tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
ההוכחה המקורית של אוילר היא דרך מניפולציות אלגבריות.
נביא כאן הוכחה קומבינטורית יותר באופיה.
חלוקה של מספר שלם היא הצגה שלו כסכום של מספרים טבעיים.
שתי חלוקות הן זהות אם ההבדל היחיד ביניהן הוא סדר המחוברים.
חלוקה נבדלת היא חלוקה שבה כל המחוברים שונים זה מזה.
למשל החלוקות הנבדלות של 8 הן: .
חלוקה נבדלת תקרא חלוקה זוגית או חלוקה אי-זוגית אם מספר המחוברים בה הוא זוגי או אי-זוגי בהתאמה (זהו אינו השימוש המקובל במינוחים אלו).
נשים לב כי ל-8 יש מספר זהה של חלוקות זוגיות ואי-זוגיות.
עובדה זו אינה מקרית, כפי שיוסבר בהמשך.
מפתיחת סוגריים באגף ימין נקבל:
המקדמים של הם 1 לכל חלוקה זוגית של n ו- לכל חלוקה אי-זוגית של n.
כלומר שווה למספר החלוקות הזוגיות של n פחות מספר החלוקות האי-זוגיות.
כדי לסיים את הוכחת המשפט נותר להראות ש- רק כאשר n מספר מחומש, ואז הוא שווה 1 או בהתאמה.
לשם כך עלינו להוכיח, שלמעט במקרה המחומש, מספר החלוקות הזוגיות של מספר תמיד שווה למספר החלוקות האי-זוגיות שלו.
נגדיר פונקציה על קבוצת החלוקות הנבדלות של מספר באופן הבא: בהינתן חלוקה נבדלת, נסמן את המחובר הקטן ביותר בה ב-m.
אם m המחוברים הגדולים ביותר הם מספרים עוקבים, חבר לכולם 1 ומחק את m מן החלוקה.
אחרת, יש רק l המחוברים גדולים ביותר שהם עוקבים (l<m).
החסר מהם 1 והוסף את l כמחובר.
קל לראות שפונקציה זו היא אינוולוציה, הפעלתה פעמיים מחזירה את החלוקה המקורית.
כמו כן קל לראות שהפעלתה על חלוקה זוגית מחזירה חלוקה אי-זוגית ולהפך.
מכאן שמדובר בהתאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת החלוקות הזוגיות לקבוצת החלוקות האי-זוגיות של מספר נתון והן שוות, זאת למעט מקרה קצה בו הפונקציה נכשלת.
למשל במקרה של 8 הפונקציה מתאימה את הזוגות:
ישנם שני מקרי קצה אפשריים שבהם הפונקציה נכשלת:
m בעצמו הוא אחד מ-m המחוברים העוקבים הגדולים ביותר.
במקרה כזה מחברים 1 ל-m ואז מחסרים אותו ולכן לא מתקבלת חלוקה של אותו מספר.
החלוקה במקרה זה היא: .
m הוא אחד מ-l המחוברים הגדולים ביותר ו-l+1=m.
במקרה כזה מחסרים מ-m 1 ומצד שני מוסיפים את l, ולכן יש שני מחוברים זהים והחלוקה אינה נבדלת.
כל מספר מחומש הוא מהצורה או ל-m שלם חיובי ולכן ההוכחה הושלמה.
פונקציית החלוקה סופרת את מספר הדרכים השונות לחלק את המספר כסכום של טבעיים.
אין נוסחה סגורה ישירה לחישוב .
משפט המספרים המחומשים מאפשר לחשב את באמצעות נוסחת נסיגה.
אוילר הוכיח שהפונקציה היוצרת של פונקציית החלוקה היא:
אולם אם נחשב אותו ישירות מן ההגדרה נקבל:
ולאחר בידוד המחובר והעברת אגפים מקבלים:
זהו סכום סופי, שכן (סכום ריק), ולכל k שלילי .
מִשְׁפַּט הַמְּמַדִּים (או משפט המימד הראשון, בשפות אחרות ידוע בשם זהות גראסמן או נוסחת גראסמן, על-שם הרמן גראסמן) הוא משפט באלגברה ליניארית האומר כי סכום הממדים של שני מרחבים וקטוריים פחות ממד החיתוך שלהם שווה לממד הסכום שלהם.
יהיו ו- תת-מרחבים של , שהוא מרחב וקטורי נוצר סופית.
נניח כי וניקח בסיס לחיתוך (ההוכחה עובדת גם עבור )
כעת נשאר להוכיח: , ולשם כך מספיק להראות כי הקבוצה היא בסיס ל-.
ניזכר כי זה אומר שווקטורי הקבוצה פורשים את המרחב וגם בלתי תלויים ליניארית (בת"ל):
יהי , קיימים ו- כך ש הקבוצה היא בסיס ל-U לכן קיימים סקלרים כך שמתקיים
כדי להוכיח את הטענה, יש להראות שהשוויון מתקיים רק אם כל הסקלרים שווים לאפס.
בעזרת העברת אגפים, מתקבל השוויון:
קיבלנו וקטור ב (כי באגף ימין קיבלנו וקטור ב- ובאגף שמאל וקטור ב-).
לכן, את אגף שמאל ניתן לכתוב כצירוף ליניארי של שהוא בסיס ל-.
קיבלנו צירוף ליניארי של איברי ולכן הם בת"ל, ובפרט עבור
קיבלנו צירוף ליניארי של איברי ולכן הקבוצה בת"ל.
משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות (ידוע גם כמשפט הממד השני, משפט הממדים השני, ומשפט הדרגה והאפסות) הוא משפט באלגברה ליניארית העוסק בשוויון עבור העתקה ליניארית בין ממד התחום לבין ממד תמונת וגרעין ההעתקה הליניארית.
בכתיב מתמטי: יהיו ו- מרחבים וקטורים מעל שדה .
נגדיר את להיות העתקה ליניארית, , אזי .
נבחר בסיסים שמכילים מספר וקטורים מסומן כללי עבור התמונה וכך גם עבור הגרעין, ונראה שמקורות הווקטורים בבסיס התמונה מצורפים יחד עם וקטורי הבסיס של הגרעין מהווים בסיס עבור התחום.
מכך, ינבע שסכום מספר הווקטורים בבסיס של הגרעין ומספר הווקטורים בבסיס התמונה (שזה אותו מספר הווקטורים שהם המקורות) שווה למספר הווקטורים בתחום.
מכאן ינבע כי סכום ממד התמונה וממד הגרעין שווה לממד התחום של העתקה ליניארית, כנדרש.
נקח את להיות הבסיס של גרעין ההעתקה, ואת להיות הבסיס של תמונת ההעתקה.
מכאן, ממד הגרעין הוא וממד התמונה הוא .
נשים לב לכך שלכל וקטור בתמונה יש מקור מהתחום, כלומר ניתן לרשום את כך: , (כאשר וקטורים ב-).
צריך להוכיח שממד התחום הוא .
נעשה זאת על ידי הוכחה כי סדרת וקטורים מהווה בסיס של התחום .
הוכחה כי סדרת הווקטורים פורשת את המרחב
תחילה, נראה כי : כל וקטור בסדרת הווקטורים מוכל ב- בפני עצמו (שכן הגרעין הוא קבוצת וקטורים מהתחום, וגם המקורות של התמונה הם קבוצת וקטורים מהתחום), ולכן .
כעת, נראה כי : נקח וקטור כללי מ- ונסמנו .
נתבונן בהצגה היחידה של על ידי בסיס התמונה: .
כעת, נתבונן בווקטור (ששייך ל-, מכיוון ש- הוא תת-מרחב וקטורי, ולכן סגור לחיבור ולכפל בסקלר).
נפעיל את ההעתקה על הווקטור בו אנו מתבוננים ונראה שהואיל ו- היא העתקה ליניארית, כלומר משמרת חיבור וכפל בסקלר, מתקיים:
לכן נובע ש-, ולכן יש לו ייצוג על ידי צירוף וקטורי בסיס הגרעין: ולאחר העברת אגפים נקבל את הייצוג של על ידי צירוף הווקטורים :
קיבלנו הכלה דו כיוונית ומכאן .
הוכחה כי סדרת הווקטורים בלתי תלויים ליניארית
כדי להוכיח אי-תלות ליניארית נניח שעבור הסקלרים הצירוף הליניארי של הווקטורים מביא לאפס המרחב הווקטורי.
צריך להוכיח כי (תנאי שקול לאי תלות ליניארית).
נפעיל על השוויון את ההעתקה הליניארית :
(הווקטורים של בסיס הגרעין שייכים לגרעין ולכן הפעלת ההעתקה עליהם מביאה לאפס.וכל העתקה ליניארית על וקטור האפס שווה ל-0).
ואם כן מכיוון ש- בסיס של התמונה, אזי המקדמים הם אפסים (מכיוון שהווקטורים בלתי תלויים ליניארית).
ואז, נחזור לביטוי המקורי ונקבל ומאותם שיקולים של היות בסיס, נובע ש- אפסים.
ולכן כל הסקלרים המקדמים הם בהכרח 0, ולכן קיבלנו ש- בלתי תלוים ליניארית, כנדרש.
הראנו ש- סדרת וקטורים בלתי תלויה ליניארית שפורשת את ולכן הם מהווים בסיס עבור .
אם כן, נשים לב שממדו של הוא .
נזכור כי בתחילת ההוכחה הגדרנו את ממד התמונה להיות וממד הגרעין להיות , אזי לפיכך נקבל:
עקום ז'ורדן הוא לולאה פשוטה במישור, כלומר מסילה המתחילה ומסתיימת באותה הנקודה ושאינה חותכת את עצמה.
משפט העקום של ז'ורדן קובע שכל עקום ז'ורדן מחלק את המישור לשני תחומים קשירים: התחום ה"פנימי" החסום, והמשלים שלו – התחום ה"חיצוני" שאינו חסום.
תמונתו של העקום במישור היא שפתם המשותפת של שני רכיבי הקשירות.
בפרט נובע שכל מסילה העוברת בשני התחומים חייבת לחתוך את העקום.
ברנרד בולצאנו היה הראשון לנסח את המשפט באופן פורמלי והציג אותו כהשערה.
המשפט נראה מובן מאליו, ואכן הוכחת המשפט עבור עקומי ז'ורדן מצולעים היא אלמנטרית, אך עם זאת ההוכחה עבור עקום ז'ורדן כללי אינה פשוטה כלל ועיקר.
