tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
הנחת היסוד של הגישה הזו היא שכל מה שקורה בחברה מתרחש מסיבה מסוימת ותורם ליציבותה.
אולם, מבקרי גישת הפונקציונליזם מציינים כי משתמע מכך שכל תופעה בהכרח תורמת לחברה, גם אם היא שלילית.
כנגד ביקורת זו, הציע שיש תופעות שלא תורמות לחברה, לכן אפשר לקרוא להן "דיספונקציונליות", כלומר שיש להן תרומה שלילית לחברה, לדוגמה: סטייה חברתית.
פונקציה קוונטית הוא מעגל שערים קוונטיים אשר מממש חישוב של פונקציה כלשהי .
בניית מעגל הפיך מפונקציה כלשהי
נרצה כי המעגל קוונטי יוכל לחשב פונקציה כלשהי ללא הגבלה על תכונותיה, ובפרט פונקציה שאינה נדרשת להיות הפיכה או חד-חד ערכית.
מאידך, חוקי המכניקה הקוונטית, מאלצים כל מעגל חישוב קוונטי להיות הפיך.
כדי להתגבר על אילוץ זה ועדיין לאפשר חישוב של כל פונקציה, המעגל מממש בפועל חישוב של פונקציה הפיכה, שנסמנה אשר בעזרתה ניתן לחשב את הפונקציה המקורית .
מעגל הפונקציה החדשה F מקבל, בנוסף ל-n הקיוביטים המייצגים את , קיוביט נוסף אשר נקרא קיוביט המטרה (target).
מוצא המעגל אינו משנה את n הקיוביטים אשר מייצגים את (כך מתקבלת ההפיכות), אך קיוביט המטרה משתנה לערך , כאשר b הוא הערך של קיוביט המטרה בכניסת המעגל.
בפרט, אם קיוביט המטרה מאותחל לערך ההתחלתי , במוצא המעגל יתקבל קיוביט במצב קוונטי .
בניסוח מתמטי, כאשר מצב קוונטי בבסיס החישוב של n קיוביטים, ו- הוא מצב קוונטי של קיוביט בודד בבסיס החישוב.
לפי עיקרון הליניאריות, ניתן להרחיב את החישוב לכל מצב קוונטי על ידי פירוק המצב לסופרפוזיציה של מצבי בסיס החישוב, וביצוע החישוב על כל אחד מהם בנפרד.
נניח שבכניסת המעגל מאותחל האוגר למצב , כאשר קיוביט המטרה כבוי .
נפרק את אוגר הכניסה לסופרפוזיציה של אברי בסיס החישוב:
נבצע את החישוב על כל חלק בנפרד:
בניית מעגל הפיך למימוש פונקציה שרירותית היא הבסיס לחישוב קוונטי, ונעשה בה שימושים רבים עבור אלגוריתמים המקבלים פונקציה בתור הקלט של האלגוריתם, כפי שמבוצע באלגוריתם דויטש-ג'וזה ואלגוריתם סימון.
שימוש זה מקביל להפעלת אורקל בחישוב קלאסי.
בתורת הקבוצות, פונקציה שומרת סדר היא פונקציה בין קבוצות סדורות, השומרת על יחס הסדר.
בניסוח מדויק: תהיינה ו- קבוצות סדורות חלקית.
פונקציה היא שומרת סדר אם לכל ב- מתקיים ב- (ייתכן ש- גם אם לא נכון ש-).
פונקציה שומרת סדר וחד-חד-ערכית נקראת שיכון.
אם סדורה ליניארית ויחס הסדר חזק, אז כל פונקציה שומרת סדר מ- היא שיכון.
פונקציה חד-חד-ערכית ועל שגם היא וגם ההפכית לה שומרות סדר, היא איזומורפיזם של קבוצות סדורות.
אם קיים איזומורפיזם , אז הקבוצות הסדורות ו- איזומורפיות ויש להן אותו טיפוס סדר.
פונקציות שומרות סדר על סדרים טובים
אם סדר טוב ואם פונקציית שיכון אז מקיימת: לכל ,
אם סדר טוב ואם פונקציית איזומורפיזם, אז היא פונקציית הזהות.
בקריפטוגרפיה, פוּנְקְצִיָּה פסאודו-אַקְרָאִית בקיצור PRF היא משפחה של פונקציות המדמות אורקל ראנדומלי באופן שלא קיים אלגוריתם יעיל שיכול להבחין עם יתרון משמעותי, בין פונקציה שנבחרה ממשפחה זו לבין אורקל אקראי אמיתי.
היא נקראת כך משום שהיא אינה אקראית אמיתית אלא "מעין" אקראית או אקראית מדומה.
לפונקציה פסאודו-אקראית חשיבות רבה בקריפטוגרפיה והיא מאבני הבניין של ההצפנה מודרנית, באמצעותה ניתן לבנות פרימיטיבים קריפטוגרפיים וסכמות הצפנה בטוחות.
מהיבט תאורטי, הוכח שאפשר לבנות פונקציה פסאודו-אקראית באמצעות מחולל מספרים פסאודו-אקראיים קריפטוגרפי, אולם הפרימיטיבים הקריפטוגרפיים הקיימים בשימוש מעשי כיום אינם מוכחים אלא מאמינים שהם מועמדים טובים לפונקציה פסאודו-אקראית.
לדוגמה צופן סימטרי כמו AES נחשב לפרמוטציה פסאודו-אקראית אם כי מעולם לא הוכח תאורטית.
להבדיל ממחולל פסאודו-אקראי המסומן בקיצור PRG שבו מידת אקראיות הפלט תלויה באקראיות הקלט, פונקציה PRF מבטיחה שבלי קשר לקלט, הפלט תמיד יראה אקראי, כל עוד הפונקציה נלקחה מתוך המשפחה באופן אקראי.
מבחינה תאורטית תכונת פסאודו-אקראיות של פונקציה מתייחסת להתפלגות הסטטיסטית של משפחה של פונקציות.
ביתר פירוט, נניח שקיימת פונקציה שמקבלת שני קלטים ומחזירה פלט כלשהו, היא נראית באופן כללי כך:
נניח שהקלט הראשון נקרא "המפתח" ומסומן באות , באופן כללי אם קובעים את מתקבלת "פונקציה עם מפתח" שמקבלת קלט באורך כלשהו ומחזירה פלט באורך כלשהו, כל מפתח מגדיר פונקציה אחרת ממשפחה של פונקציות.
עבור מפתח קבוע הפונקציה היחידה המסומנת בקיצור מוגדרת רק בהינתן הפרמטר .
ללא הגבלת הכלליות, נניח שהפונקציה משמרת אורך כלומר היא חד-חד-ערכית ועל והמפתח, הקלט והפלט הם באורך סיביות, בניסוח פורמלי , אם כי זה לא חובה.
וכן הפונקציה חייבת להיות "יעילה", כלומר שניתנת לריצה בזמן פולינומי.
וכן הפרמטר נבחר באקראי, מסמנים זאת כאשר הוא פרמטר ביטחון המייצג את אורך הקלט והפלט והמפתח בסיביות.
באופן אינטואיטיבי, הפונקציה תקרא פסאודו-אקראית אם היא בלתי ניתנת להבחנה מפונקציה אקראית אמיתית שנבחרה מקבוצת כל הפונקציות בעלות תחום וטווח דומים.
במילים אחרות, לא קיים אלגוריתם פולינומי הסתברותי שיכול לזהות לפי הפלט אם מדובר ב- עבור אקראי כלשהו, או בפונקציה שהיא פונקציה שנבחרה באופן אקראי מתוך קבוצת כל הפונקציות הממפות -סיביות ל- סיביות.
יש לשים לב שמשתמשים כאן בביטוי "בחירת פונקציה" באופן אקראי בניגוד לבחירת מחרוזת באופן אקראי, שהן שתי הגדרות שונות לחלוטין.
מנקודת ראות מתמטית, נניח שנתונה קבוצה סופית המכילה אוסף של כל הפונקציות הממפות מחרוזות של -סיביות למחרוזות של -סיביות.
בחירת פונקציה אחת מהאוסף באופן אקראי מקבילה לדגימה של אלמנט אקראי בהתפלגות אחידה מתוך קבוצה של אלמנטים.
אפשר להמחיש זאת בדרך הבאה: נתונות טבלאות חיפוש גדולות שבהן בשורה בטבלה מאוחסן הערך .
עבור כל פונקציה מתאימה טבלת חיפוש אחת שבה בדיוק שורות, אחת עבור כל נקודה בתחום , כל שורה מכילה מחרוזת באורך סיביות ובסך הכול גודלה של הטבלה הוא סיביות.
למעשה אפשר לראות שהפונקציות בקבוצה מתאימות אחד-לאחד לטבלאות החיפוש.
לכן גודלה של הוא בדיוק מחרוזות באורך .
ההתפלגות של הפונקציה היא מעל פונקציות ואילו ההתפלגות של היא מעל פונקציות שונות לכל היותר ולמרות "התנהגות" זו, הן צריכות להראות על פניהן זהות בהתפלגותן עבור כל אלגוריתם הבחנה פולינומי.
לצורך המחשה במקרה ש-, ישנן אפשרויות שונות של קלט: ולכן קיימות בדיוק אפשרויות למפות 2 סיביות קלט לשתי סיביות פלט, אם בונים טבלה כזו גודלה הכולל יהיה בדיוק סיביות.
לעומת זאת הפונקציה עם מפתח באורך 2 סיביות, היא אחת מתוך ארבע פונקציות אפשריות בלבד, במילים אחרות יש רק ארבע אפשרויות שונות לבחירת מפתח באורך 2 סיביות.
אם לא מגבילים את אורך המפתח, אז יש תמורות אפשריות באורך 2 סיביות או 24 מפתחות שונים.
אורקל אקראי הוא מעין קופסה שחורה תאורטית המחזירה על כל שאילתה ייחודית תגובה אקראית אמיתית.
המוסכמה היא שאם השאילתה כבר נשאלה בעבר האורקל חייב להגיב באופן זהה.
דרך אחרת להציג זאת, בהינתן שלם שהוא פרמטר ביטחון כלשהו, האורקל האקראי הוא מעין פונקציה שנבחרה באקראי בהתפלגות אחידה מתוך תחום הפונקציות האקראיות המקבלות קלט באורך ומחזירה פלט באורך בניסוח רשמי .
