tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
ההסבר שניתן לתופעה הוא שבצברים מתכתיים האלקטרונים בקליפה החיצונית ביותר (האלקטרונים אשר בפס ההולכה) משותפים לצבר כולו, ולכן מתקבלים צברים יציבים במיוחד כאשר אלקטרונים אלו ממלאים רמות קוונטיות.
מכיוון שבנתרן כל אטום תורם אלקטרון אחד לפס ההולכה אזי מספרי הקסם האופייניים לצברים של נתרן דומים לאלו המאפיינים את הטבלה המחזורית.
עבור צברים קרים, וכן עבור צברים שאינם מתכתיים, המיקום הגאומטרי של האטומים בתוך הצבר משחק תפקיד חשוב בקביעת מספרי הקסם.
כך לדוגמה האטומים בצברים של גזים אצילים (הליום, ניאון, ארגון...) נוטים להסתדר במבנה איקוסהדרלי, ומתקבלים צברים יציבים במיוחד כאשר מספר האטומים מתאים בדיוק למספר הדרוש על מנת לסגור קליפה איקוסהדרלית.
מספר הקסם הראשון בצברים אלו הוא 13, והוא מתאים לצבר הבנוי מאטום מרכזי המוקף ב-12 אטומים הנמצאים על הקודקדים של איקוסהדרון.
מבנים איקוסהדרלים מאפיינים גם צברים מתכתיים רבים, וכן צברים מולקולריים רבים.
ישנם גם דוגמאות לצברים שלהם מבנה מרחבי שונה - לצברים של נתרן כלורי, לדוגמה, יש מבנה קובייתי - אשר מתאימים לו מספרי הקסם 8, 27, 256...
עבור צברים של אטומי פחמן, מספר הקסם הבולט ביותר הוא 60: עבור מספר זה מתקבל צבר הקרוי "פולרן", אשר יציב באופן יוצא דופן, ואשר על גילויו זכו רוברט קארל, הארי קרוטו וריצ'רד סמולי בפרס נובל לכימיה בשנת 1996.
מספר קשור (ביפנית: ナンバーリンク) היא סוג של חידת היגיון שפורסמה לראשונה על ידי ההוצאה לאור ניקולי.
המשחק מתבצע על גבי טבלה מרובעת בגודל לא מוגדר.
המטרה היא לחבר את כל התאים בעלי המספרים על פי הכללים הבאים:
על כל זוג תאים בעלי אותו המספר להיות מחוברים בקו אחד רציף.
מכל תא המכיל מספר יוצא קו אחד בלבד.
הקו הרציף המחבר בין התאים יכול לפנות רק בפניות של 90°.
כל תא בטבלה יכול לכלול עד קו אחד בתוכו (גם הצטלבויות אסורות).
לעיתים, במקום מספרים מופיעות אותיות; במקרה זה החוקים נשארים בהתאמה.
בדרך כלל, חידת מספר קשור נחשבת לטובה רק אם יש לה פתרון ייחודי וכל התאים בטבלה מתמלאים, אף על פי שחלק מיוצרי המספר קשור לא מתחשבים בכך.
כדי לפתור את החידה, כדאי לנסות לחבר זוגות של מספרים אחד אחד.
עם ההתקדמות הפתרון נהיה ברור מאליו.
ישנן פעמים (כמו בדוגמה בצד ימין), שחיבור בין שתי אותיות יכול להתבצע רק בדרך אחת - ומכאן שהקו חייב לעבור בה.
מעבר של קווים בין אותיות אחרות היכולות להתחבר בדרך זו נשלל מיד, אחרת לאותיות האחרות (שזהו המעבר היחיד עבורן) לא תהיה דרך להתחבר.
בשנת 1897, חידה שונה במעט התפרסמה בכתב העת Brooklyn Daily Eagle בטור שנכתב על ידי סם לויד.
גרסה מוקדמת אחרת של קשור מספר התפרסמה בספרו של הנרי ארנסט דודני Puzzles and Curious Problems (1932) בתור Planning Tours (חידה מספר 270).
החידה הפכה לפופולרית ביפן על ידי ניקולי, והתפרסמה תחת השם ארוּקוֹנה (アルコネ, קשר אלפביתי) וגם תחת השם ננברינקוּ (ナンバーリンク, קשר מספרי).
ההבדל היחיד בין ארוקונה לננברינקו הוא שבארוקונה ישנם זוגות אותיות (כמו בחידה של דודני), ובננברינקו ישנם זוגות של מספרים.
נכון לשנת 2006, ניקולי פרסמה שלוש חוברות המכילות רק חידות קשור מספר.
בנוסף, גרסאות של החידה ידועות בשמות Wire Storm, Flow Free וגם Alphabet Connection; הגרסאות הללו שוחררו כמשחקים לאייפון, אייפד ואייפוד טאצ'.
מספרי משימה היא סדרת הנפשה בריטית לילדים.
הסדרה שודרה לראשונה בבריטניה ב-16 באוקטובר 2006, ובישראל בשנת 2009 בערוץ הופ!.
לסדרה יש 2 עונות ו-67 פרקים באורך 15 דקות.
העלילה מספרת על חבורת ספרות מאונשות שגרות בתוך ספה בשם "מספרי משימה", אשר עוזרות לפתור בעיות ותעלומות בעזרת כוח המתמטיקה.
מספרי משימה זכורים מהנבלים שלהם.
תפקיד הנבלים הוא לחבל או לעשות בעיות שיפריעו לסדר היום-יומי של אנשים, כמו לגרום לדברים להיעלם או לגרום להם להתנהג בצורה משונה.
לכל נבל יש שיר משלו אשר מתאר לנו את האישיות שלהם.
מכיוון שהסדרה נוצרה עוד בתחילת ה-CGI העיצוב של הנבלים נחשב היום כמאוד מטריד ומפחיד.
חידוני (The Puzzler): בועה משונה בעל משקפיים ירוקים וזקן כתום מבועות שנוהג ללכוד את מספרי המשימה בתוך אחת מהבועות שלו וכדי לצאת הם צריכים לענות על חידה או שאלון.
כאשר הם מביסים אותו חידוני מתפוצץ כמו בועה עד שיחזור שנית בפרקים הבאים.
כפכפונה (Spooky Spoon): כפית מאונשת בצבע ורוד עם שרשרת מוזהבת שאוהבת ליצור בעיות ואי נוחות אצל אחרים, היא מרגישה רגועה כאשר יש בלגן.
היא לרוב מערבבת דברים, למשל כדור באולינג עם תפוח ושמה אותם במקום הלא נכון.
בשיר שלה אומרים שלמרות שהיא בוגרת היא מתנהגת כמו ילדה.
משנה הצורות (Shape Japer): יצור בצורת כדור סגול בעל פרצוף כועס ושיניים חדות, בדרך כלל הוא אוהב לשנות צורות של דברים מגדול לקטן, מרחב לצר.
הוא יכול לשנות את צורתו לקובייה ולפעמים גם לפירמידה.
בגרסה האנגלית משנה הצורות הוא נקבה אך בגרסה העברית היא זכר.
בועת הבעיות (Problem Blob): יצור סליימי ירוק בעל עין אחת שיוצר בעיות באמצעות יריקה ירוקה על משהו.
בדרך כלל הוא גורם לחפצים לגדול או לאנשים להתנהג מוזר.
בועת הבעיות הוא הנבל הראשון שהופיע בסדרה.
צייד המספרים (The Numbertaker): גבר גבוה הלבוש כולו לבן ולו כובע לבן גבוה.
הוא לא מדבר בכלל ובקושי מראה רגשות.
בניגוד לכל שאר הנבלים שנוצרו ב-CGI הוא שחקן אמיתי.
הוא נחשב לאיום הכי גדול למספרי משימה משום שמטרתו היא לצוד מספרים ויש לו הרבה גאדג'טים שעוזרים לו בכך כמו מגנט, שואב אבק, רשת פרפרים ועוד.
שם הדמותשם המדבב/ת בעברית6 / 8 / חידונילירון לב5נעמה אוזן4איטן גרינברג3אורלי תגרדמויות שונותנועה פלדמן7/9/כפכפונה (2010)מאיה בר שלוםסוכן 27/סוכנים שוניםדייוויד לרנר012סוכנת 108/השירים של הרעים (2010)בר סבירסוכנים שוניםרועי ניבסוכנות שונותתימור שפירסוכנים שונים (2010)נועם טלסוכנים שונים (2010)לירז גורדוןסוכנות שונות (2010)יהלי ניב ושלרסוכנות שונות (2010)נועם קלינשטייןסוכנות שונות (2009)נגה ברקסוכנות שונותאייר שפיר
ב-24 באפריל 2022 חזרה הסדרה לשידורים חוזרים בערוץ הופ!
מספר שהוצא לגמלאות הוא מספר חולצה של שחקן בקבוצת ספורט, שקבוצתו החליטה שלא להשתמש בו עוד לאחר פרישתו מפעילות או מותו של אותו שחקן, אלא אם אותו שחקן (או משפחתו אם אינו בחיים) התיר זאת במקרים פרטניים.
בדרך כלל מדובר בשחקן ששיחק בקבוצה שנים רבות, ותרם לה תרומה משמעותית.
ההחלטה שלא להשתמש עוד במספר חולצתו ללא רשותו מהווה מחוות כבוד עבורו.
הוצאת מספר לגמלאות מלווה בדרך כלל בטקס בנוכחות השחקן נשוא המחווה ובני משפחתו.
הטקס מתקיים ברוב המקרים במתקן הביתי של הקבוצה מול קהל האוהדים, לעיתים כחלק ממשחק ביתי של הקבוצה.
בענפי ספורט המתקיימים באולם סגור, כגון כדורסל או הוקי קרח, מונפת החולצה הנושאת את שמו ומספרו של השחקן, או דגל המסמל אותה, אל תקרת האולם, ומוצגת שם דרך קבע.
המנהג נפוץ בעיקר בקבוצות ספורט בצפון אמריקה, אך קיים גם בכדורגל ובענפים נוספים במקומות שונים בעולם.
מקרים יוצאי דופן של הוצאת מספר לגמלאות
לעיתים מוציאה קבוצה לגמלאות מספר המייצג אדם שתרם לה משמעותית, אך לא היה שחקן.
לדוגמה, קבוצת הכדורסל בוסטון סלטיקס הוציאה לגמלאות את המספר 1 לכבוד וולטר בראון, המייסד והבעלים הראשון שלה, ואת המספר 2 לכבוד רד אאורבך, מאמן שאימן אותה שנים רבות והצעיד אותה להישגים רבים.
