tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מהשוואה בין תיאורו של בן מתתיהו לגרסאות של נוסחים שונים של תרגום השבעים, מסיק כריסטופר בג כי בן מתתיהו הסתמך על מספר נוסחים שונים של הסיפור המקראי.
לאחר תיאור המקרה שהובא בפני שלמה מוסיף בן מתתיהו הערה שאינה מופיעה במקרא: .
לואיס פלדמן מציין שתיאור זה דומה לתיאור התמודדותו של אדיפוס עם חידת הספינקס במחזהו של סופוקלס "אדיפוס המלך".
הוא מצביע על כך שאצל שני האישים פתרון החידה הוא המבחן העליון לתבונתם, אך תבונה זו שבה הם תולים את מבטחם היא גם זרע חורבנם.
לדעת האמורא רב, שתי הנשים היו רוחות (שדות) שהתחזו לבני אדם; בדורות מאוחרים יותר זיהו חכמי הקבלה את הרוחות הללו עם השדות לילית ואגרת או לילית ונעמה.
לעומת זאת, אמוראים אחרים סברו כי היו אלה נשים אמיתיות.
חכמים אחדים ("רבנן") דרשו ששתי הזונות "יבמות היו" (קהלת רבה י, סימן יח, ומדרש שוחר טוב על תהילים, מזמור עב).
בין חז"ל היו שביקרו את שלמה על כך שחרץ משפט בלא עדים והתראה אלא על פי אומדנא, בניגוד לדיני התורה.
רבי יהודה בר אלעאי, תלמידו של רבי עקיבא, מגנה בחריפות את שלמה על הצעתו לגזור את הילד.
לדעתו שלמה התכוון באמת להמית את הילד, ורק התנגדותה של האם הצילה אותו.
לפי המדרש, רוח הקודש התערבה בפסק הדין והיא זו שהכריזה על זהות האם האמיתית.
לפי התלמוד הבבלי, התערבותה של רוח הקודש נדרשה כדי להסיר ספק שמא הערימה האם שחמלה כביכול על הילד על שלמה כדי שיפסוק לטובתה.
לדעת גלעד ששון, כוונתו המקורית של המדרש היא ששלמה התכוון לפסוק לטובת האם הלא נכונה, ונדרשה התערבות של רוח הקודש כדי לתקן אותו.
וכך נאמר במדרש קהלת רבה: .
כנגד זאת, במשנת רבי אליעזר (מדרש אגור) מסופר כי חכמים, בהתייחסם למשפט ששפט שלמה בלא עדים, .
באגדה שבמדרש תהילים נתפס משפט זה כמילוי בקשתו של דוד אבי שלמה מאלוהים, , כלומר, ששלמה יוכל לשפוט כאלוהים, בלי עדים והתראה:
סיפור זה – ליתר דיוק עד – הוא ההפטרה של פרשת מקץ.
מכיוון שבדרך כלל קוראים את פרשת מקץ בשבת חנוכה, ומפטירים בהפטרה המיוחדת לחנוכה, רק בשנים הנדירות יחסית שבהן קוראים את פרשת מקץ שלא בחנוכה, שנים מסוג זחא וזחג (כ-10% מהשנים), קוראים הפטרה זו.
יש זיקה ספרותית ועניינית בין ההפטרה לפרשת מקץ.
ההפטרה פותחת בפסוק האחרון של הסיפור הקודם למשפט שלמה, חלום שלמה בגבעון.
יש דמיון בין הפרשיות גם בתיאור חוכמתם של שלמה ויוסף.
ויאמר פרעה אל יוסף אחרי הודיע אלהים אותך את כל זאת אין נבון וחכם כמוך" (בראשית מא, לח–לט).
שאול זלבסקי מציין שבעלי ההפטרה ביקשו לרמוז לקשר בין עלייתם לגדולה של שלמה ויוסף: שניהם החלו בחלום, לאחר מכן הפגינו חוכמה בהשראה אלוהית, ולבסוף זכו למעמד נישא.
אברהם אבן עזרא השתמש במשפט שלמה כמוטיב אלגורי בפיוט "צמאה נפשי", המרמז לפולמוס היהודי-אסלאמי.
הכינוי "גברת אמת" רומז לשרה, שהיא ובנה יצחק מסמלים את העם היהודי ואת דתו; ואילו ה"שפחה" היא הגר, שפחתה של שרה, שיחד עם בנה ישמעאל מסמלת את העם הערבי ואת האסלאם.
באנלוגיה למשפט שלמה, הפייטן מציב את שתי הנשים בעימות זו מול זו, ושם בפי השפחה את הטענה שבנה של גברתה, כלומר יצחק, הוא הבן המת, ואילו ישמעאל בנה שלה הוא החי; רוצה לומר, אין עוד לעם היהודי המשכיות ותקומה והעם הערבי עתיד לרשת את מקומו.
בכנותו את שרה "גברת אמת" רומז הפייטן כי ההפך הוא הנכון, ושרה היא האם האמיתית.
מאוחר הרבה יותר (במאה הי"ט), העביר וורדר קרסון (קונסול ארצות הברית בארץ ישראל שהתגייר), את האלגוריה הזו של משפט שלמה אל תחום הפולמוס היהודי-נוצרי, הרחיב אותה והפכה למוקד חיבורו "מפתח דוד" (The Key of David, 1852).
קרסון רואה ביהדות את האם האמיתית, בניגוד לנצרות, הדת השקרית המתיימרת לרשת את גדולתה ואת בנה.
טענת הנצרות כי בנה הוא החי רומזת לאמונה הנוצרית בזהותו של ישו כבן האלוהים ולאמונתם בתחייתו לאחר צליבתו.
במקביל נרמזת כאן הטענה הנוצרית לפיה זנח האלוהים את ישראל, בנו-בחירו מן הברית הישנה, והחליפו במאמיניו של ישו.
על רקע אלגוריה תנ"כית זו ביקש קרסון לתאר את השיקולים והנסיבות ששכנעו אותו בצדקתה של היהדות על פני הנצרות ואת החלטתו להתגייר.
בספרו של מארק טוויין "הרפתקאותיו של האקלברי פין" מובא דו-שיח בין הנער האק לעבד השחור הנמלט ג'ים, המתייחס לפקודתו של שלמה לחצות את הילד.
לדעת ג'ים, הפקודה איננה מבטאת חוכמה כלל וכלל.
הוא מדגים בפני האק את הדילמה שעמדה בפני שלמה ואת האבסורד שבהכרעתו, תוך שימוש בשטר של דולר כהמחשה לילד: .
בתגובה טוען האק שג'ים החמיץ לחלוטין את משמעות הסיפור.
ג'ים מסביר לו שהמשמעות העמוקה יותר של הסיפור, והמפתח להבנת התנהגותו של שלמה, מצויים בתנאי חייו (לשלמה היו אלף נשים, ומן הסתם בנים רבים): .
לדברי מבקר הספרות סטיוארט לואיס, עמדותיהם השונות של האק ושל ג'ים משקפות את תנאי חייהם השונים.
עבור האק, האיום בחציית הילד הוא אבסורדי ואין הוא יכול להתייחס אליו ברצינות.
ג'ים לעומתו, שכבר חזה באלימות מזעזעת מצד בעלי עבדים או לפחות שמע על כך, תופס זאת כאפשרות מציאותית לחלוטין.
גם השימוש של ג'ים בשטר כדימוי לילד רומז למציאות שבה בעלי העבדים תופסים את עבדיהם כרכוש ותו לא, וההערה של ג'ים על אופיו האכזרי של שלמה כפועל יוצא של תנאי גידולו רומזת לסיבת אכזריותם של בעלי העבדים.
ג'ים מתגלה כמי שיכול ללמד את האק שיעור בטבע האדם.
אם נכונה הסברה שהפרסקו מפומפיי מייצג את סיפור משפט שלמה, הרי שמדובר בייצוג האמנותי הקדום ביותר של סצנה מקראית.
הפרסקו מוצג כיום במוזיאון הלאומי לארכאולוגיה של נאפולי.
הסיפור היה נושא פופולרי לגבי אמנים רבים, ובמקרים רבים הוא מעטר את קירותיהם של בתי משפט.
דוגמאות מפורסמות לציורים המתארים את הסיפור:
משפט שלמה ציור מאת פרנס פלוריס
"משפט שלמה" מאת ויליאם בלייק;
"משפט שלמה", ציור מעשה ידי מתיאס סטום
תגליף עץ מהאסכולה של בכרוניקת נירנברג;
ציורים מאת אנדראה מנטניה ומאת ניקולא פוסן;
תבליט בארמון הדוג'ה ברובע סן מרקו שבוונציה מאת אמן בלתי-ידוע;
ויטראז' מאת ז'אן שאסטלן בכנסיית בפריז.
הדילמה שעמדה בפני שלמה בבואו להכריע מי האם האמיתית משכה גם את תשומת לבם של מתמטיקאים, שהתייחסו אליה מנקודת הראות של תורת המשחקים והציעו בהשראתה מגוון מודלים תאורטיים.
סטיבן בראמס מנתח את הדילמה המוצגת בסיפור המקראי לאור עקרונות התאוריה.
המקרה מיוצג באמצעות משחק מטריצה, שבו שתי השחקניות (האם האמיתית והמתחזה) צריכות לבחור בין הסכמה עם פסק הדין, לבין מחאה.
בראמס בונה מטריצה שהתגמולים בה מבוססים על ההנחה שהמניע העיקרי של האם האמיתית הוא טובת הילד, ושל האם המתחזה – ריצוי המלך בכך שמסכימים עם פסק הדין שלו.
לפי הקריטריון הזה הוא מדרג את ארבע התוצאות האפשריות.
לפי הניתוח של בראמס, האסטרטגיה של האם האמיתית צריכה להיות מחאה על פסק הדין, בלי להתחשב בתגובתה של המתחזה.
התוצאות האפשריות מסוכמות בטבלה הבאה, כאשר 4 היא התוצאה המועדפת ו-1 הגרועה ביותר:
האם המתחזה מחאה הסכמה האם האמיתית מחאה 4,2 3,4 הסכמה 2,1 1,3
בשנת 1926, נטל השופט האמריקני את ההשראה ממשפט שלמה, כשהכריע במחלוקת בין אם ביולוגית לאם מאמצת בעניין משמורת על פעוטה.
הילדה, שנולדה מחוץ לנישואין, גודלה בידי דודתה, אחות אביה, כמעט מיום שנולדה.
