tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
רבי משה חגיז, בן התקופה, כתב בעקבותיה בספרו בגנות ההתמנות לרבנות תמורת ממון, לאחר שלפי השמועה הצדיק עליו רבי חיים את הדין על כך ששילם כסף בעבור משרה רבנית בלבוב.
את עמידתם בייסורים הוא מציין לשבח:
דברי ההספד שנשא רבי חיים הוזכרו בספר "פרחי שושנים" לרבי משה בן אליהו מלובלין.
מעשה הריגתו של רבי חיים על קידוש השם מופיע גם בספר "הפרדס" לרבי אריה לייב הלוי אפשטיין מקניגסברג, בן התקופה.
מחוץ לפולין סיקרו את הפרשה העיתונים "בֶּרְלִינִישֶׁע פְּרִיבִילֵגִירְטֶע צֵייטוּנְג" , ו"לָה גָאזֵטֶה" הצרפתי .
למרות הסיקור שנערך בזמן האירועים או סמוך להם, אין למאורעות ניתוח וסיקור רחב בספרות המחקרית.
בתורת ההסתברות, משפט דונסקר (הידוע גם כעקרון האינווריאנטיות של דונסקר, או משפט הגבול המרכזי הפונקציונלי), על שם מונרו ד' דונסקר, הוא הרחבה פונקציונלית של משפט הגבול המרכזי עבור פונקציות התפלגות אמפיריות.
המשפט קובע כי גרסה ממורכזת ובקנה מידה מותאם של פונקציית ההתפלגות האמפירית מתכנסת לתהליך גאוסי.
נתונה סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות עם תוחלת 0 ושונות 1. נסמן .
התהליך הסטוכסטי נקרא הילוך מקרי.
ממשפט הגבול המרכזי נובע כאשר , הסדרה מתכנסת בהתפלגות למשתנה מקרי נורמלי תקני .
עקרון האינווריאנטיות של דונסקר מרחיב את ההתכנסות הזו לכל הפונקציה .
ליתר דיוק, בצורתו המודרנית, מעקרון האינווריאנטיות של דונסקר נובע שכפונקציות מקריות השייכות למרחב סקורוקוד , כאשר , הפונקציות מתכנסות בהתפלגות לתנועה בראונית סטנדרטית .
נתונה סדרה של פונקציות ההתפלגות האמפיריות הנבנית מתוך סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות מהתפלגות .
לפי משפט הגבול המרכזי הקלאסי, עבור נתון, כאשר שואף לאינסוף, המשתנה המקרי מתכנס בהתפלגות למשתנה מקרי נורמלי עם תוחלת ושונות .
הסדרה של , כפונקציות קדלג מקריות של מרחב סקורוקוד , מתכנסת בהתפלגות לתהליך גאוסי עם תוחלת ושונות משותפת;
ניתן לכתוב כאשר הוא גשר בראוני סטנדרטי.
קולמוגורוב (1933) הראה שכאשר התפלגות היא רציפה, החסם העליון והחסם העליון של הערך המוחלט, מתכנס בהתפלגות לגשר בראוני (ראה מבחן קולמוגורוב-סמירנוב).
בשנת 1949 שאל דוב האם ההתכנסות בהתפלגות מתקיימת עבור פונקציונלים כלליים יותר, ובכך ניסח בעיה של התכנסות חלשה של פונקציות מקריות במרחב פונקציות מתאים.
ב-1952 דונסקר הצהיר והוכיח (לא לגמרי נכון) הרחבה כללית התואמת לגישה היוריסטית של דוב-קולמוגורוב.
במאמר המקורי, דונסקר הוכיח שההתכנסות של לגשר בראוני מתקיימת עבור התפלגות אחידה ביחס להתכנסות במידה שווה על פני הקטע .
אולם כאמור, הניסוח של דונסקר לא היה ממש נכון, בגלל בעיית המדידות של פונקציונלים של תהליכים בלתי רציפים.
בשנת 1956 הגדירו סקורוקוד וקולמוגורוב מטריקה ניתנת להפרדה, הנקראת מטריקת סקורוקוד, על המרחב של פונקציות קדלג על- והראו כי במרחב זה מתכנס ב - לגשר הבראוני.
מאוחר יותר דאדלי ניסח מחדש והוכיח את התוצאה של דונסקר תוך כדי עקיפת הצורך להשתמש במטריקת סקורוקוד.
גרסה משופרת של תוצאה זו, המספקת פרטים נוספים על קצב ההתכנסות, נקראת קירוב קומלוס-מייג'ור-טוסנאדי.
משפט דייוויס-קהאן , על שם המתמטיקאים הקנדים ו-, הוא משפט באלגברה ליניארית שעוסק ביציבות של וקטורים עצמיים של מטריצה הרמיטית כאשר יש הפרעה קטנה במטריצה.
המשפט חוסם את השינוי במרחבים העצמיים של המטריצה המקורית לזו עם ההפרעה.
באופן לא פורמלי, בהינתן מטריצה הרמיטית ומטריצה הרמיטית נוספת המייצגת הפרעה על , אם ההפרעה היא קטנה וגם הערכים העצמיים של רחוקים מספיק משל , אז ההבדל בין המרחבים העצמיים (ובפרט הווקטורים העצמיים) של ושל הוא גם קטן.
יהי מרחב הילברט ותתי מרחבים וקטורים שלו מאותו מימד .
יהיו מטריצות אוניטריות שעמודותיהן בסיס אורתונורמלי למרחבים בהתאמה (ניתן לחשב את המטריצות באמצעות תהליך גרם-שמידט).
יהיו הערכים הסינגולריים של המטריצה .
הזווית ה- בין המרחבים תוגדר ובהתאם נגדיר מטריצה
נגדיר את המטריצה בתור המטריצה האלכסונית שמתקבלת מהפעלת סינוס לכל איבר בנפרד במטריצה המוגדרת.
מקרה פרטי חשוב הוא הזווית בין שני מרחבים ממימד 1 (שני ישרים).
במקרה הזה קיימים שני וקטורים באורך יחידה (הנורמה שלהם שווה ) שפורשים כל אחד בנפרד את בהתאמה.
מכאן, המטריצה הנ"ל הופכת לסקלר (מטריצה ) :
כאשר משתמשים במכפלה הסקלרית ובזווית בין וקטורים שנובעת ממנה.
נשים לב לכך שיש חופש בחירה בכיוון הווקטורים .
תחת אותו חופש, קיים עבורו .
הערך הסינגולרי היחיד של מטריצה הוא הערך המוחלט שלה לכן במקרה הזה הגדרת הזווית בין המרחבים תהיה:
למרות העובדה שהזוויות בין מרחבים יכולות להיות רק בטווח (לעומת שני וקטורים שהזווית בניהם יכולה להיות ב, זהו הבדל אינהרנטי בין וקטורים בודדים לבין מרחבים וקטורים) הדיון הזה מראה שההגדרה של זווית בין מרחבים מתיישבת עם זו של זווית בין שני וקטורים.
נורמה של מרחב מטריצות מסדר תיקרא נשמרת אוניטרית אם:
לכל מטריצה אוניטרית מסדר ו- אוניטרית מסדר .
שתי דוגמאות נפוצות הן נורמת פרוביניוס ונורמת-2 (הנורמה האופרטורית של המטריצה מעל מרחב וקטורי עם הנורמה האוקלידית).
נורמה היא נשמרת אוניטרית אם ורק אם קיימת פונקציית כיול סימטרית (Symmetric Gauge Function) שמקיימת:
כאשר הערכים הסינגולריים של .
נורמה תיקרא תת-כפלית אם לכל שתי מטריצות מתקיים:
כל נורמה נשמרת אוניטרית היא תת-כפלית.
בנוסף, יהיו ההטלות האורתוגונליות לתתי מרחבים בהתאמה.
למשפט יש מספר ניסוחים פורמליים שונים, נציג ניסוח של משפט הסינוס () של דייוויס וקהאן הנובע מהמאמר שלהם.
יהיו מטריצות הרמיטיות בגודל עם ערכים עצמיים של ו - ערכים עצמיים של .
ממשפט הפירוק הספקטרלי, קיימות מטריצות שווקטורי העמודה שלה הם בסיס אורתונורמלי ו- עם וקטורי עמודה עבורן:
כאשר הן מטריצות אלכסוניות עם הערכים בהתאמה.
יהי אינדקס , נגדיר כאשר מטריצה עם וקטורי השורה השמאליים של (היא מייצגת את הווקטורים שפורשים את כל המרחבים העצמיים עד זה שמתאים לערך העצמי במקום ה-) ו - עם האחרים (מייצגת את הווקטורים העצמיים שפורשים יחד את כל שאר המרחב הווקטורי).
כאשר בלוקים בגודל ו- בלוקים בגודל .
נניח שקיים קטע ו- כך ש- לכל וגם לכל .
אזי, עבור , אופרטור הזווית בין המרחב שנפרש על ידי העמודות של למרחב שנפרש על ידי עמודות , לכל נורמה נשמרת אוניטרית מתקיים:
במאמר המקורי של דייוויס וקהאן, הוצגו משפטים נוספים מעבר למשפט ה- הם הוכיחו משפטי .
בפועל, משפט מהמאמר הוא הכי משומש מבין כולם.
משפט וודין (Wedin) מהווה הכללה למשפט דייוויס-קהאן עבור מטריצות שאינן בהכרח הרמיטיות ריבועיות.
יהיו מטריצות מרוכבות מסדר כללי .
כאשר המטריצה מסדר , המטריצה מסדר ו-
בנוסף, בדומה להגדרה במשפט דייוויס-קהאן נגדיר:
באמצעות פיצול בין העמודות הראשונות לשאר העמודות.
פירוק דומה ניתן לעשות למטריצה .
משפט וודין גורס כי אם הערכים הסינגולריים מקיימים וגם אז עבור:
בסימון המרחב הווקטורי שהוא תמונה של ההעתקה נקבל את אי השוויונות הבאים:
במשפט דייוויס קהאן, נדרשת אמירה על הספקטרום של שתי המטריצות - המקורית וזו אחרי ההפרעה.