ניו יורק ניקס הוציאה לגמלאות באופן סמלי חולצה עם המספר 613, כמחווה לרד הולצמן שנחשב לגדול מאמניה בכל הזמנים, וניצח כמאמן הקבוצה 613 משחקים.
במספר מקרים נוהגות קבוצות להוציא לגמלאות את המספר העוקב אחרי כמות השחקנים בהרכב על המגרש, כמחווה לקהל האוהדים שלהן, כדי לסמן שהוא מהווה "שחקן נוסף".
לדוגמה, קבוצות הכדורסל אורלנדו מג'יק וסקרמנטו קינגס הוציאו לגמלאות את המספר 6, ומספר קבוצות כדורגל – בין השאר באיירן מינכן, לאציו, פלמנגו – הוציאו לגמלאות את המספר 12. חרגה מן המנהג קבוצת ההוקי קרח מינסוטה ויילד שהוציאה לגמלאות לכבוד קהל אוהדיה את החולצה מספר 1.
במספר מקרים הוציאו קבוצות לגמלאות חולצה עם סמל במקום מספר, כמחווה לבעל תפקיד.
לדוגמה, מספר קבוצות ספורט הוציאו לגמלאות חולצה עליה מצויר מיקרופון במקום מספר, כמחווה לכרוז או שדרן בית שכיהן בתפקידו שנים רבות והפך מזוהה עם המועדון.
הכדורסלן קובי בראיינט, שכיכב בלוס אנג'לס לייקרס, שיחק תקופות משמעותיות עם הגופיה מספר 8 ועם הגופיה מספר 24. לאחר פרישתו ממשחק פעיל הוציאה קבוצתו לגמלאות את שני המספרים גם יחד כמחווה עבורו.
לאחר מותו של בראיינט ב-2020 הודיעה קבוצת דאלאס מאבריקס שתוציא לגמלאות את המספר 24, בו שיחק בראיינט בשלב המאוחר יותר בקריירה שלו, כמחווה לזכרו, אף על פי שבראיינט לא שיחק בקבוצה מעולם.
בראיינט זכה לכבוד דומה גם בענף הכדורגל - קבוצת הכדורגל היוונית לאריסה הוציאה אף היא לגמלאות את המספר 24 לכבודו.
מספר שחקנים בענפים שונים שיחקו תקופות משמעותיות בקבוצות שונות ותרמו תרומה גדולה ליותר מקבוצה אחת, ולפיכך לאחר פרישתם ממשחק הוצא מספר חולצתם לגמלאות על ידי מספר קבוצות.
קבוצת ההוקי קרח וגאס גולדן נייטס הוציאה לגמלאות, כבר בעונה הראשונה לקיומה, את החולצה מספר 58, כמחווה ל-58 קרבנות הטבח בסטריפ של לאס וגאס.
ג'קי רובינסון, שחקן הבייסבול האפרו-אמריקאי הראשון בתולדות ליגת ה-MLB, שיחק לאורך תקופתו בליגה בקבוצה אחת בלבד - ברוקלין דודג'רס.
למרות זאת, החליטה הליגה ב-1997 להוציא לגמלאות את מספרו, 42, בכל קבוצות הליגה, כמחווה לשחקן ששבר את מחסום צבע העור בליגה.
בכך הפך רובינסון לספורטאי הראשון בכל הליגות המקצועניות הראשיות בצפון אמריקה שזכה למחווה זו.
בשנת 2004 נקבע בליגה "יום ג'קי רובינסון", 15 באפריל, שבו כל שחקני הליגה, השופטים, וצוותי האימון והניהול בליגה כולה לובשים את המספר 42.
ויין גרצקי, שנחשב לגדול שחקני ההוקי קרח בכל הזמנים, שיחק בחולצה מספר 99 לאורך כל הקריירה שלו.
אף על פי ששיחק רק ב-4 קבוצות שונות בליגת ה-NHL, החליטה הליגה בשנת 2000 להוציא את המספר 99 לגמלאות בכל הקבוצות, כמחווה לתרומתו הגדולה לליגה ולענף כולו.
בכך הפך גרצקי לספורטאי השני בכל הליגות המקצועניות הראשיות בצפון אמריקה שזכה למחווה זו.
מספר הגופיה של הכדורסלן ביל ראסל, 6, הוצא לגמלאות על ידי קבוצת בוסטון סלטיקס בה כיכב שנים רבות ועתירות הישגים.
לאחר מותו של ראסל ב-2022 החליטה הנהלת ליגת ה-NBA להוציא את המספר 6 לגמלאות בכל קבוצות הליגה, למעט שחקנים פעילים שעדיין לבשו את המספר.
בכך הפך ראסל לספורטאי השלישי - והאחרון עד כה - בכל הליגות המקצועניות הראשיות בצפון אמריקה שזכה למחווה זו.
צירופים מסוימים של ספרות מעניקים למספר משמעות שונה.
כך, למשל, הוצא לגמלאות המספר 00 (אפס כפול) על ידי קבוצת הכדורסל בוסטון סלטיקס לכבודו של רוברט פאריש, אך המספר 0 (אפס בודד) לא הוצא לגמלאות ומותר לשימוש בקבוצה (ונכון ל-2020 הוא אכן נמצא בשימוש, על ידי ג'ייסון טייטום).
קבוצת ההוקי קרח ונקובר קנאקס הוציאה ב-2020 לגמלאות בטקס משותף את החולצות מספר 33 ו-22, של התאומים הנריק ודניאל סדין שכיכבו יחד בקבוצה מאז 1999 ועד פרישתם המשותפת מפעילות ב-2018. זו הפעם היחידה בהיסטוריה של ה-NHL שבה חולצות של שני אחים, ועל אחת כמה וכמה תאומים, הוצאו לגמלאות ביחד.
בנבחרות ספורט לאומיות הוצאת מספר לגמלאות הוא מנהג נדיר למדי, אך קיים.
לדוגמה, המספר 17 הוצא לגמלאות על ידי נבחרת ברית המועצות בהוקי קרח לכבודו של כוכב ההתקפה ולרי חרלמוב שנהרג בתאונת דרכים, ממותו ב-1981 ועד פירוק ברית המועצות ב-1991. הוצאת המספר 17 לגמלאות לכבודו של חרלמוב נמשכת עד היום בנבחרת רוסיה.
השחקן איליה קובאלצ'וק, המשחק בקבוצותיו עם המספר 17 - אף זאת כמחווה לחרלמוב - משחק בנבחרת עם המספר 71, שיכול ספרות של 17.
הפועל באר שבע הוציאה לגמלאות את החולצה מספר 6 כמחווה לצ'אסווה נסופוואה, שחקן זמבי ששיחק בקבוצה ומת במהלך משחק אימון ב-2007.
מכבי תל אביב הוציאה לגמלאות את החולצה מספר 8 כמחווה לאבי נמני, הנחשב בעיני רבים לגדול שחקניה בכל הזמנים, ואת החולצה מספר 12 כמחווה למני לוי, שחקן הקבוצה שהתמוטט במהלך משחק ליגה ב-2002 ונותר נכה.
מכבי חיפה הוציא לגמלאות את חולצה מספר 20 כמחווה ליניב קטן, קפטן הקבוצה בעבר שגדל בקבוצה, שיחק בה שנים רבות רצופות וזכה בה בהישגים ותארים רבים.
מכבי ראשון לציון הוציאה לגמלאות את גופייה מספר 6 של ניצן חנוכי, קפטן הקבוצה עת זכתה באליפות ישראל בעונת 2015/2016.
עירוני נס ציונה הוציאה לגמלאות את גופייה מספר 6 של טל דן, קפטן הקבוצה, בה שיחק במשך 12 שנים עד שפרש וזכה עמה בגביע יורופקאפ בעונת 2020/21.
אליצור רמלה הוציאה לגמלאות את גופייה מספר 6 של נילי נאתכו שחקנית הקבוצה, לאחר מותה בתאונת דרכים ב- 2004.
בתיאור של מערכות מסתובבות במכניקת הזורמים, מספר רוסבי הוא גודל חסר ממד המתאר את היחס בין ההתמד לכוח קוריוליס במערכת.
במערכת בה המהירות האופיינית היא , האורך האופייני הוא ותדירות קוריוליס היא , כוח קוריוליס הוא מסדר גודל של וההתמד הוא מסדר גודל של .
למספר רוסבי חשיבות רבה באוקיינוגרפיה ובמדעי האטמוספירה, שכן הוא קובע באילו תנאים יש להתייחס לסיבוב כדור הארץ בתיאור המערכת, ובאילו תנאים סיבוב כדור הארץ זניח.
המספר נקרא על שמו של המטאורולוג קרל-גוסטב רוסבי , שחקר את השפעת סיבוב כדור הארץ על מזג האוויר בין שנות ה-20 לשנות ה-40 של המאה ה-20. לפעמים נקרא המספר מספר קיבל, על שמו של איליה קיבל, שפיתח את התחום באופן מקביל בברית המועצות.
במערכת המסתובבת בתדירות קבועה, ותחת ההנחה שהצמיגות זניחה (מספר ריינולדס גבוה) משוואות נאוויה-סטוקס מקבלות את הצורה:
כאשר האיבר הראשון בצד שמאל הוא התאוצה, האיבר השני מייצג את ההתמד.
האיבר הראשון בצד ימין הוא כוחות הנובעים מלחצים, השני מתאר את השפעת הגרביטציה, השלישי הוא כוח קוריוליס והרביע הוא הכוח הצנטרפיטלי הנובע מסיבוב המערכת וניתן להזנחה.
מספר רוסבי מתאר את היחס בין ההתמד לכוח קוריוליס.
עבור מספר רוסבי גבוה, ההתמד גדול בהרבה מכוח קוריוליס והשפעת כוח קוריוליס על המערכת זניחה.
כאשר מספר רוסבי נמוך, המערכת נשלטת על ידי שילוב של ההתמד וכוח קוריוליס.
התדירות האופיינית של סיבוב כדור הארץ היא מסדר גודל של .
לעיתים נטען כי כיוון סיבוב המים בכיור אמבט הוא עם כיוון השעון בחצי הכדור הצפוני ונגד כיוון השעון בחצי הכדור הדרומי, טענה זו אינה נכונה, וניתן להראות זו באמצעות מספר רוסבי.
המהירות האופיינית של המים בזרימה בכיור היא מסדר גודל של וגודל הכיור הוא מסדר גודל של לכן מספר רוסבי בכיור הוא כלומר חוק קוריוליס זניח, והזרימה נקבעת רק מאיבר ההתמד.
באופן דומה, עבור סופות טורנדו המהירות האופיינית של הרוח היא מסדר גודל של ורוחב הסופה הוא מסדר גודל של לכן מספר רוסבי עבור סופות אלו הוא: .
כלומר מספר רוסבי הוא גבוה, לפיכך גרדיאנט הלחצים בטורנדו מתאפס על ידי הכוח הצנטריפיטלי של הטורנדו (להבדיל מהכוח הצנטריפיטלי הנובע מסיבוב כדור הארץ) שהוא הביטוי של ההתמד במערכת.
זרימה כזו נקראת זרימה סייקלוסטרופית (cyclostrophic).
העובדה שכוח קוריוליס במערכת זניח מובילה לכך שכיוון הסיבוב של הטורנדו תלוי רק בתנאי ההתחלה להיווצרותו, ולא במיקום הטורנדו על פני כדור הארץ, ובפרט בשתי ההמוספירות טורנדו יכול להסתובב עם ונגד כיוון השעון.
לעומת זאת, בשקעים ברומטרים מהירות הרוח היא מסדר גודל של והגודל האופייני של השקע הוא מסדר גודל של לכן מספר רוסבי הוא .
כלומר כוח קוריוליס אינו זניח ויש לו חשיבת באיפוס גרדיאנט הלחצים.
בפרט, עבור שקעים גדולים הרחוקים מספיק מקו המשווה, נקבל שמספר רוסבי קטן מאוד ואיבר ההתמד זניח, כך שכוח קוריוליס לבדו הוא שמאזן את גרדיאנט הלחצים; זרימה כזו נקראת זרימה גאוסטרופית (geostrophic).
הלחץ במרכז השקע נמוך מהלחץ בשוליו כלומר גרדיאנט הלחץ מפעיל כוח על האוויר כלפי לב השקע.
כדי לאזן את הכוח הזה נדרש שכוח קוריוליס ידחוף את הזורם אל מחוץ לשקע.
לכן נקבל שהזרימה בחצי הכדור הצפוני היא נגד כיוון השעון, בעוד הזרימה בחצי הכדור הדרומי היא עם כיוון השעון.
בסופות ליד קו המשווה, תדירות קוריוליס קטנה מאוד, ולכן מספר רוסבי גדול מאוד והזרימה היא סייקלוסטרופית.
זרימה כזו היא מאוד לא יציבה בקנה מידה גדול, ולכן רק לעיתים נדירות סופות נוצרות בקו רוחב נמוך מ-5 מעלות.
מאז 1956 תועדו רק 17 סופות בקו רוחב נמוך מ-3 מעלות.
עבור מספרי רוסבי בתחומי ביניים, הזרימה מתקבלת כתוצאה משילוב של חוק קוריוליס וההתמד.
זרימה כזו נקראת זרימה סייקלוגאוסטרופית (cyclogeostrophic)
במכניקת הזורמים, מספר ריילי (Ra) הוא פרמטר חסר ממדים, המקושר לזרימה המונעת על ידי כוח הציפה, בתהליך הנקרא הסעה טבעית או חופשית.
הפרמטר מאפיין את משטר הזרימה של הזורם: ערך שלו המצוי במנעד ערכים נמוך יחסית מעיד על זרימה למינרית, בעוד שערך המצוי במנעד גבוה יותר מעיד על זרימה טורבולנטית.
מתחת לערך מסוים, לא נוצרת כלל תנועת זורם ומעבר החום נעשה באמצעות הולכה בלבד.
מספר ריילי מוגדר כמכפלה של מספר גרסהוף, המאפיין את היחס בין ציפה לצמיגות בזורם, במספר פרנטל, המתאר את היחס בין דיפוזיית התנע לדיפוזיה תרמית.
לפיכך ניתן לחשוב עליו גם כעל מכפלת היחס בין כוח הציפה לכוח הצמיגות ביחס בין קצב דיפוזיית התנע לדיפוזיה התרמית.
מספר ריילי מתאר את ההתנהגות של זורמים (כמו מים או אוויר) כאשר צפיפות המסה של הזורם היא לא אחידה.
ההבדלים בצפיפות המסה נגרמים בדרך כלל על ידי הבדלי טמפרטורה.
לרוב, זורם מתפשט ונעשה קל יותר כאשר הוא מחומם.
הכבידה גורמת לחלקים הצפופים יותר של הזורם לשקוע ולחלקים הצפופים פחות לצוף מעלה, במה שנקרא הסעה חופשית.
לורד ריילי חקר את סוג ההסעה הנקרא הסעת ריילי-בנארד.
כאשר מספר ריילי, Ra, הוא מתחת לערך מסוים עבור זורם נתון, לא מתקבלת זרימה כלל ומעבר החום נעשה דרך הולכה טהורה; כאשר ערכו עולה על הערך הזה, מתחילה להתפתח הסעה טבעית של הזורם.
כאשר הבדלי צפיפות המסה נגרמים כתוצאה מהבדלי טמפרטורה אז מספר ריילי הוא, על פי הגדרה, היחס בין קנה המידה הזמני של הולכת החום (דיפוזיה תרמית) לקנה המידה הזמני של הסעה תרמית במהירות :
בעבור נפח זורם בגודל אופייני בכל שלושת הממדים המרחביים, ובעל הבדל צפיפות מסה , הכוח הפועל עליו עקב שילוב כוח הכבידה וכוח הציפה הוא מסדר גודל של כאשר היא תאוצת הכבידה.
מחוק סטוקס עולה, כי כאשר נפח בקרה של זורם שוקע, הגרר הצמיגי הפועל עליו הוא מסדר גודל של , כאשר היא הצמיגות הקינמטית של הזורם.
כאשר שני הכוחות הללו משתווים זה לזה, מהירות ההסעה המתקבלת היא .
לפיכך קנה מידה הזמני להסעת חום הוא (במילים אחרות, משך הזמן שנפח בקרה של הזורם משלים סירקוציה מלאה) מסדר גודל של .
קנה המידה הזמני להולכת חום לעומק לתוך הזורם הוא , כאשר הוא היחס בין מקדם הולכת החום למכפלת צפיפות המסה בקיבול החום הסגולי בלחץ קבוע של הזורם.
לפיכך, מספר ריילי Ra הוא:
כאשר למעשה הערכנו בצורה מקורבת את הבדל הצפיפות להיות , כאשר היא צפיפות המסה הממוצעת של הזורם, הוא מקדם ההתפשטות התרמית ו- הוא הפרש הטמפרטורות לאורך המרחק האופייני .
מספר ריילי ניתן לכתיבה גם כמכפלה של מספר גרסהוף ומספר פרנטל:
בתורת המספרים, מספר ראשוני מאוזן הוא מספר ראשוני עם רווחים שווים בגודלם מעליו ומתחתיו, כך שהוא שווה למעשה לממוצע החשבוני של שני המספרים הראשוניים הקרובים אליו (הקרוב מתחתיו והקרוב מעליו).
בכתיב אלגברי, בהינתן מספר ראשוני , כאשר הוא האינדקס שלו בקבוצת המספרים הראשוניים המסודרים,
לדוגמה, ; לפיכך 53 הוא מספר ראשוני מאוזן.
ישנה השערה תאורטית כי יש אינסוף מספרים ראשוניים מאוזנים.
שלושה ראשוניים רצופים המהווים סדרה חשבונית, נקראים לפעמים CPAP-3. ראשוני מאוזן הוא בהגדרה האמצעי בכל קבוצת CPAP-3. נכון ל-2014, בקבוצת CPAP-3 הגדולה ביותר הידוע יש ראשוניים בעלי 10546 ספרות והיא נמצאה על ידי דייוויד ברודהרסט.
הערך של (דרגתו ברצף כל הראשוניים) אינו ידוע.
ניתן להכליל את הגדרת הראשוניים המאוזנים ל"ראשוניים המאוזנים מסדר ".
ראשוני מאוזן מסדר הוא מספר ראשוני השווה לממוצע האריתמטי של הראשוניים הקרובים ביותר מעל ומתחת (וההגדרה של ראשוני מאוזן לעיל היא מקרה פרטי בו ).
אלגברית, בהינתן ראשוני , כאשר הוא המיקום שלו בקבוצת המספרים הראשוניים המסודרים,
לפיכך, כאמור ראשוני מאוזן "רגיל" הוא ראשוני מאוזן מסדר 1. רצפי הראשוניים המאוזנים של צו 2, 3 ו-4 ניתנים כרצף ב-OEIS, רצף ב-OEIS ורצף ב-OEIS בהתאמה.
במתמטיקה, מספרי RSA הם קבוצה של סמי-ראשוניים גדולים (מספרים עם שני גורמים ראשוניים בדיוק) שהיו חלק מאתגר RSA Factoring.
האתגר היה למצוא את הגורמים הראשוניים של כל מספר.
הוא נוצר על ידי RSA Laboratories במרץ 1991 כדי לעודד מחקר של תורת המספרים החישובית והקושי המעשי של עיבוד מספרים שלמים גדולים.
RSA Laboratories (שהם ראשי תיבות של יוצרי הטכניקה; ריווסט, שמיר ואדלמן) פרסמו מספר סמי-ראשוני עם 100 עד 617 ספרות עשרוניות.
פרסים כספיים בגדלים שונים, עד 200,000 דולר, הוצעו לפירוק חלק מהם.
מספר ה-RSA הקטן ביותר הוערך תוך מספר ימים.
רוב המספרים עדיין לא הובאו בחשבון ורבים מהם צפויים להישאר ללא גורמים במשך שנים רבות.
נכון לפברואר 2020, 23 מספרי הRSA הקטנים ביותר מתוך 54 המספרים המפורטים פורקו לגורמים.
בעוד שאתגר ה-RSA הסתיים רשמית ב-2007, אנשים עדיין מנסים למצוא את הפירוק לגורמים.
לפי RSA Laboratories, "כעת, כאשר לתעשייה יש הבנה מתקדמת משמעותית של החוזק הקריפאנליטי של אלגוריתמים נפוצים של מפתח סימטרי ושל מפתח ציבורי, האתגרים הללו אינם פעילים עוד." כמה מהפרסים הקטנים יותר הוענקו אז, שאר הפרסים בוטלו.
מספרי ה-RSA הראשונים שנוצרו, מ-RSA-100 עד RSA-500, סומנו לפי מספר הספרות העשרוניות שלהם.
