tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
אף על פי שבדיסק המקומי של שביל החלב אין שום עדות לקשר, נעשה שימוש במדגם של 229 כוכבי דיסק סמוכים כדי לחקור את קיומם של קשר עידן-מתכתי בדיסק גלקטי, ומציינים כי קיים קשר עידן-מתכתי בדיסק.
מחקרים מובילים בקוסמולוגיה מאשרים את היעדר הקשר העידן-מתכתי של הדיסק.
מקורות רנטגן אולטרה-לומינאיים (ULX): מהן מקורות הרנטגן שאינם קשורים לגרעינים גלקטיים פעילים אך חורגים מגבול אדינגטון של כוכבי נייטרונים או חורים שחורים כוכביים?
האם הם נובעים מחורים שחורים במסה בינונית?
סינגולריות כבידתית: האם תורת היחסות הכללית מתפרקת בחלקו הפנימי של חור שחור כתוצאה מכבידה קוונטית או תופעות אחרות?
משפט האין-שיער: האם לחורים שחורים יש מבנה פנימי?
אם כן, כיצד ניתן לחקור את המבנה הפנימי שלהם?
חורים שחורים סופר-מסיביים: מה מקור הקשר בין מסת חור שחור מסיבי לפיזור מהירותו בגלקסיה?
כיצד יצרו הקוואזרים הרחוקים ביותר את החורים השחורים העל-מסיביים שלהם עד 1010 שמשות כל כך מוקדם בתולדות היקום?
פרדוקס השמדת המידע וקרינת הוקינג: האם חורים שחורים פולטים קרינה אלקטרומגנטית, כצפוי מטעמים תאורטיים?
אם כן, וחורים שחורים יכולים להתנדף, מה קורה למידע המאוחסן בהם, שכן מכניקת הקוונטים אינה מספקת השמדת מידע?
או שהקרינה נעצרת בשלב מסוים ומשאירה שאריות חור שחור?
חומות אש שחורות: האם קיימת מן "חומת אש" סביב חור שחור, אשר הורסת ומשמידה כל מידע חיצוני, בדומה לחומת אש ממוחשבת?
בעיית הזמן: במכניקת הקוונטים, הזמן הוא פרמטר רקע קלאסי וזרימת הזמן היא אוניברסלית ומוחלטת.
באופן כללי, תורת היחסות היא מרכיב אחד של מרחב הזמן הארבע ממדי, וזרימת הזמן משתנה בהתאם לעיקול זמן החלל ותוואי החלל של הצופה.
כיצד ניתן ליישב בין שני מושגי הזמן האלה?
אינפלציה קוסמית: האם תאוריית האינפלציה הקוסמית ביקום המוקדם נכונה?
ואם כן, מהם הפרטים בתקופה הזו?
מהו השדה ההיפותטי שהוליד את האינפלציה הקוסמית הזו?
אם האינפלציה התרחשה בשלב מסוים, האם היא מקיימת את עצמה באמצעות אינפלציה של תנודות קוונטיות-מכניות, וכך נמשכת במקום מרוחק במיוחד?
מדוע המודל הסטנדרטי אינו מסביר את השדה של האינפלציה?
בעיית האופק: מדוע היקום הרחוק כל כך הומוגני כאשר נראה כי תאוריית המפץ הגדול מנבא אניסוטרופיות גדולות מדידות יותר של שמי הלילה מאלו שנצפו?
האינפלציה הקוסמולוגית מקובלת בדרך כלל כפתרון, אך האם הסברים אפשריים אחרים כגון מהירות אור משתנה מתאימים יותר?
מקורו וגורלו של היקום: מהם התנאים להתקיימות של משהו?
האם היקום מתקדם לעבר הקיפאון הגדול, הקריעה הגדולה, ההתכווצות הגדולה או ואקום כוזב?
או שהוא בעצם חלק ממודל מחזורי אין-סופי?
גודל היקום: קוטרו של היקום הנצפה הוא כ־93 מיליארד שנות אור, אך מה הוא גודל היקום כולו?
שבירת סימטריית CP: מדוע יש הרבה יותר חומר מאשר אנטי-חומר ביקום הנצפה?
בעיית הקבוע הקוסמולוגי: מדוע אנרגיית נקודת האפס של הוואקום אינה גורמת לקבוע הקוסמולוגי לגדול?
אנרגיה אפלה: מהו הגורם להתפשטות המואצת של היקום?
מדוע צפיפות האנרגיה של רכיב האנרגיה האפלה בסדר גודל זהה לצפיפות החומר כיום כאשר השניים מתפתחים בצורה שונה למדי לאורך זמן?
יכול להיות שפשוט אנו צופים בדיוק בזמן הנכון?
האם אנרגיה אפלה היא קבועה קוסמולוגית טהורה, או שמא יש מודלים של שמיעה כמו אנרגיית פנטום?
זרימה אפלה: האם משיכת כבידה סימטרית לא כדורית מבחוץ היקום הנצפה אחראית לכמה מהתנועות הנצפות של עצמים גדולים, כמו אשכולות גלקטיים ביקום?
צורת היקום: מהי צורתו של היקום?
האם הוא יקום פתוח, סגור או שטוח?
האם האינפלציה הקוסמית השפיעה על צורתו?
האם גילוי צורתו יכולה להשפיע על גורל היקום?
כיצד העקמומיות נכנסת כאן לסיטואציה?
האם ניתן לתאר את המרחב כיריעה בצורת היקום?
האם יש חיים אחרים ביקום?
במיוחד האם יש חיים אינטליגנטים אחרים?
אם כן, מה ההסבר לפרדוקס פרמי?
האם נוסחת דרייק היא נכונה?
אם כן, האם היא חיונית למציאת ציוויליזציות חוצניות?
אות ה"וואו!": מהו טבעו של אות זה?
האם האירוע הנדיר הזה היה אכן אמיתי?
"בעיה של מישהו אחר" מתאר מצב בו בעיה מסוימת זוכה להתעלמות בטענה שמישהו אחר אחראי לה.
בשנת 1976 כתב העת Ekistics השתמש בביטוי בהקשר של חוסר טיפול בירוקרטי בדיור בר השגה, ותיאר את "עקרון הבעיה של מישהו אחר" כמה שמנע את הטיפול.
כאשר האחריות לבעיה מורכבת קשורה למספר מחלקות שונות בממשלה, אז גם אלו שרוצות להתמודד עם הנושא אינן מסוגלות לעשות זאת.
בהתייחסו לצוות שעובד על פרויקט תכנות מחשבים, כתב אלן פ.
בלקוול ב-1997 כי: "ניתן לדחות משימות משנה רבות עד שלבסוף הן הופכות למה שמכונה בקרב מתכנתים מקצועיים 'SEP'.
- בעיה של מישהו אחר."
שדה SEP של דאגלס אדמס
בספר "החיים, היקום וכל השאר" של דאגלס אדמס משנת 1982 (בסדרת המדע הבדיוני "מדריך הטרמפיסט לגלקסיה") הוא מציג את הרעיון של "שדה SEP" כסוג של מכשיר הסוואה.
התיאור של אדמס לשדה SEP מצוטט במאמר על "אי-נראות פסיכולוגית", לצד תיאורים ספרותיים אחרים כמו מסנן התפיסה ב-Doctor Who, וגם להטיות קוגניטיביות כמו עיוורון קשבי ועיוורון שינוי.
בפיזיקה, הבעיה ה--גופית היא הבעיה של חיזוי תנועה של קבוצת עצמים שמימיים המקיימים אינטראקציית כבידה זה עם זה.
המוטיבציה לפתרון הבעיה היה הרצון להבין את תנועות השמש, הירח וכוכבי הלכת והכוכבים.
במאה ה-20, הבנת הדינמיקה של מערכות כוכבי צביר כדוריות הפכה לבעיה -גופית חשובה.
הבעיה ה--גופית בתורת היחסות הכללית קשה הרבה יותר לפתרון, גם בשל המורכבות המתמטית של התיאוריה וגם עקב גורמים נוספים כמו עיוותי זמן ומרחב.
באמצעות נתונים של שלושה מיקומים של כוכב לכת במסלולו – מיקומים שקיבל סר אייזק ניוטון מהאסטרונום ג'ון פלמסטיד – ניוטון הצליח לנסח משוואה, שחוזה את תנועתו של כוכב לכת; כלומר, נותנת את מאפייני המסלול שלו: מיקום, קוטר מסלול, זמן מחזור ומהירות מסלול.
אך במהרה התגלה כי משוואות התנועה הללו לא חזו בדיוק חלק מהמסלולים.
ניוטון הבין שחוסר הדיוק נובע מכוחות הכבידה שכוכבי הלכת מפעילים זה על זה.
תובנה זו פוגעת הישר בלב הבעיה ה-n-גופית: כפי שניוטון הבין, לא מספיק לדעת את המיקום והמהירות ההתחלתית או שלוש קוארדינטות על המסלול, כדי למצוא את המסלול של כוכב לכת; יש גם להיות מודעים לכוחות הכבידה שמפעילים עליו כוכבי הלכת האחרים.
כך התעוררה, בתחילת המאה ה-17, המודעות ל"בעיה ה- גופית".
כוחות משיכה כבידה אלה אכן מתאימים לחוקי התנועה של ניוטון ולחוק הכבידה האוניברסלי שלו, אך האינטראקציות המרובות ( גופים) הופכות את הפתרון המדויק לבלתי אפשרי במקרה הכללי.
מציאת הפתרון הכללי של הבעיה ה--גופית נחשבה חיונית ועם זאת מאתגרת מאוד.
ואכן, בסוף המאה ה-19, מלך שוודיה אוסקר השני, הכריז על פרס למי שיציע פתרון לבעיה.
הבעיה ה--גופית מניחה מסות נקודתיות במערכת ייחוס אינרציאלית במרחב תלת־ממדי, שנעות תחת השפעת כוחות משיכה הדדית של כבידה.
לכל מסה יש וקטור מיקום .
על פי החוק השני של ניוטון, מסה כפול תאוצת הגוף שווה לסך כל הכוחות שפועלים עליה.
על פי חוק הכבידה העולמי של ניוטון כוח המשיכה ששתי מסות ו מפעילות זו על זו הוא
כאשר הוא קבוע הכבידה העולמי ו המרחק בין המסות.
סיכום הכוחות על כל המסות נותן את משוואות התנועה ל-n הגופים
כאשר היא האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת
עם הגדרת המומנטום משוואות התנועה ההמילטוניות לבעיה ה-n-גופית הופכות לכאשר ההמילטוניאן הוא
ו T האנרגיה הקינטית הכוללת של המערכת
על פי משוואות התנועה ההמילטוניות הבעיה ה--גופית מהווה מערכת של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, עם תנאי התחלה - קואורדינטות מיקום התחלתיות ו ערכי תנע התחלתיים.
סימטריות בבעיה ה--גופית מספקות קבועי תנועה, באופן שמפשט את הבעיה.
היות שהבעיה סימטרית להזזה מתקיים חוק שימור התנע הכולל של המערכת, ולכן מרכז המסה נע במהירות קצובה ובקו ישר.
כלומר , כאשר היא המהירות הקווית ו- היא המיקום ההתחלתי.
קבועי התנועה ו - מהווים סה"כ שישה קבועי תנועה.
סימטריה סיבובית גורמת לכך שהתנע הזוויתי הכולל הוא קבוע כאשר הוא אופרטור המכפלה הווקטורית.
שלושת המרכיבים של התנע הזוויתי הכולל מהווים שלושה קבועי תנועה נוספים.
קבוע התנועה האחרון מתקבל משימור האנרגיה .
מכאן שלכל בעיה -גופית יש עשרה קבועי תנועה.
מכיוון ש - ו - הם פונקציות הומוגניות מדרגה 2 ו-1, בהתאמה, משוואות התנועה אינווריאנטיות לכיול: כלומר, אם הוא פתרון, אז גם הוא פתרון לכל .
בעיית שני הגופים הכללית עוסקת בשני גופים ופוטנציאל כללי שתלוי אך ורק במרחק בין שני הגופים.
בעיית קפלר הוא מקרה פרטי החשוב ביותר, שבו המרחב הוא תלת־ממדי והפוטנציאל הוא פוטנציאל חוק הכבידה העולמי.
המשוואה היא המשוואה הדיפרנציאלית היסודית לבעיה הדו-גופית תחת שדה כבידה.
סעיף זה מתייחס לפתרון הבעיה ה- גופית לאחר שנעשו הנחות מפשטות.
בעבר לא היה ידוע הרבה על הבעיה ה--גופית עבור .
המקרה התלת-גופי () נחקר ביותר.
ניסיונות רבים קודמים להבין את בעיית שלושת הגופים היו כמותיים, ומטרתם הייתה למצוא פתרונות מפורשים למצבים ספציפיים.
ב-1687 פרסם אייזק ניוטון ב-Principia את השלבים הראשונים בחקר בעיית התנועות של שלושה גופים הכפופים למשיכה ההדדית של הכבידה שלהם.
בשנת 1767, מצא אוילר תנועות קולינאריות, שבהן שלושה גופים נעים לאורך קו ישר קבוע.
בעיית שלושת הגופים של אוילר היא מקרה מיוחד שבו שניים מהגופים מקובעים במרחב (אין לבלבל זאת עם בעיית שלושת הגופים המוגבלת מעגלית, שבה שני הגופים המסיביים מתארים מסלול מעגלי).
בשנת 1772 גילה לגראנז' שני סוגים של פתרון מחזורי, כל אחד עבור שלושה גופים בכל מסה.
בסוג אחד, הגופים נמצאים על קו ישר מסתובב.
בסוג השני הגופים נמצאים על קודקודיו של משולש שווה-צלעות מסתובב.
בשני המקרים המסלולים של הגופים יהיו חתכים חרוטיים.
פתרונות אלה הובילו למחקר של תצורות מרכזיות, שעבורן עבור קבוע כלשהו .
מחקר גדול על המערכת שמש-ארץ-ירח בוצע על ידי שארל-אוג'ן דלאוני.
העבודה מרמזת על הכאוטיות של הבעיה.
בשנת 1917, פורסט ריי מולטון את ספרו מבוא למכניקה שמימית עם פתרון לבעיית שלושת הגופים המצומצמת.
בהשראת בעיית שלושת הגופים המוגבלת המעגלית, ניתן לפשט מאוד את בעיית ארבעת הגופים על ידי התחשבות בגוף קטן יותר כבעל מסה קטנה בהשוואה לשלושת הגופים המאסיביים האחרים, שבתורם מתארים מסלולים מעגליים.
זו ידועה כבעיית ארבעת הגופים המוגבלת הדו-מעגלית (הידועה גם כדגם דו-מעגלי).
ניסוח זה היה רלוונטי מאוד באסטרודינמיקה, בעיקר למודל של מסלולי חלליות במערכת כדור הארץ-ירח בתוספת משיכה הכבידה של השמש.
הבעיה הפלנטרית היא בעיה -גופית, כאשר אחת המסות גדולה בהרבה מכל האחרות.
דוגמה טיפוסית לבעיה פלנטרית היא המערכת שמש-צדק-שבתאי, שבה מסת השמש גדולה בערך פי 1000 מהמסות של צדק או שבתאי, פתרון מקורב לבעיה הוא לפרק אותה ל - זוגות של בעיות קפלר של כוכב-כוכב, תוך התייחסות לאינטראקציות בין כוכבי הלכת כאל הפרעות.
קירוב הפרעתי עובד היטב כל עוד אין תהודות מסלוליות במערכת, כלומר אף אחד מהיחסים של תדרי קפלר הלא מופרעים הוא מספר רציונלי.
רזוננסים מופיעים כמכנים קטנים בפיתוח ההפרעתי.
לכל פתרון של הבעיה, איזומטריה, הזזה בזמן והיפוך זמן נותן פתרון.
אחת הדרכים לפתור את הבעיה ה--גופית היא באמצעות "טור טיילור"
נתחיל בהגדרת מערכת משוואות דיפרנציאליות של הבעיה ה--גופית:כיוון ש ו נתונים כתנאי התחלה, גם הנגזרות השניות ידועות ב-.
הגזירה של ביחס ל-t נותן את שגם אותו ניתן לחשב ב-, וכך ניתן לחשב באופן איטרטיבי את טור טיילור המתאר את ההתפתחות בזמן של המערכת.
אמנם ישנם פתרונות אנליטיים זמינים לבעיית שני הגופים הקלאסית (כלומר הלא-יחסותית) ולקונפיגורציות ספציפיות עם , אך באופן כללי יש לפתור או לדמות בעיות -גופיות באמצעות שיטות נומריות.
עבור מספר קטן של גופים, ניתן לפתור בעיה -גופית באמצעות שיטות ישירות, הנקראות גם שיטות חלקיקים-חלקיקים.
שיטות אלו משלבות באופן נומרי את משוואות התנועה הדיפרנציאליות.
אינטגרציה נומרית לבעיה זו יכולה להיות מאתגרת מכמה סיבות: ראשית, פוטנציאל הכבידה הוא סינגולרי, ושואף לאינסוף כשהמרחק בין שני חלקיקים שואף לאפס.
ניתן "לרכך" את פוטנציאל הכבידה על ידי הוספת איבר חיובי קטן במכנה כדי להסיר את הסינגולריות במרחקים קטנים: שנית, באופן כללי עבור , הבעיה ה--גופית היא כאוטית, כלומר אפילו שגיאות קטנות באינטגרציה עשויות לגדול אקספוננציאלית בזמן.
שלישית, סימולציה עשויה להיות על פני משכי זמן גדולים של המודל (למשל מיליוני שנים) ושגיאות מספריות מצטברות ככל שגדל מספר צעדי האינטגרציה.
ישנן מספר טכניקות לצמצום שגיאות באינטגרציה נומרית.
מערכות קואורדינטות מקומיות משמשות להתמודדות עם סקאלות שונות בבעיות מסוימות.
למשל, לסימולציה של המערכת שמש-ארץ-ירח.
שיטות וריאציה או כאלה המשתמשות בתורת ההפרעות יכולות להניב מסלולים אנליטיים מקורבים ששניתן לדייק באמצעות אינטגרציה נומרית.
שיטות ישירות המשתמשות באינטגרציה נומרית דורשות סדר גודל של חישובים להערכת האנרגיה הפוטנציאלית.
ולכן סיבוכיות הזמן שלהן היא .
עבור סימולציות עם גופים מרובים, פקטור הופך את החישובים לבלתי מעשיים, ולכן פותחו שיטות מקורבות המפחיתות את סיבוכיות הזמן ביחס לשיטות הישירות.
בעזרת השף היא תוכנית מציאות אמריקאית ששודרה במקור ברשת פוקס בין השנים 2008 ל-2015 וחודשה בשנת 2023 ומשודרת מאז ואילך גם ברשת פוקס.
במסגרת הסדרה השף-סלבריטאי הנודע גורדון רמזי מוזמן על ידי בעלי מסעדות שונות ברחבי ארצות הברית לבלות שבוע במסעדה הכושלת שבבעלותם בניסיון להבין מה הבעיות המרכזיות בעסק שלהם, ולנסות לתקן את כל הבעיות בשבוע אחד בלבד.
הסדרה הופקה על ידי חברת ITV Studios America ומבוססת על תוכנית המציאות הבריטית "Ramsay's Kitchen Nightmares" ששודרה במקור בערוץ 4 הבריטי בין השנים 2004 ל-2014.
בכל פרק של בסדרה השף גורדון רמזי מבקר במסעדה כושלת ומנסה בהתחלה לזהות את כל הבעיות המרכזיות במסעדה על מנת שניתן יהיה בהמשך ליישם את כל השינויים הנחוצים.
התהליך מתחיל עם הגעתו של רמזי למסעדה, כאשר לרוב הוא סועד בתחפושת מבלי שהצוות יודע שהוא אמור להגיע.
במסגרת הביקור הראשוני רמזי אוכל מנות שונות מהתפריט, ומעריך את איכותם.
במהלך הביקור הראשוני רמזי בוחן גם את האווירה במסעדה, את רמת הניקיון במסעדה, ואת החוויה מנקודת מבטו של הלקוח.
לאחר שהוא מסיים את ההערכה הראשונית הוא נוהג להסיר את התחפושת ולדבר עם בעלי המסעדה, השפים וצוות העובדים על מנת לשמוע את נקודות המבט שלהם ועל מנת לזהות בעיות מרכזיות שונות בתפעול העסק.
במקרים נדירים יותר מנהלי עבודה או שפים בעיתיים במיוחד, שמסרבים לשנות את דרכיהם, מפוטרים על ידי בעלי המסעדה בהמלצתו של רמזי.
במקרים הללו לרוב רמזי מביא למקום מנהל עבודה או שף מיומן במיוחד שמחליפים באופן זמני את אותם העובדים.
