tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
פייר-סימון לפלס, אך גם פאול ארדש ואלפרד רניי הוכיחו את משפט הגבול להתפלגות T.
תוצאה זו היא הרחבה נוספת של גבולות קודמים.
דונלד ג'יי ניומן ולורנס שפ הכלילו את בעיית אוסף הקופונים, כאשר יש לאסוף מספר עותקים של כל קופון.
תהי Tm פעם הראשונה שבה נאספו m עותקים של כל קופון.
בגבול של גדול התוחלת של Tm היא
עבור m = 1 מתקבלת התוצאה הקודמת.
בקריפטוגרפיה, בעיית RSA היא הבסיס התאורטי להצפנת RSA, שהומצאה על ידי שמיר, ריבסט ואדלמן ב-1977, ונמצאת מאז בשימוש מאסיבי בכמעט כל מערכת הצפנה מודרנית.
בעיית RSA היא בעיה בתורת המספרים שאפשר לנסחה בקיצור: "מציאת שורש ממעלה של מודולו ".
בהצפנת RSA אליס מצפינה את המסר הגלוי עבור בוב באמצעות המפתח הציבורי של בוב על ידי חישוב:
נקרא מודולוס RSA והוא בדרך כלל כפולה של שני ראשוניים ו- אקראיים, גדולים ושווים בגודלם בקירוב.
נקרא מעריך ציבורי והוא שלם אי-זוגי , שצריך להיות זר ביחס ל- שהוא פונקציית אוילר המייצגת את הסדר של החבורה הכפלית .
היות שהסדר של הוא וכן לגבי הרי ש-.
פונקציית RSA היא מהצורה .
השלם הוא הופכי כפלי של ביחס לסדר ונקרא גם דלת המלכודת.
המפתח הפרטי הוא אם כן הצמד .
בוב שברשותו המפתח הפרטי יכול לפענח את כיוון ש- ומזה נובע ש-.
יריב פוטנציאלי יכול לנסות לגלות מהו על ידי ציתות לרשת וייתכן אף שהמפתח הציבורי של בוב ידוע לו.
ההנחה היא שלמרות האמור יהיה קשה לו לחשוף את או את .
בהינתן שלם חיובי , כאשר ו- ראשוניים שווים בגודלם בקירוב ושלם אי-זוגי חיובי הנמוך מ- שמקיים ונתון שלם .
המגבלות שהוטלו על הפרמטרים מבטיחים שלכל קיים אך ורק יחיד המתאים לו, כלומר היא תמורה ב-.
הפונקציה gcd היא מחלק משותף מקסימלי.
היריב, שהמפתח הפרטי אינו ידוע לו, חייב להפוך את פונקציית RSA.
חיפוש סדרתי של הפונקציה ההופכית מחייב בממוצע בדיקת כמעט כל המעריכים האפשריים.
אם המעריך גדול המשימה תהיה בלתי מעשית.
השערת RSA מניחה שבעיית RSA המתוארת קשה לפתרון במידה והתנאים הבאים מתקיימים: הגורמים הראשוניים של המודולוס אינם ידועים לתוקף, המודולוס גדול מאוד, המודולוס נוצר באקראי (הגורמים נבחרו באקראי) וכן המסר (ומזה נובע גם הצופן ) ממופה לאלמנט אקראי ב-, דהיינו בטווח .
השערה זו זהה לטענה שפונקציית RSA היא חד-כיוונית עם דלת מלכודת כשהמפתח הפרטי הוא דלת המלכודת.
דהיינו בעוד שקל לחשב חזקה ממעלה של (מודולו ), הרי שקשה לבצע את הפעולה ההפוכה, לחשב את השורש ממעלה של מודולו .
אלא אם כן יינתן רמז סודי שהוא במקרה זה .
אקראיות חשובה כיוון שאם ידוע ש- נבחר מתוך טווח קצר, היריב יכול לנסות לפענח את פשוט על ידי ניסוי כל האפשרויות (מבלי צורך להפוך את פונקציית RSA כלל).
גם אם נבחר באקראי היריב יכול למפות את כל האלמנטים ב- עד שהוא נתקל ב- הנכון.
אולם התקפת כוח גס מסוג זה היא מעריכית, עם זמן ריצה בסדר גודל של .
בטכנולוגיה הנוכחית ועם מספרים גדולים (כמה אלפי ספרות) אלגוריתם כזה אינו יעיל.
קל לראות שבעיית RSA אינה קשה יותר מפירוק לגורמים.
כלומר, אם קיים אלגוריתם יעיל לפירוק לגורמים אזי RSA אינו בטוח כלל.
היות שאם היריב יכול לפרק את המודולוס לגורמים קל לו לחשב את סדר החבורה , למצוא את המפתח הפרטי מתוך המפתח הציבורי כך שמתקיים ואז לפענח את .
שבירת RSA על ידי פירוק לגורמים נקראת שיטת כוח גס, דהיינו ניסוי כל המספרים האפשריים עד שיימצא גורם.
אם המספר גדול מספיק גם המהיר במחשבים יזדקק למאות שנים לצורך כך.
חרף המאמצים טרם נמצאה שיטה יעילה לפירוק לגורמים המהירה במידה משמעותית מכוח גס.
אין הוכחה שלא תימצא כזו, ואף לא מובטח שלא ניתן לשבור את RSA ללא קשר לפירוק לגורמים.
השיטה מתבססת רק על העובדה שלא נמצאה עד כה דרך כזו.
גורלו של המשפט האחרון של פרמה, שלאחר 350 שנה ללא פתרון נמצאה לו הוכחה, כגורלן של בעיות קשות אחרות שפוצחו בסופו של דבר, עלולים להעלות פקפוק קל ביחס לביטחון צופן זה.
אף על פי שקיימים אלגוריתמים טובים לפירוק לגורמים של מספרים שלמים, הם עדיין רחוקים מלהוות איום ממשי על מודולוס RSA שנבחר לפי התקן.
האלגוריתם היעיל ביותר, "סטייט אוף דה ארט" הידוע כיום לפירוק לגורמים הוא נפת שדה מספרים הכללי עם זמן ריצה מסדר גודל של עבור קבוע .
שזהו בערך החסם התחתון הידוע לשבירת RSA באמצעות פירוק לגורמים.
מודולוס RSA שלא נבחר באקראי עלול להכיל חולשות שמאפשרות שבירתו בקלות.
לדוגמה אם נבחר כך ש- הוא כפולה של ראשוניים קטנים שאינם עולים על חסם כלשהו אזי ניתן לפרקו לגורמים בזמן של בערך.
על כל פנים ההפך אינו מוכח.
דהיינו השאלה אם יימצא אלגוריתם יעיל לשבירת RSA, האם אפשר לבנות באמצעותו אלגוריתם יעיל לפירוק לגורמים, היא שאלה פתוחה.
בהינתן מודלוס ומעריך שלם אי זגי, המקיימים והתמורה מהחבורה על עצמה, האם קיים אלגוריתם שיכול חשב בזמן פולינומי את הגורמים הראשוניים של בהינתן גישה לאורקל , כאשר האורקל יכול לחשב את בזמן קבוע.
בונה ו-Venkatesan ואחרים הוכיחו שאם קטן כגון , התשובה לשאלה האמורה היא "לא".
במילים אחרות ייתכן שלא קיימת רדוקציה מבעיית RSA לפירוק לגורמים במקרה הפרטי של קטן.
אך אין בזה די כדי להוכיח באופן כללי שבעיית RSA קלה מפירוק לגורמים.
לאחר המצאת RSA חודשו המאמצים למציאת אלגוריתמים יעילים לפירוק לגורמים.
ב-1981 פיתח קארל פומרנץ את אלגוריתם הנפה הריבועית אשר נחשב עד ל-1993 לאלגוריתם היעיל ביותר (באופן אסימפטוטי) לפירוק לגורמים.
ב-1993 הומצאה נפת שדה מספרים הידועה כיום כאלגוריתם הטוב ביותר בכל הזמנים לפירוק לגורמים של מספרים גדולים מאוד (בשל מורכבותה נפת שדה המספרים יעילה בעיקר מעל מאה ספרות עשרוניות).
בנובמבר 2005 הצליח צוות מתמטיקאים לפרק לגורמים בעזרת אלגוריתם נפת שדה המספרים את המודולוס RSA-200 (200 ספרות עשרוניות) מתוך מספרי האתגר של מעבדות RSA.
המאמץ נמשך כמעט שלוש שנים, תוך שימוש במספר גדול של מחשבים שעבדו במקביל.
בדצמבר 2009 פרסם צוות מחקר ממוסדות אקדמאיים שונים, בראשות תורסטן קליינג'ונג כי הצליחו לפרק לגורמים את המספר RSA-768 (ממספרי האתגר של מעבדות RSA) בתהליך שנמשך כמעט שלוש שנים ונרתמו לצורכו אלפי מעבדים (אותו תהליך על מחשב בודד בעל עוצמת חישוב טובה, היה אורך כ-1500 שנה).
האתגר הבא RSA-1024 (כ-300 ספרות עשרוניות) קשה פי כמה אלפים.
בעבר הוצע פרס של כ-100,000 דולר למי שיצליח לפרקו.
עדי שמיר וערן טרומר פיתחו חומרה היפותטית (TWINKLE ו-TWIRL) להאצת תהליך הניפוי של אלגוריתם NFS.
באמצעותה פירוק לגורמים של מודולוס RSA בגודל 1024 סיביות בר ביצוע בזמן סביר.
במאמרם נטען שניתן לבנות מערכת ייעודית מעשית לשבירת RSA בסדר גודל של 1024 סיביות בתוך כשנה ובעלות של כעשרה מיליון דולר.
לא ידוע על מימוש מעשי של החומרה שהציעו.
בעקבות פרשת סנאודון, ישנם מומחי אבטחה המעריכים כי נכון לשנת 2013 ארגונים בינלאומיים בעלי אמצעים כמו NSA מסוגלים לפצח מפתח כזה בעלות של כמיליארד דולר בזמן קצר בהרבה (כמספר שעות).
לפי חוק מור כל שנתיים בערך היכולת הטכנולוגית מכפילה עצמה.
אולם קצב המיזעור הולך ודועך.
בשנת 2007 צוטט מור כי בתוך עשר שנים לא יתאפשר מיזעור נוסף בהתאם לחוק שהגה.
בהערכה זהירה מודולוס בגודל 2048 סיביות (או 4096 סיביות לאלו שחוששים במיוחד), מספק רמת ביטחון ראויה לכל צורך מעשי בזמן הקרוב.
