tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
הצורה הנפוצה ביותר למציאת מקדם זה הוא בעזרת דיאגרמת מודי (Moody Diagram), על שמו של Lewis Ferry Moody, ומסיבה זו לפעמים מקדם החיכוך נקרא על שמו של מודי ולא של דרסי-ויסבך.
עבור זרימות איטיות ולמינריות, הגודל של נקבע לפי חוק פואזיל (Poiseuille's Law), ומקבלים:
– מקדם החיכוך של דרסי
– מספר ריינולדס של הזורם, המחושב כאשר האורך האופייני הוא קוטר הצינור ההידראולי
עבור זרימה טורבולנטית, ניתן לחשב את מתוך דיאגרמות מודי, או מפתרונות משוואות כמו משוואת קולברוק (Colebrook-White Equation), או משוואת סוואמי-ג'יין (Swamee-Jain Equation).
הבדלה בין מקדם פאנינג (Fanning) למקדם דרסי (Darcy)
מקדם החיכוך של דרסי גדול פי ארבעה ממקדם החיכוך של Fanning, כלומר:
בעיון בדיאגרמות מודי למציאת גודל החיכוך, יש לבדוק אם הדיאגרמה היא עבור המקדם של Darcy או Fanning.
מקדם Darcy משמש בדרך כלל בתחום הנדסת המכונות וההנדסה האזרחית, לעומת מקדם Fanning המשמש יותר להנדסה כימית.
עבור זרימה למינרית, ראינו כי ולכן נקבל כי מקדם Fanning הוא .
ניעזר בתוצאה זו כדי לזהות באיזה מקדם דיאגרמת המודי משתמשת, לפי האלגוריתם הבא:
מצא את ערך מקדם החיכוך עבור זרימה למינרית בעלת מספר ריינולדס של 1000.
אם ערך המקדם הוא , ניתן להסיק שמדובר במקדם דרסי - .
אם ערך המקדם הוא , ניתן להסיק שמדובר במקדם Fanning – .
משוואת דרסי-ויסבך היא וריאציה על משוואת פרוני (Prony Equation):
– יחס אורך הצינור לקוטרו
– המהירות הממוצעת של הזורם בצינור
בשנים שאחרי, עקב קשיים בחישוב, היה נוח לרוב להשתמש בתוצאות אמפיריות התקפות למשטרי זרימה ספציפיים, כמו משוואת היזן-ויליאמס (Hazen-Williams Equation) או
משאוות מנינג (Manning Equation), שהקלו על החישוב המתמטי.
אך כאשר מחשבונים נהיו נגישים לציבור הרחב, משוואת דרסי-ויסבך נהפכה לדומיננטית, כתוצאה מהטווח הרחב שעבורו היא תקפה.
משוואה זו פותחה בעזרת אנליזת סדרי-גודל.
באזורים רחוקים מקצוות הצינור, מתקבלת זרימה מפותחת לאורך הצינור, כלומר פרופיל הזרימה ותכונותיו לא משתנות כתלות במיקום לאורך הצינור.
כתוצאה מכך, הפרמטרים החשובים לחישוב הזרימה הם מפל הלחץ ליחידת אורך בצינור - , והספיקה הנפחית של הזורם בצינור.
ניתן להמיר את הספיקה הנפחית למהירות ממוצעת על ידי חלוקתה בשטח הרטוב של הצינור, השקול לשטח החתך שבצינור עבור צינור מלא בנוזל.
ללחץ יש יחידות של אנרגיה ליחידת נפח:
לכן, מפל המתח בין 2 נקודות לאורך הצינור צריך להיות פרופורציונלי ל- , ביחידות של אנרגיה קינטית ליחידת נפח.
בנוסף אנו יודעים כי מפל הלחץ פרופורציונלי לאורך הצינור, כאשר מפל הלחץ ליחידת אורך הוא קבוע.
על מנת להפוך קשר זה לקשר אל-ממדי, ננרמל את – אורך הצינור, לפי – קוטר הצינור, כאשר גם הוא קבוע לאורך הצינור.
את קבוע הפרופורציה נגדיר כמקדם החיכוך של דרסי אותו חיפשנו - .
מספר אל-ממדי זה הוא פונקציה של מספר גדלים גאומטריים וקבועים נוספים, כגון , מספר ריינולדס, ו- - החספוס היחסי של הצינור (גובה החספוס חלקי הקוטר).
הגודל אינו האנרגיה הקינטית ליחידת נפח של הזורם בצינור, עקב מספר סיבות:
במקרה של זרימה למינרית, שבה כל קווי הזרם מקבילים לאורך הצינור, מהירות הנוזל בצמוד לדפנות אפס כתוצאה מתנאי אי-החלקה עקב צמיגות הנוזל.
לכן נקבל כי מהירות הנוזל במרכז הצינור תהיה גדולה מהמהירות הממוצעת בצינור, המתקבלת מחלוקת הספיקה הנפחית בשטח הרטוב של הצינור.
לכן האנרגיה הקינטית הממוצעת תלויה בממוצע הריבועי של המהירות, שתמיד גדול מריבוע המהירות הממוצעת.
במקרה של זרימה טורבולנטית, הזורם מקבל מהירויות אקראיות לכל הכיוונים, כולל בניצב לאורך הצינור, ולכן הטורבולנציה מגדילה את האנרגיה הקינטית ליחידת נפח בזורם, אך אינה מגדילה את המהירות הממוצעת של הזורם שבכיוון אורך הצינור.
עבור יישומים הידראוליים בהנדסה, נוח ורצוי לבטא את מפל העומד או הלחץ כתלות בספיקה הנפחית שבצינור.
לשם כך אנו נדרשים להחליף את המהירות המופיעה במשוואת דרסי-ויסבך בספיקה ובשטח הרטוב:
– המהירות הממוצעת של הזורם לאורך הצינור (ביחידות של )
– הספיקה הנפחית של הזורם בצינור (ביחידות של )
– השטח הרטוב בצינור (ביחידות של )
עבור המקרה הכללי, נצטרך לדעת מה השטח הרטוב בפועל, התלוי ספיקה, בשיפוע הצינור, צורת החתך, ובעוד גורמים.
אם נניח שהצינור בעל פרופיל מעגלי ומלא לחלוטין בזורם, ניתן לקבל:
אם נציב תוצאה זו למשוואת מפל העומד של דרסי-ויסבך, נקבל כי:
כאשר משמעות כל אחד הפרמטרים הוגדרה לעיל.
ניתן גם לקבל את מפל הלחץ לפי:
משוואת היזן ויליאמס , היא משוואה בהידראוליקה המשמשת לחישוב מפל לחץ או מפל עומד בזרימת מים בצינור עקב החיכוך בזרימה.
משתמשים במשוואת היזן ויליאמס לחישוב מפל הלחץ במערכות זרימת מים קרים: צנרת לכיבוי אש, אספקת מים, ומערכות השקיה בחקלאות.
תוצאת החישוב הן ביחידות פאונד לאינץ' מרובע (psi) ליחידת אורך של הצינור ברגל (foot).
שימוש ביחידות מידה שונות ישנה את המקדם של המשוואה.
Pd - מפל הלחץ בצינור, ליחידת אורך של הצינור psi/foot
Q - הספיקה בגלונים בדקה
d - קוטר פנימי של הצינור באינצ'ים
C - מקדם החיכוך, המספר הגבוה יותר מציין צינור חלק יותר:
להלן מספר ערכים למקדם החיכוך C לצנרת מחומרים נפוצים:
140 - צינור אזבסט צמנט
100 - צינור ברזל יצוק
100 - צינור פלדה מגולבנת
משוואת דיראק היא משוואת גלים בפיזיקה קוונטית יחסותית.
את המשוואה ניסח הפיזיקאי הבריטי פול דיראק בשנת 1928, והיא מתארת חלקיקים אלמנטריים בעלי ספין 1/2, שעימם נמנים האלקטרונים.
המשוואה ניבאה את קיומם של אנטי-חלקיקים עוד לפני שאלה התגלו נסיונית, והיוותה השראה לניסויים שבהם נתגלה הפוזיטרון.
משוואת דיראק מתארת חלקיק בודד, ללא יצירה וחיסול של חלקיקים (בהיבט זה מטפלת תורת השדות הקוונטית).
המשוואה מספקת ניבויים טובים לגבי המומנט המגנטי של האלקטרון ומסבירה תצפיות של הקווים הספקטרליים של האטום.
משוואת שרדינגר איננה לוקחת בחשבון את תורת היחסות.
כדי לקבל הכללה יחסותית למשוואה, היא חייבת להיות סימטרית בנגזרות, כלומר הנגזרות בזמן ובמקום צריכות להיות מאותו סדר (הדבר נובע מאחד העקרונות הבסיסיים של תורת היחסות, לפיהם המרחב והזמן הם ממדים שקולים).
על פי תורת היחסות, התנע והאנרגיה הם רכיבים של 4-וקטור התנע-אנרגיה (ראה תורת היחסות הפרטית) ומקיימים את הקשר
כאשר היא מסת המנוחה של החלקיק, היא מהירות האור בריק, ו- הוא התנע.
משימוש בקשר זה מתקבלת משוואת קליין-גורדון:
הקבוע הוא קבוע פלאנק המצומצם.
משוואה זאת היא הכללה ישירה של משוואת שרדינגר.
עם זאת, הנגזרת השנייה לפי הזמן במשוואה זאת מצריכה תנאי התחלה על הנגזרת של פונקציית הגל, ולכן אי אפשר להגדיר צפיפות הסתברות שהיא גם חיובית וגם האינטגרל שלה נשמר.
הבעייתיות של משוואה זאת היוותה את המוטיבציה לפיתוח משוואת דיראק, אך בהמשך נעשה במשוואת קליין-גורדון שימוש בתורת השדות בתור משוואה של חלקיקים עם ספין אפס.
המשוואה בצורתה המקורית כפי שפורסמה של ידי דיראק היא:
ו- הן קואורדינטות המרחב והזמן בהתאמה.
היא פונקציית הגל של אלקטרון עם מסת מנוחה m
p1,p2,p3 הם רכיבי התנע, במובן של אופרטור התנע במשוואת שרדינגר
c הוא מהירות האור בריק
ו ħ הוא קבוע פלאנק המצומצם.
האלמנטים החדשים במשוואה הם המטריצות מסדר 4 על 4: ו-.
ארבעת המטריצות הן הרמיטיות, והריבוע שלהן שווה למטריצת היחידה:
בנוסף הן מקיימות את יחס האנטי חילופיות (אם i ו-j שונים):
בכתיב דיראק המשוואה נכתבת כך:
דיראק חשב לנסות משוואה מסדר ראשון הן בזמן והן במרחב.
אפשר למשל, על ידי התעללות בסימון (abuse of notation), לקחת את הקשר היחסותי בין תנע לאנרגיה
להחליף את p באופרטור מדידת התנע, ולפתוח את השורש לסדרה אינסופית של אופרטורי גזירה.
רוב הפיזיקאים לא כל כך האמינו בכיוון הזה, אפילו אם טכנית היה אפשרי.
האגדה מספרת, כי דיראק בהה באח הבוערת בקיימברידג', מהרהר בבעיה, כאשר הבריק לו הרעיון לקחת את השורש של אופרטור הגל:
כאשר מכפילים את האגף הימני אפשר לראות שכדי שכל האיברים מהצורה ייעלמו, עלינו להניח כי:
דיראק, שהיה אז מעורב מאוד בהנחת היסודות למכניקת המטריצות של הייזנברג, הבין מייד שההנחות הללו יוכלו להתקיים אם , , ו- הם מטריצות.
המשמעות היא שלפונקציית הגל יש מספר רכיבים, מה שמסביר מדוע מופיעה פונקציית גל עם שני רכיבים בתאוריית הספין של פאולי, מה שעד אז אפילו פאולי בעצמו החשיב כמסתורי.
עם זאת על המטריצות להיות מממדים של 4x4 לפחות, לא ניתן למצוא סט של ארבע מטריצות בלתי תלויות ממימד נמוך יותר שמקיימות את ההנחות הללו, כך שלפונקציית הגל יש 4 רכיבים ולא שניים כמו בתאוריה של פאולי או אחד כמו בתאוריה של שרדינגר.
פונקציית הגל עם ארבעת הרכיבים, היא סוג חדש של אובייקט מתמטי שמופיע כאן לראשונה.
באמצעות השורש של אופרטור הגל, ניתן כעת לכתוב משוואה
כאשר עדיין צריך לקבוע מהו אם נפעיל את האופרטור פעם נוספת על שני אגפי המשוואה נקבל:
אם נקבע ש , נקבל שפונקציית הגל מקיימת את הקשר היחסותי בין תנע לאנרגיה.
כך שהמשוואה המבוקשת שהיא מסדר ראשון הן בזמן והן במרחב היא
מתקבלת משוואת דיראק שרשומה למעלה.
את משוואות דיראק ניתן לכתוב בצורה אינווריאנטית לורנץ ובעלת סימטריה בין הזמן למרחב, באמצעות מטריצות גאמה של דיראק.
הפרשנות הפיזיקלית של היא שהם אופרטורים הפועלים במרחב המכפלה בין אופרטורי בורגיות לבין אופרטורי הספין.
קיימות הצגות שקולות לאופרטורים הללו, והמעבר בין ההצגות שקול לטרנספורמצית סיבוב במרחב הדו־ממדי של הבורגיות.
הצגה נפוצה נוספת היא ההצגה הבורגית:
כאן מסמל את אופרטור היחידה במרחב הדו־ממדי, והאופרטור מיוצג על ידי מטריצות פאולי.
הפתרונות לאנרגיה יכולים לקבל ערכים שליליים.
יתרה מכך, האנרגיה של המערכת לא חסומה מלמטה כלומר למערכת כזאת אין מצב יסוד, פתרון שאיננו מתקבל על הדעת מבחינה פיזיקלית.
תוצאה מוזרה זו הובילה את דיראק למסקנה כי מצב היסוד של המערכת, או מצב הריק, הוא מצב שבו כל מצבי האנרגיה השליליים מאוכלסים (הים של דיראק).
במצב שבו כל הרמות השליליות מאוכלסות, עקרון האיסור של פאולי ימנע מפרמיון מלרדת לרמות האנרגיה הנמוכות.
המסקנה מתיאור זה היא שכדי ליצור חור בים של דיראק יש להשקיע אנרגיה של לכל הפחות (פעמיים מסת המנוחה של חלקיק) ותוצאה של יצירת חור תהיה יצירת זוג של חלקיק ואנטי חלקיק.
דיראק ייחס בתחילה את החלקיק החיובי החזוי לפרוטונים, שהיו אז החלקיקים החיוביים הידועים היחידים, אף על פי שלחלקיקים החזויים צריכה הייתה להיות מסה זהה למסתו של האלקטרון.
עובדת קיום החלקיקים החיוביים אומתה בניסוי עם גילוי הפוזיטרון בשנת 1932. כשנשאל דיראק מדוע לא העז וחזה את קיום הפוזיטרון ענה "פחדנות לשמה!".
משוואת וילר-דה ויט היא משוואה העוסקת בהסתברות למצוא את היקום כולו במצב מסוים מתוך אינסוף מצבים אפשריים, ומהווה ציון דרך בפיתוח תורת כבידה קוונטית.
הפירוש המקובל של המשוואה מתאר מספר אינסופי של היסטוריות אפשריות ליקום, אבל מסיבות שעדיין אינן ברורות, הסיכוי שרוב ההיסטוריות הללו תתגשמנה הוא כמעט אפסי, ורק סיכוייה של היסטוריה אחת גדולים במיוחד על מנת שתתקיים.
משוואת החום (או משוואת הולכת החום וכן משוואת הדיפוזיה) היא משוואה דיפרנציאלית חלקית, המתארת את האופן שבו זורם חום בגוף מרחבי לאורך זמן.
המשוואה הוצגה לראשונה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה בתחילת המאה ה-19. המשוואה נקראת גם משוואת הדיפוזיה שכן היא מתארת באופן כללי פעפוע של חומר בזמן ובמרחב.
כמשוואה דיפרנציאלית חלקית, ניתן להגדיר פונקציה או משטח ולו תנאי שפה ותנאי התחלה מתאימים, כלומר: מהם מקורות החום בזמן (תחילת התהליך) ומהם מקורות החום הקבועים על שפות הפונקציה.
לאחר מכן, על ידי פתרון משוואת החום, ניתן לדעת מהו פילוג החום המתקבל בזמן עתידי כלשהו לפי הצורך.
לדוגמה, אם נרצה לתאר את פילוג החום עבור לוח בגודל אשר בצלעו הימנית נמצא מקור חום קבוע, וברגע בפינה השמאלית העליונה ישנו מקור חום נקודתי, ראשית נגדיר את המשטח .
כעת נציב את תנאי השפה ואת תנאי ההתחלה כאשר הוא עצמת מקור החום הקבוע ו- היא פונקציית דלתא של דיראק.
עם קבלת פתרון המשוואה, נוכל למשל לדעת מהו פילוג החום ברגעים , וכן הלאה.
בעוד שלמשוואת החום מקורות פיזיקליים, הצורה המתמטית של המשוואה היא בעלת יישומים בתחומים מדעיים מגוונים.
בתורת ההסתברות, משוואת החום קשורה לתאוריה של הילוכים מקריים; מן המשוואה ניתן לקבל את ההתפתחות בזמן של פונקציית צפיפות ההסתברות המייצגת את מיקומו של חלקיק המהלך אקראית.
במתמטיקה פיננסית נעשה בה שימוש כדי לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית של מודל בלק ושולס.
וריאנט של משוואת החום שימש אף ככלי מרכזי להוכחת השערת פואנקרה בטופולוגיה.
משוואת החום היא דוגמה מיוחדת למשפחה של משוואות דיפרנציאליות, משוואות פרבוליות.
בצורתה המלאה, המשוואה נכתבת כך:
– וקטור המתאר מקום במרחב.
– הטמפרטורה כפונקציה של המיקום בגוף והזמן
α – מקדם הדיפוזיה התרמית של החומר
∇ – אופרטור הגזירה הווקטורי, דל.
בדרך כלל מתייחסים למקדם הדיפוזיה כאל קבוע במרחב ובטמפרטורה, ואז אפשר לכתוב:
כאשר 2∇ הוא אופרטור הלפלסיאן, המשתנה כתלות המערכת הצירים.
לדוגמה, במערכת צירים קרטזית, משוואת הולכת החום נראית כך:
כאשר היא פונקציית הטמפרטורה, ו־α הוא מקדם הדיפוזיה התרמי של החומר.
משוואה כללית יותר, למצב בו יש יצור (או איבוד) של חום בחומר:
– מקדם מוליכות חום של החומר
– צפיפות המסה של החומר
– קצב יצור החום (באיבוד חום – שלילי)
ומקדם הדיפוזיה התרמית של החומר מוגדר במשוואה:
גם כאן, אם כל תכונות החומר קבועות, המשוואה הופכת לפשוטה יותר:
על אף השוני הפיזיקלי המהותי והמשמעותי ביניהן, משוואת חום ומשוואת דיפוזיה זהות מבחינה מתמטית, כאשר במשוואת הדיפוזיה, את מקומה של הטמפרטורה תופסת הצפיפות החומר, , ואת מקדם הדיפוזיה התרמית מחליף מקדם הדיפוזיה של החומר, D:
בדומה למשוואת החום, כאשר D קבוע, המשוואה הדיפרנציאלית נעשית ליניארית:
פתרון המשוואה, בממד אחד, על ידי הפרדת משתנים הוא:
שני הצדדים של המשוואה הם משוואות התלויות במשתנים שונים, לכן הם חייבים להיות שווים לקבוע מספרי.
הקבוע חייב להיות שלילי מכיוון שאחרת הטמפרטורה תגיע לאינסוף, ונסמנו λ²-.
את הפרמטר λ נקבל מתנאי השפה של הבעיה, והמשך הפתרון על ידי טור פורייה.
דוגמה לאילוץ תנאי התחלה ושפה
ניקח מוט באורך L, המבודד כולו פרט לקצה אחד שלו, שם הוא מוחזק בטמפרטורה קבועה.
תנאי התחלה: בזמן t=0 כל המוט בטמפ' החדר:
תנאי שפה א': הטמפרטורה במקום x=0 קבועה תמיד:
תנאי שפה ב': כל המוט מבודד, כך שנוכל לכתוב לגבי קצה המוט:
מכיוון שבמשוואה הגדלים דיפרנציאליים, נוכל לבחור את נקודת האפס כרצוננו.
נבחר את נקודת האפס של הטמפרטורה ב- .
למרות שהטמפרטורה במוט תמיד שלילית בסקלה זו, היא הטובה ביותר להתייחס בה לבעיה.
