tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
חוק שימור האנרגיה קובע כי במערכת סגורה – מערכת שאנרגיה לא יכולה לזרום אליה או ממנה – נשמרת כמות הנקראת "אנרגיה" – גודל המאפיין את מצבו של הגוף ביחס למרחב שבו הוא נמצא, כלומר, כמות זו במערכת אינה משתנה עם הזמן כל עוד המערכת נשארת סגורה.
סטטיקה היא ענף העוסק בבעיות שבהן כל החלקיקים במנוחה, ומנתח את הכוחות השונים הפועלים עליהם.
הידע בתחום זה הוא אחד הכלים החשובים בניתוח עמידות של חומרים.
לדוגמה, מהנדסי בניין בודקים שהמאמצים הפועלים על כל חלק בבניין קטנים מהמאמץ המקסימלי שאותו חלק מסוגל לשאת.
תוצאה מפורסמת של הידרוסטטיקה (העוסקת בסטטיקה בתוך נוזלים) היא חוק ארכימדס, הקובע שעל גוף הנמצא בתוך תווך נוזלי או גזי פועל כוח ציפה הפרופורציונלי לתווך הנדחה על ידי הגוף.
דינמיקה היא ענף החוקר אינטראקציות בין גופים שונים תוך התמקדות במושג הכוח וניתוח כוחות, אופני פעולתם והדרך בה הם משפיעים על המאפיינים התנועתיים של הגופים.
החוקים היסודיים ביותר המתארים את הכוחות והשפעתם על הגופים עליהם הם פועלים הם שלושת חוקי התנועה של ניוטון.
חוקים אלה קושרים את מושגי הכוח והתנע למאפייניו התנועתיים של גוף.
קינמטיקה היא ענף העוסק בתנועתם של גופים תוך התמקדות בתיאור התנועה ואופייה, תוך ניתוח כמותי של היבטים ופרמטרים המתארים אותה, כמו מסלולים, מרחקים, העתקים, מהירויות ותאוצות ותוך חקר הקשרים המתמטיים הקושרים גדלים אלה ומשוואות התנועה המתארות אותם.
ענף מכני נוסף חוקר את הקשרים בין עבודה ואנרגיה שהם גדלים פיזיקליים בסיסיים נוספים, כאשר "אנרגיה" היא תכונה של הגופים המבטאת את מצבם ועבודה מבטאת שינוי באנרגיה.
במסגרת תורת הכבידה נחקר כוח הכובד ונחקרות תכונותיו והשפעותיו ובפרט משיכת ותנועת גרמי השמיים, כאשר חוק הכבידה האוניברסלי של ניוטון מהווה את אחד מעמודי התווך של התחום.
בעיות חשובות בעלות פתרון אנליטי
שתי הבעיות הפשוטות ביותר שניתנות לפתרון אנליטי הן בעיית המתנד ההרמוני (חלקיק המחובר לקפיץ) והבעיה הדו-גופית.
מתנד הרמוני – מתנד הרמוני הוא מקרה בו פועל על חלקיק כוח מחזיר שפרופורציונלי למרחק שעבר החלקיק.
במקרה זה מבצע החלקיק תנודות סביב נקודה מסוימת.
הדוגמה הבסיסית ביותר לבעיה זו היא מצב של חלקיק הקשור לקפיץ, שכן הכוח שמפעיל קפיץ הוא פרופורציונלי למרחק מהראשית, תכונה הנקראת חוק הוק.
דוגמה נוספת היא מטוטלת, כלומר חלקיק התלוי על חוט.
כאשר החלקיק אינו מוסט מרחק רב מהראשית אזי הכוח המחזיר הפועל עליו הוא בקירוב טוב פרופורציונלי להסטה.
תכונה זאת אופיינית למערכות פיזיקליות רבות: מערכות שנמצאות בשיווי משקל הן במקרים רבים מערכות שעבורן הסטה קטנה גורמת לפעולת עליהן כוח מחזיר.
אם ההסטה איננה גדולה אז הכוח המחזיר הוא ליניארי ולכן בעיות אלו שקולות למתנד הרמוני.
בעיית המתנד ההרמוני ניתנת לפתרון אנליטי פשוט יחסית ומשמשת כמודל עבור בעיות פיזיקליות רבות, ומכאן חשיבותה.
הבעיה הדו-גופית – בעיה זאת הניעה את ניוטון לפתח את המכניקה, בניסיון להבין את תנועת כדור-הארץ (ושאר כוכבי הלכת) סביב השמש.
ניוטון הצליח להראות שבהנחה שפועל כוח משיכה בין כל שני גופים, כוח כבידה, שעוצמתו הפוכה לריבוע המרחק בין הגופים, אזי משוואות התנועה המתקבלות פתירות כך שהתנועה המתקבלת מתאימה בדיוק לחוקי קפלר המתארים את תנועת הכוכבים סביב השמש.
פרט לחשיבותה ההיסטורית של בעיה זו, הכלים המתמטיים והפיזיקליים הדרושים לפתרונה מוכללים לפתרון בעיות כלליות בשדה כוח מרכזי.
במסגרת מכניקת הרצף נחקרים גופים המשכיים (לא נקודתיים) ותכונותיהם המכניות תוך הנחה כי ניתן להתייחס אליהם כרציפים.
מכניקת הגוף הקשיח, המהווה מודל פיזיקלי אידיאלי למוצק, חוקרת את מאפייניהם ואת תנועתם הסיבובית של גופים קשיחים.
מכניקת הזורמים עוסקת בחקר הזורמים (קרי: נוזלים וגזים ובהקשרים מסוימים אף פלזמה), תכונותיהם ותנועתם הנקראת "זרימה".
תורת האלסטיות חוקרת את תגובתם של גופים למאמץ ואת תכונות החוזק.
לתורות אלו קשר עמוק לתורת הפיזיקה הסטטיסטית ובפרט למכניקה הסטטיסטית אשר בה, בניגוד לניתוח המכני הניוטוני העוסק במאפייניהם של גופים בדידים, מנותחת מערכת מתוך גישה סטטיסטית.
להרחבה ראו פרק מגבלות התורה ותורות משלימות.
המכניקה הניוטונית נשענת, מבחינה מתמטית, על החשבון האינפיניטסימלי שפיתחו ניוטון ולייבניץ, כל אחד בנפרד, ומסיבות שונות.
ענף מתמטי זה עוסק בהשתנותן של פונקציות ולכן מספק כלים נוחים לתיאור שינוי מצבה של מערכת פיזיקלית.
חלק נכבד מן ההגדרות והנוסחאות המוסקות מהן במכניקה הקלאסית, מנוסח על ידי הכלים של החשבון האינפיניטסימלי אשר משמש גם ככלי יסודי בניסוח ופתרון של בעיות מתחום זה.
כך, לדוגמה, המהירות היא קצב שינוי ההעתק, או בשפה מתמטית – הנגזרת שלו לפי הזמן, כאשר הנגזרת היא פעולה מתמטית המספקת מידע על קצב השינוי של הגדלים עליהם היא פועלת.
בסימון מתמטי, ניתן לכתוב את ההגדרה כך:
כאשר הוא וקטור המהירות, הוא וקטור ההעתק, ו- הוא אופרטור הגזירה.
באופן דומה, קצב שינוי המהירות הוא התאוצה המוגדרת כנגזרתה של המהירות, או נגזרתו השנייה של ההעתק.
בסימון מתמטי: , כאשר הוא וקטור התאוצה.
החוק השני של ניוטון קושר את התנע והכוח על ידי קשר של גזירה לפי זמן: בצורה המפושטת של החוק, המתייחסת למסה קבועה, כוח הפועל על גוף פרופורציונלי לתאוצה שהוא גורם לאותו גוף עד כדי קבוע פרופורציה שהוא המסה של הגוף עליו פועל הכוח.
בסימון מתמטי: , כאשר היא המסה ו- הוא וקטור התאוצה.
צורתו המלאה של החוק השני, עבור מסה שאינה בהכרח קבועה, נכתבת , כאשר הוא וקטור התנע המוגדר בתור .
משום שהתאוצה מוגדרת כנגזרת של המהירות ונגזרת שנייה של ההעתק, מקשר החוק השני של ניוטון, במקרה של מסה קבועה, בין הגדלים התנועתיים המאפיינים גוף וקצב השינוי שלהם לכוח המופעל על הגוף.
מבחינה מתמטית, אוסף קשרים זה מתבטא על ידי משוואה דיפרנציאלית המאפיינת את תנועת הגוף.
פתרון של משוואה מסוג זה, הדנה בקשרים בין קצבי שינוי של כמויות שונות, הוא בעצמו פונקציה – למשל, פונקציית ההעתק בכל זמן נתון.
באופן דומה, מבוסס פתרונן של בעיות מכניות רבות על ניסוח, ניתוח ופתרון של משוואות דיפרנציאליות הנובעות מתוך הגדרות, חוקי ניוטון וחוקי השימור.
הפילוסופיה האריסטוטלית, אשר שלטה באירופה בתקופת התהוות המכניקה, ראתה בהרמוניה ובמחזוריות של הטבע מוטיבים עיקריים.
היא הציגה את הטבע כבעל שלמות שבה אין מקום להסברת תופעות בדרך של ניסויים או על ידי הסתמכות על תופעות קודמות.
ידועים בביקורתיהם על גישה זו גלילאו ורנה דקארט אשר תקפו אותה ושאפו לבסס את המדע על ניסויים ותצפיות.
גלילאו ביסס את עבודותיו על ניסויים – למשל, הפלת גופים ממגדל פיזה, ניסוי אשר זכה לפרסום רב.
עבודותיו של גלילאו היוו בחלקן בסיס לעבודותיו המאוחרות יותר של ניוטון.
אלברט איינשטיין וליאופולד אינפלד טענו כי
בספרו המפורסם, עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע, מגדיר ניוטון את העקרונות המנחים אותו בעת הסקת מסקנות אודות "פילוסופיית הטבע", מונח בו השתמש על מנת לתאר את המדע הנקרא כיום "פיזיקה".
דוגמה לדרך בה עיצבו עקרונות אלו את המכניקה ניתן למצוא בעקרון המנחה של תורת הכבידה, על פיו בין כל שני גופים קיים כוח משיכה, עליו אמר ניוטון שהוא "דדוקציה מתוך תופעה".
