tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
סצנת הפתיחה של הסדרה מעניקה לצופים הצצה קצרה לפעילותן החשאית של ארבע הנשים בבלצ'לי במהלך המלחמה.
לאחר מכן הסדרה מדלגת אל ההווה, לשנת 1952, שבע שנים לאחר סיום המלחמה, לאחר שסוזן, מילי, לוסי וג'ין חזרו זה מכבר לחייהן האזרחיים.
בפתיחת הסיפור, סוזן שומעת על סדרת רציחות שהתרחשו בעת האחרונה באזור לונדון, והיא מתחילה לזהות דפוסים המקשרים בין מקרי הרצח.
היא מנסה לשכנע את המשטרה המקומית להיעזר בתיאוריה שלה על אודות מקרי הפשע, אך זוכה להתעלמות מצידם.
בעקבות זאת היא מחליטה לפנות אל חברותיה משכבר, תחילה למילי, ולאחר מכן ללוסי וג'ין, במטרה לנסות לשלב אתן כוחות בפענוח מעשי הפשע בכוחות עצמן.
מאחר שכל ארבע הנשים חתומות על צווי סודיות לגבי עבודתן בתקופת המלחמה, נאלצות שתי הנשים הנשואות (סוזן ולוסי) להסוות את פעילותן מבעליהן, והן מציגות אותה כחברות במועדון קריאה.
הן מתחילות בפיצוח קודים ותבניות פעולה, ממשיכות בחקירה ראשונית, ואז, לאחר שהן מנסות ללא הצלחה לרתום את המשטרה לפעול בכיוון אותו זיהו, הן עוברות לעבודת שטח ממש, גם תוך סיכון עצמי.
סצנות של שלווה ביתית של עקרות בית בריטיות משתלבות עם סצנות שבהן נצפה הרוצח כשהוא עוקב ומענה את קורבנותיו.
בתחילת הדרך, מילי, ג'ין ולוסי מגלות ספקנות מסוימת לגבי הנכונות שלהן להיות מעורבות, אך בהדרגה הן משתכנעות לעזור לסוזן, לאחר שמתחוור להן כי חייהן של נשים רבות נתונות בסכנה.
הסדרה מנגידה בין חייהן האפרוריים והקונבנציונליים - אם כי שונים מאוד זו מזו - של ארבע הנשים, ובין תחושת התועלת, ההתעלות והתרומה שחשו בזמן פיצוח הקוד בזמן המלחמה.
בגמר סדרה 1, הנשים נאלצות להתעמת עם הגבר שבו הן חושדות כרוצח.
במתמטיקה, חוג עם חילוק הוא חוג (אסוציאטיבי) עם יחידה, שבו כל איבר שונה מאפס הוא הפיך.
חוג קומוטטיבי (לא טריוויאלי) עם חילוק אינו אלא שדה.
הדוגמה הראשונה והמוכרת ביותר לחוג עם חילוק שאינו שדה היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון.
חוגים עם חילוק מופיעים באופן טבעי באלגברה (האסוציאטיבית) בזכות הלמה של שור: חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק.
תוצאה זו היא המפתח לתורת המבנה של ארטין-ודרברן, המוכיחה בין השאר שכל חוג ארטיני פשוט הוא חוג של מטריצות מעל חוג עם חילוק (משפט ודרברן-ארטין).
בחקירת המבנה של חוגים עם חילוק, נקודת המוצא היא העובדה שהמרכז של חוג עם חילוק הוא שדה, ולכן החוג מהווה אלגברה מעל המרכז שלו.
חוגים עם חילוק בעלי ממד סופי מעל המרכז, שהוא שדה, נלמדים יחד עם שאר האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל אותו שדה.
אחד הכלים המרכזיים לחקירת אלגברות חילוק מעל שדה נתון הוא חבורת בראואר של השדה.
גם בתאוריה של אלגברות לא אסוציאטיביות, המיון של אלגברות עם חילוק תופס מקום יסודי בתורת המבנה של כל מחלקה חשובה.
תיאור מלא של אלגברות עם חילוק מממד סופי ידוע עבור אלגברות אלטרנטיביות, אלגברות ז'ורדן ואלגברות ריבועיות.
הקשר למחלקות אחרות של חוגים
בחוג עם חילוק אין אידיאלים חד-צדדיים, ולכן כל חוג כזה הוא פשוט (ולכן פרימיטיבי, ולכן ראשוני).
ישנם חוגים פשוטים שאינם חוגים עם חילוק (החוגים , כאשר חוג עם חילוק, הם פשוטים, אבל יש בהם מחלקי אפס).
כל תת-חוג של חוג עם חילוק הוא תחום, ולכן חוג ראשוני.
במקרה הקומוטטיבי, כל תחום שלמות מוכל בשדה.
טענה זו אינה נכונה במקרה הלא-קומוטטיבי: ישנם תחומים לא-קומוטטיביים, שאינם ניתנים לשיכון בחוג עם חילוק (Malcev, 1938).
כל חוג פרימיטיבי צפוף בחוג האנדומורפיזמים של מודול מעל חוג עם חילוק (זהו משפט הצפיפות של ג'ייקובסון).
לפי משפט Cartan-Brauer-Hua, אין לחוג עם חילוק תת-חוגים הנשמרים תחת הצמדה (פרט לחוג עצמו, ולתת-החוגים המוכלים במרכז שלו).
מנקודת מבט נאיבית אפשר לראות בחוגים עם חילוק הכללה של שדות למקרה הלא קומוטטיבי, שהרי כל חוג קומוטטיבי עם חילוק הוא שדה.
ואכן, חוג עם חילוק נקרא גם "שדה מעוות" (skew field) או אפילו סתם "שדה" (עם זאת, יש מחלקות טבעיות אחרות של חוגים לא קומוטטיביים שחיתוכן עם מחלקת החוגים הקומוטטיביים הם בדיוק שדות).
לכל חוג קומוטטיבי (עם יחידה) יש חוגי מנה שהם שדות, ובאופן אנלוגי לזה, לכל חוג יש חוגי מנה פשוטים, אבל לאו דווקא מנות עם חילוק.
לחוג אידיאלים חופשיים למחצה יש "שדה אוניברסלי", שהוא חוג מנה, עם חילוק, שיש הצבה (specialization; הצבה היא הטלה מתת-חוג מקומי שהגרעין שלה הוא האידיאל המקסימלי שלו) ממנו לכל מנה אחרת עם חילוק.
מאחר שהאלגברה החופשית הקומוטטיבית היא חוג פולינומים, ניתן לראות באלגברה זו אנלוג לא-קומוטטיבי לשדה הפונקציות הרציונליות.
עם זאת, לא כל איבר באלגברת החילוק הגנרית הוא מהצורה , והצורה הכללית של איברים באלגברה הגנרית היא מסובכת בהרבה (רק לחוגים המקיימים את תנאי אורה יש שיכון בחוג חילוק, שבו כל איבר הוא מנה של איברים מן החוג המקורי).
לפי משפט גלפנד-מזור, אלגברות בנך מרוכבת שהיא אלגברת חילוק איזומורפית (איזומורפיזם איזומטרי) ל- עצמו.
אם הוא חוג עם חילוק, אז גם החוג של טורי לורן מעל הוא חוג עם חילוק.
אם הרחבת גלואה ציקלית מסדר ראשוני , שהאוטומורפיזם יוצר את חבורת גלואה שלה, ו- איבר שאינו נורמה בהרחבה, אז האלגברה הציקלית היא אלגברה עם חילוק, ממימד מעל המרכז .
המשפט הקטן של ודרברן קובע שאין חוגים עם חילוק סופיים, פרט כמובן לשדות הסופיים.
אלגברה ליניארית מעל חוגים עם חילוק
חוגים עם חילוק קרובים לשדות במידה כזו שאפשר לפתח מעליהם חלקים גדולים של האלגברה הליניארית, לרבות המושגים מרחב וקטורי, מטריצה והעתקה ליניארית.
כל המודולים מעל חוג עם חילוק הם חופשיים, ויש להם דרגה מוגדרת היטב (בדומה לממד של מרחבים וקטוריים).
יוצא דופן חשוב הוא הדטרמיננטה - לא קיימת העתקה כפלית מן המטריצות מעל חוג עם חילוק אל החוג עצמו (אבל ראו דטרמיננטת דודונה).
מטריצה בגודל נקראת "מלאה" אם אי אפשר לפרק אותה למכפלה שבה מספר העמודות ב- קטן מ-.
מעל חוג עם חילוק מטריצה היא מלאה אם ורק אם היא הפיכה (אבל מעל תחומי שלמות שאינם שדות ייתכן שמטריצה תהיה מלאה אף על פי שאינה הפיכה אפילו מעל שדה השברים).
חוגים עם חילוק בגאומטריה לא-קומוטטיבית
ההאובייקט המרכזי שנחקר בגאומטריה פרויקטיבית לא-קומוטטיבית הוא סכמות פרויקטיביות לא-קומוטטיביות, המוגדות באמצעות תחומים מדורגים, נותריים, בעלי ממד גלפנד-קירילוב סופי (ותכונות רגולריות נוספות).
בדומה למתרחש בגאומטריה אלגברית קומוטטיבית, מועיל למיין יריעות עד כדי שקילות בירציונלית.
אומרים כי אלגברת חילוק מעל שדה מרכזי היא סגורה אלגברית אם לכל פולינום מוכלל (דהיינו, איבר במכפלה החופשית של עם ) שונה מאפס ישנו פתרון, כלומר קיים כך ש-.
למשל, שדה הוא אלגברת חילוק סגורה אלגברית אם ורק אם הוא שדה סגור אלגברית.
בניגוד למתרחש בעולם הקומוטטיבי, לא כל אלגברת חילוק משוכנת באלגברת חילוק סגורה אלגברית.
בפרט, את אלגברת הקווטרניונים של המילטון לא ניתן לשכן באלגברת חילוק בה ישנו פתרון למשוואה .
ממילא, לטובת בניית אלגברת חילוק סגורה אלגברית לא ניתן להפעיל שיטה דומה לאופן שבו בונים סגור אלגברי, בהוספת שורשים 'בזה אחר זה' (באמצעות אינדוקציה טרנספיניטית).
מקר-לימנוב בנה את הדוגמה הראשונה לאלגברת חילוק סגורה אלגברית שאינה שדה והסיק כי כל אלגברה לא קומוטטיבית מעל שדה ממאפיין אפס המוגדרת על ידי יחס בודד (one relator algebra) היא לא טריוויאלית.
חוגים לא אסוציאטיביים עם חילוק
סעיף זה מטפל באלגברות לא אסוציאטיביות.
חוג עם חילוק הוא חוג שבו כל אופרטור כפל מימין או משמאל הוא הפיך (כאופרטור), כלומר, לכל משוואה או (עם שונה מאפס) יש פתרון יחיד.
כמו במקרה האסוציאטיבי, המרכז הוא שדה, וכל חוג עם חילוק הוא אלגברה (מעל המרכז שלו).
בניגוד למקרה האסוציאטיבי, לחוג עם חילוק שאינו אסוציאטיבי לא מוכרח להיות איבר יחידה (באלגברת חילוק מממד סופי שהיא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט, יש איבר יחידה; כל אלגברת חילוק איזוטופית לאלגברת חילוק עם יחידה).
כל חוג עם חילוק הוא פשוט.
אם אלגברה מממד סופי, אז היא אלגברה עם חילוק אם ורק אם אין לה מחלקי אפס; לכן, בממד סופי, אם כל אופרטורי הכפל משמאל הפיכים, אז חוג עם חילוק.
בחוג עם חילוק (עם יחידה) כל האיברים הפיכים מימין ומשמאל.
איבר הוא הפיך אם יש כך ש-.
ההנחה ש- הפיך אינה שקולה לכך שאופרטורי הכפל מימין או משמאל ב- יהיו הפיכים.
עם זאת, באלגברה אלטרנטיבית התכונות כן שקולות זו לזו, ואלגברה אלטרנטיבית שבה כל האיברים הפיכים היא אלגברה עם חילוק.
חוג עם חילוק סופי שהוא בעל חזקה אסוציאטיבית בהחלט, ממאפיין שונה מ-2, הוא שדה (זוהי הכללה של המשפט הקטן של ודרברן).
תשומת לב מיוחדת הוקדשה לאלגברות חילוק מממד סופי מעל הממשיים, משום שחבורת האוטומורפיזמים של אלגברה כזו היא חבורת לי (שאלגברת לי הצמודה לה היא אלגברת הנגזרות של האלגברה המקורית).
באופן כללי הממד של אלגברה עם חילוק מממד סופי מעל שדה נתון אינו חסום (יש אלגברות חילוק מעל הרציונליים מכל ממד ריבועי).
מעל הממשיים, לעומת זאת, המצב שונה בתכלית.
פרובניוס הוכיח ב-1878 שיש רק שלוש אלגברות אסוציאטיביות עם חילוק בעלות ממד סופי מעל הממשיים: הממשיים עצמם, המרוכבים ואלגברת הקווטרניונים של המילטון.
מקס אוגוסט צורן הראה ב-1931 שיש רק ארבע אלגברות אלטרנטיביות עם חילוק בעלות ממד סופי מעל הממשיים: שלוש האלגברות האסוציאטיביות, ואלגברת האוקטוניונים ; כל אלה הן אלגברות קיילי-דיקסון.
אלגברת החילוק היחידה מממד 2 מעל הממשיים היא שדה המספרים המרוכבים.
מכאן נובע שאלגברת חילוק עם חזקה אסוציאטיבית מעל הממשיים היא ריבועית.
לבסוף הוכיח היינץ הופף, בעזרת שיטות מתחום הטופולוגיה האלגברית, שהממדים המותרים לאלגברת חילוק (לא אסוציאטיבית) מעל הממשיים הם אך ורק 1,2,4,8 (השווה למשפט גלפנד-מזור ולמשפט Bott-Milnor).
בעיית קורוש לחוגים עם חילוק: האם חוג חילוק נוצר סופית (כאלגברה מעל המרכז) ואלגברי מוכרח להיות סוף-ממדי?
(לפי 'הטריק של עמיצור', התשובה שלילית מעל שדה שאינו בן-מנייה.)
בעיית לטישב: האם חוג חילוק נוצר סופית כאלגברה מעל המרכז מוכרח להיות סוף-ממדי?
(זוהי 'החלשה' של בעיית קורוש.)
בעיית Kolchin: האם תת-חבורה של (כאשר חוג עם חילוק) שכל אבריה יוניפוטנטיים (בעלי סדר כפלי סופי) צמודה לתת-חבורה של חבורת המטריצות המשולשות עליונות אשר האלכסון שלהם הוא 1?
(נפתרה למאפיין אפס או למאפיין חיובי גדול דיו על ידי מוצ'יזוקי, ולמאפיין 2 על ידי Derakhsan.)
האם דרגת הטרנסצנדנטיות המקסימלית של תת-שדה של (כאשר חוג עם חילוק) שווה לדרגת הטרנסצנדנטיות המקסימלית של תת-שדה של עצמו?
בעיית ליכטמן: אם חוג חילוק שאיננו שדה, האם החבורה הכפלית שלו מוכרחה להכיל תת-חבורה חופשית (לא אבלית)?
(הוכח למחלקות שונות של חוגים עם חילוק, אך ללא פתרון מלא.
עבור חוגים ממד סופי מעל המרכז, ההשערה נובעת מהאלטרנטיבה של טיטס; הוכח עבור חוגים שמרכזם לא בן-מנייה על ידי Chiba.
הוכח עבור חוגי שברים של הרחבות Ore על ידי בל וגונצ'לבז.)
בעיית מקר-לימנוב: אם אלגברת חילוק נוצרת סופית ואינסוף-ממדית מעל המרכז, האם מוכרחה להכיל תת-אלגברה חופשית (לא קומוטטיבית)?
בעיית הציקליות: האם כל אלגברת חילוק מדרגה היא ציקלית?
האם כל אלגברת חילוק מאקספוננט (כלומר, סדר בחבורת בראואר) ראשוני היא מכפלה משולבת?
האם כל אלגברת חילוק שקולה (בחבורת בראואר) למכפלה טנזורית של אלגברות ציקליות מדרגות שמחלקות את האקספוננט שלה?
(התשובה חיובית בכמה מקרים, ובפרט כאשר שדה הבסיס מכיל שורש פרימיטיבי -י של היחידה, כאשר הוא דרגת האלגברה.)
השערת עמיצור: אם שתי אלגברות חילוק בעלות אותה דרגה ויוצרות את אותה תת-חבורה של חבורת בראואר, אז שדות הפיצול הגנריים שלהן איזומורפיים.
על משוואות פולינומיות מעל חוגים עם חילוק, ראו Gordon and Motzkin, Proc.
חוג נוער הוא מסגרת ייחודית לבני נוער שוחרי טיולים.
מטרת החוג היא קיום מסגרת לטיול ולחינוך מתמשך לשמירת טבע ולאהבת הארץ.
החוגים מורכבים מבני נוער מכל רחבי הארץ החברים בחוג לאורך זמן.
כל חוג נוער פועל מטעם בית ספר שדה מסוים של החברה להגנת הטבע.
בחוג חברים בדרך כלל בני נוער בכיתות ט'-יב' ולהם זוג מדריכים מצוות בית ספר שדה המתכננים ומבצעים את הפעילות לאורך השנה.
במסגרתו, בני הנוער יוצאים לטיולים אחת לחודש או במהלך חופשות בית הספר.
הטיולים נמשכים יותר מיום אחד, כאשר הלינה והבישול מתבצעים בשטח.
את הציוד האישי והקבוצתי כולו סוחבים חברי החוג בתרמילים על הגב.
באלגברה מופשטת, חוג נתרי הוא חוג עם יחידה המקיים את תנאי השרשרת העולה על האידיאלים השמאליים שלו, כלומר כל סדרה עולה ממש של אידיאלים שמאליים בחוג כזה מוכרחה להסתיים.
חוגים אלו קרויים על שמה של אמי נתר אשר חקרה חוגים אלה, בעקבות מורה דויד הילברט.
מתנאי השרשרת נובע שכל אידיאל שמאלי של החוג הוא בעל מספר יוצרים סופי, ועובדה זו מגבילה את הגודל והמורכבות של חוגים נתריים.
בתורת החוגים נודעת חשיבות מיוחדת לחוגים נתריים, בשל הקשר שלהם לאובייקטים גאומטריים ותורת המבנה שניתן לבסס עבורם; חוגים שאינם נתריים עשויים להיות מורכבים וסבוכים בהרבה.
אחת התכונות החשובות של חוגים אלה היא שלאידיאלים הראשוניים יש גובה סופי - ולכן אפשר ללמוד את הספקטרום באינדוקציה על הממד, דרך שרשראות של אידיאלים ראשוניים.
גובהם של האידיאלים הראשוניים סופי, אבל אינו בהכרח חסום, ולכן ישנם חוגים נתריים שממד קרול שלהם אינסופי.
עם זאת, לאלגברות אפיניות (קומוטטיביות), שהן אחד המקורות העיקריים לדוגמאות של חוגים נתריים, יש ממד קרול סופי.
תנאי השרשרת היורדת, שהוא דואלי לתנאי השרשרת העולה, מגדיר חוגים הנקראים ארטיניים.
הסימטריה מדומה בלבד: כל חוג ארטיני הוא נתרי (משפט הופקינס-לויצקי).
חוגים נתריים מקיימים את תנאי משפט גולדי, על שיכון חוגים ראשוניים (למחצה) בחוגים ארטיניים פשוטים (למחצה).
אוסף החוגים הנתריים סגור ביחס לפעולות אלגבריות מסוימות: חוג מנה של חוג נתרי הוא נתרי, וגם מכפלה ישרה של שני חוגים נתריים היא נתרית.
לעומת זאת, (ובניגוד למצב עבור מודולים נתריים), תת-חוג של חוג נתרי אינו בהכרח נתרי.
חוג הוא נתרי אם ורק אם כל המודולים הנוצרים סופית מעליו הם נתריים.
חוג פולינומים מעל חוג נתרי הוא נתרי, וחוג המטריצות מעל חוג נתרי הוא נתרי.
הנתריות מוגדרת (ברוב הספרים) במונחי האידיאלים השמאליים.
באופן דומה אפשר להגדיר גם:
חוג נתרי ימני - חוג המקיים את התנאי ACC על אידיאלים ימניים
חוג נתרי חלש - חוג המקיים את התנאי ACC על אידיאלים דו-צדדיים
ישנם חוגים נתריים שאינם נתריים ימניים (ולהפך), אבל בחוגים קומוטטיביים מתלכדות כל התכונות.