בשל העובדה שהצפנת RSA הנה תמורה ב-, אם קיים שלם המקיים .
אם קטן חיפוש סדרתי של כזה אפשרי.
אפשר להתחיל בערך נמוך ולקדם את עד שהמשוואה האמורה מתקיימת.
יתרה מזו, ניתן לייעל את ההתקפה על ידי מציאת השלם העונה על הדרישה .
יש סיכוי טוב למצוא את בפחות מהזמן הדרוש למצוא את .
אם מודולו אחד מהגורמים הראשוניים של , אזי הוא גורם ראשוני של וכאמור ידיעת הגורמים הראשוניים מספקת לחילוץ מפתח הפענוח.
במקרה ש- אזי מתקיים בהכרח וכאמור , במקרה כזה מתקבל בלא צורך במפתח הפענוח כלל.
למעשה אפשר לראות בשיטה זו כדרך שונה לפירוק לגורמים.
כאמור, פירוק לגורמים היא בעיה קשה כך שתכונה זו אינה מהווה איום משמעותי על אלגוריתם RSA.
כאמור חשוב שהמספרים הראשוניים ייבחרו באקראי.
לא מומלץ למשל להשתמש ברשימת מספרים ראשוניים מפורסמת, כיוון שבדרך זו מועבר מידע ליריב פוטנציאלי.
בבחירת מספרים ראשוניים רצוי שיהיו לא רק אקראיים אלא גם קשים לניחוש.
אילו הגדרות שונות, כיוון שאקראיות לבדה אינה מבטיחה קושי בניחוש.
על כן השיטה המקובלת היא הפעלת מחולל אקראי בטוח ליצירת מספר אי-זוגי אקראי באורך הרצוי ובדיקת ראשוניותו, מכיוון שבדיקת ראשוניות קלה יותר מפירוק לגורמים, אם המספר מתגלה כפריק מנסים שוב עם מספר אחר.
הסיכויים הם שתוך מספר ניסיונות קצר בערך כמספר הספרות, יימצא ראשוני.
כמו כן רצוי ש- ו- יהיו בגודל זהה בקירוב, כלומר שלמודולוס לא יהיו גורמים קטנים כלשהם.
זאת כדי לסכל אפשרות שימוש באלגוריתם פירוק שמנצל את קיומם של גורמים קטנים.
מצד שני רצוי שההפרש ביניהם לא יהיה קטן מדי.
כי אם , אזי גם ואז ניתן למצוא אותם בחיפוש קל, קרוב לשורש.
יש הממליצים להשתמש במספרים ראשוניים חזקים.
הוא מספר ראשוני חזק אם הוא מקיים את ההגדרות הבאות:
מכיל גורם ראשוני גדול .
מכיל גורם ראשוני גדול כלשהו.
האמור גם הוא, מכיל גורם ראשוני גדול כלשהו.
ניתן להכין מספרים כאלו בעזרת אלגוריתם גורדון (Gordon) למשל.
הסיבות לתנאים אלו הם: הראשון והשני נועדו לסכל שימוש באלגוריתם פירוק לגורמים על המודולוס כמו אלגוריתם rho של פולרד או אלגוריתמים אחרים (של פולרד) המנצלים את .
השלישי נועד לסכל את מתקפת מחזוריות .
הוכח מעשית שאין צורך במספרים ראשוניים חזקים, משום שמספרים ראשוניים גדולים מאוד שנבחרו אקראית בדרך בטוחה, כמעט תמיד נוטים לענות על דרישות אלו.
חשיפת המפתח הפרטי לעומת פירוק לגורמים
בהינתן המפתח הפרטי אפשר לבנות אלגוריתם יעיל לפירוק לגורמים של .
וכן להפך; בהינתן הגורמים הראשוניים של , אפשר לחלץ את בקלות.
אם ידוע אפשר לחשב את .
ידוע ש- צריך להיות כפולה של הסדר .
היות ש- זוגי, אם כותבים את כ- כאשר אי-זוגי ו-, מתקיים עבור כל ולכן הוא שורש ריבועי של מודולו .
לפי משפט השאריות הסיני ל- ארבעה שורשים ריבועיים מודולו .
שניים הם האחרים הם כאשר מקיים וכן .
בעזרת אחד משני השורשים האחרונים אפשר לגלות את הגורמים של על ידי חישוב (gcd היא מחלק משותף מקסימלי).
אפשר לראות שאם נבחר באקראי, אחד מהאלמנטים ברצף מודולו הוא שורש ריבועי של בהסתברות של לפחות חצי.
כל האלמנטים ברצף האמור ניתנים לחישוב בזמן של .
הטענה ההפוכה נובעת ישירות מהעובדה שבהינתן הגורמים הראשוניים אפשר לחשב את ואת .
מזה נובע שבעיית פירוק לגורמים שקולה לחשיפת המפתח הפרטי, כך שאין טעם להסתיר את המפתח הפרטי ממי שהגורמים ידועים לו וכן להפך.
מסיבה זו לא יהיה חכם לשתף מודולוס אחד לכמה משתמשים (כך שרק המפתחות הפרטיים והציבוריים שלהם שונים).
כי בידי כל אחד מהם מספיק מידע כדי לפרק את לגורמים ואז הוא יכול לחלץ את המפתחות הפרטיים של כל האחרים מתוך המפתחות הציבוריים שלהם.
בפענוח סיבוכיות פעולת ההעלאה בחזקה המודולרית, ליניארית ביחס לאורכו של בסיביות, מסיבה זו אם המפתח הפרטי קטן משיגים שיפור ביעילות הפענוח בפקטור משמעותי.
התקפה מתוחכמת של מייקל ויינר מראה שעם מפתח פענוח קטן אפשר לשבור את המערכת כולה בקלות.
בהינתן , כאשר וכן השלמים כך שמתקיים , אם אפשר לחלץ את ביעילות.
ההתקפה של ויינר מבוססת על קירוב שברים משולבים.
היות ש- שקול ל- מודולו קיים המקיים .
השברים נותנים קירוב טוב של על ידי התכנסות השבר המשולב.
התוקף יכול לחשב את ההתכנסויות עבור .
אחד מהם יהיה שווה ל- ולאור האמור צריך להיות ולכן הוא שבר מצומצם.
האלגוריתם של ויינר מאפשר חילוץ בזמן ליניארי.
אם באורך 1024 סיביות חייב להיות לפחות 256 סיביות כדי לסכל התקפה זו.
לחלופין אפשר להגדיל את על חשבון .
ויינר הראה שאם ההתקפה שלו לא תצלח.
על כל פנים הגדלת אינה פותרת את בעיית היעילות אלא מעבירה אותה להצפנה.
ייתכן ושיטה זו תהיה יעילה במקרים בהם המחיר שווה את התועלת, אם אין חשיבות לגודל מפתח ההצפנה לעומת מפתח הפענוח.
ייעול ההצפנה והפענוח מבלי להסתכן בהתקפה של ויינר, אפשרי באמצעות משפט השאריות הסיני כפי שמובא בתקן PKCS.
אם מחלקים את לשני מפתחות פענוח כך שמתקיים וכן ואורך כל אחד מהם מחצית מאורך המודולוס.
אזי הפענוח מתייעל בפקטור של שניים בקירוב.
בפענוח משתמשים במשפט השאריות הסיני כדי לפתור את מערכת השקילויות וכן כדי לחשב את .
והרעיון הוא שהמפתחות ו- קטנים לכן העלאה בחזקה עם מפתחות אילו יעילה יותר.
לא ברור האם השיטה הזו מחזקת או מחלישה את RSA.
החסם שהציע ויינר אינו מדויק.
בונה ואחרים הוכיחו שכל עוד אפשר לשחזר את מתוך .
בכל אופן החסם המדויק הוא שאלה פתוחה.
משיקולי יעילות מקובל שהמעריך הציבורי יהיה קטן, זאת מבלי לפגוע בביטחון המערכת.
הדבר חשוב במיוחד כאשר מיישמים את RSA בחומרה כמו כרטיס חכם.
נפוץ ביישומים מעשיים, יתרונו במשקלו הבינארי הנמוך.
יש לשים לב שאם המסר עצמו קטן גם הוא, ייתכן שיהיה אפשר פשוט לחשב את השורש ממעלה של המסר ללא המודולוס (אם ).
בהינתן מודולוס ופולינום ממעלה .
יהי עבור , קיים אלגוריתם לחישוב כל השלמים המקיימים .
כלומר אפשר לחשב כל השורשים של מודולו הנמוכים מ-.
ככל ש- קטן זמן הריצה קטן בהתאם.
הרעיון של קופרשמידט מבוסס על LLL (אלגוריתם לצמצום סריגים) וזמן הריצה שלו נשלט בידי הזמן שלוקח ל-LLL לרוץ על סריג בעל מימד כאשר .
הוא טוב במקרה שמנסים למצוא שורשים קטנים מודולו מספר פריק ויש לו השלכות גם בתחומים אחרים (במקרה של מספר ראשוני אין צורך בכך כי קיימות שיטות יותר טובות).
על כל פנים ההשלכה של משפט זה שניתן לפתח התקפה על RSA כאשר המעריך הציבורי קטן, כדלהלן.
אם השולח מצפין מסר מספר פעמים עבור משתמשים, כל אחד עם המפתחות המתאימים שלהם, אם כל שווים ל- שלם קטן (נניח ), הרי שיריב שמסוגל ליירט את המסרים המוצפנים יכול לחלץ את המסר המקורי על ידי משפט השאריות הסיני ברגע שיצליח להניח ידו על לפחות מהם.
משום שעבור המסרים קיים שלם כך ש-.
לפי משפט קופרשימדט יהיה השורש ממעלה (מעל השלמים) של .
גם אם השולח ייפרד את על ידי סכימת ריפוד ידועה כלשהי (אם הריפוד הוא ערך קבוע עבור כל משתמש) ההתקפה עדיין ישימה.
לכן הריפוד חייב להיות אקראי כדי לסכל את ההתקפה האמורה.
התקפה אחרת של פרנקלין וריטר על RSA עם מעריך קטן, מנצלת קשר או יחס בין מסרים.
כלומר אם לדוגמה השולח מצפין שני מסרים כאשר הוא פונקציה ידועה כלשהי מהצורה של .
ידוע ש- הוא שורש של הפולינום וכן הוא שורש של .
הגורם הליניארי מחלק של שני הפולינומים.
לאור זאת אפשר להשתמש באלגוריתם אוקלידס כדי לחשב את .