הפונקציה ממפה כל שאילתה ללא תלות בקלט, לערך אקראי (קבוע) מתוך תחום הפונקציה.
למשל עבור נתון הפונקציה תמיד תחזיר את אותו .
הרעיון מאחורי אורקל אקראי שהוא מעין אבסטרקציה מתמטית כדי לפשט את תהליך ההוכחה הקריפטוגרפית.
הרעיון הועלה לראשונה על ידי מיהיר בלייר ופיליפ רוגווי שעשו שימוש בקונספט מודל אורקל אקראי כפרדיגמה לבניית פרוטוקולים קריפטוגרפיים בטוחים כאשר אין דרך מעשית יעילה להוכיח שהפרוטוקול מכיל את התכונות המתמטיות הדרושות לצורך ההוכחה.
במובן זה ההוכחה אינה הוכחה מתמטית רגילה אלא מעין היוריסטיקה.
למעשה לא קיימת פונקציה שניתנת ליישום על ידי אלגוריתם שרץ בזמן פולינומי שיכולה לדמות אורקל אקראי אמיתי.
בהוכחת פרוטוקול קריפטוגרפי מנסים להחליף את האורקל בפונקציית גיבוב קריפטוגרפית מתאימה, במידת האפשר, שהיא בהגדרה הכי קרובה למושג אורקל אקראי.
מבחין (Distinguisher) של פונקציה פסאודו-אקראית הוא כלי תאורטי המאפשר להגדיר פסאודו-אקראיות של פונקציה במונחים של ניסוי אינטראקטיבי.
אלגוריתם הבחנה D מקבל כקלט את הפונקציה הנדונה ומחליט האם היא אקראית אמיתית או פסאודו-אקראית.
היות שלמעשה התחום של משפחת הפונקציות מעריכי (בסדר גודל של ) לא ניתן להגדיר את D כאלגוריתם הבחנה פולינומי, כי אי אפשר לסרוק את כל הערכים האפשריים בזמן פולינומי.
ההגדרה המקובלת היא אלגוריתם הסתברותי שיש לו גישה לאורקל אקראי.
D רשאי להגיש לאורקל (מספר פולינומי של) שאילתות עבור נקודות שונות שיבחר והאורקל אמור להחזיר לו את של הנקודה .
בגמר הניסוי אלגוריתם ההבחנה עונה "1" אם הקלט שלו הוא אחת הפונקציות מהמשפחה הפסאודו-אקראית, או "0" אחרת.
הגדרה פורמלית של פונקציה פסאודו-אקראית
תהי פונקציה יעילה, הכוללת מפתח ומשמרת אורך.
תקרא פסאודו-אקראית אם עבור כל אלגוריתם הבחנה פולינומי D קיימת פונקציית זניחה כך שמתקיים:
כאשר נבחר בהתפלגות אחידה וכן היא פונקציה שנבחרה אקראית מקבוצת כל הפונקציות האפשריות הממפות מחרוזות של סיביות ל- סיביות.
-D יכול להתקשר עם האורקל בחופשיות, לכן הוא יכול לשאול שאלות באופן אדפטיבי ולהתאים את השאילתות על סמך תשובות קודמות.
אולם ביכולתו לשאול רק מספר מוגבל של שאלות כי הוא כאמור רץ בזמן פולינומי.
וכן חשוב לזכור ש- אינו ידוע ל-D, כי אין כל היגיון לדרוש ש- תהיה פסאודו-אקראית אם ידוע.
כל מה שהמבחין צריך לעשות במקרה כזה הוא להגיש לאורקל שאילתה בנקודה אפס (), לקבל את ולהשוות עם וסיכויי ההצלחה שלו במקרה כזה הם כמעט 1 כי הסיכוי ש- במקרה של פונקציה אקראית אמיתית הוא .
המשמעות היא שהטענה לפסאודו אקראיות תקפה רק באם סודי.
וכן הטענה שקשה למצוא כך ש- נכונה רק אם לא ידוע למבחין, אחרת אפשר להוכיח שקל למצוא קלט כזה.
מנקודת ראות תאורטית, לא הוכח שפונקציה פסאודו-אקראית קיימת תחת השערה כלשהי.
הוכח שקיומה של פונקציה פסאודו-אקראית תלוי בקיומו של מחולל פסאודו אקראי.
כך שאפשר לבנות פונקציה פסאודו אקראית על בסיס כל בעיה מתמטית קשה שאיתה אפשר לבנות מחולל פסאודו אקראי.
באותה מידה, מחולל פסאודו-אקראי תלוי בקיומן של פונקציה חד-כיוונית וסיבית קשה.
אלו אבני הבניין של הקריפטוגרפיה המודרנית מהם ניתן לבנות פרימיטיבים קריפטוגרפיים רבים.
לדוגמה הוכח שרשת פייסטל בארבעה סבבים היא פרמוטציה פסאודו אקראית חזקה, תחת ההנחות האמורות.
פונקציה פסאודו-אקראית שימושית מאוד בקריפטוגרפיה מודרנית.
אפשר לבנות איתה סכמת הצפנה המוכחת כבטוחה נגד התקפת גלוי-נבחר וכן קוד אימות מסרים.
כבמודל אורקל אקראי, קל לנתח רמת ביטחון של סכמת הצפנה המבוססת על פונקציה פסאודו-אקראית לפי האסטרטגיה הבאה: בשלב הראשון מחליפים את הפונקציה הפסאודו-אקראית בפונקציה אקראית אמיתית ומנסים להוכיח שהסכמה בטוחה תחת הנחה זו.
זהו שלב תאורטי הסתברותי ואינו תלוי בסיבוכיות חישובית.
בשלב השני מוכיחים שהסכמה בטוחה על ידי הטענה שאם היריב יכול לפצח אותה בזמן פולינומי אז באופן עקיף בהכרח שהוא הצליח להבחין בין הפונקציה הפסאודו-אקראית לבין פונקציה אקראית אמיתית ובכך הפר את ההנחה היסודית עליה נשען ביטחון הסכמה.
באופן שקול, ניתן להגדיר משפחה של תמורות הפסאודו אקראיות בקיצור PRP.
במקרה זה קיימות שתי דרישות נוספות:
בהגדרה זו, הקבוצה היא קבוצת כלל הפרמוטציות בגודל (קיימות פונקציות כאלו).
בניית פונקציה פסאודו-אקראית עם מחולל פסאודו-אקראי
בשנת 1986 הראו עודד גולדרייך, שפי גולדווסר וסילביו מיקלי כיצד ניתן לבנות פונקציה פסאודו-אקראית אם נתון מחולל פסאודו אקראי כך שהפלט של המחולל יהיה באורך כפול מגרעין האקראיות (seed) המוזן למחולל.
הרעיון העומד מאחורי הבניה הוא להפעיל את המחולל שוב ושוב - בכל הפעלה כזו יתקבל פלט הארוך פי שניים מהקלט אל המחולל.
חוזרים על הפעולה עד אשר מתקבל פלט באורך .
כעת ניתן לחלק את פלט המחולל ל חלקים שווים, כל אחד באורך .
פלט הפונקציה הפסאודו-אקראית הוא החלק שמספרו הסידורי הוא .
מכיוון שקיימים לכל היותר ערכי אפשריים, הרי שהפונקציה הפסאודו-אקראית מוגדרת היטב.
אם ההפעלה החוזרת של המחולל מבוצעת בצורה יעילה (במבנה של עץ) מתקבל כי בנייה זו אפשרית בזמן פולינומי.
ההוכחה שהפונקציה אכן פסאודו-אקראית נעזרת בשיטת ההיברידים בה מניחים שניתן לשבור את הפונקציה הפסאודו-אקראית, ומקבלים כי קיימת הפעלה יחידה של המחולל הפסאודו-אקראי שניתנת לחיזוי מראש, בסתירה לכך שהמחולל פסאודו-אקראי במובן קריפטוגרפי.
בניית סכמת הצפנה על ידי פונקציה פסאודו-אקראית
אם נתונה לנו משפחת פונקציות פסאודו-אקראית, ניתן לעשות בה שימוש על מנת ליצור סכמת הצפנה פשוטה, ולהוכיח כי אם צד ג' יכול לפענח את המידע המוצפן - הרי הוא יכול להבדיל בין פונקציה פסאודו-אקראית לפונקציה אקראית, בסתירה להיות הקבוצה פסאודו-אקראית.
על מנת להצפין את ההודעה , מגרילים מספר כלשהו ושולחים את המידע .
מפתח ההצפנה קובע את הפונקציה הספציפית בה עושים שימוש, מבין כלל הפונקציות במשפחה .
אמנם סכמת הצפנה זו בטוחה במובן שלא ניתן לדעת מהי ההודעה אם מביטים במידע המוצפן, אבל סכמה זו אינה בטוחה לחלוטין (במובן CPA) מכיוון שצד ג' יכול לשנות את המידע המוצפן כדי לייצר הצפנה חוקית של הודעה אחרת, .
בשנת 1985 הציעו מיכאל לובי וצ'ארלס ראקוף שיטה בה ניתן להשתמש בפונקציה פסאודו-אקראית על מנת לבנות צופן בלוקים הבטוח כנגד התקפת גלוי-נבחר (Chosen Plaintext Attack).
השיטה מבוססת על מבנה פייסטל תלת-שלבי.
באופן מפתיע, מבנה דומה בעל 2 שלבים בלבד אינו מספיק על-מנת ליצור סכמה בטוחה.
פונקציה רציונלית היא פונקציה שניתנת להבעה כמנת פולינומים.
קבוצת הפונקציות הרציונליות היא שדה השברים של חוג הפולינומים.
נאמר שפונקציה רציונלית אם היא מהצורה כאשר ו- הן פולינומים כך של- יש לפחות מקדם אחד שונה מ-.
הפונקציה מוגדרת בכל נקודה בה שונה מאפס.
פונקציה רציונלית היא מקרה פרטי של העתקה רציונלית.
הפונקציה היא פונקציה רציונלית כי ו־ הם פולינומים
לעומת זאת אינה פונקציה רציונלית, משום שלא ניתן לבטא אותה כמנת פולינומים.
גם הפונקציה איננה רציונלית כי המעריכים של אינם שלמים.
כל פונקציה רציונלית היא רציפה בכל תחום הגדרתה, היות שכל פולינום מגדיר פונקציה רציפה, ומנת פונקציות רציפות אף היא רציפה.
את הנגזרת של הפונקציה הרציונלית מקבלים על די הנוסחה .
בניגוד לפונקציה ללא מנה כמו פונקציית פולינום, או פונקציית שורש ללא מנה, בפונקציות עם מנה ייתכנו אסימפטוטות, שהן ישרים אליהן הפונקציה שואפת להגיע, כאשר או .
במתמטיקה, פונקציה סימטרית היא פונקציה בכמה משתנים, שערכה אינו משתנה כאשר מחליפים את סדר המשתנים.
הדוגמה הבולטת ביותר היא פולינומים סימטריים, אבל גם פונקציות כגון הן סימטריות.
אם הפונקציה אנליטית, תנאי הסימטריה קובע שהיא מתחלקת בכל אחד מההפרשים , ולכן במכפלה שלהם שהיא הדיסקרימיננטה הפורמלית באותם משתנים.
לפעמים מתייחס הביטוי לפונקציות בשני משתנים דווקא, ואז תנאי הסימטריה מצטמצם להנחה .
לכל פונקציה ב- משתנים יש חבורת סימטריות, הכוללת את התמורות השומרות על הפונקציה: .
משפט לגראנז', שזה היה תוכנו המקורי, 60 שנה לפני שהומצאה תורת החבורות, קובע שמספר הפונקציות שאפשר לקבל מפונקציה נתונה על ידי החלפת משתנים מחלק את n עצרת.
פונקציה סימטרית היא כזו שאי אפשר לקבל ממנה אף פונקציה חדשה, אבל גם כאשר הפונקציה נהנית מסימטריה חלקית, כלומר, כשיש לה חבורת סימטריה גדולה יחסית (גם אם אינה חבורת הסימטריות המלאה), היא עשויה להקרא סימטרית.
פונקציה סופר-סימטרית היא פונקציה במשתנים , שהיא סימטרית בכל קבוצת משתנים בנפרד, ואשר אינו תלוי במשתנה .
פונקציות אלה קשורות להצגות של סופר-אלגברת לי , בדומה לקשר בין פונקציות סימטריות להצגות (הפולינומיות) של .
באדריכלות, פונקציונליזם הוא עיקרון המנחה אדריכלים בעת תכנונו של מבנה, אשר מתבסס על המטרות אשר לשמן הוא מוקם.
אדריכלות פונקציונליסטית מהווה בסיס למחלוקות מקצועיות, וקשורה בעיקר לאסכולת האדריכלות המודרניסטית.
המחלוקות בדבר מהותו של הפונקציונליזם האדריכלי מתחילות עוד בימיו של ויטרוביוס כאשר מתגלה המתח המובנה בין שלושת העקרונות האדריכליים: "שימושיות" "יציבות" ו"יופי" כבר בתחילתו של התכנון האדריכלי של מבנה.
למרות הניגוד לכאורה בין פונקציונליות ואסתטיקה של מבנה, הרי שרוב האדריכלים מנסים לשלב בין השניים ליצירת מבנים המשלבים את שלושת העקרונות הבסיסיים שנמנו, כלומר מבנים יפים ויציבים אשר ישרתו את היעוד אשר לשמו הוקמו.
בתחילת המאה ה-20 טען האדריכל האמריקני לואיס סאליבן, ובהשפעתו גם האדריכל פרנק לויד רייט, כי ממדיהם של בניינים, צורתם וכל המאפיינים האחרים שלהם, צריכים להיגזר מתוך המטרה שלשמה הוקמו.
העיצוב האדריכלי ויופיו של הבניין ייווצרו באופן טבעי מתוך השגת המטרה השימושית שלו.
בלשונו, "Form follows function" () כלומר, הצורה נובעת מהפונקציה-המטרה, שלשמה הוקם.
לטענתו, אין סתירה בין בנייה פונקציונלית לתוספות של עיטורים במבנה ובתנאי שיהיו עקביים עם הדרישות הפונקציונליות של היזם המקים של המבנה.
באמצע שנות השלושים החלה התייחסות לפונקציונליזם האדריכלי גם כאל השקפה אסתטית ולא רק כאל גישה עיצובית, ובעיקר בהקשר של הימנעות מתוספות קישוטיות.
יחסם של אנשי המקצוע המובילים וגם של האקדמיה לפונקציונליזם, התגלה כמזלזל ומקושר בעיקר לבניה מהירה וזולה עבור מבנים מסחריים בטעם רע.
האדריכל האמריקני פיליפ ג'ונסון טען במשך השנים כי לאדריכל אין כל אחריות פונקציונלית כלפי המבנה המתוכנן על ידו.
כמעט כל האדריכלים המודרניים המובילים כגון פרנק גרי, ריצ'רד מאייר, ואיי אם פיי, טוענים כי הם עצמם מכפיפים את הפונקציונליות של מבנה בתכנונם לתפיסתם האומנותית.
אדריכלות הנוף הפונקציונליסטית התפתחה במקביל לפונקציונליזם של המבנים.
אדריכלי הנוף פיתחו חללי-נוף המשולבים בין מבני מגורים, אשר משמשים לפעילות פנאי ומפגשים חברתיים של התושבים בסביבה.
בפרויקטים בקנה מידה גדול עלו הצעות לשילוב של גני-ירק פרטיים אשר בהם יגדלו התושבים חלק ממזונם, ובהקשר רחב יותר אף אזורים שלמים המשלבים מתחמי מגורים, פנאי ותעסוקה, המשולבים ביניהם.
באנליזה מתמטית, פונקציה סינגולרית היא פונקציה ממשית המוגדרת בקטע, שהיא רציפה, לא־קבועה, בעלת השתנות חסומה ושנגזרתה מתאפסת כמעט בכל מקום (כב"מ).
ידוע שפונקציה שנגזרתה מתאפסת בכל מקום היא פונקציה קבועה.
הפונקציות הסינגולריות מתקבלות כאשר מחלישים מעט את התנאי, ומאפשרים לנגזרת שלא להתאפס (ואפילו לא להיות מוגדרת) בחלק מהנקודות, כל עוד קבוצת הנקודות שבה הנגזרת לא מתאפסת היא זניחה (קבוצה ממידה אפס).
במקורות מסוימים בוחרים לדרוש שהפונקציה גם לא יורדת.
יש גם מקורות שלא דורשים שהפונקציה תהיה רציפה.
פונקציית קנטור – זוהי פונקציה רציפה ולא יורדת בקטע היחידה שקבועה בכל קטע שמוסר בבנייה של קבוצת קנטור ולכן היא סינגולרית.
הפונקציה הסינגולרית של לבג – מטילים אינסוף פעמים מטבע לא הוגן שההסתברות שייצא עץ היא וההסתברות שייצא פלי היא .
מגדירים מספר ממשי כך שהספרה הבינארית ה־n שלו היא 1 אם בהטלה ה־n יצא עץ, ו־0 אם בהטלה ה־n יצא פלי.
פונקציית ההצטברות של המשתנה המקרי : היא הפונקציה הסינגולרית של לבג עם הפרמטר .
זוהי פונקציה עולה חזק ורציפה שלמרות זאת נגזרתה מתאפסת כב"מ.
פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי – פונקציה המוגדרת לפי כאשר היא ההצגה של x כשבר משולב (מגדירים באופן אנלוגי לשבר משולב סופי).
הפונקציה עולה חזק ובעלת מספר תכונות מעניינות.
למשל היא ממפה שורשים של משוואה ריבועית למספרים רציונליים ומקיימת משוואות פונקציונליות מעניינות.
אינטגרל לבג אינו מושפע מקבוצות ממידה אפס, ולכן לצורכי אינטגרציה של הנגזרת ניתן להניח שהנגזרת של פונקציה סינגולרית מוגדרת בכל מקום כפונקציית האפס.
פונקציות סינגולריות אינן אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלהן (בניגוד לקביעה של נוסחת ניוטון לייבניץ העוסקת בפונקציות גזירות בכל מקום).
מכיוון שפונקציה סינגולרית אינה קבועה קיימות נקודות בתחומה כך ש־, ולכן:
זאת מכיוון שפונקציה סינגולרית אמנם רציפה, אך אינה רציפה בהחלט בקטע.
ידוע שפונקציה היא אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלה בקטע אם ורק אם היא רציפה בהחלט בקטע.
כל אינטגרל לא מסוים הוא רציף בהחלט, ולכן פונקציה סינגולרית אינה אינטגרל מסוים של אף פונקציה.
לכל פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה בקטע יש פירוק מהצורה כאשר רציפה בהחלט ו־ סינגולרית או קבועה.
הפירוק יחיד עד כדי חיבור קבוע לרכיב אחד וחיסורו מהרכיב השני.
אפשר גם לדרוש ש־ ואז הפירוק יחיד לגמרי (ו־ היא סינגולרית או זהותית 0).
משפט זה הוכח על ידי אנרי לבג ב־1904. בהסתמך על התכונות הידועות של פונקציות רציפות בהחלט ההוכחה פשוטה:
נגדיר (פונקציה בעלת השתנות חסומה היא גזירה כב"מ ולכן הביטוי מוגדר היטב).
כל אינטגרל לא מסוים הוא רציף בהחלט ולכן רציפה בהחלט (ובפרט בעלת השתנות חסומה).
פונקציה רציפה בהחלט היא אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלה ולכן כב"מ.
זו פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה (כהפרש פונקציות רציפות בעלות השתנות חסומה) ומתקיים כב"מ, ולכן סינגולרית או קבועה.
נניח שגם פירוק של ומתקיים .
אולם רציפה בהחלט ולכן אינה סינגולרית.
נשים לב כי ולכן פונקציית האפס.
אם מתירים לפונקציה סינגולרית קבוצה בת מנייה של נקודות אי־רציפות, אז לכל פונקציה בעלת השתנות חסומה (לא בהכרח רציפה) יש פירוק לבג.
ההוכחה זהה, בתוספת העובדה שקבוצת נקודות האי־רציפות של פונקציה בעלת השתנות חסומה היא בת־מנייה, והיא גזירה כב"מ.
במתמטיקה, פונקציה עצמית של העתקה ליניארית D המוגדרת על מרחב פונקציות כלשהו היא כל פונקציה f, שאינה פונקציית האפס במרחב זה, שכאשר מופעלת על ידי ההעתקה D, היא רק מוכפלת בסקלר, המכונה ערך עצמי.
ניתן להציג תנאי זה על ידי המשוואה Df = λf עבור ערך עצמי סקלרי λ .
פתרונות המשוואה הזו אף עשויים להיות מוגדרים על ידי תנאי שפה, אשר מגבילים את הערכים האפשריים של הערכים העצמיים ושל הפונקציות העצמיות.
פונקציה עצמית היא מקרה פרטי של וקטור עצמי.
באופן כללי, וקטור עצמי של האופרטור הליניארי D מוגדר במרחב וקטורי הוא וקטור, אשר כאשר ההעתקה D פועלת עליו הוא אינו משנה את כיוונו, אלא גודלו מוכפל בערך סקלרי הנקרא ערך עצמי.
במקרה המיוחד בו D מוגדר על מרחב פונקציות, הווקטורים העצמיים מכונים פונקציות עצמיות.
כלומר, הפונקציה f היא פונקציה עצמית של D, אם היא מקיימת את המשוואה Df = λf, כאשר λ הוא סקלר.} כאמור לעיל, פתרונות המשוואה עשויים להיות כפופים לתנאי שפה.
משום כך, אוסף הערכים האפשריים של λ בדרך כלל מוגבל לסט ערכים בדידים ...
λ1, λ2, או רצף ערכים בטווח מסוים.
קבוצת הערכים העצמיים האפשריים של D מכוּנה לפעמים ספקטרום הערכים, אשר עשוי להיות בדיד, רציף, או שילוב של שניהם.
כל ערך של λ מתאים לאחת או יותר פונקציות עצמיות.
אם מספר פונקציות עצמיות בלתי תלויות ליניארית בעלות ערך עצמי זהה, אזי הערך העצמי הנ"ל נקרא מנַוון והמספר המרבי של פונקציות עצמיות בלתי תלויות ליניארית הקשורות באותו ערך עצמי הוא דרגת הניוון של הערך העצמי או "הריבוי הגאומטרי".
מחלקה נפוצה לדוגמה היא אופרטורים דיפרנציאליים במרחב ∞C של פונקציות אמתיות או מדומות, הגזירות אינסוף פעמים המהווים מחלקה של אופרטורים ליניאריים על ארגומנט ממשי או מרוכב t.
לדוגמה, נבחן את אופרטור הגזירה עם משוואת ערך עצמי
המשוואה הדיפרנציאלית שלמעלה, ניתנת לפתרון על ידי הכפלת שני הצדדים ב ואז ביצוע אינטגרציה.
הוא פונקציה עצמית של אופרטור הנגזרת, כאשר f0 הוא פרמטר התלוי בתנאי הגבול.
נשים לב כי במקרה זה הפונקציה העצמית היא בעצמה הפונקציה של הערך העצמי המשויך אליה λ, אשר יכול לקבל כל ערך אמיתי או מרוכב.
בפרט, נשים לב כי עבור λ = 0 את הפונקציה העצמית (f(t קבועה.
כאשר λ = 2 הוא הערך העצמי היחיד של המשוואה הדיפרנציאלית שגם עונה על תנאי הגבול.
קישור לערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות
ניתן להביע פונקציות עצמיות כעמודה וקטורית ואופרטורים ליניאריים ניתנים להבעה כמטריצות, אולם הם יכולים להיות בעלי ממדים אינסופיים.
כתוצאה מכך, רבים מהמושגים הקשורים לווקטורים עצמיים של מטריצות דורשים מחקר של פונקציות עצמיות.
להגדיר את המכפלה הפנימית בתוך מרחב הפונקציות כל D מוגדר
אינטגרל על טווח של t הנקרא Ω.
נניח שלמרחב הפונקציות בסיס אורתונורמלי הנתון על ידי קבוצת פונקציות {(u1(t), u2(t), ..., un(t}, כאשר n יכול להיות אינסופי.
כאשר δij היא הדלתא של קרונקר, ויכולה להיחשב כאלמנטים של מטריצת היחידה.
פונקציות יכולות להיכתב כצרוף ליניארי של פונקציות הבסיס,
לדוגמה בעזרת התמרת פורייה של (f(t.
המקדמים bj יכולים להערם לווקטור עמודה (n על 1), כלומר .
במקרים מיוחדים, כגון המקדמים של סדרת פורייה של פונקציית סינוס, לווקטור העמודה יש מימד סופי.
בנוסף, נגדיר ייצוג מטריציוני של האופרטור הליניארי D עם אלמנטים
אנחנו יכולים לכתוב את הפונקציה (Df(t כצירוף ליניארי של פונקציות הבסיס או כ D הפועל על ההרחבה של (f(t,
אם לוקחים את החלק הפנימי של כל צד של המשוואה עם בסיס שרירותי של פונקציות (ui(t,
זהו כפל מטריצה Ab = c הכתוב כסכימה והוא המקביל המטריצי של האופרטור D הפועל על הפונקציה (f(t ומובע בעזרת הבסיס האורתונורמלי.
אם (f(t היא פונקציה עצמית של D עם ערך עצמי λ, אז Ab = λb.
ערכים עצמיים ופונקציות עצמיות של אופרטורים הרמיטיים
רבים מהאופרטורים שפוגשים בפיזיקה הם הרמיטיים.
נניח את אופרטור ליניארי D הפועל על מרחב פונקציות המהווה מרחב הילברט עם בסיס אורתונורמלי הנתון על ידי קבוצת פונקציות {u1(t), u2(t), ..., un(t}, כאשר n יכול להיות אינסופי.
בבסיס זה, לאופרטור D יש מטריצת ייצוג A עם אלמנטים
באנלוגיה עם מטריצות הרמיטיות, D הוא אופרטור הרמיטי אם *Aij = Aji, או
נשקול את האופרטור ההרמיטי D עם ערכים עצמיים ...
,λ1, λ2, הפונקציות העצמיות המקבילות ...
לאופרטור ההרמיטי יש את התכונות הבאות:
הערכים העצמיים שלו אמיתיים, λi* = λi
הפונקציות העצמיות שלו מקיימות תנאי אורתוגונליות תנאי, 0= אם i≠j
התנאי השני תמיד טומן בחובו λi ≠ λj .
בשביל פונקציות עצמיות מנוונות עם אותו ערך עצמי λi, ניתן תמיד למצוא פונקציות עצמיות אורתוגונליות שיפרשו את המרחב העצמי הקשור ל λi, למשל באמצעות תהליך גרם-שמידט.
כתלות ברציפות או בדידות הספקטרום, הפונקציות העצמיות יכולות להיות מנורמלות על ידי הגדרת תוצר פנימי של פונקציות עצמיות השווה לדלתא של קרונקר או פונקציית הדלתא של דיראק, בהתאמה.
עבור אופרטורים הרמיטיים רבים, כגון אופרטורים של שטורם-ליוביל, תכונה שלישית היא
הפונקציות העצמיות יוצרות בסיס של מרחב הפונקציות שבו האופרטור מוגדר
כתוצאה מכך, במקרים חשובים רבים, הפונקציות העצמיות של אופרטור הרמיטי יוצרות בסיס אורתונורמלי.
במקרים אלו, פונקציה שרירותית יכולה צירוף ליניארי של הפונקציות העצמיות של האופרטור ההרמיטי.
אחד היישומים העיקריים של פונקציות עצמיות בפיזיקה והנדסה היא במשוואות דיפרנציאליות חלקיות.
משוואות אלו מתארות קשרים בין השינויים של הפונקציה בפרמטרים שונים, לדוגמה, התפלגות חום על מוט לרוב תקיים את משוואת החום: כש- מקדם הדיפוזיה, וסטיית הטמפרטורה משיווי משקל בכל נקודה נתונה על ידי .
אחת השיטות הנפוצות לפתירת משוואות מסוג זה נקראת הפרדת משתנים, בה לרוב מנסים להגיע להפרדה של כל הגורמים התלוי במשתנה אחד באגף אחד של המשוואה משאר האגפים (במשוואת החום העברת אגף פשוטה מספיקה: ).
אחרי שעושים זאת, באגף המופרד קיים אופרטור ליניארי שעל ידי מציאת הפונקציות העצמיות שלו ניתן לקבל הורדה של אחת הנגזרות מהמשוואה.
הפונקציות העצמיות של הן עבור k כלשהו (משום שגזירה פעמיים של הפונקציות האלו נותנות אותן פונקציות עד כדי כפל ב- ).
כלומר, עבור התפלגות חום שהיא כפל של הפונקציה העצמית המרחבית בפונקציה זמנית כלשהי: , נקבל משוואה פשוטה על החלק הזמני: , לה קיים פתרון: .
כלומר, מציאת הפונקציות העצמיות של האופרטור נתנו לנו תיאור פשוט של ההתנהגות שלהן בזמן.
השיטה נפוצה במשוואות דיפרנציות חלקיות רבות כמו משוואת הגלים, משוואת לפלס, משוואת שרדינגר ועוד.
מיתרים רוטטים - משוואת הגלים
אם מציין את המרחק האנכי של מיתר אלסטי מתוח, כגון מיתרים רוטטים של כלי מיתר, כפונקציה של המיקום x לאורך החוט, ושל הזמן t.
החלת חוקי המכניקה לחלקים האינפיניטסימליים של המיתר, הפונקציה h עונה על המשוואה הדיפרנציאלית החלקית
כאן c היא מהירות קבועה, התלויה במתח ומסת החוט.
בעיה זו פועלת על פי עקרונות ההפרדת משתנים.
אם נניח כי יכול להיכתב כתוצר מהצורה , אנו יכולים ליצור זוג משוואות דיפרנציאליות רגילות:
כל אחת היא משוואת ערך עצמי עם ערכים עצמיים ו־ω2, בהתאמה.
עבור כל הערכים של ω ו־c, המשוואות מקוימות על ידי הפונקציות
כאשר זוויות הפאזה φ ו־ψ הם קבועים שרירותיים אמיתיים.
אם נכפה תנאי סף, לדוגמה שקצות המיתר מקובעים ב x = 0, וב x = L כלומר X(0) = X(L) = 0 וגם ש T(0) = 0 מקבעים את הערכים העצמיים.
תנאי הגבול האחרון מחייב את ω לקחת את הערך
, שבו n הוא כל מספר שלם.
לפיכך, המיתר המהודק תומך במשפחה של גלים עומדים של מהצורה
בדוגמה של כלי זמר בעלי מיתרים, התדירות הוא התדירות של ההרמוניה ה- nth, אשר נקראת הצליל העילי הצליל עילי ה n − 1)th).
ניתנת לפתרון על ידי הפרדת משתנים, אם ההמילטוניאן אינו תלוי במפורש בזמן.
במקרה זה, פונקציית הגל (Ψ(r,t) = φ(r)T(t מובילה לשתי משוואות דיפרנציאליות,
שתי המשוואות הדיפרנציאליות הן משוואות עצמיות, עם ערך עצמי E.
כפי שמוצג בדוגמה הקודמת, את הפתרון של המשוואה הוא מעריכי:
משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן.
הפונקציות העצמיות φ של אופרטור ההמילטוניאן הן מצבים יציבים של המערכת הקוונטית, כל אחד עם המקבילה האנרגטית Ek.
הם מייצגים ערכים מותרים מצבים אנרגטיים של המערכת, ועשויים להיות מוגבלים על ידי תנאי השפה.
אופרטור ההמילטוניאן H הוא דוגמה של אופרטור הרמיטי שלו פונקציות עצמיות היוצרים בסיס אורתונורמלי.
כאשר ההמילטוניאן אינו תלוי מפורשות בזמן, פתרונות כלליים של משוואת שרדינגר הם קומבינציה ליניארית המצבים היציבים מוכפלים באוסילטור (T(t),
או, עבור מערכת עם ספקטרום רציף,
ההצלחה של משוואת שרדינגר להסביר את מאפייני הספקטרום של מימן נחשב לאחד ההישגים הגדולים ביותר של הפיזיקה במאה ה-20.
במחקר של אותות ומערכות, פונקציה עצמית של מערכת היא אות (f(t, אשר כאשר נקלט למערכת, מייצר תגובה (y(t) = λf(t, כאשר λ הוא ערך עצמי מרוכב סקלרי.
בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, פונקציה רציפה בהחלט היא פונקציה ממשית, המקיימת תכונת "חֲלָקוּת" בקטע, שהיא חזקה יותר מרציפות במידה שווה, וממילא גם מרציפות נקודתית.
המושג של רציפות בהחלט מאפשר להכליל את הקשר בין שתי הפעולות המרכזיות של החדו"א – גזירה ואינטגרציה.
מערכת יחסים זו מתוארת בדרך כלל (במשפט היסודי של החדו"א) במסגרת אינטגרל רימן, אך בעזרת רציפות בהחלט אפשר לנסח אותה במונחים של אינטגרל לבג.
בהקשר של פונקציות ממשיות שמוגדרות על הישר הממשי, קיימים שני מושגים הקשורים זה בזה: רציפות בהחלט של פונקציות ורציפות בהחלט של מידות.
ניתן להכליל את שני המושגים האלה בכיוונים שונים.
לדוגמה, הנגזרת הרגילה של פונקציה קשורה לנגזרת רדון־ניקודים של מידה.
בתת־קבוצה קומפקטית של הישר הממשי מתקיימת שרשרת ההכלות הבאה למחלקות של פונקציות:
רציפה בהחלט ⊆ רציפה במידה שווה ⊆ רציפה
גזירה ברציפות ⊆ ליפּשיצית ⊆ רציפה בהחלט ⊆ בעלת השתנות חסומה ⊆ גזירה כמעט בכל מקום
פונקציה רציפה אינה רציפה בהחלט אם היא אינה רציפה במידה שווה, מה שעשוי לקרות אם התחום שבו מוגדרת הפונקציה אינו קומפקטי – דוגמאות לפונקציות שכאלה:
עם זאת, פונקציה רציפה עשויה לא להיות רציפה בהחלט אפילו בקטע סגור.
ייתכן שהיא אינה גזירה כמעט בכל מקום (כמו פונקציית ויירשטראס שאינה גזירה באף נקודה).
ייתכן שהיא דווקא גזירה כמעט בכל מקום ואף ש־ היא אינטגרבילית לבג, אך ההפרש בין האינטגרל הלא־מסוים של ל־ עצמה אינו קבוע.
זה קורה למשל בפונקציית קנטור.
נאמר ש־ היא רציפה בהחלט ב־ אם לכל מספר חיובי , קיים מספר חיובי כך שכל סדרה סופית של תת־קטעים זרים בזוגות שֶׁל שמקיימת
אוסף כל הפונקציות הרציפות בהחלט ב־ מסומן .
התנאים הבאים בפונקציה ממשית בקטע סגור שקולים:
גזירה כמעט בכל מקום, אינטגרבילית לבג, וּמתקייםלכל ;
קיימת פונקציה אינטגרבילית לבג ב־ כך שמתקייםלכל .
אם תנאים שקולים אלה מתקיימים, אזי בְּהֶכְרֵחַ כמעט בכל מקום.
השקילות בין (1) ל־(3) ידועה גם בתור הכללת לבג למשפט היסודי של החדו"א או המשפט היסודי של החדו"א לאינטגרל לבג.
להגדרה שקולה בהקשר של מידות, עיינו בפסקה הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט.
הסכום וההפרש של שתי פונקציות רציפות בהחלט גם הם רציפים בהחלט.
אם שתי הפונקציות מוגדרות בקטע סגור, אז גם המכפלה שלהן רציפה בהחלט.
אם רציפה בהחלט ואינה מתאפסת בקטע סגור, אז גם רציפה בהחלט.
כל פונקציה רציפה בהחלט היא רציפה במידה שווה ולכן רציפה; כל פונקציה שמקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה בהחלט.
אם רציפה בהחלט, אז היא בעלת השתנות חסומה ב־.
אם רציפה בהחלט, אז ניתן לכתוב אותה כהפרש של שתי פונקציות עולות במובן החלש וּרציפות בהחלט ב־.
אם רציפה בהחלט, אז היא מקיימת את תכונת לוזין (כלומר, לכל כך ש־ מתקיים , כאשר היא מידת לבג ב־).
רציפה בהחלט אם ורק אם היא רציפה, בעלת השתנות חסומה וּמקיימת את תכונת לוזין.
הפונקציות הבאות רציפות במידה שווה אך אינן רציפות בהחלט:
פונקציית קנטור ב־ (היא בעלת השתנות חסומה, אך אינה רציפה בהחלט);
הפונקציהבקטע סופי שכולל את .
הפונקציה הבאה רציפה בהחלט אך אינה מקיימת את תנאי הלדר ביחס ל־:
הפונקציה הבאה רציפה בהחלט וגם מקיימת את תנאי הלדר ביחס ל־, אך אינה ליפּשיצית:
יהי מרחב מטרי, ויהי קטע מוכלל.
נאמר ש־ היא רציפה בהחלט ב־ אם לכל מספר חיובי , קיים מספר חיובי כך שכל סדרה סופית של תת־קטעים זרים בזוגות שֶׁל שמקיימתמקיימת גם
אוסף כל הפונקציות הרציפות בהחלט מ־ ל־ מסומן .
הכללה נוספת היא המרחב של העקומות כך שלכל
עבור הנגזרת המטרית של קיימת כמעט בכל מקום ב־, והיא ה־ הקטנה ביותר כך שלכל מתקיים
נאמר שמידה על קבוצות בורל של הישר הממשי היא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג (או נשלטת על ידי ) אם לכל קבוצה מדידה , גורר , וּנסמן: .
ברוב היישומים, אם נאמר שמידה על הישר הממשי רציפה בהחלט – מבלי לציין ביחס לאיזו מידה היא רציפה בהחלט – נתכוון שהיא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג.
אותו עיקרון תקף לגבי מידות על קבוצות בורל של כאשר .
התנאים הבאים עבור מידה סופית בקבוצות בורל של הישר הממשי שקולים:
לכל מספר חיובי קיים מספר חיובי כך ש־ לכל קבוצה שמידת לבג שלה קטנה מ־;
קיימת פונקציה אינטגרבילית לבג בישר הממשי כך שלכל קבוצת בורל מתקיים
להגדרה שקולה בהקשר של פונקציות, עיינו בפסקה הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט.
כל פונקציה אחרת שמקיימת את (3) שווה ל־ כמעט בכל מקום.
פונקציה כזו נקראת נגזרת רדון־ניקודים, או צפיפות, של המידה הרציפה בהחלט .
לפיכך, המידות הרציפות בהחלט ב־ הן בדיוק אלה שיש להן צפיפות; כמקרה פרטי, מידות ההסתברות הרציפות בהחלט הן בדיוק אלה שיש להן פונקציית צפיפות.
אם ו־ הן שתי מידות באותו מרחב מדיד , נאמר ש־ היא רציפה בהחלט ביחס ל־ אם לכל קבוצה שעבורה ,
רציפות בהחלט של מידות היא רפלקסיבית וטרנזיטיבית, אבל אינה אנטי־סימטרית, ולכן היא קדם־סדר אך לא סדר חלקי.
במקום זאת, אם וגם , נאמר שהמידות ו־ שקולות.
לפיכך רציפות בהחלט משרה סדר חלקי של מחלקות שקילות כאלה.
אם היא מידה מסומנת או מרוכבת, נאמר ש־ היא רציפה בהחלט ביחס ל־ אם ההשתנות הכללית שלה מקיימת או, באופן שקול, אם כל קבוצה שעבורה היא ־אפסית.
משפט רדון־ניקודים קובע כי אם היא רציפה בהחלט ביחס ל־, וּשתי המידות הן ־סופיות, אז ל־ יש צפיפות, או [[מידה מסומנת#מסקנה_של_משפט_רדון־ניקודים_עבור_𝜈_<<_𝜇|נגזרת רדון־ניקודים]], ביחס ל־, כלומר קיימת פונקציה ־מדידה שמקבלת ערכים ב־ וּמסומנת , כך שלכל קבוצה ־מדידה מתקיים
בעזרת משפט הפירוק של לבג, ניתן לפרק כל מידה לסכום של מידה רציפה בהחלט ומידה סינגולרית.
הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט
מידה סופית בקבוצת בורל של הישר הממשי היא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג אם ורק אם פונקציית הנקודה היא פונקציה ממשית רציפה בהחלט.
באופן כללי יותר, פונקציה היא רציפה בהחלט מקומית (כלומר בכל קטע סופי) אם ורק אם הנגזרת של פונקציית ההצטברות שלה היא מידה רציפה בהחלט ביחס למידת לבג.
אם מתקיימת רציפות בהחלט, אז [[מידה מסומנת#מסקנה_של_משפט_רדון־ניקודים_עבור_𝜈_<<_𝜇|נגזרת רדון־ניקודים]] של שווה כמעט בכל מקום לנגזרת של .
באופן כללי יותר, מניחים ש־ היא סופית מקומית (ולא סופית) וש־ מוגדרת כ־ עבור , כ־ עבור וכ־ עבור .
במקרה זה היא מידת לבג־סטילטיס שנוצר על ידי , וגם פה קיים הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט.
במתמטיקה, פונקציה פולילוגריתמית ב- היא פולינום בלוגריתם של , מהצורה: .
למשל, הפונקציה { היא פונקציה פולילוגריתמית.
לפעמים הביטוי נכתב בצורה , כמו שהביטוי נכתב לעיתים .
במדעי המחשב, פונקציות פולילוגריתמיות הן סדר סיבוכיות זמן או מקום של אלגוריתמים מסוימים (למשל, "אלגוריתם בעל סיבוכיות פולילוגריתמית").
סיבוכיות זו גדולה מסיבוכיות לוגריתמית , וקטנה מסיבוכיות ליניארית ().
אלגוריתמים בסיבוכיות פולילוגריתמית הם מבחן AKS לראשוניות וחיפוש שכן קרוב.
כל הפונקציות הפולילוגריתמיות הן עבור כל מעריך , כלומר, פונקציה פוליגריתמית גדלה לאט יותר מכל פונקציה מעריכית חיובית.
במתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית, פונקציונל מינקובסקי הוא פונקציונל המוגדר על תת-קבוצה של מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים.
לפונקציונל מינקובסקי יש קשר הדוק למושג הנורמה-למחצה והנורמה, ולמעשה ניתן להוכיח כי כל נורמה-למחצה (ובפרט כל נורמה) היא פונקציונל מינקובסקי על קבוצה כלשהי.
מעבר לכך, פונקציונל מינקובסקי משמש למספר הוכחות, בהן הוכחת גרסה מוכללת של משפט האן-בנך למרחב קמור מקומית.
הפונקציונל נקרא על שמו של המתמטיקאי הרמן מינקובסקי.
בהינתן מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים, ו-, מסמנים:
זוהי המתיחה של קבוצה בסקלר .
מגדירים את פונקציונל מינקובסקי לפי להיות הפונקציונל כך שלכל :
זאת כאשר היא פונקציית האינפימום.
כאשר לא קיים כזה (כלומר, הקבוצה ריקה ולכן אין לה אינפימום), מגדירים .
אם ורק אם , אחרת .
כל פונקציונל מינקובסקי הוא הומוגני חיובי.
כלומר, לכל ולכל מתקיים .
אם הקבוצה היא קבוצה סימטרית () אז פונקציונל מינקובסקי הומוגני בהחלט ()
אם הקבוצה היא קבוצה קמורה אז פונקציונל מינקובסקי הוא פונקציונל תת-ליניארי
אם הקבוצה היא קבוצה קמורה לחלוטין (כלומר, קבוצה קמורה ומאוזנת) אז פונקציונל מינקובסקי הוא נורמה למחצה.
נורמה למחצה היא פונקציונל על מרחב וקטורי המקיים תת-ליניאריות והומוגניות בהחלט.
ניתן להוכיח כי כל נורמה למחצה (ובפרט כל נורמה) היא פונקציונל מינקובסקי ביחס לכדור היחידה שלה.
נתון מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים ועליו נורמה למחצה .
מקרה ראשון: במקרה שבו .
בגלל הומוגניות בהחלט, לכל מתקיים כי:
הדבר נכון לכל , לכן בהכרח
מקרה שני: במקרה שבו מסמנים .
מצד שני, לכל מתקיים כי:
מכל זה יוצא כי .
שני מקרים אלו מכסים את כל האפשרויות של , על כן .
פונקציונליזם סטרוקטורלי או פונקציונליזם מבני (על פי האקדמיה ללשון העברית: תִּפְקוּדָנוּת מִבְנִית) היא פרדיגמה סוציולוגית ואנתרופולוגית מרכזית, המדגישה את האספקטים השונים במוסדות החברתיים ובהתנהגות האנושית.
אספקטים אלו משמרים את המציאות הקיימת ופועלים יחדיו לקידום הסולידריות החברתית.
זוהי גישה קונצנזואלית, שניתן למצוא לה שורשים אינטלקטואלים כבר במחצית המאה ה-19, אצל אוגוסט קונט, שייחס חשיבות רבה לקונצנזוס החברתי ואצל הרברט ספנסר, שהתייחס לפונקציות של חלקי החברה.
בשנות ה-30 של המאה ה-20, פיתח אלפרד רדקליף-בראון, בהשפעת דורקהיים, את הפונקציונליזם-הסטרוקטורלי במסגרת הדיסציפלינה האנתרופולוגית.
בשנות ה-30 של המאה ה-20 עבר מרכז הכובד של הסוציולוגיה לארצות הברית, בזכות הסוציולוג טלקוט פרסונס, שתרגם את כתביהם של מקס ובר ושל דורקהיים לאנגלית, ואימץ חלק ניכר מהשקפותיהם תוך פיתוח גישת הפונקציונליזם-הסטרוקטורלי.
בזכות פארסונס ותלמידו, רוברט מרטון, הגישה השתלטה תוך מספר שנים על העולם הסוציולוגי האמריקאי, ובמידה רבה גם על זה העולמי, והייתה לפרדיגמה השלטת בשנות ה-40 וה-50. מאז שנות ה-60 הגישה נמצאת בדעיכה מתמדת והיא כבר אינה מקובלת על מרבית הסוציולוגים והאנתרופולוגים.
על פי גישה פוזיטיביסטית זו, ההיסטוריה מונעת באמצעות רעיונות ואידאות (גישה אידיאליסטית).
גישה זו מתייחסת אל החברה כאל מערכת, המורכבת מגורמים שונים המקיימים יחסי גומלין.
ניתוח חברתי על פי גישה זו מתבצע בשני ממדים: הממד המבני, המתאר את הגורמים המרכיבים את החברה, והממד הפונקציונלי, המתאר את התפקיד (פונקציה) של המבנים הללו בחברה.
הגישה מניחה כי כל תופעה חברתית ותרבותית ממלאת תפקיד כלשהו.
הפרדיגמה הפונקציונלית-סטרוקטורלית רואה את החברה כמערכת המורכבת מחלקים הפועלים יחדיו לקידום הסולידריות והיציבות החברתית.
היא מדמה את החברה לגוף אורגני-ביולוגי אשר לכל איבר בו תפקיד ייחודי, ורק אם יפעלו כל האיברים יחדיו יוכל הגוף להמשיך לחיות ולהתקיים.
לא ניתן לעשות לחברה רדוקציה לאחד האיברים שלה - לא ניתן להבין תופעות חברתיות מורכבות דרך יחידים, אחרת אנו עלולים לפספס ולא להבין את ההיגיון חברתי.
על פי גישה זו מתגבשים מוסדות חברתיים שתפקידם לדאוג למילוי הצרכים של החברה כגון מוסדות פוליטיים, משפחתיים, מוסדות חינוך וכדומה.
מטרת המערכת החברתית המורכבת הזו היא לייצר הסכמיות (קונצנזוס), והיא טוענת כי החברה חותרת באופן תמידי להשגת הסכמה בין חברי הקולקטיב.
הסכמה זו על מערכת של ערכים ואידאות משותפים מושגת באמצעות סוציאליזציה וחינוך (חשיבה המושפעת רבות מגישתו של פרויד).
הסוציאליזציה יוצרת אינטגרציה יעילה בין חברי הקולקטיב ובכך מייצרת סולידריות חברתית.
כל מי שאינו שותף לקונצנזוס החברתי הופך לתת-תרבות ומוגדר, כאמור, כסוטה.
התרבות, מנקודת מבטם של הפונקציונליסטים, הנה מנגנון חשוב ביצירת הסכמיות ולכידות חברתית, ולכן פריט תרבותי זר אינו מתקבל בברכה.
גישה זו אשר מזוהה עם עבודתו של דורקהיים, ראתה את החברה האנושית כמערכת של תפקודים (פונקציות), חברה בה כל אחד נותן את תפקידו.
החברה, היא מערכת אשר כוללת מגוון רחב של תפקידים שצריכים להתבצע על מנת שהיא תוכל להתקיים.
הרעיון המרכזי בגישה הוא שלתופעות חברתיות ופרטים יש פונקציות אשר בדרכן תורמות לתפקודה היעיל של החברה בה הם פועלים.
כדי לבצע כל אחד מהתפקידים צריך כישורים והשכלה שונים אשר כמובן אין לכולם.
ככל שהתפקיד יותר יוקרתי וחשוב בחברה כך גדל התגמול על תפקיד זה.
התגמול מתבטא במעמד חברתי וכלכלי גבוה.
מרבית עבודתו המחקרית התמקדה בסדר החברתי ובדרכים לשימורו.
לטענתו, למידת האדם וניסיון להסביר את חייו והתנהגותו, חייב קודם כל, ובעיקר, לקחת בחשבון את השפעת החברה עליו.
אחד המושגים המרכזיים אצל דורקהיים וקרל מרקס הוא הקונספט של חלוקת העבודה בחברה.
בניגוד למרקס הרואה את חלוקת העבודה בחברה בהקשר של ניכוס וכוח, דורקהיים ראה את חלוקת העבודה בחברה כתהליך של שונות פונקציונלית.
לטענת דורקהיים, בחלוקת עבודה חברתית מפותחת (הכוונה, בחברות מודרניות) המבנה החברתי עובר שינוי קיצוני, הצפיפות החברתית יורדת והתודעה הקולקטיבית נחלשת – כך, נולדת השונות.
השונות הזו יוצרת אנומליה חברתית עקב חולשת התודעה הקולקטיבית.
