tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לעיתים קרובות נשרף חלק מהגז הטבעי כדי לספק את החום הגבוה הדרוש לתהליך.
הרפורמציה בקיטור היא טכנולוגיה ותיקה ומבוססת, עם תשתית תעשייתית מפותחת וניסיון מצטבר רב.
עלות הייצור באמצעות SMR נמוכה יחסית בהשוואה לשיטות אחרות – בין השאר בזכות המחיר הנמוך של גז טבעי והיקפי הייצור הגדולים.
למשל, בארצות הברית עלות ייצור קילוגרם מימן ב־SMR (ללא לכידת פחמן) הוערכה סביב 1.0$–1.5$ בלבד.
החיסרון המרכזי של SMR הוא הסתמכותו על דלק מאובנים (גז טבעי) ופליטת כמויות גדולות של פחמן דו-חמצני בתהליך.
לפי אומדנים, הפקת קילוגרם מימן באמצעות SMR גוררת פליטה ישירה של בערך 9 קילוגרם פחמן דו־חמצני שקול (ללא אמצעי לכידה) – נתון ההופך את "המימן האפור" למקור פליטות משמעותי (כ־900 מיליון טון פחמן דו-חמצני בשנה בעולם).
בנוסף, יעילות הניצול האנרגטי אינה גבוהה: חלק ממתקן ה־SMR נדרש לשריפת גז ליצירת החום, דבר שמבזבז נתח מתכולת האנרגיה של חומר הגלם.
לבסוף, שוק הגז הטבעי התנודתי משפיע על עלויות הייצור.
קיימות וריאציות המשפרות היבטים מסוימים, כגון רפורמציה אוטותרמית (ATR) או חמצון חלקי (POX) של מתאן, וכן שילוב לכידת פחמן לייצור "מימן כחול" המפחית את הפליטות, אולם אלו מוסיפים למורכבות ולעלות.
אלקטרוליזה של מים היא שיטה מבוססת לפירוק כימי של מים למרכיביהם – מימן וחמצן – באמצעות זרם חשמלי.
בתהליך זה מזרימים זרם דרך תמיסה מימית או ממברנה ייעודית (בתא אלקטרוליטי), וכתוצאה מהתגובה החשמלית-כימית מתפתחים גזי מימן (בקתודה) וחמצן (באנודה):
תהליך האלקטרוליזה היה אחד היישומים הראשונים להפקת מימן כבר במאה ה־19, אך הוא דורש השקעת אנרגיה חשמלית משמעותית.
אם מקור החשמל הוא רשת החשמל הרגילה (המבוססת בחלקה על דלק מאובנים), אזי גם למימן המופק נלווית טביעת רגל פחמנית.
לעומת זאת, כאשר האלקטרוליזה מונעת בחשמל ממקורות מתחדשים (שמש, רוח, מים וכו'), המימן המתקבל מכונה "מימן ירוק" והוא נקי מפליטות בפועל.
ישנם סוגי טכנולוגיות אלקטרוליזה שונים, ביניהם תא אלקלי (ALK) ותא עם ממברנת חילוף פרוטונים (PEM), ונמצאים בפיתוח גם אלקטרולייזרים בטמפרטורה גבוהה (SOEC) היכולים לשפר את יעילות התהליך.
אלקטרוליזה מאפשרת ייצור מימן נקי לחלוטין מפליטות כאשר היא מנוצלת עם אנרגיה מתחדשת.
השיטה גמישה מאוד – ניתן להפעיל ולכבות מערכי אלקטרוליזה במהירות, דבר המאפשר לקלוט חשמל ממקורות מתחדשים משתנים בהתאם לזמינות (למשל, ניצול חשמל סולארי עודף בצהריים להפקת מימן).
גמישות זו תומכת באיזון רשת החשמל ובאגירת אנרגיה עודפת בצורה כימית של מימן.
בנוסף, אלקטרוליזה אינה תלויה בדלק מאובן ומתאימה למדינות המעוניינות להסתמך על מקורות אנרגיה מתחדשים מקומיים ייצור דלק עתיר אנרגיה.
החיסרון העיקרי הוא העלות הגבוהה של ייצור מימן באלקטרוליזה כיום.
עלות החשמל, לצד מחיר האלקטרולייזרים וטכנולוגיות ההספק הנלוות, הופכים את ה"מימן הירוק" ליקר פי 2–7 בהשוואה לייצור מימן מגז טבעי ללא לכידת פחמן.
התהליך גם אינו יעיל ב־100% מבחינה אנרגטית – יש הפסדי אנרגיה בהמרת אנרגיה חשמלית לאנרגיה כימית (יעילות אלקטרוליזר טיפוסי היא 60%–80%).
כאשר משווים שרשרת הסבת אנרגיה חשמלית למימן ובחזרה לחשמל (למשל טעינת חשמל → אלקטרוליזה למימן → צריבה או תא דלק לחשמל), הנצילות הכוללת יכולה לרדת לכ־30%–40% בלבד.
מעבר לכך, התלות בזמינות מקורות מתחדשים מהווה אתגר: ייצור המימן תלוי בתנאי מזג האוויר (רוח, שמש), אלא אם כן קיימת רשת חשמל יציבה או אגירה מספקת.
לבסוף, קיים צורך בהשקעה ראשונית גבוהה בתשתיות אלקטרוליזה והולכת חשמל עבור ייצור מסחרי רחב-היקף.
גז מימן הוא אחד התוצרים בתהליך כלור-אלקלי בו מופק גם נתרן הידרוקסידי וגז כלור באלקטרוליזה.
פוטוליזה של מים היא שיטה להפקת מימן באמצעות האנרגיה של קרינה אלקטרומגנטית (הפוטונים באור) לפירוק ישיר של מולקולות מים.
באופן תאורטי, כאשר מולקולת מים בולעת פוטון באנרגיה מספקת (מעל 285 קילוג'ול למול, המתאים לאור בתחום על־סגול עמוק, סביב 190 ננומטר) היא יכולה להתפרק למימן וחמצן.
עם זאת, פירוק פוטוכימי טהור של מים דורש אנרגיות גבוהות או זרזים ייחודיים, שכן רוב הפוטונים באור השמש אינם באנרגיה כה גבוהה.
בהקשר מעשי יותר, פוטוקטליזה היא הטכנולוגיה הנחקרת לפירוק מים באמצעות אור שמש: שימוש במוליכים למחצה (כמו תחמוצת טיטניום – TiO2, תחמוצות אבץ או קדמיום וכדומה) הקולטים אור ויוצרים זוגות אלקטרון-חור המעודדים תגובות הפירוק של מים.
במערכות אלו, האור (לרוב על-סגול או אור נראה בעל אנרגיה גבוהה) מאפשר הפקת מימן וחמצן על פני שטח הזרז.
אחת התגליות הראשונות בתחום הייתה אפקט הונדה-פוג'ישימה (1972) שהדגים פוטוקטליזה עם TiO2 וקרינת UV לפיצול מים.
מאז פותחו חומרים רבים הרגישים יותר לאור הנראה, ונעשים מאמצים להעלות את נצילות הפוטוקטליזה.
שיטה קרובה היא תאים פוטו-אלקטרוכימיים (PEC) שבהם אלקטרודה סולארית מבצעת את פירוק המים תחת הארה, שילוב של תא שמש ותא אלקטרוליטי.
לפוטוליזה ופוטוקטליזה יש פוטנציאל לייצר מימן באופן נקי וישיר מאור השמש ללא שלבי ביניים של ייצור חשמל.
מקור האנרגיה – אור שמש – שופע, מתחדש וחינמי.
אם יפותחו חומרים ותגובות יעילים, ניתן יהיה לייצר מימן באופן מבוזר ופשוט יחסית רק באמצעות קולטי שמש כימיים, ללא צורך בתשתיות חשמליות נרחבות.
השיטה תאורטית יכולה להשיג ייצור מימן עם טביעת רגל אקולוגית מזערית, שכן לא נעשה שימוש בדלקים ואפילו לא בחשמל מרשת החשמל.
הטכנולוגיה נמצאת בשלבי מחקר ופיתוח מוקדמים, וניצולות ההמרה של אנרגיית שמש למימן עדיין נמוכות מאוד (סדר גודל של אחוזים בודדים ואף פחות מכך).
אחד האתגרים הוא שהפוטונים האפקטיביים הם בתחום העל-סגול, המהווה אחוז קטן מקרינת השמש המגיעה לפני כדור הארץ, ולכן נדרשים חומרים מיוחדים להגביר ספיגה בתחומי האור הנראה.
כמו כן, מערכות פוטוליטיות מתמודדות עם בעיות יציבות – רבים מהזרזים נוטים להתפרק או לאבד יעילות לאורך זמן עקב חשיפה לקרינה ותגובות כימיות.
ישנה תלות מלאה בזמינות שמש, ולכן הייצור הוא לסירוגין (לא רציף בלילה או בימים מעוננים).
עקב חסרונות אלו, הפוטוליזה טרם הגיעה ליישום מסחרי, והצפי הוא ששיטות פוטוכימיות ישירות יבשילו לשימוש תעשייתי רק בעשורים הקרובים עם פריצות דרך מדעיות.
קיימים אורגניזמים ונתיבים ביוכימיים היכולים לייצר מימן כמרכיב מטבולי.
ביו־פוטוליזה – הפקת מימן באמצעות פוטוסינתזה מימית של אצות או ציאנובקטריה.
תסיסה חשוכה – הפקת מימן מפירוק אנאירובי של חומר אורגני על ידי חיידקים.
בביו־פוטוליזה, רעיון המחקר הוא לנצל את מנגנוני הפוטוסינתזה הטבעיים של מיקרואורגניזמים לפיצול מים ולייצור מימן במקום פחמימות.
למשל, ידוע כי אצות ירוקות מסוימות (כגון Chlamydomonas reinhardtii) מסוגלות, בתנאי עקה, לנתב את האלקטרונים שנוצרים בפוטוסינתזה לייצור מימן באמצעות האנזים הידרוגנאז.
קיימים ניסויים בהם מגדלים אצות במערכות שקופות ומפיקים מהן מימן וחמצן כאחד.
בביו־פוטוליזה בלתי־ישירה, ניתן תחילה לגדל ביומסה צמחית באמצעות פוטוסינתזה רגילה, ואז בתהליך שני לפרק את התוצר האורגני להפקת מימן (שילוב של ביומסה ותסיסה).
בתסיסה חשוכה, חיידקים מפרקים חומר אורגני (כגון פסולת אורגנית, ביומסה, שפכים) בתנאים אנאירוביים ומשחררים מימן.
לדוגמה, מינים של חיידקי Clostridium יכולים בתהליך פירוק סוכרים להפיק מימן יחד עם תוצרי לוואי כמו פחמן דו־חמצני וחומצות אורגניות.
תהליך זה דומה לעיכול אנאירובי המוכר בביוגז, אך מותאם להגברת פליטת המימן על חשבון מתאן.
שיטה זו מכונה גם ביו-מימן.
בעשור האחרון פותחו אף תאי אלקטרוליזה מיקרוביאליים (MEC) בהם חיידקים מיוחדים על אנודת תא אלקטרוכימי מפרקים מצע אורגני, ומשחררים אלקטרונים ופרוטונים שמנוצלים לייצור מימן בקתודה במתח חשמלי נמוך מאוד.
טכנולוגיית MEC הוגדרה על ידי משרד האנרגיה האמריקאי ככיוון פיתוח מבטיח לייצור מימן ירוק בעלות תחרותית בעתיד.
הפקה ביולוגית עשויה לאפשר ניצול פסולת אורגנית או מקורות מתחדשים (ביומסה) לייצור מימן, ובכך לטפל בשני יעדים בו־זמנית: סילוק פסולת והפקת דלק נקי.
תהליכים אלו פועלים בטמפרטורות ולחצים נמוכים בהרבה מתהליכים תרמוכימיים, ולעיתים קרובות אינם דורשים תשומות אנרגיה חיצוניות גדולות (מלבד שמירה על תנאי הגידול).
חומרי הגלם – פסולת, שפכים, בוצה – זמינים וזולים.
בנוסף, התהליכים הביולוגיים יכולים להיות נייטרליים פחמן במידה ומקור הפחמן הדו־חמצני שנפלט הוא בחומר צמחי שספג אותו מהאטמוספירה.
הבעייתיות העיקרית היא שקצבי ייצור המימן ונצילות האנרגיה בתהליכים ביולוגיים נמוכים יחסית.
כמויות המימן המופקות לליטר תמיסה בתסיסה או לביומסה של אצות הן קטנות, ולכן נדרשים נפחי מכלים גדולים מאוד כדי להגיע לתפוקה תעשייתית.
הדבר מקשה על הכלכליות והסקלת התהליך.
בנוסף, רגישות המערכות הביולוגיות גבוהה – שינוי קטן בתנאי החומציות, הטמפרטורה או זיהום יכול לשבש את פעילות החיידקים או האצות.
הפקת מימן על ידי אצות מוגבלת גם היא לתנאי תאורה אופטימליים ודורשת שטחי גידול נרחבים.
מעבר לכך, בתהליכי תסיסה נוצרים לעיתים תוצרי לוואי לא רצויים שצריך להפריד (כמו פחמן דו־חמצני, חומצות אורגניות או מתאן בכמויות קטנות).
למרות שיש ניסיונות פיילוט, "חוות מימן" ביולוגיות טרם קיימות בקנה מידה משמעותי, והתחזיות הן ששיטה זו תהפוך רלוונטית מסחרית בעשורים הקרובים ככל שהטכנולוגיה תשתפר.
שיטות נוספות (גזיפיקציה, פירוליזה ותהליכים תרמוכימיים)
בנוסף לשיטות העיקריות לעיל, קיימות שיטות נוספות להפקת מימן, ביניהן:
גזיפיקציית פחם – חימום פחם בטמפרטורה גבוהה עם חמצן או קיטור ליצירת "גז סינתזה" (תערובת של מימן, H2, פחמן חד־חמצני, CO, ועוד), ולאחר מכן הפקת מימן מהגז באמצעות תגובת Shift והפרדה.
זוהי שיטה ותיקה ששימשה במאה העשרים לייצור "גז עירוני".
גם כיום במדינות עם עתודות פחם גדולות (כגון סין) מופק חלק ניכר מהמימן בשיטה זו.
ב־2020 כ־22% מייצור המימן העולמי הגיע מפחם.
לשיטה זו טביעת רגל פחמנית גבוהה עוד יותר מ־SMR עקב השימוש בפחם, אלא אם משלבים בה לכידת פחמן.
גזיפיקציה של ביומסה – תהליך דומה לגזיפיקציית פחם, אך מבוצע על ביומסה (פסולת עץ, גזם, חקלאות וכדומה) או פסולת מוצקה אחרת.
מתקבל גז סינתזה עשיר במימן שממנו ניתן להפריד מימן.
היתרון הוא שימוש במקור מתחדש ונייטרלי-פחמן; החיסרון הוא שתכולת המימן לגולגולת ביומסה נמוכה יחסית, ותכולת הלחות וההטרוגניות של חומרי הפסולת מקשים על תהליך יציב.
פירוליזה של מתאן – פירוק תרמי של מתאן (המרכיב העיקרי בגז טבעי) בהיעדר חמצן, כך שהתוצרים הם מימן ופחמן מוצק (ללא פחמן דו־חמצני, CO2).
התהליך מכונה לעיתים "מימן טורקיז" בשל מיקומו כגישת ביניים בין מימן אפור לכחול/ירוק.
בטמפרטורה גבוהה מאוד (בסביבות 1000 מעלות צלזיוס) מתפרק מתאן ישירות ליסודותיו: CH4 -> 2H2 + C.
התוצר הוא מימן גזי ופחמן מוצק (למשל בצורת אבקה או סיבי פחמן).
היתרון הבולט הוא היעדר פליטת פחמן דו־חמצני בתהליך עצמו, שכן כל הפחמן שבמתאן מופרש כחומר מוצק שניתן לאסוף.
כך ניתן תאורטית לקבל מימן נקי מפליטות תוך ניצול תשתיות הגז הטבעי הקיימות.
בנוסף, הפחמן המוצק יכול לשמש כחומר גלם (פחמן שחור לתעשייה, אלקטרודות וכו') או להיטמן.
תהליכים תרמוכימיים מחזוריים – משפחת תהליכים בהם משתמשים במעגל כימי המונע על ידי חום גבוה כדי לפרק מים לשני מרכיביהם: חמצן ומימן.
במקום אלקטרוליזה חשמלית, כאן החום (למשל מחום שמש מרוכז או מכור גרעיני בטמפרטורה גבוהה) מניע סדרת תגובות כימיות הממחזרות מגיבים.
דוגמה היא מחזור גופרית-יוד (מחזור SI), בו מים מגיבים עם יוד וגופרית בטמפרטורות שונות לקבלת מימן בחלק אחד של המחזור וחמצן בחלק אחר, תוך מחזור היוד והגופרית חזרה.
תהליכי תרמוכימיה נמצאים בשלבי מחקר, ומטרתם להשתלב עם כורי דור חדש או מתקני שמש תרמיים כדי לייצר מימן ביעילות גבוהה וללא פליטות.
האתגר הוא דרישת טמפרטורות קיצוניות (לעיתים מעל 800°C) וחומרים עמידים, וכן מורכבות הנדסית גבוהה של מערכת רב־שלבית.
על אף הפוטנציאל העצום של מימן כמקור אנרגיה נקי וכחומר גלם, ניצבים מספר אתגרים בדרך למעבר נרחב לכלכלת מימן.
הפקת מימן ירוק יקרה כיום משמעותית מדלקים מאובנים.
ייצור מימן מאנרגיה מתחדשת עשוי לעלות פי כמה מייצורו מגז טבעי, והפער הכלכלי הזה מעכב את אימוץ המימן הנקי.
מימן הוא גז קל במיוחד – צפיפות האנרגיה לנפח שלו נמוכה פי כמה ממקורות דלק אחרים.
בגז בלחץ אטמוספירי, תכולת האנרגיה של מימן היא כ־10 מגהג'ול בלבד למטר מעוקב, לעומת כ־36 מ"ג למ"ק של מתאן ותכולות אנרגיה גבוהות אף יותר בדלקים נוזליים.
לכן, כדי לאחסן מימן באופן יעיל יש לדחוס אותו ללחצים גבוהים (לעיתים 700 בר בכלי רכב) או לקרר לנקודת הרתיחה שלו (ולהגיע למימן נוזלי ב־℃253).
שתי השיטות יקרות ודורשות אנרגיה: דחיסה דורשת חשמל, והנזלה מאבדת כ־30% מתכולת האנרגיה בקירור.
בנוסף, מימן הוא גז מאכל שיכול לחדור ולהחליש פלדות (תופעת התפצלות מימן), דבר שמחייב שימוש בחומרים מיוחדים במכלים וצינורות.
פתרונות כמו אחסון מימן בחומרים כימיים (אמוניה, מתנול, LOHC) או במוצקים (הידרידים) נמצאים בפיתוח, אך טרם הבשילו באופן מלא לשימוש רחב.
מעבר לכלכלת מימן דורש הקמה של רשת תשתיות חדשה או הסבה של קיימות.
יש צורך במתקני ייצור מבוזרים או מרוכזים של מימן ירוק, בצינורות או באמצעי שינוע (מכליות גז, מכולות למימן נוזלי או אמוניה), ובתחנות תדלוק למימן לכלי רכב.
מרבית צנרת הגז הטבעי הנוכחית יכולה לשאת מימן רק בשיעור תערובת מוגבל, אחרת נדרשת החלפה להתאמה ללחצים גבוהים ולקורוזיביות.
פריסת תחנות תדלוק מימן גם היא בחיתוליה ברוב המדינות.
מעבר לכך, היבטי בטיחות מציבים אתגר: מימן דליק ונפיץ בטווח ריכוזים נרחב באוויר, ודליפות קשות לזיהוי (הוא גז שקוף, חסר ריח וצבע, והוא בוער בלהבה כמעט בלתי־נראית).
לפיכך, דרושים תקני בטיחות מחמירים, חיישני זיהוי ותכנון זהיר למניעת תאונות במערכות מימן.
על אף שמימן כאנרגיה נקי מפליטות פחמן בשימוש, ייתכנו השפעות אקולוגיות עקיפות.
למשל, ייצור מסיבי של מימן ירוק יצריך כמויות גדולות של מתכות נדירות עבור אלקטרולייזרים (פלטינה, אירידיום) ותאי דלק, דבר המעורר חשש לזמינות חומרים ולנזק סביבתי בכרייה.
כמו כן, דליפות מימן לאטמוספירה עלולות להשפיע על כימיית האטמוספירה (מימן עשוי להגיב בגובה ולהאריך את משך החיים של מתאן וגזי חממה אחרים באטמוספירה).
תחומים אלו נחקרים כדי לוודא שהשפעתם אינה משמעותית, אך מצריכים תשומת לב ברגולציה עתידית.
בשל תכונותיו הכימיות, מימן משמש כחומר גלם וכחומר מסייע במגוון תהליכים תעשייתיים.
השימוש התעשייתי הבולט ביותר הוא בייצור אמוניה (NH3) בתהליך הבר-בוש, בו מימן מגיב עם חנקן בלחץ גבוה ליצירת אמוניה – תרכובת המשמשת בעיקר לדשנים חנקתיים ובעלת חשיבות רבה בעולם המודרני.
ייצור האמוניה צורך למעלה מ־30 מיליון טון מימן בשנה, ומהווה פלח משמעותי מהביקוש העולמי למימן.
שימוש מרכזי נוסף הוא בזיקוק נפט: בבתי זיקוק משתמשים במימן לתהליכים כמו הידרו-קרקינג (פיצוח מולקולות כבדות לדלקים קלים יותר) והידרו-דסולפוריזציה (סילוק גופרית מדלקים על ידי מימן).
כ־38 מיליון טון מימן בשנה משמשים בממוצע בתעשיית הזיקוק.
בנוסף, מימן נדרש בייצור מתנול (CH3OH) על ידי תגובת מימן עם פחמן חד־חמצני CO או דו־חמצני CO2; חלק מתעשיית המתנול בעולם מסתמכת על מימן ממקורות חיצוניים (כתריסר מיליון טון מימן בתערובת גז סינתזה נצרכו לכך ב־2018).
בתעשיית הפלדה המודרנית מתחילה חדירה של מימן כתחליף לפחמן בתהליך חיזור ישיר של ברזל (DRI), שבו משתמשים במימן כחומר מחזר להפקת ברזל מתכתי מעפרות ברזל, במקום פחם/קוק.
תהליכים אלה, המצויים בחוד החנית, יכולים להפחית דרסטית את פליטות הפחמן הדו־חמצני בענף הפלדה, ופרויקטי פיילוט באירופה (כגון HYBRIT בשוודיה) מדגימים פלדה "ירוקה" המבוססת על מימן כמחזר.
עוד תחום הוא תעשיית המזון – מימן משמש בהידרוגנציה של שמנים צמחיים (הפיכתם למוצקים כמו מרגרינה), ובתעשייה הפארמצבטית לחיבור קבוצות כימיות (ריאקציות הידרוגנציה שונות).
גם בתעשיית האלקטרוניקה ובייצור זכוכית מימן משמש ליצירת אטמוספירה מחזרת בתנורים למניעת התחמצנות.
השימוש במימן כדלק אנרגטי צובר עניין בעיקר בהקשר של הפחתת פליטות וגיוון מקורות האנרגיה.
אחד היישומים המרכזיים הוא בתאי דלק – רכיבים אלקטרוכימיים המייצרים חשמל ישירות ממימן וחמצן.
בתא דלק, מימן מוזן לאנודה, עובר יינון (פליטת אלקטרונים) ויוצר זרם חשמלי חיצוני, ומתאחד עם חמצן בקתודה ליצירת מים.
תאי דלק מאפשרים הנעת כלי רכב בחשמל שמקורו במימן: אוטובוסים, מכוניות (כגון Toyota Mirai), ומשאיות המונעות בתאי דלק כבר פועלים בערים שונות בעולם.
היתרון בדלק מימן הוא טווח נסיעה גדול ותדלוק מהיר, בדומה לרכב בנזין, אך ללא פליטות מזהמים מצינור הפליטה (רק מים).
נכון לשנת 2021, חלה ירידה נמשכת במחירי תאי הדלק ועלייה במכירות הרכבים המונעים במימן, אם כי מספרם עדיין קטן ביחס לרכבי בנזין או לרכבים חשמליים.
תחומים נוספים בו מימן עשוי לשחק תפקיד חשוב בעתיד הוא ייצור חשמל.
מימן יכול לשמש כדלק לשריפה בתחנות כוח או במנועי בעירה פנימית, בדומה לגז טבעי.
שריפת מימן מייצרת אנרגיה תרמית שמומרת לחשמל (למשל בטורבינות גז מוסבות למימן) עם פליטת אדי מים.
אתגר בשריפה ישירה של מימן הוא היווצרות תחמוצות חנקן (NOx) בשל טמפרטורות הלהבה הגבוהות, אך באמצעות ניהול בעירה נכון ניתן לצמצם זאת.
מספר פרויקטים ניסיוניים משלבים מימן בתחנות כוח – כגון טורבינות גז השורפות תערובת של מימן וגז טבעי בערב הסעודית וביפן.
מעבר לכך, מימן עשוי להועיל גם באגירת אנרגיה.
מימן נחשב אמצעי מבטיח לאגור חשמל ממקורות מתחדשים בצורה כימית.
כאשר יש עודפי חשמל (למשל בשעות שמש שיא או רוחות חזקות), ניתן באמצעות אלקטרוליזה להמיר את החשמל העודף למימן ("power-to-gas").
את המימן אפשר לדחוס ולאחסן במכלים או במאגרים תת־קרקעיים (למשל מאגרים ששימשו לגז טבעי), ולאחר מכן להשתמש בו להפקת חשמל בעת הצורך (בתאי דלק או בתחנות כוח).
בצורה כזו המימן משמש כסוללת ענק עונתית לשמירת אנרגיה.
בגרמניה, לדוגמה, מתבצעים ניסויים בהזרמת מימן למערכת חלוקת הגז הטבעי באחוזים נמוכים (blending) כדי לאגור אנרגיה ברשת הגז.
בנוסף, מומרים כמויות מימן לייצור אמוניה או דלקים סינתטיים (כגון דלק מטוסים סינתטי) המקלים על אחסון לטווח ארוך.
אמוניה (NH3) במיוחד נחשבת נשא מימן מבטיח, שכן ניתן לנצל תשתיות קיימות שלה (מכליות, צינורות) ולהפוך אותה בחזרה למימן בצריכה הסופית; למרות שאמוניה כשלעצמה יכולה גם לשמש כתחליף דלק (למשל לשריפה בתחנות כוח או במנועי ספינות).
תחום המימן רואה פעילות מחקרית ענפה מתוך כוונה לשפר טכנולוגיות קיימות ולפתח חדשות.
אחד הכיוונים הוא שיפור אלקטרולייזרים – פיתוח אלקטרולייזרים יעילים וזולים יותר, למשל שימוש בממברנות חליפיות למתכות יקרות (להפחתת תלות בפלטינה, אירידיום וכדומה) או אלקטרולייזרים בטמפרטורה גבוהה המשתלבים עם חום תעשייתי.
מטרה רווחת היא להגיע לעלות ייצור מימן ירוק מתחת ל־2$ לק"ג ואף 1$ לק"ג (יעד "Hydrogen Shot" של משרד האנרגיה האמריקאי) כדי להתחרות בדלק מאובנים.
בתחבורה, מעבר לכלי רכב כבדים, יש מאמץ להכניס מימן גם לתחומים כמו תעופה וימייה.
מספר חברות (כולל איירבוס) חוקרות עיצוב מטוסי נוסעים המבוססים על מימן נוזלי כדלק, עם צפי למטוסי הדגמה בעשור הקרוב.
בתחום הימי, אמוניה ומימן נבחנים כדלק לספינות מטענים כדי להפחית פליטות, ופרויקטים לבניית מנועי אמוניה נמצאים בפיתוח.
בתעשייה, כאמור, מפותחים תהליכי פלדה ירוקה באמצעות מימן במקום פחם, ומפעלים חלוציים כבר מייצרים פלדה בקנה מידה קטן עם פליטות מופחתות.
גם ייצור מלט וכימיקלים אחרים בתהליכים מונעי מימן נחקרים.
אחד האתגרים המדעיים הוא מציאת חומרים לאחסון מימן במצב מוצק או בתרכובת כימית קלה לפירוק (כלומר, שלא תדרוש הרבה אנרגיה לפרק, ושכן תיתן הרבה אנרגיה כאשר זה קורה).
חומרי ספיחה כמו MOF (מסגרות אורגניות-מתכתיות) או תרכובות מתכת-הידריד (כגון , NaBH4) נחקרים כ"אבקות" שיספחו מימן בבטחה וישחררו אותו לפי דרישה.
כך ניתן יהיה לאחסן מימן בצפיפות גבוהה יותר ובלחץ נמוך.
כיוון נוסף הוא נוזלי נשאי מימן אורגניים (LOHC) – תרכובות נוזליות שיכולות לקלוט מימן כימית ולשחררו בעת הצריכה.
גם בפוטוקטליזה ובביולוגיה המחקר נמשך: חוקרים מחפשים זרזים פוטוכימיים הרגישים לאור נראה כדי להגדיל את נצילות פיצול המים, ומהנדסים גנטית מיקרואורגניזמים עמידים ויעילים יותר לייצור ביו-מימן.
תחום ה־MEC (תאי אלקטרוליזה מיקרוביאליים) מתפתח במטרה להשתמש בשפכים וביוב כמקור לייצור מימן תוך צריכת אנרגיה מזערית.
מדיניות עולמית וקידום טכנולוגיות מימן
בעקבות הפוטנציאל של מימן להפחתת פליטות ולהחלפת דלק מאובנים, מדינות רבות וגופים בינלאומיים רבים מגבירים את המאמצים לקידום טכנולוגיות מימן.
כראיה, אף על פי שבשנת 2019 היו רק שלוש מדינות (צרפת, יפן וקוריאה הדרומית) עם אסטרטגיה לאומית בנוגע למימן, הרי שבשנת 2021 כבר הכריזו 17 ממשלות על אסטרטגיות מימן רשמיות, ועוד כעשרים מדינות נוספות הצהירו שהן מפתחות תוכניות בתחום.
מדינות אלו כוללות את גרמניה, שסימנה את המימן הירוק כנדבך במעבר לאנרגיה מתחדשת, את יפן, המשקיעה בפריסת תאי דלק וייבוא אמוניה, ואת אוסטרליה, הרואה עצמה יצואנית מימן עתידית (באמצעות אמוניה נוזלית) בשל פוטנציאל אנרגיית השמש והרוח שלה.
באיחוד האירופי פורסמה "אסטרטגיית מימן" בשנת 2020, הקוראת להקמת אלקטרולייזרים בהיקף 40 גיגוואט עד 2030 וייצור מיליוני טונות של מימן ירוק, לצד הקמת "ברית המימן הנקי" להשקעות משותפות.
סין הכריזה ב־2022 על תוכנית לפתח תעשיית מימן ולהעמיד תחנות תדלוק רבות עד אמצע העשור.
גם במדינות המפרץ ובצפון אמריקה נרשמת התעוררות: בארצות הברית הוכרז פרויקט Hydrogen Earthshot שמטרתו להוריד את עלות המימן הנקי לדולר אחד לקילוגרם תוך עשור.
ארגונים בינלאומיים כמו סוכנות האנרגיה הבינלאומית (IEA) וסוכנות האנרגיות המתחדשות (IRENA) מדגישים בדוחותיהם את הצורך בהאצת אימוץ המימן.
IEA ציינה בדוח "מבט המימן העולמי 2021" שהייצור הנוכחי של מימן דל־פחמן הוא מזערי, ושיידרשו צעדי מדיניות אגרסיביים כדי לסגור את פער העלויות מול מימן ממקורות מזהמים.
הסוכנות צופה ירידת עלויות עם שיפורי טכנולוגיה והגדלת קנה המידה, ומדגישה שהגעה ליעדי אקלים (נטו-אפס פליטות ב־2050) כרוכה בעלייה דרמטית בייצור מימן נקי – כ־80 מיליון טון עד 2030 במסלול הנטו-אפס, לעומת פחות מ־1 מיליון טון כיום.
חלק מהמאמצים העולמיים מתמקדים גם בהגדלת הביקוש למימן נקי: תמיכות בפרויקטים להפקת פלדה ללא פחמן, עידוד רכישת כלי רכב מימניים, תקני דלק נמוכי-פליטות המחייבים שימוש במימן, באמוניה וכדומה.
הפרגוד היא קבוצת תקשורת הפונה בעיקר למגזר החרדי ומפעילה מספר ערוצי תקשורת ברשתות החברתיות בהן עולים עדכונים ונייעס מתוך המגזר.
לקבוצה מאות אלפי עוקבים והיא מתאפיינת במתן במה לפלגים ולאירועים שלא זוכים לחשיפה במדיה החרדית הקלאסית.
הקבוצה הוקמה ומנוהלת על ידי איש התקשורת יענקי קצבורג.
לקבוצה מעל 200,000 עוקבים ברשתות החברתיות כולל קו נייעס לבעלי סלולרי כשר וצ'אט באימייל לבעלי אינטרנט חסום.
בנוסף לקבוצות הוואטסאפ הרגילות הקבוצה מפעילה קבוצת וואטסאפ בשם "קבלנים ובנייה" לבעלי מכשיר מסונן, השם נועד כדי שחברות הסינון לא יחסמו את הקבוצה.
בשנת 2025 דורגה רשת קבוצות הוואטסאפ 'הפרגוד' במקום ה-51 ברשימת 100 המשפיעים של עיתון "כלכליסט", תחת הקטגוריה "ערוצי הוואטסאפ של החרדים".
הנימוק לדירוג זה היה כי "בעלי כוח חרדיים חוששים ממנו, והוא חושף לחילונים את ההתרחשויות ואת הלכי הרוח ברחוב החרדי".
פעילותה של 'הפרגוד' עוררה מחלוקת קשה ומתקפה חזיתית מצד גורמים בממסד התקשורתי החרדי.
פעמים תכופות הועלו ב"הפרגוד" טורים מתוך עיתון "משפחה".
בספטמבר 2023 פנה העיתון לקבוצה בדרישה להקפדה על זכויות היוצרים של העיתון וכותביו.
ב-18 ביוני 2025 שלח העיתון מכתב התראה לפני הגשת תביעה ובו דרישה להסיר את הטורים ולפצות את העיתון.
באותו היום נטען בהפרגוד כי כותבי הטורים מבקשים ממנו מדי פעם להעלות את הטורים.
בתגובה שלח העיתון מכתב להפרגוד ובו נטען שהזכויות על הטורים הם בידי העיתון ולא בידי הכותבים, וגם רק חלק מהטורים הועלו בעקבות בקשה.
הפרגוד פנה לבית הדין "חניכי הישיבות" בראשות הרב מרדכי גרוס וקיבל על עצמו לקיים את מה שבית הדין יפסוק.
בית הדין שלח מכתב זימון לעיתון משפחה אולם הם לא הגיבו.
באותו שבוע פורסם טור בעיתון משפחה ובו נטען כי הפרגוד היא "תעשיית שפך דם" של אנשים והעיתון ינצל את כוחו הציבורי והכלכלי כדי להילחם בו.
במהלך הפגנת החרדים נגד גיוס בני ישיבות (2025) העלה הפרגוד קטע מתוך ראיון של עורכי העיתון יוסי אליטוב ואריה ארליך בחדשות 12 ובו טען אליטוב כי הם מעודדים גיוס דרך העיתון.
בהמשך הוציא אליטוב הודעה והבהיר שניסוח לא מוצלח הוציא את הדברים מהקשרם.
הפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן הוא ניסוי מחשבתי שבמקורו בא לתקוף את הפרשנות ההסתברותית למכניקת הקוונטים, ולהוכיח את קיומם של משתנים חבויים שישלימו את תורת הקוונטים.
הפרדוקס מבוסס על הנחת הריאליזם המקומי, לפיה ניסוי שנערך במקום אחד לא יכול להשפיע באופן מיידי על תוצאות של ניסוי שנערך במקום אחר.
לימים הוכח על ידי אי-שוויוני בל שתאוריית 'משתנים חבויים' לא תפתור את הסתירה בין תורת הקוונטים לעקרון המקומיות, ושקבלה של תורת הקוונטים מחייבת לזנוח את העיקרון הזה.
הפרדוקס קרוי על שמם של אלברט איינשטיין, בוריס פודולסקי ונתן רוזן, שלושת הפיזיקאים שפרסמו בשנת 1935 מאמר שכותרתו "האם תיאור קוונטי של המציאות הפיזיקלית יכול להיחשב שלם?" המציג פרדוקס זה.
הפרדוקס ידוע בקיצור בשם "פרדוקס EPR", בהתאם לאות הראשונה בשמות המשפחה של מפרסמיו.
הפיזיקאי דייוויד בוהם הציג ניסוח משופר של הפרדוקס, וניסוח זה מכונה לעיתים "פרדוקס EPRB".
מחברי הפרדוקס פתחו בציון קריטריון שלדעתם הוא הכרחי לכך שתאוריה תוכל להיחשב ל"תיאור שלם" המתאר את כל רכיבי המציאות במערכת מסוימת: התאוריה צריכה לספק דרך לחשב את כל הגדלים הפיזיקליים שבמערכת אשר אנו מוצאים שניתן לנבא את ערכם באופן וודאי מבלי להפריע למערכת.
הקריטריון הזה נועד לתקוף את האופי ההסתברותי של התחזיות שמכניקת הקוונטים מספקת, ולהוכיח שיש מקרים שבהם "תיאור שלם" של המציאות חייב לספק תחזית דטרמניסטית.
הפרשנות המקובלת של מכניקת הקוונטים גורסת שכאשר התאוריה מספקת תחזית הסתברותית בלבד לגודל פיזיקלי כלשהו – הרי שהגודל איננו קיים במציאות עד שהמערכת מופרעת על ידי המדידה הגורמת לקריסת פונקציית הגל אל מצב עצמי של האופרטור המתאים לגודל הנמדד.
אך EPR הראו שישנם מקרים שבהם נובע מעקרונות מכניקת הקוונטים שהגודל שיימדד ניתן לניבוי וודאי עוד לפני שהמערכת מופרעת, ובכל זאת מכניקת הקוונטים אינה מספקת דרך דטרמיניסטית לחשב אותו.
המקרים האלו הם כאשר המערכת קשורה למערכת אחרת בדרך שנקראת שזירה קוונטית – באופן כזה שפונקציית גל אחת מתארת את שתי המערכות יחד, אף שאין אינטראקציה בין המערכות.
במקרה כזה, ייתכנו מצבים שבהם יהיה ניתן לנבא בוודאות את ערכו של הגודל שימדד במערכת אחת, על ידי מדידת גודל מתאים במערכת השנייה שתגרום לקריסת פונקציית הגל אל מצב עצמי של הגודל המבוקש במערכת הראשונה.
ניבוי שכזה מתאפשר מבלי להפריע למערכת הראשונה, שהרי ההנחה הייתה שאין אינטראקציה בין המערכות, ומדידה במערכת אחת אינה משפיעה על הגדלים שבמערכת האחרת.
לכן טענו EPR שהגדלים הללו קיימים במציאות עוד לפני המדידה, ושמכיוון שמכניקת הקוונטים איננה מספקת דרך לחשב אותם – היא איננה מספקת "תיאור שלם" של המציאות.
הדוגמה הקונקרטית של שזירה קוונטית שהציגו EPR הוא כאשר שני חלקיקים נמצאים במצב עצמי הן של המיקום היחסי שלהם והן של התנע הכולל שלהם.
מצב עצמי כזה מתאפשר משום שהאופרטורים המתאימים חילופיים:
במצב עצמי שכזה, מדידה של קואורדינטות המיקום של חלקיק אחד, תיתן בוודאות גם את קואורדינטות המיקום של החלקיק השני.
כמו כן, מדידת התנע של חלקיק אחד תיתן בוודאות את התנע של החלקיק השני.
מכך נובע על פי הטיעון של EPR שכבר מלכתחילה יש לחלקיקים מיקום ותנע מוגדרים, שהרי ניתן לנבא את ערכי התנע וקואורדינטות המיקום של כל חלקיק מבלי להפריע לו.
זאת לעומת עקרון האי-ודאות של הייזנברג הקובע שמכניקת הקוונטים לעולם לא תספק דרך לחשב בו-זמנית מיקום ותנע של חלקיק.
לכן טענו EPR שמכניקת הקוונטים איננה מספקת תיאור שלם של כל רכיבי המציאות הקשורים לחלקיקים כאלו.
בגרסת בוהם, הפרדוקס משתמש במצב שזור של אנטי-קורלציה מוחלטת בין הספינים של זוג חלקיקים בעלי ספין חצי.
חלקיקים כאלו יכולים לקבל רק שתי תוצאות אפשריות במדידת הספין ביחס לציר כלשהו: "מעלה" (ספין חיובי) או "מטה" (ספין שלילי).
מצב זה אומר שאם בחלקיק הראשון נמדוד "מעלה", אזי בחלקיק השני נקבל בהכרח "מטה", ולהפך.
הנקודה היא שניתן למדוד את הספין ביחס לכל ציר שהוא, ולקבל מכך את הספין של החלקיק השני ביחס לאותו ציר, ועל פי הטיעון של EPR נובע מכך שכבר מלכתחילה יש לחלקיקים ספין מוגדר ביחס לכל ציר שהוא.
זאת על אף שספינים של חלקיק ביחס לשני צירים שונים אינם חילופיים, ועל פי עקרון האי-ודאות לא ניתן לנבא אותם יחד בוודאות באמצעות מכניקת הקוונטים.
לכן, גם כאן ניתן לראות שמכניקת הקוונטים אינה מספקת תיאור שלם של המציאות.
מטרתם המוצהרת של מחברי הפרדוקס, הייתה לתמוך בתאוריית המשתנים הנסתרים, על ידי הוכחה לכך שהתאוריה הקוונטית איננה מהווה "תיאור שלם" של המציאות.
המחברים כתבו שהם לא מוכיחים שאכן קיימת תאוריה חלופית שכן מתארת "תיאור שלם" של המציאות, אך לאחר שהם הוכיחו שמכניקת הקוונטים איננה מתארת תיאור כזה – הם מאמינים שקיימת תאוריה אחרת שכן יכולה לתאר את המציאות "תיאור שלם".
המוטיבציה לניסוח הפרדוקס הייתה שאיינשטיין ומדענים אחרים חשו התנגדות רבה למכניקת הקוונטים, עקב האקראיות לכאורה שבבסיסה (ידועה אמרתו של איינשטיין "אלוהים לא משחק בקוביות").
מאמר זה נחשב למתקפה המוצלחת ביותר של איינשטיין על מכניקת הקוונטים, בכך שהוא ממקד את תשומת הלב להפרה של עקרון פילוסופי-מדעי קלסי נוסף מעבר לחוסר הדטרמיניזם.
הפרדוקס מצביע על כך שהתופעה של קריסת פונקציית הגל במקרה של שזירה קוונטית נמצא בסתירה עם עקרון המקומיות לפיו שינוי במערכת מסוימת לא יכול להשפיע מידית על מערכת אחרת המרוחקת ממנה.
ההנחה של עקרון המקומיות נתמך במידה רבה על ידי תורת היחסות הפרטית הקובעת את מהירות האור כגבול עליון למהירות ההשפעה.
אי לכך התחזית של תורת הקוונטים סותרת לכאורה את תורת היחסות.
מחברי הפרדוקס חשבו שניתן לפתור את הסתירה הזו על ידי הצגת "תאוריית משתנים חבויים" שתשלים את תורת הקוונטים, ותפתור את שתי הבעיות שקיימות בה: גם חוסר הדטרמיניזם וגם חוסר המקומיות.
תקווה זו של מחברי המאמר נסתרה על ידי אי-שוויוני בל שמראים סתירה מתמטית בין תחזיות מכניקת הקוונטים לבין התפיסה המקובלת של עקרון המקומיות.
סתירה זו מראה שהבעיה העקרונית שפרדוקס EPR מצביע עליה איננה נובעת דווקא מהפרשנות ההסתברותית של מכניקת הקוונטים, אלא היא חלק אינהרנטי מתורת הקוונטים.
בעקבות ניסוח אי שוויוני בל, נעשו ניסויים רבים שאוששו את התחזיות של מכניקת הקוונטים והפריכו את התפיסה המקובלת של עקרון המקומיות.
ניסויים אלה אינם מפריכים את עצם היתכנות קיומם של "משתנים חבויים", אלא רק מראים שקיומם של משתנים כאלה עדיין איננו מאפשר מקומיות.
למעשה, ישנן תאוריות שמניחות קיום של משתנים חבויים, יחד עם היעדר מקומיות; עם זאת, תאוריות אלה אינן נמצאות בזרם הראשי של המחקר המדעי כיום, בשל חסרונות אחרים הקשורים אליהן.
הגרסה של עקרון המקומיות שפרדוקס EPR ואי-שוויוני בל מתייחסים אליה נקרא ריאליזם מקומי.
תפיסה זו גורסת שלא תיתכן כל השפעה מיידית בין שתי נקודות במרחב המרוחקות זו מזו.
תפיסה מקובלת היא שפרדוקס EPR ואי-שוויוני בל מצביעים על כך שהעולם מקיים רק גרסה חלשה יותר של עקרון המקומיות, כך שיכולה להיות השפעה סימולטנית ממרחק כל עוד השפעה זו אינה מעבירה מידע ממקום למקום באופן סימולטני.
ניתן להראות שאי אפשר להשתמש בתופעות של שזירה קוונטית כדי להעביר מידע ממקום למקום, ולכן עקרון המקומיות בניסוח הזה אינו מופר.
הפרדוקס של אולברס הוא הטיעון כי אפלת שמי הלילה סותרת את ההנחה של יקום סטטי אינסופי ונצחי.
הוא תואר על ידי האסטרונום הגרמני היינריך וילהלם אולברס בשנת 1823 (אך פורסם רק ב-1826 על ידי יוהאן אלרט בודה) ואף לפני כן על ידי יוהאנס קפלר ב-1610 ואדמונד היילי וז'אן פיליפ דה שסו במאה ה-18. זוהי אחת הראיות ליקום לא סטטי המתואר באמצעות תאוריית "המפץ הגדול".
ה"פרדוקס" ידוע גם בשם "פרדוקס שמי הלילה האפלים".
אם נניח כי ביקום יש מספר אינסופי של כוכבים מאירים המפוזרים באופן אחיד, אזי:
סך הבהירות הנראית המתקבלת ממערכת של כוכבים במרחק נתון אינה תלויה במרחק זה;
כל קו ראייה צריך להיגמר בסופו של דבר בפני השטח של כוכב;
כל נקודה בשמים צריכה להיות בהירה כמו פניו של כוכב.
התבוננות באופק מתוך יער עבות ומישורי עשויה להדגים אפקט זה: כל קו ראייה יסתיים בעץ, ולכן האופק יוסתר כולו על ידי עצי היער.
מהירות האור היא סופית, ולכן ככל שאדם יתבונן רחוק יותר, כך הוא יראה כוכבים עתיקים יותר.
על מנת שהכוכבים ייראו מפוזרים באופן אחיד בחלל, אורם צריך להיפלט ממקומות בהם צפיפות הכוכבים הייתה זהה, בעת שנפלט האור, לצפיפות הכוכבים בסביבת הצופה.
הסבר פשוט לפרדוקס של אולברס מניח כי לא היו שינויים דרמטיים בפיזור הכוכבים במשך הזמן הזה.
מכאן נובע כי אם היקום היה אינסופי בזמן ובמרחב, שטף האור המתקבל מהכוכבים היה אינסופי.
קפלר ראה את הפרדוקס כתומך ביקום נראה סופי, או לפחות בעל מספר סופי של כוכבים.
לפי תורת היחסות הכללית, הפרדוקס יכול להופיע אפילו ביקום סופי: למרות שהשמים לא יהיו בהירים במידה אינסופית, כל נקודה בהם תהיה בהירה כפניו של כוכב.
דרך מדויקת יותר להתבונן בפרדוקס היא להציב את הארץ במרכז כדורים בעלי רדיוסים שונים.
אם היקום הומוגני ואינסופי, אז דרך קליפה כדורית ברדיוס r סביב כדור הארץ יעבור שטף מסוים של אור מהכוכבים.
על כדור ברדיוס r+x, מספר הכוכבים גדל לפי ריבוע המרחק, אך השטף מכל כוכב קטן לפי ריבוע המרחק.
מכאן, לשתי הקליפות (ברדיוס r וברדיוס r+x) שטף זהה, ולכן הבהירות שלהן תהיה זהה אף היא.
אם היקום היה אינסופי (בגיל ובנפח) ובעל פיזור שווה של הכוכבים, אז יהיו אינסוף קליפות כאלה ולאור מכל קליפה יהיה מספיק זמן להגיע לכדור הארץ - כלומר, שמי הארץ יהיו בהירים תמיד.
ההסבר המקובל לפרדוקס של אולברס דורש יקום מתרחב אשר גילו סופי.
ככל שכוכב נמצא רחוק יותר מצופה על כדור הארץ, כך ייקח יותר זמן לאור מהכוכב להגיע אליו.
מסיבה זו, ככל שמביטים רחוק יותר אל תוך היקום - מביטים למעשה מוקדם יותר אל העבר.
עובדה זו מהווה מרכיב עיקרי בהסבר המקובל לפרדוקס של אולברס, אם כי היא אינה יכולה להסביר את הפרדוקס כשלעצמה - למהירות האור אין קשר ישיר לצפיפות האנרגיה ולכמות האור המגיעה לנקודה מסוימת.
גילו הסופי של היקום; כל מקורות האור הם במרחק סופי
אדגר אלן פו היה הראשון אשר פתר את הפרדוקס של אולברס, כאשר כתב במאמר Eureka: A Prose Poem ב-1848:
"לו היה רצף הכוכבים אינסופי, אז רקע השמים היה מציג בפנינו בהירות אחידה, משום שלא יכולה להיות נקודה בשמים בה לא יהיה כוכב.
המצב היחיד, אם כן, בו נוכל להבין תחת תנאים אלו את החללים הריקים אשר הטלסקופים שלנו מוצאים בכל הכיוונים, יהיה אם נניח כי המרחק של אותו רקע אחיד הוא כה רחוק, שאף קרן אור ממנו עדיין לא הספיקה להגיע אלינו."
לפי התאוריה המקובלת (תאוריית המפץ הגדול), גיל היקום הוא סופי, והכוכבים נוצרו לפני זמן סופי.
לכן, כפי שהציע פו, כדור הארץ אינו מקבל אור כוכבים מעבר למרחק מסוים.
לפי תאוריה זו, השמים היו בהירים הרבה יותר בעבר, במיוחד בעידן הרקומבינציה של היקום הצעיר, 378,000 שנה אחרי המפץ הגדול.
כל הנקודות ב"שמים" בזמן הזה היו בהירות יותר מהשמש, למרות המרחק הקצר יחסית שהאור היה מסוגל לעבור; דבר זה מרמז כי רוב קרני האור שמגיעות אלינו מקורן לא בכוכב, אלא ב"שאריות" של המפץ הגדול.
בעוד המרחק הסופי למקורן של קרני האור לא פותר את הפרדוקס כשלעצמו, תאוריית המפץ הגדול כוללת גם התפשטות של המרחב עצמו (ולא רק המרחק בין עצמים במרחב), אשר יכולה לגרום לאנרגיה של האור הנפלט לקטון באמצעות הסחה לאדום.
התפשטות המרחב גרמה לרמות הקרינה הגבוהות מהמפץ הגדול להיות מוסחות לאדום עד לגלי מיקרו; אנו מזהים קרינה זו עם קרינת הרקע הקוסמית.
זה מסביר את צפיפות האור הנמוכה יחסית בשמים שלנו, למרות הבהירות העצומה המשוערת של המפץ הגדול.
ההסחה לאדום משפיעה גם על אור מכוכבים רחוקים וקווזרים, אך השפעה זו מפחיתה את האור בסדר גודל אחד בלבד.
הפרדוקס של ברי הוא פרדוקס הנובע מהגדרה מילולית של מספר, בצורה שלכאורה נוגדת את עצמה.
ניסוח אפשרי שלו הוא חיפוש .
הפרדוקס נקרא על שם ג'י.
ברי (1867–1928), שהיה ספרן זוטר ב של אוניברסיטת אוקספורד.
הפרדוקס עוסק בשפה, ובמקורו עוסק בשפה האנגלית, אולם נביא כאן "תרגום" שלו לעברית.
ניתן להגדיר באמצעות מילים בעברית מספרים.
לדוגמה, את 2 ניתן להגדיר בתור "המספר החיובי הזוגי הקטן ביותר", או למשל באמצעות המילה "שתיים".
אנו מעוניינים בקבוצת כל המספרים הטבעיים שניתנים לתיאור על ידי מילה או צירוף מילים בני פחות מ-100 אותיות.
נדרוש בנוסף עבור כל מספר שצירוף המילים יתאר אותו בלבד, ולא קבוצה אינסופית של מספרים (למשל "כל המספרים הטבעיים" אינו צירוף מילים שנתייחס אליו כמתאר מספר מסוים).
כעת, מכיוון שהגבלנו את מספר האותיות לפחות מ-100, וקיים מספר סופי של אותיות בעברית (22), הרי שקיים מספר סופי של צירופי מילים, ומכאן שקיים מספר סופי בלבד של מספרים טבעיים שניתן לתאר על ידי פחות מ-100 אותיות.
מכיוון שיש אינסוף מספרים טבעיים, נובע מכך שקבוצת המספרים הטבעיים שאינם ניתנים לתיאור על ידי פחות מ-100 אותיות איננה ריקה.
כעת, על המספרים הטבעיים מוגדר יחס סדר טוב ולכן בכל תת-קבוצה של מספרים טבעיים קיים מספר שהוא הקטן ביותר, ובפרט בקבוצת המספרים שאינם ניתנים לתיאור על ידי פחות מ-100 אותיות.
נתאר מספר זה על ידי צירוף המילים "המספר הקטן ביותר שאינו ניתן לתיאור באמצעות פחות ממאה אותיות".
כעת הגענו לסתירה לכאורה, מכיוון שבצירוף המילים שבו השתמשנו כדי לתאר את המספר היו פחות ממאה אותיות.
שורש הפרדוקס הוא בעובדה שהמשפט שלנו מתייחס אל עצמו, מצב הגורר פרדוקסים לעיתים קרובות.
כדי להבין את הבעייתיות בהתייחסות עצמית באופן חד יותר, נסתכל על המשפט "המספר המוגדר במשפט זה ועוד 1".
במקרה זה הבעייתיות של המשפט ברורה מאליה, כך שאף אחד לא יתייחס אליו כפרדוקס - הוא מפנה אל תוצאת החישוב המוגדרת בו עצמו.
התוצאה היא שאי אפשר לחשב את המספר ה"מוגדר" בו.
במשפט "המספר הקטן ביותר שאינו ניתן לתיאור באמצעות פחות ממאה אותיות", ההתייחסות העצמית מסתתרת בעובדה שהוא מדבר על מספרים בני פחות ממאה אותיות בעוד שהוא עצמו אחד כזה.
כדי לחדד את הנקודה, ניתן לנסח את המשפט כך: "המספר הקטן ביותר שאינו מוגדר במשפטים מסוג זה".
הפעם ההתייחסות העצמית ברורה לחלוטין, והפרדוקס - איננו.
הפרדוקס של גלילאו הוא הדגמה של תכונותיהן הלא אינטואיטיביות של קבוצות אינסופיות, שהוצגה על ידי גלילאו גליליי.
גלילאו בחן את קבוצת המספרים הטבעיים.
חלק מהמספרים הטבעיים, הם כאלו שיש להם שורש ריבועי שהוא מספר שלם (למשל 4,9,16 וכן הלאה).
מספרים אלו נקראים מספרים ריבועיים.
אולם לא כל המספרים הטבעיים הם ריבועיים, וה"רווח" בין המספרים ריבועיים הולך וגדל, ולכן לכאורה יש יותר מספרים טבעיים, מאשר מספרים ריבועיים.
אולם, גלילאו הצביע על כך שלכל מספר ריבועי, ניתן להתאים מספר טבעי יחיד - השורש שלו - ואילו לכל מספר טבעי ניתן להתאים מספר ריבועי יחיד - הריבוע שלו.
בצורה כזו אנחנו יכולים לסדר את קבוצת המספרים הטבעיים ואת קבוצת המספרים הריבועיים, כל מספר יחד עם הריבוע שלו:
על כן, לכאורה, מספרם של המספרים הטבעיים זהה למספרם של המספרים הריבועיים.
הדבר נראה כסותר את העובדה הברורה, לכאורה, שיש יותר מספרים טבעיים מריבועיים.
במאה ה-19 העניק המתמטיקאי גאורג קנטור ניסוח פורמלי לרעיונותיו של גלילאו, והראה כי ניתן לדבר על גודל של קבוצות אינסופיות במונחים של עוצמה (מספר האיברים בקבוצה).
על פי גישתו של קנטור, עוצמת המספרים הטבעיים ועוצמת הריבועים שלהם אכן זהה.
ריכרד דדקינד ניצל את הרעיון כדי להגדיר קבוצה אינסופית - קבוצה אינסופית היא קבוצה שיש פונקציה חד חד ערכית ועל בינה לבין תת קבוצה אמיתית שלה .
כלומר זוהי קבוצה שניתן להתאים את כל איבריה לחלק מאיבריה בזוגות.
פרדוקס גלילאו מראה כי קבוצת המספרים הטבעיים היא קבוצה אינסופית.
הפרדוקס של גרלינג, הידוע גם בתור הפרדוקס של גרלינג-נלסון או הפרדוקס ההטרולוגי, הוא אחד מהפרדוקסים המציגים בעיות של השפה הטבעית.
הפרדוקס נוצר באמצעות הגדרת מילה כהטרולוגית אם היא אינה מתארת את עצמה.
מגדירים מילה כאוטולוגית אם היא כן מתארת את עצמה.
למשל: המילה 'בעברית' מתארת מילה בעברית והיא בעצמה בעברית - כלומר היא אוטולוגית.
המילה 'באנגלית' היא מילה המייחסת לטקסט באנגלית אבל היא בעצמה לא באנגלית ולכן היא הטרולוגית.
הפרדוקס מבוסס על השאלה הבאה:
האם המילה 'הטרולוגית' היא הטרולוגית?
אם המילה היא הטרולוגית, אז היא לא מתארת את עצמה, ולכן, על-פי ההגדרה, אינה הטרולוגית.
אם היא אינה הטרולוגית, אז היא מתארת את עצמה, ולכן, על-פי ההגדרה, היא הטרולוגית.
הפרדוקס של ניוקום (הנקרא לעיתים גם בעיית ניוקום) הוא ניסוי מחשבתי שכולל משחק בין שני שחקנים, שאחד מהם מסוגל לחזות את העתיד.
השאלה האם הבעיה היא פרדוקס שנויה במחלוקת.
הפרדוקס של ניוקום נוסח על ידי הפיזיקאי ויליאם ניוקום מאוניברסיטת קליפורניה.
הוא הופץ לקהילה הפילוסופית על ידי רוברט נוזיק בשנת 1969, והופיע בירחון "סיינטיפיק אמריקן" בשנת 1974 בטורו של מרטין גרדנר.
ישנם שני שחקנים – "הבוחר" ו"הנביא", שנבואותיו מדויקות תמיד.
לבוחר מוצגות שתי קופסאות: אחת פתוחה, שמכילה 1,000 דולר, ואחת סגורה שמכילה או 1,000,000 דולר או 0 דולר (הבוחר איננו יודע איזה סכום משניהם).
הבוחר צריך להחליט אם הוא רוצה לקחת את תוכנן של שתי הקופסאות, או רק את תוכנהּ של הקופסה הסגורה.
הבעיה נעוצה בכך שביום שלפני הבחירה מנבא הנביא איזו דרך פעולה הבוחר יבחר.
אם הנביא מנבא שהבוחר ייקח רק את תוכן הקופסה הסגורה, הנביא שם 1,000,000 דולר בתוכה.
אם הנביא מנבא שהבוחר ייקח את שתי הקופסאות, הנביא ישאיר את הקופסה הסגורה ריקה.
הבוחר מכיר את הכלל הזה, אבל הוא אינו יודע מה הנביא ניבא בפועל.
אם כך, האם על הבוחר לקחת את תוכן שתי הקופסאות, או להסתפק בקופסה הסגורה?
אם הנביא מדייק תמיד, הרי שאם הבוחר ייקח רק את הקופסה הסגורה, הוא יקבל 1,000,000 דולר, ואם הוא ייקח את שתי הקופסאות הוא יקבל רק 1,000 דולר.
מכאן שעדיף לו לבחור רק את הקופסה הסגורה.
אבל הרי כשהבוחר צריך לבחור מה לעשות, הקופסאות כבר מולאו.
מאוחר מדי עבור תוכן הקופסאות להשתנות.
בלי תלות בשאלה האם הקופסה הסגורה מלאה או ריקה, הבוחר יקבל ללא ספק 1,000 דולרים נוספים על ידי כך שיבחר בשתי הקופסאות במקום בסגורה בלבד.
על פי היגיון זה, עדיף לבוחר לקחת את שתי הקופסאות.
אולם, ברגע בו עומד הבוחר לקחת את שתי הקופסאות, מכה בו ההבנה: אם הנביא מדייק תמיד, הוא ידע שכך אבחר, ולכן הקופסה האטומה ודאי מכילה 0 דולר.
אם כן, עליי לבחור בקופסה האטומה בלבד, וכך אזכה ב-1,000,000 דולר.
בנקודה זאת, חוזרת ועולה ההבנה שהקופסאות כבר מולאו, וחוזר חלילה.
במאמרו משנת 1969, ציין נוזיק: "עבור כמעט כולם, זה ברור לחלוטין מה צריך להיעשות.
הקושי הוא שהם נחלקים כמעט בצורה שווה לגבי פתרון הבעיה, עם מספרים גדולים שחושבים שהצד השני פשוט טיפש".
לבו של הפרדוקס הוא בסתירה בין:
אינטואיציה כי אי אפשר לשנות את העבר.
האמונה שבחירה עתידית אינה יכולה לחרוץ את גורלו של אירוע עבר.
ניוקום עושה את הבלתי אפשרי, לכאורה: הוא מציע דרך קונקרטית לחרוץ את גורלו של אירוע בעבר.
ניבויו של הנביא יוצר שקילות בין פעולה עתידית (ויתור על הקופסה הפתוחה) לבין אירוע בעבר (אם הנביא שם כסף בקופסה הסגורה או לא).
וכיוון שאת העתיד אפשר לקבוע, נובע מכך שאפשר לקבוע גם את אירוע העבר.
פתרון הפרדוקס אינו צריך להיות הסבר מדוע אחת הטענות נכונה, אלא מדוע אחת מהן אינה נכונה.
האם האינטואיציה מוטעית, או שמא יש איזושהי טעות בדרך שמציע ניוקום להשפיע על העבר.
בעיית ניוקום הורחבה לשאלה כיצד תשתנה התנהגות הבוחר אם הקופסה הסגורה עשויה זכוכית.
לעומת זאת, אם הוא רואה שהקופסה הסגורה היא ריקה, הוא עשוי להתרגז על שנמנע ממנו הפרס הגדול ולבחור רק את הקופסה הסגורה כדי להראות שהמשחק הוא רמאות.
בכל מקרה, פעולותיו יהיו ההפך ממה שנחזה, מה שסותר את ההנחה שהנבואה היא תמיד נכונה.
כמה פילוסופים לוקחים את גרסת קופסת הזכוכית של המשחק בתור הוכחה לכך ש־
ידע על העתיד אפשרי רק במקרים שבהם אותו ידע לא ימנע עתיד זה.
היקום יפעל כדי למנוע לולאות סותרות של השפעה לאחור.
הבוחר עלול בטעות לבצע את הבחירה השגויה, לא להבין את החוקים, או שמנגנון הניבוי/מכונת זמן יתקלקל.
או, במילים אחרות, הגרסה עם קופסת הזכוכית היא סתירה להשקפת העולם הדטרמיניסטית.
פעולותיו של הבוחר משפיעות על שהתרחש בעבר, ולכן מבחינה לוגית לא יכול להיות רצון חופשי, אלא ש"רצון חופשי" גם כן מוגדר בתוך הבעיה, אחרת הבוחר אינו באמת מבצע בחירה.
פילוסופים אחרים הציעו פתרונות רבים לבעיה, שמעלימים את טבעה הפרדוקסלי:
חלק הציעו שאדם רציונלי יבחר בשתי הקופסאות, ואדם אי רציונלי יבחר בסגורה, ולכן אנשים רציונליים יצליחו יותר במשחק (מכיוון שנביא מדויק לחלוטין אינו יכול להתקיים), אך הצעה זו מתעלמת מעצם מהותו של הניסוי המחשבתי – ההנחה שנבואה אמיתית היא מן האפשר.
אחרים הציעו שבעולם עם נביאים מושלמים (או מכונות זמן, שכן מכונת זמן יכולה להיות כלי לביצוע התחזית) פעולות בהווה יכולות להשפיע על העבר.
אם אדם יודע את העתיד, וידע זה משפיע על פעולותיו, אז אירועי העתיד יגרמו להשפעה בעבר.
פעולותיו של הבוחר כבר "גרמו" לפעולתו של הנביא.
יש המסיקים מכך שמכונות זמן או נביאים מושלמים יכולים להתקיים, ועל כן לא ייתכן קיומו של רצון חופשי, והבוחר יעשה את מה שהוא נידון לעשות.
אחרים גורסים בדיוק ההפך: אי-אפשר לדעת במדויק את העתיד.
כשמצרפים את שתי גישות אלו, הפרדוקס הוא הצהרה מחדש של הטיעון לפיו רצון חופשי ודטרמיניזם הם סותרים, שכן נביא מושלם דורש דטרמיניזם.
כמה פילוסופים טענו שפרדוקס זה שקול לפרדוקס הסבא, בו אדם חוזר בזמן לעבר ומתחיל שרשרת אירועים שמונעת חזרה זו עצמה.
נוסף על כך הוא טוען שהדטרמינזם במקרה קופסת הזכוכית יחייב את האדם לנהוג בצורה לא רציונלית מה שגורר סתירה לכאורה בין דטרמיניזם לבין רציונליות האדם.
בספרו החתול שאיננו שם מצביע רון אהרוני על קשר ל-טיעון הבטלן (ר' פטליזם), אחד הרכיבים של בעיית חופש הרצון.
גם טיעון הבטלן וגם הדרך שמציע ניוקום להשפיע על העבר מבוססים על שקילות בין אירוע עבר לבין פעולה עתידית של הבוחר.
טיעון הבטלן מסיק מן השקילות הזאת שמכיוון שאי אפשר להשפיע על העבר, גם אין לקבוע את תוצאת הפעולה בעתיד.
ניוקום משתמש באותה שקילות כדי לומר שאם אפשר להשפיע על העתיד, אפשר גם להשפיע על העבר – מבחינה לוגית זהו בדיוק אותו טיעון.
ביתר פירוט: טיעון הבטלן אומר שאם העתיד נקבע על ידי העבר, אין טעם לנסות להשפיע על העתיד.
למשל, אין טעם שאתכונן לבחינה של מחר, משום שתוצאותיה כבר "כתובות בכוכבים".
למשל, אם מישהו ניבא את תוצאות הבחינה וכתב אותן בפתק, כבר אינני יכול לשנות את הכתוב בפתק, ולכן אינני יכול לשנות את ציון הבחינה.
בטיעון הבטלן יש קשר בין תוצאות עתידיות (ציון המבחן) של בחירה(אם להתכונן לבחינה או לא) לבין אירוע בעבר (הכתוב בפתק), והטיעון אומר: "כיוון שאינני יכול להשפיע על העבר, אינני יכול להשפיע על העתיד".
במצב בפרדוקס ניוקום נוצר קשר סיבתי בין תוצאות של בחירה (אם לקחת את הקופסה הפתוחה) לבין אירוע בעבר (אם יש כסף בקופסה הסגורה), והטיעון בעד ויתור על הבחירה בקופסה הפתוחה אומר "מכיוון שאני יכול להשפיע על העתיד, אני יכול להשפיע על העבר".
זהו אותו טיעון, על דרך השלילה.
לנביא אין ידע מיוחד על העתיד
נניח שלנביא אין ידע מיוחד על העתיד והבוחר יודע זאת.
ניתוח מנקודת מבטה של תורת המשחקים במקרה של ריבוי סיבובים הוא ישיר.
אם הבוחר יסטה מאסטרטגיה זו ויבחר את שתי הקופסאות, הוא ירוויח באותו הסיבוב אבל הנביא ישגה, וככל הנראה יגיב בסיבוב שלאחר מכן.
קיימות שתי נקודות שיווי משקל נאש במשחק (נקודות שבהן אף אחד לא רוצה לשנות את בחירתו בהינתן הבחירה של השחקן השני) – אחת כאשר הבוחר בוחר לקחת את שתי הקופסאות והנביא מנבא זאת, והשנייה כאשר הבוחר בוחר לקחת את הקופסה הסגורה והנביא מנבא זאת.
בוחר אינטליגנטי ינסה לעבור מנקודת שיווי המשקל הראשונה אל השנייה.
כעת נבחן מקרה שונה: לנביא אין ידע מיוחד של העתיד, אבל הבוחר מאמין שיש לו.
קוראי "אמריקן סיינטיפיק" הגיבו לפרדוקס ביחס מוערך של 5 ל-2 לטובת בחירת הקופסה הסגורה בלבד.
נביא שפועל מנקודת מבט זו (ובהנחה שהבוחר עצמו הוא קורא של "אמריקן סיינטיפיק") יאמין שהוא מסוגל להשיג דיוק של 71% לערך על ידי כך שתמיד ינבא שהבוחר ייקח את הקופסה הסגורה.
ניתן לראות זאת יותר בקלות אם ערכי הדולרים משתנים.
למשל, אם הכמות בקופסה הפתוחה משתנה לדולר אחד, כמעט כל הבוחרים יבחרו את הקופסה הסגורה – הערך המוסף של דולר אחד פשוט לא שווה את הסיכון.
מצד שני, כמעט כל הבוחרים יבחרו את שתי הקופסאות אם בקופסה הפתוחה יהיה סכום של 900,000 דולר.
הפרדוקס של בנך-טרסקי הוא משפט מתמטי, הקובע שאפשר לחלק כדור למספר סופי של חלקים לא חופפים באופן כזה שאחרי הזזה וסיבוב של החלקים, ניתן יהיה להרכיב מהם שני כדורים מלאים, זהים במידותיהם לכדור המקורי.
המשפט מסתמך במידה רבה על עבודה קודמת של האוסדורף, ויש המכנים אותו "פרדוקס בנך-האוסדורף-טרסקי" בשל כך.
התוצאה נקראת "פרדוקס" משום שהיא סותרת את האינטואציה ואת הגישה הגאומטרית והפיזיקלית השכיחה.
עם זאת, אין במשפט שום בעיה לוגית.
הוכחת המשפט דורשת שימוש באקסיומת הבחירה.
נגדיר יחס שקילות בין תת-קבוצות של מרחב אוקלידי (n-ממדי) כך: ו- תקראנה חופפות-בחלקים אם ניתן להציג את ו- כאיחוד זר של קבוצות: , כך שלכל מתקיים ש- ו-חופפות, כלומר קיימת איזומטריה עבורה .
דומה, שאם שתי צורות הן חופפות-בחלקים, נכון לומר שיש להן אותו "שטח" או "נפח".
ואומנם כבר אוקלידס השתמש ברעיון זה בספרו "יסודות" כדי להגדיר מתי לשתי צורות במישור הדו-ממדי יש אותו שטח; ניתן להראות שהגדרה זו מתיישבת עם ההגדרה המודרנית של שטח.
אולם כאשר מנסים להחיל הגדרה זו על קבוצות מממדים גבוהים יותר, מתברר שעבור כל שתי קבוצות חסומות בעלות פנים לא ריק הן חופפות בחלקים.
זהו תוכנו של המשפט שהוכח על ידי סטפן בנך ואלפרד טרסקי ב-1924. חשוב להעיר שחלק הארי של ההוכחה פורסם כבר בשנת 1914 על ידי פליקס האוסדורף, שבנה "פרדוקס" דומה עבור מעטפת כדורית דו-ממדית.
כבר עמדנו על כך, שכל פונקציית שטח "סבירה" צריכה לכבד חפיפה-בחלקים, כלומר - שלקבוצות חופפות-בחלקים יהיה אותו שטח.
באמצעות פרדוקס דומה, האוסדורף ביקש להראות שלא ניתן להגדיר פונקציית שטח "סבירה" שכזו על כל תת-הקבוצות של הספֵירה הדו-ממדית (אף על פי שעל הקבוצות הדו-ממדיות במישור כן ניתן לעשות זאת).
ב-1914 מצא האוסדורף בחבורת המטריצות האורתוגונליות תת-חבורה שהיא מכפלה חופשית ולכן פועלת פעולה פרדוקסלית על הספירה (לאחר סילוק קבוצה בת מנייה).
את פרדוקס בנך-טרסקי ניתן לפרש ברוח זו כהעשרה משמעותית של אותה טענה: עבור , אם מנסים להגדיר שוויון נפח בין תת-קבוצות של המרחב האוקלידי ה--ממדי, חייבים לקבל אחת מבין שלוש המגבלות הבאות:
היחס לא יהיה מוגדר על כל תת-הקבוצות של המרחב, אלא רק על קומץ מבין מגוון הקבוצות;
היחס לא יכבד חפיפה-בחלקים - כלומר, צורות חופפות-בחלקים יוגדרו לעיתים כבעלות נפח שונה;
היחס יהיה מנוון - כל שתי קבוצות (חסומות ובעלות פנים לא ריק) תוגדרנה כשוות נפח.
טרסקי ובנך הדגישו את העובדה, שהבניה של הפרדוקס מסתמכת על אקסיומת הבחירה (ולמעשה ניתן להראות, שבלעדיה בניית הפירוק איננה אפשרית).
נראה שמטרתם הייתה להשתמש בפרדוקס כעדות לכך שיש לזנוח את אקסיומת הבחירה.
עם זאת, על אף שהוא מכונה "פרדוקס", אין במשפט זה הוכחה של סתירה לוגית, שהייתה מחייבת שינוי באקסיומות.
מרבית המתמטיקאים ממשיכים להשתמש באקסיומת הבחירה, ורואים במשפט "מוזרות" המצביעה על אחד הפערים בין האינטואיציה האנושית לאמת המתמטית.
החלקים עצמם מהם מרכיבים את הכדורים בפרדוקס הם קבוצות בלתי מדידות לפי מידת לבג, כלומר אי אפשר להגדיר להן נפח באופן טבעי.
עובדה זו תורמת ל"קבלת" הפרדוקס בקרב מתמטיקאים.
באופן דומה להוכחה של משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין ניתן להראות שהיחס " חופף-בחלקים לתת-קבוצה של " הוא יחס סדר חלקי.
לכן אם נצליח להראות שכדור חופף-בחלקים ל-2 כדורים מאותו גודל (ומכאן שהוא חופף-בחלקים לכל מספר סופי של כדורים מאותו גודל), נוכל להראות שכל שתי קבוצות חסומות עם פנים לא ריק (כלומר, המכילות כדור וניתנות לכיסוי על ידי מספר סופי של כדורים מכל גודל נתון) הן חופפות-בחלקים זו לזו.
מראים שבחבורת הסיבובים של ספירת היחידה, , ניתן למצוא תת-חבורה חופשית, , בשני יוצרים, ו-.
ניתן למצוא "פירוק פרדוקסלי" ל- , כלומר להציג אותה כאיחוד זר של חמש קבוצות:
כך שניתן להרכיב שני עותקים של מהקבוצות הללו על ידי הכפלת הקבוצות באיברים מ-:
אם מסירים מספירת היחידה את הקבוצה (בת המנייה) של נקודות השבת של מתקבלת תת-קבוצה, , ש- פועלת עליה באופן חופשי - כלומר, שאף איבר מ-, למעט איבר היחידה, אינו משאיר אף איבר מ- במקומו.
על ידי בחירת קבוצת נציגים מכל אחד מהמסלולים שבהן פועלת על , והפעלת הקבוצות מהפירוק הפרדוקסלי של על קבוצת נציגים זו, מתקבל "פירוק פרדוקסלי" של - כלומר הצגה של כאיחוד זר של חמש קבוצות, כך שמשני זוגות של קבוצות ניתן להרכיב עותק של על ידי הפעלת איזשהו סיבוב על הקבוצות.
נותר רק להראות ש- חופפת-בחלקים לכל הספירה (כלומר, שניתן להחזיר מספר בן מנייה של נקודות על ידי פירוק והרכבה מחדש של ).
כך מתקבל פירוק פרדוקסלי של הספירה.
כעת, קל לחלק את הכדור כולו על ידי מתיחת קו ישר מכל נקודה בספירה למרכזה.
כך מתקבל פירוק פרדוקסלי של הכדור כולו, למעט המרכז.
על ידי חפיפה-בחלקים אחרונה מוסיפים את הנקודה הזו, כך שמתקבל פירוק פרדוקסלי של הכדור לשני כדורים זהים, כנדרש.
הפרדה גזעית היא הפרדה בין בני אדם על בסיס גזעי.
ההפרדה יכולה להתבטא בכניסה למסעדות, מערכות חינוך, אולמות קולנוע, בתי חולים, מקומות מגורים ועוד.
כיום הפרדה גזעית אינה פעולה חוקית במרבית מדינות העולם, אך היא יכולה להתקיים באמצעות נורמות חברתיות.
הפרדה גזעית יכולה להתבצע באמצעים שונים, החל מאפליה בקבלה לעבודה או בהשכרת ומכירת דירות לאנשים מגזע מסוים, ועד להפרדה גזעית המעוגנת בחוק.
בארצות הברית, הפרדה גזעית הייתה מעוגנת בחוק, ואחת הדוגמאות לכך היא חוקים כנגד נישואים בין-גזעיים.
חוקים כנגד הפרדה גזעית חוקקו בארצות הברית במהלך שנות ה-60 של המאה ה-20.
רק ב-1967 בוטלו סופית במדינות רבות בארצות הברית כל החוקים שנותרו עד אז נגד נישואים בין-גזעיים של לבנים עם צבעוניים (אפריקאים או אינדיאנים).
הפרדה גזעית מספקת אמצעי לשימור היתרון הכלכלי והמעמד החברתי הגבוה של הקבוצה הפוליטית השלטת, ובתקופה המודרנית שיטה זו הונהגה בעיקר על ידי האדם הלבן כלפי אנשים בעלי צבע עור כהה.
באופן היסטורי, עמים כובשים רבים, ביניהם המונגולים, עמי הבנטו, והאצטקים, הנהיגו הפרדה גזעית בשטחם.
להלן מספר דוגמאות היסטוריות להפרדה גזעית:
לאחר שהתיקון ה-13 לחוקת ארצות הברית ביטל את העבדות בארצות הברית, אפליה גזעית הוסדרה בחוק באמצעות חוקי ג'ים קרואו, שהנהיגו הפרדה גזעית נוקשה.
למרות שחוקים אלו כוננו זמן קצר לאחר שהקרבות פסקו, הם נעשו רשמיים רק לאחר תקופת השיקום, בשנות ה-70 וה-80 של המאה ה-19, במה שנודע כתקופת השפל של יחסי הגזע בארצות הברית.
הפרדה חוקית זו נמשכה עד לשנות ה-60 של המאה ה-20, בעיקר באמצעות כוחם הפוליטי של אנשי המפלגה הדמוקרטית שהתבססה בזמנו על השמרנות הקיצונית במדינות הדרום.
ההפרדה התבטאה בשירותים ציבוריים כגון תחבורה ציבורית, מוסדות חינוך, מסעדות, פארקים ומגורים.
במהלך תקופה זו רשויות מקומיות רבות שיתפו פעולה עם ארגונים שדגלו בהפרדה גזעית והיו כופים, לפעמים באמצעות איומים ואלימות, על בעלי עסק לבנים להימנע מלמכור לשחורים.
כתוצאה מזה בסיטואציות רבות אמריקאים שחורים היו נוסעים במושב האחורי של האוטובוס מחוץ לעיר בשביל לרכוש עודפי מזון במחיר כפול.
בחלק מהמקרים הם היו נכנסים בטעות לשכונה לבנה או לעסק הלא נכון והיו מותקפים על ידי המקומיים.
על אף שדעת הרוב בפסק דין פלסי נגד פרגוסון ב-1886 קבעה שההפרדה הגזעית היא חוקתית תחת הדוקטרינה של "נפרד אבל שווה", דעת המיעוט של השופט ג'ון מרשל הרלן טענה שההחלטה היא ביטוי לתפיסה של "עליונות הגזע הלבן", וקבעה שהחוקה האמריקנית היא "עיוורת צבעים", שאינה מאפשרת הבחנות בין שחורים ללבנים.
ההפרדה הגזעית המוסדית הסתיימה כפרקטיקה רשמית באמצעות מאבקם של פעילים בתנועה לזכויות האזרח של ארצות הברית כגון רוזה פארקס, ומרטין לותר קינג.
תנועה זו פעלה בין 1955 ו-1968 לסיום האפליה כנגד אפרו-אמריקאים ולסיום ההפרדה הגזעית.
מאבקם היה לא אלים בעיקרו, והם נקטו בטקטיקה של מרי אזרחי, בפעולות כגון סירוב לפנות את הכיסא באוטובוס לאדם לבן (רוזה פארקס), והתיישבות הפגנתית במסעדות שיועדו ללבנים בלבד.
המאבק הוביל במידה רבה לחקיקת חוק זכויות האזרח ב-1964 וחוק זכויות ההצבעה ב-1965, שנתמך על ידי נשיא ארצות הברית דאז, לינדון ג'ונסון.
עד שנת 1968 כל צורות ההפרדה הגזעית הוכרזו כלא חוקתיות על ידי בית המשפט העליון של ארצות הברית, ובשנת 1970 כבר לא הייתה תמיכה בהפרדה גזעית חוקית ורשמית.
הפרדה גזעית רשמית הפכה לבלתי חוקית בבתי הספר, עסקים, צבא ארצות הברית, שירותים אזרחיים ובממשלה.