tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
כפי שמוצג בגרף בצד ימין, הלוג'יט והפרוביט דומות מאוד כאשר פרוביט בקנה מידה, כך שהשיפוע שלה ב- תואם את שיפוע ה- .
כתוצאה מכך, מודלים של פרוביט משמשים לפעמים במקום מודלים של לוגיט, כי עבור יישומים מסוימים (למשל, בסטטיסטיקה בייסיאנית) היישום קל יותר.
לוגאן האנטר סרג'נט הוא נהג מרוצים אמריקאי.
התחרה עבור קבוצת ויליאמס באליפות הפורמולה 1 למשך עונה וחצי.
סרג'נט החל את קריירת המרוצים בתחרויות קארטינג מקומיות בשנת 2008. שנה לאחר מכן עבר לאירופה על מנת להתחרות.
בעונת 2016/2017 התחרה באליפות הפורמולה 4 של איחוד האמירויות הערביות.
למרות שלא ניצח אף מרוץ, הוא סיים על הפודיום ב-15 מתוך 18 מרוצים, ובסיום העונה דורג במקום השני.
בהמשך השנה עבר להתחרות באליפות הפורמולה 4 הבריטית עבור קבוצת Carlin.
בשנת 2018 דורג במקום הרביעי באליפות הפורמולה רנו האירופאית.
בשנת 2019 חזר לקבוצת Carlin והצטרף לאליפות הפורמולה 3. בעונת הבכורה הוא צבר נקודות בארבעה מרוצים ודורג במקום ה-19. בעונה השנייה באליפות עבר להתחרות עבור קבוצת Prema.
הניצחון הראשון בקטגוריה הושג במרוץ השני שהתקיים בסילברסטון, ניצחון שהעלה אותו לראש הטבלה.
ניצחון שני בעונה הגיע במרוץ הספרינט בספא.
בשני המרוצים האחרונים של העונה צבר רק שמונה נקודות וסיים את העונה במקום השלישי אחרי תיאו פורשייר ואוסקר פיאסטרי.
למרות ההצלחה סרג'נט לא התקדם לאליפות הפורמולה 2 מסיבות כלכליות ונשאר להתחרות עונה שלישית באליפות הפורמולה 3, הפעם עם קבוצת Charouz.
הניצחון היחיד בעונה הושג במסלול בסוצ'י, הניצחון הראשון של הקבוצה באליפות.
את הבכורה באליפות הפורמולה 2 עשה בסיבוב הלפני אחרון של עונת 2021 עם קבוצת HWA.
את המרוץ הראשון סיים במקום ה-16, מהמרוץ השני נאלץ לפרוש.
לקראת עונת 2022 חזר לקבוצת Carlin והתחרה עימה עונה מלאה באליפות.
את העונה סיים במקום הרביעי, נקודה אחת פחות מחברו לקבוצה ליאם לוסון, דבר שאיפשר לו לצבור מספיק נקודות לסופר לייסנס.
סרג'נט הוכרז כחבר באקדמיית ויליאמס לנהגים באוקטובר 2021. בסיום העונה זכה לנסיעת מבחן ראשונה במהלך מבחני סיום העונה.
במהלך גרנד פרי ארצות הברית בעונת 2022 השתתף לראשונה באימון חופשי.
באותו סוף השבוע הכריז יוסט קפיטו, מנהל קבוצת ויליאמס, על הכוונה להחתים את סרג'נט במקומו של ניקולאס לטיפי, במידה ויצבור מספיק נקודות לסופר לייסנס.
סרג'נט סיים את עונת הפורמולה 2 במקום הרביעי והוחתם רשמית בקבוצה.
בעונת 2024 בפורמולה 1, אחרי מרוץ גרנד פרי הולנד, בו סרג'נט התרסק, ווילאמס החליטה שדרכיה שלה ושל סרג'נט נפרדות אחרי עונה בה התרסק האמריקאי המון ולא השיג אפילו נקודה אחת, בעוד שחברו לקבוצה אלכס אלבון, השיג נקודות.
את סרג'נט החליף נהג האקדמיה של וויליאמס, פרנקו קולפינטו.
לוגו (באיטלקית: Lugo) היא עיירה וקומונה במחוז אמיליה-רומאניה שבנפת רוונה בצפון איטליה.
האזור בו הוקמה העיר היה מאוכלס כבר ב-782, אך השם לוקוס מופיעים רק בשנת 1071.
בשנת 1161 זה היה בית קברות של רוזנות קוניו, אך בשנת 1202 הוא חזר למדינת האפיפיור.
מאוחר יותר זה היה נחלתם של בית דה פולנטה, בית פפולי, בית ויסקונטי ובית אסטה; האחרון שמר עליו עד 1597, אז סופחה העיר שוב למדינת האפיפיור.
ב-1797 פלשו הכוחות המהפכניים הצרפתים לצפון איטליה, פיוס השביעי (שנקרא אז ברנבה קיארמונטי), שהיה בישוף אימולה, ביקש מהאנשים להימנע מהתנגדות חסרת תועלת לכוחות המכריעים והמאיימים של האויב.
העיירה לוגו סירבה להיכנע לפולשים ונמסרה לגזלה שהסתיימה רק כאשר הבישוף, אשר יעץ להיכנע, כרע על ברכיו בפני גנרל הכוחות המהפכניים הצרפתים.
בשנת 1859, לאחר משאל עם הצטרפה לוגו לאיחוד איטליה.
במהלך מלחמת העולם השנייה, נהר סניו היווה את קו החזית בין אזור הכיבוש הגרמני ובעלות הברית מדצמבר 1944 עד 10 באפריל 1945. העיר שוחררה על ידי חיל הרגלים הראשון של ג'איפור.
בעיר נבנתה אנדרטה לזכר חיל הרגלים של ג'איפור.
העיר ספגה הרס כבד אך התאוששה במהירות לאחר סיום המלחמה.
ב-19 בינואר 1993 חווה האזור ליד לוגו התפרצות אוויר של מטאוריט עם תפוקה המוערכת ב .
טירת אסטה, בית העירייה משנת 1797. המראה הנוכחי הוא משנת 1500, כאשר המבצר הישן נבנה מחדש; הצד המזרחי הוקם בתקופת הכיבוש של נפוליאון.
בפנים ניתן למצוא לונטה המיוחסת למינו דה פיאסול וגן מהמאה ה-19.
ה-Pavaglione, לשעבר שוק מקורה מהמאה ה-19 (ידוע בעיקר בסחר בתולעי משי).
האורטוריה של קרוצ'ה קופרטה, עם ציורי קיר מהמאה ה-15.
לכנסיית 'Collegiata', שנבנתה מחדש במאה ה-18 על פני מבנה פרנציסקני מהמאה ה-13, יש מנזר מרמז מהמאה ה-15.
סן פרנצ'סקו די פאולה (1890), מכיל פסל טרקוטה פוליכרום יקר של ישו המת (המאה ה-15).
תיאטרון רוסיני, שהפך לבית אופרה עם 445 מושבים, שוחזר לחלוטין בין השנים 1984 ו-1986 על סמך תפיסתו המקורית מ-1759 ושיקום והרחבה ב-1821.
לוגאן לאקי הוא סרט קומדיה-פשע אמריקאי משנת 2017 בבימויו של סטיבן סודרברג, המבוסס על תסריט מאת ג'יימס ואן.
הסרט מסמן את חזרתו של סודרברג לבימוי לאחר פרישתו הזמנית מהקולנוע.
בתפקידים הראשיים מככבים צ'נינג טייטום, אדם דרייבר, ריילי קיוף, דניאל קרייג, סת' מקפרלן, קייטי הולמס, הילרי סוונק, קתרין ווטרסטון וסבסטיאן סטן.
הסרט עוקב אחר שני אחים המנסים לבצע שוד במהלך מרוץ נאסקאר בצפון קרוליינה.
ג'ימי לוגאן (צ'נינג טייטום) הוא עובד בניין המפוטר מעבודתו בשל פציעה ישנה.
הוא משתף פעולה עם אחיו קלייד (אדם דרייבר), ברמן שאיבד את ידו במלחמת עיראק, ועם אחותם מליי (ריילי קיוף) כדי לבצע שוד במהלך מרוץ הנאסקאר "קוקה-קולה 600" המתקיים במסלול המרוצים של שארלוט.
כדי לבצע את השוד, הם מגייסים את ג'ו באנג (דניאל קרייג), מומחה לפריצת כספות, הנמצא בכלא, ומתכננים תוכנית מורכבת לשחרורו הזמני ולהחזרתו מבלי שיבחינו בהיעדרו.
צ'נינג טייטום – ג'ימי לוגאן, עובד בניין לשעבר המתכנן את השוד.
אדם דרייבר – קלייד לוגאן, אחיו של ג'ימי, ברמן שאיבד את ידו במלחמה.
ריילי קיוף – מליי לוגאן, אחותם של ג'ימי וקלייד, נהגת מוכשרת.
דניאל קרייג – ג'ו באנג, אסיר ומומחה לפריצת כספות.
קייטי הולמס – בובי ג'ו צ'פמן, גרושתו של ג'ימי.
סת' מקפרלן – מקס צ'ילבליין, יזם בריטי ואויבם של האחים לוגאן.
הילרי סוונק – שרה גרייסון, סוכנת FBI החוקרת את השוד.
קתרין ווטרסטון – סילביה האריסון, מכרה ותיקה של ג'ימי.
סבסטיאן סטן – דייטון וייט, נהג מרוצים מקצועי.
הסרט "לוגאן לאקי" זכה לביקורות חיוביות.
באתר Rotten Tomatoes, הסרט מחזיק בציון של 92% המבוסס על 282 ביקורות, עם דירוג ממוצע של 7.5 מתוך 10. הקונצנזוס של האתר מציין: "כיף עתיר אדרנלין שמורכב בצורה חכמה מבלי להתאמץ.
'לוגאן לאקי' מסמן את סיומה המבורך של פרישתו של סטיבן סודרברג – ומוכיח שהוא לא איבד את יכולתו לבדר".
באתר Metacritic, הסרט קיבל ציון ממוצע של 78 מתוך 100, המבוסס על 51 ביקורות, המעיד על "ביקורות חיוביות בדרך כלל".
הסרט הוקרן בבכורה ב-9 באוגוסט 2017 בנוקסוויל, טנסי, ויצא לאקרנים בארצות הברית ב-18 באוגוסט 2017 על ידי חברת Bleecker Street.
