tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
ואן לו העניק לציור אווירה חגיגית וסמכותית, המשקפת את הדרמה ההיסטורית של התקופה ואת הצורך להדגיש את גדולת בית המלוכה באמצעות הדמויות עצמן, תלבושותיהן וסביבתן המפוארת.
העבודה על הציור בוצעה בהדרגה ובזהירות, במקביל לשינויים שחלו במשפחת המלוכה באותה תקופה.
סקיצה מוקדמת, השמורה כיום במוזיאון ורסאי (MV 4380), וציור הכנה בעיפרון ודיו ברויאל אקדמיה דה בלס ארטס דה סן פרננדו (D-2390), מצביעים על תהליך ממושך שבו ואן לו עיצב את הקומפוזיציה בהתאמה למעמדם של בני המשפחה.
כמה מן הדיוקנאות שצוירו לקראת הציור הגדול נשמרו במוזיאון הפראדו ובאוספי Patrimonio Nacional, ואחרים מצויים באוספים פרטיים.
היצירה מסכמת את התפתחותו של ואן לו ומשמשת נקודת מוצא לעבודותיו המאוחרות.
היא מסמלת את שיאו של ציור הדיוקן הקולקטיבי בבית הספר הצרפתי, ומתרחבת בהיקפה מעבר למודלים של קודמיו – ריגו, דה טרואה, ויוויאן, מניָאר ולַרג'ייר.
ציור זה נתפס כמעין סינתזה של יצירות קודמות ובהן משפחת לואי הארבעה־עשר מאת נוקרֶה (ורסאי), בני הדופן הגדול מאת מניָאר (ורסאי), לואי הארבעה־עשר מאת לַרג'ייר (לונדון, אוסף וולאס), ודיוקנאות משפחתיים של דה טרואה וטורנייר.
המלך לובש את סרטי המסדרים המלכותיים של מסדר רוח הקודש ושל מסדר גיזת הזהב, וכן את העיטור של מסדר סן ז'נרו, שנוסד בידי בנו קרלוס לאחר כיבוש ממלכת נאפולי בשנת 1738. גם בניו, הנסיכים פליפה ולואי־אנטואן, לובשים את סרטי המסדרים הצרפתי והנאפוליטני.
סדרת העיטורים בציור תועדה במסגרת קטלוג של האקדמיה המלכותית להראלדיקה ולגנאלוגיה במדריד.
הציור נוצר עבור האוסף המלכותי הספרדי, תועד ברשימות Furriera de la Reina – Casa del marqués de Bédmar בשנת 1748, בארמון ריאל דל בואן רטירו במדריד בשנת 1772, ושוב ברשימת המלאי של 1794. כיום הוא מוצג באולם 39 של מוזיאון הפראדו.
מריאנה ויקטוריה מספרד (1718-1781), מלכה לעתיד של פורטוגל .
פרננדו השישי, מלך ספרד בילדותו (1713-1759), מלך ספרד לעתיד.
הקרדינל אינפנטה לואיס (1727-1785) הרוזן העתידי של צ'ינצ'ון.
פליפה, דוכס פארמה בילדותו (1720-1765), דוכס פארמה לעתיד.
לואיז אליזבת, נסיכת צרפת (1727-1759), דוכסית פארמה לעתיד.
מריה תרסה רפאלה מספרד (1726-1746) דופין לעתיד של צרפת .
האינפנטה מריה אנטוניה פרננדה (1729-1785) מלכה לעתיד של סרדיניה .
מריה אמליה מסקסוניה (1724-1760), מלכת ספרד לעתיד.
האינפנטה איזבלה (1741-1763) , ארכידוכסית לעתיד של אוסטריה .
הנסיכה מריה איזבל אנה מנאפולי וסיציליה (1743-1749) נפטרה בילדותה.
משפחת שפיצר היא משפחה יהודית ענפה שמוצאה ממרכז אירופה.
שפיצר נחשב שם אשכנזי טיפוסי ומתועד כשם משפחה יהודי החל מהמאה ה-17 בערים מרכזיות באירופה.
הוא נגזר מהמילה הגרמנית spitz שמשמעותה מחודד.
ההיסטוריה של משפחת שפיצר קשורה בהיסטוריה של הרובע היהודי בירושלים בין השנים 1700 ל־1967.
סוף המאה ה-17 הדור הראשון
בני הדור הראשון של המשפחה עלו לרובע היהודי בארץ ישראל בשנת 1700 עם ר' יהודה החסיד לקבל את פני המשיח.
מותו הפתאומי של יהודה החסיד כעבור ששה ימים, השאיר את הקהילה האשכנזית ללא מקורות מחיה.
בעקבות חובות לנושים מוסלמים שנלקחו למחיה ולבניית בית הכנסת האשכנזי ברובע היהודי, עברה הקהילה התמוטטות כלכלית.
המאה ה-18 - הדור השני והשלישי
ב-1721, בעקבות החובות שלא הוחזרו, החריבו הנושים את בית הכנסת והפכוהו לחורבה (ומאז נקראה "חורבת רבי יהודה החסיד").
ואסרו על היהודים האשכנזים לגור ברובע היהודי בירושלים.
בני הדור השני נאלצו לגלות לצפת, שם הקימו קהילה גדולה וחיו כמאה שנים עם בני הדור השלישי והרביעי עד לרעידת האדמה בשנת 1837 שהחריב את הקהילה היהודית בצפת.
אליעזר וולף ובריינדל לורברבוים (בני הדור השלישי) הגיעו עם ההורים בני הדור השני לצפת והפכו לחלק מהקהילה בצפת עד לרעידת האדמה.
המאה ה-19 - הדור הרביעי והחמישי
מאה שנים לאחר שהדור הראשון גורש מהרובע היהודי לצפת, חזרו מעט המשפחות ששרדו את רעש האדמה לרובע היהודי בירושלים, בעזרת משה מונטיפיורי שהחזיר את חובות הדור הראשון.
מינדל וולף-הכהן (1827–1905) "היתומה מצפת" בת הדור הרביעי של העולים עם ר' יהודה החסיד בשנת 1700, הייתה היחידה שניצלה מכל משפחתה.
בגיל עשר עברה לרובע היהודי עם שארית הפליטה של יהודי צפת.
בנישואיהם השניים, מינדל וולף הכהן ור' משה יהודה סגל המבורגר, בני הדור הרביעי, היו מייסדי הקשר בין משפחת המבורגר ושפיצר שחיו עד הדור החמישי ברובע היהודי.
באותה תקופה ר' חייא דוד הלוי שפיצר שחי חי ברובע היהודי עם בני משפחתו והתפלל בבית כנסת החורבה.
כתב את הספר - 'נברשת לנץ החמה', לקביעת מועדי היום ההלכתיים בירושלים לפי זריחת ושקיעת השמש, לשם כך ביצע מדידות רבות בירושלים העתיקה וסביבותיה (עד הר הזיתים ממזרח ושכונת בית יעקב ממערב - שתי הנקודות הגבוהות ביותר בתחום העיר דאז).
תחילת המאה ה–20 - הדור השישי
בשנת 1902 (תרס"ב) בני הדור השישי עזבו את הרובע היהודי והקימו את השכונות מחוץ לחומות.
שניים מהעוזבים היו ר' שמעון שפיצר ואחיו ר' שמואל זנוויל שפיצר שהקים בשנת תרס"ב (1902) את שכונת בתי נייטין במאה שערים.
הכתובת על שער הכניסה ורחוב שפיצר קיימים עד היום.
בשנת תרס"ח (1908) הקים ר' זאנויל ביחד עם נפתלי צבי פרוש-גליקמן, את שכונת שערי חסד.
כדי להבטיח את רכישת השטח, הוא נרשם בטאבו על שם ארבעה חברים נתיני חוץ.
אחד מהארבעה היה שפיצר, שהיה נתין אוסטריה.
בשנת 1918 ייסדה חנה שפיצר את בית הספר תלמוד תורה לבנות ב"בית יהודיוף-חפץ" בשכונת הבוכרים.
חנה שפיצר, כלתו של ר' זאנויל ובתו של הרב צבי אשר כהנא שפירא, נצר למשפחת ריבלין, הייתה חלוצת החינוך לבנות חרדיות והקפידה על העברית כשפת ההוראה.
בית הספר "שפיצר" ורחוב המחנכת בירושלים נקראים על שמה.
השנים לפני קום המדינה - הדור השביעי
שושנה רזיאל שפיצר דור שביעי בירושלים אלמנתו ומשמרת זכרו של דוד רזיאל, לוחמת האצ"ל, אשת חינוך.
הייתה בת הזקונים של חיים וחנה שפיצר.
בשנת 1945 הוקמו מספר יישובים בגוש עציון בין חברון לירושלים.
מקימי היישובים היו צעירים כבני 20 שהתחנכו במוסדות עליית הנוער.
חלקם הגיעו לפני מלחמת העולם השנייה מארצות אירופה וחלקם הגיעו ממאה שערים.
לאה שפיצר ומרים ליבנה שלמדו בבית ספר 'שפיצר' בשכונת הבוכרים היו גם הן ממקימי הקיבוץ משואות יצחק בגוש עציון.
במלחמת העצמאות נכבש הרובע היהודי בידי כוחות ערבים ובמשך חמישים שנים לא הייתה גישה לרובע.
מלחמת ששת הימים - הרובע היהודי וגוש עציון
במלחמת ששת הימים הרובע היהודי וגוש עציון חזרו להיות תחת ריבונות מדינת ישראל.
בית הכנסת החורבה על שם ר' יהודה החסיד נבנה מחדש וחזר להיות למקום תפילה.דוד לובצקי, החתן של לאה שפיצר-חייקין  (יושב בשורה הראשונה שני מימין)  הוא אחד מחיילי החטיבה הירושלמית שהיתה ברובע היהודי ובגוש עציון.
משפט ארבעת הצבעים הוא תוצאה בולטת בהיסטוריה של הטופולוגיה הקומבינטורית ושל תורת הגרפים.
לפי המשפט, אפשר לצבוע כל מפה מדינית, באופן שכל שתי מדינות בעלות קו גבול משותף נצבעות בצבע שונה, תוך שימוש בארבעה צבעים לכל היותר.
מתמטיקאים החלו לחקור את הבעיה באמצע המאה ה-19. היא נודעה כ'השערת ארבעת הצבעים', וזכתה להוכחות שגויות רבות.
בניסוח מודרני, המשפט מבטיח שלכל גרף מישורי קיימת צביעת קודקודים בארבעה צבעים.
אנשי תורת הגרפים מכירים הוכחות קלות יחסית לכך שקיימת צביעה בחמישה צבעים, אבל ההוכחה לכך שאפשר להסתפק בארבעה נמצאה רק ב-1976, והיא כרוכה בחיפוש ממוחשב על-פני אלפי מקרים.
זו הייתה ההשערה המפורסמת הראשונה שהוכחה בעזרת מחשב, ובתחילה לא הייתה הסכמה כללית על תקפות ההוכחה, בעיקר בנימוק שלא הוכחה נכונותן של תוכניות המחשב עצמן.
מאז נעשו ניסיונות רבים למצוא הוכחה סטנדרטית יותר, שיכולה לעמוד לביקורת עמיתים ללא עזרת מחשב.
הוכחה כזו עדיין לא נמצאה.
האיור משמאל מציג מפה סכמטית של ארבע מדינות, שלכל אחת מהן יש גבול משותף עם כל האחרות.
לכן לא ניתן לצבוע אותה בפחות מארבעה צבעים.
הקשר בין מפות מישוריות לבין גרפים מישוריים מבוסס על בניית הגרף הדואלי, שהיא בנייה סטנדרטית בתורת הגרפים.
בגרף המתאים למפה נתונה, כל מדינה מיוצגת על ידי קודקוד, וכל שתי מדינות שלהן יש גבול משותף מחוברות בקשת בין שני הקודקודים המתאימים.
משמאל מוצגת דוגמה למפה ולגרף המתאים לה.
כעת, צביעת המדינות על המפה שקולה לבחירת צבע לכל קודקוד, באופן כזה שלשני קודקודים המחוברים בקשת יש צבעים שונים.
צביעה כזו של הגרף נקראת צביעת קודקודים.
בעבר היה מקובל לחשוב שמשפט ארבעת הצבעים היה ידוע לקרטוגרפים, אך נראה שלטענה זו אין בסיס.
ככל הידוע לנו היום, הטענה עלתה בדעתו של פרנסיס גאת'רי (Francis Guthrie) בשנת 1852, בעת שעסק בצביעת מפה של מחוזות אנגליה.
לאחר שניסה למצוא הוכחה במשך זמן מה, הוא סיפר על הבעיה לאחיו פרדריק, שלמד אצל המתמטיקאי אוגוסטוס דה-מורגן.
דה-מורגן ניסה בלא הצלחה לעניין בנושא מתמטיקאים אחרים, עד שב-1878 הובאה הבעיה לתשומת לבו של ארתור קיילי, שהציג אותה בפני החברה המלכותית הבריטית.
'הוכחה' ראשונה להשערת ארבעת הצבעים פורסמה לראשונה בשנת 1879, על ידי אלפרד קמפ (Kempe).
קמפ הציע שיטה המבוססת על שרשראות של מדינות סמוכות, שאמורה הייתה לאפשר הוספה של מדינה אחר מדינה למפה הצבועה, מבלי להזדקק לצבע חמישי.
ההוכחה נבדקה, והתקבלה על-דעת בני זמנו.
ואולם, 11 שנה מאוחר יותר הראה פרסי ג'ון היווד (Heawood) שההוכחה אינה נכונה.
בנוסף, היווד הראה שחמישה צבעים מספיקים לצביעת כל מפה.
השקילות לצביעת קשתות של גרפים מדרגה 3
במסגרת ניסיונו להוכיח את המשפט, הפיזיקאי הבריטי הוכיח שצביעת מפות בארבעה צבעים שקולה לטענה הבאה: לכל גרף 3-רגולרי מישורי 2-קשיר-קשתות (כלומר, כזה שנשאר קשיר גם לאחר מחיקת אחת הקשתות) יש צביעת קשתות (כלומר, התאמה של צבע לכל קשת באופן ששתי קשתות נפגשות מקבלות צבעים שונים) בשלושה צבעים.
משפט ארבעת הצבעים עוסק, כאמור, בצביעה של מפות על פני המישור.
קל לראות שמשימה זו שקולה לצביעה של מפה כדורית, שגם עבורה מספיקים ארבעה צבעים.
עם זאת, טופולוגיים עסקו גם בשאלה כמה צבעים נחוצים למפה המצוירת על-פני משטחים אחרים, כגון טורוס או בקבוק קליין.
את המשטחים הרלוונטיים (שהם משטחים חלקים קומפקטיים) אפשר למיין לפי שתי תכונות: מספר הצדדים של המשטח (אחד, כמו במקרה של בקבוק קליין, או שניים, כמו לכדור ולטורוס) ומאפיין אוילר , שאותו אפשר לחשב ממספר ה'חורים' במשטח (לכדור ולבקבוק קליין אין חורים, לטורוס יש אחד).
במאמרו מ-1890 הראה היווד שבכל משטח למעט הכדור, מספר הצבעים הדרוש אינו עולה על .
בפרט, הטורוס ובקבוק קליין (בשניהם ) דורשים שבעה צבעים לכל היותר.
ב-1934 הראה שעל-פני בקבוק קליין מספיקים שישה צבעים, וב-1959 הראה שבכל מקרה אחר החסם של היווד הוא מדויק.
בשנת 1976 נעזרו וולפגאנג האקן וקנת אפל מאוניברסיטת אילינוי באורבנה-שמפיין בשרשראות של קמפ, כדי להראות שקיימת משפחה סופית של מפות (בהוכחה המקורית - 1936 מפות), שאם אפשר לצבוע את כולן, אז אפשר לצבוע בארבעה צבעים כל מפה אפשרית.
הבדיקה שאכן מדובר במשפחה כזו דרשה חישוב מפורט ועתיר הסתעפויות, שנמשך (במחשבים של אותה תקופה) כ-1200 שעות.
בשנת 1996 ניתנה הוכחה בעלת אופי דומה על ידי ניל רוברטסון, דניאל פ.
סנדרס, פול סימור ורובין תומאס שבה היה די בבדיקה של 633 מפות.
גם בדיקה זו דרשה הסתייעות במחשב.
רוברטסון וחבריו אף מצאו אלגוריתם ריבועי (שזמן הריצה שלו פרופורציוני לריבוע מספר הקודקודים) לצביעת גרף מישורי בארבעה צבעים.
משפט אייכמן הוא משפט שהתנהל בישראל בשנת 1961, ובו הועמד לדין הפושע הנאצי אדולף אייכמן על פי החוק לעשיית דין בנאצים ובעוזריהם, בגין מעשיו בשואה, שבסיומו נידון למוות והוצא להורג בתלייה, לאחר שערעורו ובקשת החנינה שלו נדחו.
אדולף אייכמן היה מבכירי המנגנון הנאצי בגרמניה, בדרגת אובר-שטורמבנפיהרר (סגן-אלוף) באס אס, מהאחראים הראשיים לביצועה בפועל של תוכנית הפתרון הסופי להשמדת יהודים במהלך השואה.
הוא היה אחראי מטעם הנאצים על כל משלוחי הרכבות והאקציות מרחבי אירופה אל מחנות הריכוז וההשמדה.
בהונגריה הוא ניהל במישרין את השילוח, וכמעט חצי מיליון איש נרצחו בשואת יהודי הונגריה.
לאחר מלחמת העולם השנייה הוא ברח לארגנטינה, שם חי תחת השם הבדוי "ריקרדו קלמנט", עד לכידתו ב-1960 על ידי המוסד והבאתו לישראל.
משפט אייכמן נחשב לציון דרך בזיכרון השואה.
רבים מניצולי השואה פתחו לראשונה את סגור לבם בעת עדותם, וכך גברה תודעת השואה בציבור הישראלי ובעולם, כמו גם האמפתיה כלפי הניצולים.
בשנת 1960 לכד המוסד את אייכמן בארגנטינה וחטף אותו לישראל.
לאחר חטיפתו הוצא נגדו צו מעצר שהוארך מדי פעם עד סיום שלבי החקירה שארכה כתשעה חודשים.
מיד כשהגיע הועבר אייכמן לידי שמואל רוט, ראש המחלקה הפלילית של המשטרה, אשר קיים את החקירה הראשונית.
אייכמן אובטח ע"י "יחידת אייר" והחקירה עצמה נוהלה על ידי פקד אבנר לס מהיחידה המיוחדת שהוקמה במשטרת ישראל, ונקראה "לשכה 06".
בסיום החקירה הוגש נגד אייכמן כתב אישום בבית המשפט המחוזי בירושלים (סימונו ת.פ.
כתב האישום כולל 15 סעיפים ובהם: פשעים כנגד העם היהודי, פשעים כנגד האנושות, פשעי מלחמה, וחברות בארגונים עוינים אס אס, אס דה ודומיהם, שהוכרזו כארגונים עוינים במשפטי נירנברג.
בנוסף כלל כתב האישום גם פשעים שביצע נגד עמים אחרים, כגון: גירושים המוניים של פולנים וסלובנים, רציחת עשרות אלפי צוענים ועוד.
משפטו של אייכמן נערך במשכן "בית העם" בירושלים, בפני השופטים משה לנדוי, ד"ר בנימין הלוי וד"ר יצחק רווה (לקביעת ההרכב ולהסדרת עניינים נוספים במשפט זה נחקק חוק בתי המשפט (עבירות שענשן מוות), תשכ"א-1961).
על הנאשם הגן עורך הדין הגרמני ד"ר רוברט סרווציוס, מי שהגן על נאשמים אחדים במשפטי נירנברג, בהם פריץ זאוקל.
החוק הישראלי לא איפשר לעורך דין זר לייצג נתבע בבית משפט ישראלי, אולם מכיוון שאף עורך דין ישראלי לא היה מוכן לשמש כסניגורו של אייכמן, נעשה תיקון בחוק שאיפשר יצוג זה.
ישיבת הפתיחה של המשפט נערכה ב-11 באפריל 1961.
ראש הממשלה דוד בן-גוריון התבטא בעיתונות ביום פתיחת המשפט, כי משפט זה יהיה משפט נירנברג של העם היהודי, שמאז השחרור נמנעה ממנו הזכות להביא את רוצחיו למשפט.
עם תחילת המשפט סקרה התביעה את פשעיו של אייכמן.
התובע, גדעון האוזנר, היועץ המשפטי לממשלה, נשא נאום פתיחה, שנמשך שמונה שעות, ובו אמר בין היתר:
סנגורו של אייכמן, רוברט סרווציוס, חלק על סמכות בית המשפט לשפוט אותו, בהתבססו על ארבע טענות מקדמיות:
חקיקה אקס-טריטוריאלית: אין לקיים את המשפט מאחר שהנאשם נחטף מביתו שלא בישראל.
תחולה פלילית רטרואקטיבית: החוק (חוק לעשיית דין בנאצים ובעוזריהם, תש"י-1950) שעליו מתבסס כתב האישום הוא משנת 1950 ולכן הוא מאוחר למעשים שנעשו במהלך המלחמה, ולא מקובל שחוקים פליליים יהיו רטרואקטיביים.
העבירות נעברו מחוץ לשטח מדינת ישראל ובתקופה שנעשו מדינת ישראל כלל לא הייתה קיימת.
בית המשפט דחה טענות מקדמיות אלה ופסק:
בקשר לטענה בדבר חוסר האובייקטיביות, של השופטים בהיותם יהודים, אמר בית המשפט: "...
כי אכן בשבתו על כס המשפט אין השופט חדל להיות בשר-ודם, בעל רגשות ויצרים, אולם הוא מצווה על פי החוק לכבוש רגשות ויצרים אלה, שאם לא כן, לא היה שופט כשיר לעולם לדון באישום פלילי, המעורר רגשות סלידה, כגון בגידה, רצח או כל פשע חמור אחר".
בקשר לחטיפתו של אייכמן בארגנטינה והבאתו לישראל בניגוד לרצונו, פסק בית-המשפט כי סמכותו של בית-משפט לשפוט נאשם תלויה אך ורק במהות סעיף העונשין הכלול בכתב האישום ובהתאמתו למעשים המיוחסים לנאשם, ואין בית-המשפט רשאי לבחון את הדרך שבה הובא הנאשם לתחום שטח הריבונות של המדינה שבה הוא נשפט.
בקשר לכלל בדבר חוסר תוקף רטרואקטיבי של חוקים פליליים, אמר בית המשפט כי אין זה כלל חוקי מחייב, אלא כלל של צדק, המתקומם על הענשת אדם בשל מעשה שלא היה בלתי חוקי בעת ביצועו.
אך המצב שונה בקשר לעבירות המיוחסות לאייכמן, שכן החוק בדבר עשיית דין בנאצים ובעוזריהם לא יצר נורמות משפטיות חדשות, אלא רק איפשר את העמדת העבריינים לדין בשל מעשים, שבכל מקום בעולם, לרבות בגרמניה עצמה, היו הם מודעים לאי-חוקיותם גם בעת ביצועם.
בשל משטר אי החוקיות ששרר בגרמניה הנאצית לא נענשו מבצעי הפשעים בגין העבירות, אך דרישות הצדק חייבו הקמת ערכאה, שבפניה יועמדו הפושעים לדין.
בית המשפט הסתמך גם על הצהרות פומביות של בעלות הברית בזמן המלחמה כי לאחר סיומה יועמדו הנאצים לדין, וראה בהן אזהרות מספיקות לדרישה כי "אין עונשין אלא אם כן מזהירין".
בקשר לטענה כי מדינת ישראל לא הייתה קיימת בזמן ביצוע הפשעים, פסק בית המשפט שהתוכנית להשמדת העם היהודי כוונה אף כלפי היהודים שחיו באותה עת בארץ ישראל.
בקשר לטענה כי העבירות נעשו מחוץ לשטח מדינת ישראל, הציג בית המשפט את אייכמן כ"פיראט" מודרני וכך ביסס את סמכות השיפוט האוניברסלית של ישראל עליו.
אייכמן הוצג כאויב המין האנושי ולכן כדוגמת הפיראטים מותר לכל מדינה לשפוט אותו ולהענישו לפי המשפט הבין־לאומי.
אחרי דחיית הטענות המקדמיות, נדרש הנאשם להשיב על האשמות, ותשובתו לכל אחד מהאישומים הייתה בגרמנית: "ברוח כתב האישום – לא אשם" (Im Sinne der Anklage – nicht schuldig).
העדויות במשפט כללו יותר מ-100 עדים ו-1,600 מסמכים, מהם בחתימת אייכמן עצמו.
עדי התביעה היו ניצולי המחנות ואזורי הכיבוש השונים, רובם כאלו שעלו לישראל, בהם ז'ורז' ולרס, אסיר מחנות דראנסי ואושוויץ, הסופר יחיאל די-נור (ק.
צטניק) (שהתעלף על דוכן העדים עם תחילת עדותו, לאחר שדיבר על אושוויץ כ"פלנטה אחרת", שם לא חיו לפי החוקים של העולם הנורמלי) והסופר אברהם אביאל, וכן מורדי גטאות כמו צביה לובטקין, יצחק צוקרמן ואבא קובנר.
צטניק, לא היה לעדים אלו קשר ישיר עם אייכמן, וחלקם כלל לא ידע על קיומו בזמן השואה; עדויותיהם נועדו להמחיש את זוועות השואה.
פועל נלווה לעדותם היה האספקט החינוכי, להחדיר את תודעת השואה בקרב הציבור.
כמו כן הופיעו מספר עדים שראיינו לאחר המלחמה את ראשי הממשל הנאצי והס"ס, ביניהם היה הפסיכולוג היהודי גוסטב מארק גילברט, שניהל שיחות עם נאצים בכירים בעת משפטי נירנברג, בהם גרינג והס.
הוא העיד כי גרינג, הס ונאצים בכירים נוספים מנו בפניו את אייכמן עם האחראים הראשיים להשמדת היהודים.
עדי הגנה נאצים שסירבו להגיע לישראל מחשש שיועמדו לדין, העידו בפני בתי משפט גרמניים לפי שאלות ששלח בית המשפט הישראלי.
התביעה הראתה את חלקו הפעיל של אייכמן בגירוש להשמדת יהודים בכל רחבי אירופה; החזקתם בתנאים לא אנושיים ורציחתם בשיטתיות במטרה להשמדת העם כולו.
הסניגוריה לא ניסתה כמעט לטעון להפרכת האירועים אלא ניסתה לצמצם את מעורבות אייכמן במקרים אלה ולטעון כי הוא היה "בורג קטן במערכת".
הסניגוריה טענה, כי אייכמן רק ציית לפקודות הממשל הנאצי ולא יכול היה להפר אותן בהיותו פקיד נמוך דרג, וכי האשם העיקרי במאורעות השואה היה הממשל הגרמני ולא מערך הפקידות שלו.
בהכרעת הדין נקבע, כי ניתן היה לסרב לפקודות ואף לפרוש מהמנגנון הנאצי, וכי אייכמן, גם אילו היה רק פקיד צייתן - אסור היה לו לבצע פקודות של רצח.
בהכרעת הדין נקבע כי הוכח שאייכמן היה בעל תפקיד מרכזי במנגנון ההשמדה.
אייכמן היה מוכן אפילו לפעול בניגוד להחלטה של אדולף היטלר עצמו, כאשר סבר, כי אחרת עשויים אי אלה יהודים להינצל.
דבר זה הוכח בעליל על ידי מברקו של השגריר הגרמני בבודפשט בשנת 1944, אדמונד וזנמאייר, אשר הודיע לשר החוץ בברלין פרטים על הסכם שנערך בין היטלר לבין המנהיג ההונגרי, אדמירל מיקלוש הורטי.
ההונגרים, שלחמו בצד הגרמנים והאיטלקים, סברו שהמלחמה אבודה, ושאפו להסכם שלום נפרד.
היטלר ניסה למנוע זאת, ונפגש לשם כך עם הורטי.
האחרון נעתר לבסוף להפצרותיו של היטלר שלא לנטוש את השותפות בין מדינות ה"ציר", אך התנה זאת בתנאים אחדים.
אחד מאותם תנאים התייחס למתן היתר ל-3,000 משפחות יהודיות לעזוב את בודפשט ולהגיע לשווייץ.
אלא שאז הודיע וזנמאייר לשר החוץ יואכים פון ריבנטרופ, כי איש האס אס במקום, אדולף אייכמן, מאוד נסער מהידיעה בדבר ההסכם האמור, שכן חושש הוא ששלושת אלפי המשפחות היהודיות עלולות להגיע לארץ ישראל ולהוות שם תא לצמיחה מחודשת של העם היהודי.
ועל כן נתן אייכמן הוראה לאנשיו שיש לבצע את גירוש היהודים מבודפשט מעתה בקצב כזה, שעד להסדרת הוויזות הדרושות לשווייץ לא תישארנה כלל 3,000 משפחות יהודיות בבירה ההונגרית.
אומנם אייכמן לא היה הבכיר ביותר בהליך ההשמדה, ואנשי מנגנון נוספים עמדו מעליו (כדוגמת היידריך והימלר), אולם השופטים קבעו כי אין זה גורע מהתפקיד אותו ביצע ומאחריותו במאורעות השואה.
עם זאת במהלך המשפט הייתה בעיה באי קיומה של הוכחה פורנזית על חלקו של אייכמן ברצח יהודים.
אייכמן טען כל הזמן שהוא היה רק מנהל מחלקה בתוך שרשרת ארוכה של גופים שטיפלו בשליחת יהודים ברכבות אל מחנות ההשמדה.
למשך זמן במהלך המשפט לא הייתה הוכחה שתסתור את טענתו של אייכמן.
שמעון ויזנטל גילה כי קיים תמלול של הקלטות שבהן אייכמן מספר את זכרונותיו בהיותו בארגנטינה אליה ברח אחרי המלחמה.
ההוכחה הניצחת הייתה הערות שכתב אייכמן בכתב ידו במקומות מסוימים בתמליל.
הכרעת הדין, המכילה מאות עמודים, הוקראה במלואה במשך שלושה ימים רצופים, 11 בדצמבר - 13 בדצמבר 1961 בבית המשפט המחוזי בירושלים.
בהכרעת הדין הורשע אייכמן בכל 15 סעיפי כתב האישום.
הוא זוכה חלקית מסעיפים 13–15 לכתב האישום, בגין חברות בארגונים עוינים בתקופה המסתיימת בחודש מאי 1940 וזאת עקב התיישנות העבירות.
בית המשפט נתן היתר מיוחד בישיבה הראשונה לתיעוד המשפט כולו.
הוקם צוות מיוחד שכלל ארבעה צלמים (יעקב יונילוביץ', רולף קנלר, אמיל קנבל) שעסקו במשך ארבעה חודשים בצילום המשפט.
הבמאי של הצוות היה ליאו הורביץ (Leo Hurwitz), במאי אמריקאי של סרטים תיעודיים.
הצילום נעשה בפורמט NTSC וידאו 2 אינץ', במצלמות שהובאו במיוחד לארץ מארצות הברית.
חומר זה שימש גם כמקור לדיווחי הטלוויזיה בעולם כולו באותה תקופה.
בתום המשפט נשלח כל החומר המצולם לארצות הברית, ובשנות ה-70 הוחזר לישראל.
במקביל, צולם חלקו האחרון של המשפט - פסק הדין, הערעור וגזר הדין - בסך הכל כ-30 שעות, על ידי צוות צילום מאולפני גבע.
בנוסף לצילום המשפט הוקלט כל הנעשה באולם המשפט על גלגלי רבע אינץ' סאונד עבור קול ישראל.
קול ישראל שידר בכל תקופת המשפט שידורים בני חצי שעה בהם תוארו נקודות מרכזיות מדיונים באותו יום, תוך שילוב הקלטות המשפט.
כמו כן שודרו באופן ישיר ישיבות בעלות חשיבות מיוחדת.
בסך הכל נשמרו בארכיון המדינה שש מאות שעות סאונד, שבהתבסס עליהן הוכנו הפרוטוקולים, שהודפסו בעשרה כרכים ביוזמת ארכיון המדינה מאוחר יותר.
תיעוד נוסף היה של הצייר מירון סימה, שנכח בכל ישיבות המשפט ותיעד את הצוות המשפטי, את העדים ואת אייכמן עצמו.
הקלטות ותרגום הפרוטוקולים לשפות זרות בוצע על ידי חברת "קבוצת חבר".
משפט איכמן זכה לסיקור תקשורתי עולמי נרחב ובזכותו נפתח לראשונה קו אלחוטי לונדון-תל אביב להעברת תמונות ברדיו במשך כל שעות היום, אך שיגורו של הקוסמונאוט הראשון יורי גגארין שהתרחש במקביל הסיט את הסיקור העולמי ממשפט אייכמן למירוץ החלל.
גזר הדין וביצועו לאחר ערעור ובקשת חנינה
עם סיום השמעת הכרעת הדין ב-13 בדצמבר, נשמעו טיעונים לעונש מפי היועץ המשפטי לממשלה, סנגורו של הנאשם ואף מפי אייכמן עצמו.
אייכמן שב וטען כי אין להטיל את האחריות על כתפיו אלא על הדרג המדיני ששלח אותו למשימתו: "איתרע מזלי ועורבתי במעשי זוועה אלה.
אולם מעללים אלה לא התרחשו על פי רצוני.
לא היה זה רצוני לקטול אנשים.
הרצח ההמוני אינו אלא אשמת המנהיגים המדיניים בלבד...".
ב-15 בדצמבר 1961 הוקרא גזר הדין בבית המשפט ובו נידון הנאשם למוות.
לפני קריאת גזר הדין שוב ניתנה לאייכמן זכות הדיבור: "רואה אני כי תקוותי לדין צדק נכזבה...
לא רדפתי יהודים מתוך תאווה ותשוקה.
את זאת עשתה הממשלה ...
הייתי מבקש עכשיו את סליחת העם היהודי והייתי מתוודה שאני מתבייש בזוכרי את מה שעוללו לו, אולם לנוכח נימוקי פסק הדין זה עלול להתפרש רק כצביעות ...
מוטל עלי לשאת את אשר הטיל עלי הגורל".
אייכמן ערער על גזר הדין.
ב-29 במאי 1962 דחה בית המשפט העליון את ערעורו ואישר את גזר הדין (מדבריו של אייכמן בפנייתו האחרונה לבית המשפט - "אני משוכנע שכנוע עמוק שאני חייב לסבול בשל מעשיהם של אחרים ולשאת את המשא שכפה עלי גורלי"),
אייכמן, אשתו ורה, חמשת אחיו, ועשרים אנשי רוח ישראלים שטענו כי "סיום משפט אייכמן על ידי הוצאתו להורג ימעט את דמות השואה" שלחו בקשות חנינה לנשיא המדינה, יצחק בן-צבי, שפרטיהן פורסמו ב-2016. ממשלת ישראל התכנסה כדי לדון על ביצוע גזר הדין.
גדעון האוזנר דיבר על לב השרים וטען: "אנחנו חייבים את ביצוע העונש לרבבות ניצולי השואה".
רוב השרים הצביעו בעד התלייה אך חלקם התנגדו, ולכן לאחר מכן ביקשו להצביע שוב, כדי שיירשם שההחלטה התקבלה פה אחד.
לאחר סירוב הנשיא למתן חנינה, הוצא אייכמן להורג בתלייה בכלא רמלה (כיום כלא אילון) בלילה שבין 31 במאי ל-1 ביוני.
לפני תלייתו ביקש וקיבל בקבוק יין לבן ודחה את הצעתו של הכומר הקנדי ויליאם הל לומר תפילה אחרונה לפני מותו.
לפני התלייה, קרא אייכמן: .
גופתו נשרפה ואפרה פוזר בים מחוץ למים הטריטוריאליים של מדינת ישראל.
משפט אייכמן זכה להתייחסות נרחבת בתקשורת הישראלית (עיתונות ורדיו) ואף באמצעי התקשורת הבינלאומיים, בעיקר בשלבים הראשונים שלו ובפסק הדין בסיומו.
בעולם ציינו את המשפט כמאורע הבא לעשות צדק היסטורי, כשהקורבן דן את תליינו.
אולם, יש שטענו שמבחינה משפטית, למדינת ישראל לא הייתה הזכות לדון את אייכמן והוא היה צריך להישפט בפני בית דין נייטרלי או בינלאומי.
בכניסה לבית העם המתינו אנשים לכרטיס כניסה במשך שעות.
כרטיסי הכניסה לשבוע הראשון של המשפט אזלו עוד לפני פתיחתו.
בבית המשפט הוצבה מצלמה במעגל סגור שהעבירה את הדיונים אל אחד מאולמות מנזר רטיסבון הסמוך, שגם הוא היה מלא בצופים.
עדויות ניצולי השואה עוררו רושם עז בציבור הישראלי ורבים נצמדו למקלטי הרדיו כדי לשמוע בשידור ישיר את העדויות ולקרוא עליהן בעיתונים.
עד אז לא הרבו לשמוע את עדויות ניצולי השואה וחלק גדול מהם העדיף שלא לספר על העבר.
המשפט, שהעלה לתודעה את הניצולים כיחידים דרך סיפורם האישי, נחשב אחד מהגורמים הראשונים שהביאו לשינוי תודעת השואה, כשהחלו להבחין כי גבורה התרחשה לא רק במרד גטו ורשה או בלחימה אקטיבית בנאצים אלא גם אצל רבים אחרים, שנאבקו כדי לשרוד ולהינצל.
ההאשמה "מדוע הלכתם כצאן לטבח?" שהועלתה בעבר החלה להתפוגג, ואצל רבים הובעה תחושה של שותפות גורל עם הניצולים ואף הרגשת אשמה על ההתייחסות הלא מתחשבת מספיק כלפיהם מצד ילידי ארץ ישראל.
דוגמה לכך כתב נתן אלתרמן תחת הכותרת 'קלסתר-הפנים' בעיתון דבר ב-9 ביוני 1961:
פולמוס אקדמי נרחב, שהוזכר רק מעט בישראל באותה תקופה וזכה לפרסום רב עם השנים, התעורר סביב ביקורתה הקשה של הפילוסופית היהודייה חנה ארנדט בספרה "אייכמן בירושלים".
טענתה הופנתה כנגד ניהול המשפט, שנועד לדבריה להעצים את המיליטריזם הישראלי ולהוכיח את עוצמת המדינה היהודית בהווה, אל מול כוח רשע ועולם אדיש שחוו קורבנות השואה בעבר.
ארנדט טבעה את הביטוי "הבנאליות של הרוע".
מארגני המשפט, לדעתה, לא לקחו מספיק בחשבון את אחריות הבירוקרטיה הגרמנית לשואה והבנאליות שנוצרת במשטר טוטליטרי לגבי חיי אדם.
לדעתה, אייכמן הוצג במשפט כמפלצת, אף על פי שהיה אדם ממוצע שהפך למרצח עקב אי יכולתו להבחין בין טוב ורע, בתוך המנגנון שהוא היה חלק ממנו.
נגד ארנדט טענו הוגי דעות יהודים כמרטין בובר וגרשם שלום כי המשפט הצדיק השמעת עדויות וכי מי שחולל את השואה הם אנשים כאייכמן ושותפיו.
הטענה על אחריות כוללת של החברה בכללותה מתעלמת, לטענתם, מאחריות היחידים, וכי התמקדות במעשיהם הכרחית גם אם סביבתם נתנה להם אישור לכך.
בספר שיצא לאור בשנת 2014 יצאה החוקרת בטינה שטנגנט נגד העובדות שבבסיס גישתה של ארנדט, וטענה שאייכמן "היה אנטישמי חולני ונאצי קנאי, שהתייחס לתפקידו המרכזי ברדיפת מיליוני יהודים ורציחתם כהגשמת שאיפת חייו".
בתקופת המשפט הפולמוס הוזכר מספר פעמים בעיתונות הישראלית אך באופן מועט בהשוואה לעיתונות היהודית-אמריקאית.
עיתון הארץ פרסם שני קטעים מספרה של ארנדט, וכן פורסמו גינויים מפי החוקר גרשם שלום, השופטים גדעון האוזנר ומייקל מוסמאנו, וכן פורסם מאמר ביקורת נגד ארנדט בביטאון של יד ושם.
שנים רבות לאחר המשפט, אמר ישעיהו ליבוביץ: "כל משפט אייכמן היה כישלון טוטלי.
אייכמן אכן היה רק בורג קטן וחסר כל ערך במערכת הגדולה.
בשנת 2008 העלה המחזאי הלל מיטלפונקט מחזה בשם "אנדה".
ההצגה בנויה על בסיס הטענה שהעדים במשפט אייכמן סוננו על ידי הממסד, ובין היתר כי לא ניתן לניצולים מהונגריה להעיד, כדי לא לעורר מחדש את הטענות נגד הנהגת היישוב ומפא"י שהועלו במשפט קסטנר.
המחזה שנוי במחלוקת ויש שראו בו סילוף של העובדות ההיסטוריות (במשפט העידו שלושה מגיבורי פרשת קסטנר, בהם עמיתו יואל ברנד) או ספקולציה שאינה מסתמכת על מקורות אלא על דעה אישית.
בשנות ה-70 של המאה ה-20 ראיין הבמאי קלוד לנצמן את בנימין מורמלשטיין שהכיר את אדולף אייכמן.
לדעתו של מורמלשטיין הוא לא נקרא לעדות במשפט אייכמן מכמה סיבות: מבחינה מסוימת וגם מוזרה בתקופת השואה אייכמן עזר למורמלשטיין ולבת זוגו להישאר בחיים.
סיבה נוספת היא שלמורמלשטיין היה הרבה מידע על התנהלות נפשעת של מנהיגי הקהילה היהודית בגטו טרזיינשטאט.
בסרט יש למורמלשטיין טענה שאנשי רוח ישראלים גינו אותו בצורה מחפירה בעוד שאנשי רוח אחרים ביקשו מנשיא המדינה לתת חנינה לאייכמן
משפט אוילר הוא הכללה של המשפט הקטן של פרמה ממספרים ראשוניים למספרים טבעיים כלשהם.
המשפט קרוי על שמו של לאונרד אוילר.
משפט אוילר פורסם לראשונה במאמרו של אוילר "Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minive Proprietate Gaudentes", שפורסם בשנת 1744. במאמר זה הציג אוילר את המושג פונקציונלי, שהוא פונקציה שלוקחת פונקציות אחרות כקלט, והוא השתמש במושג זה כדי לגזור את משוואת אוילר-לגראנג'.
המשפט היווה תרומה משמעותית לפיתוח החשבון והייתה לו השפעה מתמשכת על תחום המתמטיקה.
למשפט אוילר היו גם יישומים רבים בתחומים שונים, כולל פיזיקה, הנדסה וכלכלה, והוא ממשיך להיות בשימוש נרחב עד היום.
אחד היישומים הנודעים של המשפט הוא בשיטת ההצפנה הנפוצה הקרויה RSA.
משפט אוילר קובע שאם מספר טבעי, אז לכל זר ל- מתקיים , כלומר, n מחלק את ההפרש .
בנוסחה זו, (קרי: "פִי של n") היא פונקציית אוילר של , השווה למספרם של המספרים הזרים ל- וקטנים ממנו.
משפט אוילר אינו נותן את התוצאה הטובה ביותר האפשרית.
לדוגמה, כל מספר זר ל-240 מקיים , בעוד ש-.
את החזקה הקטנה ביותר שתבטיח התנהגות כזו מסמנים ב-, והיא שווה לאקספוננט של חבורת אוילר ה--ית.
בעוד שפונקציית אוילר של מתקבלת מהכפלת כל המספרים , הפונקציה שווה לכפולה המשותפת המינימלית של כל המספרים האלה (לאחר שהגורם מוחלף ב-, אם ).
המשפט נובע מיד מן העובדה שקבוצת המספרים הזרים ל- מהווה חבורה (חבורת אוילר של ) ביחס לכפל ולקיחת השארית בחלוקה ל-.
הגודל של חבורה זו הוא , ולכן כל איבר בחבורה מקיים (משפט לגראנז').
על-פי הגדרת הפונקציה, הוא מספר השאריות הזרות ל- היכולות להתקבל מחילוק ב-.
נסמן קבוצה זו כך: כעת נכפיל את כל איברי הקבוצה ב-.
על פי החשבון המודולרי, בבסיס , קיבלנו אותה קבוצה.
כל איבר בקבוצה החדשה הוא שארית בחילוק ל-, מאחר שהוא תוצאה של חישוב מודולרי בבסיס .
כל איבר בקבוצה החדשה זר ל-, מאחר שהוא מכפלת שני מספרים זרים ל-.
אין בקבוצה החדשה שני איברים שווים.
מאחר ש- זר ל-, ניתן לחלק את שני צידי המשוואה ב-.
כלומר: - מה שמוביל אותנו לסתירה.
ומאחר ששתי הקבוצות זהות - גם מכפלת איבריהם צריכה להיות שווה: , ומאחר שהמספר הוא מכפלת מספרים זרים ל-, וגם הוא זר ל-, ניתן לחלק בו את שני צידי המשוואה.
כלומר: ו-, על פי הגדרתו, הוא מספר השאריות הזרות ל- בחילוק ל-
כלומר - הוא שווה ל-.
משפט אוילר הוא מקרה פרטי של המשפט הבא (ג'יימס אלונסו):
, כאשר מספרים ראשוניים שונים ו- עבור .
נסמן , כאשר הוא המחלק המשותף המקסימלי של ושל , ו-.
אזי מספר הפתרונות של המשוואה מחושב באופן הבא:
אם ה- כולם אי-זוגיים, אזי למשוואה יש בדיוק פתרונות שונים (מודולו ).
אם אחד ה- זוגי, נניח , ו-, החזקה שלו בפירוק של , שווה 1 או 2, מספר הפתרונות גם כן .
אם אחד ה- זוגי, נניח , ו-, החזקה שלו בפירוק של , היא לפחות 3, מספר הפתרונות של המשוואה (מודולו ) מחושב באופן הבא:
אם (כלומר אי זוגי) או ש-, מספר הפתרונות הוא .
אם , מספר הפתרונות הוא .
בטופולוגיה, מרחבים מטריים עומדים בראש הפירמידה של המרחבים הטופולוגיים, כמעט בכל היבט של התאוריה.
משפט אוריסון (על שם פאבל סמואילוביץ' אוריסון), הידוע גם כמשפט המטריזביליזציה, אומר שמרחבים טופולוגיים המקיימים שתי תכונות חזקות במיוחד, הם בעצם מרחבים מטריים:
כל מרחב T3 המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מטריזבילי.
כלומר: קיימת מטריקה שמשרה את הטופולוגיה הנתונה של המרחב, ולכן המרחב הוא מבחינה מעשית מרחב מטרי ספרבילי.
באופן כללי יותר, המשפט (עם אותה הוכחה) מראה שכל מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב סמי-מטרי.
מעבר לזה, המשפט מראה שמרחבי T3 (ובפרט, מרחבי האוסדורף קומפקטיים) בעלי בסיס בן מנייה הם תת-מרחבים של מרחב הסדרות , ובכך הוא מבסס את המרכזיות של המרחב האחרון בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית.
בשלב הראשון מראים שמרחב T3 המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב T4.
בשלב השני מראים שמרחב נורמלי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מטריזבילי.
עושים זאת על ידי שיכון הומיאומורפי ממרחב זה לתת-מרחב של המרחב המטרי (זהו מרחב הילברט), כאשר הבנייה נעשית באמצעות פונקציות אוריסון.
מוכיחים שפונקציית השיכון היא רציפה ופתוחה.
המרחב שלנו מקיים את תכונת המנייה השנייה, ולכן יש לטופולוגיה שלו בסיס בן מנייה.
כל נקודה במרחב X שייכת לאיבר של הבסיס, .
בנוסף לזה, בגלל הרגולריות, קיים איבר בסיס כך ש .
לפי הלמה של אוריסון (למרחבים נורמליים), קיימת פונקציית אוריסון כך ש ו .
את הפונקציות אפשר לסדר, ולסמן , לשם הפשטות.
פונקציה זו היא ההומאומורפיזם המבוקש.
1) הפונקציה G מוגדרת היטב שכן לכל x,
מכאן ש G מוגדרת היטב.
2) הפונקציה G היא חח"ע כי אם אזי קיימות קבוצות בסיס זרות כך ש (כי מרחב הוא בפרט מרחב האוסדורף) ולכן .
עליהן אפשר לבנות פונקציית אוריסון שעבורה בבירור מתקיים ש .
, כלומר, ולכן G חח"ע.
3) נוכיח ש G רציפה.
נמצא קבוצה פתוחה V ב-X שעבור כל איבר בה האי-שוויון יתקיים.
ניקח n מספיק גדול כך ש .
מאחר ש gk רציפות, קיימות סביבות Vk שבהן כל פונקציה מקיימת דרישה זאת.
נגדיר (זוהי קבוצה פתוחה כחיתוך סופי של קבוצות פתוחות) ובסביבה זו ברור שמתקיימות כל הדרישות הללו.
נשים לב ש הוא מרחב מטרי (יתרה מכך, הוא מרחב נורמי) ולכן, נשרה מטריקה על X באופן הבא:
ובכך הוכחנו ש X מטריזבילי.
המשפט האזרחי (נקרא גם משפט פרטי) הוא שם כולל למספר ענפים משפטיים, המסדירים את מערכות היחסים שבין הפרטים (בני אדם או חברות) לבין עצמם.
המשפט האזרחי מסדיר את הזכויות ברכוש (דיני קניין), עוסק בהתחייבויות רצוניות ולא רצוניות בין פרטים (דיני חוזים ודיני נזיקין) ובמערכת היחסים בתוך התא המשפחתי (דיני משפחה).
למשפט האזרחי תפקיד חשוב בעיצוב יחסי הגומלין שמתקיימים בתוך חברה אנושית, הן כדי להבטיח מערכת חברתית יציבה והן כדי לאפשר שגשוג וצמיחה חברתית וכלכלית.
לצד המשפט האזרחי קיימים גם המשפט הפלילי שעוסק בנורמות שהמדינה מטילה על הפרטים בתוכה, והמשפט הציבורי המסדיר את התנהלות הגופים הציבוריים ואת מערכת היחסים בינם לבין הפרט.
דיני החוזים, עוסקים בהתחייבויות והסכמים, ובאופן כללי בחיובים רצוניים.
דיני הנזיקין, עוסקים בנזקים שגרמו פרטים זה לזה, ובאופן כללי בחיובים לא-רצוניים, כולל רשלנות רפואית ועוולות מסחריות.
דיני הנזיקין קשורים לדיני הביטוח ולדיני לשון הרע.
דיני עשיית עושר ולא במשפט, עוסקים בכל חיוב שאינו נופל בשטח דיני החוזים או דיני הנזיקין.
דיני הקניין, עוסקים בזכויות שונות החלות על קניין:
- דיני מקרקעין (קשורים לדיני התכנון והבנייה)
דיני המשפחה, עוסקים בסוגיות של נישואין, גירושים ודאגה לילדים.
דיני המשפחה קשורים לדיני הירושה והעיזבון.
דיני העבודה, מסדירים את היחסים בין עובדים, מעבידים וארגוני עובדים, וכן עוסקים בשוויון הזדמנויות בעבודה.
דיני העבודה קשורים לדיני הביטחון הסוציאלי.
דיני תאגידים, מסדירים את פעילותם של תאגידים שונים כמו חברות, שותפויות, אגודות שיתופיות וכדומה.
דיני התאגידים קשורים לדיני הבנקאות, דיני חדלות פירעון, דיני המסמכים הסחירים, דיני הגבלים עסקיים, דיני ביקורת פנימית, דיני מכרזים, דיני רישוי עסקים ודיני ניירות ערך.
משפט בינלאומי פרטי, עוסק בסוגיות בהן מעורב גורם משיטה משפטית זרה.
המשפט האזרחי מתנהל על פי סדרי דין שונים מאלו המאפיינים את המשפט הפלילי, ולכן הוא מכיל גם הוראות דין פרוצדורליות נפרדות.
הדין הפרוצדורלי עוסק בדיני ההתיישנות, בדיני הראיות ובסדרי הדין.
לכל היבט במשפט האזרחי יש גם סוגיות של מיסוי, שמוסדרות בדיני המס.
המשפט האזרחי משמש כמערכת כללים שעל פי הם פועלים ביום-יום: כיצד יוצרים הבטחה מחייבת (חוזה), כמה יש להיזהר בעת ביצוע פעולה מסוכנת (רשלנות, המוסדרות במסגרת דיני הנזיקין), כיצד רוכשים זכויות בנכס ומה היקפה של כל זכות כזו (דיני הקניין מסדירים).
המשפט האזרחי מסדיר את חיי המשפחה, החברה, המסחר והכלכלה הרגילים ואינו עוסק בהתנהגויות אסורות או בפעולות שלטוניות (אף על פי שגם המדינה כפופה למשפט האזרחי, למשל בעת כריתת הסכם).
ישנם מספר עקרונות יסוד המשותפים לכל ענפי המשפט האזרחי:
צדק מתקן - לפי עיקרון זה, המערכת המשפטית תתערב רק לאור קיומה של פגיעה בזכות משפטית ובמטרה להשיב את המצב לקדמותו - קרי להעמיד את הנפגע במקום שבו היה אלמלא הפגיעה בזכותו.
מעיקרון זה נגזרת הזכות לפיצוי, אשר מקבלת ביטוי בהתאם לטיב הזכות הנפגעת ולסוג הפגיעה.
כך למשל, בגין פגיעת גוף ניתן להגיש תביעה נזיקית - בה יבקש התובע פיצוי בעבור הוצאות הטיפול הרפואי שנדרש להוציא, אובדן ההשתכרות שנגרם לו כאשר היה פצוע וכו'.
הפיצוי יינתן לנפגע בהתאם לנזק שנגרם לו והפיצוי אף מוגבל עד לגובה הנזק שאירע בפועל.
לכן, ככלל, במסגרת המשפט האזרחי לא נפסקים פיצויים שמטרתם להעניש את הנתבע או שאינם משקפים את הנזק שנגרם לתובע (חריגים לכך ניתן למצוא פיצויים לדוגמה ופיצויים עונשיים).
צדק חלוקתי - גישה זו אינה מסתפקת בהשבת המצב לקדמותו אלא בוחנת את חלוקת הזכויות המשפטיות בתוך החברה.
התומכים בגישה זו סבורים שיש להתחשב בהשפעת ההכרעה המשפטית על יחסי הכוחות וחלוקת הזכויות בחברה.
כך למשל, יש להביא בחשבון האם אחד הצדדים חזק יותר (מבחינה משפטית, כלכלית או חברתית) ולכן עמדו לראשונות אמצעים רבים יותר למימוש זכויותיו.
בנוסף, נבחנת התוצאה החברתית שתביא פסיקה פלונית, למשל האם היא מטיבה עם החזק על חשבון החלשים.
הכוונת התנהגות והסתמכות - עיקרון זה, אשר נתמך על ידי אנשי הניתוח הכלכלי של המשפט, בוחן כיצד הכרעה שיפוטית תשפיע על התנהגות של צדדים דומים בעתיד.
כך למשל, קביעה כי התנהגות מסוימת אינה מהווה עוולה משפטית, תעודד בעתיד ביצוע של התנהגות זו.
מנגד, קביעה כי התנהגות פלונית מהווה עוולה, תרתיע מפני ביצועה בעתיד.
על כן, במסגרת המשפט האזרחי נהוג לבחון כיצד הכלל המשפט ואופן יישומו יעצב את התנהגותם של צדדים דומים בעתיד.
כך למשל, ההגדרה של התנהגות מסוימת כמהווה "הטעיה" (עילה המקימה זכות לבטל את החוזה) תבחן לאור השפעתה בעתיד על צדדים שמנהלים משא ומתן לקראת כריתתו של חוזה.
אין חוטא יוצא נשכר - עקרון מופשט זה קובע כי לא ראוי שהתנהגות עוולתית תצמיח עילה או זכות משפטית.
עיקרון זה מבוסס על תפיסה מוסרית לפיה אל למשפט להכשיר פעולות פסולות וודאי שאין לתת בגינן פרס או זכות.
השימוש בעיקרון זה נעשה במסגרת עילת תביעה (לרוב במסגרת דיני עשיית עושר ולא במשפט) או כטענת הגנה.
דוגמת לעיקרון זה ניתן למצוא ב, אשר קובע כי מי שגרם (או ניסה לגרום) למותו של המוריש יהיה פסול מלרשת אותו.
תום לב - זהו עיקרון על אשר חולש כיום על המשפט הישראלי בכללותו.
עיקרון זה קובע נורמת התנהגות כללית, גם כאשר אין כלל פרטני.
דוגמה לכך ניתן למצוא ב, אשר קובע כי בעת משא ומתן לקראת כריתתו של חוזה על הצדדים לנהוג בתום לב ובדרך מקובלת.
טרם כריתת החוזה הצדדים אינם כפופים לדיני החוזים, ולכן חל העיקרון הכללי לפיו יש לנהוג בתום לב.
המוציא מחברו עליו הראיה הכלל במשפט האזרחי הוא, כי התובע את חברו, עליו מוטלת ההוכחה, וכי הנתבע אינו יעסוק בהגנתו טרם הובאו ראיות להוכחת התביעה.
כלל זה הוא יסוד משמעותי בהליכים האזרחיים בבתי משפט השונים.
הרלוונטיות לכלל זה, הוא השלב בו נדרש הנתבע להוכיח את טענות ההגנה אשר עומדות לו מול התובע.
עם זאת, ישנן טענות הגנה המעבירות את נטל ההוכחה מן התובע אל הנתבע.
כך, למשל, טענת "פרעתי", מעבירה את נטל ההוכחה מן התובע חוב כספי, אל הטוען כי פרע את החוב.
הבדלים מרכזיים ביחס לענפי משפט אחרים
כאמור, המשפט האזרחי מסדיר את היחסים בין שני פרטים בתוך החברה.
זאת בשונה מענפי המשפט הציבורי הפלילי עוסקים בנורמות החברתיות המבוססות על קיומם של מדינה ושל משטר מדיני מאורגן.
מכך נגזרים מספר מאפיינים מרכזיים של המשפט האזרחי, אשר מבדלים אותו מענפי משפט אחרים:
סימטריות ושווין: ככלל הצדדים להליך האזרחי נמצאים בעמדה שווה.
כל המתדיינים כפופים לאותן נורמות ואין הבדל בתפקידים שהם ממלאים.
ההליך האזרחי מתנהל בין פרט אחד לזולתו ("תובע" ו"נתבע").
המדינה איננה צד להליך (אף שהיא מספקת את מערכת החוקים ואת בית המשפט כמוסד ששופט בין הצדדים), זאת בשונה מן ההליך הפלילי המתנהל בין המדינה ("המאשימה") לפרט ("הנאשם") או להליך המנהלי בו הפרט ("העותר" או "העורר") תוקף החלטה של המדינה ("המשיבה").
הצדדים להליך האזרחי יכולים להיות בני אדם טבעיים, תאגידים, המדינה עצמה (כתובעת או נתבעת, למשל בגין הפרת חוזה).
המשפט האזרחי אף חל על גורמים ממדינות שונות.
הבדל נוסף הוא שבמסגרת המשפט האזרחי, פגיעה בזכות מכונה "עוולה", בשונה ממושג ה"עבירה" שמשמש את ההליך הפלילי.
נטל ההוכחה במשפט האזרחי מוטל על התובע, שצריך לשכנע ולהוכיח את טענתו בהסתברות גבוהה מ-50 אחוז.
רף הוכחה זה שונה מההליך הפלילי שבו על המדינה להוכיח את האישום "מעבר לספק סביר".
אם התביעה האזרחית מתקבלת, יינתנו לתובע סעדים שמטרתם לרפא את הפגיעה בו - בין סעדים בעין (צו המורה על אכיפת חוזה) ובין סעדים כספיים (פיצוי בגין נזקים שנגרמו לתובע).
זאת בשונה מן המשפט הפלילי אשר מטרתו היא ענישה של העבריין (בדרך כלל באמצעות עונשי מאסר וקנס) ולכן ככלל לא נפסק סעד לטובת קורבן העבירה.
כללי הדיון האזרחי, כמו דיני ההתיישנות ודיני ראיות בו, ייחודיים למשפט האזרחי.
עם קום המדינה אומץ המשפט המנדטורי שחל בארץ עד אז.
המשפט האזרחי התבסס בעיקר על פקודות מנדטוריות (כמו , שבשימוש גם כיום) ועל חקיקה עות'מאנית (שרוכזה בעיקר במג'לה).
החל מסוף שנות החמישים של המאה ה-20 פתחה הכנסת בחקיקה אזרחית ענפה, שתחילתה בחקיקת והסתיימה בחקיקת חוק חוזה ביטוח.
חקיקה זו, בצירוף הוראות וה, ניתקה את הקשר בין המשפט האזרחי של מדינת ישראל עם המשפט המנדטורי והמשפט העות'מאני שקדמו לו.
למרות ניתוק הקשר הפורמלי לשיטות משפט זרות, נותרה זיקה הדוקה של המשפט האזרחי הישראלי למשפט המקובל - החל בפקודות מנדטוריות שנשארו בתוקפן אף על פי שתוקנו לאורך השנים (דוגמת פקודת הנזיקין), וכלה בחקיקה חדשה ופסיקות של בתי המשפט, ששיקפה והתבססה על עקרונות של המשפט המקובל (למשל ).
החקיקה האזרחית הישראלית התאפיינה בריבוי חוקים, שעסקו בתחומים ובסוגיות נפרדות (אחריות למוצרים פגומים, חוזה ביטוח, חוזה קבלנות וכו').
לאורך השנים נמתחה על החקיקה האזרחית ביקורת, בין היתר בשל כך שהחוקים השונים מתאפיינים בחוסר אחידות דוקטרינרי, פגם שמוביל להסדרים משפטיים לא קוהרנטיים.
לכן, בשנת 1986 החלה עבודה מאומצת במשרד המשפטים להכנת קודקס אזרחי אחד, שיאגד את כל החקיקה האזרחית הישראלית.
עבודות ההכנה רוכזו בתחילה על ידי פרופ' אורי ידין, ששימש כמשנה ליועץ המשפטי לממשלה.
לאחר פטירתו של ידין, הפרויקט רוכז על ידי נשיא בית המשפט העליון (בדימוס) אהרן ברק וע"י פרופ' מיגל דויטש.
הקודקס האזרחי הוגש בשנת 2006 והוא נקרא "הצעת חוק דיני ממונות".
חוקים בולטים במשפט האזרחי, בהם נעשה שימוש נרחב בפעילות המשפטית בישראל:
חוק החוזים (חלק כללי), עוסק בכריתת חוזה, בתוכן החוזה ובפרשנות חוזים.
חוק החוזים (תרופות בשל הפרת חוזה), העוסק בסעדים על הפרת חוזה.
תביעות אזרחיות עשויות להתדיין בשלוש ערכאות :
בית משפט השלום: דן בתביעות בסכומים של עד 2.5 מיליון ש"ח.
בית משפט לתביעות קטנות: הוא מחלקה הממוקמת בתוך חלק מבתי משפט השלום, ומאפשר ניהול הליך ייחודי שמתאפיין במהירות ובפשטות.
בית משפט מחוזי: דן בתביעות בסכומים שמעבר ל-2.5 מיליון ש"ח, וכן משמש כערכאת ערעור על פסקי דין של ביהמ"ש שלום.
בית המשפט העליון: דן בערעורים על פסקי דין של שתי הערכאות הנמוכות.
המשפט האזרחי בשיטות משפט בעולם
במשפט העברי קיימים נושאים שונים המהווים חיובים אזרחיים (ושמם אף בשימוש במשפט הישראלי כמו דיני הנזיקין, דיני עשיית עושר ולא במשפט).
במדינות שונות בעולם, מצוי ספר חוקים אזרחי, המכונה קודקס או קוד אזרחי, שמכיל את כל החוקים האזרחיים הרלוונטיים להסדרת מערכות היחסים המשפטיות, בעניינים אזרחיים בין גופים אזרחיים במדינה.
ריכוז זה של החקיקה האזרחית נפוץ בעיקר במשפט הקונטיננטלי.
משפט אוילר בגאומטריה, הקרוי של שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: , כאשר הוא רדיוס המעגל החוסם ו- הוא רדיוס המעגל החסום.
נסמן ב-O את מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC, וב-I את מרכז המעגל החסום.
נאריך את AI עד שיפגש עם המעגל החוסם ונסמן נקודה זאת ב-L, ואז נקודה L היא אמצע הקשת BC.
נעביר את הקוטר מ-L דרך O כך שיפגש עם המעגל החוסם בנקודה M.
מנקודה I נעביר אנך ל-AB, ונסמן את נקודת המפגש ב-D.
על פי משפט תאלס השני זווית LBM ישרה.
זווית LMB שווה לזווית IAD (זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת), ולכן משולשים MBL ו-ADI דומים, ומכאן ID × ML = AI × BL.
(זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות האחרות במשולש),
ולכן זווית BIL שווה לזווית IBL, ומכאן BL=IL ו- AI × IL = 2Rr.
נאריך את OI משני צדדיו ונסמן את נקודות המפגש ליד O ו-I ב-P ו-Q בהתאמה.
נסמן כמקודם ב-R,r,d את הרדיוסים של שני מעגלים ואת המרחק בין המרכזים שלהם, ונסמן ו-.
נאמר ששני המעגלים הם שותפי-n אם אחד מהם חוסם והשני חסום במצולע בעל n צלעות.
לפי משפט אוילר, שני המעגלים הם שותפי-3 אם .
קיים תנאי דומה לכך ששני מעגלים יהיו שותפי-4 (כלומר, המעגל החוסם והמעגל החסום של איזשהו מרובע, המוכרח להיות במקרה כזה, בעת ובעונה אחת, מרובע משיקים ומרובע ציקלי): (זהו משפט פס, ).
יש הכללה לנוסחה זו במונחי הפונקציה אליפטית של יעקובי ואינטגרל אליפטי שלם מסוג ראשון, .
בסוף המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19 התגלו קשרים פולינומיים מפורשים עבור ערכים שונים של מספר הצלעות n.
לדוגמה, התנאי לכך ששני המעגלים הם שותפי-5 הוא ; והתנאי לכך שיהיו שותפי-6 הוא .
כעת נתבונן בשני מעגלים C,D, כך ש-C מוכל בפנים של D.
מכל נקודה P על D אפשר להעביר משיק ל-C (נאמר בכיוון מחוגי השעון), הפוגע שוב ב-D בנקודה שנסמן ב-.
באופן כזה מוגדרות הנקודות , , וכן הלאה, ומסמנים באינדוקציה .
אם , פירושו של דבר הוא ש- הם הקודקודים של משולש החוסם את C וחסום ב-D.
אם , אז הם הקודקודים של מרובע החוסם את C וחסום ב-D, וכן הלאה.
משפט פונסלה (על שמו של ז'אן-ויקטור פונסלה) קובע שאם לנקודה P כלשהי כל D, אז תכונה זו נכונה לכל נקודה P על D; כלומר, העובדה שהעברת משיק n פעמים חוזרת לנקודת ההתחלה היא תכונה של המעגלים C,D, ולא של הנקודה P.
המשפט מתקיים אפילו אם C,D הם אליפסות, ולאו דווקא מעגלים.
במתמטיקה, משפט אוסטרובסקי הוא שמם המשותף של שני משפטים על ערכים מוחלטים של שדות.
את המשפטים הוכיח אלכסנדר אוסטרובסקי ב-1918.
המשפט הראשון מסווג את כל הערכים המוחלטים הלא-ארכימדיים של שדה המספרים הרציונלים , עד כדי שקילות.
על פי המשפט, כל ערך מוחלט לא ארכימדי על שקול לערך מוחלט p-אדי, עבור מספר ראשוני p.
המשפט השני מסווג את הערכים המוחלטים הארכימדיים, וקובע שיש רק שני שדות שלמים ביחס לערכים מוחלטים כאלה: שדה המספרים הממשיים (עם הערך המוחלט הרגיל), ושדה המספרים המרוכבים (כנ"ל)
יחדיו, שני המשפטים עומדים ביסודה של תורת המספרים האלגברית, שכן ניתן להסיק מהם את כל הערכים המוחלטים של כל שדה מספרים.
מהמשפטים נובע כי הדרכים היחידות לשכן את שדה הרציונליים באופן צפוף בשדה קומפקטי מקומית הן לתוך שדה הממשיים, או לתוך אחד מן השדות ה-p-אדיים.
שני ערכים מוחלטים | | ו-*| | על שדה F הם שקולים אם קיים מספר ממשי כך שלכל מתקיים .
הערך המוחלט הטריוויאלי על שדה F מוגדר על ידי .
הערך המוחלט הממשי על הוא הערך המוחלט הרגיל שמוגדר על המספרים הממשיים, כלומר .
בהינתן מספר ראשוני p, הערך המוחלט הp-אדי על מוגדר בדרך הבאה: כל מספר רציונלי ניתן לכתוב (בצורה יחידה) כשבר , שבו a ו-b מספרים שלמים הזרים לp, כאשר n מספר שלם.
הערך המוחלט הp-אדי מוגדר אז על ידי
המשפט הראשון קובע, אם כן, כי כל ערך מוחלט לא טריוויאלי על שקול ל- או ל- עבור p ראשוני כלשהו.
מן ההגדרות נובע שהמספרים הרצונליים מקיימים את תכונת ההיפוך: לכל מספר רציונלי , רק מספר סופי מבין הערכים המוחלטים שונה מ-1, והמכפלה תמיד .
משפט אימרמן (Immerman–Szelepcsényi) הוא תוצאה בתורת הסיבוכיות (ענף במדעי המחשב) המראה כי מחלקות סיבוכיות מקום אי דטרמיניסטיות סגורות לפעולת המשלים (בעוד אותה שאלה עבור סיבוכיות זמן עודנה פתוחה וככל הנראה התשובה לה שלילית).
המשפט הוכח בשנת 1987 באופן בלתי תלוי בידי ניל אימרמן ו-Róbert Szelepcsényi, אשר זכו ב-1995 בפרס גדל על תוצאה זו.
באופן פורמלי, תוצאת המשפט היא כי לכל פונקציה מתקיים .
בעיות רבות בהן עוסקת תורת הסיבוכיות ניתנות לניסוח כשאלות כן/לא (למשל, האם מספר הוא ראשוני או לא, האם תוכנית מחשב נתקעת או לא, האם גרף מכיל מעגל המילטוני או לא וכדומה).
לכל בעיה ניתן לדבר על הבעיה המשלימה לה - בעיה ששאלותיה הן זהות אך התשובה להן הפוכה.
כך למשל הבעיה המשלימה לבעיה "האם מספר הוא ראשוני" היא הבעיה "האם מספר אינו ראשוני", כלומר האם הוא פריק.
אם קיים אלגוריתם דטרמיניסטי לפתרון בעיה, שינוי פשוט הופך אותו לאלגוריתם לפתרון הבעיה המשלימה - תשובת "כן" של האלגוריתם הופכת לתשובת "לא" ולהפך, אך פרט לכך אין צורך לשנות את האלגוריתם - בפרט, כמות המשאבים שדורש האלגוריתם עבור הבעיה המשלימה זהה לכמות המשאבים שדורש האלגוריתם עבור הבעיה המקורית.
תכונה זו אינה נשמרת כאשר עוסקים במודל הרעיוני של אלגוריתם לא דטרמיניסטי.
במודל זה, האלגוריתם מסוגל לבצע בחירות בין אפשרויות פעולה רבות, להבדיל מאלגוריתם דטרמיניסטי שתמיד יש לו דרך פעולה אחת ויחידה על קלט מסוים.
על כן, לאלגוריתם אי דטרמיניסטי יש חישובים שונים רבים אפשריים על אותו הקלט.
כל שנדרש מהאלגוריתם האי דטרמיניסטי הוא לענות "כן" באחד מהחישובים הללו עבור קלט שהתשובה הנכונה עליו היא "כן", ועבור קלטים שהתשובה הנכונה עליהם היא "לא" על האלגוריתם לענות "לא" עבור כל החישובים השונים שלו.
חוסר סימטריה זה (חישוב יחיד שבו יש לענות "כן" לעומת הצורך לענות "לא" בכל החישובים) הוא שמונע בניית אלגוריתם אי דטרמיניסטי עבור הבעיה המשלימה באופן דומה לזה שתואר לעיל.
ניתן לקחת כדוגמה לכך את האלגוריתם האי דטרמיניסטי הבודק האם מספר הוא פריק.
אלגוריתם אי דטרמיניסטי לבעיה זו פועל כך על קלט ; הוא בוחר מספר באופן אי דטרמיניסטי (דהיינו כל חישוב מתאפיין ב- אחר השייך לתחום) ובודק האם מחלק את פשוט על ידי חלוקה.
אם חילק את , האלגוריתם עונה "כן", ואחרת הוא עונה "לא".
אם פריק הרי שקיים שמחלק אותו ולכן קיים חישוב שבו האלגוריתם האי דטרמיניסטי יגיד "כן", ואילו אם אינו פריק לא קיים שכזה ולכן לכל חישוב האלגוריתם יגיד "לא", כנדרש.
נביט על האלגוריתם ה"הפוך" לבעיה זו: האלגוריתם מבצע בדיקה זהה - בוחר ובודק האם מתחלק בו, ועונה "לא" אם כך הדבר ואחרת עונה "כן".
אלא שאלגוריתם זה בבירור אינו אלגוריתם עבור בעיית הראשוניות; אמנם, אם ראשוני אז לכל שיבחר האלגוריתם יענה "כן", אך אם אינו ראשוני עדיין ייתכן שיהיו חישובים שבהם האלגוריתם עונה "כן", אם בחר שאינו מחלק את .
למשל, אם נבחר שאינו ראשוני, והאלגוריתם בחר הוא יענה "כן", אף שהיה עליו לענות "לא".
מכיוון שבהינתן אלגוריתם אי דטרמיניסטי ניתן להמיר אותו תמיד באלגוריתם דטרמיניסטי ולהפך, מובטח כי לכל בעיה הניתנת לפתרון, ואפילו יהא זה פתרון אי דטרמיניסטי, ניתן לפתור גם את הבעיה ההפוכה באופן אי דטרמיניסטי.
עם זאת, באופן כללי המרת אלגוריתם אי דטרמיניסטי בדטרמיניסטי מגדילה את כמות משאבי החישוב הנדרשים לפתרון הבעיה.
מכאן עולה השאלה האם בהינתן בעיה שקיים לה פתרון אי דטרמיניסטי המשתמש בכמות מסוימת של משאבים קיים פתרון אי דטרמיניסטי לבעיה המשלימה שצורך את אותה כמות משאבים (או לפחות את אותו סדר גודל של כמות משאבים).
כאשר שאלה זו מנוסחת עבור המשאב של זמן חישוב יעיל (פולינומי), מתקבלת למעשה השאלה האם המחלקה NP שווה למחלקה co-NP, שהיא שאלה פתוחה חשובה במדעי המחשב.
משפט אימרמן עונה על השאלה עבור משאב הזיכרון - הוא מראה כי לכל פונקציה "סבירה", אם בעיה ניתנת לפתרון אי דטרמיניסטי בסיבוכיות זיכרון של אז גם הבעיה המשלימה ניתנת לפתרון אי דטרמיניסטי בסיבוכיות זיכרון זו.
עם זאת, משפט אימרמן אינו תוצאה מיידית של משפט סביץ' שכן הוא "בזבזני" פחות - הוא אינו דורש הגדלה אסימפטוטית כלל של סיבוכיות הזיכרון על מנת לפתור את הבעיה המשלימה.
בדומה למשפט סביץ', הוכחת המשפט הכללי מסתמכת על פתרון בעיה ספציפית - בעיית הישִיגוּת בגרפים (שנקראת באנגלית st-connectivity).
בהינתן גרף מכוון בעל צמתים ושני צמתים , בעיית הישיגות היא השאלה האם קיים מסלול מ- אל בגרף.
בעיית הישיגות בגרף ניתנות לפתרון אי דטרמיניסטי בזיכרון :
האלגוריתם מתחיל בצומת ובכל צעד חישוב בוחר באופן אי דטרמיניסטי שכן של הצומת הנוכחי ועובר אליו, תוך שהוא סופר את מספר הצעדים שהוא ביצע עד כה.
אם הוא הגיע במהלך הטיול הזה בגרף לצומת הוא עוצר ועונה "כן"; אחרת, אם הוא ביצע למעלה מ- צעדים, הוא עוצר ועונה "לא".
צריכת הזיכרון של האלגוריתם נמוכה; על מנת לזכור את הצומת הנוכחי נדרש זיכרון של , וגם כדי לספור את הצעדים נדרש זיכרון של .
ההוכחה למשפט אימרמן מבוססת על כך שגם הבעיה המשלימה - הבדיקה האם בגרף לא קיים מסלול מ- אל - ניתנת לביצוע באופן אי דטרמיניסטי בזיכרון .
כלומר, קיימת מכונת טיורינג לא-דטרמיניסטית שמקבלת כקלט את צומת המקור וצומת היעד ועונה "כן" אם אינו יָשִׁיג מ- (לפחות עבור בחירה אי-דטרמיניסטית יחידה שמבצע האלגוריתם).
לעומת זאת אם קיים מסלול אל , האלגוריתם יענה "לא" בכל אחד מהחישובים שהוא מבצע בהתאם לבחירות האי-דטרמיניסטיות.
אם אכן האלגוריתם בחר את הצמתים ה"נכונים" (אלו שבאמת ישיגים מ-), הוא בודק האם הצומת הוא אחד מהם.
אם אחד מהצמתים הישיגים, האלגוריתם עונה "לא", ואחרת עונה "כן".
אם אחת הבדיקות במהלך הדרך נכשלה האלגוריתם מחזיר תשובה "לא" כברירת מחדל (למשל, היה והוגרל צומת "לא נכון" עבור הקבוצה של הצמתים הישיגים).
לפי תיאור האלגוריתם, קל לראות שאם המספר ידוע לאלגוריתם, ו- אינו יָשיג מ-, אז קיימת בחירה שבה האלגוריתם יבחר בדיוק את הצמתים הישיגים מ-, יבדוק שכל אחד מהם אכן ישיג, יזהה ש- אינו אחד מהם, ויחזיר תשובה "כן"
הבדיקה המתוארת לעיל היא חסכונית מבחינת צריכת הזיכרון שלה - מעבר סדרתי על כל צומתי הגרף דורש רק זיכרון, וכך גם הבדיקות הנוספות שתיארנו.
מכאן עולה כי אם נתון המספר (הצמתים הישיגים ב- צעדים, כאשר הוא גודל הגרף), אז ניתן לפתור את הבעיה בזיכרון - פשוט מוודאים ש- אינו ישיג מ- ב- צעדים (ולכן אינו ישיג כלל).
מכיוון שהסתמכנו על ידיעה מראש של , על מנת להשלים את האלגורים נותר להסביר כיצד ניתן לחשב את .
החישוב מתבצע בצורה אינדוקטיבית, כלומר האלגוריתם מצליח לחשב את כאשר נתון לו המספר .
מכיוון שהאלגוריתם אינו דטרמיניסטי, קיימת עבורו האפשרות לענות "לא" אם החישוב לא הצליח, עקב ניחוש שגוי (כל עוד קיים לפחות ניחוש אחד שיהיה תקין ויוביל לתשובה "כן")
ראשית, ברור כי - על ידי מסלול מאורך 0 אפשר להגיע מ- רק אל עצמו.
החישוב האינדוקטיבי (מ- ל-) מתנהל באופן הבא: האלגוריתם עובר סדרתית על כל צומתי הגרף.
לכל צומת הוא מחפש צומת כך שיש קשת מ- אל ובנוסף לכך קיים מסלול באורך לכל היותר מ- אל .
חיפוש שכזה מתבצע באופן דומה למתואר לעיל - האלגוריתם בוחר באופן אי דטרמיניסטי את כל הצמתים שמרחקם מ- הוא לכל היותר , בודק שאכן נבחרו הצמתים הנכונים, ואז בודק אם ניתן להגיע מהם אל .
כמקודם, דרישות הסיבוכיות של שלב זה הן .
לבסוף, האלגוריתם מחזיק מונה הסופר את מספרם של הצמתים שקיימו את התנאי; לאחר שהאלגוריתם מסיים לעבור על כל צומתי הגרף, מספר זה הוא בדיוק .
מכאן שניתן לחשב את באופן אינדוקטיבי.
משפט אושוויץ הראשון היה משפט שנערך בקרקוב במהלך שנת 1947, ובו הועמדו לדין על ידי שלטונות פולין 40 אנשי אס אס שתפסו עמדות בכירות במחנה הריכוז וההשמדה אושוויץ.
משפט אושוויץ הראשון התקיים לאחר תום משפטי נירנברג, לאחר שכמה מהנאשמים העידו קודם לכן מטעם התביעה בנירנברג.
על פי הצהרת מוסקבה, הנאשמים הוסגרו לפולין, לעמוד לדין במדינה שבה ביצעו את פשעיהם.
המשפט התקיים בקרקוב, העיר הגדולה הקרובה לאושוויץ, בין 24 בנובמבר ו-22 בדצמבר 1947. נדונו בו 36 גברים וחמש נשים, בהם מפקד המחנה ארתור ליבהנשל ומפקדת מחנה הנשים מריה מנדל.
מפקדו הראשון של המחנה, רודולף פרנץ הס, נדון עוד קודם לכן והוצא להורג בתלייה ב-16 באפריל 1947, מול תא הגזים מספר 1 במחנה אושוויץ.
במשפט העידו ניצולים, והוצגו בו מסמכים גרמניים רבים.
24 מהנאשמים נדונו למוות, 3 נדונו למאסר עולם, 7 נדונו ל-15 שנות מאסר ונאשם אחד זוכה.