tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
הפונקציה תקרא קעורה בקטע אם עבור כל וכל מתקיים אי השוויון .
בפשטות, הגדרה זו מציינת כי לכל פונקציה , כל נקודה על הקטע שבה תהיה מעל או על הישר המחבר את הנקודות ו- .
אם הפונקציה היא עקומה, אז הנקודה תהיה מעל הישר במקרה ש- ותהיה על הישר במקרה ש- .
אם הפונקציה היא קו ישר, אז הנקודה תמיד תהיה על הישר.
הגדרה שקולה: היא קעורה אם היא קמורה.
אם גזירה בקטע פתוח, אזי קעורה בו אם ורק אם הנגזרת היא פונקציה מונוטונית יורדת.
אם הפונקציה גזירה פעמיים בקטע, ניתן לזהות קעירות באמצעות הנגזרת השנייה שלה: אם הנגזרת השנייה שלילית בכל הקטע, הפונקציה קעורה בו.
תנאי מספיק נוסף לקעירות פונקציה מבוטא בעזרת ההיפוגרף שלה: פונקציה היא קעורה אם ההיפוגרף שלה הוא קבוצה קמורה.
פונקציה ליניארית נחשבת קעורה וקמורה בעת ובעונה אחת, בגלל אי־השוויון החלש ( ו־).
פיתוח של הגדרת הקמירות או הקעירות, כאשר הפונקציה המדוברת היא ליניארית, מוביל לשוויון ממש בין שני האגפים.
במתמטיקה, פונקציה ממשית היא פונקציה קמורה בקטע מסוים, אם לכל שתי נקודות על גרף הפונקציה (שערך ה- שלהן נמצא בקטע), הקו המחבר ביניהן נמצא מעל לגרף הפונקציה (או עליו).
הפונקציה נקראת קמורה כי היא תוחמת מלמטה קבוצה קמורה.
לפונקציות קמורות יש חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית, בעיקר במספר אי-שוויונות יסודיים בתחום זה כמו אי-שוויון ינסן.
יש להבחין בין פונקציה קמורה לפונקציה קעורה.
במערכת החינוך התיכוני בישראל נקראת הפונקציה גם "פונקציה קעורה כלפי מעלה".
בהינתן קטע ממשי ופונקציה , הפונקציה תקרא פונקציה קמורה אם ורק אם לכל ולכל מתקיים אי השוויון:
באופן שקול, ניתן לנסח את תכונה זו כך שלכל בקטע, מתקיים:
אם פונקציה קמורה המוגדרת בקטע אזי לכל בקטע ולכל סקלרים המקיימים מתקיים:
ניתן להוכיח זאת באינדוקציה על .
לאי-שוויון זה קיימת גרסה רציפה והיא אי-שוויון ינסן:
אם פונקציה קמורה המוגדרת בקטע ו- פונקציה אינטגרבילית אזי:
קמירות במובן החלש ובמובן החזק
פונקציה המקיימת את התנאי שתואר להלן, לכל בקטע ולכל , היא קמורה במובן החלש.
פונקציה קמורה במובן החזק היא כזו שמקיימת את התנאי החזק יותר, לכל בקטע ולכל .
בדרך כלל אין מבחינים בין שתי הגרסאות, וקוראים "קמורה" גם לפונקציה קמורה במובן החלש.
לדוגמה, פונקציה ליניארית היא קמורה במובן החלש, וגם קעורה במובן החלש; רק פונקציה ליניארית יכולה להיות קמורה וקעורה בעת ובעונה אחת (ואף זאת, במובן החלש בלבד).
הוספה של פונקציה ליניארית לפונקציה אינה משנה את הקמירות של .
שלא כמו רציפות או גזירות, לקמירות אין משמעות בנקודה אחת, אלא רק בקטע.
אומרים שהפונקציה קמורה מקומית ב- (או קמורה בנקודה ), אם קיימת סביבה של שבה הפונקציה קמורה.
משפט: אם הפונקציה קמורה בקטעים פתוחים ו- שאינם זרים, אז היא קמורה גם באיחוד שלהם .
צריך להוכיח שהקו המחבר את ל- נמצא מעל לגרף הפונקציה.
אם שתי הנקודות שייכות לאותו קטע I או J, התוצאה נובעת מן ההנחה על קמירות בכל קטע בנפרד.
אחרת, נבחר נקודה כלשהי .
אם הנקודה נמצאת מעל לקו, אפשר לבחור נקודות סמוכות מימין ומשמאל ל- שנמצאות בחיתוך , ולהגיע לסתירה.
לכן הנקודה מתחת לקו, ובעזרתה אפשר להוכיח שכל נקודות הגרף נמצאות מתחת לקו.
מסקנה: אם קמורה מקומית בכל נקודה בקטע סגור או פתוח , אז היא קמורה בכל הקטע.
טענה זו אינה מובנת מאליה, משום שקמירות בקטע אינה מוגדרת כקמירות (מקומית) בכל נקודה שלו.
מקמירות מקומית נובע שכל נקודה מוכלת בסביבה שבה הפונקציה קמורה ולכן הגרף שלה נמצא מעל הקווים שמחברים נקודות "קרובות זו לזו" בגרף - אבל לא ברור מדוע תכונה זו מתקיימת לכל שתי נקודות בקטע.
הוכחת המסקנה: ראשית נניח שהקטע סגור.
אפשר לכסות אותו בקטעים פתוחים שהפונקציה קמורה בכל אחד מהם, ומכיוון שקטע סגור הוא קומפקטי, לכיסוי זה קיים תת-כיסוי סופי.
כעת אפשר לסיים באינדוקציה לפי המשפט הקודם.
אם הקטע פתוח, אז לכל שתי נקודות בו קיים קטע סגור המוכל ב- , ועליו חלה ההוכחה של המקרה הסגור.
פונקציה ממשית הקמורה בקטע רציפה בכל נקודה בפנים .
תהיינה x<y<z נקודות השייכות לקטע.
נסמן ב-A,B,C את הנקודות המתאימות להן על גרף הפונקציה.
אז הגרף בקטע [x,z] כלוא בין הישרים AB ו-BC; מכאן שהפונקציה רציפה ב-y.
אם סדרת פונקציות ממשיות וקמורות מתכנסת נקודתית לפונקציה , אזי גם פונקציה קמורה בקטע (ובפרט רציפה בפנים הקטע).
פונקציה ממשית היא קמורה אם ורק אם היא רציפה והאפיגרף שלה היא קבוצה קמורה.
הקשר בין קמירות ונגזרת ראשונה
נניח ש- קמורה (אפילו במובן החלש) בקטע .
בכל נקודה בפנים של יש ל- נגזרת מימין ונגזרת משמאל;
הנגזרות מימין ומשמאל מקיימות (הנגזרת קיימת בנקודה אם הנגזרות האלה שוות);
לכל a<b בקטע מתקיים ;
בפרט, הנגזרת מימין והנגזרת משמאל הן פונקציות עולות.
מכאן נובע שהפונקציה גזירה בקטע, פרט לקבוצה ממידה אפס; ושהנגזרת רציפה פרט לקבוצה ממידה אפס.
אם גזירה בקטע פתוח, אזי קמורה בו אם ורק אם הנגזרת היא פונקציה עולה.
אם גזירה בסביבת הנקודה , אז קמורה ממש בסביבת אם ורק אם לכל בסביבה.
ובהתאמה אם דיפרנציאבילית בסביבת הנקודה , אז קמורה ממש בסביבת אם ורק אם לכל בסביבה.
זהו פיתוח טיילור מסדר ראשון.
הקשר בין קמירות ונגזרת שנייה
הקשר בין תכונת הקמירות לנגזרת השנייה נובע מן האבחנה הבאה, שאפשר להיווכח בנכונותה על ידי הפעלה של כלל לופיטל פעמיים: אם הפונקציה גזירה פעמיים בנקודה , אז
אם , כפי שנניח מעתה, אז המקדם באגף ימין הוא חיובי.
משפט: אם גזירה פעמיים ב- וקמורה (במובן החלש) בסביבה של , אז
(מן הקמירות נובע שהמונה באגף שמאל של הזהות הוא חיובי, ולכן הגבול אינו שלילי).
מסקנה: אם גזירה פעמיים בקטע, וקמורה שם (במובן החלש), אז בכל הקטע.
משפט: אם גזירה פעמיים בקטע והנגזרת השנייה מקיימת בכל הקטע, אז הפונקציה קמורה בקטע (במובן החלש).
בנוסף לזה, אם בכל הקטע (או אפילו: הנגזרת השנייה אי-שלילית, ומתאפסת במספר סופי של נקודות), אז הפונקציה קמורה בקטע במובן החזק.
הוכחה: נסמן ב- את קצות הקטע.
מספיק להראות שהגרף של נמצא מתחת לקו המחבר את הנקודות המתאימות ל- ו- על הגרף, משום שאז אפשר להפעיל את אותו נימוק על כל זוג נקודות בתוך הקטע.
נתבונן בפונקציה , שהיא קמורה באותם מקומות בהם קמורה (משום שההפרש ביניהן הוא פונקציה ליניארית).
נניח בשלילה שיש נקודה שעבורה ; אז לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' קיימת נקודה בקטע שבה הנגזרת אי-שלילית, וקיימת נקודה בקטע שבה הנגזרת אי-חיובית.
אבל לפי הנחת המשפט, הנגזרת היא פונקציה עולה (במובן החזק).
ההוכחה למקרה של אי-שוויון חלש דומה.
מסקנה: אם רציפה בנקודה וחיובית שם, אז קמורה בסביבה של הנקודה (במובן החזק).
הוכחה: מן הרציפות נובע שהנגזרת השנייה חיובית בסביבה של .
לסיכום, בתחום שבו הפונקציה גזירה פעמיים מתקיים:
הפונקציה קמורה במובן החלש הפונקציה קמורה במובן החזק .
הגדרה: פונקציה המוגדרת בקטע נקראת קמורה בחצייה (midconvex או Jensen-convex) אם לכל מתקיים אי השוויון .
כל פונקציה קמורה היא פונקציה קמורה בחציה.
לא כל פונקציה קמורה בחצייה היא פונקציה קמורה.
ניתן לבנות דוגמה לפונקציה קמורה בחציה שאינה קמורה באופן הבא:
נשלים את הקבוצה לבסיס המל של כמרחב וקטורי מעל .