לאחר שכל השינויים מבוצעים המסעדה נפתחת מחדש באירוע השקה חגיגי כאשר הפעם רמזי עוקב מקרוב אחר תגובות הצוות והלקוחות ומוודא שכל השינויים שהוא ביצע אכן מיושמים בפועל.
הפרק בדרך כלל מסתיים בנימה אופטימית, כאשר בעלי המסעדה נרגשים במיוחד לנוכח כל השינויים שבוצעו בעסק.
בחלק מהפרקים רמזי חוזר לבקר במסעדה מספר חודשים לאחר מכן על מנת לבדוק את המצב של המסעדה ואם השינויים שהוא הציע עדיין מיושמים בפועל והאם העסק זכה להצלחה בעקבות היישום של השינויים.
"בעזרת השם" הוא סינגל מאת הזמר-יוצר הישראלי כפיר צפריר, שיצא ב-20 באוקטובר 2025. את השיר כתבו והלחינו צפריר, הדס דגול שמרלינג ואמיר אהרון, שגם הפיק אותו יחד עם צפריר.
השיר מתואר כשיר אהבה למדינת ישראל, המבטא אמונה, נאמנות ותקווה לעתיד טוב יותר.
"בעזרת השם" זכה להצלחה נרחבת ברשתות החברתיות עוד לפני השקתו הרשמית, בעיקר בזכות סרטון טיקטוק של יובל לוי, זוכה "האח הגדול עונה 15", שבו השתמש בקטע מהשיר שצבר קרוב למיליון צפיות.
בעקבות הפופולריות, הוזמן לוי להשתתף בקליפ הרשמי של השיר.
השיר נכתב בהשראת מצב המדינה ונועד, לדברי צפריר, לבטא אהבה אליה גם ברגעי משבר.
צפריר תיאר את כתיבת השיר כך: "אני כותב למדינה כמו לאישה אהובה ושר לה שאני מבין לליבה ולמצבה.
אני רוצה שהיא תדע שאני מאחוריה, שאני מאוהב בה, ובעזרת השם, למרות המלחמה שלנו על הצדק שלנו, הכל יסתדר בסוף לטובה".
מילות השיר משלבות ביטויים של אמונה ותקווה, ומדגישות את הרצון לראות אור גם בזמנים קשים.
בין השורות ניכרת אהבה למדינה ותחושת נאמנות, עם מסר אופטימי של אחדות.
מילות השיר כוללות משפטים כמו: "מודה כל עוד אני נושם / על הקושי תודה רבה / הכל מתהפך לטובה / ובעזרת השם / כל מכשול בסוף ישתלם / גם אם הדרך ארוכה / האמונה שלי חזקה".
הקליפ לשיר, שבו משתתפים יובל לוי, אוולין הגואל ויובל לבקובסקי ויענקי וולס מציג ארבע דמויות, מילואימניק ואמו (לוי והגואל), חרדי (וולס) ומפגינה למען צדק חברתי (לבקובסקי), הנפגשות בסופו של דבר בבית משותף ומתגלות כאחים.
המסר המרכזי הוא אחדות בין חלקי החברה הישראלית וההכרה בכך שעם ישראל הוא משפחה אחת.
בעיית גוף-נפש או הבעיה הפסיכופיזית היא קושי פילוסופי בשאלת יחסי הגוף והנפש.
הקושי נוצר עקב הסתירה בין אירועים כפי שתופס אותם הסובייקט הפרטי הנפשי ובין האירועים כפי שהם נתפסים במרחב הפיזי.
כפי שמציינים חוקרים של הבעיה, התהליכים הנפשיים הם פרטיים לחלוטין.
איש אינו יכול לחוש בהם, מלבד הנפש החווה אותם בעצמה.
לעומתם, התהליכים הפיזיים שייכים ל"רשות הרבים" מבחינה הכרתית – נקודת מבט של גוף שלישי.
ניתן לכמת אותם, למדוד אותם ולהשוות ביניהם.
לדוגמה, כאשר אדם אומר שהוא גבוה יותר מחברו, זהו דבר שניתן להשוות אותו מבחינה כמותית באמצעות מדידה אמפירית, למשל בסרט מדידה.
כאשר הוא אומר שהוא יותר שמח ממנו, זוהי תכונה שאין דרך ברורה למדוד אותה.
פסיכיאטר יכול לאבחן "הפרעה נפשית" אצל הפרט, אך האבחנה תהיה סטטיסטית ולא ודאית.
מספר תורות מנסות לענות על השאלה כיצד תהליכים נפשיים משפיעים (או יכולים להשפיע) על מצבים או על תהליכים פיזיולוגיים.
הדואליזם טוען שהגוף והנפש הם שני דברים שונים, ואילו המוניזם טוען שבעצם מדובר באותו דבר.
מוניזם מטריאלי (פיזיקליזם) טוען כי מדובר באותו חומר ואילו מוניזם אידיאליסטי טוען ששניהם נמצאים בנפש.
מוניזם נייטרלי טוען ששניהם ניתנים לרדוקציה לדבר שלישי שהוא חומר נייטרלי.
הסטרוקטורליזם הצרפתי דוחה את ההבחנה בין גוף ונפש.
הבעיה נוסחה לראשונה באופן זה על ידי רנה דקארט, אולם גם הפילוסופיה הפרה-סוקראטית וגם הפילוסופיה המזרחית עסקו בכך.
המדע המודרני לא זיהה נקודת מפגש בין נפש לא פיזיקלית ומימוש פיזיקלי שלה – גילוי שיכול לאשש את העמדה הדואליסטית – ועל כן פילוסופים מודרניים רבים מחזיקים בעמדה שהנפש איננה דבר נפרד מהגוף.
גישה זו רווחת כיום במדעי המוח.
הפילוסוף היווני אפלטון טען כי הגוף הוא חלק מעולם ההתהוות והכליון החומרי, ואילו הנפש היא בעלת מציאות לא חומרית, ולפיכך בת אלמוות.
במהלך החיים מאוחדת הנשמה עם הגוף והיא נפרדת ממנו עם המוות.
או אז היא עורכת מסע אל עולם האידאות כדי להתבונן בהן בהתבוננות שכלית, ולהכין עצמה קודם שתשוב ותתחבר עם גוף חדש.
המסע הזה של הנפש אל עולם האידאות וחזרה לעולם החומרי משמש לאפלטון אמצעי לחיבור בין שני העולמות, עולם האידאות שהוא עולם היש ועולם ההתהוות והכליון החומרי המנוגדים זה לזה.
ההוגה הראשון שהכניס את הנפש אל תוך העולם החומרי וביצע לה מכניזציה מוחלטת הוא הפילוסוף האנגלי תומאס הובס.
אחרי הובס ניתן לייחס עמדה זו לפילוסוף בן המאה השמונה עשרה ז'וליין אופריי דה לה מטרי שכתב את הספר "אדם הוא מכונה" .
אולם, השוואה בין עמדות אלו לבין עמדות מכניסטיות בנות זמננו של הנפש אינה מדויקת, שכן הובס ומטרי לא ייחסו עמדה זו לקשר שאנו מכירים כיום בין פעילות נוירונית לפעילות מנטלית.
הפילוסופים המכניסטים הראשונים שטענו כי התופעות המנטאליות אינן אלא תופעות לוואי של הפעילות הנוירונית הופיעו עם התפתחות חקר המוח במאה העשרים.
על פי פילוסופים אלו, אם רק יהיו לנו הכלים לחקור את תנועת הנוירונים העצומה שיש במוח – נוכל לדעת על פי מצב פנימי נוירוני נתון ומצב גירויים חיצוני נתון את כל מה שעומד להתרחש.
בין הפילוסופים השייכים לאסכולה זו נהוג למנות את דניאל דנט, נורמן מלקולם , ופול צ'רצ'לנד .
הוויכוח לגבי עמדות אלו נסוב בעיקר סביב שאלת חופש הרצון.
המתנגדים למכניזציה של הנפש טוענים כי עמדה זו סותרת את האינטואיציה היומיומית שלנו לגבי עצמנו כבעלי רצון חופשי, בעוד שהתומכים בעמדה זו טוענים, כמו פילוסופים מכניסטים קלאסיים, כי כל הסבר פנימי הוא עלום ולא ברור באמת, ועל כן אין להשתמש בהסברים מסוג זה כלל.
ישעיהו ליבוביץ כינה את בעיית הגוף והנפש "הבעיה הפסיכופיזית" .
שם זה, הייחודי לו, הוא פועל יוצא של עמדתו ביחס לבעיה ומושפע מעיסוקו כמדען בפסיכופיזיקה.
לייבוביץ טען כי הבעיה עצמה בלתי ניתנת לפתרון מטבעה.
הוא אחז בעמדה שמרנית נוקשה לפיה אין לערבב את הדיון על הרקע הפיזי להתנהגות בדיון על הנפש עצמה.
זאת בניגוד לגישות בפילוסופיה של הנפש שמנסות ליישב את הדיכוטומיה.
ליבוביץ לא העמיד משנה פילוסופית סדורה וכוללת.
הוא כפר במושג "השקפת עולם", וטען כי השקפה כוללת על המציאות יכולה להיות אך ורק לאלוהים ולא לבן אנוש.
לאדם יכולה להיות רק השקפה על היבטים מסוימים של המציאות, וכי "כל שאלה על מהותו של העולם בכללותו בהכרח שתביא לאנטינומיות ולפאראלוגיזמים".
בהשפעת הגותו של עמנואל קאנט נקט ליבוביץ בהבחנה קטגורית-דיכוטומית קיצונית בין האני ובין הטבע (לטענתו "האדם נמצא מחוץ לטבע").
מן ההבחנה הראשונית הזו נגזרת, כמקרה פרטי, הבחנתו הקטגורית הדיכוטומית בין נפש וגוף.
הבחנה זו נדרשה לו לשם הצגת בעיית גוף-נפש.
ליבוביץ נקט בגישה רדיקלית, לפיה בעיה זו היא בלתי פתירה על ידי בני אדם.
לדעתו לא נוכל להבין קשר בין תהליכים פיזיים שהם אובייקטיביים ושייכים ל"רשות הרבים של ההכרה", לבין תהליכים נפשיים שהם סובייקטיביים ושייכים ל"רשות היחיד של ההכרה".
ובלשונו של ליבוביץ: "אנו מבינים שלא נוכל להבין" רציונלית את עצם קיומו של הקשר שבו אירוע נפשי מחולל אירוע פיזי – ולהפך, וכן לא ניתן להבין הצמדה סינכרונית מתמדת בין אירועים נפשיים לאירועים פיזיים ללא הבנת הסיבה הראשונה שחוללה הצמדה זו.
