tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
ריתוך בקשת טונגסטן מוגנת בגז הוא תהליך ריתוך חשמלי המשתמש באלקטרודת טונגסטן שאינה מתכלה כדי לספק חום, כאשר מתכת המילוי נוספת ידנית.
תהליך זה דומה יותר לריתוך בגז, אך עם מקור חום שונה.
שימוש מיוחד למתכת מילוי הוא כאשר יש להשקיע מתכת שונה במכוון.
זה נעשה לעיתים קרובות עבור כלי חפירה בעלי ציפוי קשיח או שיני כף מחפר.
סגסוגת ציפוי קשיח, יקרה יותר ולעיתים שבירה, מיושמת על משטחי השחיקה של כלי פלדה רכה.
קיימים ארבעה סוגים של מתכות מילוי – אלקטרודות מצופות, תיל או מוט אלקטרודה חשוף, חוט אלקטרודה צינורי ותלחימי ריתוך.
לפעמים אלקטרודות שאינן מתכלות נכללות גם כן, אך מכיוון שמתכות אלו אינן נצרכות בתהליך הריתוך, הן בדרך כלל אינן נכללות.
מָתֵמָטִיקָה היא תחום דעת העוסק במושגים כגון כמות, מבנה, מרחב ושינוי.
המתמטיקאים מחפשים דפוסים ותבניות משותפות במספרים, במרחב, במדע ובהפשטות דמיוניות.
המתמטיקה התפתחה ממנייה, חישוב ומדידה ומהמחקר השיטתי של צורות ותנועה של עצמים מוחשיים.
הידע והשימוש במתמטיקה בסיסית היוו תמיד חלק טבעי וחיוני בחיי האדם והקבוצה.
ניתן למצוא שכלולים של הרעיונות הבסיסיים בטקסטים המתמטיים שהגו המצרים, הבבלים, ההודים, הסינים, היוונים והמוסלמים.
כבר בשלב מוקדם בלטו שלושה מאפיינים המלווים את המתמטיקה עד היום:
הפשטה: אף שמקורם של חלק מן העצמים המתמטיים בעולם הממשי, הדיון המתמטי בהם כרוך בהפשטה ניכרת.
המספר 5 עשוי לייצג 5 אבנים או 5 תפוחים, אך המתמטיקה עוסקת במספר כישות עצמאית, שאינה מייצגת דבר.
המעגל מזכיר לנו חפצים מוחשיים עגולים, כגון גלגל, אך הגאומטריה עוסקת במעגל מופשט, חסר משקל וחסר נפח ומושלם בצורתו.
הכללה: המתמטיקה בוחנת את עצמיה המופשטים בראייה רחבה, תוך חיפוש מאפיינים כלליים שלהם.
מושג המספר כולל בתוכו סדרה של הכללות: מעבר ממספרים טבעיים למספרים שלמים, מהם למספרים רציונליים, מהם למספרים ממשיים ומהם למספרים מרוכבים.
בכל אחת ממערכות המספרים הללו מוכלת המערכת שקדמה לה.
הוכחה: כל טענה מתמטית יש להוכיח, כלומר לנמק את נכונות הטענה באמצעות סדרה של כללי היסק.
המתמטיקאי מעלה השערות חדשות, שאת אמיתותן עליו לבסס באמצעות הוכחות פורמליות דדוקטיביות הנובעות מתוך אקסיומות (הנחות יסוד שקובעים כי הן נכונות), והגדרות שנבחרו בהתאם.
הוכחות פורמליות הופיעו לראשונה במתמטיקה היוונית, ובמיוחד ב"יסודות" של אוקלידס.
פיתוח המתמטיקה המשיך, בצורה בלתי מסודרת, עד תקופת הרנסאנס במאה ה-16, שבה החידושים המתמטיים קיימו יחסי גומלין עם התגליות המדעיות של התקופה.
דבר זה הוביל להאצה במחקר המתמטי, ובמקביל לכך החלה התרחבות מהירה של המתמטיקה כמדע עצמאי.
שני כיווני התפתחות אלה נמשכים עד היום.
המתמטיקה משמשת ככלי חיוני בתחומים רבים, ובכלל זה במדעי הטבע, בהנדסה, ברפואה ואף במדעי החברה כגון כלכלה, פסיכולוגיה ודמוגרפיה.
בעיות שמקורן בענפי מדע אחרים ממשיכות להוות זרז ומניע לתגליות מתמטיות חדשות, ולעיתים מתפתחים תחומים מתמטיים חדשים לחלוטין בעקבות זאת.
במקביל מתפתחת המתמטיקה כענף ידע נרחב ועצמאי, ללא התייחסות ליישומו בענפי מדע אחרים, אם כי לעיתים קרובות מתגלים בהמשך יישומים מעשיים לתגליות שהחלו כמתמטיקה עיונית בלבד.
מקור המילה "מתמטיקה" במילה היוונית העתיקה μάθημα (מתמה, máthēma), שפירושה: "למידה, לימוד, מדע".
בנוסף קיבלה המילה, עוד בעת העתיקה, את המשמעות הצרה יותר של "לימוד מתמטי".
שם התואר המתאים ביוונית הוא μαθηματικός (מתמטיקוס, mathēmatikós), שפירושו: "קשור ללמידה"; כמו השם שהוא נגזר ממנו, גם התואר קיבל משמעות צרה יותר, דהיינו "מתמטי, קשור למתמטיקה".
התואר משמש בפרט בביטוי μαθηματικὴ τέχνη (מתמטיקה טכנה, mathēmatikḗ tékhnē), כלומר (בתרגום חופשי) "מקצוע המתמטיקה", או בלטינית ars mathematica (ארס מתמטיקה), כלומר "אמנות המתמטיקה".
שמואל בן יהודה אבן תיבון, בתרגומו ל"מורה הנבוכים", בתחילת המאה ה-13, השתמש במילה "לימודיים" במשמעות של מתמטיקה.
בכך הלך ישירות על פי הערבית ("תעאלים") והיוונית.
יהודה אלחריזי, שתרגם אף הוא את "מורה הנבוכים", השתמש בביטויים "חכמת הלימודים" ו"חכמות לימודיות" במשמעות של מתמטיקה.
בעברית ישראלית משמשת המילה "מתמטיקה".
בכיתות הנמוכות מכונים לימודי המתמטיקה "חשבון" (אריתמטיקה בסיסית) ו"הנדסה" (גאומטריה בסיסית).
את התפתחות המתמטיקה ניתן לראות כסדרה הולכת וגדלה של הפשטות או פיתוחים של נושאים שונים.
ההפשטה הראשונה הייתה, ככל הנראה, של המספרים: ההבחנה, כי לשני תפוחים ולשני תפוזים (לדוגמה) יש תכונה משותפת, היוותה פריצת דרך בחשיבה האנושית.
בנוסף להבנה כיצד לספור חפצים מוחשיים, בני האדם הפרהיסטוריים הבינו גם כיצד לספור חפצים מופשטים, כגון יחידות זמן - ימים, עונות ושנים.
משם נבעה באופן טבעי האריתמטיקה, הכוללת את ארבע פעולות החשבון: חיבור, חיסור, כפל וחילוק.
על-מנת להשיג התקדמות נוספת, נדרשה כתיבה או מערכת אחרת לרשימת מספרים, כגון מקל ספירה או קיפו, התקן ספירה הבנוי מחוטים וקשרים ושימש את בני האינקה לשמירת מידע מספרי.
שיטות ספירה רבות ומגוונות הומצאו, כאשר המספרים הכתובים העתיקים ביותר הידועים כיום נרשמו על ידי המצרים כ-4,000 שנה לפני זמננו בטקסטים כגון פפירוס רינד.
התחומים המרכזיים במתמטיקה נוצרו מתוך הצורך בהבנת הקשר בין המספרים, במדידת שטחים, בחישובים לצורכי מס ומסחר, ובחיזוי אירועים שמימיים.
מכאן נבעה החלוקה הבסיסית של המתמטיקה למחקר של כמות, מבנה, שינוי ומרחב.
חפירות ארכאולוגיות מעידות על כך שלחכמי בבל ומצרים היה ידע במתמטיקה, בין השאר במשוואות ריבועיות, שורש ריבועי, שטחים של צורות מישוריות ושימוש בטבלאות שונות.
מאז, הורחבה המתמטיקה בצורה ניכרת, ויצרה יחסי גומלין פוריים עם תחומי המדע השונים.
תגליות מתמטיות חדשות נתגלו לכל אורך ההיסטוריה, וממשיכות להתגלות עד היום.
התפתחות המתמטיקה בעת העתיקה הגיעה לשיאה ביוון העתיקה, בזכות מתמטיקאים מפורסמים כמו אוקלידס וארכימדס.
בימי הביניים היה עיקר ההתפתחות על ידי הערבים, שפיתחו את האלגברה והטריגונומטריה.
במאה ה-17 הייתה פריחה של ענפים שונים במתמטיקה, כגון גאומטריה אנליטית וחשבון אינפיניטסימלי, ששימשו הזנק לענפים מדעיים רבים.
פיתוח הגאומטריה הלא-אוקלידית במאה ה-19 הדגיש את חשיבותן של האקסיומות במתמטיקה, ואת התרחקותה מהגישה האינטואיטיבית.
בסוף המאה ה-19 פותחה תורת הקבוצות, והתפתח דיון ביסודות המתמטיקה.
במאה ה-20 המשיכה המתמטיקה בהתפתחותה המהירה והושגו הישגים רבים, בהם פתירת רוב הבעיות שנכללו ב-23 הבעיות של הילברט.
תחום הלוגיקה זכה להישגים בולטים במאה זו, ונולד תחום מתמטי חדש, מדעי המחשב.
למרות כל ההישגים הללו, הידע המתמטי שלנו רחוק מלהיות שלם: מתמטיקאים עודם שוקדים על הוכחות למשפטים חדשים ופיתוח רעיונות מתמטיים מקוריים.
לשם הדגמה, במסד הנתונים של כתב העת Mathematical Reviews, שנוסד ב-1940, יש, נכון ל-2017, מעל שני מיליון מאמרים וספרים.
רובן המוחלט של עבודות אלו עוסק במשפטים מתמטיים חדשים ובהוכחותיהם.
כאמור לעיל, התחומים העיקריים במתמטיקה הופיעו כתוצאה מהצורך לבצע חישובים במסחר, להבין את היחסים בין מספרים, למדוד אדמה ולחזות אירועים אסטרונומיים.