בהפשטה, כיוון שדי להניח כי הכבידה היא זו המושכת גופים ארצה וכיוון שהמשכות הירח לכדור הארץ היא דומה, ניתן לקבוע כי אותו הכוח מושך את שניהם ואת כל שאר הגופים בעלי המסה.
בפתיח ספרו "עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע", מגדיר ניוטון את מטרתה של "פילוסופיית הטבע" במילים
חוקי התנועה של ניוטון, המהווים את עקרונות תורתו, הצריכו ראשית הגדרה של תנועה, ולשם כך דיון במונחים של זמן ומרחב.
הדיון במושג המרחב חייב התייחסות לשאלת קיומן של מערכות ייחוס שונות, אשר הוביל את ניוטון להגדיר
כהבהרה לקשר שבין חוק התנועה הראשון להגדרות אלו, הסיק ניוטון את הדברים הבאים:
עיקרון זה, המוכר בתור עקרון היחסות של גלילאו, נסתר ברבות הימים עם הופעת תורת היחסות של איינשטיין.
ברעיון המרחב המוחלט כפי שמתארו ניוטון ניתן למצוא הדים לגישות שרווחו בסוף ימי הביניים על פיהן מרחב מוחלט נברא על ידי האל אשר מלאו בגופים.
בתקופתו של ניוטון נעשו מספר שימושים במונח "כוח" על מנת לתאר דברים שונים.
לייבניץ השתמש בזמנו במושג על מנת לתאר את מה שמכונה היום "אנרגיה".
דקארט, שקדם לניוטון, אמר על השימוש במונח "כוח" כי אין להבינו:
עם זאת, הגישה אשר התקבלה לבסוף לטיפול במונח מבוססת על זו הניוטונית.
ניוטון הבחין בין שני סוגי כוחות.
הסוג הראשון הוא vis insita, "כוח טבוע", אותו הגדיר ניוטון כדבר אשר "במידת האפשר מונע מגוף לשנות את מצבו כמנוחה או תנועה שוות מהירות".
אין זה "כוח" במובן אליו מקובל להתייחס היום, כי אם "התמדה".
ניוטון טען כי ניתן לקרוא לכוח זה בשם vis inertia, מילולית: "כוח העצלות".
בשם זה ניכרת ההתנגדות לגישה האריסטוטלית על פיה הפסקת פעולת הכוח תגרום לעצירת הגוף – הגוף "עצל" מכדי לשנות את מצבו, התנועה, בהיעדר הכוח.
ניסוחו של חוק ההתמדה הניוטוני, הידוע כחוקו הראשון, מבוסס על חוק ההתמדה של גלילאו.
אותו הכלל נוסח גם בידי דקארט, אך זה הסבירו מתוך שיקולים תאולוגיים: לטענתו, תכונה זו של הטבע נובעת מתכונת "הנצחיות הבלתי משתנה של האל", המשמר את פעולת הטבע בצורה הפשוטה ביותר, בקו ישר.
הסוג השני של הכוח אותו הגדיר ניוטון הוא vis impressa, "כוח מוטבע", שהוא "פעולה המבוצעת על גוף במגמה להסיטו ממנוחה מתנועה שוות מהירות".
זהו כוח כפי שאנו מכירים אותו כיום.
בעזרתו, על סמך חוק התנועה השני שלו, הגדיר ניוטון את מושג המסה.
אחד מהישגיו הגדולים של ניוטון הוא פיתוח ההסבר לתופעת הכבידה.
שעה שהפילוסופיה האריסטוטלית הסבירה כי כל הגופים נמשכים באופן טבעי אל "מרכז היקום", הרי שחוק הכבידה העולמי של ניוטון הוא "עולמי" מבחינה כפולה: הן משום שהוא תקף לכל הגופים הידועים (בעלי המסה) והן משום שהוא מצביע על אינטראקציה בין כל הגופים הידועים (בעלי המסה).
עם זאת, עקב הייחודיות של כוח הכובד, הפועל בין שני גופים חומריים אף בהיעדר תווך חומרי ביניהם, נמנע ניוטון מלתת הסבר לתופעה והסתפק בתיאורה.
תורת המכניקה הקלאסית היא תורה דטרמיניסטית.
הדטרמיניזם היא השקפה שעל פיה מהלכם של אירועים הוא קבוע מראש ומתבסס ישירות על מהלכם של אירועים קודמים.
כך, התורה הניוטונית מספקת כלים שיכולים לנבא, לכאורה, את ההתנהלות הפיזית של אירועים על סמך ידע מוקדם של תנאי התחלה וחוקי הפיזיקה.
הפיזיקאי פייר-סימון לפלס, שהיה מהתורמים הבולטים לניסוחה של המכניקה הקלאסית על סמך כלים מתמטיים מתחום האנליזה, ידוע בטענתו כי בהינתן מחשב על בעל כל המידע הדרוש, ניתן יהיה לנבא את התנהלות היקום לפרטיה.
גישה זו הייתה גישה מדעית נפוצה עד תחילת המאה העשרים, אך עם ניסוח עקרון אי הוודאות של מכניקת הקוונטים, נמצא כי גישה זו איננה מתארת בהכרח מערכות מיקרוסקופיות.
התורה הניוטונית זכתה למספר ביקורות על העקרונות עליהם היא מתבססת, חלק גדול ממנה מכיוון האמפיריציסטים, ביניהם מי שנחשבים לאבות התחום: ג'ון לוק, ג'ורג' ברקלי ודייוויד יום.
הוגי האמפריציזם סברו כי על הידע האנושי להסמך על המידע אשר נקלט מהחושים וממסקנות ישירות מהם, דבר אשר עמד בניגוד מה לגישה הניוטונית.
כך, למשל, במקביל לשבחים שחלק יום לניוטון על הישגיו, ניסח את הבעיתיות אשר ראה בגישה הניוטונית במילים
בהתבטאות אחרת על הנושא, אמר יום על הישויות המופשטות המופיעות בתורה הניוטונית
ביקורת על תורתו של ניוטון נמתחה אף על ידי פיזיקאים גדולים אחרים בני זמנו, כדוגמת הויגנס ולייבניץ.
כך, למשל, לייבניץ מתח ביקורת על הישגיו של ניוטון בתחום הכבידה באומרו
לתורת המכניקה הקלאסית ישנן מספר מגבלות, אשר הובילו לבסוף לפיתוח תורות פיזיקליות נוספות אשר מתארות את הטבע בצורה מדויקת יותר.
כאמור, תורת המכניקה הקלאסית מתבססת על ניסוח משוואות דיפרנציאליות הנובעות מחוקי הקינמטיקה וחוקי התנועה של ניוטון ופתירתן.
משימה זו היא לעיתים מורכבת מבחינה טכנית ומתמטית, ולכן המכניקה הקלאסית מתקשה לתת פתרון מדויק למספר בעיות.
על מנת להתגבר על קושי זה, נוסחה תורת המכניקה האנליטית אשר מתבססת על עקרונות פיזיקליים דומים, אך תוך שימוש בעולם המתמטי של חשבון הווריאציות ובעקרון המילטון הידוע גם כ"עקרון הפעולה המינימלית".
היתרון הגדול בפורמליזם החדש הוא שניתן להכלילו לתורת שדות ובפרט למכניקת הקוונטים ותורת שדות קוונטית.
תוצאה חשובה מאוד במכניקה האנליטית היא משפט נתר הקובע שכל סימטריה בבעיה גוררת חוק שימור.
בעוד שהתורה הניוטונית עורכת ניתוח של מערכת ברמת הגופים הבודדים הכלולים בה מתוך חוקי התנועה, הרי שהתורה הסטטיסטית שואפת לנתח את התנהגותה הכוללת של המערכת, ולא של גופים בודדים הכלולים בה, על סמך מאפיינים כלליים של המערכת (למשל, טמפרטורה שאינה תכונה של חלקיק אחד כי אם של מערכת גדולה).
מתוך תורה זו נגזרת התרמודינמיקה וכן מושגות משמעויות עמוקות יותר של מונחים ניוטוניים.
כך, למשל, מושג ה"לחץ", במשמעותו הסטטיסטית, מתקשר להתנגשות של גופים רבים עם דופן של מערכת מסוימת ובכך מרחיב ומעמיק את המושג הניוטוני, בעיקר בהקשר של ניתוח בפיזיקת הרצף.
תורת הכאוס דנה במערכות שהתנהגותן מתאפיינת ברגישות גבוהה לתנאי ההתחלה שלהן במטרה לנתח את התנהגותן ולהבין את ההתנהגויות אליהן הן שואפות.
בתחילת המאה העשרים התחולל שינוי מהותי בעולם הפיזיקה עם היוולדן של שתי תורות חדשות, תורת היחסות ומכניקת הקוונטים, שמקורבות למכניקה הקלאסית, אך סותרות אותה באופן מורגש כשמתקרבים לסדרי גודל מסוימים של גודל ומהירות.
במסגרת המכניקה הקלאסית, אין הגבלה על מהירותו של האור או על מהירות העברתה של אינפורמציה.
עם זאת, ניסוי מייקלסון-מורלי הראה כי אחד הכללים הבסיסיים של המכניקה הקלאסית, חיבור מהירויות על פי טרנספורמציית גליליי, איננו נשמר עבור האור.
בהקשר לניסוי זה ובעקבות בעיות מתחום האלקטרודינמיקה, פיתח הפיזיקאי אלברט איינשטיין את תורת היחסות, הקובעת מגבלה על מהירות האור והעברת האינפורמציה, אשר כתוצאה ממנה משתנים מספר חוקים מכניים בסיסיים כשהמערכות הנידונות מתקרבות למהירות האור.
תורת היחסות קובעת כי המרחב והזמן אינם ישויות נפרדות ומוחלטות, ובכך מאגדת את הזמן והמרחב לכדי מרחב-זמן הניתן לעיוות, למשל, על ידי מסות.
כמו כן, תורת היחסות קובעת כי המסה והאנרגיה, שבמכניקה הקלאסית הן ישויות שונות, הן בעצם ישות אחת, כלומר – מסה היא אחת מצורותיה של האנרגיה, בדומה לחום או לאנרגיה חשמלית.
עבור מהירויות נמוכות משמעותית ממהירות האור ומסות שאינן אסטרונומיות, ההבדלים בין התחזיות של המכניקה הניוטונית לאלו של תורת היחסות הם זניחים.
