tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מאז נפילת הגוש הקומוניסטי, רובן ככולן של מדינות העולם מכירות בהכרח של אי שוויון כלשהו, אולם בד בבד פועלות המדינות לצמצם את אי השוויון הכלכלי, בין אם על ידי הגברת שוויון ההזדמנויות ובין אם על ידי שוויון בתוצאות עצמן.
אמצעי נפוץ להגברת שוויון הזדמנויות, לדוגמה, הוא הנגשת חינוך והשכלה לכלל הציבור בלי קשר למצבו הכלכלי.
כלכלנים מעלים מפעם לפעם רעיונות לצמצום אי-השוויון הכלכלי.
לדוגמה, מרסה ברדראן מאוניברסיטת קליפורניה באירוויין הציעה להנהיג בארצות הברית שירותים בנקאיים בחינם לשכבות החלשות, בדומה לבנק הדואר בישראל.
פעולה נפוצה לצמצום אי השוויון היא על ידי מסוי, מעצם היותו של המס חלוקה מחדש של חלק מהכסף של הציבור.
מדיניות רווחה ממומנת מכספי המס, וכך גם שירותים שונים שהמדינה מספקת לאזרחיה בחינם או במחיר מופחת.
ישנה חשיבות גם לסוג המס.
מיסים ישירים, כגון מע"מ או מס גולגולת, מוטלים באופן שווה.
מיסים פרוגרסיביים, כגון מס הכנסה המחייב בשיעור גבוה יותר משכורות גבוהות, או מס עושר, מוטלים כך שבעלי הכנסה גבוהה או עושר רב משלמים יותר מבעלי הכנסה נמוכה.
מס ירושה ומתנות נחשב לדרך יעילה לצימצום אי שוויון כלכלי, ופרט העברה בין דורית.
הטלת מס גבוה מאוד על בעלי ההכנסה הגבוהה ביותר הוא נושא שנוי במחלוקת.
מס גבוה יביא להגדלת הכנסות המדינה ולקיטון אי השוויון.
מאידך קיים חשש לעודד הגירה בקרב האוכלוסייה בעלת ההכנסה הגבוהה, שהימצאותה במדינה מסייעת לכלכלה בדרכים שונות.
מחקר שבדק את השפעתן של שינויים במדיניות מס על העשירונים בעלי ההכנסות הגבוהות ביותר בקרב 18 ממדינות ה-OECD בשנים 1965–2015, מצא שהפחתת המס על עשירונים אלו הגדילה את האי השוויון הכלכלי ולא השפיעה באופן משמעותי על הצמיחה הכלכלית והאבטלה.
העברה ומיסים ישיריםמדד ג'יני לפני תשלומי
אי השוויון בהכנסות בישראל לפי מדדי אי-שוויון שונים גבוה בהשוואה למדינות המפותחות.
במתמטיקה, אי-שוויון פלי-זיגמונד מספק חסם על ההסתברות שמשתנה מקרי אי-שלילי הוא קטן ביחס לתוחלת ולשונות שלו.
הוכחה ראשונה לאי-השוויון הזה ניתנה על ידי אנתוני זיגמונד וריימונד פלי ב-1932.
משפט: יהי Z ≥ 0 משתנה מקרי בעל שונות סופית, ויהי קבוע.
פירוק לפי משתנים מציינים נותן
המחובר הראשון אינו עולה על .
השני הוא לכל היותר לפי אי-שוויון קושי-שוורץ.
הגרסה החד-צדדית של אי-שוויון צ'בישב נותנת חסם טוב יותר: .
זהו חסם הדוק, המתקבל למשל כאשר במשתנה המקרי המקבל את הערך בסיכוי ואת הערך בסיכוי המשלים.
בתורת ההסתברות, אי-שוויון צ'רנוף או חסם צ'רנוף הוא אי-שוויון המתאר את הקשר בין סכום של משתני ברנולי לבין התוחלת של סכום זה.
אי-שוויון צ'רנוף מראה דעיכה מעריכית של ההסתברות לכך שסכום המשתנים יהיה רחוק מהתוחלת הצפויה, כפונקציה של המרחק הנמדד בסטיות תקן.
במילים אחרות, ההסתברות שהסכום יהיה רחוק t סטיות תקן מהתוחלת קטנה כפונקציה מעריכית ב-t.
יהיו מאורעות בלתי תלויים אשר מתרחשים בהסתברות כך ש (כלומר, )
מכיוון שסכום המאורעות מפולג בינומית, , תוחלת סכום המאורעות היא , וסטיית התקן היא .
מכיוון שהחסם המתקבל מעריכי, אי שוויון צ'רנוף חזק יותר מאשר אי-שוויון צ'בישב, ואי-שוויון מרקוב, בהם דעיכת הזנב פולינומית.
אי השוויון קרוי על שם המתמטיקאי הרמן צ'רנוף (Herman Chernoff), שהוכיח את אי-השוויון בשנת 1952. כיום משמש השם "אי שוויון צ'רנוף" לתיאור משפחה של אי שוויונות המבוססים על אי שוויון זה או על אי-שוויונות דומים לו כגון
אי שוויון הופדינג ואי שוויון ברנשטיין (שניתן לראותם כמקרה פרטי של אי-שוויון זה).
הכללה עבור משתנים מקריים בעלי פונקציה יוצרת מומנטים
ניתן להכליל את אי השוויון ולקבל חסם על הסטייה מהתוחלת עם דעיכה אקספוננציאלית עבור משתנים מקריים בעלי פונקציה יוצרת מומנטים.
עבור משתנה מקרי בעל פונקציה יוצרת מומנטים ו t חיובי, אפשר להשתמש באי-שוויון מרקוב עבור המשתנה המקרי
בגלל שהאי שוויון מתקיים לכל , אפשר להשתמש באינפימום, ולקבל:
אי שוויון צ'רנוף נפוץ בתחומים רבים של המדעים בעיקר בחישובים סטטיסטיים של מדגמים וכן באנליזה של אלגוריתמים אקראיים במדעי המחשב, על מנת לחסום את הסתברות השגיאה של מדגם/אלגוריתם נתון.
למשל, נניח כי קיים אלגוריתם אקראי A שעונה את התשובה הנכונה בהסתברות 0.6 (ובהסתברות 0.4 עונה תשובה אחרת).
דרך אפשרית לבניית אלגוריתם "משופר" תהיה להריץ את האלגוריתם A מספר רב של פעמים, ולענות את התשובה שחזרה על עצמה הכי הרבה פעמים.
למשל, אם האלגוריתם A מחשב בעיה מסוימת שהתשובה עבורה היא "כן/לא", נגדיר אלגוריתם חדש B המריץ את האלגוריתם A מספר רב של פעמים (נניח, 100 פעמים) ועונה לפי הרוב.
נצפה שכ-60 מההרצות יענו תשובה אחת (התשובה הנכונה), ושאר 40 ההרצות יענו תשובה אחרת.
ונשאלת השאלה: מה ההסתברות של אלגוריתם B לטעות?
אי השוויון של צ'רנוף נותן נוסחה פשוטה המגדירה את הסתברות הכישלון של B כפונקציה של מספר ההרצות.
נשים לב שאלגוריתם B טועה אם התשובה הנכונה הופיעה פחות מ-50 פעמים, כלומר, סטיה של 10 הרצות מן התוחלת הצפויה של 60 פעמים (כ-2 סטיות תקן).
כמובן שאם היינו מריצים 1000 פעמים, אלגוריתם B יטעה כאשר התשובה הנכונה תופיע פחות מ-500 פעמים, כלומר סטייה של 100 מהתוחלת הצפויה (כ-6.5 סטיות תקן).
מכאן ניתן להעריך שהסתברות השגיאה של B במקרה הראשון (100 הרצות) היא מסדר גודל של ואילו במקרה שני (1000 הרצות) הסתברות השגיאה של B קטנה באופן משמעותי (עקב הדעיכה המעריכית) והיא מסדר גודל של .
באופן שקול, אם נתונה הסתברות השגיאה הרצויה מאלגוריתם B, ניתן לחשב את מספר ההרצות החוזרות של אלגוריתם A הנדרשות על מנת לעמוד בהסתברות זו.
סכום של משתנים בלתי-תלויים בהתפלגות זהה
אי-שוויון צ'רנוף עבור משתנים בלתי-תלויים בהתפלגות זהה (i.i.d)
יהיו משתנים אקראיים מפולגים זהה ובלתי תלויים (i.i.d), כך ש־.
אי השוויון קובע כי לכל
אי-שוויון צ'רנוף עבור משתנים בלתי-תלויים
וריאנט זה חוסם את ההסתברות שסכום המשתנים שונה מהתוחלת הצפויה, כאשר המרחק נמדד בכפולות של התוחלת (לעומת כפולות של סטיית התקן, כפי שמתקיים באי-שוויון לעיל).
יהיו אינדיקטורים בלתי תלויים (משתנים אקראיים המקבלים ערך 0 או 1), ונניח שהסתברות כל מאורע נתונה
נסמן את הסכום בתור ואת התוחלת של הסכום אזי מתקיים לכל
או באופן מעט פחות הדוק (אבל יותר נוח לשימוש)
אי-שוויון צ'רנוף עבור משתנים תלויים
אי תלות בין משתנים הוא תנאי מספיק אך לא הכרחי.
הכללה של אי השוויון מתקיימת לכל קבוצה של משתנים בינאריים המקיימת לכל תת-קבוצה ,
כאשר הוא קבוע כלשהו , ו- |S| הוא מספר האיברים בקבוצה.
אי-שוויון צ'רנוף מתקיים גם עבור משתנים שהם negatively related.
בתורת ההסתברות אי-שוויון מרקוב חוסם את ההסתברות לכך שמשתנה מקרי אי שלילי יהיה גדול מקבוע נתון.
אי שוויון מרקוב (בדומה לאי-שוויון צ'בישב ואי-שוויון קולמוגורוב) הוא אחד מאי-השוויונים הבסיסיים המשתמשים במושג התוחלת בשביל לאמוד (אם כי לעיתים רבות באופן גס) את פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי.
לדוגמה, מאי-השוויון נובע שלא ייתכן כי רף הכניסה לעשירון העליון של ההכנסות יהיה פי 12 מהמשכורת הממוצעת.
למרות פשטותו, אי-השוויון מאפשר להוכיח תוצאות לא טריוויאליות, כגון החוק החלש של המספרים הגדולים.