ארבעת הצרכים הראשוניים האלו מחלקים באופן גס את המתמטיקה לחקר של כמות, מבנה, מרחב ושינוי (אריתמטיקה, אלגברה, גאומטריה ואנליזה, בהתאמה).
בנוסף לתחומים אלו, ישנן חלוקות-משנה המיועדות לחקר יסודות המתמטיקה (לוגיקה מתמטית ותורת הקבוצות), לשימושים של המתמטיקה במדעים השונים, ולאחרונה למחקר הריגורוזי באי-ודאות.
חקר הכמות מתחיל עם מספרים: ראשית, המספרים הטבעיים והשלמים והפעולות הבסיסיות שניתן לבצע עליהם, אשר מאופיינות באמצעות האריתמטיקה.
בהמשך, תכונות מורכבות יותר של המספרים השלמים כגון המשפט האחרון של פרמה נלמדות בתורת המספרים.
לאחר פיתוח נוסף של מערכת המספרים, ניתן לראות כי המספרים השלמים הם תת-קבוצה של המספרים הרציונלים ("שברים").
אלה, בתורם, מהווים חלק מקבוצת המספרים הממשיים, המשמשים לייצוג כמויות רציפות.
את המספרים הממשיים ניתן להכליל למספרים מרוכבים, וזהו צעד ראשון בהיררכיה של מספרים אשר ניתן להמשיך אותה עם קווטרניונים ואוקטוניונים.
עיון במספרים הטבעיים מניב גם את הסודרים האינסופיים, שנותנים תוקף למושג של ספירה לאינסוף.
תחום מחקר נוסף הוא גודל, אשר מוביל לעוצמות ולתפיסה אחרת של האינסוף: מספרי "אָלֶף", המאפשרים השוואה בעלת משמעות בין הגדלים של קבוצות אינסופיות.
| מספרים טבעיים || מספרים שלמים || מספרים רציונליים || מספרים ממשיים || מספרים מרוכבים
עצמים מתמטיים רבים, כגון קבוצות של מספרים ושל פונקציות, הם בעלי מבנה פנימי.
את תכונות המבנה שלהם חוקרים באמצעות התבוננות בחבורות, חוגים, שדות ומבנים מופשטים נוספים, שהם עצמים מתמטיים בפני עצמם.
מושג חשוב בתחום זה הוא וקטורים, אשר ניתן להכלילם למרחב וקטורי וללמוד אותם במסגרת האלגברה הליניארית.
מושג הווקטור משלב בתוכו שלושה מהתחומים היסודיים במתמטיקה: כמות, מבנה ומרחב.
אנליזה וקטורית מוסיפה את התחום היסודי הרביעי, שינוי.
באמצעות חשבון טנזורים נחקרות סימטריות והתנהגותם של וקטורים תחת סיבובים.
מספר שאלות עתיקות על בנייה בסרגל ומחוגה נפתרו לבסוף בתורת גלואה.
| תורת המספרים || אלגברה מופשטת || תורת החבורות || תורת הסדר
לימוד המרחב התחיל בגאומטריה - בפרט, גאומטריה אוקלידית.
המחקר המודרני במרחב מכליל את הרעיונות האלה לגאומטריה מרובת-ממדים, גאומטריות לא-אוקלידיות (שלהן תפקיד מרכזי בתורת היחסות הכללית) וטופולוגיה.
כמות ומרחב משתלבים באמצעות גאומטריה אנליטית, גאומטריה דיפרנציאלית וגאומטריה אלגברית.
בתחום הגאומטריה הדיפרנציאלית, אשר שמה דגש על מערכות צירים, חלקות וכיוון, נמצא את המושגים של אגד סיבים ואנליזה על יריעות.
בגאומטריה אלגברית מתוארים העצמים הגאומטריים כקבוצת הפתרונות של משוואות פולינומיות, ובכך משתלבים מושגי הכמות והמרחב, וכן נחקרות חבורות טופולוגיות, אשר משלבות מבנה ומרחב.
חבורות לי משמשות לחקר מרחב, מבנה ושינוי.
טופולוגיה, על תתי-הענפים שלה, התפתחה במאה ה-20, וכוללת את השערת פואנקרה ואת משפט ארבעת הצבעים, שהוכח בעזרת מחשב ונכונותו לא אומתה בידי אדם.
|גאומטריה || טריגונומטריה || גאומטריה דיפרנציאלית || טופולוגיה || גאומטריה פרקטלית
תיאור והבנת שינוי הוא צורך נפוץ במדעי הטבע, וחשבון אינפיניטסימלי פותח ככלי רב-עוצמה לחקירתו.
המושג העיקרי המשמש לתיאור מנה משתנית הוא הפונקציה.
המחקר הריגורוזי במספרים הממשיים ובפונקציות המקבלות ערכים ממשיים נקרא אנליזה ממשית, והתחום המקביל החוקר פונקציות של מספרים מרוכבים נקרא אנליזה מרוכבת.
השערת רימן, אחת מהשאלות הפתוחות היסודיות ביותר במתמטיקה, היא השערה על מספרים ראשוניים אבל מנוסחת באמצעות פונקציות מרוכבות.
אנליזה פונקציונלית מתמקדת במרחבי פונקציות, בדרך כלל בעלי אינסוף ממדים.
אחד מהשימושים הרבים של האנליזה הפונקציונלית הוא במכניקת הקוונטים.
בפתרון בעיות רבות ניתן להיעזר בקשרים בין כמות לבין קצב השינוי שלה, וקשרים אלה נלמדים בתחום המשוואות הדיפרנציאליות.
תופעות רבות בטבע ניתנות לתיאור באמצעות מערכות דינמיות; תורת הכאוס חוקרת בצורה מדויקת את הצורה שבה רבות ממערכות אלה פועלות בצורה בלתי ניתנת לחיזוי אך עדיין דטרמיניסטית.
אנליזה נומרית חוקרת שיטות חישוב שונות לפתרון יעיל של קשת רחבה של בעיות חישוביות שאין להן פתרון אנליטי; היא כוללת את המחקר בשגיאות עיגול ומקורות אחרים לשגיאות בחישוב.
חשבון אינפיניטסימלי אנליזה וקטורית משוואות דיפרנציאליות מערכות דינמיות תורת הכאוס אנליזה נומרית פיזיקה מתמטית מכניקת הזורמים
על מנת להסביר את יסודות המתמטיקה פותחו תחומי הלוגיקה המתמטית ותורת הקבוצות, וכן תורת הקטגוריות שעדיין בשלבי פיתוח.
"משבר היסודות" הוא הכינוי שניתן בתחילת המאה ה-20 לחיפוש אחר יסודות מתאימים למתמטיקה, הוא תופעה מתמשכת, המומחשת על ידי מספר מחלוקות כגון המחלוקת על תורת קנטור, מחלוקת בראואר-הילברט ומחלוקת בישופ-קייסלר.
לוגיקה מתמטית מתייחסת לקביעת המתמטיקה על מסגרת אקסיומטית קשיחה, וחקר התוצאות של מסגרת כזו.
ניתן למצוא בה את משפט האי-שלמות השני של גדל, אולי התוצאה המפורסמת ביותר בלוגיקה, שלפיה כל מערכת פורמלית המכילה אריתמטיקה בסיסית, אם היא חזקה מספיק (כלומר, כל המשפטים שניתן להוכיחם הם נכונים) אזי היא בהכרח בלתי שלמה (כלומר, ישנם משפטים נכונים שלא ניתן להוכיחם במסגרת אותה מערכת).
גדל הראה כיצד לבנות, בהינתן אוסף של אקסיומות בתורת המספרים, טענה פורמלית שהיא נכונה במספרים הטבעיים, אך אינה נובעת מהאקסיומות הנתונות.
מכאן, שום מערכת פורמלית אינה אקסיומטיזציה אמיתית של תורת המספרים במלואה.
לוגיקה מודרנית מחולקת לתורת הרקורסיה, תורת המודלים ותורת ההוכחות, והיא בעלת יחסים הדוקים עם מדעי המחשב התאורטיים.
| לוגיקה מתמטית || תורת הקבוצות || תורת הקטגוריות ||
מתמטיקה דיסקרטית (או מתמטיקה בדידה) היא תחום העוסק בחקר מבנים מתמטיים בדידים, כלומר בני־מנייה.
זאת להבדיל מהאנליזה המתמטית, המרבה לעסוק במבנים מתמטיים רציפים, שאינם בני מנייה.
מתמטיקה בדידה זוכה לפופולריות גוברת מאז החצי השני של המאה העשרים, בזכות שימושיה במדעי המחשב: מחשב ספרתי (להבדיל ממחשב אנלוגי) פועל בצורה בדידה, צעד אחר צעד ובעזרת יחידות בדידות, ולכן למתמטיקה בדידה רלוונטיות גבוהה ליסודות התאורטיים של אופן פעולתו.
ענפים עיקריים הנכללים במסגרת הרחבה של המתמטיקה הבדידה הם: קומבינטוריקה, תורת הגרפים, אלגוריתמיקה ואלגברה בוליאנית.
| קומבינטוריקה || תורת הגרפים
מדעי המחשב התאורטיים כוללים תחומים מתמטיים אחדים בעלי רלוונטיות גבוהה להבנת מהותם ואופן פעולתם של מחשבים, ובהם תורת החישוביות, תורת הסיבוכיות החישובית ותורת האינפורמציה.
תורת החישוביות חוקרת את גבולותיהם של מודלים תאורטיים שונים של המחשב, ובכלל זה המודל העוצמתי ביותר הידוע כיום - מכונת טיורינג.
תורת הסיבוכיות חוקרת את המשאבים הנחוצים לפתרון בעיות; חלק מהבעיות, אף על פי שתאורטית ניתן לפתור אותן באמצעות מחשב, דורשות זמן ריצה וזיכרון כה רבים, שפתרונן עתיד להישאר בלתי-ישים, אפילו בהתחשב בהתקדמות המהירה של פיתוח החומרה.
לבסוף, תורת האינפורמציה עוסקת בכמות הנתונים שניתן לאחסן על אמצעי-אחסון מסוים, ובמושגים כגון דחיסת נתונים ואנטרופיה.
כתחום חדש יחסית, במדעי המחשב קיימות בעיות פתוחות מהותיות רבות.
המפורסמת מתוכן היא האם P=NP.
| תורת החישוביות || תורת הסיבוכיות || קריפטוגרפיה
בסיס תאורטי למחקר במדעי החברה והניהול ובמדעי החיים
מראשית ימיה שימשה המתמטיקה לפתרון בעיות בעולם הממשי, במקביל להתפתחותה העיונית, כמדע העומד בפני עצמו.
לאורך הדורות בלט השימוש במתמטיקה לפתרון בעיות בפיזיקה.
בעת החדשה, ובפרט במאה העשרים התפתחו ענפי מתמטיקה אחדים המספקים ביסוס מתמטי לפעילויות שההיבטים המעשיים שלהם נחקרים במסגרת מדעי החברה (כלכלה, ניהול) ומדעי החיים (ביולוגיה, רפואה).
סטטיסטיקה עושה שימוש בכלים של תורת ההסתברות ומאפשרת תיאור, ניתוח וחיזוי של תופעות שבהן המקרה משחק תפקיד.
רוב הניסויים, הסקרים והתצפיות דורשים שימוש מושכל בסטטיסטיקה.
למרות זאת, רבים מהסטטיסטיקאים אינם מחשיבים את עצמם כמתמטיקאים, אלא כחלק מקבוצה נפרדת העושה שימוש במתמטיקה.
חקר ביצועים הוא תחום יישומי נוסף של המתמטיקה המאפשר מציאת פתרונות אופטימליים לבעיות עם משאבים מוגבלים, או החלטות מיטביות בהתאם למידע הקיים.
תורת המשחקים משמשת לניתוח מצבי תחרות ועימות.
|אופטימיזציה || תורת ההסתברות || סטטיסטיקה || מתמטיקה פיננסית || תורת המשחקים
מרבית הסימונים המתמטיים שבשימוש כיום הומצאו רק במאה ה-16 ואילך.
לפני כן, המתמטיקה נכתבה במילים ולא בסימנים - תהליך איטי שהגביל את היכולת המתמטית של בני אותן תקופות.
לאונרד אוילר המציא, במאה ה-18, רבים מהסימנים שבשימוש כיום.
הסימון המתמטי המודרני הופך את העיסוק במתמטיקה נוח ביותר למקצוענים, אך מתחילים מוצאים אותו מרתיע לעיתים.
הסימון המתמטי "דחוס" מאוד: ניתן להביע באמצעותו מידע רב מאוד תוך שימוש במספר מועט של סמלים.
בדומה לתיווי מוזיקלי, גם לתיווי המתמטי המודרני תחביר מדויק ונוקשה, והוא מקודד מידע שיהיה קשה לכתבו בכל צורה אחרת.
גם השפה המתמטית עשויה להיות קשה להבנה למתחילים.
למילים כגון "או" יש משמעות מדויקת, ולעיתים שונה, מבלשון היומיומית.
בנוסף, מילים כגון "פתוח" ו"שדה" קיבלו משמעות מתמטית מיוחדת.
הז'רגון המתמטי כולל מונחים טכניים חדשים רבים, כגון הומיאומורפיזם ואינטגרביליות.
ישנה סיבה לכל הסימונים והמונחים המיוחדים: המתמטיקה דורשת דיוק רב בהרבה מלשון היום-יום.
המתמטיקאים קוראים לרמת הדיוק הזו בשפה "ריגורוזיות".
ריגורוזיוּת היא מרכיב יסודי בכל הוכחה מתמטית.
המתמטיקאים מעוניינים שהמשפטים שהם מנסחים ינבעו מאקסיומות באמצעות הסקת מסקנות שיטתית.
רק כך ניתן להימנע מ"משפטים" שגויים, המבוססים על אינטואיציה בלבד, שכמותם הופיעו רבים במהלך ההיסטוריה המתמטית .
רמת הריגורוזיות המקובלת אצל המתמטיקאים השתנתה במשך ההיסטוריה.
היוונים, שטיפלו בעיקר ביצורים גאומטריים קונקרטיים, דרשו טיעונים מפורטים.
בתקופתו של אייזק ניוטון היה מקובל להשתמש בשיטות פחות קפדניות, וגם ההגדרות שנתנו ניוטון ולייבניץ למושגי היסוד של האנליזה, כמו הגבול של סדרה, לא היו מדוקדקים די הצורך בסטנדרטים מודרניים.
בעיות מהותיות בהגדרת מושג הפונקציה, שהתעוררו בעיקר סביב עבודתו של פורייה, הובילו לתחייה המחודשת של ניתוח מדוקדק והוכחות פורמליות במאה ה-19. גם כיום, המתמטיקאים ממשיכים להתווכח בינם לבין עצמם בנוגע להוכחות מתמטיות בעזרת מחשב.
חישובים בהיקף גדול קשים לאימות, ולכן יש הטוענים כי הוכחות כאלה אינן ריגורוזיוֹת מספיק.
בהשקפת העולם המסורתית, אקסיומות היו "אמיתות מובנות מאליהן", אך תפיסה זו היא בעייתית.
במישור הפורמלי, אקסיומה היא שרשרת של סמלים, המקבלת משמעות רק בהקשר של נוסחאות הנגזרות ממערכת אקסיומטית.
מטרתה של תוכנית הילברט הייתה לבסס את כל המתמטיקה על בסיס אקסיומטי מוצק, אך לפי משפטי האי-שלמות של גדל בכל מערכת אקסיומטית חזקה מספיק קיימים משפטים שלא ניתן להוכיחם, ולכן אקסיומטיזציה כפי שהציע אותה הילברט אינה אפשרית.
למרות זאת, לעיתים קרובות מדברים על המתמטיקה, בכל הנוגע לתוכן הפורמלי שלה, כעל אקסיומטיזציה של תורת הקבוצות ותו לא - במובן שבו כל טענה מתמטית ניתנת לייצוג על ידי נוסחאות בתחום תורת הקבוצות.
אחת מדרישות הריגורוזיות היא הסתמכות על דדוקציה ולא על אינדוקציה.
בניגוד למדעי הטבע, בהם הסקת מסקנות מכמות גדולה של מקרים פרטיים אל הכלל מתקבלת כראייה מספקת לנכונותה של טענה, במתמטיקה נדרשות הוכחות ש"לוכדות את האינסוף" ולא רק מספר סופי של מספרים, גדול ככל שיהיה.
דרישה זו יכולה להיראות קנטרנית, אך במהלך ההיסטוריה התברר שהיא הכרחית.
לדוגמה, משפט המספרים הראשוניים, שמספק את הקירוב למספר הראשוניים הקטנים מ-x.
(היחס בין ערך זה לבין הפונקציה , x מחולק בלוגריתם הטבעי שלו, שואף ל-1).
הערכה זו מפריזה במספר הראשוניים לכל ערך שעבורו היא נבדקה, אך ג'ון אדנזור ליטלווד הראה שבשלב כלשהו הנוסחה תמעיט בכמות המספרים הראשוניים.
משום כך השערות חשובות כמו המשפט האחרון של פרמה והשערת רימן נשארו פתוחות במשך שנים רבות (האחרונה עד היום), אף על פי שנמצאו להן ראיות, באמצעות מחשבי-על, התקפות למספרים רבים.
הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף בפילוסופיה שמטרתו הבהרת מהותה של המתמטיקה.
הוא נועד לענות על שאלות כמו: האם למתמטיקה תקפות אוניברסלית או שהיא תלויה בחשיבה האנושית, עד כמה המשפטים המתמטיים תקפים במציאות הגשמית, האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה, מדוע המתמטיקה כה שימושית בתיאור היקום וכיוצא בזאת.
המושגים והמשפטים במתמטיקה אינם מתאימים בהכרח לעצמים בעולם הגשמי.
אמנם, קיימת התאמה מסוימת, ואף על פי שמתמטיקאים עשויים לבחור אקסיומות וטענות הנראות הגיוניות ואינטואיטיביות, אין זה נחוץ שההנחות הבסיסיות במסגרת מערכת אקסיומטית יהיו נכונות במובן נסיוני או פיזיקלי.
מכאן, אף על פי שמערכות אקסיומטיות רבות נגזרות מתפיסתנו ומניסויים, הן אינן תלויות בהם.
לדוגמה, נוכל לומר כי את המושג הפיזיקלי של שני תפוחים ניתן להסביר באמצעות המודל המתמטי של המספרים הטבעיים - המספר 2. בעוד הדימוי של ההגדרות האקסיומטיות של המספרים הטבעיים כאוספים של תפוחים שימושי לצורכי הוראה, ההגדרה עצמה אינה תלויה או נגזרת מגופים גשמיים כלשהם.
אף על פי כן, המתמטיקה היא עדיין כלי שימושי בפתרון בעיות ממשיות.
שאלת תקפותה של המתמטיקה העסיקה הוגים רבים בכל הזמנים.
היו שסברו שהמתמטיקה קיימת באותה מידה בה קיימים עצמים מוחשיים, ולפיכך היא מתגלה, ואילו אחרים טענו שהמתמטיקה נבנתה על ידי האדם, ולפיכך היא מומצאת.
נושא זה הוא גרעין המחלוקת בין האסכולות בפילוסופיה של המתמטיקה:
על פי הפלאטוניזם המתמטי, או הריאליזם המתמטי, הישויות המתמטיות קיימות באופן ממשי, והאדם רק מגלה אותן, כפי שהיה עושה ככל הנראה כל יצור תבוני אחר.
השאלה הגדולה שמופנית לתומכי אסכולה זו היא איפה הישויות קיימות, ואיך ניתן למצוא אותן.
בין התומכים המפורסמים בפלאטוניזם: הפילוסוף אפלטון והמתמטיקאים פאול ארדש וקורט גדל.
הפורמליזם בבסיסו טוען שהמתמטיקה היא למעשה אוסף סמלים ופעולות שניתן לבצע בהם, על פי "כללי משחק" שנקבעו מראש, וללא כל משמעות מעבר לכך.
גרסה מאוחרת יותר וקיצונית פחות של הפורמליזם היא הדדוקטיביזם, על פיה המתמטיקה אמיתית אם האקסיומות אמיתיות, אך ניתן לבנות גם מתמטיקה בעזרת אקסיומות "לא אמיתיות".
ראייה לטובת אסכולה זו היא הגאומטריה הלא אוקלידית, גאומטריה שונה מזו המקובלת ולא אינטואיטיבית אך עקבית, שבמסגרתה אפשר להגיע לתכונות שונות מבגאומטריה האוקלידית הרגילה.
בעקבות זאת המתמטיקאי הפורמליסט דויד הילברט ניסה לבנות את המתמטיקה על ידי ניסוח מוקפד של כלליה והצרנתה המוחלטת (הפיכתה לאוסף סמלים במסגרת המערכת), אך תוכנית זו נכשלה עקב משפטי האי-שלמות של גדל, על פיהם המושגים "נכון" ו"בר הוכחה" במתמטיקה לא שווים, מה שפגע אנושות בפורמליזם.
הלוגיציזם מבוסס על הסברה שהמתמטיקה נובעת ישירות מהלוגיקה.
במידה רבה זהו פיתוח של הפלאטוניזם.
מייסד הלוגיציזם, גוטלוב פרגה, ניסה לבנות את האריתמטיקה מהלוגיקה, אך בבנייתו התגלתה סתירה, הידועה בתור הפרדוקס של ראסל.
הוגה הפרדוקס ברטראנד ראסל ואלפרד נורת' וייטהד פיתחו בנייה חדשה של המתמטיקה, אך מסובכת יותר ולא לחלוטין נגזרת מהלוגיקה.
האינטואיציוניזם היא האסכולה הקיצונית ביותר מבחינת דרישותיה.
על פי אסכולה זו, ניתן לקבל את קיומו של עצם מתמטי רק אם ניתן לבנותו בצורה ברורה.
לויצן אגברטוס יאן בראואר בנה את הלוגיקה האינטואיציסטית, ששונה מאוד מהלוגיקה הרגילה.
הבעיה המרכזית באינטואיציוניזם היא שהוא דורש לפסול חלק גדול מהמתמטיקה, לדוגמה את כל ההוכחות בדרך השלילה (האינטואיציוניזם אינו מקבל את כלל השלישי מן הנמנע, שלפיו שלילת אי נכונותו של משפט שווה להוכחתו).
על פי תאוריות השכל המוגשם, המתמטיקה נמצאת רק במוח האנושי ונבנית על ידו.
אסכולת הקונסטרוקטיביות חברתית או ריאליזם חברתי מניחה שהמתמטיקה, כמו המדע, היא תוצר של מצבים תרבותיים, ומשתנה בהתאם לניסיון האמפירי ולאופנות החולפות.
שאלה אחרת היא מדוע המתמטיקה פועלת, ותורמת כל כך למדעי הטבע בפרט ולתיאור העולם בכלל.
ניסח זאת אלברט איינשטיין: "כיצד ייתכן כי המתמטיקה, שהיא אחרי הכל תוצר של החשיבה האנושית ואינה תלויה בהתנסות, מתאימה בצורה כל מופלאה לתאר את המציאות?".
שאלה זו הועלתה גם במאמרו המפורסם של יוג'ין ויגנר, "היעילות הבלתי סבירה של המתמטיקה במדעי הטבע".
אחת הטענות שהיא שבמתמטיקה קיים מעין-אמפיריציזם, כלומר שהיא במידה מסוימת תלויה בהתנסות.
תשובתו של איינשטיין עצמו הייתה: "אם חוקי המתמטיקה מתייחסים למציאות, הם אינם ודאיים; ואם הם ודאיים, הם אינם מתייחסים למציאות" - דווקא היותה יציר המוח האנושי הופך אותה לוודאית אף יותר מהמדע ולבסיס מוצק עבורו.
נושאים נוספים בפילוסופיה של המתמטיקה: האתיקה של העיסוק בה בהתחשב בשימושיה הצבאיים (הצפנה, בניית פצצות), האסתטיקה של המתמטיקה (ספר חשוב בנושא זה הוא התנצלותו של מתמטיקאי) ועוד.
מתמטיקאי הוא אדם העוסק במתמטיקה.
בניגוד למדענים אחרים, שעוסקים בתיאור העולם הגשמי, המתמטיקאי עוסק בהסקת טענות חדשות, הנקראות "משפטים", מתוך טענות אחרות אשר הוכחו כבר, או מתוך משפטים יסודיים הנקראים אקסיומות.
הוכחת הטענות מתבצעת בחשיבה לוגית בלבד, ללא צורך למצוא להן תימוכין ניסיוניים.
התוצר העיקרי של מתמטיקאי העוסק במחקר הוא הוכחות, המתפרסמות בצורת מאמרים בכתבי-עת מתמטיים.
לעיתים מסתפק המתמטיקאי, מחוסר הוכחות, בהעלאת השערה, ומותיר לעמיתיו את מלאכת ההוכחה של השערה זו.
מתמטיקאים פעילים בעיקר באוניברסיטאות, בהוראה ובמחקר בענפי המתמטיקה הרבים.
עם זאת, מתמטיקאים פעילים גם בתעשיית ההיי-טק והפיננסים, בעיקר בפיתוח של אלגוריתמים מתקדמים ובניית מודלים מתמטיים שיתארו בעיה מהמציאות ויספקו תובנות כיצד לפתור אותה בצורה המיטבית.
המתמטיקה דרושה לפתרון בעיות העוסקות בכמות, מבנה, מרחב או שינוי.
בעיות כאלו נמצאו לראשונה במסחר, במדידת שטחים ומאוחר יותר באסטרונומיה; כיום, הן קיימות בכל המדעים, ואף בתוך המתמטיקה עצמה.
רעיונות מסוימים במתמטיקה משמשים אך ורק בתחום שהיווה השראה ליצירתם, אך לעיתים רעיונות שנוצרו במקור על מנת לפתור בעיות בתחום מסוים מוכיחים את עצמם כשימושיים בתחומים רבים נוספים, והם מצטרפים לאוסף הכולל של הרעיונות המתמטיים.
העובדה הלא-רגילה כי לעיתים קרובות ניתן למצוא שימושים מעשיים אף לרעיונות שהכי שייכים למתמטיקה העיונית היא מה שכינה הפיזיקאי יוג'ין ויגנר "היעילות הבלתי-הגיונית של המתמטיקה" במאמר משנת 1960.
כמו ברוב תחומי המחקר, גם במתמטיקה נוצר צורך בהתמקצעות עקב הגידול המהיר בהיקף הידע בעידן המדעי.
רוב המתמטיקאים בוחרים, לעיתים כבר במהלך לימודי התואר הראשון, להתמקצע באחד מתתי-הענפים של המתמטיקה, ובפרט מתמטיקה עיונית או מתמטיקה שימושית.
מספר תחומים במתמטיקה השתלבו עם תחומים חוץ-מתמטיים והפכו לתחומי מחקר בפני עצמם, ובכלל זה חקר ביצועים ומדעי המחשב.
עבור העוסקים במתמטיקה, קיים לתחום זה פן אסתטי בלתי מבוטל.
מתמטיקאים רבים מדברים על האלגנטיות של המתמטיקה, האסתטיקה העצמית והיופי הפנימי שבה.
פשטות והכללה הם עקרונות אסתטיים מוערכים.
לדידם, ישנו יופי בכל הוכחה פשוטה ואלגנטית, כגון ההוכחה בדרך השלילה של אוקלידס לקיום אינסוף מספרים ראשוניים, ואף בשיטה נומרית נאה אשר מאיצה חישובים, כגון התמרת פורייה מהירה.
גודפרי הרולד הארדי טען בספרו "התנצלותו של מתמטיקאי" כי שיקולים אסתטיים אלו הם, כשלעצמם, סיבה מספקת לעיסוק במחקר במתמטיקה עיונית, ואתו מסכימים רבים מהמתמטיקאים.
מתמטיקאים שואפים לעיתים קרובות למצוא הוכחות אלגנטיות ככל האפשר למשפטים מתמטיים, תהליך אליו התייחס פאול ארדש כמציאת הוכחות מתוך "הספר בו אלוהים כתב את ההוכחות החביבות עליו".
הפופולריות לה זוכים שעשועי מתמטיקה מעידה על ההנאה והעניין אשר רבים מוצאים בפתרון בעיות מתמטיות.
מקומה של המתמטיקה בין המדעים
המדען והמתמטיקאי קרל פרידריך גאוס כינה את המתמטיקה "מלכת המדעים".
במקור הלטיני Regina Scientiarum, וגם בגרמנית (שפתו של גאוס) Königin der Wissenschaften, המילה המציינת "מדע" פירושה "תחום ידע", ואין ספק שמבחינה זו, המתמטיקה היא אכן מדע.
אם נצמצם את הגדרתו של מדע כמתייחס לחקר העולם החומרי בלבד (שבו עוסקים מדעי הטבע), אז מתמטיקה - או לפחות מתמטיקה עיונית - אינה מדע.
פילוסופים רבים מאמינים כי המתמטיקה איננה ניתנת להפרכה, ולכן איננה תואמת את הגדרתו של קרל פופר למדע.
פופר עצמו לעומת זאת טען כי "רוב התאוריות המתמטיות הן, כמו אלו של הפיזיקה והביולוגיה, מבוססות על השערות ודדוקציה; לכן, מתברר כי המתמטיקה העיונית קרובה הרבה יותר משנדמה לנו למדעי הטבע, אשר השערותיהם מבוססות על ניחושים".
באוניברסיטאות רבות ניתן למצוא פקולטה בשם "מדעי הטבע ומתמטיקה", שם שמרמז ששני התחומים קשורים אך אינם חופפים.
השקפה אחרת גורסת כי תחומים מדעיים מסוימים (כגון פיזיקה תאורטית) הם למעשה מתמטיקה עם אקסיומות שמטרתן להתאים אותה למציאות.
הפיזיקאי התאורטי ג'ון זימן הציע כי המדע הוא "ידע ציבורי", ולכן המתמטיקה נכללת בתוכו.
על כל פנים, למתמטיקה יש הרבה במשותף עם תחומים במדעים המדויקים.
תפיסת המתמטיקה כשפת הפיזיקה, ואפילו כשפתו של אלוהים, היא עתיקה ושורשיה עוד ביוון העתיקה (האסכולה הפיתגוראית) ובתקופת הרנסאנס.
מתמטיקה ניסיונית היא תחום שחשיבותו הולכת וגדלה, וחישובים והדמיות נעשים כלים חשובים יותר ויותר הן במדעים והן במתמטיקה, מה שמחליש מעט, ביחס לענף זה של המתמטיקה, את הטענה כי המתמטיקה אינה משתמשת בשיטה המדעית.
בספרו A New Kind of Science (2002) טוען סטיבן וולפרם כי מתמטיקה נסיונית ראויה למחקר אמפירי כתחום מדעי בפני עצמו.
דעותיהם של המתמטיקאים בעניין זה הן מגוונות.