לוגאן אוונס קושטה (בפורטוגזית ובצרפתית: Logan Evans Costa; נולד ב-1 באפריל 2001 בסן-דני שבצרפת) הוא כדורגלן צרפתי שמוצאו בכף ורדה המשחק בעמדת הבלם בקבוצת ויאריאל מלה ליגה ובנבחרת כף ורדה.
לוגוצנטריות או לוגוצנטריזם (Logocentrism), בהגדרה כללית, היא ההנחה המקובלת בתורת הספרות, כי ישנה "אמת" בלתי-תלויה הקודמת לייצוגה באמצעות השפה או הלשון, ואמת ומציאות זו מתקיימים למעשה מחוץ לגורם השפה.
לפיכך, הלוגוצנטריות קוראת להתייחס לסימנים הלשוניים כמנותקים ובלתי-הכרחיים לאובייקטים (למסומנים) שאותם הם מייצגים.
לכן ישנה גם העדפה ברורה של הדיבור על-פני הכתיבה, שכן בראשון קיימת נוכחות של הדובר, הנתפס כגורם-מתווך שיש ביכולתו לבטל במידה רבה אי-בהירות ורב-משמעות הקיימים בשפה הכתובה.
העדפה זו של הדיבור על פני הכתיבה, מכנה הפילוסוף הצרפתי ז'אק דרידה "פונוצנטריזם".
המונח הופיע לראשונה בהגותו של לודוויג קלגס.
בביקורת החריפה שאותה מותח דרידה על תפיסה זו, הוא מגדיר אותה כ"דעה קדומה" המושרשת בפילוסופיה המערבית כמעט מתחילתה עוד מימי יוון העתיקה.
היא מכונה על ידו "מטפיזיקה של נוכחות".
ביקורת נוספת על תפיסה זו היא על כך שהיא מתייחסת באופן פשטני ליחס המורכב יותר בין מסמן ומסומן.
כמו כן, דרידה טוען שמטפיזיקה זו (כפי שקרא לה) נוטה לזהות תפיסות פילוסופיות בסיסיות כדוגמת: "אמת", "מציאות", ו"קיום" - במונחים רעיוניים של "נוכחות", "מהות", "זהות" ו"מקור" - מתוך התעלמות כמעט מוחלטת מהתפקיד המכריע שממלאים ה"העדר" (Absence) וה"הבדל" (Difference), בתוך כל הגדרה או הבנה אפשרית של תפיסות אלה.
ג'ון אליס, בספרו "נגד הדקונסטרוקציה", טען כי המונח "לוגוצנטריות" הוא שם חדש לתפיסה ישנה.
אליס טוען כי דרידה מתעלם מחלקים ניכרים בפילוסופיה של הלשון, ומזנק מתפיסה קיצונית אחת לתפיסה קיצונית נגדית.
דרידה, טוען אליס, מזהה כשל בסיסי בתפיסה שהלשון מתייחסת לאובייקטים שאינם תלויים בה, ועובר משם לתפיסה הקיצונית לא פחות, לפיה הלשון אינה מסמנת דבר מלבד עצמה.
בין שתי האפשרויות הללו קיים טווח רחב, שפילוסופים שונים עסקו בו, וממנו דרידה והדקונסטרוקציה מתעלמים לחלוטין.
לוגותרפיה היא גישת האסכולה הווינאית השלישית לפסיכותרפיה, שפותחה על ידי הנוירולוג והפסיכיאטר דוקטור ויקטור פראנקל.
זהו סוג של ניתוח אקזיסטנציאליסטי שמתמקד ב"שאיפה למשמעות", בניגוד לדוקטרינה של אדלר של "שאיפה לכוח" או לזו של זיגמונד פרויד של "שאיפה להנאה".
שמה של תורת הלוגו-תרפיה, נגזר מהמילים היווניות 'לוגוס' ו'תרפיה', שמשמעותן "משמעות,פשר" ו"טיפול", כלומר טיפול בדרך של מציאת פשר/משמעות.
זהו סוג של ניתוח אקזיסטנציאליסטי שמתמקד ב"שאיפה למשמעות", בניגוד לשיטה של זיגמונד פרויד שמתמקדת ב"שאיפה להנאה ועקרון העונג" או ב"שאיפה לכוח ומעמד חברתי" של ניטשה, שאלפרד אדלר אימץ ופיתח בפסיכולוגיה האינדיבידואלית שלו באחד משלביה המוקדמים.
נהוג לסווג את פראנקל כאחד מאבות אסכולת הגישה ההומנית-אקזיסטנציאלית, לעומת הגישות האחרות בפסיכולוגיה: הגישה הקוגניטיבית-התנהגותית והגישה הקונסטרוקטיביסטית-נרטיבית.
פראנקל מבקש להאניש הן את הפסיכואנליזה והן את הביהביוריזם, ולא לערטל את האדם מהאותנטיות שלו.
במספר מקומות הוא קובע שכדי שפסיכולוגיה תהיה ראויה לשמה, עליה להתייחס לא רק לפסיכה (נפש) אלא גם ללוגוס (רוח, פשר)..
פראנקל קבע כי הלוגותרפיה איננה מיועדת להחליף את הפסיכותרפיה אלא להשלימה.
בעוד שמטרתה של הפסיכואנליזה להעניק לאדם אובייקטיביות על חייו, והפסיכולוגיה האדלריאנית מטרתה להעניק לאדם אומץ לב, מטרתה של האנליזה האקזיסטנציאלית בשיטת הלוגותרפיה להעניק לאדם חוש אחריות.
אקזיסטנציה לפי פראנקל פירושה לתת משמעות ייחודית להווייתו של האדם, המאופיינת בהיותו אחראי.
לדעתו, האחריות היא תמצית ההוויה האנושית.
לתפיסתו של פראנקל (שפותחה בהיותו כלוא במחנה השמדה בתקופת השואה) הדחף העמוק ביותר של האדם, או השאיפה העמוקה ביותר שלו, היא החתירה למשמעות והבנת פשר חייו והעולם שסביבו, והבנה זו היא הכוח העיקרי שיכול לעזור לו להתמודד עם סבל ומצוקה, קשים ככל שיהיו.
פראנקל טוען שבידי האדם המודרני מצויים האמצעים, אך הוא איבד את התכלית, סובל מתחושת ריקנות וחוסר טעם לחייו, שהוא מכנה: "ריק קיומי".
הסימפטום הראשי של הריק הקיומי הוא שעמום, תופעה המאופיינת לפי פראנקל במשולש: דיכאון, תוקפנות והתמכרות.
אותו ריק קיומי גורם לאדם בימינו, אליבא דפראנקל, לרוב הצרות הרוחניות והבעיות הנפשיות.
לדעתו, אם האדם המודרני ימלא את הריק הפנימי שלו וימצא משמעות לחייו, בכל דבר שהוא טראנסצנדנטלי - מחוץ לפנימיותו, אליו יוכל להתחבר ושאליו יוכל לחתור ולהשקיע בו את עצמו - זה יגלה את הווייתו האנושית האמיתית; כך לדעתו רוב הנוירוזות והבעיות שליוו אותו ייפתרו.
פראנקל ראה את התסכול הכרוך בהיעדר משמעות כנוירוזה הקולקטיבית של החברה בעידן החדש שנוצרה בעקבות שקיעת המסורות התרבותיות, האתניות והדת.
לדידו, נהיית האנושות אחר הטוטליטריזם - שבו אחרים (מנהיגים, מנהלים, מפקדים) אומרים לאדם מה לעשות, או אחר הקונפורמיזם - שבו האדם עושה כפי שהאחרים סביבו עושים, נובעת מחוסר יכולתו של היחיד למצוא משמעות ייחודית ואישית משלו.
ברדיפת האדם אחרי עקרון העונג והמין, או רדיפת הכוח ונגזרותיו ככסף והפיכתם למטרה, הוא ראה ניסיון של האדם למצוא מפלט לתסכולו הקיומי האישי.
הוא האשים את החינוך הרדוקציוניסטי המודרני, שרואה באדם חפץ גשמי, מכניסטי, אמפירי ומנתח אותו באופן קר, בתור הדבר שתורם לבעיית חוסר המשמעות; וזאת, עד כדי כך שהוא מצטט את דבריו של ויליאם אירוין תומפסון: "בני אדם שנדמה להם שקיומם הצטמצם לקיום של שולחנות וכיסאות - מתאבדים".
פראנקל סבר שהחינוך צריך להשתכלל באופן כזה, שיכוון את הלומד למצוא משמעויות ייחודיות במצבים ייחודיים - דרך פיתוח המצפון אצלו.
מבחינתו, יש לשלב בטיפול באמצעות הלוגותרפיה אנשי מקצועות נוספים, רבים ככל האפשר:(פסיכיאטרים, פסיכולוגים, עובדים סוציאליים, מטפלים באמנות, אנשי-דת, אנשי חינוך וכדומה), שביכולתם לתת כיוונים שונים של משמעות קיומית לאדם הנזקק לכך.
בשיטה זו, היחס לאדם הוא כאל ישות אחדותית וייחודית שמודעת לעצמה, ויש לה סגולות מיוחדות שאין לזולת.
לאדם אישיות רוחנית אינדיבידואלית ואינטגרטיבית שסביבה 'עטיפות' פסיכופיזיות.
על פי פראנקל, ההוויה האנושית היא תופעה קמאית, איננה ניתנת להתבוננות, לאנליזה ולרדוקציה.
כשם שהעין אינה רואה את עצמה, כך האדם מתקשה להיות מודע לעצמיותו.
יתר על כן, רוח האדם במקורה היא רוח לא מודעת..
פראנקל מציין את שלושת היסודות העיקריים של שיטתו:
השאיפה למשמעות - יש לאדם שאיפה מובנית למשמעות, שאיפה זו היא צורך ואיננה דחף.
האדם הפתוח אל העולם, בניגוד לבעלי החיים, הוא יצור החותר למשמעות והעסוק בחיפוש אחר פשר.
אדם שמוצא את המשמעות אותה ביקש - יהיה נכון לסבול, להקריב קרבנות ובשעת הצורך אף למסור את נפשו עליה, בעוד שאדם נעדר-משמעות נוטה לאבד את עצמו, גם כאשר כל צרכיו החומריים מסופקים.
לדידו, האדם מטבעו בעל חיוניות, עוצמה וכוח הישרדות כל זמן שיש לו תפיסה או אידיאה שנותנת לחייו משמעות.
הערכים אינם דוחפים את האדם - אלא "מושכים" אותו, או "קוראים לו", ולכן האדם הוא בעל בחירה חופשית לקבל את הפשר או לדחותו.