נאלץ את תנאי שפה א':
אילו A היה שווה ל-0 היה מתקבל הפתרון הטריוויאלי אשר אין לנו עניין בו.
כאשר D כולל בתוכו מספר פרמטרים שהיו קודם.
ונקבל כי λ יכול להיכתב בסדרה של ערכים אפשריים:
מכאן שגם הפרמטר החופשי A יכול להיות מספר ערכים אפשריים, נקבל:
כשנשאר לנו למצוא את An.
נאלץ את תנאי השפה באמצעות טור פורייה, וכפל בפונקציה עבור מספר שלם כלשהו m.
אחרי ביצוע אינטגרל על כל המוט, נקבל:
כך שהפתרון למקרה אחרי אילוץ כל התנאים הוא:
בנוסף לשימוש הקלאסי עבור זרימת חום בחומר, משוואת החום (או משוואת הדיפוזיה) משמשת בגרסתה הבסיסית או בגרסאות מוכללות בתחומים רבים.
ניתן להראות כי עבור תנאי שפה מסוימים, פתרון משוואת החום הוא גרעין החלקה גאוסיאני בעל שונות הגדלה עם הזמן.
דבר זה הופך את המשוואה רלוונטית לתחום של עיבוד תמונה, שכן כאשר מתייחסים לתמונה כמשטח מתאים, מקבלים כי הפעלת משוואת הדיפוזיה משמעותה החלקת התמונה במידה הולכת וגדלה עם הזמן, וכך ניתן לסנן רעש מתמונה.
בתחום זה, מגדירים גם דיפוזיה לא ליניארית, בה מקדם הדיפוזיה אינו קבוע אלא תלוי בגרדיאנט התמונה.
באופן זה ניתן לבצע סינון לא ליניארי ובכך לסנן רעש אך לשמר את השפות בתמונה, וזוהי תוצאה רצויה שכן השפות הן פרטים חשובים בהבנת התמונות ויש לשמרן.
עם זאת, במקרים אלו אין בדרך כלל רצון למצוא פתרון סגור למשוואה אלא רק לבצע מספר מועט של צעדים בזמן.
משוואת ארניוס היא נוסחה פשוטה אך מדויקת מאוד המתארת את התלות של קצב התגובה הכימית בטמפרטורה, וליתר דיוק, את מקדם הקצב, כיוון שהמקדם הזה כולל את כל הגדלים שמשפיעים על קצב התגובה מלבד הריכוז.
את המשוואה הציע לראשונה הכימאי ההולנדי ג'.ה ואן-הוף ב-1884; חמש שנים לאחר מכן, הכימאי השוודי סוונטה ארניוס סיפק תמיכה פיזיקלית ופירוש מתאים למשוואה.
בימינו היא מתוארת בצורה הכי טובה כיחס ניסויי.
משוואת ארניוס היא ביטוי המראה את התלות של קבוע הקצב k של תגובות כימיות בטמפרטורה T (בקלווין) ואנרגיית השפעול Ea, כפי שמתואר להלן:
כאשר A הוא הגורם הקדם מעריכי או בצורה פשוטה יותר גורם הקדם ו-R הוא קבוע הגזים.
היחידות של הגורם הקדם מעריכי זהות לאלו של קצב התגובה והן משתנות בהתאם לסדר התגובה הכימית.
אם התגובה היא מסדר ראשון יש לה את היחידות s-1, ומסיבה זו הוא נקרא גם גורם התדירות של התגובה.
על היחידות של אנרגיית השפעול להיות מתאימות ליחידות של R*T (לדוגמה, אם R הוא 8.314 J/(mol*K) אזי על האנרגיה להיות ביחידות של J/mol).
ניתן לראות כי באמצעות העלאת הטמפרטורה או הפחתת אנרגיית השפעול (למשל, על ידי שימוש בזרזים) קצב התגובה יגדל.
בהתחשב בטווח הטמפרטורה הקטן שבו מבוצעים מחקרים קינטיים, סביר להניח כי באופן מקורב אנרגיית השפעול לא תלויה בטמפרטורה.
באופן דומה, בתנאים של טווח רחב של תנאים מעשיים, התלות החלשה בטמפרטורה של הגורם הקדם-מעריכי ניתנת להזנחה בהשוואה לתלות בטמפרטורה של הגורם ; מלבד במקרה של תגובות מוגבלות-פעפוע "חסרות מחסומים", שבהן הגורם הקדם-מעריכי דומיננטי וניתן לצפות בו באופן ישיר.
מספר מחברי ספרים בנושא הגדירו משוואת ארניוס משתנה, שמנסחת במפורש את התלות בטמפרטורה של הגורם הקדם-מעריכי.
אם מאפשרים תלות שרירותית בטמפרטורה של הגורם-קדם, תיאור ארניוס הופך לשלם, והבעיה הנגדית (קביעת הגורם-קדם ואנרגיית השפעול לפי מסקנות ממידע ניסויי) הופכת לבעיה היחידה.
צוין כי "אין זה אפשרי לקבוע, על בסיס של מחקרי טמפרטורה של קצב התגובה, האם התלות המנובאת T½ של הגורם הקדם-מעריכי נצפית בניסוי".
אולם, אם יש עדויות נוספות, מתאוריה ו/או מניסויים (כגון תלות בצפיפות), אין שום מכשול לבדיקות שיתנו תוצאות חותכות לגבי חוק ארניוס.
הוצאה של לוגריתם טבעי ממשוואת ארניוס נותנת:
אם כך, כאשר לתגובה יש קבוע קצב המציית למשוואת ארניוס, עקומה של (ln(k כנגד T-1 נותנת ישר, שהשיפוע ונקודת החיתוך שלו יכולים לסייע בקביעת Ea ו-A.
תהליך זה הפך לכל כך נפוץ בקינטיקה כימית ניסויית עד כדי כך שכימאים החלו להשתמש בו על מנת להגדיר את אנרגיית השפעול של התגובה.
אנרגיית השפעול מוגדרת כ-(R-) פעמים שיפוע העקומה של (ln(k כנגד T-1:
פירושים קינטיים תאורטיים של משוואת ארניוס
ארניוס טען שכדי שמגיבים יהפכו לתוצרים, ראשית עליהם לרכוש כמות מסוימת של אנרגיה, הנקראת אנרגיית השפעול Ea.
בטמפרטורה מוחלטת T, ניתן לחשב את החלק היחסי של מולקולות שיש לו אנרגיה קינטית הגדולה מ-Ea מהתפלגות מקסוול-בולצמן הלקוחה מהתחום מכניקה סטטיסטית, ומתברר כי היא יחסית ל-.
הרעיון של אנרגיית השפעול מסביר את האופי המעריכי של מערכת היחסים הזו, ובדרך כזו או אחרת, הוא נוכח בכל התאוריות הקינטיות:
דוגמה אחת היא מתאוריית ההתנגשות של תגובות כימיות, שפותחה על ידי מקס טראוץ וויליאם לואיס בשנים 1916–1918. בתאוריה הזאת, מולקולות אמורות להגיב זו עם זו אם הן מתנגשות עם אנרגיה קינטית יחסית הגדולה מהערך Ea.
זה מוביל לביטוי דומה מאוד למשוואת ארניוס, עם ההבדל שהגורם הקדם מעריכי A לא קבוע ובמקום זאת הוא יחסי לשורש הריבועי של הטמפרטורה.
דבר זה משקף את העובדה שהקצב הכללי של כל ההתנגשויות, שמניבות תגובה או לא מניבות תגובה, הוא יחסי למהירות המולקולרית היחסית שבתורה יחסית ל- T1/2.
באופן מעשי, התלות של הגורם הקדם מעריכי בשורש הריבועי של הטמפרטורה היא בדרך כלל איטית מאוד בהשוואה לתלות המעריכית המקושרת עם Ea, עד לנקודה שבה יש כאלה הטוענים כי לא ניתן להוכיח אותה באופן ניסויי.
תיאור נוסף דמוי-ארניוס מופיע בתאוריית מצב המעבר של תגובות כימיות, שנוסחה על ידי ויגנר, איירינג, פולני ואוואנס בשנות ה-30. היא מנוסחת בצורות מגוונות, אולם אחת מצורות הנפוצות ביותר היא
כאשר ΔG‡ מסמל את האנרגיה החופשית של גיבס של הפעלה, kB הוא קבוע בולצמן ו-h הוא קבוע פלאנק.
במבט ראשון, הביטוי נראה כמעריך המוכפל בגורם המתואר בצורה קווית כאשר הוא תלוי בטמפרטורה.
אולם, האנרגיה החופשית היא גודל התלוי בעצמו בטמפרטורה.
אנרגיית השפעול החופשית כוללת איבר של אנטרופיה כמו גם איבר של אנתלפיה, ששניהם תלויים בטמפרטורה, וכאשר מתבררים כל הפרטים מתקבל ביטוי שלובש את הצורה של מעריך ארניוס המוכפל בפונקציה משתנה באיטיות של T.
הצורה המדויקת של התלות בטמפרטורה תלויה בתגובה, וניתנת לחישוב כאשר משתמשים בנוסחאות מהמכניקה הסטטיסטית הכוללות פונקציות חלוקה של המגיבים ושל התצמיד המשופעל.
משוואת הנדרסון-האסלבאך היא משוואה כימית המתארת את אופן גזירתו של ערך ה-pH בתמיסה נתונה, כמדד של החומציות (באמצעות שימוש ב- pKa, הידוע כקבוע הדיסוציאציה החומצי) במערכות ביולוגיות וכימיות.
באמצעות המשוואה ניתן להעריך את ה-pH של תמיסת בופר ולמצוא את נקודת שיווי המשקל של ה-pH בתגובות חומצה-בסיס.
במקרים רבים משתמשים במשוואה על מנת לחשב את הנקודה האיזואלקטרית של חלבונים.
במשוואה זו, (pKa = - log10(Ka כאשר Ka הוא קבוע הדיסוציאציה של החומצה, כלומר:
עבור תגובת ברונסטד-לאורי הפשוטה מסוג חומצה-בסיס המתוארת כך:
לורנס ג'וזף הנדרסון חיבר משוואה דומה ב-1908, ותיאר בה את השימוש של חומצה פחמתית בתמיסת בופר.
זמן מה לאחר מכן, קארל אלברט האסלבאך ניסח את המשוואה מחדש בצורה לוגריתמית, וכך נוצרה המשוואה בצורתה הנוכחית.
האסלבאך השתמש במשוואה על מנת לחקור את החמצת המטבולית, שנגרמת בין השאר כתוצאה מנוכחות חומצה פחמתית בדם.
הבסיס של משוואת הנדרסון-האסלבאך כולל בתוכו כמה קירובים משמעותיים.
הקירוב העיקרי הוא ההנחה כי ריכוזי החומצה והבסיס המצומד לה יהיו שווים לריכוז הרשום במצב של שיווי משקל.
הנחה זו לא מביאה בחשבון את הדיסוציאציה של החומצה ואת ההידרוליזה של הבסיס, כאשר גם הדיסוציאציה של מים לא נלקחת בחשבון.
קירובים אלה אינם טובים כאשר מתעסקים בחומצות חזקות או בסיסים חזקים (pKa גבוה בכמה יחידות מ-7), תמיסות מהולות או מרוכזות מאוד (פחות מ-1mM או יותר מ-1M), או יחסי חומצה/בסיס גבוהים (למעלה מ-1 ל-100).
במצב שבו ריכוז היונים שווה לריכוז החומצה, 1=[-AH]/[A], ערך ה-pH של התמיסה יהיה שווה לערך ה-pKa.
זאת מאחר ש-log(1)=0, ואם נציב ביטוי זה בנוסחה נקבל: pH=pKa.מסיבה זו, ערך ה-pKa יהיה בדיוק בין שתי נקודות שקולות על עקומת טיטרציה.
משוואת היל היא משוואה בתחום הביוכימיה אשר משמשת לאפיון הקישור, בשיווי משקל כימי, בין חלבונים לבין הליגנדים שלהם (במרבית המקרים המשוואה משמשת לתיאור הקישור בין אנזימים לבין הסובסטרטים שלהם).
המשוואה קרויה על שמו של ארצ'יבלד היל, ביופיזיקאי שפיתח אותה בשנת 1910 כאשר תיאר את הקישור הסיגמוידאלי של חמצן להמוגלובין.
במקרים רבים בביוכימיה קשירת ליגנד (או סובסטרט באנזימים) אחד לחלבון גורמת לשינוי (עליה או ירידה) בזיקה של ליגנדים נוספים לאותו חלבון.
משוואת היל מתארת את החלק היחסי (פרקציה) של החלבון אליו קשורים ליגנדים כפונקציה של ריכוז הליגנדים, ומאפשרת לאמוד את מידת הקואופרטיביות של החלבון.
ובצורתה הלוגריתמית (המהווה, למעשה, ליניאריזציה של משוואת היל):
[L] מייצג את ריכוז הליגנד.
Kd הוא קבוע הדיסוציאציה (כימיה) (קבוע שווי משקל עבור ריאקצית ניתוק הקשר בין הליגנד לחלבון).
KA מייצג את ריכוז הליגנד שבו חצי מכמות אתרי הקישור בחלבון מאוכלסת על ידי ליגנד (50% קשירה).
n קרוי מקדם היל ומייצג את מידת הקואופרטיביות.
השיפוע המתקבל במשוואת היל הליניארית הוא מקדם היל.
מקדם היל (n) מבטא את מידת הקואופרטיביות, והוא ערך ספציפי המשתנה בין חלבון לחלבון.
ישנם, כמובן, חלבונים רבים שאינם קואופרטיביים.
מקדם היל של חלבונים אלה שווה ל-1. ככל שמקדם היל נמוך או גבוה מ-1 הקואופרטיביות גבוהה יותר.
כאשר n=1 החלבון אינו קואופרטיבי.
הזיקה של החלבון לליגנד אינה תלויה בקישורם.
כאשר n>1 הקואופרטיביות נקראת חיובית: קישור ליגנד אחד לחלבון גורמת לעליה בזיקה בין החלבון לקשירת ליגנדים נוספים (עידוד לקשירתם).
החלבונים המוגלובין וקלמודולין הם דוגמאות לחלבונים בעלי קואופרטיביות חיובית.
כאשר n<1 הקואופרטיבית נקראת שלילית: קשירת ליגנד אחד לחלבון גורמת לירידה בזיקה בין החלבון לקשירת ליגנדים נוספים.
קיום קואופרטיביות שלילית היה מוקד מחלוקת ארוכה.
משוואת איירינג היא משוואה בקינטיקה כימית המקשרת בין קצב התגובה לבין הטמפרטורה.
המשוואה פותחה כמעט במקביל ב-1935 על ידי הנרי איירינג, מ.
המשוואה פותחה מתוך תאוריית מצב המעבר (הידועה גם בשם תאוריית הקומפלקס המופעל), ובניגוד למשוואת ארניוס האמפירית היא מודל תאורטי המבוסס על תרמודינמיקה סטטיסטית.
הצורה הכללית של המשוואה דומה במקצת לזו של משוואת ארניוס:
כאשר ΔG‡ מסמל את האנרגיה החופשית של גיבס, kB הוא קבוע בולצמן ו-h הוא קבוע פלאנק.
ניתן לשכתב את המשוואה ולכתוב אותה כך:
צורתה הליניארית של המשוואה היא:
תגובה כימית מסוימת מתרחשת בטמפרטורות שונות, וקצב התגובה נקבע על פיהן.
העקומה המתקבלת של כנגד היא קו ישר עם שיפוע , שממנו ניתן לגזור את אנתלפיית ההפעלה, והלכיד שממנו ניתן לגזור את אנטרופיית ההפעלה.
משוואת הגל האלקטרומגנטי היא משוואת הגלים של קרינה אלקטרומגנטית.
זוהי משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר שני אשר מתארת את ההתפשטות של גל אלקטרומגנטי.
מקובל לכתוב את המשוואה במונחי הפוטנציאל החשמלי הסקלרי והפוטנציאל הווקטורי , כאשר משתמשים בכיול לורנץ - .
בעזרת שימוש במשוואות מקסוול, בהגדרת הפוטנציאלים ובתנאי הכיול ניתן להראות כי מתקיים:
כלומר כל אחד מרכיבי הפוטנציאל מקיים משוואת גלים לא הומוגנית עם "מקור" ().
בריק או באזור נטול מטענים וזרמים מתקבלת משוואת הגלים ההומוגנית הרגילה.
ארבע משוואות הגלים האלו מצומדות דרך תנאי הכיול.
כיול נפוץ אחר למשוואת הגלים הוא כיול קולון.
ניתן גם לכתוב את המשוואות במונחי השדה החשמלי והשדה המגנטי
החיסרון בכתיבה זו הוא שקשה לראות את הצימוד בין השדות, כלומר כל שדה מתנהג כגל, אך לא ניתן להבין מכאן ששני הגלים נעים יחד.
משוואת בולצמן הידועה גם בשם משוואת ההולכה של בולצמן, על שם יוצרה, הפיזיקאי לודוויג בולצמן, עוסקת בהתפלגות של צפיפות ההסתברות של חלקיק בנוזל - כלומר הסיכוי שלו להימצא בנקודה מסוימת בזמן מסוים במהירות מסוימת.
זו משוואה חשובה בתרמודינמיקה ובמכניקה סטטיסטית, העוסקת במערכות הרחוקות משיווי משקל תרמודינמי.
המשוואה משמשת לחקר הולכה של תכונות פיזיקליות, כגון מטען חשמלי או חום, ומכאן לחקר תכונות כגון מוליכות חום, אפקט הול וצמיגות.
את המשוואה פיתח בולצמן בעקבות מחלוקת בינו לבין אנרי פואנקרה בשאלה האם הזמן הפיך, כלומר, האם ייתכן כי אירועים יתחוללו בסדר הפוך בזמן (במילים אחרות, האם למערכת פיזיקלית סגורה קיימת סימטריה בזמן).
f היא פונקציית התפלגות צפיפות ההסתברות של החלקיק במרחב המקום, במרחב המהירויות ובזמן.
x - מסמן את המקום (בשלושה ממדים)
v - מסמן את המהירות (גם כן בשלושה ממדים)
a - מסמן את התאוצה
t - מסמן את הזמן
צד ימין של המשוואה מייצג את השינוי בפונקציית התפלגות החלקיקים בעקבות התנגשות ביניהם.
משוואה זו נובעת משיקולים פיזיקליים פשוטים.
ממשוואת בולצמן ניתן לבצע חישובים רבים ולהסביר תופעות רבות בטבע (לדוגמה: מהו מקדם המוליכות של מתכת), והדבר החשוב ביותר הוא, שניתן להוכיח כי הזמן איננו הפיך.
משוואת ואן 'ט הוף מאפשרת חישוב של הפוטנציאל האוסמוטי בעזרת ריכוז המומס, הטמפרטורה וקבוע הגזים האידיאליים.
המשוואה פותחה על ידי יאקובוס ואן 'ט הוף:
OP - הלחץ האוסמוטי ב MPa.
C - ריכוז המומס ב M.
T - הטמפרטורה במעלות קלווין.
R - קבוע הגזים האידיאליים ב : .
משוואת הלמהולץ היא משוואה דיפרנציאלית חלקית בעלת שימושים בפיזיקה בתחום הגלים.
המשוואה קרויה על שם הרמן פון הלמהולץ וצורתה:
כאשר הוא אופרטור הלפלסיאן, וקטור ההעתק ו-k קבוע כלשהו הנקרא מספר גל.
בפיזיקה, המשוואה עולה בפתרון משוואת הגלים תוך הפרדת משתנים.
אם פתרון משוואת הגלים ניתן לכתיבה כמכפלה של פונקציה התלויה רק בזמן בפונקציה התלויה רק בהעתק, משוואת הלמהולץ היא החלק הבלתי תלוי בזמן של משוואת הגלים.
בהנחה שהפתרון ניתן להפרדת משתנים, הוא נכתב כך:
בהצבה למשוואה וחלוקת שני האגפים ב-, בהנחה שאין מדובר בפונקציית האפס:
מאחר שאגף ימין של המשוואה תלוי רק בזמן ואגף שמאל של המשוואה תלוי רק בהעתק, פתרון ששונה מאפס יכול להתקיים רק אם שני אגפי המשוואה שווים לקבוע בלתי תלוי בזמן ובהעתק גם יחד.
כאשר הסימן השלילי נבחר לשם נוחות, ללא הגבלת הכלליות.
המשוואה הראשונה היא משוואת מתנד הרמוני עם תדירות זוויתית , ופתרונה ידוע.
המשוואה השנייה היא משוואת הלמהולץ.
פתרון משוואת הלמהולץ תלוי בתנאי השפה של הבעיה והסימטריה שלהם.
למשל, בקואורדינטות כדוריות מבצעים הפרדת משתנים לפונקציה שתלויה רק במרחק מראשית הצירים שכופלת פונקציה שתלויה רק בזווית המרחבית.
בהצבה למשוואת הלמהולץ תוך שימוש בלפלסיאן בקואורדינטות כדוריות, המשוואה שמתקבלת לחלק הרדיאלי היא משוואת בסל הכדורית שנפתרת על ידי פונקציות בסל כדוריות, והמשוואה שמתקבלת לחלק הזוויתי נפתרת על ידי הרמוניות ספריות.
כאשר פונקציית בסל הכדורית מהסוג הראשון מסדר , פונקציית בסל הכדורית מהסוג השני מסדר , היא ההרמוניה הספרית מסדר l,m וסדרות המקדמים ו- נקבעות על ידי תנאי השפה של הבעיה.
משוואת האגן-פואזיי (Hagen–Poiseuille) או בפשטות "משוואת פואזיי" היא משוואה פיזיקלית-הנדסית במכניקת זורמים, המתארת את ירידת הלחץ בנוזל, הזורם דרך צינור גלילי אופקי.
המשוואה התקבלה בנפרד על ידי ז'אן לאונר מארי פואזיי בשנת 1838 ועבור האגן בשנת 1839, אך התפרסמה על ידי פואזיי בשנת 1840.
המשוואה שימושית לאומדן הפרשי לחצים בצינורות בעלי קוטר קטן: כלי דם, קש שתייה, מחטי מזרקים וכדומה.
הזרימה היא דרך צינור בעל אורך שגדול באופן משמעותי מקוטר הצינור.
תאוצת הזורם שווה לאפס (כל אחת משכבות הזורם – זורמת במהירות קבועה).
במקרים בהם ההנחות לא מתקיימות, למשל: אורך צינור קצר מידי, זרימה טורבולנטית ולא למינארית, וכדומה, ירידת הלחץ תהיה שונה משמעותית מירידת הלחץ המחושבת על ידי המשוואה.
ירידת הלחץ מחושבת על ידי הנוסחה:
– הפרש הלחץ (ירידת הלחץ)
המשוואה כושלת במדידת הפרש הלחץ בתנאים שבאופן טבעי יוצרים זרימה טורבולנטית.
עבור זורם בעל צמיגות נמוכה, צנרת קצרה או רחבה, נדרש שימוש במודלים מורכבים יותר כמו משוואת דרסי-ויסבך.
כמו כן, לא ניתן למדוד את הפרש הלחץ בסמוך לתחילת הצינור, בשל תופעות מעבר הגורמות להפסדי לחץ נוספים.
נתייחס לצינור בצורת גליל (תמונה מספר 1) ונסתכל על שכבת זורם קטנה באורך L.
הכוחות הפועלים הם: כוחות לחץ וכוחות גזירה, כמסומן.
על חתך הטבעת בנקודה :
ועל חתך הטבעת בנקודה :
כוח הגזירה הפועל על הטבעת הפנימית:
כוח הגזירה שהטבעת החיצונית מפעילה על שכבת הנוזל הבאה איתה במגע:
ניתן להזניח את הקבוע (), ולקבל:
עבור זורם ניוטוני (הנחה מספר 2):
הנוסחה עבור מאמץ הגזירה בין שני לוחות:
ובהתאמה, עבור צינור או גליל:
כדי למצוא את הקבוע , נשתמש בתנאי השפה: – כלומר, על שפת הגליל, המהירות הזורם זהה לצינור הנייח, משמע – אפס.
נציב את תנאי השפה במשוואה ונחלץ את :
כעת, נציב את חזרה למשוואה ונקבל:
קיבלנו ביטוי פרבולי למהירות וניתן לראות כי הוא בהחלט תואם למצופה מזרימת פואזיי (תמונה מספר 2).
ניתן לראות מביטוי כי המהירות המקסימלית מתקבלת במרכז, עבור .
ניתן לוודא כי זוהי המהירות המקסימלית על ידי גזירת המשוואה:
וכאמור, עבור , הנגזרת מתאפסת והמשמעות היא שאכן המהירות המקסימלית נמצאת בנקודה זו.
חישוב ספיקה נפחית לנוזל ניוטוני:
כל אחת מטבעות הזורם בצינור נעה במהירות .
כדי לחשב את הספיקה עלינו לחשב את הכפל בין שטח כל טבעת ומהירות הטבעת, ולסכום עבור כל הטבעות.
וכיוון שהביטוי קטן מאוד – נוכל להזניח אותו, ולקבל:
נציב את משוואה נפתור את האינטגרל בכל תחום הגליל, כלומר החל מ- ועד :
ואם נעביר אגפים, נקבל את "משוואת האגן-פואזיי":
בפיזיקה, משוואת וושבורן מתארת זרימה קפילרית בצינור.
כאשר t מייצג את הזמן האופייני לנוזל בעל צמיגות ומתח פנים כדי לחדור מרחק לתוך קפילרה בעלת קוטר .
במאמרו משנת 1921, משתמש וושבורן במשוואת פואזיי.
שימוש בגורם אינטגרציה הנותן ביטוי לשינוי נפח אינפיניטסימלי כתלות ב-, אורך הנוזל בצינור, נקבל:
כאשר הוא סכום הלחצים במערכת כגון לחץ אטמוספירי , הלחץ ההידרוסטטי והכוח האקוויוילנטי הנוצר בקפילרות .
הוא מקדם שיפוע המוערך כ-0 עבור נקודת מפגש בין נוזל למוצק הידוע בשם wetting.
את הלחץ ניתן לבטא באמצעות:
כאשר מבטא את צפיפות הנוזל ו- את מתח הפנים שלו.
זווית הצינור ביחס לציר האופקי ו- היא זווית המגע בין הנוזל והחומר הקפילרי.
עבור זורם דחיס בצינור, הספיקה הנפחית ומהירות הזורם אינם אחידים לאורך הצינור.
הזרימה לרוב, באה לידי ביטוי על ידי הלחץ ביציאה.
כאשר הנוזל נדחס או מתרחב, מתבצעת עבודה והנוזל מתחמם או מתקרר בהתאמה.
מתקבל מכך כי הספיקה תלויה במעבר החום אל ומתוך הזורם.
עבור נקודת מבט איזותרמית של גז אידיאלי, כאשר טמפרטורת הזורם תלויה במאזנה עם הסביבה וכאשר הלחץ בין קצוות הצינור קטן, הספיקה הנפחית ביציאה מהצינור נתונה על ידי:
כאמור, בשנת 1839 פרסם האגן מאמר בנושא זרימת מים בצינורות גליליים.
תוצאות הניסויים המוזכרים במאמר דומים לאלו שהציע פואזיי, אך פחות מקיפות ופחות מדויקות מתוצאותיו של פואזיי.
תוצאות הניסויים אולם, הכילו הבחנות על אפקטי קצה והבחנות על השוני שבין זרימה למינארית לטורבולנטית.
התוצאה שהציע האגן להפרש הלחצים היא:
האגן מצא כי הקבוע A תלוי בטמפרטורה והביע אותו באמצעות הנוסחה:
כאשר a,b,c קבועים המתקבלים מניסוי.
עבור ספיקות קטנות מאוד, הערך Q² ניתן להזנחה, כך שמתקבלת למעשה אותה הנוסחה שהוצעה להפרש הלחצים על ידי פואזיי.
Prandtl ו Tietjens המירו את התוצאות שקיבל האגן עבור הקבוע A, על מנת לקבל גרף עבור פקטור חיכוך אל מול מספר ריינולדס.
תוצאות אלו ניבאו היטב את תוצאות הקו התאורטי עבור מספרי ריינולדס בטווח 70–1000:
כאשר f מייצג את פקטור החיכוך המקובל בצינור.
בדרך כלל משוואת האגן-פואזיי מצביעה לא רק על הפרש הלחצים בזרימה בציור אלא גם על צורתה הפרבולית של הזרימה.
למעשה ניתן לפתח את תוצאות הפרש הלחצים גם לזרימה טורבולנטית על ידי קביעת צמיגות טורבולנטית אפקטיבית במקרה של זרימה טורבולנטית, אפילו שצורת הזרימה הטורבולנטית היא לא לגמרי פרבולית.
בשני המקרים, הירידה בלחץ בצינור קשורה לעומס על הדפנות, אשר כביכול קובעת את פקטור החיכוך.
ניתן לקבוע את ירידת הלחץ בצינור כתוצאה מחיכוך על ידי משוואת דרסי-ויסבך.
משוואת ולסוב היא משוואה דיפרנציאלית המתארת את ההתפתחות בזמן של פונקציית ההתפלגות של פלזמה המכילה חלקיקים טעונים עם אינטראקציה רחוקת-טווח (למשל, קולונית).
המשוואה הוצעה לראשונה לתיאור פלזמה על ידי הפיזיקאי הרוסי אנטולי ולסוב בשנת 1938.
ולסוב טען כי המודל הקינטי המבוסס על משוואת בולצמן מתקשה בתיאור פלזמה, מכיוון שהמערכת כוללת אינטראקציות רחוקות-טווח כמו האינטראקציה הקולונית.
ולסוב ציין את הבעיות הבאות העולות בניסיון להחיל את המודל הקינטי המבוססת על התנגשות של זוג חלקיקים לדינמיקה של פלזמה:
התאוריה של התנגשויות בין זוג חלקיקים נמצאת בסתירה לגילויים של ריילי, אירווינג לאנגמיור ולואי טונקס על תנודות טבעיות בפלזמת אלקטרונים.
התאוריה של התנגשויות בין זוג חלקיקים לא ניתנת ליישום עבור אינטראקציה קולונית מכיוון שהאיברים הקינטיים מתבדרים.
התאוריה של התנגשויות בין זוג חלקיקים לא מסוגלת להסביר את הניסויים שבוצעו על ידי האריסון מריל והארולד ווב בנושא פיזור אנומלי של אלקטרונים בפלזמה גזית.
ולסוב העלה השערה כי האופי ארוך-הטווח של האינטראקציה הקולונית הוא המקור לקשיים האלו.
ולסוב החל לפתח את משוואת בולצמן עבור מקרה ללא התנגשויות, המוצגת בקואורדינטות מוכללות:
התאים אותה למקרה של פלזמה, וקיבל את מערכת המשוואות המפורטות להלן.
במקום התאוריה הקינטית, המבוססת על התנגשויות, ולסוב השתמש בשדה קולקטיבי עקבי הנוצר על ידי חלקיקי הפלזמה הטעונים על-מנת לתאר את האינטראקציה בין חלקיקי הפלזמה.
בתיאור זה מתבצע שימוש בפונקציות ההתפלגות ו- עבור האלקטרונים והיונים.
פונקציית ההתפלגות עבור חלקיק מסוג כללי , בעל תנע בקרבת מקום בזמן .
בתיאור זה, במקום משוואת בולצמן, מתקבלת המערכת הבאה של משוואות לתיאור הפלזמה (ביחידות cgs):
כאשר מטען האלקטרון, מהירות האור, מסת חלקיק מסוג , ו- השדות החשמלי והמגנטי בנקודה בזמן , בהתאמה.
ההבדל הבסיסי בין מערכת המשוואות האלו ומערכת משוואות המתארת חלקיקים בהשפעת שדה אלקטרומגנטי חיצוני נעוץ בעובדה שהשדות במשוואת ולסוב מקיימים אינטראקציה דו-כיוונית עם החלקיקים מכיוון שהתפלגות החלקיקים הטעונים משפיעה על השדה האלקטרומגנטי, ולהפך.
משוואות ולסוב-פואסון הן קירוב למשוואות ולסוב-מקסוול עבור מקרה לא-יחסותי ללא שדה מגנטי:
ומשוואת פואסון עבור השדה החשמלי:
כאשר מטען החלקיק, מסת החלקיק, השדה החשמלי, הפוטנציאל החשמלי ו- צפיפות המטען החשמלי.
משוואות ולסוב-פואסון משמשות לתיאור תופעות רבות בפלזמה בעלות מאפיינים לא-מקסווליאנים בולטים, למשל דעיכת לנדאו ושכבות כפולות, אשר לא ניתן לתאר באמצעות מודלים קינטיים.
במודל נוזלי לתיאור פלזמה, למשל מגנטו-הידרודינמיקה (MHD), התפלגות המהירויות איננה מחושבת.
עובדה זו מושגת על ידי החלפת במומנטים של הפלזמה כמו צפיפות מספרית, , מהירות ממוצעת, , וצפיפות, .
גדלים אלו מכונים מומנטים מכיוון שהמומנט מסדר n של מתקבל על ידי אינטגרציה של לפי המהירות.
המשתנים המתקבלים תלויים במיקום ובזמן בלבד, כלומר מידע מסוים אבד.
בתאוריה מרובת-נוזלים, כל סוג חלקיקים מתואר כנוזל נפרד עם ערכים של לחץ, צפיפות ומהירות זרימה.
המשוואות המתארות את מומנטי הפלזמה מכונות משוואות מומנט או משוואות זרימה.
שתי משוואות המומנט הנפוצות ביותר מוצגות בהמשך (במערכת היחידות הבין-לאומית).
קבלת משוואות המומנט ממשוואת ולסוב לא מצריכה הנחות לגבי פונקציית ההתפלגות.
משוואת הרציפות מתארת את שינוי הצפיפות עם הזמן.
ניתן לקבלה על ידי אינטגרציה של משוואת ולסוב על-פני מרחב המהירויות כולו.
צפיפות החלקיקים, , והמהירות הממוצעת, , הם המומנטים מסדר אפס וסדר ראשון:
קצב השינוי בתנע של חלקיק ניתן על ידי הצבת כוח לורנץ במשוואת החוק השני של ניוטון:
על ידי שימוש במשוואה זו ומבשוואת ולסוב, משוואת התנע עבור כל נוזל מתקבלת כ:
הנגזרת המלאה לפי הזמן מתקבלת:
טנזור הלחץ מוגדר כצפיפות המסה כפול מטריצת הקו-וריאנס של המהירות:
בדומה למקרה של MHD-אידיאלי, ניתן להתייחס את הפלזמה כאל "קשורה" לקווי השדה המגנטי בתנאים מסוימים.
ניתן לומר שקווי השדה המגנטי "קפואים" בתוך הפלזמה.
ניתן לפתח את התנאים לקירוב זה ממשוואת ולסוב.
נגדיר את הסקלות ו- עבור זמן, מרחק ומהירות, בהתאמה.
סקלות אלו מייצגות מדד לפרמטרים השונים המביאים לשינוי גדול ב-, כאשר שינוי גדול משמעותו
כעת ניתן להציג את משוואת ולסוב כך:
עד כה לא בוצעו קירובים.
כעת נקבע , כאשר היא תדירות הגירו ו- הוא רדיוס הגירו (ראה פרמטרים של פלזמה).
על ידי חלוקת המשוואה ב- נקבל
בקירוב בו ו-, שני האיברים הראשונים יהיו קטנים הרבה יותר מ-, מכיוון ש-.
האיבר האחרון הוא מסדר-גודל של , ולכן ניתן להזניח את שני האיברים הראשונים ולקבל
ניתן לפרק את המשוואה לחלקים מקביל וניצב:
כעת נשים לב לכך ש- , כאשר
עבור שדה מקביל קטן נקבל
המשמעות של משוואה זו היא שההתפלגות היא גירו-טרופית.
המהירות הממוצעת של התפלגות גירו-טרופית היא אפס, ולכן שווה זהותית למהירות הממוצעת, , ונקבל
לסיכום, זמן המחזור של תנועת הגירו ורדיוס הגירו קטנים הרבה יותר, בהתאמה, מסקלות הזמן והמרחק שיגרמו לשינויים גדולים בפונקציית ההתפלגות.
יש לחשב את התנאים לקירוב השדה הקפוא לכל סוג חלקיקים בנפרד.
מכיוון שלאלקטרונים זמן מחזור גירו ורדיוס גירו קצרים יותר מאשר ליונים, התנאים יתקיימו עבורם לעיתים קרובות יותר.
משוואת היינון של סאהא (Saha), מכונה לעיתים משוואת היינון של סאהא-לאנגמיור, היא המשוואה המתארת את מצב היינון של יסוד כימי מסוים כפונקציה של הטמפרטורה והצפיפות.
המשוואה היא תוצאה של שילוב רעיונות ממכניקת הקוונטים ופיזיקה סטטיסטית.
המשוואה פותחה על ידי האסטרופיזיקאי ההודי מדנאד סאהא בשנת 1920, ועל ידי אירווינג לאנגמיור בשנת 1923. המשוואה משמשת, בין השאר, באסטרופיזיקה, ומסבירה את המיון הספקטרלי של כוכבים.
עבור גז בטמפרטורה גבוהה דיה, ההתנגשויות התרמיות בין האטומים יגרמו ליינון.
אלקטרון אחד או יותר "ייקרעו" מהקשר בינם ובין גרעין האטום ו"גז אלקטרונים" יתקיים כפאזה נפרדת מהיונים והאטומים הנייטרלים, במצב פלזמה.
משוואת סאהא מתארת את דרגת היינון בפלזמה כתלות בטמפרטורה, בצפיפות, ובדרגות היינון של האטומים.
המשוואה תקפה עבור דרגות יינון נמוכות בלבד, כאשר אורך דביי גדול.
המשמעות היא שה"סיכוך" של המטען החשמלי של היונים והאלקטרונים בידי יונים ואלקטרונים אחרים זניח.
עבור גז המכיל אטומים של יסוד בודד, משוואת סאהא היא:
צפיפות האטומים בדרגת היינון i, כלומר כאשר i אלקטרונים עברו יינון.
ניוון המצבים של יון במצב i.
האנרגיה הדרושה על-מנת להפריד i אלקטרונים מאטום נייטרלי, וליצור יון במצב i.
אורך גל דה ברויי של אלקטרון
בתורת החבורות, משוואת המחלקות של חבורה סופית G היא השוויון:
כאשר הוא המרכז של G, הוא המְרַכֵּז של (תת-חבורת האיברים שמתחלפים עם g) ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב-.
הוא האינדקס של ב- והוא שווה ל-.
שני איברים נקראים איברים צמודים אם קיים כך ש-.
צמידות הוא יחס שקילות ולכן ניתן לחלק את למחלקות שקילות ביחס לצמידות הנקראות מחלקות צמידות.
נסמן את מחלקת הצמידות המורכבת מהאיברים שצמודים ל- כ-.
המרכז של מוגדר (קבוצת האיברים שמתחלפים עם כל איברי החבורה).
המְרַכֵּז של איבר מוגדר (קבוצת האיברים שמתחלפים עם g).
למשל המרכז של איבר במרכז הוא G כולה.
בדיקה פשוטה מעלה ש- היא תת-חבורה של .
תהי חבורה סופית ויהי .
נשים לב לשרשרת השקילויות הבאה:
כאשר המעבר האחרון נובע מכך שקוסטים מהווים מחלקות שקילות.
מכאן ש- ו- שונים אם ורק אם ו- שייכים לקוסטים שמאליים שונים של .
מכיוון שמחלקות הצמידות מהוות מחלקות שקילות מתקיים:
כש- עובר על קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות.
נגדיר את כקבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ללא איברי .
לכל ולכל מתקיים ולכן (g צמוד רק לעצמו).
ממשוואת המחלקות נובע שלכל חבורת p יש מרכז לא טריוויאלי.
הוכחה: תהי חבורה מסדר .
יהי , לפי משפט לגראנז' קיים k טבעי כך שמתקיים .
בהכרח , אחרת בסתירה לכך ש-.
אגף ימין הוא סכום של מספרים שמתחלקים ב-p, ולכן גם אגף שמאל מתחלק ב-p.
הוא מספר חיובי (כי ) שמתחלק ב-p ולכן .
שימוש חשוב של משוואת המחלקות הוא להוכחת משפט קושי.
המשוואה משמשת בחלק מההוכחות של המשפט הקטן של ודרברן.
במכניקת הזורמים, משוואת בורדה-קרנו מספקת תיאור חצי-אמפירי של אובדן האנרגיה המכנית של זורם אודות להתרחבות פתאומית של שפופרת הזרימה.
היא מתארת כיצד העומד ההידראולי הכולל פוחת עקב ההפסדים.
משוואה זו מתארת מצב שונה ממשוואת ברנולי, אשר מתייחסת לזרימה ללא שחיקה אנרגטית (ללא תהליכים בלתי-הפיכים) - מצב שבו העומד הכולל קבוע לאורך קו זרם.
במשוואה נעשה שימוש הן במקרה של זרימה בתעלה והן במקרה של זרימה בצנרת.
בחלקים של הזרימה בהם אובדן האנרגיה זניח, ניתן לעשות שימוש בעקרון ברנולי.
ΔE הוא אובדן האנרגיה המכנית של הזורם,
ξ הוא מקדם אמפירי, שהוא גודל חסר ממד שמקבל ערכים בין 0 ל-1,
v1 ו-v2 הן מהירויות הזרימה הממוצעות לפני ואחרי ההתרחבות.
במקרה של התרחבות ניכרת ופתאומית מקדם האובדן שווה לאחד.
במקרים אחרים, מקדם האובדן צריך להיקבע בדרכים אחרות, לעיתים קרובות דרך נוסחאות אמפיריות (הנגזרות ממידע המושג דרך ניסויים).
משוואת בורדה-קרנו תקפה רק עבור מהירויות יורדות, כלומר כאשר v1 > v2, אחרת אובדן האנרגיה ΔE הוא אפס.
מקדם האובדן ξ מושפע רבות ממיטוב הזרימה.
לדוגמה, במקרה של זרימה בצנרת, תכנון הצנרת כך שתביא להתרחבות הדרגתית של הזרימה יכולה להפחית רבות את אובדן האנרגיה המכנית.
קשר המשוואה לעומד הכולל ולעקרון ברנולי
משוואת בורדה-קרנו מאפשרת לחשב כיצד פוחת הקבוע של משוואת ברנולי.
בעבור זרימה אי-דחיסה התוצאה היא - בעבור שני מיקומים שנסמנם 1 ו-2, כשמיקום 2 נמצא במורד הזרם ביחס לנקודה 1 - שלאורך קו זרם מתקיים:
z1 ו-z2 הם הגבהים - ביחס לגובה ייחוס מסוים - של אלמנט הזורם,
שלושת האיברים הראשונים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון הם בהתאמה הלחץ, צפיפות האנרגיה הקינטית וצפיפות האנרגיה הפוטנציאלית אודות לכבידה.
כפי שניתן לראות, הלחץ פועל כצורה של אנרגיה פוטנציאלית.
במקרים של זרימה בלחץ גבוה בצנרת, כאשר אפקטים כבידתיים (שינוי גובה) ניתנים להזנחה, ΔE שווה לאובדן (Δ(p+½ρv2:
בעבור זרימה בתעלה, ΔE קשור באובדן העומד הכולל ΔH באופן הבא:
כאשר H הוא העומד הכולל :
כאשר h הוא העומד ההידראולי.
ניישם את משוואת בורדה-קרנו לזרימה דרך צינור אופקי שמתרחב באופן פתאומי.
בחתך 1, מהירות הזרימה הממוצעת שווה ל-v1, הלחץ הוא p1 ושטח החתך הוא A1. גודלי הזרימה המתאימים בחתך 2 - הרבה מאחורי אזור ההתרחבות - הם v2, p2 ו-A2, בהתאמה.
באזור ההתרחבות, הזורם לא מצליח לעקוב אחרי הדופן ונוצרים אזורי סירקולציה טורבולנטיים בסמוך לפינות - מערבולות קטנות שמכלות חלק מהאנרגיה של הזרימה וגורמות לאובדן לחץ.
מקדם האובדן ξ בעבור ההתרחבות הפתאומית הזאת שווה בקירוב לאחד: ξ ≈ 1.0. אודות לשימור המסה, תחת ההנחה של צפיפות זורם קבועה ρ, הספיקה הנפחית דרך חתכים 1 ו-2 חייבת להיות שווה:
כתוצאה מכך - לפי משוואת בורדה-קרנו - אובדן האנרגיה המכנית בהתרחבות הפתאומית הזאת הוא:
אובדן העומד הכולל המתאים הוא:
במקרה זה ξ = 1, והשינוי הכולל באנרגיה הקינטית בין שני חתכים נשחק.
כתוצאה, שינוי הלחץ בין שני החתכים הוא (בעבור צינור אופקי):
והשינוי בעומד ההידראולי (h = z + p/(ρg:
סימן המינוס הזה באגף ימין פירושו שהלחץ (והעומד ההידראולי) גדולים יותר אחרי התרחבות הצינור.
העובדה שהשינוי הזה בלחצים (מיד לפני ואחרי התרחבות הצינור) משקף אובדן אנרגיה נעשית ברורה כאשר משווים את השינוי עם זה שמנבאת משוואת ברנולי - לפי עיקרון זה, הירידה במהירות הזורם מקושרת לעלייה גבוהה בהרבה בלחץ מאשר זה שבמקרה הזה (שבו יש אובדן מכנית).
במקרה של היצרות פתאומית בקוטר הצינור, הזורם אינו מסוגל לעקוב אחרי הדופן, ולכן מגיע לחלק הצר יותר של הצינור כשמהירותו לא לגמרי אופקית.
כתוצאה, שכבת הזורם שצמודה לדופן מתנתקת ממנה, מה שיוצר אזורי סירקולציה בכניסה לחלק הצינור הצר יותר.
שפופרת הזרימה עוברת היצרות באזור הכניסה לחלק הצינור הצר, ולאחר מכן מתרחבת שוב ומכסה את מלוא שטח הצינור .
אין הרבה אובדן עומד בין חתך 1, לפני ההיצרות, לחתך 3, הונה קונטרקטה שבה הזרימה הראשית מוצרת במידה מרבית.
אבל יש הפסדים משמעותיים בהתרחבות הזרימה מחתך 3 לחתך 2. הפסדי העומד הללו ניתנים לחישוב דרך משוואת בורדה-קרנו, זאת באמצעות שימוש במקדם ההיצרות μ:
כאשר A3 שטח החתך באזור ההיצרות המרבית של הזרימה הראשית (חתך 3), ו-A2 שטח החתך של חלקו הצר של הצינור.
מכיוון ש-A3 ≤ A2, מקדם ההיצרות קטן מאחד: μ ≤ 1. כמו במקרה הקודם שטופל ישנו שימור מסה, כך שהספיקה הנפחית בשלושת החתכים קבועה (בעבור צפיפות זורם קבועה ρ):
כאשר v1, v2 ו-v3 הן מהירויות הזרימה הממוצעות בחתכים המתאימים.
לפיכך, בהתאם למשוואת בורדה-קרנו (עם מקדם אובדן ξ=1), אובדן האנרגיה ליחידת נפח זורם ΔE הוא:
אובדן העומד הכולל המתאים ΔH ניתן לחישוב באמצעות הקשר (ΔH = ΔE/(ρg.
לפי מדידות של יוליוס וייסבאך (Julius Weisbach), מקדם ההיצרות בעבור היצרות בסמוך לפינה חדה הוא בקירוב :
גזירת המשוואה ממשוואת שימור התנע בעבור התרחבות פתאומית
בעבור התרחבות פתאומית בצינור, משוואת בורדה-קרנו ניתנת לגזירה משימור המסה והתנע של הזרימה.
שטף התנע S (של רכיב התנע של הזורם המקביל לציר הצינור) דרך חתך בשטח A הוא - לפי משוואות אוילר:
נתייחס לשימור המסה והתנע עבור נפח בקרה התחום על ידי חתך 1 ממש לפני ההתרחבות, חתך 2 במורד הזרם שבו הזורם נצמד מחדש לדופן הצינור (אחרי ההפרדה שלו באזור ההתרחבות), ודופן הצינור.
נפח הבקרה קולט תנע בסך S1 עקב הזרם הנכנס אליו ומאבד תנע בסך S2 עקב הזרם היוצא ממנו.
חוץ מכך, ישנה גם התרומה של הכוח F הנגרם מלחץ התגובה שמפעילה דופן ההתרחבות על הזורם (מדובר על חלק הצינור הניצב לצירו):
כשמסכמים את התרומות, משוואת מאזן התנע בעבור נפח הבקרה בין החתכים 1 ו-2 נותנת:
מכיוון שעקב שימור המסה מתקיים ρ A1 v1 = ρ A2 v2, נקבל:
בהתאמה עם נפילת הלחץ Δp בדוגמה לעיל.
אובדן האנרגיה המכנית ΔE הוא:
תוצאה זאת היא משוואת בורדה-קרנו (עם ξ = 1).
באסטרונומיה, משוואת זריחת השמש מאפשרת לחשב את שעות הזריחה והשקיעה בעבור כל נטייה שמשית וקו רוחב:
היא זווית השעה בזריחה (כאשר נלקח הערך השלילי) או בשקיעה (כאשר נלקח הערך החיובי);
היא קו הרוחב של הצופה על כדור הארץ;
אפקט זה של שינוי הנטייה השמשית הוא שגורם לשינויים בהספק שבו מחממת השמש את הקרקע, מה שמחולל את עונות השנה.
ביממה נתונה, הזווית המרבית של השמש ביחס לאופק מתקבלת כאשר הרדיוס וקטור (המחבר בין השמש לארץ), כיוון ציר הסיבוב וכיוון ישר הזנית נחים כולם על מישור אחד.
לכן, כדי לקבל את הביטוי לזווית הנטייה השמשית כפונקציה של הזווית של הרדיוס וקטור במישור המילקה וזווית נטיית כדור הארץ (ממנו ניתן גם לחשב את הנטייה השמשית כתלות בתאריך) יש להיעזר במכפלה סקלרית של וקטור הכיוון של ציר כדור הארץ והרדיוס וקטור שבמישור המילקה, מה שנותן:
כאשר מכוילת כך שתהיה שווה לאפס ביום השוויון.
זווית הנטייה השמשית הרגעית מאפשרת לחלק את כדור הארץ לשלושה אזורים: קווי הרוחב (בהמיספירה הצפונית), קווי הרוחב "האמצעיים" , וקווי הרוחב הדרומיים: .
בהתאם לעונת השנה, כל אחד מתחומי קווי הרוחב "הקיצוניים" מתאימים לאזורים על כדור הארץ בהם יש לילה לאורך כל היממה (השמש לא זורחת) או יש יום לאורך כל היממה (השמש לא שוקעת), כאשר המצב מתהפך בין שני אזורים קיצוניים אלו.
כדי לחשב את השעות המדויקת בהן מתרחשת השקיעה או הזריחה בקו רוחב , יש להסתייע בדמיון מרחבי כדי להבין איך נראה המצב ההדדי של המעגל הגדול שמפריד בין חצי הכדור המואר לחצי הכדור החשוך והמעגל הקטן המתאים לקו הרוחב .
