tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
ציפור שחורה זו בעלת כתר ענקי למצגי ראווה ובשל צורתו דמוית המטריה זכתה לשמה.
מטריינית אמזונית היא אחת מציפורי השיר הגדולות בעולם והגדולה ביותר באמריקה הדרומית.
לעומתו הנקבות קטנות יותר, אורכם 41-44 ס"מ ומשקלם עד 380 גרם.
הזכר הגדול הוא יצור שחור בעל כרבולת ענקית והיא משמשת אותו למשיכת הנקבות.
כמו כן הצוואר הוא בעל דלדול כמו של תרנגול הודו.
לעומתו הנקבה הקטנה היא בצבעים חומים דמויים והיא הדואגת לקן ולגוזלים בלי עזרתו של הזכר.
גודל הכרבולת מכביד מעט על הזכרים והם לא נוטים לעוף מחשש שיהיו לטרף קל לעופות דורסים מהירים.
עם זאת הוא עף לעיתים רבות מעל נהרות עד לצד השני.
הם מאוימים מעט מהרס יערות הגשם אך כרגע מצבם הוא "ללא חשש".
במתמטיקה, מטריית ויטני (לפעמים נקראת המטרייה של ויטני, על שם המתמטיקאי הסלר ויטני, או מטריית קיילי, על שם המתמטיקאי ארתור קיילי) הוא משטח במרחב התלת-ממדי, הנוצר מאיחוד כל הישרים הפוגשים פרבולה נתונה ומאונכים לקו ישר נתון המקביל לציר הפרבולה.
מטריית וויטני היא משטח המצטלב עם עצמו, ולו נקודת הצטלבות היוצרת צורת "פלוס".
במערכת צירים קרטזית, התיאור הפרמטרי של מטריית ויטני הוא : ;
כאשר v,u הם מספרים ממשים.
מטריית ויטני היא משטח ישרים וגם קונואיד ימני.
למטריית ויטני יישומים בתורת המיתרים ובתורת הסינגולריות.
למטריית ויטני יש נקודת צביטה סינגולרית, שנקרא ה"ידית" של מטריית ויטני.
מטריצה ביסמטרית היא מטריצה ריבועית ששני האלכסונים שלה הם צירי סימטריה.
למטריצה בגודל 3 X 3 יהיה את המבנה הכללי:
למטריצה בגודל 4 X 4 יהיה את המבנה הכללי:
באופן פורמלי מטריצה ריבועית A עם n X n איברים היא ביסימטרית אם A = AT וגם AJ = JA כאשר J הוא מטריצת ההמרה עם n X n איברים.
(מטריצת ההמרה היא מטריצה בה ערך כל האיברים באלכסון הניצב לאלכסון הראשי הוא 1 וערך יתר האיברים הוא 0).
מטריצה ביסימטרית היא פֶּרְסימטרית וצנטרוסימטרית.
מכפלת שתי מטריצות ביסמטריות קומוטטיביות נותנת מטריצה צנטרוסימטרית וזו נשמרת גם בכפל בסקלר.
מטריצת אפסים היא ביסימטרית באופן טריויאלי.
modestus|תקופה= סוף פליוקן- תחילת פליסטוקן
מֶטרידיוֹכֵרוּס (שם מדעי: Metridiochoerus'') הוא סוג נכחד של חזיר הקרוב לחזיר היבלות, שחי באפריקה מסוף תקופת הפליוקן ועד הפליסטוקן.
מכונה גם חזיר יבלות ענק, אף שהיה שייך לסוג אחר.
חזיר זה היה גדול יותר מהחזירים המודרניים והגיע לאורך 1.5 מטרים.
לחזיר היו ארבעה ניבים מעוקלים כלפי מעלה שהעניקו לו חזות מאיימת.
ייתכן שהיו לו גם יבלות סמוך לעיניו ורעמת שיער.
יצור זה היה אוכל-כול שניזון מהחי ומהצומח.
המטרידיוכרוס מופיע בסרט "עידן הקרח 4: יבשת בתנועה", בתור דוסון, חבר צוות הפיראטים (הפיראט היחיד שאינו יכול לדבר).
הוא מוצג כיצור טיפש שעוזר לחבריו.
ייתכן שהוא מופיע גם בסדרה "ללכת עם חיות" בדמות של חזיר יבלות מצוי בעל חטים גדולים.
מטריורינכוס (שם מדעי: Metriorhynchus; משמעות השם: "חוטם בינוני") הוא סוג של זוחל נכחד מקבוצת דמויי תנינאים שחי בים בתור היורה לפני 155–167 מיליון שנה.
המאובנים נמצאו בגרמניה, צרפת ובריטניה.
מאובנים נוספים נמצאו באמריקה הדרומית ולא ברור אם הם שייכים לסוג זה.
יצור זה הגיע לאורך 3 מטרים והיה בעל מבנה גוף צר ומותאם למים יותר מהתנינים הקיימים.
היו לו סנפירי חזה וסנפירי שת ארוכים וזנב בעל אונות.
מבנה זה עזר לו לנוע במהירות במים אך עשה את גופו פגיע יותר לטורפים ענקיים.
ליצור היו בלוטות מלח מפותחות, איתם הוא יכל לשתות מי-ים בלי להתייבש.
ליצור הייתה לסת צרה שדמתה ללסת הגביאל ובה שיניים חדות אך קטנות.
מבנה הלסת עזר לו לנוע במהירות במרדף אחרי דגים ודיונונים אך עדיין היה חזק מספיק לפצח קונכיות של רכיכות ים כמו אמוניטים.
הוא גיוון גם בנבלות, בזוחלי ים קטנים ממנו ואפילו בפטרוזאורים מנמיכי עוף.
זוחל ימי זה מופיע בסדרה מפלצות ים שם הוא מוצג עם הכריש היבודוס כטורף של הדג הענקי לידסיכתיס.
באלגברה ליניארית, מטריצה אלמנטרית היא מטריצה המתקבלת ממטריצת היחידה על ידי פעולת שורה אלמנטרית אחת.
בדרך זו, ביצוע פעולת שורה אלמנטרית על מטריצה ריבועית שרירותית A שקול למעשה לכפל במטריצה אלמנטרית מסוימת - מטריצה המתקבלת ממטריצת הזהות על ידי פעולה שורה אלמנטרית זהה לזו שאנו רוצים לבצע על המטריצה המקורית A.
כל מטריצה הפיכה ניתן להמיר במכפלה של מטריצות אלמנטריות.
ישנם שלושה סוגים של מטריצות אלמנטריות, אשר מתאימים לשלושה סוגים של פעולות שורה אלמנטריות:
החלפת שורה שורה במטריצה ניתנת להחלפה עם שורה אחרת.
הכפלת שורה בסקלר כל איבר בשורה ניתן להכפלה בסקלר זהה שונה מאפס.
הוספת שורה לשורה אחרת שורה ניתנת להחלפה בסכום של שורה וכפולה של שורה אחרת.
אם E היא מטריצה אלמנטרית, כפי שתואר לעיל, אז כדי להפעיל פעולת שורה אלמנטרית על מטריצה A, יש להכפיל את A במטריצה האלמנטרית משמאל, כלומר למצוא את E⋅A.
בעבור כל פעולת שורה, המטריצה האלמנטרית המתאימה מתקבלת מהפעלת הפעולה על מטריצת היחידה.
הסוג הראשון של פעולות שורה על מטריצה A מחליף את כל איברי השורה ה-i עם האיברים התואמים להם בשורה ה-j.
המטריצה האלמנטרית המתאימה מתקבלת מהחלפת שורה i ו-j במטריצת היחידה.
כך ש-Tij⋅A היא המטריצה המתקבלת מהחלפת שורות i ו-j של A.
המטריצה ההופכית למטריצה זו היא עצמה: Tij−1=Tij.
כיוון שהדטרמיננטה של מטריצת היחידה היא אחת, det[Tij] = −1. זה נובע מכך שבעבור כל מטריצה ריבועית A, מתקיים [det[TijA] = −det[A.
הסוג הבא של פעולת שורה על מטריצה A מכפיל את כל איברי השורה ה-i ב-m, כאשר m הוא סקלר שונה מאפס.
המטריצה האלמנטרית המתאימה היא מטריצה אלכסונית, אשר איברי האלכסון שלה הם 1 בכל מקום למעט במיקום ה-i, שם הוא m.
כך ש-Di(m)⋅A היא המטריצה המתקבלת מ-A על ידי הכפלת שורה i ב-m.
המטריצה ההופכית למטריצה הזאת היא: (Di(m)−1 = Di(1/m.
לפיכך בעבור מטריצה ריבועית A מקבלים [det[Di(m)A] = m det[A.
הסוג האחרון של פעולת שורה על מטריצה A הוא הוספת השורה ה-i מוכפלת בסקלר m לשורה ה-j.
המטריצה האלמנטרית המתאימה היא מטריצת היחידה אולם עם m במיקום (j,i).
הטרנספורמציות הללו הן סוג של העתקת גזירה (shear mapping).
det[Lij(m)] = 1. לכן, בעבור מטריצה ריבועית A, מקבלים [det[Lij(m)A] = det[A.
מטריאכאנטוזאוריים (שם מדעי: Metriacanthosauridae; בעבר נקראה: Sinraptoridae) היא משפחה של דינוזאורים טורפים שחיו באמצע היורה ותחילת הקרטיקון והשתייכו לקבוצת הקרנוזאוריה בה גם האלוזאוריים והקרכרודונטוזאוריים שכנראה התפתחו מהם.
בני משפחה זו היו גדולים יחסית והיו מטורפי-העל של תקופתם באזור מזרח אסיה וחלק מאירופה.
הם הגיעו עד לאורך 8 מטרים אצל היאנגצ'ואנוזאורוס, והיו בעלי לסתות גדולות שדמו ללסתות של קרכרודונטוזאורוס, בדרך כלל עם בליטות קרניות קטנות מעל העיניים.
מטריורינכוסיים (שם מדעי: Metriorhynchidae) היא משפחה של זוחלים ימיים מהקבוצה דמויי-תנינאים.
הם חיו באוקיינוסים הקדומים של תורי היורה והקרטיקון עד ללפני 135 מיליון שנה.
