tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לדוגמה, חוק שימור התנע נובע מתוך סימטריה מרחבית - כאשר אין הבדל בין כל כיוון בו אפשר לנוע (בשום כיוון אין כוחות שמפריעים בדרך) התוצאה היא שבכל כיוון התנע נשמר (אין שום כוח שיגרום לו להשתנות).
לפי תורת השדות הקוונטית, השדה נמצא בתחום מסוים של המרחב והזמן וכופה באזור זה סימטריה מסוימת שיוצרת גדלים נשמרים כמו מסה, מטען חשמלי, תנע וכדומה (במילים אחרות השדה יוצר חלקיקים בעלי הגדלים הנשמרים הללו).
לכן כדי להסביר את החלקיקים והכוחות השונים בתורת השדות הקוונטית השדות צריכים לקיים סימטריות שונות, בייחוד נחפש מתי האנרגיה של השדה (שמבוטאת מבחינה מתמטית בעזרת לגראנז'יאן) תישאר סימטרית, כלומר אילו פעולות אפשר לעשות על השדה ובכל זאת האנרגיה לא תשתנה.
כך אפשר למצוא את משוואות התנועה שמתארות את התנהגות החלקיקים השונים הנוצרים בשדה.
בנוסף, פיזיקאים גילו שאפשר להגיע (כמעט) לכל הכוחות היסודיים בטבע בעזרת תורת כיול.
עיקרון בסיסי של תורת השדות הקוונטית הוא העיקרון של סכום של היסטוריות.
ביום יום אנו רגילים שכאשר גוף נע בין שתי נקודות, הוא עובר דרך מסלול אחד.
בגלל אופייה ההסתברותי של תורת הקוונטים, לכל חלקיק הנע בין שתי נקודות, יש מספר מסלולים אפשריים.
כמו כן, בדרך החלקיק יכול לפלוט או לבלוע חלקיקים אחרים.
כל מסלול כזה (כולל כל התהליכים שקרו לחלקיק בדרך) נקרא "היסטוריה" אפשרית של החלקיק, ויש לו הסתברות מסוימת.
עקרון הסיכום על היסטוריות קובע, שהחלקיק למעשה יעבור דרך כל המסלולים האפשריים בו זמנית, כך שכדי לדעת מה יקרה לו בסופו של דבר צריך לסכם (בצורה מיוחדת) על כל ההיסטוריות האפשריות של החלקיק, תוך התחשבות בהסתברות של כל היסטוריה, בדומה לתוחלת בהסתברות.
אנו אומרים, שההיסטוריה של החלקיק היא סופרפוזיציה קוונטית של כל ההיסטוריות האפשריות שלו.
כיוון שכל חלקיק עובר סופרפוזיציה של כל התהליכים האפשריים שהוא יכול לעבור, מסתבר שכל אלקטרון פולט ללא הרף פוטונים ובולע אותם חזרה, לאחר שהם "מתרוצצים" סביבו.
כך נוצרת מעין "הילה" של פוטונים סביב כל אלקטרון; פוטונים אלה קרויים פוטונים וירטואליים.
כאשר אלקטרון אחר עובר ב"הילה" זו, הוא עשוי לבלוע חלק מהפוטונים הללו, וכך נוצרת אינטראקציה בין שני האלקטרונים - הפוטונים שיעברו ביניהם יגרמו להם לשנות את תנועתם, מה שייראה כהפעלת כוח אלקטרומגנטי ביניהם.
לפיכך, "הילה" זו היא למעשה שדה אלקטרומגנטי, כלומר שדה חשמלי ושדה מגנטי.
לפני פיתוח תורת הקוונטים, עסקה הפיזיקה הקלאסית בשדות כמו אלה כבגדלים בסיסיים, הקיימים סביב אלקטרונים ומטענים חשמליים אחרים.
תורת השדות הקוונטית מסבירה מהם שדות אלה במונחים של חלקיקים.
גם נקודת המבט ההפוכה היא לגיטימית: ניתן להתייחס לשדה (כמו השדה האלקטרומגנטי) כאל הגודל הבסיסי, ולחשוב על חלקיקים (כמו הפוטונים) כעל שינויים קטנים ומחזוריים בשדה.
לשינויים כאלה אנו קוראים גלים, כפי שגל ים מהווה שינוי קטן ומחזורי (בקירוב) בגובה פני הים.
ואולם, לפי מכניקת הקוונטים הגלים בתורת הקוונטים מתנהגים באופן שונה מהגלים שאנו מכירים בחיי היום-יום - הם באים ב"חבילות", ולא באופן רציף, וחבילות אלה הן החלקיקים.
כל זה נכון לגבי חלקיקים שהם בוזונים (לדוגמה הפוטונים).
מספר בוזונים מאותו סוג יכולים להימצא באותו מקום.
שדה המתאים לחלקיקים אלה קרוי 'שדה בוזוני', וכאמור הוא צירוף של חלקיקים רבים מאותו סוג (מה שנקרא מצב קוהרנטי).
חלקיקים מסוג אחר קרויים פרמיונים (לדוגמה אלקטרונים).
שני פרמיונים מאותו סוג ובאותו מצב פיזיקלי לא יכולים להימצא באותו מקום.
באופן פורמלי אפשר להגדיר גם שדה המתאים לחלקיקים כאלה, וקרוי שדה פרמיוני, אך הוא אינו דומה לשדות הקיימים בפיזיקה קלאסית.
תורת השדות הקוונטית והמודל הסטנדרטי
שלושה ענפים של תורת השדות הקוונטית מרכיבים יחד את המודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים:
אלקטרודינמיקה קוונטית (QED) היא התורה המסבירה את תופעות האלקטרומגנטיות.
החלקיקים בתורה זו הם אלקטרון ופוזיטרון (אנטי-אלקטרון) - או כל חלקיק אחר בעל מטען חשמלי - ופוטונים.
הפוטון הוא החלקיק הנושא את הכוח האלקטרומגנטי.
מטען חשמלי מוסבר בתורה זו כסיכוי לפלוט או לבלוע פוטון.
סיכוי זה, עבור חלקיק בעל מטען חשמלי 1 (ביחידות של מטען האלקטרון, שהוא כ- קולון), הוא (באנרגיות נמוכות) 1/137, ומספר זה קרוי קבוע הצימוד של התורה.
אלקטרודינמיקה קוונטית היא תורת כיול בעלת חבורת כיול .
כרומודינמיקה קוונטית (QCD) היא התורה המסבירה את מקורו של הכוח הגרעיני החזק.
הגלואון הוא החלקיק הנושא את הכוח בתורה זו (שממנו נובע הכוח הגרעיני החזק).
זאת, בדומה לתפקידו של הפוטון ב-QED.
בניגוד ל-QED, שם יש רק סוג אחד של מטען (מטען חשמלי), הרי ב-QCD יש שלושה סוגי מטענים.
מטענים אלה מכונים צבעים (למרות שאין שום קשר בינם לצבע במובנו היום-יומי), ושלושת הסוגים נקראים כחול, אדום וירוק.
קבוע הצימוד בתורה זו, שהוא הסיכוי של חלקיקים בעלי "צבע" לפלוט או לבלוע גלואון, תלוי באנרגיה של החלקיקים, והתורה מקיימת חופש אסימפטוטי - באנרגיות נמוכות קבוע הצימוד גדול, ובאנרגיות גבוהות הוא קטן.
תכונה נוספת שלה היא כליאה - החלקיקים מצויים רק בקבוצות חסרות "צבע".
כרומודינמיקה קוונטית היא תורת כיול בעלת חבורת כיול .
מודל גלשאו-ויינברג-סאלאם הוא התורה המתארת את הכוח הגרעיני החלש ומשלבת אותו עם האלקטרומגנטיות.
היא כוללת בתוכה גם את האלקטרודינמיקה הקוונטית.
תורה זו עוסקת בחלקיקים הבאים: לפטונים (כמו אלקטרון וניוטרינו), אנטי-לפטונים (כמו פוזיטרון ואנטי-ניוטרינו), קווארקים ואנטי-קווארקים, וכן בפוטון (הנושא את הכוח האלקטרומגנטי) ובחלקיקים הנושאים את הכוח החלש - בוזוני W ו-Z.
מודל גלשאו-ויינברג-סאלאם הוא תורת כיול בעלת חבורת כיול , כאשר הסימטריה הלוקאלית המתאימה נשברת (שבירת סימטריה ספונטנית) ל- במנגנון היגס.
לפיכך, לבוזוני W ו-Z יש מסה (בניגוד לחלקיקים נושאי כוח אחרים, שהם חסרי מסה).
דיאגרמות פיינמן הן שיטה לחישוב תגובות בין חלקיקים.
המטרה היא חישוב פונקציית הקורלציה (הנקראת גם פונקציית גרין) בין מצבים חיצוניים מסוימים: N-חלקיקים נכנסים או יוצאים.
הגודל המחושב הוא המשרעת (אמפליטודה) של כל דיאגרמה, וסכום כל הדיאגרמות האפשריות הוא האמפליטודה, או פונקציית הקורלציה של N-חלקיקים.
דיאגרמות פיינמן הן חישוב מקורב בתורת ההפרעות: החישוב המדויק אינו אפשרי באופן ישיר.
בתורת ההפרעות מניחים שעוצמת האינטראקציה היא חלשה באופן יחסי וככזו ניתן לבטאה כתלות בפרמטר קטן מתאים הנקרא קבוע צימוד.
השיטה של דאגרמות פיינמן מאפשרת לנו לכתוב את פונקציית הקורלציה כטור מתכנס של איברים שכל אחד מהם כולל מקדם הכופל חזקה כלשהי של קבוע הצימוד.
קבוצת דיאגרמות בעלות אותה חזקה של קבוע הצימוד נקראת סדר, וככל שמחשבים סדר גבוה יותר התוצאה מדויקת יותר, אך גם מורכבת יותר לחישוב, כיוון שמספר הדיאגרמות יחסי רב יותר וגם החישוב של כל דיאגרמה מורכב יותר.
מתוך פונקציית הקורלציה מחשבים גדלים רבים בתורת החלקיקים: מסה של חלקיקים מורכבים, חתכי פעולה של תגובות, זמן מחצית חיים של חלקיקים.
הדיאגרמות עצמן מצוירות ומחושבות באמצעות כללי פיינמן, שהם נוסחאות המתארות את החלקיקים ואת האינטראקציות המותרות.
קו בדיאגרמה מייצג חלקיק (צורות שונות של הקו מייצגות סוג חלקיקים שונה), וצומת מייצג אינטראקציה.
אלקטרודינמיקה קוונטית היא סוג של תורת שדות קוונטית שבה קיימים אלקטרונים (קווים ישרים) ופוטונים (קווים עקלתוניים) בלבד, וצומת אחד: פוטון עם שני אלקטרונים.
פיזור קומפטון הוא תגובה שבה פוטון פוגע באלקטרון ומוחזר ממנו לכוון אחר.
בדיאגרמות פיינמן האינטראקציה הכוללת מתוארת באמצעות שני קווי פוטונים ושניים של אלקטרונים, כאשר באמצע "קופסה שחורה" - סך כל הדיאגרמות (הדיאגרמה השמאלית).
הדיאגרמה הראשונה בסכום היא דיאגרמת סדר-עץ, ושתי הבאות הן דיאגרמות מסדר לולאה אחת.
חישוב תגובה בין ארבעה חלקיקים בתורה שיש בה חלקיק מסוג אחד (סקלר) ואינטראקציה מסוג אחד בלבד, צומת של ארבעה חלקיקים, עם מקדם g.
קיימת רק דיאגרמה אחת לסדר הראשון.
הסדר הראשון, g, נקרא "סדר עץ" (tree-level), כי הוא מתואר באמצעות כגרף עץ ואין בו לולאות.
לעומת זאת בסדר השני, g2, קיימות 4 דיאגרמות, כל אחת בעלת לולאה אחת.
הסדרים נקראים גם על שם מספר הלולאות.
בתורת השדות חישוב נאיבי של גדלים רבים מתבדר.
התוצאה הזו אינה תואמת את התוצאות האמפיריות של גדלים מדידים, שהן סופיות, ולעיתים קרובות מובילה לתוצאות שכלל אינן מוגדרות.
לכן נדרשת תורת השדות לתהליך אשר ייתן תוצאה סופית, ויסביר את מקורו של הגודל האינסופי המקורי.
ניתן לראות תוצאה אינסופית, לדוגמה, בחישוב של דיאגרמת פיינמן עם לולאה אחת.
סדר העץ הוא סופי, אך לעיתים קרובות סדר לולאה נותן אינסוף (או תוצאה שאינה מוגדרת) בחישוב.
השלב הראשון הוא "כימות" של האינסוף: רגולריזציה.
מכניסים גודל חדש לחישוב שבגבול מסוים אינו משפיע.
למשל אנרגיית קיטעון, כך שהאינטגרל מתבצע בתחום סופי של התנע והאנרגיה במקום בתחום אינסופי, והחישוב בכללו סופי אך תלוי בגודל המלאכותי שהוספנו.
בגבול שבו אנרגיית הקיטעון אינסופית התוצאה חוזרת לתוצאה האמיתית.
תהליך הרנורמליזציה "מחביא" את האינסוף: מגדירים את הפרמטרים המקוריים של החלקיקים (מסה, מטען, מקדם אינטראקציה) בעזרת הגודל המלאכותי, כך שהתוצאה הכוללת היא סופית.
נאמר שהפרמטרים המקוריים הם "עירומים" (bare) ולכן אינסופיים ולא מדידים, ורק הפרמטרים המנורמלים הם סופיים ומדידים ("פיזיקליים").
התהליך הזה גרם לאי-נוחות רבה בקרב פיזיקאי החלקיקים המוקדמים, אך נתן תוצאות כה מדויקות ומתאימות לניסויים עד שהוא לבסוף התקבל כפרוצדורה הסטנדרטית בתורת החלקיקים.
כיום תהליך זה מובן כעדות לקיומה של פיזיקה שאינה ידועה במרחקים קצרים ביותר, אשר שקולים בתורת הקוונטים לאנרגיות גדולות ביותר - מרחקים ואנרגיות בהם ידוע כי תורת השדות הקוונטית דורשת השלמה, בפרט כדי לתאר את כוח הכבידה.
במקרים אחרים, תהליך זה נדרש דווקא במקרים בהם ההתבדרות מתרחשת במרחקים מאד גדולים (או אנרגיות השואפות לאפס) - ובמקרה זה התהליך מובן כמתאר בצורה טובה יותר את האופן בו מבוצעת מדידה על ידי מכשירים מציאותיים בעלי דיוק סופי.
בנוסף לטיפול באינסוף, רנורמליזציה היא בעלת משמעות פיזיקלית עמוקה.
אחת המסקנות היא שאכן "קבועים" בתורת השדות תלויים באנרגיה שבה נערך הניסוי: הקבוע של אינטראקציה אלקטרומגנטית גדל באנרגיה מאוד גבוהה, שמקבילה למרחקים קצרים.
גם תוצאה זו נתמכת בניסויים.
תורת הקבוצות: ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה.
תורת הקבוצות הנאיבית: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים.
תורת הקבוצות האקסיומטית: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל.
קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות.
התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.
תת קבוצה: קבוצה היא תת קבוצה של הקבוצה אם כל איבר של שייך גם ל-.
הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או בצורה {}.
יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד.
איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד.
איחוד מסומן בדרך כלל כך: .
הפעולה איחוד היא קומוטטיבית (חילופית) ואסוציאטיבית (קיבוצית).
חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך.
חיתוך מסומן בדרך כלל כך: .
הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר ו-
הפרש: ההפרש בין ל־ הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־ ולא שייכים ל־.
פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות ו- הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי שלא שייכים ל- וכל איברי שלא שייכים ל־ - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל- והשני שייך ל-.
ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.
עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה.
עוצמה של קבוצה תסומן .
(אָלֶף אֶפֶס): עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
או : עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם עוצמת הרצף.
השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין ו-, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).
קבוצה בת מנייה: קבוצה סופית או אינסופית שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים (אלף אפס).
קבוצה שאינה בת מנייה: קבוצה שעוצמתה גדולה מאלף אפס ולכן לא ניתן לספור את כל איבריה.
קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה.
קבוצת החזקה של קבוצה תסומן .
יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - , והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - (לא בהכרח שונה מ-).
בכתיב פורמלי: קבוצה תיקרא יחס מ- ל- אם .
פונקציה: יחס בו לכל איבר של קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו.
פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל בטווח קיים לכל היותר אחד בתחום המקיים .
פונקציה על: פונקציה תקרא על אם לכל בטווח קיים לפחות אחד בתחום המקיים .
פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל קיים יחיד כך ש- (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות.
יחס מעל קבוצה המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות.
סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת-קבוצה יש איבר מינימלי.
שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).
קבוצת כל הפונקציות מקבוצה לקבוצה : קבוצה המסומנת והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה אל תוך הקבוצה .
הפרדוקס של ראסל: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.
ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.
משפט קנטור (לקבוצת החזקה): משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות.
המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה.
האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה לקבוצה , וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה לקבוצה , אז שתי הקבוצות שקולות.
בפיזיקה ובניתוח מערכות, תנודה היא שינוי במצב של מערכת לאורך זמן.
בדרך כלל המונח מתאר שינוי מחזורי בקירוב.
המונחים "ויברציה", "רעידה" או "רטט" משמשים כדי לתאר תנודה מכנית ולעיתים אף משמשים כשם נרדף לתנודה.
תנודה מתרחשת לא רק במערכות פיזיקליות אלא גם במערכות ביולוגיות ובמערכות חברתיות.
הגורמים הבסיסיים לניתוח תנודות הם תגובת המערכת (אלסטיות למשל), כוח מאלץ (מתחיל ומקיים את התנודה) וריסון (משכך את התנודה).
ניתן לראות דוגמאות לתנודות בתחומים רבים מאוד.
החל מתנודות הגלים בים ועד לתנודות מיתרי הגיטרה.
תנודות אלה הן תנודות מרוסנות – כלומר דועכות עם הזמן, ומעבירות את האנרגיה שלהם לאנרגיה תרמית, כלומר לחום.
משוואת הגלים היא אחת המשוואות הפשוטות המתארות התקדמות של תנודה במרחב.
אחת התופעות המוכרות בתורת התנודות היא התהודה, שבה מופעל כוח בתדירות השווה לתדירות הטבעית של המערכת.
ללא ריסון כלשהו (חיכוך למשל), המערכת מתנודדת יותר ויותר חזק עד להתמוטטות.
תנודות חופשיות – ריסון ויסקוזי
במערכת בעלת דרגת חופש אחת, כאשר הכוח F שווה לאפס, ניתן לתאר את משוואת התנועה של המערכת בצד שמאל כך:
בתורת התנודות נהוג להגדיר שלושה ערכים המבטאים את השפעת התנודה על המערכת:
1. התדירות הטבעית של המערכת המתוארת על ידי ושווה ל-.
2. ריסון קריטי המתואר על ידי ושווה ל-.
3. יחס הריסון המתואר על ידי ושווה ליחס בין ל-.
למשוואת התנועה, אם כן, ישנם שלושה פתרונות המבטאים התנהגות שונה של המערכת מבחינת תנודות:
1 ו-2. כאשר – ריסון על קריטי וקריטי.
3. כאשר – ריסון תת-קריטי – כלומר יש תנודות.
תורת השמיטות היא תורה קבלית קוסמוגנית וקוסמולוגית המתארת את העולם כנברא ונחרב במחזורים של 7,000 שנה (שמיטה) ושל 50,000 שנה (יובל).
תורת השמיטות מבוססת על מצוות השמיטה והיובל המקראיות.
התורה הייתה מקובלת במאות ה-13 וה-14 בקרב חוג תלמידי הרמב"ן, ומופיעה בצורה המפורשת ביותר בספר האנונימי ספר התמונה.
הקבלה הלוריאנית מתנגדת לקבל את תורת השמיטות כפשוטה ומחליפה אותה בתורת מלכין קדמאין.
מצוות השמיטה מופיעה במקרא בגרסתה המפורטת ביותר בספר ויקרא בפרק כ"ה.
המקרא מצווה על האדם לעבוד את האדמה במשך שש שנים ולשבות מעבודתו בשנה השביעית.
השנה השביעית הנקראת בתורה "שבת שבתון" של הארץ היא עת שביתת האדמה, ומקבילה ליום המנוחה השבועי – שבת.
שבע השנים של השמיטה הן חלק ממחזור של שבע שמיטות בן 49 שנה.
שנת ה-50 של המחזור היא שנת היובל – מעין התחלה חדשה המחזירה את הדברים לצורתם התחילית, הראשונית והשווה.
נחלות הארץ מוחזרות לבעליהן המקוריים ומתבצעת מעין חלוקה מחודשת של ההון המבטלת את חוסר השוויון הנוצר במהלך ההיסטוריה.
מקורותיה של תורת השמיטות הקבלית
את שני עיקריה הגדולים של תורת השמיטות הקבלית ניתן למצוא בחיבור בין שני מאמרים של חז"ל.
הראשון מעיקרים אלו הוא רעיון השבת הקוסמית שבו נתפס העולם כמתקיים במחזוריות בת 7,000 שנה שמתוכן 1,000 השנה האחרונות הן שנות שבתון של העולם.
את שורשה של תפיסה זו ניתן למצוא במאמר תלמודי שבו גורס רב קטינא: ובהמשך נאמר עוד "כשם שהשביעית משמטת אחת לשבע שנים (בשמיטת הארץ), כן העולם משמט אלף שנים לשבעת אלפים שנה".
העיקר השני העומד בבסיסה של תורת השמיטות הוא הרעיון של מחזוריות קוסמית של בריאות וחורבנים העוקבים זה את זה במחזוריות קבועה.
תפיסה זו נסמכת על המאמר החז"לי (בראשית רבה (וילנא) פרשה ג') כי לפני בריאת עולמנו היה הקב"ה "בורא עולמות ומחריבן" ועל הפסוק התנ"כי () "כי הנני בורא שמים חדשים וארץ חדשה ולא תזכרנה הישנות ולא תעלינה על לב".
רעיונות קרובים ניתן למצוא גם בחיבורים כתתיים מתקופת בית שני כמו ספר היובלים.
החיבור של שני רעיונות אלו של חז"ל עם תורת השמיטות המקראית, בצירוף בדלי רמזים שונים מהמקרא ומספרות חז"ל, היוו את התשתית לתורת השמיטות.
תורה זו הייתה נפוצה בקרב מקובלי גירונה אולם את ביטויה הקלאסי מצאה בספר התמונה (שלא נכתב במסגרת קבלת גירונה).
תורת השמיטות גורסת כי העולם מתקיים ב-7 מחזורים קוסמיים בני 7,000 שנה כל אחד.
שבעת המחזורים מוקבלים ל-7 הספירות התחתונות בעץ הספירות הקבלי הנקראות גם 7 ספירות הבניין.
ספירות אלו הן מעין אבני הבניין שמהן נוצר העולם.
הן החוקה המטפיזית של העולם המשתתפות באופן פעיל ביצירתו ובתפקודו, זאת בניגוד ל-3 הספירות העליונות והנעלמות.
כל אחד מהמחזורים הקוסמים הללו עומד בסימן אחת מ-7 הספירות שהיא באותו מחזור נותנת הטון, מתוך התפיסה כי "אין שמיטה אחת יכולה לגלות את כל כוחו של האל המתבטא בחוכמתו הקדומה...
כל שמיטה מגלה פרספקטיבה אחת, בחינה אחת של האמת או של הכוונה האלוהית".
היותה של ספירה נותנת הטון בשמיטה מסוימת מתבטא בכך שהתורה של אותה השמיטה, כלומר של אותה הבריאה, היא תורה אחרת מזו של השמיטות האחרות.
תורתה של כל שמיטה היא גרסה שונה של תורתו הקדומה של האל, התורה התמימה שהיא גלומה וגנוזה בתוך עצמה, נעלית לכל תפישה שכן עדיין לא נפתחה בציוריה והתפרטויותיה וממנה בוקעות התורות השונות של השמיטות כפי שאנו מכירים אותן בעולמנו.
כך לדוגמה, הימצאותן של מצוות "אל תעשה" הוא סימפטום אולי מצער של היותנו (לפי דעתו של בעל ספר התמונה למשל) יושביה של השמיטה השנייה, שמיטת הדין שבה מתבטא כוח הדין באמצעות הגבלים ואיסורים.
בשמיטה שקדמה לה, שמיטת החסד, היו בני האדם עובדים את האל במצוות עשה וכל עבודתם הייתה באהבה ובשבח בלבד.
כאשר התורה שונה משמיטה לשמיטה, וכאשר התורה היא החוקה המטפיזית של העולם, הרי לא רק חוקי התורה אלא גם חוקי הקוסמוס, הנפש והטבע משתנים משמיטה לשמיטה.
כך לדוגמה בשמיטת החסד הנקראת גם "עולם המים", היו הגלגלים פשוטים ולא מורכבים מארבעה יסודות, גם המלאכים היו פשוטים, הנבראים חיו חיים ארוכים והרמוניים והחיות היו כל העת בדבקות, טהורות ודומות למלאכים בצורתן.
כל הסמפטומים ההרסניים המוכרים לנו משמיטתנו היו מיותרים בעולם ההוא וכך לא היו בעולם החסד לא גלות ולא גלגולים, לא נחש ולא יצר הרע, שכן "יצר הרע היה חלק מהרמוניה של היצר הטוב ולא התחרה בו.".
כך מתקיים העולם משך שבעה מחזורים בני 7,000 שנה, כאשר בכל אחד מהמחזורים נשקפים העולם והתורה דרך בחינה אחרת של המנסרה האלוהית.
49 האלפים הללו מקבילים ל-49 מ-50 שערי הבינה שניתנו למשה על פי התלמוד ("חמשים שערי בינה נבראו בעולם, וכולם ניתנו למשה חסר אחת, שנאמר 'ותחסרהו מעט מאלוהים'" – ).
כאשר מסתיימים שבעת המחזורים וכל צורות הבניין נראו, מגיעה עת השער החמישים, עת היובל הגדול.
כל שמיטה היא עולם בפני עצמה, לכל שמיטה היסטוריה בפני עצמה ולכל שמיטה גאולה משלה.
אולם היובל הגדול הוא הגאולה המוחלטת, החריגה הטוטאלית מעבר להיסטוריה, לתפיסה ולאונתולוגיה של עולמנו והמקובלים ממעטים לדבר בו דברים של ממש.
ביובל הגדול נאספים כל הדברים חזרה אל רחמה של האם הגדולה הרי היא ספירת הבינה הידועה בכינויה "אמא" שכן היא האם שבתוכה נרקמו שבע ספירות הבניין וממנה יצאו.
שם בכור ההיתוך האלוהי מותכות ההוויות ומאבדות את צורותיהן המוכרות לנו.
גיל היקום לפי תורת השמיטות
בקרב המקובלים ישנן מספר שיטות על מספר השמיטה הנוכחית.
לפי ספר לבנת הספיר הדבר תלוי במחלוקת אמוראים – לדעת רב קטינא השמיטה הנוכחית היא הראשונה ולדעת אביי היא השביעית.
בעל ספר התמונה כתב שהשמיטה הנוכחית היא השנייה, הרמ"ק כתב שהיא החמישית, ובעל תפארת ישראל כתב שהיא הרביעית.
לדברי בעל תפארת ישראל, המאובנים שנמצאו בעומק האדמה מקורם בבריות מהשמיטות הקודמות.
לדעת רבינו בחיי בן אשר, לאחר 'היובל הגדול' סיבוב השמיטות והיובלות יחזור על עצמו 18,000 פעמים.
הרב יצחק דמן עכו כתב בספרו 'אוצר החיים', שהשנים שלפיהן נספרות השמיטות הן שנים אלוהיות שכל יום מהן הוא אלף שנים רגילות.
לפי חישוב זה, כל שנה אלוהית מקבילה ל-365,250 שנים רגילות, וכל שמיטה היא 2,556,750 שנים.
אם השמיטה הנוכחית היא השביעית, הרי שחלפו 15,340,500,000 שנים מבריאת העולם בפעם הראשונה עד בריאת העולם הנוכחי, מספר קרוב להשערות המקובלות היום במדע על גיל היקום.
מקורות שיטה קבלית זו, מיוחסת לספר הבהיר.
חכמים נוספים שניתן למצוא אצלם רמזים לשיטה זו, הם רבי יהודה הלוי, רבי יהודה הברצלוני, רבי אברהם בר חייא, ורבי אברהם אבן עזרא.
מבין המקובלים שאחזו בשיטה זו היה רבי יצחק בן אברהם (ריצב"א), שהיה מבעלי הקבלה מאסכולת תורת השמיטות.
רמב"ן קיבל את שיטה זו כנראה מהריצב"א, דרך רבו, רבי יהודה בר יקר.
גם אצל הרשב"א בתשובותיו משתמע שאחז בגישה זו.
בזוהר ניתן למצוא הדים לאסכולה זו, בחלק מהחיבורים הטבועים בו, כגון ב"מדרש הנעלם".
מקובלים מאוחרים יותר, כגון רבי יוסף אשכנזי, רבי מנחם ציוני ורבי יהודה חייט, רומזים לגישה זו.
תורת הרקורסיה היא תחום במתמטיקה העוסק ברמת החישוביות והאי-פתירות של פונקציות מהטבעיים לעצמם, כמייצגים של מאגרי מידע אינסופיים.
תחום זה קשור בקשר הדוק לתורת הקבוצות וללוגיקה מתמטית.
במרכז תורת הרקורסיה נמצא מושג דרגות טיורינג.
בבסיס תורת הרקורסיה נמצא מושג הפונקציה הרקורסיבית - פונקציה מהטבעיים אל עצמם (פונקציה אריתמטית) שניתן לחשב באמצעות מכונות טיורינג.
מכונת טיורינג בנויה מרצף של הוראות, כאשר יש רק מספר סופי של הוראות שונות (מספר זה תלוי באופן ההגדרה), ולכן עוצמת קבוצת מכונות טיורינג היא .
יתר על כן, ניתן לבנות מכונת טיורינג שתקבל כקלט מספר טבעי e ותחזיר כפלט רצף של הוראות עבור מכונת טיורינג.
את המכונה שמתקבלת מהקלט e נסמן ב- והמספר e נקרא האינדקס של המכונה.
קיימות אינסוף שיטות שונות למנות באמצעות מכונה את כל המכונות.
למעשה אי אפשר להצביע על מכונה ולומר שהיא , כי בכל שיטת מנייה תתקבל מכונה שונה.
מספור המכונות יוצר מספור לפונקציות הרקורסיביות - את הפונקציה מחשבים באמצעות המכונה כך ש- הוא הפלט של בהינתן הקלט n.
זוהי פונקציה חלקית, כלומר - יכולים להיות ערכים שעליהם הפונקציה כלל לא מוגדרת (כי המכונה לא עוצרת), ואפילו קיימות פונקציות ריקות שהמכונות שלהן לא עוצרות על שום קלט.
המספור אינו חד-חד ערכי - קיימות פונקציות רקורסיביות שאינדקס שמתאים להן שונה אף שהן מחזירות ערכים זהים על כל פלט.
ניתן להרחיב את מושג הרקורסיביות כך שיכלול את האפשרות לחשב מידע מתוך מידע נתון, ולא רק חישוב מאפס.
לצורת החישוב הזו קוראים פונקציה רקוסיבית עם אורקל.
לפונקציות אלו יש מקור מידע חיצוני בצורת פונקציה מהטבעיים לעצמם, כך שבכל שלב המכונה יכולה לשלוח "שאלה" לפונקציה- מספר טבעי, והפונקציה מחזירה את התשובה (שהיא גם כן מספר טבעי).
למקור המידע החיצוני, הפונקציה, קוראים אורקל, ובמקרים רבים התשובה שתתקבל, ואפילו עצם עצירת הפונקציה על קלט מסוים תלויה באורקל- עבור אורקלים מסוימים הפונקציה תחזיר תוצאה אחת ועבור אחרים היא תחזיר תוצאה אחרת.
כמו שניתן למספר את הפונקציות הרקורסיביות, כך בהינתן אורקל g, ניתן למספר את כל הפונקציות הרקורסיביות עם אותו אורקל ולכן ניתן לסמן את הפונקציה הרקורסיבית עם אורקל g ה-e ב-.
אם נאמר ש f ניתנת לחישוב מ-g.
כל פונקציה רקורסיבית רגילה היא פונקציה רקורסיבית עם האורקל g=0.
באמצעות המושג של פונקציה רקורסיבית עם אורקל נוצר יחס סדר בין מאגרי המידע השונים (שמיוצגים על ידי פונקציות שלמות מהטבעיים לעצמם).
את היחס הזה מסמנים ב- (קרי: ניתן לחישוב מ-) והוא מוגדר: אם קיים אינדקס e כך ש- .
זהו יחס רפלקסיבי היות שניתן לבנות מכונה שבהינתן קלט כלשהו היא תעביר אותו אל האורקל ואת התשובה תדפיס כפלט - כלומר כל פונקציה ניתנת לחישוב מעצמה.
בנוסף זהו יחס טרנזיטיבי כי אם f ניתנת לחישוב מ-g ו-g ניתנת לחישוב מ-h, כלומר ,, אז ניתן לכתוב את רצף ההוראות של המכונה ה-i בתוך המכונה ה-e כל פעם שכתוב "שאל את האורקל", וכך לקבל מכונה שמחשבת את f מ-h.
יחס זה אינו אנטיסימטרי לדוגמה תמיד אף על פי שf ו- 2f שונים.
כדי להתגבר על הבעיה הזו מגדירים יחס שקילות שמבטא את הרעיון שבשני מאגרים יש, בסופו של דבר, את אותו מידע.
זהו היחס שמוגדר- אם מתקיים וגם .
מחלקות השקילות נקראות דרגות טיורינג וקבוצת כל דרגות טיורינג מסומנת ב-D.
על דרגות טיורינג יחס הניתנות לחישוב (שמוגדר על ידי נציגים) הוא יחס סדר חלקי.
בכל דרגת טיורינג יש פונקציה מציינת של קבוצת מספרים טבעיים כלומר פונקציה שמקבלת רק את הערכים 0 ו-1. ניתן לראות את זה על ידי מושג הגרף של פונקציה- הקבוצה .
ניתן לזהות כל קבוצה ב- עם קבוצת מספרים טבעיים באופן רקורסיבי לדוגמה על ידי הפונקציה החד חד ערכית ועל (או כל פונקציית זיווג אחרת).
בצורה הזו ניתן להמיר בצורה רקורסיבית כל פונקציה לקבוצה וכל קבוצה לפונקציה.
הרבה פעמים נוח לבנות דרגות בעלות תכונות מיוחדות באמצעות בניית קבוצה שתהיה נציגה של הדרגה ולא סתם פונקציה.
תכונות בסיסיות של דרגות טיורינג
בכל דרגה יש בדיוק פונקציות שונות, ולכן קיימות דרגות טיורינג שונות.
בנוסף מתחת לכל דרגה יש רק מספר בן מנייה של דרגות, כי יש רק מספר בן מנייה של פונקציות רקורסיביות מנציג כלשהו של הדרגה.
ליחס הסדר על דרגות טיורינג יש דרגה מינימלית והיא הדרגה של הפונקציות הרקורסיביות.
בפונקציות אלו אין שום מידע "מפתיע", שלא ניתן לחשב אותו מאפס ולכן דרגתן היא דרגת הפונקציה הקבועה 0. מסיבה זו הדרגה הזו מסומנת ב-0.
לכל פונקציה ניתן לבנות בעיית עצירה משלה.
כמו שלא ניתן לחשב את בעיית העצירה על ידי פונקציה רקורסיבית כך לכל f לא ניתן לחשב ממנה את Kf.
לעומת זאת, אפשר להראות שניתן לחשב מתוך Kf את f, ולכן הדרגה של Kf גדולה ממש מהדרגה של f.
אם הדרגה של f היא a מסמנים את הדרגה של Kf ב-'a (נקרא a-קפץ), זו דרגה שגדולה ממש מהדרגה של a, ולכן לא קיימת דרגה מקסימלית.
תורת הקודים או תורת הצפינה, תחום ידע העוסק בהעברה יעילה של מידע דרך מערכת תקשורת מציאותית שעשויה ליצור שגיאות ברצף המידע המועבר.
בתורת הקודים מפותח מושג הקוד וכן גם כלים שמאפשרים הבחנה ותיקון שגיאות במידע המתקבל.
בסיס כללי לתורת הקודים הונח על ידי קלוד שנון בשנת 1948, אשר הגדיר את מושג המידע באופן מתמטי.
בנוסף, עבודתו הגדירה את החסמים התאורטיים על כמות המידע המקסימלי שניתן להעביר בערוץ רועש (משפט הקידוד של שנון), כאשר בניית קודים שואפת להגיע אל חסמים אלו.
קודים לגילוי ותיקון שגיאות נחקרים ומפותחים במסגרת מספר דיסציפלינות, בהן הנדסת חשמל, מדעי המחשב, מתמטיקה ותורת האינפורמציה.
כאשר מעבירים מידע דרך מוליך טוב ככל שיהיה (גלי רדיו, קווי טלפון), נופלות טעויות במידע כתוצאה מרעשי רקע שנוצרים מסיבות טכניות בעיקר.
שגיאה קטנה ככל שתהיה יכולה לעוות את המידע המתקבל ולהפוך אותו לחסר משמעות, או לבעל משמעות שונה מהרצוי.
הבעיה קיימת מאז ומעולם גם בשפת הדיבור והכתיבה.
ניתן לראות טעויות דפוס שנובעות מהחלפת אותיות כמעט בכל ספר שיוצא לשוק.
בעיה זו נעשתה חריפה במיוחד בתקשורת בין מחשבים, בה שינוי של סיבית אחת במסר יכול להרוס את החישוב כולו.
על מנת להתמודד עם שגיאות אלו נוקטים במספר שיטות: ראשית, ניתן ליצור קוד (או שפה) בה אורך כל המילים הוא זהה.
בצורה זו ניתן לבודד את הבעיה ולהתמודד עם כל מילה בפני עצמה (אם כי דילוג על אות יוביל לשגיאה מצטברת).
שיטה נוספת היא הגדלת השוני בין מילות הקוד או השפה.
כך מתאפשר זיהוי ואפילו תיקון של שגיאות מעטות.
הרעיון הבסיסי הוא שאם שולחים מסר בקוד מסוים, ניתן להשוות את המסר השגוי שהתקבל אל מילות הקוד האפשריות, ולהחליט כי המילה ששודרה היא מילת הקוד שהכי קרובה למסר (או את אחת מהמילים הקרובות ביותר), מתוך הנחה שבתהליך העברת המסר לא חלו יותר מדי שגיאות.