חוג הוא נתרי אם ורק אם הוא נתרי כמודול מעל עצמו (משום שהאידיאלים השמאליים של החוג הם תת-המודולים שלו).
"תנאי המקסימום" (לאידיאלים שמאליים) קובע שבכל קבוצה לא ריקה של אידיאלים שמאליים בחוג , קיים איבר מקסימלי, כלומר אידיאל שלא מוכל באף אידיאל אחר מהקבוצה (אף על פי שאידיאל כזה בדרך כלל אינו אידיאל מקסימלי).
חוג הוא נתרי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי המקסימום על אידיאלים שמאליים.
מתנאי המקסימום אפשר להסיק שכל אידיאל שמאלי בחוג מוכל באידיאל שמאלי מקסימלי; תכונה זו נכונה בכל חוג, על-פי הלמה של צורן.
"תנאי הבסיס הסופי": כל אידיאל שמאלי ב- נוצר סופית (כלומר קיימים ב- כך ש ).
החוג מקיים תנאי זה אם ורק אם הוא נתרי.
חוג קומוטטיבי הוא נתרי אם ורק אם כל אידיאל ראשוני נוצר סופית.
בחוג נתרי , כל אידיאל מכיל מכפלה (סופית) של אידיאלים ראשוניים.
מוכיחים זאת באמצעות תנאי המקסימום.
בפרט, יש מכפלה של אידיאלים ראשוניים השווה לאפס (בתחומי-שלמות נתריים אידיאל האפס הוא בעצמו ראשוני).
בחוג נותרי יש מספר סופי של אידיאלים ראשוניים מינימליים.
כל שדה הוא חוג נתרי.
זה נובע מכך שהאידיאלים היחידים בשדה הם השדה עצמו ו-.
משפט הבסיס של הילברט: אם חוג נתרי אז חוג נתרי ( הוא חוג הפולינומים במספר סופי של משתנים מעל ).
ניתן להוכיח זאת בשתי דרכים - על ידי תנאי המקסימום ועל ידי תנאי הבסיס הסופי.
ההוכחה של הילברט עצמו עושה שימוש ניכר בתנאי הבסיס הסופי.
כל תמונה הומומורפית של חוג נתרי היא נתרית בעצמה.
במילים אחרות, אם חוג נתרי ו- אידיאל, אז חוג המנה גם הוא נתרי.
(הוכחה: כל אידיאל של חוג המנה הוא תמונה של אידיאל של , הנוצרת על ידי תמונתה של קבוצת יוצרים סופית שם).
משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נתרית.
כל תחום שלמות נתרי הוא אטומי, כלומר: כל איבר שאינו הפיך אפשר להציג כמכפלה של איברים אי-פריקים מתוך .
הוכחה: נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נתרי.
נניח ש- הוא איבר לא הפיך ב-, ונגדיר את הסדרה על ידי הכללים: ;
הוא מחלק אמיתי של (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה).
האידיאלים מהצורה יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, על פי תנאי ה-ACC, זו שרשרת סופית, והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק.
הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק.
נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סדרה חדשה המוגדרת על ידי: ;
קיבלנו ש- הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.
בחוג נתרי קומוטטיבי מתקיים משפט החיתוך של קרול: לכל אידיאל I, אם אז .
בפרט, (א) כאשר הוא רדיקל ג'ייקובסון של החוג; (ב) אם R תחום שלמות נתרי, לכל אידיאל I.
השערת ג'ייקובסון שואלת האם כאשר R חוג נתרי שאינו קומוטטיבי.
התשובה שלילית באופן כללי (Herstein, Jategaonkar); אבל ההשערה פתוחה עבור חוגים שהם נתריים גם מימין וגם משמאל.
כל חוג סופי (כקבוצה) הוא נתרי.
כל חוג שהוא אלגברה מממד סופי מעל שדה הוא נתרי.
כל תחום ראשי הוא נתרי (מכיוון שהאידיאלים שלו נוצרים סופית).
בפרט, חוג המספרים השלמים הוא נתרי.
בכל חוג עם חילוק האידיאל החד-צדדי האמיתי היחיד הוא אידיאל האפס, ולפיכך החוג נתרי.
חוג השלמים ה-p-אדיים כאשר ראשוני.
בחוג זה כל אידיאל נוצר על ידי חזקה של .
חוג הפולינומים בשני משתנים מעל שדה המרוכבים: .
בחוג זה כל האידיאלים נוצרים סופית.
(לפי משפט הבסיס של הילברט).
חוג טורי החזקות הפורמליים מעל חוג קומוטטיבי נתרי הוא נתרי.
דוגמה לחוג שהוא נתרי ימני אך לא נתרי שמאלי: נתבונן בחוג מטריצות מגודל המוגדר: .ניתן לראות שחוג זה אינו נתרי שמאלי אם נתבונן בקבוצת האידיאלים הבאה: .
עבור כל , הוא אידיאל שמאלי ב-, ומתקיים: .
יש לנו שרשרת עולה אינסופית של אידיאלים שמאליים ומכאן שהחוג אינו נתרי שמאלי.
לעומת זאת החוג הוא נתרי ימני.
חוג הקואורדינטות ההומוגני של עקום אליפטי, המפותל באמצעות אוטומורפיזם מסדר אינסופי הוא חוג (לא קומוטטיבי) נתרי, שכל תת-חוג שלו הוא נוצר סופית ונתרי.
תכונה מיוחדת זו מתקיימת גם בכל חוג שהוא מודול נוצר סופית מעל חוג פולינומים במשתנה יחיד מעל שדה (למשל, ).
לא ידועה דוגמה לחוג בעל תכונה זאת, שאינו מתקבל מאחת משתי המשפחות הללו.
תכונת הנתריות בהרחבות של חוגים
אם חוג נתרי אז כך גם ו-.
מכפלה ישרה של מספר סופי של חוגים נתריים היא חוג נתרי (מכפלה ישרה אינסופית לעולם אינה נתרית).
גבול ישר של חוגים נתריים אינו בהכרח נתרי.
גבול הפוך של חוגים נתריים אינו בהכרח נתרי.
מכפלה טנזורית של חוגים נתריים אינה בהכרח נתרית.
בפרט, המכפלה הטנזורית של שני שדות שאינם נוצרים סופית (כשדות) מעל תת-שדה משותף, אינה נתרית (Vamos).
קיימות אלגברות נתריות נוצרות סופית, שלאחר הרחבת סקלרים (דהיינו, מכפלה טנזורית מעל שדה הבסיס עם הרחבת שדות מתאימה) אינן נתריות עוד.
אם חוג נתרי ו- חוג המהווה -מודול נוצר סופית, אזי גם נתרי (כחוג)
אם חוג ו- חוג המהווה -מודול נוצר סופית, ו- חוג נתרי, לא בהכרח מתקיים כי חוג נתרי.
ואמנם אכן נתרי אם אלגברות מעל שדה ו- מקו-ממד סופי ב- (Stafford).
אם חוג נתרי ו- תת-חוג המוכל במרכז שלו, ו- מהווה -מודול נוצר סופית, אזי גם נתרי (כחוג; זהו משפט Eakin-Nagata).
התוצאה נשארת נכונה גם אם לא בהכרח מרכזי אלא די בכך ש- נוצר כ--מודול על ידי מספר סופי של איברים המקיימים לכל : (שוויון קבוצות.
בתורת החוגים, חוג מקומי הוא חוג (בדרך כלל – קומוטטיבי) שיש לו אידיאל מקסימלי יחיד.
חוגים מקומיים נקראים כך משום שהם מאפשרים לחקור מרחבים באופן מקומי, בסביבת נקודה.
אחד המקורות החשובים לחוגים כאלה הוא תהליך המיקום של חוג קומוטטיבי נתון ביחס לאידיאל ראשוני של אותו חוג.
כל תחום הערכה הוא מקומי.
לחוג קומוטטיבי מקומי תורת הצגות פשוטה בתכלית: יש לו מודול פשוט יחיד (עד כדי איזומורפיזם), וכל מודול פרויקטיבי הוא חופשי.
אם חוג קומוטטיבי מקומי ו- האידיאל המקסימלי שלו, אז כל איבר מחוץ ל- הוא הפיך.
יהי חוג קומוטטיבי עם יחידה, ו- תת-קבוצה של , המכילה את 1 וסגורה לכפל, ואינה מכילה את 0. המיקום של ב- הוא החוג , שבו החיבור של שברים מוגדר לפי , והכפל לפי .
החוג החדש מכיל את החוג , ויש התאמה חד-חד-ערכית בין סריג האידיאלים שלו, לסריג האידיאלים של הזרים ל-.
אם אידיאל ראשוני של , אז המיקום של ביחס ל- הוא החוג .
זהו חוג מקומי, שהאידיאל המקסימלי היחיד שלו הוא .
מיקום של חוג המספרים השלמים באידיאל הראשוני נותן את החוג , שהאידיאל המקסימלי היחיד שלו נוצר על ידי .
השלמה של החוג הזה ביחס לטופולוגיה ה-p-אדית נותנת את חוג השלמים ה-p-אדיים, , שגם הוא מקומי.
כל חוג מקומי סופי שכל האידיאלים שלו ראשיים הוא חוג מנה של חוג שלמים בשדה מקומי.
כל חוג מהצורה , כאשר אידיאל מקסימלי של , הוא מקומי.
ישנם מקורות (ובפרט בכתבי בורבקי) שבהם המושג "חוג מקומי" מתייחס לחוג שהוא מקומי ונתרי (ואז חוג מקומי סתם נקרא "קוואזי-מקומי").
אכן, החוגים המקומיים המופיעים בגאומטריה אלגברית הם כמעט תמיד נתריים.
לחוגים מקומיים נתריים יש כמה תכונות חשובות: וולפגנג קרול, שהיה הראשון שחקר חוגים מקומיים, הוכיח (ב-1938) ש-, כאשר הוא האידיאל המקסימלי היחיד.
לחוגים מקומיים נותריים יש ממד קרול סופי, נאמר , ואז יש איברים בחוג כך שהרדיקל של הוא האידיאל המקסימלי, .
לכל חוג מקומי יש השלמה, שהיא הגבול הפרויקטיבי .
החוג שלם אם הוא שווה להשלמה שלו.
משפט המבנה של כהן (1946) מתאר חוגים מקומיים נתריים שלמים: כל חוג מקומי נתרי שלם (המכיל שדה) הוא חוג מנה של .
חוג מקומי נתרי הוא רגולרי, אם אפשר ליצור באמצעות יוצרים את האידיאל המקסימלי עצמו.
תכונה זו שקולה לכך שהממד של (כמרחב וקטורי מעל שדה השאריות ) שווה ל-; וגם לכך שהחוג המדורג איזומורפי לחוג הפולינומים ב- משתנים מעל .
כל חוג מקומי רגולרי הוא בעל חיתוך שלם; כל חוג בעל חיתוך שלם הוא גורנשטיין; וכל חוג גורנשטיין הוא כהן-מקולי.
חוג מקומי (קומוטטיבי) ארטיני , עם אידיאל מקסימלי N, הוא ראשי (כלומר, כל האידיאלים שלו ראשיים) אם ורק אם עצמו ראשי.
במקרה זה, כל עוד המנה אינה מתאפסת, הממד של כל מעל שדה השאריות הוא 1. את הסיעוף של מודד המספר , כאשר ; החוג נקרא מסועף אם .
חוג מקומי ארטיני ראשי הוא מנה של תחום הערכה דיסקרטית שלם, , ויתרה מזו, אינו מסועף אם ורק אם אינו מסועף.
אם המאפיין של שווה לזה של , אז עבור מתאים.
אחרת, המאפיין של חיובי, ואז קיים חוג הערכה דיסקרטית שלם לא מסועף יחיד ששדה השאריות שלו הוא ; במקרה זה כאשר הוא פולינום אייזנשטיין.
אם מסועף באופן מבוית (כלומר אבל אינו מתחלק במאפיין של ) אפשר לדייק יותר: , כאשר והתמונה של ב- יחידה עד-כדי כפל בחזקת- והפעלה של אוטומורפיזם של .
חוג לא קומוטטיבי נקרא מקומי אם יש לו אידיאל שמאלי מקסימלי יחיד; במקרה זה, יש לו גם אידיאל ימני מקסימלי יחיד, ואידיאל מקסימלי זה הוא דו-צדדי.
לכן יש לחוג אידיאל מקסימלי יחיד.
חוג המנה ביחס אליו הוא חוג עם חילוק.
משפט קפלנסקי (כל מודול פרויקטיבי הוא חופשי) מתקיים גם לחוגים מקומיים לא קומוטטיביים.
מודול שחוג האנדומורפיזמים שלו הוא מקומי נקרא אי-פריק בחֹזקה (strongly indecomposable).
במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית, חוג מקומי רגולרי הוא חוג מקומי נתרי בעל התכונה שמספר היוצרים המינימלי של האידיאל המקסימלי שלו שווה לממד קרול שלו.
כל חוג מקומי רגולרי הוא תחום פריקות יחידה.
מספר היוצרים המינימלי תמיד חסום מלמטה על ידי ממד קרול.
במילים אחרות, אם חוג מקומי עם אידיאל מקסימלי , אז מספר היוצרים של הוא לפחות המימד , והחוג רגולרי אם אפשר למצוא לאידיאל המקסימלי יוצרים.
מספר היוצרים המינימלי של שווה לממד של כמרחב הווקטורי מעל שדה השאריות .
חוגים מקומיים רגולריים הוגדרו לראשונה על ידי וולפגנג קרול, אך חשיבותם הרבה התגלתה בעבודתו של אוסקר זריצקי אשר הראה כי מבחינה גאומטרית, חוגים מקומיים רגולריים מתאימים לנקודות חלקות על יריעות אלגבריות: נניח כי היא יריעה אלגברית המוכלת במרחב האפיני ה--ממדי, ונניח כי מוגדרת להיות האפסים המשותפים של הפולינומים .
אם נקודה ב-, אומרים כי היא לא-סינגולרית ב-
אם מתקיים תנאי היעקוביאן: אם היא מטריצת הנגזרות החלקיות של המשוואות המגדירות את היריעה אז דרגת שווה ל-.
זריצקי הוכיח כי לא סינגולרית בנקודה אם ורק אם החוג המקומי של ב- הוא חוג מקומי רגולרי.
בפרט, נובע מכך כי העובדה שנקודה על יריעה היא חלקה תלויה רק ביריעה עצמה ולא בשיכון זה או אחר שלה במרחב האפיני.
כמו כן, עובדה זו מרמזת על כך שלחוגים מקומיים רגולריים יש תכונות "טובות" המקלות על עבודה איתם, אך בטרם הוצגו טכניקות מאלגברה הומולוגית הוכחו רק תוצאות מעטות בכיוון זה.
לאחר ששיטות הומולוגיות הומצאו בשנות ה-50 של המאה ה-20, Auslander ו-Buchsbaum הוכיחו כי כל חוג מקומי רגולרי הוא תחום פריקות יחידה.
תכונה נוספת הנובעת מאינטואיציה גאומטרית היא שביצוע לוקליזציה לחוג מקומי רגולרי צריכה לתת חוג מקומי רגולרי.
דוגמה לאינטרפרטציה גאומטרית של תכונה זו היא שאם משטח אלגברי מכיל עקום אלגברי, ואם העקום הוא חלק, אז סמוך לעקום גם המשטח הוא חלק.
גם תוצאה זו נשארה בלתי פתורה עד להצגתן של שיטות הומולוגיות.
ז'אן-פייר סר גילה אפיון הומולוגי של חוגים מקומיים רגולריים: חוג מקומי נתרי הוא רגולרי אם ורק אם יש לו ממד גלובלי סופי.
קל להראות כי התכונה של להיות בעל ממד גלובלי סופי נשמרת תחת לוקליזציה, ולפיכך לוקליזציה של חוג מקומי רגולרי באידיאל ראשוני היא שוב חוג מקומי רגולרי.
כמו כן, תכונה זו מאפשרת להגדיר את המושג חוג רגולרי עבור חוגים שאינם בהכרח מקומיים: חוג נקרא רגולרי אם הלוקליזציה שלו בכל אחד מהאידיאלים הראשוניים שלו נותנת חוגים מקומיים רגולריים.
תכונה זו שקולה לכך של- ממד גלובלי סופי.
אם הוא חוג רגולרי אז חוג הפולינומים וחוג טורי החזקות הפורמליים גם הם רגולריים.
כל שדה הוא חוג מקומי רגולרי.
לשדות יש ממד קרול 0, ולמעשה השדות הם בדיוק החוגים המקומיים הרגולרים מממד 0.
כל תחום הערכה דיסקרטית הוא חוג מקומי רגולרי מממד 1, וגם להפך - כל חוג מקומי רגולרי מממד 1 הוא תחום הערכה דיסקרטית.
אם הוא מספר ראשוני, אז חוג השלמים ה-p אדיים הוא דוגמה לתחום הערכה דיסקרטית, ולכן חוג מקומי רגולרי, שאינו מכיל אף שדה.
באופן כללי, אם הוא שדה ו- הם משתנים, אז הוא חוג מקומי רגולרי מממד קרול .
אם הוא חוג המספרים השלמים ו- הוא משתנה אז החוג (הלוקליזציה של חוג הפולינומים עם מקדמים שלמים באידיאל זה) הוא דוגמה לחוג מקומי רגולרי מממד 2 שאינו מכיל שדה.
במתמטיקה, חוג מנה הוא בניה בתורת החוגים הדומה לבניה של חבורות מנה בתורת החבורות.
בהינתן חוג ואידיאל דו-צדדי , ב- בונים את חוג המנה .
מבחינה אינטואיטיבית, מתקבל מ- על ידי איפוס של כל איברי .
בהינתן חוג ואידיאל דו-צדדי , ניתן להגדיר יחס שקילות על על ידי: אם ורק אם , ואומרים כי שקול ל- מודולו .
מחלקת השקילות של איבר ב- נתונה על ידי: .
מחלקה זו נקראת מחלקת השקילות של מודולו .
את אוסף מחלקות השקילות מסמנים ב-.
קבוצה זו הופכת לחוג, חוג המנה מודולו על ידי הפעולות:
מתכונת הבליעה של אידיאל דו-צדדי נובע כי פעולות אלה מוגדרות היטב (כלומר – הן אינן תלויות בנציגים אשר נבחרים למחלקות השקילות).
איבר האפס של מוגדר להיות ואיבר היחידה (ביחס לכפל) מוגדר להיות .
ביחס לפעולות ואיברים אלו, הוא חוג.
ההעתקה המוגדרת על ידי היא הומומורפיזם של חוגים, ומההגדרה של נובע כי זהו הומומורפיזם על.
אם הוא חוג חילופי, ו- הוא אידיאל ב-, אז גם הוא חוג חילופי; ייתכן כי הוא חילופי בעוד ש- אינו.
הגרעין של ההעתקה הטבעית שווה ל-.
כיוון שהגרעין של הומומורפיזם של חוגים הוא תמיד אידיאל (דו-צדדי), ניתן לומר כי אידיאלים הם בדיוק גרעינים של הומומורפיזמים.
ביתר כלליות, ההומומורפיזמים המוגדרים על חוג המנה שקולים להומומורפיזמים של חוגים המוגדרים על ואשר מתאפסים על .
ליתר דיוק, בהינתן אידיאל דו-צדדי בחוג והומומורפיזם של חוגים אשר גרעינו מכיל את , קיים הומומורפיזם יחיד כך ש-.
ההעתקה מוגדרת על ידי הכלל .
כמסקנה מכך מתקבל משפט האיזומורפיזם עבור חוגים: כל הומומורפיזם של חוגים משרה איזומורפיזם בין חוג המנה לתמונה .
בחוג חילופי מתקיים שאידיאל הוא ראשוני אם ורק אם חוג המנה הוא תחום שלמות.
יתר על כן, הוא אידיאל מקסימלי אם ורק אם הוא חוג פשוט, ובמקרה הקומוטטיבי זה שקול להיותו שדה.
באמצעות ההעתקה הטבעית מ- ל- ניתן להוכיח כי ישנם קשרים רבים בין האידיאלים בחוגים אלו: ישנה התאמה חד-חד-ערכית בין האידיאלים ב- המכילים את לבין האידיאלים של .
יתר על כן, אם הוא אידיאל ב- המכיל את , ו- היא התמונה שלו ב-, אז חוגי המנה ו- איזומורפיים.
ולכן מתקיים ש- ראשוני/מקסימלי אם ורק אם מקסימלי/ראשוני.
הדוגמאות הקיצוניות ביותר של חוגי מנה מתקבלות מה"אידיאלים הקיצוניים ביותר" בחוג – אידיאל האפס והחוג כולו.
עובדות אלו מתאימות לכלל האצבע לפיו ככל שהאידיאל "גדול יותר" כך החוג "קטן יותר".
בחוג המספרים השלמים , נסמן ב את האידיאל המכיל את כל הכפולות של מספר שלם נתון .
עבור מתקיים אם ורק אם ל- יש אותה שארית חלוקה ב-.
לכן, חוג המנה מכיל איברים – מחלקות השקילות תחת יחס החלוקה: .
מבנה זה מקבל מבנה של חוג המנה מפעולות החיבור והכפל במספרים השלמים, והופך לחוג בפני עצמו – זהו חוג בסיסי במתמטיקה.
בחוג הפולינומים מעל שדה המספרים הממשיים , יהי , האידיאל המכיל את כל הכפולות של הפולינום .
חוג המנה איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים.
הסיבה לכך היא שהמחלקה של האיבר מקיימת ש-, ולכן [x] הוא שורש ריבועי של מינוס אחד.
באופן יותר כללי, חוגי מנה משמשים לבניית שדות הרחבה.
נניח כי הוא שדה וכי הוא פולינום אי פריק ב-.
המנה היא שדה המכיל את ושהאיבר שבו מקיים שהפולינום המינימלי שלו מעל שווה ל-.
שימוש חשוב בדוגמה האחרונה מתעורר בבעיית הבניה של שדות סופיים.
לדוגמה, עבור , השדה בעל 3 איברים, הפולינום הוא אי-פריק מעל (שכן אין לו שורשים), וניתן לבנות את חוג המנה .
כל שדה סופי ניתן לבניה בדרך זו תוך שימוש בשדות מסדר ראשוני ופולינום אי פריק מכל מעלה.
חוגי הקואורדינטות של יריעות אלגבריות מהווים דוגמה חשובה לחוגי מנה המופיעה בגאומטריה אלגברית.
לדוגמה, עבור היריעה , ניתן לזהות את חוג הפונקציות הפולינומיות על היריעה עם חוג המנה , וזהו חוג הקואורדינטות של .
ניתן ללמוד על הגאומטריה של על ידי חקירה של חוג זה.
נניח כי היא יריעה דיפרנציאלית וכי היא נקודה על .
בחוג – חוג הפונקציות החלקות על , יהי האידיאל של הפונקציות החלקות אשר מתאפסות בסביבה כלשהי של .
חוג המנה נקרא חוג הנבטים של ב-.
באמצעות חוג זה ניתן ללמוד על הגאומטריה של קרוב ל-.
חוג נעול מופע הוא מעגל אלקטרוני שאות המוצא שלו הוא בעל תדר הנעול על תדר האות בכניסה, אשר שולט בתדר ובמופע של מתנד, כך שהמופע של מוצא המתנד יתאים למופע של אות הייחוס.
ה-PLL מאפשר לייצר תדר קבוע ומדויק (לרוב כפולה או חלוקה של תדר הייחוס במספר שלם או בחלוקת מספרים שלמים), לפענח אות רצוי מתוך תווך תקשורת רועש, או כחלק ממערך ייצור שעונים במעגלים ספרתיים.
ניתן להבחין בין PLL אנלוגי, בו יש VCO (מתנד מבוקר מתח), ובין PLL דיגיטלי, בו יש מעגל דיגיטלי השקול ל־VCO האנלוגי.
ה-PLL נפוץ במשדרי ומקלטי רדיו וטלוויזיה, רכיבי מחשבים, והתקני תקשורת כגון טלפונים סלולריים, Wi-Fi, ADSL ועוד, אך גם בתחומים רחוקים יותר כמו מוזיקה אלקטרונית והולכת חשמל בין תחנות כוח.
המימוש של ה-PLL מבוצע בדרך כלל ברכיב אלקטרוני יחיד.
כיום קיימים רכיבים המכילים מעגלי PLL רבים הפועלים במקביל ומייצרים תדרים רבים.
מעגלים כאלה מכונים לעיתים בשם סינתסייזר.
כאשר יש אות בעל ספקטרום תדרים לא רציף (שהוא מקוטע מדי פעם), PLL יכול לייצר אות באותו תדר אך רצוף.
משתמשים ב־PLL גם כדי להכפיל או לחלק תדר במספר מסוים.
במקרה שיש אות שתדירותו משתנה (אות מאופנן תדר), PLL יכול לחלץ את האות המאפנן, כלומר לייצר את האות שלפיו משתנה התדר.
המתח המוזן ל־VCO משתנה כדי לעקוב אחרי תדר האות בכניסה ולפיכך הוא שיחזור האות המאפנן.
באלגברה, חוג חבורה הוא מודול חופשי מעל חוג יחד עם פעולת כפל המתאימה לחבורה .
לחוג החבורה חשיבות רבה בתחום תורת ההצגות.
יהא חוג ו- חבורה, אז חוג החבורה מוגדר להיות המודול החופשי מעל ש- הוא בסיס שלו, עם הכפל המושרה מ-.
אברי חוג החבורה הם הפונקציות מ- ל- עם תומך סופי, כלומר פרט למספר סופי של .
החיבור והכפל בסקלר מוגדרים ע"י
כאשר הם איברים בחוג, ו- הוא סקלר.
הכפל של שני איברים מוגדר על ידי קונבולוציה
מאחר ש- מתאפסות פרט למספר סופי של אז הסכום הנ"ל סופי ולכן מוגדר היטב.
נסמן ב- את הפונקציה שמקבלת 1 ב- ואפס אחרת, אז כל איבר ניתן לייצוג על ידי:כאשר הסכום הנ"ל סופי לפי הגדרת חוג החבורה.
מכאן מקבלים שחוג החבורה נפרש כמודול על ידי הקבוצה וניתן להראות שקבוצה זו מהווה בסיס למודול.
הכפל של איברי החוג בייצוג זה מתקבל ע"י:
לעיתים נוהגים לסמן את על ידי איבר החבורה ואז איברי חוג החבורה הם האיברים מהצורה כאשר הם כולם אפס פרט למספר סופי.
תת-החוג של חוג החבורה (כאשר הוא האיבר הנייטרלי של החבורה) איזומורפי לחוג .
חבורת האיברים ההפיכים של חוג החבורה , מכילה תת-חבורה איזומורפית לחבורה - זו התת-חבורה (כאשר 1 הוא היחידה של החוג ).
אם החוג והחבורה הם קומוטטיביים, אז גם חוג החבורה הוא קומוטטיבי.
אם היא תת-חבורה של אז הוא תת-חוג של .
בצורה דומה, אם הוא תת-חוג של אז הוא תת-חוג של .
אם שדה סגור אלגברית (או כל שדה המפצל את החבורה, כלומר שדה שמעליו מתפרקת לסכום ישר של חוגי מטריצות מעל ) אז מספר חוגי המטריצות המשתתפים בסכום (השווה למשל למספר האידיאלים המקסימליים של החוג) שווה למספר מחלקות הצמידות בחבורה.
הצגה של חבורה היא מרחב וקטורי (מעל שדה כלשהו) יחד עם הומומורפיזם .
על כל הצגה של יש מבנה טבעי של מודול מעל .
בנייה זו, מגדירה שקילות קטגורית בין קטגוריית ההצגות של וקטגוריית המודולים מעל .
חוג החבורה מהווה בפני עצמו הצגה של בשתי צורות שונות: פעולה על ידי כפל משמאל, פעולה על ידי כפל מימין (כדי שזאת תהיה הצגה יש להפוך תחילה את האיבר הפועל).
הצגות אלה נקראות "ההצגה הרגולרית השמאלית" ו-"ההצגה הרגולרית הימנית" בהתאמה.
יחד הן מגדירות את ההצגה הרגולרית הדו-צדדית, שהיא הצגה של .
אם סופית ו- סגור אלגברית ממציין 0, אז קיים איזומורפיזם:
כאשר היא קבוצת ההצגות האי-פריקות של .
האיזומורפיזם הוא גם של אלגבראות וגם של הצגות של .
בעוד שבחקר חוגי החבורה (ובפרט אלגברות החבורה) של חבורות סופיות ישנם כלים כמו משפט משקה, המאפשרים לפענח את מבנה החוג (ודרכו, יש לקוות, את מבנה החבורות), במקרה בו החבורה אינסופית, חוג החבורה יכול להיות בעל מבנה מסובך ביותר.
אם שדה הבסיס הוא שדה ממאפיין אפס, חוג החבורה ראשוני למחצה לכל חבורה.
חוג החבורה הוא ראשוני אם ורק אם חוג הבסיס, , הוא ראשוני וגם לחבורה אין תת-חבורות נורמליות סופיות (לא טריוויאליות).
הדבר מתיישב עם הידוע מן המקרה הסופי, שם אלגברת החבורה לעולם איננה ראשונית (מכיוון שהחבורה כולה נורמלית סופית, ואמנם בכל חבורה יש לפחות שתי מחלקות צמידות ומכאן שהאלגברה מתפרקת למכפלה של חוגים).
אלגברת החבורה (מעל שדה) היא תחום אם החבורה היא הרחבה חסרת פיתול של חבורה פתירה בחבורה סופית.
אלגברת החבורה מעל שדה היא פרימרית אם ורק אם אין בחבורה איברים מסדר סופי שמחלקת הצמידות שלהם סופית.
פורמנק הוכיח שעבור חבורה שהיא מכפלה חופשית של חבורות גדולות דיין, אלגברת החבורה פרימיטיבית; אלגברת החבורה היא פרימיטיבית למחצה מעל כל שדה שאינו אלגברי מעל תת-השדה הראשוני שלו.
חוג חבורה מקיים זהויות פולינומיות אם ורק אם החבורה כמעט-אבלית (virtually abelian, כלומר מכילה תת-חבורה אבלית מאינדקס סופי).
השערות קפלנסקי עוסקות באיברים של אלגברת החבורה (מעל שדה) של חבורה חסרת פיתול.
את החוג אפשר להגדיר גם כאשר מונואיד (ולאו דווקא חבורה).
אחד ההישגים היפים של תורת ההצגות של מונואידים הוא המשפט הבא (Kovacs, Okninski-Putcha, 1990):
אם חזקה של ראשוני ו- שדה ממאפיין זר ל-, אז כאשר הוא מספר תת-המרחבים מממד של .
אחת השאלות היסודיות לגבי חוג החבורה היא בעיית האיזומורפיזם: האם חוג החבורה קובע את החבורה G.
בעיית האיזומורפיזם קשורה להשערות זסנהאוז, העוסקות באיברים ההפיכים של .
נסמן ב- את האיברים שסכום המקדמים שלהם 1 (זוהי חבורה כפלית).
(השערת זסנהאוז הראשונה) כל איבר מסדר סופי ב- צמוד (ב-) לאיבר של עד כדי סימן.
(השערת זסנהאוז השלישית) כל תת-חבורה סופית של צמודה (כנ"ל) לתת-חבורה של .
(השערת זסנהאוז השנייה) אם תת-חבורה של שסדרה שווה לזה של ו-, אז צמודה (כנ"ל) ל-.
השערה 3 גוררת את השערות 1 ו-2. השערה 2 גוררת פתרון לבעיית האיזומורפיזם (מעל השלמים).
ידוע שהשערות אלה נכונות עבור חבורה נילפוטנטית.
השערה 1 (וממילא גם 3) אינה נכונה באופן כללי.
בעיית האיזומורפיזם המודולרית, השואלת האם חוג החבורה של חבורת-p G קובע את החבורה, הופרכה.
גם השערת קפלנסקי (האיברים ההפיכים באלגברת החבורה של חבורה חסרת פיתול מעל שדה הם כפולות בסקלר של אברי החבורה) הופרכה.
אחת השיטות העיקריות לחקר חבורות אינסופיות הוא באמצעות ציודן בטופולוגיה מתאימה.
חבורה שהיא גם מרחב טופולוגי (כך שפעולת הכפל היא העתקה רציפה) נקראת חבורה טופולוגית.
לרוב המושגים של תורת החבורות (למשל: הומומורפיזם או הצגה) יש גרסה טופולוגית, בה אנו דורשים מההעתקות להיות רציפות.
אם המושג מערב שדה אז יש להגדיר טופולוגיה עליו.
ניתן אמנם להשתמש בהגדרה הכללית של אלגברת החבורה גם עבור חבורה טופולוגית, אבל היא איננה מתייחסת לטופולוגיה, ולכן אינה מתאימה לחקר החבורה כחבורה טופולוגית.
קשה לתת הגדרה כללית של אלגברת החבורה של חבורה טופולוגית שתיקח בחשבון את הטופולוגיה.
הסיבה לכך היא שמושג הקונבולוציה הוא בעייתי עבור חבורה טופולוגית כללית.
עבור סוגים מסוימים של חבורות טופולוגיות ניתן להגדיר את חוג החבורה בכמה אופנים.
לצורך הפשטות נניח מעתה כי חוג המקדמים הוא שדה המרוכבים .
מקרה בו נוח להגדיר את אלגברת החבורה הוא כאשר החבורה קומפקטית.
במקרה כזה קיימת מידת הסתברות יחידה על החבורה שהיא אינווריאנטית לגבי כפל משמאל או מימין באיברי החבורה.
מידה זאת נקראת מידת האר.
אלגברת החבורה של חבורה קומפקטית מוגדרת בדרך כלל כאלגברת הפונקציות הרציפות
בשונה מהמקרה הדיסקרטי, לאלגברת חבורה של חבורה קומפקטית כללית אין יחידה.
עם זאת, רוב התכונות של חבורות סופיות תקפות גם לחבורות קומפקטיות, עם שינויים קלים.
מקרה נוסף שבו ניתן להגדיר גרסה טופולוגית של אלגברת החבורה, הוא כשהחבורה קומפקטית מקומית.
גם במקרה זה ניתן להגדיר את מידת האר, אינווריאנטית משמאל (או מימין), שהיא יחידה עד כדי כפל בסקלר.
מכיוון שהחבורה אינה קומפקטית, מידת האר אינה סופית.
לאלגברת החבורה של החבורה קומפקטית מקומית קיימות שתי גרסאות נפוצות:
אלגברת הפונקציות הרציפות עם תומך קומפקטי .
אלגברת הפונקציות ביחס למידת האר .
ניתן גם להגדיר את אלגברת החבורה בצורה אינווריאנטית יותר (ללא צורך לבחור מידת האר ספציפית, וללא העדפת המידה השמאלית על פני הימנית) בתור אלגברת המידות על , שאותם ניתן לכתוב כמכפלה של מדת האר (כלשהי) ופונקציה רציפה עם תומך קומפקטי (או פונקציה בגרסה השנייה).
מחלקה חשובה של חבורות קומפקטיות מקומית היא חבורות לי.
חבורת לי היא חבורה שנתון עליה מבנה של יריעה חלקה, כך שהעתקת הכפל היא העתקה חלקה.
אם היא חבורות לי אז בנוסף לגרסאות הקודמות של אלגברת החבורה ניתן להגדיר גרסה נוספת:
האלגברה של הפונקציות החלקות על בעלות תומך קומפקטי.
במקרים מסוימים ניתן גם להגדיר אלגבראות גדולות מעט יותר המכילות את פונקציות שוורץ על , דהיינו פונקציות חלקות על אשר דועכות באינסוף בקצב מהיר.
למושג פונקציית שוורץ יש מספר גרסאות, חלקן מוגדרות על חבורת לי כללית, וחלקן דורשות מבנה נוסף (למשל מבנה של חבורה אלגברית ממשית).
בתורת המספרים (ובפרט בתוכנית לנגלנדס) עולה הצורך לדון בסוג נוסף של חבורות קומפקטיות מקומית – חבורות -אדיות.
ברוב המקרים מדובר על תת-חבורות סגורות של חבורת המטריצות ההפיכות מעל שדה המספרים ה-p-אדיים.
באופן כללי מעט יותר, נגדיר חבורת בתור חבורה טופולוגית (האוסדורפית) קומפקטית מקומית שבה לאיבר הנייטרלי בסיס מקומי המורכב מתת-חבורות קומפקטיות פתוחות.
נאמר שחבורה היא בת מנייה באינסוף אם יש לה כיסוי בן מנייה של קבוצות קומפקטיות.
לחבורות אלה יש מידת האר מכיוון שהן קומפקטיות מקומית.
במקרה זה גרסה מוצלחת של חוג החבורה היא חוג הפונקציות של שוורץ על ונסמנו .
זהו חוג הפונקציות מן החבורה לשדה המספרים המרוכבים שהן:
קבועות מקומית (כלומר, לכל נקודה יש סביבה שתמונת הפונקציה עליה קבועה)
בעלות תומך קומפקטי (בת"ק) כלומר, קבוצת האיברים בחבורה שהפונקציה איננה מאפסת הם קבוצה קומפקטית).
שוב על מנת להגדיר את פעולת הכפל (קונבולוציה) יש לבחור מידת האר.
גם כאן ניתן להימנע מזה על ידי הגדרה של מחלקה מתאימה של מידות – מידות שוורץ.
לשם כך יש להתבונן במרחב הדואלי, מרחב התפלגויות.
כלומר, במרחב שהוא מרחב הפונקציונלים הליניאריים על .
מרחב זה מכיל את החוג של התפלגויות בעלות תומך קומפקטי, התומך של התפלגות הוא קבוצת האיברים בחבורה שהצמצום של ההתפלגות לכל סביבה שלהן איננו התפלגות האפס.
את חוג ההתפלגויות בעלות התומך הקומפקטי נסמן .
לחוג זה תת-חוג של ההתפלגויות בעלות תומך קומפקטי וקבועות מקומית (נקבעות על ידי תת-חבורה פתוחה).
באמצעות כפל במידת האר ניתן להגדיר איזומורפיזם
בדומה למקרה הסופי, לחוג החבורה של חבורת יש קשר הדוק להצגות של החבורה.
נגדיר הצגה חלקה (מרוכבת; של חבורת בת מנייה באינסוף) כהומומורפיזם מן החבורה לחבורת האוטומורפיזמים של מרחב וקטורי (לאו דווקא מממד סופי) מעל שדה המספרים המרוכבים כך שהמייצב של כל וקטור במרחב הוא תת-חבורה פתוחה (ניתן לפרש כרגיל את המרחב הווקטורי כמודול מעל החבורה).
במקרה זה תקפה הגרסה הבאה של הלמה של שור: נניח כי הצגה חלקה של חבורת l בת מנייה באינסוף, ונניח שהיא אי פריקה (כלומר אין תת-מרחב אינווריאנטי אמיתי), אזי מכילה אופרטורים סקלריים בלבד.
כעת ניתן לנסח אנלוגיה למקרה של חבורות סופיות: קטגוריית ההצגות החלקות של שקולה באופן טבעי לקטגוריית המודולים מעל .
חוג חתם סופר הן קהילות חרדיות של יוצאי הונגריה וצ'כוסלובקיה, שהוקמו במטרה לשמר את מנהגי הקהילות באוברלנד על פי מורשתו של החת"ם סופר.
קהילת חוג חת"ם סופר נוסדה בארץ ישראל בשנות ה-30, על ידי יוצאי הונגריה וצ'כוסלובקיה.
בבחירות הראשונות למושבה בני ברק, בשנת 1939, הריץ חוג חת"ם סופר במקום רשימה עצמאית, בראשות משה שרייבר, מצאצאי החת"ם סופר.
שרייבר שימש נציג במועצה במשך מספר קדנציות והיה מנאמני החזון איש.
בשנות ה-50 ובשנות ה-60 התפתחו קהילות חוג חת"ם סופר בכמה מקומות בישראל.
המרכז הבולט ביותר היה בבני ברק, שבה נוסדו שלוש קהילות, האחת בראשות הרב יצחק שלמה אונגר, השנייה בראשות הרב יצחק צבי ברנפלד, מצאצאי החת"ם סופר, והשלישית בשיכון ה'.
שני רבני הקהילות שימשו גם כדיינים בבית דינו של הרב שמואל הלוי ואזנר.
קהילתו של הרב אונגר הקימה ישיבה גדולה שבראשה עמדו לצדו ראשי ישיבה נוספים, ובהם הרב יעקב אדלשטיין והרב אשר וייס, וכמשגיח כיהן הרב ישראל משה רוזנפלד, לימים האדמו"ר מדאראג.
הקהילה שבראשות הרב ברנפלד ייסדה בשנות ה-60 תלמוד תורה שנועד בעיקר לילדי הקהילה.
בין תלמידיו של מוסד זה נמנים בני קהילתו של הרב וואזנר בבני ברק.
בתל אביב היו מרכזי הקהילה ברחובות בר כוכבא ואחד העם, בקהילה ברחוב בר כוכבא כיהן כרב רבי יואל פולק וכרב הקהילה ברחוב אחד העם כיהן הרב מרדכי יפה-שלזינגר.
בירושלים עמד בראש הקהילה הרב יששכר דב גולדשטיין, ראש כולל שומרי החומות.
בפתח תקווה עמד בראש הקהילה הרב יעקב שמריהו דייטש ומרכזה ברחוב איכילוב שבמרכז העיר.
קהילות נוספות היו בערים רעננה נתניה באר שבע תפרח וצפת.
עם השנים התדלדלו קהילות חוג חת"ם סופר.
מן הדור הוותיק נותרו שרידים מעטים ורבים מבני הדור השני נטמעו בזרמים החרדיים המרכזיים - החסידים והליטאים.
חלק מתלמידי הישיבות ההונגרים לומד בישיבות נוספות, ובהן ישיבת חכמי לובלין בבני ברק וישיבת ערלוי בירושלים.
לאחר פטירת הרב אונגר התפצלו שני תפקידיו: כרב הקהילה משמש הרב יוסף מאיר אלטמן שקהילתו מתנהלת כיום כמעט כחצר חסידית.
לראשות הישיבה מונה הרב שמואל אליעזר שטרן, דיין בבית דינו של הרב וואזנר.
לאחר פטירת הרב ברנפלד התמנה כרב הקהילה הרב משה בנדיקט.
לאחר פטירת הרב יפה-שלזינגר, רב הקהילה בתל אביב, לא מונה לו ממלא מקום בשל הידלדלות הקהילה המקומית.
לאחר פטירת הרב יעקב שמריהו דייטש, רב הקהילה בפתח תקווה, מונה בנו הרב חיים יהודה דייטש לממלא מקומו.
כרב קהילת חוג חת"ם סופר בירושלים שימש הרב נפתלי הירצקא פרנקל, לאחר פטירתו ירש את מקומו בנו הרב אהרן שמואל פרנקל.
אחד ממוקדי הכוח המרכזיים של קהילות חוג חת"ם סופר הוא מערכת הכשרות למהדרין שהן מפעילות בנפרד – בבני ברק ובפתח תקווה.
בשנות ה-70 הנחה הרב שמואל הלוי ואזנר את מערכת הכשרות של חוג חת"ם סופר בבני ברק, וחתימתו התנוססה על מוצרים שבהכשרה.
בראש המערכת עמד הרב דב לנדא, חסיד גור, עד שעזב בשנת 2015. מאז מכהן הרב יוסף מאיר אלטמן ועסקן גור יהודה בסר.
בשנת תשפ"ד (2024) התברר כי מוצרים שיוצרו בספרד ובצרפת תחת הכשר בד"ץ חתם סופר בני ברק קיבלו השגחה ללא פיקוח ממשי ועל סמך דיווחים לא מהימנים.
הרב שמואל אליהו, רב העיר צפת, פרסם מכתב בו קבע כי מוצרים אלו אינם כשרים.
במקביל, רבני הכשרות הסירו את השגחתם ממוצרים אלו שיובאו מספרד ומצרפת.
בעקבות המקרה זומן גוף ההכשרות לשימוע ברבנות הראשית ואף ננזף.
בתורת החוגים, חוג מקומי למחצה הוא חוג כך שהמנה היא חוג פשוט למחצה ארטיני, כאשר הוא רדיקל ג'ייקובסון.
החוגים המקומיים-למחצה הקומוטטיביים הם אלו שיש להם מספר סופי של אידיאלים מקסימליים.
חוג הוא מקומי למחצה אם ארטיני.
מכיוון ש- ממילא פרימיטיבי למחצה, נובע מיד שהמנה פשוטה למחצה, כלומר (לפי משפט ודרברן-ארטין) סכום ישר של חוגי מטריצות מעל חוגים עם חילוק.
בכל חוג קומוטטיבי נתרי , אוסף האיברים שהם מחלקי אפס מוכל באיחוד סופי של אידיאלים ראשוניים.
משום כך, חוג השברים הקלאסי של , המתקבל בתהליך של מיקום על ידי היפוך כל האיברים הרגולריים (היינו שאינם מחלקי אפס) הוא מקומי למחצה.
חוג דדקינד מקומי למחצה הוא ראשי.
במילים אחרות, לכל חוג דדקינד שאינו תחום ראשי יש אינסוף אידיאלים מקסימליים.
חוג הוא מקומי למחצה אם ורק אם יש פונקציה , כך ש- לכל , ו- הפיך אם ורק אם .
יש דרכים רבות לקבל חוגים מקומיים למחצה.
חוג מקומי הוא מקומי למחצה.
מכפלה סופית של חוגים מקומיים היא מקומית למחצה.
חוג מטריצות מעל חוג מקומי הוא מקומי למחצה.
כל חוג שהוא מודול סופי מעל תת-חוג קומוטטיבי שהוא מקומי למחצה, גם הוא מקומי למחצה.
אם הוא חוג ארטיני שמאלי, ו- הוא תת-חוג כך שמודול המנה ארטיני מעל , אז מקומי למחצה.
אם חוג הוא "קלאסי" (כל איבר שאינו מחלק אפס הוא הפיך), ומקיים את תנאי השרשרת העולה על מאפסים ימניים ועל מאפסים שמאליים, אז הוא מקומי למחצה.
אם יש לחוג מספר סופי של אידיאלים מקסימליים, אז הוא מקומי למחצה (ההפך נכון במקרה הקומוטטיבי, אבל לא במקרה הכללי).
כל חוג אנדומורפיזמים של מודול ארטיני הוא מקומי למחצה.
כך גם חוג האנדומורפיזמים של מודול יוניסריאלי (כזה שתת-המודולים שלו מהווים שרשרת).
כל חוג מקומי למחצה הוא בעל טווח יציב 1, כלומר, אם מכיל איבר הפיך, אז מכיל איבר כזה.
מחלקות של חוגים מקומיים למחצה
כל חוג אנדומורפיזמים של מודול בעל אורך סופי הוא פרימרי למחצה, היינו מקומי למחצה, עם רדיקל ג'ייקובסון נילפוטנטי.
כיסוי פרויקטיבי של מודול הוא מודול פרויקטיבי עם הטלה שהגרעין שלה הוא תת-מודול קטן.
לא לכל מודול יש כיסוי פרויקטיבי, אבל אם הוא קיים, הוא יחיד.
התכונות הבאות שקולות עבור חוג .
חוג המקיים אותן נקרא חוג מושלם (שמאלי).
לכל מודול שמאלי מעל יש כיסוי פרויקטיבי.
כל מודול שטוח הוא פרויקטיבי.
החוג מקומי למחצה, ולכל סדרה של איברים , קיים כך- .
החוג מקומי למחצה, ולכל מודול שמאלי שונה מאפס יש תת-מודול מקסימלי.
החוג מקיים את תנאי השרשרת היורדת על אידיאלים ימניים ראשיים.
חוג מושלם שמאלי אינו בהכרח מושלם ימני.
תחום שלמות מושלם הוא שדה.
אם יש כיסוי פרויקטיבי לכל מודול שמאלי נוצר סופית מעל , החוג מושלם למחצה.
תנאי זה סימטרי להחלפת שמאל וימין.
חוג מושלם (שמאלי או ימני) הוא מושלם למחצה.
חוג הוא מושלם למחצה אם ורק אם הוא מקומי למחצה, ואפשר להרים אידמפוטנטים מ- ל-.
הרמת האידמפוטנטים מקנה לחוגים כאלה מבנה מובהק של חוגי מטריצות.
אכן, אם היא מערכת אורתוגונלית של אידמפוטנטים כך ש- הם המרכיבים הפשוטים של המנה, אז כאשר ; הם תת-חוגים ו- בי-מודולים.
משפט קרול-רמק-שמידט קובע שאם מודול מעל חוג ו- מושלם למחצה, אז מתפרק לסכום ישר סופי של מודולים אי-פריקים, ופירוק זה יחיד עד כדי סדר ואיזומורפיזם של הגורמים.
בין החוגים הקומוטטיביים, חוג מושלם למחצה אינו אלא מכפלה ישרה סופית של חוגים מקומיים.
באלגברה קומוטטיבית, חוג כהן-מקולי הוא חוג נתרי קומוטטיבי, שמיקומיו באידיאלים מקסימליים הם בעלי סדרות רגולריות ארוכות "ככל האפשר" .
חוגי כהן-מקולי מופיעים בהקשרים גאומטריים, קוהומולוגיים וקומבינטוריים.
לדוגמה, חוג השמורות הפולינומיות ביחס לפעולה של חבורה סופית הוא תמיד כהן-מקולי.
ההגדרה של חוג כהן-מקולי היא טכנית למדי.
במקרים רבים ניתן להחליפה על ידי הקריטריון הבא:
משפט יהי תחום שלמות נוצר סופית מעל שדה .
קיים תת-חוג , שאיזומורפי לחוג הפולינומים , כך ש פרויקטיבי ונוצר סופית מעל
לכל תת-חוג , שאיזומורפי לחוג הפולינומים , כך ש נוצר סופית מעל , מתקיים ש- גם פרויקטיבי מעל
לפי משפט קווילן-סוסלין (השערת סר) ניתן להחליף את המילה פרויקטיבי במילה חופשי במשפט למעלה.
סדרת איברים באידיאל של חוג קומוטטיבי היא סדרה רגולרית אם לכל , הוא רגולרי (כלומר, אינו מחלק אפס) בחוג המנה .
לכל הסדרות הרגולריות המקסימליות אותו אורך, והוא אינו יכול לעלות על ממד קרול של החוג.
למשל, בתת-החוג של חוג הפולינומים בשני משתנים מעל השדה , האבר הוא רגולרי, אבל בחוג המנה כפל באיבר (שאינו אפס) שולח לאפס כל איבר של האידיאל המקסימלי הטבעי; לכן 1 הוא האורך המקסימלי של סדרה רגולרית באידיאל הזה, בעוד שהחוג עצמו מממד 2.
חוג נתרי קומוטטיבי מקומי הוא חוג כהן-מקולי אם יש לו סדרה רגולרית שאורכה שווה לממד שלו.
חוג נתרי קומוטטיבי הוא כהן-מקולי אם כל מיקום שלו באידיאל מקסימלי מקיים תכונה זו.
