tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
זאת בניגוד ל"ברית הרפובליקנית" המנוונת של הסוציאליזם המתון עם הבורגנות הליברלית שכוננה בצרפת עם סיום פרשת דרייפוס.
לפי "הסינתזה" שהציג סורל, הפרשה הוכיחה שוב כי הבורגנות מנצלת את הכוחות המהפכניים של הפרולטריון לצרכה (כמו במהפכה הצרפתית, במהפכת יולי 1830 ובייסוד הרפובליקה הצרפתית השנייה ב-1848).
הדמוקרטיה היא כוחה והמצאתה של הבורגנות ולפיכך, על מנת לשבור את הבורגנות יש לשבור את הדמוקרטיה, שהיא אויבתו של הסוציאליזם האידיאלי.
הסוציאליזם האידיאלי אינו רואה עוד את המעמד כנושא בשורת המהפכה שלו אלא את האומה.
מכאן נובעת התפיסה של "הדרך השלישית", המאמצת את העקרונות הסוציאליסטיים המוסריים משמאל ואת הלאומנות מימין ככוח מניע למהפכה (זאת בניגוד לסוציאל-דמוקרטיה שהמירה את הלהט המהפכני בברית בורגנית עם הליברלים).
חוג עם זהויות (או חוג עם זהויות פולינומיות, ובקיצור חוג PI - Polynomial Identity) בתורת החוגים הוא חוג שיש לו זהות פולינומית, כלומר פולינום לא אפסי באלגברה האסוציאטיבית החופשית במספר משתנים (מעל שדה קבוע) שמתאפס בכל הצבה מתוך החוג.
לחוגים עם זהויות תפקיד חשוב בתורת החוגים, בכך שהם מכלילים את התורה הקומוטטיבית (אכן, כל אלגברה קומוטטיבית היא PI, באמצעות זהות הקומוטטור) ומהווים נדבך חשוב נוסף בין החוגים הקומוטטיביים לחוגים הלא קומוטטיביים.
לחוגים עם זהויות ישנו מדד, שנקרא דרגת ה-PI והוא דרגת הזהות הפולינומית המינימלית של החוג.
ב-1948, מצאו עמיצור ולויצקי את הזהויות המינימליות של חוג המטריצות מסדר מעל שדה - והיא הזהות הסטנדרטית מסדר .
תוצאה זו מכונה משפט עמיצור-לויצקי.
הזהות הסטנדרטית מוגדרת כך: .
מעל שדה אינסופי, כל זהות פולינומית שקולה לזהות מולטילינארית.
אוסף הזהויות של אלגברה הוא "אידיאל-T", כלומר אידיאל של האלגברה החופשית (בכמות בת מנייה של משתנים לא קומוטטיביים) הסגור לאנדומורפיזמים שלה.
אומרים כי שני חוגים עם אותן זהויות בדיוק הם שקולים-PI.
משפט קמר קובע כי כל אלגברה עם זהויות, שהיא נוצרת סופית מעל שדה ממאפיין אפס היא שקולת-PI לאלגברה סוף ממדית מעל שדה.
מציאת בסיס לאידיאל הזהויות, כלומר מציאת קבוצת זהויות מפורשת לחוג, כך שמהן נובעות כל הזהויות שלו היא בעיה קשה ופתוחה באופן כללי - כבר עבור מטריצות מסדר 3 מעל שדה לא ידוע בסיס כזה (עבור 2 בסיס כזה הוא הזהות הסטנדרטית וזהות קפלי, לפיה ריבוע הקומוטטור הוא במרכז).
בעיית Specht שואלת האם לכל חוג PI שהוא אלגברה נוצרת סופית מעל חוג נותרי יש בסיס סופי לאידיאל הזהויות.
תכונות בסיסיות וקשר למחלקות נוספות של חוגים
תת-חוג של חוג עם זהויות מקיים (לפחות) את אותן זהויות.
מכפלה ישרה סופית של חוגים עם זהויות היא חוג עם זהויות.
מכפלה ישרה כלשהי של חוגים עם אותה זהות, מקיימת את אותה זהות.
לפי משפט של רגב, המכפלה הטנזורית של אלגברות PI היא אלגברת PI.
אלגברה שהיא סכום של שתי תתי-אלגברות שלה המקיימות זהויות פולינומיות, מקיימת אף היא זהות פולינומית.
כל אלגברה שהיא מודול נוצר סופית מעל המרכז שלה היא PI.
חוג המטריצות מעל חוג PI הוא PI.
אלגברת חבורה מעל שדה ממאפיין אפס היא PI אם ורק אם לחבורה יש תת-חבורה אבלית מאינדקס סופי (Isaacs-Passman 1964).
אלגברת חבורה מעל שדה ממאפיין p היא PI אם ורק אם לחבורה יש תת-חבורה מאינדקס סופי שחבורת הקומוטטורים שלה היא חבורת-p סופית (Passman 1972).
כל חוג פרימיטיבי עם זהויות הוא חוג פשוט ארטיני, סוף ממדי מעל המרכז שלו (משפט זה הוכח על ידי אירווינג קלפנסקי).
אלגברות עם זהויות מקיימות את השערת קתה (סכום אידיאלים שמאליים ניליים בהן הוא נילי) ואת השערת קורוש (אלגברה PI, אפינית ואלגברית היא מממד סופי).
משפט Razmyslov-Kemer-Braun קובע כי רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה נוצרת סופית (מעל חוג קומוטטיבי נותרי) עם זהויות הוא נילפוטנטי.
אלגברת PI אפינית מעל חוג נותרי מקיימת את תנאי השרשרת העולה על אידיאלים ראשוניים למחצה.
Small הוכיח שהאידיאלים הראשוניים באלגברה אפינית עם זהויות מקיימים את תנאי השרשרת היורדת.
הרחבה שלמה של חוגים עם זהויות מקיימת את התכונות Lying over, Going up, Incomparability (בהקשר הזה, אומרים שאידיאל ראשוני מונח מעל הראשוני אם ראשוני מינימלי מעל ).
באמצעות שיטת חוג העקבות הראו Razmyslov ו-Schelter כי אם אלגברת PI נוצרת סופית מעל המרכז שלה, אז קיימים מרכזיים כך שהאלגברה היא מודול נוצר סופית מעל .
בעזרת רעיון זה הראה Schelter שחוגים עם זהויות הם קטנריים.
חוגים עם זהויות מקיימים גרסה לא קומוטטיבית של משפט האפסים של הילברט.
רואן הוכיח כי באלגברת PI ראשונית למחצה, לכל אידיאל (לא אפסי) ישנו חיתוך לא טריוויאלי עם המרכז.
משפט פוזנר קובע כי לכל חוג ראשוני עם זהויות ישנו חוג שברים קלאסי, איזומורפי לחוג פשוט מממד סופי מעל המרכז שלו (שהוא שדה השברים של המרכז של החוג המקורי).
תחומים עם זהויות מקיימים את תנאי Ore (לפי הלמה של Jategaonkar) ולכן משוכנים בחוגים עם חילוק.
ממשפט פוזנר נובע שחוג ראשוני עם זהויות ניתן לשיכון בחוג פשוט מממד סופי מעל המרכז שלו; הדבר נכון לחוג חוג ראשוני למחצה המקיים זהות (תוצאה שהוכחה על ידי עמיצור).
אלגברה עם זהויות שהיא נותרית ונוצרת סופית מעל שדה (או באופן כללי יותר, מעל המרכז שלה), משוכנת בחוג מטריצות מעל שדה כלשהו.
עמיצור, סמול ואירווינג בנו דוגמות שונות לחוגים שמקיימים את כל הזהויות של מטריצות (מסדר כלשהו) מעל חוג קומוטטיבי, אך אינם משוכנים באף חוג מטריצות מעל חוג קומוטטיבי.
חוג חזון איש (בעגה החרדית: חזונאישניקים) הוא קבוצה בציבור החרדי ליטאי הפוסקת ומדגישה את ההליכה בדרכו של החזון איש, הרב אברהם ישעיהו קרליץ.
לאחר פטירת החזון איש, בשנת תשי"ד (1953), השפיעה הקבוצה, שמרכזה בבני ברק, על היווצרות הפלג ה"בני ברקי" הליטאי ועל פסיקת ההלכה ועל השקפת העולם הליטאית.
עם השנים, כשהפך הרב שך למנהיג הציבור הליטאי, פחתה השפעת החוג, וגם בשנים שלאחר מכן, כאשר רבנים מן החוג – הרב חיים קנייבסקי והרב דב לנדו – היו למנהיגי הציבור הליטאי, תפיסות החוג נותרו מחוץ למרכזו של המיינסטרים במגזר החרדי-ליטאי.
עד לפטירתו, היה הרב חיים גריינימן, אחיינו של החזון איש, מנהיגה של קבוצה בולטת בחוג זה.
בעבר נטל הרב גריינימן חלק משמעותי בהנהגת הציבור הליטאי.
בסוף שנות השבעים פחת מעמדו בשל מחלוקת עם הרב שך ונוצרה קהילה בראשותו שמרכזה בבני ברק.
החזון איש נחשב לגדול הדור הליטאי בראשית מדינת ישראל.
הוראותיו והנהגותיו בנוגע להנהגת הציבור נחשבות עד היום לאבני דרך בהשקפת הציבור הליטאי ולמשפיעות גם על שאר החוגים החרדיים.
הנהגתו הייתה מאופיינת בפעילות שקטה.
הוא פעל בנושאי החינוך החרדי, ביסוס מוסדות התורה בבני ברק, גיוס בנות וגיוס בני ישיבות לצה"ל.
הוא הכריע בסוגיות כמו נטילת תקציבים מהמדינה למוסדות החינוך, לימוד בשפת העברית, הצבעה בבחירות ושליחת נציגים חרדיים לכנסת ולעירייה ועוד.
על אף שלא שימש בתפקיד רבני רשמי, נחשב לפוסק הלכה בולט ובין היתר פסק בנושאים כמו שמירת שבת ושמיטה במושבים, קו התאריך בהלכה ועוד.
הוא לא מסר שיעורי תורה, אך רבים, בעיקר מתושבי בני ברק, באו לדבר עמו בנושאים תורניים.
לצדו של החזון איש, בלטו בציבור הליטאי הרב יצחק זאב סולובייצ'יק וכן מספר ראשי ישיבות ובראשם הרב איסר זלמן מלצר.
