tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
שנתיים לאחר מכן, בשנת 1974, יצא לאקרנים "עיניים גדולות", סרטו של אורי זוהר לפי תסריט של יעקב שבתאי, והמשיך את סיפור המתייסר התל אביבי, הפעם בדמותו של בני פורמן המגולם בידי אורי זוהר כמאמן כדורסל לצד בגידותיו באשתו ובחבריו לקבוצה.
בסרט שיחקו, לצד זוהר, גם אריק איינשטיין, צבי שיסל, סימה אליהו, טליה שפירא ואשתו לחיים של זוהר אליה שוסטר.
בשנת 1988 יצא לאקרנים סרט הקולנוע "לול", שהורכב מקטעי שירים ומערכונים שנערכו מתוך תוכנית הטלוויזיה, ובמקביל יצא פסקול הסרט, שכלל שני תקליטי ויניל.
בשנת 1994 יצא לחנויות אלבום מחודש של הפסקול בגרסת CD על גבי תקליטור אחד.
תוכנית הטלוויזיה כללה גם מערכונים שהפכו לנכסי צאן ברזל, ובהם: "חידון התנ"ך", "לה מרמור מאת פרלש" ו"עולים חדשים".
מלבד היצירה, נודעה החבורה באורח חיים פרוע והולל שניהלה, כולל התנסות בסמים, והיא הפכה למעין סמל של הצעירים הצברים המרדנים של סוף שנות השישים ושנות השבעים.
בגאומטריה דיפרנציאלית ובאלגברה, חבורת לי היא יריעה חלקה עם מבנה של חבורה, כך שפעולות החבורה הן פונקציות חלקות ביחס למבנה הדיפרנציאלי.
חבורות לי הן אובייקטים גאומטריים ואלגבריים בו-זמנית.
חבורות לי קרויות על שם המתמטיקאי הנורווגי סופוס לי והוגדרו על ידיו לראשונה בשנת 1870. לחבורות לי חשיבות רבה באנליזה מתמטית, בפיזיקה ובגאומטריה.
חבורת לי היא אובייקט חבורתי בקטגוריה של יריעות חלקות, כלומר - בהינתן יריעה חלקה שהיא גם חבורה G, נאמר ש-G היא חבורת לי אם פעולות הכפל וההופכי של החבורה הן פונקציות חלקות.
סוגר הלי מתקבל על ידי דיפרנציאל שני של פעולת ההצמדה
לכל חבורת לי מתאימה אלגברת לי יחידה אך ההפך איננו נכון.
כך למשל, לאלגברת לי מתאימות חבורות לי , ו-.
עם זאת, לכל אלגברת לי מתאימה חבורת לי יחידה שהיא פשוטת קשר.
את אלגבראות לי אפשר לאפיין באמצעות מערכות שורשים אותן אפשר לתאר גרפית באמצעות דיאגרמות דינקין.
כמו כן, קיימת העתקת אקספוננט (העתקה מעריכית) מאלגברת הלי לחבורת הלי.
ניתן להגדיר אותה בשתי דרכים.
אם משכנים את חבורת הלי בחבורת המטריצות ההפיכות, אלגברת לי משתכנת באופן טבעי באלגברת המטריצות והעתקת האקספוננט ניתנת על ידי הנוסחה הרגילה
לצורך ההגדרה המופשטת של ההעתקה, נזהה את אלגברת הלי עם אלגברת השדות הווקטוריים על G שנשמרים תחת הפעולה משמאל, כלומר , כאשר dg מסמן את הדיפרנציאל של הפעולה של מכפלה משמאל בg.
שדה זה מגדיר זרם של דיפאומורפיזמים על היריעה, ו exp(v) מוגדר להיות התמונה של e תחת הזרם הזה בזמן 1.
כל חבורת לי קשירה, פשוטת קשר ופשוטה למחצה, היא מכפלה של חבורות לי פשוטות.
לכל חבורת לי פשוטה מתאימה אלגברת לי פשוטה ממשית.
המרכוב של אלגבת לי זו היא אלגברת לי פשוטה מרוכבת המתוארת על ידי דיאגרמת דינקין.
עבור אלגבת לי מרוכבת, קל יחסית למיין את כל אלגבראות הלי הממשייות מהן אפשר לקבל אותה כמרכוב.
לכן, באמצעות מיון דיאגרמות דינקין אפשר למיין את כל החבורות לי הפשוטות.
את דיאגרמות דינקין של חבורות לי פשוטות אפשר לסווג ל-4 משפחות כלליות ועוד 5 מקרים שלא נופלים באף משפחה: .
הדיאגרמות מטיפוס מתארות משפחת החבורות היוניטריות , את החבורת הליניאריות הכלליות ועוד מספר משפחות.
הדיאגרמות מטיפוס מתארות משפחת החבורות שהן הכיסוי האוניברסלי של החבורות האורתוגונליות ועוד מספר משפחות.
הדיאגרמות מטיפוס מתארות משפחת החבורות הסימפלקטית ועוד מספר משפחות.
הדיאגרמות מטיפוס מתארות משפחת החבורות שהן הכיסוי האוניברסלי של החבורות האורתוגונליות ועוד מספר משפחות..
החבורות שמתאימות לדיאגרמות לא נופלת באף משפחה לעיל ונקראות "חבורות לי אקספטיונאליות".
אם מתמקדים רק בחבורות לי קומפקטיות פשוטות ופשוטות קשר, אז לכל דיאגרמת דינקין מתתאימה בדיוק חבורה אחת כזאת.
דוגמה סטנדרטית לחבורת לי היא חבורת מעגל היחידה המרוכב:
היא חבורה תחת פעולת הכפל.
כמו כן, היא יריעה חד־ממדית ופעולות הכפל וההופכי הן חלקות.
מסיבות אלו, היא חבורת לי.
ניתן להוכיח כי כאשר החבורה האמצעית היא החבורה הליניארית המיוחדת מממד 2 והחבורה הימנית היא חבורת המנה.
החבורה הליניארית הכללית היא קבוצה פתוחה בתוך מרחב וקטורי ויורשת מבנה של יריעה חלקה.
לפי המבנה הגזיר הזה, פעולות כפל מטריצות וההפכי שתיהן חלקות, ועל כן היא חבורת לי.
אלגברת לי המקושרת לחבורה זו היא הבנויה מכל המטריצות מגודל עם פעולת הקומוטטור.
במתמטיקה ויישומיה, חבורת סימטריות של אובייקט (מוחשי או מופשט) היא האוסף של כל הדרכים לשנות את האובייקט, תוך שמירה על תכונותיו היסודיות.
דרכים אלו, העשויות לכלול למשל סיבובים השומרים את האובייקט במקומו, נקראות "פעולות".
פעולה טיפוסית עשויה להחליף, ללא עיוות, את מקומם היחסי של חלקי האובייקט, כך שהוא יחזור לתפוס את אותו מקום במרחב.
ההרכבה של פעולות, דהיינו, ביצוען בזו אחר זו, הופכת את האוסף לחבורה, שתכונותיה כרוכות באלו של האובייקט שבו מדובר, דרך הפעולה של החבורה על האובייקט.
חבורת הסימטריות של מבנה מתמטי נקראת חבורת אוטומורפיזמים.
מחוץ לתחומי המתמטיקה, לחבורות של סימטריות יש חשיבות רבה בעיקר בפיזיקה תאורטית, בכימיה ובקריסטלוגרפיה.
בחישוב הסימטריות של אובייקט גאומטרי, מקובל לדרוש שהפעולות תהיינה ניתנות לביצוע במרחב שבו האובייקט מופיע.
בלשון מתמטית, פירושו של התנאי השני הוא שהפעולות תהיינה מושרות על ידי אוטומורפיזמים של המרחב עצמו.
דרישה זו הופכת את כל חבורות הסימטריה של אובייקטים במרחב X, לתת-חבורות של חבורת האוטומורפיזמים של X, ולכן יש לחבורות האוטומורפיזמים של מרחבים חשובים (כגון המרחב האוקלידי) מעמד מרכזי בחקר הסימטריות.
כדי לקבוע את הרכבה המדויק של חבורת הסימטריות, יש לקבוע בנוסף לדרישות המרחביות עוד שני תנאים: (1) מהן התכונות של האובייקט שאותן צריכות הפעולות לשמור; (2) מהם הקריטריונים שלפיהם מחשיבים שתי פעולות כשונות זו מזו.
אחד האובייקטים השכיחים והקלים ביותר לתיאור הוא תמורה: שורה שמסודרים בה n עצמים שונים זה מזה.
חבורת הסימטריות כוללת במקרה זה את כל הדרכים לסדר את העצמים מחדש, תוך שמירה על עצם קיומה של השורה המסודרת.
אופן הזזת העצמים במהלך הסידור אינו נלקח בחשבון, אלא רק הסידור הסופי של העצמים, וכך יש בדיוק n עצרת פעולות שונות.
חבורת הסימטריות הזו נקראת החבורה הסימטרית.
חבורת הסימטריות של מצולע משוכלל בעל n צלעות תלויה בשאלה האם שיקוף היא פעולה מותרת.
אם כן, ישנן 2n דרכים להזיז את קודקודי המצולע באופן שהמצולע יחזור למקומו (לרבות הפעולה הטריוויאלית, שבה המצולע אינו זז כלל); חבורת הסימטריות במקרה זה היא החבורה הדיהדרלית.
אם שיקוף אינו נחשב לפעולה חוקית, נותרים רק n הסיבובים, המרכיבים יחד חבורה ציקלית מסדר n.
חבורת הסימטריות של קובייה כוללת 24 איברים, מכיוון שבכל פעולה יש לקבוע לאיזה משמונת הקודקודים יעבור קודקוד נתון, ואחר-כך לקבוע לאיזה משלושה השכנים של אותו קודקוד יעבור קודקוד סמוך לקודקוד הנתון.
פעולות אלה ניתנות כולן למימוש כפעולות על המרחב האוקלידי התלת-ממדי.
לעומת זאת, חבורת הסימטריות של הגרף המתאר את הקוביה (שהוא הגרף המופשט הכולל רק 8 קודקודים ו-12 צלעות מחברות) היא בת 48 איברים, משום שבמקרה זה מוסכם שגם פעולת השיקוף היא פעולה חוקית.
חבורת הסימטריות של אובייקט מרחבי סופי מוכרחה לשמור את נקודת מרכז הכובד שלו במקומו, ולכן היא מורכבת, בעיקרו של דבר, מסיבובים שונים של המרחב.
לעומת זאת, חבורת הסימטריות של סריג אינסופי (המשמש מודל מקובל גם עבור עצמים סופיים, כגון גבישים) עשויה לכלול גם הזזות.
במקרה כזה, אוסף הסימטריות השומרות על נקודה קבועה של האובייקט מהווה תת-חבורה של חבורת הסימטריות המלאה; כל תת-החבורות מסוג זה צמודות זו לזו, ומבחינת תורת החבורות אין דרך להבדיל ביניהן.
במקרים מסוימים משחקות אותו תפקיד גם החבורות של פעולות השומרות על נקודה שמחוץ לאובייקט.
לדוגמה, חבורת הסימטריות G של ציר ישר אינסופי שעליו מסומנות נקודות במרווחים שווים, מורכבת מהזזות (תת-החבורה של ההזזות היא החבורה הציקלית האינסופית; נסמן את ההזזה ביחידה אחת ימינה באות ), שיקוף סביב הנקודה 0, והרכבות של שיקוף והזזה.
הסימטריות השומרות על הנקודה 0 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף .
הסימטריות השומרות על הנקודה 1 הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף .
ואילו הסימטריות השומרות על הנקודה 1/2 (שאינה מסומנת על הציר) הן הפעולה הטריוויאלית, והשיקוף .
החבורה האחרונה אינה צמודה לשתי הראשונות בחבורת הסימטריות של הישר המסומן, אבל היא צמודה לה בחבורת הסימטריות של המרחב המכיל אותו (דהיינו, הישר שאינו מסומן).
חבורות הסימטריה של המרחבים האוקלידיים
חבורת הסימטריות של מרחב מטרי נקראת חבורת האיזומטריות של המרחב, והיא כוללת את כל הפונקציות ההפיכות , השומרות על המטריקה d: .
במרחב האוקלידי V (עם המטריקה המושרית על ידי הנורמה הסטנדרטית), חבורת האיזומטריות היא אוסף כל הפעולות כאשר היא מטריצה אורתוגונלית, ו- .
החבורה מורכבת משתי תת-חבורות: אוסף ההזזות , שהוא תת חבורה נורמלית, איזומורפית למרחב עצמו, וחבורת הסיבובים , שהיא חבורת לי קומפקטית מממד .
חבורת עבדת היא חבורה גאולוגית בארץ ישראל שהוגדרה באזור עבדת על ידי עזרא זילברמן בשנת 1989. החבורה מכונה בעבודות קודמות על ידי זלצמן, (1964) וגולני, (1961) "הקבוצה הגירית" או"הקבוצה האאוקנית".
הסלעים המרכיבים את חבורת עבדת הם: גיר וקירטון.
הסלעים משתנים, הן בחתך אנכי והן במרחב, מגיר קשה עד גיר קירטוני ועד לקירטון.
חבורת עבדת מונחת על חבורת הר הצופים.
סלעי החבורה שקעו בסביבה ימית ולכן מכילים מאובנים ימיים.
מעליהם מופיע רצף של חולות וחלוקים ששקעו באגמים ובנחלים, כלומר בסביבה יבשתית.
חבורת עבדת בונה את קער שכם וסלעיה שולטים במחצית המזרחית של גיליון המפה טופוגרפית של שכם.
בתקופת האאוקן היו שני אירועי הצפה בנגב, האחד באאוקן התחתון ורוב האאוקן התיכון והשני באאוקן העליון.
במהלך שתי הצפות אלו הורבדו סלעי הנגב.
בעקבות תהליכי סחיפה שבמהלכם נסחפו סלעי האאוקן העליון שכיסו את רמת ברנע נחשפו מבני חבורת עבדת המהווים היום גג רמה זו.
באזור הר חמרן ורמת ברנע נחשף חתך מלא של יחידות הסלע ששקעו בתקופת האאוקן.
בהר חמרן ניתן לראות את בסיס חבורת עבדת מן האאוקן התחתון ובהר חורשה ניתן לראות את תצורת הר עקרב מן האאוקן המאוחר.
שכבת סלעי הקירטון של חבורת עבדת מגיל האאוקן משתרעים על שטח נרחב בשפלה הדרומית ובצפון מערב הנגב.
מקצתם נחשפים על פני השטח (במזרח) ומקצתם מכוסים בשכבות סלע צעירות יותר (במערב).
בתוך סלעי הקירטון משולבות שכבות של גיר ומעט שכבות צור דקיקות.
העובי המקסימלי של סלעי חבורת עבדת מגיע ל-30 מטר.
אקוות האאוקן מכילה מים מועטים, והמילוי החוזר ממוצע מוערך ב-10–15 מטר מעוקב לשנייה.
האקווה מכילה כמות מים זעומה למרות השתרעותה הגאוגרפית הרחבה, וזאת משלוש סיבות:
קשה למים לחלחל לתוך האקווה בשל תכונותיה ההידראוליות הגרועות.
האידוי והנגר העילי גדולים יחסית.
חבורת עבדת מתבטאת בהרי השומרון בסלעי גיר וקירטון עם מעט צור וקוורצוליט מגיל האאוקן בעובי כולל של כ-350 מטר, וכמו כן בהרי הגלבוע בעובי גדול יותר של כ-600 מטר.
הסלעים מכילים מאובנים, בעיקר מיקרוסקופיים, המעידים על הרבדה בים רדוד.
מחשופי החבורה מרוכזים בשני גושים גדולים משני צידי קמר הפריעה: האחד, מזרחי בקער הסרטבה והשני, מערבי, בקער שכם ובקער גלבוע.
חבורת עבדת כוללת ביסודה ארבע תצורות עיקריות:
תצורת מור - קירטון, הכולל שכבות ביניים דקות שמצויות בהן תרכיזי צור, והיא מתוארכת לתקופת האאוקן הקדום.
היא תצורת המסלע העתיקה והנמוכה.
תצורת ניצנה - גיר עם מאובני נומוליט.
תצורת חורשה - קירטון רך ומסיבי.
תצורת מטרד - גיר קשה עם נומוליטים.
תצורת הר עקרב - שכבות גיר אופקיות מן האאוקן המאוחר.
שלוש התצורות האחרונות הן מתקופת האאוקן התיכון.
באזור הר הנגב מתחתרים ערוצים בגיר ובקירטון, היוצרים נוף טופוגרפי עמוק, וכן אזורים נרחבים שבהם מדרונות תלולים, עם כיסוי קרקעי של אבנים.
בתורת החבורות, חבורת פרובניוס היא חבורה הפועלת טרנזיטיבית ונאמנה על קבוצה סופית, באופן שלכל איבר לא-טריוויאלי יש לכל היותר נקודת שבת אחת.
החבורות נקראות על-שם מייסד תורת ההצגות, פרדיננד גאורג פרובניוס.
במחצית הראשונה של המאה ה-20 שימשו חבורות פרובניוס מעין מעבדה לבחינת שיטות שונות בתורת החבורות הסופיות.
ב-1959 הוכיח ג'ון תומפסון שכל חבורה כזו היא פתירה.
מעט אחר-כך מילאו חבורות פרובניוס תפקיד חשוב בהוכחת משפט פייט-תומפסון (הקובע שכל חבורה מסדר אי-זוגי היא פתירה), ובמיון של כמה משפחות חשובות אחרות של חבורות סופיות.
נניח ש- חבורת פרובניוס, כלומר, היא פועלת טרנזיטיבית על קבוצה סופית , באופן שלכל איבר לא-טריוויאלי יש לכל היותר נקודת שבת אחת.
במקרה כזה, הקבוצה , הכוללת, בנוסף לאיבר היחידה, את כל איברי שאינם מייצבים אף נקודה, מהווה תת-חבורה נורמלית של , הנקראת הגרעין (או גרעין פרובניוס) של החבורה.
כל אחד מן המייצבים של נקודות נקרא משלים של .
חבורת פרובניוס בעלת גרעין פרובניוס טריוויאלי (היינו, חבורה הפועלת טרנזיטיבית נאמנה באופן שבו לכל איבר לא טריוויאלי יש בדיוק נקודת שבת אחת) היא טריוויאלית.
אכן, מן הלמה של ברנסייד נובע כי סדר החבורה שווה לסכום גודלי קבוצות השבת, הוא , ומכאן ש- (ולכן גם ) בת איבר יחיד.
התכונות הבאות שקולות לכך שחבורה סופית G תהיה חבורת פרובניוס:
יש ל- תת-חבורה נורמלית בעלת התכונה הבאה: פרט לאיבר היחידה, איברי אינם מתחלפים עם איברים מחוץ ל-.
יש ל- תת-חבורה , כך ש- לכל איבר .
הגרעין הוא תת-החבורה היחידה בעלת התכונה האמורה (והוא שווה לחבורת פיטינג של ), אך המשלים אינו יחיד (כל תת-חבורה הצמודה למשלים, גם היא משלים; ואלו כל המשלימים, לפי משפט שור-זסנהאוז).
הגרעין והמשלים שלו מקיימים ו-, כלומר, חבורת פרובניוס היא מכפלה ישרה למחצה של הגרעין במשלים שלו.
זהו "פירוק Hall", כלומר, הסדרים של ושל הם זרים.
גם לגרעין של חבורת פרובניוס וגם למשלימים שלו יש מבנה מוגבל ביותר.
תומפסון הוכיח ב-1959 שהגרעין של חבורת פרובניוס הוא חבורה נילפוטנטית.
קל הרבה יותר להראות שאם המשלים מסדר זוגי, אז הגרעין אבלי.
למשלים יש התכונה שכל תת-חבורה שסדרה מכפלת שני ראשוניים, היא ציקלית.
מכאן נובע שכל חבורת סילו של המשלים היא או ציקלית, או חבורת קווטרניונים מוכללת.
אם אינה פתירה, האנס זסנהאוז הראה שהיא, או תת-חבורה שלה מאינדקס 2, הן מכפלה של חבורת המטריצות בחבורה מטא-ציקלית שסדרה זר ל-30. אם פתירה, יש לה תת-חבורה מטא-ציקלית נורמלית, כך שהמנה היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית מסדר 4.
אף תת-חבורה של המשלים אינה חבורת פרובניוס בעצמה.
כל תת-חבורה נורמלית של מוכלת בגרעין, או מכילה אותו.
אפשר לבנות מחבורת פרובניוס נתונה חבורות פרובניוס נוספות, באופנים הבאים:
אם ו- תת-חבורות, כך ש- (כלומר, מוכל בנורמליזטור של ), אז חבורת פרובניוס.
בפרט, אם נבחר , אז לכל תת-חבורה , המכפלה היא חבורת פרובניוס.
אם תת-חבורה נורמלית של , אז המנה היא חבורת פרובניוס (עם גרעין ).
אם הצגה אי-פריקה לא טריוויאלית של , אז ההצגה המושרית גם היא אי-פריקה.
יתרה מזו, כל הצגה אי-פריקה של מושרית או מ-, או מחבורת המנה .
כאשר מצמצמים למשלים הצגה אי-פריקה המושרית מ- ל-, מתקבלת כפולה שלמה של ההצגה הרגולרית של .
בקריסטלוגרפיה, חבורת סימטריות נקודתית היא חבורה של העתקות ליניאריות שומרות זווית, שאיבריה מעבירים את הנקודות על סריג כלשהו לנקודות אחרות של אותו סריג, תוך שמירה על נקודה אחת (לפחות) במקומה הקבוע.
לחבורות של סימטריות נקודתיות יש חשיבות רבה במיון הסריגים, בעיקר במרחב הדו-ממדי ובמרחב התלת-ממדי.
גם החבורות עצמן מוכרות היטב, וכל אחת מהן זכתה לסימון מיוחד משלה (בממד 3 יש 32 כאלה).
על-פי ההגדרה, חבורת סימטריות נקודתית פועלת בנאמנות על סריג נתון, אך אין היא שווה בהכרח לחבורת הסימטריות המלאה של אותו סריג עם אותה נקודה קבועה.
למעשה, ממיינים את חבורות הסימטריות הנקודתיות למשפחות, בדיוק לפי גודלן של חבורות הסימטריה המלאות של הסריגים השונים.
מאידך, כל חבורת סימטריות מרחבית (בממד 3 יש 230 כאלה) שייכת לאחת מחבורת הסימטריות הנקודתיות (המייצב של נקודת סריג כלשהי תחת פעולת החבורה); כל החבורות המרחביות השייכות לחבורה נקודתית נתונה מרכיבות יחד "מחלקת סריגים".
בהקשר רחב יותר, עשויים לקרוא לכל חבורה של סימטריות צפידות הקובעות את הראשית חבורת סימטריות נקודתיות, בין אם החבורה פועלת על סריג כלשהו, ובין אם לאו.
חבורות סימטריה נקודתיות והסריגים שלהן
אפשר לתאר סריג במרחב האוקלידי באמצעות מטריצות.
אם הוא סריג, אפשר לכתוב כל נקודה עליו כצירוף שלם של וקטורים (כלומר, ).
כעת אפשר לאסוף את הווקטורים לעמודות של מטריצה ריבועית L, והסריג שווה לאוסף הנקודות , כאשר הוא אוסף וקטורי העמודה באורך n עם רכיבים שלמים.
חבורת הסימטריות של הסריג מורכבת מסיבובים והזזות, ומהרכבות של אלו.
הסיבובים שומרים על נקודת האפס של הסריג במקומה.
סימטריה של סיבוב אפשר לתאר כפעולת כפל (משמאל) במטריצה אורתוגונלית, כלומר, מטריצה השייכת לחבורה הקומפקטית .
כפל במטריצה A כזו שומר על הסריג , אם ורק אם קיימת מטריצה הפיכה מעל השלמים, , כך ש- , דהיינו, אם .
מכאן שחבורת סימטריות הסיבובים של שווה לחיתוך .
החיתוך הזה סופי, משום שהחבורה הראשונה קומפקטית והשנייה דיסקרטית.
כאמור לעיל, "חבורת סימטריות נקודתית" (מממד n) היא תת-חבורה של , עבור מטריצה הפיכה L כלשהי.
במילים אחרות, מדובר בתת-חבורות של , המוכלות גם בתת-חבורה צמודה ל- .
בחבורה יש מטריצות בעלות דטרמיננטה 1 (השומרות על זוויות וכיוונים) ודטרמיננטה (השומרות על זוויות אבל הופכות יד ימנית לשמאלית).
תת-החבורה , הכוללת מטריצות מן הסוג הראשון בלבד, נקראת 'החבורה האורתוגונלית המיוחדת'.
זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 של .
חבורת סימטריות נקודתיות היא מ"טיפוס ראשון", אם היא מוכלת ב- , ומ"טיפוס שני" אם לא.
אם G חבורת סימטריות מטיפוס שני, אז היא תת-חבורה מאינדקס 2 של G.
כאשר n אי זוגי, מטריצת השיקוף אינה שייכת ל- , ואז (מכפלה ישרה פנימית).
במקרה כזה, אפשר להראות שכל חבורת סימטריות נקודתיות מטיפוס שני, שאינה מכילה את I-, איזומורפית (כחבורה מופשטת) לחבורת סימטריות נקודתית מטיפוס ראשון.
מכאן יוצא שבמיון החבורות המופשטות העשויות להופיע כחבורות סימטריה נקודתיות, אפשר להניח שהחבורה היא מטיפוס ראשון בעצמה, או שהיא מן הצורה , כאשר מטיפוס ראשון.
יש להבחין כי שתי חבורות צמודות מוכרחות להיות מאותו טיפוס (משום שפעולת ההצמדה שומרת על הדטרמיננטה).
באותו אופן, אם חבורה מכילה את השיקוף , אז גם כל חבורה צמודה לה מכילה אותו (משום שזוהי מטריצה סקלרית, המתחלפת עם כל פעולת הצמדה).
חבורות הסימטריה הנקודתיות מממד 2
יש 10 חבורות סימטריה נקודתיות מממד 2: 5 מטיפוס ראשון, ו-5 מטיפוס שני.
חבורות אלה איזומורפיות ל-9 חבורות מופשטות: החבורות הציקליות מסדר 1,2,3,4 ו- 6, והחבורות הדיהדרליות שסדרן 4,6,8 ו- 12. מכל אלה, רק החבורה הציקלית מסדר 2 מופיעה בשתי הצגות שונות: סימטריית הסיבוב ב-180 מעלות, , וסימטריית השיקוף .
מאלה, רק ארבע חבורות עשויות להופיע כחבורות סימטריה נקודתיות מלאות של סריג, כפי שיתואר בהמשך.
החבורה האורתוגונלית המיוחדת מורכבת מסיבובים של המישור, שהמטריצות המייצגות אותן הן
אם מטריצה כזו שייכת, לאחר הצמדה, לחבורה , אז העקבה שלה, , היא מספר שלם.
מאידך, כל תת-חבורה סופית של היא ציקלית, ולכן חבורות הסימטריה הנקודתיות מטיפוס ראשון, מממד 2, הן החבורות הציקליות מסדר 1,2,3,4 ו- 6.
חבורת סימטריות מטיפוס שני אפשר להצמיד, כך שהיא תכיל את השיקוף ביחס לציר x.
נובע מכאן שחבורות הסימטריה מטיפוס שני הן החבורות הדיהדרליות ו- (כאשר הסדר של הוא 2n).
מיון הסריגים הדו-ממדיים לפי חבורות הסימטריה שלהם
נקבע נקודה בסריג L במרחב האוקלידי הדו-ממדי.
את הסריג אפשר להזיז, כך שנקודה זו ממוקמת בראשית (הנקודה השחורה השמאלית בתרשים).
בסריג יש נקודה קרובה ביותר לראשית, שאפשר לסמן ב-a.
לאחר מתיחה, וסיבוב מתאים, אפשר להניח שהווקטור מן הראשית לנקודה זו הוא וקטור יחידה A המצביע ימינה מהראשית, כמתואר בחץ השחור בתחתית התרשים משמאל.
בסריג יש נקודות נוספות; אפשר לבחור כזו שהיא קרובה ביותר למעט הראשונה, ולסמנה ב-b.
מכיוון שלנקודה הזו אפשר להוסיף כפולות (שלמות) של A, שעור ה-x שלה מוכרח להיות בין 1/2- ל-1/2, כך שהיא נמצאת בין שני הקווים האנכיים הקיצוניים בציור.
מכיוון שהנקודה הראשונה שבחרנו הייתה הקרובה ביותר, הנקודה השנייה נמצאת מחוץ למעגל היחידה, המאויר באפור; כלומר, היא נמצאת בתחום הירקרק, או על אחד הקווים התוחמים אותו (למעשה, על ידי הזזה ב-A אפשר להניח ש-b איננה על הקו התוחם השמאלי).
אם הנקודה b נמצאת באחת הנקודות הירוקות, התא היסודי בסריג הוא משושה, וחבורת הסימטריות הנקודתית המלאה שלו היא , מסדר 12.
אם b היא הנקודה החומה במרכז, אז הסריג ריבועי, וחבורת הסימטריות המלאה שלו היא , מסדר 8.
אם b היא כל נקודה אחרת על הקשת האדומה (שהנקודות עליה במרחק 1 מן הראשית, בדומה ל-a), אז קיימת סימטריית שיקוף (בקו החוצה את הזווית שבין a ל-b מנקודת הראשית), והחבורה היא , מסדר 4. התא היסודי הוא מעוין.
אם b שייכת לאחד הקווים הכחולים האנכיים, אז מותרת סימטריה של שיקוף גם בציר x וגם בציר y, והחבורה היא שוב .
במקרה זה התא היסודי הוא מלבן (אם b על הקו הכחול האמצעי), או מקבילית מלבנית (שבה הבסיס העליון מוסט ביחס לתחתון בדיוק במחצית אורך הבסיס).
בכל מקרה אחר (היינו, b שייכת לאזור הירקרק), אין לסריג סימטריות מלבד הסיבוב ב-180 מעלות, והחבורה מסדר 2.
חבורות הסימטריה הנקודתיות מממד 3
כמו בכל בעיית מיון, יש לקבוע היטב מתי שני אובייקטים מן הקבוצה שאותה מבקשים למיין, נחשבים שקולים זה לזה.
נאמר ששתי חבורות סימטריה נקודתיות ו- הן צמודות, אם קיימת העתקה אורתוגונלית A, כך ש- .
חבורות צמודות הן גם איזומורפיות כחבורות מופשטות, אך ההפך אינו נכון.
(חבורה מופשטת מתוארת על ידי לוח הכפל שלה, אבל היא יכולה לפעול על המרחב האוקלידי בדרכים שונות באופן מהותי.
למשל, הפעולות "שיקוף" ו"סיבוב ב-180 מעלות" של המישור, אינן צמודות, אף-על-פי שהחבורה המופשטת שהן יוצרות היא בשני המקרים החבורה היחידה מסדר 2).
במיון חבורות הסימטריה הנקודתיות שהמבנה שלהן ידוע באופן מופשט (היינו, הן איזומורפיות לחבורה ידועה H), יש למצוא את ההצגות הנאמנות, הממשיות, מממד 3, עם קרקטר של הצגות שלם - עד כדי הצמדה (ההצגות אינן בהכרח אי-פריקות).
נניח ש- G חבורת סימטריות נקודתיות מטיפוס ראשון.
כל איבר של G הוא מטריצת סיבוב תלת-ממדית; אם המטריצה מסובבת בזווית t סביב ציר מסוים, אז העקבה שלה היא , וזה מוכרח להיות מספר שלם.
יש 32 חבורות סימטריה נקודתיות (עד כדי צמידות).
11 מאלה הן מטיפוס ראשון, ועוד 21 מטיפוס שני.
בין החבורות מטיפוס שני, יש 11 הכוללות את השיקוף , ועוד 10 שאינן כוללות אותו.
כל חבורה מן הטיפוס הראשון איזומורפית לחבורה מופשטת משלה, המיוצגת באופן הזה רק פעם אחת.
טענה דומה נכונה גם לחבורות מן הטיפוס השני הכוללות את השיקוף .
בין 10 החבורות הנותרות מן הטיפוס השני, יש שני זוגות של חבורות איזומורפיות, ועוד שש שאינן איזומורפיות זו לזו.
בסך הכל, יש 18 חבורות מופשטות המיוצגות כחבורות סימטריה נקודתיות (מטיפוס ראשון או שני).
חבורות מופשטות שיש להן הצגה כחבורת סימטריה נקודתית
כל חבורת סימטריה נקודתית תלת-ממדית איזומורפית לאחת מן הבאות (בסוגריים נתון מספר ההצגות הלא-צמודות מהטיפוס הראשון, מספר ההצגות הלא-צמודות מהטיפוס השני הכוללות את השיקוף , ומספר ההצגות הלא-צמודות מהטיפוס השני שאינן כוללות שיקוף זה):
(מטיפוס ראשון בלבד, היינו 1+0+0);
(מטיפוס ראשון, או מטיפוס שני בשני אופנים לא צמודים: 1+1+1);
כאן, היא החבורה הציקלית מסדר n,
היא החבורה הדיהדרלית, מסדר 2n,
היא החבורה הסימטרית בת 24 איברים, ו- היא חבורת התמורות הזוגיות, בת 12 איברים.
רק 7 מכל חבורות הסימטריה הנקודתיות כוללות את כל הסימטריות הנקודתיות של סריג כלשהו.
בכל המקרים, מיוצגות כחבורות מטיפוס שני עם השיקוף (כצפוי, משום ששיקוף זה הוא סימטריה של כל סריג).
בהתאם לכך, ממיינים את 32 החבורות ל-7 מחלקות: חבורת סימטריות נקודתית G שייכת למחלקה הנשלטת על ידי חבורת סימטריות מלאה H, שהיא הקטנה ביותר מבין ה-7 המכילה את G.
בסוגריים לעיל נתונים שמות המחלקות, ומספר החבורות השייכות לכל מחלקה.
בשנת 1830 הוכיח הקריסטלוגרף הגרמני יוהאן פרידריך כריסטיאן הסל (Johann Friedrich Christian Hessel 1871-1796) שבגביש תלת־ממדי יכולות להיות שלושים ושתיים חבורות סימטריות נקודתיות שונות, כתוצאה מתבקשת מ"חוק האינדקסים היחסיים של פאות הגביש" של רנה ז'יסט אאיאי.
חבורת פואנקרה היא חבורת האיזומטריות של מרחב מינקובסקי.
במילים אחרות, חבורת פואנקרה היא אוסף הטרנספורמציות המעבירות בין מערכות ייחוס שקולות מבחינת תורת היחסות הפרטית, כלומר אוסף כל הטרנספורמציות במרחב-זמן שאינן משנות את המטריקה .
החבורה קרויה על שמו של המדען הצרפתי אנרי פואנקרה.
חבורת פואנקרה היא חבורת לי לא קומפקטית מממד 10. לחבורת פואנקרה יש שתי תת־חבורות חשובות:
– חבורה אבלית מממד 4 הכוללת הזזות בזמן ובמרחב.
– חבורה מממד 6 הכוללת סיבובים וטרנספורמציות לורנץ.
בנוסף חבורה זו כוללת טרנספורמציות דיסקרטיות של שיקוף בזמן ובמרחב.
הטרנספורמציות הדיסקרטיות מחלקות את החבורה לארבעה רכיבי קשירות.
חבורת פואנקרה היא מכפלה חצי ישרה של החבורות הנ"ל.
לחקר ההצגות של חבורת פואנקרה יש חשיבות רבה בתחום פיזיקת החלקיקים.
האופן בו טרנספורמציית פואנקרה משפיעה על חלקיק נקבעת על פי ההצגות של החבורה.
באופן זה ניתן להסיק קיום תכונות שונות, דוגמת מסה וספין, בעזרתן ניתן לאפיין את החלקיקים.
חבורת ערד היא חבורה גאולוגית שנוצרה בתקופת היורה ומורבדת על התצורות של חבורת רמון.
היא בנויה מסלעי אבן חול, אבני גיר ופצלים עם מעט שכבות ביניים חוואריות בעובי של 2,000 מטר.
הסלעים מכילים שרידי רכיכות וקיפודי ים, המעידים על הרבדה בים רדוד.
התפוצה של התצורה היא בהר החרמון, בורג' אל-מלח בשומרון ובמכתשים: הקטן, הגדול ורמון.
למעלה מעשר תצורות הוגדרו בקידוחים שנעשו ברחבי הארץ: מתצורות: חלוצה, ניר-עם ושדרות בנגב הצפוני ועד ל"תצורת מפרץ חיפה".
מעל פני הקרקע נחשפות התצורות הבאות:
תצורות זוהר, כידוד ובאר שבע - במכתש הגדול ובמכתש הקטן - בהרכב אבני גיר, חאוור ומעט גבס.
תצורת משחור - נמצאת בבורות במרכז במכתש רמון.
התצורה מורכבת מחרסית קאולינית דמוית צור, שצבעה משתנה מלבן נקי בפנים הבורות, לסגלגל בחלקם החיצוני.
סלעי התצורה מעידים על אקלים טרופי חם ולח ששרר בתקופת היורה בארץ ישראל.
תצורת ארדון - שאף היא נחשפת במכתש רמון.
התצורה בנויה בעיקר מדולומיט, וכן חוואר וחרסית.
סלעים אלה מעידים על סביבת השקעה רדודה ביותר.
תצורת אנמר - נחשפת בהרי החרמון.
היא מתאפיינת בחילופי חול וחרסיות.
תצורת מליח - בבורג' אל מליח.
לאור שוניות האלמוגים הרבות שנמצאו בתצורות זוהר ובאר-שבע, מניחים כי האקלים ששרר באזורנו ה אקלים טרופי חם ולח.
אקלים זה משתקף הן בשוניות האלמוגים הרבות שנמצאו (תצורות זוהר ובאר-שבע).
בחבורה זו נכללים גם גופים מאגמתיים רבים, ביניהם הסדן המכונה "שן רמון", דייקים רבים באזור "הר ארדון" וכן סילים.
בגאולוגיה של ארץ ישראל, חבורת סקיה היא חבורה הקרויה על שם הכפר הערבי סקיה, שהיה באזור הפארק הלאומי של רמת גן.
היא הוגדרה לאור קידוחים לגילוי מים ונפט שנעשו באזור.
ברוב המקרים, ההגדרה של חבורה זו בוצעה לפי ממצאים שאינם גלויים על פני הקרקע.
החומר אשר שימש בסיס להגדרות הועלה מהקידוחים שנעשו.
מקורם של שכבות הסלע מחבורת סקיה הוא מתקופה ארוכה למדי: מתקופת תת-תור הנאוגן הכוללת את התקופות מיוקן ופליוקן ועד סוף תקופת הפליסטוקן, בתור הרביעון שבו אנו נמצאים גם היום (בתקופת ההולוקן).
תקופה זוֹ משתרעת על פני כ-23 מיליון שנה, תקופה קצרה בלוח הזמנים הגאולוגי, שהסתייה רק לפני 11,700 שנה.
במרוצת חלק מהתקופות האלה הוצפה ארץ ישראל בים ולכן החבורה כוללת סביבת ההיווצרות ימית - מלוחה ומתוקה ובחלק אחר הים נסוג ממנה ולכן - סביבת ההיווצרות היא יבשתית.
החול בחבורה זו מקורו מנהר הנילוס ממצרים, אשר הסיע בעבר חלקיקי קווארץ ממקורות הנהר בהרי אפריקה באתיופיה אל חופי חצי האי סיני ודרום ארץ ישראל.
חשיבותה של חבורת הסקיה הוא גם באטימותה לנזילת מים או נפט ממנה.
בכך היא מהווה את הבסיס לאקוויפר החוף או ל"מלכודות נפט" פוטנציאליות.
בקידוחים למציאת מים משתדלים להגיע אליה ואז בשכבת אבן החול מגלים מים.
ואם הכמות מספקת והמים איכותיים ניתן גם לשאוב אותם.
מעל חבורת סקייה מצויה חבורת כורכר הנחשפת לאור חוף הים התיכון.
התצורות העיקריות של החבורה הוגדרו במישור החוף ואלו הם :
תצורת יפו - העליונה שבחבורה - בנויה ברובה חוואר וחרסית.
חלקה העליון הבנוי גיר עשיר בשרידי צמחייה הרגילה לגדול בשפת הים נקרא "פרט פתח תקווה".
תצורת כורדאנה - בצפון החוף - בנויה חול, גיר ומעט קונגלומרט.
תצורת פלשת - בדרום החוף - אף היא -חול גירי.
נחשפת בעיקר במזרח פלשת, ובמספר אתרים בודדים במזרח השרון.
אלו הם הכורכרים המרכיבים ה"רכסים פנימיים" ו"גבעות מזרחיות".
תצורת הורדוס - באזור ים כנרת - בנויה מקונגלומרט הבנוי מחלוקי גיר ואבני חול אדומות.
הבזלת התחתונה - באזור הגליל - בנויה מבזלת.
תצורת חצבה - סלעיה חשופים בערבה עוביה של התצורה מעשרות מטרים בנגב הצפוני, ועד ל-2,000 מטר בבקעת הירדן.
התצורה נחלקת בערבה לחמישה פרטים: פרט שחק, פרט משק - הורבד בחלקו במים מתוקים, פרט גדרון, פרט צפע ופרט רותם - החלוקים בפרט זה הם בעיקר חלוקי "צור יבוא", עדות למקור הספקה מרוחק.
חבורת כורכר בנויה מכורכר, חולות, חלוקים וקונגלומרטים, טיטים, טיטים חוליים, אלוביום חומר סחף וחרסיות.
החבורה משתרעת מתחת לשפלת יהודה.
חשיבותה הכלכלית היא במי התהום המצויים בה.
החבורה הורבדה בתקופת פליסטוקן בתור הרביעון אשר בעידן הקנוזואיקון.
משך תקופתה: 1.74 מיליוני שנים, מלפני 1.75 מיליוני שנים ועד לפני 10,000 שנה.
למעשה היא ממשיכה לשקוע גם כיום בקצה המערבי של מדף היבשת, החל מכ-10 ק"מ ממערב לקו החוף.
מזרחה - עובי החבורה משתנה בהתאם לריחוקה מקו-חוף הים התיכון.
בקרבת החוף עומקה הוא 180 מטר עד 200 מטר, ובמזרחה - עומקה הולך ופוחת עד להיעלמותה: בשפלת יהודה - 20 ק"מ מהחוף ובאזור גבעת אולגה - 15 ק"מ מהחוף.
אקוויפר באזור השפלה והחוף של ישראל.
נוצר מעל החרסיות המצויות בחלקה העליון של חבורת כורכר הבא ברציפות אחרי חבורת סקיה המכילה בחלקה העליון חרסיות.
חלק מהמים הם מלוחים ברמות שונות - לעיתים פחות ממי הים - תלוי במידת החדירה של מי הים לאקוויפר מתחת לשפלת החוף.
הפוטנציאל שלהם בתור מים להתפלה הוא בכך כי במרחקים משתנים מקו-החוף המליחות יורדת.
גם קיים חשש שהמים זוהמו בשל חדירת פסולת מוצקה אליהם.
סביבת ההיווצרות של החבורה קשורה קשר הדוק עם סביבת ההיווצרות של אבן הכורכר.
בהגדרתו, כורכר הוא אבן חול גירית - כלומר גרגרי חול האחוזים יחד על ידי חומר מלכד גירי.
הגדרה זו מתאימה בעיקר לכורכרים של מרכז ישראל ודרומה.
ככל שמצפינים לאורך החוף, יותר ויותר מהחומר המלוכד הוא ממקור של שברי צדפים ופחות גרגרי חול קוורציים.
הכורכר עשוי להיות סלעי או פריך בהתאם לחוזק ההתלכדות.
עוביה של החבורה בקרבת החוף מהווה שיקול בתכנות מבנים על בשפלת יהודה.
ככל שהמיקום הוא קרוב לקו החוף המבנים גוברת הסכנה לקריסת מצוקי הכורכר בשל האירוזיה הנגרמת על ידי גלי הים.
אפילו באזור בנימינה - גבעת עדה, גיבשו המלצה לאשר, במקומות הנמוכים, מבנים רק בני 2–4 קומות.
החבורה מורכבת מיחידות המסלע הבאות: כורכר – היא אבן חול קרבונאטית ("כורכר"), חמרה - היא הקרקע האדומה, אלוביום חומר סחף הנסחף על ידי המים מורכב מחול חלוקים וחרסית והחרסיות.
התצורות העיקריות של החבורה הם:
תצורת כורדאני - כורכר בצפון ישראל.
תצורת חפר - כורכר וחמרה - הם ממוצא יבשתי - רב הכורכרים החשופים בשרון, וכנראה גם במערב פלשת.
תצורת רחובות - שכבות חמרה וחרסית כהה - ממוצא יבשתי.
תצורת אחוזם - קונגלומרט עבה הנפוץ במזרח שפלת יהודה.
בתורת החבורות, חבורת קוקסטר היא חבורה (סופית או אינסופית), בעלת ייצוג פשוט במיוחד, הכולל הנחות רק על הסדר של היוצרים, שהוא 2, ועל הסדר של מכפלות של זוגות של יוצרים.
מתברר שחבורות כאלה נוצרות על ידי שיקופים במרחב וקטורי (שלו מתאימה תבנית ריבועית, המגדירה לעיתים קרובות מרחב מכפלה פנימית), ובדרך זו הן מתקשרות לתחומים רבים ומרכזיים במתמטיקה: אלגברות לי, חבורות אלגבריות, קומבינטוריקה וגאומטריה.
חבורת קוקסטר היא חבורה הנוצרת על ידי קבוצה סופית , בכפוף ליחסים מהצורה ו- בלבד.
לכל i מתקיים , כלומר היחס .
אם אין יחסים בין ו- נהוג לסמן זאת , כלומר: .
נשים לב שאם אז (כלומר: ו- ומתחלפים).
קבוצת היוצרים של חבורה אינה נקבעת באופן ייחודי ולחבורה יכולות להיות מספר מערכות קוקסטר לא שקולות.
את החזקות אפשר לאסוף במטריצת קוקסטר, שהיא מטריצה סימטרית עם ערכים טבעיים (או אינסוף) בה כל הערכים על האלכסון שווים ל-1 וכל שאר הערכים גדולים מ-1. הערך אינסוף בנקודה (i,j) מציין שאין יחס מהצורה .
דיאגרמת קוקסטר היא דרך נוחה לייצג מערכת קוקסטר על ידי גרף בו הקודקודים הם קבוצת היוצרים; שני קודקודים, ו-, מחוברים בקשת אם והקשת מסומנת ב- כאשר .
מהגדרה זו נובע שיוצרים שאינם מחוברים בקשת, מתחלפים זה עם זה.
בפרט, החבורה המתאימה לגרף קוקסטר איזומורפית למכפלה הישרה של החבורות המתאימות למרכיבי הקשירות.
משום כך, מספיק ללמוד את החבורות המתאימות לדיאגרמות קשירות.
על-פי ההגדרה, חבורת קוקסטר נוצרת על ידי קבוצה סופית של איברים מסדר 2, בכפוף ליחסים מהצורה בלבד.
לדוגמה, כאשר מדובר בשני יוצרים, היחסים הם , בדיוק אלו של החבורה הדיהדרלית שסדרה 2m.
כדי להבין את המבנה הגאומטרי, נעיר שאם s ו- t הם שיקופים בניצב לזוג ישרים שהזווית ביניהם היא , אז .
כמושג עצמאי, חבורות קוקסטר נולדו רק בשנות ה-60, כאשר ז'אק טיץ הבחין שההגדרה המופשטת באמצעות יוצרים ויחסים מספיקה כדי לקבל את כל המבנה הגאומטרי השייך בדין לחבורות הנוצרות על ידי שיקופים.
הוא קרא להן על-שם ה.ס.מ.
קוקסטר, שעסק בחבורות של שיקופים כשלושים שנה קודם לכן, ומיין את כל החבורות הדיסקרטיות הנוצרות על ידי שיקופים ופועלות על המרחב האוקלידי (מממד כלשהו).
לחבורות הנוצרות על ידי שיקופים יש היסטוריה מתמטית ארוכה.
החלוץ בכיוון זה היה פרדיננד מביוס, שב-1852 מצא את כל החבורות הסופיות הנוצרות על ידי שיקופים ופועלות על המרחב התלת-ממדי.
ב-1890 מיינו קילינג ואלי קרטן את אלגברות לי הפשוטות למחצה, במונחים של מערכות שורשים.
ב-1925 הראה אנדרה וייל שחבורת הסימטריות של מערכת שורשים היא חבורה סופית, הנוצרת על ידי שיקופים במרחב שבו השורשים מוגדרים.
בכל המקרים האלה מדובר היה בשיקופים במרחב האוקלידי, ביחס לעל-מישורים במובן הרגיל.
טיץ הוכיח שאם S היא קבוצת היוצרים של חבורת קוקסטר, אז לכל מטריצה m של סדרים אפשר להגדיר על המרחב תבנית ריבועית, שביחס אליה החבורה פועלת כחבורת איזומטריות, כאשר היוצרים הם שיקופים (בפרט, לחבורת קוקסטר יש הצגה ליניארית נאמנה מממד סופי).
התוצאה המרכזית שהתקבלה בחקר חבורות קוקסטר היא המיון השלם (במונחי דיאגרמות דינקין) של חבורות קוקסטר סופיות, של חבורות קוקסטר אפיניות, ושל חבורות קוקסטר היפרבוליות.
חבורת קוקסטר מופיעות כחבורות וייל של חבורות אלגבריות, בתור המנה N/T כאשר T טורוס מקסימלי בחבורת בורל, ו-N הוא המנרמל שלו.
במקביל, נלמדו מבנים מתמטיים רבים המוגדרים עבור חבורת קוקסטר נתונה, ובהם אלגברת הקה המכלילה את אלגברת החבורה, פולינומי קשדן-לוסטיג, ופונקציית אורך המשרה את סדר ברוה של החבורה.
להצגות של אלגברת הקה תפקיד מרכזי בתורת ההצגות.
כל אלה יצרו קשרים הדוקים בין חבורות קוקסטר לתורה של אלגברות לי, לתורה הקומבינטורית והגאומטרית של בניינים, לקומבינטוריקה בכלל, ולתורת החבורות הגאומטרית.
חבורת התמורות נוצרת על ידי החילופים .
קל לראות שהסדר של מכפלת שני חילופים הוא 2 אם הם זרים, ו- 3 אם אינם זרים.
בו-בזמן, החבורה פועלת על המרחב האוקלידי בדרך של פעולה על האינדקסים, ובהצגה זו (הקרויה "ההצגה הטבעית" של החבורה הסימטרית) החילופים פועלים כשיקופים.
מן ההצגה הזו של החבורה הסימטרית כחבורת קוקסטר אפשר לראות שהיחסים על מכפלות החילופים מגדירים אותה בשלמות.
לדיאגרמת דינקין המתקבלת קוראים, מסיבות היסטוריות, , וכך יש ל"חבורת קוקסטר מטיפוס " תת-חבורה מאינדקס 2 (חבורת התמורות הזוגיות), שאותה מסמנים ב- .
החבורה מטיפוס היא תת-חבורה (מאינדקס ) בחבורת קוקסטר מטיפוס , וזו היא תת-חבורה (מאינדקס 2) של החבורה מטיפוס .
את האחרונה אפשר לראות כתת-חבורה של החבורה הסימטרית , הפועלת על המספרים , עם התנאי .
החבורה היא חבורת קוקסטר עם שלושה יוצרים (שניים מהם יוצרים חבורה דיהדרלית אינסופית, והשלישי מתחלף עם אחד היוצרים ומכפלתו בשני היא מסדר 3).
בקריסטלוגרפיה, חבורת סימטריות מרחבית היא חבורה של סימטריות המעתיקות את הנקודות על סריג כלשהו לנקודות אחרות של אותו סריג.
חבורות כאלה מתארות את האופנים שבהם אפשר לסובב, להזיז או לשקף את הסריג, ולכן למבנה שלהן יש קשר הדוק לזה של הסריג שאליו הן מתייחסות.
שלא כמו חבורת סימטריות נקודתית, שאיבריה שומרים נקודה של הסריג במקומה, בחבורה מרחבית יש גם העתקות המזיזות את הסריג כולו, ולכן אלו חבורות אינסופיות.
לחבורות הסימטריה המרחביות של סריגים דו-ממדיים ותלת-ממדיים יש תפקיד מכריע בקריסטלוגרפיה ויישומיה, והן נחקרות גם מהיבטים אלגבריים, גם כאובייקטים גאומטריים, וגם כאוספים קונקרטיים של פעולות על סריגים פיזיקליים.
חבורות אלה נקראות "מרחביות" כדי לציין את היכולת שלהן להזיז את הסריג במרחב, ולהבדילן מחבורות הסימטריות הנקודתיות.
חבורה הפועלות על סריג דו-ממדי נקראת לפעמים חבורת סימטריות מישורית.
המונח "חבורת סימטריה מרחבית" מתייחס לעיתים קרובות למקרה התלת-ממדי.
חבורת הסימטריות המרחבית המלאה של סריג
על-פי ההגדרה, חבורת סימטריות מרחבית פועלת בנאמנות על סריג נתון, אך אין היא שווה בהכרח לחבורת הסימטריות המלאה של אותו סריג (הכוללת את כל הפעולות האפשריות).
לדוגמה, במקרה החד-ממדי, חבורת הסימטריות המרחבית המלאה של הסריג כוללת את השיקוף ואת כל ההזזות במספר שלם.
עם זאת, גם החבורה המורכבת משיקוף ומהזזות במספרים זוגיים, ואפילו זו המורכבת מהזזות זוגיות בלבד, נקראת חבורת סימטריות מרחבית.
כל סריג במרחב האוקלידי הוא אוסף של נקודות , כאשר L היא מטריצה ריבועית ממשית קבועה, ו- הוא אוסף וקטורי העמודה באורך n עם רכיבים שלמים.
סימטריה של סיבוב אפשר לתאר כפעולת כפל (משמאל) במטריצה אורתוגונלית.
החבורה של כל הסימטריות השומרות על נקודת הראשית היא החיתוך , שהוא חבורה סופית (לפרטים ראו חבורת סימטריות נקודתית).
באותו אופן, העתקה אפינית היא סימטריה של הסריג, בדיוק כאשר ו- .
ההעתקות הטהורות מהוות תת-חבורה נורמלית של חבורת הסימטריות המרחבית (המלאה) של הסריג, וחבורת המנה היא חבורת הסימטריות הנקודתית (המלאה).
את המכפלה הישרה למחצה המתקבלת, אפשר להציג באופן מפורש כחבורה של מטריצות: .
כל תת-חבורה של החבורה הזו קרויה "חבורת סימטריות מרחבית" (מממד n).
מכיוון שהסריג דיסקרטי במרחב, גם החבורה המרחבית היא תת-חבורה דיסקרטית של חבורת הסימטריות המתאימה, .
שלא כמו חבורת הסימטריות המלאה, חבורת סימטריות מרחבית G אינה חייבת להתפרק כמכפלה ישרה למחצה.
עם זאת, תת-החבורה J של ההעתקות היא תת-חבורה נורמלית, והמנה G/J היא חבורת הסימטריות הנקודתיות המתאימה ל-G.
שתי חבורות סימטריה מרחביות הן בעלות אותו "טיפוס קריסטלוגרפי", אם הן צמודות תחת העתקה אפינית שומרת כיוון של המרחב (לאלו יש הצורה עם דטרמיננטה ).
הטיפוס הקריסטלוגרפי הוא הקובע את האופן שבו החבורה פועלת על סריג, והוא המיון העדין ביותר שיש בו טעם.
באופן כללי יותר, לשתי חבורות יש אותו "טיפוס אפיני", אם הן צמודות תחת העתקה אפינית כלשהי.
כל טיפוס אפיני מורכב מטיפוס קריסטלוגרפי אחד או שניים; אם חבורה אחת מתקבלת מאחרת על ידי שיקוף של המרחב, אז הן בעלות אותו טיפוס אפיני, אבל לא בהכרח אותו טיפוס קריסטלוגרפי.
בממדים 1 ו-2, אין הבדל בין "טיפוס אפיני" ו"טיפוס קריסלוגרפי", משום שתמונת הראי של סיבוב היא סיבוב בכיוון ההפוך.
לעומת זאת, בממד 3, תמונת הראי של סיבוב בורג ימני היא סיבוב בורג שמאלי (ואילו הפעולה ההפוכה לסיבוב בורג ימני היא סיבוב של אותו בורג ימני, עם העתקה בכיוון ההפוך).
משפט ביברבך קובע שבכל ממד, אם שתי חבורות מרחביות הן איזומורפיות זו לזו, אז יש להן אותו טיפוס אפיני.
משום כך, לעיתים משתמשים במושג "חבורת סימטריות מרחבית" גם כדי לתאר את טיפוס החבורה, בלי הצגה מפורשת כחבורה אפינית.
כשמדובר בקשרים בין חבורה לתת-חבורות, יש להבחין בין הטיפוס לחבורה עצמה; גם חבורת המנה של זוג כזה תלויה בדרך כלל בתת-החבורה עצמה, ולא רק בטיפוס שלה.
יש 32 חבורות סימטריה נקודתיות, המתאימות ל-14 מחלקות בראבה, השייכות בתורן לשבע מערכות גביש.
החבורה הנקודתית משאירה נקודה קבועה במקומה, ופועלת בדרך של שיקוף, סיבוב או הרכבה של פעולות אלה.
חבורת כל הסימטריות של סריג מורכבת, כאמור, מן החבורה הנקודתית, ומסימטריות ההזזה של הסריג; סימטריות אלה אינן תלויות במפורש במבנה המדויק של הסריג, אלא רק במחלקת בראבה שאליה הסריג שייך.
חבורת הסימטריות המרחבית עשויה לכלול גם פעולות משולבות כמו סיבוב בורג, או החלקה ושיקוף במישור, כפי שיוסבר להלן.
מכל הפעולות האלה אפשר לקבל בדיוק 230 חבורות סימטריה מרחביות שונות.
כאמור לעיל, חבורת סימטריות מלאה של סריג n ממדי נוצרת על ידי n הזזות בצירים שונים של הסריג, ועל ידי הסיבובים השומרים על נקודת הראשית קבועה.
כאשר מדובר בחבורת סימטריה מרחבית הכוללת רק חלק מן הסימטריות של הסריג, לא תמיד אפשר ליצור אותה על ידי פעולות פשוטות, ויש צורך לאפשר גם פעולות כמו "החלקה במישור" ו"סיבוב בורג", המערבות סיבוב והעתקה.
החלקה במישור היא שיקוף הסריג ביחס למישור קבוע, ואחריו החלקה במקביל לאותו מישור.
מקובל לסמן פעולה כזו ב- a, b או c, בהתאם לכיוון ההחלקה (אם זהו אחד מן הכיוונים היסודיים של הסריג).
לפעמים ההחלקה אינה בווקטור סריג שלם, אלא בחצי-האלכסון של פאה של תא היחידה ("החלקת-n") או ברבע האלכסון של פאה של התא ("החלקת-d").
להחלקת-d קוראים גם "החלקת יהלום", משום שהיא מופיעה בסריג של היהלום.
סיבוב בורג הוא סיבוב של הסריג ביחס לציר, ואחריו העתקה בכיוון אותו ציר.
מסמנים את הפעולה במספר, n, המתאר את הסדר של פעולת הסיבוב (לדוגמה, '3' הוא שליש סיבוב).
מידת ההעתקה, ביחידות של וקטור הסריג באותו כיוון, נוספת כאינדקס לסדר הסיבוב.
יש כמה שיטות שונות לסימון חבורות מרחביות.
האיגוד הבינלאומי לקריסטלוגרפיה מפרסם כרך של טבלאות המתארות את כל החבורות המרחביות, ומתאים לכל אחת מהן מספר ייחודי.
פרט למספור המקובל הזה, יש שתי שיטות אחרות: סימון הרמן-מוגן וסימון שנפליס.
סימון הרמן-מוגן (הנקרא גם "הסימון הבינלאומי") הוא הסימון המקובל בתחום, והוא מורכב מארבעה תווים ראשיים.
הראשון מתאר את אופי המרכוז של סריג בראבה המתאים לחבורה: P, A, B, C, I, R או F.
שלושת הבאים מתארים את פעולות הסימטריה הבולטות ביותר, כאשר מטילים בכיוון הסימטריה העיקרי של הסריג.
הסמלים זהים לאלו המשמשים בחבורות נקודתיות, בתוספת האפשרות להחלקה במישור ולסיבובי בורג, שתוארו לעיל.
לדוגמה, החבורה המרחבית של הקוורץ היא , ופירושו של דבר שהיא נוצרת על ידי מרכוז פרימיטיבי של תא היחידה (P), עם שליש סיבוב (והחלקה) בכיוון אחד, מחצית הסיבוב בכיוון אחר, וסיבוב מלא בכיוון שלישי.
מן הסימון לא ניתן לקרוא את המערכת הגבישית, אם כי זו נקבעת באופן יחיד לכל חבורה מרחבית (המערכת היא טריגונלית במקרה של הקוורץ).
בשיטת סימון זו, הסימן הראשון ( בדוגמה) קובע את פעולת החבורה בכיוון של הציר הראשי (הציר c במקרה של סריגים טריגונליים), השני מתאר את הפעולה בכיוון השני בגודלו (a ו-b במקרה זה), והשלישי הוא פעולת הסימטריה בכיוון אחר, אם יש כזו.
לסריגים טריגונליים יש חבורת סימטריה מרחבית נוספת - , שבה פעולת מחצית הסיבוב אינה בכיוון הצירים המשניים a ו-b, אלא בכיוון אחר, הנמצא בזווית מהם.
אם מתעלמים מן ההסטה שיש בכל פעולה בחבורה, מתקבלת חבורת המנה ביחס לחבורת ההסטות, שהיא חבורת סימטריות נקודתית.
מנקודת המבט הזו, הנקודתית, סיבוב בורג שקול לסיבוב הטהור באותה זווית, והחלקת מישור שקולה לשיקוף באותו מישור.
באמצעות ניוון מתאים של יוצרי החבורה, אפשר להתאים כל חבורת סימטריות מרחבית לחבורת הסימטריות הנקודתית שלה.
בממד 1 יש רק שני טיפוסים אפיניים: החבורה הדיהדרלית האינסופית, שיש בה סימטריית שיקוף, והחבורה הציקלית האינסופית, המורכבת מהזזות בלבד.
בממד 2 יש 17 חבורות סימטריה מרחביות, הידועות גם כ"חבורות ריצוף" של המישור, או "חבורות סימטריה מישוריות".
בממד 3 יש 230 חבורות סימטריה מרחביות (היינו, 230 טיפוסים קריסטלוגרפיים), השייכות ל-219 טיפוסים אפיניים, מכיוון שכמה חבורות שונות מתמונת המראה שלהן (לדוגמה, ו-).
החבורות האלה מתמיינות ל-32 "מחלקות סריגיות" (crystal classes), על-פי החבורה הנקודתית.
בממד 4 יש 4,895 חבורות סימטריה מרחביות, השייכות ל-4,783 טיפוסים אפיניים
להמשך הסדרה לממדים גבוהים יותר, ראו סדרות A004029 ו- A006227 באנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים.
בחבורת סימטריות מרחבית אפשר לאתר, כאמור, חבורת סימטריות נקודתית, ואחד מסריגי בראבה.
עם זאת, ישנם צירופים שעבורם יש כמה חבורות מרחביות שונות, וצירופים אחרים אינם אפשריים כלל.
את 230 החבורות המרחביות אפשר לחלק לשתי קטגוריות:
73 טיפוסי חבורות מרחביות "סימורפיות": אפשר לתאר את כל הסימטריות בחבורה במונחים של צירי סיבוב ומישורי שיקוף ביחס לאותה נקודה, בלי סיבובי בורג והחלקת מישור.
אלו החבורות שהן מכפלה ישרה למחצה של חבורת הסימטריות הנקודתית עם חבורת ההזזות השייכות לאותה חבורה.
ג'ון קונוויי וויליאם ת'רסטון הציעו חלוקה לחבורות פריקות ואי-פריקות.
החבורות המרחביות הפריקות מתאימות ל-17 המחלקות של חבורות ריצופי המישור, ואת שאר 35 החבורות המרחביות יש למיין בנפרד.
בנוסף לחבורות הסימטריה המרחביות, לומדים גם "חבורות מרחביות מגנטיות" ו"חבורות כפולות", המתאימות למבנים סריגיים, שבהם לכל נקודת סריג יש תכונות נוספות.
לדוגמה, בחומרים פרומגנטיים, פרימגנטיים או אנטיפרומגנטיים יש חלקיקים בעלי ספין מגנטי.
על הסריגים האלה פועלים, בנוסף לסימטריות הרגילות, גם איבר "היפוך זמן", ההופך את הספין המגנטי ואינו משפיע על מבנה הסריג.
אם מביאים בחשבון את איבר היפוך הזמן, יש 1,651 "חבורות מרחביות מגנטיות" בשלושה ממדים.
חבורת פופיק היא סדרת ספרי ילדים שיצאה לאור בשנים 1975-1967 בהוצאת עופר.
את הספרים כתבה ארנונה גדות, סופרת תל אביבית, שפרסמה גם סדרות נוספות לילדים, דוגמת עופר ועופריקו, שלומצי ופוק וחבורת צ'ופצ'יק.
בשנות השבעים ספרי הסדרה נקראו בעיקר על ידי ילדים בגילאי בית הספר היסודי.
החל מאמצע שנות השמונים דעכה הפופולריות שלה.
בניגוד לסיפורי חבורות אחרים שנכתבו על ידי סופרים ישראלים, סיפורי "חבורת פופיק" אינם מתרחשים בישראל כי אם על אדמת ארצות הברית.
כל חבריה מתגוררים בעיר סן פרנסיסקו שבקליפורניה.
בראש החבורה עומד מייסדה, המכונה פופיק (שמו האמיתי וכן שם משפחתו אינם ידועים), ואליו מצטרפים חבריו המתגוררים בשכנות לדירתו - תומאס (תום) רובסון, שירלי בל, פיט אשלי ואליזבט אשלי (אחותו של פיט).
עם היווסדה מחליטים בני החבורה ששמה הרשמי יהיה "חבורת גשר שער הזהב", על שם המונומנט המסמל את עירם, אך בהמשך מתפרסמות הרפתקאותיהם תחת השם "חבורת פופיק".
לאורך כל עלילות הסדרה בולטת מנהיגותו של פופיק.
ילדי החבורה מקבלים אותה ללא עוררין ואף אינם מתנגדים שחבורתם תזוהה בשמו ולא בשמה המקורי.
החבורה מגלה אומץ ותושיה רבים ואינה נמנעת מהתמודדות עם קשיים פיזיים משמעותיים.
בעקבות הצלחותיהם בפתרון תעלומות ובהתמודדות עם עבריינים מתוחכמים זוכה החבורה אף להערכה ציבורית ותקשורתית.
בסדרת ספרי חבורת פופיק יצאו לאור הספרים הבאים:
"פופיק וחבורת גשר הזהב", בו מצילים בני החבורה מכרה יהלומים מידי כנופיית נוכלים; 1967, 85 עמודים.
"חבורת פופיק והמיליונר הקטן", בו יוצאים הילדים לאיתור בנו הקטן של איש עסקים עשיר שנחטף למטרות כופר; 1969, 86 עמודים.
"פופיק על גדות האמזונס", בו נחלצת החבורה לסייע לבתו הכלואה של שליט מדינה דרום אמריקאית שהודח ונרצח על ידי יריביו הפוליטיים; 1968, 90 עמודים.
"חבורת פופיק והמטוס החטוף", בו נלחמת החבורה בפושעים שחטפו חבורת אנשי עסקים במהלך טיסת בכורה; 1972, 77 עמודים.
"חבורת פופיק באלסקה", בו יוצאים הילדים לאתר משלחת מדעית בינלאומית שמטוסה אבד בערבות הקרח; 1968, 90 עמודים.
"חבורת פופיק בארץ האבודה", בה מגלים הילדים מדינה נטושה מתחת לשדות הקרח של הצפון הרחוק, שנבנתה על ידי עם קדום שנכחד מהעולם; 1975, 84 עמודים.
"חבורת פופיק ותעלומת היהלומים", 1969, 88 עמודים.
"חבורת פופיק בתעלומת הבית הבודד", 1974, 84 עמודים.
"חבורת פופיק בהוליבוד", 1968, 89 עמודים.
בתורת החבורות, חבורת קווטרניונים מוכללת היא חבורה שיש לה הצגה מהצורה לשלם n כלשהו.
זוהי חבורה מסדר , שמקובל לסמן ב-.
חבורת הקווטרניונים הסטנדרטית היא החבורה , המתאימה למקרה n=2.
אפשר להציג חבורת קווטרניונים מוכללת באמצעות מטריצות בגודל מעל , כחבורה הנוצרת על ידי , כאשר הוא שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר n.
חבורה זו מוכלת באלגברת הקווטרניונים של המילטון, שם היא נוצרת על ידי ו- .
כל תת-חבורה אבלית של היא ציקלית.
כל חבורת-p סופית עם תכונה זו היא או ציקלית, או חבורת קווטרניונים מוכללת.
בחבורת קווטרניונים מסדר חזקת-2 יש תת-חבורה יחידה מסדר 2, ושוב, כל חבורת-p סופית שיש לה תת-חבורה יחידה מסדר p היא או ציקלית או חבורת קווטרניונים מוכללת.
כל חבורה סופית שכל תת-החבורות שלה הן נורמליות היא או אבלית, או מכפלה ישרה של חבורת קווטרניונים מוכללת מסדר חזקת-2 וחבורת-2 אבלית אלמנטרית (כלומר, מכפלה ישרה של עותקים של החבורה הציקלית מסדר 2).
חבורת 2-סילו של חבורת המטריצות מעל שדה סופי F מסדר אי זוגי, היא חבורת קווטרניונים מוכללת.
חבורת שומר אמונים (או השם הנפוץ אך השגוי שומרי אמונים) היא חבורה שהוקמה בעיר סאטמאר שברומניה, על ידי האדמו"ר רבי אהרן ראטה.
מחבורה זו השתלשלו חסידות שומרי אמונים וכן חסידויות תולדות אהרן ותולדות אברהם יצחק הקיימות היום.
הרב ראטה, תלמידם של הרב צבי אלימלך שפירא מבלוז'אב, הרב יהוסף רוטנברג מקסני, הרב ישכר דב רוקח מבעלזא והרב ישראל הגר (אהבת ישראל) מוויז'ניץ.
הקים בשנת תרפ"א-(1921) את קהילת "יראי ה'" בעיר סאטמאר שברומניה, מתוך מטרה לבנות בית יוצר לאברכי עילית עובדי ה', שאין להם בעולמם אלא תורה ותפילה.
שיטתו היוותה למעשה מיזוג של מאפיינים שונים מדרכם של רבותיו.
סביבו התקבצה קבוצה קטנה של צעירים צמאי דעת, אותם הוא הדריך לחיי פרישות וחינכם לתפילה בהתלהבות ובקול רם.
למרות מוצאו של רבי אהרן שלא הגיע ממשפחה רבנית (אביו ר' שמואל יעקב היה קצב), התפרסם הוא כאדם קדוש וסגפן, ונודע בעבודת ה' שלו שהייתה בהתלהבות רבה.
בשנת תרפ"ח-(1928) עלה הרב אהרן לארץ ישראל וייסד בשכונת מאה שערים את בית המדרש, 'אוהל אלימלך' על שם רבו ר' צבי אלימלך מבלאז'וב.
מטעמי בריאות חזר ר' אהרן לאחר ארבע שנים לעיר סאטמאר, בהותירו אחריו גרעין של תלמידים הצועדים אחר דרכו הרעיונית.
עקב שימת הדגש המיוחדת בקהילתו על עניית אמן בקול רם, שינה רבי אהרן בשנת תרצ"ג את שם חבורת חסידיו לשומר אמונים, זאת על פי מאמר חז"ל: .
נראה ששינוי זה נוצר גם בעקבות הוצאת ספרו "שומר אמונים".
בשנת תרצ"ו - (1936) תבעה ממשלת גרמניה הנאצית את גירושם של כל הנתינים הזרים מרומניה, סלובקיה והונגריה.
במסגרת זו, גורש רבי אהרן (שהיה בעל נתינות הונגרית) להונגריה והקים את חצרו בעיר ברגסז, שם אף הוחלף שמה של החצר לחברת "שומרי אמונים".
עם כיבושה של הונגריה על ידי הנאצים והחלת מוראות השואה על יהודיה, נמלט האדמו"ר מהונגריה והגיע ארצה עם בני משפחתו, ביניהם בנו וחתנו – האדמו"רים לעתיד.
עם הגיעו ארצה חיזק את קהילתו הקטנה והעמיק את יסודותיה.
בארץ ישראל קיבל גם השפעה מחצרות ארצישראליות, כמו חסידות קרלין ממנה נטל את הצעקות בתפילה ואת עניין השמחה, ומחסידות סלונים ממנה קיבל את עניין שברון הלב וההתחטאות לפני הקדוש ברוך הוא.
כמו כן הנהיג את לבישת הטלית בליל שבת כמנהגן של שתי חסידויות אלו.
בצוואתו אף הורה שאם החבורה לא תחזיק מעמד אחר פטירתו, יצטרפו לחסידות קרלין.
את מקומו בראשות החבורה בברגסז מילא תלמידו רבי יוסף מאיר פולק, נינו של רבי יוסף מאיר מספינקא ואביו של רבי אברהם אלתר האדמו"ר מברגסאס-פתח תקווה.
את מקומו בהנהגת החבורה תפסו בנו רבי אברהם חיים ראטה וחתנו רבי אברהם יצחק קאהן.
בהמשך התפלגו הגיסים, ורוב החבורה הלכה עם רבי אברהם יצחק, שפתח את בית המדרש תולדות אהרן.
מיעוט מחברי החבורה הלכו עם רבי אברהם חיים שירש את בית מדרשו של אביו ובה הקים את חסידות שומרי אמונים.
חבורת לא אירא היא סדרת ספרים חרדית לילדים של הסופרת יהודית גולן, (יצאה תחת שם העט ג.
מאייר הסדרה הוא דוד גולדשמיט.
שם החבורה נלקח מהפסוק , והוא נבחר לשם הסדרה משום שהוא ראשי תיבות של ארבעת חבריה: אלי, ידידיה, ראובי ואבי.
הסדרה פורסמה בעבר בהמשכים בעיתון הילדים של יום ליום, "יום צעיר".
ספרי הסדרה נמכרו בקרוב ל-5,000 עותקים כל אחד.
גיבורי הסדרה הם חבורה של 4 ילדים, אלי, ידידיה, אבי וראובי.
ראובי - הוא המנהיג הבלתי מוכתר של החבורה.
אלי - אלי הוא הבכור במשפחתו, הוא אחראי, עצמאי ומאורגן, הנכד של סבתוש.
ידידיה - ידידיה הוא בן זקונים במשפחתו ויש לו אמא דאגנית במיוחד.
אבי - חברו הטוב של ראובי.
חבורת לא אירא במבצע חילוץ - בני ברק, תשנ"ה.
החבורה עוסקת בחילוץ משפחת חברם שנקלעו לידי המיסיון.
חבורת לא אירא אצל סבתוש - בני ברק, תשנ"ו.
החבורה מנסה לפתור תעלומה במושבה של סבתוש (-סבתא) של אלי וחושפת גנבים מהכפר הערבי הסמוך.
חבורת לא אירא בעקבות הפקיד הקשוח - בני ברק, תשנ"ז.
החבורה מאתרת את הוריו של אדם שנחטף ממעברה של עולים תימנים.
חבורת לא אירא בעקבות המפתח הנחושת - בני ברק, תש"ס.
החבורה עוזרת לשען שהסתבך עם חבורת נוכלים.
חבורת רננים הייתה מקהלה ישראלית, שהוקמה בשנת 1962 על ידי המוזיקאי גיל אלדמע, ביוזמת חנוך חסון.
המקהלה הוקמה במטרה לשמש חבורת זמר של קול ישראל, אשר תקליט ביצועים לשירים עבריים שטרם הוקלטו בצורה מקצועית.
זמרי המקהלה נבחרו מתוך חברי מקהלת רינת בניצוחו של גארי ברתיני.
רוב העיבודים הקוליים נכתבו על ידי אלדמע עצמו.
החבורה שרה והקליטה מאות שירים ממיטב הרפרטואר של הזמר העברי המוקדם, שירים מראשית הציונות, שירי העליות ותנועות הנוער, שירי התיישבות ועוד.
מלבד הקלטות אולפן השתתפה המקהלה במופעים פומביים של קול ישראל ובתוכניות זמר שונות, כגון שרתי לך ארצי.
שמות זמרי "רננים" (לפי סדר א"ב)
"חבורת ראש כרוב" הוא סרט קולנוע קומי ומוזיקלי לילדים בבימויו של אופיר לובל ובהפקת אלון גור אריה ואשר לגזיאל.
הסרט יצא ביולי 2010 על ידי חברת גלובוס גרופ.
שחר פרץ, שחר ישי ומיכל מוכתר מגלמים בסרט דמויות מצחיקות במסגרת מערכונים לילדים, כשהם לבושים כראשי כרוב.
במהלך העלילה הם שרים את שיריו של קובי אשרת.
בין הסצנות מופיעות חידות לקהל הצופים.
הפקה – יורם גלובוס / ישראל הורוביץ / דיקלה פרסוש
תסריט – אלון גור אריה / אשר לגזיאל
עיצוב תלבושות – דני בר שי
כוריאוגרפיה – איליה אופיצינר / קלוד דדיה
צילום – שלומי שבן / רגב דדון / כאמל איברהים / יובל דקר
שחר ישי – דמויות שונות
מיכל מוכתר – דמויות שונות
שחר פרץ – דמויות שונות
השירים של קובי אשרת לפי סדר הופעתם
ראש כרוב - מילים: תלמה אליגון רוז
היפו היפי - מילים: לאה לופנפלד
אמת או חובה - מילים: מירית שם אור
אבאל'ה אימאל'ה - מילים: יורם טהרלב
ילד פלא - מילים: לוין קיפניס
ג'ינג'ית - מילים: חמוטל בן זאב
גלי - מילים: אהוד מנור
ידידי טינטן - מילים: מרים ילן שטקליס
זהירות בדרכים - מילים: אילן גולדהירש
חבורת נוטרי, נוטרי ונצ'רס היא סדרת טלוויזיה מונפשת פורטוגזית-גרמנית-אמריקאית, מסוגת מדע בדיוני, הרפתקאות וקומדיה, שהופקה על ידי Nutri Ventures Corporation ו-Dentsu Aegis Network, שגם הפיצה אותה ברחבי העולם.
הסדרה נוצרה על מנת לתת מסר חיובי לאכילה בריאה בקרב צעירים.
הסדרה כוללת חמש עונות ו-52 פרקים באורך 24 דקות, כאשר היא שודרה בפורטוגל בערוץ Rádio e Televisão de Portugal ובארצות הברית בערוץ Qubo.
העונה הראשונה שודרה החל מ-26 בספטמבר 2012, השנייה החל מ-11 באוקטובר 2012, השלישית החל מ-15 במרץ 2013, הרביעית החל מ-2 באוקטובר 2013 והחמישית החל מ-7 באפריל 2014.
בישראל הסדרה שודרה בדיבוב עברי בערוץ לוגי החל משנת 2013 עד שנת 2015. הסדרה משודרת בשידורים חוזרים בערוץ זה וזמינה לצפייה גם באפליקצית BIGI.
הגיבורים צעירים, תיאו, לינה, בן ונינה, יוצאים למשימה לגלות את שבע הממלכות.
בכל ממלכה, נמצא מרכיב, שהוא חלק משבע אבני היסוד של פירמידת המזון.
במסעם בין הממלכות, מגלים הגיבורים את כוחות התזונה של המרכיבים האבודים שהם מצילים.
מטרתם להביא אוכל בריא לארצם, שם נבל-העל אלכס גרנד מוודא שכולם יאכלו מהמזון התעשייתי הלא בריא שמפעלו מייצר.
בעולם שבו עולה בצורה מדאיגה בעיית השמנת-יתר בקרב צעירים, "חבורת נוטרי", שואפת ליצור מסר חיובי סביב אכילה בריאה.
תיאו הוא המנהיג של הקבוצה, הוא שומר את התליון ששומרת את כל האבנים של כל הממלכות איתו.
היא שומרת איתה את מחולל הנוטרי.
בן הוא החזק, אך הוא המגושם והטיפש.
בממלכת הסוכר כולם קוראים לו "בן הגדול".
נינה היא השובבה והנבונה, והיא האחות הקטנה של תיאו.
נקסוס הוא המנהיג של שבעת השומרים.
הגוגאס הם יצורים קטנים דמויי חיית מחמד.
ישנם שמונה גוגאס המופיעים בסדרה, כאשר כל אחד מהם נמצא באחת משבע הממלכות, והגוגאס הסגול, שהוא שייך לחבורת נוטרי.
הגוגאס הסגול יוצר הולוגרמות בעזרת העיניים שלו.
הצהוב לוחם אמנויות לחימה ולבוש בהתאם.
הגוגאס האדום פחדן, החום כל הזמן נהיה עייף, לכחול יש בעיות כעס, והירוק אוהב לצלם.