tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
הגדרה זו משתמשת בתכונת הלוגריתם אשר מגדילה את ערכם של ערכים קטנים מאוד, ואילו משאיפה לאפס ערכים המתקרבים לאחד ובכך מעניקה משמעות גבוהה להודעות בעלות הסתברות נמוכה להתקבל.
למידע המוכל בהודעה נהוג לקרוא בתורת האינפורמציה אינפורמציה עצמית של הודעה .
כאשר באים לבחון מאפיינים של מרחבי הודעות, דהיינו הקבוצה המגדירה את כל ההודעות היכולות להיבחר, יש צורך להגדיר מדדים המתארים תכונות כוללות של המרחב.
אחת מהתכונות הללו היא רמת אי הסדר של בחירת ההודעות.
כלומר המידה בה מרחב הודעות הוא בלתי צפוי בהקשר של בחירת הודעה ספציפית ממנו.
ככל שקשה יותר לנבא איזה הודעה תבחר מן המרחב, נאמר כי האנטרופיה של המרחב גדולה יותר.
למידה זו נהוג לקרוא האנטרופיה של מרחב הודעות בדיד .
מבחינה כמותית האנטרופיה של מרחב הודעות מוגדרת כממוצע האינפורמציה העצמית של כל ההודעות השייכות למרחב.
כאשר המייצג את תוחלת המרחב.
לדוגמה כאשר מרחב ההודעות מכיל שתי הודעות.
הודעה אחת בהסתברות והודעה שנייה בהסתברות .
נחשב את האנטרופיה לפי ההגדרה:
ניתן להראות בטכניקות מתחום חשבון וריאציות כי כאשר ההסתברות לקבלת הודעה שווה בין כל ההודעות האנטרופיה היא מקסימלית ושווה ל- כאשר מייצג את מספר האיברים הקיים במרחב , תכונה הנקראת עוצמתו של .
ניתן לקבל אינטואיציה לתופעה זו באמצעות ההגדרה האיכותית של האנטרופיה.
כאשר כל ההודעות מתקבלות בהסתברות שווה, אזי אין כל דרך להעדיף בחירת הודעה אחת על אחרת, ולכן יכולת הניבוי היא מינימלית, כלומר המרחב הוא הכי בלתי צפוי שיכל להיות.
בזכות העובדה שאנטרופיה מקסימלית מתקבלת כאשר ההתפלגות אחידה, ניתן לראות באנטרופיה מדד לעד כמה ההתפלגות הנמדדת שונה מהתפלגות זו.
האנטרופיה המשותפת של שני משתנים מקריים מוגדרת כאנטרופיה של ההתפלגות המשותפת של :
כאשר המשתנים הם בלתי תלויים, האנטרופיה המשותפת היא פשוט סכום האנטרופיות של שניהם.
אנטרופיה מותנית היא האנטרופיה שנגררת בעקבות ידיעה של אחד משני משתנים בעלי התפלגות משותפת.
כאשר ידוע ערך ספציפי של שהוא קבוע ועליו מחשבים את האנטרופיה של אז ערכה מוגדר על ידי:
ומכאן ניתן באמצעות כמה הצבות אלגבריות פשוטות לגזור את כלל השרשרת לאנטרופיה:
ובהכללה ל- משתנים בלתי תלויים:
ומכאן שכאשר המשתנים הם בלתי תלויים:
אחד הכלים האנליטיים החשובים ביותר בתורת המידע היא בדיקה כמות של עד כמה אפשר להסיק מידע מסוים ממשתנה מקרי אחד על משתנה מקרי אחר.
האינפורמציה ההדדית מבטאת את הקטנת אי הודאות של משתנה מקרי בזכות ידיעתו של .
מבחינה כמותית האינפורמציה ההדדית מתוארת על ידי המשוואה הבאה:
תכונה נוספת היא קיום סימטריה בשיתוף המידע בין המשתנים ולכן מתקיים גם:
יישום הכלים בניתוח התנהגות תא עצב
תאי עצב יורים פוטנציאל פעולה בעקבות גירויים שונים, דפוס הירי משתנה בהתאם לגירוי המוצג לפני נבדק.
זאת לאחר שבתהליך פסיכופיסי הותמר המידע מן הסביבה לאותות חשמליים אשר בתורם מגיעים לתא העצב ומשפעלים אותו.
על מנת לנתח את התנהגות תא העצב נגדיר משתנה מקרי כמספר פוטנציאלי הפעולה, את כסוג הגירוי.
לדוגמה אם נמדדה בניסוי התפלגות המשותפת (joint distribution) עם ההתפלגויות השוליות של הבאה:
סך הכלהסתברות ההופעה עבור גירוי
האנטרופיה של המשתנה נתונה על ידי הביטוי:
על מנת לחשב כמה ידיעת סוג הגירוי המוצג מפחית את אי הוודאות של התפלגות פוטנציאלי הפעולה נשתמש בנוסחה לאנטרופיה מתנית:
נשתמש בפירוק האינפורמציה ההדדית לאנטרופיות המשתנים ונקבל:
מדידה כמותית זו של כמות המידע שניתנת על ידי ידיעת הגירוי המוצג יכול לתת אמצעי השוואה בין גירויים שונים וכמות המידע שאפשר להסיק מהם.
היישום המעשי של תורתו של שאנון היה לתחום עיקרי בהנדסת מערכות תקשורת שבמסגרתה פותחו שיטות לאפנון, קידוד, דחיסת נתונים, קליטה ותיקון שגיאות שאפשרו תקשורת אמינה על פני ערוצים מעשיים, החל מקווי טלפון וטלגרף, דרך אפיקי רדיו ועד סיבים אופטיים ומדיה מגנטית ואופטית.
התפתחות טכנולוגיות התקשורת אפשרה העברת מידע מסוגים שונים ומגוונים, כגון מלל, דיבור, מוזיקה, וידאו, וצירופים שלהם (כפי שניתן לעשות כיום במערכות דואר אלקטרוני, מסרים מיידיים ושירותי Web).
תורת האינפורמציה והטכנולוגיות שנבנו על בסיסה אינן עוסקות במשמעות של המידע.
משמעות מוקנית להודעות העוברות בין אנשים או מכונות על ידי תהליכי חשיבה, העושים שימוש ביכולת הבנה והתנסחות ובמאגרי ידע ושליפת פרטים מתוכם.
נושאים אלה הם בתחומי הדיסציפלינות של פסיכולוגיה קוגניטיבית ובינה מלאכותית, בהם למושג "אינפורמציה" יש משמעויות אחרות.
אוטומט סופי הוא מכונה מופשטת בתורת החישוביות במדעי המחשב, שהיא בעלת זיכרון מוגבל ומגדירה שפה פורמלית רגולרית.
קיימים שני סוגים של אוטומטים סופיים – אוטומט סופי דטרמיניסטי (DFA – Deterministic Finite Automaton) ואוטומט סופי לא דטרמיניסטי (NFA – Nondeterministic Finite Automaton).
ניתן לתאר אוטומט סופי דטרמיניסטי באמצעות קבוצה סופית של מצבים, המשמשים את האוטומט והוא עובר בהם לפי כללים קבועים מראש במהלך קריאת מילת קלט.
חלק ממצבי האוטומט הם מצבים מקבלים.
אם בסוף קריאת המילה מגיע האוטומט למצב מקבל, המילה שייכת לשפה המוגדרת על ידיו, אחרת לא.
הכללים למעבר ממצב למצב מוגדרים על ידי פונקציית המעברים שמגדירה עבור כל מצב ואות מצב יחיד (ייתכן ש ) אליו עובר האוטומט כאשר הוא נמצא במצב והאות שהוא קרא מן הקלט היא .
כמו כן, אחד המצבים מוגדר כמצב התחלתי שממנו מתחיל האוטומט בקריאת המילים.
סדרת מעברי מצבים של אוטומט במהלך קריאה של מילה , ואשר מתחילה מן המצב ההתחלתי, נקראת ריצה של האוטומט על .
אוטומט סופי אי־דטרמיניסטי דומה לאוטומט הדטרמיניסטי, אלא שפונקציית המעברים מוגדרת באופן שונה.
באוטומט האי-דטרמיניסטי, עבור כל מצב ואות עשויים להיות מספר כלשהו (גם 0) של מצבים אליהם יכול האוטומט לעבור כאשר הוא נמצא במצב והאות שהוא קורא מן הקלט היא .
במודלים מסוימים, פונקציית המעברים מאפשרת מעברים בין מצבים מסוימים ללא קריאת אף אות מן הקלט (מעברי-).
כתוצאה מכך, עשויות להיות מספר ריצות שונות של האוטומט על מילת קלט מסוימת.
מבחינה פורמלית, מילה תתקבל אם ורק אם קיימת ריצה של האוטומט שמסתיימת במצב מקבל כלשהו, גם אם קיימת ריצה אחרת שמסתיימת במצב שאינו מקבל, או כזו ש"נתקעת" משום שהגיעה למצב שממנו אין אף מעבר אפשרי עבור האות שנקראת מן הקלט.
לפי ההגדרה, כל אוטומט סופי דטרמיניסטי הוא בפרט גם אוטומט סופי אי-דטרמיניסטי.
בכיוון ההפוך, ניתן להוכיח כי כל אוטומט סופי אי־דטרמיניסטי שקול לאוטומט סופי דטרמיניסטי.
כלומר, היעדר הדטרמיניזם אינו מוסיף לכוחו החישובי של האוטומט הסופי (בשונה מאשר במודל של אוטומט מחסנית, לדוגמה).
שפות המתקבלות על ידי אוטומט סופי נקראות שפות רגולריות ונוצרות על ידי דקדוקים רגולריים וביטויים רגולריים.
ישנם מודלים של אוטומטים סופיים מעל עצמים אינסופיים (למשל, מילים אינסופיות, כלומר סדרות אינסופיות של אותיות מהאלפבית).
כתוצאה מכך, אין אפשרות להגדיר קבלה של מילה בהתאם למצב שבו נמצא האוטומט בסיומה של הריצה, משום שזו לא מסתיימת.
קיימים מודלים שונים שמגדירים קבלה של מילים אינסופיות.
למשל, באוטומט בוקי (Büchi) תנאי הקבלה מגדיר קבוצת מצבים מקבלים, ומילה מתקבלת אם ורק אם היא מבקרת במצב מקבל אינסוף פעמים.
באוטומט רבין תנאי הקבלה מורכב מזוגות של קבוצות כאשר ריצה היא מקבלת אם קיים זוג שעבורו קבוצת המצבים שבהם מבקרת הריצה אינסוף פעמים מקיימת
כלומר הריצה מבקרת אינסוף פעמים במצב מ- ומבקרת רק מספר סופי של פעמים בכל מצבי .
מלבד שני מודלים אלו קיימים מודלים רבים נוספים אשר מגדירים את אופן קבלת המילים על ידי האוטומט.
שלא כמו במקרה של אוטומטים סופיים מעל מילים סופיות, שבו קיימת שקילות בין המודלים הדטרמיניסטי והאי-דטרמיניסטי, אין שקילות כזו בהקשר של אוטומט בוקי.
קיימות שפות פשוטת שעבורן קיים אוטומט בוקי אי-דטרמיניסטי, אבל לא קיים אוטומט דטרמיניסטי שקול (למשל, שפת כל המילים שמכילות רק מספר סופי של אות נתונה).
במקרה של אוטומט רבין כן קיימת שקילות כזו.
יותר מכך, לכל אוטומט בוקי קיים אוטומט רבין שקול.
תורת האוטומטים היא ענף בחישוביות העוסק בחקר מודלים מתמטיים כדוגמת האוטומט הסופי ואוטומט המחסנית.
א"ב פורמלי: קבוצה סופית של סימנים ("אותיות").
מילה פורמלית: סדרה סופית של אותיות השייכות לא"ב נתון.
המילה הריקה: מילה שאורכה .
נהוג לסמן את מילה זו על ידי .
שפה פורמלית: קבוצת מילים פורמליות.
אורך של מילה: האורך של מילה שווה למספר האותיות שבה.
אורכה של מילה מסומן ב-.
מס' מופעי אות במילה: מספר מופעי האות במילה מסומן ב-.
היפוכה מסומן ב- ומקיים .
שרשור מילים: תהיינה שתי מילים כך ש.
שרשורן מסומן על ידי או ומוגדר כ-.
חזקה של מילה: מוגדרת רקורסיבית כשרשור של לעצמה פעמים: .
איחוד/חיתוך/השלמה: פעולות אלו זהות לפעולות איחוד חיתוך והשלמה מתורת הקבוצות, רק שאלו פועלות על שפות (כאשר העולם הוא ).
שרשור שפות: שרשור של שתי שפות מוגדר כקבוצת כל המילים הנוצרות משרשור מילה אחת מהשפה הראשונה ומילה אחת מהשנייה.
כלומר, יהיו שפות, שרשורן מסומן ב- ומקיים .
חזקה של שפה: החזקה ה--ית של שפה מוגדרת כשפת כל המילים הנוצרות על ידי שרשור של מילים מאותה שפה.
חזקתה מוגדרת כך: ולכל מתקיים .
סגור קלין: סגור קלין של שפה מסומן ב- ומוגדר כך: .
סגור חיובי: הסגור החיובי של שפה מוגדר בדומה לסגור קלין שלה.
הוא מסומן ב- ומוגדר כך: .
ההיררכיה של חומסקי מחלקת את השפות הפורמליות לארבעה סוגים לפי הדקדוקים היוצרים אותן (כל אחד מהדקדוקים בהיררכיה מוגבל יותר מאלו שמעליו):
דקדוק פורמלי: אוסף של משתנים דקדוקיים, סימנים טרמינליים וכללי שכתוב המשמשים להגדרת שפה פורמלית.
אוטומט סופי: המכונה המוגבלת ביותר, משמשת להגדרת שפות רגולריות.
לאוטומט זה קבוצה סופית של מצבים המשמשים לו כזיכרון.
אוטומט סופי דטרמיניסטי: (אס"ד) אוטומט סופי המבצע מסלול חישוב יחיד לכל קלט אפשרי (בשונה מהאסל"ד).
אוטומט סופי לא דטרמיניסטי: (אסל"ד) אוטומט סופי המאפשר מעבר בכמה מסלולי חישוב שונים לקלט נתון.
אוטומט מחסנית: אוטומט בעל זיכרון לא מוגבל, אבל הגישה אליו מוגבלת.
(כפי שניתן להסיק משמו, זיכרון אוטומט המחסנית פועל כמחסנית, שניתן לקרוא רק את הנתון הנמצא בראשה) אוטומט זה מקבל מילים באמצעות ריקון המחסנית או באמצעות הגעה למצב מקבל.
ביטוי רגולרי: שיטה להצגת שפות רגולריות באמצעות מספר סופי של פעולות איחוד, שרשור וסגור.
למת הניפוח לשפות רגולריות: למה המצביעה על תכונה הכרחית לרגולריות של שפה.
למה זו משמשת בעיקר לשם הוכחת אי-רגולריות של שפה.
למת הניפוח לשפות חופשיות הקשר: למה המציגה תכונה של השפות חופשיות ההקשר, ומשמשת גם היא להוכחה ששפה אינה ח"ה.
משפט מייהיל-נרוד: משפט המתאר תכונה נוספת של השפות הרגולריות (הנובעת מזכרונם המוגבל של האס"דים) ומשמש גם כן להוכחת אי-רגולריות של שפה.
הנחות היסוד של תורת הגמול
לתורת הגמול מספר הנחות יסוד המעצבות את אופי הגמול המצופה.
ההנחה הראשונה היא עקביות האל – אין סתירה בציווי על האדם ואין שרירות במתן הגמול.
בדתות מונותאיסטיות קל יותר להניח הנחה כזו, ואילו בדתות הפוליתאיסטיות ריבוי האלים מאפשר לעיתים מצבים בהם קיום דברו של אל אחד מחייב אי ציות למצוותו של אל אחר.
יש הנוטים לראות פרדוקס בעצם שיוך עקביות לאל, כאשר מצד אחד האל מוגדר על ידי היותו כל יכול ומצד שני האל כפוף בעצמו לכללים של עקביות שאינם מאפשרים לו לעשות כרצונו.
הוגים אחדים דוחים את הפתרון לפרדוקס הגורס כי האל בחר לקבל על עצמו כללים מסוימים בטענה כי הוא מפחית מעצמאותו האקסיומטית של האל, שכן עוצמה ועצמאות נוצרות על ידי שרירות הרצון.
האמונה בחוסר עקביות של האל או של כמה אלים מאפשרת אמונה מוגבלת בשכר ועונש: על פי אמונה זו ניתן לראות את כוונתו של האל ברגע מסוים לתת גמול מסוים אך לא ניתן לצפות כי כל מצוות האל יקוימו במלואן על ידי אדם ספציפי שגם יקבל שכר מרבי.
המאמינים באל שהוא בורא, מצווה, רב יכולת (או כל יכול) אך לא משגיח לא בהכרח מצפים לגמול.
ישנה אמונה בהשגחה שאינה עקבית – לעיתים האל רואה ונותן גמול ולעיתים ניתן להתחמק ממנו.
יש המאמינים בהשגחה כללית: האל מתערב (ונותן גמול) רק בנקודות מפתח בהיסטוריה האנושית או בחיי הפרט, או שהגמול הוא מתמיד, אך ניתן לקבוצות ולא ליחידים.
על פי אמונה זו הפרט לא יכול לצפות להתאמה מלאה ומדויקת בין מעשיו לבין הגמול לו הוא זוכה, אך חישוב דומה ביחס לאירועים משמעותיים או ביחס לגורל הקבוצה יעלה תוצאות של התאמה.
למרות האמור לעיל, ישנו מקרה יוצא דופן: האמונה בגמול קיימת ללא הנחת היסוד בדבר ההשגחה במקרים בהם מדובר במערכת של גמול פנימי.
בעולם הזה או בעולם הבא
האמונה בגמול מתחלקת לאמונה בגמול בעולם הזה, אל מול האמונה בגמול בעולם הבא.
הגמול, בשני המקרים, מתואר לעיתים כגמול פיזי ולעיתים כגמול נפשי (שלווה) או רוחני (אהבת האל).
המקורות היהודיים מתייחסים גם לגמול בעולם הזה וגם לגמול בעולם הבא.
בתורה ישנה התייחסות בלעדית לגמול בעולם הזה – "ונתתי מטר ארצכם בעתו" ו"למען יאריכון ימיך על פני האדמה".
בנביאים ניתן למצוא התייחסויות ל"יום ה'" – יום שבו יהיו מלחמות או הפיכות ומי שיהיה קרוב לאל בזמן זה ימלט.
בספר דניאל כתוב: "ורבים מישני אדמת עפר יקיצו, אלה לחיי עולם ואלה לחרפות לדראון עולם".
מפסוק זה ניתן ללמוד על תחיית המתים בה יינתן גמול שונה לאנשים שונים, ועל קיומם של שכר ועונש לאחר המוות.
במקורות מאוחרים יותר מוזכרים גן עדן וגיהנום.
גן העדן הוא המקום בו יושבים הצדיקים למשתאות (גמול פיזי לפי פרשנות פשטנית) ו"נהנים מזיו השכינה", כלומר – שכרם הוא הקרבה אל האל.
במקורות מתוארים גם דירוגי שכר בתוך גן עדן – מיקומים שונים, ועוד.
הרמב"ם הסביר שכל השכר ועונש שכתוב בתורה הוא בעיקר לעולם הבא, וכל מה שמוזכר שכר ועונש בעולם הזה הוא רק שנהיה פנויים לעבודת ה'
בהגות הנוצרית המוקדמת לא מתואר הגמול בעולם הזה, ולהפך – הצדיקים בעולם הזה מתוארים כעניים ושפלים.
נחמתם של הצדיקים היא בגאולה שיזכו לה רק הצדיקים, ביום הדין.
הצדיקים יזכו לתחיית המתים וינצלו מקרבות ומלחמות.
בנצרות הפרוטסטנטית מזהים את הצלחתו של האדם בעולם הזה, מבחינה חומרית, עם בחירה מוקדמת של האל באותו אדם.
בכתבי האסלאם מובטח לחוטאים גמול כרעתם, בהתאם לרצונו של האל, בעולם הזה או בעולם הבא.
לפי הקוראן הגמול הסופי ייקבע רק ביום הדין (בו ימותו כולם) ובתחיית המתים.
לאחר תחיית המתים ילכו האנשים לגן עדן או לגיהנום.
גמול אישי וגמול קבוצתי (קולקטיבי)
ביהדות, בניגוד לנצרות ולאסלאם, ישנו דגש חזק על הגמול הקולקטיבי.
בימי דין החלים פעם בשנה נשפטים העולם כולו ועם ישראל, ובמשנה ישנה קריאה לאדם הפרטי לראות את המעשה הבא שלו כמעשה שיכריע את כל העולם (או העם) לחובה או לזכות.
התורה שמה דגש על הגמול הקולקטיבי, אך גם מדגישה כי אדם הנשען על הגמול הקולקטיבי ועושה מעשים רעים מתוך ביטחון שבסך הכל, העם כולו יעשה מעשים טובים והוא יזכה לשכר טוב אתם – יענש.
השכר המובטח לעם כיחידה אחת הוא גשמי ברכה, שלום וקרבה אל האל כעם.
ברור שגשמי ברכה אינם יכולים להיתפס כגמול ליחידים מפני שגשם היורד על האחד מרווה גם את השני, ובאופן דומה גם השלום והקרבה הרוחנית של העם אל האל.
ישנם מדרשים המייחסים את גשמי הברכה והשכר שהעם מקבל לאדם ספציפי שצדקתו גורמת לברכה על כל העם, או אפילו לצדקתן של הכבשים – שבזכותן יורד הגשם על עמים מרושעים ללא זכויות משלהם.
בנוסף לגמול הקולקטיבי ישנו אזכור גם לגמול הפרטי.
כפי שצוין קודם, ישנה אזהרה ליחיד לבל ישען על צדקתו של הכלל.
בנוסף, בפרשת הקללה והברכה מקולל כל העושה עבירות בסתר.
פרטיה של קללה זו אינם מפורטים.
וישנו גם החוק – אדם העובר על המצוות צפוי לעונשים מידי בית דין.
בספרי הנביאים ובתהילים מוזכרת היכולת לתת גמול אישי לצדיק ולרשע בין שבחיו של האל.
גם בנביאים וגם בכתובים ישנה הנחה כי גורל אחד לבני עם אחד והנבואה מתייחסת לעיתים קרובות לפשעיהם של עמים ולעונשם הקולקטיבי.
בספר קהלת מובע ייאושו של הכותב ממנגנון השכר והעונש: "מקרה אחד לצדיק ולרשע" ומתוך ספר איוב עולה ביתר חומרה שאלת קיומו של הגמול האישי.
גמול פנימי הוא הגמול הכלול באופן בלתי נפרד בעצם עשיית המעשה, וגמול חיצוני הוא גמול הניתן ללא קשר לטיב המעשה עצמו.
גם בחוק המדיני נעשה שימוש בגמול פנימי: אין ענישה על התאבדות מפני שהמוות הנגרם על ידי ההתאבדות חמור מספיק וממלא כמה ממטרות הענישה.
בעוד ההשלכות של סיכון החיים בכבישים מובנות על פי ההיגיון, הפיזיקה והביולוגיה, הסכנות הכרוכות לכאורה בחילול שבת, למשל, אינן מוחשיות.
אף על פי שלא כל טעמי מצוות הדת ברורים, נדרש המאמין לקבל את ההנחה כי יש משהו פנימי במהות עשיית המצווה שמהווה את הגמול על אותה המצווה.
הרמב"ם ציין שכשבאים ללמד אנשים פשוטים, יש לנסות ולתמוך את הלימוד בטעמים המתקבלים על דעתם, והאמונה בשכר ועונש חיצוני מצטיירת בכתביו כאמונה בדרגה נמוכה יותר.
יש המתארים את העולם הבא כולו כהכרה בטעמי המצוות ובהגיון הטמון בהנחיותיו של האל.
קיומה של הכרה כזו אצל כל אדם ממילא יהפוך את העולם הבא לטוב עבור אלה שקיימו את הנחיות האל ולרע עבור אלו שסטו מהן (הצדיקים ישמחו בכך שהיו צדיקים והרשעים יצטערו על כך שאינם יכולים לשנות ולנהוג אחרת).
שאלה מרכזית בתורת הגמול היא: איך ייתכן שאדם לא עבר על הציווי ובכל זאת נראה כי הוא נענש?
שאלה זו מנוסחת בגמרא במסכת ברכות.
מסופר שם על משה, ששואל את הקב"ה: "מפני מה יש צדיק וטוב לו ויש צדיק ורע לו, יש רשע וטוב לו ויש רשע ורע לו?".
המאמינים אינם יכולים לקבל את קיומם של דברים שרירותיים מפני שקיומם מעיד על העדר ההכוונה של האל, או העדר הרצון להכוונה של האל, ומכיוון שההנחה היא שהאל טוב, לא ייתכן שלא יתערב למניעת מקרי עוול הנגרמים על ידי שרירות.
לעיון בסוגיה זו מוקדש למעשה בתנ"ך כל ספר איוב, כאשר בניגוד לטענות הרעים הספר מסיים במסקנה שאיוב לא חטא, ומצד שני לא ניתנת תשובה ישירה מדוע איוב נענש, אלא תוכחה שאיננו יכול להבין את מעשי האלוה.
בעוד שהקורא שקרא את הפתיחה לספר, יודע שהדבר נעשה בשל התגרותו של אלוהים באיוב, וההתערבות של השטן עם אלוהים, שטען שיוכל להסיתו מדרך הישר.
על מה שספר איוב לא ענה, ניסו הוגי דעות יהודיים לענות, וישנן כמה תשובות מקובלות לשאלה זו.
הרב יוסף אלבו מסכם אותן (מתוך מקורות כמו הרמב"ם ומאמרים בגמרא) בספרו 'ספר העיקרים': ראשית ייתכן שהצדיק חטא בכל זאת – ששכח את חטאו, או שחטא חטא קטן מאוד.
שנית, ייתכן שהרע הבא עליו אינו רע באמת – לדוגמה: אדם שרוצה כל הזמן עוד, אפילו צדיק, לא ייתכן שכל רצונו יסופק לו וייתכן שיהיה לו רע בעקבות זאת.
אם הצדיק באמת צדיק, ובאמת רע לו – ייתכן שהוא סובל היות שניתן עונש קולקטיבי לעמו או לעולם, כיוון שלא ביקש רחמים על שאר העולם, כדי לכפר על שאר העם או העולם או כדי להרחיק אותו מחטא (בגלל ההנחה שיותר קל להיות טוב כשהמצב רע).
ייתכן שהוא נענש על חטאי אבותיו, או שעל ידי עונש שקבלו אבותיו נענש גם הוא, ייתכן שמדובר ב'ייסורים של אהבה' – כדי להגדיל את שכרו בעולם הבא, וייתכן שזה ניסיון (בגלל הנחה הפוכה – יותר קל להיות טוב כשהמצב טוב).
רבי סעדיה גאון כתב שהאל מייסר את הצדיקים ונותן להם ניסיונות שיעמדו בהם כדי להוסיף להם שכר לעולם הבא, [השקפה זו דחה הרמב"ם בשתי ידיים].
עוד כתב כי אין שכר ועונש בעולם הזה כלל, ומה שרואים כאן הוא קצת מן הגמול הצפוי בעולם הבא, סימן לבאות, אך לא הגמול במלואו.
שיטת הר"ןליישב את קושיית צדיק ורע לו, על פי התפיסה כי כל אדם נולד לתוך מערכת הכוכבים והוא הנקרא 'מזל' ולכך לא יימנע כי צדיק יארע לו רע, אם כך הוא על פי חוק מערכת הכוכבים, וכן רשע, ייתכן ויקרה לו מקרה טוב כנ"ל.
על פי הבנה זו הדרך לזכות להשגחה פרטית היא על ידי התקרבות לאל על ידי עשיית מצוות ותפילות .
בקבלה מייחסים את סבלו של הצדיק לחטאים שהיו לגלגוליו הקודמים.
ניתן לראות מהלך דומה גם באמונות מן המזרח.
רבי יהודה הלוי מעלה את שאלת 'צדיק וטוב לו' בנצרות.
מלך הכוזרים שואל את 'החבר', בספר הכוזרי, מדוע היהודים מושפלים אם הם העם הנבחר.
מתשובתו של החבר ניתן להבין כי במידה מסוימת, דווקא ביהודים מתבטאות האמירות בברית החדשה לגבי עוניים וסבלם של הצדיקים בעולם הזה.
כאן הוא מצביע בעקיפין על סתירה במחשבה הנוצרית של זמנו: הנוצרים, שאמורים להיות צדיקים, לא סבלו אז כלל, ועובדה זו עמדה בסתירה לתיאורי הצדיקים שבברית החדשה.
עוד יש להוסיף בשיטתו של ריה"ל, שהוא לא מקבל את ההנחה שצדיק ורע לו רשע וטוב לו, ריה"ל טוען שיש להצדיק את הדין עם בורא עולם.
איך ייתכן שאדם עבר על החוק והציווי ובכל זאת נראה כי הוא לא מקבל עונש?
ספר העיקרים מסכם גם את הדעות השונות בסוגיה זו, ומסביר כי סוגיה זו קשה מקודמתה מפני שלפעמים ברור שאדם מתנהג ברשעות, בניגוד לצדיקות שקשה להבחין בה.
למערכת הגמול של החוק המדיני האנושי, יתרונות וחסרונות מבחינת יכולת האכיפה שלה.
מערכת האכיפה של האל לא מוגבלת מבחינת גישה למידע על הנעשה ומגוונת מאוד מבחינת אפשרויות הגמול.
יתרונה של מערכת האכיפה החוקית הוא בנגישות האדם אל המידע על הגמול – גמול פיזי או רגשי בעולם הזה הוא מוחשי יותר ואינסטינקטיבי ולכן סיכויי ההשפעה שלו על ההתנהגות האנושית גדולים יותר.
אפלטון, בדברו על המדינה האידיאלית, ניסה לשמר את האמונה בשכר ועונש משמים, אף על פי שלא האמין באלים בעצמו, מפני שאמונה זו הייתה שימושית למטרות אכיפת החוק.
מה יעשה אדם הלכוד בין הוראות סותרות מצד האל (או שליחיו) ומצד השלטון או הנורמה?
במשנה ובגמרא ניתן לראות כמה פתרונות לשאלה זו.
ישנם פתרונות המשבחים את הדבקות במצוות האל על פני הציות לשלטון.
מדובר בעיקר בקיומן של מצוות בעלות חשיבות מיוחדת ('יהרג ובל יעבור') או בהתרסה כנגד שלטון המבקש לעקור את הדת בחוקיו.
