tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
יחס נראות הוא היחס בין הסתברות תוצאות בדיקה מסוימת באנשים חולים להסתברות תוצאות הבדיקה באנשים בריאים.
מבחן אבחון עשוי להצביע על קיומה של מחלה או לזהות את העדרה, אולם כאשר מבחן האבחון איננו מדד הזהב (הידיעה המדויקת ביותר לגבי קיומה של מחלה) לאבחון המחלה, חלק מתוצאות המבחן יהיו שגויות (חיובי שגוי או שלילי שגוי).
יחס נראות מתאר פי כמה סביר שנבדקים עם המחלה ימצאו חולים מאשר נבדקים ללא המחלה.
אדם מופנה לבדיקת אבחון כאשר כבר ישנה הסתברות מסוימת לקיומה של המחלה בגופו, בעזרת ערך יחס נראות ניתן לחשב את ההסתברות לקיומה של המחלה לאחר הבדיקה.
כאשר יחס הנראות שווה ל־1, לא חל כל שינוי בהסתברות קיום המחלה לפני ואחרי הבדיקה, גם טווח מעט גדול יותר (0.5 < יחס נראות < 2) מצביע על שינוי לא משמעותי בהסתברות.
יחס נראות גדול מ־10 או קטן מ־0.1 משפיע מאוד על הסתברות קיום המחלה לאחר הבדיקה ונחשב אינדיקציה טובה ליכולתה של הבדיקה לזהות או לשלול מחלה.
+ בדיקת מיפוי ריאות לאיתור תסחיף ריאתיזיהוי תסחיף ריאתיבאמצעות אנגיוגרפיה קיים לא קיים יחס נראות (LR)תסחיף ריאתיעל פי תוצאותמיפוי ריאות סבירותגבוהה סבירותביניים סבירותנמוכה תוצאהנורמלית סה"כ
בדוגמה להלן נבדקת יכולת בדיקת מיפוי ריאות בזיהוי תסחיף ריאתי.
המיפוי הצביע על ארבע דרגות סבירוּת לקיומו של תסחיף ריאתי ותוצאותיו הושוו לאנגיוגרפיה של הריאות.
תוצאות אנגיוגרפיה נחשבות למדויקות ביותר בזיהוי תסחיף ריאתי, אך הסיכון בביצוע מיפוי ריאות נמוך יותר מזה של אנגיוגרפיה.
מכאן הטעם בביצוע מיפוי ריאות והצורך לבחון את דיוק הבדיקה.
יחס הנראות לכל דרגת סבירות על פי המיפוי יתקבל מחלוקת ההסתברות לזיהוי החולים כחולים (102 נבדקים בקטגוריה של סבירות גבוהה מתוך סך של 251 חולים) בהסתברות לזיהוי בריאים כחולים (14 נבדקים באותה קטגוריה מתוך סך של 630 בריאים).
כך ימצא שיחס נראות לסבירות גבוהה לתסחיף ריאתי על פי מיפוי הריאות הוא 18.3. ערכו הגבוה מ־10 מעיד על יכולת משמעותית של הבדיקה לזהות תסחיף ריאתי (כאשר הסבירות על פיה גבוהה).
באותה דרך, חישוב יחס נראות לתוצאות נורמליות יגלה תוצאה של 0.1 ומכאן שתוצאה נורמלית של מיפוי ריאות יכולה לשלול קיומו של תסחיף ריאתי.
לשאר דרגות הסבירות של בדיקת מיפוי ריאות יחסי נראות המעידים על יכולת נמוכה של הבדיקה לזהות או לשלול תסחיף ריאתי, במיוחד אמורים הדברים לתוצאות של סבירות ביניים שלהם מחושב יחס נראות של 1.2 המעיד על הסתברות דומה לזיהוי תסחיף בחולים ולזיהוי תסחיף בבריאים.
בדרך כלל קיימת הסתברות מסוימת לקיומו של תסחיף ריאתי כבר לפני הבדיקה.
ההסתברות יכולה לנבוע, למשל, ממצבו הרפואי הידוע של הנבדק.
חישוב ההסתברות לתסחיף ריאתי לאחר הבדיקה () על פי ההסתברות לתסחיף לפני הבדיקה () נעשה בדרך הבאה:
ההסתברות תומר ל Odds בצורה הבאה
ה Odds לאחר הבדיקה יתקבלו מהכפלת ה Odds שלפני הבדיקה ביחס נראות
ה Odds שלאחר הבדיקה יומרו בחזרה להסתברות
על פי נתוני הדוגמה, אפשר לחשב את ההסתברות לקיומו של תסחיף ריאתי לאחר הבדיקה בנבדק שההסתברות לפני הבדיקה הייתה 70 אחוזים ושמיפוי הריאות זיהה תסחיף ריאתי בסבירות גבוהה (יחס נראות של 18.3), ולגלות שהיא עלתה ל־97 אחוזים.
או בנבדקת עם הסתברות זהה לפני בדיקה אך שתוצאות מיפוי הריאות שלה נורמליות (יחס נראות של 0.1) ולחשב שההסתברות עתה היא 19 אחוזים בלבד.
דרך פשוטה יותר לחישוב הסתברות לאחר בדיקה עושה שימוש בנומוגרמה של פאגאן (Fagan).
הנומוגרמה מורכבת משלושה קווי אורך מקבילים שעל שני הקיצוניים שבהם מופיעים ערכי הסתברויות (לפני בדיקה ואחרי בדיקה) ושעל הקו המרכזי שבהם מופיעים ערכי יחס נראות .
המשכו של קו ישר שיימתח מערך ההסתברות לפני בדיקה, דרך ערך יחס נראות, יחצה את קו ההסתברות לאחר בדיקה בערכה המחושב.
יחס נראות ומדדים אחרים לבדיקות אבחון
תסחיף ריאתי קיים לא קייםמיפויריאות סבירותגבוהה 102 14 סבירותאחרת 149 616 סה"כ 251 630
יחס נראות עדיף על ערכי מדדים אחרים, מסורתיים יותר, של בדיקות אבחון.
רגישות וסגוליות למשל, מוגבלות ביכולתן להעריך רק בדיקות שתוצאותיהן דיכוטומיות, בעוד שיחסי נראות יכולים לתאר בדיקה עם מספר רב של תוצאות.
כאשר התוצאות דיכוטומיות, יחושב יחס נראות חיובי (מסומן LR+) לזיהוי המחלה ויחס נראות שלילי (LR-) לשלילתה.
באותה דרך, קביעת כל רף דיכוטומי אחר תגרום לאיבוד אינפורמציה.
ניתן לחשב את יחסי הנראות לפי הרגישות והסגוליות בדרך הבאה:
יחסי נראות עולים על רגישות וסגוליות גם בתכונתם לקבוע את ההסתברות לקיום המחלה על פי תוצאות הבדיקה בעוד שהאחרונים מוגבלים לקביעת ההסתברות לקיום המחלה על פי קיומה בנבדקים.
תכונה דומה מתקיימת בערכי ניבוי (חיובי ושלילי) אלא שאלו, לא כמו יחסי נראות, רגישים לשיעור הימצאות המחלה ולכן לרוב אינם שימושיים.
חג המולד הוא חג נוצרי המציין את לידת ישו.
לאורך ההיסטוריה של הנצרות, היו היהודים מיעוט דתי במדינות נוצריות.
עם הזמן, התפתחה מערכת יחסים ייחודית בין היהודים לחג המולד.
היהדות והנצרות קיימו אינטראקציה היסטורית והצטלבו תוך שהם נותרו מובחנים תאולוגית ורגשית.
יהודים היו מיעוט דתי במדינות הנוצריות, וחוו אנטישמיות נוצרית.
בניגוד לאנטישמיות הנוצרית, אנטי-נצרות הייתה בדרך כלל עדינה ונועדה למטרת שימור התרבות ואורח החיים היהודיים מול הלחץ להיטמע בדת הנוצרית.
דוגמה אחת לתופעה זו היא ספר תולדות ישו, שהיה פופולרי בקרב יהודים בימי הביניים והעת החדשה המוקדמת ותקף את המיתולוגיה הנוצרית באמצעות פרודיה.
למרות שהוא לא היה מקובל ביהדות רבנית, הטקסט נחשב למקור היסטורי חשוב על ידי סופרים וחוקרים יהודים.
לפי מרק שפירו , המילה חג המולד אינה מופיעה בספרות חז"ל.
בטקסטים יהודיים מימי הביניים, החג מכונה "ניטל", נגזרת מהלטינית של ימי הביניים "Natale Dominus".
חגיגה יהודית של חג המולד
המונח חנוכריסמס, הלחם של "חג המולד" ו"חנוכה, הומצא בדצמבר 2003 ב-The O.C..
המונח הפך לפופולרי, והאחים וורנר ערכו מרצ'נדייזינג בעניין, אך הליגה הקתולית וחבר הרבנים דניו יורק פרסמו הצהרה משותפת המגנה את הרעיון שלדבריהם מעליב נוצרים ויהודים כאחד.
מיזוג בין מסורות חג המולד הביא לכך שעצי חג המולד מעוטרים בסמלים המייצגים יהדות או חנוכה.
שירי חג המולד שנכתבו על ידי יהודים
שירי חג מולד פופולריים רבים, במיוחד בארצות הברית, נכתבו על ידי מלחינים יהודים, כולל "White Christmas", " שיר חג המולד ", "Let It Snow!
Let It Snow!", " זה הזמן המופלא ביותר של השנה ", ו"רודולף אייל אדום אף ".
שירים אלו מתמקדים בהיבטים החילוניים של חג המולד ולא בהיבטים הדתיים, ומציגים את חג המולד כחג אמריקאי.
ליל ניטל (ביידיש: נִיטְל נַאכְט) הוא מונח המשמש בספרות יהודית היסטורית לערב חג המולד.
בלילה זה נמנעו באופן היסטורי חלקים מיהודי אשכנז ובמיוחד יהודים חסידיים מלימוד תורה.
נוהג זה, שהחל בעת החדשה המוקדמת, לווה במנהגים שונים לאותו לילה, כולל התנזרות מינית, צריכת שום ומפגשים חברתיים.
אולם, הנוהג לא התקבל על ידי ישיבות ליטא, שקבעו כי יש להמשיך בלימוד התורה גם בערב חג המולד.
מסורת חג המולד רווחת בקרב אמריקאים יהודים מורכבת מאכילת המטבח הסיני.
הנוהג החל עוד במאה ה-19. הנוהג החל עקב קרבה של קהילות יהודיות וסיניות בלואר איסט סייד.