מאוחר יותר, החל מ-RSA-576, ספרות בינאריות נספרות במקום זאת.
חריג לכך הוא RSA-617, שנוצר לפני השינוי בסכימת המספור.
המספרים מפורטים בסדר עולה למטה.
המספר פורק לגורמים ב-1 באפריל 1991 על ידי Arjen K.
לפי הדיווחים, הפירוק לגורמים נמשך כמה ימים באמצעות אלגוריתם המסננת הריבועית המרובה-פולינומית במחשב מקביל של MasPar.
הערך והפירוק לגורמים של RSA-100 הם כדלקמן:
לוקח ארבע שעות לחזור על הפירוק הזה באמצעות התוכנית Msieve ב-2200 מעבד Athlon 64 MHz.
ניתן לחלק את המספר לגורמים תוך 72 דקות ב-Overclock ל-3.5 GHz Intel Core 2 Quad q9300, באמצעות GGNFS ו-Msieve הבינאריים פועל באמצעות גרסה מבוזרת של התסריט פרל factmsieve.
ל-RSA-110 יש 110 ספרות עשרוניות (364 סיביות), והוא הופעל באפריל 1992 על ידי לנסטרה.
ניתן לחלק את המספר בפחות מארבע שעות ב-overclocked ל-3.5GHz Intel Core 2 Quad q9300, באמצעות GGNFS ו-Msieve הבינאריים פועל באמצעות גרסה מבוזרת של התסריט פרל factmsieve.
ל-RSA-232 יש 232 ספרות עשרוניות (768 סיביות), והוא פורק לגורמים ב-17 בפברואר 2020 על ידי NL Zamarashkin, DA Zheltkov ו-SA Matveev.
ל-RSA-480 יש 480 ספרות עשרוניות (1,593 סיביות), והוא לא פורק לגורמים עד כה.
קידומת הטלפון הבינלאומית 970+ שמורה למספרי טלפון ברשות הפלסטינית.
הקידומת הנ"ל משמשת בעיקר כאשר מתקשרים ממדינות ערב למקומות שבתחום השיפוט של הרשות הפלסטינית (כולל רצועת עזה).
מערכת הטלקומוניקציה בגדה המערבית וברצועת עזה תלויה במידה ניכרת בתשתית הישראלית.
לכן, חיוג 972+ המהווה את הקידומת הבינלאומית של מדינת ישראל, יהיה לרוב האפשרות הטובה יותר על מנת לחייג למספרי טלפון בשטחים הפלסטיניים.
עם זאת, מדינות ערביות או מוסלמיות רבות חוסמות את קוד הגישה הישראלי.
סוריה היא כיום המדינה היחידה שחוסמת את הקידומות הבינלאומיות 972 ו-970. לבנון הסירה את האיסור על הקידומת 970 ביולי 2008 אך עדיין חוסמת את הקידומת 972.
הפלסטינים משתמשים בתשתית התקשורת הישראלית ישירות או דרך חברת פלטל הפלסטינית, שמקצה מספרים השמורים לה על ידי משרד התקשורת הישראלי.
הקידומת 059 שמורה בלעדית לחברת התקשורת הסלולרית הפלסטינית ג'וואל (חברה בת של פלטל), וקידומת 056 שמורה ל-Ooredoo פלסטין.
בעבר קידומות אלה שימשו מפעילי תקשורת ישראלים, אך הוחלפו או מוזגו עם קודי חיוג אחרים, והוכנסו מחדש לשימוש בלעדי של מערכת התקשורת הפלסטינית.
02-29XXXXX - נפת רמאללה ואל-בירה
08-24XXXXX - נפת צפון עזה
08-26XXXXX - נפת עזה, טול אל-הווא
1-700 - שיחה בתשלום למוקדי חברות עסקיות
מספרי מזל הוא סרט קומדיה שחורה משנת 2000, שבוים על ידי נורה אפרון.
בסרט מככבים ג'ון טרבולטה, ליסה קודרו, טים רות', אד אוניל, מייקל רפפורט, ריצ'רד שיף, , ביל פולמן ומייקל מור.
תסריט הסרט נכתב על ידי והוא בוסס על סקנדל הלוטו בפנסילבניה משנת 1980. זהו הסרט היחיד אותו אפרון ביימה, אך לא לקחה חלק בכתיבת התסריט.
הסרט זכה לביקורות שליליות ונחשב לכישלון קופתי.
ראס ריצ'רדס הוא חזאי מזג אוויר בתחנת טלוויזיה מקומית בעיר האריסברג, פנסילבניה, הזוכה למעמד של סלבריטאי בקרב תושבי העיר ואף בעל חניה ומושב משלו במסעדה "".
למרות אופיו האופטימי של ראס, הוא מתמודד עם קשיים כלכליים לאחר שעסק למכירת אופנועי שלג שבבעלותו נוחל הפסדים בעקבות חורף חם מהרגיל.
חברו של ראס, גיג, בעל מועדון חשפנות משכנע אותו לתת לאנשיו לשדוד את העסק שלו ובכך הוא .
השוד משתבש לאחר שהעובד של ראס בחנות, לארי מביא דייט לחנות בשעות הלילה, חוזה בשודדים ומזמין את המשטרה.
כעת, ראס מאוים על ידי עבריין בשם דייל, שנכנס לכלא בעקבות השוד.
כמוצא אחרון, גיג מציע לראס לזייף את הגרלת הלוטו הבאה בעזרתה של קריסטל לטרוי, נערת הלוטו העובדת בערוץ, ובעזרתו של וולטר, בן דודה של קריסטל, שאמור להציג עצמו כבעלים של הכרטיס הזוכה ולקבל תמורתו את הכסף.
התכנית מצליחה, אך לפני שהצמד מתעשר, הצרות מתחילות: וולטר מסרב להביא לקריסטל את הכרטיס ומעדיף לשמור את כספי הזכייה לעצמו.
כתגובה, קריסטל מתעמתת איתו ו-וולטר נכנס להתקף אסתמה, אך קריסטל נותנת לו למות ומוצאת את הכרטיס מוחבא בחדרו.
מנהל תחנת הטלוויזיה, דיק סימונס, שמנהל רומן עם קריסטל, עולה על המזימה וסוחט את השניים בשביל חלק מכספי הזכייה, ואיתו גם אנשים נוספים שעלו על התרמית.
בעקבות רצח של סוכן הימורים בשם ג'רי (שאיים על גיג לאור המזימה עם כרטיס הלוטו), בלש משטרה עצלן בשם לייקווד ושותפו, צ'יימברס חוקרים את המקרה.
כדי להציל את עצמו ואת קריסטל, ראס מציע למכור את הכרטיס הזוכה לדיק תמורת מאה אלף דולר, איתם הוא יישלם לדייל בעקבות מעצרו.
קריסטל מתנגדת לתוכנית ומפתה את דיק כדי לקבל ממנו את חלק מכספי הזכייה.
באותו הלילה, דייל פורץ לביתו של דיק בחיפושיו אחר הכרטיס, אך המשטרה מגיעה ולייקווד הורג את דייל.
בדרכו הביתה, לייקווד נתקל בראס ולארי, שהפכו נגרר של משאית בניסיונם להוביל מספר אופנועי שלג ללקוח.
פוחד שלייקווד רוצה לכלוא אותו בגלל כרטיס הלוטו, ראס בורח ביחד עם מאה אלף הדולרים על אופנוע שלג, אך מתנגש בעץ ומתרסק.
בבית החולים, לייקוד נותן לראס דו"ח על נהיגה באופנוע שלג ללא רישיון ומספר לו מה קרה לדיק ודייל.
ראס הולך אל חדרו של דיק בבית החולים וגונב את הכרטיס בחזרה.
הסרט מסתיים כשראס מעניק את הכרטיס למלצרית בשם וונדי שעובדת ב-"Denny's" ועובר להתגורר בפלורידה, שם הוא מתחיל להנחות שעשועון בשם "מספרי מזל".
ג'ון טרבולטה – ראס ריצ'רדס
ליסה קודרו – קריסטל לטרוי
אד אוניל – דיק סימונס
ביל פולמן – הבלש פאט לייקווד
ריצ'רד שיף – ג'רי גרין
האתר Rotten Tomatoes העניק לסרט ציון של 23% טריות על סמך 97 ביקורות.
האתר Metacritic העניק לסרט ציון של 31/100 על סמך 30 ביקורות.
הסרט הרוויח 10,890,222 דולר כנגד 63 מיליון דולר שהושקעו ביצירתו ונחשב לכישלון קופתי.
במתמטיקה, זוג מספרים הם ידידים אם כל אחד מהם שווה לסכום מחלקיו של האחר (כאשר בין המחלקים אין סופרים את המספר עצמו).
מספרים כאלה נקראים גם ידידותיים, רֵעִים, עמיתים או נאהבים.
הזוג הקטן ביותר של מספרים ידידים הוא (220,284):
מספרים כאלה היו כבר ידועים לפיתגוראים, שייחסו להם סגולות מיסטיות.
קיימת נוסחה כללית שנותנת זוגות מספרים ידידים (אך לא את כל הזוגות).
נוסחה זו נקראת נוסחת תאביט, על-שם המתמטיקאי הערבי ת'אבת אבן קורה.
הם שלושתם מספרים ראשוניים, כאשר טבעי, אז המספרים ו- הם ידידים זה לזה.
מספרים ידידותיים ותכונותיהם נחקרו על ידי מתמטיקאים כגון פייר דה פרמה, רנה דקארט ולאונרד אוילר.
הזוג השני בגודלו, (1184,1210), חמק משום מה מעיניהם של המתמטיקאים הדגולים, והתגלה ב-1866 על ידי נער איטלקי בן 16 בשם ניקולו פגניני.
עד 1946 היו ידועים רק 390 מספרים ידידים, חיפוש באמצעות מחשבים הכפיל את קצב גילוי המספרים באלפים רבים, עד 2007 נתגלו 11,994,387 זוגות של מספרים ידידים, נכון לנובמבר 2023 ידועים 1,228,680,607 מספרים ידידים.
סביב המספרים הידידים קיימות כמה בעיות פתוחות:
האם ישנם אינסוף זוגות של מספרים ידידים?
ידועים זוגות מספרים ידידים ששניהם זוגיים, או ששניהם אי-זוגיים.
האם ישנם זוגות שבהם האחד זוגי והאחר אי-זוגי?
בכל הזוגות שנתגלו עד כה, קיים לשני המספרים גורם משותף גדול מאחד.
