tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
נימוק זה תקף רק אם (s(p אינו שווה בעצמו ל q, כיוון שהטלה סטריאוגרפית אינה מוגדרת עבור מרכז ההטלה עצמו.
לסכום, או שקיימת p כך ש s(p)=p או שקיימת p כך ש s(p)=q.
אי-היתכנות של קורן איזוטרופי קוהרנטי
אי-ההיתכנות של קורן איזוטרופי קוהרנטי - מקור הקורן קרינה אלקטרומגנטית באופן אחיד לכל הכיוונים במרחב ובאותה פאזה - מוסברת לעיתים קרובות בעזרת משפט הכדור השעיר.
הסיבה לכך היא שהשדה החשמלי (והמגנטי) של גלים אלקטרומגנטיים תמיד ניצב לכיוון התקדמותם, כך שהשדה החשמלי חייב להימצא במישור המשיק לחזית הגל הספירית שהמקור יוצר, ולהשתנות ברציפות על פני הספירה.
משפט הכדור השעיר מראה אז שהשדה החשמלי חייב להתאפס בנקודה אחת או יותר על פני הספירה, מה שאינו עקבי עם ההנחה של קיום קורן איזוטרופי.
משפט המושבעים של קונדורסה , עוסק בהסתברות לקבלת החלטה נכונה על ידי קבוצת אנשים.
המשפט הוצע על ידי המרקיז דה קונדורסה.
המרקיז דה קונדורסה טען כי הצבעה על פי רוב פשוט תביא להסתברות הגבוהה ביותר להגיע להחלטה הנכונה, תחת ההנחות הבאות:
ההחלטה היא דיכוטומית, כלומר קיימות שתי אלטרנטיבות הצבעה בלבד (לדוגמה או ).
צוות המורכב מקבוצה של אנשים בעלי מטרה משותפת.
סיכויי כל אחד מהפרטים להגיע להחלטה הנכונה גדולים מ־, כלומר (נאמר שכישורי הפרט הם ).
אי תלות בקבלת ההחלטות - החלטת פרט אחד אינה משפיעה על החלטת הפרט האחר.
נגדיר וקטור כישורים וגם וקטור החלטות של הפרטים .
בהתבסס על ההנחות שהוזכרו לעיל ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה על פי רוב גבוהה יותר מההסתברות להגיע להחלטה הנכונה על ידי פרט בודד.
אם כך, כאשר מספר האנשים בצוות שואף לאינסוף, ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה שואפת ל-.
הערה: המשפט מעניק בסיס תאורטי מסוים לקיום דמוקרטיה, בה החלטות נקבעות על ידי רוב.
יחד עם זאת, נכונות המשפט מסתמכת על ארבע הנחות בסיסיות שאינן בהכרח מתקיימות במציאות.
נניח 3 פרטים עם כישורים זהים.
אם ההחלטה מתקבלת לפי פרט אחד, ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה היא .
אם ההחלטה מתקבלת לפי רוב פשוט אז ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה היא , כאשר מציג את המצב ששלושתם צודקים ו - מציג את המצב שאחד טועה ושניים צודקים.
בגלל ש לכל , כלל החלטה של רוב פשוט עדיף על פני החלטה של פרט אחד.
במאמר משנת 1982, בחנו החוקרים שמואל ניצן ויעקב פרוש מצב בו ההנחה כי כל הפרטים זהים בכישוריהם אינה מתקיימת.
פרוש וניצן טענו כי במצב זה משפט ההחלטה האופטימלי הוא כלל רוב משוקלל שבו כל אחד מהפרטים מקבל משקל שונה בהתאם לכישורים שלו והמשקולות נקבעות לפי וההחלטה מתקבלת לפי כאשר זו פונקציית הסימן.
מספר האופציות לווקטורי החלטה שונים עומד על ומספר אופציות לפונקציית ההחלטה האפשריות הוא .
ככל שמספר הפריטים גדול יותר, כך מספר וקטורי החלטה ומספר האפשרויות לפונקציית החלטה גבוהים יותר.
כללי ההחלטה האופטימליים (שאיתם מגיעים להסתברות הגבוהה ביותר להחלטה נכונה) יכולים להיקבע לפי החלטת הפרט בעל הכישורים הגבוהים ביותר בלבד (מומחה), מומחה וסגן, מומחה ושני סגנים, רוב פשוט וכו'.
בדוגמה הנ"ל ניתן לראות את ההחלטה המתקבלת בשלושה פרטים לפי כלל רוב פשוט ולפי החלטת פרט אחד.
לכן, במצב של שלושה פרטים, יש שמונה אופציות לווקטורי החלטה שונים () ו-256 אופציות לפונקציות החלטה שונות ().
לצורך המחשה נתייחס לדוגמה הבאה:
מצב בו יש שלושה פרטים השונים בכישוריהם ומטרתם זהה.
קיימים שני כללי החלטה אפשריים - לפי המומחה בלבד או לפי רוב פשוט.
על מנת להכריע מהו הכלל האופטימלי ניעזר במשוואה הבאה:
אם הביטוי הנ"ל מתקיים, כלל ההחלטה האופטימלי הוא רוב פשוט.
כלומר, ההסתברות להגיע להחלטה הנכונה גבוהה יותר לפי רוב פשוט על פני מומחה בלבד.
בנוסף, ניתן להגיע לכלל האופטימלי בעזרת כלל רוב משוקלל.
נניח כישורים שונים לכל פרט.
אם שני הפרטים עם הכישורים הנמוכים יותר מחליטים ההפך מהחלטת הפרט ה"מומחה", נניח
נקבל שהפונקציה חיובית, כלומר כלל מומחה עדיף על פני כלל רוב פשוט.
לא משנה מה יחליטו שני הפרטים הפחות כישרוניים, ההחלטה תתקבל לפי הפרט הראשון בלבד.
הערה: ניתן לראות כי המשקל של פרט שכישוריו קטנים מ, יהיה שלילי (כי ).
כלומר עדיף לעשות הפוך ממה שהוא אומר, זה מסביר למה משפט קונדורסה נכון רק בהנחה שכישורי כל הפרטים גדולים מ.
במכניקת הזורמים, משפט הלמהולץ הוא סט של משפטים הנוגעים לתנועתם של קווי ערבול (ראה הגדרה בהמשך) בתלת מימד עבור זורם לא דחיס ללא צמיגות שלא מופעלים עליו כוחות סיבוביים.
המשפטים הוכחו על ידי הרמן פון הלמהולץ בשנת 1858 וקרויים על שמו.
זרימה שבראשית תנועתה לא מכילה ערבוליות, תישאר חופשייה מערבוליות במשך כל התנועה.
אלמנטי זורם שהיו חלק מקו ערבול ברגע מסוים בזרימה, יישארו על קו ערבול למשך כל הזרימה.
במילים אחרות, קווי ערבול זזים ביחד עם הזורם.
החוזק של צינור ערבול הנקבעת על ידי אינטגל שטחי של הערבוליות בחתך של הצינור, איננו תלוי בחתך שנבחר ואיננה תלויה בזמן.
לעיתים מוסיפים למשפטים אלו משפט נוסף הקובע:
קו ערבול לא יכול להתחיל או להסתיים בזורם.
כלומר, קו ערבול חייב להתחיל בשפה או ליצור לולאה.
משפטי הלמהולץ נובעים בפשטות ממשפט הסירקולציה של קלווין.
מבחינה היסטורית, הלמהולץ פרסם את תוצאותיו תשע שנים לפני קלווין והשתמש בשיטה אחרת להוכיחם.
קווי ערבול, צינורות ערבול ומשטחי ערבול
באופן דומה להגדרת קווי זרם, ניתן להגדיר קווי ערבול כקווים עבורם ברגע מסוים הקו מקביל לווקטור הערבוליות .
בדומה לקווי זרם ניתן לקבל שקו הערבול מקיים את המשוואה:
אוסף קווי הערבול שעוברים דרך לולאה סגורה פשוטה מגדיר צינור ערבול .
משטח ערבול הוא משטח עבורו הערבוליות משיקה למשטח בכל נקודה.
כל קו ערבול ניתן להצגה כחיתוך בין שני משטחי ערבול.
ההוכחות המובעות בסעיף זה מבוססות על משפט הסירקולציה של קלווין.
מבחינה היסטורית ניתן להוכיח את משפטי הלמהולץ ללא שימוש במשפט הסירקולציה.
נסתכל במשטח פשוט מסוים בזמן הסירקולציה מסביב ללולאה המקיפה את המשטח מקיימת:
כאשר המעבר הראשון מתבצע בעזרת חוק סטוקס והשני נובע מכך שהזורם חסר ערבוליות.
לפי משפט קלווין, הסירקולציה עבור כל לולאת זורם קבועה, ולכן בכל זמן מאוחר מתקיים שהסירקולציה עבור הלולאה שהתקדמה עם הזורם מתאפסת, לפיכך על פי חוק סטוקס האינטגרל המשטחי על המשטח מתאפס.
מאחר שהטיעון הנל נכון לכל משטח בהכרח מתקיים לכל נקודה במרחב.
נסתכל במשטח פשוט מסוים המהווה חלק ממשטח ערבול בזמן הסירקולציה מסביב ללולאה המקיפה את המשטח מקיימת:
כאשר המעבר הראשון מתבצע בעזרת חוק סטוקס והשני נובע מכך שהמשטח הוא משטח ערבול ובפרט מקיים .
כל קו ערבול ניתן להצגה כחיתוך של שני משטחי ערבול, ניתן לחזור על הטיעון הנל עבור משטח ערבול שני, המכיל את קו הערבול.
לפיכך נקבל שבכל זמן מאוחר קו הערבול המתקדם בזמן מהווה חיתוך של שני משטחי ערבול, ולפיכך הוא קו ערבול.
חוזק של צינור ערבול נתון על ידי:
כאשר הוא חתך לרוחב צינור הערבול.
החלק הראשון של המשפט השלישי קובע כי החזק קבוע לאורך אורכו ואינו תלוי בחתך שנבחר.
כדי להוכיח את החלק הזה נסתכל על האינטגרל הניפחי של דיברגנץ הערבוליות עבור הנפח החסום בין דפנות הצינור (נסמן ) ושני חתכים שונים לאורך הצינור (נסמן ו- ) .
מצד שני על פי משפט הדיברגנץ מתקיים:
הוא חלק מדפנות הצינור, כלומר הוא איחוד של קווי ערבול ולכן מתקיים עבורו ולכן נקבל ש-
(החלפת הסימן נובעת מהכיוון בו מגדירים את הנורמל.
בשימוש משפט הדיברגנץ הנורמל הוגדר כיוצא אל מחוץ לנפח, ולכן כיוון הנורמל למשטח מנוגד לכיוון הנורמל ל-, בהגדרת חוזק המערבולת נרצה שכיוון הנורמל של שני המשטחים דומה)
החלק השני של המשפט קובע שחוזק צינור הערבול קבוע לאורך הזמן.
חלק זה מוכח על ידי שימוש במשפט הסירקולציה.
לפי משפט סטוקס חוזק הצינור מקיים:
לפי משפט הסירקולציה הגודל הזה אינו תלוי בזמן.
למשפט הלמהולץ שימושים רבים בהבנה ובתיאור של מערבולות, בפרט המשפט מאפשר להבין התפתחות של מערבולת קצה כנף, תנועה של טורנדו, ודעיכה של המערבולות הנוצרות לאחר ערבוב של כוס תה.
המשפט גם מסביר את התפתחותם של טבעות מערבולת.
משפט המו"לים הוא הסכת מבית העיתון העין השביעית.
ההסכת מוגש על ידי שוקי טאוסיג ואורן פרסיקו.
השידור הראשון של ההסכת התקיים בשבוע ההוכחות הראשון במשפט נתניהו ומאז ברצף, למעט שתי פגרות קיץ קצרות.
מדי שבוע משודרת מהדורה אודות השבוע הקודם, במטרה להנגיש לקהל שפחות מתחבר לכתבות ארוכות את מה שקורה בבית המשפט.
עיקר עיסוקו של ההסכת הוא מה שמתגלה במהלך המשפט ביחס לכלי התקשורת - עיתונות, רדיו, טלוויזיה, רשתות חברתיות.
עיקר העיסוק של הסכת משפט המו"לים הוא באתיקה עיתונאית.
לאורך עשרות פרקים דנים המגישים בהתנהלות של אתר וואלה ושל אתרי חדשות ישראלים נוספים בין השנים 2010-2018.
דוגמה להתנהלות לא אתית כפי שהיא מובאת בתוכנית סדר יום עם קרן נויבך, נלקחת מתוך התכתובת בטלפון של מנכ"ל וואלה באותה תקופה, אילן ישועה: כתב התקשורת של גלובס קיבל הכחשה מישועה בקשר לידיעה שהוא התכוון לפרסם בעיתונו.
הוא פנה אל מנכ"ל העיתון שבו הוא עובד - גלובס - כדי להתייעץ בנושא.
מתוך התכתובת שנחשפה במשפט מסתבר שמנכ"ל גלובס פנה גם הוא אל ישועה, מנכ"ל האתר המתחרה - וואלה - כדי לתאם עמדות איך להטעות את אותו כתב תקשורת.
משך כל מהדורה הוא כשעה.
פרקים 1–15 מתחילים כולם באותה הכרזה: "השנה היא 2021. חמש שנים אחרי שנפתחת החקירה מגיע שלב העדויות במשפט השוחד, מרמה והפרת אמונים של ראש הממשלה נתניהו והמו"לים אלוביץ' ומוזס.
על ספסל הנאשמים ניצבת העיתונות הישראלית, הבוסים הרעילים שלה והקשרים המושחתים שלהם עם השלטון.
דרך העדויות שבמשפט נספר כאן מדי שבוע את סיפורם."
מפרק 16 כל הפרקים מתחילים בהכרזה: "בחמישה באפריל 2021 באולם בית המשפט המחוזי בירושלים החל שלב העדויות במשפט המו"לים, משפט השחיתות התקשורתית החשוב ביותר בתולדות המדינה.
מאז ממשיכות העדויות במשפט לחשוף כיצד ברוני העיתונות הישראלים מספסרים בעיתונאים, בהיסטוריה ובציבור, כדי לצבור עוד כסף ועוד כוח.
במהלך כל פרק דנים המגישים באירועי השבוע הקודם במשפט נתניהו ומפרשים את ההקשר הרחב של הדברים מבחינת כלי התקשורת בישראל.
ברבים מהפרקים מתארחים מומחים בתחומים הנוגעים לעניינים שנדונו במשפט.
ההסכת מלווה בציטוטים מומחזים מתוך העדויות.
הרבה מההמחזות כוללות קטעים מדומיינים.
אף כי הדיון מקצועי ומעמיק, רוח הדברים הומוריסטית ואפילו צינית.
משפט הלדר הוא משפט בתורת החבורות הסופיות.
המשפט קובע שכל חבורה מסדר שהוא מכפלה של שלושה מספרים ראשוניים (לאו
דווקא שונים) או פחות היא חבורה פתירה.
המשפט הוכח על-ידי אוטו הלדר בשנת 1893.
הוכחת המשפט מתבססת על משפטי סילו.
המשפט הוא אחת הדוגמאות הראשונות לשימוש במשפטי סילו.
ניסוח שקול למשפט הלדר הוא שכל חבורה לא ציקלית מסדר שהוא מכפלה של שלושה מספרים ראשוניים (לאו דווקא שונים) או פחות איננה פשוטה.
הניסוח הראשון גורר את השקול
תהי חבורה מסדר שהוא מכפלה של שלושה ראשוניים או פחות.
מכיוון ש לא ציקלית זה גורר ש
אינה חבורה פשוטה כי כל חבורה פשוטה ופתירה היא חבורה ציקלית.
הניסוח השקול גורר את הראשון
נוכיח באינדוקציה על שכל חבורה מסדר מקיימת את הניסוח הראשון.
הנחת האינדוקציה היא שלכל חבורה מסדר קטן מ-, אם הסדר שלה הוא מכפלה של עד שלושה ראשוניים, אז היא פתירה.
נוכיח שאם מכפלה של עד שלושה ראשוניים שונים אז כל החבורות מסדר פתירות.
אם ציקלית אז היא פתירה, ואם היא לא ציקלית אז לפי הניסוח השקול אינה פשוטה, לכן היא הרחבה של שתי חבורות.
נסמן אותן ב- ו- (זאת אומרת ש - היא תת-חבורה נורמלית ב - ו - ).
הסדרים של ו- מחלקים את .
ולכן הם מכפלות של עד שלושה ראשוניים.
נקבל לפי הנחת האינדוקציה שהחבורות ו- פתירות.
לכן פתירה כי היא הרחבה של חבורות פתירות.
סדר החבורה הוא חזקה של מספר ראשוני
סדר החבורה הוא מכפלה של שני ראשוניים שונים
סדר החבורה הוא מכפלה של מספר ראשוני וריבוע של מספר ראשוני אחר
סדר החבורה הוא מכפלה של שלושה ראשוניים שונים
ביתר המקרים ההוכחה בתבססת על שני הרעיונות הבאים:
שימוש במשפטי סילו: לפי המשפט הראשון של סילו יש לחבורה תת-חבורת -סילו עבור כל מחלק ראשוני של הסדר שלה.
אנו רוצים להוכיח שעבור אחד המחלקים, מספר חבורות הסילו הוא אחד.
יתר משפטי סילו מספקים מידע רב על הערכים האפשריים של מספרים אלו.
בחלק מהמקרים די בכך כדי להוכיח את המשפט.
אם לא, מניחים בשלילה שעבור כל מחלק ראשוני של סדר החבורה יש יותר מחבורת - סילו אחת.
המגבלות שהוזכרו מעלה גוררות שבמקרה כזה מספר חבורות ה - - סילו גדול למדי.
ספירת איברים מסדרים שונים: כעת שמים לב שבכל חבורת - סילו כל האיברים הם מסדר שהוא חזקה של .
יתר על כן, החיתוך של שתי חבורות - סילו שונות לא יכול להית גדול מדי (בגלל שהוא תת-חבורה בכל אחת מהן).
לכן ניתן להשתמש בנוסחת ההכלה וההדחה על מנת לקבל חסם מלרע למספר האיברים שסידרם הוא חזקה (לא טריוויאלית) של במונחים של החסם מלרע על מספר חבורות ה - - סילו.
כעת מסכמים חסמים אלה עבור כל המחלקים הראשוניים של החבורה.
עבודה מספיק מדויקת מספקת חסם מלרע למספר איברי החבורה שגדול ממספר איברי החבורה.
הוכחה במקרה שסדר החבורה הוא חזקה של מספר ראשוני
במקרה זה החבורה היא חבורת p ולכן פתירה.
הוכחה במקרה שסדר החבורה הוא מכפלה של שני ראשוניים שונים
נסמן את החבורה ב- ואת הראשוניים ב- ו-.
נניח בלי הגבלת הכלליות ש-.
לפי משפט סילו הראשון ל- יש תת חבורה מסדר .
לפי המשפט השלישי של סילו ל- מספר תתי חבורות מסדר הוא שקול לאחת מודולו .
סילו שווה לאינדקס של המנרמל של החבורה ב- והוא מחלק את .
נקבל שיש לא יותר מ- תתי חבורות מסדר .
ומכיוון ש- נקבל של- יש בדיוק תת-חבורה אחת מסדר .
לכן החבורת סילו היא תת חבורה נורמלית של .
הוכחה במקרה שסדר החבורה הוא מכפלה של מספר ראשוני וריבוע של מספר ראשוני אחר
נסמן את החבורה ב- ואת הראשוניים ב- ו- כך ש-.
אם אז בצורה דומה למקרה הקודם אפשר להוכיח ש- אינה פשוטה.
מספר תת-חבורות הסילו של החבורה
אם אז לפי משפט סילו הראשון ל- יש תת-חבורה -סילו ותת חבורה סילו.
-סילו שווה לאינדקס של המנרמל של החבורה ב- והוא מחלק את .
מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה -סילו שווה לאינדקס של המנרמל של החבורה ב- והוא מחלק את .
לפי משפט סילו השלישי מספר תתי החבורת -סילו שקול לאחת מודולו .
ומכיוון ש- ו- נקבל שמספר תתי החבורות -סילו אינו שווה ל-, לכן הוא או 1 או (כי הוא מחלק את).
באופן דומה מספר חבורות -סילו הוא או 1 או .
ספירת איברי החבורה והגעה לסתירה
נניח בשלילה שיש יותר מתת חבורת סילו אחת, ויותר מתת חבורת סילו אחת.
לכן יש חבורות סילו, ו- חבורות סילו.
הערכת גודל האיחוד של תתי-חבורות -סילו.
החבורות סילו הן ציקליות כי הן מסדר ראשוני.
אם בחיתוך של שתי תתי חבורות ציקליות יש לפחות שני איברים, אז לחבורות האלה יש איבר משותף שהוא לא איבר היחידה, נקבל שהאיבר המשותף הוא יוצר שלהן לכן החבורות הללו זהות.
נקבל שהגודל של האיחוד של החבורות סילו הוא
יש לפחות שתי חבורות סילו שונות.
לכן הגודל של האיחוד שלהם הוא לפחות .
אין אף איבר ב- חוץ מאיבר היחדה, שהסדר שלו מחלק גם את וגם את .
לכן החיתוך בין שני האיחודים הוא בגודל אחד.
לכן הגודל של האיחוד של האיחודים הוא לפחות מצד שני איחוד זה מוכל ב- לכן הגודל של האיחוד של האיחודים אינו עלו על הסדר של .
מסתירה זו נובע כי יש תת-חבורת סילו יחידה עבור לפחות אחד מהמחלקים הראשוניים של הסדר של .
הוכחה במקרה שסדר החבורה הוא מכפלה של שלושה ראשוניים שונים
ההוכחה דומה יחסית למקרה הקודם ומתבססת על אותם הרעיונות אך מסובכת יותר.
משפט הלדר הדוק במובן הבא:
קייומת חבורות פשוטות שסידרן הוא מכפלה של 4 מספרים ראשוניים.
למעשה החבורה הפשוטה הקטנה ביותר היא מסדר
מצד שני, אם מגבלים את הראשוניים המחלקים את סדר החבורה, אז ניתן להוכיח הגבלות חזקות בהרבה על הסדר של חבורת לא פתירות.
כמו למשל משפט ברנסיד ומשפט פייט תומפסון.
למעשה, לפי משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות הסדר של חבורה פשוטה מוגבל ביותר.
משפט הלדר הוכח בשנת 1893 על ידי אוטו הלדר והיה אחד הצעדים הראשונים בהוכחת משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות.
שנה לפני שהוכיח את המשפט, מיין הלדר את כל החבורות הפשוטות עד סדר 200. מיון זה התבסס על אותם רעיונות כמו הוכחת המשפט.
לאחר מכן הלדר השתמש ברעיונות אלה כדי להוכיח את המשפט.
בדיעבד ניתן להוכיח בקלות יחסית, באמצעות משפט הלדר, שכל חבורה בגודל פחות משישים פתירה.
למעשה טענה זו נובעת מידית ממשפט הלדר ביחד עם משפט ברנסיד שהוכח שנים רבות מאוחר יותר.
במכניקת הקוונטים, משפט הלמן-פיינמן קושר בין הנגזרת של האנרגיה הכוללת ביחס לפרמטר מסוים לבין ערך התצפית של נגזרת ההמילטוניאן ביחס לאותו פרמטר.
הוא הוכח באופן בלתי תלוי על ידי כמה פיזיקאים, ביניהם פול גוטינגר(1932), וולפגנג פאולי (1933), הנס הלמן (1937) וריצ'רד פיינמן (1939).
הוא אופרטור ההמילטוניאן ההרמיטי, התלוי בפרמטר רציף ,
היא מצב עצמי (פונקציה עצמית של ההמילטוניאן), התלויה ב-,
היא האנרגיה (ערך עצמי) של המצב , כלומר מתקיים .
ההוכחה של משפט הלמן-פיינמן נשענת על הדרישה שפונקציית הגל תהיה פונקציה עצמית של המילטוניאן הייחוס.
ההוכחה עושה שימוש גם בזהות בסיסית על פונקציות גל מנורמלות - הנגזרות של המכפלה הפנימית של פונקציית הגל עם עצמה חייבות להיות אפס.
בסימון ברה-קט של דיראק שני תנאים אלו נכתבים כך:
ההוכחה נובעת אז מיידית דרך יישום של כלל המכפלה לנגזרות לערך התצפית של ההימלטוניאן כפונקציה של :
חישוב ערכי תצפית באטום המימן
יישום חשוב למשפט הלמן-פיינמן כרוך בהתייחסות לפרמטר קבוע או בדיד כאל פרמטר רציף לצורך חישוב פורמלי של נגזרות.
פרמטרים אפשריים הם קבועים פיזיקליים או מספרים קוונטיים בדידים.
לדוגמה, משוואת שרדינגר הרדיאלית לאלקטרון באטום דמוי מימן היא
והוא תלוי במספר הקוונטי הזוויתי הבדיד , הקשור לתנע הזוויתי של האלקטרון.
התייחסות פורמלית ל- כאל פרמטר רציף מאפשרת לחשב את הנגזרת של ההמילטוניאן לפיו:
משפט הלמן-פיינמן מאפשר לחשב כעת את ערך התצפית של בעבור אטומים דמויי מימן:
כדי לחשב פורמלית את נגזרת האנרגיה, חייב להיות קשר מסוים בין ל-.
המספרים הקוונטיים הללו הם באופן כללי בלתי תלויים, אבל בחישוב כאן השינויים האינפיניטסימליים בהם חייבים לשמור על המצב העצמי המשותף שהם מציינים, ולפיכך לשמור על מספר הצמתים בחלק הרדיאלי של פונקציית הגל קבוע.
מספר הצמתים בפונקציית הגל הרדיאלית הוא , ולפיכך .
ערכי התצפית ו- (את האחרון ניתן לקבוע בקלות באמצעות המשפט הויריאלי) משמשים מקרה בסיס עבור יחס קרמרס (Kramers's Relation), שמאפשר לקבוע את כל ערכי התצפית מהצורה של האלקטרון באטום דמוי מימן עבור ערכים שלמים של .
יחס זה חשוב מאוד לחישוב תיקונים הפרעתיים לספקטרום אטום המימן.
בפרט, קביעת ערך התצפית מאפשרת לכמת את האפקט של אינטראקציית ספין-מסילה, שבתורו מהווה חלק מהותי בחישוב פיצול המבנה הדק.
משפט 90 של הילברט הוא משפט בתורת השדות.
המשפט הופיע בספרו של דוד הילברט Zahlbericht (דו"ח המספרים) כמשפט מספר 90, אך הוא הוכח לראשונה ע"י ארנסט קומר.
תהי הרחבת גלואה ציקלית, כלומר חבורה ציקלית, ויהי איבר בעל נורמה 1, אזי קיים כך ש.
קיים גם משפט מקביל חיבורי: אם איבר המקיים אזי קיים כך ש.
אפשר לתאר את המשפט בניסוח של קוהומולוגיה של חבורות: הקוהומולוגיה הראשונה של חבורת גלואה עם מקדמים בחבורה הכפלית של השדה היא טריוויאלית.
כאשר הוא הסדר של חבורת גלואה.
ממשפט של דדקינד האוטומורפיזמים בחבורת גלואה הם בלתי תלויים ליניארית, לכן נוכל לבחור כך שהביטוי יהיה שונה מ.
בטריגונומטריה, משפט הסינוסים קובע כי היחס בין אורך צלע במשולש כללי לבין סינוס הזווית שמולה, שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש: אם a,b,c הם אורכי הצלעות ו- הזויות שמולן, בהתאמה, אז כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם.
גובה המשולש המסומן ב - ניתן להצגה באופן הבא:
מאחר שזה נכון ל-2 זוויות שנבחרו באופן שרירותי, זה נכון לכל זוג זוויות במשולש.
כאשר המשולש קהה-זווית, תהליך ההוכחה כולל שלב ביניים לפי הזווית המשלימה לזווית הקהה ולאחר מכן חוזרים לזווית הקהה עצמה על פי הזהות .
כאשר המשולש ישר-זווית המשפט הוא פשוט הגדרת הסינוס.
אם מרכז המעגל החוסם הוא O, נמשיך את BO עד שהוא נפגש עם המעגל ונקרא לנקודת החיתוך D.
(זווית ההיקפית BCD היא בת 90 מעלות בגלל שהיא נשענת על קוטרו של המעגל).
נסמן ב - את הזווית CDB ואז
אבל זווית שווה לזווית כי הן נשענות על אותה קשת, לכן
נשים לב שמהחלק השני של ההוכחה נובע בנקל החלק הראשון של הטענה
שכן הבחירה בצלע a ובזווית שמולה הייתה שרירותית ויכולנו באותה מידה לבחור בצלע b ובזווית שמולה .
בתורת המשחקים, משפט המינימקס העוסק במשחק סכום אפס סופי לשני שחקנים, אומר כי לכל משחק מסוג זה קיימת דרך פעולה אופטימלית לשחק מבחינת שני השחקנים, כך שהרווח המינימלי של כל אחד אינו תלוי במעשי השני.
המשפט הוכח בשנת 1928 על ידי ג'ון פון נוימן.
משפט המינימקס נקרא כך כיוון שכל שחקן שואף למקסם את התשלום המינימלי (ומכאן מינימקס) שהוא יכול לקבל מהמשחק, או למזער את ההפסד המקסימלי.
ניסוח יותר מדויק במונחי תורת המשחקים של משפט המינימקס הוא כי לכל משחק סכום אפס סופי לשני שחקנים קיים ערך.
כל שחקן יכול להבטיח לעצמו לזכות לפחות בערך המשחק, כנגד כל אסטרטגיה של השחקן השני.
ניתן לחשוב כי תוצאה זו היא טריוויאלית, כיוון שממילא כל שחקן יכול להבטיח לקבל לפחות את התשלום המינימלי האפשרי, אך משפט המינימקס טוען יותר מכך: אחת התוצאות המפתיעות של משפט המינימקס הוא כי ערך המשחק שווה לשני השחקנים.
כלומר, קיים ערך v, כך ששחקן 1 יכול להבטיח לעצמו להרוויח לפחות v, כנגד כל אסטרטגיה של שחקן 2, ושחקן 2 יכול להבטיח לעצמו לא להפסיד יותר מ-v, כנגד כל אסטרטגיה של שחקן 1.
חשוב להבין כי דרך הפעולה האופטימלית לכל אחד מהשחקנים אינה בהכרח בחירה באחת האסטרטגיות שלו (הנקראות לעיתים תכסיסים), אלא ביצוע הגרלה בין מספר אסטרטגיות, כאשר החשיבות היא על המשקל שנותנים לכל אחת מהבחירות בהגרלה זו.
אם לא מאפשרים לשחקנים לבצע הגרלות המשפט לא תקף, והערך שכל שחקן יכול להבטיח לעצמו שונה.
למשל, במשחק "זוג או פרט", אין לאף שחקן דרך אופטימלית לשחק שאינה כוללת הגרלה - שכן השאלה מה עדיף לו לבחור, זוג או פרט, תלויה לחלוטין בבחירה של היריב.
לעומת זאת התכסיס האופטימלי של כל שחקן הוא זה שבו הוא נותן הסתברות שווה לכל אחת מהאפשרויות.
במצב זה תוחלת הרווח של כל שחקן מהמשחק תהיה 0 - כי הוא יפסיד בחצי מהפעמים, וינצח בחצי מהפעמים (כאשר משחקים משחק רב של פעמים).
על כן המשחק הוא כזה שבו אף שחקן לא יכול להרוויח, בטווח הרחוק.
ניתן להראות שכל משחק סימטרי באופיו (מבחינה זו שאם יחליפו את מקומות השחקנים, הסיכויים שלהם לזכות יישארו זהים) הוא בעל ערך 0.
תכסיס/אסטרטגיה הכוללת הגרלה בין מספר תכסיסים נקרא תכסיס מעורב.
תכסיס/אסטרטגיה ללא הגרלות נקרא גם תכסיס טהור.
תהי מטריצה מסדר המייצגת את התשלומים של שחקן העמודות לשחקן השורות במשחק סכום אפס.
אזי קיים קבוע , ושני וקטורי הסתברות
לכל מתקיים (כששחקן השורות משחק , לכל אסטרטגיה טהורה של שחקן העמודות, התשלום גדול או שווה לערך)
לכל מתקיים (כששחקן העמודות משחק , לכל אסטרטגיה טהורה של שחקן השורות, התשלום קטן או שווה לערך)
הנקרא הערך של המשחק, והווקטורים נקראים אסטרטגיות אופטימליות.
המשפט אומר כי כאשר אחד השחקנים משחק באסטרטגיה אופטימלית, הוא מבטיח לעצמו את ערך המשחק נגד כל אסטרטגיה טהורה של היריב.
עם זאת, קל להכליל את המשפט לכך שכאשר שחקן משחק באסטרטגיה אופטימלית, הוא מבטיח לעצמו את ערך המשחק גם נגד אסטרטגיות מעורבות של היריב.
קיים למשפט ניסוח חשוב נוסף, המתווה אלגוריתם למציאת האסטרטגיות האופטימליות.
נסמן ב את הסימפלקס ה-n ממדי, שהוא קבוצת האסטרטגיות של שחקן העמודות, ובאופן דומה את הסימפלקס ה-m ממדי שהוא קבוצת האסטרטגיות של שחקן השורות.
בנוסף, נסמן את פונקציית התשלום על ידי .
ניסוח זה של המשפט הוא שהקנה לו את השם "משפט המינימקס".
ניסוח זה הוא אף יותר שימושי, כיוון שהוא מאפשר למצוא את ערך המשחק.
הערך מתקבל על ידי כך ששחקן השורות ממקסם את הרווח המינימלי שהוא יכול לקבל מכל אחת מהאסטרטגיות של שחקן העמודות (האגף השמאלי בשיווין).
המשפט אומר כי אותו הערך מתקבל כאשר שחקן העמודות ממזער את הערך המקסימלי שהוא מפסיד על כל אחת מהאסטרטגיות של שחקן השורות.
בהוכחת המשפט יהיה שימוש במשפט ההפרדה שלקוח מתחום הטופולוגיה:
תהיינה קבוצות קמורות, סגורות, לא ריקות וזרות.
נניח ש- חסומה, אז קיים על-מישור שמשוואתו כאשר:
כלומר לכל: מתקיים: ולכל מתקיים: .
עבור הייצוג של בצורה הבאה:
תוגדרנה שתי הקבוצות הבאות: הקמור של הווקטורים והקבוצה
לפי ההנחה, שחקן השורות יכול להבטיח לעצמו לכל היותר על ידי כל תכסיס מעורב שלו, ולכן לפי האי-שוויון , לא יכולות להיות ל-K ו-L נקודות משותפות במרחב , כלומר מתקיים:
כל שאר תנאי משפט ההפרדה מתקיימים גם כן, ולכן קיים על-מישור כפי שהוגדר במשפט.
כלומר קיים וקטור וסקלר המקיימים לכל ולכל :
מתקיים כי אם היה הגבול של המכפלה של: עם כאשר היה מקיים:
כמו כן מתקיים ולכן נוכל לכפול את ואת בסקלר כך ש: וההפרדה תישאר ללא שינוי.
מצד אחד: הווקטור מראה ש: .
מצד שני: עבור כל מתקיים: .
כל תכסיס טהור של שחקן השורות הוא בעצם אחת השורות במטריצה A, וכל אחת מהשורות נמצאת בתוך הקבוצה K, ולכן לכל אחד מהתכסיסים הטהורים של שחקן השורות מתקיים: .
המשמעות היא שאם מתייחסים לווקטור בתור תכסיס של שחקן העמודות, תכסיס זה מבטיח לו שישלם פחות מ על כל תכסיס טהור של שחקן השורות, אבל אם זה נכון, אז זה מבטיח לשחקן העמודות לשלם פחות גם עבור כל תכסיס מעורב של שחקן השורות, וזו סתירה להגדרה של .
לכן ההנחה שממנה יצאנו איננה נכונה, ולכן .
משפט המספרים המצולעים הוא משפט בתורת המספרים, הקובע שכל מספר שלם חיובי הוא סכום של לכל היותר s מספרים מצולעים מסדר s.
המספרים המצולעים מסדר s הם אלו שאפשר לכתוב בצורה .
המשפט קרוי לעיתים על שמו של פרמה שקבע את נכונותו, אך מעולם לא פרסם לו הוכחה.
המקרה החשוב ביותר הוא s=4, המתייחס לכתיבת מספר כסכום של מספרים ריבועיים.
את המקרה הזה הוכיח לגראנז' בשנת 1772, והוא נודע כמשפט ארבעת הריבועים.
את המקרה s=3 הוכיח גאוס ב-10 ביולי 1796: מספר טבעי הוא סכום של לכל היותר 3 מספרים משולשיים, שהם מספרים מהצורה .
את ההכללה ל-s כלשהו הוכיח קושי בשנת 1813.
בתורת המספרים, משפט המספרים הראשוניים מתאר את הצפיפות האסימפטוטית של מספר המספרים הראשוניים.
לכל מספר ממשי חיובי מסמנים ב- את מספר המספרים הראשוניים שאינם עולים על (פונקציית המספרים הראשוניים).
משפט המספרים הראשוניים קובע כי (כאשר הוא הלוגריתם הטבעי, והטילדה היא סימון אסימפטוטי), כלומר, כאשר גדול מספיק, מספרם של הראשוניים שאינם עולים על הוא (בקירוב סביר) .
את המשפט שיערו קרל פרידריך גאוס (ב-1795) ואדריאן-מארי לז'נדר (ב-1808), מתוך התבוננות ברשימות של מספרים ראשוניים.
הוכיחו אותו באופן בלתי תלוי אדמר וואלה פוסן ב-1896, והוא נחשב לאחד ההישגים המרכזיים של המתמטיקה במאה ה-19. ההוכחה מבוססת על חקירת תכונות של פונקציית זטא של רימן באמצעות אנליזה מרוכבת.
גרסאות חלשות יותר של המשפט היו ידועות קודם לכן.
לא קשה להוכיח שהיחס בין חסום בין ל-.
צ'בישב הראה באמצע המאה ה-19 שהיחס חסום בין ל-, ואפילו שאם היחס שואף לגבול, אז הגבול חייב להיות שווה ל-1 (מנקודת מבט זו, אדמר ופוסן היו צריכים רק להוכיח שהגבול קיים; אלא שההוכחה שהם מצאו מוכיחה גם את תוצאתו של צ'בישב, כבדרך אגב).
פונקציית המספרים הראשוניים וקירובים שונים
שיטתו של רימן, שעליה בנויות כל ההוכחות האנליטיות למשפט המספרים הראשוניים, מוליכה באופן טבעי לקירוב , כאשר היא פונקציית האינטגרל הלוגריתמי.
מבחינת אסימפטוטיקה מסדר ראשון אין הבדל בין הקירוב הזה למנה , משום שהיחס בין שתיהן שואף ל-1. עם זאת, גורם השגיאה במשפט המספרים הראשוניים הוא מוקד עניין מרכזי בתורת המספרים , והקירוב באמצעות האינטגרל הלוגריתמי ההפוך טוב בהרבה.
רימן וגאוס האמינו שלכל ערך גדול מספיק של מתקיים , והנתונים המספריים הידועים תומכים כולם בהשערה כזו.
אלא שליטלווד הראה כי כיוון האי-שוויון בין שתי הפונקציות מתהפך אינסוף פעמים.
סטנלי סקיוז הוכיח ב-1933 שהמקום הראשון שבו ההיפוך הזה קורה הוא לפני המספר העצום (וגם זאת בהנחה שהשערת רימן נכונה; ללא ההשערה הוא הוכיח ב-1955 את החסם ).
מאז השתפר החסם כמה פעמים, והוא עמד בשנת 2000 על
מאידך, Rosser ו-Schonenfeld הוכיחו ב-1962 שלכל מתקיים .
את הפונקציה אפשר לקרב באמצעות סכומים סופיים מהצורה
ניתן גם לראות על פי המשפט כי , כאשר מייצג את הרווח בין המספרים הראשוניים .
מסמנים את מספרם של המספרים הקטנים מ- שיש להם בדיוק גורמים ראשוניים.
השערה זו הוכחה על ידי לנדאו ב-1900.
על הפונקציה הסופרת כמה גורמים ראשוניים שונים יש למספר , ידוע שליחס יש התפלגות נורמלית סטנדרטית כאשר נבחר באקראי מהמספרים הקטנים מ-, ו- שואף לאינסוף (זהו משפט של ארדש ו-Kac מ-1940; הארדי ורמנוג'אן הוכיחו שהיחס חסום).
משפט המספרים הראשוניים סופר את הראשוניים בין 1 ל-.
בדומה לזה אפשר לנסות להעריך את מספר הראשוניים בקטע שאורכו ומתחיל ב-, כלומר את , במיוחד כאשר אינו גדול ביחס ל-y.
האתגר הוא להוכיח את הקירוב כאשר x קטן יחסית.
אם תוצאה זו נובעת מן המשפט.
השערת רימן, השקולה לקירוב משופר במשפט המספרים הראשוניים, מאפשרת להוכיח את אותה תוצאה גם עבור .
ללא השערת רימן, Heath-Brown הוכיח את הקירוב עבור .
סלברג הוכיח את הקירוב עבור כמעט לכל , אבל ידוע שקירוב זה אינו נכון לכל .
קירובים עבור המספר הראשוני ה-n-י
כתוצאה ממשפט המספרים הראשוניים, מתקבל ביטוי אסימפטוטי עבור המספר הראשוני ה--י: (היחס בין הביטויים שואף ל-1).
לפי משפט רוסר (Rosser) מתקיים לכל ; למעשה מתקיים עבור האי-שוויון
אף על פי שמשפט המספרים הראשוניים הוכח בסוף המאה ה-19, היו מתמטיקאים שחשו חוסר נחת לגבי ההוכחה, שהשתמשה בכלים מתורת הפונקציות המרוכבות – שממבט ראשון אינה שייכת לעניין – וחיפשו הוכחה ישירה יותר.
ב-1948 הצליח אטלה סלברג להוכיח את הקירוב .
תוך זמן קצר מצאו סלברג ופאול ארדש דרך להוכיח מאי-שוויון זה את משפט המספרים הראשוניים, באופן אלמנטרי (כלומר, כזה שאינו משתמש בתורת הפונקציות המרוכבות).
אף על פי שהוכחה זו מסתפקת בכלים פשוטים יותר, היא נחשבת ליותר מסובכת וקשה.
שני המתמטיקאים היו שונים זה מזה באופיים באופן כמעט קיצוני: ארדש ראה במתמטיקה פעילות קהילתית, וכתב בימי חייו עם כ-500 מחברים-שותפים.
סלברג, שהעדיף בניית תאוריה על פתרון בעיות, כתב את כל מאמריו לבדו (למעט אחד, שנכתב עם Sarvadaman Chowla וביוזמתו).
ארדש, שהיה מבוגר בכמה שנים והידוע יותר מבין השניים, ראה בהוכחה הישג משותף, והציע לפרסם ב-Annals of Mathematics שני מאמרים: בראשון יתאר סלברג את האי-שוויון שלו, ובשני יסבירו שניהם כיצד אפשר להסיק ממנו שהיחס בין שני ראשוניים עוקבים שואף ל-1, וכיצד אפשר להסיק מטענה זו את משפט המספרים הראשוניים.
הרמן וייל, שהעדיף את סגנונו התאורטי של סלברג, מנע את קבלת המאמר המשותף ל-Annals, שפרסם בסופו של דבר הוכחה שכתב סלברג ועקפה את תרומתו של ארדש.
המחלוקת בשאלה מי אחראי להוכחה האלמנטרית – סלברג לבדו או סלברג וארדש – לא שככה עוד זמן רב אחר-כך.
משפט הסרבנים (ישראל 2003) הוא משפטם המאוחד של שמרי צמרת, נעם בהט, חגי מטר, אדם מאור ומתן קמינר, פעילי שמאל רדיקלי בישראל שסירבו להתגייס לצה"ל, בשל רצונם להביא לשינוי בדעת הקהל ובמדיניות הממשלה באשר לשאלת השליטה על העם הפלסטיני.
לטענתם, הם מתנגדים מצפונית לשירות בצה"ל ולכיבוש.
הסרבנים הועמדו לדין, הורשעו, נידונו למאסר, וישבו בכלא בין 21 ל-23 חודשים - יותר מכל סרבן מצפון בהיסטוריה של ישראל.
המשפט היה מושאם של מספר סרטים דוקומנטריים, ביניהם הסרט "נערי הסיפון" של אורי ברבש ששודר בערוץ 1. כליאת החמישה הייתה גם מושאו של הסרט הקצר "Prières pour Refusniks" של הבמאי הצרפתי הנודע ז'אן-לוק גודאר שנוצר ב-2004 בסולדריות עם הסרבנים בזמן שהיו בכלא.
הרקע לסרבנות בישראל הוא מגוון, מן הצד השמאלי של המפה הפוליטית, הסיבות נעות מסירוב למלא פקודות צבאיות כאלה או אחרות, כולל פקודת החיול עצמה, בשל התנגדות לשליטה הישראלית באיו"ש או מתוך פציפיזם.
עם פריצת האינתיפאדה השנייה נשלח מכתב השמיניסטים לראש הממשלה, שחותמיו הצהירו כי "יסרבו לשרת את הכיבוש".
ומן הצד הימני של המפה הפוליטית הסיבות נעות מסירוב עקרוני לשרת בצבא הכפוף לממשלה המיישמת מדיניות של מסירת חלקים מארץ ישראל וסירוב להשתתף בפינוי התנחלויות וכן סירוב ביצוע כל משימה שיש בה כדי לפגוע בריבונות היהודית על שטח מארץ ישראל.
הלב היהודי היא עמותה שהוקמה ערב ביצוע תוכנית ההתנתקות, כשמטרתה הראשית הייתה סיוע לחיילים ושוטרים שהיו מעוניינים לסרב למשימת הפינוי.
במרץ 2003 הוחלט על שינוי גישה בצה"ל.
תיקיהם של שניים מהכלואים הוותיקים ביותר, יוני בן-ארצי וחגי מטר, הועברו לבית דין צבאי.
הסיבה לכך היא ההבדל ביכולת הענישה של שתי הערכאות: דין משמעתי יכול לדון למחבוש של עד 35 יום.
לעומת זאת, בית-דין צבאי רשאי לגזור עד שלוש שנות מאסר על עבירה של סירוב פקודה.
מאוחר יותר הסביר התובע הצבאי שמדיניות הצבא היא העברה לבית דין לאחר חמישה סירובים וחמש תקופות מחבוש.
בעקבות ההחלטה להעביר את הטיפול בבן-ארצי ובמטר לבית הדין, הסרבן מתן קמינר הגיש בקשה לעמוד בפני בית דין גם הוא, והסרבנים אדם מאור, שמרי צמרת ונעם בהט עשו כמוהו עד מהרה.
בקשותיהם התקבלו, וכך גם בקשתם לאחד את תיקם עם זה של מטר.
החמישה סיכמו עם בן-ארצי שלא לבקש את איחוד תיקיהם עקב הבדלים משמעותיים בין עמדתם של החמישה וזו של בן-ארצי, אשר סירב להתחייל מתוך פציפיזם.
משפטם של החמישה החל ב-15 באפריל 2003, בדיון מקדמי שבו ערערה ההגנה על עצם קיום המשפט.
את הנאשמים ייצג עו"ד דב חנין, פעיל פוליטי בחד"ש ולימים חבר הכנסת מטעמה, ואת הפרקליטות הצבאית סרן ירון קוסטליץ.
השופטים היו אלוף-משנה אבי לוי (אב בית הדין) ושני קצינים, בדרגות סרן ורב-סרן.
במהלך המשפט שהו החמישה במעצר פתוח בבסיסי צבא שונים.
קו הטיעון של התביעה היה שהחמישה סירבו לפקודה שהיה עליהם לבצעה, ולפיכך יש להענישם.
מלבד חומרת העבירה, התובעים ראו לנגד עיניהם את נסיבותיה האידאולוגיות של העבירה (לדידו של התובע, עבריינות אידאולוגית מסוכנת יותר מעבריינות פלילית), העובדה שהנאשמים אינם מתחרטים על מעשיהם, ושאיפתם לראות אחרים עושים כמותם.
קו הטיעון של ההגנה היה שהפקודה שניתנה להם היא פקודה בלתי חוקית, כיוון שהיא פוגעת בכבוד האדם שלהם.
המצפון, טען עו"ד חנין, הוא חלק בלתי-נפרד מכבוד האדם.
מרב זמן הדיונים הוקדש לעדויותיהם של הנאשמים, שבהן פירטו מדוע מצפונם אינו מאפשר להם להתגייס לצבא, ולחקירות הנגד שלהם.
במהלך הדיונים, שהתפרסו לאורך קיץ וסתיו 2003, כל אחד מהחמישה ניצל את במת בית הדין כדי להסביר בהרחבה מדוע לטענתו, מצפונו אינו מאפשר לו לשרת בצבא.
המכנה המשותף הבסיסי של החמישה הוא ההתנגדות לשליטה הישראלית ביהודה, שומרון ועזה ולשליטה בחייהם של הפלסטינים תושבי השטחים - מכלול המהווה את הכיבוש לדידם.
ההתנגדות לכיבוש הובילה את החמישה, לפי עדותם, למסקנה שאסור להם לשרת בצה"ל.
על אף המכנה המשותף הרחב, לכל אחד מהחמישה היו דגשים שונים בעדותם, שנעו מווידוי אישי עד לפירוט תפיסת העולם המניעה אותם.
תוכנן המצפוני של העדויות הקיף את סבלם של הפלסטינים ואת הנזק שהחזקת השטחים מסבה, לדעתם, לחברה הישראלית.
עדותו של חגי מטר התרכזה במפגשיו האישיים עם פלסטינים, בהם אוסמה ברהם, ותיק העצורים המנהליים, ובתגובתו האישית להיתקלות במה שכונה על ידו "זוועות הכיבוש".
הוא סיפר, בין השאר, על מכתב שקיבל מצעיר פלסטיני:
אחד המכתבים המרגשים ביותר שקיבלתי היה מצעיר פלסטיני שחי בשטחים.
הוא כתב שכל חייו גדל וחלם על פעילות בחמאס, ותמך במתאבדים.
בהמשך הוא כותב: "אבל מששמעתי על דרככם, הבנתי שיש פעולות שיוצרות הד גדול יותר משכל פצצה תוכל ליצור אי-פעם – וזנחתי את דרך האלימות".
מתן קמינר ניסה בעדותו לקבוע מה לא-מוסרי בכיבוש.
הוא הזכיר זכויות כמו חופש תנועה וחופש הביטוי, השכלה ופרנסה, הנמנעות לטענתו מהפלסטינים, והגדיר את הדמוקרטיה כזכות חשובה מכל, שמניעתה היא העוול הגדול ביותר הנעשה לפלסטינים.
שמרי צמרת הדגיש בעדותו את הסבל הנגרם לישראלים בעקבות החזקת השטחים.
לטענתו, טרור, כלכלה צולעת ודרדור מוסרי הם כולם תוצאות ישירות של הכיבוש בישראל.
אדם מאור אמר שההחלטה לכבוש עם "היא הגורם העיקרי לכל מעשיו הבלתי-מוסריים של צה"ל, שהוא הכלי המשמש אותה, והגורם העיקרי לפעולות הטרור, שנועדו לבטל אותה, ומעוררות חלחלה בפני עצמן".
נעם בהט סיפר בעדותו על עבודתו החינוכית, על עניינו באיכות הסביבה ועל אמונתו בערכים אוניברסליים כגון חירות וסוציאליזם.
ב-4 בינואר 2004, אחרי למעלה משנה של מחבוש ומעצר לכל אחד מהנאשמים, הסתיים המשפט.
בפסק דינם בחנו השופטים את עמדתם "בדבר חוקיות פעולות הרשות כלפי הנאשמים לנוכח הצהרותיהם וכנגזרת מכך, בדבר חוקיות פעולותיהם של הנאשמים, כאשר התנגדו לבצע את שנדרש מהם על ידי מפקדם".
בדרך להכרעה עסקו השופטים בשאלות אחדות:
בהערכת עדויותיהם של הנאשמים קבעו השופטים:
עם זאת קבע בית הדין, בניגוד לעמדת התביעה: "מוכנים אנו להימנע מלקבוע חד-משמעית, כי המניע שעניינו מרי אזרחי הוא היחיד המניע את הנאשמים".
השופטים השמיעו דברים קשים נגד תופעת הסרבנות כמעשה לא דמוקרטי וכתבו שהחמישה "מפירים את עקרון השוויון, שוויון בנשיאת הנטל הביטחוני ושוויון בעמידה בסיכונים הכרוכים בשירות הצבאי".
השופטים קיבלו את טענת התביעה לפיה סירובם של החמישה הוא "סלקטיבי", כלומר, סרבנות עקב התנגדות ספציפית למדיניות של ממשלת ישראל, ולא התנגדות כוללת לצבאות באשר הם.
על כן הרשיע בית הדין את החמישה בסירוב פקודה.
לגבי העונש הייתה מחלוקת בין שלושת השופטים: אחד ביקש לדון את הנאשמים לשישה חודשי מאסר; אחד ביקש לאוסרם לשנה; והשלישי ביקש "להשלים" תקופה מקבילה לתקופת השירות הצבאי ולדון אותם ל-22 חודשי מאסר.
עמדתו של השופט האמצעי הכריעה והחמישה נידונו לשנת מאסר נוספת על הזמן שכבר ישבו במחבוש ובמעצר.
בית הדין המליץ לשחרר את החמישה משירות צבאי לאחר השלמת עונשם.
לכל אורך המשפט ליוו פעילי תנועות הסירוב, ובמיוחד "מכתב השמיניסטים", את החמישה והופיעו כדי לתמוך בהם בדיונים השונים.
משפחות החמישה הקימו יחד עם הוריו של בן-ארצי את "פורום הורי הסרבנים" שגייס תמיכה כספית, מורלית ופוליטית בחמישה בארץ ובעולם.
אחרי היסוס ממושך החליטו החמישה שלא להתנגד להעברה, וב-22 בינואר 2004 הם הועברו לבתי הכלא מעשיהו (בהט, מטר וקמינר) וחרמון (מאור וצמרת).
בכלא האזרחי עסקו החמישה בהוראה, בלימודים באוניברסיטה הפתוחה ובסיוע לאסירים לוקים בנפשם (מטר).
ועדת קיצור העונשים הצבאית (שנותרה אחראית על קיצור עונשם) החליטה שלא לקצץ מחצית מעונשם ביולי 2004. באוגוסט החליטה הוועדה לקצץ רבע מעונשם, והחמישה השתחררו ב-15 בספטמבר 2004, ערב ראש השנה התשס"ה.
בטווח הקצר השפעתו של מכתב החמישה, יחד עם משפטו של יוני בן-ארצי והחלטות בג"ץ שונות (בין היתר בתיקה של לאורה מילוא), הייתה ירידה תלולה במספר הסרבנים הנכלאים.
סרבנים רבים החליטו בתקופה זו שלא להצהיר על סירובם והשתחררו מהצבא בדרכים שונות.
עם זאת, גם לאחר מכן היו שסירבו לשרת בצה"ל מטעמי מצפון ונשלחו לבתי הכלא הצבאיים.
בשנת 2005 התגבש דפוס שלפיו סרבנים יושבים מספר חודשים ואז משתחררים שלא על סעיף מצפון.
מדיניות "חמישה מחבושים ואז בית דין" שעליה העיד התובע קוסטליץ במשפט החמישה כבר איננה בתוקף, ככל הנראה: אלכס קון ישב ב-2005 שמונה תקופות במחבוש ולא זומן לבית דין.
במתמטיקה, ובמיוחד אלגברה קומוטטיבית, משפט הנורמליזציה של נתר הוא תוצאה טכנית חשובה שהוכיחה אמי נתר.
המשפט קובע שכל תחום שלמות שהוא אלגברה נוצרת סופית מעל שדה , הוא הרחבה שלמה של חוג פולינומים.
כלומר, קיימים באלגברה איברים בלתי תלויים אלגברית כך שכל איבר מאפס פולינום מתוקן עם מקדמים ב-.
מקרה פרטי של המשפט הוא הניסוח הבא:
יהי שדה אינסופי ו- אלגברה נוצרת סופית מעל .
אזי קיימים כאשר כך ש- בלתי-תלויים אלגברית ו- היא מודול נוצר סופית מעל , כלומר: קיימים (עם סופי) כך ש-.
משפט הנורמליזציה של נתר נחשב למשפט בסיסי באלגברה קומוטטיבית, ויש לו שימושים רבים להוכחות משפטים בסיסיים בתחום.
למת זריצקי - שדה אפיני הוא אלגברי.
כלומר, אם אלגברה אפינית ושדה, אז .
- שדה אפיני מעל שדה סגור אלגברית הוא רק השדה עצמו.
- אם תת-אלגברה כלשהי, ו- אידיאל מקסימלי, אז אידיאל מקסימלי של .
- כל אידיאל מקסימלי של שדה סגור אלגברית הוא מהצורה .
משפט זה מהווה התאמה בין נקודות של מרחב אפיני ואידיאלים מקסימליים, ומהווה משפט בסיסי בגאומטריה אלגברית.
דרגת הטרנסצנדנטיות של כל אלגברה אפינית (תחום שלמות) שווה לממד קרול שלה.
במונחים גאומטריים, הוא חוג הקואורדינטות של המרחב האפיני , הוא חוג הקואורדינטות של יריעה אלגברית כלשהי (שחייבת להיות מאותו ממד כמו ).
מכיוון ש-, הרי שקיים הומומורפיזם הכלה:
המורפיזם המושרה על הסכמות האפיניות הוא מורפיזם סופי:
המסקנה היא שכל יריעה אלגברית היא כיסוי מסועף של מרחב אפיני.
משפט הסדר הטוב הוא משפט בתורת הקבוצות, הקובע שאפשר לסדר כל קבוצה בסדר טוב.
משפט זה אינו נובע ממערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל, אלא הוא שקול לאקסיומת הבחירה, וכן גם ללמה של צורן.
את המשפט הוכיח ארנסט צרמלו, בהסתמך על אקסיומת הבחירה, ולכן הוא קרוי גם משפט צרמלו.
חשיבותו של סדר טוב על קבוצה הוא בכך שהוא מאפשר לבצע אינדוקציה טרנספיניטית.
המשפט אינו מתאר את הסדר שאפשר להגדיר על קבוצה, אלא רק קובע שקיים כזה, משום שעל קבוצות מסוימות (כמו קבוצת המספרים הממשיים) אי אפשר להגדיר סדר טוב בלי להשתמש גרסאות מסוימות של אקסיומת הבחירה, שאינן קונסטרוקטיביות.
אף על פי שנהוג לקרוא לאקסיומת הבחירה "אקסיומה", ולמשפט הסדר הטוב "משפט", מבחינה לוגית, כיוון שהם שקולים, אין מניעה להחליף ולקרוא למשפט הסדר הטוב "אקסיומה" ולאקסיומת הבחירה "משפט".
כיוון שאקסיומות אמורות להיות אמיתות הברורות מאליהן, ואקסיומת הבחירה נחשבת כזו ואילו משפט הסדר הטוב לא, קוראים להם כך.
עם זאת, הרבה יותר קל לנסח את משפט הסדר הטוב בלוגיקה מסדר ראשון מאשר את אקסיומת הבחירה, על כן פעמים רבות נוח יותר להתייחס אליו כאקסיומה.
משום כך הוא מכונה לפעמים "אקסיומת הסדר הטוב".
על כל קבוצה קיים יחס סדר מלא , כך שבכל תת-קבוצה לא ריקה קיים איבר , כך שלכל מתקיים .
במילים אחרות, לכל תת-קבוצה של A יש איבר מינימלי.
יחס סדר המקיים את התנאי הנ"ל נקרא סדר טוב.
יש לשים לב כי הסדר אינו בהכרח הסדר הטבעי המוגדר על הקבוצה A.
למשל הסדר הרגיל של קבוצת המספרים השלמים אינו סדר טוב (למשל אין מספר שלם מינימלי).
עם זאת, אם נגדיר סדרה , אז הסדר המוגדר כך ש- אם a בא לפני b בסדרה, הוא סדר טוב על קבוצת המספרים השלמים.
אבי תורת הקבוצות, גאורג קנטור, קבע ב-1883 שמשפט הסדר הטוב נכון כ-"fundamental law of thought".
מכיוון שלתורת הקבוצות של קנטור לא היה בסיס אקסיומטי מוצק, הוכחה או הפרכה פורמלית של המשפט לא הייתה בגדר האפשר.
מתמטיקאים רבים חלקו על קנטור, שכן התקשו לקבל קיום של סדר טוב על קבוצות מסובכות, כגון קבוצת המספרים הממשיים.
באוגוסט 1904 המתמטיקאי ההונגרי דיולה קניג הכריז כי הפריך את משפט הסדר הטוב.
הוא סבר שקבוצת המספרים הממשיים היא דוגמה נגדית.
בכל שפה שהיא (ובשפה פורמלית בפרט) עם אלפבית בן מנייה, יש רק מספר בן מנייה של תאורים סופיים אפשריים באמצעות השפה.
מכיוון שיש מספר לא בן-מנייה של מספרים ממשיים, בהכרח יש מספרים שאין שום דרך לתאר אותן באופן סופי (למעשה כמעט כל המספרים הם כאלה).
מספרים כאלה קרויים מספרים לא גדירים.
נניח בשלילה שקיים סדר טוב P על המספרים הממשיים.
אז לקבוצת המספרים הלא גדירים יש איבר מינימלי (לפי P).
את האיבר הזה ניתן לתאר כ"האיבר הקטן ביותר לפי P שאינו גדיר", בסתירה לכך שזהו מספר לא גדיר שאינו ניתן לתיאור .
הטעות של קניג נתגלתה במהרה.
הוא מניח שהסדר P עצמו ניתן לתיאור.
ואכן הוכחתו של קניג מראה שאין שום דרך סופית לתאר סדר שכזה.
אבל עדיין תיתכן האפשרות שסדר שכזה קיים בלי שתהיה דרך לתאר אותו, ואז גם לא ניתן לתאר איבר באמצעותו.
מתקפה נוספת של קניג על משפט הסדר הטוב והשערת הרצף הופרכה גם היא.
כמה שבועות אחר כך, בספטמבר 1904, שלח ארנסט צרמלו מכתב לדייוויד הילברט שכלל הוכחה ראשונה למשפט הסדר הטוב.
צרמלו התבסס בהוכחתו על "עקרון לוגי" ש"לא ניתן לצמצמו לעקרון לוגי פשוט יותר, אבל משמש כל הזמן במתמטיקה ללא היסוס".
לימים נודע העיקרון הזה כאקסיומת הבחירה.
ההוכחה של צרמלו עוררה מחלוקת עזה בקרב קהילת המתמטיקאים.
בין המתנגדים נמנו אמיל בורל, אנרי פואנקרה, ארתור מוריץ שנפליס, דיולה קניג ופליקס ברנשטיין.
ב-1908 צרמלו ניסח מחדש את ההוכחה ואת אקסיומת הבחירה במטרה להימנע מהנקודות השנויות במחלוקת.
עם התרחבות ההכרה בנחיצותה של אקסיומת הבחירה בתחומי מתמטיקה רבים, פחתו כיסי ההתנגדות.
ההתייחסות המודרנית למשפט הסדר הטוב זהה להתייחסות לאקסיומת הבחירה.
לאחר שקורט גדל ופול כהן הוכיחו כי האקסיומה עצמאית ביחס לאקסיומות ZF, הוכרה האפשרות שניתן לעסוק במקביל הן במתמטיקה בה האקסיומה נכונה והן במתמטיקה שבה היא שגויה.
יש שתי הוכחות מקובלות למשפט הסדר הטוב.
האחת עושה שימוש ישיר באקסיומת הבחירה והאחרת בלמה של צורן השקולה לה.
נסמן ב- את קבוצת החזקה של A, ללא הקבוצה הריקה.
לפי אקסיומת הבחירה, קיימת פונקציה המתאימה לכל איבר .
נגדיר באינדוקציה טרנספיניטית פונקציה הפועלת על מספרים סודרים:
נשים לב כי ייתכן ש- אינה מוגדרת בשני מקרים: מקרה ראשון, אם , אז שאינו מוגדר.
ומקרה שני אם קיים כך ש- אינו מוגדר.
על אותם סודרים ש- מוגדרת עליהם, פונקציה חד-חד-ערכית: אם אז ולכן פונקציית הבחירה לא יכולה לבחור את כערך ל-.
לא ייתכן ש- מוגדרת לכל סודר, כי אז (הקיימת לפי החד-חד-ערכיות) היא פונקציה מהקבוצה למחלקת כל הסודרים, לכן (לפי אקסיומת ההחלפה) מחלקת כל הסודרים היא קבוצה, בסתירה לפרדוקס בורלי-פורטי.
מכאן שיש סודרים ש- אינה מוגדרת לגביהם.
הסודרים סדורים היטב ולכן יש סודר מינימלי כך ש- אינו מוגדר.
מכיוון שלא קיים סודר קטן מ- שהפונקציה אינה מוגדרת עליו, בהכרח הסיבה ש- אינו מוגדר היא ש-.
לכן התאמה חד-חד-ערכית ועל בין ל-, ואת A ניתן לסדר בסדר טוב לפי אם ורק אם (במילים אחרות מגדירים את הסדר כך ש- היא איזומורפיזם סדר).
במסגרת אקסיומות ZF משפט הסדר הטוב שקול לאקסיומת הבחירה.
כלומר מספיק להניח רק אחד מהם כדי להוכיח את השני.
ההוכחה של אקסיומת הבחירה תחת הנחת משפט הסדר הטוב פשוטה:
נסמן ב- את איחוד כל הקבוצות ב-.
לפי משפט הסדר הטוב קיים סדר טוב על .
כעת נגדיר את להיות הפונקציה המתאימה לכל קבוצה ב- את האיבר המינימלי שלה לפי כתת-קבוצה של .
זוהי פונקציית בחירה על כנדרש באקסיומת הבחירה.
מסקנה מיידית ממשפט הסדר הטוב היא שכל קבוצה שקולה לסודר כלשהו (מכיוון שכל קבוצה סדורה היטב איזומורפית לסודר).
הדבר מאפשר להגדיר עוצמה של קבוצה באופן פורמלי כסודר המינימלי השקול לה.
נובע מכך שניתן להשוות בין כל שתי עוצמות (כלומר או שהן שוות או שאחת גדולה מהשנייה).
טענה זו שקולה גם היא לאקסיומת הבחירה.
במרבית השימושים של משפט הסדר הטוב הוא הוחלף בלמה של צורן, לאחר שזו נתגלתה כנוחה ופשוטה יותר לשימוש.
אחד הראשונים להשתמש במשפט הסדר הטוב היה גאורג המל שהשתמש בו כדי לתאר את כל הפתרונות למשוואה הפונקציונלית של קושי.
המל הראה שפתרונות המשוואה הן ההעתקות הליניאריות משדה המספרים הממשיים לעצמו כמרחב וקטורי מעל שדה המספרים הרציונליים.
כלומר כל פתרון נקבע לחלוטין על פי הערכים שהוא מקבל על בסיס של הממשיים כמרחב וקטורי מעל הרציונליים.
בסיס שכזה נקרא בסיס המל, ולהוכחת קיומו השתמש המל במשפט הסדר הטוב באופן הבא (השימוש במשפט הסדר הטוב, או בגרסה אחרת של אקסיומת הבחירה הכרחי כאן.
אין דרך לבנות בסיס המל במפורש.):
מסדרים את המספרים הממשיים בסדר טוב.
מספר ממשי מסוים נמצא בבסיס המל אם ורק אם הוא אינו צירוף ליניארי (סופי) של המספרים הקטנים ממנו.
קבוצה זו פורשת את המרחב (משום שכל מספר שאינו נפרש שייך לקבוצה), והיא בלתי תלויה ליניארית, כי אם היה צירוף ליניארי של איברי הבסיס השווה לאיבר בבסיס, אז ניתן להעביר אגפים ולקבל צירוף ליניארי של האיבר המקסימלי בצירוף, בסתירה להגדרת הבסיס.
מכאן שזהו אכן בסיס המל.
משפט המלך (או פרשת המלך) הוא נאום המופיע בתנ"ך, אותו נשא שמואל הנביא בדבר פועלו העתידי של מלך ישראל.
חשיבותו של הנאום בכך שחלקים מתוכו משובצים לאורך ספרי שמואל ומלכים, והוא מאפשר הצצה על האידאות והרעיונות הפוליטיים-ארגוניים שרווחו בעם לפני תקופת המלוכה.
הנאום אף הפך לנושא למחלוקות אצל חז"ל, מקור לפסיקות הלכה אצל הראשונים ובמחקר המודרני מסתייעים בו כדי לקבוע את מחבריהם ותאריכיהם של ספרים שונים בתנ"ך.
בנוסף לכך במשפט זה שמואל בדק מי יהיה מלך בישראל.
הנאום נישא בעת החלפת השלטון בישראל.
עד אותו היום הונהג בישראל שלטון השופטים – בהיעדר שלטון מרכזי על הארץ, לעת צרה היה עולה "מושיע" מהשבט שנמצא במשבר והוא היה מנהיג את העם (ולעיתים רק את שבטו) עד יום מותו, וחוזר חלילה, כמסופר בספר שופטים.
שני המנהיגים האחרונים שמשלו בשיטה זו הם עלי הכהן ושמואל הנביא.
על פי המסופר בספר שמואל, לעת זקנתו של שמואל מונו בניו כשופטים במקומו, אולם הללו היטו משפט ולקחו שוחד.
לפיכך, משלחת של זקני ישראל נפגשה עם שמואל וביקשה ממנו להמליך מלך על ישראל.
בנוסף, כפי שטענו הזקנים במפגש זה, המצב הביטחוני הרעוע בארץ באותה תקופה (נציב פלשתים בלב ארץ בנימין ולחץ של מלכי עמון על שבטי ישראל בעבר הירדן המזרחי) גם הוא היווה מוטיבציה לבקשה להמלכת מלך.
ה' מצווה את שמואל להיענות לבקשת העם ומסביר את הטעם לדרישתם: .
הוא מוסיף ואומר לו: .
לאחר הכתרת שאול למלך מוסר שמואל לעם את משפט המלוכה, מעלה אותו על הכתב ומניחו לפני ארון הברית: ().
המלבי"ם טוען, ש"משפט המלוכה" אינו "משפט המלך", אך יש המסתפקים בכך.
משפט המלך וקטעי טקסט אחרים בתנ"ך
קטעים אחרים בתנ"ך מנוסחים באופן דומה למשפט המלך, וחלק מהפרשנים פירשו אותם כשיבוץ וכהפניה למשפט המלך.
דוגמה אחת היא נאום הפרידה של שמואל מהעם:
לדעת חוקר המקרא משה גרסיאל, קטע זה נועד להעמיד את שמואל כאנטיתזה למלך העתיד לבוא: בעוד שמואל המנהיג מהטיפוס הישן הנהיג ביושר, המלך עתיד להיות עושק.
קטע דומה אחר הוא נאום תוכחה קצר של המלך שאול:
על פי פרשנותו של גרסיאל, שאול פנה בנאום קצר זה לבני שבטו, המכהנים כשרים, ושאל: האם גם בן ישי ייתן לכולכם שדות וכרמים, וימנה את כולכם לקצינים – לשרי אלפים ולשרי מאות (כפי שנהגתי אני)?!
כלומר תוכחתו האירונית של שאול מציגה אותו כמלך שהגשים את הזהרותיו של שמואל הנביא.
קטעים אחרים העוסקים בזכויות המלך
ישנם בתנ"ך עוד מספר קטעי טקסט העוסקים בזכויות המלך, והפרשנים נעזרים בהם כדי לבאר את משפט המלך.
אחד הקטעים מכונה חוק המלך (), ואינו עוסק בעניינים הנוגעים ישירות למשפט המלך למעט בעניין אחד:
כלומר, חוק המלך אוסר על המלך "להתרומם מאחיו" ומגביל אותו בכמה מזכויותיו.
מכאן למדו חלק מהפרשנים כי גם משפט המלך נועד להגביל, או להגדיר את זכויותיו של מלך ישראל.
קטע אחר המתייחס בצורה ישירה הרבה יותר הוא נבואת תוכחה של הנביא יחזקאל ():
גם קטע זה מגביל את זכויותיו של המלך בעניין היכולת להפקיע אדמות מנתיניו.
על פי קטע זה ומשפט המלך ביחד פסק הרמב"ם הגבלות על יכולת המלך להפקיע אדמות ויובלים חקלאיים – הוא מתיר רק הפקעת יבולים ולא קרקעות, רק לצורך מלחמה ולא במצב של שגרה, ומחייב את המלך לפצות את המופקע.
עוד מצטרפת לשיטת פרשנות זו, הרואה במשפט המלך הגבלה על זכויותיו של המלך, גם פרשת נבות היזרעאלי, בה נדרשה המלכה איזבל לטפול האשמות שווא על נבות כדי לרשת את אדמתו.
כך למשל פרשנותו של רד"ק לפרשת נבות:
אם כן, בעיני פרשנים מסורתיים מסוימים משפט המלך מפרט את זכויות וחובות המלך כמתבאר בקטעים אחרים של התנ"ך.
בתלמוד הבבלי מובאת מחלוקת תנאים בנוגע למשמעותו ההלכתית של משפט המלך:
האמורא שמואל פסק כרבי יוסי; לשיטתו יש למשפט המלך תוקף הלכתי, וכל הסמכויות שהוא מעניק למלך ישראל אכן שייכות לו.
לעומתו, רב פסק כרבי יהודה, שטען שהנאום לא משקף את סמכויותיו האמיתיות של מלך ישראל, אלא תכלית הנאום הייתה "לאיים עליהם", או לפי גרסאות אחרות, "ליראם ולבהלם".
יש הסוברים שגם כללו של האמורא שמואל, דינא דמלכותא דינא, שנותן תוקף גם לחוקיו של ממשל נכרי, מקורו במשפט המלך, והוא מבוסס על שיטתו שיש למשפט המלך משמעות הלכתית.
לפי זה תוקפו של הכלל האמור שנוי במחלוקת תנאים ואמוראים.
עם זאת, לכלל "דינא דמלכותא דינא" ניתנו טעמים רבים, ולדעת רוב הראשונים אין עליו מחלוקת.
רש"י פירש שלפי רבי יהודה מטרת הנאום הייתה .
אפשרות נוספת, המתאימה גם לגרסה "ליראם ולבהלם", היא שמטרת הנאום הייתה להבהיל את עם ישראל, כעונש על שרצו להידמות לגויים באומרם .
הרמב"ם פסק כשמואל, שיש תוקף לנאום משפט המלך, ופירט את הסמכויות העומדות לרשות המלך מכוח הנאום, אם כי תחת הגבלות מסוימות.
הנימוקי יוסף, לעומתו, החזיק בשיטה שהנאום נאמר רק כדי להפחיד ולהבהיל את עם ישראל, ואין לו משמעות הלכתית.
הרב אלחנן סמט הציג גישה שהיא מעין סינתזה של כלל הגישות שהובאו מעלה.
בעיניו, משפט המלך מתאר תהליך בו זכויות המלך ההגיוניות מיושמות כך שנוצר משטר עריצות מפחיד:
שמריהו טלמון בחן את מידת האותנטיות ואת מועד חיבורו של משפט המלך.
לשיטתו, נאום זה מגדיר את זכויות המלך ומשקף היטב את החששות של העם בתקופה הטרום מלוכנית:
אלכסנדר רופא בחן את ספר שמואל כדי לקבוע את מועד חיבורו.
הוא מצביע על דמיון רב בין משפט המלך לבין תעודות אוגריתיות וכנעניות בני תקופתו של שמואל הנביא, ומקבל מכך חיזוק לטענה כי ספר שמואל נכתב סמוך למועד האירועים המתוארים בו.
בנימין מזר מחזיק בדעה דומה.
על פי ניתוחו, עיקרי הדברים שבמשפט המלך היו מגופי תורת המלוכה הכנענית.
יתר על כן, להבנתו כבר בימי שלמה המלך נתפש משפט המלך מחייב ואף יושם הלכה למעשה.
בנימין אופנהיימר מצביע על הדמיון הרב בין משפט המלך לבין מסמכי אללח' ואוגרית ועל כן סבור כי התנגדות זו התעוררה באותה תקופה, בערך המאה העשירית לפני הספירה.
חלק מהחוקרים רואים במשפט המלך אחד משיאיו של ספר המושיעים.
מאחר שתכלית ספר זה היא התנגדות למוסד המלוכה, נאום בו דמות רבת חשיבות כמו שמואל מדגישה את חסרונות המלוכה מהווה בו נדבך חשוב.
משפט המינסטריונים ובשמו הרשמי ארצות הברית נגד ארנסט פון וייצזקר ואח' היה המשפט האחרון מתוך שנים-עשר משפטי נירנברג הנוספים, אשר נערכו בפני בית דין צבאי של ארצות הברית בהיכל הצדק בנירנברג, גרמניה, לאחר תום מלחמת העולם השנייה.
הנאשמים במשפט היו בעיקר בכירי ממשל בגרמניה הנאצית, חלק ניכר מהם עסקו ביחסי החוץ של המדינה הנאצית, כגון שרים, שגרירים, ופקידי ממשל אחרים.
משפט המיניסטריונים מכונה אף "משפט וילהלמשטראסה", כיוון שלשכת הקנצלר ומשרד החוץ הגרמני ניצבו בוילהלמשטראסה בברלין.
הנאשמים במשפט היו עובדים בנציגויות שונות של הרייך הגרמני והואשמו על מעשיהם בתקופת גרמניה הנאצית, בהשתתפותם ובאחריותם לפשעים שונים שבוצעו בגרמניה ובמדינות שכבשה במהלך המלחמה.
שופטי בית הדין היו ויליאם כריסטיאנסן ממינסוטה, רוברט מגווייר מאורגון, ולאון פאוארס מאיווה.
התובע הראשי במשפט היה טלפורד טיילור.
האישומים הוגשו ב-15 בנובמבר 1947 ואילו הליכי המשפט התנהלו החל מ-6 בינואר 1948 ועד 18 בנובמבר 1948. פסק הדין, אשר הכיל 833 עמודים, נכתב במשך חמישה חודשים וניתן ב-11 באפריל 1949. גזרי הדין ניתנו ב-13 באפריל 1949. היה זה המשפט הארוך ביותר מבין שנים-עשר משפטי נירנברג הנוספים.
מתוך 21 הנאשמים, שניים זוכו, והאחרים הורשעו לפחות באישום אחד מכתב האישום וקיבלו עונשי מאסר הנעים בין שלוש ל-25 שנים.
גזר דינם של חלק מהנאשמים, שהורשעו במשפט, הומתק זמן קצר לאחר סיומו, וכולם שוחררו מהכלא עד סוף שנת 1951.
יועצו של היטלר לענייני כלכלה.10 שנות מאסר.
שוחרר בשנת 1951מנהיג אזורי של המפלגה הנאצית (Gauleiter), מזכיר המדינה במשרד החוץ.
ראש ארגון החוץ של המפלגה הנאצית5 שנות מאסר.מזכיר משרד החוץ, ראש המחלקה המדינית.7 שנות מאסר שהומתקו ל-5 ב-2 בדצמבר 1949. שוחרר בשנת 1951.המקשר בין משרד החוץ הגרמני לבין הפיקוד העליון של הכוחות המזוינים של גרמניה הנאצית.4 שנות מאסר אותן ריצה בתקופת מעצרו.
שוחרר בשנת 1950.ראש לשכת הנשיאזוכהדובר המפלגה הנאצית ומזכיר המדינה במשרד התעמולה7 שנות מאסר.
שוחרר בשנת 1950.ראש המשרד הראשי של האס אס25 שנות מאסר שהומתקו ל-10 שנים בשנת 1951. שוחרר באותה שנה.סגן מפקד הגסטפו, ראש האס דה והאבווהר, מחליפו של וילהלם קנריס כראש המטות המשולבים של השירותים החשאיים.6 שנות מאסר שרוצו בתקופת מעצרו.שר הכלכלה10 שנות מאסר.
משפט הסופרפוזיציה הוא משפט העוסק בניתוח מעגלים חשמליים, ולפיו התגובה (מתח או זרם) הכוללת של מערכת חשמלית ליניארית המורכבת מיותר מאשר מקור אחד, שווה לסכום האלגברי של התגובות עבור כל השפעת מקור בלתי תלוי במעגל, כאשר שאר המקורות הבלתי תלויים במעגל מאופסים.
היתרון המרכזי של משפט זה טמון באפשרות לפרק את המעגל – מסובך ככל שיהיה – למעגלים פשוטים יותר, בהם ניתן לחשב את התגובה בצורה פשוטה, ובסופו של דבר להתייחס לתגובה הכוללת כסכום התגובות ה"קטנות" שחושבו.
למשל, עבור מעגל בעל מספר מקורות מתח או זרם, בכל שלב נתייחס למקור אחד בלבד; את יתר מקורות הזרם נחליף בנתק, ואת יתר מקורות המתח נחליף בקצר.
התגובה הכוללת של המעגל היא סכום התגובות שחושבו.
משפט המספרים המחומשים הוא משפט הקובע את הפיתוח לטור של המכפלה האינסופית .
נסמן ב- את המספר המחומש המוכלל ה-n-י.
משפט המספרים המחומשים קובע את הזהות המפתיעה:
השוויון הוא שוויון בין טורי חזקות פורמליים, והוא מתכנס לכל .
התיעוד הראשון של המשפט מופיע בהתכתבות בין לאונרד אוילר לדניאל ברנולי מ-1741. אוילר נתן הוכחה מלאה למשפט במכתב לכריסטיאן גולדבך ב-1750.
השימוש העיקרי במשפט הוא להוכחת נוסחאות נסיגה לפונקציית המחלקים ולפונקציית החלוקה.