tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
אם למערכת היה מתווסף שדה כבידה, משינויים קלים בפיתוח היינו מסיקים את משוואת ברנולי בצורתה המוכרת:
משוואות אוילר משמשות גם כדי להבין התפשטות של גלים בנוזל.
על מנת לפתח את משוואת הגלים, מניחים שקיימת הפרעה קטנה בנוזל וחוקרים את האופן שבו היא מתקדמת בו.
מכיוון שההפרעה קטנה, משתמשים במושג הליניאריזציה על מנת לפשט את משוואות אוילר.
כחלק מהפיתוח, נניח גם לשם הפשטות שהנוזל הלא-מופרע נמצא במנוחה.
כתוצאה מההפרעה בנוזל, כל נקודה בנוזל מאופיינת על ידי הפרמטרים הבאים:
כאשר הם קבועים, והביטויים מייצגים את ההפרעה.
נחקור את התקדמות ההפרעה עד לסדר ראשון בה, שכן לפי ההנחה מדובר בהפרעה קטנה, ולכן נזניח איברים מהצורה ואיברים מהצורה (וכאן הנחנו שגם הנגזרת של ההפרעה היא קטנה).
תהליך הליניאריזציה הוא הצבת הביטויים ל־ שמופיעים למעלה במשוואות אוילר, ואז הזנחת איברים מסדר שני ב־.
כתוצאה מהלינאריזציה, משוואת הרצף ומשוואת שימור התנע מקבלות את הצורה הבאה:
כעת, נניח שהתהליך הוא אדיאבטי.
הנחה זו מקובלת בפיזיקה כאשר מתכוונים לומר שהתהליך הוא "איטי".
לכן ניתן לכתוב , כאשר היא האנטרופיה.
נסמן , ונראה שזוהי מהירות הקול בנוזל.
נגזור את משוואת הרצף בזמן: .
כעת נגזור את משוואת התנועה במיקום: .
נציב את הקשר , והמשוואה מקבלת את הצורה: .
על ידי חיסור שתי המשוואות מתקבלת המשוואה:
זוהי משוואת גלים עבור ההפרעה .
בפרט, מסיקים כי מהירות ההפרעה היא , ולכן זוהי מהירות הקול בנוזל.
חישוב דומה מראה שגם כאשר הנוזל אינו במנוחה אלא נע, מהירות הקול בו אינה משתנה.
מקרה חשוב של מעבר גלים בחומר הוא גל הלם.
גל הלם נוצר כאשר ההפרעה בחומר מתקדמת מהר יותר מאשר מהירות הקול בחומר.
התוצאה היא שההפרעה מגיעה לחומר לפני שהמידע על קיום ההפרעה מגיע אליו, ולכן חזית הגל יוצרת אי־רציפות בחומר.
למשל, ייתכן שלחומר מיד לפני חזית הגל יש צפיפות שונה מאשר לחומר מיד אחרי חזית הגל.
המשוואות המתארות גלי הלם הן משוואות רנקין-הוגוניו.
את המשוואת ניתן לפתח בכך שמתחילים ממשוואות אוילר ומסיקים מהן תנאי על הקפיצה בחזית הגל .
למשל, ניתן להתחיל ממשוואת הרצף ולהסיק תנאי על הקפיצה בצפיפות המסה בחזית הגל.
בהתאם לכך, משוואות רנקין-הוגוניו הן שלוש משוואות הקובעות שימור מסה, שימור תנעה ושימור אנרגיה בחזית הגל.
אחד השימושים של משוואות אוילר הוא בהכנת דגמים של כלי תחבורה באווירודינמיקה עבור מנהרות רוח.
משוואות אוילר משמשות לקביעת הגדלים הפיזיים של המודלים שבעזרתם ניתן להבין את התנהגות הכלי בגודלו האמיתי.
נניח שברצוננו לבנות מודל של כנף של מטוס עבור מנהרת רוח, כך שכל חלק באורך בכנף מתורגם לחלק בגודל במודל.
כך למשל אם , המודל יהיה בדיוק באורך ובגבוה שהם מאורך וגובה הכנף, בהתאמה.
מגדיר את סקאלת האורך במערכת מנהרת הרוח.
מכאן שגם סקאלת המהירות תשתנה, ומתקיים:
על מנת שניתן יהיה לבחון את התנהגות המודל ולהסיק ממנה מסקנות על התנהגות הכנף, יש לדרוש ששניהם יקיימו את אותה משוואת תנועה.
לשם נוחות בלבד, נניח שאנו מעוניינים בתנועה חד־ממדית של הכנף בלבד.
במקרה זה, משוואת התנועה עבור הכנף בגודל האמיתי היא
ומשוואת התנועה עבור המודל (בסקאלת האורך של המודל) היא
כאשר מציבים את מתברר שמשוואת התנועה בסקאלה של המודל היא שונה מזו של הכנף.
על מנת ששתי המשוואות יהיו זהות, יש לשנות גם את סקאלת הזמן במודל שלנו, ולהגדיר .
המשמעות של השוויון היא שאם המודל מצליח לרחף במנהרת הרוח במשך שנייה, נסיק כי הכנף תצליח לרחף במשך שניות.
כעת, משוואת התנועה בסקאלה של המודל היא:
נותר להראות שהמשוואה האחרונה זהה למשוואת התנועה עבור הכנף (כלומר, למשוואת התנועה בסקאלת ).
וכעת ניתן לראות שמשוואת התנועה בסקאלה של זהה לזו בסקאלה של , ולכן משוואות התנועה של הכנף והמודל יהיו זהות.
מכאן שעל ידי מעברי הסקאלה ניתן להשתמש במודל על מנת להבין את תנועת הכנף מבלי הצורך לבנות מנהרות רוח מספיק גדולות עבור הכנף בגודלה האמיתי.
אף על פי ששינויי הסקאלה כאן היו פשוטים, בפועל יש לבצע שינויים מורכבים יותר.
זאת מכיוון שבמשוואות אוילר אנו מזניחים את צמיגות הנוזל, בעוד שבמנהרות רוח לרוב הזנחה זו איננה מוצדקת.
לכן יש לבנות את מנהרת האוויר כך שבשינוי הסקאלה, משוואת נאוויה־סטוקס, המרחיבה את משוואת התנועה למקרה של נוזל צמיג, היא המשוואה שאיננה משתנה בעקבות שינויי הסקאלה.
בעזרת התאמות מסוימות לשפה של תורת הקוונטים, ניתן לפתח סט של משוואות אוילר עבור על נוזלים.
על־נוזל הוא פאזה של חומרים מסוימים הבאה לידי ביטוי לרוב בטמפרטורות נמוכות, ומאופיינת בתכונות יוצאות דופן, כגון חוסר בצמיגות.
על-נוזל מאופיין בכך שכמות מקרוסקופית של חלקיקים מאכלסים את רמת היסוד.
כתוצאה מכך, ניתן להגדיר פונקציית גל המתארת את כל הנוזל, ולא רק חלקיק בודד (כפי שנהוג לרוב בבעיות בתורת הקוונטים).
פונקציית הגל היא מהצורה הבאה: .
במקרה זה, ניתנת משמעות מעט שונה לפונקציית הגל:
הערך המוחלט יזוהה עם צפיפות החלקיקים של העל־נוזל.
זוהי אנלוגיה למקרה של חלקיק יחיד, שבו מזוהה עם צפיפות ההסתברות להימצאות החלקיק במקום מסוים.
הנגזרת של הפאזה תזוהה בתור מהירות העל־נוזל, עד כדי קבוע: .
זיהוי זה מקובל לעיתים גם במקרה של פונקציית גל של חלקיק יחיד.
מכאן, ניתן לצאת ממשוואת שרדינגר לפונקציות גל ולפתח שלוש משוואות האנלוגיות למשוואות אוילר:
משוואת הרצף: , כאשר הוא זרם ההסתברות: .
משוואה זו היא משוואה מוכרת בתורת הקוונטים, ונהוג להבינה בתור משוואה המתארת שימור הסתברות.
משוואת התנועה: , כאשר הוא מהירות העל־נוזל ו־ הוא הפוטנציאל הכימי של העל־נוזל.
משוואה זו מתקבלת תחת ההנחה שהצפיפות של העל-נוזל משתנה לאט במרחב.
בפרט, מכיוון שמשוואת התנועה המתארת את העל־נוזל היא משוואת התנועה של אוילר ולא משוואת נאווייה-סטוקס, ניתן להסיק שהעל־נוזל הוא חסר צמיגות, שכן משוואות אוילר מתארות נוזל שהוא בפרט חסר צמיגות.
זוהי תכונה חשובה של העל־נוזל.
משוואת שימור האנרגיה: , זוהי משוואה הדומה למשוואת ברנולי, כאשר היא מהירות העל־נוזל, הוא הלחץ, הוא הטמפרטורה ו־ היא האנטרופיה ליחידת מסה של העל־נוזל.
את המשוואות המתארות את העל־נוזל ניתן להרחיב כך שיכלילו גם את רכיבי הנוזל שאינם בפאזה העל־נוזלית.
במקרה זה אכן מתווסף איבר של צמיגות למשוואת התנועה, שכן הנוזל שאיננו בפאזה העל־נוזלית איננו חסר צמיגות.
השימוש במשוואות אוילר אפשרי רק תחת ההנחה שהנוזל חסר צמיגות.
הנחה זו אינה תמיד נכונה במציאות.
מכיוון שצמיגות בנוזלים אנלוגית לחיכוך במצוקים, על מנת לתאר נוזלים צמיגים יש לתקן את משוואת התנועה.
משוואת התנועה הכוללת את התיקון לנוזלים צמיגים נקראת משוואת נאוויה-סטוקס, והתיקון הוא הוספת האיבר לאגף ימין של משוואת התנועה של אוילר, כאשר הוא מקדם הצמיגות הדינמי.
הסימון הוא הפעלת אופרטור הלפלסיאן על כל איבר של הווקטור .
המשמעות של האיבר הנוסף היא מעין דיפוזיה של תנע.
משוואת הדיפוזיה היא מהצורה , ותפקיד תהליך הדיפוזיה הוא למצע את פני גרדיאנטים גדולים בצפיפות הנוזל .
באנלוגיה למקרה הצפיפות בנוזל ניתן להסיק שהאיבר החדש, , ממצע על פני גרדיאנטים גדולים במהירות בנוזל, וזהו עיקר תהליך הצמיגות.
משוואות תנועה הן תיאור מתמטי להתנהגות של מערכות פיזיקליות המציגות את התנועה כתלות בזמן.
כלומר, משוואות התנועה מתארות את אופי המערכת הפיזיקלית כאוסף של פונקציות מתמטיות של משתנים דינמיים.
משתנים אלה הם בדרך כלל קואורדינטות במרחב ובזמן, ולעיתים יכללו משתנים נוספים, כדוגמת תנע או כוח.
במקרה הכללי המשתנים עשוים להיות קואורדינטות מוכללות, המתארות את המערכת הפיזיקלית (למשל אנרגיה קינטית או תנע מוכלל).
במכניקה הקלאסית, הפונקציות מוגדרות במרחב האוקלידי, ובתורת היחסות מופיעות בתור מרחבים עקומים.
אם ידועה הדינמיקה של המערכת הפיזיקלית, המשוואות הן פתרון המשוואות דיפרנציאליות המתארות את הדינמיקה של המערכת.
ישנן שתי דרכים עיקריות לתאר תנועה: דינמיקה וקינמטיקה.
דינמיקה היא כללית, כיוון שהכוחות, התנעים והאנרגיה במערכת נלקחים בחשבון.
לעיתים המונח דינמיקה מתייחס למשוואות הדיפרנציליות שמתארות את המערכת (כמו החוק השני של ניוטון או משוואות אוילר), ולעיתים מתייחס המונח לפתרונות של המשוואות הללו.
הקינמטיקה, בהיותה פשוטה בהרבה, כוללת רק משתני מיקום וזמן.
כלומר הקינמטיקה מתארת רק את התנועה עצמה, מבלי להביא בחשבון את הכוחות שפועלים על המערכת הפיזיקלית.
למשל, במקרה של תאוצה קבועה, משוואות התנועה הללו מכונות בדרך כלל משוואות "SUVAT", שפרוש שמן הוא:
מכאן, שמשוואות התנועה הן למעשה קבוצה תחת הערך תנועה.
סוגי התנועה העיקריים הם סיבובים, פניות, תנודות, או כל שילוב של אלה.
מבחינה היסטורית, משוואות תנועה התפתחו מהמכניקה הקלאסית והורחבו למכניקה שמיימית, על מנת לתאר את התנועה של אובייקטים כבדים.
לאחר מכן, הן הופיעו באלקטרודינמיקה, לשם תיאור התנועה של גופים טעונים בשדות מגנטים וחשמליים.
עם התקדמות תורת היחסות הכללית, המשוואות הקלאסיות של התנועה השתנו.
בכל המקרים הללו המשוואות הדיפרנציאליות תוארו על ידי קואורדינטות של מקום וזמן, שהושפעו מכוחות או שינויי אנרגיה.
גם המשוואות של מכניקת הקוונטים יכולות להיחשב כ"משוואות תנועה", כיוון שהן משוואות דיפרנציאליות של פונקציית הגל, המתארות את התפתחות המצב הקוונטי כפונקציה של הזמן והמקום.
משוואות התנועה בדרך כלל כוללות:
משוואה דיפרנציאלית של תנועה, בדרך כלל באמצעות חוקים פיזיקליים ושימוש בקבועים פיזיקליים.
בחירת הצירים ובחירת נקודת האפס.
פונקציה של המיקום או התנע יחד עם הזמן, שמתארת את הדינמיקה של המערכת.
פתרון המשוואה הדיפרנציאלית תוך שימוש בתנאי התחלה (או תנאי שפה).
המשוואה הדפרנציאלית היא בדרך כלל תיאור כללי של הנחה, ולעיתים מותאמת באופן ספציפי למצב מסוים.
הפתרון, אם כן, מתאר בדיוק כיצד המערכת תתנהג בכל הפעמים שלאחר המצב ההתחלתי, בהתאם לתנאים המוגדרים.
משוואת התנועה הכללית הראשונה שפותחה היא החוק השני של ניוטון.
לפיו, קצב השינוי של התנע של גוף שווה לכוח הפועל עליו, כלומר: .
במשוואה זו p וקטור התנע של הגוף, ו-F הכוח הפועל עליו.
כאשר המסה אינה משתנה ניתן לכתוב באופן שקול: , כאשר m מייגת את מסת הגוף ו-a את וקטור התאוצה שלו.
זו כתיבה נוחה מכיוון שבבעיות קלאסיות רבות המסה היא פרמטר שאינו משתנה.
אולם, כתיבת החוק במונחים של תנע היא כללית יותר וניתן להכלילה גם למערכות פיזיקליות במסגרת תורת היחסות הפרטית והכללית.
עבור מערכות מרובות גופים, משוואת התנועה של הגוף ה-i מושפעת מאינטראקציה עם שאר הגופים.
לכן ניתן לנסח את החוק השני באופן הבא:
כאשר הוא המומנט של הגוף ה-, הוא הכוח שמפעיל הגוף ה- על הגוף ה-, ו- הוא הכוח החיצוני.
מספר דוגמאות של החוק השני של ניוטון כוללים תיאור התנועה של מטוטלת פשוטה
ותנועה של אוסצילטור הרמוני, שעליו מופעל כוח הרמוני בתדירות ואמפליטודה
כדי לתאר תנועה של מסה בהשפעת כוח כבידה, וכוח חיצוני ניתן להשתמש בחוק הכבידה העולמי בצירוף החוק השני של ניוטון.
למשל, עבור כדור שמסתו נזרק באוויר, וזרמי אוויר (למשל רוח) מפעילים עליו כוח התנגדות (וקטורי) משוואת התנועה תהייה
כאשר הוא קבוע הכבידה העולמי, היא מסת כדור הארץ ו היא תאוצת הגוף עקב התנגדות האוויר במיקום ובזמן .
בשונה ממשוואות התנועה לתיאור גופים מכניים, שהן בדרך כלל משוואות דפרנציאליות, המשוואות האנלוגיות במשוואות הגלים ובשדות הן משוואות דפרנציאליות חלקיות, כיוון שהגלים או השדות הן פונקציות של המקום והזמן.
תנאי השפה קובעים במקרה זה אם הפתרונות יהיו של גלים עומדים או גלים מתקדמים.
משוואות הגלים הכללית בשלושה ממדים היא
כאשר מייצג את מהירות התקדמות הגל ו מייצג אמפליטודה של שדה מכני או אלקטרומגנטי כלשהו.
העתקה אורכית או רוחבית של מוט מתנדנד, מיתר או ממברנה,
שינוי בלחץ של תווך כלשהו, למשל גלי קול,
המתח או הזרם החשמלי במעגל של זרם חילופין.
משוואות המתארות את התלות של המרחב והתפתחות הזמן בשדות נקראות "משוואות שדה".
אלו כוללות לדוגמה את משוואות נאוויה-סטוקס למדידת מהירות השדות, את משוואות מקסוול עבור שדות אלקטרומגנטיים ואת משוואות השדה של איינשטיין לכבידה.
במתמטיקה, משוואה פונקציונלית היא משוואה שהנעלם שלה הוא פונקציה (בדרך כלל פונקציה ממשית).
למשוואות המאפשרות הצבה של שני פרמטרים או יותר, כמו משוואת קושי , יש בדרך כלל פתרונות רציפים מעטים.
פונקציית זטא של רימן מקיימת את המשוואה הפונקציונלית , שיש לה חשיבות מהותית בהבנת הפונקציה (כאן גמא מייצג את פונקציית גמא, שבעצמה מקיימת כל אחת מן המשוואות ,
פונקציית הסינוס מקיימת את המשוואה .
פונקציית הקוסינוס מקיימת את המשוואה
את המשוואה מקיימת כל פונקציה מהצורה f(x)=x^a.
את המשוואה מקיימת כל פונקציה מהצורה f(x)=a^x.
יש שלל טכניקות לפתרון משוואה פונקציונלית (או מערכת משוואות פונקציונלית), אבל אין בתחום הזה תאוריה שלמה.
אפשר להציב ערכים שונים לפונקציה ולהפוך אותה למערכת משוואות בעלי נעלם יחיד שהוא הפונקציה.
דוגמה לכך היא פתרון המשוואה:
על ידי הצבה של ערכים שונים ל- ביחס ל-, כגון ו- , אפשר לגלות כי הפתרון היחיד של הפונקציה הוא .
משוואות רנקין-הוגוניו, שנקראות גם תנאי הקפיצה של רנקין-הוגוניו או יחסי רנקין-הוגוניו, מתארות את הקשרים המתמטיים בין המצבים הפיזיקליים משני צידיה של חזית גל הלם בזרימה חד־ממדית של זורם.
שמן ניתן להם כהוקרה לתרומות של המהנדס והפיזיקאי הסקוטי ויליאם ג'ון מקורן רנקין והמהנדס הצרפתי פייר-אנרי הוגוניו.
הן מתבססות מבחינה רעיונית על משוואות אוילר ממכניקת הזורמים.
משוואת רנקין הוגוניו הן מערכת של שלוש משוואות המייצגות שימור מסה (משוואת רצף), שימור תנע ושימור אנרגיה בהתאמה.
כאשר הן צפיפויות הזורם מאחורי החזית (האזור הדחוס) ולפניה, ו- הן האנרגיות הפנימיות הסגוליות בשני האזורים, שלוש המשוואות הן:
המשוואה האחרונה מתקבלת מכך ששטף האנרגיה העובר אל הזורם הנייח בחזית גל ההלם שווה לקצב ספיחת המסה על ידי החזית כפול שינוי האנרגיה הסגולית, ששווה
לשינוי האנרגיה הקינטית ועוד שינוי האנרגיה הפנימית.
מבט ראשון במשוואות מצביע כי לכאורה ניתן למצוא את כל מאפייני ההלם (מהירויות וצפיפויות) כבר מן השתיים הראשונות, שכן אם הגז נדחס אדיאבטית אז קיים קשר ישיר בין הלחץ וצפיפות הגז.
אולם, מבט מעמיק יותר מגלה כי ההנחה שהאוויר נדחס אדיאבטית בחזית ההלם מוטעית מיסודה, שכן כל המשוואות המקושרות לתהליכים אדיאבטיים מניחות שהדחיסה נעשית "באיטיות", כך שהטמפרטורה מספיקה להגיע לאחידות בתוך כלי הקיבול בכל פסיעת דחס.
