tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
על כן, אומרים שהמטריקה בתורת היחסות הפרטית היא מטריקה מוכללת, ומהווה הרחבה של מושג המטריקה הקלאסי.
בתורת היחסות הכללית, המטריקה היא באופן כללי טנזור מטרי (מוכלל), והיא מהווה פתרון של משוואות איינשטיין.
דוגמה בעלת חשיבות היסטורית היא מטריקת שוורצשילד, המתארת את עקמומיות המרחב סביב כוכב כדורי מסיבי, בפרט סביב חור שחור.
בעזרת מטריקה זו, הצליחו מדענים לאשש את תורת היחסות הכללית.
מטריקס הוא סרט קולנוע אמריקאי מסוגת המדע הבדיוני שיצא בשנת 1999, בוים על ידי האחיות וצ'אוסקי, הראשון בסדרת סרטי המטריקס.
הסרט מתאר עתיד דיסטופי בו האנושות כלואה באופן לא מודע בתוך מציאות מדומה, המטריקס, שנבנתה על ידי מכונות מתקדמות במטרה להשתמש בגוף האנושי כמקור חשמל.
אחרי שהאקר מחשבים צעיר לומד על טבעה האמיתי של המציאות בה הוא חי, הוא מצטרף לקבוצת מורדים כדי להילחם באותן המכונות.
הסרט הרוויח יותר מ-460 מיליון דולר וזכה ב-4 פרסי אוסקר, יחד עם פרס בפטא ופרס סאטורן.
עלילת הסרט עוקבת אחר תומאס איי אנדרסון המכונה ניאו (קיאנו ריבס), מתכנת ביום והאקר בלילות,שמבלה כמעט את כל זמנו הפנוי מול המחשב ומרגיש כי דבר מה איננו תקין בעולם, על אף שאינו יכול להבין מהו.
באחד הלילות ניאו מגלה שמישהו חדר למחשבו ומצליח לחזות את מהלך הדקות הקרובות של חייו.
ניאו פוגש בטריניטי (קארי-אן מוס) - האקרית מפורסמת בפשעיה נגד החברה, המשכנעת אותו לפגוש במורפיאוס (לורנס פישבורן) - פושע בינלאומי מפורסם.
לדבריה, ביכולתו של מורפיאוס לענות על שאלותיו של ניאו.
כאשר השניים נפגשים מורפיאוס מציע לגלות לניאו את האמת או לחזור למסלול חייו ולשכוח את שאירע לאחרונה באמצעות בליעת גלולה.
לאחר שהסכים, ניאו מוצא עצמו במעין תא מלא נוזלים דמוי רחם, וכבלים רבים מחוברים לגופו.
התא מתרוקן וניאו נשטף דרך תעלות, עד אשר נמשה על ידי צוותו של מורפיאוס.
לאחר תקופת החלמה מורפיאוס מגלה לניאו את האמת, כי העולם בו חשב שהוא חי, ניו יורק בשנת 1999, הוא עולם של מציאות מדומה המכונה "המטריקס".
מטרת המטריקס היא לקיים את בני האדם, המשמשים כמקור אנרגיה למכונות בעלות בינה מלאכותית אשר התקוממו כנגד יוצריהן האנושיים.
העולם האמיתי, בו עברו כבר מספר מאות מאז 1999, הוא פוסט-אפוקליפטי כתוצאה מנזקי המלחמה בין בני האדם והמכונות, בה ניצחו המכונות.
בני האדם הנותרים מנסים להילחם במכונות על ידי פריצה למטריקס.
מורפיאוס מספר לניאו כי לדעתו הוא "האחד", עליו התנבאה האורקל (ישות מסתורית במטריקס אשר מסייעת להתנגדות האנושית) כי יוביל את בני האדם לניצחון.
מורפיאוס, טריניטי וחברים אחרים בצוות פורצים למטריקס כדי לנסות ולמצוא את "האחד" - אך עתה החיפוש הושלם.
מורפיאוס מוביל את צוותו ואת ניאו לפגוש את האורקל, אשר מספרת לניאו כי הוא איננו "האחד".
בדרכם חזרה בוגד בהם סייפר, אחד מחברי הצוות, והצוות נופל למארב.
מורפיאוס מקריב עצמו כדי להציל את ניאו, אך רק ניאו וטריניטי יוצאים לבסוף בבטחה מהמטריקס - שאר הצוות נהרג בידי הסוכנים או בידי סייפר.
מורפיאוס נופל לידי "הסוכנים" - תוכנות בשירות המכונות בעלות כוח ומהירות רבים.
אלו חוקרים אותו כדי לגלות את צפני המעבדים של ציון, עירם של בני האדם המורדים.
ניאו וטריניטי מחליטים לנסות לשחררו ותוקפים את הבניין בו הוא מוחזק, תוך כדי קרבות רבים עם אנשי הצבא והסוכנים.
במהלך הקרבות מפגין ניאו יכולות הדומות לאלו של הסוכנים, אך עדיין כמעט ומובס על ידי אחד מהם ורק טריניטי מצילה אותו בשנייה האחרונה.
השניים מצליחים לשחרר את מורפיאוס ומובילים אותו ל"נקודת יציאה" מהמטריקס, שנמצאת ברכבת תחתית.
לאחר שהוא וטריניטי יוצאים בבטחה הסוכן סמית' (הוגו ויבינג) מצליח להרוס את נקודת היציאה בטרם ניאו יצא.
השניים נלחמים ולפני שניאו כמעט ונדרס בידי רכבת, הוא מצליח להתמודד כנגד הסוכן, אם כי לא להביסו.
לבסוף הוא נאלץ לברוח לעבר נקודת יציאה אחרת, אך כאשר הוא מגיע לשם מגלה ניאו את סמית' מחכה לו.
סמית' יורה בניאו מספר פעמים והורגו.
בעוד שמורפיאוס וטריניטי מבכים את מותו, רובוטים סוגרים על מיקום ספינת הרחפת ממנה הם פורצים למטריקס.
טריניטי מגלה לגופו הדומם של ניאו כי הוא חייב להיות "האחד", כיוון שהאורקל ניבאה שהיא תתאהב ב"אחד" והיא אכן אוהבת אותו.
לפתע ניאו חוזר לנשום וקם לתחייה במטריקס.
הסוכנים יורים לעברו שוב, אך במקום לתפוס מחסה או לחמוק מהכדורים ניאו מצליח לעצור אותם במעופם.
סמית' מנסה להילחם בניאו, אך ניאו מביס את סמית' בקלות ולבסוף חודר לתוכו וכך, למראית עין לכל הפחות, הורס אותו.
הסוכנים האחרים בורחים בבהלה וניאו יוצא דרך נקודת היציאה בזמן כדי להציל את מורפיאוס וטריניטי מהרובוטים.
הסרט מסתיים באפילוג המתרחש במטריקס, בו ניאו מודיע למכונות כי בכוונתו "להראות לאנשים עולם בלעדיכן" ולאחר מכן מדגים את שליטתו החדשה במטריקס ועף.
קיאנו ריבס - תומאס א.
אנדרסון / ניאו, מתכנת מחשבים בתאגיד-Metacortex ביום והאקר בלילות.
ניאו מגויס על ידי מורפיאוס להילחם במכונות.
ויל סמית' דחה את התפקיד של ניאו מכיוון שרצה לשחק בפרוע על המערב, וכיוון שהיה ספקן לגבי ההצלחה של האפקטים של זמן קליע.
לאחר מכן הצהיר שהוא "לא היה בוגר מספיק כשחקן" באותו זמן וכי אם היה נותנים לו את התפקיד "הייתי הורס אותו".
ניקולס קייג' דחה אף הוא את התפקיד בגלל "חובות המשפחה".
לורנס פישבורן - מורפיאוס, שוחרר מהמטריקס, הקפטן של "נבוכדנצר".
הוא מוצא את ניאו ועוזר לו ללמוד את האמת.
שון קונרי דחה את התפקיד של מורפיאוס.
קארי-אן מוס - טריניטי, אישה ששוחררה על ידי מורפיאוס, מאנשי הצוות של "נבוכדנצר" והמושא הרומנטי של ניאו.
הוגו וויבינג - הסוכן סמית', הסוכן ה"חי" בתוכנה של מטריקס, שמטרתו היא להשמיד את ציון ולעצור בני אדם מלברוח מתוך מטריקס.
שלא כמו סוכנים אחרים, יש לו שאיפות להשתחרר מתפקידו.
ג'ו פנטוליאנו - סייפר, עוד אדם ששוחרר על ידי מורפיאוס, בוגד במורפיאוס ועוזר לסוכנים על מנת להבטיח את שובו למטריקס מתוך נוחות.
ג'וליאן אראנגה - אייפוק, אדם משוחרר וחבר בצוות של "נבוכדנצר".
אנתוני ריי פרקר - דוזר, אדם "טבעי" שנולד מחוץ למטריקס, והטייס של "נבוכדנצר".
מרקוס צ'ונג - טנק, מפעיל של "נבוכדנצר", הוא אחיו של דוזר, ובדומה לו נולד מחוץ מטריקס.
מאט דורן - מאוס (עכבר), אדם משוחרר והמתכנת על "נבוכדנצר".
גלוריה פוסטר - האורקל, תוכנת מחשב חיה גולה שעדיין מתגוררת במטריקס, עוזרת לבני האדם המשוחררים עם ראיית הנולד שלה וחוכמתה.
בלינדה מקלורי - סוויץ' (מתג), אישה ששוחררה על ידי מורפיאוס וחברת צוות ב"נבוכדנצר".
פול גודארד - הסוכן בראון, אחת משתי תוכנות חיות - "סוכן" של מטריקס שעובד עם הסוכן סמית' במטרה להשמיד את ציון ולעצור את בני האדם מלהימלט מהמערכת.
רוברט טיילור - הסוכן ג'ונס, התוכנה החיה - "סוכן" השנייה שעובדת עם הסוכן סמית'.
אדה ניקודמו - DuJour (נערת הארנב הלבן), התייחסות לארנב הלבן בהרפתקאות אליס בארץ הפלאות.
הסרט זכה במספר רב של פרסים, ביניהם בארבעה פרסי אוסקר על העריכה הטובה ביותר, האפקטים הקוליים הטובים ביותר, האפקטים הוויזואליים הטובים ביותר והפסקול הטוב ביותר.