התיעוד הקדום ביותר למסורת מתוארך לשנת 1899, כאשר ה-"American Jewish Journal" מתח ביקורת על אכילה במסעדות סיניות תוך הפרת כללי הכשרות.
כיום, המסורת התפשטה מניו יורק לאנשים יהודים ברחבי אמריקה.
מסעדה אחת בצ'יינטאון בשיקגו דיווחה ב-2004 שמספר ההזמנות שלהן הושלש בחג המולד.
אחר ציין כי בשנה שלפני כן, "אני חושב שהייתה לנו כאן כל הקהילה היהודית", כאשר המסעדה בת 350 המושבים שלהם התמלאה לחלוטין ב-25 בדצמבר.
המסורת הייתה נושא לקומיות רבות, כולל קומיקאים ב"חגורת בורשט" כמו ג'קי מייסון ובאדי האקט .
במהלך דיוני מינוי לבית המשפט העליון, הסנאטור של דרום קרוליינה, לינדזי גרהאם, שאל את השופטת היכן היא הייתה ביום חג המולד, שענתה: "אתה יודע, כמו כל היהודים, כנראה הייתי במסעדה סינית", מה שגרם לפרצי צחוק.
סיבות רבות למסורת הוצעו, כולל העובדה שמסעדות סיניות בדרך כלל נשארות פתוחות בחג המולד ושאוכל סיני ממעט לערב בשר בחלב.
המסורת מסמלת עבור אנשים יהודים רבים דחייה של מסורות חג המולד ההיסטוריות.
נשף מצות הוא מסיבה שנתית המתקיימת בערב חג המולד בערים גדולות רבות ברחבי ארצות הברית וקנדה לרווקים יהודים בשנות ה-20 וה-30 לחייהם.
האירוע נועד להפיג את בדידותם בליל החגיגות.
היהדות במדינות מערב אירופה, שעברו אמנציפציה (קבלת זכויות), התייחסה לחג המולד במתינות רבה יותר וקיימה גם במהלכו קשר עם הנוצרים.
בגרמניה, יהודים שתפסו את חג המולד כחג "תרבותי" ולא דתי (והיו משולבים די הצורך בתרבות הגרמנית) פיתחו במהלך המחצית השנייה של המאה ה-19 מנהג שנקרא Weihnukka (וַיְינוּכָּה): צירוף של המילים חנוכה וחג המולד בגרמנית.
לצד חגיגות החנוכה, קיימו אותם יהודים מנהגים "חיצוניים" של חג המולד, כגון קישוט הבית עם עץ, אפיית מאפים מסורתיים לחג, אירוח חברים לא-יהודים ומתן מתנות לילדים.
בשנת 2005 קיים המוזיאון היהודי בברלין תערוכה בשם "ויינוקה", אשר עסקה במורשת זו בקרב יהדות גרמניה, אשר נמתחה עליה ביקורת בתוך יהדות גרמניה כסוג של התבוללות או למצער, ניסיון להידמות לגויים.
גרשם שלום, למשל, תיאר את חגיגות חג המולד בקרב משפחתו (שתפסה את החג כחג לאומי גרמני ולא כחג נוצרי), מהן הוא החליט להתנער וללכת לנשף "מכבי" בברלין.
המנהג יובא ליהדות ארצות הברית, ככל הנראה על ידי יהודים שהיגרו מגרמניה.
בארצות הברית אומץ המצרף Chrismukkah - "קְריסְמוּכּה", שילוב של המונחים לחג מולד ולחנוכה באנגלית.
חלק מיהודי ארצות הברית נוהגים להחזיק בתקופה זו עץ מקושט בבית, אותו הם מכנים ביופמיזם "שיח חנוכה" (ולא עץ, על מנת לשמור על ההבדל מהחג הנוצרי).
המנהג נפוץ בעיקר - אך לא רק - בקרב משפחות "מעורבות" (ילדים מזוג הורים מעורב יהודי-נוצרי).
בתרבות הפופולרית האמריקאית קיימות התייחסויות רבות לנושא.
בסדרת הנעורים הפופולרית The O.C.
היו מספר התייחסויות לנושא, משום שאחת הדמויות המרכזיות אמור להיות בן לנישואין מעורבים.
לעומת זאת, קיימים יהודים אמריקאים אחרים אשר מביעים ביקורת נגד ציון חג המולד על ידי יהודים.
במקביל, בקרב יהדות ברית המועצות, התפתחה מסורת דומה, שבה צוינו מאפיינים מסוימים של חג המולד הנוצרי (עץ חג המולד, מתנות ומאכלים מסוימים), אך ללא תוכן דתי.
במקרה של חגיגות השנה החדשה בברית המועצות, מנהג זה נתמך על ידי העובדה שהמשטר הסובייטי ניסה לרוקן את החג מתוכן דתי, ולהפוך אותו לחג לאומי חילוני.
החג היה החג הלא-פוליטי היחיד אשר נחוג בזירה הציבורית בברית המועצות ושילב את השנה החדשה ואת חג המולד הפרבוסלבי (החל, על פי הלוח היוליאני, ב-6 בינואר).
יהודים רבים, או אנשים ממוצא יהודי שהיו זכאים להגר לישראל מתוקף חוק השבות, ייבאו עימם את המנהגים עם ההגירה לישראל.
ציון החג באופן זה בישראל ספג ביקורת מצד גורמים דתיים ולאומיים, שראו בכך ביטוי לניתוק מן המסורת היהודית ואימוץ מסורת נוצרית.
שיח חנוכה הוא שם יופמיסטי ומשועשע למחצה לעץ מקושט, זהה או דומה לעץ חג המולד, אשר חלק מיהדות ארצות הברית (וארצות אחרות בקרב יהדות המערב) מציגה בבית בתקופת חג המולד וחנוכה.
העץ מבטא ניסיון לסינקרטיזם של חנוכה וחג המולד, וניסיון של חלקים בקהילה היהודית האמריקאית להשתלב בתרבות ארצות הברית תוך שימוש בסממנים החיצוניים של חג המולד, אותם הם לא רואים כמתנגשים עם ערכי היהדות.
העובדה כי חג המולד מצוין בארצות הברית בצורה אינטנסיבית וללא קשר לתכניו הדתיים (הולדת ישו) משפיעה גם היא על התחושה כי אין מדובר ב"עבודה זרה".
לעיתים, "שיח חנוכה" הוא למעשה עץ חג מולד; ולעיתים נתלים עליו קישוטים ייחודיים ליהודים.
המנהג קיים לפחות משנות ה-50. ב-1959, למשל, הופיעה השחקנית גרטרוד ברג בתוכנית של אד סליבן וסיפרה כי אביה הביא הביתה "שיח חנוכה" כתחליף לעץ חג מולד.
לא ידוע אם השימוש של ברג היה הראשון שבו נקרא המנהג "שיח חנוכה".
יהודים אמריקאים רבים מביעים התנגדות למנהג.
הסופרת אניטה דיאמנט, למשל, אמרה כי "יהודי שרואה עץ חג מולד חש אלפיים שנות רדיפה".
לעומתה, כתב הרב הקונסרבטיבי רון אייזקס בתשובה לשאילתה שהופנתה אליו, כי: "נראה כאילו העץ אינו מסמל כיום סממנים דתיים, כגון לידתו של ישו.
ההחלטה לשים "שיח חנוכה" נתונה כיום בידי כל משפחה וישנן משפחות יהודיות שמרגישות שהעץ אינו מבטא התחייבות לערכים נוצריים כלשהם".
ספר הילדים "There's No Such Thing as a Chanukah Bush, Sandy Goldstein" (אין דבר כזה "שיח חנוכה", סנדי גולדשטיין) מבטא את הדילמה.
הספר מתאר שתי חברות יהודיות.
ילדה אחת מבקרת עם סבה במסיבת חג המולד של מקום העבודה שלו, ובסופו של הספר (שהוסרט לסרט טלוויזיה זוכה פרס אמי) מגיעה למסקנה כי הרצון ל"שיח חנוכה" מתעורר אם אין עם מי לחלוק את החג.
בישראל חג המולד אינו מצוין רשמית, ורשויות השלטון אינן נוהגות להציב קישוטים ואת סמלי החג במקומות ציבוריים.
יוצאים מכלל זה ריכוזים מובהקים של אוכלוסייה נוצרית, כגון הרובע הנוצרי בירושלים, המושבה הגרמנית בחיפה והערים נצרת, יפו ורמלה, אשר מתקשטים בעצי אשוח ובתאורה צבעונית לקראת החג.
נשיא מדינת ישראל נוהג מדי שנה לערוך קבלת פנים רשמית במשכנו לראשי העדות הנוצריות בישראל, לרגל חג המולד והשנה האזרחית החדשה.
הרבנות הראשית לישראל אוסרת על בתי עסק המחזיקים בתעודת כשרות להתקשט בסמלי חג המולד ולהציב עצי אשוח בתחומם.
האיסור חל גם על בתי מלון המארחים נוצרים, ובכלל זה צליינים המגיעים במיוחד כדי לחגוג את חג המולד בארץ הקודש.
בתי המלון מוזהרים כי הצבת עצי האשוח תגרור פסילה של תעודת הכשרות.
בפיזיקה, יחס נפיצה (או יחס דיספרסיה) הוא הקשר המתמטי בין התדירות הזוויתית של גל לווקטור הגל או מספר הגל , כלומר: הפונקציה .
יחס הנפיצה נקבע על ידי משוואת הגלים המתארת את התופעה הפיזיקלית.
לעיתים מכונה כך גם הקשר בין האנרגיה של המערכת לתנע שלה.
במכניקת הקוונטים, מכניקה סטטיסטית ובפיזיקה של מצב מוצק לפעמים מדברים גם על יחס נפיצה בין האנרגיה לווקטור הגל.
כיוון שמתקיים הקשר , ההגדרות שקולות עד כדי פקטור כפלי של קבוע פיזיקלי.
עבור חלקיק חופשי יחס הנפיצה הוא:
כלומר: האנרגיה תלויה בתנע בצורה ריבועית.
למערכות מורכבות יותר יהיה יחס נפיצה מורכב יותר או שונה.
עבור חלקיק יחסותי בעל מסה שונה מאפס, יחס הנפיצה הוא .
יחס זה מתקבל מהגדרת 4-וקטור התנע (שרכיבו הזמני הוא האנרגיה) וגם ממשוואת קליין-גורדון.
עבור גל אלקטרומגנטי בריק, האנרגיה פרופורציונלית לתדירות () והתנע פרופורציוני לווקטור הגל ().