לפיכך, דורקהיים מחפש את המנגנונים (מוסר, כללים, נורמות, גבולות חברתיים, אתיקה) היכולים לשמש כדבק המחבר בין אינדיבידואלים ומלכדם לכדי יחידות קהילתיות או מקצועיות.
הוא דיבר על קונצנזוס וסדר חברתי והגדיר שני מקרים:
עבור חברה מסורתית: חברה המבוססת על הומוגניות, אינטרסים דומים, לכידות המבוססת על מסורת קהילתית, מין דבק חברתי.
הומוגניות זו היא מעין סולידריות מכנית, הרגשת שייכות כמעט אוטומטית לאיזשהו קולקטיב, מכאן נגזר על החברה המסורתית סדר חברתי מבוסס קונצנזוס מוסרי.
למעשה במודל חברתי זה אין קיום של הפרט כפרט עצמאי.
עבור חברה תעשייתית: חברה המבוססת על הטרוגניות, האנשים אינם דומים בשאיפותיהם, ישנה חלוקת עבודה ונוצרת תלות הדדית - סחר חליפין בשירותים ומוצרים, היא הסולידריות האורגנית.
מכאן נגזר על החברה התעשייתית סדר חברתי המבוסס על תלות הדדית פונקציונלית.
בהקשר זה צומחת תודעה פרטית.
כלומר הפרט הוא תוצר של הקשר חברתי מסוים.
בשנות ה-20 של המאה ה-20, האנתרופולוג אלפרד רדקליף-בראון עוד תמך בתאוריה הפונקציונלית של ברוניסלב מלינובסקי.
בשנות ה-30, בהשפעה ישירה מהאנתרופולוגיה הצרפתית (ובמיוחד מדורקהיים) הוא הגיע למסקנה כי את המושג פונקציה צריך להכליל במסגרת המושג מבנה.
תוך שהוא מושפע מעבודותיו של דורקהיים, רדקליף-בראון ראה את מטרת עבודת השדה שלו בחקר החברות הפשוטות, ובמציאת כללים למבנה החברתי של החברות הפשוטות, ואגב כך של המין האנושי.
לטענתם הריבוד הוא חיוני לחברה ולמעשה אי אפשר בלעדיו.
אם רוצים בקיומה של חברה מתפתחת צריך למצוא את הדרך כיצד לתגמל את האנשים המסוימים בחברה.
הוכחה ראשונה לחיוניות האי שוויון היא שאין בעולם חברה אשר אינה מרובדת.
מספר הכישרונות בחברה מוגבל, לא כולם בעלי כישורים זהים בסוגם וברמתם, ומכיוון שכולם שונים זה מזה אי השוויון הוא משהו נדרש.
מכיוון שבחברה ישנן פונקציות חיוניות יותר וחיוניות פחות (רופאים / מנקי רחובות) יש למצוא את הדרך לתגמל יותר את הפונקציות החיוניות יותר על מנת ליצור מוטיבציה אכן לנצל את הכישורים לכך (התאוריה הפונקציונליסטית)
טלקוט פרסונס היה פרופסור וראש המחלקה לסוציולוגיה באוניברסיטת הרווארד.
הוא היה אחראי במידה רבה, לעליית קרנה של הגישה בארצות הברית ובעולם הסוציולוגי כולו, בשנות ה-40 וה-50 של המאה ה-20.
פארסונס הגדיר את שתי מטרות המחקר:
מחקר מורפולוגי - תיאור, הגדרה, השוואה ומיון של המערכת החברתית.
מחקר פיזיולוגי (מטפורה אורגנית, ביולוגית) - תיאור המכניזמים החברתיים, איך משהו פועל, איך המערכות השונות משולבות ופועלות יחד.
המערכת החברתית, לפי ניתוח זה, מחולקת לארבע תת-מערכות, אשר כולן ביחד מרכיבות את מערכת הפעולה האנושית.
לכל תת-מערכת יש מוסדות חברתיים שדרכם היא עובדת:
תת המערכת התרבותית - מייצרת ערכים.
היא עובדת דרך מוסדות כמו התיאטרון, הספרות, ומוצרי תרבות באופן כללי - דברים כמו מצעדים צבאיים, מסמכים כמו מגילת העצמאות או חוקת ארצות הברית, ואפילו חפצים אזוטריים למראה כמו שטיחונים עם חידון על צה"ל במסעדות.
חשוב להסביר שערכים אלו נחשבים כתוצאה של מסורת, כאילו התפתחו בצורה "טבעית".
תת המערכת החברתית - מייצרת נורמות, אשר נגזרות מן הערכים הללו.
אלו הן דרכי ההתנהגות שבהן נבחר לפעול.
לדוגמה: הערך הוא ביטחון לאומי - הנורמה היא לשרת בצבא.
הקבלה של השירות בצבא כטבעי ונכון מהווה ביטוי של ערך זה.
הערך הוא השכלה- צריך ללכת לאוניברסיטה.
הערך הוא חופש/רוח נעורים - נוסעים להודו או לדרום אמריקה.
הנורמות יוצרות מצד אחד ומגבילות מצד שני את מגוון הבחירות שלנו.
למרות שאנו מסוגלים לא לפעול על פי הנורמות, אנחנו לא נעשה זאת משום שאנחנו מבינים שהמצב הקיים הוא טוב לכולם.
זו נקודה בעייתית לכאורה בתאוריה, בגלל שכאן התאוריה מתחילה להתקשות מאוד לטפל בסוטים מן הנורמות המקובלות בחברה.
עם זאת, היא מספקת לכך הסבר דרך תהליך העבודה של תת-המערכת הבאה.
תת מערכת האישיות - היא מייצרת קהילה, ועובדת דרך מוסד הפוליטיקה.
כאן, הכוונה של פארסונס היא להיבט החברתי באישיות של כל אחד מאיתנו, החלק במוח שלנו שחוּברת לקבל את הנורמות כנכונות.
תת-מערכת האורגניזם - מייצרת תפקידים דרך הכלכלה.
כאן הרעיון הוא שבגלל תהליך השכלול וההתמחות שהחברה כולה (כל מערכת הפעולה האנושית) עוברת, אנו נאלצים להסתמך על יותר ויותר אנשים כדי לספק את צרכינו.
אפשר להשוות את כמות האנשים שצריך איכר בימי הביניים כדי להשיג אוכל - הוא עצמו, אשתו, אולי כמה ילדים - לבינינו.
כמה אנשים צריכים לבצע פעולה כלשהי כדי שנוכל לקנות עגבנייה בסופר?
או יותר מכך, מותגים מחו"ל?
המערכת הולכת והופכת מסובכת, ולכן צריך פתרון כלשהו שדרכו אנשים יוכלו לספק את צורכיהם בצורה טובה.
אבל, יש פתרון שנוצר, על פי פרסונס, בצורה טבעית לחלוטין.
זהו המוסד החברתי של הכלכלה.
דרך הכלכלה כל אחד מאיתנו מקבל תפקיד בהתאם ליכולתו והכשרתו (דייוויס ומור פירטו יותר על תהליך זה) שבו הוא ממלא את תפקידו, וכך עובדת הכלכלה.
ההנחות הנאו ליברליות העומדות בבסיס תיאור זה של הכלכלה הן ברורות.
ארבע תתי המערכות עובדות ביחד באיזון מלא.
ביחד הן יוצרות את המבנה החברתי, שפועל על דינמיקה של יצירת קונצנזוס בין אנשים - יש הסכמה רחבה לגבי הצורך לעבוד למען שימורו של המבנה החברתי, עד כמה הוא נכון והוגן וכדומה.
פארסונס נחשב כמי שמבטא בצורה סוציולוגית את רוח התקופה בשנות החמישים ותחילת השישים באמריקה, תקופת "החלום האמריקאי", לאחר שהאמריקאים ניצחו במלחמת העולם השנייה וזכו למעמד של מעצמת-על.
מרטון טען כי כל דפוס חברתי עשוי להשפיע באופן שונה על פרטים שונים בחברה.
למבנים החברתיים ולפעולות שאנו עושים יש פונקציה: 1) פונקציה גלויה- תוצאות אובייקטיביות, התוצאות המזוהות והמכוונות של כל דפוס חברתי 2) פונקציה סמויה- תוצאות התנהגות שאינן גלויות אך שומרות על היציבות החברתית.
לא כל תוצאותיו של כל מבנה חברתי הן בהכרח מועילות ומכאן נטבע המושג: דיספונקציה, האם הפעולה היא פונקציונלית ליחיד?
הפונקציונליזם הסטרוקטורלי משמש גם כגישה במדע המדינה, המתמקדת בתפקוד הפרטים והקבוצות המרכיבות את המערכת הפוליטית הכוללת.
בדומה לגישת המערכות, גם הגישה הזאת מורכבת מתפוקות ותשומות, איזון ומשוב.
תפקוד כל הפרטים בתוך המערכת הכרחי כדי שסך כל המערכת תתקיים.
אם אחד מהאיברים מפסיק לתפקד אז גם ה"גוף" מפסיק לחיות.
המערכת היא אורגניזם חי ולא משהו טכני.
גישה זו מאפשרת השוואה בין מערכות פוליטיות שונות.
הנחת הייסוד היא שהמבנים הפוליטיים יכולים להיות שונים אבל התפקודים שלהם זהים, וההבדל ביניהם הוא רק באופן הביצוע.
התפקוד של כל אחד מהפרטים לא נחשב כערך אלא לעובדה.
ניתן לבדוק איך כל פרט תורם למערכת מבלי להעביר ביקורת אם זה טוב או לא.
לדוגמה: הממשלה השבטית שונה במבנה שלה מהממשלה הדמוקרטית אבל התפקוד של שתיהן הוא זהה.
שתיהן צריכות לחוקק כללי התנהגות, לאכוף אותם ולהעניש את הסוטים.
ההבדל הוא שבחברה דמוקרטית העשייה מתחלקת בין כמה רשויות ובחברה השבטית הכל נעשה על ידי אותו גורם.
לכל המערכות הפוליטיות (פרימיטיביות ומתקדמות כאחד) יש ארבע תכונות משותפות:
מבנה - לכולן יש מבנה כלשהו, דרגת ההתמחות היא זו שמשתנה.
תפקוד - כל המערכות ממלאות את אותם התפקודים, אופן הביצוע הוא שונה.
רב תפקודיות - כל מבנה פוליטי יכול למלא יותר מתפקיד אחד.
מעורבות - כל מערכת פוליטית מכילה בתוכה תפקודים מסורתיים ומודרניים כאחד.
אין מערכת שהיא רק מודרנית ולהפך.
התאוריה טוענת שבכל מערכת פוליטית, מכל סוג, ניתן למצוא את יישומם של שבעה תפקודים.
השוני ביניהן יתבטא רק באופן ההוצאה לפועל של אותן הפונקציות:
קביעת כללים - רשות מחוקקת
הכלת כללים - רשות מבצעת
שפיטה על פי הכללים - רשות שופטת
מערכת פוליטית היא מערכת של פעולות גומלין שקיימת בכל החברות העצמאיות שממלאות תפקידים של אינטגרציה והסתגלות באמצעות השימוש בכפייה פיזית לגיטימית, או באמצעות האיום בשימוש כזה.
לא חייב להיות קונצנזוס חד משמעי לשימוש בכוח, מספיקה הסכמה בסיסית.
כלליות - המערכת כוללת את כל התשומות והתפוקות של הפוליטיקה, היא מכילה בתוכה את כל המבנים הפוליטיים (גופים שיש להם לגיטימציה להפעיל כוח).
פעילות גומלין - הדדיות, כל חלק משפיע על האחר.
גבולות - למערכת פוליטית יש גבולות ולכן, כדי להשפיע על המערכת הפוליטית צריך לחדור אליה.
זה לא מספיק רק לרצות בשינוי יש גם לפעול כדי לקדם את הנושא.
בסוציולוגיה, נאו-פונקציונליזם היא תפיסה המדגישה כי כל אינטגרציה היא תוצאה של אינטגרציה קודמת.
הביטוי משמש גם לתיאור כל תאוריה חברתית שנולדה "אחרי" הפונקציונליזם המבני המסורתי.
במדעי המדינה, נאו-פונקציונליזם היא תאוריה של אינטגרציה אזורית הממעיטה בחשיבותה של גלובליזציה כמסבירה את תהליך זה, ומחדדת את חשיבות הממשל בטריטוריה נתונה.
חוקרים שונים המחזיקים בגישה זו ניסו להסביר את תופעת האינטגרציה האירופית, באמצעות זיהוי אפקט גלישה בין אינטגרציה בתחום אחד למשנהו.
פרדיגמה זו נתנה הצדקה למדיניות הציבורית האמריקאית של שנות ה-50 ותחילת שנות ה-60. המדיניות שנגזרה מתוך הפרדיגמה הפונקציונלית-סטרוקטורלית הייתה מדיניות "כור ההיתוך", שנוצרה בתגובה לגלי ההגירה המסיביים לארצות הברית באותה תקופה.
למהגרים ולעולים, המגיעים ברובם בגיל מבוגר יחסית, מתבצע תהליך של דה-סוציאליזציה (ביטול הערכים איתם היגרו) ואז רה-סוציאליזציה לערכים של התרבות הכללית השלטת.
כל קבוצה שלא מצליחה לעבור את התהליך באופן תקין מוגדרת באופן אוטומטי כתת-תרבות וכתופעה סוטה שבתקווה תיעלם עם הזמן.
גם בארץ ישראל של שנות ה-50, עם הקמת מדינת ישראל, התחזקה מדיניות "כור ההיתוך" וזאת בהמלצת האקדמיה בארץ (במיוחד סוציולוגים, כגון שמואל נח אייזנשטדט) למקבלי ההחלטות בדרג הפוליטי.
אחת הדרכים בהן יושמה מדיניות זו בארץ היה השירות הצבאי בצה"ל בו ניתן דגש חזק על יצירת שוויון בין כל המשרתים, ללא קשר למוצאם או לערכים התרבותיים עליהם גדלו.
תאוריה זו הייתה הדומיננטית בסוציולוגיה האמריקאית בפרט והעולמית בכלל, בשנות ה-40 ובשנות ה־50. כבר בשנות ה־60, וביתר שאת בשנות ה־70, ירדה קרנה של הגישה בעקבות ביקורות רבות שספגה.
הביקורות על גישה זו הגיעו ממספר כיוונים:
שמרנות: גישה זו מניחה כי לכל אלמנט בחברה יש פונקציה מסוימת, ולכן הוא חיובי ותורם למערכת.
עמדה זו משמעה התנגדות לכל שינוי מוצע.
חוסר יכולת להסביר שינוי: הסבר טלאולוגי (טלוס=תכלית) - מסבירים כל דבר באמצעות התכלית שלו.
ההסברים הללו יוצאים מתוך הקיום, ולא מנסים להסביר הימצאות.
כמו כן זהו הסבר טאוטולוגי (טאוטו=אותו) - הסבר מעגלי.
מסבירים את הדבר באמצעות עצמו.
כשמסבירים דבר באמצעות עצמו, בעצם לא מסבירים כלום.
היעדר ניגודים: גישה זו מניחה כי לכל השותפים בחברה מסוימת אינטרסים משותפים, אותם מנסות המערכות השונות למלא.
מתנגדי השיטה טוענים כי זה אינו המצב, וכי לקבוצות חברתיות שונות יש אינטרסים שונים ולעיתים אף מנוגדים, וההכרעה בין אינטרסים אלה נעשית באמצעים של כוח חברתי.
הגישה הפונקציונליסטית אינה מסוגלת לטפל במושגים אלה.
האופן שבו היא מתייחסת לצרכים חברתיים הוא בעייתי.
התאוריה הזו מדברת על קיומים של צרכים חברתיים, ומסבירה את הקיום דרך הצרכים, בלי לשאול מהם הצרכים, מאין הגיעו.
או מה הם משרתים ומדוע מאמינים שהצרכים הללו טבעיים.
יש הנחה של צרכים, בלי לנסות לפתוח ולהבין את ההיווצרות שלהם.
ביקורת על כך שלפרט אין כוח.
המערכת פועלת כשלעצמה, לא רואה ולא מדברת על קונפליקטים חברתיים, מניחה אחידות חברתית בין כולם.
כל בני האדם בחברה נתונה מסכימים כביכול על אותם ערכים, המושג של קונפליקט לא קיים.
במתמטיקה, הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות של זווית.
הן משמשות, בין השאר, לקשור בין הזוויות במשולש לאורכי צלעותיו.
הפונקציות הטריגונומטריות המוכרות ביותר הן סינוס, קוסינוס וטנגנס.
הפונקציות הטריגונומטריות חשובות במחקר המשולשים, במידול תופעות מחזוריות ובשימושים רבים נוספים.
שני משפטים בסיסיים הנוגעים לפונקציות הטריגונומטריות הם משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים.
כאשר x היא זווית סמוכה ליתר במשולש ישר-זווית (x בין 0° ל-90° במעלות או בין 0 ל-π/2 ברדיאנים):
סינוס של הזווית (sin x) מבטא את היחס שבין הניצב שמול הזווית והיתר במשולש; בדוגמה המופיעה בתרשים
קוסינוס של הזווית (cos x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית והיתר במשולש; בדוגמה המופיעה בתרשים
השם קוסינוס הוא קיצור של complement sines - סינוס הזווית המשלימה.
ההגדרות לעיל לא תקפות עבור הזווית 0 והזווית הישרה; עבור זוויות אלה מוגדרים ערכי הסינוס כ-0 ו-1 בהתאמה, וערכי הקוסינוס כ-1 ו-0 בהתאמה.
ערכים אלה הם הגבולות של היחסים המתאימים.
הגדרות אחרות של הפונקציות הטריגונומטריות (להלן) אינן דורשות טיפול מיוחד בזוויות אלה.
טנגנס של הזווית (tg x או tan x) הוא היחס בין הניצב שמול הזווית והניצב שליד הזווית; בדוגמה המופיעה בתרשים
הטנגנס מתקבל גם על ידי חלוקת סינוס בקוסינוס, וניתן להגדיר אותו לאורך כל הישר הממשי בעזרת ההגדרות המורחבות של פונקציות אלה (להלן).
הטנגנס לא מוגדר עבור הזוויות 90°+k•180° (כש-k הוא מספר שלם), שכן הקוסינוס של זוויות אלה הוא 0.
בגאומטריה אנליטית, כאשר מייצגים ישר על ידי משוואה אפינית: y=mx+n, הקבוע m הוא טנגנס הזווית שבין הישר ובין כיוונו החיובי של ציר ה-X.
הפונקציות מקיימות ו- כאשר הזוויות נתונות ברדיאנים.
לכל אחת מפונקציות אלו מוגדרת גם פונקציה שערכה הוא ההופכי הכפלי של ערך הפונקציה:
קוטנגנס של זווית (ctg x או cot x) הוא היחס בין הניצב הסמוך לזווית לבין הניצב הרחוק ממנה, כלומר ערכו הוא ההופכי של הטנגנס.
הקוטנגנס שווה ליחס בין הקוסינוס של זווית לסינוס של אותה זווית.
לכן, הוא לא מוגדר עבור כפולות שלמות של 180° (שהסינוס שלהן הוא 0).
סקאנס של זווית (sec x) השווה ל- כלומר ערכו ההופכי של הקוסינוס.
קוסקאנס של זווית (cosec x) השווה ל-, כלומר ערכו ההופכי של הסינוס.
על ידי צמצום לתחום מתאים, הפונקציות הטריגונומטריות הופכות לפונקציות הפיכות.
וערכן היא הזווית שנותנת את היחס הטריגונומטרי x.
הטבלה הבאה מסכמת את הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות, הפונקציות ההפוכות ופונקציות הערך ההופכי שלהן.
את פונקציית הקוסקנט רושמים לעיתים בצורה הארוכה יותר cosec במקום csc.
מעגל היחידה הוא מעגל ברדיוס של יחידה אחת, שמציג באופן גרפי את הפונקציות הטריגונומטריות.
לפי הגדרה זו, עבור זוויות כלליות ייתכן שהסינוס או הקוסינוס יהיו שליליים (מה שלא אפשרי עבור זוויות שבין 00 ל-900, שם הפונקציות מייצגות יחס בין אורכים), אך סכום הריבועים שלהם הוא תמיד 1. מסיבה זו, ערכם המוחלט חסום על ידי 1.
סינוס הוא ערך ה-Y של הנקודה
קוסינוס הוא ערך ה-X של הנקודה