בנוסף, זכה הסרט בשני פרסי סאטורן בקטגוריות הסרט הטוב ביותר והבימוי הטוב ביותר, וכן בשני פרסי בפטא על האפקטים המיוחדים והסאונד.
סדרת סרטי המטריקס נחשבת לאחת הדוגמאות המובהקות לשילוב בין קולנוע ופילוסופיה, ופילוסופים רבים התייחסו למטריקס וכתבו אודות הסדרה.
ביניהם גם הפילוסוף קורנל וסט שאף השתתף בשניים מהסרטים כשגילם את אחד מחברי מועצת הזקנים של "ציון".
המטריקס עצמו מהווה מציאות מדומה, ומעלה סוגיות מטפיזיות אודות טיב המציאות והשערת הסימולציה.
זאת בהשפעת משל המערה אצל אפלטון, טיעון השד המתעתע בהגיונות על הפילוסופיה הראשונית של דקארט וניסוי המחשבה "מוח בצנצנת" של הילרי פטנאם.
העיסוק של הסרט במציאות המדומה בה נעשה בין היתר תוך התייחסות אינטרטקסטואלית לבודריאר.
ניאו מחביא את המפתח שלו בתוך עותק של הספר סימולקרות וסימולציה.
מאוחר יותר, כשמורפיוס מראה לניאו את המציאות שמחוץ למטריקס הוא משתמש בביטוי "המדבר של הממשי" מתוך הספר ואומר "Welcome to the Desert of the Real".
(המשפט של מורפיוס צוטט מאוחר יותר על ידי ז'יז'ק בכותרת ספרו "ברוכים הבאים למדבר של הממשי").
עם זאת בודריאר עצמו הסתייג מהפרשנות של יוצרי הסרט לספר שלו ואמר שהוא לא הובן כהלכה, כאשר היוצרים בלבלו בין התאוריה הפוסטמודרנית שלו אודות הסימולקרה לבין הסימולציה אצל אפלטון.
בעולם הפוסטמודרני כפי שבודריאר מציג אותו כבר לא ניתן להבחין בין הווירטואלי לממשי, לעומת ההבחנה הברורה שיש בסרט בין העולם הווירטואלי של המטריקס לבין העולם הממשי והעיר ציון.
הסרט מקיים אינטרטקסטואליות גם עם אליס בארץ הפלאות של הסופר הלוגיקן והפילוסוף לואיס קרול, למשל בהשוואה בין היציאה מהמטריקס לירידה במאורת הארנב הלבן.
הדילמה האם להיתנתק מהמטריקס או להישאר בעולם האשלייתי, מוצגת כשמורפיוס נותן לניאו לבחור בין הגלולה האדומה לבין הגלולה הכחולה.
דילמה זו היא בין אמת מכאיבה לבין גישה הדוניסטית שתעדיף בורות על פני סבל, בדומה לניסוי המחשבה "מכונת העונג" של רוברט נוזיק.
במקור, נוזיק מציג את הניסוי כהתנגדות לגישת המוסר התועלתנית.
הגישה ההדוניסטית, באה לידי ביטוי בדמותו של סייפר הבוגד, המתחרט על הבחירה שעשה וטוען כי "בורות היא אושר" (ignorance is bliss) ומבקש מהסוכנים שיחזירו אותו לחיי אשליה בהם הוא יוכל להתענג על מטעמי החיים.
באנליזה מתמטית, מטריצת הֶסִּיאָן (Hessian) היא מטריצה ריבועית, שאיבריה הם הנגזרות החלקיות מסדר שני של פונקציה.
מטריצת ההסיאן שימושית במציאת נקודות קיצון של פונקציה מרובת משתנים ובסיווגן.
המטריצה קרויה על שם המתמטיקאי הגרמני לודוויג אוטו הסה שפיתח אותה במאה ה־19.
תהא פונקציה סקלרית בעלת משתנים, שכל הנגזרות החלקיות מסדר 2 שלה קיימות.
נגדיר את מטריצת ההסיאן בנקודה בתור מטריצה בגודל כך ש: הוא הערך של האיבר הוא ערך הנגזרת השנייה של בנקודה כאשר קודם גוזרים על פי המשתנה ואחר כך על פי המשתנה .
אם כל הנגזרות החלקיות מסדר 2 הן רציפות (נהוג לסמן זאת ), הנגזרות המעורבות על פי אותם משתנים שוות, כלומר .
מכאן נובע כי אם אז מטריצת ההסיאן היא מטריצה סימטרית.
מציאת ערכי קיצון באמצעות מטריצת הסיאן
אם בנקודה הגרדיאנט של הוא וקטור האפס, הנקודה נקראת נקודה קריטית.
ממשפט פרמה נובע כי כל נקודת קיצון היא נקודה קריטית, אולם ההפך אינו נכון בהכרח; לא כל נקודה קריטית היא נקודת קיצון, והמשפט אינו נותן דרך לבדוק זאת.
במקרים רבים ניתן להכריע באמצעות ההסיאן אם נקודה קריטית היא נקודת קיצון.
בהינתן נקודה קריטית יש לחשב את מטריצת ההסיאן של הפונקציה בנקודה זו.
כעת בודקים את סימנם של הערכים העצמיים של המטריצה, ומתקיים אחד מבין המקרים הבאים:
אם כל הערכים העצמיים של המטריצה חיוביים (מטריצה כזו נקראת מטריצה חיובית לחלוטין) הנקודה היא נקודת מינימום;
אם כל הערכים העצמיים של המטריצה שליליים (מטריצה כזו נקראת מטריצה שלילית לחלוטין) הנקודה היא נקודת מקסימום;
אם קיים למטריצה ערך עצמי חיובי וערך עצמי שלילי, הנקודה היא נקודת אוכף;
אם למטריצה קיים ערך עצמי 0 ושאר הערכים עצמיים הם בעלי אותו סימן, לא ניתן לדעת בוודאות בעזרת מבחן זה האם הנקודה היא נקודת מינימום, מקסימום, או אוכף.
נשים לב כי מבחן זה מכליל את הבדיקה עבור פונקציה של משתנה אחד: אם הנגזרת השנייה של הפונקציה חיובית בנקודת קיצון, זוהי נקודת מינימום.
אם היא שלילית, זוהי נקודת מקסימום, ואם היא שווה לאפס, לא ניתן לדעת באמצעות מבחן זה האם זוהי נקודת מינימום, מקסימום או נקודת פיתול.
במקרה של פונקציות בשניים או בשלושה משתנים קיימת שיטה נוספת, השקולה לזו שהוזכרה, והיא שימוש בדטרמיננטה של המטריצה.
עבור פונקציה בשני משתנים –
אם הדטרמיננטה גדולה מאפס, הנקודה היא אכן נקודת קיצון.
סוגה ייקבע לפי הנגזרת השנייה לפי המשתנה הראשון (כלומר הביטוי שנמצא בתא השמאלי ביותר למעלה במטריצה): אם היא גדולה מאפס – הנקודה היא נקודת מינימום, ואם קטנה מאפס – היא נקודת מקסימום.
אם הדטרמיננטה קטנה מאפס, הנקודה היא נקודת אוכף.
אם הדטרמיננטה שווה לאפס, לא ניתן לקבוע לפי מבחן זה את סוג הנקודה.
עבור פונקציה בשלושה משתנים -
אם כל המינורים הראשיים (מינור ראשי הוא מינור שמתקבל מבחירת ת"א על האלכסון) גדולים מאפס – זוהי נקודת מינימום מקומי.
אם סימניהם של המינורים הראשיים הולכים לסירוגין (-,+,-…) – זוהי נקודת מקסימום מקומי.
אם זו לא אחת מהאפשרויות הקודמות, וכל המינורים שונים מאפס – זוהי נקודת אוכף.
אחרת – לא ניתן לקבוע את סוג הנקודה.
דוגמה למציאת נקודות קיצון של פונקציה בשני משתנים
ראשית נחפש נקודות החשודות להיות נקודות קיצון, באמצעות השוואת הנגזרות החלקיות לאפס, ומציאת הערכים שמקיימים זאת:
כלומר קיבלנו 9 נקודות החשודות להיות נקודות קיצון, שהן כל הצירופים האפשריים של ערכי ו־ שמצאנו.
הדטרמיננטה של ההסיאן גדולה מאפס בנקודות: .
מתוכן, קטן מאפס בנקודה – כלומר זוהי נקודת מקסימום.
בשאר הנקודות בהן הדטרמיננטה גדולה מאפס, גדול מאפס, כלומר אלו הן נקודות מינימום.
בגאומטריה דיפרנציאלית, מטריקה רימנית היא כלל המתאים באופן חלק לכל נקודה על יריעה חלקה מכפלה פנימית על המרחב המשיק ליריעה בנקודה זו.
בעזרת כלל זה ניתן להגדיר אורך של קטעים אינפיניטסימלים על עקום ועל ידי אינטגרציה, את האורך של העקום.
כמו כן מטריקה רימנית מאפשרת להגדיר זוויות בין עקומים שעוברים דרך אותה נקודה.
מטריקה רימנית קרויה על שם ממציאה, ברנהרד רימן.
יריעה חלקה יחד עם מטריקה רימנית נקראת יריעה רימנית.
מטריקה רימנית על יריעה חלקה היא שדה טנזורי מטיפוס (0,2) כך שבכל נקודה התבנית הביליניארית היא סימטרית וחיובית לחלוטין.
שדה טנזורי זה נקרא הטנזור המטרי של רימן.
במילים אחרות, המטריקה הרימנית מתאימה לכל נקודה תבנית ביליניארית על המרחב המשיק , כך שההתאמה היא חלקה ובכל נקודה התבנית הביליניארית היא מכפלה פנימית.
באמצעות חלוקת יחידה, אפשר לבנות על כל יריעה חלקה מטריקה רימנית.
בהינתן מטריקה רימנית ניתן להגדיר אורך של עקום על ידי:
ומכאן להגדיר את המרחק (מטריקה) בין שתי נקודות להיות האינפימום של האורכים של עקומים שמתחילים בנקודה אחת ומסתיימים בשנייה.
פונקציית המרחק הזו היא מטריקה.
בהינתן מטריקה רימנית ניתן להגדיר אלמנט נפח אינווריאנטי על ידי:
ואלמנט נפח כזה הוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
שכן מדובר בדטרמיננטות של מטריצה וההפכית לה
כדי לתאר מטריקה רימנית, נהוג לבחור מערכת קואורדינטות מקומיות ולתאר את המטריקה הרימנית בעזרת המטריצה של פונקציות .
