tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
הדבר גרם גם לשריר המלעס, העוזר להפיק נשיכה חזקה להצטמצם, כך שנשיכתו לא הייתה חזקה מאוד.
את הנשיכה הוא ביצע בעזרת שרירי הצוואר הרחבים שלו, אך הם לא יועדו לעוצמה חזקה מדי כמו של טורפים אחרים.
ככל הנראה האנכליסיכטיס התפתח מטורפים ממשפחת הבוריהאיניים שהיו נפוצים באמריקה הדרומית והזכירו מעט צבועים.
הוא היה קטן יחסית בעל מבנה שהזכיר גחן או סמור והוא צד יונקים קטנים אותם דקר בעזרת ניביו הגדולות.
אנלה בנדיקט הייתה ציירת ריאליזם ונוף אמריקאי.
היא לימדה בבית הספר של מכון האמנות בשיקגו והייתה מייסדת ומנהלת במשך כמעט 50 שנה לבית הספר לאמנות בבית האל.
אנלה בנדיקט נולדה בלייק פורסט, באילינוי, בתם של סוחרי הבגדים אמזי וקתרין וולמת בנדיקט.
אביה היה חבר מועצת העיר וראש עיריית לייק פורסט.
אחיה הצעירים היו קרולין, אלברט, סידני וקייט.
בנדיקט למדה באוניברסיטת לייק פורסט, שם השתלמה בציור בשנת 1876.
אחרי זה נסעה ללמוד בבית הספר של מכון האמנות בשיקגו ובליגת הסטודנטים לאמנות בניו יורק.
לאחר מכן נסעה לפריז, צרפת ללמוד באקדמיה ז'וליאן.
למרות היותה באקדמיה יוקרתית, כסטודנטית, היא קיבלה הכשרה פחות קפדנית וחויבה בשכר לימוד גבוה יותר בהשוואה לסטודנטים גברים.
כאישה, היא הייתה מבודדת לעיתים קרובות מסטודנטים אחרים.
בנדיקט ציירה ציורי שמן וצבעי מים, דיוקנות, נופים וציורי סצנה עירונית.
סגנון הרישום והציור של בנדיקט הושפע מריאליזם ואימפרסיוניזם וציירה אנשים מסביבתה, כמו תושבי הול האוז, איכרים מקומיים, לצד נופי ים ונופים כפריים.
בשנת 1892 הפכה למייסדת ומנהלת בית הספר לאמנות בהול האוז.
במאה ה-19 החלה תנועת נשים לקדם חינוך, בצורה אוטונומית ולפרוץ לעיסוקים שנשלטו על ידי גברים באופן מסורתי.
נוסדו ארגונים שהובלו על ידי נשים, שהיו מלוכדות, וקידמו רפורמה חברתית, כולל במעמד העובדים ובשכונות העניות, כמו בהול האוז.
כדי לפתח "תפקידים חדשים לנשים, הדור הראשון של הנשים החדשות עזב את דרכיהן המסורתיות של אימהותיהן לעולם חדש ובאומץ רב.
הפעילות החברתית, הובלה על ידי נשים חדשות משכילות, לרוב רווקות.
בנדיקט התגוררה בהול האוז, כמו הרפורמיסטית ג'יין אדמס, ותמכה בתוכנית בית הספר לאמנות במשך כמעט 50 שנה.
היא לימדה דוגמנות חימר, רישום, ציור וליתוגרפיה.
היא ניהלה את תוכנית האמנות.
תוכנית האמנות, בהובלת הרפורמטורית החברתית אנלה בנדיקט, נועדה להציע הזדמנויות חינוך ותרבות לתושבי השכונות החלשות, וזאת משום שקידמה כמה תחומי עבודה דרך האמנות, כמו הטקסטיל.
בנדיקט יצרה עבור האמנים הזדמנויות להציג את עבודותיהם, כולל במכון האמנותי בשיקגו.
אנלה בנדיקט הייתה מחויבת לעיקרון שאמנות לא צריכה להיות מותרות רק עבור בעלי ההון, והיא יכולה לשמש מכשיר לשינוי חברתי.
בנדיקט סברה כי אמנות יכולה לשפר את חייהם של תושבי השכונות העניות, שלהם ימי עבודה ארוכים ותנאים עבודה קשים.
שיפור חייהם על ידי חשיפתם להזדמנות לביטוי יצירתי.
במחיר של פחות מ־15 סנט ביום, כל אחד היה יכול להשתתף בשיעור אמנות בהול האוז, ותלמידים רבים המשיכו ללמוד בבית הספר ובמכון לאמנות.
במקביל בנדיקט לימדה בבית הספר של מכון לאמנות בשיקגו, שם עבדה בבקרים שסיפקו לה הכנסה כדי שתוכל לעבוד אחר הצהריים בהול האוז מבלי לקחת תשלום.
לעיתים קרובות היא נסעה לאירופה במהלך הקיץ.
בנדיקט הציגה את עבודותיה בארמון האמנויות היפות, בבניין אילינוי ובניין האישה בתערוכה הקולומביאנית העולמית בשנת 1893 בשיקגו, אילינוי.
עבודותיה הוצגו במכון לאמנות בשיקגו ותערוכות אחרות.
הגלריה לאמנות בהול האוז, הוקדשה לזכרה ולקידום יצירתה של האמנית.
בשנת 1938 התקיימה רטרוספקטיבה של עבודתה בגלריה בנדיקט.
עבודותיה נמצאות באוספים בהאל האוז, במוזיאון האמנות של רוקפורד באילינוי, המוזיאון הלאומי לנשים באומנויות ובמכון סמיתסוניאן.
בנדיקט נפטרה ב־6 באפריל 1942 בריצ'מונד וירג'יניה.
אנל אחמדהוג'יץ' (בבוסנית: Anel Ahmedhodžić; נולד ב-26 במרץ 1999 במאלמה שבשוודיה) הוא כדורגלן בוסני-שוודי המשחק בעמדת הבלם בקבוצת פיינורד.
אחמדהוג'יץ' נולד במאלמה שבשוודיה, וגדל במחלקת הנוער של מאלמה המקומית.
ב-15 בינואר 2016 חתם אחמדהוג'יץ' בנוטינגהאם פורסט מהפוטבול ליג צ'מפיונשיפ.
ב-30 בדצמבר ערך את הופעתו היחידה במועדון, בהפסד 1–3 לניוקאסל יונייטד במסגרת המחזור ה-24 לעונת .
ב-28 בינואר 2019 חתם אחמדהוג'יץ' על חוזה לשלוש עונות במאלמה מליגת העל השוודית, המועדון בו גדל.
ב-2 ביוני ערך את הופעת הבכורה שלו במועדון, בניצחון 0–1 על הלסינגבורג במסגרת המחזור ה-12 בליגה לעונת .
בחודש יולי 2019 הושאל להוברו מליגת העל הדנית למשך עונה.
ב-15 ביולי ערך את הופעת הבכורה שלו במועדון, בתיקו 1-1 נגד ארהוס ג'ימנסטיק פורנינג במסגרת המחזור הראשון בליגה לעונת .
ב-21 ביולי הבקיע את שערו היחיד במועדון, בתיקו 1-1 נגד אסביירג במסגרת המחזור השני בליגה.
הוא נקרא בחזרה למאלמה בחודש ינואר 2020, לאחר 19 הופעות ליגה ושער אחד במועדון.
בחודש אפריל 2020 האריך אחמדהוג'יץ' את חוזהו במאלמה עד לחודש דצמבר 2023. ב-5 באוגוסט הבקיע את שער הבכורה שלו במועדון, בניצחון 1–4 על הלסינגבורג במסגרת המחזור ה-12 בליגה לעונת .
הוא ערך 29 הופעות ליגה והבקיע שני שערים בעונה זו, בה זכתה מאלמה באליפות שוודיה.
ב-14 בספטמבר 2021 הוא ערך את הופעת הבכורה שלו בליגת האלופות, בהפסד 0–3 ליובנטוס במסגרת שלב הבתים לעונת 2021/2022.
בינואר 2022 הושאל לבורדו מהליגה הצרפתית עד לסיום העונה עם אופציה לרכישה.
ב-9 בינואר 2020 ערך אחמדהוג'יץ' את הופעתו היחידה בנבחרת שוודיה, בניצחון 0–1 על נבחרת מולדובה במשחק ידידות.
בחודש אוגוסט 2020 הודיע אחמדהוג'יץ' כי הוא מעוניין לייצג בעתיד את נבחרת בוסניה והרצגובינה, וחודש לאחר מכן בקשתו אושרה על-ידי פיפ"א.
ב-8 באוקטובר 2020 ערך את הופעת הבכורה שלו בנבחרת בוסניה והרצגובינה, בהפסד לנבחרת צפון אירלנד במסגרת מוקדמות יורו 2020. ארבעה ימים לאחר מכן כבש שער בכורה בתיקו 1-1 נגד נבחרת אוקראינה.
קלווין אנלה נגקונגקה (באפריקאנס: Calvin Anele Ngcongca; 21 באוקטובר 1987 – 23 בנובמבר 2020) היה כדורגלן דרום אפריקאי ששיחק בעמדת המגן הימני.
נגקונגקה גדל במחלקות הנוער של אייסס יונייטד ו-FC פורצ'ן.
בין השנים 2003–2007 שיחק בקבוצה הבוגרת של FC פורצ'ן במסגרת ליגת המשנה הדרום אפריקאית.
ב-1 באוגוסט 2007 חתם נגקונגקה בראסינג גנק מליגת העל הבלגית.
הוא ערך 223 הופעות ליגה במדי המועדון, בהן הבקיע שמונה שערים, וזכה עם המועדון באליפות בלגיה, פעמיים בגביע הבלגי ובסופר קאפ הבלגי.
ב-29 באוגוסט 2015 הושאל נגקונגקה לטרואה מליגת העל הצרפתית למשך עונת 2015/2016. ב-19 בספטמבר ערך את הופעת הבכורה שלו במועדון, בהפסד 1-0 לאנז'ה במסגרת המחזור השישי בליגה.
ב-27 באוגוסט 2016 חתם נגקונגקה בממלודי סאנדאונס מליגת העל הדרום-אפריקאית.
הוא ערך 61 הופעות ליגה במדי המועדון, בהן הבקיע שער אחד, וזכה עם המועדון שלוש פעמים באליפות דרום אפריקה, בגביע הדרום אפריקאי ובגביע הליגה הדרום אפריקאית.
בשנת 2020 הושאל נגקונגקה לאמאזולו מליגת העל הדרום-אפריקאית.
הוא לא הספיק לערוך הופעות במדי המועדון לפני מותו.
ב-14 בנובמבר 2009 ערך נגקונגקה את הופעת הבכורה שלו בנבחרת דרום אפריקה, בתיקו 0-0 נגד נבחרת יפן במשחק ידידות.
הוא היה חלק מסגל הנבחרת במונדיאל 2010, גביע אפריקה לאומות 2013 וגביע אפריקה לאומות 2015.
בסך הכל ערך 53 הופעות במדי הנבחרת.
ב-23 בנובמבר 2020 נהרג נגקונגקה בתאונת דרכים בקוואזולו-נטאל.
גביע הליגה הדרום אפריקאית (1): 2019
אָנָלוֹגְיָה (מלעז: analogue; בעברית: היקש, הֶקֵּשׁ) היא יחס של דמיון, השוואה בין שני דברים ויותר.
אנו משתמשים באנלוגיות בחלקים נרחבים של חיינו, מאחר שהן כלי חשיבה והבנה בסיסי.
כל יצירת מושג חדש (קטגוריזציה) פירושה מתיחת קשר אנלוגי בין כמה דברים שונים.
המונח ציפורים, לדוגמה, מאגד תחתיו סוגי ציפורים שונים על בסיס קשרי דמיון מסוימים ביניהם.
גם אנלוגיות ניגודיות, המבליטות את ההבדלים בין שני אלמנטים ויותר, מתבססות על קשר אנלוגי ראשוני.
הניגודים טוב ורוע, למשל, נתפסים כשני קצוות של סקאלה מוסרית, סקאלה זו אינה אלא קשר אנלוגי.
"טוב" ו"רע" מנוגדים על בסיס אתי.
אנלוגיות הן מתחומי המחקר המרכזיים בתורת הספרות, מאחר שהן עומדות בבסיס תופעות ספרותיות רבות, ממטפורות ועד לאינטרטקסטואליות.
רומן יאקובסון במאמרו, "בלשנות ופואטיקה", טען כי אנלוגיות הן המייחד את לשון הספרות (הפונקציה הפואטית).
המחקר הקוגניטיבי עוסק באנלוגיות מכמה הבטים שונים:
אנלוגיות והאופן בו אנו מייצרים ושופטים אותן
אנלוגיה בביולוגיה משמעותה דמיון בין מינים שונים, כאשר מוצא הדמיון הוא שונה מבחינה אבולוציונית.
הדמיון יכול להיות דמיון פיזי או דמיון תפקודי.
לדוגמה – כנפיים של ציפור וכנפיים של חרק הן אנלוגיות: תפקידן זהה, אך הן בנויות בצורה שונה ומקורן האבולוציוני הוא אחר.
זאת בשונה מהומולוגיה בה איבר בעל מקור זהה יכול לתפקד בצורה שונה למשל, סנפיר של לווייתן ורגל של סוס.
בכימיה, אנלוגיה היא חומר שדומה לחומר אחר ולכן יכול לתפקד בצורה דומה לו.
דוגמה לכך היא אנלוג של סובסטרט שיכול לשמש לייצור תרופות.
בפיזיקה יש חשיבות רבה לשימוש באנלוגיות כדי לבנות השערות על אופן פעולתן של מערכות פיזיקליות שונות.
דוגמה ידועה היא האנלוגיה שהציע חלוץ האטום ארנסט רתרפורד בין המודל ההליוצנטרי של מערכת השמש לבין המודל הפלנטרי של מבנה האטום, שפותח על ידיו כדי להסביר את תוצאות ניסוי רתרפורד.
גרעין האטום במודל היה אנלוגי לשמש, האלקטרונים לכוכבי הלכת, והכוח החשמלי לכוח הכבידה.
בבלשנות המונח אנלוגיה מתייחס בעיקר לתופעות בתחום המורפולוגיה, אך לפעמים גם לתופעות בתחום התחביר או הפונולוגיה.
אנלוגיה היא הסדרה של מערכות נטייה (פרדיגמות) של מילים, או האחדה של כללים תחביריים לכלל אחד, על ידי השוואה לא-מודעת שעורך הדובר בין מערכות נטייה שונות, או מבנים תחביריים שונים, ומיזוגם.
לדוגמה, בעברית קיימים ארבעה דגמים של נטיית פעלים בבניין קל:
קיימת גם אנלוגיה בין גזרות, גזרת נל"א בבניין קל בצורת בינוני פעול לעיתים נוטה בדומה לגזרת נל"י/ה, לדוגמה: נשוי (השורש נ.ש.א), סמוי (ס.מ.א), חבוי (ח.ב.א), מצוי (מ.צ.א), קרוי (ק.ר.א).
במונחון זה מופיעות לרבים מהמונחים הגדרות אינטואיטיביות.
הגדרה פורמלית מופיעה בערך המתאים.
חדו"א: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, Calculus, הענף המתמטי העוסק בתורת הגבולות, בפונקציות ממשיות ובחקירת התכונות של נגזרות ואינטגרלים.
סדרה: קבוצה בת מנייה של איברים שמסודרים בסדר מסוים, כך שלכל איבר יש איבר הבא מיד אחריו.
תת סדרה: סדרה המכילה, לפי הסדר, איברים השייכים לסדרה אחרת.
סדרת קושי: סדרה שהמרחק המקסימלי בין איבריה הולך וקטן כאשר מתעלמים ממספר גדל והולך של איברים בראשיתה.
טור: סכום של איברי סדרה כלשהי.
גבול: אינטואיטיבית - מספר כלשהו הוא גבול של הסדרה אם אברי הסדרה הולכים ומתקרבים ("שואפים") אל המספר הזה.
משפט בולצאנו-ויירשטראס: מכל סדרה חסומה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול.
אינפיניטסימל: מספר הקטן עד כדי אינסוף, גודל שהוא בעל סתירה עצמית אך כלי מאוד יעיל לביצוע חישובים.
פונקציה: כלל שמתאים לכל איבר מקבוצה אחת איבר יחיד מקבוצה אחרת.
פונקציה ממשית: פונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצת המספרים הממשיים.
פונקציה קעורה: פונקציה קעורה היא פונקציה הנמצאת תמיד מעל לישר המחבר שתי נקודות בגרף הפונקציה.
פונקציה קמורה: פונקציה קמורה היא פונקציה הנמצאת תמיד מתחת לישר המחבר שתי נקודות בגרף הפונקציה.
פונקציה ליניארית: פונקציה שמתוארת על ידי קו ישר.
פונקציה מונוטונית: פונקציה השומרת על מגמת עלייה או ירידה.
פונקציה אנליטית: פונקציה נקראת אנליטית בנקודה Z, אם היא גזירה בנקודה Z וגם גזירה בסביבה כלשהי שלה (אפילו תחום קטן מאוד) ונקראת אנליטית בתחום D, אם היא אנליטית בכל הנקודות שבתחום D.
במקרה שהתחום הוא אינסופי או אין תחום- היא אינה אנליטית.
פונקציה מרוכבת: פונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצת המספרים המרוכבים.
פונקציה רציפה: אינטואיטיבית - פונקציה שניתן לצייר את הגרף שלה בלי להרים את העיפרון מהדף.
רציפות במידה שווה: תכונה של פונקציה, שבאופן אינטואיטיבי פירושה שקצב ההשתנות של הפונקציה בקטע שבו היא רציפה במידה שווה הוא חסום.
משפט ערך הביניים: אינטואיטיבית - פונקציה רציפה לא "מדלגת" על ערכים.
כלומר, אם הפונקציה מקבלת שני ערכים שונים בשתי נקודות שונות, היא תקבל גם כל ערך שבין שני ערכים אלה בקטע שקצותיו הם נקודות אלה.
משפט ויירשטראס הראשון - פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה בו.
משפט ויירשטראס השני - פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו ערך מקסימלי וערך מינימלי.
משפט קנטור - פונקציה רציפה בקטע סגור רציפה בו במידה שווה.
נגזרת: פונקציה שמתקבלת מפונקציה אחרת, ומתארת את קצב ההשתנות של אותה פונקציה.
נגזרת של פונקציה בנקודה מסוימת שווה לשיפוע של המשיק לפונקציה באותה נקודה.
משפט פרמה - אם לפונקציה גזירה יש נקודת קיצון בנקודה מסוימת, נגזרתה מתאפסת באותה נקודה.
משפט רול - אם פונקציה גזירה בקטע פתוח, רציפה בקצותיו וערכיה בקצותיו שווים, נגזרתה מתאפסת באחת מנקודות הקטע.
משפט הערך הממוצע של לגראנז' - הכללה של משפט רול: אם פונקציה גזירה בקטע פתוח ורציפה בקצותיו, יש נקודה בתוך הקטע שהנגזרת בה שווה לשיפוע המיתר המחבר את שתי נקודות הקצה של הפונקציה.
משפט הערך הממוצע של קושי - הכללה של משפט לגראנז'.
משפט דארבו - אם פונקציה גזירה בקטע סגור, הנגזרת שלה מקבלת כל ערך בין הערכים שהיא מקבלת בקצוות הקטע.
כלל לופיטל - כלל יעיל לחישוב גבול של מנה של שתי פונקציות השואפות שתיהן לאפס או אינסוף, על ידי חישוב גבול מנת הנגזרות שלהן.
אינטגרל מסוים: הכללה של מושג הסכום.
אינטגרל של פונקציה ממשית חיובית שווה לשטח הכלוא בין הגרף שלה לציר ה.
אינטגרל לא מסוים: אוסף הפונקציות הקדומות של פונקציה כלשהי.
אינטגרל התלוי בפרמטר: אינטגרל שערכו מותנה בפרמטר הניתן לו - כלומר, הוא פונקציה של הפרמטר.
אינטגרל כפול: אינטגרל על פונקציה בעלת שני משתנים, שמוגדרת על תחום במישור.
המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי - המשפט הקושר את מושגי הנגזרת, האינטגרל המסוים והאינטגרל הלא מסוים.
טור טיילור: קירוב לפונקציה על ידי פולינום סופי, שמקדמיו תלויים בערכי נגזרת הפונקציה בנקודה מסוימת.
כמו כן ניתן להעריך את הקירוב המושג על ידי הפולינום (השארית).
שיטת ניוטון-רפסון: שיטת קירוב איטרטיבית למציאת שורשים של פונקציה באמצעות הנגזרת שלה.
אַנַלִיזָה נוּמֶרִית היא ענף של המתמטיקה השימושית, אשר עוסק בשיטות יעילות לפתרון מקורב של בעיות מספריות של המתמטיקה הרציפה, כולל הערכת השגיאה הכרוכה בחישובים מקורבים שכאלה.
אנליזה נומרית מאפשרת לפתור בעיות כמו מציאת שורשים של פונקציות (למשל פולינומים ממעלה גבוהה, פונקציות טריגונומטריות וכדומה), חישוב אינטגרלים של פונקציות לא אנליטיות, ובעיות אחרות שקשה עד בלתי אפשרי למצוא להן פתרון אנליטי המתאים לכל פרמטר אפשרי.
זהו כלי חיוני, שכן לרוב התופעות בטבע לא קיים תיאור פונקציונלי פשוט.
העיקרון העומד בבסיס האנליזה הנומרית הוא שיש בעיות חישוביות שאי אפשר לפתור במדויק, וגם את אלו שאפשר לפתור, לפעמים עדיף למצוא להן תשובה מקורבת ויעילה בתוך תחומי שגיאה נתונים.
אנליזה נומרית משמשת לפתרון בעיות בתחומי ההנדסה והפיזיקה, ויישומים נוספים כגון רפואה, עסקים, מדעי החיים, מדעי החברה ואפילו אומנות.
הגידול בכוח המחשוב הביא לשימוש גדל והולך במודלים מתמטיים בכל תחומי המדע.
לדוגמה: משוואות דיפרנציאליות רגילות משמשות במדעי החלל (לחיזוי של תנועות כוכבים וגלקסיות), חישובים מקורבים של אלגברה ליניארית חשובים לניתוח מידע, שרשראות מרקוב משמשות בלמידת חיזוקים ובביולוגיה, מציאת נקודת מינימום לפונקציה חשובה בתחומים של למידת מכונה ואופטימיזציה.
למרות הזיקה ההדוקה של התחום למדעי המחשב, התחום של אנליזה נומרית הקדים את המצאת המחשבים במאות רבות.
אינטרפולציה ליניארית הייתה כבר בשימוש לפני יותר מאלפיים שנים.
ושיטות מתקדמות יותר כבר הופיעו בתשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה שמתוארך לשנת 179 לספירה.
הרבה מתמטיקאים מפורסמים תרמו במהלך ההיסטוריה תרומות נכבדות לתחום, ניתן לראות זאת משמות חלק מהאלגוריתמים בתחום, לדוגמה שיטת ניוטון-רפסון, צורת לגראנז' לחישוב אינטרפולציה, שיטת החילוץ של גאוס ושיטת אוילר.
כדי להקל על החישובים ביד שהיו ארוכים ומסורבלים, נוצרו ספרים שהכילו נוסחאות ומידע רב (לדוגמה מקדמי פונקציה וערכי פונקציה בנקודות מסוימות).
על ידי חיבור של נוסחאות ושימוש במידע שהיה בטבלאות ניתן היה להגיע להערכות נומריות טובות.
כיום בעידן המחשב, טבלאות ובהן ערכי הפונקציות שימושיות פחות, אף על פי שרשימה של נוסחאות עדיין יכולה להיות שימושית.
שיטות ישירות מחשבות את הפתרון במספר סופי של צעדים.
השיטות הללו היו נותנות פתרון מדויק אם הן היו מופעלות בדיוק אינסופי.
למעשה, במציאות משתמשים בדיוק מוגבל (בגלל מגבלות זיכרון), ולכן השיטות הללו נותנות קירוב של הפתרון (בהנחה של יציבות נומרית).
בין השיטות הללו ניתן למצוא את שיטת החילוץ של גאוס, פירוק QR בעבור פתרון של מערכת משוואות ליניארית, ואת שיטת הסימפלקס בעבור תכנון ליניארי.
בניגוד לשיטות ישירות, שיטות איטרטיביות לא אמורות להחזיר את הפתרון המדויק תוך מספר סופי של צעדים.
שיטות איטרטיביות מתחילות מניחוש התחלתי כדי לייצר סדרת קירובים טובים יותר ויותר לפתרון בעיה נתונה, כאשר הקירוב ה-n-י מחושב על ידי הקירובים שלפניו.
הקירובים יתכנסו לפתרון המדויק בדרך כלל רק לאחר אינסוף איטרציות (גבול סדרת הקירובים הוא הפתרון).
ומבחני התכנסות נועדו להחליט מתי פתרון מדיוק מספיק נמצא.
אפילו אם היה נעשה שימוש בדיוק אינסופי, שיטות אלו בדרך כלל תתכנסנה לפתרון במספר סופי של צעדים.
שיטת ניוטון-רפסון, שיטת החצייה, שיטת גאוס-זיידל ושיטת יעקובי למציאת ערכים עצמיים הן דוגמאות לשיטות איטרטיביות.
שיטות איטרטיביות יופעלו בדרך כלל על בעיות שאין להן שיטה ישירה לפתרון.
אולם נפוץ השימוש בהן גם במקרים שקיים פתרון ישיר אבל מספר הצעדים הנדרשים כדי לחשבו הוא גדול מדי, ולכן מסתפקים בקירוב לפתרון.
שיטה טובה מקיימת את שלוש התכונות הבאות:
דיוק – על האומדן הנומרי להיות מדויק ככל האפשר.
הדבר דורש מהאלגוריתם להיות יציב מבחינה נומרית כפי שמוסבר בחלק הבא.
איכות – על האלגוריתם לספק פתרונות מספקים לבעיות רבות, ועליו לידע את המשתמש עד כמה התוצאה מדויקת, כלומר עליו להיות מסוגל לאמוד את שיעור השגיאה.
מהירות – קריטריון נוסף למדידת איכותו של אלגוריתם הוא המהירות בה הוא מסוגל לספק תוצאות.
על סיבוכיותו של אלגוריתם טוב להיות נמוכה.
לעיתים קרובות התכונות הללו באות זו על חשבונה של האחרת.
למשל, בדרך כלל שיטה אחת תהיה בעלת התכנסות מהירה (ודיוק מופחת) בעוד שהשנייה תהיה יותר מדויקת (אבל זמן התכנסות ארוך יותר).
פירוש הדבר שאין אלגוריתם שהוא הטוב ביותר בכל המקרים.
וכך אפשר להבטיח גם התכנסות מהירה וגם התכנסות מדויקת).
אף על פי שאנליזה נומרית עושה שימוש באקסיומות, תאוריות והוכחות תאורטיות, היא יכולה להשתמש בתוצאות אמפיריות של חישובי מחשב על מנת לחקור שיטות חדשות ולנתח בעיות.
בכך היא ייחודית בהשוואה לתחומי מתמטיקה אחרים.
אינטרפולציה פותרת את הבעיה הבאה: בהינתן הערך של פונקציה לא ידועה בכמה נקודות, מהו הערך של הפונקציה בנקודה אחרת שנמצאת בין הנקודות הנתונות?
אקסטרפולציה מאוד דומה לאינטרפולציה, רק שהנקודה שאת ערכה רוצים לדעת היא מחוץ לתחום הנקודות הנתונות.
רגרסיה גם דומה, אולם ההנחה ברגרסיה היא שהנתונים לא מדויקים בהכרח.
בהינתן הערך של פונקציה לא ידועה בכמה נקודות (עם שגיאה), רגרסיה מאפשרת לחשב את הפונקציה המקורית.
בעוד שחלק מהאינטגרלים ניתן לחשב באמצעות שיטות אנליטיות הרי יש אינטגרלים אותם לא ניתן לחשב בצורה כזאת.
לדוגמה לא קיים פתרון אנליטי לאינטגרל , אולם למרות זאת הוא ניתן לחישוב בצורה נומרית.
שיטות נפוצות הן: נוסחאות ניוטון-קוטס (שמקרה פרטי שלהן הוא שיטת הטרפז) שמחלקת את האורך לקטעים שווים, שיטת רומברג (שיטה העושה שימוש בשיטת הטרפז עם מרווחים לא קבועים), שיטת גאוס ושיטת מונטה קרלו.
שיטות אלו גם מתחלקות לשיטות פתוחות (לא עושות שימוש בנקודות הקצה, אלא רק בנקודות פנימיות של התחום), ושיטות סגורות (עושות שימוש בכל הנקודות הנתונות).
בעיה בסיסית אחרת היא חישוב פתרון למשוואה נתונה.
שני המקרים העיקריים הם משוואות ליניאריות, ומשוואות לא ליניאריות.
לדוגמה היא משוואה ליניארית, בעוד אינה ליניארית.
מאמץ רב הושקע לאורך השנים בפיתוח שיטות לפתרון של מערכת משוואות ליניאריות.
שיטות ישירות כגון שיטת האלימינציה של גאוס.
וכאלו שמתבססות על פירוק המטריצה כגון פירוק LU ופירוק QR למטריצות כלליות ופירוק שולסקי כאשר המטריצה היא הרמיטית חיובית.
שיטות איטרטיביות כגון שיטת גאוס-זיידל מועדפות בדרך כלל כאשר מספר המשתנים גדול.
שיטות לפתרון משוואות לא ליניאריות כוללות את שיטת ניוטון רפסון, וכדי לפתור מערכת משוואות לא ליניארית קיימות שיטות כמו Gradient descent.
אנליזה נומרית עוסקת גם בחישוב פתרונות (מקורבים) למשוואות דיפרנציאליות, בין אם המשוואה היא משוואה דיפרנציאלית רגילה ובין אם היא משוואה דיפרנציאלית חלקית.
מכיוון שקיימים מקרים רבים בהם לא ניתן לפתור את המשוואה באופן אנליטי (למשל עבור בעיה של התפשטות קול בחדר מרובע, הוספת שולחן יוצרת בעיה שאינה פתירה באופן אנליטי).
שיטות לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות כוללות בין היתר את שיטת האלמנטים הסופיים ואת שיטת ההפרש הסופי בתחום הזמן.
שתיהן עושות שימוש בחלוקת המרחב לקטעים קטנים בהתאם לדיוק הרצוי, כך שבין אזורים אלו ההבדלים בערך הפונקציה הנעלמת קטנים.
בעיות אופטימיזציה מבקשות למצוא את הנקודה שבה ערך הפונקציה יהיה מקסימלי (או מינימלי).
בדרך כלל על הנקודה לקיים אילוצים שונים (לדוגמה להיות בתוך תחום מסוים).
בעיות אופטימיזציה ידועות הן לדוגמה תכנון ליניארי (כאשר פונקציית המטרה והאילוצים הם ליניאריים), תכנון לא-ליניארי (כאשר לפחות אחת מהפונקציות אינה ליניארית), אופטימיזציה קמורה, תכנון ליניארי בשלמים ועוד.
האלגוריתמים המוכרים ביותר לפתרון בעיות אופטימיזציה הם אלגוריתם הסימפלקס בעבור בעיות תכנון ליניארי, Gradient descent למציאת מינימום של פונקציה ושיטת פורד-פלקרסון (ומימושים יעילים שלה כגון אלגוריתם אדמונדס-קארפ ואלגוריתם דיניץ) בעבור בעיות זרימה.
חברות כלי רכב יכולות לשפר את הבטיחות ברכבים על ידי סימולציות של התנגשויות.
סימולציות כאלו דורשות פתרון למשוואות דיפרנציאליות חלקיות בצורה נומרית.
קרנות גידור משתמשות בשיטות נומריות כדי לחזות ערכים של מניות.
חברות תעופה משתמשות באלגוריתמי אופטימיזציה כדי לקבוע את מחיר כרטיס הטיסה, סוגי המטוסים, וכמויות הדלק שידרשו כדי למקסם את הרווחים.
חברות ביטוח משתמשות בשיטות נומריות בשביל חישובים אקטואריים.
בתחומים רבים של למידת מכונה נעשה שימוש רב באופטימיזציה (כדי למצוא את הפעולה הטובה ביותר לסוכן).
בביולוגיה, שרשראות מרקוב ומשוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות חיוניות לסימולציות של תאים.
אנליזה נומרית מאפשרת להפוך תוצאות מתמטיות אבסטרקטיות (למשל ) לתוצאות עשרוניות.
אנליזה נומרית אפשרה למשל למחשב (ל-Word ליתר דיוק) לצייר את העיגול הבא:
קוטרו של העיגול הוא 4.76 ס"מ והנקודה הכחולה ממוקמת ב-45 מעלות יחסית למרכז העיגול (הנקודה השחורה).
החישוב נעשה בדרך הבאה, בהנחה כי מרכז העיגול הוא ראשית הצירים (זאת הנחה סבירה כי אפשר להביא את החלון למצב כזה על ידי הגדרות כלליות שלו, בלי צורך לשנות את החישוב עצמו):
משתמשים בפיתוח טיילור עד לסדר רביעי (או אחר) על מנת לחשב את החישובים הבאים ( מייצגים את הפיקסל שבהם רוצים לצייר, מייצג את רדיוס המעגל, מייצגת את הזווית, הסוגריים המרובעים מציינים לקחת ערך שלם, החישובים נעשים ברדיאנים):
מגדילים את הזווית ב-, מחשבים את הנוסחאות הקודמות וחוזרים על סעיף זה 200 פעמים.
בציור זה משתמשים באנליזה נומרית בצורה פשוטה יחסית פעמיים, בשני המקרים מדובר על שימוש בפיתוח טיילור שהוא קירוב של טור טיילור המתמטי.
השימוש הוא על מנת לחשב את הפונקציות הטריגונומטריות שאינן נמנות עם הפעולות הבסיסיות שהמעבד יכול לבצע (כמו חיבור).
אנליזה נומרית נדרשה גם בשביל לקבוע את המיקום המדויק של הנקודה.
לכאורה אין בעיה מכיוון שבמתמטיקה ידועה התוצאה:
אולם המחשב איננו יכול לעבוד עם סימולים כמו על מנת להציבם ב- שהופיעו בחישוב המעגל אלא הוא זקוק לייצוג בינארי של הסימולים, ייצוג המושג על ידי אנליזה נומרית מאפשר למחשב (לאחר הכפלה ברדיוס המעגל) לצייר את הנקודה.
אָנָלִיזָה מָתֶמָטִית היא ענף מרכזי במתמטיקה החוקר פונקציות מתמטיות ממשיות ומרוכבות.
רציפות של פונקציה, גזירותה, אינטגרביליות והתכנסות של טור איברים – כל אלה הם מושגים חשובים שבהם עוסקת האנליזה.
כדי להגדיר מושגים אלה במדויק יש צורך להשתמש ברעיון המרכזי של גבול המפריד בין האנליזה לבין יתר חלקי המתמטיקה: באנליזה יש מעברים גבוליים.
האנליזה החלה בחקירת פונקציות ממשיות ובפרט פונקציות ממשיות רציפות.
פונקציות רציפות הן פונקציות אותן "ניתן לצייר מבלי להרים את העט מהדף" – פונקציות שאינן נקטעות או קופצות בחדות בין ערכים.
הגדרה מדויקת של רציפות מחייבת שימוש במושג הגבול.
משפטים מרכזיים בתחום זה הם משפט ערך הביניים, משפטי ויירשטראס ומשפט קנטור לרציפות במידה שווה.
בתוך משפחת הפונקציות הרציפות מתמקדת האנליזה בפונקציות הגזירות – אלו שאין להן "שפיצים" והן חלקות – כלומר, השינויים בהן אינם מיידיים וקיצוניים.
לצורך כך מגדירים את הנגזרת.
סכימה של פונקציה בדרך של מעבר גבול היא האינטגרציה.
בדרך זו מתקבל סכום מדויק יותר מסכומים שמתבססים על דגימת הפונקציה בנקודות נפרדות, מכיוון שהאינטגרל מביא בחשבון את ערכי הפונקציה בכל אחת מנקודותיה.
האנליזה עוסקת גם בטורים אינסופיים – סכומים אינסופיים שיכולים להיות של מספרים (ואז נשאלת השאלה האם גם סכום הטור הוא מספר) או פונקציות (ואז נשאלת השאלה מהו סוג הפונקציה אליה מתכנס הטור, אם בכלל).
בהקשר של טורי פונקציות קיים המושג של התכנסות במידה שווה, שהוא סוג התכנסות של טור פונקציות השומר על התכונות של איבריו (הפונקציות).
מקרה פרטי מיוחד בחקר טורי הפונקציות הוא טורי החזקות, שלהתכנסותם יש מספר תכונות מיוחדות; רבות מהפונקציות המוכרות לנו ניתנות להבעה באמצעות טורים אלו, שקל יחסית לחשבם.
רציפות, גזירות, אינטגרציה וסכימת טורים של פונקציות ממשיות – אלה חלקי האנליזה הקלאסיים.
חקירת פונקציות מרוכבות ובעלות מספר משתנים.
חקירת פונקציות של מספר משתנים מכלילה את המושגים המוכרים מפונקציות של משתנה אחד, ומרחיבה אותם – למשל, מושג הדיפרנציאביליות, שמבטא את היכולת לקרב פונקציה מרובת משתנים בצורה ליניארית, הוא הכללה של מושג הנגזרת במשתנה יחיד.
גם לפונקציות מרוכבות ניתן להגדיר את המושגים הבסיסיים של האנליזה, כגון נגזרת ואינטגרל, אך בשל תכונות המרחב המרוכב, תכונות אלו הן חזקות יותר ובעלות השלכות עמוקות יותר מאשר במקרה הממשי.
הרקמה הבסיסית של הפונקציות – הטופולוגיה.
בענף זה נחקרים המרחבים המטריים, שבהם מרחיבים את מושג המרחק, בו משתמשים באנליזה, למושג המטריקה – מושג יותר כללי של מרחק, הנותן משפחה ענפה יותר של מרחבים.
כמו כן משתמשים באחד המושגים הנובעים ממושג המטריקה – הקבוצה הפתוחה בתור המושג היסודי שעליו נבנים מרחבים – והתוצאה, המרחבים הטופולוגיים, שהיא משפחה רחבה עוד יותר של מרחבים המהווה הכללה והפשטה של המרחבים הנחקרים באנליזה.
הטופולוגיה מכלילה תכונות רבות של מרחבים, דוגמת קומפקטיות וקשירות.
כלי העבודה הבסיסי בטופולוגיה הן הפונקציות הרציפות (שגם הגדרתן הופכת לכללית יותר) שמשמרות את צורתן של הקבוצות עליהן הן פועלות, גם אם הן "מעקמות" אותן.
משוואות המערבות פונקציות ונגזרותיהן – משוואות דיפרנציאליות.
המשוואות הדיפרנציאליות מופיעות בענפים רבים של המדע, ובשל הקושי שהן מציבות דרושות דרכים יעילות לפתרונן.
מספר המשוואות הניתנות לפתרון הוא קטן יחסית, ועוד יותר קטן מספר המשוואות הניתנות לפתרון שיטתי.
על כן חקר המשוואות הדיפרנציאליות עוסק גם בדרכים להוכחת קיום ויחידות של פתרון, ובשיטות למצוא פתרון מקורב למשוואה שבה עוסקים.
חקר המשוואות הדיפרנציאליות נחלק בין חקר משוואות דיפרנציאליות רגילות, העוסקות בפונקציה של משתנה אחד ונגזרותיה, וחקר משוואות דיפרנציאליות חלקיות, העוסקות בפונקציה מרובת משתנים ובנגזרותיה החלקיות.
תורת המידה המכלילה מושגים של אורך ו"גודל" של קבוצות ובכך מאפשרת לבצע אנליזה על קבוצות מורכבות ומוזרות כגון קבוצת קנטור או פרקטלים.
יישומיה המרכזיים הם מידת לבג ואינטגרל לבג.
לענפים רבים במתמטיקה יש תחום אנליזה מתאים:
אנליזה ממשית – ניתוח של פונקציות ממשיות רגילות.
אנליזה מרוכבת – ניתוח של פונקציות מרוכבות.
אנליזה וקטורית – האנליזה של פונקציות ממשיות במספר משתנים: ניתוח של פוטנציאל (פונקציה המקבלת וקטור ומחזירה סקלר) ושל שדה וקטורי (פונקציה המקבלת וקטור ומחזירה וקטור).
אנליזה פונקציונלית – ניתוח של אופרטורים ופונקציונלים, כלומר העתקות שהארגומנט שלהן הוא פונקציה (והן מחזירות פונקציה אחרת או מספר סקלרי, בהתאמה).
אנליזה הרמונית – ניתוח של פונקציות באמצעות טורי פורייה.
אנליזה נומרית – ניתוח של פונקציות והשתנותן באמצעות קירובים נומריים.
אָנָלִיזָה וֶקְטוֹרִית היא תחום של המתמטיקה העוסק באנליזה של פונקציות המוגדרות מעל מרחב וקטורי.
בדרך כלל, מתמקדת האנליזה הווקטורית ב-, הוא המרחב האוקלידי התלת-ממדי, שמתאים לתיאור המציאות הפיזיקלית שלנו ולכן שימושי ביותר בפיזיקה.
האנליזה הווקטורית פותחה על ידי ג'וסיה וילארד גיבס ואוליבר הביסייד בסוף המאה ה-19.
כדי להבין את מושגי היסוד באנליזה וקטורית, יש להכיר את הווקטורים ואת הפעולות האפשריות בין הווקטורים עצמם ובין סקלרים.
פעולות אלה הן הכללה של פעולות החיבור והכפל המוגדרות על איברי שדה.
בפרט, יש להכיר את הנושאים מאלגברה ליניארית של מרחב וקטורי ומרחב מכפלה פנימית.
המרחב האוקלידי (ובפרט ) הוא מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית שמוגדר מעל שדה המספרים הממשיים.
וקטור במרחב וקטורי מממד סופי אפשר לכתוב בצורה , כאשר המספרים הם הרכיבים או הקואורדינטות של .
במרחב התלת-ממדי הווקטורים מייצגים את וקטורי הבסיס הסטנדרטי, המתאימים למערכת הצירים הקרטזית.
בכתיבה לפי רכיבים, הם שווים לווקטורים בהתאמה.
למבוא יותר אינטואיטיבי על וקטורים במרחב התלת-ממדי, ראו וקטור (פיזיקה).
חיבור וקטורים: מחברים וקטורים לפי רכיבים: .
בניגוד לחיבור, יש מספר סוגים של פעולות כפל המערבים וקטורים:
כפל בסקלר: אם הוא מספר ממשי ו- וקטור, אז הוא הכפל של בסקלר .
מכפלה סקלרית (Dot product): המכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא מספר, המוגדר לפי .
מספר זה הוא מכפלת האורך של הווקטור הראשון, האורך של הווקטור השני וקוסינוס הזווית שביניהם.
המכפלה הסקלרית מתאפסת אם ורק אם הווקטורים ניצבים.
מכפלה וקטורית (Cross product): במרחב התלת-ממדי מוגדרת פעולה נוספת, הקרויה מכפלה וקטורית.
המכפלה הווקטורית של שני וקטורים היא וקטור המאונך לשניהם, שאורכו הוא כשטח המקבילית הנוצרת ביניהם, כלומר אורך הווקטור הראשון כפול אורך השני כפול סינוס הזווית שביניהם.
את כללי החישוב של המכפלה הווקטורית קל לזכור באמצעות סימון הדטרמיננטה:
כאשר הן וקטורי היחידה של הצירים X ,Y ,Z בהתאמה.
בעוד ששתי הפעולות הראשונות מוגדרות בכל ממד, ובפרט בממד-1 מתכנסות לכפל הרגיל, המכפלה הווקטורית מוגדרת רק במרחב האוקלידי מממד 3.
כדי שנוכל לדבר על אנליזה מתמטית במרחב האוקלידי עלינו להיות מצוידים במושגים של "פונקציות רציפות" ו"נקודות קרובות (באותה סביבה)".
לשם כך, עלינו להגדיר על המרחב טופולוגיה.
הטופולוגיה שבדרך כלל מוגדרת על היא הטופולוגיה המטרית המושרית מהמטריקה הבאה שאנו מגדירים על המרחב:
ניתן לראות שמטריקה זו היא בעצם ההכללה של משפט פיתגורס ולכן מהווה הכללה לפונקציית המרחק האוקלידית במישור.
את המטריקה הזאת ניתן להציג באמצעות המכפלה הסקלרית שהגדרנו קודם:
ובכך המרחב שהגדרנו הוא למעשה מרחב מכפלה פנימית המהווה גם מרחב נורמי.
יתרה מכך, המרחב מהווה מרחב הילברט (מממד סופי).
עבור מרחב וקטורי V נהוג בדרך כלל להסתכל על המרחב הדואלי שלו
זהו מרחב הפונקציונלים הליניאריים מ-V לשדה המספרים הממשיים.
המרחב הדואלי הוא תמיד מרחב וקטורי, ומאותו ממד כמו של V.
כאשר עוסקים במרחבים וקטוריים מטריים מצמצמים את המרחב הדואלי לאוסף הפונקציונלים הליניאריים הרציפים בלבד, אם כי עבור ממדים סופיים אין הבדל בין ההגדרות.
מסתבר שביישומים רבים של האנליזה הפונקציונלית *V יותר שימושי מ-V.
באמצעותו אפשר להגדיר טופולוגיה חלשה על V (פשוט קובעים שכל הפונקציונלים הליניאריים עליו נחשבים כרציפים) ונוח יותר לבצע אינטגרציה לפונקציונל מ-*V מאשר לווקטור מ-V.
כאשר לא עוסקים במרחבים וקטוריים מטריים, יש חשיבות גדולה להבחנות בין המרחבים *V ל-V ולאינטראקציה ביניהם אך עבור מרחב מטרי V שני המרחבים איזומטריים וניתן להתאים לכל וקטור ב-V פונקציונל ב-*V ולהפך (באופן חח"ע ועל) באמצעות המטריקה.
במקרה של מרחב הילברט תכונה זו ידועה כמשפט ההצגה של ריס.
האנליזה הווקטורית עוסקת, כאמור, בווקטורים שהרכיבים שלהם הם מספרים ממשיים או פונקציות.
כדי לפשט את הסימונים והחישובים, מוסיפים למערכת את אופרטורי הגזירה , המסמנים את הנגזרת החלקית לפי המשתנים , בהתאמה.
כעת אפשר לבנות וקטורים מכמה סוגים: וקטורים קבועים (כמו ), וקטורים של פונקציות (כמו או ) וגם וקטורים של אופרטורים, כמו .
אפשר לבצע פעולות כמו כפל סקלרי או וקטורי בין וקטורים מכל הסוגים כל עוד הן מתבצעות בצורה נכונה.
באופן כללי יותר, אפשר לחשוב גם על הפונקציות הסקלריות כעל אופרטורים: הפונקציה מתאימה לפעולה של כפל ב- .
כעת אפשר להתייחס לסקלרים מכל הסוגים (פונקציות ואופרטורים דיפרנציאליים) באותו אופן: לכפל (משמאל) בפונקציה יש הפירוש הרגיל של כפל, וכפל משמאל באופרטור יש לחשב על-פי כללי הגזירה.
נעיר שבהכפלת סקלרים הסדר אינו חשוב, אבל כאשר מערבים אופרטורים דיפרנציאליים ופונקציות, הסדר חשוב.
לדוגמה, הכפלת הפונקציה במשתנה ואחר-כך בנגזרת מחזירה , בעוד שהכפלה בסדר הפוך מחזירה : ההפרש שווה לפונקציה המקורית.
אפשר לסכם הבחנה זו בזהות .
היתרון בגישה זו הוא שהיא מאפשרת טיפול אחיד בפונקציות ובאופרטורים, כפי שנראה בהמשך.
פונקציה המתאימה לכל נקודה במרחב ערך סקלרי נקראת שדה סקלרי או בהשאלה מפיזיקה (ובייחוד אלקטרומגנטיות): פוטנציאל.
טמפרטורת המים בנהר - לכל נקודה בנהר (המרחב) מותאמת הטמפרטורה באותה נקודה (סקלר).
פונקציה המתאימה לכל נקודה במרחב וקטור (ליתר דיוק, וקטור מהמרחב המשיק באותה נקודה) נקראת שדה וקטורי.
זרימת מים בנהר - לכל נקודה בנהר (המרחב) מותאם וקטור שכיוונו ככיוון זרימת המים באותה נקודה וגודלו כמהירות הזרימה.
השדות בדרך כלל אינם ליניאריים, ואפילו לא בהכרח רציפים.
למרות זאת, באנליזה וקטורית מתעניינים בעיקר בפונקציות חלקות (שיש להן נגזרות מכל סדר), או בעלות מספר סופי בלבד של נקודות סינגולריות.
פרק זה דן במרחב הווקטורי (הפיזיקלי) , שיתואר בקואורדינטות קרטזיות, אלא אם כן מצוין במפורש אחרת.
האופרטור הבסיסי במרחב זה הוא אופרטור הגזירה (נקרא גם דֶל), המוגדר:
אפשר לקבל את האופרטורים הדיפרנציאליים היסודיים על ידי פעולות הכפל השונות בהן משתתף אופרטור הגזירה:
הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי שרכיביו הם הנגזרות החלקיות של השדה המקורי.
הדיברגנץ של שדה וקטורי הוא שדה סקלרי המודד את קצב השינוי במאונך לצירים.
הרוטור (או curl) של שדה וקטורי תלת-ממדי הוא שדה וקטורי המודד את כיוון השינוי של השדה המקורי.
המכפלה הסקלרית של עם עצמו היא אופרטור חשוב אחר, הנקרא לפלסיאן.
לעיתים נקרא הסימון המשולש של האופרטור בשם "נבלא" או "נבלה", על שום דמיונו לנבל (בתחביר LaTex הוא מוצג על ידי הפקודה \nabla).
בספרים רבים נהוג לכתוב את המשולש ההפוך של הדל בגופן (פונט) מודגש, במקום לרשום חץ קטן למעלה.
מטרת שני הסימונים היא להדגיש שמדובר בווקטור.
גרדיאנט הוא אופרטור המקבל פונקציה סקלרית (פונקציית פוטנציאל) ומחזיר פונקציה וקטורית שרכיביה הם הנגזרות החלקיות של הפונקציה המקורית.
המשמעות הגאומטרית של הגרדיאנט היא שהוא מחזיר את השינוי בפוטנציאל (השדה הסקלרי) כתוצאה מ"תזוזה" במרחב.
מאחר שמדובר במרחב תלת-ממדי, הכיוון משפיע על השינוי של הפונקציה בנוסף לגודל התזוזה.
הכיוון של הווקטור שמחזיר הגרדיאנט הוא הכיוון בו השינוי בפונקציה מקסימלי.
באמצעות אופרטור הדל, אפשר פשוט לרשום:
כלומר הפעלה של האופרטור הווקטורי דל על הפונקציה הסקלרית בצורה של כפל בסקלר, וקבלה של פונקציה וקטורית.
עבור כל שדה סקלרי, אופרטור הגרדיאנט מחזיר שדה וקטורי שנקרא "Gradient Field" ובו החצים מכוונים לכיוון בו הפונקציה עולה וגודלם של החצים מייצג את השיפוע של השדה הסקלרי.
הכיוון של הגרדיאנט הוא הכיוון שבו יש שינוי מקסימלי בערך של הפונקציה.
דוגמה פיזיקלית: הפוטנציאל האלקטרוסטטי מסומן ב , מחוקי האלקטרוסטטיקה ידוע לנו ש כאשר E הוא השדה החשמלי.
נגזרת כיוונית או נגזרת מכוונת של שדה סקלרי היא מספר המתאר כמה השתנתה הפונקציה כאשר הערך שהיא מקבלת השתנה בגודל אינפיניטסימלי בכיוון מסוים .
כמו כל נגזרת, ההגדרה הפורמלית נעשית באמצעות גבול:
אם השדה או הפונקציה דיפרנציאביליים בתחום, אפשר לחשב את הנגזרת הכיוונית בקלות באמצעות הגרדיאנט, על ידי הנוסחה
כאשר ה הוא סימון למכפלה סקלרית.
ואילו הנגזרת הכיוונית שלה כאשר נעים לאורך האלכסון הראשי של קובייה, כלומר , היא
הדיברגנץ הוא מעין מדד לכמות השטף של שדה וקטורי שיוצא מנקודה כלשהי במרחב.
אזי השטף של השדה F דרך שטח A מוגדר על ידי .
אם השדה F קבוע אזי השטף שווה פשוט ל כאשר הוא וקטור שגודלו הוא גודל השטח A ובכיוונו הוא ניצב לשטח A (נורמל).
כדי להבין אינטואיטיבית את מושג השטף כדאי להשתמש באנלוגיה מתחום הנוזלים והזרימה ולהסתכל על מרחב בו זורמים מים, ובו יש "ברזים" ו"חורי ניקוז" שיכולים להוסיף או לגרוע מים מהמרחב.
אם מסתכלים על קובייה דמיונית, ומודדים כמה מים זורמים דרך כל פאה ובאיזה כיוון (מים שיוצאים החוצה נספרים באופן חיובי ואילו מים שנכנסים פנימה באופן שלילי), ומחשבים את מאזן המים הכולל דרך הקוביה, אפשר לדעת מה סה"כ הספיקה של הברזים או חורי הניקוז.
אם למשל יש רק ברזים שווים שמפוזרים, הרי מכל קובייה כזו יהיה שטף חיובי, ויהיה אפשר לדעת בעזרת מדידת השטף דרך דפנות הקובייה מה כמות הברזים הכלואה בה.
אפשר לחשב גם את צפיפות ה"ברזים" (או "חורי ניקוז", אם השטף שלילי), על ידי חלוקה בנפח הקובייה.
הדיברגנץ מודד בדיוק את אותו דבר - את צפיפות ה"ברזים"/"חורי ניקוז" - בנקודה במרחב.
כדי לחשב את הגודל הזה, "בונים" סביב הנקודה קובייה אינפינטסימלית בעלת נפח V, ואז לוקחים את הגבול כאשר הנפח שלה שואף ל 0, כלומר:
כאשר האינטגרל הוא על המשטח (הסגור) העוטף את הנפח V.
בקואורדינטות קרטזיות, אפשר להראות שאת הדיברגנץ אפשר לחשב על ידי מכפלה סקלרית של אופרטור הדל בשדה:
כלומר על ידי מכפלה סקלרית סימבולית של האופרטור הווקטורי דל (משמאל) בפונקציה וקטורית (מימין) שנותן פונקציה סקלרית.
הרוטור (או Curl), הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת.
כאשר מסמל גודל של משטחונים המחלקים שטח פנים של נפח מסוים, מסמל את העקומים התוחמים כל אחד ממשטחונים אלו ו מסמל את וקטורי היחידה המאונכים למשטחונים אלו.
ניתן להראות שבקאורדינטות קרטזיות הרוטור ניתן לחישוב על ידי מכפלה וקטורית של האופרטור דל בשדה:
צורת רישום קלה יותר לזכירה של הנוסחה לעיל היא באמצעות הדטרמיננטה של המטריצה הבאה:
בתנאי שמפתחים לפי השורה הראשונה.
יש להדגיש כי זהו סימון שגוי מבחינה מתמטית (שהרי אופרטור גזירה אינו יכול להיות איבר במטריצה).
צורה אחרת היא באמצעות טנזור לוי-צ'יויטה:
כאשר ושומר סימן לכל תמורה ציקלית של האינדקסים, הופך סימן עבור תמורה אי-זוגית של האינדקסים ומקבל את הערך אפס אם יש שני אינדקסים זהים.
הוא סימון מקוצר לנגזרת החלקית (למשל: היא גזירה לפי x כאשר y ו-z מוחזקים כקבועים).
הלפלסיאן הכללי מוגדר בקואורדינטות קרטזיות:
כיוון שזהו אופרטור סקלרי הוא יכול לפעול הן על פונקציה סקלרית (על ידי כפל סימבולי רגיל משמאל), והן על פונקציה וקטורית (על ידי כפל בסקלר סימבולי משמאל).
כאשר הלפלסיאן מופעל על פונקציה סקלרית ניתן להביע אותו גם כ
כלומר הדיברגנץ של הגרדיאנט של הפונקציה.
ביטוי זה נכון רק כשהוא פועל על פונקציה סקלרית.
פונקציה שהלפלסיאן שלה שווה לאפס בקבוצה פתוחה כלשהי נקראת פונקציה הרמונית על קבוצה זו.
האינטגרל של שדה סקלרי או שדה וקטורי.
באנליזה וקטורית ישנם שני סוגי אינטגרל משטחי:
כאשר הוא וקטור משטח אינפיניטסימלי שגודלו כגודל השטח האיפיניטסימלי וכיווני ניצב למשטח (הווקטור הוא וקטור יחידה נורמל הניצב למשטח).
אינטגרל מסלולי מנקודה a לנקודה b של גרדיאנט של פונקציה סקלרית מקיים
האינטגרל של השטף על משטח סגור שווה לאינטגרל הנפחי של דיברגנץ השדה בתוך הנפח הכלוא על ידי המשטח.
האינטגרל המסלולי של פונקציה וקטורית על מסלול סגור שמהווה שפת משטח שווה לאינטגרל המשטחי של רוטור אותה פונקציה על המשטח.
אנליזה לא סטנדרטית היא ענף במתמטיקה המבוסס על מודלים לא סטנדרטיים של הישר הממשי, שבהם יש מובן מדויק למושג האינפיניטסימל ולמושגים הנגזרים ממנו כגון נגזרת ואינטגרל.
אנליזה לא סטנדרטית משתמשת בהרחבת שדה סדור של מספרים ממשיים לשדה סדור של מספרים היפר-ממשיים.
האנליזה הלא סטנדרטית פותחה לראשונה על ידי אברהם רובינזון בשנות ה-60 של המאה העשרים.
הרעיון היסודי באנליזה הלא סטנדרטית הוא שאפשר ללמוד את התורה מסדר ראשון של שדה המספרים הממשיים גם במודלים גדולים, שאינם ארכימדיים (ארכימדיות אינה תכונה מסדר ראשון).
כדי לבנות מודלים כאלה מתבוננים בתורה שלמה של הממשיים (תורה שכוללת, עבור כל נוסחה, את הנוסחה או את שלילתה), שיש בה סימני קבועים לכל מספר ממשי ולכל פונקציה או יחס, וקבוע מיוחד , ומוסיפים לה את כל הנוסחאות עבור .
בתורה המתקבלת יש מודל לכל קבוצה סופית של אקסיומות (על ידי בחירת הקבוע גדול מספיק), ולפי משפט הקומפקטיות יש גם מודל, הנקרא המספרים ההיפר-ממשיים, לתורה כולה.
המודל הזה, לפי הדרך שבה הוא נבנה, מקיים את כל המשפטים מסדר ראשון המתקיימים ב- (ובפרט זהו שדה סדור), אבל יש בו איבר, , הגדול מכל המספרים הממשיים (ולכן זהו אינו שדה ארכימדי).
אם נסמן ("המספרים הסופיים") ו- ("המספרים הקטנים לאינסוף"), אז צפופה, הוא חוג מקומי ו- הוא האידיאל המקסימלי של , ו-.
להטלה מ- אל הממשיים קוראים "החלק הסטנדרטי"; לדוגמה, אם , אז החלק הסטנדרטי של הוא .
מקובל לסמן אם ההפרש אינפיניטסימלי.
על האיברים של אפשר לחשוב כ"אינפינטסימלים", ולהשתמש בהם כדי להגדיר את המונחים הבסיסיים של האנליזה הסטנדרטית.
לדוגמה, הגבול הוא , אם ורק אם לכל מתקיים , ופונקציה היא רציפה בנקודה , אם ורק אם לכל אינפיניטסימל , החלק הסטנדרטי של שווה לזה של .
ההבדל בין רציפות נקודתית (נאמר, בכל ) לבין רציפות במידה שווה הוא עדין ודק: הפונקציה רציפה במידה שווה אם לכל ב- מתקיים , ורציפה בכל נקודה אם התנאי הזה מתקיים כשמניחים .
מודל מפורש לאנליזה הלא סטנדרטית
משפט הקומפקטיות ידוע באופיו הלא קונסטרוקטיבי, והוא כרוך בטענות השקולות לאקסיומת הבחירה, כמו קיומם של על-מסננים לא ראשיים.
אף על פי כן, אפשר לתאר מודל ל- באופן אנלוגי לבנייה של שדה המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי.
הרעיון הוא שכל איבר בשדה ההרחבה ייוצג על ידי סדרה של מספרים ממשיים (כאשר המספר הממשי מתאים לסדרה הקבועה שכל איבריה שווים ל-).
לשם כך, נתבונן בחוג הסדרות הממשיות (עם הפעולות רכיב-רכיב).
הסדרות המתאפסות ממקום מסוים ואילך בוודאי "שקולות לאפס", ולכן נאסוף את כולן לאידיאל, .
לפי הלמה של צורן, קיים אידיאל מקסימלי המכיל את (זהו הצעד הלא קונסטרוקטיבי בבנייה), וחוג המנה הוא שדה, עם השיכון האלכסוני שתואר בתחילת הפסקה.
מתברר שהשייכות של סדרה ל- תלויה רק בקבוצת האינדקסים שבהם הסדרה אינה מתאפסת; ליתר דיוק, קיים על-מסנן לא ראשי על קבוצת המספרים הטבעיים, כך ש- אם ורק אם .
מכיוון שזהו על-מסנן, בכל חלוקה סופית של המספרים הטבעיים, בדיוק חלק אחד שייך ל-, ולכן אפשר להגדיר את יחס הסדר ב- כך ש- אם ורק אם הקבוצה ב-.
כל סדרה השואפת לאפס (במובן הרגיל) היא אינפיניטסימל.
לכל איבר יש חלק סטנדרטי, , שהוא נקודת הצטברות של הסדרה.
בפרט, החלק הסטנדרטי של סדרה מתכנסת שווה לגבול שלה.
אנליזה מרוכבת היא ענף של המתמטיקה העוסק בחקר פונקציות הולומורפיות, כלומר פונקציות שהן מרוכבות (פונקציות המוגדרות על פני המישור המרוכב ומקבלות ערכים מרוכבים) וגזירות.
לגזירות מרוכבת השלכות גדולות יותר מאשר גזירות ממשית.
לדוגמה, כל פונקציה הולומורפית מיוצגת על ידי טור חזקות (הקרוי טור לורן) בטבעת, ולכן היא אנליטית.
בפרט, פונקציות הולומורפיות גזירות אינסוף פעמים, עובדה שאינה נכונה בהכרח עבור פונקציות ממשיות.
רוב הפונקציות האלמנטריות, כגון פולינומים, פונקציות מעריכיות ופונקציות הטריגונומטריות, הן פונקציות הולומורפיות.
אחד הכלים המרכזיים באנליזה מרוכבת הוא האינטגרל המסילתי.
אינטגרל על מסילה סגורה של פונקציה הולומורפית המוגדרת בתחום פשוט קשר, יהיה שווה תמיד ל-0 (משפט זה ידוע כמשפט אינטגרל קושי).
ערך של פונקציה הולומורפית בתוך דיסקה ניתן לחישוב על ידי שימוש בנוסחת האינטגרל של קושי.
אינטגרלים מסילתיים משמשים לעיתים קרובות כאמצעי לחישוב אינטגרלים ממשיים (למשל על ידי משפט השאריות).
ההתנהגות הבלתי רגילה של פונקציה הולומורפית ליד נקודות הסינגולריות שלה מתוארת על ידי משפט קזוראטי-ויירשטראס.
פונקציות שהנקודות הסינגולריות שלהן הן או קוטב או נקודת סינגולריות סליקה נקראות פונקציות מרומורפיות.
טורי לורן דומים מאוד לטורי טיילור, אך שונים מהם בכך שהם מאפשרים לחקור את התנהגות הפונקציה סמוך לנקודות הסינגולריות שלה.
משפט ליוביל הוא משפט חשוב הגורס כי פונקציה הולומורפית החסומה בכל המישור המרוכב בהכרח פונקציה קבועה.
שימוש במשפט זה הוא במתן הוכחה קצרה של המשפט היסודי של האלגברה, הטוען ששדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית.
תכונה חשובה נוספת של פונקציות הולומורפיות היא שערכים של פונקציה הולומורפית המוגדרת בתחום נקבעים על ידי הערכים שהיא מקבלת במעט מאוד נקודות.
עובדה זו מאפשרת להרחיב תחום הגדרה של פונקציות ("המשכה אנליטית"), כגון: פונקציית זטא של רימן.
תחום חשוב נוסף באנליזה מרוכבת הוא משטחי רימן.
אנליזה מרוכבת היא אחד מענפי המתמטיקה שפותחו במהלך (מקצתה גם לפני) המאה ה-19. בין מפתחי האנליזה המרוכבת נמנים אוילר, גאוס, רימן, קושי, ויירשטראס ועוד מספר חוקרים במהלך המאה ה-20. אמיל פיקאר הוכיח את משפטי פיקארד הקטן והגדול ב-1879 וב-1880, בהתאמה.
לאנליזה המרוכבת שימושים רבים בתחומי הפיזיקה וההנדסה השונים, כמו גם שימושים תאורטיים בחקר תורת המספרים (כגון הוכחת משפט המספרים הראשוניים).
בתקופה המודרנית הפכה האנליזה המרוכבת לפופולרית בעקבות תמונות פרקטלים הניתנים לבניה על ידי שימוש בחזרות של פונקציות הולומורפיות, המפורסמת שבהם היא קבוצת מנדלברוט.
יישום חשוב נוסף של האנליזה המרוכבת נעשה בתורת המיתרים.
אָנָלִיזָה פוּנְקְצְיוֹנָלִית הוא ענף של אנליזה מתמטית העוסק בחקר התכונות של וקטורים, פונקציונלים ואופרטורים הפועלים במרחבים ליניאריים בעלי מושג של אורך (נורמה) של וקטור.
מרחבים כאלה נקראים מרחבים נורמיים.
אנליזה פונקציונלית עוסקת בעיקר במרחבים נורמיים שלמים שהם מרחבים ליניאריים מעל המספרים הממשיים או המספרים המרוכבים.
מרחבים אלה נקראים מרחבי בנך.
דוגמה חשובה ומיוחדת של מרחבי בנך אלו הם המרחבים בהם הנורמה נובעת ממכפלה פנימית.
מרחבים אלו נקראים מרחבי הילברט.
כמו כן עוסקת האנליזה הפונקציונלית בתורת האופרטורים על מרחבים אלו.
יתרה מכך, האנליזה הפונקציונלית מרבה לחקור את הפונקציונלים המוגדרים על מרחב נורמי X, מרחב זה נקרא "המרחב הדואלי של X".
באמצעות הפונקציונלים הליניאריים אפשר גם להגדיר טופולוגיה חלשה על X ואף טופולוגיה דואלית על המרחב הדואלי.
בחקר המרחבים הדואליים חוקרים גם את המרחב הדואלי של המרחב הדואלי (שהוא לא תמיד שווה בחזרה ל-X).
תרומה מרכזית לפיתוחה של האנליזה הפונקציונלית נעשתה על ידי אסכולת לבוב במתמטיקה בראשות סטפן בנך.
באלגברה ליניארית, מרחב הוא מושג מתמטי מופשט.
כדי לתאר אותו בצורה נוחה, מציגים אותו כצירוף של וקטורים בסיסיים, שצירוף שלהם מסוגל לתת כל וקטור במרחב שבו עובדים.
כאשר יש בסיס נתון (יכולים להיות מספר בסיסים שונים לאותו מרחב), ניתן לראות וקטור כאוסף של סקלרים (לעיתים קרובות אלו הם מספרים, בהתאם לשדה שמעליו מוגדר המרחב הווקטורי), כאשר כל אחד מהסקלרים מציין את המידה שבה בא לידי ביטוי אחד מאברי הבסיס בתוך האיבר שאנו מציגים בעזרתם.
כאשר יש לנו רק מספר סופי של אברי בסיס, ניתן לראות כל וקטור כאוסף סופי של סקלרים המסודרים לפי אינדקסים.
את הגודל של האוסף נכנה הממד של הווקטור.
לדוגמה: מיקום של חפץ בחדר יכול להיות מתואר על ידי וקטור תלת־ממדי המתאים שלושה מספרים המתארים את האורך, הרוחב והגובה של החפץ ביחס לנקודה מסוימת בחדר (למשל הפינה).
גודל הממד מוכתב על ידי מספר אברי הבסיס שבו משתמשים.
מתברר כי לכל מרחב וקטורי, בכל בסיס יש אותו מספר איברים.
לכן ממד הוא תכונה של המרחב כולו, בלי תלות בבסיס שבו משתמשים או בווקטורים הספציפיים אותם רוצים להציג.
האלגברה הליניארית עוסקת בהכללה של חוקי האלגברה המוכרים מהמרחב התלת־ממדי גם למרחב בעל ממד שהוא מספר סופי או אינסופי כלשהו.
מסתבר שכל מרחב מממד סופי n ניתן לייצוג באופן סטנדרטי או קנוני: וקטורים מוצגים כעמודות בעלות n רכיבים ואילו טרנספורמציות ליניאריות מוצגות כמטריצות (בלוקים מרובעים של מספרים).
באופן פורמלי, הצגה זו היא בעצם וקטורי הקואורדינטות בבסיס הסטנדרטי.
נשאלת השאלה מה יקרה כאשר הממד לא יהיה סופי, כלומר יהיה צורך בקבוצה בעלת אינסוף וקטורים כדי לתאר את אברי המרחב (מתברר כי גם כאשר ישנם אינסוף איברים, יכולות להיות קבוצות גדולות יותר או פחות של וקטורים, כפי שעולה ממושג העוצמה).
מתברר כי השינוי מבחינת הייצוג אינו גדול.
אם מספר אברי הבסיס הוא בן מנייה ניתן להציג כל וקטור כסדרה אינסופית של סקלרים, ובמקרה שמספר האינדקסים הוא מעוצמת הרצף או גדול יותר ניתן להשתמש בפונקציה שמתאימה לאינדקס של כל איבר בסיס את הסקלר המתאים לו.
עם זאת, תכונות רבות שמתקיימות עבור מרחבים מממד סופי לא נשמרות בממד אינסופי.
האנליזה הפונקציונלית עוסקת במרחבים שמקיימים תכונות שמבטיחות שההתנהגות של המרחב האינסופי תקיים חלק מהתכונות שמתקיימות במקרה הסופי, וחוקרת תכונות נוספות שמתקיימות בהם.
דרישה בסיסית שדורשת האנליזה הפונקציונלית היא שיהיה מושג כלשהו של אורך לווקטורים שבמרחב (מה שנקרא נורמה).
מרגע שבו קיים אורך לווקטורים ניתן למדוד גם מרחק ביניהם (זהו האורך של וקטור ההפרש שלהם), וקיום פונקציית מרחק (מטריקה) מאפשר לשאול שאלות על התכנסות של סדרות בתוך המרחבים.
דרישה נוספת שדורשת האנליזה הפונקציונלית היא שסדרה שאבריה הולכים ומתקרבים זה לזה תמיד תמצא נקודה במרחב כדי להתכנס אליה.
תכונה זו מכונה שלמות של המרחב.
מכיוון שניתן להכליל את מבנה המרחב גם למרחבים בעלי אינסוף ממדים, מתבקש לנסות ולהכליל גם את המושגים העוסקים בפעולות על המרחב – טרנספורמציות ליניאריות.
באלגברה ליניארית סוף ממדית ניתן לייצג כל טרנספורמציה ליניארית באמצעות מטריצה סופית.
במקרה של אינסוף ממדים הדבר מסובך יותר – נזדקק למטריצות אינסופיות או שלא נוכל כלל לתאר את הטרנספורמציות באמצעות מטריצות, ולכן מתבוננים בטרנספורמציות בצורה יותר מופשטת.
מכנים טרנספורמציה ממרחב כלשהו לעצמו בשם אופרטור.
דוגמה קלאסית לאופרטור הוא הנגזרת, הפועל על מרחב וקטורי שאיבריו הן פונקציות: הוא לוקח פונקציה אחת ומחזיר פונקציה שנייה.
התורה הספקטרלית של אופרטורים, משפטי לכסון
העבודה עם מטריצות יכולה להיות מייגעת וארוכה, מאחר שבמטריצה ריבועית מסדר n יש n2 איברים – דבר המצריך פעולות חישוב רבות.
לדוגמה, נעסוק בבעיה הפשוטה של כפל מטריצות: כדי לכפול שתי מטריצות בגודל n טיפוסיות יש לבצע באופן נאיבי n3 פעולות (כפל שורה בעמודה דורש n פעולות חיבור ועוד n פעולות כפל, ויש לבצע זאת n2 פעמים עבור כל "משבצת" במטריצת המכפלה).
דבר זה נהיה מייגע במיוחד כאשר יש צורך לחשב חזקות גבוהות יותר של מטריצות ריבועיות.
אם נזכור שכל מטריצה שקולה לטרנספורמציה ליניארית אפשר לגשת לבעיה זו בגישה קצת שונה – ולעיתים קרובות, אף חכמה יותר.
כל טרנספורמציה ניתן להציג באמצעות מטריצה, אך המטריצה המייצגת את הטרנספורמציה תלויה באופן, או ליתר דיוק בבסיס, שבו בוחרים להציג אותה.
יש בסיסים, שבהם חישוב טרנספורמציה מסוימת נהיה קל ופשוט מאוד.
סוג כזה של בסיסים הוא בסיס של וקטורים עצמיים.
וקטור עצמי הוא וקטור (שונה מאפס) שפעולת הטרנספורמציה עליו פשוטה מאוד: היא רק מותחת או מכווצת אותו, מבלי לשנות את כיוונו.
באופן יותר מדויק היא מבצעת .
הסקלר שמציג את שינוי הסקלה של הווקטור העצמי נקרא ערך עצמי.
אם נצליח למצוא לטרנספורמציה T בסיס של וקטורים עצמיים של T אזי המטריצה שתייצג את T תהיה מטריצה אלכסונית (מטריצה שכל איבריה הם אפס, פרט לאלכסון הראשי).
זוהי מטריצה נוחה במיוחד שכן יש בה בפועל רק n איברים ופעולת כפל של מטריצות אלכסוניות היא פשוט כפל זה בזה של איברי האלכסון המתאימים.
לכן, למטרות חישוביות מטריצות אלה הן שימושיות מאוד ומקלות באופן ניכר על העבודה.
לפעולה של מציאת מטריצה אלכסונית הדומה למטריצה מסוימת (ומציאת הבסיס של הווקטורים העצמיים) קוראים לכסון של מטריצה.
ברם, מסתבר שלא כל מטריצה אפשר ללכסן, וכחלק מהמחקר בתורת האלגברה הליניארית ניסחו המתמטיקאים תנאים הכרחיים ומספיקים בשביל ללכסן מטריצה נתונה.
באופן דומה, גם במרחב אינסוף-ממדי אפשר לחפש עבור אופרטור A בסיס ליניארי של וקטורים עצמיים (או פונקציות עצמיות) שיקיימו ואז יהיה קל לחשב את פעולתו של האופרטור עבור וקטור כללי
(הצגה כזאת קיימת ויחידה אם אכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים), שכן
גם כאן, קיימים אופרטורים שעבורם לא קיים בסיס כזה.
כלומר: לא כל אופרטור ניתן ללכסון.
עם זאת, קיימות מספר מחלקות חשובות של אופרטורים שעבורם אכן קיים בסיס של וקטורים עצמיים והם ניתנים ללכסון.
הקבוצה המפורסמת והשימושית מכולם היא מחלקת האופרטורים הצמודים לעצמם.
לא רק שניתן ללכסן אותם אלא כל הערכים העצמיים שלהם הם ממשיים.
התורה הספקטרלית של אופרטורים עוסקת בהכללת המושגים של ערכים עצמיים לספקטרום של אופרטור, שיכול להיות גם רציף ולא רק בדיד.
תורה זו קשורה גם להפיכות של אופרטורים (ליתר דיוק, להפיכות של אופרטורים מהצורה ).
תורת שטורם-ליוביל עוסקת בתנאים בהם ניתן למצוא את הספקטרום ואת הפונקציות עצמיות עבור אופרטורים דיפרנציאליים מסוימים המוגדרים מעל מרחב בנך של פונקציות הפותרות משוואה דיפרנציאלית עם תנאי שפה, ומגדירה את הכללים והחוקים של התהליך.
אופרטורים טובים בתורת שטורם-ליוביל הם אופרטורים שניתן ללכסנם.
בדיוק כמו באלגברה הליניארית, מתקיים משפט הפירוק הספקטרלי שקובע שניתן ללכסן כל אופרטור הרמיטי ויתרה מכך: כל ערכיו העצמיים ממשיים.
בעיית הלכסון של אופרטורים היא רק תחום אחד מני רבים שמטופל במסגרת האנליזה הפונקציונלית.
האנליזה הפונקציונלית, שנוסדה במאה ה-20 בעקבות מחקריהם של סטפן בנך ודויד הילברט, עוסקת בהכללת מושגים שונים מהאלגברה הליניארית וחשבון הווריאציות על מנת לקבל כלים חזקים לביצוע אנליזה מתמטית של משפחות פונקציות ופתרון משוואות דיפרנציאליות.
מעל כל מרחב וקטורי, מוסיפה האנליזה הפונקציונלית מספר מבנים תאורטיים חשובים בסיסיים:
נורמה: זוהי פונקציה המתאימה לכל וקטור במרחב את ה"אורך" שלו (או: המרחק שלו מווקטור האפס).
ברגע שיש נורמה אפשר לדבר על טופולוגיה ובעיות של התכנסות.
מכפלה פנימית: זוהי פונקציה ביליניארית המתאימה לכל זוג וקטורים במרחב מספר.
באמצעותה אפשר להגדיר נורמה אך גם את הקונספט של אורתוגונליות (הכללה לניצבות).
מרחב אופרטורים ליניאריים מהמרחב אל עצמו.
גם זה מרחב ליניארי ונורמי.
מרחב פונקציונלים ליניאריים מהמרחב אל שדה סקלרי.
המרחב הדואלי: מרחב פונקציונלים ליניאריים חסומים.
זהו מרחב ליניארי, נורמי ושלם (מרחב בנך).
אלגברת בנך: מרחב בנך עם תוספת פעולת כפל היוצרת בנוסף למרחב הווקטורי הנורמי מבנה אלגברי הנקרא אלגברה.
ספקטרום של אופרטור ומתי אופרטור ניתן ללכסון או לפירוק ספקטרלי.
באנליזה הפונקציונלית חוקרים מרחבים מתמטיים עם מבנים אלו.
מרחב טופולוגי – קבוצה עם טופולוגיה
מרחב בנך: מרחב נורמי שלם
אלגברת בנך: מרחב בנך עם פעולה של כפל, המשרה מבנה של אלגברה
אלגברה סי כוכב: אלגברת בנך שבנוסף מצוידת בפעולת אינוולוציה
מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית
מרחב הילברט: מרחב מכפלה פנימית שלם
על חלק ממרחבי הילברט ניתן להגדיר כפל ואינוולוציה בדומה למרחבי בנך
המרחב הדואלי של מרחב וקטורי:
מרחב כל הפונקציונלים הליניאריים על שיסומן
מרחב כל הפונקציונלים הרציפים/חסומים על שיסומן .
המרחבים ו- הם מרחבי הילברט עם המכפלה הפנימית .
מרחב המטריצות הוא אלגברת בנך עם נורמת פרובניוס .
אוסף הסדרות האינסופיות, כך שסכום האיברים בחזקת מתכנס.
מרחב זה הוא מרחב בנך בנורמה לכל .
המרחב הדואלי של עבור הוא כאשר .
המרחב של כל הפונקציות האינטגרביליות לבג בחזקת .
המרחב של כל הפונקציות האינטגרביליות לבג בריבוע על קטע .
זהו מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית שמשרה את הנורמה .
המרחב הדואלי שלו הוא עצמו.
מרחב כל הפונקציות הרציפות על קטע עם נורמת sup (נורמת התכנסות במידה שווה) שמוגדרת כ .
כדי להכליל את הדוגמה הקודמת לפונקציות מדידות במרחב מידה כללי, מגדירים , ומגדירים את המרחב להיות אוסף הפונקציות בעלות נורמה סופית.
משפט הפירוק הספקטרלי – ליכסון של אופרטור הרמיטי במרחב הילברט.
משפט ההעתקה הפתוחה ומשפט הגרף הסגור של אופרטור.
עקרון החסימות במידה שווה (משפט בנך-שטיינהאוס).
משפט האן-בנך (על הרחבת פונקציונל ליניארי).
משפט ההפרדה על ידי פונקציונלים.