תורה זו שוללת את הדטרמיניזם הקלאסי וקובעת כי בסקאלות קטנות דיין, למשל אטומים, ישנה אי-ודאות מובנית בהתנהגותן של מערכות פיזיקליות, ולכן הן ניתנות לתיאור הסתברותי בלבד.
אחת מהבעיות הפתוחות בפיזיקה היא מציאת מודל מכני כולל שיתאר היטב את התנהגות הטבע בכל סדרי הגודל, יכיל בתוכו את תוצאותיה החשובות של תורת הקוונטים ושל תורת היחסות גם יחד, ויסביר את אופן פעולת ארבעת כוחות היסוד.
תורת השדות הקוונטית מנסה לספק מודל מכני שמשלב את התוצאות החשובות של מכניקת הקוונטים ושל תורת היחסות גם יחד.
כיום התורה מתארת את הכוח הגרעיני החלש, הכוח הגרעיני החזק ואת הכוח האלקטרומגנטי.
התורה עושה שימוש בכלים פיזיקליים מודרניים מתחום פיזיקת מצב מעובה וכן במודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים.
שאלה מרכזית פתוחה בהקשר זה היא השאלה "האם קיימת תורה היכולה לתאר את תופעת הכבידה בצורה קוונטית".
תורה אפשרית שכזו נקראת תורת כבידה קוונטית.
המכניקה היא ענף בסיסי בפיזיקה, הן מבחינה היסטורית והן כיסוד להבנת הענפים המתקדמים יותר, ולפיכך נלמדת לרוב עם ראשית לימודי הפיזיקה, הן במוסדות השכלה תיכוניים והן בחינוך האקדמי.
בבתי הספר התיכוניים נלמדים פרקים בסיסיים במכניקה ניוטונית, לרוב עם פורמליזם מתמטי מפושט המתאים לרמה המתמטית שרוכשים התלמידים עד לשלב זה בלימודיהם.
בישראל, לדוגמה, נלמד מקצוע הפיזיקה במסגרת הלימודים לתעודת בגרות כמקצוע בחירה של התלמידים, בשלוש רמות: יחידת לימוד אחת, שלוש יחידות לימוד וחמש יחידות לימוד, כשבכל אחת מהרמות נכללים פרקים מתורת המכניקה.
ברמת הלימוד הגבוהה ביותר, של חמש יחידות לימוד, נלמדים הפרקים קינמטיקה, דינמיקה ובכללה חוקי ניוטון ותנועה מעגלית, תנע ושימורו, אנרגיה מכנית ושימורה, תנועה הרמונית פשוטה וכן כבידה.
במוסדות להשכלה גבוהה נלמדת לרוב המכניקה הניוטונית כחלק מלימודי הפיזיקה, הן כחלק מהלימודים לתואר בוגר אוניברסיטה (.B.Sc) בפיזיקה והן כחלק מהלימודים לתארים בנושאים אחרים, למשל חלק ממקצועות ההנדסה.
במסגרת הלימודים לתואר "בוגר" בפיזיקה נלמד גם המקצוע "מכניקה אנליטית".
הנושאים הנלמדים בהשכלה הגבוהה דומים, לרוב, לאלו הנלמדים בתיכון, אך היקפם גדול יותר ורמת התוכן, הן הפיזיקלית והן המתמטית, גבוהה יותר.
(יצא בעברית: מכניקה, האוניברסיטה הפתוחה, 1979)
אלברט איינשטיין וליאופולד אינפלד, התפתחות הפיזיקה החדשה – ממושגים ראשונים ועד יחסיות וקואנטים, תרגום ש.פ.
קלעי, בעריכת ד"ר ברוך לשם, ספרית פועלים, 1976
התפתחות מושג ההתמדה מאריסטו ועד ניוטון – אתר מכון ויצמן למדע
הפרק אודות ההוראה נסמך בחלקו על תוכניות לימודים כפי שפורסמו ברשת:
תוכניות הלימודים לרמת יחידת לימוד אחת, שלוש יחידות לימוד וכן "מיקוד" לשנת 2008 לחמש יחידות לימוד, מתוך אתר אל"ף
תוכנית הלימודים של הקורס "פיזיקה 1" באוניברסיטת בן-גוריון בנגב, מתוך אתר המחלקה לפיזיקה
מֵכָנִיקָה (מיוונית: μηχανική) היא ענף מדעי בפיזיקה העוסק ביחסים בין כוח, חומר ותנועה בגופים פיזיקליים.
כך למשל כוח הפועל על גוף יכול לגרום לו העתק, כלומר שינוי במיקום שלו.
המכניקה מתחלקת לשני ענפים מרכזיים, סטטיקה ודינמיקה.
בהתאם לכך, ניתן לחלק כל תת-תחום שלה לשני הענפים האלה.
בתחומים מסוימים המכניקה תקבע שאין הבדל בין גוף בתנועה לגוף סטטי, ובחלק מהתחומים זה הבדל מהותי לניתוח המכני של הגוף.
המכניקה היא תחום בסיסי ביותר בפיזיקה, במספר מובנים; גם מבחינת ההתפתחות ההיסטורית של הפיזיקה שעברה הרבה דרך המכניקה, גם מבחינת המושגים המוגדרים בה שיתר התחומים משתמשים בהם תדיר, וגם מהבחינה האינטואיטיבית, שכן המכניקה עוסקת בעולמנו היומיומי.
בשל כך, הוראת הפיזיקה ברוב המסגרות מתחילה במכניקה.
בין המושגים שמוגדרים ומנותחים במכניקה:
תחילתו של הענף ביוון העתיקה בכתבי אריסטו וארכימדס.
בתקופה זו הייתה מקובלת הפיזיקה של אריסטו כאמת מדעית.
בתחילת העת החדשה, מדענים כמו גלילאו גליליי, יוהאנס קפלר ובמיוחד אייזק ניוטון הניחו את היסודות למה שכיום מוכר כמכניקה קלאסית - ענף של הפיזיקה העוסק בגופים העומדים או נעים במהירות הנמוכה בהרבה ממהירות האור.
בהתאם לעקרונות של המכניקה הקלאסית, נוסחו תורות נוספות הבוחנות תנועה של גופים מורכבים יותר, כמו מכניקה של גוף קשיח, מכניקת הזורמים ומכניקת הרצף.
כמו כן נבנו לאורך המאות ה-18 וה-19 ניסוחים מופשטים יותר ומתמטיים יותר של המכניקה, הנכללים תחת הקטגוריה של מכניקה אנליטית.
בראשית המאה העשרים, נוסחו תורת היחסות הכללית והפרטית בידי אלברט איינשטיין העוסקות בגופים הנעים במהירות האור או במהירויות קרובות אליה וסותרות את התחזיות של המכניקה הקלאסית במהירויות כאלה.
במקביל התגבשה תורה מדעית נוספת בתחום - מכניקת הקוונטים, זו העוסקת בדינמיקה של חלקיקים בסקאלות קטנות (מסדר גודל אטומי).
בעוד שהמכניקה הקלאסית היא מערכת שלמה ומסודרת, שהמחקר בה - בהכללה כמובן - הגיע לתומו, הרי שמכניקת הקוונטים עדיין סובלת מסתירות בסיסיות וחוסר הבנה שלמה של חוקיה.
לשם השלמתה של מכניקת הקוונטים, חסרה התאוריה של הכול שהמדע מתקשה להגדירה.
מִכְמַנִּים הוא יישוב קהילתי בגליל התחתון בתחומי המועצה האזורית משגב.
היישוב מצוי על הר כמון מזרחית לכרמיאל.
משמעות השם "מכמנים" היא "דברים נסתרים".
משמעות השם קשורה לשם הערבי של הר כמון "ג'בל כמאנה", שמשמעותו מקום "מחבוא או מסתור".
מכמנים יוסדה על ידי חמש משפחות, ולאחר זמן קצר הצטרפו שתיים נוספות.
כיום מונה היישוב כ-125 משפחות.
רחובות ביישוב נקראים על שם להקות ישראליות ובהן תמוז, תיסלם, הגבעטרון ולהקת כוורת.
מערכת החינוך המקומית כוללת תינוקיה, פעוטון, גן ילדים וצהרון.
מרבית ילדי היישוב מתחנכים בבית הספר היסודי שבהר גילון ובתיכון של המועצה האזורית.
מכניקת הזורמים היא ענף פיזיקלי מתחום מכניקת הרצף העוסק בחקר הזורמים (קרי: נוזלים וגזים, בהקשרים מסוימים אף פלזמה), תכונותיהם ובכוחות הפועלים עליהם.
תורה זו מאפשרת להסיק מידע על תנועתם של הזורמים, הנקראת "זרימה", ולהפיק יישומים חשובים רבים בתחומי הנדסת המים, הנדסת אווירונאוטיקה והנדסת המכונות.
לענף תחומי משנה נוספים, כאשר העיקריים שבהם הם הידרודינמיקה החוקרת את תנועת הנוזלים, הידרוסטטיקה החוקרת את מאפייני הנוזלים הנמצאים במנוחה והאווירודינמיקה החוקרת את תנועתם של גזים.
מכניקת הזורמים היא ענף פיזיקלי ותיק אשר ראשיתו עוד בימי יוון העתיקה, אז חקר ארכימדס את תכונותיהם של נוזלים ופיתח את בורג ארכימדס.
מאז, התפתח ענף זה רבות והוא מהווה שדה מחקר פעיל גם היום.
הבסיס המתמטי העומד מאחורי מכניקת הזורמים מורכב מאוד לעיתים וחלק ממשוואותיה אינן ניתנות לפתרון אנליטי.
עם ההתקדמות הטכנולוגית והתפתחות המחשוב, מנוצלות כיום יכולות מחשוב לביצוע חישובים נומריים וניתוח מערכות מורכבות המתארות זורמים.
הראשון שעסק במכניקת הזורמים באופן אשר הותיר אחריו חותם היסטורי היה ארכימדס, אשר בין גילוייו העיקריים נמנים חוק ארכימדס ובורג ארכימדס.
ברחבי הקיסרות הרומית נעשה שימוש במכונות הידראוליות נוספות לצורך הספקת ושינוע מים.
המהנדס הרומי ויטרוביוס (Vitruvius) הציע לראשונה את טחנת המים במאה הראשונה לפני הספירה.
מאז, במשך שנים רבות, נותר ענף זה ב"תרדמת" עד להופעת מחקריו של המתמטיקאי והפיזיקאי אוונגליסטה טוריצ'לי, אשר בשנת 1643 המציא את הברומטר וניסח את עקרון טוריצ'לי.
החוקר הצרפתי בלז פסקל ניסח באותה תקופה את חוק פסקל, המהווה את אחד מחוקי הבסיס של ההידרוסטטיקה.
"זריקת מרץ" לחקר תחום הזורמים התקבלה עם ניסוח חוקי המכניקה החשובים על ידי אייזק ניוטון, אשר סיפק את הפורמליזם הפיזיקלי הדרוש.
הפיזיקאי והמתמטיקאי לאונרד אוילר, אשר חי במאה ה-18, ניסח על סמך פורמליזם זה את משוואות אוילר, המתארות זורמים.
בשנת 1739 פרסם דניאל ברנולי את משוואת ברנולי, המהווה את אחד מהכלים החשובים בהידרודינמיקה ובאווירודינמיקה .
מחקרים אשר בוצעו במאה ה-19 על זרימה במהירויות גבוהות עם חיכוך בלתי זניח עמדו בסתירה, לכאורה, לצפי על פי עקרון ברנולי.
את הפתרון לסתירה זו הסביר בשנת 1883 אוסבורן ריינולדס , אשר הראה כי קיימים שני "משטרי זרימה" הנבדלים זה מזה בתכונותיהם.
באופן כללי, מחקריו מראים כי במהירויות גבוהות הזרימה מפסיקה להיות "לוחית" והופכת "עירבולית" יותר, כך שישנו קושי בתיאור אנליטי מלא שלה.
במהלך המאה ה-19 גבר העניין בזרימת האוויר, וכך נוצלו עקרונות מכניקת הזורמים על ידי חלוצי התעופה הראשונים, ביניהם האחים רייט.
חלק מהקושי הרב בניתוח זרימה של זורמים צמיגיים נפתר על ידי עבודתו של לודוויג פרנדטל, אשר פרסם בשנת 1904 מודל המפשט את ניתוח המערכות מסוג זה על ידי חלוקת הזורם לשני חלקים, חיצוני ופנימי - בחיצוני מרוכזת רוב השפעת הצמיגות, ובפנימי ניתן להזניחה.
מודל זה, הפשוט יותר מזה אשר מספקת משוואת נאוויה-סטוקס, אפשר התקדמויות נוספות על ידי חוקרים בתחום.
בעידן המודרני, עם הופעת המחשוב, נוצר פתח לשימוש בכוחו החישובי הרב לצורך תיאור מערכות זורמים אשר להן תיאור מתמטי מורכב.
את תנועתם של גופים מוצקים ניתן לתאר על ידי כלים של המכניקה הקלאסית (בפרט מכניקת הגוף הקשיח) תחת הנחה שצורתם אינה משתנה תמידית.
לעומתם, ייחודיותה של מכניקת הזורמים נובעת מן העובדה שלזורמים אין צורה קבועה, שכן הם מקבלים את צורת הכלי בו הם נמצאים.
יתר על כן, לגז אין אף נפח קבוע; בעוד שמוצקים, לרוב, בלתי-דחיסים, גזים ואף חלק מהנוזלים הם דחיסים, ולכן בעת ניתוח תנועתם ניתנת תשומת הלב אף לעובדה הזו (הגם שישנם מודלים בהם מוזנחת תכונה זו).
תכונה נוספת של הזורמים היא הצמיגות, המתארת את התנגדותו הפנימית של הזורם לזרימה, זוהי תכונה נוספת עליה ניתנת הדעת בעת ניתוח של מערכות זורמים.
מכניקת הזורמים משתייכת מבחינה רעיונית למכניקת הרצף, אשר בבסיסה עומדת "הנחת הרצף" הקובעת כי לצרכים מסוימים, ובפרט עבור ניתוח תכונות מסוימות של זורמים, ניתן להתייחס אל החומר כאל רציף ולהזניח את מבנהו הפנימי, כלומר – להתעלם מהיותו מורכב ממולקולות.
מכניקת הזורמים עושה פעמים רבות שימוש במונח ה"אלמנט" על מנת לתאר חלק קטן מן הזורם ומסתפקת ברמת פירוט זו.
הנחת הרצף היא מטבעה מודל המהווה קירוב של המציאות.
ככל קירוב, ישנן מספר מגבלות דיוק הנובעות מהשימוש בו, ולכן במקרים בהם השערה זו איננה תואמת את צורכי המשתמש, נעשה הניתוח תוך שימוש בכלים אחרים, בפרט מכניקה סטטיסטית.
נוסף על הנחה זו, מתבסס הניתוח של מערכות זורמים על חוקי השימור הבסיסיים המוכרים מעולם המכניקה, ביניהם שימור המסה ושימור האנרגיה.
חוקים נוספים בהם נעשה שימוש שכיח הם החוק השני של ניוטון והחוק השני של התרמודינמיקה.
כלים בסיסיים של מכניקת הזורמים
בהתבסס על הנחות היסוד אשר תוארו לעיל, נעזרת מכניקת הזורמים במספר כלים לתיאור וניתוח הזורמים.
בהתבסס על מאפייני הלחץ והכוחות אשר נלמדים במכניקה הקלאסית, מתקבלים חוקי ההידרוסטטיקה הבסיסיים.
כך, למשל, חוק ארכימדס, שהוא אחד מחוקי ההידרוסטטיקה הבסיסיים ביותר, קובע כי כוח הציפה הפועל על גוף שנמצא בתווך (נוזל או גז) שווה למשקלו של תווך בעל נפח זהה.
חקר הלחץ ההידרוסטטי מניב מספר תוצאות מעניינות כגון חוק הכלים השלובים וחוק פסקל.
בהתבסס על חוקי השימור הקלאסיים מנוסחים חוקי היסוד של תורת הזורמים תוך התאמתם למונחים המתארים זורמים וזרימה.
כך, עבור תיאור התנועה, מתקבלות משוואת הרציפות הנובעת ישירות משימור המסה וכן משוואות התנע.
בהידרודינמיקה, עבור ההנחה כי הזורם הוא ברוטרופי, קרי - מניחים כי הצפיפות תלויה בלחץ בלבד ללא תלות בטמפרטורה, בהסתמך על חוקי השימור אשר הובאו לעיל, מתקבלת משוואת ברנולי.
חוקים נוספים חשובים המתארים את תנועת הזורם הם חוק פואזי ומשפט סטוקס.
על מנת לתאר את תנועתו של הזורם, תחום בו עוסקת ההידרודינמיקה, נעזרים במכניקת הזורמים במספר מונחים נוספים המאפשרים ניתוח וסיווג של הזורם והזרימה.
קווי זרם, קווי מסלול וקווי שיטוח
קו מסלול או קו זרימה הוא עקום המתאר את תנועת החלקיק.
כאשר עקום זה קבוע, הזרימה היא זרימה תמידית.
קו זרם הוא עקום המשיק לווקטור המהירות בכל נקודה בזמן מסוים/ מכיוון שקו זרם מתאר תנועה של חלקיקים, אפשר לומר שמסה לא חוצה אותו.
טיעון זה ברור יותר כאשר מדובר בזרימה דו-ממדית.
קו שילוח הוא עקום המתאר קבוצת חלקיקים שעברו בפרק זמן מסוים דרך נקודה מסוימת.
משטח זרם או שפופרת זרימה הוא רצף של קווי זרם הצמודים זה לזה.
אם נבחר עקום שרירותי שאינו קו זרם, כל קווי הזרם שיעברו דרכו יוצרים משטח זרם.
לכן, דרך משטח זרם לא עוברת מסה.
לצורך תיאור תנועתו של זורם יש צורך בתיאור תכונותיו.
לצורך זה, מבוצעת מספר הבחנות בין סוגי זורמים שונים.
זורם אשר במצב סטטי איננו משנה כמעט את צפיפותו, גם בתנאי לחץ גבוה, נחשב לזורם בלתי דחיס.
לעומתו, זורם אשר במצב סטטי צפיפותו משתנה כתוצאה משינוי בלחץ, נחשב לזורם דחיס.
פרמטר נוסף הנחוץ לצורך תיאור הזרימה הוא צמיגות: צמיגות היא התנגדות הזורם לעיבור (שינוי צורה) תחת מאמץ גזירה.
הצמיגות נתפסת לעיתים קרובות כסמיכות, או התנגדות למזיגה.
הצמיגות מתארת את התנגדותו הפנימית של הזורם לזרימה, וניתן לחשוב עליה כעל מידה של חיכוך.
דבש ושמן הם דוגמאות לזורמים צמיגים.
הבחנה נוספת מתבצעת בין נוזל ניוטוני לנוזל לא ניוטוני, כאשר זורם ניוטוני הוא זורם איזוטרופי שבו מאמצי הגזירה נמצאים ביחס ישר לקצב עיבור הגזירה.
במילים אחרות, מאמץ על זורם ניוטוני תלוי בקצב העיוות של צורת נפח הזורם (ללא שינוי בנפחו).
מתבצעת הבדלה בין מספר סוגי זרימה שונים, על פי מספר פרמטרים.
מבחינת צורת הזרימה, מבחינים בין "זרימה קבועה", לזרימה טורבולנטית.
בזרימה קבועה, כיוון הזרימה קבוע בזמן.
והוא כאילו הוא עשוי משכבות דקות הנעות במקביל זו לזו.
נוחה לחישוב מכיוון שכל הפרמטרים התלויים בזמן או נגזרותיהם - מתאפסים.
בזרימה עירובולית, לעומת כך, מתאפיין הזורם בחוסר אחידות מקומית בזמן וב"ערבול" המקנה לזרימה את שמה והזרימה מאופיינת באופי כאוטי.
עבור שני "משטרי הזרימה" לעיל, נמצאו משוואות אמפיריות שונות המתארות בצורה מקורבת את התנהגותם של הזורמים.
אבל רק עבור זרימה קבועה ניתן לפתח פתרונות תאורטיים אנליטים מלאים הנובעים מהחוקים הבסיסיים של זרימה.
מבדילים בין שני משטרי הזרימה באמצעות מספר ריינולדס, לרוב אין נקודת מעבר חדה בין שני משטרי הזרימה אלא ישנו תחום של ערכים עבורם הזרימה יכולה להיות או למינרית או טורבולנטית.
למכניקת הזורמים יישומים חשובים רבים בתחומי הנדסת המים, הנדסת אווירונאוטיקה, הנדסה כימית והנדסת המכונות בהם אנו עושים שימוש יום-יומי.
מכניקת הזורמים משמשת את האנושות מזה זמן רב, החל ממשאבות המים הפשוטות נוסח בורג ארכימדס וכלה בטורבינות המפיקות זרם חשמלי בעזרת עצמתם של זורמים או בלחץ האוויר הפועל על כנף המטוס.
כך, למשל אחד מן העקרונות החשובים בבסיס תורת הזורמים הוא עיקרון ברנולי הקובע כי ככל שמהירות זרימתו של זורם על גבי משטח גבוהה יותר, הזורם יפעיל פחות לחץ על המשטח.
עיקרון זה עומד בבסיס אופן פעולתם של כנף המטוס ומפרש הסירה.
חוק פסקל הוא העומד בבסיס עקרון הפעולה של הבוכנה ההידראולית.
מִכְמוֹרֶת הוא מושב בעמק חפר, כ-2 ק"מ מדרום לחדרה וכ-6 ק"מ צפונית לנתניה.
המושב סמוך לשפך נחל אלכסנדר לחוף הים התיכון.
ליד המושב קיים מפרץ ששימש בעבר נמל עתיק, ובית ספר על יסודי רמות ים בתוך כפר הנוער מבואות ים.
מכמורת נוסדה ב-1945 על ידי קבוצת חיילים משוחררי הצבא הבריטי כ"מושב עובדים לדיג ולחקלאות שיתופית בע"מ".
בשל עיסוק המייסדים בדיג ניתן ליישוב השם "מכמורת", שמשמעותו רשת דיג.
קבוצת המייסדים מנתה 38 משפחות וגרעין זה הוא שהקים את בית הספר "מבואות ים".
בנוסף לתעסוקה בדיג עסקו המתיישבים גם בגידולי שדה ופרדסנות.
מכמורת היה כפר דייגים יחידי בעמק חפר, ומושב העובדים היחידי בארץ, המתבסס בעיקר על ענף הדייג.
במפרץ הקטן של מכמורת התקיים במאה ה-19 מסחר באבטיחים שגודלו בשרון, באזור הכפר קאקון.
האבטיחים יוצאו מהנמל שנקרא "מינת אבו זבורה" (הנמל של משפחת זבורה) ללבנון ומצרים על ידי מפרשיות.
לאחר מלחמת העולם הראשונה פסק המסחר.
בתל מכמורת הצמוד למעגן, נתגלו שרידי מבנים החל ממחצית האלף השני לפנה"ס.
האזור פרח בעיקר בתקופת התיישבות הפיניקים באלף הראשון לפנ"הס.
במקום נמצאו שרידי מצודה קטנה ומגדל תצפית מימי הביניים לאחר גרוש הצלבנים מהארץ.
מוצא המתיישבים – פולין, רוסיה, איטליה, צ'כיה, ליטא.
בשנות החמישים התיישבו עולים מדרום אפריקה.
המתיישבים במכמורת היו רובם ככולם נוטרים וחיילים משוחררים ממלחמת העולם השנייה.
לפני עזיבתם את אירופה, קיימו החברים קורסי הכשרה בדייג בגראדו שבאיטליה ובנמל הדייגים באימודאן שבהולנד.
גרעין הארגון המתיישב נוצר בפלוגת תותחנים אשר שמרה על חוף הים.
בשעות הפנאי הם עסקו בדייג, מלאכה שהביאה להם את הרעיון להתיישב בכפר דייגים.
לגרעין הצטרפו דייגים וותיקים, בעלי ניסיון בדיג.
ציודו הראשון של הכפר הייתה ספינת דיג אחת שנרכשה בעזרת הסוכנות היהודית.
במשך הזמן, נרכשו ספינות נוספות.
לפני קום המדינה עד סוף מלחמת העצמאות פעל במכמורת בסיס של הפלי"ם.
מכמורת הפכה לבסיס מרכזי לאימונים של הפלי"ם.
ממעגן מכמורת יצאו אניות לסייע בניווט לאניות המעפילים.
ב-1953 יזם רפי רופין, חבר מכמורת ונכדו של ארתור רופין, את הקמת מבואות ים כבית ספר לדיג ולימאות.
רפי רופין היה ממייסדי המושב.
לגרעין המתיישבים הראשונים ("מכמורת א'") נוספו חברים חדשים לאחר מספר שנים ("מכמורת ב'"), והם המרכיבים את מכמורת של היום, מאז 1985. במהלך השנים בוצעו הרחבות, וכיום מתגוררות במושב כ-300 משפחות.
מרבית התושבים עובדים מחוץ למושב וחלקם עובדים בבית הספר רמות ים הסמוך.
בתי הקבע הראשונים נבנו רק ב-1950. לכל נחלה הוקצו 3 דונם מסביב לבית, כמשק עזר.
ליד המושב הוקם בית הספר לדייג בשנת 1953. הבניין עומד היום, נטוש.
מסביבו הוקמה פנימית מבואות ים, אשר הפכה לחלק מבית ספר רמות ים, של האגף לחינוך התיישבותי במשרד החינוך.
על רקע התמורות במגזר הכפרי, מתלבטים התושבים בנושא הרחבת המושב וניצול השטחים המשותפים.
יוזמות תכנוניות רחבות היקף מוצעות מסביב ליישוב ועשויות להשפיע על החיים בו.
לאור הפוטנציאל הגדול של היישוב ולאור הבעיות הקיימות החליט ועד היישוב על הזמנת תוכנית אב.
הכנת התוכנית הסתיימה ותוכנית מתאר המבוססת על תוכנית האב הוגשה למוסדות התכנון, אך הוקפאה בשל חילוקי דעות בוועד היישוב בנושא היטלי השבחה.
"המעגן" – מעגן קטן שנמצא בתוך כפר הנוער "רמות ים".
במעגן פועל מועדון השיט מכמורת-עמק חפר, שהוקם ב־1986, ואשר הוציא אלופי שיט רבים, בהם שרון קנטור, שזכתה במדליית כסף במקצה השיט באולימפיאדת פריז 2024, לי קורזיץ ועמית ענבר.
המכללה הימית – שלוחה של מכללת רופין המתמחה בלימודי הים.
המכללה מונה 300 סטודנטים המתגוררים ברחבי מכמורת ובסביבתה.
קהילת הסטודנטים אחראית לחיי הלילה ולתרבות במקום ועורכת מסיבות חוף, מסיבות רגאיי וכן שלל אירועים במתחם חיי הלילה בקניון "אם הדרך".
פארק השרון – שמורת הטבע הגדולה ביותר במרכז הארץ, הנמתחת בין נתניה לחדרה.
בשמורה ניתן לצפות בבעלי חיים שונים.
גשר הצבים – במקום נבנה אתר תצפית על גדת הנחל בו מתאפשרת צפייה בצב רך, נוטריות ודגי שפמנון.
במכמורת קיים המרכז הארצי להצלת צבי ים.
בימים אלה המרכז עובר שיפוץ ולכן לא ניתן לביקורים.
חוף מכמורת – חוף ים מוסדר לרחצה.
במי הים סלעי כורכר ענקיים שניתקו מהמצוק בחוף מכמורת, וכן "סלע מכמורת", אי זעיר, שריד לרכס כורכר קדום.
במפרץ הטבעי הקטן קיים מעגן המשמש את סירות המקום.
מכניקת המוצק הוא תחום בהנדסה העוסק בשינויים במצבו של מוצק כתוצאה מכוחות המופעלים עליו.
התחום כולל ענפים כמו דינמיקה, תורת חוזק החומרים ותורת הרטט (תנודות), ומהווה את אחד מהיסודות של ההנדסה המכנית.
אבני הבניין הבסיסיות של מכניקת המוצק הם כוחות והזזות.
כוחות אלה מתחלקים לשני סוגים עיקריים:
כוחות גוף - שהם כוחות הפועלים על כל נקודה בגוף בצורה שווה ומתוארים על ידי וקטור.
דוגמה אופיינית לכך היא כוח הגרביטציה.
כוחות שטח - מתוארים על ידי טנסור.
ההזזות יכולות להיגרם כתוצאה מכוחות שמופעלים על הגוף, או כתוצאה של התפשטות או התכווצות הגוף כפועל יוצא של טמפרטורה.
מכניקת המוצקים מנסה להגדיר את יחסי הגומלין בין ההזזות והכוחות כפונקציה של תנאי השטח והחומר הקיימים בבעיה.
לפי החוק השני של ניוטון, ההזזות והכוחות מתקשרים זה לזה על ידי המשוואה הדיפרנציאלית:
כאשר u היא ההזזה, m היא מסת הגוף ו-F הוא הכוח.
דינמיקה עוסקת בתנועת הגופים כאשר ההנחה הבסיסית היא שהגוף אינו משנה את צורתו בזמן הפעלת הכוחות עליו.
ואילו תורת התנודות עוסקת בהשפעתן של תנועות מחזוריות על מצבו של הגוף.
כאשר עוסקים בתורת החוזק, הכוח מומר לעומס או מאמץ המסומנים כ- .
ובמקום להיות וקטור הוא הופך להיות לטנסור.
גם ההזזות מומרות למעוותים (או עיבורים).
בעיקרון המעוותים הם שינויים בצורת הגוף יחסית למצבו הראשוני.
המעוותים גם הם בדומה לעומסים הם מבנים מתמטיים של טנזורים.
במקרה זה החוק המקשר בין המעוותים לעומסים נקרא החוק הקונסטיטוטיבי או בשמו הנפוץ יותר : חוק הוק.
הגדרה בסיסית למעוות היא: .
כאשר L הוא האורך הסופי, L0 האורך ההתחלתי.
מכניקה אנליטית היא אוסף ניסוחים למכניקה הקלאסית שפיתחו ז'וזף לואי לגראנז', ויליאם רואן המילטון וקרל גוסטב יעקב יעקובי במאות ה-18 וה-19. בעוד שהמכניקה הניוטונית עושה שימוש בכוחות וקטוריים לצורך ניתוח הבעיה הפיזיקלית ומסתמכת במקרים רבים על עקרונות גאומטריים, המכניקה האנליטית משתמשת בקואורדינטות ובכוחות מוכללים ומסתמכת רק על פעולות אלגבריות.
המכניקה הלגראנז'ית אשר פיתח לגראנז' עושה שימוש בקואורדינטות מוכללות ובכוחות מוכללים ומאפשרת פתרון בעיות פיזיקליות שבמכניקה הניוטונית נחשבות קשות.
בפרט, היא מספקת שיטה סדורה לפתרון של בעיות תנועה תחת אילוצים: תנועה לאורך ישר נתון, תנועה שמוגבלת למישור, ועוד.
הפורמליזם הלגרנז'יאני מציג את הבעיה הפיזיקלית כאוסף של משוואות דיפרנציאליות מסדר שני, הנקראות משוואות אוילר-לגראנז'.
המכניקה ההמילטונית, על שם ויליאם רואן המילטון, מציגה את הבעיה הפיזיקלית כאוסף של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון במרחב הפאזה.
הפורמליזם ההמילטוני אינו מכיל תוכן פיזיקלי חדש.
כוחו של פורמליזם זה הוא במציאת אינטואיציות פיזיקליות חדשות, והוא אף שימש כדי להכליל את הפיזיקה הקלאסית לפיזיקה הקוונטית.
בנוסף, הפורמליזם ההמילטוני מהווה כר נוח לפתרון בעיות באופן מקורב באמצעות תורת ההפרעות.
משוואת המילטון-יעקובי מציגה את כל הבעיה הפיזיקלית באמצעות פונקציה אחת המקיימת משוואה דיפרנציאלית חלקית יחידה.
פורמליזם זה מדגיש את הדמיון בין המכניקה לאופטיקה, ולכן הוא היווה נקודת מוצא לפיתוח של מכניקת הקוונטים.
קיימים מספר ניסוחים נוספים ושיטות ניתוח נוספות הנכללים במסגרת המכניקה האנליטית.
בין אלו ניתן למנות את המכניקה הרות'נית, טרנספורמציות קנוניות, סוגרי פואסון, זוויות-פעולה ומשוואות התנועה של אפל.
מכניקה ניוטונית, גדלים נשמרים ועקרון הפעולה של מופרטווי
בשנת 1687, פרסם אייזק ניוטון את ספרו פרינקיפיה, והציג את היסודות של המכניקה הקלאסית.
לפי התיאוריה הניוטונית, על גופים במערכת מכנית פועלים כוחות, והתאוצה של הגופים השונים פרופורציונלית לכוחות אלו.
בסוף המאה ה-17 ותחילת המאה ה-18, התיאוריה של ניוטון התפשטה ברחבי אירופה ומדענים רבים החלו לפתור באמצעותה בעיות מכניות.
ב-1736 פרסם לאונרד אוילר את ספרו מכניקה שהציג את חוקי התנועה של ניוטון בצורה של משוואות דיפרנציאליות.
פתרון בעיית התנועה הפך במקרים רבים לפתרון של משוואות דיפרנציאליות.
כדי לפתור את המשוואות הללו נעשה שימוש רב בגדלים נשמרים.
כבר בפרינקיפיה, ניוטון הבחין כי התנועה של מרכז המסה של גופים שפועלים זה על זה לא משתנה בגלל הכוחות שפועלים בין הגופים.
ד'אלמבר הרחיב את העיקרון וציין שאם על כל החלקיקים פועל כוח חיצוני זהה מרכז המסה של המערכת יזוז באופן דומה לתנועה של סכום המסות אם יופעל עליו הכוח הזה.
תצפיות אלו מדגימות את חוק שימור התנע, ומראות שהוא חוק כללי גם כאשר יש אינטראקציות מסובכות בין הגופים.
כריסטיאן הויגנס חקר ב-1673 את תנועתן של מטוטלות שמחוברות זו לזו באמצעות כבלים.
הויגנס לא מצא דרך לבטא את תנועת המטוטלות במדויק, אבל הוא זיהה שאם מרכז המסה של המטוטלות לא זז (כלומר במקרים בהם כאשר אחת המטוטלות עולה השנייה יורדת) הכוח החי של המטוטלות, המתכונתי למהירותן בריבוע יישאר קבוע.
תלמידו, גוטפריד לייבניץ, ניסח את החוק באופן מתמטי, וטען שהגודל: יהיה גודל נשמר במערכות מכניות שלא פועלים עליהם כוחות חיצוניים (אותם כינה לייבניץ כוחות מתים).
שימור הכוח החי נתפס כמתחרה לשימור התנע, ולכן בצרפת ובאנגליה התנגדו לו וטענו שהוא אינו עקרון כללי.
ההתנגדות פחתה לאחר שדניאל ברנולי השתמש בו כדי לפתח את משוואת ברנולי שתיארה בהצלחה תנועה של זורמים לאורך צינור.
ב-1746 הראה אוילר (ודניאל ברנולי באופן בלתי תלוי) שעבור גופים שנעים מסביב למרכז מסה, הסכום של מכפלת של מסת הגופים במהירות שלהם מסביב למרכז המסה ובמרחקם ממרכז המסה אינו תלוי באינטראקציות בין הגופים ואם לא פועלים עליהם כוחות חיצוניים הוא קבוע.
חוק זה הוא שימור התנע הזוויתי.
כך שבאמצע המאה ה-18, היו ידועים שלושה חוקי שימור משמעותיים, שעבור תנועה תלת-ממדית מייצגים שימור של שבעה גדלים.
ב-1744 אוילר טען שתנועה של גופים במערכת מכנית מתרחשת במסלול בו תנועתם עוברת את הדרך הקצרה ביותר לפי שקלול הכולל את התנע שלהם, כלומר במסלול בו הגודל יקבל ערך מינימום.
מופרטווי, שהציג רעיון דומה עבור קרניים אופטיות, הצהיר שאוילר הרחיב את עבודתו, והעיקרון נודע כעקרון הפעולה המינימלית או עקרון מופרטווי.
במצב הדברים לקראת סוף המאה ה-18 היו שלוש בעיות משמעותיות: הבעיה הראשונה היא שבמקרים מסוימים מציאת הכוחות הפועלים על גוף בתנועה היא בעיה כשלעצמה.
סוג מיוחד של בעיות כאלו הן בעיות בהן קיים אילוץ על המערכת, לדוגמה בעיות בהן הגוף מוגבל לתנועה על משטח מסוים.
בבעיות כאלה, הכוח שהמשטח יפעיל על החלקיק, יהיה כזה שיחייב את החלקיק להמשיך לנוע על המשטח.
אולם משוואות התנועה של ניוטון לא מספקות דרך סדורה למצוא את הכוח הזה, ולכן פתרונם היה קשה.
הבעיה השנייה היא שגם במקרים בהם ניתן היה למצוא פתרון לבעיה, הפתרון נסמך במקרים רבים על הבנה גאומטרית, ומשוואות התנועה כשלעצמן לא נותנות כלים לפיתוח ההבנה הגאומטרית הזו.
הבעיה השלישית היא שהגדלים הנשמרים, ועקרון הפעולה המינימלית נתפסו לעיתים כעקרונות יסודיים של המכניקה, ולא כתוצאה של חוק תנועה יחיד.
לגראנז' פיתח את המכניקה האנליטית כדי לפתור את הבעיות הללו.
בספרו méchanique analytique משנת 1788 הוא פיתח את עקרונות היסוד של המכניקה האנליטית.
את גישתו הוא מתאר בהקדמה לספר:
לגראנז' הסתמך על הרחבה של עקרון ד'לאמבר לפיתוח חוקי התנועה שלו, שהיו משוואות דיפרנציאליות מסדר שני במשתנים חדשים שהוצגו על-ידי לגראנז' - קוארדינטות מוכללות.
משוואות אלו התקבלו מפונקציה יחידה - הלגראנז'יאן.
גישתו של לגראנז' יצרה שיטה מוסדרת לכתיבת משוואות התנועה, ובכך הצליחה להביא לפתרון בדרך קלה יחסית של בעיות שנחשבו עד אז כקשות.
הגישה סיפקה שיטת פעולה אנליטית לפתרון בעיות בהן קיימים אילוצים, וזאת באחת משתי דרכים - הצגת דרך סדורה למציאת הכוחות אותם מפעילים האילוצים או מציאת דרך לכתיבת משוואות התנועה של המערכת בלי למצוא באופן ישיר את הכוחות האלה.
לגראנז' אף הראה בעבודתו שחוקי השימור הם תוצאה ישירה של משוואות התנועה.
הוא הציג גודל נשמר הקשור לכוח החי, גודל שבאופן מודרני מכונה האנרגיה.
לגראנז' גם הראה כיצד עקרון מופרטווי נובע מחוקי התנועה שלו, וכיצד חוקי התנועה שלו מתקבלים מעקרון הפעולה המינימלית יחד עם שימור הכוח החי.
בסוף המאה ה-18 ובתחילת המאה ה-19 תורתו של לגראנז' הפכה להיות הכלי העיקרי המשמש בפתרון בעיות מכניות.
משוואת המילטון יעקובי ומכניקה המילטונית
ב-1831, ויליאם המילטון העביר את תשומת-לבו מאופטיקה למכניקה.
במסגרת עבודתו באופטיקה, המילטון הראה שתנועת קרניים אופטיות יכולה להיות מתוארת על ידי פונקציה אחת שמקיימת משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר ראשון (משוואת אייקונל).
בסדרה של שלושה מאמרים מ-1833 עד 1835, המילטון ניסה ליצור משוואה דומה לחוקי המכניקה.
הוא השתמש בחשבון וריאציות, אבל בניגוד ללגראנז' שביצע שימוש בווריאציות כדי לחשב את המסלול עבור אנרגיה נתונה, המילטון הכליל שינוי באנרגיה בחשבון הווריאציות שלו.
במילים אחרות, המילטון שאל כיצד המסלול המכני של המערכת ישתנה אם היא תקיים אותם תנאי התחלה, אך תנוע עם כמות שונה של כוח חי.
המילטון ניסח באופן יותר מדויק את עקרון הפעולה המינימלית, וקבע שהפעולה לא בהכרח מינימלית אלא סטציונרית.
כתוצאה מעקרון הפעולה הסטציונרי, המילטון הצליח למצוא פונקציה שקיימה שתי משוואות חלקיות מסדר ראשון ממעלה שנייה.
המילטון קרא לפונקציה הפונקציה הקרקטריסטית (characteristic function).
בהינתן הפונקציה הקרקטריסטית ניתן לקבל את כל הדינמיקה של המערכת באמצעות גזירה בלבד.
המילטון עצמו היה מודע לכך שהשיטה אותה הוא הציג לא פשוטה יותר לפתרון מהמשוואות של לגראנז', אך טען שהיא יותר אלגנטית:
ב-1837, קרל יעקובי, הראה ששתי המשוואות שהמילטון הציג שקולות ודי במשוואה אחת כדי לתאר את הפונקציה.
המשוואה הזו נקראת משוואת המילטון-יעקובי.
יעקובי, שעבד לפני כן על בעיות דינמיות של גופים שלא מקיימים את שימור הכוח החי, גם הראה שאת הווריאציה בכוח החי שהמילטון הכניס לחשבון הווריאציות ניתן להכניס ישירות להגדרת הפעולה, ובכך לאפשר מצב בו האינטראקציה בין הגופים תלויה בזמן ולא מקיימת את חוק השימור של הכוח החי.
בכך יעקובי ניסח לראשונה את עקרון הפעולה הסטציונרית באופן בו הוא מנוסח בצורה מודרנית.
כחלק ממאמרו ב-1835, המילטון ביצע התמרת לז'נדר למשוואות התנועה של לגרנז', ובכך כתב את משוואות המילטון שמתארות את הדינמיקה של התנועה כסט של משוואות תנועה מסדר ראשון.
הפונקציה בה המילטון משתמש כדי לנסח את משוואות התנועה נקראת כיום המילטוניאן.
המשתנים החדשים של המילטון מכונים כיום תנעים מוכללים והם חלק ממערכת קואורדינטות הנקראת קואורדינטות קנוניות המתארות את התנועה במרחב הפאזה.
השימוש העיקרי שהמילטון עושה במשוואות אלו הוא בפיתוח תורת הפרעות למערכת מכנית.
תורה אותה הוא מציג תוך שימוש בפונקציה המנהלת כשהיא מנוסחת באמצעות התנעים המוכללים.
על אף שהמילטון מציג את המשתנים הקנוניים כחלק מניסוחו של משוואת המילטון-יעקובי, הם לא תלויים בפונקציה המנהלת, ומשוואות התנועה שלהם מהוות ניסוח מלא של המכניקה הקלאסית, ניסוח שידוע בשם מכניקה המילטונית.
בשנת 1918 ניסחה המתמטיקאית אמי נתר את "משפט נתר" והוכיחה אותו.
המשפט קושר בין סימטריות של מערכת פיזיקלית וחוקי שימור שהיא מקיימת, וקובע כי עבור כל סימטריה רציפה (וגזירה) של הפעולה, קיים גודל שמור.
כך למשל, חוק שימור האנרגיה נובע מסימטריה להזזה בזמן ולכן הוא מתקיים רק אם הלגראנז'יאן לא תלוי ישירות בזמן, חוק שימור התנע נובע מסימטריה להזזה מרחבית וחוק שימור המטען החשמלי נובע מסימטריית כיול.
למשפט נתר חשיבות גדולה במכניקה אנליטית בפרט ובפיזיקה תאורטית ככלל.
במכניקה הקלאסית תנועת גופים מתוארת על ידי משוואות תנועה בהן התאוצה של כל גוף בכל רגע נתון נתונה על פי מיקומיהם ומהירויותיהם של הגופים, בהתאם לכוחות הפועלים עליהם (חוקי ניוטון).
מכאן שבהינתן מצב מסוים והכוחות הפועלים ניתן לחשב את מצב המערכת בכל רגע עתידי.
הפורמליזם של המכניקה האנליטית מכליל את משוואות התנועה תוך שימוש בגישה שונה.
הנחת היסוד היא עקרון הפעולה הסטציונרית, הקובע שהאינטגרל של הלגראנז'יאן בזמן יהיה סטציונרי.
כלומר, המסלול בו נעה המערכת הוא זה עבורו שינוי קטן מספיק במסלול לא יגרור שינוי בפעולה.
במקרים רבים מדובר במסלול עבורו הפעולה מינימלית.
עבור תנועת קרני אור, לדוגמה, העיקרון מיתרגם לעיקרון הזמן המינימלי: מסלול האור בין שתי נקודות הוא תמיד זה עבורו זמן המעבר הכולל הוא מינימלי (באופטיקה גאומטרית, עובדה זו מאפשרת פיתוח של חוק סנל).
במסגרת המכניקה האנליטית מתארים את הבעיה לא בהסתכלות על קואורדינטות קרטזיות של הגופים הנעים, אלא בהגדרת קואורדינטות מוכללות מתאימות לבעיה.
ככל שישנם יותר אילוצים בבעיה, כך מצטמצם מספר הקואורדינטות הנדרש כדי לתאר אותה.
כך, למשל, גוף הנע במישור דורש שתי קואורדינטות, לעומת שלוש קואורדינטות במרחב תלת-ממדי.
באופן דומה, את תנועתה של רכבת הרים בלונה פארק, למרות היותה במרחב תלת-ממדי, ניתן לתאר בעזרת קואורדינטה בודדת, שהיא לדוגמה המרחק שהרכבת עברה על המסילה עצמה.
קיימות קואורדינטות רבות המאפשרות לתאר את התנועה: תנועתה של הרכבת יכולה להיות מתוארת באמצעות המרחק שהרכבת עברה, אבל גם באמצעות המיקום הקרטזי של הרכבת.
אם מספר הקואורדינטות גדול ממספר דרגות החופש ניתן לכתוב משוואות אילוצים המקשרות בין הקואורדינטות והמהירויות השונות.
בהינתן קואורדינטות מוכללות, יש למצוא את פונקציונל הפעולה שיקיים את עקרון הפעולה הסטציונרית.
הפעולה המכנית מוגדרת כאינטגרל על הזמן של הלגראנז'יאן , שהוא ההפרש בין האנרגיה הקינטית לפוטנציאלית :
האנרגיה הקינטית היא פונקציה הומוגנית מסדר שני של המהירויות המוכללות, והלגראנז'יאן הוא לפיכך פונקציה של הקואורדינטות המוכללות ושל המהירויות המוכללות.
באופן דומה אפשר לכתוב את הפעולה באמצעות ההמילטוניאן, שהוא התמרת לז'נדר של הלגראנז'יאן:
לאחר השלמת ההתמרה ההמילטוניאן הוא פונקציה של המהירויות המוכללות ושל התנעים המוכללים.
יש להדגיש שעל אף שהלגראנז'יאן מהווה נקודת התחלה נוחה יותר וקשור באופן ישיר יותר למכניקה הניוטונית, ולכן משמש במקרים רבים למציאת ההמילטוניאן, הוא לא מהווה גודל יסודי יותר.
ניתן להתחיל בתיאור הבעיה מההמילטוניאן ולקבל את הלגראנז'יאן כהתמרת לז'נדר שלו.
אופרטור נוסף, הרות'יאן, מאופיין בנוסחה דומה להמילטוניאן, אך מבוטא בעזרת מונחים של קואורדינטות, מהירויות ותנעים מוכללים.
להזנת האופרטורים במידע אודות הקואורדינטות והזמן מצטרפים אילוצי הבעיה שמקשרים בין הקואורדינטות השונות ושמתארים דרישות נוספות מהפתרון.
הפעולה מוגדרת מהלגראנז'יאן באופן הבא: .
הדרישה הפיזיקלית לפיה הפעולה היא סטציונרית מביאה למשוואות אוילר-לגראנז':השקולות למשוואות התנועה המוכרות מהמכניקה הניוטונית.
באמצעות שימוש בכופלי לגראנז' ניתן להכליל משוואות אלו למצבים בהם קיימים אילוצים על הקוארדינטות המוכללות, ומהם למצוא את הכוחות שהאילוצים מפעילים על המערכת.
באופן דומה ניתן להשתמש בפעולה המוגדרת מההמילטוניאן: ולקבל את משוואות המילטון:מאפיין חשוב של ההמילטוניאן הוא שהנגזרת שלו לפי הזמן מקיימת:ובמקרים בהם הפונקציה המגדירה לא תלויה ישירות בזמן ההמילטוניאן הוא גודל נשמר.
בנוסף, אם הקואורדינטות הכלליות לא תלויות ישירות בזמן, והאנרגיה הפוטנציאלית לא תלויה במהירות מתקיים .
עובדות אלו מובילות לכך שלפעמים מגדירים את ההמילטוניאן כאנרגיה של המערכת כאשר היא מבוטאת בקואורדינטות הקנוניות שלה, ומייחסים לו הבנה אינטואיטיבית כגודל שנשמר במהלך התנועה.
שני הדברים הללו אינם נכונים באופן כללי.
ההמילטוניאן לא בהכרח מקיים והוא לא בהכרח גודל נשמר.
ניסוח אחר של חוקי התנועה מתקבל ממשוואת המילטון-יעקובי:המוגדרת עבור הפונקציה .
הצגה של הלגראנז'יאן בקואורדינטות קרטזיות במקרה בו הכוחות הם משמרים מאפשרת לקבל את משוואות ניוטון.
כאשר a היא התאוצה (נגזרת שנייה של המקום) ו-F הוא הכוח שמושרה מהגרדיאנט של אנרגיה פוטנציאלית.
למכניקה האנליטית יישומים רבים בתחומים שונים של הפיזיקה, אך היא כושלת בהתמודדות עם בעיות מתחום התרמודינמיקה, שכן מספרם העצום של החלקיקים המעורבים במערכת הופך את פתרון משוואות התנועה שלהם לבלתי אפשרי.
כדי לפתור בעיות מסוג זה פותחו בתרמודינמיקה כלים אחרים בדמות התאוריה הקינטית של הגזים והמכניקה הסטטיסטית.
עם זאת, יסודות התרמודינמיקה עדיין מושתתים על עקרונות המכניקה האנליטית.
חוק שימור האנרגיה התרמודינמי הוא הרחבה של שימור האנרגיה המכנית במערכות סגורות, יחד עם ההכרה שחום הוא צורה של אנרגיה.
משפט ליוביל, שמשמש כנקודת מוצא למכניקה הסטטיסטית הוא משפט מתחום המכניקה האנליטית.
כיום, במכניקת הקוונטים, אשר סותרת לכאורה את המכניקה הקלאסית, משתמשים דווקא במונחים מהמכניקה האנליטית ופחות במונחים ניוטוניים, תוך הכללתם לעולם התוכן הקוונטי.
כך, בתורת הקוונטים, משוואת הגלים היא צורה כללית יותר של משוואת המילטון-יעקובי, אופרטור ההתפתחות בזמן מוגדר על ידי ההמילטוניאן של הבעיה, ואילו בתורת השדות הקוונטית הלגראנז'יאן של השדה משמש כמושג מרכזי.
במתמטיקה מכנה משותף של שני שברים הוא מספר שלם ושונה מ-0 המתחלק בשני המכנים ללא שארית.
הכפלת המונה והמכנה בכל שבר באותו מספר שלם (כך שערך השבר אינו משתנה) מאפשרת להביא את שניהם לצורה שבה יש להם אותו מכנה, וכך לבצע בקלות פעולות של חיבור וחיסור.
המכנה המשותף החיובי הקטן ביותר הוא הכפולה המשותפת המינימלית של המכנים, וכל מכנה משותף אחר הוא כפולה של זה בקבוע שלם.
המושג ניתן להכללה לכל קבוצה סופית של שברים.
המכנה המשותף המינימלי של ו- הוא 30. אפשר לכתוב ו- , ולכן .
לצורך ביצוע פעולת חיבור או חיסור אין צורך במכנה המשותף המינימלי דווקא, וכל מכנה משותף – מספר המתחלק בשני המכנים – יתאים.
כך מתקבלת הנוסחה הכללית לחיבור שברים: , גם אם bd אינו המכנה המשותף המינימלי של b ו-d (כמו בדוגמה הקודמת, שבה ).
בכל תחום שלמות אפשר להביא קבוצה סופית של שברים לידי מכנה משותף (למשל על ידי הכפלת כל המכנים זה בזה).
מאידך, המכנה המשותף המינימלי (כזה המחלק כל מכנה משותף אחר) מוגדר היטב רק בתחומי שלמות מיוחדים, כגון תחומי פריקות יחידה (ובפרט גם תחומים ראשיים).
מועדון הכדורגל המלכותי מכלן (בהולנדית: Koninklijke Voetbalclub Mechelen או בקיצור KV Mechelen) היא קבוצת כדורגל בלגית מהעיר מכלן, המשחקת בליגת העל הבלגית.
רגע השיא של הקבוצה היה בשנת 1988, כאשר זכתה בגביע אירופה למחזיקות גביע אחרי ניצחון 1–0 במשחק הגמר על אייאקס אמסטרדם.
בקבוצה שיחק באותה עונה הישראלי אלי אוחנה, שבישל את שער הניצחון, וזכה בפרס בראבו לצעיר המצטיין והמבטיח באותה השנה.
שנה לאחר מכן זכתה הקבוצה באליפות בלגיה אחרי 41 שנים מאז זכייתה הקודמת.
באותה שנה הגיעה מכלן עד לשלב חצי גמר גביע אירופה למחזיקות גביע, בו הודחה על ידי סמפדוריה האיטלקית.
בשנות התשעים חזרה מכלן לאפרוריות שליוותה את הקבוצה במרבית שנותיה.
הקבוצה נשרה פעמיים לליגה הבלגית השנייה בסוף שנות התשעים ותחילת המאה ה-21. בשנת 2003 שוב נשרה מכלן לליגה השנייה, והתאחדות הכדורגל הבלגית הורידה את הקבוצה באותה עונה ליגה נוספת עקב חובות כבדים.
בשנת 2007 חזרה מכלן לליגה הבלגית הראשונה אחרי היעדרות של 4 שנים.
בשנת 2018 ירדה לליגה השנייה.
בשנת 2019 זכתה בגביע הבלגי, 32 שנה לאחר זכייתה האחרונה, ו-30 שנה לאחר זכייתה האחרונה בתואר כלשהו.
המועדון היה מעורב בפרשת שחיתות בכדורגל הבלגי.
כתוצאה מכך נשלל ממנו השתתפות בתחרויות אירופאיות, למרות הזכייה הגביע.
עם חלק משחקניו (למשל מייקל וריפס) הופסק החוזה חד-צדדי.
מכניקה של גוף קשיח (או של גוף צפיד) היא ענף פיזיקלי החוקר את תכונותיהם ותנועתם של גופים קשיחים.
בהקשר זה, גוף קשיח (או: צפיד) הוא גוף אשר איננו משנה את צורתו במהלך התנועה או, במינוח מדויק יותר, זהו אוסף חלקיקים אשר המרחק בין כל שניים מהם נותר קבוע במהלך כל התנועה.
מודל זה מוגבל לתיאור מצבים בהם ניתן להניח כי הגוף לא שינה את צורתו במהלך התנועה, או לחלופין, ששינוי הצורה של הגוף אינו משמעותי לניתוח התופעה.
ענף זה של המכניקה מטפל במספר תופעות הנוגעות לגופים קשיחים ובפרט מאפשר לנתח את תנועתם הסיבובית של גופים קשיחים סביב עצמם.
הכלים של מכניקת הגוף הקשיח מאפשרים את ניתוחם ותכנונם של גופים כדוגמת הסביבון, הגירוסקופ ו למיניהן, כמו גם גלגלי שיניים ורכיבים מכניים נוספים.
הקשר לדינמיקה של חלקיק יחיד
בדינמיקה הקלאסית של חלקיק יחיד (בהקשר זה הוא מכונה "גוף נקודתי"), על מנת לתאר תנועה של חלקיק במרחב נדרשים שלושה גדלים (לדוגמה: קואורדינטות האורך, הרוחב והגובה שלו), היות שהחלקיק יכול לנוע בשלושה כיוונים בלתי תלויים.
במינוח פיזיקלי, לחלקיק יחיד יש 3 דרגות חופש מרחביות, והיות שהוא נקודתי אין לו דרגות חופש פנימיות.
ניתן להראות כי לגוף קשיח, על אף שהוא עשוי להיות מורכב ממספר גדול מאוד של חלקיקים, יש תמיד בדיוק 6 דרגות חופש: תנועה בשלושה כיוונים, וסיבוב סביב שלושה צירים.
בדומה לדינמיקה של חלקיק יחיד (ובאופן כללי יותר, בדומה לכל מערכת המילטונית עם מספר סופי של דרגות חופש), הדינמיקה של הגוף הקשיח מתארת את השינוי בזמן של שש הקואורדינטות של הגוף בכפוף לכוחות הפועלים עליו.
ניתן לפרק את תנועתו של גוף קשיח לתנועה קווית של מרכז המסה ולתנועה סיבובית של הגוף סביב עצמו.
פירוק זה שימושי במיוחד, כיוון שתנועתו של מרכז המסה מתוארת לחלוטין על ידי הדינמיקה של חלקיק יחיד.
באופן ציורי ניתן לומר כי מרכז המסה נע כאילו הוא היה חלקיק יחיד, והוא בכלל "לא יודע" שמחובר אליו גוף גדול.
לעומת זאת, תנועתו הסיבובית של הגוף סביב עצמו היא מסובכת יותר ודורשת כלים מתמטיים מורכבים יותר כדי לנתחה.
בניתוח דינמיקה של חלקיק יחיד נהוג להגדיר מספר גדלים: מהירות, תנע, אנרגיה, וכיוצא בהם.
עבור תנועה סיבובית של גוף קשיח, ניתן להגדיר גדלים דומים:
התנע הקווי של גוף נקודתי מוגדר כמכפלת מהירותו של הגוף במסתו, או בניסוח מתמטי: .
ההיטל של וקטור התנע על ציר מסוים מהווה, באופן אינטואיטיבי, מדד ל"כמות התנועה" בציר זה.
באופן דומה, מוגדר וקטור התנע הזוויתי, , כך שההיטל שלו על ציר מסוים מהווה מדד ל"כמות הסיבוב" סביב ציר זה.
התנע הזוויתי מוגדר כמכפלה וקטורית של מיקום הגוף בתנעו הקווי, או בכתיב מתמטי: .
הבדל משמעותי בין התנע הקווי לתנע הזוויתי הוא שהתנע הקווי מקביל למהירות, ואילו וקטור התנע הזוויתי ניצב למישור הסיבוב של הגוף.
ניתן גם להציג את התנע הזוויתי על ידי מכפלת מומנט ההתמד שלו במהירותו הזוויתית .
החוק השני של ניוטון קובע כי נגזרתו של התנע הקווי לפי הזמן היא גודל הכוח הפועל הגוף, או בשפה מתמטית: .
בצורה פשטנית, ניתן לומר שגודל זה גורם לשינוי בתנועה הקווית.
המקביל הסיבובי אליו, הגורם כביכול לשינוי בתנועה הסיבובית של הגוף הקשיח, נקרא מומנט כוח, , והוא מוגדר כמכפלה וקטורית בין הכוח למיקומו של הגוף.
הכללה ישירה של החוק השני של ניוטון קובעת כי .
כלומר, בהיעדר מומנטים חיצוניים, התנע הזוויתי במערכת נשמר.
בדינמיקת החלקיק, מהווה המסה מדד להתנגדותו של גוף לשינוי תנועתו הקווית.
הגודל המקביל בדינמיקה של גוף קשיח נקרא מומנט התמד, המבטא מדד להתנגדותו של גוף לשינוי בתנועה הסיבובית שלו.
היות שניתן לסובב גוף במספר כיוונים, מומנט ההתמד לא יכול להיות מורכב ממספר אחד בלבד (כמו המסה) אלא צריך להכיל מידע על התנגדות הגוף לסיבוב בכל הכיוונים.
בשפה פיזיקלית אומרים כי מומנט ההתמד הוא טנזור (בניגוד למסה שהיא סקלר).
עם זאת, בבעיות פשוטות שבהן הגוף מסתובב תמיד סביב ציר אחד (כמו במקרה של קרוסלה, לדוגמה) ניתן להחליף את הטנזור המלא של מומנט ההתמד במספר יחיד.
קל לייצג את טנזור מומנט ההתמד על ידי מטריצה, ובכל פעם ש־ מופיע במשוואה, יש להבין את המשוואה כמכפלה של מטריצה בווקטור.
כאשר רוצים להדגיש את עובדת היותו טנזור, הוא מסומן עם גג: .
לדוגמה, הנוסחה מבטאת את העובדה שישנם מצבים בהם התנע הזוויתי אינו מקביל למהירות הזוויתית.
להלן טבלה המדגימה את הגדלים המקבילים בתיאור תנועתו הקווית והסיבובית של הגוף: