tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
(בניסוח פורמלי יותר, כמה קשתות יש בגרף שלם עם n+1 צמתים?) נספור אותם באופן הבא: נבחר איש ראשון.
ישנם n אנשים אחרים במסיבה שלכל אחד מהם לחץ את היד.
נספור n לחיצות ונוציא את האיש הראשון מהמסיבה.
נשארו n-1 אנשים במסיבה שלכל אחד מהם הוא לוחץ את היד.
נספור עוד n-1 לחיצות ונוציא את האיש השני מהמסיבה.
לאיש השלישי יישארו רק n-2 לחיצות.
נספור אותן ונוציאו, וכן הלאה, עד שנגיע לאיש האחרון במסיבה שיוותרו לו 0 לחיצות לבצע.
בסך הכל קיבלנו שמספר לחיצות הידיים הוא:
מצד שני ישנה דרך חכמה יותר לספור לחיצות ידיים.
מעקרון הכפל יש זוגות אפשריים של אנשים במסיבה.
אולם בדרך זו גם ספרנו אנשים שהם זוג של עצמם.
יש n+1 זוגות כאלו (אחד לכל איש) ולכן יש זוגות אפשריים שכוללים שני אנשים שונים.
נשים לב כי ספרנו פעמיים כל זוג.
פעם אחת את הזוג פלוני-אלמוני ופעם נוספת את הזוג אלמוני-פלוני.
מכאן שכדי לקבל את מספר הזוגות האמיתי יש לחלק ב-2. כעת קיבלנו את מספר הזוגות האמיתי שהוא:
זהו גם מספר לחיצות הידיים, שכן כל זוג לוחץ ידיים פעם אחת בדיוק.
מכיוון ששתי הדרכים לספור לחיצות ידיים צריכות לתת תוצאה זהה, קיבלנו שוויון בין התוצאה בשיטה הראשונה לתוצאה בשיטה השנייה.
הבעיה של מציאת מספר הזוגות האפשריים מתוך קבוצה עם n+1 עצמים היא מקרה פרטי של בעיה כללית יותר של מציאת מספר הקבוצות בנות k עצמים מתוך קבוצה עם m עצמים.
תוצאה בסיסית בקומבינטוריקה קובעת שמספר הדרכים לבחור k עצמים מתוך קבוצה של m עצמים נתונה על ידי המקדם הבינומי (הוכחה לכך נתונה כאן).
ובפרט מספר הדרכים לבחור זוגות מתוך קבוצה של n+1 איברים היא .
לכן כל מספר משולשי שווה למקדם הבינומי הנ"ל.
בעזרת הנוסחה לחישוב מקדם בינומי נקבל את הנוסחה למספר משולשי:
מספר משולשי נתון גם על ידי נוסחת הנסיגה .
הצידוק לנוסחה פשוט: הוא סכום המספרים מ-1 עד n-1. כדי לקבל ממנו את שהוא סכום המספרים מ-1 עד n, כל מה שיש לעשות הוא להוסיף את n.
ההבחנה הבאה היא שמתקיימת הזהות , שיש לה צידוק גאומטרי פשוט המודגם באיור (ככל הידוע, הראשון שהבחין בזהות הוא ניקומאכוס בן המאה ה-1).
כפי שמודגם באיור, את ואת ניתן לסדר כשני משולשים שמשלימים זה את זה כך שהם יוצרים ריבוע עם צלע באורך n.
כעת ניתן להסיק את הנוסחה למספר משולשי:
נעביר את n אגף ונחלק ב-2:
בעזרת נוסחת הנסיגה ניתן להוכיח באינדוקציה מתמטית את הנוסחה למספר משולשי בקלות.
לעיתים קרובות הדבר ניתן כדוגמה פשוטה לשימוש בשיטה.
נניח כי ונוכיח כי :
נסמן ב- את מרחב המטריצות הריבועיות מסדר n על n מעל שדה (ממאפיין שונה מ-2).
נסמן ב- את קבוצת המטריצות הסימטריות וב- את קבוצת המטריצות האנטי-סימטריות.
קל לראות ש- ו- הם תת-מרחבים של .
מטריצה סימטרית נקבעת על פי הערכים שהיא מקבלת במשולש על ומעל האלכסון הראשי ואילו מטריצה אנטי-סימטרית נקבעת על פי הערכים שהיא מקבלת במשולש מעל (ולא על) האלכסון הראשי.
המטריצה היחידה שהיא גם סימטרית וגם אנטי-סימטרית היא מטריצת האפס.
כמו כן, כל מטריצה ניתן לבטא כסכום של מטריצה סימטרית עם מטריצה אנטי-סימטרית כך:
לכן הוא סכום ישר של שני המרחבים:
אם נעבור למשוואת הממדים נקבל:
ומכאן נמשיך כמו בהוכחה הגאומטרית.
מאות תכונות שונות של מספרים משולשיים נחקרו במהלך השנים.
מספרים משולשיים הם מקרה פרטי של מספרים מצולעים – מספרים שניתן לסדרם בצורת מצולע משוכלל.
לפי הנוסחה למספרים משולשיים, לכל מספר משולשי מתקיים ש- הוא מספר ריבועי.
אם מספר הוא מספר ריבועי, אז k הוא מספר משולשי.
זאת משום ש- אי-זוגי, ולכן השורש שלו אי-זוגי, ומכאן שקיים n כך ש-.
ההפרש בין המספר המצולע ה-n-י מסדר s (זה המתאים למצולע עם s צלעות) למספר המצולע ה-n-י מסדר s-1 הוא המספר המשולשי .
הזהות היא מקרה פרטי של הזהות הכללית.
יש אינסוף מספרים משולשיים שהם גם ריבועים, ואלו נקראים מספרים משולשיים ריבועיים.
הדוגמה הקטנה ביותר, מלבד 1, היא 36.
סכום n המספרים המשולשיים הראשונים נקרא המספר הארבעוני ה-n-י, שכן ניתן לסדר את המשולשים במרחב התלת־ממדי זה על גבי זה כך שנוצר ארבעון (פירמידה משולשת).
ישנה נוסחה מפורשת למספרים ארבעוניים:
לפי משפט ניקומאכוס מתקיימת הזהות המפתיעה:
כל מספר משוכלל זוגי הוא מספר משולשי.
אוילר הוכיח כי כל מספר משוכלל זוגי הוא מהצורה , כאשר הוא מספר מרסן ראשוני.
במשולש פסקל כל המספרים המשולשיים מופיעים באלכסון השלישי (מימין ומשמאל).
תכונה זו נובעת מההצגה של המספרים המשולשיים כמקדמים בינומיים.
מתוך הנוסחה למספרים משולשיים מוכיחים את הזהויות:
הסכום האינסופי של כל המספרים ההופכיים של מספרים משולשיים שווה ל-2. זאת מכיוון שניתן להפוך אותו לטור טלסקופי שמתכנס ל-2:
הצגת מספר כסכום של מספרים משולשיים
ב-10 ביולי 1796 המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס הוכיח כי כל מספר טבעי ניתן להציג כסכום של שלושה מספרים משולשיים או פחות.
הוא ציין הישג זה ביומנו בהערה תמציתית ומפורסמת: "ΕΥΡΗΚA!
תוצאה זו מתקבלת בקלות בהסתמך על תוצאה חשובה נוספת שהוכיחו לגראנז' (ב-1798) וגאוס עצמו (ב-1801) – כל מספר שאינו מהצורה הוא סכום של שלושה ריבועים או פחות.
נציג את כסכום של שלושה מספרים משולשיים.
ראשית נבחין כי אינו מהצורה הבעייתית, כי .
נציג אותו כסכום של שלושה ריבועים (חלקם אולי 0).
נבחן את השוויון מודולו 4. 0 ו-1 הם השאריות הריבועיות מודולו 4, כלומר .
לכן לפי התכונה שהוכחה קודם, קיימים כך ש- (לשם הנוחות מגדירים ).
במקרים בהם אחד המספרים בהצגה הוא , ניתן להיפטר ממנו, ולקבל הצגה עם פחות משלושה מחוברים.
משפט המספרים המצולעים שהוכיח קושי ב-1813 הוא הכללה מרחיקת לכת של התוצאה האחרונה.
המשפט קובע שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של s מספרים מצולעים מסדר s.
התוצאה של גאוס היא המקרה s=3, ואילו משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' הוא המקרה s=4.
מספר משולשי ריבועי הוא מספר שהוא גם מספר ריבועי וגם מספר משולשי.
אם A הוא מספר כזה, אז אפשר להציג אותו גם כמספר ריבועי, , וגם כמספר משולשי , ולכן .
זוהי משוואת פל, שפתרונותיה ידועים.
מן הפתרונות האלה אפשר לקבל את הנוסחה הכללית למספרים משולשים-ריבועיים:
למספרים אלה יש גם את הנוסחה הרקורסיבית:
במתמטיקה, מספר מזל הוא מספר השייך לתת קבוצה של המספרים הטבעיים, המכילה מספרים שנותרו לאחר ניפוי בשיטה דומה לשיטת הנפה של ארטוסתנס המוצאת ראשוניים.
אלגוריתם הניפוי למציאת מספרי מזל:
נתחיל בסדרת המספרים הטבעיים החל מ־1:
ואז ננפה את כל המספרים הזוגיים:
המספר השני בסדרה הוא 3, ולכן ננפה כעת כל מספר שלישי בסדרה:
המספר השלישי בסדרה הוא 7, ולכן ננפה כעת כל מספר שביעי בסדרה:
המספרים הנותרים בסוף התהליך נקראים "מספרי מזל"; מספרם אינסופי.
המספרים הראשונים בסדרה זו הם:
לקבוצת מספרי המזל יש כמה תכונות דומות לאלו של המספרים הראשוניים; למשל, שכיחותם האסימפטוטית דומה לזו שקובע משפט המספרים הראשוניים (כלומר, יש בערך מספרי מזל בין 1 ל- x).
לא ידוע האם יש אינסוף מספרי מזל שהם בעת ובעונה אחת מספרים ראשוניים.
במתמטיקה, מספר מוזר הוא מספר טבעי שהוא שופע; כלומר, סכום מחלקיו (לא כולל המספר עצמו) עולה על המספר, אך לא דמוי משוכלל – אין קבוצה חלקית של המחלקים, שסכומה שווה למספר.
עדיין לא נמצא מספר אי-זוגי מוזר, והוכח שאם קיים מספר כזה, הוא חייב להיות גדול מ-1021.
במתמטיקה, מספר נורמלי הוא מספר ממשי שהספרות שלו מתנהגות כאילו הוגרלו באקראי, כאשר לכל ספרה יש הסתברות שווה להופיע.
לצורך הגדרה זו מספיק להתייחס לספרות שמימין לנקודה העשרונית.
למרות העובדה שכמעט כל מספר ממשי הוא נורמלי, קשה ביותר להוכיח שמספר נתון הוא כזה.
מספרים רציונליים אינם נורמליים, ומשערים שכל מספר אלגברי שאיננו רציונלי הוא נורמלי.
ידועה גם ההשערה שפאי נורמלי.
יהי b מספר שלם גדול מ-1, ויהי x מספר ממשי.
לכל סדרה סופית s של ספרות בבסיס b, נסמן ב- את מספר הפעמים שהרצף s מופיע ב- n הספרות הראשונות של x.
בנוסף, נסמן את האורך של s (בספרות) בסימון .
אומרים ש- x נורמלי ביחס לבסיס b, אם לכל s, הסדרה מתכנסת ל- .
מספר שהוא נורמלי ביחס לכל בסיס הוא מספר נורמלי.
אפשר, במקום לבחון מספר נתון x, לבנות מספר X על ידי הגרלת הספרות באקראי, בזו אחר זו, כאשר הספרות שוות הסתברות ובלתי תלויות.
במקרה כזה, X יהיה נורמלי בהסתברות 1. במילים אחרות, 'נורמליות' היא התכונה שמציג מספר "חסר תכונות", שנבחר באקראי.
כדי שמספר יהיה נורמלי ביחס לבסיס b, אין זה מספיק שהספרות בהצגה שלו לפי אותו בסיס יהיו בעלות שכיחות שווה - נורמליות דורשת שכל הרצפים באותו אורך יקיימו תכונה זו.
למרות זאת, אם הספרות של x הן שוות שכיחות, וזאת בכל בסיס, אז x נורמלי (ביחס לכל בסיס).
את המושג טבע אמיל בורל ב-1909. בורל הוכיח (בעזרת הלמה של בורל-קנטלי) שכמעט כל מספר ממשי הוא נורמלי: מידת לבג של קבוצת המספרים שאינם נורמליים היא אפס.
טענה זו ניתן להוכיח גם באמצעות החוק החזק של מספרים גדולים.
משפט זה מראה שמספרים נורמליים קיימים, בלי להצביע על אף מספר כזה במפורש.
קל לראות שמספרים רציונליים אינם נורמליים ביחס לאף בסיס (הפיתוח לפי בסיס b של מספר רציונלי הוא תמיד סופי או מחזורי).
יתרה מזו, קבוצת המספרים שאינם נורמליים ביחס לבסיס נתון היא מעוצמת הרצף (היא כוללת, לדוגמה, את כל המספרים המורכבים מרצפי הספרות 01 ו- 10).
משערים שכל מספר אלגברי שאינו רציונלי הוא נורמלי, אבל ניתוח הספרות של מספרים אלגבריים קשה ביותר, ולא ידועה אפילו דוגמה אחת למספר אלגברי נורמלי (ביחס לבסיס כלשהו).
משערים גם שמספרים כגון e ופאי הם נורמליים - אף על פי שלא ידוע אפילו האם כל ספרה מופיעה בפיתוח העשרוני של פאי אינסוף פעמים.
המספר העשרוני (קרוי גם "קבוע צ'אמפרנאוונה"), המתקבל מהדבקת המספרים הטבעיים זה אחר זה, בייצוג עשרוני, הוא נורמלי בבסיס 10.
מספר סידורי (בלועזית: serial number או CD key) של תוכנה או של משחק מחשב הוא רצף של אותיות לועזיות ומספרים, אותו מקבל הלקוח עם קנייתם של תוכנה או משחק מחשב מקורי בחנות או דרך אתר אינטרנט.
המספר הסידורי מאפשר למוצרים המותקנים לאמת את מקוריותם.
קיימים מספרים סידוריים הניתנים לאימות באופן לא מקוון, ומספרים סידוריים המבקשים אשרור באמצעות האינטרנט, כגון חלונות XP, על מנת למנוע ממספר אנשים להשתמש באותו מספר סידורי.
המספר הסידורי מודפס בדרך כלל על גב האריזה או על גב התקליטור של המוצר שנרכש.
תוכנות העובדות בצורה מקוונת, כגון תוכנות המורידות עדכונים בצורה שוטפת או משחקי מחשב המשוחקים דרך האינטרנט, יכולות לבקש לאמת את המספר הסידורי.
לדוגמה, לא ניתן לשחק במשחק דיאבלו 2 ללא מספר סידורי ייחודי ומקורי.
ישנן תוכנות אשר אינן דורשות מספר סידורי כלל, ואחרות שמסוגלות לפעול ללא מספר סידורי למשך תקופה מסוימת, בדרך כלל לתקופה של בין 15 ל-30 ימים, או שמאפשרות גישה חלקית לתכנים ביישום ללא דרישה של מספר סידורי.
אפשרות כזאת מיועדת בדרך כלל לצורכי הדגמה (Demo/Trial Version), בכדי לתת אפשרות ללקוח לחוות את השימוש בתוכנה ולבחון אותה לפני שיקנה אותה.
את המספר הסידורי מזין הלקוח עם התקנת התוכנה או המשחק במחשבו (Activation/Redeeming), לשם הפעלה של אותו יישום.
תוכנת ההתקנה של היישום מעבירה את המחרוזת שהוזנה לפונקציה המאמתת אותה באמצעות אלגוריתם אלגברי.
יעילותם של מספרים סידוריים בעצירת הפרת זכויות יוצרים של תוכנה נמוכה מאחר שניתן להפיץ מספרים סידוריים בקלות יחסית.
עם השיפור בתקשורת בעקבות צמיחתה של רשת האינטרנט למשקים מערביים רבים, התקפות הפכו למתוחכמות יותר, כגון:
א' "קראקים" (קבצים פרוצים המאפשרים את הפעלת התוכנה בלי אימות המספר הסידורי).
ב' מחוללי רישיונות (הממציאים מספר סידורי פיקטיבי, הנחשב לחוקי על ידי אלגוריתם האימות).
מסיבה זו, יותר ויותר מפתחי תוכנות פונים לאמצעי אימות פעילים יותר וסודיים יותר, הכוללים בדרך כלל אימות תקופתי באמצעות האינטרנט או הטלפון.
אימות מסוג זה נעשה בצד השרת או המוכר, כך שהקראקים לא יוכלו להתערב.
השרת יכול אף לכלול רשימה שחורה של מספרים סידוריים חסרי תוקף או מספרים סידוריים שהוחרמו.
דוגמה בולטת לתהליך זה היא תהליך האקטיווציה של חלונות XP : מי שלא הפעיל את המוצר באחת הדרכים האפשריות, לא יוכל לקבל עדכונים מחברת מיקרוסופט, לדוגמה: עדכוני אבטחה.
המספרים הסידוריים גורמים, במידה מסוימת, אי נוחות.
על המשתמש להזין סדרה של מספרים ואותיות לא קשורים בכל התקנה של המוצר, ובנוסף לזאת, עליו לוודא שהמספר הסידורי לא ילך לאיבוד.
איבוד המספר הסידורי, פירושו בדרך כלל, שתקליטור ההתקנה חסר תועלת.
בתחום משחקי המחשב קיימות תוכנות אימות מקוונות המוסיפות מספרים סידוריים לרשימה שחורה במקרים מסוימים, כגון שימוש בצ'יטים או בעת השימוש בקובצי קראק.
לעיתים, גם כאשר מתגלה מספר סידורי שנעשה בו שימוש על ידי יותר משחקן אחד, המספר הסידורי מוחרם.
שיטה זו של הגנה על זכויות היוצרים שנויה במחלוקת כיוון ששחקנים תמימים שקנו את המוצר במיטב כספם, נחסמים על לא עוול בכפם.
בנוסף לזאת, פעמים רבות מזוהה שחקן תמים כמפר רישיון ונחסם על אף שהמספר הסידורי שלו מקורי לחלוטין.
מקרה כזה יכול להתרחש אם שחקן שמשתמש בקראק נחסם, והוא בעל אותו מספר סידורי כמו זה של שחקן תמים.
בנוסף, הוא יכול להתרחש כאשר המשחק פועל על מערכת הפעלה שאינה נתמכת על ידי החברה המפתחת.
לדוגמה, משתמשי לינוקס המריצים תוכנות שיועדו למערכת ההפעלה חלונות, באמצעות תוכנות תאימות כגון Wine ו-Cedega.
סביבות לא צפויות אלו מזוהות לעיתים כסוג של קראק, ולכן נחסמות על ידי השרת.
ההבדל בין קראק לבין מספר סידורי
הפורצים המפרסמים פריצות לתוכנות, מפיצים זאת בשתי דרכים:
קראק - קובץ או תוכנית מחשב המבצע שינוי בקובצי רג'יסטרי (מסד נתונים) שהתוכנה רושמת או בקובצי התוכנה עצמה.
השינוי גורם לתוכנה להתעלם מבקשות אימות של המספר הסידורי ו/או להתעלם מהימצאותו של תקליטור בכונן המתאים, אם הלה נדרש.
מספר סידורי - רצף המספרים והאותיות שמבצע את ההרשמה לתוכנה באופן חוקי, ללא שינוי בקובצי התוכנה.
בקומבינטוריקה, מספר מוצקין (ה-n-י) הוא מספר הדרכים השונות לחבר n נקודות על היקפו של מעגל, במיתרים שאינם חוצים זה את זה.
למספרים אלה יש הגדרות אחרות, מתחומי תורת המספרים והגאומטריה.
מספרי מוצקין קרויים על שמו של המתמטיקאי תאודור מוצקין (בנו של המנהיג הציוני ליאו מוצקין).
התרשים הבא מראה את 9 הדרכים לחבר 4 נקודות על היקף מעגל בלי מיתרים חוצים:
והתרשים הבא מראה את 21 הדרכים לחבר 5 נקודות על מעגל בלי מיתרים חוצים:
הגדרות מקבילות למספרי מוצקין: מספר מוצקין ה-n-י שווה גם למספר הסדרות של מספרים שלמים חיוביים, שאורכן n-1, הן מסתיימות ומתחילות ב 1 או 2, וההפרש בין כל שני איברים רצופים בהן הוא 0, 1 או 1-.
כמו כן, מספר מוצקין ה-n-י שווה למספר המסלולים האפשריים ברביע הימני העליון של רשת קואורדינטות, מהנקודה (0,0) לנקודה (n,0) כאשר בכל צעד מותר לזוז רק לכיוון ימין, (ישירות ימינה, ימינה ולמעלה או ימינה ולמטה) ובשום שלב אסור לרדת מתחת לציר ה-x.
התרשים הבא מראה את 9 המסלולים החוקיים מהנקודה (0,0) לנקודה (4,0):
ב-1977 הציגו דונהיי ושפירו 14 הגדרות שונות למספרי מוצקין בענפים שונים של המתמטיקה.
מספר סוריאליסטי הוא מבנה קומבינטורי המייצג משחק אסטרטגיה, שאותו ניתן לעיתים לפרש כמספר.
המתמטיקאי האנגלי-אמריקאי ג'ון קונוויי המציא את המספרים הסוריאליסטים בתחילת שנות ה-70 של המאה ה-20. הם הופיעו לראשונה בנובלה פרי עטו של דונלד קנות' שאף נתן להם את שמם.
אוסף המספרים הסוריאליסטים מהווה מערכת מספרים משוכללת, המכלילה את שדה המספרים הממשיים ואת אוסף המספרים הסודרים.
השם Surreal number רומז לאופי הסוריאלסטי-משהו של הבנייה, ולכך שמספרים אלו ניצבים כביכול מעבר למספרים הממשיים (Real numbers).
הגדרת המספרים הסוריאליסטיים מבוססת על רעיונות שונים מרוב מערכות המספרים המקובלות במתמטיקה.
ניתן להתייחס אליהם מ-2 נקודות מבט:
כמערכת מספרים - מנקודת מבט זו, אין חשיבות להגדרה של מספר סוריאליסטי ספציפי, אלה רק לאופי שלהם ולפעולות עליהם (בדומה לשאר מערכות המספרים)
כמשחקים קומבינטוריים - כאן יש חשיבות להגדרה הספציפית של מספר סוריאליסטי בתור משחק.
ככאלה המספרים הסוריאליטיים מהווים כלי תאורטי חשוב בניתוח משחקים, במסגרת תורת המשחקים הקומבינטורית.
משחקי אסטרטגיה מופשטים הם משחקים שבהם יש שני צדדים (נאמר, L ו-R), המבצעים מהלכים לסירוגין, תוך ידיעה מלאה על מצב המשחק וללא השפעה של מזל.
באופן המשחק המקובל, הצד שאינו יכול לבצע עוד מהלך חוקי, מפסיד.
בין הדוגמאות למשחקים כאלה: דמקה, איקס עיגול ונים.
קונוויי הבחין שבמשחקים מעין אלה, אין צורך לתאר את המהלכים שיכול לבצע כל שחקן (ובוודאי שלא את כללי המשחק או חוקיו) – די לתאר את המצבים שאליהם יכול כל שחקן להגיע בתורו.
הפשטה זו מביאה להגדרה של משחק סוריאליסטי כזוג סדור, שכל אחד משני רכיביו הוא קבוצה של משחקים סוריאליסטיים (ומכאן ואילך, משחקים סתם): ברכיב השמאלי מופיעים המשחקים שאליהם יכול להגיע בתור אחד השחקן L, וברכיב הימני המשחקים שאליהם יכול להגיע בתור אחד השחקן R.
מקובל לסמן את הקבוצות בין סוגריים מסולסלים, ולהפריד אותן בקו ניצב: .
הגדרה זו נדמית מעגלית, אך היא מייצגת מבנה אינדוקטיבי, וניתן בנקל להפוך אותה להגדרה באינדוקציה טרנספיניטית.
לדוגמה, המשחק מציין משחק נטול מהלכים (ומקיים את ההגדרה באופן ריק): כל שחקן שתורו לנוע, יפסיד.
נסמן (כמקובל) את המשחק הזה ב-0. במשחק יש לצד R מהלך יחיד, המעביר את המשחק ל-0, ואילו לצד L אין מהלכים כלל.
אם תורו של L, הוא מפסיד; ואם תורו של R, אז הוא בוחר (בלית ברירה) לעבור ל-0, ואז עובר התור לרשותו של L, המפסיד מיד.
משחק זה מבטיח ניצחון לצד R והפסד לצד L.
באופן דומה, המשחק מבטיח ניצחון לצד L, ואילו המשחק מבטיח ניצחון לשחקן הראשון (R או L).
ישנם משחקים שאפשר להתאים להם ערך מספרי, האמור לייצג את "ערך המשחק" עבור השחקן L.
לדוגמה, הוא משחק בעל ערך 1, ו- שניהם בעלי ערך 2. הערך מותאם באופן כזה שאם R יכול להשוות בין המהלכים השונים האפשריים בתורו, הוא יעדיף לבחור בזה שהערך שלו הוא הנמוך ביותר, בעוד ש- L יעדיף תמיד מהלכים בהם הערך הוא הגבוה ביותר.
בתנאים אלה, ההיגיון מחייב שערכו של משחק נמוך מכל הערכים שאליהם יכול R להוביל, וגבוה מכל הערכים שאליהם יכול L להוביל.
ואכן, כך מוגדר מספר סוריאליסטי: משחק סוריאליסטי הוא מספר, אם כל המצבים שלו הם מספרים, וכל המצבים בימין גדולים מכל המצבים בשמאל.
לצורך כך מוגדר יחס הסדר בין משחקים באופן הרקורסיבי הבא: אם לא קיים רכיב שמאלי (כלומר איבר של הצד השמאלי של x) כך ש-, ולא קיים רכיב ימני כך ש-.
אם ו- אומרים שהמשחקים שווים (אף על פי שהם עשויים להיות שונים זה מזה כזוגות של קבוצות).
למשל, המשחקים בעלי ערך 2 מתאימים למספר 2, בעוד שהמשחק (שבו השני מנצח) אינו מספר.
על אוסף המספרים הסוריאליסטיים אפשר להגדיר באופן רקורסיבי פעולות של חיבור וכפל, ההופכות אותו לשדה סדור (שאינו ארכימדי).
החיבור מוגדר לפי , לכל רכיבים שמאליים וימניים של x בהתאמה, וכן ל-y.
כדוגמה, נוכיח שמתקיים : נניח שהתכונה מתקיימת לכל הרכיבים השמאליים והימניים של x, ונקבל: ל0 אין רכיבים ימניים ולא שמאליים, לכן הרכיבים השמאליים של הם , והרכיבים הימניים הם .
כדוגמה, נוכיח שמתקיים : ל0 אין רכיבים ימניים ולא שמאליים, לכן הביטוי לא קיים (בשל אי קיומו של ), וכן לגבי שאר הביטויים המופיעים בהגדרת .
השדה מכיל מספרים כגון , אבל גם ואף .
האוסף של כל המספרים הסוריאליסטיים גדול כל כך, עד שאינו מהווה קבוצה, אלא מחלקה (כך לפי הפרדוקס של בורלי-פורטי, משום שכל מספר סודר הוא מספר סוריאליסטי).
האוסף הזה הוא "שדה סדור אוניברסלי": כל שדה סדור ניתן לשיכון (יחיד) בתוכו.
בתורת המספרים, מספר טבעי שהוא סכום המחלקים האמיתיים של מספר כלשהו נקרא "מספר נגיע", ומספר שלא ניתן להציג בצורה הזו הוא "מספר בלתי נגיע".
לדוגמה, 4 הוא "נגיע" משום שהוא שווה לסכום המחלקים של 9, מלבד 9 עצמו (היינו 1+3).
מקובל לסמן את הפונקציה המסכמת את המחלקים של n בסימן , וכך המספרים הנגיעים הם אלו השייכים לקבוצה ; השאר הם בלתי נגיעים.
המתמטיקאי פאול ארדש הוכיח שישנם אינסוף מספרים בלתי נגיעים.
כל מספר מהצורה (כאשר p ו-q ראשוניים שונים) הוא סכום מחלקים (של pq) ולכן נגיע.
מגרסה מעט חזקה של השערת גולדבך (לפיה כל מספר זוגי הוא סכום של שני ראשוניים שונים), נובע לפיכך שכל מספר אי-זוגי מלבד 5 הוא נגיע.
כל מספר הגדול ב-1 ממספר ראשוני p הוא בהכרח נגיע כי הוא שוה לסכום המחלקים של p2. גם המספרים המשוכללים הם נגיעים, בהיותם שווים לסכום המחלקים האמיתיים של עצמם.
מספר מעגלי או מספר ציקלי (בבסיס נתון) הוא מספר שלם בן n ספרות באותו בסיס, שכל כפולה שלו במספר קטן מ-n מתקבלת על ידי העברת ספרות מראש המספר אל זנבו.
למספרים מעגליים קשר לשברים מחזוריים כמוסבר בהמשך הערך.
מספרים מעגליים גדולים יותר, כמו המספר המעגלי 0588235294117647, פותחים בכמה אפסים מובילים.
יש נוסחה המאפשרת לכתוב את כל המספרים המעגליים.
לכל מספר ראשוני p זר ל-10, יש למספר 10 סדר בחבורת אוילר של p.
הסדר הזה הוא t החיובי הקטן ביותר כך ש-.
לפי משפט אוילר, הסדר של 10 תמיד מחלק את p-1. אומרים ש-10 יוצר של חבורת אוילר (של p) אם הסדר שלו הוא הערך המקסימלי האפשרי, כלומר p-1.
מתברר שכל מספר מעגלי עשרוני הוא מהצורה (והכפולות של מספר זה) כאשר p ראשוני שעבורו 10 הוא יוצר של חבורת אוילר מסדר p.
המספרים המעגליים הראשונים מתקבלים עבור p=7,17,19,23,29,47,59,61. אם 10 אכן יוצר את חבורת אוילר של p, אז ההצגה העשרונית של היא מחזורית, עם מחזור באורך p-1 המהווה בעצמו מספר מעגלי.
אם 10 אינו יוצר של חבורת אוילר, כמו במקרה של p=13, שעבורו הסדר הוא 6 משום ש-, מתקבל מספר "מעגלי למחצה": כל תמורה מעגלית של 076923 היא כפולה של המספר הזה, אבל לא כל כפולה היא תמורה מעגלית.
מספר מעושׂר הוא מספר מצולע מסדר 10, משמע מספר כך שניתן לסדר עצמים בצורת מעושר (מצולע בעל 10 צלעות) משוכלל.
המספר המעושר ה-n-י נתון על ידי הנוסחה .
הנוסחה היא מקרה פרטי של הנוסחה הכללית למספר מצולע.
עשרת המספרים המעושרים הראשונים הם:
המספר המעושר ה-n-י זוגי כאשר n זוגי ואי-זוגי כאשר n אי-זוגי.
השיטה הסטנדרטית למציאת מספרים שהם מספרים מצולעים משני סדרים שונים היא באמצעות פתרון משוואות פל.
משיטה זו נובע שאין מספר מעושר שהוא מספר ריבועי (למעט המקרה הטריוויאלי ).
מספרים מעושרים הם המספרים המצולעים מהסדר הקטן ביותר שטענה זו תקפה לגביהם.
הוא מספר המחלקים השונים של המספר .
זאת משום שהפירוק לגורמים שלו הוא , ולכן לפי הנוסחה הידועה לפונקציית המחלקים:
אם מתחילים את ספירלת אולם מהמספר 0, במקום מ-1 כמקובל, המספרים המעושרים מופיעים ברצף בשורה האמצעית, המתחילה מ-1 והולכת ימינה.
בתורת הגרפים, אינדקס וינר של גרף הוא סכום של מרחקים בין כל זוגות הצמתים בגרף.
הוא אינדקס וינר של הגרף המורכב משני עותקים של הגרף השלם , המחוברים ביניהם בקשת אחת.
תוצאה זו מתקבלת מחישוב ישיר פשוט: יש זוגות של צמתים שהמרחק ביניהם הוא 1; זוגות עם מרחק 2; ו- זוגות עם מרחק 3. בסך הכל אינדקס וינר יוצא:
מספרי סטרלינג (על שם המתמטיקאי הסקוטי ג'יימס סטרלינג) הם מספרים דמויי המקדמים הבינומיים, המופיעים במגוון בעיות קומבינטוריות.
ישנן שתי משפחות של מספרי סטרלינג:
מספרי סטרלינג מהסוג הראשון הם המספרים המתקבלים מן הזהות .
מספרי סטרלינג מהסוג השני הם המספרים המתקבלים מן הזהות .
בניגוד לקודמיהם, אלה ניתנים לחישוב באמצעות הסכום
מהשוואת המונום העליון נובע כי .
למספרים אלה יש משמעות קומבינטורית.
הוא מספר התמורות על איברים שיש להן מחזורים.
למשל, כי יש 8 תמורות שמבנה המחזורים שלהן הוא 3+1, ועוד 3 שהמבנה שלהן הוא 2+2.
הוא מספר הדרכים לפרק קבוצה בת עצמים ל- תת-קבוצות לא-ריקות.
למשל, משום שיש שבע דרכים לפרק קבוצה בת 4 איברים לשני חלקים: ארבע שבהן יש בקבוצה אחת איבר יחיד ובשנייה שלושה, ועוד שלוש שבהן יש בכל חלק שני איברים.
מספרי סטרלינג מהסוג השני מקיימים את נוסחת הרקורסיה .
סדרת המונומים מהווה בסיס סטנדרטי לחוג הפולינומים במשתנה אחד.
גם הסדרה מהווים בסיס למרחב הזה, והמטריצות הן מטריצות מעבר מהבסיס הראשון לשני ובחזרה, בהתאמה.
לכן הן הפוכות זו לזו: , ומכאן הזהויות
מספר משכורות נדרשות לרכישת דירה הוא ערך מספרי המבטא את היחס שבין המחיר הממוצע לדירה לבין משכורת ממוצעת.
הערך מהווה מעין מדד פשוט ועממי ליוקר הדיור.
למרות ששיטת מדידה זו לא הוגדרה באופן רשמי על ידי רשויות המדינה, היא מתפרסמת מעת לעת על ידי גורמים ממשלתיים.
החישוב של מספר המשכורות הנדרשות לרכישת דירה נערך באמצעות חילוק מחיר דירה ממוצע ארצי שמתפרסם על ידי הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה בנתון השכר הממוצע במשק (לפני ניכוי מס - "ברוטו") המתפרסם גם הוא מדי חודש על ידי הלמ"ס.
מחיר דירה ממוצעת שמתפרסם מבוסס על נתוני רשות המיסים.
הערך מבטא בהקשר העממי את פרק הזמן בחודשים או בשנים שיש לעבוד בתנאי שכר ממוצע כדי להשתכר סכום שמשתווה למחיר דירה ממוצעת שהוא ביטוי בקירוב גס ל"רמת המאמץ" שנדרשת מציבור הצרכנים לצורך רכישת דירה.
יתרונה של השיטה הוא פשטותה והיותה אינטואיטיבית.
חסרונה העיקרי בכך שהיא אינה מוגדרת וניתנת לחישוב בדרכים שונות שיביאו לתוצאות מספריות שונות.
בדיקת ההשתנות של מחירי דירות ביחס לכוח הקניה של הציבור לאורך ציר הזמן.
בדיקה השוואתית גסה של מצב רוכשי הדירות בין מדינות שונות.
מספר משכורות נדרשות לרכישת דירה בישראל
בישראל נתון מספר משכורות נדרשות לרכישת דירה מתפרסם מעת לעת אך לא באופן סדיר, על ידי משרד הבינוי והשיכון, השמאי הממשלתי הראשי, משרד האוצר וגורמים לא ממשלתיים.
הפרסומים מתרבים בתקופות שבהן מצוי שוק הדירות במשבר למשל במשבר ההיצע של ראשית שנות התשעים או במשבר הנדל"ן שפרץ בשנת 2008 שבו שימשה השיטה כאחת האינדיקציות לשאלת קיומה של "בועה" בשוק הדיור.
היחס בין השכר הממוצע למדד מחירי הדירות נשאר יציב (עם עליות וירידות).
עם זאת, מספר שנות העבודה הנדרשות לרכישת דירה עלו במשך השנים כתוצאה מהעלייה ברווחת הדיור וסטנדרט הדירות.
החל מסוף שנות ה-80 עד אמצע שנות ה-90 מחירי הדירות עלו בצורה משמעותית בעקבות העלייה ממדינות חבר העמים, הסיוע הממשלתי במשכנתאות במינוף גבוה לעולים זכאים וביקוש ספקולטיבי גובר.
בדצמבר 1995 הגיע לישראל פרופ' פיטר לינימן, מומחה לנדל"ן העומד בראש מחלקת הנדל"ן בבית הספר למנהל עסקים של אוניברסיטת פנסילבניה ובמהלך הרצאה בבית הספר לנדל"ן של להב ואנגלו-סכסון הוא קבע נחרצות: "תוך שנתיים יהיה משבר במחירי הדירות בארץ, שירדו ב-15 עד 30 אחוז".
לפי השוואה שנערכה על ידי מערכת "גלובס" שנתיים לאחר מכן, חוץ מבכמה בתי יוקרה, לא נרשמה ירידת מחירים של 30%, ורק במקומות בודדים ירדו המחירים ב-15%.
ברוב המקומות נרשמה הוזלה של 5% עד 10% במחירי הדירות, והיו גם אתרים וערים שבהם עלו המחירים.
בפברואר 1997 חברת בטוחה פרסמה מחקר שממנו עלה כי הצרכן הישראלי הגיע לקצה גבול יכולתו בתשלום לדירות ולפיו המשק נמצא בתחילתו של תהליך שיימשך מספר שנים ועיקרו תיקון במחירי דיור אשר בשיאו תיתכן ירידת מחירים ריאלית של 15%-20% (יחסית למחירי שיא של יוני 1996).
במרץ 1998 פרופ' פיטר לינימן שום בפעם ביקר בישראל והתנבא כי מחירי הנדל"ן למגורים ירדו בעוד 15% וכי בשיא ירידות המחירים הבנקים יתחילו לממש נכסים של חברות שלקחו אשראי.
ביולי 1998 חברת אילנות-בטוחה פרסמה ניתוחים שערכו כלכלני החברה למניות של חברות הנדל"ן בבורסה ובהם עלה כי דו"חותיהן לשנת 1997 לא שיקפו את המשבר הפוקד את הענף בגלל שיטת הדיווח החשבונאי וכי הדו"חות לרבעון הרביעי של 1997 כבר התחילו להצביע על המשבר שפקד את הענף.
במסגרת הכנס השנתי של שמאי המקרקעין שנערך בנובמבר 1998, מסר הכלכלן ושמאי המקרקעין הבכיר אהוד מאירי כי מאז דצמבר 1995 ועד אוקטובר 1998 מחירי הדירות והמשרדים בתל אביב ירדו ב-12 עד 22 אחוז.
במהלך תקופת המשבר וירידות המחירים בענף הנדל"ן הזהירו מספר גורמים מהתעוררות ומפנה בשוק הדיור עקב סיבות שונות כגון, היצע קרקעות ודירות קטן שלא יוכל לספק את הביקושים, הירידה בגובה הריבית על משכנתאות וההטבות לזכאים ולזוגות צעירים הכלולים בחוק המשכנתאות החדש, והירידה בהתחלות הבנייה לצד הירידה במלאי הדירות הלא מכורות.
למרות כל זאת, בשלוש שנותיו של בנימין נתניהו, שכיהן גם בתפקיד הרשמי של שר השיכון, נקלע ענף הנדל"ן לאחד מהמשברים החמורים ביותר בתולדותיו ובמהלכו הוא חווה הצטמקות חדה של פעילות, ירידת מחירים וכניסתם של קבלנים ויזמים לקשיים ופשיטות רגל.
החל מהמחצית השנייה של שנת 2008 נצפו עליות עקביות ומשמעותיות במחירי הדירות שהעלו את המדד אל מעל 100 משכורות לראשונה מזה 30 שנה.
רמת השיא של יחס מחיר דירה משכורת (עד לאותה עת) נמדד במחצית הראשונה של שנת 2011 בגובה של 134 משכורות לדירה ממוצעת.
מאז ועד המחצית השנייה של 2012 ירד היחס ל-127 משכורות (נצפתה יציבות נומינלית במחירי דירות ועליה בשכר הממוצע), נכון לשנת 2022 בכדי לרכוש דירה נדרשות 153 משכורות.
קשיים ואי דיוקים בשיטת החישוב
מטרת השיטה היא לבטא את מצבם של רוכשי הדירות או את יוקר הדיור שרואה לנגד עיניו ציבור הצרכנים.
אולם קיימים לגביה מספר קשיים שמביאים לעיוות התוצאה:
אין בשיטה ביטוי לשינויים באיכות המוצר.
במרוצת השנים משתפרת רמת הגמר של דירה ממוצעת, גדל השטח המשותף המשרת אותה וכן רמת הפיתוח הסביבתי העירוני שבה היא מצויה.
כך לדוגמה דירות שנסחרו בשנות השבעים בדרך כלל לא צוידו במזגנים, מעליות, מערכות סולאריות.
קיימים מספר נתוני שכר ממוצע במשק: עם עובדים זרים או בלעדיהם, בניכוי השתנות עונתית או ללא ניכוי זה וכו'.
בהיעדר הגדרה רשמית יכולים הגורמים השונים להכליל בשיטה נתוני שכר שונים.
השכר הממוצע במשק מושפע ממועסקים במשרה חלקית מבחירה ובכך ייתכן שנוצר עיוות מסוים בממוצע השכר.
השכר הממוצע במשק מושפע משיעור השתתפות האוכלוסייה בכוח העבודה ויוצר עיוות בנתונים.
כך לדוגמה, עלייה בשיעורי התעסוקה של עובדים חסרי כישורים (כגון גברים חרדים ונשים ערביות) הובילה לירידה בשכר הממוצע, בעוד שכרם הריאלי של שאר העובדים עלה.
על פי דעה זו, יש להשתמש בהכנסה הממוצעת למשק בית או בשכר הממוצע בפילוח לפי סקטורים.
היחס אינו מביא בחשבון שינויים במס הכנסה.
במרוצת השנים השתנה שיעור מס הכנסה שמשפיע באופן משמעותי על המאמץ הנדרש לשם רכישת דירה שכן דירה, ככל מוצר אחר נרכשת מההכנסה הפנויה לאחר מס.
המדד אינו מבטא עלות רכישה עקיפה.
מלבד מחיר הדירה, נושא רוכש בהוצאות מיסוי (מס רכישה) ודמי תיווך.
סכומים אלה שבדרך כלל אינם משמעותיים לא מובאים בחשבון.
קיימת דעה כי ראוי היה להשתמש בנתון השכר החציוני ומחיר הדירה החציוני.
על פי דעה זו השימוש בממוצע הן במונה והן במכנה מביאה לעיוות התוצאה שכן הממוצע של השכר ושל מחירי דירות מושפע השפעה ניכרת מבעלי ההכנסות הגבוהות מאוד ושל דירות היוקרה שמספרם המוחלט קטן.
בעוד השכר הממוצע במשק מתייחס לשכירים בלבד - מחיר הדירה בו משתמשים אינו מוגבל לדירות של שכירים.
מסַפֵּר סיפורים הוא אומן בהשמעת והצגת סיפורים לקהל מאזינים.
תפקידו של המספר קיים מקדמת דנא, בכל תרבויות האנושיות.
בטרם ידיעת קרוא וכתוב הייתה נפוצה, שימשו מספרי הסיפורים כלי יחיד כמעט להעברת סיפורי עם, אגדות ומיתולוגיות להמון.
על מנת שיוכלו לזכור את סיפוריהם בעל פה פיתחו מספרי סיפורים שיטות מנמוניקה (עזרי זיכרון) כגון שימוש בחרוזים ובמשקל, לשון נופל על לשון, חזרות, סידור במספרים טיפולוגיים וכדומה.
כן פיתחו מספרי הסיפורים שיטות רטוריות על מנת לרתק את קהלם, להפתיע אותו ולרגש אותו.
בתרבויות מסוימות נהוג שהמספר שר את סיפורו כעין בלדה ובאחרות נהוג יותר סיפור בפרוזה.
לרוב מספרי הסיפורים נדדו בין כפרים וערים ולפיכך לא יכלו לסחוב ציוד רב.
לכן עשו שימוש מועט בתפאורה והשתמשו לשם יצירת דרמה וגילום דמויות לרוב בקולם בלבד ולעיתים בתלבושות ועזרים פשוטים ובכלי נגינה קל.
כיום נעשה ניסיון מודע לשמר את אומנות סיפור הסיפורים, באמצעות הקלטה של מספרי סיפורים מסורתיים, לימוד האומנות בקורסים ועריכת פסטיבלים למספרי סיפורים.
בישראל פעיל מאז 1993 פסטיבל מספרי סיפורים בתיאטרון גבעתיים מייסודו של יוסי אלפי.
כן משתלב הנושא במקצועות כגון טיפול בדרמה, הדרכת טיולים, הוראה, נאום פוליטי ועסקי ועוד.
תוכנית הטלוויזיה "סיפורי עמים" נקראה במקור "The Storyteller", מספר הסיפורים.
פירוש שמו של תיאטרון אל-חכוואתי אף הוא "מספר הסיפורים".
מספר מקוצר הוא מונח המתאר אפשרות לחיוג מקוצר מסוגי טלפונים שונים.
המספר המקוצר מחליף את מספר הטלפון הרגיל בו משתמש בית העסק לצורך יצירת קשר, והוא נועד להקל על המתקשר בהיותו קצר וקליט לעומת המספר הרגיל, בדרך כלל מטעמי שיווק ושרות ללקוחות.
מבחינה טכנית המספר המקוצר אינו מספר טלפון "אמיתי" אלא קוד המזוהה על ידי המתג של חברות התקשורת.
כאשר נכנסת שיחה אל המתג מתבצעת סדרה של פעולות זיהוי ביניהן גם בדיקת הקידומת ממנה יצאה השיחה.
במידה והקידומת מזוהה ככוכבית, מופעל מנגנון תרגום והמתג מנתב את השיחה אל מספר הטלפון הרגיל של בית העסק.
בנוסף על המספר המקוצר קיימים גם תחליפים אחרים למספר הרגיל, מספרי 1-800 ו-1-700 אולם אלו בעלי 10 ספרות וכרוכים בעלויות שיחה לבית העסק.
החיוג למספר המקוצר אינו כרוך בעלות נוספת למתקשר, אך הוא מחויב בזמן אוויר על פי תוכנית התעריפים בחברת התקשורת עליה מנוי.
בשנת 2003 החל שרות ארצי בישראל של מספר מקוצר לעסקים, הפעיל מטעם כל חברות התקשורת בישראל.
המספר המקוצר הוא תבנית של כוכבית ולאחריה בדרך כלל ארבע ספרות.
בישראל מספר מקוצר ניתן על ידי מספר חברות שקיבלו היתר ממשרד התקשורת לספק את השירות במסגרת תיק השירות.
בין החברות המציעות את השירות נמנות חברות שירותי הטלפון הגדולות וכן חברות אחרות שמתמחות בתחום.
בתורת המספרים, מספר טבעי p הוא מספר מחומש אם אפשר לסדר p עצמים בצורת סדרה של מחומשים משוכללים בעלי קודקוד משותף.
זהו מספר מצולע מסדר 5, בדומה למספר משולשי (סדר 3) ומספר ריבועי (סדר 4).
לפי הנוסחה הכללית למספר מצולע, המספר המחומש ה-n הוא:
20 המספרים המחומשים הראשונים הם: ().
אם מתירים גם n שאינם חיוביים מקבלים את סדרת המספרים המחומשים המוכללים.
20 המספרים המחומשים המוכללים הראשונים הם: ().
לפי משפט המספרים המצולעים כל מספר טבעי הוא סכום של חמישה מספרים מחומשים (כולל 0).
משערים שיש רק 210 מספרים טבעיים שאינם סכום של שלושה מספרים מחומשים
חשיבותם של מספרים מחומשים נובעת ממשפט המספרים המחומשים שהוכיח לאונרד אוילר:
מהמשפט נובע הקשר של מספרים אלו לפונקציית החלוקה:
באנליזה ממדית, מספר סטרוהאל (St) הוא גודל חסר ממד המתאר מנגנוני זרימה תונדים.
פרמטר זה קרוי על שמו של הפיזיקאי הצ'כי וינסנק סטרוהאל אשר ב-1878 התנסה עם חוטים החווים היווצרות של מערבולות ויוצרים מעיו שירה ברוח.
מספר סטרוהאל הוא חלק אינטגרלי מיסודות מכניקת הזורמים.
מספר סטרוהאל חשוב באנליזות זרימה לא יציבות ותונדות, והוא מייצג מדד ליחס של כוחות האינרציה עקב אי היציבות של הזרימה.
בדרך כלל מספר סטרוהאל נתון בצורה הבאה:
f – מייצג את תדירות היווצרות המערבולות.
L – זהו האורך האופייני בבעיה (למשל קוטר של גליל או אורך של מיתר).
במקרים מסוימים כמו נסיקה או צלילה בזמן טיסה, האורך האופייני יהיה האמפליטודה של התנודות.
בחירה זו של אורך אופייני יכולה לשמש כהצגת ההבדל בין מספר סטרוהאל לתדירות מופחתת.
a- אמפליטודת התנודות בזמן הנסיקה.
עבור מספרי סטרוהאל גבוהים (מסדר גודל של 1), הצמיגות שולטת בזרימת הזורם, כתוצאה מכך הזורם מתנדנד כיחידה אחת.
עבור מספרי סטרוהאל נמוכים (מסדר גודל של 10-4ופחות), התנועה נשלטת על ידי החלק המהיר יותר והקוואזי יציב של התנודות.
תנודות במספרי סטרוהאל בינוניים מאופיינים על ידי היווצרות מערבולות.
עבור גופים כדוריים (ספרה) בזרימה אחידה במספרי ריינולדס בתחום קיימים שני מספרי סטרוהאל.
התדירות הנמוכה יותר מיוחסת לחוסר היציבות הגבוהה של השובל והיא בלתי תלויה במספר ריינולדס, ערכה הוא בקירוב שווה ל-0.2. התדירות הגבוהה יותר של מספר סטרוהאל נגרמת כתוצאה מהפרעות קטנות עקב הפרדות שכבת הגזירה.
עבור גליל ארוך, ישנה תלות בין מספר סטרוהאל לבין במספר ריינולדס.
תלות מבוססת על מדידות אשר בוצעו על ידי הפיזיקאי והמהנדס הקנדי אנטול רושקו.
במטאורולוגיה, בפרט בזרימה צירית במד זרימה מסוג טורבינה, מספר סטרוהאל ישמש בצירוף עם מספר רושקו לקבלת קורלציה בין קצב הזרימה לתדירות.
היתרון בשיטה זו על השיטה של תדירות/צמיגות לעומת פקטור k היא שנלקחים בחשבון השפעות טמפרטורה על מד הזרימה.
C- מקדם התפשטות ליניארי של החומר המודד.
במעוף או שחייה של בעלי חיים, יעילות הדחף גבוה בתחום צר של מספרי סטרוהאל, באופן כללי השיא הוא בתחום - .
טווח זה משמש בשחיית דולפינים, כרישים, ודגים קטנים, ובטיסת שיוט של ציפורים, עטלפים וחרקים.
למרות זאת, בצורות אחרות של טיסה ניתן למצוא ערכים שונים של מספרי סטרוהאל.
במעוף של בעלי חיים, מספר סטרוהאל נקבע על פי מספר פעימות הכנף בשנייה, אמפליטודה- מרחק אנכי מקצה הכנף, מהירות התעופה של בעל החיים:
יש עניין מיוחד עבור זרימה סביב גוף מרובע.
באופן כללי, גוף קהה מקובע תחת זורם גורם להשלת מערבולות.
לכן, עבור גוף מרובע כמו בניין, יש הפרדות זרימה מהגוף בפינות אשר נגד כיוון הרוח והתקדמות במערבולות מחזוריות (שדרת הערבולים של פון קרמן).
תופעה של השלת מערבולות באזור עירוני יכולה להוות סיכון רב לא רק על ידי גרימת כשל למבנה עצמו, אלא גם לגרום לאי נוחות לשוכנים במבנה.
כדי להימנע מצב כזה, יש צורך לחקור את המכניזם הפיזיקלי של זרימה סביב מבנה מרובע.
מספר סטנטון הוא מספר חסר מימד שמודד את היחס בין מעבר חום לזורם לקיבול חום של הזורם.
משמש לאפיון מעבר החום בכוחות הסעה בזרימה.
מספר סטנטון משמעותי בתהליך חישוב שכבת גבול של המהירות המציפה ושכבת גבול תרמית ומשמש לחישוב כוחות גזירה על חומר ("קיר") בהשפעת צמיגות ומעבר חום מהחומר.
h – מקדם מעבר חום בהסעה
יכול להיות גם מוגדר כ:
מספר סטיוארט, מכונה גם פרמטר אינטראקציה מגנטית, הוא גודל חסר מימד מתחום המגנטו-הידרודינמיקה (MHD).
מסומל באות N או S ומתאר את היחס בין הכוחות האלקטרומגנטים לכוחות האינרציה (כוחות האווירודינאמים) על זורם.
המספר מאפשר להעריך את גודל השפעת הכוחות המגנטים על זרימה מוליכה חשמלית כמו בזרימת פלזמה.
במתמטיקה, מספר מונית מסדר n, המסומן או הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של שתי חזקות שלישיות של מספרים טבעיים (בניסוח אחר: המספר הטבעי הקטן ביותר A שלו יש n פתרונות שונים במספרים טבעיים למשוואה הדיופנטית ).
מספר המונית הנודע ביותר הוא 1729 = Ta(2) = 13 + 123 = 93 + 103. המושג קיבל את שמו בעקבות אנקדוטה הקשורה במספר זה שסיפר המתמטיקאי ג.
הארדי ומתארת ביקור שלו בבית חולים בו אושפז המתמטיקאי סריניוואסה רמנוג'אן.
תכונה זו של המספר 1729 צוינה עוד בשנת 1657 על ידי המתמטיקאי הצרפתי ברנאר פרניקל דה בסי, בתשובה לשאלה ששלח לו פייר דה פרמה.
מספרי המונית שלאחר נמצאו באמצעות מחשב.
באנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים סדרת מספרי המונית היא סדרה A011541.
הגמשה של הדרישה לחזקות שלישיות של מספרים טבעיים, כך שיתאפשרו גם חזקות שלישיות של מספרים שליליים, הקרויה cabtaxi number, מאפשרת מציאת מספרי מונית קטנים יותר, למשל:
עד כה ידועים רק ששת מספרי המונית הבאים:
חסם מלעיל למספרי מונית נוספים
למספרי המונית הבאים ידוע חסם מלעיל, כלומר נמצא מספר n שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של שתי חזקות שלישיות של מספרים טבעיים, אך אין ידיעה שהוא הקטן ביותר:
מספרי מונית שאינם מכפלה של חזקה שלישית
להגדרה של מספר מונית ניתן להוסיף מגבלה, שמספר זה לא יהיה מכפלה של חזקה שלישית שונה מ-13 (cubefree taxicab number).
כאשר מספר מונית T, המקיים מגבלה זו, נכתב כ־T = x3+y3, אז x ו-y חייבים להיות מספרים זרים.
מבין ששת מספרי המונית המנויים לעיל, רק ו- מקיימים מגבלה זו.
המספר הקטן ביותר המקיים מגבלה זו לשלוש דרכים שונות הוא
המספר הקטן ביותר המקיים מגבלה זו לארבע דרכים שונות הוא
באנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים סדרת המספרים בעלי תכונה זו היא סדרה A080642.
בהמשך לשיחתו של הארדי עם רמנוג'אן, שאל הארדי את רמנוג'אן האם הוא מכיר את הפתרון לבעיה המקבילה למספרים בחזקה רביעית.
רמנוג'אן ענה, לאחר רגע של מחשבה, שאין לו דוגמה מיידית, אבל שמספר זה בוודאי גדול מאוד.
שאלתו של הארדי היא הכללה מסוימת של מספר המונית.
הכללה נרחבת יותר, כך שיתאפשר סכום של מספר כלשהו של חזקות (ולא רק 2) ושהחזקה תהיה מספר כלשהו (ולא רק 3) קרויה "מספר מונית מוכלל" .
מספר מונית מוכלל, , הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שניתן להציגו ב-n דרכים שונות כסכום של j מספרים טבעיים בחזקת k.
מספר המונית הרגיל הוא מקרה פרטי של מספר המונית המוכלל, שבו k=3 ו-j=2.
לא ידוע האם קיים , כלומר מספר טבעי שניתן להציגו ביותר מאשר דרך אחת כסכום של שתי חזקות חמישיות.
מספר מעניין הוא מספר, מתוך אינסוף המספרים, שתכונותיו הופכות אותו למעניין יחסית למספרים אחרים בקבוצת המספרים האינסופית שהוא נכלל בה.
עניין הוא מאפיין סובייקטיבי, אך ישנם מספרים שלגביהם מתקיימת הסכמה רחבה שהם מעניינים.
הסובייקטיביות שבמושג "מספר מעניין" מומחשת באנקדוטה שסיפר המתמטיקאי גודפרי הרולד הארדי על ביקור חולים שערך אצל המתמטיקאי סריניוואסה רמנוג'אן:
זהות אוילר, , כורכת יחד חמישה מספרים מעניינים.
פרדוקס המספרים המעניינים הוא פרדוקס מילולי, הנובע מהניסיון לסווג את המספרים הטבעיים למספרים "מעניינים" ו"לא מעניינים".
בנוסף למספרים שהם מעניינים בזכות התכונות המתמטיות שלהם, יש מספרים ההופכים למעניינים בזכות תכונות טבעיות שלהם (תכונות פיזיקליות, כימיות וכדומה) או תכונות חברתיות.
כך, למשל, ניתן לראות את המספרים הטבעיים מ-1 עד 118 כמספרים מעניינים בהיותם מספרים אטומיים.
השיר "אחד מי יודע" מציג 13 מספרים מעניינים בתרבות היהודית.
מספרים מעניינים בקבוצת המספרים הטבעיים
בקבוצת המספרים הטבעיים, שעוצמתה , מספרים נחשבים למעניינים כאשר הם הקטנים ביותר בעלי תכונה מסוימת, למשל המספר המשוכלל הקטן היותר (6).
ויש שיחלקו ויגידו שכאשר זו תכונה מעניינת, כל המספרים בעלי תכונה זו, שצפיפותה נמוכה, למשל כל המספרים הראשוניים, הם מספרים מעניינים.
גם המספרים הגדולים ביותר הידועים לאדם כבעלי תכונה מסוימת נחשבים מספרים מעניינים.
כאשר ידוע שקבוצת כל המספרים בעלי תכונה זו היא קבוצה אינסופית, התואר "המספר הגדול ביותר הידוע לאדם בעל תכונה זו" הוא תואר זמני, משום שהתפתחות יכולת החישוב מובילה לגילוי מספרים גדולים יותר בעלי התכונה האמורה.
ראו למשל החיפוש אחר מספרי מרסן ראשוניים.
0 : המספר הסודר הקטן ביותר, וכמציין כמות הוא מציין את מספר האיברים בקבוצה הריקה.
1 : האיבר הנייטרלי ביחס לכפל.
2 : המספר הזוגי הקטן ביותר, המספר הראשוני הקטן ביותר.
10 : הבסיס של השיטה העשרונית.
142,857 : המספר הציקלי הקטן ביותר בשיטה העשרונית
מספרים מעניינים בקבוצת המספרים הממשיים
קבועים מתמטיים, שרבים מהם הם מספרים טרנסצנדנטיים, הם מספרים מעניינים, מעצם העובדה שניתן להם שם, בניגוד לאינסוף (מעוצמת הרצף) המספרים הממשיים שלא זכו לשם.
: המספר הממשי החיובי שכאשר יוכפל בעצמו, התוצאה תהיה שווה ל-2. זהו ככל הנראה המספר האי-רציונלי הידוע הראשון.
יחס הזהב : מספר אי-רציונלי המסומן באות היוונית פי ( ולעיתים ):
הקבוע הפלסטי : אחד משלושת הפתרונות של המשוואה ממעלה שלישית , והיחיד מביניהם שהוא מספר ממשי.
קבוע ליוביל : הספרה 1 מופיעה בפיתוח העשרוני של המספר במקום ה- לאחר הנקודה העשרונית לכל טבעי, ובכל מקום אחר מופיעה הספרה 0.
e : בסיס הלוגריתם הטבעי.
π : היחס בין היקף המעגל לקוטרו.
קבוע צ'אמפרנאוונה המסומן כ- : מספר ממשי שהצגתו העשרונית מתקבלת מהדבקת ההצגה של המספרים הטבעיים בזה אחר זה:
מספרים מעניינים בקבוצת המספרים המרוכבים
i הוא היחידה המדומה, מקיים:
המספרים כאשר הם שורשי היחידה מסדר , כלומר: השורשים של .
במישור המרוכב מספרים אלו יוצרים מצולע משוכלל בן n צלעות שקודקודיו נמצאים על מעגל היחידה.
במתמטיקה ובפרט בתורת המספרים האלגברית מספר המחלקה הוא אינווריאנט מספרי של שדה מספרים (או באופן כללי יותר שדה גלובלי).
ערכו של מספר המחלקה מוגדר להיות גודל חבורת המחלקה.
מספר המחלקה הוגדר על ידי ריכרד דדקינד שפיתח נוסחה לחישוב מספר זה הנקראת על שמו.
עבודותיו של דדקינד התבססו על עבודות מוקדמות יותר של דיריכלה וגאוס שחקרו מושג מקביל בהקשר של תבניות ריבועיות.
מנקודת מבט מודרנית, מספר המחלקה שחקרו דיריכלה וגאוס הוא מקרה פרטי של מספר המחלקה של שדה מספרים כאשר שדה המספרים הוא הרחבה ריבועית של .
בהינתן שדה מספרים נסמן ב- את חוג השלמים ב-.
נזכיר שחוג השלמים ב- הוא אוסף האיברים ב- שמקיימים משוואה פולינומית מתוקנת עם מקדמים ב-.
באופן מפורש: החוג הוא תחום דדקינד.
חבורת מחלקות האידיאלים של מוגדת להיות חבורת מחלקות האידיאלים של החוג .
מספר המחלקה של מוגדר להיות הסדר של חבורה זו.
המקרה של שדה גלובלי כללי
עבור מספר שלם , מספר המחלקה של השדה שווה למספר המחלקה של המספר כפי שהוגדר על ידי גאוס בהקשר של תבניות ריבועיות.
דדקינד פיתח נוסחה שקושרת בין מספר המחלקה של שדה לבין שארית הקוטב של פונקציית זטא של דדקינד של .
במתמטיקה ובתורת המספרים מספר מחלקה של מספר שלם הוא מספר התבניות הריבועיות הבינריות מדסקרימנטה עד כדי שקילות.
מושג זה הוגדר על ידי גאוס והוכלל מאוחר יותר על ידי דדקינד למושג מספר מחלקה של שדה מספרים.
תבנית ריבועית בינארית היא פונקציה מהצורה .
שתי תבניות ו - נקראת שקולות אם קימת מטריצה בעלת דטרמיננטה 1 עם מקדמים שלמים כך ש:
הדיסקרימיננטה של תבנית רבועית מוגדרת להיות
מספר המחלקה של הוא מספר התבניות הבינריות בעלות דיסקרימיננטה עד כדי שקילות.
נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה
דיריכלה פיתח נוסחה שקושרת בין מספר המחלקה של לבין ערך של פונקציית L של דיריכלה המתאימה לקרקטר ממשי המתאים ל .
קשר למספר המחלקה של שדה
דדקינד הכליל את מושג מספר המחלקה למושג שמגדיר מספר עבור כל שדה מספרים.
שני המושגים קשורים באופן הבא:
עבור מספר שלם , מספר המחלקה של השדה שווה למספר המחלקה של המספר .
מספר קָטָלָן (Catalan) הוא מספר טבעי שמופיע בבעיות ספירה שונות בקומבינטוריקה.
מספר קטלן ה--י מוגדר על ידי מקדם בינומי באופן הבא:
מספרי קטלן הראשונים () עבור הם:
כל מספרי קטלן הם שלמים כיוון ש- , והמקדם הבינומי הוא תמיד שלם.
Cn שווה למספר מילות דיק באורך 2n
מילת דיק (או סדרה מאוזנת) היא מחרוזת המורכבת ממספר זהה של X-ים ו-Y-ים (ואך ורק הם), כך ששום קטע באורך כלשהו מתחילת המחרוזת אינו מכיל יותר Y-ים מאשר X-ים.
לדוגמה, מילות דיק באורך 6: XXXYYY ,XYXXYY ,XYXYXY ,XXYYXY ,XXYXYY ובהתאמה C3 = 5. אם נחשוב על X ו-Y כסוגריים (כאשר X הוא פותח, ו-Y סוגר), הרי שמילת דיק באורך 2n יכולה לבטא את מספר הביטויים עם n זוגות של סוגריים הממוקמים בצורה חוקית: ((())), ()(()), ()()(), (())(), (()()).
ניתן לייצג מילות דיק גם כשבילים מסוימים ברשת עם n+1 על n+1 צמתים המחוברים ביניהם בקווים אנכיים ואופקיים.
השבילים מתחילים בפינה השמאלית התחתונה, ומסתיימים בפינה הימנית העליונה, כאשר אפשר לנוע עליהם רק ימינה ולמעלה, ואסור להיות מעל האלכסון בין הפינות הללו.
בייצוג זה - X הוא תנועה "ימינה" ו-Y הוא תנועה "למעלה".
ניתן לספור את מילות דיק באמצעות השיטה הבאה: נתמקד על המילים המכילות n מופעים של X ו-n מופעים של Y, אשר אינן מילות דיק.
במילה כזו, יש למצוא את ה-Y הראשון שאינו מקיים את תנאי דיק, ואז להפוך את כל האותיות עד (וכולל) ה-Y הזה: X ל-Y, ו-Y ל-X.
עתה יש בידינו מילה עם n+1 אותיות X ו-(1-n) אותיות Y.
יתירה מזאת, כל מילה כזו (בעלת n+1 אותיות X ו- (1-n) אותיות Y) יכולה להתקבל בדרך זו רק באופן יחיד, מכיוון שהטרנספורמציה שתיארנו היא הפיכה.
לכן מספר המילים הללו שווה ל: אשר הוא למעשה מספר המילים שאינן מילות דיק.
לכן מספר מילות דיק חייב להיות: וזהו מספר קטלן Cn כפי שהוגדר למעלה.
Cn הוא מספר הדרכים השונות לשים סוגריים על n + 1 גורמים שונים.
ביטויים כאלה ניתן לייצג באופן טבעי על ידי עצים בינאריים מסודרים עם שורש, כך ש-Cn סופר גם את מספר העצים הללו עם n + 1 עלים.
כאמור Cn הוא גם מספר המסלולים הקצרים ביותר מהפינה השמאלית תחתונה לפינה הימנית עליונה בסריג שאינם עולים מעל לאלכסון:
Cn הוא מספר הטריאנגולציות של מצולע קמור בן n+2 צלעות (חלוקות של המצולע למשולשים).
מספר התמורות הללו על {1, ..., n} שוות למספר קטלן - Cn.
תמורה ניתנת למיון-מחסנית אם ורק אם היא נמנעת מן התבנית 231 (כלומר, אין בה שלושה ערכים a,b,c, בסדר זה, המקיימים c<a<b).
לכן מספר התמורות הנמנעות מן התבנית 231 הוא מספר קטלן.
מתברר שלכל תמורה s על שלושה איברים, מספר התמורות באורך n הנמנעות מ-s הוא מספר קטלן ה-n-י.
את מספר קטלן ניתן לבטא גם בעזרת נוסחת נסיגה:
דבר זה נובע מן העובדה שכל מילת דיק w באורך גדול או שווה ל-2 ניתן לכתוב בצורה יחידה באופן הבא:
כאשר w1 and w2 הן מילות דיק (ייתכן שריקות).
הפונקציה היוצרת של מספרי קטלן מוגדרת כ:
ובהצבת נוסחת הנסיגה לעיל אנו רואים כי:
אסימפטוטית, מספרי קטלן גדלים בצורה הבאה:
סדרת מספרי קטלן תוארה לראשונה במאה ה-18 על ידי לאונרד אוילר, אשר התעניין במספר הדרכים השונות לחלק מצולע למשולשים.
הסדרה נקראת על שמו של אז'ן שרל קטלן, אשר גילה את הקשר לביטויי סוגריים.
שיטת הספירה עם מילות דיק שתוארה למעלה התגלתה על ידי ד.
מספר פריק במיוחד (או מספר "אנטי ראשוני") הוא מספר שלם חיובי שמספר המחלקים שלו עולה על זה של כל מספר קטן ממנו.
עשרים המספרים הראשונים מסוג זה הם:
ישנם אינסוף מספרים פריקים במיוחד.
כדי להוכיח עובדה זו, נניח ש-n הוא מספר פריק במיוחד כלשהו.
ל-2n יש יותר מחלקים מאשר ל-n (כי 2n מתחלק בעצמו ובכל המחלקים של n), ולכן קיים מספר גדול מ-n אך לא גדול מ-2n שהוא מספר פריק במיוחד.
מבחינה לא פורמלית, כדי שמספר יהיה פריק במיוחד הוא צריך שיהיו לו גורמים ראשוניים קטנים ככל האפשר, ושיהיו שונים זה מזה.
אם נפרק מספר n לגורמים ראשוניים בצורה הבאה:
כאשר הם ראשוניים, המעריכים הם מספרים שלמים וחיוביים, אז מספר המחלקים של n הוא בדיוק:
ולכן כדי ש-n יהיה מספר פריק במיוחד:
k המספרים הראשוניים הנתונים חייבים להיות k המספרים הראשוניים הראשונים (2, 3, 5...); אחרת, נוכל להחליף אחד הראשוניים הנתונים בראשוני קטן יותר, ובכך להשיג מספר קטן יותר מ-n שלו אותו מספר מחלקים (לדוגמה, את 10=2*5 ניתן להחליף ל-6=2*3 לשניהם יש 4 מחלקים).
סדרת המעריכים צריכה להיות יורדת במובן החלש, כלומר ; אחרת על ידי החלפת שני מעריכים החורגים מכלל זה ניתן לבנות מספר קטן יותר מ-n עם אותו מספר מחלקים (לדוגמה, את 18=21x32 ניתן להחליף ב-12=22x31, לשניהם 6 מחלקים).
תנאים אלה אינם מספיקים (מספר המחלקים של שווה לזה של הקטן ממנו).
מספר סמית בבסיס ספירה מסוים, הוא מספר שסכום הספרות שלו שווה לסכום הספרות של גורמיו הראשוניים.
(במקרה שיש גורמים בחזקות יש לכתוב את הגורם כמה פעמים שצריך).
לדוגמה, 202, בבסיס דצימלי, הוא מספר סמית, מכיוון ש- , והפירוק לגורמים שלו הוא וגם-.
מספרים ראשוניים לא נחשבים למספרי סמית מכיוון שזה ברור מאליו שיקיימו תכונה זאת.
בבסיס עשר, מספרי סמית הראשונים הם:
McDaniel הוכיח בשנת 1987 שיש אינסוף מספרי סמית.
ישנם 29,928 מספרי סמית הקטנים ממיליון.
ישנם אינסוף מספרי סמית פלינדרומים.
לא ידוע כמה מספרי סמית אחים יש.
אלברט וילנסקי נתן להם את שמם, על שמו של גיסו, הארולד סמית, כיוון ששם לב שמספר הטלפון שלו (4937775) עונה להגדרה.
מספר סמית המוכר הגדול ביותר הוא:
בתורת המספרים, מספרי פרמה הם מספרים טבעיים מהצורה , כאשר הוא מספר שלם לא שלילי.
המספרים קרויים על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה שחקר אותם לראשונה.
ניתן להוכיח שכאשר הוא מספר ראשוני, חייב להיות חזקה של 2. מכאן: כל מספר ראשוני מהצורה הוא מספר פרמה, ומספר ראשוני כזה קרוי ראשוני פרמה.
פרמה הבחין שחמשת המספרים הראשונים בסדרה,
הם ראשוניים, וקבע (בסביבות 1640) שכל המספרים בסדרה הם ראשוניים.
כמאה שנים אחר-כך גילה לאונרד אוילר שהמספר הבא בסדרה אינו ראשוני: .
יתרה מזו, אוילר הראה שכל גורם ראשוני של מוכרח להיות מהצורה (הוכחה: אם אז הסדר של 2 בחבורת אוילר של p הוא , ולכן מספר זה מחלק את סדר החבורה שהוא p-1).
הגורם 641 הוא הראשוני החמישי בלבד מהצורה .
מאז התגלו גורמים ראשוניים של מספרי פרמה רבים, כגון: , ולא נמצא אף ראשוני פרמה נוסף.
אחת התכונות המעניינות של מספרי פרמה הוא הקשר שלהם לבעיות של ימי קדם.
גאוס הוכיח שניתן לבנות עם סרגל ומחוגה מצולע משוכלל בן צלעות, כאשר ראשוני, אם ורק אם הוא ראשוני פרמה.
ובאופן כללי ניתן לבנות מצולע משוכלל בן צלעות (כאשר ) אם ורק אם n הוא מכפלה של ראשוניי פרמה שונים זה מזה וחזקה כלשהי של 2.
מספר בעיות פתוחות בתורת המספרים עוסקות במספרי פרמה:
האם הוא מספר פריק לכל ?
האם יש מספר אינסופי של ראשוני פרמה?
האם יש מספר אינסופי של מספרי פרמה פריקים?
עד כה פורקו פירוק מלא לגורמים 12 מספרי פרמה הראשונים; המספר הראשון שטבעו (ראשוני או פריק) אינו ידוע הוא ; ונמצאו עוד כ-250 מספרי פרמה שהוכחו כפריקים.
הפירוק המלא של 12 מספרי פרמה הראשונים הוא:
במתמטיקה, מספר קוואזי משוכלל הוא מספר טבעי n, שסכום כל מחלקיו (כולל 1 והמספר עצמו) שווה ל- (סכום מחלקיו לא כולל המספר עצמו שווה ל- ).
מספרים קוואזי משוכללים הם מספרים שופעים דמויי משוכללים.
עד היום לא נמצאו מספרים קוואזי-משוכללים, אך הוכח שאם קיים מספר כזה, הוא צריך להיות גדול מ-1035 ועם לפחות 7 מחלקים.
במתמטיקה, מספר קונגרואנטי הוא מספר טבעי שהוא שטח של משולש ישר-זווית שאורכי שלוש צלעותיו הם מספרים רציונליים.
לדוגמה, 6 הוא מספר קונגרואנטי שכן הוא שטח המשולש שצלעותיו הוא 3,4,5, וגם 5 הוא מספר קונגרואנטי שכן הוא שטח המשולש ישר הזווית שאורך צלעותיו .
לעומת זאת כל המספרים הטבעיים הקטנים מ-5 אינם קונגרואנטים.
בניסוח אלגברי, מספר טבעי הוא קונגרואנטי אם ורק אם קיים פתרון במספרים רציונליים למערכת המשוואות הבאה:
השאלה אם מספר רציונלי נתון הוא מספר קונגרואנטי נקראת "בעיית המספר הקונגרואנטי".
נכון לימינו (2021) בעיה זו לא הובאה לפתרון מוצלח ונחשבת בעיה פתוחה בתורת המספרים.
התיאוריה של טאנל (Tunnell's theorem) מספקת קריטריון פשוט לקביעת אם מספר קונגרואנטי, אולם התוצאה שלו מסתמכת על השערת ברץ' וסווינרטון-דייר, אשר טרם הוכחה אף היא.
משפט המשולש הישר של פרמה, על שמו של פייר דה פרמה, קובע כי מספר ריבועי (מספר שהוא ריבוע של מספר שלם אחר) אינו יכול להיות מספר קונגרואנטי, וכן מספר שהוא כפולה של מספר רבוע לא יכול אף הוא להיות קונגרואנטי.
מספר פרידמן הוא מספר טבעי, שניתן להציג אותו כתוצאה של פעולות אריתמטיות (ארבע פעולות חשבון וחזקה) על הספרות עשרוניות שלו.
לדוגמה, את המספר 25 אפשר להביע כך
מציאת מספרי פרידמן נחשבת לשעשוע מתמטי, ואין להם ערך מחקרי.
מספרי פרידמן נקראים על-שם פרופ' אריק פרידמן מפלורידה.
רשימה של מספרי פרידמן בבסיס 10:
מספר פרידמן יפה הוא מספר שניתן לכתוב את הספרות בביטוי באותו סדר שבו הן מופיעות במספר עצמו.
מספרי ערפד גדולים הם בדרך כלל מספרי פרידמן.
לדוגמה, נבחר מספר אקראי ונעלה אותו בחזקה כלשהי.
כעת המטרה היא ליצור מספרותיו של המספר המתקבל את בסיס החזקה ואת המעריך שלה.
ועל כן אפשר להביע את המספר כך:
בכימיה, קריסטלוגרפיה והנדסת חומרים, מספר קואורדינציה הוא מספר המייצג את מספר האטומים המקיפים אטום נתון במבנה סריגי.
ככל שמספר הקואורדינציה גדול יותר, כך גדלה יציבות הסריג.
בכימיה, מספר הקואורדינציה מייצג את מספר השכנים הכללי של האטום המרכזי במולקולה.
במתאן, מספר הקואורדינציה של פחמן הוא 4. בחומרים אי-אורגניים מספר קשרי סיגמא בין הליגנד לבין האטום המרכזי נחשבים למניין מספר הקואורדינציה בעוד שקשרי פי אינם נספרים למניינו.
לעומת זאת, בתורת החומרים למשל: נניח שחומר עשוי מיונים משני סוגים בלבד, אניון וקטיון.
מתוך יחס הרדיוסים של האניון והקטיון ניתן לחשב את מספר הקואורדינציה, לפי הטבלה הבאה:
יחס רדיוסים מספר קואורדינציה 0-0.155 2 מיקום האטום הוא קווי 0.155-0.225 3 מיקום האטום הוא מרכז משולש 0.225-0.414 4 מיקום האטום הוא מרכז טטרהדר 0.414-0.732 6 מיקום האטום הוא מרכז אוקטהדר 0.732-1 8 מיקום האטום הוא מרכז קובייה 1 12 המבנה הצפוף ביותר (נקרא גם: "מבנה צפוף אריזה").
כלומר, ככל שהרדיוסים של הקטיון והאניון קרובים זה לזה המבנה המתקבל הוא בעל מספר קואורדינציה גבוה יותר, ולפיכך יציב יותר.
ליהלום המורכב כולו מפחמן מספר קואורדינציה 4, בעוד שלגרפיט, שגם הוא מורכב כולו מפחמן, מספר קואורדינציה 3. דבר זה נובע מכוחות פני שטח והם תלויים במצייני מילר של הגביש.
בקשר קוולנטי מספר הקואורדינציה הגדול ביותר שווה למספר המסלולים המשותפים של האטום.
מספר פראוד הוא מספר חסר ממד המבטא את היחס בין כוח האינרציה לבין כוח חיצוני (לרוב גרביטציה).
המספר משמעותי בהקשר של תופעת המערבולת (Vortex), כיוון שזהו המצב בו גובר הכוח הצנטריפיטלי על כוח הכובד.
נקרא על שם ויליאם פראוד שביצע ניסויים שהראו את היחס בין מהירות לבין אורך.
כאשר: היא המהירות הממוצעת ו היא מהירות הגל של המים.
ולכן מספר פראוד מקביל למספר מאך.
וכן הוא השורש הריבועי של תאוצת הכובד כפול שטח החתך.
ולכן מספר פראוד יכול להיכתב:
כאשר d הוא העומק או האורך.
מספר פראוד משמש להשוואה בין ההתנגדות לגלים בין גופים שונים וגדלים שונים.
מספר ערפד משמש בתחום שעשועי המתמטיקה לתיאור מספר בן 2n ספרות עשרוניות הניתן להצגה כמכפלת שני מספרים המורכבים יחד מאותן ספרות (בערבוב הסדר) כאשר ספרת האחדות של לפחות אחד מהם אינה אפס; שני מספרים אלה נקראים ניבי הערפד.
מקובל לייחס את הגדרת המושג לראשונה לקליפורד פיקובר (Clifford A.
Pickover) מחברת י.ב.מ שכתב חידה עליהם בקבוצת דיון sci.math בשנת 1994 (ומאוחר יותר בספרו