tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
דעת הקהל הזועמת והשלילית, שאף ראתה בספר מעין הודאה ברצח, הביאה לכך שהמוציא לאור העניק למשפחת גולדמן את זכויותיו באוגוסט 2007. כל ההכנסות מהספר באותה שנה הובטחו למשפחה כחלק מהפיצוי הכספי, אותו ניסו לקבל במשך עשור.
משפחת גולדמן הפכה לבעליהן של זכויות היוצרים, זכויות המדיה וזכויות יצירת סרט מהספר.
בנוסף, הם נקטו בהליכים כדי לוודא שלסימפסון לא תהיה אפשרות לקבל רווחים ממנו.
לאחר ששינו את שם הספר ל-If I Did It: Confessions of the Killer (בתרגום חופשי לעברית: אילו עשיתי זאת: עדותו של רוצח), המשפחה הוציאה אותו לאור ב-2007 בשנית.
ימים ספורים לאחר מכן צבר הספר פופולריות רבה והפך לרב-מכר.
המשפחה תרמה חלק מהכסף שקיבלה להקמת Ron Goldman Foundation for Justice, קרן אשר מעניקה תמיכה לארגונים המספקים מקורות לקורבנות וניצולים של מקרי פשע למיניהם.
בשנת 2016 שודרה העונה הראשונה של סדרת הטלוויזיה "סיפור פשע אמריקאי" אודות הפרשייה, ונקראה "אמריקה נגד או.
בספטמבר 2007 נעצר סימפסון עקב שוד בו לקח חלק.
על פי כתב האישום, סימפסון וחמישה מחבריו הגיעו לבית המלון "פאלאס סטיישן" בלאס וגאס, שם פגשו בשני אספני ספורט, תקפו אותם ושדדו אותם.
על פי העדויות הפריטים שהיו ברשות מוכרי האספנות בזמן המפגש עם סימפסון וחבריו היו שווים לפחות 80 אלף דולר.
סימפסון טען כי לא היה זה שוד, וכי הוא ניסה להשיג חזרה רכוש פרטי שנגנב ממנו.
שלושה מתוך חמשת חבריו שהיו מעורבים בתקרית הסכימו, במסגרת עסקת טיעון, להודות בחלק מהאישומים ולהעיד נגדו.
לטענת התביעה, סימפסון וחבריו התכוונו להחזיק בשני האספנים ולכן הם הואשמו גם בחטיפה.
באוקטובר 2008, בגיל 61, הורשע סימפסון בכל 12 סעיפי האישום, ובהם שוד מזוין, חטיפה תוך איום בנשק ותקיפה בנשק חם.
עונשו נקבע ל-9 עד 33 שנה.
באוקטובר 2017 הוא שוחרר מהכלא.
משפט ויויאני הוא משפט בגאומטריה, על שם המתמטיקאי, הפיזיקאי, והאסטרונום האיטלקי וינצ'נסיו ויויאני (1622–1703) הטוען שסכום שלושת האנכים לצלעות מכל נקודה בתוך משולש שווה-צלעות שווה לגובה המשולש.
למשפט יש הרחבות גם לצורות גאומטריות אחרות והוא הבסיס לשימוש בדיאגרמה טרנארית .
הוכחת משפט מסתמכת על הטענה המוקדמת ששטח משולש כלשהו שווה לחצי מכפלת אורך בסיס המשולש בגובהו (כלומר לחצי מכפלת אורך צלע בגובה הנמדד מאותה צלע).
יהי ABC משולש שווה-צלעות שגובהו h ושאורך כל אחת מצלעותיו הוא a.
תהי P נקודה כלשהי במשולש, ויהיו u,s,t אורכי האנכים מ-P לצלעות.
ציירו קווים ישרים מ-P לקודקודי המשולש A,B,C כך שייווצרו שלושה משולשים PAB, PBC, ו-PCA.
שטחי שלושת המשולשים הללו הם ,, .
שלושת המשולשים הללו ממלאים בדיוק את המשולש ABC ששטחו .
כדרך להציג את המשפט לילדים יש המנסחים אותו בצורה הבאה:
גולשת נותרה על אי בודד בצורת משולש שווה-צלעות.
הגולשת רוצה לגלוש בכל יום בחוף אחר.
לכן, היא מעוניינת להקים את הצריף שלה בנקודה באי שתקצר את זמן ההליכה הממוצע ככל האפשר.
התשובה המפתיעה היא שמיקום הצריף לא משנה.
המשפט בניסוח הפוך גם כן מתקיים: אם סכום שלושת האנכים לצלעות מכל נקודה במשולש זהה אזי המשולש הוא שווה-צלעות.
משפט ויויאני הוא הבסיס לשימוש בדיאגרמה טרנארית.
הדיאגרמה הטרנארית באיור 2 לדוגמה מציגה את התחום הדליק של תערובת של שלושה גזים: חמצן, מתאן וחנקן.
כל נקודה במשולש שווה השוקיים של הדיאגרמה מייצג תרכובת שונה של שלושת הגזים, כשהתרכובת מוגדרת על ידי ציון חלקו של כל גז בתרכובת הכללית.
החלק של כל גז מיוצג על ידי האנך מהנקודה לצלע המתאימה לגז.
גובה המשולש מוגדר כ-100% ולכן, לפי משפט ויויאני, סכום חלקי הגזים יהיה תמיד 100% בכל נקודה במשולש.
למשל בנקודה O אורך האנך לצלע של החמצן (הצלע NM) הוא 100%, ואורך שני האנכים האחרים הוא 0% ולכן הנקודה O מייצגת תרכובת של חמצן טהור.
כך גם הנקודה M מייצגת תערובת של מתאן טהור והנקודה N תערובת של חנקן טהור.
לעומת זאת בכל הנקודות שעל צלע החמצן אורך האנך לצלע החמצן הוא 0% ולכן צלע החמצן מייצגת תרכובות המכילות מתאן וחנקן בלבד.
כל קו ישר המקביל לקו החמצן ונמצא מעליו בתוך המשולש מייצג אוסף תרכובות שבהן אחוז החמצן שווה, וההבדל ביניהן הוא רק בחלק היחסי של מתאן וחנקן.
איור 2 מראה רשת קווים בתוך המשולש כך שכל קו מקביל לאחת הצלעות, ולכן, מייצג תרכובות שבהן הגז של הצלע המקבילה נשאר קבוע.
הנקודה באמצע המשולש רחוקה משלוש הצלעות מרחק אנכי שווה ולכן היא מייצגת תרכובת בה חלקי שלושת הגזים שקולים.
האזור הכתום באיור 2 מכיל נקודות המתאימות לתרכובות דליקות של חמצן, מתאן וחנקן.
באופן כללי דיאגרמה טרנארית שימושית להצגת מצבים המיוצגים על ידי שלושה משתנים שסכומם קבוע, כמו דיאגרמת דליקות של איור 2, וגם הצגת חלוקה של גנוטיפים באוכלוסייה (דיאגרמת דה-פינטי), או במשחק סכום אפס בתורת המשחקים (משחק בו סכום הרווחים וההפסדים קבוע ומתחלק בין השחקנים).
סכום ארבעת האנכים לצלעות מכל נקודה במקבילית בלתי תלוי במקום הנקודה.
גם הטענה ההפוכה נכונה - כלומר אם סכום האנכים במרובע בלתי תלוי במקום הנקודה אזי המרובע הוא מקבילית.
טענה זו ניתנת להכללה לכל מצולע בעל 2n צלעות שבו כל זוג צלעות נגדיות הן מקבילות.
זאת כיוון שבכל נקודה סכום האנכים לצלעות הנגדיות הוא קבוע ולכן כך גם סכום המרחקים הללו.
הטענה ההפוכה אבל לא מתקיימת, כיוון שלמשל במשושה שווה-צלעות סכום האנכים לא תלוי במקום הנקודה גם את זוגות צלעות נגדיות אינן מקבילות.
במצולע משוכלל (שבו כל הצלעות והזוויות שוות) סכום האנכים בלתי תלוי במקום הנקודה.
באופן ספציפי, אם למצולע יש n צלעות אזי סכום האנכים שווה ל n פעמים האפותם של המצולע (כלומר לאורך הגבהים או התיכונים ממרכז המצולע).
במצולע שווה זוויות סכום האנכים בלתי תלוי במקום הנקודה.
במצולע קמור סכום האנכים בלתי תלוי במקום הנקודה אם ורק אם קימות שלוש נקודות שאינן ממוקמות על אותו ישר והן בעלות סכום אנכים שווה.
בפאון משוכלל סכום האנכים בלתי תלוי במקום הנקודה.
הטענה ההפוכה אבל לא מתקיימת, אף לא בארבעון.
משפט התלתן או incenter–excenter lemma הוא משפט בתחום הגאומטריה האוקלידית במתמטיקה.
עבור ABC משולש אקראי, יהי I מרכז המעגל החסום שלו ויהי S נקודת החיתוך של חוצה הזווית של A ושל המעגל החוסם.
אזי, B,I,C כולן במרחק שווה מ-S.
יש מעגל שמרכזו S שעובר דרך B,I,C.
המשולשים BIS, BCS, CIS כולם שווי שוקיים עם קודקוד ראש ב-S.
גרסה חזקה יותר של המשפט אומרת כי גם IA, מרכז המעגל החסום מבחוץ מהצד של A, נמצא על אותו מעגל.
אפשר להתבונן במשולש ולחשב את זוויותיו, שכן צריך להראות שהוא שווה-שוקיים.
נסמן את זוויות המשולש ב-.
מכך ש- חוצה זווית, מאחר ש-, נקבל ש.
מאחר שסכום הזוויות במשולש הוא 180, ולכן משולש שווה-שוקיים.
בצורה סימטרית, ניתן להוכיח ש- שווה-שוקיים ועל כן סיימנו.
הוכחה באמצעות משפט תאלס השני
הוכחה זו תוכיח גם את כך ש-, מרכז המעגל החסום מבחוץ, נמצא על המעגל.
נקודה זו היא חיתוך חוצי הזוויות החיצוניים של וחוצה הזווית הפנימי של .
נשים לב שמפני ש-, נקבל כי .
לכן היא חיתוך האנך האמצעי של וחוצה הזווית של .
חוצה זווית פנימי וחוצה זווית חיצוני מאונכים זה לזה, מה שאומר ש-.
בגלל משפט תאלס השני, זה אומר שהמעגל שקוטרו עובר דרך ו-.
מרכז מעגל זה צריך להיות על ישר (שכן הוא קוטר) וגם על האנך האמצעי של שכן אלו נקודות על המעגל.
חיתוך שני הישרים האלו הוא ולכן הוכחנו שיש מעגל שמרכזו שעובר דרך .
למשפט ישנה גרסה נוספת, שכדי להוכיחה אפשר לקחת אחת מההוכחות הקודמות ולשנות בהתאם.
נגדיר את N בתור חיתוך חוצה הזווית החיצוני של A והמעגל.
הגרסה השנייה של המשפט אומרת כי יש מעגל שמרכזו N ושעובר דרך B,C,IB,IC.
בדרך כלל, קוראים לנקודות N,S בשמות האלה מכיוון שאם ישר BC הוא אופקי ו-A מעליו, S היא הנקודה הכי דרומית במעגל (South באנגלית) ו-N היא הנקודה הכי צפונית במעגל (North באנגלית).
בהינתן קודקוד אחד A, מרכז המעגל החסום I ומרכז המעגל החוסם O ניתן לבנות את המשולש ABC, באמצעות שימוש במשפט התלתן.
בונים את המעגל החוסם כמעגל שמרכזו O ושעובר דרך A
הנקודה S נבנית על ידי חיתוך AI עם המעגל החוסם
מעבירים מעגל עם מרכז S שעובר דרך I
נקודות B,C הן שתי נקודות החיתוך של המעגל עם המעגל החוסם.
תהליך זה יכול להיכשל עבור A,O,I כלשהם, אם AI משיק למעגל החוסם או מפני שלשני המעגלים אין שתי נקודות חיתוך.
תהליך זה גם יכול ליצור משולש בו הנקודה I היא מרכז מעגל החסום מבחוץ.
במצבים אלו, לא קיים משולש עם A כקודקוד, I כמרכז המעגל החסום ו-O כמרכז המעגל החוסם.
משפט השבעה משיקגו הוא סרט דרמת-פשע פוליטית אמריקאי, שנכתב ובוים על ידי היוצר אהרן סורקין.
בסרט מופיעים אנסמבל שחקנים הכולל את סשה ברון כהן, אדי רדמיין, אלכס שארפ, ג'ון קרול לינץ', ג'רמי סטרונג, יאיא עבדול-מאטין השני, מארק ריילנס, ג'וזף גורדון-לוויט, בן שנקמן, פרנק לנגלה, מייקל קיטון ועוד.
הסרט עוקב אחר סיפורם של "השבעה משיקגו", קבוצת מפגינים שהתנגדו למלחמת וייטנאם ושהואשמו בקשירת קשר בשנת 1968.
במקור, הסרט נועד לעלות לאקרנים תחת הפצתה של חברת "סרטי פרמאונט", אך הזכויות להפצת הסרט נמכרו לנטפליקס עקב התפרצות מגפת הקורונה המתמשכת.
הסרט עלה לשידור בכל הפלטפורמות של "נטפליקס" ב-16 באוקטובר 2020. הסרט זכה בפרס גלובוס הזהב לתסריט הטוב ביותר.
הסרט מבוסס על סיפורם האמיתי של "השבעה משיקגו", קבוצה של שבעה מפגינים שהואשמו על ידי הממשלה הפדרלית באשמת קשירת קשר, הסתה להתפרעויות, ואישומים אחרים הקשורים להתנגדות למלחמת וייטנאם ולהפגנות נגד תרבות שהתרחשו בשיקגו, אילינוי, לרגל הוועידה הלאומית הדמוקרטית משנת 1968.
בשנת 2007 כתב התסריטאי אהרן סורקין תסריט שהתבסס על משפט הקונספירציה של קבוצת "השבעה משיקגו".
פארקס ולורי מקדונלד שיתפו פעולה עם פיתוח התסריט של סורקין, וספילברג נועד לביים את הסרט.
השחקן סשה ברון כהן לוהק במקור לגילום דמותו של אבי הופמן, ואילו ספילברג פנה לויל סמית' בהצעה לגלם את דמותו של בובי סיל, ותכנן להיפגש עם הית' לדג'ר לגבי משא ומתן על גילום דמותו של טום היידן.
עם זאת, שביתת אגודת הסופרים של אמריקה, שהחלה בנובמבר 2007 ונמשכה 100 יום, עיכבה את הליכי הצילומים והפרויקט הושעה.
מאוחר יותר, סורקין היה אמור להמשיך לשכתב את התסריט עבור ספילברג, והבמאי התכוון להטיל צוות שחקנים אלמוני ברובו במטרה לשמור על התקציב.
בהמשך, הופצו שמועות שפול גרינגרס ובן סטילר יחליפו את ספילברג בתפקיד הבימוי, אך הפרויקט לא התקדם.
באוקטובר 2018, הוכרז שסורקין יביים את הסרט.
בדצמבר 2018, הפקת הסרט הוקפאה בעקבות חששות תקציביים, עד שהפרויקט קם לתחייה והיה מוכן להצעות משא ומתן על הפצה.
בסופו של דבר, "סרטי פרמאונט" רכשו את זכויות הפצה.
באוקטובר 2018 סשה ברון כהן ואדי רדמיין לוהקו לצוות השחקנים.
בנובמבר 2018, ג'ונתן מג'ורס לוהק לצוות השחקנים.
בפברואר 2019, סת' רוגן, ג'וזף גורדון-לוויט ואלכס שארפ לוהקו לצוות השחקנים, ומייקל קיטון נשקל לקבלת תפקיד בסרט.
באוגוסט, פרנק לנגלה ומארק ריילנס לוהקו לצוות השחקנים.
בספטמבר, ג'רמי סטרונג לוהק להחליף את רוגן.
באוקטובר, יאיא עבדול-מאטין השני לוהק להחליף את מג'ורס, וקלווין האריסון ג'וניור, קיטון, ויליאם הרט, ג'יי.
מקנזי, תומאס מידליץ', מקס אדלר ובן שנקמן לוהקו לצוות השחקנים.
צילומי הסרט התעתדו להתחיל בספטמבר 2019, אך למעשה החלו חודש לאחר מכן, באוקטובר, בשיקגו ובניו ג'רזי.
הצילומים התקיימו במחוז מוריס, ניו ג'רזי באולם הנסי, המכונה בחיבה "האחוזה", שנמצא בקמפוס פלורם של אוניברסיטת פיירלי דיקינסון ואולם הולנד (ממוקם בתוך אולם הולנדרסון), פארק גראנט בשיקגו ובמכללת סנט אליזבת בסנטה מריה.
במקור, הסרט התעתד לעלות לאקרנים תחת הפצת חברת ההפקה "סרטי פרמאונט" בהפצה מוגבלת ב-25 בספטמבר 2020, לפני שיופץ בהקרנות מסחריות ב-16 באוקטובר 2020. ב-20 ביוני 2020, עקב סגירת בתי הקולנוע בעקבות התפרצות מגפת הקורונה, דווח כי נטפליקס מנהלת משא ומתן על רכישת זכויות הפצת הסרט.
ב-1 ביולי 2020, נטפליקס סגרה רשמית עסקה של 56 מיליון דולר על זכויות הפצת הסרט, מתוך כוונה להפיצו לפני יום הבחירות בנובמבר.
הסרט עלה לשידור ב-16 באוקטובר 2020.
במתמטיקה, ובפרט בתורת ההסתברות, משפט הרשל-מקסוול הוא משפט הקובע כי משתנה מקרי רציף רב ממדי המקיים סימטריה לסיבוב ואי-תלות בין רכיביו הוא בהכרח משתנה מקרי המתפלג רב-נורמלית כאשר כל רכיביו בעלי אותה סטיית תקן.
משפט זה, ביחד עם משפט הגבול המרכזי וחוק המספרים הגדולים, מציגים את ייחודה של ההתפלגות הנורמלית על-פני התפלגויות אחרות.
מעבר לכך, המשפט מאפשר אינטואיציה גאומטרית להופעתו של פאי בפונקציית צפיפות ההסתברות של ההתפלגות הנורמלית.
המשפט נוסח לראשונה במאמר של ג'ון הרשל משנת 1850, ונוסח שוב במאמר של ג'יימס קלרק מקסוול משנת 1860 כטענת עזר למאמר בנושא מערכות דינמיות של גז.
בהינתן מרחב הסתברות , ומשתנה מקרי רב ממדי המקיים את התנאים הבאים:
כל המשתנים המקריים בלתי-תלויים זה בזה בזוגות.
פונקציית צפיפות ההסתברות של סימטרית לסיבוב במרחב .
אזי כל המשתנים המקריים שווי התפלגות, ובפרט כולם מתפלגים נורמלית עם ממוצע 0 ואותה סטיית תקן.
מכיוון שהמשתנים המקריים רציפים, קיימות לשניהם פונקציות צפיפות הסתברות ().
עבור ניתן לסמן פונקציית צפיפות הסתברות כוללת .
מכיוון ו- בלתי-תלויים מתקיים .
לכל קיימים ו- כך ש- ו-.
בגלל תנאי הסימטריה מתקיים כי:
בגלל תנאי הנרמול על פונקציית צפיפות ההסתברות בהכרח מתקיים כי (אחרת האינטגרל של על כל היה מתאפס).
באופן דומה ניתן להוכיח כי .
על ידי חילוק משוואה (1) ב- מתקבל:
זוהי משוואה פונקציונלית שפתרונה הוא מהצורה עבור כלשהו.
על ידי הצבה, נרמול פונקציות ההסתברות והחלפת משתנים, מתקבל כי:
זוהי פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות נורמלית עם ממוצע 0 וסטיית תקן , כרצוי.
קיימת הוכחה נוספת למשפט המבוססת על חוק המספרים הגדולים.
בגלל שהסמטריה מתקיימת לכל סיבוב שהוא, היא מתקיימת בפרט לכל סיבוב בתת-מרחב דו-ממדי של .
כלומר, לכל זוג משתנים מקריים מתקיים תנאי המשפט הדו-ממדי, ולכן שתיהן מתפלגות נורמלית עם ממוצע 0 ואותה סטיית תקן.
הדבר נכון לכל זוג משתנים מקריים, ולכן נכון לכל המשתנים המקריים במשפט.
משפט וולף (Wulff theorem), על שם הקריסטלוגרף הרוסי , קובע את הצורה של גביש בשיווי משקל (equilibrium crystal shape - ECS).
צורה זו ממזערת את האנרגיה החופשית של פני השטח של הגביש בנפח קבוע.
לצורך קביעת ה-ECS משתמשים בבניית וולף (Wulff reconstruction).
ג'וסיה וילארד גיבס טען במאמר מ-1876, שטיפה או גביש יסדרו את עצמם כך שהאנרגיה החופשית של גיבס שלהם תמוזער על ידי קבלת צורה כזו שלפני השטח שלה יש את האנרגיה החופשית המזערית: .
כאן היא האנרגיה החופשית המשטחית של הגוף (טיפה או גביש), - האנרגיה החופשית הספיציפית (כלומר ליחידת שטח, במילים אחרות: מתח הפנים) של המשטח ה-i של הגוף, ו- השטח של המשטח ה-i הזה.
בשנת 1885 פרסם פייר קירי מאמר, שבו הרחיב את קביעתו זו של גיבס.
במאמרו, פתר קירי את הבעיה של הצורה של גבישים עבור מנסרה ריבועית ועבור קובוקטהדרון.
נְפַתֵּחַ כאן את הגישה שלו לתיבה שמרכזה בראשית הצירים O, ומרחקי פיאותיה מהראשית הם: (כמוראה באיור).
השטחים של פאות התיבה בכיוונים הם: , בהתאמה; ונפח התיבה: .
האנרגיה המשטחית של התיבה היא סכום האנרגיות החופשיות של כל הפאות של התיבה: , כשבטאנו בשוויון השני את באמצעות ו- ו-.
כדי למצוא את המרחקים ו- שיתנו את האנרגיה החופשית המשטחית המינימלית צריך שהנגזרות החלקיות המתאימות תתאפסנה.
כלומר, האנרגיות החופשיות של כל הפאות של הגביש בשיווי משקל שוות זו לזו.
כמו כן, השטחים של הפאות תלויים הפוך במרחקים שלהן ממרכז הגביש (למשל, ).
מרחקים אלו פרופורציונליים, לכן, לאנרגיות החופשיות המשטחיות הספציפיות: .
במילים אחרות: פנים עם אנרגיה חופשית משטחית חופשית ספציפית גבוהה מצויים רחוק יותר ממרכז הגביש, מאשר אלו עם אנרגיה חופשית משטחית ספציפית נמוכה, לראשונים יש שטח פנים נמוך יותר יחסית.
על סמך תצפיותיו בגבישים שונים, הכליל גיאורג וולף את התוצאות של קירי עבור כל גביש בצורת פוליהדרון: אנרגיית פני השטח המינימלית של פוליהדרון בעל נפח נתון תושג כשהמרחקים של פאות הפליהדרון מנקודה נתונה אחת יהיו פרופורציונליים לאנרגיות המשטחיות הספציפיות של הפאות.
כלומר, עבור כל פאה בפוליהדרון.
בשנת 1951 הכליל ממעבדות בל בניו ג'רזי את משפט וולף לכלל הגופים הקמורים (לאו דווקא פוליהדרונים).
הוא פיתח בנייה גאומטרית לקביעת צורת שיווי המשקל (ECS) של גביש - היא בניית וולף: בשלב ראשון בונים את עקום האנרגיה החופשית הספציפית בכל כיוון, , בקואורדינטות פולריות.
עבור גביש דו-ממדי מותחים מהראשית וקטור בכיוון שאורכו פרופורציונלי לגודלה של האנרגיה המשטחית הספציפית באותו כיוון (החץ האדום באיור).
אוסף קצות הווקטורים בכל הכיוונים יוצר את עקום של החומר, הנקרא גם עקום וולף.
בשלב שני קובעים גרפית את צורת שיווי המשקל של הגביש (ה-ECS) בצורה הבאה: בכל נקודה על עקום וולף מעבירים משיק, , לעקום (ישרים כחולים באיור), כלומר ניצב לקו הרדיאלי המחבר את הנקודה עם מרכז העקום (הישרים החומים באיור).
המעטפת הפנימית של משיקים אלו נותנת את צורת שיווי המשקל (מסומנת בעקום כחול מודגש באיור).
אם יש חודים בעקום וולף, הבנייה תיתן צורת שיווי משקל שיש בה פאות מישוריות (הקווים הכחולים הישרים, שניצבים לקווים השחורים באיור).
אם פאות אלו לא חותכות זו את זו בתוך עקום וולף, יתקבלו ב-ECS "פינות מעוגלות" (מחוספסות, המכילות מספר רב של מישורי שיווי-משקל), המפרידות בין המישורים הראשיים המרכיבים את צורת הגביש בשיווי-משקל (4 הפינות הכחולות המעוגלות באיור).
הצורה של הפינות המעוגלות נקבעת על ידי המעטפת הפנימית של המשיקים לעקום וולף משני העברים של כל "פינה".
בגלל האזורים המחוספסים ב-ECS, קביעתה של צורת הגביש בשיווי-משקל מעקום וולף אינה תמיד קלה כל כך.
הרינג תיאר במאמרו בנייה נוספת - בניית הרינג - האומרת היכן במרחב האמיתי יופיע מישור בעל כיוון מסוים.
הבנייה מקשרת, אם כן, בין נקודות במרחב האנרגיה-כיוון , ובין נקודות במרחב האמיתי .
במקרה זה רוצים לדעת האם הכיוון מיוצג בגביש בצורת שיווי המשקל שלו בנקודה שכיוונה ?
במילים אחרות, האם בכיוון כלשהו בגביש קיים, בצורת שיווי-המשקל שלו, מישור כלשהו, שכיוונו , כלומר מישור שניצב לווקטור , היכן ש- היא הראשית של עקום וולף [או בדו-ממד].
זה יהיה המצב אם המישור הוא חלק מהמעטפת הפנימית של המשיקים לעקום וולף , כך שאין משיק אחר ל- החותך את הכיוון קרוב יותר לראשית.
הבנייה מורכבת מציור עיגול שקוטרו מתחיל בראשית של עקום וולף () ומסתיים בנקודה הנדונה , כך שישיק לעקום וולף, (בדו-ממד), בנקודה .
הזווית כי היא נשענת על קוטר, ולכן כיוון המישור הוא (כלומר, הוא אמנם משיק לעקום וולף).
אם העיגול של הרינג מצוי כולו בתוך העקום אז המישור (שכיוונו: ) יופיע ב-ECS בנקודה .
אם, לעומת זאת, חלק מעקום וולף חודר לתוך עיגול הרינג, אז המישור שכיוונו אינו קיים ב-ECS בנקודה .
צורת שיווי המשקל של הגביש היא, אם כן, המקום הגאומטרי של כל הנקודות על הכדורים המשיקים שאינם נחתכים על ידי חלקים אחרים של עקום .
נניח שהעיגול של הרינג מצוי כולו בתוך העקום (חלק א' באיור).
עבור כל נקודה על עקום , שונה מ-, חייבת להימצא נקודה אחרת כלשהי, בין ו-, שנמצאת על העיגול המשיק, כך ש‑.
המישור המקביל ל- והעובר ב- (כלומר המשיק ל- ב-) חייב לחתוך את הכיוון מחוץ לעיגול המשיק.
זאת אומרת, רחוק יותר מהראשית מאשר המשיק .
לכן, בכיוון המשיק ל- נמצא על המעטפת הפנימית של המשיקים ל-, ומכאן שהוא מצוי ב-ECS.
כעת נניח שחלק מעקום וולף חודר לתוך עיגול הרינג (חלק ב' באיור).
במקרה כזה קיימת לפחות נקודה אחת על עקום וולף, למשל הנקודה , שמצויה בין ובין נקודה אחרת שעל העיגול המשיק.
כעת (כי היא נשענת על קוטר).
הישר העובר דרך ומקביל ל- הוא המשיק ל- ב-.
הוא חותך את בנקודה בתוך העיגול.
כלומר, קרוב יותר לראשית בכיוון מאשר המשיק ל- ב-.
לכן, המישור אינו יכול להיות חלק מהמעטפת הפנימית של המשיקים, ולא יימצא ב-ECS.
צורות שיווי המשקל של המקרים א' ו-ב' מוראות בכחול ב-ג' ו-ד', בהתאמה.
התלות בטמפרטורה של צורת שיווי-המשקל של הגביש - טמפרטורת חספוס
האנרגיה החופשית המשטחית הספציפית תלויה בטמפרטורה, ולכן עקום וולף וצורת שיווי המשקל של הגביש משתנים עם הטמפרטורה.
תופעה מעניינת הקשורה בכך היא מעבר החספוס (roughening transition).
מעבר זה מאופיין בהיעלמות הפאות בצורת שיווי המשקל של הגביש, כאשר הטמפרטורה העולה מגיעה לערך מסוים, הקרוי טמפרטורת החספוס.
בטמפרטורות נמוכות מטמפרטורת מעבר זו מתחילות להופיע פאות בצורת הגביש, אבל ישנם בה אזורים מעוגלים (מחוספסים), קמורים.
אזורי החספוס הללו הולכים וקטנים עם הורדת הטמפרטורה, עד שבסופו של דבר יופיעו בצורה צלעות וקודקודים.
זה מודגם סכמתית באיור עבור המקרה של גבישים של מלח בישול.
בטמפרטורה נמוכה מ-620 מעלות צלזיוס יש לגבישים הללו את צורת הקובייה האופיינית להם.
זה מתאים, בהצגה דו-ממדית, ל-ECS ולעקום וולף שבחלק ד' של האיור למעלה.
ב-650 מעלות מתחילים להתעגל הקודקודים של הקובייה, ובטמפרטורה גבוהה יותר גם הצלעות, כמוראה באיור עבור 700 מעלות בערך.
מצב זה מתאים ל-ECS ולעקום וולף שבחלק ג' באיור למעלה.
ההתעגלות (החספוס) של כיוונים מסוימים בגביש נובעת מכך שכאשר מעלים את הטמפרטורה גְּדֵלוֹת האנרגיות החופשיות המשטחיות הספציפיות בגלל תרומת האיבר האנטרופי לאנרגיה החופשית.
כתוצאה מכך החודים בעקום וולף בולטים פחות (פנימה) וצורת העקום מתעגלת (השוו, באיור למעלה, בין עקום וולף בחלק ב' - טמפרטורה נמוכה, והעקום בחלק א' - טמפרטורה גבוהה).
שימוש ב-ECS לקביעת אנרגיות משטחיות ספציפיות
צריך לשים לב שבדרך כלל הצורה של גבישים (בעיקר בטבע) אינה צורת שיווי המשקל שלהם.
במקרים אלו הצורה של הגביש נקבעת על ידי שבירתו במישורים מסוימים, או ליטושו במישורים מסוימים, למשל בהכנת אבני חן כמו יהלומים; או על ידי קצב הגידול של המישורים השונים של הגביש.
מעשית, גבישים מגיעים לצורת שיווי המשקל שלהם אם האטומים יכולים לפעפע על פני השטח שלהם במהירות גבוהה מספיק כדי להגיע לאתרים המעודפים אנרגטית (כלומר שהאנרגיה החופשית שלהם מינימלית) על פני השטח.
זה אפשרי, למשל, בגבישים קטנים של מתכות בטמפרטורות גבוהות מספיק.
כאשר גבישים מקבלים באמת את צורת שיווי המשקל שלהם, אפשר, תוך הסתמכות על משפט וולף, למדוד באמצעותה את האנרגיות המשטחיות של החומר בכיוונים השונים.
זאת, אם ידועה, לפחות בכיוון אחד, האנרגיה המשטחית של החומר באותם תנאים.
או, לכל הפחות, אפשר למצוא את היחסים בין האנרגיות המשטחיות הספציפיות של החומר בכיוונים השונים הקיימים ב-ECS.
שכן, לפי משפט וולף, היחסים בין המרחקים לפאות ב-ECS ממרכזו שווים ליחסי האנרגיות המשטחיות הספציפיות בכיוונים אלו, וליחסים ההפוכים של שטחי הפאות: .
במשוואה זו מציין את שטח הפאה, והאינדקסים מציינים את הכיוונים המתאימים בגביש.
אף שמשפט וולף מתייחס לצורת הגבישים בשיווי משקל תרמודינמי, בעבודתו של וולף נעשו רוב התצפיות לגבי הגידול של גבישים, קרי המצב הקינטי ולא התרומדינמי.
הוא אף ביטא זאת בשם המאמר שפרסם: "על השאלה של מהירות הגידול וההמסה של משטחים גבישיים".
הוא הניח שקיים קשר ישיר בין האנרגיה החופשית של המישורים הגבישיים ובין קצב הגידול שלהם, אך זה לא תמיד המצב.
כך התפתחה "בניית וולף קינטית" (kinetic Wulff construction), שבה מוחלפות האנרגיות המשטחיות הספציפיות עבור הכיוונים הגבישיים השונים במהירויות הגידול של הגביש בכיוונים אלו.
גישה זו זוכה לתשומת לב רבה בפענוח וחיזוי הצורה של ננוחלקיקים חופשיים או על משטחים, וכן כאלו עם גבולות תאום.
היא שימושית גם באפיטקסיה על מישורים גבישיים לא שכיחים.
באופטימיזציה קמורה, משפט התמיכה טוען שבהינתן קבוצה קמורה ונקודת שפה, ניתן להעביר היפר-מישור שיחלק את המרחב לשני חלקים כאשר הקבוצה מוכלת כולה באחד מהם וההיפר מישור מכיל את נקודת השפה.
משפט זה הוא משפט יסודי ונחוץ להוכחת משפט קארוש-קון-טאקר - אחת מהתוצאות המרכזיות בתחום.
המשפט דומה בנוסח למשפט ההפרדה הבסיסי אך מתייחס לנקודת שפה של הקמורה במקום לנקודה כללית שלא נמצאת בקבוצה.
תהי קבוצה קמורה עם פנים לא ריק במרחב האוקלידי ותהי בשפה של .
תהי נקודה פנימית ו- נקודת שפה של .
נשים לב שלכל כנ"ל מתקיים כי אחרת, על פי למת הנגישות, הקו מכיל אך ורק נקודות פנימיות.
אבל אם נציב נקבל ש נקודה פנימית של סתירה.
מהעובדה ש נוכל להפעיל את משפט ההפרדה הבסיסי ולקבל וקטור המקיים:
מאחר שהאי שוויון הנ"ל יישמר גם אם ננרמל את נרשה לעצמנו להתייחס לכל כווקטור מנורמל, כלומר לכל .
נגדיר סדרה המקיימת שתי תכונות:
נשים לב ש לכל .
ולכן ממשפט בולצאנו ווירשטראס קיימת לסדרה תת סדרה ששואפת לאיזשהו .
מרציפות הנורמה נובע שהגבול מקיים ולכן בפרט מתקיים .
אבל אם כך אז מרציפות המכפלה הפנימית מתקבל:
משפט הרציפות של לוי, שנקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי פול לוי (Paul Lévy) הוא משפט בתורת ההסתברות.
הוא מקשר בין התכנסות בהתפלגות של סדרת משתנים מקריים לבין התכנסות נקודתית של סדרת הפונקציות האופייניות המתאימות לאותה סדרת משתנים מקריים.
המשפט משמש ככלי מהותי להוכחת משפט הגבול המרכזי, מסייע בקביעת התכנסות של משתנים אקראיים ובכך תורם גם להבנה של תהליכים אקראיים.
המשפט נוסח על ידי המתמטיקאי הצרפתי פול לוי (Paul Lévy) בשנות ה-30 של המאה ה-20. תחת תנאים מסוימים, המשפט מוכיח שקילות בין ההתכנסויות המתוארות בפתיח, רציפות הפונקציה אליה מתכנסות הפונקציות האופייניות והדיקות רצף המידות של המשתנים המקריים.
סדרה של משתנים מקריים המקבלים ערכים ממשיים.
סדרת המידות התואמות לסדרת המשתנים המקריים.
סדרת הפונקציות האופייניות התואמות לסדרת המשתנים המקריים, שעל פי הגדרתן מקיימות: , כאשר הוא אופרטור התוחלת.
אם סדרת הפונקציות האופייניות מתכנסת נקודתית לפונקציה כלשהי , כלומר:
הסדרה מתכנסת בהתפלגות למשתנה מקרי כלשהו .
ניתן לסמן זאת כך: .
הפונקציה היא פונקציה אופיינית של משתנה מקרי כלשהו .
סדרת המידות הדוק במובן של מידות.
כלומר לכל , קיימת תת קבוצה קומפקטית של כך שלכל המידות מתקיים: .
ישנן מספר דרכים להוכיח את המשפט, נהוג להוכיח שקילות בין מספר תנאים במספר שלבים, דוגמה לעיקרי השלבים במשפט זה תהיה:
הוכחת התכנסות נקודתית של פונקציות אופייניות מהנחת התכנסות בהתפלגות של המשתנים המקריים בעזרת פירוק הפונקציות לשני חלקיהן – הממשי והמדומה.
הסקת רציפות מתכונות הפונקציות האופייניות.
הוכחת תכונת ההדיקות של רצף המידות מהנחת התכנסות הפונקציות האופייניות.
הוכחת התכנסות בהתפלגות של רצף משתנים מקריים מהנחת תכונת ההדיקות של רצף המידות התואם בעזרת המשפט של פרוכורוב .
בהוכחה ניתן להיעזר גם במונח התכנסות חלשה השקול להתכנסות בהתפלגות.
המשפט של לוי נמצא בשימוש רחב בתורת ההסתברות, במיוחד בהבנת התנהגות של סדרות של משתנים אקראיים.
הוא נמצא בשימוש בבעיות שונות כדוגמת:
תיאור התנהגות סכומים של משתנים אקראיים בלתי תלויים.
מודלים כלכליים וסטטיסטיים, במיוחד במודלים של הילוך מקרי או תהליכים מקריים.
הסבר של התפלגות גבולית בתהליכים כמו תהליכים פואסוניים או תהליכים מרקוביים.
בנוסף, המשפט נמצא בשימוש בהוכחות של משפטים מתקדמים יותר בתורת ההסתברות.
המשפט של לוי קשור קשר הדוק למשפט הגבול המרכזי, שכן שניהם עוסקים בהתכנסות של סדרות של משתנים אקראיים.
עם זאת, בעוד שלמשפט הגבול המרכזי יש דרישות חזקות לגבי המבנה של סדרת המשתנים האקראיים (כגון אי-תלות והתפלגות זהה בחלק מגרסאותיו), המשפט של לוי דורש תנאים רפים יותר.
למעשה, המשפט של לוי מאפשר להוכיח את משפט הגבול המרכזי בעזרת השקילות בין התכנסות המשתנים לבין התכנסות הפונקציות האופייניות.
משפט השמאל הקיצוני בדרזדן היה משפט פלילי שנערך בבית המשפט העליון של סקסוניה בדרזדן בין ספטמבר 2021 למאי 2023, שבו נידונה פעילת השמאל רדיקלי לינה אנגל, בת 28, ועמה שלושה נאשמים נוספים, על שש תקיפות אלימות נגד מי שזוהו כפעילי ימין רדיקלי ונאו-נאצים.
ב-31 במאי 2023 הרשיע בית המשפט את לינה אנגל בשישה סעיפי אלימות, כולל ניסיון לרצח, וגזר עליה חמש שנים ושלושה חודשי מאסר, בעוד יתר הנאשמים קיבלו עונשי מאסר קצרים יותר.
היות שבגרמניה נהוג שלא לציין את שמות הנאשמים במלואם, לעיתים קרובות התייחסו לארגון בתור "הקבוצה של לינה אי", או "כנופיית הפטיש" (Hammerbande), בשל השימוש בפטישים ככלי נשק.
בשנת 2022, המשרד הפדרלי להגנת החוקה פרסם דו"ח שקבע כי חלה עלייה משמעותית בקיצוניות השמאל הרדיקלי בגרמניה, עם אלימות המופנית "בעיקר כלפי המשטרה והימין הקיצוני", וקישר בין קיצוניות השמאל הרדיקלי לקבוצות מחאה למען האקלים.
הדו"ח השנתי של המשטרה הפדרלית הגרמנית באותה שנה הצביע על ירידה במקרים המיוחסים לקיצוניות שמאל בשנת 2022, ועלייה של 16% במקרים המיוחסים לקיצוניות ימין.
המשטרה הגרמנית מצאה כי 23,493 פשעים רשומים יוחסו לימין הרדיקלי בשנת 2022, לעומת 6,976 פשעים שיוחסו לשמאל הרדיקלי באותה שנה.
סבין פולק מאוניברסיטת פסאו אמרה ל-BBC כי יש תפיסה "שהמדינה לא עושה שום דבר נגד הסצנה הנאו-נאצית" בקרב השמאל הרדיקלי בגרמניה, והוסיפה כי התפיסה "אינה נכונה לחלוטין אך גם לא מופרכת".
לינה אנגל, סטודנטית מקאסל, למדה עבודה סוציאלית בלייפציג שבמזרח גרמניה, והתמקדה במניעת רדיקליזציה של בני נוער על ידי הימין הקיצוני.
לפי דויטשה ולה, היא עברה פוליטיזציה בעקבות הרציחות של ארגון הטרור הנאו-נאצי "המחתרת הנאציונל-סוציאליסטית" (NSU) בשנות ה-2000, והמשפט בעקבותיהם, שעורר מחלוקת משמעותית סביב קשרים בין שירותי הביון הגרמניים לימין הקיצוני.
הקבוצה שלה הואשמה בביצוע שש תקיפות נגד מטרות ימין קיצוני בסקסוניה ובתורינגיה בין השנים 2018 ל-2020. לינה נקבעה כראש הקבוצה, ובית המשפט פסק שהיא ארגון פשע.
הקבוצה השתמשה בתעודות זהות מזויפות, פאות, ציוד גנוב וטלפונים חד-פעמיים כדי להתחמק מלכידה.
האלימות כללה שתי תקיפות נגד ליאון רינגל, פעיל ימין קיצוני ידוע.
רינגל הותקף לראשונה בסוף 2019 בפאב באייזנך הידוע כמקום מפגש של נאו-נאצים.
הוא הוכה בפטישים ובאלות, והותקף שוב שבועות לאחר מכן ליד מכוניתו.
בינואר 2021, אותו פאב הותקף שוב באמצעות מטען חבלה, ללא נפגעים.
על חזית הפאב רוסס גרפיטי באנגלית: "נלחמים בנאצים כל יום".
רינגל החליף את הגרפיטי בכתובת אחרת: "אנחנו נשארים כאן!" .
בקונביץ, לייפציג, הותקף בפטישים וסבל משבר בגולגולת, שדרש ניתוח והשתלה של לוחות מתכת הוא חבש כובע עם סמלים של הימין הקיצוני.
מאוחר יותר הוא טען שהוא כבר לא פעיל בסצנת הימין הקיצוני, ושהכובע הוא פריט ישן מהמלתחה שלו.
תקיפה נוספת בשנת 2020 כללה כ-20 חברים מהקבוצה של לינה.
במהלך אירוע זה, שישה אנשים הותקפו במהלך טקס לציון הפצצת דרזדן, אירוע שבו משתתפים לעיתים קרובות אנשי הימין הקיצוני הגרמני.
התקיפה גרמה למספר פציעות חמורות כתוצאה ממכות ומאלימות.
לינה אנגל נעצרה לראשונה ביולי 2020 ושוחררה לאחר חמישה ימים, אך בנובמבר 2020 נעצרה שוב ושוהה במעצר עד מתן גזר הדין.
ההליך הפלילי נגד לינה אנגל ואחרים נפתח בספטמבר 2021 ונמשך יותר משנה וחצי, וכלל כמעט 100 ימי דיונים, עדים רבים וראיות מגוונות, כולל ממצאים טכנולוגיים, תקשורת פנימית ותיעוד ויזואלי.
בית המשפט פעל תחת אבטחה כבדה וזהות חלק מהנאשמים נשמרה אנונימית.
רינגל, כמו גם מודיע של המדינה מתוך הקבוצה, הידוע בשם "יוהנס ד.", שימשו כעדי מפתח.
התביעה דרשה עונש של שמונה שנות מאסר.
הקבוצה בראשותה של לינה אנגל הואשמה בתקיפות חוזרות של לפחות שישה אירועים בין אוקטובר 2018 לאביב 2020, שבהן נפגעו 13 בני אדם המזוהים עם חוגים ניאו־נאציים.
הקורבנות הוכו בפטישים והותזו עליהם נוזלים חומציים מכילי כלור, והקבוצה פעלה מאז אוגוסט 2018 כ"התאגדות פלילית" במטרה לתקוף את אנשי הימין הקיצוני באופן שיטתי.
בדצמבר 2019 שוב הותקף רינגל; ותקיפה בתחנת הרכבת בוורצן בפברואר 2020, שכללה אלימות פיזית, גז מדמיע ואגרופים, עם ארבעה פצועים קשה.
ב-31 במאי 2023, ביום האחרון של המשפט, השופט הנס שלוטר-שטאטס מבית המשפט האזורי הגבוה בדרזדן הצהיר כי אף שהפעילות נגד קיצונים מהימין היא מניע מכובד, לינה אנגל ביצעה פשעים חמורים וכי אלימות לגיטימית שייכת למדינה בלבד.
בית המשפט הרשיע אותה בגין חברות בארגון פלילי ובתקיפות חמורות וגזר עליה חמש שנים ושלושה חודשים בכלא.
עם הכרזת פסק הדין, צופי השמאל הרדיקלי צעקו סיסמאות נגד בית המשפט, מה שגרם להכרזת הפסקה של 15 דקות.
אנגל שוחררה למעצר בית במקביל למתן ערעור, כאשר החלטה על אישור או ביטול העונש עלולה להימשך עד שנה וחצי, ודרכונה הוחרם למניעת סיכון בריחה.
יתר הנאשמים קיבלו עונשי מאסר של שנתיים וחצי עד שלוש שנים, כאשר יונתן פיליפ מ', יניס ר' ולנארט א' היו חברים בקבוצה בתקופות שונות והציגו אליבי או היסטוריה משפטית שונה.
באוקטובר 2023 נפתחה חקירה חדשה נגד אנגל בחשד למעורבות בניסיון רצח נוסף.
שרת הפנים של גרמניה, ננסי פזר, אמרה כי הממשלה תפעל בנחישות נגד כל אלימות שמאלנית בעקבות פסק הדין.
היא טענה כי אין מקום לצדק של לינץ במדינה חוקתית ודמוקרטית.
מפלגת הימין הקיצוני "אלטרנטיבה לגרמניה" בירכה על פסק הדין, האשימה את לינה אנגל בטרור, וקראה לעונש ארוך יותר עבור הנאשמים.
יוכן קופלקה, ראש איגוד המשטרה (Gewerkschaft der Polizei), גינה את שחרורה של לינה אנגל בערבות, וקבע כי "היה לנו ברור כשוטרים שגם אנחנו נהיה מוקד של קיצוניים".
מספר כלי תקשורת ערכו השוואות בין הקבוצה של לינה אנגל לבין סיעת הצבא האדום.
עורכי הדין של לינה טענו כי המשפט היה בעל מניעים פוליטיים, והסיתו אנשים להתנגד למערכת המשפט ולשחרר את התוקפת.
יו"ר הנוער הירוק, טימון דזינוס, הטיל ספק בפסק הדין.
הוא צייץ: "תהליך מוגזם לחלוטין המבוסס על ראיות מפוקפקות מנוצל במלוא חומרתו נגד לינה אנגל ופעילי שמאל אחרים.
איזה שטויות - לכן FreeLina!".
תגובה זו עוררה ביקורת מצד חברי מפלגת האיחוד הנוצרי-דמוקרטי.
מחאות נגד פסק הדין אורגנו על ידי קבוצות שמאל בברלין, המבורג, דרזדן וערים נוספות.
בעיר לייפציג, פרצו התנגשויות בין מפגינים לשוטרים בהפגנה הראשונה לאחר המשפט, עם השתתפות של כ-800 מפגינים.
בתגובה למחאה גדולה יותר שכונתה "יום X" , שתוכננה להתקיים ב-3 ביוני, העיר אסרה על התכנסויות ציבוריות.
כ-1,500 מפגינים השתתפו במחאת "יום X" האסורה, שפוזרה על ידי המשטרה.
במתמטיקה, ובפרט באלגברה, משפט השורש הרציונלי הוא משפט המאפשר לסווג שורשים רציונליים של פולינומים במקדמים שלמים.
באמצעות משפט זה ניתן למצוא את השורשים הרציונליים על-ידי בחינה של מספר סופי של ערכים, מה שמאפשר חיפוש מהיר של כל השורשים הרציונליים האפשריים של הפולינום.
משפט השורש הרציונלי הוא מקרה פרטי של הלמה של גאוס.
בערך זה נסמן ב-, ו- את קבוצות המספרים הטבעיים, השלמים והרציונליים בהתאמה.
כמו כן, נסמן ב- את חוג הפולינומים במקדמים שלמים עם משתנה אחד .
לבסוף, נסמן ב- את היחס מחלק את ( מחלק את ).
יהי פולינום מדרגה כאשר הוא המקדם החופשי של ו- הוא המקדם המוביל של .
כמו כן, יהי זוג מספרים זרים כאשר הוא שורש של .
מאחר ש- הוא שורש של , מתקבל כי:
מכפילים את שני הצדדים של המשוואה האחרונה ב- ומתקבל:
מעבירים את הביטוי לאגף הימני ומוציאים מכנה משותף מהאגף השמאלי, בכך מתקבל:
מאחר ששני אגפי המשוואה הם מספרים שלמים, ו- מחלק את האגף השמאלי, בהכרח מחלק גם את האגף הימני, כלומר .
עם זאת, ו- זרים זה לזה, לכן בהכרח .
באופן זהה, חוזרים למשוואה , מעבירים את הביטוי לאגף הימני ומוציאים מכנה משותף מהאגף השמאלי.
באופן זהה לעיל, מתקבל כי , אך כאמור ו- זרים זה לזה.
נתבונן בפולינום השלם ונרצה למצוא את כל השורשים הרציונליים שלו.
אם הם זוג מספרים זרים כאשר הוא שורש של , לפי משפט השורש הרציונלי מתקבל כי:
, על כן ערכיו האפשריים הם .
מתוך כך, מכיוון ש-, הערכים היחידים שהוא יכול לקבל הם והנגדיים להם.
בסך הכול, מדובר במספר כולל של 32 ערכים שונים ש- יכול לקבל.
על-ידי בדיקתם אחד-אחד מתקבל שהערך היחידי שהוא אכן שורש של הוא .
על-ידי שימוש בתשובה זו, ניתן להשתמש בחלוקת פולינומים כדי לפרק את הפולינום :
הפולינום הימני הוא פולינום מדרגה 2 שאותו ניתן לפתור באמצעות פתרון משוואה ריבועית.
מאחר שהדיסקרמיננטה של פולינום זה היא שלילית, מתקבל ששאר השורשים של הם בהכרח מרוכבים.
בעוד שמשפט השורש הרציונלי עוסק בפולינומים במקדמים שלמים, ניתן להשתמש בו כדי למצוא שורשים רציונליים של פולינומים במקדמים רציונליים.
בהינתן פולינום כלשהו וקבוע , הוא שורש של אם ורק אם הוא שורש של .
על כן, הכפלת פולינום בקבוע לא משנה את השורשים שלו.
בשל כך, אם הוא פולינום במקדמים רציונליים, ניתן לקחת את המכנה המשותף של כל מקדמי הפולינום השונים מ-0 ולהכפיל אותו ב-.
הפולינום החדש הוא פולינום במקדמים שלמים, משמע ניתן להשתמש במשפט השורש הרציונלי כדי למצוא את השורשים הרציונליים שלו, שהם גם השורשים הרציונליים של .
יהי פולינום מדרגה כאשר הוא המקדם החופשי של .
כמו כן, יהי שורש שלם של .
מאחר ש- ו- הם בהכרח זרים, הם מקיימים את התנאים של משפט השורש הרציונלי.
לכן לפי משפט זה מתקיים ש-.
שורש רציונלי של פולינום מתוקן
יהי פולינום מתוקן (כלומר, פולינום שהאיבר המוביל שלו הוא ).
כמו כן, יהי שורש רציונלי של .
אזי בהכרח שלם (כלומר, ).
מסמנים כאשר זוג מספרים זרים.
לפי משפט השורש הרציונלי, מחלק את האיבר המוביל, כלומר .
לכן בהכרח ו-, כלומר שלם.
יהי זוג מספרים טבעיים כך שהשורש ה--י של , , הוא מספר רציונלי.
אזי בהכרח שורש זה הוא מספר טבעי.
מסתכלים על הפולינום במקדמים שלמים .
לפי ההנחה, קיים לפולינום זה שורש רציונלי שמקיים .
עם זאת, מאחר ש- הוא פולינום מתוקן, הוא בהכרח מספר שלם, לפי המסקנה לעיל.
אם הוא מספר שלילי, אז בהכרח זוגי, אחרת היה שלילי.
במקרה זה גם הוא שורש של הפולינום, והוא שורש חיובי.
על כן, ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות כי חיובי.
מספר חיובי ושלם הוא בהכרח מספר טבעי, לכן שורש טבעי של .
בגאומטריה, משפט ואן אובל הוא משפט הנוגע לבנייה של ריבועים על גבי מרובע כללי.
המשפט מוכיח שהקטעים המחברים את מרכזי הכובד של ארבעת הריבועים, מאונכים זה לזה ושווים באורכם.
המשפט נקרא על שם המתמטיקאי הבלגי הנריקוס אוברטוס ואן אובל שהוכיח את המשפט בשנת 1878.
יהי מרובע כללי בונים על גבי צלעותיו ארבעה ריבועים הפונים החוצה מן המרובע, והם , , ו-.
מסמנים את מרכזי הכובד של הריבועים הללו ב-, , ו- בהתאמה.
ניתן להוכיח את משפט ואן אובל באמצעות המישור המרוכב.
משכנים את כלל התרשים של משפט ואן אובל במישור המרוכב.
יש לשים לב כי וכי .
מאחר שבמישור המרוכב הכפלה של קטע ב- משמרת את אורכו ומסובבת אותו ב-, מקבל כי שווה באורכו ל- ומאונך לו.
משפט חוקתי הוא הענף המשפטי העוסק בחוקים יסודיים השולטים בתחום הכוחות והסמכות של גופים שונים, ביחס לחקיקה וליישום של חוקים אחרים בידי הממשלה.
חוקה מחייבת את הרשות המחוקקת, הרשות המבצעת והרשות השופטת, ומגבילה את המצבים שבהם ניתן לחוקק ולפרש חוקים ולהחיל או להפעיל כוח.
חוקות עשויות להתייחס לגופים שונים, כולל ארגונים, אגודות, אנשים ללא מדינה, מדינות, ערים או פדרציות (ארצות הברית, למשל).
בדרך כלל, משפט חוקתי הוא המשפט של חוקים ומנהגים יסודיים אלו במדינה.
לא לכל מדינה יש חוקה, אך לכל מדינה יש חוקי מדינה שעשויים להיות מורכבים מסוגים שונים של חובות מוסכמות, כגון חוקים מנהגיים, חוקים שבעל פה וחוקים כתובים, ויש אופנים מסוימים שבהם מפרשים אותם.
גם במדינות שיש להן חוקה רשמית לפעמים לא כל החוקים המהווים חלק מהמשפט החוקתי נמצאים בה.
המשפט החוקתי יכול להיות גם שיטת פירוש, המונחית על ידי היסטוריה, מנהג ומוסכמות חוקתיות לא כתובות.
ניתן להשוות, לדוגמה, בין החוקה הכתובה של ארצות הברית לבין המשפט החוקתי הבריטי שמגיע ממקורות שונים הכוללים את המגנה כרטה, את המשפט המקובל (common law), ומקורות מנהגיים אחרים.
בארצות מסוימות, כמו גרמניה וישראל, ידועה החוקה כחוק (או חוקי) יסוד.
ניתן לחשוב על משפט חוקתי כחוקים מסדר שני, או כ"חוקים על איך לחוקק".
באופן כללי, חוקות עשויות להיות מסוג פדרטיבי, שבו כמה רמות של הממשלה קיימות יחד עם תחומים שונים של סמכות שיפוטית על חקיקה, יישום ואכיפה.
דוגמה לחוקה שכזו היא זו של ארצות הברית.
משפט חוקתי עשוי להיות גם מסוג יוניטרי (אחיד), כאשר כוחות הממשל נמצאים כולם בגוף אחד של ממשל וחקיקה.
גם במדינות יוניטריות יש בדרך כלל העברה של סמכויות לרשויות מקומיות או עירוניות, אך הממשל המרכזי יכול להחזיק שוב בסמכותו בכל זמן שירצה.
יש גם סוגים אחרים של משפט חוקתי, כגון קונפדרציות, שבהן קבוצות של מדינות לאום, שלכל אחת מהן שלטון עצמאי, יוצרות גוף אחד על מנת להתמודד עם נושאים משותפים שבהם סמכויות מוגבלות נמסרות לסמכות הפדרציה.
העברה כזו נהוגה בפדרציות מכס.
שתי דוגמאות של מערכות חוקתיות שכאלה הן האיחוד האירופי ושווייץ.
עם הקמת המדינה נעשה ניסיון לחוקק חוקה על ידי האספה המכוננת (שקדמה לכנסת הראשונה) אבל ניסיון זה לא צלח, ולכן התקבלה "החלטת הררי" שקבעה כי המדינה תאשר חוקי יסוד, אשר לבסוף יקובצו כולם לחוקה אחת.
עם זאת, לאורך העשורים הראשונים לקיומה של המדינה לא ניתן לחוקי היסוד מעמד גבוה יותר מאשר לחוקים רגילים והם נחשבו לשווי ערך להם (למעט לעניין "שריון" של חלקם בפני שינוי באמצעות דרישה לרוב מיוחס).
המצב השתנה בשנת 1992, עם חקיקת שני חוקי יסוד חדשים: חוק יסוד: כבוד האדם וחירותו וחוק יסוד: חופש העיסוק.
על בסיס חוקים אלו החליט בית המשפט העליון בשנת 1995 (בפסק דין בנק המזרחי), שחוקי היסוד כולם הם במדרגה עליונה מעל לחוקים רגילים, ולמעשה ההתייחסות לכלל חוקי היסוד תהיה התייחסות כאל חוקה.
בטופולוגיה, משפט טיכונוב קובע שאם משפחה של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים, אז גם מרחב המכפלה קומפקטי.
המשפט נחשב אחד המשפטים החשובים ביותר בטופולוגיה כללית, אם לא החשוב שבהם, והוכיח אותו אנדריי טיכונוב בתחילת שנות ה-30 של המאה ה-20.
כאשר מדובר במכפלה של מספר סופי של מרחבים, ההוכחה נובעת בקלות יחסית מן ההגדרה של טופולוגיית המכפלה.
אלא שהמשפט תקף גם עבור מכפלות מכל גודל (ואפילו שאינן בנות מנייה) עם טופולוגיית המכפלה (המכונה גם טופולוגיית טיכונוב).
משפט זה מספק גם צידוק משמעותי להעדפת טופולוגיית המכפלה על פני טופולוגיית התיבות.
מלבד היישומים של המשפט בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית, משפט טיכונוב מוכר בתורת הקבוצות האקסיומטית כניסוח שקול לאקסיומת הבחירה הקובעת שאם כל הקבוצות במשפחה אינן ריקות אז גם קבוצת המכפלה אינה ריקה.
הגרסה המוחלשת של המשפט, המתייחסת רק לקומפקטיות של מכפלת מרחבי האוסדורף קומפקטיים, אינה גוררת את אקסיומת הבחירה.
עם זאת, גם הגרסה המוחלשת אינה ניתנת להוכחה במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל (ZF, ללא אקסיומת הבחירה).
ישנן מספר הוכחות למשפט טיכונוב.
בעזרת משפט אלכסנדר לתת בסיסים: לטופולוגיית המכפלה יש תת-בסיס טבעי שהוא כאשר .
לפי משפט אלכסנדר, כדי להוכיח קומפקטיות מספיק להתבונן בכיסוי של מרחב המכפלה על ידי קבוצות מ-.
בלי הגבלת הכלליות, המרחב עצמו אינו שייך ל-.
עבור מסוים, נסתכל על כל הקבוצות מהצורה שמשתתפות בכיסוי הנתון.
אם ה- האלה מכסים את אז יש מספר סופי מהם שמכסה את בגלל הקומפקטיות שלו, ולכן יש גם מספר סופי של שמכסה את כל מרחב המכפלה וסיימנו.
נניח בשלילה כי לכל הקבוצות מהכיסוי שמהצורה מקיימות כי ה- אינן מכסים את .
מאקסיומת הבחירה ניתן לבחור לכל איבר שאינו ב- הנ"ל.
טענה: אינו מכוסה על ידי הכיסוי (וזו סתירה!).
הוכחה: אחרת קיימת קבוצה מהצורה שהוא שייך אליה אבל לפי הבחירה .
בעזרת שקילות להתכנסות על מסננים: יהא על מסנן של אזי הוא על מסנן של (כאשר היא ההטלה על רכיב ).
ולכן קיים לו גבול שנסמנו .
כעת, נראה כי הוא גבול של וסיימנו.
אכן כל סביבה של מכילה קבוצה פתוחה בסיסית עבור קבוצה סופית.
ולכן לכל קיימת כך ש- ואז (חיתוך סופי) מקיימת .
הוכחה בעזרת חיתוך של קבוצות סגורות: יהי אוסף של קבוצות סגורות שכל חיתוך סופי מתוכו אינו ריק.
נראה כי החיתוך של כולן אינו ריק.
לפי הלמה של צורן קיימת מקסימלית (ביחס להכלה) שמכילה את ומקיימת שכל חיתוך סופי של קבוצות מ- לא ריק ומניחים בשלילה כי .
כיוון ש- מקסימלית אזי כל חיתוך סופי של קבוצות מ- גם הוא ב- (אחרת נוכל להוסיף את החיתוך ל-).
ומכאן שכל קבוצה שנחתכת עם כל איבר ב- גם היא ב- (אחרת נוכל להוסיף אותה ל-).
כעת, לכל הקבוצה מקיימת כי כל חיתוך סופי של קבוצות ממנה לא ריק ולכן זה נכון גם עבור ולכן בגלל קומפקטיות של קיים .
נסיים בכך שנראה ש- נמצא ב-.
לשם כך תהא סביבה פתוחה בסיסית (עבור קבוצה סופית) של ויהא ו-.
אזי מתקיים כי (כיוון ש- ו- סביבה פתוחה שלה ב-) ולכן .
לכן לכל מתקיים כי ולכן (בגלל המקסימליות של ).
ומכאן נקבל כי (בגלל המקסימליות של וזהו חיתוך סופי של קבוצות משם) ולכן מהגדרת נקבל כי לכל מתקיים מה שאומר כי ולכן גם בחיתוך של כולם .
יהא מרחב טופולוגי עם תת בסיס .
אם לכל כיסוי של המרחב על ידי קבוצות מ- יש תת-כיסוי סופי, אז קומפקטי.
הוכחה: נניח בשלילה כי אינו קומפקטי אזי יש לו כיסוי שאין לו תת-כיסוי סופי.
לפי הלמה של צורן נוכל לבחור כיסוי מקסימלי (ביחס להכלה) שאין לו תת-כיסוי סופי, בה"כ הוא אוסף של קבוצות פתוחות בסיסיות.
כלומר לכל קבוצה פתוחה שלא נמצאת ב- מתקיים כי לכיסוי יש תת-כיסוי סופי.
מהגדרת ולפי הנחת המשפט מתקיים כי אינו כיסוי של המרחב (אחרת היה לו תת-כיסוי סופי לפי הנתון, בסתירה להגדרת ) לכן קיים שאינו מכוסה על ידי אף אחת מהקבוצות .
כיוון ש- כיסוי קיימת קבוצה בסיסית (כאשר ) כך ש-.
כיוון שאף קבוצה ב- אינה מכסה את נקבל כי לכל .
מהמקסימליות של נקבל כי לכיסוי יש תת-כיסוי סופי.
נסמן את תת-הכיסוי הסופי הזה ללא הקבוצה ב-, נגדיר ונקבל כי הוא כיסוי סופי לכל ולכן גם כיסוי סופי ולכן גם כיסוי סופי.
אבל כיסוי סופי זה מוכל ב- ולכן הוא תת-כיסוי סופי של בסתירה להגדרה .
במסגרת אקסיומות ZF משפט טיכונוב שקול לאקסיומת הבחירה.
תהי משפחה של קבוצות לא ריקות, ונוכיח כי המכפלה אינה ריקה.
לכל נגדיר את הקבוצה להיות האיחוד הזר (פורמלית, ניתן להגדיר ).
על נגדיר מבנה של מרחב טופולוגי, שבו אוסף הקבוצות הפתוחות הוא .
כיוון שב- יש מספר סופי של קבוצות פתוחות, מרחב קומפקטי.
נגדיר מרחב טופולוגי לפי טופולוגיית המכפלה.
לכל נגדיר , שהיא קבוצה פתוחה ב-.
נניח בשלילה כי האוסף מכסה את .
לפי משפט טיכונוב, קיים תת-כיסוי סופי .
כיוון שכל הקבוצות אינן ריקות, ניתן לבחור לכל איבר .
נשים לב כי בחרנו מספר סופי של איברים ולכן אין צורך להשתמש באקסיומת הבחירה.
כעת נגדיר איבר לפי , כאשר כאן לא נעשתה שום בחירה.
בבירור לכל ולכן , סתירה לכך ש- כיסוי של .
מכאן שהנחת השלילה, כי מכסה את , אינה נכונה.
מכאן שלכל מתקיים כי ולכן .
בכך הוכחנו שהמכפלה אינה ריקה, כנדרש.
בתורת הגרפים, משפט זרימה מקסימלית - חתך מינימלי (Max-flow min-cut) עוסק בזרימה המקסימלית שניתן להעביר ברשת זרימה.
המשפט קובע כי כמות הזרימה המקסימלית שניתן להעביר ברשת זרימה שווה לקיבולת המקסימלית של החתך עם הקיבולת המינימלית ברשת.
המשפט הוא מקרה פרטי של הדואליות של תכנון ליניארי ומכליל את משפט מנגר הקובע כי גרף הוא k-קשיר אם ורק אם בין כל שני קודקודים בגרף קיימים k מסלולים זרים בקודקודים והוא k-קשיר-קשתות אם ורק אם בין כל שני קודקודים בגרף קיימים k מסלולים זרים בקשתות.
רשת זרימה מורכבת מגרף , משני צמתים מיוחדים - המקור (Source) והבור (Sink) , ומפונקציית קיבול שמתאימה לכל זוג צמתים את כמות הזרימה המקסימלית שיכולה לעבור מהראשון שבהם אל השני (ויכולה להיות אינסופית, כלומר ללא הגבלה).
אם לא קיימת קשת מ- אל , מניחים כי .
בהינתן רשת זרימה עם פונקציית קיבול , חתך ברשת הזרימה הוא חלוקה של צמתי הרשת לשתי קבוצות זרות שאיחודן כך שאחת מהן מכילה את המקור והשנייה את הבור: .
קיבול של חתך מוגדר באמצעות סכום הקיבולות של הקשתות המצביעות מצומת בקבוצה לצומת בקבוצה (יש לשים לב שההגדרה אי-סימטרית):
חתך מינימלי של רשת זרימה הוא חתך כזה שהקיבולת שלו מינימלית מבין כל החתכים של הרשת.
קיבולת החתך היא כאמור סכום הקיבולות של הקשתות החוצות את החתך, כלומר
נציין שקיבולות כל החתכים הן מספרים טבעיים, ולכן מעקרון הסדר הטוב קיים בקבוצה איבר מינימלי.
פונקציית זרימה מתאימה לכל זוג צמתים את כמות הזרימה מ- אל (לכיוון יש חשיבות), כך שמתקיימים התנאים הבאים:
הערך של זרימה היא סך הזרימה שיוצאת מן המקור, כלומר .
עבור רשת זרימה עם פונקציית קיבול וזרימה חוקית הגרף השיורי (residual graph) הוא רשת זרימה עם אותה קבוצת צמתים וקשתות כך שהקיבול של קשת (u,v) הוא .
משפט זרימה מקסימלית - חתך מינימלי אומר כי שלושת התנאים הבאים שקולים, עבור זרימה :
היא זרימה מקסימלית ברשת הזרימה.
הגרף השיורי של רשת הזרימה עבור הזרימה לא מכיל מסלולי שיפור.
כמות הזרימה שווה לקיבול של חתך כלשהו: .
קיימת גם גרסה של המשפט בו ערכי הזרימה הם מספרים טבעיים (integral version), כלומר המשפט נכון גם כאשר פונקציית הזרימה היא .שאר ההגדרות והדרישות על פונקציית הזרימה נותרות בעינן.
ראשית, אם היא זרימה מקסימלית, והגרף השיורי של רשת הזרימה עבור כן מכיל מסלולי שיפור, אז ניתן להגדיל את על ידי העברת זרימה נוספת באחד ממסלולי השיפור, בסתירה למקסימליות .
כעת, אם הגרף השיורי עבור לא מכיל מסלולי שיפור, ניתן להגדיר חתך בצורה הבאה: יהיה הרכיב הקשיר של הגרף השיורי שמכיל את (כלומר, כל הצמתים שקיים מסלול מ- אליהם בגרף השיורי) ו- יכיל את יתר הצמתים.
מכיל את , שכן אם היה מסלול בין ו- בגרף השיורי, על פי הגדרתו הוא היה מסלול שיפור.
קל לראות שקיבול החתך שווה לכמות הזרימה: אם , אז בהכרח , שכן אם היה מתקיים זו הייתה סתירה לאילוץ הקיבול של הזרימה, ואם היה מתקיים , הרי שהקשת הייתה שייכת לגרף השיורי, ועל פי הגדרת החתכים שלנו, הקשת אינה שייכת אליו.
הגרירה של 3 את 1 היא מיידית שכן קל להראות שהערך של כל זרימה קטן או שווה לקיבולו של כל חתך בגרף.
בתורת הקבוצות האקסיומטית, משפט טַרְסְקִי, אותו הוכיח אלפרד טרסקי, מציג טענה השקולה לאקסיומת הבחירה: טרסקי הוכיח שאם מניחים רק את מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל, אז אקסיומת הבחירה נובעת מן הטענה " לכל עוצמה אינסופית" (לכל קבוצה אינסופית , עוצמתה של המכפלה הקרטזית שווה לזו של ).
הכיוון ההפוך היה ידוע עוד קודם לכן, וכך הטענה שקולה לאקסיומת הבחירה.
כאשר טרסקי הציע את המאמר לפרסום ב- Comptes Rendus Acad.
Paris, דחה אותו מוריס פרשה בטענה שגרירה לוגית בין שתי טענות שהן נכונות ממילא, אינה תוצאה מעניינת.
אנרי לבג דחה אף הוא את המאמר, באומרו שהוא אינו מוצא כל עניין בקשר לוגי בין שתי טענות שקריות.
אפיזודה זו משקפת את הלוך הרוחות בין אנשי תורת הקבוצות בתחילת המאה העשרים, כאשר מעמדה של אקסיומת הבחירה היה שנוי במחלוקת.
מטרתנו להוכיח כי אקסיומת הבחירה נובעת מן הטענה "לכל קבוצה אינסופית מתקיים ".
כידוע, משפט הסדר הטוב שקול לאקסיומת הבחירה, ולכן יהיה מספיק להראות שמן הטענה נובע כי לכל קבוצה קיים סדר טוב.
עבור קבוצות סופיות הטענה מיידית, ולכן נניח כי אינסופית.
כיוון שאוסף כל הסודרים כך שיש פונקציה על מ- אל הסודר היא קבוצה - יש סודר מינימלי, , כך שאין פונקציה על מ- ל-.
נניח בלי הגבלת הכלליות שהקבוצות ו- זרות.
לפי ההנחה, , ולכן קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל .
לכל איבר , לא ייתכן שהקבוצה מכוסה על ידי הפעלת על איברי בלבד (כלומר לא ייתכן שמתקים ), שכן אחרת ניתן היה להגדיר פונקציה על מ- ל-.
לכן, קיים לפחות סודר אחד המקיים , ומכאן שהקבוצה אינה ריקה.
בעזרת תכונה זו נוכל להגדיר פונקציה חדשה: .
פונקציה זו מוגדרת היטב שכן היא קבוצה לא ריקה של סודרים, ולכן קיים לה מינימום.
לכל הקבוצות ו- הן זרות.
על כן g משרה סדר טוב על : לכל שני איברים נגדיר , שהרי התמונה של , קרי , היא קבוצת סודרים ולכן סדורה היטב.
בגאומטריה, משפט חוצה הזווית קובע שחוצה זווית במשולש (זווית פנימית או זווית חיצונית), מחלק את הצלע בה הוא פוגע (או המשכה) ביחס שווה ליחס בין שוקי הזווית.
למשל, בתמונה שבצד, AD חוצה את זווית וחותך את BC ב-D, ולכן,
המשפט מכליל את הטענה שחוצה זווית במשולש שווה-שוקיים הוא תיכון.
המשפט ההפוך נכון גם הוא: אם ישר יוצא מקודקוד של משולש לעבר הצלע ממול ומחלק אותה ביחס שווה ליחס בין הצלעות, אז אותו ישר הוא חוצה זווית.
נסמן באותיות יווניות את שני חלקי הזווית החצויה: ב- את החלק הקרוב לישר AB וב- את החלק הקרוב לישר AC.
נסמן נקודה K על AB (או על המשכה), כך ש-
נקבל, על פי משפט תאלס,
מכיוון ש-, נקבל (כי זוויות מתאימות בין מקבילים שוות זו לזו) וגם (כי זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)
מכיוון ש- (כי AD חוצה זווית), נקבל, על פי כלל המעבר,
מכיוון שבמשולש, מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות, AK=AC
חוצה זווית הוא המקום הגיאומטר של הנקודות במרחק שווה מהצלעות לכן
מכיוון של-, ו- יש גובה משותף מ ל
במדינת ישראל, משפט חוזר הוא הליך משפטי הקבוע בסעיף 31 לחוק בתי המשפט, ואשר מאפשר לבית המשפט העליון להורות על קיומו של משפט חוזר בעניין פלילי שכבר נפסק בו סופית.
מקום המדינה ועד 2025 ביטל בית המשפט העליון הרשעות לאחר תום המשפט והורה על קיום משפט חוזר בכ-35 מקרים בסך הכול.
העילות להגשת בקשה למשפט חוזר
בהתאם לסעיף 31(א) לחוק בתי המשפט, רשאי שופט של בית המשפט העליון שהוסמך לכך להורות על קיומו של משפט חוזר בעניין פלילי, בהתקיים אחד מן התנאים הבאים:
בית משפט פסק שאחת הראיות שהוגשו במשפט המקורי יסודה בשקר או בזיוף, ואלמלא אותה ראיה הייתה תוצאת המשפט משתנה לטובת הנידון.
הוצגו עובדות או ראיות חדשות, העשויות לבדן, או ביחד עם החומר שהיה בפני בית המשפט בראשונה, לשנות את תוצאות המשפט לטובת הנידון.
אדם אחר הורשע באותו המעשה, כשממשפטו של אותו אדם עלה כי מי שהורשע לראשונה בעבירה לא ביצע אותה.
נתעורר חשש ממשי שבהרשעה המקורית נגרם לנידון עיוות דין.
דיון מפורט בתנאי זה ניתן בהחלטה בעניין קוזלי.
העילות למשפט חוזר הורחבו בשנת 1996, עם תיקון סעיף 31(א) לחוק בתי המשפט בעקבות מסקנות הוועדה בראשות השופט אליעזר גולדברג "לעניין הרשעה על סמך הודאה בלבד ולעניין העילות למשפט חוזר".
לאחר התיקון בוטלה הדרישה שהייתה קבועה בחוק כי הראיות שיוצגו בבקשה למשפט חוזר יהיו ראיות חדשות שלא ניתן היה להשיגן בעת המשפט וכן נוספה העילה בדבר "עיוות דין".
עד התיקון האמור לחוק, הורה בית המשפט העליון על עריכת משפט חוזר בשלושה מקרים בלבד.
מאז התיקון התקבלו 23 בקשות נוספות למשפט חוזר.
מדי שנה מוגשות לבית המשפט העליון בממוצע כ-25 בקשות, אולם רובן הגדול נדחה.
הליך הגשת בקשה למשפט חוזר
עד שנת 2004 היו נידונים בישראל רשאים להגיש בקשות למשפט חוזר רק באמצעות היועץ המשפטי לממשלה, אשר קיבל מהנידון את הבקשה והגישה יחד עם תגובתו לבית המשפט העליון.
המשיב בבקשות למשפט חוזר היה היועץ המשפטי לממשלה עצמו.
בשנת 2004 תוקנו תקנות המשפט החוזר, כך שכיום אפשר להגיש בקשה למשפט חוזר ישירות לבית המשפט העליון ולא באמצעות היועץ המשפטי לממשלה.
במסגרת תיקון נוסף לתקנות המשפט החוזר, נקבע כי המשיב בבקשות למשפט חוזר יכול להיות יועץ המשפטי לממשלה, או בא כוחו, שהוא פרקליט המדינה או פרקליט מפרקליטות המדינה בדרגת מנהל לפחות.
בעקבות התיקון, היועץ המשפטי לממשלה האציל את סמכויותיו למנהל המחלקה הפלילית בפרקליטות המדינה, אשר הפכה לגוף המשיב בבקשות למשפט חוזר והנותן מענה לפניות הקשורות בכך.
בבקשה למשפט חוזר דן שופט יחיד בבית המשפט העליון, אשר רשאי לדחות את הבקשה או לקבלה ולהורות על עריכת משפט חוזר.
אם מתקבלת הבקשה, ובהיעדר הסכמה לזיכוי מטעם היועץ המשפטי לממשלה, מתנהל משפט חוזר בבית המשפט העליון או בבית המשפט המחוזי, כפי שנקבע בהחלטה.
המשפט החוזר ככלי לתיקון הרשעות שווא
הליך המשפט החוזר בישראל מנסה לאזן בין שני אינטרסים: מחד – השאיפה לגילוי האמת, תיקון טעויות במעשה השפיטה ומניעת הרשעתם של חפים מפשע, ומאידך - עקרון סופיות הדיון, המבקש להביא לתחימתו והבהרתו של ההליך השיפוטי, כך שלא בקלות ניתן יהיה לפתוח מחדש משפט שהסתיים.
על אף קביעתו של בית המשפט העליון כי המשפט החוזר נועד לספק מנגנון הבא לתקן טעות שנפלה בהרשעתו של אדם, מתוך הכרה כי המערכת המשפטית, ככל מערכת אנושית, אינה חסינה מטעויות, ביטל בית המשפט העליון הרשעות לאחר תום המשפט והורה על קיום משפט חוזר ב-26 מקרים בלבד מאז קום המדינה.
מדובר במספר קטן מאוד של בקשות שהתקבלו, על רקע מספרם של המורשעים בפלילים במדינת ישראל, גודלה של האוכלוסייה וכן בהשוואה למדינות אחרות בעולם.
בשנת 2001 הוסמכה הסניגוריה הציבורית בסעיף 18(א)(9) לחוק הסניגוריה הציבורית, לייצג נידונים בבקשות למשפט חוזר אם הסניגור הציבורי הארצי קבע שיש מקום להגיש עבור נידון בקשה למשפט חוזר וכן התקיימו התנאים הקבועים בסעיף 15(א)(1) עד(3) או (ג) לחוק סדר הדין הפלילי [נוסח משולב], התשמ"ב–1982.
בעקבות התיקון לחוק, הוקמה בסניגוריה הציבורית הארצית מחלקת משפטים חוזרים, שתפקידה לבדוק פניות של נידונים לייצוג בבקשות למשפט חוזר.
על מנת לייצג נידון בבקשה למשפט חוזר, בודקת הסניגוריה הציבורית אם מתקיימת עילה למשפט חוזר לפי סעיף 31 לחוק בתי המשפט.
את המחלקה הקימה וניהלה מאז שנת 2003 עו"ד אפרת פינק מהסניגוריה הציבורית הארצית.
מאז מינויה של עו"ד אפרת פינק לשיפוט, בשנת 2013, מנהלת את המחלקה עו"ד קרן אבלין-הרץ.
בארצות הברית, מאז שנת 1989 ועד היום בוטלו לאחר תום המשפט כמעט 900 הרשעות, תוך שהנידונים זוכו מהעבירות זיכוי מלא.
כ-300 מההרשעות בוטלו במסגרת פרויקט החפות, לאחר שבדיקות דנ"א הוכיחו את חפות הנידונים.
באנגליה בוטלו מאז שנת 1997 יותר מ-320 הרשעות לאחר תום המשפט,
בעקבות חוות-דעת שהגישה לבית המשפט לערעורים מועצת ה-Criminal Court Review Commission, גוף ממשלתי שתפקידו לבדוק טענות בדבר הרשעות שווא.
פיצוי מורשעים שזוכו במשפט חוזר
על פי סעיף 14(6) של האמנה בדבר זכויות אזרחיות ומדיניות, זכאי מי שהורשע בדין ולאחר מכן זוכה במשפט חוזר לפיצוי בגין כליאת שווא.