כעבור שלוש שנים שבה האם הביולוגית – שבינתיים עזבה את אבי הילדה והתחתנה עם אחר – ודרשה לקבל את הילדה בחזרה לידיה, אך האם המאמצת סירבה.
לאחר ששמע את טענות הנשים, נהג השופט ברנאן בדומה לשלמה, והודיע על פסק דין מדומה: הילדה תילקח מאמה המאמצת ותימסר לבית יתומים.
מצלמות קולנוע הושתלו באולם מראש והוסוו, ותגובותיהן של שתי האמהות לפסק הדין המדומה צולמו בחשאי, ולאחר מכן נותחו על ידי ברנאן בסיוע פסיכולוגים מומחים.
את הילדה החליט ברנאן למסור לידי האם המאמצת, שהפגינה לדבריו תגובה רגשית עזה לאין שיעור מהאם הביולוגית.
התכסיס שנקט ברנאן לא סייע למעמדו הציבורי ולכבודו של בית המשפט, והשופט גונה כמי שעשה שימוש בפעלול זול ממניעים של תאוות פרסום.
יתרה מזאת, התכסיס לא עלה יפה: בסופו של דבר נאלץ ברנאן לשנות את החלטתו, כשהתברר שהאם הביולוגית לוקה בשמיעתה ולא הבינה את ההכרזה על פסק הדין המדומה.
כפשרה הוחלט על משמורת משותפת.
משפט שטיינר-הויגנס (נקרא גם משפט הצירים המקבילים, או רק משפט שטיינר, נקרא על שם יאקוב שטיינר וכריסטיאן הויגנס אשר הוכיחו אותו) הוא משפט במכניקה העוסק במומנטי התמד של המסה ומומנט התמד של שטח חתך.
לפי המשפט, המומנט סביב ציר כלשהו שווה למומנט סביב מרכז הכובד, ועוד ריבוע המרחק בין הציר למרכז הכובד, כפול קבוע.
בכך המשפט אנלוגי לפירוק התוחלות , כאשר היא השונות של המשתנה המקרי X.
אם ידוע לנו מומנט ההתמד של גוף או של שטח סביב ציר העובר דרך מרכז המסה שלו, אזי נוכל למצוא את מומנט ההתמד שלו בקלות סביב כל ציר מקביל אחר המרוחק מרחק מהציר הראשון באמצעות משפט שטיינר-הויגנס.
בנוסף, נפוץ השימוש במשפט על מנת לחשב במדויק שינויים במומנט התמד סביב ציר נתון בשל שינוי מרכז המסה (הוספת\החסרת משקל).
משפט שטיינר-הויגנס מנוסח עבור מומנטי התמד של המסה:
משפט שטיינר-הויגנס מנוסח באופן דומה עבור מומנטי ההתמד של השטח:
- הוא מומנט ההתמד סביב ציר נתון S.
- הוא מומנט ההתמד סביב ציר C.
- הוא מומנט ההתמד של הגוף סביב ציר C העובר במרכז המסה שלו.
- היא מסת הגוף שאת מומנט ההתמד שלו מחשבים.
- הוא שטח החתך שאת מומנט ההתמד שלו מחשבים.
- הוא המרחק בין ציר לבין ציר
מומנט ההתמד עבור ציר המקביל לציר שמומנט ההתמד עבורו ידוע, שווה לאותו מומנט התמד ועוד מסת הגוף או שטח הגוף כפול המרחק בין הצירים בריבוע.
משפט שטיינר-הויגנס שימושי גם במכניקה של גוף תלת־ממדי וגם בתחום הסטטיקה, בהנדסה אזרחית ובהנדסת מכונות עבור חישוב מומנטי התמד סביב צירים כלשהם כאשר ידוע מומנט ההתמד סביב ציר מסוים, בדרך כלל מרכז המסה או מרכז הכובד.
נתוני מומנטי ההתמד סביב מרכז הכובד מופיעים בלוחות טכניים.
עבור גוף קשיח כלשהו, מניחים, ללא הגבלת הכלליות, כי במערכת צירים קרטזית המרחק האנכי מציר s, לציר סיבוב מקביל לו, העובר דרך מרכז המסה, הוא לאורך ציר ה-x ,כך שציר הסיבוב מקביל לציר ה-z.
לצורך החישוב, נוח למקם את ראשית הצירים במרכז המסה של הגוף.
לפיכך, מומנט ההתמד של הגוף יחסית למרכז המסה הוא:
מומנט האינרציה ביחס לציר הנתון s (המצוי במרחק לאורך ציר ה-x, ממרכז המסה) הוא:
על ידי פתיחת הסוגריים וליניאריות האינטגרל, מתקבל:
האיבר הראשון הוא , האיבר השני הוא , ואילו האיבר השלישי מתאפס משום ש-x נמדד ממרכז המסה (האינטגרל שווה, עד כדי כפל במסה הכוללת, למיקום רכיב ציר ה-x של מרכז המסה, וביחס למרכז המסה ערכו של רכיב זה הוא 0).
ניתן להוכיח באופן דומה כי בהינתן Jij טנזור ההתמד (טנזור האינרציה) ביחס לנקודה P שרירותית ו- Iij, טנזור האינרציה ביחד למרכז המסה G, מתקיים:
הוא הווקטור המחבר בין P ל- G, ו- הוא הדלתא של קרונקר.
נשים לב שאם טנזור ההתמד הוא אלכסוני, נקבל את המקרה הפשוט המצוין לעיל.
(הערה - הווקטורים העצמיים אשר מלכסנים את טנזור ההתמד התלת־ממדי הם הצירים הראשיים של המערכת.
במקרה ולגוף יש סימטריות לסיבוב, צירי הסיבוב יתלכדו עם הצירים הראשיים).
משפטים שוברי שיניים או מוקשי לשון הם משפטי שעשוע אשר נוצרו לשם האתגר שבהגייתם.
לרוב, הקושי במשפטים מסוג זה נוצר מחזרה על מספר עיצורים בודדים או ההחלפה של מספר עיצורים דומים לסירוגין (למשל ס' ו-ש').
משפטים כאלה קיימים כמעט בכל שפה ולרוב יוצרים שעשוע גם באתגר ההגייה וגם בהיגיון שבתוכן המשפט.
ישנם שירים או ספרים שכתובים רק במשפטים מסוג זה כגון השירים "גנן גידל דגן בגן" שהושר בפסטיבל שירי הילדים והספר Fox in Socks של דוקטור סוס.
אני לא מהמהמרים הממהרים מההרים המוארים, אני מהמהמרות הממהרות מהמערות המוארות.
אישה נעלה נעלה נעלה נעלה את הדלת בפני בעלה.
סשׁה שׂמה שׁום בסושׁי, שׁום בסושׁי שׂמה סשׁה.
כמה חול יכול החול לאכול בכל ימות החול אם בכלל יכול החול לאכול חול בכל ימות החול?
הם לא מהממהרים הן מהממהרות.
נחש נשך נחש לחש נחש בחש נחש חשש נחש.
פון אלעסק ביז קען בריסק טראגט א פיקס א ליקס אין בּיסק.
במתמטיקה קיימים שני משפטים המכונים בשם משפט תָאלֵס, על שמו של תָאלֵס איש מילֵטוֹס.
בגאומטריה אוקלידית, משפט תאלס קובע שישרים מקבילים חותכים משני שוקי זווית קטעים בעלי יחסים שווים.
באמצעות ערך משולש ניתן להגיע לשוויונות נוספים, כמו .
ההרחבה הראשונה קובעת שגם היחס בין אורכי הקטעים הנוצרים מהישרים המקבילים בתוך שוקי הזווית, שווה ליחס בין אורכי הקטעים שהישרים המקבילים יוצרים משוקי הזווית.
משפט תאלס הפשוט מתייחס רק למקרה שבו הישרים המקבילים נמצאים מאותו צד של קודקוד הזווית.
ההרחבה השנייה קובעת שמשפט תאלס נכון גם אם הישרים אינם מאותו צד של קודקוד הזווית.
למשל, בציור שמשמאל, אם , אז .
בוחנים את המשולש ואת המשולש .
בשני משולשים אלו, צלע, והגובה מ- ל- שווה לגובה מ- ל-.
לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר
אם מחברים לשני האגפים את שטח המשולש , מקבלים
מורידים גובה מ- ל-, וגובה מ- ל-.
מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, נקבל:
סידור מחדש יוביל אותנו לתוצאה הבאה:
גם שטחי משולשים אלה שווים, מכיוון שהם בעלי בסיס משותף וגובהם הוא המרחק בין המקבילים
נשתמש בגבהים שהורדנו על מנת לבטא את שטחי המשולשים ו-:
סידור מחדש יוביל לתוצאה הבאה:
לאחר החלפת מקומות על האלכסון, מקבלים:
אם מוסיפים לשני האגפים את שטח המשולש , מקבלים
מחלקים את שני האגפים בשטח המשולש , ונקבל
מכיוון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, מקבלים:
על הקטע , מסמנים נקודה , כך ש-.
מכיוון ש- וש-, מקבילית, ולכן
לכן, על פי משפט תאלס, (כאשר מתייחסים לזווית )
בגאומטריה האוקלידית, משפט תאלס קובע שהזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה: אם הנקודות , ו- מונחות על מעגל והקו עובר דרך מרכז המעגל, אז הזווית שווה לתשעים מעלות.
משפט זה היה ידוע ככל הנראה באופן אמפירי כבר למצרים והבבלים, אבל הם לא עסקו בהוכחות גאומטריות, וממילא לא סיפקו הוכחה גם למשפט זה.
ההוכחה הראשונה מיוחסת לפילוסוף והגאומטרן היווני תאלס ממילטוס, שעל-שמו קרוי המשפט.
ההוכחה מסתמכת על שתי עובדות ידועות, שגם אותן מייחס אוקלידס בספרו, "יסודות", לתאלס.
זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים, שוות זו לזו.
סכום הזוויות במשולש שווה ל-180 מעלות.
נסמן ב- את מרכז המעגל.
מכיוון שהנקודות , ו- מונחות על המעגל, מתקיים , ולכן המשולשים ו- שניהם שווי-שוקיים.
לפי העובדה הראשונה שהוזכרה לעיל, וכן .
נסמן את הזווית הראשונה באות , ואת השנייה באות .
סכום הזויות במשולש ABC הוא , ואם נחלק את שני האגפים בשניים ונקבל .
המשפט, כפי שהוצג כאן, קובע שאם משולש חסום במעגל באופן שאחת מצלעותיו היא קוטר, אז המשולש הוא ישר-זווית.
גם ההפך נכון, וכך אפשר לנסח את המשפט באופן סימטרי:
המרכז של מעגל החוסם משולש מונח על אחת מצלעותיו, אם ורק אם המשולש החסום הוא ישר-זווית.
משפט תאלס הוא מקרה פרטי של המשפט שלפיו זווית מרכזית המונחת על מיתר במעגל כפולה תמיד מן הזווית ההיקפית.
משפט תאלס השני משמש למשל:
השם לשני המשפטים ניתן במחצית השנייה של המאה ה-19 בצרפת ובאיטליה מחד ובגרמניה מאידך.
באותה עת גברה ההתעניינות בהיסטוריה של המתמטיקה והתחקות אחר מקורותיה.
לכך התחבר צורך דידאקטי: לתת שמות למשפטים שנחשבו מרכזיים בספרי הלימוד.
בחירת שמות מתמטיקאים מהעת העתיקה ובפרט מיוון, ערש התרבות המערבית, עשוי היה להקנות ערכים של חשיבות ומסורת.
הבחירה במשפטים שונים בצרפת ובגרמניה היא עדות לשוני בשתי המדינות בגישה לגאומטריה.
הצרפתים הושפעו מספרו של אדריאן-מארי לז'נדר "יסודות בגאומטריה".
לז'נדר הקדים את חקירת המעגל (פרק שלישי בספר יסודות של אוקלידס) לחקירת המשולש והמקבילית (פרקים ראשון ושני).
הגאומטריה האפינית והגאומטריה הפרויקטיבית שהתפתחו באותה תקופה העמידו במרכז את היחסים בין קטעים בעוד שאצל אוקלידס הם מופיעים בפרק שש כדמיון משולשים.
הפיכת סדר הפרקים הצביעה על שינוי מהותי בתפישה.
לפיכך בחרו הצרפתים במשפט שדן ביחסים בין קטעים.
הגרמנים דגלו בגאומטריה האוקלידית, הקפידו על הסדר שבספרו ומרכזיות משפט פיתגורס ולכן בחרו במשפט שמתחבר לנושא המשולש (משולש התחום במעגל).
מדינות שהושפעו מהגישה הצרפתית היו: ספרד, בלגיה ורוסיה.
מדינות שהושפעו מהגישה הגרמנית היו: אוסטריה, הונגריה וצ'כוסלובקיה.
עד שנות העשרים של המאה ה-20 ספרי הלימוד ביוון בחרו בגישה הגרמנית ואז זו הוחלפה בגישה הצרפתית.
באנגליה וארצות-הברית לא נעשה שימוש בשמו של תאלס למשפטים אלה באותה תקופה.
בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ, שנקרא גם משפט שטולץ-צ'זארו, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים.
לפי המשפט, הגבולות ו- שווים זה לזה תחת תנאים מסוימים.
תהא סדרה כלשהי, ותהא סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף.
אם הסדרה מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול , אז גם הסדרה מתכנסת לאותו הגבול.
נוכיח את המקרה בו סופי.
לפי הגדרת הגבול, קיים טבעי, כך שלכל מתקיים
כיוון שהסדרה מונוטונית עולה ממש, , כלומר וניתן להכפיל בו את האי שוויון.
יהא טבעי כלשהו כך ש- (בהכרח קיים כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף).
מסכימת האי שוויון לעיל לכל נקבל את האי שוויון הבא:
נחלק את אי השוויון ב- ונקבל
לכן קיים טבעי כך שלכל
כן ברור כי לכן קיים טבעי כך שלכל מתקיים .
לפיכך, אם נבחר , נקבל שלכל יתקיים:
נחשב את הגבול כאשר .
נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: עולה ושואפת לאינסוף.
השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.
הממוצעים המשוקללים של מתכנסים לאותו גבול כמו (זאת בתנאי שסדרת המשקולות מקיימת ).
הממוצע החשבוני של מתכנס לאותו גבול כמו (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
הממוצע ההרמוני של מתכנס לאותו גבול כמו .
משתי הטענות האחרונות, מאי שוויון הממוצעים ומכלל הסנדוויץ' נובע כי גם הממוצע הגאומטרי של מתכנס לאותו גבול כמו .
משפט שֵמָני הוא מונח בדקדוק העברי המתאר משפט אשר נשואו איננו פועל נוטה אלא שם עצם, שם תואר או צירוף יחס, זאת בניגוד למשפט פועלי.
מכך נובע שמשפט ללא פועל הוא תמיד משפט שמני, אבל ההפך איננו בהכרח נכון, אלא תלוי בניתוח הבלשני.
בעברית נהוג לנתח את הפעלים המיוחדים "היה", "הפך" ו"נעשה" (על נטיותיהם) כאוגד ולא כנשוא.
לדוגמה, לפי ניתוח זה שני המשפטים הבאים הם משפטים שמניים:
ניתוח אחר עשוי לראות רק בדוגמה הראשונה משפט שמני אמיתי.
משפטים שמניים קיימים בשפות נוספות, למשל ערבית, רוסית, סינית (במקרים מסוימים), הונגרית (במקרים מסוימים) ועוד.
רוב השפות ההודו-אירופיות, לעומת זאת, אינן מאפשרות משפטים ללא פועל, או אוגד דמוי פועל.
כך לדוגמה, משפט שמני עברי יתורגם לאנגלית תוך שימוש בפועל ההוויה to be:
למעשה, המינוח משפט שמני נכנס לדקדוק העברי בהשראת הדקדוק הערבי המסורתי, אך הוא אינו משמש באותו אופן.
בדקדוק הערבי, משפט שמני (جملة اسمية, ג'מלה אסמיה) הוא משפט שפותח בשם עצם, בין אם בהמשך מופיע פועל או שם עצם כנשוא.
כך, שני המשפטים הבאים ינותחו בערבית כמשפטים שמניים:
משפט תבנין (Thévenin) למעגלים חשמליים ליניאריים קובע שכל צירוף של מקורות מתח, מקורות זרם ונגדים בעלי שני הדקים שקול חשמלית למקור מתח יחיד ונגד יחיד המחובר אליו בטור.
המשפט שימושי לצורך ניתוח של רשתות חשמליות.
עבור מעגלי זרם חילופין (AC) הפועלים בתדירות יחידה, המשפט ניתן ליישום גם לגבי אימפדנסים כלליים, ולא רק לנגדים.
המשפט קובע שניתן להפוך מעגל הבנוי ממקורות מתח ונגדים לשקול תבנין, שהוא שיטת פישוט המשמשת לניתוח מעגלים.
ניתן להשתמש בשקול תבנין כמודל לאספקת כוח או לסוללה (כאשר הנגד מייצג את ההתנגדות הפנימית והמקור מייצג את הכוח אלקטרו מניע).
המעגל מכיל מקור מתח אידיאלי בטור לנגד אידיאלי.
המשפט התגלה לראשונה על ידי המדען הגרמני הרמן פון הלמהולץ בשנת 1853, ונתגלה שוב בשנת 1883 על ידי מהנדס הטלגרף הצרפתי לאון שארל תבנין.
במציאת שקול תבנין יש להבחין במעגל המקורי בין חלק המעגל שאותו רוצים להחליף בשקול, לבין חלק המעגל המוגדר כעומס, ואותו אין מחליפים.
כדי לחשב את המעגל השקול, יש לדעת את ההתנגדות ואת המתח - שני נעלמים, ולכן דרושות שתי משוואות.
מקבלים שתי משוואות אלו בדרך כלל על ידי ביצוע השלבים הבאים, אם כי כל זוג תנאים שמציבים על הדקי המעגל יעבדו:
חישוב מתח ההדקים בתנאי נתק, כלומר כאשר לא מחובר נגד עומס בין ההדקים - התנגדות אינסופית.
חישוב זרם ההדקים בתנאי קצר, כלומר כאשר ההדקים מקוצרים - התנגדות אפס.
המעגל השקול הוא מקור מתח שמתחו בטור לנגד שהתנגדותו .
(הנגד אינו נלקח בחשבון מאחר שהחישוב נעשה בתנאי נתק בין A ל-B, כך שלא זורם זרם דרך ולכן גם לא נופל עליו מתח)
שקול נורטון כולל מקור זרם ונגד המחובר אליו במקביל.
שקול נורטון קשור לשקול תבנין על ידי המשוואות הבאות:
משפט תבנין לא תקף עבור מערכת לא ליניארית.
מעגלים רבים ליניאריים רק עבור תחום מסוים של עומסים.
שקול תבנין הוא שקול רק מנקודת המבט של העומס.
צריכת ההספק בתוך שקול תבנין לא מייצגת את צריכת ההספק בתוך המערכת האמיתית.
במשפט תבנין אין לקצר ולנתק מקורות תלויים .
בגאומטריה אוקלידית, משפט תַּלְמַי מתאר קשר בין ארבע הצלעות של מרובע החסום במעגל לבין אלכסוני המרובע.
המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי והאסטרונום היווני בן המאה השנייה, פטולמאוס קלאודיוס המוכר בקצרה בשם תַלְמַי.
ניסוח המשפט: אם במרובע ABCD סכום זוג זוויות נגדיות אחד שווה לסכום הזוג השני, כלומר: , אז:
מכיוון שכל מרובע המקיים ניתן לחסום במעגל,
הרי שאת המשפט ניתן לנסח גם באופן הבא:
בכל מרובע ציקלי, סכום מכפלת הצלעות הנגדיות שווה למכפלת האלכסונים.
המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל מרובע שסכום מכפלת צלעותיו הנגדיות שווה למכפלת אלכסוניו, ניתן לחסום במעגל.
בניית עזר: נקצה ישר מקודקוד B החותך את הצלע AC בנקודה K כך ש (במקרה הפרטי של ריבוע הישר מתלכד עם האלכסון).
, כיוון שהן זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת .
משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים AKB, DCB דומים, ולכן
משני הסעיפים הקודמים, נובע כי המשולשים KBC, ABD דומים, ולכן
נחבר את שני השוויונות הנ"ל ונקבל: AB·CD + BC·DA = (AK+CK)·BD ;
אי-שוויון תלמי והכיוון ההפוך למשפט
כל מרובע ABCD מקיים את אי-השוויון .
שוויון מתקיים אם ורק אם ניתן לחסום את המרובע במעגל.
משפטו של רפי נלסון אילון היה משפט שנערך בשנים 1957–1960 שבו הועמד לדין רפי נלסון, עיתונאי ואיש בוהמה ישראלי, על מסירת סודות צבאיים לשלטונות מצרים.
באביב 1957, עם השלמת נסיגת צה"ל מסיני ומעזה, רצתה ממשלת ישראל לבדוק אם יישמר חופש השיט במצרי טיראן.
בריגיטה טופט, אוניית משא דנית, נחכרה על ידי חברת צים, ועברה לראשונה, לאחר הנסיגה, את מצרי טיראן בדרכה לאילת, בחודש מרץ 1957. ביולי אותה שנה נעשה ניסיון להעביר את הבריגיטה טופט בתעלת סואץ בדרכה מבורמה לחיפה.
שלטונות מצרים לא עיכבו את הספינה בעברה בתעלה ב-22 ביולי 1957 ואנשי רשות התעלה אף אמרו לקברניט כי לא ימנעו את מעברן בתעלה של ספינות זרות שנחכרו על ידי ישראל להעברת סחורות פרטיות אליה.
אנשי משטרה ומכס מצרים עלו על הספינה בנמל העיר סואץ וערכו בה חיפוש מדוקדק לראות אם אין כלי נשק וציוד צבאי.
משהללו לא נמצאו קראו המצרים לנלסון שהפליג בספינה כעיתונאי כדי לסקר את מסעה עבור השבועון "העולם הזה", בכיסוי של איש צוות, אל חדר האוכל של הספינה, שם נחקר על ידי הקצינים המצרים.
השיחה הייתה ידידותית, אך כעבור שעתיים קיבלו הקצינים הוראה להורידו מן הספינה.
הקברניט מחה על כך אך המצרים הודיעו לו כי אינם מוכנים להרשות לישראלי לעבור בתעלה, וכי הוא יוחזר לספינה ביציאתה מן התעלה בפורט סעיד.
למרות זאת עצרו המצרים את נלסון והחזיקו אותו במעצר כעשרים יום, שלאחריהם הוא עתיד להשתחרר ולהגיע לישראל.
עם שובו לישראל גולל נלסון בפני עיתונאים שנקבצו סביבו בקפה "כסית" בבאר שבע את סיפור מעצרו ותלאותיו במצרים.
לדבריו הוא הועבר, אחרי הורדתו מן הספינה, לכלא בעיר סואץ ולמחרת הועבר במכונית לאסמאעיליה.
כבר בעת הנסיעה החלו שומריו להכות אותו מכות נמרצות וכשהגיעו לעיר הוא הוכנס לכלא.
הוא נצטווה לעמוד על רגליו שעות רבות וכאשר ניסה לשבת הוא הוכה על ידי חיילים בקתות רובים ובמקלות גומי עם קצוות פלדה.
כשנתברר לחוקריו כי אינו שולט בערבית החלו לחקור אותו באנגלית.
חוקריו הטיחו בפניו כי הוא קצין צה"ל והוא השיב כי הוא ימאי ומשירותו בצה"ל שוחרר כנכה.
ב-3 באוגוסט הועבר לכלא בקהיר וגם שם הוכה קשות על ידי חוקריו, הוטל על הרצפה, ידיו נקשרו בחוטי ברזל ויומיים לא באו אוכל ומים לפיו.
לאחר מכן ניתנו לו אוכל ומים אך לא מיטה לשכב בה.
רק ביום הרביעי קיבל שמיכה.
בתום ארבעת הימים הוכנס לתא כלא וחדלו מלהכותו.
כשנמסר לו כי עומדים להשיבו לישראל, ביקש כי יתנו לו לראיין כעיתונאי את נשיא מצרים.
ב-3 באוגוסט הופיע אצלו קצין צבא בדרגת סרן ואמר לו כי עומדים לקחתו לנשיא.
הוא גולח והולבש בבגדים ראויים והוכנס למכונית.
בהכנסו למכונית נתקבל בברכת שלום בעברית ונתברר לו כי המלווה שלו הוא קריין "קול הרע"ם מקהיר", תחנת הרדיו ששידרה דברי תעמולה מקהיר בשפה העברית לתושבי ישראל.
הקריין אחמד טחב שמו, לקח את נלסון לסיור בעיר קהיר, במוזיאונים, בארמון המלך פארוק ולגדת הנילוס.
לאחר מכן הביא אותו לתחנת השידור של "קול קהיר", שם הוקלט כשהוא משוחח עם הכתב ודבריו שודרו לאחר מכן כתעמולה מצרית לישראל.
לאחר הביקור בקהיר הוחזר נלסון לכלא, שם הוחזק עד שבהתערבות האו"ם הגיע מועד שחרורו והוא הוסע ברכבת נוסעים לעזה כשקהל הנוסעים מגדף אותו.
בהגיע הרכבת לתחנת עזה ניסה הקהל לעשות בו לינץ' ועד שהגיעו אנשי המשטרה הצבאית המצרית לחלצו ספג כבר מכות נמרצות.
ב-14 באוגוסט 1957 נמסר נלסון לידי נציגי ישראל במעבר הגבול לרצועת עזה.
על פי נוהל המקובל בכל שירות מודיעין עומד כל מי שחוזר ממדינת אויב או מטריטוריה עוינת ("עובר גבול" במינוח הצה"לי) לחקירה.
נלסון נחקר על ידי קצין מודיעין ובחקירתו התעורר חשד כי נלסון מסר ידיעות צבאיות למצרים והוחלט להביאו בפני שופט חוקר, הליך שהיה קיים על פי כללי הפרוצדורה הפלילית שהיו בתוקף באותה עת.
בספטמבר 1957 החלה חקירתו של נלסון בפני שופט חוקר בירושלים.
בפני השופט הוצגו דו"ח החקירה של חוקר המודיעין הצבאי שחקר את נלסון עם שובו לישראל וכן עדותו של אילון במשטרת ישראל שנמסרה עם שובו.
ממסמכים אלו עלה כי נלסון הצביע בפני קצין מצרי בדרגת סגן-אלוף, שחקר אותו בקהיר, על מיקומם בתצלומי אוויר של מתקנים צבאיים וביטחוניים באילת, לרבות מגדל הפיקוח ומסלול הנחיתה של נמל התעופה אילת, בסיס צה"ל באילת, נמל אילת וכן על מיקומם של אתרים אזרחיים בעיר.
מדו"חות החקירה נתברר כי נלסון סיפר לחוקריו כי מסר את המידע לקצין המצרי, לאחר שהלה הבטיח לו כי אם ישתף פעולה יינתן לו לראיין את נשיא מצרים גמאל עבד אל נאצר, הבטחה שלא קוימה.
סנגורו של נלסון, עורך הדין יעקב הגלר, מבכירי עורכי הדין בישראל באותה עת, טען נגד ראיות אלה כי אילון לא מסר את הידיעות למצרים מתוך כוונה פלילית לפגוע בביטחון המדינה ואף לא מרצונו הטוב, אלא מחמת לחץ פיזי שהפעילו עליו המצרים שהיכוהו ומנעו ממנו מזון.
ב-7 באוקטובר 1957 פסק השופט החוקר כי נלסון יועמד לדין בבית המשפט המחוזי.
ב-27 ביולי 1958 החל משפטו של נלסון להתנהל בבית המשפט המחוזי בירושלים בהרכב של שלושה שופטים.
קצין המשטרה שחקר את נלסון שבועיים לאחר שובו לישראל מסר לבית המשפט את תוכן הודאתו של הנאשם.
הסנגור התנגד להגשת ההודאה בטענה שהיא הוצאה מן הנאשם שלא מרצונו החופשי, אלא בלחץ קציני המשטרה.
עקב טענה זו התנהל בבית המשפט הליך של משפט זוטא, שנועד להכריע אם ההודאה נמסרה מרצון חופשי.
המשך המשפט התעכב בגלל מחלה של נלסון.
ב-10 במאי 1959 נשמעה, במסגרת הליך זה, עדותו של קצין המודיעין.
בהמשך המשפט, שדיוניו גלשו כבר לשנת 1960, חזר בו נלסון מן הכפירה באשמה.
לאחר ההודאה נשמעו עדי אופי מטעם ההגנה, האלוף במילואים שלמה שמיר ויושב ראש ארגון נכי צה"ל.
פרקליט המחוז טען בטיעוניו לעונש כי לנאשם "הייתה אמביציה מהולה בחוש הרפתקני" וכי את הידיעות למצרים מסר מתוך תקווה לזכות בריאיון עם נאצר.
הוא הוסיף כי אין התביעה רואה את נלסון כבוגד בעמו, אולם כמי שמסר מידע כדי להשיג תועלת לעצמו, אף שידע כי בכך פוגע הוא בביטחון המדינה.
ב-11 בפברואר 1960 חרץ בית המשפט את הדין.
השופטים נעתרו לבקשתו של הסנגור שלא להטיל עונש מאסר בפועל על הנאשם.
בית המשפט פסק כי "אם נקלע, אפילו באשמתו, למצב ביש שבו מצא את עצמו נאלץ למסור לאויב ידיעות שתועלתן אינה גדולה, קיימת הצדקה להתחשב בהקרבתו ונאמנותו למדינה בעבר, ולפי עדויות מכריו, גם בהווה".
בנימוקיהם ציינו השופטים כי נלסון הושפע משני גורמים, מחד חשש מפני עינויים נוספים ומאידך הושפע על ידי האפשרות להשיג ריאיון עם נשיא מצרים.
הנאשם נדחף מתוך "יצר הרפתקנות" להיות העיתונאי הישראלי הראשון שיראיין את עבד אל נאצר.
עם זאת, אין הוא טיפוס של מרגל, שהגיע למצרים כשהוא מתכוון מראש למסור ידיעות שיהיו לתועלת האויב או לפגוע בביטחון המדינה.
בית המשפט ציין כי מן הידיעות שמסר נלסון למצרים לא יכולה הייתה לצמוח למצרים תועלת רבה.
רוב הידיעות הללו נתפרסמו בעיתונות הישראלית, בחלקן הניכר גם על ידי שבועון צה"ל "במחנה".
רבות מהן גלויות לכל תייר או מלח זר המגיע לאילת.
השופטים ציינו גם את שיתוף הפעולה של נלסון עם חוקרי הצבא והמשטרה עם שובו לישראל.