אי-שוויון מרקוב קרוי על שם המתמטיקאי הרוסי אנדריי מרקוב, אם כי קיים תיעוד שלו בעבודותיו המוקדמות של פפנוטי צ'בישב שהיה מורו של מרקוב.
אי-שוויון מרקוב מכונה גם אי שוויון צ'בישב ואי שוויון ביניימה בספרות מקצועית רבה (בפרט באנליזה), אך אין לבלבל בינו לבין אי-שוויון צ'בישב המפורסם.
במושגים של תורת המידה, אי-שוויון מרקוב גורס כי בהינתן מרחב מידה ופונקציה מדידה אל הישר הממשי המורחב, אז לכל מתקיים:
במקרה הפרטי של מרחב הסתברות (כלומר, המרחב בעל מידה 1), אי-השוויון שקול לטענה שעבור כל מתקיים
מספיק להוכיח עבור פונקציה מדידה חיובית.
f פונקציה מדידה, לכן הקבוצה מדידה.
נוציא אינטגרל לבג על הקבוצה X משני צידי אי השוויון:
לפי הגדרת אינטגרל לבג על פונקציה מציינת של קבוצה מדידה, מתקיים:
יהי משתנה מקרי חיובי רציף (ההוכחה למקרה הבדיד דומה).
במתמטיקה, אי-שוויון הסכומים של צ'בישב קובע שאם ו- הן שתי סדרות של מספרים, המסודרות באותו כיוון, אז ממוצע המכפלות חוסם את מכפלת הממוצעים, כלומר .
האי-שוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב, שהציג אותו.
למשפט ידועות כמה הוכחות, והכללות רבות.
הגרסה המשוקללת: אם הם מספרים חיוביים ו- כמקודם, אז .
גרסת המשתנים המקריים: אם X משתנה מקרי בדיד ו- f,g פונקציות מונוטוניות עולות (במובן החלש), אז ; כלומר, בין שתי פונקציות עולות של אותו משתנה מקרי יש מתאם חיובי.
הגרסה הרציפה: אם f,g פונקציות ממשיות אינטגרביליות על הקטע [0,1], ושתיהן מונוטוניות עולות, אז .
מכיוון שהמספרים סדורים באותו כיוון, לכל מתקיים , כלומר .
סיכום לכל i ולכל j נותן .
בתורת האינפורמציה, אי-שוויון קראפט (Kraft's Inequality) מתאר תנאי מספיק והכרחי לשיוך קבוצת מילים לצמתי עץ, כך שלא תשויך יותר ממילה אחת לאורך כל מסלול היוצא מהראש.
לתכונת שיוך זו יישומים בבניית קודים.
נניח קבוצה מעוצמה סופית או אלף אפס של מילים מעל א"ב כלשהו .
אי-שוויון קראפט אומר כי התנאי
הוא מספיק והכרחי לשיוך כל מילה ב- לצומת עץ (אולי אינסופי) בעל דרגת יציאה , כך ש:
כל מילה משויכת לצומת יחיד בעומק השווה לאורך המילה.
אין שתי מילים המשויכות לצומת וצאצא שלו.
נניח א"ב בעל שלוש אותיות, לדוגמה .
נניח שיש לנו קבוצה בת חמש מילים מעל א"ב זה, שאורכיהן הם .
עלינו למצוא שיוך לעץ המוצג בצד שמאל כך שארבעה צמתים בגובה 2 ישויכו, צומת אחד בגובה 1 ישויך, ואף צומת משויך לא יהיה צאצא של צומת משויך אחר.
ולכן אי-שוויון קראפט מבטיח שיש שיוך מתאים.
ואכן, השיוך בתרשים בצד שמאל הוא שיוך מתאים.
נחשוב על תהליך כלשהו המייצר את מילות הקבוצה אחת אחרי השנייה.
לעיתים יש צורך, ברגע שמילה נוצרת, לשייך אותה לצומת בעץ.
ישנו אלגוריתם מקוון פשוט מאוד המתאים לאי-שוויון קראפט.
נסמן כל צומת בעץ כפנוי, משויך, או תפוס.
בתחילה, כל צומת יהיה פנוי.
בכל פעם שצומת הופך להיות משויך, כל אחד מאבותיו (עד השורש) נהיה תפוס (ייתכן שחלקם כבר היו תפוסים).
אם בצעד כלשהו צריך לשייך צומת ברמה , נמצא את הצומת הפנוי השמאלי ביותר ברמה זו, ונשייך אותו.
המשפט לעיל אומר שאי-שוויון קראפט מתקיים אמ"ם אין צעד שבו אי אפשר למצוא צומת פנוי.
כאשר מילים משויכות לעצים, אפשר לבנות קוד למילים.
בהינתן מילה, נמצא את הצומת המתאים למילה, ונתאר את המילה בעזרת המסלול המוביל מראש העץ למילה.
בתרשים הקודם, לדוגמה, המילים השייכות לצמתים יתוארו, משמאל לימין, על ידי המחרוזות:
1 (רד ישר פעם אחת)
20 (רד ימינה ואז שמאלה)
21 (רד ימינה ואז ישר)
כאשר משתמשים בשיטה זו לקידוד רצף מילים, עולה הבעיה היכן מסתיים קידוד מילה אחת ומתחיל קידוד המילה הבאה.
לדוגמה, נניח שקידוד רצף המילים הוא
רצף הקידודים עשוי להיות 20,10,02,
אם השיוכים הם כאלה כך שאף צומת משויך אינו צאצא של צומת משויך אחר, אזי אין בעיה כזאת.
מפענחים את התיאורים לפי השיטה הבאה:
יורדים לפי הסימנים עד שמגיעים לצומת משויך.
מפענחים את המילה וחוזרים לשלב הקודם.
לפי הבניה, ההגעה לצומת משויך מהווה אינדיקציה שאין טעם להמשיך במסלול - לא ייתכן צומת משויך נוסף בהמשך.
אי-שוויון התמורות הוא אי-שוויון שימושי המאפשר למצוא תמורות שנותנות ערך מקסימלי.
אם נתונות שתי N-יות סדורות בעלות איברים, כך שאיברי מסודרים מהקטן לגדול (נסמן אותם ) ו- בסדר מסוים (נסמן אותם ), אז הביטוי מקבל ערך מקסימלי כאשר גם איברי מסודרים מהקטן לגדול.
ערך מינימלי מתקבל כאשר הם מסודרים מהגדול לקטן.
הוכחה: ביטוי שקול הוא או .
כיוון שהביטויים בסוגריים הם שליליים, המכפלה שלהם חיובית.
הוכחת האי-שוויון: ניקח תמורה כלשהי על ונחשב את הביטוי.
נשים לב שאם קיימים שני מספרים עבורם , אז נוכל להחליף ביניהם ולהגדיל את ערך הביטוי (על פי טענת העזר).
נמשיך בתהליך עד שנגיע למצב שאיברי מסודרים לפי הסדר.
כיוון שבכל שלב הגדלנו את ערך הביטוי, הרי שבסיכומו של דבר הגדלנו אותו ולכן בתמורה שבה איברי מסודרים לפי הסדר הערך גדול יותר מאשר זאת שבחרנו.
כיוון שהסבר זה לא תלוי מאיזה תמורה התחלנו, הוא נכון לכל תמורה, ולכן התמורה בה איברי מסודרים לפי הסדר היא זאת שנותנת את הערך המקסימלי.
ההוכחה שכאשר איברי מסודרים מהגדול לקטן מתקבל ערך מינימלי אנלוגית לחלוטין.
אי-שרדות היא סדרת אנימציה קנדית אשר שודרה לראשונה ב-8 ביולי 2007 והופקה במקור ל-Teletoon אך בהמשך שודרה גם בקרטון נטוורק.
הסדרה היא פרפרזה ופרודיה על הריאליטי "הישרדות".
בישראל הסדרה משודרת בערוץ הילדים.
תכנים גסים רבים צונזרו או הוסרו בסדרה על מנת שתוכל להיות משודרת לקהל צעיר.
העונה הרביעית של הסדרה התקיימה באי הנטוש כמו עונה זו, רק שהוחלפו המתמודדים והאי התמלא בפסולת רדיואקטיבית.
נכון ל-2011 הסדרה משודרת בלמעלה מ-188 מדינות לצד מוצרים נוספים של זיכיון אי-שרדות.
ב-15 בספטמבר עלו שתי העונות הראשונות של הסדרה לשירות הסטרימינג נטפליקס, אך ללא דיבוב עברי.
דמותמדבבתפקידעבריתאנגליתכריס מקלייןגיא רושניאקכריסטיאן פוטנזהמנחהשף האצ'טצביקה פורמןקלה בנטטבח ועוזר מנחה
כריס מקליין (גיא רושיניאק/כריסטיאן פוטנזה) - מנחה התוכנית, מאוהב בעצמו וחושב שהוא מושלם.
איש סדיסט ונרקיסיסט אשר אוהב להתעלל במתמודדים.
בקטע ההדחה של בליינלי, התגלה שאנשי ההפקה רצתה שהיא תחליף את כריס בהנחיית העונה, אך בסוף הם התחרטו.
נורברט שפורי "שף" האצ'ט (צביקה פורמן/קלה בנט) - הטבח של המחנה, נוהג לבשל דברים דוחים למתמודדים.
החליף את כריס באחד הפרקים בתור מנחה, מכיוון שכריס באותו היום הנחה בטקס פרסים.
אזיקיאל (מירון אהרונוביץ'/פיטר אולדרינג) - נער כפרי תמים, אשר לפני התוכנית התחנך בביתו.
הודח כי הערותיו הסקסיסטיות עיצבנו והעליבו את כל הבנות במחנה.
התיאור שלו היה "הנער שלומד בבית".
חזר בעונה השלישית אך שוב הודח ראשון.
אווה (רונה בקרמן/ג'וליה צ'אנטרי) - נערה אתלטית, חזקה ואגרסיבית במיוחד בעלת בעיות שליטה בכעסים.
הודחה עקב תרגיל של הת'ר, שרצתה שקבוצת הלברקים תיפטר מהשחקנית הכי חזקה.
חזרה באמצע העונה בעקבות החלטת ההפקה אך הודחה בשנית כי הפחידה את המתחרים (במיוחד את ברדיג'ט).
מעולם לא חזרה לעונות הבאות.
