tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
ניסיון לנחש את הסוד המשותף מתוך שני המפתחות הציבוריים נקרא בעיית דיפי-הלמן בעקום אליפטי וגם היא נחשבת כבעיה קשה, אם כי אין הוכחה שהיא קשה לפחות כבעיית הלוגריתם הבדיד.
בדרך כלל מהסוד המשותף גוזרים מפתחות הצפנה ואימות באמצעות פונקציית גיבוב קריפטוגרפית.
עקום 25519 נבנה כך שיהיה עמיד נגד מספר מלכודות הנובעות מאופן היישום שלו בפועל.
העקום עמיד נגד התקפת תיזמון, הוא יכול לקבל כל מחרוזת באורך 32 בתים כמפתח ציבורי תקף ואינו דורש אימות.
עקום 25519 זכה לפופולריות רבה מאז פורסם, אולם ההתעניינות הגוברת בו החלה אחרי 2013 כשנודע שה-NSA שתלו דלת אחורית בעקום האליפטי DUAL EC DRBG שהיה חלק מתקן ההצפנה בעקום אליפטי של NIST.
אף על פי שאין קשר ישיר ביניהם, החשיפה הגבירה את החשש בקרב המשתמשים מפני דלתות נוספות שייתכן נשתלו במרכיבים אחרים של התקן כמו העקומים הקבועים P-xxx.
ברוס שנייר מגדולי הקריפטוגרפים בני זמננו התבטא פעם: "איני סומך יותר על העקומים הקבועים שלהם.
אני מאמין שה-NSA ביצעו מניפולציות בעזרת הקשרים שלהם עם התעשייה".
הוא גם ציין שה-NSA מסוגלים לפצח כל הצפנה באינטרנט (נכון ל-2013).
עקום 25519 הפך לתקן בפועל שהחליף את P-256 והוא בשימוש במגוון רחב של יישומים.
החל מ-2014 פרוטוקול OpenSSH הטמיע את העקום כברירת מחדל בישומים מבוססי ECDH.
ספריות קריפטוגרפיות רבות תומכות בעקום זה ביניהן: OpenSSL וכן Libgcrypt, Crypto++ ועוד רבים.
בין הפרוטוקולים, האפלקציות ומערכות ההפעלה המשתמשים בעקום זה נמנים:
הביטחון של העקום הזה נחשב גבוה, כלומר לא קיימת דרך לחשיפת הסוד המשותף מתוך שני המפתחות הציבוריים שהיא טובה יותר מכוח גס בסיבוכיות של .
הבעיה הכללית עליה הוא מבוסס, בעיית דיפי הלמן בעקום אליפטי נחקרה באופן אינטנסיבי מזה כשני עשורים והותקפה רבות על ידי מתמטיקאים, אנליסטים והאקרים ללא הצלחה.
עקום 25519 מכיל מספר תכונות שמעניקות לו יתרון, הסדר שלו הוא מעל , הוא אינו מכיל מאפיינים אלגבריים ייחודיים שניתנים לניצול לקיצור ההתקפה נגדו.
האלגוריתמים הידועים כמו אלגוריתם רו או אלגוריתם קנגורו של פולרד ואלגוריתם פוליג-הלמן יעילים רק נגד עקומים מסדר ראשוני נמוך יותר ולכן אינם פרקטיים נגד עקום 25519.
היתרון של עקום 25519 הוא באופן המימוש שלו.
אפשר לנצל את יחידת הנקודה הצפה בקיצור FPU של המעבד כדי להאיץ ביצועים של פעולות כפל וחיבור בסיסיות באופן משמעותי.
הסיבה לבחירה של הראשוני נובעת בגלל היכולת לייצג אלמנטים של השדה בצורה פולינומית ולבצע חיבור וכפל במהירות.
הפולינומים נבחרו כך שיענו על שני מאפיינים חשובים, שהמעלה שלהם תהיה נמוכה (לכל היותר 9) כך שיהיו פחות מקדמים שצריך לכפול כחלק מהכפל בפולינומים וכן, כל מקדם הוא כפולה קטנה של .
ביתר פירוט הפולינומים עם מספר מופחת של מקדמים קטנים הם מהצורה:
כאשר הוא כפולה שלמה של .
כאן הפולינום מייצג את השלם שהוא בעצם פיצול של שלם באורך 256 סיביות לעשרה שלמים באורך 26 סיביות כל אחד בקירוב, כדי שיתאימו באורכם לאוגרי הנקודה הצפה המצויים בכל מעבד.
כל שלם באורך 256 סיביות ניתן לטעינה בתשעה אוגרים.
בדרך כלל במעבדים מודרניים אוגרים אילו מצויים בשפע.
השימוש בבסיס 25.5 ולא בבסיס 25 או 26 נובע מסיבות של יעילות כדי להימנע מחילוק ארוך במקדמים ו- וכן להימנע מכפל המקדמים ב- במקום ב-19.
חיבור/חיסור שני פולינומים של עקום 25519 מודולו מצריך 10 פעולות חיבור/חיסור של מספרי נקודה צפה (fp).
כל פעולת חיבור/חיסור צורכת 10 פקודות fp בסיסיות, בלולאה הראשית של הפונקציה Curve25519 מתבצעים בסך הכול 20,400 פקודות fp.
פעולת כפל צורכת 100 פקודות fp עבור כפל ו-81 פקודות fp עבור חיבור.
המקדמים הגבוהים לאחר תוצאת הכפל מצומצמים מודולו .
למשל המקדם מוכפל ב- ומחובר למקדם .
כל צמצום דורש פקודת fp אחת לכפל ופקודת fp אחת לחיבור.
החלק הגבוה (הכפולה הקרובה ביותר לחזקה של 2) של כל מקדם מחוסר ומחובר למקדם שלפניו.
כל העברה כזו צורכת בסך הכול 4 פקודות fp.
כך שלצורך הצמצום המודולרי נדרשים עוד כ-60 פקודות fp.
כתיבת הקוד עדיפה באסמבלי כדי להימנע מתקורה מיותרת שעלולה לקרות ביישום בשפת C.
כאשר מחשב קוונטי לשימוש כללי בקנה מידה גדול יהיה מעשי, ניתן יהיה לפתור את בעיית דיפי הלמן בעקום 25519 ובעקומים אליפטיים אחרים בקלות רבה ולכן הפרוטוקול לא יהיה בטוח לשימוש במקרה כזה.
הפונקציה Curve25519 היא בעצם כפל סקלרי של הקואורדינטה מעל העקום , כאשר הוא המספר הראשוני ו- הוא העקום האליפטי .
ביתר פירוט, השדה מוגדר כקבוצת כל האלמנטים .
תהי הפונקציה מוגדרת כדלהלן: .
במילים אחרות היא פונקציה שממירה נקודה בעקום לאלמנט בשדה (פשוט על ידי נטילת הקואורדינטה והתעלמות מהקואורדינטה ).
תהי הפונקציה המוגדרת כדלהלן: .
המפתח הציבורי והמפתח הפרטי מומרים ממחרוזות בתים לאלמנטים של השדה לפי סדר בתים קטן.
במילים אחרות כל שלם מיוצג כך:
קבוצת כל המפתחות הציבוריים האפשריים היא .
קבוצת כל מפתחות הפרטיים היא .
בהינתן ו- קיים שלם ייחודי כך שמתקיים עבור כל כאשר .
לסיום הפונקציה מחזירה את האמור.
הפונקציה בפסאודו קוד הבא מבוססת על סולם מונטגומרי.
היא מקבלת את השלם (שהוא הסוד הפרטי של המשתמש) ואת הקואורדינטה (מקבילה ל- בעקום מונטגומרי) של הנקודה הקבועה בעקום 25519 ומחזירה את שהוא הקואורדינטה של הכפל הסלקרי .
הסמל כאן מייצג הזזה ימינה (shift right) ברמת סיביות, הוא וגם והסמל הוא XOR.
הפונקציה היא פונקציית החלפה שמקבלת פרמטר בוליאני ומחליפה בין ערכי ו- בתנאי ש- שווה אמת.
הפונקציה חייבת להיות מיושמת באופן כזה שההחלפה תהיה קבועה תמיד כדי לסכל התקפת ערוץ צדדי.
אפשר ליישם זאת על ידי הוספת מסכת אחדים לפי , למשל , אם התוצאה תהיה כאילו לא בוצעה החלפה.
אם הוא משתנה מקומי, אז ההחלפה מתבצעת בשלושה מהלכים ללא תנאי כך:
עקדת יצחק (באיטלקית: Sacrificio di Isacco) הוא שמם של שני ציורי שמן מעשה ידי הצייר קאראווג'ו.
הציור הראשון צויר בשנת 1598 ומוצג באוסף פיאסקה ג'ונסון (Piasecka-Johnson Collection) בפרינסטון, ניו ג'רזי.
הציור השני צויר בשנת 1603 ומוצג בגלריית אופיצי בפירנצה.
הציור מציג את הרגע בו קיבל אברהם את ההוראה, מן השמיים, של מלאך האלוהים לעצור, הוראה אשר מסיחה את דעתו ומונעת ממנו לשחוט את בנו יצחק ().
היצירה מוארת תוך שימוש בטכניקת הטנבריזם (קיארוסקורו ניכר במיוחד, תוך יצירת ניגודים חריפים של אור וצל) שבעזרתה חולל קאראווג'ו מהפכה באמנות הציור בעולם המערבי.
פניהם של אברהם ויצחק מוצלים אך חושפים רגשות עזים.
מחוות הידיים רהוטות, ידו של המלאך מונחת על ראשו של האַיִל בצורה המחקה את הצורה שבה ידו של אברהם מונחת על ראשו של יצחק.
ידו השנייה של אברהם אוחזת במאכלת אבל האחיזה נחלשת כשהוא מקשיב למלאך.
שלוש הדמויות והאַיִל מצוירות על רקע שחור ללא הקשר נוסף.
לפי הביוגרף ג'ובאני בלורי, קאראווג'ו צייר גרסה זו עבור הקרדינל מפאו ברבריני, לימים האפיפיור אורבנוס השמיני.
קאראווג'ו צייר בשנת 1598 פורטרט של מפאו ברבריני, ושביעות הרצון של הקרדינל הביאה להזמנה הנוספת.
בדיקות בקרני רנטגן גילו שקאראווג'ו השתמש באותו מודל עבור יצחק ועבור המלאך, אך מאוחר יותר שינה את פרופיל המלאך ושיערו כדי להסתיר את הדמיון.
ציור זה הוא אחד הנדירים מבין ציורי קאראווג'ו שבהם יש נוף ברקע.
הנוף זוהה לאחרונה עם קסטל סן פייטרו סבינו (Castel san Pietro sabino), במחוז לאציו שבו שוכנת רומא.
הציור משתייך מבחינה סגנונית לתקופת רומא המוקדמת של הצייר, ונטול ניגודי אור וצל (קיארוסקורו) חריפים הקיימים בציורים מאוחרים יותר.
הקומפוזיציה היא פירמידלית שמוקדה הוא ראשו של אברהם.
הדרמה מתרכזת בהבעת היאוש וההפתעה בפניו של הקורבן, כלומר יצחק.
פניו החמורות של אברהם מנוגדות לפניו האנושיות של המלאך.
כמו בעקדת יצחק של רמברנדט, המלאך אינו מסתפק במתן הוראה "מן השמיים" ככתוב במקרא, אלא מונע באופן פיזי מאברהם לשחוט את בנו.
ידו הימנית של המלאך אוחזת בחוזקה בידו של אברהם האוחזת במאכלת.
בו בעת, ידו השמאלית מצביעה על הקורבן האמיתי, האַיִל.
היצירה נתרמה לגלריה אופיצי בשנת 1917.
עקדת יצחק (בהולנדית: Het offer van Abraham) הוא ציור שמן מעשה ידי הצייר רמברנדט ואן ריין משנת 1635. היצירה מוצגת במוזיאון הארמיטאז' בסנקט פטרבורג.
רמברנדט מתאר אירוע המתרחש על הר, כפי שמתואר בסיפור המקראי, מאחור נשקף עמק יפה.
אפשר לראות את עצי העולה ואת האש.
להבדיל מהסיפור המקראי, מלאך האלוהים אינו קורא מן השמיים לאברהם לעצור, אלא מונע ממנו פיזית לשחוט את יצחק על ידי תפיסת ידו.
מבטו של המלאך אינו מופנה לאברהם אלא ליצחק, כאילו רצה לוודא שאכן הגיע בזמן.
תשומת לב רבה מוקדשת לתיאור גופו היפה של יצחק.
ראויה לציון העובדה שרמברנדט, אשר תמיד נהג לתאר הבעות פנים באופן אובססיבי, בחר לכסות את פניו של יצחק בכף ידו של אברהם.
המאכלת הנראית נשמטת מטה מידו של אברהם, בעוד הוא מביט מעלה, יוצרת אפקט של תנועה.
השימוש המופלא של רמברנדט במשחקים של אור וצל (טכניקה הקרויה קיארוסקורו) בולט לעין.
בעיקר נעשה שימוש בניגודיות בין בגדיו הכהים של אברהם מצד אחד, וצבע העור הבהיר של פני אברהם וגופו של יצחק מצד שני.
הציור הושפע מן הציור עקדת יצחק של קאראווג'ו.
עקדת יצחק (באיטלקית: Sacrificio di Isacco) הוא פסל שיש של הפסל דונטלו, שהושלם בשנת 1421 ומתאר את עקדת יצחק.
הוא נחצב בגודל טבעי (188x56 ס"מ) ומוצג במוזיאון הדואומו בפירנצה.
החוזה להזמנת הפסל עבור מגדל הפעמונים קמפנילה די ג'וטו בקתדרלה של העיר פירנצה נחתם ב-1421 עם דונטלו ועוזרו נני די ברטולו, אולם מרבית ההיסטוריונים מייחסים את עיקר העבודה, אם לא את כולה, לדונטלו.
הפסל הוא אחד מארבעת הפסלים שהוצבו בגומחה בצדו המזרחי של מגדל הפעמונים.
שלושת הפסלים האחרים היו הנביא חסר הזקן והנביא המהורהר, שניהם של דונטלו, והנביא המזוקן של נני די ברטולו.
הפסל מציג את הרגע בו קיבל אברהם את ההוראה, מן השמיים, של מלאך האלוהים לעצור, כפי שמסתמן ממבטו כלפי מעלה, הוראה אשר מסיחה את דעתו ומונעת ממנו לשחוט את בנו יצחק ().
שתי הדמויות צמודות זו לזו בהתאמה לממדי הגומחה ובעלות קומפוזיציה דינמית מלאת חיים, המושגת על ידי הפיתול והאנטומיה של גופן, ולא באמצעות הלבוש כמו בפסלי הנביאים האחרים.
כאמור, אברהם מביט מעלה, רגלו הימנית מונחת על עצי העולה, ידו הימנית אוחזת בסכין שחיטה הקרובה לצווארו של יצחק וידו השמאלית אוחזת בשערו.
יצחק מוצג עירום, ראשו נוטה בשלווה שמאלה, כף רגלו חורגת מבסיס הפסל כדי להגביר את האינטראקציה עם הצופים, וגופו שרירי.
אחת הבעיות המרכזיות של אמני הפיסול בתחילת המאה ה-15 הייתה טכנית, חוסר הביטחון בתכונות הפיזיות של השיש וחוסר הרצון לגרום נזק בלתי הפיך לשיש היקר, גרם לאותם אמנים ליצור פסלים שטוחים ככל האפשר, עם חציבות מינימליות לצורך תיאור הגפיים וקפלי הבגדים.
כתוצאה מכך הפסלים באותה תקופה נראו קפואים ומוגבלים.
פסל זה הוא דוגמה למציאות אחרת לגמרי, כאן הדגש הוא על הבעה ועל תנועה.
לצורך כך נעשה שימוש בטכניקה חדשה: במקום איורים נעשה שימוש במודלים תלת־ממדים העשויים שעווה או חרס.
קרוב לוודאי שהיה זה לורנצו גיברטי שהמציא את הטכניקה הזאת, ודונטלו היה אחד הראשונים להשתמש בה.
טכניקה זו אפשרה לאמנים יותר חופש פעולה, הם יכלו עתה ליצור פסלים המבטאים תנועה רבה יותר של הגפיים ומשטחים יותר מורכבים.
עקדת יצחק, הפסל המונומנטלי רב הדמויות הראשון של תקופת הרנסאנס, הוא דוגמה לכך.
אשליית התנועה החזקה של הפסל נוצרה על ידי חציבה עמוקה בשיש, כך שידיו המסיביות של אברהם יראו נעות באופן נפרד מתנועת פלג הגוף העליון
"עקדת יצחק" הוא ציור, מסוף המאה ה-19, המיוחס ליוסף צבי גייגר, ומתאר את עקדת יצחק.
במשך תקופה ארוכה זוהה הציור כיצירתו של האמן משה בן יצחק מזרחי.
כך, לדוגמה, בקטלוג התערוכה "אמנות ואומנות בארץ-ישראל במאה הי"ט", שנערכה במוזיאון ישראל בשנת 1979. גרסה מוקדמת של הציור מצויה באוסף יצחק איינהורן.
חיזוק לזיהוי הגיע מהשוואה להדפס אבן מאת מזרחי, המצוי באוסף המוזיאון היהודי בניו יורק.
ראשית, בפינתו הימנית התחתונה של הציור מופיעה חתימה של האמן - "יוסף צבי לעבאך".
בפינתו השמאלית מופיע זיהוי של מקום היווצרה - "בעיה"ק צפת ת"ו".
על פי המחקר שם המשפחה 'לעבאך' עושה שימוש בשם המשפחה הנוסף של אביו של גייגר - ר' טודרוס ברי"ל [בן ר' יהודה לייב] לעבאך.
שנית, חלק מיצירות אחרות של גייגר, כגון "סיפור מגילת אסתר", שאליהן נעשתה ההשוואה, זוהו אף הן בטעות כיצירות של מזרחי.
במאי 2022 נמכר הציור במכירה פומבית בעבור 3,200 דולר.
העבודה מורכבת משני רגיסטרים (רצועות רוחב), המתארות את סיפור העקדה בסדר כרונולוגי, מימין לשמאל.
סביב התיאור מסגרת בצורת חבל קלוע בצבע אדום.
תיאורים אלו מלווים בציטוט פסוקים מתאימים מן הטקסט המקראי.
ברגיסטר התחתון מתוארים אברהם ויצחק בדרכם אל העקדה.
הם לבושים בגדים מפוארים בצבע סגול.
אברהם נושא סכין ארוכה ומחתה, ואילו יצחק, ההולך לפניו, נושא על גבו עצים לבערה.
מאחוריהם מתוארים חמור ושני נערים היושבים ומחכים.
הם מתוארים כלבושים בבגדים בני התקופה וחובשים תרבוש או טורבן.
בחלק העליון מופיע תיאור העקדה עצמה.
אברהם מתואר לבוש טלית ומניף את המאכלת לעבר יצחק, העקוד על המזבח.
מזבח זה מתואר כבעל מסגרת מעוטרת בסגנון מזרחי.
למרות שימוש בתיאור זווית המזבח, לא מצליח התיאור להפוך לתלת־ממדי.
מעל המזבח מרחף מלאך בעל שש כנפיים אדומות.
בצדו השמאלי של התיאור מופיע איל שראשו בין ענפי עץ קטן.
למרות סממנים ריאליסטים שונים, נושא הציור אופי עממי בעל הקשור לתיאור פרופורציות ומרחב.
עקבות במים הוא סרטו הראשון של ראסל קרואו כבמאי.
עלילת הסרט מתרחשת ב-1919, שנה מתום מלחמת העולם הראשונה וארבע שנים לאחר המערכה בגליפולי.
הסרט עוקב אחר דרכו של חוואי אוסטרלי היוצא לטורקיה לחפש את שלושת ילדיו שנשלחו למערכה בגליפולי והוגדרו אחריה כנעדרים וזאת על מנת להביאם לקבורה בחוותו שבאוסטרליה.
הסרט מציג עלילות משנה בהן מעורב האב וביניהן סיפור אהבה שלו עם בעלת מלון ומעורבותו במלחמת העצמאות של טורקיה ובמלחמת יוון–טורקיה.
במערכת גליפולי השתתפו 2 דיוויזיות אנזא"ק שרוב החיילים בהן היו מאוסטרליה.
הקרבות נמשכו מאפריל 1915 עד פינוי כוחות בעלות הברית בדצמבר אותה שנה.
בקרבות אלו נהרגו כ-10,500 מחיילי אנזא"ק כש-8,700 מהם היו אוסטרלים.
