tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
בשנת 2021 הופיע בסרט "אל תחכי לי".
מתן קוקולייב (נולד ב-20 בפברואר 2001) הוא ג'ודוקא ישראלי המתחרה בקטגוריית המשקל של עד 66 ק"ג.
באליפות אירופה שנערכה בליסבון שבפורטוגל סיים במקום החמישי בקטגוריית המשקל של עד 60 ק"ג, אחרי שהפסיד ליאגו אבולדזה בקרב על מדליית הארד.
קודם לכן, ניצח בשלב שמינית הגמר את טמור נוזאדזה מגאורגיה ובשלב רבע הגמר את אנג'לו פנטאנו מאיטליה, לפני שהפסיד בשלב חצי הגמר לפרנסיסקו גאריגוס מספרד.
באליפות העולם שנערכה ביוני בבודפשט שבהונגריה הפסיד בשלב שמינית הגמר לפרנסיסקו גאריגוס, לאחר שניצח בסיבוב הראשון את חוסה ראמוס מגואטמלה ובסיבוב השני את גנקי קוגה מיפן.
באליפות אירופה עד גיל 21 זכה במדליית ארד בקטגוריית המשקל של עד 60 ק"ג.
באליפות אירופה שנערכה בסופיה שבבולגריה באפריל הפסיד בשלב שמינית הגמר לפרנסיסיקו גאריגוס, לאחר שבסיבוב הראשון ניצח את אשלי מקנזי מהממלכה המאוחדת.
באליפות העולם שנערכה בטשקנט שבאוזבקיסטן באוקטובר הפסיד בשלב שמינית הגמר לילדוס סמטוב מקזחסטן, לאחר שבסיבוב השני ניצח את סדריק רבול מצרפת.
בחודש דצמבר זכה בתואר אלוף ישראל בקטגוריית המשקל של עד 66 ק"ג.
מתן צנגאוקר (נולד ב-18 בדצמבר 1999) הוא אזרח ישראלי שנחטף על ידי מחבלי ארגון הטרור חמאס במהלך הטבח בניר עוז כחלק מטבח שבעה באוקטובר ב-7 באוקטובר 2023.
צנגאוקר שוחרר ב-13 באוקטובר 2025, במסגרת הסכם שחרור החטופים השלישי.
מתן צנגאוקר, הוא בנם הבכור של עינב וירון ואחיהן של נטלי ("טאטו") ושני.
דמותו מתוארת כצעיר מופנם, שקט וביתי, בעל אופי סבלני שהתבטא בתחביבו לבניית דגמי מטוסים.
בצעירותו זכה בפי חבריו לכינוי האירוני "עכביש" בשל הפוביה שלו מעכבישים.
עקב גירושי הוריו, לקח מתן אחריות משפחתית מגיל 16 וסייע בפרנסת הבית.
משפחתו תיארה אותו כעוגן משמעותי ומגונן עבור שתי אחיותיו הצעירות, ובמיוחד עבור אחותו שני, המתניידת בכיסא גלגלים.
ערב הטבח, עבד מתן בחממות הקנאביס הרפואי של חברת "קנדוק", והיה בזוגיות עם אילנה גריצ'ווסקי, ילידת מקסיקו שעלתה לישראל במסגרת נעל"ה של הסוכנות היהודית.
לאחר חטיפתו, הפכה אמו עינב לאחת הפעילות הבולטות במטה המשפחות ובמאבק הציבורי להשבת החטופים לישראל..
בבוקר הטבח, מתן התגורר בקיבוץ ניר עוז יחד עם בת זוגו, אילנה גריצ'ווסקי.
עם תחילת ירי הרקטות והישמע התראות "צבע אדום" בשעות הבוקר המוקדמות, מתן החל להתכתב עם אמו.
מתן ניסה להרגיע את אמו וכתב לה שחדר השינה שלהם הוא בממ"ד.
מסר זה משקף את התפיסה הראשונית של תושבי העוטף, שראו באירוע עוד סבב הסלמה רקטי.
עם זאת, תוך זמן קצר השתנתה התמונה באופן קיצוני עם חדירת המחבלים לקיבוץ.
מחבלים פרצו לביתם של הזוג והחלו להשחית אותו.
מתן ואילנה השניים ניסו להתבצר ולנעול את דלת הממ"ד.
מתן אחז בידית הדלת וזרק חפצים על המחבלים בניסיון למנוע את כניסתם, בעוד המחבלים יורים ירי כבד דרך הדלת.
בשלב זה הבינו השניים כי הממ"ד הפך למלכודת מוות, והחליטו לקפוץ מהחלון בניסיון להימלט.
מתן, שהיה לבוש בפיג'מה וגרביים בלבד, קפץ אחרי אילנה והכלב שלהם.
הנחיתה מחוץ לבית הובילה אותם לפיצול.
השניים רצו לכיוונים שונים כדי להקשות על הרודפים, וברגעים אלו אבד קשר העין ביניהם.
במהלך ניסיונותיהם להסתתר, נתפסו שניהם בנפרד על ידי המחבלים ונחטפו לרצועת עזה.
מתן נתפס בעודו מנסה להסתתר בשיחים.
המחבלים חנקו אותו עד סף עילפון.
בניסיון אחרון לשרוד, פנה אליהם בערבית ואמר שאינו רוצה "לעשות בעיות".
הוא הועלה בכוח על אופנוע, כשהוא יושב בין שני מחבלים חמושים.
מתן דיווח כי האופנוע עליו נחטף היה תחת אש של מסוקים וטנקים של צה"ל, שניסו לבלום את החדירה.
הכניסה לרצועת עזה, באזור חאן יונס, הייתה כ"תהלוכת ניצחון".
מתן תיאר אירוע של "לינץ' אזרחי": המונים, בהם נשים, ילדים וקשישים, עמדו בצידי הדרך והכו אותו באמצעות מקלות, אבנים וצינורות ברזל.
חוויה זו צרבה בו את ההבנה כי הוא נמצא בלב אוכלוסייה עוינת לחלוטין, ללא כל הגנה.
באוקטובר 2025 פורסם תיעוד המתעד את ימיו הראשונים בשבי, בו הוא נראה מובל על אופנוע בין שני מחבלים בחאן יונס.
אילנה נתפסה אף היא, הוכתה והועלתה על אופנוע.
מצלמת אבטחה של שכן, אייל ברד, תיעדה את רגע חטיפתה כשהיא עטופה בבד לבן סביב ראשה.
היא דיווחה כי במהלך הנסיעה הוצמדה רגלה לאגזוז הלוהט של האופנוע, מה שגרם לה לכוויות קשות, וכי עברה הטרדה מינית פיזית על ידי אחד החוטפים.
היא שוחררה בנובמבר 2023 במסגרת עסקת שחרור חטופים, לאחר 55 ימים בשבי.
צנגאוקר הוגדר על ידי חמאס כ"חטוף חייל" בשל גילו ושירותו הצבאי בעבר, הגדרתו כחייל, הובילה ליחס אלים במיוחד שכלל חקירות קשות ואלימות, שכללו קשירת ידייו ועינויים פיזיים.
בעדויותיו לאחר השחרור תיאר מתן מסכת התעללויות שכללה מכות חשמל, קשירה למכל גז למשך שבועיים ועינויים עד לאובדן הכרה.
במקרה נוסף, ספג אלימות לאחר שניסה להגן על חטוף אחר שהוכה בשוט.
הוא הוחזק ברוב תקופת שביו במנהרות חשוכות, וגם הועבר בין בתי מגורים, מסגדים ומתחמי אוהלים, תוך שהוא חווה רעב קיצוני ותנאי תברואה ירודים, שכללו שתיית מים מזוהמים ואכילת לחם מעופש.
במהלך תקופת השבי, חלה הידרדרות במצבו הבריאותי והנפשי.
ככל הנראה, התפרצה אצלו מחלת ניוון שרירים תורשתית שגרמה לחולשת שרירים, רעידות וקושי בעמידה.
תנאי התזונה הלקויים הובילו לחסימות מעיים, כאבי בטן עזים וירידה דרסטית במשקלו.
עדים דיווחו כי הוחזק לעיתים בכלובים כשהוא אזוק, ובשלב מסוים חלה נסיגה נפשית משמעותית שהתבטאה בשתיקה ממושכת ובסירוב לאכול.
הוא סבל גם מעקיצות פרעושים, תזונה לקויה שכללה בעיקר לחם יבש מעופש ואורז ושתיית מים מלוחים ומזוהמים שאינם ראויים לשתייה.
בנוסף, על פי עדויות חלה הידרדרות משמעותית במצבו הנפשי שלו, כאשר הוא סירב לאכול ולדבר, והסתגר שעות ארוכות בפינה במנהרה.
העדויות מצביעות על כך שהוחזק בכלובים, אזוק בידיו וכבול ברגליו, ועבר בין מנהרות, מסגדים ואוהלי עקורים וניצל מספר פעמים מהפצצות צה"ל.למרות זאת, מתן העיד כי הידיעות שהגיעו אליו מהמחבלים על מאבקה הציבורי של אמו למען שחרורו העניקו לו כוח ותקווה ברגעים הקשים.
לאורך תקופת שביו הממושכת פורסמו מספר אותות חיים ותיעודים שלו: סרטון מימיו הראשונים על אופנוע בחאן יונס, סרטון רשמי שפורסם על ידי חמאס בדצמבר 2024, ותיעוד נוסף מינואר 2024 שהשיג צה"ל ופורסם באוגוסט 2025. ביוני 2025 נעשה שימוש בדמותו כחלק מלוחמה פסיכולוגית של חמאס סביב פעילות צה"ל ברצועה.
תמונה חדשה של מתן התפרסמה על ידי חמאס בהמשך היום.
במהלך שהותו בשבי נודע לו מידי המחבלים על המאבק של אמו לשחרורו, דבר שחיזק אותו ועל כך סיפר בראיון לאחר שחרורו: .
לאחר שלא נכלל בשתי העסקאות הראשונות, שוחרר מתן צנגאוקר ב-13 באוקטובר 2025, במסגרת הסכם שחרור החטופים השלישי.
מתן תיאר את הרגעים שלפני השחרור כחוסר אמון מוחלט.
לאחר אכזבות קודמות כמו בינואר 2025, הוא איבד תקווה והאמין שימות בעזה.
ההודעה על השחרור נתפסה אצלו תחילה כעוד תרגיל פסיכולוגי של שוביו.
אולם חזרתו לישראל והמפגש עם משפחתו ברעים, היה רגע של התפרקות רגשית.
מתן וחברתו אילנה גריצווסקי גם היא שורדת שבי, התארסו שלושה חודשים לאחר שחרורו של מתן מהשבי.
מתן ואילנה הכירו בעבודתם וחיו יחד כשנה וחצי בקיבוץ ניר עוז עד חטיפתם ב-7 באוקטובר.
אילנה שוחררה בעסקת החטופים הראשונה בנובמבר 2023, ומאז פעלה יחד עם עינב אימו, במאבק הציבורי למען שחרורו ושחרור החטופים כולם.
מתן פלדמן (נולד בשנת 1988) הוא קצין צה"ל בדרגת אלוף-משנה המכהן כמפקד חטיבת מנשה.
לפני כן שירת כראש לשכת הרמטכ"ל הרצי הלוי ואייל זמיר.
פלדמן התגייס לצה"ל בשנת 2008 והתנדב ליחידת אגוז, לאחר סיום המסלול הלוחם ושירות מבצעי השלים קורס קציני חי"ר.
הוא מילא שורת תפקידי מטה ופיקוד ביחידת אגוז ובחטיבת גולני.
ב-2021 הועלה לדרגת סגן-אלוף ומונה למפקד סיירת גולני, תחת פיקודו קיבלה היחידה את צל"ש הרמטכ"ל.
פלדמן כיהן בתפקיד עד שנת 2023.
בספטמבר 2022 יצא כחלק מהמשלחת של הרמטכ"ל אביב כוכבי בפולין ובצרפת, במשך שלושה ימים לביקור באושוויץ-בירקנאו ובקרקוב.
ב-4 בספטמבר 2023 מונה לראש לשכת הרמטכ"ל הרצי הלוי והמשיך עם רב-אלוף אייל זמיר.
כיהן בתפקיד עד יוני 2025.
ב-13 באוגוסט 2025 נכנס לתפקידו כמפקד חטיבת מנשה בדרגת אלוף-משנה.
מתן פלדמן הוא בעל תואר ראשון במדעי המדינה מאוניברסיטת בר-אילן, ובעל תואר שני במדעי המדינה וביטחון מאוניברסיטת חיפה.
פלדמן הוא בוגר קורס פיקוד טקטי,ובוגר הישיבה הגבוהה בעלי.
פלדמן מתגורר באריאל, נשוי ואב לשישה.
מַתְנֵד הרמוני (או אוסצילטור הרמוני, מאנגלית: Harmonic oscillator) הוא מערכת מכנית שבה פועל על גוף נתון כוח מתכונתי (יחסי) להעתק הגוף ובכיוון מנוגד לו: , כאשר הוא הכוח, הוא קבוע המתנד ו- הוא ההעתק.
כוח זה נקרא גם כוח מחזיר שמשמעותו היא כוח שתמיד פועל לכיוון נקודת שיווי המשקל.
באנלוגיה, כל מערכת פיזיקלית שמאופיינת מתמטית בצורה דומה נקראת אף היא "מתנד הרמוני".
חשיבותו של מודל המתנד ההרמוני נובעת מכך שתופעות פיזיקליות רבות מתוארות על ידי מערכות שמתנהגות, ברמות קירוב שונות, כמתנד הרמוני.
לדוגמה, מסה התלויה על קפיץ, מעגלים חשמליים מסוימים, גלים בחומר, מיתרי גיטרה או כלי פריטה אחר, ואפילו גלי אור במובן מסוים.
במובן זה המתנד ההרמוני הוא מודל פיזיקלי המתאים בקירוב למקרים מגוונים רבים.
מתנד הרמוני, בפרט מתנד הרמוני פשוט, הוא אחת המערכות הפשוטות והבסיסיות ביותר בפיזיקה.
זוהי מערכת פתירה באופן אנליטי כמעט בכל תורה פיזיקלית (מכניקה קלאסית, תרמודינמיקה, מכניקת הקוונטים, תורת היחסות ועוד) המשמשת ככלי עזר חשוב בלימוד התאוריות השונות והבנתן.
יתרה מכך, מסתבר שניתן לקרב מערכות רבות ומורכבות – שאינן פתירות באופן אנליטי או פשוט – על ידי מתנדים הרמוניים, ובכך להגיע להבנה רבה ואף לפתרון מקורב לבעיה.
כאן נסקור את בעיית המתנד ההרמוני במכניקה הקלאסית.
בנוגע לטיפול במתנד הרמוני מאולץ, כלומר מתנד שפועל עליו כוח חיצוני המשתנה בתדירות שונה משל המתנד, ראו: תהודה.
בנוגע לטיפול במתנד הרמוני לפי מכניקת הקוונטים ראו: מתנד הרמוני קוונטי.
מתנד הרמוני פשוט, הוא מערכת בה פועל כוח מחזיר בלבד, שכן כשמו הוא מנסה להחזיר את המערכת לנקודת שיווי המשקל שלה, לאחר שזו סטתה ממנו.
באופן כללי משוואת המתנד ההרמוני היא משוואה דיפרנציאלית מהצורה כאשר הוא הגודל המחזורי, ו- הוא הנגזרת השנייה בזמן של הגודל המחזורי.
במכניקה הקלאסית, כוח מחזיר, הוא כוח מהצורה כאשר הוא קבוע המאפיין את המערכת כמו קבוע הקפיץ בחוק הוק, ו- הוא העתק המסה מנקודת שיווי המשקל.
ניתן לרשום את החוק השני של ניוטון עבור המערכת הבנויה ממסה המחוברת לקפיץ, תוך כדי כתיבת התאוצה בדרך מעט שונה :
נשים לב, כי המסה תסומן באות .
מקובל לחלק את שני אגפי המשוואה ב- ולהגדיר , כך שלאחר העברת אגפים מתקבלת המשוואה .
לגודל יש יחידות של תדירות, והוא מקיים את התכונות הבאות:
הוא ממשי ומוגדר היטב, היות שהמסה וקבוע הקפיץ תמיד חיוביים;
הוא גודל קבוע, היות שהמסה או קבוע הקפיץ אינם משתנים, לפי הגדרת המערכת (אם המסה הייתה יכולה להשתנות, משוואת הכוחות שממנה פותחה המשוואה הדיפרנציאלית אינה מתאימה, והמשוואה הדיפרנציאלית תהיה שונה).
משוואה זו היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית מסדר שני, שניתן לפתור באמצעות הפולינום האופייני של המערכת: , אשר שורשיו הם הצמד , כאשר הוא היחידה המדומה.
בדרך כלל, כאשר משתמשים בפולינום האופייני לפתרון משוואה דיפרנציאלית, הפתרון יהיה מהצורה .
עם זאת, על ידי הצבת הפתרונות של הפולינום האופייני, מתקבל במשוואה זו הפתרון , שהוא פונקציה מרוכבת – כלומר, אינו פונקציה ממשית, בעוד ההעתק הוא גודל ממשי.
הבעיה נפתרת אם דורשים כי , כלומר, ששני המספרים הם צמודים זה לזה.
למשל, אם , אז , ואז לפי נוסחת אוילר,
מכיוון שפונקציית הקוסינוס (בערך מוחלט) לא עולה מעבר ל־, הגודל שסימנו באות מאפיין את נקודות ההתרחקות המקסימלית של המערכת מנקודת שיווי המשקל.
גודל זה יקרא משרעת (אמפליטודה) ולרוב יחושב מתנאי ההתחלה.
למשל, אם ידוע שקפיץ נמתח באורך מסוים, אורך זה יהיה המשרעת.
המופע (פאזה) שסומן באות , יילקח גם הוא מתנאי ההתחלה.
גודל זה מאפיין את ההזזה של פונקציית הקוסינוס.
מבחינה פיזיקלית, המופע שונה מאפס, אם מדידת הזמן החלה לא בדיוק ברגע בו שוחררה המסה ממנוחה.
לשם הפשטות, ניתן לבחון מקרה פשוט יותר של המתנד, בו אין מופע ().
במקרה כזה, העתק המסה נתון על ידי המשוואה .
היות שהפונקציה המתארת את העתק המסה היא פונקציה טריגונומטרית, ניתן להסיק כי התנועה מחזורית.
אם כך, קיים זמן מינימלי הדרוש כדי שהמערכת תשלים מחזור אחד (תבצע תנועה אחת שלמה) ותחזור לאותה הנקודה בה התחילה.
המחזור של פונקציית הקוסינוס הוא , ולכן נדרוש שכאשר נציב את לתוך הפונקציה, הארגומנט של הפונקציה, יהיה שווה ל־.
הזמן נקרא זמן המחזור של התנועה: , והתדירות של המערכת, לפי הגדרתה מקיימת .
בגלל הקשר המיוחד בין התדירות לגודל , מקובל לקרוא ל- תדירות זוויתית.
התדירות הזוויתית – וממילא גם התדירות "הרגילה" – נקבעות אך ורק על ידי מאפייני המערכת, ואינן תלויות בזמן או בגדלים משתנים אחרים.
לאחר שהתקבל פתרון המתאר את תנועת המסה במרחב, מתקבלת המהירות כפונקציה של הזמן מתוך גזירת משוואת התנועה; ועל ידי גזירה פעם נוספת, תתקבל התאוצה.
כלומר, שלוש המשוואות אשר יתארו את התנועה הן:
כעת, נרצה לדבר על האנרגיה של המערכת.
עבור מסה המחוברת לקפיץ, סך האנרגיה נתון על ידי סכום של אנרגיה קינטית של המסה כפונקציה של הזמן, ואנרגיה פוטנציאלית אלסטית כפונקציה של הזמן.
על ידי הצבת הגדלים שמצאנו למשוואת האנרגיה, מתקבל:
כלומר, התלות בזמן מתבטלת, והאנרגיה זהה בכל זמן.
במילים אחרות, האנרגיה במערכת נשמרת.
במערכת שנותחה עד כאן, הגורם לתנודות היה הקפיץ.
אך קיימות מערכות נוספות, ללא קפיץ, בהן יכולות להיות תנודות.
גם במקרים כאלה האנרגיה נשמרת, מכיוון שכוח מחזיר הוא כוח משמר.
כלומר, העבודה שלו אינה תלויה במסלול, והרוטור של כוח זה, שווה לאפס.
ניתן להוכיח זאת עבור כל כוח מחזיר.
מתוך משוואות שימור האנרגיה, ניתן לראות שכאשר כל האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת, האנרגיה הקינטית מקסימלית.
למעשה, הנקודה בה האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת, היא בדיוק נקודת שיווי המשקל (באנלוגיה של הקפיץ, האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת כאשר הקפיץ רפוי).
לכן, המהירות מקסימלית, בנקודת שיווי המשקל.
במכניקה הקלאסית, משוואת המתנד ההרמוני יכולה להיות משוואת מומנטים (היא מתקבלת על ידי בחירת נקודה קריטית במערכת לא נקודתית לרוב וכתיבת כל מומנטי הכוח הפועלים ממנה, תוך כדי מתן תשומת לב לכיוון המומנט.
בדרך משוואת מומנטים תוביל אותנו למשוואת מתנד על זווית כלשהי במערכת כפונקציה של הזמן), משוואת כוחות (היא מתקבלת בדרך כלל על ידי כתיבת החוק השני של ניוטון על מערכת של נקודה אחת לרוב) או משוואת אנרגיה גזורה (היא מתקבלת על ידי גזירת המשוואה המתארת את האנרגיה של המערכת והשוואתה לאפס.
ניתן לעשות זאת, בגלל שימור האנרגיה.
היות שהאנרגיה נשמרת, היא שווה לקבוע כלשהו שנעלם בעת הגזירה).
בתיאור הקודם, הנחנו כי אין חיכוך במערכת.
נראה איך מתנהג המתנד במקרה בו יש חיכוך.
חיכוך הוא כוח מרסן נפוץ בטבע – חיכוך עם האוויר או עם נוזל, התנגדות של מעגל חשמלי, ועוד.
כוח משכך זה תלוי ביחס ישר במהירות (נקרא גם כוח סטוקס).
נניח לדוגמה כי כוח החיכוך נגרם על ידי בוכנת אוויר, כבאיור, ונניח כי הכוח מתכונתי למהירות הגוף ונתון על ידי , כאשר הוא מקדם הפרופורציה.
כעת משוואת הכוחות נראית כך: .
על ידי סידור אלגברי מקבלים או
מתנד הרמוני פשוט הוא מקרה פרטי של מתנד הרמוני מרוסן, בו .
בהנחה שהחיכוך קטן מספיק, הפתרון הכללי למשוואה זו הוא:
, הוא הזמן האופייני של המערכת.
זהו הזמן בו משרעת התנודה דועכת בפקטור e.
, היא תדירות התנועה המרוסנת.
הביטוי , הוא משרעת התנודה, הדועכת באופן מעריכי עם הזמן.
פתרון מפורט מופיע בהמשך הערך.
זוהי תנודה הרמונית, המתבצעת בתדירות נמוכה מעט מהתדירות הטבעית (תמיד מתקיים ).
במערכת זו, בניגוד לתנודה ההרמונית הפשוטה, יש איבוד אנרגיה מתמיד לחיכוך.
אם החיכוך גדול מדי, התנועה תדעך מהר מאוד, באופן מעריכי, כך שלא יסתיים אפילו מחזור תנודה יחיד.
קיים ערך מקסימלי של שיכוך (ריסון), שבערכי שיכוך גדולים ממנו לא יתרחשו כלל תנודות.
ערך זה נקרא השיכוך הקריטי, והוא נתון על ידי .
הניתוח המובא פה הוא למקרה המתואר למעלה: מסה מחוברת לקפיץ בעל קבוע , עם מקדם חיכוך (כאמור, מתנד הרמוני פשוט הוא מקרה פרטי שבו מתקיים ) .
המשוואה המתארת את המצב היא:
זוהי משוואה דיפרנציאלית הומוגנית וליניארית, מסדר שני.
במשוואות מסוג זה, מרחב הפונקציות המקיימות את המשוואה הוא מרחב וקטורי מממד 2. לכן מספיק למצוא שתי פונקציות (בלתי תלויות) שמקיימות את המשוואה – הן יהיו בסיס שלם למרחב כל הפתרונות האפשריים.
מנחשים פתרון מהסוג , (המקדם יכול להיות מרוכב).
כאשר מציבים את הפונקציה הזו במשוואה, ולפי תכונת האקספוננט, , מתקבל פולינום ממעלה שנייה שפתרונו פשוט:
זוהי משוואה ריבועית שפתרונותיה הם
מכיוון שהפתרונות יכולים להיות מרוכבים, יש תמיד פתרון למשוואה.
אם אין חיכוך, ואז .
כעת ישנם שלושה מקרים מובחנים:
אם , ישנו פתרון ממשי שלילי עבור .
הפתרון למקרה הכללי הוא חיבור של שתי פונקציות אקספוננציאליות דועכות:
זהו מצב של שיכוך-קריטי, שבו לא יתרחשו תנודות, אלא התנועה תדעך לאפס.
התנאי לשיכוך קריטי הוא שהדיסקרימיננטה תהיה אפס, משמע , כלומר .
אם , ישנם שני פתרונות ממשיים שליליים עבור .
הפתרון למקרה הכללי הוא חיבור של שני פונקציות אקספוננציאליות דועכות:
זהו מצב של שיכוך-יתר, שבו לא יתרחשו תנודות, אלא התנועה תדעך לאפס.
התנאי לשיכוך יתר הוא שהדיסקרימיננטה תהיה חיובית, משמע , כלומר .
אם , מתקבלים שני פתרונות מרוכבים צמודים.
זהו המקרה השכיח יותר, וממילא גם המעניין יותר, שבו השיכוך קטן ולכן מתרחשות תנודות הרמוניות דועכות.
בהצבת פתרונות המשוואה הריבועית, ושימוש בנוסחת אוילר, מקבלים את שני הפתרונות למשוואה הדיפרנציאלית:
פתרון המשוואה הכללי הוא מהצורה .
כאן ו- הם קבועים כלשהם, התלויים בתנאי ההתחלה של הבעיה.
כיוון שרק פתרון ממשי הוא פיזיקלי, נדרש (הקו העליון מסמן צמוד מרוכב).
מאחר שמתקיים ממילא , חייב להתקיים .
כך מתקבל פתרון ממשי טהור מהצורה
כל המקדמים בביטוי הם ממשיים, ולכן ניתן לפשט את הסכום לביטוי יחיד המכיל מופע:
כאן הן המופע והמשרעת ההתחלתיים, הנקבעים על ידי תנאי ההתחלה של הבעיה.
פתרון זה מתאר תנודה הרמונית בתדירות זוויתית
מכיוון שלמקדם יש יחידות של , נהוג להגדיר את הזמן האופייני .
כאשר אין חיכוך, ולכן ומקבלים את הביטוי המוכר של תנודה הרמונית פשוטה: .
דוגמאות נוספות למערכות שמקיימות תנודות הרמוניות
מטוטלת מתמטית פשוטה היא מערכת שמקיימת תנועה הרמונית רק בקירוב.
תנועתה המלאה היא מחזורית וסוטה במקצת מתנועה הרמונית, אך בקירוב זוויות קטנות אפשר להתייחס לתנועתה כתנועה הרמונית.
נניח שמסת המטוטלת היא והיא מחוברת לתקרה בחוט אידיאלי חסר משקל באורך בתוך שדה כבידה אחיד .
נסמן ב־ את הזווית בין המטוטלת לאנך.
הכוח המחזיר יהיה הרכיב של כוח הכובד בכיוון המשיק לתנועה הרדיאלית של המטוטלת, כלומר: .
בקירוב של זוויות קטנות , ומאחר ש- נשאר קבוע, מקבלים את משוואת התנועה:
זוהי תנועה הרמונית רק בקירוב, שכן משוואת התנועה הייתה רק קירוב למשוואת התנועה המדויקת.
במקרה של מטוטלת אפשר לפתור באופן אנליטי גם את המשוואה הלא-ליניארית; הפתרון הוא אינטגרל אליפטי.
גם מטוטלת שאינה מורכבת ממסה נקודתית מקיימת תנודה הרמונית בקירוב.
למעשה, כל גוף בעל מסה התלוי מנקודה אחת מהווה מתנד הרמוני.
מטוטלת כזו נקראת מטוטלת פיזיקלית.
מעגל LC אידיאלי (ללא התנגדות) הוא מעגל המכיל קבל ומשרן, בו האנרגיה האלקטרומגנטית עוברת בין הקבל למשרן באופן מחזורי הרמוני.
מכך שהמתח הכללי על המעגל הוא אפס (על פי חוקי קירכהוף) ניתן להסיק כי:
וכאן תדירות התנועה היא .
מעגל RLC, הוא מעגל זהה למעגל LC, בתוספת נגד.
מעגל שכזה הוא מתנד הרמוני מרוסן, כיוון שהוא מקיים את המשוואה:
מבחינה מתמטית, מעגל RLC שקול למתנד הרמוני מרוסן הבנוי ממסה המחוברת לקפיץ עם שיכוך תלוי מהירות, כמו זה שהוצג למעלה.
מתנד מכנימתנד חשמלי מסה () השראות הסליל () קבוע הקפיץ () 1 חלקי הקיבול () העתק () מטען חשמלי () מהירות () זרם () שיכוך () התנגדות ()
המתנד ההרמוני מצטיין בתכונה הבסיסית שזמן המחזור של חלקיק שתונד הרמונית אינו תלוי במשרעת.
לא משנה כמה רחוק החלקיק ישוחרר ממרכז הכוח של המתנד, הוא תמיד ישלים תנודה באותו זמן.
תכונה זו אינה נכונה כאשר דנים בחוקי כוח אחרים בהם הכוח לא יחסי למרחק מהמרכז – משפט ידוע קובע שאם התלות של זמן המחזור במשרעת היא מהצורה (כאשר היא המשרעת ו- הוא קבוע פרופורציה) אז הכוח המרכזי הוא מצורה .
למשל אם (זמן המחזור לא תלוי במשרעת) נקבל: , כלומר נקבל מתנד הרמוני.
יותר מכך, אם נציב נקבל , כלומר נקבל כוח היפוך-ריבוע – במקרה פרטי זה קיבלנו את החוק השלישי של קפלר.
חישוב קבוע הפרופורציה בביטוי לזמן המחזור לפי המשרעת לרוב כרוך בחישוב אינטגרל מסובך ולעיתים אין לו פתרון אנליטי.
מתנד הרמוני קוונטי (נקרא גם אוסצילטור הרמוני קוונטי) הוא התוצאה של טיפול קוונטי בבעיה הפיזיקלית של מתנד הרמוני.
האוסצילטור ההרמוני הקוונטי הוא אחד מהמודלים הפיזיקליים החשובים ביותר בפיזיקה קוונטית ובפיזיקה המודרנית, מאחר שבעיות פיזיקליות רבות ניתן להציג (במדויק או בקירוב) כאוסף של אוסצילטורים קוונטים.
היתרון הגדול של האוסצילטור ההרמוני הקוונטי הוא שזו מערכת שהפיזיקאים יודעים לפתור במדויק.
הפסקאות הבאות במאמר דורשות ידע במכניקת הקוונטים, ובפרט: הכרה של סימוני דיראק ותורת שטורם-ליוביל.
מומלץ לקרוא קודם את המאמר על משוואת שרדינגר.
מקרה פשוט של אוסצילטור הרמוני חד-ממדי הוא חלקיק בעל מסה m, אשר נמצא תחת השפעת פוטנציאל (ליתר דיוק: אנרגיה פוטנציאלית) .
לכן, ההמילטוניאן של המערכת הוא
כאשר x הוא אופרטור המקום של החלקיק, ו־p הוא אופרטור התנע הצמוד לו (בהצגת המקום, ).
האיבר הראשון (השמאלי יותר) מייצג את האנרגיה הקינטית של החלקיק ואילו האיבר השני מייצג את האנרגיה הפוטנציאלית שלו כתוצאה מכוח חיצוני המופעל עליו.
במכניקת הקוונטים, פתרון של בעיה הוא מציאת המצבים העצמיים של המערכת והדרך בה הם מתפתחים בזמן.
כדי לעשות זאת יש לפתור את משוואת שרדינגר ולמצוא את המצבים העצמיים של אופרטור ההמילטוניאן, שנקראים גם המצבים העצמיים של האנרגיה.
הפתרון מתקבל באמצעות הפרדת משתנים: אם מציבים במשוואת שרדינגר , מתקבלת משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן, .
אפשר לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית בבסיס המקום, תוך שימוש בשיטת פרובניוס (פתרון מד"ר על ידי פיתוח לטור חזקות), ומתקבלת משפחה של פתרונות,
הפתרונות מתאימים למספר הקוונטי n, שיכול להיות כל מספר שלם אי־שלילי (0,1,2,3 וכן הלאה)
ששת הפתרונות הראשונים (n=0 עד n=5) מוצגים באיור שמשמאל.
אלו הם גרפים של פונקציות הגל.
הפונקציות Hn הן פולינומי הרמיט:
בפתרון בשיטת פרוביניוס, הקוונטיזציה של האנרגיות והערכים שלהן נובעים מהתנאי המתמטי שהפתרונות יהיו פולינומים סופיים ולא יתבדרו (השוו עם תנאי השפה של בור פוטנציאל אינסופי).
האנרגיות העצמיות המתאימות לכל אחד מהפתרונות הן
ספקטרום האנרגיה ממחיש שני מאפיינים נפוצים במערכות קוונטיות:
האנרגיות "מקוונטטות", כלומר: הן יכולות לקבל רק ערכים בדידים ולא משתנות ברציפות.
האנרגיות קופצות במנת האנרגיה ("קוונט של אנרגיה") הבסיסית כל פעם, כלומר: .
ספקטרום האנרגיות הדיסקרטי הוא מאפיין של מערכות קוונטיות רבות, ולמעשה הוא נובע מכך שהמערכת היא מערכת קשורה ובמובן מסוים חסומה.
נקדיש לכך דיון נוסף בפסקה על אופרטורי סולם.
האנרגיה המינימלית של המערכת איננה אפס, אלא , שנקראת "אנרגיית מצב היסוד" או "אנרגיית נקודת האפס" .
אף על פי שעובדה זו לא נראית רבת חשיבות, יש לה השלכות חשובות ביותר כאשר מבצעים קוונטיזציה לשדות ומקרבים אותם על ידי אוסצילטורים הרמוניים.
בהקשר זה, אנרגיית מצב היסוד נקראת גם אנרגיית הריק, וניתן אף למדוד אותה במעבדה (למשל, באפקט קזימיר).
צפיפות ההסתברות של פונקציית הגל של מצב היסוד מרוכזת בראשית, ומכאן שהחלקיק נמצא רוב הזמן בתחתית בור הפוטנציאל, קרוב לראשית, כפי שניתן לצפות ממצב בעל אנרגיה נמוכה.
ככל שהאנרגיה של החלקיק גדלה, צפיפות ההסתברות מתרחקת מן המרכז, ומתרכזת בנקודות המפנה הקלאסיות, בהן האנרגיה העצמית מתלכדת עם האנרגיה הפוטנציאלית.
מסקנות אלה עקביות עם התיאור הקלאסי של אוסצילטור הרמוני, בו חלקיק אנרגטי נמצא רוב הזמן בנקודות המפנה, שם מהירותו מתאפסת תוך כדי שהוא משנה כיוון.
המסקנה העיקרית מדיון זה הוא שעקרון ההתאמה של נילס בוהר מתקיים, כנדרש.
הפתרון המפורש בבסיס המקום, באמצעות שיטת פרובניוס, הוא ישיר ומיידי, אך הוא די מסורבל וארוך.
שיטת "אופרטורי הסולם", שהמציא פול דיראק, מאפשרת לחלץ את ספקטרום האנרגיות מבלי לפתור באופן ישיר את המשוואה הדיפרנציאלית.
יתרה מכך, ניתן להכליל אותה לבעיות מסובכות יותר, בעיקר בתורת השדות הקוונטית.
בשיטה זו מוגדרים שני אופרטורים המאפשרים לעבור ממצב עצמי אחד לאחר, תוך שינוי של n ב-: אופרטור אחד מוריד את המערכת למצב אנרגטי נמוך יותר ("מדעיך את המערכת"), ואופרטור אחר מעלה את המערכת למצב אנרגטי גבוה יותר ("מעורר את המערכת").
השם הכללי של אופרטורים אלו הוא "אופרטורי חיסול ויצירה" (לפעמים "השמדה" במקום "חיסול"): כאשר אופרטור יצירה מעלה מצב ואופרטור חיסול מוריד מצב.
מקור השם הוא בתורת השדות הקוונטית בה אנו מייחסים לכל דרגת עירור (כלומר: קוונטת אנרגיה) פוטון עם תדירות ואנרגיה .
אזי העלאת מצב שקולה ליצירת פוטון ואילו הורדת מצב לחיסול פוטון.
האופרטורים הללו, a והצמוד ההרמיטי שלו a†, מוגדרים באמצעות האופרטורים x ו־p:
האופרטור a איננו אופרטור הרמיטי שכן הצמוד ההרמיטי שלו איננו שווה לו.
בהגדרת a† כצמוד ההרמיטי של a נעזרנו בעובדה שהאופרטורים x ו־p (שמייצגים גדלים הניתנים למדידה) הם אכן הרמיטיים.
האופרטורים x ו־p מקיימים את יחסי החילוף הקנוניים:
כאשר הסוגרים המרובעים מסמנים את הקומוטטור, שמוגדר כ
תוך שימוש בהגדרות לעיל אפשר להוכיח את הזהויות הבאות:
אלו הן הזהויות החשובות ביותר בשיטת אופרטורי הסולם, והן מייצגות את הדינמיקה של הבעיה - במונחים של a ו־a†, במקום במונחים של x ו־p.
הוכחה יהי מצב עצמי של ההמילטוניאן עם אנרגיה עצמית E.
המכפלה הפנימית של כל "קט" (ket) עם עצמו היא א-שלילית, ולכן
כאשר () הוא "קט" האפס (כלומר: הקט בעל נורמה ששווה לאפס), הביטוי האחרון הופך לשוויון.
מכאן שקיימת אנרגיה E כך ש .
אפשר להראות שמכך נובע שקיים מצב עצמי (ששונה מאפס) עם האנרגיה הזו.
מצב זה נקרא "מצב היסוד" (n = 0) ותיאור מתמטי מפורש שלו (בבסיס המקום) ניתן בפסקה הקודמת.
תוך שימוש בזהויות לעיל, אפשר להראות שיחסי החילוף של a ו־a† עם H הם
כך, אם () איננו "קט" האפס, השוויון הבא מתקיים:
באותו אופן אפשר להראות ש-
במילים אחרות, a פועל על מצב עצמי בעל אנרגיה E כדי ליצור (עד כדי קבוע כפלי) מצב עצמי עם אנרגיה , ואילו a† פועל על מצב עצמי עם אנרגיה E כדי ליצור מצב עצמי עם .
מסיבה זו a נקרא "אופרטור הורדה" או "אופרטור חיסול" ואילו a† נקרא "אופרטור העלאה" או "אופרטור יצירה".
כאמור, בתורת השדות הקוונטית זוג האופרטורים הללו נקראים אופרטורי חיסול ויצירה בהתאמה, מאחר שהם משמשים לחיסול ויצירה של "חלקיקים" הנושאים את קוונטת האנרגיה הבסיסית.
אופרטורי הסולם מקיימים את יחסי היצירה והחיסול הבאים:
בהינתן מצב עצמי (של האנרגיה) כלשהו, ניתן "להוריד" אותו באמצעות הפעלת האופרטור a עליו וכך ליצור מצב עצמי אחר, עם פחות אנרגיה.
באמצעות הפעלה חוזרת ונשנית של אופרטור ההורדה, זה נראה כאילו ניתן להפיק מצבים עם אנרגיות שליליות נמוכות כרצוננו.
ברם, אפשרות זו סותרת את הדרישה שהוכחנו קודם: .
מכאן נובע שקיים מצב עצמי עם אנרגיית היסוד ("מצב היסוד"), המסומן ב־ כך ש
כאשר 0 מסמן את "קט" האפס.
במקרה זה, הפעלה חוזרת ונשנית של אופרטור ההורדה תפיק את "קט" האפס - כלומר: לא כלום - ולא תיצור מצבי אנרגיה נוספים.
לבסוף, אם נפעיל על את אופרטור ההעלאה ונדאג לנרמל את המצב המתקבל בכל שלב, אנו יכולים ליצור את כל סט המצבים העצמיים האינסופי (אך הבן מנייה) של האנרגיות , כך ש
שמתאים לספקטרום האנרגיות שמצאנו בפסקה הקודמת באופן ישיר.
שיטה נוספת לחשב את האנרגיה של אוסילטור הרמוני היא באמצעות הקוואזי-תנע המוגדר באופן הבא:
באמצעות הצבת הקוואזי-תנע במשוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן נקבל משוואה הדומה למשוואה הקלאסית, ומכאן מקור השם קוואזי-תנע
כעת, משום שלפונקציית הגל ברמה ה-n יש n אפסים (משפט כללי בתורת שטורם-ליוביל), נוכל לכתוב את הקוואזי-תנע כצירוף של n קטבים וחלק אנליטי, כאשר את מקדמי הקטבים ניתן לחשב ממשפט השארית (או מאינטגרציה מסביב ל-0 במישור המרוכב) להיות .
על ידי הצבה במשוואה ולקיחת x לאינסוף, קל לראות שהחלק האנליטי של P ליניארי בx.
מכאן, על ידי השוואת החלק הקבוע ניתן לקבל את האנרגיה E להיות בדיוק האנרגיה הקוונטית.
הגבול הקלאסי מתקבל ישירות מלקיחת להיות זניח ביחס לקבועים אחרים.
יתרה מכך, השוואת החלק הקוטבי ל-0 נותן את האפסים של פולינומי הרמיט והבנה פיזיקלית שלהם בתור המצב הסטטי של חלקיקים (חלקיקי הקטבים) עם פוטנציאל מרכזי דוחה משאר החלקיקים ופוטנציאל הרמוני לחלקיק מסוים.
במצבים העצמיים מתקיים שערכי התצפית של המקום והתנע הם 0. אנחנו מעוניינים בחיפוש מצבים שערכי התצפית שלהם יתנהגו כמו אוסצילטור הרמוני קלאסי.
כדי לייצר את המצב הקוהרנטי יש להפעיל את אופרטור ההעתקה על מצב היסוד
סט המצבים הקוהרנטים איננו אורתונורמלי אלא בקירוב, שכן .
ביטוי זה שונה מאפס אך דועך מהר, ככל שהמצבים מתרחקים זה מזה.
סט המצבים הקוהרנטים שלם "יתר על המידה", ואפילו יש בו "מצבים מיותרים" שכן .
מצבים אלה הם חבילת גלים מינימלית, כלומר: עיקרון אי הוודאות מתקיים כשוויון הדוק, .
אם נרשום נקבל שפונקציית הגל של המצב הקוהרנטי היא
כעת, נסתכל על משוואות של אופרטורי הסולם (תמונת הייזנברג):
ואז אופרטורי המקום והתנע יקבלו את התלות הזמנית הבאה:
כעת נוכל להשתמש במצבים הקוהרנטים ולראות שהם אכן מתנהגים כמו אוסצילטור הרמוני קלאסי.
כך קיבלנו שחבילת הגלים של המצב הקוהרנטי מתנודדת בתדירות זוויתית , מופע ומשרעת .
אוסצילטור הרמוני חד-ממדי ניתן ואף מתבקש להכליל לאוסצילטור של N-ממדים, כאשר N = 1, 2, 3, ...
בממד אחד, המיקום של החלקיק תואר באמצעות קואורדינטה אחת בלבד, x.
ב-N ממדים, אנו נתאר את מיקומו באמצעות N קואורדינטות, שנסמן כ x1, ..., xN.
לכל קואורדינטה נגדיר תנע צמוד מתאים ונסמן p1, ..., pN את N התנעים שקיבלנו.
נזכיר שוב שכל הקואורדינטות והתנעים בעצם אופרטורים הרמיטיים הניתנים למדידה.
אופרטורים אלה מקיימים את יחסי החילוף הקנוניים:
מהצגה זו ברור שאוסצילטור הרמוני N-ממדי הוא בעצם שקול ל-N אוסצילטורים חד-ממדיים בלתי תלויים (ובלתי מצומדים) בעלי אותה מסה m ותדירות תנודה (כלומר: אותו "קבוע הקפיץ").
במקרה זה, ניתן להסתכל על הקואורדינטות x1, ..., xN כאוסף המקומות של N חלקיקים, ולמזלנו הרב - מאחר שהפוטנציאלים מופרדים - אפשר לפתור את הבעיה עבור כל חלקיק, או אוסצילטור בנפרד.
בשפה מקצועית, אנו אומרים שבכך "ליכסנו את הבעיה" מאחר שהתהליך של מציאת אופני תנודה או קואורדינטות נורמליות בלתי תלויות הוא אנלוגי לתהליך של לכסון מטריצה.
מסקנה זו הופכת את הפתרון לישיר ומיידי.
את המערכת מאפיינים N-יות של מספרים קוונטים: כאשר ni מסמן את דרגת העירור של האוסצילטור ה-i, כלומר: אם הוא בדרגת עירור ni אזי האנרגיה שלו היא והוא במצב העצמי המתאים.
המצב המתאים ל-N לעיל הוא מכפלה טנזורית של המצבים העצמיים של כל אוסצילטור חד-ממדי המתאים לדרגת העירור שלו
בשיטת אופרטורי הסולם, אנו מגדירים סט של N אופרטורים (ו-N צמודים):
ובאופן אנלוגי למקרה החד-ממדי אפשר להראות שהאופרטורים ai ו a†i מורידים ומעלים (בהתאמה) את דרגת העירור של האוסצילטור ה-i.
רמות האנרגיה של המערכת הן, אם כן
כמו במקרה החד-ממדי, ספקטרום האנרגיות הוא מקוונטט (ולא רציף).
אנרגיית היסוד היא N פעמים כפול אנרגיית היסוד של אוסצילטור חד-ממדי, כמצופה מכך שהמערכת שקולה ל-N אוסצילטורים שכאלה.
ברם, ישנו הבדל אחד בין הספקטרום החד-ממדי לזה הרב-ממדי והוא שהספקטרום הרב-ממדי מנוון, כלומר: יש 2 מצבים קוונטים שונים בעלי אותה אנרגיה עצמית, בעוד שבספקטרום החד-ממדי לכל אנרגיה היה מצב עצמי אחד בלבד.
ניתן לחשב את דרגת הניוון בקלות יחסית.
כל המצבים עם n נתון הם מנוונים.
עבור n נתון, נבחר n1 כלשהו.
המשתנה n2 יכול לקבל את הערכים 0 עד n − n1, ולכל n2 הערך של n3 נקבע ביחידות.
לכן, דרגת הניוון היא (הסכימה היא רק על n1):
תנודות בגביש (סריג מוצק, lattice) ניתן לתאר כאוסף אוסצילטורים מצומדים
כאשר הקואורדינטה xi הוא המיקום של האטום ה-i בסריג ביחס לנקודת שיווי המשקל שלו בסריג.
הסכימה כאן נעשית רק על זוגות שכנים סמוכים, ואף על פי שזהו בדרך כלל רק קירוב - ברוב המקרים זהו קירוב מוצדק.
קירוב זה מתאים למודל שבו כל שני חלקיקים שכנים סמוכים בגביש מחוברים ביניהם בקפיץ (דמיינו רשת תלת-ממדית של קוביות, בה בכל קודקוד יש חלקיק וכל צלע היא קפיץ).
מסתבר שישנה מערכת קואורדינטות בה ניתן להציג את הבעיה כאוסף של N אוסצילטורים בלתי-תלויים.
בקואורדינטות אלה ההמילטוניאן מלוכסן ואפשר להפעיל מיידית את הפתרון שמצאנו קודם.
ברם, לא ניתן עוד לפרש את ה"אוסצילטורים" והפתרונות שקיבלנו כאמפליטודות התנודה של חלקיק מסוים בגביש, אלא כעירורים קולקטיביים בהם כל הגביש רוטט באופן תנודה כלשהו.
לעירורים או אופני תנודה אלה קוראים "פונונים Phonons" ומתייחסים אליהם כאל חלקיקים, מאחר שכמו פוטונים, ניתן ליחס להם תכונות חלקיקיות (אנרגיה, תנע, העברת קוונט אנרגיה, יצירת זרם פונונים).
את הפונונים ניתן למצוא במוצקים רבים ולהם אפקטים חשובים ביותר, שאינם ניתנים להזנחה.
חקר השפעת הפונונים על התנודות בגביש ועל תכונות כגון פיזורי בראג, קיבול חום ומוליכות הוא ענף חשוב של פיזיקה של מצב מוצק.
קוונטיזציה שנייה של השדה האלקטרומגנטי
המונח "מתנות כהונה" מציין בלשון חז"ל את כל המתנות שניתנות מהתורה לכהנים.
חכמים חילקו את המתנות לפי מקום נתינתם: ישנן מתנות הניתנות רק בבית המקדש, יש מתנות המחולקות לכהנים רק בירושלים, יש מתנות הניתנות בארץ ויש מתנות שניתנות בכל מקום אפילו מחוץ לגבולות הארץ.
בעת יציאת עם ישראל מן מצרים היו עבודות הכהונה ובעיקר הקרבת קרבנות על במות, מסורה ביד בכורי בני ישראל.
בעת חטא העגל העביר הקדוש ברוך הוא את עבודות הכהונה מן הבכורים ונתנם אל שבט לוי,
התורה העניקה לאהרן ובניו הכהנים ולשבט לוי זכות קבלת מתנות מסוימות מאת העם בתמידיות במטרה להחזיק ידיהם שיוכלו להתמסר אל עבודת המקדש ואל הוראת התורה לעם.
לכן גם לא קיבלו נחלה בארץ.
וכך כותב הרמב"ם במורה הנבוכים:
רוב מתנות הכהונה נמנים בתורה בפרשת קורח, במדרש מופיע שקורח בעצמו לעג על המתנות כחלק מטענותיו על בחירת אהרון לכהן.
המדרש תולה את זכות קבלת מתנות כהונה הודות לאהרן הכהן שהערים והציל את בני ישראל מגזר דין כליה של הקדוש ברוך הוא בעת חטאתם בעשיית העגל
לפי הפרקי דרבי אליעזר, המלאך מיכאל טען לפני הקדוש ברוך הוא שמגיע לבני לוי - כמשרתים בפלטין המלך - מתנות עבור יגיעתם ועבודתם, והקדוש ברוך הוא הסכים עמו
הזמן שבו נצטוו בני ישראל
פרשני התורה מסבירים כי בהר סיני נתן לבני ישראל הציווי לתת מתנות כהונה ברצונם הטוב, ואחר מעשה קורח ועדתו הוחלה חובת הנתינה אל הכהנים בתוקף של גזר דין וברית מלח.
הספרא, על הביטוי התורני "לדורותיכם" מנמקת כי התורה חייבה את נתינת מתנות הכהונה על אף שאין המקדש בנוי ואין הכהנים עוסקים בעבודת המקדש והקרבנות.
אף על פי שהתורה העניקה לכהנים את זכות קבלת המתנות למטרת החזקת ידי הכהנים להורות הלכות התורה, יש מסבירים שאפילו כהן שאינו עוסק בתלמוד תורה וגם כהן בעל תשובה, זוכה לקבלת מתנות כהונה.
חז"ל מנו 24 מתנות כהונה, וחילקו אותן על פי מקום החיוב בנתינה - עשר במקדש, ארבע בירושלים, ועשר בגבולין.
ישנן חלוקות נוספות, אך כולן שומרות על המספר עשרים וארבע.
מתנות הנאכלות לכהנים בתוך בית המקדש
בשר קרבן שלמים של ציבור.
הנשאר מקרבן העומר המובא בתחילת ספירת העומר.
שיירי קרבן מנחה (להוציא מנחת כהן, הנשרפת כליל ואינה נאכלת)
קרבן שתי הלחם של חג השבועות.
לחם הפנים המוחלף מדי שבת על השולחן שבתוך ההיכל במקדש.
לוג שמן שהמצורע מביא עם הקורבנות שלו.
מתנות שנאכלות ומחולקות רק בירושלים
ביכורים של פירות משבעת המינים.
"עורות קדשים" -עור בהמות קדשי קדשים שנקרבו על המזבח
המורם מתודה ואיל נזיר (חזה ושוק של קורבן תודה והלחם הבא עמו, חזה ושוק וזרוע של איל השלמים שמקריב הנזיר בסיום ימי נזירותו והלחם הבא עמו, וכן חזה ושוק של קורבן שלמים רגיל)
ראשית הגז - חלק מכובד מצמר גזיזת כבשים.
שדה אחוזה - שדה שאדם מקדיש ואינו פודה אותו לפני היובל.
זרוע לחיים וקיבה של כל בהמת חולין שאיננה קודש.
פדיון פטר חמור - כבש הניתן לכהן תמורת חמור שהוא בכור לאמו האתון.
חרמי כהן - דברים שאדם מחרים ניתנים לכהן
גזל הגר - דבר שאדם גזל ומוחזר עתה לאחר שהנגזל מת ואין לו יורשים.
פרשני התורה והמדרש ביארו את מעמד הרצוי של הכהנים כלפי המתנות.
מפרשי התורה הסבירו שאל לכהן להרגיש את עצמו כמוכלם עבור קבלת מתנת "חינם" אלא להבין שהמתן אינו ניתן לו -אלא להקדוש ברוך הוא, והשם מזכה את הכהן לקבלת פרס זו.
כמו כן, על כהן להראות חביבות בקבלתו את המתנות כהונה -מפני שהוא ניתן לו מאת הקדוש ברוך הוא- אף על פי שהמתן הניתן לו אינו שווה סכום כספי חשוב.
מאידך, לאשר גאות הכהן על קבלת הרבה מתנות חשובות, הבטיח התורה ברכה מיוחדת לכהן שלא יבוא לידי גאווה וחטאים למיניהם שבדרך כלל עשירים נכשלים בהם.
על הביטוי התורני "מאת בני ישראל", אומר המדרש שישנם שלש מדרגות בקבלת המתנות; הראשון הוא שלא יטול הכהן את המתן ביד חזקה ובתקיפות, השני שלא יסייע הכהן בעבודת השדה כדי לזכות למתנותיו ("כהן המסייע בבית הגרנות"), והשלישי שהכהן ימשוך את ידו מלקחת מתן אלא ימתין עד שיתנוהו בדרך של כבוד.
על סמך הפסוק , יש מבעלי התוספות שכתבו שאל לכהן ליטול את המתנות על מנת להחזירם לנותן.
כמו כן, יש מסבירים שאל לכהן לסרב מלקבל מתנות כשבאים לתת לו.
ההבדלים בין מתנות כהונה למתנות לויים, עניים, ומס המלך
פרשני התורה הסבירו שיש חילוקים יסודיים בין מתנות כהונה לבין מתנות עניים.
למרות שמפרשי התנ"ך מנמקים את מתנות הכהונה והלויה כחלף עבודתם בקודש, מתנות הכהונה שונות ממתנות שזוכים בהן הלויים בזה שאינן דווקא תמורת עבודה מסוימת שהכהן מבצע בבית המקדש, וכעיקר, גם כהן שאינו עובד בכלל זוכה לקבלת מתנות.
עוד הבדל הוא שמתנות כהונה ניתנות ממובחר היבול ומראשיתו.
פרשני התורה אף הסבירו שאל לבעלים ליהנות מיבולם עד נתינת המתנות, וגם שהמתנות יינתנו בדרך של כבוד ושמחה רבה.
כיום לא ניתן לתת את כל מתנות הכהונה.
חלק מן המתנות היה קשור ישירות לבית המקדש (כמו חלקים מן הקורבנות, למשל).
מתנות אחרות אסורות לאכילה בטומאה (למשל תרומה וחלה) ומכיוון שההלכה קובעת שכאשר אין אפר פרה אדומה כל הכוהנים בחזקת טמאי מתים אין באפשרות הכהנים לאכול אותן, אך עדיין יש חובה להפרישם.
בימינו, אף על פי שבית המקדש אינו בנוי, יש חוב לתת חלק ממתנות הכהונה אל הכוהנים.
פדיון הבן נוהג גם היום.
זרוע לחיים וקיבה נוהג מעיקר הדין גם כיום, אך בפועל לרוב לא ניתן לכהנים (ראה בערך).
ראשית הגז נוהג גם היום.
פדיון פטר חמור היא מצווה די נדירה, מכיוון שאין אנשים רבים המגדלים חמורים.
על כן, מדי פעם מתארגנת קבוצה של חובבי מצווה הקונים ביחד אתון שעדיין לא ילדה על מנת לזכות לקיים את המצווה.
הקבוצה מקפידה שלא לצרף כהנים ולויים שכן אם יש כהן או לוי בשותפות העיר הנולד פטור מפדיון.
הפדיון נעשה לעיתים בטקס רב רושם כאשר החמור מקושט בזרי פרחים.
לעומת פדיון פטר חמור, אדם שמגדל בהמות טהורות, בקר, כבשים או עיזים מקפיד לשתף איתו גוי כדי להפטר ממצוות בכור בהמה טהורה.
זאת מכיוון שהבכור חייב להיות מוקרב בבית המקדש ואינו נפטר מכך אלא אם נופל בו מום בלי כוונה.
את התרומה גדולה ותרומת המעשר מפרישים בדרך כלל ביחד.
בכמויות קטנות (לדוגמה במטבח הביתי), מצניעים את הפרשת התרומה בצורה מכובדת (בדרך כלל על ידי הנחתן בשתי שקיות בפח האשפה).
כאשר מדובר בכמויות גדולות, יש הנוהגים לתת את התרומה לאכילה לבהמה של כהן.
על כן נוהגים למכור את החיות בגני חיות לכהנים בשותפות ולתת לבהמות שבגן החיות לאכול את התרומה, וכך גם מספר בעלי עדרים פרטיים עושים.
כאשר מדובר בתרומה משמן זית, יש הנוהגים לתת את השמן לכהנים כשמן להדלקה.
ויש המסתייגים מכך בשל טענת כהן מבורר.
את החלה מפרישים בכמות מינימלית וזורקים לפח באופן מכובד, ויש הנוהגים לשרוף בדווקא.
וישנם מקומות בחוץ לארץ בהם נותנים לכהן קטן לאכול את החלה.
טענת כהן מוחזק (או "כהן מבורר") הוא טענה שלפיה מטילים ספק בייחוסם של הכהנים, היות שמפאת מרחק השנים לא נשמרה מסורת ייחוסם בדייקנות, ולכן יש להימנע מלהתחייב בנתינת מתנות מסוימות לכהנים.
לעומת טענה זו, יש מחזיקים כי הכהנים בימינו להם חזקה הלכתית המאפשרת ומחייבת נתינת המתנות אליהם.
כנוסף לחזקה האמורה, יש גם מתנות מסוימות שההלכה לא מחייבת לתתם לכהן מיוחס אלא די בכהן מוחזק.
מֵתָנוֹל או כֹּהַל מֵתִילִי, קרבינול (carbinol), הוא תרכובת אורגנית שנוסחתה הכימית היא CH3OH או CH4O ומסתה המולרית היא 32 גרם למול.
המתנול הוא הכוהל הפשוט ביותר.
זהו נוזל חסר צבע, דליק ורעיל עם ריח ייחודי.
המתנול נפוץ בשימוש כנוגד הקפאה, ממס וכן כדלק.
מתאנול נוצר באופן טבעי במטבוליזם אל-אווירני בסוגים שונים של חיידקים ולכן יש באטמוספירה ריכוז זעיר של אדי מתנול המתחמצן למים ודו־תחמוצת הפחמן.
התוצרים של שריפת מתנול הם פחמן דו-חמצני ומים לפי התגובה הבאה:
המצרים הקדמונים השתמשו בתערובת חומרים לתהליך החניטה.
בתערובת היה בין היתר, מתנול, שהמצרים הפיקו על ידי פירוק כימי של עצים.
מתנול בצורתו הטהורה הופק בשנת 1661 על ידי המדען רוברט בויל, הידוע בתרומתו לחוקי הגזים.
בשנת 1834 הצליחו זוג מדענים צרפתיים לקבוע את הרכבו הכימי של המתנול.
זוג המדענים גם הוסיף את המושג מתילן לכימיה האורגנית, המילה נוצרה מחיבור של שתי מילים, "מתי" (שפירושה ביוונית יין) ו"הילן" (שפירושה ביוונית עץ), זאת כי בעבר הופק המתנול מעצים.
הכוונה בשם הייתה "אלכוהול שמופק מעצים", אך במשפט יש כמה טעויות ביוונית.
ב-1840 נוסף גם השם "מתיל אלכוהול".
בשנת 1892 קוצר השם ל"מתנול" על ידי הכנס הבינלאומי על שמות של כימיקלים, שמו הנפוץ של החומר כיום.
הסיומת "יל" שמופיעה בשמות של רדיקלים חופשיים נגזרה מהשם "מתיל".
בשנת 1923 פיתח מדען גרמני שיטה לייצור מתנול על ידי המרה של מתנול מתוך תערובת של תחמוצות גזים ומימן.
בלחץ של מ-300 עד 1,000 אטמוספירות, בטמפרטורה של 400 מעלות צלזיוס ועם אבץ כרומטי כזרז.
כיום, יצור של מתנול יעיל יותר מכיוון שנמצא זרז אחר (נחושת) אשר פועל בלחצים נמוכים יותר.
בשנת 2006, זיהו אסטרונומים ענן מתנול בחלל באורך של כ-463 מיליארד קילומטר.
נכון ל־2012, יצור המתנול העולמי מבוסס על גז טבעי כחומר גלם.
ישנן שתי דרכים ליצור מתנול:
בדרך הראשונה, מתאן מגיב עם מים, ליצירת פחמן חד-חמצני ומימן.
בשלב השני הפחמן חד-חמצני מגיב עם מים ליצירת פחמן דו-חמצני ומימן, ובשלב השלישי הפחמן דו-חמצני מגיב עם המימן ליצירת המתנול:
בדרך השנייה, מתאן מגיב עם חמצן ליצירת פחמן חד-חמצני ומימן, ובשלב השני הפחמן החד-חמצני והמימן יוצרים את המתנול:
בישראל מתוכננת הקמה של מפעל לייצור מתנול על ידי חברת דור כימיקלים באזור התעשייה רמת חובב, שיתבסס על מאגרי הגז הטבעי שהתגלו בסמוך לחופי ישראל כחומר גלם.
המתנול משמש בהיקפים קטנים כדלק במנועי בעירה פנימיים, בעיקר בגלל שהוא אינו דליק כמו בנזין.
תערובות מתנול הן הדלקים הנבחרים במנועי מרוצי פורמולה 1. גם במכוניות שמשתתפות במרוצי דראג וראלי משתמשים במתנול כמקור דלק עיקרי.
לצד הסיבה העיקרית לשימוש בו – היותו דליק פחות מבנזין – הוא יעיל גם מכיוון שבניגוד לבנזין מסחרי, אפשר בנקל לזהות את הרכבו ולגלות זיופים בדלק.
שימושים אחרים של המתנול הם כחומר גלם לתעשייה כימית, ייצור מוצרי פלסטיק וחומרי בנייה, וכממס בכימיה וביולוגיה.
בישראל נעשה החל מקיץ 2014 שימוש מסחרי במתנול כתחליף לסולר, להנעת יחידת יצור קטנה של חברת החשמל באילת, בשל מחיר נמוך יותר וזיהום מופחת.
המתנול משמש כחומר מפגל, חומר אשר מוסף במתכוון בהוראת רשות המיסים למניעת מעבר של אלכוהול עם מס מופחת מהתעשייה לאלכוהול לשתייה עם מס גבוה, ובשנת 2018 דווחו מספר מקרי מוות כתוצאה משתיית אלכוהול מפוגל המכיל רמות גבוהות של מתנול.
שתיית משקה אלכוהולי עם רמה גבוהה מעל התקן של מתנול, שנמצאת בעיקר במשקאות מזויפים ומתוצרת עצמית, עלולה לגרום לעיוורון ואף למוות.
בכבד, המתנול מתחמצן לפורמלדהיד (פורמלין) על ידי האנזים אלכוהול דהידרוגנז (alcohol dehydrogenase), בהמשך הפורמלדהיד מתחמצן לחומצה פורמית.
בעלי חיים החסרים את האנזים אינם מורעלים ממתנול.
תוצרי חמצון אלו פוגעים בעצב הראייה עד כדי גרימת עיוורון בלתי הפיך.
מנה קטלנית של מתנול למבוגר היא כ-100–125 מ"ל.
סימני ההרעלה: טשטוש ראייה וחמצת הדם (בשל הצטברות חומצה פורמית) מופיעים רק כמה שעות לאחר החשיפה בשל הזמן הנדרש לחמצון החומר.
במקרה הרעלה הנפגע מטופל באתנול המתחרה עם המתנול על האנזים המחמצן ובכך מונע היווצרות התוצרים המזיקים.
אולם יש טעות נפוצה בקרב חולים ששתו מתנול, החושבים שהם שתו אלכוהול ועל כן אינם פונים לסיוע רפואי מיידי.
להבת מתנול היא כמעט ללא צבע.
לכן יש להישמר ליד מקור של שריפת מתנול, מפאת הסכנה לכוויות ופציעות חמורות על ידי הלהבה הבלתי נראית.
זיקוק ביתי של משקאות אלכוהוליים
אנליזה כימית של אלכוהול בזיקוק ביתי בהונגריה העלתה ריכוזים גבוהים של מתנול (וכהלים אחרים דוגמת פרופנול ובוטנול) בהשוואה לאלכוהול בזיקוק מסחרי, ייתכן כי זיהום ממקור זה תורם לשכיחות שחמת הכבד במדינות מרכז ומזרח אירופה שם נפוץ הזיקוק הביתי.
מחקר אחר על וודקה ביתית מרוסיה מצא כי הרכב הכהלים דומה לזה של וודקה מסחרית ועומד בתקן.
מתנה משמיים הוא סרט קולנוע ישראלי, בבימויו של דובר קוסאשווילי, שיצא לאקרנים בשנת 2003.
העלילה עוקבת אחר חמישה קרובי משפחה, סבלים גאורגים, אשר מתכננים לבצע שוד יהלומים, אך נתקלים בקשיים עקב חיכוכים ובעיקר יצריהם המיניים עם נשות המשפחה.
הסרט זכה להצלחה, תוך שבועיים צפו בו 60,000 איש בבתי הקלונוע, ולביקורות מעורבות.
אופיו המיני הבוטה עורר מחלוקת בקרב חלק מהצופים והמפיצים.
בשנת 2006 שודר לראשונה בטלוויזיה בערוץ 2, במסגרת נותנת החסות והמפיצה, הזכיינית "קשת", כשכמעט כל סצנות המין צונזרו או נחתכו מהסרט.
עצם שידור הסרט במסגרת הזכיינית עורר תרעומת רבה.
הסרט שודר במלוא אורכו בעיקר ברשת הלוויון YES.
מתנה משמיים (שיר הנושא) - בביצוע זיו (זזה) חן -
לא אכפת לי שום דבר - בביצוע ליאור אשכנזי -
מתנות לאביונים היא אחת מהמצוות הנוהגות בחג פורים, והיא חלה על גברים ונשים כאחד.
המצווה מחייבת כל אדם להעניק מתנות במהלך החג לשני אביונים לפחות מתנה אחת לפחות לכל אחד.
מקור המצווה במגילת אסתר, באיגרת שכתב מרדכי היהודי ליהודים הגרים בכל מדינות המלך אחשוורוש:
לפי התיאור במגילת אסתר, ראשיתו של חג פורים הייתה בחגיגות ניצחון ספונטניות בעקבות ניצחון היהודים בשושן הבירה ובכל ערי ממלכת פרס, ולאחר שסוכלה מזימתו של המן להשמיד את יהודי הממלכה.
רק שנה לאחר הניצחון ביקש מרדכי לעגן את החגיגה כאירוע שנתי, ואז הוסיף למנהגי החג גם הענקת מתנות לאביונים.
בעקבות דרישת מרדכי נקבעה המצווה המחייבת, הענקת מתנה לשני נזקקים לפחות.
בתלמוד הבבלי מדייק רב יוסף שישנו חיוב לשלוח שתי "מתנות" לשני אביונים, מן הריבוי בפסוק "מתנות" (לפחות שתיים) "לאביונים" (לפחות שניים).
הפוסקים דנו בכמות הכסף שעל אדם לתת לעני ביום הפורים; יש שאמרו שמספיק לתת פרוטה אחת לכל עני, היינו סכום כסף מינימלי.
דעה אחרת היא שיש לתת לכל אחד מהעניים כסף בכמות שניתן לקנות איתה מנה לאכילה.
במקרה שאדם לא מצא עני לתת לו, יכול להפריש סכום לתת לעני שימצא, גם אם יתן בפועל רק לאחר החג.
זמן חיוב המצוה הוא ביום שבו קוראים את המגילה, ולכן כאשר לא קוראים את המגילה בפורים עצמו (כמו למשל בפורים משולש) מחלקים את המתנות לאביונים ביום י"ד, שבו קוראים את המגילה.
הרמב"ם כותב בספרו כי מצווה זו היא החשובה מבין מצוות חג הפורים:
מתנד אלקטרוני מייצר תנודות חשמליות, שהן בעצם עליות וירידות במתח החשמלי (למעשה מתח חילופין, בניגוד למתח ישר שנמצא בקטבים של סוללה חשמלית למשל).
דוגמה מכנית למתנד היא נדנדה תלויה.
כשדוחפים את הנדנדה היא תמשיך לנוע מצד לצד בקצב מסוים, אך יש צורך לתת לה דחיפה קלה מדי פעם, כדי לפצות על ההפסדים הנגרמים מחיכוך והתנגדות האוויר.
במתנד אלקטרוני קיים רכיב כגון טרנזיסטור שתפקידו לפצות על ההפסדים שונים (לדוגמה פליטת חום שנגרמת מהתנגדויות או פליטת גל רדיו).
באופן דומה לנדנדה המכנית, הטרנזיסטור נותן דחיפה חשמלית כדי שהתנודות לא ידעכו.
התדירות של המתנד נקבעת על ידי רכיב או רכיבים במעגל כמו קבלים, נגדים וסלילים (סלילים הם משרנים).
במתנדים מדויקים נעשה שימוש בגבישי קוורץ או אף בהתקנים הכוללים אטומי צסיום לקביעת תדר התנודות.
מתנדים מצויים כמעט בכל מערכת אלקטרונית, פרט למעגלים אנלוגיים או ספרתיים פשוטים.
במעגלים ספרתיים, למשל, מתנדים יכולים לקבוע קצב פעולות.
בכל פעימה של המתנד (או ה"שעון") מתבצעת פעולה אחת או מספר פעולות.
יש שני סוגים עיקריים של מתנדים אלקטרוניים: מתנד הרמוני ומתנד רלקסציה (relaxation)
המתנד ההרמוני יוצר גל סינוסואידי.
בבסיסו הוא מגבר שמוצאו מחובר למסנן צר-סרט, שמוצאו מחובר לכניסת המגבר.
כאשר מדליקים את המגבר, מופיע רעש במוצא שלו.
הרעש עובר דרך המסנן כך שרק תדרים שהם בתחום הצר שמעביר המסנן מועברים בחזרה אל כניסת המגבר, ואלו מוגברים יותר ויותר כיוון שהתהליך חוזר על עצמו.
תוך מספר מחזורים קטן מתייצב המתנד ומגיע למצב עמיד.
אז מתקבל במוצא המגבר אות שמורכב מתחום צר של תדרים, שמרכזו הוא התדר המרכזי של המסנן, ורוחבו הספקטרלי נקבע על ידי רוחב המסנן.
ניתן לצמד אל המסנן גביש פיאזואלקטרי (לרוב מקוורץ) כדי לייצב את תדר התנודה.
תכנון כזה מכונה מתנד גבישי.
את ההגברה והסינון ניתן להשיג במגוון של דרכים, ולכן ישנן גישות שונות לתכנון מתנדים הרמוניים, ביניהן מתנד הארטלי, מתנד קולפיטס ומתנד קלאפ.
במתנדי רלקסציה משתמשים ליצירת גל שאינו סינוסי, כגון גל מרובע או "שן מסור".
המתנד מכיל רכיב לא ליניארי, למשל טרנזיסטור או משוון, שפורק באופן מחזורי את האנרגיה הטעונה בקבל או במשרן, וכך גורם לשינויים מהירים במוצא.
במתנדי רלקסציה לגל מרובע אפשר להשתמש ליצירת אות שעון הדרוש למעגלים ספרתיים מסוימים, למשל מונים או טיימרים, אך מתנדים גבישיים עדיפים עליהם בגלל יציבותם.
במתנדי גל משולש או שן מסור משתמשים במעגלי תזמון לאותות הסריקה האופקית בצגי שק"ק של אוסצילוסקופים וטלוויזיות.
במחוללי דפקים ניתן להשתמש בגל המשולש כדי ליצור קירוב של גל סינוס.
סוג אחר של מתנד רלקסציה הוא הרב-רטט (מולטי-ויברטור).
למתנדים במעגלים שונים, לדוגמה במערכות תקשורת, קיים רכיב הנקרא PLL, או בעברית חוג נעול מופע - מעגל בעל משוב שתפקידו לעקוב אחרי תדר אחר.
כאשר יש לנו אות בעל תדר לא רציף (שהוא מקוטע מדי פעם), PLL יכול לייצר אות באותו תדר אך רצוף.
משתמשים ב PLL גם כדי להכפיל או לחלק תדר במספר מסוים.
במקרה שיש אות שהתדירות שלו משתנה (אות מאופנן תדר), PLL יכול לחלץ את האות המאפנן, כלומר לייצר את האות שלפיו משתנה התדר של האות (ב PLL אנלוגי קיים מתנד מבוקר מתח (VCO) - המתח המוזן ל- VCO הוא האות המאפנן).
מתנה (מונחים נרדפים: שַׁי, תְּשׁוּרָה, מִנְחָה, דּוֹרוֹן, זֶבֶד, אֶשְׁכָּר, מַתָּת) היא הענקה של כסף, טובין וכדומה, ללא קבלת פיצוי בתמורה לכך (בניגוד למתבצע במסחר).
הכוונה במסירת מתנה היא להעניקה בחינם, אם כי עשויה להיות ציפייה חברתית להדדיות, או לקבלת תמורה במונחי יוקרה או כוח.
בחברות רבות, החלפת מתנות הדדית עשויה לתרום ללכידות החברתית.
בהשאלה, המונח מתנה עשוי לשמש גם לכל דבר המורעף על הזולת וגורם לאושר או מפחית עצב, לרבות מחילה וחביבות.
בתרבות המערבית מקובל לתת מתנות באירועים ונסיבות מסוימים:
כהכרת תודה על מעשיו של המקבל.
בישראל נהוג שהורים (לרוב באמצעות ועד הורים) נותנים מתנות לגננות ומורות בסוף שנת הלימודים, כהוקרה על עבודתן עם הילדים.
צדקה היא מתנה המביעה חמלה או רחמים.
עזרה הדדית, התנדבות ופעילות קהילתית הם מעשי נתינה הנובעים מסולידריות חברתית.
מזכרות הן מתנות המובאות על ידי מי שחזר מטיול או הגיע לביקור ממדינה אחרת.
פעמים רבות הן קטנות וערכן הכספי מועט ונושאות תמונה או סמל האופייני לאזור ממנו הובאו.
במקומות עבודה רבים נהוג כי מי ששב מטיול מביא למקום העבודה ממתקים מהמקום בו שהה.
מזכרות הן גם תשורות קטנות הנמסרות לבאי אירוע כגון חתונה, בר מצווה וכדומה.
מוצרים כגון חולצות, ספלים, לוחות שנה, מגנטים למקרר ועוד, אשר מודפס עליהן לוגו של בית עסק או מותג, נמסרים כמתנות ללקוחות או לקוחות פוטנציאליים, כאמצעי פרסום וקידום מכירות.
ביום הולדת, לעיתים תוך כדי מסיבה.
כשמוזמנים לארוחה יש המביאים מתנה סמלית למארחים, לעיתים מתנה שתשמש כחלק מהארוחה כגון יין, מנת אוכל או ממתקים לקינוח.
מתנות מקובלות נוספות באירועים כאלו הם זר פרחים, כלי בית וחפצי נוי.
בחגים יהודיים יש המביאים מתנה האופיינית לחג או ממאכלי החג, כגון משלוח מנות בפורים, מאכלי דבש בראש השנה וכדומה.
בתרבות הנוצרית ישנה מסורת של החלפה הדדית של מתנות בחג המולד, אשר לפי הפולקלור מובאות על ידי סנטה קלאוס ומושמות תחת עץ חג המולד או בתוך גרביים התלויים מהאח.
מתנות ניתנות גם בחגים שאינם דתיים כגון יום האם ויום המשפחה.
ישנן מדינות בהן חוגגים גם את יום האב.
ביפן חוגגים גם את יום הבן ויום הבת.
במדינות ברית המועצות לשעבר מקובל לתת מתנות לרגל יום האישה הבינלאומי, וכן כשחוגגים את יום המורה, יום הרופא ויום החיילים.
מתנות אהבה ניתנות לרגל חגי אהבה כגון טו באב ויום ולנטיין.
בטקסי מעבר כגון חתונה, ברית מילה, בר מצווה וכדומה ניתנות מתנות.
בישראל, כאשר אירועים כאלו נחגגים באולם אירועים, מרבית המוזמנים יביאו מתנת כסף, בשונה מהמקובל באירועים שנחגגים בחיק המשפחה.
מתנות עשויות להינתן גם בנסיבות כגון גיוס לצה"ל, התקבלות ללימודים או סיומם או פרידה לקראת טיול ארוך.
יש שיתאימו את המתנה לאירוע הנחגג.
מעבר דירה נחגג לעיתים במסיבת "חנוכת בית", אליה נהוג להביא מתנות כגון כלי בית ועציצים.
בישראל, רבים ממקומות העבודה וועדי עובדים נותנים לעובדים מתנות לקראת ראש השנה ופסח.
המתנות עשויות להיות חפץ או תווי שי.
יש הנותנים בהזדמנויות אלו מתנות גם ללקוחות בית העסק.
ישנם מקומות עבודה המזמינים את עובדיהם לטיול כמתנה.
חפצים שנקנו או הוכנו על ידי המוסר.
פעולה סמלית, כגון מתן צדקה, מתן תרומה, קניית אות בספר תורה או נטיעת עץ, הנעשיית בשם המקבל ולרוב מתועדת במסמך המוגש לו.
"מיחזור" מתנות - מסירה הלאה של מתנה שהתקבלה מאדם אחר.
בתרבות המערבית מקובל להגיש מתנות ארוזות בנייר צבעוני, לעיתים מעוטרות בסרטי נוי מסולסלים מפלסטיק או בד.
למתנה מצורף פעמים רבות כרטיס ברכה, החל מפתק נייר וכלה בכרטיס מנייר עבה המעוטר בתמונה ומכיל ברכה מודפסת.
כיום, בשל גישה מעשית, פעמים רבות מצורף למתנה קנוייה פתק החלפה מטעם החנות בה נרכשה המתנה, כדי לאפשר למקבל להחליפה במידה ואינה הולמת את טעמו או צרכיו.
ביפן אריזת המתנה יצירתית ומהודרת, לעיתים חשיבותה עולה על חשיבות תוכן המתנה.
אמנות העטיפה היפנית פורושיקי משמשת גם בעטיפת מתנות.
בתרבות הסינית אריזה אדומה מסמלת מזל.
הקרבת קורבנות הן מנחה מהאדם או הקהילה לישות אלוהית.
לחלופין, קיימות גם מתנה מהאל למאמיניו, כגון הבטחת הארץ על ידי אלוהים לאברהם ביהדות (ברית בין הבתרים) וקורבנו של ישו כמנחה לגאולת האנושות בנצרות.
מתן, או קבלה, של מתנות על ידי אישי ציבור עשויות להיות בעיתיות כיון שתיתכן מראית עין של מתן טובת הנאה.
אישי ציבור בכירים עשויים לקבל, מתוקף תפקידם, מתנות יקרות ערך.
ומדי פעם עולות טענות נגדם בעניין זה.
גם על עובדי מדינה, אף לזוטרים שביניהם, חלות הגבלות בעניין קבלת מתנות בעד עבודתם או בקשר עמה.
בישראל מוסדר הנושא בחוק שירות הציבור (מתנות).
המשפט המקובל קובע כי מתנה נחשבת לכזו מבחינה משפטית כאשר כוונת הנותן היא שתנתן כמתנה, כאשר המתנה מתקבלת ללא התנגדות על ידי מקבל המתנה, וכשההעברה למקבל המתנה היא בדרך ובצורה המראים על מסירת מתנה.
על אף שבכנסת הששית נחקק חוק המתנה, העניין נדון מדי פעם גם בבתי המשפט.
סיבה חשובה נוספת שבגללה ענייני מתנות מגיעים בישראל לבתי המשפט היא שלמתנות יש היבטי מס.
בישראל, מתנה שנותן מעסיק לעובד (למשל שי לחג) נחשבת כהכנסת עבודה לעובד וחייבת בכל המיסים החלים על הכנסת עבודה.
פטורה מכך מתנה שניתנה לעובד לרגל מאורע אישי משמח, כגון חתונתו או חתונת ילדו, בגובה שאינו עולה על 210 ש"ח (בשנת 2016).
בארצות הברית מתנות מסוימות מעל סכום מסוים עלולות להיות כפופות למיסוי.
בשנים האחרונות, תופסות תביעות לביטול הסכם מתנה נפח ממשי בדיונים בבתי המשפט לענייני משפחה בישראל, נוכח השימוש בהסכמי הענקה ללא תמורה של נכסים יקרי ערך לשם הברחת נכסים מפני נושים או מפני יורשים פוטנציאליים של נותן המתנה.
סעיף 5 לחוק המתנה קובע עילות מיוחדות לביטול הסכם מתנה, אשר ניתן להוציאן לפועל כל עוד המתנה לא הושלמה.
בין העילות לביטול התחייבות להענקת מתנה ניתן למנות התנהגות מחפירה של מקבל המתנה והרעה ממשית במצבו הכלכלי של נותן המתנה.
ככל והמתנה הושלמה, הדרך לביטולה עוברת בעילות המנויות בדיני החוזים בלבד..
מתן מתנות הפך לריטואל תרבותי בנסיבות מסוימות (חג המולד, ימי הולדת וכדומה) וכלכלנים רבים רואים בכך ברכה כלכלית בשל ההשפעה החיובית של ההוצאות על הנתונים המאקרו-כלכליים.