חוג כללי נקרא כהן-מקולי אם"ם כל הלוקליזציות שלו הן חוגי כהן-מקולי.
כל חוג מקומי רגולרי הוא כהן-מקולי.
כל חוג קומוטטיבי ארטיני הוא כהן-מקולי.
כל תחום שלמות נתרי בעל ממד קרול 1 הוא כהן-מקולי.
חוג קומוטטיבי נתרי הוא כהן-מקולי אם ורק אם חוג הפולינומים הוא כזה.
כל מיקום של חוג כהן-מקולי הוא כהן-מקולי בעצמו.
אם הוא כהן-מקולי ו- אידיאל מגובה , אז הסדרה רגולרית, והמנה היא כהן-מקולי.
ההשלמה ה--אדית של חוג מקומי היא כהן-מקולי אם ורק אם החוג עצמו הוא כזה.
אם חוג כהן-מקולי ו- חבורה סופית הפועלת על שסדרה הפיך ב-, אז גם חוג השמורות הוא כהן-מקולי.
בפרט, חוג השמורות הפולינומיות ביחס לפעולה של חבורה סופית (עם סדר זר למאפיין של שדה הבסיס) הוא כהן-מקולי.
תכונה זו נכונה לכל חבורה רדוקטיבית (חבורה שכל הצגה סוף-ממדית שלה מתפרקת לסכום ישר של הצגות אי-פריקות) הפועלת על חוג פולינומים מעל שדה סגור אלגברית.
אם הוא כהן-מקולי ו- לא מחלק 0 אז הוא גם כהן-מקולי.
מכאן שאם אם הוא כהן-מקולי ו-
היא סדרה רגולרית אז הוא גם כהן-מקולי.
לאורך המקסימלי של סדרה רגולרית ב- יש פירוש קוהומולוגי: הוא שווה לערך הקטן ביותר של שעבורו .
גרותנדיק הוכיח שבכל חוג קומוטטיבי נתרי מקומי, אם הוא האורך המקסימלי של סדרה רגולרית ו- הוא הממד, אז שווה לאפס עבור מחוץ לקטע , ושונה מאפס בקצוות.
דרך נוספת לאפיין חוג כהן-מקולי היא באמצעות קוהומולוגיה מקומית:
בהינתן חוג נתרי מקומי , משפטי ההתאפסות ואי ההתאפסות של גרותנדיק קובעים כי
וכי , כאשר מסמל את אורכה המקסימלי של הסדרה הרגולרית באידיאל המקסימלי.
לפיכך, חוג כזה הוא כהן-מקולי אם ורק אם הקוהומולוגיה המקומית שלו מרוכזת במעלה בודדת, שהיא בהכרח ממד קרול של החוג.
מסקנה מיידית מאפיון זה וממשפט הדואליות המקומית של גרותנדיק הוא שאם לחוג מקומי קיים קומפלס מדאל (Dualizing complex), אז החוג הוא כהן-מקולי אם ורק אם אותו קומפלס דואליזנטי מרוכז במעלה אחת, כלומר הוא Dualizing module.
השערת באס (Bass), אשר הוכחה על ידי Peskine ו-Szpiro מציעה אפיון נוסף של חוגי כהן-מקולי.
חוג נתרי מקומי הוא כהן-מקולי אם ורק אם קיים מעליו מודול נוצר סופית השונה מאפס ובעל ממד אינג'קטיבי סופי.
חוג כהן-מקולי מקומי , עם אידיאל מקסימלי , נקרא חוג גורנשטיין אם ההשלמה ה--אדית של שווה ל-, כאשר הוא הסגור האינג'קטיבי של המודול ו- כדלעיל.
באופן שקול, חוג נתרי מקומי הוא גורנשטיין אם ורק אם יש לו ממד אינג'קטיבי סופי מעל עצמו.
כל חוג מקומי רגולרי הוא גורנשטיין.
יהי שדה, אז חוג טורי החזקות הפורמליים הוא גורנשטיין אבל אינו רגולרי.
חוג טורי החזקות הפורמליים הוא כהן-מקולי אבל אינו גורנשטיין.
אם לחוג מקמי קיים קומפלקס מדאל, אז הוא גורנשטיין אם"ם הקומפלקס המדאל שלו הוא החוג עצמו (מוזז למקום המתאם כקומפלקס)
חוג מקומי נקרא חוג חיתוך מלא אם קיים חוג רגולרי וסדרה רגולרית כך ש .
כלומר ההשלמה האדית של החוג באידיאל המקסימלי היא מנה של חוג רגולרי על ידי סדרה רגולרית.
כל חוג חיתוך מלא הוא גם גורנשטיין ולכן גם כהן מקולי.
אם הוא חוג מקומי עבורו קיים קומפלקס מדאל אז מודול נוצר סופית מעל נקרא כהן מקולי אם מרוכז במקום אחד.
במקרה כזה, מקום זה הוא הממד של .
חוג הוא כהן מקולי אם ורק אם הוא כהן מקולי כמודול מעל עצמו.
במקרים רבים ניתן להסיק את היותו של מודול כהן-מקולי מעל חוג אחד מכך שהוא כהן-מקולי מעל חוג אחר.
משפט: אם הוא מודול נוצר מעל מכפלה של חוגים שנוצר סופית מעל כל אחד מהם אז הוא כהן-מקולי מעל אםם הוא הוא כהן-מקולי מעל
ממשפט זה (וממשפט הנורמליזציה של נתר) קל להסיק את הקריטריון בראש הערך.
חוג המטריצות הוא חוג הנתון מעל חוג בסיס קבוע, שאבריו הם המטריצות מסדר נתון שרכיביהן שייכים לחוג הבסיס.
בניית חוגי מטריצות היא אחת הבניות הבסיסיות בתורת החוגים.
הקשר בין חוג המטריצות לחוג המקדמים הדוק למדי; תוספת המטריצות מעשירה את מגוון האפשרויות לטפל בחוג המקורי.
זוהי הדוגמה הקלאסית לחוג לא חילופי; חוגים אי-חילופיים רבים קשורים לחוגי מטריצות, להם תפקיד מרכזי באלגברה לא קומוטטיבית.
כאשר חוג הבסיס הוא שדה, חוגי המטריצות מעליו נחקרים היטב באלגברה ליניארית.
המרכז של חוג מטריצות שווה לאוסף המטריצות הסקלריות מהצורה כאשר שייך למרכז של חוג המקדמים, כלומר .
החבורה הליניארית הפרויקטיבית מוגדרת להיות המנה של חוג מטריצות (ובאופן כללי יותר, חוג אנדומורפיזמים) מעל המרכז שלה, ולה יש חשיבות רבה בגאומטריה אלגברית.
חוג המטריצות (מסדר ) תמיד בעל מחלקי אפס.
יש התאמה מלאה בין האידיאלים של חוג המקדמים לבין האידיאלים של חוג המטריצות: כל אידיאל של חוג המטריצות הוא מהצורה כאשר אידיאל בחוג המקדמים, וחוג המנה ביחס לאידיאל זה הוא .
ביתר כלליות, חוג מטריצות תמיד שקול מוריטה לחוג המקדמים.
חוג המטריצות מסדר איזומורפי לחוג האנדומורפיזמים של המודול החופשי .
באופן כללי יותר, מתקיים לכל מודול שמאלי מעל החוג.
לעיתים דרושות דרכים להוכיח שחוג מסוים הוא חוג מטריצות.
בכל חוג מטריצות יש יחידות מטריצות (), המקיימות את שתי התכונות הבאות:
, כאשר הוא איבר היחידה של חוג המטריצות.
יחידות המטריצות מתחלפות עם אברי חוג המקדמים.
כיוון שאפשר להציג כל איבר בחוג המטריצות (באופן יחיד) כסכום , עם , נוסחאות אלה מגדירות את חוג המטריצות.
למעשה, כל חוג שיש בו מערכת של יחידות מטריצות , איזומורפי לחוג מטריצות מעל תת-החוג (בלי יחידה) .
חוג מטריצות מעל חוג עם חילוק הוא גם פשוט ארטיני, ומשפט ודרברן-ארטין קובע את ההפך - כל חוג פשוט ארטיני איזומורפי לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק.
בפרט, אם שדה סגור אלגברית, כל אלגברה פשוטה מממד סופי מעל היא אלגברת מטריצות, משום שאין אלגברה עם חילוק מעל שדה סגור אלגברית.
חוג הוא פשוט למחצה אם ורק אם כל חוגי המטריצות מעליו פשוטים למחצה.
מפורשות, תת-מודול פשוט (כלומר אידיאל שמאלי מינימלי) של הוא קבוצת מטריצות עם איברים לא אפס רק בעמודה מסוימת, שבה האיברים נלקחים מתת-מודול פשוט של .
רדיקל ג'ייקובסון של מטריצות שווה למטריצות מעל הרדיקל: , ובפרט חוג הוא פרימיטיבי למחצה אם ורק אם על חוג מטריצות מעליו פרימיטיבי למחצה.
חוג פרודון היה חוג אידאולוגי-פוליטי-מהפכני בצרפת ערב מלחמת העולם הראשונה (נוסד ב-1911 מתוך תנועת אקסיון פראנסז) שהשפעתו נודעה עד שנות השלושים.
החוג איגד זרמים שונים, מימין ומשמאל, שהתנגדו לערכי המהפכה הצרפתית, לליברליזם, לקפיטליזם, לדמוקרטיה ולסוציאל-דמוקרטיה בפרט ובזו לשמרנות ולמלוכנות וקרא לסינתזה לאומנית של זרמים אלה.
חוקרים רואים בחוג זה את ראשיתו של הפשיזם הצרפתי.
החוג נקרא על שמו של ההוגה האנרכו-סינדיקליסט פייר-ז'וזף פרודון, אך הושפע בעיקר מתורתו של ז'ורז' סורל.
אידאולוגיית החוג הייתה אנטישמית מובהקת.
יסוד האנטישמיות לא היה שנאת יהודים סתם, אלא עקרון פוליטי ונוסחה לאיחוד שדרות הלאום.
היהודי (הקפיטליסט, הקוסמופוליטי) נתפס כמי שמתסיס, זורע פירוד ומפלג את ההמון ואנטישמיות הייתה הגרעין סביבו יכל להתגבש הרגש הלאומי.
מי שייצג בעבורו את כל השנוא והבזוי בעיניו היה המדינאי היהודי הסוציאל-דמוקרט (ולימים ראש ממשלת צרפת), לאון בלום.