הנהגתו של החזון איש הייתה נחשבת למחמירה יחסית להנהגתם של ראשי הישיבות, אך מתונה יותר מדרכו של הרב מבריסק.
לאחר פטירתו של החזון איש, היה גיסו הרב יעקב ישראל קניבסקי (המכונה: ה"סטייפלר"), לרב הבולט ביותר בציבור הליטאי בבני ברק.
הוא המשיך את הנהגותיו ופסיקותיו של גיסו.
רוב רבני בני ברק היו מקורבים לחזון איש והושפעו ממנו (כגון הרב שמואל הלוי ואזנר, הרב אהרן לייב שטיינמן והרב מיכל יהודה ליפקוביץ), וכך רוב הליטאים בבני ברק הושפעו מדרכו של החזון איש בפסיקת הלכה והשקפת עולם.
בנוסף קבוצה מתלמידיו המובהקים של החזון איש התבלטה בציבור הליטאי בבני ברק.
בין חבריה: אחייניו הרב חיים גריינימן, הרב נסים קרליץ והרב חיים קניבסקי, הרב יהודה שפירא, הרב גדליה נדל, הרב דוב לנדו, הרב דוד שמידל, הרב יהודה בויאר, הרב שאול קוסובסקי שחור והרב יחזקאל ברטלר.
רבים מתלמידי החזון איש התרכזו בשיכון חזון איש ובבית הכנסת המרכזי בשכונה, לדרמן, ולמדו בכולל חזון איש.
רבני בני ברק תרמו לעיצוב דרכה של היהדות הליטאית בישראל, והיוו את הסמן הימני באגודת ישראל, כמו למשל התנגדות לריצה משותפת עם פא"י או חזית דתית.
קבוצת תלמידי החזון איש היו פעילים בעיצוב האווירה בבני ברק, כמו למשל השפעה על מוסדות החינוך בעיר לחנך להחמרה הלכתית והשקפתית, פעילות בנושא צניעות וכדומה, לעיתים אף בדרך הפגנות.
במהלך שנות ה-70, עלה כוח חדש בהנהגת בציבור הליטאי, הרב אלעזר מנחם מן שך, ראש ישיבת פוניבז' ונשיא במועצת גדולי התורה.
הרב יעקב ישראל קניבסקי, "הסטייפלר", שהעדיף לא לעסוק בהנהגה ציבורית פעילה, החל להעביר שאלות והכרעות לרב שך, וכך החלה לפחות השפעת חוג חזון איש.
באותן השנים התגלעו מספר חיכוכים בין הרב שך לרב חיים גריינימן, מהבולטים שבחוג חזון איש.
בין הנושאים שהיו שנויים במחלוקת: היחס לתנועת פא"י, מינויו של הרב משה יהודה ליב לנדא כרב העיר בני ברק ועוד.
הסטייפלר, דודו של הרב גריינימן, הצטרף לרב שך, ולעומת זאת, קבוצה גדולה מתלמידי החזון איש תמכו ברב גריינימן.
בשנות ה-90 החריף הרב שך את התנגדותו לרב גריינימן וחוגו, עד שחוג זה הסתגר ופחתה השפעתו בציבור הליטאי.
סדרת ספרי החזון איש כוללת פסקי הלכה רבים, ובנוסף, פסקי הלכה רבים הועברו משמו על ידי תלמידיו.
החזון איש נהג לפסוק במקרים רבים כהגר"א אף לקולא (כמו לבישת ציצית מכותנה, זמן קריאת שמע וצאת הכוכבים כשיטת הגאונים).
החזון איש נחשב למחמיר מבחינה הלכתית, אך בשונה משיטת בריסק, החמרותיו בדרך כלל הן הכרעה ברורה ולא כהחמרה במקרה של ספק או מחלוקת.
במקרים מסוימים הוא הקל על מנת למנוע קולות בדברים חמורים יותר, כמו בנושא השמיטה שבה הקל בנושאים מסוימים על מנת לאפשר לחקלאים לשמור שמיטה ללא הזדקקות להיתר מכירה.
אחת מפסיקותיו המפורסמות היא בנושא שיעורי מידות הנפח, האורך והמשקל המופיעות בהלכה.
החזון איש פסק כשיטות המגדילות את השיעורים, בניגוד למנהג הנפוץ ברוב הקהילות קודם לכן.
פסק הלכה נוסף היה שהדלקת חשמל בשבת היא איסור מן התורה גם במקום שאין הבערה, משום שלדעתו יש בכך מלאכת בונה.
דרך פסיקתו ההלכתית נחשבת למחודשת, משום שלעיתים העדיף פסיקה לפי המקורות והסברה ולא לפי המסורת.
החזון איש עצמו נהג לא להתפלל ערבית לפני שהחשיכו השמים ונראו הכוכבים.
לשם כך היה יוצא בכל ערב לבדוק האם ניתן כבר להתפלל.
לדברי תלמידיו הזמן הממוצע שבו החל להתפלל היה בין 35-45 דקות לאחר השקיעה, ולכן הם נוקטים שזמן צאת הכוכבים הוא בערך 40 דקות לאחר השקיעה (תלוי בזווית השמש בייחס לקו האופק), זאת בניגוד למנהג הקדום בארץ ישראל לפסוק כדעת הגר"א שזמן צאת הכוכבים הוא כ-18 דקות לאחר השקיעה.
השפעתו ההלכתית המשמעותית ביותר הייתה בעיר בני ברק, שבה רבים היו תלמידיו.
גם רב העיר, הרב יעקב לנדא, אימץ רבים מפסקיו.
גיסו הסטייפלר טען שבבני ברק יש חובה לציית לו, משום שהוא נחשב מרא דאתרא.
הסטייפלר אף תקף רבנים שחלקו על החזון איש, בטענה שאין בכוחם לחלוק על החזון איש שהיה גדול הדור.
כך גם לגבי מגמת ההחמרה ההלכתית כתב הסטייפלר בספרו "חיי עולם", שאילו היה אדם מתייחס לחילול שבת כאל גידול סרטני, בוודאי לא היה סומך על רבנים מקלים או על ספרים שאינם מוסמכים.
הרב נסים קרליץ, אחיינו של החזון איש, היה לפוסק ההלכה המרכזי של הציבור הליטאי בבני ברק.
בקרב חוג חזון איש, נחשב החזון איש כפוסק מכריע בכל מחלוקת, גם כנגד רבנים קודמים כמו החפץ חיים.
הרב קרליץ פתח בית דין ובית הוראה שבהם כיהנו רבנים נוספים תלמידי החזון איש או כאלה שקיבלו את פסקיו, כמו הרב יעקב אדלשטיין, הרב פנחס שרייבר, הרב יעקב ישראל פוזן והרב בן ציון פלמן.
בית ההוראה הכשיר רבנים רבים, המכהנים בריכוזים החרדיים בישראל.
גם בקרב שאר הציבור הליטאי, החזון איש נחשב לפוסק ההלכה המרכזי לאחר ה"חפץ חיים".
הוא תרם למגמת ההחמרה ההלכתית אשר כיום נחשבת למאפיין של הציבור הליטאי.
עם השנים מעמדו התקבע, עד שלמשל גם הרב יוסף שלום אלישיב הירושלמי החל בשנות ה-90 להחמיר יותר כפסקי החזון איש.
בין הפסקים שהתקבלו ברוב הציבור הליטאי: שמירת קדושת שביעית בפירות נכרי מארץ ישראל.
כמו כן נפוצות בציבור הליטאי בעקבות פסיקתו הימנעות משימוש בחשמל מחברת החשמל בשבת, החמרה על אי טלטול בשבת אף במקום שיש עירוב (בקרב חוג חזון איש גם נשים מחמירות בכך) ועישור לחומרא אף במוצרים המעושרים על ידי נותני הכשרות.
בנושאים אחרים רוב הציבור לא קיבל את פסיקתו, כך בנושא שימוש במים בשבת, אי לימוד לאור החשמל בשבת ללא שומר ואכילת מצות יד, חומרות אלו הן נחלת החוג בלבד.
דרך הלימוד של החזון איש הייתה שונה מדרך הלימוד המקובלת בישיבות, שמבוססת, בדרך כלל, על שיטת בריסק.
החזון איש שלל המצאת גדרים חדשים כפי שהדבר נפוץ בבית המדרש הבריסקאי.
בנוסף, מאופיינת דרך לימודו ב"אסוקי שמעתתא אליבא דהלכתא", כלומר שגם בלימוד התלמוד והראשונים יש לחתור למסקנות הלכתיות מעשיות.
דרך זו מבוססת על דרכו של הגר"א.
החזון איש הרבה בצעירותו ללמוד טור ובית יוסף, המצטט שיטות שונות עם טעמיהן כדי לפסוק מהן את ההלכה.
החזון איש נהג לומר שרבו הוא הבית יוסף.
כאמור, דרך לימודו לא התקבלה בישיבות.
אף גיסו, הסטייפלר, למד בדרך הישיבתית וספרו "קהלות יעקב" נלמד רבות בישיבות.
רוב תלמידי החזון איש לא עסקו בהוראה בישיבות ונשארו ללמוד בכולל או לעסוק בפסיקת הלכה.
הדור הצעיר, שלמד בישיבות, הושפע מדרך הלימוד המקובלת.
עם זאת, בכוללים של תלמידי החזון איש בלטה שיטת הלימוד זאת.
חלק מתלמידיו שעסקו בהוראה בישיבות, כמו הרב חיים ברים והרב מנדל אטיק, לימדו בדרכו.
אחיינו הרב חיים גריינימן הנחיל את דרך לימודו של החזון איש בקהילתו, וספריו "חידושים וביאורים" נכתבו בדרכו הלימודית של החזון איש.
בישיבת סלבודקה לימדו ומלמדים חלק מתלמידיו בשיטתו.
החזון איש עיצב במידה רבה את פני חרדי בני ברק גם בסגנון החיים והשקפת העולם.
אחד מפועליו המפורסמים הוא בניית חברת הלומדים, שבה הגברים נשארים בלימודם לאחר נישואיהם ואילו הנשים יוצאות לפרנס את המשפחה.
הוא יזם את פתיחת כולל חזון איש, שרוב לומדיו היו תלמידיו.
כולל זה התייחד בכך שהוא נוסד למטרת לימוד לשם לימוד, ולא לשם הכשרה לרבנות או כתקופת מעבר עד ליציאה לעבודה.
בהשפעתו, נוסדו כוללים נוספים בישראל, והחינוך בישיבות ובסמינרים לבנות עודד מגמה זו, שעד היום היא המגמה העיקרית בקרב הציבור הליטאי בישראל.
בספרו "אמונה וביטחון" הוא פורש את השקפתו על כך שלימוד התורה הוא עיקר ייעודו של האדם והתלמיד חכם הוא "נזר הבריאה".
עיקר עבודת היהודי היא שמירת ההלכה על פרטיה, והיא הדבקות בה'.
הוא מבקר את דרכה של תנועת החסידות השמה דגש על התלהבות ועבודת הלב, במקום על דקדוק ההלכה; ומבקר את תנועת המוסר, אשר טוענת שעבור תיקון המידות יש להשקיע בלימוד ספרי מוסר, כשלטענתו לימוד התורה ודקדוק ההלכה הם הדרך לתקן את המידות ולרומם את האדם.
החזון איש ותלמידיו בלטו באורח חיים צנוע ושמרני וריחוק מהמודרנה.
רבים מהם אף בלטו בסגפנותם באכילה והימנעות מנופש וחופשות.
עד לשנת תשמ"ט, הייתה בני ברק למרכז סיעת צא"י באגודת ישראל, לעומת סיעת "שלומי אמונים" הירושלמית.
תחת השפעת החזון איש צמחו בבני ברק מספר הוגי דעות ופובליציסטים, אשר ביטאו את השקפת העולם הליטאית המחמירה בדרך החזון איש והרב מבריסק.
בהם: הרב חיים שאול קרליץ, משה שנפלד, הרב יוסף ליס, הרב ישראל אליהו וינטרוב והרב משה מרדכי שולזינגר.
בשנות ה-70 החל לצאת בבני ברק על ידי הרב נפתלי וינטרוב (בנו של הרב שמואל) ירחון בשם "לחושבי שמו", שבו נכתבו מאמרי השקפה בנושאי חינוך לחיי תורה מתוך הדחק, יחס לציונות ולחילוניות וכדומה.
החזון איש עודד היבדלות מסממנים מודרניים חיצוניים.
בדרך כלל הוא נימק זאת בנימוקים הלכתיים.
על פי הדרכתו, הגברים המשתייכים לחוג נוהגים ללבוש מגיל בר מצווה חליפה ארוכה (בניגוד ליתר הציבור הליטאי שלובש חליפות קצרות).
הם אינם מספרים את פיאות הראש מהאוזן עד למצח, על פי פסיקת החזון איש שיש בכך איסור של "לא תקיפו פאת ראשיכם".
כמו כן, בני החוג אינם מגלחים את זקנם.
נשות החוג נוהגות לכסות את ראשן בפאה נכרית, כדעתו של החזון איש, שראוי לחבוש פאה דווקא, כיוון שהיא מכסה היטב את השיער.
כך נוהגים גם תלמידיו, ורוב בני משפחת קרליץ.
הרב חיים קניבסקי אף העיד שכך נהגה אשתו של החזון איש.
כאמור, בציבור הליטאי הכללי פחתה השפעתו של חוג חזון איש, אך קבוצה מתוך החוג הסתגרה ובנתה קהילה לעצמה.
בסוף שנות ה-70 עזב הרב חיים גריינימן את בית הכנסת לדרמן, ופתח בית כנסת עצמאי ברחוב דבורה הנביאה, אף הוא בשיכון חזון איש.
באותן השנים, עדיין היה הרב גריינימן מקובל בבני ברק, ורבים השתתפו בשיעוריו.
בתחילת שנות ה-90 תקף הרב שך את הרב גריינימן באופן אישי, ומאז הצטמצמה השפעתו מחוץ לחוג.
הרב גריינימן הפסיק להביע דעות בענייני הציבור.
הוא עוסק במסירת שיעורים, פסיקת הלכה וייעוץ.
לחוגו של הרב גריינימן מקורבים רבנים מתלמידי החזון איש: הרב דוב לנדו, הרב יחזקאל ברטלר והרב יהודה בויאר, הבולט גם הוא כפוסק הלכה.
לרב גריינימן תלמוד תורה "אור זורח" ושתי ישיבות קטנות בשם "משכן-התורה" ו"תהילת-שלמה".
מקורבו של הרב גריינימן, הרב שלום מאיר יונגרמן, הקים קהילה חרדית בזכרון יעקב ובמקום קהילה נוספת של תלמידי הרב גריינימן.
תלמידי הרב גריינימן לומדים בישיבת זכרון מיכאל בזכרון יעקב ויש מעטים בישיבת סלבודקה בבני ברק.
לישיבת זכרון מיכאל ישנו סניף קטן בבני ברק, בבית הכנסת "אוהל יעקב" בשכונת זיכרון מאיר.
במודיעין עילית יש לחוג ישיבה קטנה.
כמו כן בתפרח, ישנה קהילה של הרב גריינימן (ראש ישיבת תושיה, הרב יעקב פרידמן, מקורב אף הוא לקהילה).
בשנת 2020 הוקמה קהילה נוספת לחוג בשכונת גני איילון - אחיסמך בלוד.
הקהילה נוסדה סביב כולל בשם "עמל התורה" בראשות הרב ישראל טופורוביץ מרבני חוג חזון איש ותלמידו של הרב גריינמן.
בשנת 2023 הקהילה קיבלה הקצאה והקימה בית כנסת בשכונת גני איילון בשם "חזון איש" והרב טופורוביץ מונה לרבה של הקהילה.
שניים מבניו של הרב גריינימן, הרב אברהם ישעיהו והרב שמואל מוסרים שיעורים שבועיים לאברכי הקהילה ומשתתפים בהנהגת הקהילה.
פוסקי ההלכה בקהילה הם: הרב משה בויאר (בנו של הרב יהודה), הרב צבי אשר פרידמן (חתנו של הרב ברטלר ובנו של הרב יעקב פרידמן) והרב אליהו פוזן (חתנו של הרב ברטלר ודיין בבית דינו של הרב נסים קרליץ).
ישיבת סלובודקה הייתה קשורה לחזון איש מראשיתה.
הוא גר בסמוך לישיבה וסייע וייעץ לראשי הישיבה בהנהגה ובקבלת ר"מים.
תלמידי הישיבה הושפעו מדרכו וחלק מהצוות אף מלמד בדרך הלימוד של החזון איש.
כאמור, אחד מראשי הישיבה, הרב דוב לנדו, הוא מרבני הקהילה.
חלק מתלמידי הישיבה משתייכים לקהילת הרב גריינימן.
בראשות הקהילה בזיכרון יעקב עומד הרב אברהם ישעיהו גריינימן.
רב הקהילה היה הרב יעקב פוזן, דיין ומו"צ בבית דינו של הרב קרליץ.
לאחר שחלה,מלא את מקומו בנו, הרב ראובן פוזן, ראש כולל במקום.
על ידו מסייע גם בנו הרב אליהו פוזן (ר"מ בישיבה).
ישיבת זכרון מיכאל שייכת לקהילה ובראשה עומד חתנו של הרב גריינימן, הרב יוסף חיים בן דב.
את ישיבת הבת בבני ברק מנהלים לסירוגין שלושה ר"מים מישיבת האם, הרב יעקב גריינימן, הרב אליהו גריינימן, (בניו של הרב חיים) והרב שמואל זילבר (נכדו של הרב גריינימן).
חוג עין ורד הייתה קבוצה של נאמני ארץ ישראל השלמה של תנועת העבודה, שנקראה על שם מושב עין ורד בו התקיים כינוס היסוד של הקבוצה.
באפריל 1976 התקיים בעין ורד כינוס של אנשי ההתיישבות העובדת, בעיקר חברי מפלגת העבודה ואוהדיה, שקראה להתיישבות רחבה ביהודה ושומרון, על רקע דיבורים על פינוי קדומים.
בין הדוברים בכינוס היו אריאל שרון, מאיר זורע, דן לנר ואריה נחמקין.
בכינוס השתתפו גם חברי קיבוצים, הגם שראשי התנועות הקיבוציות הסתייגו מקיום הכינוס.
משתתפים בכינוס המשיכו לאחריו בפעילות למען ההתנחלות, וזכו לכינוי "אנשי כנס עין ורד".
בפברואר 1977 התקיים כנס שני בעין ורד ובאפריל, על רקע הבחירות המתקרבות, התקיים כנס של החוג בבאר טוביה בו נאם משה דיין.
דני צדקוני כינה את החוג "תרגיל מוצלח של הימין הישראלי לחדור לתנועת העבודה הישראלית ולקעקע אותה בתוך בסיסה".
אנשי עין ורד המשיכו להתכנס גם לאחר המהפך, ולקרוא להתנחלות ביהודה ושומרון.
אנשי החוג פעלו במשותף עם התנועה למען ארץ ישראל השלמה וגוש אמונים, ובין השאר השתתפו בהוצאת ביטאון "זאת הארץ" של התנועה למען ארץ ישראל השלמה.
בסוף 1978 יצאו אנשי החוג בקריאה נגד פינוי יישובי חבל ימית והשתתפו בברית נאמני ארץ ישראל.
בעקבות הסכם השלום בין ישראל למצרים השתתפו אנשי עין ורד עם יובל נאמן בהקמת התחייה.
עם אנשי החוג נמנו: יוסף טבנקין, משה טבנקין, אהוביה טבנקין, מאיר הר-ציון ואפרים בן חיים.
במאי 1979 הקימו אנשי "שלום עכשיו" את "חוג פלמחים" כמשקל נגד לחוג עין ורד.
בתורת החוגים, חוג הפולינומים מעל חוג נתון, הוא חוג המרחיב את החוג הנתון על ידי הוספת משתנה חופשי (בדרך כלל מתחלף) בלתי תלוי.
בחוג זה נמצאים כל הפולינומים מכל הדרגות שמקדמיהם הם איברים של החוג הנתון.
בהינתן חוג , בדרך כלל מסמנים את חוג הפולינומים שלו ב-.
בין חוג לחוג הפולינומים שלו יש קשר הדוק, המהווה נושא בסיסי באלגברה מופשטת ובתורת החוגים.
חוג הפולינומים הוא כלי בסיסי בנושאים רבים במתמטיקה, בפרט באלגברה קומוטטיבית, גאומטריה אלגברית, תורת המספרים האלגברית ועוד.