מכאן שכל חשיבה על קשר שכזה מובילה לאנטינומיה ולפאראלוגיזם.
לדעתו אי ההבנה של הקשר הפסיכופיזי היא מהותית לשכל ולהכרה האנושיים, ושום תוספת ידע על העולם הפסיכי או תוספת ידע מדעי נוירופיזיולוגי לא יכולים לקרב אותנו להבנת קשר זה.
בעיטת עונשין היא לרוב עונש המבוצע כבעיטה ישירה של שחקן לשערו של שוער היריבה מנקודת ה-11 מטר, המקובל בענף הכדורגל.
המונח "פנדל" בעברית נגזר מהמונח המקורי בשפה האנגלית Penalty kick (בעיטת עונשין/קנס).
בעיטה זו כעונש במהלך משחק – "עונשין"
כששחקן מהקבוצה המגינה מבצע ברחבת ה-16 עבירה המחייבת בעיטה חופשית ישירה, נדרש השופט לפסוק בעיטת עונשין ממרחק של 11 מטרים לזכות הקבוצה היריבה.
הבעיטה מבוצעת מנקודה במרכז הרחבה, הנמצאת במרחק 11 מטרים מהשער, ובעת ביצועה רשאים להימצא בתוך רחבת ה-16 רק השחקן שנבחר לבצע את בעיטת העונשין ושוער הקבוצה שנענשה.
בנוסף, כמו בכל בעיטה חופשית, על שאר השחקנים לעמוד במרחק של לפחות 9.15 מטרים מהכדור בזמן הבעיטה.
לשם כך מסומן על הדשא מחוץ לרחבה קו מעגלי ברדיוס של 9.15 מטר מנקודת הפנדל.
לשוער מותר לנוע על קו השער, אך אסור לו לצאת משערו לפני הבעיטה.
מרגע שבוצעה הבעיטה, מותר לכל השחקנים להיכנס אל תוך רחבת ה-16 והמשחק ממשיך כרגיל, מה שמאפשר לשחקנים לבעוט בכדור שנהדף על ידי השוער או ניתז מקורות או משקוף השער.
לשחקן שביצע את בעיטת העונשין אסור לגעת בו שוב לפני שנגע בו שחקן אחר.
השחקן הבועט רשאי למסור את הכדור לאחד מחבריו לקבוצה, כל עוד הכדור נבעט קדימה.
אפשרות זו פחות שכיחה בשל אי יעילותה, שכן עדיף לבצע בעיטה ישירה.
בגלל רוחבו של השער וקרבת נקודת העונשין אליו, מצליחים רוב בועטי בעיטות העונשין להחדיר את כדור העונשין אל תוך השער (להבקיע), ועל כן פסיקת בעיטת עונשין היא מהלך העשוי להכריע את המשחק.
על פי רוב, נבעטת בעיטת העונשין בעוצמה רבה ולשוערים אין יכולת להגיע ממרכז השער אל פינותיו התחתונות או העליונות.
משום כך, בוחרים רוב השוערים לנחש לאן תיבעט בעיטת העונשין ולזנק לכיוון זה.
מכיוון שלשוערים סיכוי נמוך לעצור את בעיטת העונשין, רמת הציפיות להצלחה נמוכה מהשוער אך גדולה מהשחקן הבועט.
סיכויי הבקעת השער מרביים כאשר הכדור מוחדר לפינתו הגבוהה, הימנית או השמאלית, של השער, אך שחקנים רבים נמנעים מבעיטת הכדור לשם, מחשש שיחטיאו לחלוטין את מסגרת השער.
בפברואר 2025 פורסם על הצעה לשינוי חוק הפנדל שעלתה ב־IFAB, לפיה תבוטל האפשרות לבעוט "ריבאונד" במקרה שהשוער הדף את הכדור, וכך בכל מצב שהבועט לא הבקיע תהיה בעיטת שוער לאחר מכן.
ההצעה נובעת בין השאר מאחוזי הפנדלים שנכנסים לשער - כ-76%.
בעיטה זו כשיטת הכרעה – דו-קרב בעיטות פנדלים
דו-קרב פנדלים מתקיימים מהמקום שבו נבעטת בעיטת עונשין, אולם היא איננה עונש או קשורה לבעיטת העונשין הרגילה שניתנת במהלך הזמן החוקי.
דו-קרב פנדלים היא אחת משתי שיטות בכדורגל שבהן נדרשים לשבירת שוויון, במשחקים שנדרשת בהם הכרעה ואינם יכולים להסתיים בתיקו בתום הזמן החוקי.
השיטה הראשונה היא הארכה (תוספת של דקות למשחק), ובעבר היה נהוג גם חוק שערי חוץ בעת מפגש כפול בין קבוצות.
שיטת הדו-קרב פנדלים ניתנת רק לאחר ששתי השיטות הנ"ל השאירו את התוצאה במצב שוויוני לחלוטין.
שיטת שבירת השוויון למשחק מסוים נקבעת מראש על ידי הגוף המארגן את המשחק.
בשיטה משתמשים כאמור לעיתים לאחר תום הזמן החוקי (בכדורגל 90 דקות, ותוספת הזמן שלו) ולעיתים יותר נפוצות לאחר הארכה (30 דקות נוספות שלאחר תום הזמן החוקי שניתן ב-2 מחציות של רבע שעה כל אחת (ותוספת הזמן שלהן) – כלומר בתום 120 דקות משחק).
בדו-קרב פנדלים שולחת כל קבוצה חמישה שחקנים לבעוט כדור מנקודת העונשין בתורם, כאשר הבעיטות מתבצעות לסירוגין מכל קבוצה.
הקבוצה שבתום חמש בעיטות הבקיעה יותר פנדלים – מנצחת.
אולם אם ההפרש גדול מכדי להסגר לפני שכל חמשת הבעיטות נבעטו מכל צד (למשל, כשנשארה בעיטה אחת וההפרש הוא שני שערים), מסתיים הדו-קרב מיידית, והקבוצה שהבקיעה יותר שערים מוכרזת כמנצחת על ידי השופט, שגם מנהל את הדו-קרב.
הבועט הראשון בדו-קרב, והשער אליו נבעטות בעיטות הדו-קרב נקבעים על ידי הגרלה שמבצע שופט המשחק ממש לפני תחילת הדו-קרב (בדרך כלל על ידי הטלת מטבע).
אם התוצאה נשארת שוויונית בתום חמש בעיטות – עוברים לשלב הבא של הדו-קרב, והוא סבב של בעיטה אחת בודדת לכל קבוצה, במתכונת "מוות פתאומי" , כאשר הקבוצה הראשונה שצוברת פיגור בסבב בעיטות – מפסידה בדו-קרב.
שערים שהובקעו באמצעות הדו-קרב אינם נרשמים כשערים רשמיים עבור מבקיעיהם או עבור הקבוצה (בשונה מבעיטות עונשין במהלך המשחק שנחשבות כשער), אלא הם רק דרך לקביעת המנצחת.
בשונה מבעיטות העונשין, לאחר בעיטת הדו-קרב, לא ממשיכים את המשחק, ובתום כל בעיטה, מגיע הבועט הבא מהקבוצה היריבה, ורק לו ולשוער מותר לעמוד בקרבת הרחבה (שאר השחקנים נמצאים על קו החצי במגרש).
למרות שהשתמשו בדרך זו באופן נרחב בכדורגל מאז שנות ה-70, שיטת דו-קרב הפנדלים זוכה לביקורת על ידי רבים מאוהדי הכדורגל לאורך השנים, בעיקר בשל מה שנתפס כהסתמכות על המזל ולא על מיומנות הקבוצה, ותלות התוצאה בדו-קרבות אישיים בין שחקנים יריבים, מה שאינו עומד בקנה אחד עם כדורגל כספורט קבוצתי.
לעומת זאת, יש הסבורים שהלחץ על הבועט וחוסר היכולת לנבא את המנצחת הופכים אותו לסיום דרמטי ומרגש לאירועי גמר, שרבים מהם זכורים בזכות החמצה או הבקעה של הבעיטה האחרונה והמכריעה.
באלימות, באמנויות לחימה ובספורט, בעיטה היא התקפה בעזרת כף הרגל, הברך או הרגל.
לעיתים קרובות משתמשים בהתקפה זו בקרב פנים אל פנים.
באופן כללי, בעיטות איטיות יותר אך חזקות יותר ממכות הנעשות עם הידיים.
בעיטות תופסות חלק מרכזי באמנויות לחימה רבות, כמו קראטה, אגרוף תאילנדי וטאקוונדו.
באומנויות אחרות, כמו ג'ודו ואגרוף, אין משתמשים בבעיטות בכלל.
יש אומנויות שבהן משתמשים בבעיטות, אך מגבילים את טווח הפגיעה שלהם לרגליים ולפלג הגוף התחתון.
קיים מספר רב של בעיטות, ולמקצתן יש שמות משלהן.
לעיתים קרובות לתנועה מסוימת יהיו שמות שונים באמנויות לחימה שונות.
בכדורגל הנגיעה בכדור מותרת בכל חלקי הגוף, למעט הידיים, אך מקובל בעיקר לבעוט בו ברגל.
ישנם כמה סוגי בעיטות מיוחדים בכדורגל: בעיטת עונשין, בעיטה חופשית ובעיטת קרן.
בעיית האינדוקציה היא בעיה פילוסופית, ששורשיה נעוצים עוד בעת העתיקה.
את הטיעון בצורתו המפורסמת כיום הציג הפילוסוף הסקוטי דייוויד יום.
הטיעון מראה שכל הצדקה לוגית של האינדוקציה משתמשת בעצמה באינדוקציה.
כלומר, היא כבר מניחה במוּבלע שאינדוקציה היא שיטת היסק תקפה, ולכן היא מעגלית.
מטרת הטיעון להראות כי מקורה של האינדוקציה המדעית הרגילה (ולא אינדוקציה מתמטית), אינו במציאות החיצונית (במישור האובייקטיבי), אלא בנפש האדם (בסובייקט), ובכך לערער על אמינותה כשיטת היסק תקפה.
הפילוסוף עמנואל קאנט אמר שבעיית האינדוקציה "העירה אותו מתרדמתו הדוגמטית" והביאה אותו לכתיבת ביקורת התבונה הטהורה.
בעקבות הצגה זו של בעיית האינדוקציה, היא אינה מקובלת כגישה להיסק לוגי מסורתי תקף, להסקה ממספר מוגבל בהכרח (מגבולות הניסיון) של תרחישים במציאות החיצונית.
קריאת תיגר על החוקים המדעיים
הצגת הבעיה שבאינדוקציה קוראת תיגר על החוקים המדעיים ועל מושג הסיבתיות: אפשר להדגים זאת על ידי ניתוח התרחיש של פגיעת כדור ביליארד אחד בשני, ותזוזתו של הכדור השני.
התפיסה המקובלת של סיבתיות גורסת כי עקיבה בזמן (רצף הפעולות מתרחש בזמן באופן שנדמה לנו מיידי, או כתוצאה משרשרת אירועים), סמיכות במרחב (קירבה, פגיעה או נגיעה של האובייקטים זה בזה), והישנות המקרה שוב ושוב הם שלושת התנאים ההכרחיים לכך שהכדור הראשון הוא הסיבה לתזוזתו של הכדור השני.
ניוטון ביסס על הנחות אלו את החוק המדעי על פיו במקרה זה הכדור האחד הוא הסיבה לתזוזת הכדור השני.
חוקים מדעיים כגון זה נובעים ממספר מוגבל בהכרח של ניסיונות.
אנו מסיקים ממספר מוגבל של ניסיונות ומכך שאנו רואים את אותם התרחישים במקרה הזה שוב ושוב בגופים שונים, וטוענים להימצאותם של חוקים פיזיקליים אוניברסליים ולכך שבנסיבות זהות רצף ההתרחשויות שראינו יחזור על עצמו תמיד ובהכרח.
מה שאנו עושים, לטענת יום, הוא להסיק ממספר מוגבל של ניסיונות אפשריים במציאות החיצונית (קבוצה סגורה, מבחר אקראי של משתנים במציאות החיצונית, שמשתנה בעצמה ללא הרף.
ראו: הזהות על פי יום), לגבי אינסוף נתונים, או לפחות קבוצה פתוחה, קבוצה שהתנסינו רק במדגם מצומצם ממנה (שהרי לא ניתן לבדוק אינסוף קבוצות מדגם).
בסופו של דבר, גם תרנגול המסיק שקריאתו מדי בוקר היא המביאה את השמש מסיק את ה'חוק' שלו בשיטת האינדוקציה, וקל לראות שהוא טועה.
הפילוסוף הסקוטי, דייוויד יום, הוכיח שמושג ההכרח נובע מהרושם שיוצרת החזרה על המאורע שוב ושוב.
רושם זה מקורו ברוח, ואינו רושם של תחושה שמקורה במושאים עצמם.
יום, ברוח האמפיריציזם הקיצוני בו דגל, שלל את הכרחיותם של הדברים הנוצרים על ידי המחשבה בלבד, ולכן ביטול מושג ההכרח הנקשר לאינדוקציה הוביל אותו למסקנה ספקנית.
המהלך הלוגי של יום, המפורט בספרו 'מסכת טבע האדם' מורכב מחמישה שלבים:
מסקירת דוגמה אחת של שני מושאים שמקיימים עקיבה וסמיכות לא ייווצר מושג של הכרח ביניהם.
מריבוי דוגמאות בו יש חיבור תמידי של מושאים כאלה, בין שני המושאים ייווצר מושג ההכרח.
החזרה של הצירוף אינה מגלה משהו חדש על המושאים, ולא יוצרת בהם דבר (אין רושם נוסף, הנוצר מתחושה).
החזרה יוצרת ברוח דימוי, או בלשונו של יום, "הכרע": המעבר המורגל מהמושא אל בן לווייתו הרגיל.
5. המעבר המורגל במחשבה הוא מושג ההכרח, ומקורו ברוח ולא במושאים (ברושם הנוצר במחשבה כתוצאה מתחושה).
ובמילים פשוטות: מכיוון שמדוגמה אחת של שני מושאים אין להסיק סיבתיות (לא נוצר הכרח), ומריבוי דוגמאות כן ניתן לעשות זאת, הסיבתיות קשורה בעיקר בחזרה.
אבל, החיבור התמידי לא משנה את המושאים, לא משנה את המציאות עצמה ולא יוצר דבר חדש, לכן ההכרח הוא רק פנימי, במחשבה.
כמה פעמים יצטרך לחזור הדבר כדי שיוכר ככלל?
המחשבה מוליכה את מחשבותינו ממושא אחד לאחר על סמך הניסיון שנשנה בעבר.
הטיעון הפסיכולוגיסטי של יום מנתק את הסיבתיות מן המושאים, ומראה שההכרחיות נוצרת בסובייקט המתבונן ולא במושאים החיצוניים.
משמע, אין כל צידוק לטעון לסיבתיות.
בעקבות בעיית האינדוקציה העמיד קאנט את המדע על מספר מצומצם מאוד של הנחות על מהות המחשבה עצמה שאותן טען כי בכל זאת ניתן לדעת באופן רציונליסטי.
הניסיון לבסס את המדע על דדוקציה
הפרכתו של יום את תקפות מנגנון האינדוקציה שומטת את הקרקע מתחת למדע, אשר נשען בחלקו הרב על שיטת היסק זו (אם בניסויים רבים ראינו תופעה מסוימת, אנחנו מסיקים מכאן כי זוהי תופעה קבועה שחייבת לחזור על עצמה גם בעתיד).
למעשה, טיעונו של יום, על אף בעייתיותו המעשית, עדיין לא הופרך.
את בעיית האינדוקציה החדשה הציב הפילוסוף האמריקאי נלסון גודמן (1906–1998).
גודמן מבקש לתקוף את ההנחה כי ניתן להציג חוקים של לוגיקה אינדוקטיבית ממש כפי שהדבר ניתן בלוגיקה דדוקטיבית.
לשם הצגת הבעיה הוא מביא את הפרדוקס הבא: נניח שבדקנו מספר גדול של איזמרגדים וראינו כי לכולם יש את התכונה "להיות ירוק", כלומר שכל האיזמרגדים שבדקנו הם ירוקים; מכאן נסיק אינדוקטיבית שכל האיזמרגדים ירוקים.
שימו לב: כל האיזמרגדים שנבדקו עד עכשיו נמצאו ירוקים, ואם זמן T פירושו "עכשיו" אז כל האיזמרגדים נמצאו ירולים, ומכאן שניתן להסיק אינדוקטיבית שכל האיזמרגדים ירולים.
אבל הרי זו סתירה: אותן ראיות ממש מובילות אותנו לשני ניבויים סותרים: האחד הוא שהאיזמרגד הבא שנבדוק יהיה ירוק, והאחר שהוא יהיה כחול.
כאשר מעלים את השאלה בתורת ההכרה, שואלים, כיצד אפשר לדעת האם אינדוקציה אחת (ירוק) נכונה, בעוד אינדוקציה שנייה (ירול) שגויה.
ניסוח אחר, דרמטי יותר, של הבעיה, עושה השוואה דומה בין הטענות "חוקי הפיזיקה תקפים" ל"חוקי הפיזיקה תקפים עד לשנת 2019".
הבעייתיות נובעת מהשימוש בעקרון ניקו (Nicod) הקובע כי כל הכללה מאוששת (מחוזקת/נתמכת) על ידי המקרים הפרטיים שלה.
אמנם אזמרגד ירוק מאשש את ההכללה "כל האזמרגדים ירוקים" אבל אזמרגד ירול אינו תומך בהכללה "כל האזמרגדים ירולים".
האם נוכל למצוא קריטריון ברור המבחין בין טענות דמויות-חוק (עליהם חל עקרון ניקו) לבין הכללות מקריות (עליהן עקרון ניקו אינו חל)?
הדרכים לנסות ולהתמודד עם הבעיה של גודמן הן רבות ומגוונות.
הידועה בהן היא הצעתו של וילארד ואן אורמאן קוויין, שחשב כי רק הכללות המדברות על סוגים טבעיים הן הכללות דמויות חוק.
בשם "סוג טבעי" הוא מכנה כל תכונה שאנו רואים בעולם באופן טבעי.
כך אנו רואים באופן טבעי דברים ירוקים ודברים שאינם ירוקים, אך איננו עושים זאת עם דברים ירולים ושאינם ירולים.
החיסרון בהצעתו של קוויין הוא בכך שהיא ממירה את מושג האינדוקציה הנאיבי הקלאסי הנוח והניתן להגדרה פורמלית (לוגית/ריגורוזית ומוגדרת היטב), במושג עמום יותר ולא נוח של אינדוקציה – כזה שאינו בר-הגדרה פורמלית – זאת בהיעדר הגדרה לוגית/ריגורוזית למושג "טבעי".
השאלה האם P=NP היא בעיה פתוחה מרכזית במדעי המחשב, העוסקת ביכולת לפתור אוסף גדול של בעיות בצורה יעילה.
במילים פשוטות, השאלה היא האם כל בעיה שניתן לבדוק עבורה בצורה יעילה האם פתרון מוצע הוא נכון, היא גם בעיה שניתן למצוא עבורה פתרון בצורה יעילה.
ההגדרה ליעילות בהקשר של בעיות מהמחלקות P ו-NP מתייחסת לקיום אלגוריתם שפותר את המשימה בזמן פולינומי, כלומר זמן השלמת המשימה משתנה כפונקציה פולינומית ביחס לגודל הקלט לאלגוריתם.
המחלקה P היא מחלקת סיבוכיות המכילה את כל בעיות ההכרעה אשר ניתנות לפתרון באופן יעיל, כלומר בזמן ריצה פולינומי.
לחלק מבעיות ההכרעה לא קיים אלגוריתם ידוע שמאפשר לפתור אותן באופן יעיל, אך כן קיים אלגוריתם שבהינתן תשובה, יוכל לאמת אותה ביעילות.
המחלקה הכוללת את הבעיות הללו, שבהינתן פתרון שלהן ניתן לאמת אותו בזמן פולינומי, נקראת NP.
תשובה לשאלה האם P שווה ל-NP תקבע האם ניתן לפתור בזמן פולינומי בעיות שניתן לאמת פתרון שלהן בזמן פולינומי.
אם P≠NP, בהתאם להשערה הרווחת, פירוש הדבר הוא שישנן בעיות שנמצאות ב-NP אך לא נמצאות ב-P, כלומר קיימות בעיות שקשה למצוא להן פתרון ולא ניתן לפתור אותן בזמן פולינומי, אך ניתן לאמת פתרון מוצע לבעיה בזמן פולינומי.
לפתרון הבעיה ישנן השלכות תאורטיות ומעשיות רבות, והיא זכתה להכרה כאחת מ"שבע בעיות המילניום" של מכון קליי למתמטיקה.
בשנת 1955 שלח ג'ון נאש מכתב ל-NSA בו הוא ציין כי הוא חושד שכדי לפרוץ קוד מסובך מספיק זמן ריצה אקספוננציאלי ביחס לאורך המפתח.
בשנת 1956, שאל קורט גדל במכתב בינו ובין ג'ון פון נוימן, האם ניתן להוכיח הוכחות מתמטיות בזמן ליניארי או ריבועי וכתוצאה מכך יהיה אפשר להפוך הוכחות לדבר אוטומטי.
התכתבויות אלו הופיעו לפני 1971, השנה שבה נכתבו ההגדרות הפורמליות למושגי P ו-NP ולבעיית P=NP על ידי סטיבן קוק במאמרו "The complexity of theorem proving procedures".
בשנת 2000 נבחרה הבעיה להיות אחת מתוך 7 בעיות המילניום של מכון קליי, ואדם אשר פותר אותה יקבל פרס של מיליון דולרים אמריקאים ממכון זה.
במדעי המחשב מוצעות מספר שיטות למדוד יעילות של אלגוריתם על בסיס הקלט שלו.
הגישה הנפוצה היא למדוד את זמן הריצה של האלגוריתם.
על מנת למדוד את זמן הריצה בלי תלות במימוש האלגוריתם במחשב זה או אחר, נהוג למדוד את זמן הריצה על פי כמות הצעדים הבסיסיים שהאלגוריתם מבצע (ההגדרה המדויקת של "צעד בסיסי" מבוססת על מכונת טיורינג).
מכיוון שקלטים גדולים יותר לבעיה גוררים לרוב זמן פתרון גדול יותר, זמן הריצה של האלגוריתם נמדד ביחס לאורך הקלט, לכמות הקלט או למורכבותו.
אם ניתן לחסום את קצב גדילה של זמן הריצה של האלגוריתם עם גדילת הקלט על ידי פולינום, אומרים כי האלגוריתם פותר את הבעיה בזמן ריצה פולינומי.
על פי רוב, זמן ריצה פולינומי נחשב לזמן ריצה סביר לצורך מימוש ביישומים מעשיים (ואף יותר מכך - זמן ריצה שאינו פולינומי נחשב לזמן ריצה שאינו סביר).
לקבוצה P (מלשון Polynomial) שייכת כל בעיית הכרעה שעבורה קיים אלגוריתם המוצא פתרון בזמן ריצה פולינומי.
לקבוצה NP (מלשון Nondeterministic Polynomial) שייכת כל בעיית הכרעה שעבורה קיים אלגוריתם הבודק בזמן ריצה פולינומי האם פתרון מוצע לבעיה אכן פותר אותה.
אלגוריתם זה לא בהכרח מסוגל למצוא פתרון, אלא רק לוודא שפתרון מוצע הוא אכן נכון.
ניתן להגדיר את NP בצורה שקולה באמצעות שימוש במושג האי-דטרמיניזם: בעיה שייכת ל-NP אם קיים אלגוריתם אי-דטרמיניסטי הפותר אותה בזמן פולינומי (דהיינו, מצליח למצוא פתרון).
באופן ציורי, ניתן לומר כי נותנים לאלגוריתם "להטיל מטבע" בכל שלב של ריצתו על מנת להחליט כיצד להמשיך הלאה, ואותו מטבע תמיד נופל בצורה שמבטיחה שאם יש פתרון, האלגוריתם יצליח למצוא אותו.
אם כן, בעיית P=NP שואלת האם קל למצוא את הפתרונות של בעיה חישובית שקל לבדוק את הפתרונות שלה.
התשובה לכך אינה ידועה, אך ההשערה הרווחת היא ש- P ≠ NP, כלומר, קיימות בעיות שקל לבדוק וקשה לפתור.
חשיבותה הגדולה של המחלקה NP ושל השאלה P=NP נעוצה בעובדה שבעיות נפוצות רבות נמצאות ב-NP, ופעמים רבות הן אף NP-שלמות.
עם זאת, לא ידוע עבורן כל אלגוריתם יעיל, וההשערה הרווחת היא שאף לא ייתכנו עבורן אלגוריתמים יעילים, ולכן P ≠ NP.
בהינתן קבוצה של מספרים שלמים, נדרש לקבוע האם ניתן לחלקה לשתי קבוצות של מספרים כך שסכומן זהה (בעיה זו נקראת בעיית החלוקה, Partition Problem).
ניתן להשתכנע בקלות כי בעיה זו ניתנת לבדיקה באופן יעיל, ולכן נמצאת ב-NP.
בהינתן פתרון מוצע - חלוקה של שתי קבוצות - כל שנדרש הוא לחבר את המספרים בכל אחת משתי הקבוצות, ולבדוק האם סכומן זהה.
עם זאת, כלל לא ברור כי בהינתן קבוצה של מספרים, ניתן למצוא באופן יעיל חלוקה לשתי קבוצות שסכומן זהה.
יותר סביר להניח, ואכן זוהי ההשערה הרווחת, כי כל אלגוריתם עלול להזדקק למספר גדול יותר של צעדים (למשל: לעבור על חלק גדול מהחלוקות האפשריות, שמספרן תלוי אקספוננציאלית במספר האיברים בקבוצה).
לאור הדעה הרווחת כי NP מכילה ממש את P, ומשום הקושי הרב שחווים בהוכחת (או הפרכת) הטענה, המחקר בסיבוכיות עוסק בעיקר בווריאציות שונות של הבעיה.
אחת הווריאציות המוכרות והבסיסיות ביותר היא ההיררכיה הפולינומית (מסומנת PH).
הגדרת המחלקה NP בעזרת מכונות טיורינג שאינה דטרמיניסטית אינה הגדרה יחידה, וניתן להגדיר את המחלקה על ידי שימוש בכמתים לוגיים.
את המחלקה NP נגדיר באמצעות הכמת "קיים פתרון" או "קיים פתרון מתקבל".
את המחלקה המשלימה co-NP נגדיר באמצעות הכמת "לא קיים פתרון", או באופן קנוני יותר, "כל פתרון אפשרי אינו מתקבל".
מכאן ההרחבה להיררכיה הפולינומית טריוויאלית במונחי כמתים - נוסיף שרשראות של כמתים, כלומר, במקום "קיים" () או "לכל" (), נגדיר שרשראות של כמתים, לדוגמה .
כמובן שאין טעם בלשים כמתים מאותו סוג בצמידות.
הגדרת ההיררכיה מתקבלת ישירות מההגדרה על פי כמתים - בדרגה ה-i בהיררכיה, תופענה מחלקות הסיבוכיות עם i כמתים.
נשים לב שיש בדיוק 2 מחלקות בכל דרגה, המסומנות .
ההיררכיה נקראת פולינומית מכיוון שכל אחד מהערכים הקשורים (כלומר, הערכים הנמצאים בצמידות לכמת) מוגבלים להיות באורך פולינומי באורך הקלט.
ההיררכיה נקראת היררכיה מכיוון שכל המחלקות בדרגה ה- מוכלות במחלקה שבדרגה ה-i.
נשים לב, שבהצגה זו SAT היא באופן טריוויאלי שפה NP-שלמה.
הקרסת ההיררכיה היא הוכחה שעבור דרגה מסוימת בהיררכיה, מתקיים , אזי .
משפט זה שימושי מסיבות רבות.
באופן מופשט - אם נוכיח שההיררכיה אינה קורסת תחת דרגה מסוימת, אזי .
משפט הקרסת ההיררכיה שימושי באופן נוסף - מספיק להוכיח ש-, והתוצאה המיידית היא ש-P שונה מ-NP.
בכדורגל, בעיטה חופשית היא עונש הניתן על עבירה והתנהגות בלתי הולמת שמבצע שחקן במהלך משחק.
הבעיטה ניתנת לקבוצה היריבה ונבעטת ממקום התרחשות העבירה, למעט בעיטת עונשין, בעיטה חופשית ישירה מתוך רחבת העונשין, שנבעטת מנקודה מוגדרת הנמצאת כ-11 מטר משער היריב.
הכללים לבעיטה החופשית רשומים בחוקת משחק הכדורגל שנכתבה על ידי ארגון ה-IFAB, תחת חוק מספר 12: עבירות והתנהגות בלתי הולמת וחוק מספר 13: בעיטות חופשיות.
על הכדור להיות נייח בזמן הבעיטה, ואסור לבועט לגעת שנית בכדור עד אשר שחקן אחר נוגע בו.
בנוסף, על כל שחקני הקבוצה היריבה לעמוד במרחק של 9.15 מטרים מהכדור בזמן הבעיטה, למעט בבעיטה חופשית בלתי ישירה מתוך הרחבה, שבה מותר לשחקני היריבה לעמוד על קו השער בין הקורות.
אם קבוצת ההגנה יוצרת חומה של 3 שחקנים או יותר, חל איסור על שחקני הקבוצה התוקפת להימצא במרחק של פחות ממטר מהם, עד לתחילת המהלך.
העילה לבעיטה חופשית ישירה רשומה בחוק מספר 12 לחוקת משחק הכדורגל:
אם הבעיטה החופשית מתבצעת קרוב לשער היריב, הקבוצה היריבה בדרך כלל ממקמת מספר שחקנים צמודים בשורה ("חומה") כדי לחסום ולהקשות על השחקן לבעוט לעבר פינה אחת של השער, כך שאם הוא רוצה לעשות זאת הוא חייב להעביר את הכדור מעליהם.
בפינה השנייה של השער עומד השוער.
החל ממונדיאל 2014 עושה השופט שימוש בתרסיס לבן לסימון קו החומה, התרסיס הלבן נעלם תוך מספר שניות.
שיטת התרסיס התקיימה בליגות דרום אמריקה מספר שנים קודם לכן.
אם בעיטה חופשית ישירה נבעטת ישירות אל שער היריבה נפסק שער, ואילו אם היא נבעטת ישירות אל תוך שער הקבוצה שלזכותה נפסקה הבעיטה, היריבה זוכה בבעיטת קרן.
לרוב נבעטת הבעיטה החופשית הישירה ממקום התרחשות העבירה, אך אם העבירה בוצעה ברחבת הקבוצה שביצעה את העבירה נפסקת בעיטת עונשין.
זו בעיטה שנבעטת מנקודה מוגדרת ("הנקודה הלבנה") הממוקמת במרחק של כ-11 מטר (12 יארד) מקו השער בקו ישר ומאונך ממרכזו.
מלבד הבועט ושוער היריבה אסור לאף שחקן להיכנס לרחבת העונשין או לטווח של 9.15 מטרים מהנקודה עד לרגע הבעיטה, אחרת נפסקת בעיטה חוזרת.
אין חובה לבעוט ישירות אל שער היריב בבעיטת עונשין - ניתן למסור את הכדור קדימה אל שחקן אחר, והכדור ייחשב במשחק, אך עקב הקלות הרבה בהבקעת שער מבעיטה ישירה אל שער היריב, לא נהוג לעשות זאת.
העילה לבעיטה חופשית בלתי ישירה רשומה אף היא בחוק מספר 12 לחוקת משחק הכדורגל:
לפי חוק מספר 13 לחוקת משחק הכדורגל, אם נפסקת בעיטה חופשית בלתי ישירה ברחבת השער (רחבת החמש), היא מבוצעת מקו רחבת השער המקביל לקו השער, הקרוב ביותר למקום ביצוע העבירה.
ההבדל בין שני סוגי הבעיטה החופשית הוא שבניגוד לבעיטה החופשית הישירה, לא ניתן בבעיטה חופשית בלתי ישירה להבקיע שער ישירות, אלא רק לאחר שהכדור נוגע בשחקן אחר.
אם בעיטה חופשית בלתי ישירה נבעטת ישירות אל תוך שער היריבה, לא נפסק שער אלא נפסקת בעיטת שוער לטובת היריבה.
כמו בבעיטה חופשית ישירה, אם בעיטה חופשית בלתי ישירה נבעטת ישירות אל תוך שער הקבוצה שלזכותה נפסקה הבעיטה, היריבה זוכה בבעיטת קרן.
בעיית בזל היא בעיה מפורסמת באנליזה מתמטית, שהוצגה לראשונה בשנת 1644 על ידי פייטרו מנגולי, ונפתרה על ידי לאונרד אוילר בשנת 1735. כיוון שהבעיה נשארה לא פתורה לנוכח ניסיונות מתמשכים של המתמטיקאים המובילים באותה תקופה, פרסום פתרונו של אוילר, כאשר היה בן 28, הביא לו תהילה מיידית.
אוילר הכליל את הבעיה באמצעות פונקציית זטא ופתר את הבעיה הכללית, ורעיונותיו שימשו השראה לברנהרד רימן, אשר בעבודתו משנת 1859 השתמש בפונקציה בהקשר למשפט המספרים הראשוניים.
הבעיה נקראת על שם בזל, עירו של אוילר כמו גם של בני משפחת ברנולי, שלא הצליחו לפתור את הבעיה.
בעיית בזל היא מציאת סכום הטור האינסופי של הערכים ההופכיים של ריבועי מספרים הטבעיים.
סכום טור זה שווה בקירוב ל-1.644934. בעיית בזל דורשת את הערך המדויק של סכום הטור.
אוילר הוכיח שהסכום המדויק הוא ופרסם את התגלית הזו בשנת 1735. ההוכחה שלו התבססה על שיטות שלא נראו עד אז.
פתרונו של אוילר לבעיה נחשב מקורי ומבריק.
הוא תקף את הבעיה מנקודת מבט שונה לגמרי ממה שנראה עד אז.
טיעונו של אוילר הוא כזה: נפתח את טור טיילור של הפונקציה ונקבל:
כעת, פונקציה זו מתאפסת בנקודות מהצורה כאשר .
נניח, לפיכך, כי ניתן, בדומה לפולינומים להביע את כמכפלת האפסים שלה:
כעת, אם נכפול בצורה פורמלית ביטוי זה, ונאסוף את המקדמים של , נקבל כי המקדם של ב- הוא
אך מטור טיילור של , אנו יודעים כי המקדם של הוא .
אך שני מקדמים אלו חייבים להיות שווים זה לזה, ולפיכך
ועל ידי הכפלת שני האגפים ב- נקבל את הדרוש.
פתרונו של אוילר אינו ריגורוזי לחלוטין בסטנדרט המתמטי המודרני.
זאת משום שלא הצדיק את ההנחה שניתן להביע את כמכפלת גורמים ליניאריים המאפסים את האפסים.
ביטוי זה מוצדק בדיעבד על ידי משפט הפירוק של ויירשטראס.
ג'ון ואליס גילה ב-1665 את נוסחת המכפלה שלו לפאי:
וואליס גזר את המכפלה האינסופית הזאת בצורה שנעשית בטקסטים של חשבון אינפיניטסימלי כיום - באמצעות השוואת בעבור ערכים זוגיים ואי זוגיים של .
בדיעבד, כפי שאוילר הבחין, נוסחת המכפלה של וואליס היא מסקנה פשוטה מן השיטות שלו לפתרון בעיית בזל.
את הבעיה אפשר לפתור כמקרה פרטי של טור פורייה: פיתוח פונקציה מחזורית בקטע לטור של סינוסים וקוסינוסים.
תהי פונקציית הזהות בקטע .
כדי שטור פורייה שלה יהיה תקף גם מחוץ לקטע זה, נצטרך להמשיך אותה באופן מחזורי.
נשים לב, שבהמשכה זה הפונקציה איננה רציפה ובכל זאת קיים לה פיתוח לטור פורייה.
נחשב את מקדמי פורייה שלה.
מאחר שזו פונקציה אי-זוגית נשתמש בהצגה הטריגונומטרית שלה, כי אז כל המקדמים של הקוסינוסים מתאפסים ורק מקדמי הסינוסים נשארים (זאת מאחר שהסינוס היא פונקציה אי-זוגית והקוסינוס היא פונקציה זוגית).
כעת, נחשב את מקדמי הסינוסים:
בסך הכל, טור פורייה של x הוא
נחלק ב-2 את הביטוי ונצמצם את פאי באגף הימני ונקבל
בעוד שמרבית ההוכחות משתמשות בכלים מענפים מתקדמים במתמטיקה כגון אנליזת פורייה, אנליזה מרוכבת או חשבון אינפיניטסימלי, ההוכחה שתוצג בהמשך אינה עושה שימוש כלל בחשבון אינפיניטסימלי, למעט שימוש בגבול בסוף ההוכחה.
הוכחה זו נמצאה על ידי קושי ב-1821 ופורסמה מחדש ב-1954 על ידי עקיבה ויצחק יגלום בספרם "Nonelementary Problems in an Elementary Exposition".
רעיון ההוכחה הוא לתת חסם עליון וחסם תחתון לסכומים החלקיים , כפונקציות של , כך שהן החסם העליון והן החסם התחתון שואפים ל-.
בדרך זו ניתן לסיים את ההוכחה באמצעות כלל הסנדוויץ'.
יהי מספר ממשי המקיים , ויהי שלם חיובי אי-זוגי.
על פי משפט דה מואבר והגדרת הקוטנגנס מתקיימת הנוסחה
על פי הבינום של ניוטון מתקיים
אם נשווה את החלק המדומה של שתי התוצאות הנ"ל, נקבל את הזהות
הצבת כאשר מאפסת את אגף שמאל, ולכן גם את אגף ימין.
בנוסף, פונקציית הקוטנגנס חיובית ויורדת ממש בקטע .
יש שורשים שונים והם .
על פי נוסחאות ויאטה נקבל את הזהות
על פי הזהות נקבל כי
לכל ממשי מתקיים אי השוויון (להוכחה, ראו כאן).
לאחר היפוך, שינוי כיוון והעלאה בריבוע נקבל את אי השוויון
לאחר כפל ב- נקבל כי
נשים לב שהחלק השמאלי והחלק הימני שניהם שואפים ל- כאשר שואף לאינסוף.
לכן על פי כלל הסנדוויץ' החלק האמצעי שואף גם כן ל-, שזה בדיוק מה שרצינו.
ב-1993 מצא קאלאבי הוכחה קצרצרה למשפט של אוילר , שאפשר להכליל לחישוב ערכים נוספים של פונקציית זטא.
ההוכחה משתמשת בהחלפת משתנים דו-ממדית, כלדקמן.
נסמן ב- את ריבוע היחידה וב- את המשולש .
הפונקציה מעתיקה את לפנים של באופן חד-חד-ערכי ועל, והיעקוביאן שלה הוא .
בכדורגל, כאשר שחקן באחת הקבוצות נוגע אחרון בכדור, הנהדף אל מאחורי קו השער של קבוצתו שלו, וזה עובר את הקו במלוא היקפו אך לא בתחומי השער, כלומר לא הובקע שער - תיפסק בעיטת קרן.
הבעיטה מבוצעת מפינת המגרש הקרובה ביותר למקום יציאת הכדור מתחומיו על ידי שחקן הקבוצה היריבה.
על הכדור להיות נייח, ורק במצב כזה השחקן יוכל להמשיך את המהלך.
על שחקני היריבה לשמור מרחק של כתשעה מטרים מן הכדור.
השחקן שמבצע את בעיטת הקרן לרוב מעדיף להרים את הכדור לתוך הרחבה ("קרן ארוכה"), שם מתמקמים שחקנים מקבוצתו על מנת לנגוח את הכדור לתוך שער היריבה.
שיטה מוכרת נוספת היא למסור לשחקן הנמצא קרוב לאזור בעיטת הקרן ("קרן קצרה") ולאפשר הרמה מזווית נוחה יותר.
ייתכן מצב בו יובקע שער מבעיטת קרן, ללא נגיעה של שחקן אחר מלבד בועט הקרן, על ידי בעיטה מסובבת אל תוך השער- שער שכזה מכונה בשפת הכדורגל "שער אולימפי".
על-פי חוקת המשחק, לא תיתכן עבירת נבדל כתוצאה מעמדת נבדל בבעיטת קרן, כפי שלא תיתכן בהוצאת חוץ או בבעיטת שער.
במקרה של בעיטה חופשית, בעיטת קרן או זריקת חוץ רגילה שנכנסת לשער הקבוצה שזרקה או בעטה אותה, ללא נגיעה של שחקן אחר, תינתן בעיטת קרן לקבוצה היריבה, ולא שער עצמי כפי שהיה מתבקש.
בתורת הגרפים, בעיית k המרכזים היא בעיית אופטימיזציה, המבקשת להקים ברשת נתונה מספר קבוע מראש של "מרכזי שירות", כך שהמרחק של ה"לקוח" הרחוק ביותר מכל המרכזים יהיה קטן ככל האפשר.
פורמלית, הבעיה מקבלת גרף ממושקל בעל n צמתים ומטרתה למצוא תת-קבוצה בגודל k, המביא למינימום את המרחק בין כל צומת בגרף לאחד הצמתים בקבוצה k.
האלגוריתמים הידועים לבעיה מניחים שהמרחקים בגרף מקיימים את אי-שוויון המשולש.
יהי G גרף מלא לא מכוון ממושקל ותהיינה V ו-E קבוצת הצמתים והקשתות בגרף בהתאמה.
יהי המרחק המרחק בין הצמתים i ו-j המקיים את אי-שוויון המשולש.
יש למצוא תת-קבוצה S של V בגודל k כך שהערך המקסימלי (על-פני ) של כל ערכי המינימום , הוא הקטן ביותר האפשרי.
בעיית k המרכזים ידועה כבעיה NP שלמה מכיוון שניתן באמצעות רדוקציה פולינומית להראות שבהינתן פתרון לבעיית k המרכזים ניתן למצוא פתרון לבעיית הקבוצה השולטת (Dominating set) בגרף כלשהו.
קיימים מספר אלגוריתמי קירוב לבעיה.
בשנת 1985 הראה טופילו גונזלס אלגוריתם חמדן הפותר את הבעיה עם שגיאת קירוב 2 ובונה את הפלט S תוך שימוש ב-k איטרציות.
באיטרציה הראשונה האלגוריתם בוחר צומת שרירותי ומוסיף אותו ל-S.
לאחר מכן, בכל איטרציה בוחר האלגוריתם את הצומת הרחוק ביותר מצומת כלשהו ב-S ומוסיף אותו ל-S.
זמן הריצה הכולל של האלגוריתם הוא (O(kn.
אלגוריתם קירוב נוסף בעל שגיאה דומה מבצע רדוקציה לבעיית מציאת קבוצה בלתי תלויה מקסימלית (Maximal independent set) בגודל k בגרפים המתקבלים על ידי הוספת צומתי G לקבוצה הריקה, העלאת G בחזקה (Power Graphs) ומציאת הגרף הקטן ביותר עבורו ניתן למצוא קבוצה שולטת מלאה בגודל k.
בעיית ברנסייד היא אחת הבעיות המפורסמות בתורת החבורות.
הבעיה, הקרויה על-שם ויליאם ברנסייד , שואלת האם חבורה נוצרת סופית בעלת אקספוננט סופי היא בהכרח סופית.
בניסוח כללי זה ידוע שהתשובה שלילית, ועם זאת גרסאות שונות של הבעיה עדיין מושכות תשומת לב רבה בין החוקרים בתחום.
מדליית פילדס הוענקה ב-1994 ליפים זלמנוב, במידה רבה בזכות הפתרון החיובי של בעיית ברנסייד המצומצמת .
חבורה היא נוצרת סופית אם יש קבוצה סופית, S, כך שכל איבר בחבורה הוא מכפלה באורך כלשהו של איברים מתוך S.
בדרך כלל חבורה נוצרת סופית עשויה להיות אינסופית, והסיבה הפשוטה ביותר לכך היא שהיוצרים ב-S עשויים להיות בעלי סדר אינסופי בעצמם.
למשל, החבורה הציקלית האינסופית נוצרת על ידי איבר אחד, ויש בה כמובן אינסוף איברים.
ברנסייד שאל האם חבורה נוצרת סופית שבה לכל איבר יש סדר סופי מוכרחה להיות סופית.
זוהי גרסה ראשונה של הבעיה, שנודעה בשם 'בעיית ברנסייד הכללית':
האם חבורה נוצרת סופית מפותלת, היא בהכרח סופית?
אפשר להגביל את החבורה מעט יותר, ולדרוש שכל איבר שלה יקיים את החוק (כלומר, אותו e עבור כל האיברים בחבורה).
דרישה זו מובילה לגרסה שנייה:
האם חבורה בת d יוצרים, שבה מתקיים החוק , היא בהכרח סופית?
את החבורה הנוצרת על ידי d יוצרים, שבה מתקיים רק החוק ומסקנותיו, מסמנים ב- - זוהי חבורת ברנסייד עם d יוצרים מאקספוננט e.
הגרסה השנייה שקולה, אם כך, לשאלה האם סופית.
במעט יותר מאמץ אפשר להוכיח ש- ו- סופיות.
מאידך, Golod-Shafarevitc נתנו ב-1964 תשובה שלילית לבעיה בנוסחה הראשון .
ב-1968 הראו Novikov ו-Adian שאם e גדול מספיק, החבורות אינן סופיות.
תוצאות אלו משאירות טווח רחב שבו התשובה אינה ידועה.
למשל, לא ידוע האם החבורות ו- סופיות או אינסופיות.
חבורות הפועלות על עצים עם שורש מספקות משפחה של דוגמאות נגדיות לבעיית ברנסייד בנוסחה הראשון.
גם אם החבורה אינסופית, אפשר לשאול האם יש לה מנה סופית גדולה ביותר, או שמא יש לה מנות סופיות מסדר גדל והולך.
האם יש ל- מנה סופית גדולה ביותר?
האם המנה ה-residually finite של היא סופית?
האם מכפלה ישרה של חבורות סופיות בעלות אקספוננט חסום היא סופית מקומית?
ב-1990 הראה זלמנוב שהתשובה חיובית.
אם כך, אפשר להגדיר את החבורה כמנה הסופית הגדולה ביותר של .
ידוע שהסדר של הוא ; שהסדר של הוא ; ושהסדר של הוא .
בעיטה נמוכה (נקרא בעגה הישראלית לוו-קיק = low kick באנגלית) היא בעיטה שבה התוקף משתמש בשוק הרגל כדי להכות את ירך היריב.
בעיטה זו היא מאוד נפוצה בסוגי אמנויות לחימה, כגון, קארטה, קיקבוקס ואגרוף תאילנדי.
התוקף משתמש בסוג בעיטה זו על מנת לפגוע ברגל היריב ולהמם אותו ולגרום לו לחוסר יציבות וכדומה, אך במידה והיריב חוטף בעיטה זו מספר פעמים ברצף, הדבר יכול לגרום לנזק רב לעצם, למפרק, לרצועה או לעצב השת.
ההגנה הנפוצה ביותר מפני בעיטה נמוכה היא 'בלוק', שבו היריב מרים את הברך באופן כפוף וזה גורם לכאבים רבים ואפילו לנזק לתוקף.
בעיטת רַבּוֹנָה היא סוג של בעיטה בכדור במסגרת משחק הכדורגל.
הבעיטה המיוחדת מתבצעת כך שהרגל הבועטת מונפת לקראת הבעיטה מאחורי הרגל הניצבת על הקרקע, מקיפה אותה מאחור ומוצלבת אתה לפני המגע עם הכדור.
כך, למשל, אם יש כוונה לבעוט ברגל ימין, הבעיטה תצא מצד שמאל, וכך עשויה להתבלבל ההגנה.
על כן הבעיטה ידועה גם בשם "crossed-kick", או "בעיטה מוצלבת".
בעיטת הרבונה המתועדת הראשונה בוצעה על ידי הכדורגלן הארגנטינאי ריקרדו אינפאנטה, במשחק בין אסטודיאנטס לה פלאטה לבין רוסאריו סנטראל בשנת 1948 .
למחרת המשחק, פרסם שבועון הספורט אל גראפיקו תמונה ובה נראה אינפנטה לבוש כתלמיד בית ספר, ותחתיה הכיתוב "El Infante que se hizo la rabona" (בספרדית: "התינוק ש'הבריז' (התחמק) מבית הספר.") מאז נודעה הבעיטה בשם "רבונה".
בעיטת הרבונה המצולמת הראשונה נבעטה על ידי השחקן פלה במסגרת אליפות מדינת סאו פאולו שבברזיל בשנת 1957.
למרות שלסגנון הבעיטה המיוחד עשויים להיות שימושים מעשיים בהטעיית היריב או בביצוע בעיטה מזווית קשה אל השער או במסירה - לרוב מתבצעת הבעיטה רק כדי "להשוויץ" ולבדר את הקהל באמצעות מהלך לא שגרתי וקשה לביצוע.
בהשאלה, נתנה הבעיטה את שמה לצעד בריקוד הטנגו, שמוצאו מארגנטינה.
בתורת ההסתברות, בעיית אוסף הקופונים היא בעיה קלאסית הדנה במשחק שבו נאספים קופונים מתוך תיבה עם קופונים שונים, בהסתברות שווה עם החזרה, והמטרה היא לאסוף את כל הקופונים.
מהי ההסתברות שנדרשות לפחות דגימות כדי לצפות בכל הקופונים לפחות פעם אחת?
ניתוח מתמטי מראה שתוחלת מספר הדגימות הנדרש כדי לצפות בכל קופון לפחות פעם אחת גדלה כתלות ב- לפי (לדוגמה כאשר מספר הקופונים הוא n = 50, נדרשות בממוצע כ-225 דגימות).
עיקרון חשוב להבנת הבעיה הוא שנדרש מספר דגימות מועט מאוד כדי לאסוף את הקופונים הראשונים, ואילו כדי לצפות בקופונים האחרונים (אלו שלא נצפו קודם לאחר שכמעט כל הקופונים נצפו) נדרש מספר גדול של דגימות.
למשל כאשר יש 50 קופונים ו-49 מהם כבר נצפו, ידרשו 50 דגימות בממוצע כדי לצפות בקופון האחרון.
נסמן כזמן הנדרש (או מספר הדגימות) לאיסוף קופונים, נסמן ב את הזמן הנדרש לאיסוף הקופון ה- לאחר שנאספו קופונים.
נתייחס אל ו- כאל משתנים מקריים.
נשים לב שההסתברות לאיסוף קופון חדש (לא אחד מתוך ה- שכבר נצפו) היא .
הזמן הנדרש לאיסוף הקופון ה- () מתפלג לפי התפלגות גאומטרית עם תוחלת של .
באמצעות ליניאריות התוחלת ניתן למצוא את תוחלת הזמן הנדרש לאיסוף כל הקופונים, :
כאשר הוא המספר ההרמוני ה-.
בניתוח אסימפטוטי מקבלים שכאשר :
באמצעות אי-שוויון מרקוב ניתן לחסום את ההסתברות שהזמן הנדרש לאיסוף כל הקלפים יעלה על :
ניתן לקבל חסם לשונות מספר התצפיות הנדרש.
בהסתמך על כך שהמשתנים המקרים בלתי תלויים:
כאשר הוא ערך של פונקציית זטא של רימן.
באמצעות אי-שוויון צ'בישב מתקבל החסם: