tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מושג פתרון מקיים את עקרון השוליות אם לכל שני משחקים ו- עם אותה קבוצת שחקנים, ולכל שחקן מתקיים התנאי הבא: אם ,
ערך שפלי מקיים את עקרון השוליות.
כל מושג פתרון המקיים את עקרונות היעילות, הסימטריה והשוליות מקיים גם את עקרון שחקן האפס.
ערך שפלי הוא מושג הפתרון הנקודתי היחיד המקיים את עקרונות היעילות, הסימטריה והשוליות.
במשחק מיקוח בו ישנם יותר משני שחקנים, פתרון מקיים את עקרון העקביות (consistency) אם לאחר סיום המשחק כל זוג שחקנים שמחליט לחזור לבורר על-מנת לערער על חלקם בהסכם, ימצא שהבורר, הפוסק לפי מושג הפתרון , יחליט שלא לשנות את התוצאה.
משחק מיקוח עם שחקנים הוא זוג שבו: היא קבוצה קמורה קומפקטית ולא ריקה.
בדומה למקרה של שני שחקנים, פתרון הוא פונקציה המתאימה לכל משחק מיקוח נקודה .
המשמעות היא שנקודה היא תוצאת המשא ומתן רק אם כל השחקנים יסכימו לשתף פעולה.
לא נלקחת בחשבון אפשרות שקואליציה חלקית של שחקנים תשתף פעולה ותשיג לעצמה תוצאה שעדיפה לה על-פני .
קיים פתרון יחיד , עבור משפחת משחקי המיקוח עם שחקנים, המקיים את עקרונות הסימטריה, היעילות, הקווריאנטיות תחת טרנספורמציות אפיניות, והאי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות.
הנקודה היא הווקטור ב- שעבורו שטח המלבן ה- ממדי מקסימלי.
פתרון מקיים את עקרון העקביות אם לכל משחק מיקוח ולכל שני שחקנים שונים , הוא הפתרון של משחק המיקוח עם שני שחקנים המוגדרת באופן הבא:
ו-: נקודת האי הסכמה נגזרת מנקודת האי הסכמה במשחק המקורי.
{ קיים כך שמתקיים : } = : קבוצת האפשרויות היא קבוצת כל האפשרויות שבהן כל השחקנים פרט ל- מקבלים את המוצע להם לפי הפתרון .
הפתרון היחיד המקיים את עקרונות היעילות, האנונימיות, הקווריאנטיות תחת טרנספורמציות אפיניות והעקביות הוא הפתרון של נאש.
עקרון הרצף הוא אידאה המתייחסת להתפתחות האדם ולגידול תינוקות.
אידאה זו נוסחה על ידי התרפיסטית האמריקנית ג'ין לידלוף בספרה "עקרון הרצף" שיצא לאור ב-1975. לפי לידלוף, גידול ילדים לפי השיטה מבטיח את התפתחותו הגופנית, המנטלית והרגשית של התינוק מיום היוולדו, ועד הגיל בו הוא מסוגל להתרחק מאמו על פי רצונו.
שם השיטה מתבסס על תפיסתה כהמשך רציף לאופן בו גודלו ילדים באופן טבעי משחר ההיסטוריה.
בראשית שנות ה-70 יצאה ג'ין לידלוף, ניו יורקרית צעירה, לטיול ביערות ונצואלה בחיפוש אחר יהלומים והרפתקאות.
היא פגשה שם בבני שבט ההיקואנה הילידי-מקומי, שלא נחשפו כמעט כלל למערב, וחיה במחיצתם לסירוגין במשך למעלה משנתיים.
לידלוף הבחינה כי תינוקות השבט כמעט שאינם בוכים, והילדים נראו לה מאושרים, רגועים ועצמאיים בהרבה מילדי המערב.
הדבר הביא אותה לחקור את התופעה, והיא הצליחה לבודד כמה אפיונים, המבדילים בין אופן גידול הילדים בקרב שבט ההיקואנה, ובין אופן גידול הילדים בעולם המערבי:
תינוק היקואנה נישא על גוף אימו 24 שעות ביממה, בניגוד לתינוק בעולם המערבי המבלה לא מעט מזמנו בעריסה, במיטה או בעגלה.
תינוק היקואנה זוכה לעצמאות כמעט טוטאלית מרגע בו הוא מתרחק מאימו על פי רצונו, וזאת מפני שהוריו סומכים על חוש ההישרדות והזהירות הארכיטיפי המצוי בו.
תינוק היקואנה אינו עומד במרכז תשומת ליבם של הוריו או של מבוגרים אחרים.
הוא אמנם צמוד לאימו, אך היא אינה שרה לו, מספרת לו סיפורים או מסבירה לו דברים, כדברי לידלוף: "מעולם לא ראיתי מישהו מלמד.
לימוד היה כל הזמן, אך הוא לא הופרע על ידי הוראה." מתוך כך נוכח התינוק בכל מעשיה של אימו, בעבודותיה, בשיחותיה ובקשריה עם אחרים, וכצופה פסיבי הוא לומד כיצד להתנהג כבודד וכפרט בתוך חברה.
מסקנתה של לידלוף הייתה שהקרבה הפיזית הרצופה של התינוק לאימו, תוך למידה פסיבית, היא הגורם הראשון לאושרם ולשלוותם הרבה של תינוקות השבט.
לתחושות אלו מצטרפות גם תחושות עצמאות וביטחון עצמי, בזכות חופש התנועה המוחלט לו זוכים ילדי השבט, שכן הדבר מאפשר להם לחקור את המרחב בנחת, תוך הכרה ביכולותיהם ובחושיהם.
על סמך תוצאות מחקרה פיתחה לידלוף את שיטת 'עקרון הרצף', ופרסמה את המלצותיה ב-1975 בספר 'עקרון הרצף - החיפוש אחר האושר שאבד'.
הספר תורגם לעשרות שפות, ביניהן עברית, הופץ במיליוני עותקים וזוכה לפופולריות רבה עד היום.
בבסיס 'עקרון הרצף' עומדת התפיסה על פיה כל תינוק אנושי בא לעולם עם אוסף ציפיות וצרכים מולדים, שהתגבשו בו בעקבות עשרות אלפי שנות אבולוציה אנושית (זאת בניגוד לתפיסה הרואה בתינוק "לוח חלק").
מרגע שנולד, מצפה התינוק שהוריו יגשימו את ציפיותיו המולדות, ויספקו את צרכיו הרגשיים והגופניים.
על פי עקרון הרצף, הציפייה החשובה והמשמעותית ביותר של התינוק היא להימצא בחודשי חייו הראשונים במגע מתמיד עם אמו (או עם המטפל בו באופן קבוע ועקבי).
הוא מצפה לחוש קרבה לגוף אמו המוכר לו, לינוק בכל עת שירצה, לישון עם אמו באותה מיטה ולחוש כל תנועה בגופה, כפי שחווה בהיותו עובר, ולהינשא בזרועותיה כל הזמן, כפי שאמהות נשאו את תינוקותיהן אלפי שנים לפני המצאת עגלת התינוקות.
ציפייה שנייה של התינוק על פי עקרון הרצף, היא להיות נוכח באופן מתמיד בחיי המבוגרים, מבלי להוות את מרכז תשומת לבם.
באופן זה הוא ילמד כיצד להתנהג, יידע איך קוראים לדברים, ויהפוך ליצור סקרן וחברותי.
במקביל מצפה התינוק כי הוריו יפגינו ביטחון ביכולתו לחקור את סביבתו, מבלי לגונן עליו יותר מדי, ובכך יתגברו ביטחונו העצמי ועצמאותו.
לפי עקרון הרצף, כאשר ציפיות אלו מתממשות, התינוק (או הפעוט) ממעט מאוד לבכות, וחש אהוב ובעל ערך עצמי.
תחושה זו תלווה אותו כל חייו ותהפוך אותו לאדם בריא, חברתי ומאושר יותר.
לעומת זאת, אם צרכים אלה לא נענים, התינוק חווה מצוקה, חסך וכמיהה לשלמות עצמית.
בעקבות כך הוא יגדל ויהפוך לילד תלותי, המחפש חיזוקים בסביבתו לעצמיותו.
משם קצרה הדרך להפיכתו למבוגר אנטי-חברתי, המחפש תמידית אחר האושר, אך מתקשה להגדירו.
לידלוף תולה את תחלואות החברה המערבית, ובהן בעיקר הניכור והאלימות, באופן בו גדלים בה ילדים, המרוחק מאוד מן "הדרך הטבעית" לשיטתה.
היא טוענת כי אנשים שחיפשו בילדותם חיזוקים לעצמיותם, ולא הרגישו נאהבים ושלמים עם עצמם, יהפכו לבסוף לאנשים תלותיים ואלימים, בעלי נטייה להתמכרות.
לדברי לידלוף, גידול תינוקות באופן המנוגד לעקרון הרצף, מביא אותם לפצות את עצמם באופן מיידי ואף בהמשך חייהם, באופן הפוגע בהם מנטלית וחברתית, ובסופו של דבר עלול לגרום להם להפרעות אישיות.
כדי לקיים את 'עקרון הרצף' באופן מעשי, ממליצה לידלוף על הקפדה על הכללים הבאים:
מיד לאחר היוולדו של התינוק, עליו להיות צמוד לאמו, חבוק בזרועותיה או נתון במנשא.
עליה לשאתו על גופה בכל עת, או להבטיח כי מטפל אחר יישא אותו על גופו במקומה, בזמן שאינה יכולה לעשות כן (בעת מקלחת או עשיית צרכים).
פעולה זו נועדה לאפשר לתינוק לראות ולהרגיש את אמו בכל רגע, לישון עליה ולינוק ממנה, עד הגיעו לגיל בו הוא מסוגל להתרחק ממנה על פי בחירתו (לרוב בגיל 6 עד 8 חודשים).
אפשר להתחלק במשא עם מבוגר אחר כמו האב או מטפלת קבועה, ואף לארגן קבוצת אמהות למפגשים של כמה פעמים בשבוע, שיישמו את עקרון הרצף, כפי שהוא מיושם בשבט המורחב.
על התינוק לישון במיטת אמו כשהוא צמוד אליה כל העת, עד שיבקש לישון במיטה משלו (לרוב בגיל שנתיים).
הוא יעזוב כאשר ירגיש בטוח לגמרי במעמדו ובמקומו אצל הוריו, וידע שתמיד יתקבל בזרועות פתוחות.
יש להניק את התינוק (ולא להאכילו בתחליפי חלב אם) בכל רגע שיחפוץ.
יש להגיב מיד לכל תנועה או קול של התינוק (כמו בכי, חוסר שקט, התפתלות וכדומה) ללא שפיטה, כעס או שלילה של צורכי התינוק, אך גם להימנע מהפגנת דאגה מופרזת כלפיו, או הפיכתו למרכז העניינים.
על האם ושאר המטפלים בתינוק להתייחס לצרכיו החברתיים, לראות בו חלק בלתי נפרד מהם, ולהכיר בהיותו רצוי וראוי.
זמן קצר לאחר פרסום ספרה של לידלוף, זכתה שיטת עקרון הרצף להתעניינות רבה, והיא אומצה בידי אמהות רבות, בעיקר בארצות הברית.
הספר תורגם לשפות רבות, והשיטה מצאה לה מקום גם באירופה.
בשנים האחרונות התגבשו קהילות תומכות של נשים המגדלות את ילדיהן על פי עקרון הרצף, וכן פורומים לתמיכה וייעוץ באינטרנט עבור המבקשות לנהוג על פי השיטה בגידול ילדיהן.
ספרה של לידלוף תורגם לעברית בשלהי שנות ה-90, דבר שחשף את השיטה לקהל רחב יותר בישראל.
מהלך מעניין שנצפה הוא שיבתן של נשים ממוצא אתיופי לגדל ילדים בגישה המסורתית הנהוגה במשפחתן, הדומה מאוד לעקרון הרצף.
בצד לא מעט מצדדים נלהבים ב'עקרון הרצף', הועלו טענות רבות נגדו, כשהעיקרית בהן היא הטענה שהשיטה ישימה רק בחברה הילידית ולא מתאימה לחברה המודרנית.
הסיבות לכך הן שבחברה הילידית מתקיימים תנאים בסיסיים, כמו חיים בשבט בו החברים מסייעים לאם, או העובדה שהאם אינה נאלצת לצאת לעבוד כדי לפרנס.
כן נטען שלידלוף איננה אנתרופולוגית, ולפיכך אין בידיה הכלים הבסיסיים לבצע מחקר ראוי, ולאבחן באופן מדעי והשוואתי את הסיבות האמיתיות לאושרם של ילדי ההיקואנה (האם הם באמת מאושרים?
אם כן, יש לבדוק האם הסיבות לכך עשויות להיות אחרות, למשל: סוג האוכל ממנו הם ניזונים, שלוות הנפש של הג'ונגל או הקשר ההדוק שלהם עם אביהם).
טענה נוספת שהועלתה נגד השיטה היא שלידלוף הגתה בכוונה שיטה קיצונית, כדי להוות משקל נגד גישות החינוך הנוקשות שרווחו בשנות ה-70, לפיהן כל מתן תשומת לב מעבר להאכלה ולצרכים בסיסיים הוא פינוק.
בראיונות שנערכו עמה לא הסתירה לידלוף כי גדלה בבית קר ומנוכר, שנוהל על פי גישות חינוך כאלו, וכי אמה מנעה ממנה ומאחותה כל יחס אוהד ואוהב.
נגד לידלוף אף נטען ששיטתה נועדה לגרום רגשות אשם לאם המערבית, וכן כי לא ייתכן שאישה כמוה, שלא התנסתה מימיה באמהוּת, תלמד אחרות כיצד לגדל את ילדיהן.
במקביל יצאו ארגונים פמיניסטים נגד השיטה, בטענה שהיא מחזירה נשים הביתה למשך חודשים ואפילו שנים, דבר הפוגע ביכולתן לשמש בעמדות השפעה בחברה.
עקרון רצף הפאונה הוא אחד מעקרונות היסוד בגאולוגיה המשמשים לקבוע את גילן היחסי של שכבות סלעי משקע ואת זמן ואופן היווצרותן על-פי המאובנים המצויים בהם.
העיקרון נקבע בעבודתו של הגאולוג האנגלי בן המאה ה-18 – ויליאם סמית, והוא גורס כי קבוצות ומינים של בעלי חיים – שעברו שינויים אבולוציוניים מתמידים והדרגתיים – ירשו אלה את אלה ברצף מוגדר במהלך ההיסטוריה של כדור הארץ.
רצף זה מתבטא במאובנים המצויים בסלעי המשקע המרכיבים את השכבות.
העיקרון דן במאובנים המופיעים בסלעי משקע ומניח כי אוכלוסיות שונות התקיימו באותה עת בכל כדור הארץ, וכי נוכחותן או היעדרן מצביעים על זמן היווצרותו של הסלע.
פיתוח העיקרון מיוחס לוויליאם סמית, שהבחין כי מיני המאובנים שמצא השתנו ברצף אנכי של שכבות סלע, ובעיקר: אותם מאובנים נמצאו בשכבות אופקיות במקומות שונים.
בהשתמשו במאובנים שאסף מסלעים במרכז אנגליה, יכול היה סמית לנבא את רצף השכבות והמאובנים בחלקים אחרים שלה.
ההבנה כי מאובנים משתנים באופן עקבי לאורך הרצף הסטרטיגרפי יכולה להתרחב לעולם כולו.
סמית היה מודד וגאולוג אנגלי נודע, בעיקר בשל מחקריו בסטרטיגרפיה, קביעת גילן של שכבות סלע ויצירת היסוד לבניית לוח הזמנים הגאולוגי.
הוא צבר ניסיון סטרטיגרפי מגוון במהלך פיקוח על חפירת תעלות, והבין כי ניתן למצוא השתכבות סדירה של סלעים.
עוד הבחין, כי אותם מאובנים שהופיעו בשכבות סלע מסוימות – חזרו על עצמם באותו סדר במקומות אחרים.
סמית גם הבחין כי מאובנים שהופיעו בשכבות סלע מסוימות – לא הופיעו באחרות.
חשדו – כי מבנה שכבות שלמד להכיר במקום אחד יימצא גם במקום אחר – התאמת כאשר פגש בשכבות המוכרות שוב ושוב.
עם תחילת חפירתה של תעלה חדשה מצא סמית – שבחן את החתכים החדשים – כי:
סמית היה הראשון להכיר בהבדל בין ליתוסטרטיגרפיה – אפיון שכבות סלע באמצעות סוג הסלעים וסידורם וכן הרכבם המינרלוגי, לבין ביוסטרטיגרפיה – אפיון השכבות על-פי תוכנן הביולוגי.
לפי סמית ניתן שווי ערכי לזיהוי שכבות סלעי משקע בשתי השיטות: גם באמצעות גבישי המינרלים מהם הורכבו הסלעים וגם באמצעות שרידיהם של יצורים שחיו בעבר.
סמית עשה הבחנה רעיונית בין המקורות הליתולוגיים והפלאונטולוגיים של מידע סטרטיגרפי באמצעות ניתוח זהיר של המאובנים המצויים בסלעים, והראה כי סלעים בעלי תכונות ליתולוגיות דומות עשויים להיות שונים זה מזה במרכיביהם המאובנים.
יתרה מזו, סמית הראה כי יצורים מאובנים שנשמרו בשכבות סלעי המשקע של מרכז בריטניה נכחו תמיד באותו רצף, ולא משנה מה אופיו של הרצף הליתולוגי במקום.
באמצעות יישום העיקרון על תצפיותיו הביוסטרטיגרפיות יכול היה סמית לא רק לנבא בדיוק רב את סוג הסלע בו נמצאו המאובנים, אלא גם ליצור מפה גאולוגית כלל-ארצית ראשונה לאנגליה, ויילס וסקוטלנד – המפה הגאולוגית המודרנית הראשונה מסוגה.
חוקר הטבע הצרפתי ז'ורז' קיווייה קיבל את תצפיותיו של סמית בעניין רב, והציע כי סלעים בצרפת המכילים מאובנים דומים לסלעים בני-גילם באנגליה שהכילו אותם מאובנים.
מכאן נולד הרעיון כי סוגים מסוימים של מאובנים התקיימו במשך תקופת-מה בכדור הארץ, וכי שכבות סלע המכילות אותם מתואמות במקומות שונים בעולם – גם אלה הנמצאים מרחק רב זה מזה ומופרדים באמצעות תעלות או הרים.
הידיעה מתי התרחשו דברים במהלך ההיסטוריה הארוכה של כדור הארץ הפכה קלה יותר לאחר ויליאם סמית.
העיקרון מבוסס על העובדה כי שכבות סלעי משקע מכילות מאובנים של צמחים ובעלי חיים, וכי מאובנים אלה עוקבים אנכית בסדר ייחודי, אמין וניתן לזיהוי על-פני מרחק רב.
למשל, עצם מאובנת של ניאנדרטל לא תימצא בשכבה בה נותר מאובן של ברכיוזאורוס, מאחר ששני המינים חיו בתקופות גאולוגיות שונות המרוחקות זו מזו מיליונים רבים של שנים.
הבנה זו מאפשרת לזהות ולתארך שכבות באמצעות המאובנים הנמצאים בהן.
עיקרון זה בעל חשיבות רבה לקביעת הגיל היחסי של שכבות סלעים.
תוכן המאובנים של סלע ביחד עם עקרון הסופרפוזיציה מאפשרים לקבוע את רצף הזמן בו הורבדו שכבות סלעי משקע:
מאובנים – שכבות סלע מסוימות הכילו סוגים מסוימים של מאובנים.
רצף שכבות סלע – בהתבססו על עקרון הסופרפוזיציה – הקובע כי כל שכבה צעירה מזו שתחתיה – הבין סמית כי ככל ששכבת הסלע עתיקה יותר, כן יהיו עתיקים המאובנים המצויים בה.
מאובן זר – מחקר המאובנים ושכבות הסלע הובילו את סמית להיות מסוגל להבחין בין שכבות של סלעים דומים באמצעות הרכב (קבוצות) המאובנים הנוכחים בה.
סלעים שנראו דומים עשויים היו להכיל אותם מאובנים בדיוק, להוציא מין אחד.
סמית יכול היה לייחס את השכבה למקום או זמן מסוימים – תלוי אם המין הזר היה פשוט או מורכב יותר מהמאובנים האחרים שסביבו.
סמית תיאר את ממצאיו: "כי הייתה זו ההבחנה החביבה שנדרשה לסלעים דומים אלה שהובילה אותי לגילוי השרידים האורגניים הייחודיים לכל שכבה".
סדר מוגדר – העיקרון קובע כי מאובנים נוצרים בסדר מוגדר ובלתי-משתנה.
תפישה זו משמשת גאולוגים גם היום בלומדם סלעים, לוח-זמנים ואבולוציה.
הסקר הגאולוגי של ארצות הברית (USGS) תימצת את עקרון רצף הפאונה לביטוי: "מאובנים מופיעים ונעלמים בסדר מוגדר".
כלים אלה הביאו לפיתוח הפלאונטולוגיה – המדע העוסק בחקר מאובנים, תוך הגדרת מאובנים מנחים אופייניים למעבר בין תקופות גאולוגיות שונות: נקודות הזמן בהן הופיעו או נעלמו.
הגילוי של סמית יצר מפתח קווי להוכחת תורת האבולוציה הרבה לפני צ'ארלס דרווין שנולד ב-1809. אולם מדובר במאפיין תצפיתי של חתך סטרטיגרפי הנבדל ממנגנון הברירה הטבעית שהציע דרווין להסבר האבולוציה.
תורת האבולוציה מסבירה היטב את המנגנון הסיבתי של רצף הפאונה הנצפה, כפי שהשתמר בסלעים: מאפיינים ביולוגיים קדומים קודמים לגרסאות מודרניות יותר.
למשל, פלאונטולוגים החוקרים את האבולוציה של ציפורים צפו כי הנוצות ייראו לראשונה בצורה פרימיטיבית ביצורים שלא יכלו לעוף, למשל בדינוזאורים מנוצים.
ואכן, זה בדיוק מה שנצפה ברצף המאובנים: את מקומן של נוצות פשוטות, שאינן תומכות בתעופה, ירשו נוצות גדולות ומורכבות.
עם זאת, עקרון רצף הפאונה – שהתפתח בנפרד מתורת האבולוציה – הופך מורכב ליישום ברצועות זמן צרות.
הסיבה: ייתכן שיצורים שהתאבנו חיו במשך זמן רב והם עשויים להימצא במקומות רבים או להיעדר מאזורים שהתרחשו בהם שינויים בסביבת המחיה.
עקרון רצף הפאונה הוא כלי סטרטיגרפי חשוב ומהווה בסיס ללוח הזמנים הגאולוגי.
תנאי אקלים ותנאים אחרים בהיסטוריה של כדור הארץ יכולים להילמד באמצעות קבוצות עוקבות של צמחים ובעלי חיים, מאחר שהם משקפים את סביבתם.
שימוש בעקרון ובדגימות סלע מרחבי העולם מאפשר לגאולוגים לכתוב את ההיסטוריה הגאולוגית של אזורים מסוימים ושל כדור הארץ כולו, ולבנות לוח זמנים גאולוגי על בסיס ביולוגי המתחיל בקמבריון, כאשר מופיעות קבוצות של מאובני בעלי חיים בתיעוד הגאולוגי.
סמית עצמו השתמש בעקרון, ועל-פי גודלם וסוגם של המאובנים הגדיר סמית שלושה עידנים גאולוגיים חשובים:
פלאוזואיקון – עידן בעלי החיים הקדומים
מזוזואיקון – עידן בעלי החיים התיכוניים
קנוזואיקון – עידן בעלי החיים החדשים
בבסיס העיקרון מונחת ההבנה כי השכבות של סלעי משקע בכל מקום נתון מכילות מאובנים ברצף מוגדר.
אותו רצף יכול להימצא בסלעים בכל מקום אחר, ולכן שכבה יכולה להימצא בהתאמה בין שני המיקומים.
העיקרון עדיין מצוי בשימוש היום, אם כי בשינויים אחדים.
למשל: כמה מיני מאובנים עשויים שלא להיות נפוצים בפרישה רחבה, ולכן אינם יכולים לשמש לצורך התאמה רחבת-טווח.
עקרון התכלילים והמרכיבים, הנקרא גם "יחסי היכללות", הוא אחד מעקרונות הסטרטיגרפיה המשמשים לקבוע את גילן היחסי של שכבות סלע ואת זמן ואופן היווצרותן.
מהות העיקרון: כל גוף או חלקיק הנכלל בסלע – קדום ממנו.
עיקרון זה – כרבים מעקרונות היסוד בגאולוגיה – פותח על ידי ניקולאוס סטנו והורחב מאוחר יותר על ידי ג'יימס האטון.
העיקרון דן בשני סוגים של גופים וחלקיקים הכלולים בסלעים:
חלק זה של העיקרון דן בסלעים המכילים גופים זרים, שנוצרו לפני היווצרות הסלע עצמו:
קסנולית – משמעות המילה ביוונית: "קסנוס" – זר ו"ליתוס" – אבן, כלומר: אבן זרה.
קסנולית הוא סלע שנעטף על ידי סלע בהרכב אחר.
במרבית המקרים מדובר במאגמה הנקרשת מסביב לסלע הזר בתא מאגמה או בצינור הזנה.
אוטולית – סלע הנעטף על ידי סלע בהרכב דומה.
במקרה זה יכול סלע – למשל בזלת – להיעטף על ידי זרם של לבה בזלתית, שייקרש סביבו ויכיל אותו.
קסנוקריסט – גביש של מינרל הנכלא בתוך סלע במהלך היווצרותו, אך אינו מהווה חלק מהרכבו.
דוגמה: יהלום הנישא על ידי קימברליט מן המעטפת אל מחוץ לקרום.
חלק זה של העיקרון דן בסלעי משקע קלאסטיים, וגורס כי החלקיקים המרכיבים סלעים אלה קדומים לסלעים עצמם.
סלעים אלה – הנקראים גם סלעים דטריטיים – הם סלעים המורכבים משברים וחלקיקים של סלעים קודמים.
קונגלומרט – סלע המורכב מחלוקים מעוגלים, גדולים מ-2 מ"מ – שברי סלעים שעברו בליה, הסעה, השקעה והתקשות.
החלקיקים המעוגלים מציינים כי הקונגלומרט נוצר הרחק מן המקום בו נשברו הסלעים, וכי שברים אלה נסחפו לשם והתעגלו בדרכם.
ברקציה – סלע הדומה באופן היווצרותו לקונגלומרט, אך בניגוד לו בנוי מחלקיקים זוויתיים ולא מעוגלים.
החלקיקים הזוויתיים מציינים כי הברקציה נוצרה במקום בו נשבר הסלע הקודם או בסמוך לו.
אבן חול – סלע הבנוי מחלקיקים בגודל שבין 2 מ"מ ל-1/16 מ"מ, בעיקר מהמינרלים קוורץ, פצלת השדה ומינרלי חרסית.
בכל המקרים הללו, החלקיקים המרכיבים את הסלע קודמים לו.
בגאומטריה, עקרון קאוואליירי מספק דרך להראות כי לשני גופים גאומטריים יש אותו השטח או הנפח.
ביתר פירוט העיקרון קובע כי:
במישור הדו־ממדי – נניח כי שתי צורות מצויות בין שני ישרים מקבילים.
אם כל ישר המקביל לשני ישרים אלה חותך את שתי הצורות בקטעים באורך זהה, אזי שתי הצורות בעלות שטח זהה.
במרחב התלת־ממדי – נניח כי שני גופים מצויים בין שני מישורים מקבילים.
אם כל מישור המקביל לשני מישורים אלה חותך את שני הגופים בחתכים מישוריים בעלי שטח זהה, אזי שני הגופים בעלי נפח זהה.
העיקרון נקרא על שם המתמטיקאי האיטלקי בונאוונטורה קאוואליירי שהציג אותו ב־1635 והשתמש בו למציאת שטחיהם ונפחיהם של גופים רבים.
עם זאת המתמטיקאי הסיני דְזוּ גֶנְג עשה בו שימוש עוד ב למציאת הנוסחה לנפח כדור.
קאוואליירי קבע את נכונות העיקרון בהסתמך על ראיית החתכים כגופים בעלי עובי אינפיניטסימלי שסכום שטחיהם או נפחיהם שווה לשטח או נפח הגוף כולו.
הבחנה זו נחשבת לצעד חשוב בהיסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי בדרך לאינטגרציה.
מכיוון שהחשבון האינפיניטסימלי טרם פותח באותה העת, ובהיעדר הגדרה פורמלית לשטח ונפח, הוכחה ריגורוזית של העיקרון לא הייתה בגדר האפשר בתקופתו של קאוואליירי.
באנליזה מתמטית מודרנית עקרון קאוואליירי מתקבל כמסקנה של משפט פוביני.
רעיונותיו של קאוואליירי על חתכים אינפיניטסימליים הובילו אותו בין השאר לגילוי הנוסחה המוכרת לאינטגרציה של מונומים (פונקציות מהצורה ), הידועה כיום כנוסחת האינטגרציה קאוואליירי.
שיטת בעלי התוספות להוכיח ששטח העיגול שווה לשטח משולש שרוחב בסיסו כהקף המעגל וגובהו כרדיוס המעגל.
החלק הראשון הוא הכללת העיקרון לקוים עקומים, והחלק השני הוא שימוש בעקרון (שבדרך־כלל לא נדרשים לו בהוכחת שטח משולש).
ניתן לדמות את שטח העיגול כמורכב מאינספור טבעות קונצנטריות (בעלות מרכז משותף).
הקפי הטבעות גדלים ביחס ישר למרחקן (רדיוסן) ממרכז המעגל.
לפיכך, ניתן "לפרק" את העיגול ליצירת משולש שוה־שוקים שבסיסו וגבהו , כלומר שטחו .
נתונה ציקלואידה הנוצרת על ידי מעגל מתגלגל (ללא החלקה) שרדיוסו .
נמתח שני ישרים מקבילים אופקיים המשיקים למעגל.
המעגל יכול להתגלגל בשני האופנים הבאים: הוא יכול להתגלגל ימינה על הישר התחתון בכיוון השעון, ויכול להתגלגל ימינה כנגד כיוון השעון על הישר העליון (המעגל נמצא תחת הישר העליון, ומתנהג כאילו הוא מתגלגל הפוך על תקרה).
בשני המקרים נגלגל את המעגל חצי סיבוב.
כל אחד מצורות הגלגול יוצרת ציקלואידה, ושתי הציקלואידות נפגשות בקצוות ויוצרות צורה סגורה.
לא משנה כיצד מגלגלים את המעגל, בשני המקרים לאחר שהוא יעבור זווית מסוימת הוא יימצא באותו מקום, ולכן מכיוון שהנקודות המתוות את הציקלואידה בשני המקרים התגלגלו אותה זווית, הן יהיו באותו הגובה.
הקו המחבר את שתי הנקודות מקביל לשני הישרים עליהם מתגלגלים, ומכיוון ששתי הנקודות מצויות על המעגל המתגלגל, הישר המחבר אותן הוא מיתר במעגל המקביל לישרים.
לכן לפי עקרון קאוואליירי השטח בין הציקלואידות שווה לשטח המעגל.
קיבלנו שהשטח בין הציקלואידות הוא .
שטח המלבן החוסם את שתי הציקלואידות (המסגרת של האיור) הוא .
כלומר השטח בין הציקלואידות הוא מחצית שטח המלבן.
מכאן ששטח כל אחד מהחלקים במלבן שמעל ומתחת לציקלואידות הוא .
נחבר את השטח שמתחת לציקלואידה התחתונה ונכפיל ב־2 לקבלת השטח מתחת לציקלואידה שלמה (שכן עסקנו עד כה רק בחצאי ציקלואידה):
לפי עקרון קאוואליירי לכל הפירמידות שיש להן אותו הגובה ולבסיס שלהן אותו השטח, יש נפח זהה.
הבסיס אפילו אינו חייב להיות מצולע (למשל אם הוא מעגל הפירמידה היא חרוט).
נתונה פירמידה ששטח בסיסה וגובהה .
מהגדרת הפירמידה, כל חתך מישורי דרכה המקביל לבסיסה, דומה לבסיסה.
מכיוון שהפירמידה מוגדרת על ידי מתיחת קווים ישרים, יחס הדמיון משתנה ביחס ישר לגובה החתך מעל הבסיס.
למעשה אם גובה החתך מעל הבסיס הוא אז יחס הדמיון הוא .
מתכונות יחס הדמיון ידוע לנו שהיחס בין שטח החתך לשטח הבסיס נתון על ידי ריבוע יחס הדמיון.
כלומר שטח החתך הוא .
קיבלנו ששטח חתך מישורי של פירמידה המקביל לבסיס תלוי רק בשטח הבסיס, גובה הפירמידה וגובה החתך.
נמקם את שני הבסיסים של שתי פירמידות עם אותו שטח בסיס וגובה, על אותו מישור, ונעביר מישור נוסף מקביל לו דרך קודקודיהן.
לפי התכונה שהוכחנו זה עתה, לכל חתך מישורי מקביל למישורים אלו שנעביר דרכם, יתקבל חיתוך עם שטח זהה לכל אחד מהגופים.
לכן לפי עקרון קאוואליירי נפח שתי הפירמידות זהה.
כעת ניתן להסיק את הנוסחה לנפח פירמידה כלשהי.
כפי שאוקלידס הוכיח, כל מנסרה משולשת (בעלת בסיס משולש) ניתן לחלק לשלושה ארבעונים (פירמידות עם בסיס משולש), כך שלמנסרה ולשלושת הארבעונים אותו שטח בסיס וגובה.
לפי השקילות שהוכחנו, לכל שלושת הארבעונים אותו הנפח, ומכאן שנפח הארבעון הוא שליש נפח המנסרה.
אם לארבעון ולמנסרה יש בסיס ששטחו וגובה , אז נפח הארבעון הוא .
מכיוון שהוכחנו שלכל פירמידה עם שטח בסיס וגובה זהים יש אותו נפח, זוהי נוסחה כללית לנפח של כל פירמידה.
למעשה הוכחת התוצאה הזו מחייבת את השימוש בעקרון קאוואליירי או בטיעון אינפיניטסימלי דומה.
שכן פתרון הבעיה השלישית של הילברט קובע שלא ניתן להוכיח שוויון נפחים של פירמידות (אפילו עם בסיס מצולע) על ידי פירוק סופי לפאונים חופפים.
קושי שכזה לא מופיע במקרה של שטחים במקום נפחים.
בשרטוט נתון גליל שרדיוס בסיסו וגבהו , ובתוכו חסום פרבולואיד קטום שקדקדו משיק למרכז בסיסו התחתון של הגליל וצדו הקטום הוא בסיסו העליון של הגליל.
לאחר הסרת נפח הפרבולואיד החסום מנפח הגליל מתקבל "גליל מנוקב".
כמו כן נתון פרבולואיד קטום , שמידותיו זהות לקודמו אך קדקדו וצדו הקטום התהפכו.
לכל נקודת גובה , שטח חתך הרוחב המעגלי של הפרבולואיד שוה לשטח חתך הרוחב הטבעתי
לפיכך נפחי שני הגופים זהים.
כלומר נפח פרבולואיד קטום שוה למחצית נפח הגליל החוסם אותו.
מכיוון ששטחו של עיגול ברדיוס הוא , מקבלים מהסעיף הקודם שנפח חרוט שגובהו הוא .
באמצעות עובדה זו ועקרון קאוואליירי ניתן למצוא את נפחו של כדור.
נמקם גליל שרדיוסו וגבהו כאחד כך שבסיסו התחתון שוכן על אותו מישור עם מעגל גדול של הכדור (כמודגם באיור).
נגדיר חרוט ישר כך שבסיסו הוא הבסיס העליון של הגליל וקודקודו שוכן על הבסיס התחתון של הגליל.
לאחר הסרת נפח החרוט החסום מנפח הגליל מתקבל "גליל מנוקב".
נבחן חתך מישורי העובר דרך הכדור והגליל המנוקב וגובהו מעל הבסיס התחתון של הגליל המנוקב הוא .
נחשב את שטח החיתוך של המישור עם כל אחד משני הגופים.
חיתוך החתך עם הכדור הוא מעגל, שלפי משפט פיתגורס רדיוסו , ולכן שטחו .
מצד שני, חיתוך המישור עם הגליל המנוקב הוא טבעת הנוצרת על ידי הסרת עיגול החיתוך של המישור עם החרוט, מעיגול החיתוך של המישור עם הגליל.
רדיוס עיגול החיתוך של החרוט הוא (שכן רדיוס וגובה החרוט זהים, ומכאן שגבולות החרוט מצויים בזווית 45 מעלות עם הגובה, ויוצרים משולש שווה-שוקיים ששוקיו ), ואילו רדיוס עיגול החיתוך של הגליל הוא .
מכאן ששטח הטבעת הוא .
קיבלנו שכל חתך מישורי המקביל לבסיס הגליל חותך את שני הגופים בשטח זהה, ולכן לפי עקרון קאוואליירי נפחי הגופים זהים.
מכאן שנפח חצי הכדור הוא כנפח הגליל המנוקב.
נפח הגליל המנוקב מתקבל מהחסרת נפח הגליל מנפח החרוט: .
נפח הכדור כולו הוא פעמיים הנפח הזה, כלומר .
אם לוקחים כדור וקודחים דרכו חור באמצעות מקדח גלילי, הצורה הנוצרת היא מעין טבעת סביב מרכז הכדור, המזכירה בצורתה חובק-מפיות.
בעיית חובק המפיות שואלת מה נפח הטבעת, והתשובה המפתיעה היא שהנפח תלוי רק באורך החור, ולא ברדיוס הכדור.
נתון כדור ברדיוס , ובתוכו חוסמים גליל שגבהו .
"חובק המפיות" שאת נפחו אנו מחשבים הוא הנפח שבתוך הכדור ומחוץ לגליל ולחלקי הכדור (שצורתם כיפה) שמעל ומתחת לגליל.
חובק המפיות הוא למעשה הנפח סביב החור הגלילי.
ממשפט פיתגורס נקבל שרדיוס הגליל הוא .
נבחן חתך מישורי דרך חובק המפיות שעובר בגובה מעל המעגל הגדול של הכדור המקביל לבסיס הגליל ("קו המשווה" של הכדור).
שטח החיתוך יהיה טבעת השווה לשטח החיתוך עם הכדור פחות שטח החיתוך על הגליל.
שטח החיתוך עם הכדור ידוע לנו מהסעיף הקודם, ולכן נקבל:
זהו בדיוק שטח החיתוך של חתך מישורי בגובה עם כדור שרדיוסו מעל המעגל הגדול שלו.
לכן לפי עקרון קאוואליירי לחובק המפיות יש נפח זהה לנפח כדור זה:
נשים לב כי נפח זה כלל לא תלוי ברדיוס הכדור, כלומר נפחם של כל חובקי המפיות מאותו גובה תמיד זהה, ללא קשר לגודל הכדור.
עיקרון קליעת הרעים הוא עיקרון בקולנוע וטלוויזיה הקובע שבמהלך סצנת לחימה כלשהי, היריבים ביצירה הבדיונית יופעלו לפי דרישות העלילה, ללא קשר ליכולות שלהם, ההכשרה שלהם והמוניטין שלהם.
לדוגמה, צלפים בסרטי פעולה לעיתים קרובות יורים רע מאוד וכמעט שלא פוגעים בדמויות הראשיות.
בדרך כלל הם מסוגלים לפגוע במטרה רק אם היעד הוא חסר ערך משמעותי בעלילה או אם מותה של הדמות יקדם את העלילה.
המונח הופיע לראשונה בשנת 1980, על ידי מבקר הקולנוע רוג'ר איברט בספר "מילון מונחים קטן לסרטים".
העיקרון פועל בדרך כלל במערבונים, סרטי פעולה, סרטי אמנויות לחימה וגם בספרי קומיקס.
העיקרון מושם ללעג לעיתים קרובות על ידי מבקרים, סאטיריקנים ומעריצים.
איברט עצמו הירבה להשתמש במונח בביקורות שלו.
בטרילוגיית "מלחמת הכוכבים" המקורית, לחיילי הסער ("Imperial Stormtroopers") יש עדיפות מספרית מכריעה, חינוך צבאי והכשרה מקצועית, שריון מלא ועוצמת אש גבוהה.
בשלב מסוים בסרט "מלחמת הכוכבים - פרק 4: תקווה חדשה", אובי ואן קנובי מעיר על האפקטיביות שלהם ללוק סקייווקר "אלה נקודות הפיצוץ...
רק חיילי האימפריה מדויקים כל כך." למרות זאת, חיילי האימפריה נראים כחסרי יכולת להביס את גיבורי הסרט.
אבסורד זה מתבטא באופן בולט בסרט "מלחמת הכוכבים - פרק 6: שובו של הג'דיי" בו גזע גמדים פרימיטיביים (האיווק) מביס לגיון מובחר שלם של חיילי האימפריה המצויד בנוסף לרובים ושריון גם בהלכני סיור מדגם AT-ST.
עיקרון זה יכול לחול גם על קרבות אוויר.
ב"משהו משהו משהו הצד האפל" (גרסה פארודית של "איש משפחה" על "מלחמת הכוכבים - פרק 5: האימפריה מכה שנית"), מעיר פיטר גריפין (שמשחק את האן סולו) כאשר רודפים אחריהם דרך שדה אסטרואידים "תראה, יש לנו את ארבע או חמש הדמויות המרכזיות בספינה הזאת, אני חושב שנהיה בסדר".
באותה פרודיה, כאשר הם בורחים מעיר הענן, חיילי פלוגות הסער שרודפים אחריהם שואלים את עצמם "האם אי פעם פגענו במשהו ברובים האלה?" ואחד החיילים מגיב לכך ב"אני פגעתי בציפור אחת".
במשחק התפקידים "GURPS" מופיעה התייחסות ל"בית הספר לקליעה לחיילי האימפריה", שבוגריו הם באופן בלתי מוסבר מחטיאנים כרוניים: "הנאצים ב'אינדיאנה ג'ונס ומסע הצלב האחרון' בטוח למדו את כל ההכשרה שלהם בבית הספר לקליעה לחיילי האימפריה".
למשל, המשחק כולל מערכת כללים אופציונלית שכותרתה "האקדמיה לקליעה לחיילי האימפריה" ונועדה להקל על משחק עם מספר גדול של דמויות חסרות יעילות.
איברט מתייחס גם לחוק התקפת אחד-אחד אחד ב"בכל מצב שהגיבור לבדו, מוקף בעשרות מהרעים, הם תמיד, בצייתנות, יתקפו אותו אחד בכל פעם".
החוק הוא כמעט מסורת בסרטי אמנויות לחימה רבים.
במהלך קרב טיפוסי, הגיבור ילחם נגד יריב אחד.
מיד לאחר שהאיש המסוים יועף החוצה, אחד מהאויבים האחרים יתקוף.
האויבים העודפים יקיפו את הזוג שנלחם תוך שימוש במגוון מרשים של תנוחות מפחידות, המעידות על נכונות להילחם בהתראה של שנייה, אך לא יעזרו לתוקף הנוכחי לתקוף את הגיבור.
הסיבה בעולם האמיתי לכך היא שאם הגיבור "יותקף" מכל הצדדים על ידי אויבים בעת ובעונה אחת, משימת הצילום נעשית קשה עבור הבמאי כדי שהוא גם יוכל לצלם את הקרב ועדיין השחקנים יוכלו "להילחם" בחופשיות.
ב"Fist of the North Star", סרט פעולה מבוסס מאנגה משנת 1995, נלקח החוק לקיצוניות בסצנה בה מנצח הגיבור מעל שלושים גברים בטווח של כמה דקות, כאשר רובם המכריע תקף אותו אחד בכל פעם.
ב"אוסטין פאוורס - גולדממבר", מוחזק אביו של אוסטין פאוורס, נייג'ל, בשבי על ידי ד"ר רשע.
נייג'ל מחסל במהירות את השומרים, וכאשר הם מתחילים להקיפו הוא מורה להם להפסיק ואומר, "נו, בחייכם, זהו יומכם הראשון בעבודה?
כל אחד יתקוף אותי, אחד בכל פעם, ואני אוריד אותו באגרוף אחד".
הם עושים כן, והוא מוריד אותם בזה אחר זה.
עיקרון זה מופיע גם במערכון של "סאטרדיי נייט לייב" משנת 1993 "Ninja Pep Talk".
בין מספר עצות, מנהיג קבוצת הנינג'ות מזכיר לנינג'ות לתקוף "כולם בבת אחת", ולא "אחד בכל פעם", ומבהיר זאת באמצעות דיאגרמות שהוא משרטט על לוח.
טרי פראצ'ט מזכיר באופן הומוריסטי את הכלל בהקדמה לספרו משנת 1989, "שומרים!
שומרים!", וקובע שתפקידם של השומרים בפנטזיה היא "לתקוף את הגיבור, אחד בכל פעם, ואז להישחט".
אף על פי שבדרך כלל נינג'ות מתוארים כלוחמים כמעט בלתי מנוצחים (ובמיוחד כאשר הם הגיבורים של הסיפור), הנינג'ות לעיתים קרובות גם מתוארים להפך, כבשר תותחים המחוסלים על ידי דמות הגיבור, ובמיוחד כאשר הוא נינג'ה בעצמו.
כך, בבידור מודרני הוכיחו הנינג'ות שהם גם "חולצה אדומה" שמתכלה כאשר הם תוקפים במספרים גדולים, אך כלוחמים ביחידות הם כמעט בלתי פגיעים (דבר שהופיע לעיתים קרובות בניגוד).
למעשה גישה זו נפוצה, הגיבורים, שהם קבוצה קטנה של נינג'ות או נינג'ה אחת, לעיתים קרובות מביסים בקלות גלים של נינג'ות אך יש להם בעיה הרבה יותר גדולה כאשר הם ניצבים מול נינג'ה מוכשר יותר ויחיד (למשל בסרטי הקולנוע "צבי הנינג'ה" ו"נינג'ה קיד").
ההסבר כיצד תיאור זה עולה בקנה מידה אחד לכאורה מוסבר בצחוק באמצעות "חוק הנינג'ה הופכי" הציני (המכונה גם "חוק השימור של נינג'וטסו" או "חוק הפחתת נינג'ות"), אשר קובע כי הנינג'ות חלשים כאשר הם בקבוצות גדולות ומתחזקים ככל שמספרם מתמעט.
עקרון קרוג הוא עקרון המבוסס על רעיון של הפיזיולוג הדני אוגוסט קרוג, שסבר כי לכל נושא מחקר בפיזיולוגיה קיימת חיית ניסוי מתאימה המאפשרת השגת ממצאים בצורה יעילה.
אוגוסט קרוג, שהיה מומחה בפיזיולוגיה השוואתית של בעלי החיים, הפגין במחקריו יכולת יוצאת דופן לבחור בעלי חיים מתאימים על מנת לבחון את השערותיו המדעית.
לפי עקרון קרוג יש לבחור בחיית הניסוי בהתאם לתכונות המיוחדות, הבלתי רגילות, שלה.
השם "עקרון קרוג" נקבע בצורה פורמלית על ידי החוקר הנס אדולף קרבס בשנת 1975.
מושג זה הוא מרכזי בענפים ביולוגיים המתבססים על השיטה ההשוואתית, כמו נוירואתולוגיה, הפיזיולוגיה ההשוואתית או הגנומיקה הפונקציונלית.
בשנת 1929 הכריז אוגוסט קרוג כי במקרים רבים, מחקר בסוגיה פיזיולוגית מפיק תועלת משימוש בבעל חיים מתאים או בקבוצת בעלי חיים.
עוד בשנת 1865 כתב אבי הרפואה הניסויית, קלוד ברנאר ב"מבוא לחקר הרפואה הניסויית" ("Introduction à l'étude de la médecine expérimentale") בעמוד 27:
בשנת 1929 הביא קרוג דוגמה מהמחקרים שערך יחד עם כריסטיאן בוהר בתחום הפיזיולוגיה של נשימה:
לדוגמה, בשנות ה-1970 קבוצת פיזיולוגים שחקרו את הנשימה האווירנית של סרטנאים נתקלו בקשיים מפני שה"סרטן של הגאות ושפל" שעמד לרשותם היה קטן מדי.
אז ארגנו מסע מחקר לאיי פלאו בדרום האוקיינוס השקט, שבהם חי סרטן הקוקוס, מין סרטן ענק יבשתי, העשוי לשקול עד שלושה קילוגרם.
גודלו של סרטן זה אפשר למדענים לאסוף נתונים חשובים רבים.
דוגמה אחרת היא מתחום חקר תכונות הלב אצל דגים.
המדענים לא יכלו לבצע כרצונם מדידות של לחץ הדם וזרימתו אצל דגי גרם ולקחת מהם דגימות דם מן הלב, בגלל מיקומו המיוחד של הלב.
התגלה כי המשימה קלה יותר אם נעזרים בדגי מעמקים ימיים בשם Triglidae בעלי לב גדול מאוד שהגישה אליו פשוטה יותר.
עקרון הפיצה או קשר הפיצה-סאבווי (Pizza-Subway Connection) הוא "חוק כלכלי" הומוריסטי, אך נכון היסטורית, המצביע על כך שמחיר כרטיס נסיעה ברכבת התחתית של ניו יורק ומחיר משולש פיצה בעיר שמרו על התאמה לאורך השנים.
מחיר הנסיעה ברכבת התחתית עלה דרמטית במהלך המאה ה-20, מאז החלה הרכבת התחתית לפעול בעיר.
ב-1904, עם התחלת השירות, כרטיס נסיעה עלה 5 סנט.
ה"חוק" הוצג לראשונה ב-1980 על ידי תושב העיר, אריק מ' בראם (Eric M.
המונח התפרסם בתקשורת שוב חמש שנים מאוחר יותר, על ידי ההיסטוריון, הסופר ומבקר הקולנוע ג'ורג' פאסל (George Fasel), ושוב בראשית שנות ה-2000, כאשר העיתונאי קלייד הברמן (Clyde Haberman) צפה את עליית מחירי הפיצה בעיר, דבר שאכן התממש.
בתקשורת נתונים, עקרון קצה לקצה הוא עיקרון עיצובי שנוסח באופן מפורש לראשונה בשנת 1981 על ידי ג'רי סלצר , דייוויד ריד ודייוויד קלארק .
עקרון קצה לקצה קובע כי בכל רשת כללית, פונקציות המיועדות למטרות אפליקטיביות ספציפיות צריכות להתממש בצד משתמש הקצה ולא בצומת אמצעי, כל עוד היא יכולה להתממש שם "במלואה ובצורה נכונה".
העיקרון חוזר אחורה עד לעבודתו משנת 1960 של פול ברן להשגת אמינות מרכיבי תקשורת לא אמינים.
האינטואיציה הבסיסית היא שפחות משתלם להוסיף פונקציות לרשת, בעיקר במקרים בהם משתמשי הקצה צריכים לממש אותן בכל מקרה מסיבות של שלמות ונכונות.
נוסף על כן, כאשר מימוש פונקציה מסוימת יגרור קנסות גם אם לא נעשה שימוש בפונקציה, מימושה ברשת יגרור את הקנסות הללו לכלל המשתמשים, גם אם הם לא משתמשים בה.
דוגמה לשימוש בעקרון קצה לקצה היא העברת קבצים אמינה באופן שרירותי בין שני משתמשי קצה ברשת מבוזרת מגודל לא טריוויאלי: הדרך היחידה בה משתמשי הקצה יוכלו להעביר את הנתונים באופן אמין לגמרי היא על ידי שליחת Checksum על כלל זרם המידע, והודעות ACK.
ניתן להצדיק פחות בדיקות שגיאות רק כדי למקסם ביצועים ברשת, ולמרות שהעברת נתונים אמינה חשובה לרוב הצרכים של משתמש ברשת, זה לא מספיק בשביל לממש את בדיקות האמינות ברשת.
נוסף על כן, אם בדיקות שגיאות ממומשות בכל קפיצה בין רכיבי רשת בדרך שעובר המידע בין משתמשי הקצה, עדיין יהיה צורך לממש אותן במשתמשים עצמם, שכן יכולה להיות שגיאה בקפיצה האחרונה (כלומר, אל משתמש היעד).
על כן, Checksum מתבצע במשתמשי הקצה כאשר הם רוצים העברת נתונים אמינה, והרשת שומרת על רמת סיבוכיות נמוכה וזמן ביצוע סביר לכלל המשתמשים.
עקרונות הרפואה הפנימית של הריסון (או: הריסון, עקרונות הרפואה הפנימית; באנגלית: Harrison's Principles of Internal Medicine) הוא ספר לימוד אמריקאי לרפואה פנימית.
הספר נחשב לאחד הסמכותיים בתחומו ומקובל להתייחס אליו כספר הנודע ביותר בעולם הרפואה.
הספר קרוי על שם טינסלי ראנדולף האריסון, רופא פנימאי והעורך הראשי של חמש המהדורות הראשונות.
הספר שמהדורתו הראשונה ראתה אור ב-1950 נדפס במהדורות רבות ומתעדכנות.
מהדורתו העדכנית ביותר היא המהדורה ה-22 שנדפסה באנגלית בשנת 2025 על ידי בית ההוצאה לאור מקגרו-היל (McGraw-Hill Education) ומופיעה בשני כרכים.
לצד הספר מופיעה בדרך כלל מהדורה מרוכזת שלו כספרון הדרכה בפורמט נוח לנשיאה.
למרות ייעודו של הספר לכל רופא, הוא פופולרי במיוחד בקרב רופאים צעירים, מתמחים וסטודנטים לרפואה.
החל מהמהדורה ה-6 באנגלית, כריכת הספר תמיד מכילה סמל של אור עגול ובוהק.
סמל זה נועד לייצג את זווית המטופל כאשר הוא נבדק באמצעות אופתלמוסקופ (מכשיר המאיר לתוך עינו של המטופל).
סימול זה נועד להזכיר לקורא כיצד האור שהוא הידע מאפשר לרופא לאבחן ולטפל טוב יותר במחלות השונות הפוגעות באדם.
אנתוני פאוסי [ואחרים] (עורכים), הריסון: מדריך עקרונות הרפואה הפנימית; עורך ויועץ מדעי: יהודה שיינפלד; תרגום: מירב ברזילי [ואחרים]; ייעוץ רפואי: מאיר מועלם, מהדורה עברית יז, תל אביב: דיונון, 2011.
עקרון הפיהרר או הפִיהְרֶרפְּרִנְצִיפּ (בגרמנית Führerprinzip) היה אחד מעקרונות היסוד של המשטר הנאצי, ושימש אבן יסוד באידאולוגיה של אדולף היטלר והמפלגה הנאצית.
לפי עיקרון זה, הסמכות העליונה במדינה ובחברה מרוכזת בידי מנהיג יחיד, "הפיהרר".
המשמעות הפוליטית של עקרון הפיהרר הייתה ביטול מוחלט של הדמוקרטיה, שלטון החוק ועצמאות המשפט.
סמכויות חקיקה, שיפוט וביצוע רוכזו כולן בידי היטלר, ולא התקיימו מוסדות עצמאיים שביכולתם לבקר או להגביל אותו, וללא מנגנון של איזונים ובלמים.
באמצעות עיקרון זה יכלו הנאצים להשליט משטר טוטליטרי מוחלט, להניע מנגנוני דיכוי בקנה מידה עצום, ולהוציא לפועל את פשעי המשטר – ובראשם השואה.
העיקרון יושם בכל רובדי השלטון והחברה הגרמנית.
בכל רמה ארגונית, מרשויות המדינה ועד האגודות המקומיות, מונה מנהיג יחיד שעמד בראש ההיררכיה, ולו ניתנה סמכות מוחלטת.
כל כפוף היה מחויב לציית ללא עוררין לממונים עליו, ובמיוחד לפיהרר עצמו.
כך נוצרה מערכת היררכית נוקשה, ללא מרחב לביקורת, התנגדות או התייעצות.
בניגוד לדעה הרווחת, עקרון הפיהרר לא הומצא על ידי הנאצים.
הרמן פון קייזרלינג, פילוסוף גרמני יליד אסטוניה, היה הראשון שעשה שימוש במונח.
אחת מטענותיו העיקריות של קייזרלינג הייתה שמספר "פרטים מוכשרים נועדו לשלוט" על בסיס דרוויניזם חברתי.
האידאולוגיה שעומדת מאחורי עקרון המנהיג רואה כל ארגון כהיררכיה של המנהיגים שלו, ובה לכל מנהיג ("פיהרר" בגרמנית) יש אחריות מוחלטת בתחומו והוא דורש צייתנות מוחלטת מכל הכפופים לו ונענה רק לממונים עליו.
הצייתנות והנאמנות המוחלטת למנהיג פירושה גם התעלמות מחוקי המוסר של מותר ואסור.
ה"מנהיג העליון", פיהרר אדולף היטלר, נענה רק לאלוהים ולעם הגרמני.
הפילוסוף האיטלקי ג'ורג'ו אגמבן טען שהיטלר ראה את עצמו כהתממשות הרשות השלטת, וכן כחוק חי או החוק הגבוה ביותר, ושילב תפישות אלה להפיכתו לרשות המחוקקת, הרשות השופטת והרשות המבצעת בזמן אחד.
לאחר ליל הסכינים הארוכות, היטלר אמר: "בשעה זו, אני הייתי אחראי לגורל הלאום הגרמני, ולכן הייתי השופט העליון של העם הגרמני!".
עקרון המנהיג מקביל לשרשרת הפיקוד בארגונים צבאיים, בראשם עומד מפקד אחד שהכל כפופים לו (ראש מטה, גנרל וכדומה).
גם הפרייקור, הארגונים הצבאיים למחצה בגרמניה שהיו מורכבים מחיילים שלחמו במלחמת העולם הראשונה ולא רצו לחזור לחייהם האזרחיים, התנהלו לפי עקרון המנהיג.
חלקם, היו בנעוריהם בתנועות נוער גרמניות-צבאיות בשנים 1904–1913. גם תנועות אלה התבססו על אותו עקרון.
ההצדקה לשימוש בעקרון המנהיג בעולם האזרחי הייתה שצייתנות ללא עוררין על הממונים תוביל לסדר ולשגשוג אותו יקצרו "הראויים להנהיג".
במקרה של הנאצים, עקרון המנהיג נהפך לחלק אינטגרלי של המפלגה הנאצית ביולי 1921, כאשר היטלר כפה עימות עם מנהיגי המפלגה הראשונים לאחר שהבין כי בכוונתם למזג את המפלגה לתוך מפלגה סוציאלית כל-גרמנית גדולה.
מששמע על כך, וביודעו שמיזוג כזה יחליש מאוד את כוחו במפלגה, היטלר עזב אותה.
אנטון דרקסלר, שהבין שהמפלגה תאבד את כל כוחה בלי היטלר פתח עימו במשא ומתן.
היטלר הציב אולטימטום אחד: על כולם להכיר בו כמנהיג היחידי (פיהרר) של המפלגה ולתת לו שליטה מוחלטת עליה.
ועדת המפלגה נכנעה לדרישתו והוא חזר להנהיג את המפלגה הנאצית לאחר מספר ימים כשליט הקבוע שלה, ובתגובה מינה את דרקסלר להיות יושב ראש המפלגה לצמיתות.
באותה תקופה, המפלגה הנאצית גדלה והחלה להיות מקוטבת.
למנהיגיה בצפון המדינה אוטו שטראסר וגרגור שטראסר, וכן יוזף גבלס, הייתה השקפה יותר סוציאליסטית מאשר לסניף הדרומי של המפלגה בראשו עמד היטלר במינכן.
היו להם חילוקי דעות נוספות וביניהן אם המפלגה תנוהל לפי עקרון המנהיג או לא.
בעימות נוסף שאותו תכנן היטלר, התכנסו חברי המפלגה לוועידה בבמברג ב-14 בפברואר 1926. בוועידה, היטלר גבר על חברי המפלגה הצפוניים הודות לכישורים הרטורים שלו, והשאלה אם המפלגה תנוהל לפי עקרון המנהיג חדלה מלהתקיים מאז.
כאשר היטלר עלה לשיא כוחו, לאחר שמונה לתפקיד קנצלר גרמניה עם מותו של פאול פון הינדנבורג, הוא שינה את תוארו ל"פיהרר וקנצלר הרייך", וכך עקרון הפיהרר נהפך לחלק בלתי נפרד בחברה הגרמנית.
ראשי ערים שנבחרו בקלפיות הוחלפו על ידי נציגים מהמפלגה הנאצית.
ראשי פקולטות ואף ועדי הורים איבדו מכוחם ובמקומם נקבעו אישים שרירותית.
הנאצים פירקו את כל ההתאגדויות והאיחודים בהם נבחרו אנשים בהליך של הצבעה דמוקרטית.
תאגידים במדינה הוכפפו אף הם לעקרון המנהיג וגם ארגוני ספורט.
לבסוף, כל צורת התאגדות או ארגון הוכפף בגרמניה הנאצית תחת ידיו של מנהיג יחיד.
הרמן גרינג אמר לנביל הנדרסון, שגריר בריטניה בגרמניה הנאצית: "כאשר היה צריך להחליט החלטה, אף אחד מאיתנו לא נחשב ליותר מהאבנים עליהם עמדנו.
אלברט שפר ציין שבכירים נאצים פחדו להכריע החלטות בהיעדרו של היטלר.
החוקים החלו להיות חוקים שמוכתבים בעל פה ולא בכתב, וכן מנהיגים שהצליחו לבלוט ולייצר השפעה זכו לשבחים וקידום במקום בצנזורה.
סרטי תעמולה רבים בגרמניה הנאצית עסקו ושיבחו את עקרון הפיהרר.
דוגמה לסרט כזה הוא "ניצחון הרצון" שביימה לני ריפנשטאהל.
הסרט משבח את היטלר ומציג אותו בזוויות צילום בהם הוא נראה רם מעל כולם.
היו גם סרטי תעמולה בנושא שלא עסקו או הציגו ישירות את היטלר.
בסרטים כאלה הראו כיצד המנהיג העליון לוקח החלטות חכמות שנוגעות לטובת הכלל ומושיע את כולם בפועלו.
לבני הנוער בגרמניה הוצגו סאגות נורדיות שבבסיסן עמד עקרון המנהיג.
בהצגות אלה הוצגו דמויות כמו פרידריך השני ואוטו פון ביסמרק.
קארל שמיט שהעריץ את עקרונות הנאציזם חיבר עלון שעסק אף הוא בעקרון המנהיגות.
הפוליטיקאי הנאצי רוברט ליי נשא נאום ובו תמך בדעה ש"הפיהרר תמיד צודק".
בתקופה שלאחר המלחמה, כבר במשפטי נירנברג וגם בשלבים מאוחרים יותר דוגמת משפט אייכמן בירושלים, פושעי המלחמה הנאצים השתמשו בעקרון הפיהרר כדי לחמוק מאחריות אישית ולהפנות את האצבע המאשימה כלפי מפקדיהם.
בספרה של חנה ארנדט, "אייכמן בירושלים", היא טענה שמלבד רצונו להתקדם בקריירה האישית שלו, אייכמן לא הציג ראיות לכך שהיה אנטישמי או שסבל מהפרעות נפשיות כלשהן.
היא כינתה אותו בביטוי "הבנאליות של הרוע", שכן במשפט הוא הוצג בתור אדם בעל אישיות נורמטיבית, לא ניכרו בו אשמה או שנאה והוא הכחיש כל צורה של אחריות מצידו לשאירע.
אייכמן טען במשפט שהוא בסך הכל "עשה את עבודתו" ושהוא תמיד פעל לפי הצו הקטגורי של קאנט.
ארנדט טענה בכתביה כי טיעונים אלה הראו שהפושעים הנאצים לא היו אנשים פסיכופתים, אלא אנשים רגילים שיכלו לבצע פשעים מזעזעים כאשר הסביבה עודדה אותם ונתנה להם תמריצים לעשות כן.
עם זאת, היא לא הסכימה לייחס את הטיעון הזה כלפי אייכמן מפני שהוא השתמש בעקרון המנהיגות כהנגנה.
לדבריה, ילדים מצייתים בעוד שמבוגרים פועלים לפי אידאולוגיה.
עקרון פוליאנה (המכונה גם פוליאניות או הטיה חיובית) הוא הנטייה של אנשים לזכור פריטים נעימים בצורה מדויקת יותר מאשר פריטים לא נעימים.
תוצאות מחקרים הראו כי ברמה התת-מודעת, הנפש נוטה להתמקד בצד החיובי והאופטימי של הדברים, בעוד שברמה המודעת הנפש נוטה להתמקד בצד השלילי של הדברים.
הטיה תת-מודעת זו דומה לאפקט פורר.
לפי עקרון פוליאנה לרוב האנשים יש נטייה חזקה לתאר תרחישים אישיים במילים חיוביות ולהעדיף את המילים החיוביות מאשר השליליות, מאחר שהמוח מעבד מידע חיובי בצורה מדויקת יותר ממידע שלילי.
הכוונה בעיקרון היא שיש אנשים שגם כשהם מתמודדים עם דברים קשים ומכות גורל, הם יצליחו תמיד לדבוק בחשיבה חיובית ולראות את הטוב בכל דבר.
מקור השם הוא ברומן הספרותי פוליאנה משנת 1913 מאת אלינור הודג'מן פורטר.
פוליאנה גיבורת הספר נתונה בסיטואציית חיים לא פשוטה: אביה ואמה מתו והיא עוברת לחיות בבית דודתה (שאותה לא ראתה מעולם) שהסכימה לקבל אותה.
פוליאנה צריכה לנסוע מרחק גדול, להתרגל למקום חדש ולהסתגל לכללים נוקשים של פולי, דודתה הרצינית וחמורת הסבר.
למרות הכל, אופייה החיובי והשמח לא משתנה, והיא אף מצליחה לכבוש את לב כולם בעיירה החדשה, גם הקודרים והפסימיים.
פוליאנה מתוארת כמי שמוצאת את הצד החיובי בכל דבר שקורה בחייה ומשחקת את "משחק השמחה": למצוא בכל סיטואציה משהו לשמוח בו.
הספר זכה לעיבוד קולנועי מספר פעמים, הגרסאות שהתפרסמו ביותר היו בשנים 1920 והסרט פוליאנה משנת 1960.
שימוש מוקדם בשם "פוליאנה" בספרות פסיכולוגית היה בשנת 1969 על ידי בוצ'ר ואוסגוד שתיארו את השערת פוליאנה כנטייה אנושית אוניברסלית להשתמש במילים חיוביות בתדירות גבוהה יותר ומגוונת מאשר מילים שליליות בתקשורת.
הוכחות אמפיריות לנטייה זו סופקו על ידי ניתוחים חישוביים של תאגידים גדולים.
עקרון פוליאנה תואר על ידי מרגרט מטלין ודייוויד סטאנג בשנת 1978 תוך שימוש באבטיפוס של פוליאנה באופן ספציפי יותר כעיקרון פסיכולוגי המתאר נוסטלגיה (ההטיה החיובית שיש לאנשים כשהם חושבים על העבר).
על פי עקרון פוליאנה, המוח האנושי נוטה לעבד מידע נעים ומענג בצורה מדויקת וחדה יותר בהשוואה למידע שאינו נעים.
אנו למעשה נוטים לזכור חוויות שחווינו בעבר כטובות יותר ממה שהן היו כאשר הן התרחשו בפועל.
החוקרים גילו שכאנשים חושפים את עצמם לגירויים חיוביים שונים ונמנעים מגירויים שליליים, לוקח להם יותר זמן להכיר במה שלא נעים או מאיים מאשר ממה שנעים ובטוח, והם מדווחים שהם נתקלים בגירויים חיוביים בתדירות גבוהה יותר מהתדירות בפועל.
מטלין וסטאנג גם קבעו כי ככל שהזיכרון היה רחוק יותר מבחינת הזמן שבו קרתה החוויה, כך היה סיכוי גדול יותר שהזיכרון של האנשים לגבי אותה חוויה יהיה סלקטיבי: ככל שחלף זמן רב יותר בין החוויה עצמה לבין ההיזכרות בה, כך הזיכרון היה סלקטיבי יותר.
דוקטור סטיבן נובלה, נוירופיזיולוג מאוניברסיטת ייל, חקר את תחום ה"זיכרון המזויף" או "שגיאות אחסון שכיחות" אצל אנשים.
ממחקרים עולה כי לאנשים המגדירים את עצמם אופטימיים יש נטייה לזכור פחות בפירוט אירועים שליליים בחייהם, ואילו איכות הזיכרון שלהם עולה והם יכולים לזכור יותר בפרטים אירועים חיוביים שהם חוו.
כמו כן, נמצא כי גם אנשים המודעים לכך שיש בחיים היבטים שליליים וחיוביים, לעיתים קרובות אנשים יבחרו להתמקד בהיבט החיובי של כל אירוע בחיים.
לדוגמה, אנשים המעורבים באירוע שלילי, ישתדלו לראות את ההיבט החיובי בו ולשנות את המצב על מנת לדבוק באופטימיות.
בשנת 2014 נערך מחקר באוניברסיטת קורנל האם יש השפעה לעקרון פוליאנה בשפה בה אנחנו משתמשים.
פרופסור פיטר דודס ניתח עם צוות המחקר למעלה מ-100,000 מילים בעשר שפות שונות, וביצע גם ניתוח לאינטראקציות ברשתות חברתיות.
נמצא כי למילים בהם אנשים בוחרים להשתמש יש אוריינטציה רגשית חיובית מובהקת.
עקרון פוליאנה נצפה גם במחקרים אחרים שנערכו ברשתות החברתיות המקוונות.
לדוגמה, משתמשי טוויטר מעדיפים לשתף יותר מידע ומושפעים יותר רגשית ממידע חיובי.
עם זאת, עקרון פוליאנה אינו חל תמיד על אנשים הסובלים מדיכאון או חרדה, הנוטים להיות בעלי ריאליזם דיכאוני יותר או הטיות שליליות.
תאוריה זו עמדה בניגוד ישיר לתאוריית הקתסטרופיזם שהייתה מקובלת באותה תקופה.
רבים מהמאמינים בקתסטרופיזם עשו זאת כדי לשמור מקום לאמונה דתית.
כך למשל, סיפור המבול בספר בראשית נתפס בעיניהם כאירוע גאולוגי ממשי, מאחר שתאוריית הקתסטרופיזם תיארה את שינויי פני הארץ כתוצאה מאירועים חד-פעמיים ואלימים.
לייל ערער על גישה זו באמצעות חקר הר אטנה שבסיציליה, ותיאר את השינויים בין שכבות הסלעים ואת הרשומות המאובנות שבתוכן כדי להוכיח כי שינויים איטיים והדרגתיים הם שגרמו לעיצוב פני כדור הארץ כפי שאנו מכירים אותם.
בעזרת ראיות גאולוגיות הסיק לייל כי גיל כדור הארץ עתיק בהרבה מה־6,000 שנה שנחשבו עד אז לגיל המקובל על פי פרשנות בריאת העולם הדתית.
הספר הדגים כי אותם תהליכים המתרחשים כיום הם אותם תהליכים שהתרחשו גם בעבר.
פירושו של לייל לשינויים גאולוגיים כצבר הדרגתי של שינויים זעירים לאורך תקופות זמן עצומות, נושא מרכזי ב"עקרונות הגאולוגיה", השפיע על צ'ארלס דרווין בן ה-22, שקיבל את הכרך הראשון של המהדורה הראשונה מידי רוברט פיץ' רוי, קפטן ה־האוניה ביגל, מעט לפני שיצאו (דצמבר 1831) למסעה השני של הספינה.
בעצירה הראשונה שלהם בסאו טיאגו, מצא דרווין מבנים סלעיים אשר – כשהתבונן בהם "בעיני לייל" – העניקו לו תובנה מהפכנית לגבי ההיסטוריה הגאולוגית של האי, תובנה שהשתמש בה לאורך כל מסעותיו.
בזמן שהותו בדרום אמריקה, קיבל דרווין את הכרך השני, שבו נדחתה רעיון האבולוציה אורגנית והוצעה במקום זאת תאוריית "מרכזי הבריאה" כדי להסביר את המגוון וההתפלגות של המינים.
רעיונותיו של דרווין התרחקו בהדרגה מתיאוריה זו, אך בגאולוגיה פעל במידה רבה כתלמיד של לייל, ושלח הביתה ראיות נרחבות ותאוריות שתמכו בתאוריית האחידות של לייל, כולל רעיונותיו לגבי יצירת אתולים.
עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע , הנקרא לעיתים קרובות בקיצור "פרינקיפיה", הוא ספר בעל שלושה כרכים שנכתב על ידי אייזק ניוטון ויצא לאור ב־5 ביולי 1687 ונחשב לאחד הספרים המכוננים בהיסטוריה של המדע.
הספר מציג את חוקי התנועה של ניוטון אשר הניחו את היסודות למכניקה הקלאסית, וכמו כן את חוק הכבידה האוניברסלי שהגה, וכן את גזירת חוקי קפלר על תנועת כוכבי לכת (שהתגלו לראשונה ניסויית 80 שנה קודם לכן).
מלבד החידושים הפיזיקליים היה זה החיבור הראשון בו נעשה שימוש שיטתי ומוצלח במתמטיקה לתיאור והסברת חוקי הטבע והתופעות.
"פרינקיפיה" נחשבת לאחת היצירות המדעיות החשובות ביותר בכל הזמנים.
כמו הרבה יצירות מדעיות בשנים אלו, הספר נכתב במקורו בשפה הלטינית (לטינית חדשה).
הפיזיקאי והמתמטיקאי הצרפתי אלכסיס קלרו כתב בשנת 1747 כי "פרסום הספר של העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבע מסמל את תחילתה של תקופה של מהפכה במדע הפיזיקה.
השיטה שתוארה על ידי המחבר המהולל סר אייזק ניוטון...
הפיצה את האור של המתמטיקה על מדע שעד תקופה זו היה שרוי באפלה של השערות והיפותזות לא מבוססות."
ה"פרינקיפיה" נחשבה בתקופתה ליצירה המהווה תפארת של המחשבה, והיא נחשבת, גם לאחר כמה מאות שנים, למונומנט ליכולת ההבנה הכבירה של האדם.
בעת שניסח את התאוריות הפיזיקליות שלו, פיתח ניוטון תחום במתמטיקה הנקרא קלקולוס (חשבון אינפיניטסימלי), המהווה את הבסיס המתמטי לתאוריות שלו.
אף על פי כך, שפת הקלקולוס המוכרת לנו היום אינה מופיעה במשפטים ובהוכחות שב"פרינקיפיה".
במקום זאת השתמש ניוטון בטיעונים גאומטריים, וזאת ככל הנראה מכמה סיבות: הראשונה היא שהסימונים של ניוטון היו שונים מן הסימונים של לייבניץ (והסימונים של לייבניץ הם הסימונים שתפסו את המקום המרכזי בשפת הקלקולוס של ימינו).
בנוסף, השיקולים של ניוטון היו גאומטריים מכיוון שבאותה תקופה היה מקובל להסתכל על עקומות באמצעות הגאומטריה, ועדיין לא נוצר אותו הקישור בין הגאומטריה והאלגברה.
רק בהמשך, כאשר נוצר אותו קישור וההסתכלות על העקומות הפכה להסתכלות אלגברית, החלו להשתמש בשפה המוכרת לנו היום.
לאחר שהוסיף הערות ותיקונים בעותקו האישי של המהדורה הראשונה, פרסם ניוטון שתי מהדורות נוספות: אחת בשנת 1713, שכללה תיקונים למהדורת 1687, ומהדורה משופרת נוספת בשנת 1726.
בנספח שניוטון הוסיף ל"פרינקיפיה", שכותרתו הערות כלליות (General Scholium), ביטא ניוטון את מה שנודע כאמרתו המפורסמת "אינני בודה השערות".
לא די בכך, מהירותם משתנה כך שהקו המחבר את מרכזי השמש וכוכב הלכת מכסה שטחים שווים בזמנים שווים.
לחוקים אלו הוא הוסיף חוק שלישי כעשור מאוחר יותר, בספרו האחר ההרמוניות של העולם.
חוק זה מציב את הפרופורציה בין החזקה השלישית של המרחק הממוצע של הכוכב מהשמש וריבוע זמן ההקפה שלו.
יסודות הדינמיקה המודרנית הונחו בידי גלילאו גליליי בספרו הדיאלוג, ובו המושג של אינרציה – התמדה – היה הכרחי ושימושי.
בנוסף, ניסוייו של גלילאו במישורים משופעים הניבו יחסים מתמטיים מדויקים בין זמן מחזור ותאוצה, מהירות או מרחק בעבור תנועת האצה אחידה או לא אחידה.
ספרו של רנה דקארט משנת 1644, עקרונות הפילוסופיה טען שגופים יכולים לפעול אחד על השני רק דרך מגע: עקרון שהביא אנשים, וביניהם הוא עצמו, להעלות היפותזה לפיה קיים מדיום או תווך אוניברסלי הנושא אינטראקציות כגון אור או כבידה – האתר.
טעות אחרת הייתה טיפולו בתנועה מעגלית, אבל למרות זאת, טעות זאת הניבה תוצאות מאוחר יותר בכך שהיא הביאה אנשים לזהות את התנועה המעגלית כבעיה הקשורה באופן הדוק לעקרון ההתמדה.
כריסטיאן הויגנס פתר את הבעיה הזו בערך בשנות ה־50 של המאה ה־17 ופרסם את פתרונו זמן רב מאוחר יותר.
במהלך חייו כסטודנט, ניוטון עיין בקפידה בחיבורים הללו, או במקרים מסוימים, במקורות המבוססים עליהם, והחל לכתוב יומן שכותרתו "שאלות על פילוסופיה".
בתקופה זו (1664–1666), הוא החל לנסח את הבסיס לקלקולוס, ולהעלות את ניסוייו הראשונים באופטיקה של הצבעים.
בנוסף הוא התקדם שני צעדים מכריעים בדינמיקה: ראשית, בנושא האינטראקציה בין שני גופים, הוא הסיק נכונה שמרכז המסה של המערכת נשאר בתנועה אחידה, ושנית, הוא ביצע את ניתוחו הראשוני, והמוטעה, של תנועה מעגלית בהניחו שחייב לפעול כוח צנטריפוגלי החוצה.
הוא נעשה לחבר בחברה המלכותית והוענקה לו הקתדרה למתמטיקה ע"ש לוקאס באוניברסיטת טריניטי שבקיימברידג'.
בשנת המגפה ב־1665, ניוטון כבר הבין כי עוצמת הכבידה יורדת ביחס הפוך לריבוע המרחק, באמצעות המרת החוק השלישי של קפלר לביטוי שגזר עבור הכוח הצנטריפוגלי (הוא ערבב תחילה בין המושגים בגלל הבנתו השגויה את התנועה המעגלית).
תאוריה שאותה אהב לספר ניוטון לפיה הוא הגיע למסקנותיו אלו כאשר צפה בתפוח הנושר מעץ במהלך שהותו בוולסתורפ נפוצה מאוד בקרב הציבור הרחב, אולם היסטוריונים רבים מפקפקים בנכונותה.
הרהורים על מה שניתן להסיק באמצעות השכל הישר לגבי היבטים שונים של התנועה המעגלית, הובילו אותו לקונספט "המרחב המוחלט".
ב"פרינקיפיה" מציג ניוטון את הדוגמה של דלי מים מסתובב כדי להראות שבחיי היום יום ניתן להבחין כי בתנועת סיבוב מעורב גורם נוסף פרט לתנועה היחסית של גופים.
ניוטון עדיין לא השלים את כתיבת ה"פרינקיפיה" בשנת 1681, כאשר כוכב שביט נצפה משנה את כיוון תנועתו מסביב לשמש.
האסטרונום המלכותי, ג'ון פלמסטיד, זיהה את שינוי מגמת תנועת השביט, בניגוד לרוב המדענים שהאמינו שהיו שני שביטים, אחד שנעלם מאחורי השמש, ואחר שהופיע מאוחר יותר מאזור היעלמותו של הקודם.
המחלוקת שהתעוררה בין ניוטון ופלמסטיד מראה שפלמסטיד לא הבין והכיר באוניברסליות של חוק הכבידה.
מטרתו המוצהרת של הספר ונושאיו
הפרינקיפיה דן בראש ובראשונה בגופים מאסיביים בתנועה, תחת מגוון תנאים התחלתיים וחוקים היפותטיים של כוח בתווכים עם וללא התנגדות, ומציע קריטריונים להכריע, באמצעות תצפיות, איזה חוקים של כוח פועלים בתופעות הספציפיות שנצפות.
הספר הוא ניסיון לכסות תנועות היפותטיות או אפשריות של גופים שמימיים וקליעים ארציים.
הוא חוקר את הבעיות הקשות של תנועה המופרעת על ידי מספר כוחות משיכה מרכזיים.
הספר השלישי והאחרון עוסק בפרשנות לתצפיות על תנועת כוכבי הלכת והירחים שלהם.
ה"פרינקיפיה" פותחת בסדרה של "הגדרות", ו"אקסיומות או חוקי תנועה", וממשיכה בשלושה ספרים:
ספר 1, על התנועה של גופים
הספר הראשון, שכותרתו על התנועה של גופים עוסק בתנועה של גופים בהיעדר תווך בעל התנגדות.
כמבוא קצרצר לספר הראשון של הפרינקיפיה מביא ניוטון סדרה של חמישה טיעונים תחת הכותרת "תכונות, סיבות, ותוצאות של תנועה", בהם עשה הבחנה בין מרחב, זמן ותנועה יחסיים למוחלטים.
"טיעון הדלי" המפורסם מובא כטיעון האחרון במבוא זה.
הספר פותח בתיאור מתמטי של גרסה גאומטרית לחשבון האינפיניטסימלי, הבאה בעקביות יחד עם הגדרות בדינמיקה בסיסית וההיסקים הראשוניים המבוססים עליהם.