tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מכיוון שמספר הצלעות המינימלי בפאה כלשהי הוא 3 (כלומר ), מספר הפאות המינימלי של פאון תלת-ממדי הוא 4 (כלומר ) ומספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד הוא לכל הפחות 3 (כלומר ), השבר באגף שמאל תמיד גדול או שווה מ- כאשר בעוד שהשבר באגף ימין תמיד קטן מ-.
לפיכך פתרון ייתכן רק עבור .
בדיקה מדוקדקת של שלושת המקרים מגלה פתרונות עבור:
משפט טנצפלאץ אדן הוא משפט שנערך בגרמניה בשנת 1931 שבו תבע עורך הדין הנס ליטן את יושב ראש המפלגה הנאצית דאז, אדולף היטלר.
ליטן ניסה לתבוע את היטלר על כך שהמפלגה הנאצית מימנה ואף תכננה את התקיפה של ארגון רולקומנדו, ארגון צבאי למחצה שמאוחר יותר התברר כי אכן הופעל על ידי אנשי האס אה, על המועדון הקומוניסטי "טנצפלאץ אדן" שבברלין.
בתקיפה זו נהרגו שלושה עוברי אורח תמימים וחפים מפשע ועוד כעשרים נפצעו.
המשפט הסתיים לטובתו של היטלר בזכות כך שהשופט, שבבירור מאוחר יותר התגלה כנאצי מושבע, סיים את המשפט ללא שום נימוק ודחה את כל ניסיונות הערעור שהגישה התביעה.
פחות משנתיים לאחר המשפט נבחר היטלר לתפקיד קנצלר גרמניה.
בנובמבר 1931 תקפה יחידת הרולקומנדו, יחידה שיצאה מתוך ארגון האס אה הנאצית, את מועדון ה"טנצפלאץ אדן", מועדון שאורחיו הקבועים היו תומכי האידאולוגיה הקומוניסטית.
היחידה פרצה למועדון בשעת לילה ובאין מפריעה טבחה בכל היושבים במועדון.
שלושה בני אדם נהרגו, כולם קומוניסטים אך חוקית חפים מפשע, ועוד כעשרים בני אדם נפצעו קשה, ביניהם ילדים, נשים וגברים.
חקירת המשטרה שלאחר האירוע הייתה כושלת ביותר והתנהלה באיטיות ובחוסר יעילות.
ליטן הגיש תביעה בגין תמיכה באלימות והפרת חוקים לבית המשפט העליון של גרמניה, ומועד המשפט נקבע למאי 1931, שישה חודשים לאחר פרשת טנצפלאץ אדן.
בזמן זה אסף ליטן חומרים ומסמכים רבים המעידים על מזימתו של היטלר כנגד הפעילים הקומוניסטים וכך להפיל את המפלגה הנאצית.
לפני המשפט, בספטמבר, היטלר עמד מול בית המשפט על נושא שונה אך קשור.
באותה העת היה איסור למפלגות להכניס אל תוכן אנשי צבא, ולמפלגתו של היטלר היו שני קצינים בכירים במפלגה.
לבסוף הצליח היטלר להחלץ מהמשפט כשידו על העליונה, כשהבטיח לשופטים שארגונו הצבאי, רולקומנדו, הוא רק ארגון "נאורות אינטלקטואלית".
במשפט טנצפלאץ אדן ידע היטלר כי עליו להיות זהיר יותר.
הוא כבר הכיר את ליטן, וידע את רמתו השכלית, שהייתה חדה ביותר, ואת כישרונותיו בבית המשפט.
בתחילה הציב ליטן בפני היטלר שאלה משמעותית שתלווה את המשפט לכל אורך הדרך: "האם אתה מחויב לחוקיות?".
היטלר מצידו מיד הכריז כי הוא לעולם לא יחרוג ממגבלות החוק.
לאחר הצהרה זו הביא ליטן כמה וכמה טיעונים הקשורים בשר התעמולה של גרמניה הנאצית, יוזף גבלס.
הוא האשים אותו בתעמולה זדונית ותומכת באלימות, והציג בפני השופט כמה ציטוטים אלימים של גבלס.
לאחר מכן זימן ליטן את היטלר לשולחן העדים ופתח ב"חקירה" מקיפה של הנושא.
הוא פתח בנושא התקיפה של הארגון הצבאי למחצה ששייך למפלגה הנאצית וציין כי האירוע קיבל את תמיכתו המלאה של היטלר.
ליטן חזר במהלך המשפט שוב ושוב על השאלה מה תפקידו של הרולקומנדו והיטלר חזר ואמר כי הוא אינו יודע דבר על התנועה.
אחר כך נשאל היטלר מדוע, אם הוא מטיף לאי-אלימות, הוא הרשה לגבלס להשתמש בסיסמה "את האויב יש לכתוש לעיסה".
היטלר השיב כי הסיסמה היא מטאפורה בלבד, ואין להתייחס אליה במובן המילולי.
ליטן המשיך להוציא עדויות של קמפיינים אנטישמיים שניהל גבלס בחסות המפלגה, ואף הביא עמו עותק של עיתון המפלגה הנאצית "המחויבות לאי-חוקיות" כדוגמה לפרסום אלים שיוצא באישור המפלגה.
לקראת סופו של המשפט, בו ליטן תקף את היטלר שוב ושוב בעזרת מסמכים ועדויות, התרגז היטלר כל כך שקפץ על רגליו וצעק "איך אתה מעז, אדוני התובע, לומר שזו הזמנה לאי-חוקיות?
זאת קביעה שאין לה על מה להסתמך!".
בנקודה זו היה יכול להגמר המשפט כשידו של ליטן על העליונה, אלא שאז התפתחות מפתיעה קרתה.
השופט, שמאוחר יותר התגלה כנאצי מושבע, עצר את המשפט בלי שום הסבר הגיוני או חוקי מדוע, ודחה כל אפשרות לערעור.
היטלר זוכה מכל ההאשמות על אף ניסיונות הערעור של ליטן.
כשנתיים לאחר המשפט נבחר היטלר לתפקיד קנצלר גרמניה (1933).
הוא לא שכח את ההשפלה שחש בעקבות אותו משפט, ומכרים רבים להיטלר העידו כי בכל פעם שהוזכר דבר בהקשר של הפרשה היה היטלר מסמיק ונרגז.
בפגישה בינו לבין יורש העצר של פרוסיה, וילהלם, הוזכר שמו של ליטן והיטלר קם רגליו וצעק "כל מי שידבר טובות על ליטן יושלך מיד למחנה ריכוז, אפילו אתה!".
ב-1932 ניסה ליטן לתבוע את הנאצים פעם שנייה, אך הפעם הכישלון היה מועד מראש.
בליל שריפת הספרים נעצר ליטן יחד עם יהודים רבים אחרים, אלא שבניגוד אליהם הוא נשלח לכלא הצבאי "שפנדאו".
במשך כחמש שנים הוא עונה ונחקר באותו כלא, עד שבקיץ 1937, שנתיים לפני פרוץ מלחמת העולם השנייה הוא נשלח למחנה הריכוז דכאו.
ב-5 בפברואר 1938, באמצע הלילה, שלח יד בנפשו.
משפט טוקיו הוא מיני-סדרה יפנית בת ארבעת חלקים, דרמה היסטורית המתארת את בית הדין הבינלאומי הצבאי למזרח הרחוק.
את הסדרה ביימו במשותף פיטר ורהוף ורוב וו.
קינג והופק על ידי תאגיד השידור הציבורי היפני NHK בהפקה משותפת עם FATT Productions ההולנדית וחברת דון קרמודי הקנדית.
בסדרה מככבים מרסל הנסמה, ג'ונתן הייד, פול פרימן, סטיבן מק'האטי, ג'וליאן וודהאם, אירפאן חאן ומייקל איירונסייד.
הסדרה שודרה ברשת NHK ביפן ב-12 בדצמבר 2016. לאחר מכן הייתה זמינה לצפייה ישירה בשירות ה-NHK On-Demand VoD ובהמשך בנטפליקס.
הסדרה הוצגה לראשונה ב-190 מדינות בנטפליקס בדצמבר 2016. שידור הסדרה בנטפליקס כולל כתוביות ב-20 שפות.
טים ארן בתפקיד האלוף מיירון סי קרמר (ארצות הברית)
פול פרימן בתפקיד הלורד ויליאם ד.
סרג' הזנאביציוס בתפקיד אנרי ברנאר (צרפת)
מרסל הנסמה כפרופסור ברט רולינג (הולנד)
ג'ונתן הייד כנשיא סר ויליאם ווב (אוסטרליה)
אירפאן חאן בתפקיד רדהבינוד פאל (הודו)
סטיבן מקהטי בתפקיד אדוארד סטיוארט מקדוגל (קנדה)
דייוויד צה בתפקיד מיי ג'ו-אאו (סין)
ג'וליאן וודהאם בתפקיד סר ארימה נורת'קרופט (ניו זילנד)
ברט מטיאס בתפקיד אלוף-משנה דלפין ג'ארנילה (פיליפינים)
קסטוטיס סטאסיס יאקסטאס בתפקיד האלוף איוואן זריאנוב (ברית המועצות)
ויליאם הופ בתפקיד ג'ון היגינס (ארצות הברית)
מייקל אירונסייד בתפקיד הגנרל דאגלס מקארתור
הדוויץ' מיניס בתפקיד אתא האריך-שניידר
שיניה צוקאמוטו בתפקיד מיצ'יו טקיאמה
המיני-סדרה הוצעה על ידי NHK.
החברה חתמה על עסקת הפקה משותפת עם FATT Productions.
בפורום המימון הבינלאומי של OMDC במסגרת פסטיבל הסרטים הבינלאומי בטורונטו 2013, אנשי NHK ו-FATT דנו בהפקה משותפת של הסדרה עם חברת דון קרמודי הקנדית.
נטפליקס השיגה זכויות הפצה על ידי מתן מימון באמצעות דון קרמודי.
השחקן ההודי אירפאן חאן הצטרף בדצמבר 2014. הסדרה סימנה את הופעת הבכורה בסדרת רשת של השחקן אירפאן חאן.
הסדרה צולמה ביפן ובליטא בשנת 2015.
שנה פרס קטגוריה מועמד/ים תוצאה הערות 2017 פרס אמי הבינלאומי סרט הטלוויזיה / מיני סדרה הטובים ביותר
משפט טוקיו (בסינית: 东京审判, פין-יין: Dōngjīng Shěnpàn) הוא סרט דרמה ביוגרפי סיני שיצא בשנת 2006.