במקרה זה, יחס הנפיצה הוא ליניארי:
כאשר הסתמכנו על יחס הנפיצה היחסותי לפוטון, חלקיק חסר מסה, .
ניתן להסיק את מהירות הגל באמצעות יחס הנפיצה:
השם יחס נפיצה בא במקור מאופטיקה, בה מתקיימת תופעה של נפיצה בתווך אופטי: מהירות הגל תלויה באורך הגל (), כלומר: יחס הנפיצה איננו ליניארי.
תופעה זו מתרחשת כאשר האור עובר בתווך ולו מקדם שבירה לא קבוע התלוי באורך הגל או כאשר האור עובר דרך תווך לא-אחיד כגון מוליך גלים.
במקרה זה, חזית הגל תימרח בזמן וכך פולס צר יהפך לפולס ארוך, כלומר: ינפץ.
בחומרים אלה, הגודל ידוע כמהירות חבורה ומאפיין את התקדמות השיא או המידע שנושא הגל, ולה ערך שונה ממהירות הפאזה.
כאשר חוקרים מוצקים, מחקר יחס הנפיצה של אלקטרונים הוא בעל חשיבות גדולה.
משמעות המחזוריות של הגביש היא שעבור תנע נתון, ישנן הרבה רמות אנרגיה אפשריות, ושייתכן שמספר אנרגיות לא יהיו אפשריות עבור כל תנע.
האוסף של כל האנרגיות האפשריות והתנעים האפשריים ידוע כמבנה פסים של החומר.
תכונות מבנה הפסים קובעות האם החומר מוליך או מבודד.
יחס הנפיצה של פונונים גם הוא חשוב ולא-טריוויאלי.
רוב המערכות מאפשרות קיום של שני פסים נפרדים עבור יחס הנפיצה של פונונים.
פונונים בפס החוצה את ראשית הצירים נקראים פונונים אקוסטיים והענף ביחס הנפיצה נקרא הענף האקוסטי, ואילו הענפים האחרים נקראים ענפים אופטיים.
לדוגמה: גלי קול בגביש מקיימים את יחס הנפיצה הבא:
עבור מתקבל יחס נפיצה ליניארי לפי הקירוב הפראקסיאלי:
כאשר המהירות היא מהירות הקול בחומר.
פונון עם יחס נפיצה ליניארי נקרא גל קול.
כאשר הוא קבוע הגרביטציה, הוא עומק הנוזל, היא צפיפות הנוזל, ו- הוא מתח הפנים.
בגלבו (מוליך גלים) מלבני, אופן התנודה TE01:
כאשר הוא מספר הגל הנמוך ביותר שיכול להתקיים בגלבו, הוא רוחב הגלבו ו- היא מהירות האור בריק.
תכונות פיזיקליות רבות של המערכת, כגון מהירות, ניתן להרחיב למערכות אחרות אם הן מבוטאות במונחים של יחס נפיצה.
במערכת מכנית קלאסית, המהירות ניתנת להגדרה כ:
(זוהי בעצם אחת ממשוואות המילטון: ).
עבור גז אידיאלי (גז קלאסי, גז פרמי או גז בוזה) D-ממדי בעל יחס נפיצה מתקיים הקשר הבא בין הלחץ P, הנפח V והאנרגיה U:
עבור גז אידיאלי קלאסי תלת-ממדי D=3 ו- מקבלים : (משוואת המצב של גז אידיאלי) כאשר השתמשנו בקשר .
עבור קרינת גוף שחור או קרינת פוטונים תרמית D=3 ו- ומקבלים: .
במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, יחס בינארי מעל קבוצה ייקרא יחס סימטרי אם מ- נובע ; תנאי זה שקול לכך ש- (היחס ההופכי).
לדוגמה: יחס השוויון הוא יחס סימטרי, וכך גם כל יחס שקילות.
יחס סימטרי הוא גם יחס אנטי-סימטרי אם ורק אם הוא מוכל (כקבוצה) ביחס השוויון.
החיתוך של אוסף יחסים סימטריים הוא סימטרי.
לכן לכל יחס בינארי קיים יחס סימטרי קטן ביותר המכיל אותו; יחס זה, הנקרא הסגור הסימטרי של , שווה ל- (האיחוד של עם היחס ההופכי לו).
הרכבה של יחסים סימטריים היא סימטרית.
כהכללה להגדרה שבראש הערך, יחס -ארי הוא סימטרי אם הוא כולל כל תמורה של כל n-יה בתוכו.
בהינתן רביעיית נקודות במישור (הממשי או המרוכב), היחס הכפול ביניהן מוגדר בנוסחה:
שמו של היחס הכפול מגיע מכך שהוא מתאר את היחס בין היחס ובין היחס .
היחס הכפול הוא שמורה של העתקת מביוס ושל העתקות פרויקטיביות.
בגלל האופי הסימטרי של ביטוי היחס הכפול, תמורות בין ארבע הנקודות יניבו לכל היותר שישה ערכים שונים של היחסים הכפולים ביניהן.
למשל, אם נחליף את ב- נקבל את הביטוי , השווה ליחס הכפול המקורי.
ככלל, בהינתן רביעיית נקודות בעלת יחס כפול , שינוי סדר הקואורדינטות בה יניב את הערכים הבאים:
תמורה תיאור קצר ערכו של היחס הכפול תמורת הזהות
ליחס הכפול ישנה הגדרה שונה ושקולה בגאומטריה פרויקטיבית: יהיו
ארבע נקודות על הישר הפרויקטיבי.
כן תהיה העתקה פרויקטיבית המקיימת
היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית מוגדר להיות .
מהיות שלוש נקודות בעלות שתי דרגות חופש, ניתן לבטא את כצירוף ליניארי: .
אולם, מכיוון שנקודות על הישר הפרויקטיבי אינן משתנות תחת כפל בקבוע, נסמן מחדש .
(נקודת האינסוף בקואורדינטות הומוגניות) וכן (נקודת האפס בקואורדינטות הומוגניות).
כמו את , ניתן לבטא גם את כצירוף ליניארי: .
באמצעות נוסחת קרמר ניתן לקבל ביטויים מפורשים למקדמים , ומהם לקבל את השקילות בין שתי ההגדרות.
יחס העדפות הוא מושג מפתח בתחום קבלת ההחלטות המתמטית, אשר בבסיס ענף המיקרו-כלכלה.
בבסיס תחום זה הנחה כי יש מקבל החלטות אשר צריך לבחור בין מספר אפשרויות נתונות.
יחס העדפות מציין, עבור זוגות של אפשרויות, האם מקבל ההחלטות מעדיף ממש אפשרות אחת על פני השנייה, מעדיף ממש את האפשרות השנייה על פני הראשונה, או אדיש ביניהן.
לכן ניתן להשתמש ביחס העדפות כדי לתאר את העדפותיו של מקבל ההחלטות.
מבחינה מתמטית, נהוג להשתמש בסימונים שלהלן.
עבור שתי אפשרויות a ו-b, נסמן:
עבור המצב בו מקבל ההחלטות מעדיף ממש את a על פני b.
עבור המצב בו מקבל ההחלטות מעדיף ממש את b על פני a.
עבור המצב בו מקבל ההחלטות אדיש בין אפשרויות a ו-b.
עבור המצב בו מקבל מעדיף חלש את a על פני b, כלומר, לא ייתכן שהוא מעדיף ממש את b על פני a.
עבור המצב בו מקבל מעדיף חלש את b על פני a, כלומר, לא ייתכן שהוא מעדיף ממש את a על פני b.
לרוב מניחים כי יחס ההעדפה של מקבל החלטות מקיים תכונות מתמטיות שונות.
בכלכלה לרוב מניחים כייחס ההעדפה מקיים שלמות וטרנזיטיביות.
בהינתן הנחות אלו, יחס העדפות הוא קדם-סדר מלא על קבוצת האפשרויות.
יחס כיסוי בא לתת אינדיקציה לכושר ההחזר של החברה.
היחס נמדד כיחס בין התזרים לפירעון אשראי לסך החזר החוב (קרן וריבית) לתקופה הנבדקת.
יחס כיסוי קטן או שווה לאחד מעיד על קשיים של החברה לפרוע את חובותיה כסדרם בתקופה הנבדקת.
יחס זה משמש לעיתים רבות כ- Covenant (אמות מידה פיננסיות) על תזרים השוטף של החברה ועל יכולתו לשרת את החוב.
בתחום הבנקאות נהוג להשתמש בשני מדדים של יחסי כיסוי לבחינת היעילות התפעולית אשר שונים במעט מאלה הנהוגים לצורך בחינת חברה בעלת מאפייני פעילות מסחרית או תעשייתית:
יחס כיסוי ההוצאות אשר נגזר מן היחס: הכנסות תפעוליות/הוצאות תפעוליות.
נדרש כי יחס זה יהיה גדול מ-0.6
מדד היעילות התפעולית אשר נגזר מן היחס: סה"כ הכנסות/הוצאות תפעוליות.
נדרש כי יחס זה יהיה גדול מ-1.5
יחס עתודות/תפוקה מהווה אינדיקציה ל"תוחלת החיים" בשנים של משאב מתכלה ומתקבל מחילוק גודל המאגר בכמות מנוצלת.
בהקשר לנפט - היחס מחושב על ידי חילוק עתודות הנפט המוכחות הנותרות בסוף שנה נתונה כלשהי בתפוקת הנפט של אותה השנה, ומצביע על שנות התפוקה הנותרות בהנחה שקצב התפוקה לא ישתנה.
היחס בין עתודות לתפוקת הנפט העולמית עמד על 54.2 שנות תפוקה נכון לסוף שנת 2011 .
בניגוד לתחזיות השחורות שהיו מקובלות בסוף שנות ה-60 וראשית שנות ה-70, לא אזלו עתודות הנפט הגלובליות.
ההתפתחות הטכנולוגית בתחום החיפושים וההפקה מחד, והגידול האיטי יותר של צריכת הנפט הגולמי בכמה אזורים (ארצות הברית, האיחוד האירופי) מאידך, תרמו לכך.
פיתוח שיטות גילוי ופיתוח חדשות ויעילות יותר (קבלת תמונות סייסמיות מדויקות יותר של שדות הנפט ופיתוח טכניקות קדיחה משוכללות) אפשרו גילוי עתודות נוספות בשדות קיימים.
כמו כן נתגלו מאגרי נפט חדשים במימי מערב אפריקה, ברזיל, מפרץ מקסיקו, ועוד.