ישנם גם פתרונות המעדיפים את הציות לחוק או לנורמה על פני קיום מצוות האל כמו 'דינא דמלכותא דינא' או ה'שינוי מפני דרכי שלום'.
המשמעויות האונטולוגיות של תורת הגמול הן מרחיקות לכת.
האמונה בגמול בעולם הזה מעודדת את המאמין לקרוא תיגר על חוקי הטבע.
בתלמוד ישנה אגדה על רבי חנינא בן דוסא ששמע על נחש ארסי ומסוכן ההורג באנשי העיר, חיפש את מחילתו וכשהכישו הנחש – הנחש מת.
חנינא בן דוסא הסביר ש"לא הנחש ממית – החטא ממית".
במקורות אחדים נחשבת ההתגוננות מפני פגעים לחוסר ביטחון בהשגחת האל ולפגם באמונה.
במקורות אחרים ניתן למצוא גישה מעשית יותר – יעקב אבינו התכונן לקראת פגישה עם עשו אחיו, ולא ידע אם עשו בעדו או נגדו.
רש"י מתאר את התנהגותו של יעקב כהכנה של דורון, תפילה, ומלחמה.
יעקב לא נשען על תפילתו בלבד ועל האמונה בתורת הגמול שתבטיח את שלומו, אפילו לאחר שהאל הבטיח לו במפורש את עתידו הטוב כשכר על מעשיו.
ניתן לראות את האמונה כולה כמענה על שאלת הגמול.
ישנן שיטות הרואות באמונה בתורת הגמול מפלט שמצאו המאמינים מחוסר הוודאות.
ריבוי הכוחות בטבע גרם לאנשים לחשוב על מקורם השונה באלים השונים ולהמציא סיפורים שקשרו את הטבע המופעל על ידי האלים בהתנהגות האנושית.
האמונה בכך שהגשם הוא גמול על מעשים טובים, למשל, מאפשרת לאדם להרגיש שליטה טובה יותר בירידת הגשם.
לעומת זאת, יש שיטות הגורסות שהכחשת תורת הגמול מקורה בנטייה נפשית לברוח מכל דבר המאיים על חירותה, כלומר יוצר תחושה של חובה.
התנאים המקובלים לשימוש בתורת ההחלטות הם כי אין דרך פשוטה לכמת באופן מתמטי ידע או השלכות של אירוע וכי המידע הקיים אינו שלם, ולכן יש להעריך, לרוב באופן הסתברותי, את המידע החסר.
ההחלטות בתורת ההחלטות מונחות ונורמטיביות, משמע הן נוגעות בזיהוי ההחלטה הטובה ביותר בהנחה שמקבל ההחלטה רציונלי ובעל יכולת חישוב מדויקת.
החלטות בתנאי אי-ודאות הן החלק העיקרי של תורת ההחלטות, ורוב ההחלטות בהן התורה עוסקת הן בתנאים כאלו.
תחום זה נחקר עוד במאה ה-17 על ידי בלז פסקל.
בתנאי אי ודאות התוצאות של כל החלטה אינן ידועות אך ניתן להעריכן על ידי כלים הסתברותיים.
הפרוצדורות בהחלטות אלו מחשבות את הערך הצפוי של ההחלטה על ידי ניתוח סיכון-תועלת.
הרעיון מאחורי פרוצדורות אלו הוא שכאשר אנו ניצבים מול מספר פעולות אפשריות, כשכל פעולה מובילה למספר תוצאות שונות אפשריות ולכל אחת הסתברות שונה, הפרוצדורה הרציונלית תחשב אם מדובר בתוצאה חיובית או שלילית ותעריך הסתברות לתוצאה, תכפיל את שני ערכים אלו ולבסוף נקבל את ערך התוצאה.
ההחלטה שתיבחר תהיה בעלת הערך הגבוה ביותר.
מודל קלאסי להחלטה בתנאי אי ודאות הוא ההימור של פסקל.
פסקל דן בהחלטה אם להאמין באלוהים או לאו.
הוא גורס שהערך שיש לכך שאלוהים אכן קיים, אם אדם מאמין בקיומו, הוא ערך אין סופי, ולכן לא משנה כמה קטנה ההסתברות לקיומו של אלוהים, הערך הצפוי שמתקבל מההחלטה להאמין באלוהים הוא הגבוה ביותר, וההחלטה להאמין היא העדיפה.
סוג נוסף של החלטות נובע מכך שפעולות שונות יובילו לתוצאות שונות בעיתויים שונים.
לדוגמה, אם אדם זוכה בפרס כספי של כמה אלפי דולרים, הוא יכול להוציא אותם על חופשה ולקבל מכך סיפוק מיידי או להשקיע את הכסף בפיקדון מובנה ובכך לקבל סכום כסף גדול יותר בתקופה מסוימת בעתיד.
ההחלטה שעל אדם זה לקבל תלויה במגוון משתנים, כגון ריבית, מדד ותוחלת חיים, אך עדיין, גם אם יילקחו בחשבון כל המשתנים האלו, לא ניתן לצפות לחלוטין התנהגות אנושית, שכן כל אדם נוטה לתעדף משתנים שונים בצורה שונה.
כתוצאה מכך התפתחו מודלים מגוונים של תורת ההחלטות.
ישנם כלים סטטיסטים המסייעים בהערכת סיכון וארגון המידע הנוגע בקבלת החלטות.
ניתן לעשות זאת על ידי סיווג כל טעות (טעויות מסוג ראשון וטעויות מסוג שני) באמצעות כלים סטטיסטיים, כגון הסתברות, עלות ותוחלת.
דוגמה לניתוח הסתברותי של משפט:
במציאות אשם זכאי פסק הדין אשם ערך אמת טעות מסוג ראשון:אשם למרות חפותו זכאי טעות מסוג שני:זוכה למרות היותו אשם ערך אמת
תורת ההפרעות היא שיטה מתמטית לפתרון מקורב של בעיות.
בפיזיקה משתמשים בה במידה מרובה, בגלל מיעוט הבעיות שניתן לפתור בצורה מדויקת.
שיטה זו משמשת כאשר ידוע פתרון מדויק למשוואות, ורוצים למצוא פתרון אחר, קרוב אליו.
הפרעה היא הסטייה מהפתרון המדויק.
במובן מסוים השיטה הזו היא הכללה של פיתוח לטור טיילור.
דוגמה פשוטה היא תיאור מצבם של פני המים בשלולית: המים בשלולית יכולים להיות במצב נייח, בו פני המים אחידים.
זהו פתרון מדויק למשוואות המתארות את מצבם.
אך פני המים יכולים גם לנוע, אם נוצרים בהם גלים.
אם הגלים קטנים יחסית, אפשר להתייחס אליהם כהפרעות, כלומר סטיות קטנות מהמצב בו פני המים אחידים.
בצורה כזו קל יחסית לדעת כיצד יתקדמו הגלים במים, כלומר פתרון המשוואות אינו קשה במקרה זה, וניתן לקבל קירוב טוב (כלומר, תיאור מדויק יחסית) למצבם של פני המים.
הרעיון העומד מאחורי תורת ההפרעות הוא שאף על פי שישנן בעיות מתמטיות שקשה מאוד או אי אפשר לפתור אותן במדויק, בכל זאת ניתן למצוא מידע חשוב אודות פתרון הבעיה על ידי שימוש בהנחות מפשטות, ואז לחקור סטייה מהנחות אלו על ידי חקירת הפרעה קטנה בפתרון.
דוגמה מתמטית לשימוש בתורת ההפרעות
נקח כדוגמה את המשוואה הבאה:
כאשר הפרמטר מייצג מספר אל־ממדי כלשהו, כגון מספר ריינולדס, אוילר, או פראוד.
במקרה הקיצון, , המשוואה מתנוונת למשוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון, אותה ניתן לפתור בפשטות.
זהו הפתרון של בעיית הקיצון.
ברוב המקרים הפתרון של בעיית קיצון אינו פיזיקלי.
לדוגמה, אם בדוגמה זו מייצג את מספר ריינולדס, הוא יכול להיות מספר מאוד קטן אך אינו יכול להשתוות לאפס.
היות שכך, יש צורך לחקור את המקרה בו קטן מאוד אך אינו אפס.
הצבת הביטוי עבור במשוואה לעיל נותן:
ניתן עתה להפריד בין הסדרים השונים של המשוואה כדלהלן:
סדר זה נקרא הסדר המוביל, והוא מדויק מסדר ראשון.
חיסורו מהמשוואה לעיל ייתן את הסדרים הבאים, שהם סדר וסדר , בהתאמה.
ניתן לפתור בהדרגה את המערכת הנזכרת למעלה, שהיא בעצם מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון.
פתרון המשוואה הראשונה הוא: , כלומר שגיאת הקיטוע היא מסדר .
הצבה של פתרון זה במשוואה מסדר יתן , וכן הלאה, כאשר בכל פעם ניתן לקבל פתרון מדויק יותר.
דוגמה פיזיקלית – יציבות מודית בבעיית חום
בעזרת תורת ההפרעות ניתן לבצע אנליזה לבעיית חום חד־ממדית פשוטה בתחום :
כאשר T מייצג את הטמפרטורה ו־c מייצג קבוע דיפוזיה של חום.
במקרה זה, הפתרון של המשוואה פשוט ביותר: , כלומר שהטמפרטורה נותרת קבועה בכל המישור ואין שינוי בטמפרטורה עם הזמן.
עתה ניתן לחקור מה יקרה אם תתווסף הפרעה קטנה לבעיה.
לדוגמה: אם ההפרעה היא מהצורה , כאשר מייצג את קצב הדעיכה של ההפרעה.
ניתן להגדיר כי הפתרון יהיה מהצורה:
כאשר הפתרון של הבעיה ללא ההפרעה יסומן ב־, ו־ הוא מספר קטן מאוד מאחד, על מנת לשמור על הפרעה קטנה.
אם מציבים את הפתרון הזה בבעיית החום, מתקבל:
מכיוון ש־ קבוע, הנגזרות שלו מתאפסות ונותר רק:
ועל ידי צמצום וחלוקה ב־c ניתן לחלץ את פרמטר הדעיכה:
למעשה ניתן להסיק מסוג ההפרעה שנכנסת את זמן הדעיכה האופייני שלה, כתלות בפרמטרים של הבעיה.
תורת ההכלה הייתה האסטרטגיה שהנחתה את מדיניות החוץ של ארצות הברית בשנים הראשונות של המלחמה הקרה.
ביסודה של התורה עמדה הנחישות האמריקנית לבלום את ההתפשטות הקומוניסטית למדינות נוספות ולנסות לבודד את ברית המועצות במטרה סופית להביא לשינוי השיטה הפוליטית ברוסיה.
המדיניות הוצעה לראשונה על ידי ג'ורג' קנאן ב"מברק הארוך" שכתב ממוסקבה ב-1946. שנה לאחר מכן היא נחשפה לציבור במאמר "The Sources of Soviet Conduct" שהתפרסם בירחון Foreign Affairs תחת השם הבדוי "X".
"X" היה לא אחר מאשר קנאן עצמו.
ב-1948 הייתה הבלימה למדיניות החוץ הרשמית של ארצות הברית ולאבן הפינה של דוקטרינת טרומן.
מכאן ואילך חל תהליך של הקצנה במימוש של העקרונות שהעלה קנאן על הנייר.
בעוד שהוא דגל בבלימה כלכלית ופוליטית בעיקר, אירועים כמצור על ברלין ב-1948, הניסוי הראשון של הסובייטים בנשק גרעיני ב-1949 ונפילת סין בידי הקומוניסטים מיד לאחר מכן - כל אלה גרמו לפרשנות מקצינה והולכת של הבלימה בכיוון הצבאי.
בשנות החמישים כבר רווחה תאוריית הדומינו, שגרסה כי נפילה של מדינות בודדות, בלתי חשובות ככל שיהיו, עלולה לגרום לאפקט אזורי של נפילת מדינות נוספות, אחת אחרי השנייה כאבני דומינו.
גרסתו של קנאן עמדה על מספר נקודות - אירופה המערבית, יפן וצפון אמריקה - שרק להן חשיבות אסטרטגית עליונה ורק עליהן צריך להאבק, וגם אז לא רק באמצעים צבאיים.
אולם לא זו הגרסה שהתקבלה על ידי קובעי המדיניות (קנאן עצמו עזב את מחלקת המדינה בפתח שנת 1950), אלא הגרסה הרחבה שדרשה למנוע בכל מחיר את נפילתה של כל מדינה בעולם.
התוצאה הייתה המעורבות האמריקאית במלחמת קוריאה ובמלחמת וייטנאם אחריה.
לנוכח הכישלון האמריקאי בווייטנאם איבדה תורת הבלימה את חינה בעיני קובעי המדיניות.
במקומה אומצה גישה של דטאנט, הכרה בברית המועצות כעובדה ודו קיום איתה.
אולם רונלד רייגן סובב את הגלגל לאחור בשנות השמונים ואף הרחיק לכת מעבר לבלימה, כאשר גרר את הרוסים למירוץ חימוש יקר, במטרה לרושש אותם ולמוטט את משטרם.
ב-1991 נפלה ברית המועצות ועמה נעלם, על פניו, הצורך בתורת הבלימה.
תורת הבלימה הייתה נושא למחלוקת רבה.
הריאליסטים, כגון וולטר ליפמן וג'ורג' קנאן עצמו, האמינו כי תורת הבלימה היא אסטרטגיה אידיאליסטית מדי, אשר עלולה להוביל למלחמה עולמית.
הם טענו כי ארצות הברית צריכה לנקוט במדיניות של ריאליזם, אשר תתמקד בשמירה על האינטרסים הביטחוניים של ארצות הברית.
ג'ורג' קנאן, שהיה זה שהגה את מדיניות הבלימה בסוף שנות הארבעים, זועזע מהמסמך של מועצת התכנון הביטחונית הלאומית (NSC-68) ב-1950, שקראה לעימות אידאולוגי עם ברית המועצות.
הפרשן וולטר ליפמן כינה את תורת הבלימה האמריקנית בשם "אסטרטגיה מפלצתית".
ולכן ארצות הברית צריכה להראות לעולם כי היא מוכנה להילחם כדי להגן על הערכים שלה.
בסופו של דבר, תורת הבלימה סייעה להפוך את ארצות הברית למעצמה הדומיננטית בעולם במהלך המלחמה הקרה.
עם זאת, היא גם תרמה לעלייה במתח הגלובלי ולסדרה של סכסוכים אלימים.
למרות שעידן הבלימה חלף עם תום המלחמה הקרה, תוצאותיה עדיין שרירות וקיימות.
למעלה מ-700 בסיסי צבא אמריקאים פזורים ברחבי העולם.
נוכחות זו, שנדמית כמובנת מאליה היום, לא הייתה קיימת לפני מלחמת העולם השנייה.
גם מדיניות החוץ של ארצות הברית כיום נושאת עימה שרידים של תורת הבלימה.
לאחר מותו של קנאן אמרה מזכירת המדינה קונדוליזה רייס בנאום בטוקיו בשנת 2005:
הביטוי "לא מרוסנת" (untethered במקור האנגלי) אינו מקרי.
כאשר מרסנים חיה ברצועה, הדבר מאפשר לה מרחב תנועה מצומצם מסביב לה.
משמעות זו קרובה לתקוותו של קנאן, להגביל את השפעתה של ברית המועצות על מדינות אחרות.
נראה מכאן שהבלימה נשארה, אך היריב הנבלם השתנה.
תורת ההפרעות (בתרגומים ישנים מכונה גם טרידה) היא שיטה לפתרון מקורב של בעיות במכניקת הקוונטים, על ידי שימוש בתורת ההפרעות המתמטית.
עיקר השיטה הוא הפרדת הבעיה הפיזיקלית לשתי תתי-בעיות:
בעיה עיקרית שפתרונותיה ידועים מראש, אם בצורה אנליטית ואם בצורה מקורבת - זוהי בעיית הבסיס.
בעיה נוספת בעלת ערכים עצמיים קטנים ביחס לבעיית הבסיס - זוהי ההפרעה.
על פי השיטה ניתן להרכיב את הפתרונות של הבעיה הכללית (כולל ההפרעה) באמצעות סופרפוזיציה של פתרונות של בעיית הבסיס.
במסגרת תורת ההפרעות ניתן לנתח מערכות פיזיקלית עם המילטוניאן מהצורה:
כך ש- ול- אוסף מצבים עצמיים בדידים עם אנרגיות עצמיות .
על פי השיטה ניתן למצוא אנרגיות עצמיות ומצבים עצמיים של ההמילטוניאן הכללי באמצעות הפתרונות הידועים של .
עם אנרגיות עצמיות מתאימות מהצורה:
האיברים ו- נקראים התיקון מסדר לאנרגיה ולמצב העצמי בהתאמה.
בעיות מתחום תורת ההפרעות ניתן לחלק לשני סוגים:
תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן: זהו המקרה בו ההפרעה בעלת תלות מרחבית בלבד ואינה תלויה בזמן.
במקרה זה ישנו שימור אנרגיה ועל כן ניתן לפתור את הבעיה כפתרון בעיית ערכים עצמיים.
תורת ההפרעות שתלויה בזמן: זהו המקרה בו ההפרעה תלויה במרחב ובזמן, כלומר .
במקרה זה האנרגיה אינה נשמרת ולמעשה הפתרון מיוצג על-ידי מעברים משתנים בזמן בין המצבים העצמיים של בעיית הבסיס.
את תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן פיתח ארווין שרדינגר ב-1926 כהמשך ישיר לעבודתו על משוואת שרדינגר.
את תורת ההפרעות התלויה בזמן פיתח פול דיראק.
תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן
כאשר פתרונות בעיית הבסיס הם ללא ניוון, ניתן לחשב את התיקון מסדר ראשון ושני לאנרגיה באופן הבא:
את התיקון למצב העצמי מסדר ראשון ניתן לחשב באמצעות:
פתרונות אלו נכונים אך ורק במידה ואין ניוון.
במקרה ויש ניוון המכנה בתיקון מסדר שני לאנרגיה ומסדר ראשון למצב מתאפס וישנה חלוקה באפס.
במקרה זה נדרשת שיטה אחרת.
במקרה שבו ישנו ניוון, ניתן להניח כי המצבים העצמיים של אותה אנרגיה עצמית מתערבבים זה עם זה בלבד, זאת בהינתן הפרעה קטנה.
כלומר, התיקון למצבים העצמיים יהיה סופרפוזיציה של מצבים בעלי אנרגיה עצמית זהה.
עבור אוסף מצבים עצמיים בעלי אותה אנרגיה עצמית בבעיית הבסיס, ניתן לצמצם את ההפרעה למרחב הנפרס על ידי מצבים אלו ולהציג אותה בייצוג מטריצי:
עבור וקטור עצמי וערך עצמי מתאים של המטריצה , מתקבל מצב עצמי ואנרגיה עצמית מתוקנים כך שהאנרגיה המתוקנת היא והמצב המתוקן הוא:
ובכך ניתן לקבל מצבים עצמיים מתוקנים עם אנרגיות מתוקנות.
אלקטרונים כמעט חופשיים בגביש חד-ממדי
ניתן לתאר גביש חד־ממדי כמערכת עם המילטוניאן מהצורה , כאשר הוא הפרעה מחזורית עם מחזור מאורך .
במקרה זה ההמילטוניאן הבלתי מופרע הוא והמצבים העצמיים שלו הם האלקטרונים החופשיים עם האנרגיות כאשר הוא מספר הגל.
ניתן לתאר את הפוטנציאל המחזורי באמצעות טור פורייה:
כאשר ו- (זאת מכיוון ש- חייב להיות הרמיטי)
מאחר שהוספת קבוע להמילטוניאן שקול להזזת פאזה, מה שאינו משנה את סטטיסטיקת מיקום האלקטרונים, ניתן להניח בלי הגבלת הכלליות כי .
בבעיית הבסיס אין ניוון באנרגיה, לכן בעזרת תורת ההפרעות מתקבל כי התיקון הראשון לאנרגיה מתאפס והתיקון השני לאנרגיה הוא:
פתרון זה נקרא מודל אלקטרונים כמעט חופשיים והוא ניתן להרחבה גם לשלושה ממדים.
אפקט שטארק באטום מימן מתקבל כאשר המימן מצוי בשדה חשמלי.
במקרה זה ההמילטוניאן הוא מהצורה כאשר הוא ההמילטוניאן של אטום המימן ו- מתאר שדה חשמלי מגודל בכיוון ציר ( הוא מטען האלקטרון).
בבעיה הבלתי מופרעת של אטום המימן ישנו ניוון מגודל לכל רמת אנרגיה ולכן יש להשתמש בתורת ההפרעות במקרה המנוון.
עבור , המצבים היחידים המקיימים אינטראקציה זה עם זה הם ו- עם כאשר הוא רדיוס בוהר.
מכל זה, המצבים ו- נשארים ללא שינוי, ומתקבלים מצבים מלוכסנים (לפי ההפרעה), , בעלי אנרגיות בהתאמה.
מעבר בין מצבים עצמיים של ההמילטוניאן הבלתי מופרע
לרוב בבעיות של תורת ההפרעות התלויה בזמן יש למצוא את הסיכוי שחלקיק ימצא במצב קוונטי סופי בהינתן מצב התחלתי , כאשר ו- שניהם מצבים עצמיים של ההמילטוניאן הבלתי מופרע.
ניתן לעשות זאת על-ידי הנוסחה:
כאשר ו-, וכן הוא הזמן שממנו מתחילה ההפרעה.
הסיכוי שחלקיק ימצא במצב קוונטי בזמן כלשהו הוא .
פיתוח זה תקף רק עבור ו-.
בתורת ההפרעות התלויה בזמן יש לפתור את משוואת שרדינגר מהצורה:
כאשר אף כאן המצבים הקוונטיים הם מצבים עצמיים של ההמילטוניאן הבלתי מופרע עם האנרגיה העצמית .
בגבול המקדמים מתנוונים לקבועים בזמן.
מציבים אותה במשוואה ומטילים על מצב עצמי כלשהו, ובכך מקבלים מערכת משוואות דיפרנציאליות מצומדות עבור המקדמים .
על-ידי סימון ו-, מתקבלת הצורה הסופית:
אפשר לפתור את המשוואה על ידי לכסון מטריצת ההפרעה המוכפלת ב"תדירויות ההפרשים".
לרוב, הפתרון הכללי מסובך לחישוב.
בתמונת האינטראקציה של דיראק מעבירים את התלות הטריוויאלית בזמן, זו הנובעת מ-H0, ההמילטוניאן הלא מופרע, מפונקציות הגל לאופרטורים.
ואז הנוסחה הכללית למצב המופרע נהפכת ל
כאשר אנו מניחים ש .
נסמן את האופרטור של הקידום בזמן של ההפרעה.
אזי ההסתברות לעבור ממצב עצמי b למצב עצמי f נתונה על ידי
וכדי לפתור זאת, מפתחים את אופרטור הקידום בזמן של ההפרעה לפי במה שנקרא סדרת דייסון
כדי לחשב במפורש את התיקונים בסדרת דייסון, נשים לב שאופרטור הקידום בזמן של ההפרעה מקיים את המשוואה הבאה
מציבים ופותרים לכל סדר, וכך למשל מקבלים את התיקון הראשון
התיקון הראשון מייצג מעבר בין b ל-f בקפיצה אחת, התיקון השני מייצג מעבר בין b ל-f ב-2 קפיצות דרך רמת ביניים אחת, השני מייצג מעבר בין b ל-f ב-3 קפיצות דרך 2 רמות ביניים, וכן הלאה.
בתהליך אדיאבטי ההפרעה משתנה לאט מאוד כתלות בזמן.
במקרה זה, המצב העצמי ה--י הבלתי מופרע משתנה בצורה רציפה למצב ה--י המופרע המקביל לו והאנרגיה משתנה כך גם כן.
ניתן לתאר תהליך אדיאבטי באמצעות הפרעה מהצורה:
כאשר השינוי בהפרעה איטי מאוד, אזי:
כאשר ואותם אפשר למצוא באמצעות תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן.
וזה פתרון רק אם השינוי בפונקציית הגל של המצב העצמי הוא מאוד איטי, כלומר, בגבול .
נניח הפרעה מחזורית בתדירות .
כמו בנוסחה הכללית ניתן לסמן .
במקרה זה, האמפליטודה למעבר ממצב b למצב f היא
האיבר מייצג בליעה של פוטון ועלייה ברמת האנרגיה, ואילו האיבר מייצג פליטה של פוטון וירידה ברמת האנרגיה.
כל איבר נהייה דומיננטי כאשר התדירות קרובות להפרש האנרגיות המתאים.
אם מניחים כי מתקבל ש- דומיננטי.
במקרה זה, ההסתברות למעבר רמות מ-b ל-f היא:
ניתן לראות שההסתברות מתנהגת כמו פונקציית בריבוע כאשר .
רק כאשר תדירות ההפרעה מקיימת יש הסתברות משמעותית למעבר רמות.
תופעה זאת נקראת רזוננס, שבה המערכת מגיבה רק לתדירות אחת.
רוחב עקומת התהודה הוא ועבור מקבלים שההסתברות למעבר רמות פרופורציונית למשך ההפרעה:
הניתוח לעיל תקף עבור , כלומר:
על המערכת לדגום מחזורים רבים של ההפרעה.
תנאי זה נובע מרוחב עקומת התהודה.
התנאי השני נובע מדרישת תקפות הפיתוח של תוה"פ, ש .
בשביל שיהיה t מספיק גדול שעבורו התנאי הראשון יתמלא, על ההפרעה להיות קטנה מאוד מהפרש האנרגיות, כלומר: .
תורת ההוכחות היא ענף בלוגיקה מתמטית החוקר את מושג ההוכחה הפורמלית, באופן שאינו תלוי בתוכנו של הטיעון, אלא במבנה שלו ושל ההוכחה בלבד.
הוכחה פורמלית של משפט היא סדרה סופית של פסוקים, הנגזרים זה מזה באופן נאות, ומהווים למעשה "טיעונים" בדרך להוכחה השלמה.
כל אחד מפסוקים אלה צריך להגזר על-פי כללי היסק קבועים מתוך הפסוקים שקדמו לו, או להיות אקסיומה.
המערכת המתמטית שבמסגרתה בונים הוכחות פורמליות כוללת שפה מעל אלפבית סופי, קבוצת משפטים בני ניסוח, קבוצת אקסיומות, וקבוצת כללי היסק.
בדרך-כלל דורשים שקבוצת האקסיומות, קבוצת המשפטים בני הניסוח, וקבוצת האקסיומות יהיו כריעים – כלומר שיהיה ניתן לבדוק בזמן סופי אם משפט הוא בר ניסוח, אקסיומה או תוצאה של כלל היסק על משפטים נתונים.
כלל ההיסק הנפוץ ביותר הוא מודוס פוננס - ידוע שמערכת ההוכחה הבנויה על הלוגיקה הפסוקית וכלל ההיסק היחיד שלה הוא מודוס פוננס היא מערכת שלמה.
הבעיה ה-24 של הילברט – בעיה שדויד הילברט כתב לעצמו ולא פרסם, עסקה ביכולת למיין הוכחות שונות ולהעדיף אחת על פני חברתה.
קבוצת המשפטים היכיחים כריעה למחצה (ניתן לוודא שמשפט יכיח, לא ניתן לוודא שמשפט לא יכיח).
משפטי האי-שלמות של גדל – בכל מערכת הוכחה שיכולה להביע את תכונות האריתמטיקה של המספרים הטבעיים קיימת טענה ושלילתה שאינן יכיחות.
תורת האילוצים היא תורה בתחום הניהול והנדסת התעשייה אשר פותחה על ידי דוקטור אליהו מ.
בתורתו ניסה גולדרט ליישם שיטות חשיבה ומחקר הנהוגות בעולם המדע על עולם הניהול.
רבות מתורות הניהול שקדמו לתורת האילוצים נוצרו בעולם בו היצרנים היו הגורם הבולט בשוק, על כן שיטות הניהול שפותחו על פי תורות אלה שמו דגש על צמצום עלויות, העלאת נצילות, עלויות מלאי והוצאות ייצור.
תורת האילוצים מנסה לתת מענה ניהולי למצב הקיים בשוק המודרני בו מעמדו של הלקוח התחזק ומאלץ את היצרן להיות גמיש יותר ולהתמודד עם תחרות רבה יותר.
על פי התורה לכל ארגון ישנה מטרה אחת, כאשר לרוב בארגון רווח המטרה היא להרוויח יותר כסף.
בכל ארגון כזה קיימים מספר מצומצם (לרב אחד) של אילוצים, המכונים צווארי בקבוק, אשר מפריעים לארגון לממש את מטרתו.
כדי להשיג מטרה זו על הארגון למצוא את האילוצים ולהשתמש בהם.
ניתן לחלק את התורה לשני חלקים עיקריים.
הראשון הוא תהליך חמישה שלבי שנועד למקד את ההנהלה באילוץ של המערכת, להתאים את המערכת אליו, ולנצלו על מנת לשפר את הארגון כולו.
החלק השני הוא מקבץ של טכניקות ותהליכי חשיבה שיישומם מאפשר להנהלה להבין טוב יותר את הבעיות שעומדות בפניה ולפתור אותן.
כפי שנאמר, TOC, מתבססת על ההנחה שבכל ארגון קיים צוואר בקבוק אשר מפריע בהשגת המטרה ורק איתורו ושיפורו ישפר את התפוקה של המערכת כולה.
אם לדוגמה, קיימות במפעל פשוט שתי מכונות אשר פועלות בזו אחר זו לייצור מוצר מסוים, האחת יכולה לעבוד על 10 מוצרים בשעה והשנייה על 20, הרי שבמקרה זה האילוץ הוא המכונה הראשונה ושיפור המכונה השנייה לא יעזור במאום.
כדי לטפל בצווארי הבקבוק קיים התהליך החמש שלבי למיקוד המערכת:
שלב א' - איתור אילוץ המערכת
שלב ב' - החלטה כיצד לנצל את האילוץ (יש לוודא שהאילוץ מבצע רק דברים שהוא יכול לבצע באופן בלעדי)
שלב ג' - הכפפת שאר המערכת לאילוץ (יש לסדר את המערכת כולה בצורה בה האילוץ יוכל לעבוד כל הזמן.
בשאר המערכת מדד הנצילות אינו רלוונטי, הנצילות לא אמורה להיות מקסימלית אלא מתאימה לאילוץ)
שלב ד' - פריצת מגבלות האילוץ (יש לנסות להגדיל את יכולותיו של האילוץ ככל האפשר)
שלב ה' - במידה שהאילוץ נדד למקום אחר במערכת יש לחזור לשלב הראשון, בכך נמנע מן האינרציה להיות האילוץ
עקרונות דומים לניהול ריצפת היצור קיימים גם בתחום ניהול הפרויקטים:
כל פרויקט בנוי משרשראות של פעילויות המחוברות ביניהן.
נזהה את שרשרת הפעילויות הארוכה ביותר שמאלצת את משך הפרויקט ועליה נתמקד.
כאשר מתייחסים לפרויקטים, בדרך כלל יש להחליף את מושגי החומר (כגון מלאי) במושגי זמן.
מנהלי פרויקטים מנכים את מקדמי הביטחון ממשכי הביצוע של הפעילויות השונות ומקבלים את זמני ה"נטו" (זמני חציון).
זמנים אלו ישמשו בסיס לתכנון.
מרווח הביטחון הוא מרכיב חיוני בפרויקט כיוון שבכל פרויקט קיימים מרכיבים של אי ודאות.
הגישה הנהוגה בתורת האילוצים מנוגדת למצב הרווח בפרויקטים רבים בו לכל שלב (פעילות) בפרויקט ניתן מקדם ביטחון משלו.
על פי התורה, כאשר ניתנים מקדמי ביטחון מקומיים רבים הטבע האנושי מוביל לכך שהם ינוצלו גם אם לא היו בעיות בלתי צפויות, וכך משך הפרויקט מתארך.
מנהלי הפרויקט בונים את תרשים פעילויות הפרויקט (תוך שימוש בזמני נטו) כאשר כל פעילות נדחית למועד המאוחר ביותר האפשרי.
במסגרת תוכנית הבסיס, מנהלי הפרויקט פותרים מראש בעיות של תחרות על משאבים (חפיפה).
בתוכנית הבסיס (שאין בה תופעות של "חפיפה"), מאותר האילוץ של כלל הפרויקט - השרשרת הקריטית שהיא רצף התלויות הארוך ביותר בפרויקט (לא משנה בין אם זו תלות לוגית בין פעילויות, בין נתיבים או בזמינות משאבים).
נתיב זה יהווה את מוקד תשומת הלב הניהולי במהלך הפרויקט כולו.
מנהלי הפרויקט ממסדים מקדם ביטחון פרויקטלי - הוא בולם הזעזועים של הפרויקט (PROJECT BUFFER), שנועד להגן על מועד סיום הפרויקט מפני עיכובים של פעילויות המהוות את השרשרת הקריטית, וכן מנהיגים באפרים נוספים (FEEDING & RESOURCE BUFFERS).
מנהלי הפרויקט משתמשים בבאפרים הללו לצורך המעקב, הבקרה ואף להתערבות - אך ורק כאשר יש צורך בכך.
המשאבים העובדים בפרויקט עובדים מהר ככל האפשר, בהיקף מלא מתחילת הפעילות, ואינם מפסיקים פעילות לפני סיומה (אלא אם ניתן להעבירה למישהו אחר כדי להמשיך בה, או אם הוחלט שהתועלת בהפסקתה והעברת המשאב לפעילות אחרת מצדיקים זאת.
רק מי שאחראי על כל מכלול הפעילויות או הפרויקטים שנוגעים לעניין רשאי לאשר זאת).
עקרונותיה של תורת האילוצים נראים בדרך כלל פשוטים מכיוון שהיא מבוססת על הגיון ושכל ישר, אולם לעיתים דווקא עקרונות כאלו קשים מאוד למימוש.
כוחה של השיטה הוא בפיתוח של מספר תהליכי חשיבה אשר עוזרים למנהל להתמקד ולממש עקרונות אלו.
עץ הווה - TOC טוענת כי מבין כל הבעיות הקיימות בארגון ניתן למצוא בעיית יסוד שפתרונה יביא לפתרון הבעיות האחרות.
עץ ההווה הוא גרף של בעיות הקיימות בארגון אשר מסודרות בקשרים של סיבה ותוצאה.
עריכה נכונה של העץ תביא למציאת בעיית היסוד.
עץ עתיד - לאחר שנמצאה בעיית היסוד באמצעות עץ ההווה יש למצוא פתרון לבעיה.
עץ העתיד הוא גרף שבאמצעותו ניתן לבחון חלופות שונות לפתרון ולהציע פתרונות לבעיות אשר עלולות להיווצר בגלל השינויים המוצעים.
ענן קונפליקט - תהליך חשיבה זה נועד לפתור קונפליקטים.
בבסיסו של התהליך קיימת גישה הטוענת כי בבסיסם של קונפליקטים קיימת הנחה שגויה שמציאתה תפתור את הקונפליקט.
תורת האילוצים תוקפת בחריפות את שיטות החשבונאות והתמחיר המסורתיות.
כאלטרנטיבה היא מציעה שימוש במדדים שמודדים את ההשפעה של הגורמים על התפוקה הכללית של המערכת.
בספרו שרשרת קריטית, קורא גולדרט לשיטה המסורתית "עולם העלות" ולשיטה המוצעת על ידו "עולם התפוקה".
לטענתו שימוש במדדים המקובלים של עולם העלות גורם להעדפה של השגת מקסימום נצילות מקומית על פני קידום המערכת כולה.
במשך השנים הורחבה תורת האילוצים ונוספו לה יישומים הנוגעים לשיווק, למכירות, לכספים, לאסטרטגיה ועוד.
תורת האַפֶקְטִים ("Affect" - רגש, תחושה) היא תורה מוזיקלית, שמקורה בתקופת הבארוק, שכל יצירה הנכתבת על פיה חייבת להכיל "מצבי רוח" ברורים (היכולים להיות מנוגדים זה לזה, ועשויים להשתנות בפתאומיות).
מצבי רוח אלה (כגון: שמחה, עצב, אהבה או אבל) מבוטאים ביצירה על ידי אלמנטים מוזיקליים שונים (כגון: מקצבים (ומעברים ביניהם), סולמות מינוריים/מז'וריים, מנעד וכדומה).
המוזיקה הקולית, הנכתבת בהתאם לשיטה, צריכה להיות מותאמת לאווירה אותה מעביר הטקסט, ואילו המוזיקה הכלית, על אף שאינה מכילה טקסט, צריכה להכיל אף היא מצבי רוח ברורים.
תורת האפקטים היוותה ניגוד לתקופת הרנסאנס, שקדמה לבארוק, שהמוזיקה בה לא העבירה רגש מסוים למאזין, ויצרה ריחוק ("אווירת קדושה").
תורת הגזע היא תאוריה פסאודו-מדעית המקטלגת את המין האנושי לגזעים המקיימים סדר היררכי, כך שחלק מהגזעים עליונים ביחס לאחרים.
על אף שהנחות מסוג זה רווחו בתרבויות שונות, בדתות שונות ובזמנים ומקומות שונים, את הביטוי "תורת הגזע" נהוג לייחס למסורת של חשיבה ומחקר שהתחילו באירופה ובארצות הברית במהלך המאה ה-19, והגיעו לשיאם בגרמניה הנאצית.
מסורת זו, שהתיימרה להיות דיסציפלינה מדעית, הייתה למעשה אוסף אקלקטי של הגיגים, ששאבו ממקורות שונים, דרוויניזם (שפורש בהתאם להשקפתם), דרוויניזם חברתי, רעיונות אאוגניים, תורות פסבדו מדעיות שונות כתורת הפרנולוגיה, פיזיונומיה ותורתו של צ'זארה לומברוזו, ראייה היסטורית מעוותת, רעיונות פילוסופיים של רומנטיקה, ניהיליזם, פרשנות מעוותת לתורת פרידריך וילהלם ניטשה ואנטישמיות לשמה.
כל אלו אוחדו לתאוריה שאמורה הייתה להיות מדעית, ומתבססת על מדידות מדויקות המסוגלות להבחין בין הגזעים ותת הגזעים השונים לפי מאפיינים כצבע העור, צורת ומידת הגולגולת, צבע העיניים והשיער, וכיוצא בזה.
ההבדל העיקרי בין אתנולוגיה ואתנוגרפיה לבין תורת הגזע שמהווה חלק מעולם האנתרופולוגיה הפיזית היא העובדה כי השנייה מתייחסת יותר למאפיינים הפיזיים של בני האדם וכיצד הם משפיעים על עולמנו כיום.
עם זאת, האתנולוגיה והאתנוגרפיה מתבססות יותר על חקר המנהגים, דתות ומוסדות ולכן מבוססות פחות על אפיון פיזי וקשר ישיר שלו אל העולם כיום.
עם זאת הייחוס הראשון למושג "גזע" אינו ידוע אך מיוחס למספר מדענים ופילוסופים מסוף המאה ה-17 שניסו לארגן את המידע אודות המראה האנושי של קבוצות שונות בעולם כאופן מסודר.
כך למשל, חיבור אנונימי שמתוארך לשנת 1684 (כיום האקדמיה סוברת כי הכותב שלו היה פרנסואה ברנייה (François Bernier)), מתאר סוגים שונים של קבוצות בני האדם בעולם, כארבע או חמש במספר.
מחבר המאמר לא קבע בשטח שמות מדעיים לגזעים השונים, אך ניתן לשייך אותם לקבוצות אוכלוסין שונות בעולם (סביר להניח שלאירופאים, אוריינטלים, אפריקנים ולאפים (סאמים).
הרשימה עצמה בעלת חשיבות פחותה יותר לעומת רשימות אחרות הבאות בתור, אך היא ידועה בגלל השימוש בפעם הראשונה במונח "גזע".
עם זאת, בתקופתו של ברניייה ההבדל המינוחי בין גזע אדם לבין מין של חיה בטבע היה קטן מאוד.
נוסף על כך אפשר לזהות כי באותה התקופה אף הוגים כמו גוטפריד וילהלם לייבניץ, אשר הגיב למאמר הנידון, תפסו כי החלוקה של בני אדם לגזעים אפשרית, אך לא בהכרח משליכה על אופיים ועל צורת התנהגותם (טמפרמנט).
לייבניץ אף טען שלמרות השוני בין קבוצות האוכלוסין אשר הוא רואה אין סיבה שלא ישתייכו לגזע אחד כולם.
אפשר לראות זאת בתגובתו הכתובה על המאמר:
כך למשל, בסין קמה תנועת הארבעה במאי, וכך בתוניסיה קמה מפלגת הדסטור (Destour Party).
באינדונזיה הגיעו השאיפות הלאומניות לשיא כאשר ב-1919 הכילה התנועה לעצמאות לאינדונזיה 2.5 מיליון איש אשר תומכים בעצמאות מהולנד.
קיימת טענה כי אף בתקופה זאת הייתה החלוקה לגזעים משמעותית בחברה, כאשר המצביעים אשר תמכו בהצעתה של האימפריה היפנית בזמן חוזה ורסאי להכניס קטע המדבר על שוויון בין גזעי האדם באמנת חבר הלאומים היו מעטים.