יש הסוברים כי סיווג המתמטיקה כמדע היא המעטה בערכה של האסתטיקה שלה ושל ההיסטוריה שלה כאחת משבע האמנויות החופשיות; אחרים טוענים כי התעלמות מהקשר של המתמטיקה למדעים היא התעלמות מהעובדה כי שימושי המתמטיקה במדע ובהנדסה גרמו להתקדמות רבה במתמטיקה עצמה.
בבתי ספר תיכוניים, מעמדה של המתמטיקה כיום דומה לזה של הלטינית במאה ה-19. מקצוע זה נחשב לאחד המקצועות הקשים, ולאחד מהשנואים על חלק התלמידים.
למרות זאת, שליטה במתמטיקה חשובה לכל הלומדים תחומים "ריאליים", שכן היא מהווה את אחד הכלים הבסיסיים שבהם משתמשים בתחומים אלו.
פרק החשיבה הכמותית בבחינה הפסיכומטרית בוחן מיומנות מתמטית, ומחזק את חשיבותם של לימודי המתמטיקה לכל הרוצה להמשיך בלימודים באוניברסיטה.
חשיבותה של המתמטיקה, הן לעולם המדעי והן למשק, תורמת גם לפופולריות הגוברת של המקצוע באקדמיה הישראלית, והיא נכללה בין המקצועות המבוקשים ביותר בקרב סטודנטים בישראל בשנת תשפ"א ובשנת תשפ"ב.
כמו כן, חלה עלייה ברצונם של הורים כי ילדיהם ילמדו את מקצוע המתמטיקה באקדמיה.
מבדיקת זרוע העבודה במשרד העבודה והרווחה, מקצוע המתמטיקה נכלל בין חמשת המקצועות הבולטים מבחינת דרישה לעובדים ורמות שכר, בין הסיבות לעלייה בביקוש לעובדים בענף זה הן צמיחת תעשיית ההייטק ופרישתם של עובדים ותיקים יותר בענף.
שעשועי מתמטיקה הם משחקים, חידות, וקסמים המבוססים על מתמטיקה, וכן נושאים במתמטיקה שאינם דורשים ידע רב ויש בהם מן השעשוע.
תחום שעשועי המתמטיקה זכה לדחיפה גדולה במאה ה-19 בזכות פעילותם של החידונאים הגדולים סם לויד והנרי ארנסט דודני.
במאה ה-20 התקדם ענף שעשועי המתמטיקה המודרני במידה רבה בזכות פרסום טור בשם "Mathematical Games" (משחקים מתמטיים) על ידי מרטין גרדנר בירחון סיינטיפיק אמריקן.
הטור כלל כתבות על נושאים רחבים שעד אז לא נחשבו כמתמטיים, כגון יצירותיו האמנותיות של מ.
אשר, פלקסגונים (צורות הנוצרות מקיפולי נייר), קסמים מתמטיים ועוד.
ספרות שעשועי המתמטיקה עוסקת היום במגוון רחב של נושאים הכוללים:
חידות מתחומים שונים: חידות מספרים, חידות גאומטריות, חידות לוגיות, משחקי לוח מבוססי מחשבה.
נושאים הקושרים מתמטיקה לאמנות כגון: ריצופים, חידות חיתוך והרכבה, אוריגמי מודולרי.
נושאים הקושרים מתמטיקה למדעי המחשב כגון: פרקטלים, חידות הקשורות להצפנה, ואוטומטים תאיים.
פרסים אחדים משמשים למתן הוקרה למתמטיקאים, על הישגיהם המתמטיים.
בחלק מהמקרים אלה פרסים ייחודיים למתמטיקאים, ובאחרים הפרס במתמטיקה נכלל במסגרת פרסים הכוללים ענפי מדע רבים.
מדליית פילדס, שנוסדה בשנת 1936 ומחולקת בכל 4 שנים, היא אחד משני הפרסים הבין-לאומיים היוקרתיים ביותר במתמטיקה (יחד עם פרס אבל), המדליה מוענקת למתמטיקאים צעירים אשר לא עברו את גיל ארבעים על פריצות דרך משמעותיות במתמטיקה.
פרס אבל, שנוסד בשנת 2003, נחשב מקביל לפרס נובל (שאינו כולל קטגוריית מתמטיקה), אחד משני הפרסים הבין-לאומיים היוקרתיים ביותר במתמטיקה (יחד עם מדליית פילדס), מוענק למתמטיקאים על הישגיהם המצטברים לאורך השנים.
פרס נבנלינה, שנוסד בשנת 1981 ומחולק בכל 4 שנים, בעבור תרומה יוצאת דופן לאספקטים המתמטיים של תחומים כמו מדעי המחשב, סיבוכיות חישובית, אנליזה נומרית, אלגוריתמיקה, בינה מלאכותית וקריפטוגרפיה, הפרס מוענק למתמטיקאים צעירים אשר לא עברו את גיל 40. נחשב לפרס המקביל במדעי המחשב למדליית פילדס.
פרס קרל פרידריך גאוס, שנוסד בשנת 2002 ומחולק בכל 4 שנים, בעבור "תרומות יוצאות מן הכלל במתמטיקה אשר נמצאו כבעלות יישום משמעותי מחוץ לתחום המתמטיקה".
בנוסף ישנם פרסים שניתנים בעבור תרומות בתחומים מסוימים במתמטיקה כגון:
פרס נורברט וינר למתמטיקה יישומית שנוסד בשנת 1967, מוענק עבור תרומה יוצאת מן הכלל ל"מתמטיקה יישומית במובן הגבוה והרחב ביותר".
פרס קול שנוסד בשנת 1928 מוענק בעבור תרומה יוצאת דופן בתחום האלגברה או בתחום תורת המספרים.
פרס פוליה שנוסד בשנת 1969, מוענק בעבור תרומה משמעותית ליישום של תורת הקומבינטוריקה או תרומה משמעותית בתחום עניין אחר של ג'ורג' פוליה, לדוגמה בתורת הקירובים, אנליזה מרוכבת ותורת המספרים.
בנוסף לפרסים אלה, הניתנים על הישגים כלליים במחקר המתמטי, מוכרזים לעיתים פרסים לפותר של בעיה פתוחה מסוימת:
פרסים אחדים הוצעו למי שיוכיח את המשפט האחרון של פרמה.
במסגרת קידום מכירות של הרומן "הדוד פטרוס והשערת גולדבך", הכריזו המו"ל של הגרסה האמריקאית והמו"ל של הגרסה הבריטית על פרס של מיליון דולר לראשון שיוכיח את השערת גולדבך במהלך שנתיים שהסתיימו, ללא זוכה, ב-15 במרץ 2002.
לרשימה של שבע בעיות המילניום של מכון קליי, הוכרז בשנת 2000 פרס כספי של מיליון דולר לכל הפותר אחת מהן.
הכשרה של מתמטיקאים נעשית באוניברסיטאות או מכללות אקדמיות, במסגרת החוג למתמטיקה.
החוגים למתמטיקה מפוצלים לתת-תחומים, כגון מתמטיקה עיונית ומתמטיקה שימושית, אך גם הכשרתם של מתמטיקאים שימושיים עיונית מאוד.
מתמטיקאים פעילים באוניברסיטאות, בהוראה ובמחקר בענפי המתמטיקה הרבים.
כמו ברוב תחומי המחקר האקדמי, העוסק במחקר מתמטי נדרש בדרך כלל להשלים תואר שלישי.
בניגוד למדעים אחרים, שעוסקים בתיאור העולם הגשמי, המתמטיקה עוסקת בהסקת טענות חדשות, הנקראות משפטים, מתוך טענות אחרות אשר הוכחו כבר, או מתוך משפטים יסודיים הנקראים אקסיומות.
הוכחת הטענות מתבצעת בחשיבה לוגית בלבד, ללא שימוש בתימוכין ניסיוניים.
התוצר העיקרי של מתמטיקאים העוסקים במחקר הוא הוכחות, המתפרסמות בצורת מאמרים בכתבי-עת מתמטיים.
לעיתים מסתפקים המתמטיקאים, מחוסר הוכחות, בהעלאת השערה, ומותירים לעמיתיהם את מלאכת ההוכחה של השערה זו, או הפרכתה.
על טיבו המיוחד (והמנוגד לתדמיתו הציבורית) של המחקר המתמטי עמד נחמן גבעולי:
בנוגע למתמטיקאים התפתח פולקלור והומור רב, הכולל בדיחות מקצוע, משחקי מילים וקריקטורות.
הומור זה מתייחס בדרך כלל לנטייתם של המתמטיקאים להפשטה, דקדקנות לוגית, שיטות ההוכחה והעבודה שלהם וכן שימוש בחישובים ארוכים ומסובכים.
המתמטיקאים גודפרי הרולד הארדי ופאול ארדש היטיבו לקלוע לסטריאוטיפ של המתמטיקאי העיוני הטהור המנותק מהעולם.
כמעסיק הגדול ביותר של מתמטיקאים בעולם נחשב ה-NSA, ארגון מודיעין אותות של ארצות הברית, הנזקק למתמטיקאים לשם פענוח תקשורת מוצפנת.
חרף חשאיותו הגדולה מעודד ה-NSA בני ובנות נוער לעסוק במתמטיקה, כדי לטפח כוח אדם איכותי שיצטרף לשורותיו.
בצה"ל מתמטיקאים משתלבים בממר"ם וביחידות המו"פ והמודיעין, בעיקר ביחידה 8200.
שיעורן של הנשים בקרב המתמטיקאים נמוך למדי.
עד המאה העשרים נשים כמעט ולא הופיעו בתולדות המתמטיקה.
גם מאמצע המאה העשרים ואילך בולט שיעורן הנמוך של הנשים בקרב בכירי הענף.
בקרב 60 הזוכים במדליית פילדס עד שנת 2018 יש רק אישה אחת; בקרב 22 הזוכים בפרס אבל עד שנת 2020 יש רק אישה אחת.
מדליית פילדס, שנוסדה בשנת 1936 ומחולקת בכל 4 שנים, היא הפרס היוקרתי ביותר במתמטיקה.
פרס וולף, שנוסד ב-1978 בישראל, מוענק על-סמך מפעל חיים, וכולל גם פרס במתמטיקה.
פרס אבל, פרס בינלאומי למתמטיקה שנוסד ב-2003.
בישראל נכלל פרס למתמטיקה במסגרת פרס ישראל.
(אנדרו ויילס שהצליח במשימה זכה באחד מהם, בנוסף לפרסים כלליים רבים).
במסגרת קידום מכירות של הרומן "הדוד פטרוס והשערת גולדבך" (שיצא לאור גם בעברית, בהוצאת "ספרי עליית הגג"), הכריזו המו"ל של הגרסה האמריקאית והמו"ל של הגרסה הבריטית על פרס של מיליון דולר לראשון שיוכיח את השערת גולדבך במהלך שנתיים שהסתיימו, ללא זוכה, ב-15 במרץ 2002.
לרשימה של שבע בעיות חשובות, בעיות המילניום של מכון קליי, הוכרז בשנת 2000 פרס כספי של מיליון דולר לכל הפותר אחת מהן (אך המתמטיקאי הראשון שפתר אחת משבע בעיות אלה, גרגורי פרלמן, סירב לקבל את הפרס).
מתמטיקה בדידה, או מתמטיקה דיסקרטית (Discrete mathematics), היא תחום רחב של המתמטיקה העוסק בחקר מבנים מתמטיים בדידים באופיים, כלומר כאלה שאינם רציפים.
העצמים הנחקרים במסגרת המתמטיקה הבדידה הם רובם קבוצות בנות־מנייה.
הענפים הנכללים במסגרת הרחבה של המתמטיקה הבדידה הם:
תחומים מתמטיים של מדעי המחשב
כמו כן נכללים במתמטיקה הבדידה גם היבטים מסוימים של הענפים הבאים:
אף שתחום המתמטיקה הבדידה הוא תחום מסגרת, המאגד בתוכו ענפים אחדים של המתמטיקה ומדעי המחשב, ענפים שבכל אחד מהם בפני עצמו יש פעילות ענפה, מתקיימת פעילות גם בתחום המתמטיקה הבדידה כענף מתמטי עצמאי: מתפרסמים ספרים וכתבי עת בתחום זה, וניתנים קורסים באוניברסיטאות.
הביטוי מתמטיקה שימושית או מתמטיקה יישומית מהווה מסגרת לענפי המתמטיקה, שיש להם שימוש נרחב בתחומי מדע אחרים.
משמעותו של הביטוי השתנתה במשך השנים, עם חדירתה של המתמטיקה לתחומי מדע רבים.
לא קיימת הגדרה מדויקת מי מענפי המתמטיקה נחשבים ל"מתמטיקה שימושית" ומי ל"מתמטיקה עיונית".
כיוון שעד לאמצע המאה ה-19 לא הייתה קיימת הבחנה חדה בין מתמטיקאים לפיזיקאים, קיימים גם נושאים הקשורים לפיזיקה, הנלמדים באופן מסורתי בחוגים למתמטיקה שימושית.
עם זאת, ההבחנה בין מתמטיקה עיונית למתמטיקה שימושית היא סמנטית, ואין לה משמעות מחוץ לאקדמיה.
במחצית הראשונה של המאה ה-20, שימש ביטוי זה לתיאורם של ענפי המתמטיקה המשמשים את תחומי הפיזיקה וההנדסה, ובפרט: חשבון אינפיניטסימלי, משוואות דיפרנציאליות, אנליזה נומרית ונושאים נוספים מתחום האנליזה המתמטית.
כעת, יש הכוללים במסגרת זו גם ענפי מתמטיקה נוספים, כגון: תורת ההסתברות, תכנון ליניארי, אופטימיזציה, חקר ביצועים, מתמטיקה ביולוגית וביואינפורמטיקה, תורת המידע, תורת המשחקים, כלכלה מתמטית, קריפטוגרפיה ועוד.
באופן היסטורי, מתמטיקה הייתה בעלת חשיבות בעיקר במדעי הטבע וההנדסה.
לאחר מלחמת העולם השנייה, חלה התפתחות מתמטית בנושאים שאינם קשורים למדעי הטבע.
באופן זה, נוצרו תחומים חדשים, כגון: תורת המשחקים, שהתפתחה מתוך הכלכלה; רשתות עצביות, שהתפתחו ממדעי המוח; וביואינפורמטיקה, שהתפתחה מתוך הביולוגיה.
עם ההתקדמות הטכנולוגית, גם תחומים הנחשבים כחלק מהמתמטיקה העיונית הפכו שימושיים – לתורת המספרים יש שימושים בקריפטוגרפיה ולגאומטריה יש יישומים בגרפיקה.
השימוש במתמטיקה הוביל לפיתוח מדעי המחשב (תורת החישוביות, תורת הסיבוכיות, אלגוריתמיקה ועוד) כתחום נפרד.
ענפים אלו מסייעים למתמטיקה בחישובים מסובכים ומאפשרים מציאת פתרונות לבעיות שבעבר לא היו ניתנות לחישוב.
כפי שנאמר, הקו המדויק התוחם את גבולות המתמטיקה השימושית אינו ברור.
מוסדות אקדמיים מחייבים סטודנטים ללמוד קורסים במתמטיקה גם מחוץ לפקולטה למתמטיקה (למשל: במדעי המחשב, כלכלה, סוציולוגיה, רפואה ועוד).
יתר על כן, קורסים בסטטיסטיקה נדרשים כמעט בכל תחום אקדמי שבו נעשים מחקרים גם אם הומניים, דוגמת תקשורת, חינוך ועוד.
בין מתמטיקה שימושית לשימושי המתמטיקה
ענפי המתמטיקה השימושית עוסקים בהגדרות מתמטיות לבעיות מעשיות, על מנת לנסח שפה, שתאפשר טיפול בבעיות הקשורות אליהן.
המתמטיקה העיונית עוסקת בנושאים תאורטיים, מתוך כוונה אקדמית.
לעיתים, כמו במקרה של תורת המספרים, מתגלים שימושים מאוחרים לתורה המתמטית.
כמו כן, מתמטיקאים מבחינים בין מחקר של מתמטיקה שימושית לשימוש בה – סוציולוג, שיפעיל מודל הסתברותי על אוכלוסייה משתמש במתמטיקה שימושית, בעוד שסטטיסטיקאי, המפתח שיטה לבחירה נכונה של מדגם חוקר אותה.
מתמטיקאי, המנסח אלגוריתם יעיל לפתרון בעיה אלגוריתמית, נחשב חוקר, בעוד מתכנת, הכותב תוכנית מחשב המפעילה את האלגוריתם, נחשב משתמש.
סטודנטים ישראלים נדרשים ללמוד מתמטיקה שימושית ברמה בסיסית במסגרת לימוד תחומי דעת שבהם היא רלוונטית כמו מדעים מדויקים, מדעי החיים, כלכלה והנדסה.
בנוסף, ברבים ממוסדות ההשכלה הגבוהה בישראל קיימת יחידה אקדמית ייעודית העוסקת במחקר והוראה של מתמטיקה שימושית, בנפרד מהעיסוק במתמטיקה עיונית מחד גיסא ומן המקצועות היישומיים מאידך גיסא; או תוכניות לימודים ייעודיות במתמטיקה שימושית.
ביניהם ניתן למנות את אוניברסיטת תל אביב, האוניברסיטה העברית, אוניברסיטת בר-אילן, הטכניון, מכון ויצמן למדע, המכון הטכנולוגי חולון ומכללת אורט בראודה.
מתמר הוא רכיב הממיר אות פיזי כלשהו לאות חשמלי ולהפך, לשם מדידה, בקרה או העברת מידע.
מיקרופון – ממיר קול לאות חשמלי.
רמקול – ממיר אות חשמלי לקול.
CCD – ממירה אור לאות חשמלי.
שפופרת קרן קתודית – ממירה אותות חשמליים לאור המוצג כתמונה דו-ממדית.
דיודה פולטת אור – ממירה אות חשמלי לאור.
אנטנה – ממירה גלים אלקטרומגנטיים לאות חשמלי.
משדר – ממיר אות חשמלי לגלים אלקטרומגנטיים.
פיקאפ – ממיר תנודות של מיתרי הגיטרה לאות חשמלי.
חיישן הוא רכיב הרגיש לגירוי מסוים בסביבתו.
הוא ממיר את הגירוי לאות חשמלי המשמש למדידה או לבקרה.
חיישן אור – רגיש לשינויי אור בסביבתו, חיישן טמפרטורה – רגיש לשינויי טמפרטורה בסביבתו וכדומה.
אחת מתרומותיה החשובות לאנושות של יוון העתיקה היא פיתוח המתמטיקה.
עד תקופת יוון העתיקה היה העיסוק במתמטיקה תכליתי בלבד: היא שימשה כאוסף של נוסחאות לחישוב קרקע, אוכלוסין וכו'.
פריצת הדרך של היוונים, פרט לתרומותיהם הגדולות לידע המתמטי, הייתה בלימוד המתמטיקה כשלעצמה, מתוקף ערכה הרוחני.
יחסם של חלק מהיוונים הקדמונים למתמטיקה היה דתי - למשל, הכת שאסף סביבו פיתגורס האמינה כי המתמטיקה היא הבסיס לכל הדברים.
היוונים נחשבים ליוצרי מושג ההוכחה המתמטית, וכן לראשונים שעסקו במתמטיקה לשם עצמה, כלומר כתחום מחקרי עיוני ומופשט ולא רק כעזר שימושי.
היוונים המשיכו לדון ולפתח את המתמטיקה במובנה הפילוסופי, ובכך הניחו את היסוד למתמטיקה כפי שהיא נתפסת בעולם המודרני.
הם פיתחו את הגאומטריה (מכיוון שהשימוש העיקרי במתמטיקה באותה התקופה היה חישובי קרקע), ולמעשה יצרו את המבנה המתמטי הראשון.
שיאה של התפתחות זו בחיבורו של אוקלידס, "יסודות" אשר עסק בצורה אקסיומטית בגאומטריה, אלגברה ותורת המספרים.
אוקלידס, תושב אלכסנדריה, היה אחד מבין המשכילים שעשו שימוש בספרייה המפורסמת שנבנתה בעיר מתוקף החלטת בית המלוכה המצרי, ובכך נחשב לראשון שקיבץ באופן שיטתי את החוקים המתמטיים הידועים של זמנו.
לאורך רובה המוחלט של ההיסטוריה של המתמטיקה ביוון, היוונים נהגו לבטא כמעט את כל המתמטיקה במונחים גאומטריים; לדוגמה, מספרים אי רציונליים (שהיוונים היו הראשונים לעסוק בהם) נקראו "קטעים חסרי מידה משותפת".
המונח מתמטיקה יוונית קלאסית מתייחס למתמטיקה שהייתה קיימת עוד לפני התקופה ההלניסטית, כאשר מתמטיקה נכתבה בשפה היוונית רק בתחומי יוון דאז.
רוב הטקסטים המתמטיים שנכתבו ביוונית נמצאו ביוון, מצרים, מסופוטמיה, אסיה הקטנה, סיציליה ודרום איטליה.
המתמטיקה ביוון העתיקה היא שלב חשוב בהיסטוריה של המתמטיקה, שבמהלכו נוצר מושג ההוכחה, והתפתחו תחומים מרכזיים כמו הגאומטריה, תורת המספרים ומתמטיקה שימושית, והתגלו רעיונות שהובילו בהמשך לאנליזה המתמטית.
המתמטיקה היוונית הגיעה לרמה שאפשרה לתלמי לנסח מודל גיאוצנטרי של מערכת השמש, שהסביר את התצפיות האסטרונומיות עד למאה ה-17.
שיטת הספירה הראשונה בה השתמשו היוונים מבוססת על בסיס עשרוני.
לסימון המספרים בין 1 ל-9 נקבעו תשע האותיות הראשונות, בתוספת גרש ( ' ) בצד ימין של האות, למעלה; תשע האותיות הבאות ייצגו את העשרות מ-10 עד 90, והבאות את המאות.
המתמטיקאי הבולט הראשון ביוון העתיקה, ויש האומרים בתולדות האנושות, הוא תאלס (624 לפנה"ס - 546 לפנה"ס בקירוב).
תאלס הוכיח שישרים מקבילים חותכים מצד אחד של שוקי זווית קטעים בעלי יחסים שווים (משפט תאלס הראשון), שהזווית המונחת על קוטר במעגל היא זווית ישרה (משפט תאלס השני), שהקוטר מחלק את המעגל לשני חלקים שווים, ושזוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות זו לזו.
מיוחסות לו גם שיטות למדידת גובהן של הפירמידות בעזרת מדידת צילן ולקביעת מיקומה של ספינה הנראית מן החוף.
ידוע שסביבו התקבצה האסכולה הפיתגוראית מעין כת פסבדו-מתמטית שהאמינה ש"הכל מספר", או ליתר דיוק הכל ניתן לכימות, וייחסה למספרים משמעויות מיסטיות.
ניתן לומר שהפיתגוראים גילו את היותו של השורש הריבועי של 2, שהוא גם האלכסון בריבוע שאורך צלעותיו 1, אי רציונלי, אך תגליתם הייתה למעשה רק שהקטעים "חסרי מידה משותפת", ומושג המספר האי רציונלי מאוחר יותר.
אזכור ראשון לקיומם של קטעים חסרי מידה משותפת מופיע בדיאלוג "תאיטטוס" של אפלטון, אך רעיון זה היה מוכר עוד קודם לכן, במאה החמישית לפנה"ס להיפאסוס, בן האסכולה הפיתגוראית, ואולי לפיתגורס עצמו.
השפעתם של הפיתגוראים ניכרה גם בכתבי הפילוסוף החשוב אפלטון (427-8 לפנה"ס - 347 לפנה"ס), שהוקסם מההרמוניה שמצא במתמטיקה וסבר שיש ללמדה הן למען פיתוח החשיבה והבנה מעמיקה יותר של העולם והן לצרכים מעשיים.
על שער מדרשו רשם "הא-גאומטרי [חסר הידע בגאומטריה] בל ייכנס לכאן".
הוא לא הגיע להישגים מתמטיים בעצמו, אך הוא עודד מתמטיקאים וכונה "יוצר מתמטיקאים".
תלמידו, הפילוסוף הנודע אריסטו, הלך בדרך מורו ורומם את המתמטיקה בכתביו כ"עומדת באמצע הדרך בין פיזיקה למטאפיזיקה", כתב על פילוסופיה של המתמטיקה וכן תרם תרומות למתמטיקה, בין השאר בהבחנה החדה בין אקסיומות לפוסטולטים.
בתקופתו, פחות או יותר, נהגו הבעיות הגאומטריות של ימי קדם - בניית קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה, שילוש זווית ( חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים), תרבוע העיגול (בניית ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון) ובניית מצולע משוכלל בן שבע צלעות, כל זאת באמצעות סרגל ומחוגה בלבד.
מעט אחרי היפוקרטס חי אאודוקסוס מקנידוס (ככל הנראה 408 או 410 - 347 או 355 לפנה"ס), שחקר יחסים בין מספרים ופיתח שיטה למציאת שטחו של עקום.
תרומה יוצאת דופן להתפתחות המתמטיקה תרם אוקלידס מאלכסנדריה, שחי, כמשוער, בין 365 ל-275 לפני הספירה.
בספר בולט במיוחד מספרן הרב של הוכחות בדרך השלילה.
בין הגילויים המופיעים בו לראשונה: ההוכחה המפורסמת לקיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, ההוכחה לכך שכל מספר מהתבנית , כאשר הוא מספר ראשוני הוא משוכלל, ההוכחה לכך שחמשת הגופים האפלטוניים הם הפאונים המשוכללים היחידים שניתן לבנות, ועוד.
זהו ספר היסוד של הגאומטריה האוקלידית, שבמשך אלפי שנים הייתה היחידה שקיימת.
בין השנים 287 - 212 לפנה"ס חי ארכימדס, שנחשב לאחד מגדולי המדענים של העת העתיקה אם לא הגדול שבהם.
מלבד הישגים רבים בפיזיקה, ארכימדס תרם רבות גם למתמטיקה.
הוא מניח היסודות לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, שכן ידע לחשב סכום של טור אינסופי.
לדוגמה, הוא ידע להוכיח כי .
בשיטות המבוססות על העיקרון של שיטת המיצוי הוא חישב שטחים ונפחים של מצולעים ופאונים.
הישגים מתמטיים נוספים אליהם הגיע ארכימדס: אומדן מדויק למדי לשורש הריבועי של 3, הוכחה שהיחס בין נפחו ושטח פניו של כדור שווה לשני שלישים מהיחס המקביל בגליל החוסם את הכדור, תרבוע העיגול (בשימוש באמצעי שאינו סרגל ומחוגה) ועוד.
אחד החיבורים המתמטיים החשובים ביותר שנכתבו ביוון העתיקה הוא "הקוניקה" של אפולוניוס מפרגה (משוער בין 262 ל-190 לפנה"ס), חיבור מדורג ודדוקטיבי בסגנון "יסודות" של אוקלידס העוסק בחתכי חרוט, הם המעגל, הפרבולה, ההיפרבולה והאליפסה.
בחיבור זה מראה לראשונה אפולוניוס שחתכי חרוט מתקבלים לא רק מחיתוך בין מישורי אנכי לחרוט חד, ישר או קהה זווית, אלא כולם יכולים להתקבל מחרוט אחד אם נשנה את זווית החיתוך.
כנראה בשל איכותו ותרומתו, לא נותר עוד זכר כמעט לחיבורים אחרים על חתכי חרוט מהתקופה שלפני "הקוניקה".
היפרכוס (מוערך 120 - 190 לפנה"ס), מנלאוס מאלכסנדריה (מוערך 70–140) ותלמי (85–165 לערך) היו ממפתחי הטריגונומטריה הספירית.
פאפוס מאלכסנדריה, מתמטיקאי שפעל בתחילת המאה ה-4 לספירה, כתב את ה"סינגוגה", חיבור אנציקלופדי העוסק בגאומטריה, שבין השאר הוא מקור הידיעה הכמעט בלעדי שלנו על האנליזה היוונית.
הפילוסוף הנאופלאטוני פרוקלוס (411–485 כתב פירוש מפורסם מאוד ל"יסודות" של אוקלידס, שמספק ידע רב מאוד על ההיסטוריה של המתמטיקה ביוון.
מעל כולם ישנו דיופנטוס (200–284), וספרו רב ההשפעה "אריתמטיקה", שניתן להקביל אותו ל"יסודות" מבחינת המבנה וההשפעה ("יסודות" בגאומטריה ו"אריתמטיקה" באריתמטיקה).
ב"אריתמטיקה" דן דיופנטוס בעיקר במשוואות דיופנטיות, סוג של משוואות שלימים יקרא על שמו, ומפתח שיטת סימון הקרובה יחסית לזו של האלגברה המודרנית.
למרות שהטקסטים המתמטיים המוקדמים ביותר בשפה היוונית שהגיעו לידינו נכתבו לאחר התקופה ההלניסטית, רבים מאלה נחשבים לעותקים של עבודות שנכתבו במהלכה, ואף מוקדם יותר.
התארוך של עבודות אלה מדויק יותר מזה של עבודות שנכתבו בשפות אחרות, בשל מספר גדול של כרונולוגיות, המתעדות אירועים שנה-אחר-שנה.
ישנן אי-וודאויות באשר לראשיתן של כמה יצירות, אבל אלו משתרעות בדרך כלל על-פני עשורים ספורים, ולא מאות.
במהלך ימי הביניים, עיקר הידע המתמטי הגיע לאירופה מן העולם האסלאמי, שם השתמרו העבודות שנוצרו ביוון.
מתמיר הוא אטום, או קבוצה של אטומים, המחליף אטום מימן בשרשרת הפחמנים הראשית של פחמימנים.
תכונותיו של הפחמימן נקבעות לא רק לפי מספר אטומי הפחמן בשרשרת הראשית שלו ומספר אטומי המימן המחוברים אליהם בקשר קוולנטי, אלא גם לפי סוגי המתמירים הקשורים לאותה שרשרת.
קיימות קבוצות פונקציונליות רבות שיכולות לשמש כמתמירים, ועל כן מספר הפחמימנים האפשריים הוא גדול מאוד.
מיקומו והרכבו של המתמיר במולקולות ארומטיות ישפיע באופן ניכר על תכונותיה של המולקולה, משום שהאלקטרונים שהוא תורם או מושך יקבעו את פיזור האלקטרונים בתוכה, כלומר את הרזוננס הכימי שלה.
בנזן היא מולקולה ארומטית ללא מתמירים.
הופעתו של מתמיר כלשהו במולקולת בנזן ישנה את תכונותיה ואת שמה.
כך למשל, כשבנזן מכיל מתמיר OH אז המולקולה נקראת פנול, ואם הפנול מכיל גם כלוריד בתור מתמיר אז המולקולה תיקרא כלורופנול.
שמה המלא של המולקולה יקבע לפי המיקום היחסי בין המתמירים; באיור מוצגת מולקולת 2-כלורופנול.