מאובניהם נמצאו באמריקה הצפונית, אמריקה הדרומית ואירופה.
משפחה זו לצד הטלאוזאוריים שיחדיו שייכים לתת-סדרה ת'לאטוסוכים הם התנינים הימיים ביותר ומבנה גופם הותאם לחיים בים, אם כי לא ברור אם הטילו ביצים בחופים כמו צבי ים או השריצו ולדות במים.
רבים מהם היו בעלי לסתות גדולות מלאות שיניים חדות והם היו טורפי-על בימים.
אחרים היו דווקא אוכלי דגים בעלי חרטום צר והיו קטנים יותר.
מטרייה אווירית הוא מונח צבאי, שמשמעותו היא מתן הגנה אווירית לכוח צבאי (לרוב קרקעי, אך לעיתים גם ימי ואווירי) נגד תקיפות אוויריות.
את המטרייה האווירית ניתן לספק הן על ידי כלי טיס בכוננות יירוט והן על ידי מערכות הגנה אווירית כגון טילי קרקע-אוויר (טק"א).
מטרת המטרייה האווירית היא למנוע מכלי טיס של האויב (כגון מטוסי קרב, מסוקי קרב ואפילו כטב"מים חמושים או רחפני נפץ) לפגוע בכוח הצבאי.
במדינות להן יש חילות אוויר מתקדמים הנהנים מעליונות אווירית, המטרייה האווירית תסופק לרוב באמצעות מטוסי קרב בכוננות יירוט והרתעה אסטרטגית של הפלת כל כלי טיס שמאיים על המדינה.
עם זאת, כלי טיס לא מספקים הגנה מפני ירי טילי קרקע-קרקע ולכן כדי לתת הגנה אווירית מלאה יש גם לפרוש סוללות יירוט טילים נייחות (כגון כיפת ברזל הישראלית או ה-MIM-104 פטריוט האמריקאי) או מתנייעות (כגון מגן גדעון הישראלית שנמצאת בפיתוח, או הפנציר-S1 הרוסית).
מדינות ללא עליונות אווירית נוטות להתבסס על מערך טילי קרקע-אוויר לטווחים קצרים עד ארוכים ותותחי נ"מ לטווחים קצרים.
מטריונה אדמוביץ' הייתה נוצרייה אורתודוקסית, שעבדה כמטפלת בילדים, מחסידי אומות העולם, שהצילה במלחמת העולם השנייה יהודים ממוות בידי הנאצים.
בצעירותה לא למדה בבית ספר והחלה לעבוד מגיל צעיר, בעיקר כמטפלת בילדים.
לפני פלישת גרמניה הנאצית לבלארוס ביוני 1941, מטריונה עבדה כמטפלת בבית משפחת נחום וריבה פינקלשטיין בעיר מינסק כמטפלת לשתי בנותיהן זויה (Zoya) ואניה (Ania).
עם פלישת גרמניה, המשפחה היהודיה והמטפלת נמלטו מזרחה, אך לא יצאו מגבולות מחוז המשנה אורשה שבצפון בלארוס, שכן נחום פינקלשטיין, לא חשב שהגרמנים יגיעו כל כך רחוק.
באורשה, גויס נחום לצבא האדום ובאוגוסט 1941 הוכרז כנעדר.
האם ריבה, גויסה גם היא לצבא, כך שכאשר הגרמנים כבשו את האזור ב-16 ביולי 1941, מטריונה נשארה לבדה לטפל בשתי הבנות.
מטריונה החליטה ללכת עמן לכפר גורבטסביצ'י (בבלרוסית: Гарбацэвічы) שבנפת בוברויסק של היום) שם התארחו אצל משפחת מינצ'וקוב, אולם גורשו מיד עם הגעת הגרמנים לכפר.
מטריונה מצאה עבורן מסתור אצל משפחת פיליפוב, אך לאחר כשבוע נאלצו לנוס גם משם משום שהגרמנים השתמשו בביתה הגדול של המשפחה להקמת מטה .S.S.
עם זאת, משפחת פיליפוב ביקשה מאניסיה, אם משפחת וסילצ'ונוק (Vasilchonok) לתת להם מחסה.
אניסיה הסכימה להסתיר את מטריונה ושתי הבנות והן שהו תחת חסותה במשך שלוש שנים.
אף על פי שמטריונה סיפרה לכולם ששתי הבנות הן בנותיה, תושבים רבים בכפר לא האמינו בעיקר בשל חזותן היהודית של הבנות, שבלטה במיוחד אצל אניה.
משפחת וסילצ'ונוק הגנה עליהן מפני חשדות התושבים.
לתקופה מסוימת הסתתרו זויה ואניה במרתף הבית תחת ערימת תפוחי אדמה.
בשל המחסור במזון, בני משפחת פיליפוב סייעו לכל אורך התקופה גם הם, בכך שהביאו למסתתרות שאריות אוכל של חיילי ה-S.S.
ששהו כאמור בביתם, ובנוסף נרתם לעזרה באספקת מזון גם סנדקם של ילדי משפחת וסילצ'ונוק.
במהלך התקופה אניה הצטרפה אל כוחות הפרטיזנים ונהרגה במהלך פעילותם לאחר כמה חודשים.
בשנת 1944 מטריונה יצאה מן הבית על מנת לחפש מלח, לשם תיבול המזון חסר הטעם.
היא נתפסה על ידי חיילים גרמנים שהסיעו אותה ברכבם לכפר למעצר.
מטריונה בכתה בכי חזק מאוד, שנשמע על ידי אולגה וסילצ'ונוק, בת ה-16. אולגה הזעיקה את בני משפחת וסילצ'ונוק והם התגייסו להצילה מעבודות הכפייה שיועדו לה על ידי הנאצים.
הם חששו שמטריונה המבוגרת שצלעה ברגל אחת, לא תשרוד את העינויים והעבודות הקשות.
אולגה התנדבה להציע לחיילים הנאצים להחליף את מטריונה בעבודות הכפייה.
היא טענה בפניהם כי היא תוכל להועיל להם יותר.
החיילים נענו לבקשתה ומטריונה הושלכה מהרכב במשיכת צווארונה.
זויה התאחדה עם אמה לאחר המלחמה והן חזרו למינסק.
בשנים הראשונות לאחר המלחמה החיים במינסק היו קשים ביותר בשל ההרס הכבד ששרר בכל מקום וזויה ואמה התגוררו בצריף דל.
מטריונה אדמוביץ' עבדה כמטפלת של בתה של זויה בשנות ה-60, וגרה עם משפחתה של זויה עד יום מותה.
מטריונה אדמוביץ' הוכרזה כחסידת אומות עולם ב-25 ביולי 2005. שמה חקוק בקיר הכבוד בגן חסידי אומות עולם ביד ושם בירושלים.
במתמטיקה, במיוחד באלגברה ליניארית, מטריצה אנטי-סימטרית היא מטריצה ריבועית שהשחלוף שלה שווה לשלילה שלה.
כלומר, הוא מקיים את התנאי:
במונחי הרכיבים של המטריצה, אם מציין את הערך בשורה ה־ ובעמודה ה־, אז תנאי האנטי-סימטריות שווה ערך ל־
אוסף המטריצות האנטי-סימטריות הוא מרחב וקטורי.
בפרט, הסכום של שתי מטריצות אנטי סימטריות הוא מטריצה אנטי סימטרית, וכל כפולה בסקלר של מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה אנטי סימטרית.
כאשר השדה ממאפיין שונה מ-2:
הממד של מרחב המטריצות האנטי סימטריות הוא .
הרכיבים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי סימטרית הם כולם אפס, ובפרט העקבה שלה שווה לאפס.
הערכים העצמיים של מטריצה ממשית אנטי-סימטרית הם מספרים מרוכבים טהורים (כלומר, כפולות ממשיות של היחידה המרוכבת i).
בפרט, אם היא מטריצה אנטי סימטרית ממשית היא מטריצה הפיכה, כאשר היא מטריצת היחידה.
אם היא מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה סימטרית שלילית (negative indefinite).
מעל שדה ממאפיין 2, אין הבדל בין מטריצות אנטי-סימטריות למטריצות סימטריות.
ניתן להשתמש במטריצות אנטי סימטריות של שלוש על שלוש כדי לייצג פעולת מכפלה וקטורית ככפל מטריצות.
בהינתן וקטורים ו-, מוגדרת המטריצה:
ניתן לכתוב את פעולת המכפלה הווקטורית בתור
ניתן לאמת זאת בקלות על ידי חישוב שני הצדדים של המשוואה הקודמת והשוואה של כל רכיב תואם של התוצאות.
בהינתן , וקטור סיבוב, מטריצת הסיבוב המתאימה תהיה:
ערך זה עוסק במטריצות שהן אנטי-סימטריות ביחס לפעולת השחלוף.
באופן דומה מגדירים איברים אנטי-סימטריים ביחס לאינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות, או לכל אינוולוציה אחרת.
באלגברה ליניארית, מטריצה סימטרית היא מטריצה ריבועית A, הנשמרת תחת פעולת השחלוף, כלומר, מתקיים .
אם אזי ותנאי הסימטריות למעשה אומר .
ציר הסימטריה הוא האלכסון הראשי כך שהאיברים הנמצאים מעליו שווים לאיברים המשתקפים מתחתיו (תמונת מראה).
הצורה הכללית של מטריצה סימטרית בגודל 3 על 3 היא
אוסף המטריצות הסימטריות מסדר n הוא מרחב וקטורי.
מעל שדה המספרים הממשיים מטריצה סימטרית ממשית היא צמודה לעצמה, ולכן לכסינה אורתוגונלית.
בפרט, הערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית הם ממשיים.
אם מטריצה A היא סימטרית, אז גם היא סימטרית לכל n טבעי.
התכונה המרכזית של מטריצות סימטריות
התכונה החשובה ביותר של מטריצות סימטריות היא שכל הערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית הם ממשיים, ושהיא תמיד לכסינה אורתוגונלית.
נוכיח תחילה שכל הערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית הם ממשיים.
יהי וקטור עצמי של , ו- הערך העצמי המתאים לו.
אז , ולכן הוא מספר ממשי חיובי.