נואה (זיו זוהר מאיר/קרטר היידן) - נער אדיש, סרקסטי ועצלן בעל מנת משכל גבוהה, שעל פי הסדרה יש לו IQ של 180. הודח בשל שחצנותו, הציניות שלו וחוסר העזרה שלו לקבוצה במשחק מחניים.
הופך לחברם הטוב של איזי, אוון ואווה.
התיאור שלו היה "התחבולן" אבל שונה ל-"האיי קיו הגבוה".
נעדר מהעונה השנייה אך חזר בעונה השלישית ונטש את הנטייה לעצלנות.
וגם בסדרת הבת "אי-שרדות: המירוץ" הוא חזר, הפעם בצוות עם אוון.
ג'סטין (אלון שר/אדם ריד) - נער גבוה ויפה תואר, דוגמן שמצליח לפתות את כול הבנות ואוון בגלל המראה שלו.
הוא שומר על המראה שלו במיוחד.
הודח בעקבות תרגיל של הת'ר.
הפך ליריב העיקרי של העונה השנייה עד הגעתה של קורטני.
קייטי (אתי קסטרו/סטפני אן מילס) - חברתה הטובה ביותר של סיידי, הודחה מפני שהיא וסיידי הגיעו אחרונות למחנה.
התיאור שלה היה "הנערה החמודה".
מכונה "אסירה מספר כיעור" בשל כיעורה ודמיונם של בגדיה למדי אסיר.
הופיעה בתפקיד קמע בעונה השלישית של "אי-שרדות: עושים צרות".
טיילר (עדי רז/פיטר אולדרינג) - ספורטאי כושל, בן זוגה של לינדזי, הודח בעקבות הפחד שלו מתרנגולות.
התיאור שלו היה "הספורטאי" ולאחר מכן שונה ל-"הספורטאי שגרוע בספורט".
נעדר מהעונה השנייה אך חזר לעונה השלישית, שם הודח בגלל אלחנדרו (אלחנדרו הוא מתמודד שלא מופיע בעונות הראשונה והשנייה ומצטרף בשלישית).
איזי (נעה קשפיצקי/קייטי קראון) - נערת ג'ונגל מטורפת, ברחה ממסוקי המשטרה וטכנית הודחה מהמשחק אך חזרה למשחק והודחה לפני ג'ף, משום שירתה חץ הרדמה בישבנה של הת'ר.
התיאור שלה היה "החיה הפסיכית".בעונות הבאות בקשה שיקראו לה קליידוסקופ ובקיצור איזקופ.
השתתפה בשלוש העונות הראשונות של הסדרה.
קודי (דור סרוגו/פיטר אולדרינג) - נער חנון, הודח מכיוון שלא עזר לקבוצה.
באופן מפתיע התגלה שהוא אלוף במחניים.
מאוהב בגוון אבל עזר לטרנט להשיג אותה.
נעדר מהעונה השנייה אך חזר לעונה השלישית.
בת' (אורלי קטן/שרה גורדון) - נערה חנונית קטנה ובעלת גשר בשיניים, הודחה בגלל פסל שמצאה באי האסור שגרם לקבוצתה מזל רע.
באודישן שלה היא מזייפת בשיר כלשהו עד שמישהו (כנראה אבא שלה) קוטע אותה ושואל מה היא עושה.
היא עונה שהיא לא עושה כלום ואומרת למצלמה שהיא תהיה כוכבת יום אחד.
התיאור שלה היה "הוונאבי" או "הרוצה-להיות".
השתתפה בעונה השנייה אך לא חזרה לעונה השלישית.
סיידי (לירון כרקוקלי/לורן ליפסון) - חברתה הטובה ביותר של קייטי, הודחה בעקבות חוסר התמיכה של קורטני אליה.
הכינוי שלה היה "החברה של הנערה החמודה".
מכונה "אסירה מספר כיעור וחצי".
קורטני פרסקוט (אורלי תגר/אמילי קלייר בארלו) - נערה יפה וחכמה אך נקמנית וחמומת מוח, בעונה הראשונה הודחה בעקבות תרגיל של הרולד, אשר רצה לנקום בדנקן.
יצאה עם דנקן במשך העונה הראשונה (ובעונה החמישית עם סקוט).
שונאת את הרולד משום שהדיח אותה.
השתתפה בשלוש העונות הראשונות (למרות שלעונה השנייה נכנסה באמצע בעקבות זה שתבעה את התוכנית ואפילו הצליחה להשיג תנאים מיוחדים כמו מחשב כף יד) ובעונה החמישית.
הרולד (תומר גלר/בריאן פראוד) - נער מוזר ורזה במיוחד עם יכולות מוזרות, הודח בעקבות תחרות שהפסיד בה.
גרם לקורטני להיות מודחת בגלל שדנקן סכסך בינו ובין לשאונה.
לעיתים קרובות סובל מהצקות בידי דנקן.
היה חבר בכל מיני מחנאות שמנהל אותם אחד בשם סטיב.
טרנט (עמית יוסוביץ'/סקוט מק'קורד) - זמר ונגן בגיטרה, מאוהב בגוון ויצא איתה, הודח בעקבות תרגיל של הת'ר, אשר רצתה לנקום בגוון, ונראה לכאורה כאילו הוא בגד בה עם הת'ר.
השתתף בעונה השנייה אך לא בעונה השלישית.
הופיע בתפקיד קמע בפרק הראשון של העונה השלישית של "אי-שרדות: עושים צרות"
ברידג'ט (ספיר דרמון/קריסטין פיירלי) - גולשת יפה וטובת לב, יצאה עם ג'ף במשך העונה.
באודישן שלה החברים שלה מצלמים אותה מנגנת עם האף שלה את הפתיח של ברני ואז היא אומרת כמה מהתכונות הטובות שלה.
הודחה בעקבות כריתת ברית של בני המחנה ובעקבות סירחון שקיבלה מבואש.
השתתפה בשלוש העונות הראשונות, ובעלת הופעת אורח בעונה הרביעית.
לינדזי (מיכל רשף/סטפני אן מילס) - נערה בלונדינית ושווה, ידועה בטיפשותה.
בת זוגו של טיילר אבל אף פעם לא מזהה אותו.
קוראת לאנשים בשמות הלא נכונים.
יש לה אחות בשם פולה.
באודישן שלה היא אמרה שיש לה ביקיני לכל עונה, אפילו כאלה שלא נמצאות בלוח השנה ושהיא יודעת שתי שפות- אנגלית ואמריקאית.
הודחה בעקבות תרגיל של הת'ר לאחר שהגיעה במקום האחרון במירוץ האופניים.
השתתפה בשלוש העונות הראשונות ובעונה החמישית.
דבון ג'וזף (די.ג'יי) (מירון אהרונוביץ'/קלה בנט) - נער תמים ובעל לב טוב, אוהב מאוד את אמא שלו ונחשב "ילד של אמא", ואוהב מאוד חיות.
הודח מאחר שהשתגע לפני שהאיש הרע התקרב.
הופיע בתפקיד קמע בפרק הראשון של העונה השלישית של "אי-שרדות: עושים צרות".
ג'ף (רועי שגב/דן פטרוניג'ביק) - נער מסיבות, יצא עם ברידג'ט במשך העונה.
חזר לעונה השנייה ולא השתתף בעונה השלישית, אך חזר לסדרת "אי-שרדות: המירוץ" עם ברודי.
לשאונה (ענת ניב/נובי אדוארדס) - כיפית וידידותית, במהלך העונה יצאה עם הרולד.
הודחה בעקבות החלטה שגויה של המחנאים שהודחו קודם לכן שרצו בכלל לגרום לה לנצח אבל לא הבינו את המטרה של האתגר וכשכן הבינו כבר היה מאוחר מדי.
חזרה להשתתף בעונה השנייה והשלישית.
דנקן (צביקה פורמן/דרו נלסון) - עבריין שיצא מהמוסד לעבריינים, הודח בעקבות החלטה של שף לאחר הפסד שלו ושל אוון לגוון ולהת'ר במשימת מחנאות.
לאחר שהתנשקו בעונה הראשונה יצא עם קורטני במשך העונה השנייה.
ניצח בעונה הזאת בחלק מהמדינות אך בישראל בת' זכתה.
בעונה השלישית בגד בקורטני עם גוון וכתוצאה מכך התחיל לצאת איתה.
הת'ר (שרון שחל/רייצ'ל ווילסון) - נערה רעה, תככנית שחושבת אך ורק על ניצחון ולכן משמשת כנבל של העונה.
הודחה בעקבות משימה שסירבה לעשות שבה הייתה צריכה לגלח את השיער, אך לבסוף הוא גולח בטעות, ולמרות זאת הודחה.
חזרה להשתתף גם בעונה השנייה, השלישית והחמישית, והייתה לה הופעת אורח בעונה הרביעית.
הופיעה בתפקיד קמע בעונה השלישית של "אי-שרדות: עושים צרות" כשהיא עם אותה תסרוקת מהעונה השלישית.
גוון (אביטל אברג'יל/מייגן פלנבוק) - נערה גותית בודדה, יצאה עם טרנט במהלך העונה הראשונה ונפרדה ממנו בשנייה כי היה אובססיבי אליה ואל זה שהיא ודנקן קרובים.
הגיעה לגמר עם אוון והפסידה בגלל תרגיל של איזי.
ניצחה בפינלנד, בנורווגיה בשוודיה, בפולין, ברומניה ובסקנדינביה (מלבד דנמרק שבה גוון הפסידה לאוון) והפסידה בשאר המדינות.
בעונה השלישית התחילה לצאת עם דנקן לאחר שבגד איתה בקורטני.
בעונה החמישית היא חוזרת כדי לתקן את מערכת היחסים שלה ושל קורטני, וכתוצאה מכך נפרדת מדנקן.
חזרה להשתתף בעונה השנייה, השלישית והחמישית.
אוון (לירון לב/סקוט מק'קורד) - נער שמנמן שאוהב לאכול ולכייף, ניצח בגמר את גוון וזכה בפרס הכספי אבל הוא ויתר על הפרס תמורת הזדמנות לזכות במיליון דולר.
מאוהב באיזי אך מראה הימשכות גם לג'סטין.
חזר להשתתף בעונה השנייה, השלישית ובסדרת "אי-שרדות: המירוץ".
הייתה לו הופעת אורח בתחילת העונה הרביעית ובסוף העונה החמישית.
בתחילת הפרק כריס מספר מה קרה בפרק הקודם, ואז רואים את המשתתפים בבוקר, קמים.