מרחק המינג הוא מדד למרחק בין שתי מילים בקוד שאורך מילותיו קבוע, הקרוי על שם המתמטיקאי ריצ'רד המינג שפיתח את תורת הקודים.
מרחק המינג מוגדר בתור מספר המקומות שבהם המילה הראשונה שונה מהמילה השנייה.
מדד זה מהווה מטריקה ולכן נוהגים לסמן אותו כאשר (C הוא הקוד).
מרחק המינג של קוד, הוא השוני המינימלי בין שתי מילות קוד שונות.
בהינתן קוד C מרחק המינג שלו מסומן .
הסימון הוא זהה ומבחינים בין השימושים השונים לפי ההקשר.
מכאן מתקבלת אפשרות להעריך קוד על פי מספר קריטריונים בסיסיים - מספר האותיות שבהן משתמשים בקוד, אורך כל מילה בקוד, מספר המילים בקוד (עושר השפה) ומרחק הקוד (היכולת לתקן שגיאות).
למעט מספר האותיות בקוד, הקשור לאמצעי הטכנולוגי בו משתמשים לתקשורת (למשל, האם מעבירים מסרים בשפה בינארית או דווקא בשפה טרינרית), שאר המאפיינים ניתנים לשינוי ולשליטה מסוימת על ידי יוצרי הקוד.
מאפיינים אלו עומדים זה מול זה - הגדלת המרחק של הקוד מצמצמת את מספר המילים האפשריות, ואמנם על ידי הגדלת אורך המילים בקוד ניתן להגדיל הן את המרחק והן את מספר המילים אך בכך גם מגדילים את הסרבול של הקוד ואת מספר השגיאות הממוצע שהוא סופג בעת העברתו.
כאשר קובעים את אורך הקוד ואת המרחק שלו, מספר המילים האפשריות בקוד הוא מוגבל.
קודים שמספר המילים בהם הוא מקסימלי, עבור אורך מילה ומרחק קוד קבועים, נקראים קודים אופטימליים, ועיקר תורת הקודים הוא בחיפוש וחקירה של קודים כאלו.
חלק גדול מהקודים הטובים (מבחינת גודל הקוד ומרחקו), הם דווקא קודים המקיימים דרישה נוספת - הם מהווים מרחבים וקטוריים מעל אוסף סימני האלפבית.
קודים כאלו נקראים קודים ליניאריים.
משמעות הדרישה שקוד מסוים הוא מרחב וקטורי היא שהקוד סגור תחת פעולות חיבור וכפל בסקלר אשר יוגדרו להלן:
לכל שתי מילות קוד , שייכת גם המילה לקוד.
לכל מילת קוד וסימן בא"ב, שייכת גם המילה לקוד.
יש להעיר שעל מנת שיוגדרו פעולות הכפל והחיבור בצורה נאותה, הא"ב המגדיר את הקוד צריך להיות שדה, ומכך נובע שגודלו חייב להיות חזקה של מספר ראשוני כלשהו.
בקודים ליניאריים נהוג לציין את ממד הקוד כמרחב וקטורי, ולא את מספר המילים שבקוד (שהוא q בחזקה הממד).
יתרונות הקודים הליניאריים על קודים רגילים רבים: קל לייצגם באמצעות בסיס של הקוד, וקיימות שיטות פשוטות לקידוד קודים כאלה, ולבדיקת טעויות.
פענוח קודים כאלה הוא לאו דווקא יעיל מבחינה חישובית, אולם יש דוגמאות רבות בהן הפענוח יעיל ומשתמש בתכונות האלגבריות של הקוד .
תורת חובות הלבבות, המוכר גם בשם חובת הלבבות (במקור, בערבית יהודית: כתאב אל הדאיה אלי פראיץׄ אלקלוב [בחלק מהנוסחאות נוסף: ואלתנביה עלי לואזם אלצׄמאיר]; كتاب الهدايه الي فرائض القلوب [والتنبيه علي لوازم الضماير]), הוא ספר פילוסופיה פרי עטו של רבי בחיי בן יוסף אבן פקודה.
החיבור, המהווה ניסוח של "תורת המוסר" היהודית, נכתב בשנת 1080 בערבית יהודית ותורגם לעברית בידי רבי יהודה אבן תיבון בשנת 1161. לספר הייתה השפעה משמעותית על המוסר היהודי והלא-יהודי.
הוא תורגם מחדש לשפות רבות.
אבן פקודה מדגיש ב"חובות הלבבות" את האתיקה המוסרית שבדת, שאותה ראה כעיקר, בשונה מהרמב"ם, שראה את הבחינה השכלית כעיקר.
ספרו נחשב לאחד מספרי האמונה העיקריים ביהדות לצד הכוזרי, מורה נבוכים, אמונות ודעות ואחרים.
הרב נתנאל בירב פיומי כתב בספרו גן השכלים, כי ספרו נכתב בעקבות ספר תורת חובות הלבבות.
רבנו בחיי הבדיל בספרו בין "חובות האיברים", כלומר המצוות המעשיות המוטלות על היהודים, לבין "חובות הלב" - חובות ההכרה וההרגשה, שהן מצוות האמונה והדרישות המוסריות.
הוא מדגיש שהאחרונות עולות בחשיבותן על הראשונות.
כגון: חובה על היהודי להאמין באל ולבטוח בו, לערוך חשבון נפש ולחזור בתשובה, אך מעל לכל, לאהוב את האלוהים.
הספר מחולק לעשרה "שערים" (פרקים) שכל אחד מהם עוסק באחת מחובות הלב.
השער הראשון - שער הייחוד, עוסק באמונה, ואילו השערים האחרים עוסקים בדברי מוסר ומידות שונים פחות פילוסופיים.
הספר זכה לשבחים מגדולי האחרונים, אולם רבים הביעו הסתייגות מתוכן השער הראשון, מתוך רתיעתם מדיון בהוכחת הדת היהודית.
הגאון מווילנה, ששיבח את הספר, המליץ לאחד משואליו ללמוד את ספר הכוזרי במקום השער הראשון.
שער הייחוד: על מציאותו ואחדותו של ה'.
שער הבחינה: על הכרת המציאות וידיעת החוכמות בעולם, הבאות מכוח ה'.
שער עבודת האלוהים: על החובה לעבוד את ה', אופי עבודת ה' ודרגות שונות בה.
שער הביטחון: על האמונה והביטחון בה' בכל ענייני העולם.
שער ייחוד המעשה: על הקדשת כל המעשים לה' בלבד והתמודדויות מחשבתיות שונות מול היצר.
שער הכניעה: על הכניעה ומנהגיה מול אנשים ומול הקב"ה.
שער התשובה: על השלבים ההכרחיים לתשובה שלמה.
שער חשבון הנפש: על חובת ההשתדלות והכרת האדם בחסרונותיו.
שער הפרישות: על סוגי הפרישות והתאמתה לאדם.
שער אהבת ה': על הכמיהה אל הקב"ה, דרכים אל אהבת ה' ותיאור אוהבי ה'.
בעת שכתב אבן פקודה את הספר הוא הושפע גם ממקורות פילוסופיים מוסלמיים ומן הנאופלאטוניזם בלבושו הערבי, שביקש ליצור חיבור בינו לבין ההשקפה הדתית המוסלמית, כפי שנמצא למשל בחיבורי ה"אחים הטהורים".
בספרי מוסר של הסופים אל-קושיירי ואל-האראוי שקדמו לו, יש חלקים שדנים באותם נושאים ובאותם כותרות של שערי החובת הלבבות.
בספרו בולטות מובאות מחכמי הגויים.
הוא השתמש בהוכחות הכלאם המוסלמי למציאות האלוהים, אם כי בשינוי מה ועם עירוב נאו-אפלטוני לגבי מושג האחדות.
בתורת התארים הולך אבן פקודה בשיטתו של רב סעדיה גאון, ומוסיף כי אף התארים החיוביים הזהים עם עצמות האל אינם אלא שלילה.
הבדלתו בין חובות האיברים ללבבות נמצאת כבר במקורות המועתזילה, שגרסו כי דבקות הנפש היא האידיאל, וניכרת בספרו דואליות של הנפש והגוף יחד עם נטייה מתונה לפרישות.
בחיבורו "ספר תורות הנפש" הוא מחזיק בשיטה הנאופלטונית בצורתה הפופולרית ואינו מוצא סתירה בינה לבין התורה.
הוא מקבל את האצילות הנאופלטונית כפי שהובאה בכתבי הפילוסופים הערבים ומדרג אותה: שכל (שכל הפועל), נפש, טבע, חומר, עצמי הספירות, הכוכבים וארבעת היסודות.
כל אלה הם נבראים והוא אינו רואה סתירה בכך.
הגותו מדגישה את השניות שבין העולם החושי ובין העל-חושי.
החיבור עוסק בנפש ולשיטתו היא עצם בלתי תלוי בגוף, ומהותה מעידה על מקורה.
בכך הוא דוחה את שיטתו של אבן סינא, לפיה הנפש מגיעה יחד עם הגוף הגם שהיא עצם עצמאי.
לפי רבנו בחיי הנפש מצטרפת לחלקי נפש פחותים במטרה להשיבם ולהעלותם, הזיכוך מושג על ידי צידקות שהיא שלטון הנפש השכלית וההכרה.
שלמות שכלית ומוסרית מזכה בשיבה אל עולם הרוח, זיכוך מוסרי בלבד מביא אל גן העדן התחתון למטרת השגת ההכרה.
לשיטתו, נפשות שנדבקו בחושניות חוזרות בגלגול אף לבעלי חיים, בשונה מדעת ר' יצחק הישראלי כי הנפש נסערת בכיסופי שווא תחת השמים, זהו עונשה והיא אינה שבה בגלגול.
רבי יהודה אבן תיבון תרגם את השער הראשון של הספר.
את שאר הספר תרגם לאחר זמן מה הרב יוסף קמחי אביו של הרד"ק, אולם תרגומו לא התקבל.
לאחר מספר שנים תרגם הרב יהודה אבן תיבון את שאר הספר, כל זה היה לבקשתו של רבי משולם מלוניל, תרגומו התקבל וגרם להפצת הספר, ועל פיו נדפס הספר לאורך כל השנים.
בשנת 1912 הוציא אברהם שלום יהודה את הספר מחדש בערבית, על פי כתב יד בודליאנה 1225 שנכתב בשנת 1190 (ד'תתקנ"א).
בשנת 1928 (ה'תרפ"ח) הוציא אברהם צפרוני את הספר במהדורה מדעית, עם שינוי הנוסח על פי הדפוסים הראשונים ועל פי מהדורת א"ש יהודה, כל המהדורות שלאחר מכן שילבו את הגהותיו.
בשנת ה'תשל"ב תורגם הספר מחדש על ידי הרב שמואל ירושלמי, על פי כתב יד בודליאנה, בשילוב תרגומו של אבן תיבן בקטעים שבהם חסר כתב היד ובמקומות נוספים.
בשנת 1984 תרגם הרב יוסף קפאח את הספר מחדש לעברית בת זמנינו.
בשנת 2012 (ה'תשע"ג) הוציא מכון "אבן ישראל" את הספר לאור במהדורה מפוארת, על פי תרגום רבי יהודה אבן תיבון עם ארבעה פירושים, וכן עם הגהות על פי מהדורת קושטא ומנטובה, בתוספת "תיקון מדות הנפש" לרבי שלמה אבן גבירול, ותרגום יוסף קמחי ל"שער התשובה", ו-32 שירים של רבינו בחיי.
מהדורה מדעית עם תרגום מחדש יצא לאור בשנת 2019, על ידי פרופסור בנימין אברהמוב, בהוצאת אוניברסיטת בר-אילן.
אפילו שהספר נכתב בלשון עממית יחסית, היות שנכתב בערבית יהודית, ושהתרגום הנפוץ, של רבי יהודה אבן תיבן, היה תרגום מילולי ולא ענייני, הספר היה מאוד קשה לקריאה, לכן חיברו עליו מספר פירושים - כולם על פי תרגום אבן תיבון.
מנוח הלבבות - מאת הרב הענדל מנוח בן שמריה (נפטר בשנת ה'שע"א), היה מחברי ועד ארבע ארצות, הפירוש נדפס לראשונה בשנת ה'שנ"ו בלובלין.
טוב הלבנון - מאת רבי ישראל הלוי מזמושטש (נולד בשנת ה'ת"ס נפטר בשנת ה'תקל"ז), הפירוש נדפס לראשונה בשנת ה'תקס"ט בווין, ושוב בלבוב בשנת ה'תקצ"ח.
מרפא לנפש - מאת רבי רפאל בן רבי זכריה מנדל מיאמפלא (נולד בשנת ה'תפ"ה נפטר בשנת ה'תקנ"ה), מחברי הבית דין של הנודע ביהודה, הפירוש נדפס לראשונה בשנת ה'תקל"ד באלקסניץ.
פת לחם - מאת רבי חיים אברהם ב"ר יהודה ממאהליב (נולד בערך בשנת ה'ת"ק נפטר בערך בשנת ה'תקע"ה), הפירוש נדפס לראשונה בשקלוב בשנת ה'תקס"ג.
נאדר בקודש - פירוש על פי הסוד והדרוש, נדפס בשנת ה'תק"ן בהורדנא.
לב טוב - מאת הרב פנחס יהודה ליברמן - הפירוש הנפוץ והנלמד ביותר כיום.
תורת הקירובים היא תחום באנליזה מתמטית, העוסק בקירוב מיטבי של פונקציות ממשיות ומרוכבות באמצעות פונקציות פשוטות יותר, ובהערכת השגיאה הכרוכה בקירוב שכזה.
במחשב, המתוכנן לבצע רק מספר פעולות לוגיות ואריתמטיות, לרבות ארבע פעולות החשבון, אפשר לחשב בקלות פולינומים.
בין השימושים החשובים של תורת הקירובים אפשר למנות את החישוב המהיר של פונקציות מורכבות יותר (כגון פונקציות טריגונומטריות, לוגריתם או פונקציה מעריכית), שאותן מקרבים באמצעות פולינומים או מנות של פולינומים.
בקירוב של פונקציה נתונה, המטרה המרכזית היא הקטנת גודל השגיאה.
מטרה זו אפשר להשיג על ידי הגדלת המעלה של הפולינום בו משתמשים לקירוב.
משפט הקירוב של ויירשטראס מבטיח שאם היא פונקציה רציפה בקטע, אז קיימת סדרה של פולינומים המתכנסים אליה במידה שווה באותו קטע.
במילים אחרות, אפשר להבטיח שגיאה מקסימלית קטנה ככל שנרצה, אם רק נרשה למעלת הפולינום להיות גדולה מספיק.
במקרים אחרים יש לחלק את הקטע לקטעי-משנה, ולהשתמש בפולינום מתאים בכל אחד מאלו.
לאחר שנקבעו הפונקציה , מעלת הפולינום , והקטע שמעליו יחול הקירוב, מחפשים את הפולינום מן המעלה הרצויה, שעבורו הערך המקסימלי של השגיאה יהיה הקטן ביותר האפשרי.
באיור משמאל מובאת השוואה בין שני קירובים של הפונקציה בקטע , באמצעות פולינומים ממעלה 4: פולינום צ'בישב (כחול), והפולינום האופטימלי (אדום).
אפשר לנסח את הבעיה הכללית של קירוב פונקציות באופן הבא.
נתונה משפחה של פונקציות שאותן רוצים לקרב (למשל, פונקציות רציפות בקטע מסוים, נאמר ), ומשפחה של פונקציות "פשוטות", שבהן מותר להשתמש לצורך הקירוב (למשל, פולינומים).
אם מטרת הקירוב היא להבטיח שגיאה קטנה בכל מחיר, נדרוש שלכל פונקציה במשפחה הראשונה ולכל , אפשר יהיה למצוא פונקציה פשוטה , כך ש- לכל בקטע.
בדרישה זו אפשר לטפל במסגרת האנליזה הפונקציונלית, באופן הבא: מניחים ש- הוא מרחב בנך של פונקציות המוגדרות בקטע, למשל, מרחב הפונקציות הרציפות, עם נורמת הסופרימום.
תנאי השגיאה החסומה שקול פורמלית לכך שמרחב הפונקציות הפשוטות יהיה צפוף במרחב הפונקציות שרוצים לקרב, .
באופן דומה אפשר לטפל גם בקירוב סימולטני של הפונקציה ושל נגזרות שלה, וכן הלאה.
במקרים אחרים מעוניינים יותר בגודל השגיאה הממוצעת, ומוכנים להרשות שגיאות גדולות יותר באופן נקודתי, בתנאי שהשגיאה הממוצעת תהיה קטנה.
בבעיות כאלה מטפלים על ידי בחירת המשפחה להיות מרחב הילברט (למשל, מרחב הפונקציות כך שהאינטגרל קיים וסופי).
במקרה כזה אפשר לצפות שלקבוצת הפונקציות הפשוטות יהיה בסיס אורתונורמלי, תכונה המאפשרת לחשב את הקירוב באמצעות נוסחאות אינטגרליות.
אנליזת פורייה, העוסקת בקירובים באמצעות פונקציות טריגונומטריות, מיוסדת על כך שהפונקציות מהוות קבוצה אורתונורמלית של פונקציות במרחב .
דוגמה חשובה בכיוון זה נותנים פולינומי צ'בישב , המהווים קבוצה אורתוגונלית מעל הקטע , עם המכפלה הסקלרית .
את הפולינומים אפשר להגדיר לפי הזהות , ומנוסחאות דה-מואבר נובע שמעלתו של הפולינום ה- בסדרה היא .
אם , אז הוא פולינום ממעלה , המהווה בדרך כלל קירוב טוב מאוד (גם אם לא אופטימלי) לפונקציה בקטע .
סדרות אחרות של פולינומים המופיעים בהקשרים דומים הן הסדרות של פולינומי לז'נדר והרמיט.
תורת הקשרים היא תורה טופולוגית, החוקרת את ההיבטים המתמטיים של קשרים, של מבנים דומים להם (כמו שזרים וצמות), ושל הכללות מתמטיות שלהם.
מלבד היישומים שלה במתמטיקה עצמה, יש לתורה זו יישומים גם בכימיה, בפיזיקה (חישוב קוונטי) ובתחומים נוספים..
עיסוק מרכזי של תורת הקשרים הוא לענות על השאלה מתי שני קשרים נתונים הם זהים זה לזה.
קשר השמונה דיאגרמה של קשר השמונה
הקשרים המתמטיים שתורת הקשרים חוקרת הם מודלים מתמטיים לקשרים שאנו פוגשים בחיי היום-יום: כאלו שאפשר ליצור בנקל מחבל או משרוך.
הקשרים האלה מצויים במרחב התלת-ממדי, והמטרה היא לחקור את המאפיינים שלהם שאינם משתנים תחת עיוות רציף במרחב העוטף אותם.
כדי לתאר קשרים בצורה נוחה וחד-משמעית, מציירים דיאגרמה של הקשר, שהיא התמונה הדו-ממדית שרואים כשמתבוננים בקשר מלמעלה.
המוסכמה היא לבחור נקודת מבט שממנה לכל היותר שני מקטעים של החבל חוצים זה את זה באותה נקודה, ולהציג את נקודות החצייה - הקרויות "צמתים" (crossings) - כאשר המקטע העליון שלם, והתחתון מחוק מעט .
קשר, על-פי ההגדרה, הוא מסילה סגורה העשויה להיות מפותלת במידה רבה או מועטה .
מבנה הכולל כמה קשרים, שזורים זה בזה, קרוי שזר (ובאנגלית link).
שתי טבעות המונחות זו לצד זו הן שזר.
אם הטבעות עוברות זו את זו, זהו שזר אחר.
דוגמה מפורסמת אחרת היא הטבעות הבורומאניות, שדיאגרמה שלהן מופיעה משמאל.
הקשר הפשוט ביותר הוא בעל צורת טבעת, שאותה אפשר לתאר במישור ללא צמתים כלל.
הקשר הזה נקרא "אל-קשר" (ובאנגלית the unknot) או "הקשר הטריוויאלי".
קשרים שיש להם רק צומת אחד או שניים אפשר להתיר בקלות.
הדיאגרמה של כל קשר אמיתי כוללת לפחות שלושה צמתים.
הראשון שזיהה שקשרים ניתנים לחקירה מנקודת מבט מתמטית היה קרל פרידריך גאוס, אשר ב-1794 המציא שיטת סימון מיוחדת לקשרים המקודדת בתוכה את התכונות של קשר נתון (קוד גאוס).
מאוחר יותר בחייו גאוס נתקל בתורת הקשרים בשלושה הקשרים שונים: ב-1804 בהקשר של חקירותיו באסטרונומיה, בהקשר של חקירותיו בגאומטריה, וב-1833 בהקשר של עבודתו בפיזיקה בתורת האלקטרומגנטיות.
תוצאות מאוחרות יותר עסקו בתורת הצמות, בסובכים (Tangles) ובשזרים.
הנכלאס של גאוס מכיל איורים מעוררי דמיון של צמות, וההערות המופיעות בו מעידות כי גאוס היה הראשון שחקר את המבנה הטופולוגי של צמות וייתכן שאף לחשוב על חבורת הצמות.
גאוס גם מצא במאמר קצר מ-1844 את כל הקשרים שהדיאגרמה שלהם מכילה לכל היותר ארבעה צמתים.
ב-1833, בהקשר של בעיה אלקטרומגנטית מסוימת, הוא הגדיר את מספר הקישור (linking number) ופיתח שיטה לחשבו באמצעות אינטגרל כפול מתאים (Gauss's linking integral).
רעיונותיו של גאוס הכתיבו את אווירת המחקר בגטינגן של אותה תקופה, והספר הראשון שעסק באופן מוצהר בטופולוגיה, ספרו של תלמידו יוהאן בנדיקט ליסטינג, הוקדש לגאוס.
את החקירה השיטתית של קשרים החל פטר טייט (Peter Tait, 1831-1901), שעסק במיון של קשרים על-פי הדיאגרמות שלהם .
הוא הגדיר את "מספר הצמתים" של קשר כמספר הצמתים הקטן ביותר בדיאגרמה של הקשר, ויצר רשימה מפורטת של כל הקשרים שמספר הצמתים שלהם אינו עולה על 7. אחר-כך נעזר טייט בתומאס קירקמן (Thomas Kirkman) כדי להרחיב את הרשימה עד ל-9 צמתים.
הגישה השלטת באותו זמן הייתה שכדי להבדיל בין קשרים, די "לראות" שהם שונים זה מזה, ושאי-אפשר לפתל אחד מהם עד שיתקבל הקשר האחר בלי לקרוע את החבל.
מאוחר יותר, עם התבססותה של הטופולוגיה כתחום מתמטי מאורגן, היה ברור שאין בכך די.
יש למצוא דרכים להוכיח ששני קשרים נבדלים זה מזה.
כך נוצרה הבעיה היסודית של תורת הקשרים: למצוא אלגוריתם שיקבע האם שני קשרים נתונים זהים זה לזה, אם לאו.
הגישה המתמטית הכללית לבעיות כאלה היא לאתר אינווריאנטים, גדלים שאפשר לחשב מתוך הקשר, ושיהיו שונים זה מזה עבור קשרים שונים, לפחות בחלק מהמקרים.
דוגמה לאינווריאנט כזה הוא מספר הצמתים: אם קשר אחד ניתן להצגה בדיאגרמה עם 8 צמתים וקשר אחר דורש 10 צמתים לפחות, הם חייבים להיות שונים זה מזה.
הבעיה היא שקשה לחשב את מספר הצמתים.
אכן, רק בראשית המאה העשרים נמצאה הדרך להראות שקיימים בכלל קשרים שאינם שקולים לאל-קשר!
ב-1976 תיאר Waldhansen אלגוריתם המאפשר להבדיל בין כל שני קשרים; האלגוריתם מבוסס על רעיונות של Haken מ-1954 ו-1961.
אחת הבניות היסודיות בתורת הקשרים היא הסכום הקשיר של שני קשרים נתונים.
כדי לחבר שני קשרים, מנתקים כל אחד מהם בנקודה אחת, ומחברים את הקצוות זה לזה כבאיור משמאל.
הקשר המתקבל איננו תלוי בנקודות שבהן בוחרים לנתק את הקשרים המקוריים.
את הסכום הקשיר של הקשרים ו- מסמנים ב-.
קשר שלא ניתן להציג אותו כסכום קשיר אלא אם אחד המרכיבים הוא האל-קשר, נקרא קשר ראשוני.
לקשרים הראשוניים תפקיד דומה לזה של המספרים הראשוניים באריתמטיקה של מספרים טבעיים: משפט שוברט (1949) קובע שכל קשר אפשר להציג באופן יחיד (עד כדי סדר) כסכום קשיר של מספר קשרים ראשוניים.
דיאגרמה נקראת דיאגרמה מתחלפת, אם בטיול לאורך המסילה אנו עוברים לסירוגין פעם מעל ופעם מתחת למקטע השני בצומת.
קשר שאפשר להציג אותו באופן כזה נקרא קשר מתחלף.
דיאגרמה מתחלפת נותנת הצגה 'הדוקה' של הקשר, ולעיתים קרובות הצגה כזו היא בעלת מספר צמתים מינימלי.
לכן קל יותר למיין את הקשרים המתחלפים, והיום ידועות טבלאות של כל הקשרים הראשוניים המתחלפים שמספר הצמתים שלהם אינו עולה על 16 (יש כמעט 2,000,000 כאלה).
ההבנה האינטואיטיבית מזהה קשר עם מסילה רציפה סגורה במרחב התלת-ממדי (פורמלית - עותק של הספירה החד-ממדית ).
המעגל הפשוט נבדל מן הקשר המורכב בדרך שבה הוא משוכן במרחב; אם אפשר לעוות את המרחב (באופן רציף, ללא חיתוך או הדבקה) באופן שמעביר קשר אחד לשני, אז הם שקולים זה לזה.
הגדרה זו פגומה, משום שאם אין מגבילים את "עובי" החבל, אפשר לכווץ כל קשר לנקודה, וכך להפוך כל מסילה סגורה לאל-קשר.
כדי למנוע ניוון כזה של התאוריה, מתבוננים בסביבה צינורית שלו , שהיא טורוס מלא אשר כל דיסק מרידיאני בו הומוטופי לדיסק החותך את הקשר בדיוק פעם אחת.
לכל קשר אפשר ליצור סביבה צינורית על ידי "עיבוי" בעל רדיוס קטן די הצורך, כדי שהטורוס הנוצר לא יחתוך את עצמו.
הסביבה הצינורית מאפשרת להגדיר שני קשרים כשקולים אם קיימת ביניהם "איזוטופיה סביבתית" , כלומר, הומוטופיה בין סביבה צינורית של הקשר הראשון לסביבה צינורית של הקשר השני.
כדי להימנע מקשרים פתולוגיים, אפשר להגדיר קשר גם כמסילה סגורה ליניארית-למקוטעין (כלומר, המורכבת ממספר סופי של קטעים ישרים).
תחת הגדרה זו, אומרים ששני קשרים שקולים זה לזה, אם אפשר לעבור מאחד לשני במספר סופי של צעדים, שבכל אחד מהם מחליפים צלע אחת של משולש בשתיים האחרות, או להפך, ובלבד שהמשולש אינו נוגע באף צלע אחרת של הקשר.
הצעד הראשון: פרימת לולאה עודפת הצעד השני: התרת זוג צמתים הצעד השלישי: הסעת לולאה מעל או מתחת צומת צעדי ריידמייסטר
הגדרת הקשר כמסילה סגורה המורכבת מקטעים ישרים, מאפשרת להוכיח משפט חשוב של ריידמייסטר, הקובע שבין שתי דיאגרמות של אותו קשר אפשר תמיד לעבור במספר סופי של צעדי ריידמייסטר.
יש שלושה צעדי ריידמייסטר חוקיים , וקל לראות ששלושתם אינם משנים את הקשר שאותו הדיאגרמה מתארת.
לכל קשר K, מספר צעדי ריידמייסטר הדרוש למעבר בין שתי דיאגרמות של K עם n צמתים חסום על ידי פולינום ב-n, ועולה לפחות כמו n^2.
הבעיה היסודית של תורת הקשרים היא להוכיח ששני קשרים (הנתונים למשל על ידי דיאגרמות) שונים זה מזה.
כדי למלא את המשימה הזו, יש לאתר גדלים שיהיו תלויים בקשר או בשזר, ולא בדיאגרמה המסוימת שנבחרה לייצג אותם; מסיבות שונות, רצוי שהגדלים האלו יהיו ניתנים לחישוב מתוך דיאגרמה.
תורת הקשרים משמשת שדה ניסויים לטכניקות שונות בטופולוגיה ובתחומים אחרים של המתמטיקה, והיא מכירה אינווריאנטים רבים ומגוונים.
מהם אינווריאנטים מספריים, כמו מספר מרכיבי הקשירות, מספר הקישור הסופר את מספר הפיתולים של המסילה סביב עצמה, הגנוס של משטח סייפרט העוטף את הקשר, מספר הצביעות של הדיאגרמה; ואינווריאנטים אלגבריים כמו פולינום אלכסנדר או פולינומים נוספים, והחבורה היסודית של המשלים לקשר.
ב-1905 הציע Wirtinger לחשב, עבור קשר נתון K, את החבורה היסודית של המשלים ב-.
זהו אינווריאנט טופולוגי טבעי ומוכר, שהיה לו חלק חשוב בהתפתחות של הטופולוגיה האלגברית.
לחבורה היסודית של כל קשר אותה אבליניזציה - .
לפי הלמה של דן (מקס דן, 1910), החבורה היסודית איזומורפית ל- אם ורק אם K הוא האל-קשר.
ההוכחה שפורסמה לא הייתה שלמה, ותוקנה רק ב-1957. החבורה היסודית תלויה כמובן רק במחלקת ההומיאומורפיזם של המרחב .
ב-1989 הוכיחו Cameron Gordon ו-John Luecke שאם המשלימים של שני קשרים (אבל לא שזרים!) הומיאומורפיים, אז עד כדי תמונת מראה הקשרים הומוטופיים זה לזה.
עוד ב-1970 הוכיח Bill Turston שכל קשר שייך לאחת משלוש מחלקות: או שהוא ניתן לציור על הטורוס, או שהוא "קשר לווין" (המתקבל מקשירה של קשר בתוך קשר), או שהמשלים שלו הוא יריעה היפרבולית.
יתרה מזו, במקרה האחרון הוכיח ג'ורג' מוסטוב שליריעה יש מבנה היפרבולי יחיד בעל נפח סופי, כך שהנפח של המשלים הוא אינווריאנט של קשרים היפרבוליים.
Thurston ו-Troels Jorgensen הוכיחו שיכולים להיות רק מספר סופי של משלימי שזרים היפרבוליים בעלי אותו נפח (אם כי יכולים להיות אינסוף שזרים בעלי אותו משלים).
קבוצת הנפחים של משלימי שזרים היפרבוליים סדורה היטב.
סכום קשיר של שני עותקים של קשר התלתן הימני;התוצאה סימטרית ביחס לסיבוב במאה ושמונים מעלות סכום קשיר של קשר תלתן ימני וקשר תלתן שמאלי;סכום זה אינו סימטרי ביחס לסיבוב קשרים שונים עם אותה חבורה יסודית
עם זאת, החבורה היסודית אינה אינווריאנט אוניברסלי של טיפוס ההומיאומורפיזם של המשלים, ואפילו אינה מאפיינת את הקשר עצמו.
לשני הקשרים משמאל (שאינם הומוטופיים כי יש להם מספרים שונים של 3-צביעות), יש אותה חבורה יסודית.
אפשר לחשב הצגה של החבורה היסודית באופן הבא.
נתונה דיאגרמה מכוונת של הקשר K.
מתאימים יוצר לכל קשת בדיאגרמה.
כל נקודת מפגש בין קשתות מתאימה ליחס: בנקודת המפגש תמיד שותפות שלוש קשתות: i עוברת מעל j ההופכת ל-k.
מתבוננים בנקודת המפגש כאילו i ו-j מגיעות מלמטה, ואז מתקיים היחס אם קשת i מגיעה משמאל, ו- אם היא מגיעה מימין.
לדוגמה, החבורה היסודית של קשר השמונה (עם הדיאגרמה המופיעה משמאל, כאשר המספור מתחיל מן הקשת העליונה) היא .
קשרים מתוארים כמסילות במרחב התלת-ממדי.
לממד המרחב יש כאן תפקיד מכריע: במרחב הארבעה-ממדי אפשר לעוות כל קשר לכל קשר אחר, כך שתורת הקשרים במרחב זה ריקה מתוכן.
הכללה בכיוון אחר משנה את המרחב שבו משכנים את הקשר, תוך שמירה על הממד.
ממילא הקשר הוא קבוצה קומפקטית, ולכן השיכון במרחב האוקלידי הוא למעשה שיכון בספירת רימן .
באותו אופן אפשר ללמוד גם קשרים המשוכנים במרחבים תלת-ממדיים אחרים, ובמיוחד בכאלו שהגנוס שלהם אינו אפס, כמו הטורוס הסולידי.
הכללה מרחיקת לכת יותר עוסקת בשיכון של יריעות מממד גבוה יותר, במקום בשיכונים של הלולאה .
בתורת הקשרים אין לעובי החבל משמעות.
עם זאת, אפשר לשאול, עבור קשר שהוא הומוטופי לאל-קשר, האם ניתן לממש את ההומוטופיה גם כאשר החבל בעל עובי חיובי.
תורת הקטגוריות היא תורה מתמטית המנתחת בצורה מופשטת מבנים מתמטיים ואת היחסים ביניהם.
הרעיון המרכזי בה הוא להציג ולפתח רעיונות אקסיומטיים המצויים במבנים מתמטיים מוכרים רבים, וכך להוכיח טענות פרטניות בעזרת כלים מופשטים.
בבסיסה נמצאים אובייקטים ומורפיזמים, שהם מעברים בין האובייקטים בעלי תכונות שונות.
הוכחות רבות נעשות על דיאגרמות קומוטטיביות תוך מעקב אחרי מורפיזמים שונים.
בפיתוחה של תורת הקטגוריות החלו סמואל איילנברג (Samuel Eilenberg) וסאונדרס מקליין (Saunders MacLane) בשנים 1945–1942. לתורת הקטגוריות יישומים גם בתחומים כמו מדעי המחשב ופיזיקה.
המונחים הבסיסיים ביותר בתורת הקטגוריות הם הקטגוריה, בהם יש אובייקטים ומורפיזמים.
קטגוריה היא אוסף של אובייקטים, כך שמתקיים:
לכל שני אובייקטים יש קבוצת מורפיזמים, המסומנת .
לכל אובייקטים יש פעולת הרכבה אסוציאטיבית .
לכל אובייקט קיים , כך שלכל אובייקט ולכל ולכל מתקיים .
מורפיזם נקרא מונומורפיזם אם יש צמצום מימין: כאשר אז מתקיים .
הוא נקרא אפימורפיזם אם יש צמצום משמאל, ואיזומורפיזם אם קיים לו הפכי - כלומר קיים מורפיזם כך ש-.
תכונות אלו של מורפיזמים מכלילות תכונות מוכרות מתחומים אחרים, כמו תורת הקבוצות, טופולוגיה אלגברית, אלגברה ועוד.
הן מהוות את הבסיס המשותף למורפיזמים אלו בקטגוריות השונות.
קטגוריה היא בעצמה מבנה מתמטי, ולכן ניתן לחפש תהליכים אשר משמרים את מבנה הקטגוריה.
תהליך כזה מכונה פונקטור (functor).
פונקטור בין קטגוריות מתאים לכל אובייקט אובייקט , ולכל מורפיזם בקטגוריה הראשונה מורפיזם בקטגוריה שנייה , כך שההרכבה נשמרת: .
פונקטור המשמר את ההרכבה נקרא פונקטור קו-וריאנטי, ופונקטור שהופך את סדר ההרכבה נקרא פונקטור קונטרא-וריאנטי.
דוגמאות לפונקטורים מיוחדים הן פונקטור צמוד, פונקטור חופשי, פונקטור מדויק.
לפונקטורים תפקיד חשוב בתחומים שונים במתמטיקה.
הם מהווים התאמות בין סוגים שונים של אובייקטים, העוזרים לחקור את המבנה של האובייקטים הללו.
רעיון זה הוא בסיסי, והוא צץ לראשונה בתחום הטופולוגיה האלגברית.
באופן זה בעיות טופולוגיות קשות מיתרגמות לבעיות אלגבריות, שלעיתים פשוט יותר לפתור.
לעיתים מחפשים התאמות שהן במובן מסוים טבעיות.
המונח הפורמלי לכך הוא העתקה טבעית בין פונקטורים - זוהי התאמה ששומרת על פעולות ביחס לפונקטורים.
אוניברסליות היא תכונה של אובייקט כללי ביותר בקטגוריה מסוימת.
אובייקט אוניברסלי המקיים תכונה מסוימת, מתקשר בעזרת מורפיזם יחיד לכל האובייקטים האחרים המקיימים תכונה זו.
קיומו לא תמיד מובטח, אך אם הוא קיים - הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.
זוהי דוגמה להגדרה קטגורית טהורה, המסתמכת אך ורק על מבנה קטגוריה ולא על המבנה הפנימי של קטגוריה ספציפית.
בעזרת רעיון זה ניתן למשל להגדיר מכפלת אובייקטים, כך שתקיים תכונה אוניברסלית מתאימה.
במבנים מתמטיים 'רגילים' שואלים לעיתים קרובות מתי שני מבנים הם "שקולים" - כלומר הם הלכה למעשה אותו המבנה.
גם בתורת הקטגוריות יש מינוח דומה - שתי קטגוריות הן קטגוריות שקולות, אם יש פונקטורים כך שיש העתקה טבעית , .
שקילות בין קטגוריות פירושה שטענה על כל אחת מהקטגוריות ניתן לתרגם בהתאמה מלאה לטענה על השנייה.
תורת הקבוצות היא תחום קרוב לתורת הקטגוריות.
בשני התחומים הבסיס הוא חקר העתקות ותכונות שלהם.
תורת הקטגוריות לוקחת רעיונות מתורת הקבוצות, כמו זה של פונקציה (מורפיזם), פונקציה חד-חד-ערכית (מונומורפיזם) ואיזומורפיזם, ונותנת להן מינוח כללי.
פורמלית, אוסף כל הקבוצות הוא קטגוריה המסומנת Set.
המורפיזמים בה הם פונקציות בין קבוצות.
ההגדרה של המורפיזמים השונים במובן הקטגורי מתאימה להגדרה של פונקציות ותכונותיהן בתורת הקבוצות.
היות שקבוצות הן אובייקט בסיסי במתמטיקה, יש חשיבות רבה מאוד לפונקטורים מהן לקטגוריות אחרות ולהפך.
למשל, אובייקט חופשי נבנה מעל קבוצת יוצרים.