הפינוי החפוז מחופי גליפולי הותיר מאחור את חללי הקרבות שחלקם לא זוהה ולא הובא לקבורה.
עם סיום המלחמה והשתלטות הצבא הבריטי על טורקיה החלו לפעול בגליפול נציגי ועדת חבר העמים לקברי מלחמה (או בשמה המקורי "הוועדה האימפריאלית לקברי מלחמה") כדי לזהות את חללי המערכה ולהביאם לקבורה ב-44 בתי קברות שנפתחו בזירה זו.
על אף מאמציהם של חברי הוועדה רבים מהחללים לא זוהו ונקברו ללא שם.
מייד לאחר כניעתה של טורקיה החלו שכנותיה ללטוש עיניים לשטחים של האימפריה העות'מאנית וחלקם אף פלשו לאותם שטחים במטרה לספח אותם.
אחת הפלישות המשמעותיות הייתה פלישת יוון לחלק האסייתי של טורקיה (אסיה הקטנה) דבר שהביא לפרוץ מלחמת יוון–טורקיה.
שאיפות אלו של שכנותיה של טורקיה הביאו להתחזקותה של התנועה הלאומית הטורקית (בהנהגתו של מוסטפא כמאל אטאטורק) שהובילה בסופו של דבר לפרוץ מלחמת העצמאות של טורקיה.
הסרט נפתח ב-20 בדצמבר 1915, היום בו נסוגו בעלות הברית מגליפולי (צ'אנאקאלה בפי המקומיים).
תהליך הפינוי המהיר ותנאי מזג האוויר גרמו לכך שהטורקים לא הבינו שהחל תהליך הפינוי וכשהם מסתערים על עמדות בנות הברית הם מגלים עמדות ריקות ורואים מרחוק את הספינות הבריטיות מפליגות למצרים.
אחד ממפקדי הכוח הטורקי שתוקף את העמדות הריקות הוא מייג'ור חסן (אילמז ארדואן ).
העלילה עוברת ל-1919 ולחווה חקלאית באוסטרליה בהם גרים בעל החווה ג'ושוע קונור (ראסל קרואו ואשתו אליזה (ליזי).
עוד מתברר שעד פרוץ מלחמת העולם הראשונה גרו בה גם שלושת ילדיהם של בני הזוג (ארתור, אדוארד והנרי) שהתגייסו לאותה יחידה של אנזא"ק, יצאו ב-1915 למערכה בגליפולי ולא שבו ממנה.
קונור ניחן בחושים מחודדים לגילוי מים מתחת לקרקע תוך שהוא נעזר ב-2 מוטות מכופפים והוא מצליח לחפור באר מים להשקיית השדות הצחיחים.
בעוד שקונור מחזיק את החווה יושבת אשתו אליס בבית עטופה ביגונה על בניה, חיה בדמיונותיה ומאשימה את בעלה במותם.
בסופו של דבר אליזה לא עומדת בצער ושולחת יד בנפשה.
קונור שנותר ללא כלום מחליט לעזוב את החווה ולהפליג לטורקיה כדי לחקור מה עלה בגורל ילדיו ובידיו רק יומן שכתב בנו עד זמן קצר לפני פרוץ הקרב בו נפלו.
חלק מהמוטיבצה של קונור הם חזיונות שמופיעים בראשו ובהם רמזים על גורל ילדיו.
תחנתו הראשונה של קונור היא באיסטנבול.
בזמן שהוא מנסה לברר לאן לפנות פונים אליו רבים מהתושבים המקומיים בהצעות למגורים.
אחד מאלו הוא הילד אורהן (Dylan Georgiades) שאף לוקח את תיקו של קונור ללא רשותו.
קונור רודף אחריו ברחובות איסטנבול עד הגיעם למלון קטן שמנהלת אימו של אורהן, עיישה (אולגה קורילנקו).
קונור מתרצה ומסכים לישון במלון זה.
לקונור מתברר שבעלה של איישה נעדר אף הוא בקרבות גליפולי והיא מנהלת את המלון בעזרת אחיו של בעלה עומר שמעוניין לשאת את עיישה כאישה שנייה בהתאם למסורת המוסלמית.
קונור פונה למפקדת הצבא הבריטי באיסטנבול כדי לקבל אישור להגיע לזירת הקרב בגליפולי כשקונור התעניין במיוחד בזירה בה התרחש קרב "לון פיין" , ב-6 עד 10 באוגוסט 1915, בו השתתפו הבנים.
בשיחה מתבשר קונור שהשטח מוגדר עדיין כשטח צבאי ולא ניתן לאזרחים להגיע למקום.
קונור חוזר מאוכזב למלון של עיישה ושם היא רומזת לו שיוכל לעקוף את האיסור אם ישכור את שירותיו של דייג מקומי שייקח אותו לחופי גליפולי.
קונור נוחת בחופי גליפולי באתר בו התרחש קרב "לון פיין" שם הוא פוגש משלחת בריטית/אוסטרלית הפועלת מטעם ועדת חבר העמים לקברי מלחמה לאיתור חללי בעלות הברית שנהרגו במקום.
מפקד המשלחת הוא לוטננט קולונל סיריל יוז (ג'יי קורטני) ולידו מסייעים מייג'ור חסן (ילמאז ארדואן ) ועוזרו סרג'נט ג'אמל (צ'ם ילמאז ) שנלחמו במקום ומכירים את המערכה באופן אישי.
התגובה הראשונית של יוז היא לגרש את קונור מהאזור אך קונור העקשן מתיישב על החוף וממאן לעזוב את המקום.
מייג'ור חסן מתרשם מהאב העקשן ומציע ליוז לסייע לקונור למצוא את בניו.
יוז שואל למה לעשות זאת וחסן עונה "כי הוא האב היחיד שבא לחפש את ילדיו".
יוז משתכנע ומתיר לקונור לנוע בשדה הקרב וזה מסתייע בחזיונותיו וביכולתיו להרגיש את מה שקורה מתחת לפני השטח כדי לאתר את מקום הגופות.
צוות החיפוש חופר ומאתר שניים מהבנים (אדוארד והנרי) כשבגולגולת של אדוארד מתגלה חור של כדור.
מגלה הגופות טוען שהטורקים וחסן בראשם ירו בפצועים ושבויים במהלך המערכה וקונור מנסה לתקוף את הטורקים.
קונור מבקש לקחת את שתי הגופות לקבורה באוסטרליה אך יוז אומר לו ש"הם בין חברים עכשיו, כנראה החברים הכי קרובים שהיו להם" וקונור משתכנע לקבור אותם במקום נפילתם ושומר רק את הדסקיות שלהם.
בהמשך מתנצל קונור והוא וחסן מתיידדים.
חסן משיג רשומות של הצבא העות'מאני מתקופת המלחמה בהן הוא מגלה שבנו השלישי של קונור, ארתור, נלקח למחנה שבויים.
קונור חוזר לבית המלון של איישה באיסטנבול ומנסה לאתר את מחנה השבויים.
במקביל מתחיל להתפתח קשר בינו ובין איישה.
כדי למצוא מידע על מחנות השבויים חוזר קונור למפקדת הצבא הבריטי שם הוא לומד שמחנות השבויים נבנו באסיה הקטנה ושהמקום משמש שדה קרב בין טורקיה ויוון.
המפקד הבריטי במקום כועס עליו שהפר את הוראתם והגיע לגליפולי ולכן מחרימים את דרכונו ומודיעים לו שיגורש למחרת בבוקר.
במפקדת הצבא פוגש קונור את מייג'ור חסן שבא לבקש עזרה מהבריטים במאבק מול היוונים ונדחה.
הוא עוקב אחריו עד שהם מגיעים לאספה מחתרתית של חברי "התנועה הלאומית הטורקית" שם רוצים חלק מהמשתתפים להרוג את קונור כדי שלא ילשין עליהם.
קונור מבקש שוב את עזרתו של חסן לאיתור מחנות השבויים אך זה משיב את פניו ריקם.
קונור מנסה לדבר עם גורמי צבא שונים ובמקביל מתהדקים היחסים שלו עם איישה ובמיוחד עם בנה אורהן.
גיסה עומר, שמרגיש בדבר, לוחץ עליה להודות באלמנותה ולהסכים להתחתן איתו אך היא מסרבת והקונפליקט ביניהם מגיע לאלימות פיזית.
קונור נחפז להגן עליה ולגרש את עומר אך איישה אומרת לו שעל אף כוונותיו הטובות הוא הביא קלון על משפחתה ועליו לעזוב את המלון.
בזמן שהוא יוצא משערי המלון הוא מותקף על ידי עומר -3 מחבריו שמכים אותו על החרפה שהביא למשפחה.
למקום מגיע באותו רגע גם סרג'נט ג'אמל עם עוד שלושה מקבוצת "התנועה הלאומית הטורקית", הם מצילים את קונור מידיו של עומר וחבריו ולוקחים אותו לחסן.
במפגש עמו, חסן מספר שבהמשך חקירותיו מצא שהבן ארתור הוחזק במחנה שבויים ליד הכפר אפיון.
חסן גם מספר לו שקבוצת המורדים מתכננת להגיע מאיסטנבול למחנה של התנועה ליד אנקרה, שהמסע עובר ליד אפיון ושהוא ינסה לאסוף שם מידע.
קונור חוזר למלון ושם חווה חיזיון שבנו חי.
לכן הוא מחליט להישאר בטורקיה ועם שחר כשהחיילים הבריטים בעקבותיו הוא מצליח לברוח ולהצטרף לחסן וג'מאל במסעם דרומה לאנקרה.
קבוצת המורדים החמושים וקונור איתם עולים על רכבת דרומה.
במהלך הדרך נחסמת המסילה ויושבי הרכבת מותקפים על ידי כוח יווני גדול שהורג את רוב הנוסעים ושובה את חסן, ג'מאל וקונור.
רגע לפני שהיוונים יורים בשני הטורקים מצליח קונור להציל את חסן במחיר של מותו של ג'מאל.
קונור וחסן נמלטים מהרכבת על גבי סוסים שלקחו מהיוונים ורוכבים לכוון אפיון.
בדרכם מזהה קונור סמלים שמופיעים בחזיונותיו עד שהוא מגיע לכנסייה בכפר שם הוא פוגש את בנו ארתור המצייר את קירות הכנסייה.
לאחר הפגישה החמה מספר הבן את קורותיו מאותו קרב בו נפגעו שלושתם.
לדבריו הנרי נהרג מייד בעוד שאדמונד נפצע פצעי מוות וביקש מארתור לירות בו ולגאול אותו מיסוריו ואז גם מבין קונור שהירי בגולגולת של בנו לא נעשתה על ידי הטורקים אלא על ידי אחיו.
קונור גם מבין שבנו בטראומה ואכול רגשי אשמה על כך שכאח הבוגר לא הצליח לשמור על אחיו למרות הבטחתו לאביו.
זמן קצר לאחר הפגישה מגיעים היוונים לכפר ומתחילים להפגיז אותו וקונור ובנו נמלטים במעלה ההר למצודה עתיקה שם קיימת דרך מילוט בנהר תת-קרקעי.
ארתור מציע לאביו להימלט אולם קונור מבהיר שהוא לא עוזב אותו וקונור משתכנע להצטרף לאביו בבריחה מהיוונים והם נשטפים עם הזרם הרחק מהיוונים.
לאחר 3 שבועות של נדודים חוזרים השניים לאיסטנבול והם מתקבלים בחום במלון של איישה.
במפגש בין קונור לאיישה רומזת לו איישה שהיא מאוהבת בו ומעוניינת בחיזוק הקשר איתו והצופה מבין שקונור עם בנו לא יחזרו כבר לאוסטרליה.
ראסל קרואו בתור ג'ושוע קונור חוואי אוסטרלי המחפש את בניו
אולגה קורילנקו בתור איישה בעלת מלון ומושא אהבתו של קונור
דילן ג'ורג'אדס בתור אורהן בנה של איישה
ילמז ארדואן בתור מייג'ור חסן קצין טורקי המסייע לקונור
צ'ם ילמאז בתור סרג'נט ג'מאל חייל טורקי ויד ימינו של חסן
ג'יי קורטני בתור לוטננט קולונל סיריל יוז קצין בריטי האחראי על איתור חללים
ראיין קור בתור ארתור קונור בנו של ג'ושוע קונור וניצול המלחמה
ג'קלין מקנזי בתור אלייזה קונור
דניאל וילי בתור קפטן צ'ארלס ברינדלי
דיימון הרימן בתור האב מקינטייר
ג'יימס פרייזר בתור אדוארד קונור
בן או'טול בתור הנרי קונור
רוברט ממון בתור קולונל דמרגליס
צ'רלי אלן בתור חייל באולם התחנה
הדמות האמיתית היחידה בסרט הוא לוטננט קולונל סיריל יוז שאכן פעל לאחר המלחמה ביחידה לאיתור חללים בגליפולי.
בשולי אחד ממכתביו הביתה התייחס יוז ל"בחור זקן אחד שהצליח להגיע לכאן מאוסטרליה והוא מחפש את קברו של בנו".
מאחר שאותו אב לא זוהה טוו התסריטאים עלילה דמיונית על בסיס משפט זה.
ביוני 2013 חתם קרואו על חוזה לבימוי הסרט על בסיס התסריט הנ"ל.
בדרך כלל הביקורות על הסרט היו נייטרליות עד חיוביות:
באתר Rotten Tomatoes נאספו 150 ביקורות מהן 61% חיוביות והדירוג הממוצע היה 6.05 מתוך 10.
באתר Metacritic נאספו 36 ביקורות שנתנו לסרט דירוג של 50%.
באתר CinemaScore קיבל הסרט דירוג -A בטווח של +A ל-F
עם צאת הסרט לאקרנים מחו רבים כנגד הצגת הטורקים בסרט כהומניים וזאת על אף המידע הרב שנאסף על יחסם האכזרי למיעוטים בטורקיה ובמיוחד הרציחות בתקופת השואה הארמנית.
בטקס האוסקר האוסטרלי שנערך ב-2015 קיבל הסרט את הזכיות הבאות:
שחקן המשנה הטוב ביותר ילמאז ארדואן .
השחקן הטוב ביותר לראסל קרואו.
פרס שחקן המשנה הטוב ביותר ילמאז ארדואן .
פרס שחקנית המשנה לג'קלין מקינזי ששיחקה את ליזי קונור.
טביעות הרגל של האפיסבורג היו קבוצה של טביעות רגל של הומינידיים שהתאבנו והשתמרו, שמתוארכות לסוף הפלייסטוקן המוקדם, לפני 950,000 עד 850,000 שנים בערך.
הן התגלו במאי 2013 בשכבת משקעים שנחשפו ביער קרומר בחוף בהאפיסבורג שבמחוז נורפוק, אנגליה, וצולמו בקפידה בתלת-ממד לפני שהושמדו על ידי הגאות זמן קצר לאחר מכן.
מחקר העקבות פורסם ב-7 בפברואר 2014, ובו זוהו העקבות כטביעות ההומינידים העתיקות ביותר מחוץ לאפריקה.
לפני גילוי טביעות האפיסבורג, טביעות הרגל העתיקות ביותר הידועות באירופה היו מסלולי צ'ימפאטה דל דיאבולו (Ciampate del Diavolo), "אבני הנגף של השטן", שנמצאו בהר הגעש רוקאמופינה (Roccamonfina) באיטליה, המתוארכים לתקופה שלפני כ-350,000 שנה.
הטביעות זכו בפרס 'חפירת ההצלה של השנה' לשנת 2015. תגלית טביעת הרגל של האפיסבורג הוצגה בתערוכה במוזיאון הטבע של לונדון.
העקבות התגלו במאי 2013 על ידי ניקולס אשטון, אוצר במוזיאון הבריטי ומרטין בייטס מאוניברסיטת טריניטי סנט דייוויד בוויילס, שביצעו מחקר כחלק מפרויקט הנתיבים לבריטניה העתיקה (Pathways to Ancient Britain – PAB).
טביעות הרגל נמצאו במשקעים, מכוסים חלקית בחול חוף, בעת שפל על החוף בהאפיסבורג.
המשקעים הצטברו בשפך נהר שנעלם לפני מאות אלפי שנה ככל הידוע, וכוסה לאחר מכן בחול, מה ששמר על תצורת פני השטח שלו.
שכבת המשקעים נמצאת מתחת למצוק בחוף, אך במזג אוויר סוער נשטפה שכבת החול המגוננת והמשקעים נחשפו.
המשקעים נחשבים מבחינה סטרטיגרפית כשייכים ליחידת מצע יער קרומר.
בגלל רכות המשקע, ששכב מתחת לשיא הגאות, פעולת הגאות שחקה אותו, ותוך שבועיים נהרסו טביעות הרגל.
החוקרים לא הצליחו לשמר את העקבות, אך עבדו בתקופות של שפל, לעיתים קרובות בגשם שוטף, כדי לתעד תמונות תלת-ממדיות של כל העקבות באמצעות פוטוגרמטריה.
התמונות נותחו על ידי איזבל דה גרוט מאוניברסיטת ג'ון מורס בליברפול, שהצליחה לאשר שהשקעים במשקעים הם עקבות הומיניניים.
עובדות הנוגעות לגילוי פורסמו על ידי אשטון וחברים נוספים בצוות המחקר בפברואר 2014 בכתב העת המדעי PLOS ONE.
בשטח שגודלו כמעט 40 מ"ר נמצאו כחמישים עקבות.
12 היו שלמים ברובם, ושניים הראו פרטים של בהונות.
זוהו עקבותיהם של כחמישה פרטים, כולל מבוגרים וילדים.
טביעות הרגל נמדדו ואורכם היה בין 140 ל-260 מ"מ, מה שככל הנראה מעיד על גבהים שבין 90 ס"מ ל-1.7 מ'.
מאמינים שהפרטים שיצרו אותם היו מהמין הומו אנטססור שפרטים שלו חיו בהרי אטפוורקה בספרד לפני כ-800,000 שנה.
לא נמצאו מאובני הומינין בהאפיסבורג.
ניתוח מראה שהקבוצה מנתה אולי חמישה פרטים והלכה בכיוון דרום, במעלה הזרם, לאורך שדות בוץ בשפך של שביל עתיק של נהר התמזה שזרם לים צפונה יותר מכפי שזרם כאשר דרום-מזרח בריטניה הייתה מחוברת אל יבשת אירופה.
ארכאולוגים שיערו שהקבוצה חיפשה בבוץ פירות ים, תולעי ים, רכיכות, סרטנים ואצות.
ייתכן שהקבוצה התגוררה באי בשפך הנהר שסיפק בטיחות מפני טורפים ונעה מבסיס האי שלה אל החוף בעת השפל.
אתר האפיסבורג ישן מכדי לתארך אותו באמצעות תיארוך פחמן, שאינו מתאים לאתרים בני יותר מ-50,000 שנה בערך.
תיארוך האתר התבסס במקום זאת על סטרטיגרפיה, פלאומגנטיזם ועדויות לצומח ובעלי חיים מאובנים במשקעים.
חתימות מגנטיות בתוך מרבצי המשקע מצביעות על כך שהמרבצים נוצרו בין שני ההיפוכים הגיאומגנטיים (Geomagnetic reversal) האחרונים – היפוך ברונס-מטויאמה (Brunhes-Matuyama) לפני כ-780,000 שנים והיפוך ירמילו (Jaramillo) לפני כ-950,000 עד מיליון שנים.
העדויות לצומח ובעלי חיים מאובנים באמצעות אינדיקטורים ובהם שיניים מאובנות של נברנים, המספקות עדויות תיארוך מדויקות, דוחפות את הגבול התחתון אחורה למועד שלפני 840,000 שנה לפחות.
על בסיס זה, טווח התאריכים האפשריים למועד היווצרות המשקעים שבהם נמצאו טביעות הרגל משתרע בין 850,000 ל-950,000 שנים, אך יש צורך במחקר נוסף כדי לצמצם את מסגרת הזמן.
דעה מנוגדת הציג הגיאופיזיקאי רוב ווסטאוואי (Westaway), שהציע תאריך צעיר יותר לקראת סוף שלב האיזוטופ הימי 15c, לפני כ-600,000 שנה.
את סברתו מחזקים פול פטיט (Pettitt) ומארק וייט (White).
בתקופה בה חיו ההומינינים של האפיסבורג היה קיים גשר יבשתי בין בריטניה לצרפת לפני היווצרותה של תעלת למאנש לפני כ-450,000 שנה.
נהר התמזה הקדום זרם צפונה יותר מכפי שהוא עובר היום, לפני שהתאחד עם נהר בית'אם (Bytham) העתיק, בעוד שהנוף של חלק גדול ממזרח אנגליה של ימינו היה מורכב מסדרה של רכסי חרס ושקתות הידועים כאגן קראג (Crag) של מזרח אנגליה.
האפיסבורג נחה אז כ-24 ק"מ פנימה יותר מאשר היום והייתה אתר שפך עתיק שבו התכנסו נהרות בית'אם והתמזה וזרמו למה שהיה אז מפרץ ימי.
כאשר טביעות הרגל נוצרו, שפך הנהר היה בעמק עשבוני ופתוח מוקף ביערות אורנים, עם אקלים דומה לזה של דרום סקנדינביה המודרנית.
הוא היה מיושב בממותות, קרנפים, היפופוטמים, צבאים ענקיים וביזונים, ובטורפיהם, חתולים בעלי שיניים, אריות, זאבים וצבועים.
היה שפע של ציד וצמחי מאכל, והנהר היה עשיר במרבצי צור, שלאדם הקדום היו משאב שלא יסולא בפז.
ממצאי האפיסבורג מסמנים את העדות הראשונה באזור כה צפוני לבני אדם מוקדמים מלפני 1,000,000 שנים.
פלאונטולוגים העריכו שההומינינים של התקופה נזקקו לאקלים חם בהרבה, אך תושבי האפיסבורג הפרהיסטוריים הסתגלו לקור, מה שמעיד על כך שהם פיתחו שיטות מתקדמות לציד, לבוש, מחסה והתחממות מוקדם ממה שחשבו בעבר.
האפיסבורג הניבה ממצאים ארכאולוגיים משמעותיים.
קו החוף נתון לבליית חוף חמורה, ולכן חומר חדש נחשף ללא הרף לאורך הצוקים ועל החוף.
תגליות פרהיסטוריות צוינו מאז 1820, כאשר דייגים ששלו במכמורת צדפות מאזור החוף גילו שהרשתות שלהם העלו שיניים, עצמות וקרניים שהשתייכו לפילים, קרנפים, צבאים ענקיים ומינים אחרים שנכחדו.
גאות גבוהה בפברואר 1825 חשפה שרידים פרהיסטוריים נוספים כאשר סחפה משקעים שקברו שרידים עתיקים של גדמי עצים מאובנים, עצמות בעלי חיים וחרוט אשוח.
בינואר 1877, סופה גדולה סחפה לוחות אבן ברזל ענקיים מקרקעית הים אל חוף האפיסבורג.
הלוחות שימרו טביעות עלים מאלונים, בוקיצות, אשור, לבנה וערבות שחיו לפני אלפי שנים.
עצמות ביזון מהפליסטוקן, שנמצאו בשנות ה-70 של המאה ה-19 סיפקו את העדות הראשונה לפעילות אנושית עתיקה; בדיקה מחודשת של העצמות ב-1999 גילתה שהן נחתכו ונרצעו בסימני חיתוך מובהקים, מה שמצביע על כך שבני אדם הרגו את החיות בכלי אבן.
בשנת 2000, גרזן אבן צור שחור, המתוארך לתקופה שלפני בין 600,000 ל-800,000 שנים, נמצא על ידי אדם שהלך על החוף.
בשנת 2012, עם הפקת סרט הטלוויזיה התיעודי "אוצרותיה הסודיים של בריטניה" (Britain's Secret Treasures), נבחר גרזן היד על ידי פאנל מומחים מהמוזיאון הבריטי והמועצה לארכאולוגיה בריטית כפריט החשוב ביותר ברשימה של חמישים תגליות ארכאולוגיות שנעשו על ידי הציבור הרחב.
מאז גילוי הגרזן, ההיסטוריה הפלאוליתית של האפיסבורג הייתה נושא לפרויקטים של הגעת האדם הקדום לבריטניה (Ancient Human Occupation of Britain – AHOB) ונתיבים לבריטניה העתיקה (Pathways to Ancient Britain – PAB), סרטים בבימוי ניק אשטון וכריס סטרינגר, במימון מענקים מנאמנות לבריולם (Leverhulme Trust) וקרן קאליבה (Calleva).
בין השנים 2005 ל-2010 נחפר החוף ונמצאו בו שמונים כלי צור פלאוליתיים, בעיקר ליבות, נתזים וכלי נתזים, במשקעים מלפני עד 950,000 שנה.
מאמינים כי הכלים נוצרו על ידי הומו אנטססור, אותו מין שלפי ההערכה יצר את טביעות הרגל, והם החפצים המוקדמים ביותר שנמצאו בצפון אירופה.
ארכאולוגים מקווים לשחזר את הסביבה שבה נוצרו עקבות הרגליים על ידי ניתוח שרידי החי והצומח מהמשקעים.
שרידי 15 מיני יונקים, 160 מיני חרקים ויותר מ-100 מיני צמחים נמצאו עד כה.
עקבות האפיסבורג הוצגו בתערוכה, "בריטניה: מיליון שנים של הסיפור האנושי", במוזיאון הטבע בלונדון מ-13 בפברואר 2014. הם גם נכללו בתערוכה "סיפורים מרגשים שלושה מסעות" במוזיאון הבריטי בין 30 במרץ – 30 באפריל 2017.
עקבות האפיסבורג זכו בתואר 'חפירת ההצלה של השנה', על ידי הציבור הרחב, כחלק מפרסי "ארכאולוגיה בן זמננו" (Current Archaeology) לשנת 2015.
ממצאי עקבות דומים בתארוכים שונים
עקבות עתיקות של אצ'אהואלינקה (Acahualinca) – עקבות אנושיות של סוף ההולוקן שנמצאו ליד חופו של אגם מנגואה בניקרגואה, המתוארכות למועד שלפני כ-2,120 שנים.
טביעת הרגל של איב – עקבות של נקבה יחידה שנמצאה בלנגבאן (Langebaan), דרום אפריקה, בשנת 1995, המתוארכות למועד שלפני כ-117,000 שנים.
אילרת (Ileret) – עקבות של הומו ארקטוס שנמצאו באילרת, צפון קניה, המתוארכות למועד שלפני כ-1.5 מיליון שנים.
עקבות לאטולי (Laetoli footprints) – שורה של עקבות הומינידים, שהתגלתה בלאטולי, טנזניה על ידי מרי ליקי ב-1976, המתוארכת למועד שלפני כ-3.6 מיליון שנים.
עקידת יצחק הוא ציור שמן על קנבס מאת האמן האיטלקי ג'ובאני בטיסטה גאולי, הידוע בכינויו "באצ'יצ'ה".
היצירה מציגה את הסצנה המקראית שבה אברהם עומד להקריב את בנו יצחק, לפני שמלאך האלוהים עוצר בעדו.
ג'ובאני בטיסטה גאולי (1639–1709) היה צייר איטלקי מתקופת הבארוק, שהתפרסם בזכות עבודותיו המונומנטליות ופרסקאותיו בכנסיות החשובות של רומא.
הוא הושפע מעבודותיהם של אמנים כמו פייטרו דה קורטונה וג'ובאני לורנצו ברניני, מה שהשתקף בסגנונו הדינמי והמלא בתנועה.
הסצנה המתוארת בציור ממחישה את הרגע הדרמטי שבו אברהם, בצייתנות מוחלטת לצו האלוהי, מוכן להקריב את בנו יצחק.
המלאך מופיע ברגע האחרון, עוצר את אברהם, ומונע את הקרבת הבן.
בציור ניתן להבחין בשימוש דרמטי באור וצל, המדגישים את הרגע הקריטי של האירוע.
התנועות, ההבעות והמשחק בין הדמויות תואמים את סגנון הבארוק, המבליט דרמה ואקספרסיביות.
הציור נרכש בשנת 1950 על ידי קרן סמואל ה.
קרס, שהוקמה במטרה לשמר ולהפיץ אמנות אירופית חשובה.
לאחר מכן, בשנת 1961, הוענקה היצירה כמתנה למוזיאון האמנות הגבוה באטלנטה, שם היא מוצגת עד היום כחלק מהאוסף האירופי של המוזיאון.
הציור מהווה דוגמה קלאסית לבארוק האיטלקי.
השימוש הדרמטי בתאורה, ההבעות הרגשיות והתנועה הספונטנית של הדמויות מדגישים את השפעת הסגנון של גאולי.
שילוב זה בין קומפוזיציה דינמית, גוונים עשירים ועומק רגשי הופכים את היצירה ליצירת מופת בסגנון הבארוק.
בגאומטריה דיפרנציאלית של משטחים, עקום אסימפטוטי הוא עקום שתמיד משיק לכיוון אסימפטוטי של המשטח (היכן שכיוונים כאלו קיימים).
עקום כזה מכונה לעיתים גם קו אסימפטוטי, אף על פי שהוא אינו חייב להיות קו ישר.
ישנן מספר הגדרות שקולות לכיוונים אסימפטוטיים ולעקומים האסימפטוטיים הנגזרים מהם.
הכיוונים האסימפטוטיים בנקודה של המשטח הם בדיוק האסימפטוטות של ההיפרבולה המייצגת של Dupin indicatrix דרך נקודה היפרבולית (נקודה בה עקמומיות גאוס היא שלילית), או האסימפטוטה היחידה בנקודה פרבולית (נקודה בה עקמומיות גאוס היא אפס).
כיוון אסימפטוטי בנקודה הוא כיוון שלאורכו העקמומיות הנורמלית היא אפס.
עקמומיות נורמלית של כיוון במישור המשיק למשטח S בנקודה מסוימת x מוגדרת כהיטל של הדיפרנציאל של וקטור יחידה נורמלי למשטח לאורך העקומה על כיוון המשיק למשטח, בנקודה x.
פורמלית, העקמומיות הנורמלית בכיוון המשיק לעקומה היא המכפלה הפנימית:
מכפלה זו מתאפסת כאשר (כלומר כאשר הנורמל למשטח קבוע, או כאשר המישור המשיק נותר מקביל לעצמו) או כאשר ניצב לוקטור הנורמל למשטח באותה נקודה.
במקרה השני מקבלים שבהתקדמות לאורך עקומה אסימפטוטית, הנורמל למשטח למעשה "מסתובב" מסביב למשיק לעקומה (תוך שמירה על זווית ישרה עם המשיק).
הגדרה שקולה לעקמומיות הנורמלית בכיוון היא העקמומיות של חתך נורמלי של המשטח (חתך נורמלי נחתך מן המשטח על ידי מישור המכיל את הנורמל למשטח ואת הוקטור ) או ההיטל של וקטור העקמומיות המוחלטת של העקום האסימפטוטי על כיוון הנורמל למשטח.
היטל זה מתאפס כאשר העקומה האסימפטוטית ישרה מקומית באופן "מוחלט" (כלומר ביחס למרחב ), או כאשר מרכז העקמומיות של בנקודה x מצוי במישור המשיק למשטח.
לכן, הגדרה שקולה נוספת לעקומה אסימפטוטית היא עקומה שבה בכל נקודה המישור הנושק לה והמישור המשיק למשטח מתלכדים.
כיוונים אסימפטוטיים מתקיימים רק בנקודות שבהן עקמומיות גאוס היא שלילית או אפס.
לפי משפט אוילר בגאומטריה דיפרנציאלית, ישנם שני כיוונים אסימפטוטיים דרך כל נקודה עם עקמומיות גאוס שלילית, שכל אחד מהם נמצא בין שני כיוונים ראשיים.
ישנו כיוון אסימפטוטי יחיד או אינסוף כיוונים אסימפטוטיים בכל נקודה פרבולית.
בנקודות אמביליות עם עקמומיות שונה מאפס, אין שום כיוון אסימפטוטי (בכל הכיוונים העקמומיות הנורמלית גדולה מאפס).
אם משטח הוא מינימלי ואינו שטוח, אז הכיוונים האסימפטוטיים ניצבים אחד לשני (ומצויים כל אחד בזווית של 45 מעלות ביחס לכיוונים הראשיים).
עבור משטח פריס, העקומים האסימפטוטיים הם קווים יוצרים (generatrices) ורק הם.
אם קו ישר נכלל במשטח (כמו במקרה של משטח ישרים), אז הוא עקום אסימפטוטי של המשטח (תכונה זו נובעת מהגדרה 3).
מכיוון שעקמומיות גאוס מוגדרת בתור הדטרמיננטה של המטריצה המייצגת של אופרטור הצורה, ודטרמיננטה זאת נשמרת תחת שינוי בסיס, ניתן להגדיר בסיס אורתונורמלי חדש למישור המשיק המורכב מכיוון אסימפטוטי אחד והכיוון הניצב לו (במקום הכיוונים הראשיים), כך שהמטריצה המייצגת של אופרטור הצורה תישאר סימטרית.
לפי התיאור הגאומטרי של הגדרה 2, האיברים (הזהים) שמחוץ לאלכסון הראשי מודדים את קצב הסיבוב של הנורמל למשטח מסביב למשיק ; גודל זה מכונה בגאומטריה דיפרנציאלית "הפיתול הגאודזי" של העקומה (geodesic torsion) ומסומן .
האיברים על אלכסון הראשי הם בדיוק העקמומיות הנורמליות של הכיוון האסימפטוטי והכיוון הניצב לו, ומכפלתן אפס על פי ההגדרה.
לכן, תוצאה כמותית חשובה המאפיינת עקומים אסימפטוטיים קובעת שעליהם מתקיים: - תוצאה זאת מכונה משפט Beltrami-Enneper.
בהינתן הצגה פרמטרית של משטח על ידי קואורדינטות עקומות , העקמומיות הנורמלית בנקודה x בכל כיוון נתונה על ידי התבנית היסודית השנייה, שבדרך כלל מסומנת:
הכיוונים האסימפטוטיים בנקודה הם בדיוק אלו שעבורם התבנית היסודית השנייה מתאפסת, ולפיכך ניתן לקבוע אותם על ידי פירוק לגורמים ליניאריים של התבנית היסודית השנייה.
אם נסמן , אז נקבל:
הכיוונים האסימפטוטיים נתונים אז על ידי:
ניתן לראות שכיוונים אסימפטוטיים קיימים רק כאשר הביטוי בתוך השורש הריבועי אינו קטן מאפס, כלומר כאשר הדיסקרימיננטה של התבנית היסודית השנייה היא אי-שלילית, או באופן שקול כאשר עקמומיות גאוס אינה חיובית.
לאחר בחירה עקבית של ענף השורש הריבועי, העקומים האסימפטוטיים הם עקומים אינטגרליים (integral curves) עבור שדה הכיוונים המתואר על ידי התבניות הדיפרנציאליות הליניאריות הללו.
עקידת יצחק (בהולנדית: Het Offer van Isaac) הוא ציור שמן על בד מאת הצייר הפלמי יאקוב יורדאנס, המתאר את הסצנה התנ"כית של עקידת יצחק.
הציור נוצר ככל הנראה בשנת 1625 או 1626, ונמצא כיום באוסף הגלריה פינקוטקה די בררה במילאנו, איטליה.
הציור מציג את הרגע הדרמטי שבו אברהם עומד להקריב את בנו יצחק כקורבן, אך נעצר על ידי מלאך האל.
יורדנס משתמש בפלטת צבעים מאופקת יחסית – גוונים של כחול וחום – המאפיינים את יצירתו בתקופה זו.
הריאליזם בדמויות והקומפוזיציה הדינמית משקפים את השפעת הסגנון הבארוקי הפלמי.
הציור יוחס בעבר לפיטר פול רובנס ונרכש מהיורשים של יורדנס בהאג בשנת 1734. הוא הועבר לארמון סנסוסי בפוטסדאם שבגרמניה, ובהמשך הוחרם על ידי הכוחות הצרפתיים במהלך המאה ה-19 והובא ללובר בפריז.
לבסוף הועבר לצמיתות לגלריה בררה כחלק מהחלפת יצירות אמנות בין מוזיאונים.
זיהויו כיצירה של יורדאנס ולא של רובנס בוצע רק לאחר העברתו למילאנו.
הסגנון, הבחירה בצבעים, והמאפיינים האופייניים ליצירתו של יורדאנס סייעו בתיקון הייחוס.
עקומת התמורה או עקומת אפשרויות הייצור היא ביטוי גרפי לבעיית המחסור בכלכלה: כאשר משק במצב של יעילות מרבית (כל המשאבים מוקצים לייצור) וכאשר קיים יותר ממוצר אחד שהמשק יכול לייצר, ייצור של יחידות נוספות מאחד המוצרים תגרור בהכרח ייצור של פחות יחידות ממוצרים אחרים.
הגרף מייצג מקרה תאורטי, שבו הברירה העומדת בפני המשק היא בין שני מוצרים (או שתי קבוצות מוצרים) בלבד.
הוא מורכב ממערכת צירים בה שיעורי הנקודות מייצגים את הכמות המיוצרת מכל אחד מהמוצרים (או, קבוצות המוצרים).
עקומת התמורה היא אוסף כל הנקודות בגרף המייצגות מצב שבו לא ניתן ליצור עוד יחידות מאחד המוצרים בלי לפגוע בייצור של המוצר האחר.
במשק המתבסס על ייצור של אוניות או ארונות (אם, למשל, חומר הגלם היחידי הוא עץ), יוכלו לייצר מספר רב יותר של אוניות רק אם יוותרו על כמות מסוימת של ארונות.
ביטוי גרפי לצירופי ארונות-אוניות יבוטא בעקומת תמורה שציריה הם כמויות האוניות והארונות המיוצרים במשק.
בעקומת התמורה ניתן לראות את גודל הוויתור הנדרש על ייצור של מוצר אחד על מנת לייצר כמות גדולה יותר מן המוצר השני.
ויתור זה נקרא העלות האלטרנטיבית או המחיר הכלכלי.
למשל: אם כדי לייצר עוד 2 אוניות יש לצמצם את יצור הארונות ב-10, אזי נאמר שהמחיר הכלכלי (הוויתור) ליצור 2 אוניות נוספות הוא 10 ארונות, והמחיר הכלכלי של אונייה אחת הוא 5 ארונות (5=).
את הוויתור ניתן לראות בשיפוע עקומת התמורה, המבטא את הכמות שיש לוותר מיחידות המוצר שעל הציר האנכי ("מוצר Y") כדי לייצר יחידה נוספת (הזולה ביותר) מהמוצר שעל הציר האופקי ("מוצר X"), כאשר הקצאת גורמי הייצור יעילה.
מספר זה הוא הערך המוחלט של השיפוע, והוא נקרא שיעור התחלופה השולי בייצור (RPT) או העלות השולית (MRT – קיצור של Marginal Rate of Transformation).
ערכו של השיפוע תמיד שלילי, כיוון שתוספת במוצר X, תביא להפחתה במוצר Y.
ניתן להסיק מהגרף גם כי העלות השולית של מוצר Y שווה להופכי של העלות השולית של מוצר X.
צירוף הנמצא מתחת לעקומת התמורה מייצג צירוף אפשרי שלא מנצל את כל יכולות המשק – תופעה הנובעת מאבטלה או מחלוקה לא נכונה (לא יעילה) של המשאבים הדרושים ליצור.
עם זאת, גם נקודה על העקומה אינה מבטאת בהכרח תעסוקה מלאה של גורמי היצור, אלא יצור אופטימלי במגבלות גורמי היצור הקיימים.
דוגמה אחת לכך היא הקצאת משאבים בעזרת תכנון ליניארי.
דוגמה אחרת היא במצב בו, למשל, יש 5 משאיות ו-7 נהגים והקצאה אופטימלית תותיר 2 נהגים מובטלים.
מאידך, אם ידוע שהמשק בתעסוקה מלאה, נקודת היצור תהיה על עקומת התמורה.
עקומת התמורה היא לרוב קמורה כלפי חוץ, ויש לכך מספר סיבות אפשריות:
אם כל גורמי היצור זהים: בשל חוק התפוקה השולית הפוחתת – ככל שנגדיל את יצור X על חשבון Y, נצטרך לוותר על יותר תוצר של Y (כי יישארו להפקתו מעט גורמי יצור) ונקבל בתמורה פחות ופחות גידול בתוצר של X (כי יהיו שם הרבה גורמי יצור).
בהנחה שגורמי היצור אינם זהים (למשל: עובדים שלכל אחד יכולות שונות) יהיה יעיל מבחינה כלכלית להעביר מענף Y לענף X את העובדים שיש להם יתרון יחסי ב-X, כלומר אלו שיבטיחו מקסימום תמורה ב-X על כל ויתור ב-Y.
במודלים כדוגמת תכנון ליניארי המניחים שיש מספר גורמי יצור בלתי תלויים זה בזה – החיתוך בין אילוצי גורמי היצור תוחמים תחום אפשרי קמור כלפי חוץ.
עקומת תמורה ליניארית (מילולית: 'עקומת תמורה של קו ישר', נקראת גם 'עקומת תמורה של חוסר התמחות') היא סוג פשוט של עקומת תמורה הבנוי מקו ישר המחבר בין הכמות המקסימלית של X ושל Y שהמשק יכול לייצר.
העקומה מקבלת צורה זו במצב שבו העלות האלטרנטיבית של כל אחת מיחידות גורמי הייצור בייצור של X ו־Y זהה.
קיומו של גורם ייצור אחד בלבד במשק מבטיח שעקומת התמורה תהיה ליניארית, אולם ריבוי של גורמי ייצור במשק אינו מעיד בהכרח על כך שעקומת התמורה אינה ליניארית, הואיל וייתכן מצב בו ההוצאה האלטרנטיבית בייצור יחידת X ו־Y זהה אצל גורמי הייצור במשק.
ההוצאה האלטרנטיבית השולית שווה להוצאה האלטרנטיבית הממוצעת בכל אחת מנקודות בעקומה, והיא שווה בתורה לערכו המוחלט של שיפוע העקומה, וכולם קבועים לאורך העקומה.
משוואתה של עקומה זו תמיד תהיה מהצורה: , כאשר n (בהכרח חיובי) מבטא את נקודת החיתוך של העקומה עם ציר ה-Y, ו-m (בהכרח שלילי) מבטא את שיפועה של העקומה.
משק שברשותו 50 עובדים, מייצר שני מוצרים: X ו-Y.
אם במשק ייצרו רק ממוצר X, ניתן יהיה לייצר 100 יחידות ממנו (נקודה E בעקומה משמאל).
אם במשק ייצרו רק ממוצר Y, ניתן יהיה לייצר 50 יחידות ממנו (נקודה A בעקומה משמאל).
כדי לבנות את שאר העקומה, נתבונן שוב בנקודה A, שבה מצב שבו המשק מייצר 50Y.
במצב זה, אם המשק מעוניין בייצור של 2X, הוא ייאלץ לוותר על 1Y.
כלומר: העלות האלטרנטיבית השולית בייצור X היא חצי Y.
נסמן את המצב אחרי החלפה כזו בנקודה B.
אם במצב זה המשק מעוניין בייצור 2X נוספים, והוא ייאלץ לוותר על Y נוסף.
מצב זה מסומן בגרף בנקודה C, והעלות האלטרנטיבית השולית בייצור X היא שוב חצי Y.
אם נבצע צעד זה שוב ושוב באופן שיטתי, עד שנגיע למצב בו המשק מייצר X בלבד (נקודה E), ונסמן את כל הנקודות שעברנו בדרך, נקבל את העקומה הישרה המצוירת משמאל.
בעקומה ניתן לראות את כל המאפיינים שצוינו לעקומת תמורה ליניארית:
ההוצאה האלטרנטיבית השולית זהה לאורך כל העקומה וזהה (עבור X) לערך המוחלט של שיפוע העקומה (X/2).
ההוצאה האלטרנטיבית הממוצעת זהה לאורך כל העקומה (עבור X: Y/2).
ההוצאה האלטרנטיבית השולית זהה להוצאה האלטרנטיבית הממוצעת.
הגדלת השטח שמתחת לעקומה (למשל, בעקבות הגדלת נקודת החיתוך שלה עם אחד הצירים) מעידה על צמיחה כלכלית, הנובעת לרוב משיפור טכנולוגי בייצור או מגידול בכמות גורמי הייצור.
במציאות, כמעט תמיד קיימים יותר משני מוצרים.
עם זאת, עקומת התמורה עדיין יכולה להיות מודל יעיל, אם נציב באחד הצירים מוצר מסוים ובציר האחר את כל שאר המוצרים האפשריים.
למשל, בעזרת עקומת תמורה, ניתן לייצג בצורה כמותית את העובדה שהגדלת תקציב הביטחון תחייב הקטנת התקציב המופנה לכל הסעיפים האזרחיים הלא צבאיים: חינוך, בריאות, רווחה, תחבורה וכדומה.
במתמטיקה, עקומה היא קו חד־ממדי ורציף.
בצורה אינטואיטיבית, עקומה היא קו ישר שהופעלו עליו פעולות של עיקום ופיתול, מבלי "לקרוע" אותו.
עקומות מופיעות ברבים מתחומי המתמטיקה, ובפרט בגאומטריה, אנליזה מתמטית וטופולוגיה.
דוגמאות פשוטות לעקומות הן קו ישר, מעגל, חתכי חרוט אחרים, גרף של פונקציה רציפה וכדומה.
כאשר באים להגדיר עקומה בצורה פורמלית, הדרך הטובה ביותר לעשות זאת היא באמצעות פונקציה רציפה שתחומה הוא קטע של המספרים הממשיים, וטווחה הוא מרחב טופולוגי כלשהו.
בצורה זו נשמרת התמונה האינטואיטיבית של "הקו הישר שאנו מעקמים ומפתלים", ויחד עם זאת מושג תיאור מדויק של העקומה.
מכאן שמבחינה פורמלית, עקומה היא פונקציה.
יהא קטע על הישר הממשי.
נקרא לפונקציה עקומה אם הוא מרחב טופולוגי כלשהו, ו- היא פונקציה רציפה.
בדרך כלל, כאשר משתמשים במונח "עקומה" מניחים ש- הוא המרחב האוקלידי ה--ממדי.
במקרה זה, למרחב הטופולוגי יש גם מבנה של מרחב וקטורי ומרחב מטרי ואפשר לנתח את העקומה בכלים של אנליזה וקטורית וגאומטריה דיפרנציאלית.
אם חד-חד ערכית נאמר שהיא עקומה פשוטה.
מבחינה אינטואיטיבית, הכוונה היא שהעקומה לא חותכת את עצמה, לא חוזרת על עצמה, כלומר "אין בה לולאות" וגם אין "התקדמות אחורה", כלומר מצב בו העקומה נעה לאחור על עצמה.
עקומה נקראת רגולרית אם הווקטור המשיק לעקומה לא מתאפס באף נקודה.
כלומר, העקומה לא "נעצרת" או "חוזרת על עקבותיה".
אם , כלומר הוא קטע סגור וחסום, ואם נאמר שהעקומה סגורה (שני הקצוות שלה מחוברים).
אם היא חד-חד-ערכית פרט לקצוות, נאמר שהיא פשוטה וסגורה.
ניתן לראות עקומה כזו כתמונה של מעגל היחידה במישור.
עקומה שכזו מכונה גם "עקומת ז'ורדן", בשל הופעתה במשפט ז'ורדן.
עקומה נקראת חלקה למקוטעין אם היא רציפה וגזירה ברציפות פרט למספר סופי של נקודות (למשל משולש).
במרחב מטרי אורך של עקומה מוגדר על ידי
כאשר הסופרמום רץ על כל ועל כל חלוקה של הקטע .
זהו למעשה הסופרמום של אורכי העקומות הפוליגוניות (עקומות המורכבות ממספר סופי של קווים ישרים) המקרבות את העקומה.
אם העקומה גזירה ברציפות ורגולרית, אפשר לחשב את אורך העקומה לפי הנוסחה הבאה:
במקרה שהעקומה נתונה כגרף של פונקציה רציפה אורך משיק אינפיניטסימלי של קירוב פוליגוני , הוא לפי משפט פיתגורס , אם הפונקציה גזירה אזי אפשר לרשום
לנוסחה זו אפשר להגיע באופן ריגורוזי על ידי הצבת הפרמרטריזציה בנוסחה הכללית.
לעקומה רגולרית אפשר להגדיר פרמטריזציה טבעית שבה הפרמטר האפיני מוחלף באורך העקומה .
הפרמטר נקרא "הפרמטר הטבעי" של עקומה.
אזי מתקיים שהווקטור המשיק הוא תמיד מנורמל, שכן
במשוואות פרנה ומשוואות פרנה-סרה משתמשים בעקומות בעלות פרמטריזציה טבעית, וכן גם בהגדרת האוולוט.
בטופולוגיה, עקומת הסינוס של הטופולוגים היא דוגמה קלאסית למרחב טופולוגי קשיר שאינו קשיר מסילתית.
עקומת הסינוס של הטופולוגים מוגדרת כתת המרחב של , המורכב מגרף הפונקציה בקטע ומהקטע הסגור
כלומר, מדובר בתת-הגרף של המישור האוקלידי המוגדר על ידי הקבוצה:
ניתן להוכיח שעקומה זו קשירה, אך אינה קשירה מסילתית ואינה קשירה מקומית.
זוהי הדוגמה הקלאסית למרחב טופולוגי קשיר שאיננו קשיר מסילתית.
עקומת הסינוס של הטופולוגים היא קומפקטית מקומית ואף קומפקטית.
עם זאת עקומת הסינוס של הטופולוגים הפתוחה, בפירוט, תמונת הפונקציה הרציפה המוגדרת לכל , ו- עבור של המרחב היא תמונה רציפה של קומפקטית מקומית בעוד שאינה קומפקטית מקומית בעצמה.
עקום פאנו הוא מסילה רציפה, הממלאת שטח דו-ממדי או בעל ממד גבוה יותר.
עקומים כאלה תוארו לראשונה על ידי המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה פאנו ב-1890, והיו לדוגמה הראשונה של מה שנודע אחר-כך כפרקטל.
פאנו בנה פונקציות אלה כדי להדגים מסילה רציפה שלא ניתן לתחום בשטח קטן.
באופן אינטואיטיבי, אפשר לתאר מסילה רציפה כמסלול שעושה נקודה הנעה, ללא קפיצות, במרחב.
כדי לקבל הגדרה מדויקת יותר, הציע קמי ז'ורדן ב-1887 ש"מסילה" היא התמונה של פונקציה רציפה המוגדרת על קטע היחידה .
הגדרה זו, שהפכה לאחד המושגים היסודיים בטופולוגיה, מתאימה לפונקציות מקטע היחידה לכל מרחב טופולוגי.
המקרה הפשוט ביותר הוא זה של מסילה במישור הדו-ממדי.
לפעמים אין מבחינים בין הפונקציה לבין התמונה שלה, שהיא אוסף הנקודות .
בשנות השמונים של המאה התשע-עשרה גילה גאורג קנטור שקטע היחידה שקול לריבוע היחידה בעוצמתו.
פירושה של עובדה זו הוא שקיימת פונקציה מן הקטע אל הריבוע, המכסה את כל הנקודות.
פאנו בנה את "עקום פאנו", שהוא, כאמור, מסילה רציפה הממלאת את ריבוע היחידה (או קובייה מממד גבוה יותר) בלי להחמיץ אף נקודה, בניסיון להדגים את התופעה שגילה קנטור.
רוב המסילות שמתמטיקאים נתקלו בהן עד עבודתו של פאנו היו בעלות נגזרות רציפות כמעט בכל מקום, ומסילות כאלה אינן יכולות למלא שטח.
משום כך, הדוגמאות של פאנו, שהיו מבוססות על הרעיונות של קנטור ואיחדו אותן עם הזרם המרכזי של המחקר המתמטי, התקבלו בהפתעה רבה.
מן הדוגמאות הדו-ממדיות של פאנו קל לבנות מסילות רציפות שיכסו את הקובייה ה-n ממדית, לכל n.
יתרה מזו, אם מוותרים על נקודות הקצה, אפשר לבנות באותה שיטה גם מסילות רציפות שיכסו את המרחב האוקלידי ה-n-ממדי כולו.
הבניה של פאנו, כמו רוב הבניות המפורשות של עקומים מכסי-שטח שהתגלו מאז, מבוססת על הגדרה איטרטיבית של המסילה: בכל שלב נבנית מסילה ליניארית-למקוטעין, המעדנת את השלב הקודם; ראו האיור בצד שמאל.
בגבול, מתקבלת מסילה רציפה המבקרת בכל נקודות הריבוע.
גם אם בכל שלב סופי המסילה אינה חותכת את עצמה, תכונה זו אובדת במעבר לגבול - מסילה המכסה שטח מוכרחה לחתוך את עצמה.
בדומה לזה, לא קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ורציפה בשני משתנים לקטע ממשי.
כפרקטל, לעקום פאנו יש ממד טופולוגי 1 וממד האוסדורף 2.
הבנייה של פאנו מבוססת על שני רעיונות חשובים של קנטור: ההתאמה בין מספרים ממשיים לסדרות של ספרות (על ידי הצגה בינרית או טרנרית), והבניה של קבוצת קנטור.
נסמן ב- C את קבוצת קנטור, שהיא כידוע בעלת עוצמת הרצף.
פונקציית קנטור היא פונקציה רציפה , המכסה את כל הקטע.
בעזרתה אפשר להגדיר פונקציה רציפה בין מרחבי המכפלה, , לפי הנוסחה .
מכיוון שקבוצת קנטור הומיאומורפית למרחב , ומכיוון שקיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל , יש הומיאומורפיזם .
ההרכבה היא העתקה רציפה של קבוצת קנטור על ריבוע היחידה.
אבל את הפונקציה f אפשר להרחיב לפונקציה רציפה , על ידי השלמה ליניארית בכל אחד מן הקטעים החסרים של C, וזוהי המסילה המבוקשת.
במתמטיקה, ובעיקר בגאומטריה אלגברית ובגאומטריה אריתמטית, עקום פרמה הוא העקום האלגברי המרוכב, המוגדר בקואורדינטות ההומוגניות של המישור הפרויקטיבי, לפי משוואת פרמה .
במונחי המישור האפיני, מתקבל העקום .
את משפט פרמה, הקובע שלמשוואה אין פתרון במספרים שלמים לכל (למעט כאשר אחד המשתנים שווה לאפס), אפשר לנסח גם כטענה שלעקום פרמה אין נקודה רציונלית מעל המספרים הרציונליים, למעט הנקודות הטריוויאליות.
עקום פרמה הוא עקום חלק.
מכיוון שעל פי משפט הנורמליזציה, הנקודות של כל עקום אלגברי פרויקטיבי חלק מהוות משטח רימן קומפקטי, הרי שאם מוגדר מעל שדה המספרים המרוכבים, הנקודות של עקום פרמה אף הן מהוות משטח רימן קומפקטי.
ניתן להוכיח כי הגנוס של עקום אלגברי פרויקטיבי חלק ממעלה n הוא , ולפיכך זהו הגנוס של עקום פרמה.
במקרה n=2 הגנוס הוא 0, והעקום ניתן לפרמטריזציה מלאה סביב כל אחת מן הנקודות הרציונליות שלו.
במקרה n=3, הגנוס המתקבל הוא 1. עקום אלגברי פרויקטיבי חלק עם גנוס 1 נקרא עקום אליפטי.
עקומת לורנץ היא אמצעי כלכלי-סטטיסטי המשמש לתיאור דרגת השוויון במשק, בדרך כלל בהתייחס לחלוקת ההכנסות.
העקומה מתארת את ההכנסה היחסית המצטברת של משקי בית, החל מבעלי ההכנסה הנמוכה ביותר.
העקומה מתארת את חלקן של הקבוצות השונות של האוכלוסייה מסך כל ההכנסה.
כאשר יש שוויון מוחלט בהכנסות (כלומר, העשירון הראשון משתכר 10% מכלל ההכנסות, וכך כל עשירון נוסף), תהיה עקומת לורנץ הקו האלכסוני y = x, הנקרא גם קו השוויון המוחלט.
במצב תאורטי שבו יש אי שוויון מוחלט (אדם אחד נהנה מכל ההכנסות) מקבלת עקומת לורנץ צורה של זווית ישרה, המתלכדת עם הצירים, הנקראת קו אי השוויון המוחלט.
ככל שהעקומה רחוקה יותר מקו השוויון המוחלט, גדול יותר אי השוויון בחלוקת ההכנסה.
העקומה נקראת על שמו של מקס לורנץ, הכלכלן האמריקני שפיתח אותה.
מתוך עקומת לורנץ אפשר לחשב את מדד ג'יני, המתאר מספרית את רמת אי השוויון: מדד ג'יני הוא היחס בין השטח הכלוא בין קו השוויון המוחלט (האלכסון) לבין העקומה, לבין כלל השטח שמתחת לאלכסון (שהוא 0.5).
כאשר מדד ג'יני שווה לאפס, מדובר על חברה שוויונית לחלוטין, כלומר הכנסות שוות לכל משקי הבית, ואז עקומת לורנץ מתלכדת עם קו השוויון המוחלט.
כאשר מדד ג'יני שווה לאחד, כל ההכנסות מרוכזות בידי משק בית אחד, ואז העקומה מתלכדת עם קו אי השוויון המוחלט.
עקומת למידה היא עקומה המתארת את הקשר בין זמן הלמידה של מיומנות מסוימת להתקדמות של הלומד בביצוע המשימה הנלמדת.
שימושה הראשוני היה בפסיכולוגיה קוגניטיבית, אך מאז התרחב השימוש בה לענפי הכלכלה, לחקר ביצועים, להנדסת תעשייה וניהול ועוד.
מספר מונחים חליפיים או קרובים מתארים עקומת למידה, בהקשרים דומים, כעקומת ניסיון, עקומת הזנק, או עקומת יעילות.
בדרך כלל מתוארת העקומה באופן הבא: על ציר ה-X מונח מספר הפעמים שביצע הלומד את המשימה הנלמדת, החל מהראשונה והלאה, בעוד על ציר ה-Y מתאימה הפונקציה לכל פעם ופעם את הזמן שהיה דרוש להשלמת המשימה (ולעיתים את עלותה הכספית).
ברוב המקרים צפויה להתהוות עקומה יורדת משמאל לימין, משום שערכו של הניסיון הנצבר והמיומנות הנרכשת (ארה קונדרה) אמור לאפשר את ביצוע המשימה בזמן קצר יותר בכל פעם ופעם.
כאשר עקומת למידה המתארת משימה מסוימת היא תלולה, משמעות הדבר שיעילות הלמידה היא גבוהה והתועלת בה באה לידי ביטוי מהיר יותר בתפוקה מוגברת.
עקומת למידה שטוחה, מאידך, מסמלת תהליך למידה שאינו מועיל, או את העדרה בפועל של למידה בתהליך.
בשוק העבודה נודעה משמעות רבה לעקומת הלמידה, משום שהיא משמשת ככלי לתמחור של ניסיון: כלומר אפשר לגזור ממנה את תוספת השכר שיכול לדרוש עובד מנוסה או מומחה, בהשוואה למי שאינו כזה.
נהוג להשתמש בעקומות למידה ככלי תומך החלטה, כאשר מחליטים לאמץ טכנולוגיה חדשה, או הליך עבודה חדש.
על ידי השוואה של עקומת הלמידה הצפויה של העובדים לאחר אימוץ הגורם החדש, ניתן להחליט האם הוא כדאי, או להשוות את כדאיותו לאלה של הליך מתחרה.
חשיבות נוספת נודעה לעקומת למידה בעיצובו של ממשק משתמש, כאשר הדרישה מממשק היא שיהיה מורכב מספיק כדי לאפשר למשתמש לבצע פעולות מורכבות, אך בה בעת יהיה פשוט ואינטואיטיבי דיו כדי לאפשר לימוד מהיר ותפעול יעיל לאחר זמן קצר.
בכלכלה עקום התשואה או עקום הריביות העיתיות הוא עקום המתאר את המבנה העיתי של שערי ריבית, כלומר את התלות של התשואה השנתית על איגרת חוב כלשהי במשכה של תקופת המימוש הנתונה לאותה איגרת, וזאת עבור בעל חוב ושער מטבע נתונים.
על פי רוב עקום התשואה עולה ככל שמשך ההלוואה מתארך וזאת בשל הגידול בסיכון על הלוואות ארוכות טווח.
כך למשל, איגרות חוב המונפקות על ידי המדינה לתקופות ארוכות הן על פי רוב בעלות שער ריבית גבוה יותר מאיגרות חוב ממשלתיות המונפקות לטווחי זמן קצרים.
לעיתים העקום יכול להיות שטוח ואפילו יורד, דבר זה קורה בדרך כלל כאשר המשקיעים חושבים שהריבית הנוכחית במשק גבוהה וצופים הורדות ריבית בעתיד.
בעזרת צורת העקום ניתן להעריך את המדיניות המוניטרית (מדיניות הבנק המרכזי) הצפויה ואת השלב שבו נמצא המשק במחזור העסקים.
בתקופות בהן העקום הפוך או שטוח ניתן לומר כי הבנק המרכזי מקיים מדיניות מוניטרית הדוקה ומעלה את הריבית לזמן קצר, עם זאת המשקיעים סבורים כי לטווח בינוני וארוך הריבית צריכה לרדת ולכן העקום מתהפך.