tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
חבורת גלואה האבסולוטית של המספרים הרציונליים (ובאופן כללי יותר, של שדות מספרים) היא אחד האובייקטים המרכזיים הנחקרים במסגרת תורת המספרים האלגברית.
חבורת גלואה האבסולוטית היא חבורה פרו-סופית, המתקבלת כגבול פרויקטיבי של חבורות גלואה של ההרחבות הסופיות.
בדרך כלל קשה לחשב את חבורת גלואה האבסולוטית; אפילו על חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונלים מעט מאוד ידוע.
עם זאת, יש מקרים שבהם ניתן לחשב את החבורה:
חבורת גלואה האבסולוטית של שדה סגור ספרבילית היא טריביאלית.
חבורת גלואה האבסולוטית של שדה המספרים הממשיים היא חבורה ציקלית מסדר 2 (הסגור הספרבילי הוא שדה המספרים המרוכבים ואיברי החבורה הם אוטומורפיזם הזהות ואוטומורפיזם ההצמדה).
חבורת גלואה האבסולוטית של שדה סופי היא ההשלמה הפרו-סופית של השלמים, כלומר .
ידוע ייצוג (פרו-סופי) עם מספר סופי של יוצרים ויחסים עבור חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מקומי.
חבורת גלואה האבסולוטית של שדה פונקציות , כאשר סגור אלגברית, היא (פרו-סופית) חופשית מדרגה השווה לעוצמה של .
נסמן ב- את המנה המקסימלית של שהיא חבורת-p.
אם שדה מקומי ממאפיין , אז חופשית (Shafarevich).
אם הרחבה סופית של , אז היא חבורה (פרו-סופית) בעלת יחס יחיד.
אין לחבורה איברים מסדר סופי, פרט אולי לאיברים מסדר 2 (משפט של Artin-Schreier משנות ה-20 של המאה ה-20).
משפט קרונקר-ובר מתאר את המנה האבלית הגדולה ביותר של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים.
לפי השערת שפרביץ', חבורת גלואה האבסולוטית של השדה המתאים היא (פרו-סופית) חופשית.
אם יריעה אלגברית מוגדרת מעל שדה , אז חבורת גלואה האבסולוטית של פועלת על ולכן על כל חבורות הקוהומולוגיה של .
בהצגות הללו טמון מידע על תכונות אריתמטיות של .
בעיית ההיפוך של תורת גלואה שואלת האם כל חבורה סופית היא חבורת גלואה של הרחבה סופית של הרציונלים.
ניסוח שקול הוא האם כל חבורה סופית היא מנה של חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונלים.
תוכנית לנגלנדס מקשרת בין הצגות -ממדיות של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים להצגות אוטומורפיות של החבורה .
השערת ון דר ורדן קובעת שהסיכוי הסיכוי לכך שחבורת גלואה של פולינום מתוקן ממעלה n עם מקדמים שלמים הקטנים בערכם המוחלט מערך נתון H אינה החבורה הסימטרית חסום על ידי כפולה קבועה של .
את ההשערה הוכיח מנג'ול בהרגבה ב-2021 .
בתורת החבורות, חבורה שלמה היא חבורה שהמרכז שלה טריוויאלי, וכל אוטומורפיזם שלה הוא פנימי, כלומר, מן הצורה עבור איבר קבוע בחבורה.
אם היא חבורה כזו, אז יש איזומורפיזם טבעי מ- לחבורת האוטומורפיזמים שלה, , המוגדר לפי .
לדוגמה, החבורות הסימטריות הן שלמות לכל .
אם חבורה פשוטה לא אבלית סופית, אז שלמה, כלומר .
לפי משפט של Dyer-Formanek (1974), חבורת האוטומורפיזמים של חבורה חופשית לא אבלית מדרגה סופית היא שלמה.
התכונה החשובה ביותר של חבורות שלמות כרוכה בהתנהגות שלהן כתת-חבורות נורמליות בחבורות אחרות.
אם תת חבורה נורמלית של , ו- שלמה, אז היא מרכיב ישר של , כלומר, קיים פירוק של כמכפלה ישרה .
גם ההפך נכון: אם חבורה אינה יכולה להופיע כתת-חבורה נורמלית של חבורה בלי להיות מרכיב ישר שלה, אז היא שלמה.
בתורת החבורות, חבורת האוטומורפיזמים של חבורה , שסימונה המקובל , היא אוסף כל האוטומורפיזמים של החבורה לעצמה, כלומר, אוסף הפונקציות ההפיכות , המקיימות את התנאי (מאקסיומה זו נובע גם כי , כאשר הוא איבר היחידה של ).
תהי חבורה עם פעולת ההצמדה .
חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים הוא תת-חבורה נורמלית של , שאותה מסמנים .
הפונקציה המעתיקה את האיבר לאוטומורפיזם ההצמדה היא הומומורפיזם, שתמונתו היא , והגרעין שלו הוא המרכז של .
ממשפט האיזומורפיזם הראשון נקבל כי .
אם G בעלת מרכז טריוויאלי, אז יש שיכון .
אם השיכון הזה הוא על, החבורה שלמה.
כאשר G בעלת מרכז טריוויאלי, גם חבורת האוטומורפיזמים בעלת מרכז טריוויאלי.
עובדה זו מגדירה את "מגדל חבורות האוטומורפיזמים" .
לפי משפט של Wielandt, המגדל הזה סופי לכל חבורה סופית (בעלת מרכז טריוויאלי).
אוטומורפיזם שאינו פנימי נקרא "חיצוני".
תוך שיבוש קל של הטרמינולוגיה, חבורת המנה נקראת חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים של .
לחבורה אבלית אין אוטומורפיזם פנימי לא טריוויאלי, אולם בחבורות בעלות מרכז טריויאלי, מאתגר לבנות אוטומורפיזמים חיצוניים, ולרוב חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים של החבורה קטנה ביחס אליה.
חבורה בעלת מרכז טריוויאלי ללא אוטומורפיזמים חיצוניים נקראת חבורה שלמה.
חבורת האוטומורפיזמים של חבורת השלמים החיבורית היא כאשר הוא אוטומורפיזם הזהות ו- הוא האוטומורפיזם השולח כל ל-.
מאחר שזו חבורה אבלית, היא חבורה טריוויאלית.
חבורת האוטומורפיזמים של החבורה הציקלית מסדר , שסימונה , היא חבורת אוילר מסדר וסימונה .
עבור ראשוני, חבורת האוטומורפיזמים של המכפלה הישרה היא חבורת המטריצות .
חבורת בשן היא חבורה גאולוגית הכוללת את סדרת הסלעים הגעשיים אשר הורבדו במסגרת הפעילות הגעשית באזור הבשן וברמת הגולן במהלך חמשת מיליוני השנים האחרונות.
ניתן למצוא סלעים מחבורת בשן גם בגליל ובדרום לבנון.
בחבורה חמש תצורות גאולוגיות, מהן שלוש בתחומי הגולן, אשר נוצרו בשלושה אירועים געשיים: בזלת הכיסוי העתיקה ביותר, המונחת על סלעי הקירטון, תצורת אורטל המונחת מעליה ותצורת "קילוחי גולן" הצעירה המונחת למעלה.
חבורה זו מהווה מרכיב חשוב בגאולוגיה של הגולן.
חבורת בשן מורכבת ממספר תצורות גאולוגיות עיקריות שגילן הוא החל מלפני 5.5 מיליון שנה ועד ההווה:
בזלת הכיסוי (מסומנת Pβc במפות הגאולוגיות) היא שכבת בזלת מתקופת הפליוקן התחתון, שגילן החל מ-3.5 מיליון שנה ועד 5.5 מיליון שנה.
בזלת הכיסוי מכסה שטחים רחבים בדרום רמת הגולן ובגליל התחתון המזרחי, מראש פינה עד לבית שאן.
בזלת הכיסוי נפוצה גם מחוץ למרחבי ארץ ישראל ומשתרעת על פני שטחים נרחבים בדרום סוריה עד הר הבשן, ובצפון ירדן - באזור אירביד.
שכבות בזלת הכיסוי נמצאות ברמות הגבוהות משני צידי הבקע הסורי-אפריקני ולא בעמקים של הבקע עצמו.
מכאן כי הן בקעו מבטן האדמה לפני היווצרות הבקע.
גיל בזלת הכיסוי נדגם ונבדק בשיטת תיארוך אשלגן-ארגון (תיארוך K-Ar), ונאמד לתקופה שמלפני 5 מיליון שנה - ראשית תקופת הפליוקן.
מכאן שהבקע הסורי-אפריקני מאוחר יותר.
נקראה בעבר בזלת משכי (Pβm).
התצורה כוללת מספר קילוחי בזלת מתקופת הפליוקן העליון, וגילן נע בין 1.8 ל-3.3 מיליון שנה:
קילוחי רומן-ירדה - קרויים על שם תל רומן, חרוט לבה הנמצא בצפון רמת כורזים (ליד כפר הנשיא).
בזלות רומן מצויות בצפונה של רמת כורזים ובאזור משמר הירדן וחורבת ירדה.
קילוחי רומן נמצאו גם בדרום-מערב רמת הגולן, למשל באזור יהודיה ובאזור שיורד מקצרין אל עמק הבטיחה, אולם הן כוסו בהמשך על ידי קילוחי יהודיה-דלווה.
קילוחי דלתון - מצויים ברמת דלתון הבזלתית.
ברמת דלתון מצוי חרוט לבה אחד (הר יוחנן, מדרום לכרם בן זמרה) ומספר חרוטי אפר (חרוט דלתון וחרוט ריחניה).
בנוסף, בזלת דלתון מצויה גם ברמת יראון.
בזלת משכי (על שמה נקראה התצורה בעבר) - בזלת המצויה בערוץ נחל חצבני (שניר) בדרום לבנון, החל מכפר משכי (Kfar Mechki) מזרחית לאגם קרעון, ועד עמק החולה.
באזור עמק החולה כוסתה בזלת זו מאוחר יותר על ידי "בזלת חצבני".
מצויה במרכז רמת הגולן וכן בצפון עמק החולה.
הבזלות הן מתקופת הפליסטוקן התחתון, וגילן 0.7–1.6 מיליון שנה:
קילוחי יהודיה-דלווה - היחידה העיקרית בתצורה זו.