נגדיר פונקציה ממשית באופן הבא: לכל ונרחיב באופן ליניארי על כל .
הפונקציה שהתקבלה היא העתקה ליניארית ב- כמרחב וקטורי מעל , ולכן מתקיים לכל , מכאן שהפונקציה קמורה בחציה.
בנוסף, כטרנספורמציה ליניארית מתקיים , וכן לכל .
אולם הפונקציה אינה רציפה, משום שעל הרציונליים היא ליניארית, אך מקבלת את הערך 1 אינסוף פעמים.
מכאן שהפונקציה אינה קמורה כי פונקציה קמורה היא בהכרח רציפה .
פונקציה קמורה בחצייה ורציפה היא פונקציה קמורה.
(מכאן שפונקציה המוגדרת בקטע פתוח היא קמורה אם ורק אם היא קמורה בחציה ורציפה).
פונקציה קמורה בחצייה וחסומה היא פונקציה קמורה.
שתי הטענות לעיל הן מקרים פרטיים של המשפט שהוכח באופן בלתי תלוי על ידי בלומברג וואצלב שרפינסקי:
פונקציה קמורה בחצייה ומדידה היא פונקציה קמורה.
היא פונקציה קעורה אם הקו המחבר כל שתי נקודות על הגרף עובר תמיד מתחת לגרף, כלומר הפונקציה הנגדית קמורה.
מכאן שהנגזרת השנייה מאפשרת להכריע בין קמירות לקעירות: בקטעים שבהם הנגזרת השנייה חיובית הפונקציה קמורה (במובן החזק), ובקטעים שבהם היא שלילית הפונקציה קעורה.
הנקודות שבהן הפונקציה עוברת מקמירות לקעירות או להפך (ולכן הנגזרת השנייה מתאפסת, אם היא מוגדרת בסביבת הנקודה) נקראות נקודות פיתול.
פונקציה חיובית המוגדרת בקטע נקראת פונקציה לוג-קמורה אם היא פונקציה קמורה בקטע ( הוא קטע כלשהו, סופי או אינסופי).
אם גזירה פעמיים, תנאי זה שקול לכך ש-.
לדוגמה, הפונקציות ופונקציית גמא הן לוג-קמורות.
קל לראות שפונקציה לוג-קמורה היא קמורה, אך ההפך אינו נכון.
ניתן להכליל את מונח הפונקציה הקמורה למרחב וקטורי כללי:
בהינתן מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים או המרוכבים, קבוצה קמורה ופונקציה , פונקציה תקרא פונקציה קמורה אם ורק אם לכל ולכל מתקיים אי השוויון .
במקרה שבו (מרחב המספרים הממשיים), כל קבוצה קמורה ב- היא בהכרח קטע, לכן הגדרה זו מכילה את ההגדרה בראשית הערך.
הגדרה זו של מושג הקמירות מאפשרת לקיים את תכונות הקמירות לפונקציות של כמה משתנים (), לפונקציות מרוכבות ולסוגים נוספים.
כל פונקציה קבועה היא פונקציה קמורה על כל הישר הממשי.
כל פונקציה ליניארית מהצורה היא פונקציה קמורה על כל הישר הממשי.
הדבר נכון בפרט לפונקציית הזהות .
כל פונקציה מהצורה עבור מספר טבעי כלשהו היא פונקציה קמורה על כל הישר הממשי.
כל פונקציה מהצורה עבור מספר טבעי כלשהו היא פונקציה קמורה על חצי הישר הממשי החיובי (ולא על כל הישר הממשי כמו ).
כל פונקציה תת-ליניארית היא פונקציה קמורה במשמעות של מרחבים וקטורים.
הדבר נכון בפרט לפונקציית נורמה ונורמה-למחצה.
פונקציה מרוכבת היא פונקציה המקבלת מספר מרוכב ומחזירה מספר מרוכב.
לדוגמה, הפולינום מגדיר פונקציה מרוכבת, אבל אפשר לראות בו גם פונקציה ממשית.
במובן הרחב יותר, המונח "פונקציה מרוכבת" עשוי להתייחס לכל פונקציה המחזירה ערכים מרוכבים, ללא חשיבות לתחום ההגדרה.
בשפה מתמטית, פונקציה מרוכבת היא פונקציה משדה המספרים המרוכבים , או תחום חלקי לו, אל קבוצת המספרים המרוכבים.
בכתיב פונקציות ניתן לכתוב: , כאשר .
מכיוון שלכל מספר מרוכב יש חלק ממשי וחלק מדומה, אפשר לתאר פונקציה גם בצורה
כאשר , כאשר ממשיים, ו- פונקציות ממשיות של שני משתנים.
יש מספר פונקציות מרוכבות בסיסיות:
אם נסתכל על כעל נקבל את הפונקציות הבסיסיות שהן בעצם ההטלות על הצירים.
על ידי שימוש בתכונות השדה של נוכל להגדיר פולינומים עם מקדמים מרוכבים ופונקציות רציונליות (מנות של פולינומים).
פונקציה חשובה אחרת היא פונקציית האקספוננט שמוגדרת על ידי הנוסחה:
קל לראות שעבור כל מתקיימות הנוסחאות:
ולכן הגדירו את הפונקציות הטריגונומטריות על המרוכבים לכל :
עבור פונקציית הלוגריתם יש בעיה של רב-ערכיות, מכיוון שהפונקציה איננה חד-חד ערכית (כלומר לא ניתן להגדיר ישירות את הלוגריתם כפונקציה ההפוכה של האקספוננט) ולכן מגדירים ענפי חיתוך כדי להפוך את הפונקציה לחד-ערכית בחזרה.
ענפי החיתוך הם למעשה צמצומים של לרצועות בהם החלק המדומה של המספרים חסום בתחום שקטן מ .
על תחום כזה חד-חד-ערכית ועל ולכן הפיכה.
ניתן להגדיר בעזרת האקספוננט והלוגריתם גם חזקה מרוכבת: כאשר מספרים מרוכבים כלליים.
הגדרת החזקה תלויה בבחירת ענף שבו מחשבים את הלוגריתם.
לדוגמה בענף הסטנדרטי (שבו ) מתקבל:
ולעומת זאת בענף שבו ההעלאה בחזקה תתן את התוצאה:
כלומר יכולות להתקבל אינסוף (בעצם אלף אפס) תוצאות שונות.
כאשר המעריך הוא שלם מתקבלת תוצאה יחידה.
באופן יותר כללי- אם המעריך הוא מהצורה (כלומר הוא מספר רציונלי) והשבר מצומצם- מתקבלות תוצאות שונות מההעלאה בחזקה לפי בחירת הענף שעליו מבצעים את הלוגריתם.
באותה צורה כמו שהפכנו את פונקציית האקספוננט לפונקציה מרוכבת (על ידי הצבת משתנה מרוכב בטור טיילור שלו) ניתן להרחיב כל פונקציה ממשית בעלת טור טיילור לפונקציה מרוכבת.
באנליזה מרוכבת חוקרים פונקציות מרוכבות בעלות תכונות נוספות, כגון פונקציות הולומורפיות, מרומורפיות, הרמוניות.
כמו בפונקציות ממשיות, גם עבור הפונקציות המרוכבות אפשר להגדיר מושגים של גבול, רציפות וגזירות באופן אנלוגי לחלוטין.
פונקציה שגזירה בכל תחום הגדרתה נקראת פונקציה אנליטית או פונקציה הולומורפית.
פונקציה שאנליטית בכל המישור נקראת פונקציה שלמה.
פונקציה היא מרומורפית אם היא הולומורפית בכל המישור פרט לקבוצת קטבים מבודדים (או בשקילות, היא הולומורפית לתוך הספירה של רימן).
התנאי לגזירות של פונקציה מרוכבת מנוסח במשוואות קושי-רימן - הפונקציה (כאשר פונקציות ממשיות גזירות ברציפות) גזירה אם ורק אם .
משפט טיילור בגרסתו המרוכבת קובע כי אם פונקציה גזירה בתחום פתוח פעם אחת אזי יש טור טיילור יחיד שמתכנס אליה בסביבה מסוימת בתוך התחום, ובפרט היא גזירה שם אינסוף פעמים.
היות שהחלקים הממשי והמדומה של פונקציה אנליטית הם פונקציות הרמוניות (לפי משוואות קושי-רימן), ניתן להסיק כי פונקציה הרמונית גזירה אינסוף פעמים.
משפט האינטגרל של קושי קובע שכל אינטגרל מסילתי של פונקציה אנליטית על מסלול סגור שהומולוגי לאפס שווה ל-0. בפרט, כל אינטגרל על מסילה רציפה וסגורה בתחום פשוט קשר שווה לאפס, ולכן ממשפט קושי ניתן להסיק מתי מרחב איננו פשוט קשר.
נוסחת האינטגרל של קושי מהווה כלי לחישוב אינטגרל קווי של פונקציה מרוכבת.
באמצעות הכללה שלה אפשר לחשב את כל הנגזרות של פונקציה אנליטית, ובכך למצוא טור טיילור שלה.
מחקר של נקודות סינגולריות של פונקציות מרוכבות מקנה כלים חזקים לחישוב הפונקציה עצמה, אינטגרלים קוויים ונגזרות שלה.
אחד מהם הוא משפט השאריות, המאפשר לחשב אינטגרל מסילתי של פונקציה דרך נקודות הסינגולריות שלה.
משפט חשוב נוסף הוא עקרון הארגומנט, המהווה גם הוא כלי לחישוב האינטגרל של פונקציה מרומורפית.
באנליזה מרוכבת, פונקציה שלמה היא פונקציה הולומורפית בכל המישור המרוכב.
דוגמאות בסיסיות לפונקציות שלמות הן הפולינומים המרוכבים, פונקציית האקספוננט המרוכבת וסכומים, מכפלות והרכבות שלהם.
הפונקציות הטריגונומטריות וההיפרבוליות גם הן פונקציות שלמות, אך הן וריאציות על הפונקציה האקספוננציאלית (כפי שניתן לראות מנוסחת אוילר).
כל פונקציה שלמה ניתנת לייצוג על ידי טור טיילור שמתכנס בכל מקום במישור המרוכב.