לאחר מכן הם פוגשים את כריס (ולפעמים גם או רק את שף) לאחר מכן יש ארוחת בוקר בה המשתתפים אוכלים את המאכלים הדוחים של שף.
כריס מספר להם על האתגר ולאחר מכן המשתתפים מבצעים את האתגר והקבוצה המפסידה: לברק קטלני או סנאי הכיס הצורחים נשלחת לטקס ההדחה במדורה בו מחולקים מרשמלואים.
משתתף שלא קיבל מרשמלו נשלח לאי הבושה.
הם עדיין משתתפים, אבל בתור "גלריית הבוטנים" שהם האנשים שנמצאים בפרקי שאחרי ההדחה.
באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי הוא אי-שוויון הקרוי על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי.
אי-שוויון זה הוא וריאציה של אי-שוויון המשולש לנורמה במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.
עבור , מגדירים את נורמת של וקטור לפי הנוסחה .
אי-שוויון מינקובסקי קובע כי: , לכל שני וקטורים .
חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת מקיימת את אי-שוויון המשולש.
מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.
בתורת המידה, נורמה- של פונקציה על מרחב מידה מוגדרת כך - .
המרחב הוא אוסף כל הפונקציות עבורן ; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).
באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי שוויון מינקובסקי - , ולכן זוהי באמת נורמה.
ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך.
במקרה מתקבל מרחב הילברט .
המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי ; הוא מתקבל עבור המרחב , כאשר ו- היא מידת הספירה (כמות האיברים בקבוצה).
אי-שוויון וייל (Weyl) הוא אי-שוויון בתורת המטריצות העוסק בשינויים בערכים עצמיים של מטריצות הרמיטיות.
נקרא על שם המתמטיקאי הרמן וייל.
אם נסמן את הערכים העצמיים של מטריצה X ב : .
האי-שוויון אומר שאם M,P,H הן מטריצות הרמיטיות כך ש אז לכל מתקיים:
אי-שרדות המירוץ היא סדרת אנימציה קנדית המהווה ספין-אוף לסדרה "אי-שרדות", ומשודרת החל מ-7 בספטמבר 2015.
הסדרה מתרחשת מסביב לעולם, ומבוססת על סדרת הטלוויזיה המצליחה "המירוץ למיליון" (the amazing race).
18 צוותים בדיוניים יצאו להילחם מסביב לעולם, לעמוד במשימות ואתגרים חדשים, ולהכיר מקומות חדשים בעולם.
לעונה זאת אין עלילת המשך מהעונה הקודמת, זאת היא עונה חדשה לגמרי, עם מנחה חדש לגמרי ומתמודדים חדשים.
אך התוכנית מבוססת על אותה פואנטה כמו הקודמת, 18 צוותים (זוגות) יתחרו על 1,000,000 $ אחרי שיעברו אתגרים ומשימות בכל העולם, הדחות וטיסות.
בכל פרק ישנה הדחה (למעט מספר פרקים) ומספר משימות (בדרך כלל 2–3) באותה הארץ בה העלילה של הפרק מתקיימת (לרוב, לכל פרק יש ארץ שונה).
על המשתתפים לקחת את "טיפ המסע" מ"קופסת דון", ולעקוב אחרי הטיפים עד ההגעה ל"אזור הרגיעה".
בדרך עליהם לעבור משימות ואתגרים העלולים לשנות את מצב המשחק.
בסדרה עצמה היו דמויות אחרות מהעונות של "אי-שרדות" בהופעות קמע, כגון: כריס מקליין עצמו שנראה שהוא קורא עיתון באחד הפרקים ושל מריה שנראה שהיא בין האנשים שהולכים ברקע.
הכל כלול – מקבילים לאתגרי "סימן דרך" ב"המירוץ למיליון".
אלה משימות רגילות, ורוב המשימות בתוכנית הן על בסיס זה.
צפייה או משמרת – אתגרים אלו דומים לאתגרי "מחסום" במירוץ למיליון, אחד מהמשתתפים מבצע את המטלה בזמן שהשני צופה בו.
– נותן למתחרים אפשרות לבחור בין 2 אתגרים.
מקביל לאתגרי "צומת" במירוץ למיליון.
סופר קבוצות – מקביל לאתגרי "מסלול משותף" במירוץ למיליון.
אתגר ששני צוותים או יותר צריכים לעשות ביחד.
כרטיס זיפ – מקביל לאתגרי "קיצור דרך" ב"המירוץ למיליון".
"בונוס", המתקבל לצוות שהשלים את הבונוס והצוות יכול לדלג על האתגר.
דון - מנחה אי-שרדות המירוץ.
שוויצר ושחצן אשר דומה במובן זה לכריס מקליין, וגם קורא לדברים במשחק על שמו, אבל בעל קצת פחות ביטחון מכריס.
בנוסף להיותו המנחה, הוא גם משמש כמעין שופט למשחק.
לאונרד ותמי - שחקני לייב אקשן.
לאונרד הופיע באי-שרדות באי פקיטיו.
נפגשו בכיתה ט' כשנתקעו בתוך לוקר.
הודחו כי ניסו לעשות "קסם" כדי ששאר הצוותים לא יעקפו.
ג'רי ופיט - יריבי טניס.
הודחו כי הגיעו לאזור הרגיעה לאחר שנגמר עונשם של מקצועני הריאליטי.
רוצות לתמוך בקהילה המדעית בעזרת הזכייה שלהן.
הודחו כי לא סיימו את בניית ארמון החול.
הודחו כי שכחו לרוץ לאזור הרגיעה.
טום וג'ן - בלוגרי אופנה מצליחים.
הודחו כי טום התעכב באתגר הצפייה או משמרת.
קלי וטיילור - אמא ובת.
הודחו כי הלכו לקניון לפני שהגיעו לאזור הרגיעה.
בגמר, נראה כי טיילור שמחה שהן הודחו.
אלרגיים כמעט לכל דבר, רגישים.
כרתו ברית שנכשלה כעבור כמה שעות עם אמה וקיטי.
הודחו בגלל תרגיל של אמה כדי לגרום למיקי לפשל, כי רצתה שנוח יישאר.
צ'ט ולורנזו - האחים החורגים.
עברו ריבים במהלך העונה, ולבסוף השלימו.
הודחו עם הרוקרים בהדחה הכפולה, כי לשניהם נהרס הדאון.
הודחו עם האחים החורגים בהדחה הכפולה, כי לשניהם נהרס הדאון.
משתתפים בלהקה הנקראת "כמעט מקיאים".
דוויין וג'וניור - אב ובנו.
ג'וניור התאהב בקארי במהלך העונה והיא העדיפה שהם יישארו ידידים.
הודחו כי דוויין התעכב בנסיעת השור המכנית שלו.
אוון ונוח - שחקני ריאליטי.
נוח התאהב באמה במהלך המשחק.
הודחו כי אוון לא מצא את נוח בערמת השטיחים שהוא נקבר תחתיה.
הודחו בגלל תרגיל של רקדני הקרח.
ריאן וסטפני - זוג בדייט.
הודחו כי שכחו לבוא לאזור הרגיעה, כשלרקדני הקרח היה עונש 60 דקות.
לדווין הייתה חברה אחרת, אך היא זרקה אותו.
התאהבו אחד בשני במהלך העונה.
עזבו בגלל פציעתו של דווין והחליטו שג'ף וברודי יחליפו אותם.
אמה התאהבה בנוח במהלך המשחק.
הודחו כי קיטי נתקעה בתוך סלעים.
ג'וזה וג'אק - רקדני קרח.
הגיעו לגמר, וזכו במקום השלישי.
סנדרס ומקארתור - צוערות משטרה.
אויבותיהן המושבעות של רקדני הקרח.
סנדרס שברה את היד בגלל מקארתור.
הגיעו לגמר, וזכו במקום השני.
מקארתור הופיע בהמשך ב"אי-שרדות: עושים צרות" כשהיא היחידה שמופיעה כמבוגרת.
ג'ף וברודי - המופיעים כ"הגולשים".
בהתחלה זכו במקום השישי, והודחו בגלל שנתנו לקארי ודווין לעקוף אותם וחזרו למשחק בעקבות ההחלטה של קארי ודווין.
הגיעו לגמר, וזכו במקום ה-1 בארצות הברית ובישראל.
סנדרס ומקארתור.ג'ף וברודי22כמה עמוקה האהבה שלך?רוסיהאיןג'וזה וג'אקסנדרס ומקארתור23דרג'ילינג עם זההודוסטפני וריאןאמה וקיטיסטפני וריאן24טנגו אחרון בבואנוס איירסארגנטינה (בואנוס איירס)קארי ודווין (פציעה)ג'וזה וג'אקקארי ודווין (פציעה)25בהמה-רמהאיי הבהאמהאמה וקיטיג'ף וברודיאמה וקיטי26מיליון דרכים לאבד מיליוןניו-יורקג'אק וג'וזההמנצחים הגדולים - ג'ף וברודי/סנדרס ומקארתורג'וזה וג'אק
בתורת ההסתברות, אי-שוויון קאנטלי, קרוי על שם פרנסיסקו פאולו קאנטלי, מאפשר לחסום הסתברויות זנב של התפלגויות.
אי השוויון הוא גרסה חד-צדדית לאי-שוויון צ'בישב.
אי-שוויון קאנטלי קובע כי למשתנה מקרי בעל תוחלת ושונות מתקיים:
נוכיח עבור , המקרה הכללי מוכח בצורה דומה.
לכן, לכל , מאי-שוויון קושי-שוורץ נובע ש
באופן דומה ניתן להוכיח את המקרה שבו .
במתמטיקה, אי-שוויון ניוטון מתייחס לקבוצה של אי-שוויונות הנקראים על שם אייזק ניוטון.
ניוטון ניסח והוכיח את האי-שוויונות האלה בספרו אריתמטיקה אוניברסלית (1707), במסגרת ההרחבה שנתן לכלל הסימנים של דקארט.
נסמן ב- את הביטוי הסימטרי האלמנטרי ה-k במספרים אלו (כלומר ערכו של הוא הערך של הפונקציה הסימטרית האלמנטרית ה-k כשמציבים במשתנים שלה את מספרים אלו), ונגדיר את הממוצעים הסימטריים האלמנטריים כ-:
אי-שוויון ניוטון קובע כי הממוצעים הסימטריים מקיימים את האי-שוויון:
כיוון שהערכים של הפונקציות הסימטריות האלמנטריות של קבוצה של n מספרים ממשיים הם למעשה המקדמים של פולינום ממעלה n ששורשיו הם המספרים הממשיים האלה, ניתן לנסח מחדש את האי-שוויון כטענה על מקדמי פולינום שכל שורשיו ממשיים:
כאשר הוא מקדם הפולינום ה-k.