תורת הגזע שלפני העת המודרנית
אריסטו הבדיל בין בני אדם על פי שפתם, וטען כי תכונותיהם נוצרו על פי מיקומם הגאוגרפי.
כך למשל לתושבי הדרום, שבהם נכללו גם האסייתים, קושרה אינטליגנציה גבוהה, בגלל חום האקלים בהם הם חיים, אך לעומת זאת, הם נחשבו לבעלי מחסור ברוח הנפשית החזקה שהייתה לבני הצפון לסירוגין.
יוהאן פרידריך בלומנבאך ותורת הגזע
אנתרופולוג חשוב של אותה התקופה היה בלומנבאך (אנ') אשר הציע קיום של גזע חדש והוא הגזע המלאי (Malay).
הוא אף הציג כי בדרך כלל אף אברי המין של בני אדם לבנים נוטים להיות בעלי עור כהה יותר ביחס לשאר הגוף.
הוא אף הציג בחיבוריו כי בחורף בדרך כלל צבע העור נהיה לבהיר יותר ובקיץ, בגלל חשיפה לשמש, הוא נהיה לכהה יותר.
הוא סיווג בשנת 1781 גם את הלאפים כאירופאים (באותה שנה גם הגדיר את הגזע המלאי אך עדיין לא את האירופאים כקווקאזיים אשר אותם הגדיר בשנת 1795).
הוא ראה את הצבע העור הלבן כיפה ביותר מכולם.
ויליאם אדוארד בורגהרד דו בויז ותורת הגזע
תפישה זאת הייתה נפוצה אותם הימים וקישרה תכונות מנטליות למראה חיצוני, במיוחד בהקשר של קיבולת המוח, משקל המוח והמדד הצפאלי.
הוא אף מבדיל בין שתי קבוצות, הילדים האפריקאיים והילדים האסייתים על סמך מאפיינים פיזיים.
השינוי שהיה לדה בויז עבר ממצב התחלתי בו הוא האמין כי אין אפשרות או אמיתות למדע המתבסס על הפרדה גזעית של בני האדם לגישה שעל פיה אין באמת מספיק ידע למדע כדי לענות על התשובה ומכך ייתכן שכן וייתכן שלא.
תורת הגזע זכתה לגיבוש, פיתוח וקידום עם עלייתה של המפלגה הנאצית והפכה לבסיסה של מדיניות הגזע של גרמניה הנאצית.
על פי הגותם, בני האדם נמצאים במצב של מלחמת תמיד בין הגזעים השונים, מאבק שבסופו ינצח הגזע החזק והמשובח בעוד שהגזעים הנחותים יושמדו וייעלמו מהעולם (מה שנקרא "תהליך הברירה הטבעית").
הנאציזם חילק את הגזעים השונים על פי פירמידה:
הגזע הארי – הגזע הארי הוא הגזע העליון והמשובח ביותר.
מדובר בעיקר בעמים של מערב אירופה ובעיקרם הגרמנים והאוסטרים הנחשבים לארים הטהורים והנעלים ביותר.
הגזע הארי נחשב לגזע העליון ביותר מכיוון שהוא גזע יוצר תרבות, גזע שמסוגל לייצר תרבות יש מאין ולקיים אותה.
מתחת לגזע הגרמני-נורדי קיים תת-אדם שמתחלק לשני סוגים:
הגזע הסלאבי – הגזע הסלאבי הוא הגזע שמאכלס בעיקר את מזרח אירופה (אוקראינה, רוסיה, פולין וכו') והוא נחשב לגזע נחות יותר, מכיוון שהוא גזע נושא תרבות (גזע שמסוגל אך ורק לקיים את התרבות אבל לא לייצר אותה בעצמו).
על פי תורת הגזע, מכיוון שהסלאבים משתמשים בתרבות שהגזע הארי מייצר הם צריכים לשמש כעבדים לגזע הארי.
הגזעים הנחותים - מדובר בגזעים בעלי מעמד נחות שלא זכאים להתקיים בחברה ארית טהורה ותקינה - שחורים, צוענים, אסיאתים וכדומה.
הגזע השמי – הגזע השמי (קרי היהודים) הוא היחיד שנמצא תחת ההגדרה של תת-גזע והוא נחשב לאויבו הטבעי של הגזע הארי מכיוון שהוא גזע מחריב תרבות.
כמו כן המפלגה הנאצית סיננה את הגזעים לקטגוריות של:
יוצרי תרבות – הגזע הארי.
בראש כל הגזעים ניצב הגזע הארי אליו משתייכים עמי צפון אירופה (נורדים, סקנדינבים).
בראש הגזע הארי עומד העם הגרמני.
גזע זה הוא הגזע העליון, הגזע ש"יוצר תרבות" ומתחתיו נמצאים כל הגזעים האחרים.
לפי היטלר, כל התרבות האנושית, האמנות, המדע והטכנולוגיה הם למעשה פרי יצירתם של הארים.
הם שייסדו ופיתחו את התרבות האנושית.
נשאי תרבות – הגזע הסלאבי (פולנים, רוסים, צ'כים).
עמים נחותים שנועדו לשרת את הגזע העליון.
אין הם תורמים לתרבות האנושית, אלא רק מחקים את תרבותם ואת יצירתם של "יוצרי התרבות" ולכן הם צריכים להישלט על ידי הגזע העליון – הגזע הארי.
הם אפילו לא גזע, אלא רק תת-גזע.
היהודים ממוקמים בתחתית סולם הגזעים.
כל תכונותיהם שליליות והם חותרים ללא הפסקה להרוס את הסדר הגזעי הטבעי ואת התרבות האנושית כולה.
כל דבר שהם נוגעים בו נהרס ומתנוון והם מהווים סכנה לקיום האנושות, ולכן יש להכחידם.
לצד החלוקה לגזעים, הנאצים ראו קבוצות שונות באוכלוסייה, לרבות באוכלוסייה הארית, כפוגעות בטוהר הגזע או מחלישות את החברה: אנשים נכים, חולים במחלות פסיכיאטריות, בעלי מוגבלות שכלית, ואנשים שהוגדרו כאנטי-סוציאליים מכוח התנהגותם, למשל הומוסקסואלים.
בהשראת האאוגניקה, המשטר הנאצי פעל במספר אופנים על מנת למנוע השפעות שליליות של קבוצות אלו על האוכלוסייה הארית הכללית:
צמצום הקבוצות באמצעות עיקור כפוי או אף השמדה (תוכנית T4 - אותנסיה).
הפרדה ובידוד, כגון שימוש בגטאות ומוסדות סגורים.
עידוד ילודה בקרב ארים – כדוגמת לבנסבורן.
הנאציזם חתר לשמירה על טוהר הגזע.
על פי תורת הגזע, הדם הוא האדם.
הגזעים הם חלק מתבנית ביולוגית מוגדרת ומתוכננת: תכונות שכליות, רוחניות וגופניות עוברות בתורשה דרך הדם ולא ניתנות לשינוי.
לכן הגזע הארי, שהוא הגזע העליון, חייב לשמור על טוהר הדם כדי שלא יזדהם על ידי דמם של גזעים נחותים, כמו היהודים, שכל מטרתם היא לפגוע בטוהר הדם של הגזע הארי.
מיזוג בין דם לדם יוביל לניוון ולהרס של הגזע העליון, ולכן יש לעשות כל מאמץ כדי למנוע מיזוג בין גזעים – כדי שהדם הארי לא יזדהם בדם של גזעים נחותים יותר.
עם יישומה של התורה בגרמניה הנאצית קיבלה התורה מעין בסיס מדעי.
אנשי מדע באוניברסיטאות עסקו בה, וביססו את מאפייניו הפיזיונומיים של כל גזע, כך שניתן היה, כביכול, להבחין בין הגזעים השונים על פי מדידות ובדיקות.
כיום נראה כי לתורה אין כל בסיס מדעי, כי אין "גזע" עליון על "גזע" אחר, והמושג "גזע" עצמו שנוי במחלוקת.
תורת הגזע קיבלה ביטוי מעשי בחוקי נירנברג ובחוקי הגזע באיטליה.
יישומה המלא של התאוריה במהלך מלחמת העולם השנייה והשואה הביא לתוצאות איומות.
השמדת היהודים בשואה, ועמם גם הצוענים, כיבוש ושעבוד שטחים נרחבים במזרח אירופה, שעבוד תושביהם הסלאבים, ורצח רבים מהם.
אירועים אלו הובילו להכרה בינלאומית כללית כי תורת הגזע היא שקרית ומזיקה, וכיום היא נמצאת מחוץ לקונצנזוס המדעי, ומחוץ לתורות המקובלות אף בתחומים כמדע המדינה, היסטוריה או פילוסופיה.
עם זאת, ישנם רבים, במיוחד בקרב הנאו-נאצים ותנועות לאומיות קיצוניות אחרות באירופה ובארצות הברית הדוגלים בתורה זו או במרכיבים חשובים שלה גם כיום.
תורת הבקרה היא נושא רב תחומי, אשר בא לידי ביטוי במערכות שונות (ביולוגיות, מכניות, רובוטיות, אוויוניות ועוד) תחת ייצוג מתמטי זהה.
ככל שהתהליכים בתעשייה נעשים מורכבים יותר, כך יש צורך בבקרה הדוקה ומדויקת יותר על התהליך.
מערכות הבקרה נפוצות כמעט בכל תהליך פיזיקאלי, כגון בקרת מפלס, זרימה, טמפרטורה, מתח, זרם חשמלי, ריכוז מוצקים בנוזל, מסלול וטיסה.
מערכת בקרה היא מנגנון אשר שולט על יציבות תהליך של מערכת אחרת, עליה ברצוננו לשלוט.
על מנת להתמודד עם הפער בין הערך המצוי לערך הרצוי של מערכות, נדרשת פעולה לתיקון סטיות של המשתנה המבוקר (גודל פיזיקלי) מערכו הרצוי.
סטיות אלה נגרמות עקב הפרעות במערכת.
לדוגמה, מזגן – כאשר נגדיר טמפרטורה רצויה, המזגן ימשיך לפעול כל עוד לא התקבלה התוצאה הרצויה ויפסיק את עבודתו בעת קבלת התוצאה הרצויה.
מערכת בקרה כוללת את הרכיבים הבסיסיים הבאים: