tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
מַכְפֵּלָה קַרְטֵזִית (סימון מתמטי: ) היא פעולה בינארית על קבוצות היוצרת קבוצה חדשה, שאבריה הם הזוגות הסדורים שרכיביהם מגיעים משתי הקבוצות, בהתאמה.
המכפלה נקראת כך על שמו של רנה דקארט (ששמו הלטיני הוא רֶנַאטוּס קַרְטֶזִיּוּס) שהגדיר את המישור האוקלידי כקבוצת כל הזוגות הסדורים של מספרים ממשיים – ובכך יצר את תחום הגאומטריה האנליטית.
המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת והיא קבוצת כל הזוגות הסדורים האפשריים, כשבכל זוג האיבר הראשון שייך ל- והאיבר השני שייך ל-.
באותה הדרך, אם נסתכל על n קבוצות, המכפלה הקרטזית שלהן תיתן קבוצה של n-יות המוגדרת כך:
בצורה פורמלית, נוכל להגדיר מכפלה קרטזית של כל משפחה של קבוצות (גם אינסופית) באמצעות קבוצת פונקציות שמוגדרת כך:
כאן היא קבוצה של אינדקסים (דהיינו – לכל איבר בקבוצת האינדקסים מתאימה קבוצה אחת מתוך הקבוצות המוכפלות).
האיברים של המכפלה הן פונקציות, כך שכל פונקציה מייצגת "נקודה" במכפלה.
הקואורדינטות של הנקודה הן בדיוק הערכים שמחזירה הפונקציה.
הדרישה על הפונקציות הללו היא שלכל קואורדינטה, הפונקציה תחזיר ערכים השייכים רק לקבוצה שאותה מייצגת הקואורדינטה.
אקסיומת הבחירה היא הקביעה שאם היא קבוצה של אינדקסים ולכל
הקבוצה לא ריקה, אז המכפלה הקרטזית
המרחב הוא מכפלה קרטזית של פעמים הישר הממשי .
בכתיב פורמלי: (זו גם הסיבה שבגללה כותבים את בחזקת ).
כל וקטור במרחב זה הוא n-יה סדורה .
על פי ההגדרה הפורמלית שניתנה לעיל, כל וקטור הוא פונקציה כאשר .
עבור נקודה כלשהי במרחב, הפונקציה המתאימה לה היא זו המקיימת .
המכפלה היא קבוצת הפונקציות המקיימות .
מכפלה סקלרית או "סכפול" היא פעולה על שני וקטורים מהמרחב האוקלידי שמחזירה סקלר (ומכאן שמה).
המכפלה הסקלרית מהווה מכפלה פנימית במרחב האוקלידי.
המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים , מסומנת על ידי (יש ספרים המשתמשים בנקודת כפל עבה יותר, ולכן באנגלית מכפלה זו נקראת Dot product).
כשם שניתן לתאר וקטור במרחב באמצעות סדרת קואורדינטות או באמצעות אורכו וכיוונו, כך גם קיימות שתי הגדרות (שקולות) למכפלה הסקלרית המשתמשות במאפיינים אלה.
מכפלתם הסקלרית שווה למכפלת אורכיהם (להכללת מונח האורך, עיינו בערך נורמה) וקוסינוס הזווית שביניהם.
בניגוד לזווית בין ישרים, שאינה יכולה לעלות על 90 מעלות, הזווית בין וקטורים יכולה גם להיות קהה ואז המכפלה הסקלרית תהיה שלילית.
במרחב וקטורי העמודה/שורה יהיו שני וקטורים מהצורה –
מכפלתם הסקלרית תוגדר על ידי
הגדרה זו כללית יותר מההגדרה הגאומטרית, כיוון שניתן להכלילה לממדים גדולים מ-, שם מושג הזווית בין הווקטורים טעון הגדרה.
למעשה ניתן להגדיר זווית בעזרת המכפלה הפנימית.
כיוון שאי שוויון קושי-שוורץ מבטיח כי בכל ממד מתקיים
תמיד ישנה זווית המקיימת משוואה זו, כיוון שהמנה תמיד קטנה או שווה בערכה המוחלט ל-.
במקרה הפרטי של קואורדינטות קרטזיות במרחב תלת־ממדי, המכפלה הסקלרית נתונה על ידי
נוסחה זו נכונה עבור כל בסיס אורתונורמלי.
המכפלה הסקלרית היא ביליניארית (כלומר, ולכל סקלר , ) סימטרית (כלומר ).
מכפלה סקלרית של שני וקטורים היא אם ורק אם הם ניצבים זה לזה, כיוון ש-.
ההכללה של תכונה זו במרחבי מכפלה פנימית כלליים היא האורתוגונליות (ביוונית, אורתוגונלי משמעו ניצב).
כאשר המכפלה הפנימית בין שני וקטורים מתאפסת, הם נקראים וקטורים אורתוגונליים, או ניצבים.
מכפלה סקלרית של וקטור מסוים בווקטור יחידה נותנת את ההטלה של הווקטור המסוים על אותו כיוון: ההיטל של וקטור על נתון על ידי כאשר ה"כובע" מסמן וקטור יחידה.
בפיזיקה, עבודה של כוח קבוע שווה למכפלה הסקלרית של הכוח בהעתק.
בתוכנה, ניתן לבדוק כמה קרובים שני וקטורים נורמלים (באורך ) להצביע לאותו הכיוון לפי המכפלה הסקלרית שלהם.
במתמטיקה ובפיזיקה, מכפלה וקטורית היא פעולה בינארית על שני וקטורים במרחב תלת־ממדי, שמחזירה וקטור (בניגוד למכפלה הסקלרית שמחזירה סקלר).
הווקטור המוחזר תמיד ניצב לשני הווקטורים המוכפלים.
יהיו שני וקטורים , אז מכפלתם הווקטורית (שמסומנת ב-) תוגדר כ:
כאשר היא הזווית (בין 0° ל-180°) שבין במישור המכיל את שניהם, הם האורכים (להכללת המונח אורך עיינו בערך נורמה) של הווקטורים , ו- הוא וקטור יחידה, שמאונך למישור הנקבע על ידי שני הווקטורים.
חשוב לשים לב כי המכפלה הווקטורית בין שני וקטורים שונים מאפס מתאפסת אם ורק אם הם מקבילים (בניגוד למכפלה סקלרית, בה המכפלה מתאפסת אם ורק אם הווקטורים ניצבים).
כיוונו של נקבע על פי כלל היד הימנית המוגדר באופן הבא: אם מכופפים את כף יד ימין בצורת חצי עיגול, כך שהיא מתווה מעגל בכיוון של הווקטור הראשון במכפלה אל עבר הווקטור השני במכפלה דרך הזווית הקטנה שביניהם, האגודל מצביע בכיוון של וקטור התוצאה.
ניתן להגדיר מכפלה וקטורית באופן שקול על ידי הגדרת הכפל על וקטורי היחידה.
בשלושה ממדים, וקטורי היחידה מוכפלים כך:
ולכן, מתקבל כי באופן כללי, שני וקטורים נכפלים כך:
בעזרת מכפלה סקלרית, קל לוודא כי וקטור התוצאה ניצב לשני הווקטורים המוכפלים.
עוד דרכים לחשב את כיוון הווקטור:
כלל הבורג - אם מסובבים בורג בעל תבריג ימני, כך שכיוון סיבובו מתווה את הכיוון מהווקטור הראשון לווקטור השני, וקטור התוצאה נקבע על פי כיוון ההתקדמות של הבורג (קדימה או אחורה).
דרך נוספת היא על ידי כיפוף אצבעות יד ימין כך שהאגודל מזדקר מעלה, האצבע נשארת זקופה, והאמה מכופפת בזווית של 90 מעלות.
כעת, אם מתאימים את האצבעות כך שהאגודל הוא בכיוון הווקטור הראשון ואילו האצבע בכיוון הווקטור השני, האמה תצביע בכיוון וקטור התוצאה.
מכיוון שכיוון הווקטור תלוי בסדר הופעת האיברים במכפלה, המכפלה אינה קומוטטיבית, אך היא אנטי-קומוטטיבית, כלומר מתקיים .
מכפלה וקטורית אינה אסוציאטיבית, כלומר .
לכן, ללא סוגריים, הביטוי לא מוגדר.
המכפלה הווקטורית דיסטריבוטיבית מעל החיבור: .
המכפלה הומוגנית ביחס לכפל בסקלר: .
כפל של שני וקטורים שכיוונם זהה, או שכיווניהם מנוגדים, מחזיר 0.
"באץ מינוס צאב" ("BAC minus CAB"): .
המכפלה הווקטורית מקיימת את זהות יעקובי:
נפח מקבילון שצלעותיו הן , ו-:
גם אם עבור מתקיים לא ניתן להסיק כי , אלא רק כי מקביל ל .
לעומת זאת, אם לכל וקטור מתקיים , אז בהכרח .
כאמור, מכפלה וקטורית של שני וקטורים בת"ל מחזירה וקטור המאונך לשניהם.
ישר המאונך לשני ישרים במישור, מאונך למישור הנוצר על ידם ולכן מכפלה וקטורית של שני וקטורים במישור תניב וקטור שלישי המאונך לכל וקטור במישור.
וקטור זה נקרא וקטור המקדמים של המישור.
מציאת שטח מקבילית במרחב - גודלו של וקטור המכפלה הפנימית שווה לשטח המקבילית הנוצרת על ידי הווקטורים ו- .
מציאת מרחק נקודה מישר במרחב.
כשמפעילים כוח על גוף צפיד, השינוי בתנע הזוויתי שלו נקבע על ידי מומנט הכוח שנתון על ידי מכפלה וקטורית של וקטור הזרוע (המרחק בין נקודת הפעלת הכוח לציר הסיבוב) בווקטור הכוח המופעל עליו.
כשחלקיק טעון נע בתוך שדה מגנטי, הכוח שמפעיל עליו השדה פרופורציונלי למכפלה וקטורית של וקטור המהירות בווקטור השדה (כוח לורנץ).
בגלים אלקטרומגנטיים, וקטור פוינטינג הוא מכפלה וקטורית בין שדה חשמלי לשדה מגנטי.
הוא מייצג את שטף האנרגיה של הגל וכיוונו זהה לכיוון וקטור גל.
תיאור על פי וקטורי יחידה
כאמור, לעיתים קרובות נוח יותר לחשב את המכפלה הווקטורית באמצעות הצגת הווקטורים המוכפלים על ידי וקטורי יחידה, כלומר:
לאחר חישוב ישיר, ניתן לקבל כי
קל יותר לזכור צורה זו על ידי כתיבת הדטרמיננטה הבאה:
כאשר הדטרמיננטה מפותחת על פי השורה הראשונה.
חשוב להדגיש שהשימוש בדטרמיננטה כאן הוא רק בתור סימון שמטרתו להקל על זכירת הנוסחה, ואין מדובר בדטרמיננטה אמיתית: המטריצה איננה מעל השדה שבו אנו עוסקים, והתוצאה איננה סקלר כמו בדטרמיננטה רגילה אלא וקטור.
את המכפלה הווקטורית ניתן לכתוב בצורה טנזורית בצורה:
כאשר - טנזור לוי-צ'יוויטה, הוא טנזור אנטי סימטרי לחלוטין, שערך כל איבר בו הוא 1 אם סדר האינדקסים הוא ציקלי, 1- אם הסדר הוא אנטי ציקלי, ואפס במקרה אחר (כלומר אם אינדקס חוזר פעמיים).
האינדקסים רצים על מספר הממדים (1,2,3 או ).
הגדרה זו ניתן להרחיב למספר ממדים כלשהו:
בשני ממדים מתקבל טנזור בלי אינדקסים , לכן לכאורה הוא סקלר.
בשלושה ממדים מתקבל טנזור עם אינדקס אחד, לכן לכאורה הוא וקטור.
בארבעה ממדים מתקבל טנזור עם שני אינדקסים.
באופן כללי ב- ממדים מתקבל טנזור עם ממדים.
דבר זה מרמז לנו שגם בשלושה ממדים התוצאה של כפל שני וקטורים אינה וקטור, כי אם פסאודו וקטור.
השרירותיות של כיוון התוצאה גם היא דומה לשרירותיות בכיוון של הפסאודו-וקטור.
לעומת זאת מכפלה וקטורית של וקטור ופסאודו וקטור תיתן וקטור.
במתמטיקה, מכפלה טנזורית היא בנייה מתמטית המקבלת שני מבנים אלגבריים ובסיס משותף, ומחזירה מבנה אחר, הנוצר משניהם בסיועו של הבסיס.
המכפלה הטנזורית אנלוגית למושג הכפל, בדומה לסכום הישר שהוא אנלוגי למושג החיבור.
לדוגמה, המכפלה הטנזורית של שני מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה, היא מרחב וקטורי שממדו שווה למכפלת הממדים של שני המרכיבים.
המכפלה של המבנים ו- מעל מסומנת ב-.
המכפלה הטנזורית נחקרת באופן מקיף במסגרת האלגברה ההומולוגית.
בתחומים אחרים של המתמטיקה, היא מופיעה בדרך כלל בשתי צורות:
למשל, אם מרחב וקטורי מעל הממשיים , אז הוא מרחב וקטורי בעל אותו ממד מעל המרוכבים, הגדול יותר.
הכפלת שני מבנים מטיפוס מסוים עשויה לתת מבנה שלישי מאותו טיפוס, וכך להגדיר מבנה של מונואיד על אוסף המבנים מאותו טיפוס.
כך למשל, המכפלה הטנזורית של שתי חבורות אבליות (מעל השלמים) היא חבורה אבלית.
דוגמה בולטת לתהליך זה אפשר לראות בהגדרת חבורת בראואר.
התכונה החשובה ביותר של המכפלה הטנזורית היא ה"אוניברסליות", שמשמעותה כזו: המכפלה הטנזורית של שני מודולים היא המודול הגדול ביותר שאותו אפשר לכסות בהעתקה מאוזנת על ידי המכפלה הישרה של שני המודולים.
תכונה זו ניתנת לניסוח באופן קטגורי, וכך אפשר בדרך כלל לחסוך את העיסוק בפרטים הטכניים של הבניה המפורשת.
למכפלה טנזורית של מטריצות קשר הדוק עם המכפלה הטנזורית של מרחבים וקטוריים בגודל המתאים.
את המכפלה הטנזורית של המודולים ו- מעל אפשר להגדיר על-פי יוצרים ויחסים.
זוהי החבורה האבלית הנוצרת על ידי כל הסימנים (עבור ), בכפוף ליחסים הבאים:
אבר מהצורה נקרא טנזור פשוט.
כל אבר של המכפלה הטנזורית הוא סכום של טנזורים פשוטים.
כך כמובן גם במכפלה טנזורית של מודולים רבים, .
המספר הקטן ביותר של טנזורים פשוטים הנחוץ להצגת איבר נתון הוא הדרגה של האיבר; הגדרה זו (עבור וכאשר הם מרחבים וקטוריים) מכלילה את מושג הדרגה של מטריצה.
המכפלה הטנזורית מוגדרת עבור מודול ימני ומודול שמאלי מעל אותו חוג .
תוצאתה היא במקרה זה חבורה אבלית.
ככל שהמבנה של ושל עשיר יותר, כך נעשה גם המבנה של המכפלה עשיר יותר.
לדוגמה, אם הוא (בנוסף להיותו מודול ימני מעל ) גם מודול שמאלי מעל חוג (וליתר דיוק, בי-מודול מעל שני החוגים), הופכת המכפלה הטנזורית גם היא למודול שמאלי מעל על ידי הגדרת הכפל .
בדומה, אם הוא גם מודול ימני מעל חוג , המכפלה הטנזורית היא מודול ימני מעל .
מקרה בעל חשיבות מיוחדת הוא כאשר החוג קומוטטיבי - אז מהווה כל מודול באופן מיידי בי-מודול, וכך המכפלה הטנזורית של שני מודולים מעל לחוג קומוטטיבי נעשית למודול מעל אותו החוג.
כאשר מרכיבי המכפלה הם אלגברות, אפשר גם להגדיר פעולת כפל על המכפלה הטנזורית לפי , וכך הופכת מכפלת המבנים לאלגברה בזכות עצמה.
המכפלה הטנזורית של שדות איננה באופן כללי שדה, אם כי היא כמובן אלגברה.
העתקה מאוזנת מן המכפלה הישרה היא העתקה ביליניארית, המעתיקה את הזוגות ו- (עבור ) לאותו המקום.
המכפלה הטנזורית שנבנתה בסעיף הקודם היא אכן אוניברסלית, ועובדה זו טעונה הוכחה (שאינה קשה במיוחד).
עם זאת, מרגע שהוברר קיומו של אובייקט אוניברסלי שכזה, ההוכחה שהוא יחיד (עד כדי איזומורפיזם) קלה ביותר: אם שניהם אובייקטים אוניברסליים (עם ההטלות ), אז ההטלה ל- מתפצלת באופן יחיד דרך , וההטלה ל- מתפצלת באופן יחיד דרך .
הרכבת ההעתקות, מ- ל- ואז בחזרה ל-, נותנת העתקה מ- לעצמו, המפצלת את דרך - בדיוק כדרך שהעתקת הזהות מפצלת את דרך .
אלא שהפיצול הוא יחיד על-פי ההנחה, וכך ההרכבה שווה להעתקת הזהות.
גם ההרכבה בסדר ההפוך שווה לזהות, ומכאן ש- איזומורפיים.
העובדה שמודול שמקיים את תכונת האוניברסליות נקבע עד כדי איזומורפיזם מאפשרת להגדיר את המכפלה הטנזורית באופן קטגורי.
מודול , יחד עם העתקה מאוזנת של המכפלה הישרה של ו- נקרא המכפלה הטנזורית אם הוא מקיים את התכונה האוניברסלית.
הגדרה זו היא מקרה פרטי של הגדרת מכפלת סיבים בקטגוריה כללית.
יש לציין שבקטגוריה כללית מכפלה טנזורית (או מכפלת סיבים) תהיה יחידה עד כדי איזומורפיזם, אבל לא תמיד היא תהיה קיימת.
לדוגמה, בקטגוריית השדות לא לכל שני איברים יש מכפלה טנזורית.
כפי שהוזכר בחטף לעיל, המכפלה הטנזורית מגדירה מבנה של מונויד חילופי על אוסף הבי-מודולים מעל חוג נתון.
ביתר פירוט, נניח ש- הוא חוג כלשהו.
משמש איבר נייטרלי ביחס למכפלה הטנזורית: לכל מודול מעל , מתקיים .
בנוסף לתכונות אלה, המכפלה הטנזורית דיסטריבוטיבית ביחס לסכום הישר (), וכך הופך אוסף הבי-מודולים מעל לחצי חוג קומוטטיבי ביחס לפעולות הסכום הישר והמכפלה הטנזורית.
מתכונות אלה נובע למשל שמודולים חופשיים מקיימים , כהכללה של המצב במרחבים וקטוריים.
תכונה חשובה נוספת של המכפלה הטנזורית היא שאם קובעים מודול ימני , אז הפונקטור הוא פונקטור מדויק מימין.
כפי שהוצע קודם לכן, אם הם חוגים, ו- מודול מעל , אז הוא מודול בעל מבנה דומה מעל .
למשל, חוג המטריצות מקיים , וחוג הפולינומים .
שינוי חוג הסקלרים אינו חייב להגדיל את האלגברה.
לדוגמה, אם הוא אידיאל של , אז , מודול המנה ביחס ל-.
דוגמה חשובה אחרת היא המקרה שבו הוא חוג השלמים ו- שדה הרציונליים.
במקרה זה, היא חבורה אבלית.
אם נוצרת סופית, אפשר לפרק אותה לסכום ישר של מרכיב מפותל ומרכיב חופשי.
המכפלה הטנזורית תלויה רק בגודל המרכיב החופשי, ובכך מאבדת את כל המידע על החלק המפותל.
המכפלה הטנזורית של שדות, מעל תת-שדה משותף, אינה בהכרח שדה.
למעשה, אם , אז לכל הרחבת שדות מתקיים , חוג שהמבנה שלו תלוי בפירוק של מעל .
אם ההרחבה רגולרית (כלומר, אם סגור אלגברית ב-), אז שדה לכל הרחבה סופית .
אם ו- מרחבי מכפלה פנימית, אז המכפלה הטנזורית מצוידת באופן טבעי במכפלה פנימית משלה: .
אם ו- הם מרחבי הילברט, מרחב המכפלה הפנימית שהוגדר בדוגמה הקודמת איננו בדרך כלל שלם.
במקרה זה מגדירים את המכפלה הטנזורית להיות ההשלמה של מרחב המכפלה הפנימית.
המכפלה הטנזורית שהוגדרה כך מקיימת את תכונת האוניברסליות.
עבור מרחבים נורמיים ובפרט מרחבי בנך, אין נורמה טבעית אחת על המכפלה הטנזורית של המרחבים הווקטורים.
עם זאת, אפשר להגדיר משפחה של נורמות אפשריות (הנקראות נורמות מוצלבות).
במשפחה זו יש נורמה גדולה ביותר ויש נורמה קטנה ביותר.
ההשלמות של המכפלה הטנזורית תחת הנורמות הללו מסומנות ב- וב-.
מכפלת יתד המסומנת היא העתקה ביליניארית אנטי-סימטרית מעל מרחב וקטורי המצויד במבנה של אלגברה.
התכונה העיקרית של מכפלה זו היא היותה אנטי-סימטרית, כלומר:
מעל סופר-אלגברה, היפוך הסימן של המכפלה תלוי בזוגיות האיברים שלו.
מכפלת יתד משמשת בגאומטריה דיפרנציאלית על מנת לבנות את מרחב כל התבניות האנטי-סימטריות מעל יריעה, כאשר היא מאפשרת כיצד לבנות -תבניות מחד-תבניות, על ידי הגדרת מכפלת יתד על איברי הבסיס .
למשל: מעל אפשר לרשום את המכפלה במפורש עבור תלת-תבניות:
כאשר אפסילון הוא טנזור לוי-צ'יויטה.
בכימיה, מכפלת המסיסות היא המכפלה של ריכוזי יונים של חומר יוני (מלח) בתמיסה.
בחישוב המכפלה, ריכוז כל מרכיב במלח מועלה בחזקת היחס הסטויכיומטרי שלו.
לדוגמה, מכפלת המסיסות של עופרת כלורית PbCl2 היא .
כאשר יש יותר משני יונים בתרכובת יש להכפיל את הריכוזים של כולם בשרשרת.
למשל, מכפלת המסיסות של החומר הידרוקסי-אפטיט, שנוסחתו Ca10(PO4)6(OH)2 תהיה בהתאם
הריכוזים במשוואות מבוטאים במולר = מול חומר מסיס לליטר תמיסה.
קבוע המסיסות (מסומן ב-Ksp), הוא הערך המרבי של מכפלת ריכוזי יונים של חומר יוני שעשוי להיות בתמיסה.
אם ריכוזי היונים גבוהים עד כדי כך שמכפלתם גבוהה מקבוע המסיסות ישקע המלח כמוצק.
קבוע המסיסות שונה עבור כל תרכובת יונית (מלח), עבור כל ממס (כמו מים, אלכוהול וכו'), ותלוי גם בטמפרטורה.
תרכובת יונית (מלח) היא תרכובת של שני צורונים כימיים או יותר, הקשורים בקשר יוני בצורת מבנה סריגי.
עבור מקרה של שני צורונים בלבד, הם טעונים במטענים חשמליים הזהים בגודלם והפוכים בסימנים.
במלח שולחן (נתרן כלורי), שנוסחתו NaCl, צורון אחד הוא אטום נתרן הטעון במטען +1 (+Na) והצורון השני הוא אטום כלור הטעון במטען שלילי -1 (-Cl).
במקרה זה כל צורון הוא יון בודד, אולם קיימות תרכובות יוניות רבות בהן הצורונים מורכב ממספר אטומים - למשל התרכובת CaCO3 שבה אחד הצורונים הוא אטום סידן (+Ca) והשני קרבונט ().
תמיסה מימית נוצרת כאשר מולקולות מים, בעזרת הדיפול החשמלי שלהן (למולקולת מים צד אחד טעון שלילית - אטום החמצן, וצד טעון חיובית - אטומי המימן), שוברות את המבנה הסריגי של התרכובת היונית.
הצד החיובי של דיפול המים מושך את הצורון השלילי מהמבנה ולהפך.
כך מייצבים הדיפולים את היונים הטעונים בתוך התמיסה.
דוגמה למשוואה כימית המציגה את תופעת המסיסות היא:
החץ הדו-כיווני הכפול משמעותו קיום של שיווי משקל בין אגף שמאל - התרכובת המוצקה לבין אגף ימין - יונים חופשיים בתמיסה.
שיווי משקל פירושו שקצב יצירת המוצק שווה לקצב פירוק המוצק ואין שינוי עם הזמן.
כלומר התמיסה רוויה, לא ניתן להמיס יותר מוצק.
אחד ההבדלים בין תרכובות יוניות שונות הוא בקבוע המסיסות, כלומר כמה מהחומר מתמוסס בכמות מים נתונה, בטמפרטורה נתונה.
באשר לדוגמה זו ניתן לכתוב משוואת שיווי משקל על פי המשוואה להלן:
מכיוון שהיחס הסטויכיומטרי בין מרכיבי התרכובת הוא 1 ל-1, שני הריכוזים מופיעים בחזקת "1" בלבד.
בתמיסה רוויה ערכה של מכפלת המסיסות שווה לקבוע המסיסות, וזהו ערכה המרבי.
כל הקטנה של מכפלת המסיסות מערך זה (עקב הפחתת ריכוז אחד היונים), גורמת להמסה נוספת של מלח על מנת להוסיף יונים לתמיסה, כדי להעלות את ערכה של מכפלת המסיסות חזרה לקבוע המסיסות.
כלומר אם מוציאים אחד מהיונים בתמיסה על ידי שיטה כלשהי (למשל: השקעה באמצעות יון נוסף המוכנס למערכת) ריכוז היון השני חייב לעלות כך שמכפלתם תישאר קבועה.
בדומה, אם מוסיפים עודף של אחד היונים תהיה שקיעה של המלח למצב מוצק עד שמכפלת הריכוזים תשתווה שוב לקבוע המסיסות.
מכפלה מעורבת (או מכפלה משולשת) היא פעולה הפועלת על שלושה וקטורים מהמרחב האוקלידי ומחזירה סקלר.
המכפלה המעורבת מהווה דטרמיננטה למטריצה במרחב האוקלידי .
בערך זה נדון בעיקר במכפלה המעורבת במרחב האוקלידי וביישומיה בגאומטריה באנליזה וקטורית ובאלגברה ליניארית.
יהי המכפלה המעורבת היא המכפלה כלומר, מכפלה סקלרית של הווקטור במכפלה הווקטורית של הווקטורים .
תוצאת המכפלה המעורבת היא מספר אשר משמעותו הוא נפח המקבילון הבנוי על וקטורים .
נפח כאן הוא במשמעות שונה מעט מהמשמעות המקובלת שלו, כיוון שהערך של המכפלה המעורבת יכול להיות שלילי, בעוד שנפח נתפס לרוב כגודל חיובי בלבד.
ניסוח מדויק יותר הוא שהגודל של המכפלה המעורבת שווה לנפח המקבילון הנוצר על ידי שלושת הווקטורים.
סימן המכפלה (חיובי או שלילי) נקבע לפי סדר הווקטורים, כלומר, אם השלשה היא שלשה ימנית או שלשה שמאלית.
אם הווקטורים קו-פלנריים (כלומר שלושתם נמצאים על אותו מישור), אז המכפלה המעורבת מתאפסת, כיוון שבמקרה זה ה"מקבילון" המוגדר על ידם הוא שטוח ונפחו 0.
ניתן גם להסתכל על המכפלה המעורבת (ב ) בתור הדטרמיננטה של המטריצה המורכבת מהוקוטורים .
לכן, מתכונות הדטרמיננטה ברור כי
אך חילוף הסדר יהפוך את הסימן:
כמו כן מתקיים לכל זוג וקטורים:
ישנו סוג נוסף של מכפלה מעורבת המחזיר וקטור ולא סקלר; זוהי המכפלה הווקטורית המשולשת: .
תוצאת המכפלה הווקטורית המשולשת היא:
זהות שניתן לזכור גם בעזרת המנמוניקה "BAC − CAB".
דרך אחת להוכיח זהות זאת היא באמצעות האפסילון של לוי-צ'יוויטה; כאן נוכיח זאת באמצעות שיטת הוכחה המתבססת על תהליך גרם-שמידט היות שהיא אינטואיטיבית יותר ומתבססת רק על הרעיון הגאומטרי של מכפלה פנימית.
נרשום כל אחד מהווקטורים כסכום של רכיב מקביל ורכיב ניצב לווקטור :
ונקבל על סמך קיום חוק הפילוג במכפלות וקטוריות:
נבחין כעת כי המכפלה שווה לאפס היות שהיא מייצגת מכפלה וקטורית של שני וקטורים בכיוון זהה (כיוון a).
בדומה לכך, גם המכפלה שווה לאפס היות ששני הווקטורים בתוך הסוגריים נמצאים במישור הניצב ל-a - ולפיכך מכפלתם הווקטורית היא בכיוון a כך שהמכפלה המשולשת כולה מתאפסת אף היא.
כאשר המעבר האחרון נסמך על תכונת האנטי-חילופיות של המכפלה הווקטורית.
כיוון שעבור שני וקטורים בבסיס אורתונורמלי של מרחב תלת-ממדי מתקיים באופן כללי: , נקבל שהביטוי באגף ימין של השוויון האחרון שקול ל-:
כאשר במעבר האחרון (והמסכם) השמטנו חלק מהכתיב הפורמלי.
מֶכֶר הוא מונח משפטי מתחום דיני החוזים שמשמעותו העברה רצונית של נכס ממוכר לקונה תמורת תשלום.
בתחילה, נוסח החוק קבע שמכר הוא העברת נכס בתמורה, אך הדבר שונה להעברת נכס תמורת מחיר על מנת לאחד את החוזה האובליגטורי עם קניית הנכס והעברת הבעלות, כפי שמשתקף בגישת המשפט העברי.
במשפט הישראלי קיימות הוראות חוק המייחדות העברת נכס מסוג "דירה".
חוק המכר (דירות) (הבטחת השקעות של רוכשי דירות), התשל"ה – 1974 הוא חוק צרכני הקובע הסדרים שמטרתם, בין השאר, להגן על הכספים שמשלם קונה של דירה חדשה למוכר הדירה, כדי להבטיח כי במקרה של כישלון העסקה לא ירד כספו של הקונה לטמיון.
בבסיס החוק ניצבת ההנחה שיש פערי כוחות משמעותיים בין קונה דירה כאמור לבין מוכר הדירה, המצדיקים להעניק הגנה לקונה.
