tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
בחצר בית הכנסת נמצא מבנה עצמאי שהוקם במאה ה-7. מניחים כי מדובר בבית מדרש.
לאורך הקירות יש ספסלי אבן.
מניחים כי אכסנדרת הכניסה של בית הכנסת הפכה, עם גידול היישוב, לחדר לימוד ל"תינוקות של בית רבן", אולי מהראשונים שהתגלו בגליל.
הספסל המשובח ביותר נמצא לרגלי הקיר המערבי.
במרכזו מגרעת, שבה הייתה כנראה כורסת חכם בית המדרש.
צבי אילן מעלה את ההשערה כי ייתכן וחכם זה היה "ר'חנה" - שמו של הצדיק שנקבר במקום וקברו נתקדש כפי שנרשם בתעודה מהגניזה הקהירית.
במשקוף בית המדרש תבליטים של 2 נשרים וזר ביניהם, ועליו הכתובת "ברוך אתה בבואך וברוך אתה בצאתך" ().
על הנשרים נתגלו סימני השחתה בידי קנאים.
מתחת למחסן בית הכנסת נמצא מטמון בן מאות מטבעות ברונזה וזהב, שהכיל 485 מטבעות, מתוכן 245 מזהב והשאר מברונזה.
למעט שלוש מטבעות, האחת, מימי אלכסנדר ינאי במאה ה-1 לפנה"ס, השנייה, מימי הכליף מוחמד אל-מהדי והשלישית, מימי "אלעזיז עות'מן", האיובי, בשנת 1193, כל המטבעות הן מהתקופה הביזנטית עד הרקליוס, קיסר האימפריה הביזנטית שמידיו כבשו המוסלמים את ארץ ישראל.
במקומות אחרים באתר נמצאו עוד 600 מטבעות, שכללו גם מטבעות מאוחרות יותר, מימי הצלבנים והממלוכים ועד המאה ה-14 וה-15. בעת מציאתו, היה זה האוצר בשווי הגבוה ביותר שנמצא בבית כנסת קדום בארץ ישראל.
מתחת לסף הפתח של בית הכנסת נמצא חפץ ברונזה בצורת גליל קטן במידות 138X26 מ"מ, ובו קמע.
על הקמע כתב באורך של 26 שורות, שנכתב על ידי יוסי בן זינוביה (כנראה מראשי הכפר).
התוכן הוא בקשה כי יינתן בידו שלטון מוחלט על תושבי הכפר, "קרתה" בלשון הקמיע, כמו ששלטון האל על העולם הוא מוחלט.
אל חזק וגבור, ברוך שמך
את הים בסוסיך ורקעת את הארץ
את העצים בחורף ואת עשב
לפני יוסי בנה של זינוביה.
דברי והציות לי עליהם כשם
בהנחה שמערכות ההגנה והמסתור שנמצאו בחפירות ארכאולוגיות הן מסוף ימי בית שני, אפשר שהימצאות מערכות המסתור באתר מלמדת, שראשית השימוש בהן הייתה בגליל ולאחר מכן, בימי מרד בר כוכבא (135-132 לספירה), התרחב השימוש במערכות מסתור לחבל יהודה.
על סמך מטמון המטבעות וממצאים אחרים, משערים שבמקום התקיים ברציפות יישוב יהודי על פני התקופה הביזנטית, התקופה הערבית הקדומה, התקופה הצלבנית ועד התקופות הממלוכית ותחילת תקופת האימפריה העות'מאנית.
מעריכים כי היישוב השתרע על פני 40–50 דונם, וחיו בו עד 1,200 נפש.
כלכלתו התבססה על גידול זיתים להפקת שמן, כרמי גפן, גידול תבואה וכן קיום מקנה צאן.
צבי אילן גילה בשנת 1977 את השם "כפר מארוס" במסמכי הגניזה הקהירית באוניברסיטת קיימברידג'.
אילן עמד על הדמיון בשם ובמיקום, על פי מפה עתיקה משנת 1584, עם הכפר מרות המופיע בכתבי יוסף בן מתתיהו (בכתיב Meroth).
כאשר חזר לישראל סייר בשנת 1981 במקום עם הארכאולוג יוסי סטפנסקי והם מצאו בחלק הצפוני של חורבות הכפר הנטוש "מארוס", ראשים של 2–3 עמודים ערוכים בשורה שכיוונה צפון-דרום, דהיינו לירושלים, והניחו שמדובר בבית כנסת.
כאשר פנה אילן בבקשה לסיוע בחפירות נתקל בהתנגדות מפני שבאותה תקופה הזיהוי המקובל של Meroth היה עם היישוב מירון.
לבסוף קיבלו אילן ועמנואל דמתי תקציב לסקר ראשוני, גייסו מתנדבים, קיבלו סיוע לוגיסטי מקיבוץ כפר הנשיא והחלו בחפירה בשנת 1983. בסתיו 1985 נמצא מטמון המטבעות.
חבורת תלמידים של צבי אילן ניקתה את האתר בתחילת 2008 והכינה אותו לביקורים.
הממצאים העיקריים של המקום, כולל הפסיפס, מוצגים במוזיאון ישראל ובפארק הנופש של קיבוץ כפר הנשיא, מזרחית לראש פינה.
האתר נמצא בשטח אש ופתוח למבקרים בשבתות.
הגישה אליו היא בדרך עפר המסתעפת מכביש ראש פינה - קריית שמונה, מדרום לתל חצור.
דרך נוספת לאתר היא מכיוון עלמה.
המוסדות האחראיים על אתרים ארכאולוגיים (רשות הגנים הלאומיים ורשות העתיקות) לא קיבלו את האחריות על שימור האתר.
נהר המרזי (באנגלית River Mersey) הוא נהר הזורם בצפון מערב אנגליה בממלכה המאוחדת.
אורכו של הנהר 112 קילומטר, והוא זורם דרך הערים מנצ'סטר וליברפול.
על שם הנהר קרוי מחוז מרזיסייד.
השם "מרזי" מקורו בשפה האנגלו סקסונית, בביטוי Mǽres-ēa שפרושו "נהר הגבול", כנראה בגלל שהנהר שימש בעבר כגבול של המחוזות מרסיה ונורת'מבריה.
תחילתו של הנהר בעיירה סטוקפורט (Stockport) שבמנצ'סטר רבתי, ושפכו במפרץ ליברפול שבים האירי.
החלק הרחב ביותר בנהר נמצא סמוך לשפכו בנמל אלסמיר (Ellesmere Port), שם רוחבו של הנהר 5 קילומטרים.
בנתיבה של המעבורת השתמשו עוד מהמאה ה-12, והיא פופולרית עד היום.
מתחת לנהר עוברת מנהרת קווינסויי.
מרזיסייד הוא מחוז בצפון מערב אנגליה.
אוכלוסיית המחוז מונה 1,381,200 איש, וצפיפות האוכלוסייה בו עומדת על 2,145 איש לקמ"ר.
המחוז קרוי על שם נהר המרזי.
בעבר היה המחוז חלק מלנקשייר אך ב-1974 הוא הפך למחוז עצמאי.
שטחו של מחוז מרזיסייד הוא 645 קמ"ר והוא המחוז ה-43 בגודלו באנגליה.
במרזיסייד חמש ערים בשלטון עצמי כשהגדולה בהן היא ליברפול.
שאר הערים הן: ספטון, נוסלי, סנט.
רוב הערים נמצאות בעברו המזרחי של נהר המרזי, למעט ויראל שנמצאת בצדו המערבי .
המחוז גובל עם לנקשייר בצפון, עם מנצ'סטר רבתי במזרח ועם צ'שייר בדרום.
במתמטיקה, מרחבי (CAT(k הם מרחבים מטריים מטיפוס מיוחד: המשולשים שלהם "דקים" יותר ממשולשי-ההשוואה במרחב סטנדרטי בעל עקמומיות קבועה k.
העקמומיות של מרחבי היא לכל היותר k בכל נקודה.
את המונח טבע מיכאיל גרומוב ב-1987, כראשי-תיבות של המתמטיקאים אלי קרטן (C), אלכסנדר אלכסנדרוב (A) וויקטור אנדרייביץ' טופונוגוב (T).
ההפרדה האמיתית היא בין המקרים k<0, k=0 ו- k>0, מכיוון שמרחבי אפשר לכייל למרחבי אם לשני הפרמטרים k ו- 'k אותו סימן.
מרחבי (CAT(0 שלמים קרויים גם "מרחבי אדמר", על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק אדמר.
עבור מספר ממשי k, מסמנים ב- את המשטח היחיד שהוא פשוט קשר בעל עקמומיות קבועה k.
לדוגמה, הוא המישור האוקלידי עם המטריקה הרגילה שלו; הוא ספירת היחידה במרחב האוקלידי התלת-ממדי, ו- הוא המישור ההיפרבולי.
אם k>0, הקוטר של המרחב הוא (אחרת הקוטר אינסופי).
נניח ש- X הוא מרחב מטרי ו- T משולש שקודקודיו p,q,r; אם k>0, נניח שקוטר המשולש אינו עולה על .
אז קיים ב- משולש יחיד, עד כדי איזומטריה, שבו המרחקים בין הקודקודים שווים לאלה של T.
משולש זה נקרא משולש ההשוואה של T.
נניח ש- הוא מרחב גאודזי, כלומר, מרחב מטרי שבו יש מסילה גאודזית המחברת כל שתי נקודות (מסילה גאודזית היא פונקציה , כאשר הוא קטע על הישר הממשי, והמרחק מקיים לכל ).
אומרים שמשולש גאודזי D במרחב X (משולש שצלעותיו הן מסילות גאודזיות המחברות את הקודקודים) מקיים את "תנאי ", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות של D קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש ההשוואה שלו, 'D במרחב .
המרחב X נקרא מרחב , אם כל משולש גאודזי (שקוטרו, אם k>0, אינו עולה על ), מקיים את תנאי .
אומרים שמרחב מטרי (אפילו אם אינו גאודזי) הוא "בעל עקמומיות k לכל היותר", אם לכל נקודה שלו יש סביבה קמורה-גאודזית (סביבה הכוללת עם כל שתי נקודות גם קו גאודזי המחבר אותן), המקיימת את תנאי .
מרחב בעל עקמומיות 0 לכל היותר הוא "מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית".
התנאי הולך ומתחזק כאשר k מקבל ערכים נמוכים יותר: אם , אז כל מרחב הוא גם מרחב .
מאידך התכונה סגורה במובן הבא: מרחב שהוא לכל , הוא גם .
המרחב האוקלידי (מכל ממד) הוא .
המרחב ההיפרבולי (מכל ממד) הוא .
ספירת היחידה (בכל ממד) היא (אבל לא ).
ספירה ברדיוס r (ולכן מעקמומיות ) היא .
כל מרחב נורמי המקיים איזשהו תנאי הוא מרחב מכפלה פנימית.
אם מנקבים את המישור האוקלידי בנקודה, המרחב הנותר אינו גאודזי, ולכן אינו .
מאידך, לכל נקודה יש סביבה קמורה-גאודזית שהיא , ולכן המישור המנוקב הוא מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית.
עץ הוא מרחב לכל k.
כל מרחב , עבור k<0, הוא מרחב .
בפרט, מרחבים כאלו הם כוויצים.
בין כל שתי נקודות (ממרחק שאינו עולה על אם k>0) מחברת מסילה גאודזית יחידה.
יתרה מזו, המסילה משתנה באופן רציף עם שינוי נקודות הקצה שלה.
כל עקום (שאורכו אינו עולה על אם k>0), שהוא גאודזי-מקומית, הוא עקום גאודזי.
כדור פתוח (ברדיוס שאינו עולה על אם k>0) הוא קמור-גאודזית.
כדורים (שרדיוסם אינו עולה על אם k>0) הם כוויצים.
נקודות שאינן רחוקות משני קצות קטע, קרובות לאמצע הקטע, במובן הבא: לכל a (שאינו עולה על אם k>0) ולכל קיים , כך שאם m היא נקודת האמצע של העקום הגאודזי המחבר את הנקודות x ו-y, אז כל נקודה שמרחקה מ-x ומ-y אינו עולה על , נמצאת במרחק לכל היותר מ-m.
מתכונות אלה נובע שאם , מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב הוא כוויץ.
בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות.
הספירות מראות שתכונות אלה אינן מתקיימות כאשר k>0. למעשה, מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל מרחב בעל עקמומיות שאינה עולה על k (כאשר k שלילי) הוא מרחב .
כל מרחב (עבור ) הוא מרחב היפרבולי.
מרחב הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי (עם המטריקה הרגילה).
מרזיביט הוא סגנון של מוזיקת ביט שנוצר והתפתח בקרב הלהקות שהופיעו בצפון-מערב אנגליה, בעיקר בליברפול.
הסגנון קרוי על שם נהר מרזי, אחד ממייצגי נופיה של ליברפול.
סגנון זה החל להתגבש בתחילת שנות ה-60 של המאה ה-20. שלוש הלהקות שהיו הכי מזוהות עם המרזיביט הן: ג'רי והפייסמייקרס, בילי ג'יי קריימר והדקוטות והביטלס.
להקות נוספות המזוהות עם סגנון זה הן: המחפשים, מתבודדי הרמן פיטר וגורדון פרדי והחולמים, סווינגינג בלו ג'ינס והזמרת .
סגנון המרזיביט הפשוט והקליל לא יכול היה להתמודד עם התפתחות הרוק מסוף 1965 והלאה, ומאז דעך ושקע ולא ענה על ביקוש המאזינים שהחלו להיות מושפעים מהרוק המורכב יותר.
במתמטיקה, מרחב CAT(0) הוא מרחב מטרי שהמשולשים שלו "דקים" כמו המשולשים במישור האוקלידי, או יותר.
המרחב האוקלידי, בכל ממד, הוא מרחב CAT(0).
למרחבים כאלה יש עקמומיות 0 לכל היותר, בכל נקודה, והם תמיד כוויצים.
ראו גם מרחב (CAT(k, למושג הכללי יותר.
משולש גאודזי במרחב גאודזי X מקיים את "תנאי ", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות שלו קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש במישור האוקלידי, בעל אותם ארכי צלעות.
כל מרחב , עם k שלילי, הוא ; וכל מרחב הוא מרחב לכל k חיובי.
מרחב שלם נקרא מרחב אדמר.
התכונה הבולטת של מרחבי אדמר היא שפונקציות המרחק שלהם קמורות: אם הן שתי מסילות גאודזיות, אז הפונקציה קמורה כפונקציה של t.
לתכונות מקומיות ראו מרחב (CAT(k.
מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב הוא כוויץ.
חבורה הפועלת באופן איזומטרי וקו-קומפקטי על מרחב הגון (כזה שבו כל הכדורים הסגורים קומפקטיים) נקראת "חבורת ".
חבורה כזו היא מוצגת סופית, ויש בה פתרון לבעיית המלה ובעיית ההצמדה.
יש בה מספר סופי של מחלקות צמידות של תת-חבורות סופיות.
כל תת-חבורה פתירה של חבורת היא דמוית-.
מכפלה ישרה של חבורות היא חבורת .
מכפלה חופשית של שתי חבורות עם התכה לאורך תת-חבורות שהן דמויות-, היא .
הרחבת HNN של חבורת ביחס לחבורה סופית, היא .
מרחב-זמן או רצף מרחב-זמן הוא מרחב ארבַּע-ממדי, שנהוג לייצגו על ידי מערכת שבה קואורדינטות מרחביות (x,y,z) וקואורדינטת זמן (t או יצוג אחר), כך שכל יצוג של נקודה במרחב מהווה התייחסות למקום+זמן במרחב.
לעיתים נקרא גם מרחב מינקובסקי, על שם המתמטיקאי הרמן מינקובסקי, שהציע ב-1907 את הרעיון ואת המודל המתמטי הראשון של מרחב-זמן.
מרחב-זמן הוא אחד הביטויים הבולטים להבדל בין תפיסת המכניקה הקלאסית, הרואה בזמן ובמרחב ממדים נפרדים ובלתי תלויים, ובין התפיסה היחסותית, הרואה בזמן ובמרחב גדלים הקשורים זה בזה, ותלויים בתנועה היחסית של הצופה והאובייקט הנצפה, ובהשפעת שדות כבידה.
השימוש במודל מרחב-זמן איפשר את המעבר מהייצוג הסטטי והרגעי של אירועים, המאפיין את המרחב התלת-ממדי, לייצוג משוכלל יותר, המאפשר תיאור רציף ושלם של היקום המתפתח.
מעבר לכך הגאומטריה והמטריקה של המרחב-זמן היו כלי מרכזי להבנתם, הפשטתם והעברתם של רעיונות יסוד בתורת היחסות הפרטית והכללית, וכן לפיתוחם של הללו ושל תאוריות אחרות העוסקות ברמת המיקרו והמקרו של היקום.
רעיון המרחב-זמן לא רק הצליח להמחיש את קביעותיה של תורת היחסות, ובייחוד את ההשקפה שמרחב וזמן הם שתי פנים של ישות אחת, אלא גם שינה את ההשקפה על היקום בהעניקו לזירת האירועים עצמה גוף ו'חיים'.
תפיסה זו עולה מן המחקרים המוקדמים של המרחב-זמן, אך ביתר שאת ממודל המרחב-זמן הכבידתי שהציגה תורת היחסות הכללית.
תחת מרחב סטטי, שהוא המקום שבו דברים נמצאים ואשר 'אינו עושה כלום', נעשה מעבר לזירה דינמית יותר: מרחב-זמן המנחה את תנועת החומר והאנרגיה, שתצורתו נקבעת על ידי החומר והאנרגיה, ושלפי הקוסמולוגיה בת ימינו נוצר במפץ הגדול.
במהלך המאה העשרים, עם השתרשות תורת היחסות, חדר מושג המרחב-זמן לתחומים שונים של הפיזיקה, ואף החל לשמש שם כללי למארג היקום או ה'עולם שלנו'.
בקוסמולוגיה של בני האינקה ושל ילידי האנדים שהושפעו מבני האינקה, הזמן והמרחב נתפסים כישות אחת המכונה פאצ'ה (בשפת קצ'ואה ושפת איימרה), כאשר המושג משמש הן להתייחסות ליקום כולו, הנתפס כמערכת מאוחדת אחת, הן להתייחסות לרגע במציאות – 'אירוע עולמי'.
ככל הידוע אלו התפיסות הרעיוניות המוקדמות ביותר של המרחב והזמן כאחדות.
אזכורים מוכרים של רעיונות משיקים בתרבות המערב החלו להופיע רק למן המאה ה-18, והמוקדמים שבהם נעשו במסגרת מדעית.
בכתבים פילוסופיים ובדיוניים מערביים קיימות כמה התייחסויות לרעיון זה מן המאה ה-19, שהרקע להן הוא העיסוק בסובייקטיביות אל מול ממשות, בגבולי ההכרה ומעמדן המעורער של קטגוריות התבונה האופייני לתקופה.
ההתייחסות המוכרת הראשונה מופיעה במאמר של הפילוסוף הגרמני ארתור שופנהאואר מ-1813 בשם "על השורש הארבע-ראשי של עקרון הטעם המספיק".
מאמרו של שופנהאואר הוא מעין המשך לוויכוח הפילוסופי המוכר שהתנהל בין גוטפריד וילהלם לייבניץ לסמואל קלארק על מוחלטות המרחב והזמן, אף שמסקנותיו שונות.
התייחסות מוקדמת אחרת לרעיון המרחב-זמן הופיעה בשנת 1848 במאמר "אאורקה" של אדגר אלן פו העוסק בקוסמולוגיה.
במאמר טוען פו לאחדות המרחב והזמן, בקובעו כי "מרחב ומשך חד הם".
במהלך המאה העשרים, עם הפיתוח הפיזיקלי והמתמטי של המרחב-זמן , נפוצו בשדה הפילוסופיה והאומנות עוד ועוד התייחסויות למושג זה ולהשלכותיו, ואלו תואמים יותר ויותר את המהפכה בתפיסה המדעית אשר הולידה אותו.
בשלהי המאה התשע עשרה ובתחילת המאה העשרים החלה להתערער התפיסה הפיזיקלית הקלאסית-מודרנית של הזמן והמרחב כשני גדלים נפרדים, ומושגי המרחב והזמן החלו לאבד את מוחלטותם.
