tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
עונתו הראשונה בקבוצת בוגרים הייתה עונת 2017/2018, במקביל למשחק בקבוצת הנוער של הפועל עמק חפר שיחק בליגה הארצית בקבוצת הבוגרים.
בעונה שלאחר מכן עבר לשחק במכבי הוד השרון מהליגה הלאומית בכדורסל.
בעונת 2019/20 חתם לשנה בקבוצת בני הרצליה.
בתום העונה הקבוצה העפילה לליגת העל בכדורסל.
לקראת עונת 2020/21 חתם לעונה בקבוצת עירוני רעננה.
מלכה, שיחק בכל הנבחרות הצעירות של ישראל.
ב-2016 שיחק באליפות אירופה לנבחרות עד גיל 16 בטורניר שנערך בסופיה.
הנבחרת סימה במקום השני והעפילה חזרה לדרג א'.
בטורניר קלע בממוצע 11.8 נקודות למשחק.
ב-2017 שיחק באליפות אירופה דרג ב' לנבחרות עד גיל 18 בטורניר שנערך באסטוניה.
מלכה סיים את הטורניר עם 11.3 נקודות למשחק עם 51 אחוז מהשלוש.
ב-2018 השתתף עם נבחרת הנוער באליפות אירופה דרג ב' עד גיל 18 שנערכה בבסקופיה מקדוניה.
מול סלובקיה, במשחק השיא שלו בטורניר קלע 19 נקודות עם 6 שלשות ב-75 אחוז.
בהמשך השנה בטורניר חג המולד בבלגיה (xmastournamet) מול אוסטנד הבלגית, סיים עם 32 נקודות כשמתוכן קלע 10 שלשות ב-71 אחוז.
בטורניר זה אף זכה בתחרות השלשות.
ביולי 2019 זכה עם נבחרת העתודה של ישראל בכדורסל תחת מאמן הנבחרת אריאל בית הלחמי באליפות אירופה בכדורסל עד גיל 20 שנערכה בישראל.
אופק פסח (נולד ב-9 ביולי 2001) הוא שחקן קולנוע וטלוויזיה ישראלי.
בצעירותו עברה משפחתו לעיר כפר סבא שם גדל והתחנך.
את שירותו הצבאי עשה בתיאטרון צה"ל כאמן פעיל.
למד משחק מול מצלמה ב-"Reacting Studio - ריאקטינג סטודיו" בתל אביב.
פסח השתתף בסדרות "מעילה (סדרת טלוויזיה)", "בוגד (סדרת טלוויזיה)", "סקיי (סדרת טלוויזיה)", "בת אל הבתולה" ו"מיוחדת (סדרת טלוויזיה)", והתפרסם לאחר ששיחק בסדרה "עלומים" בה גילם את מנחם.
באותה שנה קיבל מועמדות בפסטיבל הסדרות הבינלאומי של קאן לפרס השחקן הטוב ביותר, ומועמדות בטקס פרסי האקדמיה לטלוויזיה על תפקידו בסדרה "עלומים".
בשנים 2021–2023 גילם את יוני בסדרת הפנטזיה לנוער "סקיי".
בשנת 2022 השתתף בסרט קצר "נבדל" בבימוי בר טלמון, לצד השחקנים דניאל גד ובר פטאל ובסרט "עד שתחזור".
בשנת 2024 השתתף בסדרה "אף אחד לא עוזב את פאלו אלטו".
בשנת 2025 עלתה בהוט הסדרה "שלומי 6" שבה הוא משתתף.
באותה שנה שיחק בסדרה "רצח בים המלח".
פסח היה בזוגיות עם השחקנית ליה אללוף במשך חמש שנים.
שנה סרט תפקיד 2018 הלילה להתעורר בסנואולנד ניסו 2020 ארץ השלג2024קרוב אלי
שנה סדרה תפקיד רשת שידור 2019 בת אל הבתולה לירון שרעביהוט 7 2020 המפקדת יושכאן 11 בוגד עומר טסה הוט 3 עד שתחזור 2020, 2022 מעילה פסחYes 2021 עלומים מנחםכאן 11 2021–2023 סקיי יוניTeenNick 2022 מיוחדת מיכאלכאן חינוכית2024אף אחד לא עוזב את פאלו אלטועידן לוריאקשת 122025שלומי 6שלומי "6"הוט 3
שנהפרסקטגוריהפרויקטתוצאה2021האקדמיה לקולנוע וטלוויזיהשחקן משנה הטוב ביותר בסדרת דרמהעלומים
אופק אהרון מליקה (נולד ב-23 בינואר 2005) הוא כדורגלן ישראלי המשחק בעמדת השוער במכבי תל אביב ובנבחרת ישראל עד גיל 19.
מליקה נולד בגבעתיים וגדל במחלקות הנוער של הפועל רמת-גן והפועל רעננה.
ב-4 באפריל 2022 ערך את הופעת הבכורה שלו בקבוצה הבוגרת של הפועל רעננה, בניצחון 2–1 על הפועל רמת-גן, במסגרת הליגה הלאומית לעונת 2021/2022. בתום העונה ירדה הפועל רעננה לליגה א'.
ביוני 2023 חתם על חוזה ל-3 עונות במכבי פתח תקווה.
הוא שיחק בקבוצת הנוער ובמקביל שימש כשוער שלישי במועדון הבוגרים.
ב-22 במאי 2024 הצטרף למכבי תל אביב בחוזה ל-5 שנים.
מליקה שיחק בנבחרת הנערים של ישראל עד גיל 17 בשנים 2021–2022. הוא החל לשחק בנבחרת הנוער של ישראל עד גיל 19 בשנת 2022.
הוא נכלל בסגל נבחרת ישראל עד גיל 20 לטורניר גביע העולם בשנת 2023, ורשם 90 דקות במשחקה האחרון והמכריע מול נבחרת קוריאה הדרומית, בו ניצחה ישראל בתוצאה 3–1, ובכך רשמה את הישג השיא שלה - המקום השלישי.
מליקה הוא בנו של שוער העבר של מכבי תל אביב ירון מליקה.
סבו שמואל מליקה היה גם כן שוער, בעוד דודו מאיר מליקה הוא חלוץ כדורגל בעברו במכבי תל אביב.
בן דודו, רוי מליקה, (בנו של מאיר) משחק בעמדת החלוץ במכבי עירוני אשדוד מליגה א'.
שמו האמצעי, אהרון, הוא על שם הסבא-רבא שלו, שהיה לשוערה של הפועל תל אביב מאמצע שנות ה-1930 ועד לתחילת שנות ה-1950, וכן היה לשוערה של נבחרת ישראל.
אופק ראשון (נולדה ב-5 בנובמבר 2005) היא פעילה חברתית ומרצה ישראלית.
התפרסמה לראשונה בעקבות כתבה בתוכנית "הצינור", שבה סיפרה על החרם הקשה שעברה מכיתה א'.
מפקדת "סיירת החרם" וזוכת אות הוקרה לפעילות יוצאת דופן.
משפיענית לשנת 2020 "לאישה", משפיענית לשנת 2021 "מעריב לנוער" וזכתה באות "קרן ילדי ישראל" על פעילויותיה.
ב-2023 הדליקה משואה בטקס יום העצמאות בהר הרצל.
בשנת 2019 פורסמה לראשונה כתבה בצינור בערוץ 13 על הסיפור הקשה וההתמודדויות עם החרם שעברה מכיתה א'.
הסיפור תפס תאוצה לאחר שמספר זמרים מפורסמים פרסמו את הסיפור ברשת על מנת להעלות את המודעות לחרם, ואף נפגשו איתה.
יום לאחר פרסום הכתבה, מגיש הצינור גיא לרר הגיע לביתה של ראשון, וראיין אותה ואת אמה.
זמן קצר לאחר הראיון עם גיא לרר, החליטו יחד ראשון ולרר להקים את "סיירת החרם", שמטרתה לסייע ולעזור לילדים במצוקה אשר חווים חרם חברתי בעצמם, ומפרסמת את סיפורם האישי.
אופק ראשון הקימה גם את הסדנה "האופק שלי", שמטרתה לעזור לילדים ובני נוער להתמודד עם מצבים חברתיים שונים, והחלה להרצות בבתי ספר ברחבי הארץ על סיפור חייה ועל האופן שבו ניתן להתמודד עם חרמות ובריונות עם הרצאת "אזעקת אופק".
בשנת 2019 נבחרה להיות הפרזנטורית החדשה לרשת המשקפיים "אופטיקנה".
בשנת 2020 נפגשה ראשון עם ראש הממשלה בנימין נתניהו ושניהם שוחחו על סיפורה של ראשון ועל המאמץ לצמצום החרמות.
באותה השנה קיבלה את התואר "משפיענית לשנת 2020" במגזין "לאישה" ואף הופיעה על עמוד השער.
בשנת 2021 קיבלה את התואר "משפיענית לשנת 2021" במגזין "מעריב לנוער", וזכתה באות "קרן ילדי ישראל" על פעילויותיה למען בני הנוער.
ב-25 באפריל 2023 נבחרה להדליק משואה ביום העצמאות.
אופק ראשון היא השנייה הצעירה ביותר שהדליקה משואה עד כה, וזכתה לתשומת לב רבה כשהשיאה את המשואה ואמרה:
באותה השנה, הובילה בשיתוף עמותת "וראייטי ישראל" את קטלוג החזרה לבית הספר ברשת הסטוק, כאשר כל הקטלוג מוצג במסרים נגד חרמות ובריונות, במטרה להעלות את המודעות לנושא.
מאוחר יותר, נבחרה ראשון לככב בקמפיין חדש על הטבות לצעירים של בנק דיסקונט, לצד הפרזנטורית רותם סלע.
בשנים אלו הספיקה להיפגש עם עוד בכירים בממשלה, כגון שר החינוך לשעבר יולי אדלשטיין ונשיא המדינה לשעבר רובי ריבלין.
בנוסף היא פועלת ומתנדבת רבות על מנת להילחם ולצמצם את תופעת החרמות והבריונות.
אופרוד (מעוצב: אוףרוד; באנגלית: offroad; מעוצב באותיות גדולות) היא סדרת טלוויזיה ישראלית שהופקה עבור נטפליקס על ידי Faraway Road Productions וקשת אינטרנשיונל.
ששת פרקי התוכנית שוחררו בנטפליקס ב-10 ביולי 2025. זוהי סדרת הדוקו הישראלית הראשונה שנוצרה במיוחד עבור נטפליקס.
את התוכנית יצרו ליאור רז, רותם סלע ואבי יששכרוף, כאשר השניים הראשונים גם מככבים בה.
התוכנית עוסקת במסע של השחקנים ליאור רז ורותם סלע במדינות קירגיזסטן וקזחסטן.
אופק נדיר (נולד ב-14 במאי 1999) הוא כדורגלן ישראלי המשחק בעמדת המגן השמאלי בהפועל ירושלים.
נדיר התחיל את הקריירה שלו בקבוצת הילדים של מכבי חיפה והתקדם בקבוצות הגיל שלה עד גיל נוער.
הוא גם זכה לשחק עמה בליגת האלופות לנוער.
בקיץ עבר לקבוצת הנוער של עירוני קריית שמונה.
עונה לאחר מכן הצטרף לקבוצה הבוגרת ואף נכלל בסגל הקבוצה אך לא זכה לדקות משחק בליגה.
ב-31 ביולי 2019 רשם את משחקו היחיד בקבוצה בניצחון 1–2 נגד מכבי נתניה במסגרת גביע הטוטו.
בספטמבר הושאל להפועל עפולה מהליגה הלאומית.
ב-7 בפברואר 2020 הבקיע את שער הבכורה שלו בקריירה בתיקו 1-1 נגד מכבי פתח תקווה.
ביולי חתם בהפועל ירושלים מליגת העל.
ב-26 באוגוסט ערך את הופעת הבכורה שלו בליגה בתיקו 1-1 נגד מכבי פתח תקווה.
ב-17 בפברואר 2024 הבקיע את שער הבכורה שלו בקבוצה בתיקו 1-1 נגד מ.ס.
בצעירותו, נדיר שיחק בכל נבחרות הנוער של ישראל בהן רשם 28 הופעות וכבש שני שערים.
במתמטיקה, אוֹפֵּרָטוֹר (Operator) הוא פעולה אלגברית על מספר קבוע או משתנה של איברים במבנה אלגברי.
תוצאת הפעולה היא איבר באותו מבנה (או לעיתים במבנה אחר).
האיברים שעליהם פועל האופרטור נקראים אופרנדים.
לעיתים משתמשים במילה כשם נרדף לפעולה מתמטית.
לעיתים קרובות אופרטור מציין פעולה על וקטורים במרחב וקטורי.
נהוג להבחין בין אופרטורים לפי מספר האופרנדים שהם פועלים עליהם:
אופרטור אונארי או פעולה אונארית: אופרטור הפועל על איבר בקבוצה, ותוצאתו היא איבר בקבוצה.
בניסוח פורמלי יותר: פעולה אונארית היא פונקציה מהקבוצה אל עצמה.
דהיינו, בהינתן קבוצה , פעולה אונארית עליה היא פונקציה .
אופרטור בינארי או פעולה בינארית: אופרטור הפועל על שני איברים בקבוצה (לא בהכרח שונים זה מזה), ותוצאתו היא איבר בקבוצה.
בניסוח פורמלי יותר: פעולה בינארית היא פונקציה מזוגות סדורים של אברי הקבוצה, אל הקבוצה.
דהיינו, בהינתן קבוצה , פעולה בינארית עליה היא פונקציה: .
אופרטור טרנארי הפועל על שלושה איברים בקבוצה, וכך הלאה.
מקובלות שלוש שיטות לכתיבתם של אופרטורים:
פרפיקס: תחילה נכתב האופרטור ואחריו האופרנדים.
כאשר לאופרטור מספר קבוע של אופרנדים, מושמטים לעיתים הסוגריים בעת כתיבתו.
דוגמה: האופרטור קוסינוס נכתב בצורה .
פוסטפיקס: תחילה נכתבים האופרנדים ואחריהם האופרטור.
דוגמה: האופרטור עצרת נכתב בצורה .
אינפיקס: האופרטור נכתב בין שני האופרנדים.
דוגמה: האופרטור חיבור נכתב בצורה .
זוהי צורת הכתיב המקובלת לאופרטורים בינאריים נפוצים, כגון ארבע פעולות החשבון.
בכתיב המקובל נהוג שילוב של השיטות, בהתאם לצורת הרישום המקובלת של כל אופרטור.
הנוסחה , למשל, משלבת את שלוש השיטות.
כתיב פולני הוא טכניקת רישום שבמסגרתה נכתבות כל הנוסחאות בשיטת פרפיקס.
למשל, במקום לכתוב נכתוב בכתיב פולני .
ביטוי הכולל אופרטורים אחדים יש לפרש ולחשב בהתאם לכללי קדימות אופרטורים.
בענפי המתמטיקה של אנליזה מתמטית ואלגברה ליניארית, המונח אופרטור מציין העתקה ליניארית בין מרחבים וקטוריים, לעיתים קרובות ממרחב אל עצמו.
בשימוש הנפוץ באנליזה, אופרטור הוא התאמה שמקבלת פונקציה (בדרך כלל ממשית או מרוכבת) ומחזירה במקומה פונקציה אחרת.
אופרטור דיפרנציאלי הוא אופרטור שמערב נגזרות.
לדוגמה, האופרטור הוא אופרטור דיפרנציאלי ופעולתו על פונקציה כלשהי היא .
השימוש באופרטורים כאלה נפוץ במיוחד באנליזה מתמטית של מרחבי בנך ושל מרחבי הילברט.
על מרחבים אלה אפשר להגדיר תכונות כגון חסימות, רציפות, סגירות ושלמות של אופרטור.
על מרחבי הילברט אפשר להגדיר אופרטורים הדומים לאלו של מטריצות כגון הפיכות, סימטריות, הרמיטיות ועוד.
במכניקת הקוונטים, כל הגדלים המדידים מוגדרים באמצעות אופרטורים הרמיטיים.
במתמטיקה, אופרטור הרמיטי הוא אופרטור ליניארי ממרחב מכפלה פנימית, הצמוד לעצמו (כלומר שווה לאופרטור הצמוד אליו).
במילים אחרות, אופרטור הרמיטי הוא אופרטור שאינו משתנה כתוצאה מפעולת ההצמדה.
כל האופרטורים ההרמיטיים הם לכסינים אוניטרית, וכמו אופרטורים סימטריים ממשיים, הם מקיימים את התכונה שכל הערכים העצמיים שלהם ממשיים.
האופרטורים האלו קרויים כך על-שם המתמטיקאי שארל הרמיט שהוכיח תכונה זו.
לאופרטורים הרמיטיים תפקיד מרכזי במכניקת הקוונטים, שבה כל גודל פיזיקלי מדיד (דוגמת אנרגיה, תנע או תנע זוויתי) מיוצג על ידי אופרטור הרמיטי.
תוצאות המדידה האפשריות הן הערכים העצמיים של האופרטור.
יהי מרחב מכפלה פנימית מעל המרוכבים.
לכל אופרטור ליניארי מוגדר האופרטור הצמוד , לפי החוק
(את האופרטור הצמוד מסמנים לפעמים גם , מבטאים כ"A דאגר").
לדוגמה, אם הוא מרחב הילברט ו- אופרטור חסום, אז לפי משפט ההצגה של ריס גם חסום.
אם , אומרים ש- צמוד לעצמו.
משפט הפירוק הספקטרלי מבטיח שכל אופרטור קומפקטי צמוד לעצמו הוא לכסין אוניטרית.
יתרה מזו, לכל וקטור עצמי של עם ערך עצמי , מתקיים
מכאן שיש למרחב בסיס אורתוגונלי (ובמקרה האינסוף-ממדי מערכת אורתונורמלית שלמה) שהאופרטור מותח כל איבר שלו בגורם ממשי.
כל אופרטור אפשר לפרק לסכום של מרכיב הרמיטי ומרכיב אנטי-הרמיטי, לפי הנוסחה הפשוטה .
מחצית הסכום היא, אם כך, המרכיב ההרמיטי של האופרטור.
גם המכפלות ו- תמיד הרמיטיות, ויש להן תכונה שימושית נוספת: , כאשר מסמן את הנורמה של כאופרטור.
על מרחב הווקטורים המרוכבים מוגדרת המכפלה הפנימית הסטנדרטית אותה אפשר לפרש ככפל מטריצות של וקטור שורה בווקטור עמודה (האחרון מוצמד על ידי צמוד מרוכב).
לכל מטריצה מתאים אופרטור הכפל (ביתר דיוק: A היא המטריצה המייצגת של אופרטור הכפל ביחס לבסיס הסטנדרטי).
האופרטור הצמוד מתאים למטריצה הוא (בכתיב לפי רכיבים: ).
כלומר, המטריצה הצמודה מתקבלת משחלוף והפעלת הצמוד המרוכב.
עבור מטריצות ממשיות, אם כך, מטריצה היא הרמיטית אם ורק אם היא סימטרית.
מטריצות סימטריות ממשיות הן לכסינות אורתוגונלית אפילו מעל הממשיים.
אופרטור הזהות הוא אופרטור הרמיטי.
בפרט, לכל טבעי, מטריצת היחידה היא מטריצה הרמיטית מעל ו-.
יהי , אזי כל מטריצה סימטרית היא אופרטור הרמיטי.
מעל , הצמוד ההרמיטי של הוא .
מעל , מטריצות פאולי הן מטריצות הרמיטיות.
יהי מרחב הפונקציות הממשיות הגזירות פעמיים ברציפות ואינטגרביליות לבג בריבוע שמתאפסות בקצות הקטע , עם מכפלה פנימית , אזי האופרטור (גזירה פעמיים) הוא אופרטור צמוד לעצמו שכן,
באלגברה ליניארית, אופרטור אוניטרי הוא אופרטור ליניארי של מרחב מכפלה פנימית מעל שדה המספרים המרוכבים, המקיים את התנאי , כאשר הוא הצמוד ההרמיטי של ו- הוא אופרטור הזהות.
באופן דומה, מטריצה ריבועית מרוכבת היא אוניטרית אם , כאשר הוא הצמוד המרוכב של המטריצה המשוחלפת (ההגדרות מתלכדות, אם חושבים על המטריצה כאופרטור , ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית של מרחב הווקטורים) ו- היא מטריצת היחידה.
אופרטור אוניטרי אנלוגי במובנים רבים למספר מרוכב שערכו המוחלט הוא 1, וזאת בגלל הקשר בין מושג הצמידות ההרמיטית למושג ה"צמוד המרוכב", ומשום שכל מספר מרוכב שערכו המוחלט הוא 1 מקיים: .
יהי מרחב וקטורי ממימד סופי מעל שדה המספרים המרוכבים עם מכפלה פנימית.
יקרא אופרטור אוניטרי אם מתקיים:
אופרטור אוניטרי שומר על הגאומטריה של המרחב.
הוא אינו משנה אורך של וקטורים, ושומר גם על הזוויות.
למעשה כל אופרטור שומר אורך (כלומר, המקיים לכל ) הוא אוניטרי.
הדוגמה המובהקת לאופרטור אוניטרי הוא סיבוב או שיקוף של המרחב, שאפשר לתאר גם כהחלפה של בסיס אורתונורמלי אחד באחר (אכן, מטריצת המעבר בין בסיסים אורתוגונליים היא אוניטרית).
בפרט, העמודות של מטריצה אוניטרית מהוות בסיס אורתונורמלי.
במכניקת הקוונטים אופרטור אוניטרי מייצג פעולה שמכבדת את חוקי השימור, לרוב את חוק שימור ההסתברות וחוק שימור זרם ההסתברות.
אוסף המטריצות האוניטריות הוא חבורה ביחס לכפל מטריצות.
הדטרמיננטה היא הומומורפיזם מן החבורה הזו אל החבורה של מספרים מרוכבים בעלי ערך מוחלט 1. הגרעין הוא אוסף המטריצות האוניטריות בעלות דטרמיננטה 1, הנקראות מטריצות אוניטריות מיוחדות.
לחבורות אלה יש חשיבות רבה בתורת שדות ובמודל הסטנדרטי.
הפיזיקאים יובל נאמן ומארי גל-מן הראו שאפשר למיין את הקווארקים לקבוצות באמצעות חבורת הסימטריה .
מטריצה ממשית אוניטרית היא מטריצה אורתוגונלית; העמודות של מטריצה כזו מהוות בסיס אורתונורמלי, וכן גם השורות שלה.
אם אופרטור הרמיטי אזי הוא אופרטור אוניטרי, וכל אופרטור אוניטרי הוא בעל צורה כזו.
אופרטור ביליניארי הוא פונקציה המוגדרת ממכפלה ישרה של שני מרחבים ליניאריים אל מרחב ליניארי שלישי, שהיא ליניארית בכל אחד משני הרכיבים: הפונקציה היא ליניארית לכל , והפונקציה היא ליניארית לכל .
כאשר המרחבים U, V שווים זה לזה והמרחב W הוא שדה הבסיס (השדה שמעליו מוגדרים המרחבים), האופטור נקרא תבנית ביליניארית.
אם כל המרחבים U, V, W שווים, אפשר לראות את האופרטור כפעולה בינארית , ואז הליניאריות בשני המשתנים פירושה שהפעולה דיסטריבוטיבית (מימין ומשמאל).
ההעתקה לתוך מרחב המכפלה הטנזורית, המוגדרת לפי , היא העתקה ביליניארית.
לאופרטור ביליניארי שימושים רבים בקריפטוגרפיה, למשל עבור סכמות הצפנה וחתימה מבוססות ID.
בשפות תכנות, אוֹפֵּרָטוֹר (בעברית: מפעיל, סימן פעולה) הוא פונקציה הפועלת על יחידה תכנותית כלשהי (קבועים, משתנים, טיפוסים וכדומה), שתיקרא אופרנד, או על מספר אופרנדים, ומחזירה ערך מטיפוס מוגדר.
פונקציה זו נכתבת כתו או אוסף תווים (מילה) הנכתבים בסמוך לאופרנד או בין שני אופרנדים.
דוגמאות לאופרטורים נפוצים הן אופרטור החיבור + (בביטוי a+b) ואופרטור ההשמה (=: בפסקל).
למעשה, אופרטור בשפות תכנות הוא צורת תחביר שונה לפונקציה בעלת 1–3 ארגומנטים.
עיקר תפקידו של האופרטור בתכנות הוא לשפר את קריאות התוכנית, את הדמיון בינה לבין טקסט מתמטי, לוגי או שפה טבעית, או על מנת להדגיש משמעות של פעולה כלשהי.
האופרטורים הנפוצים הם על פי רוב כאלה שפעולתם מקבילה לפעולת אופרטור מתמטי כלשהו, כגון אופרטורים אריתמטיים: חיבור, כפל, חילוק וכדומה.
בחלק מהמקרים משתמשים באופרטורים על מנת לסמן פעולות להן יש מיפוי ישיר אל פקודת מעבד בודדת (כגון פעולות אריתמטיות או פעולות על סיביות בזיכרון).
בשפות רבות כללי מתן השמות לאופרטורים שונים מאלה של מזהים אחרים בשפה, ומאפשרים סימונים מתמטיים ואחרים, אך גם מילה אנגלית עשויה להיחשב אופרטור בחלק משפות התכנות (למשל sizeof בשפת C, או not בפייתון).
ישנן שלוש דרכים לכתיבת אופרטורים:
אינפיקס (infix, תוכי) – כתיבת האופרטור בין שני אופרנדים (או יותר) עליהם הוא פועל (כמו בדוגמת A+B שהוזכרה למעלה).
פרפיקס (prefix, תחילי) – כתיבת האופרטור משמאל לאופרנד עליו הוא פועל (למשל אופרטור הכתובת & בשפת C).
שימוש בצורת prefix עבור יותר מאופרנד יחיד איננה נפוצה, אך שימושית בשפות סף ושפות מכונה.
פוסטפיקס (postfix, סופי) – כתיבת האופרטור מימין לאופרנד עליו הוא פועל (למשל שימוש באופרטור הקידום בצורה ++x בשפת C).
שימושיה דומים לאלה של prefix.
כתיב פולני – צורת כתיבה זו איננה נפוצה בשפות שנועדו למתכנת אנושי, מכיוון שהיא קשה לשימוש ולקריאה, אך היא מקלה על הידור הקוד וביצועו ולכן שימושית בשפות מבוססות מחסנית ונכתבות על ידי מכונה, כמו שפת פוסטסקריפט.
אופרטור הפועל על אופרנד יחיד נקרא אונרי, אופרטור הפועל על שני אופרנדים נקרא בינארי.
בשפות מסוימות קיימים גם אופרטורים טרינאריים, הפועלים על שלושה אופרנדים.
הדוגמה המוכרת ביותר היא אופרטור :?
בשפת C ונגזרותיה, שנכתב בצורה (A ?
B : C) ומשמעותו "אם A אמת אז B אחרת C".
דוגמה נוספת היא האופרטור /* בשפת Forth, שנכתב בתצורת postfix ומשמעו "הכפל את האיבר השלישי במחסנית באיבר השני במחסנית, וחלק את התוצאה באיבר הראשון במחסנית".
ניתן לחלק את האופרטורים לפי תפקודם:
אופרטורים אריתמטיים הם ככל הנראה האופרטורים הנפוצים ביותר בשל הכללת אופרטורי ארבע פעולות החשבון: כפל (*), חילוק (/), חיבור (+) וחיסור\הפיכת סימן (-).
לרוב נכתבים אופרטורים אלו בכתיב המקובל במתמטיקה.
אופרטורים אריתמטיים שימושיים נוספים הם העלאה בחזקה (**), שארית החילוק (%) וחילוק שלמים.
קבוצה זו של אופרטורים מבצעים פעולות השמה אל תוך משתנים.
האופרטור הידוע ביותר בהקשר זה הוא אופרטור השמה, הנכתב לרוב באמצעות סימן השווה (=) או בשילוב שלו עם תו נוסף.
בשפות תכנות שהושפעו מ-ALGOL 68 קיימים אופרטורים הכוללת פעולה מתמטית ופעולה השמה.
כך לדוגמה, האופרטור (=+) (בדוגמה A += B) מקביל לפעולת ההשמה והחיבור A = A + B.
ניתן להחשיב כל אופרטור הגורם לתוצאת לוואי על אחד האופרנדים שלו כאופרטור השמה, ובפרט אופרטור השמה עשוי להיות אונרי – למשל האופרטור ++ בשפת C, שמקדם משתנה המופיע לפניו או אחריו בערך אחד (עבור טיפוסים דיסקרטיים כגון מספרים שלמים), כך שהביטוי A++ שקול לביטוי A=A+1.
בשפות פונקציונליות בהן משתנים אינם משנים את תוכנם, קיימים אופרטורים (ובפרט האופרטור =) המשמשים ליצירת קישור (binding) בין מזהה לערך אותו הוא מקבל, או להגדרת ערך החזרה של פונקציה.
אופרטור השוואה הוא אופרטור הפועל על שני אופרנדים מטיפוס כלשהו, ומחזיר ערך בוליאני (אמת או שקר).
בין פעולות ההשוואה ניתן למנות את הפעולות הנפוצות: שווה ל-(==), גדול מ-(<), קטן מ-(>), שונה מ-(=!), גדול או שווה ל-(=<) וכדומה.
לדוגמה, הביטוי (A < B) יקבל ערך אמת אם B גדול מ-A, ושקר אחרת.
אופרטורים לוגיים משמשים לפעולה בין ביטויים מטיפוס בוליאני, וכל אופרטור כזה מייצג טבלת אמת כלשהי.
דוגמאות לאופרטורים אלו: וגם (סימונים נפוצים: &, &&, ^, and), או (סימונים נפוצים: |, ||, or), ושלילה (סימונים נפוצים: !, not, +\).
פעולות על סיביות מהירות ויעילות משמעותית מפעולות אריתמטיות ככפל וחילוק.
קיימים אופרטורים שונים שמבצעות פעולות על סיביות בין שתי משתנים כמו NOT ,OR ,XOR ,AND כמו גם הזזת סיביות במשתנה אחד נתון.
בנוסף ישנם סוגי אופרטורים אחרים, שקיומם תלוי בשפת התכנות:
אופרטורים לפעולה על מחרוזות, למשל האופרטור "שרשור" (לרוב &, &&, + או ++) המשמש ליצירת מחרוזת חדשה משתי מחרוזות על ידי הצמדת השנייה אל הקצה של הראשונה.
אופרטורים לטיפול בזיכרון (קריאה וכתיבה) ואופרטורים של קלט ופלט מהמשתמש.
אופרטורים של גישה לאינדקס במערך או ברשימה ([], !!).
אופרטור מצביע ל"חברים" של אובייקטים (.
אופרטורי תחום הכרזה (Scope) – למשל האופרטור :: בשפת ++C – באמצעותם ניתן להבדיל בין משתנים מתחומים שונים, ולמנוע התנגשות בין שמות או אי בהירות.
אופרטורים הבודקים מאפיינים שונים באופרנד, כגון האם אובייקט הוא מטיפוס כלשהו, או ירש מטיפוס כלשהו, מה גודל הזיכרון אותו האובייקט תופס, וכדומה.
לדוגמה האופרטור instanceof בשפת ג'אווה.
אופרטורים המבצעים המרה של ערכים מטיפוס לטיפוס, או שמשנים את התייחסות המהדר לאובייקט מסוים כאילו הוא מטיפוס אחר.
אופרטורי תנאי כמו אופרטור אלביס והאופרטור הטרנרי: A?B:C בשפת C, שהוזכר לעיל.
בשפות מונחות עצמים קיימים לעיתים אופרטורים כגון new, delete המטפלים ביצירת אובייקטים והריסתם.
קיימים סוגים נוספים של אופרטורים נדירים יותר שלא נמצאים בשימוש נרחב.
חלק משפות התכנות מאפשרות למתכנת לבצע העמסת אופרטורים, כלומר להגדיר אותם כך שיפעלו על טיפוסים נוספים, או להגדיר להם פעולות שונות מאלו שנקבעו בשפה.
לדוגמה, בשפת ++C אופרטור + משמש לפעולה חשבונית בין מספרים, אך מוגדר לעיתים לביצוע פעולות שרשור מחרוזות או לחיבור בין מערכים.
תכונה זו איננה מוגבלת לתכנות מונחה עצמים.
ישנן שפות שאינן מונחות עצמים (כמו LISP) המאפשרות העמסת אופרטורים, ושפות מונחות עצמים (כגון Java) שנמנעות מלספק את האפשרות הזאת (לצורכי בהירות וחד משמעיות).
חלק מהשפות מאפשרות למתכנת לבצע העמסת אופרטורים רק על קבוצת האופרטורים שהוגדרה מראש על ידי השפה.
בשפות אחרות ניתן ליצור אופרטורים חדשים, אף כאלו שלא הוגדרו על ידי השפה.
להלן חלוקה של שפות תכנות נפוצות על פי מידת הגמישות בהעמסת אופרטורים:
העמסה לא אפשרית העמסה אפשרית קבוצה מוגבלת מראש
Visual Basic 2005 ניתן להגדיר חדשים
קדימות אופרטורים (Associativity) מציינת את חוזק הקשר בין הביטויים השונים.
והיא נקבעת הן לפי סדר עדיפויות קבועה מראש בין האופרטורים השונים, והן לפי הסדר שבו הם כתובים (משמאל לימין או ימין לשמאל).
כך למשל, האסוציאטיביות המקובלת בפעולות אריתמטיות היא שפעולת העלאה בחזקה קודמת לכפל וחילוק שקודמות לפעולות חיבור וחיסור, וכן מקובל שפעולות אלה קודמות לפעולת השמה.
במקרה של ספק או רצון לחרוג מסדר העדיפויות, ניתן על פי רוב להשתמש בסוגריים שקובעים את סדר הקדימויות הרצוי (לדוגמה: ערכו של הביטוי 2+2*3 הוא 8 ואילו (2+2)*3 הוא 12).
אך יש לשים לב לכך ששימוש זה בסוגריים שונה מהשימוש בהם כאופרטור קריאה לפונקציה בשפות תכנות רבות, וכן לכך שבשפות מסוימות (למשל Haskell) הדבר עלול לתת משמעות שונה מהצפוי לביטוי כולו.
כאשר ישנם בביטוי מספר אופרטורים להם עדיפות שווה, העדיפות תקבע על פי סדר הכתיבה שלהם, לעיתים הקדימות היא של האיבר השמאלי מביניהם ולעיתים של הימני, באופן שתלוי בהקשר ובשפה הספציפית.
ישנם מקרים מעטים בהם אין סדר עדיפויות (כמו אופרטורים בוליאניים בשפת עדה) ובמספר שפות כגון פרולוג ניתן לשנות את הסדר הקבוע מראש.
בכתיבה postfix או prefix סדר הפעולות נקבע באופן יחיד, ולכן אין משמעות לקדימות בין האופרטורים.
האופרטה (באיטלקית: Operetta) היא סוג של אמנות במה הדומה לאופרה, אך מסווג בדרך כלל כסוגת מוזיקה קלאסית קלה.
היא עוסקת ברוב המקרים בעלילות קומיות והדיאלוגים בה מועברים באמצעות דיבור ללא ליווי מוזיקלי ולרוב לא באמצעות זמרה (רצ'יטטיבים כפי נהוג באופרות).
האופרטה היא למעשה הז'אנר שממנו יצא המחזמר.
בעוד שהאופרטה היא סוג של אופרה קלה המלווה במשחק, המחזמר הוא מחזה המלווה במוזיקה ובשירה.
ז'אק אופנבך נחשב לאחד מאבות האופרטה.
ידועה למשל האופרטה "הלנה היפה" שהוא יצר ב-1864.
המלחין הבולט בתחום האופרטה בגרמנית היה האוסטרי יוהאן שטראוס הבן.
האופרטה המפורסמת ביותר שלו היא "העטלף" (1874), שהייתה בזמנה האופרטה הפופולרית ביותר בעולם.
שטראוס כתב בחייו 16 אופרטות ואופרה אחת.
מילות השירים שלו היו מבוססות על קומדיה של ז'אק אופנבך.
בן זמנו של שטראוס, פראנץ פון סוּפה, כתב אופרטות דומות מאוד לאלו של שטראוס, ואת מסורת האופרטות הווינאית המשיכו פרנץ להאר, אוסקר שטראוס, רוברט שטולץ, אמריך קלמן וזיגמונד רומברג.
עד למאה ה-20. האופרטה הווינאית התאפיינה ברומנטיקה קלילה, בהומור ובחן.
מלחינה הבולט ביותר של האופרטה הצרפתית היה ז'אק אופנבך.
האופרטה הצרפתית מיוצגת נפלא ביצירותיו "סיפורי הופמן" ו"אורפיאוס בשאול".
האופרטה הצרפתית מתאפיינת במין חוצפה וסאטירה לעגנית כלפי מושגים, מציאויות שונות וכדומה.
דוגמה לכך היא שכאשר מבקר ידוע ומוערך בצרפת האשים את כרמיה והלוי, לבריתני האופרה "אורפיאוס בשאול", בחילול סיפור המיתולוגיה הנערץ (בעיוות העלילה בצורה מעוררת גיחוך), הם הזכירו לו שאחד הציטוטים באופרה הוא ציטוט שלו.
דבר זה הביא מיד לכך שהכרטיסים לאופרה קומיק אזלו.
מייצגה הבולט של האופרטה האנגלית הוא ארתור סאליבן.
יחד עם תמליליו של ויליאם שוונק גילברט (השניים ידועים כגילברט וסאליבן) הם רוממו את האופרטה האנגלית.
הדבר מתאפיין בין היתר ביצירותיהם "אוניית הצי פינאפור", "יולנתה", "שודדי הים מפנזנס" ו"המיקדו".
הסגנון האנגלי משלב בין הרומנטיקה הווינאית הקלילה לבין הסגנון הצרפתי החצוף והלעגני.
אֶוּפרוֹניוֹס היה קדר וצייר יווני של כדים בסגנון "הדמות האדומה" (red-figure pottery), אשר פעל באתונה בשנים 520 – 470 לפנה"ס, בזמן מלחמות פרס-יוון.
לבד ממה שניתן להסיק מן הכדים שבחתימתו, הידיעות אודותיו מעטות ביותר.
סך הכל שרדו שמונה-עשר כדים מעשה ידיו, שמונה מהם נושאים את שמו כמי שעיטרם ושנים-עשר נושאים את שמו כקדר.
אופרוניוס היה כנראה אחד מציירי-הכדים המובילים באתונה כבר בראשית דרכו, ויש הרואים בו את החשוב מבין ציירי "קבוצת החלוצים" (Pioneer Group), השם שהעניק המחקר המודרני לציירי כלי-חרס משלהי התקופה הארכאית, אשר פיתחו את טכניקת "הדמות האדומה".
הוא נערץ בעיקר בשל האופן בו העניק תחושת עומק לדמויותיו.
על כדיו המאוחרים חתם כקדר ולא כצייר, והם עוטרו על ידי ציירי-כדים חשובים אחרים בני זמנו.
כפי הנראה היה בשנותיו המאוחרות עשיר ומצליח מספיק כדי להחזיק בית-מלאכה משל עצמו, שחתימתו הייתה סמלו המסחרי.
באנליזה פונקציונלית (ענף במתמטיקה), אופרטור ליניארי חסום הוא אופרטור ליניארי בין מרחבים נורמים X ו-Y, המעביר את כדור היחידה של X לקבוצה חסומה ב-Y.
אופרטור ליניארי הוא חסום אם ורק אם הוא רציף.
אופרטור חסום מעביר כל קבוצה חסומה לקבוצה חסומה.
אופרטור הוא חסום אם קיים M כך ש- לכל .
תנאי זה מאפשר להגדיר את הנורמה של אופרטור לפי חסום , ואז .
הגדרה שקולה לנורמה של אופרטור היא הסופרמום של נורמת האופרטור על כדור היחידה של X, כלומר .
האוסף של אופרטורים חסומים על מרחב הילברט H הוא אלגברת פון נוימן (שאינה בהכרח רגולרית).
הנורמה של אופרטורים שהוגדרה לעיל הופכת את לאלגברת בנך.
בפיזיקה, אופרטור הצפיפות הוא אופרטור ליניארי המשמש לטיפול בתכונות סטטיסטיות של מערכת קוונטית.
ההצגה המטריציונית של אופרטור הצפיפות בבסיס כלשהו מכונה מטריצת צפיפות.
הפורמליזם של אופרטור הצפיפות הוצג על ידי ג'ון פון נוימן בשנת 1927.
אופרטור הצפיפות הוא כלי מתמטי שנועד לטיפול במערכת קוונטית הנמצאת במצב מעורב (mixed state), כלומר צבר של מערכות הנמצאות במצבים קוונטים שונים המתפלגים סטטיסטית.
זאת בניגוד למערכת הנמצאת במצב טהור (pure state).
אופרטור הצפיפות יכול לשמש גם לטיפול במערכת שהמצב שלה אינו ידוע בוודאות.
נניח שהמערכת יכולה להימצא בכל אחד מן המצבים , כאשר ההסתברות להימצא במצב נתונה על ידי .
אופרטור הצפיפות עבור מערכת זו מוגדר על ידי
אופרטור הצפיפות הוא אופרטור הרמיטי.
לאופרטור הצפיפות עקבה 1: .
כמו כן מתקיים כאשר שוויון מתקבל עבור מערכת במצב טהור.
במצב טהור אופרטור הצפיפות הוא אופרטור הטלה, כלומר מקיים .
ההתפתחות בזמן של אופרטור הצפיפות נתונה על ידי:
השימוש העיקרי של אופרטור הצפיפות הוא חישוב ערכי תצפית של גדלים פיזיקליים.
ערך התצפית, כלומר הערך הממוצע המתקבל במדידת גודל פיזיקלי המתואר על ידי אופרטור נתון על ידי:
ביטוי זה מכיל מיצוע כפול - על ההסתברות למציאת המערכת או החלקיק במצב , ועל תוצאות המדידה האפשריות עבור מצב זה.
בעזרת אופרטור הצפיפות ניתן לטפל בתכונות סטטיסטיות של מערכות קוונטיות - מכניקה סטטיסטית קוונטית.
את הגודל הבסיסי של הפיזיקה הסטטיסטית, האנטרופיה, ניתן להביע בעזרת אופרטור הצפיפות באופן הבא:
האנטרופיה של מצב טהור שווה לאפס, ואילו עבור מצב מעורב האנטרופיה גדולה מאפס.
עבור מערכת בשיווי משקל תרמודינמי, ניתן לכתוב את אופרטור הצפיפות על פי הצבר הרלוונטי.
כך לדוגמה, עבור מערכת קנונית, , כאשר הוא ההמילטוניאן ו- היא פונקציית החלוקה.
נתבונן במערכת של חלקיקים בעלי ספין 1/2. נניח כי 80% מהחלקיקים במצב (ספין up בכיוון z) והשאר במצב (ספין down בכיוון x).
אופרטור הצפיפות המתאר את המערכת הוא:
המטריצה המתאימה לאופרטור כאשר עובדים בבסיס המצבים העצמיים של היא:
ערך התצפית של מדידת הספין בכיוון x יהיה:
כלומר, קיבלנו שערך התצפית של הוא (הערך של פעולת על ) כפול ההסתברות לקבל אותו ().
אופרטור סיבוב הוא מונח באלגברה ליניארית, המהווה סוג של העתקה ליניארית.
הוא מייצג את התחושה האינטואיטבית של סיבוב של וקטור במרחב וקטורי כלשהו.
סיבוב שכזה אינו משנה את גודל הווקטור, רק את כיוונו.
באלגברה ליניארית, אנחנו דנים במרחבים אוקלידיים, ובמרחבים אלו, מושג המרחק מציית למשפט פיתגורס.
לפיכך, מרחק בין וקטור כלשהו לראשית (הנקרא גם נורמה), הוא שורש ריבועי של סכום רכיבי הווקטור בריבוע.
המרחק מהראשית הוא: , אשר ניתן לכתוב גם כ-.
כלומר, מכפלת וקטור השורה עם וקטור העמודה המתאים לו.
לאור, כל הנאמר לעיל, מכיוון שאופרטור סיבוב לא משנה מרחק בין שני וקטורים.
כמו כן, כל העתקה ליניארית ניתן לייצג על ידי מטריצה.
נניח כי A היא מטריצה שמבצעת סיבוב ונסיק:
כאשר x ו-x0 הם וקטורים כלשהם.
y ו-y0 הם המכפלה של הווקטורים במטריצה A.
כלומר, התמונות של הווקטורים תחת ההעתקה הליניארית שמסובבת.
זה קורה אם ורק אם .
כלומר, אם ורק אם A היא מטריצה אורתונורמלית (הפיכה על ידי המשוחלפת שלה).
יש לשים לב, כי ישנן העתקות ליניאריות אורתוגונליות שאינן סיבובים - למשל, שיקוף (או שיקוף ואחריו סיבוב או שיקוף ברכיב אחר).
הדרך להבדיל בין שיקוף לסיבוב היא ללכסן את המטריצה ולראות אם ישנם איברים שליליים על האלכסון.
אם ישנם, הרי שמדובר בשיקוף.
אם כולם חיוביים, מדובר בסיבוב.
מה שיגרור, מסקנה שגויה, שלכל וקטור, וקטור ה-0 הוא סיבוב שלו, מה שאינו נכון.
הרכבה של שני שיקופים אינה בהכרח סיבוב, מאחר שייתכן כי שיקוף אחד משקף לפי ציר כלשהו ושיקוף שני לפי ציר אחר.
למשל, העתקת היחידה, , מסובבת כל וקטור בזווית של 0 מעלות, לפי כל ציר.
במישור, סיבוב של וקטור בזווית , ניתן לייצג כ-
באלגברה ליניארית והכללותיה, האופרטור הצמוד לאופרטור ליניארי הוא אופרטור ליניארי אחר, .
בנוכחות מכפלה פנימית האופרטור הצמוד הוא אופרטור .
פעולת ההצמדה מהווה אינוולוציה של חוג האנדומורפיזמים של מרחב מכפלה פנימית.
הקשרים בין האופרטור לצמוד שלו מאפיינים כמה מן המשפחות החשובות ביותר של אופרטורים, ובפרט מאפשרים לזהות מתי אופרטור ניתן ללכסון.
לכל מרחב וקטורי מוגדר המרחב הדואלי של כל הפונקציונלים .
אם העתקה ליניארית, ההעתקה הצמודה היא אופרטור המוגדר לפי הכלל הפשוט ; כלומר, פועל על פונקציונלים על ידי הרכבת מימין.
פעולת הצמוד היא ליניארית: אם שתי העתקות ליניאריות ו- הוא סקלר, אז ו- .
אם מרחבים וקטוריים ו- העתקות, אז משום ש-.
בדומה לזה מוגדר הצמוד של הצמוד, , לפי .
כל מרחב וקטורי משוכן באופן טבעי במרחב הדואלי לדואלי שלו, , כאשר מפרשים וקטור כפעולה המוגדרת לפי .
תחת הפירוש הזה, מתלכד עם בכל מקום שבו האחרון מוגדר, משום ש- לכל .
כאשר מוגדרת על מכפלה פנימית, משפט ההצגה של ריס מאפשר לזהות את עם המרחב הדואלי שלו, בכך שכל וקטור מותאם לפונקציונל .
נניח שגם על מוגדרת מכפלה פנימית משלו, הקובעת זיהוי של עם המרחב הדואלי שלו באותו אופן.
אם העתקה ליניארית, אז מגדירים כך שיתקיים, לכל , ; כלומר, לכל , .
כך השוויון מגדיר את האופרטור החדש .
במקרה של מכפלה פנימית הרמיטית, כגון מכפלה פנימית מעל שדה המספרים המרוכבים שבה מתקיים , הזיהוי של עם המרחב הדואלי הוא דרך פעולה צמודה של הסקלרים, ולכן במקרה זה יש לקרוא את נוסחת הכפל בסקלר שהוזכרה לעיל כך: .
במקרה המיוחד בו , הליניאריות של פעולת ההצמדה, יחד עם חוק הכפל , הופכים את ההצמדה לאינוולוציה של חוג האנדומורפיזמים (שאבריו הם כל האופרטורים הליניאריים מ- ל-).
ההעתקה הצמודה (או הטרנספורמציה הצמודה) היא העתקה ליניארית אשר מקיימת והיא תואמת במשמעותה את המטריצה הצמודה.
התכונות הבאות מתקיימות על ידי העתקה צמודה:
אם הפיכה אז גם הפיכה.
לכל אופרטור , כאשר מרחב מכפלה פנימית, יש משמעות להרכבות , ששתיהן העתקות , ולכן אפשר להשוות ביניהן.
אם היא הזהות ההעתקה נקראת אוניטרית (ובהקשר מעט שונה אורתוגונלית).
בין מרחבים וקטוריים מממד סופי אפשר לתאר כל העתקה ליניארית באמצעות מטריצה, על ידי בחירת בסיס לכל מרחב.
בפרט, עבור מרחבי הווקטורים הסטנדרטיים, בחירת הבסיס הסטנדרטי כבסיס מייצג מאפשרת לחשב את האופרטור הצמוד בקלות:
כלומר: המטריצה של האופרטור הצמוד מתקבלת מהפעלת שחלוף והצמדה מרוכבת על המטריצה המקורית.
אופרזיה לואיז "פרייז" דונלי הייתה שחיינית אמריקאית.
בתם של שרה ג'יין מקארתי ומוריס דונלי.
באולימפיאדת פריז (1924) זכתה דונלי במדליית זהב במשחה שליחות 4x100 מטר חופשי ביחד עם גרטרוד אדרלה, אתל לאקי ומריאצ'ן וזלאו בשיא עולם חדש של 4:58.8 דקות, לפני בריטניה (5:17.0 דקות) ושוודיה (5:35.6 דקות).
שיא זה החזיק מעמד 4 שנים ונשבר על ידי ארצות הברית באולימפיאדת אמסטרדם (1928).
לאחר שפרשה משחייה תחרותית, עבדה כמדריכה בקולג'.
ב-1 בנובמבר 1934 היא התחתנה עם ברוס ריימונד בונגארד, שעבד ככבאי.
אופרטור המיקום הוא אופרטור ממכניקת הקוונטים אשר מתאים למדידת מיקום של חלקיק המתואר על ידי פונקציית גל.
נהוג לסמן את אופרטור המיקום בסימון , על אף שבספרות ישנם סימונים אחרים.
לאופרטור המיקום חשיבות במכניקת הקוונטים, והוא מאפשר לנסח תופעות מורכבות בטבע כדוגמת עקרון אי-הודאות של הייזנברג, וכן על-פיו מוגדר הבסיס של מרחב המיקום.
ניתן לתאר חלקיק קוונטי (חד-ממדי) כפונקציית גל במרחב המיקום, כך שלכל קואורדינטת מיקום , הערך יתאר את צפיפות ההסתברות שהחלקיק ימצא בקואורדינטה .
אופרטור המיקום מייצג מדידה של מיקום החלקיק, כך שהפעלה שלו על פונקציית הגל יוצרת הבחנה בין מיקומים שונים של החלקיק.
על אף שהגדרתו של אופרטור המיקום היא במרחב המיקום, ניתן להמירה להגדרה שקולה במרחב התנע, בו פונקציית הגל מתוארת כפונקציית צפיפות הסתברות של ערכי תנע קווי ולא ערכי מיקום.
הגדרה פורמלית במרחב במיקום החד-ממדי
אופרטור המיקום הוא אופרטור המעביר פונקציית גל המיוצגת במרחב המיקום, לפונקציה , כך שלכל :
באמצעות הגדרה זו ניתן לחשב את ערך התצפית של מיקומו של חלקיק המתואר על ידי פונקציית גל .
ערך זה מייצג את ערך המיקום הממוצע בו יימצא החלקיק עבור מדידה כלשהי.
לערך המיקום הממוצע יהיה ערך אינסופי במקרים שבהם אינה מנורמלת לערך סופי (כלומר ).
דוגמה לכך היא עבור פונקציית גל של חלקיק חופשי.
האופרטור הוא אופרטור הרמיטי מה שמאפשר את מדידתו בעולם הממשי.
כל מהווה ערך עצמי של האופרטור עם הפונקציה העצמית המוגדרת להיות:
כאשר היא פונקציית דלתא של דיראק.
נהוג לייצג את המצב הקוונטי של פונקציית הגל בכתיב ברה-קט כך: .
הקבוצה מהווה בסיס למרחב הילברט ולכן פורסת באופן מלא את מרחב המיקום.
כלומר, ניתן לייצג כל מצב קוונטי כסכום אינסופי של המצבים .
בסיס המיקום הנ"ל הוא בסיס רציף ולכן סכום זה יהיה הלכה למעשה אינטגרל.
הדבר שונה ממצבים עצמיים של בעיות קוונטיות כדוגמת בור פוטנציאל אינסופי ואטום המימן, שבהם הבסיס הנפרס על ידי ההמילטוניאן שלהם הוא בסיס בדיד.
על-פי תכונותיה של פונקציית הדלתא של דיראק, ניתן להראות כי לכל מצב קוונטי ולכל מצב מיקום מתקיים:
אופרטור המיקום התלת-ממדי מסומן ב-.
אופרטור זה מעביר כל פונקציית גל במרחב המיקום התלת־ממדי לפונקציה הווקטורית , כך שלכל וקטור מיקום מתקבל:
אופרטור זה הוא אופרטור וקטורי.
ניתן לגזור ממנו את האופרטורים הסקלריים על ידי לקיחת הרכיב המתאים לכל ציר בהתאמה.
כך ניתן להגדיר את ערך התצפית לכל ציר בנפרד, או לחלופין באופן מיידי כאופרטור וקטורי בצורה אנלוגית למקרה החד-ממדי:
על אף שאופרטור המיקום מוגדר במרחב המיקום, קיימת הגדרה שקולה שלו במרחב התנע.
במרחב התנע מקבל אופרטור המיקום את הצורה הבאה:
כלומר, עבור כאשר פונקציית הגל מוגדרת כפונקציה של התנע הקווי , מתקבל שאופרטור המיקום כמוהו כגזירה לפי במרחב התנע.
כמו כן, במרחב התנע המצבים העצמיים מקבלים את הצורה הבאה:
הגדרות אלו דומות להגדרות של אופרטור התנע והמצבים העצמיים שלו במרחב המיקום.
ניתן להוכיח בצורה ישירה כי במרחב התנע:
במעבר ממרחב המיקום למרחב התנע, כל פונקציית גל של חלקיק עוברת התמרת פוריה.
כלומר, לכל מצב קוונטי :
כאשר היא התמרת פורייה של .
התמרת פוריה של פונקציית הדלתא של דיראק היא פונקציית האקספוננט.
ואכן במרחב התנע אופרטור המיקום שקול לגזירה לפי (כפול ערך קבוע).
אופרטור התנע (הקווי) הוא אופרטור במכניקת הקוונטים, אשר מתאים לגודל המדיד של תנע קווי עבור חלקיק המתואר על ידי פונקציית גל.
נהוג לסמן את אופרטור התנע בסימון , על אף שבספרות יש גם סימונים אחרים.
במרחב המיקום (החד-ממדי) אופרטור זה מוגדר להיות:
זאת כאשר הוא היחידה המדומה, הוא קבוע פלאנק המצומצם ו- היא הנגזרת החלקית של פונקציית הגל לפי משתנה המיקום (נגזרת זו היא נגזרת חלקית מכיוון שפונקציית הגל עשויה להיות תלויה גם בזמן).
בעת ביצוע מדידת ערך התנע של חלקיק כלשהו, החלקיק יקרוס לאחד המצבים העצמיים שלו, כפי שמציע הפורמליזם של מכניקת הקוונטים.
אופרטור התנע משמש לתיאור תופעות שונות במכניקת הקוונטים, כגון האנרגיה הקינטית של חלקיק, פתרון בעיית חלקיק חופשי וניסוח עקרון אי-הוודאות של הייזנברג.
על-פי השערת דה ברויי, לכל חלקיק (ובפרט אלקטרון) ישנה דואליות גל-חלקיק, מה שמאפשר את הגדרתו של אלקטרון כגל ולא כחלקיק נקודתי (כפי שהוא מוגדר במכניקה הקלאסית).
על-פי גישה זו, ניתן לתאר אלקטרון חד-ממדי בעל תנע קווי קבוע כגל מישורי:
ניסוח זה פותר את משוואת שרדינגר עבור חלקיק חופשי כאשר מתקיים הקשר הקלאסי .
כדי לחלץ את התנע מתוך פונקציית הגל יש לבצע גזירה לפי :
לאחר העברת אגפים מתקבל השוויון:
שוויון זה מרמז על כך שהאופרטור המתאים למדידה של תנע הוא , כפי שאושש בניסוי.
אופרטור התנע החד-ממדי הוא אופרטור המעביר פונקציית גל המיוצגת במרחב המיקום, לפונקציה , כך שלכל :
באמצעות הגדרה זו ניתן לחשב את ערך התצפית של התנע של חלקיק המתואר על-ידי פונקציית גל.
ניתן להראות כי אופרטור התנע הוא אופרטור הרמיטי מה שמאפשר את מדידתו בעולם הממשי.
בשלושה ממדים אופרטור התנע הוא אופרטור וקטורי ומסומן בתור .
אופרטור זה מעביר פונקציית גל המיוצגת במרחב המיקום, לפונקציה הווקטורית , כך שלכל וקטור מיקום :
כאשר הוא הגרדיאנט של .
ניתן לפרק את אופרטור התנע התלת־ממדי לשלושה רכיבים סקלריים ולהשתמש בהם על-מנת לחשב את רכיב התנע בכל אחד מהצירים.
כמו כן, ניתן להשתמש באופרטור הווקטורי בצורה ישירה כדי למדוד את ערך התצפית של התנע באופן הבא:
כל מהווה ערך עצמי של אופרטור התנע עם הפונקציה העצמית המוגדרת כך שלכל :
עובדה זו נובעת באופן ישיר מתכונת פונקציית האקספוננט אשר מהווה הנגזרת של עצמה.
בכתיב ברה-קט נהוג לסמן את המצבים העצמיים של אופרור התנע החד-ממדי בסימון .
הקבוצה מהווה בסיס למרחב הילברט ולכן פורסת באופן מלא את מרחב המיקום (קבוצה זו היא בסיס לפיו מתבצעת התמרת פורייה).
מכיוון שבסיס זה הוא בסיס רציף, סכום זה יהיה אינטגרל.
הדבר מקביל לאופן שבו המצבים העצמיים של אופרטור המיקום פורסים את מרחב המיקום.
המצבים העצמיים של אופרטור התנע, בניגוד לאופרטורים אחרים, אינם ניתנים לנרמול כפי שמציע הפורמליזם של מכניקת הקוונטים.
אחת המשמעותיות המידיות של עובדה זו היא שלא קיים ערך תצפית לאופרטור המיקום עבור מצבים קוונטים אלו (כלומר, לא ניתן למדוד את המיקום של חלקיק עם מצב עצמי כזה).
ניתן להראות כי לכל מתקיים ש כאשר היא פונקציית דלתא של דיראק.
עבור אופרטור התנע התלת־ממדי, הערכים העצמיים שלו יהיו כל .
לכל ערך עצמי כזה מותאמת הפונקציה העצמית המוגדרת כך שלכל :
זהו גל מישורי בעל תנע קבוע ונהוג לסמנו ב-.
גם כאן, לכל מתקיים ש-.
על פי רוב, נהוג לתאר מצב קוונטי כלשהו כפונקציית גל המקשרת קואורדינטת מיקום לצפיפות הסתברות .
ייצוג זה נקרא ייצוג במרחב המיקום.
מאחר שהמצבים העצמיים של אופרטור התנע פורסים את מרחב המיקום, נגדיר לכל פונקציית גל שכזו פונקציה חדשה כך שלכל ערך תנע נגדיר:
ניתן להראות ש- היא התמרת פורייה של .
הלכה למעשה, גם היא פונקציית גל המקשרת כל קוארדינטת תנע לצפיפות הסתברות של ערכי התנע.
ייצוג מסוג זה נקרא ייצוג במרחב התנע והוא שקול לייצוג במרחב המיקום.
כלומר, כל מצב קוונטי ניתן לייצוג הן במרחב המיקום והן במרחב התנע ולחלופין.
המעבר ההפוך ממרחב התנע למרחב המיקום מתבצע על ידי התמרת פורייה ההופכית.
המצבים הקוונטיים מקבלים את הצורה של פונקציית הדלתא של דיראק במרחב התנע בעוד המצבים העצמיים של אופרטור המיקום מקבלים את הצורה , זאת באופן הפוך לאופן שבו הן הם מיוצגים במרחב המיקום.
אופרטור התנע במרחב התנע מקבל את הצורה:
באופן דומה לכפי שמוגדר אופרטור המיקום במרחב המיקום.
אחת התכונות הבסיסיות של אופרטור התנע היא אי-החילופיות שלו עם אופרטור המיקום.
כאשר הוא הקומוטטור של האופרטורים.
על-אף שהפלט של פעולת הקומוטטור יכול להיות אופרטור בפני עצמו, עבור הקומוטטור של אופרטור המיקום ואופרטור התנע מתקבל ערך קבוע.
עובדה זו עומדת בבסיסו של עקרון אי הודאות הקובע כי:
עבור כלשהו ניתן להגדיר את אופרטור ההזזה המוגדר כך שלכל :
באופן כללי, לכל פונקציית המוגדרת במרחב המיקום:
ניתן להראות על-ידי פירוק פונקציית הגל במרחב המיקום לטור טיילור שמתקבל:
ניתן על כן להגיד כי אופרטור התנע הוא האופרטור היוצר (generator) של אופרטור ההזזה.
על כן, על-פי משפט נתר, במערכות קוונטיות שבהם ההמילטוניאן מתחלף עם אופרטור התנע ישנה סימטריה להזזות מרחביות.
עבור קטן דיו ניתן להשתמש בקירוב:
קירוב זה שקול לקירוב הקלאסי של טרנספורמציית גליליי.
אופרטור התנע הזוויתי הוא אופרטור וקטורי ממכניקת הקוונטים אשר מתאים למדידת תנע זוויתי של חלקיק המתואר על ידי פונקציית גל.
לאופרטור זה חשיבות רבה בחקר של תופעות טבע שונות, ובפרט במערכות של פוטנציאל מרכזי וסימטריה סיבובית כדוגמת אטום המימן.
ניתן לפרק את אופרטור התנע הזוויתי לשלושה סוגים.
ניתן להתייחס לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי המסומן לרוב באות ומוגדר להיות המכפלה הווקטורית של אופרטור המיקום ואופרטור התנע:
כמו כן, ישנו אופרטור תנע זוויתי ספיני שסימונו .
לאופרטור זה, על אף שתכונותיו דומות לזה של אופרטור התנע הזוויתי האורביטלי, אין ייצוג במרחב המיקום.
בנוסף, בבעיות שבהן ישנו צימוד ספין-מסילה, צימוד ספין-ספין או צימוד בין שני חלקיקים, ניתן להתייחס לאופרטור התנע הזוויתי הכולל המסומן באות .
במכניקה הקלאסית נהוג להגדיר את גודל התנע הזוויתי של חלקיק להיות המכפלה הווקטורית של שני הגדלים המדידים, וקטור ההעתק והתנע הקווי.
במכניקת הקוונטים מיוצגים שני גדלים אלו על ידי אופרטור המיקום ואופרטור התנע בהתאמה, ועל כן ניתן באופן אנלוגי להגדיר את אופרטור התנע הזוויתי האורביטלי כמכפלה הווקטורית של שני אופרטורים אלו:
מאחר שאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי הוא אופרטור וקטורי, ניתן לפרקו לרכיבי הצירים ולסמנם ב-.
אופרטורים אלו מקבלים את הצורה:
בנוסף לכך נהוג להגדיר את האופרטור הסקלרי כך:
מאחר שהתנע הזוויתי האורביטלי מוגדר כמכפלה וקטורית של שני אופרטורים הניתנים לייצוג במרחב המיקום, גם הוא ניתן לייצוג במרחב המיקום (ובאופן זהה במרחב התנע).
בנוסף לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי, ניתן להגדיר אופרטור בעל יחידות של תנע זוויתי הקרוי אופרטור הספין ומסומן באות .
אופרטור זה אף הוא אופרטור וקטורי ומתאים למדידת הספין של חלקיק מסוים.
עם זאת, לאופרטור הספין, על אף שיש לו יחידות של תנע זוויתי, אין ייצוג במרחב המיקום, זאת בניגוד לאופרטור התנע הזוויתי האורביטלי.
גם את אופרטור הספין ניתן לפרק לרכיביו, , ולהגדיר את האופרטור , בדומה לתנע הזוויתי האורביטלי.
ייצוג תנע זוויתי אורביטלי במרחב המיקום
עבור מרחב המיקום בקואורדינטות קרטזיות ניתן לכתוב את רכיבי התנע הזוויתי האורביטלי כך:
לעומת זאת, בקואורדינטות כדוריות מקבלים רכיבי התנע הזוויתי האורביטלי את הצורה הבאה:
ייצוג רכיבי התנע הזוויתי האורביטלי אינו תלוי בקואורדינטה ובנגזרותיה, אלא רק בקואורדינטות הזוויתיות ו-, מה שמדגיש את האופי הסיבובי של אופרטורים אלו.
בקואורדינטות כדוריות מקבל האופרטור את הצורה:
ניתן להסיק כי הקומוטטור של רכיבי התנע הזוויתי האורביטלי מקיים את היחסים:
נהוג לכתוב זהויות אלו בקיצור:
כאשר הקואורדינטות מזוהות עם האינדקסים בהתאמה ו- הוא סימן לוי-צ'יוויטה.
כמו כן, באמצעות זהויות הקומטטור למכפלת אופרטורים ניתן להראות כי:
כלומר, מתחלף עם כל אחד מרכיבי התנע הזוויתי, על אף שהם לא מתחלפים אחד עם השני.
באופן דומה, כל היחסים הללו מתקיימים אף לאופרטור הספין ולרכיביו.
מאחר ש- מתחלף עם כל אחד מרכיבי , ניתן לבחור אחד מהם ולמצוא בסיס מצבים עצמיים משותף.
נהוג לבחור ב-, על אף שבבעיות ספציפיות ניתן לבחור איבר אחר.
הפונקציות העצמיות המשותפות ל- ו- הן ההרמוניות הספריות .
בכתיב דיראק נהוג לסמנן ב-.
כאשר ו- הן הקואורדינטות הזוויתיות של כאשר זה מיוצג בקואורדינטות כדוריות.
הערכים העצמיים של עבור האופרטורים ו- הם:
המספר הקוונטי נקרא מספר קוונטי זוויתי והוא רשאי לקבל ערכים שלמים אי-שליליים בלבד.
המספר הקוונטי נקרא מספר קוונטי מגנטי והוא רשאי לקבל מספרים שלמים שערכם המוחלט קטן או שווה ל-.
גם עבור אופרטור הספין ניתן למצוא בסיס משותף ל- ו-.
איברי הבסיס המשותף של אופרטורים אלו בנויים משני מספרים קוונטים ו- ומסומנים בכתיב דיראק בסימון .
הערכים העצמיים של עבור ו- זהים לאלו של התנע הזוויתי האורביטלי:
עם זאת, בניגוד לתנע הזוויתי האורביטלי, אין להם ייצוג במרחב המיקום (או במרחב התנע).
המספר הקוונטי נקרא מספר קוונטי ספיני והוא רשאי לקבל ערכים חצי-שלמים אי-שליליים בלבד, גם זאת בניגוד לתנע הזוויתי האורביטלי.
המספר הקוונטי נקרא מספר קוונטי ספיני שניוני והוא רשאי לקבל שערכם המוחלט קטן או שווה ל- בקפיצות של 1. כלומר .
בבעיות פיזיקליות רבות יכולים להינתן שני אופרטורי תנע זוויתי אשר כל רכיביהם חילופיים אחד עם השני, כלומר לכל .
אופרטורים אלו יכולים להיות האופרטורים של אותו החלקיק, או לחלופין אופרטורי תנע זוויתי כלשהם של שני חלקיקים שונים באותה מערכת פיזיקלית.
מאחר שכל הרכיבים של חילופיים אלה עם אלה, ניתן לבנות בסיס מצבים עצמיים משותף לאופרטורים .
בסיס זה נקרא בסיס המכפלה והוא בנוי על-ידי המכפלה הטנזורית של הבסיסים של ו- של .
נהוג לסמן את איברי בסיס זה בסימון .
עם זאת, ייתכן ובמערכת הפיזיקלית הנתונה ישנו צימוד בין שני התנעים, כלומר מופיע איבר מהצורה בהמילטוניאן.
בבעיות מסוג זה בסיס המכפלה אינו נוח לפתרון הבעיה.
לשם כך ניתן להגדיר את התנע הזוויתי הכולל להיות .
זהו אופרטור וקטורי אשר גם אותו ניתן לפרקו לרכיביו ולהגדיר עבורו את האופרטור .
ורכיביו מקיימים את כל יחסי החילוף של שאר אופרטורי התנע הזוויתי.
מסיבה זו ניתן להגדיר בסיס מצבים עצמיים חדש המשותף לאופרטורים .
בסיס זה נקרא בסיס הסכום ואיבריו מסומנים ב-.
במקרים רבים מצבים עצמיים אלו יהיו מצבים עצמיים נוחים יותר לפתרון הבעיה הפיזיקלית.
עבור המצבים העצמיים , מקבל ערכים בין ל- בקפיצות של 1. כמו כן מקבל ערכים בין ל- בקפיצות של 1. באופן כללי, אם אחד מהאופרטורים בסכום יכול לקבל ערכי תנע זוויתי חצי שלמים (כמו אופרטור ספיני למשל), אזי גם יכול לקבל ערכים חצי שלמים.
אחרת, מקבל מספרים שלמים אי-שליליים בלבד.
ניתן לעבור מבסיס המכפלה לבסיס הסכום ולהפך על-ידי פעולת חיבור תנע זוויתי ושימוש במקדמי קלבש-גורדן.
בהינתן אופרטור תנע זוויתי כלשהו (אורביטלי, ספיני או כולל), נגדיר את האופרטורים:
עבור בסיס המצבים העצמיים של האופרטורים ו- מתקיים כי:
כלומר, אופרטורים אלו מעלים ומורידים את המספר הקוונטי המגנטי.
במקרים רבים ניתן להשתמש באופרטורים אלו כדי למצוא את מקדמי קלבש-גורדן.
בהינתן וקטור יחידה כלשהו ( שהנורמה שלו שווה ל-1), ניתן להגדיר את האופרטור להיות אופרטור סיבוב סביב הציר ב- רדיאנים נגד כיוון השעון.
אם מגדירים את להיות התנע הזוויתי סביב , ניתן להראות כי מתקיים השוויון:
כלומר, הוא האופרטור היוצר של סיבוב סביב .
לכן, על-פי משפט נתר, במערכות פיזיקליות שבהן יש סימטריה לסיבוב סביב , הגודל של נשמר.
מעבר לכך, במערכות שבהן יש סימטריה לכל הסיבובים, כל איברי נשמרים.
הקשר בין אופרטורי התנע הזוויתי לאופרטורי סיבוב מקנה נקודת מבט גאומטרית יותר על יחסי החילוף הקנוניים בין האופרטורים , במסגרתה אי-החילופיות שלהם נובעת מאי-החילופיות של סיבובים מרחביים.
למשל, הפעלת אופרטור סיבוב בזווית אינפיניטסימלית סביב ציר x ולאחריו אופרטור סיבוב בזווית אינפיניטסימלית סביב ציר y, אינה שקולה במדויק להפעלת אותם הסיבובים בסדר הפוך.
ניתן להראות בדרך גאומטרית לחלוטין שההבדל בין שני אופני הסיבוב, שהוא למעשה יחס החילוף של אופרטורי הסיבוב שתוארו מקודם (), שקול לאופרטור המייצג סיבוב בזווית סביב ציר z.
מעובדה זאת ומן הקשר בין ל- ניתן לגזור אלגברית את יחס החילוף , ובדומה לכך את יחסי החילוף האחרים.
בשפות תכנות מסוימות, אופרטור אלביס, כתוב לעיתים קרובות , הוא פעולה בינארית שמחזירה את הערך הראשון המוערך אם האופרנד הזה מוערך לערך אמת, ואחרת מחזירה את הערך השני.
הסימון של אופרטור אלביס נוצר בהשראת אופרטור התנאי המשולש, A?B:C, מאחר שאופרטור אלביס A ?: B שווה בערך לביטוי התנאי המשולש A ?
ההבדל היחיד בין הביטויים, מעבר לכתיבה הכפולה של הביטוי A, הוא שבביטוי המשולש הערך של A מוערך פעמיים ואילו עם אופרטור אלביס, A מוערך רק פעם אחת.
השם "אופרטור אלביס" נובע מהעובדה שכאשר מסובבים עם כיוון השעון את הסימון הנפוץ שלו, , הוא דומה לרגשון של אלביס פרסלי עם התסרוקת המיוחדת שלו.
אופרטור דומה הוא אופרטור ה-null coalescing, שבו בדיקת האמת הבוליאנית מוחלפת בבדיקה שהערך אינו null במקום זאת.
זה מסומן בדרך כלל באמצעות סימן שאלה כפול: ??, וניתן לראות אותו בשפות כמו סי שארפ או Dart.
במספר שפות, כגון Common Lisp, Clojure, לואה, Object Pascal, Perl, Python, Ruby ו־JavaScript, לאופרטור OR (בדרך כלל || או or ) יש את אותה התנהגות כמו לעיל: החזרת האופרנד הראשון שלו אם זה מוערך לערך אמת, ואחרת להעריך ולהחזיר את האופרנד השני שלו, שעשוי להיות ערך אמת או שקר.
כאשר הצד השמאלי הוא אמת, הצד הימני אפילו לא מוערך; מתבצע "קצר חשמלי".
זה שונה מההתנהגות בשפות אחרות כגון C/C++, שם התוצאה של || תמיד תהיה ערך בוליאני.
בשפה שתומכת באופרטור אלביס, משהו כמו זה:
ייתן x שווה לתוצאה של f() אם התוצאה הזו אמת, ואחרת לתוצאה של g().
זה שווה ערך לדוגמה זו, באמצעות אופרטור התנאי הטרינרי:
אלא שהוא לא מעריך את f() פעמיים אם הוא מניב אמת.
שימו לב לאפשרות של התנהגות שרירותית אם f() היא פונקציה שתלויה במצב - שלא מחזירה תמיד את אותה תוצאה.
קוד זה יגרום להפניה לאובייקט שמובטח שלא יהיה null.
הפונקציה f() מחזירה הפניה לאובייקט במקום ערך בוליאני, ועשויה להחזיר null, הנחשב באופן אוניברסלי כשקרי:
באנליזה פונקציונלית, אופרטור מדרגה סופית הוא אופרטור ליניארי חסום בין מרחבי בנך שהתמונה שלו היא ממימד סופי.
אופרטורים מדרגה סופית במרחב הילברט
ניתן לתאר אופרטורים מדרגה סופית באמצעות מטריצות סופיות.
מאלגברה ליניארית, ידוע לנו שלמטריצה מלבנית, יש דרגה אם ורק אם הוא מהצורה
בעזרת אותו טיעון והלמה של ריס ניתן להראשות שאופרטור על מרחב הילברט הוא מדרגה אם ורק אם
כאשר התנאים על זהים למקרה הסוף ממדי.
באינדוקציה, אופרטור בדרגה סופית הוא מהצורה
כאשר ו הם בסיסים אורתונורמליים.
זה למעשה ניסוח שקול עבור פירוק לערכים סינגולריים.
ניתן לומר שזו צורה קנונית של אופרטורים מדרגה סופית.
בהכללה, עבור אינסופי ורצף המספרים החיוביים עם נקודת הצטברות אך ורק ב , אזי הוא אופרטור קומפקטי, וכעת יש את הצורה הקנונית עבור אופרטורים קומפקטיים.
אופרטורים קומפקטיים הם מחלקה עקבות אם ורק אם הסדרה מתכנסת; תכונה שמתקיימת מיידית עבור כל האופרטורים מדרגה סופית.
אופרטורים מדרגה סופית על מרחב בנך
אופרטור מדרגה סופית בין מרחבי בנך הוא אופרטור חסום כך שהתמונה שלו היא מימד סופי.
כמו במקרה של הילברט, אפשר לכתוב את זה בצורה הבאה:
כאשר , ו הן פונקציות ליניאריות חסומות על המרחב .
פונקציונלי ליניארי חסום הוא מקרה פרטי של אופרטור מדרגה סופית, כלומר מדרגה אחת.
אופרת רוק היא אסופת שירי רוק שמילותיהם מספרות סיפור קוהרנטי משותף.
אופרות רוק, בניגוד למחזות זמר או אופרות מסורתיות, יוצאות לאור כאלבום קונספט ובו שמע בלבד, ולא כמופע תיאטראלי, אם כי אופרות רוק רבות מעובדות ומועלות כמחזמר לאחר יציאתן.
לרוב מחשיבים יצירה כאופרת רוק אם שירי האלבום מתארים סיפור קוהרנטי (אם כי לעיתים פשטני), עם תמלילים בגוף ראשון מפי דמויות באופרה.
מחזמר רוק, לעומת זאת, בדרך כלל מוצג על הבמה ולא כאלבום מוקלט, ואינו משויך לפרפורמרים ספציפיים, בדומה למחזות זמר מסוגות אחרות.
אלבומה של הלהקה "Tommy", המספר על עלייתו לגדולה של נער עיוור ודחוי באמצעות מומחיות במשחק ה"פינבול", נחשבת אופרת הרוק הראשונה, והיא עובדה גם למחזמר ולסרט.
בחוברת האלבום "טומי" מסופר שבשנת 1966 השמיע טאונסנד למנהל הלהקה, קירק למברט, הקלטה של שיר בשם "Gratis Amatis".
השיר הוא אריה באורך 10 דקות, הבנויה מקולות שירה גבוהים השרים את שם השיר שוב ושוב לכל אורכה.
התבדחות אגבית של אחד הנוכחים באומרו "זו אופרת רוק", הציתה את הרעיון במוחו של למברט.
"אופרת פוגי", דני סנדרסון, כוורת, 1970
"אידיוט אמריקאי", גרין דיי, 2004
"שיער", ג'יימס ראדו, ג'רום רגני וגאלט מק'דרמוט, 1967
"ישו כוכב עליון", טים רייס ואנדרו לויד ובר, 1970
"אוויטה", טים רייס ואנדרו לויד ובר, 1976
"חנות קטנה ומטריפה", הווארד אשמן ואלן מנקן, 1982
"מופע הקולנוע של רוקי", ריצ'רד אובריאן, 1975
"הדוויג והשארית העצבנית", ג'ון קמרון מיטשל וסטפן טראסק, 2000
"בני בום", אהוד מנור וקן גלובס, 1978
"מאמי", הלל מיטלפונקט, אהוד בנאי, יוסי מר חיים, 1986 - אופרת הרוק המצליחה ביותר בישראל.
האופרה עסקה בנושאים פוליטיים אקטואליים, ככיבוש השטחים, הקיפוח והאפליה של תושבי הדרום, והמיליטריזם הישראלי.
"צבעוני שחור", רון סלונים ואיל פארן, 1990 (אם כי עיקר פרסומה היה ב-1995) - המגוללת את סיפורם של זוג האוהבים תום ומאי, כאשר שניהם משתחררים מהצבא ודרכיהם נפרדות: תום נוסע להודו כדי לחפש את משמעות החיים, ואילו מאי, להעדפתה, נוסעת לאמסטרדם ומתפתה לזנות וסמים.
זרח החייזר, 1999, פרופ' ארנון פלטי כתב את המילים, הלחנים והעיבודים, בביצועה של להקת פלוטוניום.
האופרה מספרת את סיפורו של זרח החייזר שמגיע ממאדים ומתאהב במקררת יפת תואר בשל האור הפנימי שלה.
האופרה הוצגה פעמיים בפסטיבל הג'אז באילת בשנת 1999.
"עכשו תהיו עבדים שלנו", הבילויים, 1996 - האלבום מספר את סיפורו של שוטף כלים רוסי במסעדת מפגש גשר הירקון בתל אביב שמחליט לעזוב את העיר.
העלילה נפרסת על פני 24 השעות האחרונות שלו בעיר.
"כוכב האהבה", ארקדי דוכין, 1998 - אלבום כפול הבנוי כאופרת רוק.
הסיפור משלב חיפוש עצמי עם אהבה רומנטית בעולם עתידני.
"אלוהימה, יהודית, האדמו"ר ואחותך הקטנה" (נקראת גם "אחותך", "אחותך הקטנה" ו"אחותך התעוררה"), עופר גולני, 2009 - אופרת רוק מחאתית ופמיניסטית המוגדרת כקברט קבלי.
העלילה מספרת כיצד אלוהימה, שהיא למעשה דמות אלוהים הנשית, בוחרת' בנביאה יהודית כדי להגיע לסיירת צדיקים בעזרתם של אדמו"ר - בעברו מג"ד שחזר בתשובה, ואחותך ירושלמי, שהיא תלמידה חכמה אך בעלת פה גדול.
יחד הארבעה משיגים דחיית שירות כדי לשרת שנה בשירות לאומי במסגרת סיירות החסד, ומצטרפים לסיירת תהילים בפיקוד דוד המלך, העושה תיקון לרצח אוריה כמגייס 72 בתולות.
לאופרה זו חזות מאוד נשית ופמיניסטית בשל דמויותיהן של אלוהימה ואחותך, אשר משחקות את הדמויות הגבריות כאילו היו בנות ממין נקבה - אלוהימה היא הגרסה הנשית של אלוהים, ואחותך משחקת תלמידת ישיבה ממין נקבה.