בתורת ההסתברות, אי-שוויון קולמוגורוב או אי-שוויון המקסימום של קולמוגורוב מתאר חסם הסתברותי למאורע שהמקסימום של סדרת הסכומים החלקיים של סדרה סופית של משתנים מקריים בלתי-תלויים גדול מערך קבוע כלשהו.
האי-שוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.
יהיו משתנים מקריים בלתי תלויים, שתוחלת כולם היא אפס ושונות כולם סופית.
ניתן להראות כי הסדרה היא מרטינגל.
נניח ללא הגבלת הכלליות כי וכי לכל .
נגדיר בצורה אינדוקטיבית , וכן
ניתן להראות כי הסדרה גם היא מרטינגל.
ניתן לראות כי אותו הדבר נכון עבור הסדרה .
לכן נובע על ידי אי-שוויון צ'בישב כי,
נתבונן בהילוך מקרי פשוט על , בו כל צעד הוא משתנה מקרי בעל התפלגות אחידה בדידה .
לכן השונות של כל צעד היא .
בצעד ה-, מיקומו של ההילוך הוא .
לפיכך מאי-שוויון קולמוגורוב ניתן להסיק כי אם אנחנו בצעד ה-, ההסתברות שהמיקום הרחוק ביותר אליו הגיע ההילוך הוא , היא לכל היותר
אי-שוויון חברתי מתרחש כאשר משאבים בחברה מחולקים בצורה לא שווה.
זה יכול לקרות בשל המגדר, המיניות, הגזע, ההכנסה, המעמד חוקי או בשל רמת ההשכלה של האדם.
אי-שוויון חברתי עוסק בדרך כלל בכך שאין שוויון בתוצאה הסופית ועל כך שאין שוויון בגישה להזדמנויות.
הזכויות החברתיות כוללות את שוק עבודה, מקורות ההכנסה, שירותי הבריאות וחופש הביטוי, החינוך, הייצוג הפוליטי והיכולת להשתתף בחברה.
אי-שוויון חברתי שונה מאי-שוויון כלכלי.
המצב של אי-שוויון כלכלי מתייחס לפערים שנובעי מחלוקת של נכסים כלכליים ושל ההכנסה.
בעוד שאי-שוויון כלכלי נגרם מחלוקה לא שוויונית של ההון בחברה, אי-שוויון חברתי קיים משום שהיעדר של הון באזורים מסוימים מונע מהאנשים שגרים באותו האזור להשיג דיור, שירותי בריאות והזדמנויות אחרות אשר זמינים לאוכלוסייה העשירה בחברה.
לדוגמה, מכיוון שארצות הברית היא חברה קפיטליסטית, תחרותית ואשר מונעת מאוד מהמסחר, אי-שוויון הכלכלי ואי-שוויון החברתי קשורים זה בזה ומשפיעים זה על זה מאוד בחברה האמריקנית.
אי שוויון חברתי – דיגיטלי הוא מצב שבו יש פער דיגיטלי בין אוכלוסיות שונות בעולם.
הוא מתבטא בהבדלי מגדר, גזע ומעמד בגישה לטכנולוגיות מידע ובאופן גובר ביכולת להשתמש בהן.
אי שוויון חברתי דיגיטלי נוצר כאשר אנשים פעילים יותר בחייהם החברתיים בתחום הדיגיטלי ובכך נהנים מיתרונות על פני אוכלוסיות מוחלשות.
אי שוויון חברתי – דיגיטלי מתקיים בשני מובנים.
המובן הראשון מתקשר לפער הנוצר ברמה הדיגיטלית בעקבות נגישות שונה לטכנולוגיות תקשורת בין מדינות ברמות פיתוח שונות ובתוך מדינות.
המובן השני נוגע לפער הדיגיטלי העוסק במיומנות עצמה – רמת ההשתתפות של אנשים שונים בזירות דיגיטליות, והמיומנות שלהם בשימוש בטכנולוגיות דיגיטליות לייצור תוכן דיגיטלי.
לדוגמה, מחקרים מראים כי אוכלוסיות מוחלשות כלכלית עשויים להשתמש באינטרנט בצורה פחות אינטנסיבית מאשר קבוצות חזקות יותר בחברה.
רשתות חברתיות מהוות חלק חשוב מחיינו.
אי השוויון החברתי נוכח ברשתות החברתיות.
אנשים בעלי מעמד חברתי-כלכלי גבוה יותר בחברה נוכחים ביותר רשתות חברתיות, ובעלי כישורי אינטרנט עדיפים יותר גם הם נוכחים יותר באותן רשתות.
בנוסף, שימוש ברשתות החברתיות עלול ליצור פער חברתי משמעותי מכיוון שהנוכחות ברשתות אלו חיונית כיום בתחומי חיים רבים ובכלל זה בשוק העבודה.
מחקרים המבוססים על נתונים שנאספו מרשתות חברתיות, שאינם מודעים לתת-הייצוג ברשתות של אנשים ממעמד חברתי-כלכלי נמוך יותר, עלולים כתוצאה מכך לשקף את תפיסותיהם של שכבות אמידות יותר באוכלוסייה ולא לייצג את תפיסותיהם של שכבות אמידות פחות.
במתמטיקה, אי-שוויון קנטורוביץ' הוא מקרה פרטי של אי-שוויון קושי-שוורץ, שהוא בעצמו הכללה של אי-שוויון המשולש, ונקרא על שם הכלכלן, המתמטיקאי וזוכה פרס נובל הסובייטי, לאוניד קנטורוביץ', שהיה חלוץ בתחום התכנון הליניארי.
בצורתו הפשוטה, אי-שוויון המשולש, קובע כי בכל משולש, סכום אורכי כל שתי צלעות יהיה שווה לאורך הצלע השלישית או גדול ממנה.
במילים פשוטות, אי-שוויון קנטורוביץ' מתרגם את הרעיון הבסיסי של אי-שוויון המשולש למונחים ולסימונים של תכנון ליניארי.
פורמלית, ניתן לבטא את אי-שוויון קנטורוביץ' כך:
אם לכל ב-, קיימים , ו- המקיים , אזי
אם, בניסוח הקודם, מתקיים גם , ניתן לפרש את המקדמים כהסתברויות.
לכן, אם נגדיר משתנה מקרי המקבל את כל אחד מהערכים בהסתברות , אזי
הביטוי שצריך למזער מקבל ערך מינימלי כאשר מחלקים את ההסתברויות בצורה הכי קרובה לקבוצות שוות הסתברות, כלומר, , ואז החסם יהיה הכי גדול.
במילים אחרות, אם ניתן לחלק את באופן זר ל- ול- כך שמתקיים , אז
מרשל ואולקין ניסחו גם גרסה מטריציונית לאי-שוויון קנטרוביץ':
תהי מטריצה הרמיטית חיובית לחלוטין שכל אחד מערכיה העצמיים, , מקיים
כמו כן, תהי מטריצה כלשהי המקיימת
כאשר הוא הצמוד ההרמיטי של , ו- היא מטריצת היחידה מסדר מתאים.
הדמיון לאי-שוויון קנטורוביץ' שהוצג לעיל מתגלה אם מכפילים מימין ב- את הביטויים בקצוות האי-שוויון, ומתקבל
אי-שוויון קנטורוביץ' משמש בראש ובראשונה באנליזת התכנסות, שם הוא מטיל חסם על קצב ההתכנסות של אלגוריתם הירידה התלולה ביותר (steepest descent) של קושי.
במתמטיקה, אי-שוויון יאנג הוא אי-שוויון על מכפלה של שני מספרים.
אי השוויון נקרא על שמו של המתמטיקאי האנגלי .
אחד השימושים לאי-שוויון זה הוא בהוכחת אי-שוויון הלדר.
אי-שוויון יאנג עבור חזקה 2 אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים , מתקיים:
במקרה הכללי, אי-שוויון יאנג אומר שעבור מספרים ממשיים חיוביים ,
השוויון מתקבל אם ורק אם .
עבור a ו b ממשיים,
כאשר או אי השוויון מתקיים.
בגלל שפונקציית הלוגריתם קמורה, ניתן להשתמש באי שוויון ינסן, ולקבל:
נקח אקספוננט בשני הצדדים, ונקבל
נציב את ונקבל את אי-שוויון יאנג.
בתורת ההסתברות, אי-שוויונות ברנשטיין נותנים חסמים להסתברות שממוצע או סכום של משתנים מקריים יסטה מהתוחלת שלו.
לדוגמה, אחד המקרים הפשוטים הוא עבור משתניים מקריים בלתי-תלויים מהתפלגות ברנולי המקבלים את הערכים בהסתברות חצי (הידועה בשם התפלגות ראדמאכר), אזי לכל מתקיים אי-השוויון:
אי-שוויונות ברנשטיין הוכחו ופורסמו על ידי סרגיי ברנשטיין בשנות ה-20 וה-30 של המאה ה-20. מאוחר יותר, פותחו עוד אי-שוויונות מסוג זה מספר פעמים בצורות שונות.
מקרים פרטיים של אי-שוויונות ברנשטיין הם אי-שוויון צ'רנוף, אי-שוויון הופדינג ואי-שוויון אזומה .
לאי-שוויונות ברנשטיין קיימות גרסאות רבות, אשר כולן נועדו להציג חסם על הממוצע או סכום של משתנים אקראיים.
ההנחות בבסיס כל גרסה משתנות: החל מהנחות של אי-תלות מוחלטת בין המשתנים ועד למבני תלות מורכבים יותר, וכן סוגי ההתפלגויות של המשתנים.
בחלק זה יוצגו מספר גרסאות מרכזיות של אי-שוויונות אלו.
משתנים מקריים חסומים כמעט תמיד
יהיו משתנים מקריים בלתי-תלויים, בעלי תוחלת אפס ונניח שקיים כך שמתקיים לכל המאורע כמעט תמיד (בהסתברות 1).
משתנים מקריים חסומים במונחי מומנטים: מקרה 1
יהיו משתנים מקריים בלתי-תלויים, בעלי תוחלת אפס ונניח שקיים כך שלכל שלם מתקיים התנאי:
משתנים מקריים חסומים במונחי מומנטים: מקרה 2
משתנים מקריים עם תלות חלשה
קיימות גם גרסאות לאי-שוויון ברנשטיין עבור סדרת משתנים מקריים בעלי תלות מסוימת.
לדוגמה, יהיו ונניח כי לכל קיימים קבועים כך שמתקיימים התנאים:
יהיו משתנים מקריים תת-אקספוננציאליים, בלתי-תלויים ובעלי תוחלת אפס.
כאשר הוא קבוע חיובי ו- היא נורמה תת-אקספוננציאלית.
קומבינציה ליניארית של משתנים מקריים תת-אקספוננציאליים
יהיו משתנים מקריים תת-אקספוננציאליים, בלתי-תלויים ובעלי תוחלת אפס ויהי .
כאשר , כלומר הסכום המשוקלל הוא למעשה ממוצע, אזי נקבל כמקרה פרטי:
כל ההוכחות מבוססות על אי-שוויון מרקוב, כאשר מפעילים על הסכום את הפונקציה ובוחרים בצורה אופטימלית את הפרמטר תחת אילוצים, אם קיימים.
נסמן ונפעיל את אי-שוויון מרקוב:
כעת ניעזר בתכונה של המשפחה הזאת: עבור מתקיים כי .
כעת נרצה למזער את הביטוי כפונקציה של תחת האילוץ.
נקבל פתרון , נציב באי-השוויון ונקבל את הדרוש.
אי-שוויונות ברנשטיין ניתנים להכללה עבור צורות רבות של משתנים מקריים.
בפרט, עבור תבניות ריבועיות של משתנים גאוסיים.
הכללה זו עשויה לעזור בשליטה על הסיכון הריבועי של קבוצת מעריכים ליניאריים בבעיות רגרסיה ליניארית.
יהיו שני וקטורים ממשיים ממימד ונסתכל על הביטוי האקראי כאשר משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות מהתפלגות נורמלית סטנדרטית.
נסמן: , , אזי מתקיים עבור כל :
נסתכל על הביטוי האקראי , כאשר , ו- הוא וקטור גאוסי סטנדרטי (כלומר כל כניסה מתפלגת נורמלית עם תוחלת 0 וסטיית תקן 1 והכניסות בלתי-תלויות).
נסמן ב- את הערכים העצמיים של המטריצה הסימטרית ונסמן ב- (כפי שהוגדר בסעיף קודם).
אזי מתקיים עבור כל :
במתמטיקה, אי-שוויון פונקארה הוא תוצאה בתורת מרחבי סובולב , הנקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה.
אי-השוויון מאפשר להשיג חסמים על פונקציה באמצעות חסמים על הנגזרות שלה והגאומטריה של תחום ההגדרה שלה.
חסמים כאלה הם בעלי חשיבות רבה בשיטות המודרניות והישירות של חשבון וריאציות.
תוצאה קרובה נוספת היא אשר מהווה הכללה של אי-שוויון פואנקרה על ידי הרחבתו לחסם על נורמת הפונקציה על ידי נורמות של הנגזרות החלשות שלה מסדר כללי.
נניח ותהי תת-קבוצה פתוחה, קשירה וחסומה של עם שפה .
עבור פונקציה , נסמן את הממוצע של על :
קיים קבוע כך שלכל מתקיים:
במקרה זה, לפי משפט ערך הביניים, קיימת נקודה כך ש:
הוכחת המקרה הכללי מורכבת יותר וניתן למצוא גרסאות שונות שלה בספרות.
מעבר למקרה הפשוט שבו , יש עניין באפיון הקבוע במקרה הכללי ובשאלה מתי ניתן לשחזר את הקבוע האופטימלי.
נניח כי , כך שהצד הימני של אי-שוויון פואנקרה הוא אנרגיית דיריכלה של .
עקרון המיני-מקס קובע כי הערך העצמי הראשון של הלפלסיאן השלילי על ממזער את מנת ריילי .
כלומר, כאשר הם הערכים העצמיים של ,
שוויון זה משחזר את אי-שוויון פואנקרה עם קבוע אופטימלי .
הערה: קשור ל, כך שקיימת עוד דרך לקשר בין נושא זה לבין אי-שוויונות איזופרימטריים.
בספרות על משוואות דיפרנציאליות חלקיות ואנליזה נומרית, ניתן למצוא התייחסויות ל"אִי-שוויוני פואנקרה משוקללים", שבהם:
כאשר היא צפיפות רציפה בהחלט ביחס למידת לבג על תחום חסום.
לרוב, אומדנים מסוג זה נובעים משיטות אנליטיות.
עם זאת, קיימת גם גישה הסתברותית.
נניח כי הוא מרחב מטרי, ו- היא מידה על קבוצות בורל בו.
נניח , כך שנורמת ה- של פונקציה מדידה מתפרשת כשונות של המשתנה המקרי .
למחלקה מסוימת של פונקציות מדידות על , מתקיים קבוע כך ש:
אי-שוויון זה מצביע על כך שהתנודות של נשלטות על ידי קצב השינוי שלה.
בפרט, אם היא פונקציית ליפשיץ, אז שונותה חסומה על ידי קבוע.
באופן דומה למקרה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, "רגולריות" (באמצעות נגזרת ראשונה) מובילה לחסם אנרגטי המגביל את התנהגות הפונקציה או המערכת.
חסמים על שונות מאפשרים לפתח אי-שוויוני ריכוז, אשר מגבילים את ההסתברות לסטיות גדולות מהתוחלת.
אי-שוויונים אלו מהווים כלי בסיסי בסטטיסטיקה ובלמידת מכונה (למשל, למידת PAC,תורת VC ).
תהי המידה הגאוסית הסטנדרטית על .
נניח כי היא פונקציה גזירה מדרגה ראשונה ().
אזי מתקיים אי-שוויון (1) עם קבוע .
נשים לב כי אי-שוויון זה הדוק.
נבחן את הפונקציה ונשים לב כי היא מידת מכפלה, כלומר אין שונות משותפת בין האיברים השונים.
ניתן להשתמש באי-שוויון אפרון-שטיין להוכחת הגרסה הגאוסית.
נסמן ב- את התוחלת ביחס לקואורדינטה ה-, כלומר:
וכן נסמן את השונות המותנית כך:
נניח , שכן אחרת התוצאה מתקיימת באופן טריוויאלי.
מספיק לשקול את המקרה , מאחר שאי-שוויון אפרון-שטיין מאפשר לנתח כל קואורדינטה בנפרד.
בנוסף, נניח כי היא פונקציה בעלת תומך קומפקטי וגזירה ברציפות פעמיים (); אחרת, ניתן לקרב אותה על ידי פונקציות כאלה.
התובנה המרכזית היא שמשתנה גאוסי ניתן להצגה כגבול של סכום משתנים מקריים בעלי תוחלת 0 ושונות 1. לכן, כדי לחקור את השונות של פונקציה של , צריך לבחון את השונות של פונקציה של סכומים סופיים.
לשם כך, יהיו משתנים מקריים, בעלי התפלגות ראדמאכר, בלתי תלויים.
לכל , השונות המותנית היא:
לפי משפט הגבול המרכזי מתקיים , ולכן .
ולבסוף, שוב לפי משפט הגבול המרכזי:
קיימות גישות נוספות להוכחת אי-השוויון, כגון הוכחה על ידי שימוש בחבורות למחצה של מארקוב.
במתמטיקה, אי שוויונות עקבה הוא שם כולל לאוסף אי-שוויונות העוסקים במטריצות, ולכן גם באופרטורים הליניארים שמייצגות, המוגדרות מעל מרחבי הילברט.
אי-שוויונות אלה בפרט מתעסקים בעקבה של מטריצות ומספקים חסמים על העקבה תחת הנחות מסוימות.
העקבה של מטריצה ידועה להיות ערך שאינו תלוי בבחירת הבסיס מה שהופך אותה להיות בעלת חשיבות רבה לחקר אופרטורים (שכן מקודדת בתוכה מידע שאינו תלוי בבסיס הנבחר).
בנוסף לעקבה של מטריצה יש קשר ישיר לספקטרום שלה מהיותה שווה לסכום הערכים העצמיים של המטריצה.
תכונות אלה ועוד הופכות את אי-שוויונות העקבה לכלי שימושי וחשוב בחקר אופרטרים ולמידתם.
אי שוויונות עקבה הם כלי שימושי בתחומים רבים כמו תורת הבקרה, תורת האינפורמציה הקוונטית, מערכות תקשורת ו-פונקציות מטריציאליות.
נרצה קודם להגדיר היטב הפעלה של פונקציה על מטריצה .
כדי לבצע זו בצורה בעלת עניין נגביל את עצמנו קודם לאוסף המטריצות ההרמטיות החיוביות , שלפי משפט הפירוק הספקטרלי הן מטריצות לכסינות מה שמאפשר להשתמש בהגדרה הבאה:
יהי פונקציה ממשית, אז (כאשר
מטריצה הרמטית עם ערכים עצמיים ב- ו- הטלות למרחבים העצמיים של המטריצה) מוגדר כ:
יחס סדר חלקי ומונוטוניות האופרטור
לאורך הערך נניח יחס סדר חלקי על הקבוצה כך ש גורר שהאופרטור
עם הגדרה זו ביד קל להגדיר מונוטניות לפונקציה מטריציאלית אם לכל וערכים עצמיים ב ישנה הגרירה: .
אמנם הגדרת המונוטוניות לאופרטורים נראית די שקולה להגדרה עבור פונקציות ממשיות אך ניתן לראות שהיא לפעמים נוגדת את האינטואציה שכן
פונקציה נקראת אופרטור קמור אם לכל עם ערכים עצמים ב- , ו- התנאי הבא קורה:
נקראת אופרטור קעור אם אופרטור קמור.
אי-שוויון גולדן-תומפסון הוכח באופן עצמאי על ידי גולדן (1965) ותומפסון (1965) בהקשר של מכניקה סטטיסטית.
יהי מטריצות הרמטיות אזי מתקיים אי השוויון הבא:
יש להבחין שהאי-שוויון מוגדר היטב שכן שני הביטויים מובטחים להיות מספרים ממשיים.
עבור צד שמאל קל לראות זאת שכן הרמטיות ולכן האלכסון שלהם ממשי, עבור צד ימין ניתן להשתמש בעובדה שעבור מכפלה של 3 מטריצות סימטריות העקבה אינווריאנטית לפרמוטציות ולכן:
וקיבלנו שהביטוי בתוך העקבה הוא הרמטי שכן הרמטיות ובנוסף .
דרך נוספת לתיאור האי-שוויון היא בעזרת נורמת פרובניוס שמוגדרת להיות:
ואז אי-שוויון גולדן תומפסון שקול ל:
דבר מפתיע באי שוויון זה שאין שום הנחה על קומוטטיביות של המטריצות.
עבור מטריצות הרמטיות וקומוטטיביות מתקיים שוויון , גולדן-תומפסון מראה שאם מורידים את דרישת הקומוטטיביות עדיין יש קשר בין שני ערכים אלה.
ההוכחה היא יישום של רעיון כללי יותר להוכחות אי-שוויונות בשם "טריק חזקות הטנזורים".
בגישה זו רוצים להוכיח עבור אי-שלילים אך יודעים רק להוכיח אי שוויונות חלשים יותר מהצורה עד לכדי גורם כפלי כלשהו.
מפה הרעיון הוא להחליף את כל האובייקטים באי השוויון בחזקות של עצמם כדי להגיע לצורה של: כאשר אינו תלוי ב.
לאחר מכן מפעילים גבול כאשר על כדי להגיע לאי השוויון הנדרש.
שימושים של אי-שוויון גולדן-תומפסון בהסתברות רב ממדית
אי שוויונות ריכוז בהסתברות הן אי שוויונות המתעסקים בסטייה של התפלגות מהתוחלת.
אי שוויונות אלה בעלי חשיבות גבוהה שכן הם באים לכמת את משפט הגבול המרכזי ומספקים הבנה על קצב ההתכנסות דבר שחשוב ביישומים פרקטים.
שיטה שימושית לגזור תוצאות אלה היא בעזרת פונקציה יוצרת מומנטים של המשתנה המקרי.
גולדן-תומפסון בעצם מאפשר להרחיב את שיטה זו למטריצות.
דוגמה שתמחיש את רעיון היא אי-שוויון צ'רנוף: יהי משתנים מקריים סקלרים המתפלגים בהתפלגות זהה באופן בלתי תלוי עם ערכים ב עם תוחלת 0 ושונות אזי:
הצעד הראשון בהוכחה הוא שימוש באי-שוויון מרקוב על מנת לקבל:
כאשר הוא פרמטר כלשהו שיש בחירה עליו.
פה בעצם מגיע החלק שאי שוויון גולדן-תומפסון חשוב.
במקרה של משתנים מקריים סקאלרים ניתן לפרק את למכפלה של ובגלל ההנחה שהמשתנים בלתי תלויים ניתן לפרק את כל הביטוי שבצד ימין למעלה ל: ולגזור חסם על הפונקציה היוצרת מומנטים.
כאשר רוצים להרחיב את התוצאה הזו למטריצות הרמטיות אם אין את הנחת הקומוטטיביות האקסופננט לא מתפרק באופן דומה.
לכן במקום זאת חוסמים ביטוי מהצורה בעזרת גולדן-תומפסון ומקבלים:
מהנחת האי-תלות ניתן לפרק את הביטוי ל:
על ידי שימוש בהנחה שהמטריצות חיוביות ובאבחנה ש ניתן להפעיל אי שוויון קושי שוורץ ולקבל חסם מהצורה:
על ידי הפעלה חוזרת של שלב זה ניתן לקבל את אי השוויון הנדרש:
ומפה ההוכחה כבר זהה למקרה הסקאלרי (חסימת הפונקציה היוצרת מומנטים).
כלומר גולדן-תומפסון מאפשר להתמודד עם חיסרון הקומוטטיביות כדי לפרק את האקספוננט.
אי-שוויון העקבה של פון נוימן
יהי מטריצות מרוכבות עם ערכים סינגולרים ו- בהתאמה.
כאשר שוויון קורה אם ורק אם בעלי ערכים סינגולרים זהים.
אי שוויון זה נקרא אחר ג'ון פון נוימן שהוכיח אותו ב-1937.
יהי מטריצות הרמטיות ו- פונקציה קמורה עם נגזרת אז:
ניסוח נוסף מניח כי הרמטיות חיוביות בהחלט ו-.
בשני הניסוחים אם קמורה במובן החזק אז שוויון קורה אם ורק אם .
יהי פונקציה רציפה ו- מספרים טבעיים.
לכל מטריצות הרמטיות מסדר עם (כלומר הספקטרום שלהן מוכל ב-) ולכל מטריצות מסדר שמקיימות
בכיוון ההפוך, אם האי שוויון מתקייים עבור טבעיים ו אז קמורה.
עבור רציפה התנאים הבאים שקולים:
לכל מספר טבעי מתקיים האי שוויון:
לכל אופרטורים חסומים והרמטים המוגדרים על מרחב הילברט וספקטרום שמוכל ב- ולכל על עם
לכל איזומטריה המוגדרת על מרחב הילברט ממימד אינסופי ולכל אופרטור הרמטי עם ספקטרום ב-.
לכל הטלה על מרחב הילברט אין סוף ממדי , לכל אופרטור הרמטי עם ספקטרום שמוכל ב- ו.
אי-שוויון הנסון–רייט הוא אי שוויון הסתברותי בתחום ריכוז המידה.
אי השוויון נותן חסם לסיכוי שתצפית ריבועית מהצורה
תחרוג מהתוחלת שלה עבור וקטור אקראי
אשר מורכב ממשתנים תת גאוסיים בלתי תלויים בעלי תוחלת אפס.
גרסה ראשונה של המשפט הוכחה על ידי הנסון ורייט בשנת 1971.
המשפט נחשב לאבן דרך בהבנה של התנהגות של ביטויים מהצורה , כאשר הוא וקטור מקרי ו־ היא מטריצה קבועה.
עבור מספר חיובי ו- משתנים בלתי תלויים שמקיימים .
נגדיר את הווקטור האקראי .
עבור כל מטריצה A מגודל נקבל:
כש הוא המקסימום של הנורמה התת-גאוסית של המשתנים המקריים ו- היא נורמת פורביניוס ו היא הנורמה של אופרטור של המטריצה, עבור קבוע c.
ההוכחה לגרסה המלאה של המשפט שהוצגה על ידי מארק רודלסון ורומן ורשינין
מספיק להראות עבור החלק החיובי בערך המוחלט ובאופן דומה לכיוון השני:
בעזרת חישוב ההגדרות נוכל להגיע לשוויון הבא:
וכך נוכל לחסום את ההסתברות p כך:
מכאן נוכל לחסום כל מחובר בנפרד ולהגיע לחסם
המשתנים הם בלתי תלויים, בעלי תוחלת אפס ותת-אקספוננציאליים.
מכאן אפשר להשתמש באי שוויון ברנשטיין ולקבל את החסם:
בחלק השני נוכל להשתמש באי-שוויון מרקוב עבור
מכאן נשתמש ב3 למות נוספות:
עבור כל מטריצה ריבועית , מתקיים:
כאשר ו- הם וקטורים של משתנים מקריים בלתי תלויים, ו־ הוא עותק בלתי תלוי של .
נניח כי הם וקטורים מקריים בלתי תלויים בעלי תוחלת אפס ב , כך שלכל אחד מהם יש תכונת תת-גאוסיות עם חסם :
נניח גם כי הם וקטורים מקריים בלתי תלויים שמתפלגים נורמלית:
למה 3 - פונקציה יוצרת מומנטים של כאוס גאוסי
יהיו וקטורים מקריים בלתי תלויים המתפלגים נורמלית: .
יהי מטריצה ממשית בגודל .
אז, עבור כל המקיים , מתקיים:
בעזרת שימוש בלמות לפי הסדר המוצג כאן נוכל ליצור את החסם הבא:
נבחר את שתקיים את התנאי ללמה 3.
האי-שוויון נקרא על שם ד.הנסון (D.
Wright), שפרסמו בשנת 1971 את המאמר:
במאמר זה, הם פיתחו לראשונה חסם אקספוננציאלי לזנב של צירוף ריבועי של משתנים בלתי תלויים עם תכונות ריכוז (כמו תוחלת אפס ושונוּת סופית).
במהלך העשורים הבאים, פותחו גרסאות מודרניות של אי-השוויון.
אחת הגרסאות החשובות הוצגה בעבודות של מרק רודלסון (Mark Rudelson) ורומן ורשינין (Roman Vershynin), אשר פרסמו בשנת 2013 גרסה מעודכנת עבור משתנים תת-גאוסיים וגרסאות נוספות למשל עבור וקטורים אקראיים רב ממדים.
אי-שוויון הנסון–רייט הפך מאז לכלי בסיסי בניתוח סטטיסטי של התנהגות משתנים מקריים, ובמיוחד של פונקציות ריבועיות של משתנים תת-גאוסיים.
אי שוויון הנסן-רייט בממדים גבוהים
אי-שוויון הנסון–רייט ניתן להרחבה גם למקרה של וקטורים אקראיים תת-גאוסיים במרחב ממימד גבוה.
יהי סדרה של וקטורים מקריים בלתי תלויים ב־, עם תוחלת אפס, כך שמתקיים:
נסמן מטריצה ממשית בגודל .
כאשר היא נורמת פרוביניוס ו היא הנורמה של האופרטור
מקרה פרטי של אי-שוויון הנסון–רייט עבור נורמה ריבועית
יהי מטריצה קבועה, ויהי וקטור מקרי שמרכיביו הם משתנים מקריים בלתי תלויים, כך שלכל מתקיים:
משפט זה הוא מקרה פרטי של אי-שוויון הנסון–רייט, והוא שימושי במיוחד כאשר מעוניינים להעריך את החריגה של נורמה ריבועית של תמונת וקטור אקראי דרך טרנספורמציה ליניארית.
ריכוז מידה עבור וקטורים מקריים אנאיזוטרופיים
היא מטריצה בגודל , ויהי וקטור אקראי שערכיו בלתי תלויים, בעלי תוחלת אפס, שונות אחידה, ותת-גאוסיות עם קבוע , כלומר לכל .
מקרה פרטי חשוב של משפט זה מתקבל עבור מטריצת היחידה במקרה זה, מתקבל:
חישוב נורמה של מטריצות אקראיות
היא מטריצה קבועה בגודל , ו־ היא מטריצה מקרית בגודל שאיבריה בלתי תלויים ומקיימים:
אזי, עבור כל , מתקיים:
חישוב מרחב בין וקטורים אקראיים לתת מרחב
יהי תת-מרחב של ממימד .
נניח כי הוא וקטור אקראי, שבו הם משתנים מקריים בלתי תלויים, המקיימים את התנאים הבאים:
כאשר הוא המרחק האוקלידי של מהמרחב
אי-שוויון זה מראה כי המרחק של וקטור אקראי ממרחב ליניארי מרוכז סביב השורש של מימד תת-המרחב המשלים, ונותן גבול הסתברותי לסטייה ממנו.
רעיון: בעזרת מקרה פרטי של אי-שוויון הנסון–רייט עבור נורמה ריבועית
ניתוח טרנספורמציות ליניאריות של רעש
במקרים רבים אנו עוסקים במקרים שמשתנה תת גאוסי (או גאוסי) עבור העתקה ליניארית.
כאשר הוא וקטור אקראי תת-גאוסי ומייצג את הרעש ו־ מטריצה ליניארית קבועה ו הוא האות הנצפה.
במקרים בהם ו- מתאימים לתנאי האי-שוויון, אפשר בעזרתו לחסום את ההסתברות שגודל הווקטור המתקבל מטרנספורמציה ליניארית של רעש יסטה באופן משמעותי מהתוחלת שלו.
שיטה זו נותנת יציבות חישובית בסביבות רעש, לאמוד שגיאות מדידה ולהעריך את התנהגותם של מערכות מורכבות בממדים גבוה.
בתורת ההסתברות, מאורעות הם בלתי תלויים אם הידיעה על התרחשותו (או אי־התרחשותו) של אחד מהם, אינה משפיעה על ההסתברות להתרחשות המאורע האחר.
באופן דומה, שני משתנים מקריים ייקראו בלתי תלויים, אם הידיעה על ערכו של אחד מהם אינה משפיעה על ההסתברויות לקבלת ערכים במשתנה המקרי השני.
שני מאורעות הם בלתי תלויים אם ההסתברות ששניהם יקרו שווה למכפלת ההסתברויות של כל מאורע בנפרד.
באופן פורמלי, המאורעות ו־ בלתי תלויים אם ורק אם .
לפיכך, אם אז , כפי שמתקבל מחוק בייס.
דוגמה: שני ומיכל רוכשות כרטיסי לוטו וממלאות ניחושים שונים.
המאורע "מיכל זכתה בפרס הראשון" והמאורע "שני זכתה בפרס הראשון" תלויים, מכיוון שהניחושים שונים, והידיעה על זכייתה של שני הופכת את ההסתברות לזכייתה של מיכל ל־0, כאשר לפני כן ההסתברות הייתה אמנם קטנה אך גדולה ממש מאפס.
לעומת זאת, המאורע "מיכל לא זכתה בפרס הראשון בכל ההגרלות הקודמות" והמאורע "מיכל תזכה בפרס הראשון בהגרלה הבאה" הם בלתי תלויים, שכן הידיעה על זכייתה של מיכל בהגרלה כלשהי איננה משנה את ההסתברות לזכייה מחודשת.
הערה: כל שני מאורעות זרים הם תלויים (למעט המקרה המנוון שבו או ) שכן ידיעת קיומו של האחד מבטיחה את אי־קיומו של האחר.
קבוצה סופית של מאורעות היא בלתי תלויים בזוגות אם כל זוג מאורעות הם בלתי תלויים.
כלומר, אם ורק אם לכל זוג אינדקסים שונים ,קבוצת מאורעות היא בלתי תלויים הדדית אם כל מאורע הוא בלתי תלוי בכל חיתוך של המאורעות האחרים
כלומר, אם ורק אם לכל ולכל k אינדקסים
כלל זה אינו מהווה תנאי אחד החל רק על המכפלה של כל המאורעות הבודדים; הוא חייב להתקיים גם לכל תתי הקבוצות של המאורעות.
עבור קבוצה של יותר משני מאורעות, אי תלות הדדית היא גם בלתי תלויה בזוגות, מההגדרה.
אבל ההפך לא בהכרח מתקיים.
ההגדרה לעיל מתייחסת למאורעות, אך הגדרת התלות מוצגת באופן דומה גם עבור משתנים מקריים.
שני משתנים מקריים ו־ הם בלתי תלויים אם ורק אם פונקציית ההסתברות המצטברת שלהם מקיימת:
הגדרה זו כוללת הן משתנים מקריים בדידים והן משתנים מקריים רציפים.
אם למשתנים המקריים הנתונים קיימת גם פונקציית צפיפות הסתברות, הם בלתי תלויים אם ורק אם מתקיים:
משמעות הביטויים לעיל היא בעלת חשיבות רבה בהסתברות וסטטיסטיקה.
כאשר המשתנים תלויים, יש לטפל בפונקציית ההסתברות המשותפת, פונקציה דו־ממדית (או רב־ממדית במקרה הכללי), ואילו כאשר המשתנים בלתי תלויים, ניתן לטפל במקום זאת באוסף פונקציות חד־ממדיות, אותן לרוב קל יותר לשערך.
קבוצה סופית של משתנים מקריים היא בלתי תלויה הדדית אם ורק אם לכל סדרה של מספרים המאורעות הם בלתי תלויים הדדית.
תנאי זה שקול לכך שההתפלגות המשותפת מקיימת
אי תלות בזוגות של קבוצת משתנים מקריים הוא תנאי הכרחי אך לא מספיק לאי תלות הדדית שלהם.
דוגמה: יהיו זוג משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות המקבלים את הערכים בהסתברות שווה (התפלגות ראדמאכר).
ההתפלגות של המשתנה המקרי זהה לזו של כל אחד משני המשתנים, שכן הוא מקבל את הערכים בהסתברות שווה, וההתפלגות נותרת זהה גם כאשר מתנים באחד המשתנים או .
כלומר, כל זוג בקבוצת המשתנים הוא בלתי תלוי.
לעומת זאת, השלשה איננה בלתי תלויה, שכן ידיעת ערכיהם של ו־ יחד קובעת באופן חד משמעי את ערכו של .
שני משתנים מקריים נקראים בלתי מתואמים (או חסרי קורלציה) אם התוחלות שלהם מקיימות .
במקרים רבים קשה מאוד להוכיח או לבדוק אי־תלות סטטיסטית, שכן נדרשת ידיעה של פונקציית ההסתברות המצטברת במלואה, דבר שאינו בהכרח זמין בהינתן אוסף מדידות מסוים.
בנוסף, במקרים רבים המשתנים עשויים להיות תלויים סטטיסטית לפי ההגדרה, אך ייתכן שקיימת במערכת אי־תלות חלשה יותר.
במקרים כאלו, ניתן לעיתים לבדוק האם המשתנים בלתי מתואמים ובכך לקבל מושג כלשהו על אופי הקשר בין המשתנים.
דוגמה: במקרים רבים מתעניינים בשונות של סכום שני משתנים מקריים: , כאשר היא השונות המשותפת של שני המשתנים המקריים.
מכיוון שהגדרת השונות המשותפת היא , הרי שעבור שני משתנים מקריים בלתי מתואמים נקבל כי שונות הסכום היא סכום השונויות.
באופן זה קיבלנו מושג על הקשר בין שני המשתנים, אף על פי שלא הוכחנו אי־תלות סטטיסטית.
ניתן להראות כי אוסף משתנים מקריים בלתי תלויים הם גם בלתי מתואמים, באמצעות אחת ההגדרות לעיל בשילוב עם הגדרת התוחלת והשונות המשותפת.
ההפך אינו נכון, כלומר, חוסר קורלציה איננו מעיד על אי־תלות סטטיסטית.
אי־תלות סטטיסטית וחוסר קורלציה עבור משתנים מקריים גאוסיים
שני משתנים מקריים נקראים משתנים מקריים גאוסיים במשולב (או במשותף) אם פונקציית הצפיפות המשותפת שלהם מתפלגת בהתפלגות רב נורמלית (גאוסית רב־ממדית).
במקרה זה, חוסר מתאם בין המשתנים יעיד על אי־תלות סטטיסטית.
כלומר, עבור משתנים אקראיים גאוסיים במשולב, יש שקילות בין אי־תלות סטטיסטית לחוסר מתאם.
ניתן להראות זאת על ידי כתיבת פונקציית הצפיפות באופן ישיר והצבת שונות משותפת מתאימה.
עם זאת, במקרה זה המשתנים נדרשים להיות גאוסיים במשולב, על מנת שפונקציית הצפיפות המשותפת שלהם תהיה בהכרח גאוסית רב־ממדית, ולא די בכך שהם גאוסיים כלליים.
ייתכנו מקרים בהם פונקציית הצפיפות אינה קיימת, ובמקרה זה יש להיעזר בפונקציה האופיינית.
דוגמה: יהי משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי (כלומר, בעל תוחלת אפס ושונות יחידה), ויהי משתנה מקרי בלתי תלוי ב־ המקבל את הערכים בהסתברות שווה.
ניתן להראות על ידי בחינת פונקציית ההתפלגות המתאימה כי המשתנה המקרי גאוסי ובעל פילוג זהה למשתנה המקרי .
כמו כן ניתן לראות כי שני המשתנים הגאוסיים חסרי קורלציה:
כלומר, בידינו שני משתנים גאוסיים וחסרי קורלציה, אך ניתן להראות שהם גם תלויים סטטיסטית, למשל על ידי ההבחנה כי מתקיים , כלומר, בידיעת ערכו של , המשתנה מקבל אחד משני הערכים , בעוד שללא ההתניה מדובר במשתנה מקרי רציף.
הדבר אינו מהווה סתירה, שכן אין הם גאוסיים במשולב.
חברת אי.אס.פי (ESP) היא יצרנית מרכזית של גיטרות חשמליות וגיטרות בס.
מטה החברה ממוקם בצפון הוליווד, קליפורניה.
החברה הוקמה ב-1975, ומתמחה, בין השאר, בייצור גיטרות בהזמנה אישית.
בשנת 1975 פתח היסטקי שיבויה (Hisatake Shibuya) חנות לחלפים מותאמים אישית לגיטרות בשם ESP (Electric Sound Products) בטוקיו, יפן.
עד מהרה, צברה החנות מוניטין בתחום הגיטרות והחברה החלה בייצור גיטרות תחת השמות ESP ו-Navigator עבור השוק היפני.