תורת היחסות, תאוריית הדגל של מהפכה מדעית זו, לא רק הראתה שגדלים אלו אינם מוחלטים, תלויים בצופה המודד אותם ומשתנים ממערכת ייחוס אחת לאחרת, אלא גם שהם שרוגים ותלויים זה בזה.
המרחב-זמן כמושג וכרעיון וכלי מתמטי-מדעי פותח במסגרת חקירתה וגיבושה של תפיסה מדעית זו, אך להופעתו בזירה המדעית קדמו כמה מחקרים ואירועים.
ההתייחסות הראשונה לרעיון המרחב-זמן כמושג מתמטי הופיעה בשנת 1754, בערך "ממד" מן האנציקלופדיה הגדולה שכתב עז'אן לה רון ד'אלמבר.
התייחסות מוקדמת אחרת נמצאת בכתבים של ז'וזף-לואי לגראנז' העוסקים במכניקה אנליטית ומציגים את הרעיון כי "ניתן להתבונן במכניקה כבגאומטריה של ארבעה ממדים, ובמכניקה אנליטית כבהרחבה של גאומטריה אנליטית".
את הקווטרניונים, מערכות המספרים שהמציא ויליאם רואן המילטון בשנת 1843, ראה המילטון ממציאם כישויות המאופיינות בממדים מעורבים של מרחב וזמן.
אלגברת הקווטרניונים של המילטון, שמאפייניה האלגבריים מספיקים לבניית מודל מרחב-זמן ולאפיון הסימטריה שלו, הופיעה בזירה המדעית כמחצית המאה לפני הניסוח הפורמלי של תורת היחסות, ופיתוחים שלה משמשים עד היום בתחשיבים ובתיאורים מדעיים.
עם זאת בתקופתו של המילטון נותרו הקווטרניונים בגדר כלי פיזיקלי-מתמטי שנוי במחלוקת שמשמעותו לא הובנה לעומקה.
תקדים חשוב אחר לשילוב ממדי המרחב והזמן מופיע במחקר של ג'יימס קלרק מקסוול, משלהי המאה ה-19, העושה שימוש במשוואות דיפרנציאליות חלקיות לפיתוח אלקטרודינמיקה המתייחסת לארבעת הממדים.
הישגיו של מקסוול בתחום היו השראה להתפתחויות המדעיות הבאות ולהתגבשותה המואצת של תפיסה חדשה של המרחב והזמן, ולידת מושג המרחב-זמן המוכר לנו.
כהמשך לעבודתו של מקסוול, גילה הנדריק לורנץ מספר אינווריאנטים (גדלים הנשמרים תחת טרנספורמציות) של משוואות מקסוול, שלימים הפכו לבסיס תורת היחסות הפרטית של איינשטיין.
עבודתם של לורנץ ושל אנרי פואנקרה ממשיכו הייתה קרובה מאוד לגילוי תורת היחסות הפרטית, אך הקושי שלהם לקבל את יחסיות הזמן (לוותר על הבו-זמניות במערכות ייחוס) מנע מהם את פיתוחה.
את תורת היחסות הפרטית הציע בסופו של דבר ב-1905 אלברט איינשטיין, אך אף שהמרחב-זמן מצטייר לא-פעם כחלק ממנה, הוא למעשה תולדה מעט מאוחרת שלה.
מודל המרחב-זמן היחסותי הוצע במפורש רק ב-1908, במאמר המפתח ומרחיב את עבודתו של איינשטיין, שכתב מורו, המתמטיקאי הרמן מינקובסקי.
המודל המתמטי שהציע ובחן מינקובסקי ב-1908 הוא המחקר המפורש המוקדם ביותר העוסק בממדי המרחב והזמן כהיבטים של שלם אחדותי.
את המודל הציע מינקובסקי בתחילה כניסוח מחודש למשוואות מקסוול ומאוחר יותר מתוך התייחסות לתורת היחסות הפרטית.
המודל המתמטי-גאומטרי של מינקובסקי מבטא את הקישוריות בין ממדי המרחב והזמן בשלבו אותם למערכת אחת.
זהו מרחב מתמטי הנפרס על ידי קואורדינטות שקולות של מרחב וזמן כאחת, שבו כל נקודה מייצגת אירוע מרחבי-זמני מסוים וכל קו מייצג השתלשלות אירועים אפשרית.
מאחר שקל ויעיל לאפיין אירוע פיזיקלי במונחים של מקום וזמן, זהו כלי נוח להצגה ולחקירה של אירועים וכן של מרחב האירועים עצמו.
באמצעות דיאגרמות של מרחב-זמן הצליח מינקובסקי לבחון ולהמחיש אספקטים יחסותיים שונים.
הרעיון של מינקובסקי הוביל בעצם לתפיסת תורת היחסות הפרטית בצורה גאומטרית יותר, ובכך העניק מובן גאומטרי לממצאים אמפיריים ותאורטיים שונים, כגון טרנספורמציות לורנץ, והשפיע לא מעט על התפתחות המדע.
למעשה אפשר לומר כי גאומטריית המרחב-זמן שהציע מינקובסקי תרמה תרומה חשובה לפיתוח תורת היחסות הכללית, מאחר שאת התיאור המדויק של השפעת הגרביטציה על המרחב ועל הזמן – נושא המחקר המרכזי של תורת היחסות הכללית – פשוט יותר להמחיש ולהציג כ'עיקום' או כ'עיוות' במארג הגאומטרי של המרחב-זמן.
ככלל ניתן לראות בתורת היחסות הכללית מחקר מעמיק של המרחב-זמן.
מודל המרחב-זמן שהציגה תורת היחסות הכללית הוא שכלול של מרחב-זמן מינקובסקי; זהו מרחב לא-שטוח ודינמי, המתאפיין בעקמומיות ובעיוותים שהם תוצא של פיזור המסה והאנרגיה בו.
מודל מתמטי זה מעמיד 'עולם' שבו הממדים ארוגים זה בזה לרצף יחיד, ובו לא רק הממדים הם רצף, אלא גם עולם התופעות הפיזיקליות עצמו הוא רצף.
זו יריעה דינמית, רציפה ושלמה של אירועים בלא 'חורים', שבה כל אירוע מוקף באופן מלא באירועים 'שכנים', ממומשים או לפחות אפשריים – מארג עולם אחד, שבמובן מסוים ארבעת הממדים אינם אלא היטלים שלו.
באופן כללי המרחב-זמן הוא המרחב הארבע-ממדי, שהוא זירת ההתרחשות של אירועים פיזיקליים.
בדומה לתפיסת קו כאוסף כל הנקודות המאורגנות ברצף פורמלי מסוים ליצירתו, ניתן לראות במרחב-זמן אוסף כל האירועים הפיזיקליים, ממשיים או אפשריים, המאורגן בצורה פורמלית ליריעה אחת – מרחב שלם ורציף, שכל נקודה בו מציינת אירוע מרחבי-זמני מסוים, ואשר ברמות מקומיות אפשר לתארו באמצעות מערכת קואורדינטות.
המרחב-זמן עצמו אינו תלוי בנקודת המבט של הצופה, אך ייצוגו נתון לבחירתו.
לכן לשם ייצוג או חקירה של התרחשות פיזיקלית נוכל לבחור במודל המרחב-זמן הנוח לנו – מודל המיוצג על ידי מערכת הקואורדינטות המרחבית-זמנית הנוחה לנו, ואשר מייצג את מערכת הייחוס הנוחה לנו.
הגאומטריה של המרחב-זמן משתנה בנוכחות מסה ותחת השפעת תאוצה וסיבוב.
לכן כדי להבין את מבנהו ותכונותיו של המרחב-זמן, מוטב תחילה להתייחס למרחב-זמן שנהוג לראותו כמרחב תורת היחסות הפרטית – המרחב-זמן המצטייר מתוך התייחסות למערכות אינרציאליות בלבד (תנועות במהירויות קבועות).
רכיבי המרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית קבועים בכל מערכת ייחוס; אין זה מרחב אוקלידי, אך ציריו נותרים ישרים, ועל כן הוא מרחב שטוח, הומוגני ואיזוטרופי (כל הכיוונים בו שווי ערך).
נהוג לכנות מרחב זה בשם מרחב פסאודו-אוקלידי או מרחב מינקובסקי.
כדי להמחיש את תכונותיו של המרחב-זמן הארבע-ממדי, נהוג להשתמש בתרשימים שבהם את צירי המרחב מייצגים שני צירים או ציר יחיד.
דיאגרמות מעין אלו שימשו את מינקובסקי במחקרו, והן מכונות דיאגרמות מינקובסקי או דיאגרמות מרחב-זמן.
בניית מודל גאומטרי ארבע-ממדי של מרחב-זמן באמצעות מערכת קואורדינטות קרטזיות (ניתן לבחור במערכת קואורדינטות אחרת) נעשית על ידי הוספה של ציר זמן לשלושת הצירים המרחביים.
כדי שהיחס בין הצירים יהיה פשוט וסימטרי (מרחק זהה על כל ציר ייצג גודל זהה) וכך גם הגדלים במרחב, מוטב לבחור בקואורדינטות בעלות אותם ממדים.
אם בחרנו ביחידות אורך (הבחירה הפשוטה יותר), נאחד את כלל הצירים על ידי שימוש באותה יחידת מרחק, גם בציר הזמן.
ההמרה של יחידות זמן למרחק נעשית על ידי הכפלה של יחידות הזמן במהירות; מאחר שמהירות האור היא גודל קבוע בכל מערכת, משתמשים בה להמרה, ומציגים את יחידות הציר הרביעי (ציר הזמן) כיחידות ct – כאשר c היא מהירות האור בריק.
כעת, להשלמת ההאחדה, נותר רק להתאים ספציפית את יחידות ct ליחידת המרחק המסוימת שבה בחרנו.
לדוגמה, אם בחרנו ביחידת מרחק שהיא קילומטר, כל יחידת ct תייצג גם היא קילומטר, כאשר כיחידת זמן (t) ישמש הזמן שהאור עובר מרחק של קילומטר.
במצב זה יחידות ציר ct עשויות עדיין להיקרא יחידות זמן, מאחר שניתן להתבונן בהן כיחידות זמן שהוכפלו בסקלר.
עם זאת במרחב-זמן ניתן למצוא גם קריאה רעיונית להסתפק ביחידת מידה אחת, של מרחק או של זמן, ולבטא מרחקים וזמנים באמצעות הגודל המשותף לכלל הצופים, הוא מהירות האור בריק.
נקודת עולם – נקודה במרחב-זמן – היא סט מסוים של קואורדינטות (x, y, z, ct) אשר מייצג אירוע רגעי מסוים, מרחבי וזמני.
זהו גודל פיזיקלי בעל כיוון – וקטור ארבע-ממדי (4-וקטור), המכונה וקטור המקום או וקטור המאורע.
לשם נוחות, ניתן לאגד את הקואורדינטות המרחביות לגודל אחד – – הוא וקטור המקום התלת-ממדי, ולציין נקודת עולם באמצעות ().
נקודות שונות במרחב-זמן יציינו אירועים שונים.
אם הקואורדינטות המרחביות של אירועים שונים זהות, אך קואורדינטת הזמן שונה, משמעות הדבר היא שהאירועים התרחשו באותו מקום אך בזמנים שונים.
במקרה שבו הקואורדינטות המרחביות של אירועים שונים אינן זהות אך קואורדינטת הזמן זהה, משמעות הדבר היא שהאירועים התרחשו בו-זמנית אך במקומות שונים.
קו עולם או מסלול עולמי – קו במרחב-זמן – התקדמות מנקודה אחת לשנייה – מייצג באופן כללי אוסף מאורעות.
כאשר מדובר במאורעות המתייחסים לגוף יחיד, קו עולם יציין מאורעות עוקבים, ובעצם את ההיסטוריה של הגוף – המסלול העולמי שלו.
אופי הקו מעיד על אופי ההתרחשות:
– קו ישר המקביל לציר הזמן משמעו סדרת אירועים עוקבים המתרחשת באותו מקום – ללא שינוי מרחבי – ולכן מתאר גוף הנמצא במנוחה;
– קו ישר שאינו מקביל לציר הזמן מתאר גוף הנע במהירות קבועה;
– קו עקום מתאר גוף הנע במהירות משתנה, כלומר נמצא בתאוצה;
בנוסף להיבטים אלו, ניתן ללמוד מעקמומיות קו העולם (ישר או עקום) על מהירות הגוף.
זווית גדולה יותר בין המסלול העולמי של גוף לבין ציר הזמן משמעה מהירות גדולה יותר.
כאשר ההטיה המקסימלית האפשרית ביחס לציר הזמן היא של 45° (שיפוע שערכו 1), מכיוון שמהירותו של גוף מוגבלת ואינה יכולה לעלות על מהירות האור.
גופים מורכבים – במרחב-זמן ייצוג גופים מורכבים (אלומות אור או גופים המורכבים מחלקיקים בעלי מסה) יכול להיעשות באמצעות אוסף קווי העולם של רכיביהם האלמנטריים.
אולם פיזיקאים מעדיפים להתייחס לגופים שכאלו כאל חלקיקים, או שדות, ולשרטט את מסלולם העולמי מתוך התייחסות למרכז המסה שלהם.
אוסף אירועים, או קווי עולם, המהווים משטח דו-ממדי, מכונים יריעת עולם.
לפי עקרון היחסות כלל מערכות הייחוס שוות ערך, ולשם תיאור העולם אנו יכולים לבחור במערכת הנוחה לנו.
המערכת של צופה אינרציאלי, זו הנעה איתו, תיקרא מערכת המנוחה של הצופה.
מדידת הזמן והנתונים המרחביים המאפיינים אירוע מסוים, ממערכות אינרציאליות שונות, תניב תוצאות שונות, להוציא מדידה של מהירות האור.
הקשר בין הגדלים שימדדו צופים שונים הוא תוצא של המהירות היחסית של המערכות האינרציאליות ומבוטא במשוואות הטרנספורמציה של לורנץ, הקושרות בין הזמן והמרחב.
תופעה דומה מתקיימת גם לגבי המרחב-זמן: המרחב-זמן ייראה שונה בכל מערכת ייחוס אינרציאלית; עבור כל צופה צירי המערכת יראו שונים, וכך גם רכיבי המסלול העולמי של אותו גוף.
אם ניקח לדוגמה מסלול קרן אור העובר דרך ראשית הצירים, כמוצג בתרשים משמאל, נוכל לראות כיצד צירי מערכת הצופה הראשונה (המערכת שציריה הם ct ו-x) נבדלים מאלו של מערכת הצופה השנייה (המערכת שציריה הם 'ct ו-'x), אף שמהירות הקרן זהה בשתי המערכות.
דיאגרמה זו ממחישה את הקשר בין מערכות ייחוס אינרציאליות ומעניקה לו משמעות גאומטרית;במובן זה האפקטים המוכרים של תורת היחסות, התכווצות האורך והתארכות הזמן, הם שינויים גאומטריים במרחב-זמן.
הניסוח המתמטי של פוסטולט האינוואריאנטיות של מהירות האור עבור תנועה חד-ממדית הוא:
ולכן בהתייחס למסלול קרן אור נקבל עבור מערכת הצופה הראשונה והשנייה כי:
שקילות זו מצביעה על כך שצירי המרחב-זמן (x ו-ct במקרה זה) הם סימטריים ביחס למסלול האור בכל מערכת אינרציאלית.
משקילות זו נגזר גם היחס הגאומטרי בין צירי המרחב-זמן במערכות אינרציאליות (כמתבטא בדיאגרמה משמאל): צירי המרחב של מערכת אחת יוטו בזווית מסוימת ביחס לצירי המרחב התואמים של המערכת השנייה ('x בתרשים).
כאשר, ציר ct במערכת האחת יוטה באותה הזווית, ביחס לציר ct של המערכת השנייה, אך בכיוון הפוך (צירי ct ו-'ct בתרשים משמאל).
הטיה מסוג זה מכונה 'פסדו סיבוב', וניתן להציג או להסביר באמצעותה את התכווצות האורך והתארכות הזמן.
זווית ההטיה מבטאת את יחס המהירויות בין המערכות – -, כאשר צירי כל מערכת, לא משנה מה מהירותה, תמיד תואמים קטרים מצומדים של זוג היפרבולות.
לתופעה זו חשיבות רבה בייצוג המטריקה של המרחב-זמן.
במרחב אוקלידי תלת-ממדי, המיוצג על ידי קואורדינטות קרטזיות מרחביות, חישוב האורך של וקטור או המרחק בין שתי נקודות נעשה לפי משפט פיתגורס:
כהכללה, וקטור האורך הזה, שהוא גודל אינווריאנטי, מייצג את המטריקה של המרחב התלת-ממדי.
ניתן לבצע חישוב של המרחק בין שתי נקודות במרחב-זמן בצורה דומה, אך גודל זה אינו מבטא המטריקה של המרחב-זמן, ולמעשה נעדר משמעות פיזיקלית כללית.
לכן ישנה התייחסות למשוואה שונה, מאותה צורה, המבטאת כמה וכמה הנחות ואפקטים מתורת היחסות, היא 'ריבוע האינטרוול' (או בקצרה, 'האינטרוול'):
ריבוע האינטרוול הוא גודל אינווריאנטי לורנץ, כלומר, נשמר בכל מערכת ייחוס אינרציאלית ומכאן חשיבותו.ביטוי זה מתקבל מהצגת הניסוח המתמטי של פוסטולט 'האינוואריאנטיות של מהירות האור' () כמשוואת ריבועי מרחקים עבור תנועת אור:
כאשר, הוא מרווח הזמן בין שני מאורעות לאורך מסלול קרן האור ו- , , הם המרווחים המרחביים בין אותם שני מאורעות.
ריבוע האינטרוול עשוי גם להופיע בתצורה הבאה: .
הבחירה בין התצורות היא עניין של מוסכמה בלבד, שכן שתי התצורות שקולות מבחינת משמעותן.
ריבוע האינטרוול מתאפס עבור חלקיק הנע במהירות האור – בשל השקילות בין ct למרווח המרחבי – אך עשוי לקבל ערכים שונים, חיובים או שליליים, עבור תנועה שאינה במהירות האור.
באמצעות טרנספורמציות לורנץ המאפשרות מעבר ממערכת ייחוס אחת למשנה, אפשר להוכיח כי ביטוי האינטרוול עבור , , , שווה לביטוי האינטרוול עבור , , , , ובכך להראות כי הוא נשמר בכל מערכת ייחוס, עבור כל גוף – כלומר גם כשערכו שונה מאפס.
עבור ריבוע אינטרוול שערכו אפס, המרחק הוא קו ישר; עבור ערך שונה מאפס, מהווה היפרבולה.
מכיוון שהמרחקים במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית אינם בהכרח חיוביים, מרחב זה לא מקיים את התכונה הראשונה מתוך שלוש התכונות המשמשות להגדרת מטריקה, ועל כן המטריקה שלו מהווה הרחבה של מושג המטריקה הפורמלי ומוגדרת כפסדו-מטריקה.
מביטוי ריבוע האינטרוול ניתן ללמוד על אופי המרחב: אם בביטוי מופיעות מכפלות מעורבות של קואורדינטות, משמעות הדבר היא שבמערכת קיים קשר של תלות (פונקציה) בין הקואורדינטות, שיבוא לידי ביטוי בתיאור האירועים בה.
מכפלות שכאלה מעידות על עקמומיות המרחב (תורת היחסות הכללית מתייחסת גם למקרים אלה).
במקרה ההפוך, שבו אין בביטוי ריבוע האינטרוול מכפלות מעורבות של קואורדינטות, הקואורדינטות במערכת הן בלתי תלויות; קואורדינטה בלתי תלויה – שאינה מופיעה במכפלות מעורבות בביטוי ריבוע האינטרוול, ומכאן שאין קשר מובנה בינה ובין הקואורדינטות האחרות – מכונה 'קואורדינטה גאוסית' והיא ניצבת לקואורדינטות האחרות.
במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית לא מופיעים בביטוי ריבוע האינטרוול מכפלות מעורבות, ומכאן שכלל הקואורדינטות ניצבות זו לזו והמרחב שטוח.
מאחר שערכו של ריבוע האינטרוול הוא גודל אינווריאנטי, תכונותיו אף הן אינוואריאנטיות ונשמרות בכל מערכות הייחוס; סוג האינטרוול גם הוא מאפיין הנשמר בכל מערכת ייחוס.
נהוג למיין את האינטרוולים לשלושה סוגים, המאפיינים אירועים מסוגים שונים ומתאפיינים בתכונות שונות: 'אינטרוול דמוי-אור', 'אינטרוול דמוי-זמן' ו'אינטרוול דמוי-מרחב'.
אינטרוול דמוי זמן הוא האינטרוול בין שני אירועים שהמרווח הזמני ביניהם גדול מן המרווח המרחבי – כלומר אינטרוול חיובי.
מאחר שגוף חומרי (בעל מסת מנוחה) אינו יכול לנוע במהירות גדולה ממהירות האור, המרווח הזמני בין שני מאורעות שאינם על מסלול קרן אור יהיה תמיד גדול מן המרווח המרחבי ביניהם.
אינטרוול דמוי זמן יאפיין על כן אירועים הנמצאים על מסלול תנועתו של גוף חומרי.
שני אירועים שהאינטרוול ביניהם הוא דמוי-זמן, עשויים להיות קשורים בקשר סיבתי (אם של השפעה חומרית או של אנרגיית אור), וניתן להעביר ביניהם מידע.
תכונות אלו נגזרות מכך שצליחת המרווח המרחבי ביניהם היא בגדר האפשר, זאת אומרת, אינה נדרשת למהירות גבוהה ממהירות האור.
קווי עולם ששיפועם גדול מ-1, או קטן מ-1-, יתאפיינו באינטרוול דמוי-זמן ונקראים 'קווים דמויי-זמן'.
אינטרוול דמוי-מרחב הוא האינטרוול בין שני אירועים שהמרווח הזמני ביניהם קטן מן המרווח המרחבי – אינטרוול שלילי.
מאחר שלא ניתן לעבור את מהירות האור, את המרווח המרחבי בין שני מאורעות שהאינטרוול ביניהם דמוי-מרחב לא תוכל לצלוח קרן אור, כל שכן גוף חומרי.
על כן שני אירועים שהאינטרוול ביניהם הוא דמוי-מרחב אינם יכולים להיות קשורים בקשר סיבתי (אם של השפעה חומרית או של אנרגיית אור), ולא ניתן להעביר ביניהם מידע.
קווי עולם ששיפועם גדול מ-1- וקטן מ-1 יתאפיינו באינטרוול דמוי-מרחב ונקראים 'קווים דמויי-מרחב'.
אינטרוול דמוי-אור, המכונה גם בשם 'אינטרוול האפס', הוא האינטרוול בין שני מאורעות שהמרווח המרחבי ביניהם שווה למרווח הזמנים ביניהם – כלומר אינטרוול שערכו הוא אפס.
אינטרוול דמוי-אור מתאר אירועים המתרחשים לאורך מסלול קרן אור ומכאן שמו.
קווי עולם ששיפועם 1 יתאפיינו באינטרוול דמוי-אור ונקראים קווים דמויי-אור.
קווי עולם שכאלה יכולים לתאר את תנועתו של גוף הנע במהירות האור – פולס אור.
חרוטים אלו נקראים 'חרוטי האור', או 'חרוטי האפס', ומשמשים להמחשת הקשרים האפשריים בין מאורעות במרחב-זמן: כלל המסלולים העולמיים האפשריים של גופים חומריים, הקשורים בראשית, הם דמויי-זמן ונמצאים בתוך חרוטי האור.
חרוט העבר מכיל את כלל האירועים שעשויים היו להשפיע על האירוע המתרחש בראשית, וחרוט העתיד מכיל את כלל האירועים שעשויים להתרחש בהשפעת האירוע הראשיתי.
מסלולים המצויים מחוץ לחרוטי האור, הם דמויי-מרחב, ועל כן אינם יכולים לייצג מסלולים סיבתיים, לא של השפעה חומרית וגם לא של אנרגיית אור.
ריבוע האינטרוול הוא גודל אינוואריאנטי המאפיין ומייצג את המטריקה של המרחב-זמן.
בשונה מריבוע האורך במרחב אוקלידי שטוח, החיובי תמיד, אינוואריאנט זה יכול להתאפס וגם לקבל ערכים חיובים או שליליים.
ערכו של ריבוע אינטרוול מסוים נשמר בכל מערכות הייחוס, אך ביטויו משתנה ממערכת למערכת.
עם זאת ניתן לבנות באמצעותו את הכלי המתמטי המכונה הטנזור המטרי, אשר משמש לתרגום מערכי גדלים ממערכת קואורדינטות אחת לאחרת, ולהגדרת המכפלה הסקלרית של וקטורים ארבע-ממדיים במרחב-זמן שעליו הוא מתייחס.
בניית הטנזור המטרי נעשית על ידי ביטוי רכיבי ריבוע האינטרוול בצורה כללית, שבה משמשים המקדמים המשתנים (התלויים) ואיבר הבסיס המשותף, שבו הללו מוכפלים – הוא הטנזור המטרי.
הטנזור המטרי מטבעו הוא מאפיין כללי של מערכת הקואורדינטות שאליה הוא משויך, וקשור באופן מהותי לתכונות המרחב שזו מייצגת (מטריקה מגדירה עקמומיות).
הטנזור המטרי של מרחבים שטוחים אינו תלוי במערכת הייחוס או בתכונות לוקליות.
תכונות אלו תקפות גם לטנזור המטרי של המרחב-זמן השטוח של תורת היחסות הפרטית (מרחב מינקובסקי), שהוא המטריצה:
האלמנט האלכסוני הראשי בטנזור, (1 1- 1- 1-), שערכו שונה מאפס, הוא המשמעותי ביותר – האלמנט האלכסוני הראשי מבטא את היחס בין צירי המערכת, ועל כן מהווה את חותמת המרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית.
מכך שכל רכיבי האלכסון הראשי בטנזור הם קבועים וכל היתר הם אפסים, ניתן להסיק כי המערכת שהטנזור מייצג היא שטוחה.
ניסוח ריבוע האינטרוול כמכפלה סקלרית עצמית של וקטור המרחק בטנזור הוא:
באופן דומה ניתן לבטא מכלול של גדלים פיזיקליים רלוונטיים.
השימוש בפורמליזם הארבע-ממדי ובטנזור המטרי של המרחב-זמן הופכים את כל החישובים בתורת היחסות – הן של הדינמיקה (תנועת גופים) הן של האלקטרודינמיקה – לפשוטים יותר.
מאחר שבטבע גופים נעים בתנועה משתנה, מסתובבים, מאיצים ומאטים ונתונים להשפעת כוחות כבידה, ניתן לראות במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית מרחב תאורטי, שאינו מתאר את המרחב-זמן הכללי שבו אנו חיים, ויעיל רק למקרים בהם השפעת גורמים אלו זניחה.
מרחב-זמן המתייחס לגורמים השונים הללו הוא מורכב ושונה ממרחב-הזמן של תורת היחסות הפרטית.
למעשה, עד לפיתוח תורת היחסות הכללית נדמה היה כי בכל הנוגע לתאוצות ולסיבובים, עקרון היחסות אינו תקף.
החיפוש אחר הכללה של עקרון היחסות, לכל סוגי התנועה, הוא שהוביל את איינשטיין לפיתוח תורת היחסות הכללית.
תורה זו איגדה תופעות הקשורות בגרביטציה, במערכות ייחוס מואצות, ובתיאור גאומטרי של מרחבים עקומים, וניתן לראותה כתורה שבמרכזה עומד התיאור של שינוי הגאומטריה של המרחב-זמן בהשפעת כבידה ותאוצה, כמו גם של השפעת שינויים גאומטריים אלו על התנהגותם של גופים במרחב-זמן.
המרחב-זמן של תורת היחסות הכללית הוא מרחב אירועים שמבנהו מוגבל ומעוצב על ידי תנועת הגופים והכוחות הפועלים בו, ובה בעת מכפיף או כופה אילוצים על תנועתם.
מרחב זה אינו אוקלידי, ואף לא פסוודו-אוקלידי; מבנהו נקבע על ידי פיזור המסה והאנרגיה בו, ולכן עקמומיותו עשויה להשתנות מאזור לאזור באופן משמעותי.
בשונה מהמרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית, שאופיו הכללי נותר מוגדר וקבוע, המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית עשוי להיות לא-שטוח – ציריו אינם בהכרח ישרים, או ניצבים זה לזה, ועשויים להתעקם.
כמו כן, מרחב זה אינו בהכרח הומוגני ואיזוטרופי, שכן תכונותיו עשויות להיות שונות, בנקודות שונות, ואף להשתנות במשך הזמן, כתלות במתרחש בו.
המרחב-זמן הכללי (המבנה הגאומטרי של היקום) מהווה על כן, לפי תורת היחסות, יריעת אירועים דינמית, אך שלמה ורציפה, ששינויים אזוריים בתכונותיה מהווים כעין 'עיקום' או 'מתיחה' במארגה, המתפלגים מנקודה לנקודה בצורה חלקה ורציפה.
מבנה מרחב כללי זה נקבע על ידי כלל החומר והאנרגיה ביקום.
כאמור, קודם לניסוח תורת היחסות הכללית, בכל הנוגע לתאוצה וכבידה, נדמה היה כי עקרון היחסות אינו פועל, ואת השינויים במרחב ובזמן המופיעים במערכות הנעות בתאוצה, או הנתונות להשפעת שדות כבידה, לא ניתן היה להסביר במסגרת תורת היחסות הפרטית.
תופעות אלו הן שהובילו לשינוי תפיסת המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית.
כדי להבין את השינויים המתחוללים במרחב-זמן בהשפעת תאוצה, ניתן להתבונן במקרה מבחן של מערכת הנעה בתאוצה רדיאלית קבועה בגודלה.
נתבונן בשתי מערכות ייחוס, מערכת נייחת ומערכת שנייה, הנעה סביב עצמה במהירות קבועה.
כדוגמה למערכת כזו ניקח דיסקה שטוחה המסתובבת במהירות זוויתית קבועה .
לתיאור המערכת החיצונית, שאינה קשורה לדיסקה ונמצאת במנוחה, נשתמש בקואורדינטות קרטזיות ; לתיאור מערכת הדיסקה נשתמש בקואורדינטות גליליות , שבהן: משמש לציון מרחק נקודה על פני הדיסקה מראשית הצירים, ו- לציון הזווית בין היטל וקטור על פני הדיסקה (מישור X-Y) לציר X.
משוואות הטרנספורמציה בין מערכת קרטזית למערכת גלילית הן:
ריבוע האינטרוול זהה בשתי המערכות:
כאשר ביטויו במערכת הדיסקה, לפי הצבת משוואות הטרנספורמציה לפרמטרים גליליים, הוא:
עבור צופה ממערכת הדיסקה, כל נקודה נייחת על פני הדיסקה נמצאת במנוחה.
עבור צופה מהמערכת החיצונית, שאינה קשורה לדיסקה, כל נקודה נייחת על הדיסקה נעה עם מערכת הדיסקה בתנועה סיבובית.
במשוואת ריבוע האינטרוול, האיבר הוא המבטא צימוד זה בין הקואורדינטה הזוויתית והזמ,ן תוצר המהירות הזוויתית.
רכיב זה מבטא גם את ההבדלים בתפיסת מסלולי גופים בין מערכת הדיסקה והמערכת החיצונית לה.
למשל, גוף הנע בקו ישר ונכנס למערכת הדיסקה ייראה לצופה החיצוני כנע בקו ישר על פני דיסקה מסתובבת, לעומת זאת עבור צופה ממערכת הדיסקה מסלול הגוף ייראה עקום – זאת מאחר שעבור צופה זה הנקודות שהגוף חלף בהן, נמצאות בזמנים שונים במיקום שונה.
אם כן במערכת הדיסקה תנועת גופים תוכפף תחת אילוצי תנועת המערכת.
בהתייחסות לזמן במערכות מתגלה אפקט יחסותי מוכר: במערכת הדיסקה השעונים מאטים, וההאטה תלויה במרחקם מראשית צירי הדיסקה.
הפעם, האיבר המופיע בביטוי ריבוע האינטרוול הוא האחראי לביטוי התנהגות זו.
במסגרת המכניקה הקלאסית הוסברו השינויים בזמן ובמרחב על פני הדיסקה כתוצר פעולתם של כוחות מדומים.
במסגרת תורת היחסות הללו מהווים תוצר של שינוי בגאומטריה של המרחב-זמן המתבטאים בשינויים במטריקה; כפי שציינו, ריבוע האינטרוול מאפיין את המטריקה של המרחב ולכן שינוי מהותי באיבריו מעיד על שינוי המטריקה.
בביטוי ריבוע אינטרוול של מערכת הדיסקה מקדמי הדיפרנציאלים (הרווחים הקואורדינטורים) – שהם רכיבי הטנזור המטרי – אינם קבועים, אלא תלויי מהירות זוויתית ומרחק.
איברים אלו אמנם אינם קשורים לאלמנט האלכסוני של הטנזור המטרי של תורת היחסות הפרטית, אלא לרכיבים הנמצאים מחוץ לו, אך עדיין מהווים שינוי במבנהו, דבר המעיד על שינוי באופי המרחב-זמן של מערכת זו.
בעוד הטנזור המטרי של מרחב-זמן תורת היחסות הפרטית התאפיין בחוסר תלות במערכות ייחוס ובתכונות לוקליות, בטנזור המטרי המאפיין את המרחב-זמן של מערכות הנעות במהירות זוויתית, מופיעים רכיבים תלויי מקום – תכונה המאפיינת מרחבים עקומים.
אם בהתייחס למערכות ייחוס אינרציאליות מצאנו כי צירי המערכת האחת מוטים בפסידו-סיבוב ביחס למערכת השנייה אך המרחב-זמן נותר שטוח, במקרה של מערכת הדיסקה המרחב והזמן הקואורדינטורים כבר אינם קבועים, והדיסקה מתנהגת כמרחב בעל עקמומיות שלילית.
ראינו כי צירי מערכות ייחוס אינרציאליות מוטים בפסדו-סיבוב זו ביחס לזו, בזווית התואמת את יחס המהירויות ביניהן.
בתאוצה ניתן להתבונן כבשינוי מהירות, ומכאן שתצטייר אף היא כסיבוב יחסי של צירי המרחב-זמן של מערכת, אלא שבמקרה זה הסיבוב יהווה משתנה תלוי קואורדינטות, דבר המאפיין מרחב עקום.
מבחינה זו מערכת הנעה בתאוצה ישרה דומה למערכת המסתובבת במהירות קבועה.
כפי שראינו, במערכת הנעה בתאוצה רדיאלית קבועה, רכיבי הטנזור תלויים במרחק מראשית צירי המערכת ובמהירות הזוויתית – המשתנים המגדירים את התאוצה הרדיאלית ().
במערכת הנעה בתאוצה ישרה יופיעו מאפיינים דומים, שימצאו גם הם את ביטויים בריבוע האינטרוול – כרכיבים תלויי קואורדינטות.
השפעת כבידה דומה במידה מסוימת להשפעת תאוצה, מאחר שהיא פועלת באופן דומה לכוחות המדומים המופיעים במערכות מואצות ומקנה לגופים שעליהם היא פועלת תאוצה שאינה תלויה במסתם.
מדמיון זה נגזר כי השפעת כבידה על המרחב-זמן תהא דומה להשפעת תאוצה ותתבטא אף היא בסיבוב צירי המרחב-זמן, אלא שהפעם, בשל חוסר אחידות שדות כבידה, כיוון ומידת הסיבוב – העקמומיות – עשויים להשתנות מאזור לאזור שינוי של ממש ולייצר במרחב-זמן עיוותים.
איינשטיין זיהה את הדמיון בין התופעות המתגלות במערכות מואצות ומערכות הנתונות להשפעת כבידה, ומחקירתו אותו מכיוונים שונים גזר את עקרון השקילות בין מסה אינרציאלית ומסה גרביטציונית, הגורס כי התופעות הנצפות במערכות מואצות ואלו הנובעות משדה כבידה הומוגני שקולות מבחינה פיזיקלית ולא ניתן יהיה להבחין ביניהן.
רעיון זה היה אחד מאבני הדרך החשובות בפיתוח תורת היחסות הכללית, שאיפשרו לאיינשטיין לאגד ולקשור את מכלול התופעות הקשורות באינטראקציות בין מסות ותנועת גופים ואנרגיה, לכלל תאוריה חדשה המעמידה תיאור והגדרה פורמלית של הקשר בין המרחב-זמן ובין תנועת החומר והאנרגיה בו, התקפים לכלל מערכות הייחוס.
התאוריה שפיתח איינשטיין מציגה גישה שונה למרחב-זמן, ובשל עיסוקה במרחבים לא הומוגניים, שעקמומיותם עשויה להשתנות בצורה דרסטית, היא מתייחסת למרחבים שרכיבי הטנזור שלהם אינם קבועים.
הרעיון המרכזי של תורת היחסות הכללית – כי הכבידה היא אינה אלא תוצר של עקמומיות ועיוותים במרחב-זמן הנוצרים בשל פיזור המסה והאנרגיה בו, וכופים אילוצים על תנועת האנרגיה והגופים בו – היווה בזמנו מהפכה בתפיסת העולם הפיזיקלית.
בתפיסה זו, כבידה אינה כוח משיכה הפועל בין מסות, כפי שגרס ניוטון, אלא תכונה המושרת על המרחב-זמן, שמובנה גם רחב יותר, באשר הוא מתייחס הן לכבידה הניוטונית (השפעת האינטראקציה הסטטית בין מסות) והן להשפעת מסה אינרציאלית (האינטראקציה הדינמית).
יתר על כן לפי תפיסה זו, השינויים בתכונות המרחב-זמן (באופי ומידת עקמומיותו) מאזור לאזור, הם המסבירים את התנהגותם השונה של גופים במרחב ואת האפקטים היחסותיים השונים.
"המרחב והזמן", כפי שמסביר הוקינג בספרו הפופולרי קיצור תולדות הזמן, "הם גורמים כמותיים דינמיים: כשגוף נע, או כשכוח פועל, הדבר משפיע על עיקום המרחב והזמן – מצד שני, מבנהו של המרחב-זמן משפיע על הדרך שבה גופים נעים וכוחות פועלים".
לפי תורת היחסות הכללית, בהינתן האפשרות לסכום את השפעת כוחות הכבידה הכלליים, ניתן בעצם לקבוע את השדה הכבידתי הכללי של מערכת, וממנו לגזור את הגאומטריה של המרחב-זמן על התכונות שהכבידה משרה עליו; ובהינתן הגאומטריה של המרחב-זמן המוכפף לאילוצי הכבידה הכללית, ניתן לחשב את מסלולי התנועה של גופים בו.
תורת היחסות הכללית מחליפה למעשה את שדות הגרביטציה הכלליים במרחב עקום, כאשר קשר ההשפעה בין הללו הוא דו-סטרי: פילוג האנרגיה והמסה קובעים את הגאומטריה של המרחב-זמן, וזו מצידה יוצרת תנועה באנרגיה ובמסה, ועל ידי כך משנה את התפלגותם.
המבנה היסודי בתורת היחסות הכללית הוא היריעה, וביטוי החוקים הפיזיקליים נעשה באמצעות וקטורים וטנזורים התלויים בגאומטריה.
בהתייחס לגאומטריה, עקמומיות היא המאפיין המבטא את כל תכונות המרחב, את שינוי יחסי המרחק בין הנקודות במרחב, ואלו ניתנות להצגה על ידי הטנזור המטרי.
לכן רכיבי הטנזור המטרי הם המשתנים בהם עוסקת תורת היחסות הכללית, כאשר ההתייחסות היא למרחב המאורעות כולו – כלומר לתכונות על פני כלל המרחב הארבע-ממדי.
המרחב-זמן בתורת היחסות הכללית מוגדר על ידי משוואת השדה של איינשטיין.
משוואה זו מבטאת את הקשר בין פילוג המסה והאנרגיה במרחב-זמן לבין רכיבי הטנזור המטרי, ותצורתה היא:
כאשר, הוא טנזור העקמומיות של ריצ'י; הוא הטנזור המטרי; הוא סקלאר ריצ'י; הוא הקבוע המתמטי פאי; הוא קבוע הכבידה של ניוטון; היא מהירות האור; ו- הוא טנזור המאמץ-אנרגיה;
את המשוואה אפשר לבטא גם בצורה הקומפקטית יותר, באמצעותם טנזור איינשטיין (), שרכיביו הם רכיבי הטנזור המטרי ונגזרותיהם:
צידה השמאלי של המשוואה מתייחס לגאומטריה של המרחב – רכיבי הטנזור המטרי ונגזרותיהם –, וצידה הימני לחומר – צפיפות המסה והאנרגיה, צפיפות התנע ורכיבי טנזור המאמץ, המהווים יחדיו את טנזור המאמץ-אנרגיה.
מאחר שלכל טנזור ארבע-ממדי 16 רכיבים (צירופי ), משוואת השדה של איינשטיין מהווה בעצם 16 משוואות.
עם זאת בשל הסימטריות האלכסונית של הטנזורים, אלו מצטמצמות לעשר משוואות שונות.
פתרון המשוואה נותן את רכיבי הטנזור עבור כל נקודה במרחב-זמן – על פני כל המרחב הארבע-ממדי.
מאחר שאלו הן משוואות דיפרנציאליות חלקיות, הכוללות כמה משתנים לא-תלויים, ואי-ליניאריות ממעלה שנייה, אין להן פתרון כללי, והן פתירות רק עבור מקרים פרטיים, או מסוימים ומוגדרים.
דוגמה לפתרון שכזה היא מטריקת שוורצשילד – הפתרון המדויק הראשון למשוואות, שהציע האסטרונום קארל שוורצשילד.
כאמור, משוואות איינשטיין מתארות את הקשר הכללי בין פיזור ותנועת אנרגיה למבנה המרחב-זמן, ועל כן חובות בתוכן תיאור של כלל המקרים הפרטים של תצורות המרחב-זמן.
לפי תורת היחסות הכללית נוכחות ותנועת מסה מעוותת את המרחב-זמן ויוצרת בו עקמומיות.
עקרון ההתמדה קובע כי גופים ישאפו להתמיד בתנועתם, ולכן, כמנוסח בחוק הראשון של ניוטון, במצב של תנועה במהירות קבועה ובהיעדר השפעת כוחות נוספים, גופים ינועו בקו ישר.
עקרונות תנועה אלו נשמרים בתורת היחסות הכללית: גופים חופשיים ינועו "תמיד בקווים ישרים במרחב-זמן ארבע-ממדי," אך בשל עקמומיות המרחב יראו לנו "כאילו הם [נעים] בקווים עקומים במרחב התלת-ממדי שלנו".
לפיכך תנועת גופים במרחב-זמן של תורת היחסות מתוארת באמצעות מסלולים גאודזים: קו גאודזי או מסילה גאודזית הוא המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות במרחב עקום; במרחב שטוח קו גאודזי הוא ישר, ובמרחב תלת-ממדי עקום זהו מסלול גאודזי.
למשל, על פני כדור, המסילות הגאודזיות הן המעגלים הגדולים שהרדיוס שלהם שווה לרדיוס הכדור.
לפי תורת היחסות במרחב-זמן הארבע-ממדי, גוף ינסה להתמיד בתנועה ישרה, אך נתיב תנועתו יוכפף ויתעקם בשל עקמומיות המרחב, והוא ינוע במסלול הקצר ביותר האפשרי לו – כלומר במסילה גאודזית.
מבחינה זו עקמומיות המרחב מייצגת למעשה את האילוצים הנכפים על גופים על ידי שדות הכבידה הכלליים.
לכן בהינתן הגאומטריה של המרחב ועקמומיותו, ניתן לחשב את מסלולי התנועה של גופים בו.
ניבויים אלו של תורת היחסות הוכחו כמה שנים אחר ניסוח תורת היחסות הכללית.
משוואות התנועה הקו-ואריאנטיות של איינשטיין מאפשרות חישוב מסלולים שכאלה.
כמשוואת השדה גם משוואות אלו הן משוואות דיפרנציאליות סבוכות, העושות שימוש בחשבון טנזורים ואנליזה על יריעות.
אופייה הכללי של תורת היחסות הכללית מאפשר להסיק כמה מסקנות לגבי המבנה הגאומטרי של היקום.
מאחר שהידע המצוי בידנו אינו מלא מסקנות אילו מוגבלות, וחלקן אינו אלא קירוב גס.
איינשטיין עצמו ניסח כמה מסקנות לגבי טיבו של מבנה היקום.
היקום לפי איינשטיין גם אינו פסאודו אוקלידי (כמרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית), מאחר שמסות גדולות יוצרות בו עקמומיות חריגות.
לפי נתונים אלו, ועל סמך זאת שעל אף שפיזור החומר ביקום אינו אחיד, בהתבוננות ביקום בקנה מידה התואם את ממדיו, נראה כי החומר בו מחולק בצורה הומוגנית שהסטיות ממנה הן זעירות ביותר.
בשל כך לצורך התייחסות למבנה הכללי של גאומטריית היקום, נוכל להניח כי המרחב-זמן הכללי הוא הומוגני ואיזוטרופי.
מהנחה זו משתמע כי הצפיפות הממוצעת של החומר ביקום שווה בכל רגע, אך לא בהכרח קבועה בזמן.
על סמך נתונים והנחות אלו נוכל לקבוע כי גאומטרית המרחב-זמן הכללי (מבנה היקום) נוהגת כיריעה שעקמומיותה קבועה באופן כללי, ואשר רק באזורים פרטיים שלה מתקיימות חריגות.
מסקנה זו היא כללית ביותר ואינה מתארת את צורתו של היקום או עונה על השאלה האם מבנה היקום יציב באופיו או מתפתח ובאיזו צורה.
מראית היקום למעשה תלויה בצפיפותו.
ישנן כמה אפשרויות בסיסיות המתאפיינות בסימטריות מרחב-זמן שונות:
יקום ספירי – אליפטי או כדורי – זהו יקום סגור שבו קרן אור יכולה להקיפו ולחזור לנקודת המוצא
יקום פרבולי – יקום שטוח, פתוח ובעל נפח אינסופי, הקרוב לתפיסה הקלאסית
יקום היפרבולי – יקום דמוי אוכף, פתוח ואינסופי
משוואות תורת היחסות הכללית הצביעו על כך שהיקום אינו סטטי, אך עד לגילוי עדויות להתפשטות היקום דבק איינשטיין במודל של יקום סטטי שיסביר את היציבות היחסית לה אנו עדים, ואף ניסה, ללא הצלחה, לתקן את משוואות השדה כך שישקפו מערכת כללית יציבה, באמצעות הוספת הקבוע הקוסמולוגי.
תצפיות אסטרונומיות הוכיחו זה מכבר כי היקום מתפשט, וכי כלל הגלקסיות בו מתרחקות זו מזו בצורה ישרה, התפשטות המבוטאת בחוק האבל.
תגליות אלו ואחרות חיזקו תאוריות הטוענות להתפשטות היקום.
בהתייחס להתפשטות קיימים כמה מודלים של יקום התואמים מידע זה שחלקם הוצעו על ידי אלכסנדר פרידמן:
יקום סגור שהתפשטותו מוגבלת ונועדת לקרוס;
יקום פתוח המתפשט לאינסוף אך במהירות יורדת והולכת, שלבסוף תיעצר ותגיע למצב סטטי;
כל אחד מפתרונות אלו הוא תוצר של חישוב עבור צפיפות ומידת התפשטות התחלתית שונה, אך לשלושתם תכונה משותפת – כולם מצביעים על כך שהיקום מתפשט ושבעבר הרחוק המרחק בין הגלקסיות היה אפסי וצפיפות היקום ועיקום המרחב-זמן היו בשיעור אינסופי.
נקודת זמן זו קרויה המפץ הגדול ומציינת ייחודיות קיצונית, שבה כלל התאוריות המדעיות המוכרות קורסות.
תאוריית המפץ הגדול – התאוריה המובילה בתחום – גורסת כי היקום החל את דרכו ממצב דחוס ומכווץ מאוד, בהתפשטות מהירה, כעין מפץ, שמהירותה פוחתת עם השנים ועתידה בזמן כלשהו להתהפך ולהתחיל תהליך של התכווצות.
לפי תאוריה זו, בעת המפץ הבראשיתי נוצר המרחב-זמן.
כמו כן, מקובלת ההשערה כי בשל עוצמת הכבידה, המרחב-זמן מתכופף סביב עצמו, ולכן היקום סגור וסופי אך בה בעת חסר גבולות.
אמיתות השערה זו תלויה בצפיפות היקום, ערך שאינו ודאי.
ישנן כמה תאוריות המנסות לאחד בין תורת הקוונטים ותורת היחסות הכללית, ולמצוא את המבנה היסודי המעמיד תאוריה שתשמר את התכונות הקוונטיות ותספק תיאור של התנהגות חלקיקי החומר, ובה בעת תתיישב עם תורת הכבידה היחסותית.
במרכז מחקר זה עומד הניסיון להציע מודל תת-קוונטי, פיזיקלי-מתמטי, הנענה להתנהגות המוכרת המדידה של החומר והאנרגיה ביקום, לפי החשיבה הפיזיקלית, ועומד בקנה אחד עימה.
תאוריות שונות אלו, המכונות בשם הכולל תורת כבידה קוונטית, נאלצות להיענות לקשיים שונים הנובעים מההתנהלות השונה של המרחב והחומר-אנרגיה, כפי שאנו מכירים אותם, ברמת המיקרו והמקרו.
חלק מתאוריות הכבידה הקוונטית עוסקות בחקירת מאפייני המרחב-זמן ברמה הקטנה ביותר המכונה סקלת פלאנק ( מטר בקירוב).
אין עדיין תאוריה יחידה מגובשת, ומבנה המרחב-זמן הקוונטי עדיין אינו ברור או מוסכם, למעט החיזוי כי הוא בדיד.
משום שאישושן של תורות הכבידה הקוונטית, ברמת המיקרו, עדיין אינו אפשרי באמצעות צפייה ישירה, התפתחות תחום המחקר כולו נעשה מתוך בחינת התאמת כל מודל מוצע למול הידע השונה שהושג בשדה המחקר הפיזיקלי הכללי, בייחוד זה של חלקיקי יסוד וכוחות היסוד.
העיסוק בסדרי גודל מיקרוסקופיים הופך את המרחב-זמן הקוונטי לרלוונטי גם להתייחסות לנקודות סינגולריות – המתארות מצב שבו המרחקים בין חלקיקי החומר הם קטנים ביותר –, שלפי תורת היחסות עצמה אי אפשר לטפל בהם במסגרתה.
על כן המחקר של נקודות סינגולריות, כגון חורים שחורים, מעמיד אופציות נוספות – מופעי התנהגות ואופני התנהגות רלוונטיים מדידים ומוכרים יותר – לבחינת תקפותן של תורות הכבידה הקוונטית.
כלל התאוריות הקיימות מצביעות כי ברמה התת-אטומית הגבולות וההגדרות המוכרים לנו, של ישויות ומבנים פיזיקליים שונים, מתמוססים, בהם חומר-אנרגיה ומרחב.
על כן ההתייחסות לישויות פיזיקליות אלו ואחרות ברמת המיקרו דורשת העמקה במשמעותם ומעלה שאלות חדשות לגבי הרכבו של מרקם המרחב-זמן.
הדרישות והקשיים הייחודיים המרכזיים שעימם צריכה להתמודד תורת כבידה קוונטית הם:
לפי עקרון האי-ודאות של הייזנברג לחלקיקים אלמנטריים אין הן מיקום והן תנע ודאיים – קיימת רק תחזית סטטיסטית.
גדלים אלו, לפי תורת היחסות, הם אשר קובעים את מבנה המרחב-זמן.
משמעות הדבר היא כי במסגרת תורת כבידה קוונטית נקבל חוסר ודאות לגבי מבנה היקום – כלומר לגבי המרחב-זמן והגדרת מרחקים ויחסים גאומטריים.
תורת הקוונטים מעצם טבעה עוסקת בגדלים בדידים.
על כן תורת כבידה קוונטית תצטרך להתמודד עם גדלים בדידים ואולי אף עם מרחב-זמן בדיד – כלומר מרחב שאינו רציף – ולהעמיד מודל שממנו אפשר יהיה להגיע למרחב הרציף של תורת היחסות ולמשוואות הלא-קוונטיות.
בהתייחס לרמה התת-אטומית השפעת המסה-אנרגיה על עקמומיות המרחב היא מזערית, דבר המקשה על שמירת עקרון תורת היחסות לפיו המרחב-זמן אינו ישות בסיסית אלא מבנה התלוי בחומר-אנרגיה המאכלסים אותו.
בשל הבדלים אלו ואחרים התאוריות המתייחסות למרחב-זמן הקוונטי נדרשות על פי רוב לגישה מתמטית שונה מזו המשמשת ביחסות הכללית, ועושות שימוש בגאומטריות שונות (גאומטריה קוונטית).
בין תאוריות הכבידה הקוונטית הבולטות נמצאות תורת המיתרים ותורת הכבידה הקוונטית הלולאתית.
הללו אינן היחידות בתחום, אך מציגות גישות שונות ביסודן להתייחסות למרחב-זמן בסקלה הקוונטית.
תורות המיתרים גורסות כי בצד שלושת ממדי המרחב המוכרים לנו קיימים ממדי מרחב נוספים, מכורבלים (קומפקטיים), כאשר מספר הממדים משתנה מתאוריה לתאוריה.
באופן כללי תורות המיתרים השונות אינן מציעות מודל של מרחב-זמן קוונטי אלא מניחות את קיום המרחב-זמן כרקע להתרחשות התופעות ברמה הקוונטית; לתפיסתן, תנודת המיתרים או הממברנות (צורות היסוד של החלקיקים) אינה משפיעה על עקמומיות המרחב והיא הפרעה זניחה לגביו .
מרחב הרקע, לפי תורות המיתרים, מתעקם רק תחת השפעת אירועים מסקלה גדולה או בהשפעת אפקטים הפרעתיים (אוסף גדול של מיתרים או חלקיקים ייחודיים).
על כן פתרון משוואות תורת המיתרים נעשה בשני חלקים; חלק שבו נכתבות משוואות תורת המיתרים המתייחסות לתנודות המיתרים, וחלק שבו מטריקת המרחב מחושבת לפי משוואות תורת היחסות.
בחיבור שני חלקים אלו, הנחת ההפרעות על גבי הרקע, מתקבל הפתרון השלם.
בהנחת קיומו של מרחב-זמן המהווה רקע – כלומר מרחב קלאסי, לא קוונטי, וקבוע מראש – בעצם מציגה תורת המיתרים סתירה לתורת היחסות הכללית, הגורסת כי המרחב-זמן הוא ישות דינמית, שהמטריקה שלו (עקמומיותו) היא תוצר של תנועת החומר-אנרגיה.
למרות זאת תורת המיתרים מרמזת כי המרחב-זמן אף הוא בדיד, בעצם כך שעולה ממנה כי למיתרים ישנם גודלי יסוד מזעריים שהם גבוליים – כלומר בדידים.
תורת הלולאות הקוונטיות נוקטת גישה שונה וגורסת כי יש לבצע קוונטיזציה של הכבידה באופן חסר-רקע – כלומר לתאר את הכבידה, עיקום המרחב, כפועל יוצא של מבנה קוונטי יסודי, חסר רקע (המתקיים על יריעה עירומה).
מאחר שהמטריקה – עקמומיות המרחב – היא חלק יסודי בחישובים של תורת השדות הקוונטיים, תורת הלולאות נדרשה לנסח מחדש את תורת השדות הקוונטיים עבור יריעה עירומה – ללא רקע.
באופן כללי תורת הלולאות מניחה כבסיס שהמרחב אינו רציף, ותחת הצגת פתרון למשוואות תורת היחסות הכללית עבור כל נקודה ונקודה במרחב, היא מציגה פתרון רק לאורך לולאות במרחב.
לפי תורת הלולאות הקוונטית, הלולאות עצמן הן הישויות היסודיות שיחסיהן קובעים את עקמומיות המרחב.
המבנה המתמטי באמצעותו מיוצגות הלולאות נקרא רשת ספין – מבנה שהוצע על ידי המתמטיקאי רוג'ר פנרוז, כבסיס לתאוריה של כבידה קוונטית.
מבנה זה מהווה למעשה שיטה גרפית לרישום כלל המצבים הקוואנטים השונים במרחב.
בתורת הלולאות, רשת הספין מורכבת מצמתים וקשתות, כאשר הצמתים ברשת תואמים יחידות נפח ואילו הקשתות המחברות אותן תואמות יחידות שטח.
המרחב לפי תורת הלולאות הקוונטית מחולק ליחידות בדידות של נפח ושטח, כאשר רשת הלולאות מהווה את המרקם הדינאמי ממנו הוא מורכב.
לפי תורה זו, חלקיקים קוונטיים, או שדות אלקטרומגנטיים, יכולים להתקיים רק בצמתים, כאשר תנועתם במרחב מתבצעת בצעדים בדידים – מצומת לצומת, לאורך הקשתות – ובזמן בדיד.
תכונות הרשת – מצבי התקשורת בין הצמתים – מגדירים את המצבים הקוונטים השונים ואת יחסיהם.
בהינתן רשת ספין ישנה אפשרות לחשב את עקמומיות המרחב, ועל כן את הכבידה שעיקום זה יוצר.
שינוי במרחב, אירוע, משמעו שינוי רשת הספין.
תנועת החלקיקים והשדות הקוונטים במרחב כרוכה בסחרורם; תנועה זו משנה את תכונותיהם הקוונטיות, כמו גם את הגאומטריה של המרחב – כלומר משנה את מערך רשת הספין ויחסי המרחק.
בהוספת מימד הזמן – השינויים במרחב – מתקבלת תמונת המרחב-זמן, המרחב הארבע-ממדי, המבוטא באמצעות 'קצף הספין'.
קצף הספין מייצג את המעברים בהם משתנות רשתות ספין – שינוי הקישוריות של רשתות הספין המרחביות –, ומיוצג על ידי צמתים שקשתותיהם נפגשות בקצף.
לשיטת תורת הלולאות, כל חתך במרחב-זמן, הוא רגע בקצף ספין ומהווה רשת ספין.
לפיכך המרחב-זמן הקוונטי, לפי תורת הלולאות, הוא לא חלק ולא רציף.
זהו מבנה מורכב, שיסודותיו בדידים, המתואר באמצעות רשתות הספין וקצף הספין – מערכי רשתות הספין ודרכי שינויים.
מרזייה וחיד דאסתג'רדי (בפרסית: مرضیه وحید دستجردی; נולדה ב-11 בפברואר 1959) היא רופאה ופוליטיקאית איראנית.
בשנת 2009 הייתה לאישה הראשונה מאז המהפכה האסלאמית שהתמנתה לשרה בממשלת איראן.
דאסתג'רדי, בתו של יו"ר ארגון הסהר האדום באיראן, למדה רפואה באוניברסיטת טהראן בשנים 1976–1988. במשך 13 שנים הייתה חברת סגל באוניברסיטה, מהן שש שנים כראש החוג להכשרת אחיות ומיילדות.
כרופאה היא הייתה ממייסדי האגודה המדעית באיראן לרבייה ולפריון.
בשנים 2004–2009 שימשה מנהלת בית החולים עראש לנשים.
במהלך שנות עיסוקה ברפואה עסקה רבות במיילדות וגינקולוגיה, ובשנים 1993–2000 הייתה חברת האגודה האמריקנית לנושא זה.
באפריל 2008 הייתה דאסתג'רדי בין מארגני כנס בינלאומי בטהראן לאתיקה רפואית.
באוניברסיטת טהראן הייתה חברת המערכת של כתב העת "Journal of Family and Reproductive Health".
ספרים רבים בפרסית בנושא רפואת נשים חוברו או תורגמו על ידיה.
בשנת 1992 נבחרה דאסתג'רדי לראשונה למג'לס כנציגת מחוז הבחירה של טהראן.
שנה לאחר מכן הייתה בין מייסדי מפלגת "הארגון האסלאמי לרופאים".
בשנת 1997 מונתה ליו"ר הוועדה לענייני נשים, משפחה ונוער.