את הסרט ביים גאו קונשו והוא עוסק בבית הדין הצבאי הבינלאומי למזרח הרחוק לאחר כניעת יפן במלחמת העולם השנייה.
הסרט מציג את המשפט מנקודת מבטו של השופט הסיני מיי ג'ו-אאו.
הבמאי וצוותו השקיעו יותר משנה במחקר לסיום התסריט, המבוסס על נתונים היסטוריים.
תקציבו היה 18 מיליון יואן (2.25 מיליון דולר).
סרט זה שכר שחקנים מ-11 מדינות, כולל סין היבשתית, הונג קונג, יפן ומקומות אחרים, כולל שחקנים כמו קנת צאנג ודמיאן לאו.
הם שיחזרו סצנות משפט מהמשפט באמיתי, בסינית, אנגלית ויפנית.
הסרט הוצג בבתי קולנוע ובמאה אוניברסיטאות ברחבי סין היבשתית לציון 75 שנה לתחילת הפלישה של יפן לסין.
לפי יומון העם, "עשרה ימים לאחר הופעת הבכורה שלו ב-1 בספטמבר, הסרט על משפט פושעי המלחמה היפניים גרף 10 מיליון יואן (1.25 מיליון דולר ארצות הברית) בקופות, למרות התחרות מצד שובר הקופות ההוליוודי אקס-מן: המפלט האחרון".
מדינת טקסס נגד יולנדה סלדיבר היה משפט פלילי שנערך שנערך בבית המשפט הפלילי במחוז האריס במרכז העיר יוסטון שבארצות הברית.
המשפט החל ב-9 באוקטובר 1995 והסתיים ב-23 של אותו חודש.
סלדיבר נשפטה לאחר שהואשמה ברצח הזמרת המקסיקנית-אמריקאית סלינה ב-31 במרץ 1995. לאחר הרצח סלדיבר ניסתה לברוח אך המשטרה אגפה אותה מכל הצדדים.
בעקבות כך סלדיבר איימה להתאבד אם המשטרה לא תיסוג אחורה ובעקבות כך נערך משא ומתן של 10 שעות בין סלדיבר למשטרה שבסופו המשטרה תפסה את סלדיבר.
המשפט תואר כמשפט החשוב ביותר עבור האוכלוסייה ההיספנית בארצות הברית והושווה למשפט של או ג'יי סימפסון על ידי התקשורת.
זהו גם היה אחד המשפטים המפורסמים ביותר בהיסטוריית טקסס.
ב-3 באפריל הועמדה סלדיבר לראשונה לדין אך טענה כי היא אינה אשמה ברצח.
היא טענה כי הירי היה מקרי וכי התכוונה להתאבד.
התובע בתיק היה עורך דין בשם קרלוס ולדז, אשר על מינויו כתובע בתיק נמתחה ביקורת כיוון שהיה חסר ניסיון.
צוות ההגנה טען כי המשפט לא צריך להתקיים בטקסס מכיוון שטקסס הייתה מקום הולדתה של הזמרת וכי הם חוששים שדעת חבר המושבעים עלול להיות מוטה בעקבות כך.
התביעה לעומת זאת התנגדה לרעיון.
צוות התביעה זימן בין 45 ל-50 עדים ביניהם: אביה של סלינה והמנהל האישי שלה אברהם קינטנייה, בעלה כריס פרס, עובדים מהמלון בו התרחש הרצח, פרמדיקים, מומחי נשק, בעלי חנות הנשק בה סלדיבר רכשה את האקדח, אנשים מכוחות הביטחון והרופא שביצע את הנתיחה.
צוות ההגנה זימן גם הוא עדים משלו אך פחות עדים מצוות התביעה, ביניהם: הוריה של סלדיבר חבריה לעבודה לשעבר, צוות שעבד במלון בו התרחש הרצח, המורה לשעבר של סלינה, וחוקר הרצח.
הריאיות ששימשו במשפט היו האקדח שאיתו התבצע הרצח, הבגדים שלבשה סלדיבר ביום שבו טענה כי הותקפה מינית, והקלטות מהמשא ומתן שנערך בין סלדיבר ל-FBI.
חבר המושבעים הרשיע את סלדיבר ברצח ממדרגה ראשונה לאחר דיון של שעתיים והיא נידונה ל-99 שנות מאסר, אם כי ניתנה לה ההזדמנות לבקש בקשה לחנינה במרץ 2025. באותו היום מחוץ לבית המשפט היו מעריצים של סלינה אשר הריעו לכבוד פסק הדין.
חלקם גם הריעו מול הוריה של סלדיבר ואף לבשו חולצות שנועדו להשפיל את סלדיבר.
בבית המשפט נכחו יותר ממאתיים אנשי תקשורת.
המשפט עורר עניין במקומות רבים בעולם ביניהם בפיליפינים, באירופה, בדרום אמריקה, באוסטרליה ויפן.
ההגנה ערערה על פסק הדין אך הערעור נדחה בשנת 1998. לאחר מכן הוגש ערעור נוסף אך גם הוא נדחה בשנת 1999. ולדז פרסם בספר בשנת 2004 על המשפט השם: "Justice for Selena: The State vs.
נכון לדצמבר 2014 סלדיבר מייצגת את עצמה בבקשות לשחרורה מהכלא בטענה שחלק מהעדים לא נקראו במהלך המשפט וכי ראיות נעלמו בעקבות המשפט.
סלדיבר הייתה אחות בבית חולים שבו אושפזו חולי סרטן במצב סופני.
היא הייתה חובבת של מוזיקת קאנטרי אך היא אהבה גם את שלי לארס, זמרת טחאנו ידועה אשר הייתה מבין חלוצות הז'אנר בקרב זמרות נשים.
כתוצאה מכך סלדיבר לא אהבה את סלינה מכיוון שבתקופה שסלינה פרצה היא הייתה לוקחת את מרבית הפרסים בטקסי הפרסים ובכך הייתה גורמת להפסדיה של לארס.
ב-1991 אחיינית שלה שכנעה אותה ללכת למופע של סלינה.
סלדיבר שינתה את דעתה אודות הזמרת לאחר הופעה זו.
היא התרשמה מהכריזמה ומהאנגריה של סלינה והחלה לשמוע את המוזיקה של סלינה עד שהפכה למעריצה אדוקה שלה ורצתה להקים מועדון מעריצים עבורה.
כתוצאה מכך היא פנתה לאביה של סלינה, אברהם, וביקשה ממנו אישור להקים אחד.
לאחר מכן היא נפגשה עם אביה של סלינה אשר נתן את האישור הסופי להקמת מועדון המעריצים ובכך הקימה את המועדון והפכה למנהלת שלו.
בינואר 1994 היא פתחה שני בוטיקים אך בשל הלו"ז הצפוף שלה היא לא יכלה לנהל כמו שצריך את הבוטיקים ומינתה את יולנדה לנהל אותם.
לאחר מכן סלינה החלה לקבל מעובדים בבוטיק, ממעצבת האופנה שלה ומבת דודה על העבודה של סלדיבר.
הם טענו כי היא לא ניהלה נכון את ענייניה של סלינה, תמרנה את החלטותיהם, הרסה דברים שעבדו עליהם, הפחידה אותם ואיימה עליהם והקליטה אותם ללא הסכמתם אך סלינה התקשתה להאמין בכך.
לאחר שסלינה סירבה לפטר את סלדיבר העובדים פנו לאביה של סלינה בבקשה שיטפל בזה.
כתוצאה מכך אביה פנה לסלינה וביקש ממנה לפטר את סלדיבר אך סלינה סירבה מכיוון שהיא טענה שאביה תמיד הביע אי אמון באנשים.
בינואר 1995 החל אביה לקבל מכתבים ושיחות טלפון זועמות ממעריצים ששלחו את דמי ההרשמה שלהם למועדון המעריצים ולא קיבלו דבר.
כתוצאה מכך הוא פתח בחקירה וגילה כי סלדיבר השתמשה בצ'קים מזויפים ומעלה ב-20 אלף דולר מכספי הבוטיקים ומועדון המעריצים.
ב-9 במרץ משפחתה של סלינה קיימה דיון על מנת לדבר על הכספים שנעלמו.
כתוצאה מכך אביה זימן את סלדיבר לשיחה והתעמת איתה אך תשובותיה לא היו משכנעות.
כתוצאה מכך הוא אמר שאם היא לא תוכיח את חפותה הוא יערב את המשטרה בכך.
יום למחרת סלדיבר פוטרה מתפקידה ונאסר עליה ליצור קשר עם סלינה.
סלדיבר רכשה אקדח בטענה כי קרובי משפחה של מטופלים שלה איימו על חייה.
ב-30 במרץ סלדיבר התקשרה לביתה של סלינה וטענה כי תקפו אותה ושכנעה אותה להיפגש איתה לבד במוטל דייז-אין בבוקר של היום למחרת.
בבוקר שלה יום למחרת היא לקחה אותה לבצע בדיקות אך הרופא שבדק אותה טען כי אין סימנים שמוכיחים שהיא הותקפה.
סלינה זעמה על סלדיבר וביקשה ממנה שתביא לה פירוט על הכנסות על מנת שתוכל להגיש אותם למס הכנסה.
היא הגיעה איתם לחדר המוטל על מנת לקחת את המסמכים.
שם סלינה לקחה את התיק של סלדיבר ורוקנה אותו על מנת לחפש את המסמכים.
כאשר רוקנה את התיק האקדח נפל מהתיק וכתוצאה מכך היא הרימה את האקדח וכיוונה אותו על סלינה.
סלינה הסתובבה והחלה לברוח מסלדיבר אך סלדיבר ירתה בגב של סלינה וכתוצאה מכך היא גרמה לקריעת עורק שגרם לדימום מסיבי.
למרות הירייה סלינה המשיכה לרוץ עד שהגיעה לדלפק הקבלה, שם היא אמרה כי סלדיבר ירתה בה ואף אמרה את המספר החדר בו הירי התרחש.
לאחר מכן סלינה התמוטטה והוזמן לה אמבולנס.
מצבה הידרדר במהירות תוך כדי הפינוי והטיפול בה ובשעה 13:05 נקבע מותה כתוצאה מאיבוד רב של דם ודום לב.
לאחר הירי סלדיבר נכנסה לטנדר שלה וניסתה לעזוב את המוטל.
אחד מאנשי הצוות במוטל ראה את סלדיבר יוצאת מהחדר כאשר היא עטופה במגבת.