קילוחי בזלת אלה קרויים על שם הכפר הסורי הנטוש דלווה, מצפון לאורטל.
קילוחי דלווה הם קילוחים אשר נבעו ממספר מקורות במרכז רמת הגולן.
משם קלחה הבזלת מערבה ודרום מערבה לכיוון עמק החולה והכנרת.
בין קילוחי הבזלת ישנם שכבות של קרקע מאובנת (פלאוסול) המעידות על תקופות שקטות מספיק להיווצרות הפלאוסול בין תקופות ההתפרצות של הבזלת.
סקוריה שיבן - יחידה המרכיבה חרוטי אפר כמו תל שיבן ליד שעל ותל שעף א-סינדיאן (מדרום לרכס בשנית), על גבי בזלת דלווה.
כמו כן ניתן למצוא על גבי בזלת דלווה מבנה ייחודי של חרוט טבעת.
מדובר בשקע מעוגל ובמרכזו תל סקוריה נמוך, כאשר כיפת התל בנויה בזלת.
תלי הטבעת על גבי בזלת דלווה משויכים גם כן לסקוריה שיבן.
בזלת ירמוך - בזלת מדרום סוריה אשר זרמה בערוץ הירמוך לפני כ-0.8 מיליון שנה.
בזלת חצבני - בזלת אשר קלחה מאזור הכפר חלתא בדרום לבנון וזרמה דרומה עד אזור קריית שמונה.
בצפון עמק החולה כיסתה כאמור בזלת חצבני את קילוחי בזלת משכי.
קילוחי גולן נפוצים בצפון הגולן ומרכזו.
סלעי התצורה נוצרו בפעילות געשית שהחלה לפני כ-0.5 מיליון שנים והסתיימה כ-0.1 מיליון שנים לפני זמננו.
סלעי תצורה זו הם הצעירים ביותר ברמת הגולן.
קילוחי מוויסה - מספר קילוחי בזלת שגילן כ-0.32–0.37 מיליון שנה.
קילוחי מוויסה (על שם הכפר הסורי הנטוש מוויסה, ממערב להר בנטל) קלחו על בזלת דלווה וכיסו אותה באופן חלקי.
בין שני קילוחי הבזלת מצוי פליאוסול עבה יחסית.
בזלת מוויסה היא טרשית פחות מבזלת דלווה ומרבית השטחים החקלאיים נמצאים על גביה.
סקוריה אודם - סקוריה המרכיבה את מרבית חרוטי האפר בקו התילים במזרח הגולן.
סקוריה אודם וחרוטי האפר נוצרו לפני כ-0.11–0.12 מיליון שנה.
קילוחי עין זיוון - קילוחי בזלת אשר נוצרו באותה תקופה של פעילות געשית כמו סקוריה אודם.
הקילוחים נבעו מחרוטי האפר של סקוריה אודם או מסדקים נוספים תוך יצירת חרוטי לבה על בזלת מוויסה.
גילן מתוארך לסביבות 0.10–0.13 מיליון שנה.
טוף אביטל - יחידת סלע המורכבת מטוף, פצצות געשיות, סקוריה דקה ורסיסי בזלת מרובדים היטב, אשר נוצרו בהתפרצויות הפריאטו-מגמתיות של הר אביטל לפני כ-0.1 מ"ש.
לאחר התפרצויות אלה נבעו קילוח אביטל וקילוח בנטל לכיוון מערב.
בעקבות ההתפרצויות התרוקן תא המגמה ומרכז ההר שקע ויצר את בקעת אביטל.
טוף אביטל נמצא בסביבה הקרובה להר אביטל (פציאס מרום גולן) ומזרחה ממנו, בבקעת קוניטרה (פציאס קוניטרה).
בזלת רקד - קילוחי בזלת שגילן 0.35–0.48 מיליון שנה אשר נבעו ככל הנראה מתל חדר (כ-7 ק"מ צפונית-מזרחית למג'דל שמס) בשטח סוריה וזרמו דרומה עד ערוץ נחל רקד.
משם המשיכה הבזלת לזרום בערוץ הרקד עד חיבורו לירמוך ומשם המשיכה בזרימה עד אזור בקעת כנרות (מדרום לכנרת).
בסך הכול זרמה הבזלת מרחק של כ-90 ק"מ.
בזלת כרמים - שני קילוחים של בזלת חרסיתית וביניהם פליאוסול עבה.
גיל הקילוח הראשון הוא 0.3–0.8 מ"ש וגיל הקילוח העליון הוא כ-0.25 מ"ש.
בזלת כרמים נמצאת בחלק הצפוני של בריכת רם ומצפון להר כרמים.
טוף בריכת רם - יחידת טוף הנמצאת בעיקר באזור שממזרח וממערב לבריכת רם.
טוף זה נוצר ככל הנראה בעת התפרצות הר הגעש שהיה במקום לפני כ-0.13 מ"ש.
בזלת סער - אחד מקילוחי הבזלת הצעירים ביותר בגולן (יחד עם קילוח אביטל).
בזלת סער מצויה בעיקר באפיק נחל סער.
נבעה כנראה מהר אודם ומשם זרמה באפיק הנחל עד הבניאס, לאורך כ-8 ק"מ.
תצורה זו מכילה את הבזלות הצעירות ביותר באזורנו, אשר נוצרו בתקופת ההולוקן.
בזלת אל-ווערה קלחה מתל חדר שבסוריה לכיוון מזרח.
קילוח זה יצר את הלג'ה הקטנה - שטח בזלתי טרשי מאוד אותו כבש צה"ל במלחמת יום הכיפורים.
גילה של בזלת אל-ווערה הוא כ-62,000 שנים.
ייתכן כי הג'ובות ברמת הגולן נוצרו באותה תקופה.
ההתפרצות האחרונה הידועה באזור אירעה ככל הנראה באזור הלג'ה הגדולה לפני כ-4,000 שנים.
בטופולוגיה אלגברית ניתן לבנות לכל מרחב טופולוגי מנוקד (כלומר, עם בחירה של נקודת בסיס) סדרה של חבורות, המכונות חבורות ההומוטופיה, ומסומנות .
חשיבותן בכך שהן תורמות למחקר טיפוס ההומוטופיה של המרחב.
חבורת ההומוטופיה הראשונה אינה אלא החבורה היסודית של המרחב; בניית חבורות ההומוטופיה מכלילה את בנייתה של החבורה היסודית באופן טבעי.
בעזרת חבורות ההומוטופיה ניתן לחקור תכונות טופולוגיות נוספות של המרחב, אותן החבורה היסודית לא תמיד מצליחה "לתפוס".
בפועל, לא ידועות חבורות ההומוטופיה גם למרחבים הנחשבים פשוטים, כמו ספירה.
לכל מגדירים את חבורת ההומוטופיה ה-, המסומנת , להיות קבוצת העתקות (כאשר היא הספירה ה- ממדית), עד כדי הומוטופיה ביחס לנקודה.
באופן שקול, ניתן להגדיר את איבריה בתור קבוצת ההעתקות מההיפרקובייה עד כדי הומוטופיה ביחס לשפת הקוביה .
ההגדרה השנייה נוחה יותר (כך למשל מוגדרת החבורה היסודית ).
ההגדרות שקולות, שכן אם מזהים את כל השפה של הקוביה לנקודה אחת, מקבלים את הספירה.
עבור קבוצה זו מהווה חבורה עם פעולת השרשור, שמוגדרת בתור הדבקת שתי קוביות על אחת הצלעות ב"קצב כפול", בדומה להגדרת הפעולה בחבורה היסודית.
חבורות ההמוטופיה מהוות פונקטור בין מרחבים טופולוגיים לחבורות.
זהו אינווריאנט עד כדי שקילות הומוטופית (לכל מרחבים שקולים הומוטופית אותן חבורות הומוטופיה).
בעזרת חבורות ההומוטופיה ניתן להבין את התכונות ההומוטופיה של המרחב.
ראשית, (באופן כללי) על לא ניתן להגדיר מבנה טבעי של חבורה.
קבוצה זו מזוהה באופן טבעי עם מרכיבי הקשירות המסילתית של המרחב.
מאידך, למשל במקרה של חבורת לי, ההומוטופיה האפס היא חבורת המנה , כאשר הוא רכיב הקשירות של היחידה.
כאמור לעיל, לכל על יש מבנה טבעי של חבורה.
עבור חבורה זו היא אבלית.
כדי להוכיח זאת, יש להביט בהעתקות , לכווץ אותן מעט, לסובב ואז להרחיב חזרה (מה שלא אפשרי במקרה החד־ממדי).
הבחנה חשובה נוספת היא שבחבורת הומוטופיה כללית, בניגוד לחבורה היסודית, יש משמעות לנקודת הבסיס.
במרחב קשיר מסילתית, כל החבורות איזומורפיות, אך אינן זהות.
במרחב פשוט קשר אפשר שלא להתייחס לנקודת הבסיס לכל חבורות ההומוטופיה - הן שוות זהותית.
שקילות הומוטופית חלשה ומשפט וייטהד
כאמור לעיל, חבורת הומוטופיה ספציפית נותנת מידע חלקי בלבד על המרחב.
על כן, מגדירים יחס חלש יותר - שני מרחבים נקראים שקולים הומוטופית במובן החלש אם קיימת ביניהם העתקה , המכונה שקילות הומוטופית חלשה, כזו שלכל ההעתקה הנתונה על ידי היא איזומורפיזם חבורות.
המשפט הבא הוא משפט חזק מאוד הנותן מידע מלא על טיפוס ההומוטופיה בעזרת חבורות ההומוטופיה:
משפט וייטהד: אם שקילות הומוטופית חלשה בין מרחבי CW קשירים מסילתית, אז היא שקילות הומוטופית בין המרחבים.
הדרישה שתהיה פונקציה אחת שמקיימת את תנאי המשפט היא הכרחית - גם אם כל החבורות איזומורפיות על ידי העתקות שונות, לא מובטחת שקילות הומוטופית.
מרחב אספרי (Aspherical space) הוא מרחב שכל חבורות ההומוטפיה טריוויאליות עבור .
כל מרחב בעל מרחב כיסוי אוניברסלי כוויץ (למשל, טורוס) הוא מרחב אספרי.