פונקציות דוגמת הלוגריתם או השורש אינן שלמות (יתר על כן, אלו הן פונקציות רב ערכיות).
משפט חשוב העוסק בפונקציות שלמות הוא משפט ליוביל: פונקציה שהיא שלמה וחסומה היא בהכרח קבועה.
משפט זה משמש להוכחה אלגנטית של המשפט היסודי של האלגברה.
המשפט הקטן של פיקארד מרחיב את משפט ליוביל: כל פונקציה שלמה שאינה קבועה מקבלת כל ערך במישור המרוכב, פרט אולי לערך אחד (למשל, פונקציית האקספוננט מקבלת כל ערך פרט ל-0).
אחד הנושאים המרכזיים בתורת הפונקציות השלמות הוא הקשר בין קצב הגידול של הפונקציה, לבין התפלגות האפסים שלה.
את קצב הגידול מודדים באמצעות הסדר, , כאשר .
פונקציה מסדר גדלה, בקירוב, כמו .
הסדר הוא תמיד מספר ממשי בין 0 לאינסוף, וכל אפשרות כזו (לרבות הקצוות) עשויה להתקבל.
לנגזרת יש אותו סדר כמו לפונקציה עצמה.
במתמטיקה, פוּנְקְצְיָה רַב־עֶרְכִּית (או מולטי-פונקציה) היא יחס מלא.
כלומר, לכל איבר (ערך) בקבוצת התחום מותאם איבר (ערך) אחד לפחות בקבוצת הטווח.
בשל ריבוי הערכים האפשרי, השם "פונקציה רב-ערכית" הוא מטעה מעט, שכן פונקציה צריכה להתאים לכל איבר בתחום איבר אחד ויחיד מהטווח, ולכן זו אינה פונקציה.
כדי להגדיר פונקציה רב-ערכית כפונקציה פורמלית, ניתן להסתכל על פונקציה רב-ערכית מהתחום A לטווח B בתור פונקציה חד-ערכית מהתחום A לקבוצת החזקה של B (כלומר, כפונקציה שמתאימה לכל איבר ב-A קבוצה של איברים מתוך B) ואז ההגדרה היא תקינה פורמלית.
פונקציית השורש הריבועי היא פונקציה רב-ערכית מעל המרוכבים, שכן לכל מספר ממשי או מרוכב יש בדיוק שני שורשים מרוכבים (על פי המשפט היסודי של האלגברה), כשהמספר שונה מ-0 הם שונים.
לכן פונקציית השורש הריבועי, כשהיא מופעלת על מספר כלשהו, מחזירה שני ערכים.
מכיוון ששני המספרים נבדלים ביניהם רק בסימנם, נהוג לרוב לצמצם את הפונקציה כך שתחזיר רק את הערך החיובי מבין השניים, ואז היא פונקציה חד-ערכית תקינה.
הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות הן רב-ערכיות שכן הפונקציות הטריגונומטריות הן מחזוריות.
למשל, מתקיים ולכן ניתן לחשוב על כמחזירה ערכים רבים, ביניהם .
לכן נהוג לצמצם גם את הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות לקטע שבו הן חד-ערכיות, למשל .
באופן כללי, הגבלת טווח הערכים של פונקציה לכזה שבו הפונקציה חד-ערכית נקרא "לקיחת ענף".
באופן פורמלי יותר, ענף של פונקציה רב ערכית הוא פונקציה חד-ערכית, שהערך שהיא מקבלת בכל נקודה שייך לקבוצת הערכים שהפונקציה הרב-ערכית יכולה לקבל באותה נקודה, ובנוסף לכך היא רציפה.
בשל דרישת הרציפות, כאשר מגדירים ענף של פונקציה עשויות להתקבל נקודות, שכאשר הפונקציה מקבלת ערכים על מסלול שמקיף אותן, היא עוברת בין ענפים שונים של הפונקציה הרב-ערכית.
נקודות כאלו מכונות נקודות הסתעפות.
פונקציה מֵרוֹמורפית היא פונקציה שהיא הולומורפית בכל המישור המרוכב מלבד בקבוצה של קטבים מבודדים.
כל פונקציה כזו יכולה להירשם כמנה של שתי פונקציות הולומורפיות כאשר הפונקציה שבמכנה היא לא הקבוע אפס.
בצורת הצגה זו של פונקציה מרומורפית הקטבים הם חלק מקבוצת הנקודות שבהן מתאפסת הפונקציה ההולומורפית שבמכנה.
עבור תת-תחום של המספרים המרוכבים (משמע ) הפונקציה תיקרא מרומורפית ב- אם יש קבוצה בדידה של נקודות כך ש- אנליטית בקבוצה וכל הנקודות בקבוצה הן או נקודות סינגולריות סליקות או קטבים של הפונקציה.
בניסוח שונה, פונקציה מרומורפית בקבוצה היא פונקציה מ- לתוך הספירה של רימן שהיא הולומורפית בכל נקודה - גם בנקודות שתמונתן היא ושהיא אינה הפונקציה הקבועה המקבלת את הערך .
פונקציות רציונליות הן מרומורפיות במישור המרוכב.
הפונקציה היא מרומורפית בכל המישור המרוכב.
לפונקציה זו יש אינסוף קטבים.
פונקציית זטא של רימן ופונקציית גמא הן מרומורפיות בכל המישור המרוכב.
הפונקציה איננה מרומורפית בכל המישור המרוכב משום שיש לה סינגולריות עיקרית ב-0.
אוסף הפונקציות המרומורפיות בתחום מהווה שדה, כלומר הוא סגור לחיבור, חיסור, כפל וחילוק.
זהו שדה השברים של חוג הפונקציות ההולומורפיות.
שדה זה הוא הרחבה של שדה המספרים המרוכבים (שמוכל בשדה הפונקציות המרומורפיות כפונקציות הקבועות).
את ההגדרה של פונקציה מרומורפית ניתן להרחיב לפונקציות מרוכבות המוגדרות על משטח רימן (לדוגמה, הספירה של רימן או עקום אליפטי).
אם העקום הוא קומפקטי, שדה הפונקציות המרומורפיות עליו הוא הרחבת שדות מדרגת טרנסצנדנטיות 1 של המרוכבים.
עבור יריעות מרוכבות בממד גבוה, מגדירים פונקציה מרומורפית בתור מנה של שתי פונקציות הולומורפיות.
במתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית, פונקציונל או פונקציונל ליניארי הוא העתקה ליניארית ממרחב נורמי אל שדה.
בעבר פונקציונל הוגדר כפונקציה שהתחום שלה הוא מרחב פונקציות, כלומר פונקציה שפועלת על פונקציות.
הרקע להגדרה זו הוא המחקר המוקדם באנליזה פונקציונלית, שעסק במרחבי פונקציות.
שימוש זה במונח "פונקציונל" עדיין נפוץ בפיזיקה ובמדעי המחשב.
לאחר שאומצה גישה אקסיומטית כללית לאנליזה פונקציונלית ומרחבי פונקציות זוהו כמקרה פרטי של מרחבים נורמיים, המובן של פונקציונל הפך לכללי יותר.
הפונקציונלים החשובים ביותר הם אלה המוגדרים ממרחב בנך או מרחב הילברט לשדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים.
נהוג לסמן את משפחת כל הפונקציונלים הליניאריים מעל מרחב נורמי על ידי .
משפחת הפונקציונלים הליניאריים היא עצמה מרחב ליניארי ביחס לפעולות חיבור וכפל בסקלר נקודתיות.
על מרחב זה קיים מבנה טבעי של מרחב נורמי ביחס ל"נורמה האופרטורית" המוגדרת על ידי
הנורמה יכולה להיות סופית או אינסופית, ובכל מקרה מתקיים .
פונקציונל שהנורמה שלו סופית נקרא "פונקציונל חסום".
יש להבחין כי אין זה אומר שתמונת הפונקציונל היא קבוצה חסומה במובן הרגיל.
לא קשה לראות כי פונקציונל הוא חסום במובן זה שהנורמה שלו סופית, אם ורק אם הוא רציף.
את משפחת כל הפונקציונלים הליניאריים והחסומים על מסמנים ב-.
אפילו אם עצמו אינו מרחב בנך, משפחה זו היא מרחב בנך המכונה "המרחב הדואלי" של , והוא בעל חשיבות יסודית באנליזה פונקציונלית.
משפט ההצגה של ריס מסייע להבנת המבנה של המרחב הדואלי.
למשפט כמה גרסאות, והיסודית שבהן קובעת כי מעל מרחב הילברט, כל הפונקציונלים החסומים הם מכפלה פנימית עם איבר.
כלומר, אם הוא פונקציונל חסום מעל מרחב הילברט, אז קיים במרחב כך ש-.
במקרה זה לא קשה לראות מאי שוויון קושי שוורץ כי (כאשר הנורמה משמאל היא נורמה אופרטורית והנורמה מימין היא הנורמה המתקבלת מהמכפלה הפנימית).
באנליזה של מרחבי פונקציות, לרוב מרחבי Lp, פונקציונל הוא "פונקציה של פונקציות".
כלומר, פונקציונל הוא פונקציה המקבלת פונקציה ומחזירה מספר (ממשי או מרוכב).
דוגמה יסודית לפונקציונל רציף מעל למרחב הוא .
זהו פונקציונל המקבל פונקציה ומחזיר את האינטגרל המסוים שלה.
הנורמה האופרטורית של פונקציונל זה היא .
בתורת המידה, פונקציה פשוטה היא פונקציה המקבלת רק מספר סופי של ערכים שונים על תתי קבוצות (בדרך כלל מדידות).
פונקציה פשוטה מעל מרחב מידה היא צירוף ליניארי סופי של פונקציות מציינות.
כלומר צורתה היא , כאשר הם סקלרים (לרוב ממשיים), ו- הן תתי קבוצות, לרוב קבוצות מדידות (כלומר )- שכן הפונקציה מדידה אם ורק אם כל הקבוצות מדידות.
בגלל המבנה המיוחד של הפונקציות הפשוטות, התכונות שלהן נובעות באופן ישיר מהנחות מתאימות על הקבוצות במרחב המידה.
באופן כזה אפשר ללמוד גם פונקציות כלליות יותר, שאותן אפשר לעיתים קרובות לקרב על ידי פונקציות פשוטות.
למעשה, כל פונקציה מדידה מורחבת, היא גבול במידה שווה של פונקציות פשוטות.
כל פונקציה מדידה, אי שלילית וחסומה, היא גבול של סדרה עולה של פונקציות פשוטות, אי שליליות.
כלומר, הפונקציות הפשוטות צפופות במרחב הפונקציות המדידות.
פונקציות פשוטות הן הבסיס להגדרת האינטגרל בתורת המידה.
בהינתן מרחב מידה ופונקציה פשוטה מדידה, האינטגרל שלה מוגדר כסכום הערכים כפול המידה, כלומר .
במקרה שמרשים לפונקציה לקבל ערכים אינסופיים, מסכימים שכאשר המידה אפס (גם אם הערך אינסוף), הערך הוא עדיין 0 (כמו שאינטגרל של פונקציית האפס על כל הישר הוא 0).
לאינטגרל של פונקציה פשוטה מספר תכונות אלמנטריות, כמו אדיטיביות, הוצאת בסקלר (כלומר הוא מהווה פונקציונל); הוא גם מונוטוני.
לפונקציה חיובית מדידה כללית, מגדירים , כאשר הסופרימום רץ על כל הפונקציות הפשוטות.
מההגדרה נובע שמספיק להוכיח טענות רבות על פונקציות פשוטות, ואז ניתן להסיק אותן גם על פונקציות כלליות.
ראו למשל משפט ההתכנסות המונוטונית.
פונקציה רקורסיבית היא פונקציה מתת-קבוצה של המספרים הטבעיים לעצמם, הנחשבת, באופן אינטואיטיבי, כ"ניתנת לחישוב".
בפרט, תורת החישוביות מראה כי הפונקציות הרקורסיביות הן בדיוק אותן פונקציות שניתנות לחישוב בידי מכונת טיורינג, הנחשבת (על פי תזת צ'רץ'-טיורינג) כמודל הכללי ביותר של חישוב סביר.
בדומה להגדרות השקולות של מכונות טיורינג, גם עבור פונקציות רקורסיביות קיימות מספר הגדרות שקולות.
כדי לבנות את קבוצת הפונקציות הרקורסיביות יש קודם לבנות קבוצה כללית פחות - הפונקציות הפרימיטיביות.
קבוצת הפונקציות הרקורסיביות הפרימיטיביות מוגדרת להיות הקבוצה המינימלית, , של פונקציות מ- למספרים הטבעיים, שמקיימת את התנאים הבאים:
הפונקציה הקבועה 0 נמצאת ב-.
פונקציות ההטלה לקואורדינטה מסוימת נמצאות ב-.
הקבוצה סגורה תחת הרכבת פונקציות (במובן הרחב).
הקבוצה סגורה תחת רקורסיה במובן הבא: ו- אז פונקציית הרקורסיה של f עם g היא הפונקציה h שמוגדרת על ידי:
הפונקציות הרקורסיביות הפרימיטיביות כוללות את כל הפונקציות האריתמטיות, ופונקציות רבות נוספות, אבל קיימות פונקציות שניתנות לחישוב על ידי אלגוריתם סביר שאינן פרימיטיביות (כמו פונקציית אקרמן), ולכן הגדרה זו לא עומדת בקריטריון של תזת צ'רץ'-טיורינג.
הפונקציות הרקורסיביות מתקבלות מהפונקציות הרקורסיביות-פרימיטיביות על ידי הוספת אופרטור, שמכונה אופרטור או אופרטור החיפוש.
נסמן את קבוצת הפונקציות הרקורסיביות הפועלות על קלט בן k מספרים ב- .
אופרטור זה פועל על פונקציה רקורסיבית קיימת , ומחזיר את הפונקציה , שעבור הקלט מחזירה כפלט את ה-y המינימלי שעבורו מתקיים השוויון .
y כזה לא בהכרח קיים, ורק אם הוא קיים הפונקציה עוצרת על אותו קלט.
פונקציות אלו הן פונקציות חלקיות, כלומר הן אינן מוגדרות על כל קלט ולפעמים אפילו על שום קלט.
לדוגמה הפעלת אופרטור על הפונקציה הפרימיטיביות-רקורסיבית הקבועה 1 תיצור בהכרח פונקציה שלא מוגדרת על שום מספר טבעי.
תוספת האופטור מגדילה בהרבה את החופש ביצירת הפונקציות ולפי תזת צ'רץ'-טיורינג- מספיקה כדי לבנות את כל האלגוריתמים הסבירים.
למעשה, ההבדל בין הפונקציות הרקורסיביות והפונקציות הרקורסיביות-פרימיטיביות הוא באפשרות של הפונקציה לא לעצור על קלט מסוים.
הפונקציות הפרימיטיביות בהכרח עוצרות על כל קלט, ולכן הן מתאימות לקבוצת מכונות הטיורינג שתמיד עוצרות.
לעומתן הפונקציות הרקורסיביות לא מוגבלות בתנאי הזה והן יכולות שלא לעצור על שום קלט.
יש לציין שהתאמה הזו היא חד-כיוונית כלומר קיימת פונקציה רקורסיבית שאינה פרימיטיבית ועוצרת על כל קלט.
באלגברה ליניארית ובאנליזה פונקציונלית, פונקציה תת-ליניארית (נקראת גם פונקציונל תת-ליניארי) היא פונקציונל על מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים, אשר מקיים תת-חיבוריות והומוגניות חיובית.
פונקציות מסוג זה הן גרסה מוחלשת של נורמה ונורמה-למחצה מחד ופונקציה ליניארית מאידך.
שימושם העיקרי של פונקציונלים תת-ליניאריים בא לידי ביטוי במשפט האן-בנך.
כמו כן ניתן להשתמש בפונקציונלים אלה במקרים שבהם מרחב כלשהו אינו נורמבילי, כלומר שלא ניתן להגדיר עליו נורמה.
עבור מרחב וקטורי מעל שדה שהוא שדה הממשיים או המרוכבים, הפונקציונל יקרא פונקציונל תת-ליניארי אם ורק אם הוא מקיים את שתי התכונות הבאות:
תת-חיבוריות (Subadditivity): לכל שני וקטורים מתקיים
הומוגניות חיובית (Positive homogeneity): לכל וקטור במרחב ולכל סקלר אי-שלילי מתקיים .
תנאי התת-חיבוריות הוא למעשה קיום אי-שוויון המשולש של הפונקציונל.
ערך בראשית והכפלה בסקלר שלילי
מתוך תכונת ההומוגניות החיובית ניתן להסיק כי כל פונקציונל תת-ליניארי מתאפס בראשית, כלומר , זאת על ידי הכפלת כל איבר כלשהו ב- בסקלר .
מאחר שתכונת ההומוגניות החיובית אינה נוגעת להכפלה בסקלר שלילי, לא ניתן להסיק כי משתווה ל- עבור כלשהי כפי שתכונה זו מתקיימת עבור נורמה ונורמה-למחצה.
לעומת זאת, מתכונת התת-חיבוריות ניתן להסיק כי:
כלומר, ניתן להסיק שלפחות אחד מ- ו- הוא חיובי.
עבור פונקציונל תת-ליניארי מעל וסקלר אי-שלילי הפונקציונל הוא תת-ליניארי.
הדבר איננו מתקיים עבור .
כמו כן, עבור זוג פונקציונלים תת-ליניאריים מעל הפונקציונל אף הוא תת-ליניארי.
הדבר איננו מתקיים בהכרח עבור .
בנוסף, עבור זוג פונקציונלים תת-ליניאריים מעל הפונקציונל אף הוא תת-ליניארי.
כל פונקציה תת-ליניארית היא בהכרח פונקציה קמורה.
ניתן להוכיח זאת מתוך ההגדרה:
כאשר אי השוויון משמאל מתקיים מתכונת התת-חיבוריות והשוויון מימין מתקיים בגלל הומוגניות חיובית.
כל פונקציה שהיא תת-חיבורית (תנאי 1 בהגדרה), קמורה ומקיימת היא בהכרח תת-ליניארית.
לכל ולכל כלשהו ניתן להסיק מתכונת הקמירות כי:
מכיוון ש- ניתן להסיק באותו אופן כי .
מהעברת אגפים נקבל כי .
מכיוון וגם וגם בהכרח ועל כן מתקיימת הומגוניות עבור .
מכל זה נגזרת הומגוניות-חיובית עבור .
מאחר ש- תת-חיבורית והומוגנית חיובית היא בהכרח תת-ליניארית.
אם מרחב התחום של פונקציה תת-ליניארית הוא מרחב וקטורי טופולוגי (כלומר שהוא מצויד בטופולוגיה שעבורה פעולות החיבור והכפל בסקלר רציפות), ניתן לקבוע האם רציפה על-פי הטופולוגיה של המרחב.
ניתן להוכיח כי אם רציפה בראשית אז היא רציפה בכל המרחב, ויתרה מכך היא גם רציפה במידה שווה (כפי שתכונה זו מוגדרת לחבורות טופולוגיות, ובפרט למרחבים וקטוריים טופולוגיים).
בפרט, כל פונקציונל תת-ליניארי רציף הוא רציף במידה שווה.
עבור קיימת סביב פתוחה של הראשית כך ש- לכל .
ניתן להגדיר קבוצה פתוחה חדשה שאף היא סביב פתוחה של הראשית וסימטרית (כלומר לכל מתקיים )
מכיוון שגם ניתן להסיק שגם לכן בסך הכל .
מתקבל כי לכל קיימת סביבה פתוחה כך שלכל עבורם מתקיים .
מכל זה רציפה במידה שווה.
כל פונקציה ליניארית היא גם פונקציה תת-ליניארית (מחליפים את האי-שוויון בתנאי התת-חיבוריות לשוויון).
אם מגדירים ב- את קבוצת כל הפונקציונלים התת-ליניאריים על מרחב וקטורי כלשהו, ניתן להגדיר על מרחב זה יחס סדר חלקי כך שלכל , אם ורק אם לכל (סימון זה אינו סימון מוסכם בספרות ומשמש לערך זה בלבד).
על כן, בהינתן פונקציה תת-ליניארית מעל מרחב כלשהו, התנאים הבאים שקולים:
היא פונקציה תת-ליניארית מינימלית תחת היחס .
מעובדה זאת נגזרת משמעות נוספת והיא שבהינתן פונקציונל תת-ליניארי כלשהו מעל מרחב ניתן למצוא פונקציה ליניארית כך ש- לכל .
עבור מרחב וקטורי מעל שדה (שהוא שדה הממשיים או המרוכבים) פונקציה תקרא נורמה-למחצה אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים:
כלומר, לכל וקטור במרחב ולכל סקלר מתקיים .
כמובן שכל פונקציה הומוגנית בהחלט היא הומוגנית חיובית, לכן כל נורמה למחצה היא פונקציה תת-ליניארית.
כל נורמה למחצה היא פונקציה זוגית.
אם (שדה הממשיים), פונקציה תת-ליניארית היא נורמה למחצה אם ורק אם היא זוגית.
מכיוון שכל נורמה למחצה היא זוגית, ושלפחות אחד מ- ו- הוא חיובי, ניתן להסיק כי כל נורמה למחצה היא פונקציה חיובית.
בהינתן פונקציה תת-ליניארית כלשהי, ניתן לבנות ממנה נורמה-למחצה כך שלכל :
נורמה למחצה זו תקרא הנורמה-למחצה המשויכת ל-.
לנורמות למחצה חשיבות רבה בבניית מרחבים וקטוריים טופולוגיים קמורים מקומית, אשר מהווים הכללה למרחבים נורמביליים.
תקרא נורמה אם ורק אם היא נורמה-למחצה ובנוסף מקיימת חיוביות בהחלט (positive definite).
כל נורמה היא נורמה למחצה, אך ההפך אינו בהכרח נכון.
לנורמות חשיבות מכרעת באנליזה ובפיזיקה והן מהוות הבסיס למרחבי הילברט ומרחבי בנך.
כל נורמה ונורמה-למחצה היא פונקציונל תת-ליניארי.
פונקציית האפס היא פונקציונל תת-ליניארי.
כל פונקציונל ליניארי על שדה מעל הממשיים או המרוכבים הוא פונקציונל תת-ליניארי.
הדבר נכון בפרט לפונקציית הזהות מ- לעצמו.
הפונקציה מהצורה כאשר היא פונקציונל תת-ליניארי.
בטופולוגיה, פונקציה רציפה היא פונקציה בין מרחבים טופולוגיים, שעבורה המקור של כל קבוצה פתוחה בטווח הוא קבוצה פתוחה בתחום.
תכונה זו מהווה הכללה למושג הרציפות של פונקציות ממשיות, והיא מרכזית במידה כזו שלמעשה כל המשפטים הטופולוגיים על פונקציות עוסקים בפונקציות רציפות.
מרחב טופולוגי הוא מרחב דיסקרטי אם ורק אם כל פונקציה מ- היא רציפה.
מרחב טופולוגי הוא מרחב בעלת טופולוגיה טריוויאלית אם ורק אם כל פונקציה אל היא רציפה.
הדוגמה החשובה ביותר לרציפות היא זו של פונקציות ממשיות; עבורן, פונקציה רציפה בנקודה היא פונקציה שהערכים שלה בנקודות קרובות ל- קרובים לערך שלה בנקודה עצמה.
רעיון זה, אף על פי שהוא מנוסח בלשון של 'קרבה' שיש לה משמעות רק במרחב מטרי, ניתן להכללה למרחב טופולוגי כלשהו, אם נחליף את הדרישה על המרחק בדרישה שיש "הרבה" קבוצות פתוחות שמכילות את שתי הנקודות.
הכללת מושג הרציפות למרחב טופולוגי כלשהו נעשית באופן דומה להכללת מושג הגבול ממרחב מטרי למרחב טופולוגי כלשהו.
יהיו מרחבים טופולוגיים, ו- פונקציה.
אומרים ש- רציפה בנקודה , אם לכל קבוצה פתוחה קיימת קבוצה פתוחה , כך ש- .
הפונקציה רציפה, או רציפה בכל המרחב, אם היא רציפה בכל נקודה .
היא פונקציה רציפה אם לכל קבוצה פתוחה , הקבוצה פתוחה.
דהיינו, פונקציה היא רציפה אם המקור של כל קבוצה פתוחה תחתיה הוא פתוח.
בפרט, אם הם מרחבים מטריים עם מטריקות בהתאמה, פונקציה היא רציפה אם לכל כדור סביב קיים כדור סביב כך ש- מעתיקה את הכדור הראשון אל תוך השני.
כלומר, אם לכל ולכל קיים כך ש-.
במילים אחרות, אם מקיים אז .
בפרט הגדרת הרציפות שהגדרנו מתלכדת עם זאת שהגדיר ויירשטראס עבור מרחבים מטריים ועם הגדרת היינה בפרט (כתוצאה ממשפט באנליזה)
אפיון הרציפות על פי הגרף
אם X,Y הם קטעים סגורים, אז פונקציה היא רציפה אם ורק אם הגרף שלה סגור במרחב המכפלה.
תכונה זו נכונה כאשר X האוסדורף, ו-Y האוסדורף קומפקטי.
(לכל מרחב X, הגרף של כל f:X->Y רציפה הוא סגור) אם ורק אם (הגרף של העתקת הזהות I:Y->Y סגור) אם ורק אם Y האוסדורף.
(לכל מרחב האוסדורף X, אם הגרף של f:X->Y סגור אז f רציפה) אם ורק אם Y קומפקטית.
כל פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת שם מקסימום.
תכונה זו אינה מאפיינת קומפקטיות: מרחב שלכל פונקציה ממשית רציפה ממנו יש מקסימום נקרא מרחב פסאודו-קומפקטי.
כל מרחב קומפקטי מנייתית הוא פסאודו-קומפקטי, אבל ההפך אינו נכון.
התכונה הדואלית לרציפות היא היות הפונקציה פונקציה פתוחה , דהיינו פונקציה כזו שלכל פתוחה, הקבוצה גם היא פתוחה.
באופן דומה מגדירים גם .
יש לציין שלו היינו מחליפים את הקבוצות הפתוחות בהגדרת הרציפות בקבוצות סגורות, הייתה מתקבלת אותה הגדרה.
לעומת זאת, פונקציה פתוחה אינה בהכרח סגורה, ולהפך.
פונקציה הפיכה (כלומר, שהיא חד-חד-ערכית וגם על), שגם היא וגם ההפכית לה שתיהן רציפות, נקראת הומיאומורפיזם בין המרחבים הטופולוגיים.
פונקציות ההטלה הן דוגמה לפונקציות פתוחות: אם הוא מרחב מכפלה ו- היא פונקציית היטל, אז היא פונקציה פתוחה.בטופולוגיה, בכדי לבנות מרחבי מנה מתוך מרחבים טופולוגים קיימים נשתמש בפונקציית ההטלה כפונקציה רציפה בינן
פונקציה קבועה היא פונקציה שמחזירה את אותו ערך לכל איבר בתחום הגדרתה.
כלומר לכל בתחום מתקיים .
דוגמה: הפונקציה , שלכל ערך מחזירה 1, היא פונקציה קבועה.
לעומת זאת, הפונקציה מאוסף המספרים הממשיים לעצמו איננה קבועה משום שלמשל .
הפונקציה הריקה, כלומר הפונקציה שהתחום שלה הוא הקבוצה הריקה, היא פונקציה קבועה באופן ריק, משום שאין המקיימים .
יש שמגדירים פונקציה קבועה ככזו שהתחום שלה אינו ריק.
בהינתן קבוצות A,B,C ופונקציה קבועה f: A → B, אזי לכל שתי פונקציות g, h: C → A מתקיים: f o g = f o h, כאשר o היא פעולת ההרכבה של פונקציות.
עבור פונקציות ממשיות המוגדרות בקטע פתוח, פונקציה היא קבועה אם ורק אם היא גזירה ונגזרתה שווה ל-0 בכל נקודה.
וכך גם עבור פונקציות המוגדרות על קטע סגור, כאשר מתייחסים בקצות הקטע לנגזרות החד צדדיות מימין ומשמאל בהתאמה.
הדרישה שהקבוצה תהיה קטע הכרחית: הנגזרת של הפונקציה (הערך השלם) מתאפסת בקבוצה אבל הפונקציה אינה קבועה בקבוצה.
לא מספיק לדרוש שהתאפסות הנגזרת תהיה כמעט בכל מקום כפי שמדגימות פונקציות סינגולריות.
באופן כללי יותר, פונקציה בכמה משתנים מקבוצה פתוחה וקשירה במרחב האוקלידי ה-n ממדי, , לממשיים היא קבועה אם ורק אם הגרדיאנט שלה מתאפס בכל התחום.
הגרף של פונקציה קבועה מהממשיים לממשיים הוא ישר המקביל לציר ה־x.
בכל מרחב טופולוגי הפונקציות הקבועות הן פונקציות רציפות.
בחוג של פונקציות מעל חוג הכולל את הפונקציות הקבועות, ניתן לשכן את החוג כאוסף הפונקציות הקבועות ב- (לכל מותאמת הפונקציה הקבועה ).
באותה צורה ניתן לשכן חוג בחוג הפולינומים מעליו.
במרחב טופולוגי כללי, פונקציה נקראת קבועה באופן מקומי אם לכל נקודה קיימת סביבה שבה הפונקציה קבועה.
פונקציות כאלו הן תמיד רציפות.
אם המרחב קשיר אז פונקציה קבועה באופן מקומי היא קבועה.
עובדה זו פשוטה להוכחה ישירות מן ההגדרה.
אכן, נניח כי מרחב קשיר.
מהקביעות באופן מקומי נובע ששתי הקבוצות: ו- הן קבוצות פתוחות וזרות שאיחודן הוא .
הקבוצה הראשונה אינה ריקה (a איבר שלה) ולכן מהקשירות נובע שהקבוצה השנייה ריקה.
במרחבים לא קשירים יש פונקציות קבועות מקומית שאינן קבועות.
למשל הפונקציה קבועה באופן מקומי במרחב המספרים הרציונליים .
במתמטיקה, פונקציה מציינת, הנקראת גם פונקציה אופיינית או לעיתים גם אינדיקטור, היא פונקציה המוגדרת בקבוצה ומציינת שייכות לתת קבוצה של .
