדויות בסיסיות התעוררו כנגד גישה זו: קלווין ציין שאם משטח נע במהירות קבועה דרך הנוזל, והמהירות בשובל שווה לזו של המשטח.
ההיקף האינסופי של השובל - המתרחב ככל שהמרחק מהמשטח מתרחק כפי שמתקבל מהתאוריה - משמעותו שיש אנרגיה קינטית אינסופית בשובל.
משמעות שאנחנו חייבים לדחות על בסיס פיזיקלי.
יתר על כן, הפרש הלחצים הנצפה בין החלק הקדמי והחלק האחורי של המשטח וכוחות הגרר כתוצאה מכך, הם הרבה יותר גדולים מהצפוי: למשטח שטוח בניצב לזרימה מקדם הגרר המחושב הוא , ואילו בניסויים .
זאת, בעיקר בשל שאיבה בצד השובל של המשטח, הנגרם על ידי הזרימה הבלתי יציבה בשובל האמיתי (בניגוד לתאוריה שמניחה מהירות זרימה קבועה ששווה למהירות של המשטח).
לכן, תאוריה זו אינה מספקת כדי להסביר את הגרר שפועל על גוף בזרימה.
הפיזיקאי הגרמני לודוויג פרנטל הציע בשנת 1904 כי ההשפעות של שכבת גבול צמיגה דקה אולי יכולה להיות המקור של גרר משמעותי.
פרנטל שיער, שבמהירויות גבוהות ומספרי ריינולדס גבוהים, תנאי שפה של אי-החלקה גורם לווריאציה משמעותית של מהירויות הזרימה בשכבה דקה בקרבת הגוף.
זה מוביל ליצירה של ערבוליות ופיזור צמיג של אנרגיה קינטית בשכבת הגבול.
פיזור האנרגיה, אשר חסרה בתאוריות של זרימה לא צמיגה, מסבירה את ההפרדה של הזרימה על גבי גופים שאינם פשוטים.
הלחץ הנמוך באזור השובל יוצרות גרר צורה, אשר יכול להיות גדול יותר מאשר גרר החיכוך בשל לחץ הגזירה הצמיגי על הקיר.
ניתן לראות ראיות לכך שהתרחיש של פרנטל קורה עבור גופים לא פשוטים בזרימה של מספרי ריינולדס גבוהים בהסתכלות על זרימה המתחילה באימפולסיביות סביב גליל.
בתחילה הזרימה דומה לזרימה פוטנציאלית, לאחר מכן הזרימה נפרדת מהמשטח ליד נקודת הסטגנציה האחורית.
לאחר מכן, נקודות ההפרדה מתחילה לנוע במעלה הזרם, וגורמת לאזור לחץ נמוך של זרימה מופרדת.
פרנטל שיער שהתופעות של צמיגות חשובות בשכבות דקיקות - הנקראות שכבות גבול - סמוכות לגבולות מוצקים, ושלצמיגות אין כל חשיבות מחוץ לגבולות אלו.
עובי שכבת הגבול הופך להיות קטן יותר כאשר הצמיגות פוחתת.
הבעיה המלאה של זרימה צמיגה, שתוארה על ידי משוואות נאוויה סטוקס הלא ליניאריות, היא לא פתירה מבחינה מתמטית באופן כללי.
עם זאת, בשימוש בהשערתו (וגיבויה על ידי ניסויים) פרנטל היה מסוגל להפיק מודל משוער לזרימה בתוך שכבת הגבול, הנקראת תיאורית שכבות-גבול, והזרימה מחוץ לשכבת הגבול יכולה להיות מטופלת באמצעות התאוריה של זרימה בלתי צמיגה.
תיאורית שכבת גבול ניתנת להרחבה אסימפטוטית לקבלת פתרונות מקורבים.
במקרה הפשוט ביותר של משטח המקביל לזרימה, תאוריית שכבת-גבול תניב גרר (חיכוך) בעוד שכל תאוריה של זרימה לא צמיגה תחזה גרר אפס.
במקרים אווירודינמיים, התאוריה של פרנטל ניתנת ליישום ישירות לגופים יעילים כמו כנפיים דקים בהם, יש גרר על המשטח כתוצאה ויש גם גרר צורה אשר נובע מההשפעה של שכבת הגבול הדקה והשובל הדק שנוצר על הפיזור לחצים מסביב לכנפיים דקות.
לוודא, כפי שפרנטל הציע, שלגורם בעל משמעות זניחה (השפעת הצמיגות זניחה ככל שמגדילים את מספר ריינולדס) יש השפעה גדולה - גרר משמעותי - עשוי להיות משימה קשה מאוד.
המתמטיקאי גארט בירקהוף בפרק הפתיחה של ספרו הידרודינמיקה, כותב על מספר פרדוקסים של מכניקת זורמים (כולל פרדוקס ד'אלמבר) ומביע ספק ברור בפתרונות הרשמיים שלהם:
בפרט לפרדוקס ד'אלמבר, הוא מעלה עוד דרך אפשרית ליצירתו של גרר: חוסר יציבות של הפתרונות האפשריים של הזרימה הפוטנציאלית למשוואות אוילר.
ב-1951 המתמטיקאי ג'יימס ג'יי סטוקר מבקר בחריפות את הפרק הראשון בספרו של בירקהוף:
במהדורה השנייה והמתוקנת של הידרודינמיקה של בירקהוף, שתי ההצהרות שלעיל לא הופיעו.
החשיבות והתועלת של ההישגים שנעשו בנושא פרדוקס ד'אלמבר נבדקו על ידי סטיורטסון שלושים שנה לאחר מכן.
מאמר הסקירה הארוך שלו מתחיל:
לפרדוקסים רבים בפיזיקה, הפתרון שלהם לעיתים קרובות נמצאת במעבר מעבר לתאוריה הזמינה.
במקרה של פרדוקס ד'אלמבר, המנגנון החיוני לפתרונו סופק על ידי פרנטל באמצעות הגילוי והמידול של שכבות גבול צמיגות ודקות - אשר על אף שהן דקות הן אינן זניחות במספרי ריינולדס גבוהים.
הוכחה של אפס גרר בזרימה פוטנציאלית תמידית
שלוש ההנחות העיקריות בגזירה של פרדוקס ד'אלמבר הן שהזרימה הקבועה היא בלתי דחיסה, לא צמיגה, ואי רוטציונית.
נוזל לא צמיג מתואר על ידי משוואות אוילר, שבזרימה בלתי דחיסה נראות כדלהלן:
כאשר הוא מהירות הזורם, הלחץ, הצפיפות, ו הוא אופרטור הגרדיאנט.
ההנחה שהזרימה היא רוטציונית גוררת שהמהירות מקיימת ולכן אנחנו מקבלים:
כאשר השוויון הראשון הוא זהות והשוויון השני נובע מהעובדה שהזרימה אי-רוטציונית.
בנוסף, לכל זרימה אי-רוטציונית, קיימת פונקציית מהירות כך ש.
הכנסת כל זה למשוואת שימור התנע נותן:
לכן, החלק שבסוגריים חייב להיות קבוע (כל תלות שיש בזמן יכולה להתבטל על ידי הגדרה מגדש של ).
בהנחה שהזורם נמצא במנוחה באינסוף ושהלחץ מוגדר כאפס שם, הקבוע שווה לאפס, ולכן:
שזה משוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית לא יציבה.
אם גוף נע במהירות קבועה דרך הנוזל שנמצא במנוחה רחוק מאוד - באינסוף.
לכן שדה המהירות של הנוזל חייב להקבע על ידי הגוף, ולכן הוא מהצורה כאשר הוא הקוארדינטה של הווקטור המרחבי, ולכן:
מכיוון ש, אפשר לעשות אינטגרציה לפי ולקבל:
הכוח שהנוזל מפעיל על הגוף מחושב באמצעות אינטגרל משטחי:
כאשר הוא שטח הגוף, ו הוא וקטור הנורמל למישור הגוף.
אבל ממשואה (2) אנחנו מקבלים:
כאשר התרומה של לאינטגרל שווה לאפס.
בשלב זה נהיה הרבה יותר פשוט לעבוד עם רכיבי הווקטור.
הרכיב ה של המשוואה הזאת הוא:
אם הוא הנפח של הנוזל, אזי על פי משפט גאוס:
צד ימין הוא אינטגרל על נפל אינסופי ולכן צריך הצדקה, אשר אפשר להשיגה מתאוריית הזרימה הפוטנציאלית אשר אומרת כי המהירות דועכת כמו - כמו פוטנציאל חשמלי של דיפול בגוף סופי תלת־ממדי.
האינטגרנד בתוך האינטגרל הנפחי יכול להכתב כדלהלן:
כאשר שוויון (1) והאי-דחיסות של הנוזל ממומשים.
כאשר מחזירים את הנוסחא הזו בחזרה לתוך האינטגר הנפחי ומשתמשים בחוק גאוס שוס, מקבלים:
כאשר מכניסים את זה למשוואה (3) אנו מוצאים ש:
הנוזל אינו יכול לחדו אל תוך הגוף, ולכן על משטח הגוף, ולכן:
ולבסוף, כוח הגרר הפועל על הגוף חייב להיות בכיוון התנועה, ולכן:
ולכן התיאוריה מצביעה על כך שאין גרר, בעוד שהתצפית מראה גרר לא זניח.
פרדוקס הגלגל של אריסטו הוא פרדוקס מהתקופה היוונית והוא מיוחס באופן מסורתי לאריסטו.
הציור הקלאסי של הפרדוקס מתאר שני גלגלים בעלי מרכז מעגל משותף ובעלי קטרים שונים.
כלומר, נמצאים אחד בתוך השני.
כל גלגל עושה דרך על קו ישר באורך היקף הגלגל (כמו באיור- קו אדום וקו כחול).
בפועל מתקבלת סתירה היות שמתקבלים שני קווים באותו אורך מה שמעיד על כך שהיקף הגלגל הקטן צריך להיות זהה להיקף הגלגל הגדול, בניגוד להנחה שיש להם היקפים בגדלים שונים.
הכשל הלוגי הוא ההנחה שהגלגל הקטן אינו תלוי בגלגל הגדול יותר ובהנחה שהגלגל הקטן אכן עושה דרך כמו היקפו, מבלי להבטיח שהוא מתגלגל ללא "החלקה" על משטח קבוע.
למעשה, זה בלתי אפשרי עבור שני הגלגלים לבצע תנועה כזו.
מבחינה פיזית, אם שני גלגלים עם רדיוס שונה מגולגלים ביחד לאורך קווים מקבילים אז לפחות אחד חייב "להחליק".
אפשר להמחיש את הפתרון באמצעות צמיג מכונית שההיקף החיצוני שלו מהווה הגלגל הגדול, וואילו ההיקף הפנימי שלו מהווה את הגלגל הקטן יותר.
התנועה של המעגל הפנימי תלויה בתנועה של המעגל החיצוני הגדול, ולמעשה במהלך פנייה סיבובית המעגל הפנימי "מחליק" ביחס לקרקע.
גלילאו גליליי ניתח את הפרדוקס הזה במסגרת הפיזיקה החדשה שפיתח, שמבוססת על אנליזה מתמטית.
פרדוקס הוא סרט מתח ומדע בדיוני אמריקאי משנת 2016, את הסרט ביים מייקל הרסט שגם כתב את התסריט.
משקיע עם מבטא זר, שנמצא במעקב של רשות המיסים האמריקנית, איגד סביבו חבורת מדענים צעירים.
את פרטי המיזם המשותף שלהם, הם שומרים בסוד - במרתף עמוק מאוד, הם בונים מכונת זמן.
המכונה יכולה לשגר אותם לזמנים אחרים, אך לא לשנות את המקום שלהם.
מסע הזמן שלהם תמיד יתחיל ויסתיים בחדר השיגור, שבמרתף (בניגוד למכונת הזמן מהסדרה "מנהרת הזמן", שמשנה גם את המקום וגם את הזמן).
כבר בלילה הראשון בו מופעלת המכונה, מתעוררות בעיות קשות.
מתעוררות מריבות בין אנשי הצוות, ואיש הצוות המבצע את נסיעת הזמן הבכורה, ואמור להיות משוגר שעות אחדות קדימה, אל העתיד, חוזר מיד, כשהוא מבוהל.
הוא טוען, כי עוד באותו לילה, מישהו עומד לרצוח את אנשי הצוות, בתוך המרתף.
לא ברור מי הרוצח, אך אנשי הצוות מבינים כי זה חייב להיות אחד מהם.
בניסיון התגוננות מהרצח, אנשי הצוות משגרים עצמם אל העבר הקרוב, בזה אחר זה.
כך נוצר מצב בו, בו זמנית, יש מספר עותקים מכל אחד מהם - עצמו של הרגע ועצמו של העתיד, שהוא שיגר אל אותו רגע.
זיהוי הרוצח הופך למסובך מאוד.
הצוות מגלה גם, שהמשקיע רק מזייף מבטא זר, ומגלה את מקור ההון הרב של המשקיע.
המשקיע הוא נוסע בזמן מן העתיד הרחוק, שמחזיק במידע על ההולך להתרחש בבורסות העולם, במהלך מספר עשורים.
תגלית זו יוצרת את המניע לרצח - השתלטות על המידע הזה יכולה להפוך כל אדם לעשיר מאוד.
מרגע היווצרות המניע, אחד מאנשי הצוות משגר עצמו אל העבר, כדי לבצע את הרציחות וכדי לסכל את ניסיונות מניעתן.
אך לא ברור מי זה.
פרדוקס איסטרלין הוא מושג בתחום הכלכלה שטוען שבהשוואת רמת האושר של תושבים באותה מדינה יש מתאם בין עושר גבוה לרמת אושר גבוהה יותר, אך מנגד רמת האושר הכללית של תושבי מדינה עשירה ומפותחת, אינה גבוהה יותר מרמת האושר הכללית של תושבי מדינה עשירה פחות.
הנחת היסוד של הפרדוקס שנויה במחלוקת.
המושג קרוי על שמו של הכלכלן ריצ'רד איסטרלין שדן בגורמים המשפיעים על האושר והרווחה במאמר משנת 1974, בשם "האם הצמיחה הכלכלית משפרת את גורל האדם?
איסטרלין מצא, כפי שרוב הכלכלנים ציפו, כי בתוך מדינה נתונה, אנשים בעלי הכנסות כספיות גבוהות יותר הם בממוצע מאושרים יותר.
עם זאת, בהשוואה בין מדינות שונות, רמות האושר המדווחות לא הושפעו הרבה מהנתון של הכנסה לאומית לנפש, לפחות לא למדינות שהייתה להן הכנסה מספקת כדי לספק מענה לצרכים בסיסיים.
בצורה דומה, אף על פי שההכנסה לנפש בארצות הברית עלתה בעקביות בין 1946 ל-1970, דיווחים על אושר לא גילו מגמה ארוכת טווח כלשהי, וירדו בין 1960 ל-1970.
מושג זה חוזק על ידי מחקרים שונים, ביניהם מחקר של אנדרו אוסואלד מאוניברסיטת ווריק שגרם להתעניינות תקשורתית בנושא.
מחקרים מודרניים בנושא השתמשו בשיטות רבות ושונות כדי למדוד אושר, ביניהן מדידות ביולוגיות, שהגיעו לאותם דפוסים.
דבר זה נעשה בניסיון לענות על חלק מהטענות כנגד מדידה של אושר בדיווח עצמי.
אחד ההסברים לפרדוקס הוא שהשפעת ההכנסה הכספית על האושר היא באמצעות מנגנון יחסי, כלומר מדידת ההכנסה יחסית להכנסתם של אנשים אחרים באותה מדינה.
לכן אין לרמת הכנסה לאומית גבוהה השפעה על רמת האושר המדינתית.
איסטרלין עצמו הסביר כי ההשפעה של עושר על האושר נעצרת מרגע שנענו צרכים בסיסיים של האוכלוסייה.
כפועל יוצא נאמר כי המדיניות הממשלתית צריכה להפסיק להתמקד בצמיחה כלכלית, ולהתחיל להתמקד במדדים אחרים כמו הגדלת שביעות הרצון על ידי מדדים כמו מדד האושר הלאומי או מדדים דומים אחרים .
מגמה זו קיבלה חיזוק מצד הזרם של כלכלה אקולוגית שביקר את התוצר המקומי הגולמי על רקע בעיות שקשורות לפגיעה בסביבה ולפגיעה בקיימות.
בשנת 2003 פרסמו רות וינהובן ומיכאל הגרטי ניתוח חדש שהתבסס על מגוון מקורות מידע, והמסקנה שלהם הייתה שלא קיים פרדוקס, וכי מדינות הופכות בממוצע למאושרות יותר כאשר ההכנסה שלהן עולה.
בתגובה טען איסטרלין כי החוקרים השתמשו במידע בלתי מתאים.
בשנת 2008, הכלכלנים ג'סטין וולפרס ובטסי סטיבנסון , מאוניברסיטת פנסילבניה, פרסמו מאמר שניסה לבדוק מחדש את פרדוקס איסטרלין באמצעות נתונים שנלקחו על פני זמן וגם הם הסיקו שפרדוקס איסטרלין מוטעה.
הם טענו כי קיימת האטה בקשר בין הכנסה אבסולוטית לבין אושר, אבל אין נקודת רוויה שבה הכנסה אבסולוטית מפסיקה להשפיע.
לטענתם האושר לא מושפע רק מרמה יחסית של הכנסה אלא גם מרמות הכנסה אבסולוטית.
דבר זה עומד בניגוד לפרשנות קיצונית של תאוריית hedonic treadmill לפיה רק ההכנסה היחסית משנה את ההרגשה ואת ההתנהגות.
גם מחקרו של אנגוס דיטון, זוכה פרס נובל תומך במסקנה זו.
בשנת 2010, איסטרלין הוציא לאור נתונים ממדגם של 37 מדינות מאשרים מחדש את הפרדוקס אשר נחקר על ידי וולפרס.
ריצ'רד ליורד, אנדרו קלארק וקלאודיה סניק אשר ציינו כי ישנם משתנים אחרים כמו עושר, אמון חברתי ולו דווקא הכנסה, אשר יכולים לשפר הרבה את סך תמ"ג לנפש .
ב-2015, פסיכולוגים, תומאס גילוביץ' ועמית קומר פרסמו סקירה אשר הוכיח כי "חווייתית רכישות (כגון חופשות, הופעות, ארוחות בחוץ) נוטות להביא יותר אושר מתמשך, מאשר רכישות חומריות.
הם מצאו שבהשוואה לחפצים, חוויות פחות ניתנות להסתגלות.
סלין קסביר פרופסור בבית ספר לעסקים בלונדון, שיגריאו אושי, פרופסור באוניברסיטת וירג'יניה, טענו כי אי-השוויון פוחת ונגד זה גדל התוצר.
זה יכול להיות על סמך האושר הלאומי אשר בחלקו מסביר את הפרדוקס.
מחוז פרדוביצה או מחוז פרדוביצקי (בצ'כית: Pardubický kraj) הוא אחד מ-13 מחוזות של הרפובליקה הצ'כית, השוכן ברובו בחלקה המזרחי של בוהמיה ההיסטורית ובמיעוטו בחלק קטן של צפון-מערב מוראביה.
המחוז נקרא על שם בירתו, העיר פרדוביצה.
מחוז פרדוביצה שימש במהלך ההיסטוריה כיחידה מנהלית בגבולות שונים, לראשונה הוקם ב-1850 והשתרע בין העיר צ'סקי ברוד לגבול בוהמיה-מוראביה.
בין 1949 ל-1960 היה מחוז פרדוביצה אחד מ-19 מחוזות צ'כוסלובקיה, ובגבולותיו הנוכחיים הוא הוכרז בשנת 2000.
מחוז פרדוביצה, מחולק לארבעה מחוזות משנה (אוקרס, Okres):
מחוז משנה אוסטי נד אורליצי
פרדוקס האחים מתייחס לקבוצה של שאלות (או חידות) בתורת ההסתברות.
בעיות אלה ידועות גם בשמות "פרדוקס בן או בת", "בעיית שני הילדים", ושמות נוספים.
לא ידוע מי המנסח המקורי של החידה, אם כי היא בדרך כלל מיוחסת למרטין גרדנר, שפרסם את החידה בשנת 1954 בכתב העת Scientific American תחת הכותרת "בעיית שני הילדים".
שתי השאלות ששאל גרדנר היו:
למר ג'ונס יש שני ילדים.
מה ההסתברות כי למר ג'ונס יש שני בנים?
החידה השנייה מכונה "פרדוקס" כיוון שהתשובה לשאלה נוגדת את האינטואיציה של רוב האנשים.
בנוסף לכך, התשובה לשאלה השנייה אינה חד משמעית.
גרדנר ציין במאמרו המקורי כי התשובה לשאלה הראשונה היא 1/2 והתשובה לשאלה השנייה היא 1/3, אך מאוחר יותר הודה כי ניסוח השאלה השנייה אינו חד משמעי, וכי התשובה לשאלה השנייה יכולה להיות גם היא 1/2 בתנאים מסוימים.
מאוחר יותר הופיעו גרסאות נוספות של החידה, ובהן ניסוחים אחרים ו/או הוספת אינפורמציה, שגרמו לשינוי בתשובה לשאלה.
הפתרונות שיוצגו בהמשך מתבססים על ההנחות הבאות:
כל ילד הוא בהכרח בן או בת.
הסיכוי ללידת בן שווה לסיכוי ללידת בת
אין תלות בין המגדרים של הילדים
ניתן לטעון כי אחת או יותר מן ההנחות אינן תקפות.
החלפת אחת ההנחות (או יותר) בהנחה אחרת תוביל בהכרח לשינוי בתשובה הסופית.
ההנחות שהונחו מגדירות מודל, כלומר תיאור של המציאות, שייתכן שאינו מדויק לגמרי, אבל הוא מספיק טוב כדי לתת תשובה אמינה לשאלה שנשאלה.
מהנחות המודל נובע כי יש ארבעה סוגים אפשריים של משפחות בנות שני ילדים, ולכל האפשרויות יש הסתברות שווה - 1/4. ארבעת סוגי המשפחות הן:
בשאלה הראשונה נאמר לנו כי הילד הבכור הוא בן, ולכן ברור כי מבנה המשפחה הוא אחד משני הסוגים הראשונים של המשפחות: "בן-בן" או "בן-בת".
מאחר שלכל אחד ממבני המשפחות האלה הסתברות שווה, רק אחת האפשרויות נכונה, ולכן התשובה היא 1/2.
בשאלה השנייה שהציג גרדנר נאמר כי אחד מהילדים הוא בן, אך לא נאמר אם זהו הבכור מבין שני הילדים או הצעיר מביניהם.
ברור כי מבנה המשפחה המתוארת אינו בת-בת.
מבנה המשפחה הוא בהכרח אחת משלוש האפשרויות: "בן-בן", "בן-בת", או "בת-בן".
לשלוש האפשרויות אותה הסתברות, אך רק באחת מהן יש שני בנים במשפחה, לכן התשובה היא 1/3.
אולם ניתן לטעון כי לא ידוע לנו כיצד נבחר הילד עליו נאמר לנו כי הוא בן.
ניתן לחשוב על התהליך הבא:
בוחרים באופן מקרי משפחה בת שני ילדים
בוחרים באופן מקרי את אחד משני הילדים
מדווחים את מינו של הילד שנבחר
אם אכן זה היה תהליך בחירת המשפחה, מרחב המדגם, שהוא רשימת כל המשפחות האפשריות, משתנה, כיוון שעליו לכלול גם את המידע שאומר איזה ילד נבחר מבין שני הילדים, לתהליך הזה יש 8 תוצאות אפשריות, וכולן שוות הסתברות:
הבכור בן, הצעיר בן, הבכור נבחר
הבכור בן, הצעיר בן, הצעיר נבחר
הבכור בן, הצעירה בת, הבכור נבחר
הבכור בן, הצעירה בת, הצעירה נבחרה
הבכורה בת, הצעיר בן, הבכורה נבחרה
הבכורה בת, הצעיר בן, הצעיר נבחר
הבכורה בת, הצעירה בת, הבכורה נבחרה
הבכורה בת, הצעירה בת, הצעירה נבחרה
יש בסך הכל 4 אפשרויות שבהן יש לפחות בן אחד ומינו דווח (אפשרויות מספר 1, 2, 3 ו-6).
מתוכן רק בשתי אפשרויות יש שני בנים (אפשרויות 1 ו-2).
קיימות וריאציות רבות של החידה.
וריאציה נפוצה היא כאשר מדווחת אינפורמציה נוספת אודות הילד (או הילדה).
אינפורמציה כזו יכולה להיות, למשל, אזכור כי הבן נולד ביום שלישי, או ציון שמו של הבן, כאשר בדרך כלל מדובר בשם נדיר יחסית, כמו עזריאל.
מסתבר כי כאשר נוספת אינפורמציה, מרחב המדגם משתנה, כמו גם ההסתברויות של המאורעות במרחב המדגם.
נדון לדוגמה בשאלה בה ידוע לנו כי אחד הילדים הוא בן, וכי הוא נולד ביום שלישי.
במקרה זה יש במרחב המדגם 9 מאורעות אפשריים.
להלן המאורעות והסתברויותיהם, כאשר ההסתברות כי ילד נולד ביום שלישי מסומנת באות היוונית ε:
בן בכור נולד ביום שלישי, בן צעיר נולד ביום שלישי.
בן בכור נולד ביום שלישי, בן צעיר לא נולד ביום שלישי.
בן בכור נולד ביום שלישי, הצעירה בת.
בן בכור לא נולד ביום שלישי, בן צעיר נולד ביום שלישי.
בן בכור לא נולד ביום שלישי, בן צעיר לא נולד ביום שלישי.
בן בכור לא נולד ביום שלישי, הצעירה בת.
בת בכורה, בן צעיר נולד ביום שלישי.
בת בכורה, בן צעיר לא נולד ביום שלישי.
המאורעות שבהם שני בנים שלפחות אחד מהם נולד ביום שלישי הם 1, 2, ו-4. המאורעות שבהם יש לפחות בן אחד שנולד ביום שלישי הם מספר 1, 2, 3, 4, ו-7 ברשימה.
מכאן שההסתברות כי במשפחה יש שני בנים היא:
ואם נציב נקבל כי ההסתברות היא 13/27.
פרדוקס דאונס-ת'ומסון (נקרא על שמם של אנת'וני דאונס וג'ון מייקל ת'ומסון), ידוע גם כפרדוקס פיגו-נייט-דאונס (על שמם בנוסף של ארת'ור ססיל פיגו ופרנק נייט), מתאר את המצב שמהירות שיווי המשקל של מכונית ברשת כבישים נקבעת על ידי המהירות הממוצעת מדלת לדלת של נסיעה מקבילה שמבוצעת באמצעות תחבורה ציבורית.
זהו פרדוקס מכיוון שהוא מרמז על כך שהרחבה של רשת הכבישים לטובת כלי רכב פרטיים אינה מפחיתה את הגודש ולמעשה יכולה אפילו להביא להחרפה של הגודש ולהפחתה במהירות ההגעה ליעד.
כתוצאה מהרחבת רשת הכבישים יותר משתמשים עוברים לשימוש ברכב הפרטי, מה שמביא לירידה בביצועי התחבורה הציבורית (לדוגמה בהפחתת התדירויות), שגורמת שוב להעברה נוספת של משתמשים מהתחבורה הציבורית לרכב הפרטי עד שמגיעים לשיווי משקל פחות טוב ממה שהיה לפני (מעגל קסמים זה נקרא אפקט מורינג).
למעשה מדובר פה בהרחבה של המושג ביקוש מושרה והפרדוקס מתיישב עם התאוריה של דאונס על "ההתכנסות המשולשת" מ-1992 המתארת את הקושי בפתרון גודש בשעות השיא.
בתגובה להגדלת קיבולת כביש, שלוש תופעות קורות באופן כמעט מיידי: משתמשים שבעבר בחרו במסלולים חלופיים עוברים לכביש המורחב, משתמשים שקודם נסעו בשעות שפל מתחילים לנסוע בשעות השיא ומשתמשי תחבורה ציבורית עוברים לרכב הפרטי.
קשר זה בין המהירות הממוצעת בתחבורה הציבורית למהירות הממוצעת בתחבורה הפרטית לרוב מתקיים רק כאשר מרבית הנסיעות בתחבורה הציבורית בשעת שיא נעשית על גבי מערכת הנהנית ברובה מתשתית נפרדת, מסילתית או על גבי כביש עם נתיבי תחבורה ציבורית
המסקנה העיקרית, אם הפרדוקס אכן מתקיים, היא שהרחבה של רשת כבישים כפתרון לגודש אינה יעילה ואף מזיקה.
תופעה זו תוארה בצורה אמפירית גם על ידי מרטין מוגרידג' שבחן את מערכת התחבורה של לונדון בספרו לנסוע בעיר: Travel in towns: jam yesterday, jam today and jam tomorrow?
דיטריך ברס הצביע על פרדוקס דומה, פרדוקס ברס, בו הוספה של מקטע בין שתי נקודות יכול במקרים מסוימים להרע את מצבם של הנוסעים בין שתי הנקודות.
פרדוקס הבחירה – למה יותר זה פחות הוא ספר מאת הפסיכולוג האמריקאי בארי שוורץ משנת 2004. בספר טוען שוורץ כי ביטול יכולת הבחירה של הצרכנים יכול להפחית מאוד את החרדה שלהם.
שוורץ מרכיב את טיעונו ממגוון תחומי פסיכולוגיה מודרנית שחוקרת כיצד אושר מושפע מהצלחה או כישלון של השגת מטרה.
שוורץ משווה בין הבחירות השונות העומדות בפני האמריקאים בחיי היומיום שלהן על ידי השוואת מבחר הבחירות בסופרמרקט למגוון השיעורים במכללת ליגת הקיסוס.
שוורץ טוען כי בדיוק כדי שנוכל להתמקד ברצונות שלנו, כל הבחירות הללו צצו מלכתחילה.
שוורץ מתאר כי האסטרטגיה של הצרכן לקבלת החלטות טובות ביותר תכלול את הצעדים הבאים:
ברר את המטרה או היעדים שלך.
תהליך הגדרת יעדים וקבלת החלטות מתחיל בשאלה: "מה אני רוצה?" כאשר עומדים בפני הבחירה לבחור מסעדה, תקליטור או סרט, אנשים בוחרים את בחירתם על פי האופן שבו ניתן היה לצפות שהחוויה תגרום להם להרגיש, תועלת צפויה.
לאחר שהם חוו את המסעדה, התקליטור או הסרט המסוים ההוא, הבחירה שלהם תתבסס על תועלת זכורה.
במצב שבו ניתן לומר שאתה יודע מה אתה רוצה, פירוש הדבר ששתי התועלות הללו משתוות.
הפסיכולוג זוכה פרס נובל, דניאל כהנמן, ועמיתיו הראו שמה שאנחנו זוכרים על האיכות המענגת של חוויות העבר שלנו נקבע כמעט לחלוטין על ידי שני דברים: איך חוויות הרגישו כשהיו בשיאם (הכי טוב או גרוע), ואיך הם הרגישו בסופה של החוויה.
הערך את החשיבות של כל מטרה.
דניאל כהנמן ועמוס טברסקי חקרו כיצד אנשים מקבלים החלטות ומצאו מגוון כללי אצבע שמובילים אותנו לעיתים קרובות.
רוב האנשים נותנים משקל משמעותי לראיות אנקדוטליות, אולי עד כדי ביטול עדויות מומחים.
החוקרים כינו זאת היוריסטיקת הזמינות המתארת כיצד אנו מניחים שככל שפיסת מידע זמינה יותר לזיכרון, כך ודאי נתקלנו בה בעבר.
בולטות תשפיע על המשקל שאנו נותנים לכל מידע מסוים.
כהנמן וטברסקי מצאו כי "חשבונות פסיכולוגיים" אישיים יפיקו את האפקט של מסגור הבחירה וקביעת האפשרויות הנחשבות כנושאים לגורם.
לדוגמה, ערב בקונצרט יכול להיות רק ערך אחד בחשבון גדול בהרבה, למשל חשבון "פגישה עם בן זוג פוטנציאלי".
או שזה יכול להיות חלק מחשבון כללי יותר כמו "דרכים להעביר ליל שישי".
כמה שווה "ערב בקונצרט" יהיה תלוי באיזה חשבון הוא חלק ממנו.
הערך עד כמה הסיכוי שכל אחת מהאפשרויות עומדת ביעדים שלך.
לעיתים קרובות אנשים מדברים על האופן שבו "רואי חשבון יצירתיים יכולים לגרום למאזן ארגוני להיראות טוב או רע כמו שהם רוצים שייראה." במובנים רבים שוורץ רואה ברוב האנשים רואי חשבון יצירתיים בכל הנוגע לניהול המאזן הפסיכולוגי שלהם.
שוורץ טוען כי אפשרויות כבר קשורות לבחירות שנלקחות בחשבון.
כאשר האופציות אינן מקושרות כבר, הן אינן חלק מההנחלה והבחירה שכחלק ממנה הן נתפסות כרווח.
הכלכלן ריצ'רד ת'יילר מספק מונח מועיל לכך, עלויות שקועות.
שוורץ מציין כי בהמשך, אנשים משתמשים בהשלכות הבחירה שלהם כדי להתאים את יעדיהם, את החשיבות המוקנית להם ואת דרך הערכת האפשרויות העתידיות.
שוורץ משייך את רעיונותיו של הפסיכולוג הרברט סימון משנות החמישים למתח הפסיכולוגי שרוב הצרכנים מתמודדים איתו כיום.
הוא מציין כמה הבחנות חשובות בין, מה שסימון כינה, מקסימייזרים וסטיספייסרים.
מקסימייזר הוא כמו פרפקציוניסט, מישהו שצריך להיות בטוח שכל רכישה או החלטה שלהם יהיו הטובים ביותר שאפשר היה לבצע.
הדרך שבה מקסימייזר יודע בוודאות היא לשקול את כל החלופות שהוא יכול לדמיין.
זה יוצר משימה מרתיעה מבחינה פסיכולוגית, שיכולה להיות מרתיעה עוד יותר ככל שמספר האפשרויות גדל.
לסטיספייסר יש קריטריונים וסטנדרטים, אבל סטיספייסר אינו מודאג מהאפשרות שיש משהו טוב יותר.
בסופו של דבר, שוורץ מסכים עם מסקנתו של סימון, כי סטיספיקציה היא למעשה האסטרטגיה המקסימלית.
שוורץ משלב מודלים פסיכולוגיים שונים לאושר המראים כיצד ניתן לטפל בבעיית הבחירה באמצעות אסטרטגיות שונות.
מה שחשוב לציין הוא שכל אחת מהאסטרטגיות הללו מגיעה עם חבילת סיבוכים פסיכולוגיים משלה.
שוורץ דן בחשיבותן של שיטות מחקר נפוצות המשתמשות בסולם אושר.
הוא מסתפק בדעתם של הפסיכולוגים דייוויד מאיירס ורוברט ליין, שמסיקים באופן עצמאי כי שפע הבחירה הנוכחי מוביל לעיתים קרובות לדיכאון ולתחושות בדידות.
שוורץ מפנה תשומת לב מיוחדת לטענתו של ליין כי האמריקאים משלמים עבור שפע מוגבר וחופש עם ירידה משמעותית באיכות ובכמות הקהילה.
את מה שניתן פעם על ידי המשפחה, השכונה ומקום העבודה, עכשיו יש להשיג ולטפח באופן פעיל ובאופן אישי.
המארג החברתי אינו עוד זכות מולדת אלא הוא הפך לסדרת בחירות מכוונות ותובעניות.
שוורץ דן גם באושר עם מוצרים ספציפיים.
לדוגמה, הוא מצטט מחקר שערכו שינה איינגר מאוניברסיטת קולומביה ומארק לאפר מאוניברסיטת סטנפורד, שגילו שכאשר המשתתפים מתמודדים עם מערך ריבה קטן יותר ולא גדול יותר, הם למעשה מרוצים יותר מטעמם.
שוורץ מחבר את הנושא למחקר של הכלכלן אלברט הירשמן על האופן בו אוכלוסיות מגיבות לאומללות: הן יכולות לצאת מהמצב או למחות ולהביע את דאגותיהן.
בעוד שממשלות בשוק החופשי נותנות לאזרחים את הזכות להביע את מורת רוחם ביציאה, כמו בהחלפת מותג, שוורץ טוען כי היחסים החברתיים שונים.
במקום זאת, אנו בדרך כלל נותנים קול למורת רוח, בתקווה להשפיע על המצב.
הפרופסור למשפטים קאס סאנשטיין משתמש במונח "החלטות מסדר שני" להחלטות העוקבות אחר כלל כלשהו.
המשמעת לחיות "לפי הכללים" מבטלת אינספור בחירות טורדניות בחיי היומיום של האדם.
שוורץ מראה כי ניתן לחלק את החלטות הסדר השני לקטגוריות כלליות של יעילות במצבים שונים: הנחות, תקנים וקודים תרבותיים.
כל אחת מהשיטות הללו הן דרכים שימושיות בהן אנשים משתמשים כדי לנתח את המגוון העצום של הבחירות איתן הם מתמודדים.
שוורץ מגלה שכאשר אנשים עומדים בפני הצורך לבחור אפשרות אחת מתוך אפשרויות רבות רצויות, הם יתחילו לשקול פשרות היפותטיות.
האפשרויות שלהם מוערכות במונחים של החמצת הזדמנויות במקום פוטנציאל ההזדמנות.
במילים אחרות, לאחר שבחרו אלטרנטיבה עם ריבוי אך לא רוב של תועלת, אנשים זוכרים את סכום התועלת האבודה במקום לעשות את הבחירה המקסימלית.
שוורץ טוען כי אחד החסרונות של ביצוע פשרות הוא בכך שהוא משנה את תחושתנו לגבי ההחלטות העומדות בפנינו; לאחר מכן, זה משפיע על רמת הסיפוק שאנו חווים מההחלטה שלנו.
בעוד פסיכולוגים ידעו כבר שנים על ההשפעות המזיקות של רגש שלילי על קבלת ההחלטות, שוורץ מצביע על עדויות עדכניות המראות עד כמה לרגש חיובי יש השפעה הפוכה: באופן כללי, נבדקים נוטים לשקול יותר אפשרויות כאשר הם מרגישים מאושרים.
הניסיונות לשכפל את פרדוקס הבחירה במחקרים אחרים זכו להצלחה מעורבת.
מטא-אנליזה ששילבה 50 מחקרים עצמאיים לא מצאה שום קשר משמעותי בין בחירה לחרדה, אך שיערה כי השונות במחקרים השאירה תשובה פתוחה לאפשרות שעומס יתר בבחירה יכול להיות קשור לתנאים מוקדמים מסוימים ביותר שעדיין לא הובנו היטב.
מטא-אנליזה חדשה, שנערכה בשנת 2015 ושילבה 99 מחקרים, הצליחה להבין שצמצום האפשרויות ללקוחותיך עשוי להעלות את המכירות.
המחקר זיהה ארבעה גורמים מרכזיים – מורכבות של קביעת בחירה, קושי במשימת החלטות, אי ודאות העדפה ויעד החלטה – הממתנים את ההשפעה של גודל המבחר על עומס יתר בבחירה.
כמו כן, תועד כי כאשר לוקחים בחשבון משתנים מתונים, ההשפעה הכוללת של גודל המבחר על עומס יתר בבחירות היא משמעותית – ממצא מנגד לנתונים שדווחו על ידי מחקר מטא-אנליטי קודם.
פרדוקס החברות היא תופעה שנצפתה לראשונה על ידי הסוציולוג סקוט ל.
פלד בשנת 1991, ולפיה לרוב האנשים יש פחות חברים מאשר לחברים שלהם, בממוצע.
ניתן להסביר זאת כצורה של הטיה מדגמית בה אנשים עם יותר חברים נוטים יותר להיות בקבוצת החברים שלך.
לחלופין, יש פחות סיכוי להיות חבר עם מישהו שיש לו מעט מאוד חברים.
זאת בניגוד לדעה הרווחת בקרב רוב האנשים, המאמינים שיש להם יותר חברים מאשר לחברים שלהם.
הופעת הפרדוקס ניתנת להסברה כתוצאה מהתכונות המתמטיות הכלליות של הרשתות החברתיות.
המעגל החברתי של כל אדם שונה מאחד לרעהו, לרובנו יש כמה חברים וביניהם גם אנשים המקושרים יתר על המידה עם רשת חברתית ענפה במיוחד.
הקבוצה הקטנה הזו של אנשים המקושרים יתר על המידה, אנשים עם חברים רבים שהם חלק מהמעגל החברתי שלך, היא זו שמגדילה את הפופולריות הממוצעת של החברים שלך.
לא זאת בלבד שהפופולריות יוצאת הדופן של אותם קומץ אנשים המקושרים יתר על המידה מעוותת את הפופולריות הממוצעת של חברים הקשורים אליהם, אלא שלמרות שאנשים כמותם נדירים, הם מופיעים גם במספר יוצא דופן של מעגלים חברתיים.
בשנת 2009 בעיצומה של התפרצות מחלת שפעת, צוות חוקרים מאוניברסיטת הרווארד ביצע מחקר אחר התפשטות הנגיף בקרב קבוצת סטודנטים.
המחקר כלל שתי קבוצות המכילות 744 סטודנטים, הקבוצה הראשונה כללה סטודנטים שנבחרו באופן אקראי בעוד הקבוצה השנייה הכילה חברים שנבחרו על ידי הסטודנטים שבקבוצה הראשונה.
בהתבסס על נתונים קליניים מהמחקר, התפרצות המחלה בקבוצת החברים הופיעה כ-13.9 ימים לפני ההתפרצות בקרב הקבוצה של הנבדקים הרנדומליים.
התופעה נבעה מנוכחות של אנשים מרכזיים (Centrality) המהווים נקודות ממשק ברשתות חברתיות רבות.
המחקר תרם בין השאר במציאת דרכים לזיהוי מוקדם של אתרי התפרצות וכדרך לחיזוי והאטת התפשטות מגפות.
במאמר שפורסם בשנת 2013 נבדקה השפעת פרדוקס החברות ברשת החברתית Twitter.
המחקר התבסס על מאגרי מידע המכילים 476 מיליון ציוצים שהם 20%-30% מכלל הציוצים שפורסמו מחודש יוני עד לחודש דצמבר בשנת 2009. החוקרים הוכיחו שהפרדוקס תקף עבור יותר מ-98% ממשתמשי Twitter.
פרדוקס אזור בטא הוא תופעה בה לפעמים אנשים יכולים להתאושש מהר יותר מחוויות קשות יותר מאשר מחוויות עם מצוקה מעטה.
הסיבה המשוערת היא שמצבים אינטנסיביים מעוררים תהליכי הגנה פסיכולוגיים המפחיתים את המצוקה, בעוד שמצבים פחות אינטנסיביים אינם מפעילים את אותם תהליכי הגנה פסיכולוגיים, ולכן ישנה הנחתה פחות יעילה של הלחץ.
הפרדוקס נצפה בהשפעות הפסיכולוגיות של חשיפה לפיגועי טרור.
ככל הנראה ישנו קשר להפעלת התמודדות, דיסוננס קוגניטיבי וצורות אחרות של התגייסות נפשית.
דוגמה לפרדוקס היא במקרה בו אדם מסוים נמצא כרגע במערכת יחסים רומנטית בינונית, סביר להניח שהוא לא יסיים אותה כדי למצוא מערכת יחסים מצוינת בשונה ממקרה בו מערכת היחסים הנוכחית שלו גרועה יותר וכך המצב הכללי הופך לגרוע יותר מכיוון שאותו אדם יישאר במערכת היחסים הבינונית.
דוגמה נוספת היא אדם שנמצא בעבודה בינונית וימשיך בה, בשונה מעבודה גרועה בה יהיה לו יותר תמריץ למצוא עבודה טובה.
כמו כן, סביר להניח שאנשים פצועים יחפשו אמצעים יעילים לזרז את החלמתם (נטילת תרופות, פניה לרופא, ניתוח) כאשר הפציעה חמורה יותר מאשר עבור פציעות קלות, מה שגורם לפציעות אלו להימשך זמן רב יותר.