האם קיים זוג מספרים ידידים זרים?
מספר שהוא מספר ידיד לעצמו נקרא מספר משוכלל.
מספרים ידידים הם מקרה פרטי של מספרים חברותיים.
בעבר הרחוק, מספרים ידידים היוו סמל לזוגיות ולרומנטיקה.
כך, לדוגמה, אדם אשר ביקש להביע את אהבתו לאישה, היה מכין שני תליונים - האחד נושא את המספר 220 והשני את המספר 284 - ונותן אחד מהם לאהובתו.
בפירושו לתנ"ך, בעלי ברית אברם, מביא רבי אברהם אזולאי, סבו של החיד"א, הסבר של רב נחשון גאון למשמעות כמויות הבהמות שיעקב אבינו שלח כדורון לאחיו עשיו, על פי תורת המספרים הידידים הרב מנחם מנדל כשר מזכיר זאת בפירושו תורה שלמה על פרשת וישלח.
קהיליית מסצ'וסטס , הידועה יותר בשם המקוצר מַסָּצ'וּסֶטְס , היא מדינה באזור ניו אינגלנד בצפון-מזרח ארצות הברית.
היא גובלת ברוד איילנד וקונטיקט בדרום, ניו יורק במערב, ורמונט וניו המפשייר בצפון, ובמזרחה באוקיינוס האטלנטי.
בשנת 2022 מנתה אוכלוסיית מסצ'וסטס 6.98 מיליון תושבים, מה שהופך אותה למדינה המאוכלסת ביותר בניו אינגלנד.
למסצ'וסטס תפקיד היסטורי, תרבותי וכלכלי חשוב בהיסטוריה האמריקאית, והיא אחת משלוש עשרה המושבות המקוריות אשר מרדו בשלטון הבריטי והקימו את ארצות הברית.
שם המושבה מפרץ מסצ'וסטס נגזר משם האוכלוסייה הילידית המקומית, בני שבט המסצ'וסט .
פירוש השם הוא "ליד הגבעה הגדולה".
שמה הרשמי של המדינה הוא "קהיליית מסצ'וסטס".
בפיהם של תושבי המדינה היא נקראת גם פשוט "הקהילייה".
על אף שתואר זה הוא שמה הרשמי של המדינה, אין לו השלכות מעשיות של ממש, ומעמדה של המדינה זהה לכל שאר מדינות ארצות הברית.
מסצ'וסטס נוסדה כמושבת פלימות' על ידי נוסעי המייפלאואר ב־1620. האזור, שכבר נסקר על ידי ספינות אנגליות, יושב במהירות, בעיקר על ידי הפוריטנים שנרדפו באנגליה גופא, ונוסדו בו מספר כפרים, ובהם המושבה סיילם (נוסדה 1628).
בשנת 1630 נוסדה העיר בוסטון שהפכה לבירת המושבה מפרץ מסצ'וסטס, מחזיקת הזיכיון להתיישבות באזור.
האינדיאנים התנגדו להתיישבות הפוריטנית במסצ'וסטס וב־1637 פרצה מלחמת פיקו שלאחריה ארבע המושבות הפוריטניות מפרץ מסצ'וסטס, פלימות', קונטיקט וניו-הייבן יצרו את קונפדרציית ניו-אינגלנד, ההתאחדות החופשית הראשונה בעולם החדש.
במלחמת המלך פיליפ ב־1675–1676 חיסלה הקונפדרציה את הכוח הצבאי האינדיאני, אך עדיין סבלה מפשיטות במהלך המלחמה הצרפתית-אינדיאנית.
אוכלוסיית מסצ'וסטס סבלה מדיכוי המהפכה הפוריטנית באנגליה.
עם עליית המלך צ'ארלס השני ב־1660, הפכה מיין לטריטוריה השייכת לכתר ותוקף הזיכיון הפרטי עליה פג ב־1684. תוקף הזיכיון של חברת מפרץ מסצ'וסטס פג משום שהפרה אותו בהפעילה מטבעה פרטית ובהפלותה תושבים אנגליקנים לעומת פוריטנים.
בשנת 1691, זיכיון חדש איחד את מושבות מפרץ מסצ'סטס, פלימות' ומיין למושבת כתר אחת שנקראה "מסצ'וסטס".
הזיכיון ביטל את ביסוס האזרחות במושבה הפוריטנית על חברות בכנסייה, אף על פי שהדת הרשמית נשארה קהילתית (Congregationalism), השייכת לזרם הפוריטני.
ציד המכשפות בסיילם 1692 היה ביטוי למורת הרוח שחשו התושבים כנגד הלאמת המושבה.
19 אנשים נתלו ואחד נסקל למוות על שסירבו להודות שעסקו בכישוף.
במהלך המאה ה־18 כלכלת המושבה עסקה בייצוא תוצרתה החקלאית, התפתחה לבניית ספינות ותושביה עסקו בימאות.
במהלך מלחמת שבע השנים, חוקי הספנות הבריטיים נחקקו אמנם נגד צרפת, אך שלא על דעתם של הספנים ממסצ'וסטס, שסחרו בדבשה, רום ועבדים .
מסצ'וסטס הייתה למושבה הראשונה שמרדה בבריטניה, ועוד לפני כן הייתה ידועה כחוד החנית של ההתנגדות לבריטים.
בשנת 1773 השליכו תושבי מסצ'וסטס ארגזי תה מהספינות לים כאות מחאה על המיסים הבריטיים, במה שנודע כ"מסיבת התה של בוסטון".
במסצ'וסטס התרחשו כמה מהקרבות החשובים של מלחמת העצמאות האמריקאית, ובהם קרב לקסינגטון וקונקורד, וקרב בנקר היל.
בשנת 1780 נוסחה החוקה של מסצ'וסטס, אשר נכתבה בעיקר על ידי ג'ון אדמס ואשר אושרה ב־15 ביוני אותה שנה.
למושל הראשון של המדינה נבחר ג'ון הנקוק.
בשנת 1788 אישרה מסצ'וסטס את חוקת ארצות הברית והייתה למדינה השישית שעשתה זאת.
ב־15 במרץ 1820 השטח של מיין הופרד ממסצ'וסטס והפך למדינה עצמאית, מדינת מיין.
במאי 2004 הפכה מסצ'וסטס למדינה הראשונה בארצות הברית לאשר נישואים חד-מיניים.
מצפון למסצ'וסטס שוכנות מדינות ניו המפשייר וורמונט, ממערב לה - מדינת ניו יורק, מדרום - קונטיקט ורוד איילנד, וממזרח - האוקיינוס האטלנטי.
בקצה הדרום-מזרחי של המדינה מזדקר לתוך האוקיינוס חצי-האי קייפ קוד (Cape Cod).
מסצ'וסטס היא המדינה השביעית הכי קטנה בארצות הברית מבחינת שטחה.
המאפיין את קו החוף של מסצ'וסטס הוא ריבוי המפרצים - מפרץ מסצ'וסטס, מפרץ קייפ קוד, מפרץ הנרגנזטים וכו' - תכונה אשר העניקה למדינה את כינויה - "מדינת המפרץ".
החוקה של מסצ'וסטס אושררה ב-1780 בעת מלחמת העצמאות האמריקאית, ארבע שנים אחרי תקנון הקונפדרציה, ושמונה שנים לפני חוקת ארצות הברית המודרנית.
ככזו שנוסחה על ידי ג'ון אדמס, היא החוקה הישנה ביותר בארצות הברית שעדיין נמצאת בשימוש, וכן בעולם כולו.
כמו חוקות אחרות, היא מגדירה בפירוש את הפרדת הסמכויות במדינה.
הרשות המבצעת במסצ'וסטס מונה את מושל מסצ'וסטס, סגן המושל, גזבר המדינה, התובע הכללי של המדינה, מזכיר המדינה (הנקרא במסצ'וסטס מזכיר הקהילייה, יחד עם וירג'יניה ופנסילבניה), שר החקלאות, שר החינוך וכן עוד שרים נוספים.
כל האנשים הללו נבחרים על ידי אזרחי מסצ'וסטס, וזאת כדי להגביל את כוחו של המושל.
המושל אחראי על המשמר האזרחי במסצ'וסטס, על מינויים של מספר אנשים בוועדות הרשות המבצעת, הענקת חנינות ועל החלפת שופטים שפרשו באמצע כהונתם.
הנציגות בקונגרס של מסצ'וסטס נשלטת לחלוטין בידי המפלגה הדמוקרטית.
הסנאטורים המייצגים את מסצ'וסטס הם אליזבת וורן ואד מרקי.
כל תשעת הנציגים של המדינה בבית הנבחרים הם דמוקרטים.
הרשות המחוקקת במסצ'וסטס מורכבת משני בתי מחוקקים, בית הנבחרים המונה 160 חברים, והסנאט המונה 40. נכון ל-2015 המפלגה הדמוקרטית מחזיקה ברוב גדול בשני בתי הנבחרים.
רק 35 חברים בבית הנבחרים הם רפובליקנים, וכן רק 6 סנאטורים בסנאט.
בעשורים האחרונים, נשלטת מסצ'וסטס פוליטית על ידי המפלגה הדמוקרטית, ולה מוניטין של היותה המדינה הליברלית ביותר ברחבי ארצות הברית.
בשנת 1974, נבחר במסצ'וסטס מחוקק המדינה הראשון שהוא ההומו הגלוי הראשון בהיסטוריה הפוליטית של ארצות הברית.
מסצ'וסטס שלחה את הנציג ההומו הראשון לבית הנבחרים של ארצות הברית ב-1972, וב-2004, מסצ'וסטס נהפכה למדינה הראשונה המאשרת נישואים חד-מיניים.
לאורך אמצע המאה העשרים, מסצ'וסטס עברה בהדרגתיות ממדינה הנוטה לרפובליקנים למדינה הנשלטת באופן בולט בידי המפלגה הדמוקרטית.
משפחת קנדי הייתה דומיננטית בפוליטיקה של המדינה, מאז פועלו של ג'וזף קנדי, אבי המשפחה.
הניצחון של ג'ון פיצג'רלד קנדי על פני הסנאטור הרפובליקני המכהן הנרי קבוט לודג' ב-1952, נראה כנקודת המפנה במעבר זה.
אחיו הצעיר, אדוארד (טד) קנדי, שמר את כיסאו של אחיו בסנאט כשהלה נבחר לנשיא ארצות הברית, מ-1962 ועד למותו ב-2009. מאז מסצ'וסטס זכתה למוניטין של מדינה ליברלית ושמאלית, ונחשבת לעיתים לאייקון וסמל של הליברליזם המודרני.