בנוסף, קיבלו העתודות הגלובליות תוספת רצינית ממאגרי "הנפט הלא-קונבנציונלי", כמו הנפט הכבד מאוד של רצועת אורינוקו שבוונצואלה וחולות הזפת של אלברטה שבקנדה.
המאגרים העצומים של פצלי נפט שהתגלו בארצות הברית בשנים האחרונות היא סיבה נוספת לאופטימיות.
בשנת 2011 הפיקה ערב הסעודית 11.16 מיליון חביות נפט ביום (כולל נוזלי גז טבעי ונוזלים אחרים) שהן 4.07 מיליארד חביות בשנה.
בסוף 2011 נאמדו עתודות הנפט המוכחות של הממלכה ב-265.4 מיליארדי חביות.
ברמת הניצול של 2011, היו אפוא עתודות מוכחות אלה מספיקות ל-65.2 שנות תפוקה.
יחס עתודות/תפוקה של לוב בסוף 2011 בוודאי שלא משקף את המצב העכשווי שכן במהלך אותה השנה נפגעה תפוקת הנפט שלה קשות בגלל מלחמת האזרחים.
ברמת התפוקה של 2012 (קרוב ל-1.5 מיליון חביות ביום) עתודות המדינה (הנאמדות ב-48 מיליארדי חביות בסוף 2012 על פי מקורות אחרים) היו מספיקות לכ-87 שנות תפוקה.
אין גם משמעות רבה יתרה לעצם העובדה שהיחס עתודות/תפוקה של ארצות הברית עמד על 10.8 שנות תפוקה בסוף 2011. היחס הזה נע בין 8 ל-12 ב-60 השנים האחרונות.
באפידמיולוגיה, יחס השיעורים של הימצאות נקודתית (Point prevalence rate ratio,PRR) הוא מדד שנעשה בו שימוש במחקרי חתך לבחינת הקשר בין החשיפה לגורמים מסוימים לבין התוצא שבוחנים בנקודת זמן מסוימת או בתקופת זמן מוגדרת.
החישוב של יחס השיעורים של הימצאות נקודתית נעשה בעזרת המשוואה הבאה:
כאשר +prev מציין הימצאות בקרב חשופים, -prev מציין הימצאות בקרב הלא חשופים, +dur מציין את משך המחלה בקרב החשופים ו- -dur מציין את משך המחלה בקרב הלא חשופים.
כש- PRR גדול מ-1, הגורם הנבדק הוא גורם מסכן וכש- PRR קטן מ-1 הגורם הנבדק הוא גורם מגן.
נתונים של מחקר חתך כוללים את ההמצאות הנקודתית/תקופתית (point prevalence,pp) של התוצא המבוקש כאשר ההימצאות הוא החלק היחסי של הפרטים עם תכונה כלשהי או תוצא (מאורע) בנקודת זמן מסוימת או בתקופת זמן מוגדרת.
אם נגדיר ש- PP מציין הימצאות נקודתית, אז ניתן לחשב את יחס ההימצאות (prevalence odds) אשר מציין כמה גדול ההימצאות של אירוע/תוצא בקבוצה אחת של פרטים (עם המאפיין) ביחס לקבוצה אחרת (בלי המאפיין).
חישוב של יחס ההימצאות נעשה באופן דומה לחישוב של יחס צולב:
מצד שני, מתקיים גם השוויון הבא:
כאשר inc מציין את הארעות (Incidence) ו-duration) dur) מציין את משך המחלה.
ומתוך זה ניתן לחלץ את ההימצאות נקדותית (pp):
כאשר pp נמוך מ-5% הביטוי (1-pp) קרוב ל-1 ולכן,
על בסיס הנוסחא האחרונה, אפשר לחשב את יחס השיעורים של הימצאות נקודתית (PRR):
כאשר RR זהו סיכון יחסי.
בפיזיקה תרמית ותרמודינמיקה, יחס קיבולי החום הוא היחס בין קיבול החום בלחץ קבוע () לקיבול החום בנפח קבוע () ומסומן באות היוונית (גמא).
יחס קיבולי החום חשוב עבור יישומים בתהליכים תרמודינמיים הפיכים, במיוחד כאלו המערבים גזים אידיאליים ובין היתר הוא משפיע גם על מהירות הקול.
לגודל פיזיקלי זה כינויים נוספים ובהם: אינדקס אדיאבטי, יחס החומים הסגוליים, קבוע פואסון או מקדם ההתפשטות האיזנטרופית (עבור גז אידיאלי או (קאפה), המעריך האיזנטרופי לגז אידיאלי).
כאשר הוא קיבול החום, ו- הוא קיבול החום הסגולי (קיבול חום ליחידת מסה) של גז.
הסיומות P ו-V מתייחסות לתנאי לחץ מתמיד ונפח קבוע בהתאמה.
על מנת להבין קשר זה, נבצע ניסוי מחשבתי.
בוכנה פניאומטית סגורה מכילה אוויר.
הבוכנה נעולה והלחץ הפנימי הוא לחץ אטמוספירי.
הבוכנה מחוממת עד להגעה לטמפרטורת יעד.
הבוכנה מקובעת ולכן הנפח קבוע.
כאשר מתבצעת הגעה לטמפרטורת היעד, החימום נעצר.
כמות האנרגיה המושקעת בתהליך היא , כאשר מייצג את השינוי בטמפרטורה.
כעת הבוכנה משוחררת ונעה כלפי חוץ, עוצרת רק כאשר הלחץ בתוך התא מגיע ללחץ אטמוספירי.
אנו מניחים כי ההתפשטות מתרחשת ללא חילוף חום עם הסביבה מחוצה לבוכנה, כלומר התפשטות אדיאבטית.
בעת ביצוע העבודה, אוויר בתוך הבוכנה יתקרר מתחת לטמפרטורת היעד.
חזרה לטמפרטורת היעד (כאשר הבוכנה עדיין משוחררת לנוע בחופשיות) דורשת חימום של האוויר, אשר אינו נמצא עוד בנפח קבוע, משום שהבוכנה נעה בחופשיות כאשר הגז מחומם.
בדוגמה לעיל, התהליך מתרחש בלחץ חיצוני קבוע ולכן כמות החום המתווספת למערכת בלחץ קבוע היא פרופורציונלית ל -.
התהליך הנ"ל מתרחש באוויר (גז דו אטומי) ולכן יחסי קיבולי החום הוא .
חל רק אם – כלומר, העבודה המתבצעת, היא אפס.
נבחין בהבדל בין הוספת חום לגז כאשר הבוכנה מקובעת להוספת חום כאשר הבוכנה חופשית לנוע, כך שהלחץ החיצוני נשאר קבוע.
במקרה השני, הגז יתחמם, יתפשט ויגרום לבוכנה לבצע עבודה מכנית על הסביבה.
החום המתווסף לגז עובר רק בחלקו לחימומו ואילו השאר מומר לביצוע עבודה מכנית על ידי הבוכנה.
בתהליך הראשון, בנפח קבוע ובוכנה מקובעת אין תזוזה חיצונית ולכן אין עבודה מכנית המבוצעת על הסביבה, יתבצע שימוש ב- .
במקרה השני, עבודה נוספת מתבצעת על ידי שינוי הנפח ולכן כמות החום הנדרשת כדי להעלות את טמפרטורת הגז (קיבול החום הסגולי) גבוהה יותר עבור מקרה של לחץ קבוע.
עבור גז אידיאלי, קיבול החום קבוע עם הטמפרטורה.
בהתאם לכך, אנו יכולים לבטא את האנתלפיה כ- ואת האנרגיה הפנימית כ- .
לכן, ניתן להתייחס ליחס קיבולי החום כיחס בין האנתלפיה לאנרגיה הפנימית:
יתר על כן, את קיבולי החום ניתן לבטא במונחים של יחס קיבולי החום וקבוע הגזים :
כאשר הוא כמות החומר במולים.
נוסחת מאייר מאפשרת להסיק את הערך של מטבלאות מוכרות המאגדות את ערכי :
יחס קיבולי החום עבור גז אידיאלי יכול להיות קשור לדרגות חופש של מולקולה על ידי
לפיכך אנו צופים כי עבור גז חד - אטומי, עם 3 דרגות חופש:
כאשר עבור גז דו - אטומי, עם 5 דרגות חופש (בטמפרטורת החדר: 3 translational ו-2 מחזורי דרגות חופש; דרגת החופש של רטט אינה מעורבת, חוץ מבטמפרטורות גבוהות):
לדוגמה, אוויר אשר בעיקר מורכב מגזים דו-אטומיים (כ-78% חנקן () ו-21% חמצן (), בתנאים סטנדרטיים הנ"ל יכול להיחשב כגז אידיאלי.
הערך מאוד עקבי עם מדידות אדיאבטיות עבור אוויר יבש בטווח טמפרטורות של ומציג סטייה של רק .
ככל שהטמפרטורה עולה, מצבים עתירי אנרגיה סיבובית ורטט נהפכים לנגישים לגזים מולקולריים.
לכן חלה עלייה במספר דרגות החופש וירידת ערכו של .
עבור גז אמיתי, ו - מתגברים עם עליית הטמפרטורה.
הם נבדלים זה מזה על ידי קבוע (כאמור לעיל, ), אשר משקף את הקבוע היחסי , אשר מייצג את ההבדל בעבודה הנעשית במהלך התפשטות בלחץ קבוע לעומת תנאי נפח קבוע.
לפיכך, היחס בין שני הערכים, , יורד עם עליית הטמפרטורה.
ערכים מבוססי קירובים (במיוחד ) הם במקרים רבים לא מספיק מדויקים לטובת חישובים הנדסיים מעשיים, כגון זרימה דרך צינורות ושסתומים.
ערך ניסיוני אמור לשמש במקום הקירוב הנ"ל, כאשר הדבר אפשרי .
ערך מחמיר ליחס יכול להיות מחושב על ידי חילוץ לפי נוסחת מאייר:
ערכי זמינים לקריאה ומתועדים, אבל ערכי מחושבים באמצעות קשרים אלו.
ניתן לראות את היחסים בין קיבולי החום מגזירה של היחסים התרמודינמים בין קיבולי החום.
ההגדרה לעיל היא הגישה אשר שומשה לפיתוח ביטויים מחמירים מן משוואות המצב (כגון פנג–רובינסון), אשר תואמות ערכים ניסויים בקירוב טוב אשר מייתרים את הצורך לפתח מאגר נתונים של ערכי .
הערכים יכולים להיקבע על ידי שימוש בשיטת קירוב אלמנטים סופיים .