בפועל, בחזית גל ההלם המצב הוא הפוך; הדחיסה היא מהירה ביותר ורחוקה מלהיות אדיאבטית.
על כן יש צורך בשלוש המשוואות כדי לתאר מתמטית את גל ההלם, והן משלימות זו את זו.
ההיסטוריה של התפתחות התאוריה של גלי הלם שזורה בהתפתחות היסודות המתמטיים של מדעי התרמודינמיקה ומכניקת הזורמים, והיא רוויה טעויות רבות שנבעו מהיעדר בסיס מדעי מוצק לתיאור תופעות מתחומים אלו.
שמות גדולים רבים, ובהם ניוטון, אוילר, לפלס, פואסון, סטוקס, ריילי, רימן ואחרים, תרמו ישירות או בעקיפין להתפתחות התאוריה.
התרומות שלהם היו לרוב בעלי סתירות פנימיות מסוימות, או שהניחו הנחות אד הוק מסוימות שלא כללו את הקשת המלאה של המצבים הפיזיקליים האפשריים.
המצב הזה לא נפתר עד לעבודתם של רנקין והוגוניו, שסיפקה תיאור מלא לתופעות הקשורות במעבר גל הלם במקרה החד-ממדי.
הראשון שניסה לתקוף את הבעיה של מעבר גלי קול בחומר היה ניוטון בכרך השני של ספרו המפורסם "פרינקיפיה", בו גזר את הביטוי (השגוי)
למהירות הקול בגז, כאשר הלחץ של הגז ו- צפיפות הגז.
הפיתוח של ניוטון הניח שאמפליטודת גל הקול היא אינפיניטסימלית, כך שמותר להניח שהלחץ וצפיפות הגז במעבר גל הקול קבועים בסדר ראשון.
בנוסף, הפיתוח של ניוטון הניח הנחה מוטעית שטמפרטורת הגז קבועה במהלך מעבר גל הקול, הנחה שנבעה מהיעדר הבנה נכונה של התהליך התרמודינמי שהגז עובר.
מאוחר יותר, לפלס תיקן את פיתוחו של ניוטון והצביע על שגיאה: גל דחיסה בגז חייב תמיד להתבטא תמיד בשינוי קל של הטמפרטורה של הגז, והגיע לביטוי הנכון כאשר הוא היחס בין קיבול החום בלחץ קבוע לקיבול החום בנפח קבוע.
במקביל, ענף מכניקת הזורמים התקדם בצעדים גדולים עם ההצגה של משוואות אוילר בידי המתמטיקאי והפיזיקאי השווייצרי לאונרד אוילר, שמטפלות בזורמים בהיעדר צמיגות, ועשו סינתזה בין תוצאות קודמות בתחום, כגון עקרון ברנולי.
משוואות אוילר מספקות תיאור מתמטי מלא לזרימה לא עירבולית ולא צמיגה.
ב-1788, המתמטיקאי והפיזיקאי הצרפתי ז'וזף לואי לגראנז' הציג את הרעיונות של זרימה פוטנציאלית ופוטנציאל מהירות, שיצרו מסגרת קונספטואלית מעמיקה יותר לתיאור שדות זרימה.
פוטנציאל המהירות מתאר את שדה הזרימה כנגזרת של פונקציית פוטנציאל.
הגישה הזו שוכללה מאוחר יותר על ידי פואסון, סטוקס ואחרים.
ברנהרד רימן חקר את ההתקדמות של גלי קול עם אמפליטודה סופית (לא אינפיניטסימלית) במאמר שפורסם ב-1860. מוקדם במאמר, רימן מציג את מה שכיום נקרא משתני רימן (Riemann variables) שאותם הוא מסמן r ו-s.
בעבור גז אינזטרופי הוא כותב את המשוואות השלטות כ-:
כאשר , כש-a מהירות הקול ו-k הוא יחס קיבולי החום.
רימן גזר במאמר את משוואות שימור המסה ושימור התנע בחזית גל ההלם, ולאחר מכן נתן חסמים למהירות של גל הלם.
רימן הראה במאמר שהפרעה כיוונית (שינוי במהירות הגז) בתכונות של התווך מתפצלת לשני גלים שנעים בכיוונים הפוכים, כאשר הגל העורפי (rarefaction wave) מתעבה בעוד גל הדחיסה החזיתי (condensation wave) נעשה דק יותר.
לאחר מכן, רימן מציג במאמר את הבעיה שנקראת היום בעיית רימן - תיאור מלא של תבניות הגלים שנוצרות במעבר גל הלם.
בעיית רימן נוגעת באופי האונטולוגי של גלי הלם, ובלבה עומד הניסיון לטפל גם בשינוי מהירות הקול בתווך עקב שינוי דרסטי במאפייניו (צפיפות ולחץ).
היא רלוונטית במיוחד לבעיות של זרימה על קולית.
באופן אירוני מאוד, רימן הניח שהתהליך התרמודינמי שהגז בגבול גל ההלם עובר הוא אדיאבטי ומשמר אנטרופיה, ובכך לא הבין את האופי האמיתי של המעבר בגבול גל ההלם.
זה לא היה עד לעבודתם של רנקין ומאוחר יותר הוגוניו שתאוריה עקבית פותחה.
רנקין היה ראשון להראות שבתוך הלם, חייב לקרות, תהליך לא אדיאבטי.
הוגוניו הראה שבהיעדר צמיגות והולכת חום שימור האנרגיה פירושו שימור האנטרופיה באזורים חלקים (משתני זרימה רציפים) וקפיצה באנטרופיה משני צידיה של חזית גל הלם.
רקע: משוואות אוילר במימד אחד
נניח כי נתון גז בכלי קיבול חד־ממדי (למשל צינור ארוך).
נניח שהזורם לא צמיג (אין אפקטים של חיכוך בין שכבות הגז), ובנוסף, נניח כי אין מעבר חום החוצה על ידי הסעה או קרינה, ושתאוצת הכבידה ניתנת להזנחה.
מערכת כזאת ניתנת לתיאור מתמטי באמצעות המערכת הבאה של חוקי שימור, הידועות כמשוואות אוילר החד־ממדיות:
צפיפות המסה של הזורם () = .
אנרגיה פנימית סגולית של הזורם ) = )
ו- הוא צפיפות האנרגיה הנפחית הכוללת של הזורם, בעוד e הוא האנרגיה הפנימית הסגולית שלו.
בעבור זורם המהווה גז אידיאלי, הגז נדחס ומתפשט אדיאבטית כאשר הוא עובר בין אזורים בלחץ שונה, וצפיפות הגז מקיימת את הקשר:
כאשר הוא יחס קיבולי החום.
כמו כן הלחץ והצפיפות קשורים זה לזה בקשר:
מהירות התקדמות גל הלם בגז
ניתן לגזור קשר יסודי בין צפיפות הגז לפני ההלם והלחצים מלפנים ומאחורי ההלם לצפיפות הגז אחרי ההלם .
ניתן לחלץ את מהירות התקדמות ההלם והמהירות שאלמנט גז מקבל כאשר ההלם חולף עליו משתי המשוואות הראשונות, ולקבל תוצאות שתלויות ב-.
הצבה במשוואה השלישית ופישוט אלגברי נותנת:
כאשר מייצג את האנתלפיה הסגולית של אלמנט גז.
אם מציבים במשוואה האחרונה, אז לאחר פישוט אלגברי ארוך מקבלים את הקשרים הבאים בין יחס הצפיפויות ליחס הלחצים:
בנוסף, כאשר מחלצים את ממשוואות 1 ו-2, מתקבלת התוצאה:
ובאמצעות הצבת הקשר בין יחס הצפיפויות ליחס הלחצים, התוצאה המתקבלת למהירות התקדמות גל ההלם בגז היא:
כאשר היא מהירות הקול בגז לפני מעבר גל ההלם.
שים לב שמהמשוואה ליחס הצפיפויות עולה כי קיים חסם עליון על יחס הצפיפויות כך ש-.
כשהעוצמה של ההלם עולה, יחס הצפיפויות שואף לגבול סופי.
תוצאה זו ישימה בעבור גלי הלם חזקים במיוחד, כמו אלה הנוצרים בעת פיצוץ אטומי, בהם הלחץ של הגז לפני ההלם זניח בהשוואה ללחץ הגז מאחורי ההלם, ואילו יחס הצפיפויות משתווה (כמעט) לערכו המרבי.
מכיוון שבנוגע לאוויר, שמורכב בעיקר ממולקולות דו-אטומיות, , ניתן לקבל את התוצאה הבאה למהירות הזרימה הרדיאלית של האוויר בחזית ההלם (מעטפת הפיצוץ) של פיצוץ מהסוג הזה:
הלם הוגוניו וקו ריילי במוצקים
בעבור גלי הלם במוצקים, פתרון מתמטי סגור למהירות התקדמות ההלם כמו זה שהובא קודם אינו ניתן לגזירה מעקרונות יסודיים.
אף על פי כן, תצפיות ניסוייות מצביעות על כך שניתן להיעזר בקשר ליניארי בין המהירות של אלמנט מוצק בחזית ההלם ומהירות התקדמות הגל, ויש לו הצורה:
כאשר היא מהירות הקול בחומר ו- s הוא קבוע.
בקשר הזה, כאשר הוא משולב עם משוואות הוגוניו לשימור מסה ושימור תנע, ניתן להשתמש כדי לקבוע עקום של מצבים אפשריים במישור (כאשר V הוא הנפח ליחידת מסה, או ההופכי של הצפיפות), הנקרא עקום ההלם של הוגוניו, הנתון במשוואה הבאה:
עקום הוגוניו מתאר את אוסף כל המצבים התרמודינמיים שחומר מוצק יכול להימצא בהם מאחורי החזית של גל הלם.
אף על פי כן, הנקודות על עקום הוגוניו מתארות מצבים סופיים בלבד, ואינן מעידות על המסלול המדויק במישור הפאזות אותו החומר עבר במהלך הטרנספורמציה שלו.
משוואת איינשטיין או משוואת השדה של איינשטיין היא המשוואה המרכזית של תורת היחסות הכללית, הקרויה על שם הפיזיקאי אלברט איינשטיין.
היא מקשרת בין הגאומטריה של המרחב-זמן, המגולמת בטנזור איינשטיין, לבין החומר במרחב, המבוטא באמצעות טנזור מאמץ-אנרגיה, תוך שימוש בקבוע הכבידה האוניברסלי של ניוטון ובקבוע של מהירות האור .
מציאת המשוואה הייתה אחד משיאי עבודתו של איינשטיין מפרסום תורת היחסות הפרטית ב-1905 ועד פרסום תורת היחסות הכללית בנובמבר 1915. משוואה זו מתארת קשר בין שדות טנזוריים והיא דיפרנציאלית ולא-ליניארית.
איינשטיין רצה לתאר את הכבידה כתורת-שדה עם משוואות שדה, בדומה לתורה שפותחה כדי לתאר את הכוח האלקטרומגנטי וההישגים שהיו לה.
הרעיון שלו היה להכליל את משוואת פואסון הקלאסית של פוטנציאל כבידה (ניוטוני)
לצורה קו-וריאנטית יחסותית, כלומר צורה שאינה תלויה במערכת ייחוס ספציפית (מסקנה של תורת היחסות הפרטית).
לאחר שנכשל מתודית בגיבוש תורה סקלרית (בה ישנו רכיב שדה יחיד) ובגיבוש תורה וקטורית (בה ישנם ארבעה רכיבי שדה, בדומה לתורה האלקטרומגנטית), פנה לחפש תורה טנזורית, בה לשדה יש 16 רכיבים (בפועל, תחת הדרישה שהטנזור יהיה סימטרי, ישנם 10 רכיבים בלתי-תלויים לכל היותר).
איינשטיין תיאר את שדה הגרביטציה כשדה מטריקה, כלומר טנזור סימטרי בארבעה ממדי מרחב-זמן, .
מטריקה זו מגדירה את העקמומיות של המרחב-זמן.
באמצעות אותה המטריקה ניתן להגדיר את טנזור ריצ'י וסקלר ריצ'י ומהם מרכיבים את טנזור איינשטיין :
החומר (כל חומר) נכנס למשוואה איינשטיין דרך טנזור המאמץ-אנרגיה, גם הוא טנזור סימטרי בארבעה ממדי מרחב-זמן, המסומן .
רכיביו מתארים את צפיפות האנרגיה (כלומר מסה), צפיפות התנע, לחץ ומאמץ בכל נקודה במרחב.
לחומרים שונים תרומות שונות לטנזור זה; המודלים הפשוטים ביותר מתארים ואקום, מסה נקודתית, גז, אבק, קרינה ועוד.
כאשר בצד השמאלי יש רק גדלים שקשורים לגאומטריה של המרחב ובצד הימני של המשוואה יש טנזור (טנזור צפיפות האנרגיה) שמכיל מידע על החומר, משוואת איינשטיין מאפיינת את הקשר ביניהם:
זו משוואה טנזורית שבה כל רכיב הוא למעשה משוואה.
לטנזורים במרחב-זמן יש 4x4=16 רכיבים, אך מאחר שהם סימטריים יש בפועל רק 10 רכיבים בלתי תלויים, וביניהם 4 הניתנים לשינוי חופשי באמצעות בחירת מערכת קואורדינטות.
זוהי משוואה דיפרנציאלית לא ליניארית אך מוצגת היטב וניתנת לפתרון.
למשוואת-שדה זו ידועים מספר פתרונות עבור טנזורי צפיפות אנרגיה מסוימים, בין המפורסמים מהם: פתרון של ואקום, פתרונות של חור שחור, ופתרונות של גלי כבידה.
מאוחר יותר גילה איינשטיין שיש משוואה כללית יותר המקיימת את הדרישות התאוריות שהעלה.
משוואה זו היא המשוואה הקודמת בתוספת תיקון שרירותי הידוע בשם "הקבוע הקוסמולוגי".
המשוואה המלאה, הכוללת את הקבוע הקוסמולוגי , היא
איינשטיין הוסיף את הקבוע הקוסמולוגי למשוואת השדה כיוון שבתקופתו הייתה נטייה להאמין שהיקום סטטי במהותו, ואינו מתפשט או מצטמצם בגודלו.
אולם, מרגע שהאסטרונום אדווין האבל גילה שהיקום מתפשט, ב-1929, הבין איינשטיין שהקבוע הקוסמולוגי היה סתם תיקון אד הוק, וכינה אותו "השטות הגדולה ביותר בחיי" ("biggest blunder of my life").
משהצטברו בסוף שנות ה-90 של המאה ה-20 עדויות לקיומה של אנרגיה אפלה ביקום, הוצע להשיב את הקבוע הקוסמולוגי למשוואות כדי לתאר את קיומה.
את משוואות השדה אפשר גם להסיק באופן ריגורוזי באמצעות עקרון הפעולה המינימלית, לשם כך צריך לחשב את הפעולה של מרחב שיכול להתעקם ולעשות וריאציה על
כאשר היא הפעולה של החומר (מווריאציה מקבלים את טנזור צפיפות האנרגיה), הוא פעולת האנרגיה האפלה (מווריאציה עליה מקבלים את הקבוע הקוסמולוגי) ואילו היא הפעולה של מרחב עקום.
המתמטיקאי דויד הילברט חישב את הפעולה של מרחב עקום ומצא שהיא שווה ל
כאשר R הוא סקלר ריצ'י המבטא את עקמומיות המרחב.
מווריאציה על פעולה זו (שנקראת "פעולת הילברט") מקבלים את אגף שמאל של משוואת השדה של איינשטיין.
ישנו פיתוח אחר של משוואת איינשטיין
יחסות כללית עולה בקנה מידה אחד עם שימור מקומי של האנרגיה והתנע, הביטוי המתמטי לכך הוא:
לכן נחפש טנזור איינשטיין אשר מקיים את התנאי:
נכפיל את שני צידי המשוואה ב:
טנזור איינשטיין מקיים את התנאי (לפי משוואה 5):
לכן טנזור איינשטיין הוא הטנזור שנמצא בצד השמאלי של משוואת איינשטיין.
שלב שני: קבוע הכבידה של איינשטיין
כעת נחפש את הערך הקבוע , קבוע הכבידה של איינשטיין.
משוואת השדה צריכה לשמר את צורת תאוריית הכבידה הניוטונית בקירובים של כבידה חלשה, למעשה כדי לפתוח של משוואת השדה נעשה שימוש בתאוריית הכבידה הניוטונית תחת הנחת כבידה חלשה.
תאוריית הכבידה של ניוטון מנוסחת בצורתה הכללית ביותר על ידי חוק גאוס הכבידתי, חוק מקשר בין פוטנציאל הכבידה לבין צפיפות המסה .
מסלול של גוף הנופל נפילה חופשית הוא:
משוואת התנועה ביחסות כללית היא משוואת הגאודזיה שנכתבת כך:
עובר קירוב של מהירויות נמוכות אנו מניחים ש 4-וקטור המהירות הוא:
חישוב של סמלי כריסופל על ידי שימוש במשוואת התנועה (8) עבור מהירויות נמוכות נותן:
עבור מהירויות נמוכות טנזור האנרגיה תנע שווה ל:
אנו מניחים שהכבידה חלשה לכן עקמומיות המרחב זמן גם כן קטן ולכן המטריקה היא:
כאשר הוא ערך קטן מאוד.
נניח גם כן שהמטריקה אינה תלויה בזמן (כי המהירויות הם מאוד נמוכות) לכן:
כעת נחשב את טנזור ריצ'י על ידי שימוש במשוואת איינשטיין עבור שלושת ממדי המרחב
לפי משוואה 12 ביטוי זה שווה בקירוב ל:
כעת נחשב את לפי נוסחת טנזור ריצ'י
מתוך ההנחה שהכבידה חלשה מאוד (משוואה 12) סמלי כריסטופל קטנים לכן ניתן לבצע קירוב לביטוי זה
מתוך ההנחה שהמטריקה אינה תלויה בזמן (משוואה 13) ניתן לכתוב ביטוי זה כך:
נציב את משוואה 6 ונקבל:
לפי הנחת הכבידה החלשה (משוואה 12), והצבה של משוואה 15, ניתן לכתוב את משוואת איינשטיין כך:
לכן משוואת איינשטיין עבור היא:
נציב את משוואה 14 ונקבל:
נציב את משוואה 16 ונקבל:
לכן קבוע הכבידה של איינשטיין הוא:
לכן משוואת השדה של איינשטיין היא:
במכניקה קלאסית משוואות אוילר הן משוואות דיפרנציאליות ווקטוריות מסדר ראשון המתארות את הסיבוב של גוף קשיח.
המשוואות קושרות את מומנט הכח לטנזור ההתמד, למהירות הזוויתית של הגוף ולנגזרתה.
תוך שימוש במערכת הצירים הראשית של הגוף שהיא מערכת ייחוס מסתובבת הצמודה לגוף המסתובב ומסתובבת איתו, בה מכפלות ההתמדה של טנזור האינרציה מתאפסים ומפשטים את החישובים במידה ניכרת.
כאשר M הוא סכום המומנטים הפועל על הגוף, I הוא טנזור ההתמד וω היא המהירות הזוויתית של הגוף הנמצא במערכת הצירים הראשית של הגוף.
ובה כאשר פורטים את וקטורי הסיבוב וטנזור ההתמד למרכיבי הכיוון תתקבלנה המשוואות:
כאשר המספר התחתי מייצג את הציר לגביו נפרט הווקטור.
תנע זוויתי של גוף מוגדר כמכפלה וקטורית בין המרחק מהציר לתנע הקווי.
בדומה לכח מומנט הכח מוגדר כשינוי התנע הזוויתי ביחס לזמן.
בגלל שאנחנו נמצאים במערכת ייחוס שהצירים בה אינם קבועים הגזירה בזמן צריכה לערב לא רק את גזירת הווקטור עצמו אלא להוסיף לו גם איבר הנובע משינוי הצירים, שכן הווקטור לא רק משתנה בעצמו אלא גם שינוי המערכת משנה אותו.
הצירים במקרה של מערכת מסתובבת מסתובבים ביחס לזמן במהירות זוויתית של .
ולכן וקטור במערכת ישתנה בנוסף לשינוי העצמי שלו גם ב מכאן ש-
על מנת לתאר סיבוב של גוף קשיח במרחב יש צורך לתארו תוך שימוש בשלושה צירי סיבוב.
הסביבון בתרשים מסתובב סביב ציר במהירות זוויתית סביב ציר הסימטריה שלו במהירות זוויתית וסביב ציר במהירות זוויתית .
מכאן שווקטור המהירות הזוויתית של הסביבון היא: קל לראות באמצעות טריגונומטריה פשוטה כי .
מכאן שהמהירות הזוויתית תהיה שווה ל:
והתנע הזוויתי של הסביבון יהיה שווה ל:
לשם פתירת מערכת משוואות של מקרה כללי יש צורך לדעת את התנגדות האוויר שלשם כך יש צורך לנתח את המבנה האווירודינמי של הסביבון ויש צורך לנתח את החיכוך עם הקרקע.
תנועת סביבון נפוצה היא כאשר .
וכאשר אין שינוי בזווית ביחס לקרקע כלומר .
במקרה כזה מכיוון מתקבל וקטור תנע התלוי בציר Z בלבד שגודלו: מכיוון שהמהירות הזוויתית קבועה הנגזרת של וקטור המהירות הזוויתית שווה ל-0 הביטוי השני מתאפס והביטוי השלישי הוא זניח ביחס לגורם הראשון וכיוון שהפעולה היא פעולת חיבור ניתן להתעלם ממנו.
מגזירת הווקטור מתקבל המומנט שלפי משוואות אוילר הוא שווה ל:
אך המומנט היחידי הפועל במערכת בהזנחת החיכוך עם הרצפה ועם האוויר הוא המומנט הנוצר מכוח המשיכה מכאן ש:
ומפתירת המשוואה נמצא כי אומדן טוב לפרסציה של הסביבון שווה ל:
משוואר הוא סוג של כיכר עירונית או "רחבה ציבורית" הנמצא בדרך כלל נמצא בכניסה אל קסבה או בתוך ארמון מלכותי, או בתור כיכר ציבורית בפתח של ארמון מלכותי שהוקם בתקופת הח'ליפות, במגרב (צפון-מערב אפריקה) או באזור אנדלוסיה (דרום חצי האי האיברי, כיום ספרד ופורטוגל).
מונח זה יכול לשרת פונקציות שונות הקשורות אליו כגון: "מקום כינוס" או "אזור התייעצות" אשר בו מנוהלים ענייני הממשלה, או המקום בו השליט הסולטאן אירח את הקהל וערך בו קבלות פנים וטקסים או רחבה בה נערכו המסדרים הצבאיים או המלכותיים.
לפעמים השם ניתן גם לאזור גדול יותר המקיף את הארמון, כמו המצודה או מחוז המלוכה של העיר.
בדרך כלל רחבות אלו היו "מוקפות חומה" בחלקם הרחב.
משוואות הטלגרף הן צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות ליניאריות ומצומדות שמתארות את המתח והזרם החשמלי על קו תמסורת חשמלי כפונקציה של המרחק והזמן.
המשוואות תוארו על ידי אוליבר הביסייד שפיתח את מודל קו התמסורת במאמר מ-1876. המודל מדגים כיצד גלים אלקטרומגנטיים עשויים להיות מוחזרים על הקו, ושתבניות דמויות גלים נוסעים יכולות להיווצר לאורך הקו.
התאוריה של משוואות הטלגרף תקפה לרוב התדירויות החל מזרם ישר (שלו תדירות אפס) ועד לגלי רדיו בתדר גבוה.
משוואות הטלגרף, כמו כל המשוואות האחרות המתארות תופעותִ חשמליות, נובעות ממשוואות מקסוול.
בגישה יותר מעשית, ניתן להניח שמערך שני המוליכים (הכבל הפנימי והכבל החיצוני; ראו גם כבל קואקסיאלי) מורכב משרשרת אינסופית של רכיבים חשמליים בעלי שתי מסופים , כשכל מקטע בשרשרת מייצג קטע אינפיניטסימלי של קו התמסורת:
ההתנגדות החשמלית המפולגת של המוליכים (התנגדות ליחידת אורך) מיוצגת כנגד.
במוליכים מעשיים, בתדרים גבוהים יותר, גדל בקירוב ביחס ישר לשורש הריבועי של התדירות אודות לאפקט הקרום.
ההשראות המפולגת (אודות לשדה המגנטי סביב התילים, השראות עצמית וכו') מיוצגת כמשרן המחובר בטור לנגד, ונמדדת ביחידות של השראות ליחידת אורך.
הקיבול החשמלי המפולג בין שני המוליכים מיוצג כקבל ה"מגשר" בין התיל המוליך הפנימי לחיצוני (מיוצג באיור כ-C ונמדד ביחידות של קיבול ליחידת אורך).
המוליכות החשמלית המפולגת של התווך הדיאלקטרי המפריד בין שני המוליכים מיוצג כנגד המאפשר "זרם זליגה" בין המוליך הפנימי לחיצוני (מיוצג באיור כ-G).
לנגד זה במודל יש התנגדות .
הגודל כולל בתוכו הן את השפעת ההתנגדות החשמלית של התווך הדיאלקטרי והן את אובדן האנרגיה עקב האפקט של חימום דיאלקטרי.
אם הדיאלקטרן הוא ואקום אידיאלי, אז .
מודל הטלגרף מורכב מסדרה אינסופית של האלמנטים האינפיניטסימליים המוראים באיור.
כל אחד מהגדלים , , , ו- מכונים "קבועי קו ראשוניים" כדי להבדיל בינם ל"קבועי הקו המשניים" הנגזרים מהם כגון העכבה האופיינית, קבוע ההתפשטות, קבוע ההנחתה וקבוע הפאזה.
כל אחד מהגדלים הללו קבוע ביחס לזמן, המתח והזרם.
עם זאת, הם אינם פונקציות קבועות של התדירות.
התפקידים של כל אחד מהרכיבים ניתנים לדימוי ויזואלי דרך האנימציה משמאל:
ההשראות L: בדומה לכל מעגל חשמלי המכיל משרנים, ההשראות גורמת לזרם להיראות כאילו יש לו אינרציה - כלומר כאשר ישנה השראות גדולה, קשה להגדיל או להפחית את הזרם החשמלי בנקודה נתונה.
השראות גדולה גורמת לגל הנוסע להתקדם לאט יותר, בדיוק כשם שגלים נעים לאט יותר על חבל כבד מאשר על מיתר קליל.
הקיבול C: הקיבול החשמלי מכתיב כמה האלקטרונים שנערמים באזור מסוים בכל מוליך דוחים או מושכים את האלקטרונים במוליך השני.
שפת המוליך הפנימי נחשבת ללוח אחד של הקבל בעוד ששפת המוליך החיצוני נחשבת ללוח השני של הקבל; טעינה של לוח אחד של הקבל חייבת להיות מלוות בטעינה במטען משטחי הפוך של לוח הקבל השני.
כאשר הקיבול גדול יותר ההשפעה של המוליך הפנימי על החיצוני קטנה יותר (המתח החשמלי הנוצר נמוך יותר).
כמו בכל מעגל חשמלי המכיל קבל, הקבל משמש כרכיב שאוגר אנרגיה חשמלית ומייצר כוח מחזיר (הקבל משול לקפיץ באנלוגיה האלקטרומכנית), כך שקיבול גבוה יותר משמעותו כוח מחזיר חלש יותר בקו הטלגרף, מה שגורם לגל בקו להתקדם לאט יותר.
ההתנגדות R: ההתנגדות שווה לסכום ההתנגדויות ליחידת אורך של המוליך הפנימי והחיצוני.
התנגדות זאת שוחקת את האנרגיה של הגל (האנרגיה שנאבדת הופכת לחום), ותפקידה במשוואות הטלגרף הוא להוריד את המתח החשמלי (היא מופיעה במשוואת הטלגרף המכתיבה את הנגזרת המרחבית של המתח).
באופן כללי, התנגדות הקו מאוד נמוכה בהשוואה להיגב ההשראותי בתדירויות רדיו, כך שלעיתים מניחים לשם פשטות שהיא שווה לאפס.
המוליכות G: המוליכות בין הקווים מייצגת את המידה בה מטען חשמלי מסוגל "לזלוג" מהמוליך הפנימי לחיצוני, כאשר מוליכות גבוהה יותר שוחקת יותר זרם לחום בתווך שמשמש כבידוד בין שני המוליכים.
לרוב, הבידוד בין התילים הוא טוב למדי, כך שהמוליכות היא זניחה בהשוואה להיגב הקיבולי , ולשם פשטות מניחים שהיא אפס.
עם זאת, מרבית החומרים שמתפקדים כמבודדים טובים בתדירויות נמוכות מאפשרים לעיתים קרובות מאוד זליגה רבה בתדירויות גבוהות.
פיתוח המשוואות עושה שימוש בחוקי קירכהוף כדי לבטא את השינוי המרחבי במתח ובזרם.
מחוק המתחים של קירכהוף ניתן להביע את הנגזרת של המתח לפי המרחק:
מחוק הזרמים של קירכהוף ניתן להביע את הנגזרת של הזרם לפי המרחק:
ניתן לשלב את שתי המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות המצומדות הללו לשתי משוואות דיפרנציאליות חלקיות במשתנה יחיד כל אחת (V או I):
כאשר ו- אז התנגדות התיל ומוליכות התווך המבודד ניתנות להזנחה, וקו התמסורת הופך למוליך גלים אידיאלי.
במקרה זה, המודל תלוי רק בקבועים C ו-L.
משוואות הטלגרף יתארו במקרה זה את הקשר בין הזרם I והפרש הפוטנציאלים V (המתח) בין שני המוליכים בכל נקודה על קו התמסורת, כשכל אחד ממשתנים אלו הוא פונקציה של המקום x והזמן t:
המשוואות בעבור קווי תמסורת חסרי הנחתה
משוואות הטלגרף הן צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות מצומדות, מסדר ראשון.
במקרה זה, המשוואה הראשונה מראה שהמתח המושרה קשור לקצב השינוי לפי הזמן של הזרם, בעוד השנייה מראה, באופן דומה, שהזרם שנושא התיל קשור לקצב השינוי הזמני של המתח:
אפשר לשלב את המשוואות הללו לשתי משוואות גלים מדויקות, אחת בעבור המתח והשנייה בעבור הזרם:
היא מהירות הגל שמתקדם דרך קו התמסורת.
אף על פי שנראה שהקבועים L ו-C תלויים בגאומטריה הספציפית של קו התמסורת, בעבור קווי תמסורת עם מוליכים מושלמים וואקום אידיאלי ביניהם, מהירות זאת תמיד שווה למהירות האור.
למשל, עבור כבל קואקסיאלי הקיבול ליחידת אורך C הוא וההשראות ליחידת אורך L היא , כאשר d ו-D הם קוטר המוליך הפנימי והחיצוני, בהתאמה.
ניתן לראות שעבור (חומר מבודד לא דיאלקטרי ולא מגנטי), מהירות התקדמות הגלים בקו התמסורת תהיה:
במקרה של מצב סינוסואידי תמידי (כאשר מופעל מתח חילופין סינוסואידי חיצוני בין המוליכים), אז המתח והזרם מקבלים צורה של גלי סינוס באורך גל יחיד:
כאשר היא התדירות הזוויתית של גל הסינוס היציב.
במקרה זה, משוואות הטלגרף הופכות ל-:
ובאופן דומה, משוואות הגלים יהפכו ל-:
כאשר k הוא מספר הגל:
כל אחת מהמשוואות הללו מקבלת את הצורה של משוואת הלמהולץ חד-ממדית.
בעבור קו תמסורת ללא הנחתה, ניתן להראות ש-:
כאשר מקבל ערך ממשי ו- היא "העכבה האופיינית" של קו התמסורת, אשר בעבור מקרה זה נתונה בביטוי:
ואילו ו- הם קבועי אינטגרציה שרירותיים, אשר נקבעים על ידי שני תנאי השפה (אחד בעבור כל קצה של קו התמסורת).
הפתרון הכללי בעבור תמסורת ללא הנחתה
במקרה זה של תמסורת ללא הנחתה (), הפתרון הכללי ביותר למשוואת הגלים למתח הוא סכום של גל הנוסע קדימה וגל הנוסע אחורה:
ו- יכולות להיות כל שתי פונקציות אנליטיות, ו-
היא מהירות המופע של התקדמות הגל.
מייצגת את פרופיל הגל הנוסע משמאל לימין בכיוון החיובי של ציר x, בעוד מייצגת את פרופיל הגל הנוסע מימין לשמאל בכיוון השלילי של ציר x.
המתח הרגעי בכל נקודה על הקו היא סכום המתחים אודות לשני הגלים.
כאשר הרכיבים המרסנים ו- משמעותיים מדי מכדי להזניחם, המשוואות הדיפרנציאליות שמתארות מקטע קו הן
באמצעות גזירה של שתי המשוואות ביחס ל-x ומעט אלגברה, מקבלים צמד משוואות דיפרנציאליות חלקיות היפרבוליות בכל אחד מהנעלמים:
אלו הן משוואות גלים מוכללות עם איברים נוספים התלויים בפונקציות הנעלמות ונגזרותיהן הראשונות.
האיברים הנוספים גורמים לאות לדעוך ולהתרחב עם הזמן והמרחק.
אם ההנחתה בקו קטנה יחסית ( ו-) אז חוזק האות ידעך לפי המרחק לפי כאשר , כש- .
חישוב קבוע ההנחתה והעכבה האופיינית של קו תמסורת
ניתן להגיע לקירובים אלו באמצעות חישוב העכבה האופיינית (המרוכבת) של מקטע בקו, ממנה ניתן להסיק את הערך המרוכב של מספר הגל k.
יהיה שווה לחלק המדומה של k.
התוצאה עבור מספר הגל היא:
בגבול שבו ו- הנוסחה לעיל לקבוע ההנחתה נובעת מתוך הצורה של k דרך הקירוב הבינומי לשורשים ריבועיים ( כאשר ), המאפשר לחשב את החלק המדומה של k.
את העכבה האופיינית לקו תמסורת ניתן לחשב בעזרת הטיעון הבא.
היות שהעכבה האופיינית מוגדרת כיחס שבין מתח הקלט המופעל לבין הזרם החשמלי בעבור קו טלגרף חצי אינסופי, אז כתוצאה מאינסופיות הקו העכבה בין שתי המסופים הימניים (מיוצגים באיור כ-"Port B") צריכה להיות שווה לעכבה בין שתי המסופים השמאליים (מיוצגים באיור כ-"Port A"), וכל אחת מהן צריכה להיות שווה ל-.
לפיכך ניתן לתאר את המעגל החשמלי כולו בדומה לאיור לעיל מן הפסקה "רכיבים מפולגים", אלא שמוסיפים רכיב שהעכבה שלו היא במקביל לשני הרכיבים ו-, כך ששלושת הרכיבים הללו מחוברים במקביל, ושלושתם ביחד מחוברים בטור לרכיבים ו-.
לפיכך העכבה השקולה של המעגל כולו היא:
האיבר השני באגף ימין הוא אינפיניטסימל מסדר שני ולפיכך הוא נופל לאחר חילוק ב-.
משוואת הגלים היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר שני שמתארת באופן כללי את התנהגותם של גלים שונים בהתאם למרחב ולזמן.
משוואת הגלים היא הדוגמה הפשוטה ביותר למשוואה דיפרנציאלית היפרבולית.
הצורה הכללית של המשוואה היא:
זוהי משוואה דיפרנציאלית, שבה הסימונים:
הפונקציה היא פונקציית הגל, המתארת מהי משרעת הגל בכל נקודה ובכל זמן.
כל פונקציה שהיא פתרון של המשוואה, מתנהגת כגל.
עם זאת, משוואה זו אינה משוואת הגלים היחידה, אלא רק הנפוצה והפשוטה ביותר.
משוואה זו מתארת גלים עם יחס נפיצה ליניארי וללא איבודי אנרגיה.
דוגמאות נפוצות לגלים כאלה הם גלים אלקטרומגנטיים בריק או תנודות של מיתר מתוח.
לגלים אחרים, כגון גלי קול, גלי מים או תנודות בסריג (כמו פונונים) ייתכנו משוואות גל שונות.
עבור גל חד־ממדי המשוואה פשוטה יותר, והיא:
כאשר הוא המיקום במרחב החד־ממדי.
אפשר לכתוב את המשוואה החד-ממדית גם בסימון מקוצר: .
הפתרון הכללי של המשוואה נתגלה על ידי ז'אן לה רון ד'אלמבר והוא:
כאשר F, E הן פונקציות כלשהן.
F מייצג גל שנע עם כיוון ציר ה-x ואילו E מייצג גל שנע בכיוון ההפוך.
על פי תורת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות, ניתן לראות שפתרון זה תקף לכל זוג פונקציות F, E (גזירות פעמיים ברציפות), וגם הכיוון ההפוך נכון: כל פתרון של משוואת הגלים ניתן להצגה בצורה זו.
פתרון שהוא גל מחזורי ניתן להצגה באמצעות הפתרונות הבסיסיים:
כאשר מוגדר להיות מספר גל (ביחידות של אחד חלקי מרחק) והתדירות הזוויתית היא .
משוואת הגלים היא משוואה ידועה שנחקרה רבות, משום שהיא מופיעה באופן טבעי בהרבה משוואות תנועה שמתארות גלים בתחומים שונים: גלים אלקטרומגנטיים בואקום, קווי תמסורת, גלי קול, ועוד.
ברוב המקרים, על מנת להגיע למשוואת הגלים הפשוטה המתוארת בערך זה יש לבצע כל מיני קירובים, ואכן במקרים אלו כאשר תנאי הקירובים לא נכונים, משוואת הגלים כבר לא מתארת נכון את הפיזיקה.
בחלק זה תודגם ההגעה למשוואה הגלים בכמה תחומים שונים.
משוואת הגלים החד־ממדית – גלים בחבל
נסתכל על צורת החבל מחוץ לשיווי משקל ונגדיר אותו להיות , לדוגמה ברגע צורת החבל יכולה להראות כמו באיור מטה.
כשנתקרב על חתיכות החבל קצת יותר מקרוב, נראה הרבה חתיכות שכל אחת נמשכת על ידי החתיכות שמשני הצדדים, כפי שניתן לראות בחלק השמאלי של האיור.
נניח שמסת כל חתיכת חבל היא , ולפי החוק השני של ניוטון הדינמיקה של חתיכת החבל הזו תהיה קשורה לכוחות שהיא מרגישה לפי .
הכוחות שהמסה מרגישה הם כוחות המתיחות מחתיכות החבל הסמוכות משני צידיה .
על מנת למצוא את שקול הכוחות, נסתכל על המתיחות שהמסה מרגישה משני צידיה:
עבור תנועה בכיוון y (הכיוון המעניין של גל בחבל) שקול הכוחות יהיה כאשר T מתיחות החבל ו־ הזוויות בין חתיכת המסה לשתי החתיכות מצידיה.
זוויות אלו תלויות בגובה החבל בחתיכות החבל השונות.
ספציפית, אם המרחק בין שתי חתיכות חבל סמוכות הוא אז
כאשר dx הוא ההפרש בין קוארדינאטת x של חתיכות חבל סמוכות.
נציב זאת במשוואת שקול הכוחות ונקבל:
הביטוי במונה באגף ימין שווה לנגזרת השנייה כפול (עבור ) ונקבל
אם נחלק ב־ ונגדיר שצפיפות מסת החבל היא נקבל
אם הגל בחבל קטן והזוויות קטנות, ניתן לומר ש־
זוהי משוואת הגלים, כשבנוסף זיהינו שמהירות הגל קשורה לפרמטרי הבעיה: מתיחות החבל וצפיפותו.
משוואת הגלים באלקטרומגנטיות נובעת ישירות מתוך משוואות מקסוול.
לצורך הפיתוח נניח שמדובר בתווך נייטרלי, כלומר חסר מטענים וחסר זרמים .
כך נקבל את משוואות מקסוול בריק בצורה הבאה:
מהפעלת רוטור על חוק פאראדיי נקבל:
נציב בסוגריים את חוק אמפר המתוקן ללא זרמים, כפי שהנחנו:
מצד שני, לפי הזהויות של אנליזה וקטורית:
כאשר הרכיב הראשון מתאפס בגלל חוק גאוס ללא מטענים.
בהשוואת שני הצדדים קיבלנו את משוואת הגלים:
כאשר עבור מהירות הגל , שהיא למעשה מהירות האור.
תהליך זהה ניתן לעשות עבור השדה המגנטי ולקבל משוואת גלים זהה:
גלים נעים כפתרון למשוואת הגלים החד־ממדית
עבור משוואת הגלים החד־ממדית, ניתן להראות שכל פתרון הוא סכום של שני גלים נעים (Traveling Waves) ששומרים על צורתם ונעים שמאלה וימינה במהירות קבועה.
חלק זה מוכיח שכל פונקציה ששומרת על צורתה ונעה במהירות קבועה אכן מקיימת את משוואת הגלים, ולבסוף גם הסכום שלהם יקיים את המשוואה:
נניח כי הפונקציה מתארת מידת ההפרעה משיווי משקל בנקודה ברגע .
אם נניח כי מהירות הגל, , קבועה בגודלה, אזי לאחר זמן , הגל מוזז ב־ יחידות מהנקודה הקודמת וערך הפונקציה המתארת את הגל הוא .
אם נניח כי הגל שומר על צורתו (כלומר, מידת הסטייה משיווי משקל נשארת קבועה) נוכל לשים לב שמתקיים הקשר .
קשר זה נובע ממשפטי הזזת הצירים.
נגזור את על פי קואורדינטת המיקום :
על ידי גזירה פעם נוספת של אותו הביטוי נקבל:
כעת נגזור את על פי הזמן:
ניתן לראות בבירור כי מתקיים .
יתר על כן, זוהי משוואה דיפרנציאלית ליניארית ולכן סכום של פתרונות למשוואה גם הוא פתרון למשוואה.
בפרט, עבור גל שנע ימינה ועבור גל שנע שמאלה גם הסכום שלהם יקיים את משוואת הגלים:
הפתרון הבסיסי של משוואת הגלים התלת־ממדית שנקרא "גל מישורי" הוא
אופן הכתיבה הזה נקרא פאזור, ויש לו שתי דרגות חופש לכל תדר בתוך המקדם A שהוא מספר מרוכב.
אפשר לפתור בצורה דומה בעזרת טורים של סינוס וקוסינוס, בהם יש לקוסינוס ולסינוס מקדם ממשי עצמאי כך שנשמרות שתי דרגות החופש, או בעזרת טורי סינוסים עם פאזות, שם המקדם מהווה דרגת חופש אחת והשנייה היא הפאזה (דוגמה של פתרון כזה ראו בערך מתנד הרמוני).
הקשר בין התדירות הזוויתית לווקטור הגל במקרה זה הוא , במקרה הכללי (כמו בתווך דיאלקטרי, בו מהירות התקדמות הגל v יכולה להיות תלויה באורך הגל) הקשר הוא לא-ליניארי והפונקציה נקראת יחס נפיצה.
הפתרון הכללי ביותר של משוואת הגלים הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים עם יחס הנפיצה , כאשר פונקציית המשרעת נקבעת על פי תנאי ההתחלה של הבעיה.
אם אין תנאי שפה שמגבילים את הערכים שווקטור הגל k יכול לקבל, אזי הפתרון הכללי נתון על ידי התמרת פורייה של פונקציית המשרעת:
עבור גלים לא אידיאליים יש להוסיף למשוואת הגלים תיקונים המייצגים חיכוך, כוחות מאלצים ועוד.
פתרון על ידי נוסחת ד'אלמבר
על ידי מעבר לצורה הקנונית של משוואת הגלים, וכאשר נתון תנאי התחלה, ניתן לקבל פתרון אנליטי עבור בעיית הגלים החד־ממדית (בקטע אינסופי) הנתונה בצורה הבאה:
נוסחה זו נקראת נוסחת ד'אלמבר והיא עובדת רק כאשר תחום הפתרון הוא אינסופי (או לפחות חצי אינסופי).
כאשר התחום סופי, הנוסחה אינה מתקיימת עבור זמנים גדולים, ולכן היא לא פתרון.
במקרים סופיים נשתמש בפתרון בעזרת הפרדת משתנים.
כאשר נתונה לנו משוואת הגלים כבעיית התחלה כמו במקרה של ד'אלמבר, אך הבעיה היא בתחום סופי נצטרך תנאי שפה נוסף על קצות הקטע, 0 ו-L.
אם נתון תנאי כזה, ניתן להשתמש בשיטת הפרדת משתנים.
הבעיה במקרה כזה נראית למשל כך:
בשיטת הפרדת משתנים מניחים שהפתרון הוא מהצורה של מכפלת פונקציות של משתנה יחיד:
ואז אפשר לפתור את המשוואה באמצעות כלים של משוואה דיפרנציאלית רגילה.
באופן כללי פתרון בצורה של הפרדת משתנים הוא פתרון פרטי, משום שאי אפשר להניח שהפתרון הכללי הוא בצורה מופרדת, אבל כאן ניתן להשתמש בתורת שטורם-ליוביל, שבעזרתה נקבל אינסוף פתרונות פרטיים, שהם למעשה הפונקציות העצמיות של המשוואה, וכך נוכל לפרוס כל פתרון כצירוף ליניארי של פונקציות אלה.
מבחינה פיזיקלית ניתן לחשוב על תנאי השפה ההומוגני כחבל שקשור לשני קירות, כאשר הפתרונות העצמיים של המשוואה יהיו אופני התנודה העצמיים של המיתר.
במקרה זה הפתרונות יהיו גלים עומדים, כאשר הם משתנים רק לפי מספר המחזורים של הגל לאורך המיתר.
תחילה נציב את הפתרון במשוואת הגלים: ונחלק במכפלת הפונקציות:
מכיוון ששני האגפים שווים וכל אחד מהם פונקציה של משתנה אחר, נובע בהכרח שהם שווים שניהם למספר קבוע, ולכן אפשר לפתור כל אגף בנפרד.
נתחיל מפתרון עבור הפונקציה של x:
זוהי משוואה דיפרנציאלית רגילה, שמפורסמת בשם מתנד הרמוני, ופתרונה הוא:
נציב את תנאי השפה: עבור התנאי ב-x=0 מתקבל: B+0=0, מה שמותיר רק את A כמשתנה חופשי.
אם A=0 נקבל שוב את הפתרון הטריוויאלי, ולכן נדרוש שדווקא הקוסינוס יתאפס, כלומר:
ואלה למעשה הערכים העצמיים של בעיית שטורם ליוביל:
נחזור לפתרון החלק הזמני, שמשועבד לערכים העצמיים שכבר מצאנו:
גם זו משוואת מתנד הרמוני שפתרונה:
כלומר הפונקציות העצמיות של הבעיה הן:
והפתרון הכללי של הבעיה הוא הטור האינסופי:
את המקדמים אפשר למצוא באמצעות ההטלה של תנאי ההתחלה על פונקציות הבסיס.
משוואת התוף היא כינוי למשוואת הגלים הדו־ממדית, כאשר תנאי השפה הומוגניים כמו בדוגמה הקודמת, רק בשני ממדים.
ניתן לחשוב על תנאי השפה מבחינת פיזיקלית כמסגרת של תוף שתפוסה, ורק היריעה הפנימית מתנודדת ועוברים בה גלים.
פתרון הבעיה הדו־ממדית דומה לפתרון הבעיה החד־ממדית שהובאה, והפתרון בהפרדת המשתנים יראה כך: .
מהצבה של ההפרדה במשוואת הגלים נקבל את השוויון הבא:
כאן החלק המרחבי נותן את משוואת הלמהולץ, שהפתרון שלה תלוי בסימטריה של הבעיה.
עבור סימטריה מלבנית, תנאי השפה יראו כך:
הפרדת המשתנים הבאה פותרת את הבעיה:
המשך הפתרון נעוץ בעובדה שגם כאן הפונקציות חייבות להיות קבועות, משום שסכום של פונקציות ממשתנים שונים הוא קבוע רק אם הפונקציות קבועות.
ההבדל הוא שכעת שתי הפונקציות לא שוות לאותו קבוע, אלא לקבועים שונים כך ש-.
פתרון המשוואה בכל ציר בנפרד יתן פתרון דומה לשני הצירים, וכמו במקרה החד-ממדי.
(רק שכאן תנאי השפה שונה, והמקדם A מתאפס)
המשוואה הזמנית משועבדת לערכים העצמיים שנמצאו בחלק המרחבי:
ולכן הפתרון של הבעיה הוא טור אינסופי על שני משתנים:
עבור תוף בעל סימטריה מעגלית, הפונקציות העצמיות והפתרונות של משוואת הלמהולץ הם פונקציית בסל.
משוואת ברנולי היא משוואה בהידרודינמיקה ובאווירודינמיקה המתארת את צורת הזרימה של נוזל או גז ניוטוני.
המשוואה פותחה על ידי המתמטיקאי השווייצרי דניאל ברנולי, שפרסם אותה בשנת 1738 בספרו הידרודינמיקה.
בפשטות, העיקרון מאחורי הנוסחה, הידוע בשם עקרון ברנולי, קובע כי ככל שמהירות זרימתו של זורם (נוזל או גז) על גבי משטח גבוהה יותר, הזורם יפעיל פחות לחץ על המשטח.
העיקרון נובע למעשה מחוק שימור האנרגיה, מאחר שסכום האנרגיה הקינטית (שהיא פונקציה של מהירות הזרימה) והאנרגיה הפוטנציאלית הוא קבוע.
– תאוצת הכובד, ערכו בכדור הארץ הוא כ-9.81 מטר לשנייה בריבוע
– גובה הזורם בנקודה (ביחס למישור ייחוס שנקבע מראש)
משמעותה של המשוואה היא כי בכל נקודה בזורם סכום ערכי הפרמטרים הוא קבוע.
לצורך העניין, לו נבצע שתי מדידות בין נקודות שהאינדקסים שלהן הם 1 ו־2, אזי יתקבל:
נוסחה זו נכונה במסגרת ההנחות הבאות:
הזורם איננו צמיג, כלומר אין חיכוך פנימי ואין איבוד אנרגיה עקב חיכוך פנימי בין שכבות הזורם.
הזרימה היא זרימה לוחית יציבה.
הנוזל הוא אי-דחיס, כלומר צפיפותו קבועה, אך לא בהכרח.
כאשר הזורם המדובר הוא כן דחיס, ניתן להכליל את משוואת ברנולי באמצעות שימוש באנתלפיה תרמודינמית.
המשוואה תקפה לגבי קו הזרימה של הנוזל.
עקרון ברנולי הוא הבסיס לתפעול המפרשים המשולשים.
על ידי יצירת זרם אוויר מהיר בין שני מפרשים משולשים, ניתן לנצל את עקרון ברנולי ולהניע ספינות מפרש בכיוונים שונים.
השימוש במפרשים משולשים שיפר בצורה משמעותית את יכולת הניווט של ספינות, ואפשר להן לשוט קרוב יותר לכיוון הרוח.
החוק התאורטי קובע גבול של עד 45 מעלות אל הרוח, אם כי בעזרת חוקים נוספים ניתן לחדד אל הרוח גם יותר מכך.
אוחז ברנולי משמש לאחיזה של אובייקטים, ונמצא בשימוש במגוון תחומים בתעשייה.
משוואת ברנולי היא ביטוי לחוק שימור האנרגיה בנוזל אי-צמיג.
ניתן להסיקה באמצעות חישוב האנרגיה והעבודה של הנוזל בכל נקודה בקו הזרימה .
כמו כן, ניתן להסיק את הנוסחה באמצעות פורמליזם של מכניקה אנליטית על משוואות אוילר של זורם.
הוכחת הנוסחה אשר תובא להלן מתבססת על חוק שימור עבודה-אנרגיה הקובע כי עבודת הכוחות הלא משמרים שווה לשינוי בסכום האנרגיה הכוללת.
במכניקה הניוטונית מוצג קשר זה בצורה הבאה:
כאשר, בהקשר של זורמים שנפחם הנעים מתנאי לחץ לתנאי לחץ , העבודה היא:
הסבר לטענה האחרונה: לפי השרטוט נתן לראות כי הכח הפועל בכל נקודה הוא כאשר הוא שטח החתך ו- הוא הלחץ באותה הנקודה.
האלמנט עובר בזמן נתון העתק של .
כמוזכר למעלה, המכפלה של הכח בהעתק נותנת לנו את העבודה.
היות שמתקיים עבור כל אלמנט והיות והעבודה נעשית במעבר מתנאי לחץ לתנאי לחץ ובניגוד לווקטור הזרימה, שווה העבודה ל־.
כאשר לצינור אין צורה המתחלקת בבירור לצורות מנסריות (או בפרט: גליל), ניתן להגיע להצגה זו על ידי מיצוי: חלוקת הצינור לחלקים אינפיניטסימליים אשר צורת כל אחד מהם, בקירוב טוב מאוד, דמוית מנסרה.
ניתן לעשות שימוש בהגדרת הצפיפות כיחס בין מסת הגוף לנפחו – – כדי להציג את השינויים האנרגטיים לפי הצורה
ניתן להציג נוסחה זו בצורה:
משוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית בלתי יציבה
קיימת וריאציה על משוואת ברנולי שמשמשת במקרים של זרימה לא תמידית; כלומר בזרימה בה וקטור המהירות בנקודה קבועה מסוימת במרחב משתנה בזמן.
גרסה זאת של המשוואה משמשת בתאוריה המתמטית של גלי ים ובאקוסטיקה (ניתן לגזור את מהירות הקול על בסיס המשוואה).
בעבור זרימה אי-רוטציונית, מהירות הזורם ניתנת לתיאור כגרדיאנט של פוטנציאל מהירות .
במקרה זה, ובעבור צפיפות קבועה , ניתן לעשות אינטגרציה על משוואות התנע והאנרגיה של משוואות אוילר במכניקת הזורמים ולקבל את המשוואה:
שתקפה גם לזרימות לא יציבות.
כאן רכיבי המשוואה מסמלים את הנגזרת החלקית של פוטנציאל המהירות לפי הזמן, את האנרגיה הקינטית הסגולית בנקודה (ליחידת מסה), ובאופן דומה שני האיברים האחרונים אנלוגיים ללחץ הזורם ולאנרגיה הפוטנציאלית שלו.
הפונקציה תלויה רק בזמן ולא במקום.
כתוצאה, משוואת ברנולי ברגע מסוים לא תקפה רק לאורך קו זרם מסוים, אלא בכל תחום הזורם.
ניתן גם להציב כביכול את הפונקציה על אפס באמצעות שילובה בפונקציית הפוטנציאל באמצעות הטרנספורמציה:
מה שמניב את הצורה הבאה של המשוואה:
צורה זאת של המשוואה, שכללית יותר מהגרסה היציבה הנפוצה יותר, שימושית מאוד בניתוח בעיות רבות (המקרה הפרטי של זרימה יציבה מתקיים כאשר פוטנציאל המהירות לא משתנה בזמן).
מבחינה היסטורית, משוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית בלתי יציבה קדמה לניסוח של משוואות אוילר הכלליות יותר, על כן לא מפתיע שמנקודת מבט מודרנית היא נובעת בנקל ממנה.
המשוואה נובעת מהמשוואה השנייה בשלוש משוואות אוילר לזורמים (שמייצגת שימור תנע).
כדי להוכיח זאת נראה את השקילות בין המשוואות במקרה של זרימה דו-ממדית במישור אנכי.
נכתוב את משוואת אוילר לשימור תנע בזורמים:
משוואה זאת חלה על זרימה חד-ממדית.
כדי שתהיה ישימה לזרימה דו-ממדית בשדה כבידתי, יש ליישם אותה לקו זרם מסוים, תוך התחשבות בעובדה שהכוחות שפועלים על אלמנט זורם אינם נובעים רק מהפרשי לחצים אלא גם מרכיב כוח הכובד המשיק לקו הזרם.
לשם כך נתייחס לקו זרם בפרמטריזציה טבעית; קואורדינטת ה־ של נקודה עליו תהיה אורך העקום מנקודת ההתייחסות עד אליה.
בנוסף, כדי לחשב את התאוצה של הזורם בנקודה מסוימת במרחב, נוסיף את האיבר לאיבר התאוצה.
כעת, נבצע אינטגרל קווי לפי על משוואת אוילר המתוקנת ונקבל את הקשר:
כאשר הוא הגובה של נקודה ביחס לגובה הייחוס, והמעבר האחרון נובע מההגדרה של פוטנציאל הזרימה:
יישום המשוואה להרחבת חוק טוריצ'לי
משוואת ברנולי לזרימה יציבה מאפשרת להסיק את חוק טוריצ'לי, הקובע שמהירות היציאה של המים שווה למהירות הנפילה של גוף הנופל נפילה חופשית מגובה ששווה לעומק הפיה של המכל יחסית למפלס המים במכל: .
אולם בפועל, לוקח לתהליך הפריצה של המים זמן סופי להתייצב על מהירות הזרימה שחוזה חוק טוריצ'לי.
בסעיף זה נבצע אנליזה כללית יותר, שמאפשרת לחשב גם את הזמן האופייני שחולף עד לקבלת זרימה יציבה.
נניח שהפיה היא בעלת אורך , עומק מתחת לפני המים, שטח חתך קטן בהרבה משטח המכל, ונניח שהיא סגורה על ידי מגופה, אשר פותחים אותה ברגע
משוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית בלתי יציבה מאפשרת לקחת בחשבון את האינרציה הסופית של הזורם בפיה.
נתייחס לפוטנציאל הזרימה בנקודה על החתך של הפיה.
הנגזרת הזמנית שלו שווה לתאוצת המים בפיה כפול אורך הפיה , שכן הזרימה בתוך המכל עצמו זניחה.
כיוון שהזרימה מתרחשת בגובה אחיד, משוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית בלתי יציבה מקבלת את הצורה:
ניתן לכתוב אותו גם כך:
כאשר הוא הזמן האופייני להתייצבות הזרימה.
כאשר מנקבים את דופן הבקבוק (כלומר כאשר אין לו "פיה"), הוא עובי הדופן של הבקבוק.
משוואת דרסי-ויסבך (באנגלית :Darcy–Weisbach equation) משמשת בהידרודינמיקה לכמת את מפל העומד (Head Loss), או מפל הלחץ (Pressure Loss) בצינור, כתוצאה מחיכוך בדפנות, עבור מהירות ממוצעת של הזורם בצינור.
משוואה זו נקראת על שמם של אנרי דרסי ויוליוס ויסבך .
משוואת דרסי-ויסבך מכילה מקדם חיכוך אל-ממדי, לו קוראים מקדם החיכוך של דרסי (Darcy Friction Factor), ובנוסף ידוע גם כפקטור חיכוך דרסי-ויסבך (Darcy-Weisbach friction factor), או מקדם חיכוך מודי (Moody Friction Factor).
בנוסף למקדם זה קוראים לפעמים ה-Blasius Friction Factor.
אין להתבלבל בין מקדם דרסי למקדם חיכוך של פאנינג , שהוא רבע מערכו של מקדם דרסי.
ניתן לחשב את מפל הלחץ בצינור כתוצאה מחיכוך על פי משוואת דרסי-ויסבך לפי:
- מפל הלחץ בצינור כתוצאה מחיכוך בדפנות (ביחידות של )
- מקדם החיכוך של דרסי – מקדם אל-ממדי (עבור זרימה למינרית או טורבולנטית)
-יחס בין אורך הצינור לקוטרו ההידראולי
- צפיפות הנוזל (ביחידות של )
- המהירות הממוצעת של הזורם בצינור (ביחידות של )
את המקדם ניתן למצוא מדיאגרמות מודי או על ידי פתרון ה-Modified Colebrook Equation.
ניתן לעבור מתצוגה זו לתצוגת מפל העומד על ידי חלוקה ב .
כאמור לעיל, ניתן לחשב גם את מפל העומד בצינור כתוצאה מהחיכוך לפי משוואת דרסי-ויסבך, לפי:
– מפל העומד בצינור כתוצאה מחיכוך בדפנות (ביחידות של )
– מקדם החיכוך של דרסי (עבור זרימה למינרית או טורבולנטית)
– אורך הצינור (ביחידות של )
– הקוטר ההידראולי של הצינור (עבור צינור בעל חתך עגול זהו קוטרו הפנימי, עבור צורות אחרות ניתן להשתמש בקוטר אפקטיבי) (ביחידות של )
– תאוצת הכובד (ביחידות של )
מקדם החיכוך הוא מקדם אל-ממדי התלוי בגאומטריית הצינור, ובמהירות הזורם הנע בתוכו.
גודלו ידוע בדיוק גבוה עבור משטרי זרימה מסוימים.
ניתן להעריך את גודל מקדם החיכוך בעזרת מספר שיטות אמפיריות או קשרים תאורטיים, או בעזרת טבלאות וגרפים שפורסמו.