כעת, נוכיח את חלקו השני של המשפט - נראה שווקטורים עצמיים השייכים לערכים עצמיים שונים של מטריצה סימטרית ממשית הם בהכרח אורתוגונליים.
מטענה זאת נובע בהכרח כי לכסינה אורתוגונלית, שכן ניתן להפעיל את תהליך גרם-שמידט על כל אחד מהמרחבים העצמיים שלה ולקבל בסיס אורתוגונלי ל- בו היא אלכסונית.
יהיו שני וקטורים עצמיים השייכים לערכים עצמיים שונים בהתאמה.
נחשב את בשתי דרכים שונות.
ראשית, מכיוון ש-, מכפלה זאת שווה ל-:
מצד שני, מכיוון ש-, נקבל:
מכיוון שהנחנו , השוויון הקודם גורר שבהכרח , כלומר הווקטורים העצמיים ו- בהכרח ניצבים.
מטריצה A המקיימת היא מטריצה אנטי-סימטרית.
כאשר שדה הבסיס בעל מאפיין שונה מ-2, כל האיברים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי-סימטרית שווים לאפס.
בנוסף לזה, מרחב המטריצות מתפרק לסכום ישר של מרחב המטריצות הסימטריות ומרחב המטריצות האנטי-סימטריות.
כל מטריצה A היא סכום של מטריצה סימטרית: ומטריצה אנטי סימטרית: ונוסחת הממדים היא .
הצורה הכללית של מטריצה אנטי-סימטרית בגודל 3 על 3 היא .
הדטרמיננטה של מטריצה אנטי-סימטרית מסדר אי-זוגי (במאפיין שונה מ-2) היא אפס.
עבור מטריצות אנטי-סימטריות מסדר זוגי, הדטרמיננטה היא ריבוע של הפפאפיאן.
הופעות של מטריצות סימטריות בתחומים אחרים
למשפט שקובע שכל הערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית הם ממשיים, ושהן תמיד לכסינות אורתוגונלית, יש חשיבות רבה הגולשת מתחום האלגברה הליניארית ליישומים רבים בתחומי המדע השונים.
להלן מובאות כמה דוגמאות לחשיבות משפט זה:
מטריצת ההתפתחות היא לפיכך סימטרית, ולכן כל הערכים העצמיים שלה ממשיים (במקרה זה, הערכים העצמיים הם התדירויות העצמיות).
במכניקה אנליטית, מן העובדה שטנזור ההתמד של גוף הוא מטריצה סימטרית נובע שתמיד קיימת מערכת אורתוגונלית של צירים ראשיים, כך שתיאור הסיבוב העצמי של הגוף במערכת הצירים הראשית נעשה פשוט יותר.
מכיוון שהקובייה מצויה בשיווי משקל, כל צמד מאמצי גזירה ו- שווים.
המשפט המרכזי על מטריצות סימטריות קובע אז שקיימים מישורים ראשיים (Principal planes) אשר המאמצים הנתונים המופעלים על הקובייה פועלים בדיוק בניצב אליהם (כיווני מאמץ ראשיים); ערכי המאמצים הנורמליים הראשיים הם הערכים העצמיים של טנזור המאמצים וכיווני המאמץ הראשיים הם הווקטורים העצמיים.
בנייה זאת מראה כי ניתן להמיר בין מאמצי גזירה הפועלים במערכת צירים אחת למאמצי לחיצה במערכת צירים אחרת.
במכניקת הזורמים יש לטנזור המאמצים חשיבות מפתח בפיתוח משוואות נאוויה-סטוקס, כשתכונת השקילות בין מאמצי גזירה במערכת צירים אחת למאמצי לחיצה במערכת צירים אחרת באה לידי ביטוי באיבר .
הופעת איבר זה נוגדת במידה מסוימת את האינטואיציה הפיזיקלית הראשונית, שכן היא מראה שאפקטים של חיכוך צמיגי בין שכבות הזורם (צמיגות הזורם מסומנת ) מופיעים גם עקב שינויי נפח של אלמנט זורם ולא רק עקב מעוות גזירה.
באלגברה ליניארית, מטריצת היחידה מסדר היא מטריצה ריבועית מסדר , כלומר בגודל , שהאלכסון הראשי שלה מורכב מאחדות וכל שאר המטריצה מאפסים.
היא מסומנת על ידי או על ידי כאשר גודלה אינו חשוב או טריוויאלי.
מטריצת היחידה משמשת כאיבר נייטרלי ביחס לכפל מטריצות, וכטרנספורמציה ליניארית היא מייצגת את העתקת הזהות (כלומר: לכל ), כלומר כמו שבאלגברה רגילה ניתן להכפיל כל אבר שרוצים בספרה 1 כך ניתן להכפיל כל מטריצה שרוצים במטריצת היחידה מבלי לשנות את השוויון.
דוגמאות למטריצת היחידה בסדרים שונים:
מאחר שמטריצת היחידה היא מקרה פרטי של מטריצה אלכסונית, אפשר לכתוב אותה גם כ-:
בחישובים לפי קואורדינטות וחשבון טנזורים שימושי להציג את מטריצת היחידה באמצעות הדלתא של קרונקר:
תהי מטריצה מעל שדה F, אזי:
כלומר: מטריצת היחידה היא איבר נייטרלי ביחס לכפל מטריצות.
מטריצת היחידה (מסדר n) היא מטריצה אוניטרית ומטריצה הרמיטית ובפרט מטריצה סימטרית ומטריצה אורתוגונלית, עמודותיה וכן שורותיה מהווים בסיס אורתונורמלי למרחב הווקטורי .
הדטרמיננטה של מטריצת היחידה שווה ל-1. מטריצת היחידה היא מטריצה אלכסונית שכל ערכיה העצמיים שווים ל-1. זו מטריצה הפיכה ודרגתה שווה ל-n.
מטריצה מסוג זה מנוצלת בכמה תחומים של אנליזה נומרית לרבות פירוק אינטרפולטיבי.
הפולינום האופייני והפולינום המינימלי של המטריצה המלווה לפולינום , הם עצמו.
תוצאה ישירה מכך היא שלכל פולינום מתוקן קיימת מטריצה בעלת אותו הפולינום האופייני.
כל מטריצה בגודל אשר הפולינום המינימלי שלה הוא ממעלה דומה למטריצה המלווה של הפולינום המינימלי שלה.
במקרה שבו המעלה של הפולינום המינימלי קטנה מ-n המטריצה דומה לצורה הרציונלית קנונית שלה, שהיא מטריצת בלוקים אלכסונית שבלוקיה הם מטריצות מלוות.
מטריצת בלוקים אלכסונית היא מטריצה אשר על האלכסון שלה מוצבים "בלוקים" שהם גם מטריצות (מסדר נמוך יותר), וכל שאר ערכי המטריצה הם אפסים.
דוגמה לכך היא צורת ז'ורדן או הצורה הרציונלית קנונית.
להלן דוגמה של מטריצה 4 על 4, שבנויה משני בלוקים 2 על 2 באלכסון:
דרך נוספת לכתוב מטריצת בלוקים אלכסונית היא באמצעות סכום ישר של מטריצות הריבועיות: .
פירוש הסימון הוא שמציבים את המטריצות באלכסון של מטריצה אלכסונית בלוקים (לפי הסדר).
כך למשל, בדוגמה לעיל ניתן לכתוב בקיצור .
חלק מן הפעולות הטבעיות על מטריצות ניתן לבצע בכל בלוק בנפרד.
עקבה (מאנגלית - Trace): .
נוסחאות אלו עוזרות בחישובים מסוימים, כמו חישוב הפולינום האופייני של מטריצה - מכפלת הפולינום האופייניים של המטריצות באלכסון; והפולינום המינימלי - הכפולה המשותפת המינימלית של הפולינומים המינימליים בבלוקים.
באלגברה ליניארית, מטריצה ריבועית היא לכסינה (או ניתנת ללכסון) אם היא דומה למטריצה אלכסונית, כלומר, אם קיימות מטריצה אלכסונית ומטריצה הפיכה , כך ש-, או באופן שקול: .
במקרה כזה, נקראת מטריצה מלכסנת, ו־D נקראת מטריצה ספקטרלית של A.
ניתן בקלות יחסית להעלות בחזקה מטריצות לכסינות ולהציבן בפולינומים.
כל מטריצה נורמלית ניתנת ללכסון, אבל ישנן מטריצות שאינן ניתנות ללכסון.
תכונת הלכסינות תלויה בשדה שממנו נלקחות המטריצות ו-.
ישנן למשל מטריצות ממשיות, שהן לכסינות מעל המרוכבים אבל אינן לכסינות מעל הממשיים.
באופן שקול, העתקה ליניארית מהמרחב הווקטורי אל עצמו היא לכסינה אם קיים בסיס של , ש- פועלת על כל רכיביו כמו כפל בסקלר; דהיינו קיימים סקלרים , שעבורם .
הגדרה זו זהה להגדרת קיומם של ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים, ולכן לכסינות של העתקה היא תכונה חשובה מאוד שלה.
העתקה ליניארית היא לכסינה אם ורק אם קיימת לה מטריצה מייצגת לכסינה; ובמקרה כזה כל מטריצה מייצגת שלה היא לכסינה.
כל מטריצה ריבועית יכולה להוות מטריצה מייצגת של אופרטור ליניארי הפועל על מרחב וקטורי.
מושגי הווקטורים העצמיים והערכים העצמיים עוזרים בהבנת אופן הפעולה של מטריצה על המרחב הווקטורי, דבר שלעיתים קרובות קשה לחשב.
לכל מטריצה לכסינה מסדר קיימים וקטורים עצמיים שהם בסיס למרחב ה- ממדי שעליו המטריצה פועלת.
אם נכתוב את המטריצה לפי בסיס זה, ונכתוב כל וקטור לפי בסיס זה, יהיה קל מאוד לחשב את התמונה של הווקטור הזה.
בצורה זו קל יותר להבין את אופן הפעולה של האופרטור, באופן שבו המטריצה לוקחת את המרחב ומותחת אותו בעוצמות שונות לכיוונים שונים.
הנוסחה מציגה גם את מעבר הבסיס שנעשה לצורך החישוב, כאשר היא מטריצת מעבר בין הבסיסים.