ההשלכה של התקפה זו הפכת חמורה יותר אם סכימת הריפוד אינה בטוחה.
אם השולח מרפד את המסר לפני המשלוח על ידי הוספת מספר אקראי קצר לסוף המסר הרי שאם יעלה בידי התוקף להשיג מסר כלשהו שנשלח פעמיים (עם ריפוד שונה, דהיינו וכן כאשר הוא אורך הריפוד בסיביות), הוא יכול לבצע את ההתקפה האמורה ולחלץ את .
כיוון שאם מגדירים את הפולינומים וכן , ידוע שאם הרי ש- יהיה שורש משותף של שניהם שאותו אפשר למצוא בעזרת אלגוריתם קופרשמידט אם הוא קטן.
ראוי לציין שאם המעריך גדול ההתקפות האמורות אינן יעילות.
דרך אחרת לסכל התקפות אילו היא לרפד את המסר בסכימת ריפוד אקראית בטוחה.
למרות זאת בגלל ההתקפות המתוארות התקנים הידועים נמנעים באופן כללי משימוש במפתחות הצפנה או פענוח קטנים.
חשיפה חלקית של d כאשר e קטן
בונה ואחרים הוכיחו שאם עלה בידי התוקף לגלות חלק (למשל רבע) מסיביות המפתח הסודי הרי שהוא יכול באמצעותם לגלות את המפתח הסודי כולו בתנאי שמפתח ההצפנה מקיים .
עובדה זו נובעת ממשפט קופרשמידט שהוכיח שאם יעלה בידי התוקף לנחש נכונה כרבע מסיביות אחד הגורמים הראשוניים של המודולוס, ביכולתו לפרק את המודולוס כולו לגורמים בזמן של ניסיונות.
בנוסף אפשר לראות שאם המעריך קטן מערכת RSA מדליפה כמחצית מהסיביות המשמעותיות של המפתח הפרטי .
הסיבה היא בשל המשוואה עבור .
בהינתן כאמור התוקף יכול לחשב את ואז את
לכן הוא קירוב טוב של .
דהיינו ברוב המקרים מחצית הסיביות המשמעותיות של זהות לסיביות של .
היות שקיימים רק ערכים אפשריים של אפשר לבנות טבלה קטנה של כניסות כך שאחד מהאלמנטים בה שווה למחצית השמשעותית של סיביות .
אם הם מסרים כלשהם שהטקסטים המוצפנים המקבילים להם הם בהתאמה.
תכונה זו נקראת גם הומומורפיזם והיא מאפשרת במצב מסוים התקפה שבה לתוקף גישה חלקית למערכת ההצפנה (אין לו גישה למפתח ההצפנה) אם וברצונו לחשוף את ביכולתו להסתירו על ידי הכפלת הטקסט המוצפן ב- כלשהו כך: , אם המערכת תפענח עבורו את בלא ידיעת הקשר שבינו לבין הוא יקבל את: .
תוצאה זו מאפשרת חילוץ בשל הזהות הבאה:
כלומר מסירים את על ידי הכפלה בהופכי שלו כדי לקבל את הטקסט מקורי.
תכונה זו שימושית גם לטכניקת הסינוור להלן כנגד התקפת ערוץ צדדי.
הדרך הטובה ביותר למנוע חולשות עקב תכונת הכיפליות היא לרפד את המסר באמצעות סכימת ריפוד בטוחה.
לאור תכונת הכפליות, לפונקציית RSA תכונת "פריקות עצמית" (Self-reducibility) או רדוקציה עצמית, כלומר תמיד מתקיים:
כך שאפשר למעשה להמיר טקסט מוצפן נתון לטקסט מוצפן אחר כאשר אקראי.
כעת היות שיש סיכוי שהתוצאה תהיה "חלשה" במובן שייתכן שתהיה דרך קלה לפענחה, הרי שהתוקף יכול לנצל עובדה זו כדי לפענח כל טקסט מוצפן.
הוכח שאם קיים אלגוריתם שיכול לפענח חלקיק קטן מסך כל ההצפנות האפשריות, הרי שקיים אלגוריתם אקראי אחר שיכול לפענח את כל המסרים המוצפנים באותה סיבוכיות זמן בערך.
מצד אחד תכונת הפריקות העצמית מלמדת שאפשר לצפות מכך שהרוב המכריע של הטקסטים המוצפנים יהיה קשה לפענוח באופן כמעט שווה, תכונה שהועילה בהוכחת ביטחון מספר מערכות הצפנה אסימטרית המבוססות על RSA.
אולם מאידך היא נותנת כלים טובים בידי התוקף, היא מאפשרת לגלות טקסט מוצפן אחד מתוך טקסט מוצפן אחר.
זו אחת הסיבות מדוע חשוב שמערכת ההצפנה תהיה עמידה כנגד התקפת מוצפן נבחר.
באריץ' ופיצמן ואחרים המציאו ב-1997 את השערת RSA החזקה (Strong RSA Assumption) שמאז מהווה בסיס למספר מערכות הצפנה וחתימה דיגיטלית בין היתר חתימה דיגיטלית של קריימר ושופ.
השערה זו שונה מההשערה הרגילה בכך שהתוקף יכול לבחור גם את המפתח הציבורי, כדלהלן:
בהינתן מודולוס אקראי ושלם אקראי , מצא ו- המקיימים .
כלומר היריב מקבל מודולוס וטקסט מוצפן ועליו למצוא כל מעריך ובסיס כך שהמשוואה האמורה תתקיים.
ייתכן שמשימה זו תהיה קלה יותר מפתרון בעיית RSA הרגילה ולכן ההשערה נקראת חזקה במובן הזה, שאם היא קשה, הרי שהיא משיגה ביטחון גבוה יותר מ-RSA הרגיל.
אף על פי ש-RSA בטוח בהנחה שהשערת RSA נכונה ובהנחה שפירוק לגורמים היא משימה קשה.
בכל זאת בתנאים מסוימים RSA מדליף מעט מידע על הטקסט המקורי, כלומר קל לנחש סיביות מסוימות של המסר המקורי מתוך הטקסט המוצפן.
גולדווסר ומיקאלי הראו שאם היריב יכול לנחש את הסיבית הכי פחות משמעותית של הטקסט המקורי, הוא יכול עם מידע זה לבצע התקפה שבה יצליח יחלץ את כל סיביות המקור בזמן פולינומי.
ואזירני וכן שור, גולדרייך, אלקסי פישלין, שנור ואחרים הוכיחו ש- הסיביות הפחות משמעותיות של הטקסט המוצפן של הצפנת RSA בטוחות, דהיינו ההסתברות לניחוש מוצלח שלהן הוא לא יותר מאשר כאשר .
הוסטד ונוסלנד הוכיחו שכל סיביות הטקסט המקורי "מוסתרות היטב" בהצפנת RSA במובן שאם יהיה בידי תוקף יתרון כלשהו לגלות חלק מהן הרי שהוא יצליח לחשוף את כולן באותה מידה.
ההוכחות מתבססות על רדוקציה המוכיחה שאם קיים אלגוריתם יעיל לניחוש סיבית אחת או יותר אפשר לבנות ממנו אלגוריתם לניחוש כל הסיביות ומכאן להיפוך פונקציית RSA.
תכונה זו היא חרב פיפיות, מצד אחד מבטיחה כי כל הסיביות מוגנות במידה שווה, אולם מצד שני מעניקה לתוקף כלי רב עוצמה, אם יעלה בידו לנחש סיבית אחת הוא יכול לגלות את כולן.
מסיבה זו יישום RSA דורש תשומת לב רבה וזהירות שלא ייוצר מצב שחלק מהמערכת ידליף שלא במודע רסיס כלשהו שיאפשר לתוקף לשבור את המערכת כולה.
התקפת מוצפן נבחר על RSA מוגדרת כדלהלן: לתוקף גישה לאורקל אשר מבצע עבורו עם מפתח הצפנה זהה, פענוחים של טקסטים מוצפנים (לא בהכרח קשורים זה בזה) ומתוך מידע זה עליו לגלות אחר שאינו נמנה כמובן עליהם.
ההתקפה מתחלקת לשני סוגים CCA1 ו-CCA2 כאשר השנייה מאפשרת שיהיה קשר בין שאותו התוקף מעוניין לגלות לבין הפענוחים שקיבל, במילים אחרות הוא יכול לבחור את הפענוחים שברצונו לקבל לפי בהתאם לתוצאות קודמות כלשהן.
היות שפונקציית RSA דטרמיניסטית באופיה לא ניתן לסכל התקפה זו.
הדרך היחידה לסכלה היא לעשות שימוש בסכימת ריפוד אקראית על המסר לפני ההצפנה כמו OAEP.
בצורה זו מבטלים את דטרמיניסטיות ההצפנה וההתקפה נעשית חסרת תועלת.
RSA הבסיסי פגיע להתקפת ערוץ צדדי המודדת במדויק את הזמן הדרוש לביצוע פענוח.
למשל בהינתן כרטיס חכם שבו מוטמע מפתח הצפנה סודי שכמובן לא ניתן לראות באמצעים רגילים.
בגלל שהמספרים העצומים לא מאפשרים חישוב ישיר של העלאה בחזקה פעולת הפענוח מנצלת את "אלגוריתם ריבוע וכפל" כדי לחשב את בחזקת ברקורסיה של העלאות בריבוע.
העיקרון הוא להקצות משתנה זמני שמתחיל ב-1, סורקים את הייצוג הבינארי של המעריך מימין לשמאל (מהסיבית הכי פחות משמעותית לסיבית העליונה).
אם הסיבית היא "1" מכפילים את המשתנה הזמני ב- ומעלים בריבוע ואילו אם הסיבית היא "0" מבצעים רק העלאה בריבוע, מצמצמים את התוצאה במודולוס וממשיכים כאשר התוצאה האחרונה היא במשתנה הזמני.
היות ש- אי זוגי, אנחנו יודעים שבסבב הראשון מתבצעת העלאה בריבוע וכפל מלא ב- אם מודדים את הזמן הדרוש לפעולה זו ומשווים עם הפעולה של האלגוריתם בסבב הבא ונמצא הבדל אפילו כלשהו אפשר להעריך שהסיבית השנייה היא "0".
בדרך זו ניתן לעלות על כל הסיביות.
באותה מידה אפשר לבצע את ההתקפה על ידי מדידת הפרשי צריכת החשמל בזמן ביצוע פעולות ההעלאה בריבוע וכפל.
דרך אחת לסכל התקפה זו היא באמצעות טכניקת "סינוור" (blinding) המנצלת את תכונת ההומומורפיות של RSA.
לפני הפענוח מכפילים את המסר במספר אקראי כלשהו ולאחר הפענוח מחלקים בו שוב.
בדרך זו מדידת התזמון אינה מועילה לתוקף כי המסר אקראי.
היות שביטחון הצפנת RSA מבוסס בעיקר על פירוק לגורמים - בידיעת הגורמים הראשוניים של המודולוס השיטה הופכת ללא בטוחה כלל, יש חשיבות בהקשר זה להתקדמות הטכנולוגית בכל המישורים בתחום פירוק לגורמים.
מסיבה זו עם המצאת אלגוריתם שור והדיון על מחשבים קוונטיים, הנושא נעשה רגיש.
כאשר מחשב קוונטי פונקציונלי יהפוך למעשי רוב האלגוריתמים האסימטריים ביניהם RSA יצאו מכלל שימוש.
ב-2011 פרסמה חברת D-Wave הקנדית שהצליחה לייצר מעבד קוונטי המכיל 128 קיוביטים שנועד בעיקר לפתרון בעיות כמו אופטימיזציה, מדגמים, ביואינפורמטיקה וכדומה.
מומחי החברה הדגישו שהמעבד אינו מסוג מעבד לשימוש כללי ולכן לא מתאים לכל מטרה ועוד הם מצפים לכל היותר לשיפור ריבועי ביכולת החישובית לעומת מחשב קונבנציונלי בפתרון בעיות מסוימות בתורת המספרים.
במאי 2013 הכריזה החברה על מחשב קוונטי מדור שני בעל 512 קיוביטים.
המעבד של D-Wave כפי שהוצג אינו מתאים לפירוק לגורמים משום שלא ניתן להריץ עליו את אלגוריתם שור.
המחשבים הקוונטיים הדיגיטליים שפותחו נכון להיות אינם מסוגלים לפרק לגורמים מספרים גדולים לפי התקן העולמי הנוכחי.
בנוסף כל מספר שניתן לטעון ב-512 קיוביטים אפשר לפרק לגורמים על מחשב קונבנציונלי.
בגאומטריה אוקלידית, בעיית אפולוניוס או בעיית המגעים מוגדרת כבניית מעגל שמשיק לצירוף כלשהו של שלושה אובייקטים במישור: נקודה, קו ישר ומעגל.
אפולוניוס מפרגה (בקירוב 262 לפנה"ס עד 190 לפנה"ס) פרסם את הבעיה המפורסמת בעבודתו Ἐπαφαί ("משיקיים") אך לא נתן לה את כל הפתרונות האפשריים; עבודה זו אבדה, אך דיווח על תוצאותיו נכתב על ידי פאפוס מאלכסנדריה בן המאה ה-4 ושרד.
מספר הצירופים בין שלושת האובייקטים הוא עשרה.
פאפוס התייחס למקרה של שלושה מעגלים כבעיה העשירית והקשה מכולן.
לעיתים בעיית אפולוניוס מתייחסת אליה בלבד.
בשנת 1600 פתר פרנסואה וייט את כל עשרת המקרים בעזרת סרגל ומחוגה.
האובייקטים יכולים לחתוך זה את זה, אך נהוג להתייחס למקרים בהם הם נפרדים זה מזה.
לבעיה העשירית יש שמונה פתרונות אפשריים (אחד מהם בתרשים 1).
יש שמונה מעגלים אפשריים שמשיקים לשלושת המעגלים הנתונים (תרשים 2).
כל מעגל מקיף תת-קבוצה שונה מתוך שלושת המעגלים וליתר המעגלים הוא משיק מבחוץ.
ישנן 8 תתי קבוצות אפשריות בקבוצה בה העצמה היא 3, מאחר ש 8 = 23.
בעיטת עונשין – שפת הכדורגל בתקשורת ההמונים הוא לקסיקון מאת דן יהב המאגד בתוכו מאות ביטויים בעברית מהעגה של תקשורת הספורט בישראל.
הלקסיקון כולל 1,145 ביטויי סלנג שנאספו מאמצע שנות השמונים במשך כ-15 שנה מאמצעי התקשורת השונים בתחום הספורט ומציג אותם באופן מילוני בסדר אלפביתי עם פירוש ומשפט לדוגמה.
הביטויים, רובם ציוריים או מטפוריים, חדרו בחלקם לשפה העברית.
בראשית הספר, עומד יהב על האופן שבו התפתחה העגה, המורכבת ברובה מביטויים מסיקור הכדורגל, ענף הספורט הפופולרי בישראל.
יהב טוען בפתח המבוא כי חדירתה של התקשורת האלקטרונית, הרדיו והטלוויזיה, לחיי האוהד, חייבה את התפתחותם של מדורי הספורט בעיתונות בהתאם.
מגמת ההתרחבות והרחבת הסיקור יצרה ביקוש רב לעיתונאיים ולהמצאת חומר כתיבה ללא קשר להתפתחות ענפי הספורט במדינה.
ככל שמלאכת הסיקור הפכה מסחרית יותר ביסודה, כך גדל הביקוש, שיצר בתורו קריטריונים לשוניים נמוכים יותר בכתיבה.
בהמשך המבוא, מעניק יהב ניתוח סוציולוגי-חברתי להתפתחות תת-התרבות של אוהדי הספורט והסיבות להתפתחות עגה בקרבם ועומד על התנאים התורמים להתנהגות הקולקטיבית.
יהב גורס כי כתבי הספורט והשדרנים מנצלים את עקרונות העגה ואת הגורמים להתפתחותה, ובפנייתם לקהל הרחב הם מתאימים את המשלב שלהם ואת רמת כתיבתם כך שיתאימו למכנה המשותף הנמוך ביותר, ובכך יוצרים אווירה קולקטיבית ואינטימית עבור האוהד שהוא גם הצרכן של המדיה.
סוג נוסף של ביטויים הם כאלה השאולים משדות סמנטיים שאינם קשורים לספורט, והלקסיקון מציע חלוקה לפי מפתח זה:
צבא ומלחמה (25.3%): יהב גורס כי ההשפעה הסמנטית של הצבא ושדה הקרב נובעת מעצם התחרות הספורטיבית המשולה לקרב או מלחמה ובה משתמשים בהתקפה והגנה; ביטויים לדוגמה: "שדה מוקשים", "בונקר", "בליץ", "בעיטת פגז" ו"יורה את הכדור".
בידור ואמנות (10%): יהב מניח כי שאילת ביטויים מעולם זה קשורה בהיותו של הספורט בידור להמונים ולדמיון שבין שחקן תיאטרון וקהל לספורטאי או קבוצה וקהל; ביטויים לדוגמה: "הצגת בכורה", "כינור ראשון", "מושך בחוטים", "סינדרלה" ו"קונצרט".
מקצועות ובעלי מלאכה (10%): "אדריכל", "שריף", "קוסם" ו"נגרים".
מדעי הגאוגרפיה (9.4%): "מבול שערים", "ניחוח פסגות", "תקופת יובש" ו"חוף מבטחים".
טכנולוגיה והנדסה (7.7%): "הנעה", "כוח מניע", "בולדוזר" ו"הילוך רביעי".
עולם הרפואה (7.5%): "קבוצה אנמית" ו"מנת חמצן".
בעלי חיים (5.9%): "רגלי איילה", "סוס עבודה", "זנב מקופל" ו"כבשה שחורה".
מזון וגסטרונומיה (5.2%): "מבשל שערים", "מנה ראשונה" ו"תקופת רזון".
מסחר וכלכלה (5.1%): "אי שקט תעשייתי", "מניות בעלייה", "צ'ק ללא כיסוי" ו"מאזן עגום".
תחומים נוספים: שאילת ביטויים מענפי ספורט מקבילים; תחום האהבה והמשפחה ("נשוי לקבוצה", "שלום בית"), תחום האמונות והדתות ועוד.
בעיית אי הזהות היא בעיה בפילוסופיה המנסה להתמודד עם הקושי בייחוס בעייתיות מוסרית לפעולות מסוימות המקיימות קשר סיבתי לקיומם של הסובלים מהן.
בדיון בבעיה זו עולות בעיות לעניין ההשלכות של פעולות שהביאו לקיומם של אנשים, אך בכל זאת יש בהן משום עוולה מוסרית.
מקור הבעיה הוא בהיעדר היכולת לכאורה לייחס את העוולה לנזק לאותם אנשים, שכן אלה לא היו קיימים אלמלא הפעולה הבלתי מוסרית לכאורה.
בעיית אי הזהות נשענת למעשה על טענת אי הזהות (או אי הקיום).
טענת אי הזהות היא טענה פילוסופית לפיה לא ניתן לעוול כלפי פרט בביצוע פעולות שאלמלא נעשו, הפרט לא היה קיים.
לפי הטענה, מי שטרם קיים (ולכן אינו קיים) בזמן ביצוע הפעולה, לא יכול להינזק על ידי (רוב) הפעולות והבחירות שנעשו טרם נולד, ככל שאלמלא אלה בוצעו הוא לא היה נולד/נוצר.
אף החריג לבעיה, דהיינו, המקרים בהם חיי הפרט אינם חיים ששווה לחיותם, הוא שנוי במחלוקת.
כך, הפילוסופים אורי הרשטיין ויוסף רז גורסים שניהם כי מי שאינו קיים אינו כזה שניתן לייחס ערך לטיב חייו, ולכן ההשוואה אליו כנקודת אפס שגויה, וממילא אין פשר לשאלה האם היה טוב לפרט אלמלא נולד.
טענת אי הקיום, חרף היותה מופשטת, משפיעה בדיונים פילוסופיים רבים, ובתוכם צדק בין דורי, זכויותיהם של דורות עתידיים, מדיניות פיסקלית והנדסה גנטית.
בכל המקרים מושאי הדיונים הללו, הפעולות וההחלטות ישפיעו על זהויות הפרטים העתידיים, ועל כן מתלווה להם הגנה אימננטית מפני פגיעה באותם פרטים.
הספרות הענפה על הבעיה ממחישה עד כמה הבעיה מעלה שאלות לא רק באתיקה תאורטית אלא גם בהיבטים פרקטיים של התוואת מדיניות ומשפט.
טענת אי הזהות הביאה לבעיה נוספת, הלא היא בעיית אי הזהות.
בעיית אי הזהות (המכונה גם פרדוקס של פרטים עתידיים) היא הבעיה באמיתה לפיה פעולות יכולות להיות שגויות מוסרית אף שאינן פוגעות באף אחד.