הפונקציה המציינת מוגדרת באופן הבא:
הפונקציה המציינת מסומנת לעיתים גם כ-, או כ-, או כ־ באמצעות סוגרי אייברסון.
במקרה הפרטי של הפונקציה עבור ו-, הפונקציה נקראת פונקציית היחידה.
אם ו- תת-קבוצות של אזי:
תכונת האיחוד: (עקרון ההכלה וההפרדה)
במרחב טופולוגי, הפונקציה המציינת רציפה בכל הנקודות הפנימיות של ושל המשלים של , ואינה רציפה בכל הנקודות על שפת .
בכל נקודות הרציפות של הפונקציה גם גזירה, ונגזרתה היא אפס.
משפט: תהי תת-קבוצה אז זו מדידה אם ורק אם היא -מדידה
הוכחה: נשים לב כי וכי .
לכן אם מדידה קל לראות כי פונקציה מדידה.
מצד שני, אם פונקציה מדידה, מתקיים ולכן מדידה, כנדרש
קבוצת הפונקציות המציינות, , היא איזומורפית לקבוצת החזקה .
האיזומורפיזם בין הקבוצות מובהק ואף מוטמע בסימון של הפונקציה המציינת.
ניתן להבין את הקשר באופן הבא: , כלומר איבר שייך לתת-קבוצה אם ורק אם הפונקציה המציינת המתאימה לקבוצה מקבלת 1 עבור האיבר.
עבור קבוצה המוכלת בקטע , נגדיר את התכולה הפנימית של להיות האינטגרל התחתון של הפונקציה המציינת של בקטע ואותו הדבר עבור תכולה חיצונית של על בסיס אינטגרל עליון.
אם התכולה הפנימית והתכולה החיצונית של קבוצה הן שוות, אז הן נקראות פשוט התכולה של .
ניתן לראות כי לכל קבוצה בת מניה יש תכולה אפס (זאת אומרת שהתכולה שלה היא אפס), או בצורה כללית יותר, לקבוצה יש תכולה אפס אם"ם קיימת קבוצה סופית של קטעים סגורים כך שאיחודם מכיל את הקבוצה אך סכום האורכים הוא קטן כרצוננו.
משפט חשוב בנושא החשבון האינטגרלי הוא שאם לפונקציה חסומה יש קבוצת אי רציפויות שלה היא בעלת תכולה אפס, אז היא אינטגרבילית.
הגדרת אינטגרל לבג ובכלליות כל תאורית תורת המידה נבנת על ידי קירוב של פונקציות אינטגרביליות לבג באמצעות סכומים סופיים חלקיים של פונקציות אינדיקטורים ומידות של גודל הקבוצות (משפט חשוב בתורת המידה הוא כי כל פונקציה מדידה ניתן להצגה כגבול סכומים של פוקנציות אינדיקטורים ומכפלה שלהם במספרים).
בהינתן קבוצה שרירותית , פונקציית האינדיקטור של תת-קבוצה של היא הפונקציה המוגדרת על ידי
סוגריי אייברסון מהווים סימון שקול או בו ניתן להשתמש במקום
הפונקציה מסומנת לעיתים בתור , , או אפילו רק
הסימון משמש גם לציון הפונקציה האופיינית באנליזת פונקציות קמורות, המוגדרת כאילו משתמשים בהופכי של ההגדרה הסטנדרטית של פונקציית האינדיקטור.
מושג קשור בסטטיסטיקה הוא של משתנה מציין.
(אין להתבלבל בין מושג זה לבין "משתנה דמה", המכונה גם משתנה קשור).
למונח " פונקציה אופיינית " יש משמעות נוספת בתורת ההסתברות הקלאסית .
מסיבה זו, מתמטיקאים העוסקים בהסתברות משתמשים באופן כמעט גורף במונח פונקציית אינדיקטור עבור הפונקציה המוגדרת כאן, בעוד שמתמטיקאים בתחומים אחרים נוטים להרבות בשימוש במונח פונקציה אופיינית כדי לתאר את הפונקציה המציינת שייכות לקבוצה.
בלוגיקה עמומה ובלוגיקה מרובת ערכים מודרנית, פרדיקטים הם הפונקציות האופייניות להתפלגות הסתברות.
כלומר, הערך האמיתי/שקרי המחמיר של הפרדיקט מוחלף בכמות המתפרשת כמידת האמת.
האינדיקטור או הפונקציה האופיינית של תת-קבוצה של קבוצה כלשהי ממפה איברים של לטווח
מיפוי זה הוא על רק כאשר הוא תת-קבוצה ממש לא ריקה של .
אם אָזי לפי טיעון דומה, אם אָזי
אִם ו הן שתי תת-קבוצות של אָזי
ופונקציית האינדיקטור של המשלים של כְּלוֹמַר הוא:
באופן כללי יותר, נניח הוא אוסף של תת-קבוצות של .
הוא מכפלה של אפסים ושל אחדים.
למכפלה זו ערך בדיוק באותם שלא שייכים לאף אחת מהקבוצות ,אחרת ערכו 0. כלומר
כאשר הוא העוצמה של .
זוהי צורה אחת של עקרון ההכלה וההפרדה .
כפי שהוצע בדוגמה הקודמת, פונקציית האינדיקטור היא אמצעי סימון שימושי בקומבינטוריקה.
הסימון משמש גם במקומות אחרים, למשל בתורת ההסתברות : אם הוא מרחב הסתברות עם מדד הסתברות ו- היא קבוצה מדידה, אז הופך למשתנה מקרי שהתוחלת שלו שווה להסתברות של :
זהות זו משמשת בהוכחה פשוטה של אי-שוויון מרקוב .
במקרים רבים, כמו בתורת הסדר, ניתן להגדיר את ההופכי של פונקציית האינדיקטור.
פונקציה זו נקראת בדרך כלל פונקציית מוביוס מוכללת, כהכללה של הפונקציה ההופכית לפונקציית האינדיקטור בתורת המספרים האלמנטרית, שהיא פונקציית מוביוס.
(ראה פסקה להלן על השימוש בפונקציה ההופכית בתורת הרקורסיה הקלאסית.)
בהינתן מרחב הסתברות עם תת-קבוצה , המשתנה המציין מוגדר על ידי אִם .
קורט גדל תיאר את פונקציית הייצוג במאמרו משנת 1934 "על טענות בלתי ניתנות להכרעה של מערכות מתמטיות פורמליות" (הסמל " " מציין היפוך לוגי, כלומר "לא"):
קלין מציע את אותה הגדרה בהקשר של פונקציות פרימיטיבות רקורסיביות, שכן פונקציה של פרידקט מקבלת ערכים של אם הפרדיקט נכון ו- אם הפרדיקט לא נכון.
לדוגמה, מכיוון שמכפלת הפונקציות האופייניות בכל פעם שאחת מהפונקציות שווה , היא ממלאת את תפקיד הפונקציה הלוגית "או": אם אוֹ או ...
או אזי המכפלה שלהם היא .
מה שנראה לקורא המודרני כהיפוך לוגי של הפונקציה המייצגת, כלומר הפונקציה המייצגת היא כאשר הפונקציה "נכונה או מתקיימת", משחק תפקיד שימושי בהגדרת הפונקציות הלוגיות "או", "ו", ו"מכאן נובע" לפי קליין, את אופרטורי מיו החסומים והלא-חסומים ואת פונקציית CASE.
פונקציה אופיינית בתורת הרקורסיה, פונקציית הייצוג של גודל וקליין
מה שנראה לקורא המודרני כהיפוך לוגי של פונקציית הייצוג, כלומר פונקציית הייצוג היא כאשר הפונקציה "נכונה או מתקיימת", משחק תפקיד שימושי בהגדרת הפונקציות הלוגיות "או", "ו", ו"מכאן נובע" לפי קליין, את אופרטורי מיו החסומים והלא-חסומים ואת פונקציית CASE.
פונקציה אופיינית בתורת הרקורסיה, פונקציית הייצוג של גודל וקלין
לכל קשר או מחלקה R תותאם פונקציית ייצוג כדלהלן:
מה שנראה לקורא המודרני כהיפוך לוגי של פונקציית הייצוג, כלומר פונקציית הייצוג היא כאשר הפונקציה "נכונה או מתקיימת", משחק תפקיד שימושי בהגדרת הפונקציות הלוגיות "או", "ו", ו"מכאן נובע" לפי קל2ין, את אופרטורי מיו החסומים והלא-חסומים ואת פונקציית CASE.
פונקציה אופיינית בתורת הקבוצות העמומה
במתמטיקה קלאסית, פונקציות אופייניות של קבוצות מקבלות ערכים של (איברים) או (לא-איברים).
בתורת הקבוצות העמומה, פונקציות אופייניות מוכללות כך שיקבלו ערך באינטרוול היחידה הממשי [0,1], או באופן כללי יותר, באלגברה או מבנה (בדרך כלל נדרש להיות לפחות קבוצה סדורה חלקית או סריג ).
פונקציות אופייניות מוכללות כאלו נקראות בדרך כלל פונקציות שייכות, וה"קבוצות" המתאימות נקראות קבוצות עמומות.
קבוצות עמומות ממדלים את השינוי ההדרגתי במידת השייכות הנראיתבפרדיקטים רבים בעולם האמיתי כמו "גבוה", "חם" וכו'.
באופן כללי, פונקציית האינדיקטור של קבוצה אינה חלקה; היא רציפה אם ורק אם התומך שלה היא רכיב קשיר.
בגאומטריה אלגברית של שדות סופיים, לעומת זאת, מכל יריעה אלגברית אפינית ניתן לקבל פונקציית אינדיקטור רציפה (זריצקי).
בהינתן קבוצה סופית של פונקציות , יהי אוסף הנקודות x בהן כל הפונקציות f_a(x) מתאפסות (vanishing locus).
במקרה זה, הפונקציה משמשת כפונקציית אינדיקטור עבור .
אחרת, עבור כלשהי, מתקיים , ומזה נובע .
בתורת החישוביות; פונקציה פרימיטיבית רקורסיבית היא פונקציה n-מקומית (עבור n כלשהו) מקבוצת המספרים הטבעיים לעצמה, הנוצרת מהרכבת פונקציות ופעולה שנקראת "רקורסיה פרימיטיבית" באופן חוזר ונשנה על מספר פונקציות בסיסיות קבועות: הפונקציה הקבועה אפס, הוספת אחד, ובחירת אחד מרכיבי הקלט.