יחס זה נותן את הקשר החשוב עבור תהליך איזנטרופי (קוואזיסטטי, הפיך, תהליך אדיאבטי) של תהליך דחיסה פשוט עבור גז אידיאלי קלורית.
כאשר p הוא הלחץ, ו-v הוא נפח הגז הסגולי.
במתמטיקה, יחס הסדר המילוני (או הלקסיקוגרפי) הוא הכללה של הסדר האלפביתי של מילונים של סמלים מסודרים או, באופן כללי יותר, של אלמנטים של קבוצה עם יחס סדר מלא.
ישנן מספר גרסאות והכללות של הסדר הלקסיקוגרפי.
וריאנט אחד חל על רצפים באורכים שונים על ידי השוואת אורכי הרצפים לפני שיקול האלמנטים שלהם.
וריאנט נוסף, בשימוש נרחב בקומבינטוריקה, מסדר תת-קבוצות של קבוצה סופית נתונה על-ידי הקצאת סדר כולל לקבוצה הסופית, והמרת תת-קבוצות לרצפים הולכים וגדלים, שעליהם מופעל הסדר הלקסיקוגרפי.
ההכללה מגדירה סדר על מכפלה קרטזית של קבוצות מסודרות חלקית ; סדר זה הוא סדר מלא (ליניארי) אם ורק אם כל הגורמים של המכפלה הקרטזית סדורים מלא (ליניארית).
למילים בלקסיקון (קבוצת המילים המשמשת בשפה כלשהי) יש סדר קונבנציונלי, המשמש במילונים ובאנציקלופדיות, התלוי בסדר המושרה מהאלפבית של הסמלים המשמשים לבניית המילים.
הסדר הלקסיקוגרפי הוא דרך לפרמל סדר מילים, בהינתן סדר הסמלים.
הסימון הפורמלי מתחיל בקבוצה סופית , הנקראת לרוב האלפבית, שהיא מסודרת מלא.
כלומר, עבור כל שתי אותיות ו- ב- שאינם אותה אות, או או .
המילים של הן הרצפים הסופיים של אותיות מ- , כולל מילים באורך 1 המכילות אות בודדת, מילים באורך 2 עם שתי אותיות וכן הלאה, כולל הרצף הריק, , ללא סמלים כלל.
הסדר המילוני בקבוצה של כל המילים הסופיות הללו מסדר את המילים באופן הבא:
בהינתן שתי מילים שונות באורך זהה, נניח ו- , סדר שתי המילים תלוי בסדר האלפביתי של האותיות במקום הראשון שבו שתי המילים משתנות (בספירה מתחילת המילים): אם ורק אם בסדר הבסיסי של האלפבית .
אם שתי מילים בעלות אורכים שונים, הסדר הלקסיקוגרפי הרגיל "ממלא" את הקצרה עם "רווח" (סמל מיוחד שמתייחסים אליו כקטן מכל רכיב של ) בסוף עד שהמילים באורך זהה, ואז המילים הן בהשוואה למקרה הקודם.
מבחינה אינטואיטיבית, משווים את שתי המילים כל עוד אפשר, ואם לא קיבלנו הכרעה, האות הארוכה יותר גדולה מהקצרה ביחס.
לעומת זאת, בקומבינטוריקה, בדרך כלל משתמשים במוסכמה אחרת במקרה 2, הקובעת כי רצף קצר יותר תמיד קטן מרצף ארוך יותר.
גרסה זו של הסדר הלקסיקוגרפי נקרא לפעמים סדר לקסיקוגרפי-קצר.
לדוגמה, בסדר המילוני, המילה "תומאס" מופיעה לפני "תומפסון" מכיוון שהם נבדלים לראשונה באות הרביעית ('ס' ו-'פ'), והאות 'ס' באה לפני האות 'פ' באלפבית העברי.
מכיוון שזה ההבדל הראשון, במקרה הזה, האות הרביעית היא "מה שעושה את ההבדל" בסדר אלפביתי.
תכונה חשובה של הסדר המילוני הוא שלכל , קבוצת המילים באורך סדורה היטב לפי הסדר המילוני (בתנאי שהאלפבית סופי); כלומר, כל רצף יורד (ביחס הסדר המילוני) של מילים באורך הוא סופי (או באופן שקול, לכל תת-קבוצה לא ריקה יש אלמנט מינימלי - קטן ביותר).
אך, תכונה זו אינה נשמרת כאשר מדברים על הקבוצה של כל המילים הסופיות.
היא אינה סדורה היטב; לדוגמה, לקבוצת המילים האינסופית {ב, בא, באא, באאא, ...
} אין אלמנט קטן ביותר מבחינה מילונית.
(כי הוא אמור להיות אאאא...
עד אינסוף, ואין באפשרותינו להשתמש במילים אינסופיות).
הסדר המילוני מגדיר סדר על מכפלה קרטזית של קבוצות סדורות, שהוא סדר מלא כאשר כל הקבוצות במכפלה הקרטזית הן סדורות באופן מלא בעצמן.
איבר של מכפלה קרטזית הוא רצף שהאיבר ה- שלו שייך ל לכל מכיוון שבמקרה זה, אנו משווים רצפים באורך n, כולם מאותו אורך, לכן הסדר המילוני ניתן להכללה למכפלה קרטזית של קבוצות סדורות.
ניתן להכליל זאת למכפלה אינסופית של קבוצות סדורות באופן דומה.
באופן ספציפי, בהינתן שתי קבוצות סדורות חלקית ו ה זה מוגדר כ:
אם ו כל אחת סדורה באופן מלא, אז התוצאה היא גם סדר מלא.
הסדר המילוני של שתי קבוצות סדורות באופן מלא הוא בעצם הרחבה ליניארית של סדר המכפלה שלהם.
בניגוד למקרה הסופי, מכפלה אינסופית של קבוצות סדורות היטב לא בהכרח סדורה היטב לפי הסדר המילוני.
לדוגמה, קבוצת הרצפים הבינאריים האינסופיים בני המנייה (בהגדרה, קבוצת הפונקציות ממספרים שלמים אי-שליליים לקבוצה הידוע גם בתור מרחב קנטור , אינו מסודר היטב; תת-קבוצת הסדרות שבהן מופיעה בדיוק פעם אחת הספרה 1 (כלומר, {1000...,0100...,0010..., ...
}) אין אלמנט מינימלי תחת הסדר המילוני המושרה על ידי , כי היא שרשרת יורדת אינסופית .
באופן דומה, גם המכפלה האינסופית עם יחס הסדר הנ"ל אינה נתרית, כי: היא שרשרת עולה אינסופית.
בכלכלה, יחס חוב-תוצר הוא היחס בין החוב הציבורי של מדינה (נמדד ביחידות מטבע) לבין התוצר המקומי הגולמי (GDP) (נמדד ביחידות מטבע בשנה).
יחס חוב-תוצר נמוך מצביע על כך שכלכלה מייצרת סחורות ושירותים באופן המספיק כדי לעמוד בהתחייבויותיה מבלי לקחת הלוואות נוספות.
קיימים גורמים רבים המשפיעים על הרחבת או הקטנת החוב של מדינות, בהם שיקולים גאופוליטיים וכלכליים - לרבות שיעורי ריבית, מלחמה, מיתון ועוד.
במקרו-כלכלה, ישנם מספר חישובים שונים ליחס חוב-תוצר.
היחס הנפוץ ביותר הוא החוב הציבורי חלקי התוצר המקומי הגולמי (תמ"ג), המשקף את כספי הממשלה, בעוד שיחס נפוץ נוסף הוא סך החוב לתוצר, המשקף את כספי המדינה כולה.
במצב רגיל, שינויים בתמ"ג של כלכלה מסוימת הם לרוב קטנים (כ-3%).
עם זאת, במצב של אינפלציה, או במיוחד במצב של היפר-אינפלציה, התמ"ג עשוי לעלות במהירות במונחים נומינליים; בשל כך, כאשר החוב גם הוא נומינלי, היחס שלו לתוצר יקטן במהירות.
ניתן לנתח את יחס החוב לתוצר של ממשלה על ידי הסתכלות על האופן בו החוב משתנה או מתפתח לאורך זמן:הצד השמאלי של המשוואה מייצג את הדינמיקה של חוב הממשלה.
הוא החוב לתוצר בסוף התקופה t, ו הוא יחס החוב לתוצר בסוף התקופה הקודמת (t − 1).
לפיכך, הצד השמאלי של המשוואה מציג את השינוי ביחס החוב לתוצר משנה אחת לשנה הקודמת לה.
הצד הימני של המשוואה מציג את הסיבות לחובות הממשלה.
מייצג את תשלומי הריבית על מלאי החוב כיחס מהתמ"ג, ו- מציג את יחס הגירעון הראשוני לתוצר.
במצב בו לממשלה יש את היכולת להדפיס כסף, ולפיכך לייצר רווחים מהחוב הקיים, המגבלה התקציבית הופכת ל:התנאי הוא השינוי ביתרות הכסף (צמיחת הכסף).
על ידי הדפסת כסף הממשלה יכולה להגדיל את יתרות הכסף הנומינליות כדי לשלם את החוב.
עם זאת, ההשפעה שיש לעלייה ביתרות כסף נומינליות על הסינוראג' (הפער בין עלות הנפקת הכסף לבין ערכו הנקוב) אינה ברורה, שכן, בעוד שהיא מגדילה את כמות הכסף בתוך המשק, הערך הריאלי של כל יחידת כסף יורד עקב השפעות אינפלציוניות.
השפעה אינפלציונית זו מהדפסת כסף מכונה מס אינפלציה.
אחד הקריטריונים שדורש האיחוד האירופי ממדינה המבקשת לאמץ את היורו כמטבע, הוא יחס חוב-תוצר ממשלתי הנמוך מ-60%.
לפי הבנק העולמי וקרן המטבע הבינלאומית, "ניתן לומר שמדינה היא בעלת חוב חיצוני יציב אם היא יכולה לעמוד בחובותיה הנוכחים והעתידיים במלואם, מבלי שתצטרך לדחות את מועד פרעון החובות, מבלי לצבור פיגורים ומבלי לפגוע בצמיחה".
על פי שני המוסדות הללו, מדינה יכולה להשיג קיימות של חוב חיצוני "על ידי הורדת הערך הנוכחי הנקי (NPV) של החוב הציבורי החיצוני לכ-150 אחוז מהיצוא של מדינה או 250 אחוז מהכנסות המדינה".
מאחר שע"פ מחקרים, לחוב חיצוני גבוה עלולות להיות השפעות מזיקות על הכלכלה, אחד מיעדי האו"ם לפיתוח בר קיימא עד שנת 2030 הוא הפחתת מצוקת החוב החיצוני של מדינות עניות.
ישנה חשיבות להבחנה בין חוב חיצוני הנקוב במטבע מקומי, לבין חוב חיצוני הנקוב במטבע חוץ.
זאת, מאחר שמדינה יכולה לעמוד בהחזר חוב חיצוני הנקוב במטבע מקומי על ידי הכנסות ממסים, אך כדי לעמוד בחוב במטבע חוץ, יש צורך בהמרת הכנסות ממס למטבע חוץ, מה שמביא לפיחות בערך המטבע המקומי.
מ-2019 עד סוף שנת 2020 הייתה עליה משמעותית מיחס החוב-תוצר הציבורי על שיעור של 59% ל-70.7% ויחס החוב תוצר הממשלתי שעמד על 69.2%, שיעורים המשקפים עליה משמעותית של כ-12% ביחס לשנה הקודמת, אשר נגרמה בשל מגפת הקורונה.
ירידה גבוהה יחסית שמיוחסת, לפי החשב הכללי במשרד האוצר, לצמיחה הגבוהה של המשק הישראלי, גידול בהכנסות הממשלה ממיסים, הפרטות וייסוף השקל מול המטבעות המרכזיים בעולם.
יחס החוב-תוצר של ישראל נכון ל-2021 נמוך משמעותית מהממוצע ב-OECD אשר עמד בשנה זו על 121%.
עם זאת, יש לקחת בחשבון שהממוצע מושפע ממדינות כמו יפן, ארצות הברית ואיטליה עם שיעורי חוב עתק, אך גבוה משמעותית מהממוצע של מדינות הייחוס.
בסוף הרבעון הראשון של 2021, יחס החוב הציבורי של ארצות הברית לתוצר עמד על 127.5%.
על פי מסד הנתונים הכלכלי העולמי של קרן המטבע הבינלאומית (אפריל 2021), רמת יחס החוב הממשלתי הגולמי לתוצר בקנדה הייתה 116.3%, בסין 66.8%, בהודו 89.6%, בגרמניה 70.3%, בצרפת 115.2% ובארצות הברית 132.8%.
שני שלישים מהחוב הציבורי של ארצות הברית נמצאים בבעלות אזרחי ארצות הברית, בנקים, תאגידים והבנק המרכזי (הפדרל ריזרב); כשליש מהחוב הציבורי של ארצות הברית מוחזק על ידי מדינות זרות - בדגש על סין ויפן.
לשם השוואה, פחות מ-5% מהחוב הציבורי האיטלקי והיפני מוחזק על ידי מדינות זרות.
יחס מיקוד (או מספר f., באנגלית: f-number, , F-number, F Stop Number, F-stop או ) הוא פרמטר חסר ממדים המתאר את יכולת איסוף האור של מערכת אופטית, כגון עדשת מצלמה.
הוא מוגדר בתור היחס בין אורך המוקד של מערכת לקוטר אישון הכניסה שלה, ומהווה גורם עיקרי בקביעת עומק השדה, בעקיפה ובחשיפה של תמונה.
ניתן להסתכל על יחס מיקוד כעל הערך ההופכי של המפתח היחסי (קוטר אישון הכניסה חלקי אורך המוקד) המציין כמה אור יכול לעבור דרך מערכת בעלת אורך מוקד מסוים.
יחס מיקוד קטן יותר משמעותו מפתח יחסי גדול יותר, כלומר כמות גדולה יותר של אור נכנסת למערכת, ולהפך.
יחס המיקוד קשור למפתח הנומרי של המערכת, המתאר את זווית איסוף האור לתוך רכיב אופטי.
המפתח הנומרי לוקח בחשבון גם את מקדם השבירה של המרחב בו המערכת פעילה, בעוד שיחס המיקוד אינו לוקח גודל זה בחשבון.
יחס המיקוד מוגדר באופן הבא:
כאשר אורך המוקד, קוטר אישון הכניסה (המפתח האפקטיבי) ו־ הוא יחס המיקוד, או מספר ה־f.
נהוג לציין מספרי f כשלפניהם הסימן "", מה שגורם לסימון להיראות כמו ביטוי מתמטי עבור קוטר אישון הכניסה כתלות באורך המוקד .
למשל, עבור עדשה בעלת אורך מוקד של 10 מ"מ וקוטר של 5 מ"מ, יחס המיקוד יהיה שווה ל־2 ויסומן כ־"f/2", כאשר בסימון זה נרמז כי הקוטר שווה למחצית אורך המוקד.
לרוב העדשות יש צמצם מתכוונן המאפשר למשתמש לשנות את יחס המיקוד בהתאם לצרכיו.
בהזנחת יעילות העברת האור, עדשה בעלת יחס מיקוד גדול יותר תעביר פחות אור ותקרין תמונות כהות יותר.
עוצמת ההארה של התמונה עומדת ביחס הפוך לריבוע של יחס המיקוד ביחס ל הדמות בשדה הראייה של העדשה.
לדוגמה, לעדשת f/4 עם אורך מוקד של 100 מ"מ יהיה קוטר של 25 מ"מ, בעוד שלעדשת f/2 בעלת אורך מוקד זהה יהיה קוטר של 50 מ"מ.
מכיוון שהשטח מתכונתי לריבוע של קוטר העדשה, כמות האור הנכנסת לעדשת f/2 גדולה פי ארבעה מכמות האור הנכנסת לעדשת f/4. על מנת לקבל חשיפת צילום זהה עבור שתי העדשות, יש להפחית פי ארבעה את זמן החשיפה של עדשת ה־f/2.
לעומת זאת, לעדשת f/4 עם אורך מוקד של 200 מ"מ יהיה קוטר של 50 מ"מ.
עדשה זו בעלת שטח גדול פי ארבעה מעדשת ה־f/4 בעלת אורך מוקד של 100 מ"מ (כי קוטרה 25 מ"מ), ולכן כמות האור שנאספת על ידי עדשה זו גדולה גם היא פי ארבעה.
אולם נשים לב שעדשת ה־200 מ"מ גם מקרינה תמונה גבוהה פי שניים ורחבה פי שניים מהתמונה שמקרינה עדשת ה־100 מ"מ ולכן עוצמות ההארה במישור המוקד של שתי העדשות תהיינה זהות עבור אותה התמונה – בהתאמה לכך שלשתיהן אותו יחס מיקוד.
יחס המיקוד מתאר את כמות האור שמגיע אל מפתח העדשה, אך כדי לדעת כמה אור מגיע בפועל אל מישור המוקד יש להתחשב בהעברה של המערכת (כלומר, איזה חלק מהאור לא מוחזר או נבלע על ידי הרכיבים האופטיים).
לשם כך מקובל להגדיר את ה־T-stop, מקבילה של יחס המיקוד הלוקחת בחשבון את נצילות העברת האור.
על מנת לטשטש את הרקע בתמונה כדי להבליט את האובייקט, מה שנקרא בוקה, נהוג להשתמש בעדשות עם יחס מוקד של 2.8 או אפילו 1.4. לעיתים קרובות מוצאים עדשות זום שלהן מיפתח אפקטיבי קטן יותר בצילומי תקריב (zoom-in) מאשר ב־zoom-out.
זו הסיבה שלעיתים מוצאים עדשות עם יחס מיקוד שונה לכל אורך מוקד, לדוגמה: 18-55mm f/3.5-5.6 (עדשה לה מיפתח של כ־5 מ"מ באורך מוקד של 18 מ"מ (תקריב) לעומת מפתח של 9.8 מ"מ באורך מוקד של 55 מ"מ).
יחס המיקוד הנמוך ביותר הזמין (נכון ל־2022) הוא f/0.7, בעדשה שנקראת , עדשה ששימשה את נאס"א לצילום הירח ואת סטנלי קיובריק לצילום סרט לאור נרות.
רוב העדשות המסחריות מגיעות ל־f/2, מיעוטן מגיעות ל־f/1.4 ומעטות מאוד מגיעות ל־f/0.95.
יחס המיקוד הגבוה ביותר הוא f/45 והוא שייך לעדשת מאקרו בעלת עומק מוקד גדול במיוחד: Sigma 105mm f/2.8 EX DG Macro.
יחס מוקד של f/40 זמין בעדשה בשם Itorex 50mm.
מרבית העדשות המסחריות מגיעות ללא יותר מ־f/32 או f/16.
בצילום, המונח סטופ (stop, בעברית "מעצור") הוא יחידת מידה לכימות יחסים של חשיפה או אור, כאשר כל סטופ שמתווסף תורם פקטור של שתיים וכל סטופ שמופחת תורם פקטור של חצי.
סטופ של 1 ידוע גם בתור יחידת EV (Exposure Value – ערך החשיפה).
באופן מסורתי, הגדרת הצמצם במצלמה נעשית בצעדים בדידים המכונים f-stops.
כל סטופ מסומן ביחס המיקוד התואם לו ומייצג מחצית מעוצמת האור של הסטופ הקודם, כלומר חצייה של שטח אישון הכניסה.
מכיוון שאישון הכניסה מעגלי, חצייה של שטחו שקולה להקטנת קוטרו פי (כ־0.7071).
ברוב העדשות המודרניות קיימת סקלת f-stops סטנדרטית המבוססת על סדרה הנדסית של חזקות של שורש 2: f/1, f/1.4, f/2, f/2.8, f/4, f/5.6 וכן הלאה, כאשר כל איבר בסדרה נמוך בסטופ אחד מהקודם לו משמאל וגבוה בסטופ אחד מהעוקב לו מימין.
הסדרה לעיל מתקבלת מעיגול איברי הסדרה ההנדסית למספרים רציונליים (על מנת להקל על כתיבתם):
באותו אופן שבו f-stop אחד תואם לפקטור של שניים בעוצמת האור, מהירויות התריס מסודרות כך שכל מהירות שונה פי שניים משכנתה.
הרחבת העדשה בסטופ בודד מאפשרת לכמות כפולה של אור לפגוע בסרט הצילום בפרק זמן נתון.
כדי לקבל חשיפה זהה בצמצם הגדול יותר, התריס ייפתח למחצית מזמן זה, כלומר מהירותו גדלה פי 2. לרוב הסרט יגיב באופן דומה בשני המקרים עקב תכונת ההדדיות (זה לא מתקיים בזמני חשיפה ארוכים או קצרים במיוחד בהם יש כשל בתכונה זו).
קיים קשר בין הצמצם, מהירות התריס ורגישות סרט הצילום: עבור בהיקות קבועה, הכפלת שטח הצמצם, הקטנת מהירות התריס פי שניים או שימוש בסרט בעל רגישות כפולה כולם בעלי אפקט זהה על התמונה החשופה.
למטרות מעשיות דיוק מוחלט אינו נדרש (מהירויות תריס מכניות ידועות כלא מדויקות עקב בלאי, אך ההשפעה על החשיפה זניחה).
אין זה משמעותי שמהירויות התריס ושטחי הצמצם לא משתנים בפקטור של שניים בדיוק.
לעיתים צלמים מתייחסים ליחסי חשיפה אחרים כאל סטופים.
תוך התעלמות מסימני מספרי ה־f, ה־f-stops יוצרים סולם לוגריתמי של עוצמת החשיפה.
במוחים הללו, ניתן לבצע מחצית של צעד בסולם כדי לקבל הבדל של חצי סטופ בחשיפה.
לרוב המצלמות במאה העשרים היה מפתח בעל גודל משתנה באופן רציף עם סימונים של סטופים שלמים.
בשנות ה־60 נכנס לשימוש צמצם עצור לחיצה שהשמיע קליק בכל מחצית סטופ ובכל סטופ שלם.
במצלמות מודרניות, יחס המיקוד לרוב מחולק לחלקים רבים יותר מסטופ בודד.
צעדים של שליש סטופ (1/3 EV) הם הנפוצים ביותר, מכיוון שהם תואמים את מערכת ה־ISO של מהירות סרט.
במצלמות מסוימות נעשה שימוש בצעדים של חצי סטופ.
לרוב הסטופים השלמים מסומנים ועצירות הביניים משמיעות קליק.
לדוגמה, המפתח הקטן בשליש סטופ מ־f/2.8 הוא f/3.2, המפתח הקטן בשליש נוסף הוא f/3.5 והמפתח הקטן בסטופ שלם הוא f/4. ה־f-stops הבאים בסדרה זו הם:
חישוב הצעדים בסטופ שלם (1 EV) נעשה באופן הבא:
חישוב הצעדים בחצי סטופ (EV 1/2):
חישוב הצעדים בשליש סטופ (1/3 EV):
כמו בסטנדרטי מהירויות הסרט בעבר (DIN ו־ASA), מהירות ה־ISO מוגדרת במרווחים של שליש סטופ בלבד, ומהירויות הצמצם של מצלמות דיגיטליות לרוב בעלת סקאלה דומה של שניות הופכיות.
הסדרה הבאה היא חלק מטווח ה־ISO:
בפועל, גודל המפתח המקסימלי של עדשה אינו בחזקת מספר שלם אלא בחזקת חצי או שני שלישים.
עדשות מתחלפות חשמליות הקיימות במצלמות SLR הן בעלות מרווחים פנימיים של 1/8 סטופ, כך שהגדרת ה־1/3 סטופ של המצלמה ממוקמת סביב ה־1/8 הקרוב ביותר של העדשה.
סקאלה סטנדרטית של מספרי f עם סטופים שלמים
מספרי f קונבנציונליים מחושבים בסדרת סטופים שלמים:
סקאלה טיפוסית של מספרי f עם חצאי סטופים
סקאלה טיפוסית של מספרי f עם שלישי סטופים
לעיתים אותו המספר קיים במספר סקאלות שונות, למשל נעשה שימוש במפתח של f/1.2 גם במערכת של חצי סטופ וגם במערכת של שליש סטופ.
[8] לעיתים נעשה שימוש ב־f/1.3, f/3.2 ובערכים נוספים בסקאלת השליש סטופ.
סקאלה טיפוסית של מספרי f עם רבעי סטופים
H-סטופ (H מהמילה hole, חור באנגלית) הוא השקול ליחס המיקוד עבור חשיפה אפקטיבית, המבוסס על השטח המכוסה בחורים בדיסקי דיפוזיה או במפתחי מסננת הנמצאים בעדשות .
T-סטופ (T מהמילה transmission, העברה באנגלית), הוא יחס המיקוד המותאם לנצילות העברת האור.
עדשה בעלת T-סטופ בגודל N מקרינה תמונה בעלת בהירות זהה לעדשה אידיאלית בעלת העברה של 100% ויחס מיקוד בגודל N.
T-סטופ מחושב על ידי חילוק יחס המיקוד בשורש נצילות העברת האור של העדשה:
לדוגמה, f/2.0 של עדשה עם נצילות העברת אור של 75% תהיה בעלת T-stop של 2.3:
מכיוון שלעדשות לא אידיאליות יש נצילות העברת אור של פחות מ־100%, ה־T סטופ של עדשה תמיד גדול יותר מיחס המיקוד שלה.
עם הפסדים של 8% במשטחי זכוכית-אוויר בעדשות ללא ציפוי, ציפוי רב שכבתי הוא המפתח להפחתת הפסדי העברת האור בתכנון עדשות.
לעיתים נעשה שימוש ב־T סטופים במקום במספרי f כדי לייצג חשיפה, במיוחד כאשר נעשה שימוש במדדי אור חיצוניים.נצילות העברת אור בעדשות טיפוסיות נעה לרוב בין 60% ל־90%.
בעולם הקולנוע לרוב נעשה שימוש ב־T סטופים, כאשר תמונות רבות מוצגות בזו אחר זו וכל הבדל מזערי בחשיפה עשוי להיות משמעותי.
עדשות של מצלמות קולנוע לרוב מותאמות ל־T סטופים ולא למספרי f.
בצילום סטילס אין צורך בעקביות מוחלטת בין עדשות המצלמה ולכן הבדלי חשיפה קטנים נוטים להיות פחות משמעותיים.
יחד עם זאת, בעדשות מיוחדות כמו Smooth Trans Focus של חברות מינולטה וסוני עדיין נעשה שימוש ב־T סטופים.
בצילום, יחס המיקוד הוא בעל ערכים קבועים.
לעומת זאת, במצבים מסוימים ישנה עדיפות לשימוש במספרי f תלויי תדר; בעולם האולטרסאונד מספרי f קבועים ממזערים את האונות המשניות בהדמיה שנעשית באמצעות פולסים מהירים של גלי קול, אך מייצרים תת-מפתחים דינאמיים שגודלם משתנה יחד עם נקודות המוקד.
תת-המפתחים הללו מתעלמים מרכיבי התדר הנמוך של גלי ה־RF, מה שמקטין את הרזולוציה הרוחבית.
מספרי f התלויים בתדר מצמצמים את תופעה זו: בתדרים גבוהים הם מקטינים את תת-המפתחים הנוצרים, מה שמוביל להסרה של רכיבי RF בעלי דגימה מרחבית נמוכה ומזעור האונות המשניות.
בתדרים נמוכים, מספרי ה־f מגדילים את תת-המפתחים מה שמאפשר שימוש בכל הרכיבים של גלי ה־RF ושימור הרזולוציה המרחבית.
יחס המיקוד תלוי התדר מחושב באופן הבא:
כאשר יחס המיקוד, הוא אורך המוקד בתדר ו־ הוא קוטר תת-המפתח התלוי ב־.
כלל סאני 16 (sunny 16 rule) הוא דוגמה לשימוש במספרי f בעולם הצילום: חשיפה מדויקת כמעט לחלוטין תתקבל כאשר משתמשים בצמצם בעל f/16 ומהירות תריס קרובה לאחד חלקי מהירות ה־ISO של הסרט ביום שמשי.
למשל, אם נשתמש ב־ISO בגודל 200, בצמצם בעל f/16 ומהירות תריס של 1/200 תתקבל חשיפה מדויקת בקירוב.
עבור תאורה נמוכה יותר ניתן להקטין את יחס המיקוד ש"יפתח" את העדשה (הגדלה של יחס המיקוד "תסגור" את העדשה, בהתאמה).
עומק השדה גדל יחד עם יחס המיקוד.
תמונות שצולמו עם יחס מיקוד נמוך (מפתח גדול יותר) נוטות להתמקד באובייקט במרחק מסוים, כאשר יתר התמונה מטושטשת.
לרוב נעשה שימוש באפקט זה בצילומי טבע ובצילומי דיוקן מכיוון שטשטוש הרקע מבליט את האובייקט הרצוי, מה שמייצר תמונה אסתטית יותר.
בהינתן יחס מיקוד מסוים, עומק השדה של תמונה תלוי במספר פרמטרים נוספים, לרבות אורך המוקד, מרחק הדמות ופורמט הסרט או הגלאי בו התמונה נקלטת.
עומק השדה ניתן לתיאור גם בעזרת זווית הראייה, מרחק הדמות וקוטר אישון הכניסה.
כתוצאה מכך, עבור ערכים זהים של יחסי מיקוד, זוויות ראייה ואורכי מוקד, פורמט סרט קטן יותר יהיה בעל יהיה בעל שדה עמוק יותר מאשר פורמט סרט גדול יותר.
זאת משום שעבור נתונים אלה פורמט סרט קטן יותר זקוק לאורך מוקד קצר יותר (זווית עדשה רחבה יותר) כדי לקבל את אותה זווית ראייה, ועומק השדה גדל כאשר אורך המוקד קטן.
מכאן שעל מנת להקטין תופעות עומק שדה יש להשתמש ביחסי מיקוד קטנים יותר (וייתכן שבאופטיקה מורכבת יותר) במצלמות בעלות פורמט סרט קטן מאשר במצלמות עם פורמט סרט גדול יותר.
בנוסף לפוקוס, חדות התמונה קשורה ליחסי מיקוד בשני סוגים של אפקטים אופטיים: אברציות, שנגרמות כתוצאה מתכנון לקוי של עדשה, ודיפרקציה, שנובעת מההתנהגות הגלית של אור.
מכאן שיחס המיקוד האופטימלי תלוי בתכנון העדשה.
עבור מפתחים קטנים, ניתן לשפר את עומק השדה ואת האברציות אך הדיפרקציה תיצור פיזור גדול יותר של אור שמייצר טשטוש.
בהירות התמונה מושפעת גם היא מיחס המיקוד, עבור עדשות בעלות זוויות ראייה רחבות ומפתח גדול יתקבלו קצוות תמונה חשוכים יותר (ויגנט).
בפועל, אין צורך לדייק מאוד בפרטים הטכניים בצילום באור יום.
ברוב מצבי התאורה, f/8 (עבור פורמט סרט של 35 מ"מ או יותר) מייצר עומק שדה ומהירות עדשה טובים עבור חשיפה בסיסית מספקת.
על מנת לחשב את יחס המיקוד של העין האנושית יש למצוא את המפתח הפיזיקלי ואת אורך המוקד שלה.
קוטר האישון יכול להגיע ל־6–7 מ"מ כאשר הוא פתוח לרווחה, וזהו המפתח המקסימלי.
יחס המיקוד של העין האנושית נע בין f/8.3 במקום מואר ל־f/2.1 בחושך.
על מנת לחשב את אורך המוקד יש לקחת בחשבון את תכונות שבירת האור של נוזלי העין, לכן לא ניתן להתייחס לעין כאל מצלמה מלאה באוויר עם עדשה אידיאלית.
באסטרונומיה, יחס המיקוד מכונה לרוב בתור יחס פוקאלי (f-ratio) ומסומן ב־N.
הוא עדיין מוגדר בתור היחס בין אורך המוקד f לקוטר העדשה D:
למרות שתכונות היחס הפוקלי נשמרות, המצבים בהם משתמשים בו עשויים להשתנות.
בצילום, היחס הפוקלי משנה את ההארה של המרחב הפוקלי (או את ההספק האופטי ליחידת שטח של התמונה) ומשמש לשליטה במשתנים כגון עומק השדה.
כאשר משתמשים בטלסקופ אופטי באסטרונומיה, אין משמעות לעומק השדה והבהירות של גורמי שמיים נקודתיים במונחים של הספק אופטי כולל (לא מחולק ליחידת שטח) היא פונקציה של שטח המפתח בלבד, ללא תלות באורך המוקד.
אורך המוקד משפיע על שדה הראייה של המכשיר ועל הסקאלה של התמונה שמוקרנת במרחב הפוקוס.
לדוגמה, טלסקופ מסוג SOAR באורך 4 מטרים בעל שדה ראייה קטן (כ־f/16) ושימושי למחקרי כוכבים.
טלסקופ מסוג LSST באורך 8.4 מטרים המסוגל לכסות את השמיים בשלמותם בכל שלושה ימים הוא בעל שדה ראייה רחב ביותר ואורך מוקד קצר מאוד של 10.3 מטרים (f/1.2), המתאפשר של ידי מערכת תיקון שגיאות.
משוואת המצלמה (או #G) היא היחס בין הקרינה המגיעה לחיישן המצלמה לבין הקרינה במישור המוקד של עדשת המצלמה:
כאשר τ הוא מקדם ההעברה של העדשה והיחידות הן בסטרדיאן (sr−1).
יחס המיקוד מייצג את יכולת איסוף האור של עדשה באופן מדויק רק כאשר האובייקט נמצא במרחק אינסופי.
בצילום לרוב מתעלמים ממגבלה זו ונעשה שימוש ביחס המיקוד למרות מרחק האובייקט.
בתכנון אופטי, לרוב יש צורך באלטרנטיבה עבור מערכות בהן האובייקט קרוב לעדשה.
במקרים הללו נעשה שימוש ב־, יחס מיקוד אפקטיבי:
כאשר הוא יחס המיקוד, הוא המפתח הנומרי במישור התמונה של העדשה, הוא הערך המוחלט של ההגדלה של העדשה עבור אובייקט הנמצא במרחק מסוים ו־ הוא ההגדלה של האישון.
מאחר שהגדלת האישון לרוב אינה ידועה, בדרך כלל מניחים שערך זה שווה ל־1 (הערך של בכל עדשה סימטרית).
בצילום המשמעות היא שככל שמתמקדים קרוב יותר, המפתח האפקטיבי של המצלמה קטן מה שמכהה את החשיפה.
יחס המיקוד האפקטיבי לרוב מתואר בצילום כיחס המיקוד המתוקן של הארכת העדשה על ידי פקטור בלוז (Bellows factor), אשר בעל חשיבות בצילום מאקרו.
מערכת מספרי ה־f לתיאור מפתחים יחסיים התפתחה בשלהי המאה ה־19, יחד עם מספר מערכות נוספות.
בשנת 1867, "יחס המפתח" הוגדר על ידי סאטון ודוסון באופן הדדי ליחס המיקוד המודרני.
בכל עדשה קיים, בהתאמה ליחס מפתח נתון (כלומר, היחס בין קוטר המעצור לאורך המוקד), מרחק מסוים של עצם קרוב ממנו, שבינו לבין האינסוף כל העצמים בפוקוס זהה.
למשל, בעדשה בעלת אורך מוקד של 6 אינץ' וסטופ של 1/4 אינץ' (יחס מפתח של אחד חלקי עשרים וארבע), כל העצמים הממוקמים במרחקים בין 20 רגל מהעדשה למרחק אינסופי ממנה (כוכב במיקום קבוע, למשל) נמצאים בפוקוס טוב באותה המידה.
עשרים רגל נקרא אפוא 'טווח המוקד' של העדשה עבור הסטופ הנ"ל.
לכן, טווח הפוקוס הוא המרחק בין האובייקט הקרוב ביותר הנמצא במיקוד טוב כאשר זכוכית הקרקע מותאמת לעצם רחוק מאוד.
עבור אותה העדשה, טווח הפוקוס יהיה תלוי בגודל הדיאפרגמה בה נעשה שימוש, כאשר בעדשות שונות בעלות יחס מפתח זהה, טווחי הפוקוס יתרחקו ככל שאורך מוקד העדשה יוגדל.
הביטויים 'יחס המפתח' ו'טווח פוקוס' טרם נכנסו לשימוש רווח, אך רצוי מאוד שזה יקרה, על מנת למנוע עמימות בהתייחסות לתכונות של עדשות צילום.
בשנת 1874, ג'ון הנרי דלמייר קרא ליחס "יחס העוצמה" של עדשה:
המהירות של עדשה תלויה ביחס בין המפתח למוקד השקול.
על מנת לוודא זאת, יש לחלק את המוקד השקול בקוטר של המפתח האפקטיבי של העדשה המדוברת; ולכתוב את המנה בתור המכנה עם 1, או יחידה, עבור המונה.
לכן למציאת היחס בין עדשה בעלת קוטר של 2 אינצ'ים ומוקד של 6 אינצ'ים, יש לחלק את המוקד במפתח, או 6 חלקי 2 שווה 3; מכאן, 1/3 הוא יחס העוצמה.
למרות שטרם נחשף לתאוריית המעצורים והאישונים של ארנסט אבה שפורסמה לקהל הרחב על ידי זיגפריד צ'פסקי ב־1893, דלמייר הבחין בין המפתח האפקטיבי שהגדיר וקוטר המפתח:
יש לשים לב, שכדי למצוא את יחס העוצמה האמיתי, יש לוודא את הקוטר של המפתח האפקטיבי.
על מנת לוודא זאת, יש למקד אובייקט רחוק, להסיר את המסך הממקד ולהחליפו בשקף קולודיון, כאשר הפלטה המוכנה הוחלפה לפני כן בחתיכת קרטון.
יש לחורר חור קטן ועגול במרכז הקרטון ולהעביר את המערכת לחדר חשוך.
יש להדליק נר על יד החור ולצפות באזור המואר הנראה בקדמת המערכת; קוטרו של מעגל זה, הנמדד בקפידה, הוא המפתח האפקטיבי האמיתי של העדשה עבור המעצור הנ"ל.
נקודה זו הודגשה על ידי צ'פסקי בשנת 1983. לפי סקירה באנגלית שנעשתה לספרו ב־1894, "יש לבצע הפרדה ברורה בין מפתח אפקטיבי וקוטרו של מעצור פיזי".
דלמייר, תומאס רודולפוס דלמייר, ממציא עדשת הטלפוטו, המשיך את השימוש בביטוי יחס העוצמה ב־1899.
במקביל, פותחו מספר מערכות למספור מפתחים במטרה לקבוע זמני חשיפה ביחס פרופורציונלי (ישיר או הופכי) למפתח, במקום לריבוע יחס המיקוד או לריבוע ההופכי של יחס המפתח או יחס העוצמה.
אולם, המערכות הללו כללו קבוע כלשהו, בניגוד ליחס הפשוט בין אורך המוקד לקוטר המפתח.
לדוגמה, המערכת האחידה (Uniform System – U.S) של מפתחים נקבעה בתור סטנדרט על ידי אחוות הצילום של בריטניה בשנות ה־1880. לדברי בות'למיי "הסטופים של כל היצרנים כעת מסודרים לפי מערכת זו" (1891).
של 16 הוא מפתח זהה ל־f/16, אולם במפתחים גדולים או קטנים בסטופ מלא נעשית הכפלה פי 2 או פי חצי של מספר ה־U.S., למשל ערכו של f/11 ב־U.S.
הוא 4. זמן החשיפה הנדרש פרופורציונלי באופן ישיר למספר ה־U.S..
איסטמן קודאק השתמשו במערכת ה־U.S.
במצלמות רבות עד לשנות ה־20 של המאה הקודמת.
עד 1895, הודג'ס סתר את בות'למיי ולדבריו מערכת מספרי ה־f החליפה את מערכת ה־U.S.: "זו נקראת מערכת ה־f/x, והדיאפרגמות של כל העדשות המודרניות המיוצרות היטב מסומנות כך".
להלן טבלת השוואות בין מספרי דיאפרגמות מ־1899:
ב־1901 פייפר דן בחמש מערכות שונות של סימון מפתחים: מערכות צייס ישנות וחדשות המבוססות על העוצמה בפועל (פרופורציונלית לריבוע ההופכי של יחס המיקוד); ומערכות ה־U.S., C.I.
ודלמייר המבוססות על חשיפה (פרופורציונליות לריבוע יחס המיקוד).
הוא קרא למספר ה־f "מספר היחס", "מספר יחס המפתח" ו"יחס המפתח".
הוא קרא לביטויים כמו f/8 "הקוטר החלקי" של המפתח, למרות שהוא שקול לחלוטין ל"קוטר המוחלט" שהוא מבדיל עם ביטוי שונה.
הוא לעיתים השתמש בביטוים כמו "מפתח של f 8 ", ללא סימן החלוקה.
ב־1902 בק ואנדרוס דנו בסטנדרט של f/4, f/5.6, f/8, f/11.3 וכו' של אחוות הצילום המלכותית (Royal Photographic Society – R.P.S).
R.P.S שינו את שמם ועברו להשתמש במערכת ה־U.S.
עד 1920 הביטוי f-number הופיע בספרות הן כ־F number והן כ־f/number.
בפרסומים מודרניים, התצורות f-number ו־f number נפוצות יותר, אך לעיתים ניתן לפגוש בביטויים ישנים יותר.