על אף שמעבר בסיס זה בפני עצמו דורש מאמץ חישובי מסוים, מטריצות לכסינות יכולות לחסוך חישובים, למשל בהעלאת מטריצות בחזקה (וכן לכל פעילות שבה ו- מבטלים זה את זה).
המוטיבציה ללכסון מטריצות היא הנוחות הרבה שבעבודה עם מטריצות אלכסוניות: הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים שלה ברורים מאוד ואין קושי במציאתם, וקל מאוד להעלות אותה בחזקה: די בהעלאת כל איבר ואיבר שלה באותה חזקה.
דבר זה חשוב במיוחד לצורך העלאה בחזקה של מטריצות שאינן אלכסוניות, אך הן לכסינות.
למשל, תהי המטריצה הלכסינה, המטריצה האלכסונית הדומה לה ו- המטריצה המלכסנת: , או באופן שקול: .
כלומר, לשם העלאת מטריצה לכסינה בחזקה אין צורך לבצע כפל מטריצות פעמים, אלא די בשתי פעולות כפל מטריצות, שכן העלאת מטריצה אלכסונית בחזקה היא כאמור טריוויאלית.
ככלל, מעל לשדה המספרים המרוכבים, קיים סיכוי רב יותר שמטריצה אקראית תהיה לכסינה.
הדבר אינו נכון לגבי המספרים הממשיים: הסיכוי שמטריצה אקראית מעל למספרים הממשיים תהיה לכסינה הולך ופוחת ככל שסדר המטריצה גדל.
משפט חשוב אומר שכל מטריצה הרמיטית (ובהמשך נראה שגם כל מטריצה נורמלית) ניתנת ללכסון אוניטרי.
במקרה הפרטי שבו מדובר במטריצה סימטרית ממשית, זה אומר שהיא ניתנת ללכסון והמטריצה המלכסנת היא מטריצה אורתוגונלית.
בנוסף, ללכסון מטריצות חשיבות מכרעת בפיזיקה, בין היתר לשם מציאת אופני תנודה עצמיים של מערכת וכן לפתרון משוואת שרדינגר.
תהי מטריצה ריבועית לכסינה מסדר .
נפתור את הפולינום האופייני למציאת הערכים העצמיים של המטריצה.
המטריצה האלכסונית היא כאשר הם שורשי הפולינום האופייני.
נמצא את הריבוי הגאומטרי, כלומר: עבור כל ערך עצמי .
נמצא את המרחב העצמי של כל ערך עצמי, המרחב המכיל את הווקטורים העצמיים לכל ערך עצמי , כלומר: נמצא את הווקטורים השונים מאפס המאפסים את המטריצה .
בדרך כלל נהוג לנרמל אותם כך ש-.
נסמן ב- את המטריצה שעמודותיה הם וקטורים עצמיים בלתי תלויים ליניארית (זוהי המטריצה המלכסנת).
למטריצה אלכסונית, שאלכסונה כולל את המספרים , יש פולינום אופייני , ופולינום מינימלי השווה למכפלת הגורמים עבור הערכים השונים זה מזה.
אם שתי מטריצות דומות זו לזו, אז יש להן אותו פולינום אופייני ופולינום מינימלי.
באופן כללי, מטריצה היא לכסינה אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שווה לזה של הריבוי הגאומטרי.
מכיוון שהריבוי הגאומטרי לעולם קטן או שווה מן הריבוי האלגברי, התנאי האחרון שקול לתנאי הבא: סכום הריבויים הגאומטריים של כל הערכים העצמיים שווה למימד המטריצה.
אם המטריצה ניתנת ללכסון, אפשר להרכיב מטריצה מלכסנת על ידי איסוף בסיס של וקטורים עצמיים כעמודות במטריצה.
במקרה כזה האלכסון הראשי של המטריצה האלכסונית הם הערכים העצמיים של , כאשר כל ערך מופיע בה מספר פעמים ששווה לריבוי האלגברי שלו.
לכסון אוניטרי הוא לכסון של מטריצה בעזרת מטריצה אוניטרית.
כאשר המרחב הוא מעל שדה הממשיים () הלכסון נקרא גם לכסון אורתוגונלי.
מטריצה היא לכסינה אוניטרית, אם קיים בסיס אורתונורמלי של (כאשר מעל שדה ), שבו המטריצה מיוצגת כמטריצה אלכסונית, כך:
כאשר היא המטריצה אותה אנחנו רוצים ללכסן, היא המטריצה המלכסנת, שעמודותיה מורכבות מבסיס אורתונורמלי ו- היא מטריצה אלכסונית.
מטריצה מעל ניתנת לליכסון אוניטרי אם ורק אם היא נורמלית.
מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש (או שלישה) אם היא דומה למטריצה משולשית עליונה, כלומר, אם יש מטריצה הפיכה כך ש- משולשית עליונה.
מטריצה ניתנת לשילוש (מעל שדה ) אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל אותו שדה.
בפרט, כל מטריצה מעל שדה המספרים המרוכבים ניתנת לשילוש שם.
מטריצה ניתנת לשילוש אוניטרי (כלומר ניתנת לשילוש על ידי מטריצה כך ש- היא מטריצה אוניטרית) אם ורק אם היא ניתנת לשילוש.
מטריצות פאולי הן שלוש מטריצות מרוכבות המסייעות לייצג טרנספורמציות סיבוב במרחב מממד זוגי של פונקציות מרוכבות.
למטריצות אלו חשיבות רבה בפיזיקה בכלל, ובתורת הקוונטים בפרט.
בין היתר ניתן לייצג בעזרתן את אופרטור הספין, אופרטור הבורגיות (Helicity) ובעזרתן ניתן לכתוב את משוואת דיראק במרחב הספינור ה-4 ממדי.
מטריצות אלו קרויות על שם הפיזיקאי האוסטרי וולפגנג פאולי.
המטריצות הן מסדר , כדלהלן:
לדוגמה, אופרטור הספין במרחב המצבים העצמיים של ספין ניתן לכתיבה בצורה
מטריצות פאולי הן מטריצות הרמיטיות, אוניטריות, בעלות עקבה אפס ובעלות דטרמיננטה 1-, כלומר:
מעל מטריצות פאולי ומטריצת היחידה מהוות יחד בסיס למרחב המטריצות המרוכבות ההרמיטיות .
מעל מטריצות פאולי ומטריצת היחידה מהוות יחד בסיס למרחב כל המטריצות המרוכבות .
לכל אחת ממטריצות פאולי שני ערכים עצמיים: (1+) ו־(1-).
כל אחת ממטריצות פאולי מקיימת את השוויון : כאשר היא מטריצת היחידה.
יחסי חילוף (קומוטציה) ואנטי-חילוף (אנטי-קומוטציה):
את הזהויות לעיל אפשר לסכם כך:
כאשר הוא הדלתא של קרונקר ו הוא סימן לוי-צ'יוויטה.
עבור וקטורים (של מספרים) מתקיים:
למטריצות פאולי מספר שימושים בתורת הקוונטים, ביניהם:
עבור ספין , האופרטור המתאים לספין בכיוון הציר הוא .
בפרט מטריצות פאולי עצמן מתאימות לספין בכיוון הצירים x, y, z.
האופרטור המתאר סיבוב של ספין בזווית סביב הציר הוא:
מטריצות פאולי משמשות לבניית מטריצות גאמה של דיראק, הנמצאות בניסוח היחסותי האינווריאנטי-לורנץ של משוואת דיראק.
בפיזיקה גרעינית משתמשים במטריצות פאולי לתיאור טרנספורמציות של חלקיקים בעלי איזוספין (לדוגמה נוקליאונים).
בתחום זה, מטריצות פאולי מסומנות בדרך כלל ב־.
מטריצות פאולי הן היוצרות של ההצגה מממד 2 של חבורת לי .
בחישוב קוונטי, השערים הלוגים מיוצגים על ידי מטריצות אוניטריות בגודל 2x2, ומטריצות פאולי מייצגות כמה מהשערים החשובים ביותר.
באלגברה ליניארית, המטריצה המצורפת או המטריצה הצמודה הקלאסית (להבדיל ממטריצה צמודה הרמיטית), של מטריצה ריבועית היא מטריצה הדומה במידה מסוימת למטריצה ההופכית, אולם ניתן לחשב אותה לכל מטריצה ריבועית, גם עבור מטריצות שאינן בהכרח הפיכות.
המטריצה המצורפת של מסומנת ב- (מן המילה adjoint או adjugate) וכל איבר בה מוגדר באופן הבא:
כאשר הוא המינור של האיבר במקום ה- במטריצה , כלומר המטריצה המתקבלת כאשר מוחקים את שורה ועמודה במטריצה .
כמו כן, מתכונות הדטרמיננטה, אפשר לחשב את המטריצה המצורפת בעזרת המינור של המטריצה המשוחלפת מהנוסחה:
אם נסתכל על 1 אז המינור שנשאר הוא בדיוק 4 ולהפך, כמו כן אם נסתכל על 2 (האיבר בשורה 1 ובעמודה 2) אז המינור שנשאר הוא 2 (מורידים את שורה 2 ואת עמודה 1) והמקדם מינוס אחת,
וכנ"ל ל-3 (המינור הוא 3 והמקדם הוא מינוס אחת).
דוגמה כללית יותר: בהינתן מטריצה כלשהי מסדר
הערך 4- בשורה האחרונה ובעמודה השנייה חושב על ידי השמטת העמודה האחרונה והשורה השנייה של המטריצה המקורית וחישוב הדטרמיננטה:
(adj(A היא מטריצה המשוחלפת של מטריצה C
לכן המטריצה המצורפת של A היא:
המשפט המרכזי עבור מטריצה מצורפת הוא:
לכל מטריצה ריבועית מסדר מתקיים:
כאשר היא מטריצת יחידה מסדר .
כלומר, תוצאת הכפל היא מטריצת היחידה כפולה בדטרמיננטה של המטריצה.
את המשפט ניתן להוכיח על ידי כפל ישיר של A במטריצה המצורפת.
