tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
כלומר, בשדה סגור אלגברית, לכל מערכת משוואות פולינומית בכל כמות סופית של משתנים יש פתרון כאשר אין שורת סתירה (כאשר איננו צירוף של איברי ).
כאמור לעיל, זוהי הכללה של המשפט היסודי של האלגברה.
ניתן להסיק גרסה זו מהנוסח המקורי באופן הבא: יהי אידיאל J כך שמתקיים , אזי מתקיים גם כי .
ממשפט האפסים, , ובפרט קיים r טבעי כך ש-, ולכן .
גרסה חלשה נוספת מאפיינת את האידיאלים המקסימליים בשדות סגורים אלגברית.
משפט - נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית, אזי האידיאלים המקסימלים של החוג הם בדיוק האידיאלים: .
במילים אחרות, ישנה התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת האידיאלים המקסימליים של חוג זה לבין קבוצות הנקודות של המרחב האפיני ה-n-ממדי.
ניסוח זה נובע מהניסוח הקודם.
אכן, יהיה J אידיאל מקסימלי ובפרט .
נגדיר הומומורפיזם על ידי הצבה בנקודה a, זאת אומרת .
מתקיים כי , ולכן, ממשפט האיזומורפיזם, .
כיוון ש-K הוא שדה, אזי הוא אידיאל מקסימלי, וממקסימליות J נסיק כי .
הניסוח שורת סתירה נובע מניסוח זה באופן הבא: יהי אידיאל ויהי אידיאל מקסימלי המכיל אותו.
מהניסוח עבור אידיאלים מקסימליים נסיק כי ולכן , ובפרט .
פתרון למערכות פולינומים בהרחבת שדות
ניסוח חלש נוסף הוא הניסוח הבא, אשר מאפיין פתרונות למערכות פולינומים:
משפט - יהיה K שדה ויהיו פולינומים.
נניח כי קיימת הרחבת שדות L/K, כך שקיימים איברים , עבורם לכל .
אזי קיימת הרחבת שדות סופית K'/K ואיברים כך ש- לכל .
במילים אחרות, אם קיים פתרון למערכת בהרחבת שדות כלשהי, אז קיים פתרון בהרחבה סופית.
בפרט, אם השדה K סגור אלגברית, נקבל כי קיום פתרון בהרחבה כלשהי גורר קיום פתרון בשדה K.
ניסוח זה נובע משורת סתירה, נראה זאת עבור המקרה בו השדה K סגור אלגברית: נניח כי לא קיים שורש משותף למערכת הפולינומים .
משורת סתירה, נקבל כי הוא צירוף של הפולינומים , ולכן לא קיים פתרון באף הרחבת שדות.
ניתן גם להסיק את שורת סתירה ממשפט זה: יהי J אידיאל ויהיו פולינומים כך ש-.
באופן מידי נקבל שקיים פתרון למערכת הפולינומים באלגברה .
יהיה אידיאל מקסימלי, אז קיים גם פתרון במנה .
ממקסימליות m נקבל כי F שדה, ובנוסף הוא נוצר סופית כאלגברה, כיוון שממשפט הבסיס של הילברט מקיים תכונה זו.
מהמשפט, כיוון ש-K סגור אלגברית, נקבל כי קיים פתרון למערכת הפולינומים בשדה K.
הלמה הבאה, הידועה כלמה של זריצקי, שקולה לגרסאות החלשות למשפט האפסים.
למה - יהיה שדה, לא בהכרח סגור אלגברית, ותהי הרחבת שדות של K.
נניח כי נוצר סופית כאלגברה מעל K, אזי F נוצר סופית כשדה הרחבה של K.
הטריק של רבינוביץ' הוא הוכחה עבור הגרסה המקורית של משפט האפסים של הילברט מתוך הגרסה החלשה - שורת סתירה.
יהי K שדה סגור אלגברית, יהי אידיאל ויהי g פולינום המתאפס בכל .
ממשפט הבסיס של הילברט, קיימים כך ש-.
אם g = 0, אזי התנאי מתקיים.
אחרת, נוסיף משתנה חדש y, ונשים לב שלפולינומים , אין שורש משותף.
ממשפט האפסים החלש, נקבל כי , ובפרט,עבור פולינומים כלשהם.
נתבונן בשוויון המתקבל בחוג המנה .
כיוון שבחוג זה y = 1/g, נקבל כי כיוון שבביטוי שבאגף ימין רק g מופיע במכנה, אזי עבור r טבעי ופולינומים כלשהם מתקיים
זאת אומרת, קיים פולינום , כך שמתקיים השוויוןכיוון שבאגף שמאל, המקדם של המשתנה y הוא אפס, אזי q = 0, ולכן .
אחת מהמסקנות הנובעות ממשפט האפסים של הילברט היא כי רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה נוצרת סופית שווה לרדיקל הנילפוטנטי.
רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה A, אשר מסומן על ידי , או לעיתים , מוגדר להיות החיתוך של כל האידיאליים המקסימליים ב-A.
לעומת זאת, הרדיקל הנילפוטנטי, אשר מסומן על ידי , או , מוגדר כחיתוך של כל האידיאליים הראשוניים ב-A.
כיוון שכל אידיאל מקסימלי הוא גם אידיאל ראשוני, אזי רדיקל ג'ייקובסון תמיד מוכל ברדיקל הנילפוטנטי.
המסקנה מראה כי אם האלגברה A נוצרת סופית, אזי למעשה יש שוויון.
על אף שמשפט האפסים של הילברט מנוסח עבור שדות סגורים אלגברית, ובפרט אינסופיים, ניתן להסיק ממנו את הגרסה הבאה עבור שדות סופיים:
משפט - יהיו פולינומים, אזי קיים להם שורש משותף בשדה , אם ורק אם קיים פתרון בשדה סופי ממאפיין p, עבור כמעט כל ראשוני p.
המשפט מקשר, בצורה אשר אינה משתמעת באופן מידי, בין שדות ממאפיין אפס לכאלו עם מאפיין חיובי.
קישור בין משפחות של אידיאלים לעצמים גאומטריים
ממשפט זה אפשר להסיק את ההתאמות הבאות, בין משפחות אידיאלים של חוגי פולינומים לבין עצמים גאומטריים:
אידיאל רדיקלי יריעה אלגברית אפינית (קבוצה סגורה בטופולוגית זריצקי)
אידיאל ראשוני יריעה אלגברית אפינית אי-פריקה
אידיאל מקסימלי נקודה במרחב האפיני
התאמות אלו הן הבסיס לגאומטריה האלגברית הקלאסית.
בגאומטריה האלגברית המודרנית, התאמות אלו מוכללות להתאמה החשובה הבאה:
כלומר, יש התאמה מלאה בין אידיאלים של חוג הפולינומים לבין סכמות אפיניות.
למשפט האפסים יש הוכחות רבות, מתוכן נציין שתי הוכחות.
הראשונה היא עבור שדות גדולים, והיא קצרה יחסית; השנייה מוכיחה את המקרה הכללי ומופיעה בהמשך.
בשתי ההוכחות, נוכיח את משפט האפסים של הילברט על ידי כך שנוכיח את הגרסה החלשה - פתרון למערכות פולינומים בהרחבת שדות.
ניתן להסיק את הגרסה המלאה בהינתן החלשה על ידי הטריק של רבינוביץ' אשר מנוסח למעלה.
שתי ההוכחות מתבססות הטיעון הבא:
יהיה K שדה ויהיו פולינומים.
נסמן ב- את הסגור האלגברי של K.
מספיק להראות שקיים פתרון , כך ש- לכל .
אכן, אם ישנו כזה פתרון, אזי קיים פתרון בשדה , ובנוסף ההרחבה K'/K סופית, כיוון שהאיברים אלגבריים מעל K.
לכן, נניח מעתה שהשדה K סגור אלגברית.
נוכיח תחילה עבור המקרה , שלו יש הוכחות קצרות רבות.
נציג כאן את אחת מהן: נסמן ב- את מקדמי הפולינום לכל .
מתקיים שישנו פתרון למערכת המשוואות בשדה .
כיוון ש-, וכיוון שהשדה K סגור אלגברית, ניתן לשכן את 'L ב-K ולכן קיים פתרון ב-K.
נוכיח עתה את המקרה הכללי.
נניח, בלי הגבלת הכלליות, כי ההרחבה L/K היא נוצרת סופית, אחרת נבחר את ההרחבה הנוצרת סופית , אשר מכילה גם היא פתרון.
נסדר את איברי הפתרון כך שיתקיים התנאי הבא: האיבר טרנסצנדנטי מעל , האיבר טרנסצנדנטי מעל , ובאופן כללי האיבר טרנסצנדנטי מעל לכל , עבור .
יתר האיברים, , הם אלגבריים מעל .
נסמן ונשים לב כי ההרחבה היא סופית, מאופן בחירת k.
כיוון ש- טרנסצנדנטי מעל לכל , אזי מתקיים כי , זאת אומרת, הוא שדה הפונקציות הרציונליות עם k איברים ומקדמים ב-K.
יהי בסיס ל- ונניח נניח כי , אחרת נוסיף אותו לבסיס.
יהיו איברים כך ש- לכל , ו- לכל .בחירה זאת מאפשרת לנו להציג את המשוואות כמנה של פונקציות ליניאריות באיברי הבסיס עם מקדמים ב-.
נרצה למצוא איברים אשר לא יאפסו את המכנה.
כדי לעשות זאת, נבחר ככה שכל האפסים של המכנה יהיו אפסים של הפולינום ונבחר כך ש-.
בצורה פורמלית, נבחר כך ש- לכל ו- לכל ולכל .
כיוון ש-, אזי קיים כך ש-.
מתקבל כי , ובפרט , לכל .
נגדיר K-אלגברה A באופן הבא: מוגדרת על ידי הבסיס כך שמתקיים לכל .
במילים אחרות, A היא האלגברה הנוצרת על ידי הצבת בבסיס e.
באופן זה מתקיים כי לכל .
לבסוף, יהיה אידיאל מקסימלי ולכן הוא שדה.
בנוסף הוא הרחבה סופית של K.
כיוון ש-K סגור אלגברית, אזי .
נסמן ההטלה לשדה המנה, לכל , ונקבל כי לכל .
זאת אומרת, הוא פתרון למערכת הפולינומים , כרצוי.
בגאומטריה פרויקטיבית ניתן לנסח משפט מקביל אך מעט שונה.
