tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
תנועה קווית של גוף נקודתי תנועה סיבובית של גוף קשיח תנע קווי תנע זוויתי כוח מומנט הכוח מסה מומנט ההתמד העתק קווי זווית הסיבוב מהירות קווית מהירות זוויתית תאוצה קווית תאוצה זוויתית החוק השני של ניוטון אנרגיה קינטית קווית אנרגיה קינטית זוויתית
בתורת הגוף הקשיח ישנן מספר תוצאות חשובות הנוגעות לתנועתם של גופים קשיחים.
תובא כאן סקירה של מספר נקודות מרכזיות.
מומנט ההתמד סביב ציר מסוים מוגדר כסיכום התרומות של כל אחת מהמסות המרכיבות את הגוף למומנט הכללי:
כאשר הוא המרחק של המסה ה־i מציר הסיבוב.
בגבול הרצף, הסכום הופך לאינטגרל:
וכאן הוא המרחק של המסה m מציר הסיבוב.
כתוצאה מהגדרה זו, מתקבלת דרך לחשב את מומנט ההתמד של גוף סביב ציר תנועה מסוים, בהינתן מומנט ההתמד של הגוף סביב ציר מקביל, העובר דרך מרכז המסה של הגוף.
תוצאה זו נקראת "משפט שטיינר".
בניסוח מתמטי, אם הוא מומנט ההתמד סביב ציר העובר במרכז המסה, אז , מומנט ההתמד סביב ציר אחר המקביל לו נתון בנוסחה , כאשר m היא מסת הגוף ו־d המרחק בין שני הצירים.
כיוון שטנזור ההתמד סימטרי, ניתן ללכסן אותו עבור כל גוף קשיח.
בצורתו המלוכסנת של הטנזור, הצירים המתאימים לרכיביו נקראים "צירי התנועה הראשיים" (או, "צירי התנועה הטבעיים") והערכים על האלכסון הם מומנטי ההתמד הראשיים.
לצירים הראשיים של גוף יש חשיבות רבה, כיוון שכאשר גוף מסתובב סביב ציר ראשי שלו, ציר הסיבוב נשאר קבוע.
תוצאה חשובה זו מראה שלכל גוף קשיח קיימים שלושה צירים (לפחות) שסביבם ניתן לסובב את הגוף וציר הסיבוב יישאר קבוע.
פרט לחשיבות התאורטית של התופעה, יש לה גם שימוש מעשי חשוב: בעת איזון גלגל כלי רכב במוסך, פעולות המכונאי מכוונות לכך שציר הסיבוב הראשי של הגלגל יהיה מקביל לסרן המכונית, שאם לא כן, הגלגל "ירצה" לשנות את ציר הסיבוב שלו, מה שיגרום להפעלת כוח על הסרן ויכול אף להביא לשבירתו.
מבחינת החישוב, חלק מהמשוואות הופכות פשוטות יותר אם מלכסנים את טנזור מומנט ההתמד.
כך, למשל, האנרגיה הקינטית הכוללת במצב זה היא סכום האנרגיות המתקבלות מתנועה סביב כל אחד מהצירים.
המשוואות המתארות תנועות מורכבות של גוף קשיח, בפרט כאלו הכוללות נקיפה ונוטציה, נקראות משוואות אוילר, על שמו של הפיזיקאי והמתמטיקאי לאונרד אוילר.
אלו הן שלוש משוואות הקושרות את מומנטי ההתמד של הגוף סביב ציריו הראשיים, מומנטי הכוח הפועלים עליו, המהירויות הזוויתיות סביב צירים אלו וקצב השינוי שלהן (התאוצה הזוויתית) במערכת הייחוס של הגוף הנע.
תורת היחסות שוללת את קיומם של גופים קשיחים, שכן כאשר מתחיל לפעול כוח על גוף לא ייתכן שכל חלקיו יתחילו לנוע באופן מיידי, בגלל המגבלה של העברת האינפורמציה (קרי – תגובת חלקיו הרחוקים ביחס לנקודת הפעלת הכוח) במהירות הנמוכה ממהירות האור.
לכן, אין טעם לדבר על מכניקה יחסותית של גוף קשיח במובן הפשוט.
עם זאת, למושגים כמו תנע זוויתי יש חשיבות רבה בתורת היחסות, נזכיר כי תנע זוויתי איננו בהכרח קשור לגוף קשיח.
מִכְמָשׂ (גם: מִכְמָס) הייתה עיר מרכזית בנחלת שבט בנימין בתקופת המקרא ובתקופת בית שני.
לפי התיאור המקראי, מכמש שכנה צפונית לגבע ובסמוך למגרון.
היו ששיערו ששם המקום נובע מהשורש כ.מ.ס, על שום שהמקום כמוס בין הגבעות.
העיר הקדומה מזוהה כיום ב"תל מרים", הסמוך לכפר הערבי "מח'מאס" המשמר את השם הקדום, ואשר נמצא בהתאם לתיאור המקראי מצפון לכפר "ג'בע" (הוא גבע המקראית).
ההתנחלות מעלה מכמש הוקמה מזרחית למח'מאס, ונקראת על שם העיר הקדומה.
העיר נזכרת לראשונה בתיאור מלחמת מכמש בין יהונתן בן שאול המלך לפלשתים שחנו בה: .
העיר נזכרת גם בתיאור מסע סנחריב לעבר ירושלים: .
מכמש הייתה אחת הערים אליהן שבו עולי בבל: , וכן: .
מאוחר יותר, נזכרת מכמש כעיר בה ריכז יונתן החשמונאי את שלטונו בתקופת מרד החשמונאים.
חז"ל ציינו את העיר לשבח בשל המנחות שהובאו ממנה לבית המקדש: .
אוסביוס, בחיבורו האונומסטיקון (תחילת המאה ה-4 לספירה), מציין את מכמש בימיו כ"כפר גדול".
מכלן (בהולנדית: Mechelen; בצרפתית: Malines, מאלין) היא עיר באזור פלנדריה שבבלגיה, במחוז אנטוורפן.
העיר ממוקמת על הציר העירוני-תעשייתי הראשי המחבר בין שתי הערים הגדולות ביותר בבלגיה, בריסל–אנטוורפן, במרחק כ-25 ק"מ משתיהן.
במאה ה-15, העיר הפכה לשליטת דוכסות בורגונדיה, שהביאה להתחלת תקופה משגשגת בתולדות העיר.
שארל הראשון, דוכס בורגונדיה העביר גופים פוליטיים לתוך העיר, ומכלן שימשה למשכן בית המשפט העליון עד למהפכה הצרפתית.
סחר הבדים של העיר היה רווחי ביותר, והקנה לעיר כוח כלכלי חזק בימי הביניים.
העיר אפילו הפכה לבירת ארצות השפלה (הולנד, לוקסמבורג ובלגיה) במחצית הראשונה של המאה ה-16, תחת שליטת מרגרטה לבית הבסבורג.
אולם באותה מאה הכוח הפוליטי של מכלן צומצם מאוד, כיוון שהרבה מאוד מוסדות ממלכתיים העבירו את משכנם לבריסל.
בשנים 1942–1944, בימי הכיבוש הנאצי של בלגיה במלחמת העולם השנייה, פעל בעיר מחנה המעבר קסרסטין דוסין (Kazerne Dossin), המחנה שימש את הנאצים לשם כליאת 26,000 יהודים מקהילת בלגיה וצוענים לצורך ריכוזם לקראת גירוש ב־28 רכבות אל מחנות ההשמדה במזרח אירופה.
כעת מוכר הקסרסטין כ'מוזיאון יהודי לגירוש ולהתנגדות' (Joods Museum van Deporatatie en Verzet).
מהעיר מגיע מועדון הכדורגל מכלן, המשחק בליגת העל הבלגית.
בית הספר לנגינה על מגדל פעמונים
ב-1922 הקים ג'ף דניין (Jef Denyn) במכלן את בית הספר הראשון בעולם לנגינה על מגדל פעמונים (Carrilon) .
'בית הספר המלכותי לנגינה על פעמוני מגדל' (Koninklijke Beiaardscholl) הנקרא על שם המייסד.
בבית ספר זה למדו רוב נגני מגדלי הפעמונים של המאה ה-20, ויש בו ספריה וארכיון עשירים.
בחודש יוני 2019, הוכר בית הספר כאתר מורשתשל אונסקו.
על תרומתו בשימור ופיתוח תרבות הנגינה במגדל פעמונים.
במכלן כמו בעוד ערים בארצות השפלה ארגו שטיחים כבר במאה ה-16.מומחיותם הייתה כה גדולה שאצילי ארצות אחרות ניסו לשדל אורגים פלמיים להגר אליהם.
במכלן נמצא בית האריגה 'דה ויט' (De Wit) שהוקם ב-1898 על ידי תיאו דה ויט שעבד לפני כן בבית האריגה בראקני (Braquenies).
בבנין העתיק שבו שוכן בית האריגה אפשר לראות תערוכה של שטיחים עתיקים, מודרניים וכן אפשר לצפות מרחוק על אולם שבו מתקנים שטיחים עתיקים שנארגו לפני כמה מאות שנים.
בין יתר השטיחים המיוחדים שנארגו שם, בין 1952 -1954 נארג שם השטיח הענקי 'השגי אנוש בעולם' (Human Achievements in the) התלוי בבנין האו"ם בניו יורק.
מכמונת מהירות היא מכשיר המשמש לאכיפה של מהירות הנסיעה המותרת של כלי רכב.
ישנם סוגים שונים של מכמונות מהירות, המבוססים על עקרונות פיזיקאליים שונים, ודרכי הפעלה שונות - באופן אוטומטי או ידנית על ידי שוטר.
מכמונות מהירות מסוג זה משתמשות בפולסים של לייזר באור תת-אדום על-מנת למצוא את מרחק הרכב מהמכשיר בהפרשי זמן קצרים וקבועים מראש, וע"י כך לחשב את מהירות הנסיעה.
המכשיר מופעל ידנית על ידי שוטר, בדרך-כלל ממרחק של כמה מאות מטרים.
אם המכשיר מראה שמהירות נסיעת הרכב גבוהה מהקבוע בחוק, השוטר יסמן לנהג לעצור, וייתן לו את העונש הקבוע בחוק באותה מדינה - אזהרה, קנס, הזמנה למשפט או אף שלילת רישיון והחרמת הרכב.
המכשיר נכנס בעולם בשנות ה-90 של המאה ה-20, וגם בישראל, אך ב-2001 הוגשה עתירה לבית המשפט העליון על מידת אמינותו.
במקביל הוגשה עתירה בטענה שקרן הלייזר של מד המהירות עלולה לפגוע בעיני הנוסעים.
בשנת 2009 שוב הוגשה עתירה בעניין אמינות מד מהירות הלייזר שבידי משטרת ישראל
ב-2 בינואר 2018 חשף מפקד אגף התנועה, ניצב דורון ידיד שהמשטרה החלה לערוך ניסוי שבמסגרתו נהג שיצולם במצלמות האכיפה בכבישים כשהוא נוסע במהירות מופרזת או באור אדום יקבל מסרון על כך שהוא ביצע עבירה - עוד לפני קבלת הדו"ח.
בישראל, על פי פסיקת בית המשפט, ניתן להרשיע אדם באמצעות קריאת מהירות של מד-לייזר אך ורק אם המדידה נעשתה ממרחק של פחות מ-300 מטרים, והמכשיר עבר כיול באותו יום.
מכמונות מהירות מסוג זה הן למעשה גרסה מזערית של מכ"ם דופלר, המשתמש באפקט דופלר על-מנת למצוא את מהירות הנסיעה.
המכשיר משדר גל אלקטרומגנטי בתדר מסוים אל עבר כלי רכב אשר מגיע ממולו, ובעקבות אפקט דופלר, לגל המוחזר תדר מעט שונה.
באמצעות מדידת הפרש התדרים, ניתן לחשב את מהירות הנסיעה.
מכמונות מסוג זה קיימות בתצורה ידנית או אוטומטית.
המכשיר הידני דומה בצורתו לאקדח, וכולל בתוכו גם מצלמה.
השוטר מכוון את המכשיר לכיוון רכב שמגיע מולו, ואם הרכב נוסע במהירות קבועה מעל המותר בחוק - המכשיר מצלם את חזית הרכב (ואת לוחית הרישוי שלו), ומאוחר יותר מתבצע מעבר על התמונות ושליחת קנסות.
מכמונות מהירות אוטומטיות מוצבות בצידי הדרכים, בדרך-כלל בשולי כבישים מהירים, והן מכוונות מראש לצלם רק רכבים שנוסעים במהירות גבוהה מהמותר בחוק עבור אותו קטע כביש ספציפי.
עקב מחירן הגבוה של מכמונות אלו, ועל-מנת ליצור הרתעה גדולה יותר, נוהגים גורמי אכיפת החוק לפזר מספר גדול של מכשירי דמה, הזהים בצורתם למכמונת מהירות אך חלולים מבפנים.
ממבט חטוף לא ניתן להבדיל בין מכמונת אמיתית לבין דמה, ובכך נוצרת הרתעה שמונעת מנהגים מלעבור על החוק.
בשנים 2011–2012, התקין אגף התעבורה של משטרת ישראל עשרות מצלמות מהירות חדישות הפועלות באופן אוטומטי.
בנובמבר 2013 הסכימה המשטרה לפרסם רשימה מלאה שלהם ומיקומם.
במרץ 2018 נחשף כי למצלמות המהירות שהתקינה משטרת ישראל אין תו תקן ישראלי, ולכן טענו נהגים שהן לא אמינות, אף על פי שהן מופעלות באירופה בהצלחה כ-15 שנים.
עקב כך זיכה בית המשפט 21 נהגים מעבירות תנועה.
אולם מיד אחר כך הודיע מכון התקנים הישראלי שבבדיקה שנערכה נמצא שמצלמות אמינות, וגם בדיקה שערך הטכניון קבע שהן אמינות.
בכבישי אגרה אוטומטיים, העושים שימוש בטכנולוגיית זיהוי מספר הרכב מתוך תמונה על-מנת לגבות את אגרת הדרך, ניתן לחשב בקלות את המהירות הממוצעת של הרכב בקטע דרך ידוע מראש.
אם המהירות הממוצעת של כלי הרכב לאורך קטע דרך מסוים עולה על המהירות הקבועה בחוק, הנהג מקבל קנס.
בישראל, נכון ל-2018, הכבישים בהם קיימת מערכת אוטומטית לזיהוי לוחיות רישוי הם כביש 6, מנהרות הכרמל והנתיב המהיר בכביש 1, אולם נכון ל-2010 לא נעשה במערכת זו שימוש על-מנת לאכוף מהירות נסיעה.
מִכְמְתָת או הַמִּכְמְתָת, היה יישוב בגבול נחלת השבטים אפרים ומנשה בתקופת המקרא.
בעת החדשה הוא זוהה בשני אתרים שונים:
בחִרבת ג'וליג'יל בסמוך לעיר שכם, בה נמצאו לאחר חפירה ארכאולוגית ממצאים מהתקופה הישראלית.
בחרבת מחנה אל-פוקא, 4 ק"מ דרומית לשכם.
מַכְנִיסֵי רַחֲמִים הוא פיוט לימים נוראים, הנאמר על ידי קהילות שונות בעם ישראל במהלך או לאחר תפילת הסליחות.
פיוט זה מיוחד בכך שאינו פונה אל בני אנוש, ואף אינו פונה אל הקב"ה, אלא אל המלאכים.
בעקבות עובדה זאת עמד הפיוט במרכזו של פולמוס שהחל עוד בתקופת הראשונים.
מחברו של הפיוט אינו ידוע, והמקור לו הקדום ביותר הוא סידורו של רב עמרם גאון.
הפייטן פונה בשם המתפללים אל דמויות, לא ידועות, אשר כפי הנראה יש להן גישה חופשית אל הקב"ה (ייתכן ואלו מלאכים, או אולי מדובר בצדיקי הדור).
מ"מכניסי הרחמים" הוא מבקש שיכניסו רחמים כלפי ישראל, אל הקב"ה שהוא בעל הרחמים.
מ"משמיעי התפילה" מבקש הוא שישמיעו את תפילתם של עם ישראל לפני הקב"ה שהוא שומע כל התפילות.
מאותם שהם "משמיעי צעקה" מבקש הוא להביא את צעקתם של ישראל בפני הקב"ה שומע כל הצעקות, ומ"מכניסי הדמעה", מבקש הוא לאסוף את דמעות עם ישראל ולהכניסן אל הקב"ה, שהוא מלך המתרצה למראיהן של דמעות.
ביאור "באר יעקב" מביא הסבר כי ארבע הדמויות הן שלושת האבות ודוד המלך.
מכניסי רחמים זהו אברהם שנקרא אב רחמן, מכניסי תפילה זהו יצחק שנאמר עליו: ויצא...לשוח בשדה (שיחה זאת תפילה), מכניסי צעקה זהו יעקב שנאמר עליו: הקול קול יעקב, ומכניסי דמעה זהו דוד שכתב בתהלים: שימה דמעתי בנאדך.
ממשיך הפייטן ומבקש מהדמויות האנונימיות, גם כן בארבע לשונות השתדלו, התחננו, בקשו והפצירו בקב"ה שהוא מלך גבוה ונישא מעל כל המלכים.
תגייסו למטרה זאת את זכותם של האבות, שטמונים כיום באדמה, אך בחייהם עסקו בתורה ובמעשים טובים.
עוד בתקופת הראשונים, ובמשך דורות, עמד הפיוט "מכניסי רחמים" במרכזו של פולמוס, בו השתתפו רבים מחכמי ישראל.
נושא המחלוקת היה האם מותר לומר את הפיוט, או שהדבר אסור, שכן הפיוט מעיד על חוסר אמונה.
שורש הבעיה הוא, היותו של הפיוט סותר לכאורה את העיקר החמישי, משלושה עשר עיקרי אמונה של הרמב"ם:
כמו כן, לכאורה הפיוט מנוגד למאמר חז"ל בירושלמי:.
במהלך הדורות נשמעו דעות לכאן ולכאן, ואף נכתבו מכתבי התנגדות, ומכתבי תשובה.
למרות הוויכוח, הפיוט מופיע ברבים מספרי הראשונים.
לראשונה, מופיע הפיוט בסידור התפילות שערך ראש ישיבת סורא, רב עמרם גאון, וזה מעיד כי בוודאי לא התנגד לאמירת הפיוט.
לאחריו, מופיע הפיוט ב"סידור לכל השנה כמנהג טרוייש", וגם בשיבולי הלקט, ספרו של רבי צדקיה בן אברהם הרופא, כתוב שאומרים "מכניסי רחמים", ואין בכך משום שיתוף שם שמים.
בתשובה ששלח רב שרירא גאון לקהילת יהודי פאס, בנושא עצירת גשמים, מסר להם סדר תפילה, ובו כלל גם את הפיוט מכניסי רחמים.
גם בספר ציוני צידד בעד אמירת הפיוט מכניסי רחמים: .
בנוסף, רש"י כתב "לעולם יבקש אדם רחמים שיהו הכל מאמצים את כחו שיסייעוהו מלאכי השרת לבקש רחמים ושלא יהו לו מסטינים מלמעלה".
לפי רש"י זה, נראה שאין איסור בכלל לבקש מהמלאכים שיכניסו את תפילותיו.
המהר"ל מפראג כתב שאין לומר את הפיוט בצורתו המקובלת, ויש לדלג עליו או שיש לשנות את הנוסח, והחת"ם סופר העיד על עצמו, שהוא מאריך בתפילת נפילת אפיים, כדי להימנע מלומר את הפיוט.
הרב משה פיינשטיין והציץ אליעזר הביאו בספריהם סברות מנוגדות, אך לא הכריעו בשאלה.
בעת החדשה, זכה הפיוט לרֶהָבִּילִיטַצְיָה כאשר המלחין החסידי חיים בנט מחצר סערט ויז'ניץ, הלחין את מילות הפיוט, והלחן התקבל בכל עדות ישראל.
בנט עצמו, זכה בעקבות לחנו זה בפרס אקו"ם לשנת 2012, ו'מכניסי רחמים' בלחנו, זכה לביצועים של זמרים חסידיים מפורסמים, כאברהם פריד ומרדכי בן-דוד.
חלק מהפוסקים בעת החדשה טענו כי יש דמיון בין לפקוד קברי צדיקים ולבקש מהנפטרים שיתפללו עבורנו ובין פיוט זה.
לעיתים: מאַכניװקאַ; באוקראינית, Махнівка, מכניבקה; בשנים 1935–2016: Комсомольське, קומסומולסקה; ברוסית: Комсомольское, קומסומולסקויה) היא עיירה במחוז ויניצה שבאוקראינה, על גדת נהר גנילופיאט, בה התקיימה עד השואה קהילה יהודית גדולה.
היישוב נזכר לראשונה בשנת 1648, עת פשטו עליו גייסות חמלניצקי, ורצחו את היהודים ואת הפולנים המקומיים בו.
בחלוקת פולין בשנת 1793 נכלל היישוב בתחום האימפריה הרוסית.
בעיר פעלה חסידות מכנובקה, שושלת חסידית מבית חסידות סקווירא.
בשנת 1897 נמנו ביישוב 2,435 יהודים, קרוב למחצית מתושביו.
בין מלחמות העולם נמנו בכפר כ-2,500 יהודים.
במהלך התקופה הסובייטית עזבו את היישוב יהודים רבים, ופעלו בו מועצה יהודית ממלכתית ובית ספר יידי.
ב-14 ביולי 1941, במהלך מבצע ברברוסה, נכבש היישוב בידי הגרמנים, ואלו החלו בביצוע מעשי התעללות ושוד ביהודיו, תוך חטיפתם לעבודות כפייה.
ב-10 בספטמבר 1941 רצחו שוטרים גרמנים ואוקראינים כ-830 יהודים מהיישוב, וכן יהודים נוספים מכפרי הסביבה, ביער ז'ז'לב, כ-5 ק"מ מהיישוב.
כמה עשרות יהודים שניצלו מהטבח, וכן יהודים נוספים מהסביבה, רוכזו לאחר מכן בגטו שהוקם בכפר, אשר ב-8 באוגוסט 1942 נרצחו כ-90 מיושביו.
ב-13 בדצמבר 1942 חוסל סופית הגטו שביישוב, עם רצח אחרוני יושביו בידי הגרמנים והאוקראינים.
מכני-קונג (שיבוש של "מקאניקונגו", ביפנית: メカニコング, באנגלית: Mechani-Kong) הוא נבל-על רובוטי בדיוני, המופיע בזיכיון של קינג קונג.
דמותו של מכני-קונג הופיעה לראשונה בשנת 1966 בסדרת הטלוויזיה המונפשת "מופעו של קינג קונג" וגם הופיעה בתפקיד הנבל הראשי בסרט "קינג קונג בורח" ומשמשת כהאויב המושבע של קינג קונג.
בחיפוש אחר נקמה על תבוסתו, ד"ר הו (יוצרו של מכני-קונג) החל להשמיד את פפואה גינאה החדשה באמצעות מכני-קונג.
הצבא המקומי בטעות מזהה את מכני-קונג לקינג קונג ושט לאי מונדו כדי לחסל את קונג.
במהלך דיון עם פרופסור בונד, ששמר על קונג עם ילדיו, הצבא מקבל הודעה על תקיפה נוספת בפפואה גינאה החדשה.
קונג מגיע לאזור כדי להילחם נגד מכני-קונג אך הרובוט מוכיח שידו על העליונה.
עם זאת, קונג מפעל את הרובוט לעבר האוקיינוס והרובוט מחוסל סופית.
באמצעות רישומי אנטומיה שגנב מקארל נלסון, ד"ר הו בונה את מכני-קונג כדי לכרות את אלמנט X.
כאשר מכני-קונג החל לחפור ביסוד, מערכות הבקרה של הרובוט המפלצתי נפגעים מהקרינה של היסוד ומותירים את הרובוט פגום ומושבת.
הו נאלץ להשתמש בשיטה אחרת וחוטף את קינג קונג האמיתי מאי מונדו ומשתלט על מוחו באמצעות מכני-קונג על-מנת שישלים את המלאכה.
עם-זאת, קונג משתחרר מהשליטה המוחית ונלחם נגד מכני-קונג בטוקיו ומפיל את הרובוט ממגדל טוקיו.
בסדרת הרומנים "גודזילה, מלך המפלצות", מתואר כי לאחר ששוחזר ושודרג על ידי ד"ר אוניאמה, מכני-קונג נבנה לגובה של כ-100 מטרים ומתוכנת לסייע למכה-גודזילה כדי להילחם בגודזילה עצמו.
מכני-קונג מפתיע את גודזילה מאחור ומחזיק אותו ביציבות בעוד שמכה-גודזילה פוצע את גודזילה.
לאחר שגודזילה משתחרר מאחיזתו של מכני-קונג, השניים נלחמים שוב, אלא שהפעם גודזילה משבית את הרובוט ושובר את זרועו המכנית.
בלי יכולת לזוז, מכני-קונג שוכב בחוסר-אונים על הקרקע בעוד שגודזילה יורק את הקרן האטומית שלו על המכונה ומשמיד אותה באכזריות.
מכניסי רחמים הוא שיר רגש, שהלחין חיים בנט והפך ללהיט שגרר מספר רב של ביצועים ושל גרסאות כיסוי.
השיר יצא והולחן על ידי המלחין חיים בנט במסגרת המקהלה של "רננו חסידים" של חסידות סערט ויז'ניץ לקראת ימי הסליחות בשנת תשמ"ח, הסולן של השיר במקור היה שלמה כהן, מקור למילות השיר הוא הפיוט לימים נוראים מכניסי רחמים הנאמר על ידי קהילות שונות בעם ישראל.
השיר יצא לראשונה ב-1992 בדיסק "מכניסי רחמים" של שלמה כהן, ב-1997 יצא באלבום "הנשמה לך 1" של תזמורת שלהבת וגלעד פוטולסקי, ב-2010 יצא באלבום אוחילה של אודהליה ברלין, ב-2014 יצא באלבום "שרים בתפילה" של יצחק מאיר ועוד.
השיר בוצע גם על ידי אברהם פריד, מרדכי בן-דוד, יונתן שינפלד, מוטי שטיינמץ, יעקב שוואקי, שמואל ברונר ועוד.
בשנת תשע"ב (2012) זכה חיים בנט בפרס אקו"ם על הישג מיוחד בתחום הזמר החסידי.
בין החלטת השופטים נכתב: "כי יצירתו הקלאסית והמרגשת "מכניסי רחמים" ליוותה את עם ישראל בשעות קשות שבהן לא נותר אלא לעמוד בתחינה בפני יוצר כל.
אברהם פריד אף התבטא כי זה השיר שלא שלו שהוא הכי אוהב.
במכניקה אנליטית, מכניקה לגראנז'ית היא ניסוח חלופי למכניקה הקלאסית - בכך היא שקולה למכניקה הניוטונית, למכניקה ההמילטונית ולמשוואת המילטון-יעקובי.
המכניקה הלגראנז'ית הוצגה לראשונה על ידי ז'וזף-לואי לגראנז' בספרו מכניקה אנליטית מ-1788, כשאת העקרונות לפיתוחה תרמו ד'אלמבר, מופרטווי ואוילר, לפני לגראנז', והמילטון לאחריו.
בתיאור הלגראנז'י המערכת מתוארת על ידי מרחב קונפיגורציות ופונקציה חלקה (כאשר הוא מרחב לקט המשיקים ל- (Tangent bundle) ו- מתאר את משתנה הזמן).
כלומר הפונקציה הנקראת הלגראנז'יאן של המערכת, היא פונקציה של הנקודה במרחב הקונפיגורציה - , המהירות המשיקה למרחב הקונפיגורציה בנקודה - והזמן - .
את אופי התנועה של המערכת ניתן לנבא מהתכונות של הלגראנז'יאן, וניתן לגזור ממנו משוואות תנועה דיפרנציאליות הנקראות משוואות אוילר-לאגראנז'.
בבעיות רגילות במכניקה קלאסית, מרחב הקונפיגורציות הוא מרחב מממד סופי.
הרחבה של המכניקה הלגראנז'ית למצב בו המרחב הוא מממד אינסופי מאפשרת פיתוח של תורת שדות קלאסיים.
הקלות היחסית של המעבר מממד סופי לממד אינסופי בניסוח הלגראנז'י הופך אותו לניסוח המועדף המשמש בפיתוח תורת שדות קוונטים.
למכניקה הלגראנז'ית קשר רב עם סימטריות וחוקי שימור, קשר שמנוסח במשפט נתר.
קשר זה עובד לשני הכיוונים - אם הלגראנז'יאן ידוע ניתן להשתמש בקשר כדי למצוא את הסימטריות והגדלים הנשמרים במערכת; אם הסימטריות של המערכת ידועות, ניתן להשתמש בהן כדי לכתוב ביטוי ללגראנז'יאן.
לפי התיאוריה הניוטונית, על גופים במערכת מכנית פועלים כוחות, והתאוצה של הגופים השונים פרופרציונלית לכוחות אלו.
ניוטון אף הראה שהכוח הגרביטציוני הפועל בין שני גופים פרופורציונלי לאחד חלקי ריבוע המרחק.
ב-1736 פרסם אוילר את ספרו מכניקה שהציג את חוקי התנועה של ניוטון כמשוואות דיפרנציאליות, והרחיב את חוקי התנועה כדי לתאר את תנועתם של גופים קשיחים.
בשנים האלו, פתרון בעיות במכניקה התמקד בכתיבת התאוצה כפונקציה של המיקום של הגופים במערכת וניסיון לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית המתקבלת לתנועת הגופים.
הבעיה שעלתה בגישה זו היא שבמקרים מסוימים מציאת הכוחות הפועלים על הגוף היא בעיה כשלעצמה.
אולם משוואות התנועה של ניוטון לא מספקות דרך סדורה למצוא את הכוח הזה.
המכניקה הלגראנז'ית פותחה כדי לספק דרך לפתור בעיות בהן קיימים אילוצים, וזאת באחת משתי דרכים - הצגת דרך סדורה למציאת הכוחות אותם מפעילים האילוצים או מציאת דרך לכתיבת משוואות התנועה של המערכת בלי למצוא באופן ישיר את הכוחות האלה.
את בסיסו של הפורמליזם הלגראנז'י ניתן לראות בעקרון העבודה הווירטואלית שנוסח מתמטית על ידי יוהאן ברנולי בשנת 1725, ובהרחבתו לעקרון ד'אלמבר שהוצג על ידי ד'אלמבר ב-1743. עיקרון זה עוסק בהעתקות וירטואליות - הזזה של מיקום הגופים במערכת באופן אינפיניטסימלי ומיידי.
העיקרון מצביע על כך שבמקרים רבים הכוחות אותם מפעילים האילוצים לא מבצעים עבודה וירטואלית על המערכת, כלומר ההטלה של הכוח על ההעתקה הווירטואלית היא אפס.
לכן, הכוחות הללו שונים מהכוחות הרגילים במערכת, שמפעילים עבודה וירטואלית המתאזנת עם ההטלה של הנגזרת הזמנית של התנע על ההעתקה הווירטואלית.
את ההבחנה הזו פיתח לגראנז', ובאמצעות שימוש בקואורודינטות מוכללות, הפך אותה למשוואות תנועה שניתנות לפתרון באופן סדור.
בין הכלים המתמטיים שפותחו בראשית המאה ה-18 כדי לפתור בעיות במכניקה, התפתח התחום של חשבון וריאציות.
תחום זה עוסק במציאת נקודות קיצון עבור פונקציונלים.
כדוגמה לבעיה בחשבון וריאציות ניתן להסתכל על בעיית הברכיסטוכרון, המחפשת את צורת העקומה שלאורכה חרוז המחליק בהשפעת כוח הכבידה וללא חיכוך יגיע באופן המהיר ביותר מנקודה מסוימת לנקודה אחרת.
ב-1662, הציג פרמה את העיקרון העומד מאחורי תנועתם של קרני אור אופטיות.
לפי עקרון פרמה, קרניים כאלה יטיילו מנקודה לנקודה לאורך המסלול בו זמן התנועה יהיה הקצר ביותר.
פרמה השתמש בעיקרון זה כדי להסביר את חוקי השבירה של סנל.
ב-1744 מופרטווי שאל מדוע האור יעדיף את המסלול בעל הזמן הקצר ביותר, ולא את המסלול בעל הדרך הקצרה ביותר.
הוא המשיך והראה שאם בוחרים את המסלול בו הדרך קצרה ביותר, כאשר משקללים את המרחק לפי המהירות, מתקבל חוק סנל.
עוד באותה שנה, אוילר טען שתנועה של חלקיקים במערכת מכנית היא במסלול בו תנועת החלקיקים עוברת את הדרך הקצרה ביותר לפי שקלול הכולל את התנע שלהם.
חוק זה מתקבל במצב בו כל הכוחות במערכת הם כוחות משמרים.
ב-1746 מופרטווי התייחס לעבודתו של אוילר, ואמר שאוילר השתמש בעקרון שהוא הציג למערכות מכניות; על אף שמופרטווי הציג את העיקרון כעקרון אופטי ולא מכני, העיקרון הזה נקרא על שמו של מופרטווי.
בספרו מכניקה אנליטית משנת 1788, הראה לגראנז' כיצד עקרון מופרטווי נובע מעקרון ד'לאמבר.
ויליאם רואן המילטון הרחיב את העיקרון למערכות בהן הכוחות לא משמרים, אבל ניתנים להצגה באמצעות פונקציית לגראנז'יאן.
העיקרון הזה נקרא עקרון המילטון או עקרון הפעולה הסטציונרית.
לפי עיקרון זה הפעולה של המערכת, המוגדרת כאינטגרל של פונקציית הלגראנז'יאן לפי הזמן לאורך המסלול, מקבלת ערך מינימום במסלול בו החלקיק ינוע.
את משוואות התנועה שלגראנז' הציג, ניתן לפתח ישירות מעקרון ד'אלמבר, או מחשבון וריאציות בניסיון למצוא את המסלול שנותן לפעולה ערך סטציונרי לפי עקרון המילטון.
היסטורית, הפיתוח של עקרונות המכניקה הלגראנז'ית יוצא מעקרון ד'אלמבר.
עיקרון זה נובע משימוש בחוקי התנועה של ניוטון והפעלתם על עקרון העבודה הווירטואלית.
העתקה וירטואלית, היא קונספט מתמטי המתאר תזוזה קטנה של המערכת ללא הזזה של פרמטר הזמן, לא כל שינוי של המערכת אפשרי, לדוגמה במנוף מכני, תזוזה של צד אחד של המנוף כלפי מטה, מחייבת שהצד השני יעלה מעלה, רק העתקות שאפשריות מבחינת המערכת נחשבות העתקות וירטואליות.
עבודה וירטואלית היא הטלה של הכוחות הפועלים במערכת על העתקות וירטואליות.
עקרון עבודה הווירטואלית עוסק בכוחות הפועלים על מערכת הנמצאת בשיווי משקל סטטי וקובע שאם המערכת נמצאת בשיווי משקל כזה, העבודה הווירטואלית מתאפסת תמיד.
ד'אלמבר הרחיב את עקרון ההעתקה הווירטואלית, וטען שאם המערכת נעה, הרי שהעבודה הווירטואלית צריכה להתאזן עם האינרציה של המערכת.
מבחינה מתמטית טען ד'אלמבר ש-
הם הכוחות המופעלים על הגוף ה-i במערכת,הוא התנע של הגוף ה-i במערכתהם ההעתקים הווירטואליים המצייתים לאילוצי המערכת,
תוצאה זו נובעת מיידית מחוקי ניוטון לפיהם לכל גוף מתקיים .
בצורה זו, עקרון ד'אלמבר לא מחדש הרבה ביחס לחוקי התנועה של ניוטון.
היתרון הגדול של העיקרון מגיע כאשר מפרידים את הכוחות במערכת לכוחות המקושרים לאילוצים ולכוחות רגילים .
באופן די כללי, כוחות הנובעים מאילוצים פועלים במאונך לכיוון ההעתקות הווירטואליות ולכן הם לא מבצעים עבודה וירטואלית על המערכת.
לפיכך עקרון ד'אלמבר יכול להיכתב בצורה:
בצורה זו, עקרון ד'אלמבר מספק מידע על המערכת מבלי להשתמש במידע על כוחות האילוצים.
כפי שהוסבר לעיל, מציאת הכוחות היא בעיה כשלעצמה, כשאין לה דרך פתרון סדיר במכניקה ניוטונית.
לכן, עקרונות מכניים שלא משתמשים בכוחות הללו הם צעד חשוב בפיתוח המכניקה הקלאסית.
קואורדינטות מוכללות, כוחות מוכללים ומשוואות התנועה
עקרון ד'אלמבר אמנם מסיר את הכוחות המאלצים מהתמונה, אך הם עדיין מופיעים כהגבלות על ההעתקים הווירטואליים - הווקטורים אינם בלתי תלויים.
אם יש אילוצים על המערכת, וכל האילוצים על המערכת הם אילוצים הולונומים, כלומר ניתן לכתוב לכל אילוץ משוואה מהצורה , אז ניתן להציג סט חדש של קואורדינטות מוכללות, כאשר ( מספר דרגות החופש של המערכת ( מספר הממדים בבעיה)).
במצב כזה מתקיים כעת ניתן להגדיר את הכוחות המוכללים ומתקיים .
כעת ניתן לפתח את האיבר השני בעקרון ד'אלמבר ולהציגו באמצעות הקואורדינטות המוכללות ולקבל כאשר האנרגיה הקינטית של המערכת.
שימוש בשתי התוצאות הללו מניב עבור עקרון ד'אלמבר:
אם כל האילוצים הם הולונמים, ונעשה שימוש ב- קואורדינטות מוכללות, אזי הקואורדינטות המוכללות בלתי תלויות.
במצב כזה, השוויון הנל יכול להתקיים רק אם:
משוואות אלו מכונות משוואות לגראנז' או משוואות התנועה הכלליות.
הן מקשרות בין הכוחות הרגילים במערכת לתנועת המערכת מבלי לפתור או להשתמש בכוחות המאלצים.
האילוצים על המערכת מופיעים במשוואות הללו רק בבחירת סט של קואורדינטות מוכללות שמקיימות את האילוצים.
אם הכוחות הרגילים במערכת הם כוחות משמרים, כלומר קיים פוטנציאל סקלארי כך ש- הרי שמתקיים ומכאן (נשים לב שבמצב זה )
סט משוואות אלו ידוע בשם משוואות אוילר-לגראנז'.
משוואות אלו יכולות לשמש גם במצבים בהם הכוחות לא משמרים, אך קיים פוטנציאל מוכלל כך שמתקיים: .
פוטנציאל כזה קיים לדוגמה עבור חלקיק בעל מטען הנע בשדה אלקטרומגנטי, ועבור כאשר הפוטנציאל החשמלי, ו- הפוטנציאל הווקטורי.
את הפונקציה מגדירים כלגראנז'יאן של המערכת.
הקואורדינטות מתארות את המיקומים האפשריים של המערכת המקיימים את האילוצים על המערכת.
המרחב אותו הן מתארות נקרא מרחב הקונפיגורציות.
המהירויות מתארות משיקים למרחב הקונפיגורציות.
בהינתן סט של קואורדינטות מוכללות הלגראנז'יאן מתאר את המערכת הפיזיקלית באופן מלא.
מרחב הקונפיגורציות ניתן לתיאור על ידי קואורדינטות מוכללות שונות.
טרנספורמציית נקודה היא החלפה בין מערכת קואורדינטות אחת לאחרת.
טרנספורמציה כזו יכולה להיכתב באמצעות משוואות .
משוואות אוילר-לגראנז' מתקיימות עבור אותה פונקציה לגראנז'יאן כפי שהיא נכתבת בקואורדינטות החדשות, כלומר הלגראנז'יאן הוא אינווריאנטי תחת שינוי הקוארדינטות.
פונקציית האנרגיה של המערכת מוגדרת על ידי , נתבונן בנגזרת של פונקציית האנרגיה לפי הזמן:
לכן אם הלגראנז'יאן לא תלוי ישירות בזמן, פונקציית האנרגיה של המערכת נשמרת.
אם הפוטנציאל לא תלוי במהירויות (כלומר הכוחות הם כוחות משמרים) והלגראנז'יאן לא תלוי בזמן מתקיים ולכן פונקציית האנרגיה מקיימת והיא מתלכדת עם האנרגיה של המערכת.
באופן כללי פונקציית האנרגיה אינה סכום של האנרגיה הפוטנציאלית והפוטנציאל המוכלל.
אם האנרגיה הפוטנציאלית לא תלויה במהירויות ובזמן, והיא פונקציה הומוגנית של הקואורדינטות, כלומר מתקיים , האנרגיה הקינטית היא פונקציה הומוגנית מסדר שני של המהירויות .
גורמת ל-, הכפלה בקבוע של הלגראנז'יאן לא משנה את משוואות התנועה, ולכן לא משנה את צורת המסלולים.
המשמעות היא שזמן המחזור של מערכת גדולה יותר בפקטור יהיה ארוך יותר בפקטור של .
לדוגמה, בתנודות קטנות ליד מינימום של פוטנציאל וזמן המחזור לא תלוי באמפליטודה התנודה.
בנפילה חופשית וזמן הנפילה פרופורציונלי לשורש הגובה של הנפילה.
בחוק הכבידה האוניברסלי של ניוטון וזמן התנועה בריבוע פרופורציונלי לאמפליטודת התנועה בשלישית - זהו אחד מחוקי קפלר.
לא כל סט אילוץ על מצב המערכת הוא אילוץ הולונומי.
לדוגמה: כדור המתגלגל (ללא החלקה) על פני מישור, מקיים אילוץ לפי המהירות הזוויתית של הגלגול מקושרת למרחק אותו הכדור עובר, עם זאת, החופש של הכדור להתגלגל בכיוונים שונים גורמת לכך שהזווית של הכדור לא מקושרת למיקומו.
במקרים כאלה יכול להיות אילוץ לא הולונומי מהצורה כאשר הוא סט קואורדינטות מוכללות המתאר מרחב המכיל את מרחב הקונפיגורציות.
במקרה הזה, הקואורדינטות המתארות את מרחב הקונפיגורציות יהיו תלויות אחת בשנייה.
בפיתוח לעיל, עקרון ד'אלמבר גרר את משוואות אוילר-לגראנז' בעקבות ההנחה שהקואורדינטות בלתי תלויות.
כדי לקבל את משוואות אוילר-לגראנז' כאשר הקואורדינטות תלויות ניתן להשתמש בכופלי לגראנז'.
אם יש אילוצים על המערכת, ניתן להוסיף ללגראנז'יאן את הביטוי וכעת להתייחס לקואורדינטות כבלתי תלויות כך שמתקבלות משוואות אילוצים כאשר מתייחסים ל- כמשתנה:
וכן מתקבל הסט הבא של ( מספר דרגות החופש של המערכת) משוואות אוילר-לגראנז':
צד שמאל של המשוואות הן הכוחות כתוצאה מהחלקיקים במערכת ומהאילוצים שהוכנסו בבחירת הקואורדינטות הכלליות, וצד ימין כולל את הכוחות כתוצאה מהאילוצים שלא הוכנסו בבחירת הקואורדינטות.
המשוואה נותנת ביטוי לכוחות הללו, התלוי בגדלים של .
בכך, השימוש בכופלי לגראנז' מאפשר לחשב את הכוח שכל אילוץ, הולונומי או לא הולונומי, מפעיל על המערכת.
זהו עוד יתרון של המכניקה הלגראנז'ית, שכן במכניקה הניוטונית, למעט במקרים פשוטים, חישוב הכוחות הללו אפשרי רק אחרי פתרון מלא של הבעיה.
את שיטת כופלי לגראנז' ניתן להפעיל גם על אילוצים הולונומיים, אם רוצים למצוא את הכוחות שהאילוצים מפעילים, או שקשה למצוא סט מלא של קואורדינטות מוכללות לתאר את המערכת.
הפיתוח שהוצג עברו המכניקה הלגראנז'ית התבסס על עקרון ד'אלמבר.
עקרון ד'אלמבר הוא עקרון דיפרנציאלי - הוא מסתכל על נקודת זמן ספציפית בתנועה, וקובע מה יהיה מצב המערכת בנקודת זמן קצרה אחריה.
את המכניקה הלגראנז'ית ניתן לפתח באופן שקול מעקרון אינטגרלי, המסתכל על המסלול בכללותו, וקובע שהמסלול בין שתי נקודות חייב לקבל ערך סטציונרי עבור איזושהי פונקציונל של פונקציה .
באמצעות חשבון וריאציות אפשר להראות שהפונקציה חייבת לקיים את משוואות אוילר-לגראנז', ולכן הפונקציה במכניקה האנליטית היא פונקציית הלגראנז'יאן כפי שהוגדרה לעיל.
עקרון המילטון קובע שבהינתן מערכת פיזיקלית שתי נקודות ושתי נקודות , כך שבזמן המערכת נמצאת בנקודה ובזמן ב-.
המערכת תנוע במרחב הקונפיגורציות במסלול כך שהפעולה המוגדרת על ידי האינטגרל תהיה סטציונרית, כלומר תקיים .
מעקרון המילטון קל לראות שהלגראנז'יאן המתאר את המערכת אינו ייחודי.
מאחר שאם הפונקציה מתארת את המערכת, כל פונקציה מהצורה (כאשר קבוע, ו- פונקציה חלקה) נותנת אותם מסלולים סטציונרים שכן .
עקרון המילטון, עקרון ד'אלמבר ומשוואות התנועה של אוילר-לגראנז' הם כולם ניסוחים שקולים של אותם חוקי תנועה.
לעקרון המילטון יש מספר יתרונות על פני הניסוחים האחרים.
ראשית, אי הייחודיות של הלגראנז'יאן מפותחת באופן טריוויאלי מהעיקרון, בעוד בניסוחים האחרים היא יוצאת מפיתוח ארוך.
בנוסף, עקרון המילטון לא דורש שימוש בקואורדינטות, ולכן האינווריאנטיות של הלגראנז'יאן מוטמעת בעקרון ואינה תוצאה של חישוב.
מכניקת המטריצות היא ניסוח של מכניקת הקוונטים שנוצר על ידי ורנר הייזנברג, מקס בורן ופסקואל יורדן בשנת 1925. זה היה הניסוח הראשון של מכניקת הקוונטים שהיה אוטונומי רעיונית ועקבי מבחינה לוגית.
התיאור שלו של מעברי רמות אנרגיה באטום החליף את האורביטלים שבמודל האטום של בוהר.
מכניקת המטריצות עשתה זאת באמצעות ייצוג התכונות הפיזיקליות של חלקיקים כמטריצות המתפתחות בזמן.
היא שקולה לניסוח הגל של שרדינגר למכניקת הקוונטים, כפי שמתבטא בסימון דיראק.
במכניקת המטריצות, בניגוד מסוים למכניקת הגלים (ניסוח תורת הקוונטים באמצעות פונקציות גל), ספקטרום של אופרטורים (בעיקר אופרטורי אנרגיה) מחושב בשיטות אלגבריות גרידא, שיטות אופרטור סולם.
בהסתמך על שיטות אלה, וולפגנג פאולי הסיק את רמות האנרגיה של אטום המימן בשנת 1926, לפני פיתוח מכניקת הגלים.
בשנת 1925 עבד ורנר הייזנברג בגטינגן על בעיית חישוב הקווים הספקטרליים של מימן.
עד מאי 1925 הוא החל לנסות לתאר מערכות אטומיות באמצעות גדלים מדידים בלבד.
ב-7 ביוני, לאחר שבועות שבהם לא הצליח להקל על קדחת השחת שלו עם אספירין וקוקאין, עזב הייזנברג לאי הלגולנד שבים הצפוני.
בעודו שם, בין טיפוס לשינון שירים מ"דיוואן מערב-מזרחי" של גתה, הוא המשיך להרהר בסוגיה הספקטרלית ובסופו של דבר מצא דרך לפתרון.
לאחר שהייזנברג חזר לגטינגן, הוא הראה לוולפגנג פאולי את החישובים שלו, והעיר בשלב מסוים:
הכל עדיין מעורפל ולא ברור לי, אבל נראה כאילו האלקטרונים לא יזוזו יותר במסלולים.
ב-9 ביולי מסר הייזנברג את אותו מאמר של חישוביו למקס בורן, ואמר כי הוא "כתב מאמר מטורף ולא העז לשלוח אותו לפרסום, ושבורן צריך לקרוא אותו ולייעץ" לפני הפרסום.
הייזנברג עזב לאחר מכן לזמן מה, והשאיר את בורן לנתח את המאמר.
במאמר ניסח הייזנברג את תורת הקוונטים ללא מסלולי אלקטרונים חדים.
הנס קרמרס חישב מוקדם יותר את העוצמות היחסיות של קווים ספקטרליים במודל זומרפלד מתוך פירוש מקדמי פורייה של המסלולים כעוצמות.
אבל התשובה שלו, כמו כל שאר החישובים בתורת הקוונטים הישנה, הייתה נכונה רק למסלולים גדולים.
הייזנברג, לאחר שיתוף פעולה עם קרמרס, החל להבין שהסתברויות המעבר אינן ממש גדלים קלאסיים, מכיוון שהתדירויות היחידות המופיעות בטור פורייה אמורות להיות אלו הנצפות במעברי רמות אנרגיה באטום, ולא הבדיוניות המגיעות מאנליזת פורייה של מסלולים קלאסיים חדים.
הוא החליף את טור פורייה הקלאסי במטריצה של מקדמים, מעין אנלוג קוונטי מעורפל של טור פורייה.
באופן קלאסי, מקדמי פורייה נותנים את עוצמת הקרינה הנפלטת, כך שבמכניקת הקוונטים גודלם של רכיבי המטריצה של אופרטור המיקום היו עוצמת הקרינה בספקטרום הקו הבהיר.
הכמויות בניסוח של הייזנברג היו המיקום והתנע הקלאסיים, אך כעת הן כבר לא הוגדרו בצורה חדה.
כל כמות יוצגה על ידי אוסף של מקדמי פורייה עם שני אינדקסים, התואמים למצב ההתחלתי והסופי.
כאשר בורן קרא את המאמר, הוא זיהה בניסוח בסיס שניתן להרחבה באמצעות השפה השיטתית של המטריצות, שאותה הוא למד אצל יעקב רוזנס באוניברסיטת ברסלאו.
בורן, בסיוע עוזרו ותלמידו לשעבר פסקואל יורדן, החל מיד ליישם את ההרחבה הזו, והם הגישו את תוצאותיהם לפרסום; המאמר התקבל לפרסום רק 60 יום לאחר המאמר של הייזנברג.
מאמר המשך הוגש לפרסום לפני סוף השנה על ידי כל שלושת המחברים.
עד אותו זמן, פיזיקאים כמעט ולא השתמשו במטריצות, והן נחשבו כשייכות לתחום המתמטיקה הטהורה.
גוסטב מי השתמש בהן במאמר על אלקטרודינמיקה בשנת 1912 ובורן השתמש בהן בעבודתו על תורת הסריגים של גבישים בשנת 1921. אף שמטריצות שימשו במקרים אלה, האלגברה של מטריצות עם הכפל שלהן לא הייתה משמעותית כמו בניסוח זה של מכניקת הקוונטים.
גם יורדן היה מצויד היטב למשימה.
במשך מספר שנים, הוא היה עוזרו של ריכרד קוראנט בגטינגן בהכנת ספרם של קוראנט והילברט Methoden der mathematischen Physik I ("שיטות בפיזיקה מתמטית I"), שראה אור ב-1924. קרה המקרה שספר זה הכיל הרבה מאוד מהכלים המתמטיים שנדרשו להמשך הפיתוח של מכניקת הקוונטים.
בשנת 1926 מונה ג'ון פון נוימן לעוזרו של הילברט, והוא טבע את המונח מרחב הילברט כדי לתאר את האלגברה והאנליזה ששימשו בפיתוח מכניקת הקוונטים.
תרומה מרכזית לניסוח זה הושגה במאמר הפרשנות/סינתזה מחדש של פול דיראק משנת 1925, שהמציא את השפה והמסגרת המופעלים בדרך כלל כיום, תוך תצוגה מלאה של האופי הלא-קומוטטיבי של המבנה כולו.
לפני מכניקת המטריצות, תורת הקוונטים הישנה תיארה את תנועתו של חלקיק במסלול קלאסי, עם מיקום ותנע מוגדרים היטב X(t), P(t), תחת האילוץ שהאינטגרל לפי הזמן על פני מחזור אחד T של התנע כפול המהירות חייב להיות כפולה חיובית שלמה של קבוע פלאנק (h):
בעוד שאילוץ זה בוחר מסלולים עם ערכי אנרגיה נכונים פחות או יותר En, הפורמליזם של מכניקת הקוונטים הישנה לא תיאר תהליכים תלויי זמן, כגון פליטה או בליעה של קרינה.
כאשר חלקיק קלאסי מצומד בצורה חלשה לשדה קרינה, הוא יפלוט קרינה בתבנית שחוזרת על עצמה בכל מחזור.
התדירויות המרכיבות את הגל היוצא יהיו אז כפולות שלמות של תדירות התנועה, וזה שיקוף של העובדה ש-X(t) הוא מחזורי, כך שבייצוג פורייה שלו יש רק תדירויות שהן כפולות של 2π/T, דהיינו
והמקדמים Xn הם מספרים מרוכבים, וכל מקדם המתאים לתדירות שלילית חייב להיות הצמוד המרוכב של המקדם המתאים לתדירות החיובית כך ש-X(t) יהיה תמיד ממשי:
במכניקת הקוונטים, לעומת זאת, חלקיק אינו יכול לפלוט קרינה ברציפות, הוא יכול רק לפלוט פוטונים.
בהנחה שהחלקיק הקוונטי התחיל במסלול מספר n, פלט פוטון, ואז הגיע למסלול מספר m, האנרגיה של הפוטון היא , כלומר התדירות שלו היא .
עבור n ו-m גדולים, עם הפרש (n-m) קטן יחסית, אלו הם התדירויות הקלאסיות לפי עקרון ההתאמה של בוהר
בנוסחה זו T הוא המחזור הקלאסי של מסלול n או מסלול m; מכיוון שההבדל ביניהם הוא מסדר גבוה יותר ב-h, ניתן מעשית להשתמש בכל אחד מהם.
אבל עבור n ו-m קטנים, או אם n−m גדול, התדירויות אינן כפולות שלמות של כל תדירות בודדת.
העובדה שהתדירויות שהחלקיק פולט זהות לתדירויות בתיאור פורייה של תנועתו רומזת שמשהו בתיאור התלוי בזמן של החלקיק מתנודד בתדירות .
הייזנברג קרא לגודל הזה Xnm, ודרש שהוא יתלכד עם מקדמי פורייה הקלאסיים בגבול הקלאסי.
עבור ערכים גדולים של n, m אבל עם n-m קטן יחסית, Xnm הוא מקדם פורייה ה- של התנועה הקלאסית במסלול n.
מכיוון של-Xnm יש תדר הפוך ל-Xmn, התנאי ש-X ממשי הופך ל-
לפי הגדרה, ל-Xnm יש רק את התדירות , כך שההתפתחות של הגודל הזה בזמן פשוטה יחסית:
זו הצורה המקורית של משוואת התנועה של הייזנברג.
בהינתן שני מערכים Xnm ו-Pnm המתארים שני גדלים פיזיקליים, הייזנברג בנה מערך חדש מאותו סוג, באמצעות שילוב הגורמים XnkPkm, שגם הם מתנודדים בתדירות הנכונה.
כיוון שמקדמי פורייה של מכפלת שני גדלים הם הקונבולוציה של מקדמי פורייה של כל אחד בנפרד, ההתאמה עם סדרת פורייה אפשרה להייזנברג להסיק את הכלל לפיו יש להכפיל את המערכים,
בורן ציין ש"זהו חוק הכפל המטריצה", כך שהמיקום, התנע, האנרגיה, כל הגדלים המדידים בתיאוריה, מתפרשים כמטריצות.
לפי כלל הכפל הזה, המכפלה תלויה בסדר: XP שונה מ-PX.
מטריצת ה-X היא תיאור מלא של תנועתו של חלקיק במכניקת הקוונטים.
מכיוון שהתדירויות בתנועה הקוונטית אינן כפולות של תדירות משותפת, מרכיבי המטריצה לא יכולים להתפרש כמקדמי פורייה של מסלול קלאסי חד.
אף על פי כן, כמטריצות, X(t) ו-P(t) מצייתים למשוואות התנועה הקלאסיות; ראו גם משפט ארנפסט.
כשהוצגה על ידי הייזנברג, בורן ויורדן ב-1925, מכניקת המטריצות לא התקבלה מיד והיוותה מקור למחלוקת.
ההקדמה המאוחרת של שרדינגר למכניקת הגלים הייתה מועדפת.
חלק מהסיבה לכך היה שהניסוח של הייזנברג היה בשפה מתמטית מוזרה, לאותה עת, בעוד שהניסוח של שרדינגר התבסס על משוואות גלים מוכרות.
אבל הייתה גם סיבה סוציולוגית עמוקה יותר.
מכניקת הקוונטים התפתחה בשני נתיבים, האחד בראשות אלברט איינשטיין, שהדגיש את דואליות גל-חלקיק שהציע עבור פוטונים, והשני בראשות נילס בוהר, שהדגיש את מצבי האנרגיה הבדידים והקפיצות הקוונטיות שגילה.
דה ברויי שיחזר את מצבי האנרגיה הבדידים במסגרת שיצר איינשטיין - המצב הקוונטי הוא מצב הגל העומד, וזה נתן תקווה לחברי אסכולת איינשטיין שכל ההיבטים הבדידים של מכניקת הקוונטים ייכללו במכניקת גלים רציפה.
מכניקת המטריצות, לעומת זאת, הגיעה מאסכולת בוהר, שעסקה במצבי אנרגיה בדידים ובקפיצות קוונטיות.
חסידיו של בוהר לא העריכו מודלים פיזיקליים שציירו אלקטרונים כגלים, או כמשהו בכלל.
הם העדיפו להתמקד בגדלים שהיו קשורים ישירות לניסויים.
בפיזיקה האטומית, ספקטרוסקופיה נתנה נתוני תצפית על מעברים אטומיים הנובעים מאינטראקציות של אטומים עם קוונטים של אור.
אסכולת בוהר דרשה שרק הכמויות הניתנות למדידה עקרונית בספקטרוסקופיה יופיעו בתאוריה.
כמויות אלו כוללות את רמות האנרגיה ואת עוצמתן אך הן אינן כוללות את המיקום המדויק של חלקיק במסלול בוהר שלו.
קשה מאוד לדמיין ניסוי שיוכל לקבוע אם אלקטרון במצב היסוד של אטום מימן נמצא מימין או משמאל לגרעין.
המוסכמה הייתה שלשאלות כאלה אין תשובה.
ניסוח מכניקת המטריצות נבנה על הנחת היסוד שכל הגדלים המדידים הפיזיקליים מיוצגים על ידי מטריצות, ושמיקומי הרכיבים שלהן (מספר הטור והשורה) מייצגים שתי רמות אנרגיה שונות.
קבוצת הערכים העצמיים של המטריצה הובנה בסופו של דבר כקבוצה של כל הערכים האפשריים שיכולים להיות לגודל המדיד.
מכיוון שהמטריצות של הייזנברג הן הרמיטיות, הערכים העצמיים הם ממשיים.
אם מתבצעת מדידה של גודל פיזיקלי והתוצאה היא ערך עצמי מסוים, הווקטור העצמי המתאים הוא מצב המערכת מיד לאחר המדידה.
פעולת המדידה במכניקת המטריצות 'ממוטטת' את מצב המערכת.
אם מודדים שני גדלים מדידים בו זמנית, מצב המערכת קורס לווקטור עצמי משותף של שני הגדלים.
כיוון שלרוב המטריצות אין וקטורים עצמיים משותפים, את רוב הנצפים לעולם לא ניתן למדוד במדויק בו-זמנית.
כאשר שתי מטריצות חולקות את הווקטורים העצמיים שלהן, ניתן ללכסן אותן בו זמנית.
בבסיס שבו שתיהן אלכסוניות, ברור שהמכפלה שלהן לא תלויה בסדר שלהן, משום שכפל של מטריצות אלכסוניות הוא רק כפל של מספרים.
עקרון האי-ודאות, לעומת זאת, הוא ביטוי לעובדה שלעיתים קרובות כפל שתי מטריצות A ו-B אינו תמיד קומוטטיבי, כלומר, ש-AB − BA לא בהכרח שווה 0. יחס הקומוטטיביות הבסיסי של מכניקת המטריצות,
קובע שאין מצבים שיש להם בו זמנית מיקום ותנע מוגדרים.
עיקרון זה של אי-ודאות תופס גם עבור זוגות רבים אחרים של גדלים מדידים.
למשל, גם האנרגיה אינה קומוטטיבית עם המיקום, ולכן אי אפשר לקבוע במדויק את המיקום והאנרגיה של אלקטרון באטום.
בשנת 1928 המליץ איינשטיין על הייזנברג, בורן ויורדן לפרס נובל לפיזיקה.
ההכרזה על פרס נובל לפיזיקה לשנת 1932 נדחתה עד לנובמבר 1933. באותה תקופה הוכרז שהייזנברג זכה בפרס לשנת 1932 "על יצירת מכניקת הקוונטים, שיישומה הוביל, בין היתר, לגילוי הצורות האלוטרופיות של מימן", וארווין שרדינגר ופול דיראק חלקו את פרס 1933 "על גילוי צורות יצרניות חדשות של תורת האטום".
אפשר בהחלט לשאול מדוע לא הוענק לבורן הפרס ב-1932, יחד עם הייזנברג, וג'רמי ברנשטיין העלה השערות בעניין זה.
אחת מהן מתייחסת להצטרפות יורדן למפלגה הנאצית ב-1 במאי 1933 וכן לאס אה.
ייתכן שהקשרים של יורדן עם בורן השפיעו על סיכויו של בורן לזכות בפרס.
ברנשטיין מציין עוד כי כאשר בורן זכה לבסוף בפרס ב-1954, יורדן עדיין היה בחיים, בעוד הפרס הוענק על הפרשנות הסטטיסטית של מכניקת הקוונטים, המיוחסת לבורן לבדו.
תגובותיו של הייזנברג לבורן על הענקת פרס נובל הן מאלפות גם בהערכה האם בורן היה צריך לחלוק את הפרס עם הייזנברג.
ב-25 בנובמבר 1933 קיבל בורן מכתב מהייזנברג בו אמר שהוא התעכב בכתיבה בגלל "מצפון רע" שהוא לבדו קיבל את הפרס "על עבודה שנעשתה בגטינגן בשיתוף פעולה - אתה, יורדן ואני." הייזנברג המשיך ואמר שלא ניתן לשנות את תרומתם של בורן ויורדן למכניקת הקוונטים על ידי "החלטה שגויה מבחוץ".
בשנת 1954, הייזנברג כתב מאמר המכבד את מקס פלאנק על תובנתו בשנת 1900. במאמר, הייזנברג ייחס לבורן ויורדן את הניסוח המתמטי הסופי של מכניקת המטריצות והמשיך והדגיש עד כמה גדולה תרומתם למכניקת הקוונטים, שהייתה לא "מוכרת כראוי בעיני הציבור".
מכניקה המילטוניאנית היא פורמליזם מתמטי בפיזיקה קלאסית, המהווה הרחבה ושכתוב של מכניקה לגראנז'יאנית.
הפורמליזם מתאר מערכות דינמיות באמצעות קואורדינטות כלליות ותנע קנוני (זוגות משתנים המכונים "קואורדינטות פאזיות"), ומבוסס על פונקציה אחת מרכזית, ההמילטוניאן, המייצגת לרוב את האנרגיה הכוללת של המערכת.
השיטה נוסחה על ידי המתמטיקאי והפיזיקאי האירי ויליאם רואן המילטון במאה ה־19, והיא מהווה בסיס לא רק למכניקה קלאסית מתקדמת אלא גם לפיתוחים מרכזיים במכניקה סטטיסטית, בתורת השדות ובמכניקת הקוונטים.
נניח מערכת המתוארת באמצעות קואורדינטות כלליות ומהירויותיהן , ועבורה מוגדר הלגרנז'יאן
התנע הקנוני (הצמוד) מוגדר כ־
טרנספורמציית לגנדר מעבירה מתיאור במרחב מקום–מהירות לתיאור במרחב מקום–תנע באמצעות ההמילטוניאן
כאשר נקבעת בעקיפין על ידי היחס .
נחשב דיפרנציאל של ההמילטוניאן מתוך ההגדרה:
מאחר ש־, האיברים עם מבטלים זה את זה, ולכן
מן העבר השני, כתלות במשתנים הבלתי תלויים מתקיים
השוואת המקדמים של , ו־ נותנת:
נסמן ב־ את קבוצת המסלולים החלקים כך ש־ ו־.
הפעולה מוגדרת על קבוצת מסלולים זו כ־
מסלול הוא נקודת אוכף של הפעולה (ולכן מייצג משוואת תנועה) אם ורק אם המסלול בקואורדינטות מרחב הפזה מקיים את משוואות המילטון.
המילטוניאן כאנרגיה הכוללת של המערכת
ביישומו למערכת פיזיקלית, נהוג לעיתים לזהות את ההמילטוניאן עם סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית:
כאשר היא האנרגיה הקינטית ו־ היא האנרגיה הפוטנציאלית.
שימוש בזהות זו עשוי להיות פשוט יותר מאשר חישוב הלגרנז'יאן ולאחר מכן גזירת ההמילטוניאן ממנו.
עם זאת, הזהות אינה מתקיימת בכל מערכת.
הקשר הזה נכון במערכות לא־יחסותיות כאשר כל התנאים הבאים מתקיימים:
כלומר, הזהות מתקיימת אם אינו תלוי בזמן באופן מפורש (מערכת סקלרונומית), אינו תלוי במהירויות המוכללות, וכל איבר של הוא פונקציה ריבועית במהירויות המוכללות.
מתחילים מהגדרות ההמילטוניאן, התנע המוכלל והלגרנז'יאן במערכת בעלת דרגות חופש:
הצבת ההגדרות והנחות התלות מובילות, באמצעות משפט אוילר לפונקציות הומוגניות, לכך ש:
יישום למערכת של מסות נקודתיות
במערכת של מסות נקודתיות, הדרישה לכך שהאנרגיה הקינטית תהיה ריבועית במהירויות תמיד מתקיימת, כל עוד האנרגיה הקינטית אינה תלויה בזמן באופן מפורש.
האנרגיה הקינטית ניתנת בצורתה הכללית:
באמצעות כלל השרשרת עבור פונקציות מרובות משתנים מתקבל ביטוי ריבועי במהירויות המוכללות, העונה על התנאים הדרושים.
במכניקה המילטוניאנית, פונקציה יוצרת (Generating function) היא כלי מתמטי המאפשר לבצע טרנספורמציה קנונית בין קבוצות שונות של קואורדינטות ותנע מוכלל.
כלומר, ניתן לעבור מתיאור של מערכת במשתנים למערכת משתנים אחרת תוך שמירה על הצורה הקנונית של משוואות המילטון.
הרעיון המרכזי הוא שקיימת פונקציה , התלויה בשילוב מסוים של הקואורדינטות והתנעים, כך שהמשתנים החדשים נגזרים ממנה לפי כללי גזירה סטנדרטיים.
בהתאם לבחירת המשתנים, נהוג להבחין בין ארבעה סוגים עיקריים של פונקציות יוצרות:
הקשרים בין המשתנים הישנים לחדשים מתקבלים על ידי גזירת הפונקציה היוצרת המתאימה.
כך, פונקציות יוצרות מהוות שיטה סיסטמטית ליצירת טרנספורמציות קנוניות, ומאפשרות למצוא מערכות משתנים חדשות שבהן בעיית התנועה נעשית פשוטה יותר.
באופן מיוחד, כאשר הפונקציה היוצרת תלויה בזמן, היא משנה גם את צורת ההמילטוניאן, אך עדיין שומרת על הצורה הכללית של משוואות המילטון.
זהו כלי מרכזי בהוכחת משפטים כלליים כמו משפט ליוביל ובמעבר למשוואות המילטון-יעקובי.
סוגר פואסון (Poisson bracket) הוא מבנה מתמטי המגדיר מעין "סוגר קומוטטיבי" בין שתי פונקציות על מרחב הפאזה של מערכת המילטוניאנית.
אם ו־ הן שתי פונקציות, סוגר פואסון שלהן מוגדר כ־
הגדרה זו מקיימת תכונות אלגבריות המזכירות חבורת לי: היא אנטי־סימטרית (), מקיימת את כלל לייבניץ, ואת זהות יעקובי.
סוגר פואסון ממלא תפקיד מרכזי במכניקה קלאסית מכמה סיבות:
משוואות המילטון עצמן ניתנות לכתיבה באמצעות סוגרי פואסון:
האובייקטים ה"מתמידים" של התנועה (כמו אנרגיה, תנע או תנע זוויתי) מזוהים על ידי הדרישה שסוגר פואסון שלהם עם ההמילטוניאן יתאפס.
האלגברה של סוגרי פואסון היא גם הבסיס למעבר למכניקת הקוונטים, שם היא מוחלפת בקומוטטור של אופרטורים.
באופן זה סוגרי פואסון מספקים ניסוח קומפקטי, אלגנטי וכללי של התפתחות בזמן ושל חוקי שימור במערכות המילטוניאניות.
קשר בין פונקציות יוצרות לסוגרי פואסון
טרנספורמציות קנוניות ניתן להגדיר גם באמצעות סוגרי פואסון.
למעשה, טרנספורמציה אינפיניטסימלית של משתני פאזה ניתנת על ידי פונקציה יוצרת , כך ש:
בצורה זו, ניתן לראות את הפונקציה היוצרת כ"איבר יוצר" של הטרנספורמציה דרך סוגרי פואסון.
ניסוח זה מאפשר קשר ישיר בין סימטריות של המערכת לבין חוקי שימור: אם אינו תלוי בזמן באופן מפורש, ושווה ערך לקבוע תנועה, אז הטרנספורמציה שהוא מייצר היא סימטריה של משוואות המילטון.
זהו ניסוח מודרני של משפט נתר במסגרת מכניקה המילטוניאנית.
במכניקה המילטוניאנית ההתפתחות בזמן של פונקציה כללית על מרחב הפאזה ניתנת בעזרת סוגר פואסון.
כאשר הוא ההמילטוניאן של המערכת.
במקרה שבו אינו תלוי בזמן באופן מפורש (כלומר ), מקבלים:
החלת הפעולה שוב ושוב מניבה נגזרות גבוהות יותר:
טור טיילור של ההתפתחות בזמן
צורה קומפקטית משתמשת באופרטור לי:
דוגמה: גוף בשדה כבידה אחיד
נבחן תנועה בממד אחד לאורך עם המילטוניאן
כאשר מסת הגוף ו־ תאוצת הכבידה.
כי האיברים מסדר גבוה מתאפסים (הכוח קבוע).
זהו הפתרון המדויק הידוע לתנועה תחת שדה כבידה אחיד.
משוואת המילטון–יעקובי היא ניסוח מתמטי שקול למכניקה המילטוניאנית, ומשמשת כגשר חשוב בין מכניקה קלאסית למכניקה קוונטית.
המשוואה מציגה את הדינמיקה של מערכת באמצעות פונקציה סקלרית יחידה, הנקראת הפונקציה המייצרת הראשית (Hamilton's principal function).
כאשר הם הקואורדינטות המוכללות, התנעים המוכללים, ו־ מספר דרגות החופש.
אזי משוואת המילטון–יעקובי היא משוואה דיפרנציאלית חלקית עבור :
זוהי מד"ח בעלת n+1 משתנים, כלומר ישנם n+1 קבועים כאשר אחד מהם הוא קבוע לפונקציה והוא חסר חשיבות.
הפתרון יהיה תלוי ב- פרמטרים .
פתרון המשוואה מאפשר למצוא ישירות את מסלולי המערכת באמצעות גזירת .
המשוואה מהווה ניסוח שקול למשוואות המילטון, אך לעיתים קל יותר למצוא את מאשר את ו־ ישירות.
מהווה בסיס למעבר למשוואת שרדינגר במכניקה קוונטית: אם נציב
במשוואת שרדינגר, נקבל בקירוב הקלאסי את משוואת המילטון–יעקובי.
קשורה ישירות למשפט נתר: סימטריות של הפוטנציאל מובילות לקבועי תנועה המופיעים בפונקציה .
כאשר ההמילטוניאן אינו תלוי בזמן במפורש, אפשר לבצע הפרדת משתנים ולכתוב
אז משוואת המילטון–יעקובי הופכת ל:
זוהי צורה סטטית של המשוואה, שבה נקראת פונקציית המילטון המקדימה (Hamilton's characteristic function).
זו משוואה דיפרנציאלית רגילה שניתן לפתור עבור , ומשם לחלץ את הפתרון הדינמי.
הפרדת משתנים נותנת פתרון מהצורה עם
מכניקת הקוונטים , או בשמות אחרים: פיזיקה קוונטית, תורת הקוונטים, מֵכָנִיקָה קְוַנְטִית או QM, היא תורה פיזיקלית המתארת את התנהגות הטבע בקני מידה קטנים ביותר או בטמפרטורות נמוכות מאוד, עם השלכות על תחומי הפיזיקה בכל הסקאלות.
התורה מספקת תיאור כמותי ויכולת ניבוי של שלל תופעות שלא ניתנות להסבר במסגרת המכניקה הקלאסית (זו שקדמה למכניקת הקוונטים) והאלקטרודינמיקה הקלאסית.
את מרבית התאוריות הקלאסיות ניתן לקבל כגבול של מכניקת הקוונטים, ממש כשם שהמכניקה הניוטונית מתקבלת כגבול של תורת היחסות הכללית.
התאוריות המודרניות הללו, שהפכו את פני הפיזיקה בתחילת המאה ה-20, מכילות את שקדם להן כמקרה קצה ומרחיבות לתיאור נכון ומדויק יותר של הטבע.
על אף ניסיונות רבים (כמו תורת המיתרים ותורת כבידה קוונטית), טרם נמצאה חד-משמעית תורה המאחדת את תורת הקוונטים עם תורת היחסות הכללית.
במכניקת הקוונטים, תכונות פיזיקליות מדידות מסוימות, כמו רמות האנרגיה באטום המימן, מקבלות ערכים בדידים (דיסקרטיים, "מקוונטטים") ולא רציפים.
תופעה זו נקראת "קווינטוט", או קוונטיזציה, והמרווחים הקטנים ביותר בין הערכים הבדידים נקראים קוונטה (קוונטום - מלטינית: כמות).
גודל של קוונטום טיפוסי משתנה ממערכת למערכת.
תחת תנאים ניסיוניים מסוימים, עצמים קטנים מאוד, כמו אטומים או אלקטרונים, מגלים התנהגות גלית, כמו התאבכות.
תחת תנאים אחרים, אותם עצמים מגלים תכונות של חלקיק (עצם שניתן לומר בוודאות באיזה תחום מרחבי הוא נמצא), למשל פיזור.
תופעה זו נקראת דואליות גל-חלקיק.
על פי מכניקת הקוונטים, דואליות זו קיימת בעצמים מכל סדר גודל.
עבור עצמים מאקרוסקופיים אורכי הגל כה קצרים עד כי לא ניתן להבחין בתכונות הגליות כלל.
מכניקת הקוונטים היא תורה הסתברותית.
כלומר, בניגוד למכניקה הקלאסית, במקרה הכללי מכניקת הקוונטים אינה יכולה לחזות איזו תוצאה תתקבל בניסוי, אלא רק את ההסתברות לקבל אותה.
מבדיקות שנעשו על צבר של ניסויים זהים, התפלגות התוצאות שהתקבלה התאימה בדיוק רב לחיזוי שסיפקה מכניקת הקוונטים.
יישומים של התאוריה הקוונטית כוללים לייזרים, שבבים, מוליכים למחצה, מוליכי על, מחשוב קוונטי, מכשור רפואי (כמו MRI), מכשירי תקשורת ועוד.
חלק גדול מהטכנולוגיה שבה משתמשים כיום מבוסס על מכניקה קוונטית.
ההשערה אודות קוונטיזציה של גדלים פיזיקליים הופיעה לראשונה במאמר של מקס פלאנק משנת 1900, העוסק בקרינת גוף שחור.
פלנק ניסה במשך שנים להסביר את אופן הנצפה של התפלגות אורכי הגל של הקרינה, עד שלבסוף מצא נוסחה מדויקת לאחר שהניח שהאנרגיה הכוללת של המערכת עשויה ממנות בדידות (כלומר מקוונטות).
פלנק, כפי שהעיד במכתבים מאוחרים יותר, חשב שהנחה זו מועילה לפתרון הבעיה ותו לא, ולא ייחס לה בתחילה חשיבות רבה.
בשנת 1905 פרסם אלברט איינשטיין מאמר אודות תכונותיו של האור.
במאמר שיער שקרינה אלקטרומגנטית איננה גלים רציפים, כפי שהיה מקובל לחשוב בתקופה זו, אלא עשויה ממנות בדידות של אנרגיה, שמאוחר יותר קיבלו את השם פוטונים.
הוא הראה כיצד ההשערה מסבירה תופעות שונות, בין השאר את האפקט הפוטואלקטרי.
בניגוד לפלנק, איינשטיין הבין מיד שמדובר בהשערה מהפכנית.
רעיון הקוונטיזציה הוסיף להתפשט בהדרגה ובאיטיות, ופורסמו תאוריות נוספות בתחומים שונים שעשו בו שימוש.
לדוגמה, מודל האטום של בוהר משנת 1913 אימץ את המודל הפלנטרי לפיו האלקטרונים סובבים את גרעין האטום באופן הדומה לכוכבי לכת במערכת השמש, אך בתוספת אילוץ קוונטי: רמת האנרגיה שלהם ניתנת לאפיון על ידי מספר קוונטי טבעי, ולכן הם יכולים לנוע רק באחד מבין אוסף בדיד של מסלולים אפשריים.
המודל הצליח להסביר תופעות שונות של אטום המימן, אך המאמצים המוקדמים להכלילו לאטומים נוספים נתקלו בקשיים.
התאוריות השונות שהתפרסמו עד שנת 1925 מכונות באופן קולקטיבי בשם "תיאורית הקוונטים הישנה".
הן התאפיינו בשילוב בין פיזיקה קלאסית עם תוספת של עקרונות קוונטים, שנראה שנוספו באופן אד הוק וחסר הצדקה, והיה קשה להכלילן מעבר לבעיה הנקודתית אותה הן פתרו.
הדבר חידד את ההבנה שדרושה תאוריה חדשה שתחליף כליל את הפיזיקה הקלאסית, ותשנה את המושגים הפיזיקליים באופן רדיקלי.
כמו כן הלך והתברר שהתאוריה החדשה עתידה לזנוח את הדימויים הוויזואליים השאולים מהפיזיקה הקלאסית, כגון חלקיק הנע במסלול בעל צורה גאומטרית נתונה, ולהסתמך במקום זאת על מושגים מתמטיים מופשטים כגון מספר קוונטי והסתברות מעבר.
המונח "מכניקת הקוונטים" נטבע ב-1924 על ידי מקס בורן, ושנה לאחר מכן פרסם יחד עם ורנר הייזנברג ופסקואל יורדן תאוריה מלאה של מכניקת קוונטים המבוססת על חשבון מטריצות.
בשנת 1926 פרסם ארווין שרדינגר תאוריה נוספת, שהתגלתה גם היא כשקולה, המבוססת על גלים, ובבסיסה משוואת שרדינגר.
לפי פרשנות זו, אם חוקי מכניקת הקוונטים אינם מנבאים תוצאת מדידה של תכונה מסוימת באופן חד משמעי, הרי שהתכונה הזו אינה מוגדרת כלל.
למשל, אם החוקים אינם מנבאים מיקום מדויק לחלקיק, אלא רק באופן הסתברותי, הרי שלחלקיק אכן אין מיקום מוגדר.
איינשטיין התנגד לפרשנות זו, וראה באי הוודאות של מכניקת הקוונטים עדות להיותה תיאור לא שלם של הטבע, ולא תכונות של הטבע עצמו.
בשנת 1926 כתב למקס בורן מכתב, ממנו צוטטה לאחר מכן בפרפרזה האימרה אלוהים לא משחק בקוביות.
הניסיונות לערער על מעמדה הפופולרי של פרשנות קופנהגן כשלו, אך ויכוחים סביב המשמעויות והפרשנויות של מכניקת הקוונטים נמשכים עד ימינו.
על פי מכניקת הקוונטים גדלים פיזיקליים מסוימים אינם רציפים אלא כפולות שלמות של קבוע פיזיקלי כלשהו.
במקרה זה נאמר עליהם שהם מקוונטטים, כלומר עשוים מקוונטות (מנות).
זהו גם מקור שמה של מכניקת הקוונטים.
לדוגמה, במודל הקוונטי של האטום מסלולו של כל אלקטרון סביב הגרעין מאופיין על ידי ארבעה מספרים טבעיים הקרויים מספרים קוונטיים.
כך למשל המספר הקוונטי היסודי, המסומן באות n, מאפיין את רמת האנרגיה של האלקטרון וגם את מרחקו הממוצע מהגרעין.
הערכים הללו יכולים לקבל מספרים טבעיים בלבד.
אלקטרון הנמצא ברמה הקרובה ביותר לגרעין, n=1, יכול לקפוץ לרמה n=2, אך לא קיימת כל אפשרות להימצא ברמת ביניים ביניהן, או ברמה הקרובה יותר לגרעין מאשר n=1.