tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
גאוס הוכיח שהרכבה כזאת תמיד ניתנת לביצוע: תחילה הראה שניתן תמיד להרכיב תבניות ריבועיות בינאריות מאותה דיסקרימיננטה D, ולאחר מכן הרחיב את הגדרת חוק ההרכבה, באופן המאפשר להרכיב אף תבניות לא פרימיטיביות ובעלות דיסקרימיננטה שונה.
חוק ההרכבה שלו עמד בליבה של התאוריה החישובית של תבניות ריבועיות במשך מאתיים שנה, וההכללה הראשונה שלו לתבניות מסדר שלישי ורביעי ניתנה בסדרת מאמרים מ-2004 של זוכה מדליית פילדס מנג'ול בהרגבה.
ב-1816, ככל הנראה זמן קצר לאחר שאולברס ניסה לעודדו להתחרות על פרס שהציעה האקדמיה הצרפתית על הוכחת המשפט האחרון של פרמה, גאוס הוכיח את המקרים n = 3 ו-n = 5 של המשפט.
גאוס פיתח הוכחה אלטרנטיבית אלגנטית למקרה n = 3 של המשפט האחרון, שהייתה בהירה יותר מההוכחה שניתנה על ידי אוילר.
באמצעות פיתוח שיטתי של תכונות השדה הציקלוטומי השלישי (כאשר ) ושיטת הנסיגה האינסופית של אוילר ופרמה, הוא הוכיח את אי הפתירות של המשוואה במספרים שלמים מרוכבים; אף על פי שהתוצאה שלו הייתה כללית יותר, ההוכחה נתגלתה כברורה ופשוטה יותר מאשר במקרה הממשי.
אף על פי שההוכחה שלו מובילה לאסטרטגיה שמצליחה בעבור ערכים אחרים של n, הוא מעולם לא העסיק את עצמו עם המשפט באופן שיטתי משום שלא החשיב את ההתמקדות בו למועילה במיוחד לעתיד ענף תורת המספרים, וכתוצאה בחר לא לפרסם את הוכחותיו למקרים אלו.
מנקודת מבט עכשווית, ניתן לקשור הוכחותיו אלו עם ניסיונותיו למצוא חוקי הדדיות מסדרים גבוהים יותר, משום ששני הנושאים מטופלים בבהירות רבה יותר דרך המסגרת האלגברית המורחבת של שדות ציקלוטומיים.
ואכן, באותו מקום בכתביו הוא זיהה במפורש כמה תכונות חשובות של איברים בשדות ציקלוטומיים מסדר ראשוני , כמו ההגדרה של הנורמה האלגברית של איבר בשדה כזה (כפי שניתנה מאוחר יותר על ידי ארנסט קומר), והעובדה שכל היחידות הציקלוטומיות מתקבלות כמכפלות של מספרים מהצורה (כאשר ).
נקודות ראויות לציון אחרות בעבודתו של גאוס בתורת המספרים כוללות את הפרק השמיני הלא מפורסם של מחקרים אריתמטיים (שגאוס לא השלימו), שתוצריו המובהקים הם תאוריה שיטתית של המבנה של שדות סופיים, והגילוי של ההוכחה השביעית והשמינית שלו לחוק ההדדיות הריבועית.
בחיבור זה תקף גאוס את הבעיה של קונגרואנציות ממעלה שרירותית מודולו מספר ראשוני וביסס כלים חשובים כדי לגשת לבעיות מהסוג הזה.
בין היתר, גאוס חוקר את המבנה של שדות סופיים דרך אוטומורפיזם פרובניוס, ונעזר בנוסחת ההיפוך של מביוס כדי "לספור" את מספר הפולינומים האי-פריקים ממעלה n מעל שדה סופי (GF(p מודולו p.
בחלקו האחרון של החיבור גאוס דן בהכללות אפשריות של חקירות אלו, ומוכיח גרסה מוקדמת של למת הנזל - תוצאה יסודית המאפשרת להרים תופעות מודולריות ביחס למספר ראשוני p לכדי חזקות הולכות וגדלות של אותו ראשוני.
נקודת המבט בה נקט בחיבור קרובה לזו שננקטה מאוחר יותר על ידי אווריסט גלואה וריכרד דדקינד, כך שפרסומיהם "ייתרו" חיבור זה, אולם הוא עדיין נותר חשוב לצורך התחקות אחר שורשי הרעיונות המתמטיים של גאוס.
ישנן ראיות שגאוס היה מודע חלקית לתפקיד הטכני המרכזי של למת הנזל בהתרת בעיות אריתמטיות מודרניות, כפי שעולה מהערות אחדות ביומנו או מן המניע שלו להוכחת למת גאוס על פולינומים.
בתחילת המאה ה-20 הציג קורט הנזל את שדה המספרים ה-p-אדיים ובכך שפך אור על חקירות אלו, והציבן במסגרת מושגית שהפכה עד מהרה לאחד הכלים החשובים בתורת המספרים המודרנית.
מבין עבודותיו המפורסמות בתורת המספרים, מאמריו שהוזכרו מקודם על חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי שניים בחשיבותם רק ל-"מחקרים אריתמטיים".
בכך שהרחיב באופן שיטתי את מושא המחקר של תורת המספרים לשדה המרוכבים, גאוס עשה את הקפיצה הקונספטואלית המשמעותית שאפשרה את כינון תורת המספרים האלגברית.
מאמריו אלו הנהיגו לראשונה את השימוש בחוג השלמים של גאוס (כולל את השימוש בראשוניי גאוס) וטיפלו בתכונות האריתמטיות שלו - תחת ההרחבה הזאת, מספרים שהם ראשוניים באריתמטיקה הרגילה כבר אינם כאלה יותר בחוג גאוס, שכן למשל: כך ש-5 אינו ראשוני בחוג זה.
גאוס הראה הלכה למעשה כי חוג השלמים המרוכבים מהווה תחום פריקות יחידה; הווה אומר, כל מספר בחוג זה ניתן לפירוק לראשוני גאוס באופן יחידי, באופן אנלוגי למשפט היסודי של האריתמטיקה.
לאחר מכן הוא מבסס את חשיבות חוג זה לחקר חוקי הדדיות מסדרים גבוהים, תוך הכללת רבים ממונחי המפתח של תורת המספרים האלמנטרית; למשל, הוא הוכיח את המשפטים האנלוגיים למשפט הקטן של פרמה וללמה של גאוס.
במאמר גאוס ניסח את חוק ההדדיות מסדר דו-ריבועי בצורה הבאה:
עבור שני מספרים ראשוניים גאוסיאניים (כלומר החוק מנוסח למספרים מרוכבים) ו- מתקיים:
כאשר הוא ריבוע הנורמה של המספר המרוכב, ו- הוא סימן שארית החזקה
מסדר רביעי של ביחס ל-, מעין הכללה של סימן לז'נדר שערכיה האפשריים הם שורשי יחידה מסדר רביעי.
בפרסום שלו (מ-1818) שמכיל את ההוכחה החמישית והשישית שלו לחוק ההדדיות הריבועית, הוא טען שהטכניקות של ההוכחות האלו (סכומי גאוס ולמת גאוס) יכולות להיות מיושמות להוכחת משפטי הדדיות כלליים יותר.
הוכחה ציקלוטומית המבוססת על סכומי גאוס ממעלה רביעית אכן נמצאה בכתביו הלא מפורסמים; אף על פי כן, ייתכן כי היא נכתבה לאחר פרסום ההוכחה של אייזנשטיין, אשר התבססה על שיטות דומות.
כתביו הלא מפורסמים כן מכילים תרומה מקורית אחת לחוק ההדדיות ממעלה רביעית; בעוד שמרבית ההוכחות שניתנו לחוק החל מ-1850 ועד היום הן פשוט וריאציות על ההוכחות שאייזנשטיין נתן במקור, גאוס הותיר אחריו הוכחה גאומטרית השונה בטיבה מזו שאייזנשטיין נתן.
הוכחתו של גאוס התבססה על טכניקות מקוריות ביותר המערבות ספירת נקודות סריג בתוך צורות גאומטריות מסוימות, ולפיכך היא קרובה יותר מבחינה רעיונית לשיטות מתחום הגאומטריה של מספרים מאשר להוכחות האנליטיות של אייזנשטיין.
גם עבודתו על חוק ההדדיות מסדר שלישי ראויה לציון, ובהערה למאמרו על חוג השלמים המרוכבים הוא ציין כי את המשפט ניתן להוכיח בדומה להדדיות ממעלה רביעית, באמצעות פיתוח האריתמטיקה בחוג השלמים של אייזנשטיין.
הוכחה לחוק ההדדיות ממעלה שלישית נמצאה בכתביו; היא מבוססת על ההוכחה השישית שלו לחוק ההדדיות הריבועית, ומכילה כלמה את הטענה שחוג השלמים של אייזנשטיין הוא אוקלידי ולכן גם תחום פריקות יחידה.
בעת שניסה לבסס תשתית אריתמטית לחוק ההדדיות מסדר שלישי, גאוס החל לחקור גם תבניות מעוקבות, ובמספר הערות מ-1808 הוא חקר את אוסף הפתרונות השלמים של המשוואה הדיופנטית , ואפיין את כל המספרים הראשוניים המיוצגים על ידי התבנית הזאת כאלו שעבורם n הוא שארית מעוקבת.
אגף שמאל הוא הנורמה של המספר בשדה המעוקב הנוצר על ידי סיפוח , כך שמשמעות הפתרון היא למעשה איתור ה"יחידות" – איברים מנורמה 1, בשדה הנתון.
בכתביו נמצאה טבלה של הפתרונות היסודיים למשוואה זאת עבור ערכים רבים של בין 2 ל-37; בעיית חישוב הפתרון היסודי של משוואה זאת (שניתן לחשוב עליה כעל האנלוג המעוקב של משוואת פל) היא סבוכה ומוליכה למספרים גדולים כבר עבור ערכים קטנים של , כך שלא ברור כיצד גאוס בנה טבלה זו.
בכל אופן, הפתירות של משוואה דיופנטית זאת כמו גם העובדה שכל הפתרונות שלה מתקבלים כחזקות של פתרון יסודי יחיד הם מקרה פרטי של משפט היחידות של דיריכלה (שכאמור לעיל הגיע לממצאיו באופן בלתי תלוי).
לכמה מההשערות שלו בנוגע לתורת המספרים הייתה השפעה רבה, אף שברוב המקרים הוא לא הניח יסודות מוצקים כיצד להוכיח אותן.
ההשערה של גאוס את משפט המספרים הראשוניים, אותו הוא גילה על בסיס חישובים מספריים אמפיריים מקיפים (גאוס ערך טבלה של כל המספרים הראשוניים עד ל-3 מיליון), נתנה הבנה טובה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים ברמת המקרו.
את התוצאות הללו הוא גזר תחת ההנחה שמשפט המספרים הראשוניים נכון; על סמך הנחה זו הוא חישב באמצעות שיטות מתוחכמות את חוקי ההתפלגות של המספרים הכמעט ראשוניים (ב-1901 בנה אדמונד לנדאו את המתודולוגיה שלו מחדש).
מאוחר יותר הוא עידן את ההשערה שלו על צפיפות המספרים הראשוניים וטען כי היא תדירות ההופעה של המספרים הראשוניים "בסביבות" המספר x ולאו דווקא התדירות הממוצעת בתוך קבוצת המספרים הטבעיים מ-1 עד x, מה שמוביל ישירות לקירוב של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי (מכתב לאנקה, 1849).
פעילותו הראשונה של גאוס בתחום האסטרונומיה נעשתה בשנת 1799, במסגרת הסיוע שהעניק לקרטוגרף הפרוסי קרל לודוויג פון לקוק אשר הוביל באותה עת מיפוי טריגונומטרי של אזור וסטפאליה, מיפוי במהלכו נעשה שימוש נרחב בשיטת קביעת המיקום הגאוגרפי בעזרת מיקומם הנצפה של גרמי השמיים.
כדי להגביר את הדיוק של המיפוי הגאודזי, גאוס פיתח אוסף נוסחאות מדויקות מהן ניתן לקבוע את הפרלקסה של הירח כפי שהיא ניכרת לצופה בכדור הארץ עבור כל רגע ומיקום גאוצנטרי של הצופה הארצי, בהינתן רק הפרטים העדכניים של מיקום הירח.
גאוס דיווח על ממצאיו אלו במכתבו ללקוק, שציין בדיווחיו ש"חישוביו של גאוס היו לו לעזר רב בחלק האסטרונומי של המיפוי", ועודדו ליצור קשר עם פרנץ פון זאך שניהל באותו זמן את מצפה הכוכבים בגותה.
ניסיונו הראשוני של גאוס להיכנס לעולם האסטרונומיה היה בהתאם למסורת המאה ה-18, כך שהוא ניסה לנסח תאוריה של תנועת הירח – הבעיה המרכזית במכניקה השמיימית של אותה עת – שתהיה יעילה ומדויקת יותר מהתאוריות הקודמות.
ניסיונו זה נעשה בעקבות בעיית הפרס שהציעה האקדמיה בפריז ב-1800, שדרשה חישוב מדויק יותר של טבלאות נתוני מיקום ירחיים על בסיס תאוריה אמינה יותר.
עבודתו בתחום, חיבור לא גמור בעל חמישה פרקים תחת הכותרת "תאוריה של תנועת הירח", פורסמה רק לאחר מותו.
המשוואות היסודיות שהוא גזר עשו שימוש בקו האורך הירחי כמשתנה הבלתי תלוי (ולא בזמן), ולפיכך הן דומות לאלו של קלרו וד'אלמבר, וממשיכות את קו המחשבה שלהן.
התאוריה שלו מתיישבת בהיבטים רבים עם זאת של פלאנה מ-1832; חישוביו של גאוס על הפרטורבציות הירחיות הרוחביות (הפלקטואציות בנטייה של מסלול הירח) תאמו את התיאור של פלאנה במדויק.
בו בזמן שגאוס עמל על חיבורו זה, הכרך השלישי של ספרו של לפלס "מכניקה שמיימית", שהעפיל ברוחב יריעתו בהרבה על חיבורו הבוסרי, כבר הופיע, וכן סדרת מאמרים של אסטרונומים אחרים ששחזרו רבים מהפרטים של התאוריה שלו שכנעו אותו לא להמשיך את כתיבת חיבורו.
הידיעה החדשותית מ-1801 בדבר העצם השמיימי החדש שנתגלה (האסטרואיד קרס) סיפקה לו הזדמנות פז שונה בטיבה להטביע את חותמו בעולם האסטרונומי, מה שהניע אותו לשנות את מוקד מחקרו.
עבודתו של גאוס על אסטרונומיה חישובית, "תאוריה של תנועת הגופים השמימיים בחתכי חרוט סביב השמש", עוסקת בקביעת מסלולם של גרמי שמיים (אסטרואידים, שביטים וכו') משלוש תצפיות גאוצנטריות: בהיעדר יכולת למדוד ישירות את המרחק אל הגרם השמיימי, זהו מספר התצפיות המינימלי המאפשר חישוב של ששת אלמנטי המסלול שלו.
הספר זכה לפרסום רב גם בשל הצלחתו במישור הדידקטי – בעבור קוראיו הוא שימש כמעין מדריך שיטתי לאסטרונומיה עכשווית, והציג תהליך מתמטי ברור ונוח לשימוש ידני – ומסיבות אלו בדיוק היה נגיש לא רק למיטב האסטרונומים, והפך לרפרנס מרכזי בכמה העשורים שלאחר מכן.
עוד בטרם פרסום הספר, גאוס נעזר בשיטות דומות כדי לסייע באיתור כל שלושת האסטרואידים הבאים שנתגלו: פאלאס, יונו, ווסטה.
ההצלחה החוזרת ונשנית הדגימה את יכולות השיטה שלו.
הישג משמעותי לא פחות של גאוס באסטרונומיה היה עבודתו על חישוב מסלולו של פאלאס, שחולף בסמוך לצדק ולכן חווה פרטורבציות משמעותיות, וכמו כן חווה הפרעות כבידתיות משמעותיות גם משבתאי, כך שמסלולו רחוק מלהיות קפלרי (אליפטי).
למעשה, בשנים 1810–1818 התמה הדומיננטית ביותר של עבודתו האסטרונומית הייתה חישוב מדויק ככל האפשר של מסלולו הלא-סדיר של פאלאס.
בכתביו הלא מפורסמים ניתן למצוא קטעים מתמטיים ארוכים המתארים את הטכניקות שפיתח.
אחד הכתבים האלה הוא מאמרו הארוך בצרפתית "הצגה של שיטה חדשנית לחישוב הפרעות פלנטריות יחד עם יישום לחישוב כמותי של הפרעות התנועה של פאלאס"
, שהוא חיבר ב-1812 לתחרות של האקדמיה הצרפתית למדעים, ושלא פורסם בימי חייו.
לאחר מאמצים אדירים, גאוס ויתר על השלמת המשימה הזאת, כשהגיע למסקנה שהיא גוזלת חלק ניכר מזמנו.
מה שמנע ממנו להשיג הסבר מספק לתנועתו של פאלאס היה, לדעת אסטרונומים מודרניים, שהוא ערך את חישוביו עד לסדר שלישי בלבד, במקום להמשיך את הפיתוח עד לסדר חמישי.
העורך של עבודתו האסטרונומית של גאוס, האסטרונום Martin Brendel, ציין ב-1906 שבעבודתו על פאלאס "גאוס כמעט השלים לבדו משימה אדירה, שאפילו כיום אסטרונומים נרתעים מאוד מלגשת אליה".
בימינו בעיות כאלו נפתרות כמעט באופן בלעדי על ידי סימולציות ממוחשבות מורכבות המדמות את השינוי במסלולי אסטרואידים כתוצאה מהאפקט הכבידתי של כוכבי הלכת המסיביים במערכת השמש.
המאמר הזה הוא גם המאמר היחיד שפורסם בחייו בו גאוס פרסם חלק מעבודתו על הממוצע האריתמטי גאומטרי.
לקראת סוף המאה ה-19, האסטרונום האמריקני ג'ורג' ויליאם היל עיבד את "שיטת המיצוע" של גאוס כך שתתאים יותר לשימוש אסטרונומי, וב-1881 יישם אותה ישירות לבעיית ההפרעות הסקולריות שיוצר כוכב הלכת נוגה במסלולו של כוכב חמה.
בניגוד להישגים כבירים אלו, שאר עבודתו האסטרונומית של גאוס מייצג, לדעת בני זמנו, מה שהיה בעיקר "בזבוז" של כישרונו; עבודתו האחרת עסקה בעיקר באסטרונומיה תצפיתית ובהיבטים מעשיים שונים כגון שכלול המכשור האסטרונומי של מצפה הכוכבים בגטינגן, תחומים שבהם גאוניותו המתמטית באה פחות לידי ביטוי.
עם זאת, גם מחקרים מעשיים אלו הניבו תרומות תאורטיות אחדות לאסטרונומיה, שכללו חישובים של טבלאות אברציה ונוטציה (ב-1808).
מ-1819 ואילך פצח גאוס במחקר שיטתי של התנועה הכוללת של מערכת השמש במרחב הגלקטי; דרך התכתבויותיו הענפות הוא היה בין הראשונים לפתח שיטות להעריך את התנועה השמשית במונחי התנועות העצמיות של כוכבי השבת המרוחקים יותר.
פונקציות אליפטיות, טורים היפרגאומטריים, תבניות מודולריות
אחד הגילויים העצמאים הראשונים של גאוס היה מושג הממוצע האריתמטי-גאומטרי (AGM) של שני מספרים ממשיים חיוביים; המחקר השיטתי שערך על הממוצע הזה הוביל אותו לגלות עולם מתמטי עשיר אשר (במילותיו של גאוס עצמו) "כמות האמיתות שניתן לגלות בו גדולה לאין שיעור מאשר זו שהפונקציות הרגילות אוצרות בחובן".
הוא גילה את הקשר שלו לאינטגרלים אליפטיים בשנים 1798–1799, דרך הטרנספורמציה שגילה באופן עצמאי הנקראת טרנספורמציית לנדן , ובהערה מיומנו גילה את הקשר שלו ליחס המכונה כיום "קבוע גאוס", תוצאה שהוא התנבא שהיא "בוודאות תפתח תחום חדש לגמרי של אנליזה".
כתביו על אנליזה מתמטית מכילים עושר אדיר של תגליות מתמטיות, ורבות מן התוצאות במאמרים אלה הן בין התוצאות מרחיקות הראות ביותר של גאוס, אשר הייתה להן השפעה לא מבוטלת על התפתחות המתמטיקה בשלהי המאה ה-19, כאשר מתמטיקאים אחרים נתוודעו להישגיו דרך הפרסום ההדרגתי של כתביו הלא מפורסמים.
כתבים אלו הראו שעוד לפני סיום העשור הראשון של המאה ה-19, גאוס הכיר רבות מהתוצאות שהופיעו לראשונה בחיבורו המהפכני של קרל גוסטב יעקב יעקובי מ-1829 "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum".
חקירתו השיטתית את עקומת הלמניסקטה הובילה אותו לגילוי של פונקציות אליפטיות, אשר תכונתן היסודית היא שהן מהוות פונקציות בעלות שני מחזורים בלתי תלויים מעל R.
בהקשר זה, הוא רשם גם את הדוגמאות הראשונות לטורי אייזנשטיין, שלהם קשר טבעי לפונקציות אליפטיות.
במסגרת תוצאה אחרת שלו מאותן שנים, הוא גילה את ההצגה המפורסמת של ויירשטראס של משתנה האינטגרציה x שבאינטגרלים אליפטיים מגנוס 1 כמנה של שתי הפונקציות השלמות שכונו על ידי ויירשטראס (כאשר u הוא ערך האינטגרל האליפטי).
משפט המספרים המחומשים של אוילר, יחד עם חקירותיו האחרות שהוזכרו, הובילו אותו לגילוי של תוצאות רבות על פונקציות תטא, וב-1808 ל"רגע שיא" שבו גילה והוכיח את זהות המכפלה המשולשת של יעקובי - שכוללת את המשפט של אוילר כמקרה פרטי ושממנה נובעות תוצאות רבות על פונקציות תטא.
כמו כן, בכתביו מ-1808 מופיעות המשוואות המתארות טרנספורמציות מודולריות מסדר 3,5,7 של פונקציות אליפטיות.
כמה קטעים מתמטיים בכתבים אלה מעידים שגאוס הכיר היטב את היסודות של התאוריה שתושלם בסופו של דבר בעבודתם של פליקס קליין ו-Robert Fricke על פונקציות מודולריות.
אין זה מקרי, שכן קליין ו-Fricke היו מעורבים מאוד בפרסום הכתבים של גאוס וחקרו את התוצאות של גאוס מקרוב.
למשל, קליין מציין בספרו על התפתחות המתמטיקה במאה ה-19 כי האינווריאנט j של עקומים אליפטיים (הקבוע האבסולוטי של קליין; זוהי תבנית מודולרית ממשקל אפס), מן המושגים המרכזיים בתאוריה של תבניות אלו, הוצג לראשונה על ידי גאוס, אשר כינה אותו "Summatorische Function".
גאוס הציגו בהקשר של מחקרו על הממוצע האריתמטי-גאומטרי של זוג מספרים מרוכבים – נושא שגאוס החשיבו כדרך הטבעית ביותר להתוודע ל"תמונה המודולרית" – ושבמסגרתו ביסס תוצאה עמוקה ביותר על היצירה של אינסוף הערכים השונים של הממוצע משני ערכים "פשוטים ביותר" שלו.
כתביו מכילים אף מספר איורים שמראים כי הוא היה מודע לצד הגאומטרי של התאוריה; אחת התוצאות המשמעותיות שלו, שמתקשרת גם לעבודתם של מתמטיקאים מאוחרים יותר על מודלים של גאומטריה לא אוקלידית, היא הגילוי של ריצוף של מודל הדיסק של פואנקרה על ידי משולשים "שווי צלעות" עם זוויות שכולן שוות .
גאוס בחייו פרסם כמעט מאום ממה שהשיג על תורת הפונקציות האליפטיות, אולם הוא כן פרסם מאמר שחשף מעט מהרעיונות שלו בנוגע לעצם מתמטי קשור – הפונקציה ההיפרגאומטרית.
במאמר "חקירות כלליות חדשות על הטור האינסופי" מ-1813, הוא סיפק את הטיפול השיטתי הראשון בפונקציה ההיפרגאומטרית הכללית, והראה שרבות מהפונקציות המוכרות באותה עת, כדוגמת הפונקציות האלמנטריות ופונקציות מיוחדות מסוימות, הן מקרה פרטי של הפונקציה ההיפרגאומטרית.
בכך הוא המשיך את התוכנית האנליטית השיטתית של אוילר ויוהאן פרידריך פפאף, שפרסמו לפניו מחקרים (מצומצמים למדי) שעסקו בטור ההיפרגאומטרי.
מלבד התגליות שבחיבור, הייתה לו חשיבות רבה גם להתפתחות המתמטיקה הריגורוזית, שכן תואר בו מעיין מודל לחקר התכנסות של טורים.
בחלקו השני הלא מפורסם של המאמר - "קביעה של הטור המייצג משוואה דיפרנציאלית מסוימת מסדר שני", גאוס הרחיב את תחום ההגדרה של הפונקציה ההיפרגאומטרית, ודן בהתנהגות שלה בכל המישור המרוכב.
כדי לעשות זאת הוא נקט בגישה שונה, וחקר פונקציות היפרגאומטריות לא באמצעות הצבת ערכי פרמטרים שונים בטור ההיפרגאומטרי שמייצג אותן, אלא דרך אפיונן כפתרונות של המשוואה הדיפרנציאלית היסודית שהן מקיימות:
בעקבות ניתוח של תכונה פרדוקסלית של טרנספורמציה ממעלה שנייה של הפונקציה ההיפרגאומטרית אותה גילה, גאוס מעלה לראשונה את בעיית המונודרומיה (monodromy) - הנוגעת להתנהגות הרב-ערכית של הפונקציה ההיפרגאומטרית כאשר ממשיכים אותה אנליטית.
ארנסט קומר גילה ב-1836 את מרבית התוצאות שבחלק זה, מה שבמובנים רבים ייתר אותו.
החקירות האנליטיות של גאוס על הפונקציה ההיפרגאומטרית החלו במובנים רבים את פריחת תת-ענף הספרות המתמטית ששמות בולטים מהעשורים הבאים כמו ארנסט קומר, ברנהרד רימן, הרמן שוורץ ולזרוס פוקס היו כה מעורבים בפיתוחו.
מושא החקירות הללו הוכנס בסופו של דבר למסגרת עם ניסוח הבעיה ה-21 של הילברט (בעיית רימן-הילברט), שדורשת להוכיח קיום של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות עם חבורת מונודרומיה נתונה.
במכתבו מסביר גאוס את הרב-ערכיות של פונקציית הלוגריתם כתוצאה של אינטגרציה קווית במישור המרוכב של הפונקציה לאורך קונטור מעגלי מסביב לנקודת הסינגולריות שלה ב-z = 0, תוך זיהוי נכון של ערך השארית שמתווספת בכל מחזור אינטגרציה (דוגמה זאת למעשה שופכת אור על נוסחת אוילר באנליזה מרוכבת).
במקום אחר בכתביו הוא כתב כי: "ידיעה מלאה של טבעה של פונקציה אנליטית חייבת לכלול גם הבנה של התנהגותה בעבור ערכים מדומים של הארגומנט שלה.
לעיתים קרובות האחרונה היא חיונית אפילו בעבור הערכה נאותה של התנהגות הפונקציה בעבור ארגומנט ממשי.".
מילים אלו מתכתבות במידת מה עם אחד ההישגים המרכזיים של תורת הפונקציות המרוכבות במאה ה-19 - התרתם של אינטגרלים ממשיים סבוכים באמצעות כלים מאנליזה מרוכבת.
ב-1805, במסגרת מחקריו האסטרונומיים הלא מפורסמים על פתרון משוואת קפלר, גאוס נתן ביטוי אסימפטוטי למקדמי הטור הטריגונומטרי המייצג את ההפרש בין האנומליה האמיתית והממוצעת.
כחלק ממחקרו זה גילה גם את תופעת גבול לפלס , תופעה במסגרתה הטור הטריגונומטרי הנידון מתבדר בעבור ערכי אקסצנטריות הגדולים מערך קריטי מסוים (כשני עשורים לפני עבודתו הבלתי תלויה של לפלס בנושא).
ממצאיו על ההתנהגות האסימפטוטית של מקדמי הטור הטריגונומטרי תאמו את הנוסחה שנמצאה על ידי יעקובי ב-1849, אולם הדרך בה הגיע אליה הייתה לאין ערוך קצרה יותר.
כדי "לפצח" את התנהגות המקדמים, גאוס הפעיל טרנספורמציה מדומה מסוימת.
אף שלא הסביר את הרעיון מאחורי ההצבה, מתמטיקאים מאוחרים יותר הראו כי בחירת הצורה המדויקת של הטרנספורמציה מרמזת על שימוש סמוי בנוסחת השאריות על אינטגרציה במישור המרוכב, כך שניתן לראות בפתרונו לבעיה אסטרונומית זו את אחד היישומים של רעיונותיו על יסודות האנליזה המרוכבת.
בערוב ימיו הביע גאוס בפני שומאכר (במספר מכתבים מ-1850) את רצונו לכתוב חיבור על ההתכנסות של טורים טריגונומטריים, אשר יכלול גם את ההקשרים ל"דוקטרינה של גדלים מרוכבים".
עם כל זאת, כל מה שהשיג בנושא נתגלה רק לאחר מותו, וגאוס לא לקח בחלק בבנייה בפועל של תורת הפונקציות המרוכבות; זו נעשתה באופן שיטתי וישיר על ידי קושי, אבל, יעקובי, ליוביל, רימן ואחרים.
מנקודת מבט מתמטית מודרנית, עבודתו של גאוס על העתקות קונפורמיות קשורה בקשר הדוק לרעיונותיו על יסודות האנליזה המרוכבת.
הפרסום המרכזי שלו בהקשר זה הוא מאמרו זוכה הפרס של האקדמיה הדנית למדעים משנת 1823, "פתרון כללי לבעיה של מיפוי משטח אחד על משטח אחר כך שהשניים יהיו דומים זה לזה בחלקיהם הקטנים ביותר", שבו עסק בפן המתמטי הטהור של התורה של מיפויים קונפורמיים.
מטרתו המוצהרת של המאמר הייתה קביעת הפונקציות שמעתיקות את פני השטח של משטח כללי כלשהו אל פני השטח של משטח אחר באופן משמר-זוויות, וגאוס במכוון התייחס להעתקות אלו בתור פונקציות מרוכבות.
תחילה הוא חוקר את המקרה של העתקה ממישור למישור, ובהתייחס אליו מציג את הטענה החשובה שהעתקה היא קונפורמית אם ורק אם היא הולומורפית או אנטי-הולומורפית; כלומר אנליטית במובן המרוכב.
מיד לאחר מכן הוא חוקר את המבנה המרוכב שמשרה המטריקה של משטחים עקומים, ונעזר בבנייה זו כדי לגזור קריטריון קונפורמיות כללי בין שני משטחים.
תוך כדי כך הוא נעזר באופן לא מפורש בכלי אנליטי חזק שרלוונטי לבעיה של מיפוי משטחים עקומים - משוואת בלטרמי, שהיא משוואה דיפרנציאלית חלקית שמקיימות העתקות מרוכבות בין משטחים, אשר ניתן לחשוב עליה כעל הכללה של משוואות קושי-רימן למשטחים בעלי עקמומיות שונה מאפס.
הוא עשה בה שימוש כדי להוכיח קיום מקומי של קואורדינטות איזותרמיות על משטח עם מטריקה אנליטית רימנית.
בהמשך מאמרו הדגים את המשפט שלו למקרים של מיפוי קונפורמי של משטח שרירותי על גבי מישור, חרוט וכדור, וסיים בדיון במיפוי קונפורמי של משטח על גבי אליפסואיד סיבוב.
ראויה לציון העובדה שרימן העריך במיוחד את מאמרו זה של גאוס על העתקות קונפורמיות, שכן הוא קרא אותו ביסודיות רבה והתייחס אליו במפורש בעבודת הדוקטורט הזכורה שלו מ-1851, אשר יצרה בסיס גאומטרי אוניברסלי לתורה של פונקציות מרוכבות בדמותם של משטחי רימן.
כמו בתחומי עיסוק רבים של גאוס, חלקה הלא מפורסם של עבודתו על מיפויים קונפורמיים מרשים אף יותר ממה שפרסם בחייו.
במספר קטעים מתמטיים המתוארכים ל-1839 הוא חקר את הבעיה ותיעד את פתרונו; ממצאיו תאמו את הנוסחה שנמצאה הרבה מאוחר יותר על ידי הרמן אמדאוס שוורץ.
הפתרון שמצא מעיד גם שהיה מודע לזיקה בין תורת המיפויים הקונפורמיים לתורת הפוטנציאל, שכן כדי למצאו הוא התבסס הן על עבודתו המוקדמת על אינטגרלים אליפטיים ופונקציות תטא והן על רעיונותיו מתורת הפוטנציאל – רעיונות אשר גיבש בתקופה שקדמה לפתרונו זה – תקופה בה חקירות פיזיקליות על פוטנציאלים היו במוקד עיסוקיו.
תגלית נוספת שלו מנושא אחר לגמרי היא התפלגות גאוס-קוזמין, שמופיעה בהערה 113 ביומנו.
התגלית העמוקה הזאת מתארת את השכיחות האסימפטוטית של מספרים טבעיים בפיתוח לשבר משולב של משתנה מקרי המתפלג באופן אחיד בקטע (0,1).
כאשר ו- מסמלת את פונקציית הרצפה.
במכתב ללפלס מ-1812 גאוס דיווח לו על ממצא זה, ואף הציע לו לעסוק בבעיה ההסתברותית של הערכת גורם השגיאה בחוק האסימפטוטי שלו.
גאוס כתב כי יש לו הוכחה בהירה לעובדה הזאת, אולם רק בשנת 1928 הצליח קוזמין לבנות אותה מחדש, שאף נתן חסם על קצב ההתכנסות – ובכך ענה על השאלה שהעלה גאוס.
ההערה הזו מרשימה במיוחד לאור העובדה שהיא נכתבה יותר ממאה שנים לפני שכלים מודרניים "חזקים" כמו תורת המידה והתורה הארגודית נוצרו, וכיוון שגאוס לא הותיר הרבה מסמכים הנוגעים לחוק הזה, לא ברור כיצד הוא הגיע לתוצאה זו.
שתי העבודות היו בעלות השפעה אדירה על התפתחות הגיאודזיה, הן מהצד התאורטי והן מהצד המעשי.
הכרך הראשון של ספרו על גאודזיה עוסק בבעיה הקרטוגרפית של בניית העתקות קונפורמיות של אליפסואיד לכדור, לנוחיות שימושם של גאודזיסטים.
כיוון שגאוס כבר הראה שלא ניתן למפות אליפסואיד לכדור בלי עיוותים, השיטה שלו התבססה על מיפוי אזורים קטנים של האליפסואיד לאזורים כדוריים באופן כזה שהעיוות יהיה מינימלי, תוך התאמת הפרמטרים של ההעתקה מחדש בכל קו רוחב של האליפסואיד.
הטכניקות בהן גאוס השתמש היו מאנליזה מרוכבת וטריגונומטריה ספירית.
הכרך הראשון מסתיים במספר בעיות הקשורות במשולשים כדוריים.
הכרך השני של ספרו מוקדש לפתרון של בעיות דומות אלא שהפעם הן מתייחסות למשולשים על אליפסואיד.
בעזרת ערכים ממוצעים של קווי רוחב ואזימוט גאוס גזר שש נוסחאות אשר פותרות את הבעיה באופן מכני באמצעות שימוש בטבלאות נומריות שחישב בעצמו.
הטיפול בתצפיות עם שגיאות העסיק את גאוס לראשונה בשנים 1794–1795. מאוחר יותר, עבודתו על בעיות אסטרונומיות אילצה את גאוס בעל כורחו להתעסק עם בעיות סטטיסטיות הקשורות במזעור השפעת שגיאות המדידה על תוצאות החיזוי של תהליכי חישוב אסטרונומיים.
בספרו על אסטרונומיה מ-1809, גאוס תיאר לראשונה באופן מלא את ההתפלגות הנורמלית.
גאוס בספרו תיאר את שיטת הריבועים הפחותים ושיטת אמידת נראות מרבית, שתיהן שיטות יסודיות ביותר המשמשות רבות בסטטיסטיקה, ועשה בהן שימוש על מנת לנתח נתוני מדידות אסטרונומיות שלעיתים סתרו זו את זו.
כדי לאמוד את השגיאה של המדידות, גאוס בחר להניח כי הממוצע האריתמטי הוא הערך שממזער את שגיאת המדידה.
כלומר, המדידה שמרחקה מן הממוצע האריתמטי הוא המזערי, היא בהסתברות גבוהה הקרובה ביותר לערכים האמתיים.
מאוחר יותר, גאוס עשה שימוש בכלים הסטטיסטיים שפיתח במסגרת המדידות הגאודטיות שביצע, ואחת מתרומותיו לגאודזיה הניסויית היא זיהוי השגיאות השיטתיות העיקריות במדידת זוויות, כשלאחר מכן הוא הציע אמצעים להעלים את השפעתן.
בחיבור זה גאוס פרסם הצדקה חדשה ואיתנה יותר לשיטת הריבועים הפחותים; הוא הוכיח ששיטת הריבועים הפחותים מניבה את האומד חסר ההטיה הליניארי הטוב ביותר, במובן שהשונות שלו היא הנמוכה ביותר מבין כל האומדים הליניאריים חסרי ההטיה.
תוצאה יסודית זאת, שנחשבת לאבן הפינה באנליזה המודרנית של רגרסיה, נודעה כמשפט גאוס-מרקוב.
בחיבור זה, שהיה לא מוכר יחסית בעולם דובר האנגלית במהלך המאה שלאחר פרסומו, ישנם פיתוחים רבים מעניינים מאוד: גאוס הציג והוכיח את אי-שוויון גאוס (שהוא אי-שוויון מטיפוס צ'בישב), כמו גם אי שוויון על מומנטים מסדר רביעי של שגיאות (Gauss-Winkler inequallity).
במאמרים 38–40 של החיבור, גאוס גזר חסם עליון ותחתון לתחום הערכים בו עשויה להימצא השונות של אומדן השונות המדגמית.
מאוחר יותר, המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב גילה שהחסם התחתון של גאוס שגוי, וב-1947 פרסם נוסחה מתוקנת.
באותו חיבור גאוס גם הציג תהליכים איטרטיביים (שתוארו על ידי דדקינד), ופיתח שיטות ריבועים פחותים רקורסיביות אשר נתגלו מחדש רק ב-1950 על ידי Plackett, כך שהם נחקרו לראשונה לעומק רק לאחרונה.
במאמרו מ-1816 על הדיוק של אומדים סטטיסטיים, גאוס העריך את הדיוק של אומדים של הנעלמים של מערכת משוואות ליניאריות, ושל פונקציות ליניאריות של אלו.
הוא הוכיח בו שבעבור סדרת שגיאות מפולגת נורמלית , המדד לדיוק נאמד בצורה הטובה ביותר על ידי
זה היה בקונטקסט של עבודתו הנרחבת בעיבוד סטטיסטי של תוצאות מדידות וחישובים אסטרונומיים וגאודטיים שהוא פיתח את הטכניקות הרבות באלגברה ליניארית הנושאות את שמו; הכמויות העצומות של נתונים איתן נאלץ לעבוד כדרך קבע הובילו באופן טבעי למשוואות ליניאריות בנעלמים רבים.
בין היתר הציג במאמר 182 של ספרו על אסטרונומיה מ-1809 את תהליך גרם-שמידט, ופירק באמצעותו מטריצה A למכפלת מטריצה אורתוגונלית Q ומטריצה משולשית עליונה R – שיטה שנקראת כיום פירוק QR.
בנספח לחיבורו מ-1823 על סטטיסטיקה, הוא תיאר את פירוק שולסקי.
את העיסוק של גאוס במתמטיקה אקטוארית ניתן לפרש כאחד היישומים של עבודתו בסטטיסטיקה.
במשך מספר שנים הוא ניהל את קרנות הפנסיה של אלמנות הפרופסורים באוניברסיטת גטינגן, ונעזר בנתוני תמותה מפורטים כדי לבצע את החישובים שלו.
התוצרים של פרויקט זה - מספר מאמרים מ-1845 שעוסקים בהיבטים שונים של מתמטיקה פיננסית, היוו הדגמה מופתית ליישום של תורת ההסתברות לאנליזה של בעיות כלכליות.
יסודות הגאומטריה; גאומטריות לא אוקלידיות
על אף טענותיו של גאוס, שאלת היקף הקרדיט הניתן לו על גילוי הגאומטריות הלא אוקלידיות נתונה למחלוקת בקרב היסטוריוני המתמטיקה, מחלוקת שחריפה יותר מבכל תחום אחר בו הוא עסק.
גאוס היה הראשון להגיע לרעיון שניתן לוותר על אקסיומת המקבילים ולקבל בכך גאומטריות שונות בתכלית מהגאומטריה האוקלידית.
לפי זיכרונותיו, הוא החל להרהר לראשונה על תקפות אקסיומת המקבילים ב-1792, והגיע למסקנה שדרוש כיוון שונה מזה שנקטו הגאומטרנים במאות השנים האחרונות.
בעקבות מסקנה זו הוא החל לתהות מה קורה כאשר האקסיומה החמישית מוחלפת באקסיומה אחרת: "דרך כל נקודה מחוץ לישר נתון עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה".
את תקופת הגישושים הראשונית אפיינה חקירה סינתטית של תכונות הגאומטריה ההיפותטית בה האקסיומה החמישית אינה מתקיימת; הכלים בהם נעזר היו בעיקר בניות גאומטריות האנלוגיות לאלו של הגאומטריה האוקלידית, שאפשרו לו להגיע למסקנות יסודיות על תכונות הגאומטריה החלופית.
את תקופה זאת אפיין אי ביטחון בתקפות הגאומטריה החדשה, עקב ההשלכות הפילוסופיות של הוויתור על האקסיומה החמישית, שעמדו בניגוד גמור לעמדה הרווחת בחוגים המתמטיים והפילוסופיים באותה עת.
מתוארכים לתקופה זאת מספר כתבים קצרים בעלי אופי מעט היסטורי, המהווים סקירה של הכשלים הלוגיים בניסיונותיהם הקודמים של גאומטרנים לגזור את אקסיומת המקבילים מהאקסיומות האחרות.
ניתן לתארך את תחילת התקופה השנייה בערך לשנה 1813, שכן במספר מכתבים בשנים 1813–1819 הוא טען שבנה את הגאומטריה החדשה ושהוא "יכול לפתור כל בעיה בגאומטריה החלופית כאשר הקבוע המאפיין אותה נתון".
בתקופה זאת הוא החל לפתח את הטריגונומטריה ההיפרבולית והשתכנע שמתקיימים בגאומטריה החלופית כללים טריגונומטריים האנלוגיים לאלו של הגאומטריה הכדורית.
(שניתן לרשמה גם בעזרת סינוס היפרבולי כך: ).
לממצא האחרון היו השלכות מעניינות ביותר, שכן לפי הנוסחה שבו עולה שבגאומטריה החדשה מתקיים שבעבור רדיוסים גדולים בהשוואה לקבוע האופייני k ההיקף גדל מעריכית עם הרדיוס.
כתבים אחרים שלו מהתקופה מכילים אזכור של משוואות הפסאודוספירה (משטח אותו מכנה גאוס "הנגדי של הספירה") – הדוגמה הראשונה למשטח עם עקמומיות שלילית קבועה.
במכתב אחר הוא אף הביע דעתו על ההשלכות של הנושא וטען שייתכן שהטבע הגאומטרי של המרחב הפיזי הוא לא-אוקלידי, ושניתן להכריע בשאלה זאת באמצעם אמפיריים (הוא הצהיר שהגאומטריה הלא אוקלידית היא עקבית אולם הפרמטר היסודי שמאפיין אותה אינו ניתן לקביעה אפריורית).
בשלהי תקופה זאת, גאוס הביע באחד ממכתביו את רצונו להעלות על הכתב כמה מרעיונותיו בדבר הגאומטריה החלופית, משום "שלא רצה שרעיונותיו אלו ייעלמו עמו".
גם החיבור הקצרצר "התאוריה של הקו הישר והמישור" מתוארך לתקופה זאת, ובו תקף גאוס את מושג המישור כלא מבוסס מספיק, וטען כי הוא אינו מושג יסודי אלא מושג נגזר.
התקופה השלישית מתוארכת להתוודעות שלו למכתבו של יאנוש בולאי מ-1832; מכתבו של בולאי הפתיע אותו מאוד ועורר בו את הצורך לתבוע זכות ראשונים.
בתגובה למכתב זה של בולאי, גאוס שלח בפעם הראשונה הוכחות ולא רק תוצאות, ובאופן ספציפי שלח הוכחה סינתטית מקורית לטענה שהגרעון הזוויתי של משולש בגאומטריה היפרבולית פרופורציונלי לשטח שלו, המתבססת על פירוק משולש אסימפטוטי (דהיינו משולש שסכום זוויותיו אפס מעלות) למשולשים קטנים יותר.
במכתב שלו גאוס טבע גם את המונחים "הורוצייקל" (באנגלית horocycle), "הורוספירה" (באנגלית horosphere), ו"עקום שווה מרחק" (המהווה הכללה של ישר מקביל לישר נתון).
לרעיונות אלו יהיה משקל חשוב בעתיד התחום – בפיתוח מודלים שונים של הגאומטריה ההיפרבולית.
אולם תוצאות אלו היו תוצאות מבודדות בלבד, ועבודתו של גאוס בשנים 1790–1832 חסרה את הנפח והשיטתיות שבעבודתם של לובצ'בסקי ובולאי.
הפיתוח השיטתי הראשון של תוצאותיו מופיע בכמה כתבים לא מפורסמים שלו שרובם מתוארכים לאחרי 1840, זמן קצר לאחר הפרסום של לובצ'בסקי; באחד מהם מקיש גאוס את הקשרים המטריים בין צלעותיהם של משולשים סופיים (לא אינפיניטסימליים) בגאומטריה היפרבולית בצורה אקסיומטית.
ייתכן שגאוס ידע על תוצאות אלו זמן רב קודם לכן, והחליט לרשמן באופן שיטתי רק לאחר הפרסומים של בולאי ולובצ'בסקי, אך נושא זה נתון לספקולציות בקרב היסטוריונים.
אין ספק שהחל משנת 1840, הוא נמנה עם המתמטיקאים הספורים בעולם שהבינו לעומק ופיתחו את הגאומטריות החדשות, אולם המחלוקת כאן היא באשר לנושא זכות הקדימות על הגילוי.
תוכנית זו הגיעה בסופו של דבר לסיום עקר, שכן הילברט הוכיח ב-1901 שלא קיים שיכון מלא של המישור ההיפרבולי במרחב תלת-ממדי.
השיא של עבודתו של גאוס בגאומטריה לא-אוקלידית עסק בחישוב התכולה (נפח) של הארבעון במרחב היפרבולי תלת-ממדי; עוד במכתבו מ-1832 ליאנוש בולאי גאוס המליץ לו לעסוק בבעיה של חישוב נפח הארבעון בגאומטריה החדשה שפיתח, וציין כי בשונה מהמקרה של שטח משולשים במישור, לא ניתן לקבל ביטוי מתמטי פשוט לנפח הארבעון.
בכתביו של גאוס נמצאו מספר תוצאות בנוגע לבעיה הזאת; קטע קצר (באורך חצי עמוד) בכתביו תחת הכותרת "cubirung der tetraeder" ("נפח הארבעון") מראה כי עוד ב-1832 גאוס ידע את התשובה לשאלה זאת.
בקטע זה גאוס העלה על הכתב מספר נוסחאות שקושרות בין השינויים בזוויות הדיהדרליות וזוויות הפאות של ארבעון אורתוסכמטי (שכל פאותיו הן משולשים ישרי זווית היפרבוליים) לדיפרנציאל הנפח שלו (ייתכן והכיר את נוסחת שלפלי על נפח פאונים).
עבודה זאת, שדומה לה ביצע בולאי בשנות ה-1830 ולובצ'בסקי בשנות ה-1840, פתחה פתח לתחום מחקר פורה מאוד מאז ועד היום; נפח גופים במרחבים לא-אוקלידיים מממד גבוה מ-2. בפרט, הבעיה של נפח הארבעון הכללי מוליכה למתמטיקה סבוכה ביותר, ונפתרה לראשונה רק לאחרונה.
הסקר של הנובר עורר בגאוס עניין בגאומטריה דיפרנציאלית, תחום במתמטיקה הדן במשטחים ועקומות.
בין השאר, גאוס יצר את המושג של עקמומיות גאוס של משטחים, שהיא המושג המרכזי שהכניס לתחום.
ב-1827, גאוס ניסח משפט מתמטי חשוב ביותר בתחום זה – "המשפט הנהדר", אשר הראה שעקמומיות גאוס היא שמורה פנימית של משטחים, והמשפט ביסס את החשיבות היסודית שיש לעקמומיות גאוס בגאומטריה דיפרנציאלית.
הוא פרסם משפט זה ואת מכלול התאוריה שלו על משטחים עקומים בחיבורו מאותה שנה "חקירות כלליות אודות משטחים עקומים", שהוא יצירתו המרכזית בתחום זה.
תרומתו של חיבור זה לגאומטריה דיפרנציאלית הייתה מהפכנית משום שאפשרה בראשונה לחקור משטחים עקומים מנקודות מבט פנימית, כלומר מנקודת המבט של ישות דו-ממדית המקובעת לפני המשטח.
למעט אולי אוילר ומונז', גאוס היה הראשון שחקר משטחים מנקודת מבט פנימית ולא באמצעות הצגתם האנליטית בלבד.
הוא מציג כמה רעיונות מהפכניים שיהפכו למרכזיים בתאוריה של הגאומטריה הפנימית של משטחים - הוא פותח ברעיון של קואורדינטות עקומות ובהצגת התבנית היסודית הראשונה והשנייה.
רעיונות אלו אפשרו לו להרחיב את מושג המטריקה לגאומטריות נוספות (לא בהכרח אוקלידיות).
בהמשך החיבור גאוס פורס סדרה של הגדרות שקולות לעקמומיות משטח, תחילה בעזרת מיפוי גאוס, ולאחר מכן באמצעות הכפלת העקמומיות הראשיות של המשטח בנקודה, ומוכיח את שקילות ההגדרות בחיבור עצמו.
המתודולוגיה של החיבור - תחילה הבעת המידע המטרי באופן ממצה ולאחר מכן היקשים מרחיקי לכת על עקמומיות וגאומטריית המשטח - הייתה כאבן יסוד בפיתוח הגאומטריה הרימנית שביסוד תורת היחסות הכללית בה המושגים של מרחק ועקמומיות מתגלמים במטריקה ובטנזור המטרי, בהתאמה.
אף על פי ש"המשפט הנהדר" הראה שניתן למדוד את העקמומיות ישירות מפנים המשטח, הוא לא הצביע על דרך קונקרטית לחשבה.
למטרה זו בדיוק נועד משפט חשוב מאוד נוסף מהחיבור - אותו כינה גאוס "המשפט האלגנטי" - אשר קשר את עקמומיות המשטח לסכום הזוויות של הצורות המתקיימות עליו ולהבדל בין תוצאת הסכום לבין זו הנקבעת בגאומטריה אוקלידית.
המשפט קובע בצורה ישירה למדי שהמגרעת הזוויתית של משולש שווה לאינטגרל על עקמומיות המשטח בתחום המשולש.
את חלקו האחרון של החיבור מקדיש גאוס למשפטי השוואה בין תכונות מטריות וזוויתיות של משולשים במישור לאלו של משולשים על משטח עקום; גאוס חקר כיצד מתפלגת המגרעת הזוויתית של משולש גיאודזי בין קודקודיו בהשוואה למשולש ייחוס מישורי בעל אותן אורכי צלעות.
באמצעות פיתוחים סבוכים לטורים של פונקציות המוגדרות בקואורדינטות גאודזיות פולריות על המשטח, מצא גאוס הכללה של משפט לז'נדר על משולשים כדוריים למשולשים גיאודזיים על משטח שרירותי.
חישוביו אלו אפשרו לו להראות שזוויותיו של משולש גיאודזי "קטן מספיק" סוטות מאלו של משולש מישורי בעל אותן צלעות באופן שתלוי רק בערכי עקמומיות המשטח בפינות המשולש.
על אף שהיבט זה של עבודתו של גאוס בתחום צמח ככל הנראה מתוך עבודתו המעשית כגאודזיסט, לחישוביו אלו יש משמעות תאורטית רבה מעבר ליישומים גאודזיים מעשיים.
ב-1841 שב גאוס לעסוק במשפט לז'נדר למשולשים כדוריים, ופרסם בכתב העת המתמטי של קרל מאמר ובו הוכחה אלמנטרית קצרצרה למשפט, שניחנה בבהירות ופשטות רבה.
על אף שחיבורו על משטחים עקומים מ-1828 מתייחס בהרחבה לקווים גאודזיים, ההמשגה המשלימה והחשובה של עקמומיות גאודזית נעדרת כליל מחיבורו.
במהלך התקופה שקדמה לפרסום חיבורו זה (בשנים 1825–1827), גאוס הכליל באחד מכתביו הלא מפורסמים חלק מהתוצאות שבחיבור כדי לכלול גם את המקרה של קווים שאינם ישר בגאומטריה הנתונה, וכך הגדיר את המושג הכללי של עקמומיות גיאודזית.
תחילה נתן לעקמומיות הגיאודזית הגדרה גאומטרית חיצונית, ולאחר מכן הראה שבדומה לעקמומיות גאוס, גם גודל זה הוא אינווריאנט פנימי של המשטח עליו הוא מוגדר; הווה אומר, אם מעוותים את המשטח על ידי טרנספורמציה איזומטרית, העקמומיות הגיאודזית בכל נקודה על העקום נשארת זהה - בפרט, עקומים גאודזיים נשארים כאלה לאחר העיוות.
פרדיננד מיינדינג גילה והוכיח באופן בלתי תלוי את התוצאה האחרונה כזמן קצר לאחר פרסומו של גאוס, ופרסם את ממצאיו ב-1830. בחלקו האחרון של כתב היד, גאוס מוכיח קשר בין האינטגרל הקווי של העקמומיות הגיאודזית לאורך לולאה סגורה לבין האינטגרל המשטחי על עקמומיות גאוס בחלק המשטח התחום על ידי הלולאה.
ככל הנראה מפני שרצה רק להבליט את חשיבות הגאומטריה הפנימית של משטחים, גאוס לא כלל בחיבורו כמה תוצאות חשובות ביותר שעוסקות בהיבטים שמעבר לה.
בחיבור לא מפורסם שלו מ-1822 תחת הכותרת "מצב חקירותיי על הטרנספורמציה של משטחים", גאוס העלה על הכתב באופן שיטתי קשרים דיפרנציאליים רבים, וכפועל יוצא גילה לא רק את משוואת גאוס שממנה נובע התיאורמה אגרגיום, אלא אף את שתי המשוואות הידועות בספרות המתמטית בשם משוואות קודאצי-מיינרדי.
הוא אף הדגיש את שתי המשוואות הללו עם הסמל האסטרונומי ☉ בעבור השמש, ככל הנראה כסימן לתוצאות הראויות לציון מיוחד.
משוואות אלו מגלמות תנאי לעקביות השיכון של משטח (הניכר רק למתבונן במשטח מחוץ לו) עם הגאומטריה הפנימית שלו, ולכן יש להן חשיבות מיוחדת בכך שהן משלימות את משוואת גאוס.
ה"משפט הנהדר" של גאוס הוא אולי גולת הכותרת של עבודתו בגאומטריה דיפרנציאלית.
המשפט מראה שעל אף שההגדרה הראשונית של עקמומיות גאוס עושה שימוש ישיר באופן שבו המשטח נח במרחב, היא נשמרת גם כאשר מעקמים או מפתלים אותו.
לכן המשפט מראה שעקמומיות גאוס, שהיא תכונה תלת־ממדית מובהקת (לפחות לכאורה), אינה תלויה בשיכון של המשטח במרחב, אלא שהיא תכונה פנימית של המשטח, וניתנת לחישוב מנקודת מבט דו־ממדית על ידי ביצוע מדידות על גבי המשטח עצמו; למשל מדידת סכום זוויות של משולשים על המשטח.
בהדגמת התכונות ה"שמורות", כלומר בלתי תלויות, של שיכון המשטחים במרחב התלת־ממדי, הוא סלל את הדרך למושג היריעה, היא מרחב מתמטי מופשט העומד בזכות עצמו, ללא קשר לשיכון שלו במרחב בממד גבוה יותר.
מעבר לחשיבותו המתמטית המכוננת, למשפט היו גם השלכות פילוסופיות בדמות דחיית הטענה של עמנואל קאנט על הטבע האפריורי של הגאומטריה האוקלידית.
אחד ההיבטים הידועים פחות של עבודתו של גאוס הוא שהוא היה גם חלוץ מוקדם של ענף הטופולוגיה, או כפי שנקראה בזמנו, Geometria situs.
ההוכחה הראשונה שלו את המשפט היסודי של האלגברה ב-1799 כללה טיעון טופולוגי במהותו; חמישים שנה מאוחר יותר, הוא שב ופיתח את הטיעון הטופולוגי בהוכחה האחרונה שלו למשפט זה (מ-1849).
אחד המסמכים משנותיו המוקדמות ביותר מתאר רשימה של קשרים אותה הכין ב-1794.
ב-1804, בהקשר של חקירותיו באסטרונומיה, עסק גאוס לכאורה בשאלה פרקטית - קביעת התחום השמיימי שבו שביטים ואסטרואידים עשויים להופיע - אותו הוא מכנה "Zodiacus".
בפתרון הבעיה גאוס הצביע על 3 מקרים אפשריים: כאשר המרחק המינימלי של השביט גדול מהמרחק המקסימלי של כדור הארץ מהשמש, ההפך, והמקרה השלישי הוא כאשר מסלול כדור הארץ ומסלול השביט שזורים זה בזה.
במקרים הראשון והשני חישב גאוס את ה-zodiacus, ואילו במקרה השלישי הוא כותב כי מסיבות טופולוגיות התחום השמיימי הוא הספירה כולה.
מאוחר יותר, חקירותיו על גאומטריה דיפרנציאלית ויסודות הגאומטריה "תדלקו" מחדש את העניין שלו בטופולוגיה: ניסיונותיו להגדיר "שטח מכוון" (oriented area) הובילו אותו לגרסה ראשונית של מושג האוריינטציה של משטחים.
נושא האוריינטציה מופיע שוב בהתכתבויותיו מ-1846, שם במסגרת דיון על הכיווניות של ברגים עולה הנושא של הבחנה בין מערכות צירים ימניות לשמאליות.
חלק ניכר מהחקירות הללו הוא בעל זיקה ל-Geometria situs, תחום כמעט לא מעובד עד עכשיו".
קטעים בכתביו מאותה תקופה מגלים שהוא ניסה לסווג tract figures, שהן עקומות מישוריות סגורות בעלות מספר סופי של נקודות כפולות.
כדי לעשות זאת הוא פיתח סכמה סימבולית, המכונה קוד גאוס, שבמובן מסוים מקודדת את התכונות של עקומה נתונה.
בעזרת שיטת סימון זו הוא הכין באותן שנים רשימה של מילות גאוס עבור עקומות עם מספר צמתים שאינו עולה על חמש.
ב-1844 הוא ניסח השערה מסוימת על מילות גאוס המייצגות גרפים מישוריים, אשר הוכחה רק בתחילת המאה ה-20 - בין היתר על ידי הטופולוגיסט הנודע מקס דן, שפיתח אלגוריתם לזיהוי מילות גאוס מישוריות.
הערותיו ותוצאותיו של גאוס בנושא קובצו ברשימה קצרה יחסית בכרך השמיני של הנכלאס שלו.
גאוס הרים תרומה יוצאת מן הכלל לתורת הקשרים, כאשר ב-1833, בהקשר של חקירותיו באלקטרומגנטיות, הגדיר את אינדקס השזירה (linking number) של שני עקומים סגורים במרחב ופיתח נוסחה לחשבו בעזרת אינטגרל כפול מתאים (Gauss's linking integral):
בכך גאוס סיפק לראשונה תיאור אנליטי לתופעה טופולוגית.
באותה הערה קצרה גאוס גם מלין על ההתקדמות המעטה שנעשתה בתחום: "על ה-geometria situs, שלייבניץ הרחיק לראות, ואשר רק צמד גאומטרנים (אוילר וונדרמונד) זכו למבט חטוף בו, אנו יודעים, כעבור מאה וחמישים שנים, כמעט דבר.
בעיה מרכזית של ה-geometria situs תהיה למנות את מספר הליפופים של שני עקומים סגורים או אינסופיים אחד מסביב לשני".
מחברותיו של גאוס מאותה תקופה מכילות מספר רישומים מעניינים, שמעידים שהוא היה בין הראשונים שחקרו גם תופעות טופולוגיות נוספות: באחת ממחברותיו בשנים 1820-1830 מופיע תרשים של צמה (braid) בעלת ארבעה גדילים, שאת המבנה הטופולוגי שלה ניסה לתאר באמצעות טבלת מעקב אחר גדילי הצמה, אשר איבריה הם שלמים מרוכבים.
טבלה מרוכבת זאת תיעדה את התמורות וחצאי-הליפופים (half-twists) של גדילי הצמה כאשר מתקדמים מהצטלבות גדילים אחת לזו הבאה אחריה.
על אף שגאוס ניסה ככל הנראה לאפיין צמות מנקודת המבט של שקילות צמות ולא של תורת החבורות, שיטת הסימון שלו והדיון המילולי שלו בתכונות הצמה קרובים מאוד רעיונית להצגת ארטין של חבורת הצמות (שניתנה על ידי אמיל ארטין ב-1926).
בעמוד אחר מתוך מחברותיו מופיע תרשים של מארג (tangle), שפשרו עדייו לא מובן היטב; עבור המקרה המסוים בו עסק, גאוס פיתח נוסחה לקשר בין אורך הסיב היוצר את האריג לשטח הכולל של האריג, אך לא ברור כיצד איור זה מתקשר לשאר רעיונותיו הטופולוגיים.
בשנותיו האחרונות הוא נטה להערכה רבה של תחום הטופולוגיה ההולך ומתגבש והאמין כי התחום טומן בחובו התפתחויות עתידיות משמעותיות, אך השפעתו הייתה בעיקר במתן גירוי ראשוני בעל פה למביוס, ליסטינג ורימן לפתח את התחום.
למשל, מביוס התייחס במפורש להרצאה בעל פה שניתנה על ידי גאוס בה הוא הדגים תכונות של משטח לו הוא קרא "טבעת כפולה": על פי הפרשנות המתמטית המודרנית, בהרצאתו רמז גאוס למביוס שהמשטח שהדגים היה שקול טופולוגית לטורוס מנוקב, ושהטורוס המנוקב אינו פשוט קשר.
דיווח זה של מביוס עקבי עם קטע מכתביו של גאוס, המתוארך ל-1840, אשר תיאר בקווים כלליים תיאוריה של דרגת הקשירות המסילתית של משטחים.
בעבודתו היומיומית גאוס נעזר לעיתים קרובות באלגוריתמים יעילים כדי לפשט את עבודתו.
כיוון שלעיתים קרובות הוא נעזר בעדות מספרית אמפירית כדי למצוא חוקיות מתמטית בתחומי המחקר שלו (למשל במקרה של משפט המספרים הראשוניים), השימוש באלגוריתמים יעילים היה חיוני עבורו.
בהקשר זה, גאוס עשה תרומות רבות לאנליזה נומרית והמציא אלגוריתמים מתמטיים רבים.
ב-1814 הוא פרסם את מאמרו הארוך יחסית על אינטגרציה נומרית "שיטה חדשה לחישוב ערכי אינטגרלים על ידי קירוב", בו תיאר את שיטת התרבוע הגאוסיאני (Gaussian quadrature).
המאמר היווה השראה עבור חוקרים רבים בתחום להמשיך לפתח את הכלים של האינטגרציה הנומרית.
במכתב לתלמידו גרלינג מ-1823 הוא תרם תרומה מוקדמת חשובה לאלגברה ליניארית נומרית, כאשר תיאר תהליך פתרון של מערכת משוואות ליניאריות מסדר 4X4 באמצעות גרסה של שיטת גאוס-זיידל - שיטה איטרטיבית לפתרון "לא ישיר" של מערכות ליניאריות, שבמקרים מסוימים מתכנסת מהר יותר לפתרון מאשר השיטה הישירה.
הוא טען במכתב שהשיטה הלא ישירה תובענית פחות מבחינה חישובית, ו"שניתן להשתמש בה במצב של חצי-שינה, או במהלך חשיבה על דברים אחרים", והמליץ עליה על פני השיטה הישירה במקרים של מערכות מסדר שלישי ומעלה.
בהקשר של עבודתו האסטרונומית, גאוס פיתח במאמרו הארוך "שיטה חדשה לטיפול בתאוריית האינטרפולציה" מ-1805 את הגרסה המוקדמת ביותר של ה-FFT (אלגוריתם ה-Fast Fourier Transform) - התמרת פורייה מהירה, שתואר כ"אלגוריתם הנומרי החשוב ביותר של זמננו".
הוא נעזר באלגוריתם זה כדי לעשות אינטרפולציה על מסלוליהם של פאלאס ויונו.
מבחינה היסטורית, חיבור זה לא היה חסר השפעה, שכן עותקים ספורים שלו הגיעו למכריו של גאוס ולמתמטיקאים נוספים במהלך המאה ה-19.
בהקשר של חקירותיו על הממוצע האריתמטי גאומטרי, הוא המציא את אלגוריתם גאוס-לז'נדר, שיצר (יחד עם תרומות של חוקרים רבים אחרים) את הבסיס לכמה מהאלגוריתמים המהירים ביותר לחישוב פאי.
הישגים אחרים שלו כוללים פיתוח אלגוריתם יעיל לחישוב לוגריתמים, המבוסס על הממוצע האריתמטי גאומטרי.
כמו כן, גאוס פרסם טבלאות לוגריתמים שיחד עם עבודתו של Z.
Leonelli יצרו את הבסיס למערכת המספרים הנקראת כיום LNS - או Logarithmic number system.
עבודתו בתחום הוקרה בכך שקראו לטכניקות מסוימות לחישוב לוגריתמים בשם "לוגריתמים גאוסיאניים".
כמה מעבודותיו המתמטיות של גאוס הוקדשו לכרונולוגיה, תחום העוסק בפיתוח אלגוריתמים יעילים לניתוח לוח השנה ואשר נגזרים ממנו יישומים מיידיים לחיזוי מועדם של חגים מסוימים.
בין עבודותיו אלו ראויים לציון מיוחד מאמרו מ-1800 על קביעת תאריך חג הפסחא לפי הלוח היוליאני והגרגוריאני - שבו התהליך הציקלי המפרך של חישוב מועד חג הפסחא מוחלף בתהליך אנליטי לגמרי, והנוסחה של גאוס לקביעת היום בשבוע המתאים לתאריך קלנדרי מסוים (עבודתו האחרונה נתפרסמה רק ב-1927).
גאוס ראה באלגוריתמים אלו הדגמה של עקרונות "האריתמטיקה הגבוהה" שפיתח, ואזכור לבעיות קלנדריות אף מופיע במאמר 36 בפרק השני של "מחקרים אריתמטיים", בהקשר של הבעיה של פתרון מערכות של n קונגרואנציות ליניאריות ב-n משתנים.
אלא לתת, באופן בלתי תלוי בקונספציות הללו, פתרון אנליטי לחלוטין, המבוסס אך ורק על פעולות החשבון הבסיסיות ביותר."
עבודתו של גאוס לא רק התניעה התפתחות של תאוריות מתמטיות גדולות, אלא שהוא היה גם המחבר של נישות רבות במתמטיקה, במיוחד בגאומטריה אלמנטרית ובאלגברה.
בעיסוקו גם בתחומים אלה, עזר להפיץ את הרעיונות המתמטיים החדשים של התקופה; באמצעות הדגמה כיצד הם "מאירים" ומקצרים את הדרך בפתרון בעיות מסוימות.
בהקשר זה, גאוס השתמש במספרים מרוכבים במסגרת עבודתו על פרספקטיבה וגאומטריה פרויקטיבית - בכתב קצר "היטלי הקוביה" הוא ניסח את המשפט היסודי של אקסונומטריה נורמלית, העונה על השאלה כיצד לשרטט בצורה מיטבית קובייה תלת־ממדית על גבי מישור דו־ממדי, באמצעות שימוש במספרים מרוכבים.
משפט גאוס-לוקאס, תוצאה בסיסית על מיקום שורשי פולינום במישור המרוכב, הוא דוגמה נוספת לנישה בעבודתו על מספרים מרוכבים.
הטרנספורמציה הזאת, שהיא בעצם העתקת מביוס אוניטרית, מתייחסת להטלה הסטריאוגרפית של הספירה אל המישור המרוכב - הטלה שמאפשרת להתאים מספר מרוכב לכל נקודה על הספירה.
דרך התכתבויותיו וכתביו הלא מפורסמים, לגאוס הייתה תרומה מסוימת להתחדשות של ענף הגאומטריה הסינתטית במאה ה-19, שהתפתחותו נזנחה במאה הקודמת (עקב ההתפתחות המטאורית של האנליזה); תחום זה התפתח מאוד בעשורים הראשונים של מאה זו, בעיקר דרך עבודותיהם של גאומטרנים כיאקוב שטיינר, יוליוס פלוקר, von Staudt, מביוס ואחרים.
בכתב לא מפורסם קצרצר "המעגל" מ-1840 גאוס היה הראשון להתייחס למושגים החשובים של צמדי נקודות הרמוניים (harmonic pairs) והיחס הכפול בהקשר המודרני של רביעיית נקודות במנח כללי במישור המרוכב.
בין היתר, מציין גאוס שארבע נקודות מצויות על מעגל אם ורק אם היחס הכפול שלהם ממשי, שהיפוכן של שלוש נקודות ביחס לנקודה רביעית על המעגל שהן מגדירות מצויות על ישר אחד (שלשה קולינארית), ובאופן כללי יותר שמעגלים מועתקים למעגלים תחת טרנספורמציות מביוס.
הוא תרם רבות גם לגאומטריה כדורית, הן מההקשרים האסטרונומיים (הוא תרם לפרקטיקה של ניווט בעזרת כוכבים והשתמש בטכניקות מטריגונומטריה ספירית כדי לפתור בעיות ניווטיות שונות) והן מההקשרים הגאומטריים שלה.
ידועות בהקשר זה הנוסחאות המכונות "אנלוגיות גאוס-דלאמבר-מולביידה", שפורסמו במסגרת ספרו מ-1809 על חישוב מסלולים באסטרונומיה.
בהקשר זה של עבודתו של גאומטריה כדורית, גאוס חקר לעומק את הסיבה לתופעה המתמטית שג'ון נייפייר כינה "Pentagramma mirificum" - הקשורה בתכונותיו המופלאות של פנטגרם כדורי מסוים.
במהלך חייו גאוס שב לנושא זה פעמים רבות והסביר את התופעה על כל רבדיה הגאומטריים, האלגבריים והאנליטיים; בפרט, ב-1843 הוא ניסח והוכיח
מספר משפטים המקשרים בין פונקציות אליפטיות, מחומשי נייפייר על פני הספירה הדו-ממדית ומחומשי פונסלה במישור.
כמה מההתכתבויות שלו בשנותיו המאוחרות יותר עסקו לעיתים קרובות בבעיות מתמטיות מינוריות יחסית, למשל בנושא של ריבועים לטיניים, או בהתכתבות מ-1836 עם שומאכר בה הוא עסק בבעיית העץ של שטיינר.
במספר מכתבים לגרלינג ב-1844 גאוס הביע חוסר סיפוק מהעובדה שהתהליך הידוע היחיד להוכיח שוויון נפחים של פאון כלשהו עם תמונת הראי שלו מתבסס על שיטת המיצוי, ושיער שלא ניתן להוכיח שוויון נפחים של ארבעונים באמצעות פירוק למספר סופי של מרכיבים חופפים.
ההתכתבות הזאת בין גאוס לגרלינג הייתה אחת המוטיבציות לניסוח הבעיה השלישית של הילברט.
גאוס ניסח את חוק גאוס באלקטרוסטטיקה (שמהווה מקרה פרטי של משפט גאוס באנליזה וקטורית), אחד החוקים הבסיסיים והחשובים ביותר בתחום זה, כמו גם את חוק גאוס במגנטיות.
ב-1833 הוא גילה את חוקי קירכהוף על מעגלים מסועפים, ומאוחר יותר ביסס את העיקרון של ייצור חום מינימלי (principle of minimum heat), שגם הוא נתגלה באופן בלתי תלוי על ידי גוסטב קירכהוף (ב-1848).
הוא יישם את העקרונות הללו כשניתח כמה קונפיגורציות מעניינות של מעגלים חשמליים.
בנוסף, גאוס נתן הוכחה ניסויית מדויקת של הזהות של אפקטים חשמליים הנגרמים על ידי חיכוך לאלו שנגרמים על ידי זרמים גלוואניים וכוחות תרמואלקטריים.
באותה שנה הוא וובר תיעלו את הידע הניסויי והתאורטי שלהם בתחום כדי להגיע להישג טכנולוגי מעשי; לבנות את הדגם הראשון של הטלגרף החשמלי - מעיין התקן תקשורת פרימיטיבי לשליחת מסרים באמצעות פולסים חשמליים בתיל.
גאוס שילב בין מכשיר המולטיפליקטור של שוויגר למגנטומטר שלו כדי לבנות מכשיר רגיש יותר; הגלוונומטר.
כדי להפוך את כיוון הזרם החשמלי, הוא בנה קומוטטור משלו.
כתוצאה, הוא היה מסוגל להניע מחט מרוחקת בכיוון שהגדיר הקומוטטור בקצה השני של הקו.
את האלפבית שלהם הם קודדו באמצעות קוד בינארי.
מאוחר יותר הם פיתחו דגם יעיל יותר, שאפשר קצב העברת נתונים גבוה יותר (אם כי עדיין נמוך משמעותית מזה של הדגמים המסחריים הראשונים).
מוקד העניין המרכזי של גאוס בחקר האלקטרומגנטיות היה חקר חוקי האינדוקציה (השראה אלקטרומגנטית), והוא גילה במחקריו תוצאות ניסוייות ותאורטיות רבות בתחום.
למשל, באמצעות טרנספורמציות מסוימות על משוואת אמפר לכוח בין אלמנטי זרם, הוא גילה את פונקציית הפוטנציאל הווקטורי ב-1835 (מושג זה הוצג לראשונה רק ב-1845, על ידי פרנץ ארנסט ניומן), ונעזר בו כדי לתת ניסוח כמותי לחוק פאראדיי; הוא מצא שהכוח האלקטרומוטורי המושרה שווה לקצב השינוי של הפונקציה הזאת.
במסגרת מחקריו ה"חישוביים" יותר של תופעת ההשראה, הוא אף מצא ביטוי מתמטי מפורש להשראות העצמית של כמה קונפיגורציות לא טריוויאליות; למשל, הוא חישב קירוב מסדר ראשון להשראותה העצמית של לולאה מעגלית יחידה כפונקציה של רדיוס הלולאה r ורדיוס התיל (המעגלי) a ממנו היא הורכבה.
לתוצאה זו חשיבות שחורגת מתחום האלקטרומגנטיות, זאת בשל הקשר שלה לתיאור המתמטי של התופעה של טבעת מערבולת במכניקת הזורמים, אשר המשוואות המתארות אותה דומות במבניהן.
כתביו אינם מכילים פיתוח מפורט של תוצאה זו, אך עולה מהם כי הוא ביטא את הפוטנציאל הווקטורי המגנטי בתוך חתך התיל ובסמוך לו תחת ההנחה של צפיפות זרם אחידה, מה שאפשר לו לחשב את ההשראות העצמית.
מטרתו של גאוס הייתה למצוא, תחת קירוב ראשון, את הצורה של סליל השראה סופי המביאה למקסימום את השראותו העצמית הכוללת, כאשר רדיוס החתך המעגלי והאורך הכולל של התיל שמרכיב אותו נתונים, והתוצאה שלו צוטטה על ידי ג'יימס קלארק מקסוול בחיבורו הקלאסי על חשמל ומגנטיות.
מנקודת המבט של מדע בסיסי, השיא של עבודתו של גאוס באלקטרומגנטיות עסק באלקטרודינמיקה, ובעוצמה של כוחות אלקטרודינמיים.
ב-1835, עלה במחשבתו הרעיון שהאינטראקציה האלקטרומגנטית בין שני מטענים מתקדמת במרחב במהירות סופית, ושהיא עשויה להיות תלויית מהירות-יחסית בין המטענים.
הוא ניסה למצוא חוק שיאחד את האלקטרוסטטיקה עם מדע האלקטרודינמיקה והמגנטיות, ובמסגרת חיפושיו אחר חוק יסודי כזה העלה על הכתב משוואה שהתיימרה לתאר את האינטראקציה האלקטרומגנטית הכללית - חוק האלקטרודינמיקה שניסח מהווה הכללה של חוק קולון למטענים נעים:
כש-r הוא המרחק הסקלרי, הוא וקטור המרחק, ו- הם ערכי המטענים ו- היא מהירות התקדמות האינטראקציה (ששווה למהירות האור, כפי שמקסוול הראה מאוחר יותר).
תובנות אלו, שאותם כאמור גאוס ניסה לתמצת במשוואה אחת, באו בהמשך ישיר לשנים של הרהורים פיזיקליים על טבע האינטראקציה האלקטרומגנטית.
כפי שגאוס עצמו הבחין, משוואת האלקטרודינמיקה שנתן מפרה את חוק שימור האנרגיה בעבור תנועות כלליות (תנועות מואצות), ולכן העיר נכונה כי הנוסחה צריכה להסביר גם את האפקטים של השראה אלקטרומגנטית.
10 שנים מאוחר יותר, ובר התוודע לעבודה זאת של גאוס (שלא פורסמה), והכליל את משוואות האלקטרודינמיקה של גאוס גם למקרה של מטענים מואצים, כדי לכלול את האפקט של השראה אלקטרומגנטית.
למעשה, תמונת גאוס-וובר של האלקטרודינמיקה הייתה הבסיס למחקרים תאורטיים בתחום עד אשר הוחלפה על ידי משוואות מקסוול השימושיות יותר.
על אף שאינה נכונה מנקודת מבט מודרנית, תמונת גאוס-וובר טמנה בחובה את הזרעים הרעיוניים של חלק מההתפתחויות המאוחרות יותר בתחום; כך למשל, הרעיון של פוטנציאל מעוכב רמז למעשה על האפשרות שהשדה האלקטרומגנטי הוא במידה מסוימת ישות עצמאית ונפרדת מהמטענים שיצרו אותו.
מבחינה היסטורית, בשל ההסתייגות של מקסוול, יוצר התאוריה האלקטרומגנטית המודרנית, מן התאוריה של גאוס וובר, נזנחה הגישה שלהם כליל מטקסטים לימודיים בתחום מאז ועד היום, שכן לגישה של מקסוול מעמד בלתי מעורער בקונצנזוס המדעי.
הבדל מהותי אחד בין התאוריות הוא שבתמונת מקסוול חוק שימור התנע תקף רק כאשר מסתכלים על המערכת המורחבת של החלקיקים והשדות האלקטרומגנטיים יחד (כלומר התנע של החלקיקים לא בהכרח נשמר), בעוד שבתמונת גאוס-וובר התנע הכולל של החלקיקים תמיד נשמר.
עם זאת, קרל שוורצשילד פרסם מאמר ב-1903 המתאר בפירוט כיצד ניתן לפתח את הגישה של גאוס וובר לכדי תאוריה עקבית חלופית.