tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
בהיעדר מיטה שלישית, סטיי נאלץ להסתפק בשינה "מלמעלה ועד אצבע" עם ג'יימי.
בלילה השני, הם חולקים ביחד את המיטה.
לאחר עיסוי ושיחה מינורית, הבנים מחליפים במהרה את סידורי השינה וג'יימי מנשק את סטיי בפעם הראשונה.
למחרת בבוקר, סטיי נבהל ועוזב לפני שג'יימי מתעורר, ונמנע מלדבר איתו במשך מספר ימים.
כדי שג'יימי יירגע, הוא גונב את מגזין הגברים האנגלי המיועד להומואים וביסקסואלים, גיי טיימס.
ככל הנראה, הוא החל לקבל את המיניות והחיבה שלו לסטיי.
ג'יימי מוצא לבסוף את סטיי במסיבה סמוכה ומתעמת איתו.
המסיבה מסתיימת רע, כשסנדרה נוקמת בלאה על כך שהיא מרכלת, שלאחר מכן מאיימת "לשפוך את השעועית" על סטיי וג'יימי, ומתוודה על כך שהגנה על סטיי מול אביו ואחיו.
סטיי מגיב בצורה לא טובה, דוחה בכעס את ג'יימי ובורח.
לאט לאט, סטיי מקבל את אהבתו של ג'יימי, והיחסים ביניהם מתחילים להתפתח כשהם מבקרים בגיי בר ביחד.
סנדרה עוקבת אחריהם ומגלה את סודם, והסרט מגיע לשיאו כשטיול גרוע של לאה (על סם ללא שם) מזרז את הפרידה של סנדרה עם טוני.
הידיעה על העבודה החדשה של סנדרה מתגלה, וסנדרה מתעמתת עם סטיי וג'יימי.
סנדרה קיבלה את מערכת היחסים של בנה.
הסרט מסתיים בכך ששני הנערים רוקדים סלואו בחצר לשיר "Dream a Little Dream of Me" של מאמא קאס, בעוד שסנדרה רוקדת לצדם עם לאה כשהתושבים המקומיים מסתכלים עליהם.
חלקם המומים, חלקם לא מסתייגים, וחלקם נהנים מהרגע עצמו.
שחקןדמותגלן בריג'יימי גאנגלסקוט נילסטיי פירסלינדה הנריסנדרה גאנגלבן דניאלסטוניטמקה אמפסוןלאה רוסלג'יילו אדוורדסרוז רוסלאנה קרןמרליןסופי סטנטוןלואיזג'ולי סמית'גינהטרי דוגאןקוויןגארי קופררוני פירסדניאל באוורסטרבור פירסמירה סיאלמיס צ'אוהאןמרטין וולשמר בנטסטיבן מרטיןראיין מקבריידאנדרו פרייזרג'ייסוןג'ון סאבאג'לניאודזמיר מאמודיאליסלאשרג'ון בנפילדרודני בארדייוויד הריסעובד ברבת' גודארדעובדת ברמרלן סיידווייבטיליאן ווארקליירקתרין סנדרסוןקלידייב ליןדראג קוויןג'ונתן הארווימלכת כיסא הגלגלים (ללא קרדיט)
משהו ללבוש (צרפתית: Prêt-à-Porter, "מוכן ללבישה") הוא סרט קולנוע מסוגת דרמה קומית-סאטירי, בבימויו של רוברט אלטמן.
הסרט יצא בשנת 1994, והוא עוסק במתרחש מאחורי הקלעים של עולם האופנה.
בסרט הופעות אורח של ידוענים רבים מתחומי האופנה ומעולם הבידור.
במהלך שבוע האופנה בפריז כשהעיר מלאה בדוגמניות, מעצבי אופנה ועיתונאים, מתרחש רצח של ראש מועצת האופנה הצרפתי על ידי אדם רוסי מסתורי שנמלט, אך נראה כי רעייתו והקולגות שלו לעבודה אינם מצטערים על האירוע.
באותו זמן כתב ספורט אמריקאי שהיה אמור לעזוב את העיר נשלח לסקר את המקרה ובכך מתחיל רומן בינו ובין עיתונאית אופנה אמריקאית בעיר כאשר הם שוהים באותו מלון.
"משהו ישן, משהו חדש" ("something old, something new") – תחילתו של מזמור מסורתי מהתקופה הוויקטוריאנית, "משהו ישן, משהו חדש, משהו שאול, משהו כחול, ומטבע של שישה פני בנעל הכלה".
השורה האחרונה בפזמון זה פחות מוכרת.
פזמון זה מתאר, לפי האמונה העממית, מה אמורה ללבוש או לענוד כלה ביום חתונתה, על מנת שיהיה לה מזל טוב.
הפריט החדש מציין את שמחת הנישואין ותחילת חיים חדשים.
הפריט הישן אמור לספק הגנה ויציבות לתינוק שיבוא.
הפריט השאול מאישה אחרת, שהייתה כלה בעבר וכיום היא אם לילדים, אמור לספק פוריות, והצבע הכחול הוא סימן לנאמנות.
המטבע הכסוף של שישה פני הוא סמל לשגשוג כלכלי.
שילוב כל חמשת הפריטים משמש גם כלחש הגנה נגד עין הרע שאולי נעשתה לזוג על ידי מחזרים מתוסכלים מהעבר.
מדובר בפזמון ישן שמקורו אינו ידוע, ומוזכר בטקסטים כבר במאה ה-19. ניתן למצוא את הפולקלור למשל בטקסט משנת 1898, המתאר את אותו פזמון:
הגרסה הכתובה המוקדמת ביותר המזכירה אמונה זו היא בציטוט של שתי השורות הראשונות מהפזמון בסיפור הקצר "Marriage Superstitions, and the Miseries of a Bride Elect" שהתפרסם במגזין סנט ג'יימס בשנת 1871, כשהדוברת אומרת "ביום החתונה אני חייבת ללבוש משהו חדש, משהו שאול, משהו כחול.'"
הגרסה המודפסת הראשונה לפזמון כולו, מופיעה בעיתון משנת 1876, שדיווח על חתונה שבה "הכלה לבשה, על פי המנהג העתיק, משהו ישן ומשהו חדש, משהו שאול ומשהו כחול."
התוספת "ומטבע של שישה פני בנעלה" היא כפי הנראה תוספת מאוחרת יותר למזמור, אף היא מהתקופה הוויקטוריאנית.
היא משלימה את המנהג העממי שהיה קיים אז.
לפי אותה אמונה, יש לשים את המטבע מתחת עקבה של הכלה בנעל השמאלית.
תיעוד נוסף של אמונה זו מהמאה ה-19, נמצא למשל בטקסט משנת 1894, באירלנד, שם יוחס המנהג לפולקלור של מחוז מונאהן.
שימוש בחמשת הפריטים על ידי כלה ביום חתונתה, הוא מנהג פופולרי אף כיום, בבריטניה ובארצות הברית.
בשנת 2011, בחתונת הנסיך ויליאם וקתרין מידלטון, ענדה הכלה:
משהו ישן - תחרה של קריקמרקרוס.
משהו חדש - זוג עגילי יהלומים שהוכנו לאירוע באופן מיוחד על ידי התכשיטן Robinson Pelham, וניתנו לה על ידי הוריה.
משהו שאול - נזר יהלומים שנעשה על ידי קרטייה שנרכש עבור המלכה האם, ואשר לאחר מכן ניתן למלכה אליזבת השנייה ביום הולדתה ה-18
משהו כחול - סרט קטן שנתפר לחלק הפנימי של השמלה
בשנת 2018, בחתונת הנסיך הארי ומייגן מרקל, לא נצפה פריט כחול חיצוני בהופעתה של הכלה מייגן, דוכסית סאסקס בטקס הנישואים.
העיתונות הצהובה בבריטניה קיימה דיונים ערים בשאלה, האם ה"כחול" שנבחר הוא צבע מדיו הכחולים של הנסיך הארי, או שמא היא ענדה דבר מה כחול מוסתר.
עד שנת 1905, הגיעו המזמור והמנהג לארצות הברית, כמצוין ברומן Purple and Fine Linen מאת אמילי פוסט.
סיפור הקומיקס "ספיידרמן: רגע אחד בזמן" מחולק לארבעה חלקים הנקראים על סמך ארבע השורות העיקריות של המזמור, ומספר את אירועי יום חתונתם המיועד של פיטר פארקר למרי ג'יין ווטסון.
שם הספר של אמלי גיפין נקרא על שם המנהג.
באוסף הסיפורים "חתונה מלכותית" שמספר את סיפור חתונתן של 4 נסיכות דיסני (סינדרלה, רפונזל, טיאנה ובל) בסיפורה של טיאנה מושג דגש רב על השגת ארבעת הפריטים לקראת חתונתה.
("מישהו זקן, אף אחד לא חדש, מרגיש שאול, תמיד כחול").
(בתרגום חופשי: "הלב שלי שאול ושלך הפך כחול").
הקומדיות הרומנטיות Something New ו-Something Borrowed נקראות על שם שני פריטים מתוך הארבעה.
משהב חברה לשכון בנין ופתוח בע"מ המוכרת בשם המקוצר "משהב" היא חברה פרטית ישראלית שנוסדה בשנת 1936 על ידי הסתדרות הפועל המזרחי, ועוסקת בתחום השיכון והבינוי.
בשנת 1936 נוסדה חברת היזמות "משכנות", ששמה המלא היה "משכנות - חברה ליסוד שכונות דתיות בע"מ".
בשנת 1937 נוסדה חברת הבינוי "הבונה" במטרה לספק עבודה בענף הבנייה לפועלים דתיים.
לאחר הקמתן שתי החברות פעלו כחברות קבלניות מבצעות לציבור הדתי לאומי.
החברות נוסדו על ידי הסתדרות הפועל המזרחי בראשות משה קלמר, שכיהן כיושב ראש הדירקטוריון שלהן.
בתחילת 1959, לאחר שנים שבהן התגלגל הרעיון לאחד את החברות, הוחל בפעילות למיזוג החברות.
האיחוד הובא בפני מרכז הפועל המזרחי באפריל 1959 ושתי החברות נקראו יחד "משכנות-הבונה".
בשנת 1960 הושלם המיזוג והחברה קיבלה את שמה החדש: "משהב".
החברה בנתה עשרות אלפי דירות ברחבי ישראל.
בשנת 2003 רכשה חברת משהב מתחם בן 127 דונם באורנית, ובנתה במקום 250 קוטג'ים.
במאה ה-21 עסקה החברה גם במיזמי פינוי בינוי בקריית אונו, ברמת גן ובגבעתיים.
בשנת 2016 עברו משרדיה הראשיים של החברה לפתח תקווה, לאחר כחמישים שנה שבהן שכנו בתל אביב.
באוקטובר 2018 הטילה רשות מקרקעי ישראל על החברה קנס בגובה 30 אלף ש"ח על אפליה במכירת דירות לערבים.
ביולי 2021 הטילה הרשות להגנת הצרכן ולסחר הוגן על החברה עיצום כספי בסך 54 אלף ש"ח, עקב הטעיית צרכנים בפרסום.
ירחון הילדים "משהו" (או בשמו המלא, "משהו: מגזין צעיר") נוסד בשנת 1986 ויצא לאור עד שנת 1992, תחת חסותה של חברת התה ויסוצקי.
באותה שנה שקלו במערכת "עולם האישה", גם הוא בבעלות ויסוצקי, להקים מדור לילדים - וקיבלו החלטה להשקיע בהקמת עיתון שלם לילדים.
עפרה גלברט-אבני, סופרת מוערכת, נבחרה לייסד ולערוך את העיתון.
"זה קורה רק פעם בחיים שנותנים לך משאבים ואומרים לך 'הנה, לך תקים עיתון'.
היינו במערכת רק שלוש עובדות, ונעזרנו בפרילנסרים מבחוץ שהגשימו את המשאלות שלנו.
זה היה העיתון הראשון לנוער שיצא בצבע על נייר כרומו מושקע, עם כל המדבקות והפוסטרים והשטויות.
בגללנו 'מעריב לנוער' עבר לצבע, בגללנו 'כולנו' הרחיב את הצבע, ובגללנו יצא 'מעריב לילדים'.
ניערנו את כל עיתוני הילדים והנוער של אז.
אני זוכרת את הקרבות, את נציגי העיתונים שנכנסו לכיתות והתחרו מי יציע צ'ופרים גדולים יותר למנויים – ברמה של ווקמנים וילקוטים יוקרתיים.
הקושי שלנו היה שלא עמד מאחורינו עיתון, כך שלא קיבלנו פרסום חינם כמו שקיבל למשל 'מעריב לנוער' ב'מעריב'".
'משהו' היה מגזין בוטיק, ביחס למתחרים באותה תקופה.
קוראיו זכו לשלל הטבות ייחודיות, כמו מדבקות עם כיתובים בנוסח קבוע ("דיבור חדיש זה משהו!", "דורון מזר זה משהו!") כדי ליצור תחושה של עיתון מפנק, מעבר לתכנים האיכותיים והמוקפדים ("לא רק פופ ויחסים", לדברי העורכת).
מערכת העיתון עודדה את תרבות הקומיקס הישראלית, בהובלתם של מישל קישקה (והדמות 'מיסטר טי', שנולדה כדמות לקידום מכירות של תה ויסוצקי), טלי קריבולט (עם דמויותיהן של המכשפה 'אהבלה' והחתול שלה, ייתכן בהרשאת הדמויות גרגמל וחתחתול מסדרת הדרדסים) ואמנים נוספים שזכו לחשיפה באמצעותו.
בעיתון פעלו כתבים צעירים לצד כותבים בוגרים וכן פורסמו יצירות ותמונות של קוראי העיתון.
המערכת הפגישה ילדים עם אמנים מפורסמים, שלחה את כתביה למפעלים שונים כדי להסביר לקהל הצעיר איך מייצרים מוצרים שונים, הייתה קשובה לשאלות הקוראים ונתנה להם במה.
"משהו" נסגר בראשית של שנות התשעים בגלל בעיות כלכליות.
ניתן לעיין בכרכיו בספריית בית אריאלה.
1" הוא המיני-אלבום הראשון של הזמר-יוצר הישראלי נאור אורמיה.
את האלבום הוציאה ב-5 במרץ 2020 חברת התקליטים די-מיוזיק.
הוא מונה שלוש רצועות חדשות – "משהו אמיתי", "רוקדת בשבת" ו"אור וחושך" – ורמיקס מועדונים לראשון ביניהם.
אורכה של היצירה עומד על 12 דקות ועשרים ושבע שניות.
"משהו מהסרטים" הוא אלבום האולפן השני של הזמר הישראלי בני אל.
את האלבום הוציאה בשנת 1986 לאור חברת התקליטים האחים ראובני על גבי תקליט ותקליטור.
בניגוד לאלבומו הקודם, "משהו מהסרטים" לא זכה להצלחה גבוהה.
"משהו אמיתי בעיניים" הוא שיר של הזמר הישראלי ששון איפרם שאולוב, שיצא לאור כסינגל ב-30 בינואר 2023. את השיר כתב והלחין שאולוב והפיק מאיר משעלי.
השיר נכנס למקום ה-84 במצעד "היטליסט" של מאקו ב-25 באפריל 2023. בנובמבר 2023, בצל מלחמת חרבות ברזל, נכנס השיר לעשירייה הפותחת במצעד ובשיאו הגיע למקום השלישי.
במצעד העשירייה של כאן גימל, שהתקיים ב-23 בנובמבר, לאחר הפסקה בעקבות המלחמה, נכנס השיר למקום השמיני, והיה לשירו הראשון של שאולוב שנכנס למצעד.
אזורתאריך יציאהפורמטחברת תקליטיםמקורכלל העולם30 בינואר 2023סטרימינג הורדה דיגיטליתהוצאה עצמאית
משהו רענן הוא רומן של הסופר הבריטי פ.
הרומן פורסם במקביל בארצות הברית ובבריטניה בספטמבר 1915, אך תחת כותרים שונים: הגרסה האמריקאית נקראה "משהו חדש",בעוד הגרסה הבריטית נקראה "משהו רענן".
למעט הבדלים מזעריים נוספים, זהו ההבדל העיקרי בין המהדורות.
הרומן מציג את מ, אשר הוא, ביתו ומשפחתו ישובו ויופיעו ברבים מהסיפורים והרומנים הקצרים המאוחרים של וודהאוס.
הסיפור הוא קריקטורה קומית של חיי האצולה האנגלים, וכן של אצולת העושר האמריקאית.
המשרתים בבית הכפר האנגלי, הנתונים להיררכיה מאד נוקשה ומדוקדקת, משתתפים בארוחות ובאירועים חברתיים רבים ומגוונים, ומחקים בבלי דעת את בני האצולה אותם הם משרתים, ואגב כך הם מציגים את אדוניהם וגבירותיהם באור מגוחך ואבסורדי.
אש מרסון וג'ואן ולנטיין מתגוררים בשכנות בבניין דירות להשכרה בכיכר לסטר בלונדון.
הם מתוודעים זה לזו, ומגלים ששניהם עובדים ככותבים בחברת מאמות', הוצאה לאור שאינה בוחלת בספרות עממית המיועדת ל"נערי שליחויות ולבלרים זוטרים".
אש כותב ספרוני פשע והרפתקאות בכריכה רכה, ואילו ג'ואן כותבת סיפורים קצרים לעיתון בשם "רכילות מהבית", עיתון שכולו תבניות גזירה ועצות בענייני אהבה.
נדמה שהאהבה ניצתת גם בין השניים.
ג'ואן דוחקת באש להתגבר על חוסר שביעות הרצון שלו ולמצוא לעצמו כיוון חדש בחיים.
בינתיים, פרדי ת'רפווד, בנו הצעיר של הרוזן מאמסוורת', מתארס לאלין פיטרס, בתו של ג'יי פרסטון פיטרס, שהוא מיליונר אמריקאי.
בעקבות שערורייה שנקשרה בשמו של בן אצולה צעיר אחר, פרדי פוקד את לשכתו של עסקן לונדוני מפוקפק בשם ר' ג'ונס, ומבקש את עזרתו באיתור של צרור מכתבי אהבה ששלח בעבר לנערת מקהלה בה היה מאוהב.
פרדי חושש שמא היא תעשה בהם שימוש ותתבע אותו בגין הפרת הבטחה, כפי שקרה לחברו.
מאוחר יותר, אביו, הרוזן מאמסוורת', מזמין אליו את אביה של אלין, מר פיטרס, וזה מציג בפני הרוזן את אוסף החרפושיות היוקרתי שלו.
תוך כדי הביקור, כאשר דעתו של מר פיטרס מוסחת, מכניס הרוזן לכיסו בפיזור דעת את הפריט היקר ביותר באוסף.
כאשר פיטרס מגלה שהחרפושית נעלמה, הוא חושד ברוזן, אך נמנע מלהתעמת איתו מחשש לסכן את נישואי בתו למשפחת האצולה.
באותו זמן, אלין מחוזרת על ידי ג'ורג' אמרסון, מפקד משטרה המוצב בהונג קונג ונמצא בלונדון לרגל חופשה.
ג'ורג' מבקש מאלין להנשא לו, ולבטל את האירוסין עם פרדי.
לאחר שג'ורג' מתיידד בעצמו עם פרדי ת'רפווד, הוא מוזמן לטירת בלנדינגס, בית המשפחה, לשהות בחברתם באותו סוף שבוע שבו אלין ואביה מגיעים לביקור.
בינתיים, העסקן המפוקפק ר' ג'ונס מאתר את הכתובת של אהובתו לשעבר של פרדי, הלוא היא ג'ואן ולנטיין, נערת המקהלה לשעבר וכותבת הסיפורים בהווה.
הוא מגיע אליה לביקור ומסביר את מטרת בואו, אך היא עונה לו כי היא השמידה מזמן את כל המכתבים שקיבלה מפרדי.
בו ברגע שג'ונס יוצא מדירתה של ג'ואן, מגיעה אליה לביקור אלין, הארוסה האמריקאית הצעירה של פרדי, שהיא גם חברתה לשעבר של ג'ואן מבית הספר האנגלי בו למדו שתיהן בנעוריהן.
ג'ונס החשדני מצותת מבעד לדלת.
אלין מספרת לג'ואן על דבר גניבת החרפושית של אביה, ומציינת כי הוא מציע פרס בגובה 1,000 ליש"ט למי שיחזיר אותה.
ג'ואן מציעה שהיא עצמה תבוא לבלנדינגס, תוך שהיא מתחזה למשרתת של אלין, במטרה למצוא את החרפושית, להחזירה למר פיטרס ולגרוף את הפרס.
בו בזמן, אש פועל אף הוא למען אותה מטרה.
הוא נענה למודעה בעיתון, ונשכר להתחזות למשרתו של מר פיטרס, במטרה להחזיר לו את החרפושית הגנובה במהלך ביקורו בבלנדינגס.
אש פוגש את ג'ואן ברכבת, בזמן ששניהם שמים את פעמיהם לאחוזת בלנדינגס.
אש מספר לה על משימתו הסודית.
ג'ואן מתריעה בפניו אודות הסיבוכיות והמורכבות בהתחזות למשרת בבית אצולה, לאור המנהגים הנוקשים הנהוגים שם גם בקרב נותני השירות.
היא מקווה שזה ישכנע אותו לוותר על המסע שלו ולהסיר את עצמו מעמדת המתחרה שלה על הפרס.
לאחר הגעתם, אש המבועת מתראיין אצל רב-המשרתים, ביץ', ונאלץ להקשיב באורך רוח לפירוט רשימת הצרות והמיחושים מהם ביץ' סובל.
לאחר מכן פוגש אש סוף סוף את מעסיקו החדש, מר פיטרס, וגם הוא מדווח לו כי הוא סובל מבעיות עיכול קשות ורבות.
אש הצעיר והספורטיבי מציע למר פיטרס לאמץ שגרה של אימונים גופניים וכן הפסקת עישון מוחלטת של סיגרים, ומאיים שללא קבלת תנאי זה, הוא לא ישתף פעולה.
באותו לילה, אש וג'ואן מנסים, כל אחד בנפרד, להגיע אל החרפושית הגנובה המוצגת לראווה במוזיאון הפרטי של האחוזה, אך מזכירו הערני והיעיל של לורד אמסוורת', רופרט בקסטר, כמעט ותופס אותם, והם נמלטים בעור שיניהם.
למחרת בבוקר, אש וג'ואן מחליטים להפוך לבעלי ברית, ולאחר שהפילו מטבע, הם מסכימים לתאם ביניהם את ניסיונות חטיפת החרפושית לסירוגין.
באותו הזמן, אלין משתדלת לשמור על אותה דיאטה קפדנית של אביה, המורכבת בעיקרה מאגוזים ופירות, במטרה לסייע לו ולמנוע ממנו פיתויים, ולפיכך היא סובלת מרעב תמידי.
ג'ורג' מתגנב אליה באישון ליל כדי להביא לה משתה חצות, אותו השיג לה בפונדק הסמוך.
תוך כך הוא מתנגש עם אש, שהיה בדרכו לאתר את החרפושית, במבואה החשוכה.
הם פוצחים בקרב רועש, מבלי לראות זה את זה, אך נמלטים לאחר שבקסטר, המזכיר היעיל והחשדן, מסתער לעברם, מתנגש בהם ומועד.
בקסטר מוצא עצמו בטרקלין החשוך כשהוא מוקף בדברי מאכל ובשברים של מערכת כלי חרסינה עדינה המיועדת לאירועים מיוחדים.
כל האורחים מובהלים אל המבואה, האורות נדלקים, בקסטר מואשם בכך שהוא העיר את כולם, וכן נמתחת עליו ביקורת נוקבת מפי הלורד אמסוורת' על כך שהוא הולך לחפש מזון באמצע הלילה.
למחרת בלילה מגיע תורה של ג'ואן לעשות את הניסיון שלה, אבל היא מגלה שהחרפושית כבר נעלמה.
היא מנחשת שאש שם את ידו עליה, אך אש מכחיש זאת.
הם מקיימים סיעור מוחות, מצרפים רמזים אלה לאלה, ומבינים שפרדי נזקק לכסף, לאחר שאביו הקפיא את קצבתו, במטרה לשלם לנוכל ג'ונס, אשר סוחט את פרדי בתואנה שהתשלום נדרש בעד השבת מכתביו.
הם מסיקים כי פרדי הוא זה שגנב את החרפושית.
אש מחליט להתעמת עם פרדי, ולשם כך עוטה עליו את חליפתו הדמיונית של דמות הבלש מסדרת הספרים אותה הוא כותב, וזאת מבלי לדעת כי פרדי עצמו הוא מעריץ מושבע של סדרת ספרי הפשע של אש.
לאחר שאש מטיח בו את דברי האשמה, פרדי נכנע, מחליט לסמוך על אש, מודה בגניבה ומחזיר את החרפושית.
לאחר שאש עוזב, מגיע לורד אמסוורת' כדי להודיע לפרדי שאלין ברחה ברכבת ללונדון עם ג'ורג' אמרסון, אשר קיבל צו לשוב להונג קונג.
פרדי מגיב בהקלה גדולה למשמע החדשות המטלטלות-לכאורה.
גם למר פיטרס רווח, לאחר שהסיק שבני אצולה אלה עלולים לגנוב ממנו את רכושו.
כאשר אש מחזיר את החרפושית לבעליה, מציע מר פיטרס לקחת את אש בחזרה לאמריקה כמאמן האישי שלו, כתגמול על השיפור בבריאותו.
אש מהסס זמן מה, ומתלבט אם וכיצד לבקש מג'ואן להינשא לו.
בינתיים היא מתוודה על כך שהיא מצרה על סיום השותפות ביניהם.
לאחר דקות אחדות, משרתת המסתכלת מבעד לחלון לכיוונם, זוכה לעניין מסוים בשממון יומה כאשר היא רואה את אש וג'ואן מתנשקים.
כנער צעיר באנגליה הוויקטוריאנית, וודהאוס נהג להצטרף לדודותיו לאירועים חברתיים בבתי אחוזה שונים, ואז היה נוהג לחמוק אל אגף המשרתים ולסעוד עמם.
שם הוא התוודע להיררכיה הנוקשה ולכללי הנימוס הנוהגים אצל המשרתים בבתי אצולה.
תובנות אלה שולבו במשהו רענן.
כמו כן, לפני שוודהאוס כתב את הרומן, דודו וולטר מרדית' דין, ומאוחר יותר גם אחיו הבכור פיליפ פבריל, שימשו כמפקדים בכירים במשטרת הונג קונג, כמו ג'ורג' אמרסון ברומן.
בעבור זאת קיבל וודהאוס שכר טרחה של 3,500 דולר, יותר מכל עבודה קודמת שלו.
הספר מתואר, בהקדמה חדשה שנוספה ב-1969, כתחילתה של "סאגת טירת בלנדינגס".
לתרחיש המתואר בספר התווספו אלמנטים חדשים רבים במהלך השנים, אך הייתה גם השמטה אחת בולטת.
זו הייתה אחותו של לורד אמסוורת', ליידי אן וורבלינגטון, אשר מוזכרת במשהו רענן כאישה הנתונה לכאבי ראש תכופים ומסתגרת בחדרה, והיא לא הופיעה שוב ברומנים של בלנדינגס.
משהו רענן פורסם באוסף הרומנים של בלנדינגס משנת 1979 "חיים בבלנדינגס", יחד עם ברק קיץ ומזג אוויר כבד.
הסיפור עובד בשנת 2009 על ידי ארצ'י סקוטני כדרמת רדיו לסדרה Classic Serial בערוץ 4 של BBC.
צוות השחקנים כלל את איאן אוגילבי כמספר (שזכה בתפקיד "וודהאוס"), יואן גרפוד בתפקיד אש מרסון, הלן מקרורי בתפקיד ג'ואן ולנטיין, מרטין ג'רוויס בתפקיד לורד אמסוורת', הקטור אליזונדו בתפקיד ג'יי פרסטון פיטרס, אנדריאה בואן בתפקיד אלין פיטרס, וג'יימס פריין בתור ג'ורג' אמרסון.
הספר יצא במהדורה עברית בשנת 2008, בהוצאת חרגול והוצאת עם עובד, בתרגומו של דן דאור.
"משהו אחר" הוא שיר שהוקלט על ידי הזמרת הישראלית ניקה.
הוא יצא לאור ב-30 באוגוסט 2009, בהוצאת חברת התקליטים הנרי מיוזיק, כסינגל שלא מתוך וכסינגל הסולו הראשון שלה.
את השיר בדומה לקודמיו, כתב והלחין הנרי להפקה מוזיקלית שעליה היה אחראי גם כן.
השיר הגיע למקום השמיני במצעד של רדיו אמצע הדרך.
"משהו אחר" לא זכה להצלחה רבה לה ציפו ועל כך דיברה ניקה בריאיון לעיתון הארץ שם נשאלה, .
האודיו הרשמי של "משהו אחר" פורסם ב-1 בספטמבר 2009. הוא כולל תמונה של ניקה שצולמה בשחור-לבן.
אזורתאריך יציאהפורמטחברת תקליטיםמקורכלל העולם30 באוגוסט 2009תקליטורהנרי
משואת איכון רדיו לשעת חירום, או אפּירבּ (EPIRB – Emergency position-indicating radiobeacon) היא התקן איתות רדיו, המשמש לכלי שיט מסחריים ולמטרות פנאי.
התקן זה מופעל באמצעות משדר רדיו נייד, אשר מופעל באמצעות סוללות ומשמש במצבי חירום לאיתור שייטים הנמצאים במצוקה וזקוקים לחילוץ מיידי.
במקרי חירום, כגון שקיעה או מצב חירום רפואי על הסיפון, המשדר מופעל ומתחיל לשדר אות רדיו רציף בתדר של 406 מגה-הרץ, המשמש צוותי חיפוש והצלה כדי לאתר במהירות את מצב החירום ולהגיש סיוע.
האות מזוהה על ידי לוויינים, המופעלים על ידי הקונסורציום בינלאומי של שירותי ההצלה, COSPAS-SARSAT, שלרשותו הכלים המאפשרים לו לזהות משואות חירום בכל מקום על פני כדור הארץ המשדרות בתדר המצוקה.
הלוויינים מחשבים את המיקום או עושים שימוש בקואורדינטות ה-GPS של המשואה, ומעבירים את המידע במהירות לארגון המגיב הראשון - המתאים והקרוב ביותר למיקום, על מנת שיקדם את תהליך האיתור והחילוץ.
כאשר צוותי האיתור והחילוץ מתקרבים לאזור, הם משתמשים במערכת איתור כיוון (DF) כדי לאתר את המשואה באמצעות אות ביות בתדר 121.5 מגה-הרץ, או באות מיקום מסוג AIS, בהתקני האפירב החדישים יותר.
המטרה הבסיסית של מערכת זו היא לסייע למחלצים למצוא ניצולים במהלך משך הזמן המכונה "יום הזהב" (24 השעות הראשונות לאחר אירוע טראומטי) שבמהלכו בדרך כלל ניתן להציל את רוב הניצולים.
התכונה העיקרית המבדילה EPIRB מודרני, המכונה גם GPIRB, מסוגים אחרים של משואות איכון בחירום הוא מקלט ה-GPS המובנה בדגמים המתקדמים יותר ומשדר מיקום בטווח דיוק של כ-100 מטרים, מה שמקל משמעותית על איתור המיקום.
משואות איכון לשעת חירום מוקדמות יותר שאינן מכילות התקני GPS, ניתן לאתר רק בטווח של 2 ק"מ על ידי לווייני COSPAS המסתמכים במידה רבה על אות בתדר 121.5 הרץ עם הגיעם לאזור.
התדר הסטנדרטי של EPIRB מודרני הוא 406 מגה-הרץ.
תדר זה מהווה שירות רדיו הנתון לפיקוח בינלאומי ומסייע לפעולות חיפוש והצלה ואיתור כלי שיט, כלי טיס ואנשים במצוקה.
המכשירים הראשונים מסוג זה היו מדגם ELT בתדר 121.5 מגה-הרץ, אשר תוכננו לשמש כמגדלור איתור אוטומטי עבור מטוסים צבאיים שהתרסקו.
המשואות הללו שימשו לראשונה בשנות החמישים על ידי צבא ארצות הברית והשימוש בהם חויב בדגמי מטוסים מסחריים וכלליים רבים החל מתחילת שנות השבעים.
תדר ופורמט האותות המשמשים את משואות ה-ELT לא תוכננו לאיתור לווייני, ולכן יכולות איתור המיקום היו מוגבלות למדי ותהליך איתור המשואות שהופעלו היה מאופיין בעיכובים רבים.
הסיבה לכך היא שמשואות ה-ELT נכנסו לשימוש כללי זמן רב לפני שהוקמה רשת הלוויינים המשמשים לאיתור מיקום.
הלוויין הראשון לא שוגר עד שנת 1982, וגם אז, הלוויינים סיפקו רק זיהוי אובייקט כאשר דיוק המיקום עמד על טווח של כ-20 ק"מ.
ההיצע הטכנולוגי הורחב בהמשך הדרך והוצעו פתרונות ייעודיים כמו משואות לאיתור כלי שיט בים (EPIRB), לאנשים בודדים (PLB), והחל משנת 2016, התקני איתור לניצולים בים (MSLD).[ צריך ציטוט ] כלל המכשירים הללו עברו משימוש בתדר 121.5 מגה-הרץ לתדר 406 מגה-הרץ, המיועד לאיתור וזיהוי מיקום לווייני.
מאז הקמתה של Cospas-Sarsat ב-1982, סייעו משואות הרדיו לשעת חירום בחילוצם של למעלה מ-50,000 בני אדם ביותר מ-7,000 מצבי מצוקה.
בשנת 2010 לבדה סיפקה המערכת מידע ששימש לחילוצם של 2,388 בני אדם ב-641 מצבי מצוקה.
משהו עוקב אחריי הוא סרט אימה מדע בדיוני אמריקאי משנת 2015 בבימויו של דייוויד רוברט מיטשל שגם כתב את התסריט.
בסרט מככבים מייקה מונרו, קיר גילקריסט, ואוליביה לוקרדי.
העלילה עוקבת אחרי נערה בשם ג'יי שמתמודדת עם ישות טורדנית שעוקבת אחרי קורבנותיה לאחר שהם מקיימים יחסי מין.
הסרט הופק בתקציב של 1.3 מיליון דולר והכניס מעל ל-21 מיליון דולר ברחבי העולם.
סיפור הסרט עוקב אחר ג'יי הייט, נערה צעירה שעוברת חוויה טראומטית לאחר שהיא יוצאת לדייט עם בחור בשם יו.
לאחר מפגש אינטימי ביניהם, יו מגלה לה שהיא כעת תהיה נרדפת על ידי ישות על טבעית שמתפשטת דרך יחסי מין.
הישות נראית כאנשים שונים, אולם המשותף לכולם הוא המטרה ללכוד את ג'יי ולהרוג אותה.
כל צעד לא בטוח, וג'יי יחד עם חבריה מנסים למצוא פתרון לבעיה שמסכנת את חייהם.
הם מגלים שזה אולי לא פשוט להתחמק מהמיתוס העתיק שהם מוצאים עצמם מעורבים בו, ונאבקים למציאות דרך להעביר את הקללה הלאה או להתעמת עם הישות הסוררת.
מייקה מונרו בתפקיד ג'יימי 'ג'יי' הייט - נערה שנרדפת על ידי הישות
קיר גילכריסט בתפקיד פול בולדווין - חבר של ג'יי, קלי, ויארה
אוליביה לוקרדי בתפקיד יארה דייוויס - חברה של קלי
לילי ספה בתפקיד קלי הייט - אחותה של ג'יי
דניאל זווטו בתפקיד גרג הניגן - שכן של ג'יי וקלי
ג'ייק וורי בתפקיד יו / ג'ף רדמונד - חברה לשעבר של ג'יי
באתר Rotten Tomatoes הסרט זכה לציון 95% בהתבסס על 248 ביקורות.
הקונצנזוס באתר: "מותחן אימה ייחודי שמציב את הצופים במתח מתמשך עם רעיון מקורי וקולנוע מבריק.".
נוסף לכך, באתר Metacritic הסרט קיבל ציון 83 מתוך 100, בהתבסס על 36 ביקורות.
בנוסף, הסרט זכה לשבחי הביקורת על הרעיון המקורי שלו, הבימוי הנבון והאווירה המאיימת, כשהוא מקבל ציונים גבוהים מצד מבקרי הקולנוע ברחבי העולם.
משהור מוחמד אבו דקה הוא אקדמאי ומרצה פלסטיני שכיהן כשר בממשלות הרשות הפלסטינית.
אבו דקה נולד בעבסאן אל-כבירה ב-1958. הוא בעל תואר דוקטור ומכהן כמרצה באוניברסיטת ביר זית.
קרובת משפחתו היא המחבלת מרים אבו דקה, עוד כמה מבני המשפחה המורחבת כיהנו בממשלות הרשות הפלסטינית.
הוא כיהן כשר התחבורה והתקשורת בממשלת פיאד הראשונה בין השנים 2007–2009, וכשר התקשורת וטכנולוגיית המידע בממשלת פיאד השנייה מ-19 במאי 2009 ועד להתפטרותו ב-26 באפריל 2012, לאחר שהסתכסך עם היועץ המשפטי של הרשות, אולם לטענתו התפטר משום ששר לא צריך לכהן בתפקיד יותר מ-5 שנים.
ב-2023 האשים את ישראל בשליטה בכל תחום התקשורת ברשות הפלסטינית.
"משהו נעים לנשמה" הוא שיר של להקת הרגאיי והסקא הישראלית "התקווה 6", אשר יצא לאור בשנת ב-13 ביוני 2016 כסינגל מתוך אלבומם השישי, "הכל עוד לפניי".
השיר, שנכתב והולחן על ידי סולן הלהקה עמרי גליקמן, הפך לאחד הלהיטים הבולטים של הלהקה באותה שנה, וזכה להשמעות רבות בתחנות הרדיו.
את השיר כתב והלחין סולן הלהקה עמרי גליקמן.
השיר הגיע למקום 13 ברשת ג' ולמקום 19 בגלגלצ.
במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הנעלם הוא פונקציה, כאשר המשוואה מתארת תלות בין הפונקציה ונגזרותיה.
למשוואות דיפרנציאליות שימוש רב בתחומי המדע וההנדסה השונים.
משוואה דיפרנציאלית רגילה היא משוואה שבה הפונקציה היא פונקציה של משתנה יחיד, בניגוד למשוואה דיפרנציאלית חלקית, שבה הפונקציה היא פונקציה בכמה משתנים, והנגזרות הן נגזרות חלקיות.
למשל היא משוואה דיפרנציאלית רגילה שפתרונה הוא כל פונקציה מהצורה (אקספוננט) כאשר מספר קבוע.
את המשוואות הדיפרנציאליות מסווגים על פי שני קריטריונים עיקריים: סדר ומעלה.
מעלת המשוואה היא החזקה (המעריך) הגבוהה ביותר של הפונקציה הנעלמת, המופיעה בה.
הסדר הוא סדר הנגזרת הגבוהה ביותר של הפונקציה.
למשוואות דיפרנציאליות יש שימושים בכל תחומי המדע: פיזיקה, הנדסה, ביולוגיה, כלכלה ומטאורולוגיה.
הסיבה לכך היא שלרוב אנו יודעים לכתוב משוואה המתארת את החוק שלפיו משתנה האובייקט שאותו אנחנו חוקרים: לדוגמה, מיקום או מהירות של חלקיק, טמפרטורה של נקודות שונות במרחב, ביקוש והיצע של מוצרים, וכן הלאה.
משוואות כאלה הן לרוב משוואות דיפרנציאליות, ולכן הן צצות ועולות בכל תחום מדעי שבו מנסים לתאר את העולם בכלים מתמטיים.
דוגמאות למשוואות דיפרנציאליות בתחומים שונים:
משוואה המתארת את קצב התרבות חיידקים ברגע מסוים כתלות במספרם באותו רגע.
ההסבר לתלות הוא שככל שמספר החיידקים גדל כך קצב הריבוי קטן, ולהפך.
משוואה המתארת תאוצה (קצב השתנות המהירות) של גוף נופל ברגע מסוים כתלות במהירות באותו רגע.
ההסבר לכך הוא שהתנגדות האוויר גדלה באופן פרופורציונלי יחד עם מהירות הגוף, ולכן התאוצה קטנה.
ככלל, פתרון משוואה דיפרנציאלית עשוי להיות מורכב.
אין שיטה כללית לפתרון של משוואה כזו, ולעיתים ניתן להגיע רק לקירוב של הפתרון ולא לפתרון עצמו.
עם זאת, לסוגים מסוימים של משוואות יש שיטות מתודיות לפתרונן.
ברוב המקרים הבעיה של מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית הופכת לבעיה של מציאת אינטגרל לפונקציה כלשהי, אם כי גם מציאת אינטגרל אינה שיטתית ולא תמיד ניתנת לביצוע.
פתרונות הנתונים על ידי אינטגרל, גם אם לא פתור, יכולים להיות שימושיים מאוד, וניתן לחשב את ערכם המקורב לכל צורך מעשי.
כדי להקל על כתיבת המשוואה מסומנות בדרך כלל הפונקציות (ונגזרותיהן) באות בודדת בלבד.
פתרון משוואה דיפרנציאלית רגילה ליניארית מסדר ראשון
באופן כללי, משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון היא משוואה מהצורה כאשר המשתנה בפונקציה שלנו הוא .
אם אזי הפונקציה ידועה ואין צורך להמשיך.
(אומרים ש- אם מתקיים שלכל x בתחום, )
לכן, מותר לחלק ב- ולקבל משוואה מהצורה .
נסמן ונקבל משוואה מהצורה: ולכן כשנרצה לפתור משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון, נסתכל על הצורה הזאת.
נכפיל את 2 האגפים ב- ונקבל:
אך אגף שמאל הוא בדיוק שווה ל- ולכן נקבל:
ואכן, לכל שנבחר, הפונקציה שתתקבל פותרת את המשוואה.
כעת, נרצה למצוא דרך לכל המשוואות הדיפרנציאליות הליניאריות מסדר ראשון.
שיטה אחת היא, בדומה לדוגמה, למצוא פונקציה כך שכשנכפיל את כל המשוואה בה, נקבל באגף שמאל את הנגזרת של ואז רק נשאר לבצע אינטגרציה על 2 האגפים ולקבל ומשם לחלק ב- ולהגיע לפתרון.
השאלה היא מהי אותה .
נראה כי אנחנו בעצם דורשים: (חיפשנו פונקציה שע"י כפל שלה במשוואה, נקבל את הנגזרת של (הפונקציה כפול y))
נראה כי ולכן בהכרח מתקיים ולכן .
ואכן, כפל המשוואה בפונקציה זאת, תמיד יגרום לנו לקבל באגף שמאל נגזרת של וכל מה שנשאר לעשות זה אינטגרציה וחילוק ב- .
משוב (feedback) או היזון חוזר הוא מונח מעולם המערכות והקיברנטיקה המתאר מצב שבו דגימה מהפלט (או מידע בנוגע לתוצאה) של אירועים מהעבר, ישפיע על הופעות (או התמשכותו) של אירוע זהה (או אותו אירוע עצמו).
ייתכן שהמשוב יהיה מידי, כאשר הדגימה ועיבודה, נעשים בזמן אמת.
הוא העיבוד של ההיזון החוזר.
יכולות להיות יותר מעיבוד אחד לאותה דגימה, או היזון של דגימות מזמנים שונים בעבר.
ריבוי של היזונים מופיע הרבה בתהליכים בדידים, או בתהליכים המכומתים באופן בדיד, למשל במדעי החברה.
מנגנון המשוב מתחלק לשני סוגים: משוב חיובי ומשוב שלילי.
משוב חיובי גורם להגברת הפעילות אשר גרמה למשוב עד לסיומה, בעוד שמשוב שלילי, שתכליתו תיקון סטייה כלשהי מהמצב המרבי, גורם להחלשת הפעולה ולהחזרת המצב התקין.
ישנן מערכות בקרה בחוג סגור המשלבות יחד משוב חיובי ושלילי.
בהנדסה, משוב שלילי מהווה חלק חשוב בבנית מערכות בקרה.
מערכות שיש בהן משוב חיובי עלולות להתבדר ויש סכנה באיבוד השליטה בהן, בעוד שמשוב שלילי משמש להבאת מערכת שתתכוונן אוטומטית לתגובה הרצויה.
דוגמה למשוב משולב הוא הווסת הצנטריפוגלי לוויסות וייצוב המהירות במנועי קיטור.
המצאת הווסת על ידי ג'יימס ואט בשנת 1788 והשימוש בו היה אחד מהגורמים שהובילו להמהפכה התעשייתית.
בביולוגיה, תהליכים רבים מבוקרים על ידי מנגנון המשוב.
הוא מוגדר כמנגנון שבאמצעותו מווסתות תוצאות תהליך מסוים את שלביו המוקדמים יותר.
המשוב השלילי מתבטא בגופם של יצורים חיים רבים באמצעות מנגנונים רבים ושונים לתיקון הסטייה מההומאוסטזיס, העיקרי שבהם הוא הבלוטות האנדוקריניות, המפרישות הורמונים אל מחזור הדם, לדוגמה הפרשת הורמון ה-ADH שאחראי על וויסות כמות המים בשתן, והפרשתו מבוקרת על ידי מנגנון המשוב השלילי.
לעומת זאת, את המשוב החיובי ניתן למצוא בגופם של אורגניזמים שונים, בעיקר בבלוטות אקסוקריניות.
דוגמאות למשובים חיוביים ניתן למצוא בגוף האדם: מנגנון הבכי, ההנקה, שחרור השתן בשלפוחית השתן - כולם פועלים בדרך של מנגנון משוב חיובי.
יש לציין כי סוג המשוב אינו נקבע על פי סוג הבלוטה, וכי ישנם יוצאי דופן, כגון ההורמון פרולקטין שמגביר את ייצור החלב בשד האם בדרך של משוב חיובי, למרות שהורמונים פועלים לרוב על ידי משוב שלילי, כפי שצוין.
מנוף הנועד לעלות לגובה מסוים בדיוק רב.
מערכת הבקרה תכלול חיישן שימדוד את גובה המנוף בכל רגע, המערכת תחשב את ההפרש (משוב שלילי) בין הגובה הרצוי שהוזן כפקודה למנוף והגובה הנמדד והוא יהיה האות לתנועת המנוף.
אם מערכת הבקרה תכלול בקר יחסי המנוף הוא ינוע לפי הפרש זה שילך ויקטן.
תחילה ההפרש יהיה גדול והמנוף יעלה במהירות.
ככל שההפרש יקטן המנוף יעלה לאט יותר, באופן יחסי להפרש.
אם הגבהים זהים ההפרש ביניהם יתאפס והמנוף יקבל פקודה לעצור, בדיוק במקום הרצוי.
דוגמה למשוב חיובי - משוב אקוסטי
משוב אקוסטי נוצר כאשר מיקרופון נמצא סמוך לרמקול אשר משדר את מה שהמיקרופון קולט לאחר הגברה.
התוצאה היא מין שריקה חדה וחזקה או המהום מתגבר בתדר נמוך.
כאן נוצר בעצם מתנד הרמוני שתדר התנודות שלו נקבע על ידי המצב האקוסטי בין המיקרופון לרמקול, וגם מושפע ממאפייני מעגל ההגברה.
שריקה צורמת כזו נוצרת למשל כאשר מאזין מתקשר לאולפן רדיו ומוכנס לשיחה בשידור, אך אינו מנמיך את עוצמת מכשיר הרדיו הביתי שלו, כך שהמיקרופון של הטלפון קולט את קולו המוגבר של המאזין גם מן הרמקול של מכשיר הרדיו שלו.
בתהליך זה צלילים מסוימים (דיבור או אפילו רעשים) מומרים לאות חשמלי במיקרופון.
האות עובר למגבר, ומושמע ברמקול בעוצמה חזקה יותר מן העוצמה המקורית.
אם המיקרופון קולט את אותו צליל בעצמה גבוהה יותר, התהליך חוזר על עצמו שנית, ובפעם הבאה הצליל מוגבר עוד יותר.
דוגמה נוספת למשוב חיובי, שעקרון הפעולה שלה זהה, היא תפיסת ממסר.
מאחר שבמערכת מורכבת מתקיימים לרוב מספר רב של לולאות משוב המשפיעות אלו על אלו, כדי לנתח את המערכת יש צורך לנתח ולהציג מפה של הלולאות ברמת המערכת.
סוג זה של ניתוח מכונה דיאגרמת משוב סיבתי (מאנגלית: CLD ) ומאפשר לתכנן גם תהליכי שינוי תוך ניתוח השפעות השינוי במערכת והמשמעויות של ההיזונים החוזרים על מרכיבים שבמבט ראשון ניכרים כקשורים לשינוי.
משוואה היא שוויון בין שני ביטויים שמופיע בו משתנה אחד או יותר.
כמו בכל שוויון, שני הביטויים מופרדים באמצעות הסימן "=".
פתרון של המשוואה הוא ערך של המשתנה שהצבתו נותנת למשוואה ערך אמת, כלומר לאחר ההצבה מתקיים השוויון בין שני אגפי המשוואה.
אם כל הצבה נותנת ערך אמת, כמו בדוגמה , המשוואה היא זהות, ואז אין בהתרתה כל אתגר.
במקרים אחרים יש למצוא פתרון כלשהו למשוואה, או את כל הפתרונות האפשריים.
למשל, המשוואה נכונה רק לשני ערכים של X, ופתרונותיה הם .
במקרים מסוימים משתמשים בסימון מיוחד, סימן השקילות , כדי לציין זהות ולהבדיל אותה ממשוואה רגילה.
אם השוויון אמיתי, אפשר להפעיל כל פונקציה על שני האגפים יחד, והשוויון ביניהם יישמר.
בפרט, אפשר לחבר, לחסר, להכפיל ולחלק את אגפי השוויון בכל מספר, וכל פתרון של המשוואה המקורית יהיה פתרון גם של המשוואה החדשה.
אם הפעולה הפיכה (כגון חיבור, שאפשר להפוך על ידי חיסור מתאים, או כפל במספר השונה מאפס), התהליך אינו מוסיף למשוואה פתרונות חדשים.
אם הפעולה אינה הפיכה (פורמלית, אם מפעילים פונקציה שאינה חד-חד-ערכית), היא עלולה להוסיף פתרונות חדשים, ובכך היא מאבדת חלק מהמידע הטמון במשוואה המקורית.
במקרה קיצוני, כגון כפל באפס, המשוואה הופכת לזהות, שהיא משוואה טריוויאלית.
משוואה פולינומית: משוואות מהצורה .
משוואה ליניארית: משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה, כלומר מופיעים ללא חזקות.
משוואה ממעלה שנייה או משוואה ריבועית: משוואה מהצורה כאשר הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים).
פתרונות המשוואה עלולים להיות שייכים לשדה המרחיב את השדה המקורי.
משוואה ממעלה שלישית או משוואה מעוקבת: משוואה מהצורה כאשר הם מקדמים בשדה נתון.
משוואה ממעלה רביעית: משוואה מהצורה , וכן הלאה.
משוואה מעריכית: משוואה שהנעלם נמצא בה במעריך של חזקה, כמו
משוואה לוגריתמית: משוואה שהנעלם נמצא בה בלוגריתם.
משוואה טריגונומטרית: משוואה שהנעלם נמצא בה בפונקציה טריגונומטרית.
משוואה דיופנטית: משוואה שקבוצת הפתרונות שלה מוגבלת לקבוצת המספרים השלמים.
משוואה דיפרנציאלית: משוואה הכוללת משתנים, פונקציות של המשתנים הללו, ונגזרות של פונקציות אלה, וכן קבועים (מספרים).
במשוואות כאלה הנעלם הוא הפונקציה, ואותה יש למצוא.
משוואה דיפרנציאלית רגילה, שבה יש משתנה יחיד, פונקציות שלו ונגזרותיהן.
משוואה דיפרנציאלית חלקית, שבה יש פונקציות של משתנים אחדים ונגזרות חלקיות שלהן.
משוואה אינטגרלית: משוואה שבה הנעלם הוא פונקציה המופיעה תחת סימן האינטגרל.
במתמטיקה, משוואה ליניארית היא משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה, כלומר מופיעים ללא חזקות.
הצורה הכללית של משוואה ליניארית היא זאת: .
משוואה כזו נקראת "משוואה ליניארית ב-n נעלמים".
האיברים נקראים הנעלמים במשוואה, והאיברים נקראים המקדמים של הנעלמים.
האיבר b נקרא מקדם חופשי.
מקדמי המשוואה הם סקלרים השייכים לשדה ידוע, כגון שדה המספרים הממשיים, או לחוג כללי יותר.
פתרון של המשוואה הוא n-יה כך שהצבת הערכים המספריים במקום הנעלמים תניב את השוויון המבוקש.
בלשון פיזיקלית, לנעלמים נהוג לקרוא דרגות חופש ולמשוואות נהוג לקרוא אילוצים.
מכיוון שמערכות של משוואות ליניאריות הן הסוג היחיד של משוואות שאפשר לפתור באופן מלא (כלומר, יש שיטה לחשב באופן אנליטי את כל הפתרונות, דבר שלא קיים עבור מערכות משוואות לא ליניאריות) יש חשיבות רבה ליכולת להמיר משוואות אחרות לצורה ליניארית, או לפחות לקרב באופן ליניארי מצבים מורכבים יותר.
במקרה של משתנה אחד בלבד, למשוואה הליניארית קיים בדיוק פתרון אחד (בתנאי ש - ).
לעיתים, המונח "משוואה ליניארית" מתייחס במובלע למקרה הספציפי הזה, שבו המשתנה נקרא באופן טבעי "הנעלם".
במקרה זה המשוואה היא מהצורה: ופתרונה הוא .
שני משתנים: תיאור קו ישר במישור
היא משוואה ליניארית במשתנה היחיד עבור כל ערך של .
לכן יש לה פתרון ייחודי עבור , הניתן על ידי:
רנה דקארט הראה שאפשר לתאר את המישור האוקלידי באמצעות מערכת צירים קרטזית.
במערכת זו, ישנו ציר אופקי שנקרא ציר ה-x וציר אנכי, הניצב לו, שנקרא ציר ה-y.
אפשר לחשוב על כל ציר כמעין "סרגל" שמאפשר לתת לכל נקודה במישור שני מספרים המתארים את מיקומה.
כאשר המשוואה הליניארית בשני משתנים מגדירה פונקציה.
הגרף של פונקציה זו הוא קו ישר עם שיפוע וחיתוך עם ציר .
הישר מקביל לציר ה-x אם ומקביל לציר ה-y אם .
האופן הנפוץ לכתוב משוואת קו ישר הוא
כאשר m הוא שיפוע הישר, ו-n הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y (קל לראות שעבור מקבלים ).
באמצעות טריגונומטריה ניתן להראות ש-
כאשר היא הזווית בין הישר לציר ה-x.
משוואת ישר עם שיפוע m שעובר דרך הנקודה (a,b) נתונה על ידי
משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות (בהנחה ש-, המקרה בו הם שווים הוא טריוויאלי) היא
פיתוח הנוסחה: משתמשים במשוואה הקודמת, עם הצבת והשיפוע m שנתון על ידי
ומכאן קל להגיע לנוסחה הרשומה לעיל.
משוואה ליניארית עם יותר משני משתנים ניתן לכתוב בצורה הבאה:
כאשר כל , ניתן למצוא פתרון לכל באופן הבא:
במקרים רבים יש לפתור מערכת משוואות ליניארית, כלומר קבוצה של מספר משוואות ליניאריות, ולא משוואה בודדת.
במקרה כזה מחפשים פתרון למערכת - כלומר, פתרון שמתאים לכל המשוואות יחד.
מערכת משוואות תיכתב בצורה הכללית ביותר כך:
זוהי מערכת של m משוואות ב-n נעלמים.
נשים לב כי האינדקס של המקדמים הוא כפול: המספר הראשון בו מציין את השורה שבה מופיע המקדם (כלומר, מספר המשוואה) והאינדקס השני מציין את מספר המשתנה שאליו צמוד המקדם.
מערכת משוואות שבה תיקרא מערכת משוואות הומוגנית.
את מערכת המשוואות נוח להציג בצורה מטריציונית.
בצורת הצגה זו, n-ית הנעלמים מוצגת כווקטור עמודה מממד n ואילו אוסף המקדמים מוצג כמטריצה A מסדר ואילו m-ית המקדמים החופשיים מוצגת כווקטור עמודה מממד m.
בצורה זו המערכת תיוצג כשוויון בין מכפלת מטריצת המקדמים בווקטור הנעלמים לבין וקטור המקדמים החופשיים.
משוואה ממעלה שלישית היא משוואה מהצורה:
כאשר הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים).
אם השדה ממאפיין שונה מ-3, אפשר להציב ולקבל משוואה ממעלה שלישית שבה המקדם של הוא אפס.
בעוד שאת המשוואה ממעלה שנייה ידעו לפתור היוונים (וכנראה גם הבבלים), פתרונה של המשוואה ממעלה שלישית לא היה ידוע עד תחילת המאה ה-16. המתמטיקאים באותו זמן עדיין לא 'הכירו' במספרים שליליים, וכך הם התייחסו למשוואות או (כאשר שלמים חיוביים) כאל בעיות נבדלות.
ב-1515 גילה המתמטיקאי האיטלקי שיפיונה דל פרו איך לפתור חלק מן המשוואות ממעלה שלישית.
באותה תקופה היו מתמטיקאים מתחרים זה בזה בפתרון משוואות, ולכן הסתיר דל פרו את הפתרון שלו.
ב-1535 גילה האיטלקי ניקולו טרטליה מחדש את אותם פתרונות וסיפר עליהם לג'ירולמו קרדאנו, שהשלים את המקרים החסרים ופרסם אותם בספרו "האמנות הגדולה".
את המשוואה ממעלה רביעית הצליחו לפתור עשר שנים אחר-כך, ב-1545.
פתרונה של המשוואה ממעלה שלישית היה ההישג האמיתי הראשון של המתמטיקאים בראשית תקופת הרנסאנס, ובכך הוא סייע לשבור את ה'שיתוק' שאחז בהם מאז תחילת ימי הביניים.
בנוסף, פתרונו של קרדנו 'אילץ' את המתמטיקאים להתייחס ברצינות למספרים המרוכבים, משום שפתרונות 'אמיתיים' (דהיינו, ממשיים) מתקבלים לפעמים תוך מניפולציות של מספרים מרוכבים.
כפי שהוסבר בפתרון המלא, אפשר להניח שהמקדם של במשוואה הוא 0. נפתור, אם כן, את המשוואה הבאה:
כאשר הם מקדמים כלשהם בשדה, ללא שום הנחות על היותם חיוביים.
מן האילוץ יוצא , כלומר הסכום והמכפלה של ידועים.
מן הסכום והמכפלה קל להרכיב משוואה ממעלה שנייה, שפתרונותיה הם .
על ידי הוצאת שורש שלישי אפשר למצוא את , ומן האילוץ מקבלים גם את ולכן את סכומם .
פתרון מלא של משוואה כללית ממעלה שלישית
בסעיף זה נמצא את הפתרונות המדויקים של משוואה כללית ממעלה שלישית:
כדי למצוא את שורשי משוואה (1), עלינו להיפטר מהביטוי הריבועי , באמצעות ההצבה הבאה:
לאחר פתיחת סוגריים ופישוט משוואה (3), נקבל את משוואה (4):
משוואה מספר (4) נקראת "משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית" כיוון שהמקדם של , שווה 0 (אפס).
הבאת המשוואה לצורתה המנוונת מקלה על פתרונה ומציאת שורשיה.
כעת, נחלק את המשוואה ב-a, בהניחנו כי .
כעת נשתמש בהמרת וייטה ונגדיר:
לעת עתה, הקבוע s אינו מוגדר.
נציב את משוואה (6) בתוך משוואה (5) (כאמור, משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית), ונקבל:
לאחר פתיחת סוגריים והכפלת שני צדי המשוואה ב- , נקבל את המשוואה הבאה:
כעת, הקבוע s מוגדר, ומבוטא באמצעות e (הוגדר קודם לכן, במשוואה (4)).
נוסף לכך, משוואה (8) מפושטת לכדי משוואה תלת-ריבועית:
כעת נגדיר קשר נוסף: , אשר לאחר הצבתו במשוואה (9), תיוותר לנו המשוואה הריבועית הכללית הבאה:
כעת ניתן לפתור על נקלה משוואה ריבועית זו.
לאחר פתרונה, יש לזכור "לחזור אחורה" מבחינת ההצבות שביצענו, על פי הסדר הבא:
זאת, על מנת לקבל את שורשי המשוואה (מהמעלה השלישית) המקורית, המיוצגת על ידי x.
פתרון משוואה (10), שהיא משוואה ריבועית - יניב שני ערכי w.
פתרון משוואה (11), עבור כל אחד משני שורשי w שקיבלנו - יניב שלושה ערכי z (שווים או שונים זה לזה).
בסך הכל יתקבלו שישה ערכי z, כמצופה, עבור משוואה (9) - שהיא ממעלה שישית.
פתרון משוואה (6) יספק מכל שורש של z - שורש של y.
כלומר, נקבל שישה ערכי y.
עם זאת, שלושת השורשים הראשונים של y יהיו זהים בערכם לשלושת השורשים הנוספים.
כך נקבל למעשה רק שלושה שורשים של y.
לפיכך, נסיים במשוואה (2) - ונקבל שלושה ערכים (ולא שישה) של x, כמצופה ממשוואה ממעלה שלישית.
כדי להיפטר מן המקדם של , נציב , כלומר .
נכתוב , כאשר , והמשוואה תהפוך ל-
זוהי משוואה ריבועית, שהפתרונות שלה הם .
למעשה, כיוון שהתפקידים של ו- סימטריים מלכתחילה, אפשר לבחור אחד מן השורשים ולהניח ש-
כעת, לכל אחד משלושת הערכים (המרוכבים) של
הביטויים המתקבלים אמנם מסובכים למדי; על ידי השוואת נורמות, אפשר לגלות שעד-כדי כפל בשורש שלישי של היחידה, .
מכאן יוצא ששלושת הפתרונות למשוואה שלנו הם (ולמשוואה המקורית ).
כזכור, משוואה כללית ממעלה שלישית מוגדרת באופן הבא (משוואה מספר (1)) :
משוואה (1) מצטמצמת לכדי משוואה (2) (משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית) :
כעת עלינו למצוא את המקדמים ו- :
מכיוון שהגדרנו: (משוואה (12)), נקבל:
נציב במשוואה (10), המוגדרת, כזכור, באופן כללי כך: את ערכיהם של ושל :
כעת, נפתור את המשוואה הריבועית הזו:
לצורך מציאת שורשי המשוואה המקורית (שורשי ), נבחר, באופן שרירותי לחלוטין, את השורש .
בחירת השורש השני, - תניב שורשים זהים של לאלו של הראשון, .
(ניתן לבדוק נכונות טענה זו, באמצעות ביצוע תהליך זהה עבור השורש השני - ; אך כאמור, נסתפק כאן בהדגמה על אחד מהשורשים בלבד.)
קודם לכן הגדרנו את הקשר: .
מכיוון שכאמור, נפתור את המשוואה הזו (באופן שרירותי) עבור , נקבל: .
מהות השוויון האחרון תתבטא בצורתה הפולרית של המשוואה:
לשם מעבר לצורה הפולרית, נעזר בנוסחת אוילר, אשר צורתה הפשוטה היא:
לכל ממשי, כאשר הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו- הוא היחידה המדומה.
צורתה הכללית של המשוואה כוללת גם מקדם הכפלה, אשר כופל את צורתה הפשוטה של המשוואה:
יש לשים לב, כי מבוטא ביחידות של ו- מבוטא ביחידות של .
כזכור, אנו נשאף לעבור מהמערכת המבוטאת ב- לזו המבוטאת ב-
ע"פ משוואה (11) בפתרון המלא של משוואה ממעלה שלישית (בסעיף הקודם).
השוואה בין צד שמאל של משוואות (3) ו- (4):
השוואה בין צד ימין של משוואות (3) ו- (4):
כיוון ש: הן פונקציות מחזוריות, בעלות מחזור של , נוכל לכתוב את הקשר הבא:
( משלים מעגל שלם של , ותוצאותיו של תחזורנה על עצמן).
נמצא את המודול של :
(נכון לגבי כל שלושת שורשי , כלומר: ,, ) :
ממשוואה (3) נקבל את הקשר: .
ממשוואה (5) נקבל את הקשר: .
לקבלת הפתרון הכללי של , נחלץ את ממשוואה (4) :
השוויון האחרון נכון, בזכות משפט דה מואבר.
אבל קיבלנו קודם לכן ש: .
מכאן ניתן לקבל את שלושת הפתרונות של :
כעת נבצע את המעבר השני .זהו הקשר בין (כלומר, נקודת המוצא: השורשים שקיבלנו זה עתה, במונחי ) ובין השורשים אותם אנו חפצים לקבל (נקודת היעד), במונחי .
קיבלנו קודם לכן את הקשר: .
כיוון שמצאנו קודם לכן כי: , נקבל:
בעזרת קשר זה, נמצא כעת את ,, :
כעת נבצע את המעבר השלישי והאחרון: :
ממשוואה (2) בסעיף הקודם ("פתרון מלא של משוואה כללית ממעלה שלישית"), נקבל את הקשר:
אלו הם שלושת שורשי המשוואה המקורית, שהיה עלינו למצאם () .
בדיקת נכונות הפתרונות (שורשים) שקיבלנו:
על השורשים לקיים את התנאי הבא, זוהי האינדיקציה לנכונות הפתרון:
כלומר, אם נציב את ,, שקיבלנו- בצדה השמאלי של משוואה (15) - נקבל את המשוואה המקורית, הנמצאת בצדה הימני של משוואה (15) :
(לאחר פתיחת הסוגריים ופישוט המשוואה).
תזכורת: הפתרון הסתמך על בחירה שרירותית של השורש: .
בחירת השורש השני, - תניב שורשים זהים לחלוטין של בסופו של התהליך- לאלו שקיבלנו זה עתה.
נוסחה לפתרון משוואה ממעלה שלישית
נפתור באמצעות הצבה בנוסחה הבאה:
ראשית לפני שנציב בנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שלישית לפי שיטה זו, עלינו לחלק את המשוואה הנ"ל במקדם של כך שתתקבל לפנינו משוואה מן הצורה:
שימו לב: שווה לשורש שלישי של מספר מסוים ועל כן יש לו שלושה פתרונות אפשריים, שהם .
עבור כל שנציב יתקבל פתרון שונה (ונכון) עבור .
היתרונות של השיטה הזו לעומת השיטה הקודמת שהנוסחה הרבה יותר קצרה וניתן ללמוד אותה בעל פה ביתר קלות, אולם השימוש במספרים מרוכבים בנוסחה זו מסובך יותר מבנוסחה הקודמת ועל כן יש המחשיבים נוסחה זו למסובכת מן השנייה.
הרחבת שדות על ידי פולינום ממעלה שלישית
חבורת גלואה של פולינום אי-פריק ממעלה שלישית היא תת-חבורה טרנזיטיבית של החבורה הסימטרית על שלושת השורשים, ולכן היא שווה לתת-החבורה של התמורות הזוגיות, או לחבורה הסימטרית כולה.
במקרה הראשון, למשוואה הריבועית שהוזכרה להלן יש שורשים בשדה (ואז נסמן K=F), ובמקרה השני פתרון המשוואה הריבועית מצריך הרחבה ריבועית K של F.
בשני המקרים, הפולינום מתפרק לגורמים ליניאריים אחרי הרחבה רדיקלית מסדר 3 של השדה K.
אפשר להפריד בין שני המקרים בעזרת הדיסקרימיננטה של הפולינום, שאותה אפשר לחשב באמצעות הנוסחה .
כאשר הפולינום f אי-פריק, הדיסקרימיננטה שלו היא ריבוע בשדה הבסיס, אם ורק אם ההרחבה היא הרחבת גלואה.
לעומת זאת, הדיסקרימיננטה של פולינום פריק ממעלה 3 היא ריבועית אם ורק אם הוא מתפצל לגורמים ליניאריים (משום ש-
בפרט, הדיסקרימיננטה קובעת כמה פתרונות יש למשוואה ממעלה שלישית מעל הממשיים: אם הדיסקרימיננטה חיובית יש שלושה פתרונות ממשיים, ואם היא שלילית יש למשוואה פתרון אחד ממשי ושניים מרוכבים (צמודים זה לזה).
משוואה ממעלה רביעית היא משוואה מהצורה הבאה:
אם השדה ממאפיין שונה מ-2, אפשר להציב ולקבל משוואה ממעלה רביעית ב-, שבה המקדם של הוא אפס.
משוואה כזאת נהוג לרשום באופן הבא:
במקרים רבים כאשר דנים במשוואות ממעלה רביעית, הכוונה למשוואות מסוג זה.
את הפתרון של משוואות ממעלה רביעית מצא לודוביקו פרארי (Ludovico Ferrari) האיטלקי, בשנת 1540, כשלושים שנה אחרי שנמצא הפתרון למשוואה ממעלה שלישית.
בעקבות פתרונות אלו, האמינו המתמטיקאים של סוף תקופת הרנסאנס שאפשר יהיה לפתור גם משוואות ממעלה גבוהה יותר באותו אופן, ומאמצים ניכרים הושקעו בבעיה זו.
יותר ממאתיים שנה חלפו עד שפאולו רופיני ונילס הנריק אבל הראו שפתרון כזה אינו אפשרי , ואווריסט גלואה הניח את היסודות לתורת גלואה, שמסבירה את ההבדל היסודי בין משוואות ממעלה חמישית ומעלה (שאינן ניתנות לפתרון על ידי פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק והוצאת שורש) ובין משוואות ממעלה נמוכה יותר.
כפי שהוסבר במבוא, אפשר להניח שהמקדם של במשוואה הוא 0. נפתור, אם כן, את המשוואה
ננסה לפרק את הפולינום למכפלת שני גורמים ממעלה שנייה:
נשכתב את השוויונות הראשונים באופן הבא:
נחבר ונחסר את שני השוויונות האחרונים, ונקבל:
זו משוואה ממעלה שלישית בנעלם .
לאחר שפותרים אותה נותר להציב בביטויים הקודמים כדי לקבל את , ואז מתקבלים השורשים למשוואה המקורית על ידי פתרון משוואה ממעלה שנייה.
הפתרון דורש הוצאות שורש בסדר הבא: ראשית, יש לפתור משוואה ממעלה שלישית (ולשם כך יש להוציא שורש שני, ואז שורש שלישי).
אחר כך מוציאים שורש שני (כדי לקבל את A), ושורש שני נוסף (כדי לקבל את השורש x).
המספרים 2,3,2,2 עומדים בהתאמה לסדרים של גורמי ההרכב של החבורה הסימטרית מסדר 4 , ומדגימים את הקשר בין תת-השדות של שדה פיצול לתת-החבורות של חבורת גלואה .
אם המקדמים של הם אפס, אזי המשוואה נקראת משוואה דו-ריבועית, והיא למעשה משוואה ריבועית במשתנה ; אלא שזה אינו המקרה הכללי.
משוואה דו-ריבועית כזו אפשר לפתור בקלות על ידי הצבת , ההופכת את המשוואה למשוואה ריבועית במשתנה .
כאשר מציבים בה מתקבלת המשוואה הריבועית הבאה:
לכן הפתרונות למשוואה המקורית הם .
במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית ליניארית היא משוואה דיפרנציאלית רגילה בפונקציה הנעלמת , שאפשר להציג בצורה כאשר הן פונקציות של המשתנה בלבד.
בניגוד למרבית טיפוסי המשוואות הדיפרנציאליות, למשוואות הליניאריות יש תאוריה מפותחת וטכניקות פתרון שיטתיות.
המשוואות הדיפרנציאליות הליניאריות מופיעות בתחומי מדע רבים.
הסדר של משוואה דיפרנציאלית הוא הגבוה ביותר שעבורו מופיעה במשוואה הנגזרת (אם קיים כזה).
משוואה ליניארית מסדר n אפשר לרשום בצורה מקוצרת אם מגדירים אופרטור כך: , ואז המשוואה נרשמת כך: .
המשוואה נקראת "ליניארית" שכן אופרטור זה הוא ליניארי: .
באופן כללי, פונקציות רבות יכולות להיות פתרון של אותה משוואה.
לפונקציה מסוימת שהיא פתרון של המשוואה נקרא "פתרון פרטי" של המשוואה.
עבור משוואה הומוגנית סכום של כל שני פתרונות הוא פתרון וכפל בסקלר של פתרון הוא פתרון.
לכן אוסף הפתרונות של משוואה ליניארית הומוגנית הוא מרחב וקטורי ויש לו בסיס, כלומר קבוצת פונקציות כך שכל פתרון של המשוואה ההומוגנית יכול להיכתב כצירוף ליניארי שלהן: .
עבור בסיס של מרחב הפתרונות, נקרא לצירוף הליניארי , כאשר הם קבועים, "פתרון כללי של המשוואה ההומוגנית".
למשוואה ליניארית התכונה שהפרש של כל שני פתרונות של המשוואה הוא פתרון של המשוואה ההומוגנית .
מכך נובעת תכונה חשובה של משוואות ליניאריות:
כל פתרון של משוואה ליניארית ניתן לכתיבה כסכום של פתרון פרטי של המשוואה הליניארית, ופתרון כללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה לה.
תכונה זו ניתן לקבל בצורה ישירה: אם הוא פתרון כלשהו של המשוואה, ו- הוא הפתרון הפרטי שאנו משתמשים בו, אז ההפרש , כפי שראינו, הוא פתרון של המשוואה ההומוגנית, וכל פתרון של המשוואה ההומוגנית ניתן לביטוי באמצעות הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית.
מכך נובע שכדי לפתור בצורה כללית משוואה ליניארית לא הומוגנית יש לעשות שני דברים:
לפתור את המשוואה ההומוגנית המתאימה לה.
למצוא פתרון פרטי אחד למשוואה הלא הומוגנית.
קיימת שיטה בשם "וריאציית הפרמטר", המאפשרת למצוא בצורה שיטתית פתרון פרטי למשוואה הלא הומוגנית בהינתן הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית.
עם זאת, השיטה עלולה לכלול עבודה טכנית רבה, ונדרשת בה אינטגרציה שבה לא בהכרח ניתן לבטא את התוצאה בצורה מפורשת.
שיטה אחרת, הנקראת "שיטת המקדמים הלא ידועים", מבוססת על ניחוש מושכל של צורת הפתרון הפרטי והשימוש בה הוא פשוט ונוח, אך היא טובה רק למקרים מסוימים.
באופן כללי אין פתרון שיטתי ופשוט למשוואה ליניארית הומוגנית.
עם זאת, אם ידוע פתרון אחד של המשוואה, ניתן לקבל ממנו פתרון נוסף, שאינו תלוי בו.
שיטה זו ידועה בשם "שיטת ד'אלמבר להורדת סדר המשוואה".
כמו כן, במקרה הפרטי המיוחד שבו המקדמים הם כולם קבועים קיים פתרון שיטתי המתבסס על מה שמכונה "המשוואה האופיינית" (או: "הפולינום האופייני") של המשוואה הליניארית.
תהא משוואה ליניארית הומוגנית כאשר כל המקדמים הם מספרים קבועים.
הפתרון הוא טריוויאלי, ואנו רוצים למצוא פתרונות נוספים.
מכיוון שכל המקדמים קבועים, יהיה נוח לחפש פתרון שהוא פונקציה שהשינוי היחיד שהיא עוברת במהלך גזירתה הוא כפל בקבוע.
זוהי בדיוק פונקציית האקספוננט: כאשר הוא קבוע שאנו רוצים למצוא.
לכן, לאחר הצבת הפתרון המשוער, נקבל:
ניתן לצמצם ב- כי פונקציה זו תמיד שונה מאפס.
זוהי משוואה בנעלם הנקראת המשוואה האופיינית של המשוואה הדיפרנציאלית שלנו.
המשפט היסודי של האלגברה מבטיח עבור משוואה ממעלה שקיימים לה שורשים (לא בהכרח שונים זה מזה, אך בעלי ריבוי כולל של ).
לעיתים בוחרים להסתכל על אגף שמאל של המשוואה בתור פולינום ב-, ולהציג את הבעיה כבעיה של מציאת שורשי הפולינום, הנקרא הפולינום האופייני של המשוואה הדיפרנציאלית.
יהא שורש של הפולינום (כלומר, פתרון של המשוואה).
אז הוא פתרון של המשוואה, כפי שנובע מהניחוש שלנו.
ייתכן כי הוא שורש מריבוי גדול מאחד, ואז כל פונקציה מהצורה , כאשר הוא מספר טבעי הקטן מריבוי השורש, היא פתרון של המשוואה שאינו תלוי בשאר הפתרונות שהתקבלו בדרך זו.
כך עבור משוואה מסדר ניתן לקבל פתרונות בלתי תלויים.
אם כל מקדמי המשוואה הם ממשיים וחלק מהשורשים שיתקבלו הם מרוכבים, ניתן לקבל מכל פתרון מרוכב פתרון ממשי, שאינו כולל מספרים מרוכבים, בצורה זו: מכיוון שכל מקדמי המשוואה ממשיים, מספר מרוכב הוא פתרון שלה רק אם גם הצמוד שלו הוא פתרון שלה.
נניח כי הם שני פתרונות שכאלו.
אז הפונקציות המתאימות להם הן .
כעת, בהסתמך על העובדה שסכום וכפל בקבוע של פתרונות גם הוא פתרון, נקבל שני פתרונות ממשיים על ידי שימוש בנוסחת אוילר:
ניתן להוכיח על ידי בדיקה (למשל באמצעות הוורונסקיאן) כי אלו פתרונות בלתי תלויים.
שיטת ד'אלמבר להורדת סדר המשוואה
חלק ניכר מן התאוריה הבסיסית של משוואות דיפרנציאליות נשען על האנלוגיה בין משוואות דיפרנציאליות ליניאריות למשוואות פולינומיות.
כאשר נתונה משוואה ליניארית הומוגנית כללית (כלומר, המקדמים הם פונקציות של ולא בהכרח קבועים), וידוע לנו פתרון לא טריוויאלי אחד של המשוואה, נרצה למצוא פתרון נוסף, בלתי תלוי בו.
הגיוני לחפש פתרון שיהיה דומה בצורתו לפתרון הקיים, וההבדל ביניהם מתבטא בכפל בפונקציה לא ידועה כלשהי.
לכן נסמן כאשר היא פונקציה בלתי ידועה ו- הוא הפתרון שידוע לנו.
כעת נציב את הפתרון החדש למשוואה ונחלץ את .
אם נצליח, קיבלנו פתרון נוסף, .
נדגים את התהליך עבור משוואה ליניארית ממעלה שנייה: .
נניח שנתון פתרון לא טריוויאלי ואנו מנחשים פתרון .
נחשב את הנגזרת הראשונה והשנייה של הפתרון:
לאחר פתיחת סוגריים והוצאת גורם משותף נקבל:
נשים לב כי הביטוי בסוגריים השמאליים מתאפס, כי .
הוא פתרון של המשוואה הליניארית (ולכן ) לכן בסך הכול קיבלנו:
כעת ניתן להציב ולקבל אחרי חילוק ב- (מותר לנו כי על פי משפט הקיום והיחידות, אם מתאפס בנקודה כלשהי הוא חייב להיות הפתרון הטריוויאלי ) את המשוואה .
זוהי משוואה ליניארית מסדר ראשון, כלומר הורדנו את סדר המשוואה.
פתרון של משוואה זו נתון על ידי
כדי למצוא את הפתרון השני של המשוואה יש לעבור מ- ל- על ידי אינטגרציה נוספת, ולבסוף לכפול ב-.
ישנן דרכים נוספות להגיע לנוסחה זו, איך היתרון בדרך שהוצגה כאן הוא שאין היא מצריכה זכירת נוסחאות או משפטים, אלא רק שבהינתן פתרון כלשהו ניתן למצוא פתרון נוסף הנתון על ידי הצורה , גזירתו והצבתו במשוואה.
נשים לב כי שיטה זו אינה מבטיחה שהפתרון הנוסף יהיה ניתן לכתיבה על ידי פונקציות אלמנטריות: אין זה מובטח שניתן יהיה למצוא פתרון לשני האינטגרלים שבנוסחא.
עם זאת, כאשר פונקציה מוצגת על ידי אינטגרלים לרוב קל יותר לעבוד איתה מאשר במצב שבו הצגתה היחידה היא על ידי משוואה דיפרנציאלית.
ניתן להכליל את השיטות וההגדרות למשוואה דיפרנציאלית בפונקציות וקטוריות כלומר המשוואה מהצורה:
כאשר , ו־A היא מטריצה של פונקציות ממשיות.
אפשר להציג את y במפורש כווקטור שרכיביו הן פונקציות ממשיות גזירות, ולקבל מערכת של משוואות דיפרנציאליות עם n פונקציות נעלמות – .
בהמשך החלק נוותר על סימון החץ מעל הפונקציה y, כאשר ההקשר יהיה ברור.