tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
העיקרון קובע כי בעבור שתי קבוצות, אם בראשונה יש איברים ובשנייה איברים, אז במכפלה קרטזית שלהן יש איברים.
קבוצת המכפלה הקרטזית מספר העצמים בקבוצה המורכבת מכל הזוגות האפשריים של עצם אחד מן הקבוצה הראשונה ועצם שני מן הקבוצה השנייה (מכפלה קרטזית) שווה למכפלה .
רקע: מכפלה קרטזית היא קבוצת זוגות סדורים שרכיביהם מגיעים משתי קבוצות, לא בהכרח שונות.
קבוצת המכפלה הקרטזית מורכבת מכל הזוגות האפשריים של עצם אחד מן הקבוצה הראשונה, ועצם שני מן הקבוצה השנייה.
בניסוח פורמלי, עקרון הכפל קובע כי אם בקבוצה סופית יש איברים, ובקבוצה סופית יש איברים, אז במכפלה הקרטזית יש איברים.
ניתן להוכיח את עקרון הכפל באינדוקציה בהסתמך על הגדרת הכפל במערכת פאנו ועל עקרון החיבור (הקובע כי מספר האיברים באיחוד של שתי קבוצות זרות שווה לסכום מספר האיברים בכל אחת).
לדוגמה קלף משחק סטנדרטי (שאינו ג'וקר) מוגדר על ידי צורה מבין הצורות , , , ומספר מבין המספרים .
לכן מספר הקלפים בחפיסה (ללא קלפי ג'וקר) הוא מספר הצורות כפול מספר המספרים: .
באינדוקציה מכלילים את עקרון הכפל למספר כלשהו של קבוצות.
אם מספר האיברים בקבוצות הוא בהתאמה, אז מספר האיברים ב- הוא .
מקרה פרטי חשוב הוא כאשר הקבוצות במכפלה כולן זהות, אז מספר האיברים במכפלה הקרטזית הוא .
המשמעות הקומבינטורית היא שמספר הדרכים לסדר עם חזרות עצמים בשורה, כאשר הם נבחרים מתוך עצמים, היא .
תוצאה נוספת הנובעת מעקרון הכפל היא שמספר הדרכים לסדר עצמים בשורה בלי חזרות היא .
בתורת הקבוצות משתמשים בעקרון הכפל כדי להגדיר פעולת כפל בין עוצמות.
עוצמות סופיות הן מספרים טבעיים ולכן המכפלה שלהן תואמת את עקרון הכפל.
לכן טבעי להכליל את עקרון הכפל כך שיגדיר גם מכפלה בין עוצמות אינסופיות: .
הגדרה זו אינה תלויה בבחירת נציגים.
בהכללה, המכפלה של קבוצה כלשהי של עוצמות מוגדרת לפי:
ניתן לחלק מלבן שהאורך והרוחב שלו הם מספרים טבעיים למספר טבעי של ריבועי יחידה.
לפי עקרון הכפל מספר הריבועים שווה למכפלת אורך המלבן ברוחבו.
אם מוסכם ששטחו של ריבוע יחידה הוא 1, ניתן להגדיר כי שטחו של מלבן כזה שווה למכפלת אורכו ברוחבו.
באמצעות חשבון אינפיניטסימלי ניתן להכליל את התוצאה לכל מספר ממשי ולקבל כי שטחו של מלבן כלשהו שווה שמכפלת האורך ברוחב.
באמצעות אינטגרל לבג הדבר מאפשר להגדיר את שטחה של צורה דו-ממדית (או באופן כללי את המידה של צורה n-ממדית) בהסתמך על הגדרת שטחו של ריבוע היחידה ומידת לבג בלבד.
עֶקְרוֹן הַחִיבּוּר הוא עיקרון יסודי בקומבינטוריקה המופיע בצורות שונות בתחומים רבים במתמטיקה.
העיקרון קובע עבור קבוצות זרות, כי אם באחת יש עצמים ובשנייה עצמים, אז מספר העצמים בשתי הקבוצות יחדיו שווה לסכום .
בניסוח פורמלי עקרון החיבור קובע כי אם בקבוצה סופית יש איברים ובקבוצה סופית יש איברים, והקבוצות ו- זרות, אז באיחוד יש איברים.
ניתן להוכיח את עקרון החיבור באינדוקציה בהסתמך על הגדרת החיבור במערכת פאנו.
באינדוקציה מכלילים את עקרון החיבור למספר כלשהו של קבוצות.
אם הקבוצות סופיות וזרות בזוגות, אז .
הכללה נוספת של עקרון החיבור היא למקרה שהקבוצות אינן בהכרח זרות.
במקרה כזה על סמך החלוקה של לקבוצות הזרות ועל סמך עקרון החיבור, מתקבל: .
מצירוף שתי ההכללות מתקבל עקרון ההכלה וההפרדה הקובע את מספר האיברים באיחוד כלשהו של מספר קבוצות סופיות.
בתורת הקבוצות משתמשים בעקרון החיבור כדי להגדיר פעולת חיבור בין עוצמות.
עוצמות סופיות הן מספרים טבעיים ולכן הסכום שלהן תואם את עקרון החיבור.
לכן טבעי להכליל את עקרון החיבור כך שיגדיר גם סכום של עוצמות אינסופיות: , כאשר ו- זרות.
נראה כי תמיד קיימות קבוצות זרות כאלו: בהינתן עוצמות שיש לחבר, ובהינתן קבוצות בעלות העוצמות הללו בהתאמה, הקבוצות זרות ועוצמותיהן הן בהתאמה .
נראה כי החיבור לא תלוי בקבוצות שנבחרו, כלומר אם (הסימן מייצג שעוצמותיהן שוות, כלומר קיימת פונקציה חח"ע ועל ביניהן) כך שA,B זרות וC,D זרות, אז : יהו חד חד ערכיות ועל.
פונקציה זו חח"ע ועל, לכן .
בהכללה, הסכום של קבוצה כלשהי של עוצמות מוגדרת לפי: , כשהקבוצות הנציגות זרות בזוגות.
אם לוקחים קטע ממשי באורך ומחברים אותו לקטע באורך הממשיך מהקצה שלו, מתקבל קטע באורך (בהנחה כי נקודת החיבור מתיישבת טוב).
באופן כללי יותר, חיבור של שני קטעים זרים צריך לתת קבוצה חדשה שמידתה היא סכום המידות של הקטעים.
זוהי תכונה יסודית שמצופה שכל פונקציית מידה תקיים אותה (ואף שתקיים סיגמא-אדיטיביות).
באופן כללי, פונקציה ממשפחה של קבוצות לחבורה חיבורית נקראת אדיטיבית, אם , לכל ו- זרות.
בפרט, עקרון החיבור למידת הסתברות קובע שלכל שני מאורעות זרים ו-, ההסתברות ש- יקרה או יקרה היא הסכום של ההסתברויות המתאימות.
במתמטיקה, עקרון הסדר הטוב קובע שהסדר המקובל על המספרים הטבעיים הוא סדר טוב.
משמע שבכל קבוצה לא ריקה של מספרים טבעיים יש מספר מינימלי (מספר ראשון).
העיקרון שקול לאקסיומת האינדוקציה, ולעיתים בוחרים להתייחס אליו כאל אקסיומה במקום אקסיומת האינדוקציה.
בתורת הקבוצות האקסיומטית עקרון הסדר הטוב נובע ישירות מהבנייה של הטבעיים כקבוצה אינדוקטיבית .
עקרון הסדר הטוב כטענה לוגית
עקרון הסדר הטוב קובע שלכל תת-קבוצה שאינה ריקה, יש מספר כך שלכל מתקיים .
בשפה מסדר ראשון המתארת את המספרים הטבעיים כמערכת פאנו לא ניתן לנסח טענות "לכל תת-קבוצה", משום שעל הכמתים להתייחס לאברים של המערכת, כלומר מספרים.
עובדה זו מאפשרת את קיומם של מודלים לא סטנדרטיים של המספרים הטבעיים, שבהם מתקיימות אותן טענות מסדר ראשון, אף על פי שעקרון הסדר הטוב אינו תקף.
עם זאת, עקרון הסדר הטוב עדין יהיה תקף לכל קבוצה ניתנת להגדרה על ידי טענה מסדר ראשון.
אקסיומת האינדוקציה קובעת שלכל שעבורה , ולכל n, אם אז , אז .
נוכיח שהאקסיומה שקולה לעקרון הסדר הטוב.
ראשית נוכיח את אקסיומת האינדוקציה על סמך עקרון הסדר הטוב.
תהי קבוצה של טבעיים כך ש-, ולכל מתקיים .
נבחן את הקבוצה הכוללת את כל הטבעיים שאינם ב-.
נניח בשלילה כי קבוצה זו אינה ריקה.
לפי עקרון הסדר הטוב ב- יש מספר מינימלי .
מהמינימליות של נובע , כלומר .
לכן לפי ההנחה על מתקבלת הסתירה .
כעת נוכיח את עקרון הסדר הטוב מתוך אקסיומת האינדוקציה.
נגדיר את בתור הטענה שלכל קבוצה של טבעיים הכוללת מספר יש מינימום.
ברור כי מתקיים , מכיוון ש-1 הוא המינימום בכל קבוצה של טבעיים שבה הוא חבר.
נניח שמתקיים ונוכיח כי מתקיים .
תהי קבוצה הכוללת מספר .
אם אין ב- מספר , אז מספר מינימלי ב-.
אם קיים , אז לפי הנחת האינדוקציה יש ב- מספר מינימלי.
מכאן לפי אקסיומת האינדוקציה מתקיים לכל .
תהי קבוצה לא ריקה של טבעיים.
מכיוון שמתקיים , כי , הרי שיש ב- מספר מינימלי.
תכונת ארכימדס של המספרים הטבעיים נובעת ישירות מעקרון הסדר הטוב.
התכונה קובעת כי לכל טבעיים, קיים טבעי כך ש-.
נניח בשלילה כי קיימים כך שלכל מתקיים .
אזי הקבוצה כוללת רק טבעיים.
לפי עקרון הסדר הטוב קיים כך ש- מינימלי ב-.
אולם לפי הגדרת גם איבר של , ומתקיים בסתירה למינימליות של .
בפסיכולוגיה פרוידיאנית ובפסיכואנליזה, עקרון המציאות הוא יכולת הנפש להעריך את מציאות העולם החיצוני, ולפעול לפיה בהתאם, וזאת בניגוד לפעולתה לפי עקרון העונג.
תוך שהוא מאפשר לפרט לדחות סיפוקים, עקרון המציאות הוא העיקרון השולט על כל הפעולות שקורות באגו, אחרי ההתפתחות האיטית שלו מ "עונג-אגו" ל "מציאות-אגו": הדבר יכול להשתוות לניצחון השכל על התשוקה, לניצחון הראש על הלב, והחשיבה הרציונלית על החשיבה האמוציונאלית.
פרויד טען כך: "אגו שחונך כך נעשה הגיוני: הוא אינו נותן לעצמו יותר להישלט על ידי עקרון העונג, אך מציית לעקרון המציאות, שהוא גם, בצורה יסודית, מחפש להשיג עונג, אך עונג, כשהוא מובטח תוך לקיחה בחשבון של המציאות, אף על פי שהוא עונג דחוי ומצומצם".
בהרצאת המבוא שלו באוניברסיטת וינה בשנת 1915, פרויד הפיץ בפומבי את הקונספט של הלא-מודע כחלק הגדול ביותר והמשפיע ביותר של הנפש, לרבות הדחפים, האינסטינקטים והמניעים שבני אדם לעיתים קרובות נאלצים להכחיש, חוץ מבצורה סמויה.
בהרצאתו ה-23, פרויד דן בקונפליקט בין ממלכת הפנטזיה לבין עקרון המציאות.
הוא השווה את הפנטזיה מסוג חלום בהקיץ לשמורת טבע:
"שמורת הטבע שומרת על אופייה המקורי, בכך שכל מה שבתוכה, כולל מה שהוא חסר תועלת ואף מה שמזיק, יכול לגדול ולהתרבות לפי רצונו".
הוא טען גם כי "ישנו שביל המוביל חזרה מן הפנטזיה אל המציאות - השביל, דהיינו, האמנות".
ג'ונתן ליר טען שהיה קיים למעשה ממד אתי לקונספט של עקרון המציאות של פרויד, בכך שהיה מנוגד להשקפת עולם נוירוטית מעוותת.
בינקות ובילדות המוקדמת, האיד שולט על ההתנהגות בעיקר על ידי ציות לעקרון העונג.
הבגרות היא התהליך האיטי שבו אנו לומדים לסבול כאב הכרוך בדחיית סיפוקים, כפי שהמציאות דורשת זאת, ובזמן שהמציאות דורשת זאת – תהליך שלעידודו אחראיים החינוך והמחנכים, כך טען פרויד.
תוצאתו של תהליך זה הוא היכולת של הנפש הבוגרת להימנע מסיפוקים מיידיים, לטובת שביעות רצון בטווח הארוך.
כדי לעשות זאת, עקרון המציאות אינו מתעלם מהאיד, אך במקום זאת הוא שואף למלא את תשוקותיו בדרכים מאוזנות וראויות חברתית, תוך מודעות אליו והתאמתו לדרישות הסביבה.
הדרך שבה הוא ממתן את עקרון העונג ומבטיח סיפוק של צרכים אינסטינקטיביים נעשית לפי שיקולי עלות מול תועלת של פעולה, לפני החלטה האם לפעול על-פי הדחף או האם להתעלם ממנו.
עקרון המציאות מאלף את הנפש לשקול את הסיכונים, הדרישות וההשלכות של החלטות שונות.
האגו אינו שואף להשמיד דחפים, אך במקום זאת עוצר באופן זמני את פריקת האנרגיה של האיד עד שיימצאו הזמן והמקום המציאותיים, המתאימים והבטוחים ביותר.
התהליך ההכרחי הזה של ההשהיה, מושג על ידי מה שנקרא תהליך משני.
דוגמה לעקרון המציאות בפעולה ניתן לראות באדם השרוי בדיאטת הרזייה, אך בוחר שלא להיכנע לתשוקת הרעב.
הוא יודע שסיפוק התשוקה הבלתי-בריאה, ואגב כך סיפוק עקרון העונג, יגרום למילויו של צורך "ריק" בטווח הקצר בלבד, דבר שיסכל את מטרת הדיאטה שהוא עושה.
בשעה שחלק מרעיונותיו של פרויד עשויים להיות לוקים בחסר, וחלקם האחר אינם ברי-מבחן, פרויד שימש כמאבחן שאין שני לו בנוגע לייחודיות האדם ומצבו.
די במה שאליו התכוון פרויד, במיוחד בנוגע לעקרון המציאות, שמוכיח עצמו בחיי היומיום.
מרידה כנגד אילוצי עקרון המציאות, לטובת אמונה באומניפוטנציה ילדותית, מופיע כמאפיין בכל התנהגות נוירוטית - דבר שאפשר לראותו באופן הגלוי ביותר בפעולתם של מהמרים.
פסיכוזה יכולה להיחשב כתוצר של דחיית עקרון המציאות, בעוד ששינה וחלימה מציעות דוגמה יומיומית נורמלית של "יציאה" מעולם המציאות.
למרות זאת, סוזן אייזיק טוענת שהחשיבה המציאותית למעשה תמכת בפנטזיה הבלתי-מודעת, יותר מאשר היא מתנגדת אליה.
באותו האופן, מחזיק ז'אק לאקאן בדעה שהמציאות דורשת את תמיכתו של עולם הפנטזיה הדמיונית על-מנת שהיא תמשיך להתקיים.
אפילו הפסיכולוגים של האגו הגיעו למסקנה שתפיסת המציאות פועלת במסווה גדול יותר או קטן יותר של פנטזיה ילדותית.
עקרון המציאות מגדיל את טווח קיומו עם התעוררות הבגרות המינית, תוך שהוא מרחיב את גבולות ובגרות הבחירות שהפרט לוקח על עצמו.
מתבגרים אינם עוד ילדים שחייבים להיכנע לכל צורך, אלא הם בוגרים-צעירים פוטנציאליים שביכולתם לדחות סיפוקים לטובת נסיבות מתאימות יותר.
מה שדומיננטי כעת בנפשם הוא אינו כבר רק מה שמענג, אלא גם ובעיקר מה שמציאותי, אפילו אם הוא יכול להיות בלתי-נעים.
שינוי נוסף בעקרון המציאות בין גיל ההתבגרות לבגרות יכול להיות מעבר חד בהתגבשותו, אך ההשפעה של חוויות טראומטיות מסוימות יכולה להיות מוכחת כמזיקה מבפנים הבלתי-מודע.
בעקרון המציאות החדש, הפרטים חייבים למצוא עצמם מיוצגים בנוכחות בולטת בגבולות נפשם, ולהחליט החלטות הגיוניות, במקום להיות סתם נראים לעין.
עקרון המציאות נגד עקרון העונג
הן עקרון המציאות והן עקרון העונג הם רודפי הנאות, אך ההבדל המהותי ביניהם מתבטא בכך שעקרון המציאות מרוכז יותר בטווח הארוך והוא יותר מונחה-מטרה, ואילו עקרון העונג מתעלם מהכל מלבד הסיפוק המיידי של תשוקותיו.
הדבר בא לידי ביטוי בכמה אספקטים כלהלן:
עקרון המציאות ועקרון העונג הם שני רעיונות מתחרים שנוסדו על ידי פרויד.
עקרון העונג הוא הרעיון הפסיכואנליטי שמתבסס על הדחף לעונג של האיד שבסיסו התפיסה שאנשים נמשכים להנאה, ונמנעים מסבל, כדי למלא את צורכיהם הביולוגיים והפסיכולוגיים.
ככל שאנשים מתבגרים, החיפוש המתמיד אחר העונג של האיד משתנה על ידי עקרון המציאות.
כשעקרון המציאות מצליח בייסוד הדומיננטיות שלו כעקרון מפקח של האיד, החיפוש אחר שביעות הרצון אינו עולה על הדרכים הישירות ביותר, אך במקום זאת דוחה את ההגשמה של מטרתו בתיאום עם התנאים שנכפים על ידי העולם שבחוץ, או במילים אחרות, דוחה סיפוקים.
שני הקונספטים האלו יכולים להשתקף במושגים או בתהליכים פסיכולוגיים.
פרויד הגדיר דחפים כתוצרים של שני כוחות מתחרים: עקרון העונג ועקרון המציאות.
שני הכוחות האלו מתנגשים, מכיוון שדחפים מעודדים פעולה ללא שום מחשבה מתוכננת מראש או דיון והתייחסות מעטה לתוצאות תוך התפשרות על התפקיד של עקרון המציאות.
דחפים לעיתים קרובות מקשים על הנפש להתגבר, כיוון שהם מכילים חוויות מענגות צפויות מראש.
פרויד הדגיש את חשיבותה של התפתחות השליטה בדחפים כי היא הכרחית חברתית, והציוויליזציה האנושית תכשל בלעדיה.
אם לפרט חסרה שליטה בדחפיו במידה מספקת, הוא מייצג פגם של הדחקה, שעלול להוביל לבעיות נפשיות-חברתיות חמורות.
היכולת לשלוט בדחפים ולדחות סיפוקים היא אחת מהאינדיקאטורים של האישיות הבוגרת, והתוצר של עקרון מציאות משגשג.
בכל הילדות, ילדים לומדים כיצד לשלוט ביצריהם, וכיצד להתנהג בדרכים שהן מתאימות חברתית.
חוקרים מצאו כי ילדים שיכולת דחיית הסיפוקים שלהם היא טובה יותר, עשויים להיות בעלי אגו מוגדר בצורה טובה יותר, כיוון שהם נוטים להיות יותר מעוניינים בדברים כגון שייכות חברתית ואחראיות.
רוב הבוגרים השתיתו את הקיבולת לעקרון המציאות באגו שלהם.
הם למדו לבטל את הדרישה המיידית והקבועה לסיפוקים עבור האיד.
בהתפתחות האנושית, השינוי בדומיננטיות מעקרון העונג לעקרון המציאות הוא אחד מההתקדמויות החשובות ביותר בפיתוחו של האגו.
השינוי יהיה לעיתים נדירות חלק, ויכול להוביל לקונפליקט בין-אישי ואמביוולנטיות.
אם עקרון המציאות חדל להתפתח, דינמיות שונה לוקחת את מקומו.
הסופר-אגו מפעיל את סמכותו על ידי כך שהוא מטיל אשמה על הפרטים כיוון שאין להם היכולת לפייס הן את ההיגיון והן את העונג.
האגו הופך ללכוד בין ה "כדאי" של האיד לבין ה "לא-כדאי" של הסופר-אגו.
אדם החי כעבד לתשוקותיו המיידיות, ובעקביות חש חרטה ואשמה על כך, לאחר מכן, יוביל עצמו לקיום עצמי עצוב ולא-ממומש באופן מתמיד.
אין זה קשה למצוא דוגמאות למבוגרים שחיים באופן זה, כגון אלכוהוליסטים אשר שותים ולאחר מכן מרגישים אשמים בשל העובדה שעשו כך, ובכך הם ממשיכים להנציח את המעגל האכזר הזה.
בכישלונו של האגו לאמץ את תפקידו המתפתח בתוך עקרון המציאות, הוא נשאר תחת שליטתו של עקרון העונג.
תוצאה זו היא באגו מפוצל, מצב בו שני העקרונות מתנגשים בצורה הרבה יותר חמורה מאשר תחת פיתוי של יצר.
השליטה של עקרון העונג ממשיכה באותו חוזק בו היא פועלת, משום שכפי שהייצוג העצמי של ילד מתחיל להיבדל מייצוג האובייקט של האם, הוא מתחיל לחוות דיכאון בשל האובדן של מה שהאם סיפקה לו.
למרות זאת, באותו הזמן האם ממשיכה לעודד התנהגות כגון זו בילד, במקום לאפשר לו להתבגר.
התנהגות זו כופה היצמדות והכחשה שמקדמות את העיקשות של עקרון העונג בניסיון להימנע מהכאב של ההיפרדות או הדיכאון שמגיע אחריה.
עקרון העונג מתכחש למציאות ההיפרדות מהאם או מהילד, בעוד שעקרון המציאות ממשיך לנסות לרדוף אחריו.
דרך זו של התפתחות יוצרת שבר בין התחושות של הילד הגדל לבין המציאות של ההתנהגות שלו כשהם נכנסים לעולם האמיתי.
מנקודת מבט פרוידיאנית, משמעות אחת של חיזוק עקרון המציאות בתוך האגו יכולה להיות השגת שליטה על האיד.
דרך הבגרות וחוש עצמי יותר טוב, פרטים יכולים למצוא את הכוח להתפתחות הדרגתית של עקרון המציאות, וללמוד כיצד לדחות עונג על ידי קבלת החלטות יותר רציונלית ומבוקרת.
במודל הפסיכואנליטי המסורתי, הדבר יכול לקחת שנים אחדות של ריסון, ואפילו אז, אנשים רבים יעשו את בחירותיהם להשגת סיפוקים מיידיים על-פני דחיית סיפוקים.
על-מנת להחדיר בהדרגה לקחים של בגרות ושליטה עצמית בזמנים מוקדמים, חשוב וקריטי ללמד ילדים כיצד לחזק את עקרון המציאות שלהם.
ניתן לעשות זאת על ידי סיפור מעשיות שלקחיהן מוסריים.
עקרון הממוצעות הוא רעיון פילוסופי לפיו .
משמעות הרעיון היא שמצבים נוצרים בעקבות שרשרת אקראית של הסתברויות וצירופי מקרים, ומצב נתון הוא כזה כי סביר יותר שיהיה כזה.
על פי עיקרון זה, כאשר תצפית מוצאת מצב או אירוע מסוים, סביר יותר להניח שהאירוע בו המצב שנצפה מייצג את הרגיל והכלל, מאשר אירוע או מצב מיוחד או חד-פעמי.
לפי עיקרון זה, סביר יותר להניח שהמצב אותו אנו רואים בכדור הארץ, כלומר התפתחות חיים, ובפרט חיים תבוניים, הוא דבר נפוץ ביקום, מאשר ההנחה שכדור הארץ הוא המקום היחיד ביקום בו יש חיים, או שהאדם הוא היצור התבוני היחיד בכל היקום..
הנחה כזו מנוגדת לתפיסות רוחניות או דתיות מסוימות לפיהן האנושות היא במעמד מיוחד או מועדף.
הרעיון שואב השראה מהעיקרון הקופרניקני על שם ניקולאוס קופרניקוס שהדיח את האדם וכדור הארץ ממרכז תמונת העולם: כדור הארץ והאדם הם חלק מן היקום ולא מרכזו, ומעמדם ביקום אינו חשוב במיוחד.
כאשר מחילים את עקרון הממוצעות על תחום החיים מחוץ לכדור הארץ, המסקנה הנובעת מן הדבר היא שכדור הארץ והחיים על פניו אינם מיוחדים, לכן סביר ביותר שחיים יוכלו להתקיים מחוצה לו.
כמו כן, בהתבסס על עקרון הממוצעות, האסטרונומים הניחו שניתן למצוא חורים שחורים סופר-מסיביים בגלקסיות אחרות, מכיוון שישנם ראיות רבות מצביעות על קיומו של חור שחור סופר-מאסיבי במרכז גלקסיית שביל החלב.
ביקורת על העיקרון מופנית בעיקר כלפי ההגדרה שלו והכישלון בישומו.
אחת מהטענות מדגישה את הבעייתיות בהגדרת העיקרון - העיקרון מוביל להנחה שבחירה אקראית מסוימת שייכת לקבוצה מסוימת רק משום שזוהי הקבוצה הגדולה ביותר.
בהשלכה לתחום החיים מחוץ לכדור הארץ, תומכי העיקרון מסיקים שהיקום מכיל ציויליזציות תבוניות רבות מכיוון שבכדור הארץ יש ציויליזציה תבונית, וכדור הארץ אינו בעל מעמד מיוחד ביקום.
העיקרון היווה השראה ליצירת נוסחת דרייק, נוסחה שפיתח האסטרונום פרנק דרייק כדי לחשב את מספר הציויליזציות התבוניות שמנסות ליצור קשר עם כדור הארץ.
נוסחה זו והעקרונות המנחים שלה הותקפו בספר "כדור הארץ הנדיר", בטענה שהיא מתעלמת מתכונות רבות של כדור הארץ.
על פי הספר, התפתחות כדור הארץ והחיים בו הם צירוף מקרים נדיר ולא סביר, ומכאן שהחיים מחוץ לכדור הארץ נדירים.
שאלה נוספת בנושא נקראת פרדוקס פרמי, על שם ההוגה שלה אנריקו פרמי, והיא "אם אכן ישנם חיים תבוניים ביקום, היכן הם?".
על פי עקרון הממוצעות, כדור הארץ הוא כוכב לכת ממוצע הסובב סביב כוכב ממוצע, ולכן קיום חיים תבוניים הוא עניין ממוצע.
אם כן, נשאלת השאלה מדוע חיים תבוניים מחוץ לכדור הארץ לא ניסו ליצור קשר עם האדם.
עקרון המשלימות (Complementarity) הוא כלל הקבוע באמנת רומא, ומגדיר את סמכותו של בית הדין הפלילי הבין-לאומי בהאג (ICC).
כלל זה מסדיר את היחסים בין קיום הליכים בבית הדין הפלילי הבין-לאומי לבין קיומם בבתי המשפט המדינתיים.
הכלל קובע כי ההליך יתנהל בבית הדין הפלילי הבין-לאומי כאשר המדינה המעורבת אינה מסוגלת או אינה רוצה לנהל הליך כראוי.
מאז משפטי נירנברג מתקדמת הקהילה הבין-לאומית אל עבר כינונה של אחריות פלילית בין-לאומית בגין פשעי מלחמה חמורים ופשעים נגד האנושות.
במהלך המאה העשרים נחתמו אמנות רב-צדדיות שהובילו להתפתחות המשפט הפלילי הבינלאומי, בהן: אמנה בדבר מניעתו וענישתו של הפשע השמדת עם, האמנה נגד עינויים ונגד יחס ועונשים אכזריים, בלתי אנושיים או משפילים וכו'.
לצד אמנות אלה הוקמו מספר טריבונלים משפטיים על ידי מועצת הביטחון במטרה לאכוף נורמות אלה (כגון בתי הדין הפליליים הבינלאומיים לפשעים שבוצעו ביוגוסלביה לשעבר וברואנדה).
טריבונלים דומים הוקמו עקב שיתוף פעולה בין האו"ם ובין ממשלות מקומיות, כגון הטריבונל המיוחד שהוקם בסיירה לאון, בטימור המזרחית ובקמבודיה.
בנוסף לאלו הוקם בית הדין הפלילי הבין-לאומי, שבשונה מבתי הדין המיוחדים שהוקמו לצורך טיפול בפשעים ספציפיים, משמש טריבונל קבוע, שבו ניתן יהיה להעמיד לדין את אלה האחראים לפשעים החמורים ביותר בעיני האנושות.
בעקבות הקמתו עלה צורך להסדיר את סמכותו ביחס לסמכותם של בתי המשפט המדינתיים בסעיף 17 לאמנת רומא, נקבע מנגנון שכיום פועלים על פיו והוא מנגנון המשלימות (Complementarity).
על פי עיקרון זה פועל בית הדין הפלילי הבין-לאומי כמנגנון משלים בלבד למערכת המשפט המדינתית.
אם מדינת האזרחות של הנאשם ממצה עמו את הדין וההליך נעשה בתום לב, נשללת סמכות השיפוט של בית הדין הפלילי הבין-לאומי.
"מיצוי הדין" מתייחס למצב בו הנאשם מועמד לדין או נחקר על ידי המדינה, בגין עבירות שמהותן זהה למהות הפשעים לפי אמנת רומא.
מיצוי הדין עשוי לכלול מחד הגשת כתב אישום נגד הנאשם והעמדתו לדין, ומאידך חקירה שבסופה יוחלט שלא להעמידו לדין.
במצב הדברים האחרון, כל עוד המדינה חקרה בכנות את נסיבות האירוע, וכל עוד החלטתה שלא להעמיד את הנאשם לדין אינה תוצאה של חוסר יכולתה או חוסר רצונה להעמידו לדין, אז נשללת סמכות השיפוט של בית הדין הפלילי הבין-לאומי.
כך, עקרון המשלימות משמש כהגנה מפני תביעה פלילית בבית הדין הפלילי הבין-לאומי.
בתורת הקבוצות, עקרון היהלום הוא אקסיומה קומבינטורית בתורת הקבוצות האקסיומטית, שאינה תלויה באקסיומות צרמלו-פרנקל (אפילו עם אקסיומת הבחירה).
האקסיומה חזקה מספיק על מנת להוכיח את השערת הרצף המוכללת.
יהי מונה, קבוע מכאן ולהבא.
תת-קבוצה היא סגורה אם לכל סודר שעבורו מתקיים .
קבוצה היא סל"ח אם היא סגורה ולא חסומה ב- .
חיתוך של משפחה של פחות מ- של סל"חים הוא סל"ח.
קבוצת שבת של הסודר היא קבוצה S החותכת כל סל"ח באופן לא ריק (לכן אפשר לחשוב על קבוצת שבת כעל קבוצה ממידה חיובית).
קבוצה מהווה קבוצת שבת אם ורק אם יש "פונקציה דוחסת" (היינו פונקציה כך שתמיד ) ש-S היא קבוצת נקודות השבת שלה.
עבור קבוצת שבת S, העיקרון קובע שקיימת משפחה של קבוצות כך שלכל קבוצה קיים כך ש-.
העיקרון נעשה חזק יותר ככל ש-S קטנה יותר: אם שתיהן קבוצות שבת, אז .
עם זאת, אפילו העיקרון החלש ביותר, , אינו נובע מאקסיומות ZFC (אקסיומות צרמלו-פרנקל עם אקסיומת הבחירה).
לכל מונה , אם מתקיים לאיזושהי קבוצת שבת , אז .
שהרן שלח הוכיח את הטענה ההפוכה: אם , אז מתקיים לכל קבוצת שבת , כאשר היא הקופינליות של x.
במתמטיקה, במיוחד בתורת הפוטנציאל, עקרון המקסימום הוא תכונה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות מסוימות, ספציפית מהטיפוס האליפטי והפרבולי.
באופן כללי, העיקרון טוען כי המקסימום של פונקציית הפתרון בתחום נתון מושג תמיד על השפה של התחום.
באופן ספציפי יותר, עקרון המקסימום החזק גורס כי אם המקסימום של פונקציה מושג בפנים התחום, אז היא חייבת להיות קבועה בתחום.
עקרון המקסימום החלש טוען, לעומת זאת, שאמנם ערך המקסימום חייב להימצא על שפת התחום, אך הוא עשוי להופיע מחדש בפנים התחום פעמים נוספות.
המשפט הוא במובן מסוים מסקנה ממשפט הערך הממוצע של גאוס.
לעקרון יש השלכות פיזיקליות מעניינות, שכן הפוטנציאל החשמלי בריק מקיים את משוואת לפלס, ולכן נובע ממנו כי לא ניתן ללכוד חלקיק טעון בשיווי משקל יציב על ידי שדות אלקטרוסטטיים (שדות נייחים), אם כי ניתן ללכוד אותו בריק באמצעות שדות אלקטרודינמיים .
פונקציות הרמוניות הן דוגמה קלאסית לה עקרון המקסימום החזק תקף.
באופן פורמלי, אם f היא פונקציה הרמונית, אז f לא יכולה להיות בעלת מקסימום מקומי מובהק בתוך תחום של פונקציה#תחום ההגדרה שלה.
במילים אחרות, או ש-f היא פונקציה קבועה, או שבעבור כל נקודה נתונה בפנים התחום, קיימות נקודות אחרות הקרובות באופן שרירותי ל- שהפונקציה f מקבלת בהן ערכים גדולים יותר:
תהי f פונקציה הרמונית המוגדרת על תת-קבוצה קשירה פתוחה D של המרחב האוקלידי Rn.
אם היא נקודה ב-D כך ש-:
בעבור כל הנקודות x בסביבת הנקודה , אז הפונקציה f היא קבועה על D.
עקרון המקסימום החלש בעבור פונקציות הרמוניות הוא מסקנה פשוטה מן החשבון האינפיניטסימלי הקשור בפתרון משוואת לפלס.
המרכיב המרכזי בהוכחה הוא העובדה שלפי ההגדרה של פונקציות הרמוניות, הלפלסיאן של f הוא אפס.
לפיכך, עבור פונקציות המוגדרות על תחום מישורי, כל נקודה קריטית של f היא בהכרח נקודת אוכף (משטח קמור-קעור); אחרת לא ייתכן שסכום הנגזרות השניות של f יהיה אפס (שתי הנגזרות השניות חייבות להיות בעלות סימן מנוגד).
עבור פונקציות המוגדרות על מרחב מממד גבוה יותר מקבלים שלפחות שתי נגזרות שניות (לפי שתי קואורדינטות שונות) הן בעלות סימן מנוגד.
עקרון המקסימום החזק נשען על למת הופף, וההיוריסטיקה לו מסובכת יותר.
עקרון המחיקה של לנדואר או בקיצור עקרון לנדואר הוא עקרון פיזיקלי בתרמודינמיקה ובתורת האינפורמציה, המצביע על קיומו של חסם תחתון לאנרגיה שיכולה להשתחרר תוך כדי ביצוע תהליך לא הפיך על האינפורמציה של מערכת פיזיקלית.
עקרון לנדואר תואר לראשונה בקצרה על ידי הפיזיקאי רולף לנדואר במאמר שלו משנת 1961, שם תיאר מערכת פיזיקלית פשוטה שביצוע מחיקה של חלק מהאינפורמציה שבה יוצר חום מינימלי כלשהו, שכיום מכונה חסם לנדואר או גבול לנדואר.
תוצאה זו נתמכה מספר פעמים על ידי מאמרים מאוחרים יותר ונחשבת כיום לקונצנזוס התקף במספר רב של מערכות חישוביות, אף על פי שבעת המודרנית חסם לנדואר לא מאתגר ממשית את היעילות האנרגטית של מחשבים מאחר שטמפרטורות נמוכות גבול זה קטן בכמה סדרי גודל מהחום האופייני הנפלט בחישובים סטנדרטיים.
לעקרון לנדואר יש מספר שימושים מרכזיים בקישור בין תורת האינפורמציה לתוצאות מוכרות בתרמודינמיקה.
הוא מספק הסבר משכנע לתופעות תרמודינמיות מוכרת כמו השד של מקסוול ומנוע סילארד ומהווה גם כיום נושא מרכזי לדיון במגוון רחב של פורומים.
עם התפתחות המכניקה הסטטיסטית כפי שהיא מנוסחת בעת המודרנית תודות לפיזיקאים בולטים בתחום, ביניהם בולצמן, פלאנק, דביי ועוד רבים נוספים, נבע הרצון לתת פירוש אינטואיטיבי לחלק מהגדלים הפיזיקליים שהיא עוסקת בהם, ביניהם מושג האנטרופיה.
כיום הקשר האדוק שיש בין אנטרופיה למספר המצבים האפשריים שמערכת יכולה לתפוס בתנאים נתונים, בין היתר לפי העובדה שמערכות סגורות עם אנרגיה קבועה (צבר מיקרוקנוני), האנטרופיה של המערכת מקיימת את הקשר הישיר -
כאשר פונקציית הריבוי של המערכת שנותנת את מספר המצבים המיקרוסקופיים המתאימים למצב מקרוסקופי נתון של מערכת עם אנרגיה ספציפית, האנטרופיה, ו - קבוע בולצמן.
תוצאות דומות מוכללות יותר מתקבלות בצברים נוספים כפי שהראה בולצמן.
לכן מקובל כיום לתאר אנטרופיה כגודל המתאר את כמות ה - "סדר" שיש למערכת, מאחר שבדר"כ ניתן לצפות שמערכות עם יותר סימטריות יימצאו נדירות יותר לעומת מערכות "מבולגנות" - עם פחות כללים שיגבילו את כמות האפשרויות הזמינות.
במקביל לאותו רעיון, עלתה סוגיה נוספת מצד אנשים שעסקו בתורת האינפורמציה דוגמת קלוד שאנון.
נשאלה השאלה האם ניתן להצביע על קיומה של אנטרופיה שנובעת לא בהכרח מקשר ישיר למערכות פיזיקליות, אלא בצורה יותר כללית בתור גודל שיכול לאפיין בצורה דומה למסרים, ובפרט תמונות וסימולציות - שגם כן מחזיקות בתכונה דומה של קשר ישיר בין הריבוי של מצבים אפשריים לכמות הסדר שאפשר להגדיר לה.
לשם כך נוצר הצורך להפוך את הדיון הנ"ל ליותר פורמלי במטרה לקשר בסופו של דבר בין שני סוגי האנטרופיות שניתן לדון עליהן.
מתוך מניע אינטואיטיבי שיובן בהמשך, שאנון הגדיר את האינפורמציה של קבלת ערך כלשהו מתוך דגימה של משתנה המקרי (או לייתר דיוק, לקבלת הודעה כלשהי) -
כאשר ההסתברות לקבל תוצאה ונהוג לקחת את הלוגריתם בבסיס 2 מאחר שבדר"כ רוצים למדוד את האינפורמציה ביחידות ביטים.
מושג זה מתלכד מבחינה איכותית לפחות עם האינטואיציה של אינפורמציה - ככל שלמצב אפשרי כלשהו יש יותר סיכוי להימצא במערכת, הוא יימצא יותר פעמים, והאינפורמציה של המצב תשאף לאפס ("צריכה" של פחות ביטים).
בהמשך להיגיון זה ניתן להגדיר את המיצוע של כל האינפורמציות, בממוצע משוקלל כאשר כל אינפורמציה של מצב מגובית בהסתברות שלו.
כך ניתן לקבל את האנטרופיה של שאנון -
מושג זה מתלכד עם הצורה הכללית יותר של אנטרופיה - .
למעשה, במקרים מסוימים נהוג לעבוד עם ההנחה של אדווין ג'יינס לפיה שתי האנטרופיות הנ"ל שקולות וצריך להתקיים עד כדי קבוע - (כל עוד בוחרים נכונה את בסיס הלוגריתם באנטרופיית שאנון).
מכאן למעשה ניתן להסיק את השקילות המלאה בצורה מבוססת, ועל מנת להשתמש בה בשביל לפתור מערכות דינמיות יש צורך בחידוד הקשר בין פעולות שונות שניתן לעשות על אינפורמציה - לתהליכים תרמודינמיים.
נושא זה נחקר רבות גם בזמנים אלו.
בשנת 1961 הפיזיקאי רולף לנדואר פרסם מאמר שבו סקר באופן מקיף תהליכים לא הפיכים באינפורמציה.
ניקח מערכת מבודדת שנמצאת בטמפרטורה קבועה (ניתן ליצור מערכת כזו על ידי צימוד למאגר חום גדול במיוחד), שיכולה להימצא אך ורק בשני מצבים אפשריים בהסתברות שווה, כלומר מבחינה איכותית היא מכילה ביט אחד של אינפורמציה.
האנטרופיה של שאנון עבורה תנבא - כעת נבצע תהליך שמוחק אפקטיבית את אותו ביט.
תהליך זה איננו הפיך, מאחר שהמחיקה נעשית באופן שבו לא ניתן לשחזר את המידע בשום דרך שהיא - אבל הוא לא יחיד, כלומר ישנם דרכים שונות להעביר את המערכת בתהליך הזה באמצעות שערים לוגיים שונים שהמשותף להם הוא שהם מבצעים מחיקה של אינפורמציה.
לנדואר ספציפית החליט לעבוד עם הפעולה - לקיחה של ביט שיכול לקבל את הערכים 0 או 1 ומחזיר 1 ללא קשר לערך הביט.
מבחינה פיזיקלית משמעות הפעולה הזאת היא הקרסת המערכת למצב נתון כלשהו ללא קשר למצבה הקודם.
האנטרופיה של שאנון עבור מצב כזה היא מן הסתם .
לפי החוק השני של התרמודינמיקה האנטרופיה הכוללת של הצימוד בין הביט למאגר חייבת תמיד לעלות.
לכן נגדיר בתור האנטרופיה של תת-המערכת "ביט בצימוד" ו - האנטרופיה של מאגר החום, ומתקיים -
בהנחת שקילות האנטרופיות ניתן לטעון ש - נציב באי השוויון ונציב את האנטרופיה של החום לפי נוסחת קלאוזיוס -
כאשר החום שנפלט ממחיקת הביט לסביבה והנחנו מאחר שמאגר החום מאוד גדול ונמצא בשיווי משקל תרמי עם שאר המערכת.
מכאן לאחר פישוט מתקבלת התוצאה -
כלומר, כתוצאה מהמחיקה של האינפורמציה משתחרר חום לסביבה שלא יכול להיות קטן יותר מערך מינימלי כלשהו שתלוי ליניארית בטמפרטורה.
גבול זה מכונה לעיתים גבול לנדואר או חסם לנדואר.
נשים לב שמדובר בחסם תאורטי בלבד, והמהלך המחשבתי הזה לא מייצג בהכרח את הערך המינימלי שאפשר להגיע אליו במציאות.
אם מציבים נתונים סטנדרטיים של חישוב בטמפרטורה של כ - ניתן להעריך את הסביבה של המחשב כמאגר חום של טמפרטורת החדר והפיתוח תקף, כך שמתקיים -
חום כזה שנפלט לסביבה הוא קטן להפליא ביחס לכל סקאלה יומיומית, וקיים קושי רב למדוד פליטה כזאת בניסוי מבוקר.
כמו כן, מאחר שהסיבה העיקרית לעלייה באנטרופיית הסביבה היא שהמחיקה יוצרת שינוי באינפורמציה של המערכת, המסקנה היחידה שיכולה להתבצע מהניסוי היא שרק פעולות לא הפיכות לאינפורמציה מצייתות לחסם אנרגיה כלשהו מסוג זה.
כתוצאה מכך התעורר דיון נרחב על האופי של תהליכים כלליים מבחינה אנרגטית, והסברה המתבקשת מעקרון המחיקה של לנדואר היא שתהליכים הפיכים, כגון צבירת מידע חדש - כלומר העתקה של מידע ממקום אחד לאחר, לא נושאים בתוכם חסם אנרגטי ומבחינה תאורטית לא חייבים בפליטת חום לסביבה.
אחד השימושים המרכזיים והמפורסמים ביותר לעקרון לנדואר הוא הוכחה לסתירה הפנימית שיש בפרדוקס השד של מקסוול.
בשנת 1982 פרסם הפיזיקאי צ'ארלס בנט מאמר שלם המכיל סקירה מקיפה של השד של מקסוול והציע דרך אפשרית לתקוף את הסוגיה על ידי שימוש בחסם לנדואר על המערכת המוצגת בבעיה.
בנט הביט בפירוש המקובל של מערכת השד של מקסוול הסטנדרטית (פרשנויות דומות הן שקולות לצורך הפיתוח), לפיו נתונה מערכת סגורה ומבודדת עם מחיצה באמצעו שאטומה למעבר חום וחלקיקים, החוסמת משני צדדיה גז כלשהו.
הגישה המקובלת לפתור את הפרדוקס באותה תקופה היה ללא שימוש בתכונות האינפורמטיביות שיש לשד בניסוי, ובמקום זאת טענו מפורשות שהשד מוכרח להשקיע אנרגיה בכל פעם שהוא מודד את מולקולות הגז, ואנרגיה זו מתבטאת בביצוע עבודה על המערכת.
התהליך של צבירת האינפורמציה והאחסון שלה בתא של השד הוא תהליך הפיך מבחינה לוגית - ולכן לפי לנדואר היא יכולה לפחות מבחינה תאורטית להתבצע ללא עלייה באנטרופיה וללא פליטת חום לסביבה.
לעומת זאת, מאחר שהשד לא יכול להמשיך ולאגור אינפורמציה לנצח מאחר שההנחה היא שהשד הוא סופי וחייב לאכלס תא זיכרון סופי, השד חייב למחוק את האינפורמציה על הגז לאחר שהוא משתמש בה על מנת לפנות מקום לעוד אינפורמציה.
התהליך של מחיקת האינפורמציה הזאת מתא הזיכרון כן עולה בפליטת חום לסביבה, ולכן בעלייה באנטרופיה וביצוע עבודה על המערכת - ובכך הפרדוקס נפתר.
שיטתו של בנט זכתה לתמיכה ונחשבת כיום לתירוץ קביל לבעיית השד של מקסוול.
השימוש בעקרון לנדואר על טיעון זה גורר שאין הדבר כן, ומאחר וזיכרון השד סופי עליו לבצע בכל שלב של האיטרציה מחיקה של הזיכרון הקודם - שתדרוש עלייה באנטרופיה ומכאן ביצוע עבודה.
למעשה, ניתן לייצג בכל שלב את הפעולה של השד בתור מחיקה של ביט אחד בדיוק של אינפורמציה, זאת מאחר שהמידע המינימלי הנחוץ לאיטרציה ספציפית הוא הידיעה באיזה צד של הקופסה נמצא החלקיק, כלומר קיימות אך ורק שתי אפשרויות לאינפורמציה.
אם מניחים ששתי האפשרויות זמינות בהסתברות שווה (ניתן להכליל בקלות ל - בהתאמה), אזי העבודה שתושקע בכל איטרציה תהיה זהה לזו שמתקיימת בפיתוח הקודם ותקיים - ובהנחת התפשטות איזותרמית של הגז וטמפרטורה קבועה של המערכת, הגז יקיים תחת אותו תהליך -
זאת מאחר שהעבודה המקסימלית שתתבצע בתהליך היא דחיפה של המחיצה עד לקצה השני של הקופסה - בהנחה שהמחיצה תמיד מוצבת באמצע הקופסה בתחילת כל איטרציה.
העבודה שהשד מקבל בתמורה להשקעה של עבודה שנמצאת תמיד מעל גבול לנדואר גוררת לפיכך עבודה שתימצא תמיד מתחת לגבול לנדואר.
במקרה הטוב ביותר, העבודה שמושקעת לתהליך היא גם העבודה שמתקבלת ובכל מקרה אחר היא גדולה יותר - ולכן הפרדוקס נפתר.
התוצאה שהראה לנדואר זכתה לתמיכה מצד מאמרים מסוימים, והופרכה חלקית במספר מאמרים אחרים.
בשנת 1999 פרסמו צמד החוקרים ג'ון ארמן וג'ון ד.
נורטון מאמר ובו התנגדו חרוצות לשימוש בעקרון לנדואר על מנת לתרץ בעיות דמויות השד של מקסוול, בטענה שמערכות תרמודינמיות כאלו ניתנות לפתרון ללא שימוש כלל בחישובים הכוללים אינפורמציה.
לטענתם,ההנחה שסיבת הכישלון של המערכת קשורה בכשל אינפורמטיבי אינטרינזי כלשהו, שקיים לה גורע מהיכולת להסביר אותה.
לטענת בנט, עקרון לנדואר דורש שיפור מבחינת הניסוח המדויק וכמו כן מחקר תאורטי נוסף בנושא מציאת החסם המדויק והמקרים בהם הוא תקף.
החשיבות המודרנית של עיקרון זה היא "פדגוגית בלבד", במטרה להציג את הרעיון בתור מודל מעוגל שבא להדגיש את ההבדל המהותי שיש בין תהליכים לוגיים הפיכים ללא הפיכים.
בשנת 2011 פרסמו זוג חוקרים מאוניברסיטת סטארטקלייד מאמר ובו תוצאה שהפריכה חלקית את הטענה של לנדואר.
לטענתם, תחת אותם תהליכים לא הפיכים לוגית האנטרופיה אכן עולה אך האנרגיה לא בהכרח עולה כתוצאה ישירה מכך כפי שסבר לנדואר.
במקום פליטת חום לסביבה, האנטרופיה הנוספת יכולה מבחינה תאורטית באותה מידה לגרור שינוי בגודל התנע הזוויתי של החלקיקים במערכת, ובאופן כללי בכל גודל שמור אחר שלה.
פליטת אנרגיה, לפי מסקנה זו, היא מקרה פרטי של התוצאה המוכללת.
בשנת 2012 נעשה ניסיון מצד חוקרים לאשר את עקרון לנדואר באמצעות חיקוי פיזיקלי של הפעולה המקורית שחקר לנדואר.
החוקרים הציבו ביט אינפורמציה בפוטנציאל עם שתי נקודות מינימום בעזרת שיטות אופטיות ושינו את הפוטנציאל באמצעות לייזר במטרה להסיר את ההפרדה בין שני המצבים ובכך לבצע מחיקה של האינפורמציה.
בניסוי נמדדו בהצלחה כמויות מזעריות של חום ששוחרר בתהליך.
בשנת 2014 פרסמה קבוצת חוקרים מאמר נוסף שבו אישרו פעם נוספת את אמיתות קיומו של חסם לנדואר.
באותה שנה, פורסם מאמר מצד חוקר באוניברסיטת טוקיו שבו נעשה שימוש בהתקדמויות אחרונות בתחום של מכניקה סטטיסטית מחוץ לשיווי משקל על מנת לסתור חלקית את אחת ההנחות שלנדואר השתמש בהן בפיתוחיו, והיא שכל תהליך לא הפיך לאינפורמציה של המערכת הוא גם לא הפיך מבחינה תרמודינמית.
לטענתם, תהליכים יכולים להיות לא הפיכים לוגית אך הפיכים תרמודינמית, ובאותה מידה יכולים גם להתקיים תהליכים הפיכים לוגית אך לא תרמודינמית.
לכן כתוצאה מכך, קיימים בהכרח תהליכים שהאנטרופיה בהם נשארת קבועה (כתוצאה מההפיכות התרמודינמית), ולכן ביצוע התהליך הלא הפיך לאינפורמציה שלה - לא יגרום לעלייה באנטרופיה ולפליטת חום, בסתירה לעקרון לנדואר.
בשנת 2016 פרסמה קבוצת חוקרים מאמר שבו אישרו בשנית את קיומו של חסם האנרגיה על ידי שימוש בלייזר על מנת למדוד פליטות אנרגיות מזעריות כתוצאה פעולות שנעשו על ננומגנטיים בודדים דמויי ביטים.
בשנת 2018 נעשה ניסיון נוסף מצד חוקרים באוניברסיטת קיוטו להרחיב את הפרשנות של חסם לנדואר לתורת הקוונטים על ידי שימוש בננו-מגנטים מולקולריים כמערכות בעלות אינפורמציה אפקטיבית.
התוצאות הצביעו על קיום של חסם אנרגטי, בהתאמה למקרה הקלאסי.
בפיזיקה, עקרון היחסות הוא הדרישה שכל משוואה המתארת חוק פיזיקאלי תהיה בעלת תוצאה זהה בכל מערכות הייחוס הקבילות.
את העיקרון טבע איש האשכולות אנרי פואנקרה במסגרת עבודתו בפיתוח תורת היחסות, במקביל לפיתוח שערך אלברט איינשטיין שהוביל לתורת היחסות הפרטית ולתורת היחסות הכללית.
לדוגמה, במסגרת תורת היחסות הפרטית משוואות מקסוול זהות בכל מערכות הייחוס האינרציאליות.
במסגרת תורת היחסות הכללית משוואות מקסוול או משוואות השדה של איינשטיין זהות במערכות ייחוס שרירותיות שונות.
כמה עקרונות של תורת היחסות יושמו בהצלחה ברחבי התחומים הפיזיקליים, בין אם באופן מרומז (כמו במכניקה הניוטונית; שהתפתחה טרם הגדרת העיקרון) ובין אם באופן מפורש (כמו בתורת היחסות הפרטית ובתורת היחסות הכללית של איינשטיין).
במקור, גלילאו גליליי ניסח את עקרון היחסות המקורי כדי להציג שלא ניתן לקבוע לפי חוק פיזיקאלי אם כדור הארץ סובב סביב השמש או להפך.
ב-1904 הגדיר פואנקרה את העיקרון: עקרון היחסות קובע שאין דרך פיזיקאלית להבדיל בין גוף שנע במהירות קבועה לבין גוף שאינו נע.
אפשר לקבוע שגוף אחד זז ביחס למשנהו, אבל אי אפשר לקבוע מי מהם זז ומי לא.
חוקי הפיזיקה זהים במערכות ייחוס הנעות אחת במהירות קבועה ביחס לאחרת, כך שלא ניתן לערוך שום ניסוי פיזיקאלי המסוגל להצביע אם הגוף אינו נע או בתנועה.
במתמטיקה, העיקרון המקומי-גלובלי של הלמוט הסה, הידוע גם כעקרון הסה, הוא עקרון המבטיח בתנאים מסוימים קיום פתרונות למערכות משוואות פולינומיות מעל המספרים הרציונליים.
כדי לקבוע קיום פתרון ברציונלים מציע העיקרון להתבונן בפתרונות של המשוואה בשדות ההשלמה של המספרים הרציונליים: המספרים הממשיים והמספרים ה--אדיים.
אם קיים פתרון שם, אז עשוי להיות פתרון למשוואה גם במספרים רציונליים.
גרסה פורמלית יותר של עקרון הסה קובעת שלסוגים מסוימים של משוואות יש פתרון רציונלי אם ורק אם יש להם פתרון במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים עבור כל p ראשוני.
באופן יותר כללי העיסוק בעקרון הסה מתייחס לשאלה עבור אילו משוואות שמקדמיהן בשדה גלובלי אפשר לתפור ממשפחה של פתרונות משדות מקומיים עבור המשוואה, פתרון למשוואה בשדה הגלובלי?
בהינתן מערכת משוואות פולינומית עם מקדמים רציונליים, אם יש לה פתרון רציונלי, אז פתרון זה מהווה גם פתרון ממשי וגם פתרון -אדי.
זאת מכיוון ששדה המספרים הרציונליים משוכן בשדה המספרים הממשיים וגם משוכן בשדה המספרים ה -אדיים.
באופן יותר כללי, פתרון בשדה גלובלי מניב פתרונות בשדות המקומיים המתאימים להשלמה של השדה בכל המקומות.
עקרון הסה מתייחס למצבים שבהם קיום של פתרונות למערכת בכל ההשלמות גורר את קיומו של פתרון בשדה המספרים הנתון.
בדומה אם למערכת משוואות פולינומית עם מקדמים שלמים יש פתרונות בשלמים אזי פתרון כזה מהווה גם פתרון בממשיים ובחוג השלמים ה -יאדים לכל ראשוני.
במקרה זה עיקרון הסה יתייחס למצבים שבהם קיום פתרונות למערכת בכל חוגי השלמים ה -אדים ובשדה הממשיים גורר את קיומו של פתרון במספרים שלמים.
הרעיון הבסיסי הוא שאם יש פתרון בחוג השלמים ה--אדים עבור כל , אז ניתן לתפור מפתרונות אלו באמצעות משפט השאריות הסיני פתרון בחוג (זאת אומרת, פתרון שיקיים את המשוואה מודולו ) עבור כל שלם .
לאחר מכן משתמשים בתכונות מיוחדות של המערכת כדי "להרים" פתרונות אלה לכדי פתרון שלם.
העיקרון הוא משפט מתמטי במספר מקרים מעניינים אבל גם במקרים שהעיקרון אינו מתקיים יש לעיתים אפשרות לתאר בצורה מתמטית את הסיבה לכישלונו.
משפט הסה-מינקובסקי קובע שהעיקרון המקומי-גלובלי תקף עבור הבעיה של ייצוג המספר אפס על ידי תבנית ריבועית המוגדרת מעל שדה מספרים.
התוצאה הוכחה תחילה עבור שדה המספרים הרציונלים על ידי הרמן מינקובסקי, ובאופן כללי יותר, לשדות מספרים, על ידי הלמוט הסה.
במקרה הכללי יש להניח כי התבנית מייצגת את אפס בכל השדות המקומיים המתאימים.
ראוי לציין את משפט לז'נדר (1785) אודות תבניות ריבועיות בשלושה משתנים שמראה גרסה של העיקרון המקומי-גלובלי עבור ייצוג אפס על ידי תבניות אלו, בשפה של קונגרואנציות.
משפט הסה על הרחבה ציקלית של שדות מספרים קובע שהעיקרון המקומי-גלובלי חל על התנאי של היותו של אבר בשדה נורמה של איבר בשדה ההרחבה .
נשים לב שבמקרה ש- היא הרחבה ריבועית אז משפט זה נובע ממשפט הסה-מינקובסקי (לתבניות דו-ממדיות).
דוגמה נגדית של ארנסט ס.
סלמר מראה שלא ניתן להרחיב את משפט הסה-מינקובסקי לתבניות מדרגה 3: למשוואה
יש פתרון במספרים ממשיים, ויש פתרון בכל השדות ה-p-אדים, אבל אין לה פתרון לא טריוויאלי במספרים רציונליים.
דוגמה נגדית עבור תבנית ריבועית מעל השלמים (בורווי-רודניק) היא המשוואה
לה יש פתרונות בכל החוגים הפיאדים ובממשיים, אבל אין לה פתרון בשלמים.
רוג'ר הית'-בראון (Roger Heath-Brown) הראה
שכל תבנית מדרגה שלוש מעל המספרים השלמים בלפחות 14 משתנים מייצגת 0. תוצאה זו משפרת תוצאות קודמות של הארולד דבנפורט (Davenport).
נובע כי העיקרון המקומי-גלובלי מתקיים באופן טריוויאלי עבור תבניות מדרגה שלוש מעל הרציונלים בלפחות 14 משתנים.
נעיר כי כל תבנית מדרגה שלוש מעל המספרים ה-p-אדים עם לפחות עשרה משתנים מייצגת אפס.
אם מצטמצמים לתבניות לא סינגולריות, אפשר לקבל תוצאות חזקות יותר: הית' בראון הוכיח שכל תבנית מדרגה שלוש ב-10 משתנים לפחות שאינה סינגולרית מעל המספרים הרציונליים מייצגת אפס, ובכך ביסס באופן טריוויאלי את עקרון הסה עבור מחלקה זו של תבניות.
בהקשר מסוים התוצאה של הית' בראון היא החזקה ביותר האפשרית: קיימות תבניות מדרגה שלוש לא סינגולריות מעל הרציונלים ב-9 משתנים שאינן מייצגות אפס.
מאידך, Hooley הראה שעקרון הסה תקף לייצוג אפס על ידי תבניות מדרגה שלוש בתשעה משתנים לפחות ובלבד שאינן סינגולריות מעל המספרים הרציונליים.
שאלה פתוחה היא האם העיקרון תקף עבור תבניות מדרגה שלוש בחמישה משתנים ומעלה.
ההוכחות של תוצאות אלו של דבנפורט, הית'-בראון והולי השתמשו בשיטת המעגל של הארדי-ליטלווד.
לפי רעיון של יורי מאנין, ניתן לקשור את המכשולים להתקיימות עקרון הסה בתבניות מדרגה שלוש, לתיאוריה של חבורת בראואר (Brauer groups).
באופן כללי ניתן להגדיר לכל יריעה אלגברית, איבר בחבורת בראואר הנקרא Manin-Brauer obstruction, ועבור מחלקות מסוימות של יריעות אלגבריות התקיימות עיקרון הסה עבור היריעה שקול לגמרי להתאפסות האיבר הנ"ל.
עם זאת, סקרובוגטוב הראה ש Manin-Brauer obstruction אינו יכול להסביר את כל המקרים בו עקרון הסה כושל.
עבודות של תומר שלנק ויונתן הרפז מבטאות את הכישלון של עיקרון הסה בשפה של תורת ההומוטופיה.
דוגמאות נגדיות של פוג'יווארה וסודו מראות שמשפט הסה-מינקובסקי אינו ניתן להרחבה לתבניות מדרגה , כאשר n הוא מספר שלם לא שלילי.
מצד שני, משפט Birch מראה שאם d הוא מספר טבעי אי-זוגי כלשהו, אז יש מספר כך שכל תבנית מדרגה ביותר מ- משתנים מייצגת אפס.
עבור תבניות כאלו עקרון הסה מתקיים באופן טריוויאלי.
משפט אלברט-בראוור-הסה-נתר מתייחסת לנכונותו של העיקרון המקומי-גלובלי ביחס לתכונת הפיצול של אלגברה פשוטה מרכזית מעל שדה מספרים .
הוא קובע שאם מתפצלת בכל השלמה אז איזומורפית לאלגברת מטריצות מעל .
עקרון הסה לחבורות אלגבריות קובע שאם היא חבורה אלגברית פשוטת קשר המוגדרת מעל השדה הגלובלי , אז ההעתקה
המכפלה באגף ימין נלקחת על קבוצת המקומות של השדה הגלובלי .
יש וריאציה קצת יותר מסובכת עבור חבורות שאינן פשוטות קשר, ועקרון הסה עבור החבורה אורתוגונלית
קשור קשר הדוק לעקרון הסה עבור התבנית הריבועית .
קנסר (בשנת 1966) ואחרים אימתו את עקרון הסה על ידי הוכחות פרטניות לכל חבורה אלגברית (פשוטת קשר).
המקרה האחרון, החבורה , טופל על ידי צ'רנוסוב בשנת 1989.
עיקרון הסה לחבורות אלגבריות שימש בהוכחת ההשערה של אנדרה וייל אודות מספרי טמאגאווה (Tamagawa) ובהוכחת משפט הקירוב החזק.
עקרון השלישי הנמנע (או כלל השלישי הנמנע, לטינית: tertium non datur) אומר כי כל טענה היא אמיתית או שהשלילה שלה אמיתית, ואין אפשרות שלישית.
כלל זה שקול לחוק האי-סתירה.
לדוגמה, או שיורד גשם או שלא יורד גשם.
בהתאם לכך, המשפט "יורד גשם או לא יורד גשם" נכון מעצם צורתו.
העיקרון נוסח לראשונה על ידי הפילוסוף היווני פארמנידס בפרגמנט 2 (תרגום: שמואל שקולניקוב):
"האחת – שהווה ואי-אפשר לא להיות,
היא נתיב השכנוע (כי מלווה הוא לאמת);
האחרת – שאיננו וחיוב הוא לא להיות.
וזאת אני מוֹרֶה לְךָ שבלתי-בת-הבחנה היא מכל-וכל."
עיקרון השלישי הנמנע כמבסס את האפשרות להוכיח בדרך השלילה
עקרון השלישי הנמנע מאפשר להוכיח טענות בדרך השלילה: מבקשים להוכיח טענה P.
מוכיחים ששלילת P מביאה לסתירה.
לפי עקרון השלישי הנמנע, רק אחת משתי האפשרויות – P או שלילתה – נכונה.
מכיוון שהשלילה מביאה לסתירה, אות הוא ש-P עצמה נכונה.
האינטואיציוניזם מתנגד לכך, וטוען שבכך נפסלת רק אי-נכונות.
ויתור על העיקרון משמש להתמודדות עם הקשיים בתורת הקבוצות הנאיבית.
התנגדות נוספת לעקרון השלישי הנמנע מגיעה מבעיות רצף, כדוגמת פרדוקס הערימה או השאלה מתי גוון של כחול הופך לגוון של צבע אחר.
הרעיון הוא כדלקמן: פרדוקס הערימה מורכב משלוש הנחות:
מספר כלשהו של גרגרי חול מרכיב ערימה
מעט מדי גרגרים אינם מהווים ערימה
אם x גרגרי חול אינם ערימה, לא ייתכן ש־x+1 הם ערימה
לפי עקרון השלישי הנמנע, הדבר יביא לכאורה לכך שניתקל בסתירה.
בדוגמת הצבעים, בקצה האחד ישנו צבע כחול, בקצה האחר ירוק - ובספקטרום ביניהם הגוונים הולכים ומתקרבים לצבע בצד השני.
בדומה לפרדוקס הערימה, גם כן הוצע פתרון לראות בחלק מהגוונים כלא קבועים, לעניין השאלה האם הם כחולים או ירוקים.
התכונה הזו מהווה דוגמה נגדית לעקרון השלישי הנמנע, באשר לא ניתן לומר כי אותם גוונים הם כחולים אך גם שהם אינם כאלה.
עֶקרון פארטו, הידוע גם בשם כלל 80-20, הוא כלל שנוסח על ידי הכלכלן האיטלקי וילפרדו פארטו, וגורס כי בתופעות רבות 80% מהפעילות מקורם ב-20% מהגורמים הפעילים.
במקור קבע הכלל כי 80% מהקרקעות נמצא בידי 20% מהאוכלוסייה.
הכלל מאפשר הבחנה בין הגורמים העיקריים (המהווים 20% מכלל הגורמים) לגורמים הטפלים (יתר 80% מהגורמים).
פארטו, שעסק בחקר פערים כלכליים, שם לב שכ-80% מהעושר באיטליה נמצאים בבעלות כ-20% מהאוכלוסייה.
חוק פארטו איננו מדויק, זהו כלל אצבע בלבד המצביע על תופעה של הצטברות גורמים.
חוק פארטו הוא מקרה פרטי של התפלגות פארטו.
עִיקרון זה בא לידי ביטוי בדוגמאות מתחומים מגוונים:
בעסק ממוצע, כ-20% מהלקוחות, מייצרים כ-80% מההכנסות.
80% מהבעיות נמצאות ב-20% מהגורמים.
80% מהכנסות המדינה ממסים מקורן מ-20% מהאוכלוסייה.
80% מזמן השירות ללקוחות נצרכים על ידי 20% מהלקוחות.
80% מההחלטות מתקבלות במשך 20% מישיבת ההנהלה (חוק פרקינסון מנסח זאת בצורה צינית יותר).
80% מתנועת הנתונים באינטרנט נובעת מ-20% מהדפים.
דוגמה ליישום העיקרון: כאשר אנו עוסקים בשימור לקוחות, נקדיש מאמץ גדול במיוחד לשימור הלקוחות שנמצאים בקבוצת 20% הלקוחות הגדולים.
הצלחה במאמץ זה פירושה שימור של 80% מההכנסות.
פארטו הבחין בעיקרון זה לראשונה בהקשר של עושר והכנסה.
הוא הבחין כי 80% מהעושר באיטליה היה נתון בידיהם של 20% מהאוכלוסייה.
בעקבות זאת, הוא בדק את המצב במדינות נוספות ולהפתעתו מצא כי ההתפלגות במדינות אלה דמתה לזו באיטליה.
בדו"ח של האו"ם שפורסם בשנת 1992, נמצא כי בין השנים 1960 ל-1989 המדינות עם 20% מהעשירים באוכלוסייה העולמית, הגדילו חלקם בתל"ג העולמי (Gross world product) מ-70.2% ל-82.7%.
לעומת זאת במדינות בהם נמצאים 20% מהעניים ביותר באוכלוסייה העולמית, חלקם בתל"ג העולמי ירד מ-2.3% ל-1.4%.
הווה אומר, שבדומה לעיקרון פארטו, נכון ל-1989, 20% מעשירי העולם שלטו בכ-80% מההכנסות.
לעקרון פארטו יישומים רבים בתחום בקרת איכות, הוא מהווה בסיס לתרשים פארטו הנפוץ בתחומי הניהול והבטחת איכות.
שימוש מקובל בתרשים כזה הוא הצגה, בסדר יורד לפי חומרתם, של הגורמים לבעיה.
כך קל לזהות את הגורמים התורמים ביותר להיווצרותה של הבעיה.
תרשים פארטו הוא אחד מהכלים החשובים במודלים שש סיגמה ותורת האילוצים.
עיקרון זה משמש קו מנחה לאנליזת ABC ולאנליזת XYZ, נעשה שימוש רחב בעיקרון זה בתחומי הלוגיסטיקה והרכש ביעילות תכנון המלאי ועלות חידושו.
עֶקרון שובך היונים או עֶקרון דיריכלה הוא עיקרון מתמטי הקובע כי אם פריטים מפוזרים בין תאים, אז בהכרח ישנו תא אחד לפחות המכיל יותר מפריט אחד.
באופן כללי יותר, כלל זה קובע כי אם פריטים מפוזרים בין תאים, אז בהכרח בלפחות תא אחד יימצאו לפחות פריטים, כלומר קיים תא שמספר הפריטים בו הוא לפחות כמו הממוצע.
עיקרון זה נוסח ככל הנראה לראשונה בצורה רשמית בשנת 1834 בידי המתמטיקאי הגרמני יוהאן דיריכלה.
לעיקרון טריוויאלי זה יש שימושים רבים בהוכחות בקומבינטוריקה ומדעי המחשב, ועל אף פשטותו, ניתן להוכיח באמצעותו תוצאות רבות, מעניינות ובלתי טריוויאליות כלל.
הרחבה למקרה האינסופי: אם יש אינסוף יונים, ומספר סופי של תאים בשובך לתוכם יש להכניס את אינסוף היונים, בהכרח בתא אחד לפחות יהיו אינסוף יונים.
הרחבה מקובלת נוספת: אם יש תאים בשובך שלתוכם יש להכניס יונים, אז בהכרח יישאר תא ריק אחד לפחות.
דוגמאות נוספות ליישומים של העיקרון:
בכל קבוצה בת שלושה עשר אנשים יהיו לפחות שני אנשים שנולדו באותו חודש.
יש במדינת ישראל לפחות שני אנשים עם אותו מספר שערות על ראשם; זאת מכיוון שמעריכים את מספר השערות האפשרי על ראשו של אדם בכמאה אלף, ואילו מספר התושבים במדינת ישראל הוא כמה מיליונים.
בדוגמה זו ישנו תא שובך לכל מספר שערות אפשרי, והיונים הם תושבי מדינת ישראל.
בכל תת-קבוצה של ערכים מתוך הקבוצה יש שני ערכים כך שאחד מהם מחלק את השני.
כדי לראות זאת, ניתן לכתוב כל מספר בקבוצה בצורה כש- הוא אי זוגי וקטן מ- ( מתקבל פשוט על ידי חלוקה חוזרת ונשנית של המספר ב-2 עד שמתקבל ערך אי זוגי).
יש רק n מספרים אי-זוגיים בין 1 ל-2n ולכן יש בקבוצה שני ערכים בעלי אותו חלק אי-זוגי m - ואחד מהם (זה שהחזקה של 2 עבורו היא קטנה יותר) בהכרח מחלק את השני.
דיריכלה עצמו השתמש בעיקרון כדי להוכיח כי כל מספר אי-רציונלי ניתן לקירוב דיופנטי מסדר שני (הוכחה).
נניח בשלילה כי חולקו פריטים בין תאים ושבכל התאים ישנם לכל היותר פריטים.
בעקבות הנחה זו, מספר הפריטים הכולל בתאים הוא לכל היותר .
סכום זה קטן מ- ולכן נגיע לסתירה.
עקב פשטותה של ההוכחה נעשה בה שימוש רב במחקר העוסק בסיבוכיות של מערכות הוכחה (Proof Complexity).
עקרון פֶרְמָה או עקרון הזמן המינימלי קובע כי בתנועתה בין שתי נקודות נתונות, עוברת קרן אור במסלול בו זמן תנועתה הוא הקצר ביותר, או בניסוח שקול: קרן האור תעבור במסלול בו הדרך האופטית היא הקצרה ביותר.
אורכה של הדרך האופטית שווה לאורך הדרך בפועל, כפול גורם השבירה של התווך דרכו עוברת הקרן.
העיקרון פורסם לראשונה על ידי פייר דה פרמה, כיוון שלא היה מרוצה מהתאוריה של דקארט עבור חוק השבירה של קרניים (חוק סנל), אולם הרעיון שהאור נע במסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות מצוי כבר אצל אוקלידס.
עקרון פרמה לא זכה להכרה בקרב הקהילה המדעית בתקופה שנוסח, אולם כיום הוא מייצג גישה בסיסית לניסוח של חוקי הפיזיקה.
בפרט מעיקרון זה ניתן להסיק את חוק ההחזרה ממראה (זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה) ואת חוק השבירה של קרני אור (חוק סנל) במעבר בין שני חומרים בעלי מקדמי שבירה שונים.
במקרים מסובכים יותר, למשל כאשר מקדם השבירה משתנה באופן הדרגתי במרחב, יש להשתמש בחשבון וריאציות כדי לחשב את מסלולי הקרניים.
אף שהקו הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא הקו הישר המחבר ביניהן, לא בהכרח זהו הקו שבו תעבור קרן אור את המרחק בין שתי הנקודות בזמן הקצר ביותר.
תוצאה זו נובעת מכך שמהירות האור תלויה בתווך שבו הוא עובר.
ניתן להמחיש זאת באמצעות דוגמה של מציל בחוף הים שצריך להגיע מסוכת המציל אל אדם שטובע בים בדרך המהירה ביותר.
ניתן להתייחס לעקרון פרמה כאל מקרה פרטי של עקרון המילטון.
תופעה מעניינת הנובעת מעקרון פרמה היא תנועת האור בסיב אופטי מסוג graded index, בו מקדם השבירה יורד ככל שמתרחקים מהציר המרכזי שלו (יורד לאורך עוביו).
בסיב זה האור לא נע כלל בקווים ישרים, אלא בתבנית הדומה לסינוס.
בניגוד לעקרון פרמה, לפי מכניקת הקוונטים המעבר של חלקיק בין שתי נקודות נתונות נעשה בו זמנית דרך כל המסלולים האפשריים, וההתאבכות של מסלולים אלו קובעת את הסתברות המעבר של החלקיק .
למרות זאת בגבול הסמיקלאסי, כלומר בגבול של אורך גל קצר, המסלולים בעלי המשקל הגבוה הם המסלולים הקרובים ביותר לאלו הנובעים מעקרון הפעולה המינימלית של המכניקה הקלאסית, שעקרון פרמה הוא מקרה פרטי שלו.
חוק סנל כמסקנה מעקרון פרמה
כאמור, אחת התוצאות החשובות של עקרון פרמה היא האפשרות להוכיח את חוק סנל.
נניח ממשק ליניארי בין שני חומרים בעלי מקדמי שבירה , וקרן אור עוברת מהתווך לתווך , החל מנקודה , דרך נקודה כלשהי על הממשק, אל נקודה .
נסמן את קואורדינטות הנקודות כך: , כלומר הנקודה O נמצאת על ישר עם משתנה.
מסלול הקרן מורכב משני קטעים ישרים, שאורך כל אחד מהם הוא:
נזכור שמקדם השבירה היא היחס בין מהירות האור בריק למהירות האור בחומר, כלומר .
מכאן, הזמן שייקח לקרן האור לעבור את המסלול כולו הוא:
על מנת למצוא את המסלול בו הקרן תעבור בזמן המינימלי, נגזור את הביטוי ונשווה לאפס.
נזכור שנקודות הן קבועות, והמשתנה היחיד הוא .
כלומר, קיבלנו את חוק סנל:
עקרון קרקהופס הוא עיקרון בקריפטוגרפיה שנוסח על ידי הקריפטוגרף ההולנדי אוגוסטֶה קרקהופס במאה ה־19 וקובע שמערכת להצפנה צריכה להיות בטוחה גם אם כל החלקים במערכת ידועים, פרט למפתח הסודי.
העיקרון נוסח שנית על ידי קלוד שאנון כ"האויב מכיר את המערכת".
רוב הקריפטוגרפים מקבלים עיקרון זה.
ניסוח נפוץ אחר לעיקרון הוא: "עמימות אינה בטיחות".
בכלכלה, עקרון התחלופה מבטא את נטיית הצרכן לשנות את הכמות אותה הוא צורך ממוצר מסוים, ולהחליפה בצריכת מוצר אחר כאשר מחיר המוצר הראשון משתנה.
לצורך פשטות הניתוח מניחים בדרך כלל שיש שני מוצרים.
לחלופין ניתן לדון במוצר אחד אל מול כל שאר המוצרים הקיימים.
אם לדוגמה המחיר של מצלמה מתייקר, ניתן לומר כי כל המוצרים האחרים הוזלו באופן יחסי למצלמה ולכן ייתכן שהצרכן יעדיף להקטין את צריכת המצלמות ולהגדיל את צריכת המוצרים האחרים.
היות שלשינוי במחיר של מוצר ישנה גם השפעה על ההכנסה הריאלית ומכך על הכמות הנצרכת מכל המוצרים, יש צורך לבודד את השפעת התחלופה על ידי ניכוי של העלייה בהכנסה הריאלית.
ישנם שני סוגים של פיצוי/ניכוי:
פיצוי/ניכוי על פי היקס פיצוי של הצרכן על עליית מחירים או ניכוי מהכנסתו לאחר ירידת מחירים על מנת להחזיר את הצרכן לתועלת ההתחלתית שלו לאחר שינוי המחירים.
פיצוי/ניכוי על פי סלוצקי (אנ) פיצוי של הצרכן על עליית מחירים או ניכוי מהכנסתו לאחר ירידת מחירים על מנת לאפשר לו לצרוך את סל מוצרי מצב המוצא לאחר שינוי המחירים (תועלת חדשה).
בתכנות מונחה-עצמים, עקרון פתיחות/סגירות הוא עיקרון בעיצוב תוכנה, הקובע כי על רכיב תוכנה להיות "פתוח" ו"סגור" בכל רגע נתון.
כלומר, הרכיב צריך לאפשר את הרחבתו (פתיחות) ובה-בעת לא לאפשר שינויים בו, מלבד דרך ההרחבות (סגירות).
אם נרצה להרחיב את הרכיב בפונקציונליות נוספת, נוכל לעשות זאת ללא שום שינוי ברכיב עצמו.
שמירה על עיקרון זה מבטיחה פיתוח יעיל הלוקח בחשבון תוספות עתידיות.
לדוגמה, על מנת לממש את העיקרון ברמת המחלקה, יש להשתמש בהפשטה (אבסטרקציה) ופולימורפיזם.
בניגוד למצב הקלאסי שבו קוד חדש יכול להשתמש בקוד ישן, פולימורפיזם מאפשר גם לקוד ישן להשתמש בקוד חדש, ובאופן כללי יותר פולימורפיזם מאפשר להרחיב את הקוד הישן.
המונח "עקרון פתיחות/סגירות" הופיע לראשונה בספרו של ברטרנד מאייר "Object-Oriented Software Construction", משנת 1988.
מודול תכנה יחשב לפתוח אם הוא עדיין זמין להרחבה.
לדוגמה, צריך להיות אפשרי להוסיף שדות למבני הנתונים שהוא מכיל, או אלמנטים חדשים למכלול הפונקציות שהוא מבצע.
מודול תכנה יחשב לסגור אם הוא זמין לשימוש על ידי מודולים אחרים, ובהנחה שהמודול קיבל תיאור מוגדר היטב ויציב (באמצעות ממשק נכון והסתרת מידע).
בתקופה שבה מאייר כתב את הספר, הוספת שדות או פונקציות לספריית תכנה דרשה בהכרח שינויים בתוכנות שהסתמכו על ספרייה זו.
מאייר הציע פתרון לסוגיה זו בהסתמך על הרעיון של ירושה בתכנות מונחה-עצמים.
במהלך שנות ה-90, עקרון ה"פתיחות/סגירות" הוגדר מחדש באופן מקובל ביחס לשימוש בממשקים מופשטים, שבהם ניתן לשנות את המימושים וליצור באופן פולימורפי מימושים תחליפיים.
בניגוד להגדרה של מאייר, הגדרה זו דוגלת בירושה ממחלקות בסיס מופשטות.
ניתן לעשות שימוש חוזר במפרטי ממשק באמצעות ירושה אך לא רצוי לעשות שימוש חוזר במימוש.
הממשק הקיים סגור לשינויים והטמעות חדשות חייבות, לכל הפחות, ליישם את הממשק הזה.