ניתן להגדיר את חוג הפולינומים בשתי הגדרות שקולות:
ההגדרה הטבעית והישירה לחוג זה היא הקבוצה שמכילה את כל הפולינומים במשתנה בלתי תלוי x:
פעולת החיבור מוגדרת רכיב-רכיב, כלומר אם אזי .
פעולת הכפל מוגדרת על ידי היחסים וחוק הפילוג.
איבר האפס הוא הפולינום בו כל המקדמים הם האפס של החוג.
אם לחוג המקורי יש איבר יחידה, אזי גם לחוג הפולינומים ישנה יחידה, והיא אותו הפולינום עבורו .
דרך הגדרה נוספת על ידי סדרות אינסופיות עם תומך סופי, של איברים מהחוג המקורי:
פעולת החיבור - מתבצעת רכיב רכיב, כלומר:
פעולת הכפל - נובעת מחוקי קונבולוציה, כלומר האיבר ה- במכפלה הוא .
איבר האפס הוא סדרת אפסים, כלומר .
אם לחוג המקורי יש איבר יחידה, אזי גם לחוג הפולינומים ישנה יחידה - .
בהינתן הגדרות אלו, ניתן להוכיח כי כל אחת מהקבוצות הנ"ל עם הפעולות המתאימות היא חוג.
ניתן להראות כי שתי ההגדרות הנ"ל שקולות, על ידי איזומורפיזם בין שני המבנים, הנתון על ידי
בהינתן ההגדרות הנ"ל, נגדיר פונקציה מחוג הפולינומים לתוך המספרים הטבעיים, שתתאים לכל פולינום את המספר הטבעי המקסימלי עבורו , שיקרא הדרגה או המעלה של הפולינום, ונסמנו .
לעיתים מבחינים את המקרה של פולינום האפס, ומגדירים .
הדרגה מקיימת לכל שני פולינומים שאינם אפס, ושוויון מתקיים בתחום שלמות.
כעת נציג את הקשר בין חוג נתון לחוג הפולינומים שלו.
אם תת חוג של , אזי גם תת-חוג של .
חוג הוא תחום שלמות אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא תחום שלמות.
איננו שדה באף מקרה, שכן אינו הפיך.
חבורת ההפיכים של מכילה את חבורת ההפיכים של , ושווה לו במקרה ש- תחום (עם זאת, בחוג האיבר הופכי לעצמו).
כמסקנה מהלמה של גאוס, חוג הוא תחום פריקות יחידה אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא תחום פריקות יחידה.
אם הוא חוג חילופי עם איבר יחידה, הוא שדה אם ורק אם תחום ראשי ואם ורק אם הוא תחום אוקלידי.
לפי משפט הבסיס של הילברט, חוג הוא נתרי אם ורק אם חוג הפולינומים שלו נתרי.
חלק מהתוצאות ניתן להכליל לחוגים במספר משתנים .
נאמר כי פולינום הוא פריק אם קיימים פולינומים לא הפיכים כך ש-.
אחרת, נאמר כי הפולינום הוא אי-פריק.
פריקות פולינומים היא מנושאי היסוד של תורת החוגים ונושא זה בפרט.
בתחום שלמות, הפירוק היחיד האפשרי לפולינום מהצורה הוא מהצורה כאשר וכן .
פולינום פרימיטיבי הוא פריק מעל תחום פריקות יחידה אם ורק אם הוא פריק מעל שדה השברים שלו.
קריטריון אייזנשטיין מספק מבחן לפריקות של פולינום - אם תחום שלמות ו- אידיאל ראשוני, אזי אם , אז הפולינום אי-פריק.
בתחום שלמות, פולינום הוא אי-פריק ב-, אם ורק אם חוג המנה הוא שדה.
בהינתן פולינום מתוך חוג פולינומים, נאמר כי איבר הוא שורש של הפולינום, אם .
איבר הוא שורש של פולינום אם ורק אם הפולינום מחלק את .
בפרט, במקרה זה הפולינום הוא ודאי פריק.
נובע כי פולינום מדרגה 2 או 3 הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש.
טענה שימושית בדבר קיומו של שורש לפולינום מעל חוג המספרים השלמים ושדה שברים שלו (המספרים הרציונליים) היא כלהלן - אם שורש של פולינום, אזי .בפרט, כל שורש שלם של פולינום מתוקן מחלק את המקדם החופשי שלו.
ניתן להרחיב חוג פולינום, ולקבל מבנה עשיר יותר בכמה דרכים.
בהינתן חוג כלשהו, כבר ראינו איך מוסיפים לו משתנה אחד.
לחוג החדש שהתקבל, אפשר להוסיף עוד משתנה, וחוזר חלילה.
כלומר, ניתן ליצור חוגים בכמה משתנים בלתי תלויים.
מספר המשתנים יכול להיות סופי ואינסופי.
למשל, חוג פולינומים בשני משתנים מסומנים בדרך כלל ב-.
נקודה מעניינת היא הישמרות התכונות מהחוג המקורי ועד לכל חוג פולינום במספר משתנים.
מהתכונות לעיל, ניתן להסיק כי חוג הוא תחום שלמות/תחום פריקות יחידה/נותרי אם ורק אם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים בלתי תלויים הוא מקיים את התכונה בהתאמה.
עם זאת, חוג פולינומים ביותר משני משתנים לעולם לא חוג אוקלידי ולא תחום ראשי, שכן חוג הפולינומים במשתנה אחד פחות (כלומר לפחות במשתנה אחד) איננו שדה.
בהגדרה השנייה של חוג פולינומים דובר על סדרות עם תומך סופי, כלומר הפולינומים הם סופיים בלבד.
אם נשמיט דרישה זו, נקבל את חוג טורי החזקות מעל חוג נתון, שמסומן בדרך כלל על ידי:
בחוג זה ישנו עולם עשיר יותר של איברים הפיכים - כך למשל הפיך וההפכי שלו הוא .
באופן כללי, כל איבר בעל מקדם חופשי הפיך הוא הפיך.
בפרט, אם שדה, כל איבר עם מקדם חופשי הוא הפיך, ולכן האידיאלים של החוג הם בלבד, ובפרט הוא תחום ראשי.
חוג זה מכליל אף את חוגי טורי טיילור שהוצג לעיל, ומאפשר לכלול טורים עם חזקות שליליות, כלומר מהצורה .
נהוג לסמן חוג זה על ידי:
במבנה זה ניתן להגדיר פונקציה דומה לפונקציה הדרגה שהוגדרה לעיל, על ידי , כלומר זהו האיבר בעל החזקה הנמוכה ביותר שעבורו המקדם אינו אפס.
פונקציה זו מקיימת תכונות דומות לאלו של הדרגה.
התכונה החשובה של חוג זה היא, שבהינתן שדה , אזי אף הוא שדה.
כלומר, זהו שדה שמכיל את חוג הפולינומים.
בהינתן תחום שלמות , גם חוג הפולינומים שלו במספר סופי של משתנים הוא תחום שלמות.
לכן, בהתאם לבנייה של שדה שברים של תחום שלמות, שדה השברים של חוג הפולינומים הוא
לשדה זה קוראים שדה הפונקציות הרציונליות ב- משתנים.
לחוגי מנה של חוגי פולינומים יש חשיבות רבה.
במשתנה אחד, כאמור, תחום שלמות הוא שדה אם ורק אם חוג הפולינומים שלו הוא תחום ראשי.
במקרה זה, כל חוג מנה מקבל את הצורה .
חוג זה הוא שדה אם ורק אם הפולינום היוצר את האידיאל הוא אי-פריק.
כך אפשר לייצר את השדות סופיים מכל סדר (שהוא חזקת ראשוני) -- אם בוחרים שדה השאריות מודולו p, מספיק למצוא פולינום אי-פריק מסדר מסוים k, ואז חוג המנה יהיה שדה מסדר .
פולינום כזה אכן קיים לכל ראשוני ולכל סדר שהוא.
בנוסף, חוגי מנה כנ"ל מהווים הרחבת שדות בה לפולינום יש שורש, והוא .
באופן כללי יותר, חוגי פולינומים במספר סופי של משתנים מעל חוג נתון הם אלגבראות.
יותר מכך, חוגי המנה שלהם כוללים את אוסף כל האלגבראות האפיניות -- בהינתן אלגברה אפינית , ההעתקה q שנתונה על ידי היא אפימורפיזם מחוג הפולינומים ב-n משתנים לאלגברה, ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון
למבנה אלגברת הפולינומים יש תפקיד מכריע באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית.
כאמור, כל אלגברה אפינית היא מנה של אלגברת פולינומים.
יתר על כן, כל אלגברה אפינית מכילה תת-אלגברת פולינומים מעליה היא מהווה מודול נוצר סופית.
אכן, לפי משפט הנורמליזציה של נתר, בכל אלגברה אפינית , ניתן לחלץ איברים כך שהאיברים מהווים בסיס טרנסצנדנטי, ו- שלם מעל , שהיא למעשה אלגברת פולינומים ב- משתנים.
אם כן, מתכונות של אלגברות פולינומים ניתן להסיק תכונות של אלגברות אפיניות.
כך למשל, ניתן להוכיח שכל אידיאל מקסימלי באלגברה אפינית הוא בעל גובה כדרגת הטרנסצנדנטיות .
ניתן גם להוכיח בעזרת ההבחנה הנ"ל שלכל אלגברה אפינית דרגת הטרנסצנדנטיות שווה לממד קרול שלה.
לכן, הממד של יריעה אלגברית אפינית שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות של חוג הקורדינאטות שלה.
כל האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל שדה הם אפיניים.
חבורת האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים בשני משתנים היא מכפלת היתוך של האוטומורפיזמים האפיניים והאוטומורפיזמים השומרים על אחד המשתנים (החבורה נוצרת על ידי אוטומורפיזם ההחלפה, והאוטומורפיזמים השומרים על משתנה מסוים; ההוכחה במאפיין אפס ניתנה על ידי Jung, ומעל שדה כללי על ידי Van der Kulk).
חבורת האוטומורפיזמים בשלושה משתנים או יותר כוללת גם אוטומורפיזמים "פרועים" (Anick conjecture).
ראו גם השערת היעקוביאן והשערת דיקסמייר (ידוע שהשערת דיקסמייר על אלגברת וייל גוררת את השערת היעקוביאן ב-n משתנים, ונובעת מההשערה ב-2n משתנים).