ראשית, במקרה הפרויקטיבי יריעה פרויקטיבית היא אוסף פתרונות של פולינומים מאידיאל הומוגני (אידיאל שלכל איבר בו, גם החלקים המונומיים שלו שייכים אליו), אותה נסמן גם כן .
בכיוון ההפוך, כל תת-קבוצה במרחב פרויקטיבי שולחים לאידיאל שנוצר על ידי הפולינום ההומוגניים שמאפסים את כל הנקודות בה, אותו נסמן .
נקבל טענה דומה לגרסה החלשה על שורת סתירה כלעיל:
משפט - עבור אידיאל הומוגני , מתקיים אם ורק אם מכיל אידיאל הומוגני , בו כל מונום של כל פולינום הוא ממעלה לפחות.
משפט האפסים בגרסה הפרויקטיבית- לכל אידיאל עבורו מתקיים (כלומר הוא לא מכיל אידיאל כנ"ל), מתקיים .
למשפט האפסים של הילברט יש מספר תוצאות דומות מתחומים שונים במתמטיקה.
משפט בקומבינטוריקה, המוכר בשם "משפט האפסים הקומבינטורי", משמש להוכחת תוצאות שונות מתורת המספרים האדיטיבית, תורת הגרפים וקומבינטוריקה, ומנוסח כלהלן: יהיה K שדה ויהי פולינום ממעלה d.
יהיו שלמים כך שהמקדם של המונום ב-f אינו אפס, וכן כי .
אזי, לכל תתי קבוצות המקיימות , לכל , קיימים , כך ש-.
השימוש במשפט מוכר לעיתים גם כשיטה הפולינומית שמקורה במאמר של נוגה אלון ומיכאל טרסי.
השיטה פותחה לאחר מכן על ידי אלון, נתנסון ורוזה בשנים 1996-1995 ונוסחה מחדש על ידי אלון בשנת 1999. המשפט קיבל את שמו כיוון שניתן לראות בו כמקרה פרטי של משפט האפסים של הילברט.
דוגמאות לשימושים של המשפט הן הוכחות פשוטות למשפט שבלה-וורנינג על אפסים של מערכות של פולינומים, ומשפט קושי-דוונפורט בקומבינטוריקה אדיטיבית.
באנליזה פונקציונלית, משפט גלפנד-מזור, הקרוי על שם המתמטיקאים ישראל גלפנד וסטניסלב מזור, הוא המשפט הבא: תהי A אלגברת בנך מרוכבת עם יחידה וחלוקה.
אזי A איזומטרית לשדה המספרים המרוכבים.
במילים אחרות, שדה המספרים המרוכבים הוא האלגברת בנך המרוכבת היחידה בה כל איבר לא אפס הוא הפיך, כאשר היחידות היא עד כדי איזומטריה.
במתמטיקה, משפט הבסיס של הילברט (Hilbert) קובע שאם חוג נתרי, אז גם חוג הפולינומים (במספר סופי של משתנים מרכזיים) מעל R מקיים את אותה תכונה.
בפרט, אם הוא שדה, אז כל אידיאל בחוג הפולינומים ב-n משתנים נוצר על ידי מספר סופי של פולינומים.
את המשפט הוכיח דויד הילברט בשנת 1888.
בשפה של גאומטריה אלגברית ניתן לנסח את המשפט כך: כל יריעה אלגברית ניתנת לתיאור כקבוצת האפסים המשותפים של מספר סופי של פולינומים.
המשפט תקף לגבי חוג בסיס לאו דווקא קומוטטיבי, ואזי את תכונת הנותריות יש להחליף באחת מבין התכונות: נותריות שמאלית, ימנית או חלשה (תנאי השרשרת העולה על אידיאלים דו-צדדיים).
למשפט גרסה במשתנים לא-קומוטטיביים אותה הוכיח שמשון עמיצור: באלגברה החופשית במספר סופי של יוצרים מעל תחום קומוטטיבי נותרי, כל שרשרת של אידיאלים ראשוניים שהמנות ביחס אליהם משוכנות במטריצות מעל חוג קומוטטיבי (מסדרים חסומים – כלומר דרגות PI חסומות) מתייצבת.
למקרה של חוגי פולינומים מעוותים (skew-polynomial rings) ניתנו מספר הרחבות, בידי Singh ואחרים.
נניח בשלילה שהחוג אינו נתרי שמאלי.
לכן קיים אידיאל שמאלי שאינו נוצר סופית.
נבנה סדרה של פולינומים באופן רקורסיבי: תחילה נבחר פולינום ב- ממעלה מינימלית.
יהי מספר טבעי, ונניח שנתונים האיברים .
יהי האידיאל השמאלי הנוצר על ידי .
נבחר את להיות איבר כלשהו של ממעלה מינימלית.
איבר כזה קיים לפי ההנחה ש- לא נוצר סופית.
מכאן שהסדרה היא סדרה לא יורדת של שלמים אי שליליים.
יהי המקדם המוביל של ויהי האידיאל השמאלי של הנוצר על ידי .
מכיוון ש- חוג נתרי, שרשרת האידיאלים מתייצבת.
לכן קיים טבעי שעבורו .
בפרט קיימים איברים כך ש-.
ל- ול- יש אותה מעלה ואותו מקדם מוביל.
לכן והמעלה שלו קטנה יותר מזו של , בסתירה למינימליות.
מספר משפטים חשובים באלגברה ליניארית ובאנליזה פונקציונלית ידועים בתור משפט ההצגה של ריס.
המשפטים קרויים של שמו של המתמטיקאי היהודי-הונגרי פרידיש ריס.
גרסה אינטגרלית של המשפט נוסחה על ידי המתמטיקאי הצרפתי רנה מוריס פרשה, על כן לעיתים קרוי משפט ריס-פרשה.
משפט ההצגה לפונקציונלים ליניאריים חסומים על מרחב הילברט
משפט זה מספק תיאור מלא של המרחב הדואלי של מרחב הילברט: אם השדה שמעליו עובדים הוא שדה המספרים הממשיים, שני מרחבים אלו הם איזומורפיים (כמרחבים נורמיים) ואם השדה הוא שדה המספרים המרוכבים, שני המרחבים הם אנטי-איזומורפיים.
נוסף לכך, ה(אנטי-)איזומורפיזם המתואר במשפט הוא טבעי ביותר ונוח לשימושים תאורטיים.
יהי מרחב הילברט עם מכפלה פנימית ונסמן ב- את המרחב הדואלי שלו, כלומר את מרחב כל הפונקציונלים הליניאריים הרציפים מ- לשדה הבסיס או .
בהינתן ההעתקה המוגדרת על ידי
מהווה פונקציונל ליניארי רציף על .
משפט ההצגה של ריס אומר שכל איבר ב- ניתן להיכתב בצורה אחת ויחידה כזו.
היא (אנטי-) איזומורפיזם איזומטרי, כלומר:
מתקיים לכל , כאשר מסמן את הנורמות הסטנדרטיות המושרות על מרחב הילברט ועל המרחב הדואלי שלו .
אם שדה הבסיס הוא , אז לכל מספר ממשי .
אם שדה הבסיס הוא , אז לכל מספר מרוכב .
את ההעתקה ההפוכה ל- ניתן לתאר באופן הבא.
יהי פונקציונל ליניארי רציף על ונפריד למקרים.
אם הוא פונקציונל האפס, ניתן פשוט לבחור .
אחרת, משפט בסיסי בתורה של מרחבי הילברט אומר שקיים וקטור אשר שייך למשלים האורתוגונלי של .
כעת אם נגדיר אז יתקיים , כפי שרצינו.
משפט ההצגה לתבניות ססקווילינאריות חסומות על מרחב הילברט
תבנית ססקווילינארית על זוג מרחבים אלה היא העתקה שליניארית במשתנה הראשון ואנטי-ליניארית במשתנה השני.
אומרים שהיא חסומה אם קיים קבוע ממשי כך ש- לכל ו-, כאשר מסמן הן את הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית ב- והן את הנורמה המושרית על .
תבנית ססקווילינארית היא חסומה אם ורק אם היא פונקציה רציפה (ביחס לטופולוגית המכפלה על ) ולכן כששני המרחבים הם סוף-ממדיים, כל תבנית ססקווילינארית היא חסומה.
נסמן ב- את המכפלה הפנימית על .
משפט: בהינתן העתקה ליניארית חסומה , ניתן להגדיר תבנית ססקווילינארית חסומה על ידי (החסימות נובעת מאי-שוויון קושי-שוורץ).
יתרה מזאת, עבור כל תבנית ססקווילינארית חסומה קיימת העתקה ליניארית חסומה יחידה כך שהשוויון מתקיים לכל ו-.
משפט ההצגה לפונקציונלים ליניאריים חיוביים על (Cc(X
המרחב מורכב מכל הפונקציות אשר רציפות ובעלות תומך קומפקטי.
ניתן לצייד מרחב זה בפעולות נקודתיות של חיבור וכפל בסקלר וכן בנורמת הסופרמום ובכך הוא הופך למרחב נורמי.
פונקציונל ליניארי חיובי על מרחב זה הוא העתקה -ליניארית אשר בנוסף יש לה את התכונה הבאה: אם היא פונקציה ממשית אי-שלילית, אז גם היא כזו.
בהנחה והטופולוגיה על היא "סבירה" דיה, משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי חיובי על ניתן להיכתב ביחידות כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה "סבירה" מסוימת.
משפט: יהי מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית ויהי פונקציונל ליניארי חיובי על .
אז קיימת מידת רדון (כלומר מידה חיובית סופית מקומית ורגולרית) יחידה על המקיימת
למידה זו יש גם שתי תכונות נוספות:
אם הוא בנוסף מרחב סיגמא-קומפקטי, היא מידת רדון רגולרית.
משפט זה מהווה קשר חשוב בין תורת המידה ואנליזה פונקציונלית ומספק דרך אפקטיבית לבנות מידות על מרחבים מסוימים.
לדוגמה, הוא מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית וסיגמא-קומפקטי וההעתקה (כאשר כאן האינטגרל הוא אינטגרל רימן הרגיל) מגדירה פונקציונל ליניארי חיובי על .
תנאי המשפט מתקיימים והמידה המייצגת את הפונקציונל היא מידת לבג על .
משפט ההצגה לפונקציונלים ליניאריים חסומים על (C0(X
כמו קודם, נניח כי הוא מרחב טופולוגי.
המשפט הבא, המכונה לעיתים משפט ריס-מרקוב, מראה שניתן להציג כל פונקציונל ליניארי רציף על המרחב כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה מרוכבת מסוימת.
המרחב מורכב מכל הפונקציות שהן רציפות ומתאפסות באינסוף, כלומר לכל קיימת תת-קבוצה קומפקטית כך ש- לכל .
זהו מרחב נורמי, כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר מוגדרות נקודתית והנורמה היא נורמת הסופרמום.
מידה מרוכבת על נקראת רגולרית אם מידת ההשתנות הכוללת שלה, כלומר , היא מידת רדון רגולרית כפי שהמושג הוגדר לעיל עבור מידות חיוביות.
מרחב כל המידות המרוכבות הרגולריות על מסומן והוא מהווה מרחב וקטורי תחת הפעולות הסטנדרטיות של חיבור וכפל בסקלר של מידות.
בנוסף לכך, ההעתקה מגדירה נורמה על והופכת אותו למרחב בנך.
בהינתן מידה ניתן להגדיר פונקציונל ליניארי רציף על על ידי
משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי רציף על הוא מצורה זו, בהנחה ו-X הוא מרחב טופולוגי "סביר".
משפט: יהי מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית.
היא איזומורפיזם של מרחבי בנך, כלומר:
היא ליניארית, כלומר לכל ולכל סקלר .
ל- יש גם תכונה שימושית נוספת.
הפונקציונל הוא פונקציונל ליניארי חיובי אם ורק אם המידה היא מידה חיובית.
משפט ההצגה לפונקציונלים ליניאריים חסומים על (Lp(μ
יהי מרחב מידה ויהי מרחב כל הפונקציות המדידות שנורמת-p שלהן היא סופית: .
מגדירים גם את בתור מרחב כל הפונקציות המדידות עבורן (כאשר הוא המספר הקטן ביותר שעבורו ל--כמעט כל ).
ידוע כי עבור כל המרחב הוא מרחב בנך ביחס לנורמה ושבמקרה (ורק בו) נורמה זו מושרית ממכפלה פנימית, אשר ניתנת על ידי .
לכן הוא מרחב הילברט ומשפט ההצגה של ריס למרחב הדואלי למרחב הילברט גורר שכל פונקציונל ליניארי רציף על מרחב זה הוא מהצורה עבור כלשהי.
נשאלת השאלה אם ניתן לתת אפיון דומה לפונקציונלים הליניאריים הרציפים על עבור כללי.
יהי האקספוננט הצמוד ל-, כלומר המספר הממשי המקיים את השוויון (במקרה מסכימים ש-).
תהי ונגדיר את ההעתקה הבאה:
מאי-שוויון הלדר נובע שהאינטגרנד שייך ל- ולכן העתקה זו היא מוגדרת היטב.
יתרה מזאת, קל לבדוק שהיא מגדירה פונקציונל ליניארי רציף .
אם מרחב המידה הוא "סביר" במובן מסוים ו-, משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי רציף על הוא מצורה זו.
משפט: יהי ונניח ש- הוא מרחב מידה סיגמא-סופי.
בעקבות משפט זה, נהוג לומר פשוט ש- הוא המרחב הדואלי ל- (תחת הנחות המשפט, כמובן).
עבור ההנחה שהמרחב הוא סיגמא-סופי היא מיותרת.
במקרה זה ההעתקה לעיל מהווה שיכון איזומטרי בלבד, כלומר , ובדרך כלל המרחב הוא הרבה יותר גדול.
במתמטיקה, משפט ההיטל המרכזי (באנגלית המשפט נקרא לפעמים Fourier slice theorem) אומר ששני התהליכים הבאים, עבור פונקציה וישר דרך הראשית, נותנים את אותה התוצאה:
לקחת את התמרת פורייה הדו-ממדית של ולקחת את הערכים שלה על הישר .
להטיל את על הישר ולהפעיל על ההיטל התמרת פוריה.
למשפט שימושים רבים בטומוגרפיה ובשיפור תמונות שמתקבלות במיקרוסקופ אלקטרונים חודר.
נסמן ב את אופרטור ההיטל על תת מרחב ליניארי ממימד (היטל במובן של אינטגרל על המשלים האורטוגונלי בכל נקודה)
נסמן ב את אופרטור החיתוך עם אותו התת-מרחב שעובר דרך הראשית,
ונסמן ב את התמרת פורייה ב ממדים בהתאמה.
בגלל שסיבוב של פונקציה סביב הראשית זו פעולה שמתחלפת עם התמרת פוריה, ניתן להניח, בלי הגבלת הכלליות, שההיטל והחיתוך מתבצעים על ציר .
נסמן את , ונסמן את ההיטל שלה על ציר להיות :
אז החיתוך של התמרת הפורייה עם ציר ה הוא:
שזה בדיוק התמרת פורייה של .
בתורת המידה, משפט ההתכנסות המונוטונית הוא משפט על האינטגרל של סדרה עולה של פונקציות מדידות ואי-שליליות.
לפי המשפט, במקרה זה האינטגרל של הגבול שווה לגבול האינטגרלים.
זהו משפט יסודי וחשוב בתורת המידה, ויש לו השלכות רבות, כדוגמת הלמה של פאטו ומשפט ההתכנסות הנשלטת.
המתמטיקאי האיטלקי בפו לוי תרם רבות לפיתוח משפט זה.
תהי סדרה של פונקציות ממשיות או מרוכבות מדידות, המקיימות עבור כל כמעט בכל מקום.
נכתוב (נשים לב שממונוטוניות גבול זה קיים, גם אם אולי אינסופי).
ראשית יש לשים לב כי הגבול קיים בכל נקודה (סופי או אינסופי), כי הסדרה מונוטונית.
הכיוון ברור, כי לכל , ולכן ממונוטוניות האינטגרל , ולכן גם .
לצורך הכיוון , מספיק להראות (לפי הגדרת אינטגרל לבג) כי לכל פונקציה פשוטה ולכל מתקיים (כי אז נשאיף ).
גם ממונוטוניות, ו- - אכן, אם אז ; אחרת ומהשאיפה נובע שקיים כך ש-, כלומר .
באנליזה מרוכבת, משפט ההעתקה של רימן קובע כי כל תחום פשוט קשר מרוכב (פתוח) השונה מ- שקול קונפורמית לעיגול היחידה הפתוח.
המשפט מהווה תוצאה חזקה, אשר לה מסקנות רבות בתורת הפונקציות ההולומורפיות.
אינטואיטיבית, הוא קובע שכל תחום פשוט קשר, מסובך כמה שיהיה, שקול לעיגול היחידה באופן אנליטי המשמר תכונות רבות - כמו שינוי בזוויות.
המשפט מאפשר להסיק תכונות על תחומים פשוטי קשר שונים על ידי מחקר תכונות של עיגול היחידה, אובייקט די פשוט.
המשפט קרוי על שמו של ברנהרד רימן, מתמטיקאי גרמני מהידועים והמשפיעים ביותר במתמטיקה.
אז קיימת פונקציה הולומורפית חד חד ערכית ועל
העתקה כזו היא העתקה קונפורמית (זו אחת ההגדרות השקולות להעתקה קונפורמית על המישור המרוכב), כלומר - כל תחום פשוט קשר שאיננו כל שקול קונפורמית לעיגול היחידה.
מגרסה "חזקה" יותר של המשפט ניתן להסיק כי הפונקציה גם יחידה כאשר קובעים נקודה שתלך לאפס.
פורמלית, בהינתן , קיימת פונקציה יחידה כנ"ל המקיימת גם .
הוכחת המשפט איננה טריוויאלית כלל, ומערבת משפטים לא פשוטים רבים:
קיום שורש אנליטי לפונקציה לא מתאפסת בתחום פשוט קשר, הנובע מקיום לוגריתם טבעי לפונקציה לא מתאפסת בתחום פשוט קשר.
משפט מונטל, הקובע כי לכל סדרת פונקציות הולומורפיות חסומות יש תת-סדרה מתכנסת במידה שווה על כל תת-קבוצה קומפקטית.
משפט הורוויץ, הקובע כי אם סדרת פונקציות שלא מתאפסות מתכנסת במידה שווה על כל תת-קבוצה קומפקטית, אז פונקציית הגבול היא או אפס זהותית, או לא מתאפסת כלל.
אפשר לשים לב שהמשפט לא נכון עבור , זאת משום שאז הפונקציה תהיה שלמה וחסומה, ולכן לפי משפט ליוביל - קבועה.
נוכיח את הניסוח הבא של המשפט: יהי תחום פשוט קשר.
אז קיימת פונקציה אנליטית וחח"ע ב יחידה כך ש .
לצורך ההוכחה נסמן ב-F את קבוצת כל הפונקציות האנליטיות המעתיקות באופן חח"ע את ל-D (לא בהכרח על).
שלב ראשון - נוכיח ש :
יהי הפונקציה לא מתאפסת ב ולכן יש לה שורש אנליטי g שהוא בבירור חח"ע.
אחרת יש כך ש לכן ולכן אבל אז בסתירה לכך ש g לא מתאפסת ב .נבחר .
לפי משפט העתקה הפתוחה, קבוצה פתוחה.
אז היא מעבירה באופן חח"ע את לתוך D וכיוון ש נקבל ש .
שלב שני - נמצא את f:
כל אנליטית וחח"ע ב ולכן הנגזרת שלה לא מתאפסת שם.
מנוסחת האינטגרל של קושי נקבל כי ולכן מאי שוויון המשולש האינטגרלי,
לפי הגדרת הסופרימום, קיימת סדרה כך ש .
מתקיים ולכן הסדרה חסומה וממשפט מונטל קיימת תת-סדרה המתכנסת לפונקציה אנליטית f.
נשאר להוכיח ש f מתעתיקה את ל D באופן חח"ע ועל, ש f מתאפסת ב-a וכן יחידות.
שלב שלישי - נראה ש :
כיוון ש חח"ע נקבל ש לא מתאפסות ב .
ממשפט מונטל נקבל ש במ"ש על כל תת-קבוצה קומפקטית.
ממשפט הורוביץ, נקבל ש לא מתאפסת או שווה זהותית ל-0. אבל אם היא 0 אז f קבועה ולכן בסתירה להגדרת f.
כיוון ש נקבל ש אבל ממשפט העתקה הפתוחה קבוצה פתוחה ולכן .
שלב רביעי - נוכיח ש:
נסמן ונניח בשלילה ש .
נגדיר נתבונן בפונקציה שנמצאת ב-F.
כעת נראה ש f(\Omega) = D: נניח שלא אז יש .
הפונקציה לא מתאפסת ב ולכן יש לה שורש אנליטי שם, .
ברור ש ומחישוב נקבל ש .
אזי ומחישוב נקבל ש סתירה.
שלב חמישי - נוכיח יחידות:
נניח ש f,g מקיימות את התכונות.
נגדיר אז S אז ומלמת שוורץ נקבל שיש קבוע c, כך שמתקיים .
מקבלים ש לכן c ממשי ולכן c=1 ונקבל את הדרוש.
המשפט מהווה תוצאה חזקה מאוד בתחום האנליזה המרוכבת, ויש לו תוצאות חשובות רבות:
כל שני תחומים פשוטי קשר ב- (השונים ממנו) שקולים קונפורמית.
כל תחום פשוט קשר במישור המרוכב הוא כוויץ (שכן הוא שקול קונפורמית (ובפרט הומוטופי) לעיגול היחידה, שהוא כוויץ).
התכונות הבאות שקולות לתחום פתוח וקשיר:
- התחום פשוט קשר אנליטית (זהו תחום בו אינטגרל של כל פונקציה הולומורפית על כל מסילה סגורה הוא אפס).
- לכל פונקציה שלא מתאפסת בתחום יש לוגריתם אנליטי.
- לכל פונקציה שלא מתאפסת בתחום יש שורש אנליטי מכל סדר טבעי.
משפט קרתיאודורי - אם תחום פשוט קשר החסום על ידי עקומת ז'ורדן, אז ניתן להרחיב את ההעתקה הקונפורמית באופן הומיאומורפי לשפה - .
המשפט קובע כי בין תחום פשוט קשר (לא כל המרחב) לבין עיגול היחידה קיימת שקילות קונפורמית, אך איננו אומר דבר על בנייתה המפורשת.
הצגת פונקציה מפורשת היא בעיה לא פשוטה כלל - גם במקרים בהם יש מיון מלא, כמו במקרה של מצולע שלא חותך את עצמו, הפונקציות דיי מסובכות - ראו העתקות שוורץ-קריסטופל (או כאן).
במתמטיקה, בעיקר באנליזה וקטורית, משפט הגרדיאנט, ידע גם בתור המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור אינטגרל מסילתי, הוא משפט מרכזי בתחום האנליזה הווקטורית, ובכלל באנליזה מתמטית, ומשמש כהכללה למשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור כל עקומה -ממדית.
המשפט: בהינתן פונקציה ועקומה מנקודה לנקודה , אז:
כאשר מסמל את הגרדיאנט של הפונקציה .
מהמשפט נובעת המסקנה החשובה כי ניתן לתאר כל שדה וקטורי משמר בתור הגרדיאנט של שדה סקלרי.
ידוע כי אם היא פונקציה גזירה, מתת קבוצה פתוחה של ל-, ואם היא פונקציה גזירה מאינטרוול ממשי ל-, אז על פי כלל השרשרת, הפונקציה היא פונקציה גזירה בתחום ומתקיים
עכשיו נניח כי בתחום קיימת עקומה גזירה בעלת נקודות קיצון ו-.
אם מייצג פרמטר של עבור כל , אז ניתן לראות מטענה הנ"ל כי
כאשר השוויון הראשון נובע מההגדרה של אינטגרל קווי, והשוויון השלישי נובע מהמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
ישנה גרסה מורחבת של משפט הגרדיאנט אשר עוסקת בשדות וקטורים.
אם שדה וקטורי חלק ב-, התכונות הבאות שקולות:
קיימת פונקציה חלקה כך שמתקיים לכל , .
לכל עקום חלק במישור, האינטגרל תלוי רק בקצוות העקום.
לכל עקום חלק וסגור במישור, האינטגרל .
הנוסחה לעיל נובעת משקילות תנאים אלו.
הגרסה המורחבת נכונה גם עבור שדות וקטורים מממדים יותר גבוהים לאחר הכללות מתאימות.
באנליזה מתמטית ותורת המידה, משפט ההתכנסות של ויטלי הוא תוצאה חשובה של המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה ויטלי.
משפט זה מהווה הכללה של משפט ההתכנסות הנשלטת של אנרי לבג, והוא עושה שימוש בתכונה של אינטגרביליות במידה שווה.
משפט זה שימושי כאשר לא קיימת פונקציה בעלת אינטגרל סופי ששולטת על כל פונקציות הסדרה.
כאשר כן קיימת פונקציה כזאת, משפט ההתכנסות הנשלטת נובע ממשפט זה כמקרה פרטי.
תהי סדרה של פונקציות אינטגרביליות.
אזי סדרה זו היא מתכנסת בממוצע לפונקציה מדידה אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:
לכל קיימת קבוצה מדידה ובעלת מידה סופית, שעבורה .
כמו כן, במצב זה מתקיים כי היא בעלת אינטגרל סופי.
עבור מרחב מידה בעל מידה סופית, ללא הגבלת הכלליות מרחב הסתברות, נובעות ממשפט זה שתי מסקנות יסודיות:
מסקנה ראשונה היא כי אם הסדרה אינטגרבילית במידה שווה ומתכנסת בהסתברות ל-, אז התנאי השלישי מתקיים מאליו, ולכן ניתן להסיק כי הסדרה מתכנסת בממוצע ל-.
מסקנה שנייה היא בכיוון ההפוך, ולפיה אם לכל קבוצה מדידה קיים הגבול , אזי הסדרה אינטגרבילית במידה שווה.
סופיות האינטגרל של הפונקציה הגבולית
נראה כי אכן היא בעלת אינטגרל סופי.
תחילה מהלמה של פאטו נובע כי .
מההנחה כי מתקיימת אינטגרביליות במידה שווה, יש שעבורה לכל קבוצה מדידה שמקיימת , מתקיים .
עבור קבוצה כזאת, על ידי משפט אגורוף הסדרה מתכנסת במידה שווה על הקבוצה .
אם כך נובע כי קיים שעבורו לכל מתקיים , ועל ידי אי-שוויון המשולש נובע .
מאי השוויון שהראינו מהלמה של פאטו נובע כי האינטגרל המבוקש הוא סופי.
נניח כי הסדרה מתכנסת בממוצע ל-, ונראה כי מתקיימים שלושת התנאים שבמשפט:
נקבע מספיק גדול כך שלכל מתקיים .
משפחת הפונקציות היא סופית, ולכן אינטגרבילית במידה שווה.
כלומר יש כך שלכל קבוצה מדידה המקיימת מתקיים עבור .
מצד שני עבור כל מתקיים:וקיבלנו אינטגרביליות במידה שווה של כל הסדרה.
נניח ללא הגבלת הכלליות כי פונקציה פשוטה (שכן כל פונקציה מדידה היא גבול בממוצע של פונקציות פשוטות).
תהי התומך של , שמהיותה פונקציה פשוטה נובע כי בעלת מידה סופית.
לא קשה להראות כי .
באופן דומה, לכל ניתן למצוא קבוצה בעלת מידה סופית המקיימת .
אם כך נובע כי הקבוצה היא בעלת מידה סופית ומקיימת .
נניח כי מתקיימים שלושת התנאים שבמשפט.
תהי קבוצה המתקבלת מתנאי 3. כמו כן נקבע , ותהי .
כעת נשים לב כי כל אחד מביטויים אלה קטן כרצוננו:
הביטוי השלישי קטן כרצוננו מתנאי 3.
עבור הביטוי השני, נתבונן ב-, ומתנאי 2 נובע שיש כך שאם אז .
מתנאי 1 יש מספיק גדול שעבור כל מתקיים .
מכך נובע כי הביטוי השני קטן כרצוננו.
עבור הביטוי השלישי, נשים לב כי על הקבוצה מתקיים , ולכן נובע כי .
כלומר גם הביטוי הראשון קטן כרצוננו.
נציג כאן דוגמה בה לא ניתן להשתמש במשפט ההתכנסות הנשלטת, אלא רק במשפט ההתכנסות של ויטלי.
ומכך יחד עם העובדה כי משפט ההתכנסות הנשלטת נובע ממשפט ההתכנסות של ויטלי, ינבע גם כי משפט ההתכנסות של ויטלי חזק יותר.
נסמן , ונחלק קטע זה ל- תת-קטעים באורכים שווים של , אותם נסמן .
לכל נגדיר (כאשר באופן כללי היא הפונקציה המציינת של הקבוצה ), ונתבונן בסדרת הפונקציות
סדרה זו אינטגרבילית במידה שווה היות שלכל נוכל לבחור , ואז לכל קבוצה עם ולכל ולכל מתקיים
מאידך, גם עבור כל וכל מתקיים:
ולכן הסדרה אינטגרבילית במידה שווה, וברור כי הסדרה מתכנסת נקודתית לפונקציה הקבועה , ולכן ממשפט ההתכנסות של ויטלי נובע כי היא מתכנסת בממוצע לפונקציה הקבועה .
מאידך, נשים לב כי לא ניתן להשתמש במשפט ההתכנסות הנשלטת, כי לו הייתה בשלילה פונקציה בעלת אינטגרל סופי המקיימת לכל , אז היה מתקיים , בסתירה לעובדה הידועה כי הפונקציה בעלת אינטגרל שאינו סופי.
בתורת ההסתברות ובפרט בתהליכים המקריים, משפט ההרחבה של קולמוגורוב או משפט הקיום של קולמוגורוב או משפט העקביות של קולמוגורוב הוא משפט המאפשר הרחבה של משפחת התפלגויות סוף-ממדיות המקיימות תכונות עקביוּת מסוימות לכדי התפלגות של תהליך מקרי.
חשיבותו של המשפט היא בכך שלא ניתן כמעט אף פעם לתאר במפורש התפלגות של תהליך מקרי, אך קל יחסית לתאר התפלגויות על פני מרחבים סוף-ממדיים.
למשפט קשר הדוק עם משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, ולמעשה ניתן להסיק אותו מהמשפט האחרון.
המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב, שתיאר אותו בהקשר של תהליכים מקריים.
גרסה אחרת של המשפט התגלתה במקביל על ידי המתמטיקאי הבריטי פרסי ג'ון דניאל, בהקשר של תורת האינטגרציה.
המשפט בגרסתו לתהליכים מקריים מוצגת עבור תהליך מקרי המקבל ערכים במרחב האוקלידי .
קיימת גרסה כללית יותר עבור כל מרחב.
תהי קבוצה כלשהי המתארת את ההתפתחות בזמן (עבור זמן בדיד היא יכולה להיות המספרים הטבעיים או המספרים השלמים, ועבור זמן רציף היא יכולה להיות קטע ממשי).
נניח כי לכל סדרה סופית של איברים שונים קיימת התפלגות על , כך שמשפחת כל ההתפלגויות מטיפוס זה מקיימים את שני תנאי העקביות הבאים:
אינווריאנטיות לתמורות: לכל תמורה של ולכל אוסף קבוצות מדידות ,
לכל ולכל אוסף קבוצות מדידות ,
אזי קיים מרחב הסתברות , ניתן להניח פשוט כי , יחד עם תהליך מקרי מהצורה , כך שמתקיים באופן כללי,
יש לשים לב כי המידה מוגדרת מעל סיגמא-אלגברת בורל המכפלה של , שאינה עשירה כמו סיגמא-אלגברת לבג של המרחב.
ניתן לראות שכל תהליך מקרי מקיים את שני תנאי העקביות המופיעים במשפט.
כך למשל אם נתבונן בתהליך מקרי בדיד המקבל ערכים ממשיים , אז ההסתברות שווה הן ל- והן ל-.
לכן עבור כל התפלגות סוף-ממדית שהיא עקבית, בהכרח מתקיים .
תנאי העקביות הראשון פשוט מכליל את הדרישה היסודית הזאת.
תנאי העקביות השני, בהמשך לדוגמה זו, אומר כי .
גם זו דרישה יסודית שתנאי העקביות השני הוא הכללה שלה.
במילים אחרות, היות שאין אף תהליך מקרי שלא מקיים את שני תנאי העקביות, הרי שהמשפט מבטיח גם את הכיוון השני: כל משפחת התפלגויות סוף-ממדיות עקביות, מתארת תהליך מקרי.
שימוש מיידי למשפט זה הוא הבנייה של מידת מכפלה במערכות דינמיות, ובפרט הזזת ברנולי.
אם למשל הוא מרחב מצבים כלשהו, אז ניתן להגדיר התפלגות על באופן הבא: לכל יש את סיגמא-אלגברת הצילינדרים שהיא מבוססת על קבוצות מהצורה עבור כל בחירה של .
על סיגמא אלגברה זו ניתן להגדיר התפלגות מתאימה, נאמר כי היא .
תנאי האינווריאנטיות שבמשפט ההרחבה מיתרגם לכך שלכל יתקיים כי , כלומר שההתפלגויות "יסכימו" זו עם זו.
אם אכן מתקיימים תנאים אלה, אז יש התפלגות יחידה על כל שמרחיבה את ההתפלגויות .
שימוש קשה יותר הוא אחת הבניות של תנועה בראונית.
לאחר שמגדירים את ההתפלגויות הסוף-ממדיות להיות התפלגות רב-נורמלית, ניתן להראות כי מתקיימים תנאי העקביות, וההתפלגות המתקבלת היא זו של תנועה בראונית.
עם זאת, משפט ההרחבה אינו מבטיח את הרציפות של התהליך המקרי המתקבל.
לשם כך ניתן להשתמש במשפט הרציפות של קולמוגורוב, המבטיח כי מתוך התהליך המתקבל ממשפט ההרחבה ניתן לבנות תהליך חדש שהוא אכן רציף.
משפט ההישנות של פואנקרה הוא משפט מתמטי העוסק במערכות דינמיות, בעל שימושים בסטטיסטיקה ובפרט בתהליכים מקריים, וכן בפיזיקה סטטיסטית.
במילים פשוטות המשפט קובע כי בתנאים מסוימים, חלקיק הנע בצורה אקראית בתוך תיבה, יחזור קרוב ככל שנרצה למיקומו המקורי לאחר פרק זמן סופי כלשהו.
למשפט היה תפקיד חשוב בהתפתחות הפיזיקה הסטטיסטית בסופה של המאה ה-19 והוא גרם לפיזיקאים לנסח מחדש את הנחת הארגודיות.
המשפט קרוי על-שמו של המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה שדן בו בשנת 1890. המשפט הוכח על ידי המתמטיקאי היווני-גרמני קונסטנטין קרתאודורי בשנת 1919, תוך שימוש בכלים מתורת המידה.
מאז הוכחת הגרסה הבסיסית של המשפט, פותחו גרסאות נוספות והכללות נוספות שלו, בין השאר גם מנקודות מבט טופולוגיות או גאומטריות.
למשל גרסאות העוסקות ב"הישנות מְרוּבָּה".
באופן כללי, המשפט עוסק במרחב הסתברות , יחד עם העתקה מדידה שהיא שומרת מידה, כלומר, לכל מאורע .
יהי מאורע בעל הסתברות חיובית.
אזי מתקיים כי בהסתברות 1.
דוגמה לכך שהדרישה כי מידת המרחב תהיה סופית, כלומר שהמרחב יהיה מרחב הסתברות, היא הדוגמה של ההעתקה המוגדרת .
קל לראות כי זו העתקה מדידה ושומרת מידה, ובכל זאת אף נקודה אינה חוזרת לעצמה.
נניח עוד כי מרחב מטרי קומפקטי, וכי היא גם פונקציה רציפה שהיא הומאומורפיזם.
אזי קיימת נקודה כך שלכל קיים שעבורו .
נניח עוד כי מרחב טופולוגי האוסדורף המקיים את אקסיומת המנייה השנייה.
תהי טופולוגיה המכילה את סיגמא-אלגברת בורל, שביחס אליה היא פונקציה רציפה.
אזי בהסתברות 1, עבור , לכל סביבה פתוחה של , קיים שעבורו .
נוכיח להלן את הגרסה ההסתברותית של המשפט.
ברור כי וכי הצגה זו היא איחוד זר.
כמו כן אלה קבוצות מדידות, שכן מתקיים וכן ניתן להראות באינדוקציה כי לכל .
נשים לב כי עבור כל בהכרח לכל .
נובע מכך כי הסדרה היא סדרה של קבוצות זרות.
מהיות שומרת מידה נובע כי לכל , ולכן נובע כי,
ומכאן כי בהכרח , כפי שנדרש.
משפט ההדחה של נשיא ארצות הברית אנדרו ג'ונסון היה הליך פוליטי-משפטי שבמסגרתו ניסו ללא הצלחה מתנגדיו הפוליטיים של נשיא ארצות הברית, אנדרו ג'ונסון, להדיחו ממשרתו על ידי הקונגרס של ארצות הברית, ב-1868.
בהיותו הניסיון הראשון לממש את הסמכות שניתנה לקונגרס בחוקת ארצות הברית להדיח נשיא מכהן, היה משפט זה אחד מהאירועים הדרמטיים ביותר בפוליטיקה האמריקאית במהלך תקופת השיקום, ושיאו של מאבק פוליטי ארוך בין ג'ונסון למפלגה הרפובליקנית על האופן שבו יש להתייחס למדינות הדרום לאחר מלחמת האזרחים האמריקנית.
בית הנבחרים האמריקני הצביע בעד הדחתו של ג'ונסון בהתאם לסמכותו מכוח סעיף הרביעי בפרק השני בחוקת ארצות הברית.
האישום העיקרי נגד ג'ונסון היה שהפר את חוק הקביעות במשרה שנחקק בקונגרס זמן מה קודם לכן חרף התנגדותו של ג'ונסון.
משפט ההדחה של ג'ונסון בסנאט של ארצות הברית החל ב-5 במרץ 1868, ונוהל על ידי נשיא בית המשפט העליון של ארצות הברית, סלמון צ'ייס.
הסנאט זיכה את הנשיא מכל האישומים שהציג בית הנבחרים נגד הנשיא, וג'ונסון המשיך לכהן עד תום הקדנציה שלו.
במשך השנים צבר ניסיון ההדחה של ג'ונסון מוניטין של פעולה פוליטית תועלתנית ולא הכרחית, בשל קביעת בית המשפט העליון של ארצות הברית (בהליך נפרד מספר שנים לאחר הליך ההדחה) כי חוק הקביעות במשרה אכן היה בלתי חוקתי, ובשל ההתנגדות הציבורית להדחתו של ג'ונסון (חרף היותו נשיא לא פופולרי).
לא היה כל ניסיון רציני נוסף להדיח נשיא אמריקני עד לפרשת ווטרגייט שהתרחשה 106 שנים מאוחר יותר.
בהיותה דמוקרטיה נשיאותית, ולהבדיל מהמצב בדמוקרטיות פרלמנטריות כמו ישראל, נבחר נשיאה של ארצות הברית בהליך שככלל אינו תלוי ברשות המחוקקת.
כשם שהקונגרס של ארצות הברית אינו בוחר את הנשיא, כך אין הוא מוסמך להעבירו מתפקידו בהליך פשוט כגון הצעת אי-אמון או אי העברת תקציב המדינה.
למרות זאת, חוקת ארצות הברית כן מסמיכה את הקונגרס להדיח את נשיא ארצות הברית - כמו גם בעלי תפקידים אחרים - בהליך מעט מסובך יותר, וזאת רק אם הוא אשם בבגידה, בקבלת שוחד או בפשע חמור אחר.
להליך ההדחה שני שלבים: בשלב הראשון מגיש בית הנבחרים של ארצות הברית כתב אישום נגד הנשיא, המפרט את המעשים המיוחסים לו.
בית הנבחרים מצביע על כתב האישום וצריך לאשרו ברוב רגיל.
אישור כתב האישום מכונה באנגלית "impeachment".
בשלב השני מתקיים נגד הנשיא משפט (trial) בסנאט של ארצות הברית.
הסנאט מוסמך להרשיע את הנשיא בעבירות שבביצוען הואשם על ידי בית הנבחרים או במקצתן, ברוב מיוחס של שני שלישים.
אם הורשע, הוא מודח מתפקידו, והסנאט אף יכול למנוע ממנו לשוב ולכהן בו בעתיד (אך אינו רשאי להטיל ענישה פלילית).
המתיחות בין הנשיא ג'ונסון לקונגרס החלה זמן קצר לאחר היכנסו של הראשון לבית הלבן (בעקבות רצח הנשיא אברהם לינקולן).
חרף היותו דרומי בעצמו, התנגד ג'ונסון בחריפות רבה לפרישת מדינות הדרום מהברית, הפרישה שהציתה את מלחמת האזרחים האמריקנית, ואילו לינקולן תמך טרם הירצחו במדיניות של יד רכה יחסית כלפי מדינות הדרום לאחר תבוסתן במלחמה.
אמנם למדיניות יד רכה זו היו מתנגדים באגף הרדיקלי של המפלגה הרפובליקנית, אך הפופולריות הרבה של הנשיא בצפון אפשרה לו למנוע מהם לצבור די כוח פוליטי כדי לחבל בה.
רפובליקנים אלה היו משוכנעים כי הנשיא ג'ונסון יהיה לאחר השבעתו נכון יותר להכתיב קו קשה יותר נגד מדינות הדרום, ובכלל זה יגן באופן תקיף יותר על זכויותיהם של העבדים המשוחררים בדרום ויעניש את בעלי העבדים ואת תומכיהם.
אולם, באופן בלתי צפוי, שינה ג'ונסון את טעמו לאחר השבעתו כנשיא, ולא נעתר לדרישותיהם של הרפובליקנים הרדיקלים: בתוך שישה שבועות לאחר ההשבעה הציע ג'ונסון להעניק חנינה כללית לרוב פושעי הקונפדרציה.
בנוסף, הוא הטיל וטו נשיאותי על חוקים שהרחיבו את זכויות הפרט ואת הסיוע הכלכלי שקיבלו העבדים המשוחררים.
הקונגרס הצליח לבטל רק חלק מהטלות הווטו הללו.
חוק הקביעות במשרה היה חוק פדרלי בארה"ב, מ-1867 עד 1887. החוק נחקק ב-2 במרץ 1867, והתיימר לשלול מהנשיא את הסמכות להדיח כל קצין צבאי בכיר, אלא אם כן הסנאט אישר את ההדחה במהלך המושב הבא של הקונגרס.
ב-24 בפברואר 1868, שלושה ימים לאחר פיטוריו של מזכיר המלחמה אדווין סטנטון בניגוד לחוק הקביעות במשרה, הצביע בית הנבחרים האמריקאי ברוב של 126 מול 47 בעד הדחת הנשיא.
שבוע מאוחר יותר אימץ בית הנבחרים אחד-עשר סעיפי אישום נגד ג'ונסון, כדלקמן:
העברתו של אדווין סטנטון מתפקידו הגם שהסנאט הצביע נגד המהלך, וזאת בניגוד לחוק הקביעות במשרה
מינויו של למזכיר המלחמה באופן זמני, אף על פי שמשרת ההגנה לא הייתה פנויה עקב בטלות פיטוריו של סטנטון (לשיטתו של בית הנבחרים)
מינוי תומאס בלי לקבל אישור מהסנאט
קשירת קשר עם תומאס ועם "אנשים אחרים שזהותם אינה ידועה לבית הנבחרים" למנוע מסטנטון להמשיך לכהן במשרתו
קשירת קשר כדי לשבש באופן בלתי חוקי את אכיפתו של חוק הקביעות במשרה
קשירת קשר כדי "לתפוס את רכוש ארצות הברית במחלקת המלחמה, לקחת אותו ולהחזיק בו"
קשירת קשר כדי "לתפוס את רכוש ארצות הברית במחלקת המלחמה, לקחת אותו ולהחזיק בו", בכוונה להפר את חוק הקביעות במשרה
נשיאת שלושה נאומים בכוונה לבזות את הקונגרס של ארצות הברית בפני אזרחי ארצות הברית
הסעיף האחד עשר היה סיכום של הסעיפים שקדמו לו.
לפני תחילת המשפט נבחרו ועדות מיוחדות שייצגו את התביעה ואת ההגנה.
חברי ועדת ההדחה היו בנג'מין פ' באטלר, תדיאוס סטיבנס, תומאס ויליאמס וג'ון בינגהם, ג'יימס פלקונר וילסון, ג'ורג' סיואל באוטוול וג'ון לוגן.
צוות ההגנה של ג'ונסון כלל את אלכסנדר מורגן, הנרי סטנברי, ויליאם אברטס, בנג'מין רובינס קרטיס, תומאס נלסון וג'רמיה בלאק (אם כי האחרון התפטר טרם המשפט).
המשפט החל ב-3 במרץ 1868, ובהתאם להוראות חוקת ארצות הברית, ניהל אותו נשיא בית המשפט העליון של ארצות הברית, סלמון צ'ייס.
ככלל, סגן נשיא ארצות הברית - אשר מתוקף תפקידו אמור להחליף את הנשיא במקרה של הדחה - אינו מצביע בסנאט, אלא במקרה של שוויון קולות.
הדחת הנשיא מחייבת רוב של שני שלישים, ולכן, במצב היחיד שבו סגן הנשיא רשאי להצביע בעד או נגד הדחת הנשיא, הצבעתו לא אמורה להשפיע כלל על התוצאה הסופית.
ברם, בתקופת משפטו של ג'ונסון לא כיהן סגן נשיא, ולפיכך מי שהיה אמור להתמנות לנשיא לו הודח ג'ונסון היה ממלא מקום נשיא הסנאט, הסנאטור הרפובליקני הרדיקלי בנג'מין וייד, והוא היה רשאי להצביע כמו כל סנאטור.
חרף ניגוד עניינים זה, בחר וויד שלא להימנע מהצבעה, והצביע בעד הדחת ג'ונסון.
נשיא בית המשפט העליון של ארצות הברית, אף שהיה רפובליקאי רדיקלי בעצמו, התיר לג'ונסון לנסות לשכנע את הסנאט בעזרת ראיות כי מינויו של תומאס נועד למעשה להוות מקרה מבחן, שיאתגר את חוקתיותו של חוק הקביעות במשרה; אך הסנאט ביטל החלטה זו ברוב רגיל.
לפני המשפט ניסה הסנאטור בנג'מין וייד מאוהיו לצרף שני סנאטורים שלהערכתו יהיו רפובליקאים רדיקלים ויצביעו נגד הנשיא, על ידי צירוף קולורדו הרפובליקנית לארצות הברית, מה שיאפשר לה לבחור שני סנאטורים.
ההחלטה עברה ברוב רגיל, אך ג'ונסון הצליח לבטלה בעזרת וטו נשיאותי.
משפט ההדחה השני של דונלד טראמפ הוא השלב השני בהליך ההדחה השני של הנשיא טראמפ, לאחר שבית הנבחרים של ארצות הברית הדיח אותו ב-13 בינואר 2021, 7 ימים לפני תום מועד כהונתו.
בית הנבחרים בשליטה של המפלגה הדמוקרטית אימץ נגד טראמפ, בהליך חסר תקדים במהירותו, שנמשך יום אחד בלבד, סעיף הדחה בודד: הסתה להתקוממות.
הוא נשיא ארצות הברית היחיד שהודח פעמיים על ידי בית הנבחרים ולאחר מכן זוכה פעמיים.
במהלך המשפט פרץ ויכוח משפטי האם ניתן להדיח בדיעבד נשיא ולהעמידו לדין כאשר הוא כבר לא בתפקיד.
אף על פי שלא ניתן היה לסלק אותו מתפקידו — המטרה הרגילה של הדחה — נותרה האפשרות למנוע לצמיתות מנשיא לשעבר שהורשע למלא בעתיד תפקיד ציבורי כלשהו.
לטענת הדמוקרטים חוקת ארצות הברית לא קובעת האם ניתן לקיים משפט הדחה בסנאט לאישים כולל הנשיא שתמה כבר כהונתם בתפקיד ציבורי, ואילו לטענת עורכי הדין של טראמפ, פרשנות טבעית של נוסח החוקה מלמד שניתן להדיח רק נשיא מכהן.
הדמוקרטים הסתמכו על תקדים המאפשר משפט הדחה שכזה: בשנת 1876 התפטר מתפקידו ויליאם בלקנאפ, מזכיר המלחמה של ארצות הברית, אחרי שהיה מעורב בשערוריית עמדת הסחר בטרם הועמד לדין.
למרות זאת, הוא הודח בידי בית הנבחרים לאחר התפטרותו ועמד למשפט בפני הסנאט (הוא זוכה לאחר שלא הושג הרוב המינימלי בן שני השלישים הדרוש להרשעה, על אף שלמעלה ממחצית חברי הסנאט תמכו בהרשעתו).
טראמפ הודח לראשונה על ידי בית הנבחרים שבשליטת המפלגה הדמוקרטית ב-18 בדצמבר 2019, באשמת שימוש לרעה בסמכותו ובשיבוש עבודת הקונגרס, על רקע פרשת טראמפ–אוקראינה.
כאשר השליטה המפלגתית בסנאט התפצלה באופן שווה, 17 סנאטורים רפובליקנים היו צריכים לחבור לדמוקרטים ולהצביע בעד הרשעה כדי להשיג את הרוב הדרוש להרשעה בן שני השלישים.
בסופו של דבר, 57 סנאטורים הצביעו בעד הרשעתו של טראמפ, ומנגד התנגדו 43 סנאטורים.
בכך טראמפ זוכה מכל אשמה.
ב-11 בינואר 2021 הציגו חברי בית הנבחרים דייוויד סיסליני, ג'יימי רסקין וטד לו את סעיף ההדחה נגד טראמפ.
טראמפ הואשם ב"הסתה להתקוממות" בשל קריאתו לתומכיו לצעוד אל עבר הקפיטול, מה שהוביל להסתערות על מתחם הקפיטול.
בסך הכול, 218 מתוך 222 הדמוקרטים בבית הנבחרים תמכו במאמר ההדחה והבטיחו את מעברו אל מליאת בית הנבחרים.
ב-13 בינואר 2021 הדיח בית הנבחרים את טראמפ, ברוב של 232 תומכים מול 197 מתנגדים.
כל 222 הדמוקרטים בבית הנבחרים הצביעו פה אחד בעד ההדחה, ואליהם חברו עשרה רפובליקנים (בהם יו"ר הסיעה הרפובליקנית ליז צ'ייני).
ארבעה רפובליקנים לא הצביעו, ויתר 197 הרפובליקנים הצביעו נגד ההדחה.
עם זאת, חרף ההחלטה הדו-מפלגתית להדיח את טראמפ, יושבת ראש בית הנבחרים ננסי פלוסי החליטה לעכב את העברת מסמכי ההדחה לסנאט, ובכך את פתיחת המשפט.
צעד זה הזכיר פעולה דומה שביצעה פלוסי בינואר 2020, כאשר המתינה כמעט חודש ימים בהעברת ההליך לסנאט לאחר שבית הנבחרים הדיח את טראמפ לראשונה, בשל פרשת טראמפ–אוקראינה.
בהליך ההדחה השני, עם זאת, הדמוקרטים בשני בתי הקונגרס המעורים בהליך ההדחה אמרו כי הם מצפים שהעיכוב יהא קצר יותר.
פלוסי יכלה להעביר את סעיפי ההדחה לסנאט לכל המוקדם כבר ב-18 בינואר 2021, מה שיוביל לפתיחת משפט ההדחה מיד עם תחילת נשיאותו של ג'ו ביידן.
הגורם לעיכוב של העברת מסמכי ההדחה לסנאט היה הגעה לעמק השווה במסגרת המשא ומתן בין הדמוקרטים בסנאט לבין עמיתיהם הרפובליקנים על צורתו של הליך יוצא דופן זה.
עם זאת, עורכי הדין של טראמפ טענו כי הגורם לעיכוב הוא הרצון של הדמוקרטים למנוע מהנשיא טראמפ למנות כמקובל את נשיא בית המשפט העליון של ארצות הברית לנהל את המשפט.
על רקע השתלטות כפולה של הדמוקרטים על הקונגרס ועל הבית הלבן כאחד, פעלו הדמוקרטים לנסח כללים שיאפשרו לסנאט לפעול במסלולים כפולים כדי לאשרר את מינוי מועמדיו של ביידן לקבינט של ארצות הברית ומיסוד האג'נדה שלו, בו בזמן עם ניהול משפט ההדחה.
ההכנות להעברת הליך ההדחה אל הסנאט
הסנטור מיץ' מקונל מקנטקי, מנהיג הרוב בסנאט, טען כי הסנאט נמצא במושב "פְּרוֹ-פוֹרְמָה" עד 19 בינואר 2021, ואינו יכול לנקוט בשום פעולה ללא הסכמה פה אחד של חברי הסנאט של ארצות הברית.
על פי כללי ההדחה בסנאט, ברגע שסעיפי ההדחה של בית הנבחרים מוצגים בפני הסנאט, על משפט ההדחה להתחיל לכל המאוחר כיממה אחר כך.
משפטו של טראמפ היה עשוי להתחיל ביום ההשבעה של ג'ו ביידן לנשיאות ארצות הברית, אם לא כך היה.
מנהיג המיעוט בסנאט, הסנאטור צ'אק שומר ממדינת ניו יורק, קרא למקונל להשיב במידית את הסנאט למושב רגיל לאחר שבית הנבחרים יעביר את סעיפי ההדחה לסנאט, ולקדם את תהליך אשרור מינוי מועמדיו של הנשיא הנבחר ביידן לקבינט, כך שהקבינט יחל לפעול כבר ביום הראשון לנשיאות ביידן.
מנהיגים אחרים בקונגרס, בהם מצליף הרוב בבית הנבחרים ג'ים קלייבורן, הציעו תחילה כי בית הנבחרים עשוי להעביר את סעיפי ההדחה לסנאט במועד מאוחר יותר (אולי לאחר 100 הימים הראשונים לנשיאות ביידן), ובכך יינתן לסנאט זמן דיו למסד את סדר היום של הבית הלבן החדש ולאשרר את מועמדיו של ביידן לקבינט.
עם זאת, דמוקרטים שונים בבית הנבחרים התנגדו לעיכוב, וקבעו כי טראמפ הוא "סכנה" כל אימת שהוא מכהן כנשיא, ומנהיג הרוב הדמוקרטי, סטני הוייר, הצהיר ב-14 בינואר כי סעיפי ההדחה יועברו לסנאט ללא דיחוי.
לאחר שבית הנבחרים הדיח את טראמפ, הצהיר הנשיא הנבחר ביידן: ביידן הוסיף ואמר כי בראש סדר העדיפויות נמצאת חקיקת חוק תמריצים חדש ובניית המשק האמריקאי מחדש.
הוא דן עם מקונל באפשרות "לפצל" את לוח השנה של הסנאט, כדי לאפשר את המשך משפט ההדחה תוך מתן אפשרות לאג'נדות אחרות (כמו חקיקת חוקים ומינויים לקבינט) להתקדם ללא הרף.
על פי תוכנית זו, יכול הסנאט לחלק את ימיו בין משפט ההדחה לפעולות אחרות, במקום לבזבז את כל משאביו על משפט הדחה מרוכז.
אלן פרומין , לשעבר הפרלמנטר הראשי של הסנאט, אישר כי אכן הסנאט יכול להתנהל במתכונת שכזו.
מקונל אמר לביידן כי הוא יתייעץ עם הפרלמנטרית הנוכחית של הסנאט, אליזבת מקדאנה , על אודות התנהלות במתכונת מקבילה זו.
צ'אק שומר, שיחליף את מקונל כמנהיג הרוב בסנאט, אמר כי משפט ההדחה עשוי להתחיל מידית עם כניסתו לתפקיד.
רונלד קרוטוצ'ינסקי (Krotoszynski), פרופסור למשפטים באוניברסיטת אלבמה, כתב באתר "פוליטיקו" כי ביכולת הסנאט לזרז את משפט ההדחה (להשלים את התהליך בימים אחדים, ולא במספר שבועות) באמצעות תהליך הדומה לפסק דין בהליך מקוצר.
ב-22 בינואר 2021 הכריז צ'אק שומר, מנהיג הרוב בסנאט, כי יו"ר בית הנבחרים ננסי פלוסי תעביר את סעיף ההדחה לסנאט ב-8 בפברואר, ורק אחר כך יחל משפט ההדחה.
זאת, בין היתר, כדי לאפשר את אישור מינוי מועמדיו של הנשיא ביידן לקבינט ולהעניק זמן דיו לצוות ההגנה המשפטית של הנשיא לשעבר טראמפ להתכונן למשפט.
ב-25 בינואר בית הנבחרים שלח באורח רשמי את סעיפי ההדחה אל הסנאט, 12 יום לאחר ההדחה בבית הנבחרים.
ישנו תקדים להדחה בדיעבד ולהעמדה לדין של נושא משרה פדרלית שכבר עזב את תפקידו ("הדחה מאוחרת").
בשנת 1797 הדיח בית הנבחרים את הסנאטור ויליאם בלאונט מטנסי בגין קשירת קשר.
הסנאט שפט אותו, אף על פי שכבר סילק אותו מתפקידו מוקדם יותר.
ב-1876 התפטר ויליאם בלקנאפ, מזכיר המלחמה של ארצות הברית, לאחר שערוריית עמדת המסחר בה היה מעורב.
ובכל זאת, הוא הודח בידי בית הנבחרים ועמד למשפט בידי הסנאט.
במהלך הליך הדחתו של סמואל קנט, שופט בבית המשפט המחוזי הפדרלי בדרום טקסס, חברי קונגרס רבים נקטו בעמדה לפיה התפטרותו של קנט לא תמנע ממנו לעמוד למשפט בפני הסנאט.
טרייב מבית הספר למשפטים באוניברסיטת הרווארד וסטיבן ולאדק מאוניברסיטת טקסס באוסטין טוענים כי מכיוון שהדחה סופית מתפקיד היא רק נגזרת אחת משתי אפשרויות של הרשעה בסנאט (השנייה היא פסילה עתידית לכהונה בתפקיד ציבורי נוסף), תכלית המשפט אינה בטלה לו הנידון הוא אדם שלא מאייש משרה פדרלית.
גרג נונזיאטה (Nunziata), לשעבר משפטן רפובליקני בוועדת המשפט של הסנאט, ציין גם הוא באופן דומה כי משום שסמכות ההדחה כוללת את הכוח לפסול את האדם משירות פדרלי לכל החיים (Disqualification), מה שמאפשר לנושאי משרה להתחמק מכך על ידי התפטרות גרידא, "יעניק לעונש חשוב זה אמינות".
קייט שו, פרופסורית למשפט חוקתי בבית הספר למשפטים של ישיבה יוניברסיטי, טוענת כי "ניתוח ההיסטוריה, רעיון ההדחה כשלעצמו ועיצוב חוקתי בסיסי מצביעים בבירור על החוקתיות של משפט הדחה עבור נשיא לשעבר".
המלומד המשפטי בריאן קאלט , שפרסם מחקרים על הדחות שבדיעבד, קבע כי "במקרים רבים, בית הנבחרים והסנאט המשיכו בהליך ההדחה כאילו הם יכולים להטיל דופי ולשפוט אנשים שכבר עזבו את תפקידם, ובמקרה אחד הסנאט קיים הצבעה ספציפית כהדחה שבדיעבד.
לעומת זאת, השופט בדימוס ג'ון מייקל לוטיג מבית המשפט הפדרלי הרביעי לערעורים של ארצות הברית והסנאטור טום קוטון מארקנסו טענו כי אין לסנאט הסמכות החוקתית לנהל משפט הדחה כשהמושא הוא נשיא לשעבר.
הסנאטור הרפובליקני ג'ון קורנין אמר שמשפט תקדימי זה יכול להוביל לכך שבעוד שנתיים הרפובליקנים ידיחו נשיאים דמוקרטים לשעבר, אם יהיה להם רוב בקונגרס.
סעיף 6 בפסקה השלישית של פרק 1 לחוקת ארצות הברית קובע כי משפט הדחה זה הוא ייחודי, משום שמושא ההדחה אינו נושא משרה מכהן, לכן לא ברור האם על נשיא בית המשפט העליון של ארצות הברית לנהל את המשפט במקרה של נשיא לשעבר.
ראש החוג למדע המדינה באוניברסיטת פרינסטון, קית' ויטינגטון, ציין כי הנושא "מעורער, לחלוטין ללא תקדים, ולא מובחן בכללי ותקדימי הסנאט הקיימים".
לעומת זאת, סטיב ולדאק, פרופסור למשפטים באוניברסיטת טקסס באוסטין, גורס כי "השאלה צריכה להיות האם מושא ההדחה נשיא ארצות הברית בזמן המשפט" ולכן רוברטס צריך להוביל את משפטו של טראמפ גם לאחר תום נשיאותו.
ולאדק הוסיף ואמר כי "אם טראמפ יתפטר (או כהונתו הסתיימה) באמצע המשפט, יהיה זה תמוה אם נשיא בית המשפט העליון יפנה את מקומו לסגנית הנשיא.
השקפתו של ניל קינפוף (Kinkopf), פרופסור למשפטים באוניברסיטת ג'ורג'יה, היא ש"משפט של נשיא (אפילו של נשיא לשעבר) הוא אירוע מכונן, לכן נשיא בית המשפט העליון עשוי להיות דמות מכובדת ליותר לאירוע זה".
ייתכן גם שהסנאטור פטריק לייהי ממדינת ורמונט יכול להוביל את המשפט, כיוון שהוא הנשיא הזמני של הסנאט של ארצות הברית.
ב-25 בינואר 2021 נודע כי נשיא בית המשפט העליון ג'ון רוברטס לא ינהל את משפט ההדחה, אלא הנשיא הזמני של הסנאט פטריק לייהי.
ב-12 בינואר 2021, יום לפני ההצבעה על הדחת טראמפ במליאת בית הנבחרים, מינתה יושבת ראש בית הנבחרים ננסי פלוסי תשעה דמוקרטים ל"מנהלי בית הנבחרים" במשפט ההדחה של טראמפ בסנאט: ג'יימי רסקין (המנהל הראשי), דיאנה דיגט, דייוויד סיסליני, חואקין קסטרו, אריק סוולוול, טד לו, ג'ו נגוס, מדליין דין וסטייסי פלסקט.
עד אז חתמו 218 חברים בסיעה הדמוקרטית (המונה 222 חברים) על סעיפי ההדחה, ובכך הבטיחו את העברתו אל מליאת בית הנבחרים.
המנהלים נבחרו בשל מומחיותם במשפט חוקתי, זכויות אזרח ודין פלילי.
רסקין, ראש מנהלי ההדחה, הוא פרופסור למשפט חוקתי לשעבר באמריקן יוניברסיטי.
ליו הוא תובע צבאי לשעבר בחיל האוויר של ארצות הברית, סיסליני הוא לשעבר סנגור ציבורי, סוולוול היה תובע פלילי בקליפורניה, ודיגט הייתה עורכת דין שהתמחתה בזכויות האזרח.
היתר – קסטרו, נגוס, דין ופלסקט – היו עורכי דין במשרדים פרטיים.
"מנהלי בית הנבחרים" הם למעשה התביעה במשפט, כאשר הסנאטורים הם חבר המושבעים, הפקיד הממונה הוא ה, וצוות ההגנה המשפטית של טראמפ הוא הסניגור.
ג'יימי רסקיןדיאנה דיגטדייוויד סיסליניחואקין קסטרואריק סוולוולמדליין דיןג'ו נגוסטד לוסטייסי פלסקט
צוות ההגנה המשפטית של טראמפ
רודי ג'וליאני, עורך דינו האישי ויד ימינו של טראמפ, היה צפוי לייצג אותו במהלך משפט ההדחה.
עם זאת, על פי דיווחים שונים בעיתונות האמריקאית, ממקורות שזהותם לא פורסמה, הוא מודר משיחות מוקדמות על אודות בניית ההגנה המשפטית של הנשיא, וטראמפ הורה לעוזריו להפסיק לשלם לג'וליאני.
המשפטן ג'ון איסטמן, שהצטרף לג'וליאני על הבמה בעצרת "הצילו את אמריקה" ב-6 בינואר, נחשב גם הוא לחבר פוטנציאלי בצוות ההגנה המשפטית של טראמפ.
היועץ המשפטי של הבית הלבן, פט סיפולוני , שסייע להוביל את ההגנה המשפטית של טראמפ במהלך ההדחה הראשונה, אף הוא לא השתתף בהדחה השנייה.
סיפולוני עזב את תפקידו ב-20 בינואר, מיד עם ההשבעה של ג'ו ביידן לנשיאות ארצות הברית.
ג'יי סקולוב, עורך דין אישי נוסף של טראמפ שמילא תפקיד במהלך ההדחה הראשונה, גם הוא לא הגן על טראמפ במשפט ההדחה.
עורכי דין אחרים שהגנו על טראמפ במהלך משפט ההדחה הראשון שלו, בהם התובעת הכללית של פלורידה לשעבר, פאם בונדי, מארק קסוביץ', סגן היועמ"ש של הבית הלבן פטריק פילבין והמשפטן אריק הרשמן, לא הצטרפו לצוות פרקליטיו של טראמפ.
יתרה מכך, חלק מעורכי הדין שמיאנו להצטרף לצוות ההגנה המשפטית של טראמפ, הסבירו כי מעשיו של טראמפ אינם ניתנים להגנה.
משרדי עורכי דין בולטים רבים סירבו לייצג את טראמפ בהקשר לניסיונותיו לערער על תוצאות הבחירות לנשיאות ארצות הברית 2020. קבוצת החשיבה "The Lincoln Project" לחצה בפומבי על משרדי עורכי דין שלא לייצג את טראמפ.
בסוף ינואר הקים טראמפ צוות הגנה בן חמישה עורכי דין בהובלתו של בוּץ' בָּאוורס, עורך דין מקרוליינה הדרומית, אשר סייע למושל מדינתו לשעבר מארק סנפורד לחמוק מהליך הדחה ולמושלת ניקי היילי במהלך חקירת אתיקה בעניינה.
הסנאטור לינדזי גרהאם מקרוליינה הדרומית סידר את העסקתו של באוורס בידי טראמפ.
לאחר מכן, ארבעה עורכי דין נוספים הצטרפו לצוות ההגנה תחת באוורס: דבורה ברבייר, עורכת דין פלילית מקולומביה ותובעת פדרלית לשעבר שייצגה לקוחות ידוענים ומעוררי מחלוקת; התובע הפדרלי בפועל לשעבר ג'וני גאסר; הסניגור הפלילי גרג האריס; וג'וש הווארד מקרוליינה הצפונית.
עם זאת, ארבעת עורכי הדין פרשו ב-30 בינואר, שבוע לפני תחילת המשפט.
הגורמים לעזיבות היו לטענת התקשורת, עימותיו של טראמפ עם עורכי הדין בדבר האסטרטגיה המשפטית: טראמפ רצה להתמקד בטענותיו כי לכאורה נגנבו ממנו הבחירות, בניגוד לעורכי הדין שהתעקשו להתמקד בחוקיות ההרשעה של נשיא לשעבר.
גם שכר הטרחה של עורכי הדין היווה גורם לעזיבה, שכן טראמפ לא היה מרוצה משכר הטרחה והחשבון שהוערך על ידי עורכי הדין.
לאף אחד מעורכי הדין לא שולמו הוצאות מקדמה, ולא נחתמו הַצְהָרַת כַּוָּנוֹת בין הצדדים.
ב-1 בפברואר, לאחר קריסת צוות ההגנה המשפטית, הודיע טראמפ כי דייוויד שון (Schoen) וברוס ל.
קסטור ג'וניור, לשעבר התובע הכללי בפועל של פנסילבניה, יהיו עורכי דינו.
+עמדות הסנאטורים בדבר הרשעתו של טראמפ, לפי וושינגטון פוסטמפלגהנכונים להרשעהלא ידוע דמוקרטים39801 רפובליקנים012371עצמאים1100סך הכל4021372
חברי הסיעה הדמוקרטית בסנאט תומכים פה אחד בהרשעתו של טראמפ, וקובעים כי הראיות ברורות וצלולות.
למשל, הסנאטור ריצ'רד בלומנטל מקונטיקט אמר: "הראיות הן דבריו של טראמפ עצמו, שהוקלטו בווידאו.
השאלה היא האם הרפובליקנים רוצים לעלות מדרגה ולהתמודד עם ההיסטוריה".
הסנאטורית קירסטן ג'יליברנד מניו יורק הצטרפה לבלומנטל וטענה כי "האשמה פשוטה: מדובר בהסתה להתקוממות, והיינו יכולים לנהל משפט בפרק זמן תמציתי משום שהריאיות הדרושות הן ישירות".
בהנחה שכל הסנאטורים הדמוקרטים (ושני הסנאטורים העצמאיים שבשיטתיות חוברים אליהם, ברני סנדרס ואנגוס קינג) יצביעו בעד הרשעת טראמפ, יצטרכו 17 סנאטורים רפובליקנים לחבור אליהם כדי להבטיח העברת ההרשעה ברוב של שני שלישים (67 סנאטורים).
אם טראמפ יורשע, הסנאט יוכל לפסול אותו מלמלא כל משרה פדרלית בעתיד באמצעות רוב פשוט בן 51 סנאטורים.
באמצע ינואר 2021 הביעו חמישה סנאטורים רפובליקנים את נכונותם להרשיע את טראמפ, והם ליסה מרקאוסקי, סוזן קולינס, מיט רומני, פט טומי ובן סאס.
לעומת זאת, הסנאטור לינדזי גרהאם מקרוליינה הדרומית פעל לשכנוע עמיתיו הרפובליקנים להצביע נגד ההרשעה.
מנהיג הסיעה הרפובליקנית בסנאט, מיץ' מקונל, אמר לעמיתיו כי ההחלטה אם להרשיע את הנשיא היוצא תהיה "הצבעת מצפון", והוסיף כי הוא עצמו עדיין מתלבט האם להצביע בעד ההרשעה או נגדה.
סעיף 6 של החלק השלישי בפרק 1 לחוקת ארצות הברית, קובע כי על פי כללי ההדחה בסנאט שהתקבלו בשנת 1986, הגשת מסמכי ההדחה אל הסנאט משיקה את משפט ההדחה.
ב-13 בינואר חתמה ננסי פלוסי, יו"ר בית הנבחרים, על מסמכי ההדחה.
ב-25 בינואר הועברו המסמכים באורח רשמי אל הסנאט.
הנשיא הזמני של הסנאט בדימוס, צ'אק גראסלי, נשבע לאחר מכן כפקיד הממונה הנוכח במליאה, בשעה שהנשיא הזמני פטריק לייהי השביע אמונים את יתר חברי הסנאט כחבר המושבעים של המשפט.
כל סנאטור חתם אז בספר ההשבעה, כל אחד מהם נדרש לשאת שבועה או לחלופין לדקלם הצהרה:
קצינת משמר הסנאט בפועל, ג'ניפר המינגוויי, הקריאה לאחר מכן בקול את ההכרזה הבאה לציון תחילת המשפט:
זימונו של טראמפ למשפט יצא לפועל באותו היום.
ערעורו של ראנד פול על המשפט
הסנאטור הרפובליקני ראנד פול, אחד משני נציגיה של קהיליית קנטקי, כפה על הסנאט ב-26 בינואר הצבעת "טיעון סדר" מתוך כוונה לדחות את האישום של בית הנבחרים, בתואנה כי אין זה חוקתי להדיח נשיא ארצות הברית לשעבר.