יחד עם זאת לא התעלם בית המשפט מהאופי החמור של הרפתקה מעין זו, שיש בה כדי לגרום לתוצאות חמורות יותר מאלו שנגרמו הפעם.
בגזר דינו הטיל בית המשפט על נלסון קנס בסך 1,000 לירות ומאסר על תנאי של שנתיים אם יעבור במשך שלוש שנים על עבירה מסוג פשע או עבירה כלשהי נגד ביטחון המדינה.
משפט שפלי שוביק הוא משפט מתחום תורת המשחקים, הקובע כי הליבה של משחק שוק אינה ריקה.
הערה: המשפט מסתמך על כך שמשחק שוק נגזר משוק שבו פונקציות הייצור הן רציפות וקעורות.
הוכחת המשפט משתמשת במשפט בונדרבה-שפלי.
נוכיח כי משחק שוק הוא משחק מאוזן, כלומר, תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים.
במהלך ההוכחה נשתמש בסימונים המופיעים בערך משחק שוק.
נסמן ב- את קבוצת כל ההקצאות עבור קואליציה :
כאשר הוא סך המצרכים העומד לרשות הקואליציה .
נגדיר את התשלום לקואליציה בצורה הבאה: , כאשר היא פונקציית הייצור.
לכל קואליציה נבחר הקצאה שבה מתקבל המקסימום בהגדרת .
, כאשר הוא הסל ההתחלתי של שחקן i.
נראה כעת כי המשחק הוא משחק מאוזן.
יהי , כאשר הוא אוסף כל הקואליציות הלא ריקות ב-, ו- היא קבוצת כל וקטורי המקדמים המאזנים חלש את .
נראה כי הוא הקצאה אפשרית:
כי הוא ממוצע של וקטורים ב-.
מכיוון ש- ועל ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:
הוא וקטור מקדמים מאזנים, כלומר -
כלומר הוא אכן הקצאה אפשרית.
אי השוויון האחרון נובע מקעירות הפונקציות .
על ידי שינוי סדר סכימה, נקבל:
כיון ש- הוא וקטור מקדמים מאזנים חלש כלשהו, נובע מכאן כי תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים, ולכן הליבה של המשחק אינה ריקה.
משפט שאחטי היה משפט ב-1928 בברית המועצות נגד קבוצה גדולה של מהנדסים ומומחים בתחום מכרות פחם שעבדו במכרות בסביבת העיר שאחטי (ברוסיה המודרנית, בקרבת הגבול עם אוקראינה).
השם הרשמי של המשפט היה "פרשת פעילות כלכלית אנטי מהפכנית באזור דונבס".
על ספסל הנאשמים ישבו 53 אנשים, על 11 מהם נגזר גזר דין מוות.
הפרשה החלה ביוזמת נציג ג.פ.או בצפון קווקז יפים יבדוקימוב.
יבדוקימוב הכין דו"ח לפיו תקלות שהיו במכרות פחם באזור הם תוצאה של פעילות ארגון אנטי-סובייטי שכולל מומחים טכניים בתחומים שונים.
בעקבות הדו"ח הוקם צוות חקירה מיוחד בהרכב של 12 חוקרים.
מטרת הצוות היה להביא את הנאשמים להודות ולתת לכל הפרשה גוון אנטי-שלטוני.
במהלך החקירות נעצרו כמה מאות אנשים.
חלק קטן של הנעצרים שוחרר ללא השלכות, 82 אנשים הואשמו על ידי מוסדות ג.פ.או ו-53 הועברו למוסקבה למשפט פומבי.
עוד לפני המשפט פורסמו מאמרי מערכת בעיתונות המרכזית (פראבדה ואיזבסטיה) וראשי המדינה התבטאו בנושא הפרשה.
יוסיף סטלין וחברי פוליטביורו השגיחו על הטיפול בפרשה ונתנו "אור ירוק" לכלול בה גם אזרחים זרים.
המשפט התקיים במוסקבה, החל ב-18 במאי 1928 ונמשך עד לסוף יוני.
ישיבות הוכרזו כמושב מיוחד של בית המשפט העליון ונוהלו בראשות אנדריי וישינסקי.
מטעם התביעה השתתפו 6 משפטנים ועל הגנת הנאשמים הופקד צוות של 15 עורכי דין.
בין הנאשמים היו 3 אזרחי גרמניה.
23 נאשמים כפרו בכל אשמה ו-10 הכירו באשמה באופן חלקי.
התביעה טענה שארגון בו הנאשמים היו חברים פעל כדלקמן:
הוא כלל לא רק עובדי תעשיית הפחם באזור דונצק אך גם חדר להנהלת משרד למכרות פחם במוסקבה.
הוא היה קשור לארגונים דומים בענפי תעשייה אחרים
הוא היה קשור לארגונים מחוץ לגבולות ברית המועצות
הוא תכנן לעזור באופן פעיל לאויבי המדינה במהלך המלחמה הקרובה
הארגון פעל על חשבון בעלים הקודמים של המכרות ופעל לשמירת מרבצים יקרים לעתיד
בהתאם להחלטות השופטים 11 נאשמים קיבלו עונש מוות, 5 מהם הוצאו להורג ב-9 ביולי 1928. ל-6 נותרים העונש הומתק ל-10 שנות מעצר.
ארבעה נאשמים שוחררו (מהם 2 גרמנים) ארבעה נוספים קיבלו עונש על תנאי (מהם גרמני אחד).
יתר הנאשמים נשפטו לתקופות מעצר עד ל-10 שנים.
עורך דין אלפונס וורמס (ממוצא גרמני) שהיה עורך הדין של אזרחי גרמניה לאחר המשפט איבד את הרישיון, פוטר מעבודה ובשנת 1939 הוצא להורג.
לחוקרי ג.פ.או שעבדו על הכנת התיקים הוענקו עיטורי הדגל האדום של העמל.
בעקבות המשפט דרש יוסיף סטלין להמשיך במאבק נגד מתנגדי המהפכה שפועלים נגד פיתוח המשק הסובייטי.
בשנת 2000, כתשע שנים לאחר התפרקות ברית המועצות, בדק בית המשפט העליון של רוסיה את מסמכי המשפט והגיע למסקנה שכל ההוכחות מבוימות.
כל נאשמי המשפט זוכו מכל אשמה.
בתורת ההסתברות ובפרט בתהליכים מקריים, משפט שני הטורים של קולמוגורוב מתאר תנאי להתכנסות בהסתברות של תהליך מקרי.
משפט זה נובע מאי-שוויון המקסימום של קולמוגורוב, ויש לו תפקיד באחת מההוכחות המקובלות של החוק החזק של המספרים הגדולים.
המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב.
תהי סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים במרחב הסתברות .
נניח כי הם בעלי תוחלות סופיות שנסמן ובעלי שונויות סופיות שנסמן .
אם הטור מתכנס והטור מתכנס, אז גם הטור מתכנס בהסתברות .
נניח ללא הגבלת הכלליות כי (אחרת נתבונן בסדרת המשתנים המקריים , שתוחלתם היא אפס ושונויותיהם זהות לאלה של ).
נסמן , ונראה שמתקיים בהסתברות .
נשים לב שעבור כל מתקיים,
כאשר אי השוויון שבשורה השלישית נובע מאי-שוויון המקסימום של קולמוגורוב.
מההנחה כי הטור מתכנס, נובע כי הביטוי האחרון שואף לאפס כאשר .
בחרנו שרירותית, ולכן ההסתברות הזאת היא בהכרח לכל , כנדרש.
בתורת ההסתברות ובפרט בתהליכים מקריים, משפט שלושת הטורים של קולמוגורוב מתאר קריטריון המאפיין התכנסות בהסתברות של תהליך מקרי.
אחת ההוכחות של החוק החזק של המספרים הגדולים עושה שימוש במשפט זה יחד עם הלמה של קרונקר.
מתקיים כי הטור מתכנס כמעט בוודאות, אם ורק אם קיים קבוע , כך שמתקיימים שלושת התנאים הבאים גם יחד:
בכיוון ראשון, נראה כי אם שלושת התנאים מתקיימים אז הטור מתכנס.
מתנאי 1 יחד עם הלמה של בורל-קנטלי נובע כי בהסתברות 1 עבור כל גדול מספיק.
מתנאים 3-2 יחד עם משפט שני הטורים של קולמוגורוב נובע כי הטור מתכנס בהסתברות.
בכיוון השני, נראה כי אם הטור מתכנס בהסתברות אז שלושת התנאים שבמשפט מתקיימים:
נשים לב כי במקרה זה הטור מתכנס עבור כל , שכן אם היה איזשהו שעבורו טור זה לא היה מתכנס, אז היינו מקבלים מהלמה של בורל-קנטלי כי המאורע מתרחש עבור אינסוף אינדקסים, ולכן היה נובע כי הטור מתבדר בהסתברות, בסתירה להנחה.
נראה כי תנאי 3 גורר את תנאי 2. מתנאי 1 המופעל למשל עבור , ואם נניח שמתקיים תנאי 3, אז ממשפט שני הטורים של קולמוגורוב נובע כי הטור מתכנס בהסתברות.
אבל מתנאי 1 יחד עם התכנסות בהסתברות הטור נובע כי מתכנס בהסתברות (מנימוק דומה לזה שבכיוון הראשון של ההוכחה), ולכן בהכרח גם מתכנס.
תחילה נראה כי ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות כי .
נסמן משתנה מקרי בלתי-תלוי ב- ובעל אותה ההתפלגות.
אזי אם נסמן , נקבל סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים וחסומים על ידי (שכן שניהם חסומים על ידי ).
כמו כן מתקיים , וכן גם הטור מתכנס בהסתברות.
אם כך נראה כי תנאי 3 מתקיים עבור , כלומר שהטור מתכנס.
דבר זה נראה באופן כללי בלמה הבאה.
למה: תהי סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, בעלי תוחלת אפס ובעלי שונויות שנסמן , החסומה בהסתברות על ידי קבוע כלשהו.
אם הטור מתכנס (בהסתברות) אזי הטור מתכנס.
מההנחה בלמה לגבי החסימות, נובע כי כאשר .
היות שהנחנו כי התוחלות הן אפס וכי יש אי-תלות, נובע כי,
נסמן , ואם נחליף את ב-, נקבל כי,
נשים לב כי המאורע נקבע על ידי , ולכן הוא בלתי-תלוי ב-.
אם כך נבחר גדול דיו כך שיתקיים , ואם נשאיף נקבל כי הטור מתכנס, כנדרש.
באמצעות משפט זה ניתן למצוא התנהגות מפתיעה של הגרסה האקראית של הטור ההרמוני המתחלף, השונה מההתנהגות המוכרת של הטור ההרמוני המתחלף.
ממבחן לייבניץ להתכנסות טורים אנו יודעים כי הטור מתכנס וכמותו גם הטור מתכנס.
עם זאת נראה כי אם הסימנים אינם מתחלפים באופן דטרמיניסטי אלא מוגרלים אקראית, אפילו אם הם מוגרלים בהסתברות שווה — מתגלה התנהגות שונה.
נתבונן בטור שבו הסימן של כל איבר נקבע בצורה אקראית.
כלומר, תהי סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, בעלי ההתפלגות .
נקבע איזושהי סדרה של מספרים חיוביים המתכנסת מונוטונית לאפס.
לא קשה לראות ששני התנאים הראשונים מתקיימים תמיד (עבור כל בחירת קבוע ), וכי התנאי השלישי הוא שהטור יתכנס.
אם כך עבור הטור ההרמוני האקראי המתקבל מהסדרה תנאי זה מתקיים ולכן הוא מתכנס, בעוד שעבור הטור האקראי המתקבל מהסדרה תנאי זה אינו מתקיים ולכן הוא מתבדר.
באופן כללי יותר, הטור האקראי המתקבל מהסדרה מתכנס אם ורק אם .
משפט שבלה (על שמו של המתמטיקאי הצרפתי קלוד שבלה ) הוא משפט בגאומטריה אלגברית הקובע כי תמונה של קבוצה ניתנת-לבנייה תחת מורפיזם של יריעות אלגבריות היא קבוצה ניתנת-לבנייה.
בפרט, תמונה של מורפיזם בין יריעות אלגבריות היא תמיד ניתנת-לבנייה, על אף שאיננה בהכרח יריעה אלגברית.
דוגמה לכך היא ההעתקה המוגדרת על ידי ; קל לראות כי תמונתה היא אכן איחוד של שתי קבוצות סגורות ובפרט היא ניתנת-לבנייה אולם היא איננה יריעה אלגברית בעצמה.
למשפט זה יש השלכות הנוגעות למושג הממד של יריעות אלגבריות, לחבורות אלגבריות ואף שקול לכך שתורת השדות הסגורים אלגברית היא בעלת חילוץ כמתים.
קבוצה במרחב טופולוגי נקראת ניתנת-לבנייה אם היא איחוד סופי של קבוצות סגורות מקומית (קבוצה נקראת סגורה מקומית אם היא פתוחה בסגור שלה).
יהי מורפיזם בין יריעות אלגבריות.
לעיתים המשפט מנוסח בצורה שהיא מעט כללית יותר אולם היא נובעת מהראשון בקלות רבה:
מורפיזם בין יריעות אלגבריות מעתיק קבוצה ניתנת-לבנייה לקבוצה ניתנת-לבנייה.
הניסוח הראשון הוא בסך הכל מקרה פרטי של הניסוח השני.
את הניסוח השני ניתן להוכיח בקלות מהראשון מתוך ההבחנה שכל קבוצה סגורה מקומית בטופולוגיית זריצקי היא תת-יריעה אלגברית ומהעובדה שאיחוד סופי של קבוצות ניתנות-לבנייה הוא בוודאי ניתן-לבנייה בעצמו.
כמו כן, מעובדה זו קל לראות כי מספיק להוכיח את המשפט תחת הנחת אפיניות ואי-פריקות של ושל .
כאמור אנו יכולים להניח ש- ו- הן אפיניות ואי-פריקות.
כמו כן, על ידי צמצום הטווח אנו יכולים להניח כי היא דומיננטית, כלומר ש-.
בהתאם לזאת, אנו מקבלים כי ההעתקה היא שיכון.
תחת הנחות אלו, קיימת קבוצה הפתוחה ב- כך ש- לכל .
למה זו היא למעשה נקודת המפתח וממנה ניתן להוכיח את המשפט בקלות רבה: נרשום את בתור איחוד של שתי קבוצות- כאשר כמובטח לנו בלמה.
באינדוקציה על ממד נסיק כי היא ניתנת-לבנייה שכן היא קבוצה סגורה המוכלת ממש ב-.
היא ודאי סגורה מקומית שכן היא פתוחה וכתוצאה מכך היא ניתנת-לבנייה, כנדרש.
רעיון ההוכחה הוא למצוא פתוחה ו- כך ש- מתפקטרת על ידי מורפיזם סופי דרך .
זאת אומרת, נראה שקיים מורפיזם סופי ועל כך שהדיאגרמה הבאה מתחלפת (כאן היא ההטלה לרכיב הראשון).
ברגע שמצאנו , ו- כאלה ההוכחה היא פשוטה: אכן צפופה ב- שכן היא אי-פריקה.
מכיוון ש- היא סופית אז לכל .
נותר אם כן להבחין בכך ש- ולכן לכל .
העובדה שקיים פיקטור כזה מתבססת על משפט הנורמליזציה של נתר: השיכון משרה על מבנה של -אלגברה נוצרת סופית, וכתוצאה מכך היא מודול מטיפוס סופי מעל חוג פולינומים (עבור כלשהו).
עובדה זו שקולה לכך שקיימים היוצרים את כמודול מעל כאשר כל מאפס פולינום מתוקן עם מקדמים ב-.
למעשה, אם הוא מחלק משותף של כל המקדמים הללו וכן של היוצרים, נקבל כי הם כולם שייכים לחוג מצומצם יותר - (כאן מסמן את הלוקליזציה של ב-).
לפיכך, השיכון: מתרחב לשיכון: והוא בתורו משרה על מבנה של מודול מעל .
כפי שראינו, היוצרים הם שלמים מעל ולכן מודול זה הוא מטיפוס סופי.
לפיכך, אנו מקבלים את הדיאגרמה המתחלפת הבאה:
אם נבחר את להיות נקבל כי הדיאגרמה שאותה אנו מעוניינים לקבל היא בדיוק הדיאגרמה הדואלית לדיאגרמה זו.
למשפט שבלה מספר מסקנות בעלות חשיבות למושג הממד של יריעות אלגבריות וכן לנושאים אחרים.
משפט: אם העתקה דומיננטית עם סיבים סופיים אז
משפט: הפונקציה היא רציפה מלעיל.
יתר על כן, אם אי-פריקה אז רכיבי אי-הפריקות של הם ממד של לפחות
משפט: התמונה של מורפיזם בין חבורות אלגבריות היא קבוצה סגורה.
משפט: תהא חבורה אלגברית הפועלת על יריעה אלגברית .
המסלול של כל תחת הפעולה של הוא סגור מקומית.
משפט שבלה למעשה שקול לכך שתורת השדות הסגורים אלגברית (ACF) היא תורה בעלת חילוץ כמתים.
ליתר דיוק, ניתן להוכיח את אחד מהם מן השני בקלות רבה על סמך ההבחנה שהקבוצות הניתנות-לבנייה ביריעה אלגברית כלשהי הן בדיוק הקבוצות שהן גדירות ללא כמתים.
משפט שבלה על קבוצות ניתנות-לבנייה ב nLab.
משפטו של טד בנדי הוא סרט פשע ביוגרפי אמריקאי, המסופר מנקודת המבט של חברתו לשעבר של הרוצח הסדרתי טד בנדי, אליזבת קנדל.
הסרט, שביים ג'ו ברלינג'ר על פי תסריט מאת מייקל ורוויי, מבוסס על ספר הזיכרונות של קנדל, The Phantom Prince: My Life with Ted Bundy ("נסיך הפנטום: חיי עם טד בנדי").
בסרט מככבים זאק אפרון כבנדי, לילי קולינס כקנדל, קאיה סקודלריו כאשתו של בנדי, קארול אן בון, וג'ון מלקוביץ' כאדוארד קווארט, השופט הראשי במשפטו של בנדי.
שמו של הסרט בשפת המקור היא התייחסות לדבריו של קווארט על רציחותיו של בנדי בעודו דן אותו למוות: לדבריו, היו אלו מעשים "רעים באופן קיצוני, מרושעים בצורה מחרידה ומתועבים".
הסרט הוצג בבכורה עולמית בפסטיבל הסרטים סאנדנס ב-26 בינואר 2019. זמן קצר לאחר מכן רכשה נטפליקס את זכויות ההפצה לסרט תמורת 9 מיליון דולר.
הוא יצא בצורה דיגיטלית על הפלטפורמה של נטפליקס ב-3 במאי 2019, והוצג גם בבתי קולנוע בודדים.
הסרט זכה לביקורות מעורבות ממבקריו, אך המשחק של אפרון זכה לשבחים.
בסיאטל של שנת 1969 פוגש הסטודנט למשפטים טד בנדי (זאק אפרון) את ליז קנדל (לילי קולינס), מזכירה ואם חד-הורית.
השניים מתחילים לצאת, וטד עוזר לליז לגדל את הבת הצעירה שלה, מולי.
ב-1974 מודיעות ידיעות חדשותיות על רציחתן של נשים צעירות רבות, כולל שתי נשים שנעלמו באור יום באגם סמאמיש (Sammamish).
מספר אנשים ראו אדם שנראה כמו טד כשהוא מבקש מנשים לעזור לו להעלות סירת מפרש על מכונית מדגם "חיפושית".
המשטרה מפיצה קלסתרון משוער של האדם, ולאחר מאות שיחות טלפון, טד נעצר בשנת 1975.
אישה צעירה בשם קארול דה-רונץ' (DaRonch) בוחרת את טד במסדר הזיהוי המשטרתי, בטענה כי הוא חטף ואיים להרוג אותה לפני שהיא הצליחה לברוח.
טד שוחרר בערבות, וחוזר הביתה לליז - שכועסת לאחר קריאת מאמר עליו בעיתון.
טד מסביר כי לקארול הוצגה תמונה שלו לפני מסדר הזיהוי, ולכן הוא נראה לה מוכר, והוא מאמין כי מפלילים אותו.
לאחר משפט של ארבעה ימים, טד נמצא אשם בחטיפה בנסיבות מחמירות ונידון לשבת בין שנה ל-15 שנים בכלא מדינת יוטה (Utah State Prison).
כמה שבועות לאחר מכן מאשימות הרשויות בקולורדו את בנדי ברצח קארין קמפבל, והוא מועבר, כאסיר, לאספן בשנת 1977. ליז מסרבת להאמין שטד אשם, אבל האירועים מתחילים לגבות ממנה מחיר נפשי, והיא מתחילה לשתות אלכוהול באופן קבוע.
באותו זמן בוחר טד בבית המשפט במחוז פיטקין לשמש עורך הדין של עצמו, וככזה, הוא פטור מללבוש אזיקים על ידיו או על רגליו.
במהלך הפסקה בדיון המשפטי בורח טד מבית המשפט בקפיצה מחלון בקומה השנייה ורץ אל ההרים, אבל הוא נתפס לאחר שישה ימים.
ליז מבקרת את בנדי ומסיימת את הקשר הזוגי ביניהם.
בהמשך, הוא נמלט שוב מתאו, לאחר שניסר חלקים מתקרת התא שלו.
שתי נשים בבית אחווה נרצחות באוניברסיטת המדינה של פלורידה, ואחריהן מותקפות שתי נשים נוספות.
לאחר שטד נעצר, הוא מנסה ליצור קשר עם ליז אבל היא דוחה אותו.
נוצרת קבוצה של נשים שתומכות בו ומקוסמות ממנו, וחלקן אף טוענות שהן מאוהבות בו.
ידידה ותיקה, קארול אן בון (קאיה סקודלריו), מבקרת את טד; היא מאמינה כי הוא חף מפשע ועוברת לפלורידה כדי להיות קרובה אליו.
לפני המשפט נערך משא ומתן על עסקת טיעון, שבמסגרתה יודה בנדי בהריגת שתי חברות האחווה, ליסה לוי ומרגרט באומן, ובהריגת קימברלי ליץ' בת ה-12, בתמורה למאסר של 75 שנות מאסר במקום עונש מוות, אבל הוא מסרב.
טד וקארול אן מתקרבים זה לזה, והיא מבקרת אותו בקביעות.
השניים מתחילים מערכת יחסים, אבל טד ממשיך לנסות ליצור קשר עם ליז, שעוקבת אחר המשפט שלו דרך הטלוויזיה.
היא מרגישה אשמה על היותה האדם שנתן את שמו של טד לשלטונות סיאטל ב-1975. טד מציע מאוחר יותר נישואין לקארול אן, והם מתחתנים.
בבית המשפט נכללות עדויות פיזיות מרשיעות, ובהן התאמה בין יציקת גבס של שיניו של טד ובין רשמיהן של פציעות נשיכה על אחוריה של ליסה לוי.
בתוך פחות משבע שעות מרשיע חבר המושבעים את טד ברציחתן של לוי ושל באומן, בשלושה סעיפים של ניסיון לרצח מדרגה ראשונה, ובשני סעיפים של פריצה.
השופט אדוארד קווארט (ג'ון מלקוביץ') מטיל על בנדי עונש מוות באמצעות כיסא חשמלי, אך העונש לא בוצע מיד.
עשר שנים לאחר מכן, ליז מקבלת מכתב מטד ומבקרת אותו.
היא תובעת מטד את האמת, אך הוא ממשיך להכחיש כל קשר לרציחות.
לאחר מכן היא מראה לטד תצלום שנתן לה שוטר — תמונה של זירת פשע של אחד הקורבנות שלו כשראשה ערוף — וטד מודה שהוא ניסר את ראשה.
ליז עוזבת את הכלא בהלם, אבל פוגשת בחוץ את בעלה החדש ואת בתם בת-העשרה, והיא מצהירה כי היא בסדר.
בסיום הסרט, מספרים צילומים ארכיוניים וטקסט על המסך כי בנדי הוצא להורג בינואר 1989, והוא בן 42. הוא התוודה על יותר מ-30 מעשי רצח ימים בודדים לפני כן, והאפר שלו פוזר בהרי קסקייד, שם הותיר שרידי קורבנות רבים.
זאק אפרון - טד בנדי, סטודנט למשפטים לשעבר שהואשם במספר פשעים אלימים כלפי נשים.
לילי קולינס - ליז קנדל, סטודנטית במכללה ואם חד-הורית שנכנסה למערכת יחסים עם טד.
קאיה סקודלריו - קארול אן בון, חברה מן העבר של טד, שמתקרבת אליו כדי לתמוך בו.
ג'פרי דונובן - ג'ון או'קונול, עורך הדין של טד ביוטה, שמגן עליו בתיק החטיפה.
אנג'לה סרפיאן - ג'ואנה, חברה קרובה של ליז, שמאמינה שטד אשם.
דילן בייקר - דייוויד יוקום, התובע ביוטה.
בריאן גראתי - דן דאוד, איש הסנגוריה הציבורית שמגן על טד ביוטה כשהוא נתפס שנית לאחר בריחתו מקולורדו.
טרי קיני - מייק פישר, בלש במחלק רצח שמקשר את טד לרצח בקולורדו.
היילי ג'ואל אוסמנט - ג'רי תומפסון, עובד לצד ליז באוניברסיטה, ויוצא איתה לאחר טד.
ג'יימס הטפילד - בוב הייווארד, שוטר ביוטה שעוצר את בנדי לראשונה.
גרייס ויקטוריה קוקס - קארול דה-רונץ', אישה שטד חטף ביוטה, מה שהוביל להרשעתו הראשונה.
ג'ים פרסונס - לארי סימפסון, התובע בפלורידה.
ג'ון מלקוביץ' - אדוארד קווארט, השופט במשפט הרצח האחרון של טד בנדי.
ג'סטין מק'קומבס - ג'ים דומאס, עורך הדין של טד בקולורדו, שמגן עליו במשפט הרצח הראשון שלו.
פורבה שפרד - לואיז בנדי, אמו של טד.
את מולי קנדל, בתה של ליז, משחקות בגילאים שונים מייסי כרמוזינו, אווה אינמן, מורגן פייל וגרייס בלבו.
הבמאי ג'ו ברלינג'ר והצלם ברנדון טרוסט עורכים הופעות קמע כמנחה וצלם שמראיינים את טד בקולורדו.
הפרויקט נחשף בפסטיבל הסרטים של קאן ב-2017, עם זאק אפרון ככוכב הסרט, הרוצח הסדרתי טד בנדי.
היוצר הדוקומנטרי ג'ו ברלינג'ר חתם על הסכם לביום הסרט.
באוקטובר 2017 לוהקה לילי קולינס לשחק את חברתו של בנדי, אליזבת קנדל.
בחודש ינואר 2018 לוהק ג'ון מלקוביץ' כאדוארד קווארט, השופט בתיק של בנדי.
ההפקה החלה ב-18 בינואר 2018 בקובינגטון שבקנטקי.
אנג'לה סרפיאן, ג'פרי דונובן, גרייס ויקטוריה קוקס, קאיה סקודלריו, ג'ים פרסונס, היילי ג'ואל אוסמנט, דילן בייקר וטרי קיני הצטרפו לצוות השחקנים במהלך חודש ינואר, וגיטריסט וזמר להקת מטאליקה ג'יימס הטפילד לוהק בחודש פברואר.
לצד הסרט העלילתי, יצר ברלינג'ר סדרה דוקומנטרית שמורכבת משיחות עם בנדי שהוקלטו זמן קצר לפני הוצאתו להורג.
הסדרה, "שיחות עם רוצח: הקַלטות של טד באנדי", משודרת אף היא בנטפליקס.
באתר ביקורות הסרטים Rotten Tomatoes אחוז הביקורות החיוביות הוא 56%, זאת על בסיס 176 ביקורות, והדירוג הממוצע שלו הוא 5.75 מתוך 10. בקונצנזוס הביקורתי של האתר נכתב: "'משפטו של טד בנדי' מתעלה לעיתים קרובות על מגבלותיו הנרטיביות באמצעות כוחה של הצפייה במשחקו של זאק אפרון".
באתר Metacritic קיבל הסרט ציון ממוצע משוקלל של 52 מתוך 100, בהתבסס על 31 מבקרים, המרמז על "ביקורות מעורבות או ממוצעת".
אוון גלייברמן ממגזין "וראייטי" שיבח את הופעתו של אפרון על דיוקו בתיאור בנדי, וכתב כי הסרט "לא חושף אותנו בכוח לזוועה של טד בנדי.
הוא מראה לנו מספיק, שומר את הזוועה במקום שאליו היא שייכת, בנבכי הדמיון שלנו, שם היא נשארת מה שהיא צריכה להיות: כהה כמו חצות הלילה, והרבה יותר מדי מכדי שנבין אותה".
איש "הגרדיאן" בנג'מין לי נתן לסרט שלושה מתוך חמישה כוכבים, ציין לשבח את אפרון, אבל קרא לסרט עצמו "דרמה חסרת עניין וברק".
הוא מתח ביקורת על משחקה של קולינס, ואמר שהיא צומצמה לדמות שטוחה וחסרת ייחוד.
עבור "וולצ'ר" כתבה אמילי יושידה ביקורת דומה: היא שיבחה את אפרון, אבל שנאה את שאר הסרט, ואמרה: "הסרט העלילתי של הבמאי התיעודי הוותיק ג'ו ברלינג'ר נראה כאילו הוא ניסה להיות הסיפור של הרוצח הסדרתי טד בנדי מסופר דרך עיניה של חברתו...
אבל הסרט של ברלינג'ר נשאב לתוך האירועים הסנסציוניים שכבר הוצגו לציבור, ומבלה זמן כה רב ביצירת אותם אירועים מחדש, עד כי הפרספקטיבה נחלשת".
שמוליק דובדבני התייחס ב-ynet לסרט בחיוב, וכתב כי הוא חושף את "צדה הפרוורטי והרצחני של הגבריות הלבנה המבוססת".
לסיכום כתב כי זהו "סרט שעוקבים אחריו בסקרנות".
ב"הארץ" שיבח אורי קליין את משחקו של אפרון, וכתב כי אף שהסרט "אינו מבוים במיומנות יתרה", הוא מציג שאלות ואמירות מעניינות ביחס למעשיו של בנדי.
תומר קמרלינג העניק לסרט ב-"Mako" שני כוכבים מתוך חמישה, וטען כי בעייתו של הסרט היא הניסיון להעלות את השאלה "אם האיש עשה את הדברים המיוחסים לו או שהוא קורבן תמים של מערכת החוק", אף שהוא הורשע ואשמתו מעולם לא הועמדה בספק.
משפטו של סגן מורנט הוא סרט דרמה היסטורי אוסטרלי משנת 1980, בבימויו של ברוס ברספורד (Beresford), עם אדוארד וודוורד, בריאן בראון, לוריס פיץ'- ג'רלד וג'ק תומפסון בתפקידים הראשיים.
התסריט מבוסס על המחזה "Breaker Morant" של קנת' רוס (1978) המתאר סיפור אמיתי של שלושה קצינים אוסטרליים במהלך מלחמת הבורים בדרום אפריקה שהועמדו למשפט צבאי ב-1902, על הוצאות להורג של שבויים בורים ומיסיונר גרמני, על-פי פקודות מעורפלות ובלתי כתובות של המפקד העליון של הצבא.
משפטם דן בציות עיוור לפקודה בלתי חוקית בעליל.
הוא מעניק ביטוי אנושי מרגש דווקא לצד של החייל שנשפט על מעשים כאלה.
יש בו קטעים שבהם נראה שהנשפטים מורשעים ומוצאים להורג כשעיר לעזאזל לשם מטרות פוליטית וצבאיות.
באוסטרליה הם נחשבו לאחר הסרט לגיבורים אף על פי שבכרזות הסרט נכתב "גיבור או נבל".
הסרט זכה בפרסים מטעם מכון הסרטים האוסטרלי - הסרט הטוב ביותר, הבימוי, שחקן ראשי, שחקן משנה, הצילום, העריכה, העיצוב האמנותי והתסריט.
רוב הסרט מתרחש בבית משפט צבאי והאירועים של הפרשה מופיעים כפלאשבק.
1901, צפון טרנסוואל - מלחמת הבורים השנייה.
הבורים פתחו במלחמת גרילה נגד הצבא הבריטי בפיקודו של גנרל הורשיו קיצ'נר (אלן קאסל, Cassell).
קיצ'נר פתח נגדם במלחמה חסרת מעצורים.
הוא הכניס אלפי בורים למחנות ריכוז והקים יחידה מיוחדת בשם "Bushveldt Carbineers" בה שירתו לוחמים אוסטרלים רבים.
בין הקצינים ביחידה היו לוטננט מורנט (אדוארד וודוורד), לוטננט הנקוק (Handcock, בריאנט בראון), לוטננט ויטון (Witton, לואיס פיץ'-ג'רלד) קפטן האנט (Hunt, טרנס דונובן, Donovan) וקפטן טיילור (Taylor, ג'ון ווטרס, Waters).
האנט היה ידידו וגיסו לעתיד של מורנט.
הוא ביקר במפקדת קיצ'נר ונפגש עם קיצ'נר ומזכירו יוברט המילטון (וינסנט בול, Ball) וקיצ'נר העיר לו כי "המלחמה הג'נטלמנית נגמרה" וכי כל בורי שילבש מדי חייל בריטי (חאקי) יירה ללא משפט.
הם יוצאים בלילה לפעולה עונשין נגד חווה של בורים, בהסתמכם על הכוונה מוטעית של קצין המודיעין טיילור, לפיה אין במקום כוחות בוריים.
הם עולים על מארב ונאלצים לסגת, ומותירים במקום את גופתו של האנט.
מורנט מנהל מצוד על הבורים התוקפים ושובה אותם.
הוא מגלה את גופתו של חברו האנט וחמתו עולה, כיוון שנראה לכאורה כי עברה התעללות.
בין השבויים הוא מזהה אחד שלובש את מדיו של קפטן האנט.
מורנט מעמיד את הבורים השבויים לפני כיתת יורים שמוציאה אותם להורג.
לאחר מכן נותן מורנט הוראה ללוטננט הנקוק להרוג מיסיונר גרמני בשם הסה (Hesse), שהוא בטוח בכך שהוא מסתובב בין יחידות הצבא ומרגל לטובת הבורים.
דבר זה מכעיס את קיסר גרמניה.
קיצ'נר רוצה לסיים את המלחמה ולהגיע לשיחות פיוס עם הבורים לפיכך הוא פוקד לערוך משפט צבאי למורנט, הנקוק וויטון.
לסניגור ממונה מייג'ור תומאס (Thomas, ג'ק תומפסון) שאין לו ניסיון במשפטים צבאיים וניתנות לו 24 שעות בלבד להתכונן.
כל העדים שיכולים לשמש את ההגנה נשלחים להודו.
תומאס טוען בתחילה שחיילים אוסטרלים צריכים להישפט באוסטרליה אך השופט לוטננט קולונל דני (Denny, באד טינגוול, Tingwell) דוחה זאת.
תומאס מנסה להוכיח לבית המשפט כי הקצינים פעלו תחת הוראות בלתי כתובות שהיו בבחינת "הנחיות כלליות".
הוא מבקש לזמן את קיצ'נר אבל במקומו מגיע מזכירו יוברט המילטון ומכחיש זאת אף על פי שמורנט קורא לעברו "שקרן".
לבסוף הם מזוכים מרצח המיסיונר הגרמני אך מורשעים ברצח השבויים הבורים.
פסק הדין מאושר בלונדון וגם ממשלת אוסטרליה שרוצה להוכיח שחייליה תרבותיים ולא פראים, מאשרת זאת.
מורנט והנקוק נידונים למוות, ויטון נידון למאסר עולם עם עבודת פרך (הוא שוחרר כעבור שלוש שנים וכתב ספר על הפרשה בשם "Scapegoats of the Empire" - שעירים לעזאזל של האימפריה).
הם מושבים על כיסאות מול כיתת יורים ומורנט צועק לעברם "ירו ישר ממזרים, אל תתפרעו".
שם השחקן/יתשם הדמותהערותאדוארד וודוורדלוטננט הארי מורנטקצין אוסטרליבריאן בראוןלוטננט פיטר הנקוקקצין אוסטרלילואיס פיץ'-ג'רלדלוטננט ג'ורג' ויטוןקצין אוסטרליג'ק תומפסוןמייג'ור ג'יימס תומאססניגור צבאירוד מולינר (Mulliner)מייג'ור צ'ארלס בולטון (Bolton)תובע צבאיבאד טינגווללוטננט קולונל דנישופט צבאיאלן קאסלהורשיו קיצ'נרמפקד הצבא הבריטיוינסנט בולקולונל יוברט המילטוןמזכירו של קיצ'נרטרנס דונובןקפטן האנטמפקד אוסטרליג'ון ווטרסקפטן טיילורקצין מודיעין
משפט תומאסן על מעגלים זרים הוא משפט בתורת הגרפים שאומר שבגרף מכוון שהדרגה היוצאת של כל קודקוד בו גדולה מספיק, יש מספר גדול כרצוננו של מעגלים זרים.
המשפט הוכח בשנת 1983 על ידי קרסטן תומאסן.
בשנת 1996 הוכיח נוגה אלון גרסה הדוקה יותר של המשפט.
הניסוח מדויק של המשפט הוא:
קיימת פונקציה כך שעבור כל מספר טבעי , בכל גרף מכוון שדרגת היציאה של כל קודקוד בו היא לפחות , קיימים לפחות מעגלים מכוונים ב-, שקבוצות קודקודיהם זרות בזוגות.
הוכחתו של תומאסן מראה שאפשר לבחור את להיות
תוצאה זאת רחוקה מלהיות הדוקה.
תומסון מראה כי לכל מתאימה מתקיים:
הוא גם משער שאפשר לבחור את להיות
אלון התקרב להוכחת השערה זאת והוכיח שאפשר לבחור את להיות
עבור ערכים קטנים של אפשר לקבל תוצאות טובות יותר.
לדוגמה, ההוכחה של תומאסן מראה כי עבור אפשר לבחור את להיות 3.
עבור כל גרף מכוון כך שדרגת היציאה של כל קודקוד ב- היא לפחות , קימים לפחות מעגלים מכוונים ב- הזרים בקודקודיהם.
המשפט משמש בין היתר לפתרון בעיה על פירוק של גרף לתת-קבוצות.
הבעיה עלתה בקבוצת הפייסבוק "חפירות על מתמטיקה" ונפתרה על ידי נוגה אלון.
הבעיה מדברת על שיבוץ תלמידים לכיתות.
לפי תנאי הבעיה נאמר לכל אחד מהתלמידים שהוא יכול לבחור חברים, ומובטח לו שלפחות אחד מהם יהיה איתו בכיתה.
השאלה היא האם קבוצה של תלמידים יכולה לתאם את הבחירות שלהם כך שבהכרח ישובצו בכיתה אחת.
קל להראות שאם אז התשובה היא כן.
אלון הוכיח באמצעות משפט תומאסן (עבור ) שאם אז התשובה היא לא.
משפט שביל בגן הוא מין שעשועי לשון בו משפט תקין לשונית ולוגית נשמע שגוי תחבירית, או חסר משמעות.
האפקט מושג בדרך כלל על ידי מילים הומופוניות למילים אחרות, אשר משתמשות כחלקי הדיבר שונים מהמצופה.
השם האנגלי של משפט מהסוג נובע מהניב "lead someone down the garden path" שמשמעותו "להוליך מישהו שולל".
משפטי שביל בגן קיימים במספר שפות.
בעברית קיימת ניתן לבנות משפטים בעלי עמימות על ידי שימוש במילים דומות עם משמעות שונה.
במצב רגיל המשמעות של המילה ניתנת להבנה מתוך הקשר, אך ניתן לבנות רצף מילולי שיטעה את השומע למשמעות הלא נכונה.
כך לדגומה המילה "בשביל" יכולה להיות תיאור מיקום ויכולה לשמש במילת יחס.
המילה "פג" יכולה להיות שם עצם המתאר תינוק שנולד בלידה מוקדמת או פועל (בניין קל, שורש פג"ג) המתאר סיום תוקף.
"אישה נעלה נעלה נעלה נעלה את הדלת בפני בעלה"
בקריאה הראשונה המשפט אינו יוצר רצף הגיוני, אלא נשמע כחוזר על מילה אחת.
אבל במציאות, במשפט מופיעות ארבע מילים שונות שנהגות ונכתבות כ"נעלה": שם תואר, פועל, שם עצם ועוד פועל.
אחת הדוגמאות הנפוצות בעברית היא "חֻלְצָה מְטַיֶּלֶת בַּוָּאדִי" היוצר רושם ראשוני שנושא המשפט הוא חולצה, שמבצעת טיול, בניגוד לחוקי היגיון.
אבל במשפט הזה המילה "חולצה" הוא נשוא והנושא הוא מטיילת.