המטריקה השטוחה על המרחב האוקלידי נתונה בקואורדינטות קרטזיות על ידי המטריצה כאשר היא הדלתא של קרונקר.
כאשר בוחרים מערכת קואורדינטות מקומיות כלשהן ביחס למרחב האוקלידי והקואורדינטות הקרטזיות, המטריקה נתונה על ידי מטריצת גראם:
אם היא מטריקה רימנית על יריעה ו־ היא תת יריעה, הצמצום של הוא המטריקה על הנתונה על ידי:
המטריקה על הספירה המתקבלת מצמצום המטריקה השטוחה על המרחב האוקלידי ניתנת (בקואורדינטות כדוריות) על ידי המטריצה:
מכיוון שמטריקה רימנית היא תבנית לא מנוונת, היא משרה איזומורפיזם בין המרחב המשיק למרחב הקו-משיק.
בקואורדינטות מקומיות, האיזומורפיזם נתון על ידי:
כאשר המטריצה מסמנת את המטריצה ההופכית של ומשתמשים בהסכם הסכימה של איינשטיין.
בעזרת איזומורפיזם זה ניתן להגדיר איזומורפיזמים נוספים בין כפולות טנזוריות גבוהות יותר של המרחב המשיק והקו משיק, לדוגמה בין ובין ומכך לקבל העתקות בין שדות טנזורים.
העתקות אלה נקראות גם הורדה והעלאה של אינדקסים וגם איזומורפיזמים מוזיקליים.
אם מסירים את הדרישה ש־ תהיה מוגדרת חיובית (אבל דורשים שהיא תהיה לא מנוונת) האובייקט המתקבל נקרא מטריקה פסאודו-רימנית.
מטריקה פסאודו-רימנית מסיגנטורה נקראת מטריקה לורנצית.
על פי תורת היחסות, על המרחב-זמן יש מטריקה לורנצית.
מטריקה רימנית על אגד וקטורי כלשהו היא חתך של האגד כך שבכל נקודה, התבנית המתקבלת היא מכפלה פנימית.
על כל אגד וקטורי קיימת מטריקה רימנית.
פונקציה חלקה המתאימה לכל נקודה ביריעה נורמה על המרחב המשיק נקראת מטריקת פינסלר (Finsler).
מטריצת סיבוב היא מטריצת מעבר שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם.
מטריצות סיבוב מכונה DCM (Direct Cosine Matrix) ונהוג לסמן באותיות: (קיצור של Matrix), (קיצור של Rotation) ו- (קיצור של Cosine).
נהוג לצרף סימן תחתון וסימן עליון המתאר את מערכות הצירים ביניהן מתבצע הסיבוב.
לדוגמה סיבוב ממערכת צירים למערכת צירי :
נדגים את השימוש במטריצה זו, נגדיר וקטור במערכת a, כדי למצוא את הווקטור במערכת צירים b, נכפול ב :
לדוגמה סיבוב ממערכת צירים למערכת צירי דרך מערכת צירי :
נדגים את השימוש במטריצה זו, נגדיר וקטור במערכת a, כדי למצוא את הווקטור במערכת צירים c, נכפול ב :
דרך נוספת לפירוש פעולת מטריצת סיבוב על וקטור (מעבר להעברת הווקטור בין מערכות צירים) היא סיבוב הווקטור באותה מערכת הצירים.
מטריצת הסיבוב מגדירה את "וקטור הסיבוב" סביבו מסובב הווקטור, ואת גודל זווית הסיבוב של הווקטור סביב "וקטור הסיבוב".
נסמן מטריצת סיבוב לפי פירוש זה על ידי , כלומר מטריצה שמשנה כיוון של וקטור במערכת צירים a.
כלומר, וקטור במערכת צירים a, מסובב עי כך שמתקבל וקטור במערכת צירים a.
תהי מטריצת סיבוב מסדר .
מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן:
המטריצה משמרת את המכפלה הסקלרית:
המטריצה ההפוכה של מטריצת הסיבוב היא המטריצה המשוחלפת שלה:
ניתן להציג מטריצת סיבוב כאקספוננט של מטריצה אנטיסימטרית A:
כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת נגדיר בעזרת כפל מטריצות.
בדו-ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית , כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון.
המטריצה לסיבוב וקטור בזווית היא:
כיוון סיבוב הווקטור הוא נגד כיוון השעון אם θ חיובי (למשל 90°), ועם כיוון השעון אם θ שלילי (למשל 90°-).
לפיכך מטריצת הסיבוב עם כיוון השעון היא:
ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו.
מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - בזווית היא:
כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה.
מטריצת סיבוב תלת־ממדית סביב שלושת הצירים בסדר z-y-x:
עבור סדר הסיבוב הנ"ל, נשים לב שאחרי הסיבוב של מערכת הצירים סביב ציר x, הכיוון של ציר y השתנה, נהוג לסמן אותו כ y .
מכאן ניתן להבין שסדר סיבוב שונה עם אותן זוויות, יכול לתת תוצאה שונה.
המטריצה מסובבת בזווית כלשהי סביב וקטור עצמי כלשהו המתאים לערך העצמי 1. ושני הערכים העצמיים האחרים הם
ומאחר והעקבה היא סכום הערכים העצמיים, מתקבל שהעקבה היא
באמצעות שימוש בפונקציות טריגונומטריות הפוכות ניתן לחלץ ממטריצת הסיבוב את זוויות אוילר המיצגות את אותו סיבוב.
למשל אם סדר הסיבוב יוגדר z-y-x, המטריצה R תוגדר כפי המצוין לעיל ואז זוויות אויילר יהיו:
במתמטיקה, מטריצת קושי היא מטריצה A בגודל m×n שאיבריה נתונים על ידי:
כאשר ו- הן סדרות של איברים השייכים לשדה , כך שאיברי הסדרות שונים זה מזה.
כאשר m=n, הדטרמיננטה של מטריצת קושי, הידועה בשם דטרמיננטת קושי נתונה על ידי הנוסחה המפורשת:
מנוסחה זו, ומהעובדה שאיברי הסדרות שונים זה מזה, נקבל כי מטריצת קושי היא תמיד מטריצה הפיכה.
כל תת מטריצה של מטריצת קושי היא מטריצת קושי.
מטריצת הילברט היא מקרה פרטי של מטריצת קושי כאשר מתקיים
ברשת תקשורת, מטריקה היא ערך של מגנון הניתוב הקובע באיזה נתיב עדיף להשתמש אם יש מספר נתיבים אל אותו היעד ברשת, כאשר הנתיב עם הערך המינימלי הוא הנתיב המועדף.
טבלת הניתוב מכילה אך ורק את הנתיבים הטובים ביותר האפשריים, ומתעלמת משאר הנתיבים בעלי המטריקות הגבוהות יותר, אך פרוטוקול ניתוב המתבסס על מסד נתונים המכיל את הטופולוגיה של הרשת עשוי להכיל את כלל האפשרויות בלי קשר לעלותן.
המטריקה מחושבת על בסיס נתונים שונים של הניתוב, וכל פרוטוקול מייחס חשיבות שונה לכל אחד מהנתונים.
נתונים לדוגמה המשמשים את פרוטוקולי הניתוב הם:
מטריצת שכנוּת (גם: מטריצת סמיכויות או מטריצת שכנויות) היא שיטה לייצוג גרף מכוון בעל צמתים בעזרת מטריצה ריבועית בגודל .
לפי שיטה זו, תא (i,j) שווה 1 אם ורק אם בגרף קיימת קשת מקודקוד i לקודקוד j .
אם אין קשת כזו, הערך בתא במטריצה יהיה 0.
פעמים רבות דנים בתורת הגרפים בגרפים פשוטים.
מטריצת שכנויות של גרף לא מכוון היא סימטרית.
זאת משום שבגרף לא מכוון אין כיוון לקשתות ולכן, אם קיימת קשת מ-i ל-j אזי קיימת קשת מ-j ל-i.
גרפים שאינם מכוונים נהוג לשמור רק את המשולש העליון של מטריצת השכנויות.
עבור גרף שבו אין לולאות עצמיות (כלומר, קשת מקודקוד כלשהו לעצמו), האלכסון הראשי של מטריצת השכנויות המתאימה יהיה 0.
מטריצת השכנויות של גרף שלם תהיה המטריצה בה כל התאים בעלי הערך 1, פרט לאלכסון הראשי.
מטריצת השכנויות של גרף חסר קשתות תהיה מטריצת האפס.
בגרפים שאינם פשוטים, ייתכנו מספר קשתות מקבילות בין אותו זוג צמתים.
ניתן לבנות מטריצת שכנויות שערך התא במטריצה יהיה מספר הקשתות מ-i ל-j.
לייצוג גרף בשיטה זו יש יתרונות רבים:
הוספה/מחיקת קשת מתבצעת בגישה מיידית, בסיבוכיות זמן של .
ניתן לחשב את הגרף המשלים בקלות על ידי חיסור של מטריצת השכנות ממטריצת שכנות של גרף שלם.
כך, בכל מקום שהיה בו קשת, כלומר ערך 1, יהיה 0 ובכל מקום שהיה בו 0, יהיה 1.
סיבוכיות מקום קטנה יחסית לשמירת המטריצה בזיכרון, סיביות.
יחד עם זאת, אלגוריתמים בסיסיים רבים (כמו DFS, BFS, מיון טופולוגי וכו') רצים בזמן כאשר מסמן את מספר הקודקודים ו- את מספר הקשתות.
בשימוש במטריצת שכנות, הסיבוכיות היא לכל הפחות כגודל המטריצה, כלומר .
מטריקס נסחרת בבורסה לניירות ערך בתל אביב במדד תל אביב 125. מנכ"ל החברה הוא מוטי גוטמן.
מטריקס עוסקת בביצוע פרויקטי שילוב מערכות (אינטגרציה), פיתוח ויישום טכנולוגיות, פתרונות ומוצרי תוכנה, ייצוג ושיווק מוצרי תוכנה, שירותי תשתית, ייעוץ אסטרטגי וארגוני, Offshore, מיקור חוץ, בדיקות תוכנה, הדרכה והטמעה ופתרונות חומרה.
עם לקוחותיה של מטריקס נמנים מגוון גופים וחברות בישראל בתחומי התעשייה, מסחר, בנקאות ופיננסים, טלקום, ביטחון, חינוך ואקדמיה, בריאות והמגזר הממשלתי וציבורי, הייטק ויצרני תוכנה בלתי תלויים (ISVs).
מחזור המכירות של מטריקס במהלך שנת 2023 הגיע ל-5.23 מיליארד שקל.
בשנת 2024 דירגה חברת המחקר והייעוץ STKI את מטריקס כמובילת שוק שירותי ה-IT בישראל 19 שנים ברציפות.
בשנת 2001, בזמן המשבר הכלכלי שחווה השוק העולמי והישראלי, הוחזקו על ידי קבוצת פורמולה מערכות הישראלית אשכול רחב של חברות טכנולוגיה, חלקן ספקיות שירותי טכנולוגיות מידע (IT) וחלקן חברות שפיתחו טכנולוגיות.
דני גולדשטיין, יו"ר פורמולה מערכות דאז, החליט כי יהיה יעיל יותר לאחד את כל החברות המספקות שירותי טכנולוגיות מידע בישראל לחברה אחת תחת מותג אחד.
לצורך משימת איחוד החברות גויס מוטי גוטמן, שהחל במלאכת הקמת החברה ומיזוג החברות.
בשלב הראשוני בוצע מיזוג של חמש חברות (פורסופט, ניקוב, איי-סופט, אלרון טלסופט ובשן מערכות) שהביא להקמתה של חברת מטריקס בספטמבר 2001 כאשר בחודש דצמבר באותה השנה הונפקה חברת מטריקס בבורסה לניירות ערך בתל אביב.
בשנת 2002 המשיך תהליך המיזוג בו החברות ניו- אפליקום, קומסופט, סיון מערכות וסינטק מוזגו עם חברת מטריקס.
מטריקס נסחרת כיום במדד תל אביב 100. קבוצת פורמולה מערכות מחזיקה ב-50.5% ממניות מטריקס.
בשנת 2006 מכר גולדשטיין את השליטה בפורמולה לקבוצת אמבלייז, אשר מכרה אותה בשנת 2010 לקבוצת Asseco הפולנית, המדורגת בין עשר חברות התוכנה המובילות באירופה.
מראשית הקמתה ולאורך שנות קיומה אסטרטגיית הצמיחה של מטריקס מושתתת הן על צמיחה אורגנית והן על רכישות ומיזוגים של חברות כבסיס לגידול וכניסה למגזרים חדשים.
בין החברות אותן רכשה החברה לאורך השנים, ג'ון ברייס הדרכה, טנגרם, סיבם, קבוצת סינטק, קבוצת ניו-אפליקום, אפקט, ספיה, טאקט מערכות, אונואפס, נטווייז, 2Bsecure ,באבקום, המי"ל, Exzac, Xtivia, Aviv AMCG, programa (הנקראת כיום Matrix-IFS),זברה טכנולוגיות, RDT Systems, אורטק, Alacer, גב מערכות ועוד.
למטריקס נציגויות ושותפויות עסקיות עם חברות תוכנה בינלאומיות מובילות רבות, ביניהן: Dynatarce, BMC, Red Hat, SAP.
החל משנת 2015 היא מייצגת את חברה "קורנרסטון און-דימנד" בישראל.
בשנת 2004, מול מגמת הקמת מרכזי פיתוח במודל Off-Shore בהודו ובדרום-מזרח אסיה, הקימה מטריקס את מיזם תלפיות - מרכז פיתוח בישראל המעסיק נשים חרדיות שהוכשרו מקצועית על ידי חטיבת ההדרכה וההטמעה במטריקס.
המיזם פועל תחת הכללים והתנאים הסביבתיים שמאפשרים העסקת נשים חרדיות קרוב למקום מגוריהן, ובברכת ראשי הקהילה, וכולל נכון ל-2014 כ-900 נשים חרדיות העובדות בתחום פיתוח תוכנה ובדיקות תוכנה עם עשרות לקוחות בשוק הישראלי והעולמי.
צעד חדשני זה זיכה את מטריקס בפרסים ובשבחים לצד ביקורת על ניצול ומתן שכר נמוך.
מטריקס Reloaded (מטריקס רילודד; במקור: The Matrix Reloaded) הוא סרט מדע בדיוני אמריקאי משנת 1999, והשני בסדרת סרטי המטריקס, שנכתב ובוים על ידי האחיות וצ'אוסקי.
הסרט הוקרן לראשונה ב-7 במאי 2003, ווסטווד, לוס אנג'לס, קליפורניה, והופץ לציבור על ידי האחים וורנר בצפון אמריקה ב-15 במאי 2003, ובשאר העולם במחצית השנייה של אותו החודש.
משחק המחשב "Enter the Matrix" שיצא ב-15 במאי 2003, ואוסף של תשעה סרטי אנימציה קצרים, "אנימטריקס", שיצא ב-3 ביוני 2003, תמכו והרחיבו את קו העלילה של הסרט.
"מטריקס רבולושנס" שהשלים את העלילה, יצא שישה חודשים לאחר מטריקס רילודד, בנובמבר 2003.
העלילה מתרחשת שישה חודשים אחרי האירועים מהסרט הראשון, מטריקס.
ניאו, הפרוטגוניסט, מתעורר מסיוט שבו טריניטי, אהובתו ושותפתו למאבק במכונות, נורית על ידי סוכן של המטריקס, תוך שהם נופלים מבניין.
מורפיאוס (קפטן הספינה נבוכדנצר בה נמצאים ניאו וטריניטי) מקבל הודעה מקפטן ניובי (מפקדתה של הלוגוס) הקורא לישיבת חירום של כל ספינות ציון.
ציון, בסיס האם של בני-האדם, איששה את המסר האחרון של אוסיריס: צבא זקיפים של המכונות חופר מנהרה לכיוון ציון ויגיע בתוך 72 שעות.
המפקד לוק, הקצין העליון של ציון, פוקד על כל הספינות לחזור לציון כדי להתכונן להסתערות.
מורפיאוס מבקש שספינה אחת תישאר על מנת לתקשר עם האורקל, בניגוד להוראת המפקד לוק.
ספינת הקדוסאוס מקבלת הודעה מהאורקל, ונבוכדנצר מסתננת כדי שניאו יוכל לתקשר איתה.
חבר צוות בקדוסאוס, ביין, נתקל בסוכן סמית', שמשכפל את דמותו אל גופו של ביין.
סמית' עוזב את המטריקס, תוך כדי שליטה על גופו האמיתי של ביין.
בציון, מורפיאוס מבשר לקהילה את החדשות על המכונות המתקדמות.
ניאו מקבל הודעה מהאורקל וחוזר אל המטריקס כדי לפגוש אותה.
לאחר שהבין שהנביאה (האורקל) היא חלק מהמטריקס, שואל אותה ניאו כיצד יוכל לסמוך עליה; היא עונה לו שזו החלטתו.
האורקל מסבירה שהיא תוכנה שהוגלתה, ומורה לניאו להשיג את מקור המטריקס על ידי מציאת "יוצר המפתחות" שהוא כעת אסיר בבית המרובינג'יאן (מרובינג'יאן הוא תוכנה סוררת המגולמת על-ידי צרפתי, נקרא על שם המרובינגים מלכי הפרנקים).
"יוצר המפתחות" הוא דמות שיכולה ליצור מפתחות לשערים מוסתרים בתוך המטריקס.
כשהאורקל עוזבת, סמית' מופיע ומבהיר לניאו שלאחר שהובס, הוא ידע כי הוא נועד לחזור למקור ולהימחק, אך סרב.
הוא מציג את יכולתו לשכפל את עצמו על ידי שימוש באנשים אחרים במטריקס כ"מארחים" כולל שימוש ב"סוכנים".
לאחר מכן, הוא מנסה להשתמש בניאו כ"מארח", אך נכשל.
סמית' יוזם מאבק בין השכפולים שלו לבין ניאו.
ניאו מנסה להיאבק, אך כשמצטרפים למאבק עוד ועוד שכפולי סמית', נאלץ ניאו, בסופו של דבר, לברוח.
ניאו, מורפיאוס וטריניטי מבקרים את המרובינג'יאן ומחפשים את יוצר המפתחות, אך המרובינג'יאן מסרב לבקשתם.
אשתו פרספונה, המיואשת מהתנהגות בעלה הבוגדני, נוקמת בו ומובילה את השלישייה ליוצר המפתחות.
בתוך כך מופיע המרובינג'יאן עם אנשיו.
מתפתח קרב ובמהלכו מורפיאוס, טריניטי ויוצר המפתחות מצליחים להימלט תוך שצמד התאומים מאנשי המרובינג'יאן רודפים אחריהם.
ניאו שמתעכב בקרב פותח דלת המובילה אותו לרכס הרים לא מוכר.
משם הוא מעופף במטרה לפגוש ולסייע למורפיאוס וטריניטי.
בינתיים מורפיאוס וטריניטי מנסים לברוח עם יוצר המפתחות בכביש המהיר, תוך התמודדות עם מספר סוכנים והתאומים.
בסופו של דבר, טריניטי מצליחה להימלט, מורפיאוס מחסל את התאומים, וניאו מציל את מורפיאוס ויוצר המפתחות מסוכנים שהצטרפו למרדף.
הספינות הנותרות של ציון מתכוננות להילחם במכונות.
בתוך המטריקס, צוותים משלוש ספינות מסייעים ליוצר המפתחות ולניאו להגיע לדלת המקור.
צוות ספינה אחת חייב להשמיד תחנת־כוח וצוות ספינה שנייה צריך להשמיד תחנת כוח גיבוי כדי לאפשר עקיפה של מערכת האבטחה המובילה אל המקור ולאפשר שימוש במפתחותיו של יוצר המפתחות.
לאחר השמדת תחנת הכוח על ידי הספינה הראשונה, מושמדת הספינה השנייה על ידי הזקיפים, שאינם מותירים אדם חי.
למרות שניאו ביקש שטריניטי תישאר על הנבוכדנאצר, היא נכנסת למטריקס ומשמידה את תחנת הגיבוי.
אך בריחתה מתגלה על ידי סוכן והיא נלחמת ומנסה להימלט.
כשניאו, מורפיאוס ויוצר המפתחות מגיעים למקור דרך מסדרון קיצורי דרך לדלתות האחרות במטריקס, הסוכנים מופיעים ומנסים להרגם.
יוצר המפתחות פותח את הדלת למקור, ומאפשר לניאו ומורפיאוס לברוח, אך נהרג בעצמו.
ניאו פוגש תוכנה אנתרופומורפית הנקראת "הארכיטקט" - יוצר המטריקס.
הארכיטקט אומר לו שהיו עד כה שש גרסאות של המטריקס, ושש גרסאות של ה"אחד" - תוכנית שמטרתה למנוע את קריסת המערכת של המטריקס שנובעת מהקונספט של בחירה אנושית שקיימת בתוכה.
כשהאנושות דחתה את המטריקס המושלם כמו גם את המטריקס האיום, המכונות הבינו שהאנושות צריכה הייתה את הכח לבחור על מנת לקבל אותם.
המטריקס הרִגְעִי פגום, ונשאר כמשוואה לא מאוזנת, כאשר "האחד" הוא סכום שארית הפגמים.
מטרתו של "האחד" היא לחזור למקור, ולאפס את המטריקס למטרתה העיקרית.
לאחר מכן, יבחר שש עשרה נקבות ושבעה זכרים שיֵלְּדוּ מחדש את ציון ויספקו דור התקוממות חדש.
אחרת, השגיאה הבלתי־פתורה תצא משליטה, תשמיד את האנושות המחוברת למטריקס, ויחד עם הקרב בציון יגיע קץ המין האנושי.
ניאו משיב שהמכונות מוכרחות לקיים את בני־האדם כדי לשרוד ולא יאפשרו זאת; הארכיטקט משיב שישנם שלבי הישרדות שהם מוכנים לקבל.
הארכיטקט מציע לניאו שתי אפשרויות לצאת מהחדר: דלת אחת המובילה למקור ולאיפוס המטריקס, והשנייה תוביל להצלתה של אהובתו, טריניטי, אך לכישלון המטריקס ולהרס האנושות.
ניאו שם לב למאבקה של טריניטי עם הסוכן במסכים, ושב למטריקס כדי להציל אותה.
אהבתו של ניאו לטריניטי נראית כהישנות חדשה במטריקס – בעת של"אחדים" הקודמים לא הייתה סיבה לבחור בהרס האנושות על קבלת תפקידם, ניאו בוחר להציל את טריניטי במחיר הישרדות המין האנושי, למרות כמעט הוודאות שזו תמות בכל מקרה לאחר הרס ציון.
ניאו ממהר להציל את טריניטי שנורתה על ידי הסוכן הרודף אחריה תוך נפילתם מהבניין, הוא מצליח לתפוס את טריניטי בטרם תתרסק על הקרקע.
אך מוצא שהכדור המית אותה.
הוא מסרב להאמין שמתה, שולף מגופה את הקליע ומחייה אותה.
על הנבוכדנאצר, ניאו מגלה שהנבואה שקרית וציון עומדת להיכחד בתוך 24 שעות.
זקיפים משמידים את הספינה, ומיד לאחר מכן מציל ניאו את חברתו על ידי שימוש ביכולת בלתי ידועה קודם לכן להפסיק את פעולת הזקיפים, ואז מאבד את הכרתו.
הצוות מחולץ על ידי ספינת החלל מג'ולניר (הידועה גם בשמה האמר), וצוותה מסביר שהוביל מתקפה כנגד הזקיפים המתקדמים לציון.
האסטרטגיה הייתה להשתמש במערכת ה-EMP של הספינה ולהישאר מחוץ לטווח של כל אחד, אך ה-EMP פוצץ על ידי הקדוסאוס לפני שהספינות היו מוכנות.
ספינות רבות נשארו ללא כח, עם מעט שורדים בורחים, הזקיפים השמידו כל ספינה שלא יכולה הייתה לנוס.
כאשר המכונות שבו לחפור, המג'ולניר חיפשה שורדים ומצאה רק שורד אחד: שהוא ביין, הנשלט על ידי הסוכן סמית'.
שם השחקן/ית שם הדמות הערות קיאנו ריבס ניאו לורנס פישבורן מורפיאוס קארי-אן מוס טריניטי הוגו ויבינג סמית' נתנאל לויס קפטן מיפיון ג'יידה פינקט סמית' ניאובי הארי לניקס לוק הארולד פרינו ג'וניור לינק גלוריה פוסטר הנביאה
הסרט צולם ברובו באולפני פוקס באוסטרליה, במקביל לצילומי סרט ההמשך "רבולושנס".
סצנת המרדף בכביש המהיר צולמה בבסיס נטוש של הצי האמריקני באלמדה, קליפורניה.
לצורך כך סללו המפיקים כביש מהיר באורך 2.4 ק"מ, על מסלול ההמראה הישן שבמקום.
חלק מהמרדף צולם גם באוקלנד, קליפורניה.
המנהרה שנראית בסצנה היא ה"פוסי טיוב" (Posey Tube) המחברת בין אוקלנד לאלמדה.
חלק מהעריכה בפוסט-פרודקשן התבצעה בהאנגרים ישנים של מטוסים באותו בסיס.
העיר אקרון באוהיו הביעה נכונות להעניק גישה מלאה לכביש 59 כאשר חיפשו המפיקים כביש מתאים, וזאת על מנת לצלם את סצנת המרדף בכביש המהיר.
למרות זאת, המפיקים החליטו כנגד ההצעה ש"הזמן להכין את הכול לזינוק יהיה ארוך מידי".
מכסחי המיתוסים ישתמשו לאחר מכן שנית באזור האלמדה על מנת לחקור את האפקטים של התנגשות חזיתית בין סמי-טריילרים, ולבצע עוד מספר ניסויים.
כ-97% מהחומרים ששימשו לסרט מוחזרו לאחר ההפקה.
לדוגמה, טונות של עץ נשלחו למקסיקו לבניית בתים לעניים.
עריכת הסאונד בשלישיית המטריקס נעשתה על ידי " Danetrack" במערב הוליווד, קליפורניה.
הסרט הכניס כ-5 מיליון דולר במהלך השידורים המקדימים ביום רביעי בצפון אמריקה.
הסרט הכניס 37,508,303 דולר ביום חמישי, היום הראשון ששודר באמריקה ב-3,603 בתי קולנוע, מה שהיה שיא ההכנסות במקום השני ביום השידור הראשון – אחרי "ספיידרמן" שהכניס 39.4 מיליון דולר.
הסרט הכניס 91,774,413 דולר נוספים בסוף השבוע באותם 3,603 בתי קולנוע – מה שהיה שוב השיא השני אחרי "ספיידרמן" שהכניס 114.8 מיליון דולר.
כיוון שהסרט שבר שיאי הכנסות בשבוע הראשון, הוא נפל למקום שני לאחר שבוע לאחר שהובס על ידי סרטו "ברוס הגדול מכולם" של ג'ים קארי.
בסופו של דבר, הסרט הכניס 281.5 מיליון דולר בארצות הברית, ו-742.1 מיליון בשאר העולם.
בנוסף, נכון ל-2012 הסרט הוא הסרט שהכניס את סכום הכסף הגבוה ביותר אי פעם כאשר דירוגו הוא R (ילדים מתחת לגיל 16 לא יכולים להיכנס ללא ליווי מבוגר).
לרילודד היה בעיקר קבלת פנים חיובית, עם רייטינג של 73% באתר "Rotten Tomatoes".
הדירוג הממוצע של הסרט ב-"Metacritic" היה 63%.
למרות זאת, "בידור שבועי" (Entertainment Weekly) דירג את הסרט כאחד מ-25 סרטי ההמשך הגרועים ביותר בכל הזמנים.
ביקורת חיובית קיבל הסרט על קטעי האקשן האיכותיים והחכמה.
טוני טוסקנו שיבח רבות את הסרט באמירה ש"הפיתוח בדמויות והכתיבה...
כל כך פריך שנשמע קול פיצוחים במסך" והוסיף ש"מטריקס רילודד מייסד מחדש את הז'אנר ואף מעלה את המוט בדרגה או שתיים" על הסרט המקורי "המטריקס".
עם יציאתו, הסרט נאסר לצפייה במצרים, עקב תוכן אלים, והטלת ספק בבריאת האדם.
כמו כן, המצרים טענו שהסרט תמך בציונות, היות שעיר בני האדם נקראה ציון.
עם זאת, ההחלטה לא האריכה ימים, ובסופו של דבר הגיע הסרט לבתי קולנוע ויצא לאור בווידאו וב-DVD.
באלגברה ליניארית, מטריצת מעבר בין בסיסים של אותו מרחב וקטורי מממד סופי, היא מטריצה ריבועית שהכפל בה מתרגם וקטורי קואורדינטות לפי הבסיס הראשון לווקטורי קואורדינטות לפי הבסיס השני.
יהיו ו- בסיסים סדורים למרחב הווקטורי .
מטריצת המעבר מ- ל-, , היא המטריצה היחידה המקיימת את השוויון
לכל וקטור , כאשר הם וקטורי הקואורדינטות לפי הבסיסים , בהתאמה.
מן ההגדרה הזו נובעות כמה זהויות שימושיות:
מטריצת המעבר היא למעשה המטריצה המייצגת של העתקת הזהות ביחס לשני הבסיסים.
את מטריצת המעבר אפשר לבנות על ידי חישוב של וקטורי קואורדינטות: העמודה ה- שלה היא וקטור הקואורדינטות של האיבר ה- בבסיס , לפי הבסיס .
את מטריצת המעבר בין שני בסיסים ו- כלשהם ב- נוח לחשב דרך הבסיס הסטנדרטי .
הקואורדינטות של וקטור לפי הם פשוט רכיבי מסודרים בעמודה.
לכן זה מיידי לחשב את .
באותו אופן מתכונת ההפכיות מקבלים ש- ולחישוב ההפכית יש אלגוריתם טכני וברור באמצעות דירוג מטריצות.
לבסוף, מתכונת הכפליות מקבלים .
את כל המטריצות בביטוי זה קל לחשב באמצעות פעולות טכניות ופשוטות.
הגדרה וסימון מקובלים למטריצת המעבר הם כדלהלן: מטריצת המעבר מבסיס לבסיס תסומן והיא המטריצה ההפיכה היחידה שמקיימת:
וניתן לחשבה באופן הבא: עמודות המטריצה הן וקטורי הקואורדינטות של וקטורי הבסיס לפי הבסיס .
כל מטריצת מעבר היא מטריצה הפיכה, ולהפך: כל מטריצה הפיכה היא מטריצת מעבר מהבסיס לבסיס כלשהו, ומבסיס כלשהו לבסיס .
במילים אחרות, חבורת המטריצות ההפיכות פועלת באופן טרנזיטיבי על אוסף הבסיסים של המרחב.
כשמוגדרת על המרחב מכפלה פנימית, מטריצת המעבר בין שני בסיסים אורתונורמליים היא מטריצה אורתוגונלית, ולהפך: אם בסיסים אורתונורמליים נתונים, אז כל מטריצה אורתוגונלית היא מטריצת מעבר מ- לבסיס אורתונורמלי כלשהו, ומבסיס אורתונורמלי כלשהו אל .
כמקודם, חבורת המטריצות האורתוגונליות פועלת באופן טרנזיטיבי על אוסף הבסיסים האורתונורמליים של המרחב.
אפיסטמולוגית, האבחנה בין וקטורים מופשטים ב- לבין הייצוגים שלהם כווקטורי קואורדינטות בבסיס כלשהו שבחרנו היא דוגמה חשובה לאבחנה מסוג אפריורי/אפוסטריורי - בעוד וקטורים מופשטים הם יצירי מחשבה אלגבריים הקודמים לניסיון, וקטורי קואורדינטות מתייחסים לתיאור הגאומטרי, שאופיו מותנה בניסיון.
למשל, בעוד קיומם של כוכבי השבת קודם לניסיון, הדימוי הגאומטרי "הטבעי" שלהם נתפס דרך התיווך הראשוני של מערכת הקואורדינטות השמימית (כלומר דרך מבט על כיפת השמיים), שמשתנה לפי המיקום ולפי הזמן (עקב סיבוב כדור הארץ סביב צירו).
מטריצת BCG - צמיחה-נתח שוק הידועה גם בכינויה מטריצת BCG, מודל יועצי בוסטון ו-בוסטון Box, היא תרשים שנוצר על ידי ברוס הנדרסון, מייסד ומנכ"ל Boston Consulting Group) BCG) בשנת 1968 כדי לסייע לתאגידים בניתוח עסקי של יחידות עסקיות או של המוצרים שלהן.
המטריצה מסייעת לתאגיד להקצות משאבים ומשמשת ככלי אנליטי בשיווק המותג, ניהול מוצר, ניהול אסטרטגי, ובניתוח תיק במסגרת תהליכי ייעוץ אסטרטגי.
המטריצה היא תרשים פיזור XY שציר ה-X שלה הוא נתח שוק של המוצר יחסי וציר ה-Y הוא שיעור צמיחת השוק בענף.
חיתוך הצירים מייצר ארבעה רבעים:
פרות חולבות - יחידה עם נתח שוק גבוה בענף הגדל לאט.
יחידות אלה בדרך כלל מייצרות רווחים גבוהים אך הן נחשבות לאפרוריות כיוון שהן שולטות בשוק "הבוגר".
כל תאגיד יהיה מעוניין להיות הבעלים של כמות גדולה ביותר של פרות חולבות שכאלו כיוון שהן מצריכות השקעה נמוכה ומתגמלות ברווחים גבוהים.
אין טעם בהשקעה של מחקר ופיתוח במוצר הנחשב לפרה חולבת כי ממילא צמיחת השוק קטנה ולכן השקעה כזאת היא בזבוז.
יש צורך להמשיך לתחזק את המוצר בתודעת הצרכנים (דוגמה לכך היא הפרסומות של חברת קוקה-קולה).
כלבלב (או חיית מחמד) - יחידה עם נתח שוק נמוך בתעשייה בוגרת הגדלה לאט, יחידות אלה בדרך כלל מתקשות להגיע לידי איזון כלכלי ולכן הן חסרות ערך כיוון שאינן מספקות רווחים.
הן מקטינות את התשואה על הנכסים (יחס רווחיות לנכסים), ומייצרות אינדיקציה שלילית לאיכות החברה.
יחידות המסווגות ככלבלבים צריכות על פי המודל להפסיק את פעילותן.
(להימכר או להיסגר) לעיתים על ידי פעילות שיווקית מתאימה ומדודה ניתן להמשיך להניב רווח מסוים מהמוצר ללא השקעות מרובות על ידי הקטנת ההוצאות לגביו והסתמכות על נתח השוק הקיים.
כוכב - יחידה עם נתח שוק גבוה בענף שצומח במהירות רבה.
כדי לכבוש נתח שוק גדול חייב הכוכב להשקיע משאבים כלכליים רבים במחקר ופיתוח ולכן הרווחיות שלו נמוכה ביחס לפרה חולבת.
עם זאת, השקעה זאת משתלמת ונדרשת על מנת שהיחידה תישאר מובילה.
ניתן לראות דוגמאות לכך בכל החדרה של טכנולוגיה חדשה או מוצר חדש לשוק.
כאשר צמיחת השוק מאטה, הכוכבים יהפכו לפרות חולבות אם הם יצליחו לשמור על הנהגת הקטגוריה שלהם, אך אם יאבדו את נתח השוק הם יהפכו לכלבלבים.
סימן שאלה (או הילד הבעייתי) - יחידה בשוק הצומח במהירות שיש לה בו נתח שוק קטן.
יחידות אלו מאופיינות בהשקעה גדולה לצורך מחקר ופיתוח לעומת רווחים נמוכים בהווה.
"סימן השאלה" מייצג את האפשרויות להתפתחות היחידה - לכלבלב: יחידה בזבזנית הגורמת להפסדים, או לכוכב: יחידה רווחית השולטת בשוק המתפתח.
בגלל שהענף בו סימני השאלה פועלים אינו יציב יש לשקול בזהירות את ההשקעה ביחידה.
אם היחידה לא תכבוש נתח שוק משמעותי בתוך זמן מוגבל היא תהפוך ללא משתלמת וכל השקעה בה תרד לטמיון.
בשלב זה תצטרך החברה להחליט האם כדאי להשקיע בהגדלת נתח השוק או לעזוב את המוצר (דוגמה למוצר שחזר לשלב הפרה החולבת היא נעלי אולסטאר, שלאחר שדעכו הצליחו להגדיל מחדש את הנתח שלהם בשוק).
מאחר שכל הענפים במשק מאופיינים בתקופה של צמיחה מהירה ולאחריה הבשלה ובגרות מתחילות כל היחידות העסקיות כסימני שאלה, ואם אלו כובשים להם נתח שוק מספק הם הופכים בהמשך לכוכבים.
כאשר השוק מתבגר והצמיחה בו מתמנת הופכים הכוכבים לפרות חולבות.
יחד עם זאת, אם סימן שאלה לא ינצל את הזמן בו גדל השוק כדי להפוך לכוכב הוא עלול להפוך לכלבלב שיסב לתאגיד המחזיק בו הפסדים.
גם פרה עלולה להפוך לכלבלב אם במשך השנים היא תאבד את נתח השוק שלה.
המטרה הכללית של המטריצה היא לסייע לאנליסטים ולמנהלים לנתח ולהחליט אילו יחידות עסקיות לממן ואילו כדאי למכור.
החברות יכולות לקבל פרספקטיבה מן הניתוח על מנת לתכנן את מדיניות ההשקעות שלהן: הכסף הנוצר על ידי הפרות החולבות צריך לשמש למימון הכוכבים, ואולי גם את סימני השאלה, אך לא הפרות או הכלבלבים.
על פי תאוריית הניהול של חברת BCG, רק תאגיד בעל תיק השקעות מגוון ומאוזן יכול לנצל את כוחו על מנת למקסם רווחים עתידיים.
כוכבים שמשקלם בשוק גבוה וצמיחתם גבוהה להבטיח את העתיד
פרות חולבות, המספקות מזומנים למחקר ופיתוח למוצרים עתידיים
סימני שאלה שיהפכו בעתיד לכוכבים
מטריקס Revolutions (מטריקס רבולושנס; במקור: The Matrix Revolutions) הוא סרט אקשן-מדע בדיוני אמריקאי מנובמבר 2003 בבימוי האחיות וצ'אוסקי ובכיכובם של קיאנו ריבס, לורנס פישבורן, קארי-אן מוס והוגו ויבינג.
הסרט יצא לאקרנים כחצי שנה לאחר הסרט הקודם לו מטריקס רילודד.
הסרט הוקרן בו זמנית בשישים מדינות שונות בליל ההקרנה הראשון שלו (5 בנובמבר 2003).
סרט זה הוא השלישי והאחרון בטרילוגית סרטי "מטריקס".
למרות עובדה זו, קו העלילה של המטריקס ממשיך ב-The Matrix Online וב-מטריקס: התחייה.
בתחילת הסרט ניאו (מגולם על ידי קיאנו ריבס), אשר מחוסר הכרה בעולם האמיתי, כלוא בפועל בתחנת רכבת תחתית מסתורית שנמצאת בין עולם המכונות למטריקס.
במקביל הסוכן סמית' (מגולם על ידי הוגו וויבינג) ממשיך לצאת מכלל שליטה ומאיים להרוס הן את המכונות והן את בני האנוש.
כמו כן, נחיל עצום של זקיפים השייכים לצבא המכונות מתקרב לעבר "ציון", עירם הנסתרת של האנשים החופשיים, ותושבי העיר מתכוננים לקראת המתקפה הבלתי נמנעת מולם.
טריניטי (מגולמת על ידי קארי אן מוס) ומורפיאוס (מגולם על ידי לורנס פישבורן) מצליחים לשכנע את המרובינג'יאן (מגולם על ידי למברט וילסון) לשחרר את ניאו, אשר לאחר מפגש עם האורקל מחליט שהוא חייב לעזוב את "ציון" לעבר עיר המכונות כדי להציל את עיר בני האדם.
בהמשך ניאו מציע למנהיג המכונות, בינה מלאכותית ענקית בשם "דאוס אקס מאשינה", שהוא יעצור את הסוכן סמית' ובתמורה המכונות יניחו את נשקם ויחיו בשלום והרמוניה עם בני האנוש.
בעקבות כך ניאו נלחם בסמית', אשר כוחותיו גדלו באופן משמעותי לאחר שהוא שכפל עצמו ל"אורקל".
הקרב בין השניים מסתיים כאשר ניאו מחליט להקריב את עצמו על מנת להציל את המכונות ואת בני האנוש, כאשר הוא מאפשר לסמית' להעתיק את עצמו לתוכו.
לאחר מכן המכונות ניתקו את ניאו מהמטריקס וכך גם הוא וגם סמית' מתו, מאחר שסמית' היה גם ניאו.
בעקבות כך, בעולם האמיתי, הזקיפים נסוגים מ"ציון".
הסרט מסתיים בכך שהמטריקס מאתחל את עצמו, ובכך מתוקנים כל הנזקים העצומים שנגרמו במהלך הקרב בין ניאו לסוכן סמית'.
בהמשך האדריכל של המטריקס והאורקל נפגשים ומסכימים על כך שכל בני האנוש שרוצים להשתחרר מהמטריקס ינותקו מהמכונות, וכי יהיה שלום והרמוניה בין המכונות לבני האנוש.
הסרט קיבל ביקורות שליליות באופן כללי ולציון 36% באתר ריכוז הביקורות Rotten Tomatoes, מתוך 204 ביקורות.
סדרת סרטי מטריקס היא סדרת סרטים מסוגת המדע הבדיוני בבימוי האחיות וצ'אוסקי ועל-פי תסריט שלהן.
הסרט הראשון בסדרה, "מטריקס" יצא לאקרנים ב-1999. סרטי ההמשך השני והשלישי, "מטריקס רילודד" ו"מטריקס רבולושנס", ראו אור שניהם ב-2003 בהפרש של כחצי שנה.
בנוסף אליהם, ובאותה שנה, יצא מקבץ סרטי אנימציה בשם "אנימטריקס", המתרחש במציאות של סרטי הסדרה.
נוסף על כך, כחלק מהזיכיון יצאו מספר משחקי וידאו המבוססים על הסרטים, ספרי קומיקס, וכן סרטים תיעודיים המתארים את צילומי הסרט המקורי.
בסוף אוגוסט 2019 הוכרז על הפקת סרט המשך לטרילוגיה, בהשתתפות חלק מהשחקנים המקוריים.
הסרט, שכונה "מטריקס: התחייה", יצא לבסוף לאור ב-2021, כ-17 שנים לאחר יציאת הסרט השלישי.
אנימטריקס - מקבץ סרטי אנימציה (2003)
The Matrix Online (2005) היה משחק MMORPG - השרתים שלו נסגרו לצמיתות ב-2009
מטריקס מטאלו-פרוטאינאז הם משפחת אנזימים הממלאת תפקיד חיוני בתהליכים ביולוגיים חיוניים שונים, כמו, בין השאר, ניידות והתרבות תאים וריפוי פצעים.
כאשר שחברים מסוימים מהמשפחה, ובעיקר MMP9, יוצאים משליטה, הם עלולים לסייע להתפרצות מחלות אוטואימוניות וליצירת גרורות סרטניות.
בעבר, ניסו מדענים לחסום את חלבוני ה-MMP באמצעות תרופות המבוססות על מולקולות סינתטיות קטנות, שתוקפות ישירות את האנזימים.
התברר כי התרופות האלה אינן יעילות, ולעיתים אף גורמות השפעות לוואי לא רצויות.
לעומת זאת, כמו במקרים רבים אחרים, הטבע כבר מצא דרך יעילה לבקרת הפעילות של חלבוני MMP.
תפקיד זה מוטל על חלבון מעכב, הקרוי TIMP, אשר פועל בהתאמה מבנית מדויקת: הוא שולח "זרוע" החודרת במדויק לבקיע באנזים.
פרופ' אירית שגיא מ"המחלקה לבקרה ביולוגית" במכון ויצמן למדע, וחברי קבוצת המחקר שלה, חיפשו בשנים האחרונות דרכים לחסום באופן בררני את האנזימים האלה, בתקווה שיכולת זו תפתח את הדרך לפיתוח טיפולים יעילים למחלות אוטו-אימוניות.
בניסוי המשך גרמו המדענים לתסמונת דלקתית בעכברים המדמה את מחלת קרוהן.
כפי שקיוו, הצליח הטיפול באמצעות נוגדנים למנוע את הופעת תסמיני המחלה.
חברת "ידע", המקדמת יישומים מסחריים על בסיס המצאות של מדעני מכון ויצמן למדע, הגישה בקשה לרישום פטנט על תרכיב החיסון הסינתטי, וכן על הנוגדנים הנוצרים בעקבות החדרתו לגוף.
באלגברה ליניארית, מטריצת ונדרמונד (על שם אלכסנדר ונדרמונד) היא מטריצה מסדר כאשר כל שורה (או לחלופין: כל עמודה) היא סדרה הנדסית, כמתואר כאן:
אם המטריצה ריבועית (), אז הדטרמיננטה שלה, הנקראת דטרמיננטת ונדרמונד, מבוטאת על ידי הביטוי: .
מטריצה זו מעריכה פולינום בנקודות: היא מעבירה את מקדמי הפולינום לערכים שהפולינום מקבל בנקודות .
לכן אפשר להשתמש בה כדי לבצע אינטרפולציה פולינומית, אך זו אינה הדרך היחידה, וחלק מן הדרכים האחרות יעילות יותר.
דוגמה למטריצת ונדרמונד מיוחדת היא מטריצה של התמרת פורייה שבה נבחרים להיות שורשי היחידה:
בתורת הגרפים, מטריצת לפלסיאן (לעיתים מטריצת קירכהוף) היא מטריצת המתארת גרף.
למטריצת הלפלסיאן שימושים רבים והיא מאפשרת למצוא תכונות שונות של גרפים.
בין היתר באמצעות משפט קירכהוף ניתן לחשב את מספר העצים הפורשים בגרף.
שימוש חשוב נוסף של מטריצת הלפלסיאן הוא בהקשר של גרפים מרחיבים, שבהם אי שוויון צ'יגר קושר בין הערך העצמי השני של מטריצת הלפלסיאן לחתך המינימלי בגרף.
מטריצת הלפלסיאן עבור גרף , שבו קודקודים היא מטריצה בגודל המוגדרת כך:
היא מטריצת הדרגות - מטריצת אלכסונית אשר הערכים על האלכסון הם ערכי הדרגות של כל קודקוד
היא מטריצת שכנות - מטריצה שבה עבור כל שני קודקודים יופיע 1 בתא ה- אם שני הקודקודים שכנים, ו-0 אחרת.
כאשר עוסקים בגרף מכוון לעיתים נעשה שימוש בדרגת הקשתות הנכנסות ולעיתים נעשה שימוש בדרגת הקשתות היוצאות כתלות בשימוש.
התאים במטריצת נתונים על ידי:
כאשר היא הדרגה של הקודקוד ה-.
שתי מטריצות הנגזרות ממטריצת הלפלסיאן, מטריצת הלפלסיאן הסימטרית המנורמלת ומטריצת הלפלסיאן המנורמלת של מהלך אקראי, הן גרסאות מנורמלות של המטריצה, ולהן שימושים בהקשרים שונים.
מטריצת לפלסיאן סימטרית מנורמלת (symmetric normalized Laplacian matrix) מוגדרת כך:
התאים ב- נתונים על ידי:
מטריצת לפלסיאן מנורמלת של מהלך אקראי (random-walk normalized Laplacian matrix) מוגדרת כך:
האיברים של נתונים על ידי:
להלן דוגמה לגרף ולמטריצת הלפלסיאן שלו:
גרף מטריצת דרגות מטריצת שכנויות מטריצת לפלסיאן
עבור גרף לא מכוון , שמטריצת הלפלסיאן שלו היא עם ערכים עצמיים :
היא מטריצת חיובית למחצה (כלומר לכל מתקיים )
הסכום של כל שורה ושל כל עמודה הוא 0, שכן הדרגה נסכמת עם 1- לכל שכן.
מספר הפעמים ש-0 מופיע כערך עצמי במטריצה הוא כמספר רכיבי הקשירות בגרף.
הערך העצמי הקטן ביותר של שאינו 0 נקרא הפער הספקטרלי.
הערך העצמי השני הכי קטן הוא הקשירות האלגברית (או ערך פידלר) של .
כאשר הוא k-רגולרי הלפלסיאן המנורמל הוא , כאשר היא מטריצת השכנות ו- היא מטריצת היחידה.
מטריצת לפלסיאן היא מטריצה סינגולרית
עבור גרף , שבו הם קבוצת הקודקודים ו- היא קבוצת הקשתות, מטריצת החילה (Incidence matrix) היא מטריצה בגודל שהתא ה- עבור ו- נתון על ידי:
ניתן לחשב את מטריצת הלפלסיאן ממטריצת החילה באופן הבא:
כאשר הוא שחלוף השורות והעמודות של .
הפירוק לווקטורים עצמיים של מטריצת הלפלסיאן , עם וקטורים עצמיים עם גודל יחידה וערכים עצמיים :
מאחר ש- יכול להיכתב כמכפלה פנימית של הווקטור עם עצמו, זה מראה כי ולכן כל הערכים העצמיים של הם לא שליליים.
מטריצת לפלסיאן (סימטרית) מנורמלת מוגדרת כך:
כאשר היא מטריצת לפלסיאן, היא מטריצת שכנות ו- היא מטריצת הדרגות.
מאחר שמטריצת הדרגות היא אלכסונית וחיובית, השורש ההופכי שלה הוא מטריצה אלכסונית שבה הערכים לאורך האלכסון הם ההפכים של השורשים של הערכים על האלכסון של .
ניתן לחשב אותה כך: , כאשר היא מטריצה שבה השורות מאונדקסות על יד הקודקודים והעמודות על פי הקשתות של הגרף כך שבעמודה המתאימה לקשת , התא בשורה הוא הוא בעל ערך , ובשורה המתאימה ל- הוא בעל ערך , ו-0 ביתר התאים.
(הערה: מייצג את השחלוף של ).
כל הערכים העצמיים של מטריצת הלפלסיאן המנורמלת ממשים ואי שליליים.
אפשר להראות זאת כך: מאחר ש- היא סימטרית, הערכים העצמיים בה ממשיים.
בנוסף הם אי שליליים: עבור הווקטור העצמי של עם הערך העצמי המתאים ונניח כי .
(אפשר לחשוב על ו- כפונקציות ממשיות על הקודקודים .) אז:
כאשר משתמשים במכפלה הפנימית , סכום כל הקודקודים , ו- מסמן סכום על כל הזוגות הלא סדורים של קודקודים סמוכים .
נקרא סכום דיריכלה של כאשר הביטוי
תהא 1 פונקציה המניחה את הערך 1 עבור כל קודקוד.
אז הוא פונקציה עצמית של עם ערך עצמי 0.
הערכים העצמיים של מטריצת הלפלסיאן הסימטרית המנורמלת מקיימים .
ערכים עצמיים אלו ידועים כספקטרום של מטריצת הלפלסיאן המנורמלת.
מטריצת לפלסיאן מנורמלת של מהלך אקראי
מטריצת לפלסיאן מנורמלת של מהלך אקראי, מוגדרת כך:
מאחר שמטריצת הדרגות היא אלכסונית, המטריצה ההופכית שלה היא מטריצה אלכסונית גם כן, שהערכים על האלכסון שלה הם ההופכיים של האיברים המתאימים להם ב-.
עבור קודקודים מבודדים (בעלי דרגה 0), נהוג להגדיר את האיבר המתאים ל-0.
התוצאה של הגדרה כזו היא תכונה יפה שמספר הערכים העצמיים שערכם הוא 0 שווה למספר רכיבי הקשירות בגרף.
איברי המטריצה נתונים על ידי:
השם מטריצת לפלסיאן מנורמלת של מהלך אקראי בא מהעובדה כי מטריצה זו היא פשוט מטריצת המעברים של מהלך מקרי בגרף.
לדוגמה וקטור הבסיס הסטנדרטי ה-i, אז הוא וקטור הסתברות המתאר את ההתפלגות של מיקום מהלך אקראי לאחר צעד אחד מהקודקוד , כלומר .
באופן כללי יותר אם הוא התפלגות של מיקום מהלך אקראי בקודקודי הגרף אז היא ההתפלגות של מיקום מהלך אקראי לאחר צעדים.
דומה למטריצת הלפלסיאן המנורמלת (הסימטרית) .
מסיבה זו, אפילו אם אינה הרמיטית באופן כללי, יש לה ערכים עצמיים ממשיים.
לעיתים מתייחסים למטריצה גם כן כמטריצת לפלסיאן של הילוך מקרי מאחר שהתכונות שלה דומות לאלו של מטריצת לפלסיאן דיסקרטית סטנדרטית מתחום האנליזה הנומרית.
למטריצת הלפלסיאן שימושים רבים בתורת הגרפים ובאלגוריתמים.
יהא גרף קשיר בעל קודקודים, ויהיו ערכים עצמיים שונים מאפס של הלפלסיאן של .
אזי , מספר העצים הפורשים של , הוא:
במילים אחרות, מספר העצים הפורשים שווה למינור של .
הערך העצמי הקטן ביותר של מטריצת לפלסיאן שאינו 0 נקרא הפער הספקטרלי.
עבור גרף שהוא רגולרי קיים קשר בין הפער הספקטרלי לקבוע זה, שהוכח על ידי טנר, ובאופן בלתי תלוי על ידי נוגה אלון וויטלי מילמן:
בתחום של ניתוח אשכולות (Clustering), מתעניינים בבעיה שבהינתן דוגמאות (כאשר ), מספר ופונקציית דמיון רוצים למצוא חלוקה הדוגמאות ל- קבוצות כך שהדוגמאות בכל קבוצה יהיו דומות זו לזו.
אחת ממשפחות האלגוריתמים הנפוצה לפתרון בעיות מסוג זה היא אלגוריתמים של אשכול ספקטרלי (Spectral clustering).
אלגוריתמים אלו מבוססים על בניית גרף דמיון, גרף שבו כל דוגמה היא קודקוד, וכל קשת מחברת בין דוגמאות דומות (בחירה אפשרית לכך היא חיבור קודקודים שעבורם פונקציית הדמיון החזירה ערך קטן מערך מסוים).
על פי הגרף מחשבים מטריצת לפלסיאן (קיימות גרסאות שונות של אשכול ספקטרלי העושות שימוש במטריצת לפלסיאן מנורמלת), ותוך שימוש בווקטורים העצמיים שלה מחפשים חלוקה לקבוצות באמצעות אלגוריתם k-מרכזים (k-means).
באלגברה ליניארית, מטריצת הסנברג או מטריצה מצורת הסנברג (לפעמים נקראת מטריצת הסנברג עליונה) היא מטריצה ריבועית שיש לה אפסים החל מהאלכסון המשני התחתון השני ומטה.
כל מטריצה ריבועית דומה למטריצה מצורת הסנברג
מטריצת הסנברג סימטרית (או הרמיטית) היא מטריצה תלת-אלכסונית
אם מכפילים מטריצת הסנברג עם מטריצה משולשית עליונה (לא חשוב מאיזה צד) התוצאה תהיה מטריצה מצורת הסנברג.
תכונה זו גורמת לכך שיעיל מאוד להפעיל את אלגוריתם QR על מטריצות מסוג זה.
לכל מטריצה בגודל , באמצעות הצמדה במטריצת שיקוף האוסהולדר מתאימות ניתן למצוא את מטריצה מצורת הסנברג הדומה למטריצה .
דרך נוספת, בעלת זמן חישוב דומה היא באמצעות סיבובי גיבנס.
בתורת המטריצות, מטריצת תמורה היא מטריצה ריבועית בינארית שמכילה בדיוק אחדה אחת בכל שורה ובכל עמודה ואפסים בכל המקומות האחרים.
כל מטריצה כזאת מייצגת תמורה של איברים, וכאשר מכפילים אותה במטריצה אחרת , גורמת לערבוב השורות (בכפל מלפני, כלומר ) או העמודות (בכפל מאחרי, כלומר ) של המטריצה .
מקומבינטוריקה עולה שיש מטריצות תמורה, כגודל החבורה הסימטרית .
המיוצגת בסימון שתי שורות כ-
ישנן שתי דרכים טבעיות לקשר בין תמורה למטריצת תמורה; כאשר מתחילים ממטריצת הזהות מסדר , כלומר , אז ניתן לבצע תמורה על עמודות או שורות המטריצה, בהתאם ל-.
מאמר זה ידון רק באחת מההצגות הללו, כאשר האחרת תוזכר רק אם יש הבדל ביניהן שיש להיות מודעים אליו.
למטריצת התמורה מסדר , כלומר , המתקבלת מערבוב העמודות של מטריצת הזהות , כלומר הפועלת כך שלכל , מתקיים אם ו-0 אחרת, נתייחס כהצגת העמודות בערך זה.
כיוון שהאיברים בשורה כולם 0 למעט ה-1 שמופיע בעמודה
כאשר , וקטור בסיס סטנדרטי, מסמן וקטור שורה באורך עם 1 במיקום ה- ו-0 בכל מיקום אחר.
לדוגמה, מטריצת התמורה המתאימה לתמורה: , היא:
ניתן להבחין בכך שהעמודה ה- של מטריצת הזהות מופיעה כעת כעמודה ה- של .
הכפלת בווקטור עמודה g תערבב את השורות של הווקטור:
שימוש חוזר בתוצאה הזאת מראה שאם היא מטריצה במידות מתאימות, המכפלה היא פשוט תמורה של השורות של .
המטריצה ההופכית של מטריצה תמורה שווה למטריצה המשוחלפת שלה, כלומר: .
העקבה של מטריצת תמורה היא מספר נקודות השבת של התמורה.
אם למטריצה יש נקודות שבת, אז היא ניתנת לכתיבה בצורה ציקלית כ-, כאשר היא תמורה ללא נקודות שבת, ו- הם וקטורים עצמיים של מטריצת התמורה (אלו הם וקטורי השבת).
כדי לחשב את הערכים העצמיים של מטריצת תמורה נתונה , נכתוב את כמכפלה של תמורות ציקליות, כלומר .
יהיו האורכים של המחזורים הללו בהתאמה, ויהי אוסף הפתרונות המרוכבים של (כלומר שורשי היחידה מסדר ).
אז האיחוד של כל ה--ים הוא אוסף הערכים העצמיים של מטריצת התמורות המתאימה.
הריבוב הגאומטרי של כל ערך עצמי שווה למספר ה--ים שמכילים אותו.
מתורת החבורות ידוע שכל תמורה ניתנת להצגה כהרכבה של חילופים.
לפיכך כל מטריצת תמורה ניתנת לפירוק כמכפלה של מטריצות אלמנטריות המחליפות שתי שורות, אשר לכל אחת יש דטרמיננטה 1-.
לפיכך, מכפליות הדטרמיננטה מקבלים שהדטרמיננטה של כל מטריצת תמורה היא 1 או 1- בהתאם לזוגיות התמורה.
המטריקס: התחייה הוא סרט מסוגת אקשן ומדע בדיוני אמריקאי.
הסרט הופק בידי האחים וורנר והחברה Village Roadshow ו-Venus Castina Productions בבימויה של לאנה וצ'אוסקי, מהווה המשך לטרילוגית המטריקס ומככבים בו קיאנו ריבס, קארי-אן מוס וג'יידה פינקט סמית', אשר השתתפו גם בסרטים שקדמו לו.
צילומי הסרט החלו ב-2 בפברואר 2020 בסן פרנסיסקו, בשיקגו ובגרמניה והוא יצא לאור ב-22 בדצמבר 2021.
לאחר יציאת רבולושנס, האחיות וצ'אוסקי הכחישו אפשרות של הפקת סרט מטריקס נוסף.
יתר על כן, טענו האחיות וצ'אוסקי כי המשכיות העלילה נתונה בידי שחקני משחק התפקידים ההמוני "The Matrix Online" (שפעל עד יולי 2009), וכך הפכו בעקיפין את המשחק להמשך הרשמי של הסרטים.
אם כי מאז צצו שמועות על סרט מטריקס רביעי והאולפן הביע כל הזמן עניין בהחייאת הזיכיון ושכרו את זאק פן לכתוב תסריט חדש לאחר שהן סירבו לכל הצעה ליצור סרטי המשך נוספים.
בסוף 2019 הוכרז סרט רביעי של מטריקס, בבימויה של לאנה וצ'אוסקי, ללא אחותה, כאשר ריבס ומוס מגלמים את הדמויות הראשיות.
הצילומים החלו בפברואר 2020 אך נעצרו במרץ בשל מגפת הקורונה.
וצ'אוסקי השתעשעה באפשרות לגנוז את הפרויקט ולהשאיר את הסרט לא גמור, אבל צוות השחקנים התעקש שהיא תשלים אותו.
הצילומים חודשו באוגוסט 2020 והסתיימו שלושה חודשים לאחר מכן.
הקרנת הבכורה העולמית נערכה בטורונטו, קנדה, ב-16 בדצמבר 2021 והסרט שוחרר על ידי Warner Bros.