בבחירות לנשיאות מסצ'וסטס נוטה להצביע למפלגה הדמוקרטית.
מספר תושבי המדינה הוא כ־7 מיליון איש, נכון לשנת 2020. העיר הגדולה ביותר במדינה היא בוסטון הבירה, השוכנת לחופי מפרץ מסצ'וסטס ונהר צ'ארלס (Charles River).
באזור בוסטון רבתי וליד החוף מתגוררים כ־5.8 מיליון תושבים.
לעומת זאת, חלקה המערבי של מסצ'וסטס הוא חקלאי יותר באופיו ופחות מיושב, במיוחד ליד הרי הברקשייר, הסתעפות של הרי האפלצ'ים.
מסצ'וסטס היא ביתם של בית הספר הציבורי היסודי, התיכון, מכללת הנשים והאוניברסיטה הראשונים בהיסטוריה של ארצות הברית, וידועה כמרכז השכלה חשוב בעולם כולו, כמקום מושבם של 121 מוסדות להשכלה גבוהה.
אוניברסיטת הרווארד והמכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס, השוכנות שתיהן בעיר קיימברידג' שבמטרופולין בוסטון, נחשבות כאוניברסיטאות מהטובות והחשובות בעולם, כאשר הרווארד, בתור האוניברסיטה הוותיקה והעשירה ביותר, החברה בליגת הקיסוס, מדורגת כמובילה בעולם.
בנוסף לכך, המדינה היא ביתן של אוניברסיטאות מובילות רבות, כמו אוניברסיטת בוסטון ואוניברסיטת ברנדייס.
האוניברסיטה הציבורית של מסצ'וסטס מכילה חמישה קמפוסים בתחום המדינה.
בין האוניברסיטאות הנוספות הנמצאות בתחום המדינה, ניתן למנות את:
מסצ'וסטס היא ביתן של חמש קבוצות בליגות המקצועניות בארצות הברית; קבוצת הכדורסל אלופת ה-NBA 17 פעמים, בוסטון סלטיקס, קבוצת הבייסבול זוכת שמונה פעמים בוורלד סיריס, בוסטון רד סוקס, קבוצת ההוקי קרח זוכת שש פעמים בגביע סטנלי, בוסטון ברואינס, וקבוצת הפוטבול זוכת חמש הפעמים בסופרבול, ניו אינגלנד פטריוטס.
ניו אינגלנד רבולושן היא קבוצת הכדורגל המרכזית ממסצ'וסטס.
סמלי מדינת מסצ'וסטס דגל סמל מוטו כינוי דגל מסצ'וסטסFlag of Massachusetts סמל מסצ'וסטסSeal of Massachusetts "בחרב אנו מבקשים שלום, אך השלום רק תחת חירות""Ense petit placidam sub libertate quietem" "מדינת המפרץ""The Bay State" עץ פרח ציפור חיה אולמוס אמריקאיUlmus americana זיווניתMayflower ירגזי שחור כיפהBlack-capped chickadee סוס מורגןMorgan horse
ריבוי כלשהו של מספרים שלמים נקראים מספרים זרים, אם הם נטולים גורם ראשוני משותף זולת ליחידה.
על-פי המשפט היסודי של האריתמטיקה כל מספר טבעי פריק לגורמים ראשונים בדרך אחת בלבד.
שני מספרים הם זרים אם ורק אם אין ברשימת הגורמים שלהם אף ראשוני משותף; לדוגמה, זר ל- .
5 ו-7 הם מספרים זרים.
4 ו-6 אינם זרים, מכיוון ששניהם מתחלקים ב-2.
אם p ראשוני, אז כל מספר שאינו מתחלק ב־p בהכרח זר ל-p.
שלשה של מספרים נקראת 'שלשה זרה' (ולפעמים 'שלשה פרימיטיבית') אם אין אף מספר גדול מאחת המחלק את כולם; וכן לרביעייה, חמישייה או קבוצה גדולה יותר.
אם המספרים בקבוצה זרים גם זה לזה, אומרים שהם 'זרים בזוגות'.
ייתכן שבקבוצת מספרים המספרים יהיו זרים בלי להיות זרים בזוגות.
למשל 6,10,15 - אין מספר גדול מאחד המחלק את שלושתם, אך כל זוג מתוכם אינו זר.
אם קיימים מספרים שלמים a,b כך ש- , אז n,m זרים, משום שכל מחלק משותף שלהם מחלק גם את אגף ימין בשוויון הזה.
מאידך, מכיוון שחוג המספרים השלמים הוא תחום ראשי, לכל שני מספרים זרים n ו-m קיימים a ו־b כך ש- .
האלגוריתם של אוקלידס מוצא את המקדמים הללו בזמן קצר יחסית.
מתכונה זו מתקבלת הוכחה קלה של משפט השאריות הסיני.
קבוצת המספרים בין 1 ל־n הזרים ל-n היא חבורה ביחס לכפל מודולו n, הנקראת חבורת אוילר של n.
גודלה של חבורה זו שווה ל-, כאשר היא פונקציית אוילר.
אם n ו־m זרים, אז הכפולה המשותפת המינימלית שלהם שווה למכפלתם nm.
עבור כל שני מספרים זרים n ו־m מתקיים שכל אחד מהם זר לכל העלאה בחזקה של האחר (לדוגמה, n זר ל-m3), וכן מתקיים שכל אחד מהם זר לסכומם n+m.
ההסתברות ששני מספרים יהיו זרים
נסמן ב- את ההסתברות ששני מספרים טבעיים קטנים מ-N שנבחרים באקראי (בהתפלגות אחידה בדידה) יהיו זרים.
כאשר N שואף לאינסוף, שואף ל-.
על כן ניתן לומר שההסתברות ששני מספרים טבעיים כלשהם יהיו זרים היא (נדרש תיאור של הסתברות זו כגבול משום שאי אפשר לבחור שני מספרים טבעיים סתם, בהתפלגות אחידה).
המקור לטענה הוא בנימוק הבא: נבחר שני מספרים באופן אקראי (למען הפשטות, נוותר על הדיוק ונניח שניתן לבחור מספרים טבעיים לא חסומים באופן אחיד).
המספרים זרים אם ורק אם אין ראשוני שמחלק את שניהם.
הסיכוי שראשוני מחלק כל אחד מהם היא , ולכן הסיכוי שהוא מחלק את שניהם הוא .
מכאן שהסיכוי שהוא לא מחלק את שניהם הוא .
לכל שני ראשוניים שונים, המאורעות הללו בלתי תלויים (משפט השאריות הסיני).
מכאן שההסתברות שאין אף ראשוני שמחלק את שני המספרים שנבחרו היא מכפלת ההסתברויות שכל ראשוני בנפרד לא מחלק את שניהם.
כאשר המכפלה עוברת על כל הראשוניים.
קיבלנו את ההופכי של מכפלת אוילר של פונקציית זטא של רימן בנקודה , ולכן ההסתברות שווה ל-.
לפי הפתרון של בעיית בזל, ערך זה שווה ל-.
בחוגים כלליים, לטענה שאיברים a ו־b זרים יכולה להיות שתי משמעויות: או שאין איבר לא הפיך שמחלק את שניהם, או שאין אידיאל שמחלק את שניהם (ובמלים אחרות, האידיאל שווה לכל החוג).
האפשרות השנייה תמיד חזקה מן הראשונה, ובתחומי אידיאלים ראשיים הן מתלכדות.
אומרים ששני אידיאלים (של חוג כלשהו) הם זרים (או קו-מקסימליים, או מקסימליים הדדית), אם סכומם שווה לכל החוג.
זוהי תכונה מרכזית בהכללה של משפט השאריות הסיני לחוגים כלליים.
בכדורגל, מִסְפֶּרֶת היא בעיטה הנעשית מהאוויר, על ידי קפיצה והנפת הרגליים.
מספרת מכונה בשם זה משום שצורת הרגלים בתנועתן בעת בעיטה זו מזכירה מספריים.
לבעיטה זו שני סוגים: בעיטה קדמית ובעיטה אחורית.
הבעיטה הקדמית נעשית על ידי קפיצה כשהגוף פונה לכדור ולשער, וכאשר מגיע הכדור לשחקן הוא מניף את רגלו באוויר ובועט בכדור.
הבעיטה האחורית נעשית כאשר השחקן עם הפנים לכדור אך עם הגב לשער והשחקן למעשה בועט אחורה את הכדור תוך קפיצה והנפת הרגליים.
בעיטה זו נחשבת לאחת מהיפות ביותר בכדורגל, ומעטים הם השחקנים שהצליחו להבקיע אותה מול שוער.
המצאת הבעיטה מיוחסת לכדורגלן הברזילאי לאונידאס דה סילבה, אם כי דה סילבה טען כי הוא רק שיפר את בעיטתו המקורית של פטרוניליו דה בריטו.
ב-14 בנובמבר 2012, במהלך משחק ידידות של נבחרת שוודיה מול נבחרת אנגליה, ניצל זלאטן איברהימוביץ טעות של השוער ובעט מספרת ממרחק של כ-30 מטר, שער שזיכה אותו בשער השנה של פיפ"א (פרס פושקש) ונחשב בעיני רבים לאחד מהשערים היפים בהיסטוריה.
בישראל נחשב הכדורגלן שלמה לוי הכובש הגדול ביותר של שערים בבעיטות מספרת.
בעונת כבש אלירן עטר שער במספרת, שנחשב בכלי תקשורת רבים לשער היפה ביותר של העונה בישראל, ואף נבחר למקום הרביעי בתחרות "שער השנה" של פיפ"א.
בשנת 2010 כבש ערן זהבי שער במספרת אחורית במדי הפועל תל אביב במסגרת שלב הבתים של ליגת האלופות מול ליון בצרפת.
בעונת 2025/2026 כבש אנדרו אידוקו שחקן הפועל ירושלים שער ניצחון במספרת, בדקה ה93 למשחק לאחר שיוויון 1-1 מול הפועל פתח תקווה, מועמד לשער העונה.
במתמטיקה, מספרים חברותיים הם שרשראות של מספרים שכל אחד מהם הוא סכום מחלקיו של המספר שלפניו (כאשר 1 נחשב למחלק, אך כל מספר אינו נחשב למחלק של עצמו), והראשון של האחרון.