למרות ההגדרה האלמנטרית למושג של עקום ז'ורדן, עקומים כאלה יכולים להיות מסובכים למדי כדוגמת פרקטל, ולהיראות מקומית למשל כמו פונקציית ויירשטראס.
במקרים כאלה קשה להסיק מרציפות העקומה, שהיא תכונה מקומית, מסקנות לגבי קשירוּת של קבוצות המישור, שהיא תכונה גלובלית, וכן קשה לעיתים להבין מהו התחום הפנימי, שכן אין דרך להגדיר "פנים" ו"חוץ" לעקומה.
המשפט נקרא על שם המתמטיקאי קאמי ז'ורדן שניסח אותו לראשונה בשנת 1887. תקפותה של ההוכחה שז'ורדן הציג למשפט הייתה נתונה לוויכוח, ובכל מקרה המשפט הוכח באופן מלא בשנת 1905 על ידי אוסוולד וובלן .
הכללה של המשפט למרחבים אוקלידיים מממד גבוה יותר הוכחה בשנת 1911 על ידי אנרי לבג ולויצן אגברטוס יאן בראואר באופן בלתי תלוי, והיא מכונה "משפט ההפרדה של ז'ורדן-בראואר".
הוכחות מודרניות למשפט נשענות על כלים מטופולוגיה אלגברית של חישוב הומולוגיה, ובכלים אלה הכללה זו אינה קשה יותר מהמשפט המקורי.
הכללה נוספת עבור יריעות קשירות וקומפקטיות במרחב האוקלידי הושגה על ידי ג'יימס וואדל אלכסנדר .
למשפט העקום של ז'ורדן קיימת גרסה חזקה יותר המכונה "משפט ז'ורדן–שונפילד", לפיה תמונתו של כל עקום ז'ורדן היא תמונת מעגל היחידה על ידי הומאומורפיזם מהמישור לעצמו.
להלן בכל המקרים נסמן ונסמן את התמונה של העתקה על ידי .
משפט העקום של ז'ורדן: תהי לולאה פשוטה במישור (ניתן להתייחס למישור גם כאל , היות שכמרחב טופולוגי הם שקולים).
אזי המרחב הוא איחוד של שני רכיבי קשירות, האחד חסום והאחר לא חסום, ששפתם המשותפת היא .
משפט ההפרדה של ז'ורדן-בראואר (הכללה לממד גבוה): נסמן את קוביית היחידה ה--ממדית על ידי .
נגדיר "עקום ז'ורדן -ממדי" להיות העתקה רציפה מהצורה , שהיא "לולאה" במובן זה שהיא מקבלת את אותו הערך על שפת התיבה , והיא "פשוטה" במובן זה שהיא לא חותכת את עצמה, כלומר חח"ע, על פנים התיבה .
משפט אלכסנדר (הכללה ליריעות): כל תת-יריעה טופולוגית -ממדית קשירה וקומפקטית של המרחב האוקלידי מחלקת את המרחב לשני רכיבי קשירות, האחד חסום והאחר לא חסום, כאשר היריעה היא השפה המשותפת שלהם.
משפט ז'ורדן-שונפילד: תהי לולאה פשוטה במישור.
אזי קיים הומאומורפיזם המקיים כי הוא מעגל היחידה .
בהוכחה זו נראה את החלק הראשון במשפט, לפיו ישנם שני רכיבי קשירות, האחד חסום והשני לא חסום.
כדי להשלים את הוכחת המשפט יש להראות כי היא שפתם של שני רכיבי הקשירות.
חלק זה לא נובע ישירות מהאפיון על ידי טופולוגיה אלגברית, אולם הוא ניתן להוכחה באופן אלמנטרי כפי שמופיע בהוכחה לפי משפט נקודת השבת של בראואר.
נסמן ב- את הספירה ה--ממדית.
נבחין כי עקום ז'ורדן מהצורה הוא למעשה שיכון (כלומר העתקה רציפה וחח"ע, שההופכית שלה רציפה) מהצורה .
עוד נבחין כי אם נבצע קומפקטיפיקציה של על ידי זיהוי כל הנקודות באינסוף, נקבל את .
נסמן את תמונת העקום על ידי .
זוהי תמונה רציפה של המעגל, ולכן קבוצה קומפקטית ולכן חסומה, ומכאן שלמרחב רכיב קשירות לא חסום יחיד, וכל שאר רכיבי הקשירות חסומים.
לכן נובע כי השיכון משמר את רכיבי הקשירות, כלומר מספיק להראות כי למרחב יש שני רכיבי קשירות, ומיד ינבע כי האחד חסום והשני לא חסום.
בטופולוגיה אלגברית רכיבי הקשירות נספרים על ידי ההומולוגיה של המרחב.
כדי לחשב הומולוגיה זו עבור המרחב נשתמש במשפט מאייר-ויאטוריס.
תהי המחצית העליונה של המעגל יחד עם תוספת קצרה מתחת לקו האפס, כלומר , ובאופן דומה תהי .
מתקיים כי ומתקיים כי .
ברור כי מרחבים כוויצים ולכן לכל .
לכן ממשפט מאייר-ויאטוריס לכל מתקבל איזומורפיזם בהומולוגיה המצומצמת:
בפרט עבור נקבל את האיזומורפיזם:
לכן בסך הכל , כלומר יש שני רכיבי קשירות.
אותה הוכחה תהיה תקפה באינדוקציה עבור המשפט בממדים גבוהים יותר.
כלומר שימוש זהה במשפט מאייר-ויאטוריס מראה כי לכל שיכון מהצורה מתקיים עבור כי .
הוכחה באמצעות משפט נקודת השבת של בראואר
נציג להלן את הוכחתו של ריוג'י מאהרה (Ryuji Maehara) מ-1984, העושה שימוש במשפט נקודת השבת של בראואר.
נבחין תחילה בשתי העובדות הבאות:
אם רכיב קשירות כלשהו, אז קבוצה פתוחה וקשירה-מסילתית (כי מרחב קשיר-מסילתית מקומית).
קבוצה קומפקטית ולכן חסומה, ונובע כי בעל רכיב קשירות לא-חסום יחיד.
אם כך, כדי להוכיח את המשפט די להראות כי בעל רכיב קשירות חסום יחיד, וכי שפתו של כל רכיב קשירות היא .
לאורך ההוכחה נשתמש בשתי הטענות הבאות, אותן ניתן להוכיח על ידי משפט נקודת השבת של בראואר:
טענה 1: אם לא קשיר, אז השפה של כל רכיב קשירות היא .
טענה 2: יהיו זוג מסילות כך שהמסילה f מתחילה "למטה" ומסתיימת "למעלה" (כלומר ), והמסילה g מתחילה "משמאל" ומסתיימת "מימין" (כלומר ).
אזי קיימים כך שמתקיים .
מעובדה 2 לעיל יחד עם טענה 1, די להראות כי הוא בעל רכיב קשירות חסום יחיד.
נשים לב כי קומפקטית, לכן יש המקיימות, נניח ללא הגבלת הכלליות כי (ניתן לסובב ולמתוח ללא שינוי רכיבי הקשירות), ונקבל כי המלבן מכיל את , וכי שפתו מקיימת .
נתבונן בנקודות האמצע של ארבע צלעות .
שתיים מהן הן הנקודות והשתיים האחרות הן .
נשים לב כי הנקודות מחלקות את לתמונות של שתי מסילות, שנסמן , שנקודת ההתחלה שלהן היא ונקודת הסיום שלהן היא .
נשים לב כי הקטע האנכי הוא מסילה המחברת את צלעותיו האופקיות של .
אם כך, מטענה 2 עבור המסילות נקבל כי החיתוך לא ריק.
תהי הנקודה הגבוהה ביותר בחיתוך הנ"ל, ותהי הנקודה הנמוכה ביותר (אולי ).
נשתמש בטענה 2 עבור המסילות , ונקבל כי הן נחתכות.
יהיו כך ש- הגבוהה ביותר ו- הנמוכה ביותר (אולי ).
נשים לב כי מאופן בחירת נובע כי , שכן אם זו לא לולאה פשוטה, ואם אז לא מקסימלי.
מאופן בחירת נקבל כי ולכן .
יהי רכיב קשירות המכיל את .
נראה כי רכיב הקשירות חסום ויחיד, ובזאת נסיים.
נראה כי חסום: נניח בשלילה כי אינו חסום.
נזכור כי קשיר מסילתית, אז תהי מסילה עם .
תהי הנקודה הראשונה בחיתוך הנ"ל.
לא ייתכן כי היא בגובה , כי אז , אבל גם ומתקיים .
נניח כי אינו גבוה מ-, אז יש מסילה ב- המחברת את , שאינה חותכת את .
נתבונן במסילה, מסילה זו אינה חותכת את , בסתירה לטענה 2. באופן סימטרי, אם גבוה מ-, יש מסילה ב- שלא חותכת את , בסתירה לטענה 2, כי המסילות לא נחתכות.
נראה כי יחיד: יהי רכיב קשירות חסום.
כדי להראות די להראות כי .
נתבונן במסילה ניתן לראות כי לא חותכת את .
נשים לב כי לא חותכת את , ולכן יש כדורים פתוחים סביבות של בהתאמה, שלא נחתכים עם .
מטענה 1 נובע כי , ולכן יש .
תהי מסילה ב- המחברת את .
מסילה זו לא נחתכת עם , בסתירה לטענה 2.
בגאומטריה, משפט הסיבובים של אוילר קובע שבמרחב תלת-ממדי, כל שינוי אוריינטציה של גוף קשיח שיש לו נקודת שבת (נקודה הנותרת קבועה במקומה), שקול לסיבוב יחיד מסביב לציר מסוים שעובר דרך נקודת השבת.
פירוש הדבר הוא גם שכל הרכבה של שני סיבובים היא גם סיבוב, כאשר "סיבוב" מוגדר כאיזומטריה עם נקודת שבת בראשית הצירים.
המשפט מראה לפיכך שכל האיברים בחבורת הסיבובים התלת-ממדית הם סיבובים.
המשפט קרוי על שמו של לאונרד אוילר, אשר הוכיח אותו ב-1775 בשיטות של גאומטריה כדורית.
ציר הסיבוב השקול נקרא ציר אוילר, והוא מיוצג בדרך כלל על ידי וקטור היחידה ê.
ההרחבה של המשפט הזה לקינמטיקה מולידה את המושג של ציר סיבוב רגעי; ישר של נקודות שבת.
משפט זה של אוילר הוא משפט נקודת השבת הראשון שנתגלה.
משפט זה נכון רק בכל מרחב מממד אי-זוגי, אבל לא בממדים זוגיים.
בממד זוגי, כמו למשל במקרה של סיבוב במישור, הרכבה של שני סיבובים לא בהכרח מותירה כיוון קבוע מסוים.
על כן, כיוון שהמשפט אינו כה מובן מאליו, עולה הצורך לספק לו הוכחה פורמלית וריגורוזית.
במונחים של אלגברה ליניארית, המשפט קובע, שבמרחב תלת-ממדי, כל שתי מערכות קואורדינטות קרטזיות בעלות ראשית משותפת מתקבלות זו מזו על ידי סיבוב מסביב לציר מקובע מסוים.
פירוש הדבר הוא גם שמכפלת שתי מטריצות סיבוב היא גם מטריצת סיבוב, ושבעבור מטריצות סיבוב מתקיים שהערך העצמי הראשון שלהם הוא 1 ושהשניים האחרים הם מרוכבים וצמודים זה לזה.
הווקטור העצמי המתאים לערך העצמי 1 הוא ציר הסיבוב המקשר בין שתי מערכות הקואורדינטות.
אוילר ניסח את המשפט שלו כדלהלן:
ההוכחה המקורית של אוילר נעזרת בשיטות בנייה מתחום הגאומטריה הכדורית.
כדי להוכיח את המשפט, אוילר מנתח תחילה כיצד ייראו הדברים אילו המשפט היה נכון.
בהנחה שהקו הצהוב באיור 1 עובר דרך מרכז הכדור והוא ציר הסיבוב שאנו מחפשים, ואילו נקודה O היא אחת משתי נקודות החיתוך של הציר הזה עם הכדור.
לאחר מכן הוא מתייחס למעגל גדול שרירותי שלא מכיל את O (המעגל הכחול) ולתמונה שלו תחת הסיבוב (המעגל האדום), שהיא מעגל גדול אחר שלא מכיל את O.
הוא מסמן את נקודת החיתוך שלהם כ-A (אם המעגלים מתלכדים, אז A יכולה להיבחר ככל נקודה אחרת; אחרת יש שתי נקודות חיתוך).
כעת A היא על המעגל ההתחלתי (המעגל הכחול), כך שהתמונה שלה תהיה על מעגל התמונה (המעגל האדום).
הוא מסמן את התמונה הזו כ-a, כיוון ש-A היא נקודת החיתוך של שני המעגלים, ועל כן היא גם על מעגל התמונה, המיקום שלה הוא גם התמונה של נקודה אחרת שהייתה על המעגל ההתחלתי (המעגל הכחול) - נקודה זו "תופסת את מקומה" של A, והוא מסמן אותה באות α .
לאחר מכן הוא מתייחס לשתי הקשתות המחברות את α ו-a עם A.
לקשתות הללו יש אותו האורך כיוון שקשת αA מועתקת לקשת Aa.
בנוסף, כיוון ש-O היא נקודת שבת, משולש αOA מועתק למשולש AOa, כך שהמשולשים הללו שווי-שוקיים, והקשת AO חוצה את הזווית αAa∠.
בנייה של הנקודה המתאימה ביותר
כעת נבנה את הנקודה שתהיה אינווריאנטית תחת הפעולות שתוארו מקודם.
נתחיל עם המעגל הגדול הכחול והתמונה שלו תחת הטרנספורמציה, שהוא המעגל האדום הגדול שהופיע באיור 1. תהי A נקודת החיתוך של שני המעגלים הללו.
אם התמונה של A תחת סיבוב היא אותה הנקודה אז A היא נקודת שבת של הטרנספורמציה, והקוטר של הכדור שמכיל את A הוא ציר הסיבוב, כך שהמשפט מוכח.
אחרת נסמן את התמונה של A כ-a ואת הקדם-תמונה שלו כ-α, ונחבר את שתי הנקודות הללו עם A באמצעות הקשתות αA ו-Aa.
לשתי הקשתות הללו יש אותו אורך.
נבנה את המעגל הגדול שחוצה את הזווית αAa∠ ונמקם נקודה O על המעגל הגדול הזה כך שקשתות AO ו-aO יהיו בעלות אותו אורך, כשלאחר מכן נקרא לאזור של הספירה המכיל את O ותחום על ידי המעגל האדום והמעגל הכחול "הפנים של αAa∠ (זהו האזור הצהוב באיור 3).
מכיוון ש-αA = Aa ו-O היא על החוצה זווית של αAa∠, אז נקבל גם αO = aO.
הוכחה לאינווריאנטיות של הנקודה תחת הטרנספורמציה
כעת נניח בשלילה שנקודה O אינה הנקודה המבוקשת, כך שקיימת נקודה אחרת ′O שהיא התמונה שלה.
אז אנו יודעים ש-αAO′ = ∠AaO∠ ושהאוריינטציה נשמרת כך ש-′O חייבת להיות פנימית ל-αAa∠.
כעת AO מועתקת ל-′aO, כך ש-′AO = aO.
כיוון ש-AO היא באותו אורך כמו aO, מתקיים AaO = ∠aAO∠.
אולם aAO′ ∠AaO∠, כך ש-∠AaO′ = ∠AaO, ולפיכך ′O היא אותה נקודה כמו O.
במילים אחרות, O היא נקודת שבת של הטרנספורמציה, וכיוון שמרכז הכדור הוא גם נקודת שבת, הקוטר של הכדור שמכיל את O הוא ציר הסיבוב.
אוילר מצביע גם על כך ש-O ניתנת לבנייה באמצעות חיתוך האנך האמצעי לקשת Aa עם חוצה הזווית αAO∠, דרך בנייה שעשויה להיות קלה יותר מבחינה מעשית.
הוא גם הציע להיעזר בחיתוך של שני מישורים:
מישור הסימטריה של הזווית αAa∠ (אשר עובר דרך המרכז C), ו-
מישור הסימטריה של הקשת Aa (שגם עובר דרך C).
טענה: שני המישורים הללו נחתכים לאורך קוטר.
קוטר זה הוא זה שאנו מחפשים.
הוכחה: נקרא לאחת משתי נקודות החיתוך של הקוטר עם משטח הספירה O.
כיוון ש- αA מועתקת ל-Aa ולמשולשים יש אותן הזוויות, נובע מכך שמשולש OαA מועתק למשולש OAa.
לפיכך הנקודה O חייבת להישאר קבועה במקומה תחת הטרנספורמציה.
מסקנות: בנייה זו מראה גם שכל סיבוב של הספירה ניתן להבנה כשני שיקופים עוקבים ביחס לשני המישורים שתוארו לעיל.
נקודות במישור הראי הן קבועות תחת שיקוף, ולכן נקודות על החיתוך שלהם (ישר: זהו ציר החיתוך) נשמרות תחת שני השיקופים, ולכן תחת סיבוב.
דרך פשוטה אחרת למצוא את ציר הסיבוב היא להתייחס למישור שעליו נמצאות הנקודות α, A, a.
ציר הסיבוב הוא בבירור ניצב למישור הזה, ועובר דרך המרכז C של הספירה.
סיבוב מרחבי הוא העתקה ליניארית שנמצאת בהתאמה חד-חד ערכית עם מטריצת סיבוב R מסדר 3 × 3 אשר מעבירה וקטור קואורדינטות x לווקטור קואורדינטות אחר X, כלומר
מטריצות סיבוב הן בעלות התכונה היסודית שהמטריצה ההופכית שלהן היא המטריצה המשוחלפת שלהן, כלומר:
כאשר I היא מטריצת היחידה מסדר 3 × 3 והכתיב העליון T מסמל את המטריצה המשוחלפת.
כעת נחשב את הדטרמיננטה של מטריצות הסיבוב הללו כדי לגלות שהן שוות ±1. מתקיים:
כעת נראה שלמטריצת סיבוב R יש לפחות וקטור אינווריאנטי אחד n, כלומר Rn = n.
בעבור כל מטריצה A מסדר n × n כאשר n אי-זוגי; כיוון שאנו עוסקים בסיבובים תלת-ממדיים, n = 3 והתנאי מתקיים.
(הנובע מכך ש-det(R) = 1 ומהעובדה שהדטרמיננטה היא כפלית) ונקבל:
זה מראה ש-λ = 1 הוא שורש (פתרון) של הפולינום האופייני של R, כלומר ש-:
הישר λn הוא אינווריאנטי תחת הפעולה של R, כלומר, λn הוא ציר הסיבוב.
זה מוכיח את משפט אוילר.
משפט המיפוי הרציף בתורת ההסתברות קובע שפונקציה רציפה משמרת גבול של סדרת משתנים מקריים.
המשפט הוכח על ידי הנרי מן ואברהם ולד ב-1943 ולכן לעיתים נקרא גם משפט מן-ולד.
נתונים משתנים מקריים {Xn} ו- X המוגדרים על מרחב מטרי S.
g: S→U כאשר גם U הוא מרחב מטרי.
כאשר  Dg הוא קבוצת הנקודות אי הרציפות של הפונקציה g.
כאשר "p","d" ו-".a.s" מסמנים התכנסות בהתפלגות, התכנסות בהסתברות והתכנסות כמעט בוודאות בהתאמה.
משפט הסירקולציה של קלווין הוא משפט חשוב במכניקת הזורמים הקובע שבזורם ברוטרופי מושלם הסירקולציה מסביב ללולאה הנעה עם הזורם קבועה בזמן.
המשפט הוכח בשנת 1869 על ידי לורד קלווין וקרוי על שמו.
תהי לולאה, התלויה בזמן וזזה עם הזורם .
הסירקולציה מסביב ללולאה מוגדרת על ידי כאשר הוא שדה המהירות.
משפט הסירקולציה של קלווין קובע כי עבור זורם ברוטרופי מושלם , כאשר הנגזרת היא נגזרת חומרית.
ההוכחה מתבססת על חישוב ישיר של הנגזרת:
כעת לפי משואת אוילר מתקיים:
כאשר הוא הלחץ, הצפיפות ו- הפוטנציאל של הכוחות החיצוניים (כדוגמת כבידה) ולכן עבור האיבר השמאלי מתקיים:
כאשר המעבר הראשון התבצע לפי משוואת אוילר, השני לפי חוק סטוקס, השלישי נובע מכך שהרוטור של גרדיאנט של שדה מתאפס, והרביעי נובע מברוטרופיות הנוזל (נוזל ברוטרופי הוא נוזל בו ).
כאשר המעבר האחרון מתבסס על כך שסירקולציה של שדה משמר מתאפסת על כל לולאה.
מאחר ששני האיברים מתאפסים ניתן להסיק כי .
הרחבה למשפט הסירקולציה עבור מערכות מסתובבות ניתנה על ידי אנרי פואנקרה וווילהלם ביירקנס בסוף המאה ה-19. על-פי משפט פואנקרה-ביירקנס, במערכת המסתובבת במהירות זוויתית קבועה הניתנת על ידי הווקטור ניתן להגדיר סירקולציה מוכללת לפי .
הסירקולציה המוכללת הזו היא גודל משתמר.
משפט המכשפות בנוגרדו נערך בשנים 1646–1647 ביישוב הקטן נוגרדו שבצפון איטליה.
המקרה משך אליו תשומת לב רבה והיה לאחד ממשפטי המכשפות המתועדים ביותר באיטליה.
במסגרתו הוצאו להורג 8-10 נשים.
מריה סלבטורי מקסטלנובו, שכונתה "לה מרקוריה", הייתה אישה מבוגרת שנאסרה בגין עיסוק בכישוף ובסגידה לשטן ב-26 באוקטובר 1646. היא הואשמה בכך שלא בלעה את לחם הקודש כפי שנהוג לעשות במהלך טקס סעודת האדון, ובמקום זאת שמרה אותו לצורך כישוף.
בנוסף הואשמה בכך שגרמה לאשת המרקיז בווילסקווה לעבור הפלה בעזרת לחשים שהפעילה עליה.
תחת עינויים שעברה נאלצה סלבטורי למנות שמות של נשים נוספות כמי שהיו לכאורה מכשפות שתיים מן הנשים היו דומניקה קאמלי, אישה אלמנה ובתה, לוסיה קאבדן.
סלבטורי טענה כי נתנה את לחם הקודש לקאבדן והיא זו שהשתמשה בו כדי לכשף את המרקיזה.
לגבי אישה נוספת, דלייטו קבאלרי, טענה סלבטורי כי היא בעלת אוב וסוגדת לשטן.
משפט המכשפות נפתח באופן רשמי בשבת, 24 בנובמבר 1646, בנוגרדו.
הוא נמשך שבעה חודשים ומשך קהל רב.
במהלכו, קאבדן הצביעה על אישה נוספת, דומניקה גראטיאדיי, שבביתה נמצאו חפצים מפלילים.
תחת עינויים גראטיאדיי הודתה באשמה וסיפרה שהשתתפה בשבת המכשפות, הטילה עין הרע על כריסטופרו ספארמני, חיללה טקסים דתיים והתכחשה לחיי הנצרות.
בנוונוטה, בתה של גראטיאדיי, סיפרה כי אימה לקחה אותה לפגוש את השטן "כאילו מתוך חלום" וכי קיימה עימו יחסי מין.
גראטיאדיי הרחיבה את הודאתה וסיפרה שהיא ומכשף נוסף בשם סנטו פטרלינו ערכו יחדיו טקסים בשבת המכשפות.
במהלכם רקדו יחד עם מכשפות נוספות, זימרו ונתנו לשטן את לחם הקודש.
המכשפות מרחו על עצמן משחה שהכינו מ"לחם הקודש, מים קדושים מהכנסייה, דם של חיות קטנות ושומן של תינוקות מתים" בזמן ששרו מזמורים שקראו לחילול הקודש ולאחר מכן הפכו עצמן לחתולים ועזבו את המקום.
דומניקה קאמלי, לוסיה קאבדן, דומניקה גראטיאדיי, קטרינה ברוני, ולנטינה אנדריי, איזבלה ופולוניה גראטיאדיי וזינוורה צ'מולה נידונו למוות בעריפת ראש ושריפה על מוקד ב-14 באפריל 1647. מריה סלבטורי ומדלנה אנדריי (שהייתה ידועה כ"לה פילוסופה") מתו בכלא.
יש הטוענים כי ולנטינה אנדריי ואיזבלה ופולוניה גראטיאדיי הצליחו להמלט.
בתורת המספרים, משפט הסה-מינקבסקי הוא משפט יסודי הנותן תנאים מספיקים והכרחיים לפתירות של משוואה ריבועית מעל שדות מספרים.
חוץ מהמקרה (הקל יותר) של משוואות ממעלה 1, אין תוצאות כלליות דומות עבור משוואות מדרגות אחרות.
המשפט הוכח על ידי הרמן מינקובסקי עבור שדה המספרים הרציונלים והוכלל לכל שדות המספרים על ידי הלמוט הסה.
כאשר היא תבנית ריבועית לא מנוונת מעל שדה מספרים F.
למשוואה (1) יש תמיד את הפתרון שבו כל המשתנים הם אפס; כל פתרון אחר נקרא לא טריוויאלי.
משפט הסה-מינקובסקי: התנאים הבאים שקולים:
למשוואה (1) יש פתרון לא טריוויאלי בשדה F.
לכל הערכה v של F, למשוואה (1) יש פתרון לא טריוויאלי בהשלמה .
במקרים רבים, בדיקת קיום פתרונות בשדה מקומי קלה יותר מבדיקת קיום פתרונות בשדה מספרים.
לדוגמה, יש אלגוריתם פשוט שבודק האם קיימים פתרונות למשוואה ריבועית בשדה מקומי.
מעובדה זו ומגרסה אפקטיבית של משפט הסה-מינקובסקי מקבלים שיש אלגוריתם שמחליט האם למשוואה ריבועית יש פתרון מעל שדה מספרים.
קיום אלגוריתם דומה למשוואות מדרגות גבוהות יותר הוא בעיה פתוחה שקשורה לבעיה העשירית של הילברט.
שימוש אחר של משפט הסה-מינקובסקי הוא למיון תבניות ריבועיות מעל שדות מספרים.
ממשפט הסה-מינקובסקי נובע ששתי תבניות הן שקולות מעל שדה מספרים אם ורק אם הן שקולות מעל כל השלמה שלו.
משפט המכשפות במורה נערך בשנת 1669 בעיר מורה שבשוודיה, במהלך ציד המכשפות השוודי הגדול (1668–1676), ובעקבותיו התקיימה בפעם הראשונה הוצאה המונית להורג.
המשפט התפרסם בעולם ודיווחים על אודותיו נפוצו ברחבי אירופה.
ציור גרמני פרובוקטיבי של ההוצאות להורג אף נחשב כבעל השפעה מסוימת על משפטי המכשפות בסיילם (1692–1693).
בשנת 1668, בעיר הריידלן, נערך משפטה של מארט יונסדוטר באשמת כישוף.
לאחר הרשעתה החלו להתפשט ברחבי שוודיה שמועות על מכשפות שחוטפות ילדים ל"שבת המכשפות" לחגיגת הוללות עם השטן, במקום שנקרא בלוקולה – אי אגדי המתואר כאחו עצום שגבולותיו אינם נראים לעין, ובמרכזו עומד משכנו של השטן.
שם נחשפו הילדים להתעללות מינית ונאלצו למכור לשטן את נשמתם.
הדבר גרם לבהלה בקרב ההורים וציד מכשפות החל בכל רחבי המדינה כשאנשים – בעיקר נשים, אבל לעיתים גם גברים, נשפטו באשמת כישוף.
המשפטים התבססו בעיקר על עדויות של ילדים, אשר טענו שהנאשמות חטפו אותם באמצעים שונים ולקחו אותם אל השטן.
בשנת 1669 הגיעה ההיסטריה גם למורה.
הורים מבוהלים אילצו את המושל לשלוח למלך, קרל האחד עשר, רשימה של 35 ילדים, שנטען כי נחטפו אל השטן, עם בקשה לשלוח למורה ועדה מיוחדת לטפל בבעיה.
המלך נענה לבקשה והקים משלחת, אך הנחה את אנשיה לפדות את הנאשמים בתפילות במקום במאסר ועינויים.
הוועדה, שמחציתה היו כמרים, הגיעה למורה ב-12 באוגוסט 1669, וכבר למחרת כינסה שימוע לעיני שלושת אלפים צופים.
במשך חמישה ימים נחקרו בעינויים עשרות נשים ומספר רב של ילדים תוחקרו.
הילדים העידו שנחטפו על ידי מכשפות אשר טסו על גבי עיזים, מקלות, או אפילו על גברים ישֶנים, לטקסי כישוף עם השטן בבלוקולה.
הנשים הודו בהאשמות והצהירו שנעזרו בכוחות מאגיים.
השופטים ביקשו לראות את הקסמים, אך הנאשמות לא הצליחו לבצעם, ולכן השופטים הכריזו שהמכשפות איבדו את יכולות הכישוף שלהן.
הפקיד האחראי על רישום ההצהרות הודה בגלוי שלא טרח לרשום רבות מהן, כי ההצהרות היו כמעט זהות זו לזו.
מספר הנאשמים היה גדול עד כדי כך, שהמשפטים נערכו בשני מקומות שונים בכפר.
ב-23 באוגוסט, בהתבסס בעיקר על עדויות של ילדים, הרשיעה הוועדה שבעים נשים בוגרות.
עשרים ושלוש מתוכן הודו והוצאו להורג למחרת.
ארבעים ושבע הנותרות נשלחו לעיר פאלון להוצאה להורג במועד מאוחר יותר.
בנוסף, נענשו הילדים שהיו לכאורה קורבנות או עדים למעשים: חמישה עשר ילדים הוצאו להורג, ו-148 נוספים נידונו לענישה גופנית.
ההוצאה להורג התרחשה ב-24 באוגוסט 1669. תחילה ערפו את ראשי הנידונות ולאחר מכן שרפו את גופותיהן על המוקד.
דיווח על ההוצאה להורג מתאר את האירוע: "החוטאות הלכו במהירות, מלבד שתי האחרונות שהחלו להיאנח ולגנוח, אך לא עיכבו את התהלוכה." היתדות הוצבו מול הכנסייה על מפרצון חולי בצדו השני של הנהר.
ארבע עשרה נשים וגבר אחד הועלו אל הגרדום, ראשיהם נערפו בגרזן וגופותיהם נשרפו: "שבע על היתד הראשון, חמש על השני ושלוש על השלישי.
לאחר מכן עזבה הוועדה את מורה.
שש נשים נוספות הוצאו להורג לאחר עזיבתה.
הכומר המשיך לשלוח למושל תלונות בעניין המכשפות.
בדצמבר 1669 נשפטו במורה עוד 60 נשים באשמת כישוף, אבל השלטונות המקומיים לא היו מוכנים יותר לנהל משפטי מכשפות: "ככל שמשליטים יד קשה יותר, כך זה נעשה מסוכן יותר," כתב המושל, "ונעשה לי קשה יותר להבחין בין האשמים לחפים מפשע." לפיכך, איש לא נידון עוד לעונש חמור יותר ממלקות.
בפברואר 1670 התריע המושל שההיסטריה מתפשטת שוב כמו אש בשדה קוצים.
כמרים כתבו לו ללא הרף וביקשו לקיים משפטי מכשפות נוספים, אך הוא סירב, ובמקום זאת ייעץ להם להטיף לחשודות.
הממשלה הורתה לקיים תפילה מיוחדת, "תפילת המכשפות", בכל כנסיות הממלכה.
באנליזה מתמטית, משפט הערך ההתחלתי הוא משפט המקשר בין ביטויים בתחום התדר להתנהגות מערכת בתחום הזמן כשהזמן שואף לאפס.
תהי התמרת לפלס של פונקציה ממשית , כלומר .
אם חסומה בתחום הפתוח והגבול קיים, אזי מתקיים .
חסומה והגבול קיים, כלומר .
באמצעות החלפת משתנה ניתן להראות לכל ש־ וכן ש־.
נפעיל גבול על שני צִדי המשוואה:
הפונקציות חסומות כולן על ידי הפונקציה (עבור גדול מספיק), שהיא אינטגרבילית על הקרן .
בנוסף לזה, משפחת הפונקציות הזו מתכנסת נקודתית לפונקציה .
על פי משפט ההתכנסות הנשלטת, כל אחת מהפונקציות במשפחה היא אינטגרבילית, וגבול האינטגרלים הוא האינטגרל של פונקציית הגבול:
מדינת טנסי נגד ג'ון תומאס סקופס, הידוע כמשפט הקופים או משפט סקופס , היה משפט שנערך בקיץ 1925 בעיירה דייטון (Dayton) שבמדינת טנסי בארצות הברית, ובו הועמד לדין המורה ג'ון סקופס, באשמה שלימד בכיתה את תורת האבולוציה של צ'ארלס דרווין בניגוד לחוק שנחקק באותה שנה.
המשפט בוים במכוון במטרה למשוך תשומת לב לעיירה הקטנה.
סקופס עצמו לא היה בטוח אם אכן לימד את תורת האבולוציה בכיתה, אך הפליל את עצמו בכוונה כדי לאפשר את קיום המשפט.
המשפט הפגיש בין שתיים מהדמויות הידועות באותה תקופה: ויליאם ג'נינגס ברייאן, פוליטיקאי ומטיף דתי נודע שהצטרך לצוות התביעה, וקלרנס דרו, אגנוסטיקן ואחד מעורכי הדין המפורסמים בהיסטוריה של ארצות הברית, שהצטרף לצוות ההגנה.
בתום שמונה ימי דיונים הורשע סקופס בעבירה על החוק, ונקנס ב-100 דולר (שווה ערך לכ-1,700 דולר ב-2023), אם כי פסק הדין בוטל לאחר מכן מטעמים טכניים בערכאת ערעור.
החוק עצמו בוטל לבסוף בשנת 1967 על ידי בית המשפט העליון של ארצות הברית.
המשפט עורר עניין תקשורתי רב, כאשר עיתונאים מרחבי ארצות הברית נהרו לדייטון כדי לסקר את העימות בין עורכי הדין הבולטים ואת המחלוקת בין פונדמנטליסטים ומודרניסטים.
המודרניסטים טענו כי תורת האבולוציה יכולה להשתלב עם הדת, בעוד שהפונדמנטליסטים הדגישו את עליונות דבר האל כפי שמופיע בכתבי הקודש על פני כל ידע אנושי.
יש הרואים באירוע זה את שיאו של פולמוס שהתנהל במשך עשרות שנים בין תומכי הבריאתנות לבין תומכי תורת האבולוציה.
משפטו של סקופס עורר סנסציה ופרסום רב, והיה נושאם של מספר ספרים וסרטים ידועים.
פרסום הספר "מוצא המינים" בשנת 1859 על ידי צ'ארלס דרווין עורר סערה בינלאומית שחצתה את גבולות הקהילה המדעית.
הספר הציג את תאוריית האבולוציה דרך ברירה טבעית, מנגנון שבו תכונות תורשתיות של אורגניזמים נעשות לנפוצות יותר באוכלוסייה מדור לדור ככל שהן תורמות לרביית הפרט ולשרידתו בסביבתו.
עיקר ההתנגדות לתאוריה לאורך השנים הגיעה מצד הקהילה הנוצרית הדתית שכן תורת האבולוציה סיפקה הסבר מדעי להתפתחות החיים על כדור הארץ ללא התערבות של יישות עליונה ולא ייחסה לאדם כל ייחודיות ביולוגית על פני בעלי החיים.
ההתנגדות הדתית לתורת האבולוציה לא הייתה נחלתה של התקופה הוויקטוריאנית בלבד.
במהלך שנות ה-20 של המאה ה-20, נכנס לשימוש המונח "בריאתנות" (Creationism) לתיאור האמונה לפיה היקום, כדור הארץ, החיים והאדם נבראו על ידי אלוהים.
לפי עמדה זו, נברא כל היקום על ידי אלוהים בשישה ימים, לפני כ-6 אלף שנה ולא יותר מ-10 אלף שנה, וכל מיני החי והצומח, וכן האדם, נבראו בצורתם הנוכחית ללא התפתחות אבולוציונית.
העמדה הבריאתנית-דתית השמרנית תמכה גם בקיום מבול שכיסה במים את פני כל כדור הארץ לפני כ-4,000 שנים, במוצא כל בעלי החיים ובני האדם בני-ימינו מאלו שכונסו בתיבת נח, ובנסים נוספים המתוארים בספר בראשית.
על אף שספרו של דרווין עורר התנגדויות דתיות מצד אנשי התאולוגיה הטבעית, הרי שפונדמנטליזם נוצרי המקדש את כתבי הקודש כפשוטם הוא תופעה שצצה מחדש רק בתחילת המאה ה-20, לאחר שדעכה בעידן הנאורות.
בארצות הברית היה הפולמוס בין תומכי האבולוציה לתומכי הבריאתנות עז במיוחד.
הוויכוח העז ביותר התנהל בנושא של אבולוציית האדם.
אנשי דת רבים במדינה חששו כי תפוצתה בקרב רבים של תאוריה הגורסת שהאדם התפתח מקופים קדומים, תביא לערעור היסודות הדתיים של אזרחי המדינה ותוביל לשחיתות מוסרית.
אי לכך, אחד המוקדים העיקריים של ויכוח זה נסוב סביב שאלת הוראת האבולוציה בבתי הספר הציבוריים במדינה.
עד סוף המאה ה-19, סיפור בריאת העולם כפי שהוא מוצג בספר בראשית נלמד בכל בתי הספר.
אולם פרסומו של הספר "מוצא המינים" וקבלתה של תורת האבולוציה בקרב חלקים הולכים וגדלים של הקהילה המדעית, במקביל להתפתחויות שחלו בתחומים נוספים של מדעי הטבע, הביאו לשינוי תוכנית הלימודים.
בתי ספר רבים, ובכללם גם בתי ספר ציבוריים, החלו ללמד אבולוציה תאיסטית, תאוריה שגרסה כי האבולוציה הביולוגית היא תהליך אשר נובע ישירות מהתכנון הראשוני של היקום על ידי ישות עליונה, ומטרתו הסופית הייתה ליצור את האדם.
אולם למרות ניסיונה של התאוריה לפשר בין האמונה הקלאסית באלוהים להבנה המדעית של אבולוציה, הוראתה בבתי הספר הציבוריים זכתה להתנגדות עזה מצד הפונדמנטליסטים שהחלו במאמצים לאסור כליל את הוראתה של תורת האבולוציה.
מאמצי הפונדמנטליסטים נחלו פרי כאשר ב-13 במרץ 1925, נחקק בטנסי חוק שאסר על הוראת תאוריית האבולוציה של האדם בכל מוסדות הלימוד הציבוריים במדינה, כאשר העובר על החוק היה צפוי לקנס כספי בסכום של בין 100 ל-500 דולר (ראה מסגרת, דולר דאז היה שווה לכ-17.50 דולר של 2023).
החוק קיבל את הכינוי "חוק באטלר" (Butler) על שם יוזמו, חבר בית הנבחרים של טנסי ג'ון ו.
כאשר נשאל באטלר לנסיבות שהביאו אותו לקדם חוק זה הוא ענה: .
הטיעון העיקרי של מחוקקי החוק נשען על העובדה כי הבריאתנות נחשבת לתורה דתית ואי לכך אסורה להוראה במוסדות לימוד ציבוריים.
עקב כך הם גרסו כי יש לאסור גם הוראה של תורת האבולוציה על מנת שלא לתת יתרון לא הוגן לאחד הצדדים בסכסוך.
עם זאת, האיסור בחוק התמקד בהוראת האבולוציה של האדם בלבד ולא באבולוציית עולם החי והצומח.
אוסטין פיי (Peay), מושל טנסי, חתם על החוק בעיקר ממניעים פוליטיים ולא האמין שהוא ייאכף בפועל או ישפיע באופן מהותי על מערכת החינוך הציבורית במדינה.
האיגוד האמריקאי לחירויות אזרחיות החליט לצאת למאבק והכריז בפומבי על נכונותו להגן על כל מורה שיסכים "לבחון את החוק" באמצעות העמדתו לדין על הוראת אבולוציית האדם בטנסי.
ג'ורג' רפלייה (Rappleyea), איש עסקים מקומי מהעיירה דייטון שבטנסי ששמע על הצעת האיגוד, החליט לארגן פגישה בינו לבין מספר אנשי עיירה מוכרים.
בין האנשים שהשתתפו בפגישה נמנו סו היקס (Hicks) וולס האגרד, שני עורכי דין מהפרקליטות המחוזית, ושני נציגים ממערכת החינוך של המחוז.
רפלייה שכנע אותם להעמיד את החוק למבחן בבית משפט בעיירה בטענה שהסיקור התקשורתי הנרחב שיביא המשפט יעזור להחזיר את דייטון בעלת האוכלוסייה המדלדלת אל מפת המדינה.
בחיפושם אחר מורה שיסכים להודות בעבירה על החוק ולעמוד לדין, פנתה החבורה למורה לביולוגיה בבית הספר התיכון של העיירה.
לאחר שזה סירב לבקשתם פנתה החבורה לג'ון ט.
סקופס, בן 24 באותה תקופה, סיים זה עתה את שנתו הראשונה כמורה למתמטיקה, פיזיקה וכימיה בבית הספר.
בנוסף, שימש לעיתים כמורה מחליף.
הוא סיפר כי באחת ההזדמנויות שבהן נדרש להחליף את המורה לביולוגיה, הציג לתלמידיו תרשים של עץ אבולוציוני מתוך ספר לימוד מוכר.
בתרשים זה, לדבריו, הוצגו מחלקות שונות של בעלי חיים, כאשר מין האדם סווג כחלק ממחלקת היונקים.
רפלייה טען כי פעולה זו הפרה את החוק ושאל את סקופס אם יסכים להתנדב ולעמוד לדין בנושא.
היותו צעיר, רווק וללא תוכניות להישאר בדייטון בעתיד הקרוב, הפך אותו למועמד נוח לשמש כנתבע, שכן לא היה לו מה להפסיד.
שנים מאוחר יותר הסביר סקופס את החלטתו בכך שהתנגד לחוק וראה לנכון לסייע להביא לביטולו במהירות האפשרית.
בסיום הפגישה חזר סקופס לעסוק בענייניו בעוד החבורה מיהרה להעביר הודעה לעיתונות המקומית על כך שהם ביצעו מעצר אזרחי של מורה מהעיירה שהודה בהוראת אבולוציית האדם.
לצורך הגשת כתב האישום, עודד סקופס את תלמידיו להעיד נגדו בפני חבר המושבעים הגדול ואף הנחה אותם מה להגיד.
אנשי תקשורת שהגיעו למקום הדיון של חבר המושבעים הגדול הפנו לתלמידים שאלות בנוגע לאבולוציית האדם מהם התברר כי הם לא היו בקיאים כלל בתאוריה ואף לא הכירו את מושגיה הבסיסיים ביותר.
עובדה זו הביאה כתבים רבים לתהות האם סקופס אכן לימד את אבולוציית האדם בכיתתו.
אף על פי כן, השופט ג'ון ט.
רולסטון (Raulston), שהיה ידוע כבעל דעות שמרניות, פעל לזרז את ההליכים ואף הפעיל לחץ על חבר המושבעים הגדול להגיש כתב אישום נגד סקופס.
כתב האישום הוגש לבסוף ב-25 במאי 1925 וייחס לסקופס הוראת פרק של אבולוציית האדם בכיתתו ביום ה-24 באפריל 1925 בניגוד לחוק.
סקופס נעצר באופן רשמי אך שוחרר בו במקום לאחר שבעל עיתון מקומי שילם את הערבות שנדרשה לשם כך.
בראש צוות התביעה נגד סוקפס עמד טום סטיוארט (Stewart) מהפרקליטות המחוזית.
מלבדו, כלל צוות התביעה את סו היקס ואחיו, הרברט היקס (גם כן עורך דין מקומי).
כמו כן, כלל צוות התביעה גם את גורדון מקנזי (McKenzie), עורך דין מקומי נוסף שצוטט אומר שאין לאפשר ללמד את האבולוציה בבתי הספר הציבוריים שכן היא .
המשפט קיבל תפנית משמעותית כאשר בהזמנתו של סו היקס ובעידודם של אנשי דת מובילים, הצטרף גם ויליאם ג'נינגס ברייאן לצוות התביעה בתפקיד יועץ מיוחד.
ברייאן היה אחת הדמויות המוכרות ביותר בארצות הברית באותה תקופה.
הוא היה המועמד של המפלגה הדמוקרטית לנשיאות ארצות הברית בשלוש מערכות בחירות וכן היה מזכיר המדינה בממשלו של וודרו וילסון.
בנוסף לכך, היה ברייאן נוצרי אדוק ושייך לזרם הפרסביטריאניזם המקדשת את ריבונות האל, את כתבי הקודש כמסמך מנחה, ואת ההכרח שבחסד האל באמצעות האמונה בישו.
על אף שלבריאן הייתה הכשרה משפטית, הוא לא עסק בתחום למעלה מ-30 שנה.
עם זאת, הוא ראה במשפט הזדמנות ייחודית לקדם את האידאולוגיה בה האמין ולזכות בחשיפה ציבורית רחבה, ולכן הסכים בהתלהבות להצטרף לצוות התביעה.
באחת מהרצאותיו, שטח ברייאן את טענותיו בעד חוק באטלר באומרו כי:
לימודה על ידי תלמידים בבתי ספר מערערת את האמונה הדתית ואת הערכים החברתיים שלהם.
הנושאים הנלמדים בבתי הספר צריכים להיות בשליטת "הרוב המאמין בביבליה".
עוד הוסיף ברייאן כי התנגדות לחוק באטלר והגחכתו, פוגעת במאמצים להעביר חוקים דומים במדינות אחרות.
האיגוד האמריקאי לחירויות אזרחיות תכנן שהמשפט ישמש במה לבחינת החוק בהיבט חוקתי, תוך הדגשת הפגיעה האפשרית בחירויות הפרט.
ברם, הצטרפותו של ברייאן לצוות התביעה טרפה את הקלפים ולאנשי האיגוד היה ברור שכעת, בנוסף, תורת האבולוציה עצמה תעמוד במרכז הדיון המשפטי.
שמו של קלרנס דרו, אחד מעורכי הדין הבולטים ביותר בתקופתו ובהיסטוריה האמריקאית בכלל, הועלה כמועמד אפשרי להצטרף לצוות ההגנה.
עם זאת, בתחילה, דרו לא הביע עניין להצטרף.
הוא פרש לגמלאות זמן קצר קודם לכן, וחשש שהאיגוד האמריקאי לחירויות אזרחיות בכל מקרה יעדיף להימנע משיתוף פעולה עמו בשל דעותיו האגנוסטיות הנחרצות, שעלולות להסיט את המשפט מדיון על חופש אקדמי ולמקדו במקום זאת במתקפה על הדת.
אולם, לאחר הצטרפותו של בריאן לצוות התביעה, שינה דרו את עמדתו ומיהר להציע את שירותיו לצוות ההגנה.
הייתה זו הפעם היחידה בקריירה שלו שבה הוא בחר לייצג תיק משפטי ללא תשלום.
דרו הסביר את ההחלטתו באומרו כי: .
האיגוד האמריקאי לחירויות אזרחיות אכן הסתייג מצירופו של דרו לצוות ההגנה, מחשש שגישתו הישירה וסגנונו הפרובוקטיבי יהפכו את המשפט לקרקס ויובילו את הדיון לעימות בין דתיים ללא דתיים, והרחק עוד יותר מהשאלות החוקתיות שהם רצו שיהיו בלב המשפט.
עם זאת, סקופס הכריע בעניין, והצהיר כי הוא מעדיף להיות מיוצג על ידי עורך דין פלילי מנוסה, כמו דרו, מאשר על ידי עורך דין המתמחה במשפט חוקתי בלבד.
בסופו של דבר, לאחר מספר שינויים, כלל צוות ההגנה, מלבד דרו, גם את ג'ון ניל (Neal), ארתור הייס (Hays), עורך דין מטעם האיגוד האמריקאי לחירויות אזרחיות, ודדלי מלון (Malone), עורך דין ופעיל ליברלי שגם עבד בעבר במחלקת המדינה תחת ברייאן.
צוות ההגנה נעזר גם צ'ארלס פוטר, מומחה לביבליה ומטיף מודרניסטי מזרם האוניטריאניזם.
אלפי עיתונאים, יזמים עסקיים וסקרנים הגיעו לדייטון בעקבות המשפט.
האווירה הכללית בעיירה הייתה זו של קרנבל.
דוכני לימונדה מאולתרים הוקמו על מנת להקל על העוברים ושבים מהחום הכבד של הקיץ, שימפנזות מקרקס הובאו לעיירה הקטנה והופיעו ברחובות העיר לבידורם של ההמונים וספרים המגנים את תורת האבולוציה הוצעו למכירה לכל הדורש.
המשפט עצמו התנהל בבית המשפט המקומי תחת ניהולו של השופט רולסטון.
כמקובל במערכת המשפט האמריקאית, צוות של 12 מושבעים נבחר להכריע את תוצאות המשפט.
המושבעים היו מורכבים ברובם הגדול מאיכרים שמרנים וחסרי השכלה מדעית.
כבר בימי המשפט הראשונים הועלו ניצני המחלוקת הראשונים כאשר דרו התנגד לפתיחת הדיונים בתפילה בטענה כי הדת מהווה את אחד הצדדים במחלוקת.
רולסטון דחה את בקשתו של דרו בציינו כי זהו מנהגו במשך שנים ארוכות ואין הוא מאמין שתהיה לכך השפעה כלשהי על תוצאות המשפט.
ידוע כי רולסטון נהג לפקוד את הכנסייה המקומית באופן קבוע ובאחת הפעמים אף נמצא יושב באחת השורות הראשונות, ביחד עם משפחתו, כאשר ברייאן נשא דרשה שבה תקף את אסטרטגיית ההגנה.
עובדות אלה העלו תהיות לגבי מידת האובייקטיביות שהייתה לו כשופט במשפט זה.
סקופס עצמו לא נחקר ולא העיד להגנתו, שכן החלק העובדתי במשפטו לא היה שנוי במחלוקת.
באיגוד האמריקאי לחירויות אזרחיות תכננו תחילה לבסס את אסטרטגיית ההגנה על ניסיון להוכיח שהחוק המדובר אינו חוקתי כיוון שהוא מפר את חירויות הפרט של המורים, ולכן דינו להתבטל.
באחד מנאומיו המפורסמים, תקף דרו את החוק ישירות ואמר כי הוא עלול להביא למדרון חלקלק, ולנסיגת החברה מאות שנים אחורנית לתקופה שבה הרדיפה הדתית הביאה למאסרם ושריפתם על המוקד של מדענים ואינטלקטואלים רבים.
מסיבה זו ההגנה ביקשה כבר בתחילת המשפט לבטל את כל האישומים נגד סקופס על בסיס הפרת החוקה.
השופט רולסטון דחה את הבקשה.
עם התקדמות המשפט שונתה אסטרטגיה זו, בעיקר עקב השפעתו של דרו, עד שלבסוף החלה ההגנה לבסס את טיעוניה על הטענה כי אין סתירה בין תורת האבולוציה לכתוב בתנ"ך.
על מנת לבסס טענה זו ביקשה ההגנה להזמין להעיד שמונה מומחים של תורת האבולוציה.
התביעה התנגדה לעדויות המומחים לזואולוגיה שהיו אמורים להעיד על נכונותה של תורת האבלוציה.
השופט לא הסכים להיכנס לדיון בנושא זה, ולבסוף הרשה רק למומחה אחד לזואולוגיה להעיד ופסל את כל שאר המומחים, אך אישר להם להעביר תצהירים כתובים לפרוטוקול.
בתגובה להחלטה זו דרו העיר הערה לגלגנית לשופט שעליה הוא נאלץ להתנצל מאוחר יותר לאחר שהשופט איים להאשים אותו בביזיון בית המשפט.
ההגנה זימנה לעדות את מיינרד מטקאלף (Metcalf), דוקטור לזואולוגיה מאוניברסיטת ג'ונס הופקינס.
התביעה התנגדה לעדותו של מטקאלף בטענה כי לעדותו אין קשר לשאלה העומדת בבסיס המשפט, והיא האם סקופס לימד את תורת אבולוציית האדם או לא.
רולסטון, לאחר מספר דקות של הרהורים, דחה את התנגדותה של התביעה והחליט לשמוע את דבריו של מטקאלף.
זימונו של ברייאן למתן עדות מטעם ההגנה
לקראת סוף המשפט ננטשה גם אסטרטגיה זו, ובמקומה החלו פרקליטי ההגנה לתקוף את הפירוש המילולי שניתן לתנ"ך, כמו גם את הידע הדל במדע של ברייאן.
במהלך מפתיע העלה דרו את ברייאן לדוכן העדים ועימת אותו עם הכתוב בתנ"ך עצמו.
בדרך זו הצליחו תומכי האבולוציה בתוכניתם המקורית להפוך את דיוני המשפט לאחת מזירות ההתגוששות של הפולמוס הדתי-מדעי.
דרו עימת את ברייאן עם שאלות הנוגעות לבליעת יונה על ידי לוויתן, עצירת השמש על ידי יהושע וכן מהיכן הגיעה לעולם אשתו של קין.
הדבר העמיד את ברייאן בבעיה.
אילו היה מתעקש שהאירועים הללו התרחשו בדיוק כפי שהם מתוארים בתנ"ך, הוא היה עלול להיתפס בעיני הציבור האמריקאי כקנאי דתי המונע ממניעים דתיים קיצוניים נגד האבולוציה.
מאידך, אם היה טוען שיש לפרש את האירועים הללו באופן סמלי ולא מילולי, היה נאלץ לזנוח בפומבי את אמונתו הפונדמנטליסטית בכתבי הקודש.
לפיכך, נאלץ ברייאן לאמץ גישה מתונה יותר ולנסות ליישב בין האמונה הדתית לבין השאלות שהציג דרו, מבלי להתחמק מהן ישירות אך גם מבלי לתת להן מענה מלא.
בליעת יונה על ידי דג
הדיון החל כאשר דרו שאל את ברייאן על הפסוק המתאר את בליעת יונה על ידי דג גדול, ופליטתו בחיים לאחר שלושה ימים.
דרו רצה לדעת אם גם פסוק זה צריך להיות מפורש פשוטו כמשמעו כפי שטען ברייאן אף על פי שהוא מנוגד לחוקי הטבע ולשכל הישר.
ברייאן השיב בחיוב, והסביר כי הוא מאמין שאלוהים יכול לגרום לאדם ולדג לעשות כרצונו.
דיון התפתח והחל לסוב סביב נושא הנסים.
ברייאן טען כי עקב היותו אדם דתי הוא מאמין לכל הנסים הכתובים בתנ"ך.
דרו שאל בתגובה אם ברייאן היה מאמין בכך גם אם בתנ"ך היה כתוב כי יונה בלע את הלוויתן.
ברייאן אמר כי הוא היה מאמין בכך אם זה היה כתוב בתנ"ך, אך הוסיף כי בניגוד לתומכי האבולוציה, התנ"ך לא יוצא בהצהרות קיצוניות שכאלה.
עצירת השמש על ידי יהושע
דרו שאל את ברייאן אם הוא מאמין כי השמש נעצרה בפקודת יהושע על מנת להאריך את היום כפי שנכתב בתנ"ך, ואם הוא מאמין כי השמש סובבת סביב הארץ בניגוד לעמדה המדעית הקובעת את ההפך.
ברייאן השיב כי הוא מאמין בנס וכי הוא מאמין כי כדור הארץ סובב סביב השמש כפי שגורס המדע.
עובדה זו גרמה לכך שברייאן נאלץ להסכים כי היה צורך לעצור את סיבוב כדור הארץ ולא את השמש על מנת להאריך את היום.
לאחר מכן דרו המשיך ועימת את ברייאן עם מה שהיה מתרחש אם כדור הארץ היה נעצר מלכת - על פי חוקי הפיזיקה, כדור הארץ היה הופך למסת חומר רותחת.
ברייאן הודה כי הוא אף פעם לא חשב על הנושא לעומק, אך טען כי בכוחו של אלוהים לטפל בכל בעיה כזו.
ההתכתשות בין ברייאן ודרו נמשכה כשעתיים והייתה מתוכננת להימשך ביום שלמחרת אלא שרולסטון עצר זאת.
הוא הודיע שהוא רואה בחקירתו של דרו את ברייאן שהתרחשה ביום הקודם כלא רלוונטית למשפט והורה למחוק אותה מהפרוטוקול.
בכך, הוא מנע מברייאן לקיים חקירה נגדית של צוות ההגנה של סקופס כפי שסוכם.
יחד עם זאת, לאחר המשפט, פרסם ברייאן בפומבי תשע שאלות לצוות הגנה הנוגעות לאמונה באל, אמינות הביבליה, ישו, ניסים והחיים לאחר המוות.
דרו ענה לכל השאלות בקצרה ובסגנון אגנוסטי שהיה אופייני לו.
כך למשל לשאלה על קיומם של חיים לאחר המוות ענה דרו: .
משנפסלו כל עדי ההגנה שלהם, ביקש דרו מבית המשפט לסיים את הדיונים, ולהורות למושבעים למצוא את סקופס אשם.
בפנייתו האחרונה למושבעים אמר דרו:
ההגנה גם ויתרה על נשיאת נאום מסכם ובכך מנעה מברייאן לשאת נאום מסכם מצד התביעה אותו הכין מראש.
בסופם של שמונת ימי המשפט, לקח למושבעים פחות מתשע דקות כדי להגיע להחלטה.
סקופס נמצא אשם ורולסטון פסק שעליו לשלם את הקנס המינימלי הקבוע בחוק בגובה של 100 דולר (שווה ערך ל-1,700 דולר במונחים של 2022).
לאחר מכן, קם סקופס ודיבר בפעם הראשונה, והיחידה, במשפט:
משנמנעה ממנו האפשרות לשאת נאום מסכם, נאלץ ברייאן להסתפק בפרסום הצהרה לעיתונאים המסכמת את המשפט לפי ראות עיניו.
ברייאן נפטר בשנתו בדייטון חמישה ימים לאחר תום המשפט.
כפי שהבטיחו, ערערו עורכי הדין של סקופס על ההרשעה והציגו ארבעה טיעונים למה עליה להיות מבוטלת:
חוק באטלר יותר מידי מעורפל שכן הוא אוסר על ההוראה של "האבולוציה" שהוא מושג רחב מאוד - הטיעון נדחה על ידי השופטים בטענה שלמרות שאבולוציה הוא אכן מושג רחב, עיקר הפולמוס, ועיקר ההתייחסות המקובלת בציבור לתורת האבולוציה, נוגעת לחלק בתיאוריה שגורס שהאדם התפתח מבעלי חיים פשוטים.
השופטים גרסו כי רק לחלק הזה בתאוריית האבולוציה התייחס חוק באטלר.
חוק באטלר הפר את זכותו החוקתית של סקופס לחופש הביטוי מכיוון שהוא אסר עליו את הוראת האבולוציה - טיעון זה נדחה גם כן על ידי השופטים בטענה כי למדינה קיימת זכות להגביל את חופש הביטוי של סקופס בהיותו עובד מדינה ובזמן שהוא עובד במוסד של המדינה.
חוק באטלר מפר את הוראות חוקת מדינת טנסי האוסרות על העדפה של דת אחת על פני אחרת - גם טיעון זה נדחה על ידי השופטים בטענה שאין אף דת שקבלתה של תורת האבולוציה או שלילתה, מהווה חלק בלתי נפרד מעקרונות האמונה שלה.
בנוסף, קבע בית המשפט שהגם שחוק באטלר אוסר על הוראת האבולוציה, הוא לא חייב הוראת דוקטרינה אחרת כלשהי ועל כן הוא לא הביא למצב שדת כלשהי "הרוויחה" מהחוק.
למרות שבית המשפט קבע כי חוק באטלר חוקתי, ודחה את כל הטענות של עורכי דינו של סקופס, הוא ביטל את הרשעתו של סקופס מטעמים טכניים.
השופטים קבעו כי המושבעים היו צריכים לקבוע את גובה הקנס של סוקפוס ולא השופט, שכן החוק בטנסי קבע באותה עת כי שופטים לא יכולים לפסוק קנס שגובהו עולה על 50 דולר.
רולטסון קבע את הקנס המינימלי הקבוע בחוק ועשה זאת בהסכמת ההגנה והתביעה.
אף אחד מהצדדים לא העלה סוגיה זו בעת הערעור ולכן החלטת השופטים הפתיע את כולם.
הדעה המקובלת היא שהשופטים רצו לסיים את הסאגה המשפטית אותה תפסו כמביכה, בלי לבטל את תוקפו של חוק באטלר, ומצאו דרך יצירתית לעשות זאת.
השופטים המליצו לתובע הכללי של מדינת טנסי שלא להעמיד את סקופס למשפט חוזר, בין היתר בגלל שבאותה עת הוא כבר לא היה מועסק יותר על ידי המדינה.
התובע הכללי קיבל מיד את המלצת השופטים והודיע שלא יפעל להעמיד את סקופס למשפט חוזר.
עורכי הדין של סקופס הביעו חוסר שביעות רצון מהתגלגלות האירועים המפתיעה.
מלון טען שהפסיקה היא סקופס גם כן הביע את אכזבתו מהפסקה ודרו טען כי יידרש כנראה תיק אחר כדי "להבהיר את הסוגיה".
ברם, תיק כזה מעולם לא הגיע.
אף מורה לא התנדב שוב לבחון את החוק ורבים הניחו שגם אם יקום מורה כזה, אף תובע במדינת טנסי לא ירצה לתבוע אותו ולהתחיל את הסאגה מחדש.
אף אדם אכן לא הועמד עוד למשפט על הפרת חוק באטלר, והוא הפך, הלכה למעשה, לחוק סימבולי שלא נאכף בפועל.
רק במאי 1967 בוטל החוק האוסר את הוראת האבולוציה בטנסי.
שנה לאחר מכן, קבע בית המשפט העליון של ארצות הברית שחוקים האוסרים על הוראת תורת האבולוציה בבתי ספר ציבוריים מנוגדים לחוקת ארצות הברית עקב היותם נובעים ממניעים דתיים.
ההיסטוריון אדוארד לרסון טען כי המשפט היה תעלול תקשורתי שנועד להביא לפרסומה של דייטון.
טענה דומה הועלתה על ידי העיתונים הנפוצים בטנסי באותה עת, לרבות כאלה שהובילו קו שתנגד לחוק באטלר.
הללו ביקרו בפומבי את אנשי העיירה על ביום המשפט.
אנשי העיירה אף הציעו לסופר הבריטי ה.
ולס בבקשה להצטרף לצוות ההגנה במחשבה שזה יגדיל את הסיקור התקשורתי של המשפט, אך הוא סירב להצעה.
המשפט סוקר בהרחבה על ידי עיתונאים ידועים רבים, והוא נחשב לאבן דרך בהיסטוריה של ארצות הברית בהיותו הראשון ששודר בשידור חי ברדיו בכל רחבי המדינה.
למעלה מ-200 עיתונאים מכל רחבי ארצות הברית הגיעו לדייטון כדי לסקר את המשפט, ועמודי השער של עיתונים במדינה התמלאו בדיווחים נרחבים על המשפט.
העיתונאים העבירו את דיווחיהם באמצעות הטלגרף דרך אלפי קילומטרים של חוטי טלגרף שנתלו במיוחד לצורך זה.
בין העיתונאים הבולטים שסיקרו את המשפט היה הנרי לואיס מנקן שטבע את הכינוי "משפט הקופים".
מנקין לא הסתיר את הבוז שחש כלפי התביעה.
הוא לעג לתושבי העיירה בכתבותיו וכינה אותם "כפריים" ו-"שוטים", ותיאר את ברייאן כ-"ליצן" ואת נאומיו כ-"שטות תאולוגית".
לעומת זאת, הוא שיבח את ההגנה ותיאר אותה כ-"רהוטה" ו-"מרשימה".
רבים מתומכי הבריאתנות בארצות הברית מאשימים את מלקין עד היום בכך שדיווחיו המוטים הם שהביאו לשינוי בדעת הקהל במדינה נגד הבריאתנות.
מכיוון שהציפייה הייתה שסקופס יימצא אשם, התקשורת פעלה להציג אותו כקדוש מעונה, בין היתר באמצעות לעג פומבי על המשפט.
פורסמו גם קריקטורות הומוריסטיות שהתמקדו בדמויות המרכזיות במשפט, כשהמוקד היה בתביעה ובתומכיה: בראיין, העיירה דייטון, מדינת טנסי והדרום כולו, וכן נוצרים פונדמנטליסטים ומתנגדי האבולוציה.
מגזין טיים ציין את הגעתו של בריאן לעיירה בהערה עוקצנית: "ההמונים, כולם תומכי בריאן עד כדי טיפשות, קיבלו אותו בקולי קולות." עיתונאים ממדינות הדרום היו בין יוצאי הדופן שסיקרו את ההגנה באופן שלילי.
עיתונאים אלה השתמשו, בין היתר, בהומור שחור כדי להזכיר כיצד דרו הציל את הרוצחים לליאופולד ולוב מעונש המוות שנה קודם לכן.
במהלך סיקור המשפט, הדגישו עיתונאים רבים את המתחים בין התרבות הכפרית לעירונית והמעיטו בחשיבות השאלה החוקתית שבגינה הועמד סקופס לדין.
העיתונות של אותה תקופה נתנה תשומת לב רבה לאירועים שהעמיקו את הדימוי של דייטון כעיירה נחשלת, זאת למרות שמספר לא מבוטל מתושביה הפגין פתיחות יחסית לנושא האבולוציה.
המאבק בין תומכי הבריאתנות לתומכי האבולוציה
המשפט חשף תהום הולכת וגדלה בקרב חלקים נרחבים מהציבור בארצות הברית והיוותה את אחד השיאים במאבק בין האמת לפי מאמיני המקרא שדגלו בבריאתנות והאמת לפי תומכי האבולוציה.
מרבית הנוצרים בארצות הברית באותה עת דחו את תאוריית האבולוציה ואף כינו את תומכי האבולוציה בכינוי הגנאי "אבולוציוניסטים".
הוראת האבולוציה במוסדות לימוד בארצות הברית
משפט סקופס השפיע באופן עמוק וממושך על הוראת המדעים בבתי הספר בארצות הברית.
אף שהמשפט תואר לעיתים ככזה שהיטה את דעת הקהל נגד הפונדמנטליזם, ההשפעה לא הייתה חד-משמעית.
תנועת הפונדמנטליזם לא נכנעה, אלא להפך – היא הגבירה את מאמציה למנוע את הוראת האבולוציה.
לאחר המשפט המשיכו הפונדמנטליסטים לקדם חקיקה במדינות נוספות בניסיון לאסור על הוראת אבולוציית האדם בבתי הספר הציבוריים.
לבסוף, רק מיסיסיפי וארקנסו הצטרפו לטנסי ואימצו חקיקה כזו, אך מוסדות חינוך בדרום ארצות הברית נמנעו מהוראת האבולוציה גם ללא חוקים האוסרים זאת, והימנעות זו נמשכה במשך עשרות שנים.
בעקבות משפט סקופס, רוב ספרי הביולוגיה הפופולריים נמנעו מלהזכיר את המונח "אבולוציה" ונכללו בהם ציטוטים מהתנ"ך.
חוקרים חלוקים בדעתם באשר להשלכות של המשפט על תוכני ספרי הלימוד.
לדוגמה, הסופר של ספר הביולוגיה שלימודו היה הסיבה להעמדת סקופס לדין, ערך מחדש את ספרו בשנת 1926, במידה רבה בעקבות המחלוקת שעורר המשפט.
לעומת זאת, הפליאונטולוג ג'ורג' גיילורד סימפסון טען שמדובר בבלבול בין סיבה לתוצאה, וכי מגמת ההיעלמות של תכנים אבולוציוניים מספרי הלימוד נבעה מתהליך התנגדות כולל לתורת האבולוציה שהחל עוד לפני המשפט.
אף שספרי ביולוגיה רבים אכן הסירו את המונח "אבולוציה" או שינו את הנוסח בעקבות לחץ דתי, קיימים חוקרים הטוענים כי המיקוד בנושא האבולוציה נותר במידה רבה גם בספרי הלימוד של בעשורים הראשונים של המאה ה-20, כשהתכנים נשענו על עקרונות אבולוציוניים באופן משתמע.
שפירו, מציין כי אף שמחברי ספרי הלימוד נמנעו מהמונח "אבולוציה" בכדי להימנע מעימותים עם מתנגדי האבולוציה, המוקד על הנושא לא נחלש באופן משמעותי.
כמו כן, הוא טוען שהשינויים בדרך בה נידונה האבולוציה בספרי לימוד הביולוגיה נבעו מגורמים חברתיים כמו גזע ומעמד ולאו דווקא מלחץ דתי ישיר.
שיגורו של "ספוטניק", הלוויין המלאכותי הראשון, לחלל בשנת 1957 על ידי ברית המועצות, עורר זעזוע בקרב פוליטיקאים ומדענים בארצות הברית, שהאשימו את רמת החינוך המדעי הלקוי במדינה בכך שברית המועצות הקדימה את ארצות הברית במרוץ לחלל.
בעקבות זאת, חוקק חוק החינוך להגנה לאומית ב-1958. החוק עודד כתיבת ספרי לימוד חדשים בשיתוף פעולה עם המכון האמריקאי למדעי הביולוגיה, שבהם הודגש מעמדה של האבולוציה כעקרון מרכזי במדעי הביולוגיה.
החלטה זו נתקלה בהתנגדות עזה מצד פונדמנטליסטים וקבוצות שמרניות דתיות אחרות, שראו בספרי הלימוד הללו ניסיון בלתי מוסרי ו-"חסר אלוהים" "לדחוף את תורת האבולוציה בכוח לגרונם של ילדינו".
בטקסס הייתה ההתנגדות לתוכנית החדשה עזה במיוחד, והיא כללה מתקפות נגדה באירועים דתיים ובתקשורת, וכן תלונות לוועדת ספרי הלימוד המדינתית.
עם זאת, תמיכה פדרלית נרחבת ומגמות חברתיות כמו הגדלת תשומת הלב לשיפור החינוך הציבורי, פסיקות משפטיות שהפרידו בין דת לחינוך הציבורי, ותהליך עיור מתמשך בדרום ארצות הברית, סייעו להפחית את עוצמת ההתנגדות.
בשנות ה-80 החלה תנועת הבריאתנות המודרנית לקדם את "מדע הבריאה" כשווה ערך לתאוריית האבולוציה, ודרשה ללמד את שניהם בבתי ספר כחלק מאיזון בתוכנית הלימודים.
חוקים אלו זכו להתנגדות מצד מערכת המשפט בארצות הברית, שבסופו של דבר קבעה כי הם מפרים את עקרון הפרדת הדת מהמדינה.
פסיקות של בתי המשפט בשנות ה-80 וה-90 הבהירו כי לימוד הבריאתנות כמדע אינו חוקי בבתי ספר ציבוריים, אך תנועת הבריאתנות המשיכה לנסות להוסיף לתוכניות הלימוד חומרים המערערים על תורת האבולוציה או שמציגים אותה כתיאוריה בלבד ולא כעובדה מדעית.
ההשפעה המיידית החשובה ביותר של המשפט הייתה בחזית הפילוג המתעצם בין מודרניסטים לפונדמנטליסטים בתוך התנועה האוונגליסטית, שהתגלע מאז 1922 (לאחר עשורים של מתיחות).