מכרות המלח בוְויֶילִיצְ'קַה (בפולנית: Kopalnia soli Wieliczka; בגרמנית Salzbergwerk Wieliczka), הנמצאים במטרופולין של קרקוב, הם מהעתיקים בעולם, ופעלו באופן רצוף מאז המאה ה-13 ועד שנות ה-90 של המאה ה-20. בשנות האלפיים, כריית המלח במכרות העיירה וייליצ'קה מתבצעת בהיקף קטן מבעבר.
חלק מהמלח המופק בתהליך משמש לאריזות מזכרות, הנמכרות לתיירים המבקרים במקום.
המכרה הוכרז כאתר מורשת עולמית ב-1978.
במכרות מעברים וכמעט 3,000 אולמות וחדרים באורך כולל של 300 ק"מ הערוכים בתשעה מפלסים, ועומקם המרבי 327 מטר מתחת לפני הקרקע.
את נתיב המבקרים באורך של 3.5 ק"מ, המשתרע בעומק של בין 64 מטר מתחת לפני הקרקע ועד 135 מטר מתחתיהם, פוקדים מדי שנה למעלה ממיליון מבקרים, דבר ההופך את המכרות לאתר התיירותי הפופולרי בפולין.
נתיב זה מעוצב כמוזיאון, ובו פסלים, תחריטים, מיצגים ויצירות אמנות העשויים כולם מלח.
גולת הכותרת של הנתיב התיירותי היא קפלת קינגה הקדושה (Święta Kinga), הקדושה המגנה של המכרות, שנחצבה בתחילת המאה ה-20. אורכה 54 מטר, רוחבה 15 מטר, וגובהה 10 מטר.
היא מעוטרת בסצנות מהתנ"ך העשויות מלח ומוארת בנברשות מלח.
במכרות מתקיימים נשפים, קונצרטים ואף אירועים פרטיים כגון חתונות.
המסמך הכתוב הראשון המזכיר את עתודות המלח בווייליצ'קה הוא כתב זכויות של הדוכס קז'ימייז' הראשון מ-1044 המכנה אותן בשם הלטיני "Magnum Sal" ("המלח הגדול").
מסמך אחר מ-1105 מעיד כי מלח מסוגים שונים הופק במקום כבר בתקופתו של המלך בולסלאב הראשון (מלך מ-992 עד 1025).
בתחילה הופק המלח ממעיינות מלוחים בדרך של חימום מימיהם ואיודם, ובשלב מאוחר יותר, ככל הנראה לאחר שהבארות המלוחות נחפרו לעומק והתגלו מחצבי המלח, החלה כרייתם.
למלח נודעה חשיבות ראשונה במעלה בימי הביניים, והוא היה שקול למטבע עובר לסוחר.
במאה ה-14 היו מכרות מלח אחראים ליותר מ-30% מהכנסות המדינה.
ההכנסות מכריית המלח ממכרות וייליצ'קה שימשו בין היתר למימון הקמתה של האוניברסיטה היגלונית בקרקוב, ובהמשך הבטיחו את המשך פעולתה.
בשנת 1368 קבע המלך קז'ימייז' השלישי ("הגדול") את עקרונות פעולתו של המכרה במסמך (Statut Kazimierzowski - "חוק קז'ימייז'") המפרט את זכויותיהם וחובותיהם של עובדיו, את ניהול היומנים וההתחשבנות עם אוצר המדינה לו היה המכרה שייך וכן את תמחור המלח.
במאה ה-15 החלו סוסים להפעיל את מנגנון שינוע המלח אל פני הקרקע, שעד אז הופעל על ידי פועלי המכרה, דבר שהגדיל את הספק הכרייה והעלה את הרווחים.
במחצית השנייה של המאה שימשו רווחים אלה גם לשיפוצה ולהרחבתה של טירת ואוול בקרקוב.
במאה ה-16 היה המכרה למיזם המסחרי הגדול באירופה, ונוסף על צוות העובדים שעסק בכרייה עצמה, הועסקו בו גם נגרים, יצרני חביות, חרשים, נהגי עגלות, סייסים, ואפילו רופא ועובדי מטבח.
עם חלוקתה הראשונה של פולין ב-1772, עבר האזור לשליטת האוסטרים, אשר שיפרו את שיטות הכרייה וההובלה.
קו רכבת נסלל מווייליצ'קה לקרקוב, הוקמה תחנת כוח בסמוך למכרה, נבנתה מעלית קיטור, והכרייה הידנית הוחלפה בשיטות פנאומטיות.
ב-1826 החלה תיירות מרפא להתפתח במרחצאות המלח בעיירה, אך זו נפסקה לאחר כשלושים שנה וחודשה שוב רק ב-1958. במלחמת העולם השנייה הועברו כמה אלפי יהודים ממחנות הכפייה בפלאשוב ובמיילץ למכרה לעבוד במפעל תחמושת תת-קרקעי שהקימו הגרמנים.
עם זאת, הייצור מעולם לא התחיל עקב התקרבות ההתקפה הסובייטית, היהודים הועברו למפעלים בצ'כיה ובאוסטריה וחלק מהמכונות והציוד פורק, ונשלח לליבנאו שבהרי הסודטים.
חלק מהציוד הוחזר למכרות לאחר המלחמה, בסתיו 1945..
בשנות הארבעים והחמישים של המאה ה-20 החלה כרייה מוגברת של מלח במכרות, דבר שגרם לפגיעה באיכויות התיירותיות שלו ולהרס חלק מהמוצגים לאורך הנתיב התיירותי.
רק לקראת סוף שנות החמישים נבלמה מגמה זו כאשר הרשויות החליטו להילחם בתופעה ונקטו צעדים ראשונים להגנה על אוצרות המכרות.
עם זאת, ב-1992 הוצף חלק מהמכרות כתוצאה מכריית יתר, דבר שהבהיר שעל מנת למנוע פגיעה נוספת באתר, על ההפקה המסחרית של מלח במקום להיפסק.
הכרייה היזומה במכרות אכן הופסקה ברובה, וההפקה נמשכת בעיקר ממי מלח הזורמים אל חלל המכרות ונשאבים מהם במסגרת פעולות התחזוקה הרגילות.
בתורת המספרים האנליטית, מכפלת אוילר היא מכפלה אינסופית של ביטויים מהצורה , העוברת על-פני המספרים הראשוניים .
בביטוי זה, המקדמים עשויים להיות מספרים שלמים או מרוכבים, ואילו הוא משתנה ממשי או מרוכב.
אם כל הסכומים מתכנסים והמכפלה מתכנסת, התוצאה היא פונקציה אנליטית של המשתנה , הניתנת לתיאור גם כטור דיריכלה.
מכפלות אוילר מהוות כלי לניתוח ההתנהגות של מספרים ראשוניים בשיטות אנליטיות, ויש להן שימושים בכל תחומי תורת המספרים האנליטית, והכללות לתורת המספרים האלגברית, תורת החבורות, תורת הגרפים ותורת החוגים.
הדוגמה הראשונה למכפלת אוילר, והמפורסמת ביותר, היא המכפלה של פונקציית זטא של רימן.
פונקציה זו מוגדרת, עבור שהחלק הממשי שלו , כסכום הטור .
כאשר מחשבים את המכפלה על פני כל הראשוניים p, יש לסכם את כל המכפלות של רכיב בודד מכל גורם.
, יש רק שני גורמים, ששניהם סופיים.
שווה לסכום כל הביטויים מהצורה
לעומת זאת, כאשר מכפילים את אינסוף הגורמים
, וכן הלאה, מתקבל הסכום של כל המכפלות מהצורה .
עם זאת, בחישוב המכפלה צריך הגורם המוכפל להיות שווה ל-1 כמעט בכל מקרה, כך שהסכום כולל רק את הביטויים שבהם כמעט כל .
לפי המשפט היסודי של האריתמטיקה, מתקבל באופן זה כל ביטוי מהצורה
(n טבעי) בדיוק פעם אחת, ולכן המכפלה שווה לפונקציית זטא של רימן.
הסכום הוא טור הנדסי, שאפשר לכתוב גם בצורה .
כך מתקבלת הצורה המוכרת יותר של מכפלת אוילר לפונקציית זטא של רימן:
מן ההסבר לעיל נובע שכל מכפלת אוילר אפשר להציג כטור דיריכלה בצורה
כאשר המקדמים מחושבים על-פי הנוסחה (ו- ).
בפרט, הפונקציה היא פונקציה כפלית (כלומר: לכל n ו- m זרים).
אם סדרת המקדמים היא כפלית במובן החזק (כלומר: לכל n ו- m), אז המקדמים בגורמי המכפלה מקיימים , ובמקרה כזה מתקבלת הצורה .
על-פי החוק במדינת ישראל, מכר מותנה (בלועזית, קונסיגנציה) נעשה בחוזה בין ספקי הסחורה לבין הסוחרים, בו מתקיימת תניית שימור בעלות.
תניית שימור הבעלות היא תניה חוזית המתבססת על הוראות סעיף 33 לחוק המכר וקובעת כי הבעלות בטובין תישאר בידי הספק עד תשלום מלוא התמורה וזאת על אף שהחזקה בממכר עוברת לקונה שאף יכול להשתמש בו ולסחור בו, תניית שימור הבעלות מהווה את התניה בחוזה המכר המותנה.
סעיף 33 לחוק המכר מציין כי "הבעלות בממכר עוברת לקונה במסירתו, אם לא הסכימו הצדדים על מועד אחר או על דרך אחרת להעברת הבעלות".
בהתאם לכך, הבעלות בממכר תעבור או על ידי מסירתו או בכל דרך או עת אחרת לפי הסכמת הצדדים בחוזה.
במצב של מכר מותנה נוצר עימות כאשר הסוחר מוכרז כפושט רגל בין יצרן/ספק המוצרים המעוניין להגדיר את המוצרים כשלו, אחרת לא יקבל את הגמול עליהם לבין נושים של הסוחר בהם שמעוניינים שהסחורה תהיה חלק ממצבת הנכסים של פושט הרגל.
השאלה היא האם מכר מותנה, מהווה משכון.
ס' 2(ב) לחוק המשכון: "הוראות חוק זה יחולו על כל עסקה שכוונתה שעבוד נכס כערובה לחיוב, יהא כינויה של העסקה אשר יהא" כלומר, על כל עסקה שמטרתה שעבוד נכס מסוים על מנת להבטיח את קיום העסקה, גם אם כינו אותה בשם אחר.
במקרה בו נוהגים ע"פ חוק המשכון, עלינו להבחין בין 2 סוגי משכונים:
משכון מופקד - ס' 4(2) לחוק המשכון - נכסים שהופקדו פיזית בידי הנושה או שומר מטעמו.
משכון רשום - ס' 4(3) לחוק המשכון - ברגע שנעשה משכון בחוזה בין הצדדים עליהם לרשום אותו אצל רשם המשכונות, רק לאחר הרישום הוא תקף כלפי אחרים.
נובע מכך, שכאשר המשכון לא נרשם, הוא לא תקף כלפי גורם שלישי - במקרה שלנו הנושים של הסוחרים, ובמקרה כזה הם אלו שיזכו במוצרים כאשר הסוחר פושט רגל.
האם תניית שימור הבעלות מהווה התחייבות חוזית שמהווה שעבוד נכס למוכר כערובה לחיוב?
האם היא מהווה משכון מסווה?
אם כן, נוצר עימות בין סעיף 33 לחוק המכר שקובע כי הבעלות בנכס עוברת ע"פ רצון הצדדים, לבין סעיף 2(ב) לחוק המשכון.
רקע: חברת קולומבו מסרה סחורה לחברת "מאמא יוקרו" תוך הגדרה בהסכם כי מדובר בעסקת קונסיגנציה על ידי תניית שימור בעלות.
כאשר נכנסה חברת "מאמא יוקרו" לקשיים כלכליים ומונה לחברה כונס נכסים.
חברת קולומבו דרשה חזרה את הסחורה אשר הועברה ל"מאמא יוקרו".
בית המשפט לא הקנה תוקף לתניית שימור בעלות אלא קבע כי מדובר במשכון מוסווה לפי ס' 2(ב) לחוק המשכון.
ביהמ"ש קבע כי תניית שימור בעלות נועדה להבטיח את תשלום דמי המכר לספק והיא אינה אלא התחייבות חוזית המובטחת באמצעות שעבוד נכס למוכר.
ביהמ"ש בחן את התכלית הכלכלית וקבע כי כל רצונו של קולמבו הוא להבטיח את קבלת דמי המכר אף אם מזמין הסחורה יהפוך לחדל פירעון, כלומר, מטרתו איננה לשמור את זכות הבעלות כשלעצמה אלא להשתמש במכשיר הבעלות כאמצעי ביטחון לקיום התחייבויות הקונה- החייב ('מאמא יוקרו').
דהיינו מדובר בעסקת משכון ועל כן חוק המשכון (סעיף 2(ב)), יחול עליה ומשלא רשמה חברת קולומבו משכון על שמה היא אינה זכאית למעמד מיוחד ותחשב כנושה רגיל, נכסי המריבה הם חלק ממצבת נכסיה של 'מאמא יוקרו'.
בעקבות מתן פס"ד עלו ביקורות רבות, בחלקן נטען שהלכת קולומבו מותירה את הספקים ללא יכולת להגן על עצמם מפני קריסת הסוחרים.
בנוסף, הפרשנות שניתנה לס' 2(ב) לחוק המשכון היא פרשנות רחבה שלא תואמת את תכלית החוק, מטרת הסעיף היא למצבים בהם הצדדים לעסקה מעוניינים בשעבוד חפץ שיהווה ערובה לחיוב.
על רקע הביקורת על פס"ד קולמבו נפסק פס"ד קידוחי הצפון: מסירת ציוד הנדסי על ידי המערערים למשיבה על מנת שזו תעמיד אותם למכירה פומבית, והשאלה אשר עמדה על הפרק הייתה למי שייך הציוד אשר לא נמכר באותה מכירה.
ההסכם קבע בין היתר כי המשיבה רשאית למכור את הציוד במכירה פומבית אך ורק באישור המוכר, ועל כן מדובר בהסכם מותלה במכירת הציוד, ומשלא נמכר הציוד הבעלות בו נשארת בידיו של המוכר.
בפסק הדין בוטלה הדרישה לרשום את זכותו של הספק אצל רשם המשכונות / רשם החברות כתנאי לעדיפותו של המוכר לעומת יתר נושי החברה.
מעתה, אם לא קיבל הספק את התמורה בעד הסחורה, יוכל ליטול סחורתו מידי החברה (בעייתי מאוד בהליכי הבראת חברות, אך פס"ד אינו מתייחס לכך).
נימוקי ביהמ"ש העליון להכרעתו זו: זכות השעבוד, חרף רישומה, ממילא איננה פומבית; דרישת הרישום היא גזרה שאין הציבור לא יכול לעמוד בה (מקשה על חיי המסחר התקינים), יש לכבד את חופש ההתקשרות החוזית של צדדים להסכם מכר; כיבוד התניה מאפשר את אשראי הספקים ואף מוזיל אותו;
רקע: נדונה שאלת מעמדה של תניית שימור הבעלות בעסקת מכר במצב בו הרוכש הוא חדל פרעון.
האם די בכך שתניה כזו מופיעה על גבי חשבוניות או תעודות משלוח אשר הונפקו על ידי המוכר ונחתמו על ידי נציג של הרוכש באופן שוטף, על מנת לשמר בידי המוכר זכות קניינית בסחורה?
או שמא נדרש המוכר להוכיח מבחינה עובדתית קיומם של סממנים נוספים המעידים על שימור הבעלות מצידו?
פסק הדין "מאשרר" את הלכת קידוחי הצפון, לפיה צדדים חופשיים לעצב את היחסים החוזיים ביניהם כרצונם, וכל עוד לא מדובר בעסקה מלאכותית שנועדה להבריח נכס, יהיה תוקף לתניה חוזית המשמרת את בעלותו של ספק על סחורה, גם ללא רישום שעבוד.
ביהמ"ש קבע כי דרך הבחינה של מערכת היחסים בין הצדדים היא דו שלבית:
תחילה תיבחן האם כוונת הצדדים אכן הייתה ליצור יחסי שימור בעלות (בחינה סובייקטיבית, על פי דיני החוזים "הרגילים"),
ולאחר מכן תיבחן ההצדקה הכלכלית וההיגיון הכלכלי של עסקה (בחינה אובייקטיבית) כדי לוודא כי אין מדובר, מהותית, במשכון מוסווה (לפי סעיף 2 (ב)לחוק המשכון).
ביהמ"ש מנתח את הרלוונטיות של תיקון 19 לחוק החברות בהקשר דנן.
מסקנתו היא ש"המחוקק העניק לנושה הטוען לשימור בעלות מעמד של נושה מובטח בהתקיים שלושה תנאים מצטברים":
ההסכם בין הצדדים כלל תניית שימור בעלות עד תשלום מלא התמורה;
מוכח שהבעלות בנכס נותרה בידי המוכר, בשל אותה תנייה;
העסקה אינה נופלת בגדר סעיף 2(ב) לחוק המשכון, דהיינו לא מדובר במשכון מוסווה
יישום המבחנים ניכר כי במקרה של תניית שימור בעלות המבטיחה פרעון אשראי, ישנה חשיבות מכרעת לניסוח התניה בצורה מפורשת וברורה.
העדרה של התייחסות פרטנית והסתפקות בציון התניה על גבי החשבונית עשויה להביא לבטלותה.
את הלכת קידוחי הצפון יש לפרש "באופן הגיוני ומידתי המותאם לחיי המעשה ולא באופן גורף ודווקני".
ביהמ"ש אימץ שני מבחני משנה שפורשו בפסיקה המחוזית לצורך הוכחת הכוונה ליצור יחסי שימור בעלות:
כאשר מדובר במערכת יחסים מסחרית ארוכת טווח, ראוי (אם כי לא חובה, כל עוד ניתן להוכיח זאת בדרכים אחרות) שהעניין יוסדר בחוזה כתוב, ואין די בכך שהצדדים יסתפקו בהסכמה בעל-פה או בציון התניה על גבי חשבונית או תעודת משלוח.
ראוי לדרוש מהמוכר להוכיח כי קיים מנגנון לפיקוח ושליטה המעידים על כך שהנכס אכן נשאר בבעלותו לאורך הזמן.
לחלופין, על המוכר להוכיח שבנסיבות המקרה, לא היה צורך במנגנון כאמור.
משמע, ישנה חשיבות לסוג הנכס הנמכר.
כשמדובר במוצר/ים בודד/ים ייתכן ודי בביקור אחת לתקופה אצל המוכר על מנת לוודא כי הנכס לא הועבר לצד שלישי, לעומת מלאים בהיקפים נכבדים שמחייבים כי תבוצע הפרדה במחסני הקונה וכי יינתן לכך דיווח נאות בספרי הקונה והמוכר וכן הלאה.
קיימת הבחנה בין עסקת קונסיגנציה אמיתית, בה הבעלות בסחורה של הספק תועבר רק לאחר שהסחורה תימכר על ידי הסוחר (לשמה נועדה תניית שימור הבעלות), לבין עסקה שמטרתה להבטיח את קבלת התמורה המלאה.
כאשר העסקה היא עסקת קונסיגנציה "מובהקת", תוכר בעלות הספק בסחורה מבלי להידרש ביישום שאר המבחנים שנקבעו בפסיקה.
עם זאת, אם בהסכם שבין הצדדים נכללה תניית שימור בעלות שתכליתה הבטחת התשלום, הספק יגבר על נושי הסוחר רק אם קיים את המבחנים בפרשת קידוחי הצפון וויטה פרי הגליל.
עסקאות מכר מרחוק הן עסקאות לרכישת מוצרים או הזמנה של שירותים מהבית או מהמשרד.
"עסקת מכר מרחוק" מוגדרת כ"התקשרות בעסקה של מכר נכס או של מתן שירות, כאשר ההתקשרות נעשית בעקבות שיווק מרחוק, ללא נוכחות משותפת של הצדדים לעסקה" [סעיף 14ג (ו) לחוק הגנת הצרכן, התשמ"א- 1982 (להלן: "חוק הגנת הצרכן")].
"שיווק מרחוק" מוגדר לצורך העניין כ"פניה של עוסק לצרכן באמצעות דואר, טלפון, רדיו, טלוויזיה, תקשורת אלקטרונית מכל סוג שהוא, פקסימיליה, פרסום קטלוגים או מודעות, או באמצעי כיוצא באלה, במטרה להתקשר בעסקה שלא בנוכחות משותפת של הצדדים, אלא באחד האמצעים האמורים" [סעיף 14ג(ו) לחוק הגנת הצרכן].
"נכס" מוגדר כ"טובין, מקרקעין, זכויות, ניירות ערך כמשמעותם בחוק ניירות ערך, התשכ"ח-1968, ואיגרות חוב ממשלתיות" [סעיף 1 לחוק הגנת הצרכן].
"עוסק" - מי שמוכר נכס או נותן שירות דרך עיסוק, כולל יצרן [סעיף 1 לחוק הגנת הצרכן].
עסקאות מכר מרחוק נפוצות מאוד בעולם המודרני.
האפשרות לבצע קניה מבלי לבזבז זמן וכסף על נסיעה וחניה, הופכות את הקניה באינטרנט, בטלפון או בכל מכשיר תקשורת דומה, לדרך נוחה, קלה ומשתלמת לביצוע קניה.
מצד שני, יש בעסקאות כאלה סיכון: הצרכן (הקונה) לא רואה את המוצר בעיניו, ואינו יכול לבחון את טיבו; הצרכן אינו מכיר את המוכר או את החנות, ועוד.
הכללים הללו מעוגנים בסעיפים 14ג ו- 14ה בחוק הגנת הצרכן.
חובות הגילוי בעסקת מכר מרחוק
בניגוד לנוהל העסקים הרגיל, "בשיווק ישיר נעשית העסקה ממרחק, ללא קשר ישיר עם העוסק, או עם בית העסק והמוצר, ויש צורך בגילוי ישיר ומפורש של פרטי העסקה והמצרך על ידי העוסק, כדי לאפשר לצרכן להחליט אם לרכוש את הטובין או את השירות".
חובות הגילוי המוטלות על העוסק נחלקות לחובות בשלב השיווק (באמצעי בו נעשית הפניה לצרכן.
לדוגמה: אתרי מכירות אינטרנטיים) ובשלב העסקה.
בשלב השיווק, העוסק חייב לגלות לצרכן את הפרטים הבאים לפחות [לפי סעיף 14ג(א) לחוק הגנת הצרכן]:
(1) השם, מספר הזהות והכתובת של העוסק בישראל ומחוצה לה;
(2) התכונות העיקריות של הנכס או של השירות;
(3) מחיר הנכס או השירות ותנאי התשלום האפשריים;
(4) מועד ודרך הספקת הנכס או השירות;
(5) התקופה שבה ההצעה תהיה בתוקף;
(6) פרטים בדבר אחריות לנכס;
(7) פרטים בדבר זכות הצרכן לבטל את החוזה בהתאם להוראות סעיף קטן (ג).
בשלב העסקה, על העוסק לספק לצרכן מסמך בכתב, בעברית או בשפה שבה נעשתה בפנייה לשיווק, לא יאוחר ממועד הספקת הנכס או השירות, מסמך הכולל פרטים אלה [סעיף 14ג(ב) לחוק הגנת הצרכן]:
(2) מחיר הנכס או השירות ותנאי התשלום החלים על העסקה;
(3) האופן שבו יכול הצרכן לממש את זכותו לבטל את העסקה בהתאם להוראות סעיף קטן (ג);
(4) שם היצרן וארץ ייצור הנכס;
(5) מידע בדבר האחריות לנכס או לשירות;
(6) תנאים נוספים החלים על העסקה.
זכות הביטול שעומדת לצרכן בעסקת מכר מרחוק
בעסקת מכר מרחוק, רשאי הצרכן לבטל את העסקה בכתב (לפי סעיף 14ג(ג) לחוק הגנת הצרכן)-
(1) בנכס - מיום עשיית העסקה ועד ארבעה עשר ימים מיום קבלת הנכס או מיום קבלת המסמך המכיל את הפרטים האמורים בסעיף קטן (ב), לפי המאוחר מביניהם;
(2) בשירות - בתוך ארבעה עשר ימים מיום עשיית העסקה, ובלבד שביטול כאמור ייעשה לפחות שני ימים, שאינם ימי מנוחה, קודם למועד שבו אמור השירות להינתן.
הצרכן רשאי לבטל את העסקה גם באמצעות פקסימיליה או תקשורת אלקטרונית [סעיף 14ג(ד) לחוק].
תוצאותיו של ביטול עסקת מכר מרחוק
הוראות החוק מתייחסות לשני סוגים של ביטול, אשר מצויים בסעיף 14ה לחוק.
הראשון- ביטול עקב פגם בנכס, או עקב אי התאמה בין הנכס או בין השירות, לבין הפרטים שנמסרו לצרכן בשלב השיווק ובשלב העסקה.
בביטול מסוג זה, העוסק חייב להחזיר לצרכן בתוך 14 ימים מהודעת הביטול, את אותו חלק ממחיר העסקה ששולם על ידי הצרכן, ולא לגבות את היתר.
הצרכן חייב לאפשר לעוסק לאסוף את הממכר במקום בו נמסר לו.
הסוג השני- ביטול שלא עקב פגם או אי התאמה כאמור; במקרה זה, תוצאות הביטול יהיו זהות למקרה הראשון, מלבד ההבדלים הבאים: העוסק רשאי לגבות דמי ביטול מהצרכן בשיעור של 5% מגובה העסקה או 100 ₪, הנמוך מביניהם.
גם במקרה שהעסקה כוללת מספר פריטים, כמו מספר כרטיסי טיסה, נקבע שהפיצוי המקסימלי הוא 100 ש"ח לכל העסקה.
הצרכן חייב למסור את הממכר לעוסק במקום עסקו, ולא במקום בו קיבל את הממכר.
בשני המקרים רשאי העוסק לתבוע את הצרכן בשל כך שערך הנכס פחת כתוצאה מהרעה משמעותית במצבו.
סעיף 14ג (ד) לחוק הגנת הצרכן קובע שהעסקאות הבאות אינן ניתנות לביטול:
(2) שירותי הארחה, נסיעה, חופש או בילוי, אם המועד שנקבע למתן השירות חל בתוך שבעה ימים, שאינם ימי מנוחה, ממועד עשיית העסקה;
(3) מידע כהגדרתו בחוק המחשבים, התשנ"ה- 1995;
(4) טובין שיוצרו במיוחד בעבור הצרכן בעקבות העסקה;
(5) טובין הניתנים להקלטה, לשעתוק או לשכפול, שהצרכן פתח את אריזתם המקורית.
הסעדים שעומדים לצרכן שנפגע בעסקת מכר מרחוק
התביעה הטיפוסית אליה נזקקים צרכנים בעסקאות מכר מרחוק, עניינה בסירוב מצד העוסק לבטל את העסקה, (בתנאי שהודעת הביטול ניתנה במועד ולא מתקיים אחד הסייגים שפורטו לעיל) ולהשיב לצרכן את כספו.
במקרים אלה, על הצרכן להגיש כתב תביעה בבית המשפט לתביעות קטנות (בהנחה שמדובר בעסקה ששוויה נמוך מ-30,000 ₪) במחוז בו נמצא אחד הסניפים של העוסק, או במחוז בו גר הצרכן.
התביעה תתבסס על הפרת החובה לבטל את העסקה ולהשיב לצרכן את כספו, לפי סעיף 14ה לחוק הגנת הצרכן.
בית המשפט הציג פעמים רבות את סלידתו מהתנהגות שמנוגדת להוראות החוק; כך למשל בתק (י-ם) 5042/07 פסק בית המשפט שעוסק שאינו מאפשר לצרכן לבטל את העסקה בצורה קלה- חייב בפיצויים לצרכן.
בפרשה זו נקבע שעל העוסק לפצות את הצרכנית בסכום כולל של 5,800 ₪ (בגין אי ביטול העסקה וכן בגין הוצאות משפט ועגמת נפש).
מחיר הממכר עמד על 615 ₪ בלבד.
בתק (י-ם) 2447/03 נקבע שאי-גילוי עובדות לגבי הממכר, כאשר על-פי הנסיבות היה מקום לצפות כי יגולו, מהווה הפרה של החובה לנהוג בתום-לב שמקימה עילת ביטול עסקה לצרכן, וחיוב העוסק בפיצויים.
בנוסף לכל אלה, בחוק הגנת הצרכן קיימות הוראות נוספות בהם יוכל הצרכן לעשות שימוש בסכסוכו עם העוסק.
סעיף 31(א) לחוק קובע שדין מעשה או מחדל שבניגוד לפרקים ב', ג', ד', או ד'1 (בכלל זה סעיפים 14ג ו- 14ה לחוק) כדין עוולה לפי פקודת הנזיקין (נוסח חדש).
מדובר בתרופה אזרחית שמטרתה לאפשר לצרכן שנפגע כתוצאה מהפרה כאמור לשפות את עצמו בקלות יחסית על הנזק שנגרם לו.
תביעה של פיצויים לדוגמה: סעיף 31א לחוק מגדיר מספר עילות שבהתקיימותן רשאי יהיה בית המשפט לחייב את העוסק לשלם לצרכן פיצויים ללא הוכחת נזק עד גובה של 10,000 ₪.
בדברי ההסבר נאמר שמטרת הסעיף היא לעודד אכיפה "פרטית" של צרכנים באמצעות הענקת זכות לצרכנים לתבוע פיצויים לדוגמה מעוסק שהפרו את אחת מהוראות החוק שמנויות בסעיף 31א.
פיצוי לדוגמה הוא פיצוי שעל המזיק לשלם לניזוק בסכום שאינו משקף הערכה של הנזק שגרם המזיק לניזוק על ידי העוולה, כמו הפיצוי התרופתי, אלא בא להעניש את המזיק על התנהגותו המזיקה ובכך להביא סלידה ממנה.
הפיצוי לדוגמה מרתיע ומחנך כנגד מעשים הראויים לגינוי, ועל כן מחזק את ההגנה על זכויות ראויות.
מבחינת הצרכן, הפיצוי לדוגמה בא לשפר את הכדאיות הכלכלית שלו לעמוד על זכויותיו.
ככל שמדובר ב"הפרה נמשכת" או "הפרה חוזרת", רשאי בית המשפט לפסוק פיצויים בגובה של עד 50,000 ₪.
בתק (י-ם) 1756/08 נקבע שאין דרישה להתנהגות חסרת תום לב מצד העוסק כדי להקים זכות לפיצויים לדוגמה לטובת צרכן, מקום שנסיבות המקרה נופלות בגדרן של אחת החלופות המנויות בסעיף 31א לחוק הגנת הצרכן.
במקביל להליך האזרחי, התנהגות שמנוגדת להוראות חוק הגנת הצרכן היא בעלת אופי פלילי.
סעיפים 23(ב)(6) ו-23(ב)(7) לחוק קובעים שבשיווק מרחוק או בעסקת מכר מרחוק, עוסק שלא גילה לצרכן פרטים או לא סיפק מסמך בכתב לפי סעיף 14ג, או שבעקבות ביטול על ידי צרכן, נהג בניגוד להוראות סעיף 14ה, דינו- קנס פי שבעה מן הקנס כאמור בסעיף 61(א)(2) לחוק העונשין.
הפיקוח על הוראה זו מוטלת, כמו יתר הוראות החוק, על הממונה על הגנת הצרכן מכוח סעיף 20 לחוק.
גם בפן הפלילי הפגין בית המשפט את יחסו להתנהגויות שמנוגדות להוראות החוק, לדוגמה: בתפ (תא) 5508/07 הורשעה הנאשמת (אשת טורס) בהטעיית צרכנים בפרטים מהותיים בעסקאות מכר מרחוק.
ביהמ"ש הטיל על הנאשמת עונש קנס של 80,000 ₪ ובנוסף התחייבות להימנע מביצוע עבירות דומות למשך שנתיים (הסנקציה- קנס של 50,000 ₪).
ראוי להוסיף שפרט להטלת עונשי קנס, אין בית המשפט נרתע מהטלת עונשי מאסר בפועל על אורגנים של עסקים שנמצאו אחראיים לביצוע עבירות בעסקאות מכר מרחוק.
כך, בתפ (ראשון לציון) 4343/06 גזר בית המשפט עונש של 5 מאסר בפועל על מנהלה של החברות בסט פור יו סחר אלקטרוני בע"מ וקוויקנט בע"מ, בגין אי הספקת מוצרים ללקוחות בעסקאות מכר מרחוק.
במתמטיקה, מכפלה ישרה היא אובייקט מתמטי המורכב מכמה אובייקטים מאותו סוג ללא "הפרעות" הדדיות ביניהם.
כאשר מכפילים מספר סופי של אובייקטים, המכפלה הישרה זהה לסכום הישר, אבל כאשר מדובר במספר אינסופי של אובייקטים המכפלה הישרה גדולה ומסובכת יותר; אפילו ההנחה שיש בה איברים תלויה באקסיומת הבחירה.
אפשר להגדיר מכפלה ישרה של מבנים אלגבריים כמו מרחבים וקטוריים או מודולים, של קבוצות סדורות, ועוד.
המכפלה הישרה של מרחבים טופולוגיים נקראת "מרחב מכפלה".
אם הם אובייקטים מאותו סוג לכל , כאשר היא קבוצת אינדקסים, אז המכפלה הישרה היא המכפלה הקרטזית , כלומר קבוצת הפונקציות כך ש- לכל .
לעומת זאת, בסכום הישר כוללים רק את הפונקציות שכמעט כל הערכים שלהן טריוויאליים, במובן המתאים לסוג האובייקט.
להמחשת ההבדל, המכפלה הישרה של עותקים של אינה חבורה אבלית חופשית (אבל תת-החבורה של הסדרות החסומות היא חופשית).
בתורת הקטגוריות, המכפלה הישרה של אובייקטים בקטגוריה, היא אובייקט , עם מורפיזמים ("היטלים") , המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט בקטגוריה עם מורפיזמים , קיים מורפיזם יחיד כך ש- .
הסכום הישר מוגדר באופן דואלי: הסכום הישר של האובייקטים , הוא אובייקט , עם מורפיזמים , המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט בקטגוריה עם מורפיזמים , קיים מורפיזם יחיד כך ש- .
אם הסכום הישר קיים בקטגוריה, אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.
במתמטיקה, מכפלה ריקה היא מכפלה ללא גורמים, והיא שווה ליחידה הכפלית, 1. המכפלה הריקה מוגדרת כמקרה פרטי של ההגדרה הכללית של מכפלה, והיא שומרת על העקביות של תכונות שימושיות הקשורות בכפל.
כפי שיוסבר להלן, ההגדרה הכי טבעית למכפלה ריקה היא איבר היחידה 1, האדיש לכפל.
זאת באופן דומה להגדרת הסכום הריק כאיבר היחידה החיבורי, 0. צורות מוכרות של המכפלה הריקה הן הטענות לכל a שונה מאפס, (אפס עצרת) ו- לכל n<m.
הגדרות אלו עקביות עם התכונות של הפעולות הללו.
לדוגמה לפי חוקי חזקות: .
משפטים רבים מניחים את קיום המכפלה הריקה.
לדוגמה קיומה של המכפלה הריקה מאפשר את תקפות המשפט היסודי של האריתמטיקה לכל מספר טבעי כולל 1.
מדוע המכפלה הריקה שווה ל-1
יש שתי דרכים להגדיר את המכפלה של קבוצה סופית של מספרים טבעיים.
דרך אחת היא להגדיר את המכפלה של שני מספרים (באינדוקציה), ואז להגדיר את המכפלה של כל קבוצה סופית באינדוקציה על גודל הקבוצה: .
כדי שנוסחה אינדוקטיבית זו תתאים למקרה n=1, יש לקבל כי המכפלה הריקה היא איבר היחידה הכפלי.
דרך נוספת להגדיר את המכפלה כעוצמה של המכפלה הקרטזית של קבוצות בגדלים (ההגדרה מתלכדת עם ההגדרה האינדוקטיבית).
אבל המכפלה הקרטזית של משפחה ריקה של קבוצות היא קבוצה בת איבר אחד , ולכן המכפלה הריקה שווה ל-1.
מההגדרה הפורמלית של המכפלה הקרטזית, כאוסף כל פונקציות הבחירה מקבוצת האינדקסים, נובעת הזהות:
כלומר מכפלה קרטזית ריקה של קבוצות היא יחידון, שאת איברו היחיד אפשר לפרש כפונקציה הריקה.
אם נפעיל על השוויון את כללי האריתמטיקה של עוצמות נקבל כי מכפלה ריקה של עוצמות, ובכללם מכפלה ריקה של מספרים טבעיים, שווה לעוצמת היחידון, שהיא 1.
באופן כללי מגדירים לרוב תוצאה ריקה של פעולה בינארית בתור האיבר הנייטרלי של הפעולה.
לדוגמה חיתוך ריק של תת-קבוצות של קבוצה X שווה לקבוצה X עצמה.
לביטוי אפס בחזקת אפס, המסומן , אין הגדרה חד-משמעית, משום שפעולת החזקה מוגדרת באופנים שונים בהקשרים שונים.
עבור מעריכים טבעיים n, פעולת החזקה מוגדרת כמכפלה חוזרת n פעמים של הבסיס x (שיכול להיות מספר כלשהו).
אפשר, כביכול, להמשיך את הנוסחה הזו לערך n=0, ולקבוע שגם .
מאידך, עבור מעריכים טבעיים החזקה מקיימת את החוק , שאם מאמצים אותו עבור m=0, מקבלים , ולכן לכל .
הפעם, אם נמשיך את הנוסחה לערך x=0, נקבל .
בשל הסתירה הזו, משאירים את הערך בלתי מוגדר.
עבור מספרים ממשיים x,y, עם x>0, אפשר להגדיר .
ערך זה אינו מוגדר עבור x=0 (למרות שאין מניעה לקבוע ש- לכל y>0), ואפילו הגבול שלו כאשר x שואף לאפס (ו-y קבוע) תלוי בסימן של y.
לכן גם מנקודת מבט זו משאירים את הערך בלתי מוגדר.
אכן, כפונקציה של שני משתנים, הגבול של כאשר x,y חיוביים ושואפים ל-0 אינו קיים.
בתורת הקבוצות מגדירים את החזקה של שני מונים כעוצמת קבוצת הפונקציות מקבוצה בעוצמה b לקבוצה בעוצמה a.
הגדרה זו מסכימה עם ההגדרה המקובלת כאשר a,b מספרים סופיים.
יש בדיוק פונקציה אחת מן הקבוצה הריקה לכל קבוצה אחרת (לרבות אל הקבוצה הריקה), הלוא היא הפונקציה הריקה; לכן הגדרה זו מספקת את הערך לכל a, לרבות .
מכפלה חצי ישרה של חבורות היא פעולה היוצרת משתי חבורות ו- חבורה חדשה .
ישנם שני מושגים הקשורים קשר הדוק שנקראים מכפלה חצי ישרה של חבורות:
בהינתן חבורה ושתי תתי-חבורות שלה ניתן להגדיר מתי היא מכפלה חצי ישרה שלהן.
בהינתן שתי חבורות ניתן להגדיר את המכפלה החצי ישרה שלהן.
מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורות
חבורה נקראת מכפלה חצי ישרה של תתי-חבורת שלה אם מתקיים:
נניח ש- פועלת על באמצעות אוטומורפיזם, כלומר: נתון הומומורפיזם המתאים לכל איבר ב- אוטומורפיזם על .
נגדיר פעולת כפל על הקבוצה באופן הבא:
זו חבורה מסדר (שכן יש יחידה וכל איבר הפיך ) שנסמנה .
אם היא מכפלה חצי ישרה של שתי תתי-חבורות שלה ו-, אז יש איזומורפיזם טבעי בין המכפלה החצי-ישרה (האבסטרקטית) שלהן (כחבורות) ל- כאשר הפעולה של על היא פעולת ההצמדה.
יש שיכון טבעי של ו- ל-:
שיכון זה מאפשר לחשוב על ו- כעל תת-חבורות של .
תחת שיכון זה היא המכפלה החצי ישרה של תתי-החבורות ו-, שכן ו- תת-חבורה נורמלית של .
חברת מכרות הברזל של קנדה היא חברה קנדית שיעודה הפעלת מכרות הברזל ויצוא הברזל מקנדה לרחבי העולם.
החברה נוסדה כחברה שיתופית בין ארצות הברית וקנדה ב-1949.
על פי נתוני אתר האינטרנט של החברה, מועסקים בה 2877 עובדים, וסך כל העפרות שהיא כורה עומד על 9.67 מיליון טון.
הנהלת החברה יושבת במונטריאול והחברה מפעילה מכרות באזור לברדור סיטי.
החברה מפעילה את מסילת הברזל QNS&L שמקשרת את לברדור סיטי עם הנמל הימי שבעיר סט-אייל, קוויבק.
מכרות המלח בבוכניה (פולנית Kopalnia soli w Bochni) בעיר בוכניה שבדרום פולין, נמנים עם מכרות המלח העתיקים בפולין בפרט ובעולם בכלל.
המכרות נוסדו במאה ה-13, כ-2000 שנים לאחר גילוי מלח באתר, והפכו לחלק מחברת המלח המלכותית.
המכרות נסגרו ב-1964 והוכרזו כאתר לאומי היסטורי בפולין בשנת 1981. בשנת 2013 נוספו המכרות לרשימת אתרי המורשת העולמית של אונסק"ו, כהרחבה להכרזת מכרות המלח בווייליצ'קה השוכנים כ-20 ק"מ ממערב להם.
שקיעתו של סלע המלח באזור התרחשה במיוקן, ולאחר מכן הוא הוסע והתקמט במהלך היווצרות רכס הרי הקרפטים.
המלח נמצא בשכבות בעומק של 500 עד 50 מטרים מתחת לפני הקרקע, והשכבות העשירות ביותר נמצאות בעומק של 200–300 מטרים.
ממצאים מהתקופה הנאוליטית ומתקופת הברונזה מראים כי בני האדם הראשונים שניצלו את המחצבים, עשו זאת בדרך של איוד מי תמלחת שפרצו אל פני השטח במעיינות ויליצ'קה.
המידע אודות כריית מלח באלף הראשון לספירה מועט, אך נראה כי האוכלוסייה המקומית המשיכה בשיטת איוד התמלחת.
נקודת המפנה בניצול המכרות התרחשה בסוף המאה ה-11, ככל הנראה כאשר שפיעת מעיינות התמלחת פחתה, ושיטת האיוד השתנתה, בין היתר על ידי חפירת פירים.
במאה ה-13 החלה לראשונה כרייה יזומה באדמה במטרה להגיע אל המחצב ולהפיקו.
המכרות נוהלו על ידי חברת המלח המלכותית "ז'ופי קרקובסקי" (Żupy krakowskie - "מפעלי המלח של קרקוב") שישבה בטירת ויליצ'קה, ולמנהל המכרות הוענקה דרגה גבוהה בהיררכיית הכוח המלכותי.
בתחילה נעשתה הכרייה בעבודת כפיים בלבד, אך במאה ה-15 החל שימוש בסוסים לביצוע חלק מהמשימות, והונהגו שיטות מכניות להעלאת הסלעים אל פני השטח, ולחיתוכם בצורת גלילים.
תקופת הזהב של מכרות המלח באזור קרקוב נמשכה עד אמצע המאה ה-17, ובתקופה זו הם היוו את המפעל הגדול בפולין ואחד הגדולים באירופה כולה: כ-2,000 כורים כרו מלח בהיקף שנתי של כ-30,000 טון.
עם חלוקת פולין הראשונה ב-1772, השתלטה אוסטריה על האזור, אך חשיבותם של המכרות לא נפגעה, וקיסרי אוסטריה ואוסטרו-הונגריה בקרו בהם.
בתחילת המאה ה-20 החלו המכרות לשקוע: מלח ים הפך לזול יותר בשל כך שניתן היה להשיגו בקלות ולשנעו באוניות וברכבות, ועלות כריית המלח במכרות עלתה שכן היה צורך להעמיק אל מעבה האדמה כדי להגיע אל המחצב.
לבסוף, ב-1964, נסגרו מכרות בוכניה, והפכו לאתר תיירות.
הם הוכרזו כאתר לאומי היסטורי בפולין בשנת 1981, ובשנת 2013 הוכללו ברשימת אתרי המורשת העולמית.
מכרות בוכניה מורכבים ממערכת של פירים, חדרים ואולמות, הערוכים בשישה-עשר מפלסים, אך רק שמונת המפלסים העליונים, בעומקים של 70 עד 261 מטרים מתחת לפני קרקע, הוכשרו לביקור מבקרים ונכללים בהכרזה.
המפלסים העמוקים יותר נחפרו בין אמצע המאה ה-19 לבין סגירת המכרות ב-1964, וחלקם נסתמו ונאטמו כדי להגביר את יציבות המפלסים המוקדמים יותר שמעליהם.
המכרות משתרעים ברצועה באורך של כ-3.6 קילומטרים ממזרח למערב, ומגיעים לרוחב מרבי של 700 מטרים.
אל המכרות מובילים שלושה פירים: פיר סוטוריס (Sutoris) מהמאה ה-13 בצידם המזרחי של המכרות, פיר קאמפי (Campi) מהמאה ה-16 במרכזם, ובצד המערבי פיר טריניטאטיס (Trinitatis) מהמאה ה-20. עוד שוכנים באתר 12 פירים לשאיבת מים ולאוורור.
מסלול הליכה תיירותי באורך של כ-2 ק"מ הוכשר במכרות כבר במאה ה-19, והוא עובר דרך מפלסים 3 עד 6.
הארגון המרחבי של כל המפלסים דומה ואופייני לשהיה מקובל במכרות במאות ה-18 וה-19. כל מפלס בנוי מאולם מרכזי לאורך הציר בו אצור המלח, וממנו יוצאים לצדדים חדרים במרווחים של כ-40 מטרים זה מזה.
שיטת ארגון זה הביאה לחפירת חדרים רבים, וכדי להעניק להם יציבות, הוענקה להם צורה של קשתות אוגיבוית.
חלק מהחדרים והאולמות הפכו לקפלות תת-קרקעיות, ואחרים היו לאורוות, מחסנים, בתי מלאכה, מחסני אבק שרפה או מעברים בין המפלסים.
ברחבי המכרות שוכנים ממצאים המעידים על שיטות הכרייה: סימונים על קירות המלח, כלי עבודה, קרונות, פסי קרוניות ועוד.
בנוסף, חלק מהמכונות המודרניות שאווררו את המכרות ופינו מהם מים עדיין תקינות ופועלות.
בתורת החבורות, המכפלה החופשית (Free product) של שתי חבורות היא החבורה הכללית ביותר בה משוכנות שתי החבורות, ונוצרת על ידי תמונות איבריהן.
המכפלה החופשית היא בעלת תכונה אוניברסלית, כפי שיתואר בהמשך.
מושג המכפלה החופשית הופיע לראשונה אצל פליקס קליין ב-1883.
יש לה הצגה טבעית בעזרת יוצרים ויחסים, אשר עוזרות בפועל לחשב את המכפלה החופשית.
נרצה להציג חבורה (יחידה) , עם הומומורפיזמים כך שלכל חבורה ולכל שני הומומורפיזמים קיים ויחיד הומומורפיזם כך ש-.
כלומר, רוצים שהדיאגרמה הבאה תתחלף:
במילים אחרות, רוצים למצוא אובייקט אוניברסלי, הכולל חבורה ושתי העתקות עבור הבעיה האוניברסלית הנ"ל.
מציאת אובייקט כזה פירושה שההעתקות מ- לחבורה נוספת נקבעות על ידי האובייקט האוניברסלי.
מתכונות של אובייקטים אוניברסליים, נובע שאם נמצא אחד כזה, הוא יהיה יחיד עד כדי איזומורפיזם (כלומר, החבורה תהיה יחידה עד כדי איזומורפיזם והמפות יהיו מתואמות עם האיזומורפיזם של החבורות).
נביט בקבוצת הסדרות מאיברי ועליה נגדיר יחס שקילות - ניקח את יחס השקילות המינימלי המקיים את ארבעת התנאים:
- ביטול איבר היחידה מ-.
את קבוצת מחלקות השקילות המתקבלת נסמן על ידי , ועליה נגדיר את פעולת שרשור המילים.
איבר היחידה הוא המילה הריקה.
בדיקות ישירות מראות כי מבנה זה על מוגדר היטב ומהווה חבורה, הנקראת המכפלה החופשית של ו-.
ההעתקות מוגדרות על ידי (כלומר הן שולחות כל איבר למחלקה של המילה שהוא יוצר); העתקות אלו מהוות שיכונים של לתוך .
יותר מכך, כל החבורה נוצרת על ידי התמונות .
כעת, כדי לפתור את הבעיה האוניברסלית, בהינתן חבורה והומומורפיזמים כנ"ל, נגדיר על איברי (היוצרים את החבורה), באופן הבא: .
בדיקות ישירות מראות כי כל התנאים שנדרשו מתקיימים.
בפרט רואים כי הגדרת נכפית כך שהדיאגרמה תתחלף, ולכן ההעתקה יחידה.
ייצוג על ידי יוצרים ויחסים
ניתן לתת ייצוג מפורש של המכפלה החופשית על ידי יוצרים ויחסים.
פורמלית, אם , אז מתקיים:
כעת גם רואים מדוע החבורה נקראת מכפלה חופשית - זו החבורה הכללית ביותר המכילה את ומקיימת את היחסים שלהן (בנפרד) ורק אותם.
לפי משפט גרושקו , מספר היוצרים המינימלי של המכפלה החופשית הוא סכום מספרי היוצרים המינימליים של שני הגורמים.
כאמור לעיל, זוהי החבורה הכללית ביותר המכילה את שתי חבורות הבסיס ונוצרת על ידי איבריהן.
מכפלה חופשית של שתי חבורות לא טריוויאליות היא בעלת מרכז טריוויאלי.
חבורה חופשית ביוצר אחד היא , וחבורה חופשית בכמות סופית של יוצרים ניתן לכתוב על ידי .
האבליניזציה כל מכפלה חופשית היא המכפלה הישרה של האבליניזציות, כלומר .
לפי משפט תת-החבורות של קורוש (1933), כל תת-חבורה של מכפלה חופשית G אפשר לפרק בעצמה למכפלה חופשית, שבה כל מרכיב הוא או ציקלי אינסופי, או צמוד (ב-G) לתת-חבורה של אחד המרכיבים.
לפי משפט האיזומורפיזם למכפלות חופשיות, שגם אותו הוכיח קורוש ב-1933, אם אפשר להציג חבורה G כמכפלה חופשית בשתי דרכים, אז המרכיבים בשתי ההצגות איזומורפיים עד כדי סדר.
לפי משפט העידון (Baer ולוי, 1936), אם אפשר להציג מכפלה חופשית בשתי דרכים, אז יש הצגה נוספת כך שכל גורם משתי ההצגות הראשונות הוא מכפלה חופשית של גורמים ממנה.
בתורת החבורות, מכפלת היתוך (Free product with amalgamation) היא מושג קרוב למכפלה חופשית של חבורות, בה משתתפות שלוש חבורות ושתי העתקות .
היא מהווה פתרון לבעיה אוניברסלית כפי שיתואר בהמשך.
למכפלת היתוך תפקיד מרכזי בטופולוגיה אלגברית במשפט ואן קמפן.
יהיו חבורות ויהיו הומומורפיזמים נתונים.