מספר האיבר מספר חברותי המחלקים של המספר החברותי סכום המחלקים
שרשרת זו, כמו-גם השרשרת באורך 28, נתגלו בשנת 1918 בידי פ.
פולה ללא כלים אנליטיים אלא באמצעות חישוב ידני, והן השרשרות הראשונות שנתגלו שאורכן גדול מ-2. עד היום לא ידועה נוסחה אנליטית לחיזוי מספרים חברותיים, ואלו שנמצאו לאחר שתי הדוגמאות הראשונות של פולה נתגלו באמצעות מחשב.
שרשרות באורך 1 נקראות מספרים משוכללים, שרשרות באורך 2 נקראות מספרים ידידים.
ניתן לראות במספרים אלו תת-קבוצה של המספרים החברותיים.
מספרים ידידים ומספרים משוכללים היו ידועים למתמטיקאים כבר ביוון העתיקה.
כיום, החיפוש אחר שרשרות מתבצע בעזרת מחשבים.
להלן רשימה של מספר השרשרות הידועות מכל גודל (מעודכנת לינואר 2016):
השרשרת שאורכה 28 מכילה את המספרים:
שרשרת באורך 4 נתגלתה לראשונה בשנת 1969. מאז התגלו שרשרות רבות נוספות באותו אורך, אך לא ידועה אף שרשרת באורך 3. עובדה זאת מעלה תהיות שעדיין לא נפתרו: האם ישנן שרשרות כאלו בכל אורך שהוא, או שעבור אורכים מסוימים אין אף שרשרת?
וגם להפך, האם לכל אורך או לפחות עבור אורכים מסוימים, ישנן אינסוף שרשרות כאלו?
השאלה אם ישנם אינסוף מספרי מרסן הגוררים את קיומם של אינסוף מספרים משוכללים היא מקרה פרטי של הבעיה הקודמת.
שאלה פתוחה נוספת מתייחסת לזוגיות: בכל השרשרות הידועות, הזוגיות זהה לכל המספרים בשרשרת, כלומר, או שכולם זוגיים או שכולם לא זוגיים.
האם קיימת שרשרת המכילה גם מספרים זוגיים וגם מספרים לא-זוגיים?
מספריים הם כלי המשמש לחיתוך חומר דק בכוח מועט.
מספריים משמשים, בין היתר, לגזירת נייר, קרטון, יריעות מתכת, פלסטיק, בד, חבל ותיל.
מספריים משמשים אף לחיתוך שיער וציפורניים.
למספריים שני להבים הנעים על ציר משותף.
שם הבורג המחבר את שני הלהבים על הציר נקרא אצטבה.
רוב סוגי המספריים מצוידים בלהבים שאינם חדים באופן מיוחד והחיתוך נוצר בעיקר מן הכוח המופעל בנקודת המגע שבין שני הלהבים.
מספריים המותאמים לשימוש ילדים חדים אף פחות ולהביהם מוגנים לעיתים במעטה פלסטיק.
מספריים המשמשים לגז הצאן נקראים מגזזיים ואלו המשמשים לחיתוך תיל, מגזריים.
בשפה האנגלית קיימת הבחנה בין מספריים קטנים (Scissors) לבין מספריים גדולים (Shears) שאורך להביהם גדול מ-15 ס"מ.
מבחינה מכנית מספריים הם מנוף כפול שבו הציר המחבר בין שני הלהבים משמש כנקודת משען.
לצורך חיתוך חומר עבה או קשה יותר, הצבת החומר סמוך ככל האפשר לנקודת המשען מגבירה את מומנט הכוח של המנוף שקצהו בלולאות האצבעות.
לדוגמה, אם הכוח המופעל (כוח היד) כפול במרחקו מנקודת המשען, מאשר המרחק מנקודת המשען אל נקודת החיתוך (למשל, פיסת נייר), אזי הכוח המופעל בנקודת החיתוך על הנייר יהיה כפול מן הכוח המופעל על ידי היד על הידיות.
מספריים מיוחדים, כמו מספריים לגזירת ברגים מנצלים את חוקי המומנט על ידי עיצוב ידיות ארוכות ולהב קצר, כך שהחומר הנגזר ממוקם סמוך לנקודת המשען.
המספריים הומצאו כנראה במצרים העתיקה לפני כ-3,500 שנה.
היו אלה מספריים גדולים עם להבים מחוברים בציר, ללא ידיות.
מספריים מודרניים יותר הומצאו על ידי הרומאים בשנת 100 לספירה לערך.
התפתחות גדולה בשכלול המספריים הושגה בשנת 1761 כאשר רוברט הינצ'ליף יצר לראשונה מספריים מפלדה יצוקה ומלוטשת.
יצירת הלולאה לאצבעות היוותה את הקושי העיקרי ביציקת המספריים.
מספריו של הינצ'ליף נמכרו בלונדון ובשווקים אחרים.
הוא נודע כאדם הראשון שפרסם עצמו כיצרן מספריים איכותיים.
להבי המספריים מעוצבים כך שיהיו מעוקלים במקצת, דבר המגביר את יעילות הגזירה.
ליטוש הלהבים המעוקלים הוא הפעולה המסובכת ביותר בייצור המספריים.
לפני שנות השישים לא הייתה קיימת מכונה יעילה לביצוע פעולה זו והיא נעשתה בדרך כלל ביד על פני גלגל השחזה, באופן דומה להשחזת סכינים אחרים, משך מאות שנים.
בשנת 1967 פיתחה חברת פיסקרס (Fiskars) הפינית שיטה חדשה להשחזת מספריים.
השיטה מבוססת על התגלית כי ניתן ליצור את העיקול הקל בפני הסכין על ידי קווים ישרים, כפי שניתן לראות בתמונה משמאל.
השיטה החדשה הגבירה במידה רבה את יעילות ומהירות ייצור המספריים.
החל משנת 1880 החלו לייצר מספריים עם ידיות ארגונומטריות עשויות פליז.
החל משנת 1967 החלו להשתמש בידיות פלסטיק במקום ידיות מתכת, להבים שטוחים ומסמרה המשמשת כציר למספריים במקום בורג.
הודות לשכלול שיטות השחזת הלהבים, ניתן היום להשיג חדות טובה בפעולת השחזה אחת.
מספרי מטבח דומים למספריים רגילים.
ההבדל העיקרי נעוץ במיקום הציר ביחס לידיות וללהבים.
הציר במספרי מטבח רחוק יותר מן הידיות כדי לאפשר הפעלת מומנט כוח גדול יותר ומכאן אף כוח חיתוך רב יותר.
בעזרת מספרי מטבח איכותיים ניתן לחתוך בקלות דרך עצם החזה של עוף.
רוב המספריים מעוצבים לשימוש ביד ימין, אולם קיימים מספריים המעוצבים במיוחד לאיטרים.
ההבדל הבולט במספריים אלה הוא ידיות הנוחות יותר לאחיזה ביד שמאל, אולם קיימים בהם אף הבדלים אחרים, חשובים לא פחות.
כיוון שבמספריים קיימת חפיפה בין הלהבים, אין הלהבים מעוצבים באופן סימטרי.
חוסר הסימטריה בין הלהבים קיים ללא קשר לצורת הידיות, או ההבדלים ביניהן.
הלהב המונח מעל תמיד יוצר את אותו אלכסון ללא קשר לכיוונו.
אף ידי האדם אינן סימטריות והסגירה של האגודל אל מול שאר האצבעות איננה אנכית, אלא שהיא נעשית בשני מישורים.
בתנועת סגירה, בעוד שהאגודל נע כלפי חוץ, שאר האצבעות נעות כלפי פנים.
למספריים רגילים המוחזקים ביד ימין, הלהב בקצה ידית האגודל קרוב יותר לגוף, כך שהנטייה הטבעית של יד ימין היא לקרב בכוח את משטחי הלהבים זה אל זה (זאת בנוסף לסגירת המפתח שבין הלהבים).
לעומת זאת, אם מספריים רגילים מוחזקים ביד שמאל, הנטייה הטבעית של יד שמאל תהיה להרחיק את משטחי הלהבים.
בנוסף, כאשר מספריים רגילים מוחזקים ביד ימין, שפת הגזירה גלויה לעין.
כאשר מספריים רגילים מוחזקים ביד שמאל, שפת הגזירה תהיה מאחורי הלהב העליון ולא ניתן לראות את נקודת הגזירה.
קיימים מספריים המותאמים לאיטרים ולימניים גם יחד.
למספריים אלה ידיות זהות, כך שאין הבדל בין אחיזה ימנית לאחיזה שמאלית.
במספריים כאלה הציר חזק מאשר במספריים רגילים, כך שאין כל תנועה אופקית חופשית בציר המספריים (לקירוב משטחי הלהבים).
אולם, רוב המספריים המותאמים לאחיזה ימנית ושמאלית גם יחד הם עדיין למעשה מספריים רגילים לימניים.
אף על פי שהם מבצעים את פעולת הגזירה בהצלחה, כיוון הלהבים עדיין לא יאפשר מבט לנקודת הגזירה באחיזה שמאלית.
במספריים המותאמים לחלוטין לאחיזה ימנית ושמאלית גם יחד, הלהבים חדים משני עבריהם וניתן לסובב את הידיות על הציר, כמעט ב-360 מעלות, כך שגם אדם איטר יוכל לראות את נקודת הגזירה.
רוב בני האדם מתקשים בשימוש במספריים ביד שאיננה ידם הדומיננטית.
במקרים כאלה קיימת תחושה לא טבעית בפעולת סגירת הידיות הדרושה לשם חיתוך ויש לנסות ולהביט מעבר ללהב כדי לראות את נקודת הגזירה והחומר הנגזר.
פעולה לא טבעית זו של היד עשויה לגרום ליבלות.
מספרי זיגזג – במספריים אלה קצה הלהב אינו ישר ויוצר קו גזירה מזוגזג.
מספרי מתכת – לחיתוך יריעות מתכת.
מספרי גיזום – משמשים לגיזום ענפי עצים ושיחים.
מספרי ברגים – מספריים היכולים לחתוך ברגים וחוטי תיל.
מספרי טראומה (מוכרים גם בשם מלע"כ, מספריים לחיתוך עם כפתור) – מספריים לחיתוך מהיר של בגדים ואריגים בזמן טיפול בפצועים.
במתמטיקה, במערכת המספרים הממשיים, מספר חיובי הוא מספר הגדול מ-0, ומספר שלילי הוא מספר קטן מ-0. מספרים חיוביים ושליליים יחד נקראים "מספרים מכוונים", כי מתחשבים בכיוון שלהם על ציר המספרים יחסית לנקודת האפס.
מספר חיובי שווה לערך המוחלט של עצמו.
המספרים החיוביים הם תת-קבוצה של קבוצת המספרים האי-שליליים, הכוללת את כל המספרים החיוביים ו-0.
ערכו המוחלט של מספר שלילי שווה למספר הנגדי לו.
מספר שלילי נכתב עם סימן מינוס לפניו.
לדוגמה, 5- מבטא מספר שלילי שערכו המוחלט הוא 5.
חוקי החשבון למספרים שליליים מבטיחים שהרעיון האינטואיטיבי של ניגוד, או היפך, בא לידי ביטוי.
חיבור של שני מספרים שליליים דומה מאוד לחיבור של שני מספרים חיוביים.
הרעיון הוא שאפשר לשלב שני חובות לחוב אחד בסדר גודל גדול יותר.
כאשר מחברים יחד תערובת של מספרים חיוביים ושליליים, אפשר לחשוב על המספרים השליליים כעל כמויות חיוביות הנגרעות.
כאשר כופלים שני מספרים בעלי אותו סימן, התוצאה היא מספר חיובי.
כאשר כופלים שני מספרים בעלי סימנים מנוגדים, התוצאה היא מספר שלילי.
השימוש במספרים מכוּונים בחיי יומיום הוא רב.
למשל במדידת טמפרטורות (מעל ומתחת לאפס), במדידת גבהים (מעל ומתחת לגובה פני הים) ובקביעת מצב חשבון הבנק (יתרה חיובית ויתרה שלילית).
כאשר נהגה רעיון המספרים השליליים, הדבר קודם בסערה, כיוון שבאותה העת היה זה צעד מאוד לא אינטואיטיבי, ואף התפרסמו מאמרי ביקורת אשר יצאו נגד המספרים החדשים.
בשדה המספרים המרוכבים אין משמעות לחיוביות או שליליות: אי אפשר להפוך אותם לשדה סדור משום שהמרוכבים אינם שדה ממשי פורמלית.
אוקלידס, בספרו "יסודות", זיהה את המושג "מספר" עם אורך של קטע, וכך קיבע אל תוך המחשבה המערבית את התפיסה שלפיה המספרים השליליים אינם "אמיתיים", אלא לכל היותר כלי עזר לחישוב.
דיופנטוס, בן המאה השלישית, התייחס בספרו "אריתמטיקה" למשוואה שפתרונה הוא מספר שלילי, וציין שזו משוואה אבסורדית.
מספרים שליליים מופיעים ככל הנראה לראשונה בספר "תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה", שחובר בידי מלומדים סינים בתקופת שושלת האן (כתיבת הסתיימה במאה ה-1 לספירה).
במאה השביעית התייחסו מתמטיקאים הודים למספרים שליליים כאל חוב.
מתמטיקאים מוסלמים הכירו בתקופה זו מספרים שליליים דרך עבודותיהם של המתמטיקאים ההודים, אך השתמשו בהם בצמצום.
המתמטיקאי אל-ח'ואריזמי, בן המאה התשיעית לא השתמש במספרים שליליים בספרו "חיסאב אל-ג'אבר ואל-מוקאבלה", אך כעבור 50 שנה השתמש בהם המתמטיקאי המצרי אבו כאמל.
במאות ה-15 וה-16 הקונצנזוס באירופה היה שמספרים שליליים הם אבסורדיים.
ב-1758 כתב פרנסיס מסרס (1731-1824), חבר ה-Clare College בקיימברידג' "תזה על השימוש בסימן השלילי באלגברה", ובה דחה את הרעיון של מספרים שליליים כשלעצמם.
בפרט, הוא טען, לא ייתכן שלמספר יהיו שני שורשים שונים (חיובי ושלילי).
גישה זו השתנתה רק באמצע המאה ה-19, עם תחילת עלייתה של האלגברה המופשטת.
בשנת 1843 כתב אוגוסטוס דה מורגן: "היצירים האלה [המספרים השליליים] זכו בקיומם, למרות החוסר הברור בהסבר רציונלי, המאפיין כל ניסיון לתאוריה שלהם".
עם זאת, כיסי התנגדות למושג המספר השלילי נותרו עד זמן מאוחר כסוף המאה ה-19. ב-1890 כתב אנטוניו חוסה טייקסאירה (1830-1900) ש"לכמויות שליליות אין כל קיום אריתמטי".
במזרח הרחוק, לעומת זאת, המספרים השליליים טופלו באותם כלים כמו המספרים החיוביים: בסין, כבר מן המאה ה-2 לפנה"ס מוטות אדומים, ממוזלים, סימנו מספרים חיוביים, ומוטות שחורים סימנו מספרים שליליים.
המספרים השליליים הוכרו כלגיטימיים בשלבי הביניים של פתרון הבעיה, אבל לא כתוצאה סופית.
כללים מפורשים לטיפול במספרים שליליים מופיעים אצל בראהמגופטה בהודו, בסביבות שנת 650 לספירה.
המונח מספר גדול מתייחס לרוב למספר טבעי הגדול משמעותית ממספרים בהם נתקלים לרוב בחיי היום-יום, ולרוב הכוונה למספרים עם עשרות ספרות ויותר.
המונח אינו ניתן להגדרה טובה בצורה ריגורוזית ולכן הוא חסר משמעות מבחינה מתמטית.
מספרים גדולים מופיעים במגוון תחומים מתמטיים ומדעיים ויש להם שימושים מעשיים בקריפטוגרפיה ובהסתברות.
אולם בטיפול בהם נתקלים גם בקשיים שונים, כגון הקושי לייצגם ביעילות ובדיוק והקושי בהערכת גודלם המוחלט והיחסי.
בכתבי הוודות העתיקים של ההינדים מופיעים טקסטים המתוארכים בין המאה ה-13 לפנה"ס למאה ה-6 לפנה"ס, בהם מופיעים שמות בסנסקריט לכל החזקות של עשר עד .
במאה ה-3 לפנה"ס כתב המתמטיקאי היווני ארכימדס את החיבור מחשב החול (Ο Ψαμμίτης).
החיבור כולו עוסק בניסיון לתת חסם למספר גרגרי החול שהיקום מסוגל להכיל.
בהסתמך על מודל היקום המקובל בזמנו, הגיע ארכימדס לתוצאה כי מספר הגרגרים הדרושים אינו עולה על .
כדי לדון בסוגיה פיתח ארכימדס שיטה לייצוג מספרים גדולים, שכן שיטות הספירה של היוונים לא היו מסוגלות לכך.
השיטה של ארכימדס אפשרה לו לייצג חזקות של עשר עד ל-
בסוטרה של המהאיאנה המתוארכת למאה הראשונה לספירה מתוארת תחרות בין גאוטמה בודהה לבין מתמטיקאי, בה מגלה בודהה כישורים אריתמטיים מרשימים, ומונה את שמות כל החזקות של עשר עד ל-.
בדרך מחליף בודהה תשע שיטות ספירה ומסביר שסדרת החזקות היא סדרה הנדסית.
המשימה נראתה בעיני המלך כעניין של מה בכך, והוא פקד על משרתיו למלאה, אך מהר מאוד גילה שכל מחסני התבואה בממלכה התרוקנו, בזמן שמילוי משאלתו של הממציא רחוק מלהתגשם (כבר במשבצת ה-32 נדרשו יותר משני מיליארד גרגרים).
בתנ"ך ניתן למצוא את המונחים מאה, אלף, רבבה (רבוא, רבו).
כך למשל מסופר בספר יונה () כי בנינוה היו שנים-עשר רבו אדם, שהם 120,000 נפש.
זו העיר עם מספר האוכלוסין הגדול ביותר הנזכרת במקרא.
מתברר שבמקרא נדרשו לבטא מספרים עוד יותר גדולים.
כך מופיע הצירוף אלף אלפים (שהם מיליון בלשון ימינו) כדי לציין את מספר הנפשות בכל ישראל () ואת מספר החיילים בצבא זרח הכושי (), או לציין כמות גדולה של ככרות כסף ().
דומה שהמספר הגדול ביותר הנזכר בתנ"ך מופיע בספר דניאל (), ככתוב בארמית: "נהר די-נור נגד ונפק מן קדמוהי, אלף אלפים ישמשונה ורבו רבבן קדמוהי יקומון", ובתרגום לעברית: נהר של אש נובע ויוצא מלפניו.
אלף אלפים ישמשוהו ורבוא ריבואות לפניו יעמדו.
אם אלף אלפים שווי-ערך למיליון בלשוננו, אזי רבוא רבבות שווים למאה מיליון - 100,000,000.
בדומה למאה, אלף ורבבה שבמקורותינו, השתמשו היוונים בשמות הבאים לערכים הגדולים ביותר: הֵקָטוֹן (מאה), וממנו נגזר המונח הקטומבה, המצוי הרבה באפוסים היווניים איליאדה ואודיסיאה, והוא מציין קרבן יוצא דופן בגודלו ובחשיבותו, והוא של מאה פרים; חיליאה (אלף), ממנו נגזר המונח קילו שהוא אלף ו- מיריאה (רבבה).
מספרים גדולים בלתי נמנים: בתנ"ך מופיעים מספר פעמים אזכורים המלמדים שלאדם הייתה תחושה, ואולי אף ידיעה, כי מצויים עצמים המופיעים בכמויות גדולות מאוד שאין ביכולתו לדעת את מספרם.
חול הים, העשוי מגרגרים בודדים רבים, סיפק מטפורה מפורסמת לכמות גדולה מאוד, עצומה: "כחול אשר על שפת הים לרוב" (; ; ; ; ; ); " כחול הים אשר לא יספר מרב" ().
יש כאן, אולי, ביטוי קדום למושג המתמטי-לוגי המכונה בפינו אינסוף.
ודומה שכבר בעת העתיקה נקבע שיש ערכים שהם גדולים מן האינסוף (או לחלופין שזהו אינסוף גדול יותר) כפי שמבטא ספר תהילים: "אספרם, מחול ירבון" ().
ביטוי אחר הוא "צבא השמים" () או "צבא המרום" (), וידוע האתגר שהציב האל בפני אברהם אבינו () לאמור: "ויוצא אותו החוצה ויאמר, הבט נא השמימה וספר הכוכבים, אם תוכל לספור אותם..".
אברהם ככל הנראה לא התחיל במשימה, שנראית מלכתחילה בלתי אפשרית לביצוע.