משמעות החיים - יש לחיים מעצם טבעם משמעות פנימית, אף במצבים הנוראים והקשים ביותר; זו משמעות אותה האדם עצמו צריך למצוא, ולא להמציא.
החיים הם כמו כתב חידה גדול שצופן בחובו משמעויות רבות, המאתגר את האדם לתת לכך פשר, והאדם נתבע לתת תשובה על כך באמצעות מעשיו.
הגם שאפשר למצוא משמעויות אוניברסליות כלליות, לטענת פראנקל אין מספר משמעויות בודדות, אלא מאות אלפי משמעויות או יותר, שכל אחת ייחודית לכל מצב או זמן בחייו של כל אדם אינדיבידואלי.
את משמעויות החיים הוא מסווג לשלושה תחומים:
ערכים יצירתיים, שבהם האדם מוצא משמעות במה שהוא נותן לעולם או לחברה, כמו עבודה.
ערכים חווייתים שבהם האדם מוצא משמעות בהתנסויות שהוא מקבל מהעולם, כמו אהבה.
וערכים התייחסותיים/הסתגלותיים, שבהם האדם מוצא משמעות באופן ההתייחסות שלו אל מצבו בעולם, ובמיוחד בתחום של השילוש הטרגי של האדם: רגשות אשם, סבל ומוות, שאין אדם שיכול להימלט מהם..
אשם - האדם יכול להתייחס לתחושת האשמה כמקור לצמיחה.
העבר אינו ניתן לשינוי, אך לאדם יש הזדמנות לשנות את העתיד.
סבל - האדם יכול לראות את סבלו כבעל משמעות.
מקור המשמעות הוא בנקיטת העמדה של אדם המתמודד עם הסבל, מעצם היותו בעל אפשרות בחירה.
מודעות לעמדה זו, מביאה לאדם הרגשה של גדולה, הישג והתעלות על עצמו - בקבלת מצבו בהשלמה.
מוות - המוות הוא "מצבת הזיכרון" של האדם, הוא מייצג את ההיסטוריה והאפשרויות שהגשים, שאינן ניתנות לשינוי והן ה"חותמות" את דרכו של האדם.
המוות "מקבע ומפקיד" את הוויתו של האדם לצמיתות, ו"שומר אותה למשמרת עולם".
המשמעויות הן יחידאיות, כשם שכל הנסיבות שהחיים מזמנים הן יחידאיות, ולכן הן בנות חלוף.
אם לא מנצלים הזדמנות להגשמת משמעות החבויה בסיטואציה מסוימת, היא מסתלקת ונעלמת לה לעולמים.
מצד שני, המשמעויות קיימות תמיד, הן תמיד משתנות ומתחדשות, ולעולם החיים אינם חסרי משמעות..
חירות הרצון - האדם הוא בן חורין לנקוט עמדה חופשית לגבי חייו, אף שאינו משוחרר מתנאים והגבלות, בזכות יכולתו הייחודית להתנתק מעצמו ולבצע רפלקציה עצמית; תפיסה זו מנוגדת לפאן-דטרמיניזם ולניהליזם המודרני לפיהם האדם הוא "מחשב ביולוגי" משוכלל, או "קוף עירום".
בשל אותן חירות מחשבה וחירות רצון, יכול האדם לייחס לחייו משמעויות ללא הגבלה, ויכול להתעלות מעבר לנסיבות חייו ולהחליט אם לקבל את דין התנאים ולהיכנע, או לעמוד מולם ולעצב להם משמעות שתמלא את נפשו ותבליט את אנושיותו..
על פי הלוגותרפיה, הלא מודע איננו כולל רק יצרים מודחקים (איד) כפי שסבר פרויד, אלא גם הוויות רוחניות.
בעוד שבפסיכואנליזה האדם נעשה מודע ליצרים ולדחפים שלו, בלוגותרפיה לא היצרי, אלא הרוחני, הוא המועלה לתודעה.
האני מודע לעצמו ופוגש את עצמו.
תפיסה זו מהווה ריהביליטציה של הלא מודע.
בניגוד לתפיסה הקלאסית אודות ה'קוף העירום' והתפיסה המיכניסטית המבטלת את אנושיות האדם, האדם מוגדר כ'הוויה' (היידגר) או 'ישות מחליטה' (יאספרס), ולכן בעקבות בינסונגר, 'הוויית האדם - היותו אחראי'.
פראנקל הגדיר קיום אותנטי של האדם שבו "האני הוא המחליט, ולא שועה להאצותיו של האיד".
כנגד הפאטאליזם של המטופל הרואה את גורלו בעובדתיות הפסיכופיזית שלו, הלוגותרפיה מעמידה קיום רוחני של חירות ואחריות.
אליבא דפראנקל, הכלי של המשמעות הוא המצפון, ובאמצעותו יש לאדם יכולת חד פעמית לחוש במשמעות הגלומה בכל מצב.
המשמעות כבולה למצב חד פעמי ויחיד במינו.
מעבר לכך קיימות הכללות של משמעויות הנוגעות למצבו של האדם, והן מכונות ערכים.
'צו המצפון' שלא הודחק באופן שיטתי יכול לתת מענה לחייו של האדם, במיוחד כשיש קונפליקטים בין ערכים שונים.
פראנקל קורא לחינוך שיהיה לא רק להקניית ידע - אלא גם לעידון המצפון.
"בתקופה שבה נראה כאילו עשרת הדיברות איבדו את תוקפן בעיני רבים, חייב האדם להיות דרוך לקלוט את עשרות אלפי המצוות הטמונות בעשרות אלפי המצבים איתם הוא מתמודד בחייו".
פראנקל סבור כי מצפון עירני אצל האדם יתן לו כוח לא להשתעבד לקונפורמיזם ולא להיכנע לטוטליטריזם, ויזכיר לאדם את "היותו אנושי" - היותו מודע והיותו אחראי, ובקיצור: מודעותו של האדם להיותו אחראי.
בניגוד לאלה החושבים כי המצפון סובייקטיבי ורלטיבי, פראנקל טוען כי המצפון הוא תופעה טרנסצנדנטלית הסובבת את האדם מחוצה לו.
לתפיסתו, המצפון הוא דגם ללא מודע הרוחני של האדם, ואינו רק מתייחס לטרסצנדנטליות אלא גם נובע ממנה, מה שמסביר את איכותו הלא רדוקטיבית.
בניגוד לפסיכואנליזה שניסתה לצמצם את המצפון ל"אני העליון" (על פי דימוי האב המופנם) פרנקל טוען כי: "איש אינו מסוגל לשכנע אותנו שנאמין כי האדם הוא בעל חיים מעודן, ברגע שניווכח שיש בו מלאך מודחק"..
עם זאת, גם פראנקל מודה כי המצפון הוא תופעה אנושית, ולכן טבוע בחותם סופיותו של האדם ועלול להטעותו.
חרף זאת, האדם צריך להשלים עם היותו של המצפון בר הטעיה, ולציית למצפונו ללא תנאים.
בנוסף, עצם היותו של המצפון בר הטעיה מחייב את האדם לצניעות, לענווה ולסובלנות - כלפי עמדותיו ואמונותיו של הזולת..
תסכול קיומי - תסכול הנובע בשל שאיפה למשמעות שלא התמלאה.
נוירוזה נאוגנית - נוירוזה שנובעת בשל הממד של רוח האדם, כתוצאה מקונפליקט בין ערכים שונים ולא בשל קונפליקט בין דחפים שונים.
נואו-דינמיקה - המתח הבריא שבין שאיפה להגשמה.
בניגוד לסוברים כי יש להביא את האדם למצב של שיווי משקל והעדר מתיחות, הבריאות הנפשית קימת דווקא במתיחות הנפשית ובמאבק של האדם בבואו למצוא פשר ומשמעות.
אף שהדבר קשה לאדם, זהו תנאי הכרחי להביאו אל המטרה של הגשמת הפשר הפוטנציאלי שלו, והריהו כמו קפיץ דרוך של מכשיר לפני הפעלתו.
ריק קיומי - תחושה נפוצה של האדם המודרני בעקבות אובדן היצרים החייתיים והמסורת, כך שלאדם קשה לשער את רצונו האמיתי והוא מרגיש שהוא שרוי בריק, שתסמינו הבולט הוא שעמום.
פשר החיים - מושג חמקמק מכיוון שהוא שונה מאדם לאדם, מיום ליום ומשעה לשעה.
פשר החיים הוא ספציפי לסיטואציה, ויכול להתגלות במעשה שהאדם עושה, בהתנסות וחוויה של ערך, ואף בסבל.
לא האדם שואל לפשר החיים, אלא החיים שואלים אותו בעצם קיומם, והאדם צריך לענות על שאלות החיים רק באמצעות מעשיו (האל הלא מודע, עמ' 17).
מהות הקיום - קבלת האחריות של האדם על חייו, היא עצם מהותו כאדם.
הלוגותרפיה מבקשת להקנות לאדם את מלוא תודעת אחריותו על חייו, כך שעדיין ביכולתו לתקן את העבר.
קבלת האחריות יכולה להיות לפי בחירתו של האדם כלפי מצפונו, החברה, אלוהים או כל גורם אחר.
פשר האהבה - האהבה היא הדרך היחידה לתפוס את עצמיותו של הזולת.
אין דרך אחרת לרדת לעומק מהותו של הזולת.
האוהב אף יכול לראות את הסגולות הגנוזות של הנאהב, ואף לגרום לו להוציאן אל הפועל.
המיניות היא אחת מדרכי הביטוי של האהבה, ואין האהבה עידון של המיניות.
פשר הסבל - הפשר העמוק והנעלה ביותר הוא פשר הסבל, שכן עמדתו של האדם כלפי הייסורים היא מבחנו הנעלה ביותר.
לחייו של אדם יכולה להיות משמעות עד רגעי הקיום האחרונים, למרות שהקיום גורם סבל.
לוגודרמה - שימוש באמצעים דרמטיים ומשחק תפקידים, שבו "מלבישים" על האדם גורל אחר, לרוב רע יותר, ומראים לו את היתרון של גורלו כדי לגלות לאדם את הפשר לחייו.
הפשר העליון - ישנו פשר עליון בהוויה, הלוגוס, שהוא עמוק מהלוגיקה.
האדם אינו נתבע לשאת חיים חסרי פשר, אלא חיים שאת פשרם אינו יכול להבין.
אם האדם יכול למצוא משמעות בפשר כזה, תפקידה של הלוגותרפיה לפתוח בפניו את הדלת.
