tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
יהי אידיאל ראשוני של תחום דדקינד .
אזי אפשר להגדיר את ההערכה הבאה: ו-.
לדוגמה, קל לראות שההערכה ה--אדית מתקבלת בצורה זו כאשר הוא האידיאל המקסימלי בחוג המספרים ה-p-אדיים.
הערכה זו מאפשרת להגדיר ערך מוחלט -אדי על שדה המספרים ה-p-אדיים.
מודולים מעל תחום הערכה בדידה
הדרגה של מודול M מעל תחום שלמות מוגדרת בתור המספר n המינימלי כך שכל תת-מודול נוצר סופית נוצר על ידי n איברים.
אם M חסר פיתול, זהו המספר המקסימלי של איברים בלתי תלויים.
כל מודול מדרגה 1 הוא אי-פריד.
לתחום הערכה בדידה יש רק שני מודולים חסרי פיתול מדרגה 1: החוג עצמו, ושדה השברים שלו.
התכונות הבאות של תחום ראשי שקולות זו לזו:
החוג הוא תחום הערכה בדידה שלם.
כל מודול נוצר מנייתית מדרגה 2 הוא פריד.
כל מודול נוצר מנייתית הוא סכום ישר של מודולים מדרגה 1.
כל מודול אי-פריד נוצר מנייתית הוא מדרגה 1.
מעל תחום הערכה בדידה שלם, חוג האנדומורפיזמים של מודול M מקיים את הגרסה הבאה של משפט סקולם-נתר, במקרה ש-M מודול מפותל, או חסר פיתול, או בעל מחובר ישר איזומורפי ל-R: כל אוטומורפיזם של החוג המקבע את המרכז, הוא פנימי
בתורת החוגים, תחום בֶּזוּ הוא תחום שלמות שהוא חוג בזו, כלומר, כל אידיאל נוצר סופית שלו הוא אידיאל ראשי.
תחום שלמות הוא חוג ראשי אם ורק אם הוא חוג בזו נתרי.
החוגים נקראים כך על-שם המתמטיקאי הצרפתי Étienne Bézout (1730-1783).
את ההגדרה אפשר לנסח גם כך: תחום שלמות הוא חוג בזו, אם לכל שני איברים יש מחלק משותף מקסימלי שניתן להציג כצירוף ליניארי של שני האיברים.
בפרט, כל תחום בזו הוא תחום gcd.
בתחילת דרכה של תורת החוגים, המושג "חוג" התייחס לקבוצות מיוחדות של מספרים אלגבריים, והאידיאלים כונו "מספרים אידיאליים".
במונחים המודרניים, אותן קבוצות של מספרים הן תחומי שלמות, וההתאמה בין אידיאלים ומספרים היא התאמה מושלמת רק בסוג מיוחד של תחומי שלמות: חוגים ראשיים.
באלו, כל אידיאל נוצר על ידי איבר של החוג, דהיינו, עבור a מתאים, האידיאל כולל בדיוק את הכפולות של a.
את התכונה הזו של חוגים ראשיים אפשר לפרק לשניים (בדומה לפירוק של תכונת הקומפקטיות לקומפקטיות מנייתית ותכונת לינדלוף): ראשית, נדרוש שכל אידיאל יהיה נוצר סופית; ושנית, שכל אידיאל נוצר סופית יהיה נוצר על ידי איבר אחד.
התכונה הראשונה נקראת "תכונת נתר", והשנייה - תכונת בזו.
כלומר, תחום שלמות הוא ראשי בדיוק כאשר הוא נותרי ומקיים את תכונת בזו.
באינדוקציה אפשר להוכיח שתחום שלמות הוא תחום בזו, אם לכל קיים כך ש- .
בתחום שלמות, אומרים שאיבר הוא "מחלק משותף מקסימלי" של זוג איברים אם איבר x של החוג מחלק את ואת אם ורק אם הוא מחלק את .
תחום שבו יש לכל שני איברים מחלק משותף מקסימלי נקרא "תחום gcd"; בתחום כזה יש לכל שני איברים גם "כפולה משותפת מינימלית" (איבר שתכונתו היא שאיבר מתחלק ב- וב- אם ורק אם הוא מתחלק ב-).
כל תחום בזו הוא תחום gcd, משום שאם , אז הוא מחלק משותף מקסימלי של ו- (ו- הוא כפולה משותפת מינימלית שלהם).
בתחום בזו, הכפולה המשותפת המינימלית של ו- היא היוצר של האידיאל .
מאידך, חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה, , הוא חוג gcd שאינו חוג בזו.
כל חוג שהוא חוג gcd ניתן ל"שיכון בעל אינרציה" בחוג בזו .
שיכון הוא בעל אינרציה, אם אין בו פירוקים חדשים, דהיינו, אם עבור , אז הגורמים .
אם תחום בזו ו- שדה השברים שלו, אז כל חוג-ביניים הוא חוג בזו; יתרה מזו, כל חוג כזה הוא מיקום של , מהצורה עבור מונואיד של איברים ב-.
תחום בזו (כמו כל תחום gcd) הוא תחום שלם אלגברית, או "תחום נורמלי" - כל איבר של שהוא שלם אלגברי מעל , שייך ל-.
תחום שלמות הוא תחום הערכה אם ורק אם הוא חוג בזו מקומי.
כל תחום בזו הוא תחום פרופר (Prüfer domain); זוהי הכללה של תחומי דדקינד, ולמעשה תחום דדקינד אינו אלא תחום פרופר נתרי.
בדומה לזה תחום בזו אינו אלא תחום פרופר שהוא גם חוג gcd.
מאידך, תחום שלמות הוא ראשי אם ורק אם הוא תחום בזו נתרי (או לחלופין תחום פריקות יחידה שהוא גם חוג דדקינד (ולכן נתרי)).
החוגים ו- הם תחומי בזו שאינם נותריים, ולכן אינם ראשיים.
הראשון הוא איחוד של תת-חוגים ראשיים, והשני אינו כזה.
תחומי בזו וטיפוסי חוגים אחרים
תחום בזו הוא תחום ראשי אם ורק אם הוא אטומי.
חוג הוא תחום בזו אם ורק אם הוא חוג gcd וגם חוג קדם-בזו (תחום שלמות שבו כל שני איברים זרים הם גם מקסימליים הדדית).
נניח ש- תחום שלמות ו- כאשר ה- חוגי הערכה המוכלים בשדה השברים של .
אז כל הוא מהצורה עבור ראשוני ו- הוא תחום בזו.
אם, בנוסף, חוגי ההערכה אינם מוכלים זה בזה, אז ה--ים הללו הם בדיוק האידיאלים המקסימלים של .
יהי חוג דדקינד, שדה השברים שלו, הסגור האלגברי של ו- הסגור השלם של ב-.
נניח שבכל הרחבה אלגברית סופית של , לחוג השלמים יש חבורת מחלקות מפותלת.
בפרט (אם בוחרים ), חוג השלמים האלגבריים הוא תחום בזו.
תחום אפור (וכן שטח אפור, אזור אפור) הוא ביטוי המציין גבול עמום בין שני תחומים מובחנים או יותר, ובמקרים רבים קשה להגדרה או שהגדרתו נוטה להשתנות בזמן או בהתאם להקשרים שונים.
הוא משמש לתיאור מצבים בהם קשה לסווג או לקבוע קטגוריה מוחלטת, דבר המביא לאי-וודאות ולדילמות בתחומים שונים כמו משפט, אתיקה, פילוסופיה, אמנות ועוד.
בתחום ההגדרות והסיווגים, תחום אפור מתייחס לקושי בהפרדה בין מושגים או קטגוריות שנראות סמוכות או דומות, כגון הגבול הדק בין ארוטיקה לפורנוגרפיה, שבו הגדרות וקריטריונים עשויים להיות סובייקטיביים או משתנים תרבותית.
בחוק, המושג מציין מצב בו חוקים ותקנות אינם מספקים הדרכה מוחלטת או ברורה לגבי נושא מסוים, או שאין תקדים ישיר הניתן להפנות אליו.
זה יכול להוביל לאי-וודאות איך ואם ניתן ליישם את החוק במקרים מסוימים, כך שנוצר ספק אם וכיצד ניתן להפעילו.
באתיקה, תחום אפור מתאר דילמות מוסריות שבהן ההבחנה בין נכון לשגוי או בין טוב לרע אינה ברורה או מוחלטת.
דוגמה נפוצה לכך היא השאלה המוסרית הנוגעת להמתת חסד, שבה ייתכן שערכים של רחמים וכבוד נתקלים בשאלה האם המתת חסד היא רצח?
בתורת החוגים, תחום הערכה הוא תחום שלמות המכיל, לכל איבר בשדה השברים שלו, את האיבר או את ההפכי שלו.
חוגי הערכה הם המסגרת האלגברית לטיפול בהערכות של שדות.
אם הערכה לא ארכימדית (כאשר חבורה אבלית סדורה ליניארית), אז אוסף האיברים הוא תחום הערכה; ולהפך, כל תחום הערכה הוא בעל מבנה כזה, והוא אף קובע את ההערכה המתאימה לו (עד כדי איזומורפיזם של חבורת הערכים).
כל תת-חוג נורמלי (כלומר, שלם אלגברית) של שדה הוא חיתוך חוגי ההערכה המכילים אותו.
לכן, לכל איבר של שדה השברים הנמצא מחוץ לחוג כזה , יש הערכה של השדה המזהה את אברי כשלמים, ואת האיבר כלא-שלם.
תחום הערכה הוא נתרי אם ורק אם חבורת הערכים היא ציקלית.
תחום הערכה נתרי נקרא תחום הערכה דיסקרטית.
תחום הערכה מקומית (כלומר תחום שלמות R כך שכל מיקום באידיאל ראשוני הוא תחום הערכה) נקרא תחום פרופר.
כל תחום הערכה הוא תחום בזו מקומי, ולהפך: תחום בזו מקומי הוא תחום הערכה.
תחומי הערכה מתאפיינים גם בכך שקבוצת האידיאלים שלהם סדורה ליניארית (וגם בכך שקבוצת האידיאלים הראשיים שלהם סדורה ליניארית).
מן ההגדרה ברור שהתכונה להיות תחום הערכה סגורה להגדלת החוג בתוך שדה השברים שלו.
בפרט, כל מיקום של חוג הערכה הוא בעצמו חוג הערכה.
למעשה, אם תחום הערכה ו- שדה השברים שלו, אז יש התאמה בין תת-החוגים של המכילים את לבין האידיאלים הראשוניים של , המשייכת חוג לאידיאל המקסימלי שלו, ואידיאל למיקום .
כל מנה ראשונית של תחום הערכה היא תחום הערכה.
בתחום הערכה, כל רדיקל הוא אידיאל ראשוני.
תחום שלמות הוא סגור בשלמות (integrally closed) אם ורק אם הוא חיתוך של תחומי הערכה.
כל חוג קומוטטיבי (עם יחידה) שקבוצת האידיאלים שלו סדורה ליניארית, נקרא חוג הערכה (כך, תחום הערכה אינו אלא חוג הערכה שהוא תחום שלמות).
מחלקה זו של חוגים סגורה לתמונות הומומורפיות.
בתורת החוגים, תחום אטומי הוא תחום שלמות שבו כל איבר שונה מאפס ולא הפיך אפשר לכתוב כמכפלה של איברים אי-פריקים.
זוהי תכונה שכיחה למדי, משום שכל תחום שלמות נותרי הוא אטומי.
איבר של תחום שלמות הוא הפיך אם קיים איבר כך ש-.
פירוק לא-טריוויאלי של הוא פירוק שבו שני הגורמים אינם הפיכים.
איבר שאין לו פירוק לא-טריוויאלי הוא אי-פריק.
הדרך הקלה ביותר להבטיח שתחום יהיה אטומי היא לדרוש שהוא יקיים את תנאי השרשרת העולה על אידיאלים ראשיים; תנאי זה שקול לכך שאין שרשרת אינסופית של מחלקים, ולכן כשמתחילים לפרק איבר לגורמים, התהליך מוכרח להיות סופי.
בתורו, תנאי השרשרת העולה מתקיים בכל חוג נותרי, ולכן כל התחומים הנותריים הם אטומיים.
כל תחום פריקות יחידה מקיים את תנאי השרשרת העולה על אידיאלים ראשיים, ולכן הוא אטומי.
מאידך, קיומו של פירוק לגורמים אינו מבטיח יחידות, ולכן תחום אטומי בדרך כלל אינו בעל פריקות יחידה.
לדוגמה, הם תחומים אטומיים שאינם תחומי פריקות יחידה.
התנאי החסר הוא שכל איבר אי-פריק יהיה ראשוני: תחום שלמות הוא בעל פריקות יחידה אם ורק אם הוא אטומי וכל האיברים האי-פריקים שלו הם ראשוניים.
חוג השלמים האלגבריים הוא דוגמה בולטת לתחום שלמות שאינו אטומי (כל איבר אפשר לפרק כריבוע השורש של עצמו).
גם חוג הפולינומים במשתנה אחד וכל השורשים שלו, , אינו אטומי.
חוג פולינומים מעל תחום אטומי אינו בהכרח אטומי.
בתורת החוגים, תחום פריקות יחידה (באנגלית נקרא בקיצור: UFD, ראשי תיבות של Unique Factorization Domain) הוא תחום שלמות, שבו לכל איבר שונה מאפס שאינו הפיך יש פירוק יחיד לגורמים אי-פריקים, כלומר מתקיים בו משפט אנלוגי למשפט היסודי של האריתמטיקה.
כל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה, אבל ההפך אינו נכון.
תחום אטומי שבו לכל שני פירוקים של אותו איבר לגורמים אי-פריקים יש אותו אורך, נקרא תחום פריקות למחצה (Half-factorial domain); כל תחום פריקות יחידה הוא בפרט תחום פריקות למחצה.
קארליץ הראה שחוג שלמים של שדה מספרים הוא תחום פריקות למחצה אם ורק אם חבורת המחלקות שלו בת שני איברים לכל היותר.
למשל, הוא תחום פריקות למחצה, שאינו תחום פריקות יחידה.
כל תחום ראשי, ובפרט כל חוג אוקלידי (חוג שיש בו חילוק לפי אלגוריתם אוקלידס) הוא תחום פריקות יחידה.
אם הוא תחום פריקות יחידה, אז גם חוג הפולינומים הוא תחום פריקות יחידה.
כמסקנה מהדוגמה הקודמת, אם הוא תחום פריקות יחידה אזי גם הוא תחום פריקות יחידה.
חוג של טורי חזקות פורמליים מעל שדה.
כל תחום שלמות רגולרי נתרי הוא תחום פריקות יחידה (Auslander-Buchsbaum, 1959).
באלגברה קומוטטיבית, תחום פריפר (Prüfer domain) הוא תחום שלמות, שבו כל אידיאל נוצר סופית (שונה מאפס) הוא אידיאל הפיך .
תחומים אלה מהווים אחת ההכללות החשובות ביותר של תחום דדקינד, תוך ויתור על הנחת הנותריות.
תחומי פריפר הם תחומי השלמות שהם תורשתיים למחצה.
את החוגים האלו החל ללמוד היינץ פריפר ב-1932 (השם "תחומי פריפר" ניתן להם ב-1956 בספרם של אלי קרטן וסמואל איילנברג), והם הפכו עד מהרה לאחד מהנושאים המרכזיים בחקר תחומי השלמות, בעיקר בשליש האמצעי של המאה ה-20.
הנוכחות של תחומי דדקינד בגאומטריה אלגברית ובתורת המספרים האלגברית נובעת בין השאר מכך שאפשר להגדיר אותם בדרכים שונות רבות.
גם לתחומי פריפר יש הגדרות שקולות המשלבות רעיונות מכיוונים שונים:
תחום שלמות הוא פריפר אם ורק אם הוא מקיים לפחות אחת מהתכונות השקולות הבאות (ואז הוא מקיים את כולן):
כל אידיאל נוצר סופית (שונה מאפס) הוא הפיך, כלומר, יש אידיאל שברי נוצר סופית כך ש- (בשפה מפורשת יותר, לכל קיימים כך שלכל מתקיים , ו- ).
אוסף האידיאלים השבריים הנוצרים סופית מהווה חבורה.
כל מודול נוצר סופית חסר פיתול הוא פרויקטיבי.
כל מודול חסר פיתול הוא שטוח.
כל על-חוג הוא שטוח, כמודול מעל .
כל אידיאל נוצר סופית הוא שטוח.
כל אידיאל נוצר סופית הוא פרויקטיבי (כלומר החוג תורשתי למחצה).
המכפלה הטנזורית של שני אידיאלים היא חסרת פיתול.
המכפלה הטנזורית של שני מודולים חסרי פיתול היא חסרת פיתול.
סריג האידיאלים דיסטריבוטיבי, כלומר, לכל שלושה אידיאלים , מתקיים .
לכל שלושה אידיאלים מתקיים .
כל "על-חוג" (חוג המכיל את ומוכל בשדה השברים שלו), הוא סגור בשלמות (integrally closed).
לכל אידיאל ראשוני , המיקום הוא תחום הערכה.
לכל אידיאל מקסימלי , המיקום הוא תחום הערכה.
בין החוגים הנתריים, תחומי פריפר אינם אלא תחומי דדקינד.
כל תחום בזו הוא תחום פריפר; במקרה זה התכונה החסרה היא קיום מחלקים משותפים מקסימליים: תחום בזו אפשר להגדיר גם כתחום פריפר בעל gcd.
המחלקה של תחומי פריפר סגורה למיקום במונויד כלשהו, ולמנה ביחס לאידיאל ראשוני.
המיקום של תחום פריפר באידיאל ראשוני הוא תחום הערכה.
שתי דוגמאות טיפוסיות לתחומי פריפר שאינם נתריים הן חוג השלמים האלגבריים, והחוג של פולינומים רציונליים המקבלים ערכים שלמים.
בדוגמה האחרונה אפשר להחליף את ו- בכל תחום דדקינד שהמנות שלו סופיות, ושדה השברים המתאים.
באנליזה וקטורית, תחום כוכבי הוא תחום השומר על ישרים סביב נקודת אמצע מסוימת.
תחום כזה קרוי תחום כוכבי, מפני שניתן לדמיין אותו במישור הממשי כמעין כוכב.
השימוש הנפוץ בתחום מסוג זה הוא בלמת פואנקרה, הקובעת כי כל תבנית דיפרנציאבילית סגורה היא גם מדויקת בתחום פתוח וכוכבי.
נאמר כי הוא תחום כוכבי, אם קיימת כך שלכל הקטע שבין z ל-x כולו מוכל בתחום.
הנקודה z מכונה הכוכב של .
בישר הממשי, כל קטע הוא תחום כוכבי.
כל תחום קמור הוא כוכבי.
כל תחום כוכבי הוא כוויץ, ולכן בפרט פשוט קשר וקשיר מסילתית.
משפט אלכסנדר נותן תנאי הכרחי ומספיק להיותם של תחומים מסוימים כוכביים.
אוסף הכוכבים של תחום כוכבי הוא קבוצה קמורה.
בהינתן מרחב טופולוגי וחבורה הפועלת עליו, אוסף התמונות של נקודה יחידה (תחת פעולת החבורה) מהווה מסלול של הפעולה.
תחום יסודי של המרחב ביחס לפעולת החבורה הנתונה הוא תת-קבוצה של המרחב המכילה בדיוק נקודה אחת מכל אחד מהמסלולים הללו.
התחום היסודי משמש כמימוש גאומטרי של קבוצת הנציגים של המסלולים.
ישנן דרכים רבות לבחור תחום יסודי.
באופן טיפוסי, נדרש מהתחום היסודי לקיים מספר תכונות נאות המקלות על הטיפול בו, כגון שיהיה תת-קבוצה קשירה של המרחב, יחד עם הגבלות מסוימות על השפה שלו, כגון שתהיה חלקה או ליניארית למקוטעין.
תחת פעולת החבורה, התמונות של התחום היסודי שנבחר מרצפות את המרחב כולו.
בהינתן חבורה הפועלת על מרחב טופולוגי , תחום יסודי עבור הפעולה הזאת הוא קבוצה הכוללת בדיוק נציג אחד מכל מסלול.
באופן פורמלי, תחום יסודי של מרחב ביחס לפעולת חבורה מקיים את התכונות הבאות:
לכל , החיתוך של ו- הוא ריק;
כל מסלול חותך את הסגור של .
על תכונות אלו נוספת דרישה להתנהגות טופולוגית "יפה" של התחום היסודי.
למשל, בהינתן חבורת ההזזות המקושרת לסריג במרחב אוקלידי n ממדי (חבורה שמספר היוצרים שלה הוא כממד המרחב), טבעי לבחור את התחום היסודי להיות המקבילון היסודי של הסריג.
אולם, יכולנו גם לבחור את התחום היסודי להיות מורכב מחצי ממקבילון יסודי אחד, ומהחצי המשלים שלו ממקבילון יסודי אחר - כך מתקבל תחום יסודי שאינו קבוצה קשירה, אך העונה לשתי הדרישות הראשונות.
לכן, בבחירת תחום יסודי בדרך כלל נדרש ממנו להיות קבוצה קשירה.
דוגמאות במרחב האוקלידי התלת-ממדי R3 כוללות את:
בעבור פעולת שיקוף ביחס למישור: כאן מסלול הוא קבוצה של 2 נקודות משני צידי המישור, או נקודה יחידה על המישור; התחום היסודי יכול להיבחר להיות כל אחד מחצאי-המרחב ביניהם חוצץ המישור.
בעבור שיקוף ביחס לנקודה: כאן מסלול הוא קבוצה של 2 נקודות או נקודה יחידה (במידה ונבחרה הנקודה ביחס אליה מתבצע השיקוף); התחום היסודי יכול להיבחר להיות אחד מחצאי המרחב שיוצר כל מישור העובר דרך הנקודה.
בעבור סימטריית הזזה דיסקרטית בכיוון אחד: המסלולים הם הזזות של סריג חד-ממדי בכיוון וקטור ההזזה; התחום היסודי יהיה פרוסה מישורית אינסופית עבה.
בעבור סימטריית הזזה דיסקרטית בשני כיוונים: המסלולים הם הזזות של סריג דו-ממדי המונח במישור המוגדר על ידי וקטורי ההזזה; התחום היסודי יהיה מוט אינסופי בעל חתך רוחב של מקבילית.
תחום יסודי עבור החבורה המודולרית
התרשים משמאל מציג (באפור) את התחום היסודי תחת פעולת החבורה המודולרית Γ על חצי המישור העליון H.
תרשים מפורסם זה מופיע בכל הספרים הקלאסיים על פונקציות מודולריות.
הוא היה ידוע לקרל פרידריך גאוס, אשר עסק בתחומים יסודיים במסגרת מחקריו על תורת הרדוקציה של תבניות ריבועיות בינאריות.
כאן, התחום היסודי U הוא משולש היפרבולי עם קודקוד "אידיאלי" אחד (קודקוד אחד באינסוף), ושתי זוויות של כל אחת.
הוא מוגבל מלמטה על ידי מעגל היחידה ומוגבל מן הצדדים על ידי שני קווים אנכיים המרוחקים יחידה אופקית זה מזה; באופן פורמלי:
בתכנות מחשבים, תְּחוּם הַכְרָזָה של שם משתנה הוא החלק של התוכנית שבו הקישור בין השם למשתנה תקף; כלומר, היכן שניתן להשתמש בשם כדי להתייחס לישות.
בחלקים אחרים של התוכנית, השם עשוי להתייחס לישות אחרת (ייתכן שיש לו הכרזה אחרת), או לא להתייחס לשום דבר (יכול להיות שהוא לא מוגדר).
תחום הכרזה מסייע במניעת התנגשות שמות בכך שהוא מאפשר לאותו שם להתייחס לאובייקטים שונים - כל עוד לשמות יש תחומים נפרדים.
תחום ההכרזה של שם משתנה ידוע גם כנראות של ישות, במיוחד בספרות ישנה או טכנית יותר - הנראות היא מנקודת המבט של הישות המוזכרת, לעומת תחום ההכרזה שמתמקד בשם המפנה.
המונח "תחום הכרזה" משמש גם להתייחסות לקבוצה של כל קישורי השמות התקפים בתוך חלק של תוכנית או בנקודה נתונה בתוכנית, מה שמכונה בצורה נכונה יותר "הקשר" או "סביבה".
במינוח דייקני, ובפועל ברוב שפות התכנות, "חלק מתוכנית" מתייחס לחלק מקוד המקור (אזור הטקסט), והוא ידוע בתור תחום הכרזה לקסיקלי.
עם זאת, בשפות מסוימות, "חלק מתוכנית" מתייחס לחלק מזמן הריצה (פרק זמן במהלך ביצוע התוכנית), ומכונה תחום הכרזה דינמי.
שני המונחים הללו מטעים במקצת - הם עושים שימוש לרעה במונחים טכניים, כפי שנדון בהגדרה - אבל ההבחנה עצמה מדויקת, ואלה הם המונחים הסטנדרטיים בהתאמה.
תחום הכרזה לקסיקלי הוא המוקד העיקרי של מאמר זה, כאשר תחום הכרזה דינמי ניתן להבנה בהנגדה לתחום הכרזה לקסיקלי.
ברוב המקרים, פענוח שמות המבוסס על תחום הכרזה לקסיקלי הוא פשוט יחסית לשימוש ומימוש, שכן בשימוש ניתן לקרוא לאחור בקוד המקור כדי לקבוע לאיזו ישות מתייחס השם, ובמימוש ניתן לשמור רשימה של שמות והקשרים בעת הידור או פירוש של תוכנית.
קיימים קשיים במיסוך שמות, הצהרות קדימה והעברת משתנים, בעוד שבעיות עדינות יותר מתעוררות עם משתנים לא מקומיים, במיוחד בסגור.
ההגדרה הנוקשה של תחום ההכרזה (הלקסיקלי) של שם (מזהה) היא חד משמעית: היקף לקסיקלי הוא "החלק של קוד המקור שבו חלה קשירה של שם עם ישות".
זה נשאר כמעט ללא שינוי מההגדרה משנת 1960 במפרט של ALGOL.
בדרך כלל תחום הכרזה מתייחס למצב שבו שם נתון יכול להתייחס למשתנה נתון - כאשר להצהרה יש השפעה - אך יכול לחול גם על ישויות אחרות, כגון פונקציות, טיפוסים, מחלקות, תוויות, קבועים ומניות (enumerations).
תחום הכרזה לקסיקלי מול תחום הכרזה דינמי
הבחנה מהותית בתחום הכרזה היא המשמעות של "חלק מתוכנית".
בשפות בעלות תחום הכרזה לקסיקלי (נקרא גם תחום הכרזה סטטי), פענוח השם תלוי במיקום בקוד המקור ובהקשר הלקסיקלי (נקרא גם הקשר סטטי), המוגדר לפי המקום בו המשתנה או הפונקציה מוגדרים.
לעומת זאת, בשפות בעלות תחום הכרזה דינמי פענוח השם תלוי במצב התוכנית כאשר נתקלים בשם, אשר נקבע על ידי הקשר הביצוע (נקרא גם הקשר זמן ריצה, הקשר קריאה או הקשר דינמי).
רוב השפות המודרניות משתמשות בתחום הכרזה לקסיקלי למשתנים ופונקציות, אם כי נעשה שימוש בתחום הכרזה דינמי בשפות מסוימות, בעיקר בכמה דיאלקטים של Lisp, כמה שפות "סקריפטים" וכמה שפות תבניות.
Perl 5 מציע הן תחום הכרזה לקסיקלי והן דינאמי.
אפילו בשפות בעלות תחום הכרזה לקסיקלי, תחום הכרזה עבור סגור יכול לבלבל את חסרי הידע, שכן אלה תלויים בהקשר הלקסיקלי שבו מוגדר הסגור, ולא היכן שהוא נקרא.
ניתן לקבוע פענוח לקסיקלי בזמן הידור, והוא ידוע גם בשם קישור מוקדם (early binding), בעוד שבאופן כללי ניתן לקבוע פענוח דינמי רק בזמן ריצה, ולכן הוא ידוע כקישור מאוחר (late binding).
בתכנות מונחה עצמים, שיגור דינמי בוחר מתודה של אובייקט בזמן ריצה, אם כי קישור השם בפועל תלוי בשפה - יש שפות בהן הוא מתבצע בזמן הידור ויש שבזמן ריצה.
תחום הכרזה דינמי דה-פקטו נפוץ בשפות מאקרו, שאינן עושות ישירות פענוח שמות, אלא מרחיבות שמות במקום.
כמה שלדי תוכנה, למשל AngularJS, משתמשים במונח "תחום הכרזה" במשמעות שונה לחלוטין מהאופן שבו הוא משמש במאמר זה.
בשלדי תוכנה אלו תחום ההכרזה הוא רק אובייקט של שפת התכנות שבה הם משתמשים (JavaScript במקרה של AngularJS) המשמש בדרכים מסוימות את שלד התוכנה כדי לחקות תחום הכרזה דינמי בשפה המשתמשת בתחום הכרזה לקסיקלי עבור המשתנים שלה.
תחומי ההכרזה הללו ב-AngularJS יכולים להיות בעצמם בהקשר או לא בהקשר (במשמעות הרגילה של המונח) בכל חלק נתון של התוכנית, בהתאם לכללים הרגילים של תחום הכרזה משתנה של השפה כמו כל אובייקט אחר, ומשתמשים בכללי ירושה והכללה (transclusion) משלהם.
בהקשר של AngularJS, לפעמים משתמשים במונח "$scope" (עם סימן דולר) כדי למנוע בלבול, אך השימוש בסימן הדולר בשמות משתנים לרוב מקבל יחס שלילי במדריכי הסגנון.
תחום הכרזה הוא מרכיב חשוב בפענוח שמות, שהוא בתורו בסיסי לסמנטיקה של השפה.
פענוח שמות (כולל תחום הכרזה) משתנה בין שפות תכנות, ובתוך שפת תכנות, משתנה לפי סוג הישות; הכללים לתחום ההכרזה נקראים כללי תחום ההכרזה.
יחד עם מרחבי שמות, כללי תחום הכרזה חיוניים בתכנות מודולרי, כך ששינוי בחלק אחד של התוכנית אינו שובר חלק לא קשור.
כאשר דנים בתחום הכרזה, ישנם שלושה מושגי יסוד: תחום הכרזה (scope), היקף (extent) והקשר (context).
לעיתים קרובות מתבלבלים בין "תחום הכרזה" ו"הקשר": תחום הכרזה הוא מאפיין של קישור שם, בעוד שהקשר הוא מאפיין של חלק מתוכנית, כלומר חלק מקוד המקור (הקשר לקסיקלי או הקשר סטטי) או חלק מזמן הריצה (הקשר ביצוע, הקשר זמן ריצה, הקשר קריאה או הקשר דינמי).
הקשר ביצוע מורכב מהקשר לקסיקלי (בנקודת הביצוע הנוכחית) בתוספת מצב זמן ריצה כגון מחסנית הקריאות.
אם נרצה לדייק, במהלך ריצה, התוכנית נכנסת ויוצאת מתחומי הכרזה שונים של קישורי שמות, ובכל נקודה במהלך הריצה קישורי שמות הם "בהקשר" או "לא בהקשר", ומכאן שקישורי שמות "נכנסים להקשר" או "יוצאים מהקשר" כאשר ריצת התוכנית נכנסת או יוצאת מתחום ההכרזה.
עם זאת, בפועל השימוש במונחים הוא הרבה יותר רופף.
תחום הכרזה הוא מושג ברמת קוד מקור, ומאפיין של קישורי שמות, במיוחד קישורי שמות של משתנים או פונקציות - שמות בקוד המקור הם הפניות לישויות בתוכנית - והוא חלק מההתנהגות של מהדר או מפרש של שפה.
ככאלה, סוגיות של תחום הכרזה דומות למצביעים, שהם סוג של הפניה המשמשת בתוכניות באופן כללי יותר.
שימוש בערך של משתנה כאשר השם נמצא בהקשר אך המשתנה אינו מאותחל הוא אנלוגי לפנייה - גישה לערך - של מצביע פראי, מכיוון שהוא לא מוגדר.
עם זאת, מכיוון שמשתנים אינם נהרסים עד שהם יוצאים מהקשרם, המצב האנלוגי למצביע מתנדנד אינו קיים.
הקביעה לאיזו ישות שם מתייחס ידועה כפענוח שם (name resolution) או קישור שמות (name binding) (במיוחד בתכנות מונחה עצמים), ומשתנה בין השפות.
בהינתן שם, השפה (ולמעשה, המהדר או המפרש) בודקת את כל הישויות שנמצאות בהקשר עבור התאמות; במקרה של אי בהירות (שתי ישויות עם אותו שם, כגון משתנה גלובלי ומקומי באותו שם), כללי פענוח השם משמשים להבחין ביניהן.
לרוב, פענוח שמות מסתמך על כלל "מההקשר הפנימי לחיצוני", כגון הכלל של Python LEGB (Local, Enclosing, Global, Built-in): שמות מפוענחים, בהיעדר הגדרה מפורשת, להקשר הרלוונטי הצר ביותר.
במקרים מסוימים ניתן לציין במפורש את פענוח השם הרצוי, כגון על ידי מילות המפתח global ו-nonlocal ב-Python; במקרים אחרים לא ניתן לעקוף את כללי ברירת המחדל.
כאשר שני שמות זהים נמצאים בהקשר בו-זמנית, ומתייחסים לישויות שונות, אומרים שמתרחש מיסוך שמות, כאשר השם בעל העדיפות הגבוהה יותר (בדרך כלל הפנימי ביותר) "מסווה" את השם בעדיפות נמוכה יותר.
ברמת המשתנים, זה ידוע בשם הצללת משתנה.
בשל הפוטנציאל לשגיאות לוגיות כתוצאה ממיסוך, שפות מסוימות אוסרות או מונעות מיסוך, ומעלות שגיאה או אזהרה בזמן ההידור או בזמן הריצה.
לשפות תכנות שונות יש כללי תחום הכרזה שונים עבור סוגים שונים של הצהרות ושמות.
לכללי תחום הכרזה כאלה יש השפעה רבה על סמנטיקה של השפה, וכתוצאה מכך, על ההתנהגות והנכונות של תוכניות.
בשפות כמו C++, לגישה למשתנה לא מקושר אין סמנטיקה מוגדרת היטב ועלולה לגרום להתנהגות לא מוגדרת, בדומה להתייחסות למצביע מתנדנד; והצהרות או שמות משמשים מחוץ לתחום ההכרזה שלהם ייצרו שגיאות תחביר.
תחומי הכרזה קשורים לעיתים קרובות למבני שפה אחרים ונקבעים באופן מרומז, אך שפות רבות מציעות גם מבנים ספציפיים לשליטה בתחום ההכרזה.
לתחום ההכרזה מנעד רחב, החל מביטוי בודד ועד לתוכנית כולה, עם הרבה דרגות אפשריות ביניהם.
כלל תחום ההכרזה הפשוט ביותר הוא תחום ההכרזה הגלובלי - כל הישויות זמינות לאורך התוכנית כולה.
כלל תחום ההכרזה המודולרי הבסיסי ביותר הוא בעל שתי רמות, עם תחום הכרזה גלובלי בכל מקום בתוכנית, ותחום הכרזה מקומי בתוך פונקציה.
תכנות מודולרי מתוחכם יותר מאפשר תחום הכרזה ברמת מודול נפרד, שבו שמות גלויים בתוך המודול (פרטיים למודול) אך אינם גלויים מחוצה לו.
בתוך פונקציה, שפות מסוימות, כגון C, מאפשרות תחום הכרזה נפרד לבלוק, ומאפשרות בכך להגביל את תחום ההכרזה גם לאזור מתוך פונקציה; אחרות, בעיקר שפות פונקציונליות, מאפשרות תחום הכרזה לביטוי, כדי להגביל את תחום ההכרזה לביטוי בודד.
תחומי הכרזה אחרים כוללים תחום הכרזה ברמת קובץ (בעיקר ב-C) שמתנהג בדומה לתחום הכרזה ברמת מודול, ותחום הכרזה ברמת בלוק גם מחוץ לפונקציות (דוגמה בולטת היא Perl).
סוגיה עדינה היא מתי בדיוק מתחיל ונגמר תחום הכרזה.
בשפות מסוימות, כמו C, תחום ההכרזה של השם מתחיל בהכרזת השם, ולכן לשמות שונים המוכרזים בתוך בלוק נתון יכולים להיות תחומי הכרזה שונים.
זה מחייב הכרזת פונקציות לפני השימוש בהן, אם כי לא בהכרח הגדרתן, ודורש הכרזה קדימה במקרים מסוימים, במיוחד עבור רקורסיה הדדית.
בשפות אחרות, כגון Python, תחום ההכרזה של שם מתחיל בתחילת הבלוק הרלוונטי שבו השם מוכרז (כגון התחלה של פונקציה), ללא קשר למקום שבו הוא מוגדר, כך שלכל השמות בתוך בלוק נתון יש את אותו תחום הכרזה.
ב-JavaScript, תחום ההכרזה של שם המוכרז באמצעות let או const מתחיל בהכרזת השם, ותחום ההכרזה של שם המוכרז באמצעות var מתחיל בתחילת הפונקציה שבה השם מוכרז, מנגנון הידוע כהעברת משתנים (variable hoisting).
ההתנהגות של שמות בהקשר שיש להם ערך לא מוגדר משתנה בין שפות: ב-Python השימוש בשמות לא מוגדרים מניב שגיאת זמן ריצה, בעוד שב-JavaScript שמות לא מוגדרים המוצהרים עם var ניתנים לשימוש בכל הפונקציה מכיוון שהם קשורים במשתמע לערך undefined.
במקרה של תחום הכרזה של ביטוי (expression scope), תחום ההכרזה של קישור השם מוגבל לביטוי בלבד.
תחום הכרזה של ביטוי זמין בשפות רבות, במיוחד שפות פונקציונליות המציעות תכונה הנקראת ביטויי הכרזה (let-expressions) המאפשרים לתחום ההכרזה להיות ביטוי יחיד.
זה נוח אם, למשל, דרוש ערך ביניים לחישוב.
לדוגמה, ב- Standard ML, אם f() מחזירה 12, אז let val x = f() in x * x end הוא ביטוי המוערך ל 144, תוך שימוש במשתנה זמני בשם x כדי להימנע מקריאת f() פעמיים.
ב- Python, למשתני עזר בביטויי מחולל והבנות רשימות (list comprehensions, ב-Python 3) יש תחום הכרזה של ביטוי.
ב-C, לשמות משתנים באב טיפוס של פונקציה יש תחום הכרזה של ביטוי, הידוע בהקשר זה כ- function protocol scope .
מכיוון שלא מתייחסים לשמות המשתנים באב הטיפוס (ייתכן שהם שונים בהגדרה בפועל) - הם רק דמה - הם מושמטים לעיתים קרובות, אם כי הם עשויים לשמש ליצירת תיעוד, למשל.
תחום המושב של קאלה היה טריטוריה בצפון צרפת שנשלטה על ידי מלכי אנגליה במשך יותר ממאתיים שנה מ-1347 עד 1558. האזור, שנכבש בעקבות קרב קרסי ב-1346 והמצור שלאחריו על קאלה, אושר בחוזה ברטיני ב-1360. הוא הפך למרכז כלכלי חשוב עבור אנגליה בסחר הטקסטיל של אירופה שמרכזו בפלנדריה.
תחום המושב, שהיה היסטורית חלק מפלנדריה, סיפק לאנגליה גם מוצב אסטרטגי קבוע, בר הגנה, שממנו היא תוכל לתכנן ולהפעיל פעולה צבאית ביבשת.
מיקומו על תעלת למאנש פירושו שניתן היה לתחזק אותו, להציב בו חיל מצב ולספק אותו לאורך המרחק הקצר דרך הים.
השטח היה דו-לשוני עם אנגלית ופלמית שדוברו בדרך כלל.
הוא יוצג דמוקרטית בפרלמנט של אנגליה על ידי מחוז הבחירה קאלה.
בתקופת שלטונה של מרי הראשונה, נכבש תחום המושב מחדש במפתיע על ידי הצרפתים בעקבות מצור ב-1558 במהלך המסעות נגד ההולנדים ורוזנות פלנדריה.
לאחר מכן, סחר הטקסטיל האנגלי נטש את קאלה ועבר לארצות השפלה ההבסבורגיות.
קשה לתחום את האזור האמיתי של תחום המושב של קאלה מכיוון שהגבולות השתנו כל הזמן ולעיתים כללו ביצות ודרכי מים לא מוגדרים.
על פני אותם אדמות ביצות, השטח חולק באופן גס בגבעות נמוכות במערב ובאזורי החוף התחתונים במזרח.
תחום המושב הקיף בערך את האדמה שבין Gravelines ו-Wissant, שהייתה כ.
לאורך ההיסטוריה שלה, הצרפתים השתלטו מחדש ללא הרף על חלקים קטנים מהשטח, במיוחד אדמות בדרום מערב.
קאלה היה שלל מלחמה שנלקח בקרב קרסי של 1346 על ידי אדוארד השלישי, מלך אנגליה לאחר מצור ארוך.
לכידתה העניקה לאנגליה לא רק מעוז מפתח בסחר הטקסטיל העולמי שמרכזו בפלנדריה, אלא סיפקה מאחז צבאי אסטרטגי, בר הגנה לאנגליה להתארגן מחדש במלחמות עתידיות ביבשת; ניתן היה לחזק את מעמדה של העיר על תעלת למאנש לאורך המרחק הקצר דרך הים.
הריבונות האנגלית אושרה במסגרת הסכם ברטיני, שנחתם ב-8 במאי 1360, כאשר אדוארד ויתר על כס המלכות של צרפת בתמורה לאדמות משמעותיות, כלומר אקוויטניה והשטח סביב קאלה.
עד 1453, בתום מלחמת מאה השנים, היה תחום המושב החלק האחרון של צרפת היבשתית בידי אנגליה.
הוא שימש בהצלחה כבסיס של משלחות אנגליות; למשל בשנת 1492, ממנו השיק הנרי השביעי את המצור על בולון.
הנסיעה הקצרה על פני מצר דובר העניקה חיל מצב נוח ואספקה דרך הים.
עם זאת, היעדר הגנות פנים-יבשתיות טבעיות חייב הקמה ותחזוקה של ביצורים צבאיים, בעלות מסוימת.
אף על פי כן, גורם קריטי ביציבות השלטון האנגלי שם לאורך מאות השנים היה היריבות של צרפת ובורגונדי, ששניהם חשקו בעמדה האסטרטגית של העיר; כל אחד השאיר את זה לאנגלים במקום לוותר זה לזה.
בסופו של דבר, האסטרטגיות הפוליטיות השתנו עם חלוקת השטח הבורגונדי בארצות השפלה בין צרפת וספרד, וכאשר הנרי השמיני סבל מכישלונות במצור על בולון (1544–1546), נפתחה הגישה לקאלה דרומה.
ואז בשנת 1550 הכתר, במשבר של ירושה מלכותית, נסוג מבולון.
תחום המושב של קאלה נשאר חלק מאנגליה עד שאיבדה אותו במפתיע מרי הראשונה לצרפת ב-1558. לאחר הכנות חשאיות, 30,000 חיילים צרפתים, בראשות פרנסואה, דוכס גיז, השתלטו על העיר, שנכנעה במהירות במסגרת הסכם קאטו-קמברזי (1559).
באנגליה, הוטלה האשמה על המלכה, מה שבישר נגדה נחישות פרוטסטנטית.
אף על פי שהפסד תחום המושב של קאלה היה מכה קלה יותר לכלכלה האנגלית ממה שחששו, נסיגת הכוח האנגלי הייתה כתם קבוע לשלטונה.
ואכן, הכרוניקן רפאל הולינסהד מתעד שכמה חודשים לאחר מכן, מרי הנסערת, שוכבת על מיטת דווי, הסבירה באופן גרפי למשפחתה את רגשותיה: "כשאמות ואפתח, תמצאו את 'קאלה' שוכב בליבי".
לאחר מכן, שוק הצמר האנגלי השתנה וסחר הטקסטיל האנגלי עבר לארצות השפלה ההבסבורגיות.
במהלך הממשל האנגלי, שמרו האורגים של תחום המושב על תפוקתם, שהתעשייה הייתה סימן מובהק של התרבות הפלמית.
במקביל, תחום המושב הופיע כחלק בלתי נפרד מאנגליה בבחירת חבריה לפרלמנט, וכאזרחים אנגלים החיוור שלח וקיבל אנשים אל ומחלקים שונים של האיים הבריטיים.
הקשיים שעברו במהלך המצור הממושך של 1346–1347 הם הנושא של הפסל הנוקב של אוגוסט רודן משנת 1889, "שועי העיר קאלה".
המונח תחום עניין מתאר מצב פסיכולוגי ורגשי כלפי אובייקט או נושא מסוים.
תחום העניין נחשב למשאב קוגניטיבי ורגשי המקדם את ההסתגלות האישית והחברתית של האדם.
הספרות המקצועית מלמדת כי אנשים וילדים עם תחומי עניין מפותחים יכולים להתרכז זמן רב יותר בלמידה, מונעים על ידי מוטיבציה פנימית וחווים רווחה נפשית גבוהה.
נושא תחום העניין וההתמקדות בו כמו גם שימורו לאורך זמן מתפתח תוך יחסי גומלין עם הסביבה החברתית.
בין האדם לסביבתו הקרובה (הורים, קבוצת השווים, מורים), מתפתח מעין דיאלוג, שחלקו מודע וחלקו אינו מודע, אשר משפיע על הבחירה בתחום עניין או על ההחלטה להתעמק בו בדרכים שונות.
למשל, לעיתים הבחירה וההתעמקות בתחום עניין מסוים נובעת מהפנמה לא מודעת של ערכי הסביבה והעדפותיה.
הבחירה וההחלטה אם להתעמק בתחום העניין או לאו מושפעות אם כך גם מה"ערך" החברתי שיש לתחום העניין, כמו גם מתחושת המסוגלות שיש לאדם בהתמודדתו עם התוכן.
התאוריה של הידי ורננינגר (2006)
התאוריה של הידי ורננינגר (2006) גורסת כי תחום העניין מתפתח בארבעה שלבים.
ההבדל בין השלבים הוא ברמת הרגש החיובי המתעורר אצל האדם בעיסוק בתחום וכן ברמת הידע שיש לו על התחום.
עניין מצבי (triggered situational interest) – בשלב זה האדם מפנה תשומת לב רגעית לנושא, רעיון או חפץ, כתגובה לגירוי חושי שהסב את תשומת ליבו, כגון רעש או קול חזק, תמונה, הדגמה, או סיפור.
הגירוי החושי הזה מעורר את הסקרנות הרגעית של האדם, אולם הוא לא ימשיך לעסוק בעניין, אלא אם כן תהיה תמיכה כלשהי מהסביבה שתחזק בו את הרצון להמשיך ולהתעניין.
בשלב זה, מתעורר ניצוץ של רגש חיובי, אולם הידע של האדם בנושא הוא קטן מאוד, והוא אינו חש צורך לדעת יותר.
עניין מצבי מתמשך – בשלב השני, התוכן כבר מעורר רגשות חיובים משמעותיים יותר אצל האדם, וגם הרצון לדעת יותר מתחיל להתעורר.
עניין מתפתח – בשלב השלישי, האדם שואל שאלות הנובעות מסקרנות ומובילות אותו להמשיך ולחקור את תחום העניין, וממשיך לעסוק בתחום זה כדי לקבל תשובות לשאלותיו.
בשלב זה אנשים מעוניינים פחות ביכולתה של הסביבה לספק את סקרנותם ו"מתמודדים" עם העניין בעצמם.
עניין מפותח – בשלב הרביעי, בו מרגישים סיפוק רב מהתשובות המגוונות שהם מקבלים על שאלותיהם.
אנשים אלו מחפשים את תגובותיהם של אנשים אחרים בסביבה ואת המידע שהם יכולים לספק להם, והם עושים שימוש במשוב מהסביבה על מנת להתבונן בעצמם ובתוצרים שיצרו בביקורתיות, שתקדם אותם להצלחה רבה יותר.
חלק מהמחקרים סברו כי ההכוונה לתחומים מסוימים או האינטנסיביות הרבה של העיסוק בהם יכולים לנבוע מקשיים אופייניים של אוטיסטים, כמו הקושי בעיבוד גלובלי של מידע.
חוקרים אחרים קשרו בין תחום עניין ובין מעורבות חברתית.
הם הראו במחקריהם כיצד תחום העניין הגביר את המעורבות של הפרט והתקשורת שלו עם אחרים, מיומנות הידועה כלקויה אצל אוטיסטים.
אולם, בחלק מהמחקרים נמצא כי אין זה קל לסביבה לתמוך בתחומי העניין של אוטיסטים, בשל היותם תחומים מוזרים ולא תואמים לגיל, למגדר או לציפיות החברתיות (למשל, מברשות אסלה, עפרונות צהובים).
תחום אנטי-פאזה , APD, הוא סוג של פגם גבישי מישורי בסגסוגות ובגבישים פולריים (גבישים קוולנטיים או יוניים).
האטומים בתוך הפגם ממוקמים בסדר הפוך לאלו שבסריג הגבישי המסודר המושלם.
במילים אחרות, בכל תחום האנטי-פאזה מצויים האטומים באתרים התפוסים בדרך כלל על ידי אטומים מסוג אחר.
לדוגמה, בסגסוגת AB מסודרת (ordered alloy), אם אטום A תופס את המקום שבו בדרך כלל מצוי אטום B, נוצר סוג של פגם נקודתי גבישי הנקרא פגם החלפה (antisite).
אם החלפה כזו מתרחשת באזור שלם של מישור אטומי של הגביש, נוצר תחום אנטי-פאזה, כשמכל צדדיו של תחום זה הסריג מושלם.
הגבולות בין תחום האנטי-פאזה והגביש המושלם מכונים גבולות אנטי-פאזה (Anti-phase boundaries, APBs).
לדוגמה, איור 1 מראה תיאור סכמטי של הסידור האטומי במישור הגבישי (111) של סגסוגת מסודרת מסוג A3B (במקרה זה Cu3Au).
כפי שרואים ב-(a), בסידור זה כל אטום זהב במישור מוקף על ידי שישה אטומי נחושת.
אם, לעומת זאת, באזור מסוים של המישור הסידור משתנה מעט, כמוראה ב-(b), נוצר תחום אנטי-פאזה (APD).
תחומי אנטי-פאזה יכולים להתקבל גם בגבישים שאינם סגסוגות.
זה קורה בגבישים ללא מרכז סימטריה, כמו בגבישים של תרכובות , למשל גליום ארסניד (GaAs) או גליום אנטימוניד (GaSb); ותרכובות , למשל (ZnS) או (CdTe).
תרכובות מתגבשות במבנה (ספלריט), שבו האניונים (A) והקטיונים (B) יושבים בשני סריגי FCC (סריגים קובייתיים ממורכזי פאה) המוזזים אחד כלפי השני ברבע פרמטר הסריג בכיוון [111].
כל אטום A, במבנה זה, קשור לארבעה אטומי B, וההפך.
גבישים אלו מראים קוטביות (פולריות) בכיוונים ⟨111⟩: חצי מהמישורים הגבישיים {111} במבנה מכילים רק אטומים מסוג A, ואילו המישורים שמולם מכילים רק אטומים מסוג B (איור 2).
כמו בסגסוגות מסודרות, גם בגבישים אלו, בתחום האנטי-פאזה, האטומים A יושבים באתרי הסריג התפוסים בדרך כלל באטומי B, וההפך.
התוצאה של הסידור ההפוך הזה הוא החלפת הקוטביות של פני השטח {111} בין הגביש המושלם לתחום האנטי-פאזה: אם בגביש המשולם פני השטח הם (111) (כלומר מאוכלסים רק באטומי A) בתחום האנטי-פאזה הם הופכים להיות המישור הגבישי (1-1-1-) עם הקוטביות ההפוכה (מאוכלסים רק באטומי B).
בגבולות האנטי-פאזה הקשרים "שגויים": כלומר הם בין אטומים מאותו סוג (A-A או B-B).
הגבולות הללו יכולים להיות משני סוגים, כמוראה באיור 2: APB מסוג 1 מצוי במישור {110} (כמוראה באיור 2) או אם אינדקס מילר גבוה יותר, למשל {113}, ויש בו מספר שווה של קשרים "שגויים" A-A ו-B-B.
ה-APB מסוג 2, לעומת זאת, משתרע במישור {111} ויש בו רק קשרים שגויים A-A או רק קשרים שגויים B-B.
גבולות אנטי-פאזה מסוג 2 גורמים, לכן, לעודף סטויכיומטרי של אטומי A או אטומי B בגביש, בהתאמה.
גבולות אנטי-פאזה מסוג 1 שומרים על הסטויכיומריה של הגביש.
למען הדיוק, תחומי האנטי-פאזה וגבולות האנטי-פאזה בגבישים הפולריים הם למעשה תחומי היפוך (inversion domains) וגבולות היפוך, שכן האטומים באזורי ההיפוך ממוקמים באתרי סריג רגילים, אך בסדר הפוך ביחס לגביש הבלתי מופרע.
תחומי אנטי-פאזה נוצרים במקרים הבאים:
מעבר פאזה: ממצב לא-מסודר למצב מסודר בסגסוגות, או בהתמצקות גביש פולרי מנוזל.
בשני המקרים הללו הפאזה החדשה (הסגסוגת המסודרת או הגביש המוצק) נוצרת בו-זמנית במקומות שונים בחומר (פנל A באיור 3), והגרעינים שנוצרו כך גְּדֵלִים עד להתמזגות (פנל B).
אם בגרעינים שונים אטומי הסגסוגת תופסים אתרי סריג הפוכים (כמו במקרה של שני הגרעינים התחתונים באיור 3), אז בחיבור בין שניהם האטומים נקשרים בקשרים שגויים, ונוצר גבול אנטי-פאזה (קו כחול מלא).
מאמצים מכניים: גבול אנטי-פאזה יכול להיווצר במהלך החלקה של מישורים אטומיים או תנועה של נקעים.
פנל A באיור 4 מראה סגסוגת מסודרת המצויה תחת מאמץ גזירה (החיצים האופקיים הכחולים).
בהחלקה של שני חלקי הסגסוגת אחד ביחס לשני נוצרים נקע עם וקטור בורגרס [10]½, וגבול אנטי פאזה בין שני חלקי הסגסוגת (פנל B).
החלקה נוספת, באותו שיעור ובאותו כיוון, משיבה את הסדר בסגסוגת על כנו (פנל C), ונוצר נקע-על (superdisloaction) עם וקטור בורגרס [10].
למעשה, איור 5 מראה שכל גבול אנטי-פאזה בתוך הגביש, למשל ה-APB המסומן 1 באיור, מתחיל ומסתיים בנקע, אלא אם כן הוא מסתיים בפני השטח (הגבולות המסומנים 2 ו-3 באיור).
APB ללא נקעים תוחם תחום אנטי-פאזה (4 באיור).
תנועת הנקעים בסגסוגת המסודרת מותירה גבול אנטי-פאזה בשובלם, כמוראה על ידי הגבולות 2 ו-3.
אפיטקסיה של גביש פולרי על מצע בלתי פולרי: בהטרו-אפיטקסיה של חומרים פולרים ללא מרכז סימטריה (למשל GaAs) על מצעים עם מבנה של יהלום (סיליקון או גרמניום, למשל) נוצרים תחומי אנטי-פאזה.
פגמים אלו נובעים מהעובדה שמדרגות רגילות על הפנים (100) או (110) בגבישים במבנה יהלום הן חד-אטומיות, ואילו על גבישי צינק-בלנדה (כמו GaAs) או (כמו GaN) הן דו-אטומיות.
האפיטקסיה על שתי טרסות שכנות במצע, המופרדות, כאמור, על ידי מדרגה חד-אטומית, מובילה ליצירת קשרים Ga-Ga ו-As-As ולגבולות אנטי-פאזה, כמוראה באיור 6 עבור ההטרואפיטקסיה של (GaP) על Si(100) (לשני חומרים אלו פרמטר סריג כמעט זהה, לכן אין במקרה זה בעיה של עיבורי אי-תאום סריג, והיווצרות נקעי אי-תאום).
תחומי אנטי-פאזה מסייעים בזיקון סגסוגות.
האינטראקציה של נקעים הנעים בגביש עם אזורים (משקעים) מסודרים בסגסוגת, היוצרים גבולות אנטי-פאזה, יכולה להוביל לעלייה משמעותית בחוזק, ובהתנגדות לזחילה.
מסיבה זו, חיזוק זה על ידי סדר בסגסוגת (order strengthening) מנוצל לעיתים קרובות בסגסוגות-על עמידות לזחילה בטמפרטורה גבוהה, המשמשות בלהבי טורבינות.
איור 7 מתאר סכמטית את התנועה של נקע קצה המתפשט דרך משקע מסודר.
תוך כדי תנועה זו מוזזים מישורי הסריג מתצורת שיווי המשקל שלהם, ונוצרים קשרי A-A וקשרי B-B בכל מישור ההחלקה.
זה יוצר מצב אנרגתי גבוה יותר בהשוואה לתצורת הסדר בשיווי המשקל - A-B.
שינוי זה באנרגיה נקרא אנרגיית גבול האנטי-פאזה (APBE, anti-phase boundary energy), והוא יכול להגביר את מידת ההתחזקות שנוצרת מזיקון רגיל (precipitation hardening).
התמודדות עם תחומי אנטי-פאזה בהטרואפיטקסיה
מתחילת המאה ה-21 יש עניין רב באפיטקסיה של מוליכים למחצה (מל"מ) III-V על מצעי Si, מכיוון שהיא מאפשרת שילוב (אינטגרציה) מונוליתית של התקני פוטוניקה יעילים במל"מ III–V, שלהם פער אסור ישיר, עם אלקטרוניקת Si.
הבעיה היא שבגידולים אלו נוצרים, כאמור, APDs, שבגבולותיהם קשרים שגויים בין האטומים.
הקשרים המיוחדים הללו יוצרים רמות אנרגיה עמוקות בפער האסור, שהן מרכזי גנרציה-רקומבינציה יעילים ביותר של נושאי מטען, ולכן פוגעים באיכות ההתקנים.
כפי שרואים באיור 6, חלק מהגבולות הללו הם במישורי {111}, ולכן נטויים כלפי ציר הגידול.
ייתכן, אם כן, מצב שבו שתי מדרגות חד-אטומיות (S1 ו-S2 באיור, למשל) יגרמו לשני גבולות, שישמידו אחד את השני בפגישתם.
אבל, יש גם גבולות המשתרעים במקביל לציר הגידול, כמו הגבול שמתחיל במדרגה S3 באיור 6, המצוי במישור {110}.
גבולות כאלו מתפשטים בשכבה לכל עובייה, ופוגעים באיכותה.
כדי למנוע את פגיעת ה-APBs באיכות ההתקנים רצוי למנוע מלכתחילה את היווצרותם.
הדרך הוותיקה לעשות זאת היא שימוש במצעי סיליקון שבהם יצרו בכוונה מדרגות דו-אטומיות במקום חד-אטומיות, שכן כפי שרואים באיור 6, במדרגה דו-אטומית (S4 באיור) לא נוצר כלל גבול אנטי-פאזה.
במצעי סיליקון מדרגות דו-אטומיות כאלו יציבות יותר ממדרגות חד-אטומיות כשפני השטח נטויים מהמישור (100) כלפי כיוון ⟨110⟩.
חישובים הראו שהזווית הקריטית למעבר ממדרגות חד- לדו-אטומיות בסיליקון היא 1.5°.
לכן משתמשים באקדמיה ובתעשייה במצעי Si(100) עם מיסאורינטציה של 4° עד 7° כלפי כיוון ⟨110⟩, והרפייה שלהם בטמפרטורה גבוהה (מעל 800°C) להשגת פ"ש המורכבים מגרם מדרגות דו-אטומיות.
עם זאת, במצעים המשמשים בתעשיית המיקוראלקטרוניקה פני השטח הם במישור (100) (או במיסאורינטציה קלה של מספר עשיריות מעלה בלבד ממישור זה).
כדי להתגבר על בעיה זו פותחו שיטות הכנה מיוחדות של מצעי הסיליקון הסטנדרטיים בתעשייה זו, והאפיטקסיה של החומרים III-V מבוצעת בקפדנות כך שקצב הגידול של תחום הפאזה הראשי (MPD - main phase domain) גדול יותר מזה של תחום האנטי-פאזה.
במקרה זה, "נקברים" ה-APDs במהלך הגידול על ידי ה-MPDs, כך שנמנעת ההתפשטות של APBs לתוך השכבה שבה ממומשים ההתקנים הפוטוניים.
גישה שונה לפתרון בעיית ה-APBs בהטרואפיטקסיה של מל"מ III-V על מצעי סיליקון היא מעבר מאפיטקסיה על מצעים שטוחים, כמו שתואר למעלה (גידולי "שמיכה", blanket growth), לגידול על מצעים, שבהם יצרו מראש תבניות תלת-ממדיות ("מצעים מתובנתים", patterned substrates).
למשל, מצעים (100) שבהן יצרו שורות של תעלות בצורת V, שדפנותיהן במישורי {111}.
מדרגות חד-אטומיות במישורים אלו הן בגובה של חצי האלכסון בכיוון ⟨111⟩ של תא היחידה, כך שהן לא מובילות ליצירת APBs בשכבה ה-III-V הגדלה עליהן (איור 8).
תחומי עניין אוטיסטיים או תחומי עניין מיוחדים הם תחומים ממוקדים מאוד הנפוצים אצל אוטיסטים.
הם נוטים להיות אינטנסיביים יותר מתחומי עניין טיפוסיים, כמו תחביבים, ועשויים לגזול הרבה מזמנו הפנוי של האדם.
אדם בעל עניין מיוחד יתמקד לעיתים קרובות יותר בעניין המיוחד שלו במשך שעות, ירצה ללמוד כמה שיותר על הנושא, יאסוף פריטים קשורים וישלב את העניין המיוחד שלו במשחק ובאמנות.
תחומי עניין מסוימים נוטים להיראות כתחומי עניין מיוחדים אם הם יוצאי דופן, ספציפיים או נישתיים במיוחד.
תומכי זכויות האוטיזם ופסיכולוגים טוענים שההבחנה הבינארית בין "תשוקות" מקובלות ו"אובססיות" פתולוגיות אינה הוגנת, ומדגישים את הצורך בהבנה מקיפה יותר של תחומי עניין מיוחדים אצל אוטיסטים.
מונחים כמו תחומי עניין מוגבלי, אובססיות או תחומי עניין מוגבלים שימשו באופן המון לתיאור תחומי עניין מיוחדים, אך מונחים אלה מונעים על ידי תומכי זכויות האוטיזם.
תחומי עניין מיוחדים מבולבלים לפעמים עם היפר-פיקסציות.
ההפר-פיקסציות הן תקופות קצרות מועד של עניין אינטנסיבי בנושא, שנמשכות ימים עד חודשים, ומתרחשות לעיתים אצל אנשים עם ADHD.
לעומת זאת, תחומי עניין מיוחדים הם תכונה האופיינית לאוטיזם, ונמשכים בדרך כלל שנים, עם התמקדות מעמיקה בנושא לאורך זמן.
אדם עשוי להתבסס על עניין מיוחד.
בסביבות 75%–90% מהאוטיסטים מפתחים עניין מיוחד, עם מחקרים מסוימים המצביעים על שיעור של עד 95%.
תחומי עניין מיוחדים נוטים להתפתח בדרך כלל בין גיל שנה לארבע שנים, אך לעיתים עשויים שלא להתפתח עד גיל בגרות.
תחומי עניין מיוחדים רבים מתחילים אצל ילדים כקסם לחפץ מסוים, כגון תומאס הקטר, ובהמשך מתפתחים לנושא מסוים יותר, כמו רכבות.
תחום העניין המיוחד עשוי להשתנות עם הזמן, אך לעיתים הוא עשוי להימשך כל חייו של אדם.
סקר משנת 2014 מצא כי המספר הממוצע של תחומי עניין מיוחדים שיש לאוטיסט הוא שניים, ואורך החיים הממוצע של כל תחום עניין כזה הוא 13 שנים.
הפסיכיאטר הצרפתי ז'אן אטיין דומיניק אסקירול תיאר בשנת 1872 את התופעה של תחומי עניין עזים.
עם זאת, הם נקשרו למצב שנחשב היום לאוטיזם רק בשנת 1925, על ידי פסיכיאטרית הילדים הסובייטית גרוניה סוחרבה.
בנובמבר 1940 פרסמו לורטה בנדר ופול שילדר מאמר המתמקד בנושא.
גם בני דורם של בנדר ושילדר, כמו הנס אספרגר וליאו קנר, כתבו על הנושא, שהיה חשוב לפיתוח המודעות לאוטיזם.
תחומי עניין פופולריים בקרב אוטיסטים כוללים תחבורה, בעלי חיים, ספורט ותרבות פופולרית.
השפעתו של עיסוק בתחומי עניין מיוחדים
עיסוק בתחומי עניין מיוחדים יכול להביא לאוטיסטים שמחה רבה.
אוטיסטים רבים מבלים כמויות גדולות של זמן בעיסוק בתחומי העניין המיוחדים שלהם.
אצל מבוגרים, עיסוק בתחומי עניין מיוחדים הוכח כבעל תוצאות חיוביות לבריאות הנפש, מפתח הערכה עצמית, וניתן להשתמש בו כדי לניהול לחצים.
תחומי עניין מיוחדים יכולים לפעמים להפריע לתחומים אחרים בחייו של אדם, כמו בבית הספר.
בילדים, שילוב עניין מיוחד של ילד בחינוך שלהם הוכח כמשפר את תוצאות הלמידה, מגדיל את תשומת הלב בנושאי למידה ומלמד התנהגויות כמו ספורטיביות.
הוכח כי תלמידים כותבים טוב יותר כאשר כותבים על העניין המיוחד שלהם בהשוואה לנושא אחר.
מחקר משנת 2022 הראה כי 25% מהאוטיסטים שעבדו היו מועסקים בתחום העניין המיוחד שלהם, וכי למבוגרים עם תחומי עניין מיוחדים שניתן להעסיק אותם יש סיכוי לתוצאות תעסוקה טובות יותר.
תחומי עניין מיוחדים עשויים להוביל אנשים להפוך לילדי פלא או למומחים בתחום העניין שלהם, תוך שהם מפתחים יכולות יוצאות דופן וידע מעמיק בתחום מסוים.
עידוד דיון על נושא עניין מיוחד יכול לעזור לאוטיסטים לפתח מיומנויות חברתיות ולמצוא קהילות חברתיות.
תומכי קבלת האוטיזם מעודדים אנשים אוטיסטים לאמץ את תחומי העניין המיוחדים שלהם, כל עוד הם אינם מפריעים לחלקים אחרים בחיים.
תחומי עניין מיוחדים יכולים לשמש לאנשים אוטיסטים כדרך להבין את העולם ואת האנשים סביבם.
תחומי עניין מיוחדים עלולים להוביל לקשיים חברתיים אם האדם אינו מעוניין לדון בנושאים אחרים, מה שעלול להפוך את השיחות לחד צדדיות.
תחומי עניין מיוחדים מסוימים עשויים להיתפס כיוצאי דופן או מוזרים, כמו עניין בעמודי חשמל, שיכולים להיראות מוזרים יותר לעומת תחומי עניין יותר מקובלים, כמו סוסים או קבוצות כדורגל.
אוטיסטים המודעים לכך עשויים למנוע מעצמם לדבר על העניין המיוחד שלהם בכוונה, כיוון שהם מעדיפים להסתיר אותו, במיוחד אם לעגו להם עליו בעבר.
תחומי עניין מיוחדים אחרים עשויים להיראות כלא טיפוסיים לגילו של אדם.
גרטה תונברי, פעילת הסביבה, ייחסה את הצלחתה במאבק לשימור הסביבה לתחום העניין המיוחד שלה בתחום שינוי האקלים.
היא הסבירה לעיתון גרדיאן בשנת 2021: "להרבה אנשים עם אוטיזם יש עניין מיוחד שהם יכולים לשבת ולעשות לנצח מבלי להשתעמם.
זה דבר מאוד שימושי לפעמים...
[אם] אתה מרגיש שיש לך מטרה, אז זה יכול להיות משהו שאתה יכול להשתמש בו לתמיד, ואני חושבת שאני עושה את זה עכשיו".
באלגברה מופשטת, תחום שלמות הוא חוג חילופי עם יחידה כפלית שאין בו מחלקי אפס (כלומר: אם , אז בהכרח או ).
בין הדוגמאות החשובות ניתן למצוא כל תת-חוג של הממשיים, ומכאן חשיבותה של המשפחה הזו בתורת המספרים האלגברית.
כל שדה הוא תחום שלמות, משום שהאברים השונים מאפס כולם הפיכים, ולכן לא ייתכן ש-ab=0 כאשר a,b אינם אפס.
מכיוון שהאיסור על קיומם של מחלקי אפס עובר בתורשה לתת-חוגים, כל תת-חוג של שדה הוא תחום שלמות.
בין הדוגמאות הטבעיות לתחומי שלמות שאינם שדות אפשר למצוא את חוג המספרים השלמים, ואת חוג הפולינומים עם מקדמים משדה , אותו מסמנים ב- .
בכיוון ההפוך, כל תחום שלמות מהווה תת-חוג של שדה, הנקרא שדה השברים של התחום.
שדה השברים כולל את כל המנות של איברים בחוג שבהן המכנה אינו אפס.
למשל, שדה השברים של הוא שדה המספרים הרציונליים , בעוד ששדה השברים של חוג הפולינומים הוא שדה הפונקציות הרציונליות .
הבניה של שדה השברים מתוך התחום הנתון היא דוגמה למיקום (לוקליזציה).
בתחום שלמות, אוסף האיברים שאינם אפס סגור לכפל, ולכן מהווה מונואיד עם צמצום: אם אז .
כל מונואיד סופי עם צמצום הוא חבורה, ולכן תחום שלמות סופי הוא שדה.
עבור תחום שלמות קבוע , אומרים שאיבר מחלק את האיבר אם קיים איבר כך ש- (זוהי הכללה של ההגדרה הרגילה במספרים שלמים).
כל איבר מחלק את , ו- מחלק כל איבר.
איבר המחלק את נקרא איבר הפיך (למשל: בחוג השלמים האיברים ההפיכים הם .
בשדה, כל האיברים הם הפיכים פרט לאפס).
איברים המחלקים זה את זה נקראים ידידים.
איבר של החוג נקרא אי-פריק, אם לא ניתן לכתוב אותו בצורה כאשר ו- אינם הפיכים.
ישנו סוג מיוחד של איברים אי-פריקים, הנקראים ראשוניים.
איבר ראשוני הוא איבר שאינו יכול לחלק מכפלה בחוג, מבלי לחלק לפחות את אחד הגורמים שלה.
ראשוני מוכרח להיות אי-פריק (אם אפשר לפרק את הראשוני בצורה אז מוכרח לחלק את אחד הגורמים, למשל את , ואז יוצא ש- הפיך), אבל ישנם איברים אי-פריקים שאינם ראשוניים (ראה דוגמאות בהמשך).
שתי ההגדרות מכלילות את ההגדרה הרגילה למספרים ראשוניים (לפי הלמה של אוקלידס, בחוג המספרים השלמים איבר הוא ראשוני אם ורק אם הוא אי-פריק, והמספרים בעלי תכונה זו הם המספרים הראשוניים הרגילים).
דוגמה: בתחום-השלמות , האיבר אי-פריק, אבל אינו ראשוני (הוא מחלק את 10 אבל לא את הגורמים 2 או 5).
התכונות של איברים אי-פריקים וראשוניים באות לידי ביטוי כשבוחנים את תהליך הפירוק לגורמים של איבר נתון .
אם אי-פריק, סיימנו לפרק אותו; אחרת, אפשר לכתוב את כמכפלה של איברים אחרים, ולהמשיך לפרק כל אחד מהם.
בחוגים מסוימים (בעיקר חוגים נותריים) מובטח שהתהליך יעצר, בדיוק כפי שהתהליך של פירוק מספר שלם לגורמיו חייב להעצר.
בסופו של פירוק כזה כתבנו את כמכפלה של איברים אי-פריקים (חוג שבו תמיד קיים פירוק כזה נקרא אטומי).
לרוע המזל, (ולא כמו במספרים השלמים), פירוק כזה אינו חייב להיות יחיד.
(דוגמה: המספרים בחוג שהוגדר לעיל הם כולם אי-פריקים, והנה , שני פירוקים שונים לאותו מספר).
מתברר שאם הגורמים האי-פריקים בפירוק הם כולם ראשוניים, אז אין פירוקים אחרים (פרט לזה שאפשר להחליף גורם בידיד שלו, ולערבב את הגורמים ביניהם).
תחום שלמות שבו כל איבר ניתן לפירוק כמכפלה של אי-פריקים, וזה ניתן להעשות באופן יחיד, נקרא תחום פריקות יחידה.
בחוג כזה כל איבר אי-פריק הוא גם ראשוני.
ישנו תנאי המבטיח פריקות יחידה: תחום שלמות שבו כל אידיאל הוא אידיאל ראשי (כלומר מהצורה ), נקרא תחום ראשי.
כל תחום ראשי הוא תחום פריקות יחידה, אבל ההפך אינו נכון (דוגמה: חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה הוא תחום פריקות יחידה שאינו ראשי).
לתחום ראשי יש ממד קרול 1, כלומר, כל אידיאל ראשוני שונה מאפס הוא מקסימלי.
כל חוג אוקלידי הוא תחום ראשי, וכל תחום ראשי הוא חוג דדקינד.
כל חוג דדקינד הוא תחום שלמות נותרי וכל תחום שלמות נותרי הוא אטומי.
בדיאגרמה משמאל מוצג סריג של מחלקות חשובות של תחומי שלמות: תחומי דדקינד, תחומי פרופר, תחומים ראשיים, תחומי פריקות יחידה, תחומי בזו, תחומים אטומיים, תחומים בעלי gcd, ועוד.
השילוב של שתי תכונות הוא התכונה החלשה ביותר שחזקה משתיהן; כך למשל תחום פרופר נתרי הוא תחום דדקינד, תחום בזו אטומי הוא ראשי, וכן הלאה.
תחום שלמות רגולרי נתרי הוא תחום פריקות יחידה (Auslander-Buchsbaum, 1959).
יהי R תחום שלמות, ו-F שדה השברים שלו.
אידיאל שברי של R הוא תת-קבוצה של F מהצורה , כאשר ו- אידיאל של R.
ההגדרה הזו מניחה ש-d הוא מעין "מכנה משותף" של היוצרים, על אף ש-A אינו בהכרח נוצר סופית.
אידיאלים שבריים דומים זה לזה אם אחד מהם מתקבל מהשני על ידי כפל בקבוע (של F).
כמו אוסף האידיאלים, אוסף האידיאלים השבריים סגור לכפל, אלא שבניגוד אליו הוא כולל גם איברים הפיכים: אומרים ש-A,B הופכים זה את זה אם (כלומר, קיימים ו- כך ש-).
אידיאל שברי הפיך חייב להיות נוצר סופית.
תחום שלמות הוא תחום דדקינד אם ורק אם כל האידיאלים השבריים הפיכים, ותחום פרופר אם ורק אם כל האידיאלים השבריים הנוצרים סופית הם הפיכים.
אוסף האידיאלים השבריים ההפיכים מהווה חבורה, שמסמנים .
כל אידיאל שברי ראשי הוא הפיך.
זה מגדיר סדרה קצרה מדויקת , המגדירה את חבורת פיקארד של החוג.
אם R תחום דדקינד, החבורה הזו היא חבורת המחלקות.
עבור אידיאל שברי , מסמנים (מקובלים גם הסימונים ו-).
זו פעולה הופכת סדר המקיימת (ולכן זו התאמת גלואה מופשטת).
הפעולה מכבדת דמיון ( לכל ).
לפי ההגדרה , ו- הוא האידיאל השברי המקסימלי המקיים תנאי זה.
אם הפיך, אז ההפכי שלו שווה ל-.
החסרון העיקרי של החבורה הוא בכך שהיא "רואה" רק אידיאלים נוצרים סופית.
כדי לצרף אידיאלים שאינם נוצרים סופית למשחק הזה, יש להכליל את מושג ההפיכות.
הפעולה היא אידמפוטנטית, שומרת סדר, ומקיימת .
הפעולה נקראת בדרך כלל סגור-v, עם הסימון .
אידיאל המקיים (כלומר אידיאל סגור-v) הוא אידיאל דיביזורי (divisorial).
אידיאל הוא דיביזורי אם ורק אם הוא מהצורה .
תחום שלמות שבו כל האידיאלים דיביזוריים נקרא תחום דיביזורי.
בפרט כל תחום דדקינד הוא דיביזורי, ובפרט גם כל תחום הערכה דיסקרטי.
זה אינו תנאי טריוויאלי: האידיאל המקסימלי בתחום הערכה שאינו דיסקרטי אינו דיביזורי.
אפשר לתאר את סגור-v כחיתוך האידיאלים השבריים הראשיים המכילים את I.
יש תיאור מועיל נוסף, במונחים של תחומי הערכה, המבוסס על כך שהמשפחה של תחומי ההערכה המכילים את R (בתוך F) היא עדינה מספיק בכדי להפריד אידיאלים: אם אז קיים תחום הערכה כך ש- (זו תוצאה של הלמה של צורן).
מעובדה זו נובע התיאור של סגור-v כחיתוך (החיתוך על תחומי ההערכה כדלעיל).
מן השוויון נובע שמכפלת-v המוגדרת לפי היא אסוציאטיבית.
מכפלת-v מתלכדת עם המכפלה הרגילה אם או הפיכים.
בפרט, אוסף האידיאלים הדיביזוריים מהווה מונויד ביחס למכפלת-v.
אם הפיך-v, אז ההפכי הדיביזורי (היחיד) שלו הוא .
לכן היא חבורה, המכילה את כתת-חבורה.
תחום שלמות שבו כל אידיאל דיביזורי הוא הפיך ביחס למכפלת-v, נקרא תחום סגור בשלמות לחלוטין (completely integrall closed, ובקיצור CIC).
כל תחום קרול, ובפרט כל תחום דדקינד, הוא CIC.
בתחום CIC המנה נקראת חבורת המחלקות.
חבורת המחלקות מכילה את חבורת פיקארד כתת-חבורה.
סגור-t הוא עידון של סגור-v, המוגדר לפי כאשר האיחוד על האידיאלים השבריים הנוצרים סופית .
כך מתקיים תמיד , עם שוויון כאשר I נוצר סופית (וממילא בתחום נתרי שתי פעולות הסגור מתלכדות; הפעולות מתלכדות אם ורק אם R הוא תחום מורי, כלומר מתקיים תנאי השרשרת העולה על אידיאלים דיביזוריים).
האידיאל הוא t-סגור אם .
לפי ההכלה לעיל, כל אידיאל דיביזורי הוא t-סגור (והמושגים מתלכדים על אידיאלים נוצרים סופית).
בדומה למקרה של אידיאלים דיביזוריים, אפשר להגדיר מכפלת-t לפי .
בפרט, אוסף האידיאלים ה-t-סגורים מהווה מונויד ביחס למכפלת-t.
כמקודם היא חבורה, עם שיכונים טבעיים .
בתחום דדקינד כל אידיאל נוצר על ידי שני איברים.
כהכללה של עובדה זו, הוכיח Heitmann (1976) שבכל תחום שלמות מממד קרול n, כל אידיאל הפיך נוצר על ידי n+1 איברים (שאת הראשון מביניהם אפשר לבחור כרצוננו).
חוג חילופי הוא ראשוני אם ורק אם הוא תחום שלמות.
תחום שלמות פשוט הוא שדה.
תחום שלמות שאינו שדה לא יכול להיות חוג ארטיני.
מעל תחום ראשי, כל מודול נוצר סופית הוא סכום ישר של מודולים ציקליים.
זוהי הכללה של משפט המיון לחבורות אבליות נוצרות סופית, ושל הפירוק של מטריצות לבלוקי ז'ורדן.
בדיאגרמה משמאל מוצגות כמה משפחות עיקריות של מודולים מעל תחום שלמות : אידיאלים של , אידיאלים שבריים, ומודולים כלליים: חופשיים, פרויקטיביים, שטוחים וחסרי פיתול.
החצים השחורים מסמנים גרירה לוגית של תכונה אחת לאחרת.
החצים הצבעוניים מאפיינים מחלקה של תחומי שלמות: תחום שלמות מקיים את אחד החצים הכחולים אם ורק אם הוא דדקינד, ואז הוא מקיים את כולם; וכן לתחומי פרופר, בזו ולתחומי שלמות נתריים.
איבר (שונה מאפס) במודול מעל תחום שלמות הוא מפותל אם קיים סקלר שונה מאפס כך ש-.