שני המעגלים הללו נחתכים בשתי נקודות, אשר מחלקות את המעגל הקטן לשתי קשתות: האחת מתאימה ליום והשנייה ללילה - כלומר המיקום הזוויתי של שתי הנקודות הללו הוא בדיוק זווית השעה המתאימה לזריחה ולשקיעה, בהתאמה.
הזווית המרכזית של הקשת המתאימה ליום תהיה שווה ל-, ולפיכך כדי למצאה יש להסתייע בטריגונומטריה כדי לחשב את אורך הקטע CP שבאיור.
ברור שרדיוס המעגל הגדול שבאיור, המתאים לקו הרוחב , הוא , כאשר R הוא רדיוס כדור הארץ.
לעומת זאת, מן הגאומטריה של הטלות גרפיות מקבלים, שרדיוס המעגל הקטן שבאיור שווה לרדיוס החיתוך של החרוט המתאים לקו הרוחב עם המישור היוצר את חתך קו הרוחב .
הרדיוס של קו הרוחב הוא: , ולכן, מדמיון משולשים מקבלים, שרדיוס המעגל הפנימי הוא: .
מכאן נקבל, שקוסינוס זווית השעה המתאימה לשקיעה או לזריחה (כלומר ) הוא:
כאשר סימן המינוס במשוואה שבתחילת הערך הוא עניין של קונבנציה בלבד.
נוסחה זאת ישימה רק לקווי הרוחב שבין החוג הארקטי והחוג האנטארקטי, שכן מצפון לראשון ומדרום לשני יש תמיד לפחות יום אחד בשנה ללא שקיעה או ללא זריחה.
באופן כללי ניתן להראות שהגובה הזוויתי של השמש מעל לאופק כפונקציה של זווית השעה ביממה מקיים:
להסבר מורחב על יישומי נוסחה כללית יותר זו ראו גם זווית הזניט השמשית .
נוסחה זאת משמשת בין היתר כדי לקבל את שעות הזריחה והשקיעה המתוקנות .
מן הנוסחה עולה, למשל, שבקו המשווה השקיעה והזריחה חלות כל השנה באותה שעה.
משוואת זריחת השמש הסטנדרטית מזניחה את ההשפעה של שבירה אטמוספירית (אשר מרימה את הדיסקה השמשית בערך ב-0.6° כאשר היא על האופק) ואת קיומו של גודל זוויתי לדיסקה הזו (קוטר זוויתי של בערך 0.5°).
זמני הזריחה והשקיעה המתוקנים באלמנכים אסטרונומיים ניתנים לחישוב מהמשוואה הכללית יותר:
כאשר (a) מייצג את הגובה הזוויתי של מרכז הדיסקה השמשית מתחת לאופק ברגע האחרון של השקיעה, ויש להציב בו את הערך 0.83°- (או 50- דקות קשת).
כמו נוסחאות שימושיות רבות אחרות באסטרונומיה, המשוואה יכולה לשמש למשל, לצורכי ניווט ימי.
עקרונית ניתן להיעזר בנתוני מיקום ונסיקה כלליים של השמש ולאו דווקא בערכים שלהם כאשר השמש נמצאת על האופק (זאת בעזרת שימוש בנוסחה הכללית יותר למיקום השמש לפי הזמן) אולם כאן ניצמד לתהליך המתמטי שעושה שימוש ב"משוואת זריחת השמש".
בעבר הלא רחוק, כאשר מלחים נזדקקו לקבוע את מיקומם הגאוגרפי בים, הם יכלו להשתמש בקריאתו של שעון מדויק (כרונומטר) כדי למדוד מדדים זמניים שונים הקשורים בשקיעה ובזריחת השמש, וכך לדעת, בעזרתן של טבלאות נתונים מדויקים שחושבו ישירות מנוסחאות אסטרונומיות, את קו הרוחב בו הם נמצאים.
עם זאת, משוואת זריחת השמש בצורתה הישירה אינה יכולה לשמש כדי לקבוע את קו הרוחב הגאוגרפי, שכן השעון שעל הספינה מראה את השעה בקו האורך המקורי אליו כוון, וכיוון שקו האורך הנוכחי גם הוא אינו ידוע, לא ניתן לדעת את השעה המקומית.
בפועל, כדי למצוא את קו הרוחב יש להשתמש בשעון כדי למדוד את קצב שינוי הגובה הזוויתי של השמש מעל לאופק, ולא כדי למדוד את השעה.
מתמטית, צריך להשתמש במשוואה הכללית יותר לגובה הזוויתי של השמש מעל לאופק כפונקציה של השעה, ולגזור אותה לפי הזמן.
כך מקבלים משוואה של קצב הנסיקה הזוויתי של השמש בזריחה, אשר שילובה עם משוואת זריחת השמש מאפשר להרכיב שלוש משוואות עם נעלמים שהם קו הרוחב , הנטייה השמשית ושעת הזריחה בשעון המקומי.
כאשר השמש על האופק הזווית קטנה ולכן , ומכאן מקבלים שקצב הנסיקה הזוויתי בזריחה הוא:
כאן הוא קצב הסיבוב הזוויתי של כדור הארץ סביב צירו, ו- הוא הגובה הזוויתי המרבי של השמש בשמיים (שנמדד בעזרת סקסטנט).
לסיכום, מדידת קצב הנסיקה הזוויתי של השמש בזריחה מאפשרת להסיק את שלושת הפרמטרים הנעלמים, בעוד השוואת שעת הזריחה בשעון המקומי עם קריאת הכרונומטר מאפשרת לקבוע גם את קו האורך המקומי , בהתאם לקשר: .
בתורת הסינון, משוואת זכאי היא משוואה דיפרנציאלית חלקית סטוכסטית ליניארית עבור המסנן האופטימלי למערכות לא־ליניאריות.
המשוואה נקראת על שם המפתח שלה, פרופ' משה זכאי מהפקולטה להנדסת חשמל בטכניון, שהגה אותה בסביבות שנת 1967.
בתאוריית הסינון משוואת זכאי היא משוואה ליניארית דיפרנציאלית חלקית לצפיפות בלתי מנוצלת של המצב הסמוי.
לעומתה, משוואת קושנר נותנת משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא ליניאריות לצפיפות המנורמלת של המצב.
באופן עקרוני, גישה זו מאפשרת לאמוד פונקציית כמות (מצב של מערכת דינמית) ממדידות רועשות, גם כאשר המערכת אינה ליניארית, ובכך להכליל את התוצאות הקודמות של וינר וקלמן עבור מערכות ליניאריות ופתרון בעיה מרכזית בתורת האמידה.
בסביבות שנת 1967 פיתח הפרופ' משה זכאי משוואה הרבה יותר פשוטה עבור המסנן האופטימלי הידועה כ"משוואת זכאי".
נניח שמצב המערכת מתפתח בהתאם לפי המשוואה:
מדידת הרעש הנובעת ממצב המערכת זמינה לפי המשוואה:
כאשר הם שני תהליכי Weiner בלתי תלויים, ולכן הגרסה הלא מנורמלת של הפילוג של צפיפות ההסתברות המותנית בזמן נתונה על ידי:
כאשר הוא אופרטור קולמוגורוב הקדמי.
משוואת הכוח של אמפר היא נוסחה במגנטוסטטיקה המתארת את כוח המשיכה או הדחייה בין שני תילים נושאי זרם וקרויה על שם אנדרה מרי אמפר (1775-1836), פיזיקאי צרפתי וחלוץ מוקדם בחקר האלקטרודינמיקה.
המקור הפיזיקלי של הכוח הזה הוא שהזרם בכל תיל יוצר שדה מגנטי, בעקבות חוק ביו-סבר, והמטענים הנעים המרכיבים את הזרם בתיל השני חווים כוח מגנטי כתוצאה מכך, בהתאם לנוסחה של כוח לורנץ.
המשוואה מתארת את הכוח כאינטגרל קווי כפול על שתי לולאות הזרם, כאשר דיפרנציאל הכוח מתקבל ממכפלה וקטורית משולשת של שני אלמנטי האורך של התילים ווקטור המרחק היחסי ביניהם.
אמפר לא ניסח את משוואת הכוח שלו במונחים אלו, הלקוחים משפת האנליזה הווקטורית המודרנית יותר, אלא באמצעות ביטוי המערב קוסינוסים של הזוויות המגדירות את הגאומטריה הספציפית של המערך.
מקרה פרטי: שני תילים מקבילים אינסופיים נושאי זרם
המקרה הידוע והפשוט ביותר של משוואת הכוח של אמפר, אשר ממנו נגזרת גם ההגדרה של אמפר, יחידת המידה לזרם במערכת היחידות הבין-לאומית, קובע שהכוח ליחידת אורך בין שני תילים מקבילים אינסופיים נושאי זרם הוא:
כאשר kA הוא קבוע הכוח המגנטי מחוק ביו-סבר, Fm/L הוא הכוח שפועל על כל אחד מהתילים ליחידת אורך, r הוא המרחק בין התילים, ו-I1, I2 הם הזרמים הישרים שנושאים התילים.
זהו קירוב טוב אם תיל אחד ארוך משמעותית מהתיל השני, כך שניתן להתייחס אליו כבעל אורך אינסופי, ואם המרחק בין התילים קטן בהשוואה לאורכם (כך שקירוב התיל האינסופי תקף), אך גדול בהשוואה לקטרים של התילים (כך שניתן להתייחס אליהם כדקים במידה אינסופית).
הערך של kA תלוי במערכת היחידות שנבחרה, והוא קובע למעשה כמה גדולה יחידת הזרם תהיה.
כאשר μ0 הוא פרמביליות הריק, המוגדרת ב-SI כ-
הכוח למטר אורך של שני תילים מקבילים - המופרדים במרחק 1 מטר והנושאים זרם של 1 אמפר כל אחד - הוא בדיוק
הניסוח הכללי של הכוח המגנטי בעבור גאומטריות שרירותיות מבוסס על אינטגרלים קוויים באופן שמשלב את חוק ביו-סבר וכוח לורנץ בנוסחה כמתואר להלן.
הוא הכוח המגנטי הכולל המורגש על ידי תיל 1 אודות לתיל 2 (בדרך כלל נמדד ביחידות ניוטון),
I1 ו-I2 הם הזרמים שעוברים דרך תיל 1 ו-2, בהתאמה (בדרך כלל נמדדים באמפר),
האינטגרל הקווי הכפול סוכם את כל הכוחות שאלמנטי הזרם של 1 חווים עקב נוכחות תיל 2,