במאמר של יו טנגיאו וואנג ו-ריצ'רד סאמוורת' הרחבה המאפשרת להשתמש בדרישות רק על הספקטרום של .
יהיו מטריצות סימטריות מסדר עם ערכים עצמיים של ו - ערכים עצמיים של .
יהיו המרחב שנפרש על ידי הערכים העצמיים של ו- המרחב שנפרש על ידי הערכים העצמיים של .
כאשר נורמת פרובניוס ו- נורמת 2 - הנורמה האופרטורית האוקלידית.
מקרה פרטי של ההרחבה הזו כאשר בא לידי ביטוי במספר שימושים של משפט דייוויס-קהאן.
אזי, אם וקטור עצמי של המתאים לערך העצמי וגם וקטור עצמי של המתאים לערך העצמי , קיים כך שהזווית בין הווקטורים:
בנוסף לכך, הראו במאמר תוצאה בעלת אופי דומה:
בעוד משפט דייוויס-קהאן עוסק בקשר בין וקטורים עצמיים של מטריצה הרמיטית תחת הפרעה, אי שוויון וויל (Weyl) מספק חסם על שינוי הערכים העצמיים.
בדומה לניסוח תנאי משפט דייוויס-קהאן, יהיו מטריצות הרמיטיות ממימד n.
נסמן בתור הערך העצמי ה-i של (כאשר הערכים העצמיים בסדר יורד, ניתן לעשות זאת כי המטריצה הרמיטית).
אי שוויון וויל אומר כי:
נתבסס על ההוכחה של המשפט במאמר של דייוויס וקהאן.
תחילה, נשתמש בטענת עזר - תהי נורמה נשמרת אוניטרית ויהיו ויהיו שני אופרטורים שמקיימים וגם ויהי אופרטור אזי האופרטור:
הוכחת טענת העזר: מתת-כפליות של נורמה נשמרת אוניטרית, וגם ומאי-שוויון המשולש:
כעת נכתוב בצורה יותר מפורשת את המטריצות:
מהכתיבה המפורשת של המטריצות ניתן להסיק .
כעת, מפני שנורמת האופרטור חסומה על ידי , מתת-כפליות .
נוסיף לאופרטור כפולה של מטריצת היחידה (ניתן לעשות זאת מכיוון שזה לא משנה את המרחבים העצמיים) כך שנקבל .
בצורה הזו מהנתון בתנאי המשפט על ההפרש בספקטרום, נוכל להשתמש בטענת העזר:
לבסוף, ניתן להראות שלאופרטור יש אותם ערכים סינגולריים כמו ל-, ומפני שנורמה נשמרת אוניטרית היא פונקציה של הערכים הסינגולריים של האופרטור, מתקיים:
המשפט של דייוויס-קהאן נולד מתוך התפתחות תורת ההפרעות של מטריצות, תחום שקיבל תשומת לב רבה במאה ה-20. בעבודות מוקדמות, כמו הספר של טוסיו קאטו - "תורת ההפרעות לאופרטורים ליניאריים" משנת 1966, נדרשה רמת דיוק גבוהה יותר בניתוח מטריצות, דבר שהשפיע על התחום המתמטי והרחיב את הידע בהקשר של ניתוח ספקטרלי.
במקביל, אנליסטים נומריים תרמו להבנת יציבות ערכים עצמיים ותתי מרחבים עצמיים של מטריצות מופרעות, ובמיוחד דרך עבודותיהם של ג'יימס הארדי וילקינסון ואחרים.
בשנת 1970 יצא משפט דייוויס-קהאן שהפך לכלי מרכזי בהבנת רגישותם של תתי מרחבים ספקטרליים להפרעות, בכך שהציע גבול ברור על הזווית בין מרחבים עצמיים של מטריצה ומטריצה מופרעת.
תוצאה זו הייתה חשובה במיוחד לאנליסטים נומריים, והיא הובילה לפיתוחים נוספים בתחום.
בשנת 1972, תוצאות אלו הורחבו על ידי וודין למטריצות לא הרמיטיות, מה שאִפשר את יישום התיאוריה גם במקרים של מטריצות מלבניות כלליות.
במאמר מ-2015 של יו טנגיאו וואנג וריצ'רד סאמוורת' הותאמה תוצאת דייוויס-קאהן להקשרים סטטיסטיים, עם תנאי הפרדה מקלים בין ערכים עצמיים של אוכלוסייה ומדגם, מה שהרחיב את השימוש בה ואפשר גישה ליישומים מעשיים.
בשנת 2018, שיפרו אלדרידג', בלקין ו-וואנג את חסמי ההפרעה הקלאסיים על ידי התחשבות ברעש אקראי.
הם הציעו חסמים מדויקים יותר להפרעות בערכים עצמיים ובווקטורים עצמיים, והתוצאות עלו בביצועיהן על אלו של משפטים מסורתיים כמו משפט וייל ברבים מהמקרים המעשיים.
רשימת הפיתוחים הנ"ל אינה ממצה את הקיים בספרות המתמטית.
משפט דייוויס-קהאן קשור ישירות לתורת ההפרעות, תחום במתמטיקה ובפיזיקה שמתמקד בניתוח השפעות של שינויים קטנים במערכות על הפתרונות שלהן.
בתורת ההפרעות, נבחנים שינויים קטנים במטריצות, אופרטורים, או מערכות דינמיות, וכיצד שינויים אלו משפיעים על הערכים העצמיים, הווקטורים העצמיים או תוצאות אחרות.
המשפט והרחבותיו מהווה למעשה תוצאה בתורת ההפרעות עבור מטריצות, כאשר יש עניין באמידת השינוי שנגרם לווקטורים העצמיים בעקבות הוספת הפרעה קטנה.
משפט דייוויס-קהאן מספק כלים פורמליים למדידת שינויים אלו.
דוגמה קלאסית לשימוש בתורת ההפרעות מופיעה בפיזיקה קוונטית, שם אופרטורים המייצגים גדלים פיזיקליים מתוארים כמטריצות הרמיטיות, והערכים העצמיים מייצגים תוצאות אפשריות של מדידות.
הפרעות קטנות באופרטורים אלו, כגון שדה חיצוני, משפיעות על הערכים והווקטורים העצמיים של המערכת.
תורת ההפרעות מאפשרת לחשב את השינויים האלו, ומשפט דייוויס-קהאן מספק חסמים לשינויים אלו עבור וקטורים עצמיים.
מודל זה עוסק באומדן וקטור עצמי מוביל של מטריצת שונות משותפת מדגמית.
במצבים בהם הווקטור העצמי המוביל בולט בצורה משמעותית על פני וקטורים אחרים, באמצעות משפט דייוויס-קהאן ניתן להעריך את מידת הקרבה בין הווקטור העצמי האמיתי לבין זה שנאמד על בסיס דגימות אקראיות.
באופן פורמלי, יהיו וקטורים אקראיים ב - .
נניח שמטריצת השונות המשותפת, היא עבור ו - וקטור בגודל יחידה ().
מההגדרה הנ"ל, הערך העצמי הגדול ביותר של מטריצה הוא עם וקטור עצמי מתאים .
אנחנו מעוניינים להסיק מהו על סמך דגימות.
תהי ויהי הווקטור העצמי (בגודל יחידה) המוביל של נשתמש בחישוב הבא:
כעת, מאי שוויון קושי שוורץ, לכן:
מפני שההפרש בין הערך העצמי המוביל לכל הבאים הוא , נשתמש ב (הרחבה לסטטיסטיקאים של) משפט דייוויס-קהאן ונקבל:
תחת הנחות נוספות ניתן לקבל חסם על והערכה על קצב הדעיכה של .
נראה שימוש למקרה פרטי של מודל בלוקים סטוכסטי.
יהי גרף שקבוצת הקודקודים בו מחולקת לשתי קהילות שבה כל זוג נקודות בתוך הקהילה מחוברות זו לזו בהסתברות וכל זוג נקודות בקהילות שונות מחוברות זו לזה בהסתברות .
מטריצת השכנויות של הגרף מוגדרת באופן הסתברותי כך ש- מתפלג ברנולי בהסתברות אם באותה קהילה ומתפלג ברנולי בהסתברות אם הם בקהילות שונות.
נשים לב לכך שהתוחלת של המטריצה היא:
משמע מטריצת בלוקים שכל אחד מארבעת הבלוקים מטריצה שמקבלת רק הערך או בהתאמה.
אפשר להראות שהדרגה של היא , שהערך העצמי המוביל הוא והווקטור העצמי המתאים לו הוא:
הערך העצמי השני הוא והווקטור העצמי המתאים לו:
נרצה לנחש את הקהילות המקוריות באמצעות קירוב את הווקטור העצמי השני (אם אז בקהילה אחת ואם אז בקהילה השנייה).
תהי מטריצה ממשית מסדר עם איברים שכל אחד משתנה מקרי בעל תוחלת ומתפלג תת-גאוסית עם נורמת תת-גאוסית .
לכל קיים קבוע כך שאי השוויון הבא מתקיים:
מכאן, מפני שהמטריצה נגדיר מטריצה חדשה מקיימת את תנאי המשפט, בהסתברות גבוהה מתקיים:
בנוסף, ההפרש בין הערך העצמי השני לערכים העצמיים הקרובים אליו (הראשון והשלישי) של הוא:
מכאן, בשימוש בהרחבה של משפט דייוויס-קהאן לסטטיסטיקאים, נקבל בהסתברות גבוהה שקיים עבורו הווקטור העצמי השני מקיים:
ניתן להראות שמספר האינדקסים בהם הסימן של שונה מזה של שואף ל- כאשר שואף לאינסוף.
לכן, עבור מספיק גדול, בהסתברות גבוהה מספר טעויות הסיווג יהיה קטן.
בגאומטריה, משפט דקארט קובע כי על כל ארבעה מעגלים שמשיקים פנימית, או חיצונית, רדיוסי המעגלים מקיימים משוואה ריבועית מסוימת.
על ידי פתרון המשוואה הזו, אפשר לבנות מעגל רביעי המשיק לשלושת המעגלים הנתונים כך שכולם ישיקו אחד לשני.
