tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
ברמה הכללית ביותר פונקציית זטא יכולה להיות כל טור דיריכלה מוכלל עם מקדמים חיוביים.
זאת אומרת פונקציה מרוכבת שיש לה פיתוח לטור מהצורה הבאה:
כאשר ו - הם סדרות של מספרים ממשיים חיוביים.
המקדמים (והמספרים ) מקודדים בדרך כלל מידע כמותי על אובייקט מתמטי כלשהו, ופונקציית זטא מאפשרת לחקור אובייקט זה באמצעות כלים של אנליזה מרוכבת.
במקרים רבים נהוג לדרוש מפונקציית זטא תכונות נוספות, בדרך כלל את ארבעת התכונות שדורשים מפונקציית L: פיתוח לטור דיריכלה (זאת אומרת שהספרים צריכים להיות שלמים), פיתוח למכפלת אוילר, המשכה מרומורפית לכל המישור, ומשוואה פונקציונלית.
ניתן להתייחס לפונקציות L כאל גרסאות מעוותות (twisted) של פונקציות זטא, בהם המקדמים אינם חיוביים (או ממשיים).
החיוביות של המקדמים מקלה על המחקר של פונקציות זטא (לעומת פונקציות L אחרות) למשל בזכות הלמה של לנדאו.
פונקציית זטא של רימן - הדוגמה האולטימטיבית.
מקיימת את כל התכונות המקובלות של פונקציות זטא ופונקציות L.
פונקציית זטא של דדקינד - מקיימת את כל התכונות המקובלות של פונקציות זטא ופונקציות L.
פונקציית זטא של חבורה - חסרת המשכה מרומורפית (לכל המישור) ומשוואה פונקציונלית.
פונקציית זטא הצגתית של חבורה - חסרת המשכה מרומורפית (לכל המישור) ומשוואה פונקציונלית.
פונקציית זטא של סלברג - איננה טור דיריכלה רגיל אלה טור דירכלה מוכלל.
במתמטיקה, ובמיוחד בתורת המספרים, פונקציית מחלקים היא פונקציה אריתמטית הקשורה למחלקים של מספר שלם.
מקרה פרטי של פונקציית מחלקים הסופרת את מספר המחלקים של מספר שלם נקראת פונקציית המחלקים.
רמנוג'אן חקר את פונקציית המחלקים ומצא מספר זהויות הקשורות בה.
פונקציית מחלקים מוגדרת כסכום של המחלקים בחזקת x של n, או:
הפונקציה הסופרת את מספר המחלקים מסומנת ב- או ב- (פונקציית הטאו) והיא בעצם .
כאשר x הוא 1 זוהי פונקציית סכום המחלקים, ואז משמיטים את הכתיב התחתון.
ובאופן כללי אם הוא הפירוק לגורמים של n, אז:
שני טורי דיריכלה המשתמשים בפונקציית המחלקים הם
טור למברט המשתמש בפונקציית המחלקים הוא:
ההתנהגות של פונקציית המחלקים היא אי-רגולרית.
קצב הגידול שלה ניתן לביטוי על ידי
בתורת ההסתברות, פונקציית התפלגות, פונקציית הצטברות או פונקציית התפלגות מצטברת (פה"מ) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה , לכל a ממשי.
פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.
תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים
אם X משתנה מקרי, פונקציית ההתפלגות המוגדרת על ידי: מקיימת בהכרח ארבע תכונות:
הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר לכל .
ולהפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי כך ש-F היא פונקציית ההתפלגות שלו.
פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים.
עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות .
ואכן, אם דורשים ש- , נובע שהגבול משמאל שווה להסתברות .
מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה ,
בפרט נובע ש-, כך שהסיכוי למאורעות הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה.
אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:
נניח ש- הוא תוצאת ההטלה של קובייה הוגנת, כלומר הוא יכול לקבל כל אחד מהמספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6 בסיכוי שווה (סיכוי 1/6 כל אחד.
למעשה זוהי התפלגות אחידה בדידה).
אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של נתונה על ידי:
דוגמה נוספת: נניח ש- הוא משתנה מקרי ברנולי, כלומר הוא יכול לקבל רק את הערכים 0 ו-1, והוא מקבל את הערך 1 בסיכוי , ואת הערך 0 בסיכוי (למשל: אם אז ).
כי ההסתברות ש- יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן או שווה ל-1 היא 100%, וההסתברות שהוא יקבל ערך גדול-שווה מ-0 אך קטן מ-1 היא .
נניח ש- מתפלג באופן אחיד בקטע [0, 1].
כי ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן מ-x היא 100% לכל x>1, וההסתברות למאורע לכל מספר בין 0 ל-1 היא .
פונקציית הייצור היא משוואה המתארת קשר בין תשומות (גורמי ייצור) לתפוקה (מוצרים).
התשומות הן בדרך כלל עובדים, הון וחומרי גלם.
הפונקציה משמשת במיקרו כלכלה על מנת לחשב את התפוקה המקסימלית של פירמה המשתמשת בטכנולוגיית ייצור מסוימת ביעילות (גורמי הייצור מנוצלים לגמרי).
לרוב הפונקציה מתוארת כמשוואה , כאשר Q היא התפוקה, F היא פונקציית הייצור (או טכנולוגיית הייצור) ו-K ו-L הם גורמי ייצור, לרוב, הון ועבודה בהתאמה.
במתמטיקה, פונקציית זיווג היא תהליך המקודד באופן ייחודי שני מספרים טבעיים למספר טבעי יחיד.
כל פונקציית זיווג יכולה לשמש בתורת הקבוצות על מנת להוכיח כי לקבוצת המספרים השלמים ולקבוצת המספרים הרציונליים עוצמה זהה לעוצמה של הטבעיים.
פונקציית זיווג היא פונקציה פרימיטיבית רקורסיבית חד-חד-ערכית ועל:
פונקציית הזיווג של קנטור היא פונקציית זיווג
כאשר מחשבים פונקציית זיווג על המספרים נהוג לסמן את התוצאה באמצעות סוגריים זוויתיים .
ניתן להכליל את הפונקציה הנ"ל לפונקציית הווקטור של קנטור
בהינתן עבורו , נמצא את .
נפתור את המשוואה הריבועית הנובעת מהגדרת , ונקבל , מאחר ש-.
הפתרון של אי-שוויון זה הוא .
מצאנו זוג יחיד המקיים , לכן חד-חד-ערכית ועל.
פונקציית מדרגות היא פונקציה על המספרים הממשיים שניתן להציגה כצירוף ליניארי סופי של פונקציות מציינות של קטעים.
בניסוח פחות פורמלי, פונקציית מדרגות היא פונקציה קבועה למקוטעין, על גבי מספר סופי של קטעים.
הפונקציה קרויה פונקציית מדרגות משום שהגרף של הגרסה המונוטונית שלה נראה כמדרגות במבט מהצד.
פונקציה קרויה פונקציית מדרגות אם ניתן לכתוב אותה בצורה:
כאשר ו- הם מספרים ממשיים, הם קטעים, היא הפונקציה המציינת של :
בהגדרה זו ניתן להניח שהקטעים מקיימים שתי תכונות:
הקטעים הם קבוצות זרות - מתקיים לכל .
האיחוד של הקטעים הוא הישר הממשי כולו: .
אם לא מתקיימות הנחות אלה, ניתן לבחור אוסף אחר של קטעים שיקיים אותן.
פונקציה קבועה היא דוגמה טריוויאלית לפונקציית מדרגות, שלה קטע יחיד .
פונקציית מדרגה היא פונקציית מדרגות חשובה.
מדרגות המס בישראל, הקובעות את שיעור מס ההכנסה כפונקציה של ההכנסה, הן פונקציית מדרגות.
פונקציית הערך השלם אינה פונקציית מדרגות, משום שיש בה מספר אינסופי של קטעים.
סכום ומכפלה של שתי פונקציות מדרגות גם הוא פונקציית מדרגות.
מכפלה של פונקציית מדרגות במספר גם היא פונקציית מדרגות.
בהתאם לכך, האוסף של פונקציות המדרגות הוא אלגברה לא אסוציאטיבית מעל הממשיים.
לפונקציית מדרגות יש מספר סופי של ערכים.
אם הקטעים בדוגמה לעיל הם זרים, ואיחודם הוא הישר הממשי, אזי לכל .
אינטגרל לבג של פונקציית מדרגות על קטע סופי הוא כאשר הוא האורך של קטע , ולכל אחד מהקטעים יש אורך סופי.
פונקציית השגיאה היא פונקציה שאינה אלמנטרית המופיעה בהסתברות, סטטיסטיקה, משוואות דיפרנציאליות חלקיות והנדסת חומרים.
פונקציית השגיאה היא פונקציה אי-זוגית השואפת ל-1 כאשר , ול-1- כאשר (תוצאה מוכרת של אינטגרל גאוסיאני).
פונקציית השגיאה איננה פונקציה אלמנטרית (תוצאה שהוכיח ז'וזף ליוביל), כלומר לא ניתן לבנות אותה על ידי פעולות האריתמטיקה הבסיסיות והרכבה של פולינומים, פונקציית האקספוננט והפונקציות הטריגונומטריות, והפונקציות ההופכיות להן.
טור טיילור של פונקציית השגיאה הוא:
הנגזרת של פונקציית השגיאה היא:
האינטגרל הלא מסוים שלה הוא:
פונקציית השגיאה המשלימה מסומנת erfc (האות C בעבור complementary) ומוגדרת:
פונקציית השגיאה המרוכבת (או פונקציית השגיאה המדומה), המסומנת כ־erfi, מוגדרת כך:
כאשר היא פונקציית דוסון (Dawson function, אשר יכולה להחליף את erfi כדי למנוע גלישה אריתמטית).
חרף שמה, "פונקציית השגיאה המרוכבת", מחזירה ערכים ממשיים כאשר x ממשי.
פונקציית השגיאה מתארת את ההסתברות שמשתנה אקראי בעל התפלגות נורמלית יקבל ערך שמרחקו מהתוחלת קטן מערך פונקציית השגיאה:
ניתן לתאר את פונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות נורמלית בעזרת פונקציית השגיאה:
פונקציית השגיאה מופיעה בפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות כמו משוואת הדיפוזיה.
באלגברה בוליאנית, פונקציית זוגיות היא פונקציה בוליאנית המחזירה 1 אם מספר האחדות בווקטור הקלט הוא אי זוגי.
פונקציית הזוגיות ראויה לציון בשל תפקידה במחקר תאורטי של סיבוכיות מעגלים.
פונקציית הזוגיות היא פונקציה בוליאנית סימטרית.
פונקציית הזוגיות ב-n משתנים ושלילתה הן היחידות עבורן הצורה הנורמלית הדיסיונקטיבית תהיה בהכרח בעלת המספר המקסימלי של פרדיקטים באורך n וכן הצורה הנורמלית הקוניוקטיבית תהיה בעלת המספר המקסימלי של פסוקיות מאורך n.
בשנות השמונים המוקדמות של המאה העשרים מריק פורסט, ג'יימס סאקס ומייקל סיפסר ובאופן בלתי תלוי מיקלוס אג'טאי מצאו חסם תחתון על-פולינומי על הגודל של מעגלים בוליאניים קבועי-עומק עבור פונקציית הזוגיות.
כלומר, הם הראו כי לא קיים מעגל קבוע-עומק מגודל פולינומי שיכול לחשב את פונקציית הזוגיות.
תוצאות דומות הושגו גם עבור פונקציות הרוב, הכפל והסגור הטרנזיטיבי, על ידי רדוקציה למקרה של פונקציית הזוגיות.
עד אותו זמן היו ידועים רק חסמים תחתונים ליניאריים עבור פונקציות טבעיות אחדות.
בעקבות זאת פורסמו מספר הולך וגדל של חסמים תחתונים.
לבסוף, בשנת 1984 ג'ואן הסטאד (שזכה ב-1994 בפרס גדל עבור עבודתו זו) מצא חסם תחתון אקספוננציאלי הדוק על גודל המעגלים הבוליאניים קבועי העומק עבור פונקציית הזוגיות.
למעשה, למת המיתוג של הסטאד טומנת בחובה את הקושי הטכני שבמציאת חסמים תחתונים שכאלו.
פונקציית זוגיות אינסופית היא פונקציה הממפה כל מחרוזת בינארית אינסופית ל-0 או 1, והיא בעלת התכונה הבאה: אם ו- הן מחרוזות בינאריות אינסופיות השונות זו מזו רק במספר סופי של קואורדינטות, אז אם ורק אם ו- שונות זו מזו במספר סופי של קואורדינטות.
בהנחת אקסיומת הבחירה ניתן להוכיח בקלות שפונקציית זוגיות אינסופית קיימת וישנן פונקציות כאלו - כמספר כל הפונקציות מ- ל-.
מספיק לקחת נציג אחד לכל מחלקת שקילות של היחס המוגדר כך: אם ורק אם ו- שונים במספר סופי של קואורדינטות.
בהינתן נציגים כאלו, נוכל למפות את כולם ל-0. יתר ערכי ייקבעו באופן חד משמעי.
לעיתים קרובות משתמשים בפונקציות זוגיות אינסופיות בתאוריה של מדעי המחשב ובתורת הקבוצות בשל הגדרתם הפשוטה - ומצד שני - הסיבוכיות התיאורית שלהן.
למשל, ניתן להראות שתמונה הפוכה היא קבוצת לא-בורל.
בניתוח הישרדות פונקציית הסיכון (הידועה גם כקצב התקלות) היא היחס בין פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי המתארת את זמן ההישרדות של פרט כלשהו באוכלוסייה לבין פונקציית ההישרדות (ההסתברות להישרדות עד זמן מסוים או הפונקציה ההופכית לפונקציית ההתפלגות המצטברת):
הפונקציה תופסת מקום חשוב בתחומי המחקר העוסקים בניתוח נתוני הישרדות ואמינות.
מעבר להגדרתה המתמטית, היא מספקת כלים נוספים להבנה ולניתוח של מדדים חיוניים במחקרים אפידמיולוגיים , ביומטריים ובהנדסת אמינות.
כאשר אנו מנתחים נתונים של הישרדות, אנו עוסקים לא רק בשאלה של "אם" פרט מסוים ישרוד לאורך זמן מסוים, אלא גם בשאלת ה"מתי" – באיזה קצב מתרחשים האירועים המשפיעים על ההישרדות.
אם פונקציית הסיכון קבועה, אזי כשלים מתרחשים בתדירות אחידה ואז ההתפלגות של זמן ההישרדות היא התפלגות המעריכית.
עבור התפלגויות אחרות, פונקציית הסיכון איננה קבועה, כך שקצב הכישלון משתנה עם הזמן.
העומק שפונקציית הסיכון מספקת מאפשר לחוקרים לזהות תבניות ומגמות בנתונים, לדוגמה, אם קצב התקלות גדל עם הזמן, ניתן להסיק כי הסיכון לכשל מתגבר ככל שהפרט או המערכת בשימוש למשך זמן ארוך יותר.
פונקציה זו מאפשרת גם לחוקרים להעריך את ההשפעה של גורמים שונים על הסיכון לאירוע, ובכך לתת בסיס נתונים להחלטות מושכלות בתחומים כמו תכנון טיפולים רפואיים או בחינת אמינות מוצר.
פונקציית מצב היא מושג יסודי בתרמודינמיקה.
שם נוסף למושג זה במקורות שונים הוא משתנה מצב.
פונקציה תרמודינמית תיקרא פונקציית מצב אם היא מתארת תכונה של מערכת תרמודינמית אשר תלויה רק במצב המערכת ולא בדרך שהמערכת עשתה במרחב התרמודינמי על מנת להגיע למצב העכשווי שלה.
המצב של מערכת תרמודינמית הנמצאת בשיווי משקל מתואר באופן מלא על ידי ערכי מספר מצומצם של פונקציות מצב.
לדוגמה, האנרגיה הפנימית, הנפח הכולל, מספר החלקיקים, האנתלפיה והאנטרופיה הן פונקציות מצב.
פונקציות אלה מתארות באופן כמותי את המצב של המערכת התרמודינמית, בלי קשר לשאלה מה היה המצב של המערכת בזמן עבר.
לעומת זאת, העבודה שהמערכת עושה על הסביבה בתהליך שמתחיל ומסתיים בשני מצבי שיווי משקל אינה תלויה רק במצב ההתחלתי והסופי אלא גם בדרך.
על כן העבודה איננה פונקציית מצב.
בפרט, מערכת יכולה לבצע עבודה על הסביבה (או הסביבה על המערכת) בתהליך מחזורי, המתחיל ומסתיים באותו מצב שיווי משקל תרמודינמי.
פונקציית מצב תמיד תחזור לאותו הערך כשהמערכת חוזרת אל אותו המצב, כלומר סך כל השינוי בפונקציית מצב על פני מחזור הוא אפס.
להלן דוגמאות של פונקציות מצב בתרמודינמיקה, בסוגריים הסימון המקובל:
האנרגיה החופשית של הלמהולץ (A, או F)
האנרגיה החופשית של גיבס (G)
בסטטיסטיקה, פונקציית הנראות (או באופן פשוט הנראות; ) היא פונקציה של הפרמטרים של מודל סטטיסטי אשר תלויה בנתונים.
הנראות של קבוצת ערכי פרמטרים, , בהינתן קבוצת תצפיות , שווה להסתברות המשותפת של אותן תצפיות בהינתן ערכי קבוצת הפרמטרים.
פונקציות נראות משחקות תפקיד מפתח בהסקה סטטיסטית, במיוחד בשיטות שמבצעות אמידה של פרמטר מתוך קבוצה של סטטיסטים.
בהקשרים לא פורמליים, משתמשים לרוב במילה "נראות" בתור מילה נרדפת ל"הסתברות"', אבל בשימוש סטטיסטי ישנה הבחנה בין שני המונחים על פי התפקידים של התצפיות או של הפרמטרים שאותם אומדים.
משתמשים במילה הסתברות כאשר מתארים פונקציה של התצפיות בהינתן פרמטר שנקבע מראש.
לדוגמה, "אם מטילים מטבע הוגן 10 פעמים, מה ההסתברות שיצא עץ בכל ההטלות?" לעומת זאת, במילה נראות משתמשים כאשר מתארים פונקציה של פרמטר נתון בהינתן אוסף תצפיות.
לדוגמה, "אם מטבע הוטל 10 פעמים ובכל ההטלות יצא עץ, מהי הנראות (או הסבירות) שהמטבע הוא הוגן?"
פונקציית הנראות מוגדרת באופן שונה עבור מרחב הסתברות בדיד ועבור מרחב הסתברות רציף.
יהי משתנה מקרי במרחב הסתברות בדיד עם פונקציית הסתברות המותנית בפרמטר אותו רוצים לאמוד.
היא פונקציה של , ונקראת פונקציית הנראות של בהינתן אוסף נתונים שמתקבל על ידי המשתנה המקרי .
לעיתים מסמנים את ההסתברות של הערך שמקבל עבור הפרמטר כ־ או כ־, אם כי בשני סימונים אלה ערך זה אינו הסתברות מותנית, מכיוון ש־ הוא פרמטר ולא משתנה מקרי.
יהי משתנה מקרי במרחב הסתברות רציף עם פונקציית צפיפות המותנית בפרמטר אותו רוצים לאמוד.
לעיתים מסמנים את פונקציית הצפיפות של ערך מתוך כ־, אם כי סימון זה אינו פונקציית צפיפות מותנית מכיוון ש־ הוא פרמטר ולא משתנה מקרי.
עבור יישומים רבים, יותר נוח לעבוד עם הלוגריתם הטבעי של פונקציית הנראות הנקרא לוג־נראות (Log-likelihood).
פונקציית הלוגריתם היא פונקציה מונוטונית עולה, ולכן הלוגריתם של פונקציה מקבל ערך מקסימלי באותן נקודות כשל הפונקציה עצמה, ולכן פונקציית הלוג־נראות יכולה לשמש (ואף קלה יותר לשימוש) במקום נראות באמידת נראות מקסימלית ובטכניקות דומות.
מציאת מקסימום של פונקציה לרוב כרוך בלקיחת הנגזרת של פונקציה ופתרון עבור מקסום הפרמטר, במקרים רבים זה קל יותר כשהפונקציה שממקסמים היא לוג־נראות מאשר פונקציית הנראות המקורית.
לדוגמה, פונקציות נראות מסוימות הן עבור הפרמטרים המסבירים אוסף של תצפיות בלתי תלויות הסתברותית.
במקרה זה, פונקציית הנראות מסתכמת למכפלה של פונקציות נראות אינדיבידואליות.
לוגריתם של המכפלה הזאת הוא סכום של לוגריתמים של הפונקציות הנפרדות, והנגזרת של סכום היא במקרים רבים קלה יותר לחישוב מנגזרת של מכפלה.
בנוסף, למספר התפלגויות נפוצות יש פונקציית נראות המכילה מכפלה של גורמים המכילים אקספוננטים.
לוגריתם של פונקציה כזו, הוא סכום של מכפלות, ושוב קל יותר לגזירה מאשר הפונקציה המקורית.
בפילוגנטיקה, יחס הלוג־נראות לעיתים נקרא "תומך" ופונקציית לוג־נראות נקראת "פונקציית התומך".
עם זאת, לאור פוטנציאל הבלבול הגבוה עם המשמעות המתמטית של תמיכה, טרמינולוגיה זו לרוב לא בשימוש בתחום זה.
המושג האנגלי המקביל לנראות הוא likelihood, שתרגומו המילולי הוא "סבירות".
מושג זה שימש להערכת רמת האמונה המיוחסת להשערות שונות על פי מידע חלקי, בתחומים כגון משפט והימורים, ללא הגדרה מתמטית פורמלית.
ההבחנה בין "נראות" שהיא פונקציה של פרמטר או השערה, לבין "הסתברות" שהיא פונקציה של מאורע או תצפית, נקבעה על ידי רונלד פישר בספרו "על היסודות המתמטיים של התאוריה הסטטיסטית" מ-1922. בספר זה הוצגה גם שיטת האמידה לפי נראות מקסימלית, שהיא אחד הכלים המרכזיים בהסקה סטטיסטית.
במתמטיקה, פונקציית ליוביל (על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ליוביל) היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים, אשר לכל טבעי היא מוגדרת על ידי:
כאשר הוא מספר המספרים הראשוניים המחלקים את .
ניתן לראות כי , אזי .
למספר 1 אין גורמים ראשוניים, לכן ומכאן .
ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה.
פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה
כאשר היא פונקציית תטא של יעקובי .
לאורך השניים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות.
הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר את הפונקציה , אז לכל .
השערה זו ידועה בתור השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919, אך הוכחה כשגויה בשנת 1980, למשל עבור .
הטענה השנייה הייתה שאם נגדיר את הפונקציה אז .
השערה זו הוכחה כשגויה בשנת 1958, ולמעשה לפונקציה יש נקודות שליליות רבות.
אם השערה זו הייתה נכונה, היה הדבר מוביל להוכחת השערת רימן, כפי שהראה פאל טוראן.
פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי היא פונקציה ממשית בעלת מספר תכונות מעניינות ולא-שגרתיות, ומהווה גורם עניין בתחומים כמו אנליזה מתמטית, תורת המידה ותורת הפרקטלים.
את הפונקציה מסמנים על ידי ; השם והסימון הנ"ל ניתנו לפונקציה בגלל התכונות הלא-שגרתיות ולא-מובנות שלה.
הפונקציה הוגדרה על ידי הרמן מינקובסקי בשנת 1904; היא נחקרה על ידי מספר מתמטיקאים, בהם ארנאוד דנג'וי, שהראה בשנת 1938 כיצד מעבירה הפונקציה מספרים ריבועיים אל מספרים רציונליים.
הפונקציה מוגדרת בנפרד על המספרים הרציונליים ועל המספרים האי-רציונליים.
עבור מספר רציונלי נתון, מביטים בפיתוח שלו לשבר משולב סופי , ומגדירים
עבור מספר אי-רציונלי, מביטים בפיתוח שלו לשבר משולב אינסופי , ומגדירים
הפונקציה אכן מוגדרת לכל מספר אי-רציונלי, כפי שניתן להוכיח בעזרת מבחן לייבניץ.
מאחורי ההגדרה לעיל ישנו הסבר אינטואיטיבי, אשר בליבתו מסתתרת המרה בין דרכי תצוגה של מספרים ממשיים (בדומה לפונקציית קנטור, הממירה בין בסיסים).
בהינתן מספר כלשהו בין 0 ל-1, ניתן להסתכל על הייצוג הבינארי האינסופי שלו, המתפרש לסדרה של אפסים ואחדות.
על אותה סדרה ניתן גם להסתכל בתור השבר המשולב , כאשר המספרים הטבעיים הם מספר האפסים והאחדות הרצופים על פי הסדר.
לדוגמה: נביט בסדרה הבינארית .
הייצוג הבינארי שלה הוא המספר ; הייצוג שלה לפי שבר משולב הוא , ששווה ל-.
אם כן, פונקציית סימן השאלה מתאימה בין מספר המיוצג באופן של שבר משולב למספר הבינארי בעל אותו הייצוג.
בפרט, על פי הדוגמה מתקיים .
עבור שני שברים מצומצמים ו- כך ש-, מתקיים: .
בעזרת נוסחה זו ניתן לחשב את פונקציית סימן השאלה עבור כל מספר רציונלי.
פונקציית סימן השאלה היא פונקציה אי-זוגית, רציפה ועולה חזק, אך איננה רציפה בהחלט.
הפונקציה ממפה מספרים רציונליים אל מספרים די-אדיים רציונליים (כלומר מהצורה המצומצמת ), ומספרים ריבועיים (שורשים של משוואות ריבועיות) אי-רציונליים אל מספרים רציונליים לא די-אדיים בהכרח; מעבר לכך, היא מתאימה באופן מלא בין מספרים ריבועיים למספרים רציונליים.
עבור אי-רציונלי, הוא או אלגברי מדרגה גדולה מ-2, או טרנסצנדנטי.
מתקיים ועל כן הפונקציה היא מחזורית בעלת מחזור 1.
הפונקציה ההופכית - פונקציית הקופסה של קונוויי
היות שהפונקציה עולה חזק, הרי שהיא חד-חד-ערכית, ועל כן הפיכה.
ההופכית שלה היא פונקציית הקופסה של קונוויי, שהתגלתה באופן בלתי תלוי על ידי ג'ון הורטון קונוויי.
הסימון המקובל עבורה הוא קופסה סביב x, והיא שווה ל-.
ניתן לחשב את הפונקציה על ידי מציאת הפיתוח הבינארי של המספר , ולאחר מכן לבצע את ההתאמה כמתואר לעיל ולקבל את השבר המשולב , כאשר .
בסטטיסטיקה, פונקציית התפלגות מצטברת אמפירית היא פונקציה שמחושבת מתוך מדגם ונועדה לאמוד את פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתני המדגם.
פונקציה זו היא פונקציית מדרגות מונוטונית לא יורדת.
משמאל לערך המדגם הנמוך ביותר היא שווה ל-0. מימין לערך המדגם הגבוה ביותר, היא שווה ל-1. בכל ערך מדגם היא גדלה ב-, כאשר הוא גודל המדגם.
לפי משפט גליבנקו-קנטלי, ההתפלגות האמפירית מתכנסת במידה שווה כמעט בוודאות להתפלגות משתני המדגם.
נתון מדגם מקרי של משתנים מקריים שווי התפלגות ובלתי תלויים, .
פונקציית ההתפלגות המצטברת האמפירית של המדגם מוגדרת באמצעות,
כאשר הפונקציה המציינת מחושבת באופן הבא,
עבור כל נקודה , כל אחד מהמשתנים המקריים מתפלג ברנולי עם פרמטר , ולכן הסכום שלהם הוא משתנה מקרי בינומי, .
מכאן ניתן לחשב את התוחלת ואת השונות של .
האומד הוא אומד חסר הטיה של , כלומר,
לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, מתכנס כמעט בוודאות ל- ולכן הוא אומד עקיב.
לפי משפט גליבנקו-קנטלי, מתכנס כמעט בוודאות ל-, באופן אחיד על הממשיים.
לפי משפט הגבול המרכזי יש ל- התפלגות אסימפטוטית נורמלית,
בתורת המספרים, פונקציית סכום הריבועים היא פונקציה אריתמטית, שסופרת את מספר ההצגות של מספר טבעי נתון n כסכום של k ריבועים, כאשר הצגות עם סדר מחוברים שונה או סימן הפוך של המספרים המועלים בריבוע נספרות כהצגות שונות, והיא מסומנת (rk(n.
כאשר מסמל את הגודל של הקבוצה.
במילים אחרות, (rk(n הוא מספר הדרכים שבהן n ניתן לכתיבה כסכום של k ריבועים.
לדוגמה, מכיוון ש-, ו- מכיוון ש- (יש ארבעה צירופי סימנים).
כדוגמה נוספת - , שכן אין דרך להציג את 3 כסכום של שני ריבועים.
את מספר הדרכים לכתוב מספר טבעי כסכום של שני ריבועים סופרת הפונקציה (r2(n.
כאשר (d1(n הוא מספר המחלקים של n המשאירים שארית 1 בחלוקה ב-4 ו- (d3(n הוא מספר המחלקים של n המשאירים שארית 3 בחלוקה ב-4. באמצעות סימן הסכימה, הביטוי הזה ניתן לכתיבה גם כ-:
פירוק לגורמים ראשוניים , כאשר הם הגורמים הראשוניים מהצורה , ו- הם הגורמים הראשוניים מהצורה , מניב נוסחה שקולה נוספת:
התקפה אם כל המעריכים הם זוגיים.
אם אחד או יותר מהמעריכים הללו הוא אי-זוגי, אז .
גאוס הוכיח שעבור מספר ללא גורמים ריבועיים n > 4:
כאשר (h(m מסמל את מספר המחלקות (class number) של תבניות ריבועיות בינאריות מדיסקרימיננטה m.
מספר הדרכים להציג את n כסכום של ארבעה ריבועים תמיד חיובי (בהתאם למשפט ארבעת הריבועים של לגראנז'), והוא מחושב בהתאם לנוסחה המפורשת של קרל גוסטב יעקב יעקובי, לפיה הוא שווה לשמונה פעמים סכום כל המחלקים של n שאינם מתחלקים ב-4, כלומר:
אם מפרקים את m לגורם זוגי וגורם אי-זוגי, כלומר כותבים אותו בצורה n 2km, כאשר m מספר אי-זוגי, אז ניתן להציג את במונחי פונקציית סכום המחלקים באופן הבא:
יעקובי מצא גם נוסחה מפורשת עבור המקרה k = 8:
הפונקציה היוצרת של הסדרה בעבור k קבוע ניתנת לביטוי במונחי פונקציית תטא של יעקובי:
30 הערכים הראשונים של נתונים בטבלה למטה:
במתמטיקה פונקציית זטא של דדקינד עבור שדה מספרים היא פונקציה מרומורפית על המישור המרוכב.
הפנקציה מהווה הכללה של פונקציית זטא של רימן.
באופן מפורש פונקציית זטא של דדקינד עבור המקרה בו
הוא שדה המספרים הרציונליים, היא פונקציית זטא של רימן.
בדומה לפונקציית זטא של רימן, גם פונקציית זטא של דדקינד שימושית מאוד בתורת המספרים.
בעוד שפונקציית זטא של רימן מספקת מידע על ההתפלגות של המשפרי מהראשוניים, פונקציית זטה של דדקינד מספקת מידע על התפלגות הזאת בשילוב עם תכונות אריתמטיות של המספרים הראשוניים הקשורות לשדה .
כאשר עובר על האידיאלים של חוג השלמים , ו-, הנורמה של .
השערת רימן המוכללת גורסת כי לכל שדה מספרים , האפסים של פונקציית זטא של דדקינד המתאימה מקיימים .
פונקציית כשירות או פונקציית כושר היא סוג מסוים של פונקציית הפסד המשמשת לסכם נתון יחיד של כשירות, כלומר עד כמה קרוב פתרון עיצוב נתון להשגת המטרה שנקבעה.
פונקציות כשירות משמשות בתכנות גנטי ובאלגוריתמים גנטיים כדי להנחות סימולציות לקראת פתרונות אופטימליים.
בפרט, בתחומי התכנות הגנטי והאלגוריתמים הגנטיים, כל פתרון אפשרי מיוצג בדרך כלל כמחרוזת מספרים (המכונה כרומוזום).
לאחר כל סבב בדיקה, או סימולציה, הרעיון הוא למחוק את n פתרונות העיצוב הגרועים ביותר, ולגדל n חדשים מפתרונות העיצוב הטובים ביותר.
לפיכך, יש להעניק לכל פתרון עיצובי נתון ראוי, כדי לציין עד כמה הוא הגיע לעמידה במפרט הכולל, וזה נוצר על ידי יישום פונקציית הכושר במבחן, מציאותי או סימולטיבי, על התוצאות המתקבלות מאותו פתרון.
הסיבה שאלגוריתמים גנטיים אינם יכולים להיחשב כדרך עצלה לביצוע עבודת עיצוב פתרונות, היא בדיוק בגלל המאמץ הכרוך בתכנון פונקציית כושר מעשית.
למרות שזה כבר לא מעצב אנושי, אלא המחשב שמגיע עם העיצוב הסופי, עדיין מעצב אנושי שצריך לעצב את פונקציית הכושר.
אם היא מתוכננת בצורה גרועה, האלגוריתם יתכנס לפתרון לא הולם, או יתקשה להתכנס בכלל.
פונקציית כושר לא רק צריכה להיות בקשר הדוק עם המטרה של המעצב, אלא שהיא גם צריכה להיות יעילה מבחינה חישובית.
מהירות הביצוע חשובה מאוד, שכן יש לבצע איטרציה של אלגוריתם גנטי טיפוסי פעמים רבות על מנת להפיק תוצאה שמישה לבעיה לא טריוויאלית.
קירוב לכושר (Fitness approximation) עשוי להיות מתאים, במיוחד במקרים הבאים:
זמן חישוב הכושר של פתרון יחיד גבוה במיוחד
חסר מודל מדויק לחישוב כושר
תפקוד הכושר אינו וודאי או מכיל רעשים
קיימים שני סוגים עיקריים של פונקציות כושר: האחת שבה פונקציית הכושר אינה משתנה, כמו באופטימיזציה של פונקציה קבועה או בדיקה עם סט קבוע של מקרי בדיקה; ואחד שבו פונקציית הכושר ניתנת לשינוי, כמו בידול נישה (niche differentiation) או התפתחות משותפת של מקרי הבדיקה.
דרך נוספת להסתכל על פונקציות כושר היא במונחים של נוף כושר (fitness landscape), המראה את הכושר של כל "כרומוזום" אפשרי.
ההגדרה של פונקציית הכושר אינה פשוטה במקרים רבים ולעיתים מבוצעת באופן איטרטיבי אם הפתרונות המתאימים ביותר המיוצרים על ידי אלגוריתמים גנטיים אינם מה שרצוי.
אלגוריתמים גנטיים אינטראקטיביים מטפלים בקושי זה על ידי מיקור חוץ של הערכה לגורמים חיצוניים שהם בדרך כלל בני אדם.
באלגברה, במיוחד בתורת החוגים, פונקציית סילבסטר (Sylvester rank function) היא פונקציה ממשית על אוסף המטריצות מעל חוג נתון, המחקה דרגה של מטריצה מעל חוג.
לפיכך, מעל חוג המצויד בפונקציית סילבסטר, ניתן לבסס תורת אלגברה ליניארית.
חשיבות מבנית נודעת לקיומה של פונקציית סילבסטר: הוא שקול לקיומו של הומומורפיזם לחוג פשוט ארטיני, וקיומה של פונקציית סילבסטר 'נאמנה' המקבלת ערכים שלמים שקול לקיומו של שיכון לתוך חוג עם חילוק.
המחקר השיטתי של פונקציות סילבסטר בהקשרי שיכון לתוך חוגים עם חילוק נעשה על ידי Cohn ו-Malcolmson, ובהקשר הנרחב יותר של שיכון לחוגים פשוטים ארטיניים על ידי Schofield.
פונקציה היא פונקציית סילבסטר אם מתקיימות האקסיומות הבאות:
לכל מטריצת אפס , מתקיים .
למטריצת היחידה מסדר n, מתקיים:
לכל שתי מטריצות מסדרים עבורם המכפלה מוגדרת, מתקיים:
לכל שלוש מטריצות מסדרים עבורם המטריצה הבאה מוגדרת, מתקיים:
ישנה הגדרה דואלית, של פונקציית סילבסטר למודולים.
זוהי פונקציה ממשית אי-שלילית המוגדרת על אוסף המודולים המוצגים סופית מעל ומקיימת את האקסיומות הבאות:
(כאשר חושבים על כמודול חופשי מעל עצמו)
לכל פונקציית סילבסטר (על מטריצות) ישנה המשכה יחידה לפונקציית סילבסטר למודולים: כל מודול מוצג סופית ניתן לכתיבה כקו-גרעין של הומומורפיזם של מודולים חופשיים, שלו מטריצה מייצגת, נאמר .
מגדירים אפוא את הדרגה של בתור .
הקשר בין פונקציות סילבסטר להצגות מעל חוגים עם חילוק
ישנה התאמה חד חד ערכית בין פונקציות סילבסטר מעל המקבלות ערכים שלמים להומומורפיזמים כאשר חוג עם חילוק.
ישנה התאמה חד חד ערכית בין פונקציות סילבסטר מעל המקבלות ערכים בתת-חבורה מהצורה להומומורפיזמים כאשר חוג עם חילוק.
ההתאמות הללו נותרות כאשר מצטמצמים לפונקציות סילבסטר נאמנות (כאלה שאינן מעניקות דרגה אפס לאף איבר שונה מאפס בחוג, בהיותו מטריצה מגודל 1), ומנגד לשיכונים לתוך חוגים עם חילוק (או חוגים פשוטים ארטיניים).
כאשר הוא שדה (או באופן כללי יותר, חוג עם חילוק), הדרגה של מטריצה (במובן ממד מרחב העמודות) מהווה פונקציית סילבסטר, והממד של מרחב וקטורי מהווה פונקציית סילבסטר למודולים.
כאשר חוג ארטיני, האורך של סדרת הרכב של מודול נוצר סופית מעל , מנורמל באורך של כמודול מעל עצמו, מהווה פונקציית סילבסטר נאמנה למודולים; מכאן שכל חוג ארטיני משוכן בחוג פשוט ארטיני.
קיימים חוגים נתריים שאינם ניתנים לשיכון באף חוג ארטיני, וממילא אין להם אף פונקציית סילבסטר נאמנה .
במתמטיקה, פונקציית הטריגמא, המסומנת או , היא השנייה מבין פונקציות הפוליגמא, והיא מוגדרת על ידי
ניתן להגדיר את פונקציית הטריגמא גם כסכום הטור
מה שהופך את פונקציית הטריגמא למקרה מיוחד של פונקציית הזטה של הורביץ
שתי הנוסחאות האחרונות תקפות רק כאשר אינו מספר טבעי.
כחלופה לייצוג לעיל, ניתן לייצג את פונקציית טריגמא בעזרת אינטגרל כפול
על ידי גזירת הפיתוח האסימפטוטי של פונקציית דיגמה ניתן לקבל את טור לורן הבא:
כאשר הוא מספר ברנולי ה- , ובוחרים .