חבורת האוטומורפיזמים של חוג הפולינומים קרובה לזו של האלגברה החופשית באותו מספר של משתנים.
בעניין זה הוכיח Dicks שההתאמה x,y-->f,g מגדירה אוטומורפיזם של האלגברה החופשית בשני המשתנים x,y אם ורק אם [f,g] הוא כפולה בסקלר של [x,y].
באלגברה מופשטת, חוג ויט (Witt Ring) של שדה F הוא החוג WF שאיבריו הם המרחבים הריבועיים מעל השדה, עד כדי שקילות ויט, יחד עם הפעולות המושרות על ידי הסכום הישר והמכפלה הטנזורית.
חוג ויט ממיין את המרחבים הריבועיים האנאיזוטרופיים (מממד סופי) מעל השדה.
לאידיאל הראשי IF של חוג ויט WF, הכולל את התבניות מממד זוגי, והחזקות שלו, חשיבות רבה בתורת המבנה.
השערת מילנור מקשרת את המנות לתורת K.
תורת השדות הסדורים מספקת מידע על אידיאל הפיתול של חוג ויט.
המונח נקרא על שמו של המתמטיקאי ארנסט ויט, שעסק רבות בתורת התבניות הריבועיות.
אם לא נאמר אחרת במפורש, הוא שדה ממאפיין שונה מ-2.
תבנית ריבועית מעל היא הפונקציה , כאשר היא תבנית ביליניארית על מרחב (מממד סופי) V.
מרחב וקטורי יחד עם תבנית ריבועית נקרא מרחב ריבועי .
מרחב ריבועי נקרא אנאיזוטרופי, אם רק ל-.
בחירת בסיס למרחב V מאפשרת להציג את התבנית כפולינום הומוגני מדרגה 2. יתרה מזאת, במאפיין שונה מ-2 ניתן לבחור הצגה אלכסונית - , ואז מסמנים .
המרחב הריבועי הדו־ממדי נקרא מישור היפרבולי, ומסומן .
סכומים של עותקים שלו נקראים מרחב היפרבולי.
לפי משפט, כל מרחב ריבועי אפשר להציג בצורה - - חלק רדיקלי, חלק היפרבולי וחלק אנאיזוטרופי (לפרטים המלאים ראו בערך תבנית ריבועית).
משפט הצמצום של ויט קובע כי אם אז , ולכן החלק האנאיזוטרופי של מרחב מוגדר היטב.
שני מרחבים ריבועיים נקראים שקולים לפי ויט אם יש להם אותו חלק אנאיזוטרופי, כלומר אם יש כך ש-.
מחלקת השקילות של כל מרחב אנאיזוטרופי V היא .
חוג ויט של השדה, המסומן , הוא החוג בו:
האיברים הם מחלקות השקילות של היחס הנ"ל.
החיבור הוא סכום ישר של מרחבים.
איבר האפס הוא המחלקה של מישור היפרבולי.
הכפל הוא מכפלה טנזורית של מרחבים ריבועיים.
פעולות אלו מוגדרות היטב, והופכות את לחוג קומוטיבי.
כחבורה חיבורית, חוג ויט נוצר על ידי האיברים מהצורה .
שתי תבניות כאלה הן שקולות אם ורק אם הסקלרים המגדירים אותן שקולים עד כדי ריבועים, כלומר שייכות לאותה מחלקה ב-.
חוג ויט של שדה סגור אלגברית הוא , זאת משום ש-, כלומר .
חוג ויט של שדה סגור ממשית הוא .
ניתן לבנות איזומורפיזם מפורש, על ידי סימן סילבסטר .
לשדה סופי מסדר (כאמור ממאפיין שונה מ-2) חוג ויט התלוי בהתחלקות הסדר ב-4:
כל תבנית ריבועית מעל היא גם תבנית מעל .
פורמלית, העתקת הצמצום (restriction map) היא ההעתקה המוגדרת על ידי , כאשר .
נסמן בקיצור ; זהו הומומורפיזם של חוגים.
כלומר, שיכון של שדות עובר להומומורפיזם של חוגים, ההופך בשפה קטגורית את ההתאמה של שדה לחוג ויט שלו לפונקטור בין קטגוריית השדות לקטגוריית החוגים הקומוטטיביים.
העתקת הצמצום יכולה להעביר תבנית אנאיזוטרופית לתבנית איזוטרופית ואף לתבנית היפרבולית.
כעת נראה מהן תכונות ההעתקה.
כל הרחבת שדות ניתן לפרק ל מרכיב טרנסצנדנטי ומרכיב אלגברי מהצורה .
משפט: אם הרחבה טרנסצנדנטית, אז מהווה שיכון חוגים (כלומר, היא חד-חד-ערכית).
בנוגע לחלק האלגברי, התאוריה מעט מסובכת יותר ותלויה בזוגיות ממד ההרחבה.
משפט: הגרעין של העתקת הצמצום של הרחבה ריבועית הוא האידיאל הנוצר על ידי , כאשר היא תבנית פיסטר.
כלומר, מתקבלת סדרה מדויקת: .
כדי להשלים את הסדרה וכך ללמוד על תמונת העתקת הצמצום, מגדירים את העתקת הטרנספר - נגדיר על ידי , ונגדיר על ידי .
, ולכן התבנית היא צמצום של תבנית מ- אם ורק אם היפרבולית.
משפט שפרינגר: אם הרחבה ממד אי זוגי, אז אם התבנית אנאיזוטרופית מעל , כך גם .
אחת השאלת המרכזיות על חוג ויט היא מחקר החזקות של האידיאל היסודי, הכולל את התבניות מממד זוגי.
פורמלית, אם מתאימה לכל מרחב ריבועי את זוגיות הממד שלו, מסמנים .
כלומר, הוא אוסף מחלקות השקילות של תבניות מסדר זוגי.
זוגיות הממד מודולו 2 מוגדרת היטב, משום שכל מישור היפרבולי הוא מממד זוגי.
האידיאל נוצר על ידי כל התבניות מהצורה , או מהצורה , כאשר היא תבנית פיסטר.
הם נוצרים על ידי מכפלת תבניות פיסטר דו-ממדיות, כלומר מהצורה .
אנו מתעניינים בשרשרת האידיאלים והמנות שלהם.
נסקור את מבנה המנות עבור קטן, ונציג את האינווריאנטים הראשונים.
בתת-הנושא הבא נראה את התורה הכללית.
כאמור לעיל, ההעתקה הממפה מרחב אל זוגיות הממד שלו מוגדרת היטב, מהווה הומומורפיזם ובעלת גרעין , ולכן לפי משפט נתר הראשון מתקיים .
אפשר גם להוכיח כי מתקבלת כמנה של חוג ויט רק על ידי .
המנות הראשוניות של חוג ויט הן כולן ציקליות (כלומר מנות של חוג השלמים).
כעת נרצה להבין מהי המנה .
הדטרמיננטה של מרחב ריבועי היא הדרמיננטה של המטריצה המייצגת שלו, המוגדרת עד כדי ריבועים, כלומר במרחב .
עם זאת, היא לא מוגדרת היטב על מחלקות בחוג ויט, כי .
לכן, מגדירים את הדיסקרימיננטה - , המוגדרת היטב ובעלת גרעין , ולכן מהווה איזומורפיזם
מבנה המנה מעיד גם על היותו של חוג ויט נותרי - נותרי אם ורק אם המנה סופית.
המנה והאינווריאנט השני מעט מסובכים יותר.
ניזכר כי אלגברת קליפורד של מרחב ריבועי היא (ובקיצור )כאשר הממד זוגי היא מהווה אלגברה פשוטה מרכזית מעל שדה הבסיס, ולכן משרה מחלקת שקילות בחבורת בראואר.
במילים אחרות, מקבלים העתקה , הנתונה על ידי .
ההעתקה מוגדרת היטב, משום שלכל תבנית ממד זוגי מתקיימת הזהות , ובפרט .
כעת, כאמור לעיל, אדישה לתבניות מ-, ולכן צמצום ההעתקה מהווה הומומורפיזם.
אפשר להוכיח כי היא משרה איזומורפיזם
, כאשר היא חבורת בראואר מפיתול 2.
כעת נציג את התורה הכללית ואת מבנה המנות הקשורה לתורת K.
לכל חוג מותאמת חבורה אבלית , הנקראת חבורת ה-ית של מילנור.
זוהי החבורה האבלית החופשית בסמלים , יחד עם היחסים:
כעת, השערת מילנור טוענת כי .
, הנתונה על ידי , כאשר היא תבנית פיסטר.
קל לראות את קיום הטענה ל:
היא החבורה הנוצרת על ידי הסמל הריק , ולכן היא בדיוק .
היא החבורה הנוצרת על ידי הסמל , עם היחס , והיא בדיוק .
טיעונים יותר מסובכים מראים כי גם במקרה ההגדרות מסתדרות .
תורת השדות הסדורים קשורה הדוקות לחוג ויט.
שדה סדור הוא שדה בו ניתן להציב קבוצת חיוביים הסגורה לחיבור וכפל, ו-.
כל שדה סדור הוא ממאפיין אפס.
שדה סדור הוא אוקלידי אם כל איבר חיובי בו הוא ריבוע של איבר אחר.
שדה הוא סגור ממשית אם הוא אוקלידי ולכל פולינום ממעלה אי זוגית בו יש שורש.
שדה נקרא ניתן לסידור אם ניתן להגדיר עליו סדר.
לפי משפט ארטין-שרייר, שדה ניתן לסידור אם ורק אם איננו סכום של ריבועים, ולכל איבר שאינו סכום של ריבועים יש סדר בו .
שדה הוא פיתגורי אם כל ריבוע איבר בו הוא סכום של שני ריבועים.
כעת, יהי שדה סדור עם סדר .
ההעתקה , הנקראת סימן סילבסטר, היא ההעתקה הממפה תבנית למספר האיברים החיוביים פחות השליליים בה.
ההעתקה מוגדרת היטב לפי משפט ההתמדה של סילבסטר, ומהווה אפימורפיזם חוגים.
אם השדה אוקלידי (ובפרט שדה סגור ממשית) ההעתקה מהווה איזומורפיזם חוגים.
בשדות פיתגוריים מקבלים תורת מבנה מפורשת, המתחלקת לשדה סדור ושדה לא סדור:
משפט: התכונות הבאות שקולות עבור שדה :
בפרט אפשר לשים לב שיש 2-פיתול בחוג ויט.
מרחב הסידורים של השדה הוא אוסף כל הסידורים שלו, המסומן .
משפט: ישנה התאמה חד-חד-ערכית בין סידורים של שדה לאידיאלים ראשוניים של חוג ויט הלא מכילים את 2.
מפורשות, בהינתן אידיאל כנ"ל, נגדיר קבוצת חיוביים: .
בכיוון ההפוך, בהינתן קבוצת חיוביים , מגדירים את להיות האידיאל הנוצר על ידי תבניות פיסטר של איברים מ-.
את מרחב הסידורים ניתן לאפיין כך: .
הוא משוכן באופן טבעי במרחב , עליו מוגדרת טופולוגיה - מכפלת טיכונוף, כאשר על טופולוגיה דיסקרטית.
מתקבל כך מרחב בוליאני, כלומר מרחב האוסדורף, בלתי קשיר לחלוטין וקומפקטי לפי משפט טיכונוף.
ל- יש את תת הבסיס המורכב מהקבוצות הפתוחות והסגורות .
כעת, מגדירים את הסימן הגלובלי כפונקציה , על ידי .
ניתן להוכיח כי תמונת המיפוי מוכלת באוסף הפונקציות הרציפות, כלומר .
ההעתקה מהווה הומומורפיזם, עם גרעין - הוא קבוצת ה--פיתול של ,
ובעלת קו-גרעין המהווה אף הוא קבוצה בעלת 2-פיתול.
ייצוגים על ידי יוצרים ויחסים
השערת מילנור שנסקרה לעיל מספקת יצוג באמצעות יוצרים ויחסים לכל המנות .
עבור ערכים נמוכים של n ידוע יצוג כזה גם לאידיאלים עצמם
חוג ויט נוצר על ידי ה(מחלקות של ה)תבניות הביליניאריות החד-ממדיות (לכל a שונה מאפס), עם היחסים , , ו- המתארים את החלק האדיטיבי, והיחס המגדיר את פעולת הכפל.
האידיאל היסודי נוצר על ידי תבניות פיסטר (לכל ) עם היחסים , ו- כל אימת ש-.
ריבוע האידיאל היסודי, נוצר כחבורה חיבורית על ידי התבניות (לכל ) עם היחסים ; אם התבניות איזוטרופיות; ו-.
במאפיין שונה מ-2 אפשר לזהות תבניות ריבועיות וביליניאריות.
במאפיין 2 הקשר בין שני סוגי התבניות מסובך יותר, ולכן נחזור על ההגדרה של חוג ויט במקרה הכללי, התקף גם במאפיין 2. חוג ויט הוא חוג-גרותנדיק של התבניות ה*ביליניאריות* הסימטריות הלא-מנוונות, מודולו תבניות היפרבוליות.
כל תבנית ביליניארית סימטרית אנאיזוטרופית מתאימה לאיבר יחיד בחוג ויט.
תבנית ביליניארית שקולה בחוג ויט לאפס, אם ורק אם היא מטאבולית.
המודול של ויט, , הוא חבורת גרותנדיק של המונויד של התבניות ה*ריבועיות* הלא-מנוונות מממד זוגי, מודולו המרחבים ההיפרבוליים.
המודול נוצר על ידי ה(מחלקות של ה)תבניות הדו-ממדיות (המייצגות את התבניות ).
כחבורה אבלית, הוא מוגדר על ידי היחסים , ו-.
פעולת הכפל בסקלר מושרית על ידי המכפלה הטנזורית של תבניות, ואפשר להגדיר אותה גם על ידי הפעולה של יוצרים על יוצרים, .
מודול ויט נוצר, כמודול מעל חוג ויט, על ידי תבניות פיסטר הריבועיות .
על המודול של ויט מוגדר אינווריאנט ארף , לפי , כאשר .
הגרעין של אינווריאנט ארף הוא .
ייצוג של עם היוצרים נתון על ידי היחסים הבאים: הסמל בי-אדיטיבי וסימטרי;
בתורת החוגים, חוג נקרא סופי באופן חלש (Weakly Finite או Stably finite) אם כל מטריצה ריבועית מעליו שהפיכה מימין היא גם הפיכה משמאל.
תכונה זו חזקה יותר מהיותו של החוג בעל מספר בסיס קבוע.
משפחות מוכרות ורחבות של חוגים מקיימות את התכונה.
נאמר ש- הוא סופי באופן חלש מסדר אם לכל שתי מטריצות ריבועיות עם רכיבים מ- המקיימות , מתקיים גם .
החוג נקרא סופי באופן חלש אם הוא סופי באופן חלש מסדר לכל טבעי.
חוג סופי באופן חלש מסדר 1 נקרא חוג סופי-דדקינד (נקרא גם סופי ישר, directly finite).
חוג שאינו סופי-דדקינד מכיל מערכת אידמפוטנטים אורתוגונלית אינסופית: אם אך , האיברים מהצורה מהווים מערכת של יחידות מטריצות, ובפרט הם אידמפוטנטים אורתוגונליים.
ניתן לנסח את התנאי להיותו של חוג סופי באופן חלש בעזרת סדרה מדויקת של מודולים - אם כך ש-, הסדרה הבאה מתפצלת:
הסדרה אכן מתפצלת משום שיש להעתקה הפכית .
מודול פרויקטיבי נקרא טריוויאלי באופן יציב מסדר (stably trivial) אם יש סדרה כלעיל שמפצלת, או בשקילות או בשקילות נוספת .
אם כן, הוא סופי באופן חלש אם ורק אם המודול היחיד שטריוויאלי באופן יציב (מסדר כלשהו) הוא אפס.
כל חוג סופי באופן חלש הוא בעל מספר בסיס קבוע.
לכן כל דוגמה לחוג שאיננו בעל מספר בסיס היא גם דוגמה לחוג שאיננו סופי באופן חלש; הדוגמה המוכרת היא חוג אנדומורפיזמים מעל מרחב וקטורי אינסוף-ממדי.
Malcolmson הוכיח שלכל חוג , המנה סופית באופן חלש כאשר הוא האידיאל הנוצר על ידי רכיבי כל המטריצות מהצורה עבור מטריצות כך ש-.
לצורך זה הוא השתמש באידיאל העקבה (trace ideal) , והרים מודולים טריוויאליים באופן יציב מהמנה אל .
הוא גם הראה שכל הומומורפיזם מ- אל חוג סופי באופן חלש עובר דרך מנות מהצורה , כאשר - אידיאל העקבה של סכום כל המודולים הטריוויאליים באופן יציב מעל , ולבסוף הוכיח ש- (כאשר ) הוא חוג סופי חלש.
כל תחום הוא סופי-דדקינד, אך קיימות דוגמות לתחומים שאינם סופיים באופן חלש (Shepherdson).
כל חוג קומוטטיבי, חוג ארטיני וחוג נתרי הם סופיים באופן חלש.
כל תת-חוג של חוג סופי באופן חלש גם הוא סופי באופן חלש; אם תמונה של חוג ביחס לרדיקל ג'ייקובסון היא חוג סופי באופן חלש, כך גם החוג עצמו.
אלגברת חבורה מעל שדה ממאפיין אפס היא סופית באופן חלש; זוהי שאלה פתוחה של קפלנסקי האם כל אלגברת חבורה היא סופית באופן חלש.
אלגברת החבורה של חבורה סופיתית (מעל שדה שרירותי) היא סופית באופן חלש, ולמעשה חוג החבורה של חבורה סופיתית מעל כל חוג נתרי.
חוג בעל מספר יצירה לא חסום
חוג הוא בעל מספר יצירה לא חסום (unbounded generating number, ובקיצור מסמנים UGN) אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים:
לכל טבעי קיים -מודול נוצר סופית שאי-אפשר ליצור על ידי איברים.
לכל -מודול כך ש- נובע ש-.
תכונת ה-UGN היא תכונת ביניים - כל חוג סופי באופן חלש שאיננו אפס הוא בעל UGN, וכל חוג בעל UGN הוא גם חוג IBN.
Cohn הוכיח כי חוג מקיים UGN אם ורק אם קיימת לו תמונה לא אפס שהיא חוג סופי באופן חלש.
בתורת החוגים, חוג נקרא חוג מצומצם אם האיבר הנילפוטנטי היחיד בו הוא אפס.
באופן שקול, חוג הוא מצומצם אם אין בו איברים שאינם אפס שריבועם הוא אפס, כלומר אם גורר .
האיברים הנילפוטנטיים של חוג קומוטטיבי יוצרים אידיאל של , שנקרא האידיאל הנילרדיקלי של ; לכן חוג הוא מצומצם אם ורק אם האידיאל הנילרדיקלי שלו הוא אידיאל האפס.
יתרה מזאת, חוג קומוטטיבי הוא מצומצם אם ורק אם האיבר היחידי בכל האידיאלים הראשוניים הוא אפס, כלומר החיתוך של כל האידיאלים הראשוניים הוא טריוויאלי.
חוג מנה הוא מצומצם אם ורק אם הוא אידיאל רדיקלי.
תהי קבוצת כל מחלקי האפס בחוג מצומצם .
אם כן, הוא האיחוד של כל האידיאלים הראשוניים המינימליים.
מעל חוג נתרי , נאמר שמודול נוצר סופית דרגה קבועה מקומית אם הוא קבוע מקומי (או באופן שקול פונקציה רציפה על הספקטרום של ).
אם כן, מצומצם אם ורק אם כל מודול נוצר סופית מדרגה קבועה מקומית הוא פרויקטיבי.
תתי חוגים, מכפלות ולוקליזציות של חוגים מצומצמים הם שוב, חוגים מצומצמים.
חוג השלמים הוא חוג מצומצם.
כל שדה וכל חוג פולינומים מעל שדה (במספר שרירותי של משתנים) הוא חוג מצומצם.
באופן כללי יותר, בכל תחום ראשי הוא חוג מצומצם מכיוון שכל איבר נילפוטנטי הוא מחלק אפס.
מצד שני, לא כל חוג מצומצם הוא תחום ראשי.
למשל, החוג מכיל את ו- כמחלקי אפס, אבל לא איברים נילפוטנטיים שאינם אפס.
כדוגמה נוספת, החוג מכיל את (1,0), (0,1) כמחלקי אפס, אבל לא מכיל איברים נילפוטנטיים שאינם אפס.
החוג הוא מצומצם, עם זאת אינו מצומצם: המחלקה היא נילפוטנטית.
