tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
במענה לכך, הטענה מצמצמת עד אבסורד את הטיעון הבריאתני, וקובעת כי גיל היקום למעשה אינו מוקדם מיום חמישי שעבר; כל הידוע לנו על מה שקדם ליום חמישי האחרון אינו אלא אשליה, שכן באותו יום נוצרו כל העדויות לקדמותו של העולם, כולל הזכרונות האנושיים והרישומים הפיזיים לכך.
הוּלָאגוּ (במונגולית: – חוּלֶגוּ; בפרסית: هولاکو خان, הולאכּו חאן; 15 באוקטובר 1218 - 8 בפברואר 1265) היה שליט מונגולי שכבש את רוב דרום מערב אסיה.
הוא נכדו של ג'ינגיס חאן ואחיהם של מונגקה וקובלאי, והיה לחאן הראשון של הממלכה האילח'אנית, ששלטה באזור המזרח התיכון של ימינו.
הולאגו נבחר ב-1255 בידי אחיו מונגקה (הח'אקאן המונגולי) להיות ממונה על השלמת הכיבוש וההרס של המדינות המוסלמיות בדרום-מערב אסיה.
תוכניתם כללה את שעבודם של הלורים בדרום פרס, חיסול החשישיון והריסתן של ח'ליפות עבאס, השושלת האיובית בסוריה והממלכה הממלוכית במצרים.
הולאגו יצא ממונגוליה מלווה בכוח צבאי עצום, והביס את הלורים ללא מאמץ רב.
לאחר מכן פנה הולגו לחיסולה של המדינה הניזארית – כת האסמאעילים השיעים שישבו בשרשרת מבצרים מאזור אפגניסטן ועד סוריה.
כת זו הטילה את חיתתה על כלל מדינות האזור במשך שנים כתוצאה מהמוניטין שיצא להם כמתנקשים מיומנים.
חרף מספרם המועט הם נחשבו כיריב רציני, ולכן בשלב הראשון יצאו המונגולים כנגדם, כבשו את מבצריהם לרבות מצודת אלמות.
מנהיגם נשלח למונגוליה, שם הוצא להורג בפקודתו של מונגקה.
מצודת גרדכוה עמדה במצור ממושך ונפלה בימי יורשו של הולאגו.
מטרת המונגולים הבאה הייתה בגדאד, אותה תכננו לכבוש למעלה מעשר שנים.
הח'ליף אל-מסתעצם סירב להיכנע, וקיבל מסר מהולאגו במילים אלה:
"כשאוביל בזעם את צבאי אל בגדאד,
אם תיחבא בשמים או בארץ,
לא אותיר אדם חי בממלכתך
אשרוף את ביתך, את אדמתך, אותך
אם רצונך להציל את חייך ואת חיי משפחתך היקרה,
הקשב בתבונה לעצתי, ולא - תחזינה עיניך ברצונו של האל"
החליף לא הגיב כראוי לפלישה המונגולית (שנת 1258), והגן על העיר בדלילות.
הולאגו הורה לכוחותיו לא לפגוע בחלקים מסוימים באוכלוסייה - בעיקר נוצרים ומשכילים - עקב שיקולים מעשיים (צורך בבעלי מלאכה) ושיקולים דתיים (אשת הולאגו, דוקוז ח'אתון, הייתה נוצרייה נסטוריאנית) אך למרות זאת הרגו המונגולים לפחות רבע מיליון בגדדים (מחקרים עכשוויים מעריכים כי המספר קרוב יותר ל-800 אלף).
החליף עצמו נרצח בידי הולאגו, כשהוא עטוף בשטיח ונרמס בידי סוסים.
בספרו של מרקו פולו נכתב כי הולאגו הרעיב את החליף למוות, אך אין עדויות נוספות המצביעות על כך.
שיטת הריגה זו שימשה לאו דווקא ממניעים סדיסטיים, אלא משום שעממי הערבות ייחסו דם קדוש לשליטיהם (תכונה הנקראת "קות") ולכן נמנעו מלשפוך את דמם של שליטים.
הרס החליפות הוביל לחורבנה של עיראק - שלא חזרה מעולם להיות המרכז התרבותי שהייתה עד אז.
המדינות השכנות מיהרו להפגין את נאמנותן להולאגו, והמונגולים פלשו לסוריה ב-1259 כשכוחות סיור מגיעים עד פאתי עזה.
מותו הבלתי צפוי של מונגקה חאן (עקב שחמת הכבד) גרם לנסיגתם של המונגולים לפני כיבוש מצרים.
בינתיים כרתו הממלוכים ברית עם הצלבנים ששלטו בחופי ארץ ישראל, והביסו את חיל המצב המונגולי בקרב עין ג'אלות.
הולאגו שב לארצו ב-1262, רק על מנת להקלע למלחמת אזרחים עם כוחותיו של בֶּרכְּה , אחיו של באטו חאן, ולספוג תבוסה צורבת בקווקז ב-1263. הולאגו המיר דתו לבודהיזם והקים את השושלת האילח'אנית, ששלטה בפרס עד 1335. בנו אבקא תפס את מקומו לאחר מותו ב-1265.
הול הייתה להקת גראנג' אמריקאית אשר הושפעה לאורך כל שנות קיומה מהתדמית הציבורית הפרובוקטיבית של קורטני לאב, סולנית, גיטריסטית ושחקנית מפורסמת, ואלמנתו של קורט קוביין מלהקת נירוונה.
הלהקה הוקמה בלוס אנג'לס על ידי לאב (שלפני כן הייתה סולנית בפיית' נו מור וכן חברה בלהקה Pagan Babies יחד עם קאט ביילנד, סולנית להקת בייבס אין טוילנד) ואריק ארלנדסון.
הלהקה אשר כללה גם את ג'יל אמרי וקרוליין רו הקליטה את אלבום הבכורה, Pretty on the Inside אשר נחשב לאחד האלבומים הרועשים והאלימים ביותר של תחילת הניינטיז אבל למרות זאת קיבל ביקורות מצוינות.
ב-1992 התחתנה לאב עם קורט קוביין מלהקת נירוונה.
הזוג נקלע זמן קצר לאחר מכן למשברים קשים, כתוצאה מהתמכרותו של קוביין להרואין וכתבה בעיתון אשר האשימה את לאב בהזרקת הרואין בזמן שהייתה בהריון.
יציאתם המתוכננת של האלבומים החדשים של נירוונה ושל הול ב-1993 השקיטו קצת את הסערה.
פאפ ופטי שמל הצטרפו ללהקה והאלבום הראשון של הול בחברה גדולה, Live Through This, שהיה יותר פופולרי מקודמו, יצא, הוכתר בידי אנשים רבים כאחד מאלבומי השנה וזכה להצלחה פנומנלית.
שני שירים מהאלבום זכו להצלחה: Doll Parts, שזכה להצלחה במצעד האלטרנטיבי ובמצעד הבריטי ו-Violet שזכה גם הוא להצלחה בבריטניה.
ארבעה ימים לפני יציאת האלבום התגלתה גופתו של קוביין בדירתם של בני הזוג בסיאטל.
חודשיים אחר כך נמצאה גם גופתה של פאפ.
קוביין התאבד ואילו פאפ נפטרה ממנת יתר.
לאב התחילה להתרכז בקריירת המשחק שלה והעתיד של הול לא היה ברור.
רק לאחר עיכובים רבים ושני מיני-אלבומים של קטעים נדירים, הול הוציאה ב-1998 את האלבום השלישי (שנקרא "Celebrity Skin") עם בילי קורגן מסמאשינג פאמפקינס כיועץ מוזיקלי.
סמנתה מלוני החליפה את פטי שמל והול יצאה לסיבוב הופעות ראשון לאחר שנתיים.
האלבום קיבל ביקורות מצוינות, אבל לאב לא הייתה מרוצה מהתנהלות חברת התקליטים ותבעה אותה על מנת להשתחרר מהחוזה שחייב אותה לעוד חמישה תקליטים ולהתחיל לפרסם מוזיקה דרך האינטרנט.
בסופו של דבר, ב-2002 לאב פירקה את הלהקה, ושלא כהרגלה פרסמה שכל חברי הלהקה הקודמים ימשיכו להיות חברים שלה.
טענות על כך שלכאורה, קורט קוביין כתב את שירי האלבום Live Through This הופרכו על ידי חברי הלהקה, ומעריצי הול טענו בצדק שהאלבום הראשון של הול הצליח יותר בזמנו מהאלבום הראשון של נירוונה, Bleach, כשבני הזוג עדיין לא הכירו.
טענות מסוג דומה הועלו גם לגבי בילי קורגן, כשזה עבד עם הול על האלבום השלישי.
ארבעת הלהיטים הגדולים ביותר של הלהקה הם "Violet","Malibu","Celebrity skin" ו"Doll Parts".
ב-2009 חזרה הלהקה לפעילות למשך כ-3 שנים, לאחר מכן התפרקה סופית.
במדעי המחשב ובקריפטוגרפיה, הוכחה באפס ידיעה או פרוטוקול אפס ידיעה, היא מערכת הוכחה אינטראקטיבית, שבה צד אחד (מוכיח או טוען) משכנע את הצד השני (מוודא) באמיתות טענה, בסבירות מכרעת (לא באופן מוחלט), מבלי לחשוף כל מידע בנוגע לטענה עצמה, שאי-אפשר היה להשיגו באמצעים אחרים (פרט לעצם נכונותה של הטענה).
מעבר לחשיבות התאורטית, להוכחה באפס ידיעה השלכות מעשיות בקריפטוגרפיה – למשל, הטענה יכולה להיות מידע סודי (כמו סיסמה), וההוכחה במקרה זה היא הוכחת ידיעת הסיסמה, המאפשרת לצד אחד לזהות עצמו מול הצד השני (אימות), ללא צורך לחשוף את הסיסמה עצמה.
הוכחת אפס ידיעה חייבת לקיים את התכונות הבאות:
שלמות (Completeness) – פרוטוקול הוכחה אינטראקטיבי ייקרא שלם, אם בהינתן מוכיח ומוודא הגונים (המבצעים את מהלכי הפרוטוקול כראוי), אם הטענה נכונה אזי המוכיח יצליח לשכנע את המוודא בנכונות הטענה בהסתברות גבוהה.
במונח "הסתברות גבוהה" מתכוונים כי קיים סיכוי קל לכישלון.