במרחבי CW גם ההפך נכון - מרחב CW הוא אספרי אם ורק אם מרחב כיסוי האוניברסלי שלו (שתמיד קיים) הוא מרחב כוויץ.
מינוח כללי יותר הוא מרחב אילנברג-מקליין - זהו מרחב בו יש רק חבורת הומוטופיה אחת לא טריוויאלית.
לכל חבורה ומספר טבעי , מסמנים ב- מרחב אילנברג-מקליין בעל חבורת הומוטופיה מסדר .
למשל, המעגל הוא , המרחב הפרויקטיבי הממשי האינסופי הוא מרחב .
מרחב כזה לא תמיד קיים, אך משפט חשוב קובע כי לכל חבורה אבלית ולכל קיים מרחב יחיד כד כדי שקילות הומוטופית.
בנייה זו נעשית על ידי מרחב מור ומערכת פוסטניקוב.
חישוב חבורות ההומוטופיה בפועל הוא קשה, וגם חבורות ממד גבוה של מרחבים שנראים פשוטים אינן ידועות.
בניגוד לחבורה היסודית, עבורה יש שיטות חישוב שונות (הבולטות הן מרחבי כיסוי ומשפט ואן קמפן), או חבורות ההומולוגיה אותן ניתן לחשב אלגוריתמית במקרים רבים, אין שיטה כללית לחשב את חבורות ההומוטופיה, בשיטות כמו רדוקציה.
חבורות ההומוטופיה היחסיות אגדי סיבים , שהם הכללות של מרחבי כיסוי, נותנים מידע מועט ונקודתי מאוד.
בכל זאת, במהלך שנות השמונים פותחו שיטות שונות לחישוב חבורות ההומוטופיה.
Graham Ellis ו- Roman Mikhailov הציגו שיטה תיאורתית לחשב את החבורות למרחבים מסוימים (לפרטים, ראו בקריאה נוספת).
משפט הורוויץ מקשר בין חבורות ההומולוגיה לחבורות ההומוטופיה במקרה של מרחבים n-קשירים.
בעזרת כלים שונים מתורת ההומוטופיה, כמו חבורות ההומוטופיה היחסיות, קומפלקסים, אגדי סיבים וכלים נוספים, ניתן להוכיח את התוצאות הבאות:
המרחב הפרויקטיבי מעל המרוכבים :
אם מרחב CW בעל עם תא אפס ממדי אחד (כלומר, קשיר מסילתית), ומכל שאר הממדים לפחות תאים, אז .
חבורת איינשטיין היא סדרת טלוויזיה מונפשת אמריקאית בהפקת בייבי איינשטיין (שהייתה בזמנו בבעלות חברת וולט דיסני) ו-Curious Pictures, אשר פותחה על ידי דאגלס ווד.
הסדרה שודרה במקור בערוץ דיסני ברצועת השידור פלייהאוס דיסני החל מ-9 באוקטובר 2005 עד 22 בדצמבר 2009, במשך 2 עונות ו-67 פרקים באורך 24 דקות.
בישראל הסדרה שודרה בדיבוב עברי בהפקת אולפני דאבי דאב בערוץ הופ!
בין השנים 2007–2009, ומאוחר יותר בשידורים חוזרים בערוץ דיסני ג'וניור.
החל משנת 2019 הסדרה זמינה בשירות הסטרימינג דיסני+.
בישראל הסדרה לא זמינה בשירות, אף על פי שהיא קיימת בשירותים במדינות אחרות בדיבוב עברי חדש שנעשה באולפני אלרום.
הסדרה זכתה להצלחה רבה, ובעקבות כך יצאו לה מוצרים נלווים, כגון קלטות וידאו, ספרים ומשחקים.
הסדרה עוסקת בארבעה ילדים שעוברים הרפתקאות מסביב לעולם בספינת חלל.
בכל פעם יש להם משימה להשלים, ובמהלך כל מסע הם נקלעים למצב מאתגר אשר עליהם לעבור בשלום.
לכל דמות בסדרה יש תחביב אחר הקשור במוזיקה, בו היא משתמשת כדי לעזור לחבורה להתגבר על אתגרים, באופן אינטראקטיבי יחד עם קהל הצופים.
הסדרה נועדה ללמד את קהל היעד שלה - ילדים ופעוטות, על אמנות ומוזיקה, ועושה זאת על ידי שילוב מוזיקה קלאסית וציורים מפורסמים בסדרה.
כל פרק בסדרה מסתיים במעין סיכום המסע - לאחר הקריאה הקבועה: "המשימה הושלמה!", הדמויות מציגות לקהל את המוזיקה והציור עליהם התבסס הפרק, על רקע של במת תיאטרון, וכולם מוחאים כפיים.
ליאו (Leo) (איתי ג'רופי) - ילד בן 6, מנהיג החבורה.
תחביבו הגדול הוא ניצוח, והוא עושה זאת בעזרת השרביט שלו, שתמיד איתו.
ליאו הוא אחיה הגדול של אנני.
אנני (Annie) (עדי טרבס) - ילדה בת 3 (בת 4 מפרק 6 של הסדרה), אחותו הקטנה של ליאו.
תחביבה הוא כתיבת שירים ושירתם.
היא אוהבת בעלי חיים אך פוחדת מעכבישים.
ג'ון (June) (נועה פלדמן) - ילדה בת 6. תחביבה הגדול הוא ריקוד.
אוהבת להתבונן בכוכבים בעזרת הטלסקופ שלה.
קווינסי (Quincy) (איתי ליפשיץ) - ילד בן 5, אוהב לנגן על כלי נגינה שונים.
החביבים עליו הם הגיטרה, החצוצרה והכינור שלו.
טיל (Rocket) - ספינת חלל קטנה ואדומה עליה מפקח ליאו.
טיל אינו מדבר, אלא מעביר מסרים בצלילי מרימבה.
טיל מסוגל להפוך לסוגים שונים של כלי רכב בלחיצת כפתור.
המטוס הגדול (Big Jet) - מטוס קרב מדגם מיג-29. האויב של טיל וחבורת איינשטיין, מופיע במספר פרקים כדמות הנבל בסדרה.
עונהפרקיםתאריך שידור מקורי תאריך שידור בישראל שידור אחרוןשידור אחרוןשידור ראשוןשידור אחרון1289 באוקטובר 200520 בנובמבר 20061 ביולי 200728 בינואר 200923913 בינואר 200722 בדצמבר 200929 בינואר 200927 באוגוסט 2009
בתורת החבורות, חבורת-p היא חבורה שהסדר של כל איבר בה הוא חזקה של .
קיימת מחלקה כזו של חבורות לכל מספר ראשוני , והן נקראות, בהתאמה, חבורות-2, חבורות-3, חבורות-5, וכן הלאה.
לפי משפט קושי, חבורה סופית היא חבורת-p אם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של .
התאוריה של חבורות-p היא מרכיב חשוב בתורת החבורות הסופיות, משום שכל חבורה סופית מכילה תת-חבורות-p (כל תת-חבורת-p מקסימלית של חבורה סופית היא מאינדקס זר ל-p: משפטי סילו).
מאידך, המיון השלם של חבורות-p קשה, ומספרן גדל בקצב על-אקספוננציאלי.
שוויון המחלקות מראה שהמרכז של חבורת-p הוא לא-טריוויאלי.
מכאן נובע (באינדוקציה על סדר החבורה) שהמנרמל של כל תת-חבורה אמיתית של חבורת-p, מכיל אותה ממש.
כל מכפלה ישרה של חבורות-p סופיות (גם לערכים שונים של ) היא חבורה נילפוטנטית, וגם ההפך נכון: כל חבורה נילפוטנטית סופית מתפרקת למכפלה ישרה של חבורות-סילו שלה.
חבורת-p נקראת חזקה (powerful) אם תת-החבורה הנוצרת על-ידי החזקות (או אם p=2) מכילה את תת-חבורת הקומוטטורים.
עבור מספרים מאותו סדר גודל, מספר החבורות (עד כדי איזומורפיזם) מסדר הוא הגדול ביותר כאשר הוא חזקה של ראשוני.
Graham Higman (1960) ו-Sims (1965) הוכיחו שמספר החבורות מסדר גדל כמו .
יש חבורה יחידה מכל סדר ;
5 חבורות מסדר ; ו-15 חבורות מסדר .
מספר החבורות מסדר הוא ועוד גורם בגודל חסום התלוי ב-;
מספר החבורות מסדר הוא ועוד גורם ליניארי התלוי ב-;
מספר החבורות מסדר הוא ועוד גורם ממעלה רביעית התלוי ב-.
חישובים אלה, שנערכו בדייקנות, הביאו את Higman לשער השערה שנודעה בשם "The PORC conjecture" (על-שם ראשי התיבות Polynomials On Residue Classes), שלפיה לכל יש גדול מספיק כך שמספר החבורות מסדר (עבור גדול מספיק) הוא פולינום מסוים של , התלוי ב- בלבד.
החבורות מכל סדר , עבור (וכאשר , עבור ) מויינו באופן מלא.
משערים שאם חבורת-p מסדר שאינו או , אז הסדר של חבורת האוטומורפיזמים מתחלק בזה של .
חבורת האוטומורפיזמים החיצונית של חבורת-p לא אבלית תמיד כוללת איבר מסדר (Gashutz, 1966).
השאלה האם תמיד קיים אוטומורפיזם חיצוני (כלומר אוטומורפיזם שאינו פנימי) מסדר p עודנה פתוחה.
חבורת פרטיני והצגות לפי יוצרים ויחסים
חבורת פרטיני של חבורת-p היא תת-החבורה הנוצרת על ידי תת-חבורת הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה.
לכן היא מהצורה עבור מתאים.
במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי איברים, אבל לא פחות.
המנה איזומורפית לחבורת ההומולוגיה הראשונה: .
את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה : גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי r בהצגה של החבורה (מקור: Serre, Galois Cohomology, סעיף I.4.3).
משפט גולוד-שפרביץ' קובע שבחבורת-p סופית, r>d^2/4.
בעיית האיזומורפיזם המודולרי (האם אלגברת החבורה , כאשר היא חבורת-p, קובעת את עד-כדי איזומורפיזם) נפתרה לשלילה: ראו אלגברת חבורה.
במתמטיקה, ובפרט בתורת גלואה, חבורת גלואה של הרחבת שדות היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה , המעבירים כל איבר של השדה לעצמו.
חבורה זו נקראת על שם אווריסט גלואה, אבי תורת החבורות.
לחבורה זו חשיבות גדולה באפיון ההרחבה , זאת בזכות המשפט היסודי של תורת גלואה המציג את הקשר בין שדות הביניים של ההרחבה, לבין התת-חבורות של חבורת הגלואה של ההרחבה.
יהי שדה, ותהי הרחבת שדות.
חבורת הגלואה של ההרחבה , המסומנת או או , מוגדרת להיות
כאשר היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה .
קל לבדוק שזאת אכן חבורה.
חבורת הגלואה של ההרחבה היא קבוצה המכילה שני איברים: את העתקת הזהות, ואת העתקת ההצמדה.
זאת מאחר שאם בחבורת הגלואה של ההרחבה, מתקיים
במעבר האחרון השתמשנו בכך ש- מעתיקה את איברי לעצמם.
באופן דומה, ניתן להראות כי חבורת הגלואה של ההרחבה מכילה שני איברים: העתקת הזהות והעתקת ההצמדה: .
חבורת הגלואה של ההרחבה מכילה רק את העתקת הזהות.
יתרה מזאת, חבורת האוטומורפיזמים של מכילה רק את העתקת הזהות.
כדי להוכיח זאת, יש לשים לב שאוטומורפיזם של מעביר כל מספר חיובי למספר חיובי, מאחר ש- ולכן שומרת על יחס סדר.
אזי חבורת הגלואה של היא חבורת האוטומורפיזמים של , כלומר .
זאת מאחר שהומומורפיזם של שדות מעביר את המספרים השלמים לעצמם, ולכן גם את המספרים הרציונליים לעצמם.
יהי מספר ראשוני, ותהי הרחבת שדות, אזי באופן דומה חבורת הגלואה של היא חבורת האוטומורפיזמים של , כלומר .
זאת מאחר שאם בחבורה, מתקיים .
מאחר ש- בסיס, נובע כי היא בהכרח העתקת הזהות.
תהי תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של .
נגדיר את שדה השבת של כקבוצה הבאה:
כלומר, שדה השבת של הוא קבוצת כל האיברים מהשדה שכל איברי מותירים אותם במקומם.
קל לבדוק כי זה אכן שדה.
מתקיים כי אם הרחבת שדות ו- אזי .
שוויון לא בהכרח מתקיים, למשל אם ו-, אז ראינו קודם כי מכילה רק את העתקת הזהות ולכן מתקיים כי
אם ההרחבה מממד סופי, מתקיים כי , כאשר אגף שמאל הוא גודל חבורת הגלואה ואגף ימין הוא ממד ההרחבה.
השוויון מתקיים אם ורק אם הרחבת גלואה.
הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר שהן מקיימות את המשפט היסודי של תורת גלואה.
הלמה של ארטין: יהי שדה, ותהי תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של .
בתורת החבורות, המשפחה של חבורות מתיו היא משפחה קטנה של חבורות סופיות, מהן פשוטות, המתאפיינות בפעולה רב-טרנזיטיבית.
בהקשרים שונים, מונים מחמש ועד שמונה חבורות מתיו.
לפי הגרסה המרחיבה, כוללת המשפחה את החבורות ו-, שמהן הן חבורות פשוטות ספורדיות - הראשונות שהתגלו במסגרת מיון החבורות הפשוטות הסופיות אחרי חבורות התמורות הזוגיות (גם פשוטה, אלא שהיא איזומורפית לחבורת המטריצות ).
אכן, את החבורות בנה אמיל לאונרד מת'יו , 1835-1890, במאמרים שפרסם בשנים 1861–1873. הבניה נעשתה ריגורוזית ב-1937 על ידי ארנסט ויט.
החבורה היא תת-חבורה מאינדקס 2 של , כאשר הוא אוטומורפיזם פרובניוס של השדה (שתי האחרות הן ו-), ולכן היא פועלת על הישר הפרויקטיבי .
פעולה זו היא פעולה 3-טרנזיטיבית חדה.
אם מוסיפים ל- את התמורה , כאשר יוצר של השדה מסדר 9, המקיים , מתקבלת החבורה , שפעולתה על היא 4-טרנזיטיבית-בחדות.
חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר , שהיא היחידה עם פרמטרים אלו.
כשמוסיפים לזה את התמורה , מתקבלת החבורה , שפעולתה על היא 5-טרנזיטיבית-בחדות.
חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר , היחידה עם פרמטרים אלו.
החבורה פועלת באופן טבעי על 16+4+1=21 הישרים הפרויקטיביים.
הרחבה שלה הפועלת על 22 נקודות עם מייצב של נקודה השווה לחבורה הקודמת, נקראת .
הפעולה של חבורה זו היא 3-טרנזיטיבית, ואינה חדה (המייצב של שלשת נקודות הוא מסדר 48).
זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 בחבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר .
החבורה מוכלת בחבורה הפועלת באופן 4-טרנזיטיבי על 23 נקודות, כך שהמייצב של נקודה הוא (ולכן המייצב של ארבע נקודות הוא מסדר 48); זוהי חבורת האוטומורפיזמים של ; ובסופו של דבר, חבורת האוטומורפיזמים של המערכת פועלת על 24 הנקודות באופן 5-טרנזיטיבי, עם מייצב של נקודה השווה ל-.
באלגברה ובגאומטריה אלגברית, חבורת גרותנדיק היא חבורה אבלית המותאמת לחוג נותרי ומאפשרת לרכז מידע על מבנה המודולים הפרויקטיביים מעליו.
באופן כללי יותר, החבורה מוגדרת לגבי מונואידים (המקרה הקודם מתקבל על ידי בחירה של מונואיד של מודולים מסוימים מעל החוג) ולגבי קטגוריות מדויקות.
את חבורת גרותנדיק ניתן לראות כפונקטור (בין הקטגוריות המתאימות).
החבורה נקראת על שמו של אלכסנדר גרותנדיק.
חבורת גרותנדיק של מונואיד אבלי
כל מונואיד אבלי עם צמצום ניתן לשכן בחבורה אבלית.
הדבר נעשה באופן אנלוגי למקרה בתורת החוגים, בו משכנים תחום שלמות בשדה.
חבורת גרותנדיק של מונואיד אבלי (לאו דווקא עם צמצום) היא החבורה האוניברסלית כך שכל הומומורפיזם (של מונואידים) מן המונואיד לחבורה אבלית מתפצל דרכה.
חבורת גרותנדיק של חוגים נותריים
נתבונן באוסף מחלקות האיזומורפיזם של המודולים הנוצרים סופית מעליו ונתאים לכל אחת מהן סמל, כלומר למחלקה של המודול נתאים את הסמל .
נגדיר את בתור החבורה האבלית החופשית הנוצרת על ידי הסמלים הללו, ואת בתור תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הסמלים מן הצורה עבור מודולים מסדרה מדויקת קצרה .
המנה היא חבורת גרותנדיק, המסומנת בלשון תורת בתור .
ניתן לחשוב על חבורת גרותנדיק בתור חבורת המודולים הנוצרים סופית מעל מודולו סדרות מדויקות קצרות, או באופן שקול בתור חבורת המודולים הפרויקטיביים מעל עם פעולת הסכום הישר - משום שסדרות מדויקות קצרות של מודולים פרויקטיביים מתפצלות.
הפעולה מהווה פונקטור קונטרווריאנטי מקטגורית החוגים הנותריים, המצוידת במורפיזמים סופיים - כלומר, הומומורפיזמים של חוגים עבורם מודול נוצר סופית מעל - לקטגורית החבורות האבליות, באופן שמעתיק מודול מעל לעצמו כמודול מעל (באמצעות צמצום הסקלרים לתמונה).
אם שדה, או תחום ראשי אז , ונוצרת על ידי .
ניתן לראות זאת על ידי שמפרקים כל מודול נוצר סופית מעל תחום ראשי לסכום ישר של מודול חופשי עם מודול מפותל, ומבחינים כי מודולים (נוצרים סופית) מפותלים מעל חוג ראשי שקולים לאפס בחבורת גרותנדיק.
נוצרת על ידי המודולים הציקליים שאיזומורפיים למנות הראשוניות של .
זאת מפני שלכל מודול נוצר סופית מעל חוג נותרי שרשרת תתי מודולים (סופית) שהמנה בין כל שניים עוקבים מביניהם איזומורפית למנה של באידיאל ראשוני כלשהו.
מעל חוג מקומי, חבורה אבלית חסרת פיתול.
באופן כללי יותר, היא מודול מעל .
אם מקומי אז המודול הזה חסר פיתול (ראה להלן).
כהמשכת הרעיון של חבורת גרותנדיק מגדירים את החוג .
כחבורה חבורית, נבנה בתהליך דומה לזה שבו נבנית החבורה , אלא שכאן מתבוננים מלכתחילה באוסף המודולים השטוחים הנוצרים סופית.
הדבר מאפשר להגדיר על מבנה של חוג קומוטטיבי, בעזרת פעולת המכפלה הטנזורית מעל חוג הבסיס .
מאחר שמכפלה טנזורית במודולים שטוחים שומרת על סדרות מדויקות, פעולת הכפל מוגדרת היטב.
באופן זה, חבורת גרותנדיק הופכת למודול מעל (פעולת המודול היא מכפלה טנזורית).
הפעולה מהווה פונקטור קווריאנטי מקטגורית החוגים הנותריים לקטגורית החוגים, המעביר הומומורפיזם להומומורפיזם של חוגים המעתיק כל מודול מעל למודול .
אם הומומורפיזם סופי אז הופכת למודול מעל (באמצעות צמצום הסקלרים), והמורפיזם המושרה מ- הוא הומומורפיזם של מודולים מעל , כשרואים בו הומומורפיזם .
אם מקומי אז חבורת גרותנדיק מהווה מודול חסר פיתול מעל .
אכן, נשים לב כי לכל אידיאל .
אם מודול נוצר סופית מעל , שהוא מקומי עם אידיאל מקסימלי ושדה שאריות אז אם
אז מן הלמה של נקאימה מקבלים כי .
כעת, אם הם מודולים נוצרים סופית מעל וגם
אז ולכן וכמרחבים וקטוריים או או ואז (כפי שהזכרנו קודם, מלמת נקאימה) או או
, ובפרט חבורת גרותנדיק היא מודול חסר פיתול מעל
ישנו הומומורפיזם טבעי של חבורות , המעתיק כל מודול לעצמו.
אם לחוג ממד סופי והוא רגולרי, אז הומומורפיזם זה הוא למעשה איזומורפיזם.
חבורת בורשצ'וב הייתה יחידת פרטיזנים יהודים שהתארגנה באביב 1942 בגטו בורשצ'יב שבגליציה, פולין (בשנות האלפיים, אוקראינה).
חבורת בורשצ'וב סיימה את חייה במה שמוגדר כמקרה ההתאבדות הקולקטיבית בקרב, היחיד שתועד מאז אירועי מצדה.
סיפור ההתאבדות נחשף במסגרת סרט התעודה תמונה דור 3, המבוסס על מחקר שואה ראשון מסוגו אי פעם, שבוצע בסיוע הרשת החברתית פייסבוק.
קבוצת הצעירים, רובם יוצאי ברית טרומפלדור (בית"ר) בבורשצוב וסביבתה, תכננה פעולות התנגדות והברחת יהודים מהגטו הפתוח של בורשצ'וב אל היערות הסמוכים.
הקבוצה גדלה במיוחד אחרי האקציה הראשונה בספטמבר 1942 והקיפה עשרות חברים.
היא כונתה חבורת בורשצ'וב, או כנופיית בורשצ'וב ובשפה האידית "בארשטשיווער באנדע".
בין החברים בחבורה היו וולף אשנדורף, שהיה מפקדה הראשון, יואל ויינטראוב, קלמן שווארץ, נוסיה צימט-צוקר ובעלה - יהושע צוקר - שהפך לימים למפקד הכוח, בייריש צוקר אחיו של יהושוע, יוסף שוורץ ואחרים.
המחתרת שכונתה "קבוצת בורשצ'וב" התארגנה על רקע התחושה שאין מה להפסיד עוד.
אנשיה הצליחו לרכוש כמות קטנה של נשק, וימים ספורים קודם חיסול הגטו הוציאה קבוצת חברים ליערות הסביבה.
באפריל 1942 נרצחו כמה מיהודי בורשצ'וב.
האקציה הראשונה הגדולה הייתה ב-26 בספטמבר 1942. כ-100 איש נרצחו במקום, במיוחד חולים וקשישים.
800 יהודים שולחו ברכבת להשמדה בבלז'ץ.
קבוצת צעירים הופרדה ממשלוח זה והובלה למחנה יאנובסקה בלבוב הידוע לשמצה, שם הם מצאו מותם לאחר מכן.
באותה תקופה נערכו אקציות גם ביישובים הסמוכים ובהם סקאלה.
שרידי הקהילות הללו (מיילניצה, סקאלה וקורולובקה) הועברו לגטו בורשצ'וב ויחד עם יהודי המקום סבלו עינויים, רעב ורצח.
חברי כנופיית בורשצ'וב פשטו פעמים אחדות, החל מקיץ 1943, על שוטרים אוקראינים ועל קבוצות הלאומנים האוקראינים "באנדרה" ובהמשך פעלו ישירות גם נגד הצבא הגרמני, בתי מעצר ותחנות משטרה.
ב-17 בנובמבר 1943 ביצעו חברי "בארשטשיווער באנדע" פעולה נועזת לשחרור הכלואים בבית הסוהר בבורשצ'וב.
באתר האינטרנט "הלוחם היהודי במלחמת העולם השנייה" נכתב, כי "על הפעולה פיקד יהושע צוקר".
בין כ-50 אסירים ששוחררו היו גם כ-20 יהודים.
על אף הצלחותיהם, נתקלו הלוחמים היהודים בקשיים בהשגת נשק.
הם זכו גם ליחס עוין מצד האוכלוסייה המקומית.
"נילחם עד הכדור הלפני אחרון, נהרוג כמה שיותר מהאויב שמולנו ורגע לפני שניפול בשבי, כל אחד יירה בלוחם שעל ידו ויתאבד."
15 לוחמים ולוחמת אחת בהריון, נוסיה צימט צוקר, שהייתה אשת מפקד הכוח, נלחמו עם רובים מעטים, אקדחים ובקבוקי מולוטוב, נגד כוח עצום של חיילים גרמניים.
1,600 לוחמים, מצוידים במכונות ירייה, התקדמו אל פאתי היער בחסות 4 טנקים, שריוניות ובחיפוי של ירי תותחים.
פקודיו של צוקר הצליחו לפגוע באחד הטנקים ולהעלות אותו באש.
עשרות רבות של לוחמים גרמנים נהרגו מהירי המדויק שהמטירו הפרטיזנים ממקום המסתור שלהם שהוסווה היטב.
בתום הקרב מתו 16 הלוחמים.
הפרשה נחשפה במהלך כתיבת הספר "רומיאו ונוסיה" – אהבם והתאבדותם של זוג הפרטיזנים יהושוע צוקר ונוסיה צימט.
ספר בכתובים, מאת שלמה אברמוביץ'.
על בסיס תצלום קבוצתי שהיה בידי הסופר, הופק סרט התעודה הייחודי 'תמונה דור 3' (מפיק: עמי גלאם, בימוי: עמליה מרגולין.
הסרט בן 52 דקות הוא מחקר שואה ראשון מסוגו, שצלל אל תקופת השואה באמצעות סטטוס שעלה לפייסבוק בעמוד סטטוסים מצייצים וחשף תעלומה היסטורית, על פרטיזנים שהתאבדו קולקטיבית למען הצלת 2,500 מיהודים.
תחקיר הפייסבוק, שהחל בסטטוסים מצייצים בישראל הפך ויראלי והתנהל בתשע שפות ובעשרים ושבע מדינות, על פני חמש יבשות.
בזכות המידע שזרם מאירופה, מארצות הברית ומאוסטרליה נחשף סיפור גבורה נדיר בעוצמתו, על 16 פרטיזנים שנלחמו בחטיבת חי"ר משוריינת של הנאצים והתאבדו בהוראת מפקדם, יהושע צוקר, רגע לפני נפילתם בשבי האס.אס, כדי שלא להסגיר את מקומם של 2,500 יהודים שהסתרו ביער.
לצדו של יהושוע צוקר התאבדה גם אשתו ואהובתו, נוסיה צימט צוקר, שהייתה סגנית מפקד כוח הפרטיזנים.
חבורת ג'הול (בסינית: 热河群) היא חבורה גאולוגית במחוזות ליאונינג, חביי ומונגוליה הפנימית בסין.
החבורה ידועה בשל עושר מאובני בעלי החיים והצמחייה שנשתמרו בה בצורה מעולה, הכוללים דינוזאורים מנוצים, עופות קמאים, פטרוזאורים יונקים קדומים, צמחים בעלי פרחים ואורגניזמים אחרים מהקרטיקון התחתון המכונים "הביוטה של ג'הול".
חבורת ג'הול הוגדרה על ידי גוּ (ב-1962 ו-1983) כמקבץ של תצורות גאולוגיות הכולל שלוש שכבות: מרבצי הפחם של ג'הול, שכבות פצלי השמן של ג'הול והסלעים הגעשיים של ג'הול.
על פי ההגדרה המקובלת כוללת חבורת ג'הול (מהתצורה העתיקה ביותר לתצורה הצעירה ביותר) את תצורת יישיין (כולל השמות הנוספים לתצורה: תצורות גִ'ינְגְאָנְגְשָׁאן, טוּחוּלוּ, גְ'ייֵנְצָ'אנְג, ותצורות סלעים געשיים), תצורת ג'יופוטאנג (כולל השם הנוסף תצורת שָׁהָאי) ותצורת פושין.
שכבות דָאוחוּגוֹאוּ העתיקות יותר, שגילן המשוער הוא בגבול שבין היורה לקרטיקון התחתון, קודמות לתצורת יישיין, ולעיתים נכללות יחד איתה בחבורת ג'הול.
עובי חבורת ג'הול הוא עד 4,700 מטרים של רצפים של שכבות מלמינות (רובד דק בסלע שעוביו קטן מסנטימטר אחד) דרך משקעים ימיים סיליקלאסטיים דקי גרגיר ועד שכבות של בזלת וטוף שמקורם בהתפרצויות געשיות.
על פי מדידות בשיטת תיארוך רדיומטרי הגיעו החוקרים למסקנה כי החבורה הושקעה בקרטיקון התחתון בין 128 למ"ש (לפני מיליון שנים) ועד 110 למ"ש.
Chiappe) ואחרים טענו ב-1999 שיש להפריד את השכבות העתיקות ביותר של תצורת יישיין (אלו שבהן יש בפאונה בעיקר מאובנים של עופות קמאים מהמשפחה קונפוציוסאורניים שבה הנציג הבולט הוא הקונפוציוסאורניס) לתצורה נפרדת אותה כינו "תצורת צָ'אומִידְייֵנְדְזְה" (Chaomidianzi Formation), שהמיקום המייצג של בכפר סְה-חֶטוּן (Sihetun), כ-25 קילומטרים דרומית לעיר בֵּייפְּיָאו (Beipiao).
אך חלוקה זו לא התקבלה ותצורת צָ'אומִידְייֵנְדְזְה נחשבת לשם נרדף לשכבות גְ'ייֵנְשָׁאנְגְאוֹאוּ של תצורת יישיין.
הביוטה של ג'הול (בסינית: 热河群, בפין-יין: rè hé qún) כוללת את כל האורגניזמים החיים – המערכת האקולוגית של צפון מזרח סין מ-133 למ"ש ועד 110 למ"ש.
משערים כי מאובנים מתקופה זו נשמרו גם באגן סינאויג'ו בקוריאה הצפונית.
המערכת האקולוגית בקרטיקון התחתון נשלטה על ידי ביצות ומספר רב של אגמים, אך לא, בניגוד לסביבות אחרות בהן נוצרים מאובנים, נהרות, שפכי נהרות או בתי גידול ימיים.
גשמים ירדו באזור בעונות מסוימות וכמות המשקעים נעה בין גשומה לצחיחה למחצה.
המערכת האקולוגית של ג'הול שובשה מדי פעם על ידי התפרצויות אפר מהרי געש במערב.
