tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
במאמרו הוא ציין שלטענת סקולם המשפט המלא הוכח עוד קודם לכן על ידי אלפרד טרסקי במהלך סמינר ב-1928. אולם טרסקי לא זכר את הוכחתו ולא ברור כיצד יכול היה להוכיח את המשפט ללא משפט הקומפקטיות.
מודל של תורה בשפה מסדר ראשון הוא מבנה (המורכב מקבוצה ומפונקציה המפרשת את קבועי השפה כקבועים ויחסים בקבוצה) שמקיים את כל הפסוקים בשפה.
הקבוצה שעומדת בבסיס מבנה נקראת העולם של , ונסמנו .
העוצמה של היא העוצמה של .
מבנה הוא תת-מבנה של אם , ופונקציית המבנה של היא צמצום של פונקציית המבנה של ל-.
קבוצה נקראת קבוצה סגורה ב- אם סגורה תחת כל הפעולות (פונקציות) בשפה (ובפרט מכילה את כל האיברים ב- המתפרשים כקבועים של , שהם הפעולות ה-0 מקומיות).
אם הוא תת-קבוצה סגורה של , אז התת-מבנה שנקבע על ידי הוא התת-מבנה היחיד שעולמו הוא ושפונקציית המבנה שלו היא צמצום פונקציית המבנה של ל-.
תת-מבנה של מבנה נקרא תת-מבנה אלמנטרי אם לכל השמה אפשרית כל הנוסחאות בשפה שנכונות ב-, נכונות גם ב- (אינטואיטיבית, כל טענה שנכונה במבנה נכונה גם בכל תת-מבנה אלמנטרי שלו, ולהפך).
מן ההגדרה נובע שאם מודל של , גם התת-מבנה האלמנטרי הוא מודל של .
מבחן טרסקי-ווט קובע שתנאי הכרחי ומספיק לכך שתת-מבנה של הוא תת-מבנה אלמנטרי, הוא:
לכל נוסחה בשפה , אשר הם המשתנים החופשיים בה, ולכל , אם קיים כך ש- נכון ב-, אז קיים כך ש- נכון ב-.
קבוצת פסוקים היא עקבית אם קיים לה מודל .
משפט הקומפקטיות קובע ש- עקבית אם ורק אם כל תת-קבוצה סופית שלה עקבית.
לא ניתן להחליש את תנאי המשפט.
אם לתורה יש מודל סופי הדבר אינו גורר קיום מודל אינסופי.
זאת משום שבכל שפה מסדר ראשון יש יחס שוויון, ולכן התורה יכולה לכלול פסוק שאומר שבכל קבוצה של n+1 איברים יש שניים שווים (ומכאן שכל מודל יש לכל היותר n איברים).
גם קיומו של מודל אינסופי לא גורר קיום מודל סופי.
למשל כל קבוצה אינסופית היא מודל לתורה שלכל n כוללת את הפסוק הקובע שיש לפחות n איברים שונים.
מצד שני, לתורה זו אין אף מודל סופי.
אם שפת התורה אינה בת-מנייה, אז מתקיימת גרסה מוכללת של משפט לוונהיים-סקולם הקובעת שקיים מודל מכל עוצמה שאינה קטנה מעוצמת השפה.
ההוכחה של המשפט המוכלל אנלוגית למקרה הבן מנייה.
הוכחת המשפט נחלקת למעשה לשניים:
משפט הכיווץ - לכל תורה בת-מנייה מסדר ראשון עם מודל אינסופי מעוצמה , ולכל עוצמה אינסופית , קיים לתורה זו מודל מעוצמה .
משפט הניפוח - לכל תורה בת-מנייה מסדר ראשון עם מודל אינסופי מעוצמה , ולכל עוצמה , קיים לתורה זו מודל מעוצמה לפחות.
כמסקנה משני החלקים נובע משפט לוונהיים-סקולם במלואו:
אם לתורה בת-מנייה מסדר ראשון יש מודל אינסופי מעוצמה , אז לכל עוצמה אינסופית נבחר עוצמה .
לפי משפט הניפוח קיים מודל מעוצמה לפחות, ולכן לפי משפט הכיווץ קיים מודל מעוצמה .
יהי מבנה בשפה (המקיימת את תנאי המשפט) מעוצמה אינסופית .
נראה שיש ל- תת-מבנה אלמנטרי מעוצמה .
לכל נוסחה נתאים פונקציה הנקראת פונקציית סקולם.
פונקציית סקולם מוגדרת כך: לכל מגדירים , כאשר הוא איבר כך שמתקיים , אם ישנו איבר כזה, או סתם איבר שרירותי אם אין איבר כזה (בחירת האיברים מצריכה את אקסיומת הבחירה).
נסמן ב- את קבוצת פונקציות סקולם של כל הנוסחאות בשפה .
יש נוסחאות בשפה (כי קבוצת המילים מעל שפה בת מנייה היא בת מנייה) ולכן .
נגדיר כעת ברקורסיה סדרת קבוצות.
תהיה תת-קבוצה כלשהי של שעוצמתה .
כלומר היא הקבוצה המתקבלת מ- על ידי הוספת כל התמונות של איברי תחת כל פונקציות סקולם.
נוכיח באינדוקציה כי לכל טבעי, .
על פי הגדרתו, מקיים .
אז יש k-יות סדורות של איברי (משפט טרסקי), ויש פונקציות סקולם, ולכן יש תמונות של איברי תחת פונקציות סקולם.
נבחין כי סגורה תחת פונקציות סקולם.
לכל ולכל קיים כך ש-, ולכן .
נראה כי קבוצה סגורה ב-.
לכל פעולה n-מקומית בשפה נגדיר נוסחה שהיא הנוסחה .
מהסגירות של ביחס לפונקציות סקולם נקבל ש- סגורה ביחס ל- - לכל מתקיים: .
קבוצה סגורה ולכן קיים תת-מבנה של שנקבע על ידה.
נוכיח כי זהו תת-מבנה אלמנטרי.
לכל נוסחה ולכל , אם קיים כך שמתקיים , אז לפי הגדרת פונקציית סקולם קיים כך שמתקיים .
לכן לפי מבחן טרסקי-ווט תת-מבנה אלמנטרי של .
מכאן שאם מודל של תורה המקיימת את תנאי המשפט, אז היא מודל מעוצמה של .
תהי תורה בשפה המקיימת את תנאי המשפט, ויהי מודל שלה מעוצמה אינסופית .
נבנה מודל של שעוצמתו לפחות.
נגדיר שפה המתקבלת מ- על ידי הוספה של קבוע כנגד כל .
נגדיר קבוצת פסוקים בשפה כך: .
נגדיר את כקבוצה המתקבלת מהאיחוד .
נשתמש במשפט הקומפקטיות כדי להראות ש- עקבית בשפה .
תהי תת-קבוצה סופית של .
קיימת קבוצה מהצורה , כך ש- היא תת-קבוצה סופית של , ומתקיים .
ב- יש רק מספר סופי של פסוקים מהצורה .
נסמן את קבוצת כל ה- שמופיעים בפסוק שכזה ב-.
נגדיר מבנה בשפה שפונקציית המבנה שלו מתלכדת עם זו של לכל הקובעים ב-, ובנוסף מוגדרת באופן שרירותי לכל קבוע ב-, מלבד לקבועים שב-, שאותם היא מפרשת כאיברים שונים זה מזה ב- (ייתכן משום ש- סופית, ואילו אינסופית).
מודל של (כי הוא מודל של , וכל הפסוקים ב- שקובעים שאיברי שונים זה מזה, אכן מתקיימים), לכן היא גם מודל של , ועל כן עקבית.
נקבל ממשפט הקומפקטיות ש- עקבית בשפה .
נסמן ב- מודל של בשפה .
כל הפסוקים ב- נכונים ב-, ובפרט כל פסוקי שקובעים שיש איברים השונים זה מזה נכונים.
מודל של בשפה (כתת קבוצה של ), ולכן הוא גם מודל של בשפה (תוך צמצום פונקציית המבנה שלו ל-).
קיבלנו של- יש מודל מעוצמה לפחות.
משפט לוונהיים-סקולם מאפשר להסיק מסקנות רבות על כוח הביטוי של שפה מסדר ראשון.
מהמשפט נובע למשל שלא ניתן לתאר את קבוצת המספרים הטבעיים בשפה מסדר ראשון, בלי לתאר באותה מידה גרסאות מנופחות הכוללות "יותר מידי" מספרים.
מכיוון שמערכת פאנו הכתובה בלוגיקה מסדר שני מתארת את המספרים הטבעיים עד כדי איזומורפיזם, נובע מכך שלא ניתן לצמצם את אקסיומות מערכת פאנו לשפה מסדר ראשון.
אריתמטיקת פאנו, שהיא המערכת המתקבלת מהחלפת אקסיומת האינדוקציה (הכתובה בסדר שני), בסכמה של אקסיומות הקובעות אינדוקציה לכל נוסחה מסדר ראשון, היא חלשה באופן מהותי ממערכת פאנו.
ממשפט לוונהיים-סקולם וממשפט הקומפקטיות ניתן להסיק שאם לתורה יש מודלים סופיים בלתי חסומים (לכל M טבעי יש מודל שעוצמתו M לפחות), אז יש לה מודל מכל עוצמה אינסופית.
ממשפט הקומפקטיות נובע שהתורה המתקבלת מ- על ידי הוספת אינסוף פסוקים שקובעים שיש לפחות n איברים שונים לכל n טבעי היא עקבית.
לכן יש לה ל- מודל אינסופי, ולכן מודל מכל עוצמה אינסופית.
מסקנה נוספת ממשפט לוונהיים-סקולם היא שאם תורה -קטגורית (יש לה מודל יחיד עד כדי איזומורפיזם מעוצמה ), ואין לה מודלים סופיים, אז תורה שלמה.
זאת משום שאם הם מודלים כלשהם של , אז לפי הנתון הם אינם סופיים, ולכן לפי משפט הכיווץ יש להם תת-מבנים אלמנטריים מעוצמה .
מכיוון ש- תורה -קטגורית נובע מכך ש- איזומורפיים.
לכן אותם משפטים נכונים הן ב- והן ב-, וכל המשפטים הללו בהכרח נובעים מ-.
בראשית המאה ה-20 ניסתה הקהילה המתמטית למצוא תורה מסדר ראשון שתתאר את המתמטיקה המודרנית כולה .
משפט לוונהיים-סקולם קבע שאף תורה שכזו לא תהיה קטגורית, ויהיו לה מודלים רבים.
מאוחר יותר הוכח משפטי האי-שלמות של גדל שאף החריף את הבעיה יותר - לא תיתכן תורה שכזו שתהיה גם עקבית, גם אפקטיבית וגם שלמה (כלומר לא רק שיהיו לה מודלים רבים, אלא שלא בכולם יתקיימו אותם המשפטים).
משפט לינדסטרום קובע ששפה מסדר ראשון היא התחשיב הלוגי החזק ביותר שבמסגרתו מתקיימים הן משפט הקומפקטיות והן משפט הכיווץ של לוונהיים-סקולם.
החלת משפט לוונהיים-סקולם על תורת הקבוצות האקסיומטית גוררת מסקנה הנדמית סתירתית.
לפי המשפט קיים מודל בן מנייה של תורת הקבוצות.
לכן כל הקבוצות במודל הן בנות מנייה (שכן כל איבר של קבוצה הוא בעצמו קבוצה במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל).
זאת בסתירה לכאורה למשפט קנטור שממנו עולה שקיימות קבוצות שאינן בנות מנייה.
תוצאה זו התגלתה על ידי סקולם ב-1922 ונקראת על שמו "פרדוקס סקולם".
סקולם גם הסביר מדוע הפרדוקס אינו סתירה באמת.
הפתרון נעוץ בכך שהמונח "קבוצה" במודל של סקולם נבדל מהמשמעות החיצונית שלו.
השוואת עוצמות של קבוצות מסתמכת על קיומן של פונקציות חד-חד-ערכיות ועל ביניהן.
אולם פונקציות שכאלה הן בעצמן קבוצות, שאינן בהכרח כלולות כקבוצות במסגרת המודל הקטן ובן המנייה של סקולם לתורת הקבוצות.
נכון שקיימת פונקציה חיצונית למודל שמתאימה בין קבוצת המספרים הטבעיים לקבוצת המספרים הממשיים במודל של סקולם, אבל הפונקציה הזו אינה קיימת בתוך המודל של סקולם, ולכן הוכחת האלכסון של קנטור עדין עובדת במודל זה.
בטופולוגיה, משפט לוסטרניק-שנירלמן הוא משפט הקובע ששתי הטענות הבאות נכונות:
בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות סגורות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.
בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות פתוחות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.
המשפט שוער לראשונה במאמר של לזר לוסטרניק ולב שנירלמן מ-1930. המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם שהוכח ב-1933.
למעשה נכון משפט כללי יותר שמכליל את שתי הגרסאות המקוריות של המשפט:
בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות, שכל אחת מהן פתוחה או סגורה, יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות.
מספיק להוכיח את המשפט ל- שהיא ספירת היחידה ה-n-ממדית (אוסף כל הנקודות ב- שמרחקן מהראשית הוא 1).
נוכיח כי המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם הקובע שלכל פונקציה רציפה קיימת נקודה כך ש-.
במרחב מטרי, המרחק בין נקודה x לקבוצה A, , מוגדר כאינפימום של אוסף המרחקים בין x לכל אחת מנקודות A.
לפי הגדרת הסגור, אם אז .
יהי אוסף של n+1 קבוצות סגורות המכסות את .
בבירור רציפה ולכן לפי משפט בורסוק-אולם קיים כך ש-.
בפרט אם קיים כך ש- אז גם .
אולם סגורה ושווה לסגור שלה, ולכן במקרה כזה הן זוג נקודות אנטיפודיות הנמצאות ב-.
נותר המקרה בו לכל .
במקרה כזה לא נמצאות באף אחת מן הקבוצות (כי מרחקן מכל אחת מהן חיובי) ולכן הן חייבות להימצא יחדיו ב-.
המקרה הפתוח מתוך המקרה הסגור
יהי אוסף של n+1 קבוצות פתוחות המכסות את .
לכל ולכל נבחר סביבה פתוחה קטנה מספיק כך ש-.
איחוד כל הסביבות לכל ה-x וה-i הוא כיסוי פתוח של .
הספירה היא קבוצה קומפקטית ולכן יש לכיסוי תת-כיסוי סופי .
נאחד את כל הקבוצות המוכלות באותה קבוצה .
זהו איחוד סופי של קבוצות סגורות ולכן לכל i נקבל קבוצה סגורה .
קיבלנו כיסוי של הספירה, ולכן לפי המקרה הסגור קיימים ונקודה כך ש- כפי שרצינו להוכיח.
המקרה הכללי מתוך המקרה הפתוח
יהי אוסף של n+1 קבוצות סגורות או פתוחות המכסות את .
לכל k, כיסוי פתוח של , ולכן לפי הגרסה הפתוחה קיימים וזוג נקודות .
אם ל-k כלשהו פתוחה סיימנו, כי .
לכן נניח שלכל k סגורה.
הסדרה היא סדרה אינסופית שמקבלת מספר סופי של ערכים (שלמים ) ולכן יש מספר שמופיע בה אינסוף פעמים.
נסתכל על תת-סדרה מתכנסת של הסדרה שאיבריה מקיימים .
ולכן, מכיוון שהנחנו ש- סגורה, מתקיים .
ניתן לכסות את באמצעות n+1 קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים.
נמקם סימפלקס במרחב ה-n ממדי כך שהראשית נמצאת במרכז הסימפלקס.
כעת נטיל את n+1 פאות הסימפלקס על הספירה באמצעות קרניים שיוצאות מהראשית.
קל לראות שתמונת הפאות הן הקבוצות הסגורות הנדרשות.
נניח בשלילה שקיימת פונקציה כך שלכל מתקיים .
אזי הפונקציה המוגדרת לפי מוגדרת היטב (כי המכנה לא מתאפס) ורציפה.
נשים לב כי לכל מתקיים .
יהי כיסוי של באמצעות קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים.
הוא כיסוי של באמצעות קבוצות סגורות, ולכן לפי משפט לוסטרניק-שנירלמן קיימים .
אולם אז וגם בסתירה לטענה ש- אינה מכילה אנטיפודים.
משפט לוסטרניק-שנירלמן עומד בבסיס הוכחה פשוטה למשפט לובאס-קנזר בתורת הגרפים, מה שמדגים את היותו כלי חשוב בקומבינטוריקה טופולוגית.
בתורת הגרפים, משפט לובאס-קנזר הוא משפט מתמטי שקובע את מספר הצביעה של גרף קנזר .
ייחודו של המשפט בכך שההוכחות הסטנדרטיות שלו מבוססות בעיקר על כלים מתחום הטופולוגיה.
את המשפט שיער המתמטיקאי הגרמני מרטין קנזר ב-1955, אז הוא נודע בשם השערת קנזר.
ב-1978 הציג לסלו לובאס הוכחה מפתיעה למשפט תוך שימוש בכלים טופולוגיים.
הוכחה זו נחשבת לתוצאה הראשונה בענף הקומבינטוריקה טופולוגית, העוסק בשימוש בשיטות טופולוגיות בקומבינטוריקה (שימושים של קומבינטוריקה בטופולוגיה היו ידועים עוד לפניכן).
מאז נמצאו הוכחות טופולוגיות רבות למשפט, רובן מבוססות על משפט בורסוק-אולם.
הוכחה קומבינטורית טהורה נמצאה על ידי Matoušek ב-2004, אך גם היא מבוססת על "חיקוי" של הוכחה טופולוגית (בפרט נעשה שימוש בלמה של טקר שהיא תוצאה קומבינטורית השקולה למשפט בורסוק-אולם הטופולוגי).
גרף קנזר הוא גרף המוגדר באופן הבא: הצמתים בגרף הם כל התתי קבוצות של שיש בהן k איברים.
יש קשת בין שני צמתים אם ורק אם הם זרים כקבוצות.
למשל ב- יש קשת בין ל- ואין קשת בין ל-.
צביעה של גרף היא התאמה של צבע לכל צומת כך שאין שני צמתים בעלי צבע זהה המחוברים בקשת.
מספר הצביעה של גרף G מסומן והוא מוגדרת כמספר המינימלי של צבעים הדרושים כדי לצבוע את G.
קל להדגים צביעה שאכן משתמשת ב- צבעים, והדבר נעשה כבר על ידי קנזר.
הקושי הוא להוכיח כי זו הצביעה המוצלחת ביותר (מסמפר מינימלי של צבעים).
באופן כללי מציאת מספר הצביעה של גרף נחשבת בעיה קשה, בפרט במקרים הדומים לגרף קנזר, בהם מספר הצביעה גדול יחסית ל-n-ים גדולים.
ההוכחה מתחלקת באופן טבעי לשני שלבים.
בשלב הראשון נוכיח ש- על ידי כך שנדגמים צביעה המשתמשת ב- צבעים.
בשלב השני נוכיח ש- באמצעות טיעון טופולוגי.
נדגים את הצביעה של הגרף שהוצגה על ידי קנזר.
בתור שמות לצבעים נשתמש במספרים טבעיים.
נגדיר את הצביעה באופן הבא: לכל צומת A,
כלומר את הצמתים שמכילים מספרים קטנים מ- נצבע במספר הקטן ביותר שהם מכילים, ואת כל השאר נצבע בצבע .
כעת נניח ש- צמתים הצבועים באותו הצבע.
אם זה אחד מבין הצבעים אז יש להם איבר משותף (הצבע עצמו) ולכן אין ביניהם קשת.
ואם שניהם צבועים בצבע אז שניהם קבוצות בנות k איברים החלקיות לקבוצה שיש בה איברים, ולכן הם חולקים לפחות איבר אחד ואין ביניהם קשת.
נציג הוכחה קצרה שנתגלתה על ידי ג'ושוע גרין.
ההוכחה מבוססת על משפט לוסטרניק-שנירלמן (הנובע ממשפט בורסוק-אולם).
נסמן ב- את ספירת היחידה ה-d-ממדית (שפת הכדור ה-d+1-ממדי).
נפזר על פני הספירה n נקודות במצב כללי (אין d נקודות בקבוצה שנמצאות על על-מישור יחיד שעובר דרך הראשית; אפשר לעשות זאת למשל על ידי בחירת נקודות על היטל על הספירה של עקום המומנטים ).
לצורך ההוכחה נניח ללא הגבלת הכלליות שהצמתים של הם תתי הקבוצות מגודל k של .
את קבוצת הצמתים נסמן ב-.
תהי צביעה של ב-d צבעים .
לכל נגדיר את להיות ההמיספירה הפתוחה ש-x הוא הקוטב (במובן הגאוגרפי) שלה (באנלוגיה תלת-ממדית, ניתן לחשוב על זה כאילו השמש נמצאת בדיוק מעל הנקודה x, היא ההמספירה המוארת).
כלומר היא קבוצת הנקודות כך שבהמספירה יש k נקודות של המגדירות צומת של הגרף שצבעו i.
ברור ש- קבוצה פתוחה כי קבוצה דיסקרטית ותזוזה קטנה מספיק של ההמספירה לא תשנה את הנקודות מ-X שהיא מכילה.
זוהי קבוצת הנקודות שאין בהמיספרות שהן מגדירות k נקודות של X (שיגדירו צומת), ולא ניתן לשייכן לאף צבע.
זוהי קבוצה סגורה (כמשלים של איחוד של קבוצות פתוחות).
קיבלנו כיסוי של על ידי הקבוצות שכולן פתוחות או סגורות, ולכן לפי משפט לוסטרניק-שנירלמן קיים כך ש- מכילה זוג נקודות אנטיפודיות .
אם אז קיים צומת כך ש- וקיים צומת כך ש-, ושניהם מקיימים .
אולם (המיספרות הפוכות) ולכן , ויש ביניהם קשת, בסתירה לצביעה שלהם באותו הצבע.
כלומר אין k נקודות של X בהמיספרות .
בכל המיספירה יש נקודות לכל היותר וכל שאר הנקודות חייבות להימצא על העל-מישור שבין שתי ההמיספרות.
קיבלנו שעל העל-מישור יש לפחות נקודות.
מצד שני מהמצב הכללי ידוע שעל העל-מישור יש לכל היותר נקודות.
משפט ליוביל הוא משפט באלגברה דיפרנציאלית, הקובע תנאי הכרחי ומספיק לקיומה של פונקציה קדומה אלמנטרית לפונקציה נתונה.
את המשפט הוכיח ז'וזף ליוביל ב-1835.
מהמשפט עולות דוגמאות מפורסמות לאינטגרלים לא מסוימים שאינם פונקציות אלמנטריות, כגון פונקציית השגיאה , האינטגרל הלוגריתמי ההפוך (המוכר ממשפט המספרים הראשוניים) ו-.
פונקציה אלמנטרית היא פונקציה המתקבלת ממספר סופי של פעולות פשוטות על פונקציות בסיסיות.
פורמלית, ניתן לבנות את הפונקציות האלמנטריות באופן אלגברי כמתואר להלן.
יהי שדה עם פעולת גזירה .
השדה יחד עם הפעולה נקרא שדה דיפרנציאלי.
אוסף האיברים הוא תת-שדה של הקרוי שדה הקבועים של .
אקספוננט של איבר הוא איבר המסומן שמקיים: (זהו אנלוג אלגברי של פונקציית האקספוננט).
באופן דומה, לוגריתם של איבר הוא איבר המסומן שמקיים: (זהו אנלוג אלגברי של הלוגריתם הטבעי).
הרחבת שדות דיפרנציאלית זהה להרחבת שדות רגילה בכפוף לתנאי שהנגזרות מזדהות על השדה הקטן.
הרחבה דיפרנציאלית נקראת הרחבה אלמנטרית של אם קיימת שרשרת סופית של הרחבות כך שלכל מתקיימת אחת מהאפשרויות הבאות:
כאשר a אלגברי מעל .
יהי ותהי הרחבה אלמנטרית כך ש-, וכן קיים המקיים .
אזי קיימים קבועים ואיברים כך שמתקיים:
במילים אחרות, לכל איבר בשדה דיפרנציאלי עם קדומה אלמנטרית יש קדומה בשדה, עד כדי סכום של מספר סופי של לוגריתמים.
באלגברה מופשטת, משפט לי קובע כי כל האיברים של תת-אלגברת לי פתירה של אלגברת האנדומורפיזמים ניתנים להצגה בבסיס מסוים למטריצות משולשיות עליונות.
תהי תת-אלגברת לי פתירה של אלגברת האנדומורפיזמים עבור מרחב וקטורי מממד סופי, מעל שדה סגור אלגברית ובעל מאפיין אפס.
אז כל איבר ב- ניתן להציג לפי בסיס מסוים בתור מטריצה משולשית עליונה.
מהמשפט ניתן להסיק כי אם פתירה, יש שרשרת אידיאלים , כך ש-.
כתוצאה מכך, יחד עם משפט אנגל, נובע אם אלגברת לי פתירה, אז נילפוטנטית.
קל לראות שגם ההפך נכון, ולכן פתירה אם ורק אם נילפוטנטית.
באנליזה מרוכבת, משפט מונטל הוא משפט המספק תנאי הכרחי לקיום תת-סדרת פונקציות הולומורפיות וחסומות המתכנסת במידה שווה על תתי קבוצות קומפקטיות.
באופן שקול, המשפט קובע כי משפחת פונקציות הולומורפיות חסומות מקומית היא נורמלית.
זהו משפט יסודי באנליזה מרוכבת, המשמש כלי להוכחת טענות ומשפטים בתחום, כמו משפט ההעתקה של רימן.
המשפט נקרא על שמו של המתמטיקאי הצרפתי פאול מונטל, שעסק בעיקר בתורת הפונקציות ההולומורפיות.
יהי תחום פתוח וקשיר במישור המרוכב.
תהי סדרת פונקציות הולומורפיות וחסומות.
אז קיימת תת-סדרה המתכנסת במידה שווה על כל תת-קבוצה קומפקטית .
בשפה של משפחות פונקציות נורמליות, הטענה אומרת שמשפחת הפונקציות החסומות היא נורמלית.
למעשה, מספיק לדרוש חסימות מקומית על כל תת-קבוצה קומפקטית והמשפט עדיין יהיה נכון.
פורמלית, בתנאים הנ"ל, במקום להניח חסימות גלובלית, מספיק להניח שלכל קומפקטית קיים חסם לפונקציות על קבוצה זו.
משפט ויטלי הוא משפט בעל אופי דומה למשפט מונטל, ולמעשה שקול לו.
נניח ש- סדרת פונקציות הולומורפיות וחסומות, וקיימת סדרה המתכנסת לגבול .
אם סדרת הפונקציות מתכנסת על הסדרה הנ"ל, אז קיימת עבורה תת-סדרה המתכנסת במידה שווה על כל תת-קבוצה קומפקטית.
משפט מונטל טוען בפרט שאוסף הפונקציות החסומות (באחידות) בתחום קומפקטי הוא קומפקטי סדרתית.
היות שזהו מרחב מטרי, נובע שהוא גם קומפקטי.
מרחבי פונקציות המקיימים את משפט מונטל נקראים מרחבי מונטל.
מרחבי מונטל הם מרחבים וקטוריים טופולוגיים בהם כל תת-קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית.
הם גם מקיימים את תכונת היינה בורל.
משפט לוזין מבטא עיקרון יסודי באנליזה פונקציונלית, לפיו כל פונקציה מדידה לבג, במונחי תורת המידה היא כמעט פונקציה רציפה.
כלומר כל פונקציה מדידה קרובה להיות פונקציה רציפה במובן של קירוב שיתואר בהמשך.
את המשפט הוכיח המתמטיקאי הרוסי ניקולאי לוזין בשנת 1912.
אזי לכל קיימת קבוצה סגורה המקיימת (כאשר היא מידת לבג), כך שעל הפונקציה שווה כמעט תמיד לפונקציה רציפה.
הערה: ניתן להשתמש במשפט ההרחבה של טיצה כדי להרחיב את הפונקציה להיות פונקציה רציפה המוגדרת על כל .
בוודאי מתקיים , ומהיות בעל מידת לבג סופית נובע כי .
נקבע שעבורו , כלומר לכל מתקיים .
כל פונקציה מדידה וחסומה על קטע סופי היא אינטגרבילית לבג, ולכן .
מרחב הפונקציות הרציפות צפוף ב-, ולכן היא גבול של פונקציות רציפות בנורמת .
ידוע שלכל סדרה המתכנסת ב- קיימת תת-סדרה המתכנסת כמעט תמיד, לכן היא גבול כמעט תמיד של פונקציות רציפות.
ממשפט אגורוף יש קבוצה מדידה המקיימת , כך שעל ההתכנסות כמעט תמיד ל- היא התכנסות במידה שווה.
מרגולריות מידת לבג יש קבוצה קומפקטית המקיימת .
גבול במידה שווה של פונקציות רציפות על קבוצה קומפקטית הוא פונקציה רציפה, ולכן רציפה.
זו הקבוצה המבוקשת, כי .
קיימת גרסה כללית יותר למשפט: יהי מרחב מידה כאשר היא מידת רדון.
יהי גם מרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה, היוצר מרחב מדיד עם סיגמא אלגברת בורל שלו, ותהי .
לכל , לכל קבוצה מדידה בעלת מידה סופית קיימת קבוצה מדידה המוכלת ב-, כך שמתקיים , כך שעל הקבוצה הפונקציה רציפה.
בנוסף, אם הקבוצה קומפקטית מקומית, אז ניתן לבחור את הנ"ל שתהיה קומפקטית, ובמקרה זה קיימת פונקציה רציפה בעלת תומך קומפקטי המקיימת .
בתורת השדות, משפט לורות (Lüroth's theorem), הנקרא על שם המתמטיקאי יאקוב לורות, קובע כי שדה ביניים של הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1 אף הוא שדה הרחבה טרנסצנדנטי מדרגה 1. לורות הוכיח את הטענה בשנת 1876.
יהי שדה ותהי שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד, כלומר הרחבה טרנסצנדנטית מדרגה 1. אזי כל שדה ביניים ממש מהווה אף הוא הרחבה טרנסצנדנטית (מדרגה 1) – קיימת פונקציה רציונלית כך ש-.
ההוכחה הקלאסית, בעזרת תורת השדות בלבד, משתמשת בלמה של גאוס.
הוכחות מודרניות ופשוטות יותר נתונות בעזרת עקומים גאומטריים.
טענה בעלת אופי דומה הוכחה על ידי Hartshorne : אם שדה סגור אלגברית ו- מהווה הרחבה ספרבילית סופית מעל שדה ביניים , אז הרחבה טרנסצנדנטית מעל .
הטענה לא נשארת נכונה כאשר ההרחבה לא ספרבילית, וגם לא ביותר משתנים.
משפט כהן הוא ספר שאלות ותשובות בנושאי מצוות התלויות בארץ, הלכות בניין בית המקדש, הלכות סנהדרין, הלכות קורבנות והלכות מלכים שחיבר הרב אברהם יצחק הכהן קוק.
הספר נערך על ידי הרב צבי יהודה הכהן קוק ויצא לאור לראשונה כשנה לאחר פטירתו של הרב אברהם יצחק הכהן קוק על ידי "האגודה להוצאת ספרי הראי"ה קוק", ירושלים י"ט באב תרצ"ז.
היה זה הספר הראשון שהוציאה האגודה מתוך תוכנית להוציא כ-30 ספרים של הרב קוק, מתוך כוונה להדגיש את היותו של הרב קוק בראש ובראשונה איש הלכה.
בשנת תשכ"ו-1966 הוציא מוסד הרב קוק מהדורה נוספת עם הגהות ותיקונים שנתווספו על ידי הרצי"ה קוק.
בסוף הספר מובאות אלפי הערות הלכתיות של בנו הרצי"ה קוק.
היתר בענייני כלאיים, זרעי אילנות ממינים שונים מותר לזרוע יחד אף לדעת הראב"ד, סימן כד.
תשובה על היתר המכירה, סימן סב.
התיר לשלב אוצר בית דין עם היתר המכירה, למרות הסתירה שיש ביניהם לכאורה, סי' עו (וכן כתב באגרות הראי"ה עמ' שיג-שיד).
אין לזרוק שיירי פירות שביעית לפח, סי' פג.
בניית בית המקדש והקרבת קרבנות כולן עוד לפני ביאת המשיח, סימן צ"ד .
איסור כניסה למקום המקדש, סי' צ"ו.
סיכון עצמי למען כלל ישראל, סימן קמב.
מלחמת מצווה בזמן הזה וההשלכות ההלכתיות של המושג עבירה לשמה, סימן קמד.
דינא דמלכותא דינא והלכות מדינה - בתשובה קמד מחדש הרב שכשאין מלך בישראל סמכויות המלך עוברות לציבור: .
יציאה לחוץ לארץ לקברות צדיקים, סי' קמז.
בגאומטריה, משפט לז'נדר על משולשים כדוריים, שנקרא על שם אדריאן-מארי לז'נדר, מנוסח כדלהלן:
יהי ABC משולש כדורי על ספירת היחידה בעל צלעות קטנות a,b,c.
יהי A'B'C' המשולש המישורי בעל אותן הצלעות.
אז המשפט קובע שהזוויות של המשולש הכדורי עולות על הזוויות המתאימות של המשולש המישורי בזווית זהה בקירוב, ששווה לשליש ההפרש הזוויתי בין סכום הזוויות של המשולש הכדורי ל-π.
המשפט היה חשוב מאוד בפישוט החישובים הנומריים הסבוכים שנדרשו כדי לבצע סקרים גאודזיים מסורתיים (בעידן שלפני ה-GPS והמחשב) מבערך 1800 עד לאמצע המאה המאה ה-20.
לז'נדר לא היה הראשון לקבוע את המשפט, אולם היה הראשון לתת לו הוכחה, ב-1798.
משפט ז'יראר קובע שהסטייה הזוויתית של משולש כדורי, E, שווה לשטח שלו Δ, ולפיכך משפט לז'נדר ניתן לקביעה באופן הבא:
הסטייה הזוויתית, או השטח, של משולשים קטנים כאלה היא קטנה מאוד.
לשם דוגמה נתייחס למשולש שווה-צלעות עם אורך צלע של 60km על פני ארץ כדורית בעלת רדיוס 6,371km; הצלע מתאימה למרווח זוויתי של 0.0094 = 60/6371, או בערך 10−2 רדיאנים (זווית מרכזית של 0.57°).
השטח של משולש כדורי כזה מקורב היטב עם זה של משולש מישורי עם אותן צלעות:
כאשר אורכי הצלעות של המשולש עולים על 180km, הקשרים בין השטחים להבדלי הזוויות חייבים להיות מתוקנים על ידי איברים מסדר גבוה יותר:
(כאשר Δ′ הוא שטח המשולש המישורי).
תוצאה זאת הוכחה על ידי Buzengeiger ב-1818.
ניתן להכליל את המשפט לאליפסואיד כאשר a,b,c מחושבים על ידי חלוקת האורך האמיתי שלהן בשורש הריבועי של מכפלת רדיוסי העקמומיות הראשיים בנקודות מסוימות על הצלעות (במקום הרדיוס הכדורי).
גאוס (1828, מאמרים 26-28) סיפק נוסחאות מדויקות במקרה זה.
באותו חיבור, גאוס סיפק את ההכללה הבאה של משפט לז'נדר:
עבור משולש גיאודזי על משטח שרירותי מתקיים:
כאשר הם הערכים של עקמומיות גאוס של המשטח בקודקודי המשולש A,B,C בהתאמה, ו- הוא שטח המשולש.
בתורת המספרים, משפט לגראנז' על קונגרואנציות פולינומיות (על שם המתמטיקאי והאסטרונום האיטלקי ז'וזף לואי לגראנז') נותן חסם עליון לשכיחות שבה פולינום במקדמים שלמים עשוי לקבל ערכים שהם כפולות של מספר ראשוני נתון.
יהי מספר ראשוני ויהי פולינום במקדמים שלמים.
כל מקדמי הפולינום מתחלקים ב-.
לקונגרואנציה לכל היותר פתרונות שונים מודולו .
אם הקונגרואנציה הפולינומית מחושבת מודולו מספר פריק, אז ייתכן שיהיו לה יותר מ- פתרונות.
עבור נקבל פולינום ליניארי .
לקונגרואנציה ליניארית קיים פתרון מודולו אם ורק אם , כאשר – ובמקרה זה זהו גם מספר הפתרונות השונים מודולו .
אם : לקונגרואנציה פתרון יחיד מודולו .
אם : אם אזי מתקיימת האפשרות הראשונה, ואם אזי לקונגרואנציה אין פתרון.
נניח כי לכל פולינום ממעלה ישנם לכל היותר פתרונות שונים מודולו .
לקונגרואנציה לפחות פתרון אחד .
אזי נקבל , כאשר פולינום ממעלה .
כל פתרון אחר מקיים , כלומר .
מהנחת האינדוקציה, לקונגרואנציה לכל היותר פתרונות שונים מודולו .
לכן לקונגרואנציה לכל היותר פתרונות שונים מודולו .
הערה: המשפט אינו נכון באופן כללי כאשר הקונגרואנציות מחושבות ביחס למספר פריק.
כדוגמה מספרית ניקח את .
זוהי קונגרואנציה ממעלה 2, אך עם זאת יש לה 4 פתרונות לא שקולים, שהם 7, 5, 3, 1 מודולו 8.
במכניקה המילטונית ובמכניקה ססטיסטית, משפט ליוביל, הנקרא על שמו של ז'וזף ליוביל, מתאר את ההתנהגות של מערכת פיזיקלית במרחב הפאזה.
משפט זה, בניסוחים שקולים, טוען שהנפח במרחב הפאזה נשמר תחת טרנספורמציות קנוניות, וכן שפונקציית צפיפות ההסתברות במרחב הפאזה נשארת קבועה עבור כל מסלול בו.
תוצאה זו מצדיקה את ההנחה היסודית של המכניקה הסטטיסטית שטוענת כי במערכת סגורה כל המצבים המיקרוסקופיים הזמינים הם שווי-הסתברות.
במערכת פיזיקאלית המתוארת על ידי קואורדינטות מוכללות , מרחב הפאזה הוא מרחב בעל ממדים - מימד אחד לכל קואורדינטה מוכללת ומימד אחד לכל תנע הצמוד לקואורדינטה מוכללת: , כאשר הלגראנז'יאן של המערכת.
כל נקודה במרחב הפאזה מייצגת מצב מוגדר מסוים של המערכת, וכאשר המערכת נעה הנקודה המתאימה לכל מצב מגדירה עקומה הנקראת מסלול הפאזה.
אלמנט נפח אינפיניטסימלי במרחב הפאזה ניתן לרשום כ-, ולכן נפח מסוים במרחב הפאזה, היכול לייצג קונפיגורציות של מערכת מרובת חלקיקים (צבר) הוא .
משפט ליוביל טוען שהנפח אינווריאנטי תחת טרנספורמציות קנוניות.
טרנספורמציה קנונית מעבירה את הקוארינטות והתנעים המוכללים לקואורדינטות ותנעים מוכללים חדשים באופן שמשמר את משוואות המילטון.
בפרט, מכיוון שהתקדמות בזמן - מעבר מהקואורדינטות לערכיהן לאחר זמן : - היא טרנספורמציה קנונית, ניתן לראות שהנפח במרחב הפאזה נשמר בזמן.
רוצים להראות שהנפח במונחי הקואורדינטות הקודמות זהה לנפח במונחי הקואורדינטות החדשות .
ניתן להעביר את האינטגרל השני להיות אינטגרל במונחי הקואורדינטות הישנות בעזרת היעקוביאן:
, ולכן נותר רק להראות שהיעקוביאן הוא 1.
נשתמש בכללים של יעקוביאנים כדי לקבל: .
כל טרנספורמציה קנונית ניתן לרשום במונחי פונקציה יוצרת כלשהי, למשל כך שהקואורדינטות האחרות מתקבלות ממנה: .
לכן האיבר בדטרמיננטה שבמונה בשורה ה- ובעמודה ה- הוא .
האיבר ה- בדטרמיננטה שבמכנה הוא , כלומר היעקוביאן שבמכנה הוא שחלוף של זה שבמונה, ולכן הדטרמיננטות שלהם זהות.
קיבלנו כי ולכן הנפחים שווים.
עבור צבר של מצבים שונים של מערכת פיזיקלית מסוימת, נגדיר את פונקציית צפיפות ההסתברות במרחב הפאזה כך ש- היא ההסתברות למצוא את המערכת במצב מסוים שנמצא באלמנט הנפח .
מכיוון שהתקדמות בזמן היא טרנספורמציה קנונית, והנפח במרחב הפאזה קבוע תחת טרנספורמציות קנוניות, נקבל כי הנפח שתופסים מספר מצבים במרחב הפאזה, המתפתחים בזמן באופן קלאסי (על-פי משוואות המילטון) נשמר בזמן, ולכן צפיפות ההסתברות לאורך מסלול ההתפתחות בזמן, גם היא קבועה בזמן:
כאשר ההמילטוניאן, סוגרי פואסון, והקשר ידוע ממכינקה המילטונית.
זוהי משוואת ליוביל המתארת את התפתחות צפיפות ההסתברות במרחב הפאזה בזמן.
למשוואה זו, הנכונה למכניקה הקלאסית הנשלטת על-ידי משוואות המילטון, יש מקבילה במכניקת הקוונטים, משוואת פון-נוימן:
עבור מערכות שנמצאות בשיווי משקל, צפיפות ההסתברות אינה תלויה מפורשות בזמן: .
במקרה זה, משוואת ליוביל הופכת להיות:
פתרון כללי לכך הוא שצפיפות ההסתברות היא פונקציה של ההמילטוניאן:
במכניקה סטטיסטית, פונקציית צפיפות זאת מתארת את ההסתברויות השונות למצוא את המערכת במצב מסוים בצבר כלשהו.
במערכת הסגורה, האנרגיה קבועה ולכן ההמילטוניאן יכול להיות שווה רק לערך כלשהו, .
לפיכך, צפיפות ההסתברות גם היא קבועה עבור המצבים הזמינים (אלה הנותנים את אותה האנרגיה):
, וכאשר המצבים בדידים ההסתברות זהה לכל המצבים הזמינים: , זוהי פונקציית ההסתברות בצבר המיקרוקנוני שמראה את ההנחה היסודית של המכניקה הסטטיסטית - בשיווי משקל במערכת סגורה כל המצבים הזמינים הם שווי הסתברות.
בגאומטריה כדורית, משפט לקסל הוא תוצאה המאפיינת את המקום הגאומטרי של קודקודי כל המשולשים הכדוריים בעלי בסיס ושטח קבועים.
המשפט נקרא על שם המתמטיקאי הפיני-שוודי אנדרס יוהאן לקסל שפעל ברוסיה, מחשובי מפתחי הטריגונומטריה והגאומטריה הכדורית במאה ה-18.
לקסל הציג את המשפט שלו כדוגמה לטענה לא טריוויאלית על עקומים על גבי ספירה דו-ממדית (טענה על מקום גאומטרי), האנלוגית באופן חלקי לטענות 37 ו-39 בספר הראשון של יסודות של אוקלידס.
בגאומטריה אוקלידית דו-ממדית (מישורית), בהינתן צלע אחת (נניח AB) של משולש, המקום הגאומטרי של כל הנקודות C כך שלמשולש ABC יהיה שטח השווה לערך נתון מסוים הוא זוג ישרים המקבילים לצלע הבסיס (AB), והנמצאים במרחק ממנה הנקבע על פי היחס בין שטח המשולש לאורכה.
משפט לקסל מספק את התשובה לשאלה הזהה עבור המקרה של משולשים כדורים; במקרה זה, המקום הגאומטרי של C יהיה מעגל קטן מסוים, שאינו מצוי במרחק קבוע מן המעגל הגדול שעליו מונחת צלע הבסיס.
המשפט משך תשומת לב מסוימת מכמה מהמתמטיקאים הגדולים של המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19, ביניהם לאונרד אוילר, יאקוב שטיינר, קרל פרידריך גאוס וניקולאי לובצ'בסקי, כולם מתוך שאיפה לפשט במקצת את הטיעון המקורי של לקסל, שעשה שימוש נרחב בנוסחאות מסוימות של טריגונומטריה כדורית הנקראות אנלוגיות נייפייר.
לובצ'בסקי אף חקר שאלה זהה עבור המישור ההיפרבולי, וגילה שבמקרה זה המקום הגאומטרי המתקבל הוא היפר-מעגל (hypercycle).
בהינתן בסיס קבוע , שהוא קשת של מעגל גדול על הספירה, ושתי נקודות קצה ו- המצויות באותו צד של המעגל הגדול , משפט לקסל קובע כי השטח של המשולש הכדורי שווה לשטחו של אם ורק אם נחה על המעגל הקטן כאשר ו- הן הנקודות האנטיפודיות ל- ו-, בהתאמה.
כאנלוג אחד לנוסחה המישורית עבור שטח של משולש, העודף הזוויתי הכדורי (לפי משפט ז'יראר, העודף הזוויתי הכדורי יחסי לשטח המשולש הכדורי) של המשולש הכדורי ניתן לחישוב במונחי הבסיס (האורך הזוויתי של הקשת AB) וה"גובה" (המוגדר כמרחק הזוויתי בין המעגלים הקטנים המקבילים ו-):
בגבול של משולשים כדוריים בעלי גובה ובסיס הקטנים בהרבה מרדיוס הספירה, נוסחה זאת הופכת לנוסחה המישורית.
המעגלים הקטנים ו- חותכים כל אחד את המעגל הגדול בזווית של .
ישנן מספר דרכים להוכיח את משפט לקסל, כשכל אחת שופכת אור על היבט אחר במערכת הקשרים שמתקיימת.
באיור, הנקודות ו- נמצאות בצד המרוחק של הספירה כדי שניתן יהיה לראות בבירור את הנקודות האנטיפודיות שלהן כמו גם את כל מעגל לקסל (המעגל החוסם את המשולש הוא למעשה המעגל הקטן מניסוח המשפט).
נסמן את זוויות הבסיס של המשולשים שווי השוקיים (המודגש באדום באיור), (בכחול) ו- (בסגול) ב- , ו-, בהתאמה.
ניתן לחשב את הזוויות הפנימיות של המשולש (בכתום) במונחי הזוויות האלו: (הזווית המשלימה של ) ובדומה לכך ולבסוף .
העודף הזוויתי של הוא לפיכך:
לפי משפט ז'יראר, עודף זוויתי זה שווה לשטח המשולש הכדורי (על ספירת היחידה).
לפיכך, כל עוד הבסיס קבוע, עבור כל קודקוד שלישי הנופל על מעגל לקסל, הנקודה ולפיכך גם הזווית לא ישתנו, וכך גם העודף הזוויתי של אשר תלוי רק בגודל , שהוא קבוע.
לפיכך קיבלנו שהמקום הגאומטרי של כל הקודקודים המקיימים שלמשולש שטח קבוע הוא המעגל הקטן .
הוכחה העושה שימוש במעגל האמצעים של המשולש הכדורי ניתנה על ידי קרל פרידריך גאוס ב-1841, והיא מתאפיינת בבהירות ויזואלית רבה יותר.
במסגרת ההוכחה, בונים את מרובע סאקרי (מרובע עם שתי זוויות סמוכות ישרות ושתי זוויות נוספות השוות זו לזו) הנוצר בין הבסיס של המשולש וההטלה האורתוגונלית שלו על מעגל האמצעים , אשר יש לו אותו שטח כמו למשולש.
יהי המעגל הגדול העובר דרך נקודות האמצע של ו- של , ויהיו
, ו- עקבי הגבהים המורדים מקודקודי המשולש אל .
לצמד המשולשים ישרי הזווית ו- שנוצרים (באדום מוצלל) יש זוויות שוות ב- (זוויות קודקודיות) ויתרים שווים, כך שהם חופפים; כך גם המשולשים ו- (בכחול).
בפרט, מכיוון שמהחפיפה נובע ש- ו- שווים שניהם ל-, מקבלים שהמרובע הוא אכן מרובע סאקרי.
לפיכך, השטח של המשולש שווה לשטחו של מרובע סאקרי , שכן שניהם מורכבים ממשולש אדום אחד, משולש כחול אחד, ומהמרובע הירוק המשותף לשניהם.
מכיוון שהמעגל הגדול , ולפיכך גם המרובע , אינו משתנה תחת כל בחירה של על מעגל לקסל - הנבנה כמעגל הקטן המצוי במרחק זוויתי קבוע מן המעגל הגדול - שטח המשולש המתאים נשאר קבוע.
ההטלה הסטריאוגרפית מעתיקה את הספירה הדו-ממדית למישור.
מעגל גדול יועתק למעגל במישור, בעוד ששני הקטבים יועתקו לראשית ולנקודה באינסוף.
כל מעגל על הספירה יועתק למעגל או ישר (מעגל מוכלל) במישור, כשקווים ישרים אינסופיים ייצגו מעגלים גדולים העוברים דרך הקוטב המועתק לנקודה באינסוף.
ההטלה הסטריאוגרפית היא קונפורמית, כלומר היא משמרת זוויות בין עקומים.
כדי להוכיח קשרים גאומטריים על משולש כדורי כללי , ניתן להניח בלי הגבלת הכלליות שקודקוד הוא הנקודה המועתקת לראשית המישור.
תחת הנחה זו, צלעות המשולש הכדורי יועתקו לשני קטעים ישרים (המייצגים את שני הצלעות הנפגשות בקודקוד ) ולקשת מעגלית.
מכיוון שההטלה הסטריאוגרפית משמרת זוויות נקבל שאם המשיקים לקשת המעגלית בשני הקודקודים האחרים נחתכים בנקודה , ייווצר מרובע מישורי , אשר הזווית החיצונית לו בקודקוד היא העודף הזוויתי של המשולש הכדורי.
כעת, יהי הנקודה במישור ההטלה שהיא מרכז הקשת המעגלית אשר אליה מועתקת הצלע .
למרובע יש שתי זוויות ישרות, כך שהזווית המרכזית שווה לזווית החיצונית ב-, שהיא כאמור גם העודף הזוויתי של המשולש .
הזווית המישורית היא זווית היקפית הנמתחת על ידי אותה קשת, כך שלפי משפט הזווית ההיקפית גודלה הוא .
קשר זה נשמר עבור כל בחירה של ; לפיכך, העודף הזוויתי של המשולש נשמר כל עוד נשאר על מעגל לקסל , אשר מועתק לישר (אינסופי) דרך במישור ההטלה.
בתורת ההסתברות, משפט לה קם (Le Cam's theorem) עוסק בקירוב של סכום משתנים מקריים בלתי תלויים בעלי התפלגות ברנולי באמצעות התפלגות פואסון.
תחת תנאים מסוימים, המשפט לא רק מציין שיש קירוב בין שתי ההתפלגויות, אלא גם מספק חסם מפורש ל"מרחק" בין התפלגויות אלו.
חישוב החסם, שהוא חישוב פשוט, מראה כי המרחק בין ההתפלגויות הללו שואף לאפס כאשר מספר המשתנים גדל, במיוחד כאשר ההסתברויות להצלחה של המשתנים קטנות.
בכך, משפט לה קם מעניק כלי כמותי המאפשר להעריך מתי ניתן להחליף חישובים מסובכים המבוססים על סכום משתנים מקריים ברנוליים, בחישוב פשוט בהרבה על ידי התפלגות פואסון המתאימה.
המשפט נקרא על שמו של לוסיאן לה קם , אשר פרסם את התוצאה בשנת 1960.
תהי סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים המקיימים את התנאים הבאים:
(כלומר מתפלג לפי התפלגות בינומית של פואסון)
במילים אחרות, הסכום מקורב בהתפלגותו להתפלגות פואסון, ואי-השוויון לעיל מספק חסם לשגיאת הקירוב במונחי מרחק השונות הכוללת .
מרחק השונות הכוללת מבטא את הכמות המרבית של מסה הסתברותית שיש להעביר מהתפלגות אחת לאחרת כדי להפוך אותן לזהות.
ערך זה נע בין 0 ל-1, כאשר 0 מציין זהות מוחלטת בין ההתפלגויות ו-1 מציין שהן אינן חופפות כלל.
למעשה, מרחק זה מספק מדד כמותי להערכת איכות הקירוב של התפלגות אחת לאחרת.
כאשר גדול, ניתן לקבל חסם טוב יותר: , כאשר מייצג את אופרטור המינימום.
משפט לה קם ומשפט הגבול המרכזי (CLT) עוסקים שניהם בקירוב של התפלגויות, אך יש ביניהם הבדלים מהותיים.
משפט הגבול המרכזי קובע כי סכום של משתנים מקריים בלתי תלויים וזהים בסוג התפלגותם (אך לאו דווקא בעלי אותם תוחלת ושונות), מתכנס בהתפלגות להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, כאשר מספר המשתנים המקריים שואף לאינסוף.
משפט הגבול המרכזי מתאים במיוחד למקרים שבהם לכל משתנה יש השפעה זניחה על הסכום הכולל.
משפט לה קם, לעומת זאת, מתמקד בקירוב של סכום של משתנים מקריים ברנוליים בלתי תלויים באמצעות התפלגות פואסון.
המשפט מספק חסם מדויק על שגיאת הקירוב במדד של מרחק השונות הכולל, ואינו מדבר על התכנסות של התפלגות אחת לאחרת.
הקירוב של לה קם רלוונטי למצבים בהם כל משתנה ברנולי מייצג אירוע יחסית נדיר, אך מספר האירועים האפשריים גדול.
ההבדל ממשפט הגבול של פואסון
משפט הגבול של פואסון, הידוע גם בשם "חוק האירועים הנדירים", קובע שהתפלגות פואסון מתארת את מספר הפעמים שאירוע נדיר מתרחש בתהליך המורכב ממספר רב של ניסיונות בלתי תלויים, כאשר ההסתברות להצלחה בכל ניסוי בודד היא קטנה.
למעשה, עבור סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים המקיימים את התנאים הבאים:
היא סדרת מספרים ממשיים המקיימת כאשר שואף לאינסוף
מתקיים ש שואף בהתפלגות למשתנה מקרי פואסון עם פרמטר .
בעוד שמשפט הגבול של פואסון מדבר על התכנסות בהתפלגות, משפט לה קם מוצא חסם לשגיאת הקירוב.
כלומר, אם מעבר לידיעה של התכנסות בהתפלגות אנו מעוניינים בחסם לשגיאת הקירוב, הרי שמשפט לה קם מספק לנו אותו.
במשפט לה קם, על ידי הצבת נקבל את התנאים של משפט הגבול של פואסון.
משפט הגבול של פואסון הוא מקרה פרטי של משפט לה קם.
הערכת מספר הפגמים ביצור באמצעות משפט לה קם (הסתברויות זהות)
דוגמה לשימוש במשפט לה קם היא בהערכת מספר טעויות או פגמים בייצור.
ישנו תהליך ייצור שבו כל פריט שמיוצר יכול להיות פגום בהסתברות קטנה.
כל פריט הוא משתנה מקרי המסומן ב כאשר
כל פריט יכול להיות פגום בהסתברות .
כלומר, לכל פריט מתקיים זו ההסתברות להצלחה ("הצלחה"=פגם ביצור)
מסמן את מספר הפגמים הכולל ב- פריטים בתהליך יצור מסוים.
מעוניינים להעריך את ההתפלגות של כאשר גדול מאוד.
על פי משפט לה קם, במקרה הזה, כאשר מספר הפריטים
גדל מאוד, ההתפלגות של מספר הפגמים מתקרבת להתפלגות פואסון עם פרמטר .
כלומר, מספר הפגמים מתוך פריטים, כאשר גדול מאוד, יתפלג בקירוב לפי פואסון עם פרמטר , והמרחק בין ההתפלגות האמיתית לפואסון יהיה קטן מאוד (בהתאם למרחק השונות הכוללת).
באמצעות הקירוב הזה, ניתן להעריך את הסיכוי למספר מסוים של פגמים בתהליך, ולתכנן מראש את הצעדים הנדרשים כדי לשפר את איכות המוצרים.
הערכת מספר קריאות החירום בפסטיבל (הסתברויות שונות)
נניח שבמהלך אירוע גדול כמו פסטיבל עירוני ניתן לדווח על בעיה (כמו עומס, אובדן חפצים, עימותים קטנים וכו') באמצעות אפליקציה ייעודית.
לכל אחד מ־100 האזורים בפסטיבל (מתחם הופעות, דוכני מזון, שירותים, כניסות וכו') מוצב עובד שמתצפת ומחליט האם לשלוח דיווח על בעיה באזורו.
מכיוון שרוב הזמן העניינים מתנהלים כשורה, ההסתברות שכל אחד מהעובדים ידווח על תקלה כלשהי ביום נתון היא קטנה – אך היא שונה מאזור לאזור: במתחם ההופעות הסיכוי גבוה יותר (נגיד 5%), ואילו באזורים פחות עמוסים כמו מתחמי מנוחה ההסתברות נמוכה מאוד (נגיד 0.1%).
באמצעות קוד מחשב פשוט הוגרלו 100 הסתברויות שונות בתחום .
חישוב סכום ההסתברויות נתן , וחסם לה קם המחושב עבורן הוא 0.16. ערך אגף שמאל של אי־השוויון (מרחק השונות הכוללת בין ההתפלגות הבינומית לפואסון) נמצא כ־0.006. כלומר, משפט לה קם מתקיים בדוגמה זו, ואף מעבר לכך – ההפרש בין ההתפלגויות זניח.
הדבר ממחיש שבמקום לחשב באמצעות קוד את ההסתברות לקבל קריאות ביום, ניתן להשתמש בקירוב האנליטי הפשוט של התפלגות פואסון (כלומר בפונקציית ההסתברות של מ"מ פואסון עבור ), ולקבל תוצאה קרובה מאוד לערך המדויק שהיה מתקבל מההתפלגות הבינומית.
בגרפים המצורפים ניתן להבחין בשני מאפיינים בולטים ככל שמספר המשתנים המקריים גדל: ראשית, מרחק השונות הכוללת שואף לאפס.
שנית, החסם על מרחק זה נעשה הדוק יותר.
המגמה הראשונה אינה מפתיעה — ככל שמספר המשתנים המקריים גדל, ההתפלגויות מתקרבות זו לזו, כמצופה ממשפט הגבול של פואסון.
גם המגמה השנייה צפויה: מבחינה מתמטית, ככל ש־ גדל, ערך החסם () קטן, כך שהפער המקסימלי המובטח בין ההתפלגויות מצטמצם.
מבחינה רעיונית, משפט לה קם יעיל במיוחד כאשר ערכו של קטן; מאחר ש־ קטן ככל ש־ גדל, מתקבל חסם משופר וקירוב טוב יותר בין התפלגות הסכום והתפלגות פואסון.
בהתאם לאופיין של טענות הסתברותיות, ככל שמספר המשתנים המקריים גדל — כך חוזקה של הטענה מתעצם.
משפט כריך החזיר הוא משפט בעל שימושים בטופולוגיה, קומבינטוריקה ותורת המידה.
המשפט נוסח על ידי הוגו שטיינהאוס והוכח על ידי סטפן בנך.
שמו של המשפט מגיע מהניסוח הציורי הבא: "ישנו כריך עם בשר חזיר (ham sandwich) במרחב ה-d ממדי בעל d מילויים שונים.
אז ניתן לחתוך אותו בסכין ישרה כך שכל אחד מהמילויים מתחלק שווה בשווה בין הצדדים".
עבור d=2 הוא לעיתים מכונה "משפט הפנקייק".
שמות נוספים הם "משפט הלחם, חזיר וגבינה" ( bread and cheese and ham) ו"משפט סטון-טוקי".
יהיו קבוצות במרחב ה־d ממדי מנפח סופי.
בהינתן על מישור H מהצורה , נגדיר (יש לשים לב שהגדרות אלה שרירותיות ותלויות בבחירת u; עם זאת, המשפט סימטרי ביחס אליהן, אז זה בסדר).
המשפט קובע שקיים על-מישור H מממד d-1 כך שלכל i, הנפח של הקבוצות זהה.
במקרה d=2 אפשר להוכיח באופן הבא: יהיו A,B קבוצות במישור עם נפח סופי.
אז לכל כיוון של ישר, אם מרימים אותו מספיק יהיה מצד אחד יותר מחצי מ-A, ואם מורידים אותו מספיק, יהיה באותו צד פחות מחצי.
ממשפט ערך הביניים יש הזזה בה כל צד הוא בדיוק חצי.
כעת נבחר כיוון שרירותי כלשהו, נמצא את ההזזה בה הוא חותך את A לשני חלקים שווים, ונבדוק מה הוא עושה ל-B.
אם הוא חותך אותה לחלקים שווים, סיימנו.
אם לא, נתחיל לסובב אותו ותוך כדי נזיז אותו כדי שימשיך לחתוך את A לשני חלקים שווים.
אחרי סיבוב של 180 מעלות, נקבל את אותו ישר שהתחלנו ממנו אך חלקי B נמצאים בצדדים ההפוכים (כלומר אם קוראים לאחד הצדדים שרירותית "מעל הישר" ולשני "מתחת", אז אחרי הסיבוב מה שהיה מעל הישר כעת מתחתיו וההפך).
אם נגדיר את הפוקנציה f לקבל כיוון ולהחזיר את (כאשר היא פונקציית השטח ו- הם חצאי המישור הנקבעים על ידי H), נקבל ש-f חיובית בנקודת ההתחלה ושלילית בנקודת הסוף.
יתרה מכך, ניתן לבחור את ההזזות כך ש-f תהיה רציפה (זאת טענה ברורה אינטואיטיבית אך מעצבנת להוכחה טכנית ועל כן נוהגים להוכיח אותה ב"קל לראות").
לכן, ממשפט ערך הביניים יש נקודה בה היא מתאפסת, ואז .
כמו כן מההגדרה גם כרצוי.
בהינתן כיוון u (כלומר וקטור כך ש-, נסמן ב- את העל מישור שמאונך לו (פורמלית, ) כמו כן, .
ניתן לראות ש וכן (כלומר, היפוך הווקטור משמר את H אך מחליף את צדדיו).
נגדיר פונקציה (כאשר זאת הספירה ה-d ממדית) בצורה הבאה: ראשית לכל נגדיר .
אז f רציפה, וכן (משום שהוא מחליף בין ל-.
ממשפט בורסק אולם יש u שבו f(u)=0, ואז הוא העל מישור הרצוי.
באופן כללי יותר, אם מידות בורל במרחב ה-d ממדי כך ש- סופי לכל i וכן לכל היפר מישור H, אז קיים היפר מישור H כך שלכל i, מתקיים .
הכללה אחרת היא החלפת המישור ביריעה אלגברית.
אם p פולינום ב-d משתנים מדרגה עד k, נגדיר .
אז עבור , לכל סופיות ו-0 על קבוצות זניחות יש פולינום p כך ש-.
משפט כריך החזיר מניח רציפות ועל כן לא תקף כלשונו לקבוצות דיסקרטיות.
אך קיימות למשפט גם גרסאות עבור קבוצות סופיות:
אם קבוצות סופיות במרחב ה־d ממדי, יש על מישור שכך שמספר הנקודות בכל חצי מישור זהה.
כמו כן, אם במצב כללי (אין d+1 נקודות על אותו על מישור) אז יש על מישור כך שמכל צד יש בדיוק נקודות.
משפט מבוים הוא פעילות העשרה אקדמית המדמה הליך בבית משפט לערעורים, שבו סטודנטים למשפטים מנתחים סוגיה משפטית היפותטית, מכינים טיעונים בכתב (המכונים לרוב "Memorials" או "Skeleton Arguments") ומציגים אותם בעל פה בפני פאנל שופטים.
בניגוד לדימוי משפט (Mock Trial), המשפט המבוים אינו מתמקד בבירור עובדתי או בעדות עדים, אלא בפרשנות החוק וביישום עקרונות משפטיים על עובדות מוסכמות מראש.
המשפט המבוים נחשב לאחת הצורות המוקדמות ביותר של חינוך משפטי באנגליה, החל מהמאה ה-14. הוא היווה חלק מרכזי בהכשרתם של בריסטרים ב"אכסניות המשפט" (Inns of Court).
בתקופה שקדמה להמצאת הדפוס, כאשר ספרי לימוד היו נדירים, המשפט המבוים שימש ככלי חיוני ללמידת החוק ולתרגולו.
באותה תקופה, ההיררכיה באכסניות המשפט כללה "Benchers" (שופטים), "Utter Barristers" (טוענים בכירים) ו-"Inner Barristers" (סטודנטים צעירים).
הסטודנטים הצעירים נדרשו לדקלם את כתבי הטענות מזיכרונם, משימה קריטית בתקופה שבה פגמים טכניים קטנים יכלו להביא לביטול התיק.
חובת ההשתתפות במשפטים מבוימים נמשכה לעיתים עד שלוש שנים לאחר הקבלה ללשכת עורכי הדין.
החל מהמאה ה-17, עם עליית הגישה המבוססת על לימוד מטקסטים כתובים, ירדה קרנו של המשפט המבוים, אך הוא שב למרכז הבמה בעת המודרנית כחלק בלתי נפרד מתוכנית הלימודים בפקולטות למשפטים ברחבי העולם דובר האנגלית ומחוצה לו.
ההבדל בין משפט מבוים להליכים אחרים
ההבדל מתיק בבית משפט אמיתי
קיימים הבדלים מהותיים בין משפט מבוים לבית משפט ריאלי.
בבית משפט אמיתי, המטרה המרכזית היא זכייה בתיק עבור הלקוח.
במשפט מבוים, המוקד הוא ביצועיו האישיים של הסטודנט והיכולת שלו להפגין כישורים משפטיים ורטוריים, ללא קשר לתוצאה המשפטית של התיק.
מבקרים כמו השופט אלכס קוזינסקי טוענים כי המשפט המבוים יוצר "אווירה של חוסר מציאות", כיוון שהוא מתמקד בפרסונה של הטוען במקום בתוצאה המעשית עבור הלקוח.
ההבדל מדימוי משפט (Mock Trial)
דימוי משפט הוא הליך אדברסרי שנועד לבחון ראיות ולקבוע עובדות בערכאה ראשונה, בדומה למשפט עם מושבעים או עדים.
לעומת זאת, במשפט מבוים, העובדות נחשבות למוסכמות ואינן עומדות למחלוקת.
הדגש הוא על הטיעון המשפטי בלבד בערכאת הערעור.
המשפט המבוים נחשב לכלי חינוכי חיוני המפתח מגוון כישורים אצל הסטודנט:
כישורי מחקר וניתוח: הסטודנט נדרש להתעמק במקורות משפטיים ראשוניים (פסקי דין וחיקוקים) ולא להסתמך רק על ספרי לימוד.
יכולת שכנוע (רטוריקה): המטרה היא להשפיע על מקבל ההחלטות לקבל את הטענות המוצגות.
עבודת צוות: המשפט המבוים מחייב שיתוף פעולה הדוק בין חברי הצוות למניעת סתירות בטיעונים.
עמידה בלחץ וגמישות מחשבתית: היכולת להתמודד עם שאלות השופטים ("Judicial Interventions") הדורשות מהטוען לסטות מהטקסט המוכן מראש.
תעסוקה: מעסיקים רבים, במיוחד במשרדים מובילים, רואים בהשתתפות במשפטים מבוימים אינדיקציה ליכולת אקדמית וביצועית גבוהה.
במשפט מבוים טיפוסי משתתפים חמישה גורמים מרכזיים:
שני טוענים מצד המערער (Appellant): לרוב מחולקים לטוען בכיר (Senior) וטוען זוטר (Junior).
שני טוענים מצד המשיב (Respondent).
בנוסף, עשויים להשתתף בצוות גם עוזרי מחקר, ובהליך עצמו עשויים להיות נוכחים רשם בית המשפט (Clerk) וקצין זמן (Timekeeper).
זכות תשובה (Rebuttal) של המערער (אופציונלי).
השלב הראשון הוא קריאה דקדקנית של "תיק העובדות".
סטודנטים נדרשים לזהות את השאלות המשפטיות העולות מהתיק ולבנות "תאוריית מקרה" (Case Theory).
המחקר כולל איתור תקדימים מחייבים ומשכנעים.
יש להבחין בין ה"רציו" (Ratio Decidendi) של פסק הדין לבין "אמרות אגב" (Obiter Dicta).
רוב התחרויות דורשות הגשת כתבי טענות (Memorials) או עיקרי טיעון (Skeleton Arguments).
מסמכים אלו צריכים להיות תמציתיים, מובנים לוגית ונתמכים בסימוכין מדויקים.
שיטת כתיבה מומלצת היא מודל PASA:
Proposition (טענה): מהי הנקודה המשפטית?
Argument (טיעון): הסבר לוגי של הטענה.
Support (סימוכין): הבאת מקור משפטי תומך.
Apply (יישום): החלת החוק על עובדות המקרה.
המסמך הכתוב משמש כ"מפת דרכים" עבור השופטים; מסמך שנכתב בצורה רשלנית, המכיל שגיאות תחביר או ציטוטים לא מדויקים, עלול לפגוע באמינות הטוען וביכולתו לשכנע את בית המשפט.
מעבר לתוכן המשפטי, על הצוותים להקפיד על כללי עיצוב נוקשים, כגון סוג גופן, רווחים בין השורות ומספור פסקאות, בהתאם לתקנון הספציפי של כל תחרות.
על הצוותים להכין קלסר המכיל את כל המקורות המשפטיים אליהם הם מתכוונים להפנות במהלך הדיון.
על התיק להיות מסודר בצורה מקצועית עם חוצצים ואינדקס, כדי לאפשר לשופטים למצוא כל פסק דין במהירות.
הטיעון בעל פה וכישורי advocacy
סטודנטים נדרשים להקפיד על קוד לבוש פורמלי ושמרני (לרוב חליפות כהות) ועל כללי האתיקה של בית המשפט.
הפנייה לשופטים צריכה להיעשות בתארים המתאימים (כגון "כבודו" או "אדוני" או "גברתי" או "חברי" בהתאם למושא).
זהו החלק המאתגר ביותר במשפט המבוים.
שופטים מתערבים בדברי הטוען כדי לבחון את עומק ידיעותיו, להבהיר נקודות עמומות או להציג קשיים לוגיים בטיעון.
על הטוען לעצור מיד כששופט מתחיל לדבר, להקשיב לשאלה, ולענות עליה ישירות לפני שהוא חוזר למסלול הטיעונים שלו.
השיפוט במשפט מבוים אינו מבוסס על השאלה מי "צודק" לפי החוק, אלא על כישורי הטיעון והשכנוע.
תוכן: הבנת הבעיה המשפטית והשימוש באסמכתאות.
אסטרטגיה: מבנה הטיעון וניהול הזמן.
יכולת תגובה: אופן ההתמודדות עם שאלות והפרכת טיעוני היריב.
סגנון וגינונים: ביטחון עצמי, קשר עין עם השופטים ואטיקטה משפטית.
קיימות מספר תחרויות משפט מבוים יוקרתיות ברמה הבינלאומית, המושכות אלפי סטודנטים מדי שנה:
Jessup): התחרות הגדולה והוותיקה בעולם בתחום המשפט הבינלאומי הפומבי.
Vis): מתמקדת בבוררות מסחרית בינלאומית ובדיני מכר טובין בינלאומיים.
תחרות השלום (Telders): תחרות אירופית בתחום המשפט הבינלאומי הנערכת בבית הדין הבין-לאומי לצדק בהאג.
תחרות פיקטה (Jean-Pictet): תחרות ייחודית במשפט הומניטרי המשלבת הדמיות ומשחקי תפקידים.
משפט מבוים הוא חלק מתוכנית הלימודים בפקולטות למשפטים בישראל, ושיאו במשפט מבוים חגיגי בנוכחות קהל ובהשתתפות משפטנים בכירים בחבר השופטים.
משפט מבוים מתקיים, בין השאר, באוניברסיטה העברית בירושלים, באוניברסיטת תל אביב, באוניברסיטת בר-אילן ואוניברסיטת רייכמן.
משפט נאש הוא משפט בתחום תורת המשחקים.
המשפט מבטיח, שבכל משחק מרובה משתתפים, קיים שיווי משקל נאש, אם מרשים שימוש בתכסיסים מעורבים (אסטרטגיות מעורבות).
לצירוף של כמה תכסיסים, נקרא שיווי משקל נאש, אם מתקיימת בו התכונה הבאה: אף אחד מהשחקנים לא ירוויח יותר אם ישנה את דעתו ויבחר בתכסיס אחר (בעוד האחרים אינם משנים את דעתם).
המשפט הוכח על ידי ג'ון פורבס נאש, שפרסם את ההוכחה, יחד עם תוצאות אחרות בנוגע לאסטרטגיות אופטימליות במשחקים מרובי שחקנים, בסדרה של ארבעה מאמרים בין השנים 1950–1953.
דוגמה לשיווי משקל באסטרטגיות מעורבות
נסתכל על המשחק הבא - משחק מלחמת המינים, משחק זה מתאר סיטואציה בה זוג נשוי, דן ודנה, הולכים לבלות.
ניתן לראות כי קיימים שני שיווי משקל נאש טהורים: כדורגל-כדורגל ואופרה-אופרה.
בנוסף להם, קיימים שני שיוויי משקל נאש מעורבים: ו- - כלומר, דן בוחר בכדורגל בהסתברות של ובאופרה בהסתברות של ודנה בוחרת הפוך.
באופן זה, ללא תלות בבחירה של ה"שחקן" השני, הם יכולים להבטיח לעצמם תוחלת רווח של .
הוכחת המשפט נעשית באמצעות משפט נקודת השבת של בראואר.
משפט נקודת השבת קובע כי לכל רציפה ו-
קבוצה לא ריקה, קומפקטית וקמורה, יש ל־ נקודת שבת.
נניח כי נתון המשחק הבא: במשחק יש שחקנים הממוספרים ב- כאשר נע מ-1 עד , ולכל אחד מהם אסטרטגיות.
כעת, נסתכל על הקבוצה של כל האסטרטגיות המעורבות .
קל לראות כי זוהי קבוצה קומפקטית וקמורה ועל כן מקיימת את תנאי משפט נקודת השבת של בראואר.
נסמן - המשקל של הפעולה בהתפלגות .
נגדיר את להיות ההפרש בין ערך פונקציות התועלת של השחקן ה-
בבחירת הפעולה במקום האסטרטגיה (כלומר, הרווח שמתקבל מהמעבר לאסטרטגיה ).
כעת, נגדיר נשים לב כי קיבלנו פונקציה רציפה ממרחב האסטרטגיות לעצמו.
לכן, ע"פ משפט נקודת השבת של בראואר, קיימת לה נקודת שבת.
נטען כי בנקודת השבת שקיבלנו מתקיים כי לכל , מתקיים כי .
כלומר, לאף שחקן אין איך להשתפר מנקודה זו ולכן זוהי נקודת שיווי משקל.
ואכן, טענה זו מתקיימת, נוכיח בשלילה.
נניח שקיימים כך ש- ואז נקבל סתירה לכך שזו נקודת שבת.
תורת המיקוח של נאש היא חלק ממשפט נאש השלם.
תורת המיקוח של נאש מציגה פתרונות כאשר:
יש קונפליקט בין אינטרסים לגבי הסכמה.
יש לאנשים את האפשרות לסיום הסכם הדדי מועיל.
אין הסכם עשוי להיות מוטל על כל אדם ללא אישורו.
המודל האסטרטגי או המודל הלא שיתופי כרוך במידול תהליך המיקוח.
ניתן לחלק זאת באמצעות כותרות כדלהלן:
עתה, נצטרך לאמץ את גישת האקסיומות, הכולל הפשטה פרטי התהליך של המיקוח ורואה רק את הקבוצה של תוצאות או הסכמים המקיימים תכונות "סבירות".
את הגישה הציע המתמטיקאי ג'ון פורבס נאש, בספר בעל 1,950 עמודים, שבו הוא קובע:
"אחד קובע כאקסיומות כמה מאפיינים שנראים לו טבעי כפתרון, ולאחר מכן הוא מגלה שאקסיומות אלו למעשה קובעות את הפתרון הייחודי."
"אחד קובע כאכסיומות כמה מאפיינים שהיה נראים טבעי לפתרון ליש ולאחר מכן מגלה שאכסיומות למעשה לקבוע את פתרון ייחודי."
השאלה הראשונה לענות עליה היא: מה הן אכסיומות סבירות?
כדי לקבל תובנה רבה יותר, בואו נתחיל עם דוגמה פשוטה:
נניח ש- 2 שחקנים צריכים לחלק יחידה אחת של טוב.
אם לא יושג הסכם, שני השחקנים לא מקבלים שום דבר.
2 השחקנים מסכימים (יעיל), כל אחד לקבל מחצית (סימטריה)
בשלב הבא אנו רואים תרחיש כללי יותר.
אנו נשתמש ב- X כדי לציין קבוצה של הסכמים אפשריים ו-D לציון תוצאת מחלוקת.
נניח כי לכל שחקן i יש העדפות, המיוצגות על ידי תועלות Ui כפונקציה של {X {D.
נציין את סט התוצאות האפשריות הניתנות על ידי הקבוצה U שמוגדרות על ידי:
בעיה המיקוח היא זוג ( U, ד) שבו U .
אנו נניח כי U הוא קמור וקבוצה קומפקטית.
נסמן את קבוצת כל בעיות המיקוח האפשריות ב-b.
פתרון מיקוח הוא פונקציית b→u.
משפט מינקובסקי הוא תוצאה בסיסית בתחום המכונה 'גאומטריה של מספרים', השייך לתורת המספרים.
את המשפט הוכיח הרמן מינקובסקי ב-1889.
נניח ש- L הוא סריג במרחב .
נסמן את הנפח של המקבילון היסודי שלו ב- C.
(הדוגמה הפשוטה ביותר היא הסריג הכולל את הנקודות שכל הרכיבים שלהן שלמים.
המקבילון היסודי במקרה זה הוא קוביית היחידה, והנפח שלו הוא C=1).
ממשפט זה נובע שכל מחלקה של אידיאלים שבריים בחוג השלמים של שדה מספרים K מכילה אידיאל , עם נורמה (הנורמה של שווה לגודל חוג המנה ).
כאן n הוא הממד של K מעל שדה המספרים הרציונליים, 2s הוא מספר השיכונים המרוכבים של K, ו- D היא הדיסקרימיננטה של ההרחבה.
לחסם זה יש תוצאות מרחיקות לכת, שהחשובה ביניהן היא העובדה שכל הרחבה של שדה המספרים הרציונליים מסועפת לפחות מעל ראשוני אחד.
משפט מקלייבל הוא משפט דיבה (Libel באנגלית), שנערך בבריטניה, בו תבעה מקדונלד'ס את הלן סטיל ודייב מוריס, שנהגו לחלק עלונים ובהם האשמות נגד החברה.
הדיון במשפט התנהל על פני 314 ימי דיונים מיוני 1994 עד סוף שנת 1996, דבר שהפך אותו למשפט הארוך ביותר בהיסטוריה הבריטית.
ביוני 2013 התגלה כי מי שכתב את העלון היה שוטר סמוי.
החל מ-1986 חילקה קבוצת פעילות סביבתנית קטנה, "לונדון גרינפיס" (שאינה קשורה לארגון העולמי גרינפיס), עלון בשם מה רע במקדונלד'ס: כל מה שהם לא רוצים שתדע.
משקרת כשהיא טוענת שהיא משתמשת בנייר ממוחזר,
מזונה המוצג כבריאותי תורם למעשה לעלייה בהתקפי לב, סרטן ומחלות אחרות,
מעסיקה עובדים בשכר נמוך במכוון ומפטרת עובדים השואפים להתאגד,
מפרסמת באופן הדוחף ילדים להציק להוריהם לקנות במסעדות הרשת,
ואחראית לגידול חיות בתנאים קשים.
בשנת 1990 התרתה מקדונלד'ס בחמישה פעילים של לונדון גרינפיס שהחוברת שהם מחלקים מכילה חומר שקרי ומשמיץ נגד החברה וכי אם לא יתנצלו החברה תגיש נגדם תביעת דיבה.
שלושה מהפעילים התנצלו, אולם סטיל ומוריס סירבו להתנצל.
הם אספו 40,000 לירות שטרלינג מהציבור לצורך ניהול המשפט.
בנוסף, הם פנו בשנת 1991 לבית הדין האירופי לזכויות אדם בדרישה להורות לממשלת בריטניה לסייע להם במאבקם המשפטי אולם בית הדין קבע שהם אינם יכולים להחשב כמי שנמנע ממנו הגנה משפטית.
במהלך המשפט העלו סטיל ומוריס טענות רבות כנגד חברת מקדונלד'ס וביקשו לבסס שהטענות בחוברת היו אמת.
את מקדונלד'ס ייצג העורך דין הבריטי ריצ'רד רמפטון.