tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לכל קיים מקום שממנו והלאה המרחק בין שני איברים בסדרה אינו עולה על ; נבחר את הקבוצה להיות הכדור הסגור ברדיוס סביב נקודה רחוקה מספיק.
קל להיווכח שסדרת הכדורים יורדת, ולפי ההנחה יש נקודה משותפת לכולם.
זוהי נקודת גבול של הסדרה.
נניח כי מרחב מטרי שלם, ותהא סדרת קבוצות המקיימת את התנאים של המשפט.
נבנה את הסדרה על ידי זה שנבחר מכל איבר כלשהו.
נראה כי זוהי סדרת קושי: יהא כלשהו.
בגלל שמתקיים קיים כך שהחל ממנו לכל מתקיים .
כעת יהיו כלשהם, ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים .
על כן וזאת לכל , ולכן הסדרה היא סדרת קושי, ומכיוון שהמרחב שלם היא מתכנסת.
נראה כי שייך לכל הקבוצות.
תהא כלשהי, אז לכל מתקיים , כלומר הזנב של הסדרה , החל מהאיבר , שייך לקבוצה .
על כן, האיבר הוא נקודת גבול של (כי הוא הגבול של סדרה המוכלת החל ממקום מסוים בקבוצה ).
מכיוון ש- היא קבוצה סגורה, הרי שהיא מכילה את כל נקודות הגבול שלה, ולכן , וזאת לכל , ולכן .
נראה כעת כי בחיתוך יש בדיוק איבר יחיד: נניח כי ,אז לכל מתקיים .
יהא כלשהו, אז קיים כלשהו כך ש-, ומכיוון ש-, ולכן .
כלומר לכל ולכן בהכרח ומכאן, על פי תכונות המטריקה, .
נניח כי הוא מרחב המקיים את התכונה שלכל סדרת קבוצות שעונה על הקריטריונים שלעיל יש חיתוך לא ריק, ונוכיח כי המרחב שלם (ההוכחה שונה מעט מזו שניתנה לעיל).
תהא סדרת קושי במרחב, ונוכיח שהיא מתכנסת.
לכל איבר בסדרה נגדיר את הקבוצה הבאה: - הסגור של הזנב של סדרת הקושי שמתחיל באיבר .
זוהי קבוצה סגורה (שכן סגור הוא תמיד קבוצה סגורה), ובבירור מתקיים וזאת על פי דרך הגדרת הקבוצות.
אנו רוצים להוכיח כי .
לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה מתקיים .
ברור כי (כי מכילה את ).
יהיו , אז קיימות סדרות שכל איבריהן שייכים לקבוצה כך ש- זאת מהגדרת הסגור (נשים לב שהסדרות יכולות להיות קבועות).
מכיוון שאברי הסדרות שייכים כולם ל-, מתקיים לכל .
לכן נקבל , וזאת לכל , כלומר , וקיבלנו משני אי השוויונות את השוויון המבוקש.
כעת, מכיוון ש- סדרת קושי, הרי שלכל קיים כך שלכל מתקיים .
לכן , ולכן , וקיבלנו .
כעת הראינו כי הסדרה מקיימת את כל התכונות הדרושות, ולכן .
יהא , אז לכל מתקיים , ולכן , כלומר , והראינו שסדרת קושי הנ"ל מתכנסת.
בקומבינטוריקה, משפט החתונה, שמיוחס למתמטיקאי האנגלי פיליפ הול (1935), הוא משפט שמגדיר תנאי הכרחי ומספיק לבחירת נציגים ייחודיים עבור משפחה של קבוצות.
נניח שיש לנו שתי קבוצות זרות, "קבוצת הנשים" ו"קבוצת הגברים", וכל אישה מעוניינת בחלק מהגברים.
נשאלת השאלה, באילו תנאים ניתן לשדך לכל אחת מהנשים גבר יחיד שהיא מעוניינת בו (באופן מונוגמי).
ברור כי תנאי הכרחי הוא שמספר הגברים יהיה לפחות כמספר הנשים.
ניתן להכליל דרישה זו לכל תת-קבוצה של הנשים.
כלומר, תנאי הכרחי הוא שכל נשים תהיינה מעוניינות (יחדיו) בלפחות גברים.
משפט החתונה של הול טוען כי זהו גם תנאי מספיק.
תהא משפחה של קבוצות סופיות שאינן בהכרח זרות זו לזו.
קבוצת נציגים ייחודיים של המשפחה הזו היא קבוצה של איברים כך שכל שני איברים שונים זה מזה, , וכן (איבר זה הוא הנציג של אותה קבוצה).
על פי משפט החתונה, תנאי הכרחי ומספיק לקיום של קבוצת נציגים ייחודיים למשפחת קבוצות נתונה הוא שלכל תת-קבוצה של המשפחה, יתקיים כלומר בכל קבוצות שונות של המשפחה יש לפחות איברים שונים בכל הקבוצות.
קל לראות שהתנאי הכרחי - אם עבור קבוצות כלשהן יש פחות מ- איברים שונים, בהכרח כל בחירת נציגים עבור הקבוצות תהיה כזו שבה נציג אחד נבחר לפחות פעמיים.
המשפט ניתן להרחבה גם עבור מספר אינסופי של קבוצות, תוך שימוש בלמה של צורן.
למשפט יש גם הרבה שימושים מעניינים שאינם קשורים ישירות לשידוכים.
לדוגמה, בהינתן חפיסת קלפים סטנדרטית, שמחולקת באופן שרירותי ל-13 רביעיות, ניתן להראות באמצעות משפט החתונה שניתן לבחור קלף אחד בדיוק מכל רביעייה כך ש-13 הקלפים הנבחרים יכילו בדיוק קלף אחד מכל 'מספר' (אס, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, נסיך, מלכה ומלך).
דרך אחרת לנסח את המשפט היא עבור גרפים דו צדדיים.
אם הוא גרף דו צדדי, אז קיים בו שידוך המכסה את צד אם ורק אם לכל תת-קבוצה מתקיים , כאשר הוא אוסף השכנים של צמתים ב-.
השקילות לניסוח הקודם קלה להוכחה - הקבוצה מייצגת את משפחת הקבוצות שעבורן בוחרים נציגים, הקבוצה את אוסף האיברים שהקבוצות במשפחה יכולות להכיל, וקשת מייצגת קשר של הכלה.
ההוכחה היא לפי הניסוח של המשפט עבור שידוך בגרף דו צדדי.
נתון גרף דו צדדי עם צדדים ונניח שהשידוך המקסימלי מכסה את כל הקודקודים .
נסמן ב- שידוך שמכסה את כל הקודקודים ב-.
תהי קבוצת כל הקודקודים ב- שהותאמו לקבוצה נתונה .
על פי הגדרת שידוך, .
היות שכל האיברים ב- הם שכנים של , מתקיים ולכן, .
נתון גרף דו צדדי עם צדדים ונניח את תנאי המשפט - לכל מתקיים ש-.
נסתכל על שידוך בגודל מקסימלי לצמתי .
נסמן את הצמתים שאינם משודכים ב- על ידי .
מסלול מרחיב הוא מסלול (שיכול להיות ריק) בגרף המתחיל בצומת מ- כך שהקשתות האי זוגיות שייכות ל- והקשתות הזוגיות שייכות ל .
נניח שקיים מסלול מרחיב המסתיים בצומת ב- שאינו משודך.
נוכל להגדיר שידוך חדש שגודלו יהיה לפחות בסתירה לכך שהשידוך הוא מגודל מקסימלי.
לכן כל מסלול מרחיב שמסתיים ב חייב להסתיים בצומת ששייך לשידוך .
נגדיר את להיות כל הצמתים מ- שניתן להגיע אליהם עם מסלולים מרחיבים ונסמן .
אז הוא שכן של כלשהו, ובנוסף הקשת המחברת ביניהם אינה שייכת לשידוך.
לפי הגדרת , קיים מסלול מרחיב המגיע ל-.
לאחר הוספת הקשת מקבלים מסלול מרחיב המגיע ל-, בסתירה לטענה שהוכחנו קודם לכן.
קיבלנו, אם כן, ש- מכיל רק צמתים משודכים ב-.
מפני שצמתי אינם משודכים, נובע שהצמתים המשודכים אל נמצאים ב-.
נוכיח את הכיוון הקשה בלבד, לפי הניסוח של המשפט עבור שידוך בגרף דו צדדי.
נוכיח שקיים שידוך ב- המכסה את .
ההוכחה תתבצע באינדוקציה שלמה על הגודל .
בבסיס האינדוקציה נניח כי .
נסמן ב- את הצומת היחיד ב-.
הקשת היא שידוך המכסה את .
כעת נניח כי וכי הטענה נכונה כאשר .
נאמר שתת-קבוצה היא הדוקה אם וגם .
מקרה 1. לא קיימת תת-קבוצה הדוקה .
כעת נגדיר גרף דו-צדדי בתור תת-הגרף המושרה של עם צדדים .
לכן, מהנחת האינדוקציה, קיים שידוך ב- המכסה את .
קבוצת הקשתות היא שידוך ב- המכסה את .
מקרה 2. קיימת תת-קבוצה הדוקה .
מהנחת האינדוקציה, קיים שידוך ב- המכסה את .
נגדיר גרף דו-צדדי בתור תת-הגרף המושרה של עם צדדים .
מכיוון ש- הדוקה, נובע ש- ולכן לכל תת-קבוצה .
הוכחנו את צעד האינדוקציה בשני המקרים, מה שמשלים את ההוכחה.
מהוכחת המשפט ניתן גם לתת חסם תחתון למספר האפשרויות שבהן ניתן לבחור נציגים ייחודיים.
אם הוא גודלה המינימלי של הקבוצה הקטנה מכל הקבוצות ו- הוא מספר הקבוצות, הרי שאם מתקיים , מספר האפשרויות הוא לפחות אפשרויות.
אם , הרי שיש לפחות אפשרויות.
נשים לב כי זהו חסם נמוך מאוד, ולעיתים קרובות מספר האפשרויות גדול ממנו בהרבה.
בעיית מניית מספר האפשרויות שבהן ניתן לבחור נציגים ייחודיים, או מניית מספר השידוכים המושלמים בגרף דו צדדי, היא שלמה ל-.
משפט היינה-בורל הוא משפט יסודי באנליזה מתמטית, הקובע שקבוצה בישר הממשי היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה.