המשפט נקרא על שמו של רנה דקארט, שגילה אותו ב-1643.
השיר The Kiss Precise של פרדריק סודי משנת 1936 מסכם את המשפט במונחים של עיקולים (רדיוסים ביחס הפוך) של ארבעת העיגולים:
"הסכום של כל העיקולים בריבוע שווה לחצי מסכום ריבועי העיקולים"
במקרים מיוחדים של המשפט ניתן להחליף אחד או שניים מהמעגלים בישר (מעגל עם עיקול אפס).
גרסה של המשפט באמצעות מספרים מרוכבים מאפשרת לחשב את מרכזי המעגלים, ולא רק את הרדיוסים שלהם.
עם הגדרה מתאימה של עקמומיות, המשפט חל גם בגאומטריה כדורית ובגאומטריה היפרבולית.
בממדים גבוהים יותר, משוואה ריבועית אנלוגית זו חלה על מערכות של ספירות משיקות או אפילו היפר ספירות.
משפט דקארט נאמר בצורה הכי בסיסית במונחים של עקמימות (עיקוליות) המעגלים.
סימן והעקמומיות של מעגל מוגדרים בתור כאשר הוא הרדיוס שלו.
ככל שהמעגל גדול יותר, כך גודל העקמומיות שלו קטן יותר, ולהפך.
הסימן (מיוצג על ידי ) חיובי עבור מעגל המשיק מבחוץ למעגלים האחרים.
ואילו עבור מעגל המשיק פנימית אל המעגלים האחרים ותוחם אותם, הסימן שלילי.
אם ישר נחשב למעגל בעל עקמומיות אפס (ולפיכך רדיוס אינסופי), משפט דקארט חל גם על ישר ושלושה עיגולים ששלושתם משיקים אחד לשני.
לארבעה עיגולים המשיקים זה לזה בשש נקודות ברורות, עם עקומות משפט דקארט גורס כי:
אם אחת מארבע העקמומיות נחשבת למשתנה, והשאר לקבועים, זוהי משוואה ריבועית.
כדי למצוא את הרדיוס של מעגל רביעי המשיק לשלושה העיגולים הנתונים, ניתן לפתור את המשוואה הריבועית בדי קלות:
הפלוס ומינוס מציין שבאופן כללי למשוואה הזו יש שני פתרונות, ולכל שלושה מעגלים המשיקים זה לזה יש שני מעגלים משיקים (או ישרים- מעגלים עם עקמומיות אפס).
בינתן לפרטי השאלה ניתן לדעת איזה פתרון מתאים למערכת המעגלים.
המשפט אינו חל על מערכות מעגלים עם יותר משני מעגלים המשיקים זה לזה באותה נקודה.
זה מחייב שנקודות ההשקה יהיו מופרדות.
כאשר יותר משני מעגלים משיקים בנקודה אחת, יכולים להיות אינסוף מעגלים כאלה, עם עקמומיות שרירותיות; ראה עיפרון עיגולים .
כדי לדעת מעגל באופן מוחלט, יש לדעת לא רק את הרדיוס שלו (או העקמומיות), אלא גם את מרכזו.
המשוואה הרלוונטית באה לידי ביטוי בצורה המלאה ביותר אם הקואורדינטות הקרטזיות מתפרשים כמספר מרוכב .
המשוואה אז נראית דומה גם כן למשפט דקארט ולכן נקראת משפט דקארט המורכב .
נתון ארבעה עיגולים עם עקומות ומרכזים השוויון הבא מתקיים בנוסף למשוואה שמצאנו קודם:
מרגע ש נמצא באמצעות משוואת דקארט הרגילה אפשר להמשיך לחישוב על ידי פתרון המשוואה כמשוואה ריבועית:
שוב, באופן כללי יש שני פתרונות המתאימים לשני הפתרונות סימן הפלוס/מינוס בנוסחה לעיל מתאר אותם.
כאשר שלושה מתוך ארבעת המעגלים חופפים, המרכזים שלהם יוצרים משולש שווה-צלעות, וכך גם נקודות ההשקה שלהם.
שתי האפשרויות למעגל רביעי המשיק לשלושתם הן קונצנטריות, והמשוואה מצטמצמת ל-
קו ישר אחד או יותר
אם אחד משלושת המעגלים מוחלף על ידי קו ישר המשיק למעגלים הנותרים, אז העקמומיות שלו היא אפס וכל היוצא מזה מובע במשוואה.
למשל, אם אז ניתן לחלק לגורמים את המשוואה המקורית.
נטילת השורש הריבועי של שני הצדדים מובילה לניסוח חלופי נוסף של מקרה זה
שתוארה כ"מעין גרסה חלשה של משפט פיתגורס ".
אם שני מעגלים מוחלפים בקווים, במקרה זה, והמשוואה נהיית טריוויאלית.
זה מתאים לתובנה שאומרת שכדי שכל ארבע העקומות יישארו משיקות זה לזה, על שני המעגלים האחרים להיות זהים.
משפט דה-מואבר-לפלס הוא מקרה פרטי של משפט הגבול המרכזי, הקובע כי ניתן להשתמש בהתפלגות נורמלית כקירוב להתפלגות בינומית תחת תנאים מסוימים.
בפרט, המשפט מראה כי פונקציית ההסתברות של מספר ההצלחות בסדרה של ניסויי ברנולי בלתי תלויים, שכל אחד מהם בעל הסתברות הצלחה , מתכנסת לפונקציית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית עם תוחלת וסטיית תקן , כאשר גדול ובהנחה ש- אינו 0 או 1.
המשפט הופיע במהדורה השנייה של הספר "The Doctrine of Chances" מאת אברהם דה-מואבר, שפורסם בשנת 1738. דה-מואבר חקר את התפלגות מספר הפעמים שיצא "עץ" כאשר מטילים מטבע 3600 פעמים, והראה שההתפלגות מתקרבת לנורמלית.
קירוב זה הוא אחד הדרכים לקבל את הגאוסיאן המשמש כבסיס להתפלגות הנורמלית בעזרת גבול.
משפט דה-מואבר-לפלס הוא מקרה פרטי של משפט הגבול המרכזי, מאחר שניתן להתייחס לתהליך ברנולי כאל דגימה בלתי תלויה של משתנים אקראיים מהתפלגות דיסקרטית בינארית בעלת ערכים 0 ו-1. ההתפלגות הבינומית מתארת את מספר ההצלחות, ומשפט הגבול המרכזי קובע כי כאשר גדול מספיק, התפלגות ממוצע המדגם תהיה בקירוב נורמלית.
במקרה זה, מאחר ששכיחות ההצלחות שווה לממוצע המדגם, ההתפלגות הבינומית המנורמלת והתפלגות הממוצעים מתלכדות, והתוצאה היא ההתכנסות להתפלגות נורמלית.
כאשר גדול, עבור ערכים של המקיימים , מתקיים הקירוב האסימפטוטי הבא לפונקציית ההסתברות של ההתפלגות הבינומית:
במובן אסימפטוטי, יחס ההסתברויות בין אגף שמאל לאגף ימין שואף ל-1.
ההוכחה מבוססת על קירוב הביטוי באגף שמאל של משפט דה-מואבר-לפלס לאגף ימין בשלושה שלבים עיקריים.
שלב ראשון: שימוש בנוסחת סטרלינג
לפי נוסחת סטרלינג, עבור גדול, העצרת מקורבת על ידי:
באמצעות קירוב זה, מתקבל ביטוי מקורב להסתברות הבינומית:
שלב שלישי: הצגת הביטוי כאקספוננט ופיתוח טיילור
לאחר ניסוח מחדש של הביטוי באמצעות פונקציה מעריכית, ושימוש בקירוב טיילור ללוגריתם:
כל המעברים בסימן הם במובן אסימפטוטי, כלומר כאשר , היחס בין אגפי השוויונות מתכנס ל-1, בדיוק כפי שמופיע בניסוח המשפט.
משפט דה-מואבר-לפלס מספק כלי לחישוב מקורב של הסתברויות בינומיות כאשר גדול, במקום לבצע חישובים ישירים עם מקדמים בינומיים.
עבור ערכים גדולים של , נהוג להשתמש בתיקון רציפות:
כאשר היא ההתפלגות הנורמלית המקורבת.
בהסקה סטטיסטית, כאשר מודדים משתנה בעל התפלגות בינומית במדגם גדול (כגון שיעור הצבעה בבחירות), ההתפלגות בקירוב נורמלית, דבר שמאפשר לבצע בדיקות סטטיסטיות כגון מבחני Z למדגמים גדולים.
בתורת התורים ובקרת איכות, כאשר מנתחים מספר תקלות או הצלחות במערכת גדולה.
בתיבת גלטון – הדגמה ויזואלית למשפט, בה כדורים נופלים במסלול בינומי ומתפלגים בסופו של דבר בקירוב נורמלי.
נניח שמטילים מטבע הוגן (כלומר, הסתברות הצלחה ) מספר רב של פעמים, למשל הטלות, ומתעניינים בהתפלגות מספר הפעמים שיצא "עץ".
לפי משפט דה-מואבר-לפלס, המשתנה המקרי המתאר את מספר הפעמים שיצא "עץ" מתפלג בקירוב נורמלית עם תוחלת ושונות:
נחשב כעת את ההסתברות שמספר ה"עצים" יהיה בטווח של שלוש סטיות תקן סביב התוחלת, כלומר בטווח :
לאחר נירמול ההתפלגות הבינומית להתפלגות נורמלית תקנית, מתקבל:
לפי טבלאות ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית:
מכאן שההסתברות שמספר הפעמים שיצא "עץ" יהיה בטווח של שלוש סטיות תקן סביב התוחלת היא כ-99.73%, בהתאם לכלל שלושת סטיות התקן בהתפלגות נורמלית.
בגאומטריה, משפט דקארט על פאונים מבטא קשר מסוים בין מספר הקודקודים וסכום הזוויות המישוריות (זוויות פאה) בכל הפאות של פאונים מסוימים.
במסגרת ניסוח המשפט, רנה דקארט הגדיר זווית מרחבית חיצונית בקודקוד של פאון כמידה שבה סכום זוויות הפאות הנפגשות באותו קודקוד קטן מארבע זוויות ישרות, כלומר כ- פחות סכום זוויות הפאות הנפגשות באותו קודקוד, וטען ש-:
המשפט תקף רק לפאונים הומיאומורפיים לספירה הדו-ממדית .
עבור פאונים טורואידיים, למשל, סכום הזוויות המרחביות החיצוניות (כאשר ניתן להן סימן מתאים) הוא אפס בדיוק.
דקארט ניסח משפט זה בפתיחת המסה שלו "חיבור אלמנטרי על פאונים" שנכתבה בין השנים 1619–1621, שעד שלהי המאה ה-19 נחשבה לחיבור אבוד – עותק של החיבור נמצא לבסוף רק בין כתבי לייבניץ.
עד אז, הרעיונות העומדים ביסוד המשפט כבר נתגלו על ידי מתמטיקאים אחרים: לאונרד אוילר גילה את מאפיין אוילר ונוסחת אוילר, וקרל פרידריך גאוס גילה את משפט גאוס-בונה המכיל את משפט דקארט.
מסיבה זאת, חיבורו של דקארט לא מילא תפקיד חשוב בהיסטוריה של המתמטיקה ולכן לעיתים מתייחסים למשפט זה כאל "המשפט האבוד" של דאקרט.
במסגרת התורה של הגאומטריה הדיפרנציאלית של משטחים, המשפט מובן כיום כמסקנה ממשפט גאוס-בונה – הוא מהווה גרסה בדידה של המשפט.
זווית מרחבית חיצונית כעקמומיות כוללת בקודקוד
קודקודי הפאון כנקודות בהן מתרכזת עקמומיות גאוס
הזווית המרחבית החיצונית בקודקוד היא למעשה בה המידה בה סוטה התנהגות המשטח מזו של מישור אוקלידי: עבור נקודה במישור אוקלידי הזווית המרחבית החיצונית בהכרח מתאפסת.
עבור כל נקודה בפנים הפאות של פאון כלשהו, התנהגות הפאה היא מישורית ולכן עקמומיות המשטח, וגם הזווית המרחבית החיצונית, מתאפסות.
נשים לב שמכיוון שפאון מכיל גם צלעות וקודקודים, שהם אזורים לא חלקים, קשה יותר להגדיר עקמומיות עבורם.
גאוס פיתח המשגה לעקמומיות של משטחים, שהיא שימושית גם עבור תיאור ההתנהגות של משטחים בנקודות אי-חלקות.
מיפוי גאוס מתאים לכל נקודה על משטח נקודה על הספירה , באופן כזה שווקטור הנורמל למשטח באותה נקודה מקביל לווקטור הנורמל בנקודה שהותאמה לו על הספירה.
עקמומיות גאוס בנקודה מוגדרת אז כגבול של היחס בין שטח התמונה של סביבה אינפיניטסימלית של הנקודה במשטח תחת מיפוי גאוס, לשטח הסביבה המקורית.
העקמומיות הכוללת של תחום מסוים של משטח מוגדרת כשטח התמונה של התחום תחת מיפוי גאוס; זהו מדד להתעקמות הכוללת של המשטח.
תחת מינוח זה, עקמומיות גאוס של פאון מתאפסת בכל מקום חוץ מאשר בקודקודיו.
לפיכך עקמומיות גאוס מרוכזת בקודקודים ומקבלת ערך אינסופי עליהן: ראיית פונקציית העקמומיות כפונקציה מוכללת או כמידה מאפשרת להגדיר את פונקציית העקמומיות של פאון בסביבת קודקוד p, כזווית מרחבית חיצונית, באופן הבא:
כאשר היא פונקציית דלתא של דיראק המתאפסת בכל מקום פרט לקודקוד p.
הוכחת הנוסחה לעקמומיות הכוללת בקודקוד
העובדה שהעקמומיות היא פונקציה מוכללת ברורה, אך ההוכחה שהאינטגרל על סביבה המכילה את הקודקוד היא אכן הזווית המרחבית החיצונית שהגדיר דקארט, טעונה הוכחה.
נספק כעת הוכחה עבור המקרה שבו בכל קודקוד של הפאון נפגשות שלוש פאות.
הטיעון מוגבל אולם הרעיון הכללי שלו ניתן להכללה לכל פאון.
עבור כל קודקוד p של הפאון, נדמיין ספירה קטנה שמרכזה באותו קודקוד.
שלוש הפאות הנפגשות בו יחתכו שלושה מעגלים גדולים מן הספירה, הנפגשים בשלוש נקודות המגדירות משולש כדורי.
למשולש כדורי זה אורכי צלעות השווים לזוויות הפאות הנפגשות בקודקוד ("אורך הצלעות" כאן הוא אורך מנורמל על ידי רדיוס הספירה) וזוויות פנימיות השוות לזוויות הדיהדרליות של הצלעות הנפגשות באותו קודקוד.
עבור משולש כדורי זה, נגדיר את המשולש הפולרי שלו כמשולש הכדורי שנוצר על ידי הקטבים המתאימים לאותם מעגלים גדולים עליהם נחות צלעות המשולש המקורי.
לפי משפט ידוע בגאומטריה כדורית, זוויות המשולש הפולרי הן כלומר אורכי צלעות המשולש המקורי מגדירים את זוויות המשולש החדש.
לפי משפט ז'יראר, שטחו של המשולש הפולרי הוא .
אולם המשולש הפולרי הוא בדיוק התמונה של סביבת הקודקוד p תחת מיפוי גאוס – הקטבים של צלעות המשולש הכדורי הם למעשה הנקודות בהן חותכים הנורמלים לפאות את הספירה שמרכזה ב-p – ולכן העקמומיות הכוללת בקודקוד היא למעשה הזווית המרחבית החיצונית שהגדיר דקארט.
משפט דקארט כמסקנה ממשפט גאוס-בונה
לפי משפט גאוס-בונה, העקמומיות הכוללת של משטח S היא , כאשר הוא מאפיין אוילר של המשטח.
משפט דקארט תקף לפאונים השקולים טופולוגית לספירה הדו-ממדית .
לספירה הדו-ממדית מציין אוילר , ולכן לפי משפט גאוס-בונה העקמומיות הכוללת שלה היא , בהתאמה עם משפט דקארט.
הזווית המרחבית החיצונית בכל אחד מעשרים קודקודיו של תריסרון משוכלל (שבו שלושה מחומשים משוכללים נפגשים בכל קודקוד) היא 36° או π/5 רדיאנים.
לפיכך הזוויות המרחביות החיצוניות נסכמות ל- (או 720°).
אותו התהליך יכול להיות מיושם לפאונים המשוכללים האחרים.
הטבלה להלן מסכמת את האפיון שלהם על פי משפט דקארט.
פאוןמספר קודקודיםמצולעים הנפגשים בכל קודקודזווית מרחבית חיצונית בכל קודקודסך הכלארבעון משוכלל4שלושה משולשים שווי צלעות תמניון משוכלל6ארבעה משולשים שווי צלעותקובייה8שלושה ריבועיםעשרימון משוכלל12חמישה משולשים שווי צלעותתריסרון משוכלל20שלושה מחומשים משוכללים
משפט הדגימה של נייקוויסט-שאנון (או בקיצור משפט הדגימה) הוא משפט בתורת האינפורמציה ובעיבוד אותות, העוסק במגבלה ובדרישות ממערכות דגימה של אותות, על מנת לא לאבד מידע בתהליך.
המשפט משמש במיוחד במערכות תקשורת.
דגימה היא התהליך של הפיכת אות רציף (כפונקציה של הזמן או המרחב) לסדרת מספרים או אות בדיד הקיים רק בנקודות בדידות בזמן או במרחב.
המשפט קובע שעל מנת שלא לאבד מידע, יש לדגום בתדר שהוא לפחות פי 2 מתדר האות הנדגם.
אם האות כולל מספר תדרים, למשל בחבילת גלים, אז יש צורך בתדר דגימה שגדול לפחות פי 2 מהתדר המקסימלי של האות.
תדר הסף הזה שתדר הדגימה צריך להיות פי 2 ממנו נקרא תדר נייקוויסט.
כאשר האות נדגם בתדר קטן מהנדרש, תתקבל דגימת חסר.
ההסבר למשפט הדגימה הוא כאשר דוגמים אות רציף, אז מכפילים את האות במסרק הלמים, כלומר מודדים את ערך הפונקציה במרחקי זמן קבועים, ובכל יתר הזמן הפונקציה מתאפסת.
כאשר עוברים למרחב התדר, ההכפלה הופכת לקונבולוציה של מסרק הלמים וספקטרום האות, והתוצאה של התהליך היא צורת ספקטרום של אות המידע שמשוכפל בדיוק באופן מחזורי לאורך ציר התדר, כאשר מרכז הספקטרום יושב במכפלות שלמות של תדר הדגימה.
אם תדר הדגימה יהיה מתחת לפעמיים התדר המקסימלי, השכפולים הללו יחפפו אחד את השני ובתהליך שחזור האות, בו מסננים רק את הספקטרום הבסיסי, הוא יתעוות.
תופעה זו נקראת "התחזות" או "קיפול" של תדרים .
המשפט פותח על ידי קלוד שאנון והארי נייקוויסט.
עבור אות רציף, חסום פס ומוגבל אנרגיה , התמרת פורייה של האות תהיה:
האות חסום פס, כלומר אין לו תדרים הגבוהים מהתדר החוסם , כלומר עבור .
נשתמש בתדר הדגימה , ביחידות של דגימות לשנייה, באופן הבא:
כלומר תדר הדגימה גדול יותר מהחסם העליון של תדר האות.
באופן כזה הדגימה לא תאבד מידע מהאות.
הדגימה היא אחד מהשלבים החשובים ביותר בעיבוד ספרתי של אותות.
האותות בטבע הם לרוב רציפים או אנלוגים כגון אותות דיבור הנקלטים במיקרופון של טלפון סלולרי או האותות החשמלים הנפלטים ממוח האדם למשל בבדיקת EEG.
לצורך עיבודם בצורה ספרתית על ידי מחשב או מעגל משולב ספרתי, יש צורך להפכם לסדרות מספרים או אותות ספרתיים ופעולה זו מבוצעת על ידי דגימת האותות.
משפט האל (לטינית: Ordeal אורדאל) הייתה שיטה קדומה להכרעה בשאלת אשמתו או חפותו של אדם.
בשיטה זו מסתמכים על הופעת סימן כלשהו, מתוך הנחה שהאל יטה את הופעת הסימן, כך שזה יצביע על האשמים האמיתיים.
המבחן היה כרוך לרוב בסיכון גופני, לעיתים עד כדי סכנת חיים (למשל, הטבעה במים כאשר אלו שיצופו - ייחשבו לחפים מפשע).
קיימות מספר שיטות ל"משפט האל" שהיו נהוגות בתקופות שונות ובאזורים שונים, מהן:
מבחן דו-קרב (או משפט בקרב) - התעמתות בדו-קרב, תוך פירוש ניצחון של אחד הצדדים בדו-קרב כסימן לתמיכת האלוהים בצד המנצח.
מבחן הנהר - לפי חוקי חמורבי, בעלה של אישה הנאשמת בניאוף (האשמה שנתמכת בידי אחרים) יכול לדרוש את העמדתה ל"מבחן הנהר", בו הושלכה האישה אל נהר גועש שאם תצא ממנו בחיים - הרי שהיא נאמנה לבעלה.
באופן דומה היה המנהג רווח בתרבויות המזרח הקדום (כמו בבל, אשור, שומר) והוא שימש למקרים נוספים בהם לא היו הוכחות ועדויות חד משמעיות להרשעת הנאשם.
ה"נהר" היה באר העשויה מאספלט טבעי, שמשתמשי המבחן האמינו כי האל "אִיד" שוכן בו בחודשי הקיץ, ולתוכה הושלך הנבדק "אל האל".
המים והאדים הרעילים, היה בהם די כדי להמית את הנבדקים.
מי שמת, מותו היווה עדות לענישתו על ידי אל הנהר, ואילו אלו שאל הנהר "הקיא אותם מקרבו" (בדרך כלל כך היה גורל רוב הנבדקים), נחשבו חפים מפשע, ומי שהאשים אותם נחשב כטופל עלילות שווא.
השקיית סוטה - בדיקה המופיעה בתנ"ך, מדיני הסוטה: אישה שהתייחדה עם גבר זר למרות איסורו של בעלה, שותה את "מי המרים המאררים", ואם "צָבְתָה בִטְנָהּ וְנָפְלָה יְרֵכָהּ", סימן הוא לאשמתה וזנותה עם אותו הגבר הזר.
פרופסור יעקב שלום ליכט מציין כי בדיקת הסוטה נבדלת ממרבית האורדאלים המוכרים, בכך שהחשודה נבדקת בדבר שאין טבעו להזיק: מים עם מעט עפר ודיו, וכדי שתוכח אשמתה נדרשת מעורבות אלוהית על טבעית.
בִּשׁעָה - מבחן בדואי מסורתי, הנערך באמצעות ליקוק כלי מתכת מלובן: סימני כווייה על הלשון מעידים על דבר שקר בפי העומד למבחן.
מבחן הבישעה עדיין מתקיים בימינו במצרים, בגבול סיני, ודורשיו מגיעים גם מן הארצות השכנות.
מבחן הלחם והגבינה - באירופה של ימי הביניים, הטילו לעיתים על חשוד בגנבה ובשאר עבירות קלות בדיקה כזו: היה עליו לבלוע כמות מסוימת של לחם וגבינה שהוכנו במיוחד לשם כך, וההנחה הייתה שאם הוא אשם ייחנק.
גם מבחן זה נבדל מן המבחנים האחרים בכך שהחשוד נבחן בדבר שאין טבעו להזיק.
משפטי אל מסוגים אחרים בוצעו באמצעות מים רותחים או ברזל מלובן שפצעו את הבשר.
אם הפצע נרפא כעבור כמה ימים סימן שהנאשם יצא זכאי.
חוקרים משערים שהאמונה בכך שמבחן האל משקף את האמת יכולה הייתה להועיל לסדר החברתי, גם אם לאמונה זו אין בסיס, שכן האמונה עשויה להביא להודאה עוד בטרם עמד האדם במבחן.
השימוש במבחני מים ואש במשפט האל נאסר ב-1215 על ידי אינוקנטיוס השלישי על פי החלטת ועידת לטראנו הרביעית והוחלף בשבועה (קוֹמפּוּרגַציה).
באנליזה מרוכבת, משפט האינטגרל של קושי-גורסה (על שמם של אוגוסטין קושי ואדואר גורסה ) הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות על אינטגרלים קוויים של פונקציות מרוכבות הולומורפיות.
המשפט אומר שאם פונקציה היא הולומורפית בתחום פשוט קשר מסוים אז האינטגרל שלה לאורך מסלול סגור המוכל בתחום מתאפס.
למשפט זה תוצאות חשובות רבות, כגון נוסחת האינטגרל של קושי, משפט ליוביל, המשפט היסודי של האלגברה, משפט השארית ועוד.
מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן אנליטיות, כלומר ניתן לפתח אותן לטור טיילור.
המשפט המקורי שקושי הוכיח כלל את ההנחה שהנגזרת רציפה.
כחצי מאה לאחר קושי, הוכיח אדואר גורסה את המשפט אך ללא הנחה זו.
הוכחה זו משמעותית כי לאחר מכן ניתן להוכיח את נוסחת האינטגרל של קושי עבור פונקציות הולומורפיות, וממנה ניתן להוכיח שכל פונקציה הולומורפית היא אנליטית.
המשפט נובע מהגרסה הבאה שלו: תהא קבוצה פתוחה כך שהשפה היא איחוד סופי של מסילות סגורות בעלות אורך .
בנוסף, תהא פונקציה הולומורפית ב-.
גרסה שנייה זו נובעת ממקרה פרטי שלה: תהי הולומורפית ב- ו- משולש המוכל ב-, אז .
אם מניחים ש־ רציפה, ניתן להוכיח את משפט האינטגרל של קושי ישירות ממשפט גרין ומהעובדה שהחלקים הממשיים והמדומים של מקיימים את משוואות קושי-רימן בתחום התחום ב־ בפרט ובסביבה הפתוחה של התחום בכלל.
זו השיטה בה השתמש קושי להוכחת המשפט.
מאוחר יותר הוכיח גורסה את המשפט בלי להניח את רציפות הנגזרת .
הוא לא היה צריך להניח את רציפות הנגזרת משום שהוכחתו לא נסמכה על אנליזה וקטורית.
ניתן להפריד את האינטגרנד וכן את הדיפרנציאל לחלקיהם הממשיים והמדומים:
על פי משפט גרין, ניתן להחליף את האינטגרל הקווי על העקומה באינטגרל הכפול על התחום החסום על ידי כדלהלן:
אך החלק הממשי והחלק המדמה של פונקציה הולומורפית בתחום , ו־ חייבים לקיים את משוואות קושי-רימן בתחום:
ומכך נובע ששני האינטגרנדים הם 0, ולכן גם האינטגרלים הם 0:
הוכחת משפט קושי-גורסה עבור מסלולים משולשיים
לכן , ומעקרון דיריכלה נובע שקיים כך ש-.
נמשיך כך ונקבל סדרת משולשים , כאשר .
לפי הלמה של קנטור, קיים כך ש-.
הנחנו ש- הולומורפית ב-, ולכן מתקיים , כאשר .
עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים: .
ניתן לראות שיש להם פונקציה קדומה, שהיא אנליטית בכל , ובפרט ב-, ולכן האינטגרל שלהם שווה ל-0 לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
נביט באורכי המסילות: , כלומר, עבור , .
לפי הגדרת האינטגרל, אם מסילה חלקה למקוטעין ו- רציפה על , אז , כאשר על ו- הוא האורך של .
מכאן נובע: , ולאחר הכפלת שני הצדדים ב- נקבל .
אבל (שכן מהגדרת מתקיים , ו- קבוע), ולכן נקבל וזו סתירה להנחה המקורית.
משפט הגבול המרכזי הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות, העוסק בהתפלגות הגבולית של הממוצע המצטבר של סדרת משתנים מקריים.
המשפט קובע שתחת תנאים מסוימים, התפלגות הממוצע של סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים מתקרבת להתפלגות נורמלית לאחר תִקנוּן מסוים, גם כאשר המשתנים עצמם אינם מתפלגים נורמלית.
הוא הוכח לראשונה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אברהם דה מואבר בשנת 1733. עם זאת, המשפט שוכלל מאוחר יותר על ידי מתמטיקאים אחרים, ביניהם קרל פרידריך גאוס ופייר-סימון לפלס, אשר תרמו תרומה משמעותית לפיתוח המשפט.
בעזרת המשפט, ניתן להסביר את השכיחות הגבוהה של ההתפלגות הנורמלית בתחומים רבים: מאחר שרבים מהערכים הנמדדים בטבע מורכבים למעשה מסכום מספר רב של אירועים אקראיים, וממשפט הגבול המרכזי נובע שהם יתפלגו נורמלית (לפחות בקירוב).
כמו כן, המשפט מאפשר שימוש בטכניקות שפותחו תחת הנחת נורמליות על התפלגות של משתנה מקרי, גם כאשר הוא אינו מתפלג נורמלית.
את המשפט הכללי הוכיח אלכסנדר ליאפונוב.
תוצאת המשפט יכולה להיות מוסברת דרך העובדה שההתפלגות הנורמלית היא בעלת אנטרופיה מקסימלית מבין כל ההתפלגויות בעלות שונות נתונה.
אם כך, כשבמערכת מצטברת אנטרופיה והממוצע מנורמל כך שהשונות נותרת קבועה, סביר לצפות שההתפלגות תשאף דווקא להתפלגות הנורמלית.
תהי סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי אותה התפלגות, שיש לה תוחלת ושונות .
לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, הגבול של הסדרה הוא אפס (בהסתברות 1).
משפט הגבול המרכזי מספק מידע מפורט בהרבה: סדרת המשתנים המקריים מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית:
תהי סדרה של משתנים מקריים בלתי תלויים, המקיימת:
(אין כאן פגיעה בכלליות, כי מכל משתנה מקרי ניתן להחסיר את התוחלת שלו).
מתכנסת בהתפלגות אל ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.
משפט גבול מרכזי רב ממדי
תהי סדרה של וקטורים מקריים ב- בלתי תלויים ושווי התפלגות, עם תוחלת ושונות .
סדרת הווקטורים המקריים מתכנסת בהתפלגות להתפלגות רב נורמלית:
נראה כיצד ממשפט הגבול המרכזי נובע כי אם – במילים: המשתנה מתפלג בינומית – אז כאשר גדול מתקיים , כלומר מתפלג בקירוב כמו משתנה נורמלי עם תוחלת ושונות , כאשר ו-.
ניתן לראות משתנה בינומי כסכום סדרת משתנים מקריים שכל אחד מהם מקבל 1 בהסתברות ואחרת מקבל 0 (ניסויי ברנולי).
התוחלת של משתנה כזה היא והשונות שלו היא .
לכן, כאשר גדול, נובע ממשפט הגבול המרכזי:
בספרות יש מספר דוגמאות מעניינות ושימושיות ויישומים הקשורים למשפט הגבול המרכזי.
מקור אחד מציין את הדוגמאות הבאות:
התפלגות המרחק הכולל שעוברים בהילוך מקרי (מוטה או חסר הטיה) ייטה להתפלג נורמלי.
הטלת מטבע מספר רב של פעמים יניב את ההתפלגות הנורמלית עבור המספר הכולל של "עץ" (או "פלי" באופן שקול).
מנקודת מבט אחרת, משפט הגבול המרכזי מסביר את ההופעה התדירה של "עקומת הפעמון" בהערכות צפיפות המופעלות על מידע מהעולם האמיתי.
במקרים כמו רעש אלקטרוני, ציוני מבחן וכו', נוכל בדרך כלל להתייחס לתצפית בודדת כממוצע ממושקל של מספר רב של גורמים קטנים.
אם נשתמש בהכללות של משפט הגבול המרכזי נוכל לראות שזה לרוב יניב (אך לא תמיד) התפלגות סופית שהיא בערך נורמלית.
באופן כללי, ככל שתצפית היא יותר כמו סכום של משתנים מקריים בלתי תלויים עם השפעה זהה על התוצאה, היא מתאפיינת ביותר "נורמליות".
זה מצדיק את השימוש הנפוץ בהתפלגות זו כדי להשלים את ההשפעה של משתנים מקריים שלא נצפו במודלים כמו במודל הליניארי.
בטכניקות של בדיקת השערות, מבחן סטטיסטי מנסה להפריד בין שתי התפלגויות: בין ההתפלגות תחת השערת האפס, קרי ההשערה הקודמת למבחן, לבין התפלגות אחרת.
לשם כך דוגם החוקר מספר תצפיות מהאוכלוסייה שהוא בוחן, ומחשב את סטטיסטי ערך ה-p של התוצאה.
אם לא סביר כי הסטטיסטי יצא מההתפלגות של השערת האפס (ברמת המובהקות שנקבעה מראש), החוקר דוחה את השערה זו.
לרוב, התכונה באוכלוסייה אותה מבצע המבחן בוחן אינה מתפלגת נורמלית, אך באמצעות שימוש במשפט הגבול המרכזי הוא יודע שאם הסטטיסטי הוא ממוצע של אותה התכונה, ומתקיימות שאר ההנחות הנדרשות לשם הפעלת המשפט על אותה התכונה, אזי הוא יכול להניח כי עם מספיק תצפיות הסטטיסטי יתפלג נורמלית.
בכך הוא יכול להשוות אנליטית את הממוצע אותו דגם להסתברות שאותו ממוצע ייצא תחת התפלגות נורמלית.
למבחן סטטיסטי שכזה, שיודע את השונות לאותה תכונה באוכלוסייה קוראים מבחן Z.
למשפטי גבול בתורת ההסתברות יש יישומים גם מחוץ לתורת ההסתברות.
למשל, בעזרת משפט הגבול המרכזי ניתן לחשב את הגבול .
כדי לעשות זאת, לוקחים משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים אחיד בקטע (עם מידת לבג).
כל משתנה כזה הוא בעל תוחלת אפס ושונות .
משתנים אלו "מייצגים" את המשתנים במרחב האוקלידי ולכן הם בלתי תלויים.
אם כן האינטגרל שווה לתוחלת של המ"מ .
לפי משפט הגבול המרכזי, מתקיים .
כעת, ניתן להסיק מהמשפט גם התכנסות חלשה (ולמעשה התנאי שקול להתכנסות בהתפלגות) - כלומר, לכל פונקציה רציפה וחסומה מתקיים ; במקרה שלנו, היא רציפה וחסומה, ולכן הגבול שווה ל-
( היא הפונקציה האופיינית של ).
משפט ההעתקה הפתוחה הוא משפט חשוב באנליזה פונקציונלית הנוגע לאופרטורים.
את המשפט ניסח והוכיח סטפן בנך.
יהי אופרטור ליניארי חסום בין מרחבי בנך שהוא על .
אזי העתקה פתוחה, כלומר: לכל קבוצה פתוחה תמונתה היא קבוצה פתוחה ב-.
מאחר שכל קבוצה פתוחה במרחב מכילה כדור, מספיק להראות שעבור כל כדור פתוח שמרכזו נקודת האפס של , התמונה היא קבוצה פתוחה.
לשם כך מספיק להראות ש- היא נקודת פנים של (לגבי שאר הנקודות זה נכון בגלל הזזה).
כדי להראות ש- היא אכן נקודת פנים משתמשים במרכז של קבוצה.
מרכז של קבוצה הוא כל נקודות המרכז שלה.
נקודת מרכז של קבוצה היא נקודה המקיימת, לכל במרחב, קיים מספר חיובי כך שקטע מהישר מוכל כולו ב-.
היתרון בהגדרה זו היא הליניאריות שבה ואפשר להראות שהמרכז של קבוצה הוא אינווריאנטי תחת פעולות ליניאריות.
משפט ליפשיץ: עבור קבוצה סיגמא-קמורה, המרכז של הקבוצה שווה לפנים שלה (וכן למרכז של הסגור שלה ולפנים של הסגור שלה).
כעת, נוכיח ש- היא נקודת מרכז של .
בהינתן נקודה עלינו להראות שקיים קטע המוכל ב-, עבור ערך כלשהו.
מאחר ש- על קיים כך ש-.
מאחר שכדור הוא קבוצה פתוחה ובפרט קבוצה סיגמא-קמורה נובע ש- נקודת מרכז של הכדור, ולכן קיים קטע של הישר שמוכל כולו ב-.
כעת, אם נפעיל את על הקטע נקבל ש- (השוויון השמאלי נובע מהפעלת על ומליניאריות).
לכן, היא נקודת מרכז של וממשפט ליפשיץ גם נקודת פנים שלה.
מאחר שהראנו שההעתקה מעבירה כדור פתוח לכדור פתוח נובע שהיא העתקה פתוחה.
משפט ההעתקה ההופכית: אם הוא אופרטור ליניארי חח"ע ועל רציף בין שני מרחבי בנך, אזי האופרטור ההופכי הוא רציף גם כן.
משפט הגרף הסגור: אם הוא אופרטור ליניארי סגיר (admit closure) בין מרחבי בנך ("סגיר", כלומר: לכל סדרה ב- שמקיימת נובע ש-) אזי הוא גם אופרטור רציף.
משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו.
המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.
יהי מרחב בנך מעל השדה (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב , ופונקציה תת-ליניארית (פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה).
אזי כל פונקציונל ליניארי החסום על ידי (כלומר: לכל ) אפשר להרחיב לפונקציונל שגם הוא חסום באותו אופן.
(כלומר: הוא אכן הרחבה של ).
(כלומר: חסום גם כן על ידי ).
אם הוא מרחב בנך ו- הוא תת-מרחב שלו, ואם הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על , אזי קיימת לו הרחבה רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: .
זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר: , ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-ליניארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך.
בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך, הוא אובייקט אינג'קטיבי.
בפרט, אם נגדיר עבור אזי נקבל שקיים פונקציונל כך ש-.
כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.
משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:
יהי מרחב בנך ויהי הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור).
תהי נקודה שאיננה בסגור של , אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) כך ש:
הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן.
מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של החסומות על ידי לתת-מרחב כלשהו עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-).
זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי.
לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב- שמהווה הרחבה של המקיימת את הנדרש.
נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל .
עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה.
מניחים שההרחבה המקסימלית ב- מוגדרת על תת-מרחב , כאשר .
אזי קיים ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי , המוגדרת על ידי:
כאשר פירוק יחיד של כאשר ו- הוא ההרחבה המקסימלית על (והם איברי המשפחה ).
כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך כך שלכל בתחום ההגדרה יתקיים .
באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-ליניארית אפשר להראות שקיים כנדרש.
בכך בנינו הרחבה ל- מ- לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-.
מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של , וניתן לראות בקלות שגם היא ב-, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.
לכן, האיבר המקסימלי של מוגדר היטב על כל ומהווה הרחבה של המקיימת את הנדרש.
בתורת המספרים, משפט ההדדיות הריבועית הוא משפט בחשבון מודולרי המספק תנאים לפתירות של משוואות ריבועיות מודולו מספרים ראשוניים.
המשפט למעשה מקשר בין היכולת לפתור שתי משוואות מודולריות ריבועיות.
הוא נוסח לראשונה בידי אוילר ולז'נדר (שהוכיח אותו למקרים פרטיים), אך היה זה גאוס שהוכיח אותו במלואו לראשונה, בשנת 1796. למשפט יש ניסוחים רבים, אך הקביעה הסטנדרטית ביותר שלו היא כדלהלן:
יהיו שני מספרים ראשוניים אי-זוגיים שונים, אז נגדיר את סימן לז'נדר כך:
חוק זה מאפשר חישוב ישיר של סימן לז'נדר, ומאפשר לקבוע האם ישנו פתרון טבעי למשוואה מודולרית מהצורה בעבור ראשוני אי-זוגי; כלומר, במילים אחרות, לקבוע את "הריבועים המושלמים" מודולו .
בקריפטוגרפיה, המשפט מאפשר גם להכריע בשאלה האם מספר ראשוני נתון הוא שארית ריבועית מודולו מספר ראשוני גדול בהרבה במהירות רבה יותר: בעוד שבדיקה נאיבית של כל הריבועים מודולו עשויה לצרוך זמן חישוב רב, המשפט מאפשר לקצר משמעותית את הבדיקה באמצעות בדיקה של מודולו (כך שיש לבדוק רק ריבועים).
אף על פי כן, המשפט הוא תוצאה לא-קונסטרוקטיבית: הוא לא מצביע על שיטה יעילה למציאה של פתרון כזה.
בכך הוא מרמז על מבנה אריתמטי נסתר ועמוק יותר, ומבחינה היסטורית גילויו, הוכחתו והניסיונות להכלילו היו בין הזרזים העיקריים להתפתחות תורת המספרים המודרנית.
מאז גאוס, הכללת חוק ההדדיות הייתה לבעיה מובילה במתמטיקה, ששיחקה תפקיד מרכזי בהתפתחות רבים מהכלים הטכניים של האלגברה, תורת המספרים, והגאומטריה האלגברית המודרנית, כשתהליך זה הגיע לשיאו בניסוח חוק ההדדיות של ארטין, תורת שדות המחלקה ותוכנית לנגלנדס.
בנוסף, מחקר מתמטי של המאה ה-20 העיד על יותר ויותר קשרים מעניינים של המשפט עם תאוריות מתמטיות שונות מתחומי הגאומטריה והטופולוגיה – למשל, בתורת הקשרים, שם מושג הקשר הראשוני אנלוגי למספר ראשוני באריתמטיקה, ואת תפקיד ההדדיות הריבועית ממלא המשפט שקובע שאינדקס השזירה סימטרי ביחס להחלפה של שני קשרים ראשוניים.
עם זאת, פרמה עצמו מעולם לא ניסח את המשפט במפורש.
משפט ההדדיות הריבועית נוסח לראשונה במפורש בידי אוילר ולז'נדר (שהוכיח אותו למקרים פרטיים), אך היה זה גאוס שהוכיח אותו במלואו לראשונה, בשנת 1796. גאוס כינה אותו בשם "משפט הזהב", וניתן לראות עדות לחיבה שרחש לו בכך שכתב לו שמונה הוכחות שונות במהלך חייו (שתיים מהן פורסמו לאחר מותו).
ההוכחה הראשונה שלו, ממאמרים 125-146 של ספרו "מחקרים אריתמטיים", הייתה אינדוקטיבית באופיה.
ההוכחה השנייה שלו, ממאמר 262 של ספרו זה, עשתה שימוש בתאוריית הגנוס של תבניות ריבועיות.
ההוכחות הראשונות של גאוס היו טכניות באופן יחסי ולא שפכו אור על התשובה לשאלה: מדוע בעצם חוק ההדדיות הריבועית נכון?
המצב הזה השתנה כאשר גאוס עשה שימוש בסכומי גאוס ריבועיים כדי להראות ששדות ריבועיים הם תת-שדות של שדות ציקלוטומיים, והסיק באופן לא מפורש את ההדדיות הריבועית ממשפט הדדיות עבור שדות ציקלוטומיים.
הוכחה זאת שימשה כמעין מנשר (בוסרי ביותר) של תורת שדות המחלקה, תורה שניתן לראות אותה כהכללה מרחיקת לכת של ההדדיות הריבועית.
מאז פורסמו הוכחות רבות נוספות; בשנת 2000 פורסם ספר שהכיל רשימה של לא פחות מ-196 הוכחות שונות.
מאז פרסום זה עובד המחבר על חלקים נוספים לספרו ומספר ההוכחות המעודכן עומד בדצמבר 2009 על 233..
חוק ההדדיות הריבועית נוסח בעקבות הצורך לקבוע את הפתירות של משוואות ריבועיות בחשבון מודולרי, כלומר לענות על השאלה האם עבור מספר ראשוני נתון p קיים מספר טבעי כך שכאשר מציבים אותו במשוואה ריבועית מסוימת התוצאה תתחלק ב-.
בשונה מקונגרואנציות ממעלה ראשונה, בהן ניתן להיעזר במשפטים אריתמטיים בסיסיים כמו משפט השאריות הסיני, לא קיים תהליך מתמטי פשוט אשר מאפשר לבדוק את הפתירות של קונגרואנציה ממעלה שנייה.
חוק ההדדיות הריבועית קובע כי מספר ראשוני הוא שארית ריבועית מודולו מספר ראשוני בהתניה בתוצאת הקונגרואנציה ההפוכה; בניסוחו הבסיסי, המשפט מקשר בין היכולת לפתור את שתי המשוואות הבאות: אם הם שני מספרים ראשוניים אי-זוגיים, אז המשוואות הן:
כלומר, השאלה היא מתי כל אחד מהמספרים הוא ריבוע מודולו המספר השני.
על פי המשפט, התשובה לשאלה זו תלויה בשארית של בחלוקה ב-4. אם השארית של שניהם בחלוקה ב-4 היא 3, קיים פתרון לאחת מהמשוואות אם ורק אם לא קיים פתרון לשנייה.
לעומת זאת, אם השארית בחלוקה ב-4 של לפחות אחד משני הראשוניים היא 1, הרי שקיים פתרון לאחת מהמשוואת אם ורק אם קיים פתרון לשנייה, ומכאן נובע שם החוק "חוק ההדדיות הריבועית" – כלומר חייבת להיות הדדיות בפתירות הקונגרואנציות הריבועיות (במקרה השני).
אם (עבור שניהם השארית בחלוקה ב-4 היא 1), קיימים פתרונות לשתי המשוואות:
לעומת זאת, אם (גם כאן, השארית בחלוקה ב-4 היא 1 עבור שניהם) לא קיים פתרון לאף אחת מהמשוואת (ניתן להיווכח בכך על ידי בדיקה ישירה).
כעת, אם אז השארית בחלוקה ב-4 של שני המספרים היא במקרה זה 3, וניתן לראות כי קיים פתרון למשוואה הראשונה:
אך בדיקה ישירה מעלה כי לא קיים פתרון למשוואה השנייה.
נשים לב כי לא ניתנת שיטה נוחה למציאת הפתרונות, אלא רק מוצבע על הקשר בין קיומם.
בנוסף למשפט המרכזי, ישנם שני משפטי עזר המתלווים אליו, ומאפשרים להשתמש בו בצורה כללית יותר.
המשפט הראשון אומר כי אם הוא ראשוני אי-זוגי, אז למשוואה
קיים פתרון אם ורק אם משאיר שארית 1 בחלוקה ב-4. לדוגמה, עבור קיים הפתרון:
אך עבור לא קיים פתרון.
ועל פיו יש למשוואה פתרון אם ורק אם משאיר שארית של 1 או 7 בחלוקה ב-8.
ניתן לנסח את המשפט בצורה קומפקטית יותר באמצעות סימן לז'נדר, המוגדר בצורה הבאה עבור ראשוני אי זוגי ו- שלם כלשהו:
בסימונים אלו, משפט ההדדיות הריבועית ומשפטי העזר יכולים להיות מנוסחים בצורה הבאה:
ההוכחה המתוארת כאן, היא ההוכחה השלישית של קרל פרידריך גאוס למשפט ההדדיות הריבועית.
למה 1: (הלמה של גאוס) יהי מספר ראשוני אי-זוגי, ויהי מספר זר ל-.
למה 2: (הלמה של אייזנשטיין) יהי מספר ראשוני אי-זוגי, ויהי מספר שלם אי-זוגי זר ל-.
מספר הזוגות – כאשר – שווה לפי עקרון כפל האפשרויות ל-.
נחלק את קבוצת הזוגות לשלוש קבוצות: האחת אשר הזוגות בה מקיימים , השנייה , השלישית .
אם אז נקבל , אך זרים ולכן נקבל כי מחלק את , בסתירה.
לכל , מספר המספרים הטבעיים המקיימים את התנאי בקבוצה הראשונה הוא בדיוק .
לכל , מספר המספרים הטבעיים המקיימים את התנאי בקבוצה השלישית הוא בדיוק .
סך כל הזוגות הסדורים שווה לסכום הזוגות המשתייכים לקבוצה הראשונה ולקבוצה השלישית, ונקבל:
אך לפי למה 2 מתקיים , ולכן
ובכך נשלמה הוכחת משפט ההדדיות הריבועית.
בהינתן מספר שלם אי-זוגי מגדירים את סימן יעקובי באמצעות סימן לז'נדר בצורה הבאה:
אם הוא פירוק לגורמים של , אזי סימן יעקובי מוגדר כך לכל שלם:
תחת הכללה זו ניתן לנסח את משפט ההדדיות הריבועית בצורה דומה עבור סימן יעקובי: אם שלמים אי-זוגיים חיוביים וזרים, אזי:
3 הוא שארית ריבועית מודולו אם ורק אם .
נניח כי רוצים לדעת האם קיים פתרון למשוואה:
נראה כיצד לעשות זאת תוך שימוש במשפט ההדדיות הריבועית ובשתי תכונות בסיסיות של סימן לז'נדר:
בעזרת המשפט ושתי תכונות אלה נקבל:
כאשר המעבר האחרון נובע מכך ש-17 מתחלק ב-8 עם שארית 1 ולכן .
ושוב נבצע אותו הדבר בדיוק:
המעבר האחרון נובע מכך כי לכל (למעשה, לכל ראשוני ולכל , על פי הגדרה).
קיימות הכללות של המשפט לסדרים גבוהים יותר - למשל, לחזקה שלישית ורביעית.
עם זאת, מכיוון שחלק משורשי היחידה של 1 מסדר שהוא גבוה מ-2 אינם ממשיים, משפטים אלו מתבססים על אריתמטיקה שמערבת את המספרים המרוכבים ואינה תלויה אך ורק במספרים רציונליים, ולכן שייכים יותר לתורת המספרים האלגברית.
בתורת המידה, משפט ההתכנסות הנשלטת של אנרי לבג הוא משפט על האינטגרל של הגבול של סדרת פונקציות מדידות, המתכנסת נקודתית.
לפי המשפט, אם כל הפונקציות בסדרה חסומות בערכן המוחלט (כלומר, "נשלטות") על ידי פונקציה אינטגרבילית, אז האינטגרל של הגבול שווה לגבול של האינטגרלים.
בפרט, האינטגרלים של פונקציות הסדרה קיימים וסופיים.
המשפט מנוסח עבור פונקציות שהן אינטגרביליות לבג, ובפרט תקף גם עבור פונקציות אינטגרביליות רימן.
משפט זה הוא מקרה פרטי של משפט ההתכנסות של ויטלי.
תהי סדרה של פונקציות ממשיות או מרוכבות מדידות, אשר מתכנסת כמעט בכל מקום לפונקציה גבולית .
אם קיימת פונקציה אינטגרבילית לבג שהאינטגרל שלה סופי כך ש- עבור כל כמעט בכל מקום, אזי כל הפונקציות בסדרה והגבול הנקודתי הן אינטגרביליות עם אינטגרל סופי, ומתקיים .
הוכחת המשפט מתבססת על הלמה של פאטו, אשר מטפלת בצורה כללית יותר במקרה הפרטי שבו כל הפונקציות בסדרה הן אי שליליות.
ניתן יהיה להשתמש בלמה בזכות העובדה ש- חוסמת את כל אברי הסדרה.
כיוון ש- אז היא פונקציה אי שלילית כמעט בכל מקום, ניתן להשתמש עליה בלמה של פאטו ולקבל:
כאשר מסמן את הגבול התחתון של הסדרה.
לאחר חיסור משני האגפים (דבר שעבורו נדרש שהאינטגרל יהיה סופי) מקבלים:
ניתן לעשות את אותו הדבר גם עם הפונקציה האי שלילית , ולקבל:
מכיוון שאגף שמאל תמיד לא קטן מאגף ימין, כל אי השוויונים הופכים לשוויונות, ולכן קיבלנו את התוצאה המבוקשת.
בטופולוגיה, משפט ההרחבה של טיצה הוא משפט בסיסי לגבי מרחבים נורמליים.
קיימים מספר ניסוחים שקולים למשפט הזה, והם מציינים באופן כללי שבמרחב נורמלי ניתן להרחיב פונקציה שרציפה על קבוצה סגורה לפונקציה רציפה על כל המרחב.
המשפט למעשה מספק תנאי הכרחי ומספיק לכך שמרחב טופולוגי יהיה נורמלי.
נשים לב שבאופן כללי רציפות על תת מרחב של מרחב טופולוגי כלשהו שונה מאוד מרציפות על המרחב כולו.
לדוגמה, פונקציית דיריכלה לא רציפה באף נקודה על הישר הממשי, אך אם נסתכל עליה כפונקציה מתת המרחב של המספרים הרציונליים היא תהיה פונקציה קבועה ובפרט רציפה, למרות שכפונקציה מכל המרחב היא לא הייתה רציפה אפילו במספרים הרציונליים.
משפט זה מהווה הכללה ללמה של אוריסון כיוון שהלמה של אוריסון מראה שניתן להרחיב פונקציה שקבועה בכל אחת משתי קבוצות סגורות זרות, ובפרט רציפה, לפונקציה רציפה על כל המרחב.
מרחב טופולוגי הוא מרחב נורמלי אם ורק אם לכל קבוצה סגורה אם רציפה, אז קיימת הרחבה רציפה שלה למרחב כולו כלומר, כזו עבורה לכל מתקיים .
בניסוח קטגורי, ניתן לנסח את המשפט כך: בקטגוריה של מרחבים טופולוגיים, הקטע הוא אובייקט אינג'קטיבי.
כדי להוכיח את המשפט, נוכיח קודם כל את הלמה:
למה: יהיו מרחב נורמלי, תת-קבוצה סגורה שלו ו- (עבור ) רציפה.
אז קיימת פונקציה רציפה המקיימת לכל .
לפי הרציפות של , הקבוצות סגורות ב-.
אבל סגורה ב-לכן סגורות ב-.
הן זרות זו לזו לכן לפי הלמה של אוריסון בשינויים המתבקשים, קיימת פונקציה רציפה כך ש-.
לכל , נפצל לשלושה מקרים:
1) אם אז וגם לכן
2) אם אז וגם לכן
3) אם אז וגם לכן
כעת נוכל להוכיח את המשפט.
כיוון אחד: נניח ש- מרחב טופולוגי כך שלכל סגורה ולכל פונקציה רציפה יש הרחבה רציפה למרחב.
יהיו קבוצות סגורות זרות ב-.
נגדיר כך ש- לכל ו- לכל .
מכך ש- סגורות וזרות נובע ש- רציפה כפונקציה מתת-המרחב .
לפי ההנחה, ניתן להרחיב את לפונקציה רציפה מ- ל-.
אז קיימת פונקציה רציפה כך ש- לכל ו- לכל .
אז קבוצות פתוחות (לפי רציפות ) וזרות המקיימות .
כיוון שני: נוכיח גרסה שקולה של המשפט שבה הטווח של הוא .
יהיו מרחב נורמלי, תת-קבוצה סגורה שלו ו- רציפה.
עתה נשתמש בלמה שהוכחנו לעיל כדי לבנות באינדוקציה סדרת פונקציות רציפות כך שייתקיים לכל :
כעת נניח ש- פונקציות המקיימות לכל .
נשתמש בלמה שהוכחנו עבור הפונקציה ונקבל פונקציה כך ש- לכל .
לכל ולכל שלם מתקיים ולכן טור הפונקציות מתכנס לפונקציה רציפה ב-.
נסמן את הפונקציה הזו ב-.
לפי האי-שוויון , הפונקציה היא הרחבה של , וההוכחה הושלמה.
במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה ובגאומטריה אלגברית, משפט האפסים של הילברט הוא משפט המקשר בין יריעות אלגבריות לבין אידיאלים בשדות סגורים אלגברית.
הוא הוכח לראשונה על ידי דויד הילברט.
נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית (למשל, שדה המספרים המרוכבים), ונניח כי I הוא אידיאל בחוג הפולינומים ב-n משתנים מעל K – .
היריעה האפינית (V(I מוגדרת להיות אוסף כל הנקודות כך שלכל f ב-I מתקיים .
משפט האפסים של הילברט קובע כי אם p הוא פולינום כלשהו המקיים שלכל מתקיים (כלומר p מתאפס על היריעה V(I)), אז קיים מספר טבעי r כך ש .
מסקנה מיידית ממשפט זה היא משפט האפסים החלש הקובע כי אם I הוא אידיאל ממש (כלומר אינו שווה לחוג כולו), אז הקבוצה אינה ריקה, כלומר קיימת נקודה x שהיא אפס משותף לכל הפולינומים בI.
מסקנה זו היא במובן מסוים הכללה של המשפט היסודי של האלגברה: שכן במקרה של פולינום אחד, הדרישה שהוא אינו יוצר (כאידיאל) את החוג כולו בדיוק שקולה לכך שהוא אינו קבוע, ובמקרה כזה, לפי המשפט היסודי של האלגברה יש לפולינום שורש.
בסימונים המקובלים בגאומטריה האלגברית, נהוג לכתוב את משפט האפסים של הילברט כך:
הסימון הוא הרדיקל של J המוגדר להיות אוסף האיברים בחוג שחזקה חיובית כלשהי שלהם שייכת ל-J, ו-(I(Z הוא אידיאל כל הפולינומים שמתאפסים על הקבוצה .
הניסוח הנפוץ למשפט האפסים של הילברט הוא זה המופיע בהקדמה.
יחד עם זאת, יש למשפט גרסאות נוספות אשר שימושיות בהקשרים שונים.
ניתן לחלק את הגרסאות השונות לגרסאות "שקולות" ולגרסאות "חלשות".
את הסוג הראשון ניתן להסיק יחסית בקלות מהנוסח המקורי של המשפט, וניתן גם להסיק את המשפט המקורי מהניסוח - ולכן מכונות שקולות.
את הגרסאות החלשות, לעומת זאת, ניתן להסיק מהנוסח המקורי, אך יחסית קשה יותר להסיק את המשפט מהן.
אחת מהדרכים להסיק את הגרסה המקורית של המשפט מתוך הגרסאות החלשות היא הטריק של רבינוביץ', אשר מנוסח בהמשך.
גרסה שקולה למשפט האפסים של הילברט היא כלהלן.
נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית ויהיו פולינומים כך שמערכת המשוואות פתירה מעל K.
יהיה g פולינום כך שלמערכת הבאה אין פתרון ב-K: אזי, קיימים פולינומים ומספר טבעי r, כך ש-.
זאת אומרת, קיים עד לכך שהמערכת הנתונה אינה פתירה.
ניתן להראות כי גרסה זו שקולה לניסוח המקורי של המשפט בצורה הבאה: נשים לב שהתנאי על הפולינום g שקול לכך שלכל מתקיים .
בנוסף, קיים מספר טבעי r כך ש אם ורק אם קיימים פולינומים , כך ש-.
לכן, גרסה זו שקולה למשפט האפסים עבור אידיאלים מהצורה .
ממשפט הבסיס של הילברט, לכל אידיאל קיימים פולינומים כך ש- ולכן הגרסאות שקולות.
הגרסאות הבאות מכונות "חלשות" כיוון שניתן להסיק אותן בקלות מהנוסח המקורי של המשפט, אך לא להפך.
אף על פי כן, גרסאות אלו מספיקות לשימושים רבים.
גרסה חלשה למשפט האפסים של הילברט, המוכרת גם כמשפט האפסים החלש היא כלהלן:
משפט- יהיה K שדה סגור אלגברית, ויהי כך ש-.