באופן הזה במקום ה-ij של המטריצה שתיווצר יופיע פיתוח הדטרמיננטה של מטריצה אחרת המתקבלת על ידי החלפת השורה ה-j ב-A בשורה ה-i, ללא שינוי השורה ה-i, כאשר פיתוח הדטרמיננטה נעשה לפי השורה ה-j.
אם i אינו j, הדטרמיננטה המתקבלת היא של מטריצה בה השורה ה-i מופיעה פעמיים ולכן היא אפס.
אם i שווה ל-j, מתקבלת הדטרמיננטה של המטריצה A.
מסקנות מהגדרת המטריצה המצורפת ומן המשפט המרכזי:
לכל מטריצה ריבועית מתקיים .
אם מטריצה הפיכה אזי .
מטריצה ריבועית היא הפיכה אם ורק אם הפיכה.
לכל מטריצה ריבועית מגודל n×n מתקיים .
לכל שתי מטריצות ריבועיות מאותו סדר מתקיים .
במתמטיקה, מטריצה נילפוטנטית היא מטריצה ריבועית כך ש- עבור שלם חיובי כלשהו.
באופן דומה, העתקה נילפוטנטית היא העתקה ליניארית כך ש-
אלו מקרים פרטיים של מושג הנילפוטנטיות, המוגדר בכל חוג: מטריצה נילפוטנטית אינה אלא איבר נילפוטנטי באלגברת המטריצות.
היא דוגמה למטריצה נילפוטנטית מסדר 4×4. במטריצה זו לאלכסון האחדים יש את התכונה הבאה:
האלכסון 'נע' באלכסון למעלה, עד שנותרת מטריצת אפסים.
ההעתקה המתאימה למטריצה הנ"ל, מוגדרת על ידי:
מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה הוא .
משום כך, מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים (תכונה המתקיימת ממילא מעל שדה סגור אלגברית), וכל הערכים העצמיים הם אפס.
תהי מטריצה נילפוטנטית ריבועית מסדר , אזי מתקיימות התכונות הבאות:
השלם הקטן ביותר המקיים (אינדקס הנילפוטנטיות) קטן או שווה ל-.
הדטרמיננטה והעקבה של הן אפס.
מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית היא מטריצה נילפוטנטית.
המטריצה היא הפיכה, שכן .
משפט: כל מטריצה נילפוטנטית דומה למטריצת הבלוקים האלכסונית הבאה:
כך שכל בלוק הוא מהצורה הבאה:
כלומר, מכיל אחדים מעל האלכסון הראשי, ואפסים בכל שאר המקומות.
משפט זה נובע מצורת ז'ורדן, בצירוף עם המשפט הקובע כי כל מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית היא מטריצה נילפוטנטית.
העתקה נילפוטנטית על המרחב מגדירה את תתי המרחבים הבאים:
הסיגנטורה מאפיינת את לכדי העתקה ליניארית, וכן מקיימת את האי-שוויונות הבאים:
מטריצה סקלרית היא מטריצה ריבועית ואלכסונית המתקבלת מכפל של מטריצת היחידה בסקלר.
הגדרת כפל סקלר במטריצה היא למעשה כפל של כל שורה במטריצה בסקלר, ובמקרה של מטריצת היחידה, כפל זה יניב מטריצה שבה האלכסון הראשי מורכב מאיברים שכל אחד מהם הוא הסקלר עצמו.
ניתן להגדיר את איבריה של מטריצה סקלרית כך:
ועבור מתקיים: .(*) כאשר הוא סקלר מסוים.
ניתן להוכיח בקלות כי מטריצה סקלרית שכל איברי האלכסון שלה שונים מאפס, היא גם מטריצה הפיכה, שכן לכל סקלר קיים סקלר הפכי ומכפלה של שתי מטריצות סקלריות עם סקלרים הפכיים תיתן למעשה את מטריצת היחידה.
(כפל של מטריצות ריבועיות המניב את מטריצת היחידה הוא תנאי מספיק לכך שהמטריצות הכופלות הפיכות).
אוסף המטריצות הסקלריות מעל שדה k איזומורפי לשדה עצמו.
כמו כן, המרכז של חבורת המטריצות הריבועיות הפיכות הוא בדיוק אוסף המטריצות הסקלריות.
במילים אחרות, מטריצה ריבועית A היא סקלרית אם ורק אם לכל מטריצה ריבועית B (מאותו הסדר) מתקיים AB=BA.
במתמטיקה, מטריצה ריבועית היא מטריצה שמספר העמודות שלה שווה למספר השורות.
מטריצת היחידה (מסדר ) היא המטריצה המסומנת או (ולעיתים ) שאיבריה מוגדרים באופן הבא: כאשר היא הדלתא של קרונקר המוגדרת כך:
במטריצה כזאת, איברי האלכסון הראשי הם 1 וכל שאר איברי המטריצה הם 0. לפי הגדרת כפל המטריצות, ניתן לראות ש מהווה איבר נייטרלי ביחס לכפל מטריצות, ומכאן שמה.
כלומר, לכל מתקיים , והיא מהווה את איבר היחידה בחוג המטריצות.
מטריצת האפס היא המטריצה שכל איבריה הם 0. מטריצה זו היא איבר האפס בחוג המטריצות.
מטריצה נקראת משולשית עליונה אם כל איבריה מתחת לאלכסון הראשי שווים 0. באופן דומה, מטריצה נקראת משולשית תחתונה אם כל איבריה מעל לאלכסון הראשי שווים 0. מכפלה או סכום של שתי מטריצות משולשיות מאותו סוג היא גם מטריצה משולשית.
לכן, קבוצת המטריצות המשולשיות סגורה לכפל וחיבור, ומהווה תת-חוג של חוג המטריצות.
מטריצה נקראת אלכסונית אם היא גם משולשית עליונה וגם משולשית תחתונה, כלומר כל איבריה מעל ומתחת לאלכסון הראשי שווים 0. מטריצה אלכסונית שכל איברי האלכסון הראשי שלה שווים נקראת מטריצה סקלרית, והיא מהצורה
מטריצה תיקרא הפיכה או רגולרית אם קיימת מטריצה כך ש ואז מסמנים והמטריצה תיקרא המטריצה ההפוכה או ההפכית של .
מטריצה לא הפיכה נקראת מטריצה סינגולרית.
מטריצה היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.
המטריצה המשוחלפת של A, שמסומנת (מבוטא A transposed) היא המטריצה שבה שורות ועמודות A מתחלפות.
מושג זה רלוונטי גם למטריצות שאינן ריבועיות, אך במטריצות ריבועיות ניתן להתייחס לשני סוגים מיוחדים שלו:
מטריצה תיקרא מטריצה סימטרית אם , כלומר האלכסון הראשי מהווה ציר סימטריה שלה.
מטריצה תיקרא מטריצה אנטי-סימטרית אם .
מטריצת ששני האלכסונים שלה הם צירי סימטריה תיקרא מטריצה ביסימטרית
צמוד הרמיטי של מטריצה A מעל שדה המרוכבים, היא מטריצה המוגדרת באופן הבא: .
הסימון הוא שמבוטא A dagger.
מטריצה A שמקיימת , כלומר נקראת מטריצה הרמיטית.
מעל הממשיים, מטריצה הרמיטית היא מטריצה סימטרית.
מטריצה U שמקיימת נקראת מטריצה אוניטרית.
זוהי מטריצה ששומרת נורמה ומכפלה פנימית.
מטריצה אוניטרית ממשית נקראת מטריצה אורתוגונלית.
מטריצה תיקרא מטריצה נילפוטנטית אם קיים טבעי כך שמתקיים (כאשר היא מטריצת האפס).
מההגדרה נובע שרק אפס הוא ערך עצמי שלה.
מעל שדה המרוכבים היא דומה למטריצה משולשית שכל אברי האלכסון שלה הם 0.
מטריצה שכל שורותיה הן וקטורי הסתברות, כלומר, כל אבריה אי-שליליים וסכום כל שורה הוא 1 נקראת מטריצה סטוכסטית.
מטריצות סטוכסטיות משמשות לתיאור שרשראות מרקוב.
מטריצה משולשית היא מטריצה ריבועית שכל האיברים שמתחת לאלכסון הראשי או מעליו שווים לאפס.
כלומר, האיברים היחידים במטריצה שאינם שווים בהכרח לאפס מופיעים או במשולש שמעל האלכסון הראשי או במשולש שמתחתיו.
אם האפסים במשולש שמתחת לאלכסון הראשי המטריצה תיקרא מטריצה משולשית עליונה.
באופן דומה, אם האפסים במשולש שמעל לאלכסון הראשי, המטריצה תיקרא מטריצה משולשית תחתונה.
מטריצה שהיא גם משולשית עליונה וגם משולשית תחתונה נקראת מטריצה אלכסונית.
כל מטריצה משולשית תחתונה היא מטריצה משוחלפת של מטריצה משולשית עליונה מתאימה ולהפך.
לכן ניתן להמיר כמעט כל תכונה של המטריצות המשולשיות עליונות לתכונה מתאימה של המשולשיות תחתונות.
החישובים העוסקים במטריצות משולשיות הם נוחים יחסית.
למשל, הדטרמיננטה של מטריצה משולשית היא מכפלת איברי האלכסון שלה.
מכפלה של שתי מטריצות משולשיות עליונות היא מטריצה משולשית עליונה, ואיברי האלכסון שלה הם מכפלת איברי האלכסון של שתי המטריצות.
מטריצה משולשית עליונה היא הפיכה אם ורק אם כל איברי האלכסון שלה שונים מ-0. תכונה זו נותנת מאפיין פשוט לנילפוטנטיות של מטריצה משולשית מעל חוג קומוטטיבי - המטריצה נילפוטנטית אם ורק אם כל איברי האלכסון שלה הם איברים נילפוטנטיים.
בפרט, כאשר עוסקים במטריצות מעל שדה המטריצה נילפוטנטית אם ורק אם כל איברי האלכסון הם אפסים.
מטריצה שהיא גם משולשית עליונה וגם משולשית תחתונה היא מטריצה אלכסונית ולהפך.
ומכך פועלים עליה כל תכונות המטריצה האלכסונית.
מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק
כאשר ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין).
בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא:
כאשר הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2.
בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות
בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא:
בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני:
פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות.
הצגה זו נתונה על ידי
מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת קליפורד:
כאשר סוגריים מסולסלים מסמנים אנטי-קומוטטור ו- היא מטריקת מינקובסקי .
בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל מתקיים
מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר.
| 1 || העקבה של כל מכפלה אי-זוגית של מטריצות היא אפס.
כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה:
אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי
ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי
מטריצת אחדות במתמטיקה היא מטריצה שבה כל האיברים הם אחדות.
יש להבחין בין מטריצת אחדות לבין מטריצת היחידה, אף על פי שבמקרים מסוימים השימוש הוא במונחים מתחלף.
למטריצת אחדות ריבועית מגודל n×n שנסמנה U, מתקיימות התכונות הבאות:
העקבה של U היא n.
הדטרמיננטה של U היא 1 אם n הוא 1 או 0. לכן המטריצה הפיכה רק במקרה החד-ממדי.
הדרגה של U היא 1, והערכים העצמיים הם n פעם אחת ו-0 בn-1 פעמים.
המטריצה היא אידמפוטנט (נגזר ישירות מהתכונה הקודמת).
במתמטיקה ובפרט באלגברה ליניארית, מטריצת אפסים היא מטריצה שכל איבריה הם 0, כלומר אפסים.
קבוצת המטריצות מסדר m×n בחוג K יוצרת את החוג .
מטריצת האפסים ב- היא המטריצה שכל איבריה שווים ל-, כאשר הוא איבר האפס ב-K.
מטריצת האפסים היא איבר האפס ב-, כלומר לכל מתקיים:
עבור החוג K קיימת בדיוק מטריצת אפסים אחת מסדר , כך שבהקשר ברור ניתן להתייחס אליה כאל מטריצת האפסים.
גם איבר האפס מיוצג בדרך כלל באמצעות 0 כך שניתן להגדירה באופן גנרי עבור כל חוג.
מטריצת אפסים מייצגת טרנספורמציה ליניארית המעבירה כל וקטור לווקטור האפס.
בעיית מטריצת האפסים מוגדרת בהינתן קבוצה סופית של מטריצות עם ערכים שלמים, ושואפת למצוא אלגוריתם מתמטי שיקבע האם ניתן להכפילן בסדר כלשהו, ייתכן עם חזרות, באופן שתוצר ההכפלה יהיה מטריצת האפס.
הוכח כי בעיית מטריצת האפסים עבור קבוצה של 6 או יותר מטריצות , או של שתי מטריצות היא בעיה לא כריעה.
באלגברה ליניארית, מטריצה נורמלית היא מטריצה ריבועית A, המתחלפת עם המטריצה הצמודה לה, , כלומר: .
חשיבותה נובעת מן המשפט המרכזי על לכסון אוניטרי: מטריצה היא לכסינה אוניטרית אם ורק אם היא נורמלית.
מחלקת המטריצות הנורמליות כוללת מחלקות מרכזיות רבות: מטריצות אוניטריות, מטריצות צמודות לעצמן (הרמיטיות) ואנטי-צמודות לעצמן, מטריצות ממשיות סימטריות ואנטי-סימטריות, ועוד.
אם V מרחב מכפלה פנימית מממד סופי עם בסיס אורתונורמלי B, אז המטריצה המייצגת של העתקה ליניארית היא מטריצה נורמלית, אם ורק אם T היא העתקה נורמלית.
במקרה כזה, המטריצה המייצגת של T ביחס לכל בסיס אורתונורמלי אחר היא מטריצה דומה אוניטרית למטריצה המייצגת ביחס ל-B, ולכן התנאי אינו תלוי בבחירת הבסיס.
באלגברה ליניארית, מטריצה צמודה למטריצה מרוכבת היא המטריצה המתקבלת משחלוף השורות והעמודות והצמדה של רכיבי המטריצה.
דהיינו, בשורה ה- ובעמודה ה- של המטריצה הצמודה מופיע הצמוד המרוכב של הערך מן השורה ה- והעמודה ה- של המטריצה המקורית.
בפרט, עבור מטריצות ממשיות, המטריצה הצמודה אינה אלא המטריצה המשוחלפת.
כלומר, עבור מטריצה המטריצה הצמודה מקיימת:
למטריצה זו קוראים גם "צמוד הרמיטי" וסימונים נוספים עבורה הם:
כאשר הסימון השמאלי ביותר (קרי: "A דאגר") נפוץ בעיקר בפיזיקה קוונטית.
ההצמדה היא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג שני.
מטריצה ריבועית שפעולת ההצמדה אינה משנה אותה נקראת מטריצה הרמיטית.
(ובפרט, כל אגף מוגדר אם ורק אם השני מוגדר)
מטריצה צמודה לעצמה היא מטריצה אשר מקיימת ,כלומר .
כאשר מטריצה צמודה לעצמה מעל הממשיים () אז היא מהווה גם מטריצה סימטרית, וכאשר מטריצה צמודה לעצמה מעל שדה המורכבים () היא נקראת מטריצה הרמיטית.
מטריצה צמודה לעצמה מייצגת מעל המרוכבים אופרטור הרמיטי, ואופרטור סימטרי מעל הממשיים.
מקרים פרטיים של מטריצה צמודה לעצמה
במתמטיקה, מטריצה ריבועית ממשית היא מטריצה סטוכסטית, אם כל רכיביה אי-שליליים, וסכום האיברים בכל שורה הוא 1.
משתמשים במטריצות אלו כדי להראות מעברים של שרשרת מרקוב.
כל איברי המטריצה הם מספרים ממשיים אי-שליליים בתחום בין 0 ל-1.
מטריצה סטוכסטית ימנית היא מטריצה ריבועית שרכיביה אי-שליליים, וסכום האיברים בכל שורה הוא 1
מטריצה סטוכסטית שמאלית היא מטריצה ריבועית שרכיביה אי-שליליים, וסכום האיברים בכל עמודה הוא 1
אם המטריצה A היא מטריצה סטוכסטית וגם המטריצה AT היא סטוכסטית, אז A נקראת מטריצה דו-סטוכסטית.
באלגברה ליניארית, מטריצת בלוקים היא מטריצה שחולקה למספר חלקים שגם הם מטריצות.
מטריצת בלוקים היא צורת כתיבה נוחה וחסכונית של מטריצות, שבאה לידי ביטוי במקומות רבים באלגברה ליניארית, כדוגמת צורת ז'ורדן וצורה רציונלית.
את המטריצה אפשר לכתוב בצורה
הבלוקים אינם חייבים להיות ריבועיים.
בהינתן שתי מטריצות וחלוקתן לבלוקים, אם החלוקה מקיימת תנאים מסוימים ניתן לבצע את פעולות הכפל בסקלר, החיבור וכפל המטריצות על תתי המטריצות.
כפל בסקלר - כאן אין כל דרישה על המטריצות.
בהינתן מטריצת בלוקים, הכפל שלה בסקלר כלשהו הוא כפל הבלוקים באותו הסקלר, כלומר:
חיבור - בהינתן שתי מטריצות עם אותה חלוקה לבלוקים, החיבור הוא בלוק בלוק, כלומר:
כפל - בהינתן שתי מטריצות וחלוקה שלהן, כך שמוגדר הכפל בין כל הבלוקים המתאימים, ניתן להתייחס לבלוקים כאל איברים של מטריצות ולהכפיל כרגיל, כלומר:
שחלוף - בהינתן מטריצת בלוקים המורכבת מ בלוקים מסדר זהה, נסמן את הבלוק ה של ב (כלומר ).
בנייה זו נותנת דרך נוחה להתעסק עם צורות שונות של מטריצות, בעיקר בהוכחות שונות בלכסון מטריצות וצורות ג'ורדן.
אם הבלוק השמאלי-עליון הפיך, אפשר לחשב את הדטרמיננטה דרך הפירוק לבלוקים: ; ואם המטריצה הפיכה, אפשר לחשב כך גם את ההפכי: , כאשר .
מטריצה צנטרוסימטרית היא מטריצה שסימטרית לשיקוף מסביב למרכזה.
המושג משמש בעיקר באלגברה ליניארית ובתורת המטריצות.
מטריצה ריבועית [ Ai,j ] = A, היא צנטרוסימטרית כאשר האיברים הנמצאים במרחק שווה מהקצוות זהים.
אם J היא מטריצת החלפה מסדר המטריצה A תהיה צנטרוסימטרית אם ורק אם .
מטריצה צנטרוסימטרית בעלת איברים, שצורתה הכללית היא:
נקבעת על ידי שני מספרים.
מטריצה בעלת איברים, שצורתה הכללית היא:
נקבעת על ידי 5 מספרים.
נקבעת על ידי 8 מספרים.
אם A ו-B הן מטריצות צנטרוסימטיות על שדה , אז גם חיבור המטריצות A+B וגם הכפלת המטריצה בגודל סקלרי cA לכל c ב- נותן מטריצה צנטרוסימטרית.
גם מכפלת המטריצות היא צנטרוסימטרית, היות שמתקיים JAB = AJB = ABJ.
באלגברה ליניארית שבמתמטיקה מטריצה תלת-אלכסונית היא מטריצה שכל ערכיה הם אפס, למעט הערכים על האלכסון הראשי, אלכסון אחד מעל האלכסון הראשי ואחד מתחתיו.
במילים אחרות, זו מטריצה מהצורה:
היתרונות בצורה זו נובעים בעיקר מהקלות שבה אפשר לחשב דברים על המטריצה.
דירוג המטריצה בתהליך גאוס מהיר מאוד על מטריצה מסוג זה.
קל יחסית לחשב את הדטרמיננטה ואת המטריצה ההופכית.
קל למצוא את הערכים העצמיים של המטריצה, לדוגמה על ידי אלגוריתם QR
בתורת הקבוצות, מטריצת אוּלַם היא מערך של תתי קבוצות של מונה עם תכונות מסוימות.
מטריצות אולם הוצגו על ידי סטניסלב אולם והן שימושיות למספר הוכחות, בהן ההוכחה שמונה מדיד ממשית הוא אי-נשיג חלש.
מטריצת אולם היא אוסף של תתי קבוצות של , , כך שמתקיים:
לכל ו- , חיתוך הקבוצות ריק ("כל שורה מורכבת מקבוצות זרות בזוגות").
לכל מתקיים ("איחוד הקבוצות לאורך עמודה הוא גדול").
הדוגמה הסטנדרטית למטריצת אולם מתקבלת במקרה שבו , ו- מסנן כך ש- .
לכל סודר נקבע פונקציה על .
התנאי הראשון מתקיים: נניח ו- .
אם קיים , אז, מההגדרה, .
התנאי השני מתקיים: נניח .
לכל סודר בין ל- , קיים כך ש- .
זה מראה ש- ולכן .
נניח והמסנן הוא -שלם (כלומר, סגור לחיתוך של פחות מ- קבוצות) ומרחיב את המסנן .
לכל נתבונן בעמודה המתאימה לו.
יש בעמודה זו קבוצות, ואיחודן במסנן; מה--שלמות, יש אינדקס כך ש-, כלומר נחתכת באופן לא ריק עם כל קבוצה מ-.
מאחר ש-, קיים כך ש- מעוצמה .
קיבלנו קבוצה של קבוצות זרות ב-.
לעובדה זו יש מספר יישומים:
כל מונה מדיד ממשית הוא אי נשיג חלש: נניח מונה מדיד ממשית, כלומר קיימת עליו מידה שהיא -אדיטיבית.
לא קשה להראות ש- מונה סדיר.
לכן מספיק להוכיח שאינו עוקב.
נניח בשלילה שיש מונה כך ש-.
מהאמור לעיל, קיימת קבוצה של קבוצות זרות בזוגות ממידה חיובית, סתירה.
משפט סולוביי למונים עוקבים: נניח ו- קבוצה שבת.
נוכיח שניתן לחלק את ל- קבוצות שבת זרות בזוגות.
נבנה מטריצת אולם עבור המסנן ה- שלם .
נובע שקיימת קבוצה מעוצמה של קבוצות זרות בזוגות ששייכות ל-.
נקבל חלוקה של (תת קבוצה של) ל- קבוצות שבת זרות בזוגות.
בענף למידת המכונה, ובאופן ספציפי בבעיות סיווג סטטיסטי, מטריצת בלבול, המכונה גם מטריצת טעות, היא טבלה המציגה באופן ויזואלי, ביצועי מודל סטטיסטי, בדרך כלל בתחום הלמידה המונחית.
באופן ספציפי, המטריצה מציגה היכן המודל הצליח לחזות את המצב הנכון והיכן לא.
כל שורה במטריצה מייצגת את המופעים במחלקה בפועל (כלומר, התשובה הנכונה) בעוד שכל עמודה מייצגת את המופעים במחלקה חזויה (כלומר, התשובה שהמודל חזה כנכונה), או להפך.
המטריצה היא סוג מיוחד של לוח שכיחות, בעל שני ממדים ("בפועל" ו"חזויים").
בהינתן מדגם של 12 אנשים, 8 שאובחנו כחולי סרטן ו-4 שאינם חולים, כאשר החולים סווגו כ-1 (חיובי) והבריאים סווגו כ-0 (שלילי), ניתן להציג את הנתונים כך:
נניח שיש לנו מודל סיווג, המקבל נתונים אודות אדם, ומכריע האם הוא חולה סרטן או אינו חולה סרטן.
נרצה לבחון את המודל באמצעות הפעלתו על 12 האנשים במדגם לעיל, מבלי להגיד למודל מי מהם חולה ומי לא.
נניח שהמודל חזה באופן מדויק את מצבם של 9 מתוך 12 האנשים, וטעה ביחס לשלושה מהם.
לצורך הדוגמה, המודל חזה כי משתתפים 1 ו-2, אשר בפועל הם חולי סרטן, כבריאים, וכי משתתף 9, שבפועל הוא בריא, כחולה סרטן.
את 12 הסיווגים שסיפק המודל שלנו ניתן לחלק ל-4 תוצאות שונות:
האחת, "חיובי-אמיתי" (True-Positive (TP)), כאשר הסיווג בפועל חיובי והסיווג החזוי חיובי (1,1).
כלומר, המודל סיווג נכונה תוצאה כחיובית.
השנייה, "שלילי-כוזב" (False-Negative (FN)), כאשר הסיווג בפועל חיובי והסיווג החזוי שלילי (1,0).
כלומר, המודל סיווג באופן כוזב תוצאה חיובית כשלילית.
השלישית, "חיובי-כוזב" (False-Positive (FP)), כאשר הסיווג בפועל שלילי והסיווג החזוי חיובי (0,1).
כלומר, המודל סיווג באופן כוזב תוצאה שלילית כחיובית.
הרביעית, "שלילי-אמיתי" (True-Negative (TN)), כאשר הסיווג בפועל שלילי והסיווג החזוי שלילי (0,0).
כלומר, המודל סיווג נכונה תוצאה כשלילית.
לאחר מכן נוכל לבצע את ההשוואה בין סיווגים בפועל לסיווגים חזויים, ולהוסיף מידע זה לטבלה.
את התוצאות הנכונות נסמן בצבע ירוק ואת הכוזבות באדום, על מנת להקל על הזיהוי.
את ארבע התוצאות השונות לעיל, ניתן להציג במטריצת בלבול בגודל 2×2, באופן הבא:
מטריצת בלבול עם יותר משתי קטגוריות
מטריצת בלבול אינה מוגבלת לסיווג בינארי (1 או 0) וניתן להשתמש בה גם במודלים המסווגים למעלה משני משתנים.
זאת, להבדיל ממטריצת הבלבול לעיל, בה המסווג מכריע בין שני מצבים בלבד: חיובי ושלילי.
במטריצה להלן, המודל נדרש להבחין בין חתולים, כלבים וארנבים.
מתוך שמונה חתולים אמיתיים, המודל חזה שלושה ככלבים.
מתוך שישה כלבים, המודל חזה אחד כארנב ושניים כחתולים.
מהמטריצה ניתן לראות שהמודל מתקשה להבחין בין חתולים לכלבים, אך מבחין בצורה סבירה בין ארנבים לבעלי חיים אחרים.
במדעי המחשב, מטריצת גישה או מטריצת בקרת גישה הוא מונח מופשט לתיאור מודל אבטחה פורמלי של מצב אבטחה במערכות מחשוב, המפרט את ההרשאות של כל נשוא ביחס לכל אובייקט במערכת.
הקונספט הוצג לראשונה על ידי באטלר למפסון בשנת 1971.
ניתן לתאר מטריצת בקרת גישה כטבלה מלבנית כאשר כל שורה מייצגת ישות כלשהי, וכל טור מייצג אובייקט כלשהו עליו ניתן לבצע פעולות.
משכן, כל תא בטבלה מייצג קשר בין הצמד ישות-אובייקט מבחינת הרשאה או קבוצת השראות לפעולות שמותר לישות לבצע על האובייקט.
כל למעשה כל עמודה מהווה "רשימת בקרת גישה" לאובייקט (או משאב), וכל שורה מהווה "פרופיל גישה" (role).
על פי המודל, מצב האבטחה של מערכת ממוחשבת ניתנת להפשטה על ידי סט של אובייקטים , שהם נכסים או ישויות אשר עליהן אנו רוצים להגן (כגון, תהליכים, קבצים, דפי זיכרון וכן הלאה), וסט של סובייקטים המכיל את הישויות הפעילות המערכת (כגון משתמשים, תהליכים וכיוצא בזה).
בנוסף ישנו את וקטור ההרשאות מהצורה .
הרשאה מסוימת מתארת את אופן הגישה שיש לסובייקט מסוים ביחס לאובייקט מסוים.
בדוגמה שלמטה ישנם שני תהליכים, קובץ ומכשיר.
לתהליך הראשון הרשאה להפעיל את התהליך השני, לקרוא את הקובץ ולכתוב מידע למכשיר (כמו מדפסת).
לעומת זאת התהליך השני יכול רק לקרוא מידע מהראשון
במתמטיקה, מטריצה יסודית של מערכת של משוואות דיפרנציאליות רגילות ליניאריות והומוגניות , היא מטריצה של פונקציות שעמודותיה הן פתרונות בלתי תלויים ליניארית של המערכת.
כל פתרון של המערכת יכול להיכתב כ־, עבור וקטור קבוע כלשהו (וקטור עמודה מסדר ).
ניתן להראות שמטריצת הפונקציות היא מטריצה יסודית של אם ורק אם ו־ היא מטריצה הפיכה לכל
במתמטיקה, מטריצת אדמר, הנקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק אדמר, היא מטריצה ריבועית שערכיה הם או או ושורותיה אורתוגונליות זו לזו.
במונחים גאומטריים, זה אומר שהשורות במטריצת אדמר מייצגות וקטורים מאונכים זה לזה.
במונחים קומבינטוריים, זה אומר שלכל שתי שורות יש ערכים שווים בדיוק בחצי מהעמודות שלהם וערכים שונים בעמודות הנותרות.
ניתן להראות כתוצאה, שהמאפיינים שתוארו לגבי השורות נכונים גם עבור עמודות המטריצה.
המקבילון ה--ממדי הנפרש על ידי השורות של מטריצת אדמר מסדר (באמצעות צירופים ליניאריים עם מקדמים לא שליליים קטנים או שווים ל-1), יש את הנפח ה--ממדי המקסימלי האפשרי עבור כל המקבילונים ה--ממדיים הנפרשים על ידי וקטורים אשר הערך המוחלט של כל רכיביהם קטן או שווה ל-.
באופן שקול ניתן לומר כי הערך המוחלט של הדטרמיננטה של מטריצת אדמר הוא המקסימלי האפשרי מבין המטריצות מאותו הסדר אשר הערך המוחלט של כל ערכיהן קטן או שווה ל-.
לכן מטריצת אדמר מהווה גם פתרון של בעיית הדטרמיננטה המקסימלית של אדמר.
ניתן להשתמש במטריצות אדמר מסוימות כקוד תיקון שגיאות באמצעות קוד אדמר (מקרה פרטי של ), וגם בסטטיסטיקה בניתוח מדגמים בשיטה של ..
נתונה מטריצת אדמר מסדר .
המטריצה המשוחלפת של קשורה קשר הדוק למטריצה ההופכית של באופן הבא:
כאשר היא מטריצת היחידה מסדר ו- הוא המטריצה המשוחלפת של .
כדי לראות שזה נכון, שימו לב שהשורות של הן וקטורים אורתוגונליים מעל שדה המספרים הממשיים ולכל אחד מהם יש אורך .
מחלוקת באורך זה מתקבלת מטריצה אורתוגונלית שהמטריצה המשוחלפת שלה היא גם המטריצה ההופכית שלה.
כאשר היא הדטרמיננטה של .
נניח ש- היא מטריצה מסדר עם ערכים מרוכבים שערכם המוחלט קטן או שווה ל-, כלומר לכל , אז מאי-שוויון אדמר נובע:
שוויון מתקבל עבור מטריצה ממשית M אם ורק אם M היא מטריצת אדמר.
הסדר של מטריצת אדמר חייב להיות 1, 2 או כפולה של 4.
דוגמאות למטריצות אדמר נבנו לראשונה על ידי ג'יימס ג'וזף סילבסטר ב-1867. אם היא מטריצת אדמר מסדר אז המטריצה
היא מטריצת אדמר מסדר .
ניתן ליישם זאת שוב ושוב ומתקבלת סדרת המטריצות הבאה, הנקראת גם מטריצות וולש .
לכל , כאשר מסמן את מכפלת קרונקר.
למעשה, בשיטה זו, סילבסטר הראה שניתן לקבל מטריצות אדמר מסדר עבור כל מספר שלם לא שלילי .
למטריצות של סילבסטר יש את התכונות הבאות.
הן סימטריות וכאשר למטריצה עקבה אפס.
הערכים בעמודה הראשונה ובשורה הראשונה חיוביים ובכל השורות והעמודות האחרות יש מספר שווה של ערכים חיוביים ושליליים.
מטריצות סילבסטר קשורות קשר הדוק עם פונקציות וולש.
אם נמפה את הערכים של מטריצת אדמר באמצעות הומומורפיזם של חבורות , נוכל לתאר בנייה חלופית של מטריצות אדמר של סילבסטר.
ראשית נגדיר את סדרת המטריצות מסדר באופן רקורסיבי:
ניתן להראות באמצעות אינדוקציה שהתמונה של מטריצת אדמר תחת ההומורפיזם הנ"ל ניתנת על ידי .
בנייה זו מדגימה כי שורות מטריצת אדמר ניתן לראות כקוד תיקון שגיאות ליניארי באורך , בדרגה , מרחק מינימלי ועם מטריצה יוצרת .
קוד זה מכונה גם קוד Walsh.
לעומתו קוד אדמר, מסתמך על מטריצת אדמר באופן שונה.
הבעיה הפתוחה החשובה ביותר בתורת המטריצות של אדמר היא שאלה של קיום.
לפי השערת אדמר, מטריצת אדמר מסדר קיימת עבור כל מספר שלם חיובי .
השערת אדמר יוחסה גם לפיילי, אם כי היא עלתה באופן עקיף גם בעבודות של אחרים שקדמו לפיילי.
הכללה של הבנייה של סילבסטר מוכיחה שאם ו- הם מטריצות אדמר מסדרים ו- בהתאמה, אז היא מטריצת אדמר בסדר .
אדמר בנה מטריצות אדמר מסדר 12 ו-20 בשנת 1893. בשנת 1933, ריימונד פיילי הראה כיצד לבנות מטריצת אדמר לכל שהוא חזקה טבעית של מספר ראשוני.
אם מתחלק ל-4 עם שארית 3 אז למטריצת אדמר המתקבלת יש סדר ; אחרת, אם מתחלק ל-4 אם שארית 1 אז מטריצת אדמר המתקבלת היא מסדר .
השיטה של פיילי מסתמכת על שדות סופיים.
הסדר הקטן ביותר שלא ניתן למצוא עבורו מטריצת אדמר בשילוב של השיטות של סילבסטר ופיילי הוא 92. מטריצת אדמר מסדר זה נמצאה באמצעות מחשב על ידי באומרט, גולומב והול בשנת 1962 ב-JPL.
הם השתמשו בשיטה המיוחסת לוויליאמסון והניבה גם מטריצות אדמר מסדרים נוספים.
כיום ידועות שיטות רבות אחרות לבניית מטריצות אדמר.
בשנת 2005 פרסמו האדי חראגאני ובהרוז טייפה-רזאי בנייה של מטריצת אדמר מסדר 428. כתוצאה מכך, הסדר הקטן ביותר שעבורו לא ידועה כיום מטריצת אדמר הוא 668.
נכון ל-2014 ישנם 12 סדרים (מתחלקים ב-4) שהם קטנים מ-2000 ולא ידועות מטריצות אדמר מסדרים אלו.
בטופולוגיה, מֶטְרִיקָה (נקראת גם פונקציית מרחק) היא פונקציה המתאימה לכל זוג נקודות במרחב מספר אי-שלילי, ומקיימת כמה תנאים פשוטים.
בזכות תנאים אלה, אפשר לראות במטריקה הכללה של מושג המרחק מהמרחב האוקלידי למרחב כלשהו.
מטריקה היא הגדרה כוללת יותר של מושג המרחק.
מושג המרחק מוגדר בגאומטריה האוקלידית, ה"פשוטה".
כללי המטריקה (להלן) מאפשרים להגדיר ערך המציית לאותם חוקים כלליים במרחבים שאינם אוקלידיים.
שלוש התכונות הנדרשות מכל מטריקה הן:
המרחק בין כל שתי נקודות שונות הוא חיובי.
אם המרחק בין שתי נקודות הוא אפס, שתיהן הן אותה נקודה.
המרחק בין שתי נקודות אינו תלוי בשאלה איזו היא נקודת "ההתחלה" ואיזו נקודת "הסיום", כך שניתן לדבר על "המרחק בין הנקודות".
הכללה של אי-שוויון המשולש: המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא במסלול הישיר בין שתיהן, והליכה לנקודות ביניים יכולה רק להאריך את המסלול, לא לקצר אותו.
פונקציה תיקרא מטריקה כאשר היא מקיימת את שלוש התכונות הבאות עבור כל :
נובע מכך ש- (אי שליליות) שהרי מהאקסיומות מתקיים
קבוצה יחד עם הפונקציה נקראת מרחב מטרי, והוא יסומן על ידי הזוג .
אם מחליפים את אי-שוויון המשולש בדרישה החזקה יותר ש-, המטריקה נקראת מטריקה לא ארכימדית.
במרחב עם מטריקה לא ארכימדית כל משולש הוא שווה-שוקיים.
המטריקה הדיסקרטית: אם אז , אחרת .
המטריקה בגאומטריית נהגי המוניות: בהינתן מערכת צירים, ניתן לנוע רק במקביל לאחד מהם.
מטריקה על קבוצת כל המילים האפשריות בנות ארבע אותיות: המטריקה היא מספר הצעדים המזערי שיש לבצע כדי לעבור ממילה למילה , כשצעד מוגדר כהחלפה של אות אחת.
מטריקה זו קרויה מרחק המינג.
מטריקה בין חיילים: מספר הצעדים המזערי שנחוץ כדי להעביר מסר מחייל לחייל , כשצעד מותר הוא העברת מסר מחייל למפקדו או ממפקד לחייל הנתון לפקודתו.
לעומת זאת, המרחק בין שתי נקודות במפה על-פי אורך הדרך שיש לנסוע כדי להגיע מאחת לשנייה אינו מטריקה, עקב קיומם של כבישים חד סיטריים, שגורמים למצבים שבהם .
שתי מטריקות על אותו מרחב הן שקולות אם הן מגדירות את אותה טופולוגיה מטרית.
ניתן להראות ששתי מטריקות הן שקולות אם ורק אם כל כדור פתוח ביחס למטריקה אחת, מכיל כדור פתוח בעל אותו המרכז ביחס למטריקה האחרת.
מכיוון שהטופולוגיה של מרחב מטרי נקבעת על ידי התכנסות של סדרות, שתי מטריקות הן שקולות אם ורק אם כל סדרה מתכנסת ביחס לאחת מהן, מתכנסת גם ביחס לשנייה.
עם זאת, המושג של סדרת קושי, התלוי במטריקה, אינו נשמר תחת שקילות (לדוגמה, המטריקה על הקטע שקולה למטריקה הרגילה שם, אבל הסדרה , שאינה מתכנסת, היא סדרת קושי לפי המטריקה הרגילה, אבל לא לפי ).
כל שתי נורמות על המרחב שקולות (כמטריקות), ולכן יש למרחב הזה טופולוגיה נורמית אחת ויחידה.
בגאומטריה דיפרנציאלית ואנליזה על יריעות המונח "מטריקה" משמש כדי לציין את הטנזור המטרי המוגדר מעל יריעה חלקה , זהו שדה טנזורי המתאים לכל נקודה במרחב טנזור.
הטנזור הזה מייצג בעצם את המטריקה הלוקלית של מרחק אינפיניטסימלי בין שתי נקודת במרחק של הנקודה.
כלומר, אלמנט האורך האיפיניטסימלי נתון על ידי
כאשר רצים על האינדקסים של וקטורי הבסיס בנקודה .
כדי לקבל את המרחק בין שתי נקודת כלשהן, ו-, יש לבצע אינטגרציה על אלמנט האורך האינפיניטסימלי.
כלומר, אנו מגדירים מטריקה חדשה על ידי
כאשר הוא פרמטר של עקומה גיאודזית המחברת בין ל- ואת יש לפרש כטנזור המטרי בנקודה והאינטגרציה מתבצעת כאינטגרל מסלולי לאורך עקומה זו.
בתורת היחסות מוגדר מרחב-זמן, הנקרא גם מרחב מינקובסקי.
בתורת היחסות הפרטית, מותאם למרחב-זמן מרחק בריבוע, המוגדר על ידי:
כאשר הם המרחקים במרחב האוקלידי התלת-ממדי, הוא הפרש הזמנים (המרחק בציר הזמן) ו- היא מהירות האור.
במקרה זה, המרחק בריבוע יכול להיות גם אפס או שלילי, בניגוד לחלק מהדרישות על מטריקה.