המשפט חל באותה מידה על קבוצות של וקטורים, כלומר תת-קבוצות של המרחבים האוקלידיים .
האפיון של קבוצות קומפקטיות שנותן משפט היינה-בורל אינו נכון בכל מרחב מטרי, ודרכו מצביע המשפט על כך שמערכת האקסיומות של המרחבים האוקלידיים חזקה מזו של מרחבים מטריים אחרים.
המשפט קשור לשני משפטים חשובים אחרים - משפט בולצאנו-ויירשטראס והלמה של קנטור - ואפשר להסיק אותם בקלות יחסית זה מזה.
המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אדוארד היינה ואמיל בורל.
הקומפקטיות היא תכונה מרכזית בטופולוגיה, והיא קשורה לתכונות חשובות רבות אחרות.
משפט היינה-בורל קובע, כאמור, שבמרחבים האוקלידיים אפשר לאפיין אותה באמצעות שתי דרישות פשוטות יחסית: שהקבוצה המדוברת תהיה סגורה וחסומה.
כיוון אחד של האפיון הזה נכון בכל מרחב מטרי: כל קבוצה קומפקטית היא תמיד סגורה וחסומה.
אפיון אחר, כללי יותר, קובע ש(בכל מרחב מטרי), קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא שלמה וחסומה כליל.
הדרישה השנייה, שהקבוצה תהיה חסומה כליל, חזקה יותר מכך שהקבוצה תהיה חסומה סתם, אלא שקבוצה חסומה המוכלת בקבוצה קומפקטית היא גם חסומה כליל.
בנוסף לזה, אם המרחב עצמו שלם, אז כל קבוצה סגורה היא שלמה, ולכן במרחבים שלמים קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה כליל.
אפיונים אלה מכלילים את משפט היינה-בורל.
הוכחה באמצעות הלמה של קנטור
כל קבוצה קומפקטית במרחב מטרי היא סגורה וחסומה.
הקושי הוא להוכיח שקבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית.
כדי להוכיח זאת, מספיק להראות את הטענות הבאות.
תיבה במרחב -ממדי היא קבוצה קומפקטית: נניח שיש כיסוי פתוח של התיבה שאין לו תת-כיסוי סופי.
נחלק את התיבה ל- "רבעים", על ידי חלוקת כל אחד מצירי התיבה לשניים.
לפי ההנחה, לאחד מאלה אין תת-כיסוי סופי.
נמשיך באופן כזה, ונקבל סדרת תיבות המוכלות כל אחת בקודמתה, עם קוטר השואף לאפס.
לפי הלמה של קנטור, חיתוך כל התיבות בסדרה הוא נקודה אחת.
אחת הקבוצות בכיסוי מכסה את הנקודה הזו, ולכן מכילה תיבה מן הסדרה שלנו - אבל זהו כיסוי סופי לאותה תיבה, בסתירה לאופן בחירת התיבות בסדרה.
כל קבוצה חסומה מוכלת בתיבה סגורה כלשהי: משום שכל כדור מוכל בתיבה.
תת קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית, אף היא קומפקטית: בהינתן קבוצה סגורה המוכלת בקבוצה קומפקטית , נתבונן בכיסוי פתוח של .
נצרף לכיסוי הפתוח הזה את ההפרש וקיבלנו כיסוי פתוח של , שיש לו תת-כיסוי סופי.
נסיר ממנו את ונקבל תת-כיסוי סופי של הכיסוי של .
משפט היחידוֹת של דיריכלה הוא אחד מהמשפטים היסודיים בתורת המספרים האלגברית.
הדוגמה הפשוטה ביותר למשפט זה היא ההבחנה שבמספרים השלמים, רק ל- יש הפכי ביחס לכפל, שגם הוא שלם.
המשפט מראה שגם כאשר עוברים לטפל במספרים שלמים מטיפוס כללי יותר, דהיינו, שלמים אלגבריים בשדה מספרים, רק ל'מעט' מספרים ההפכי הוא שלם.
חבורת האיברים ההפיכים בחוג השלמים של שדה מספרים היא חבורה נוצרת סופית.
מן המשפט נובע שכמו כל חבורה אבלית נוצרת סופית, אפשר להציג את החבורה המדוברת כסכום ישר של תת חבורה מפותלת, שהיא במקרה זה חבורה ציקלית המורכבת משורשי יחידה, ותת-חבורה אבלית חופשית.
המשפט של דיריכלה מאפשר גם לחשב את דרגת החבורה החופשית.
מספר x בתחום שלמות R נקרא איבר הפיך, אם גם המספר שייך לאותו חוג.
אוסף האיברים ההפיכים בתחום שלמות נתון מהווה חבורה אבלית כפלית, הנקראת חבורת ההפיכים של החוג .
לדוגמה, בחוג השלמים , האיברים ההפיכים הם , ובחוג השלמים של גאוס , האיברים ההפיכים הם .
התנהגות מעט שונה רואים בחוג , שאבריו מהצורה , כאשר מספרים שלמים.
בחוג הזה, האיברים ההפיכים הם אלו שעבורם - כלומר, הזוג פותר את המשוואה הדיופנטית הקלאסית הידועה בשם משוואת פל.
הפתרון הקטן ביותר למשוואה זו הוא , וכך מתברר שכל האיברים ההפיכים בחוג הם, עד כדי סימן, חזקות של .
חבורת ההפיכים איזומורפית ל- .
עבור כל שדה מספרים, האיברים ההפיכים בחוג השלמים הם בדיוק אלו שהנורמה שלהם היא (מצד אחד הכפליות של הנורמה מבטיחה שלאיבר הפיך יש נורמה הפיכה, ומצד שני הנורמה של איבר שווה למכפלת הצמודים שלו).
אם בוחרים בסיס לחוג השלמים, אפשר לתרגם את התנאי הזה למשוואה במקדמים.
המשוואה המתקבלת היא הכללה של משוואת פל הקשורה בתבנית הנורמה המתאימה.
נניח ש- K הוא שדה מספרים, כלומר, הרחבה מממד סופי של שדה המספרים הרציונליים.
כל שדה כזה אפשר לשכן, בדרכים שונות, בשדה המספרים המרוכבים.
כמה מבין שיכונים אלה מסתפקים בערכים ממשיים.
אם נסמן ב- r את מספרם של השיכונים הממשיים וב- 2s את מספרם של השיכונים שאינם ממשיים (שהוא תמיד זוגי), אז r+2s שווה לממד של K מעל הרציונליים.
משפט דיריכלה קובע שהדרגה של חבורת ההפיכים בחוג השלמים של K שווה ל- r+s-1. לשדה
יש רק שיכון אחד, ממשי, וחבורת ההפיכים של חוג השלמים שלו, , היא אכן חבורה סופית, מדרגה אפס.
חבורת הפיכים סופית יש גם לחוג השלמים של , שלו יש רק זוג שיכונים מרוכבים.
לעומת זאת, לשדה יש שני שיכונים ממשיים, וכך דרגתה של חבורת ההפיכים בחוג השלמים שווה לאחד, כפי שראינו.
הרעיון המרכזי בהוכחה הוא ההעתקה של החבורה הכפלית של השדה K אל המכפלה , לפי הנוסחה .
כאן הם השיכונים השונים של K (מסודרים כך שהשיכונים הממשיים מופיעים ראשונה).
העתקה זו היא 'כמעט שיכון' - רק שורשי היחידה בשדה (שמספרם סופי) עוברים לאפס.
מתברר שכאשר מצמצמים את ההעתקה הזו לאוסף ההפיכים של חוג השלמים, מתקבל סריג, דהיינו תת-חבורה דיסקרטית של V.
עובדה טופולוגית זו, הנמצאת בליבו של הטיעון, נובעת מכך שיש רק מספר סופי של שלמים אלגבריים שכל הצמודים שלהם קטנים (בערכם המוחלט) מחסם נתון.
אם ממשיכים את השיכון אל הממשיים על ידי סיכום הרכיבים, תמונתו של כל איבר שווה ללוגריתם הערך המוחלט של הנורמה שלו, וכך הגרעין כולל בדיוק את האיברים ההפיכים.
מנימוקים אלה נובע שחבורת ההפיכים של חוג השלמים נוצרת סופית, ודרגתה לכל היותר .
כדי להוכיח שהדרגה שווה לחסם המדובר, יש להראות שדרגת הסריג שווה לממד של V.
לשם כך נעזרים במשפט מינקובסקי, המאפשר לאתר איברים בעלי תכונות מתאימות ולבנות בסיס לסריג.
באלגברה ליניארית, משפט ההתמדה של סילבסטר קובע שסימנם של המקדמים בתבנית ריבועית אלכסונית מעל הממשיים אינו תלוי בבסיס שבו היא מתוארת.
מבחינה גאומטרית, המשפט מתבטא בכך שהטיפוס של צורה המוגדרת על ידי תבנית ריבועית (כגון: אליפסה, פרבולה או היפרבולה) אינו משתנה כשמסובבים, מותחים או משקפים את המרחב שבו היא מוגדרת.
אחד השימושים הנאים של תורת המטריצות הוא לתיאור ולטיפול בתבניות ריבועיות, שהן פונקציות כדוגמת .
(נניח מעתה שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2).
פונקציות כאלה אפשר לייצג על ידי מטריצה בצורה כאשר A היא מטריצה סימטרית, והווקטור הוא .
בייצוג כזה, החלפה ליניארית של המשתנים שקולה להחלפת המטריצה A במטריצה כאשר P מטריצה הפיכה.
כל מטריצה מן הצורה (כאשר P הפיכה) "חופפת" למטריצה A, והגדרה זו קובעת יחס שקילות בין מטריצות, הנקרא יחס החפיפה.
לדוגמה, סידור מחדש של השורות ושל העמודות של A (באותו אופן) מהווה חפיפה, המתארת החלפת משתנים.
אפשר לסכם ולומר שמטריצות המצויות באותה מחלקת חפיפה מייצגות, עקרונית, את אותה תבנית ריבועית.
אפשר להוכיח שכל מטריצה סימטרית חופפת למטריצה אלכסונית; באופן דומה, אפשר להביא כל תבנית ריבועית לצורה אלכסונית, ללא גורמים מהצורה , שאותה קל יותר לנתח.
לדוגמה, הצבת המשתנים מביאה את התבנית f לצורה .
כאשר נתונה תבנית אלכסונית, אפשר לבצע בה החלפת משתנים של מתיחה וכיווץ, כלומר, מן הצורה .
החלפה כזו מכפילה את המקדם של בתבנית בסקלר .
כאשר מדובר בתבנית שמקדמיה הם מספרים ממשיים, כל מספר שקול, עד כדי ריבוע, לאחד מבין המספרים , ולכן אפשר להביא את התבנית לצורה שקולה, שאלו מקדמיה.
לדוגמה, את התבנית f אפשר להעביר לצורה .
באופן דומה, כל תבנית ריבועית ממשית (בת n משתנים) שקולה לתבנית אלכסונית מן הצורה .
משפט יעקובי מספק שיטה חישובית למציאת הצורה האלכסונית, שממנה אפשר להסיק גם על המבנה והתכונות של מטריצות חיוביות ומטריצות בעלות תכונות קרובות.
הצגנו הצבה המביאה את התבנית f לצורה אלכסונית שבה הסימנים הם .
לכאורה, ייתכן שהצבה אחרת תביא את אותה תבנית לצורה אלכסונית אחרת, שבה המקדמים הם .
משפט סילבסטר מבטיח שהדבר בלתי אפשרי.
משפט סילבסטר: אם f היא תבנית ריבועית ב- n משתנים מעל הממשיים, אז היא שקולה לתבנית אלכסונית אחת ויחידה מן הצורה .
במילים אחרות, כל מטריצה סימטרית ממשית חופפת למטריצה אלכסונית אחת ויחידה שבה אברי האלכסון הם 0, 1 או 1- (עד-כדי סדר).
המספר k+s נקרא "דרגת התבנית", והמספר k-s הוא "סימן סילבסטר של התבנית" (או של המטריצה המייצגת שלה).
חתכי חרוט, גופי הסיבוב שלהם, והכללות מממד גבוה, מתוארים כולם על ידי תבניות ריבועיות ומשוואות מן הצורה .
משפט סילבסטר מראה שאפשר במקרה כזה להביא את התבנית הריבועית לצורה אלכסונית ולמיין את התבניות על-פי מספר הסימנים החיוביים והשליליים.
לדוגמה: במרחב התלת-ממדי, כל משוואה הומוגנית מן הצורה הנזכרת לעיל אפשר להביא (על ידי שינוי בסיס, כלומר סיבוב, מתיחה ושיקוף) לאחת מבין הצורות הבאות: (כדור), (היפרבולואיד חד-יריעתי), (היפרבולואיד דו-יריעתי), או או (קבוצה ריקה), (גליל), (יריעה היפרבולית לא קשירה), (זוג מישורים מקבילים), (נקודה), (חרוט כפול), (ישר), (מישור) או (זוג מישורים נחתכים).
במעט יותר מאמץ אפשר לטפל גם ביריעות ריבועיות לא הומוגניות, כדוגמת .
בדרך כלל, הזזה של המרחב מאפשרת להביא את היריעה המתוארת על ידי משוואה לא הומוגנית, לצורה הומוגנית.
נניח ש- שתי מטריצות אלכסוניות מעל הממשיים, ושהן חופפות זו לזו, כלומר, קיימת מטריצה הפיכה T כך ש-.
אפשר להניח שאברי האלכסון בכל אחת מן המטריצות מסודרים - החיוביים קודמים לכל האחרים.
נסמן ב- את מספר המקדמים החיוביים בשני האלכסונים.
מנקודת המבט של תבניות ריבועיות, אפשר לנסח הנחה זו כך: קיים בסיס כך ש- עבור , ו- אחרת; וכך גם עבור , בשינויים המתחייבים.
נסמן ב- את המרחב הנפרש על ידי , וב- את המרחב הנפרש על ידי n-k הווקטורים האחרים בבסיס המתאים ל- A.
באופן דומה, נגדיר עבור המטריצה .
קל לראות שכל וקטור שונה מאפס במרחב מקיים , בעוד שלכל וקטור במרחב מתקיים .
לכן, לכל וקטור y במרחב מתקיים .
הוכחנו שהמרחבים מוכרחים להיחתך טריוויאלית: .
לכן סכומם הוא סכום ישר, והממדים מקיימים
אבל טענה זו נכונה גם בחילופי התפקידים, ולכן .
משפט המיון של החבורות הפשוטות הסופיות הוא משפט מתמטי הקובע כי כל חבורה פשוטה סופית נמצאת באחת מ-4 הקטגוריות המתוארות למטה.
עריכת רשימה מלאה של כל החבורות הפשוטות הסופיות עד כדי איזומורפיזם.
החבורות הפשוטות הן אבני בניין של החבורות סופיות, בצורה שדומה לאיך שמספרים ראשוניים הם אבני הבניין של כל המספרים הטבעיים.
משפט ז'ורדן-הלדר מספק דרך יותר ברורה להסביר איך החבורות הפשוטות הן אבני בניין.
העבודה על הוכחת המשפט נמשכה כמה עשרות שנים, השתתפו בה כמאה מתמטיקאים, והיא משתרעת על-פני 500 מאמרים בכתבי עת מקצועיים, הכוללים כ-15,000 עמודים.
ההוכחה נעזרת בכלים שפותחו בתורת החבורות מאז לידתה, אולם הצעד הראשון בהוכחה נחשב הפרסום של משפט פייט-תומפסון ב-1963, הקובע שאין חבורות פשוטות לא-אבליות סופיות מסדר אי-זוגי.
הוכחת המשפט, כ-250 עמודים עמוסים בתורת ההצגות, הדגימה לראשונה את נחיצותן של הוכחות מורכבות בתחום המיון, ואת יעילותם של הכלים הקלאסיים בטיפול בבעיות כאלה.
במתמטיקה, שבה העבודה נעשית לרוב על ידי יחידים או בצוותים קטנים, משפט המיון הוא דוגמה ייחודית ל"מדע גדול", מבנה פעולה שכיח במדעים הניסויים, שבו משתפים פעולה מדענים רבים להשגת מטרה משותפת.
בשנות השבעים רוכז המאמץ על ידי דניאל גורנשטיין, שהציע חלוקת עבודה ומינה חוקרים לעבוד על חלקים מסוימים במשפט.
גורנשטיין הכריז בפומבי על סיום ההוכחה ב-1983, אף על פי שבפועל נותרו באותה עת כמה פערים (המשמעותי שביניהם, מיון החבורות מטיפוס quasithin, נסגר רק ב-2004
פערים אלה, ואף מורכבותה יוצאת הדופן של ההוכחה גרמה לכך שרבים, ובהם ז'אן-פייר סר, פקפקו בשלמותו של המשפט.
חוסר שביעות הרצון הוליד את פרויקט "הדור השני" שמטרתו לכתוב את ההוכחה מחדש, בסדרה של 11 ספרים.
בתוכנית זו מבקשים לנצל יתרונות שלא עמדו לרשות מפתחי ההוכחה המקורית, כגון הניסוח המדויק של התוצאה שאותה מבקשים להוכיח.
באמצעות משפט המיון, אפשר לאשר תכונות של חבורות פשוטות על ידי בדיקה של כל המקרים.
לדוגמה, הבדיקה מראה שכל חבורה פשוטה סופית נוצרת על ידי שני איברים, למרות שלא ידועה דרך ישירה להוכיח טענה זו.
משפט המיון קובע שכל חבורה סופית שאין לה תת חבורות נורמליות שייכת לאחת מבין ארבע הקבוצות הבאות, שמהן שלוש הראשונות אינסופיות:
חבורות אלה כוללות את "החבורות הקלאסיות", שהן חבורות מטריצות, את חמשת הטיפוסים המיוחדים של חבורות לי, ואת ה"עיוותים" של כל אלה.
עשרים ושש החבורות הספורדיות הן אלו שלא מופיעות באופן טבעי במשפחות הגדולות של חבורות פשוטות סופיות.
להלן רשימת החבורות, הקרויות בדרך-כלל על-שם האדם שגילה אותן:
חבורות קונוויי הקשורות לסריג ליץ' מממד 24;
חבורת פישר-גרייס, הקרויה גם המפלצת
"המפלצת", בת כ-איברים, היא הגדולה מבין החבורות הספורדיות, ו-20 מהן נמצאות בתוכה כתת-חבורות; שש יוצאות הדופן הן .
הרעיון הבסיסי באסטרטגיית המיון הוא ללמוד את החבורה הפשוטה הקטנה ביותר שאיננה ברשימה - בניסיון להוכיח, בסופו של דבר, שחבורה כזו אינה קיימת.
במילים אחרות, מוכיחים למעשה את המשפט הבא:
קל להראות שמשפט זה גורר את משפט המיון.
ניתוח כל תתי המנות של חבורה אינו מעשי.
לכן מצמצמים את תשומת הלב לחלק מתתי-המנות.
בחלק גדול מההוכחה די להתמקד בתתי-מנות שהם גורמי סדרת ההרכב של מרכזים.
כך שבמקרים רבים מוכיחים את המשפט הבא:
מנקודת מבט זו, השלב הראשון בהוכחה הוא מיון החבורות הפשוטות שהמרכז של כל איבר לא טריוויאלי בהן הוא אבלי.
חבורות כאלה נקראות חבורות CA.
חבורות אלו מויונו על ידי בראואר, סוזוקי וואל בשנת 1958.
גם חקר כל המרכזים של איברים בחבורה אינו פרקטי בדרך כלל, ולכן ב-1955 בראואר הציע להתרכז במרכזים של אינוולוציות (לא טריוויאליות) - זאת אומרת איברים מסדר 2 בחבורה.
הבעיה הראשונה שגישה זו מציבה היא שלא ברור שאיברים כאלה קיימים.
קיומן של אינוולוציות (בחבורות פשוטות לא ציקליות) מובטח על ידי המשפט הבא ששוער על ידי ויליאם ברנסייד ב-1911:
קל להסיק ממשפט זה (באמצעות משפט קושי) שלכל חבורה פשוטה לא ציקלית יש אינוולוציה לא טריוויאלית.
לכן, כדי להוכיח את משפט המיון, די להוכיח את המשפט הבא:
התקווה של בראואר להוכיח משפט זה מבוססת על המשפט הבא
בדיעבד, נובע ממשפט המיון, שמספר סופי זה הוא לכל היותר 3.
ניתן לחשוב על האסטרטגיה של בראואר בתור האלגוריתם הבא:
רצים על כל הקבוצות הסופיות (עם ריבוי) של חבורות פשוטות המופיעות במיון.
זה החלק היחיד באלגוריתם שאינו סופי.
עבור כל קבוצה כזאת, עוברים על כל החבורות שגורמי סדרת ההרכב שלהן זו הקבוצה הנתונה.
זה מעבר סופי, שניתן לבצע אלגוריתמית אבל עלול להיות מאוד מורכב.
עבור כל חבורה כזאת, רצים על כל החבורות הפשוטות כך ש- היא מרכז של אינוולוציה ב-.
לפי משפט בראואר-פאולר מעבר זה הוא סופי.
עבור כל חבורה מוודאים ש- היא אחת החבורות המופיעות במיון.
אלגוריתם זה אינו פרקטי כשלעצמו, אך הוא מהווה את ההשראה להוכחת משפט המיון.
למרות האמור מעלה, הוכחת משפט המיון לא מתבססת על מרכזים של אינוולוציות בלבד ואף לא על מרכזים באופן כללי, אלא על מחלקה רחבה יותר של תת-חבורות הנקראות חבורות מקומיות.
בהתאם, משפט המיון נובע מהמשפט הבא:
תפקידה של חבורת פיטינג המוכללת
ניתוח סדרת ההרכב של חבורה נתונה הוא משימה קשה בדרך כלל.
השאלה ההפוכה: מה הם כל החבורות בעלות גורמי סדרת הרכב נתונים קשה עוד יותר.
תת-חבורת פיטינג המוכללת מאפשרת גרסה מקלה של שאלות אלו שעדיין מספקת מידע רב על החבורה.
תת-חבורת פיטינג המוכללת של חבורה סופית היא תת-חבורה קנונית של המתקבלת ממכפלה של 2 תתי-חבורות:
תת-חבורת פיטינג - זוהי תת-החבורה הנורמלית הנילפוטנטית המקסימלית ב- .
השכבה -זוהי תת-החבורה הנורמלית הפשוטה למחצה המקסימלית ב- .
החשיבות של תת-חבורת פיטינג המוכללת נובעת מהמשפט הבא:
מכאן, קל להסיק שניתן לשכן את מודולו המֶרְכָּז שלה בחבורת האוטומורפיזמים של חבורת פיטינג המוכללת שלה.
כך שאפשר לומר שניתן לתאר את על ידי חבורת פיטינג המוכללת שלה.
נשים לב שחבורת פיטינג המוכללת של היא הרחבה מרכזית חוזרת של השכבה של וזו היא חבורה פשוטה למחצה.
קל למדי לתאר חבורות פשוטות למחצה בהינתן גורמי סדרת ההכב שלהן: לשם כך יש לחשב את של גורמים אלו (זו משימה פשוטה יחסית עבור כל החבורות הפשוטות המופעות במיון), וכך לקבל את הכיסויים האונברסליים של הגורמים.
לאחר מכן יש להכפיל את כל הגורמים ולקבל חבורה .
חבורות פשוטות למחצה עם גורמי סדרת ההרכב הנתונים הן מנות של לפי תתי-חבורות מרכזיות שלה.
לכן, במקרים רבים מחליפים את סדרות ההרכב באסטרטגיות המתוארות למעלה, בסדרות ההרכב של חבורת פיטינג המוכללות של החבורות הנדונות.
עד כדי גורמים ציקליים, אלו הן סדרות ההרכב של השכבה של החבורות הנדונות.
בהתאם, ניתן להסיק את משפט המיון מהמשפט הבא:
כמו כן, משפט בנדר, מאפשר לעדן את האסטרטגיה של בראואר באופן הבא:
עבור כל קבוצה כזאת, עוברים על כל החבורות הפשוטות למחצה שהמנות הפשוטות שלהן הן החבורות הלא אבליות ב-.
זה מעבר סופי, שניתן לבצע בקלות יחסית, שכן הוא דורש רק ידע של כופלי שור של החבורות הלא אבליות ב-.
עבור כל חבורה כזאת, רצים על כל ההרחבות המרכזיות החוזרות שלה על ידי החבורות האבליות ב - .
עבור כל חבורה כזאת, רצים על כל החבורות כך ש- היא חבורת פיטינג המוכללת של .
לפי משפט בנדר, מעבר זה הוא סופי.
גם אלגוריתם זה אינו פרקטי, אך הוא מקרב טוב יותר את הוכחת משפט המיון.
בדיעבד, הקבוצות שעבורן הריצה לא ריקה הן בדרך כלל קטנות למדי.
בשלהי המאה ה-19 הגדיר פרובניוס את המושג קרקטר של חבורה סופית .
אלו הן פונקציות מסוימות על החבורה הסופית עם ערכים בשדה המרוכבים.
מנקודת מבט מודרנית אלו הם הקרקטרים של הצגות בלתי פריקות של .
עם זאת, מושג ההצגה הופיע בשלב מאוחר יותר ממושג הקרקטר.
במהלך המאה ה-20, פיתח בראואר אנלוג של תורת הקרקטרים עבור הצגות במרחבים מעל הסגור אלגברי של שדה סופי.
תורה זו נקראת תורת הקרקטרים המודולרית.
הן לתורת הקרקטרים והן לגרסתה המודולרית יש תפקיד מכריע ברבות מטענות הביניים בהוכחת משפט המיון.
אסטרטגיית המיון מבוססת על כל הרעיונות המתוארים מעלה ועוד רבים אחרים.
לצורך ההוכחה, מחלקים את החבורות לשתי מחלקות, בעלות "טיפוס זוגי" ו"טיפוס אי-זוגי", וממיינים כל מחלקה בפני עצמה.
המקרה האי-זוגי קל יותר (והוא תופס רק 3 כרכים בהוכחת הדור השני), משום שבו אפשר למיין את החבורות על-פי גרסה מתאימה של "דרגת לי", המוגדרת עבור חבורות אלגבריות באמצעות טורוסים, שהם מכפלת עותקים של החבורה הכפלית של שדה הבסיס.
במקרה הזוגי, עלולים הטורוסים שלא לספק שום מידע (החבורה הכפלית של השדה מסדר 2 היא טריוויאלית).
במקום "דרגת לי" המוגדרת עבור חבורות אלגבריות, משתמשים בפרמטר , השווה לדרגה המקסימלית של תת-חבורה אלמנטרית אבלית מאקספוננט ראשוני של נורמליזטור של חבורת 2-סילו של G.
חבורות שבהן הפרמטר קטן או שווה ל-2 נקראות "דקות למחצה".
המיון של חבורות דקות למחצה הוכרז (על ידי Geoff Mason), אבל לא פורסם בזמן הוכחת הדור הראשון.
מיכאל אשבכר, אחד החוקרים המובילים בפרויקט, מצא פער בהוכחה זו, השלים אותו (בעזרת סטיב סמית') בהוכחה שאורכה כ- 1200 עמודים, ופרסם אותה בראשית שנות האלפיים.
הוכחת הדור השני מבוססת על חלוקה שונה במעט למקרים "זוגי" ו"אי-זוגי" מזו שהייתה מקובלת בדור הראשון.
מתנהל גם פרויקט נוסף של שכתוב ההוכחה המקורית, תוך שמירה על אותה חלוקה למקרים.
בשנת 1972 הכריז גורנשטיין על תוכנית להשלמת סיווג החבורות הפשוטות הסופיות, שהורכבה מ־16 צעדים:
עבודה זו נעשתה למעשה בידי גורנשטיין והראדה, שסיווגו את החבורות שדרגת ה־2 הסקשונלית שלהן לכל היותר 4. רוב המקרים של דרגת־2 לכל היותר 2 כבר נפתרו כשגורנשטיין הכריז על התוכנית.
פשטות למחצה של ה-2- שכבה של מרכז של אינוולוציה בחבורה פשוטה.
הבעיה היא להראות שאם לחבורה יש מרכז של אינוולוציה ב"צורה סטנדרטית", אז היא חבורה מטיפוס לי במאפיין אי־זוגי.
בעיה זו נפתרה באמצעות משפט האינוולוציה הקלאסית של אשבכר.
חבורות דקות; החבורות דקות סופיות הפשוטות, אלו שדרגת ה־p־הלוקלית־2 שלהן לכל היותר 1 עבור מספרים ראשוניים אי־זוגיים p, סווגו בידי אשבכר ב־1978.
חבורות עם תת־חבורה p־משוכנת־חזק עבור p אי־זוגי
בוצע על ידי מקברייד ב־1982.
מיון חבורות מטיפוס מאפיין p.
אלו הן החבורות עם תת־חבורה 2-לוקלית שהיא p־משוכנת־חזק, עבור p אי־זוגי.
חבורה כמעט־דקה היא חבורה שתת־החבורות הלוקליות־2 שלהן מדרגת־p לכל היותר 2 לכל p אי־זוגי.
הושלם על-ידי אשבכר וסמית ב־2004.
חבורות מדרגת־3 לוקלית ודרגה נמוכה 2. בעיה זו נפתרה למעשה על ידי משפט שלוש האפשרויות של אשבכר עבור חבורות עם e(G)=3.
בעיה זו נפתרה למעשה על ידי משפט שלוש האפשרויות.
סיווג החבורות הפשוטות מטיפוס מאפיין 2. בעיה זו נפתרה באמצעות משפט גילמן–גרייס.
חלק ניכר מהפריטים בטבלה שלהלן נלקחו מתוך .
התאריך המופיע הוא לרוב תאריך הפרסום של ההוכחה המלאה של התוצאה, לעיתים חלפו כמה שנים לאחר ההוכחה או ההכרזה הראשונה עליה, ולכן חלק מן הפריטים מופיעים בסדר "שגוי".
השורות בהן מופיעות התפתחויות חשובות מודגש ברקע צהוב.
חבורות עם רכיב בצורה סטנדרטית סווגו באוסף רחב של מאמרים1976אונן מציג את חבורת אונן1976ינקו מציג את חבורת ינקו J4, החבורה הספורדית האחרונה שהתגלתה, ובכך למעשה משלים את הבניה של כל החבורות הפשוטות הסופיות1977אשבכר מאפיין את חבורות מטיפוס לי במאפיין אי־זוגי במשפט האינוולוציות הקלאסי.
במתמטיקה, משפט הייצוג של סטון קובע כי כל אלגברה בוליאנית איזומורפית לאלגברה של קבוצות.
למשפט חשיבות רבה בתורה של אלגבראות בוליאניות, משום שהוא נותן אפיון אלגברי מלא לכל האלגבראות הבוליאניות, וכן מאפשר לעשות שימוש בטכניקות של תורת הקבוצות בפתרון בעיות באלגבראות בוליאניות.
המשפט הוכח בשנת 1936 על ידי מרשל סטון ונקרא על שמו.
ישנם מספר משפטים בגאומטריה המיוחסים למתמטיקאי האמריקאי לארי היין (Larry Hoehn).
המשפט הראשון: הכללה של משפט פיתגורס למשולש שווה-שוקיים
בהינתן משולש שווה-שוקיים שאורך השוק שלו הוא c, נעביר ישר באורך a מזווית הראש אל הבסיס.
הישר מחלק את הבסיס לשני קטעים שאורכיהם b, d, אזי:
במקרה הפרטי שבו הישר הפנימי הוא גובה (ולפי משפט ידוע בגאומטריה, גם תיכון), מתקיים ש ומתקבל משפט פיתגורס.
המשפט פורסם בשנת 2000, כאשר לארי היין בחן אחת מההוכחות הרבות למשפט פיתגורס.
סביר להניח שהמשפט התגלה כבר בעבר, אך אין לכך תיעוד בספרות המתמטית.
יהי ABC משולש שווה-שוקיים שזווית הראש שלו היא C ובסיסו AB.
הישר CD מחלק את הבסיס לקטעים שאורכיהם b,d.
נעביר אנך CE מהקודקוד לבסיס.
ממשפט פיתגורס במשולש BCE מתקבל השוויון:
ממשפט פיתגורס במשולש DCE מתקבל השוויון:
מחיסור בין השווינות שהתקבלו בשלבים הקודמים נקבל:
בטריגונומטריה, משפט הטנגנסים הוא משפט מתמטי המציג יחס בין אורך צלעות המשולש לבין טנגנס הזוויות שבו.
עבור משולש ששתיים מצלעותיו הן והזוויות שמולן הן בהתאמה, משפט הטנגנסים קובע כי מתקיים היחס הבא:
משפט הטנגנסים הובא לראשונה בניסוח מתמטי פורמלי בספרו של המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט "Variorum de rebus Mathematicis" בשנת 1593, שם גם נוסח משפט הקוסינוסים בצורתו המודרנית.
עם זאת, ניסוח מסובך יותר של המשפט ומספר שימושים שלו הופיעו גם בשנת 1583 בספרו של המתמטיקאי הדני תומאס פינק "Geometria Rotundi", שם גם נעשה לראשונה שימוש במונח "טנגנס" במשמעותו הנוכחית.
שימושים נוספים למשפט הובאו בשנת 1609 אצל יוהאנס קפלר בספרו "Astronomia Nova" ("האסטרונומיה החדשה").
משפט מקביל בטריגונומטריה הספירית נתגלה והוכח כבר לפני כן במאה ה-13 בידי המתמטיקאי ואיש האשכולות הפרסי נסיר אל-דין אל-טוסי.
לפי משפט הסינוסים מתקיים השוויון הבא (כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם של המשולש):
בהעברת אגפים נקבל שתי משוואות:
כעת נוכל לפתח את הנוסחה הבאה:
נעזר בזהויות הטריגונומטריות של המרת סכום והפרש של שני סינוסים:
נציב את הזהויות בתוצאה (3) ונקבל:
להלן בנייה המוכיחה את המשפט על סמך משפט תאלס המבוססת על הוכחה שהוצגה במגזין "Mathematics Magazine" של איגוד המתמטיקאים האמריקאי:
עבור בו מתקיים , נבנה מעגל בו C היא נקודת המרכז ו-CB הוא הרדיוס, ונסמן את D כהמשך הצלע AC משמאל, את E כהמשך אותה צלע מימין, כך שמתקיים: .
בבנייה שביצענו, רואים את התוצאות הבאות:
לכן, הזווית הנשענת עליו, היא זווית ישרה, כלומר: .
נוריד גובה מקודקוד A במשולש ABE ונסמן את נקודת המפגש עם צלע BE ב-F.
על פי משפט תאלס מתקיים: .
זווית זו היא גם זווית הראש במשולש שווה השוקיים BCE.
באופן דומה, ומכאן נקבל כי: .
על פי תכונות הטנגנס במשולש ישר-זווית מתקיימות המשוואות הבאות:
מחלוקת משוואות זו בזו נקבל את התוצאה הבאה: .
קיימות בניות גאומטריות נוספות המוכיחות את המשפט, בין בהסתמכות על דמיון משולשים ובין בהסתמכות על תכונות אחרות כגון משפט חוצה הזווית.
כמו משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים, גם במשפט הטנגנסים ניתן להיעזר לפתירת בעיות בהן ידועים רק גודלי שתי זוויות ואורך צלע אחת במשולש (שתי זוויות וצלע), או כאשר ידועים אורכי שתי צלעות וגודל אחת מהזוויות (שתי צלעות וזווית).
בעבר, לפני המצאת המחשבון, היו משתמשים בחוקי הלוגריתמים ובלוחות לוגריתמים על מנת לבצע חישובים במהירות.
בשל העובדה כי משפט הקוסינוסים מורכב מפעולות חיבור וחיסור, קשה להמיר אותו לצורה לוגריתמית בת-חישוב, ולפיכך השתמשו במשפט הטנגנסים שאת תוצאתו קל יותר לחשב באמצעות הטבלאות.
כיום, לאחר המצאת המחשבון, נוח יותר לבצע חישובים בעזרת משפט הקוסינוסים, ולפיכך השימוש במשפט הטנגנסים פחות רווח.
במכניקה ובייחוד במכניקה אנליטית ובמכניקה סטטיסטית, משפט הוויראליות מקשר בין הממוצע על הזמן של האנרגיה הקינטית של המערכת, , והממוצע על הזמן של האנרגיה הפוטנציאלית ,.
המשפט קובע שבמערכת שתנועתה סופית, כלומר מערכת בה גם בזמן אינסוף המרחק בין הגופים סופי, ושהאנרגיה הפוטנציאלית שלה היא פונקציה הומוגנית מסדר של הקואורדינטות, אזי: .
נגדיר ממוצע על הזמן של גודל כלשהו: .
המשפט קובע שבמערכת בה התנועה מוגבלת לאזור סופי של המרחב לכל זמן, והאנרגיה הפוטנציאלית שלה לא תלויה במהירויות, מתקיים: .
כאשר היא האנרגיה הקינטית הכוללת של המערכת, האנרגיה הפוטנציאלית ו הקואורדינטות המוכללות.
אם האנרגיה הפוטנציאלית היא פונקציה הומוגנית מסדר של הקואורדינטות אזי המשפט מקבל את הצורה .
האנרגיה הקינטית היא פונקציה הומוגנית מסדר שני של המהירויות, לכן על פי משפט אוילר לפונקציות הומוגניות נקבל: .
במערכת מכנית בה האנרגיה הפוטנציאלית לא תלויה במהירויות מתקיים: .
כאשר הוא הלגראנז'יאן ו הם התנעים המוכללים.
כעת נבצע ממוצע על פי הזמן עבור האיבר השמאלי בביטוי הימני:
וזאת משום שהתנועה סופית ולכן ו סופיים.
כאשר היא פונקציה הומוגנית מסדר של הקואורדינטות אז על פי משפט אוילר לפונקציות הומוגניות נקבל: ולפיכך: .
מסקנה פשוטה של המשפט מתקבלת עבור בעיית קפלר.
עבור כח משיכה ניוטוני מתקיים: ולכן ומכאן .
כאשר היא האנרגיה הכוללת של המערכת.
מכאן ניתן להסיק שאם תנאי המשפט מתקיימים אזי האנרגיה בהכרח שלילית.
כלומר תנועה למרחק סופי תתקיים אם ורק אם האנרגיה שלילית.
תוצאה זו זהה לתוצאה הידועה לנו מפתרון בעיית קפלר הנותנת תנועה אליפטית או מעגלית אם האנרגיה שלילית.
עבור שאר האפשרויות תתקבל תנועה לא סופית.
אם נצפה אזור ביקום שמלא באופן חריג בגלקסיות, ניתן להניח שהגלקסיות הללו נעו ביחד זמן ממושך, ולכן ניתן להפעיל את משפט הוויראליות.
כיון שהכוח הפועל הוא כוח משיכה גרביטציוני, מתקיים הקשר: .
ממדידות של אפקט דופלר ניתן למצוא את המהירויות היחסיות של הגלקסיות ואז מהפעלת משפט הוויראליות ניתן למצוא את המסה הכוללת של האזור כולל החומר האפל שבו.
כאשר ביצע פריץ צוויקי את המדידות האלו בשנת 1933, הוא גילה שהמסה הכוללת של האזור בו צפה גדולה בהרבה מהמסה של החומר הנראה באזור זה.
גילוי זה גרם לצוויקי לחזות את קיומו של החומר האפל.
משפט החלוקה של אוילר הוא משפט הקובע שמספר החלוקות של מספר לחלקים שונים זה מזה שווה למספר החלוקות של המספר לחלקים אי-זוגיים (לא בהכרח שונים).
את המשפט הוכיח לאונרד אוילר ב-1748 באמצעות פונקציות יוצרות, שיטה חדשנית בזמנו.
חלוקה של מספר טבעי היא הצגה שלו כסכום של מספרים טבעיים.
למשל הם דוגמאות לחלוקות של 5. שתי חלוקות הנבדלות רק בסדר המחוברים נחשבות לאותה החלוקה.
חלוקה נבדלת היא חלוקה שבה כל החלקים שונים זה מזה.
למשל היא חלוקה נבדלת של 7, ואילו אינה כזו כי 3 מופיע פעמיים.
חלוקה אי-זוגית היא חלוקה שכל חלקיה הם מספרים אי-זוגיים, למשל היא חלוקה אי-זוגית בעוד ש- אינה כזו.
את מספר החלוקות הנבדלות השונות של מספר נסמן .
את מספר החלוקות האי-זוגיות של מספר נסמן .
משפט החלוקה של אוילר קובע ש- לכל n טבעי.
הפונקציה היוצרת של היא טור החזקות .
אנו מתעניינים בפונקציה היוצרת רק כאובייקט אלגברי המאגד את המידע על בצורה הנוחה לנו, ואין לנו עניין בשאלת ההתכנסות של הטור.
באופן דומה היא הפונקציה היוצרת של .
ההוכחה של אוילר עושה שימוש במניפולציות אלגבריות כדי להראות שהפונקציות היוצרות של ושל זהות זו לזו, ולכן מספר החלוקות הנבדלות ומספר החלוקות האי-זוגיות שווים זה לזה.
ייחודה של ההוכחה בכך שהיא מוכיחה תוצאה בקומבינטוריקה ובתורת המספרים ללא שימוש בכלים האלמנטריים מתורות אלו.
תכונה של הפונקציה היוצרת של , היא שניתן להציג אותה כמכפלה אינסופית, כך שאם נפתח סוגריים במכפלה נקבל את הפונקציה היוצרת:
בפתיחת הסוגרים נקבל פעם אחת בדיוק כל מכפלה מהצורה , אותה ניתן לבטא לפי חוקי החזקות כך: .
ניתן לשים לב, שלפני חיבור איברי המעריך התוצאה שתתקבל היא של מעריכים שכולם שונים זה מזה, ולאחר חיבור איברי המעריך נקבל כל מעריך מספר פעמים זהה לערכה של החלוקה הנבדלת שלו.
למשל יתקבל 3 פעמים מפתיחת הסוגריים: , פעם אחת לכל חלוקה נבדלת, ולכן המקדם שלו בסכום שיתקבל הוא .
באופן דומה גם את הפונקציה היוצרת של ניתן להציג כמכפלה אינסופית (שכל גורם בה הוא סכום אינסופי):
במקרה הזה כאשר נפתח סוגריים נקבל פעם אחת בדיוק כל מחובר מהצורה , כאשר המעריכים כולם אי-זוגיים (ולא בהכרח שונים).
למשל יתקבל 3 פעמים: , פעם אחת לכל חלוקה אי-זוגית, ולכן המקדם שלו הוא .
נשים לב כי הסכום הוא למעשה סכום של סדרה הנדסית (עם מנה ) ולכן לפי הנוסחה לסכום סדרה הנדסית הוא שווה ל-.
ביטאנו כל אחת מן הפונקציה היוצרות כמכפלות אינסופיות, וכעת נותר להראות שהמכפלות שוות.
הדבר נעשה במניפולציה אלגברית פשוטה.
מהזהות הידועה של הפרש ריבועים מקבלים , ולכן:
כל אחד מהמונים מצטמצם עם אחד מהמכנים שאחריו ונשארים רק המכנים האי-זוגיים:
קיבלנו , ולכן כפי שרצינו להוכיח.
נבנה התאמה חד-חד-ערכית ועל שמתאימה לכל חלוקה אי-זוגית חלוקה נבדלת יחידה ולהפך.
לכן מספר החלוקות בשני המקרים זהה.
נניח היא חלוקה אי-זוגית של המספר n ( הוא מספר שלם אי-שלילי ששווה למספר העותקים בסכום של המחובר ).
נציג כל בבסיס בינארי, כלומר כסכום של חזקות שונות של 2: .
נקבל חלוקה נבדלת של n:
זוהי חלוקה נבדלת כי כל שני איברים בה נבדלים בחזקה המקסימלית של 2 המחלקת אותם או במספר האי-זוגי המקסימלי שמחלק אותם.
גם הכיוון ההפוך מוגדר היטב.
לכל חלוקה נבדלת נקבץ יחדיו את המחוברים שיש להם אותו מחלק אי-זוגי מקסימלי.
בגלל שהחלוקה נבדלת הם יבדלו בחזקה המקסימלית של 2 המחלקת אותם.
לכן סכום החזקות של 2 קובעות הצגה בינארית של מקדם באופן יחיד.
המשפט הוא מקרה פרטי של משפט גליישר , שקובע כי עבור שלם d, מספר החלוקות לחלקים שאינם מתחלקים ב-d, שווה למספר החלוקות המקיימות ששום חלק לא חוזר d פעמים או יותר (במילים אחרות, כל חלק חוזר לכל היותר d-1 פעמים).
משפט החלוקה של אוילר הוא משפט גליישר עבור d=2.
במתמטיקה, משפט המולטינום הוא נוסחה לפיתוח חזקות של פולינום.
הנוסחה מהווה הכללה מהבינום של ניוטון, אשר מציג מקרה פרטי עבור בינום.
עבור m מספר טבעי ו-n מספר אי-שלילי (חיובי או אפס), מתקיים:
הוא המקדם המולטינומי, המהווה הכללה של המקדם הבינומי.
הסכום האמור נלקח על כל הקומבינציות האפשריות של מספרים אי-שליליים של k1 עדkm כך שסכום כל ki הוא n.
כלומר, עבור כל איבר בסכום, סכום המעריכים בחזקות חייב להסתכם ל-n.
(נציין כי איברים מהצורה x0 נלקחים בתור 1, אף אם x הוא 0).
עבור המקרה הפרטי m = 2 מתקבל הבינום של ניוטון.
את המשפט ניתן להוכיח באינדוקציה על m, ובעזרת הבינום של ניוטון.
החזקה השלישית של הביטוי a + b + c נתונה על ידי:
ניתן להוכיח נוסחה זו על ידי שימוש בחוק הפילוג, אך ניתן לחשבה יותר בקלות באמצעות נוסחת המולטינום, אשר נותנת לנו את המקדם של כל איבר, בתור המקדם המולטינומי.
כאמור, המקדם נקרא המקדם המולטינומי.
למקדם זה יש משמעות קומבינטורית, המכלילה את משמעות המקדם הבינומי: היא מספר הדרכים לחלק n עצמים שונים ל-m קבוצות, כך שבקבוצה הראשונה יש k1 עצמים, בקבוצה השנייה k2 עצמים וכן הלאה.
בעזרת משמעות קומבינטורית ניתן לספק הוכחה נוספת לנוסחא לעיל, באופן זהה להוכחת נוסחת הבינום של ניוטון.
נחשב את מספר המחרוזות השונות שאפשר להרכיב בעזרת האותיות b,a,n,a,n,a - סה"כ יש כאן 6 אותיות, מתוכן פעם אחת b, פעמיים n, ושלוש פעמים a - ולכן התשובה היא .
סכום כל המקדמים המולטינומיים מאותה דרגה m
המקרה הפשוט ביותר של המקדם המולטינומי הוא זה של המקדם הבינומי , המייצג את מספר האפשרויות לחלק מחרוזת בת n אותיות לשתי תת-מחרוזות בנות k ו-n-k אותיות (ללא חשיבות לסדר האותיות בכל אחת מתת-המחרוזות).
סכום כל המקדמים הבינומיים כאשר k רץ מ-1 ל-n-1 שווה למספר הדרכים לחלק את המחרוזת המקורית לשתי תת-מחרוזות לא ריקות, שניתן לפרשו גם כמספר האפשרויות להרכיב מחרוזת לא ריקה ולא מקסימלית מתוך n האותיות כאשר יש חשיבות לסדר תת-המחרוזות (אך אין חשיבות לסדר הפנימי של האותיות בכל תת-מחרוזת).
כל אות יכולה להיבחר או לא להיבחר, מה שנותן חלוקות כאלו, וכאשר לא כוללים את האפשרויות שמתייחסות לקבוצה ריקה ישנן בדיוק חלוקות כאלו.
את אותו הרעיון ניתן להכליל גם למקרה של מקדמים מולטינומיים מורכבים יותר.
את מספר החלוקות האפשרויות של קבוצה בת n איברים ל-3 קבוצות לא ריקות (כאשר אין חשיבות לסדר תת-הקבוצות; זהו סכום כל המקדמים המולטינומיים מדרגה 3, חלקי ), נוכל להראות כי מתקיים כלל הנסיגה:
ההוכחה לכך מורכבת מן הטיעון הבא - לאחר ש"ממצים" את מספר החלוקות המולטינומיות מדרגה 3 של קבוצה התחלתית בת n איברים, ניתן לספח איבר נוסף (האיבר ה-n+1) בשתי דרכים שונות:
להוסיף אותו לקבוצה קיימת; עבור כל חלוקה של הקבוצה ההתחלתית, ניתן להוסיף את האיבר לכל אחת מ-3 תת-הקבוצות שלה, מה שנותן אפשרויות.
להשאיר אותו בנפרד בתור תת-קבוצה בפני עצמה; במקרה זה, יש לחלק את n האיברים של הקבוצה ההתחלתית לשתי תת-קבוצות, וכבר נוכחנו לדעת כי ישנן חלוקות כאלו.
אולם, כל "חצייה" כזאת נספרת למעשה פעמיים, היות שכל אחת משתי תת-הקבוצות של הקבוצה ההתחלתית נספרת בתורה.
לפיכך, יש לחלק ב-2 את התוספת, וכך נקבל:
באופן כללי יותר, מספר החלוקות המולטינומיות הלא ריקות מדרגה m של קבוצה בת 1+n איברים מקיים את כלל הנסיגה:
כאשר תנאי ההתחלה הם ו-.
סכום כל המקדמים המולטינומיים מדרגה m של קבוצה בגודל כללי n מתקבל אז מהכפלת
למשל, הערכים הראשונים של (הספירה מתחילה מ-n=3) הם:
באופן כללי, שווה למספר סטרלינג מהסוג השני , בעוד שסכום כל המקדמים המולטינומיים המתאים הוא: .
באנליזה מרוכבת, משפט היחידוּת (או משפט הזהות) קובע שפונקציה הולומורפית נקבעת בכל תחומה על פי ערכיה בקבוצה קטנה יחסית של נקודות.
יהיו ו- פונקציות הולומורפיות המוגדרות בקבוצה קשירה ופתוחה , ותהי קבוצה בעלת נקודת הצטברות ב- כך ש- לכל , אזי לכל .
התנאי של- תהיה נקודת הצטברות ב- הכרחי.
הפונקציות ו- הן שתי פונקציות שונות שהולומורפיות במישור הנקוב , ומתאפסות בקבוצה שנקודת ההצטברות היחידה שלה היא 0.
האנלוג הממשי של המשפט אינו נכון.
ו- הן פונקציות שונות הגזירות בכל הישר הממשי ומזדהות בקטע .
על כן משפט היחידות מחזק את ההבנה שגזירות במובן המרוכב היא תנאי חזק בהרבה מגזירות במובן הממשי.
נקדים להוכחת המשפט שלוש למות שימושיות.
תהי פונקציה הולומורפית המוגדרת בקבוצה פתוחה .
תהי קבוצת האפסים של .
תהי הקבוצה הנגזרת של ב- (קבוצת כל נקודות ההצטברות שלה ב-).
שלוש הלמות הבאות מתקיימות באופן טריוויאלי אם ריקה, ולכן נניח שאינה כזו.
נקודת הצטברות של ולכן קיימת סדרה כך שלכל n, , וכן .
למה 2 - קבוצה סגורה:
תהי נקודת הצטברות של .
לפי למה 1 , ולכן נקודת הצטברות של , כלומר .
מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה ולכן היא סגורה.
למה 3 - קבוצה פתוחה:
עלינו להוכיח כי קיימת סביבה של המוכלת ב-.
מההולומורפיות של ב- נובע כי ניתן לפתח את לטור חזקות בעיגול סביב :
נניח על דרך השלילה כי לא כל המקדמים בטור הם 0. משמע קיים טבעי קטן ביותר כך ש-.
מתכנס ב- לפי מבחן ההשוואה עם .
מכיוון ש- רציפה, קיימת סביבה של כך שלכל מתקיים .
ולכן נקודה מבודדת ב- בסתירה להגדרת .
על כן הנחת השלילה שגויה ו- לכל טבעי.
מכאן שלכל מתקיים , ולכן .
אולם בעיגול כל נקודה היא נקודת הצטברות ולכן .
לפי למה 2 ולמה 3 היא קבוצה פתוחה וסגורה.
מכיוון ש- קבוצה קשירה, מתקיים או .
אולם ולפי הנתון אינה ריקה.
מכאן ש-, ולכן לפי למה 1 .
יהיו ו- פונקציות הולומורפיות המוגדרות בקבוצה קשירה ופתוחה , ותהי נקודה ב- כך שלכל טבעי , אזי לכל .
זאת מכיוון שלשתי הפונקציות אותו טור טיילור סביב , ולכן הן מזדהות בעיגול סביב .
כל אפס של פונקציה הולומורפית שאינה פונקציית האפס הוא אפס מבודד (קיימת לו סביבה נקובה שאין בה אפסים).
אחרת לפי עקרון היחידות זו פונקציית האפס.
לפונקציה הולומורפית שאינה פונקציית האפס יש מספר בן מנייה של אפסים.
זאת מכיוון שלכל אפס מבודד ניתן להתאים באופן חד-חד-ערכי נקודה במישור עם קואורדינטות רציונליות.
אם לפונקציה הולומורפית יש המשכה אנליטית מקבוצה עם נקודת הצטברות לקבוצה פתוחה וקשירה, אז המשכה זו יחידה.
מסקנה זו מצדיקה למשל את הרחבת פונקציית האקספוננט והפונקציות הטריגונומטריות מהישר הממשי לכל המישור המרוכב באמצעות נוסחת אוילר.
המשכה אנליטית שומרת על יחסים פונקציונליים.
כל זהות בין פונקציות הולומורפיות המוגדרת על ידי פונקציה הולומורפית בכמה משתנים נשמרת גם אחרי המשכה אנליטית של הפונקציות.
למשל הזהות הממשית מתקיימת גם ל- מרוכב.
באלגברה מופשטת ובאנליזה מרוכבת, משפט הורוויץ (Hurwitz theorem) הוא משפט הנותן פתרון מלא למשוואות מהצורה , כאשר משתנים ליניאריים ב-.
המשפט קובע בדיוק לאילו מספרים טבעיים יש פתרון.
מבחינה אלגברית, בעיה זו שקולה למיון כל אלגבראות ההרכבה מעל שדה ממאפיין לא 2.
המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי אדולף הורוויץ (Adolf Hurwitz), שעסק בבעיה במקרה המרוכב ופתר אותה לקראת סוף המאה ה-19.
יהי שדה ממאפיין לא 2.
נביט במשוואות מהצורה , כאשר מספר טבעי (משתנה), המשתנים טרנסצנדנטיים מעל השדה, והמשתנים הם מהצורה , עם כלומר משתנים ליניאריים לפי .
המשפט קובע כי למשוואות אלו יש פתרון שבו כל הוא כנ"ל, אם ורק אם .
עבור הפתרון הליניארי של הוא .
עבור קל לבדוק כי .
זהויות דומות ומעט מסובכות יותר ניתן לתת עבור (לפרטים מדויקים, ראו בקריאה נוספת).
כעת נציג את קשר הבעיה לאלגברת הרכבה.
אלגברת הרכבה היא אלגברה לא אסוציאטיבית עם יחידה, יחד עם תבנית ריבועית רגולרית שהיא כפלית, כלומר מקיימת .
לכן, קביעת כל אלגברות ההרכב תוביל למציאת כל הפתרונות למשוואה לעיל ולהוכחת משפט הורוויץ.
התכונה החשובה של אלגברות הרכבה היא שאלגברה היא אלגברת הרכבה אם ורק אם היא אלגברה אלטרנטיבית עם אינוולוציה, עבורה , כאשר 1 הוא איבר היחידה ו- תבנית רגולרית.
תכונה מעניינת נוספת של כל אלגברת הרכבה עם תבנית ריבועית אנאיזוטרופית (תבנית בה רק עבור ), היא שכל אלגברה כזו היא אלגברה עם חילוק - הפכי של הוא .
כעת נתאר בנייה חיונית עבור המשפט והתאוריה.
בהינתן אלגברה כלעיל, ואיבר , האלגברה ה-c מוכפלת (c-double algebra) (גם אלגברת קיילי-דיקסון) היא אלגברת בעלת ממד כפול מזה של , שנסמנה .
פעולת הכפל נתונה על ידי .
קל לבדוק שהמבנה שהוגדר הוא אלגברה, וממדה ודאי כפול מזה של .
ניתן להגדיר גם אינוולוציה שנובעת מהאינוולוציה הקודמת על ידי , ומתקיים.
התכונות החשובות של האלגברה המוכפלת הן:
קומוטטיבית ואסוציאטיבית אם ורק אם קומוטטיבית ואסוציאטיבית, ו-.
אסוציאטיבית אם ורק אם קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
אלטרנטיבית אם ורק אם אסוציאטיבית.
כעת, נשים לב שאלגברות הרכבה הן אלטרנטיביות.
לכן, אם מתחילים מ- שדה, הכפלה אחת תיתן אלגברה 2-ממדית קומוטטיבית ואסוציאטיבית, המכונה אלגברה ריבועית.
הכפלה שנייה תיתן אלגברה 4-ממדית אסוציאטיבית ולא קומוטטיבית, המכונה אלגברת קווטרניונים מוכללת.
הכפלה נוספת תיתן אלגברה 8-ממדית אלטרנטיבית, המכונה אלגברת אוקטוניונים.
כעת, לאחר ההכפלה השנייה קיבלנו אלגברה לא קומוטטיבית (משום שהאינוולוציה בריבוע איננה הזהות), ולכן האוקטוניונים הם אלגברה לא אסוציאטיבית, כלומר הכפלה שלהם איננה אלטרנטיבית, ולכן איננה אלגברת הרכבה.
סיום תהליך ההכפלה מעיד על נכונותה משפט, אשר את הוכחתו נראה מיד.
לפי כל האמור לעיל, ניסוח שקול למשפט הוא כזה:
מיון מלא של כל אלגברות ההרכבה של שדה ממאפיין לא 2 הוא כלהלן:
למה: תהי אלגברת הרכבה עם תבנית , ונניח כי תת-אלגברה ממש של , הנשמרת תחת האינוולוציה .
אז מוכלת באלגברה , עבור כלשהו.
הוכחת המשפט: תהי אלגברת הרכבה.
אם קיבלנו את מקרה 1. אחרת, לפי הלמה, מכילה אלגברה ריבועית הנשמרת תחת האינוולוציה.
אם שווה לה, סיימנו לפי מקרה 2. אחרת, שוב נעזר בלמה ונקבל כי מכילה אלגברת קווטרניונים (הנשמרת על ידי האינוולוציה).
אם שווה לה, סיימנו לפי מקרה 3. אחרת, שוב לפי הלמה, מכילה אלגברת אוקטוניונים.
זו בהכרח כל האלגברה , אחרת לפי הלמה תכיל הכפלה של אלגברת אוקטוניונים לא אלטרנטיבית, בעוד ש- אלטרנטיבית, בסתירה.
המקרה שעניין את הווריץ הוא המקרה בו , שדה המספרים המרוכבים.
במקרה זה, נביט בשדה הבסיס - הכפלה אחת שלו עם 1- תיתן את שדה המרוכבים ; הכפלה שנייה תיתן את אלגברת הקווטרניונים של המילטון ; הכפלה נוספת (ואחרונה) תיתן את אלגברת האוקטוניונים .
אלגברות אלו מכונות גם אלגברות קיילי-דיקסון - אלגברות הכפלה עם .
משפט הורוויץ הוא משפט באנליזה מרוכבת בדבר האפסים של סדרת פונקציות הולומורפיות המתכנסת במידה שווה על תתי קבוצות קומפקטיות.
המשפט נקרא על שמו של אדולף הורוויץ, מתמטיקאי שעסק רבות בתורת הפונקציות המרוכבות.
בהוכחת משפט ההעתקה של רימן יש שימוש במשפט הורוויץ.
תהי סדרת פונקציות הולומורפיות על תחום פתוח וקשיר .
נניח שהסדרה מתכנסת במידה שווה על כל תת-קבוצה קומפקטית לפונקציה .
אם לפונקציית הגבול יש שורש מסדר , אז החל ממקום מסוים, לכל יש בדיוק שורשים בסביבה מספיק קטנה של .
בנוסף, כאשר השורשים שואפים ל-.
אינה זהותית 0 ולכן האפסים שלה מבודדים, בפרט קיים כך ש אינה מתאפסת ב .
מתכנסת במידה שווה ל על תתי קבוצות קומפקטיות ולכן ממשפט ויירשטראס מתכנסת במידה שווה ל על תתי קבוצות קומפקטיות, בנוסף אינה מתאפסת על , רציפה ו היא קבוצה קומפקטית ולכן ממשפט ויירשטראס קיים כך ש על , מהתכנסות במידה שווה החל ממקום מסוים על .
על כן נקבל כי במידה שווה על .
מעקרון הארגומנט ובפרט זהו מספר שלם, על כן זו סדרה מתכנסת של מספרים שלמים ולכן החל ממקום מסוים היא קבועה ושווה לגבול שלה כלומר
ומעקרון הארגומנט ינבע של יש בדיוק שורשים בסביבה זו.
גרסה נפוצה של המשפט היא - אם בסדרת פונקציות כנ"ל אף פונקציה לא מתאפסת, אז פונקציית הגבול היא או אפס זהותית, או שאיננה מתאפסת אף היא.
אם בסדרת פונקציות כנ"ל כל פונקציה היא חד-חד-ערכית, אז פונקציית הגבול היא או חד חד ערכית או קבועה.
משפט הופקינס-לויצקי (Hopkins–Levitzki theorem) הוא משפט בתורת החוגים, הקובע כי כל חוג ארטיני שמאלי הוא גם נתרי שמאלי.
הטענה נכשלת מעל מודולים כלליים.
המשפט נקרא על שם צ'ארלס הופקינס ויעקב לויצקי.
מספיק להוכיח כי לחוג יש סדרה נורמלית.
יהי רדיקל ג'ייקובסון של החוג.
ידוע כי רדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי, נניח .
כל גורם שלה הוא מהצורה ; זהו מודול ארטיני מעל , ולכן פשוט למחצה.
לכל מודול פשוט למחצה יש סדרת הרכב, ולכן גם לחוג כולו, כדרוש.
ניתן לתת הוכחה מעט מסובכת יותר תוך שימוש ברדיקל הראשוני.
למשפט יש מספר ניסוחים כלליים יותר, והמשותף לכולם הוא שהם מקשרים בין תנאי השרשרת העולה לתנאי השרשרת היורדת.
חוג נקרא עיקרי-למחצה (semiprimary) אם אידיאל נילי ו- חוג פשוט למחצה.
אחד ההכללות למשפט היא שמודול מעל חוג עיקרי-למחצה הוא בשקילות ארטיני, נתרי ובעל סדרת הרכב (כלומר, כל אחד מהתנאים גורר את האחרים).
הגרסה הקודמת נובעת מגרסה זו, שכן כל חוג ארטיני שמאלי הוא עיקרי-למחצה.
כאמור, המשפט נכון רק עבור חוגים: לא כל מודול שמאלי ארטיני הוא שמאלי נתרי.
יש בה שרשרת עולה אינסופית , ולכן איננה נתרית.
היא כן ארטינית, שכן כל שרשרת גוררת , ולכן יש איבר קטן ביותר, כלומר היא סופית.
בגאומטריה אוקלידית, משפט הזווית החיצונית קובע כי זווית חיצונית במשולש שווה בגודלה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן סמוכות לה.
זהו ניסוח מחדש של העובדה שסכום הזוויות במשולש שווה לזווית שטוחה: בשרטוט, α+∢β+∢γ=180°=∢γ+∢δ∢, ולכן α+∢β=∢δ∢.
ממילא נובע שזווית חיצונית גדולה מכל זווית פנימית של המשולש שאינה סמוכה לה.
נראה שהזווית C שווה לסכום הזוויות האחרות.
תהי Y נקודה על המשך הקטע AC.
העבר מ-C ישר CX המקביל ל-AB.
הזווית החיצונית ל-C, שהיא הזווית BCY, שווה לסכום הזוויות XCY ו-BCX.
אולם XCY=BAC בהיותן זוויות מקבילות, ו-BCX=ABC בהיותן זוויות משלימות.
משפט הכדור השעיר (הנקרא לעיתים גם משפט הקיפוד) הוא משפט ידוע בטופולוגיה אלגברית שבניסוחו הפופולרי טוען שאי אפשר לסרק כדור שעיר (כלומר לשטח את שערותיו) באופן חלק (כלומר רציף) בלי להשאיר נקודה קרחת או שיערה בולטת.
הנסוח המתמטי והכללי יותר אומר שאין שדה וקטורי על ספירה n ממדית כש-n זוגי (הגדרה הכוללת את הספירה הרגילה - כלומר מעטפת הכדור שבה n=2) המשיק לספירה בכל נקודה ושאינו מתאפס באף נקודה.
המשמעות עבור הספירה הרגילה היא שאם f היא פונקציה רציפה המחזירה וקטור תלת־ממדי לכל נקודה על הספירה כך ש (f(p תמיד משיקה לספירה בנקודה p, אזי קיימת לפחות נקודה p אחת שעבורה f(p) = 0. הטענה והוכחתה ניתנו על ידי פואנקרה ובראואר.
אינדקס של נקודה קריטית מבודדת: ראו את הכדור עם השדה הווקטורי הרציף שבאיור 1. על הכדור ניתן להבחין בנקודה קריטית אחת (כלומר בנקודה שבה הווקטור הוא וקטור האפס).
דמינו מעגל קטן מסביב לנקודה זאת כך שמסומנות עליו השעות כמו בשעון.
כעת שימו נקודה על "שעה 12" והניעו אותה בכיוון השעון לאורך המעגל.
כשהנקודה בשעה 12 הווקטור של השדה מצביע "צפונה" (במישור התמונה).
כשהנקודה תגיע ל"שעה 1" הווקטור כבר יצביע לכוון "צפון מזרח" בערך.
ב"שעה 3" הווקטור יצביע "דרומה" ועד "שעה 6" הוא ישלים סיבוב שלם ויצביע שוב "צפונה".
בין "שעה 6" בחזרה ל"שעה 12" בכיוון השעון הווקטור של הנקודה ישלים עוד סבוב שלם נוסף.
סך הכל במהלך הסבוב של הנקודה בכיוון השעון הווקטור של השדה ישלים שני סבובים בכיוון השעון.
על כן האינדקס של הנקודה הקריטית הזאת מוגדר להיות 2. באופן כללי מסכמים את כל הסיבובים השלמים שעושה וקטור השדה במהלך סבוב הנקודה סביב המעגל בכיוון השעון, כשסיבוב שלם של וקטור השדה עם כוון השעון נספר כ 1, וסבוב שלם של וקטור השדה נגד כוון השעון נספר כ 1-.
לנקודות קריטיות יכולים להיות ערכי אינדקס שונים בהתאם לשדה הווקטורי המקיף אותן.
להגדרה פורמלית יותר של האינדקס של נקודה קריטית ראו.
מאפיין אוילר של משטח דו־ממדי (כמו ספירה רגילה או טורוס למשל) הוא הערך כאשר E מייצג את מספר הצלעות, F מייצג את מספר הפאות ו-V מייצג את כמות הצמתים של פאונים המחלקים את המשטח.
פואנקרה הראה שערך זה נשאר קבוע עבור משטח ללא תלות בצורת הפאון, ולכן הערך הוא מאפיין של המשטח.
קל לראות שמאפיין אוילר של ספירה הוא 2 וזה של טורוס הוא 0.
משפט פואנקרה-הופף אומר שעבור שדה וקטורי V רציף ומשיק למשטח קומפקטי, קשיר ואוריינטבילי סכום האינדקסים של הנקודות הקריטיות של V שווה למאפיין אוילר של המשטח.
במקרה של כדור (או כל צורה שקולה טופולוגית לכדור) מאפיין אוילר הוא כאמור 2, ולכן סכום האינדקסים של הנקודות הקריטיות שווה ל 2, ומכאן שקיימת לפחות נקודה קריטית אחת (כמו באיור 1).
לטורוס כאמור מאפיין אוילר 0 ולכן לא חייבת להיות לו נקודה קריטית ומשפט ה"כדור השעיר" אינו תקף.
ואמנם קל לראות שניתן "לסרק" טורוס באופן חלק ללא קרחות או שערות עומדות - ראו איור 2.
למשפט הכדור השעיר יש השלכות מפתיעות בתחום המטאורולוגיה.
הטלת כיוון הרוחות על פני כדור הארץ מהווה שדה וקטורי רציף ולכן, לפי משפט הכדור השעיר, בכל רגע נתון יש על כדור הארץ לפחות מקום אחד בו הרכיב האופקי של הרוח הוא 0, כלומר מקום בו אין רוח או מקום בו לרוח יש רק רכיב ניצב לאדמה.
במונחים מטאורולוגים, הנקודה הקריטית הזאת תימצא במרכז של ציקלון או אנטי-ציקלון.
ליתר דיוק, כיוון שאוויר האטמוספירה הוא רב שכבתי הרי שבכל שכבה קיימת נקודה שכזאת.
לעיתים קרובות תוכנת מחשב המבצעת חישובים לצורך גרפיקה ממוחשבת זקוקה לחשב וקטור תלת־ממדי ניצב לווקטור נתון אחר.
ממשפט הכדור השעיר נובע שאי אפשר לכתוב פונקציה אחת רציפה שתבצע משימה זאת עבור כל וקטור קלט אפשרי.
כדי להשתכנע בכך, דמיינו ספירה סביב מוקד מסוים, והניחו שהפונקציה מקבלת כל פעם כקלט וקטור המצביע מהמוקד אל מקום כלשהו על הספירה.
על הפונקציה לחשב וקטור ניצב לווקטור הקלט, או במילים אחרות וקטור משיק לספירה.
ממשפט הכדור השעיר נובע שלא קיימת פונקציה רציפה שתחזיר תמיד וקטורים לא מאופסים.
ממשפט הכדור השעיר נובע שלכל פונקציה רציפה מספירה על עצמה יש או נקודת שבת (נקודה הממופה לעצמה) או נקודה הממופה לנקודה האנטיפודית שלה (כלומר לנקודה הנמצאת בדיוק מולה מעבר למרכז הספירה).
כדי להשתכנע בכך, תהי s הפונקציה הממפה את הספירה על עצמה, כלומר כל נקודה p על הספירה ממופה ל (s(p שגם היא על הספירה.
כעת נגדיר שדה וקטורי רציף (v(p עבור הנקודות של הספירה כדלהלן: עבור כל נקודה p שעל הספירה ניקח את המישור המשיק לספירה בנקודה p - נקרא למישור זה M.
נקרא לנקודה האנטיפודית לp בשם q.
כעת נבצע הטלה סטריאוגרפית ל (s(p ממרכז ההטלה q אל המישור M.
במילים אחרות, נעביר ישר בין q ל (s(p, ונסמן את המפגש של ישר זה עם המישור M בשם vp.
ערך השדה הווקטורי (v(p יוגדר להיות הווקטור בין p לvp שהוא וקטור משיק לספירה בנקודה p.
כיוון ששדה v כזה הוא רציף הרי שנובע ממשפט הכדור השעיר שיש נקודה p בה הוא מתאפס, או במילים אחרות ש v(p)=0 ולכן s(p)=p.