tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
החלק הצדי של המחתלה הרחבה מעובה וחזק במיוחד ומכונה שביל הכסל והשוקה (Tractus iliotibialis), הנמשך מהאגן ועד לשוק.
השריר מותח המחתלה הרחבה נאחז בשביל הכסל והשוקה, מייצב אותו ושומר אותו במקומו מלנוע אחורה, במיוחד בזמן כיווץ של שריר העכוז הגדול המחובר גם הוא לשביל הכסל והשוקה.
לחלק הפנימי של המחתלה הרחבה שלוחות המגיעות עד עצם הירך ומתחברות לרכס הירך, שנמצא לאורך חלקה האחורי של עצם הירך.
השלוחות מכונות חֵיצִים בין-שרירים (Septum intermusculare femoris laterale, Septum intermusculare femoris mediale) והן יוצרות שלושה מדורים לשרירי הירך: המדור הקדמי, המדור האחורי והמדור התיכון.
המדורים מחלקים את שרירי הירך לקבוצות השונות האחת מהשנייה על פי פעולתן ועל פי העצבים המעצבבים אותן.
השרירים בירך ממוקמים בשלושה מדורים:
המדור הקדמי או מדור הפושטים (Compartimentum femoris anterius; Compartimentum femoris extensorum) מכיל שרירים כופפים של הירך ופושטים של מפרק הברך.
בחלק העליון של המדור הקדמי נמצא שריר הכסל והמותניים.
את מרבית המדור הקדמי תופס שריר הירך הארבע ראשי וסמוך לו שריר החייטים.
את רוב שרירי המדור הקדמי מעצבב עצב הירך.
המדור האחורי או מדור הכופפים (Compartimentum femoris posterius; Compartimentum femoris flexorum) מכיל את שרירי מיתר הברך: שריר הירך הדו-ראשי, השריר החצי קרומי והשריר החצי גידי.
שרירי מיתר הברך מכופפים את הברך ופושטים את הירך.
שלושתם מעוצבבים על ידי חטיבת השוקה של עצב השת.
המדור התיכון או מדור המקרבים (מתוויכים) (Compartimentum femoris mediale; Compartimentum femoris adductorum) מכיל קבוצת שרירים שעיקרהּ קירוב של הירך.
נמנים עם הקבוצה שריר המסרק, השריר המתוויך הארוך, השריר המתוויך הקצר, השריר המתוויך הגדול, השריר העדין והשריר הסותם החיצון.
כל השרירים בקבוצה זו מעוצבבים על ידי העצב הסותם, למעט שריר המסרק, המעוצבב על ידי עצב הירך, וחלקו האחורי של השריר המתוויך הגדול, המעוצבב על ידי עצב השת.
בחלק העליון של הירך, צמוד למפשעה, נמצא חלל עמוק למחתלה הרחבה בשם משולש הירך.
בסיס המשולש הוא רצועת המפשעה, וחודו נמצא בכיוון מטה מהרצועה, במפגש של השרירים המרכיבים את צלעותיו הנוספות, שריר החייטים והשריר המתוויך הארוך.
דרך המשולש עוברים כלי הדם העיקריים של הגפה התחתונה וכן חלק מעצבי הגפה.
עורק הירך ווריד הירך נכנסים למשולש הירך כשהם עטופים בחיתולית ההמשכית לחיתולית מאזור הבטן והכסל ונמשכת סנטימטרים ספורים מתחת לרצועת המפשעה.
המעטפת מחולקת לשלושה מדורים, בראשון והצדי ביותר עובר עורק הירך, בשני עובר וריד הירך והשלישי מכונה תעלת הירך (Canalis femoralis).
תעלת הירך ריקה למעט רקמת חיבור רפה, ולעיתים קשריות לימפה.
תעלת הירך היא חלל שיכול לתפוס וריד הירך, אם מידת ההחזר הוורידי מהרגל דורשת את התרחבות הווריד.
פתחה העליון של תעלת הירך מכונה טַבַּעְתּוֹן הַיָּרֵךְ (Anulus femoralis).
מפגשם של שריר החייטים והשריר המתוויך הארוך, הוא גם תחילתה של תעלה נוספת המורכבת מחיתולית.
תעלת המתוויכים (Canalis adductorius) נמשכת לכיוון מטה, בין שרירי הירך עד מִבְקַע תעלת המתוויכים (Hiatus adductorius) שבאחז השריר המתוויך הארוך בחלק התחתון של עצם הירך.
בתעלת המתוויכים נעים כלי דם של הירך ועצבים עד לבית הברך (חלקה האחורי של הברך).
גומץ בית הברך (Fossa poplitea) הוא שקע בחלק האחורי של הברך.
לגומץ בית הברך צורת מעוין שאת צלעותיו מרכיבים שריר הירך הדו-ראשי בחלקו העליון-צידי, השריר החצי-קרומי והשריר החצי-גידי בחלקו העליון התיכון ושני ראשיו של שריר הסובך בחלקו התחתון-צידי ובחלקו התחתון-תיכון.
רצפת הגומץ היא אחורי החלק התחתון של עצם הירך.
תקרת הגומץ מורכבת מעור ומחיתולית.
אל גומץ בית הברך מגיעים עורק הירך ווריד הירך המחליפים את שמם לעורק בית הברך (Arteria poplitea) ולווריד בית הברך (Vena poplitea).
באזור יציאת כלי הדם מגומץ בית הברך לכיוון מטה, הם מתפצלים לכלי דם קטנים יותר.
בגומץ בית הברך עוברים גם סעיפיו של עצב השת, עצב השוקה והעצב השוקיתי המשותף.
מגיע לשם קצהו של עצב עור הירך האחורי וכן סעיף מהעצב הסותם.
את עור הירך, שריריה וחלקיה הנוספים מעצבבים עצבים שמקורם במקלעת המותן ובמקלעת העצה.
דרך הירך עוברים עצבים נוספים בדרכם לעור ולשרירי החלק התחתון של הגפה התחתונה.
מקלעת המותן שבבטן היא מקורם של העצב הסותם ושל עצב הירך.
העצב הסותם נכנס לירך דרך הנקב הסתום בתחתית האגן ומעצבב את שרירי המדור התיכון של הירך וחלק מעור הירך בצד התיכון של הירך.
עצב הירך נכנס לירך באזור משולש הירך, צידי יותר מכלי הדם של הירך.
הוא מעצבב את שרירי המדור הקדמי של הירך ואת עור הירך בחלקה הקדמי והתיכון.
אחד הענפים התחושתיים של עצב הירך הוא העצב הַצָּפוּן (Nervus saphenus) העובר דרך משולש הירך ודרך תעלת המתוויכים.
העצב הצפון מגיע עד קרבת הפתח התחתון של תעלת המתוויכים ויוצא ממנה, הוא ממשיך מטה כשהוא מעצבב חלק גדול מעור השוק וכף הרגל, בצידם הקדמי והתיכון.
עצב נוסף שמקורו בשורשי העצב המותניים הוא עצב עור הירך הצידי (Nervus cutaneus femoris lateralis) המעצבב את החלק הצידי של עור הירך.
הענף העיקרי של מקלעת העצה שבאגן הוא עצב השת, העצב הגדול ביותר בגוף האדם.
הוא יוצר מהאגן דרך נקב השת הגדול ונכנס לאזור העכוז, משם הוא ממשיך לנוע לאורך חלקה האחורי של הירך עד גומץ בית הברך.
בדרכו בירך, מתפצל עצב השת לשני עצבים, עצב השוקה והעצב השוקיתי המשותף שנכנסים לשוק ומעצבבים את שרירי החלק התחתון של הרגל ואת מרבית העור של השוק ושל כף הרגל.
בירך מעצבב עצב השת את שרירי המדור האחורי של הירך ואת החלק האחורי של השריר המתוויך הגדול.
יחד עם עצב השת, יוצא מהאגן דרך נקב השת הגדול גם עצב עור הירך האחורי (Nervus cutaneus femoris posterior) המעצבב את העור בחלק האחורי של הירך.
פגיעה בעצבים יכולה להביא למרלגיה פרסטטיקה.
עיקר אספקת הדם לגפה התחתונה מגיעה דרך עורק הירך (Arteria femoralis), המשכו של עורק הכסל החיצון (Arteria iliaca externa).
עורק הירך נכנס לירך ממשולש הירך וממשיך לתעלת המתוויכים ודרכה לגומץ בית הברך.
סנטימטרים ספורים לאחר כניסת עורק הירך למשולש הירך, מתפצל ממנו עורק הירך העמוק (Arteria profunda femoris), יוצא ממשולש הירך ונע כלפי מטה בחלקה האחורי של הירך.
עורק הירך העמוק הוא מספק הדם העיקרי לירך.
בדרכו בירך מתפצלים ממנו עורקים נוספים המגיעים לשרירי הירך ולמבנים נוספים.
מחלקו העליון של עורק הירך העמוק מתפצלים העורק כּוֹתֵר הירך הצידי (Arteria circumflexa femoris lateralis) והעורק כותר הירך התיכון (Arteria circumflexa femoris medialis), המספקים דם בין היתר גם לראש ולצוואר עצם הירך.
מהמשך עורק הירך העמוק מתפצלים העורקים הנוקבים (Arteriae perforantens) ומספקים דם לסביבתם.
דם מהירך ומהרגל מתנקז לווריד הירך (Vena femoralis) וממנו לווריד הכסל החיצון (Vena iliaca externa).
וריד הירך מגיע אל משולש הירך מגומץ בית הברך דרך תעלת המתוויכים.
במשולש הירך מתנקזים לתוך וריד הירך וריד הירך העמוק (Vena profunda femoris) האוסף דם מהירך והווריד הצפון הגדול (Vena saphena magna) האוסף דם ממערכת הוורידים השטחית של הגפה תחתונה.
בוורידי הירך ישנה מערכת של שסתומים חד כיווניים המונעים מהדם הורידי לנוע מטה בהשפעת הכבידה.
במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה אלגברית, יריעה אלגברית אָפִינית היא קבוצת האפסים המשותפים של אוסף פולינומים נתון.
יריעות אלגבריות אפיניות הן אבני הבניין מהן נבנות יריעות אלגבריות שמהוות אובייקט מרכזי הנחקר במסגרת הגאומטריה האלגברית הקלאסית.
נניח כי k הוא שדה סגור אלגברית, ונסמן ב את המרחב האפיני ה-n-ממדי - אוסף ה-nיות של איברים מ-k, כלומר .
ניתן לראות באיבר f בחוג הפולינומים ב-n משתנים פונקציה .
בהינתן תת-קבוצה , נגדיר את אוסף האפסים המשותפים של S על ידי:
תת קבוצה V של תקרא יריעה אלגברית אפינית אם עבור קבוצה כלשהי.
יריעה אלגברית אפינית שאינה ריקה V תקרא אי-פריקה אם לא ניתן להציגה כאיחוד של שתי יריעות אלגבריות אפיניות לא ריקות שונות.
בעבר היה נהוג להשתמש בשם יריעה רק עבור יריעות אי-פריקות.
טרמינולוגיה זאת עדיין נמצאת בשימוש במקורות מסוימים.
כאשר משתמשים בה, נהוג לקרוא ליריעות אלגבריות שאינן בהכרח אי-פריקות "קבוצות אלגבריות".
על יריעות אפיניות ניתן להגדיר טופולוגיה (הנקראת טופולוגית זריצקי) בצורה טבעית על ידי כך שמכריזים על כל הקבוצות האלגבריות להיות קבוצות הסגורות.
בהינתן תת-קבוצה V של , נגדיר את הקבוצה (I(V להיות אוסף כל הפולינומים המתאפסים בכל V, כלומר:
V סגורה אם ורק אם
חוג הקואורדינטות והממד של יריעה
ניתן להראות כי קבוצה אלגברית אפינית V היא אי פריקה אם ורק אם (I(V הוא אידיאל ראשוני.
עבור יריעה אלגברית אפינית V, לחוג המנה קוראים חוג הקואורדינטות של V.
מאחר שבמקרה זה (I(V הוא אידיאל ראשוני, הרי שחוג הקואורדינטות של V הוא תחום שלמות.
הממד של יריעה אלגברית V מוגדר להיות ממד קרול של חוג הקואורדינטות של V.
הממד של המרחב האפיני ה-n ממדי (כלומר של ) הוא בדיוק n.
מכיוון שעבור זוג פולינומים מתקיים כי אם ורק אם לכל מתקיים , הרי שניתן לראות באיברי חוג הקואורדינטות של V פונקציות המוגדרות על V.
מורפיזם בין שתי יריעות אלגבריות ו הוא העתקה פולינומית בין המרחבים האפינים ו (זאת אומרת פולינומים ב משתנים) שמעבירה את ל-.
יריעות אלגבריות X ו-Y נקראות איזומורפיות אם קיימים מורפיזימים ו- כך ש- ו-, כלומר: הרכבתם מניבה את מורפיזם הזהות על כל יריעה בהתאמה.
באופן דומה, אם קיימות קבוצות פתוחות לא ריקות ו ומורפיזמים כך ש אז היריעות X ו-Y נקראות שקולות בי-רציונלית.
ירין שחף (נולד ב-1962 בתל אביב) הוא מאפר, מרצה על איפור, ובעל בית ספר למקצועות האיפור.
ב-1979 סיים לימודי איפור ב-Giorgio Make-up School בפירנצה שבאיטליה.
עם שחרורו מצה"ל, בשנת 1983, התמנה למאפר הראשי של רבלון ישראל ועבד במקביל כמאפר בהפקות אופנה, פרסומות, סרטים ומופעים.
במסגרת שירות המילואים התמנה ירין כמאפר הראשי של חיל הרפואה בצה"ל ועסק בהדמיות איפור פציעות והסוואות.
בשנת 1986 הקים את בית הספר למקצועות האיפור.
במקביל להוראת איפור מקצועי בבית ספרו, מלמד שחף איפור מקצועי בבתי ספר בעולם (Make Up Institute בסטוקהולם שבשוודיה, Beni Durrer בברלין שבגרמניה).
בשנת 2001 הקים את מיזם "ירין שחף למען הקהילה", שבו בוגרי בית ספרו מתנדבים ומאפרים במופעים שונים המהווים מנוף לגיוס כספים לבתי חולים ועמותות שונות כגון עמותת עלם, האגודה למלחמה בסרטן, כתף לחייל והאגודה למען החייל.
בשנת 2015 הקים את "בית ירין שחף" בתל אביב, בית הספר למקצועות היופי.
בבית הספר כיתות לימוד להכשרת מאפרים, מעצבי שיער וסטייליסטים, לצד גלריה לאמנות בה מוצגות תערוכות מתחלפות של אמנות מודרנית.
בשנת 2021 הקים סניף נוסף בחיפה, בסמוך למרכזית המפרץ.
בשנת 2018 נבחר "ירין שחף" כבית הספר לאיפור הטוב בישראל מטעם I.U.M – האיגוד הבינלאומי לבתי ספר לאיפור.
שחף נשוי ואב לשתי בנות.
יריקה היא פעולה גופנית של הוצאת רוק בכוח מתוך הפה.
הפעולה מהווה רפלקס שמטרתו לצורכי הוצאת נוזלים או חומרי מזון המצויים בפה.
כמו כן הפעולה מהווה ביטוי חברתי כתוצאה מאמונה טפלה או על מנת לבטא רגש (לרוב בוז או כעס).
ברחבי העולם המערבי יריקה נחשבת כפעולה חסרת נימוס.
הגישה הרואה ביריקה פעולה חסרת נימוס מקורה במערב אירופה בראשית המאה ה-18, בעיקר בעקבות התפתחות מנהגים היגייניים של רחצה בקרב החברה הגבוהה באירופה.
בעקבות התפתחות גישה זו, ועל מנת למנוע יריקות על רצפות הבתים התפתח הנוהג של התקנת מרקקות בכניסה לבתים ובחדרים שונים.
השימוש במרקקות פחת בראשית המאה ה-20 לאחר מגפת השפעת הספרדית של 1918, ובעקבות ההבנה כי אלו מאפשרות הפצת מחלות.
בארץ ישראל הותקנו מרקקות בכניסה למבני ממשל בתקופת המנדט הבריטי, וזאת לאור הנוהג המקומי, שהיה נפוץ עד שלהי תקופת המנדט, לירוק בכניסה למבנים אלה על מנת לנקות את הפה מאבק הרחובות.
דוגמה למרקקה מעין זו מצויה בכניסה לבניין עיריית חיפה גם כיום.
היריקה מקושרת לאמונה הטפלה לפיה היא מונעת עין רעה.
באסיה התפתח הנוהג לירוק על ילדים כנגד עין רעה, ובאירופה קיים הנוהג לירוק כאשר רואים חתול שחור.
בטקס החליצה, נדרשת היבמה לירוק אל מול היבם, בתגובה לכך שלא הסכים לייבמה, חז"ל דורשים שיהא זה רוק הנראה לעיני הדיינים.
כמו כן נהוג בכמה חסידויות (וביניהם חסידות חב"ד), שבשעת אמירת עלינו לשבח, כשמגיעים למילים "שהם (כלומר, גויי הארצות=עובדי עבודה זרה) משתחווים להבל ולריק", יורקים.
הרבי מנחם מנדל שניאורסון הסביר שזה על מנת שלא לבלוע ולהנות מן הרוק שנוצר בעת הדיבור על עבודה זרה.
יריעה טורית היא יריעה אלגברית נורמלית המכילה טורוס אלגברי בתור קבוצה פתוחה צפופה, כך שפעולת הטורוס על עצמו מתרחבת לפעולה אלגברית של חבורה על היריעה.
זאת אומרת תת-קבוצה סגורה לחיבור המכילה את 0 ומקימת:
החרוט הדואלי ל- הוא החרוט המורכב מכל האיברים שהזווית בינם לכל איבר של אינה קהה.
בניה של יריעה טורית לפי חרוט
נניח כי הוא חרוט קמור בחזקה (אינו מכיל שום עותק של ).
היריעה הטורית המגיעה מן החרוט היא הספקטרום של חוג המונואיד של החרוט הדואלי ל-.
משפט: כל יריעה טורית אפינית מתקבלת בצורה כזו.
מניפה היא אוסף חרוטים כך שהדופן של כל חרוט הוא חרוט באוסף והחיתוך של שני חרוטים הוא דופן של כל אחד מהם.
כאשר חרוט הוא דופן של חרוט , ניתן לזהות את היריעה כתת-קבוצה פתוחה של .
היריעה הטורית המגיעה מהמניפה היא איחוד היריעות המגיעות מכל אחד מהחרוטים באוסף, כאשר כל שתי יריעות מודבקות לאורך הקבוצה הפתוחה שמגיעה מהדופן המשותף לשני החרוטים.
משפט: בדרך זו ניתן לבנות את כל היריעות הטוריות.
ניתן להסיק תכונות מסוימות של היריעה הטורית מתוך המבנה הקומבינטורי של המניפה.
היריעה היא חלקה אם ורק אם כל אחד מן החרוטים במניפה נוצר על ידי וקטורים שמהווים חלק מבסיס לסריג.
היריעה היא שלמה אם ורק אם המניפה מכסה את כל הסריג.
היריעה היא פרויקטיבית אם ורק אם קיים פאון קמור שמכיל את 0 כך שכל אחד מחרוטי המניפה נוצר (כמונואיד רווי) מאחת מהפאות של הפאון.
ירין קימור (נולד ב-27 ביולי 1952) הוא סופר, מרצה ובמאי ישראלי, העוסק גם בקסמים.
עוסק בבימוי סרטים דוקומנטריים שרובם שודרו בערוץ הראשון חלקם עסקו בפרשיות ביטחוניות וארגוני ריגול, וכן בשואה ובסיפורי התמודדות עם מצבים אבודים.
כתב שני ספרים בנושא פיתוח חשיבה יצירתית והמציא משחק קופסה של חידות ששמו "לצאת מהקופסה".
משתמש בקסמים כדי להדגים תהליכי חשיבה ולשבור קיבעונות מחשבתיים.
מרצה על חשיבה יצירתית ופרזנטציה בארץ ובעולם.
ירין קימור גדל והתחנך בבית הספר הריאלי בחיפה.
הוא בנם של פרופ' ברוך קימור (קומרובסקי), מחלוצי חקר הימים והאגמים בישראל, ושל אמה קימור, משוררת, מחזאית ומורה לאנגלית.
ירין קימור שירת בחטיבת גולני בקו הראשון במלחמת יום הכיפורים בחזית הסורית.
ירין קימור הוא בוגר האוניברסיטה העברית ובוגר של ה- (world press institute (WPI.
הוא שימש שנים רבות כעורך ובמאי בערוץ הראשון.
בין השאר, היה עורך משנה בתוכנית המדע תצפית, כתב לענייני חינוך במבט לחדשות וכתב ביומן השבוע.
כמו כן, היה כתב חוקר בכלבוטק, ועורך ראשי, מגיש ומפיק מבט שני.
הוא היה ראשון לחשוף את העובדות מאחורי חיסול מחבלי טבח הספורטאים באולימפיאדת מינכן, והמלחמה הסמויה שהמוסד מנהל נגד הטרוריסטים של ארגון ספטמבר השחור.
ירין הוא יוזם שידור שמותיהם של חללי מערכות ישראל בערוץ 26, שידור שמתקיים מדי יום זיכרון מאז שנות ה-90.
קימור היה נשוי פעמיים: הנישואים הראשונים לרחל קימור, משפטנית, להם נולדה ילדה ושמה טנא; ולאחר מכן לבמאית הקולנוע והטלוויזיה דלית קימור בתם של ד"ר מלכה שקד, חוקרת ספרות עברית וספרות השוואתית וגרשון שקד, שהיה פרופסור לספרות עברית באוניברסיטה העברית בירושלים, ולהם נולדו שני ילדים, המשורר גילי קימור ואייל.
"המרגל שחזר אל הכפור" על המרגל ויקטור גרייבסקי שהעביר לקהיליית המודיעין הישראלית את הנאום הסודי שנשא ניקיטה חרושצ'וב שבו חשף לראשונה את פשעי סטלין.
"שעת הסין", 1994 - סדרה בת 5 פרקים בהפקה משותפת של הטלוויזיה הישראלית והחברה הגאוגרפית על המהפכה הקפיטליסטית של סין.
"גיבורים בעל כורחם" סדרה דוקומנטרית של 7 פרקים המביאה את סיפוריהם של אנשים שנקלעו בחייהם למצבים אבודים, חסרי תקווה ונטולי סיכוי לכאורה, והתמודדו אִתם, ולאחר מכן שתי סדרות המשך.
בסך הכול שודרו 19 פרקים בכולם ירין היה הבמאי ובחלקם גם המפיק.
"הנוקמים" סדרה דוקומנטרית של 7 פרקים העוסקת בנקמה היהודית בנאצים לאחר מלחמת העולם השנייה.
כ־1,500 פושעי אס־אס וגסטאפו הוצאו להורג בידי יהודים, חברי קבוצות מזדמנות או ארגונים רשמיים, במרדף שהשתרע על פני חמש יבשות ועשרות מדינות.
"שפתיים חתומות" – 2012, יצחק חופי וחמישה ראשי מוסד וחמישה ראשי אגפים מדברים על המבצעים המיוחדים של המוסד כמו חיסולו של ודיע חדאד, שעמד מאחורי חטיפת המטוס הישראלי לאנטבה, השגת המידע לפני מבצע אנטבה, חיסול מדעני הגרעין לפני הפצצת הכור בעיראק ועוד.
"ג'ני מיי - האישה שידעה יותר מידי" - 2011, מיני סדרה בשלושה פרקים על חייה ומותה המסתורי של סוכנת הביון ומאמנת הדולפינים ג'ני מיי שנמצאה תלויה בחוף הים של ת"א בחורף 1994.
"קרב במשקל כבד" 2000, מעקב על אנשים שמנים מאוד, לפני ניתוח לקיצור קיבה.
מרתון הכנרת - סרט בן 90 דקות על המרתון הבינלאומי הראשון שנערך בישראל.
"סרט בשחור לבן", אודות עיוורים נכי צה"ל שלומדים לגלוש סקי למרות מגבלתם.
"דע את היריב" - מיני סדרה אודות יחידת "קיסריה" במוסד -האגף לתפקידים מיוחדים במוסד.
במשך שלושים השנים, עוסק ירין קימור בפיתוח חשיבה יצירתית שיטתית ובהרצאות וסדנאות בתחום זה.
ירין קימור מתמקד ביצירתיות ישראלית ובמוח היהודי תוך הדגמה של תהליכי חשיבה באמצעות קסמים מתוחכמים כהמחשה של המעבר בין הבלתי אפשרי (בשלב הפליאה על הקסם) לאפשרי (בזמן פיענוח הקסם).
ירין חיבר שני ספרי עיון והדרכה כיצד לפתח את היצירתיות ופיתח ערכת משחק המשלבת העשרה ולימוד.
הבלתי אפשרי אפשרי - ספרו הראשון שעוסק בשיטות להשתחרר מקבעונות מחשבתיים.
אז זהו, שלא - ספרו השני שמציג 750 אמיתות מוחלטות לכאורה אף כי הן אינן נכונות ואף שקריות, תוך ניתוח מי מושך בחוטים של השקר ומי המרוויחים ומדוע איננו מוכנים לתקן גם כשאנחנו יודעים את האמת.
לצאת מהקופסה - ערכת משחק לחינוך ילדים ומבוגרים שעיקרה חידות יצירתיות.
יריעה אלגברית פרויקטיבית היא יריעה אלגברית במרחב הפרויקטיבי, כלומר: קבוצת השורשים של קבוצת פולינומים הומוגניים.
היריעות האלגבריות נחקרות במסגרת הגאומטריה הפרויקטיבית והגאומטריה האלגברית.
למשל: קיימים מיונים של ישרים פרויקטיבים, עקומות קוניות פרויקטיביות (עקומות שמוגדרות על ידי פולינום הומוגני ממעלה 2) ועקומות קוביות פרויקטיביות (עקומות שמוגדרות על ידי פולינום הומוגני ממעלה 3) מישוריות.
משפט בזו מנוסח אף הוא למקרה הפרויקטיבי.
יריעות פרויקטיביות מופיעות גם במחקר של חבורות אלגבריות (למשל: אם חבורה אלגברית ו- תת-חבורה אלגברית שלה המנה היא יריעה קוואזי-פרויקטיבית).
המרחב הפרויקטיבי מעל שדה סגור אלגברית הוא מרחב המנה של מרחב וקטורי המורכב מאוסף ה--יות ללא תחת יחס השקילות
כלומר, כל שתי -יות מזוהות כאחת אם הן פרופורציוניות זו לזו בסקלר שונה מאפס.
פולינום ב- משתנים יקרא פולינום הומוגני ממעלה d אם
לדוגמה: הוא הומוגני ממעלה 2 בעוד ש- אינו הומוגני בכלל.
נשים לב שאין משמעות לערך של פולינום בנקודה של המרחב הפרויקטיבי אך כן יש משמעות להתאפסות של פולינום הומוגני בנקודה פרויקטיבית.
הקבוצה נקראת יריעה אלגברית פרויקטיבית.
קבוצה ב- נקראת "קבוצה אלגברית" ומוגדרת להיות קבוצה סגורה אם היא מהצורה עבור הם פולינומים הומוגניים כלשהם.
הגדרה זו משרה טופולוגיית זריצקי על המרחב הפרויקטיבי.
באופן דומה למקרה של יריעה אלגברית אפינית אפשר להגדיר טופולוגיית זריצקי ואי-פריקות של יריעות אלגבריות, וכן להגדיר -אלגברה של פונקציות מעל כל יריעה.
יש הכוללים בהגדרה "יריעה אלגברית פרויקטיבית" את הדרישה שהיא תהייה אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי.
באופן דומה למקרה האפיני, אפשר לנסח את משפט האפסים של הילברט.
קבוצה פתוחה בטופולוגיית זריצקי שמוכלת בקבוצה סגורה במרחב הפרויקטיבי נקראת יריעה קוואזי-פרויקטיבית.
הגדרה שקולה היא קבוצה סגורה מקומית.
יריעה אלגברית אפינית ויריעה אלגברית פרויקטיבית הן מקרה פרטי של יריעה קוואזי-פרויקטיבית.
במתמטיקה ובפרט בטופולוגיה וגאומטריה, יריעה נקראת אוריינטבילית (Orientable) אם ניתן להגדיר עליה אוריינטציה.
הדוגמה הסטנדרטית ליריעה לא אוריינטבילית היא טבעת מביוס.
משטח במרחב נקרא אוראנטבילי אם ניתן לבחור לו צד.
הגדרה זו של אוריינטציה ניתנת להכללה לממדים גבוהים יותר, אולם היא תקפה רק להיפר-משטחים , זאת אומרת ליריעות ממדיות ב.
יריעה חלקה מממד היא אוריינטבילית אם קיימת עליה תבנית הפיכה.
יריעה טופולוגית סגורה וקשירה מממד היא אוריינטבילית אם (או, באופן שקול, ).
לקריטריון זה יש גרסה גם עבור יריעות כלליות, לרבות יריעות עם שפה.
כל עקום (יריעה חד־ממדית) הוא איחוד זר של קטעים ומעגלים.
לכן כל עקום הוא יריעה אוירנטבילית.
הדוגמה הבסיסית ביותר ליריעה לא אוריינטבילית היא טבעת מביוס.
מכיוון שטבעת מביוס היא משטח במרחב, העובדה שהיא לא אוריינטבילית שקולה לכך שאין עליה שדה נורמלי באורך יחידה.
או במילים אחרות, לא ניתן לבחור לה צד.
כיסוי האוריינטציות של טבעת מביוס הוא טבעת רגילה, במילים אחרות גליל.
גליל הוא יריעה אוריינטבילית, ולכן טבעת מביוס לא יכלה להיות הומיאומורפית לגליל.
בקבוק קליין הוא משטח סגור לא אוריינטבילי.
כפי שנראה בהמשך, עובדה זו מוכיחה שאי-אפשר לשכנו במרחב התלת־ממדי.
אולם ניתן להטביעו במרחב כזה (ראה איור), זאת אומרת קיימת אימרסיה מבקבוק קליין למרחב תלת־ממדי.
בעזרת תיאור זה ניתן להראות שכיסוי האוריינטציות של בקבוק קליין הוא הטורוס.
המישור הוא יריעה אוריינטבילית, המישור הפרויקטיבי הוא קומפקטיפיקציה לא אוריינטבילית של המישור.
ניתן לתאר את המישור הפרויקטיבי בתור אוסף הישרים העוברים דרך הראשית במרחב.
דרך נוספת לתארו היא להדביק טבעת מביוס ועיגול לאורך השפה שלהם (הן השפה של טבעת מביוס והן השפה של עיגול היא מעגל).
הדרך השנייה מוכיחה כי המישור הפרויקטיבי אינו אוריינטבילי, מכיוון שטבעת מביוס ללא השפה היא יריעה לא אוריינטבילית, וכפי שנראה בהמשך תת-קבוצה פתוחה של יריעה אוריינטבילית היא אוריינטבילית.
מהתאור הראשון של המישור הפרויקטיבי ניתן להסיק כי כיסוי האוריינטציות שלו הוא הספירה.
בדומה לבקבוק קליין לא ניתן לשכן את המישור הפרויקטיבי במרחב, אולם ניתן להטביע אותו שם.
ניתן למיין את כל המשטחים (הקשירים) הסגורים על ידי האוריינטביליות והגנוס שלהם.
משטח (קשיר) אוריינטבילי מגנוס נראה כספירה שחיברו אליה ידיות.
לחלופין ניתן לתאר אותו בתור הסכום הקשיר
כאשר היא הסיפרה ו הוא הטורוס.
משטח (קשיר) לא אוריינטבילי מגנוס הוא
כיסוי האוריינטציות של הוא .
מרחב פרויקטיבי, ספירה רב ממדית ומרחב ליניארי
מרחב ליניארי (ממשי או מרוכב) תמיד אוריינטבילי, מרחב פרויקטיבי הוא קומפקטיפיקציה של מרחב ליניארי (מאותו ממד).
ניתן לתאר מרחב פרויקטיבי ממדי בתור אוסף הישרים העוברים דרך הראשית במרחב ממדי.
מרחב פרויקטיבי ממשי מממד זוגי אינו אוריינטבילי.
בשאר המקרים, מרחבים פרויקטיביים הם יריעות אוריינטביליות.
הכיסוי האוניברסלי של מרחב פרויקטיבי ממשי (מממד גדול מ 1) הוא ספירה (מאותו ממד).
לפי אפיון כיסוי האוריינטציות, זה מוכיח שבמקרה שהמרחב הפרויקטיבי לא אוריינטבילי, הספירה היא כיסוי האוריינטציות שלו.
יריעה לא קשירה היא אוריינטבילית אם ורק אם כל רכיבי הקשירות שלה אוריינטבילים.
יהי הומאומורפיזם מקומי של יריעות טופולוגיות.
ניתן למשוך לאחור אוריינטציה על על ידי לכן אם אוריינטבילית אז כך גם בפרט תת-קבוצה פתוחה של יריעה אוריינטבילית היא אוריינטבילית.
מצד שני, אם הוא כיסוי פתוח של יריעה וניתן לבחור אוריינטציות על כך שהצמצומים ו שווים לכל אז אוריינטבילית.
מכאן ניתן להסיק שאם הוא כיסוי על ידי קבוצות פתוחות אוריינטביליות והחיתוך קשיר, אז אוריינטבילית.
מזה נובע שסכום קשיר של יריעות אוריינטביליות, אוריינטבילי.
בנוסף ניתן להסיק מהתכנות של אוריינטציה יחסית שמכפלה של יריעות אוריינטביליות גם היא אוריינטבילית ומכפלה של יריעה לא אוריינטביליות עם מרחב ליניארי היא יריעה לא אוריינטבילית.
מזה נובע שמכפלה של יריעה לא אוריינטבילית עם יריעה כלשהי היא יריעה לא אוריינטביליות.
ממשפט ז'ורדן ותהליך השראת האוריינטציה על שפה של יריעה ניתן להסיק את הטענה הבאה:
מהגדרת קרקטר האוריינטציות ניתן להסיק את הטענה הבאה:
נניח שלחבורה היסודית שלה אין תת-חבורות מאינדקס 2.
מסקנה: יריעה פשוטת קשר תמיד אוריינטבילית.
יריעה כמעט מרוכבת היא יריעה חלקה מממד זוגי, שעל המרחב המשיק בכל נקודה נתון מבנה של מרחב ליניארי מעל (התלוי באפן חלק בנקודה ).
מהעובדה שכל אוטומורפיזם ליניארי מרוכב שומר האוריינטציה ניתן להסיק את הטענה הבא:
טענה: יריעה כמעט מרוכבת תמיד אוריינטבילית.
מסקנה: יריעה אנליטית מרוכבת, ובפרט יריעת הנקודות של יריעה אלגברית חלקה מרוכבת, תמיד אוריינטבילית.
מהגדרת מושג האוריינטציה על יריעה חלקה ניתן להסיק את הטענה הבאה:
טענה: יריעה סימפלקטית תמיד אוריינטבילית.
משטחים לא אוריינטבילים – סכום קשיר של מישורים פרויקטיבים מכפלה של יריעות אוריינטביליות מכפלה של יריעה לא אוריינטבילית עם יריעה כלשהי היפר משטחים סגורים (Closed Hypersurfaces)
יריעות אלגבריות (ובאופן כללי יותר סכמות) הן אובייקט המחקר המרכזי בגאומטריה אלגברית.
באופן אינטואיטיבי, יריעה אלגברית היא אובייקט גאומטרי שנראה מקומית כמו יריעה אלגברית אפינית (זאת אומרת קבוצת אפסים של מערכת משוואות פולינומית במספר משתנים).
בדומה למרחב וקטורי, יריעות אלגבריות מוגדרות תמיד מעל שדה .
בגישה הקלאסית, יריעה אלגברית אפינית הוגדרה כקבוצת כל האפסים של משפחת פולינומים מעל שדה סגור אלגברית .
כלומר: אם הם קבוצת פולינומים ב- משתנים (כלומר: אזי היריעה האפינית המוגדרת על ידם היא
באופן יותר מדויק, מסתכלים על המרחב האפיני כמרחב ה--יות של מספרים משדה כאשר שוכחים את המבנה הטבעי של מרחב וקטורי שיש ל-.
על מרחב זה מגדירים k-אלגברה של פונקציות רגולריות מ- ל-.
במקרה האפיני פונקציות רגולריות אלה הן פולינומים ב- משתנים.
נשים לב ש-k-אלגברה זו היא חוג נתרי לפי משפט הבסיס של הילברט, דבר המבטיח שהיא מקיימת מספר תכונות שימושיות, למשל: כל אידיאל בה הוא נוצר-סופית.
על המרחב מגדירים טופולוגיית זריצקי (על שם אוסקר זריצקי) ההופכת אותו למרחב נתרי.
בטופולוגיה זו כל הקבוצות הסגורות הן בדיוק הקבוצות מהצורה באשר הוא אידיאל ב-.
מאחר ש- היא אלגברה נתרית נוצר סופית ולכן יש מספר סופי של פולינומים היוצרים את .
כמו כן מתקיים , ולכן כל הקבוצות הסגורות הן בעצם קבוצות האפסים המשותפים של משפחות סופיות של פולינומים.
לקבוצות כאלה קוראים "קבוצות אלגבריות".
אזי חוג הפונקציות הרגולריות עליה ניתן על ידי .
אם אידיאל ראשוני אז היא יריעה אפינית אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי.
יריעה אי-פריקה היא יריעה שאי-אפשר להציגה כאיחוד של שתי תת-קבוצות סגורות החלקיות ממש ליריעה.
נשים לב שעבור יריעות אפיניות החוג של הפונקציות הרגולריות
הוא k-אלגברה נוצרת-סופית ללא איברים נילפוטנטיים.
משפט האפסים של הילברט נותן אפיון לקשר בין תת-יריעות סגורות של לאידיאלים של .
כל k-אלגברה נוצרת-סופית ללא איברים נילפוטנטיים היא החוג של הפונקציות הרגולריות של יריעה אלגברית מתאימה.
מסמנים יריעה זאת והיא מכונה הספקטרום של .
בתור קבוצה, יריעה זאת היא אוסף האידיאלים המקסימליים של .
קבוצה זאת מסומנת ב ונקראת הספקטרום המקסימלי של .
המרחב הפרויקטיבי מהווה הרחבה של המרחב האפיני, בה לכל ישר מוסיפים נקודה נוספת באינסוף.
באופן פורמלי יותר, המרחב הפרויקטיבי ה--ממדי מעל הוא אוסף כל הישרים העוברים דרך הראשית במרחב האפיני -ממדי .
אם בוחרים היפר מישור שלא עובר דרך ה-0 במרחב ב- אז כל נקודה בהיפר מישור זה נמצאת על ישר יחיד שעובר דרך הראשית.
לכן אפשר לחשוב על היפר מישור זה כעל תת-קבוצה במרחב הפרויקטיבי.
כמעט כל הנקודות של המרחב הפרויקטיבי נמצאות בקבוצה זאת.
אלה שלא נמצאות בה הן גבולות של סדרות של נקודות שנמצאות בה אשר מתאימות לסדרות של נקודות בהיפר מישור ששואפות לאינסוף בכיוון של ישר מסוים.
מכיוון שהיפר מישור ב- הוא מרחב אפיני -ממדי אנו רואים שהמרחב הפרויקטיבי הוא מעין השלמה של המרחב האפיני.
בהינתן קבוצה ניתן להגדיר קבוצה המהווה את איחוד כל הישרים שהם איברי .
הקבוצה נקראת יריעה פרויקטיבית אם"ם היא יריעה אפינית.
ניתן להגדיר טופולוגיה על באופן דומה להגדרת הטופולוגיה של זריצקי על יריעות אפיניות.
גם טופולוגיה זאת נקראת הטופולוגיה של זריצקי.
אפשר לחשוב על יריעות פרויקטיביות כעל קומפקטיפיקציות של יריעות אפיניות.
לדוגמה, אם אז יריעות פרויקטיביות הן תמיד קומפקטיות (בטופולוגיה המרוכבת) בעוד שיריעות אפיניות אינסופיות לעולם אינן קומפקטיות (בטופולוגיה המרוכבת).
מכיוון שכל יריעה אפינית ניתן לשכן במרחב אפיני ואת ניתן לשכן במרחב הפרויקטיבי , ניתן לשכן את ב-.
אולם אפשר לקחת את הסגור זריצקי של בתוך וכך לקבל יריעה פרויקטיבית המכילה את בתור קבוצה פתוחה צפופה.
הקומפקטיות של יריעות פרויקטיביות נותנת להם תכונות טובות יותר, ובמקרים רבים קל יותר לחקור אותם.
הסיבה היא שבעוד שבמרחב האפיני דברים יכולים "לברוח לאינסוף", זה בלתי אפשרי במרחב הפרויקטיבי, כך שניסוחים של משפטים הופכים יותר פשוטים.
לדוגמה במישור האפיני, שני ישרים שונים יכולים להחתך ב-0 או ב-1 נקודות.
בעוד שבמישור הפרויקטיבי שני ישרים שונים נחתכים בדיוק בנקודה 1. דוגמה נוספת היא שפרבולה אליפסה והיפרבולה נהיות איזומורפיות כאשר סוגרים אותן במישור הפרויקטיבי.
הסיבה להבדלים ביניהן במישור האפיני היא שאליפסה לא חותכת את האינסוף כלל, פרבולה חותכת אותו בנקודה אחת והיפרבולה ב-2. אם עובדים מעל המספרים המרוכבים ולא הממשיים אז דוגמה זאת מאבדת מעט מערכה מכיוון שאליפסה והיפרבולה איזומורפיות גם כיריעות מרוכבות אפינייות.
לא ניתן לחקור יריעה פורויקטיביות באמצעות חוג פונקציות הרגולריות עליהם, מכיוון שחוג זה קטן מאוד (אם היריעה קשירה או בלתי פריקה אז חוג זה הוא השדה ).
את תפקידו של חוג זה תופס חוג הפונקציות הרגולריות על היריעה האפינית .
מכיוון שיריעה זאת אינווריאנטית להומותטיה (ז"א כפל בסקלרים מ-), חוג הפונקציות עליה הוא חוג מדורג: פונקציה הומוגנית ממעלה על היא פונקציה המתקבלת מצימצום של פולינום הומוגני ממעלה על המרחב האפיני .
הקשר בין יריעות פרויקטיביות לאלגבראות מדורגות דומה לקשר בין יריעות אפיניות לאלגבראות.
מכיוון שניתן לכסות את על ידי העתקים של (המתאימים ל- היפר מישורים ב-) ניתן גם לכסות כל יריעה פרויקטיבית על ידי מספר סופי של יריעות אפיניות.
כיסוי כזה מאפשר דרך נוספת לחקור יריעות פרויקטיביות.
קבוצה פתוחה ביריעה אפינית הנתונה על ידי התנאי כאשר היא פונקציה רגולרית על נקראת קבוצה פתוחה בסיסית.
על קבוצה כזאת יש מבנה טבעי של יריעה אפינית מכיוון שאפשר לשכן אותה כקבוצה סגורה ב-:
אולם לא ניתן לבצע זאת עבור קבוצות פתוחות כלליות.
לדוגמה על הקבוצה אין מבנה של יריעה אפינית.
קבוצה פתוחה ביריעה אפינית נקראת יריעה קוואזי-אפינית.
ניתן לחקור יריעות קוואזי-אפיניות על ידי היריעות האפיניות המכילות אותן או על ידי הקבוצות הבסיסיות המכסות אותן (שהן גם כן יריעות אפיניות).
באופן דומה יריעה קוואזי-פרויקטיבית היא קבוצה פתוחה ביריעה פרויקטיבית.
נשים לב שכל יריעה אפינית היא קוואזי-פרויקטיבית (מכיוון שאפשר לשכן מרחב אפיני בתור קבוצה פתוחה במרחב פרויקטיבי).
יריעות קוואזי-פרויקטיביות מהוות מחלקה רחבה של אובייקטים גאומטריים.
תתי-קבוצות פתוחות וסגורות ביריעות קוואזי-פרויקטיביות הן יריעות קוואזי-פרויקטיביות.
גם היום כאשר המושג של יריעה אלגברית כללית ידוע ומקובל היטב, חלק גדול מהמחקר בגאומטריה אלגברית מתמקד ביריעות קוואזי-פרויקטיביות.
למעשה לא קל למצוא דוגמה של יריעה אלגברית שאיננה קוואזי-פרויקטיבית.
המוטיבציה של וייל להגדיר את המושג הכללי של יריעה אלגברית באה מדוגמה מסוימת, אולם דוגמה זאת התבררה לימים כיריעה קוואזי-פרויקטיבית (אם כי מסיבות לא טריוויאליות).
דוגמה ליריעה אלגברית לא קוואזי-פרויקטיבית נמצאה רק לאחר כעשור על ידי נגטה.
בדומה ליריעות פרויקטיביות ויריעות קוואזי-אפינית גם יריעות קוואזי-פרויקטיביות ניתן לכסות על ידי מספר סופי של קבוצות פתוחות המהוות יריעות אפיניות.
למרות המגוון הרחב של יריעות קוואזי-פרויקטיביות יש להן מגבלות רבות.
ראשית, הצורך לקבוע שיכון למרחב פרויקטיבי על מנת לדבר על היריעה איננו טבעי.
ברמה היותר פרקטית, מסובך לבצע בנייות גאומטריות בסיסיות עם יריעות קוואזי-פרויקטיביות, ולעיתים אף בלתי אפשרי.
לדוגמה לא ברור איך להגדיר מבנה של יריעה (קוואזי) פרויקטיבית על מכפלה קרטזית של יריעות (קוואזי) פרויקטיביות.
הדבר ניתן לביצוע על ידי שיכון של מכפלה של מרחבים פרויקטיבים למרחב פרויקטיבי, הנקרא שיכון סגרה, אך פתרון זה איננו טריוויאלי, ומעלה משמעותית את ממד המרחב הפרויקטיבי אליו משוכנת היריעה.
דוגמה נוספת היא פעולת ההדבקה.
בהינתן שני מרחבים טופולוגיים ו- ושיכונים פתוחים ו- ניתן להגדיר את ההדבקה לאורך בתור האיחוד הלא קשיר מודולו יחס השקילות .
פעולה זאת אינה ניתנת לביצוע ליריעות קוואזי-פרויקטיביות.
הצורך בביצוע פעולה זאת מהווה את המוטיבציה המרכזית להגדרה המודרנית של יריעה אלגברית.
הגדרה פורמלית באמצעות אלומת פונקציות
באופן אינטואיטיבי, ניתן להגדיר יריעה אלגברית כללית בתור "תוצר ההדבקה של מספר יריעות אפיניות".
ברמה הפורמלית יש להגדיר מחלקה רחבה יותר של אובייקטים גאומטריים שיריעות אלגבריות מהוות חלק ממנה, ולהגדיר את ההדבקה במחלקה זאת.
אחת הפופולרית בהן היא "אוסף המרחבים הטופולוגיים עם אלומות פונקציות".
אלומת פונקציות (עם ערכים ב ) על היא התאמה אשר מתאימה עבור כל קבוצה פתוחה , תת-אלגברה (עם יחידה) של אלגברת הפונקציות מ- ל-, כך שמתקיים:
לכל קבוצה פתוחה , אם אז הצמצום של ל- שייך ל-
לכל כיסוי פתוח , אם אז
אם קבוצה פתוחה אז ניתן להגדיר את הצמצום של ל- על ידי , לכול קבוצה פתוחה .
זוג המורכב ממרחב טופולוגי ואלומת פונקציות עליו, נקרא מרחב עם אלומת פונקציות.
אם הוא מרחב עם אלומת פונקציות אז נקראת אלומת המבנה של .
יהיו ו- מרחבים עם אלומות פונקציות.
העתקה נקראת מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות אם רציפה ולכל ו- מתקיים :.
אוסף המרחבים עם אלומות פונקציות הוא קטגוריה, בפרט שני מרחבים עם אלומות פונקציות ו- נקראים איזומורפיים אם קיימות העתקות ו- של מרחבים עם אלומות פונקציות כך ש: ו
מרחבים עם אלומות פונקציות הם מקרים פרטיים של מרחבים מחויגים.
יריעות אפיניות כמרחב עם אלומת פונקציות
מכיוון ש- היא יריעה קוואזי-אפינית, ניתן להגדיר את חוג הפונקציות הרגולריות על .
קל לראות שההתאמה נותנת אלומת פונקציות.
מכאן ש- מצוידת בטופולוגיה של זריצקי יחד עם אלומת הפונקציות הרגולריות מהווה מרחב עם אלומת פונקציות.
קל לראות כי העתקה היא מורפיזם של יריעות, אם"ם היא מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות.
במילים אחרות קטגוריית היריעות האפיניות היא תת-קטגוריה מלאה בקטגוריית המרחבים עם אלומות פונקציות.
לא כל מרחב עם אלומת פונקציות הוא יריעה אפינית.
יריעה אפינית היא מרחב עם אלומת פונקציות שמקיים את התכונות הבאות:
חתך הפונקציות הרגולריות גלובלית על שנסמנו הוא k-אלגברה נוצרת סופית.
ההעתקה מקבוצת המורפיזמים של מרחבים עם אלומת פונקציות לקבוצת ההומומורפיזמים של k-אלגבראות ששולחת את ל- כאשר , היא חח"ע ועל (bijection) לכל מרחב עם אלומת פונקציות .
מרחב עם אלומת פונקציות נקרא יריעה אלגברית אם קיים כיסוי פתוח סופי כך ש- איזומורפי (כמרחב עם אלומת פונקציות) ליריעה אלגברית אפינית.
מורפיזם של יריעות מוגדר להיות מורפיזם של מרחבים עם אלומות פונקציות.
הטופולוגיה על יריעה נקראת הטופולוגיה של זריצקי.
מורפיזם של יריעות מוגדר בתור מורפיזם בין מרחבים עם אלומת פונקציות.
במילים אחרות קטגורית היריעות האלגבריות מוגדרת להיות התת-קטגוריה המלאה של קטגורית המרחבים עם אלומות פונקציות, שהאובייקטים שלה הם יריעות אלגבריות.
אוסף היריעות האלגבריות הוא קטגוריה.
בקטגוריה זאת קיימים גבולות הפוכים סופיים, וגבולות ישרים מסוימים.
בפרט ניתן להגדיר את הבניות הבאות:
אובייקט תחילי - על הקבוצה הריקה יש מבנה יחיד של יריעה אלגברית
אובייקט סופי - על קבוצת היחידון (ולמעשה על כל קבוצה סופית) יש מבנה יחיד של יריעה אלגברית
קו-מכפלה - עבור 2 יריעות אלגבריות ו- ניתן להגדיר מבנה טבעי של יריעה אלגברית על האיחוד הלא קשיר של ו- באופן הבא:
pushout - באופן דומה אפשר להגדיר מבנה של יריעה על הדבקה של שתי יריעות לאורך תת-קבוצה פתוחה.
ניתן גם להגדיר הדבקה של יריעוֹת לאורך תת-קבוצה סגורה.
מכפלה - על המכפלה הקרטזית של שתי יריעות ו- ניתן להגדיר מבנה של יריעה.
עם זאת, טופולוגיית זריצקי על היריעה איננה טופולוגיית המכפלה של היריעה .
אם ו- אפיניות אז ניתן להגדיר את מבנה היריעה (האפינית) על בקלות, למשל בהתבסס על השיכון למרחב אפיני.
במקרה הכללי ניתן לכסות את ו- על ידי יריעות אפיניות, ומכאן להגדיר את מבנה היריעה על .
מכפלת סיבים - יהיו העתקות של יריעות אלגבריות.
מכפלת הסיבים היא תת-קבוצה סגורה (זריצקי) במכפלה מכאן ניתן להגדיר עליה מבנה של יריעה.
גבול הפוך - עבור כל דיאגרמה סופית של יריעות אלגבריות ניתן לבטא את הגבול ההפוך על פי באמצעות מכפלות סיבים ולכן הגבול קיים בקטגוריה של יריעות אלגבריות.
בנוסף ניתן להגדיר בניות רבות המוגדרות עבור יריעות חלקות בטופולוגיה דיפרנציאלית וגאומטריה דיפרנציאלית עבור יריעות אלגבריות.
לדוגמה עבור יריעה אלגברית ונקודה ניתן להגדיר את המרחב המשיק ל- ב-.
מושג המרחב המשיק הוא מקומי.
לכן די להגדירו עבור יריעה אפינית.
במקרה זה הוא המרחב הדואלי ל-, כאשר הוא אידיאל הפונקציות שמתאפסות ב-.
בנייה חשובה נוספת של יריעות אלגבריות היא הניפוח (blow-up).
ניפוח של יריעה אלגברית לאורך תת-יריעה סגורה היא בנייה מסוימת של יריעה ביחד עם העתקה נאותה אשר מהווה איזומרפיזם מחוץ ל-.
באופן אינטואיטיבי הניפוח מחליף את בפרויקטיביזציה של האגד הנורמלי ל-.
לניפוח חשיבות רבה בגאומטריה אלגברית, בין השאר מכיוון שהוא מהווה את הכלי המרכזי לבנית התרת סינגולריות.
טופולוגית זריצקי על יריעה אלגברית איננה משקפת את המבנה הגאומטרי של היריעה.
למשל, היא כמעט לעולם אינה האוסדורפית ותמיד (קוואזי-) קומפקטית.
לכן רוב המושגים מטופולוגיה (ובפרט מטופולוגיה אלגברית) לא יהיו רלוונטיים עבור יריעות אלגבריות, ובדרך כלל יהיה צורך להגדיר אנלוגים שלהם באמצעות שאר המבנה על יריעה אלגברית.
עם זאת יש מספר מושגים בסיסיים שניתן להגדיר על ידי הטופולוגיה בלבד.
יריעה אלגברית נקראת אי-פריקה (irreducible) אם היא אי-פריקה כמרחב טופולוגי, זאת-אומרת שלא ניתן להציגה כאיחוד של שתי קבוצות סגורות שאינן היריעה כולה.
יריעה אלגברית נקראת קשירה אם היא קשירה כמרחב טופולוגי (ביחס לטופולוגיית זריצקי).
בפרט כל ירעה קשירה היא בלתי פריקה.
הממד של יריעה הוא ממד קרול שלה כמרחב טופולוגי, זאת-אומרת האורך המקסימלי של שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות אי-פריקות שאינן היריעה כולה.
שתי מחלקות בסיסיות של יריעות אלגברית הן יריעות פרידות ויריעות שלמות.
יריעה נקראת פרידה אם האלכסון הוא קבוצה סגורה (זריצקי) ב .
כל יריעה אפינית היא פרידה.
יריעה נקראת שלמה אם לכל יריעה ההטלה היא העתקה סגורה (זאת-אומרת שהיא מעבירה קבוצה סגורה לקבוצה סגורה).
יריעה קואזי-פרויקטיבית היא פרידה אם"ם היא פרויקטיבית.
הערה: אם נחזור על הגדרות אלה עבור מרחבים טופולוגיים, נקבל הגדרות שקולות להאוסדורפיות וקומפקטיות.
אולם מושגים אלה אינם שקולים להאוסדורפיות וקומפקטיות (לפי טופולגית זריצקי) מכיוון שטופולגיית המכפלה על שונה מהטופולגיה על .
בנוסף יש עוד תכונות גלובליות רבות הנחקרות בגאמטריה אלגברית, למשל תכונות המבוססות על מושג השקילות הבירציונלית (כמו רציונליות) ותכונות המבוססות על אלומות קוהרנטיות (כמו Fano ו Calabi-Yau)
התכונה המקומית הבסיסית של יריעות אלגבריות היא חלקות.
יריעה אלגברית נקראת חלקה בנקודה אם ממד המרחב המשיק ל- בנקודה שווה לממד היריעה בנקודה .
יריעות אלגבריות חלקות דומות מאוד למרחב אפיני באופן מקומי, אף על פי שאין איזומורפיזם בין סביבת זריצקי של נקודה חלקה לקבוצה פתוחה במרחב אפיני.
לכן כאשר חוקרים את המבנה המקומי של יריעה אלגברית מתעניינים בדרך כלל ביריעות סינגולריות (זאת-אומרת לא חלקות) ומחקר זה נקרא תורת הסינגולריות.
בין התכונות השונות של סינגולריות אפשר למנות: נורמליות, כהן-מקולי, גורנשטין, חיתוך מלא, מחלק עם חיתוך נורמלי, סינגולריות רציונלית, סינגולריות (לוג) קנונית, סינגולריות (לוג) טרמינאלית, סינגולריות סימפלקטית ועוד.
אחת הדרכים לחשוב על העתקה בין יריעות אלגבריות היא בתור משפחה של יריעות אלגבריות, כאשר הפרמטר של המשפחה היא נקודה שנעה ב-, ולכל נקודה אנו מתאימים את היריעה .
לפי הגישה היחסית של גרותנדיק אפשר לנסות להכליל כל מושג שהוגדר עבור יריעות אלגבריות, גם עבור משפחה של יריעות אלגבריות או במילים אחרות - העתקות.
בצורה זאת ניתן להגדיר את המושגים הבאים:
העתקה נאותה (הגרסה היחסית של יריעה שלמה)
העתקה חלקה (גרסה יחסית של יריעה חלקה; המושג בגאומטריה אלגברית המקביל לסובמרסיה מטופולוגיה דיפרנציאלית)
תכונות אלו הן בעצם תכונות של משפחות של יריעות יותר משהן תכונות של העתקות.
תכונות כאלה תמיד מקומיות (על פי הטווח).
יש גם תכונות מקומיות שאין להן גרסה מובהקת עבור יריעה, למשל, העתקה סופית, העתקה קוואזי-סופית, העתקת אטל, העתקה שטוחה ושקילות בירציונלית (על שלוש הדוגמאות הראשונות אפשר לחשוב כעל גרסאות יחסיות שונות של יריעות סופיות).
מבחינה היסטורית נלמדו תחילה יריעות אפיניות אז יריעות פרויקטיביות אחריהן יריעות קוואזי-פרויקטיביות ולבסוף יריעות כללית, שהוגדרו זמן קצר לפני סכמות שהן הכללה מרחיקת לכת של יריעות.
לפני שנוסחה ההגדרה המודרנית של יריעה, המילה יריעה התייחסה רק ליריעות קוואזי-פרויקטיביות, עד היום ישנם ספרים שמשתמשים בשם יריעות רק עבור יריעות קוואזי-פרויקטיביות ודנים בשאר היריעות במסגרת דיון כללי יותר על סכמות.
רוב המקורות משתמשים במילה יריעות במובן רחב יתר אך לפעמים מוסיפים מגבלות מסוימות.
במקרים רבים דורשים מיריעה להיות פרידה ולעיתים גם בלתי פריקה.
מאידך לעיתים המושג יריעות אלגבריות כולל גם יריעות מעל שדות לא סגורים אלגברית.
במקרה כזה ההגדרה למעלה לא תקפה כיוון שיש מערכות משוואות פולינומיות ללא פתרונות מעל שדה לא סגור אלגברית שהיריעה שהם מגדירים אינה ריקה.
לדוגמה המשוואה מגדירה יריעה לא ריקה מעל אולם אין לה פתרונות מעל .
יש מספר הגדרות אלטרנטיביות שתקפות לשדות לא סגורים אלגברית (ראה להלן) אך בדרך כלל מטפלים במקרה זה במסגרת כללית יתר של סכמות.
באנגלית יריעה אלגברית נקראת "algebraic variety".
בעברית וגם ברוסית, המילה "יריעה" משמשת גם לתיאור יריעה טופולוגית ובפרט יריעה חלקה, שבאנגלית נקראת "manifold".
במקרים רבים יריעה אלגברית היא גם יריעה חלקה, אך מדובר בשתי קטגוריות שונות זו מזו.
לפי ההגדרה שמופיעה למעלה יריעה אלגברית היא קבוצה עם מספר מבנים נוספים (טופולוגיה ואלומת פונקציות).
לקבוצה זאת קוראים לעיתים קבוצת ה--נקודות של היריעה, כאשר הוא השדה מעליו מוגדרת היריעה.
הצורך להפריד בין יריעה לקבוצה מגיע מהמקרה של יריעות המוגדרות מעל שדות לא סגורים אלגברית (או באופן כללי יתר סכמות), במקרה זה ההגדרה של יריעה אלגברית שונה, והקשר בין היריעה לקבוצת הנקודות שלה חלש יותר.
לדוגמה היריעה המוגדרת על ידי המשוואה לא ריקה אך קבוצת ה--נקודות שלה ריקה.
בנוסף, הפרדה זאת מאפשרת להגדיר מבנים נוספים על הקבוצה שאינם מתואמים עם המבנים על היריעה (הטופולוגיה ואלומת הפונקציות).
למשל, אם השדה הוא שדה טופולוגי אז ניתן להגדיר טופולוגיה מתאימה על קבוצת ה--נקודות של היריעה.
טופולוגיה זאת תהיה בדרך כלל חזקה יותר מהטופולגיה של זריצקי.
במקרה שהיריעה היא אפינית טופולוגיה זאת מוגדרת להיות הטופולוגיה המושרית מ- (קל לראות שהטופולוגיה לא תלויה בצורה שאנו מציגים את היריעה בתור קבוצה סגורה זריצקי ב-).
ליריעה כללית קבוצה נקראת פתוחה אם לכל קבוצה פתוחה אפינית הקבוצה פתוחה ב .
ניתן גם להגדיר באופן דומה את הקבוצה של נקודות כאשר הוא -אלגברה (קמוטטיבית עם יחידה) כלשהי.
קשר עם יריעות אנליטיות וחלקות
אם היא יריעה אלגברית חלקה המוגדרת מעל שדה המספרים המרוכבים אז ניתן להגדיר על קבוצת הנקודות שלה, , מבנה של יריעה חלקה באופן הבא: במקרה ש- היא יריעה אפינית חלקה אז קל לראות ש היא תת-יריעה חלקה של .
במקרה הכללי בוחרים כיסוי פתוח של על ידי יריעות אפיניות, והוא מגדיר אטלס חלק.
באופן דומה, אם היא יריעה אלגברית המוגדרת מעל אז ניתן להגדיר על , מבנה של יריעה אנליטית.
בניות דומות קימות גם לשדות לא סגורים אלגברית.
בפרט אם היא יריעה אלגברית חלקה המוגדרת מעל שדה המספרים הממשיים אז ניתן להגדיר על מבנה של יריעה חלקה.
כמו כן אם היא יריעה אלגברית המוגדרת מעל שדה מקומי אז ניתן להגדיר על מבנה של יריעה אנליטית מעל .
בדומה למרחבים טופולוגיים ויריעות דיפרנציאבילות, המושג אגד קיים גם על יריעות אלגבריות.
ניתן להגדיר אגד על יריעה אלגברית בתור יריעה אלגברית , יחד עם מורפיזם ומבנה של מרחב וקטורי על הסיב של כל נקודה כך שמקומית (בטופולוגיית זריצקי) מבנה זה איזומורפי ל כאשר הוא מרחב ליניארי.
לאגדים בגאומטריה אלגברית יש אותם תפקידים כמו לאגדים בטופולוגיה דיפרנציאלית.
בפרט, עבור יריעה אלגברית חלקה ניתן להגדיר את האגד המשיק ואגדים קשורים אליו (אגד קו-משיק, אגד התבניות הדיפרנציאליות, ועוד).
ישנם מספר אגדים בטופולוגיה דיפרנציאלית שאין אגד על יריעות אלגבריות המהווה מושג מקביל להם, למשל אגד האוריינטציות ואגד הצפיפויות.
זאת משום שהגדרה של אגדים אלה מתבססת על יחס הסדר ב-.
בנוסף, בגאומטריה אלגברית יש חשיבות מיוחדת לאגדים חד־ממדיים.
אלה נקראים אגדים קווים, ונחקרים בעיקר במונחים של אלומות קוהרנטיות .
אחד הכלים המרכזיים לחקר יריעות אלגבריות הוא חקר של סוגים שונים של אלומות עליהן.
בין היתר, אלומות משמשות למטרות הבאות:
חקר תכונות של פונקציות רציונליות (זאת אומרת פונקציה שהיא מנה של שתי פונקציות רגולריות) על יריעות.
חקר משפחות של מרחבים ליניאריים הקשורים ליריעה, כמו המרחב המשיק.
בנייה של יריעות חדשות, כמו האגד המשיק.
חקר תכונות מקומיות או גלובליות של היריעה.
חקר יחסים בין יריעות ותכונות של העתקות, למשל שטיחות.
חקר אינווריאנטים אלגבריים של יריעות הדומים לאינווריאנטים הנחקרים בטופולוגיה אלגברית.
למשל הומולוגיות -אדיות, הדומות להומולוגיה סינגולרית.
בניית מרחבים ליניאריים בעלי מבנה מעניין.
כמו במשפט בורל-וייל-בוט או באינדוקצית דלין-לוסטיג.
ספירת נקודות על יריעה מעל שדה סופי.
במילים אחרות ספירת הפתרונות של מערכת משוואות פולינומיות כאשר המשתנים רצים בשדה סופי.
דוגמה מרכזית לשימוש זה הוא בהוכחת השערות וייל
בנייה וחקר פונקציות על יריעות.
למשל אלומות הקרקטרים של לוסטיג מאפשרות לחקור קרקטרים של הצגות בלתי פריקות של חבורות סופיות.
הסוגים הבסיסיים של אלומות על יריעות אלגבריות הם אלומות קוהרנטיות וקוואזי-קוהרנטיות.
על יריעה אפינית ניתן להגדיר אלומות קוואזי-קוהרנטיות באופן הבא: בהינתן מודול מעל נגדיר אלומה על ידי .
אלומות שמתקבלות באופן זה נקראות קוואזי-קוהרנטיות.
אם נוצר סופית אז האלומה תקרא קוהרנטית.
קטגוריית האלומות הקוואזי-קוהרנטיות על יריעה אפינית שקולה לקטגוריית המודולים מעל חוג הפוניקציות הגלובליות על היריעה.
באופן דומה קטגוריית האלומות הקוהרנטיות על יריעה אפינית שקולה לקטגוריית המודולים נוצרים סופית מעל חוג הפונקציות הגלובליות על היריעה.
ממשפט סר נובע שתכונת ה (קוואזי-)קוהרנטיות היא מקומית.
זאת אומרת שאם הוא כיסוי פתוח אפיני של יריעה אפינית אז אלומה על היא (קוואזי-)קוהרנטית אם היא (קוואזי-)קוהרנטית.
עבור יריעה לא אפינית, אלומה (קוואזי-)קוהרנטית מוגדרת להיות אלומה שהיא (קוואזי-)קוהרנטית באופן מקומי.
במקור השתמשו באלומות קוהרנטיות כדי לחקור אפסים וקטבים של פונקציות רציונליות.
מחקר זה הוביל למשפט רימן-רוך, מחקר ההומולוגיה של אלומות קוהרנטיות ודואליות סר.
אלומות קוהרנטיות משמשות גם למחקר של משפחות מרחבים ליניאריים בעלות פרמטר שנע ביריעה אלגברית.
בהינתן אלומה קוהרנטית על יריעה אלגברית ניתן להגדיר את הסיב של בנקודה על ידי
כאשר היא סביבה פתוחה אפינית של , ו הוא האידיאל המקסימלי שמתאים לנקודה .
אם האלומה היא חופשית מקומית, זאת אומרת שקיים כיסוי אפיני פתוח כך ש הוא מודול חופשי מעל , אז על מערכת המרחבים יש מבנה טבעי של אגד.
זאת אומרת שקיים אגד כך שהסיבים שלו איוזומורפיים קנונית לסיבי האלומה .
יתר על כן ההתאמה מגדירה שקילות קטגורית בין קטגוריית האלומות החופשיות על מקומית וקטגוריית האגדים על .
לאור האמור למעלה, לעיתים מגדירים אגד וקטורי על יריעה אלגברית בתור אלומה קוהרנטית חופשית מקומית.
כמו כן ניתן לחשוב על אלומות קוהרנטיות בתור הכללת המושג אגד.
הכללה זאת מאפשרת להגדיר גרסאות של האגדים הסטנדרטיים מטופולוגיה דיפרנציאלית גם עבור יריעות לא חלקות.
לדוגמה, אף על פי שעל יריעה אלגברית לא חלקה לא ניתן להגדיר את האגד הקו-משיק (זאת אומרת אגד שסיביו הם המרחבים הקו משיקים), ניתן להגדיר את האלומה הקו-משיקה (אלומה שסיביה הם המרחבים הקו משיקים).
קטגורית האלומות ה (קוואזי-)קוהרנטיות היא קטגוריה אבלית.
שתי הקטגוריות כמו גם הקטגוריות הנגזרות שלהן הן אינווריאנטים חשובים של יריעה אלגברית.
חקר היחסים בין קטגורית אלה עבור יריעות שונות מתואר בספר Residues and duality.
חקר זה מכיל בין היתר את דואליות גרותנדיק שהיא הכללה של דואליות סר.
טופולוגית זריצקי היא טופולוגיה חלשה מאוד.
היא אומנם מספיקה למחקר בסיסי של יריעות אלגבריות אך איננה משקפת את המבנה של היריעה מנקודת מבט של טופולוגיה אלגברית.
לכן קשה לחקור את הגאומטריה של היריעה על ידי אלומות בטופולוגית זריצקי.
אם יריעה מוגדרת מעל שדה המרוכבים אז על יש טופולוגיה המושרית מהטופולוגיה של .
קטגוריית האלומות בטופולגיה זאת משקפת את המבנה הגאומטרי של היריעה טוב יותר.
חשיבות מיוחדת ניתנת לאלומות קבועות מקומית בטופולוגיה זאת.
קטגוריית האלומות הקבועות מקומית אינה נשמרת תחת פעולות בסיסיות עם אלומות (כגון דחיפה ומשיכה).
אלומות קונסטרקטביליות (ניתנות לבנייה) מוגדרות בתור כל האלומות שמתקבלות מדחיפה ומשיכה של אלומות קבועות מקומית, תחת העתקות אלגבריות.
הטופולוגיה הנ"ל על איננה מוגדרת במונחים של גאומטריה אלגברית, ובפרט אינה ניתנת להכללה לשדות סגורים אלגברית כלליים.
בשנות החמישים והשישים גרותנדיק פיתח מספר אנלוגים לטופולוגיה זאת המוגדרים במונחים של גאומטריה אלגברית ותקפים מעל שדה כלשהו.
האנלוג הנפוץ ביותר הוא טופולוגיית אטל.
טופולוגיית אטל איננה טופולוגיה במובן הרגיל של המילה, אלא במובן כללי יותר שנקרא טופולוגיית גרותנדיק.
המושג טופולוגיית גרותנדיק תוכנן כך שיהיה אפשר להגדיר את המושג אלומה על מרחב המצויד בטופולוגיית גרותנדיק.
אלומות על יריעה אלגברית ביחס לטופולוגיית אטל נקראות אלומות אטל.
טופולגיית אטל לא מהווה תחליף מושלם לטופולוגיה על .
בעוד שאלומות של קבוצות (וחבורות) סופיות בטופולוגיית אטל דומות מאוד לאלומות עלֹ (למשל קטגורית האלומות הקבועות מקומית של קבוצות סופיות בטופולוגעיית אטל על , שקולה קטגורית האלומות הקבועות מקומית בעלות גבעולים סופיים על ) אלומות של קבוצות (וחבורות) אין-סופיות בטופולוגיית אטל לא דומות כלל לאלומות עלֹ ועניות הרבה יותר.
באנלוגיה עם המקרה המרוכב, ניתן להגדיר עבור כל שדה וכל יריעה המוגדרת מעל את המושג אלומות אטל קונסטרוקטביליות מעל .
בפרט, עבור חוג סופי נתן להגדיר את המושג אלומות אטל קונסטרוקטביליות של -מודולים מעל .
מקרה פרטי חשוב הוא כאשר החוג הסופי הוא עבור מספר ראשוני הזר למציין השדה .
בדרך כלל הביטוי אלומות אטל מתייחס למקרה זה.
כאמור, אם אינו חוג סופי, אז אלומות אטל של -מודולים אינן משקפות את הגאומטריה של .
לכן לא ניתן להגדיר אלומות אטל של -מודולים.
תחת זאת משתמשים בבנייה הבאה:
משאיפים את לאינסוף ומקבלים קטגוריה שנקראת "קטגוריית האלומות הקונסטרוקטביליות של -מודולים" או בקצרה "קטגוריית האלמות ה--אדיות".
למרות שמה, האובייקטים בקטגוריה זאת אינם אלומות כלל.
בפרט הן אינן אלומות של -מודולים בטופולוגיית אטל.
מקטגוריה זאת ניתן לבנות קטגוריוה הנקראת "קטגוריית האלומות הקונסטרוקטביליות של -מודולים".
באופן דומה עבור כל הרכבה של ניתן להגדיר אלמות הקונסטרוקטביליות של -מודולים ו--מודולים.
על ידי מעבר לגבול, מקבלים את הקטגוריות של האלומות הקונסטרוקטביליות של -מודולים ו--מודולים.
כל סוגי האלומות האלה נקראות לעיתים "אלמות -אדיות".
מכיוון ש- איזומורפי ל- אפשר להגדיר כך (באופן לא קנוני) אלומות מרוכבות ליריעה אלגברית מעל שדה כלשהו.
מכאן אפשר להגדיר הומולוגיות עם מקדמים ב- ומספרי בטי ליריעה אלגברית מעל שדה כלשהו.
בנייה זאת מראה בפרט שאם היא יריעה אלגברית מרוכבת ו- היא יריעה המתקבלת מ- על ידי הפעלת אוטומורפיזם על שדה המרוכבים אז מספרי בטי של ו שווים.
טענה זאת עלולה להפתיע מכיוון שהחבורות היסודית של ו- שונות במקרים מסוימים.
כאשר הוא שדה סופי, פייר דלין הגדיר גרסה מעט שונה לאלומה -אדית הנקראת אלומת וייל.
אלומות -אדיות ואלומות וייל משחקות תפקיד מרכזי בהוכחה של השערות וייל.
משתמשים באלומת גם כדי לחקור מערכות משוואות דיפרנציאליות על יריעות אלגבריות.
כמו שבשביל לחקור משוואות פולינומיות בתורת גלואה משתמשים בסדרות, וכדי לחקור מערכות משוואות פולינומיות משתמשים באלגבראות, כך גם כדי לחקור מערכות משוואות דיפרנציאליות חלקיות ליניאריות משתמשים במודולים מעלֹ חוג האופרטורים הדיפרנציאליים ב- משתנים.
אם רוצים לחקור משוואות דיפרנציאליות חלקיות על יריעה אלגברית אפינית חלקה אז יש להחליף את חוג האופרטורים הדיפרנציאליים ב- משתנים בחוג האופרטורים הדיפרנציאליים על היריעה.
אם היריעה אינה אפינית אז ייתכן שחוג האופרטורים הדיפרנציאליים יהיה קטן מדי (כמו שחוג הפונקציות הרגולרית על יריעה לא אפינית קטן מדי).
לכן יש לחקור אלומות מודולים מעל אלומת החוגים של האופרטורים הדיפרנציאליים.
גם לאלומות אלו אפשר להגדיר את תכונת הקוהרנטיות והקוואזי-קוהרנטיות.
אלומות קוהרנטיות (ולעיתים גם קוואזי-קוהרנטיות) של מודולים מעל אלומת החוגים של האופרטורים הדיפרנציאליים נקראות D-מודולים.
ניתן גם להגדיר את קטגוריית ה--מודולים ליריעות לא חלקות, אם כי בצורה שונה.
כאמור אפשר לחשוב על -מודול על יריעה כעל מערכת משוואות דיפרנציאליות.
אם אז אפשר להגדיר מתי פונקציה אנליטית על היא פתרון של .
אוסף הפתרונות של מהווה אלומה קונסטרוקטבילית עלֹ .
בנייה זאת מגדירה פונקטור מקטגורית ה--מודולים על לקטגורית האלומות על .
פונקטור זה משרה שקילות מתת קטגוריה של הקטגוריה הנגזרת של -מודולים לקטגוריה הנגזרת של אלומות קונסטרוקטביליות.
שקילות זאת שנקראת שקילות רימן-הילברט הוכחה על ידי מאסאקי קשיברו בהתבסס על עבודתו של פייר דלין.
בהתבסס על עבודה של מרק גורצקי ורוברט מקפרסון תיארו יוסף ברנשטיין, אלכסנדר בילינסון ופייר דלין את התת-קטגוריה של הקטגוריה הנגזרת של אלומות קונסטרוקטביליות המתאימה ל--מודולים תחת שקילות רימן-הילברט.
קטגוריה זאת של אלומות נקראת קטגורית האלומות הסוטות.
האובייקטים בקטגוריה זאת אינן אלומות אלא קומפלקסים מסוימים של אלומות.
ברנשטין, בילינסון ודלין הגדירו גם אנלוגים של קטגוריה זאת עבור אלומות -אדיות ואלומות וייל.
לא ניתן לתאר אנלוגים אלו בעזרת -מודולים מכיוון ששקילות רימן הילברט לא תקפה כאשר .
לעיתים קרובות, אלומות סוטות מתנהגות טוב יותר תחת ששת הפנקטורים של גרותנדיק (הפעולות הסטנדרטיות עם אלומות: דחיפה, משיכה וכדומה) מאשר אלומות קונסטרוקטביליות (למשל במשפט הפירוק
כמו כן לקטגורית האלומות הסוטת יש תכונות טובות יותר בתור קטגוריה אבלית מאשר לקטגורית האלומות קונסטרוקטביליות.
למשל כל אלומה סוטה היא מאורך סופי.
יתרון מובהק נוסף של האלומות הסוטות היא בנייה הנקראת הרחבה סוטה.
בנייה זאת מבוססת על העובדה שלכל אלומה סוטה בלתי-פריקה על תת-יריעה קיימת ויחידה אלומה סוטה בלתי-פריקה המרחיבה אותה על .
בנייה זאת משמשת לבניית אלומות סוטות מעיניניות רבות, למשל אלומות קרקטרים של לוסטיג.
בספרות קיימות מספר דרכים נוספות להגדיר יריעה אלגברית.
ניתן להגדיר יריעה אלגברית בצורה דומה לזו המקובלת בטופולוגיה דיפרנציאלית עבור יריעות חלקות.
גם בצורה זאת יריעה תהיה מרחב טופולוגי עם מבנה נוסף, רק שמבנה זה יהיה אטלס במקום אלומת פונקציות.
כל מפה באטלס תתאים לקבוצה פתוחה אפינית.
דרך זאת מעלה מספר קשיים מכיוון שחיתוך של שתי קבוצות אפיניות איננה בהכרח אפיניות, פונקציות המעבר הן בין קבוצות לא אפיניות.
לכן יש צורך להגדיר מורפיזמים של קבוצות קוואזי-אפיניות לפני שמגדירים יריעה כללית.
מסיבה זאת ומסיבות היסטוריות דרך הגדרה זאת איננה פופולרית.
מנקודת מבט מודרנית ניתן לראות ביריעות אלגבריות מקרה פרטי של סכמות.
נקודת מבט זאת מולידה הגדרה אלטרנטיבית של יריעות אלגבריות: יריעה אלגברית היא סכמה המקיימת תכונות מסוימות (מצומצמת ומטיפוס סופי מעל ).
מצב זה עלול ליצור בלבול, מכיוון שההגדרה המקובלת של סכמה גם כן מבוססת על מושג המרחב הטופולוגי: סכמה היא מרחב טופולוגי עם מבנה נוסף.
אולם המרחב הטופולוגי המתאים ליריעה שונה מהמרחב הטופולוגי המתאים ל- כאשר חושבים עליה כעל סכמה.
לדוגמה אם איננה מממד אז המרחב הטופולוגי המתאים אליה כסכמה אינו מקיים את אקסיומת ההפרדה .
בלבול זה גורם בתורו לבלבול בהגדרת מושג הספקטרום.