בהצרנה פורמלית, בעיית אי הזהות היא הבעיה לפיה שלוש הפרופוזיציות הבאות אינן יכולות לדור בכפיפה אחת:
(1) פעולות יכולות להיות שגויות רק אם הן מעוולות כלפי פרטים;
(2) להביא מישהו לידי קיום ששווה לחיות אותו, היא לא "משהו רע" עבור אותו פרט;
(3) ישנן פעולות המביאות פרטים לידי קיום ועדיין בלתי מוסרי לעשות אותן.
העמדה המקובלת דוחה את הפרופוזיציה הראשונה, דהיינו, אף שהבעיה עומדת בעינה, עדיין ישנן פעולות שמשפיעות על העתיד והן שגויות, אך אלה שגויות קטגורית ולא מעוולות כלפי פרטים עתידיים.
דוגמה אחרת, אשר דוחה את הפרופוזיציה השנייה דווקא, מובאת על ידי הפילוסופית שונה שפרין .
שפרין מבקשת לדחות את תפיסת טענת אי הזהות לגבי האופי הסכמתני (aggregative) של נזק.
להדגמת עמדתה, שיפרין מביאה דוגמה של הצלה רשלנית של טובע שהביאה לשבירת ידו, ולשיטתה עדיין יכולה להיתפס כפעולה שגרמה נזק.
דוגמה נוספת לתפיסה של נזק לא סכמתני מובאת על ידי ג'יימס וודורד, המביא דוגמה של אישה שחברת תעופה מסרבת למכור לה כרטיס טיסה מטעמים גזעניים.
וודורד מסביר כי אף אם הטיסה נסתיימה בהתרסקות, העובדה שהאישה ניצלה מהתרסקות בשל גזענות חברת התעופה לא שוללת את העוולה שבוצעה כלפיה בעצם האפליה.
הפרופוזיציה הראשונה, המכונה גם אינטואיציית ה-"person affecting" או "person based" מבקשת לטעון כי פעולה יכולה לעוול רק אם היא מרעה את מצבם של פרטים.
פעולות, במילים אחרות, נבחנות על-פי שאלת מקסום רווחתם של פרטים, כדברי דרק פרפיט (Derek Parfit): "the 'bad' act must be 'bad' for someone".
הפרופוזיציה השנייה מניחה כי פעולה שהביאה אדם לחיים ששווה לחיות אותם, לא יכולה לפגוע באותו אדם, ואינה מרעה עימו.
דוגמאות קלאסיות הממחישות את המתח
הפרופוזיציה השלישית מתמקדת באותם מקרים המראים כי בפועל אכן ישנם מקרים לא מעטים אשר שזורה בהם בעייתיות מוסרית לבטח, אך הם עומדים במתח מול הפרופוזיציות הקודמות.
בין הדוגמאות הקלאסיות ישנו ניצול יתר של משאבים.
בדוגמה זו, שימור המשאבים ירע את מצבה של האוכלוסייה האקטואלית אך במעט, אך ניצול יתר שלהם ישית סבל רב על הדורות העתידיים.
חרף עובדה זו, דומה כי מדיניות המשאבים תשפיע על זהות הדורות שעתידים לבוא, ולכן, לאור הפרופוזיציות הקודמות, קיימת בעיה מובנית בהצבעה על "נזק" שנגרם להן.
דוגמה קלאסית נוספת עניינה "ילד עבד".
במסגרת הדוגמה, נחתם חוזה בין הורים לאיש עשיר במסגרתו הם יביאו ילד וימכרוהו לעבדות, בתמורה לסכום כסף נכבד.
הילד, על-פי הדוגמה, עתיד להיווצר בשל החוזה, ובהינתן שחייו כעבד הם עדיין חיים ששווה לחיות, הרי שאי המוסריות האופפת את המקרה מטילה צל כבד על הפרופוזיציות המקדימות.
פרפיט מביא דוגמה נוספת שאף היא הפכה קנונית, דוגמת הנערה בת ה-14. פרפיט מבקש לשים לב כי אותה הביצית שפוטנציאלית יכולה להביא לקיומו של ולד אינה אותה הביצית שתהא בעוד 10 שנים, אך הביצית הספציפית קובעת למעשה את זהותו של אותו פרט עתידי.
במקביל, פרפיט מבקש שנחשוב על ילדה בת 14 שבוחרת להביא ילד לעולם.
אנחנו חושבים שהחלטתה שגויה, וכי עליה לחכות מספר שנים בטרם תחליט להביא ילד לעולם.
אנחנו גם חושבים, וזה העיקר, כי סיבה מרכזית לכך שהחלטתה שגויה היא שזה יביא לילד שהנערה תוליד "התחלה רעה לחיים".
ברם, עיון מעמיק יותר מגלה שאותו ילד לא היה נולד כלל אלמלא ההחלטה הזו.
הבעיה אף עולה ביתר שאת בדיון הקשור בחיים בעוולה.
בעיות פתוחות בפיזיקה הן כלל הבעיות בפיזיקה שטרם נמצא להן פתרון קוהרנטי המסתמך על תיאוריות קיימות.
חלק נכבד מן הבעיות הפתוחות בתחום הפיזיקה הן תאורטיות, כלומר התאוריות הקיימות נראות כבלתי מסוגלות להסביר תופעה נצפית מסוימת או תוצאה ניסיונית מסוימת.
אף על פי שהמודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים מתאר בדרך די טובה את המכניקה הקוונטית, ישנם עדיין כמה וכמה ליקויים בתאוריה, כגון כבידה קוונטית, חומר אפל, אנרגיה אפלה ושבירת סימטריית CP.
קיימת בעיה נוספת בתוך המסגרת המתמטית של המודל עצמו – הוא אינו עולה בקנה אחד עם תורת היחסות הכללית, עד כדי כך שאחת או שתי התיאוריות מתפרקות בתנאים מסוימים (למשל בתקופת היקום הקדום ובתוך חורים שחורים).
להלן רשימה של מספר בעיות פתוחות ובולטות המקובצות בתחומים רחבים בפיזיקה הכללית:
התאוריה של הכול: האם יש ביכולתה של הפיזיקה המודרנית למצוא תאוריה אשר תהיה מסוגלת להסביר ולקשור את כל התופעות הפיזיקליות הידועות?
האם יש תאוריה מסוימת היכולה להסביר את הערכים של כל קבועי הצימוד, כל המוני החלקיקים היסודיים וכל זוויות הערבוב של החלקיקים היסודיים?
האם יש תאוריה שמסבירה מדוע קבוצת הכוחות של המודל הסטנדרטי היא כמו שהיא, ומדוע למרחב יש שלושה ממדים מרחביים וממד זמני אחד?
האם "קבועים פיזיים בסיסיים", כגון החלקיקים היסודיים, באמת מהותיים או שהם משתנים לאורך זמן?
האם חלק מהחלקיקים היסודיים במודל הסטנדרטי הם למעשה חלקיקים מורכבים המחוברים בכוח חזק מכדי לראותם ככאלה באנרגיות הניסוי הנוכחיות?
האם ישנם חלקיקים אלמנטריים שטרם נצפו, ואם כן, מה הם ומה התכונות שלהם?
האם יש כוחות יסוד שלא נצפו?
חץ הזמן: מדוע לזמן יש כיוון?
מדוע הייתה ליקום אנטרופיה כה נמוכה בעבר, והזמן מתכתב עם העלייה האוניברסלית באנטרופיה, מהעבר לעתיד, על פי החוק השני של התרמודינמיקה?
מדוע נצפות הפרות של סימטרייה בהתפרקות מסוימת של הכוח החלש, אך לא במקומות אחרים?
האם הפרות אלו נוצרות כתוצאה מהתוצר של החוק השני של התרמודינמיקה, או שהן בעלות חץ זמן נפרד?
האם ישנם חריגים לעיקרון הסיבתיות?
האם יש עבר אפשרי יחיד?
האם הרגע הנוכחי נבדל מבחינה פיזית מהעבר והעתיד על ידי רמת האנטרופיה השוררת בו, או שמא מדובר בסך הכול בתכונה מתהווה של התודעה?
מה קושר את חץ הזמן הקוונטי לחץ הזמן התרמודינמי?
תאוריית יאנג־מילס: בהינתן קבוצת מדד שרירותית קומפקטית, האם קיימת תאוריה קוונטית שיכולה לשלב את תאוריית יאנג־מילס עם פער מסיבי וסופי, שבסופו של דבר תוכל להסביר את המסה של חלקיקים יסודיים?
בעיה זו מופיעה גם כאחת מבעיות המילניום של מכון קליי במתמטיקה.
כליאת הצבעים: השערת הצמצום בכרומודינמיקה הקוונטית (QCD), האומרת כי לא ניתן להפריד בין חלקיקים טעונים בצבע (כגון קווארקים וגלואונים) מהדרון האב שלהם מבלי לייצר הדרונים חדשים.
אין עדיין הוכחה אנליטית להכלאת צבעים בשום תורת מדדים קיימת.
השמדת מידע גופני: האם יש תופעות פיזיות, כגון קריסת פונקציית הגל או חורים שחורים, שבאפשרותם להרוס באופן בלתי הפיך מידע על מצבים הקודמים של מידע חומרי?
כיצד מאוחסן מידע קוונטי כמצב של מערכת קוונטית?
בעיה זו נקשרת לפרדוקס השמדת המידע ולכבידה קוונטית.
מסה שלילית: האם קיים חומר אשר מסתו מיוצגת על ידי מספר שלילי בעל סימן מנוגד למסת החומר הרגיל, למשל −1 קילוגרם?
איזו השפעה תהיה לה על התאוצה ועל הכבידה?
האם ניתן להוכיח בעזרתו את עקרון התנועה הבורחת?
האם קיימת פיזיקה נפרדת ושונה לחלוטין המתארת את המסה השלילית, בדומה לכך שקיים מודל סטנדרטי נפרד לאנטי־חומר?
תורת השדות הקוונטית: האם ניתן לבנות ולפתח, במסגרת קפדנית של מתמטיקה אלגברית, תאוריה המשלבת בין המרחב הארבעה ממדי הכוללת את הכוחות האחרים ואינה נוקטת בתורת ההפרעות?
בעיית הזמן המוחלט : על פי הפיזיקה הקלאסית, הזמן מוגדר כישות ממשית ועצמאית ביקום, שאינה תלויה או מושפעת מתופעות חומריות, וזורמת באופן רציף ומוחלט במרחב, ואף בחלל הריק.
על פי מכניקת הקוונטים, הזמן הוא פרמטר רקע קלאסי וזרימת הזמן היא אוניברסלית ומוחלטת.
על פי תורת היחסות, הזמן הוא מרכיב אחד של מרחב הזמן הארבע ממדי, וזרימת הזמן משתנה בהתאם למערכת הייחוס, לעיקום מרחב הזמן ותוואי החלל של הצופה.
הזמן הוא יחסי ושונה בכל מקום ביקום.
כיצד ניתן ליישב בין שלושת מושגי הזמן הללו?
אם האינפלציה התרחשה בשלב מסוים, האם היא מקיימת את עצמה באמצעות אינפלציה של תנודות קוונטיות־מכניות, וכך נמשכת במקום מרוחק במיוחד?
או שהוא בעצם חלק ממודל מחזורי אין־סופי?
גודל היקום: קוטרו של היקום הנצפה הוא 93 מיליארד שנות אור בקירוב, אך מה הוא גודלו של היקום כולו?
שבירת סימטריית CP: מדוע יש הרבה יותר חומר מאשר אנטי־חומר ביקום הנצפה?
בעיית המסה החסרה: מה היא זהותו של החומר האפל?
השפעת הריק: מדוע המסה המשוערת של הריק הקוונטי משפיעה מעט על התפשטות היקום?
תורת הכבידה הקוונטית: האם ניתן לחבר את מכניקת הקוונטים ואת תורת היחסות הכללית לתאוריה עקבית לחלוטין (תורת כבידה קוונטית או תורת שדות קוונטית)?
האם מרחב הזמן הוא רציף או בדיד?
האם תאוריה עקבית תהיה כרוכה בהתערבות של חלקיק כוח היפותטי נוסף בשם "גרביטון" המתווך בין כוח הכבידה למודל הסטנדרטי, או שהיא תוצר של מבנה בדיד של המרחב עצמו (כבידה קוונטית לולאתית)?
האם יש סטיות מהתחזיות של תורת היחסות הכללית בדרגות קטנות מאוד או גדולות מאוד או בנסיבות קיצוניות אחרות הנובעות מתורת הכבידה הקוונטית?
חורים שחורים, פרדוקס השמדת המידע וקרינת הוקינג: האם חורים שחורים מייצרים קרינה תרמית, כצפוי מטעמים תאורטיים?
האם קרינה זו מכילה מידע על המבנה הפנימי שלהם, כפי שמוצג בתורת המיתרים, או שלא, כפי שמוצג בחישוביו המקוריים של הוקינג?
אם לא, וחורים שחורים יכולים להתנדף, מה קורה למידע המאוחסן בהם (מכיוון שמכניקת הקוונטים אינה מספקת תמונה של השמדת מידע)?
או שהקרינה נעצרת בשלב מסוים ומשאירה שאריות של חור שחור?
האם יש דרך אחרת לבדוק איכשהו את המבנה הפנימי שלהם, אם מבנה כזה קיים בכלל?
ממדים נוספים: האם לטבע יש יותר מארבעה ממדים?
האם מימד הוא תכונה יסודית של היקום או תוצאה מתהווה של חוקים פיזיקליים אחרים?
האם אנו יכולים לצפות באופן ניסיוני עדויות לממדים מרחביים גבוהים ומסובכים יותר?
השערת הצנזורה הקוסמית: האם ישנן יכולות ייחודיות שאינן מוסתרות מאחורי אופק האירועים של חורים שחורים או חורים לבנים, המכונה "סינגולריות כבידתית עירומה", הנובעות מתנאים ראשוניים מציאותיים, או שאם ניתן להוכיח גרסה כלשהי להשערת הצנזורה הקוסמית, מדוע היא בהכרח נכונה?
עקרון המקומיות: האם יש תופעות לא מקומיות בפיזיקה הקוונטית?
אם הן קיימות, האם תופעות לא מקומיות מוגבלות להסתבכות שנחשפה בהפרת משפט בל, או שמא מידע וכמויות שמורות יכול לנוע גם באופן לא מקומי?
באילו נסיבות נצפות תופעות לא מקומיות?
מה מרמז על קיומן או היעדרן של תופעות לא מקומיות על המבנה היסודי של מרחב הזמן?
כיצד זה מבהיר את הפרשנות הנכונה לאופי היסודי של פיזיקת הקוונטים?
פיזיקה אנרגטית גבוהה ופיזיקת חלקיקים
בעיית ההיררכיה: מדוע כוח הכבידה הוא כוח כה חלש?
הוא משפיע על חלקיקים בעלי מסה של 10 19GeV ומעלה בסולם פלאנק, הרבה מעל הסולם המקסימלי (100 GeV, סולם האנרגיה השולט בפיזיקה אנרגטית נמוכה).
מדוע הסולמות הללו כל כך שונים זה מזה?
מה מונע מבוזון היגס תיקונים קוונטיים, המאפשרים את איחוד הסולמות?
חלקיק פלאנק: מסת פלאנק ממלאת תפקיד חשוב בחלקים מהפיזיקה הקוונטית.
סדרה של חוקרים הציעו את קיומו של חלקיק יסודי עם מסה שווה או קרובה לזו של מסת פלנק.
מסת הפלאנק היא עצומה לעומת כל חלקיק שהתגלה.
לא ניתן לגלות את קיומו של חלקיק זה בעזרת הטכנולוגיה הנוכחית.
בעיה זו קשורה בעקיפין לבעיית ההיררכיה.
מונופול מגנטי: האם חלקיקים הנושאים "מטען מגנטי" היו בתקופה מסוימת בעבר באנרגיה גבוהה יותר?
אם כן, מדוע היא השתנתה?
חידת חיי הנייטרון: אמנם אורך חיי הנייטרון נחקר מזה עשרות שנים, אך כיום קיים חוסר ודאות לגבי ערכו המדויק, בשל תוצאות שונות משתי שיטות ניסוי.
יציבות הפרוטון ומשבר הספין: האם הפרוטון יציב ביסודו, או שהוא דועך עם משך חיים מוגדר כפי שחזו כמה תאוריות של המודל הסטנדרטי?
איך הקווארקים והגלואונים קובעים את ספין הפרוטון?
סופר־סימטריה: האם המרחב הוא סופר־סימטרי?
אם כן, כיצד ניתן לשבור את סימטריה זו, אם בכלל?
האם הסופר־סימטריה מייצבת את הסולם ומונעת תיקונים קוונטיים גבוהים?
האם חלקיקי הסופר־סימטריה כוללים חלקיקים של חומר אפל?
בעיית הדורות: מדוע יש שלושה דורות של קווארקים ולפטונים?
האם יש תאוריה שיכולה להסביר את המוני הקווארקים והלפטונים המסודרים בדרך מסוימת בדורות מסוימים מעקרונות ראשונים (תאוריית יוקאווה)?
ואם כן, מדוע העולם היומיומי מורכב רק מחלקיקי הדור הראשון, וכל חלקיקי הדור השני והשלישי היו קיימים רק ביקום הקדום אחרי המפץ הגדול.
כיום הם קיימים רק בקרינה קוסמית או מיוצרים במעבדות כדוגמת אלו שב־CERN.
לא ידועה מהי הסיבה לכך.
מסת הנייטרינו: מהי מסת הנייטרינו?
אם הם עוקבים אחר הסטטיסטיקה של דיראק או מיוראנה?
האם ההיררכיה ההמונית תקינה או הפוכה?
האם השלב המפר את הסטטיסטיקה שווה ל־0?
חידת רדיוס הפרוטון : המודל הסטנדרטי חוזה גודל מסוים לפרוטון (0.8768 פמטומטרים – פמטומטר אחד שווה ל־10−15 מטרים), אבל ניסויים שנעשו בשנים 2010 ו־2013 עם ספקטרוסקופיית לייזר בעזרת מיואונים נתנו גודל אחר – 0.842±0.001 פמטומטרים, חמש סטיות תקן (5σ) מהגודל שנמדד עד אז.
מהו גודלו האמיתי של הפרוטון?
פנטאקווארק והדרונים אקזוטיים אחרים: כמה שילובים של קווארקים אפשריים?
ואם כן, כיצד ניתן לשלב אותם?
מדוע קשה היה לגלות את הפנטקווארקים כל כך?
האם מדובר במערכת קשורה בחוזקה של חמישה חלקיקים יסודיים?
שדה השמש: כיצד מייצרת השמש את השדה המגנטי ההפוך שלה מדי פעם בקנה מידה גדול?
כיצד מייצרים כוכבים דמויי שמש אחרים את השדות המגנטיים שלהם, ומה הדמיון והשוני בין מחזורי פעילות הכוכבים לזו של השמש?
מה גרם למינימום של מאונדר להתערב בכך, ואיך מחזור השמש מתאושש מהמצב המינימלי?
בעיית חימום העטרה: מדוע העטרה (האטמוספירה) של השמש חמה יותר משטח השמש עצמו?
מדוע אפקט החיבור המגנטי כולל סדרי גודל רבים מהירים יותר מהצפוי, המוצגים על ידי דגמים סטנדרטיים?
סילון: מדוע רק דיסקיות ספיחות מסוימות המקיפות גרמי שמיים מסוימים פולטים סילונים יחסיים לאורך הצירים הקוטביים שלהם?
מדוע ישנם תנודות מעין־תקופתיות בדיסקיות ספיחות רבות?
מדוע תקופת התנודות הללו מתרחשת כהיפוך של מסת האובייקט המרכזי?
מדוע ישנם לפעמים גוון יתר, ומדוע אלה מופיעים ביחס תדרים שונה בעצמים שונים?
להקות כוכביות מפוזרות: מי הוא האחראי למספר קווי הקליטה הבין־כוכביים המתגלים בספקטרום האלקטרומגנטי?
האם הם מולקולריים במקורם, ואם כן אילו מולקולות אחראיות להן?
חורים שחורים על־מסיביים: מה היחס והקשר בין מסת החור השחור העל־מסיבי למהירות פיזור החומר שלו בחלל?
כיצד הגדילו הקוואזרים הרחוקים ביותר את החורים השחורים העל־מסיביים שלהם עד 1010 שמשות כל כך מוקדם בתולדות היקום?
צוק קויפר: מדוע מספר העצמים בחגורת קויפר של מערכת השמש נושר במהירות ובאופן בלתי צפוי מעבר לרדיוס של 50 יחידות אסטרונומיות?
אנומליה של פליבי: מדוע האנרגיה הנצפית של לוויינים המעופפים על ידי גופים פלנטריים שונה לפעמים בכמות של דקה מהערך שחזה התאוריה?
בעיית סיבוב הגלקסיה: האם חומר אפל אחראי להבדלים במהירות שנצפתה ותאורטית של כוכבים המסתובבים במרכז הגלקסיות, או שזה משהו אחר?
סופרנובות: מהו המנגנון המדויק של הפיכת כוכב גוסס לפיצוץ?
גרעינים p: איזה תהליך אסטרופיסי אחראי על הגרעין של איזוטופים נדירים אלה?
קרן קוסמית אולטרה גבוהה־אנרגטית: מדוע נראה כי קרניים קוסמיות מסוימות מחזיקות אנרגיות גבוהות במידה בלתי אפשרית, בהתחשב בעובדה שלא קיימים מקורות קרניים קוסמיות מספיק אנרגטיים בקרבת כדור הארץ?
מדוע (ככל הנראה) יש לקרניים קוסמיות הנפלטות על ידי מקורות מרוחקים אנרגיות מעל גבול Greisen – Zatsepin – Kuzmin ?
קצב הסיבוב של שבתאי: מדוע המגנטוספרה של סטורן מציגה תקופתיות (המשתנה לאט) קרוב לזו בה מסתובבים ענני כדור הארץ?
מה קצב הסיבוב האמיתי של פנים העמוק של שבתאי?
מוצא שדה מגנטי מגנטר: מהו מקורם של מגנטר שדה מגנטי?
אניסוטרופיה בקנה מידה גדול: האם היקום בקנה מידה גדול מאוד הוא אניסוטרופי, מה שהופך את העיקרון הקוסמולוגי להנחה פסולה?
ספירת המספרים ועוצמת הדיפול העוצמה ברדיו, קטלוג NRAO VLA Sky Survey (NVSS) אינו עולה בקנה אחד עם התנועה המקומית כפי שנגזרת מרקע מיקרוגל קוסמי ומעידים על אניסוטרופיה דיפולנית מהותית.
אותם נתוני רדיו NVSS מראים גם דיפול פנימי בצפיפות הקיטוב ודרגת הקיטוב באותו כיוון כמו בספירת המספרים ובעוצמתם.
ישנן מספר תצפיות אחרות החושפות אניסוטרופיה רחבת היקף.
הקיטוב האופטי מקוואזרים מראה את יישור הקיטוב בסולם גדול מאוד של Gpc.
נתוני הרקע הקוסמי־מיקרוגל מראים מספר מאפיינים של אניסוטרופיה, שאינם תואמים את מודל המפץ הגדול.
קשר גיל־מתכות בדיסק הגלקטי: האם קיים קשר עידן־מתכתי אוניברסלי (AMR) בדיסק הגלקטי (גם חלקים "דקים" וגם "עבים" של הדיסק)?
אף על פי שבדיסק המקומי (הדק בעיקר) של שביל החלב אין שום עדות ל־AMR חזק, נעשה שימוש במדגם של 229 כוכבי דיסק "עבים" סמוכים כדי לחקור את קיומם של קשר עידן־מתכתי ב דיסק עבה גלקטי, ומציינים כי קיים קשר עידן־מתכתי בדיסק העבה.
גילאים מהממים מאסטרוזיסולוגיה מאשרים את היעדר הקשר החזק־מתכתי כלשהו בדיסק הגלקטי.
בעיית הליתיום: מדוע קיים אי־התאמה בין כמות הליתיום ־7 שצפויה להיווצר בנוקלאוזינתזה של המפץ הגדול לבין הכמות שנצפתה בכוכבים ישנים מאוד?
מקורות רנטגן אולטרה־ לומינאיים (ULX): מה מזין מקורות רנטגן שאינם קשורים לגרעינים גלקטיים פעילים אך חורגים מבהירות אדינגטון של כוכב נייטרונים או חור שחור כוכבי?
האם הם נובעים מחורים שחורים בעלי מסה בינונית?
חלק מה־ULX הם תקופתיים, המצביעים על פליטה לא איזוטרופית מכוכב נייטרונים.
האם זה חל על כל ה־ULX?
כיצד יכולה מערכת כזו להיווצר ולהישאר יציבה?
פרץ קרינת רדיו מהיר (FRB): מה גורם לפולסי הרדיו החולפים הללו מגלקסיות רחוקות, הנמשכים רק כמה אלפיות השנייה?
מדוע FRBs חוזרים על עצמם בפרקי זמן בלתי צפויים, אך רובם אינם עושים זאת?
כרומודינמיקה קוונטית: מהן ההשפעות של חומר עם הכוח הגרעיני ואילו תפקידים הם ממלאים בהתפתחות היקום?
מה מנבא הכרומודינמיקה הקוונטית לתכונות של חומר אינטראקציה חזקה?
מה קובע את מאפייני המפתח של התאוריה, ומה הקשר שלהם לאופי הכבידה ולמרחב־זמן?
אסטרופיזיקה גרעינית: מדוע אין חוסר התכנסות באומדנים לגבי משך החיים הממוצע של נייטרון חופשי, המבוסס על שתי שיטות ניסוי נפרדות – ומדויקות יותר ויותר?
מה טיבו של הכוח הגרעיני הקושר פרוטונים ונייטרונים לגרעינים יציבים וליסודות כימיים?
מה טיבם של הגרעינים היציבים ותפקידם בתהליכים גרעיניים?
מה טבעם של כוכבי נייטרונים וחומר גרעיני צפוף ודחוס?
מה מקורם של כל היסודות ביקום?
מהן התגובות הגרעיניות שמניעות כוכבים וסופרנובות?
מהו היסוד הכימי הכבד ביותר האפשרי מבחינה פיזיקלית?
מוליכות־על בטמפרטורות גבוהות: מהו המנגנון הגורם לחומרים מסוימים לבצע מוליכות־על בטמפרטורות גבוהות מאוד, בסביבות 25 קלווין?
האם ניתן ליצור חומר שהוא מוליך־על בטמפרטורת החדר?
מוצקים אמורפיים: מהו טיב טמפרטורת המעבר הזכוכיתי בין נוזל או מוצק רגיל לשלב מזוגג?
מהם התהליכים הפיזיים שמניבים את המאפיינים הכלליים של משקפיים ומעבר לזכוכית?
פליטת אלקטרונים קריוגניים: מדוע פליטת האלקטרונים בהיעדר אור עולה ככל שהטמפרטורה של מכפל אופטי יורדת?
סונולומינצנטיות: מה גורם לפליטה של פרצי אור קצרים מבועות קורסות בנוזל בזמן עירור מקול?
גבישים נוזליים: האם ניתן לאפיין מעבר שלב מוצק במצבי גביש נוזלי כמעבר שלב אוניברסלי?
נקודות קוונטיות: מהי הסיבה של התלות בגודל האנרגיה של הבליעה הנמוכה ביותר של נקודות קוונטיות?
זיכרון: כיצד מאוחסן זיכרון לטווח ארוך על מצע ביולוגי שעובר תחלופה מתמדת?
הרכב מערכת החיסון: מהם התכונות הכמותיות של תגובות החיסון?
מהם אבני הבניין הבסיסיות של רשתות מערכת החיסון?
חישה מגנטית: כיצד בעלי חיים (למשל עופות נודדים) חשים בשדה המגנטי של כדור הארץ לצורך ניווט?
בעיית ברוקר היא בעיה מתמטית בתורת המספרים, המבקשת למצוא ערכים שלמים של n ו-m שעבורם:
האתגר פורסם על ידי אנרי ברוקר בצמד מאמרים בשנים 1876 ו־1885, ובאופן בלתי תלוי בשנת 1913 על ידי סריניבאסה ראמאנוג'אן.
זוגות המספרים (n, m) הפותרים את בעייתו של ברוקר נקראים מספרי בראון.
נכון למאי 2021, ישנם רק שלושה זוגות ידועים של מספרי בראון:
המתמטיקאי פאול ארדש שיער כי אין פתרונות אחרים.
אוברהולט (1993) הצליח להוכיח כי ישנו מספר סופי של פתרונות, אך זאת בתנאי שהשערת abc נכונה.
ברנדט וגלאוויי (2000) ביצעו חישובים עבור ערכי n עד 109 ולא מצאו פתרונות נוספים.
מטסון (2017) האריך זאת בשלושה סדרי גודל לטריליון אחד.
אפשטיין וגליקמן (2020) הרחיבו את מרחב החיפוש בשלושה סדרי גודל (עד קוודריליון אחד) והראו שאין במרחב זה פתרון נוסף.
דברובסקי (1996) הכליל את הבעיה על ידי כך שהראה כי מהשערת abc יוצא כי עבור כל:
יש רק מספר פתרונות סופי, עבור כל מספר שלם A.
תוצאה זו הוכללה עוד יותר על ידי לוקה (2002), שהראה (שוב בהנחה של השערת abc) כי למשוואה:
יש רק מספר סופי של פתרונות עבור פולינום P(x) נתון של מסדר שני לפחות עם מקדמים שלמים.
בעיית איינשטיין היא מונח בגאומטריה של המישור ושואלת לגבי קיומו של אריח יחיד אשר כשלעצמו מהווה קבוצה של אריחים א-פריודיים, כלומר, צורה שיכולה לרצף את המישור, אבל רק באופן לא-מחזורי.
צורה כזו נקראת "איינשטיין" (אין להתבלבל עם הפיזיקאי אלברט איינשטיין), ומשמעותה נובע ממשחק המילים הגרמניות "איינ" (אחד) "שטיין" (אריח).
את בעיית איינשטיין ניתן לראות כהרחבה טבעית של החלק השני של הבעיה השמונה-עשרה של הילברט, המבקשת פוליהדרון יחיד המרצף את המרחב האוקלידי התלת־ממדי, אך כזה שאין ריצוף של רצפה בעזרת הפוליהדרון הוא איזוהדרלי.
אריחים אניזו-הדרליים כאלה נמצאו על ידי קארל ריינהרדט בשנת 1928, אך אריחים אניזו-הדרליים אלו מרצפים במחזוריות את המרחב.
בשנת 1988, פיטר שמיט גילה פרוטוטיל א-מחזורי יחיד במרחב האוקלידי התלת-ממדי.
בעוד שאף ריצוף על ידי פרוטוטיל זה לא אפשר הזזה כסימטריה, לחלקם יש סימטריה של בורג .
פעולת ההברגה כוללת שילוב של הזזה וסיבוב דרך כפולה אי-רציונלית של π, כך ששום מספר של פעולות חוזרות אינן מניבות הזזה טהורה.
בנייה זו הורחבה לאחר מכן על ידי ג'ון הורטון קונוויי ולודוויג דנצר לקבוצה קמורה א-מחזורית, אריח שמיט-קונווי-דנזר .
נוכחות הסימטריה של הבורג הביאה להערכה מחדש של הדרישות לאי-מחזוריות.
חיים גודמן-שטראוס הציע כי ריצוף ייחשב מאוד א-מחזורי אם הוא לא מאפשר בשום קבוצה מחזורית אינסופית של תנועות אוקלידיות כסימטריות, ושרק קבוצות אריחים האוכפות א-מחזוריות חזקה ייקראו א-מחזוריות חזקה, בעוד שקבוצות אחרות ייקראו א-מחזוריות חלשה.
בשנת 1996 בנתה פטרה גומלט אריח מעוטר מעוצב והראתה שכאשר מותרים שני סוגים של חפיפות בין זוגות אריחים, האריחים יכולים לכסות את המישור, אך ורק באופן לא מחזורי.
בדרך כלל, פירוש המילה ריצוף הוא חיפוי ללא חפיפות, ולכן אריח הגומלט אינו נחשב לפרוטוטיל א-מחזורי.
אריח א-מחזורי שנקבע במישור האוקלידי המורכב מאריח אחד בלבד - אריח סוקולאר-טיילור - הוצע בתחילת 2010 על ידי ג'ושוע סוקולאר וג'ואן טיילור.
בנייה זו מחייבת כללים תואמים, כללים המגבילים את הכיוון היחסי של שני אריחים ואשר מתייחסים לעיטורים המצוירים על האריחים, וכללים אלו חלים על זוגות של אריחים לא צמודים.
לחלופין, ניתן לבנות אריח לא מעוטר ללא כללים תואמים, אך האריח אינו מחובר.
ניתן להרחיב את הקונסטרוקציה לאריח תלת־ממדי מחובר ללא כללים תואמים, אך אריח זה מאפשר ריצוף מחזורי בכיוון אחד, ולכן הוא א-מחזורי חלש בלבד.
יתר על כן, האריח אינו פשוט מחובר.
בשנת 2022, חובב החידות, דייוויד סמית, גילה אריח בצורת "כובע" שנוצר משמונה עותקים של דלתון 60°–90°–120°–90°, מודבק מקצה לקצה, שנראה היה כמרצף את המישור רק מדי פעם.
סמית' גייס עזרה מהמתמטיקאים קרייג ס.
קפלן, ג'וזף סמואל מאיירס וחיים גודמן-שטראוס, ובשנת 2023 פרסמה הקבוצה הדפסה מוקדמת המוכיחה ש"הכובע", כאשר הוא מורכב עם תמונת המראה שלו, יוצר מערכת פרוטוטיל א-מחזורית.
יתר על כן, ניתן להכליל את "הכובע" למשפחה אינסופית של אריחים עם אותה תכונה א-מחזורית.
ההוכחה שלהם ממתינה לביקורת עמיתים ולפרסום רשמי.
בשנת 2023, אותו הצוות (סמית', מאיירס, קפלן וגודמן-שטראוס) פרסמו טיוטה בנושא משפחה של צורות, הנקראות "ספקטרים".
כמו אצל ה"כובע", כל צורה כזו יכולה לרצף את המישור בעזרת הזזה וסיבוב בלבד.
יתר על כן, אריח ה"ספקטר" נחשב אריח "כיראלי מוחלט": אפילו אם תמונות המראה היו מותרות, כל הריצופים היו משתמשים רק בכיראליות אחת של הספקטר.
במילים אחרות, אין שום ריצופים של המישור שמשתמשים גם בספקטר וגם בתמונת המראה שלו.
בעיית XY היא בעיית תקשורת שנתקלים בה בבקשות עזרה שונות, כגון תמיכה טכנית, בעיות בפיתוח תוכנה או שירות לקוחות, הבעיה מתרחשת כשמבקש העזרה שואל על ניסיון הפתרון שלו (Y) במקום לשאול על הבעיה עצמה (X).
בעיית XY מטשטשת את הבעיה האמיתית, ועשויה לגרום לבעיות נוספות, להוביל לתקשורת לא תקינה, בזבוז משאבים, פתרון לא יעיל או לקושי לפתור את הבעיה.
הפתרון לבעיה הוא לשאול ישירות על הבעיה שרוצים לפתור, וכן שמי שנותן את העזרה ישאל שאלות מנחות כדי לגשש ולמצוא את הבעיה עצמה שהאדם מתמודד איתה (ה-X), כדי לתת את הפתרון היעיל והנכון.
המונח "XY problem" נטבע באופן לא-ישיר על ידי אריק ס.
ריימונד בספרו "איך לשאול שאלות בדרך החכמה" (How To Ask Questions The Smart Way), בפסקה "שאלות שלא לשאול" הוא כתב את השאלה "איך אני יכול להשתמש ב-X בשביל Y?":
לעיתים אפשר לזהות שמשתמשים מגיעים לבעיית XY מתי שהם שואלים משהו שלא נראה קשור לשום מטרת קצה שימושית.
מספר דוגמאות מתחום הנדסת התוכנה:
הבעיה האמיתית (X): צריך לכתוב קוד שמחזיר את הסיומת של הקובץ.הבעיה שנשאלת (Y): "איך לכתוב קוד שמחזיר את שלושת התווים האחרונים בשם הקובץ?
(בעיה שעלולים להתקל בה היא שלא כל הסיומות הן בעלות אורך של שלושה תווים)
הבעיה האמיתית (X): אני רוצה למנוע ממשתמשים אחרים ברשת לגלות מה מערכת ההפעלה שלי.הבעיה שנשאלת (Y): "איך לשנות את הפלט של Nmap?"
הבעיה האמיתית (X): בכבישים רועשים קשה לנהל שיחות טלפון במכונית.הבעיה שנשאלת (Y): "יש אפשרות להגביר את העוצמה המקסימלית של הרמקול ברכב?"אמנם זה יכול לעזור, אבל אולי זה לא הפתרון הטוב ביותר, ואולי אפשר דווקא עדיף לשפר את הקליטה הסלולרית ברכב או לדאוג לאטימה טובה יותר.
בעיות תחבורה הוא סרט הנפשה קצר אמריקאי של מיקי מאוס שיצא לראשונה בשנת 1931. זהו הסרט הקצר ה-26 בסדרת סרטי "מיקי מאוס" שהופק והשני באותה השנה.
מיקי נוהג במונית מואנשת בעיר, ואוסף חזיר כל כך שמן שהוא מכביד על המכונית.
חתול שוטר תנועה כעסן מעיר באופן מאיים למיקי על כך שהוא מעכב את התנועה, ומיקי נוסע משם כמיטב יכולתו.
מיקי נקלע לעימות עם מכונית זעירה המונעת על ידי כלב, ושניהם חותכים זה את זה עד שהם עוברים מהמורות מלאות בוץ.
בנסיעה על כביש מחוספס, החזיר נופל מהמכונית, ואחרי ניסיון חניה אלים במיוחד - מיקי מגלה שהנוסע שלו איננו.
לנסיעה הבאה שלו, מיני מאוס ממהרת להגיע לשיעור הנגינה שלה, וזוג העכברים שורק ומנגן באקורדיון במהלך המסע.
מיקי מקבל תקר, ומתקשה למלא שוב את הצמיג.
פיט רגל-עץ, חובש כובע צילינדר וטוקסידו מרופט, מגיע בנהיגה על תלת-אופן המסומן "שמן הנחש של ד"ר פפ".
הוא מתעקש למלא את המכונית בתרופת הפלא שלו, ואכן המכונית מתעוררת מיידית לחיים ומתרחקת במהירות, משאירה את מיקי מאחור.
עד שהוא משיג אותה, המונית מתחילה בהתרסקות הרת אסון בחצר האסם.
פיט רגל-עץ – וולט דיסני
לפי האנימטור בן שרפסטין, הסרט נוצר בהשראת תקרית שבה וולט דיסני נקנס על ידי שוטר תנועה.
האנימטור דייוויד הנד נזכר שצייר את הסצנה שלמונית מתפוצץ הצמיג מספר פעמים עבור דיסני, שלא היה מרוצה ואמר שאין בה מספיק אקשן מוגזם.
הנד לסוף צייר רצף כל כך קיצוני ומוגזם שחשב שדיסני יבין את הנקודה, אבל כשדיסני ראה את הרצף, הוא חייך, "הנה!
למה לא עשית את זה ככה מלכתחילה?".
הסרט שימש כבסיס לסיפור שנמשך שבוע ברצועת הקומיקס מיקי מאוס של פלויד גוטפרדסון, אשר פורסמה ב-12 בינואר עד 17 בינואר 1931. (זה היה שבוע מיד לאחר רצועת קומיקס בהשראת סרט קצר אחר, "הפיקניק").
הרצועה כללה בדיחה שנחתכה מהסרט, עם מיקי הנמנע מדו"ח חניה מול ברז כיבוי על ידי הסוואת הברז כלקוח.
בספרו "הסרטים של מיקי: סרטי הקולנוע של מיקי מאוס", הייס גרוב כותב: "'בעיות תחבורה' הוא באמת סרט מצחיק ללא שירים או ריקודים, אבל עם אקשן מהיר, שפע של בדיחות שמובילות לסיום מפואר, והנפשה מרהיבה וגמישה.
גולת הכותרת המיוחדת היא סצנה מצחיקה שבה שוטר שואל את מיקי שאלות רבות תוך שהוא משתיק אותו בו-זמנית...
'בעיות תחבורה' הוא הסרט הטוב ביותר של מיקי מאוס משנת 1931, והסרט המצויר הראשון של מיקי שבאמת מעולה מאז 'ספינת הקיטור וילי'".
ראיין קילפטריק, מאתר הפודקאסט "The Disney Film Project", מסכים: "הכל נעשה היטב ומצחיק באופן יוצא מן הכלל.
ייתכן שזה היה הסרט הקצר של מיקי המצחיק ביותר עד כה".
ב-6 במאי 1931, מגזין וראייטי פרסם: "לא כל כך הרבה דיבורים ומוזיקה בסרט זה, אלא הרבה אקשן סביב מונית.
לא מעל ולא מתחת לאחרים בסדרה הזו.
למיקי מאוס יש מונית שמתנהגת בצורה אנושית, מדלגת מדרכם של מכוניות אחרות וכו'.