פחמימן שמכיל את המתמיר קרבוקסיל (COOH) קרוי חומצה קרבוקסילית, ונוכחות המתמיר מעניקה למולקולה את האופי החומצי שלה.
קיימות מספר חומצות קרבוקסיליות שנבדלות במספר אטומי הפחמן בשרשרת הראשית ובנוכחותם של מתמירים נוספים.
כך למשל, חומצה אצטית, המרכיב החשוב בחומץ, היא חומצה קרבוקסילית בעלת שני פחמנים בשרשרת הראשית והיחידה שלה, ואילו חומצה פרופנואית מכילה 3 אטומי פחמן בשרשרת ותכונותיה שונות.
מולקולת אספירין היא חומצה קרבוקסילית ארומטית; המבנה שלה מורכב יותר, ובנוסף לקרבוקסיל היא מכילה קבוצה אצטוקסית בתור מתמיר נוסף.
על פי הכללים שלעיל, לאטום פחמן במולקולה, הנחשב כתחליף, יש את השמות הבאים בהתאם למספר המימנים הקשורים אליו, וסוג הקשרים הנוצרים עם יתרת המולקולה:
אמנות קיפולי הנייר, אוריגמי, זכתה למחקר מתמטי ניכר.
תחומי העניין המתמטיים כוללים את בדיקת היכולת לשטח את מודל הנייר מבלי להזיק לו והשימוש בקיפולי הנייר על מנת לפתור משוואות מתמטיות.
בנית מודלים של אוריגמי דורשת, בדרך-כלל, קיפולים חוזרים מעטים בלבד.
אחד האתגרים בתחום זה, קיפול נייר לשניים בשכבות רבות, נפתר רק ב-2001, על ידי בריטני גאליבן, בהיותה עדיין תלמידת תיכון.
גאליבן ניסחה את פונקציית ההפסד עבור קיפול נייר לשניים בכיוון אחד.
הפונקציה מבוטאת על ידי הנוסחה , כאשר "L" הוא האורך המינימלי של הנייר (או כל חומר אחר), "t" הוא עוביו של החומר, ו-"n" הוא מספר הקיפולים האפשריים.
גאליבן הצליחה לקפל דף נייר לשניים 12 פעמים.
הדעה המקובלת לפני כן הייתה שבלא התחשבות בסוג או בגודל הנייר ניתן לקפלו לא יותר משמונה פעמים.
בבסיס החקר המתמטי של האוריגמי עומדות שבע אקסיומות המגדירות את הפעולות הגאומטריות האפשריות בתהליך הקיפול.
שש האקסיומות הראשונות פורסמו ב-1992 על ידי המתמטיקאי היפני-איטלקי, הומיאקי הוזיטה.
אקסיומה שביעית המשלימה את שש האקסיומות של הוזיטה נוסחה על ידי המתמטיקאי קושירו האטורי.
בניסוח האקסיומות, כל שני אובייקטים מוגדרים להיות שונים (כלומר אם נאמר "בהינתן שתי נקודות", יש לקרוא זאת כ"בהינתן שתי נקודות שונות זו מזו"):
בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2, קיים קפל יחיד המחבר ביניהן.
בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2, קיים קפל יחיד הממקם את P1 על גבי P2.
בהינתן שני קווים L1 ו-L2, קיים קפל הממקם את L1 על גבי L2.
בהינתן נקודה P וקו L, קיים קפל יחיד המאונך ל-L שעובר דרך P.
בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2 וקו L, כך שמרחקה של P2 מ-L אינו עולה על מרחקה מ-P1, ניתן ליצור קפל העובר דרך P2 שימקם את P1 על גבי L.
בהינתן שתי נקודות, P1 ו-P2, ושני קווים, L1 ו-L2, ניתן ליצור (בתנאים מסוימים) קפל שימקם בו-זמנית את נקודה P1 על גבי L1 ואת נקודה P2 על גבי L2.
בהינתן נקודה P1 ושני קווים L1 ו-L2, ניתן ליצור קפל מאונך ל-L2 שימקם את P1 על גבי L1.
שבע האקסיומות מאפשרות ניתוח של כל קפלי האוריגמי האפשריים תחת הנחה של קפלים ישרים בלבד המבוצעים על מישור כאשר בכל שלב מבוצע קיפול אחד בלבד.
ככל הנראה חסרות אקסיומות נוספות כדי לנתח את כל קפלי האוריגמי האפשריים אם מאפשרים ביצוע סימולטני של מספר קפלים.
Lang) הראה דרך לחלוקת זווית לחמישה חלקים שווים באמצעות קיפולים החורגים מאקסיומות הוזיטה-האטורי.
בשיטת הקיפול בה השתמש לאנג יוצרים שני קפלים סימולטנית, ומכאן רואים שהאקסיומות אינן מתארות את כל האפשרויות של דגמי אוריגמי במישור (דגמים במרחב מלכתחילה אינם כלולים).
את האקסיומה החסרה שלאנג מדגים, ניתן לנסח כך: בהינתן 3 נקודות P2, P1 ו-P3 ושני קווים L1 ו-L2 ניתן ליצור שני קפלים L3 ו-L4 כך ש-L3 עובר דרך P3 ו-L4 ממקם את P1 על L1 ואת P2 על L3 כך ש-P2 נמצאת במרחק שווה מ-L2 ומ-L4.
בסיס תאורטי זה מאפשר תכנון של דגמי אוריגמי מורכבים על גבי מחשב, פתרון משוואות ובעיות גאומטריות בעזרת אוריגמי ועוד.
לדוגמה, כך אפשר למצוא את השורש השלישי של מספר באמצעות קיפולי נייר: ציירו מערכת צירים מאונכת על הדף; סמנו את הנקודות ו-.
כעת הפעילו את האקסיומה השישית כדי למקם את הנקודה הראשונה על ציר ה-x, ואת הנקודה השנייה על הישר .
שיקוף כזה (דרך הקו המקווקו באיור משמאל) מעתיק את הנקודה לנקודה שמרחקה מראשית הצירים בדיוק .
הפעולות המתוארות באקסיומות 1–5 ו-7 ניתנות לביצוע גם באמצעות מחוגה וסרגל: הן מתארות, בקירוב, העברת קו בין שתי נקודות (1), העברת אנך אמצעי (2), העברת חוצה זווית (3), הורדת אנך (4), העברת משיק לפרבולה דרך נקודה נתונה (5), והעברת ישר מקביל (7).
האקסיומה הנותרת, 6, מאפשרת למצוא משיק משותף לשתי פרבולות, פעולה השקולה לפתרון משוואה ממעלה שלישית (ולכן גם רביעית); לעומת זאת, במחוגה וסרגל אפשר לפתור רק משוואות ריבועיות.
כמה מהבעיות הגאומטריות של ימי קדם, למשל שילוש זווית (חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים) או בניית קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה, הוכחו כבלתי-פתירות באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה בלבד, אבל ניתן לפותרן באמצעות מספר קיפולי נייר.
כתוצאה ממחקר אוריגמי באמצעות יישום של עקרונות גאומטריים, שיטות, כדוגמת משפט האגה, אפשרו למקפלי נייר לקפל צלע של ריבוע לשליש, חמישית, שביעית ותשיעית מאורכה.
כמה משפטים ושיטות אפשרו למקפלי נייר לקבל מריבוע צורות אחרות כדוגמת משולשים שווי צלעות, מחומשים, משושים, ומלבנים מיוחדים כדוגמת מלבן הזהב ומלבן הכסף.
לבעיית ה"אוריגמי הקשיח", שבה מתייחסים אל הקפלים כאל צירים המחברים שני משטחים קשיחים שטוחים כדוגמת לוחות מתכת, יש חשיבות מעשית גדולה.
לדוגמה, "קיפול המפה של מיורה" (Miura map fold) הוא קיפול קשיח שנעשה בו שימוש לפרישת לוחות סולריים גדולים עבור לוויינים.
קיפול מחדש של מודל שנפרש לחלוטין רק על סמך תבנית הקפלים (בעיית הקיפול השטוח) הוכח על ידי מרשל ברן (Marshall Bern) וברי הייז (Barry Hayes) כבעיה NP שלמה, .
בעל המקצוע המדריך את המתמחה נקרא "מדריך" או "מאמן".
על אף קיומה של המילה העברית "התמחות", יש המכנים את ההתמחות במונח הלועזי "סטאז'", ומתמחה נקרא גם "סטאז'ר".
אך אין זה המצב ברפואה .
מתמחים מקבלים לרוב שכר על עבודתם, אם כי שכר זה נמוך משכרו של בעל מקצוע לאחר התמחות.
אורכה של ההתמחות שונה ממקצוע למקצוע.
למשל, החל משנת 2020, במדינת ישראל מתמחים בעריכת דין, בטרם הסמכתם לעסוק בעריכת דין, נדרשים לעבור תקופת התמחות בת שנים עשר חודשים, בעוד שרואי חשבון מתמחים במשך שנתיים.
ישנם מקצועות, כגון רפואה, בהם נדרשת ההתמחות גם על מנת לאפשר התמקצעות בתחום מסוים מבין התחומים שבהם עוסק המקצוע, ואילו במקצועות אחרים, כדוגמת עריכת דין, אדם המסיים את התמחותו ועומד בבחינות נחשב ככשיר לעסוק בכל התחומים שבהם עוסק המקצוע.
המתמחים אינם רשאים לרוב לעסוק בכל פעילות בה עוסק בעל מקצוע שסיים את ההתמחות וקיבל את רישיונו.
כך למשל, על פי דיני מדינת ישראל, מתמחה בעריכת דין אינו רשאי להופיע בבית משפט אלא במהלך חצי השנה האחרונה להתמחותו, ובלוויית מאמנו.
יתרה מכך, על מתמחה בעריכת דין חל איסור ליתן ייעוץ משפטי, אלא בהשגחת מאמנו.
מקצועות שבהם נדרשת התמחות על פי דיני מדינת ישראל כוללים:
רופא - לפני קבלת הרישיון לעסוק ברפואה נדרשת שנת עבודה מעשית בהשגחת רופאים בכירים במסגרת בית חולים.
שנה זו קרויה "שנת הסטאז'" ובאנגלית Internship.
לשם קבלת תואר מומחה באחד ממקצועות הרפואה יש צורך בתקופת התמחות הנמשכת בין ארבע וחצי שנים (ילדים, פנימית, משפחה) ועד שש שנים ויותר בחלק מן המקצועות הכירורגיים, ובתום התקופה להצליח בבחינה.