פונקציית טריגמא מקיימת את נוסחת הנסיגה
מביטוי זה קל לראות בהצבת כי .
בערכים חיוביים חצי שלמים מתקבל
לפונקציית טריגמא הערכים המיוחדים הבאים:
כאשר מייצג קבוע קטלן ו- הוא מספר שלם חיובי.
אך יש אינסוף זוגות שורשים עם חלק ממשי שלילי ().
כל זוג שורשים כזה מתקרב במהירות ל , והחלק הדמיוני שלהם גדל לוגריתמית כפונקציה של n.
פונקציית טריגמא מופיעה בנוסחת הסכום:
פונקציית חנייה היא עצם מתמטי בענף הקומבינטוריקה.
פונקציית חניה באורך היא רצף של מספרים טבעיים, כל אחד בטווח שבין 1 ל- , עם המאפיין שעבור כל מ-1 ועד , הרצף מכיל לפחות ערכים שהם לכל היותר .
כלומר, הוא חייב להכיל לפחות 1 אחד, לפחות שני ערכים שהם 1 או 2, לפחות שלושה ערכים שהם 1, 2 או 3 וכו'.
באופן שקול, אם הרצף ממוין, אז עבור כל אחד באותו הטווח, הערך ה- של הרצף הממוין הוא לכל היותר .
לדוגמה, ישנן 16 פונקציות חניה באורך שלוש:
השם מוסבר על ידי הניסוי המחשבתי הבא.
רצף של נהגים במכוניות נוסעים ברחוב חד סטרי ובו מקומות חניה, כאשר לכל נהג יש מקום חניה מועדף.
כל נהג נוסע עד להגעה למקום המועדף עליו, ולאחר מכן חונה במקום הפנוי הראשון.
פונקציית חניה מתארת העדפות עבורן כל המכוניות יכולות לחנות.
לדוגמה, פונקציית החניה (2,1,2,1) מתארת העדפות שבהן הנהג הראשון והשלישי מעדיפים שניהם את המקום השני, בעוד ששני הנהגים האחרים מעדיפים שניהם את המקום הראשון.
הנהג הראשון חונה במקום 2, השני במקום 1, והשלישי במקום 3 (מכיוון שמשבצת 2 תפוסה).
הנהג הרביעי מתחיל לחפש מקום פנוי במקום 1, אך לא מוצא אותו עד במקום 4; כל המקומות הקודמים היו תפוסים.
הרצף (3,3,1,3) אינו פונקציית חניה: נהגים רבים מדי מעדיפים את מקום חניה 3, כך שהנהג האחרון מתחיל לחפש מקום חניה לאחר שכבר עבר את המקום הפנוי היחיד, ולא יוכל לחנות.
לפונקציות חניה יש גם יישום שימושי יותר בחקר טבלאות גיבוב המבוססות על גיבוב ליניארי, אסטרטגיה להצבת מפתחות בטבלת גיבוב הדומה מאוד לאסטרטגיית חניה חד-סטרית עבור מכוניות.
מספר פונקציות החניה באורך הוא בדיוק לדוגמה עבור המספר הזה הוא .
ג'ון ריורדן מייחס לזכותו של הנרי או.
פולק את הטיעון הבא עבור נוסחה זו.
בכביש מעגלי חד סטרי עם רווחים, כל אחד מ המכוניות תמיד יוכלו לחנות, לא משנה מה מקום החניה המועדף על כל נהג.
יֵשׁ בחירות עבור ההעדפות, שכל אחת מהן משאירה מקום פנוי אחד כיוון שיש מכונית אחת פחות מאשר מספר החניות.
כל המרחבים סימטריים זה לזה, ולכן על פי סימטריה, יש בחירות להעדפות שמשאירות את מקום חניה מספר ריק.
הבחירות האלה הן בדיוק פונקציות החניה.
ניתן גם להראות העתקה חד חד ערכית ועל בין פונקציות החניה ועם עצי הפורש על גרף שלם עם קודקודים, שאחד מהם מסומן כשורש.
חיבור זה, יחד עם נוסחת קיילי למספר העצים הפורשים, מראה שוב שיש פונקציות חניה.
פונקציית רימן (על שם המתמטיקאי הגרמני ברנהרד רימן) או פונקציית הסרגל או פונקציית הפופקורן היא פונקציה ממשית שקבוצת נקודות האי-רציפות שלה כוללת בדיוק את המספרים הרציונליים.
הפונקציה מוגדרת בנקודות הרציונליות לפי (כאשר השבר מצומצם, כלומר זרים זה לזה), ומתאפסת בנקודות שאינן רציונליות.
(ב- ערך הפונקציה הוא , כמו בכל מספר שלם).
הפונקציה מוכרת גם בשמות "פונקציית הסרגל", "פונקציית הפופקורן" ופונקציית תומה (Thomae's function; על שם המתמטיקאי הגרמני קארל יוהנס תומה).
הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית.
מכאן שקבוצת נקודות האי-רציפות של הפונקציה היא צפופה, אך בעלת מידה אפס.
הפונקציה אינטגרבילית לפי רימן (עם אינטגרל אפס) בכל קטע חסום, אך אינה רציפה ואינה מונוטונית באף קטע.
פונקציה נוספת עם אותן נקודות אי-רציפות
נסדר את המספרים הרציונליים על הישר בסדרה , ונגדיר לפי .
כמו פונקציית רימן, הפונקציה המתקבלת רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה בכל נקודה רציונלית.
בנוסף, זוהי פונקציית מונוטונית עולה על הישר.
קבוצת נקודות האי-רציפות של פונקציה
קבוצת נקודות אי-הרציפות של פונקציה ממשית היא קבוצת (איחוד בן מנייה של קבוצות סגורות).
מכיוון שקבוצת המספרים האי-רציונליים אינה כזאת, אין פונקציה שנקודות האי-רציפות שלה הן הנקודות האי-רציונליות.
נוכיח שנקודות האי-רציפות של הפונקציה הן כאמור לעיל.
יהי מספר רציונלי, אזי , אבל יש סדרה של מספרים אי-רציונליים המתכנסת ל-, ועליהם הפונקציה מתאפסת לפי ההגדרה.
כעת נניח כי אי-רציונלי, ויהי .
בקטע באורך יחידה סביב יש רק מספר סופי של נקודות שבהן (משום שתנאי זה חוסם את המכנה), ולכן יש קטע סביב שבו ומכאן רציפה בנקודה .
פונקציית פטרסון היא תבנית המשמשת לפתרון בעיית הפאזה בקריסטלוגרפיה באמצעות קרני רנטגן.
את התבנית הציע ארתור לינדו פטרסון ב-1934.
פונקציית פטרסון של סריג היא הסכום האינסופי
, כאשר הם קבועי הפיזור (למשל, בסריג קובייתי, ), ו- u, v, w הם משתנים ממשיים.
הפונקציה הזו היא למעשה טרנספורם פורייה של עוצמות הפיזור של קרן, ולא של קבועי המבנה.
פונקציית פטרסון מתקבלת מקונבולוציה של צפיפות האלקטרונים, עם הפונקציה ההפוכה: ; זוהי הקורלציה העצמית של צפיפות האלקטרונים.
כאשר הסריג אינו ידוע, אפשר לאמוד את פונקציית פטרסון שלו מתוך עוצמות ההחזרים של קרניים בכיוונים שונים, גם בלי לחשב את הפאזות.
בעקרון, אפשר להשתמש בשיטה זו כדי לקבוע את מבנה הסריג.
פונקציית הקורלציה העצמית מתאימה להתפלגות המרחקים הווקטוריים בין האטומים בסריג, ולכן בסריג שיש לו N אטומים בכל תא יחידה, יהיו לפונקציה באופן טיפוסי שיאים.
בגלל השגיאות הבלתי-נמנעות במדידת העוצמות, והקושי המתמטי בשחזור מיקומם של האטומים מתוך וקטורי המרחק, נדיר שהטכניקה הזו משמשת לפענוח המבנה של סריגים, למעט הפשוטים ביותר.
בתורת המשחקים השיתופיים, פונקציית רווחה חברתית היא פונקציה שנותנת דירוג של מועמדים בהסתמך על יחסי ההעדפות של הבוחרים בבחירה חברתית.
במשחקים שיתופיים, התחום העוסק בבחירה חברתית מתאר סיטואציות בהן קבוצת אנשים צריכה לבחור אדם אחד מוסכם.
נהוג להשתמש בסימונים הבאים: קבוצת המועמדים מסומנת ב-, קבוצת הבוחרים מסומנת ב-.
לכל בוחר ב- יש יחס העדפות על , כלומר, דירוג של המועמדים האפשריים.
יחס ההעדפות הוא יחס סדר מלא שיכול להיות חזק או חלש.
קבוצת יחסי ההעדפות החזקים על מסומנת ב-, ואילו קבוצת יחסי ההעדפות החלשים מסומנת ב-.
אם בוחר מעדיף את על , נסמן .
אם בוחר מעדיף את על או אדיש ביניהם, נסמן .
פונקציית רווחה חברתית היא שיטה לדירוג המועמדים על-פי העדפותיהם של הבוחרים.
באופן פורמלי, זוהי פונקציה המתאימה לכל וקטור של יחסי העדפות (חזקים) יחס העדפות חלש .
פונקציית רווחה חברתית נקראת דיקטטורית אם קיים בוחר כך ש- לכל .
כלומר, בפונקציה כזאת הדירוג של המועמדים נקבע על ידי הדירוג של בוחר , הדיקטטור.
פונקציית רווחה חברתית מקיימת את תכונת הפה-אחד אם לכל שני מועמדים ולכל וקטור העדפות שבו לכל , מתקיים .
כלומר, בפונקציה כזאת אם כל הבוחרים מעדיפים מועמד אחד על פני חברו, גם הקבוצה כולה תעדיף את המועמד הראשון.
פונקציית רווחה חברתית מקיימת את כלל אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות אם לכל ולכל המקיים , מתקיים התנאי הבא: לכל שבו , מתקיים .
כלומר, בפונקציה כזאת אם אין שינוי בהעדפות של הבוחרים בין שני מועמדים אז גם אין שינוי בהעדפה של קבוצת הבוחרים כולה בין שני מועמדים.
משפט ארו מראה שפונקציית הרווחה החברתית היחידה המקיימת את תכונות הפה אחד והאי תלות באפשרויות לא רלוונטיות, ושהטווח שלה מכיל לפחות שלוש אפשרויות, היא פונקציית הרווחה החברתית הדיקטטורית.
פונקציית התקרה מחזירה לכל מספר ממשי את המספר השלם הקטן ביותר שגודלו אינו קטן מ-.
אם ורק אם הוא מספר שלם
בתורת ההסתברות, פונקציית צפיפות (Probability density function, בראשי תיבות PDF) של משתנה מקרי היא פונקציה המתארת את צפיפות המשתנה בכל נקודה במרחב המדגם.
ההסתברות שמשתנה מקרי יימצא בקטע מסוים היא האינטגרל של הצפיפות בקטע ולכן המשתנה נוטה יותר לקבל ערכים שבהם הצפיפות גבוהה.
פונקציה אינטגרבילית ממשית f נקראת פונקציית צפיפות אם היא אי־שלילית, כלומר גדולה מאפס או שווה לו בכל נקודה, והאינטגרל שווה ל-1. כל פונקציה כזו מגדירה התפלגות של משתנה מקרי, על ידי הנוסחה .
ניסוח מילולי: "הסיכוי (Probability, הסתברות) של המשתנה המקרי X לקבל ערך גדול מ-a וקטן מ-b שווה לשטח שתחת פונקציית הצפיפות בין a ל-b".
מן ההגדרה נובע כי הסיכוי לכך שמשתנה מקרי יקבל ערך a מסוים הוא תמיד אפס .
מאידך, משתנה מקרי שפונקציית ההצטברות שלו גזירה, מגדירה פונקציית צפיפות - הנגזרת של F.
אינטואיטיבית, אפשר לחשוב על המכפלה בתור ההסתברות לכך ש- ייפול בקטע אינפיניטסימלי .
ניתן לייצג את פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי המקבל אוסף סופי של ערכים בדידים t1, …, tn, על ידי סכום של דלתאות דיראק.
במקרה הכללי, תציין כל דלתא ערך בדיד שהמשתנה עשוי לקבל, ותוכפל בהסתברות p1, …, pn לקבל ערך זה:
לדוגמה, משתנה מקרי בדיד ובינארי, המקבל ערכים בהסתברות שווה של ½, יתואר על ידי פונקציית הצפיפות:
פונקציות המוגדרות כמעט בכל מקום
להתפלגות ישנה פונקציית צפיפות אם ורק אם פונקציית ההצטברות שלה רציפה בהחלט.
במקרה זה גזירה כמעט בכל מקום, והנגזרת יכולה לשמש כפונקציית צפיפות.
שתי פונקציות צפיפות ו- מייצגות את אותה ההתפלגות בדיוק אם הן שונות רק בקבוצת לבג ממידה אפס.
אם נתון משתנה מקרי בעל פונקציית צפיפות , אז ניתן לחשב את התוחלת שלו (אם קיימת) כ-.
ניתן להכליל משפט זה: המומנט ה- של הוא
בפיזיקה יש חשיבות רבה לפונקציות צפיפות של מטען כלשהו, שבעזרתו אפשר לבצע אינטגרל ולהגיע לסך המטענים בגוף מסוים.
צפיפות החומר מאפשרת לחשב משקל סגולי.
פונקציית צפיפות מסה, מאפשרת לחשב מומנט התמד של גוף שאינו נקודתי.
פונקציית צפיפות מטען חשמלי, מאפשרת לחשב את השדה החשמלי שיוצר גוף נפחי, כמו כדור טעון או מישור אינסופי.
פונקציית צפיפות זרם חשמלי, מאפשרת לחשב בדומה את השדה המגנטי שיוצר הזרם.
בפיזיקה נהוג לסמן ב- צפיפות נפחית, ב- צפיפות שטחית, וב- צפיפות אורכית.
פונקציית הצפיפות של ההתפלגות האחידה בקטע היא בקטע, ואפס מחוץ לקטע.
פונקציית הצפיפות של התפלגות נורמלית תקנית (Normal Standard Distribution, כאשר התוחלת 0=μ, וסטיית התקן 1=σ) היא .
בעיבוד אותות, פונקציית תמסורת (גם פונקציית מעבר או פונקציית רשת) היא היחס בין הפלט לקלט, כפונקציה של התדר המרחבי או הזמני, של מערכת ליניארית קבועה בזמן (LTI).
פונקציית התמסורת היא אחד המאפיינים החשובים של מערכות להעברת אותות מכל הסוגים, כאשר בתחומים שונים הפונקציה מוגדרת באופן המתאים לאותו סוג אות.
אם ידועה פונקציית התמסורת במדויק או בקירוב, ניתן לחשב בעזרתה את אות המקור של הפלט על ידי ביצוע דה קונבולוציה בין האות הנקלט ופונקציית התמסורת.
עבור תדר f, קלט (אות בכניסת המערכת) (X(f ופלט (אות ביציאה מהמערכת) (Y(f, פונקציית התמסורת היא
במערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן יחס זה אינו תלוי באות הכניסה או באות היציאה אלא במערכת בלבד, ולכן פונקציית התמסורת נותנת את יציאת המערכת לכל כניסה.
פונקציית התמסורת שימושית בעיבוד אותות ובתקשורת כמאפיינת של מסננים, ובתורת הבקרה – שם היא מתארת את היחס בין הערך המצוי לערך הרצוי של מערכות עקיבה.
פונקציית תמסורת אופטית (OTF) היא היחס בין אות היציאה לכניסה כפונקציה של התדר המרחבי של מערכת אופטית, ומייצגת באופן מדויק יותר את הרזולוציה של המערכת.
אל מישור התדר עוברים ממישור הזמן באמצעות התמרת לפלס עבור אותות בזמן רציף ובאמצעות התמרת Z עבור אותות בזמן בדיד.
היות שבמישור התדר פונקציית הלם היא 1, פונקציית התמסורת שווה ליציאת המערכת עבור כניסת הלם.
ההתמרה ההפוכה של פונקציית התמסורת, (h(t, היא תגובת המערכת לכניסת הלם במישור הזמן והיא נקראת התגובה להלם של המערכת.
כך ניתן למצוא את פונקציית התמסורת באופן ניסויי על ידי הפעלת פונקציית הלם בכניסה וביצוע התמרת לפלס ליציאה.
ההתמרה ההפוכה של (H(s)X(s היא קונבולוציה בין (h(t לבין (x(t והיא נותנת את היציאה במישור הזמן (y(t לכל כניסה.
תגובת המערכת במישור הזמן לכניסה סינוסיאודלית (או אקספוננט מרוכב) לאחר התייצבות היא פונקציה סינוסיאודלית בעלת משרעת שונה והפרש מופע אך באותו התדר.
למצב זה קוראים מצב סינוסי מתמיד.
הערך המוחלט של פונקציית התמסורת, , הוא היחס בין משרעת היציאה למשרעת הכניסה כתלות בתדר (כאשר הוא היחידה המדומה ו- התדירות הזוויתית).
ערך זה מאפיין את פעולתם של מסננים, שהם אבני הבניין של תחומים רבים באלקטרוניקה.
הארגומנט של פונקציית התמסורת, , הוא הפרש המופע כתלות בתדר.
פונקציית התמסורת, בהצגה קוטבית, היא .
הצגה זו נקראת תגובת התדר של המערכת.
ניתן למצוא את פונקציית התמסורת ישירות במישור התדר בעזרת מחולל אותות: המחולל נותן מתח סינוסי בעל משרעת קבועה שתדירותו משתנה בזמן באופן מחזורי, כך שהוא עובר על פני תחום גדול של תדרים.
משרעות היציאה לכל התדרים מוצגות באוסצילוסקופ כגודל פונקציית התמסורת.
פונקציית תועלת היא מושג יסודי במיקרו-כלכלה.
הפונקציה מהווה דרך נוחה מתמטית לתיאור יחס ההעדפות של מקבל החלטות.
כאשר מקבל החלטות מתלבט בין אפשרויות שונות, פונקציית התועלת נותנת לכל אפשרות ערך מספרי, כאשר הערך המספרי של אפשרות א' גבוה מהערך המספרי של אפשרות ב' אם מקבל ההחלטות מעדיף ממש את אפשרות א' על פני אפשרות ב'.
תהי O קבוצת אפשרויות ו- יחס העדפות שלם וטרנזיטיבי על O.
פונקציה נקראת פונקציית תועלת המייצגת את ,
במילים אחרות, פונקציית תועלת היא פונקציה המתאימה לכל תוצאה מספר ממשי
באופן שלתוצאה עדיפה יותר מתאים מספר גדול יותר.
ייצוג יחס העדפות על ידי פונקציית תועלת
ניתן להוכיח כי כל יחס ההעדפות שמקיים שלמות, טרנזיטיביות, ורציפות ניתן לתיאור על ידי פונקציית תועלת.
גם אם יחס ההעדפה איננו רציף הוא ניתן לתיאור על ידי פונקציית תועלת אם מספר האפשרויות הוא בן מניה.
במידה ומרחב האפשרויות הוא מרחב הגרלות (כלומר, מקבל ההחלטות פועל בתנאי סיכון), הרי שאם יחס ההעדפות מקיים את אקסיומות פון נוימן-מורגנשטרן ניתן לתאר אותו על ידי פונקציית תועלת מסוג "תוחלת תועלת".
אורדינליות של העדפות ופונקציות תועלת
מכיוון שיחס העדפה שלם וטרנזיטיבי הוא יחס סדר על קבוצת האפשרויות, הרי שהוא ניתן לתיאור על ידי מספר רב של פונקציות תועלת.
ספציפית, אם פונקציית תועלת מייצגת את יחס ההעדפות , הרי שכל העתקה (טרנספורמציה) מונוטונית עולה של פונקציה זו מתארת את יחס ההעדפה גם כן.
ויחס ההעדפות ,נתון על ידי
נשים לב שאמנם הגדרנו את היחס רק על חלק מזוגות התוצאות, אך בגלל השלמות והטרנזיטיביות נקבע היחס בין כל זוג תוצאות.
במקרה זה קיימות רצף של פונקציות תועלת המייצגות את היחס, שכן כל אשר צריכה לקיים הוא:
לדוגמה, הפונקציה המוגדרת על ידי:
שימו לב כי ניתן לבנות פונקציות תועלת נוספות אשר מייצגות יחס העדפה.
למשל, הפונקציה מייצגת את יחס ההעדפה גם כן.
פונקציית תמסורת אופטית (; בראשי תיבות: OTF) היא התמרת פורייה של תגובת המערכת למקור נקודתי, כלומר של פונקציית פיזור הנקודות שלה, והיא מכילה את כל התכונות של מערכת אופטית.
במילים אחרות, פונקציית התמסורת היא השפעת המערכת על האור (והתמונה) שעוברים מהמטרה לדמות שיוצרת המערכת - כלומר מהקלט לפלט.
הפונקציה תלויה במיקום במרחב, בתדר המרחבי של האות, ובתדר הזמני או אורך גל.
השימוש העיקרי בפונקציית התמסורת הוא במדידת רזולוציה של מערכת.
מכיוון שתדר מרחבי עומד ביחס הפוך לגודל הפרטים בתמונה (באמצעות התמרת פורייה), התדרים הגבוהים ביותר שעוברים הם הפרטים הקטנים ביותר שניתן לצפות בהם במערכת, ולכן הם מגדירים את הרזולוציה האמיתית של המערכת.
פונקציית התמסורת היא מרוכבת, כאשר הערך המוחלט שלה (המודול) נקרא Modulation transfer function (MTF) והפאזה היא ה-Phase transfer function (PTF).
לרוב מתייחסים ל-MTF, שהוא גודל חסר יחידות בין 0 ל-1, ועבור מצלמות הוא בדרך כלל מוצג כפונקציה של התדר המרחבי, ביחידות של מספר מחזורים למילימטר.
ערך של 1 מייצג הפרדה מלאה, וערך של 0.02 מייצג בדרך כלל את הפרט הקטן ביותר שניתן לראות באותה מצלמה.
הגדרת ה-MTF, עבור תבנית סינוסואידית, היא היחס:
בתמונה המתקבלת במוצא המערכת, כאשר I היא עוצמת האור המועבר.
לתבנית הסינוס יש תדר מרחבי בודד שהוא מספר המחזורים בתמונה חלקי רוחב התמונה.
את מדידת ה-MTF מנרמלים לרוב ב-MTF של התדר הנמוך ביותר, כלומר:
לעיתים מקפידים ומציינים שזהו MTF מנורמל או יחסי, אך לרוב מתייחסים אל הערך הזה כאל ה-MTF של המערכת.
לעיתים קרובות מחליפים את תבנית הסינוס בתבנית עם פסים מלבניים שחורים ולבנים, כמו באחת המטרות הנפוצות ביותר, מטרת חיל האוויר האמריקאי USAF1951 .
מטרה זו משמשת למעשה כסטנדרט עולמי נפוץ למדידת רזולוציה ו-MTF של מערכות אופטיות.
מטרת פסים מלבניים אינה סינוסית, ופירוק התמונה לתדרים מרחביים נותן, מלבד התדר המרכזי (שהוא מספר המלבנים חלקי רוחב התמונה), תדרים רבים.
מדידת MTF על פי תמונת מלבנים נותנת תוצאה הקרובה להגדרת ה-MTF אך שונה ממנה.
למרות זאת מטרות מלבנים נפוצות מאוד, שכן הן קלות יותר לייצור, פשוטות יותר להבנה אינטואיטיביות, התוצאה "טובה מספיק" לרוב המדידות, ומכיוון שהן סטנדרטיות, נוח להשוות MTF שנמדד בשיטה זו בין מערכות שונות.
במטרת USAF1951 אפשר גם לראות ריבוע גדול לבן, שהעוצמה במרכזו משמשת כ"תדר 0" לנירמול ה-MTF, כאשר מקסימום נמוך לעוצמה בתדר 0 הוא הרקע השחור.
מטרה מסוג זה מאפשרת במדידה אחת לקבל את תגובת המערכת לתחום רחב של תדירויות מרחביות, בניגוד למטרת פסים אחידה שבה קיימת תדירות מרחבית עיקרית אחת.
גם מטרות כאלו ניתנות ליצירה עם פסים מלבניים או בתבנית סינוס.
תבנית בצורת פרח (גם כאן קיימות מלבניות או סינוסואידיות) מאפשרת מדידה של תדירויות רבות, כמו בתבנית פסים בעלת תדירות משתנה, אלא שבתבנית זו התדירויות הגבוהות הן הפסים שקרובים למרכז הפרח.
תבנית זו מאפשרת, בנוסף לתחום תדירויות, גם למדוד MTF בכל כוון, בניגוד לתבניות פסים שמאפשרות מדידה רק בכיוון הניצב לפס.
באופן כללי, MTF של עדשות כמעט ואינו תלוי בכיוון (עקב הסימטריה הגלילית של העדשה) ולכן לרוב אין צורך בשימוש בתבנית זו.
אך קיימות עדשות ללא סימטריה גלילית (off-axis), ובנוסף, הגלאי אינו בעל MTF אחיד בכל הכוונים, שכן הוא עשוי מפיקסלים שאינם עגולים, אלא מרובעים, מלבניים או בצורת L לעיתים, והם לרוב צמודים זה לזה בצורת שריג ריבועי.
MTF היא התגובה לתבנית סינוס בעלת תדר יחיד.
התמרת פורייה של התבנית יוצרת קו, או הלם (מתמטית - פונקציית דלתא של דיראק).
מדידה של תגובת המערכת לקו כזה, וביצוע התמרת פורייה על התגובה, תיתן את תגובת המערכת לכל התדרים הניצבים לקו בבת אחת.
באופן דומה, מדרגה (תמונה שמחציתה שחורה ומחציתה לבנה) היא אינטגרל של תמונת ההלם.
קיימות שיטות רבות למדידת MTF אשר מסתמכות על התכונות המתמטיות הללו של התמרת פורייה.
תגובת המערכת לקו חד (LSF - line spread function) כאמור יכולה לשמש למדידת MTF.
המדידה דורשת קו שהוא דק משמעותית מדגימת המערכת (פיקסל), דרישה אשר מהווה חיסרון מכמה סיבות.
קו דק יכול להעביר מעט מאוד אור, כך שנדרשת בהירות מקור אור גבוהה מאוד.
בנוסף רוחב הקו תלוי בפיקסל.
מסיבות אלו השיטה משמשת בעיקר עבור מדידת התגובה של מערכת עדשות ללא גלאי, כאשר לשם המדידה מציבים גלאי מותאם במיוחד.
תגובת המערכת לשפה חדה (ESF - edge spread function) היא מדד מקובל ל-MTF של מערכת אופטית.
המטרה היא תמונה שחציה לבן וחציה שחור, כאשר בין החצאים מפרידה שפה חדה וישרה בזווית קטנה - זווית אופיינית היא 5 מעלות, יתקבלו ביצועים דומים מאוד עבור זוויות בתחום 2–10 מעלות, אך שפה ישרה תיתן מדידה גרועה מאוד עבור גלאי דיגיטלי.
התמונה המתקבלת מיושרת לאחר דגימת יתר (oversampling), וה-ESF עצמה היא התמרת פורייה של הנגזרת של תמונת המדרגה המיושרת.
מטרה נקודתית, כלומר מטרה שהיא נקודת אור קטנה ביחס לפיקסל בודד, תיתן אזור אור מרוח על הגלאי כתוצאה מעיוותים הנובעים מכך שהמערכת לא אידיאלית.
התמרת פורייה של התמונה תיתן מדד נוסף ל-MTF, שנקרא פונקציית פיזור נקודות (PSF).
פונקציית Curry היא פונקציה המקבלת פונקציה דו-מקומית ומחזירה פונקציה שמחזירה פונקציה .
באופן פורמלי, קל להגדיר את פונקציית קורי באמצעות תחשיב למדא.
באופן אינטואיטיבי, פונקציית קורי היא פונקציה שבמקום להכניס מספר קלטים ב"בת-אחת" בפונקציה המקורית, יוצרת ממנה פונקציה שבה מכניסים את הקלטים אחד אחרי השני, כך שבשלבי הביניים לפני הכנסת הקלט האחרון, יש לנו פונקציה עם פחות משתנים .
פונקציית קורי התגלתה לראשונה על ידי המתמטיקאי הרוסי-גרמני מוזס שנפינקל, אך התגלתה בשנית על ידי המתמטיקאי והלוגיקן האמריקאי הסקל קורי, שעל שמו היא נקראת.
נגדיר את בעזרת כתיב למדא:
תהי פונקציה, בכתיב למדא היא "תירשם" כך:
אזי פונקציית קורי מתאימה ל-f את הפונקציה הבאה
שזו פונקציה המקבלת איבר ב-A ומחזירה פונקציה מ-B ל-C, כלומר: לכל מוחזרת הפונקציה
קיים גם התהליך ההפוך, שנקרא או , שלוקח פונקציה והופך אותה לפונקציה .
תהליכים אלה הופכיים אחד לשני ומהם מסיקים את האיזומורפיזם הבא:
פונקציית קורי היא התאמה חד-חד-ערכית ועל בין לבין ומכך נובע שוויון עוצמות: לכל קבוצות .
דבר זה מוכיח את משפט אריתמטיקת העוצמות
בסימון למדא נכתוב אותה כך:
אזי פונקציית קורי שלה היא
וזו פונקציה במשתנה y שבו אפשר להציב ערכים, למשל:
תהי D הפונקציה הבאה: היא מקבלת פונקציה ממשית ומספר ממשי ומחזירה את ערך הנגזרת של f בנקודה x, כלומר את .
לכן אפשר לרשום: כאשר .
נסתכל על פונקציית קורי של D, זו פונקציה המקבלת פונקציה ממשית ומחזירה את הפונקציה הנגזרת שלה שהיא פונקציה המקבלת מספר ממשי ומחזירה את ערך הנגזרת ב-x.
בפועל, כאשר רוצים לטפל בפונקציה D למעשה מטפלים בפונקציה : קודם מחשבים את הפונקציה הנגזרת ואז מציבים בה את הנקודה הרצויה.
פונקציית העבודה בפיזיקה של מצב מוצק היא האנרגיה המינימלית (שבדרך כלל נמדדת באלקטרון וולט) הדרושה כדי להוציא אלקטרון ממוצק אל בדיוק מחוץ למשטח המוצק (או האנרגיה הדרושה כדי להוציא אלקטרון מאנרגיית פרמי אל הריק).
"בדיוק" מחוץ למשטח המוצק פירושו שהאלקטרון רחוק מהמשטח בסקלה האטומית אבל עדיין קרוב למשטח בסקלה מקרוסקופית.
פונקציית העבודה היא תכונה אופיינית של כל פאזת מוצק שהיא של חומר בעל רמת פס הולכה (בין אם ריקה או מלאה חלקית).
עבור מתכת, רמת פרמי היא בתוך פס ההולכה, מה שמעיד על כך שפס ההולכה מלא באופן חלקי.
פונקציית העבודה היא האנרגיה המינימלית שצריך לתת לאלקטרון כדי לשחרר אותו מהמשטח של חומר מסוים.
באפקט הפוטואלקטרי, עירור אלקטרון מושג באמצעות בליעה של פוטון.
אם האנרגיה של הפוטון גבוהה יותר מאנרגיית העבודה של החומר, פליטה פוטואלקטרית מתרחשת והאלקטרון משתחרר מהמשטח.
אנרגיה עודפת של הפוטון מתבטאת בזה שהאלקטרון המשוחרר הוא בעל אנרגיה קינטית גדולה מאפס.
כאשר הוא קבוע פלנק ו- היא התדירות המינימלית של הפוטון הדרושה כדי ליצור פליטה פוטואלקטרית.
פונקציית העבודה חשובה גם בתאוריה של פליטה תרמיונית.
כאן האלקטרון מקבל את האנרגיה מחום במקום מפוטונים.
לפי משוואת ריצ'רדסון דושמן צפיפות זרם האלקטרונים הנפלט, J (A/m2), קשורה לטמפרטורה המוחלטת T דרך המשוואה:
כאשר W היא פונקציית העבודה של המתכת, k הוא קבוע בולצמן וקבוע הפרופורציה A, שנקרא קבוע ריצ'רדסון, ניתן על ידי
כאשר m ו-e- הם המסה והמטען של האלקטרון, כאשר h הוא קבוע פלאנק.
פליטות תרמיוניות - אלקטרונים שבורחים מחוט התיל המחומם הטעון שלילית (קתודה חמה) - היא חשובה בהפעלה של שפופרות ריק.
לטונגסטן, הבחירה הנפוצה לחוטי התיל של שפופרות ריק, יש אנרגיית עבודה של בערך 4.5 אלקטרון וולט, ומספר תחמוצות יכולות להוריד אותה באופן ניכר.
במוליך למחצה פונקציית העבודה היא הזיקה האלקטרונית (פער האנרגיה בין פס המוליכות לבין רמת הוואקום) בתוספת המרחק שבין רמת פרמי לבין פס המוליכות.
מכיוון שרמת פרמי משתנה כתלות בסימום החומר, הרי שפונקציית העבודה תשתנה גם היא בהתאם לרמת הסימום.
כך, פונקציית העבודה הנמוכה ביותר תושג כאשר יהיה סימום מקסימלי מסוג N, כך שרמת פרמי תתלכד עם פס ההולכה.
במצב זה פונקציית העבודה תהיה שווה לזיקה האלקטרונית.
באלקטרוניקה ידיעת פונקציית העבודה חשובה לתכנון של צומת מתכת - מוליך למחצה בדיודת שוטקי ולתכנון של שפופרות ריק.
השוני בפונקציית העבודה בין מתכת וסיליקון בקבל MOS יוצר אזור מחסור עקב תנועה של אלקטרונים מהחומר בעל פונקציית העבודה הנמוכה יותר אל החומר בעל פונקציית העבודה הגבוהה יותר, בגלל שאיפת המערכת למינימום אנרגיה.
שלא כמו בדיודת מוליך למחצה רגילה, תנועת האלקטרונים אינה נובעת מדיפוזיה אלא מפערי האנרגיה.
לצורך מדידת פונקציית העבודה האלקטרונית של דגימה פותחו טכניקות רבות והמבוססות על אפקטים פיזיקליים.
ניתן להבחין בין שתי קבוצות של שיטות ניסוייות למדידת פונקציית העבודה: מוחלטות ויחסיות.
שיטות של הקבוצה הראשונה גורמות לפליטה אלקטרונית מן המשטח מהדגימה באמצעות בליעת פוטון, באמצעות טמפרטורה גבוהה (פליטה תרמיונית), באמצעות שדה חשמלי או באמצעות מנהור אלקטרוני.
כל השיטות היחסיות עושות שימוש בהבדל בפוטנציאל המגע בין הדגימה ואלקטרודת התייחסות.
שיטות שמבוססות על פליטה כתוצאה מהארה
ספקטרוסקופיית פליטה פוטואלקטרונית (PES) היא המונח הכללי לטכניקות ספקטרוסקופיות המבוססות על האפקט הפוטואלקטרי.
במקרה של ספקטרוסקופיה פוטואלקטרונית אולטרה-סגולה (UPS) המשטח של דגימת מוצק מוקרן באור אולטרה-סגול (UV) והאנרגיה הקינטית של האלקטרונים הנפלטים עוברת אנליזה.
מכיוון שאור אולטרה סגול הוא קרינה אלקטרומגנטית עם אנרגיה נמוכה מ-100eV הוא מסוגל לעקור בעיקר אלקטרוני ערכיות.
כתוצאה מהמגבלות של עומק הבריחה של אלקטרונים במוצקים, שיטת UPS מאוד תלויה בפני השטח, שכן עומק המידע הוא בטווח של 2-20 שכבות עצמיות (1-10 ננומטר).
הספקטרום המתקבל בניסוי משקף את המבנה האלקטרוני של הדגימה ומספק מידע על מאפיינים של הדגימה כגון צפיפות המצבים בה, אכלוס המצבים, ופונקציית העבודה.
שיטות שמבוססות על פליטה תרמיונית
שיטת עצירת הדיודה היא אחת השיטות הפשוטות והוותיקות ביותר למדידת פונקציות עבודה.
היא מתבססת על הפליטה התרמיונית של אלקטרונים מגוף מחומם.
צפיפות הזרם הנפלט J של אלקטרונים מהדגימה תלויה בפונקציית העבודה W של הדגימה וניתנת על ידי משוואת ריצ'רדסון דושמן כאשר A, קבוע ריצ'רדסון, הוא קבוע אופייני של החומר.
צפיפות הזרם עולה מהר מאוד עם הטמפרטורה ויורדת באופן מעריכי עם פונקציית העבודה.
שינויים בפונקציית העבודה יכולים להיקבע בקלות באמצעות הפעלת מתח עצירה בין הדגימה ומקור האלקטרונים, כך ש-W מוחלף ב-W + eV במשוואה למעלה.
ההבדלים במתח העצירה הדרוש בזרם קבוע שקול לשינוי בפונקציית העבודה, זאת כל עוד מניחים שפונקציית העבודה והטמפרטורה של מקור האלקטרונים קבועה.
ניתן גם להשתמש במשוואת ריצ'רדסון דושמן כדי לקבוע את פונקציית העבודה של דגימה באמצעות שינוי הטמפרטורה שלה.
ארגון מחדש של המשוואה נותן .
הקו שמופק בהצגה של כתלות ב- יהיה בעל שיפוע של ויאפשר לקבוע את פונקציית העבודה של הדגימה.
פונקציית קנטור הידועה גם כמדרגות השטן היא פונקציה רציפה לא יורדת שמטפסת מ-0 ל-1 אף על פי שהנגזרת שלה מתאפסת כמעט בכל מקום.
בזכות תכונותיה הייחודיות פונקציית קנטור שימושית בהקשרים רבים, ובפרט כדוגמה נגדית לטענות רבות באנליזה ממשית.
הפונקציה נקראת על שמו של גאורג קנטור שהיה הראשון שחקר אותה.
ההגדרה הנפוצה ביותר של פונקציית קנטור היא באמצעות קבוצת קנטור.
קבוצת קנטור היא הקבוצה המתקבלת מן התהליך הבא: לוקחים את קטע היחידה ומסירים ממנו את השליש האמצעי .
כעת חוזרים על הפעולה עם שני החלקים שנשארו ו- ומסירים מכל אחד מהם את השליש האמצעי.
ממשיכים וחוזרים על הפעולה הזו עד אינסוף.
קבוצת הנקודות בקטע היחידה שלא מוסרות ממנו באף אחד מן השלבים היא קבוצת קנטור המסומנת .
תיאור נוסף ושימושי של קבוצת קנטור הוא כקבוצת כל המספרים בקטע שבהצגה שלהם בבסיס טרינארי (בסיס 3) לא מופיעה הספרה 1 (אם למספר יש שתי הצגות טרינאריות, כמו , תמיד בוחרים בהצגה שלא מופיע בה 1, אם ישנה כזו).
נגדיר את פונקציית קנטור לכל x בקבוצת קנטור באופן הבא: נציג את x בבסיס טרינארי.