tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
התפיסה של הכנסייה הנוצרית קובעת שישו, שהיה הקורבן האולטימטיבי, שם קץ לצורך להקריב קורבנות כי במותו כיפר על כל החטאים ועל כל העוונות, ולאחריו אין עוד צורך להקריב חיות כדי לעבוד את האל
התבטאות נוספת לשאיפה לחידוש עבודת הקורבנות מתבטאת בתפיסה ההגותית שהעבודה שבלב החליפה את העבודה המעשית, כך גם 'תורה עבודה ודרך ארץ' בו עבודה שימשה כעבודת המקדש, הפכה בהמשך לעבודת המידות.
כלומר חוסר היכולת להקריב, הוביל לפתרונות דרשניים אשר זיהו מושגים תורניים אחרים והקבילו אותם להקרבת קורבנות כדברים המהווים תחליף.
ניסיונות לחידוש העבודה במהלך ההיסטוריה
הניסיון הראשון להקמת בית המקדש וחידוש העבודה לאחר החורבן, היה כמה עשרות שנים לאחר החורבן, בימי אדריאנוס, כפי שמתואר במדרש: "בימי רבי יהושע בן חנניה גזרה מלכות הרשעה שיבנה בית המקדש.
הושיבו פפוס ולוליאנוס טרפיזין מעכו עד אנטוכיא והיו מספקין לעולי גולה כסף וזהב וכל צרכם".
אולם בעקבות הלשנה, הוטלו סייגים על ההיתר הקיסרי, וכך נמנעה בניית בית המקדש.
יש המשערים שאחת ממטרותיו של מרד בר כוכבא הייתה הקמת בית המקדש, דבר שהתבטא במטבעות המרד, שבהם נחקקו בית המקדש וירושלים.
יש אף ששיערו, שבר כוכבא הצליח לכבוש את ירושלים, ואף לחדש את עבודת הקורבנות לזמן קצר.
רבי צבי הירש חיות טוען שבמשך תקופה ממושכת לאחר החורבן, הייתה נהוגה הקרבה של קרבן פסח.
ניסיון נוסף לבניין בית המקדש נעשה בתקופתו של הקיסר יוליאנוס (362 לספירה).
קיסר זה, הכריז על תמיכתו בבניין בית המקדש, כדי לגייס את היהודים למאבקו בדת הנוצרית, וכדי לערער את האמונה הנוצרית, המבוססת על התקיימות הנבואה הנוצרית על חורבן בית המקדש ושפלות עם ישראל.
בעקבות הכרזה זו, החלה בנייה של בית המקדש בהר הבית, אך זו הופסקה בשל מאורעות מסתוריים, כרעידת אדמה ושריפה, ובשל מותו של הקיסר יוליאנוס ומינוי קיסר נוצרי תחתיו.
במאה ה-13, עלה לארץ רבי יחיאל מפריז, כאשר מגמתו הייתה לבוא לירושלים ולהקריב קרבנות.
בעת החדשה, בתקופת שלטונו של מוחמד עלי (שליט מצרים) בארץ ישראל (1833 – 1841), נתעוררו תקוות שניתן יהיה לקבל רשות להקריב קורבנות.
הרב צבי הירש קלישר פנה בהצעה לחדש את עבודת הקורבנות לרבו, רבי עקיבא איגר, ששלל את הרעיון מסיבות הלכתיות.
עם זאת, פנה רבי עקיבא איגר בעניין לחתנו, רבי משה סופר, שצידד בכך שאין בחששות ההלכתיים כדי להצדיק הימנעות מהקרבת הקורבנות, במיוחד לגבי הקרבת קורבן פסח.
עם זאת ציין שהמושל "קפדן גדול...
לבל יקרב שם מי שאינו מאומת ישמעאלים".
כעשרים וחמש שנה לאחר מכן, בשנת תרכ"ב, הרב קלישר פרסם את ספרו 'דרישת ציון', ובו תיאר את עמדתו ואת חלופת המכתבים שניהל עם רבנים שונים בנושא.
בעקבות פרסום ספרו של הרב קלישר התעוררה גם ההתנגדות לרעיון חידוש העבודה.
בין המתנגדים היו רבי דוד פרידמן מקרלין ורבי חיים נתנזון.
בשנת תרפ"ד הגה הרב יעקב משה חרל"פ את חידוש הקרבת קורבן פסח הוא ראה בכך הכשרה לקיבוץ גלויות ודחיפה לגאולת הארץ.
לפי המסורת של בעלי הקבלה אחרי שיקרב קרבן הפסח בזמן הזה הגאולה בו תבוא (פורסם בעיתון חירות 10 שנים אחרי פטירתו).
בתקופת המנדט הבריטי, בשנת תרפ"ה, פנה רבה של ערלוי, רבי שמעון סופר, לרבי יוסף חיים זוננפלד, רב העדה החרדית בירושלים, ולרבי יעקב מאיר, בהצעה שחכמי ירושלים יפנו לנציב הבריטי ויבקשו רשות להקריב קרבנות.
הרב זוננפלד השיב לו שאין סיכוי לקבל רשות כזו.
למרות זאת המשיך הרב סופר לנסות להשיג רישיון להקרבה.
המאמצים לחידוש העבודה לאחר מלחמת ששת הימים
לאחר סיום הקרב על ירושלים במלחמת ששת הימים התעורר ביתר שאת הדיון אודות חידוש העבודה.
עם השנים, קמו כמה ארגונים הפועלים למען בניין בית המקדש וחידוש עבודת הקורבנות.
ביניהם: התנועה לכינון המקדש; מכון המקדש (העוסק בשחזור כלי המקדש ובגדי הכהונה); שוחרי המקדש (בראשות פרופ' הלל וייס), תנועת נאמני הר הבית, חוזרים להר, מכון תורת הקרבנות ועוד.
תחום הפעילות מתמקד בהגברת מודעות ציבורית לעניין, ופעולות מול הרשויות.
תחום נוסף בו עסוקים חלק מהארגונים הוא ההכנה המעשית לחידוש העבודה: ייצור בגדי כהונה, הכנת כלים לעבודה, אבנים למזבח וכן בירור ההלכה.
מראשית המאה ה־21 מתקיימים מדי שנה ניסיונות להבריח כבשים או גדיים לאזור הר הבית בערב פסח, אשר נעצרים על ידי המשטרה.
בולטים בין המשתתפים בניסיונות הם פעיל הימין נועם פדרמן ואנשי תנועת "חוזרים להר".
בשנת תשע"א הרב שמואל אליהו העביר שיעור בקריאה לחידוש קורבן פסח.
בשנת תשפ"ה הרב העביר שיעור עם הדגמה מעשית על הקרבת קרבן פסח.
לקראת פסח תשע"ט הרב יצחק מאיר מורגנשטרן ציווה לחסידיו להימנות במוקד המנויים לקרבן פסח, וגם נתן כסף לחסידיו וביקש שירשמוהו במוקד ההוא, והוסיף שמבחינה הלכתית "אין למעשה שום בעיה להקריב כיום קרבן פסח על הר הבית", שהרי אין צורך באפר פרה אדומה בקרבן שהוא קרבן ציבור, כי 'טומאה הותרה בציבור'.
בשנת תש"פ הוקם "מזבח" באזור מצפה יריחו, בגודל ובגובה של המזבח החיצון של בית המקדש, עליו מתקיימים תרגולים מעשיים להקרבת קרבנות במסגרת קורסים לכהנים.
בפסח שני תשפ"ה נעצרו 9 פעילים לאחר שהצליחו לראשונה להכניס גדי לתוך שטח הר הבית בתגובה לאירוע פרסמה תנועת חוזרים להר : "נמשיך לעשות ככל יכולתנו לחידוש עבודת הקורבנות בכל הדרכים הנתונות בידינו"
בחג השבועות ה'תשפ"ה עלה כהן לבוש בבגדי כהונה למקום המזבח המשוער, שם הביא לו כהן אחר את שתי הלחם והכהן הניף אותם.
הכהן וחברו עוכבו והוצאו מההר.
בעקבות המקרה, התעורר דיון הלכתי באשר לאפשרות ההלכתית להנפה.
בין הבעיות שהועלו: האם אפיית שתי הלחם צריכה להיות במקום המקדש דווקא, והאם שתי הלחם תלויים בקורבן החג או יכולים להניפם גם לבדם.
הרב אליהו ובר ראש ישיבת הר הבית, כתב תשובה ארוכה בעניינים אלו.
התכלת היא חלק מהותי בקיום מצוות ציצית אשר נזנח לאורך הדורות בעיקר מסיבות היסטוריות.
התורה מצווה על שימוש בפתיל צבוע בצבע התכלת בין חוטי הציצית הלבנים.
צבע התכלת שימש גם לצביעת חלק מיריעות המשכן, פרוכתו, מסכיו, וכיסויי-כליו, וכן כאחד המרכיבים של כמה מבגדי הכהונה.
השימוש בתכלת לצביעת חוטי הציצית פסק עוד בתקופת הגאונים, ועמו נעלמו חלק מהמסורות הקשורות בנושא.
החל מסוף המאה ה-19 נעשו כמה ניסיונות לשחזר את צבע התכלת המקורי, ויחד עם ניסיונות אלו החל פולמוס בשאלות מהו חילזון התכלת, והאם ניתן לחדש בימינו את צביעת פתיל התכלת בציצית.
על פי מצוות ציצית, יש להטיל בפינותיו של בגד בעל ארבע כנפות, ארבעה חוטים הקשורים יחד.
חלק מחוטים אלו הוא לבן וחלק צריך להיות צבוע בצבע תכלת.
צבע זה צריך להילקח מיצור ימי מסוים.
סוד ייצור הארגמן בחוף הלבנט והתכלת היה גלוי לאוכלוסיות המקומיות מתקופת הברונזה, היוקרה והקדושה שיוחסו לו צברו תאוצה מוכחת מהמאה ה-14 לפני הספירה ובשליטה ישראלית לאורך תקופות משמעותיות בימי הבית הראשון.
חשיבותו והשימוש בו נמשכו לאורך תקופת בית שני.
קשיים בהשגת התכלת לציצית החלו כבר בתקופת האמוראים.
בגמרא מסופר על זוג תלמידי חכמים שניסו להבריח תכלת לבבל ונתפסו על ידי הפרסים.
, אולם יש המפרשים שכוונת המדרש היא שהתכלת נשתכחה, ולא שנגנזה לגמרי.
הרב יצחק הלוי הרצוג שיער שהפסקה של הוספת תכלת לציצית אירעה בראשית תקופת הגאונים.
גורם אחר שצוין היה פיתוח חומרי צבע חדשים וזולים יותר.
החוקר זהר עמר חולק על הטענה שהכיבוש הערבי החריב את בתי הצביעה.
לטענתו אין הוכחות לכך, והפקת הצבע מחלזונות בחופי ישראל ולבנון פסקה רק מאוחר יותר, במאות השמינית והתשיעית, ובאירופה במאה השלוש-עשרה.
בתקופתו של הרמב"ם כבר לא הייתה התכלת קיימת, עובדה המצוינת בכתביו.
קיימות מספר הערכות לגבי הסיבות והתאריכים של הפסקת תהליך הפקת התכלת שהביא במשך הזמן גם להעלמות המסורות הקשורות בנושא.
על פי העיקרון העולה מדברי המשנה: "התכלת איננה מעכבת את הלבן", פסקו רוב הפוסקים כי מצוות ציצית מתקיימת גם בחוטי הלבן בלבד, בהיעדר תכלת, וכך נהוג זה מאות בשנים, אם כי יש שפסקו כי דברי המשנה אינם להלכה וקיום מצוות ציצית כאשר התכלת אינה מצויה הוא רק מדרבנן.
החל משלהי המאה ה-19 נעשו ניסיונות לחידוש מצוות התכלת והועלו כמה אפשרויות לזיהוי החילזון על פי תיאורים שונים המצויים בדברי חז"ל והראשונים ובחינתם בין השאר בעזרת כלים מדעיים.
יש שראו בחידוש התכלת אחד מסימני הגאולה.השיטות המרכזיות הן של רבי גרשון חנוך הניך ליינר, האדמו"ר מראדזין, שזיהה את החילזון ממנו הופק התכלת עם דיונון הרוקחים (Common Cuttlefish) ושל הרב ד"ר יצחק אייזיק הלוי הרצוג שזיהה אותו עם הסגולית דו-גונית (Janthina).
זיהוי נוסף של החילזון עם ארגמון קהה קוצים (Murex trunculus) נדחה על ידי הרב הרצוג, אולם כיום רבים מהמדענים העוסקים בנושא קושרים בין התכלת למצוה וצבע ה'פּוּרְפּוּרָה' אשר היה נחשב בעולם העתיק כמוצר יקר ערך.
מאז החל הרב ליינר לעסוק בשאלת חידוש התכלת מתקיים פולמוס רחב בקרב העולם הרבני הדן בהתאמת הזיהוי המודרני של החילזון לדברי חז"ל וכן בעצם היכולת לחדש מצווה שבטלה.
כיום, קיימות קבוצות הולכות וגדלות של שומרי מצוות המטילים פתיל תכלת בציציותיהם, רובם המוחלט מצבע המופק מארגמון קהה קוצים ומיעוטם (בעיקר חסידי ברסלב) ההולכים בשיטת ראדזין.
על פי אגודת פתיל תכלת הייצרת פתילי תכלת מארגמון קהה קוצים ישנם בישראל למלעלה מ-120,000 אנשים בארץ ישראל המטילים פתיל תכלת העשוי מארגמון קהה קוצים.
בלקסיקון העברי שלו הציע החוקר מיכאליס (Michaelis), לראות בדיונון את החילזון שממנו הפיקו בעבר את צבע התכלת.
זאת על פי תיאור החילזון על ידי הרמב"ם בהלכות ציצית: "ודמו שחור כדיו".
סברה זו הובאה אצל כמה חוקרים שבאו אחריו ונדחתה על הסף, בהם הרב משה לנדאו בספרו מערכי לשון, הרב לודוויג לוויזון בספרו זואולוגיה של תלמוד, והרב חנוך קאהוט בספרו ערוך השלם ועוד.
האדמו"ר מראדזין, רבי גרשון העניך ליינר, אימץ דעה זו, ולביסוסה הקדיש שלושה ספרים: "שפוני טמוני חול", "פתיל תכלת" ו"עין התכלת".
בין כתיבת הספר הראשון לשני הוא אף נסע לנאפולי שבאיטליה לראות את הדיונון כשהוא בחיים, ובשנת תרמ"ח (1888) החל בייצור פתילי התכלת מההפרשה השחורה המצויה בו.
עם זאת, תמיכה לעמדתו של האדמו"ר מראדזין הגיעה ממקום בלתי צפוי - חוקר המדרש אברהם עפשטיין במאמרו "החלזון והתכלת".
במאמר זה, שהתפרסם בירחון "בית תלמוד", טען עפשטיין בהסתמך על מידע ביולוגי שגוי, לאמיתות זיהוי הדיונון כמקור לצבע התכלת.
למעשה, השימוש בפתילים אלו לא התפשט בציבור הרחב, והצטמצם בעיקר בקרב חסידי האדמו"ר מראדזין וחלק מחסידי ברסלב.
בשנים שלאחר קום מדינת ישראל נעשו מאמצים רבים על ידי חסידי ראדזין, ניצולי השואה, לשחזר ולחדש את ייצור התכלת הרדזינאית, לאחר שייצורה פסק בימי השואה יחד עם השמדת רוב יהודי פולין ובתוכם בית אדמו"רי ראדזין.
מן הבולטים במאמץ זה היה שלמה זלמן שרגאי, ראש עיריית ירושלים, שאף כתב מאמרים וספרים על חסידות ראדזין בכלל ועל חידוש התכלת שלה בפרט.
כיום פתילי "התכלת הרדזינאית" מיוצרים על ידי הרב יצחק אנגלרד (בנו של האדמו"ר הקודם מראדזין, רבי אברהם ישכר אנגלרד), בבני ברק.
הרב יצחק אייזיק הלוי הרצוג, הרב הראשי לישראל, למד בצעירותו באוניברסיטת לונדון, ובשנת 1913 כתב שם דוקטורט בנושא התכלת והארגמן.
מטרתו העיקרית בעבודה זו הייתה לברר את מהותה של התכלת.
בעבודה זו הציע הרב הרצוג חילזון אחר, הנקרא Janthina או סגולית דו-גונית בעברית של ימינו .
חילזון זה, אף על פי שלא הוזכר במקורות העתיקים, תואם, לדעתו, יותר לתיאור זה.
רעיון זה לא היה חדש וכבר הוצע על ידי הבלשן גזניוס בלקסיקון העברי-ארמי שלו, שיצא לאור בשנת 1829 (גזניוס סבר, בטעות, שחילזון ה־Janthina משתייך למשפחת Murex, לכן הצעתו אינה חורגת מן הקו הכללי של החוקרים שקדמו לו).
בעבודת הדוקטור של הרב יצחק אייזיק הרצוג בנושא התכלת והארגמן, נדחתה השערת הדיונון בשתי ידיים.
בעקבות עיסוקו בנושא זה, ערך הרב הרצוג התכתבות עם חצרו של האדמו"ר מראדזין, רבי מרדכי יוסף אלעזר ליינר, בנו של האדמו"ר 'בעל התכלת', משם קיבל את מתכון הצביעה (שלימים שימש לשחזור ייצור התכלת הרדזינאית שאבד בשואה) ואת הפתילים הצבועים עצמם.
בדיקות של פתילים אלו בשתי מעבדות כימיות (האחת בדרמשטט שבגרמניה בניהולו של פרופ' פרידלנדר והשנייה בבית גובלן שבפריז) העלו שהצבע המופק מהדיונון אינו הצבע הטבעי שבהפרשותיו, אלא 'כחול פרוסי', צבע סינתטי הניתן להפקה ממגוון מקורות אחרים.
בתוכניתו של הרב הרצוג היה להוציא לאור ספר בעברית על התכלת והארגמן, אך בינתיים, בהיותו הרב הראשי לאירלנד, פרסם בהמשכים מעל דפי העיתון "ההד", בשנים תרצ"ב-צ"ה, מאמרים קצרים בנושא תחת הכותרת: "התכלת בישראל" (מאמרים אלה רוכזו אחר כך בידי הרב מנחם בורשטין בספרו "התכלת").
תוכנית זו לא יצאה לפועל, וגם לא ידוע על ניסיון כלשהו מצדו, בשלבים המאוחרים של חייו, להביא את "חידושו" לכלל מעשה.
עבודת הדוקטור שלו פורסמה במקורה בשפה האנגלית בידי פרופ' אהוד שפנייר מאוניברסיטת חיפה בשנת 1987.
פרט למצוות ציצית, ה"תכלת" - בתור צבעם של חוטים - מוזכרת במקרא, לא רק בהקשר של בגדי הכהונה ושל יריעות המשכן ושל פרוכתו ושל מסכיו ושל הכיסויים שנדרשו לכליו בזמן המסעות במדבר, אלא גם בתור צבע של בדי יוקרה (כפי שמובא בספר יחזקאל בספר ירמיהו ובמגילת אסתר).
עוד קודם לכן, בשנת 1950, מצאו בדואים חפצים וכלים עתיקים בעומק מערות ואדי מורבעת - השוכנות ברום מצוקי נחל דרגה בצפון מדבר יהודה, ואחד הממצאים שם היה פיסת אריג קדומה מלפני אלפי שנים - היחידה שנמצאה צבועה כולה בתכלת טהורה.
בשנת 2013 התפרסם, כי באריג זה נמצאו חומרים הנמצאים רק בחילזון הארגמון קהה הקוצים.
לפי דברי ד"ר נעמה סוקניק מרשות העתיקות: "אני יכולה לומר בוודאות: מצאנו פיסת בד - בת אלפי שנים - הצבועה בגוון כחול ירקרק, שנצבעה על ידי חילזון הארגמון...הטכנולוגיה היא כזו, שחושפים את הצבע לשמש - ואז מתקבל צבע יותר כחלחל ופחות ירקרק" .
באותו פרסום גם צוין, כי במערות אלו נמצא גם בד הצבוע - הן בצבע התכלת (שהופק מארגמון קהה קוצים) - והן בצבע ה"אַרְגָּמָן" (של כנימה ארגמנית) המוזכר אף הוא במקרא בצמוד ל"תכלת".
כבר בשנת תקצ"ד (1834) זוהה החילזון ארגמון קהה קוצים כחלזון התכלת, במחקרו של פרופ' ביציאו.
הרב הרצוג הביא בעבודתו את ההצעה ודחה אותה בעיקר מפני שלא הצליח להפיק ממנה צבע כחול.
מספר גורמים הביאו בשנות ה-60 כמה כימאים בישראל להתעניין בחקר התכלת.
בשנת 1972, עזר ד"ר אדלשטיין להקים מרכז ללימודי ים באוניברסיטת חיפה, בראשות הביולוג הימי ד"ר אהוד שפנייר, שבמסגרתו נשלו מן הים חלזונות הארגמונים.
במקביל פנו עורכי האנציקלופדיה התלמודית של מכון 'יד הרב הרצוג', שעסקו אז בכתיבת הערך 'חילזון', לכימאים, בהם ד"ר אדלשטיין וד"ר ישראל זיידרמן ממכון הסיבים בירושלים, לטפל בעבודת הדוקטור של הרב הרצוג שהייתה מונחת ככתב-יד.
כניסתו של ד"ר זיידרמן לנושא הביאה לפרסום מאמרים רבים על ידו, באנגלית ובעברית, לפנייה לרבנים ולהקמת עמותה בשם 'קרן התכלת'.
החל משנת תשמ"א (1981) החל הרב מנחם בורשטין, אז אברך צעיר בישיבת מרכז הרב, באיסוף מידע והדפסתו בתחום, ובסופו של דבר הקדיש את ימיו לנושא זה.
הרב בורשטיין ערך וארגן סיורים לאזור חוף דור, ועודד גופים שונים, אנשי מחקר ודת לעסוק בכך, כשהוא תומך בזיהוי החילזון המקראי עם הארגמון.
בשנת 1987, הוציא לאור את עבודתו של הרב הרצוג עם הקדמתו של ד"ר אדלשטין ובתוספת מאמרים ממספר חוקרים - שכולם כאחד מזהים את חלזונות הארגמון כמקור להפקת הארגמן והתכלת הקדומים.
פרופ' אוטו אלסנר, ממכללת שנקר ברמת גן, אף הציע כמה דרכים לקבלת גוון כחול טהור מן הנוזל המתמצה מן הבלוטה התת-זימית של חלזונות אלו - דבר שגילה בניסויו בחלזונות, שסופקו על ידי המרכז ללימודי ים באוניברסיטת חיפה.
חוסר ידיעה של אפשרות זו גרמה לפני כן למבוכה אצל כמה חוקרים בזיהוי חילזון הארגמון כמקור להפקת התכלת ולוויכוח על מהות גוון התכלת (האם הוא כחול טהור כמקובל בידי המסורת או סגול).
גילויו של פרופ' אלסנר זכה לתשומת לבו של הרב אליהו טבגר, שחקר את הנושא ובעקבות כך בשנת תשמ"ח (1988) החל לצבוע תכלת לציצית.
בהמשך, בשנת 1992, הצטרפו אליו ד"ר ברוך סטרמן, ד"ר ארי גרינשפן ויואל גוברמן והוקמה אגודת "פתיל תכלת", שמטרתה - יצור פתילי תכלת לציצית ופעילות הסברה בנושא.
חידוש זה הביא לשפע של פרסומים בנושא חקר התכלת – בעד ונגד, וביניהם יצוינו ספריהם של הרב מנחם אדלר קונטרס תכלת וארגמן (תשנ"ט – תגובה Oki חידוש התכלת), הרב שלמה טייטלבוים לולאות תכלת (תש"ס), והרב יהודה ראק עבד המלך (תש"ס).
כיום כאמור הטלת התכלת פשטה בקרב רבנים שונים, חלקם דתיים לאומיים וחלקם חרדים.
בשנת 1992 החל ייצור מסחרי של פתילי תכלת מארגמון קהה קוצים, נכון לשנת 2015 מיוצרות כ-20,000 ערכות בשנה ועשרות אלפי אנשים מטילים תכלת בציציותיהם, והביקוש לתכלת הולך וגובר.
ההוכחות לזיהוי אינן מוחלטות ויש עליהן כמה שאלות.
אין מסורת ברורה ורציפה שזוהי התכלת.
לפי חלק מהדעות בהלכה, קיימת בעיה בצביעת הפתילים שלא בצבע הטלית (בטלית לבנה, למשל, הפתילים צריכים להיות לבנים), אם זאת לא התכלת האמיתית.
בתכלת לא אמיתית ישנה בעיה של קלא אילן.
יש בהטלת תכלת משום יוהרא.
מופיע בספרות הקבלה שאור התכלת לא שייך בזמן שאין בית מקדש והוא יחזור רק עם ביאת המשיח.
בגמרא מופיע "תנו רבנן חלזון זהו גופו דומה לים וברייתו דומה לדג ועולה אחד לשבעים שנה ובדמו צובעין תכלת לפיכך דמיו יקרים".
תיאורים אלו לא מתקיימים באופן פשוט בארגמון קהה הקוצים.
הארגמון היה קיים במציאות במשך השנים שבהן לא הפיקו תכלת, ולו היה הוא צבע התכלת האמיתי היו מפיקים אותו ממנו.
עצם העובדה שלא עשו זאת מצביעה שהמסורת שללה זיהוי זה.
על פי כתבי היוונים בחילזון הארגמון השתמשו לצבע סגול ולא לכחול כצבע השמים.
על טענות אלו עונים המצדדים בהטלת פתילי התכלת:
ההוכחות קרובות לוודאיות, ומלבד זאת אין צורך בוודאות של 100% על מנת לפסוק הלכה.
אין צורך במסורת כדי לחדש את התכלת, אדרבה, המהרי"ל סובר שניתן בקלות לחדש את התכלת וכן דעת הבית הלוי.
ובנוסף, זיהוי זה לא חדש, ומספר אחרונים, בהם הרב יעקב עמדין, החוות יאיר ורבי אברהם הרופא פורטלאונה, זיהו את הארגמון עם התכלת.
בעיית צביעת הפתילים שלא בצבע הטלית קיימת רק למי שסובר שזו לא התכלת.
ומלבד זאת הדין "מין כנף" שנובע ממנו שהפתילים בטלית לבנה צריכין להיות לבנים, לא שייך בפתילים שבמקום התכלת.
בנוסף, דין זה שנוי במחלוקת, וגם השולחן ערוך כתב שרק המדקדקים נוהגים להקפיד על דין זה, אך אינו מעכב.
בקלא אילן ישנן שתי בעיות: שאדם מרמה את הבריות שיחשבו שהוא שם תכלת; שאנשים יחשבו שזו תכלת אמיתית ויטילו אותה בציצית אחרת (ויישארו ללא מצוות תכלת או אף יעברו על איסור שעטנז).
שתי הבעיות לא קיימות בארגמון.
חשש יוהרא נאמר רק כשזו חומרא ולא עיקר הדין
מן האמור שהתכלת נגנזה אין להסיק שהיא לא תתגלה ביום מן הימים.
מלבד זאת רואים שגם אחרי תקופת המקדש הייתה תכלת כך שצריך לומר שכוונת המדרש היא שנצטמצם השימוש בה.
כשהקבלה סותרת את ההלכה הולכים על פי ההלכה.
מלבד זאת הקבלה אומרת מדוע אין תכלת אך לא אוסרת את חידוש התכלת, ואדרבה מצאנו מקובלים שאומרים שהתכלת תתגלה לפני ביאת המשיח.
רבי שמשון מאוסטרופולי כתב: "אז יקום אחד...
ובוודאי הגדולים שבדורו לא יסכימו על זה במהרה...
והכתוב מרמז שלא תשמעו להם".
בנוסף, גם בתקופה שלאחר חורבן בית המקדש השני התכלת הייתה עוד בנמצא, כך שחורבן בית המקדש אינו הוכחה לאי קיומה של התכלת.
סימני הגמרא מתאימים לתיאורי הארגמון.
גופו דומה לקרקעית הים, הוא חי בים כדג.
ונדיר מאוד למצוא פריטים חיים שנפלטים לחוף.ומה שכתוב עולה מן הים אחת לשבעים שנה - ודאי שאין הכוונה שלא היה אפשר למצוא בשאר הזמן את החילזון.
הרי מתואר בכמה מקומות בחז"ל שהיו אנשים שהייתה פרנסתם מהחילזון.
לא הגיוני שהתפרנסו אחת לשבעים שנה.
כוונת הברייתא היא שהיה נדיר למצוא פרטים שנפלטו לחוף.
לכן היה צורך לצלול לים או לדוג בתחבולות אחרות ועל כן היה קשה מאוד להשיג את החילזון.
טענה זו לא רלוונטית לגבי הארגמון, שכן בחלק גדול מתקופת הגלות היה איסור להפיק תכלת בצורה עצמאית.
מה עוד, שהידע כיצד לצבוע צבע כחול מהארגמון - אבד.
ומה עוד, שעצם הידע - שחלזון התכלת הוא הארגמון שלמעשה מגיע לחופי הארץ - אבד אף הוא אחרי ההגליה מהארץ.
בכתבי היוונים מוזכרת גם צביעה בכחול.
חידות חיתוך והרכבה הן חידות העוסקות בדרכים שבהן ניתן לחתוך צורה למספר צורות אחרות, בדרכים שבהן ניתן לקחת חלקים ולחבר אותם יחד לצורה חדשה, וכן בחידות המשלבות את שתי הפעולות: כיצד ניתן לחתוך צורה נתונה על מנת להרכיב צורה אחרת מחלקיה.
הטנגרם היא קבוצת החידות המפורסמת ביותר מסוג זה.
בטנגרם ריבוע מחולק לשבע חתיכות, ובעזרת החתיכות הללו ניתן ליצור מגוון צורות.
חידות חיתוכים רבות עוסקות באופן שבו ניתן לחתוך צורה אחת למספר המינימלי של חלקים שמהם ניתן להרכיב צורה אחרת.
החידה המפורסמת ביותר מסגנון זה היא חידת מוכר הסדקית של הנרי ארנסט דודני: כיצד ניתן לחלק משולש שווה-צלעות לארבע חתיכות, שמהן ניתן להרכיב ריבוע?
באיור משמאל מוצגת חידה נוספת מסוג זה, שבה נגר מחפש דרך לחתוך צורה דמוית בית לחלקים שמהם ניתן להרכיב ריבוע.
חידות חיתוך והרכבה הן נדבך מרכזי בתחום של שעשועי מתמטיקה, והן העסיקו חידונאים לאורך ההיסטוריה.
לחידות אלו ישנן גם נגיעות לתחומים מרכזיים במתמטיקה; הבעיה השלישית של הילברט, למשל, עוסקת בחיתוכים ובהרכבות.
מכיוון שחידות חיתוך משמשות בעיקר כשעשוע וכמשחק, ישנן עדויות היסטוריות מעטות להמצאתן ולפיתוחן.
חידת החיתוך העתיקה ביותר שפורסמה היא חידת הסטומכיון של ארכימדס.
בחידה זו נתון ריבוע המחולק ל-14 חלקים, שאותם ניתן לפרק וליצור מהם צורות חדשות.
על פי מחקר חדש, חקר ארכימדס את האפשרויות למספר הדרכים השונות הקיימות כדי לחבר את החלקים יחד על מנת ליצור ריבוע.
עדויות נוספות לקיומן של חידות חיתוך בעת העתיקה ובימי הביניים, מגיעות מתוך טקסטים מתמטיים שבהם החידות משמשות להוכחת משפטים גאומטריים.
במאה הראשונה לפנה"ס הציג המתמטיקאי הסיני ליו היו הוכחה של משפט פיתגורס המבוססת על חיתוך והרכבה, הוכחה ששימשה השראה להמצאת הטנגרם.
במאה ה-5 הציג המתמטיקאי ההודי אריאבהטה הוכחה לאותו משפט המבוססת על חיתוכים, הוכחה הנחשבת לפשוטה יותר מזו המופיעה בספר "יסודות" של אוקלידס.
גם בטקסטים של מתמטיקאים מוסלמים מימי הביניים, בעיקר בפירושים וביאורים של הספר "יסודות", מופיעים מחקרים שונים על חידות חיתוך.
ספר של הואנג פו-סו משנת 1193 מתאר מערכת של שבעה שולחנות ריבועיים הקרויים 'שולחנות סעודה' (banquet tables).
ספרו נחשב לספר הראשון בסין העוסק בריהוט, אך הספר כולל גם 76 שרטוטים לדרכים שונות שבהן ניתן לחבר את השולחנות יחדיו.
בשנת 1617 פרסם קו שן (Ko Shan) מערכת של שולחנות סלון, שזכתה לכינוי 'כנפי הפרפר'.
המערכת מכילה שולחנות שלהם צורות של משולשים ומרובעים, שאותם ניתן לחבר יחד על מנת ליצור מגוון של צורות.
ספר החידות הראשון המוקדש לחידות הרכבה התפרסם ביפן בשנת 1742. מחברו גרנרייקן (Granreiken) קרא לספר 'שבע חתיכות החוכמה של סיי שונגון', והספר הכיל 42 חידות ופתרונן.
3 חידות הרכבה נוספות ראו אור ביפן עד תום המאה ה-18.
חידת ההרכבה המפורסמת ביותר, הטנגרם, הומצאה בסין בתקופת שלטונו של צ'יאה צ'ינג (Chia chi'ng - 1796 - 1820).
ממציא החידה פרסם אותה בספרון, עליו הוא חתם בשם העט יאנג צ'ו צ'ו שי (Yang cho chu shih).
כל עותקיו של הספרון המקורי אבדו.
הספר העתיק ביותר של החידה שעדיין בנמצא נכתב על ידי סנג הסיאנג קו (Sang hsiang k'o), התפרסם בשנת 1813, והכיל 334 חידות טנגרם.
הטקסט זכה להצלחה גדולה בסין, ותוך שנים ספורות תורגם והופץ באירופה ובארצות הברית.
במאה ה-19 פעלו במקביל שני החידונאים הנחשבים לגדולים בכל הזמנים: סם לויד והנרי ארנסט דודני.
לויד היה אחד הראשונים להציג את הטנגרם למערב, כאשר פרסם ספרון המכיל כ-4,000 צורות ליצירה מטנגרם (מאוחר יותר התברר כי לא כולן אפשריות).
בנוסף, הוא פרסם חידות חיתוך רבות ומגוונות.
דודני, שהיה שותפו של לויד בתחילת דרכם ולאחר מכן הפך למתחרהו הגדול, היה המוכשר מבין השניים בכל הקשור לחידות חיתוך.
דודני המציא עשרות חיתוכים מקוריים, שהמפורסם מכולם הוא "חידת מוכר הסדקית" שבה הוא מדגים כיצד להפוך משולש שווה-צלעות לריבוע, בעזרת חיתוך לארבעה חלקים בלבד.
עד היום לא התגלתה דרך להפוך משולש שווה-צלעות לריבוע בעזרת חיתוך למספר קטן יותר של חלקים; דודני מחזיק בשיאים נוספים מסוג זה.
כאמור, לחידות חיתוך ישנן נגיעות לתחומים מרכזיים במתמטיקה.
לקראת סוף המאה ה-19 הוכיחו מתמטיקאים שניתן לעבור מכל מצולע לכל מצולע אחר, באמצעות חיתוך למספר סופי של רכיבים והרכבתם מחדש.
בשנת 1900 פרסם דויד הילברט את רשימת 23 הבעיות שלו, שרובן הפכו לאבני דרך חשובות בהתפתחות המתמטיקה.
הבעיה השלישית של הילברט נוגעת לחידות חיתוכים, והיא מציגה את השאלה התלת־ממדית המקבילה: האם ניתן להפוך כל פאון (צורה תלת־ממדית הבנויה ממצולעים) לפאון שווה נפח אחר, בעזרת חיתוך והרכבה.
בעיה זו נפתרה שנה מאוחר יותר (ומשום כך נחשבת לבעיה הקלה ביותר מבין הבעיות של הילברט) על ידי תלמידו, מקס דן, שהוכיח כי התשובה שלילית.
ב-1931 עסק אלפרד טרסקי ב"מרחק-הפירוק" של שתי צורות U ו-V, שהוא המספר הקטן ביותר של מצולעים, חופפים בזוגות, שאליהם אפשר לפרק את הצורות
טרסקי העיר שהפונקציה מקיימת את הגרסה הכפלית של אי-שוויון המשולש: , והציע לחקור את הפונקציה המודדת את המרחק מריבוע יחידה S למלבן שצלעותיו ו- .
בשנת 1953 המציא סולומון גולומב את הפוליאומינו, משטחים הבנויים מחיבור של ריבועים.
המצאה זאת הובילה תוך זמן קצר לשטף חדש של חידות חיתוך והרכבה המתייחסות לאריחי פוליאומינו.
בשנת 1964 פרסם הרי לינדגרן (Harry Lindgren), מהנדס אנגלי שהיגר לאוסטרליה, את הספר "Geometric Dissections" שהפך לספר העיון המרכזי בנושא.
הספר הכיל עשרות חיתוכים חדשים פרי עטו וכלל שיאים רבים (מספר מינימלי של חלקים הדרושים לחתוך צורה אחת ולהרכיב צורה אחרת), שחלקם נשברו מאז.
בעקבות טור של מרטין גרדנר על חידות החיתוך של דודני ולינדגרן, עלתה מידת הפופולריות של חידות אלה, והמשיכו להתגלות חיתוכים רבים ומגוונים.
מבין העוסקים בתחום כיום, הפוריים ביותר הם גרג פרדריקסון (Greg Frederickson), פרופסור למדעי המחשב מאוניברסיטת פרדו) וגווין תאובלד.
ספרו של פרדריקסון, "Dissection Plane and Fancy", הוא כיום המקור הטוב ביותר למידע בתחום, וכן אתר האינטרנט של גווין תאובלד.
החידה הנראית בתמונה משמאל נקראת "סטומכיון" או "אוסטומכיון" (Οστομάχιον, "כאב בטן" ביוונית) והיא מורכבת מ-14 חלקים שאיתם ניתן, בין השאר, להרכיב ריבוע.
החידה מכונה לעיתים "החידה המכנית (פאזל) העתיקה בעולם".
בימי קדם היא נקראה "קופסת ארכימדס".
החידה תוארה במאה הרביעית על ידי המשורר הרומי אוסוניוס, שציין שאפשר ליצור מ-14 החלקים אלפי צורות של אנשים וחיות.
עד ראשית המאה ה-20 לא היה ידוע מה בדיוק הייתה החידה, ומה בדיוק היה העניין של ארכימדס בחידה.
רמזים ראשונים לכך הגיעו בשנת 1881, כאשר התגלה בגרמניה טקסט ערבי ובו ציטוטים מתוך ספר של ארכימדס בשם "הסטומכיון" - ספר שלא היה מוכר לעולם המדעי עד לאותה עת.
בשנת 1906 התגלה אותו ספר אבוד על ידי יוהאן לודוויג הייברג.
הייברג מצא במנזר בקונסטנטינופול קובץ ספרים של ארכימדס הקרוי "קודקס C".
עד לאותה שנה היו מוכרים רק שני קובצי ספרים של ארכימדס (קודקס A וקודקס B), אך עקבותיהם אבדו, ונותרו רק תיאורים שלהם בספרים מאוחרים יותר.
הטקסט שגילה הייברג היה העתק הקודקס השלישי של ארכימדס שנעשה במאה העשירית, אך היה בצורה של פלימפססט: בשנת 1229, כנראה בשל מחסור בנייר, נזיר כלשהו מחק את הכיתוב מעל המגילה שעליה נכתבו ספריו של ארכימדס, ורשם מעליהם סידור תפילה.
בשנת 1998 הפלימפססט צץ מחדש כאשר הוצע במכירה פומבית (ונקנה תמורת שני מיליון דולר); מאז ניתנה לחוקרים גישה אליו במטרה לפענח את ספריו המקוריים של ארכימדס.
בין הספרים של ארכימדס שהתגלו בקודקס היו שלושה ספרים שלא היו מוכרים לפני 1996; אחד מהם הוא הסטומכיון.
לרוע המזל, מצבו הפיזי של הפלימפססט של ארכימדס הוא בכי רע; בפרט, דפי הספר של הסטומכיון קשים מאוד לקריאה.
מניתוח שלהם סבורים כיום החוקרים שארכימדס חקר את הבעיה הקומבינטורית של מספר הדרכים השונות שבהן ניתן להרכיב ריבוע מתוך אותם 14 חלקים (אכן, ישנם פתרונות לחידה זו).
זאת, יותר מ-1,700 שנה לפני המצאת הקומבינטוריקה.
הטנגרם הוא חלוקה של ריבוע לשבע חתיכות, שעל ידי הרכבה שלהן ניתן ליצור מגוון רחב של צורות חדשות.
קדמו לטנגרם מספר חידות דומות ביפן, ובסין שם חידות אלו שימשו בתור מערכת ריהוט: סט שולחנות המורכב ממשולשים ומרובעים שאותם ניתן לסדר בצורות שונות לפי האורחים המגיעים ומשיקולים אסתטיים.
העדות הכתובה הראשונה לקיומו של הטנגרם מגיעה מספרון המתוארך לשנת 1813. הספרון מציין שהטנגרם הומצא בהשראת הוכחות מבוססות חיתוכים למשפט פיתגורס.
שנים אחדות לאחר יציאתם לאור של ספרי הטנגרם בסין הם זכו לתרגומים שהתפרסמו בארצות הברית ובאירופה, ובעקבותיהם זכה המשחק להצלחה רבה גם במערב.
בין השאר הסופר לואיס קרול, מחבר הרפתקאות אליס בארץ הפלאות (וחידונאי מוכשר), וכן הפיזיקאי האנגלי מייקל פאראדיי היו חובבי טנגרם ואף המציאו מספר חידות טנגרם משלהם.
גם ברשותו של נפוליאון בונפרטה היה סט של טנגרם, כולל ספר הוראות, בתקופת מאסרו בסנט הלנה.
חידה זאת היא החידה המפורסמת ביותר בין אלו שמטרתן לחתוך צורה אחת למספר הקטן ביותר של חתיכות, שמהן ניתן להרכיב צורה אחרת; במקרה זה, המטרה היא להפוך משולש שווה-צלעות לריבוע.
את החידה פרסם לראשונה הנרי ארנסט דודני בעיתון "Daily Mail", ולאחר מכן כלל אותה בספר החידות שלו, "The Canterbury Tales".
בספר זה (השואב השראה מסיפורי קנטרברי של ג'פרי צ'וסר) קבוצת נוודים נפגשת בקנטרברי והם מחליפים ביניהם חידות.
כאשר מגיע תורו של מוכר הסדקית , הוא שולף פיסת בד בצורת משולש שווה-צלעות וזוג מספריים, ומבקש מחבריו למצוא דרך לחתוך את חתיכת הבד לארבעה חלקים בלבד ואז להרכיב מהם ריבוע.
החידה מפורסמת בעיקר בזכות הפתרון היפה של דודני, הנראה באיור.
דודני נותן בספר הסבר מפורט וטכני כיצד למצוא את הנקודות המשמשות לחיתוך, אך הוא אינו נותן רמז לאופן שבו הוא גילה את החיתוך.
דרך אחת שבה ניתן לייצר את החיתוך מבוססת על השוואת שני ריצופים של המישור , וההערכה היא כי דודני השתמש בשיטה זו.
קל להוכיח שניתן לחלק כל צורה לשתי צורות שוות שטח, בעזרת ישר אחד.
ההוכחה מסתמכת על משפט ערך הביניים: נצייר קו במישור משמאל לצורה - ונחליק אותו ימינה דרך הצורה.
בתחילה, כל שטח הצורה נמצא מימין לקו, ולבסוף כל שטח הצורה נמצא משמאל - בהכרח לאורך הדרך, בדיוק חצי משטח הצורה יהיה מימין לקו.
ניתן להוכיח באופן דומה כי ניתן לחלק כל צורה ל-n חתיכות שוות שטח באמצעות n-1 קווים ישרים.
ישנן מספר חידות שבהם יש לחלק צורה לחלקים שווי שטח, ללא אמצעי מדידה.
לדוגמה, חידה קלאסית מספרת על שני שודדים המחלקים ביניהם עוגה באופן הבא: השודד הראשון מחלק את העוגה לשתי חתיכות והשודד השני בוחר לעצמו את החתיכה לפי רצונו.
באופן זה, החתיכות המתקבלות אינן בהכרח שוות שטח, אך אף אחד מהשודדים לא יכול להתלונן על מנת חלקו.
החידה מבקשת למצוא דרך להכליל את החידה כך שניתן יהיה לחלק עוגה ל-n שודדים.
חיתוך לצורות זהות ולצורות דומות
אף שניתן לחלק כל צורה ל-n צורות שוות שטח, לא כל צורה ניתן לחלק ל-n צורות זהות בצורתן, וישנן חידות רבות הדורשות זאת.
באיור ניתן לראות כיצד ניתן לחלק את הצורה הנקראת "L טרומינו" ל-3 ול-4 חלקים זהים.
חלוקת L טרומינו ל-2 חלקים זהים היא פשוטה יחסית; מיכאל בילר הוכיח שאת ה-L טרומינו ניתן לחלק גם לכל מספר לא ראשוני של חלקים זהים.
לגבי מספרים ראשוניים הגדולים מ-3, לא התגלו עדיין חלוקות כאלו, אך גם לא הוכח שהן אינן אפשריות.
סוג מיוחד של צורות הן צורות שניתן לחלק אותן לחלקים הדומים לצורה המקורית.
את ה-L טרומינו, כמו שנראה באיור, ניתן לבנות באמצעות ארבעה עותקים מוקטנים של עצמו.
מרטין גרדנר נתן לצורות הללו את השם רפטיילים.
וריאציה נוספת לחידות אלו היא חלוקת צורה לחלקים שכולם דומים זה לזה אך לא זהים.
ישנן חידות רבות העוסקות בצד האלגברי של חיתוכים.
חידה מפורסמת היא: מהו המספר הגדול ביותר של חלקים שאליו ניתן לחלק מעגל, בעזרת שישה חיתוכים של קווים ישרים בלבד?
חידה נוספת שואלת מהו המספר הקטן ביותר של חיתוכים הנדרשים על מנת לפרק חפיסת שוקולד בת 6x8 קוביות לקוביות בודדות.
חלוקה של מלבן לריבועים היא נושא לחידות רבות ולתגליות מפתיעות.
פריצת דרך גדולה בהבנת חידות אלו קשורה בתגלית של קשר ביניהן לבין מעגלים חשמליים וחוקי קירכהוף.
בנייה של מלבן בעזרת ריבועים זכתה לכינוי 'ריבוע של המלבן', כמשחק מילים על הבעיה הגאומטרית החשובה של תרבוע העיגול.
בשנת 1902 הציג הנרי ארנסט דודני חידה, לה קרא "תיבתה של הגברת איזבל", שמטרת לבנות ריבוע מחלקים שכוללים ריבועים קטנים יותר ומלבן.
ב-1914 הציג סם לויד חידה שבה יש להרכיב ריבוע מאוסף של ריבועים קטנים יותר.
הפתרון שמצא לויד כולל ריבועים בגדלים: 7,6,6,4,3,3,2,2,2,1,1 - ולבנייה כזאת קוראים היום "ריבוע לא מושלם של הריבוע" - "לא מושלם" מכיוון שהוא כולל ריבועים הזהים זה לזה.
מקס דן הוכיח בשנת 1903 שניתן לרבע מלבן רק אם היחס בין אורכי הצלעות שלו הוא רציונלי.
אחת השאלות המסקרנות ביותר שעלתה מהעבודות הללו היא האם ניתן "לרבע את הריבוע", כלומר האם ניתן לחלק את הריבוע לריבועים קטנים יותר, שאף אחד מהם לא זהה לאחר.
הראשון לפתור את השאלה היה רולנד ספרג (Roland Sprague), שהצליח לחלק ריבוע ל-55 ריבועים קטנים יותר.
במקביל אליו, הצליחו ארבעה סטודנטים מאוניברסיטת קיימברידג' לחלק את הריבוע ל-39 ריבועים קטנים יותר, ותוך כדי כך הגיעו לתובנות רבות הקשורות לתאוריה שמאחורי החידה.
ארבעת הסטודנטים: רולנד ברוקס, ארתור סטון, סדריק סמית וויליאם טוט, החלו בשנת 1936 לחקור באופן שיטתי את בעיית הריבוע של הריבוע ושל מלבנים.
פריצת הדרך הגדולה בפתרון החידה הגיעה הודות לגילוי של אנלוגיה בין חיתוך למרובעים לבין מעגלים חשמליים.
האנלוגיה התגלתה על ידי אחד מהרביעייה, סדריק סמית, ושלושת האחרים מיד נתנו לה את שמה המוכר כיום, "דיאגרמות סמית".
על מנת להבין את האנלוגיה, נביט על מלבן המחולק לריבועים ונבנה גרף מכוון אנלוגי למלבן באופן הבא:
נתאים לכל קטע מאוזן קודקוד בגרף (כל הקטעים באותו גובה הם אותו קודקוד).
שני קודקודים יהיו מחוברים בקשת אם הקטעים המתאימים להם כוללים שתי צלעות נגדיות של אותו ריבוע.
כיוון הקשת יהיה מהקטע העליון לתחתון, ומשקלה הוא אורך צלע הריבוע.
הגרף אנלוגי למעגל חשמלי שבו כל קשת היא נגד (לכל הנגדים אותה התנגדות), והמשקל של הקשת מציין את הזרם הזורם דרך אותו נגד.
האנלוגיה מתבטאת בכך ששני חוקי קירכהוף מתקיימים לגבי דיאגרמות סמית:
חוק הזרמים קובע שהזרם הנכנס לכל צומת שווה לזרם היוצא החוצה מהצומת.
חוק זה מתקיים כיוון שאורך הקטע המאוזן שווה לסכום צלעות הריבועים הנוגעים בו מלמעלה ומלמטה.
האנלוגיה למעגלים חשמליים איפשרה לקחת את תורת ניתוח המעגלים החשמליים ולהשתמש בה כדי לחקור ריבוע של מלבנים, וכך במהרה הצליחו חברי הרביעייה לרבע עוד ועוד מלבנים - ולבסוף גם לרבע את הריבוע עצמו.
ב-1953 הוכיח דב ירדן, באמצעות נימוק נסיגה פשוט, שלא ניתן לפרק תבה תלת-ממדית כאיחוד זר של קוביות בגדלים שונים.
חידות הרכבה הן חידות שבהן נתונים מספר חלקים, והמטרה היא לחברם יחדיו.
מבין חידות ההרכבה טנגרם ופאזלים זוכים להצלחה מסחרית רבה, וכן חידות הרכבה תלת-ממדיות.
תת-קבוצה של בעיות הרכבה היא בעיות ריצופים, שבהן המטרה אינה להרכיב צורה מסוימת אלא למלא את כל המישור כולו.
מחקר מתמטי ושעשועי רב נעשה בנושא ריצופים, שחלקו נובע מהשימושים של ריצופים בטבע - כוורת דבורים, פני שטח של גבישים (קריסטלוגרפיה), תופעות גאולוגיות (כגון ברכות משושים ועוד) ובאמנות (כגון באמנות אסלאמית ובעבודותיו של מאוריץ קורנליס אשר).
ניתן להוכיח שהמצולעים המשוכללים היחידים שאיתם ניתן לרצף את המישור הם המשולש, הריבוע והמשושה; ריצופים אלו נקראים ריצופים משוכללים.
קיימת קבוצה גדולה של ריצופים הנקראים "אחידים", המורכבים משילוב של מספר סוגים של מצולעים משוכללים (ריצופים אלו מוגדרים כך שכל הקודקודים בהם זהים).
תגלית מפורסמת בנושא ריצופים היא ריצופי פנרוז, שהתגלו בשנת 1973 על ידי הפיזיקאי רוג'ר פנרוז - באמצעותם ניתן לרצף את המישור כולו, אך הם אינם מאפשרים ריצוף מחזורי של המישור.
בשנת 1953 הציג סולומון גולומב את המונח פוליאומינו, המתאר משטחים מישוריים (לעיתים מכונים "Lattice Animals") המורכבים מחיבור של מספר ריבועים זה לזה (לאורך שפותיהם).
הפוליאומינו מחולקים למשפחות לפי מספר הריבועים שהם מכילים: המונומינו מכיל ריבוע אחד, הדומינו בנוי משני ריבועים, הטרומינו משלושה (ישנם שני סוגים במשפחת הטרומינו) הטטרומינו בנויים מארבעה ריבועים (ישנם 5 יצורים שונים כאלו, המככבים, יחד עם שיקופים שלהם, במשחק הטטריס) וכן הלאה.
המצאת הפוליאומינו הביאה מיד לגל גדול של יצירת חידות הקשורות להרכבה ולריצוף.
חידה קלאסית היא לרצף לוח שחמט, (מורכב מ-8 שורות ו-8 עמודות, סך הכל 64 ריבועים) שממנו נחתכו הפינה הימנית התחתונה והשמאלית העליונה על ידי 31 אריחי דומינו.
קל להראות שהמשימה בלתי אפשרית לביצוע.
דוגמה לסוג חידות נוסף היא החידה אלו מלבנים ניתן להרכיב מחיבור יחד של כל 12 הפנטומינו, ובכמה אפשרויות שונות אפשר ליצור כל מלבן?
הפוליאומינו מציגים גם מספר רב של בעיות קומבינטוריות.
מציאת כמה פוליאומינו יש מכל משפחה (מונומינו אחד, דומינו אחד, שני טרומינו וכן הלאה), היא בעיית הרכבה קומבינטורית לא טריוויאלית (הבעיה עודנה פתוחה וישנם אומדנים בלבד למספר זה).
במהלך הרצאה על מכניקת קוונטים שנתן ורנר הייזנברג, המציא פיט היין, משורר ומדען דני (הידוע גם כממציא של משחק הלוח הקס) שעשוע המהווה הכללה של הרכבות פוליאומינו לתלת-ממד.
הרעיון של היין היה, בדומה לפוליאומינו, לבנות משפחות של גופים תלת-ממדיים הבנויים מחיבור יחדיו של קוביות שלהם קוראים "פוליקוביות".
כך לדוגמה ישנם שתי תלת-קוביות - שני סוגים של גופים הבנויים מחיבור יחדיו של שלוש קוביות, ו-7 טטרקוביות: 7 צורות הבנויות מחיבור יחדיו של ארבע קוביות.
היין גילה שניתן לבנות קובייה בגודל 3x3x3 מ-7 יחידות של פוליקוביות (6 טטרקוביות ותלת-קובייה אחת).
הוא נתן לחידה את השם "קוביית סומה", על שם הסם הבדיוני, מעורר התענוגות, מהספר "עולם חדש מופלא" של אלדוס האקסלי - משום שהמשחק, על פי היין ואחרים, הוא ממכר ומהנה במיוחד.
קוביית סומה היא אחת הדוגמאות הנמכרות ביותר לחידות הרכבה תלת-ממדיות.
בחידות אלו האתגר אינו רק למצוא מה המיקום הנכון של כל חתיכה, אלא גם באיזה רצף יש לשלב את החלקים זה בזה.
חידות אלו מוכרות בשם "חידות בור" (Burr puzzle) או "חידות שילובים" (Interlocking puzzles).
באופן טיפוסי, החידות בנויות מחלקי עץ או מפלסטיק, ובשנים האחרונות נעשה שימוש בתוכנות מחשב להמצאה של חידות אלו ובדיקתן.
יאנוש בולאי, הידוע בעיקר כאחד האבות של הגאומטריה הלא-אוקלידית, העלה את השאלה: האם עבור כל זוג מצולעים ניתן למצוא חיתוך של הראשון לחתיכות שמהן ניתן להרכיב את המצולע השני (בהנחה שהם בעלי אותו השטח)?
החל מאמצע המאה ה-19 ועד לסופה, ניסו מתמטיקאים אחדים לפתור בעיה זו.
ההוכחה הכללית שמכל מצולע ניתן להגיע לכל מצולע אחר על ידי חיתוכים והרכבות מתבססת על אלגוריתם הבנוי ממספר שלבי ביניים:
+ איך להפוך כל מצולע למצולע אחר (שווה שטח) באמצעות חיתוך והרכבה שלב הסבר תמונה 1) למצוא חיתוך המאפשר להפוך משולש למלבן מציירים קו מקביל לבסיס המשולש במחצית גובהו, מורידים אנך מהקודקוד שממול אל אותו קו, ומשלושת החלקים שמתקבלים ניתן להרכיב מלבן.
2) להפוך כל מלבן שהוא לכל מלבן אחר (שווה שטח) החיתוך שבאיור מראה כיצד להפוך מלבן אחד לאחר, במקרים שאורך הצלע במלבן המקורי היא פחות מכפולה מאורך הצלע במלבן הדרוש.
אחרת, ניתן לבצע את החיתוך בשני שלבים, כאשר בשלב הראשון חוצים את המלבן לשניים ומחברים את שני החלקים זה מעל זה.
כל אחד מהמשולשים הופך למלבן (בהסתמך על הצעד הראשון), ועתה מחברים את המלבנים כולם לריבוע לפי צעד 3 5) להפוך כל מצולע לכל מצולע אחר כל מצולע ניתן להפוך לריבוע (לפי שלב 4), ולכן גם אפשר להפוך ריבוע לכל מצולע.
מכאן שכדי להפוך מצולע א' למצולע ב', הופכים את מצולע א' לריבוע, ואת הריבוע למצולע ב'
הבעיה התלת-ממדית היא קשה יותר: האם ניתן לחתוך כל פאון לחלקים שאותם יהיה ניתן להרכיב מחדש על מנת לקבל כל פאון אחר.
המתמטיקאי דויד הילברט כלל את השאלה הזאת כבעיה השלישית ברשימת 23 הבעיות המפורסמת שלו.
הילברט שאל האם מכל פאון (צורה תלת-ממדית המורכבת ממצולעים) ניתן להגיע לכל פאון אחר על ידי חיתוך והרכבה.
את הבעיה פתר תלמידו של הילברט, מקס דן, שנה אחת בלבד לאחר הצגתה, בכך שהוא מצא זוג ארבעונים שלא ניתן להפוך אחד לשני על ידי חיתוך והרכבה.
חיתוך מצולעים לפי האלגוריתם המתואר לעיל עשוי לדרוש חלקים רבים, ולשאלה מה המספר הקטן ביותר של חלקים הדרושים בשביל להפוך מצולע אחד למצולע אחר אין פתרון כללי; ישנו מספר קטן מאוד של זוגות של מצולעים עבורם הצליחו להוכיח שנמצא הפתרון הדורש את מספר החלקים הקטן ביותר.
בהיעדר פתרונות אלו, הפך ענף זה לענף פורה של שעשועי מתמטיקה.
ישנה רשימת שיאים עבור זוגות של צורות שונות הכוללת את החיתוכים הדורשים את מספר החלקים הקטן ביותר.
הפתרון של חידת מוכר הסדקית, שבה ניתן להפוך ריבוע למשולש שווה-צלעות על ידי חיתוך לארבעה חלקים בלבד והרכבתם מחדש, היא השיא הקיים לאתגר זה (לא נמצא חיתוך הדורש פחות מארבעה חלקים).
מרבית החיתוכים הידועים היום התגלו על בסיס של מספר קטן מאוד של שיטות בנייה.
חלק גדול מהקסם של חידות החיתוך הוא בכך שבאמצעים פשוטים ניתן להגיע לחיתוכים הנראים כמורכבים.
להלן דוגמאות לכמה מהשיטות הבסיסיות ליצירת חיתוכים:
שיטת ההחלקה (Slide Method): בשיטה זאת מציירים קו כלשהו המחלק את הצורה לשניים, ובשלב השני מחליקים את הצורות על בסיס הקו.
בתמונה ניתן לראות חיתוך המאפשר לעבור משלושה ריבועים לריבוע אחד על בסיס שיטת ההחלקה, חיתוך שהמציא ה.
שיטת המדרגות: שיטה זאת דומה לשיטת ההחלקה, אך במקום להחליק את הצורות על קו ישר, מורידים את הצורות במורד מדרגות.
באיור ניתן לראות את הפתרון לחידה המופיעה באיור למעלה (סם לויד נתו לה את השם "חידת החוכמולוג", Smart Alec puzzle) המתבסס על שיטת המדרגות.
שיטת הריצופים: אחת השיטות הפוריות ביותר ביצירת חיתוכים מתבססת על ריצופים.
בשיטה זו, על מנת ליצור חיתוך ההופך צורה אחת לאחרת, יוצרים ריצוף של הצורה הראשונה, ריצוף של הצורה השנייה ומהנחה של הריצופים אחד על שני מקבלים את החיתוך הדרוש.
אחד היתרונות בשיטה זו הוא שעל ידי החלקה וסיבוב של הריצופים, זה יחסית לזה, ניתן לקבל מגוון רחב של ריצופים, ובפרט, ניתן לחפש אחר חיתוכים הדורשים מספר מינימלי של חלקים.
בתמונה ניתן לראות את הדרך שבה הרי לינדגרן בנה את החיתוך המאפשר להפוך צלב יווני לריבוע - דרך המבוססת על ריצופים.
בטור המפורסם שלו "Mathematical Games" שהופיע בירחון "סיינטיפיק אמריקן", כתב מרטין גרדנר כתבה על חיתוכים, שבה הופיעה רשימת שיאים של המספר המינימלי של חלקים הדרוש לעבור מצורה אחת לאחרת, עבור מגוון רב של צורות.
הטבלה של גרדנר כללה במקור בעיקר חיתוכים פרי יצירתם של הנרי ארנסט דודני והרי לינדגרן.
מאז פרסום הכתבה נשברו רבים מהשיאים, וחלקם אף נשברו מספר פעמים, בעיקר על ידי גווין תאובלד וגרג פרדריקסון.
להלן רשימה חלקית של שיאים אלו, מעודכנת ליולי 2008. רשימה מלאה יותר של שיאים, ופירוט החיתוך עבור כל זוג צורות ניתן למצוא באתר של גווין תאובלד.
הוכחות גאומטריות המסתמכות על חיתוכים
משפט פיתגורס הוא אחד המשפטים העתיקים והחשובים בגאומטריה.
המשפט קרוי על שמו של הפילוסוף היווני פיתגורס, אך התגלה זמן רב לפניו והיה ידוע לא רק ביוון העתיקה אלא גם למתמטיקאים בסין, בהודו וברחבי העולם העתיק.
המשפט קובע שבמשולש ישר-זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
בספר "יסודות" של אוקלידס, ההוכחה למשפט מתבססת על דמיון משולשים.
לאורך הדורות נמצאו הוכחות רבות נוספות למשפט, חלק גדול מהן מבוסס על חיתוכים.
למתמטיקאי ההודי אריאבהטה (שחי במאה ה-5 וידוע בעיקר בזכות המצאת השיטה העשרונית) מיוחסת אחת ההוכחות היפות ביותר של המשפט, הוכחה שמקובלת בספרי לימוד גם כיום ומבוססת על חיתוכים.
את ההוכחה ניתן לראות באנימציה שמימין: נבנה ארבעה משולשים ישרי זווית שאורך הניצבים שלהם הוא ואורך היתר .
כאשר מחברים אותם יחד באופן הנראה בשלב הראשון, מתקבל ריבוע גדול שאורך הצלע שלו הוא , ושני ריבועים שחורים בעלי צלעות ו- ששטחם הכולל הוא .
הוכחה עתיקה עוד יותר למשפט ניתן למצוא בטקסט סיני בשם "Chou Pei Suan Ching" המתוארך בין 500 ל-200 לפנה"ס.
בתמונה מופיע העמוד בטקסט שבו משפט פיתגורס, וניתן לראות שמידותיו של המשולש באיור הם השלשה הפיתגוראית 3,4,5. באנימציה ניתן לראות פעם נוספת כיצד בעזרת חיתוך לארבעה משולשים ישרי זווית וסידור החלקים מחדש, מתקבלת הוכחה של המשפט.
בימי קדם חיתוכים שימשו גם לצורך חישוב שטחים של מצולעים בעלי מספר רב של צלעות, חישובים שבתורם נתנו הערכות למספר פאי.
בשעשועי מתמטיקה אוהבים להראות הוכחות גאומטריות פשוטות לזהויות באלגברה.
דוגמה להוכחה כזאת נוגעת לקשר שבין מספרים משולשים ומספרים מרובעים.
שבה כל מספר, הוא סכום המספרים בין 1 ל-n.
הם נקראים כך משום שבעזרת מספרים אלו של כדורים ניתן לבנות משולשים .
מספרים ריבועיים , הם המספרים שבעזרתם ניתן לבנות ריבועים, והנוסחה עבורם היא
באמצעות הרכבה פשוטה של ריבוע משני משולשים קל להיווכח שמתקיימת הזהות האלגברית:
בכל הבעיות של חיתוך צורה אחת והרכבתה לבנייה של צורה אחרת, השטח של הצורה המקורית חייב להיות שווה לשטחה של הצורה החדשה ("חוק שימור השטח").
עם זאת, ישנם חיתוכים רבים שבהם לכאורה חוק זה לא מתקיים.
בספרות שעשועי המתמטיקה מתייחסים לחיתוכים אלו בתור קסמים, או פרדוקסים - כלומר הוכחות הסותרות את חוק שימור השטח, אך בחינה מדוקדקת של החיתוכים מראה שלמעשה אלו הוכחות שקריות: הם מבוססות על טעות (קשה לזיהוי) בחישוב השטחים.
באיור ניתן לראות דוגמה קלאסית לחיתוכים מסוג זה, שהומצאה על ידי סם לויד.
החיתוך מראה כיצד לחלק ריבוע 8x8 לארבעה חלקים (שני משולשים ושני טרפזים) שמהם ניתן לכאורה להרכיב מלבן בגודל 5x13. אולם, שטח הריבוע הוא 64 ושטח המלבן הוא 65 - ומכאן שעל ידי חיתוך והרכבה הצלחנו לכאורה להגדיל את שטח הצורה.
הטעות בחיתוך היא שהשיפוע של המשולש ושל הטרפז אינם זהים.
השיפוע של המשולש הוא 3/8=0.375 ואילו שיפוע הטרפז הוא 2/5=0.4. מכאן שהטרפז והמשולש לא מתחברים באופן חלק כדי ליצור את המלבן.
באיור ניתן לראות גם הרכבה נוספת של אותם חיתוכים ממש, שנתגלתה על ידי בנו של סם לויד, היוצרת צורה שלכאורה השטח שלה הוא 63.
אחד הדברים המעניינים בחיתוכים אלו הוא הקשר ביניהם לבין סדרת פיבונאצ'י.
שבה כל מספר בסדרה הוא סכום שני המספרים הקודמים לו (למעט שני הראשונים).
אחת התכונות של הסדרה היא שההפרש בין הריבוע של כל איבר בסדרה למכפלת האיבר העוקב לו באיבר הקודם שווה .
לדוגמה, הריבוע של 8 הוא 64 והוא שווה לאחד פחות ממכפלת 5x13=65; בעובדה זאת נעשה שימוש בחיתוך של סם לויד.
באופן דומה ניתן לבנות חיתוכים המשתמשים גם באיברים הבאים בסדרה.
הראשון שכתב על קשר זה היה ו.
Schlegel) בשנת 1879, ואחד האנשים לחקור קשר זה היה לואיס קרול.
החיתוך הנוסף הנראה באיור, הוא אחד החיתוכים הפשוטים ביותר מן הסוג הזה.
הוא הומצא על ידי מרטין גרדנר ומבוסס על חידות דומות שהמציא הקוסם האמריקאי פול קורי (Paul Curry).
בחיתוך זה משולש מחולק לחלקים המרכיבים את אותו משולש עצמו, רק ללא אחת המשבצות שבו.
סוג נוסף של חיתוכים, לכאורה פרדוקסליים, הם ציורים המכילים מספר דמויות, שבהם לאחר שהציור נחתך ומורכב מחדש אחת הדמויות נעלמת.
באיור נראית אחת החידות המפורסמות ביותר בהקשר זה, חידת "הסיני הנעלם", או בשמה המקורי "Get Off the Earth Puzzle".
בחידה, שהומצאה על ידי סם לויד וזכתה להצלחה מסחרית עצומה (סם לויד אף הוציא פטנט על הרעיון הזה בשנת 1896), מופיעות 13 דמויות סיניות מסביב למעגל.
כאשר חותכים את המעגל, נועצים נעץ במרכזו, ומסובבים את המעגל כך שמחט המצפן מצביעה לכיוון צפון-מערב; אזי נראות בתמונה 12 דמויות בלבד.
בספרו "Mathematics Magic and Mystery" נותן מרטין גרדנר הסבר פשוט לאופן שבו פועלת החידה הזאת וחידות רבות מסוגה, הסבר שניתן לראות באיור משמאל.
באיור, בצידו השמאלי, נראים 6 קווים.
לאחר החיתוך וההזזה מתארך כל אחד מן הקווים (פרט לימני) ב-1/5 מארכו, וכך נעלם אחד מהם.
חידושי רבנו חיים הלוי הוא חיבור שכתב רבי חיים סולובייצ'יק, אבי שיטת בריסק, והוא נסוב על עניינים שונים במשנה תורה לרמב"ם.
יצא לאור לראשונה בשנת תרצ"ו, כ-18 שנים אחרי פטירתו של ר' חיים.
במשך שנים רבות היה ספר זה הספר היחיד של הרב סולובייצ'יק שנדפס.
הספר נחשב לאבן יסוד בשיטת בריסק המפורסמת, תלמידי השיטה מייחסים חשיבות מיוחדת לאמור בספר ומדייקים בכל מילה הכתובה בו.
רבי יצחק זאב סולובייצ'יק היה מורה לבניו ללמוד את הספר כצורתו עוד לפני שידעו את התלמוד.
בנו רבי יוסף דוב הלוי סולובייצ'יק העיד כי הוא למד את הספר לאחר בר מצווה, על פי הוראת אביו, והיה בקיא בו בעל פה.
גדולי ישראל התייחסו לספר בהערצה מיוחדת.
וביניהם רבי אברהם ישעיה קרליץ בעל החזון איש, שכתב הגהות לספר "חידושי רבינו חיים הלוי", ועוד.
רבי חיים מבריסק כתב חידושים רבים והיו בביתו ארגזים שונים של חידושי תורה שכתב.
עם זאת, הוא בירר את חידושיו מספר פעמים, והרשה להכניס רק את החידושים שהיה בטוח ללא ספק כי הם אמת לאמיתה.
הוא גם דייק בכל מילה שכתב בספר, וחידושים ארוכים ומפולפלים כלל במילות בודדות.
כך כותבים בניו של המחבר ב"הקדמת בני המחבר" לספר:
הספר יצא לאור לראשונה בשנת תרצ"ו, בעיר בריסק.
הספר נדפס בדפוס באותיות רש"י, ובצורת דף מיוחדת.
לאחר שמדפיסים שונים הדפיסו את הספר באותיות מרובעות ובצורת דף אחר, מחו ראשי ישיבת בריסק נגד הדפסת הספר שלא כצורתו.
בעקבות זאת הספר נדפס לאחרונה במספר מהדורות בצורה מחודשת, אך באותיות רש"י ובצורת הדף הישנה.
הספר נדפס לאחרונה עם ביאורים בשם עץ חיים וכן על ידי מכון המאור בתוספת עשרות ביאורים ומראי מקומות.
יש שהתנגדו למהלך הספר וקישורו לביאור דברי הרמב"ם בטענה שהרמב"ם עצמו לא חשב כן מפני שדרך לימודו שונה, וכדברי בעל השרידי אש [במכתב]:
אבל אין לקפח שכרו של הגר"ח חלילה בו קם לנו רמב"ם חדש שהנהו פאר למחשבה התורנית".
את החידושים שלא הגיה, הדפיסו תלמידי בנו רבי יצחק זאב סולובייצ'יק במכונת כתיבה (סטנסיל), כדי שלא לעבור על רצון רבם שלא להדפיס באופן רשמי את החידושים שלא עברו את הגהתו.
הספר התקבל בתפוצה נרחבת בעולם הישיבות, אם כי נהוג להתייחס אליו בזהירות לעיתים, שכן מדובר בחידושים שלא הוגהו על ידי אומרם, כמו כן בישיבת בריסק אין לומדים בספר זה כלל.
חידוש הוא מצווה או הלכה בתורה, שחלק מכלליהן ויסודותיהן אינו לפי הכללים ההלכתיים הרגילים, ולכן לא ניתן לקבוע את כלליהן האחרים לפי הכללים הסטנדרטיים הרגילים, ואף לא ניתן להסיק מכלליהן והלכותיהן למצוות אחרות.
ב מובאת דעתו של רב, לפיה מצוות אשת יפת תואר הנלמדת בפרשת כי תצא, היא חידוש.
בפרשה זו קובעת התורה כי כאשר יהודי יוצא למלחמת מצווה ורואה אישה גויה שחושק בה, הוא רשאי לשאת אותה לאחר חודש ימים ולאחר שלבי הכנה מסוימים.
מצווה זו היא חידוש, שכן הלכה למשה מסיני שאסור להתחתן עם אישה שאיננה מהעם היהודי.
דין דומה מופיע לגבי עבד עברי שמותר לו לשאת שפחה כנענית, ולכן לפי דעתו של רב אין לחלק בו בין כהן, לישראל שאינו כהן.
לפי דברי האמורא אביי, העדים נפסלים לעדות כבר מהשעה שהעידו את העדות, שהרי עכשיו התברר כי באותה שעה כבר העידו עדות שקר, ואם כן כל העדויות שהעידו מאז והלאה אין להן תוקף הלכתי.
לעומת זאת, רבא סבור כי העדים נפסלים רק מאותה שעה שהתברר כי עדותם הייתה עדות שקר, על ידי העדים הזוממים.
גם איסור בישול בשר בחלב מוגדר על ידי התלמוד כחידוש, מכיוון שהאיסור הוא רק על בישול ולא על שרייה, ובעוד שבשר שנתבשל זמן קצר ביותר בחלב אסור, בשר שהיה שרוי יום שלם בחלב הוא מותר, ומכאן שגדר האיסור הוא לא על פי הכללים הרגילים.
ב מובאת דעתו של רבי מאיר כי קנס הוא בגדר חידוש, מכיוון שבשונה מהכלל "קם ליה בדרבה מיניה" האומר כי האדם שמחויב בשני עונשים אין להענישו בשניהם אלא רק בעונש החמור מביניהם, בקנס חידשה התורה שעל אף שמושת על אדם עונש מוות, הוא עדיין יכול להתחייב גם בתשלום קנס.
לפי דעתם של הרשב"א, והרמב"ן גם בור הוא חידוש, מכיוון שאין דרכו לילך ולהזיק, וכן, בשונה משאר אבות הנזיקין, בור שהזיק אינו ממונו של האדם שכרה אותו, אלא שהתורה החילה עליו סטטוס אד הוק כאילו היא הבעלים של הבור לצורך חיובו, ועוד שהניזק הוא שבא לרשותו של המזיק.
ההלכה קובעת כי אדם המוציא שם רע על אשתו שזינתה לאחר אירוסיה, והתברר שאכן אמת דיבר שזינתה בין ארוסיה לנישואיה, דינה בסקילה על פתח בית אביה.
גם אם התברר שזינתה לאחר הנישואין, גם אז דינה בסקילה, למרות שבאופן רגיל העונש על זנות לאחר הנישואין הוא חנק, ולכן דין זה מוגדר כחידוש.
טבלה של כל החידושים בש"ס
חידושי רבי שמעון יהודה הכהן הוא אוסף מכתבי רבי שמעון שקופ על התלמוד הבבלי.
החידושים בספר הם תמצות של שיעוריו אותם מסר בישיבות שבהן כיהן כר"מ וכראש ישיבה בישיבת טלז, בקהילות מלטש ובריינסק, ובעשרים שנותיו האחרונות בישיבת שער התורה שבעיר גרודנה.
על פי עדות תלמידיו, החידושים הכתובים הם רק חלק קטן מחידושיו כולם שמסר במשך שיעורים של ארבעים שנה.
את רוב חידושיו לא כתב מעולם, וחלק אחר אבד.
הרב שקופ העריך כתבים אלה, ולא אחת אמר כי נרשמו מתוך עיון ועמל.
בשנותיו האחרונות החל לנסות להדפיס את החידושים, אולם לבסוף הדבר לא יצא לפועל לפני השואה.
בתקופת המלחמה תלמידו הרב יצחק דב קופלמן לקח מביתו של הרב שקופ את כתביו, ולאחריה מסר את הכתבים לבני משפחתו של הרב שקופ על מנת להדפיסם.
יסודות שונים המובאים בספר מורחבים בספר "שערי יושר" של הרב שקופ, ולפעמים מסקנת הדברים בשני הספרים אינה אחידה.
אך למרות שהספר "שערי יושר" הודפס בתקופה מאוחרת יותר, לא השמיטו המוציאים לאור דבר מתוך הכתבים, והדפיסו את כל מה שהופיע בהם.
גם המחבר עצמו לא רצה לשנות שום דבר יסודי בכתביו, והתבטא, שלמרות שבוודאי יש דברים שכתב בעבר ועם השנים בעקבות עיונו שינה את דעתו, אין זה מפחית כלל מערכם וחשיבותם של הכתבים, כי כולם נכתבו לאחר עיון רב ומתוך שיקול דעת מעמיק.
המוציאים לאור נמנעו מלבצע שינויים כלשהם בטקסט, וגם מקומות סתומים לא הושמטו.
הקדמות לספר חידושי רבי שמעון יהודה הכהן
חידושי הגרנ"ט הוא ספר עיון נפוץ בעולם הישיבות, שמאגד את שיעוריו של הרב נפתלי טרופ, מגדולי ראשי הישיבות בליטא לפני השואה.
שיטת לימודו של הרב טרופ הייתה עיונית מאוד.
חקירותיו התמקדו בהבנת סוגיות התלמוד מתוכן עצמן, ללא הכרח בהשוואתן לסוגיות אחרות העוסקות בנושאים מקבילים.
שיטה זו נחשבת מקבילה לשיטת בריסק, אותה פיתח ושכלל רבי חיים מבריסק.
דוגמה לחקירה בעלת משמעות הלכתית שהמציא ר' נפתלי: לפי ההלכה, אישה שנדרה נדר, ביד בעלה הרשות להפר או לקיים את הנדר.
חקר הגרנ"ט, האם כאשר אומר הבעל לאשתו שהוא מקיים את נדרה, יש לו בכך שותפות בעצם הנדר, ונחשב שחלק מהנדר מתייחס גם אליו, או שמא אין לבעל כל חלק בנדר, וכאשר הוא מקיים אותו, אין בכך אלא "מניעת ביטולו" של הנדר, אך כל חלותו היא מכח האישה בלבד.
בשני צדדים אלו תלויה הבנת סוגיה במסכת נדרים.
למרות גאונתו, עמל רבי נפתלי על חידושי תורתו, ונהג לבדוק ולבחון אותם שוב ושוב כדי להבטיח שהם נכונים ומדויקים.
לעיתים קרובות נתקף בכאב ראש עז עקב התאמצותו, לצורך כך היה נוהג לכרוך מטפחת רטובה סביב ראשו כדי להקל על כאביו, ובכך להמשיך ולהתעמק.
בשנים שלאחר פטירתו של הרב טרופ נפוצו חידושיו ושיעוריו, בעיקר על ידי תלמידיו בישיבת ראדין.
שיעורים אלו שמסר במשך עשרים וחמש שנה בפני מאות בחורים, הפכו לנכסי צאן ברזל בלימוד הישיבתי ובביסוסה של שיטת הלימוד הנוכחית בישיבות.
במשך השנים המשיכו שמועותיו לעבור מפה לאוזן ומרב לתלמיד, כיוון שבחייו לא הדפיס את חידושיו.
בשנת ה'תש"ב יצאו לאור שיעוריו של הגרנ"ט על מסכת נדרים, בארצות הברית.
בשנת ה'תשכ"ט יצאו לאור חידושי הגרנ"ט על סדרי נשים ונזיקין בצורת סטנסיל.
השיעורים הם על מסכתות נדרים, קידושין, גיטין, יבמות, כתובות, בבא קמא, בבא מציעא, בבא בתרא, סנהדרין.
בשנת ה'תשמ"ה יצאו לאור מספר שיעורים כלליים שלו.
בשנת ה'תשמ"ט יצא לאור הספר "חידושי הגרנ"ט", בהוצאת מכון אורייתא בירושלים.
חידושי הרשב"א על מסכת מנחות הוא ספר של אחד הראשונים, שנכתב על מסכת מנחות, והוא מספרי הראשונים היחידים על מסכת בסדר קדשים.
הספר כולל חידושים וביאורים על מסכת מנחות בדרך הפשט, כדרכם של הראשונים בעלי התוספות, באריכות.
מדפיסי החיבור יחסו אותו לרשב"א, וכן נקבע שמו של הספר בכל מהדורותיו.
אולם סגנונו של הספר מוכיח שלא יצא מתחת ידי הרשב"א.
החיד"א מזכיר בשם הגדולים כי ראה חידושים בכתב יד השייכים לרשב"א על מספר מסכתות, ובהם מסכת מנחות.
הרב אלחנן וסרמן כותב בקובץ ידיעות שבתחילת ספרו קובץ הערות על מסכת יבמות, ובו כתב בשם החפץ חיים, שמחבר הספר הוא רבי ישעיה די טראני, ומדובר בעצם בחלק נוסף של חידושיו תוספות רי"ד על הש"ס, בגלל שהוא מעתיק מרש"י בסגנון לשון המורה.
מאידך הוא כותב כי שמע שמועה בשם הרב ישראל יהושע מקוטנא כי הרשב"א המדובר רומז לרבי שלמה בן אברהם מן ההר, וכך משער גם הרב משה יהודה בלוי (המוציא לאור של סדרת "שיטת הקדמונים").
לפי השערת הרב אביגדור אריאלי, מו"ל ספרי הראשונים, מדובר בספרו של רבנו פרץ הכהן, כראיה הוא מביא את המילים "תפ"כ" (ראשי תיבות "תוספות פרץ כהן") המופיעים אף בכתבי היד של ספר זה.
הרב מרדכי גוטסגנדה, שההדיר את הספר מחדש בשם "חידושים לאחד הראשונים" (ירושלים תש"ס), תומך בזיהוי זה במבואו המקיף לספר.