באופן כללי, מצומצם אם ורק אם או שהוא חופשי מריבועים.
אם הוא חוג חילופי ו- הוא אידיאל נילרדיקלי של , אז חוג המנה מצומצם.
חוגים מצומצמים משחקים תפקיד חשוב בגאומטריה אלגברית, שם מושג זה מוכלל לסכמה מצומצמת.
חוג יום ראשון (בהונגרית: Vasárnapi Kör, בגרמנית: Sonntagskreis) או אגודת יום ראשון היה חוג חברים, שנוצר סביב בלה באלאז' וג'רג' לוקאץ' במהלך מלחמת העולם הראשונה וההגירה לווינה.
חברי החוג התכנסו ושוחחו בנושאים אסתטיים-פילוסופיים שונים בדירתו של באלאז' בימי ראשון.
הפגישות התקיימו עד להגירה לווינה לאחר נפילת הרפובליקה הסובייטית ההונגרית.
חברי קבוצה זו הקימו את "בית הספר החופשי למדעי הרוח" בתחילת 1917, שם הרצו כמעט אך ורק חברים בחוג יום ראשון, למעט ארווין סבו ואלק בולגר.
היו הרבה אירועים מקדימים להקמתו של חוג יום ראשון, כגון כתב עת פילוסופי שכותרתו "הרוח", בעריכתם של לאיוש פילפ וג'רג' לוקאץ'.
כתב עת זה משנת 1911 הצליח "לשרוד" שני גליונות.
כתבו בו לאיוש פילפ, ג'רג' לוקאץ', שנדור הבשי, קארוי (קרל) מנהיים, בלה באלאז' והמנוח בטרם עת בלה זלאי.
לוקאץ' כנראה ניסה להציל משהו מהאווירה הרוחנית שהשאיר בהיידלברג - אולי הייתה חסרה לו הקהילה כדי לדון בבעיות הגדולות של העולם.
השערה זו זה אושרה על ידי אחד מחברי החוג, ארנולד האוזר היסטוריון אומנות כותב בזיכרונותיו: "...
בערך התחיל העניין כאשר ג'רג' לוקאץ' חזר הביתה מהיידלברג, גרמניה, במהלך פרוץ מלחמת העולם הראשונה.
כשאולי התאספו תריסר צעירים שאפתנים אך לא מוכנים, ובאתי במגע עם ידידי מנהיים, שהיה עמית במכללה."
לטענת האוזר, חוג גלילאו וארווין סבו, שהיו האידיאל של רבים, מילאו תפקיד מרכזי בהקמת החוג, והעובדה כי "לוקאץ' הביא מגרמניה את האווירה הרוחנית שיצרה את האווירה הסוציולוגית בגרמניה באותה תקופה נוצרה, בהשפעת מקס וובר וורנר זומבארט."
אף כי ג'רג' לוקאץ' טען מאוחר יותר כי חוג יום ראשון היה " לא אספה קדם-בולשביקית", בכל זאת כל חברי החוג היו פעילים, פרט לאיוש פילפ ואמה ריטוק, בתקופת הרפובליקה והיגרו לווינה לאחר נפילת הרפובליקה הסובייטית ההונגרית.
אדית גימראי לודוביק, ארנולד האוזר, אנה לסנאי וארנה לורשי השתתפו בעבודת הקומיסריאט העממי לחינוך ציבורי, ואילו פרידייש אנטל ואחרים השתתפו בהלאמת אוצרות אמנות וקארוי (קרל) מנהיים מונה לפרופסור באוניברסיטה.
לוקאץ' פעל ברפובליקה לא רק כקומיסר העם לעניין התנועה התרבותית, אלא גם כקומיסר העם לעניינים צבאיים.
בחוג יום ראשון, כהגדרתו של ארנולד האוזר: "כל מי שרצה יכול היה להיות חבר בחוג.
לא נדרש שום אישור, שום רקורד בעבר, שום אמונה, שום קבלת תורה כלשהי, שום קבלת כתביו של לוקאץ'''." הפגישות נערכו בימי ראשון בדירתו של בלה באלאז' ברחוב נאפהגי.
מעניין שחברי החוג לא נפגשו רק בימי ראשון, אלא גם בימי חול בבתי קפה שונים.
אי אפשר להרכיב את רשימת חברי החוג במדויק, מכיוון שבכינוסים היו משתתפים שונים בדירתו של בלה באלאז', שלא סווגו אחר כך על ידי כל האנשים כחברים בחוג.
מתוך עשרת מייסדי החוג שבעה היו יהודים.
לדברי כמה חוקרים, מיכאל פולני, גזה רווס (מקודם רוטהאוז), בלה בארטוק, זולטאן קודאי ואחרים אינם יכולים להיחשב כ"חברים" אף על פי שהם נכחו בכינוסים מדי פעם.
חוג חלוצי היה קבוצה ציונית-דתית של יהודים במחתרת בגרמניה הנאצית, שעסקה בהתנגדות יהודית בשואה.
החוג הוקם ב-27 בפברואר 1943 ברחוב בונדסאלה 79 (Bundesallee 79) ברובע פרידנאו (Friedenau) בברלין על ידי המורה יצחק שוורזנץ וחברתו אדית וולף.
בפברואר 1943, כשגורשו היהודים האחרונים מברלין ב"Fabrikaktion" (אקציית בתי החרושת), אסף שוורזנץ ילדים ונערים מקבוצות נוער יהודיות שונות בקבוצתו, "חוג חלוצי".
מטרת קבוצת הנוער הייתה לחפש דרכי מילוט לחו"ל ולארגן את החיים תחת מסווה חוקי ככל האפשר עד לשחרור על ידי צבאות בעלות הברית: לארגן ואף לייצר מסמכים מזויפים, למצוא מקורות מזון, לארגן מקומות לינה לחברי החוג ולאתר כתובות של יהודים מסתתרים, כדי לסייע להם בדרכים אלה.
סיפר צבי אבירם, שהסתתר בברלין במהלך כל שנות המלחמה:
לאחר שברח שוורזנץ לשווייץ בינואר 1944, הנהיג את הקבוצה גד בק.
כאירועי התנגדות לנאציזם בגרמניה כגון קשר העשרים ביולי, גם את מאבקה של הקבוצה היהודית להישרדות בתוככי הרייך השלישי ניתן להגדיר כהתנגדות.
הרוב המכריע של חברי "חוג חלוצי" הצליחו לשרוד בעזרת לא-יהודים, אך גם אנשים מקבוצה זו נשלחו להשמדה.
חוג חלוצי, קבוצה שהקנתה תכנים דתיים וציוניים לחבריה הצעירים, הייתה קבוצת ההתנגדות היחידה בתוך גרמניה שפעלה ממניעים יהודיים-דתיים.
לקיר הבית ברחוב בונדסאלה 79 מוצמדת לוחית זיכרון ועליה כתוב:
חוג פטרשבסקי הוא כינוי לקבוצת אינטלקטואלים פרוגרסיבית, שהתקיימה בשנות ה-40 של המאה ה-19 בסנקט פטרסבורג, רוסיה.
הקבוצה אורגנה על ידי ונקראה על שמו של מיכאיל פטרשבסקי, מחסידי הסוציאליזם האוטופי, על-פי תורת שארל פורייה.
חברי החוג היו משכילים, סופרים ואנשי ממשל, בעלי דעות פוליטיות שונות, אך לרוב מתנגדי השלטון הטוטליטרי באימפריה הרוסית ולשיטת הצמיתות שנהגה בה.
בדומה לקבוצות אחרות שקדמו לה, קודם למרד הדקבריסטים, מטרת הקבוצה הייתה עיסוק בפילוסופיה וספרות מערבית שהעיון בה נאסר תחת שלטון ניקולאי הראשון.
בין חברי הקבוצה הבולטים ניתן למנות את הסופרים דוסטויבסקי, סלטיקוב-שצ'דרין, המשורר שבצ'נקו ואחרים.
הצאר ניקולאי לאחר מהפכת 1848 ראה בקבוצות מעין אלו סכנה, וב-1849 נאסרו חברי הקבוצה.
חברי הקבוצה הובלו להוצאה להורג, אך בעומדם מחכים לביצוע גזר דינם, הגיעה הודעה על המתקת עונשם לעונשי מאסר.
חוג כדורגלני "סוקולניקי" היה מועדון הכדורגל הראשון במוסקבה, שהוקם ב-21 במאי 1907 והיה אחד משלושת המועדונים המייסדים של ליגת הכדורגל המוסקבאית.
אמנת המועדון אושרה ב-21 במאי 1907. המייסדים הרשמיים של המועדון היו אנדריי איוואנוביץ' ואשקה והחלוץ המרכזי, הסטודנט אלכסנדר פיליפוב.
רוב שחקני המועדון היו עובדים ופועלים.
מדי המועדון כללו חולצות לבנות עם צווארונים שחורים ומכנסיים שחורים.
ביוני 1923 נוצרה קבוצת הכדורגל של אגודת הספורט דינמו שהורכבה מתוך כדורגלני סוקולניקי.
בהרכב הראשון של דינמו נכללו השחקנים איוואן ארטמייב, מיכאיל דניסוב, וסילי ז'יטארב, ניקולאי איגנאטוב, איוואן לנצ'יקוב, סרגיי נברוב, איוואן אובצ'קין, פיוטר אובצ'קין, אלכסנדר פטרוב, בוריס טיטוב, ניקולאי טרויצקי, פיודור צ'ולקוב וסרגיי שומל ששיחקו קודם בסוקולניקי.
דינמו שיחקה במשך זמן מה במדיה הישנים של סוקולניקי.
ליגת הכדורגל המוסקבאית / גביע קולומיאגי
חוג נעילת-תדר, או לולאה נעילת תדר (FLL), היא מערכת בקרה אלקטרונית המייצרת אות שננעל לתדר של אות קלט או של אות ייחוס.
מעגל זה משווה את התדר של מתנד מבוקר לשל אות הייחוס.
המתנד מעלה או מוריד בצורה אוטומטית את תדרו, עד שתואם לתדר של אות הייחוס (אך לא בהכרח לפאזה שלו).
לולאה נעילת-תדר היא דוגמה למערכת בקרה המשתמשת במשוב שלילי.
לולאות נעילת-תדר משמשות ברדיו, טלקומוניקציה, מחשבים ויישומים אלקטרוניים אחרים כדי ליצור תדרים יציבים, או לשחזר אות מערוץ תקשורת רועש.
חוג פטפי (בהונגרית: Petőfi Kör) הייתה תנועה אינטלקטואלית הונגרית קצרת מועד באמצע שנות ה-50, אשר מילאה תפקיד חשוב בתסיסת השיטה הקומוניסטית, שהובילה למרד ההונגרי המכונה בהונגריה "מהפכת 1956" (שנדור פטפי, המשורר הלאומי ההונגרי, היה הרוח החיה של מהפכת 1848 בהונגריה).
חוג פטפי נוסד במרץ 1955. זו התקופה שלאחר מותו של הרודן הסובייטי סטלין ב-1953, כאשר השיטה הקומוניסטית ניסתה להיפטר מהמורשת של פולחן האישיות שבחייו של סטלין הונהג בגם שאר מדינות הגוש המזרחי בהתבסס על הדוגמה של סטלין.
עם זאת, שינויים אלו לא השפיעו על מהות המונופול של משלטון הקומוניסטי, אלא רק על שיטות מסוימות של הפעלת כוח ועל עמדות הקבוצות בצמרת הכוח, כך שהם לא יכלו להיות מספקים עבור מתנגדי הקומוניזם מלכתחילה.
הגינוי הרשמי של פולחן האישיות התרחשה בברית המועצות בקונגרס ה-20 של המפלגה הקומוניסטית של ברית המועצות (КПСС) שהתקיים בפברואר 1956, אולם שינויים פוליטיים רציניים חלו במדינות הגוש, כולל מוסקבה, כבר בשנה שלאחר מותו של סטלין.
התוצאה של שינויים אלה הייתה שבשנת 1953, המפלגה הקומוניסטית ההונגרית השתנתה תחת לחץ סובייטי, מפלגת העובדים ההונגרית (MDP) שנשלטה קודם על ידי הנהגתו העקובה מדם של מתיאש ראקושי, הוחלף בקומוניסט הפופולרי והמתון יותר אימרה נאג' הפך לראש הממשלה.
אולם תקופת ההקלה התבררה כזמנית.
תומכי אימרה נאג' התאספו והקימו את חוג פטפי, לאחר שהחלה מתקפה מכיוון מוסקבה וה-MDP נגד ראש הממשלה ונגד השינויים שהכניס עד 1955. באפריל נשללו מאימרה נאג' תפקידיו במדינה ובמפלגה, ובדצמבר הוא אף גורש מהמפלגה.
הארגון מחדש פגע בו-זמנית באינטרסים של "הקומוניסטים הרוויזיוניסטים" בראשות אימרה נאג', כמו גם בהמונים הלא-קומוניסטיים של החברה ההונגרית ויצר את היסודות של הקואליציה החברתית המעורבת להדהים מבחינה אידאולוגית שהפכה לכוח העיקרי של מהפכת 1956.
המנהיגים הרוחניים של חוג פטפי בתוך הקואליציה השתייכו יותר לקומוניסטים הרוויזיוניסטים ולא לאלו שדרשו דמוקרטיה.
מטרתם הייתה להחזיר את אימרה נאג' למהפכה, כך שמ-24 באוקטובר 1956, הם כבר לא ראו את הטעם בהסלמה נוספת של האירועים והפיכתם למהפכה.
עם זאת, דרישות החוג כבר עלו באירועים לפני ה-23 באוקטובר, כאשר סטודנטים מהאוניברסיטה שהתאספו באגודת הסטודנטים הביעו לראשונה בגלוי את דרישתם לבחירות חופשיות בעתיד.
הרעיון של יצירת החוג הופיע בתחילת 1955, אבל אז איש לא חשב על אפשרות של תנועה עם קו שונה מהקו הרשמי.
הרעיון היה ליצור קבוצת דיון לאינטלקטואלים קומוניסטים צעירים במסגרת אגודת הנוער הקומוניסטית DISZ.
מנהיגי ה-DISZ בחרו בקומוניסט הצעיר והמנוסה גאבור טאנצוש (היהודי) כמנהיג החוג, שהיה מחסידיו של אימרה נאג', אך ציפו ממנו, כמרקסיסט, שיצליח לעצור את פריצת הרעיונות ה"בורגניים" וה"לאומיים".
חוג פטפי נוסד אמנם במרץ 1955, אך המשימה האמיתית שלו, ארגון דיונים פתוחים, התאפשר רק אחרי הקונגרס ה-20 של המפלגה הקומוניסטית של ברית המועצות.
טאנצוש, המזכיר, נתן לדיונים מקום פתוח ונרחב בהרבה ממה שדמיינו במקור ב-DISZ.
בפועל הוא עשה כמעט רק עבודה ארגונית, כמעט ולא נאם, ובישיבות החוג חסרו נאומי הפתיחה הארוכים והריקניים הרגילים שהיו נהוגים אז.
הוא אפילו הרשה לעצמו לארגן ערב ספרותי יוגוסלבי באפריל 1956 - שנחשב לכפירה באותן שנים שבהן היחסים בין הגוש הסובייטי ליוגוסלביה של טיטו היו בשפל.
האירוע הציבורי הראשון של החוג נערך רק ב-1956. בין האביב לסתיו 1956, ארגן החוג 12 דיונים/ויכוחים חשובים.
בין אלה, התגובה הגדולה והעוצמתית ביותר עורר "דיון העיתונות" שאורגן ב-27 ביוני והוביל להפגנה.
הוויכוח ב-27 ביוני, שגרם לסטיגמה, לכתם על החוג, הוליד אירועים שהיו חסרי תקדים בהונגריה תחת הטוטליטריות הקומוניסטית.
כוחה הכולל של קליקת ההנהגה הקומוניסטית בראשות ראקושי כבר היה בתהלך של היסדקות.
כך הודיע הפובליציסט של עיתון המפלגה "סאבאד נפ", כלומר "עם חופשי" (Szabad Nép) על הפגישה ב-24 ביוני.
בין היתר, הסופר טיבור טרדוש וטיבור מראי, שהודח בעבר מסאבאד נפ, נאמו בפגישה בתמיכה באימרה נאג' ובצורך בחופש העיתונות.
בערב ה-22 באוקטובר 1956 (יום לפני פרוץ המרד) אימצה ישיבת החוג החלטה שבה הם דורשים את כינוס ההנהגה המרכזית של ה-MDP, הדרת ראקושי מההנהגה, מהאספה הלאומית (הונגריה) ומהמועצת הנשיאות, והכללתו של אימרה נאג' במקומו בעבודת ההנהגה והממשלה ב"מקום ראוי".
עם עלייתו לשלטון של אימרה נאג', חברי חוג פטפי חשבו שהאירועים הסתיימו, בהתחלה גם טאנצוש חשב שתפקידם התמלא והסתיים.
עבור חוג פטפי נסגר גם השביל בכיוון השני, לעבר כוחות השיקום הקומוניסטי.
לאחר שאימרה נאג' הודה ב-28 באוקטובר כי מתרחש מרד לאומי, השתתף טאנצוש בארגון הוועדה המהפכנית האינטלקטואלית ההונגרית באוניברסיטת אטווש לוראנד וחתם על המניפסט בשם חוג פטפי.
ב-3 בנובמבר נולדה הכוונה לכנס מחדש את חוג פטפי על מנת להשתמש בסמכותו כדי לסייע בייצוב השלטון, אך הפלישה של צבא ברית המועצות להונגריה ב-4 בנובמבר סיכלה תוכנית זו.
כל זה, כמו גם היחס הידידותי הקודם של האימרה נאג' כלפי החוג, הספיק כדי שהחוג יסווג בין תומכי המרד בזמן התגמול והענישה.
בזה הסתיימה ההיסטוריה הקצרה של החוג.
מועצת בית המשפט העממי של בית המשפט העליון, בראשות פרנץ וידה גזר על טאנצוש 15 שנות מאסר, לריצוי בכלא המחמיר במריאנאוסטרה (הוא קיבל חנינה באביב 1962).
הדיונים של חוג פטפי מבוסס על רשומות אותנטיות (Kelenföldi Kiadó, ELTE, Mússák, 1956 Institute, 1989–1994) כרכים של הסדרה:
מפגש פרטיזנים - ויכוח דיון עיתונות
ניהול כלכלי – פיתוח טכני – גן הונגריה?
ויכוח על אמנות - ויכוח רפואי
חוג סולף (גרמנית: Solf-Kreis) היה מועדון בלתי רשמי של אינטלקטואלים גרמנים שהיו מעורבים בהתנגדות לגרמניה הנאצית.
מרבית חבריו נעצרו והוצאו להורג לאחר שהשתתפו במסיבת תה בברלין ב-10 בספטמבר 1943 בביתה של אליזבת פון ת'אדן.
נפילת הקבוצה גם הובילה לחיסולו הסופי של האבווהר, מנגנון המודיעין הצבאי גרמני, בפברואר 1944.
יוהנה (האנה) סולף הייתה אלמנתו ושותפתו לדרך של ד"ר וילהלם סולף, ששימש כמזכיר המושבות הקיסרי לפני פרוץ מלחמת העולם הראשונה ושגריר ביפן תחת רפובליקת ויימאר.
היא חלקה עם בעלה דעות פוליטיות מתונות, ראתה עצמה כלוחמת למען הומניזם, צדק ושלום, והתנגדה לנאציזם.
לאחר מות בעלה ב-1936 היא אירחה חוג של אינטלקטואלים אנטי-נאציים בסלון שלה בברלין יחד עם בתה, הרוזנת "לאגי" פון באלסטרם-סולף.
החוג קיבל השראה ממועדון SeSiSo, מועדון דיונים פוליטי ותרבותי שנהג להתכנס בברלין של שנות ה-20. במסגרת החוג, קצינים במשרד החוץ, תעשיינים וסופרים נפגשו בקביעות על מנת לדון במלחמה ובסיוע ליהודים ולאויבים הפוליטיים של המשטר; סולף ובתה היו אחראיות להסתרת יהודים רבים וסיפקו להם מסמכים שיאפשרו להם להגר בביטחה.
היו להן גם קשרים לקבוצות אנטי-נאציות אחרות כמו חוג קרייזאו.
מסיבת התה וההלשנה על חוג סולף
ב-10 בספטמבר 1943, נפגש חוג סולף במסיבת יום הולדת שערכה אליזבת פון ת'אדן, המנהלת הפרוטסטנטית של בית ספר מפורסם לבנות בויבלינגן, ליד היידלברג.