הפונקציות הפרימיטיביות הרקורסיביות מהוות שלב ביניים בדרך להגדרת פונקציות רקורסיביות מלאות.
בנוסף, הוכחות רבות לגבי מחלקות חישוביות מסתמכות עליהן בשל הגדרתן הנוחה.
רבות מן הפונקציות הבסיסיות בתורת המספרים הן פרימיטיביות רקורסיביות, כגון ארבע פעולות החשבון, החזקה והעצרת.
גם פעולות החיסור והחילוק הן פרימיטיביות רקורסיביות לאחר שמתאימים אותן כך שיחזירו רק ערכים טבעיים.
בתורת החישוביות, מחלקה של פונקציות שלמות, נקראת סגורה תחת רקורסיה פרימיטיבית (Primitive Recursively Closed או PRC), אם היא סגורה תחת הפעולה של יצירת פונקציה חדשה מהפונקציות הקיימות באופן הבא:
את הפונקציה החדשה נגדיר על נקודת התחלה באמצעות פונקציה קיימת, וכן נתאר את התקדמותה באמצעות פונקציה נוספת: אם ו- פונקציות שנמצאות במחלקה, אז הפונקציה שמוגדרת ברקורסיה:
היא פונקציה הנוצרת מהן על ידי רקורסיה פרימיטיבית.
מחלקת הפונקציות הרקורסיביות פרימיטיביות היא מחלקת הפונקציות שמכילה את הפונקציות התחיליות:
- פונקציית ההטלה לרכיב ה-.
ובנוסף סגורה לפעולות של הרכבה של פונקציות, ורקורסיה פרימיטיבית.
כלומר, זוהי מחלקת הפונקציות שמכילה בדיוק את הפונקציות התחיליות, ואת כל הפונקציות המתקבלות משרשור והרכבה חוזרת ונשנית שלהן מספר סופי של פעמים.
כל פונקציה השייכת למחלקה זו נקראת פונקציה פרימיטיבית רקורסיבית.
פונקציות רבות מתורת המספרים, ובהן כל הפונקציות האריתמטיות הן פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות, לעיתים לאחר שינויים קטנים בהגדרת הפונקציה.
מכיוון שתמונת פונקציה פרימיטיבית רקורסיבית חייבת להיות מספר טבעי, יש לשנות את הפונקציות בהן התמונה אינה מספר טבעי, כך שתתאים ככל האפשר להגדרה המקורית.
להלן מספר פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות פשוטות:
פונקציית החיבור: היא פונקציה פרימיטיבית רקורסיבית.
פונקציית הזהות, היא פונקציה רקורסיבית פרימיטיבית - זוהי למעשה פונקציית ההטלה לרכיב הראשון.
לכן, ניתן להגדיר על ידי רקורסיה פרימיטיבית:
הן פרימיטיבית רקורסיבית גם כן.
ניתן להוכיח זאת באופן דומה לפונקציית החיבור.
פונקציית החיסור מקבלת כקלט שני מספרים טבעיים, ומחזירה את ההפרש ביניהם.
תמונת פונקציית החיסור אינה תמיד מספר טבעי, ולכן יש לתקן זאת.
למשל, כאשר מופעלת פונקציית החיסור הרגילה על הפרמטרים 4 ו6 (ארבע פחות שש), תמונת הפונקציה תהיה הערך מינוס 2, אשר אינו מספר טבעי.
לכן נשנה את תמונת הפונקציה ל-0 כאשר התמונה שלילית.
כך, תמונת הפונקציה על הפרמטרים 4 ו-6 היא 0.
, ופונקציה זו תשמש אותנו כפונקציית החיסור, המצומצמת למספרים הטבעיים.
כדי ליצור את פונקציית החיסור יש ליצור את פונקציית ה"קודם" - שמחזירה לכל מספר, חוץ מאפס, את המספר הקודם לו, ועבור אפס - היא מחזירה אפס.
את פונקציית הקודם ניתן להגדיר על ידי רקורסיה פרימיטיבית:
מכאן ניתן להגדיר את החיסור:
בדומה לפונקציית החיסור, מתקנים את פונקציית החילוק כך שתמונתה תהיה תמיד מספרים שלמים.
לכן, מגדירים את פונקציית החילוק כעיגול כלפי מעלה של תוצאת החילוק.
זהו למעשה חילוק עם שארית שלילית, כאשר מתעלמים מהשארית.
- כאשר החיסור פועל כמו שהוגדר לעיל.
מחלקת הפונקציות הפרימיטיביות רקורסיביות מוכלת בכל מחלקה הסגורה תחת רקורסיה פרימיטיבית והכוללת את הפונקציות הרקורסיביות פרימיטיביות היסודיות.
למשל, על מנת להוכיח שהפונקציות האריתמטיות הבסיסיות הן פונקציות רקורסיביות, די להוכיח שכל פונקציה פרימיטיבית רקורסיבית היא גם פונקציה רקורסיבית.
קיימים קשרים הדוקים בין פונקציות פרימיטיביות רקורסיביות, ופונקציות רקורסיביות.
לדוגמה, ניתן להראת שאם פונקציה היא רקורסיבית, ועוצרת תמיד לאחר מספר ידוע של צעדים (שחסום על ידי פונקציה פרימיטיבית רקורסיבית), אזי היא גם פרימיטיבית רקורסיבית.
למרות שנובע מכך שפונקציות רקורסיביות רבות ביותר הן פרימיטיביות רקורסיביות, קיימות פונקציות רקורסיביות שאינן פרימיטיביות רקורסיביות, כגון פונקציית אקרמן.
באנליזה מתמטית, פונקציה ממשית היא פונקציה עולה בקטע נתון, אם לכל בקטע מתקיים .
בדומה, פונקציה יורדת היא כזו המקיימת לכל .
אחת השאלות הבסיסיות בחקירה של פונקציה ממשית היא איתור התחומים שבהם היא עולה או יורדת.
פונקציות כאלה שכיחות בכל תחומי המדע: הקצב של תגובה כימית הוא פונקציה עולה של החום; תאוצת הנפילה של גוף היא פונקציה יורדת של המרחק מן הגוף אליו הוא נופל; ההיצע הוא פונקציה עולה של המחיר; כמות הנפט בכדור הארץ היא פונקציה יורדת של הזמן (מאז ראשית ההיסטוריה); ועוד.
פונקציות עולות ופונקציות יורדות הן סוגים מיוחדים של פונקציות מונוטוניות, ביחס לסדר הטבעי בישר הממשי.
למונח "פונקציה עולה" יש, בהקשרים שונים, שני פירושים קרובים.
אם לכל , אז הפונקציה עולה במובן החזק; אם מתקיים היחס החלש יותר לכל , אז הפונקציה עולה במובן החלש.
באופן דומה מגדירים ירידה במובן החזק ובמובן החלש.
פונקציה קבועה היא הפונקציה היחידה העולה ויורדת, במובן החלש, באותו קטע.
עליה וירידה אינם מושגים נקודתיים, משום שאת הערך בנקודה יחידה אין למה להשוות.
עם זאת, אומרים שהפונקציה עולה בנקודה x אם קיים קטע פתוח המכיל את x, שבו הפונקציה עולה; וכן לפונקציה יורדת.
כל הדוגמאות הבאות הן של פונקציות ממשיות:
הפונקציה , כאשר קבוע, היא גם עולה וגם יורדת במובן החלש.
פונקציית מדרגה היא עולה במובן החלש (אבל לא יורדת במובן החלש).
פונקציה מהצורה הזו (שמקבלת ערכים קבועים על קטעים מסוימים) מכונה פונקציית מדרגות.
הפונקציה בכללותה אינה מונוטונית, אך אם מסתכלים עליה רק בקטע היא עולה בו, ובקטע היא יורדת.
בסעיף 121 לפקודת מס הכנסה מוגדר גובה המס כפונקציה של השכר ברוטו.
על הגדרה נאותה של פונקציה זו לקיים שני תנאים:
גובה המס יהיה פונקציה עולה של גובה הברוטו (במילים פשוטות: על הכנסה גבוהה יותר חל מס גבוה יותר).
גובה השכר נטו (שהוא השכר שנותר מהברוטו לאחר הפחתת המס) יהיה פונקציה עולה של גובה הברוטו (במילים פשוטות: מהכנסה גבוהה יותר נשאר נטו גבוה יותר).
פונקציית מידה המוגדרת על אוסף קבוצות היא עולה חלש ביחס להכלה.
הפונקציה עולה (במובן החזק) בכל הישר הממשי.
הפונקציה עולה בקרן , ויורדת בקרן .
פונקציית דיריכלה, המקבלת 1 בערכים רציונליים ו-0 בערכים אי רציונליים, אינה מונוטונית באף קטע.
אוסף נקודות אי הרציפות של פונקציה מונוטונית הן כולן "נקודות מסוג ראשון".
קבוצות נקודות אי-הרציפות היא בת מנייה, הגם שאינה חייבת להיות סופית, ואף יכולה להיות צפופה אפילו כאשר הפונקציה חסומה, כפי שמראה הדוגמה הבאה:
אם נסדר את המספרים הרציונליים בסדרה ונגדיר , אז הפונקציה עולה וחסומה, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית.
מתכונות אלה של נקודות אי-הרציפות נובע שכל פונקציה מונוטונית המוגדרת בקטע סגור, היא אינטגרבילית לפי לבג.
לפונקציה מונוטונית במובן החזק, ורציפה, יש פונקציה הפכית שגם היא מונוטונית ורציפה.
את המונוטוניות אפשר לאבחן באמצעות הנגזרת, במקומות שבהם הפונקציה גזירה: אם פונקציה גזירה מונוטונית עולה בקטע מסוים נגזרתה אי-שלילית.
אם היא מונוטונית יורדת, נגזרתה אינה חיובית.
במסגרת מחקריו בתורת המידה, הוכיח אנרי לבג שפונקציה מונוטונית היא גזירה כמעט בכל מקום.
לפונקציה עולה מקטע סגור לעצמו יש (בדומה לפונקציה רציפה) נקודת שבת.
המשפט אינו נכון עבור פונקציה יורדת.
אם פונקציה f עולה במובן החלש בנקודה x, והיא גזירה שם, אז הנגזרת שלה מקיימת .
מאידך, אם הפונקציה גזירה ו- , אז היא עולה, במובן החזק, בנקודה x:
עולה במובן החלש ב-x עולה במובן החזק ב-x .
מבחינת ההתנהגות הנקודתית, העובדה ש- אינה מספיקה אפילו לעליה במובן החלש, כמו שמראה למשל הפונקציה בנקודה x=0. באופן דומה, אף אם הפונקציה עולה במובן החזק, זה אינו מבטיח שהנגזרת תהיה חיובית ממש, כפי שמדגימה הפונקציה .
כאשר מדובר בקטע פתוח, אם הפונקציה גזירה בכל הקטע והנגזרת שלה אי-שלילית, אז היא עולה שם במובן החלש.
עולה במובן החלש עולה במובן החזק .
במתמטיקה, פונקציה סתומה היא פונקציה המוגדרת על ידי משוואה, ולא באופן ישיר.
לפעמים אפשר לפתור את המשוואה ולהציג את הפונקציה באופן מפורש, אבל במקרים רבים ההצגה המפורשת פחות סימטרית מן המשוואה, ואין בה תועלת.
משפט הפונקציה הסתומה מספק תנאים לקיומה של פונקציה המוגדרת באופן סתום על ידי מערכת משוואות, ואף מאפשר לחשב את הנגזרות שלה.
לדוגמה, משוואת המעגל מגדירה שתי פונקציות - ו-.
את הנגזרת של לפי אפשר לחשב ישירות מן המשוואה הקושרת את שני המשתנים: ולכן .
עקומים מפורסמים רבים מוגדרים בצורה הפשוטה ביותר על ידי פונקציות סתומות:
בקואורדינטות פולאריות: או בצורה כללית:
ישנן מספר שיטות לגזירת פונקציה ומציאת הנגזרת שלה.
לפי גישה אחת המשמשת אותנו למציאת הנגזרת של פונקציה סתומה, נכתוב , ואז .
לאחר שלקחנו נקודה זו בחשבון, נתייחס לגודל כפונקציה מורכבת של המשתנה הבלתי תלוי .
למשל, כאשר נגזור את המכפלה נגזור כאילו שהפונקציה היא פונקציה ידועה.
לפי גישה אחרת, כל משוואה שמתארת פונקציה סתומה ניתן להביא לצורה (למשל על ידי העברת אגפים).
היות שהפונקציה היא אפס באופן זהותי, גם וכן .
למעשה, הביטוי האחרון הוא הדיפרנציאל השלם של הפונקציה, שעל פי הגדרתו ניתן להצגה בצורה הבאה:
, וכמובן שבגלל טרנזיטיביות יחס השוויון מתקיים .
נחלק את שני אגפי המשוואה ב- ונקבל .
כדי למצוא את הנגזרת של הפונקציה הסתומה, נרצה לבודד את , וכאשר נצליח לעשות זאת, בדיוק נמצא את הנגזרת הסתומה.
על ידי העברת אגפים, וחלוקה ב- נקבל:
נניח שנתונה המשוואה הסתומה , נעביר אגפים כדי לקבל את הצורה , וכעת נגדיר .
נשתמש בזהות שפיתחנו, ולשם כך נמצא תחילה את ו-:
עתה נציב את הנגזרות החלקיות לנוסחה שפיתחנו קודם לכן:
שיטה לגזירה של פונקציה סתומה עם שני משתנים (וגם יותר)
בהינתן משוואה המתארת פונקציה בעלת 2 משתנים (לא משנה אם המשוואה מפורשת או נתונה בצורה סתומה):
מבודדים את האפס - כלומר, מעבירים את כל האיברים לאגף אחד (לא חשוב איזה), כך שבאגף האחר יהיה רק אפס.
מגדירים את האגפים כפונקציה חדשה של שלושה משתנים , כמובן ששני אגפי המשוואה שווים, ולכן הפונקציה החדשה שווה לאפס.
זאת למעשה הנגזרת של לפי , ובאותו אופן נמצא את לפי :
בנוסף, ניתן לקבל גם כן את הנגזרת של לפי וכן הלאה...
(כאילו ש- הוא הפונקציה ו- היא המשתנה.)
נתונה המשוואה: ונניח שאנו רוצים את הנגזרת של לפי
כעת יש לגזור את לפי ולגזור את שוב, הפעם לפי , ואז להציב בנוסחה.
יכול להיות (לדוגמה) שהנגזרת של אחד המשתנים (נניח ) לפי משתנה מסוים (נניח ), תהיה תלויה בין היתר גם במשתנה עצמו אשר אותו אנו גוזרים , ולכן אם מבקשים מאיתנו למצוא את הנגזרת של לפי בנקודה מסוימת, לדוגמה - אזי עלינו להציב במשוואה המקורית .
לאחר שנקבל את , נוכל להציב את שלושתם בנגזרת.
פונקציונליזם (בעברית: תִּפְקוּדָנוּת) היא גישה תאורטית מרכזית בסוציולוגיה ובאנתרופולוגיה, המבקשת לתאר ולהסביר את המוסדות החברתיים כאמצעי לספק את הצרכים של היחיד.
מאוחר יותר התרכזה הגישה בדרכים בהן המוסדות החברתיים מספקים את הצרכים החברתיים, בעיקר כיצד הם עוזרים לשמר את היציבות החברתית.
הפונקציונליזם מתבסס על שלושה עקרונות מנחים (Holmwood, 2005:87):
החברה מתוארת כ"מערכת" - אוסף של חלקים התלויים אחד בשני עם נטייה לשיווי משקל.
לחברה ישנן כמה פונקציות הכרחיות כדי שתוכל להמשיך להתקיים.
תופעה חברתית או תרבותית ממשיכה להתקיים מכיוון שיש לה תפקיד.
פונקציונליזם היא גישה קונצנזוסיאלית, שניתן למצוא לה שורשים אינטלקטואלים כבר במחצית המאה ה-19, אצל אוגוסט קונט, שייחס חשיבות רבה לקונצנזוס החברתי, ואצל הרברט ספנסר, שהתייחס לפונקציות של חלקי החברה.
מי שנחשב למנסח המרכזי הראשון של הפונקציונליזם הסטרוקטורלי הוא אמיל דורקהיים.
העדפה של הסברים "פונקציונליים" שלטה במדעי החברה מתחילת המאה ה-20 ועד לשנות ה-50. אנתרופולוגים וסוציולוגיים ניסו להסביר מה התפקיד של כל מוסד או תופעה חברתית ותרבותית - קיומה של תופעה הוסברה אם היא מילאה תפקיד, או פונקציה.
הרעיון של פונקציה חברתית התפתח בשני כיוונים שונים בשנות ה-30. הפונקציונליזם הפסיכולוגי של ברוניסלב מלינובסקי, והפונקציונליזם הסטרוקטורלי של האנתרופולוג האנגלי אלפרד רדקליף-בראון, אשר פרח בשנות ה-40 וה-50. התאוריה של מלינובסקי תיארה את התפקיד שיש לתופעות התרבותיות בסיפוק צרכיו של היחיד, בעוד התאוריה של רדקליף-בראון התמקדה בתועלת לכלל.
רדקליף-בראון הושפע מחיבוריו של אמיל דורקהיים, וטען כי המטרה של המחקר האנתרופולוגי היא למצוא את הפונקציה הקולקטיבית.
למשל, מה אמונה דתית או מערכת של חוקים לגבי נישואין תורמים למערכת החברתית ככלל.
ההבדל בין התאוריות הוא: האם התופעה החברתית קיימת מכיוון שהיא פונקציונלית לחברה ככלל או מפני שהיא פונקציונלית לאדם היחיד?
האם הדברים המשותפים לכל התרבויות קיימים בגלל צרכים ארגוניים של החברה, שצריך למלא אותם בכל מקום, או בגלל צרכים של האישיות הפרטית?
ניסיון לשילוב של שתי התאוריות ניתן למצוא בעבודותיו של אוונס פריצ'רד.
הרולד לאסוול מצא חמישה תפקידים עיקריים של התקשורת על פי גישה זו:
סיקור: איסוף והפצת מידע אקטואלי, בעיקר חדשות.
תאום/קישור: צירוף פיסות מידע והסברתן בהרחבה (פרשנות), סיוע בהבנת העובדות ועצות כיצד לנהוג.
המשכיות: שימור והעברת נורמות וערכים תרבותיים לדור ההמשך.
בידור: הפגת מתחים העלולים לערער יציבות החברתית.
הציבור שוכח מהצרות ומשתתק רצונו למחות.
גיוס: גיוס תמיכה פוליטית או כלכלית, טיפוח מטרות לאומיות ועיצוב דפוסי התנהגות בזמן משבר/מלחמה.
בנוגע להשפעת התקשורת, כל תפקוד שלה יכול להיות פונקציה שלילית או פונקציה חיובית - תלוי למי?
כל תפקוד יכול להיות גלוי או סמוי, לפי התשובה לשאלה- האם המוען התכוון לכך (גלוי) או לא (סמוי)?
טיעונים בעד ונגד גישת הפונקציונליזם
קיימות שתי בקורות מרכזיות כלפי הגישה הפונקציונלית.
ראשית, יש הטוענים שגישת הפונקציונליזם היא גישה מופשטת וכללית.
המתנגדים לתיאוריה זו טוענים שלפי הגישה הזו בכל חברה קיימים אותם צרכים שמתמלאים על ידי אותם מוסדות חברתיים, אבל היא לא מתייחסת להבדלים שקיימים בין החברות השונות שבהן מוסדות חברתיים שונים ממלאים פונקציות שונות.
במטרה לשלול את הביקורת הזו, סוציולוג בשם רוברט מרטון גרס שאותן פונקציות בחברות שונות יכולות להתמלא על ידי פעולות חברתיות שונות.
למשל, אם נתייחס למשפחה שבה האב הביולוגי לא נמצא ורק האמא עושה את תפקידה כאם, זה אפשרי שאח האמא ימלא את תפקיד האב ויהפוך ל"אבא חברתי" לילדים.
ביקורת שנייה היא שגישת הפונקציונליזם מנסה להסביר תופעות חברתיות על ידי התשובה על השאלה הבאה: "איך התופעה תורמת לחברה?".