ישנו ממד עליון יותר שבו תימצא תשובה בדבר הפשר הסופי על סבלם של בני האדם.
חלופיות החיים - היחס לחיים שהם בני חלוף וסופיים, הוא יחס אקטיבי ולא פסימי.
כל פעולה שהייתה קיימת בפוטנציה ויצאה אל הפועל היא מונצחת ושמורה בעבר למשמרת עולם, מבלי שיהיה אפשר לקעקע אותה.
האדם אוצר לעצמו את הגשמותיו, שהופכות ל"עקבות נצח בחולות הזמן".
הומו-פאציאנס - האדם הסובל אשר מוצא משמעות באופן בלתי-מותנה בעת שאיננו יכול לשנות את הגורלו.
ההומו-ספיאנס והומו-פאציאנס נעים בממדים שונים ובגבהים שונים, ההומו-ספיאנס נע בציר "כישלון - הצלחה" בממד נמוך והומו-פאציאנס נע בציר "ייאוש - הגשמה" בממד גבוה.
פנאי צנטריפוגלי - בריחת האדם מהתמודדות עם הריקנות שבתוכו.
לדוגמה, בריחה משעמום, פעילות-יתר בעבודה, חוסר דיאלוג פנימי על בעיותיו המודחקות.
פנאי צנטריפטלי - אדם המנסה להתמודד עם הריקנות ובעיותיו המודחקות בניסיון להגיע לפתרונות.
על האדם לקיים דפוסי שעות פנאי, לאזור את האומץ להיות בודד ולאפשר התבוננות ועיון פנימיים.
מבחינת הלוגותרפיה כשיטה מדעית טיפולית וכשלוחה של הפסיכותרפיה, הדת יכולה לשמש כמושא שלה ולא כעמדה (האל הלא מודע, עמ' 82).
נקודת מבטה של הלוגותרפיה איננה תאולוגית אלא אנתרופולוגית.
לעומת פרויד שסבר כי "הדת היא הנאורוזה האוניברסלית הכפייתית של האנושות" ('עתידה של אשליה') ללוגותרפיה יש יחס של כבוד לדת ולאמונותיו הדתיות של האדם.
פראנקל סובר כי הדחקה של הדתיות שבאדם סופה נאורוזה (שם, עמ' 71) "כשמדכאים את המלאך שבנו הוא הופך להיות שטן, כשם שדתיות מודחקת הופכת לאמונה טפלה" (שם, עמ' 73).
לגבי תפיסת האלוהות או בלשונו ה"טרנסצנדנטליות", כשם שבעל החיים אינו מסוגל מתוך סביבתו להבין את האדם, כך האדם אינו מסוגל להציץ אל על-העולם, להבין את אלוהים או לעקוב אחר מניעיו (שם, עמ' 85).
מכיוון שיש חיץ ממדי בין העולם האנושי לעולם האלוהי, האדם איננו יכול לדבר 'על אלוהים' אלא 'אל אלוהים' (שם, עמ' 69).
לא רק שיש באדם "לא מודע רוחני" - ממד נואולוגי שבחירות אקזיסטנציאליות נעשות בו, ולכן בנוסף לאחריות מודעת חייבת להיות אחריות לא מודעת, שכן "הלוגוס עמוק מהלוגיקה".
יש באדם גם "דתיות לא מודעת" - יחס חבוי אל הטרנסצנדטליות הטמונה באדם.
תופעת האמונה בעיני הלוגותרפיסט איננה חייבת להתייחד רק לאלוהים אלא יכולה להתרחב אף לאמונה במשמעות (שם, עמ' 88).
בעיני פראנקל אין עדיפות לדת אחת על פני השנייה.
כשם שבכל שפה אדם יכול להשיג את האמת ובכל שפה אפשר לטעות ולשקר, כך בכל דת האדם יכול למצוא את דרכו אל האל האחד (שם, עמ' 90).
עוד הוא סובר, כי דתיות היא אמיתית רק כאשר היא אקזיסטנציאלית, רק כאשר האדם מתחייב אליה מרצונו החופשי ומבחירתו בספונטניות (שם, עמ' 75).
אדם אינו יכול להידחף לדתיות אמיתית לא באמצעות אינסטינקט ולא באמצעות הפסיכיאטר (שם, עמ' 76).
אין לשכוח כי, בחירתו החופשית של האדם היא חירותו, ואילו כבודו כובל אותו עד כדי כך שהוא יכול לומר "לא" לאלוהים, וגם הלוגותרפיסט צריך לכבד רצון זה, אם זהו רצונו של המטופל, ולא להיות יותר צדיק מהאפיפיור.
מבחינת השאלה של תיחום השיטה לעומת הדת הוא סובר כי הסעד הרפואי אינו בא להחליף את הסעד הדתי.
צריך להפריד בין דת ופסיכותרפיה שכן מדובר בשני תחומים שונים שיש להם מטרות שונות (שם, עמ' 79).
ההבדל בין הדת ללוגותרפיה הוא, שבעוד לדת יש עניין בגאולה רוחנית של האדם, גם לעיתים על חשבון מצבו נפשי, ללוגותרפיה יש עניין בבריאות הנפש ובאיזון הפנימי של האדם.
הלוגותרפיה צריכה לשמור על אוטונומיה מלאה, ולא להפוך למשרתת של הדת (שם, עמ' 79–80).
הטכניקות התרפויטיות המרכזיות של שיטה זו הם הסטת מחשבות (דה-רפלקסיה) והתכוונות פרדוקסלית.
טכניקת הסטת המחשבות מסיטה את מבטו של האדם מהחיטוט העצמי הכפייתי למשמעות ויצירה חיצונית.
טכניקה זו יעילה לטיפול בבעיות שנובעות מהתכוונות והשתקעות יתר כמו למשל בסכיזופרניה ובבעיות מיניות כמו קרירות מינית והפרעה בזקפה.
היא מתבססת על יכולתו של האדם להתעלות מעל עצמו.
לשם המחשה, לנערה שסבלה מסכיזופרניה ולא הפסיקה לחטט בנפשה ולחקור את בעיותיה הוצע כאלטרנטיבה למצוא איזו תכלית חיצונית לקיומה ולהפנות את המבט החוצה.
לאדם שסבל מאין אונות בשל שאיפתו הנואשת לשלמות מינית הוצע להתמקד באהבה ובנתינה במקום בהענקת שיא מיני, כך שהתענוג יהיה פועל יוצא מיחסו ולא מטרה בפני עצמה.
ההתכוונות הפרדוקסלית נחשבת לטכניקה חשובה של השיטה.
בטכניקה זו ממקדים את תשומת לבו של המטופל, בניסיון מכוון לחתור לדבר שמפחיד אותו בהקצנה ובהגזמה, כדי לשבור את מעגל הקסמים שמזין את עצמו.
רצוי לשלב בטכניקה זו הומור, שמציג באור מגוחך את הפוביה.
מטרתה של טכניקה זו היא לפגוע בחרדת הציפייה ובמנגנון של בריחה מהפחד, והיא יעילה לטיפול בבעיות של אובססיות ופוביות.
היא מתבססת על יכולתו של האדם להתנתק מעצמו..
לשם המחשה, לאדם שסבל מפחד קהל והִרבה להזיע בשל כך, הוצע להתאמץ להזיע עד שיוכל להטביע את כל הקהל בזיעתו.
לאדם אחר שסבל מהתקפי חרדה כאשר יצא מפתח ביתו בשל חשש שיקבל התקף לב, לאחר שהוברר שליבו תקין, הומלץ שייצא לרחוב וינסה באופן יזום לקבל התקף לב חמור.
מבקריה של אסכולה זו טענו שהטכניקות שלה, אף שהן מוצלחות וקצרות מועד, הן שטחיות, והן אינן יורדות לחקר השורשים הפתולוגיים שנמצאים ברבדים עמוקים יותר, ואינן פותרות את הקונפליקט שמתחת לפני השטח.
גם אם מרפאים סימפטום מסוים, מאחר שהרובד הפנימי לא נחשף, עלול להיווצר סימפטום אחר.
על אף הביקורת, בארצות הברית, שבה יש פלורליזם בתחומים רבים וניתן מקום לשיטות שונות, ללוגותרפיה יש מעמד של שיטה טיפולית לכל דבר ועניין, ויש פסיכולוגים המתמחים בשיטה זו.
לעומת זאת, בישראל התקבלה שיטתו של פראנקל בזלזול, אף שהוצגה ב-14 כרכים עבי כרס בגרמנית.
היא נחשבה כתאוריה ספרותית ולא מקצועית-טיפולית, בין היתר בשל השליטה החזקה של הזרם הפסיכואנליטי בישראל.
יש הטוענים שיחס זה נובע גם מהפתיחות שהלוגותרפיה מפגינה כלפי האלוהות וייחוס משמעות עליונה להוויה.
עם זאת, בעידן הפוסט מודרני שבו ירדה קרנה של הפסיכואנליזה, וזרמים שונים כמו הטיפול המשפחתי נכנסו לזרם הפסיכואנליטי, פסיכולוגים מזרמים שונים אינם יכולים להימלט במהלך הטיפול מעיסוק בשאלות בהן עוסקת הלוגותרפיה, כמו האחריות ומשמעות החיים.
לוגול (Lugol) הוא שְׁמָן של טבליות שנועדו לצמצם את הנזק הבריאותי הנובע מדליפה של קרינה רדיואקטיבית מכור גרעיני.
טבלית לוגול מכילה תערובת של אשלגן יודי (Potassium Iodide - KI) בשילוב עם היסוד יוד ביחס משקלי של 2 ל-1. הטבליות קרויות על-שמו של הרופא הצרפתי ז'אן גיום אוגיסט לוגול (1786–1851) אשר גילה כי תערובת כזו יוצרת תרכובת של אשלגן תלת-יודי (KI3) מסיסה במים.
אחד מהחומרים הרדיואקטיביים העלולים להיפלט מכור גרעיני בעת פגיעה חמורה בכור הוא איזוטופ רדיואקטיבי של יוד (יוד 131).
היוד הרדיואקטיבי נכנס למחזור הדם ועלול להגיע לבלוטת המגן (בלוטת התריס), ולפגוע בה וברקמות הסובבות אותה.
נטילת טבליות המכילות יוד תביא לכך שהיוד שבטבלייה ייקלט בבלוטת המגן, יביא אותה לרוויה מבחינת כמות היוד שהיא מסוגלת לספוג, ובכך תימנע קליטת היוד הרדיואקטיבי והנזק הכרוך בכך.
בעקבות התקלה בכור בצ'רנוביל, בשנת 1986, נפגעו אלפי אנשים מסרטן בבלוטת המגן.
הלוגול מספק הגנה מפני סיכון זה, אך אינו מספק כל הגנה בפני סיכוני קרינה אחרים, כגון הסיכון לחלות בסרטן באיברים אחרים.
בעקבות אסון צ'רנוביל ניתנו בפולין טבליות לוגול ל-10.5 מיליון ילדים ול-7 מיליון מבוגרים.
על פי המרכזים לבקרת מחלות ומניעתן, בדרך כלל ההוראה של הרשויות במקרה של סכנה מקרינה היא לקחת מנה אחת של 130 מ"ג של אשלגן יודי למבוגרים, ו-65 מ"ג לילדים.
כמות זו מספקת הגנה לכ-24 שעות ואחריה הרשויות מורות אם יש לקחת פעמים נוספות.
בישראל מיוצרות טבליות לוגול על ידי חברת טבע תעשיות פרמצבטיות.
כיוון שההתראה במקרה של פגיעה בכור גרעיני קצרה ביותר, המליצה מערכת הביטחון בשנת 2002 לחלק לוגול לתושבי היישובים הסמוכים לכורים הגרעיניים בדימונה (קמ"ג) ובנחל שורק (ממ"ג), כך שהטבליות יהיו זמינות באופן מיידי בשעת חירום.
בהתאם לעוצמתו של כל כור, הוחלט לספק לוגול למתגוררים ברדיוס של 30 ק"מ מהקמ"ג וברדיוס של 3.5 ק"מ מהממ"ג.
ממשלת ישראל אישרה את החלוקה ב־27 ביולי 2004 והחלוקה החלה ב-8 באוגוסט.
פיקוד העורף הוציא הנחיה חד-משמעית: "אין כל תועלת בנטילת הטבליות מראש ללא הודעה מפורשת, ולכן אין לקחת לוגול על דעת עצמכם אלא לאחר הודעה של פיקוד העורף באמצעי התקשורת".
תושבי היישובים שבהם מחולק לוגול חוששים מפגיעה תדמיתית ביישובם ובפגיעה בערך הדירות, משום שחלוקה זו מדגישה את הסכנה המיוחדת שמרחפת, אמנם בסבירות נמוכה, על יישובים אלה.
לוגיקה עמומה או לוגיקה מעורפלת הוא שם כללי לתורות לוגיות המנסות להחיל את עקרונות החשיבה הרציונלית על תחומים שבהם נראה כי שני חוקי היסוד של הלוגיקה הקלאסית אינם מתאימים.
בעיקר מדובר על תחומים שבהם יש צורך להתבסס על הערכות סובייקטיביות או רב-משמעיות (בתחומים הקשורים למדעי החברה או לכלכלה, כמו שיווק למשל).
במשך השנים נעשו מספר ניסיונות לבסס תורות של לוגיקה עמומה שיעמדו במבחן החשיבה הלוגית הרציונלית, וניתן גם לומר כי פילוסופיות שמקורן מהמזרח הרחוק, ובעיקר הטאואיזם הסיני, עשו זאת במידה רבה של הצלחה.
אולם התורה הנחשבת למוצלחת והיישומית ביותר, פותחה החל מאמצע שנות ה-60 של המאה ה-20, על ידי פרופסור לוטפי זאדה מאוניברסיטת קליפורניה בברקלי.
זאדה הצליח לבסס תורה מתמטית המהווה הרחבה של הלוגיקה הקלאסית באמצעות מספר שינויים קטן יחסית, כך שניתן להעתיק את עקרונות הלוגיקה העמומה וכל המשתמע מהם (כמו למשל תורת הקבוצות ותורת ההוכחה), באופן כמעט מידי מעקרונות הלוגיקה הקלאסית.
האלגנטיות המתמטית של תורתו של זאדה מאפשרת שימוש בה ליישומים אלגוריתמיים, בעיקר בתחום האוטומציה של מערכות בקרה (מה שמכונה "בקרה עמומה" - fuzzy control).
השימוש בלוגיקה העמומה זוכה לפופולריות רבה בעיקר ביפן.
עקרונות הלוגיקה העמומה של זאדה
בעוד שבלוגיקה הקלאסית נקוט כלל השלישי מן הנמנע, כלומר כל היגד לוגי הוא או נכון או בלתי נכון, בלוגיקה העמומה אנו מדברים על "נכונות במידה מסוימת" המיוצגת על ידי מספר בקטע הסגור [0,1] - כל המספרים בין 0 ל-1, כולל הקצוות.
כמובן שהאמת והשקר המוחלטים של הלוגיקה הקלאסית, יכולים להחשב כמקרה פרטי של האמת והשקר העמומים, כאשר "אמת מוחלטת" מיוצגת על ידי 1, ו-"שקר מוחלט" מיוצג על ידי 0.
בהתאם, אנחנו יכולים להגדיר קבוצות עמומות תחת קבוצה אוניברסלית כלשהי, על פי מידת השייכות של איבר כלשהו אליהן.
למשל, אם U מייצגת גבהים של אנשים, ו־H היא קבוצת האנשים הגבוהים, אז מידת השייכות של אדם שגובהו 1.60 מטר ל-H היא 0, ומידת השייכות של אדם שגובהו 2.0 מטר ל-H היא 1, אבל מידת השייכות של אדם שגובהו הוא 1.85 מטר ל-H היא 0.6.
אחד החסרונות הבולטים של המודל של זאדה, הן מהבחינה התאורטית והן מהבחינה המעשית, היא שאין דרך חד משמעית לבחור את פונקציות השייכות לקבוצה עמומה.
ישנן מספר דרכים מקובלות לעשות זאת אבל אין כל סיבה מתמטית להעדיף אותן על אחרות.
יוצא מכך שההגדרה של מידת השייכות של איבר לקבוצה מסוימת (ומכאן כל הגדרת הקבוצה) היא שרירותית וסובייקטיבית.
מסיבה זו, יש הפוסלים את הלוגיקה העמומה כתורה מתמטית.
ניתן להרחיב את האופרנדים הלוגיים הבסיסיים, AND, OR ו־NOT, לאופרנדים לוגיים עמומים.
ישנן מספר דרכים מקובלות לעשות זאת (ושוב, אין לכך כללים מוסכמים), באופן שישמור על האופרנדים הקלאסיים כמקרה פרטי ועל קיום כללי דה מורגן, ומספר דרישות נוספות מאופרנדים כאלה.
המקובל ביותר הוא להשתמש בפונקציית מינימום ל-AND, פונקציית מקסימום ל־OR והמשלים ל-1 ל־NOT (בצורה זו כללי דה-מורגן ותכונות נוספות מוסיפים להתקיים).
כל בחירה נכונה של אופרנדים לוגיים מאפשרת להגדיר את כל שאר המושגים של תורת הקבוצות וגם של תורת ההוכחה.
בלוגיקה הקלאסית אנו אומרים, "אם יורד גשם, סימן שמעונן".
בלוגיקה העמומה אנו אומרים, "אם גשום במידה x, סימן שמעונן לפחות במידה y".
כלומר, חשבו על מצב שבו אנו יושבים בחדר ללא חלון ומקשיבים לרעש הגשם היורד על הגג.
אם יורד גשם חזק מאוד, אנחנו יכולים להסיק מכך שהשמיים מאוד מעוננים.
אבל אם לא יורד גשם בכלל, איננו יכולים לדעת עד כמה השמיים מעוננים.
ייתכן שהם מאוד מעוננים אבל לא יורד גשם, וייתכן שהם אינם מעוננים בכלל, וכמובן שייתכן כל מצב באמצע.
בהתאם, אם יורד גשם חלש, אנחנו יודעים שהשמיים לא יכולים להיות בהירים לחלוטין.
לוגיקה מודָלית (Modal Logic) היא הרחבה של הלוגיקה הקלאסית, המאפשרת הגדרה פורמלית של ביטויים מודליים.
ביטויים מודליים הם למשל כאלה המאפיינים את אמיתותם של משפטים, כגון "הכרחי" ו"אפשרי".
לדוגמה, על פסוק כמו "יורד גשם", ניתן להפעיל את האופרטורים המודליים של ההכרח והאפשרות ולקבל "בהכרח יורד גשם" או "אפשרי שיורד גשם".
הביטויים המודליים הקלאסיים הם הכרח, אפשרות, חוסר אפשרות, וקונטינגנטיות.
ישנם קשרים לוגיים המאפשרים להגדיר מושגים אלו אחד מתוך השני: אפשרי הוא מה ששלילתו אינה הכרחית, הכרחי הוא מה ששוללים את אפשרות שלילתו, לא-אפשרי הוא מה ששלילתו הכרחית וקונטינגנטי הוא מה ששלילתו אפשרית.
נהוג להשתמש בשניים מבין הביטויים המודליים הללו בלבד: 'הכרחי ש-' ו'אפשרי ש-'.
אלו מיוצגים בלוגיקה המודלית על ידי האופרטורים עבור הכרח ו- עבור אפשרות.
כך, למשל, אם הפסוק מייצג את הטענה 'יורד גשם בחוץ', הרי שהטענה 'בהכרח יורד גשם בחוץ' תוצרן כך:
ואילו הטענה 'ייתכן שיורד גשם בחוץ' תוצרן כך:
האופרטורים ו-, המייצגים בלוגיקה המודלית הקלאסית את הביטויים האלתיים (alethic) "הכרחי" ו"אפשרי", ניתנים גם לשימוש במגוון של ביטויים מודליים אחרים.
למעשה, לוגיקה מודלית הוא שם קיבוצי למספר רב של מערכות פורמליות, כל אחת בעלת מאפיינים הייחודיים לה, אשר נקבעים על ידי המערכות האקסיומטיות השונות שלהן.
ממערכות אלו נגזרות לוגיקות שונות שמטרתן לייצג ביטויים לשוניים בתחומים שונים, כגון לוגיקה טמפורלית לייצוג ביטויים של זמן (לפני, אחרי וכדומה), לוגיקה אפיסטמית לייצוג ביטויי ידיעה, לוגיקה דוקססטית לביטויי אמונה, לוגיקה דאונטית לביטויים נורמטיביים , ולוגיקה דינמית לתיאור שינויים.
סמנטיקה של עולמות אפשריים עבור לוגיקה מודלית
סמנטיקה מקובלת ללוגיקה מודלית כוללת "מסגרת", או קבוצה של עולמות אפשריים, ויחס בינארי של "נגישות" בין עולמות אלו.
בהתעלם מיחס הנגישות, שיוסבר להלן, סמנטיקה של עולמות אפשריים מפרשת את הטענה על מה שאפשרי כטענה על מצב עניינים ב"עולם" מסוים, את הטענה על מה שהכרחי כטענה על מצב העניינים "בכל העולמות האפשריים", ואת הטענה על הבלתי אפשרי כטענה על מה שאינו מצב העניינים "באף עולם אפשרי".
פרשנויות מסוימות של "עולמות אפשריים", כמו זו של דייוויד לואיס, הן ריאליסטיות, והן מניחות את קיומם הממשי של עולמות מרובים, השונים מהעולם שלנו, האקטואלי, במידה זו או אחרת, אך כולם בעלי היתכנות לוגית.
מאפיין חשוב המבדיל בין הסמנטיקה של המערכות האקסיומטיות השונות של הלוגיקה המודלית הוא האופן בו יחס הנגישות מוגדר בהן.
הנגישות קובעת לגבי כל עולם במערך נתון של עולמות אפשריים, אילו עולמות במערך רלוונטיים לו.
כך ניתן, למשל, להגדיר ש'הכרחי ש-' היא טענה אמיתית בעולם מסוים במערך אם ורק אם הטענה '' אמיתית בכל העולמות הנגישים לו (ולאו דווקא אם היא אמיתית בכל העולמות האפשריים בכלל), ואילו הטענה 'אפשרי ש-' היא אמיתית בעולם זה אם ורק אם הטענה '' אמיתית לפחות בעולם אחד הנגיש לו.
כך, למשל, במערכת האקסיומטית K, שהיא המערכת המודלית הבסיסית ביותר, הנגישות בין העולמות היא אקראית.
במערכת המודלית T, לעומת זאת, הנגישות היא רפלקסיבית, כלומר, כל עולם נגיש גם לעצמו.
במערכת המודלית B הנגישות היא רפלקסיבית וסימטרית (אם עולם n נגיש לעולם m גם עולם m נגיש לעולם n).
במערכת המודלית S4 הנגישות היא רפלקסיבית וטרנזיטיבית (אם עולם n נגיש לעולם m ועולם m נגיש לעולם k, גם עולם n נגיש לעולם k), ובמערכת S5, שהיא המערכת המודלית הפשוטה ביותר, הנגישות היא אוניברסלית (כל עולם נגיש לכל עולם).
על אף שיש לה תקדימים אצל אריסטו ואצל ממשיכיו הסכולסטים ויליאם איש אוקאם וג'ון דנס סקוטוס, הלוגיקה המודלית המודרנית, המבוססת על מערכות אקסיומטיות, נוסדה בראשית המאה העשרים על ידי , שגם הציע את התיווי המקובל למונחי האפשרות וההכרח.
הלוגיקה המודלית זכתה לתנופה החל ממחצית המאה, בעבודתה של רות ברקן מרקוס.
העידן הנוכחי בלוגיקה המודלית החל ב-1959, בעבודתו של סול קריפקי, שסיפק את התורה הסמנטית המקובלת עבורה ואפשר לנסח הוכחות שלמות עבור הלוגיקה המודלית.
לוגיקה מתמטית הוא תחום במתמטיקה, העוסק במערכות פורמליות ובדרך בה הן מגלמות מושגים אינטואיטיביים, כגון הוכחה או חישוביות.
התחום הוא אחד מקבוצה של תחומים המכונים יסודות המתמטיקה משום שהם עוסקים בבסיס הפורמלי של המתמטיקה כולה.
לוגיקה מתמטית עוסקת באותם חלקים של הלוגיקה שניתן ליצור להם מודל מתמטי.
בעבר נקרא התחום גם בשמות לוגיקה סימבולית (בשל עיסוקו בטענות המיוצגות בידי סמלים) או מטה-מתמטיקה.
השם השני מתייחס כיום רק לתורת ההוכחות, אחד התחומים בלוגיקה מתמטית.
על מנת לנתח טענות, הלוגיקה המתמטית דורשת שאלו יעברו הצרנה: תרגום הטענות בשפה המדוברת (או בשפה המתמטית) לטענות בתחשיב ריגורוזי וחד משמעי.
שני התחשיבים הלוגיים הנפוצים הם "תחשיב הפסוקים" הבסיסי, המביע את הקשרים בין ערכי האמת של טענות פשוטות ומורכבות, ו"תחשיב הפרדיקטים" המתקדם, המאפשר לטפל במבנה הפנימי של טענות ובקשר שהן מביעות בין אובייקטים לבין המושגים (פרדיקטים) החלים עליהם.
הוכחת טענות בלוגיקה מתמטית היא תהליך שבו מתחילים מאוסף של הנחות יסוד ומסיקים מהן סדרה של מסקנות עד שמגיעים לטענה המבוקשת.
הסקת המסקנות מתבססת על אוסף כללי יסוד שאי אפשר להוכיח את נכונותם.
כלל יסוד כזה מכונה אקסיומה.
הלוגיקה המתמטית מנתחת את הקשרים בין הטענות המוצרנות לפי האקסיומות וכללי היסק של המערכת.
ניתוח זה של הוכחות (טיעונים המורכבים ממספר טענות) הוא לא יותר מאשר טיפול פורמלי במחרוזות וניתן לביצוע במלואו, ללא מעורבות אדם, על ידי מחשב.
מכיוון שטענות מורכבות שמוצרנות במלואן הן בלתי קריאות בפועל למרבית בני האדם (כולל מתמטיקאים), ישנן הוכחות שרק מחשבים יכולים לבצע בפועל.
ואולם, מאותה סיבה, הוכחת משפטים מתמטיים רבים עדיין נעשית על ידי מתמטיקאים בשפה שהיא שילוב בין השפה היום-יומית לנוסחאות מתמטיות והצרנה לוגית חלקית.
הלוגיקה המתמטית מסתעפת לענפים שונים, שכל אחד מהם מתרכז בהיבט אחר של מושגי היסוד: תורת הקבוצות, תורת המודלים, תורת הרקורסיה ותורת ההוכחות.
לוֹגִיקָה (מיוונית: λογική; בעברית: תּוֹרַת הַהִגָּיוֹן) היא שם כולל לתורות הבוחנות קשרי היסק בין טענות תוך התבססות על אקסיומות.
הלכה למעשה הלוגיקה מנתחת צורה של טענות, ועל סמך ניתוח זה מציעה כללים שבעזרתם ניתן לקשר טענות זו לזו ומכאן להסיק מסקנות.
הלוגיקה גם מבחינה בין טיעונים שיש בהם היסק תקף, כלומר כאלה שבהם המעבר מההנחות למסקנה הוא מוצדק, לבין טיעונים שאינם תקפים.
לפיכך, הלוגיקה היא בראש ובראשונה תורה המתארת את אופני החשיבה שהם תקפים באופן אובייקטיבי כביכול ואת אופני ביטוייהם.
מנקודת מבט מטא-תאורטית, המטא-לוגיקה מתבוננת בשפות ומערכות צורניות ופורמליות, מזווית פרשנית.
מבחינה היסטורית, במאה ה-19 וה-20 חווה ענף הלוגיקה התפתחות משמעותית עקב התמקדות המחקר באופן בו ניתן לזקק מבנה לוגי באמצעות שפות מלאכותיות המושתתות על אופני ביטוי סימבוליים, ללא תלות בתחביר של השפה הטבעית.
כך נולדה הלוגיקה המתמטית, המתמקדת במושג ההוכחה ובתכונותיהן של מערכות אקסיומטיות שונות.
לפיכך בעוד שבראשית הלוגיקה נושא המחקר היה חוקי החשיבה המדויקת, נכון יותר לתאר את העניין של הלוגיקה המודרנית כעיסוק בתכונותיהן הצורניות של קבוצות של טענות באשר הן.
בימינו, התורה הלוגית הנפוצה ביותר בעולם המדע היא לוגיקה פורמלית, וגרסתה המקובלת כיום היא זו המתבססת על תורת הקבוצות האקסיומטית.
תורות מתמטיות רבות נשענות על גרסה זו של הלוגיקה הפורמלית, המעניקה להן בסיס לוגי-דדוקטיבי.
מקורו של המונח לוגיקה הוא מהמילה היוונית לוגוס (λόγος), שלה פירושים שונים כגון 'סיבה', 'מחשבה', ו'טיעון'.
התרגום העברי המסורתי ל'לוגיקה' הוא, 'תורת ההיגיון'.
ראשיתה של הלוגיקה במחקר הפילוסופי אודות תכונותיהם של טיעונים.
מחקר זה התפתח במיוחד ביוון העתיקה, ובעיקר במסגרת האסכולה האלאטית.
פרמנידס ותלמידו זנון התמחו בניסוחם של טיעונים פרדוקסליים, המראים כי ישנן סתירות במושגים באמצעותם אנו מבינים את המציאות, במיוחד בכל הנוגע למושגים רצף ואינסוף.
את הסתירות הללו ניתן לחשוף באמצעות הצגת הקשרים בין המושגים השונים שלנו בצורה של טיעון, שעל אף שאנו נוטים לקבל את הנחותיו, מסקנתו בלתי נסבלת (למשל, שאין שינוי בעולם, שאין בו תנועה וכולי).
הסיבה לכך שסתירות אלו עולות, היא שהבנתנו הראשונית את המושגים הנוגעים לעולם החושים אינה מתוחכמת מספיק; בעקבות הסתירות, אנו נאלצים לחשוב מחדש על האופן בו עלינו להבין אותם.
אפלטון יכול להחשב כממשיך דרכם של האלאטים.
אפלטון אמנם לא הציג תורה לוגית סדורה, אולם בדיאלוגים המיוחסים לו הוא חקר מספר מושגים לוגיים יסודיים, למשל את ההבחנה בין טיעונים שבמבנה שלהם קיימת סתירה פנימית, לבין טיעונים שהתוכן שלהם עקבי, כלומר שאין בו סתירות פנימיות.
לשם כך ביקש אפלטון להבהיר את מושג ההגדרה (יוונית: Horismos), שכן ללא הגדרות חדות של המושגים אודותם נסובים טיעונינו, קשה להבחין מתי אנו סותרים את עצמנו.
בדיאלוג האפלטוני הטיפוסי, סוקרטס בוחן נושא מסוים (למשל, מהו אומץ או מהי ידידות) ושואל את שאר המשתתפים בדיאלוג שאלות כדי לבדוק עד כמה הם עקביים בדעותיהם על נושא זה.
לעיתים ניתן לחלץ מן הדיאלוג מערכת של משפטים, המרכיבים יחדיו טיעון, ולנתח את הדיאלוג כחקירה המכוונת לבדוק האם כל המשפטים עקביים עם עצמם ועם המשפטים האחרים בהם מאמינים המשתתפים בדיאלוג.
למתודה זו של בירור לוגי קרא אפלטון דיאלקטיקה.
עיקרון לוגי יסודי שאפלטון זיהה לראשונה הוא חוק הסתירה, על פיו אין דבר יכול לשאת תכונות מנוגדות זו לזו:
גישתו של אריסטו ללוגיקה הייתה שיטתית יותר מזו של אפלטון, והוא הפך אותה לתורה סדורה המאפשרת להבחין בין טיעונים מבוססים לטיעונים שאינם מבוססים על סמך זיהויה של הצורה הלוגית של הטיעונים.
מושגי היסוד בלוגיקה האריסטוטלית הם: מונח, טענה, טיעון, נביעה או היסק, וכלל המרה.
ישנם כללי המרה המאפשרים להראות כי טענות שונות בצורתן הן למעשה שקולות זו לזו וכך להרחיב את מספר צורות הטיעון התקפות.
אריסטו סבור כי הטיעון תקף בזכות צורתו, ללא קשר לשאלה האם חלק מהטענות שקריות מבחינת התוכן שלהן.
מסקנה: כל א הוא ג
כאשר אנו מצרינים את הטיעון אנו נפטרים אך ורק מן השמות של המונחים, ואילו הצורה הלוגית של הטיעון, המיוצגת באמצעות הקבועים הלוגיים, נשארת חשופה לעינינו.
מסקנה-לכאורה: כל ג הוא א.
כל הפירות צומחים על עצים.
מסקנה: חלק מהצומחים על העצים הם הדרים.
מסקנה: חלק מ-ב הם ג
מסקנה: אף דג אינו נמר.
מסקנה: אף ג אינו א.
מ"אין א שהוא ב" הסק: "אין ב שהוא א"
הערה נוספת: הניתוח של אריסטו מתייחס לטענות שבהן מקושרים שני מונחים כוללים, שמות של קבוצות.
אולם הניתוח האריסטוטלי מאפשר להתייחס גם לשמות פרטיים כאילו היו מונחים כוללים, וכך להציג את הטיעון התקף הבא:
1) חוק אי-הסתירה - לחוק זה היבט אונטולוגי, היבט לוגי, והיבט פסיכולוגי.
2) חוק השלישי הנמנע - לפיו טענה יכולה להיות או אמיתית או שקרית, ואין שום אפשרות ביניים שלישית.
מכאן, שהלוגיקה בוחנת טענות אך ורק אם יש להן אחד משני ערכי אמת: אמת ושקר.
לא תיתכן טענה שאינה אמת ואינה שקר, ולכן ביטוי כגון "או שדני אוהב ללכת לבית הספר או שדני לא אוהב ללכת לבית הספר" יחשב כנכון בהכרח, משום שאחד החלקים של המשפט חייב להתקיים.
בחוק ההמרה השני של אריסטו ישנה הרשאה מפורשת למעבר מן הטענה "כל ב הם א" לטענה "יש א שהוא ב".
הלוגיקה לאחר אריסטו ועד המאה התשע עשרה
במשך כאלפיים שנה נחשבה הלוגיקה האריסטוטלית כמשהו שאין כל צורך לפתחו או לשנותו, אף שנעשו מעט תוספות מינוריות למטרות דידקטיות.
ואולם, כבר בסוף המאה השמונה עשרה, אצל קאנט, ניכרת חוסר נוחות הולכת וגוברת באשר ליכולתה של הלוגיקה האריסטוטלית לתאר את כל אופני המחשבה התקפים.
קאנט ביקר את הלוגיקאים הסכולסטים על כך שצורת הטענה היחידה בה הם מטפלים היא טענה של נושא-נשוא (א הוא ב).
קאנט הציע להחשיב גם את הצורות של משפט התנאי (אם א אז ב) ושל המשפט הדיסיונקטיבי (א או ב) כצורות יסודיות של טענות.
החל במאה התשע-עשרה, התפתחות הלוגיקה הייתה תלויה במידה רבה בעניין שגילו בה מתמטיקאים, אשר ביקשו להבין את אופיין של טענות מתמטיות (למשל משוואות, שצורתן אינה כזו של נושא-נשוא) ואת אופיו של הטיעון המתמטי, דהיינו ההוכחה.
במקביל לחקירת המאפיינים הלוגיים של המתמטיקה, החל שימוש במתודות מתמטיות בלוגיקה, וההפריה ההדדית בין שני המדעים גברה.
מתמטיקאים ופילוסופים כמו ג'ורג' בול, אוגוסטוס דה מורגן, ויליאם סטנלי ג'בונס, צ'ארלס פירס, וארנסט שרדר, הניחו במחקריהם את היסודות ללוגיקה המודרנית.
עבודתם של בול וממשיכיו עומדת ביסוד תחשיב הפסוקים המודרני, וגישתם האלגברית ללוגיקה עומדת ביסוד מדעי המחשב.
בול וממשיכיו הציגו לראשונה מונחי יסוד של תורת הקבוצות במסגרת הדיון בלוגיקה, ובאמצעותם ייצגו הסקים אריסטוטליים כמשוואות שהמסקנה היא פתרונן.
במקביל, מתמטיקאים ופילוסופים כמו ברנרד בולצאנו ואלקסיוס מיינונג חקרו את מושג הטענה ואת האופן בו תפיסותינו את האובייקטיביות של הלוגיקה והמתמטיקה מחייבות אותנו לקבל את קיומן האידיאלי של טענות.
התפתחויות אלו עומדות בבסיס עבודתו של גוטלוב פרגה, שאף שעיקר הישגיו בלוגיקה הושגו במאה התשע-עשרה, הם כמעט לא נודעו עד תחילת המאה העשרים.
גוטלוב פרגה נחשב הדמות הבולטת ביותר בלוגיקה מאז ימי אריסטו.
אף על פי שעבודתו לא הוכרה כמעט בימי חייו, רעיונותיו קיבלו תהודה בעיקר דרך מי שהושפע ממחקרו וכתביו בעיקרם ג'וזפה פאנו, ברטראנד ראסל ולודוויג ויטגנשטיין.
"כתב מושגים", ספרו הראשון והמהפכני של פרגה מ-1879, סימן את תחילתה של תקופה חדשה בהיסטוריה של הלוגיקה.
בספר זה הציע פרגה לראשונה אקסיומטיזציה של תחשיב הפסוקים ושל תחשיב הפרדיקטים, המנתח את מבנה הטענה כבעלת שני חלקים בלבד.
בעוד שאריסטו סבר כי לטענות יש שלושה חלקים: שני מונחים והאוגד המחבר ביניהם ("א' הוא ב'", או "כל א' הוא ב'"), בתחשיב הפרדיקטים של הלוגיקה החדשה הטענה האטומית היא בעלת שני חלקים בלבד, פרדיקט ואובייקט, החוברים זה לזה כפי שפונקציה חלה על משתנים.
למשל, את המשפט "דני הוא חכם", ניתן להצרין בעקבות פרגה בתור , כאשר F מציין את הפרדיקט חכם, ו-a מציין את שמו של האובייקט, דני.
שיטתו של פרגה מאפשרת גם להביע יחסים בין שני אובייקטים או יותר באמצעות פרדיקטים דו מקומיים – פרדיקטים שמקבלים שני אובייקטים.
למשל, כדי לומר שדני (a) הוא חבר של רני (b), תוך ציון יחס החברות באמצעות האות R, כותבים: .
למשל, את צורתה של הטענה "כל דבר הוא חכם" ניתן להביע לפי פרגה בתור:
(בשיטה המודרנית מסמנים זאת: ), והטענה "יש דבר אחד לפחות שהוא חכם" תובע בצורה
(בשיטה המודרנית מסמנים: , או באופן שקול: ).
באמצעות התחביר החדש של תחשיב הפרדיקטים, הכולל כימות, יכולים הכמתים להופיע כחלק מן המבנה הפנימי של הטענה, ובאמצעות כך ניתן כעת לנסח טענות שיש בהם כימות מרובה של מספר משתנים בעת ובעונה אחת.
טכניקות אלו מעניקות ללוגיקה החדשה כוח להביע עובדות וקשרים שאינם ניתנים להבעה באמצעים האריסטוטלים.
למשל, הלוגיקה המודרנית הצליחה לתת לראשונה תיאור פורמלי של מושג האינסוף – מושג שהוביל לפרדוקסים מאז ימי האסכולה האלאטית – ושל מושג הגבול באנליזה המתמטית של פונקציות, שכן לשם הבעת מושגים אלו יש צורך בטענה מרובת כמתים מן הצורה "לכל ε קיים δ כך ש...".
לשם המחשה, אם נשתמש שוב בסימן היחס בין חברים כפרדיקט דו-מקומי, R, אז ניתן להצרין את הטענה "לכל אחד יש חבר" בתור:
הפילוסופיה של הלוגיקה של פרגה
בפילוסופיה של הלוגיקה, פרגה מציג את שלושת העקרונות היסודיים שלו בהקדמה לספרו השני, "יסודות האריתמטיקה".
העיקרון הראשון מציג את התנגדותו של פרגה לפסיכולוגיזם, דהיינו לעירוב של שיקולים פסיכולוגיים בניתוח הרעיונות הלוגיים היסודיים.
מבחינה זו, פרגה היה ריאליסט בנוגע לישויות אידיאליות, כולל הישויות המתמטיות הבסיסיות ביותר - המספרים.
העיקרון השני מציג את עקרון הקונטקסט (הרלוונטי גם בפילוסופיה של הלשון) - לפיו מילה מקבלת את משמעותה רק בקונטקסט של השיפוט שהיא משמשת כחלק ממנו.
כשלעצמו, המושג הוא בלתי רווי (unsaturated), ורק כשהוא מתחבר לשם או לשם של משתנה, הוא מקבל משמעות.
טענות כגון אלו, המכריזות על שוויון מספרי בין האקסטנציות של מושגים שונים הן מהותיות עבור ההגדרה הלוגית של מושג המספר – הגדרה שמקורה אצל פרגה.
פרגה היה התומך המשמעותי הראשון של לוגיציזם – העמדה לפיה ניתן לצמצם את המתמטיקה כולה ללוגיקה.
פרגה אף ניסה להוכיח כי חוקי האריתמטיקה, ומושג המספר עצמו, ניתנים לפיתוח מתוך אקסיומות שאותן תפס פרגה כלוגיות במובהק.
לאחר שפורסם הכרך הראשון של ספרו השלישי, "חוקי היסוד של האריתמטיקה", ברטראנד ראסל גילה את הפרדוקס של ראסל, והצליח להראות שהאקסיומות של פרגה, ובמיוחד אקסיומה מספר חמש, מובילות אליו (מן האקסיומה החמישית נובע כי עבור כל מושג, יש אובייקט המהווה את האקסטנציה של מושג).
הוא כתב על כך לפרגה, שהוסיף נספח לכרך השני של הספר בו הוא מודה כי אין לו פתרון מספק לבעיה, והוא לא הצליח לתקן את עבודתו על מנת למנוע את הפרדוקס.
הלוגיקה המודרנית סיפקה, באמצעים אלו, את היסודות למדעי המחשב ואפשרה את פיתוחם של המחשבים המודרניים.
בעקבות פרגה, פרח המחקר הלוגי במאה העשרים בעבודתם של ברטראנד ראסל, לודוויג ויטגנשטיין, אלפרד טרסקי, קורט גדל, אלן טיורינג, ואחרים.
במרבית המקרים הייתה עבודתם רלוונטית הן לפילוסופים והן למתמטיקאים, שכן היא עסקה ביסודות המשותפים לכל שפה ולכל מערכת לוגית באשר היא.
למעשה, התנועה המובילה בלוגיקה בתחילת המאה העשרים, הלוגיציזם, ביקשה להראות כי המתמטיקה מבוססת על הלוגיקה.
ראסל, למשל, סבר כי בעיות היסוד של המתמטיקה אינן מעניינו של המתמטיקאי, אלא של הפילוסוף והלוגיקאי.
הלוגיקה המודרנית היא לוגיקה סימבולית, דהיינו היא בוחנת צורות מופשטות המיוצגות באמצעות סמלים, שניתן להבין אותן כמייצגות את הצורות של הטענות וההיסקים שאנו מכירים מן השימוש הטבעי בשפה.
בלוגיקה מנסחים ובוחנים מערכות לוגיות בשפה הסימבולית.
מערכת לוגית היא תחשיב (calculus) בו ניתן לבצע הוכחות.
שני התחשיבים הלוגיים הבסיסיים הם תחשיב הפסוקים (propositional calculus או sentential calculus) ותחשיב הפרדיקטים (predicate calculus).
תחשיב הפסוקים הוא הרחבה פשוטה למדי של הלוגיקה הקלאסית, ואילו תחשיב הפרדיקטים בוחן את המבנה הפנימי של הטענות ומאפשר שימוש בכמתים, ובכך מעניק ללוגיקה כוח ביטוי שאינו בר השוואה לזה של הלוגיקה האריסטוטלית.
התחשיב הוא מערכת פורמלית שיש בה נוסחאות בנויות כהלכה (נב"כ) מבחינה תחבירית, שחלקן מקבלות מעמד מיוחד של אקסיומות, וכן מערך של כללי היסק הקובעים אילו נוסחאות ניתן לגזור מאילו, ובכך להוכיח אותן.
התחביר של התחשיב מגדיר באופן רקורסיבי את כל הנב"כים של התחשיב.
בלוגיקה המודרנית, נהוג להבחין בין התחביר (syntax) של המערכת, הקובע מהו משפט תקני ומהם הכללים לגזירה של משפט אחד ממשנהו, ובין הסמנטיקה (semantics) שלה, הקובעת את ערכי האמת של המשפטים שניתן ליצור באמצעות השפה של המערכת.
אם מדובר בשפה כמו תחשיב הפסוקים, הסמנטיקה מספקת ערך אמת לכל אחד מן הפסוקים היסודיים, והיא מספקת פירוש סמנטי לפעולתם של כל אחד מן הקשרים הלוגיים, למשל באמצעות טבלת אמת המציגה כיצד משפט מורכב מקבל את ערך האמת שלו על בסיס ערכי האמת של המשפטים שהוא מחבר זה לזה.
בשפות לוגיות מורכבות יותר, דוגמת תחשיב הפרדיקטים, הסמנטיקה קובעת מהי קבוצת האיברים של תחום הדיון, מהן הקבוצות של האובייקטים המשויכים לכל פרדיקט (דהיינו, לאילו אובייקטים יש את התכונה שהפרדיקט מייצג), וכן את הפירוש של הקשרים הלוגיים.
כל פירוש סמנטי של מערכת כזו הוא מודל, אולם התכונות הלוגיות של המערכת עצמה צריכות להיות תקפות עבור כל מודל אפשרי.
לדוגמה, תקפות לוגית של טיעון חייבת להיות תלויה בצורה הלוגית של הטענות המקושרות בו, ללא קשר לפירוש שאנו נותנים למונחים הלא-לוגיים המופיעים בהן.
מכאן שהלוגיקה המודרנית עוסקת בבחינת תכונותיהן הצורניות של מערכות לוגיות, הן מבחינת התחביר שלהן והן מבחינת הסמנטיקה שלהן.
מבין התכונות הצורניות החשובות ביותר של מערכות לוגיות, ניתן להזכיר את התכונות הבאות, אשר את קיומן עבור מערכות מסוימות ניתן להוכיח או לשלול:
עקביות (consistency) - זוהי תכונתן של מערכות לוגיות שאין סתירה בין אי אלו מן הטענות השייכות להן.
שלמות (completeness) - זוהי תכונתן של מערכות לוגיות שבהן לגבי כל נוסחה אמיתית, ניתן לספק לה הוכחה מן האקסיומות.
נאותות (soundness) - בניגוד לנאותות של טיעון, שהיא התכונה של טיעון תקף שבו כל ההנחות אמיתיות, נאותות של מערכת לוגית היא התכונה לפיה אם נוסחה מסוימת ניתנת להוכחה מן האקסיומות על פי חוקי התחשיב, אזי נוסחה זו אמיתית.
הוכחות לשלמות ולנאותות מעידות על הזיקה שבין התחביר והסמנטיקה של המערכת.
התחביר קובע איזו נוסחה היא תיאורמה (או משפט), דהיינו איזו נוסחה ניתנת לגזירה מן האקסיומות, באמצעות כללי ההיסק.
הסמנטיקה קובעת איזו נוסחה היא טאוטולוגיה, דהיינו איזו נוסחה היא אמיתית בהכרח מכוח משמעותם של המונחים המקושרים בה והאופן בו הם מקושרים.
לפי הגדרות אלו, למערכת יש שלמות, כאשר כל טאוטולוגיה היא גם תאורמה.
למערכת יש נאותות, כאשר כל תיאורמה היא טאוטולוגיה.
ניתן לראות כי התכונות נאותות ושלמות קשורות זו לזו, אף שלא כל מערכת נאותה היא גם שלמה.
קורט גדל הוכיח ב-1931 שבמערכות לוגיות שהן חזקות מספיק (כאלו שכוללות את האריתמטיקה בתוכן, כמו המערכת שהציע ברטראנד ראסל בפרינקיפיה מתמטיקה), יש נוסחאות אמיתיות שלא ניתן להוכיח אותן או להפריך אותן.
משפט מתמטי זה נקרא משפט האי-שלמות של גדל.
תחשיב הפסוקים מאפשר לייצג את הקשרים בין ערכי האמת של טענות (פסוקים) שונות.
תחשיב הפסוקים אינו מתחשב בטענות אלא שאם יש להן ערכי אמת, דהיינו הוא אינו בוחן את הצורה הפנימית של הטענות, ואת הקשרים שהן מציגות, למשל, בין אובייקטים (בתחשיב הפרדיקטים, הנידון להלן, יש ניתוח של מבנה עומק זה).
הסמנטיקה של תחשיב הפסוקים מורה לנו כיצד עלינו להבין את היחס בין הסמלים המייצגים פסוקים שונים, ובין טענות מן השפה הטבעית.
כאשר אנו מעוניינים לנתח טיעון בשפה הטבעית באמצעות תחשיב הפסוקים, הצעד הראשון שעלינו לעשות מכונה הצרנה'.
בתהליך זה מסמנים כל משפט חיווי בסיסי (למשל 'השמש תזרח מחר' או 'יוסי גר בלונדון') בסימן קבוע (בדרך כלל אות אנגלית גדולה כמו P או Q, או הסימן Pi עם האינדקס i, המייצג מספר מסוים).
סימן זה משמש לייצג את הטענה בכל מקום שתופיע בטיעון, והוא מכונה "פסוק יסודי", או "פסוק אטומי".
תחשיב הפסוקים אינו עוסק בשאלה כיצד נקבע ערך האמת של פסוקים אטומיים, אלא בשאלה כיצד נקבע ערך האמת של פסוקים מורכבים יותר, המורכבים ממספר פסוקים אטומיים באמצעות קַשַּרים לוגיים.
ערך האמת של הפסוקים האטומיים יכול להיקבע על ידי הפירוש הסמנטי שאנו נותנים לאותיות הפסוקיות; אולם ניתן גם להשאיר אותו כמשתנה, ולבחון כך את כלל היחסים האפשריים בין הטענות המורכבות, עבור כל הצבה של ערכי אמת לאותיות הפסוקיות.
באמצעות הכללה כזו ניתן לקבוע כי טיעונים הם תקפים, כאשר עבור כל הצבה של ערכי אמת לפסוקים האטומיים המרכיבים את ההנחות, כאשר הצבה כזו עושה את ההנחות של הטיעון לאמיתיות, היא גם עושה את המסקנה לאמיתית.
תחשיב פסוקים מסוים כולל קבוצה של "פסוקים יסודיים" או "פסוקים אטומיים", ומספר קָשַרים לוגיים סטנדרטיים.
לדוגמה, נגדיר ש P מייצג את הטענה "הגביע הוא שלנו", ו-Q מייצג את הטענה "אנחנו במפה"'.
או אז ניתן להדגים את התחביר של חמשת הקשרים הלוגיים כך:
שלילה: - זהו קשר אונרי, דהיינו הוא מקושר לאות פסוקית אחת בלבד.
לדוגמה, מייצג את "הגביע הוא לא שלנו".
קוניונקציה ("וגם"): או & - קשר בינארי, מקשר בין שני פסוקים.
לדוגמה, הפסוק המורכב מייצג את הטענה "הגביע הוא שלנו ואנחנו במפה".
דיסיונקציה ("או"): - קשר בינארי, מקשר בין שני פסוקים.