ההשערה הייתה כי סלדיבר הייתה בדרך לאולפן ההקלטות של סלינה כדי לירות גם בשאר בני משפחתה.
כתוצאה מכך שוטר שזיהה אותה דיווח על כך לקצין שלו וכתוצאה מכך המשטרה לכדה את סלדיבר בתוך הטנדר שלה והורתה לה לצאת ממנו.
אך סלדיבר התעלמה מהבקשה ובמקום זה חנתה בין שתי מכוניות.
לאחר מכן היא כיוונה את האקדח לכיוון ראשה ואיימה להתאבד.
כתוצאה מכך יחידת SWAT, יחידה מיוחדת ללוחמה בטרור ומחלקת ניהול משא ומתן ומשברים ב-FBI הגיעו לזירת האירוע.
כתוצאה מכך לארי יאנג ויצחק ולנסיה החלו במשא ומתן עם סלדיבר כאשר את המשא מתן הם עושים דרך הטלפון כאשר הם נמצאים צמוד לטנדר של סלדיבר.
אורחי המוטל הורו להישאר בחדריהם עד שהמשטרה תגיע ללוות אותם.
לאחר כמעט 9 וחצי שעות סלדיבר נכנעה ויצאה מהרכב.
אותו זמן מאות מעריצים של סלינה התאספו במקום כאשר חלק מהם אף בכו.
כמה שעות לאחר הרצח התקיימה מסיבת עיתונאים של עוזר המשטרה קן בונג ואביה של סלינה אשר בה הם אמרו כי סלינה הלכה למוטל לצורך סידורים.
בשלב זה הם לא הזכירו את שמה של סלדיבר.
רודי טרביניו, מנהל עמותת המוזיקה לכישרונות בטקסס, ונותן החסות של טקס פרסי מוזיקת הטחאנו, הכריז כי תאריך מותה של סלינה ייקרא "יום שישי השחור".
ב-3 באפריל הועמדה סלדיבר לדין וטענה כי היא לא אשמה ברצח.
בית המשפט קבע כי היא תוכל להשתחרר מהמעצר בערבות של 100 אלף דולר אולם סכום זה הועלה ל-500 אלף דולר על ידי התובע המחוזי קרלוס ולדז שחשב כי סלדיבר יכולה לברוח מהמדינה ועל פי החוק לסלדיבר אסור היה לצאת מהמדינה עד שיינתן גדר הדין הסופי שלה.
לאחר שהידיעה על הערבות הוכרזה לציבור אנשים רבים תהו מדוע סלדיבר לא קיבלה עונש מוות.
בעקבות כך החלו מחאות פומביות כנגד ההחלטה ואף סלדיבר קיבלה איומי מוות והיו גם אנשים שהקימו מיזם לאיסוף הכסף של הערבות כדי שיוכלו לשחרר את סלדיבר בעזרתו ולרצוח אותה לאחר מכן.
בלש ה-CCPD הוותיק פול ריברה הוביל את חקירת הרצח.
במקור נשכר עורך דין אלמוני על מנת לייצג את סלדיבר בתיק אך ב-4 באפריל הוא פרש מתפקידו מחשש שיתנקמו בו ובילדיו על כך.
בעקבות כך השופט מייק ווסטרגרן החל לחפש סנגור חדש.
התובע קרלוס ואלדז מונה לתובע הראשי, בעוד שמארק סקורקה מונה ליועצו המשפטי.
ב-6 באפריל הוזמן חבר המושבעים לדיון על מנת לדון בהגשת כתב אישום.
לאחר כשעה המושבעים החליטו להגיש כתב אישום כנגד סלדיבר וכתב האישום הועבר לבית המשפט המחוזי 214. קרלוס ולדז האמין כי ייתכן ויהיה משפט מהיר עם ווסטרגרן שמנהל את המקרה.
לאחר מכן נבחר הסנגור החדש כאשר הוא היה דאגלס טינקר, עורך דין בן 30 אשר היה נחשב לאחד מעורכי הדין הטובים ביותר להגנה פלילית בטקסס והונו נאמד הוערך בכ-50 מיליון דולר.
אשתו אשר חששה שהם יסבלו מחרם ביקשה מטינקר לשמור בסוד את העובדה כי הוא מעורב בתיק.
ארנולד גרסיה, תובע מחוזי לשעבר, נבחר על ידי טינקר כיועץ המשפטי שלו.
השופט נענה לבקשתו של טינקר לחוקר פרטי.
מועד המשפט נקבע ל-17 באוגוסט אך מסיבות לא ידועות הוא נדחה ל-9 באוקטובר.
ב-18 במאי טינקר וולדז התווכחו על האפשרות להפחית את הערבות של סלדיבר ל-10,000 דולר.
טינקר טען כי היא לא צריכה להיות בכלא מכיוון שעדיין לא נמצאה אשמה ברצח והגיעה לה לצאת בערבות.
ולדז טען כי סלדיבר עלולה לברוח למקסיקו במיוחד לאור הקשרים שיש לה שם ולכן לא כדאי להוריד את מחיר הערבות.
משפחתה וחבריה של סלדיבר טענו כי היא לא תוכל לברוח מכיוון שאין לה את היכולת הכלכלית לעשות זאת ואין לה קשרים עם אף אחד וכי היא בכל מקרה לא אשמה מכיוון שהיא אינה הייתה מסוגלת לרצוח אף אחד.
ולדז זימן כתוצאה מכך את החוקר בחקירה פול ריברה.
ריברה חיזק את טענותיו של ולדז וטען כי במהלך עבודתה עבור סלינה סלדיבר קשרה קשרים עם אנשים זרים.
בנוסף הוא טען כי לסלדיבר עלולים להיות גישה לכספים שהחקירה טרם חשפה.
השופט קבע כי הערבות לא תופחת וכתוצאה מכך סלדיבר נשארה במעצר.
ב-9 באוקטובר הורכב חבר המושבעים אשר ישמש עבור המשפט.
המושבעים כללו שבעה אמריקאים בהירי עור, ארבעה אמריקאים כהי עור וארבעה אמריקאים ממוצא היספני.
השופט קבע כי המשפט לא ישודר בטלוויזיה ולא יוקלט והגביל את מספר העיתונאים אשר יכלו להיכנס למשפט בעקבות המשפט של או ג'יי סימפסון.
ב-11 באוקטובר החל המשפט באופן רשמי.
המשפט נפתח בכך שולדז טען כי סלדיבר רצחה את סלינה כאשר ירתה בגב שלה.
הוא טען כי המעשה לא נעשה מתוך הגנה עצמית או כל סיבה משמעותית אחרת וכתוצאה מכך היה חסר טעם.
לעומת זאת טינקר טען כי ההאשמות הן האשמות שווא.
הוא האשים את אביה של סלינה כאשר כינה אותו כ"אב שולט ושתלטן ששואף לשלטון ולכסף כאשר המטרה היחידה שלו היא להרוויח כסף".
הוא טען כי הוא פגע בפרטיות של המשפחה שלו בכך שביקש מהם לגור במתחם בו יוכל לפקח על כל צעד שלהם.
הוא טען כי סלינה רצתה להיות עצמאית ולהתנתק משליטת אביה על ידי ניהול עסק משלה.
בנוסף הוא טען כי סלדיבר לא באמת רדפה אחריי סלינה במלון בשביל לירות בה שוב אלא היא רצה אליה כדי שתוכל לקחת אותה לטנדר שלה ולהסיע אותה לבית חולים.
הוא טען כי אביה של סלינה לא אהב מלכתחילה את סלדיבר ואמר כי היא "אובססיבית" ו"לסבית".
בנוסף הוא טען כי אביה איים על סלדיבר כי הוא ישמיד את החברות שלה עם סלינה.
לאחר מכן החל שלב זימון העדים.
ולדז זימן את אביה של סלינה, אברהם, כעד הראשון.
הוא שאל אותו תחילה אם הייתה לו מערכת יחסים מינית עם סלדיבר או האם הוא אנס אותה.
לאחר מכן הוא שאל אותו האם אי פעם הוא כינה את סלדיבר לסבית.
אביה של סלינה השיב בשלילה על שתי השאלות.
לאחר מכן הוא שאל אותה על העובדה כי האשים את סלדיבר בגניבה.
אביה טען כי סלדיבר אכן גנבה מסלינה כספים.
לאחר מכן הוא זימן את בעלה של סלינה, כריס כעד נוסף.
כריס טען כי למעשה הוא וסלינה הפסיקו לתמוך בסלדיבר עוד לפניי שהוכח שהיא פושעת.
לאחר מכן גם בעלי החנות בה נקנה האקדח העידו, הם העידו כי אכן סלדיבר קנתה אצלם את האקדח והם אף הנחו אותה איך להשתמש בו.
לאחר יומיים היא החזירה את האקדח בטענה שהיא קיבלה אקדח במתנה מאביה אך לאחר 10 ימים היא חזרה שוב לחנות בשביל לרכוש את האקדח.
ב-12 באוקטובר ולדז זימן את אחד מעובדי המוטל כעד נוסף.
העובד טען כי הוא ראה את סלדיבר רודפת אחריי סלינה ומכוונת לכיוונה אקדח בזמן שסלינה בורחת ממנה.
לאחר מכן הוא עצר את סלדיבר והוריד את האקדח לכיוון הרצפה וסלדיבר חזרה לחדרה כאילו לא קרה כלום.
לאחר מכן הדיון נקטע מכיוון שאמה של סלינה מרסלה התמוטטה במהלך המשפט בעקבות עלייה בלחץ הדם שלה ופונתה לבית חולים.
לאחר מכן זומנה עובדת נוספת במוטל כעדה של התביעה וטענה כי היא אכן ראתה את אותם אירועים ואף שמעה את סלדיבר מכנה את סלינה "כלבה".
בתגובה לך טינקר ביקש ממנה להראות במפה של זירת הפשע בדיוק איפה היא הייתה באותו זמן.
לאחר מכן הוא טען כי היא לא יכלה לראות או לשמוע שום דבר מכיוון שהייתה רחוק מזירת הפשע.
התביעה הראתה לחבר המושבעים בגדים שסלדיבר לבשה כביכול במהלך האונס שטענה שחוותה.
התביעה טענה כי ניתן לראות שמישהו עשה בכוונה חורים בלבוש וגזר את הבגדים עם מספריים כדי שזה ייראה כביכול אמין.
ב-13 באוקטובר עוזרת המנהל של המוטל הוזמנה להעיד.
היא טענה כי סלינה הגיעה לדלפק הקבלה ואמרה כי סלדיבר היא זאת שירתה בה ואת מספר החדר בו היא הייתה.
גם איש המכירות של המוטל אמר אותו הדבר.
גם פקידת הקבלה העידה את אותן דברים ואף הוסיפה שסלינה אמרה תנעלו את הדלת כי היא תירה בי שוב.
בנוסף היא אמרה שסלינה הייתה מלאה בכל כך הרבה דם עד שנגרמה לה בחילה.
האחרון שעיד היה הפרמדיק שפינה את סלינה שתיאר את מצבה ואף אמר כי היא אחזה בטבעת ביד שלה באותו הזמן.
לטענת העיתונאים ששהו במקום משפחתה של סלינה בכתה זמן התיעוד של הפרמדיק בעוד סלדיבר "בהתה בחלל האוויר".
ביום זה הושמעה הקלטה של ה-FBI של המשא ומתן שהתנהל עם סלדיבר.
ההקלטה החלה בכך שסלדיבר אמרה כי היא רוצה למות בעוד לארי יאנגף הסוכן שניהל את המשא ומתן ניסה לשכנע אותה להוריד את האקדח שכיוונה לראשה.
סלדיבר בתגובה לכך אמרה כי היא לא יכולה להוריד את האקדח אך יאנג אמר לה בתגובה כי היא תפגע בהורים שלה אם היא תעשה זאת.
בתגובה לך סלדיבר ביקשה ליצור קשר עם אימה בפעם האחרונה כדי להיפרד ממנה ולהגיד לה שהיא מצטערת.
היא המשיכה לחזור על המשפט "אני רק רוצה למות" בעוד יאנג החל לדבר איתה על דת כדי לקבוע האם היא מאמינה באמונה אשר עשויה לגרום לה לשקול מחדש את ההתאבדות.
יאנג אמר שאם היא תיכנע למשא ומתן הוא יניח מעליה מעיל כדי שהתקשורת לא תוכל לצלם אותה ויצחק ולנסיה הסוכן השני שהיה מעורב במשא ומתן אמר כי הם יכבו את האורות שהופנו לרכב שלה.
סלדיבר נענתה בחיוב לבקשה וירדה מהרכב.
אך לאחר שירדה מהרכב היא ראתה עשרות שוטרים וסוכני FBI שהפנו לעברה אקדחים ורובים.
כתוצאה מכך היא חזרה בחזרה לרכב תוך כדי שהיא צועקת "הם נושאים אקדחים!
הם רוצים להרוג להרוג אותי!
הרבה מהעיתונאים אשר סיקרו את המקרה הביעו פליאה על כך שסלדיבר רצתה למות אך מצד שני רגע אחריי שירדה מהרכב פחדה שיהרגו אותה.
לאחר מכן סלדיבר קלטה באמצעות הטלפון שלה אות רדיו ובה שמעה כי דווח על מותה של סלינה.
לאחר מכן סלדיבר התרגזה על יאנג ואמרה לו מדוע הסתיר ממנה את מצבה של סלינה מכיוון שרצתה לבקר את סלינה בבית החולים מתוך אמונה שהיא עדיין חיה.
יאנג אמר לה בתגובה לא להאמין למה שאמרו ברדיו וכי הוא אינו יודע מה מצבה.
סלדיבר הפנתה את האשמה כלפי אביה של סלינה וטענה כי הוא רצה להרוג אותה.
היא אמרה ליאנג שהיא קנתה את האקדח רק אחריי שראתה שחתכו את הצמיגים של האוטו שלה.
בנוסף היא טענה שאסיה של סלינה תקע סכין בנרתיק שלה ואיים לרצוח אותה אם תלך למשטרה.
כשנשאלה לגבי האקדח שקנתה היא טענה כי היא קנתה את האקדח כדי להתאבד ושהיא ניסה להתאבד בזמן שסלינה הייתה בחדר בעוד סלינה הפצירה בה שלא לעשות זאת זה.
לאחר מכן היא טענה שסלינה פתחה את הדלת והיא הפצירה בה שלא לעשות את זה ולאחר מכן נפלט כדור מהקדח והוא פגע בסלינה.
היא טענה כי האקדח היה מקולקל ולכן זה קרה.
התביעה טענה כי סלדיבר טענה כי "הירי היה מקרי" ולא השתמשה במילה "תאונה" כדי לחדד את דבריה מה שמעורר חדש.
ההגנה לעומת זאת טענה כי זה שהיא לא השתמשה במילה "תאונה" לא אומר שהיא התכוונה לפגוע בסלינה.
אחד מקציני המשטרה שנכח בזמן המשא ומתן נשאל האם סלדיבר הצהירה בזמן המשא ומתן שהאקדח היה מקולקל והוא טען שלא.
לאחר מכן המשפט נגמר והתחדש שוב ב-18 באוקטובר.
רוברט גרזה מסוכנות אכיפת החוק טקסס ריינג'רס אמר בדיונים המקדימים כי סלדיבר אכן עשתה תנועות שהעידו על כך שהירי היה מקרי אך היא לא ציינה זו בהודאה שלה.
לאחר מכן ההגנה קראה לפול ריברה, החוקר בחקירה לעלות לדוכן העדים.
ההגנה טענה כי ריברה לא יכול להמשיך בתפקידו מתוך ניגוד אינטרסים.
הם טענו כי לריברה יש פוסטר של סלינה בביתו ואף חולצת טריקו שלה שאביה של סלינה נתן לו.
לאחר טינקר אמר למושבעים כי סלינה לא הודתה בכך שהירי הייתה תאונה מכיוון שהיא הייתה מותשת לאחר 11 שעות של תשאול בהם לא ישנה, לא שתתה, לא אכלה ולא הלכה לשירותים.
לאחר מכן טינקר פנה שוב לריברה ושאל אותו מדוע מדוע זרק את הדברים שרשם בחקירה, מדוע לא הקליט את החקירה ולא סיפק לסלדיבר עורך דין על פי הנדרש בחוק ואף לא הרשה לה לראות את קרוביה לאחר שחתמה על הודאתה.
לאחר כמה ימים נודע כי טינקר קיבל גלויה מכנופיית הרחוב "המאפיה המקסיקנית" שהצהירה על כוונתם לפגוע בו ובמשפחתו בגלל המשפט.
ב-19 באוקטובר התקשרה ההגנה לשני המנתחים שניסו להחיות את סלינה בבית החולים.
המנתחים העידו כי אביה של סלינה ביקש שלא יעשו לה עירוי דם בשל אמונותיו הדתיות.
התביעה לעומת זאת טענה כי רק בעלה של סלינה יאשר באופן סופי האם ההליך בוצע או לא.
לאחר מכן הוצגו תמונות הנתיחה של סלינה בפניי כולם כאשר מספר מושבעים החלו לבכות כאשר לויד ווייט המנתח תיאר את ממצאיו בפירוט.
על פי העיתונאים ששהו במשפט סלדיבר נראתה בזמן זה "חסרת רגש" והביטה ברצפה.
ווייט טען כי בעקבות הממצאים שלו מדובר ברצח ולא בתאונה.
בנוסף מומחה לנשק טען כי הנשק היה חם מה שהעיד על כך שזו הייתה ירייה מכוונת.
התביעה בנוסף הראתה גם תמונות מתוך חדר המוטל כדי לחזק את הטענה כי הירי לא היה תאונה.
ב-20 באוקטובר ההגנה זימנה את מנהלת המוטל ברברה שולץ.
טינקר שאל את שולץ האם סלינה אכן ביקשה לנעול את הדלתות אך שולץ השיבה שלא.
בנוסף שולץ אמרה כי אותה עובדת שאמרה את זה היא לא אמינה.
בנוסף שולץ טענה כי העובדים החלו לגבש דעות שונות כאשר הם ידעו שהם אמורים להעיד.
גם עוזרת צוות המלון גלוריה מגאנה הטילה ספק בעדותם של עובדי המלון.
היא אמרה כי לא הגיוני שהם ראו את סלדיבר רודפת אחריי סלינה מכיוון שעבודתם הייתה בצד השני של המוטל.
מגאנה טענה כי ראתה את סלינה עוברת את החניון אך היא לא ראתה את סלדיבר רודפת אחריה.
לאחר מכן טינקר קרא למרילין גריר, המורה של סלינה בכיתה ז' לדוכן העדים.
היא טענה כי סלינה יכלה לסיים את לימודיה בהצטיינות ויכלה להשיג בקלות מלגה בקולג' אך אביה שלל מסלינה את האפשרות להתקבל לקולג' ובזבז את נעוריה בכך שכפה עליה לשיר במועדונים וברים תמורת כסף כבר בגיל 13.
ב-23 באוקטובר הגישו ההגנה את הטענות הסופיות שלהם כי הירי היה תאונה.
הם טענו כי החוקר בתיק, פול ריברה רצה להיחשב גיבור בפרשה וכי לא עניין אותו הצדק.
ההגנה טענה כי עד למותה סלינה עדיין החשיבה את סלדיבר כחברה טובה שלה ואף את העובדה כי לקחה אותה לבית חולים ביום מותה.
בנוסף הם טענו כי כל דבר יכול לגרום לפליטת כדור באקדח ואין זה אומר שסלדיבר לחצה על ההדק.
ההגנה האשימה את התביעה במניפולציות ברגשות המושבעים על ידי הצגת תצלומים של סלינה בחדר המתים, והצגת תמונות של שיירת הדם שהותירה אחריה בזמן הריצה לקבלה.
הם סיימו את הנאום בכך שאמרו למושבעים לא לצדד באביה של סלינה.
התביעה לעומת זאת טענה כי אם אכן היה מדובר בתאונה היה מצופה מסלדיבר להגיש לסלינה עזרה ראשונה כמי שהייתה פעם אחות בבית חולים או לפחות להתקשר לאמבולנס.
לאחר מכן התביעה הזכירה את העובדה כי סלדיבר שיקרה לסלינה על כך שנאנסה רק כדי להיפגש איתה וכי את הסיבה שבגללה רכשה את האקדח שלטענתם לא הייתה הגיונית.
התביעה טענה כי אם סלדיבר רצתה להתאבד היה לה מספיק זמן לעשות זאת ולא בשביל זה היא הייתה צריכה לפגוש את סלינה ולשקר לה שנאנסה.
בנוסף התביעה טענה כי הסיבה לרצח הגיונית מכיוון שמטרת הרצח הייתה לנקום באביה של סלינה אותו שנאה.
סלדיבר הואשמה ברצח ממדרגה ראשונה של סלינה ונגזר עליה 99 שנות מאסר וקנס של 10,000 דולר אם כי ניתנה לה האפשרות להגיש בקשה לחנינה אחריי 30 שנה מיום מעצרה.
בכל משך הזמן בו התקיים המשפט סלדיבר הוחזקה במעצר במחוז נואיס תחת אבטחה כבדה מחשש שתתאבד.
לאחר שהסתיים המשפט חבר המושבעים דן במשך שעתיים ו-23 דקות.
בזמן שחבר המושבעים דן הצוות המשפטי וסלדיבר עצמה התראיינו לתקשורת.
משפחתה של סלדיבר גם התראיינה לתקשורת אך אביה של סלינה נותר בכיסאו עד למתן גזר הדין.
לפניי הקראת פסק הדין הרבה מהתקשורת ואף משפחתה של סלינה הייתה בספק לגבי הרשעתה של סלדיבר לאור המשפט של או ג'יי סימפסון שבוע קודם לכן.
לאחר מתן גזר הדין מעריצים היספנים אשר שהו מחוץ לבית המשפט הריעו בשמחה בעוד סלדיבר אמרה כי "היא רוצה למות".
חגיגות ופסטיבלים תוכננו ברחבי מדינות טקסס וקליפורניה ובאזורים מסוימים במקסיקו בעקבות מתן גזר הדין.
המעריצים של סלינה ניגנו מחוץ לאולם בית המשפט את המוזיקה של סלינה במשך שעות ואף היו כמה מעריצים שהריעו מול סלבידר עצמה כאשר היא יצאה מבית המשפט בליווי המשטרה.
על פי הדיווחים התנועה בטקסס נעצרה כאשר אנשים יצאו לרחובות ולכבישים המהירים להריע על פסק הדין.
כאשר הוריה של סלדיבר יצאו מאולם המשפטים מעריצים של סלינה קיבלו את פניהם כאשר הם לובשים חולצות המגנות את סלדיבר וצורחים לעברם "עכשיו בואו נהוג את הרוצחת!
הידיעה על פסק הדין הייתה בעמוד הראשון של עשרות עיתונים בארצות הברית.
המשפט היה למשפט הנצפה ביותר בתולדות טקסס והוא כלל יוותר מ-200 אנשי תקשורת בבית המשפט.
העיתואנית מריה סלסטה אראס כינתה את המשפט "כמשפט או ג'יי סימפסון של ההיספנים".
רשתות הטלוויזיה Univision ו-Telemundo שידרו מדי יום כשעה וחצי של המשפט.
באחד מההקלטות נראית סלדיבר אומרת לאדם אמר בבית המשפט "איפה לארי" משפט אשר מעריציה של הזמרת השתמשו בו בשביל להדפיס על חולצות שנועדו ללעוג לסלדיבר.
בנוסף לכך שיקגו טריביון דנו בשאלה האם למה המשפט זכה להתעניינות בעיקר בקרב הקהילה ההיפסנית.
המוציאה לאור דונה דיקרסון אמרה לשיקגו טריביון כי אם המקסיקנים האמריקאים לא התעניינו במיוחד במוות של אלביס פרסלי.
המשפט כונה "כמשפט המאה" וכמשפט החשוב ביותר לאוכלוסייה ההיספנית בארצות הברית.
המשפט דובר ואף הפך לפופולרי גם במקומות כמו דרום אמריקה, אוסטרליה ואירופה.
לאחר המשפט טינקר הודיע כי הוא יגיש ערעור.
ב-22 בדצמבר דווח כי טינקר ביקש משפט חוזר לאחר שטענו כי עדת המפתח של התביעה היא בעל עבר פלילי משל עצמה.
מריה נורמה מרטינז, אחת החדרניות במלון טענה כי היא ראתה את סלדיבר רודפת אחריי סלינה תוך כדי שהיא מקללת אותה ועל עדות זו ביססה התביעה את הטענה שלה כי הירי לא היה מקרי.
מרטינז הואשמה פעם בגניבה ולכן ההגנה טענה כי לא צריך לסמוך על העדות שלה וכתוצאה מכך הגישו ערעור.
ב-3 באוקטובר 1998 הערעור נדחה.
כתוצאה מכך ההגנה הגישה ערעור נוסף אך גם הוא נדחה, ב-19 באוגוסט 1999. סלדיבר הגיע נכלאה לראשונה ב-22 בנובמבר בכלא גייטסוויל אך מאז עברה מספר מתקני כליאה בשם איומים על חייה.
נכון להיום כי יושבת בכלא "Mountain View" שבטקסס.
ב-30 במרץ 2025 נקבע כי היא תהיה רשאית להגיש בקשה לחנינה ובכך להשתחרר על תנאי.
בשל האיומים על חייה מצד האסירים האחרים סלדיבר מבודדת משאר האסירים כמעט בכל שעות היממה.
בשנת 2000 סלדיבר עצמה הגישה עתירה לגבי הרשעתה אך עתירתה נדחתה בשנת 2008.
אף על פי החששות כי חייהם של ההגנה נמצא בסכנה צוות ההגנה אמרו בריאיון למגזין "טקסס החודש" כי ההפסד במשפט מקטין את הסיכוי שלהם להיפגע על ידי המעריצים של סלינה.
בעקבות המשפט האמון של ההיספנים במערכת המשפטית התחזק.
בעקבות כך הליגה של אזרחי אמריקה הלטינית המאוחדת ביקשה מהיספנים בארצות הברית להיענות בחיוב לבקשתם של בתי המשפט להשתמש בהם כמושבעים.
עשה פרק על המשפט במסגרת התכנית "E!
בשנת 2002 בעקבות צו שופט האקדח בו השתמשה סלדיבר לרצוח את סלינה הושמד.
החלטה זו יצרה התנגדות מצד התקשורת והמעריצים שטענו כי האקדח הוא פריט היסטורי וכי הוא צריך להיות מוצג במוזיאון.
בשנת 1997 יצא הספר "Selena's Secret" אשר כלל ראיונות עם סלדיבר וסיפר על החיים של סלדיבר לפניי הרצח ועל הצד שלה בסיפור.
הספר זכה לביקורות שליליות מצד מעריצים וגם מצד אביה של סלינה שטען כי הספר מאדיר "רוצחת".
בשנת 2004 ולדז הוציא ספר משלו תחת השם "Justice for Selena: The State vs.
בדצמבר 2014 דווח כי סלדיבר "עושה מאמץ משפטי חדש להשגת שחרור מוקדם מהכלא, בעקבות ערעורים רבים בעניינה." בעקבות כך החלו שמועות על כך שסלדיבר עומדת להשתחרר לפניי הזמן.
אחת השמועות הייתה כי סלדיבר צפויה להשתחרר ב-1 בינואר 2015 ידיעה אשר עוררה סערה רבה ברשתות החברתיות.
אך ולדז נכחיש את השמועות שטענה שטרם נקבע מועד למשפט חוזר.
בבקשתה למשפט חוזר סלדיבר טענה כי היו עדים שלא נקראו להעיד ובנוסף טענה כי נעלמו תיקים מאז שהסתיים המשפט.
בתגובה אביה של סלינה אמר כי לא אכפת לו אם סלדיבר תקבל שחרור מוקדם מכיוון שזה לא מה שיחזיר את בתו לחיים.
בגאומטריה אוקלידית, משפט וריניון קובע שעבור מרובע כלשהו, המרובע הבנוי מקטעי האמצעים של כל שתי צלעות סמוכות, הוא מקבילית.
המשפט נקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר וריניון.
משפט וריניון קובע כי המרובע הוא מקבילית.
מקבילית זו נקראת מקבילית וריניון.
הקטעים ו- הם קטעי אמצעים במשולשים אלו בהתאמה.
קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע שמולו ושווה למחצית אורכה.
לכן, שני הקטעים הללו מקבילים לאלכסון ושווים למחצית אורכו.
יחס ההקבלה הוא יחס טרנזיטיבי, לכן , ומאחר ושני הקטעים שווים למחצית , הם שווים ביניהם, כלומר .
מרובע שבו זוג צלעות נגדיות הן שוות ומקבילות הוא בהכרח מקבילית.
ההיקף של מקבילית וריניון שווה לסכום אורכי האלכסונים של המרובע המקורי.
אם המרובע המקורי אינו חוצה את עצמו, אז השטח של מקבילית וריניון שווה למחצית השטח של המרובע המקורי.
מקבילית וריניון היא מלבן אם ורק אם האלכסונים של המרובע המקורי מאונכים זה לזה (כמו במקרה של דלתון, מעוין וריבוע).
מקבילית וריניון היא מעוין אם ורק אם האלכסונים של המרובע המקורי שווים זה לזה (כמו במקרה של טרפז שווה-שוקיים, מלבן וריבוע).
משתי הנקודות לעיל, מקבילית וריניון היא ריבוע אם ורק אם האלכסונים של המרובע המקורי שווים ומאונכים זה לזה.
מרובע שמקבילית וריניון שלו היא ריבוע נקרא מרובע אמצע-ריבוע .
משפט לגראנז' הוא אחד המשפטים היסודיים בתורת החבורות הסופיות.
המשפט קובע שאם חבורה סופית ו- תת-חבורה שלה, אז הסדר של מחלק את הסדר של , כלומר הוא מספר שלם.
המשפט נקרא על שם ז'וזף לואי לגראנז'.
מן המשפט אפשר מיד להסיק שהסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה (מכיוון שהחבורה הנוצרת על ידי היא תת-חבורה, והסדר שלה שווה לסדר של ).
במילים אחרות, אם חבורה סופית אז לכל .
עובדה זו פותחת את האפשרות לנתח מבנה של חבורות סופיות באמצעות הסדרים של האיברים השונים.
זוהי גם הוכחה כמעט מיידית למשפט אוילר.
אם חבורה אבלית, אז יש לה תת-חבורה מכל סדר המחלק את .
תכונה זו, המהווה מעין היפוך של משפט לגראנז', אינה נכונה בחבורות כלליות – הדוגמה הקטנה ביותר היא חבורת התמורות הזוגיות , שהיא חבורה מסדר 12 ואין לה אף תת-חבורה מסדר 6.
לגראנז' פרסם את המשפט ב-1770, בעבודתו על שורשים של פולינומים, יותר ממחצית המאה לפני לידתה של תורת החבורות.
באותו זמן, המשפט קבע שמספר הערכים השונים שאפשר לקבל מפונקציה של משתנים על ידי החלפת המשתנים זה בזה מחלק תמיד את .
הקשר לניסוח המודרני של המשפט הוא שקבוצת התמורות של משתני הפונקציה שאינם משנים אותה (הפונקציה סימטרית ביחס אליהן) היא תת-חבורה של החבורה הסימטרית של משתנים (הכוללת איברים).
מספר הפונקציות השונות המתקבלות מהפונקציה על ידי חילוף סדר המשתנים שווה לאינדקס של בחבורה הסימטרית, .
לצורך הוכחת המשפט נוכיח שני דברים - ראשית, שקבוצת כל המחלקות (קוסטים) השמאליות של מהווה חלוקה של , ושנית, שגודלה של כל מחלקה כזו שווה לסדר של .
לצורך הטענה הראשונה, די להראות שהקבוצות זרות זו לזו.
אכן, אם אז , ומאידך אפשר לכתוב עבור , ולכן גם , כך ש- ולכן .
כעת נראה כי גודלה של כל מחלקה של שווה לסדר .
לשם כך נבנה פונקציה חד-חד-ערכית מ- על מחלקה כלשהי שלה.
נראה כי זו התאמה חד-חד-ערכית: נניח כי אז ואחרי צמצום נקבל .
נראה כי זו התאמה על: יהי , אז על פי הגדרת המחלקה, ולכן .
על כן הקבוצות שקולות, כלומר .
כעת, לכל איבר ב- ידוע שהוא שייך למחלקה כלשהי של .
לכן מספר האיברים ב- הוא סכום מספר האיברים בכל המחלקות של .
יש מספר סופי של מחלקות, כי יש מספר סופי של איברים ב-.
יהי מספר המחלקות, אז , כלומר סדר מחלק את סדר , כפי שהיה להוכיח.
באנליזה מרוכבת, משפט ליוביל אומר כי פונקציה מרוכבת שלמה (כלומר, פונקציה שהולומורפית בכל המישור המרוכב) וחסומה (כלומר חסומה בערכה המוחלט) חייבת להיות קבועה.
בין שימושיו של משפט זה ניתן למנות הוכחה אלגנטית של המשפט היסודי של האלגברה והוכחה אלגנטית לכך שספקטרום של אופרטור איננו ריק.
גרסה מוקדמת של המשפט הוכחה לראשונה על ידי ז'וזף ליוביל ב-1847 והמשפט המלא הוכח על ידי אוגוסטן לואי קושי.
הוכחת המשפט מבוססת על שימוש בנוסחת האינטגרל של קושי.
באמצעות הנוסחה מעריכים את הנגזרת של הפונקציה בכל נקודה.
בשל שלמות הפונקציה, ערך הנגזרת נתון על ידי אינטגרל סגור על מעגל סביב הנקודה בה מחשבים את הנגזרת.
ערך האינטגרל הולך וקטן כאשר מגדילים את רדיוס המעגל, וערך הנגזרת קטן מערך האינטגרלים על כל אחד מהמעגלים, ומכאן מסיקים כי בהכרח ערך הנגזרת הוא 0. מכיוון שערך הנגזרת של הפונקציה הוא 0 בכל נקודה, היא חייבת להיות קבועה.
על פי נוסחת קושי מתקיים:
נפעיל ערך מוחלט על שני האגפים:
המעבר האחרון מוצדק בכך שהפונקציה שלנו חסומה, כלומר מתקיים לכל נקודה במישור עבור מסוים, ובכך שאנו מחשבים את האינטגרל על מעגל, ולכן מתקיים .
אינטגרל של פונקציה קבועה על מעגל שווה להיקפו, ולכן נקבל:
הדבר נכון עבור כל מעגל שנבחר סביב הנקודה , מפני שהפונקציה הולומורפית בכל המישור.
לכן קיבלנו כי לכל קיים גדול דיו כך שיתקיים , ולכן בהכרח מתקיים , וזה מתקיים רק כאשר .
תהי שלמה, ולכל נגדיר .
אם קיימים ממשיים עבורם או ,
אזי פולינום ממעלה (הערך השלם של ).
(משפט ליוביל מתקבל כאשר ).
מסקנה נוספת מהנ"ל, הידועה כמשפט אדמר, היא: אם פונקציה שלמה ללא אפסים ו-, עם , אזי היא מהצורה כאשר פולינום ממעלה .
(המשפט מתקבל מהנ"ל עם ).
המשפט הקטן של פיקאר מחזק את משפט ליוביל.
הוא קובע שכל פונקציה שלמה ולא קבועה מקבלת כל ערך במישור המרוכב מלבד אולי ערך אחד (למשל פונקציית האקספוננט מקבלת כל ערך מלבד 0).
המשפט נכון גם עבור פונקציות הולומורפיות בכמה משתנים, כלומר – פונקציה הולומורפית בכמה משתנים אשר חסומה היא קבועה.
כל פונקציה הולומורפית על משטח רימן קומפקטי היא בהכרח קבועה (שכן מהקומפקטיות נובע שהפונקציה חסומה).
משפט לסקר-נתר או משפט הפירוק הפרימרי הוא משפט בתורת החוגים, המספק, עבור כל אידיאל של חוג קומוטטיבי נתרי, פירוק בתור חיתוך של מספר סופי של אידיאלים פרימריים.
הפירוק שבו מספר האידיאלים מינימלי הוא יחיד מבחינת הרדיקלים של האידיאלים הפרימריים המשתתפים בו.
את המשפט הוכיח עמנואל לסקר עבור חוגי פולינומים בכמה משתנים מעל שדה, ואמי נתר הכלילה אותו לכל חוג נתרי.
כל אידיאל של הוא חיתוך , עבור אידיאלים פרימריים .
בנוסף לזה, בכל הדרכים להציג את כחיתוך כזה עם מינימלי, מתקבלים אותם רדיקלים (עד כדי סדר).
למה ראשונה: בחוג נתרי כל אידיאל הוא חיתוך של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים (אידיאל אי-פריק הוא אידיאל שלא ניתן להציג כחיתוך של שני אידיאלים אחרים).
הוכחה: נניח בשלילה שקיימים אידיאלים שאינם חיתוך של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים.
על-פי עקרון המקסימום, המתקיים בחוגים נתריים, ניתן להניח שיש אידיאל שהוא מקסימלי מבין האידיאלים בעלי תכונה זו.
בוודאי אינו פריק, ולכן ניתן לרשום כאשר .
מתוך המקסימליות של נובע ש- הם חיתוכים של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים, ולכן גם החיתוך שלהם, , הוא כזה – בסתירה להנחה.
למה שנייה: בחוג קומוטטיבי נתרי , כל אידיאל אי פריק הוא פרימרי.
הוכחה: נניח ש- אינו פרימרי ונוכיח שהוא פריק.
מכיוון ש- אינו פרימרי, קיימים איברים כך ש- וגם .
מכיוון ש- הוא אידיאל, אם אז גם אם נכפול אותו באיבר כלשהו הוא יישאר באידיאל ולכן גם .
מבנייה זו מתקבלת השרשרת העולה .
מכיוון שהחוג נתרי השרשרת חייבת להעצר ולכן קיים כך ש-.
כעת נסתכל על הקבוצות ו-.
הן בוודאי שונות מ- מכיוון ש- ו-.
ברור ש- מכיוון ש- וגם .
ניקח איבר בחיתוך, ונציג אותו כאיבר כל אחד מהקבוצות: כאשר ו-.
נכפול את שני צידי המשוואה ב- ונקבל .
עכשיו, נתון ש- ומכיוון ש- הוא אידיאל, אז .
מכיוון ש- אידיאל גם .
זה גורר שהאיבר היחיד שנותר במשוואה גם כן שייך ל-, דהיינו: .
אבל הראנו שזה גורר ש-.
ולכן , כלומר כל איבר כללי בחיתוך שייך ל- ולכן .
אם כן, כלומר הצלחנו לפרק את ל- ו- ולכן פריק כפי שרצינו.
משתי הלמות מתקבל פירוק סופי של כל אידיאל לאידיאלים פרימריים.
משפט ימי הוא גוף חקיקה ייחודי המגדיר מערכת נורמות לתחום הימאות.
המשפט הימי הוא חלק מן המשפט הבינלאומי הפרטי וחל על היחסים שבין גופים פרטיים המפעילים כלי שיט בים לבין מאן דהוא.
יש להבחין בין המשפט הימי לבין חוק הים, שהוא חלק מן המשפט הבינלאומי הפומבי הדן בזכות המעבר בים, בזכויות כרייה בים, בתחום המים הטריטוריאליים ובחוק הבינלאומי החל על יחסים בין מדינות.
מסחר ימי הוא אחד מדרכי המסחר העתיקות ביותר, ודרכים ליישוב סכסוכים על רקע מסחר ימי התפתחו כבר בימי קדם.
מקורות קלאסיים למשפט ימי כוללים את החוק של רודוס (ממנו לא נותר שריד בכתב, אולם קיימת התייחסות אליו בכתבים משפטיים אחרים: רומאים וביזנטיים) וכן המנהגים של ברית ערי הנזה.
חוק האדמירליות נחקק לראשונה באנגליה במאה ה-12 על ידי אלינור מאקוויטניה כאשר שמשה עוצרת הכתר לבנה ריצ'רד הראשון.
היא חוקקה לראשונה משפט ימי באי הצרפתי אולרו, שהיה חלק מאדמותיה.
על חשיבות המשפט הימי למדה לראשונה עת שהתה במזרח התיכון במסע הצלב השני יחד עם בעלה לואי השביעי, מלך צרפת.
לצורך יישום חוק האדמירליות קמו באנגליה בתי דין ימיים מיוחדים המטפלים בכל הסכסוכים הנוגעים לענייני ימאות.
בבתי דין אלה לא חל המשפט המקובל הנוהג באנגליה, אלא הם פועלים כבתי משפט אזרחיים בהם חל המשפט היוסטיניאני (Corpus Juris Civilis) של יוסטיניאנוס הראשון.
לבתי הדין הימיים תפקיד מרכזי בין הגורמים לפרוץ מלחמת העצמאות של ארצות הברית.
בתי הדין הימיים, המנהלים משפט ללא מושבעים, כנהוג בבתי המשפט האזרחיים באנגליה ובארצות הברית, העלו את חמתם של המתיישבים בקולוניות הבריטיות בצפון אמריקה, באוכפם בפסקי דין של שופטים יחידים, חוקים שרוב האוכלוסייה התנגדה להם.