הכינוי "ג'הול" שאול מארץ מיתולוגית בפולקלור הסיני, והיה השם שבה כינתה האימפריה היפנית חלק גדול ממנצ'וריה (צפון סין) עליו היא שלטה במחצית הראשונה של המאה ה-20, לשעבר מחוז זֶ'חֶה.
בתקופת שלטונם על ג'הול הבחינו חוקרים יפנים בשרידי מאובנים של דגים וזוחלים נכחדים, קרוב לוודאי מהסדרה כוריסטודרה.
המאובנים שנתגלו לראשונה על ידי החוקרים היפנים אבדו בתום מלחמת העולם השנייה.
במאמר הוגדר המונח כמקבץ מאובנים המאופיין על ידי מאובנים רבים של הרכיכה מהסוג Eosestheria מהסדרה Conchostraca, חרקים מהסוג Ephemeropsis מסדרת הבריומאי ודגים מהסוג Lycoptera מסדרת הכליל גרמיים.
מסיבה זו כונה המקבץ בראשי תיבות EEL.
ג'י וחוקרים נוספים טענו במאמר מ-2008 כי ההגדרות המסורתיות של הביוטה של ג'הול דוחקות החוצה באופו שרירותי שכבות מאובנים עתיקות יותר המייצגות באופן ברור את השלבים האבולוציונים הראשונים של פאונה מאוחרת יותר, אף שהשכבות העתיקות יותר כוללות מאובנים של Ephemeropsis ו-Lycoptera.
הם טענו שגבולות הביוטה צריכות להיקבע על בסיס הרצפים בקנה מידה גדול של התפרצויות געשיות שייצרו את השכבה, כשהגבול העליון בתצורות ג'יופוטאנג ופושין והגבול התחתון בתצורת גָ'אנְגְגְ'יָאקוֹאוּ (Zhangjiakou Formation).
הם ציינו גם שהמאובנים המנחים הטובים ביותר המזהים את הביוטה הם Peipiaosteus ו-ו-Lycoptera.
על פי הגדרה זו השלב האבולוציוני המוקדם ביותר של הביוטה של ג'הול מיוצג על ידי תצורת חְווָאגִ'ייִינְג (Huajiying Formation).
מספר מדענים טענו שהביוטה של ג'הול התפתחה ישירות מהביוטה של דָאוחוּגוֹאוּ (Daohugou Biota), וכי אין בעצם קו הפרדה ברור בין צורות החיים הקודמות לצורות החיים שנתגלו בביוטה של ג'הול.
עם זאת, התיארוך האבסולוטי של שכבות דאוחוגואו (Daohugou beds) הוא נושא השרוי במחלוקת.
ב-2006 ואנג ואחרים מצאו קווי דמיון בין המאובנים של בעלי החיים שנתגלו בשכבות דאוחוגואו והמאובנים מהביוטה של ג'הול שנתגלו בשכבה התחתונה של תצורת יישיין.
חוקרים, כולל ליו וחוקרים נוספים ניסו להפריך טיעון זה באמצעות תיארוך אורניום-עופרת בזירקון בסלעים הגעשיים שמתחת ומעל לשכבות שבהן נתגלו מאובנים של סלמנדרות (סלמנדרות משמשות לעיתים קרובות כמאובן מנחה).
ליו והחוקרים הנוספים הגיעו למסקנה ששכבות דאוחוגואו נוצרו בין 164 למ"ש (לפני מיליון שנים) ל-158 למ"ש, בין יורה תיכונה לעליונה.
שנתיים אחרי פרסום המאמר טענו קבוצת חוקרים בראשות ג'י שמאפיין עיקרי של הביוטה של ג'הול הם המאובנים המנחים של הסוגים Peipiaosteus ו-Lycoptera.
תצורות יישיין וג'יופוטאנג מתאפיינות בתנאים יוצאי דופן להשתמרות של מאובנים.
תכונה זו של שכבת סלעי משקע מכונה בקרב הפלאונטולוגים "לאגרשטטה" (מגרמנית: Lagerstätte - מילולית "אזור האחסון").
כמות המאובנים רבה מאוד, והם גם נשתמרו היטב.
לעיתים קרובות מוצאים בהן שלדים שלמים, פרווה, נוצות וגידים של בעלי חוליות, רקמות רכות, דפוסי צבע, תוכן של קיבה, וענפים שעלים ופרחים עדיין צמודים אליהם.
לעיתים מוצאים דפוסים של פרטים אלו בסלע.
ג'ונְגְחֶה ג'וֹאוּ וחוקרים נוספים (2003) הסיקו שתי מסקנות מכך.
הראשונה, שבעלי החיים היבשתיים נסחפו לאט מאוד לאגם שבו התאבנו בסופו של דבר, או שהיו כבר באגם כשמתו.
לא אובחן בהם הנזק משיטפונות גדולים שמתגלה במאובנים במקומות אחרים.
השנייה, שהגעשיות במהלך היווצרות חבורת ג'הול מילאה תפקיד חשוב בהשתמרות המאובנים.
הגעשיות הגוברת במהלך היווצרות חבורת ג'הול חשובה הן משום שהיא מסייעת לקביעת תיארוך השכבות בהתבסס על מינרלים בשכבות הגעשיות כדוגמת תיארוך בעזרת אורניום של זירקונים ותיארוך אשלגן-ארגון של ביוטיט ופצלת השדה, והן בשל התפקיד שמילאה בהשתמרות יוצאת הדופן של מאובני ג'הול.
האפר שנפלט בהתפרצויות אטם את המשקעים מכילי המאובנים שבאגם הקרוב ויצר סביב הגופה של בעל החיים סביבה נטולת חמצן (אנוקסית) ועקב כך הושהה תהליך הריקבון הבקטריאלי.
המחסור בחמצן גם הגביל את פעילות של בעלי חיים אוכלי נבלות.
לפי כך השכבות העשירות במאובנים שוכנות מתחת לשכבות הטוף, שנוצרו עקב השקעה של האפר הגעשי שקבר את מרבית האורגניזמים (או פגריהם), ששהו במי האגם בזמן ההתפרצות הגעשית.
ג'ונְגְחֶה ג'וֹאוּ וחוקרים נוספים (2003) ציינו כי בהתחשב בתקופה (קרטיקון תחתון) שבה חיו בעלי החיים שאת מאובניהם מוצאים בחבורת ג'הול היא מכילה תערובת שבה גם מינים מתקדמים של בעלי חיים וגם מינים עתיקים.
כמו כן, חלק מהמינים נתגלו אך ורק בתצורת ג'הול וחלקם נתגלה במקומות רבים אחרים ברחבי העולם.
ייתכן שצפון מזרח אסיה היה אזור מבודד בחלק מהיורה בשל ים טורגאי שהפריד באותה תקופה בין אסיה לאירופה.
הביוטה של ג'הול כוללת מינים רבים שקודם לכן היו מוכרים רק מהיורה העליונה או מוקדם יותר.
מיני "רליקטים" אלו כוללים את הסינוזאורופטריקס ממשפחת הקומפסוגנתוסיים והפטרוזאור Dendrorhynchoides.
כמו כן כלולים בה הפרטים הראשונים והפרימיטיביים ביותר של קבוצות שהתפשטו ברחבי העולם במהלך הקרטיקון העליון, כולל צרטופסים, תריזינוזאוריים, טירנוזאוריים, ואובירפטוריים.
ייתכן שצפון מזרח אסיה הייתה המרכז שממנו החל התהליך האבולוציוני של יצירת עושר המינים של קבוצות הדינוזאורים האלו.
אבל הביוטה של ג'הול לא הייתה מבודדת לגמרי, משום שהיא כללה גם בעלי חיים המוכרים ממקומות אחרים בעולם באותה תקופה, כולל עגולשוניים, הלטאה הקדומה פרמצ'לודוס, יונקים מהסדרה מולטיטוברקולטים, עופות מתת-המחלקה Enantiornithes, מיני פטרודקטיליים, דינוזאורים איגואנודיים, מיני טיטנוזאורים, נודוזאוריים ודרומאוזאוריים טורפים.
חבורת-על מוגדרת על ידי הוועדה הבינלאומית לסטרטיגרפיה (International Commission on Stratigraphy) כאוסף של שתי חבורות או יותר, או חבורות ותצורות נלוות, שיש להן מאפיינים ליתולוגיים משמעותיים מסוימים משותפים.
על פי הגדרה אחרת, חבורת-על היא אוסף של תצורות או חבורות שעברו יחד מאורע גאולוגי או טקטוני משמעותי במהלך ההיסטוריה של כדור הארץ.
חבורת-על עשויה להיות מורכבת מחבורות שונות באזורים גאוגרפיים נפרדים.
דוגמה לחבורת-על היא חבורת-העל של הגרנד קניון (Grand Canyon Supergroup) הבנויה מתשע תצורות גאולוגיות שהורבדו בלשון ים רדודה שנמשכה מימת סופיריור של ימינו עד הפארק הלאומי גליישר שבמונטנה לגרנד קניון והרי יואינטה שבצפון מזרח יוטה.
מלפני 1.2 מיליארד שנים ועד לפני 800 מיליון שנים.
במרבית המקומות בגרנד קניון עברה חבורת-העל סחיפה מוחלטת תוך חשיפה של חבורת וישנו מתחתיה.
לפני כ-800 מיליון שנים נטתה חבורת-העל של הגרנד קניון בזווית של 15° תוך יצירת גושי העתק באורוגנזה של הגרנד קניון (האירוע הטקטוני שהוזכר בהגדרה השנייה).
באלגברה מופשטת, חבורת בראואר (Brauer group) של שדה נתון היא חבורת מחלקות האלגברות הפשוטות המרכזיות הסוף ממדיות עם פעולת המכפלה הטנזורית, בה איבר ההופכי הוא (המחלקה של) האלגברה המנוגדת.
היא נקראת על שם המתמטיקאי ריכרד בראואר.
מטרתה היא לאפיין ולמיין את האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל השדה.
אלגברה פשוטה מרכזית (Central simple algebra) מעל שדה היא אלגברה פשוטה סוף ממדית שמרכזה הוא השדה .
אלגברת חילוק מרכזית (Central division algebra) היא אלגברה פשוטה מרכזית עם חילוק.
לפי משפט ודרברן-ארטין, כל אלגברה פשוטה מרכזית סוף-ממדית איזומורפית לאלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק; חוג זה וגם סדר אלגברת המטריצות יחידים עד כדי איזומורפיזם.
אלגברת החילוק הזו נקראת האלגברה הבסיסית (היא בבסיס האלגברה המקורית).
נאמר ששתי אלגברות פשוטות מרכזיות הן שקולות בראואר אם לשתיהן אותה אלגברה בסיסית.
בשקילות, כאשר קיימים כך ש-.
קל לבדוק שזהו אכן יחס שקילות, ואת המחלקה של אלגברה פשוטה מרכזית נסמן על ידי .
חבורת בראואר היא החבורה הבאה:
האיברים הם אוסף מחלקות השקילות כנ"ל.
הפעולה היא , כאשר היא המכפלה הטנזורית.
האיבר ההופכי של הוא , האלגברה המנוגדת.
אוסף זה כפי שהוגדר מהווה חבורה קומוטטיבית, הנקראת חבורת בראואר של השדה , אותה מסמנים .
אם שדה סגור אלגברית, אז (חבורה עם איבר אחד).
טענה זו נובעת מכך שמעל שדה סגור אלגברית, כל אלגברה עם חילוק היא בעצמו, ולכן האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל סגור אלגברית הן רק .
לפי משפט Tsen, אם שדה סגור אלגברית אז , חבורת בראואר של שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד מעליו, טריוויאלית אף היא.
במקרה שדה הממשיים, מתקיים , כאשר היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון.
זה נכון לפי משפט של פרובניוס, הקובע כי אלגברת החילוק היחידה מעל הממשיים היא אלגברת הקווטרניונים .
לפי המשפט הקטן של ודרברן, כל חוג סופי עם חילוק הוא שדה.
לכן, אם שדה סופי, אז .
ההעתקה הנתונה על ידי מוגדרת היטב, ומהווה הומומורפיזם חבורות.
העתקה זו מכונה הצמצום (Restriction) ומסומנת .
הגרעין שלה נקרא חבורת בראואר היחסית (relative Brauer group), המסומנת .
אם אז , ובמקרה זה נקרא שדה מפצל של האלגברה .
הסגור האלגברי של תמיד שדה מפצל של כל -אלגברה , ולכן קיים מספר טבעי כך ש-, ולכן ממדו הוא .
המספר נקרא הדרגה של , ומסמנים .
האינדקס של הוא הדרגה של מעל , מסומן , ומתקיים .
לתת-שדות מקסימליים של האלגברה מקום מרכזי בתאוריה:
משפט:שדה מפצל את אם ורק אם תת-שדה מקסימלי של איזושהי אלגברה השקולה ל- בחבורה.
האקספוננט של אלגברה הוא הסדר של , ומסומן .
תמיד מתקיים , וכל ראשוני המחלק את מחלק את .
בפרט, חבורת בראואר היא חבורה מפותלת, כלומר חבורה בה לכל איבר סדר סופי.
לכל מספר , מגדירים את החבורה להיות תת-החבורה המכילה את כל האלגברות מאקספוננט המחלק את .
אם העתקת הצמצמום מ- ל- היא שיכון.
דרך הגדרה שקולה לחבורת בראואר היא בעזרת חבורת הקוהומולוגיה הראשונה של החבורה הליניארית הכללית הפרויקטיבית -
תהי הרחבת שדות עם חבורת גלואה .
נסמן ב את ה-אלגברות הפשוטות המרכזיות מדרגה המתפצלות על ידי (עד כדי איזומורפיזם).
ישנה פעולה הנתונה על ידי המכפלה טנזורית, היות ששדה פיצול של שתי אלגברות הוא גם שדה פיצול של המכפלה הטנזורית שלהן.
יחס השקילות שקולים בראואר שהוצג לעיל הוא יחס על , ואוסף מחלקות השקילות הוא בדיוק חבורת בראואר היחסית , וחבורת בראואר היא , כאשר האיחוד הוא על כל הרחבות הגלואה הסופיות.
כעת, נצטט את המשפט החשוב הבא:
משפט: יש התאמה חד-חד-ערכית: .
ממשפט זה יחד עם הפעולה לעיל, נובע שיש פעולה מתאימה
כלומר, אפשר לשכן חבורות קוהומולוגיה כנ"ל, ולכן נגדיר (זהו למעשה גבול ישר ביחס להכלה כנ"ל).
כעת, נגדיר , כאשר האיחוד הוא על כל הרחבות הגלואה המוכלות בתוך סגור ספרבילי של .
בתורת ההומוטופיה, חבורות ההומוטופיה היחסיות הן חבורות המותאמות אל מרחב טופולוגי ביחס לתת מרחב שלו, ונותנות מידע על ההומוטופיה של המרחב ביחס לתת המרחב.
הן מכלילות את חבורות ההומוטופיה של מרחב, וקשורות אליהן בעזרת סדרה מדויקת הנותנת מידע על חבורות ההומוטופיה ועוזרת לחשבן.
יהי מרחב טופולוגי ויהיו תתי מרחבים.
נגדיר – זהו מרחב הלולאות ב- שמתחילות בקבוצה ומסתיימות ב-.
זהו תת-מרחב טופולוגי עם הטופולוגיה המושרית מהטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה על .
כעת, נגדיר: – חבורת ההומוטופיה היחסית.
מבנה זה הוא חבורה עבור , וחבורה אבלית עבור (כי זה נכון עבור חבורות ההומוטופיה הרגילות מסדר אחד פחות).
התאמה זו מהווה פונקטור קו-וריאנטי.
למשל, עבור נקבל ש- היא החבורה של לולאות סגורות בלולאות שמתחילות בתוך ומסתיימות בנקודה קבועה .
ההגדרה לעיל נראית מעט לא טבעית, שכן לא נראה בבירור מה הקשר להומוטופיה של המרחב.
על כן, נציב הגדרה שקולה.
נסמן – זוהי ההיפרקובייה שהוציאו ממנה את הפנים וגם את פנים אחת הפאות.
נביט באוסף ההעתקות עד כדי שקילות הומוטופית: – כלומר, העתקות מהקוביה למרחב, הממפות את לתוך ואת לנקודה.
את אוסף מחלקות השקילות נסמן .
על אוסף זה מבנה טבעי של חבורה, בה הפעולה היא שרשור (כמו בחבורות ההומוטפיה), והיא נקראת חבורת ההומוטופיה היחסית.
זוהי הכללת הרעיון של הגדרת החבורה היסודית, ואכן כאשר מתקיים .
שרשרת מדויקת של חבורות הומוטופיה
חבורות ההומוטופיה היחסיות מהוות כלי לחישוב חבורות הומוטופיה מסוימות, ובכך מהוות מעין רדוקציה – ניתן לחשב את החבורות היחסיות ביחס לתת מרחב כלשהו, ואת חבורות ההומוטופיה של תת-המרחב, ובכך לקבל מידע על החבורות של המרחב כולו.
פורמלית, נביט בהעתקות ההכלה , .
הן משרות העתקות , , ועל כן מתקבלת סדרה:
כדי להשלים אותה לסדרת מדויקת שקושרת את כל חבורות ההומוטופיה, נצטרך להגדיר העתקה מקשרת .
כדי לעשות זאת, נביט בהעתקה הנתונה על ידי .
לפי ההגדרה הראשונה, העתקה זו משרה העתקה כדרוש לעיל על חבורות ההומוטופיה, אותה נסמן .
משפט: הסדרה לעיל היא סדרה מדויקת.
בעזרת סדרה מדויקת זו ניתן למצוא מספר חבורות בסיסיות, והיא טענה בסיסית וחשובה בתורת ההומוטופיה.
העתקה נקראת פיברציית סר, אם ניתן להרים הומוטופיות ביחס לכל .
למשל, כל אגד סיבים הוא פיברציית סר.
עבור פיברציות סר מתקיימת הטענה הבאה:
משפט: תהי פיברציית סר, ועבור ניקח את הסיב .
אזי, ההעתקה המושרית היא איזומורפיזם.
כעת, אם נחזור לסדרה המדויקת ונשתמש בהתאמה הנ"ל, נקבל שרשרת:
לסדרה המתאימה לפיברציית סר (ובעיקר לאגד סיבים) שימושים רבים בחישוב חבורות ההומוטופיה, ובעיקר כאשר הסדרה מתפצלת, כמו בחישוב חבורות ההומוטופיה של מרחבים פרויקטיביים.
חבורת ארטין (Artin Group) היא חבורה מוצגת סופית בעלת יחסים מסוימים המערבים מכפלות חוזרות של שני יוצרים.
חבורות מסוג זה מכלילות את חבורת הצמות, ולכל חבורת ארטין ניתן להתאים חבורת קוקסטר המתקבלת כמנה שלה, בהוספת היחסים ההופכים כל איבר לאיבר מסדר 2.
חבורות ארטין נחקרות במספר תחומים במתמטיקה, כמו תורת החבורות הקומבינטורית, הצפנה לא קומוטטיבית, טופולוגיה גאומטרית.
החבורות נקראות על שם המתמטיקאי אמיל ארטין.
חבורה נקראת חבורת ארטין אם יש לה הצגה סופית מהצורה
כאשר ו- הוא האיבר בו מתבצעות הכפלות לסירוגין של המתחילות ב-.
אם פירושו שלא מופיע יחס בין .
היות שהיחסים על האלכסון חסרי משמעות, נקבע כי .
לכל חבורת ארטין ניתן להתאים טבלה ריבועית אשר במקום ה- מופיע האיבר .
מטריצה סימטרית זו נקראת מטריצת קוקסטר של החבורה, וכל חבורת קוקסטר בעלת טבלה כזו מתקבלת על ידי מנה של חבורת ארטין המקורית, בתוספת היחסים .
בפרט, מוגדר אפימורפיזם מחבורת ארטין לחבורת קוקסטר המתאימה לה, והגרעין שלו נקרא חבורת ארטין טהורה.
לכל חבורת ארטין ניתן להתאים גרף מכוון (כי המטריצה סימטרית), בו הקדקודים מייצגים את איברי החבורה, וביניהם יש קשתות בעלות משקלים (ובלי קשת במקרה ) - כלומר כל יחס מיוצג על ידי קשת.
זהו גרף בלי קשתות כפולות ובלי לולאות.
אוטומורפיזמים של גרפים משרים אוטומורפיזמים על חבורת ארטין המתאימה, ולכן בעזרת הגרף ניתן למצוא תת-חבורות של חבורת האוטומורפיזמים .
חבורת הצמות היא חבורת ארטין, בעלת מטריצה:
חבורת קוקסטר המתאימה לה היא החבורה הסימטרית , והגרעין של האפימורפיזם נקראת חבורת הצמות הטהורה.
במקרה בו חבורת קוקסטר המתאימה לחבורת ארטין היא סופית, חבורת ארטין נקראת מטיפוס סופי (Artin group of finite type).
כך למשל, חבורת הצמות היא מטיפוס סופי.
הטיפוסים האי-פריקים בקטגוריה זו מסומנים .
חבורת ארטין טהורה של חבורת ארטין מטיפוס סופי ניתן לממש בתור חבורה יסודית של משלים של סידורים היפר-מישורים במרחב מרוכב .
בעזרת תיאור זה ניתן לחשב את המרכז של חבורת ארטין המתאימה, וכן לפתור את בעיית המילה ובעיית הצמידות שלה.
חבורת ארטין נקראת ישרת-זווית (Right-angled Artin group) אם מתקיים , כלומר כל היחסים הם יחסי קומוטטיביות.
במקרה זה מתאימים לכל חבורה גרף אחר: לוקחים כל גרף לא מכוון ומתאימים לו את היחסים, כך ש- אם יש קשת בין , ואינסוף אחרת.
כלומר, היוצרים בחבורה יתחלפו בדיוק כאשר יש בין הקודקודים המתאימים להם קשת.
למשל, כל חבורה חופשית (נוצרת סופית) היא ישרת-זווית (ומתאים לה הגרף הריק); כל חבורה אבלית חופשית (נוצרת סופית) היא ישרת-זווית (ומתאים לה גרף שלם); החבורה המתאימה לגרף ריבוע היא מכפלה ישרה של שתי חבורות חופשיות.
כל חבורת ארטין ישרת-זווית ניתן לשכן בתור תת-חבורה מאינדקס סופי בתוך חבורת קוקסטר ישרת-זווית כלשהי.
בפרט, אלו הן חבורות ליניאריות.
חבורת ארטין ישרת-זווית מתקבלת כחבורה יסודית של משטח 3-ממדי אם ורק אם בגרף המתאים לה כל רכיב קשירות הוא משולש או עץ.
לפרטים ותכונות נוספים ראו לקריאה נוספת.
חבורת ארטין נקראת מטיפוס גדול (Artin group of large type) אם מתקיים , ונקראת מטיפוס גדול במיוחד (extra-large type) אם .
חבורות ארטין גדולות במיוחד הן חסרות פיתול, ותת-החבורה שלהן מהצורה היא חופשית.
הוכח גם שבחבורות מסוג זה בעיית הצמידות היא פתירה.
חבורת הצמות הייתה הצעה קלאסית של מספר מחברים לשימוש במספר פרוטוקולי הצפנה, כמו Anshel-Anshel-Goldfeld ו-Ko-Lee.
עם זאת, הוצעו מספר התקפות (הסתברותיות) על בעיית חיפוש המצמיד של חבורת הצמות, ולכן נדרשו חבורות אחרות.
אחת ההצעות הייתה להכליל את חבורת הצמות בעזרת חבורות ארטין, ואכן הוצעו מספר חבורות ארטין בעלות יחסים מסובכים יותר, וגם בחלקן הצליחו לפרוץ בעיית חיפוש המצמיד.
חבורות ההומולוגיה (Homology groups) של מרחב טופולוגי הן חבורות אבליות המותאמות למרחב, ומספקות מידע מסוים על המרחב.
בדומה לחבורות ההומוטופיה, חבורות ההומולוגיה מודדות שינויים רציפים על מרחבים טופולוגיים.
הן נקראות לעיתים גם חבורות ההומולוגיה הסינגולרית (Singular homology).
חבורות ההומולוגיה הן אינווריאנטים הומוטופיים - למרחבים הומוטופיים (ובפרט הומיאומורפיים) אותן חבורות ההומולוגיה.
אינווריאנט זה איננו שלם - ייתכנו מרחבים לא הומוטופיים עם אותן חבורות ההומולוגיה.
בכל זאת, במקרים מסוימים של מרחבי CW הן מאפיינות את המרחב - למשפט וייטהד יש מקבילה הומולוגית, בעזרת משפט הורוויץ.
לחבורות ההומולוגיה שימושים רבים בטופולוגיה כמו גם בתחומים אחרים, כמו גאומטריה דיפרנציאלית, אנליזה ועוד.
תורת הומולוגיה היא אוסף של פנקטורים .
דהיינו, פנקטורים שמתאימים לכל זוג מרחבים טופולוגי המקיים חבורה אבלית ומקיימות:
סדרה מדויקת - קיימות פונקציות המשרות סדרה מדויקת
החבורות המתאימות לנקודה הן .
ההעתקות טבעיות ביחס לפונקציות של זוגות.
ההומולוגיה סינגולרית אכן מקיימת את כל התנאים לעיל.
למרות זאת, בדרך כלל מוגדרות ראשית חבורות ההומולוגיה של מרחב ולא של זוג, ובעזרת המונחים מהומולוגיה של מרחב מגדירים הומולוגיה של זוגית.
ההומולוגיה הסינגולרית היא ההומולוגיה המוכרת ביותר, ועל כן חבורות ההומולוגיה הסינגולרית נקראות חבורות ההומולוגיה.
ההגדרה של הומולוגיה סינגולרית היא כבדה וטכנית ומערבת מושגים רבים מאלגברה הומולוגית, כולל מרדף דיאגרמות רב.
ההומולוגיה סינגולרית נבנית על סמך סימפלקסים סינוגלריים.
היישומים של בנייה זו הם הבנת תהליכים גאומטריים רציפים בצורת סימפלקסים על מרחבים טופולוגיים שונים.
מבחינה אינטואיטיבית, ההומולוגיה הסינגולרית ה-n-ית מודדת את החללים ה-n ממדיים של המרחב.
טכנית, דבר זה נעשה באמצעות השוואת כל הדרכים לקפל סימפלקסים לתוך המרחב.
שני קיפולים כאלה נקראים שקולים, או הומולוגיים, אם השפות שלהם משותפות.
היסטורית, המקור להומולוגיה סינגולרית הוא בעבודה של פואנקרה - שבנה אובייקטים הרבה יותר פשוטים; מאחורי הבניות שלו עומדת האינטואיציה הגאומטרית להומולוגיה הסינגולרית.
סימפלקס הוא מבנה גאומטרי בסיסי.
סימפלקס -ממדי כללי הוא הקמור של נקודות בלתי תלויות אפינית במרחב הממשי .
מגדירים את הסימפלקס ה--ממדי, או הסימפלקס הסטנדרטי, להיות הסימפלקס שהוא הקמור של הבסיס הסטנדרטי של .
זוהי הצורה הגאומטרית שמחברת את הנקודות במרחק 1 מראשית הצירים לכיוון כל ציר.
הסימפלקס מסומן על ידי .
אם נוסיף גם את הראשית, הנקודה , נקבל את הסימפלקס הסטנדרטי "הנפחי"
לדוגמה: ב- הסימפלקס הדו-ממדי הוא הפאה המתוארת באיור משמאל, ואילו הסימפלקס "הנפחי" התלת-ממדי הוא כל הנפח הכלוא בין סימפלקס זה למישורים המוגדרים על ידי הצירים (הנפח שמתחת לפאה הירוקה באיור, המוגבל על ידי המישורים x=0, y=0, z=0).
נסמן ב- את הסימפלקס ה--ממדי המתקבל מכל הקואורדינטות של הסימפלקס המקורי מלבד הקואורדינטה ה-i.
זוהי אחת הדפנות של הסימפלקס המקורי.
סימפלקס סינגולרי במרחב טופולוגי הוא העתקה רציפה .
כלומר, סימפלקס סינגולרי ב- הוא עיוות של הסימפלקס הסטנדרטי לתוך המרחב.
תהי החבורה האבלית החופשית הנוצרת על ידי האוסף הזה.
איברי חבורה זו נקראים שרשראות, משום שאלו הם סכומים פורמליים סופיים של סימפלקסים עם משקלים עליהם.
נגדיר לכל n פונקציית שפה על ידי , כלומר נקבל סכום מסומן של דפנות הסימפלקס .
קיבלנו קומפלקס שרשראות של החבורות הנוצרות
חישוב ישיר מראה שמתקיים התנאי של הקומפלקס, דהיינו: .
כלומר, שפה של שפה היא אפס.
שרשרת ששפתה אפס נקראת מחזור או ציקלוס, מכיוון שהיא מתאימה לרצף מחזורי של קטעים.
לדוגמה, המעגל הוא סימפלקס חד־ממדי (דהיינו-קטע) שקופל כך שתמונת הקצוות זהה.
שפת קטע היא בדיוק קצותיו, כך שלפי הגדרת השפה אנחנו נקבל את תמונת הקצוות עם מקדם 1 ואז את אותה תמונה עם מקדם (1-), כך שהתמונה תתאפס.
למי שרוצה נוסחאות יהי ההעתקה שלנו מקטע היחידה למרחב שיוצרת עיגול, ונניח שתמונת הקצוות היא v ונקבל
שרשרת שהיא שפה של שרשרת ממימד גבוה יותר נקראת שפה.
חבורת ההומולוגיה הסינגולרית ה-n היא חבורת המנה , כלומר, מחלקת הומולוגיה היא אוסף של מחזורים שיש להם שפה משותפת.
לדוגמה, שני מעגלים שמחוברים, ליצור את הספרה 8 הם הומולוגים.
לעיתים רבות נוח לחשב דווקא את חבורות ההומולוגיה המצומצמות של מרחב.
נשים לב שהסדרה הקודמת מסתיימת כך:
כעת, נרצה להוסיף עוד גורם בסוף הסדרה:
אכן מתקיים ויש שוויון כאשר קשיר מסילתית.
קומפלקס זה משרה חבורות הומולוגיה, הנקראות חבורות ההומולוגיה המצומצמות .
מעצם הבנייה, חבורות אלו שוות כמעט כולן לחבורות הרגילות, פרט לחבורה האפס - נבדלת מ- ביוצר אבלי חופשי אחד.