נאותות (Soundness) – פרוטוקול הוכחה אינטראקטיבי ייקרא נאות, אם בהינתן טענה שקרית, מוכיח רמאי לא יצליח להונות מוודא הגון בנכונות הטענה.
במילים אחרות, נאותות מבטיחה כי הפרוטוקול אכן מספק הוכחת הטענה או ידיעת הסוד וכי מוודא הגון יצליח לחשוף רמאות בהסתברות גבוהה.
אפס ידיעה (Zero knowledge) – לפרוטוקול הוכחה אינטראקטיבי תהיה תכונת אפס ידיעה, אם בהינתן טענה נכונה, המוודא לא יוכל ללמוד מאומה אודות הטענה עצמה מעבר לעצם נכונותה.
תנאי מהותי בתכונת אפס ידיעה הוא, שבהינתן טענה (ללא גישה לסודו של המוכיח) לא ניתן יהיה להבחין בהבדל כלשהו בינה לבין עותק מזויף.
במילים אחרות באפשרותו של מוכיח רמאי "לחקות" הוכחה שניתנה על ידי מוכיח הגון, מזה נובע כי לא ניתן ללמוד מן ההוכחה מידע כלשהו על הטענה.
העתקת ההוכחה כשלעצמה אינה מועילה בדבר לרמאי, כיוון שכפי שיובהר בהמשך, ההוכחה תקפה רק עבור המשתתפים בפרוטוקול בזמן אמת, ואין בה כל תועלת לאחר מעשה.
שתי התכונות הראשונות מאפיינות כל מערכת הוכחה אינטראקטיבית.
מערכת כזו נקראת הוכחת ידיעה.
התכונה השלישית מייחדת מערכת הוכחה באפס ידיעה.
היא אינה הוכחה במובן המתמטי של המילה, משום שקיימת סבירות נמוכה במקרה של כשל נאותות, שמוכיח רמאי יהיה מסוגל לשכנע מוודא הגון בנכונות טענה שקרית.
למעשה, זוהי הוכחה הסתברותית ולא דטרמיניסטית, אולם ניתן לצמצם את אפשרות השגיאה לכדי הסתברות שולית.
ישנן שלוש רמות של הוכחות אפס ידיעה: מושלמת, סטטיסטית ו-חישובית.
הראשונה משמעה שלא עובר שום מידע למעט ידיעת אמיתות הטענה.
השנייה משמעה שניתן לייצר בקלות תמלילים מדומים של הפרוטוקול, בהתפלגות שלה מרחק סטטיסטי קטן מזו של תמלילים אמיתיים.
האחרונה אומרת כי צד-שלישי, המוגבל ליכולת חישוב פולינומית בזמן ובמקום, לא יוכל לזהות הבדל כלשהו בין תמליל של פרוטוקול אמיתי לבין תמליל מזויף.
לכן, מעשית לא ניתן יהיה לחלץ כל מידע אודות טענתו של המוכיח.
ההגדרה הראשונה היא החזקה ביותר; ההגדרה השנייה מעט חלשה יותר, וניתן להוכיח עליה טענות בקלות רבה יותר; תחת הגדרה זו ניתן להוכיח קיום של בעיות שלמות וקיום של פרוטוקולים קצרים מאוד.
ההגדרה האחרונה, החלשה ביותר, היא על פי רוב זו הנדרשת לצרכים מעשיים.
רעיון אפס ידיעה נהגה לראשונה ב-1985 על ידי שפי גולדווסר (המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס, מכון ויצמן למדע), סילביו מיקאלי (המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס), וצ'ארלס ראקוף (אוניברסיטת טורונטו).
הם תיארו במאמר "The knowledge complexity of interactive proof-systems" את הרעיון של הוכחת טענה מתמטית באופן אינטראקטיבי (interactive proof-system) ואת הרעיון שניתן לבצע הוכחה כזו ללא חשיפת מידע נוסף (Zero-knowledge proof).
הם טבעו את המונח סיבוכיות ידיעה, והציעו מספר מדדים לכמות המידע העובר בהוכחה אינטראקטיבית.
הם אף הביאו דוגמה מעשית ראשונה של הוכחת אפס ידיעה: שמספר שלם אינו שארית ריבועית מודולו , תוך חשיפת אפס מידע בנוגע למספר עצמו, בהתבסס על העובדה שלא קיים אלגוריתם יעיל לבדיקת שארית ריבועית, אם לא נתונים הגורמים הראשוניים של .
על תרומתם זו זכו בפרס גדל.
עודד גולדרייך (מכון ויצמן), סילביו מיקאלי ואבי ויגדרזון (האוניברסיטה העברית בירושלים) הראו, שבהנחה שקיימת פונקציה חד-כיוונית, ניתן לבסס מערכת הוכחה אינטראקטיבית על בעיה NP-שלמה, כמו בעיית הצביעה בגרפים .
היות שכל בעיה במחלקת הסיבוכיות NP ניתנת לצמצום לבעיה זו, הרי שלכל בעיית NP קיימת הוכחת אפס ידיעה, תחת הנחה זו.
באופן כללי, הראו גולדרייך וגולדווסר, שכל דבר שניתן להוכחה באופן אינטראקטיבי, ניתן להוכחה באמצעות הוכחת אפס ידיעה; ולמעשה, כל בעיית NP-שלמה ניתנת לשימוש כבסיס למערכת הוכחה באפס ידיעה, כמו גם בעיות קשות אחרות, כמו בעיית הפירוק לגורמים של מספר שלם.
דוגמה אחת היא ההוכחה שגרף כלשהו הוא 3-צביע – כלומר, שניתן באמצעות שלושה צבעים לצבוע את כל קודקודיו בצורה כזו, שבה כל שני קודקודים שמחוברים בקשת יהיו צבועים בצבעים שונים.
לדוגמה זו חשיבות, הן בשל האינטואיטיביות היחסית שלה, והן מכיוון שבעיית ה-3-צביעה של גרף היא בעיה NP שלמה, ולכן נובע מכך, שלכל בעיה ששייכת למחלקת הסיבוכיות NP קיימת הוכחה באפס ידיעה.
אופן ההוכחה הוא כדלהלן: בהינתן גרף שהוא 3-צביע, ה"סוד" של המוכיח הוא צביעה אפשרית של הגרף.
מציאה של צביעה כזו באופן כללי היא בעיה קשה, ולכן ניתן להניח, שהמוודא אינו יכול לגלות צביעה שכזו בעצמו.
בכל סבב של הפרוטוקול המוכיח מגריל תמורה שונה על צבעי הגרף, ומשנה את הצביעה שלו בהתאם.
ואז הוא "מכסה" את כל צומתי הגרף ושולח אותו למוודא.
המוודא בוחר שני צמתים שמחוברים בקשת ושולח אותם למוכיח, והמוכיח חושף את שני הצמתים הללו (ואותם בלבד).
המוודא בודק, שאכן שני הצמתים צבועים בצבע שונה; אם לא – ההוכחה נדחית.
על תהליך זה חוזרים כמספר הפעמים הרצוי, עד שהמוודא משתכנע.
החלק הקשה בהוכחה הוא שלב ה"כיסוי".
המוכיח צריך "להתחייב" מראש על הצביעה של הגרף כולו, ועם זאת, לא לחשוף דבר.
קיימות סכימות התחייבות שמאפשרות לבצע זאת.
הסיבה שפרוטוקול זה הוא בעל תכונת אפס ידיעה, נעוצה בכך שהמידע היחיד אותו מקבל המוודא בכל סבב הוא ששני הצמתים שבחר מהגרף אכן צבועים בצבע שונה, כפי שנדרש מהצביעה.
אולם, כיוון שבכל סבב מוגרלת תמורה שונה על הצבעים, אין כל תועלת במידע מסבבים קודמים כדי לקבל מושג לגבי צביעת הגרף כולו.
להמחשה, אם בסבב הראשון ביקש המוודא את צמתים A, B וראה שהם צבועים בכחול ואדום ובסבב השני ביקש את הצמתים A,C וראה שוב שהם צבועים בכחול ואדום, אין זה אומר ש-B ו-C צבועים בצביעה המקורית באותו הצבע.
במאמר "איך להסביר לילדך את פרוטוקול אפס-ידיעה" המחישו המתמטיקאים לואי גילו וז'אן-ז'אק קוויזקווטר באופן ציורי את הרעיון של הוכחה באפס ידיעה, בעזרת הסיפור "עלי-באבא והמערה המסתורית".
המערה מכילה כניסה אחת, המתפצלת לשני מבואות, אחד לימין ואחד לשמאל, שבסופם מבוי סתום.
הדרך היחידה לעבור מבוי סתום זה היא אמירת מילת קסם סודית, שגורמת לפתיחת דלת סתרים, המקשרת בין המעברים.
השאלה היא: כיצד יוכל לשכנע את שמעון שהוא יודע את מילת-הקסם לפתיחת הדלת המסתורית, מבלי שייאלץ לחשוף אותה בפניו?
שאלה זו מקבילה לשאלה "איך ניתן ליצור הוכחה באפס ידיעה".
הפתרון הוא ששמעון ימתין בפתח המערה כאשר ראובן נכנס לתוכה, לאחר מכן יתייצב בהתפצלות המבואות ואז יכריז בקול "ימין" או "שמאל" באופן אקראי ועל ראובן לצאת מהמבוא המתאים בהתאם להכרזה.
אם ראובן הצליח לצאת בדרך הנכונה, משמע שהוא יודע את מילת הקסם, כי הרי ראובן אינו יודע מראש מה תהיה הכרזתו של שמעון.
לצורך המשל, נניח ששמעון אינו יכול ללוות את ראובן עד נקודת ההתפצלות כדי לוודא במו עיניו שהוא נכנס בדרך אחת ויוצא בשנייה, אלא עליו להמתין מחוץ למערה בזמן שראובן נכנס.
בניסוי בודד, סיכוייו של ראובן לרמות הם 50%.
היות ששמעון לא ראה באיזה מבוא בחר ראובן, ייתכן מצב, שראובן אינו מכיר כל מילת קסם, אלא פשוט במקרה נכנס בדיוק בדרך בה התבקש לצאת.
מאידך, אם שמעון הכריז "ימין" וראובן בחר בשמאל, הוא ייכשל אם הוא רמאי.
חישוב פשוט מראה, שאם חוזרים על הניסוי מספר גדול של פעמים, סיכוייו של ראובן לרמות קטנים כל-כך, עד ששמעון יכול להיות משוכנע מעל לכל ספק סביר, שראובן דובר אמת והוא אכן יודע את מילת הקסם.
יתרה מזו, גם אם שמעון יסריט את כל המבחנים שעשה עם ראובן, הוא לא יוכל לשכנע אחרים באמיתות הטענה או אפילו בטענה שהוא עצמו מכיר את מילת הקסם.
התבוננות בסרט בלבד אינה מניבה דבר, כיוון שתמיד קיים חשש שראובן ושמעון ביימו אותו (כגון, אם החליטו על סדר ההכרזות של שמעון מראש) או ששמעון השמיט מהסרט את המקרים בהם ראובן נכשל.
דוגמה נוספת היא המשחק "איפה אפי?", כאשר אחד מהשחקנים מספר לשאר שהוא מצא את אפי, אבל לא רוצה לגלות להם את מיקומו בתמונה.
הפתרון הוא שהשחקן לוקח בריסטול גדול (יותר גדול מהספר), גוזר חור בגודל ראשו של אפי, ומניח את הבריסטול על הספר כך שראשו של אפי מציץ ממנו.
לשאר המשתתפים אין יכולת לדעת איפה הספר ממוקם ביחס לבריסטול ולכן אין להם יכולת לקבל מידע בנוגע לפתרון, מעבר לכך שהמוכיח מצא את הדמות במשחק.
דוגמה נוספת היא היכולת לספור עלים על עץ.
נניח שאחת השחקניות, אליס, טוענת שיש לה כוח-על, המאפשר לה למנות את המספר המדויק של עלים על עץ כהרף עין.
כדי לשכנע ביכולתה זו, היא מציעה לאדם השני, בוב, לבחור עץ.
היא מתבוננת בעץ, ומייד מציינת את מספר העלים שספרה, למשל: 77,777,777. לאחר מכן היא מכסה את עיניה, ומציעה לבוב לקטוף בסתר כמה עלים מן העץ.
בוב יכול לקטוף מספר עלים כרצונו, למשל 3 או 10 או אפילו לא לקטוף כלל.
לאחר מכן אליס מגלה את עיניה, ומבצעת ספירה חוזרת של העץ.
אם בוב קטף 3 עלים, אליס תציין שעכשיו מספר העלים הוא 77,777,774. באופן זה אליס משכנעת את בוב ביכולת-העל שלה, על ידי הוכחה באפס ידיעה.
הרעיון של שימוש בהוכחת אפס ידיעה בקריפטוגרפיה הוא לאלץ הגינות ללא חשיפת פרטיות.
הרעיון נובע ממושג שטבע מיכאל רבין, שהמחיש זאת במשל הבא: כיצד יחלקו שני ילדים עוגה בחלוקה הוגנת, אם הם אינם סומכים זה על זה?
תשובה: הם יכולים לבצע זאת באמצעות פרוטוקול פשוט ויעיל, הנקרא "Cut and Choose", כדלהלן: מסכמים מראש שילד א' יפרוס את העוגה לשני חלקים שווים וילד ב' יקבל את הזכות לבחור לעצמו את חלקו תחילה.
זה עובד, משום שילד א' חייב להיות הוגן בפריסת העוגה, כיוון שההחלטה איזה חלק ייפול בחלקו היא בידי ילד ב'.
הוכחה באפס ידיעה מסתמכת על עקרון ההגינות, הנובע מפרוטוקול אינטראקטיבי, שבו הצד המוכיח מוכרח לפעול בהגינות, אם ברצונו לשכנע את הצד המוודא באמיתות הטענה.
הפרוטוקול מבטיח, כי אם ההוכחה בוצעה כראוי לפי הוראות הפרוטוקול, המוודא יכול להשתכנע באמיתות הטענה.
אם המוכיח אינו פועל בהגינות, הפרוטוקול יסתיים ב"כישלון" במובן זה, שהמוודא יחשוף את הרמאות.
הוכחה באפס ידיעה שימושית במערכת אימות זהויות, שבה צד אחד (הלקוח) מנסה להוכיח את זהותו לצד אחר (השרת), באמצעות הוכחת ידיעת סוד (הסיסמה, במקרה זה).
הלקוח מספק לשרת מה שקרוי התחייבות אקראית כלשהי, השרת מציב בפני הלקוח אתגר בהתאם והלקוח משיב לאתגר באופן שמחייב את ידיעת הסיסמה.
השרת מסוגל לאמת את ההוכחה מבלי צורך לחשוף את הסיסמה עצמה.
גורם זר המצותת לערוץ התקשורת בין השרת ללקוח, לא יוכל ללמוד את הסיסמה מחילופי הדברים ביניהם, כיוון שהסיסמה לא שודרה כלל.
דרישת אפס הידיעה הכרחית כאן, שאם לא כן, המאמת או המצותת יוכלו לנצל את הפרוטוקול כדי להשיג מהמוכיח מידע, שלא התכוון לחשוף.
עם זאת, תכונת אפס ידיעה לבדה אינה מבטיחה שהפרוטוקול יהיה בטוח מבחינה קריפטוגרפית, אם תהיה דרך קלה לחשוף את סודו של המוכיח גם ללא מידע ממנו.
פרוטוקול אפס ידיעה קריפטוגרפי מבוסס על בעיה מתמטית קשה, דוגמת הפירוק לגורמים, באופן שללא מידע מהמוכיח, גילוי סודו יהיה שקול לפתרון הבעיה המתמטית האמורה.
המבנה הבסיסי של פרוטוקול הוכחת אפס ידיעה מורכב משלושה מהלכים:
במהלך הראשון, המוכיח משדר התחייבות אקראית התלויה בסודו.במהלך השני, מחזיר המוודא אתגר אקראי.במהלך השלישי והאחרון, המוכיח משיב על האתגר בהתאם, כאשר תגובת המוכיח אינה חושפת מאומה אודות סודו.
המוודא מסוגל לאמת את נכונות הטענה על סמך ההתחייבות שקיבל קודם והמענה לאתגר.
פרוטוקול הוכחת אפס ידיעה קריפטוגרפי
עדי שמיר (מכון ויצמן) ועמוס פיאט (כיום באוניברסיטת ת"א), הניחו ב-1986 את היסודות למימוש רעיון אפס-ידיעה מבחינה פרקטית בפרוטוקול הנקרא פרוטוקול פיאט-שמיר (Fiat-Shamir) – הפרוטוקול האינטראקטיבי מבוסס אפס-ידיעה הראשון.
הפרוטוקול נשען על בעיית שורש ריבועי מודולו שלם פריק; בעיה, השקולה לבעיית פירוק לגורמים.
פרוטוקול זה אינו יעיל מעשית, מאחר שבכל סבב מועברת סיבית אתגר אחת בלבד, והוא מוצג כאן להמחשה בלבד.
פרוטוקול פייגה-פיאט-שמיר (Feige-Fiat-Shamir) הוא הרחבה של פרוטוקול זה, שפועל על מחרוזת סיביות אתגר בו-זמנית, ועל כן יעיל יותר.
כמו כן, קיים פרוטוקול אימות שנור של קלאוס שנור (C.P.
Schnorr), המיישם הוכחת אפס ידיעה ומבוסס על בעיית לוגריתם דיסקרטי.
בפרוטוקול משתתפים פגי (המוכיחה) וויקטור (המוודא).
פגי בוחרת בסוד שני ראשוניים אקראיים ו- ומפרסמת את המכפלה שלהם .
המשימה של פגי היא להוכיח לוויקטור ששלם מסוים הוא מספר ריבועי מודולו מבלי לחשוף בפניו כל מידע שיעזור לו להוכיח לאחרים ש- ריבועי מודולו .
יש לזכור שהוצאת שורש ריבועי מודולו שלם פריק היא בעיה מתמטית קשה.
אך כיוון שפגי יודעת מהם הגורמים הראשוניים של והוצאת שורש ריבועי מודולו מספר ראשוני קלה, ביכולתה למצוא בקלות שורש ריבועי מודולרי של כל שלם מודולו על ידי משפט השאריות הסיני, נניח שקיים המקיים:
ואת זה מעוניינת פגי להוכיח לוויקטור מבלי לחשוף את (במקרה זה הוא הסיסמה הסודית של פגי).
היא מוכיחה זאת באמצעות פרוטוקול המבוצע בכמה סבבים של חילופי מסרים שבסופם ויקטור יקבל או לא יקבל את טענתה.
בכל סבב מתבצעים המהלכים הבאים:
1. פגי בוחרת שלם אקראי מודולו .
ומחשבת ושולחת לוויקטור את השלם שנקרא התחייבות.
2. ויקטור בוחר אתגר אקראי שהוא סיבית אחת ושולח לפגי את .
3. פגי מחשבת ושולחת לוויקטור את המענה שפירושו שאם היא מחזירה לוויקטור רק את , אחרת היא מחזירה את , בניסוח אחר:
אפשר לראות ש- לא נחשף לעיניו של ויקטור כי הוכפל בשלם האקראי מודולו שזהו מעין פנקס חד פעמי.
4. ויקטור בודק שמתקיים כלומר אם אז הוא שורש ריבועי של , אחרת הוא שורש ריבועי של , בניסוח אחר:
אם תנאי זה מתקיים ויקטור מקבל את טענתה של פגי ביחס לאתגר אחד, אחרת הוא דוחה אותה.
פגי וויקטור חוזרים על התהליך המתואר פעמים עם אתגרים אקראיים שונים כאשר גדול מספיק (כגון ).
אם תגובתה של פגי בכל הסבבים מניחה את דעתו של ויקטור הוא יכול לקבל את ההוכחה שאכן הוא מספר ריבועי (כלומר שיש לו שורש ריבועי) מודולו אחרת הוא דוחה אותה כטענה שקרית כי לא סביר שתצליח להוליכו שולל בכל הפעמים.
קל להיווכח בשלמות ונאותות הפרוטוקול כנדרש.
כי הרי אם הוא שורש ריבועי מודולו אז ששלחה פגי לוויקטור מקיים לכן:
לכן ויקטור יכול לקבל את טענתה.
במקרה ההפוך, אם אינו ריבועי מודולו , אזי לא משנה איך היא בחרה את , רק אחד משני הערכים יהיה נכון.
כלומר או או יהיו מספר ריבועי מודלו אבל לא שניהם.
כלומר לפגי יש סיכויים של 50% לשקר אם היא לא באמת יודעת מהם הגורמים הראשוניים של .
מכאן נובע שהיא תכשל באתגר בודד של ויקטור במחצית הפעמים במקרה הממוצע.
אם האתגרים הם רצף סיביות אקראי הרי שבמחצית מן המקרים בממוצע (כאשר סיבית האתגר היא אפס) היא נדרשת להוכיח ש- ריבועי מודולו ומחצית מן המקרים היא נדרשת להוכיח ש- ריבועי.
כך שאם אינו ריבועי הסיכויים שפגי תספק מענה נכון בכל הסבבים הם בסך הכול פעמים או בקיצור .
אם היא הצליחה לשלוח 80 תגובות נכונות לאתגרים של ויקטור הרי שהוא יכול בהחלט להיות סמוך ובטוח שאכן הוא ריבועי מודולו כי ההסתברות שהיא תצליח לרמותו היא שהיא סבירות זניחה מאוד.
נותר להבין איך התגובות שקיבל מפגי אינן תורמות מאומה לידיעתו של ויקטור בנוגע לטענתה (כלומר אפס ידיעה).
בניסוח אחר השאלה היא האם ויקטור יכול לעשות בהן שימוש כלשהו כדי להוכיח באותה הדרך למישהו אחר נניח ולרי, בסיכויי הצלחה גבוהים יותר מאשר אילו לא קיבל את תגובותיה של פגי, ש- הוא מספר ריבועי מודולו .
ההוכחה התאורטית של אפס הידיעה קשורה לתורת ההסתברות ובעיקרה הטענה היא ששתי ההתפלגויות זהות.
לאחר שוויקטור סיים את תהליך ההוכחה עם פגי נותרו בידו שלשות ערכים כשכל אחד מהם מקיים:
ויקטור יודע שעבור כל שלשה רק אחד משני הערכים הוא מספר ריבועי, אם הרי ש- הוא מספר ריבועי מודולו ואם הרי ש- הוא מספר ריבועי מודולו אבל לא שניהם.
היות שהתשובה הנכונה תלויה ב- הרי שעבור כל שלשה יש לו סיכויים של חמישים אחוז להיכשל.
למשל אם והוא נדרש להוכיח לוולרי ש- ריבועי הוא יכשל כי את המידע הזה לא קיבל מפגי והדרך היחידה שלו להצליח היא לפרק את לגורמים.
יתרה מזו, אפילו מבלי ליצור קשר עם פגי ויקטור מסוגל לייצר שלשות ערכים שהם בלתי ניתנים להבחנה מערכים תקפים שהיו מתקבלים מפגי אילו יצר איתה קשר.
הוא יכול לבצע כדלהלן כאשר הוא בוחר אתגר בסבב כלשהו הוא בוחר גם אקראי ומציב:
הביטוי המתואר מוכיח מדוע המידע מפגי אינו עוזר לוויקטור כדי להוכיח את הטענה למישהו אחר כי הוא יכול באותה מידה להכין את סט הערכים שייראו תקפים לכל צופה.
וזו בדיוק הסיבה מדוע צופה מן הצד לא ישתכנע כיוון שהוא יטען שהערכים מותאמים לטובתו משום שהוא יודע מה הם האתגרים מראש.
אלא אם כן יוכיח ויקטור שהוא מסוגל לענות לאתגרים "אקראיים" מבלי לטעות אפילו פעם אחת.
מסיבה זו ההוכחה נקראת אינטראקטיבית משום שנכונותה תלויה גם במוודא שמכין מצידו את האתגרים האקראיים (למשל לפי הטלת מטבע) ורק הוא יודע אם האתגרים אכן אקראיים ולא נבחרו בדרך מסוימת כדי לעזור לוויקטור.
אילו ויקטור היה יכול לצפות מראש איזה ערכי הוא יקבל מולרי אם יש בידו מספיק תגובות של פגי הוא יוכל להתאים את הערכים כך שכל התגובות יראו נכונות לעיני ולרי.
היות שערכי אינם תלויים בוויקטור אלא בוולרי, התגובות של פגי שבידו מספקות לו מדע חסר ערך.
לצורך הכנה, אליס בוחרת את המודולוס , שהוא מכפלת הראשוניים (קטנים, רק לצורך המחשה כמובן): , בוחרת סיסמה סודית, נניח: , ומחשבת את המשמש לאימות: .
את יחד עם היא רושמת אצל צד שלישי נאמן כמפתח ציבורי.
אליס בוחרת מספר אקראי, נניח: , ומחשבת את :
אליס משדרת לבוב את ההתחייבות:
בוב מחזיר לאליס סיבית אתגר אחת, נניח:
אליס מחשבת את ערך בהתאם לסיבית האתגר:
כעת נותר לבוב לבדוק את המענה, כיוון ש:
אילו היה בוב משדר את הסיבית , אזי המענה במהלך השני היה: , ואז , וזהו בדיוק ערכו של .
הוכחת אפס ידיעה לא אינטראקטיבית
הוכחת אפס ידיעה לא אינטראקטיבית, היא גרסה של הוכחה באפס ידיעה שבה אין צורך באינטראקציה בין המוכיח למוודא.
בלום, פלדמן ומיקאלי הראו שמחרוזת סמך משותפת (CRS) בין המוכיח והמוודא מספקת ליצירת הוכחת אפס ידיעה חישובית ללא צורך באינטראקציה.
להוכחה באפס ידיעה לא אינטראקטיבית שימושים רבים, למשל אפשר להשתמש בה לפרוטוקול אימות זהויות או חתימה דיגיטלית שבה מחרוזת האתגר מוחלפת בתמצית הגיבוב של המסמך.
כמו כן פרוטוקול zkSNARK שהוא גרסה של הוכחה באפס ידיעה לא אינטראקטיבית מהווה בסיס חשוב במטבע הדיגיטלי ZCASH.
הוכחה הוא סרט קולנוע אמריקאי שיצא לאקרנים בשנת 2005, בהשתתפות השחקנים אנתוני הופקינס, גווינת' פלטרו, ג'ייק ג'ילנהול והופ דייוויס.
הסרט מבוסס על המחזה זוכה פרס הטוני ופרס הפוליצר "הוכחה" מאת דייוויד אובורן, שהוצג על במות ברודוויי בשנים שקדמו להפקת הסרט וגם לאחר הפקתו.
הסרט מתאר יום בחייה של קתרין (השחקנית גווינת' פלטרו), היום שבו מתקיימת הלוויית אביה.
קתרין, צעירה מוכשרת הממוקמת על הרצף השברירי שבין גאונות לטירוף, היא בתו של מתמטיקאי גאון, שלא יצא מביתו בחמש השנים שלפני מותו עקב מחלת נפש.
במשך חמש שנים שהתה עמו, וסעדה אותו כשמצבו החמיר, עד שנפטר.
בין כתביו נמצאת מחברת, ובה הוכחה מתמטית נדירה, שנכתבה לכאורה על ידי האב, הוכחה שיש ביכולתה לזעזע את עולם המדע.
הסרט מתאר את הקו העדין שבין "מוזרות", שלעיתים כרוכה עם גאונות ויצירתיות, לבין היעדר בריאות נפשית.
קו גבול זה, שאינו תמיד ברור, נתון לעיתים קרובות לשיפוטיות שלילית מצד החברה, עקב בּוּרות וחוסר סובלנות.
לקתרין, השרויה בהלם האובדן עם מות אביה, התנהגויות מוזרות, חולמנות, ולעיתים הזיות.
היותה בתו של אדם שהיה מוכר כחולה נפש, ושהותה ארוכת השנים עמו לפני מותו, בצירוף להתנהגויותיה המוזרות, מביאות אותה אל הצורך להתמודד עם האשמות לא מילוליות מצד החֶברה על היותה בלתי שפויה.
באופן בלתי הוגן אולי, היא נדונה על ידי החברה והדעות הקדומות מבלי יכולת להתגונן, וחובת ההוכחה - על שאיננה חולת נפש - היא עליה.
שמו של הסרט, "הוכחה", אינו מרמז רק על ההוכחה המתמטית שנכתבה לכאורה על ידי האב, אלא על ניסיונה הנואל של קתרין "להוכיח" את שפיותה, מול דעות קדומות מוצקות של חברה כופה.
בסופו של דבר מתברר כי קתרין היא שכתבה את ההוכחה המתמטית הנדירה, אולם טענה זו מפיה נשמעת הזויה, לא הגיונית, ועשויה לכאורה להצביע על הזיות יותר מאשר על האמת.
קתרין אינה יכולה לאמת את טענתה, ולצורך "הוכחת" שפיותה ועל מנת לחזור ולהתקבל לזרועות החברה נדרשת קתרין לחזור בה ולמעשה לוותר על היצירתיות והייחוד שבה.
הסרט "הוכחה", בעקבות המחזה באותו שם, קורא תיגר על הבורות וצרות המוחין של החברה, המושכת לבינוניות, ומתייגת כ"סוטה" את מי שאינו עומד בכללים.
הוכחה בנפנופי ידיים הוא ביטוי המתאר נימוק של טענה בהיעדר הוכחה פורמלית מלאה ומוסדרת.
הביטוי נפוץ בתחומים כמו מתמטיקה, פיזיקה, ודיבייט, ולקוח מן הנטייה לשימוש בתנועות ידיים להמחשת רעיונות בצורה אינטואיטיבית.
במקרים מסוימים, הסבר בנפנוף ידיים יכול לסייע בהבנת בעיות מורכבות בכך שמתרכזים ברעיון הכללי מאחורי הטענה במקום בדקויות שעליה הטענה מסתמכת, במיוחד כאשר ההוכחה הפורמלית ארוכה או מסובכת.
עם זאת, הביטוי נושא לעיתים גוון שלילי, ומשמש כדי לבקר תיאוריות והוכחות מדעיות או מתמטיות שאינן מנוסחות באופן קפדני וברור.
את הצורך במאיצי חלקיקים ובאנרגיות גבוהות על מנת לחקור חלקיקים אלמנטריים ניתן להסביר כך: ככל שחלקיקים מוגבלים למקום מוגבל ומוגדר היטב, כך על-פי עקרון האי-ודאות אי הוודאות בתנע שלהם גדולה יותר, ולכן כדי לקשור חלקיקים אלו יחד יש צורך באנרגיות גבוהות.
מכאן שככל שחלקיקים קטנים יותר כך על מנת לחקור את המבנה שלהם יש צורך באנרגיות גבוהות יותר.
זו דוגמה לניסיון הוכחה בנפנופי ידיים שכן היא מהווה הסבר אינטואיטיבי אך לא הוכחה פורמלית.
עם השנים, התפתחותה של המתמטיקה העיונית הובילה להתחזקות הגישה האקסיומטית, ולירידת קרנו של האמפיריציזם במתמטיקה לא שימושית.
כתוצאה מכך, הוכחות שבזמנן נחשבו לתקינות, כיום נתפסות כהוכחות בנפנופי ידיים.
דוגמאות רבות לפערים מסוג זה מצויות בהיסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי.
לדוגמה, התורה שעליה התבסס התחום החל מסוף המאה ה-17, נבנתה סביב מושגים כגון מושג הגבול, שנוסח לראשונה באופן ריגורוזי רק ב על ידי אוגוסטן לואי קושי .
בשעשועי מתמטיקה, הוכחה שגויה היא "הוכחה" המובילה לסתירה ברורה, וזאת משום שהיא מכילה שגיאות.
כרגיל בהטעיות, השגיאה אינה מוצגת באופן גלוי, והיא עשויה להיות חבויה היטב בין פרטים רבים, עד שמציאתה מהווה אתגר, המנוצל לצרכים פדגוגיים או לשם שעשוע.
בנוסף, ההוכחות השגויות מראות את חשיבותה של כתיבה ריגורוזית במתמטיקה.
שימו לב: ה"הוכחות" המופיעות כאן אינן נכונות מבחינה מתמטית.
בכולן ישנה טעות באחד או יותר משלבי ההוכחה, ולכן השימוש במילה "הוכחה" בהמשך אינו נאמן להגדרתו הלוגית.
נפוצות מספר רב של הוכחות, לכאורה, המבוססות על פעולות אלגבריות שגויות (אסורות בנסיבות מסוימות).
המשותף להוכחות בתחום זה הוא שלאורך ההוכחה מתבצעת פעולה שגויה, אך היא מוחבאת, כך שמקריאת רצף ההוכחה קשה להבחין בה.
להלן מספר דוגמאות לפעולות שגויות כאלו ולשימוש בהן בהוכחות שגויות:
הוצאת שורש: באלגברה, לכל מספר ממשי חיובי יש שני שורשים: , ואולם לפונקציית השורש הריבועי יש רק ערך אחד – חיובי.
תוך ניצול עובדה זו באופן שגוי, ניתן להוכיח, לדוגמה, כי: (בפועל, , משום ש־ תמיד אי־שלילי עבור ממשי).להלן הוכחה שגויה נוספת הקשורה בשורש ריבועי:
הטעות הראשונה בהוכחה נמצאת במעבר הלוגי מהשורה השלישית לשורה הרביעית.
כאשר אנו נמצאים בתחום המספרים הממשיים, פונקציית השורש (הריבועי) אינה מוגדרת על מספרים שליליים.
לכן, פעולת הוצאת השורש הריבועי לכל אחד משני אגפי השוויון אינה תקפה ואינה חוקית.אף על פי שדי במציאת טעות אחת בהוכחה כדי להפריכה, טעות ברורה נוספת נמצאת במעבר בין השורה הלפני־אחרונה לשורה האחרונה.
כל מספר ריבועי (בתחום המספרים הממשיים) הוא אי־שלילי, ולכן, לא הגיוני בעליל ש־ (וזאת, מבלי להיכנס בכלל לכך, שהביטוי אינו מוגדר בתחום המספרים הממשיים).
אילו היינו נמצאים בתחום המספרים המרוכבים, הטעות הראשונה בהוכחה הייתה המעבר הלוגי מהשורה הרביעית לשורה החמישית – שכן חוקי חֲזָקות ושורשים אינם נכונים באופן כללי כאשר הבסיס אינו מספר ממשי חיובי, ולכן אין להניח שהשורש של המנה שווה לִמנת השורשים.
זהויות שגויות: ישנן זהויות הנכונות למקרים פרטיים מוכרים, אך לא למקרה הכללי.
לדוגמה, הזהות עבור ממשי, נכונה רק כאשר ו־ ממשיים חיוביים (בגלל התלות בענף הלוגריתם המוגדר).
חלוקה באפס: הכפלה של כל מספר ב־0 היא 0, ולכן הפעולה ההפוכה של חילוק באפס איננה מוגדרת (היא אינה חד־ערכית).
אחרת, ניתן היה להסיק שכל שני מספרים שווים – , מכיוון שכאשר כופלים את שני צדי השוויון ב־0 מתקבל השוויון , שהוא נכון (פסוק אמת – טאוטולוגיה).
גם במקרה זה, בהוכחות שקריות, נהוג להסוות את פעולת החלוקה באפס, כדי שהשגיאה בהוכחה לא תהיה ברורה מאליה; לדוגמה, בהוכחה הבאה לכך ש־:
ניקח שני מספרים שווים .
הטעות הראשונה בהוכחה נמצאת במעבר הלוגי מהשורה החמישית לשורה השישית.
מאחר שהתחלנו וקבענו מראש ש־, אזי , ולכן, הצמצום / החלוקה ב־ היא חלוקה אסורה ב־0.אף על פי שדי במציאת טעות אחת בהוכחה כדי להפריכה, טעות ברורה נוספת נמצאת במעבר בין השורה הלפני־אחרונה לשורה האחרונה.
מהשורה הלפני־אחרונה ניתן להסיק באופן מיידי, על ידי העברת אגפים, ש־, ויחד עם זאת, אנחנו מחלקים בו (שוב, חלוקה אסורה ב־0).
בחידות חיתוך והרכבה, העוסקות בחיתוך צורה אחת והרכבתה לצורה אחרת, מתקיים "חוק שימור השטח": השטח של הצורה המקורית חייב להיות שווה לשטחה של הצורה החדשה.
יחד עם זאת, ישנם חיתוכים רבים שבהם לכאורה חוק זה לא מתקיים.
בספרות שעשועי המתמטיקה מתייחסים לחיתוכים אלו בתור "קסמים" או פרדוקסים – כלומר, הוכחות הסותרות את חוק שימור השטח, אך בחינה מדוקדקת של החיתוכים מראה שלמעשה אלו הוכחות שקריות – הן מבוססות על טעות (קשה לזיהוי) בחישוב השטחים.
באיור משמאל ניתן לראות דוגמה קלאסית לחיתוכים מסוג זה, שהומצאה על ידי סם לויד.
החיתוך מראה כיצד לחלק ריבוע 8x8 לארבעה חלקים (שני משולשים ושני טרפזים) שמהם ניתן, לכאורה, להרכיב מלבן בגודל 5x13. אולם, שטח הריבוע המקורי הוא 64 יח' ושטח המלבן הוא 65 יח' – ומכאן, שעל ידי חיתוך והרכבה הצלחנו, לכאורה, להגדיל את שטח הצורה.
הטעות בחיתוך היא, שהשיפועים של המשולש ושל הטרפז אינם זהים.
השיפוע של המשולש הוא 0.375=3/8, ואילו שיפוע הטרפז הוא 0.4=2/5. מכאן שהטרפז והמשולש לא "מתחברים" באופן חלק כדי ליצור מלבן (יש "חור" דקיק לאורך כל אלכסון המלבן, שאינו שייך לאף צורה, ושטחו שווה בדיוק לשטח (המזויף) שהתווסף למלבן של 1 יח') .
באיור ניתן לראות גם הרכבה נוספת של אותם חיתוכים ממש, שנתגלתה על ידי בנו של סם לויד, היוצרת צורה, שלכאורה, השטח שלה הוא 63 יח'.
גם כאן, הסיבה נעוצה בהבדלי השיפועים של הצורות המרכיבות את הצורה.
במתמטיקה, טור אינסופי הוא סכום עם מספר אינסופי של מחוברים.
קיימים טורים אינסופיים שסכומם מספר סופי.
טורים אינסופיים נעדרים מספר תכונות אינטואיטיביות המיוחסות לסכומים (כמו שתמיד הסכום הוא קבוע אחד ויחיד), ולכן, הם עומדים בבסיסן של הוכחות שגויות רבות.
סכום מופרך: הסכום של טור אינסופי של מספרים אינו בהכרח מספר (סופי או אינסופי).
ייחוס תוצאה מספרית לסכום הטור והפעלת כלים אלגבריים פשוטים ומוכרים מעולם המספרים עליהם, עשוי להוביל לתוצאות מופרכות.
קיבוציות: תכונה מוכרת ומאפיינת של פעולת החיבור היא תכונת הקיבוציות.
כאשר נתון סכום סופי של מספרים, אין צורך לחברם לפי סדר הופעתם, אלא ניתן לחבר את האיברים לפי איזה סדר שנחפוץ בו.
כלל זה לא בהכרח תקף לסכומים אינסופיים, ושימוש בו עלול להוביל לתוצאות שגויות.
למעשה אף אחת מן התוצאות אינה נכונה.
לאמיתו של דבר, מתנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי, הטור הזה אינו מתכנס לשום מספר ממשי.
למעשה, מתחבא פה חיבור אינסופי של אפסים, אז מחוק הפילוג מתקבל שהביטוי הוא מהצורה שהיא בלתי מוגדרת.
חילופיות: תכונה מוכרת ומאפיינת נוספת של פעולת החיבור היא תכונת החילופיות.
כאשר יש סכום סופי של מספרים, ניתן להחליף את סדר הופעתם והסכום יישאר זהה.
גם כלל זה אינו בהכרח תקף לגבי טורים אינסופיים.
תוצאה זו קרויה משפט רימן.
הוכחת האי-מנייה הראשונה היא הוכחתו של גאורג קנטור משנת 1874 כי כמעט כל המספרים הממשיים הם מספרים טרנסצנדנטיים.
הכלים ששימשו את קנטור לשם ההוכחה שימשו אותו מאוחר יותר לביסוס תורת הקבוצות אותה הגה.
להוכחה של קנטור חשיבות רבה במסגרת ההיסטוריה של תורה זו, שכן היא ההוכחה הראשונה לקיומה של קבוצה שאינה בת מנייה.
את אותה טענה הוכיח קנטור מאוחר יותר באמצעות טיעון האלכסון של קנטור שהיא ההוכחה המפורסמת יותר כיום.
הרעיונות להוכחה של קנטור מופיעים לראשונה בהתכתבות בינו לבין עמיתו ריכרד דדקינד.
במכתב מנובמבר 1873 תוהה קנטור אם קיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין המספרים הטבעיים למספרים הממשיים.
הוא מציין כי גילה התאמות שכאלו בין המספרים הטבעיים לבין המספרים הרציונליים ולבין ה-n-יות הסדורות מסדר קבוע.
דדקינד השיב כי לא מצא תשובה, אך לא חושב שיש חשיבות לתשובה.
בנוסף ציין כי קיימת גם התאמה בין הטבעיים לאלגבריים.
בדצמבר משיב קנטור כי דווקא יש עניין בתשובה.
למשל אם התשובה היא לא, אז זה יספק הוכחה חדשה לקיומם של מספרים טרנסצנדנטיים.
ימים ספורים לאחר מכן שלח קנטור לדדקינד הוכחה לאי-קיום ההתאמה.
קנטור פרסם את ממצאיו ב-1874 במאמר בגרמנית בשם Über eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen שניתן לתרגמו "על תכונות אופייניות של מספרים אלגבראיים ממשיים".
הוכחתו של קנטור נחלקת לשלושה חלקים:
חלק ראשון: הוכחה כי ניתן לסדר את המספרים האלגבריים בסדרה.
בניסוח מודרני המשמעות היא שקיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין המספרים האלגבריים למספרים הטבעיים, כלומר קבוצת המספרים האלגבריים היא בת מנייה.
חלק שני: הוכחה כי לא ניתן לסדר את כל המספרים הממשיים בקטע כלשהו בסדרה.
בניסוח מודרני, קבוצת המספרים הממשיים בקטע כלשהו אינה בת מנייה.
מסקנה: בכל קטע קיימים מספרים שאינם אלגבריים (ולכן טרנסצנדנטיים), ובמובן מסוים הם רוב, מכיוון שעל אף שניתן לסדר את כל המספרים האלגבריים בקטע בסדרה, לא ניתן לעשות זאת לכל המספרים הטרנסצנדנטיים בקטע.
ראשית קנטור מגדיר את ה"גובה" של פולינום כלשהו עם מקדמים שלמים ומעלה חיובית להיות הסכום של מעלת הפולינום עם הערכים המוחלטים של מקדמיו, פחות אחד:
נגדיר את הגובה של מספר אלגברי בתור הגובה של הפולינום המינימלי שלו.
יש רק מספר סופי של פולינומים מגובה נתון, כי המעלה וכל המקדמים קטנים בערכם המוחלט מהגובה, ויש רק מספר סופי של שלמים קטנים בערכם המוחלט ממספר נתון.
לכל פולינום יש מספר סופי של שורשים (לכל היותר כמעלתו) ולכן יש רק מספר סופי של מספרים אלגבריים מגובה נתון.
נסדר את כל המספרים האלגבריים בסדרה, כך שקודם יבואו המספרים שגובהם 0 מסודרים לפי גודל, אחריהם המספרים שגובהם 1 מסודרים לפי גודל, אחריהם המספרים שגובהם 2 מסודרים לפי גודל, וכן הלאה עד אינסוף.
בדרך זו סידרנו את כל המספרים האלגבריים בסדרה והוכחנו כי הם בני מנייה.
המספרים הממשיים אינם בני מנייה
בחלק זה מראה קנטור שלכל סדרה של מספרים ממשיים בקטע נתון ניתן למצוא מספר בקטע שלא נמצא בסדרה ולכן לא קיימת סדרה של כל הממשיים בקטע.
לכל סדרה נתונה שכזו בקטע מגדיר קנטור סדרת קטעים באופן הבא: נסמן ב- וב- את שני המספרים הראשונים בסדרה שנמצאים בקטע הפתוח , כך ש-.
המספרים יהיו המספרים הבאים בסדרה שנמצאים בקטע ומקיימים .
ממשיכים בתהליך הזה עד אינסוף באינדוקציה: הם המספרים הבאים בסדרה הנמצאים בקטע ומקיימים .
ייתכנו שתי תוצאות לתהליך: אפשרות ראשונה היא כי בשלב כלשהו התהליך ייעצר כי לא יימצאו בסדרה שני מספרים ששייכים לפנימו של קטע מסדרת הקטעים.
במקרה כזה מתקבל קטע אחרון שאין בו אף איבר של סדרה, מלבד אולי איבר אחד, וכל מספר בפנים הקטע מלבדו בהכרח לא מופיע בסדרה.
אפשרות שנייה היא כי התהליך לא ייעצר לעולם.
במקרה כזה קיים גבול: כי זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה.
בשלב זה יכול היה קנטור לסיים את ההוכחה בהבחנה כי לכל n, נמצא בקטע בעוד ש- אינו בקטע זה, ולכן .
במקום זאת מפצל קנטור את המקרה הזה לשני תת-מקרים:
אם אז הוא נמצא כאמור בכל קטע ולכן לא מופיע בסדרה.
קנטור מבחין כי זה מה שמתרחש במקרה בו היא סדרת האלגבריים אותה הגדיר בחלק הראשון בהוכחה.
אם הרי שכל איבר בקטע לא מופיע בסדרה.
יש דמיון רב בין הוכחה זו לבין הלמה של קנטור.
הוכחת קנטור מספקת דרך לבנות מספר טרנסצנדנטי בכל קטע שהוא.
לשם כך בונים סדרה של כל המספרים האלגבריים בקטע (החלק הראשון של ההוכחה מדגים דרך אחת לעשות זאת).
כעת עוקבים אחר התהליך בהוכחת קנטור, ולפיה הגבול המתקבל הוא בהכרח מספר טרנסצנדנטי (לא ייתכן המקרה הראשון בשל צפיפות האלגבריים).
על ידי בחינת איברים הולכים וגדלים בסדרה נוכל לחשב את בכל רמת דיוק שנרצה.
אלגוריתם לחישוב מספר טרנסצנדנטי תוך שימוש בהוכחת קנטור פועל בזמן ריצה תת-מעריכי.
ההוכחה המאוחרת יותר של קנטור בשיטת הלכסון מתכנסת למספר מהר יותר.
זמן הריצה שלה הוא פולינומי.
הולבי סיטי היא סדרת טלוויזיה בריטית מסוגת דרמה רפואית בהפקת ה-BBC, המתרחשת בבית החולים הולבי, ועלתה לשידור לראשונה ב-12 בינואר 1999.
הסדרה הושקה בשנת 1999 כסדרה מקבילה ל"חדר מיון" (Casualty) העוסקת בחיי היום יום בבית החולים, וממשיכה את דרכה גם בהווה לאחר היסטוריה ארוכה של פרסים שונים על הפקתה ועלילותיה.
במהלך הסדרה הופיעו רבים בתפקידי אורח, ובתפקידי צוות בית החולים לוהקו שחקנים ידועים כגון השחקן אדריאן אדמונדסון והשחקניות פטסי קנזיט, רוזי מרסל וג'יין אשר.
העונה ה-22 במספר עלתה לשידור ב-7 בינואר 2020 ותכלול 52 פרקים.
מרכז העלילה סובב סביב צוות בית החולים.
נושאים שונים מועלים בפרקי הסדרה, יחסי רופאים וחולים, יחסים אישיים וחברויות שונות בין עובדי בית החולים, נושאי האתיקה הרפואית השונים, ועוד המון נגיעות שונות בחיי המטופלים השונים אשר מהווים כנקודות התחלה שוליות למגוון עלילות.
הוכחת היתכנות (נקרא גם POC, מאנגלית: Proof Of Concept) הוא מימוש של רעיון או שיטה על מנת להדגים את היתכנותה, או הדגמה שמטרתה לוודא כי לרעיון או תאוריה קיים פוטנציאל ליישום או שימוש.
לרוב, הוכחת היתכנות תהווה מימוש חלקי או קטן מהפתרון הכולל.
בתעשיית הקולנוע יוצרים לעיתים סרטים קצרים המהווים הוכחת היתכנות לטכנולוגיות או שיטות קולנועיות חדשות.
לדוגמה, הסרטים "300" ו"עיר החטאים" צולמו עם מסך ירוק וכמעט כל הנופים והאביזרים בהם יוצרו בעזרת מחשב.
לפני צילומם, צולמו סרטים קצרים כהוכחת היתכנות.
חברת פיקסאר נוהגת ליצור סרטי אנימציה קצרים כהוכחת היתכנות לטכניקות מורכבות או חדשות.
הסרט הקצר "המשחק של גרי" השתמש לראשונה בטכניקות אנימציה חדשות לביגוד והבעות פנים ריאליסטיות, אשר שימשו לאחר מכן בסרט "צעצוע של סיפור 2".
החברה יצרה מספר סרטי אנימציה קצרים כהוכחת היתכנות לטכניקות חדשות כגון זרימה של מים, כהכנה להפקת הסרט "מוצאים את נמו".
בתהליך פיתוח תוכנה, לעיתים קרובות נכתב פרויקט פיילוט בעל מיקוד צר וחלקי, המהווה הוכחת היתכנות לפתרון השלם.
מטרת הוכחת ההיתכנות היא בדיקת הטכנולוגיה החדשה, לרוב לאחר פריסה וזמינות לשימוש הלקוח.
הול פודס מרקט היא רשת סופרמרקטים רב-לאומית אמריקאית מקבוצת אמזון, שבסיסה באוסטין, שבטקסס, ומוכרת באופן בלעדי מוצרים ללא שומנים מוקשים וצבעים מלאכותיים, טעמים וחומרים משמרים.
הרשת, בעלת מכולת אורגנית מוסמכת של מחלקת החקלאות של ארצות הברית בארצות הברית, וידועה באופן פופולרי בזכות המזון האורגני שלה.
לחברת הול פודס כ-500 חנויות בצפון אמריקה ובבריטניה, נכון ל-4 במרץ 2019.
ב-23 באוגוסט 2017 דווח כי נציבות הסחר הפדרלית אישרה מיזוג בין אמזון להול פודס מרקט; העסקה נסגרה ב-28 באוגוסט 2017.
בשנת 1978 ג'ון מקיי ורנה לוסון לוו 45 אלף דולר ממשפחה וחברים כדי לפתוח חנות מזון טבעונית צמחונית קטנה בשם SaferWay באוסטין, טקסס (השם הוא זיוף של Safeway).
כאשר פונו השניים מפני שאחסנו מוצרי מזון בדירתם, הם החליטו לגור בחנות.
מכיוון שזו מיועדת לשימוש מסחרי, לא היה מקלחון, ולכן הם התרחצו באמצעות צינור מים המחובר למדיח הכלים שלהם.
שנתיים אחר כך, מקי ולוסון חברו בשיתוף פעולה עם קרייג ולר ומארק סקיילס כדי למזג את SaferWay עם המכולת הטבעית של קלארקסוויל, והביא לפתיחת הסניף המקורי של הול פודס, שכלל מוצרי בשר.
בגובה 10,500 מטר רבוע, ועם צוות של 19 נפשות, החנות הייתה גדולה בהשוואה לחנויות המזון הבריאות הרגילות באותה תקופה.
ביום הזיכרון שלאחר מכן, ב-25 במאי 1981, השיטפון המזיק ביותר מזה 70 שנה הרס את אוסטין.
המלאי של הול פודס נהרס, ורוב הציוד נפגע.
ההפסד הסתכם בכ-400,000 דולר, ולהול פודס לא היה ביטוח.
לקוחות, שכנים וצוות עובדים סייעו לתקן ולנקות את הנזק.
יצרנים, ספקים ומשקיעים סייעו להתאוששות החנות, וזו נפתחה מחדש 28 יום לאחר מכן.
החל משנת 1984, הול פודס מרקט התרחב מאוסטין, תחילה ליוסטון ודאלאס ואחר כך לניו אורלינס עם הרכישה של The Whole Food Co, בשנת 1988. בשנת 1989 החברה התרחבה לחוף המערבי עם חנות בפאלו אלטו, קליפורניה.
במהלך פתיחת חנויות חדשות, החברה הובילה צמיחה מהירה על ידי רכישת רשתות מזון טבעיות נוספות לאורך שנות התשעים: Wellspring Grocery שבצפון קרוליינה, לחם וצירקוס במסצ'וסטס ורוד איילנד (שנסגר בשנת 2003), Mrs.
Gooch's Natural Foods Markets מלוס אנג'לס, Bread of Life בצפון קליפורניה, Fresh Fields Markets בחוף המזרחי ובמערב התיכון, פלורידה חנויות לחם לחיים, ווינו, וארץ הטבע שבבוסטון.
החברה רכשה את חברת קפה אלגרו בשנת 1997. החנות ה-100 של החברה נפתחה בטורנס, קליפורניה בשנת 1999. באפריל 2019 פתחה הול פודס את החנות הגדולה ביותר שלה בדרום מזרח, במרכז אטלנטה.
בחנות בת שלוש הקומות יש מסעדת המבורגרים, בית קפה אלגרו ומרפסת גג.
החברה החלה את העשור השלישי שלה עם רכישות נוספות.
הראשונה הייתה של "Natural Abilities" בשנת 2000. בשנת 2001 הגיעה הרשת גם למנהטן.
מאוחר יותר באותה שנה קן מאייר הפך לנשיא אזור הדרום שהוקם לאחרונה והול פודס רכשה את נכסי שוק האיכרים של הארי, שכלל שלוש חנויות באטלנטה.
בשנת 2002 המשיכה החברה בהתרחבותה בצפון אמריקה ופתחה את החנות הראשונה שלה בטורונטו, אונטריו.
בהמשך להרחבתה, נרכשה סלקט פיש מסיאטל בשנת 2003. בשנת 2005 פתחה הול פודס את חנות הדגל שלה, באוסטין, טקסס, שגודלה 7,400 מטר רבוע.
מטה החברה עבר למשרדים שמעל החנות.
הול פודס פתחה את החנות הראשונה שלה בהוואי בשנת 2008, ובאותה השנה גם פתחה מרכז הפצה דרומי-מזרחי בבראסלון, ג'ורג'יה, וכינתה אותו "מרכז ההפצה הירוק" הראשון עבור החברה.
לצד רכישות חדשות, כמו רכישת שבעה סניפי Dominick's Finer Foods בשיקגו בשנת 2014, מכרה הול פודס גם חנויות לחברות אחרות.
לדוגמה, 35 חנויות הנריס מרקט וסאן הארבסט מרקט נמכרו לחברה בת של הסופרמרקט Smart & Final תמורת 166 מיליון דולר בשנת 2007.
הול פודס פתחה את החנות השנייה שלה במערב ניו יורק באמהרסט, פרבר באפלו בספטמבר 2017.
במסגרת קמפיין ההתייעלות, בינואר 2017 דיווחה החברה כי תסגור שלושה מטבחים אזוריים שנותרו באוורט, לנדובר ואטלנטה.
ביוני 2017 רכשה אמזון את הול פודס מרקט בעבור 13.7 מיליארד דולר.
אמזון מתכננת לאפשר ללקוחות בעלי חשבון פריים להזמין את מוצרי הול פודס באינטרנט ולהגיע לאסוף אותם בחנות בחינם.
בחודש ינואר 2019, במסגרת התרחבות נוספת לכמה אזורים נגישים, הודיעה אמזון שתרכוש מספר סניפים לשעבר בסירס ובקמארט אשר הגישו בקשה להגנה מפני פשיטת רגל ב-15 באוקטובר 2018. מיקומים פנויים אלה ייהרסו או ישופצו מחדש כסניפים חדשים של הול פודס.
בשנת 2004 נכנסה חברת הול פודס מרקט לממלכה המאוחדת דרך רכישה של שבעה סניפיFresh & Wild.
ביוני 2007 פתחה הול פודס את החנות הראשונה בגודל המלא שלה, בסך הכל 7,400 מטרים רבועים, בעלת שלושה מפלסים, באתר חנות הכלבו הוותיקה Barkers ברחוב קנסינגטון, מערב לונדון וכיום החנות הגדולה ביותר שלהם בעולם.
בכירי החברה טענו כי בסופו של דבר עשויות להיפתח ארבעים חנויות ברחבי בריטניה.
עם זאת, בספטמבר 2008, בעקבות הבעיות הכלכליות של הול פודס, סניפי Fresh & Wild צומצמו לארבע, כולם בלונדון.
סניף הדגל של בריסטול נסגר מכיוון שהוא "לא עמד ביעדי הרווחיות".
בשנה, עד ל-28 בספטמבר 2008 הפסידה חברת הבת בבריטניה 36 מיליון ליש"ט בגלל חיוב ירידת ערך גדול של 27 מיליון ליש"ט והצלחה מסחרית נמוכה בגלל החשש הגובר למיתון עולמי.
עם זאת, בשנת 2011, המכירות העולמיות גדלו בשמונה אחוזים בכל רבעון פיננסי, כאשר החלו הקונים להזמין מהאינטרנט.
החנות הסקוטית ראשונה נפתחה ב-16 בנובמבר 2011 בגיפנוק, גלאזגו.
הול פודס סגרה את הסניפים בערים גיפנוק וצ'לטנהאם בסוף נובמבר 2017, במסגרת תוכנית רציונליזציה.
הול פודס נכנסה לשוק הקנדי בשנת 2002 בטורונטו.
בשנת 2013, הודיעה הול פודס כי היא תפתח בסביבות 40 חנויות נוספות בקנדה לאורך זמן.
באותה תקופה היו בקנדה היו פתוחים בקנדה תשעה סניפים.
בינואר 2017 היו לחברת הול פודס 467 חנויות שכולן היו בארצות הברית למעט 9 בבריטניה ו-12 בקנדה.
בינואר 2017 הודיעה הול פודס כי היא מבטלת תוכניות משנת 2015 ו-2016 לפתוח חנויות בקלגרי ואדמונטון.
בין השתים-עשרה ישנם חמישה סניפים באזורים של ונקובר וטורונטו, אחד באוטווה ואחד בויקטוריה שבקולומביה הבריטית.
רכישת ויילד אוטס מרקטס ותלונה בנושא הגבלים עסקיים
ב-21 בפברואר 2007 הודיעו הול פודס מרקט וויילד אוטס מרקטס על חתימת הסכם מיזוג לפיו הול פודס תרכוש את המניה המשותפת של ויילד אוטס בהצעה למכרז במזומן של 18.50 דולר למניה, או כ-565 מיליון דולר על בסיס מניות מדוללות לחלוטין.
ב-27 ביוני 2007, פרסמה ועדת הסחר הפדרלית (FTC) תלונה מנהלית המאתגרת את רכישת הול פודס את ויילד אוטס.
על פי התלונה, ה-FTC סבר כי העסקה המוצעת תפר את חוקי ההגבלים העסקיים הפדרליים על ידי ביטול התחרות המהותית בין שני מתחרים קרובים בהפעלת סופרמרקטים טבעיים ואורגניים מובחרים בפריסה ארצית.
ה-FTC טען כי אם העסקה הייתה מתבצעת, הול פודס יכולה הייתה להעלות מחירים ולהפחית את האיכות והשירותים.
גם הול פודס וגם וייט אוטס הצהירו כי בכוונתם להתנגד נמרצות לתלונה של ה-FTC, ודיון בבית המשפט בנושא נקבע ל-31 ביולי ול-1 באוגוסט 2007. המנכ"ל ג'ון מקיי פתח בלוג נושא כדי להסביר את התנגדותו לעמדת ה-FTC.
בלוגים נוספים של מקיי נפתחו כאשר ה-FTC פרסם מאמרים המפרטים הערות דעתניות, תחת שם הבדוי "Rahodeb".
העניין הפך לנושא חקירה כאשר הוועדה לניירות ערך ולבורסות (SEC) ציינה כי חוק גילוי הנאות משנת 2000 עשוי להיות מופר.
ה-SEC פינה את מקיי מההאשמות ב-25 באפריל 2008.
ב-29 ביולי 2008 ביטל בית המשפט לערעורים למחוז קולומביה את החלטת בית המשפט המחוזי המתירה את המיזוג.
בית המשפט לערעורים קבע כי "סופרמרקטים טבעיים ואורגניים מובחרים" ("PNOS"), כמו הול פודס ויילד אוטס, מהווים שוק משני מובהק של כל בעלי החנויות, ובעקבות ראיות שנאספו על ידי ה-FTC, הוכח כי הול פודס תכננה להעלות מחירים לאחר השלמת המיזוג.
כחלק מהמאמצים להילחם בפסק הדין, הציגה הול פודס מסמכים פיננסיית, מחקרי שוק ותוכניות אסטרטגיות עתידיות השייכות לניו סיזנס מרקט, מתחרה אזורית הממוקמת באזור פורטלנד.
בשנת 2009 הסכימה הול פודס למכור את רשת ויילד אוטס.
2017–הווה: חברת בת של אמזון
בפברואר 2017, הודיעה הול פודס מרקט אמרה כי תסגור תשע מחנויותיה ותוריד את תחזיותיה הכספיות לשנה, שכן חברת המזון הטבעי נאבקה עם הגברת התחרות והאטת צמיחת המכירות.
בסוף אפריל 2017 דיווחה הול פודס על הרבעון השישי ברציפות של מכירות שהצטמצמו, ונודע כי החברה תסגור תשע חנויות: שתיים בקולורדו ובקליפורניה, ואחת בג'ורג'יה, אריזונה, יוטה, ניו מקסיקו ואילינוי.
אובדן ההכנסות יוחס לתנועת הולכי הרגל ולסופרמרקטים אחרים המציעים חוויה דומה בעלות נמוכה יותר.
ב-15 ביוני 2017, אמזון הודיעה כי תרכוש את הול פודס מרקט, ותפתח כ-400 חנויות פיזיות לנכסי המסחר האלקטרוני של אמזון.
הרכישה הוערכה בסכום של 13.7 מיליארד דולר, וגרמה למחירי המניות של הול פודס לעלות לאחר מכן.
בשנת 2018, הודיעה הול פודס על כוונתה לרכוש מספר סניפים של חנויות הכלבו "סירס" ו-"קמארט" ולשפץ אותם לאחר שסירס אחזקות, שהייתה בבעלותן של שתי הרשתות, הודיעה על פשיטת רגל באוקטובר.
החברה גם מוכרת מזון ומוצרים אורגניים רבים המאושרים על ידי USDA שמטרתם להיות ידידותיים לסביבה ואחראים לסביבה.
החנויות אינן מוכרות כבד אווז או ביצים מתרנגולות המוגבלות בכלובי סוללות עקב חששות לאכזריות בבעלי חיים, כתוצאה מהסברה מוצלחת של קבוצות רווחת בעלי חיים.
האתר של הול פודס מרקט מפרט את הקריטריונים של החברה למכירת מזון, תוספי תזונה ומוצרי טיפוח אישי.
עד יוני 2011, ניתן יהיה לשווק מוצרים לטיפוח הגוף הנמכרים בהול פודס מרקט כאורגניים גם אם היו מכילים רכיבים שאינם רשומים על ידי ה-USDA כמקובלים לשימוש במזון אורגני.
אורבאשי רנגן, מדען לבריאות סביבתית ציין כי "מוצרים המיוצרים באמצעות נפט ומרכיבים סינתטיים או כימיים אחרים, האסורים במזון אורגני, ניתן למצוא בין השמפו והקרמים האורגניים המיוצרים על ידי Avalon, Nature's Gate, Jason Natural Cosmetics, Kiss My Face ומותגים אחרים".
הסיבה לכך היא שההנחיות הפדרליות המסדירות את תיוג המזון האורגני אינן חלות על קוסמטיקה.
החל מיוני 2011, מוצרי טיפוח אישיים שנמכרו בהול פודס נדרשו לעמוד באותם תקני התוכנית האורגנית הלאומית של ה-USDA.
למוצר המשווק כ"אורגני" דרוש שיכיל 95 אחוז או יותר רכיבים אורגניים מוסמכים.
במאמר cוול סטריט ג'ורנל באוגוסט 2009, הודה ג'ון מקיי כי החברה שלו איבדה קשר עם שורשי המזון הטבעיים שלה ותנסה להתחבר מחדש לרעיון שבריאות הושפעה מאיכות המזון הנצרך.
הוא הצהיר כי החברה תתמקד יותר בחינוך לבריאות בחנויות שלה.
במאמץ לאפשר ללקוחותיהם שקיפות מלאה ברכישה, הול פודס מרקט פיתחה מספר מערכות דירוג בחנות למחלקות שונות.
למחלקת פירות ים קיימת מערכת דירוג קיימות לפירות ים שנתפסים בר ואילו פירות ים מגודלים בחוות חייבים לעמוד בתקני החקלאות שניהם מדורגים על פי מבקרי צד ג'.
למחלקת הבשר קיימת מערכת דירוג בשיתוף עם השותפות העולמית לבעלי חיים המבוססת על רווחת בעלי חיים.
במחלקת התוצרת יש מערכת דירוג המבוססת על נוהלי חקלאות הכוללים מדדים לסביבה של חווה, שקיפות GMO, בטיחות עובדים ושיטות עבודה.
למחלקת המכולת יש מערכת דירוג בקנה מידה אקולוגי עבור מוצרי הניקוי שלה המודדת את השפעתם הסביבתית.
כל מערכת קיימת כדי לאפשר ללקוחות לבצע את הבחירות המשכילות ביותר בשוק Whole Foods Market.
יש מאמצים ליצור יותר מערכות דירוג במחלקות אחרות.
שוק המזון המלא הודיעה על כוונתה לספק ללקוחותיה תוויות GMO (אורגניזם מהונדס גנטית) עד 2018. מאמצי השקיפות ל-GMO מנהלים את מכלול המחלקות.
בעוד המאמצים נמשכים בייצור, הול פודס ממליצה לקנות מזון אורגני או להתייחס ל-"מערכת הדירוג שלהם לייצור אשר מחייבת את המגדלים לחשוף שימוש בזרעי GMO או חומר צמחי".
במחלקת מאכלי הים מתוכננות תוכניות להשקת תהליך אימות מוצרים שאינם GMO לדגים מגודלים בחוות.
נכון לעכשיו, אין תקנות בהיבט האורגני של מחלקת החקלאות של ארצות הברית אודות מאכלי ים מעובדים.
הול פודס מרקט רוכשת מוצרים למכירה קמעונאית מספקים סיטונאים מקומיים, אזוריים ובינלאומיים.
מרבית הרכישות מתרחשות ברמה האזורית והארצית כדי לנהל משא ומתן על הנחות נפח עם ספקים ומפיצים גדולים.
קונים אזוריים וקוני חנויות מתמקדים במוצרים מקומיים ובכל המוצרים הייחודיים הנחוצים כדי להבטיח תחושת שוק שכונתי בחנויות.
הול פודס טוענת כי החברה מחויבת לקנות מיצרנים מקומיים העומדים בתקני האיכות שלה, תוך שהיא מתמקדת יותר ויותר ברכישתם במסגרת תוכניות הייצור והיצרנים הישירים.
באזורים מסוימים ישנם עובדים המכונים "forager" (מזויף), אשר תפקידם הבלעדי הוא להביא מוצרים מקומיים לכל חנות.
הול פודס היא המכולת הראשונה בארצות הברית שמקיימת עמידה מוסמכת בסטנדרטים של התוכנית הלאומית האורגנית, הכוללת מעקב אחר מוצרים מרגע הגעתם לחנויות ועד להצבתם בעגלת קניות.
באפריל 2007 השיקה הול פודס מרקט את אחריות המסחר המלאה, יוזמת רכישה המדגישה אתיקה ואחריות חברתית הנוגעת למוצרים שיובאו מהעולם המתפתח.
הקריטריונים כוללים מחירים הוגנים לגידולים, פרקטיקות סביבתיות, שכר ותנאי עבודה טובים יותר לעובדים והתניה שאחוז אחד מהתמורה ממוצרים מוסמכים של כל הסחר הולך לקרן הול פלאנט לתמיכה בתוכניות הלוואות במדינות מתפתחות.
מטרת החברה, שפורסמה בשנת 2007, היא להחזיק לפחות כמחצית מהמוצרים המיובאים ממדינות אלה עד שנת 2017.
הול פודס מרקט בעלת מדיניות של תרומה של לפחות חמישה אחוזים מהרווחים השנתיים שלה למטרות צדקה.
חלק מהמנדט הזה מתבצע באמצעות תרומות ברמת החנות הנערכות ב-"ימי 5%" מסוימים לאורך השנה.
שאר התרומות מגיעות מפרויקטים ממוקדים שונים של החברה.
במאי 1999 הצטרפה הול פודס מרקט מועצת המפקדות הימית (MSC), ארגון עצמאי עולמי, שאינו למטרות רווח, המקדם דגי בר-קיימא ומנהגי דיג אחראיים ברחבי העולם כדי לסייע בשימור מלאי הדגים לדורות הבאים.
החברה החלה לראשונה למכור פירות ים מוסמכים של MSC בשנת 2000, ומבחר הולך וגדל של דגי MSC מוסמכים ממשיך להיות זמין.
הול פודס הוצבה במקום השלישי ברשימת סוכנות ההגנה על הסביבה האמריקאית של "25 השותפות המובילות של הכוח הירוק".
החברה קיבלה גם את פרס EPA - "הכוח הירוק" בשנת 2004 ו-2005, ופרס שותף השנה בשנת 2006 ו-2007. דו"ח הסוכנות להגנת הסביבה (EPA) דיווח ב-8 בינואר 2007 על הול פודס מרקט כקונה השנייה בגודלה של הכוח הירוק בפריסה ארצית, וצוין כי פעולותיה מסייעות להניע פיתוח מקורות אנרגיה מתחדשים לייצור חשמל.
דו"ח ה-EPA הראה כי הול פודס מרקט השתמשה ב-463.1 מיליון קילוואט בשנה, בשימוש של מאה אחוזים נטו במקורות ביומסה, גיאותרמיים, סולאריים וברוח.
הול פודס חתמה על הסכם עם SolarCity להתקנת פאנלים סולאריים עבור 100 חנויות.
בינואר 2008, היה הול פודס מרקט הסופרמרקט הראשון בארצות הברית שהתחייב לבטל לחלוטין שקיות מכולת פלסטיק חד פעמיות כדי לסייע בהגנה על הסביבה ובשימור המשאבים.
חנויות רבות משמשות נקודת איסוף עבור קונים על מנת למחזר את שקיות הניילון שלהם.
ביום כדור הארץ, 22 באפריל 2008, הול פודס מרקט ביטלה את השימוש בשקיות מכולת פלסטיק חד פעמיות ברחבי החברה, לטובת שקיות לשימוש חוזר או שקיות נייר המיוצרות מנייר ממוחזר.
החברה גם החלה להציע את "התיקים הטובים יותר", תיק מכולת גדול וצבעוני המיוצר בעיקר מבקבוקים ממוחזרים.
המעבר ממערכת הנייר / הפלסטיק המסורתיים לשקיות ידידותיות לסביבה וניתנות לשימוש חוזר, ידוע כיוזמה שהחברה מכנה "Bring Your Own Bag" (בעברית: הבא תיק משלך).
הקמפיין מכוון לצמצום הזיהום על ידי ביטול שקיות הניילון וצמצום הפסולת על ידי עידוד שימוש חוזר בשקיות רב פעמיות של 5–10 סנט, תלוי בחנות.