ספק אם פסקי דין אלה היו ניתנים בבתי דין של מושבעים.
המשפט הימי הפך לחלק מן המשפט האמריקאי, על רקע סכסוכי ימאות שאירעו לאחר שאומצה חוקת ארצות הברית.
רבים מעורכי הדין שהתבלטו בעת מלחמת העצמאות של ארצות הברית עסקו במשפט ימי בחייהם המקצועיים.
בהם היו אלכסנדר המילטון וג'ון אדמס.
איסור על שוד ימי ופריבטיר
במשך מאות שנים מדינות שונות תמכו בשוד ימי על ידי פריבטירים.
אוניות אנגליות תקפו ספינות מלחמה וספינות סוחר אזרחיות ספרדיות ולקחו את שללן.
מדינות אחרות כמו המדינות הברבריות בצפון אפריקה תמכו בשודדי ים ברברים שפשטו על ספינות בים התיכון במטרה לצוד עבדים לצורך מכירתם בשוקי העבדים במדינות ערב ובאימפריה העות'מאנית.
ציד נוצרים לבנים בים על ידי שודדי ים ברברים החל להטריד את המעצמות המערביות והן החלו בסדרת פעולות עונשין לדיכוי נוהג זה.
בשנת 1783, ו-1784 צי ספרדי הפגיז את אלג'יר אך ללא כל השפעה על המדיניות.
בשנים 1801-1804, התקיימה המלחמה הברברית הראשונה שבה ארצות הברית נלחמה מול טריפוליטניה, אלג'יריה העות'מאנית ומרוקו, בדרישה להפסיק את פשיטות ציד העבדים על אוניות סוחר אמריקאיות ששטו בים התיכון.
ובשנת 1816 הופגזה אלג'יר שוב, הפעם על ידי צי בריטי-הולנדי.
באפריל 1856, לאחר סיומה של מלחמת קרים נחתמה הצהרת פריז לכיבוד החוק הימי אותו קידמו צרפת ובריטניה וחתמו עליו המעצמות האירופאיות וכן האימפריה הרוסית והאימפריה העות'מאנית, ובהמשך כ-55 מדינות.
ההסכם אסר על שימוש באוניות פריבטיר.
בעוד שה-CMI ממשיך לפעול כגוף מייעץ, רוב תפקידיו הועברו לארגון הימאות הבינלאומי (International Maritime Organization - IMO), שנוסד על ידי האומות המאוחדות בשנת 1958, אבל השפעתו לא באה לידי ביטוי עד לשנת 1974.
מעת שמדינה מאמצת אמנה ימית בינלאומית, היא אחראית לאכיפתה בתחומי מימיה, באמצעות משמר החופים שלה ומערכת המשפט במדינה.
הדוקטרינה המשפטית של תחזוקה ותרופה מקורה בסעיף 6 של "כללי אולרו" שנחקקו בשנת 1160 לערך.
החובה "לרפא" משמעותה הטלת חובה על בעל האונייה לתת טיפול רפואי, חינם אין כסף, לימאי שנפגע במהלך שירותו את האונייה, עד אשר הימאי הגיעה ל"החלמה רפואית מקסימלית".
המונח "החלמה רפואית מקסימלית" רחב יותר מן המונח "שיפור רפואי מקסימלי".
החובה לרפא ימאי כוללת את החובה לספק לו תרופות ועזרים רפואיים אשר ישפרו את יכולתו לתפקד, אף אם אינם משפרים את מצבו הרפואי והם כוללים טיפולים לטווח ארוך, כגון: גפיים מלאכותיות, כיסא גלגלים ותרופות לשיכוך כאב.
החובה "לתחזק" משמעותה הטלת חובה על בעל האונייה לספק לימאי את צורכי המחיה היום-יומיים בעודו מחלים.
מעת שהימאי מסוגל לשוב לעבודה, אזי עוברת אליו החובה לדאוג לצרכים אלה.
יוצא מכך כי ימאי עשוי לאבד זכותו ל"תחזוקה" בעוד שזכותו לריפוי עומדת.
על בעל האונייה חלה אף החובה לנקוט בזהירות סבירה כלפי נוסעיו.
פועל יוצא הוא שנוסעים הנפגעים בגופם בעודם על ספינה יכולים לתבוע את בעל הספינה על רשלנות, בדיוק כשם שהם יכולים לעשות זאת כנגד צד שלישי ביבשה.
במקרה כזה, על הנוסע הנטל להוכיח כי בעל האונייה התרשל כלפיו.
ההתיישנות במשפט הימי במקרים כאלה היא בת שלוש שנים, אולם החוזים המופיעים על כרטיסי נסיעה באוניות תענוגות מגבילים בדרך כלל את ההתיישנות לשנה אחת.
הצלת (ישע) אנשים ורכוש בים
כאשר אובד רכוש בים והרכוש מוצל על ידי אחר, המציל זכאי לדרוש שכר הצלה על הרכוש המוצל.
כלל זה אינו חל על הצלת חיים.
על כל ימאי חלה החובה להציל חיים בסכנה ללא ציפייה לקבלת תמורה.
מכך שחוק ההצלה מתייחס אך ורק להצלת רכוש.
קיימים שני סוגי הצלה: הצלה על פי חוזה והצלה "טהורה", אשר לעיתים מכנים אותה "הצלה של מידה טובה" (merit salvage).
בחוזה הצלה בעל הרכוש והמציל כורתים ביניהם הסכם קודם לתחילת פעולות ההצלה והתגמול הניתן למציל נקבע על פי ההסכם.
חוזה ההצלה הנפוץ ביותר הוא "טופס חוזה ההצלה הסטנדרטי של לוידס" (Lloyds Standard Form of Salvage Agreement).
ב"הצלה טהורה" לא קיים חוזה בין בעל הרכוש לבין המציל ועל היחסים שבין השניים חל המשפט הימי.
על פי המשפט הימי על המציל הצלה טהורה להביא את תביעתו על ההצלה בפני בית משפט ימי אשר יקבע את שכרו של המציל על פי ערך פעולותיו (למשל הקושי והזמן שהיה כרוך בפעולת ההצלה) וכן ערכו של הרכוש שהוצל.
פעולות הצלה טהורה מחולקות לפעולות מסוג "גבוה" ו"נמוך" ("high-order" "low-order").
בפעולות מסוג "גבוה" המציל חושף את עצמו ואת צוותו, במהלך פעולות הצלת הספינה הנטושה, לסכנת פציעה או מוות או נזק לציודו.
דוגמאות לפעולות הצלה מסוג "גבוה" הן עליה על סיפון ספינה טובעת בים סוער, עליה על סיפון ספינה העולה באש, משיית ספינה שטבעה, גרירת ספינה המצויה בתחום גלי החוף אל לב הים כדי למנוע עלייתה על החוף.
פעולות הצלה מסוג "נמוך" כוללות גרירת ספינה אחרת בים שקט, מתן דלק לספינה אחרת, גרירת ספינה שעלתה על שרטון חול.
התגמול על ביצוע הצלה טהורה מסוג "גבוה" רב במידה משמעותית מזו שבביצוע פעולות הצלה מסוג "נמוך".
בשני סוגי פעולות הצלה טהורה גודל שכר ההצלה מבוסס בעיקר על ערך הרכוש שהוצל.
אם לא הוצל דבר, או שנגרם נזק נוסף לרכוש, לא ניתן שכר.
גורמים נוספים הקובעים את גודל השכר הם מיומנותו של המציל, הסכנה שבה היה נתון הרכוש המוצל, ערך הרכוש שהיה בסכנה, משך הזמן וההשקעה הכספית של המציל בפעולות ההצלה, ועוד.
השכר עבור הצלה טהורה עולה לעיתים קרובות מעל מחצית שווי הרכוש שהוצל.
יוצא הדופן לכלל זה הוא במקרי הצלת אוצר.
כיוון שבדרך כלל אוצרות טבועים אבדו בים משך מאות בשנים, אף שלבעלים המקורי (או לחברת הביטוח) עדיין קיים עניין ברכוש, המציל יקבל את חלק הארי של שווי הרכוש.
בנקים אשר הלוו כסף לרכישת ספינה, סוחרים אשר סיפקו ספינה בצידה הכרחית כגון מזון ודלק, ימאים המחכים לשכר עבודתם, וגופים רבים אחרים הם בעלי זכות עיכבון כנגד הספינה כדי להבטיח את תשלום חובותיה.
כדי להוציא לפועל את זכות העיכבון, יש צורך לשים את הספינה במעצר, או להחרימה.
זוהי אחת התרופות העומדת לרשות בעלי זכות עיכבון אך ורק באמצעות בתי המשפט הימיים.
כדי שניתן יהיה לאכוף זכויות עיכבון על ספינה, אשר מטבע הדברים נודדת בין ארצות ומשנה מיקומה כמעט בלי הרף במימי העולם, מאפשר חוק האדמירליות לבקש את מעצר הספינה בכל בית משפט לימאות של מדינה בה נמצאת הספינה אותה עת.
כך קשה יותר לבעלי ספינות להתחמק מתשלום לנושיהם, על ידי העברת הספינה למדינה אחרת.
כיום מקובל ליצור "חברה של אונייה אחת": כאשר לחברה יש מספר אוניות, היא יוצרת חברה בת עבור כל אחת מהאוניות, כך לא ניתן לעצור אוניות אחרות של אותם בעלים בגלל חוב של אונייה אחרת.
המשפט הימי במדינות המשפט המקובל
רוב המדינות במסורת המשפט המקובל (כולל פקיסטן, סינגפור, הודו, קנדה ומדינות רבות אחרות בחבר העמים הבריטי) ממשיכות לאמץ את החקיקה האנגלית והתקדימים במשפט האנגלי, בכל הנוגע למשפט ימי.
בישראל, בדומה למצב המשפטי במושבות בריטיות לשעבר, הוחל המשפט הימי האנגלי.
המשפט הימי הוחל בארץ ישראל המנדטורית מכוח דבר המלך במועצה משנת 1937, שקבע את סמכות בית המשפט העליון המנדטורי, בשבתו לדון בענייני ימאות.
בית המשפט העליון המנדטורי פעל מכוח אותן סמכויות שהוקנו לבתי המשפט הימיים בכל מושבות הבריטיות על פי "חוק בתי המשפט הקולוניאליים לאדמירליות" (Colonial Courts of Admirality Act 1890).
חוק בית המשפט לימאות, התשי"ב-1952, העביר את סמכויות בית המשפט העליון לבית המשפט המחוזי בחיפה, המשמש מאותה עת כבית משפט לימאות היחיד בישראל.
באופן זה חלים עדיין בבית המשפט לימאות בישראל חוקי האדמירליות מן המאה ה-19 וכן התקדימים המשפטיים מן המשפט האנגלי הימי.
זאת, לצד חקיקה נוספת בתחום המשפט הימי שחוקקה בישראל, למשל חוק הספנות (כלי שיט), התש"ך-1960.
באנליזה דיופנטית, משפט ליוביל קובע שאם מספר אלגברי אי-רציונלי הוא שורש של פולינום ממעלה מעל השלמים, אז לא ניתן לקרב אותו דיופנטית קירוב מסדר העולה על .
מכאן שמספרים לא רציונליים הניתנים לקירוב מכל סדר הם טרנסצנדנטיים.
ליוביל בנה מספרים כאלה, הנקראים מספרי ליוביל, ובכך הוכיח בפעם הראשונה שקיימים מספרים טרנסצנדנטיים.
את המשפט הוכיח ז'וזף ליוביל בשנת 1844.
מספר טרנסצנדנטי הוא מספר שאינו אלגברי, כלומר אינו שורש של אף פולינום במקדמים מספרים שלמים (ולכן גם אינו שורש לאף פולינום במקדמים רציונליים).
מספר ליוביל הוא מספר ממשי כזה שלכל קיימים שלמים עבורם .
דוגמה למספר שכזה תנתן בהמשך.
נבחר גדול מספיק עבורו , ואז לכל מתקיים משום ש-, בסתירה להגדרה.
לכל מספר אלגברי אי-רציונלי בעל פולינום מינימלי ממעלה , קיים כך שלכל שלמים מתקיים .
יהי פולינום מינימלי ממעלה במקדמים שלמים עבורו .
מן המשפט היסודי של האלגברה נובע כי ל- לכל היותר שורשים שונים.
לכן קיים כך שלכל מתקיים .
בנוסף, מתקיים כי וכן פונקציה רציפה.
לכן לפי משפטי ויירשטראס קיים וקיים כך שלכל מתקיים .
שני התנאים מתקיימים בסביבה .
נניח ללא הגבלת הכלליות כי .
לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' קיים עבורו
נפעיל ערך מוחלט על שני האגפים ונקבל:
מסקנה: כל מספר ליוביל הוא טרנסצנדנטי.
הוכחה: נניח בשלילה שמספר ליוביל הוא אלגברי, ממעלה .
הוכחנו שהוא אינו רציונלי, ולכן, לפי המשפט, קיימים כך שלכל מתקיים .
לפי הגדרת מספר ליוביל קיים כך שמתקיים , וזו סתירה למשפט.
המשפט מראה שכל מספר ליוביל הוא טרנסצנדנטי.
כדי להראות כי קיימים מספרים טרנסצנדנטיים מספיק לתת דוגמה למספר ליוביל.
הדוגמה המוכרת ביותר היא קבוע ליוביל שניתנה על ידי ליוביל ב-1851:
מכאן שקבוע ליוביל הוא מספר ליוביל, וזו הדוגמה הראשונה הידועה למספר טרנסצנדנטי.
במקום כל ספרה 1 בפיתוח העשרוני של קבוע ליוביל ניתן לשים כל ספרה אחרת שאינה 0 והמספר יוותר מספר ליוביל.
מכיוון שיש אינסוף מופעים של 1 בפיתוח, ניתן להחליפם בכל סדרת ספרות שונות מאפס, ולכן יש אינסוף מספרי ליוביל ועוצמת הקבוצה של מספרי ליוביל היא עוצמת הרצף.
עם זאת קיימים מספרים טרנסצנדנטיים שאינם מספרי ליוביל.
למעשה, אוסף מספרי ליוביל הוא קבוצה ממידה אפס, בעוד קנטור הוכיח כי כמעט כל המספרים הם טרנסצנדנטיים.
לכן כמעט כל המספרים הטרנסצנדנטיים אינם מספרי ליוביל.
Roth תוצאות קודמות של Thue, Siegel ו-Dyson, והראה שמספר אלגברי אינו ניתן לקירוב דיופנטי מסדר גבוה מ-2. זהו שיפור משמעותי לחסם שנותן משפט ליוביל (שהוא מעלת הפולינום המינימלי של המספר).
בעזרת תוצאה זו ניתן להוכיח את הטרנסצנדנטיות של קבוצה רחבה בהרבה של מספרים שאינם בהכרח מספרי ליוביל.
במתמטיקה, משפט לינדמן–ויירשטראס הוא משפט מרכזי בחקר המספרים הטרנסצנדנטיים.
המשפט קובע כי אם מספרים אלגבריים בלתי תלויים ליניארית מעל שדה המספרים הרציונליים , אזי בלתי תלויים אלגברית מעל .
בפרט, טרנסצנדנטי לכל אלגברי ( הוא בסיס הלוגריתם הטבעי).
המקרה הפרטי לבדו נקרא משפט לינדמן.
בניסוח שקול, המשפט טוען כי תחת התנאים המצוינים דרגת הטרנסצנדנטיות של מעל היא .
ניתן להוכיח גם כי המשפט שקול לטענה כי תחת התנאים המצוינים בלתי תלויים ליניארית מעל שדה המספרים האלגבריים.
בשנת 1761 שיער יוהאן היינריך למברט (שהוכיח לראשונה את האי-רציונליות של ℼ) כי הם מספרים טרנסצנדנטיים.
אולם בתקופה זו כלל לא היה ידוע אם קיימים בכלל מספרים טרנסצנדנטיים.
בשנת 1844 הוכיח ז'וזף ליוביל את משפט ליוביל שהוכיח לראשונה את קיומם של המספרים הטרנסצנדנטיים ונתן דוגמה ראשונה למספר שכזה (מספר ליוביל).
בשנת 1873 הוכיח שארל הרמיט כי מספר טרנסצנדנטי.
הייתה זו הוכחת הטרנסצנדנטיות הראשונה למספר שלא נבנה לצורך זה מראש.
הרמיט הצליח להכליל את הוכחתו כך שתוקפה הורחב גם לחזקות מסוימות של .
בשנת 1882, בהתבסס על הטכניקות שפיתח הרמיט, הצליח פרדיננד לינדמן להוכיח את המשפט הנקרא על שמו, שכל חזקה אלגברית שונה מאפס של היא טרנסצנדנטית.
תוצאה זו אפשרה ללינדמן להוכיח בקלות כי טרנסצנדנטי.
הטרנסצנדנטיות של מראה כי הוא אינו איבר של שדה המספרים הניתנים לבנייה ולכן לא ניתן לפתור את בעיית תרבוע העיגול.
בכך קנה לינדמן את תהילתו כמי שפתר חידה בת אלפיים שנה.
בשנת 1885 הכליל קארל ויירשטראס את הוכחתו של לינדמן והוכיח את הגרסה המלאה של המשפט.
מאז פרסום המשפט פישטו מתמטיקאים שונים את ההוכחה, כאשר הפישוט המשמעותי ביותר נעשה על ידי דויד הילברט.
בשל תרומתו של הרמיט, המשפט נקרא גם משפט הרמיט–לינדמן או משפט הרמיט–לינדמן–ויירשטראס.
טרנסצנדנטיות של ℼ ושל פונקציות בסיסיות
ההוכחה כי מספר טרנסצנדנטי נובעת בקלות ממשפט לינדמן–ויירשטראס.
היחידה המדומה () אלגברית ולכן גם אלגברי (שדה המספרים האלגבריים סגור תחת כפל).
לפי זהות אוילר ולכן לפי משפט לינדמן–ויירשטראס נקבל את התוצאה המגוחכת כי טרנסצנדנטי.
לכן ההנחה שגויה ו- טרנסצנדנטי.
הכללה של ההוכחה תוכיח כי הפונקציות הטריגונומטריות מחזירות ערכים טרנסצנדנטיים כאשר הן מופעלות על ערכים אלגבריים שונים מאפס.
אלגברי אם ורק אם אלגברי (נובע מהזהות ): יהי אלגברי שונה מאפס, נניח בשלילה כי אלגבריים אז לפי נוסחת אוילר אלגברי בסתירה למשפט לינדמן–ויירשטראס.
תוצאה דומה תקפה לפונקציית הטנגנס ולפונקציות ההיפרבוליות.
גם הלוגריתם הטבעי טרנסצנדנטי לכל אלגברי.
משוער כי משפט אנלוגי למשפט לינדמן–ויירשטראס נכון גם בשדה המספרים ה-p-אדיים.
אם מספרים p-אדיים אלגבריים ובלתי תלויים ליניארית מעל כך שפונקציית האקספוננט ה-p-אדי (מוגדרת כטור חזקות) מוגדרת עליהם, אזי בלתי תלויים אלגברית מעל .
בלוגיקה מתמטית, משפט לוונהיים-סקולם הוא משפט יסודי בתורת המודלים שקובע שאם לתורה בשפה בת מנייה מסדר ראשון יש מודל אינסופי, אז יש לה מודל מכל עוצמה אינסופית.
המשפט מראה שלתורה בת מנייה מסדר ראשון אין שליטה על העוצמה של המודלים האינסופיים שלה (בניגוד ללוגיקה מסדר שני), ושכל תורה שכזו שיש לה מודל אינסופי אינה קטגורית (משמע יש לה יותר ממודל אחד עד כדי איזומורפיזם).
גרסה חזקה יותר של המשפט קובעת שלכל תורה בשפה מסדר ראשון (שאינה בת מנייה בהכרח) שיש לה מודל אינסופי, יש מודל מכל עוצמה אינסופית הגדולה מעוצמת קבוצת הקבועים שלה.
כמוסבר בהמשך, משפט לוונהיים-סקולם הוא תוצר של שני משפטים, משפט הכיווץ ומשפט הניפוח.
ב-1915 הוכיח המתמטיקאי הגרמני לאופולד לוונהיים גרסה מוקדמת של משפט הכיווץ, שלכל תורה עם מודל אינסופי יש מודל בן מנייה.
אולם בהוכחה של לוונהיים הייתה טעות.
ב-1920 הציג המתמטיקאי הנורווגי תורלף סקולם הוכחה חלופית ונכונה.
המשפט המלא הוכח ב-1936 על ידי המתמטיקאי הרוסי אנטולי מלצב, לאחר שהוכיח את הגרסה המלאה של משפט הקומפקטיות הדרושה בהוכחת משפט הניפוח.