tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
לטופאי אין תושבי קבע מלבד מספר עובדים במטעי הקוקוס.
ישנו שדה תעופה פרטי בטופאי שנחנך בשנת 2001 והשימוש בו מוגבל.
אטול טופאי שייך מינהלית לקומונה של בורה בורה.
טופאק אינקה יופאנקי (בקצ'ואה: Tupaq Inka Yupanki, מתורגם כ"רואה חשבון אינקה אציל"; 1441–1493), וגם טופה אינקה יופאנקי (בספרדית: Topa Inca Yupanqui), היה קיסר האינקה העשירי (שלט 1471–1493), של אימפריית האינקה, החמישי משושלת אנן (Hanan).
אביו היה פאצ'אקוטי, ובנו היה הקיסר ואיינה קאפאק.
אשתו הייתה אחותו הגדולה, .
בתקופת שלטונו התרחבה אימפריית האינקה מאוד.
אביו מינה אותו לעמוד בראש צבא האינקה ב-1463.
הוא הרחיב את הממלכה לאורך הרי האנדים דרך אקוודור של ימינו,  ופיתח חיבה מיוחדת לעיר קיטו, אותה בנה מחדש עם אדריכלים מקוסקו.
במהלך תקופה זו אביו פאצ'אקוטי ארגן מחדש את ממלכת קוסקו לאימפריה המכונה "טוואנטינסויו", "ארבעת המחוזות".
טופאק אינקה הוביל כיבושים צבאיים נרחבים והרחיב את אימפריית האינקה על פני חלק גדול מאמריקה הדרומית.
הוא הפך לסאפה אינקה (שליט יחיד) בתורו עם מות אביו ב-1471, ושלט עד מותו שלו ב-1493. הוא כבש את ממלכת צ'ימור ששלטה על החוף הצפוני של מה שהיא כיום פרו, היריבה הגדולה ביותר שנותרה לאינקה.
הוא כבש את מחוז , המחוז המזרחי של אימפריית האינקה הגובל באגן האמזונאס, וב-1473 דיכא מרד שפרץ בממלכות קויה ולופאקה אותן כבש אביו עשר שנים לפני כן.
הוא הטיל חוקים ומיסים, והפקיד שני מושלים כלליים: "סויווק אפו" (Suyuyoc Apu), אחד ב והשני בטיוואנאקו.
טופאק אינקה יופאנקי הקים את המצודה סקסייוומאן על הרמה הגבוהה מעל קוסקו, שכללה מחסנים לציוד ולבוש.
טופאק אינקה מת בסביבות 1493 ב, והותיר אחריו שני בנים לגיטימיים ו-90 בנים ובנות לא לגיטימיים.
צ'וקי אוקיו (Chuqui Ocllo), אחת מנשותיו של טופאק יופאנקי, שכנעה אותו שבנו קאפאק וארי (Ccapac Huari) יחליף אותו, אולם טופאק אינקה יופאנקי שינה את דעתו והחליט על בנו טיטו קוסי ואלפה (Titu Cusi Hualpa), שמאוחר יותר יהפוך לקיסר ואיינה קאפאק.
החלטה זו עוררה את כעסה של צ'וקי אוקיו והיא הרעילה את טופאק אינקה יופאנקי.
היא הוצאה להורג זמן קצר לאחר מותו של טופאק אינקה יופאנקי.
לטופאק אינקה יופאנקי מיוחסת הובלת מסע חקר בן 10 חודשים בערך לתוך האוקיינוס השקט בסביבות 1480. על פי הדיווחים הוא ביקר באיים שהוא כינה נינה צ'ומפי (Nina Chumpi "חגורת אש") ואווא צ'ומפי (Hawa Chumpi וגם Avachumpi, "חגורה חיצונית").
המסע מוזכר ב'היסטוריה של האינקה' מאת פדרו סרמיינטו דה גמבואה מ-1572. פדרו סרמיינטו תיאר את המשלחת כך:
בשנת 1947 הצליח החוקר תור היירדאל לשחזר מסע זה עם הקון-טיקי, ובכך להוכיח שניתן לחצות את האוקיינוס השקט גם עם רפסודות פשוטות.
עם זאת, אין עדות למגעים בין פולינזיה לאמריקה הפרה-קולומביאנית; ניתוחים גנטיים ולשוניים מראים רק השפעות מאסיה.
גם השימוש בבטטה הדרום אמריקאית בפולינזיה אינו יכול להיחשב כראיה, שכן הוכח כי הבטטה הייתה באיים הפולינזים לפני התיישבות האדם.
היסטוריונים רבים סקפטיים שההפלגה התרחשה אי פעם.
התומכים בסיפור זיהו בדרך כלל את האיים עם איי גלאפגוס.
הוצע גם שאחד האיים היה אי הפסחא, שבו מסורות שבעל פה טענו שקבוצה מיתולוגית המכונה "ארוכי האוזניים" הגיעה לאי מארץ לא ידועה.
"בנייני טופו" או "טופו דרג" הוא מונח במנדרינית המתאר מבנים מסוכנים, ובמיוחד מבנים אשר נבנו בצורה לא תקינה ועלולים לקרוס.
המונח הוטבע לראשונה על ידי זו רונג'י, ראש ממשלת סין לשעבר, במטרה לתאר סוללות להגנה משיטפונות אשר נבנו בצורה שאינה תקינה בנהר יאנגצה.
המונח מתאר מבנים אשר נבנו בצורה זולה יחסית ובניגוד לתקינה על מנת לחסוך בעלויות.
המונח שימש הן לתיאור מבנים אשר קרסו בעקבות אסונות טבע כגון רעידת האדמה בסצ'ואן ב-2008, והן למבנים אשר נבנו באופן לא תקני .
עיתונאי אשר ביקר בסין בשנת 2011 חשש כי "מבנים אשר נבנו בצורה זו עשויים לקרוס ולהביא לפציעות של עד אלפי אנשים".
מבנים מסוג זה נבנים ומאוכלסים ללא ההיתרים הנדרשים מהממשל הסיני.
ברוב המקרים, מבנים מסוג זה לא קורסים אך הם אינם שורדים שנים רבות וסובלים ממפגעים כגון דליפות.
פרויקטים של טופו דרג שקרסו ברעידת האדמה של סצ'ואן ב-2008
במהלך רעידת האדמה בסצ'ואן ב-2008, בתי ספר רבים קרסו והדבר הוביל למותם של תלמידים רבים.
בניינים אלו ניתנו כדוגמה הממחישה את משמעות המונח "טופו-דרג".
ההתמוטטות נקשרו לחוסר השקעה בבנייה של בתי הספר בסין.
טופדוג/אנדרדוג הוא מחזה מאת המחזאית האמריקאית סוזן-לורי פארקס שהוצג בבכורה בשנת 2001 באוף ברודוויי בניו יורק.
בשנה שלאחר מכן הוא נפתח בברודוויי, בתיאטרון אמבסדור, שם הוצג במשך כמה חודשים.
ב-2002 קיבלה פארקס פרס פוליצר לדרמה על המחזה.
בשנת 2023, הוא קיבל פרס טוני לחידוש הטוב ביותר של מחזה.
המחזה מתאר את חייהם הבוגרים של שני אחים אפרו-אמריקאים כשהם מתמודדים עם עוני, גזענות, עבודה, נשים וחינוך הבעייתי שלהם.
לינקולן חי עם בות', אחיו הצעיר, לאחר שנזרק על ידי אשתו מהבית.
בות' מזכיר ללינקולן שנוכחותו נועדה להיות הסדר זמני.
אבל לינקולן, שעובד כחקיין של אברהם לינקולן לבן פנים, הוא מקור ההכנסה היחיד שלהם.
למרות שהעבודה ישרה, שני האחים מוצאים אותה משפילה.
בות' מנסה שוב ושוב לשכנע את לינקולן לחזור להפעיל משחקים של טריק שלושת הקלפים.
לינקולן עזב את העבודה ההיא לאחר שאחד מאנשי הצוות שלו נורה למוות, מתוך אמונה שהוא יהיה הבא בתור.
בות' שואף לקבל את התהילה שהייתה לאחיו כאשר ביצע את טריק שלושת הקלפים, הוא מתרגל לעיתים קרובות את הטריק בדירתו, למרות שאין לו הצלחה מרובה; הכישרון שלו הוא בגניבה מחנויות.
בות' עסוק באישה בשם גרייס שאותה הוא מנסה להרשים עם מותרות שנגנבו מחנות.
הוא מתגאה בפני אחיו על היחסים ביניהם, אבל למען האמת היא דוחה את חיזוריו.
לינקולן מגלה שאשתו, קוקי, פירשה לא נכון את הדיכאון שלו כחוסר עניין בה, לפני שהיא זרקה אותו ושכבה עם בות'.
בהווה, לינקולן עומד להיות מפוטר, ולהיות מוחלף בעבודתו בבובת שעווה.
בות' מציע ללינקולן להציל את עבודתו על ידי ביצוע הופעה חיה של מותו של אברהם לינקולן - רעיון שהם מתאמנים עליו לפני שהם משנים את דעתם.
האחים חושבים על עברם יחד: הוריהם נטשו אותם כמתבגרים.
כל הורה, לפני שעזב עם בן זוג חדש, השאיר לאח אחד 500 דולר במזומן, אליהם הם התייחסו כ"ירושה" שלהם.
לינקולן בזבז את שלו; בות' שמר והסתיר את שלו, ואף פעם לא פתח את הגרב בה היה הכסף.
לאחר שאיבד את עבודתו, לינקולן חוזר לטריק שלושת הקלפים למחרת וחוזר הביתה שופע חיוניות.
בינתיים, בות' מתגאה בכך שגרייס הציעה לו נישואים.
לינקולן מציע לבות' למצוא עבודה כדי לשמור על גרייס, וקורא ליכולות הקלפים שלו "שתי ידיים שמאליות".
נעלב, בות' מאתגר אותו למשחק של טריק שלושת הקלפים.
לינקולן מוביל אותו להאמין שהוא יכול לנצח, מה שגורם לבות' להמר על הירושה של 500 הדולרים שלו במשחק לפני שינצח אותו.
לינקולן, צוחק, מסביר שההתנשאות מאחורי הטריק היא שהדילר תמיד מחליט מתי הוא מנצח.
על רקע מחאותיו של בות', הוא מנסה לפתוח את הגרב שמכילה את הירושה.
בות' הנסער מגלה שהוא ירה בגרייס.
לינקולן מנסה להחזיר את הירושה, אבל בות' מאתגר אותו לפתוח אותה במקום.
בעוד לינקולן חותך את הגרב, בות' מכוון אקדח לצווארו של לינקולן ויורה בו.
בות' מתפרץ על גופת אחיו על כך שלעג לו וגנב את הירושה שלו, לפני שהוא מתייפח על גופתו.
המחזה עלה באוף ברודוויי בתיאטרון הציבורי ב-26 ביולי 2001, וירד ב-2 בספטמבר 2001. ההפקה הייתה בבימויו של ג'ורג' סי וולף, ובמחזה כיכבו דון צ'ידל (בתפקיד בות') וג'פרי רייט (בתפקיד לינקולן).
ההצגה נפתחה בברודוויי בתיאטרון אמבסדור ב-7 באפריל 2002 וירדה ב-11 באוגוסט 2002. צ'דל הוחלף במוס דף; הבימוי היה שוב על ידי ג'ורג' סי וולף.
ההצגה הועברה ללונדון בתיאטרון רויאל קורט ב-2003, עם אותו צוות השחקנים שהיו בברודוויי, ובבימויו של וולף.
בספטמבר 2012 הופק המחזה על ידי חברת תיאטרון טו ריבר ברד בנק, ניו ג'רזי.
בשנת 2011, בהפקה של המחזה בפסטיבל שו בקנדה כיכבו קווין הנצ'רד בתפקיד בות' ונייג'ל שון וויליאמס בתפקיד לינקולן.
הפקה זו עלתה שוב במרכז התיאטרון בטורונטו מאוחר יותר באותה שנה באמצעות חברת תיאטרון אובסידיאן.
בשנת 2022, המחזה חודש בברודוויי 20 שנה לאחר הופעת הבכורה שלו, בבימויו של קני לאון ובכיכובם של קורי הוקינס ויאיא עבדול-מאטין השני.
הוא רץ בתיאטרון הזהב, בהרצה מוקדמת ב-27 בספטמבר 2022 ונפתח רשמית ב-20 באוקטובר 2022 וירד ב-15 בינואר 2023.
חברת MCA הוציאו אלבום הקשור למחזה בשנת 2002. רשימת הרצועות כוללת יצירות מקוריות של מוס דף וג'פרי רייט, כמו גם מאדי ווטרס ומוזיקאי בלוז נוספים.
2002 פרס טוני, המחזה הטוב ביותר (מועמד)
2002 פרס טוני, שחקן הטוב ביותר במחזה (רייט) (מועמד)
+שנהפרסקטגוריהמועמדתוצאה2023פרס טוניהחידוש הטוב ביותר של מחזההשחקן הראשי הטוב ביותר במחזהיאיא עבדול-מאטין השניקורי הוקינס
טופ ליסטה (Top lista) הוא מצעד מוזיקה הפועל בקרואטיה מאז 9 ביולי 2015. מצעד המוזיקה, אשר מסתמך על נתוני מכירות של איגוד תעשיית ההקלטות הקרואטי, מתפרסם בערוצי הרדיו והטלוויזיה של תאגיד השידור הציבורי הקרואטי HRT וכן בערוץ הברודקאסט הקרואטי RTL .
HR Top 40, מצעד האיירפליי (סינגלים מקומיים)
מצעד האיירפליי הקרואטי, מצעד האיירפליי (סינגלים בין-לאומיים)
Top of the Shops, מצעד האלבומים המקומיים והזרים
מצעד הסטרימינג החודשי של דיזר (ספטמבר 2017 – מרץ 2020)
אבני טופה הן סוג של אבני גיר שנוצרות כאשר מינרלים של סידן פחמתי נושרים מתוך המים בנהרות או אגמים לא מחוממים.
מעיינות חמים מחוממים גיאותרמית מייצרים לפעמים מרבצי פחמן דומים (אך פחות נקבוביים), הידועים כטרוורטין.
טופה מכונה לפעמים טרוורטין (מטאוגן).
אין לבלבל אותו עם טרוורטין מעיינות חמים (תרמוגן).
כמו כן, אין לבלבל טופה, שהיא אבן גירנית, עם טוף, סלע געשי נקבובי בעל אטימולוגיה דומה שלעיתים נקרא גם "טופה".
הוא המנהיג הנוכחי של המפלגה הרפובליקנית הטורקית, וכיהן בתפקיד ראש הממשלה החל מינואר 2018 כמנהיג קואליציה בת ארבע מפלגות.
ממשלתו התפטרה ב-9 במאי 2019, וארהורמן המשיך לכהן כראש הממשלה עד להחלפתו על ידי ב-22 במאי 2019. הוא נבחר לנשיא צפון קפריסין ברוב מוחץ בבחירות לנשיאות צפון קפריסין ב-2025.
ארהורמן סיים את לימודיו התיכוניים ב.
לאחר מכן נרשם ללימודי משפטים ב ב-1988, ולאחר מכן המשיך באותה אוניברסיטה לתואר השני ולתואר דוקטור.
עבודת הדוקטורט שלו משנת 2001 עסקה ב"פיקוח לא-משפטי על הרשות ונציב קבילות הציבור".
ארהורמן היה מעורב במשא ומתן לפתרון הסכסוך בקפריסין תחת הנשיא בין השנים 2008 ל-2010. הוא התמודד על המושב של ניקוסיה ב בבחירות 2013 והפך לחבר פרלמנט כמועמד המפלגה הרפובליקנית הטורקית.
הוא פעל רבות לשינוי החוקה, והוביל 23 שינויים בהסכמת כל ארבע המפלגות שהיו מיוצגות בפרלמנט באותה תקופה.
עם זאת, 62.3% מהמצביעים דחו את החוקה החדשה ב.
שנה לאחר מכן הוא הפך למזכיר הכללי של המפלגה הרפובליקנית הטורקית - הכוחות המאוחדים.
ב-13 בנובמבר 2016 הפך ארהורמן למנהיג המפלגה הרפובליקנית הטורקית ולמנהיג האופוזיציה העיקרית.
הוא נבחר מחדש כחבר פרלמנט במהלך בחירות הבזק של 2018, אולם מפלגתו איבדה 9 מושבים.
ב-19 בינואר 2018 החל משא ומתן להקמת קואליציה בין 4 מפלגות, המפלגה הרפובליקנית הטורקית, , ו ובסופו של דבר הוקמה ממשלה בראשות ארהורמן.
ב-19 באוקטובר 2025 ניצח ארהורמן את הנשיא המכהן ארסין טטר בבחירות לנשיאות צפון קפריסין ב-2025, וזכה ב-62.76% מהקולות.
ארהורמן הצהיר על תמיכתו באיחוד מחדש של קפריסין במודל פדרלי.
עם זאת, הוא גם הצהיר כי לא יפנה למסלול כזה ללא אישור ממשלת טורקיה.
טופ גאם תעשיות בע"מ היא חברה ציבורית ישראלית העוסקת בפיתוח, ייצור, ייבוא ובמכירה של תוספי תזונה וממתקים.
החברה נוסדה ב-30 ביוני 2004 כחברה פרטית בשם טופ גאם תעשיות ממתקים בע"מ.
ב-17 במרץ 2020 שינתה החברה את שמה לשם הנוכחי, טופ גאם תעשיות בע"מ.
החברה מפתחת, מייצרת, מייבאת, מוכרת ומשווקת ממתקים ותוספי תזונה.
לחברה מפעל לייצור סוכריות גומי באזור התעשייה בשדרות ומפעל נוסף בשדרות נחנך בספטמבר 2025.
החל משנת 2006 החברה גם מייבאת ומשווקת ממתקים, בהם: שוקולד, מרשמלו, סוכריות על מקל ועוד.
שיווק הממתקים נעשה על פי רוב לשוק המקומי, תחת המותג Tenta, שבו לחברה סימן מסחר.
משנת 2016 פועלת החברה גם בתחום תוספי תזונה, שבו היא מפתחת, רוקחת פורמולות ייחודיות, מייצרת ומשווקת תוספי תזונה בצורת מתן של סוכריית גומי.
תוספי התזונה מיוצאים בעיקר לארצות הברית.
באוגוסט 2021 נרשמו לראשונה מניות החברה למסחר בבורסה לניירות ערך בתל אביב, והחברה הפכה לחברה ציבורית.
יו"ר החברה הוא חגי שטדלר, ובאפריל 2026 צפוי להחליפו רביב צולר.
מנכ"ל החברה הוא אייל שוחט.
לחברה ארבע חברות בנות בבעלות מלאה:
טופ גאם סחר ושיווק בע"מ: חברה ישראלית המספקת שירותי הפצה, שיווק ומכירת מוצרי הממתקים של החברה, בעיקר בשוק הישראלי;
TopGum Industries Inc: שהתאגדה במדינת דלאוור בינואר 2021 ועוסקת בשירותי שיווק ופיתוח עסקי למכירות מוצרי החברה בארצות הברית וצפון אמריקה;
פארםאיטבי בע"מ (באנגלית: PHARMITBE LTD: הוקמה ב-2016 ונרכשה על ידי החברה באפריל 2023, ומספקת שירותי מעבדה אנליטיים לפיתוח ובדיקות שוטפות של מוצרי פארמה, קוסמטיקה ומזון.
TopGum Canada LTD: חברה שהתאגדה בקנדה בדצמבר 2024 לשם רכישת פעילותה ונכסיה של Island Abbey Nutritionals שנוסדה ב-2004 ועוסקת בפיתוח וייצור של תוספי תזונה בצורת מתן של סוכריות גומי וסוכריות קשות.
טופולוגיה היא ענף במתמטיקה העוסק בחקר התכונות של המרחב הנשמרות תחת דפורמציות רציפות (עיוותי צורה כמו כיווץ, מתיחה, ניפוח).
הטופולוגיה התפתחה מהגאומטריה, אבל שלא כמו גאומטריה אוקלידית, עניינה של הטופולוגיה אינו בחקר תכונות של המרחב שמקורן במושג המטריקה כגון המרחק בין נקודות.
במקום זאת, טופולוגיה עוסקת במחקר של אותן תכונות של המרחב המתארות את האופן שבו הוא מקובץ יחדיו, כגון קשירות ואוריינטביליות.
המילה טופולוגיה פירושה גם תחום של מחקר וגם משפחה של קבוצות בעלות תכונות מסוימות המגדירות מרחב טופולוגי, האובייקט הבסיסי ביותר הנחקר בטופולוגיה.
בעלות חשיבות בטופולוגיה הן אותן הדפורמציות הנקראות הומיאומורפיזם.
בצורה לא פורמלית, ניתן לומר שהומיאומורפיזמים הם פונקציות המעוותות את המרחב, מותחות או מכווצות אותו, אך לא קורעות אותו או מחברות חלקים מנוגדים יחדיו.
רעיון מרכזי ומופשט יותר הקשור בדפורמציות הוא שקילות הומוטופית, שגם לו תפקיד מרכזי בטופולוגיה.
כאשר הדסיצפלינה הובחנה לראשונה כיאות, לקראת סוף המאה ה-19, היא נקראה "geometria situs" (לטינית: גאומטריה של המקום) ו-"analysis situs" (לטינית: אנליזה של המקום).
משנת 1925 עד שנת 1975 היא הייתה תחום מתפתח חשוב בתוך המתמטיקה.
טופולוגיה היא ענף רחב של המתמטיקה שיש לו תתי-תחומים רבים.
החלוקה הבסיסית והמסורתית ביותר של טופולוגיה היא: טופולוגיה קבוצתית שמתבססת על ההיבטים היסודיים של הטופולוגיה וחוקרת מושגים כגון קומפקטיות וקשירות, טופולוגיה אלגברית, שבאופן כללי מנסה למדוד דרגות של קשירות באמצעות בניות אלגבריות כגון חבורות ההומוטופיה והומולוגיה, וטופולוגיה גאומטרית, שחוקרת בעיקר יריעות ואת השיכונים שלהן ביריעות אחרות.
הענף של מתמטיקה שכעת נקרא טופולוגיה התפתח מחיפוש אחר פתרון של בעיות מסוימות בגאומטריה.
מאמרו של לאונרד אוילר משנת 1736 על שבעת הגשרים של קניגסברג נחשב לאחת התוצאות הטופולוגיות הראשונות.
המונח "topologie" הוצג לראשונה בגרמניה על ידי יוהאן בנדיקט ליסטינג.
למעשה, הוא השתמש במונח הזה כבר עשר שנים קודם בהתכתבות."topology", הגרסה האנגלית של המילה, הוצגה בשנת 1883 בג'ורנל Nature על מנת להבדיל "גאומטריה איכותית מגאומטריה סטנדרטית בה מטפלים בעיקר ביחסים כמותיים".
המונח טופולוגיסט במובן של מתמטיקאי המתמחה בטופולוגיה הוצג לראשונה ב-1905 במגזין ספקטייטור.
טופולוגיה מודרנית ביותר מתבססת מאוד על רעיונות מתורת הקבוצות, שפותחו על ידי גאורג קנטור בחלקה המאוחר של המאה ה-19. קנטור, בנוסף להנחת היסודות הרעיוניים של תורת הקבוצות, החשיב קבוצות של נקודות במרחב אוקלידי, כחלק מן המחקר שלו של טורי פורייה.
אנרי פואנקרה פרסם את המאמר analysis situs ב-1895, המציג את הרעיונות של הומוטופיה והומולוגיה, שכעת נחשבים חלק מטופולוגיה אלגברית.
מוריס פרשה, בעבודתו המאחדת את עבודתם על מרחבי פונקציות של קנטור, וולטרה, ארזלה, אדמר, אסקולי ואחרים, הציג את המרחב המטרי ב-1906. מרחב מטרי כעת נחשב מקרה פרטי של מרחב טופולוגי כללי.
ב-1914, פליקס האוסדורף טבע את המונח מרחב טופולוגי, ונתן את ההגדרה למה שכעת נקרא מרחב האוסדורף.
בשימוש העכשווי, מרחב טופולוגי הוא אובייקט מעט כללי יותר ממרחב האוסדורף, שהגדרתו ניתנה לראשונה ב-1922.
להתפתחויות מאוחרות יותר, ראו טופולוגיה קבוצתית וטופולוגיה אלגברית.
מרחבים טופולוגיים מופיעים כמעט בכל ענפי המתמטיקה, ומכאן חשיבותה הרבה של הטופולוגיה.
התובנה שסיפקה תמריץ להתפתחות הטופולוגיה היא שכמה בעיות גאומטריות תלויות לא במבנה המדויק של העצמים המעורבים, אלא בדרך שבה הם מקובצים יחדיו.
לדוגמה, לריבוע ולמעגל יש תכונות רבות במשותף (מנקודת מבט טופולוגית): שניהם עצמים חד-ממדיים ושניהם מחלקים את המישור לשני חלקים - בתוכם ומחוץ להם.
אחת הבעיות הראשונות בטופולוגיה הייתה שאלת הגשרים של קניגסברג, שנפתרה בידי לאונרד אוילר, במסגרתה נקבע כי בלתי אפשרי למצוא מסלול שעובר דרך העיר קניגסברג שיחצה כל אחד משבעת הגשרים שלה בדיוק פעם אחת.
תוצאה זו לא התבססה על אורך הגשרים, וגם לא על מרחקם אחד מהשני, אלא על תכונות הקשירות שלהם: אילו גשרים מחוברים לאילו איים או גדות נהר.
בעיה זו, שבעת הגשרים של קניגסברג, היא כעת בעיה מפורסמת המוצגת רבות בהקדמות לקורסים במתמטיקה, והיא הוליכה לענף המתמטיקה הקרוי תורת הגרפים.
באופן דומה, משפט הכדור השעיר בטופולוגיה אלגברית טוען כי "לא ניתן לסרק את השיער שעל פני כדור כך שהשיער לא יבלוט, מבלי להשאיר קרחת".
טענה זו מתקבלת על ידי רוב האנשים באופן אינטואיטיבי, אף על פי שהם עשויים לא לזהות את הניסוח המתמטי המדויק של המשפט, שאין שדה וקטורים משיקים רציף על הספירה שאינו מתאפס בנקודה אחת לפחות.
כמו במקרה של הגשרים של קניגסברג, התוצאה לא מתבססת על גודלה המדויק של הספירה, היא נכונה גם עבור אגסים ולמעשה כל סוג של צורה חלקה, כל עוד אין לה חורים.
במטרה לעסוק בבעיות הללו שאינן מסתמכות על הצורה המדויקת של העצמים, נדרש להבהיר על אילו תכונות הבעיות הללו כן מסתמכות.
מצורך זה נוצר המושג של הומיאומורפיזם.
אי האפשרות לחצות כל גשר פעם אחת בדיוק מתקיים בכל סידור של הגשרים שהומיאומורפי לזה שבקניגסברג, ואת משפט הכדור השעיר ניתן ליישם לכל מרחב שהומיאומורפי לספירה.
באופן אינטואיטיבי, שני מרחבים הם הומיאומורפיים אם ניתן לעוות אחד מהשנים לצורה של השני מבלי לחתוך אותו או להדביק חלקים מנוגדים יחדיו.
בדיחה ידועה מספרת כי טופולוגיסט אינו מבדיל בין ספל קפה לדונאט (טורוס), ומכיוון שטורוס גמיש מספיק ניתן לעיוות לצורתו של ספל קפה (כפי שנראה באנימציה), באמצעות יצירת גומה והרחבה מתמשכת שלו, שבמהלכה מכווצים את החור לידית.
הומיאומורפיזם יכול להיחשב לשקילות הטופולוגית הבסיסית ביותר.
שקילות טופולוגית אחרת היא שקילות הומוטופיה.
קשה יותר לתאר את המושג הזה מבלי להיכנס לפרטים הטכניים, אך התנאי ההכרחי הוא ששני עצמים "X" ו-"Y" הם שקולים הומוטופית אם קיים עצם נוסף "Z" כך ש-"Z" מכיל גם את "X" וגם את "Y" והוא ניתן לכיווץ בדרכים שונות ל-X ו-Y.
מקרה חלקי ופשוט הוא כאשר אנו לוקחים את Z כאחד מ-X ו-Y, נניח X.
במקרה זה, Y מוכל ב-X ו-X ניתן לכיווץ ל-Y.
ענף נוסף של הטופולוגיה, הנקרא "טופולוגיה קבוצתית" עוסק בחקירת מרחבים טופולוגיים באמצעות אוסף הקבוצות הפתוחות שלהם.
למעשה, אוסף הקבוצות הפתוחות של מרחב מסוים הוא מה שמגדיר את הטופולוגיה של אותו מרחב.
הטופולוגיה הקבוצתית החלה כהכללה של האנליזה על הישר הממשי, בה הקבוצות הפתוחות מוגדרות כקבוצות המכילות סביבות פתוחות לכל נקודה בקבוצה.
הסביבות הבסיסיות הן "הכדורים הפתוחים" .
ההכללה הראשונה של הישר הממשי היא מרחב מטרי, כלומר: מרחב המצויד במטריקה המודדת מרחק בין כל שתי נקודות.
בשלב הבא נחקרו מרחבים טופולוגיים שהם לא בהכרח מטריים.
במרחבים אלה הטופולוגיה הוגדרה באמצעות קבוצות פתוחות, וכך גם רציפות של פונקציה בין מרחבים טופולוגיים.
נושא מרכזי במרחבים אלה הם אקסיומות ההפרדה: באיזו מידה ניתן להפריד נקודות או קבוצות זרות באמצעות עטיפתן בקבוצות פתוחות זרות.
מרחבים בהם ניתן להפריד שתי נקודות נקראים מרחבי האוסדורף.
תוצאות חשובות בנושא זה הם הלמה של אוריסון ומשפט טיטצה.
מבחינה זו, המרחב שבו תכונות ההפרדה הן החזקות ביותר הוא המרחב המטרי.
נושא נוסף של מחקר בטופולוגיה קבוצתית הוא קומפקטיות.
בישר הממשי קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא קבוצה סגורה וחסומה.
הטופולוגיה הקבוצתית מכלילה מושג זה למרחב טופולוגי כלשהו באמצעות שימוש במושג כיסוי פתוח - כלומר: כיסוי הקבוצה באוסף של קבוצות פתוחות - באופן הבא: קבוצה קומפקטית במרחב טופולוגי היא קבוצה שלכל כיסוי פתוח שלה יש תת-כיסוי סופי (כלומר ניתן לכסות אותה במספר סופי של קבוצות מתוך הכיסוי הפתוח הנתון).
נושא מחקר נוסף הוא קשירות של מרחבים טופולוגיים.
דוגמה לקבוצה מעניינת שנחקרה במסגרת הטופולוגיה הקבוצתית היא קבוצת קנטור.
פונקציה ממרחב טופולוגי אחד לאחר נקראת רציפה אם הדמות ההופכית של כל קבוצה פתוחה היא גם פתוחה.
אם הפונקציה ממפה את המספרים הממשיים למספרים הממשיים (שניהם מרחב עם טופולוגיה סטנדרטית), אז הגדרה זו של רציפות זהה להגדרה של רציפות שניתנת בחשבון אינפיניטסימלי.
אם פונקציה רציפה היא חד חד ערכית ועל והפונקציה ההופכית לפונקציה גם היא רציפה, אז היא נקראת הומיאומורפיזם והתחום של הפונקציה הומיאומורפי לטווח.
דרך אחרת לחשוב על זה היא שלפונקציה יש הרחבה טבעית אל הטופולוגיה.
אם שני מרחבים הם הומיאומורפיים, אז יש להם תכונות טופולוגיות זהות, והם נחשבים זהים מבחינה טופולוגית.
הקובייה והספירה הם הומיאומורפיים, כמו גם ספל קפה והבייגלה (טורוס).
אך המעגל אינו הומיאומורפי לטבעת.
בטופולוגיה, טופולוגיה מושרית (נקראת גם הטפולוגיה היחסית, או טופולוגיית התת-מרחב) היא טופולוגיה על תת-קבוצה של מרחב טופולוגי המתקבלת מהטופולוגיה של מרחב האם.
הטופולוגיה המושרית היא הטופולוגיה החלשה ביותר האפשרית כך שהעתקת ההכלה היא רציפה.
יהי X מרחב טופולוגי עם טופולוגיה (אוסף קבוצות פתוחות) O.
נסמן את הטופולוגיה של Y ב- (זהו אוסף כל הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה המושרית).
קבוצה היא קבוצה פתוחה ב- Y אם קיימת קבוצה V פתוחה ב- X כך ש .
קבוצה היא קבוצה סגורה ב- Y אם קיימת קבוצה F סגורה ב- X כך ש .
אפשר לראות שזוהי באמת טופולוגיה על הקבוצה Y, שהתכונות שלה מושרות מהטופולוגיה על X.
מראש, Y יכולה להיות כל תת-קבוצה של X, ולא צריכה להיות דווקא קבוצה פתוחה או סגורה.
יתר על כן, קיים אוסף רחב של תכונות של מרחבים טופולוגיים שהם תורשתיים כלומר המרחב X מוריש אותם לכל תת-מרחב שלו.
מצד שני, קיימות תכונות רבות שהן לא תורשתיות ותכונות אחרות שהן חצי-תורשתיות (כלומר עוברות רק לתתי מרחב פתוחים או סגורים).
הטופולוגיה הרגילה על שדה המספרים הרציונליים היא הטופולוגיה המושרית עליהם מהישר הממשי.
מהסיבה הזו שדה המספרים הרציונליים "יורש" את המטריקה של הישר הממשי והופכים למרחב מטרי.
מצד שני אף על פי שהישר הממשי הוא קשיר, מרחב הרציונליים אינו קשיר- כיוון שמתקיים: .
קל לראות שבאופן כללי מטריזביליות היא תכונה תורשתית, בעוד שקשירות היא לא תורשתית, ואפילו לא חצי תורשתיות.
כך גם תכונת האוסדורף, ורגולריות הן תכונות תורשתיות, בעוד שנורמליות היא לא תורשתית.
קומפקטיות היא חצי תורשתית כי היא עוברת בירושה לכל תת-מרחב סגור.
לעומת זאת היא לא תורשתית לחלוטין: לדוגמה
והקטע הסגור הוא קומפקטי, אך הקטע הפתוח לא קומפקטי.
טופולוגיה חלשה היא טופולוגיה שבה ה"מרחק" או ה"סביבות" מוגדרות באמצעות קבוצה של פונקציות רציפות על המרחב.
נהוג להשתמש במונח זה כאשר מגדירים טופולוגיה שכזו על מרחב מטרי (ובפרט, מרחב בנך) שעליו קיימת כבר הטופולוגיה המטרית/הנורמית – שהיא טופולוגיה חזקה יותר.
יהי מרחב נורמי ותהי משפחה של פונקציות רציפות על .
הטופולוגיה החלשה המתאימה ל- היא הטופולוגיה הגסה ביותר (כלומר: עם אוסף הקבוצות הפתוחות הקטן ביותר האפשרי) שביחס אליה כל הפונקציות של הן רציפות.
תת בסיס טבעי לטופולוגיה חלשה הוא הבא:
כאשר עוברים על כל הנקודות , על כל ועל כל .
כלומר, האוסף הוא תת-בסיס לטופולוגיה החלשה המתאימה ל-.
אם המשפחה מפרידה נקודות (כלומר: לכל יש כך ש-) אזי הטופולוגיה החלשה היא האוסדורף.
התכנסות: בטופולוגיה זו אם ורק אם לכל מתקיים ש-.
משפט בנך-אלאוגלו: יהי מרחב בנך ונגדיר טופולוגיה חלשה מעל המרחב הדואלי על ידי כאשר (כאן משחק בתפקיד של ואילו .
אזי במרחב טופולוגי זה, הנקרא , מתקיים שכדור היחידה הוא קומפקטי.
בטופולוגיה, הטופולוגיה הדיסקרטית על קבוצה , היא טופולוגיה מנוונת במיוחד, המוגדרת כך שכל הקבוצות יהיו פתוחות.
את הטופולוגיה הדיסקרטית אפשר להגדיר באמצעות מטריקה מתאימה, הקרויה המטריקה הדיסקרטית: תחת מטריקה זו, המרחק בין כל שתי נקודות שונות קבוע.
עבור כמעט כל התכונות הטופולוגיות קל לקבוע האם המרחב הדיסקרטי מקיים אותן, אם לאו.
למשל, הטופולוגיה הדיסקרטית מקיימת את כל אקסיומות ההפרדה, היא קומפקטית בדיוק כאשר המרחב סופי והיא מרחב בלתי קשיר לחלוטין.
בין השימושים בטופולוגיה הדיסקרטית אפשר למנות את הנוכחות שלה בהגדרת טופולוגיות חשובות על מרחבים אחרים; לדוגמה, את טופולוגית זריצקי (על שם אוסקר זריצקי) אפשר להגדיר על יריעה אלגברית על-פי הדרישה שכל פונקציה פולינומית תהיה רציפה, וזאת ביחס לטופולוגיה הדיסקרטית של שדה הבסיס.
הגדרה זו מאפיינת את הקבוצות הסגורות של הטופולוגיה, בתור קבוצות האפסים המשותפים של משפחה של משוואות פולינומיות.
הטופולוגיה הדיסקרטית היא דוגמה קיצונית אחת למרחב טופולוגי.
בעבר השני מצויה הטופולוגיה הטריוויאלית, שבה רק הקבוצה הריקה והמרחב כולו הן קבוצות פתוחות.
מנקודת מבט טופולוגית, במרחב כזה לא ניתן להבדיל בין הנקודות השונות כלל.
כל פונקציה ממרחב דיסקרטי למרחב אחר היא רציפה.
מכאן שהמרחבים הדיסקרטיים הם אובייקטים חופשיים בקטגוריה של המרחבים הטופולוגים (כשהמורפיזמים הם פונקציות רציפות).
טופולב Tu-22 (קוד דיווח נאט"ו: "בליינדר"; Blinder) היה מפציץ ומטוס סיור סילוני על קולי מתוצרת ברית המועצות.
ה-Tu-22 פותח כמחליף על קולי לטופולב Tu-16 הוותיק בשנת 1954 בציון "סמוליוט 105" (מטוס 105).
טיסתו הראשונה של אב הטיפוס התעכבה, ובוצעה רק ב 21 ביוני 1958. פיתוחם של מנועים חזקים יותר וגילוי חוק השטחים הביאו לתכנון מחודש של המטוס שמזער את הגרר הגלים הנוצר בקרבת מהירות הקול.
אב הטיפוס המשופר, 105A, טס לראשונה ב-7 בספטמבר 1959.
המטוס הראשון מגרסת הייצור שכונתה Tu-22B יצא את שערי מפעל 22 בקאזאן ב-22 בספטמבר 1960, ונגלה למערב במטס יום התעופה בטושינו ב-9 ביולי 1961. בתחילה כונה המטוס בנאט"ו בכינוי "בולשוט", אך כינוי זה נשמע גס במקצת והוחלף ל"ביוטי".
כינוי זה הוחלף גם הוא, שכן נחשב מחמיא מדי והמטוס כונה בנאט"ו בכינוי "בליינדר".
צוותי האוויר הסובייטים כינו את המטוס "שילו" (דקר) בשל צורתו המוארכת והמחודדת.
בשנים 1962 ו-1963 נכנס המטוס לשירות בברית המועצות, אך תקלות טכניות רבות הביאו להשבתת מטוסים רבים ואף להתרסקויות.
גם לאחר שמחלות הילדות נפתרו, לא היה ה-Tu-22 מטוס קל להטסה ולתחזוקה.
בשל כך היה המטוס שנוא באופן מיוחד על צוותי האוויר והקרקע הסובייטיים.
כאשר נכנס ה-Tu-22B (בליינדר A) לשירות, היה כבר ברור שיעילותו הקרבית מוגבלת.
למרות מהירותו הרבה, טווח הפעולה שלו היה נחות לעומת ה-Tu-16 קודמו, וכך גם המטען אותו יכל לשאת ואמינותו.
ניקיטה חרושצ'וב סבר כי טילי קרקע-קרקע גרעיניים ביניבשתיים הם הנשק החשוב ביותר של העתיד, ופיתוח מפציצים כ-Tu-22 היה בסכנת ביטול מוחשית.
גרסת הסיור Tu-22R (בליינדר C) פותחה במקביל למפציץ ונכנסה לשירות ב-1962. למטוס הסיור הייתה יכולת תדלוק באוויר שהוספה מאוחר יותר ליתר המטוסים לשם הגדלת טווחם.
נבנו 127 מטוסים מדגם הסיור ומהם 62 שירתו בזרוע האוויר של הצי הסובייטי כמטוסי סיור ימי.
עם התיישנותם, פורקו חלק ממטוסי הסיור המצלמות והחיישנים והם יוצאו כמפציצי Tu-22B.
גרסת אימון Tu-22U (בליינדר D) הצטיינה בתא טייס מוגבה עבור המדריך.
לא היו לה תותחי זנב ויכולת קרבית.
נבנו 46 מטוסי אימון כאלו.
במטרה להציל את פיתוח המטוס מביטול כללי, פיתח טופולב את גרסת Tu-22K כמטוס נושא טילים מסוג Kh-22 "ראדוגה" (כינוי נאט"ו: AS-4 קיצ'ן) בתא פנימי משופר.
גרסה זו פותחה לשימוש זרוע המפציצים האסטרטגיים והצי כאחד.
גרסת ה-Tu-22 האחרונה הייתה גרסה P (בליינדר E) שהייתה גרסת לוחמה אלקטרונית.
בתחילה היא פותחה כמטוס ביון לאיסוף אלינט, אך חלק מהמטוסים הומרו לנשיאת ציוד שיבוש מכ"ם אויב כתמיכה ל-Tu-22K נושאי הטילים.
לכל רגימנט נושאי טילים הוקצתה בדרך כלל טייסת אחת של מטוסי שיבוש.
מטוסי Tu-22 יוצאו לעיראק וללוב בשנות השבעים.
בקשת המצרים להצטייד במטוס נענתה בשלילה לאחר הצטננות יחסי מצרים וברית המועצות בעקבות מלחמת יום כיפור.
ה-Tu-22 הוצא בהדרגה מהשירות בברית המועצות לטובת יורשו העדיף Tu-22M בקפייר.
בעת קריסת ברית המועצות נותרו 154 מטוסים בשירות, אך כיום כנראה שלא נותר אף אחד במצב טיסה, פרט לאוקראינה אשר ייתכן וברשותה מספר קטן של מטוסים שמישים.
למעלה משבעה מטוסים אבדו בתאונות שונות.
רוב המטוסים העיראקיים ששרדו את מלחמת איראן–עיראק הושמדו במלחמת המפרץ ב-1991. המטוסים הלוביים אינם בכשירות טיסה בשל העדר חלקי חילוף.
לוב השתמשה במטוסים אלו כנגד טנזניה ב-1979, כאשר העיר מואנזה הופצצה ב-29 במרץ 1979. לוב גם התערבה במלחמת האזרחים בצ'אד בשנות השמונים והפעילה מטוסים אלו להפצצת מטרות בה ובסודאן.
ה"בליינדרים" העיראקיים הופעלו במלחמת איראן–עיראק מ-1980 ועד 1988. שבעה מתוך 12 אבדו, כולל אחד שהופל מטיל נ"מ איראני מעל טהראן ואחר שהופל על ידי מטוס F-14 איראני.
השימוש הקרבי היחיד של הסובייטים במטוס היה ב 1988, במהלך מלחמת אפגניסטן.
הם הפעילו מטוסי Tu-22P בקרבת הגבול הפקיסטני לשיבוש מערכי הנ"מ הפקיסטניים והגנת מפציציהם.
הטופולב Tu-22 מצטיין בכנף משוכה לאחור בחדות, בזווית 55 מעלות.
שני מנועי הסילון הגדולים, דוברינין VD-7M בדגמים הראשונים וקולסוב RD-7M2 במאוחרים הותקנו זה בצד זה באחורי הגוף משני צידי מייצב הכיוון הגדול.
בהמשך למסורת התכנון של טופולב נמצאים כני הנסע הראשיים ב"בתים" גדולים בשפת הזרימה של הכנפיים.
הכנף המשוכה לאחור הקנתה למטוס גרר נמוך בשיוט על קולי, אך חסרונה העיקרי היה מרחק נחיתה והמראה ארוך מאוד של המטוס.
בתא הצוות מוקם הטייס מלפנים ומעט שמאלה מהמרכז, מאחוריו מפעיל מערכות הנשק ומתחתיו בגוף המטוס הנווט.
הנדסת האנוש בתא הצוות נחשבה לגרועה גם במונחים סובייטיים: הראות החוצה הייתה גרועה והקשתה עוד יותר על נחיתה והמראה בטוחות, והמושבים היו צפופים ולא נוחים לאורך זמן.
החימוש ההגנתי של הטופולב תופעל בידי מפעיל מערכות הנשק וכלל צריח זנב עם שני תותחי Am-23 בקוטר 23 מ"מ ו-250 פגזים לכל אחד.
לכיון הצריח נעזר המפעיל במכ"ם PRS-3A "ארגון" קטן כדי לפצות על העדר יכולת הראייה הישירה של המפעיל.
תא החימוש העיקרי של המטוס היה בגופו, בין הכנפיים, וניתן היה לשאת בו עד 24 פצצות FAB-500, פצצת FAB-9000 ענקית אחת או מגוון פצצות גרעיניות.
בדגם Tu-22K דוגם התא הפנימי לנשיאת טיל Kh-22 "ראדוגה" יחיד הבולט במחציתו מהתא.
טיל זה היה כה גדול עד שהשפיע משמעותית על ניהוג המטוס וביצועיו, והיה בנשיאתו סיכון בטיחותי בלתי מבוטל.
המדינות הבאות הפעילו את הטופולוב Tu-22:
: חיל האוויר הסובייטי והזרוע האווירית של הצי הסובייטי
טופולב Tu-16 (קוד דיווח נאט"ו: Badger - באדג'ר) הוא מפציץ סילוני דו־מנועי שהיה בשימוש בברית המועצות, בחילות האוויר של חבר המדינות, ועודנו בשימוש בסין בגרסתו הסינית Xian H-6. החל מגרסתו הראשונה ועד גרסתו הסינית נמצא המטוס בשירות מעל 60 שנה.
בסוף שנות הארבעים שאפה בברית המועצות להשתוות לארצות הברית ביכולות ההפצצה האסטרטגית.
המפציץ ארוך הטווח היחיד שהיה בשירות הרוסים אז היה הטופולב Tu-4 - גרסה מהונדסת לאחור של ה-B-29 האמריקאי.
פיתוח מנוע הסילון מיקולין AM-3 איפשר את ייצורם של מפציצים גדולים בעלי מנועי סילון.
בחברת טופולב החלה העבודה על האבטיפוס Tu-88 בשנת 1950. הוא טס לראשונה ב-27 באפריל 1952. לאחר שזכה בתחרות מול האיליושין Il-46, החל ייצור המטוס בחודש דצמבר.
המטוסים הסדרתיים הראשונים נכנסו לשירות בחיל האוויר הסובייטי בשנת 1954, וזכו בסימול Tu-16, כמו גם בקוד דיווח נאט"ו 'Badger-A'.
במטוס זה לראשונה נוצלו סגסוגות אלומיניום בפיתוח של יוסיף פרידליאנדר, שבהמשך נוצלו בכלל מטוסי הקרב הסובייטים.
המטוס מאובזר בכנף גדולה ומשוכה לאחור, ושני מנועי סילון מיקולין AM-3 - אחד בכל שורש כנף.
הוא בעל כושר נשיאה של פצצת FAB-9000 ענקית במשקל 9,000 ק"ג, או סוגים שונים של חימוש גרעיני לטווח של כ-4,800 ק"מ.
למרות שה-Tu-16 תוכנן כמפציץ לטיסת בגובה רב המטיל פצצות "פשוטות", באמצע שנות ה-50 הותאם לשאת את טילי השיוט הסובייטים הראשונים.
טילים גדולי ממדים אלו היו זהים במבנם למטוסי מיג-15, ויכלו לשאת ראש קרבי גרעיני או קונבנציונלי לטווח של כ-140 ק"מ.
הם היו אמורים לשמש בעיקר לפגיעה בנושאות המטוסים של צי ארצות הברית וספינות גדולות אחרות.
גרסאות מאוחרות יותר של ה-Tu-16 הוסבו לשאת טילים חדשים יותר.
העיצוב של ה-Tu-16 שימש בסיס למספר גרסאות איסוף מודיעין, סיור ימי, איסוף מודיעין אלקטרוני (אלינט), ולוחמה אלקטרונית.
סך הכול נבנו 1,507 מטוסים בשנים 1954 - 1962 בשלושה מפעלים ברחבי ברית המועצות.
גרסה אזרחית של המטוס, שסימונה טופולב Tu-104, הייתה בשירות חברת ארופלוט.
ה-Tu-16 נמכר למצרים, אינדונזיה ועיראק, והיה בשירות חיל האוויר הסובייטי ואוויריית הצי של רוסיה עד שנת 1993.
בשנת 1958 נמסרו מטוסי Tu-16 לצבא הרפובליקה העממית של סין, וחברת המטוסים הסינית Xian (XAC) מייצרת העתק של המטוס תחת הסימול Xian H-6. יותר מ-120 מטוסים מדגם זה עדיין נמצאים בשירות.
ערב מלחמת ששת הימים היו במצרים שלוש טייסות מפציצי טופולב 16 שאיימו על ערי ישראל.
התכנון המצרי לתקיפת ישראל כלל הטלת טונות רבות של פצצות באמצעותם.
ביומה הראשון של המלחמה הושמדו מטוסי הטופולב המצריים בעודם על הקרקע במסגרת מבצע מוקד להפצצת שדות התעופה של מדינות העימות.
ביומה השני של המלחמה חדר מפציץ טופולב Tu-16 עיראקי אחד או שניים לישראל, והטיל פצצות שלא התפוצצו על הרחוב הראשי של נתניה.
משם פנה לעבר מגדל העמק וירה בתותחיו על מרכז בקרה של הג"א ועל בסיס רמת דוד.
תשע פצצות נוספות הוטלו במבואות עפולה, הפצצות הופלו מגובה נמוך ולכן לא התפוצצו, לאחר מכן הגיע כיתת חבלנים בפיקודו של דב אופר והחליטו שחשוך מידי ויעבדו בבוקר למחרת, מחשש שמישהו יתעסק עם הפצצות הוצבו שני שומרים מילואימניקים, השומרים חשבו שהם יצליחו לנטרל את פצצות ה- fab 250 לבד ומתו בתהליך.
לאחר מכן המטוס נפגע באש תותחי 40 מ"מ וייתכן שנפגע גם מטיל אוויר אוויר מסוג שפריר ששוגר לעברו ממטוס מיראז' 3 ישראלי.
המטוס התרסק בשטח מחנה עמוס בעמק יזרעאל, ובעת התרסקותו גרם למותם של 14 חיילי צה"ל ולפציעת חיילים רבים.
במלחמת יום הכיפורים היו ברשות מצרים 30 מטוסי Tu-16. במהלך המלחמה שיגרו מטוסי הטופולב כ- 25 טילי אוויר-קרקע "קלט" מתוכם שני טילים פגעו במטרתם (ולפי מקורות סובייטיים חמישה טילים פגעו במטרתם ).
טיל אחד שוגר לעבר תל אביב, אך זה הופל על ידי רס"ן איתן כרמי, טייס מיראז' 3. טיל נוסף שוגר באותו היום לעבר יחידת הבקרה של שדה אופיר בשארם א-שייח', השמיד את מכשיר המכ"ם של היחידה והרג 5 מחייליה.
טופולב Tu-154 (קוד דיווח נאט"ו: Careless) הוא מטוס נוסעים צר-גוף תלת־מנועי מתוצרת רוסיה.
המטוס היה נפוץ לטיסות פנים ברוסיה ובמדינות אחרות של ברית המועצות לשעבר.
המטוס היה בשימוש גם במזרח אירופה ובאיראן.
מודרניזציה ופיתוח מטוסים מדגם זה היו באחריות תאגיד המטוסים המאוחד.
המטוס פותח כדי להחליף את טופולב Tu-104 הסילוני וגם את אנטונוב An-10 ואת איליושין Il-18 בעלי מנועי המדחף.
הוא תוכנן להיות מסוגל לפעול בשדות תעופה בעלי מסלולי עפר ולטוס בגובה רב מעל תנועת המטוסים העמוסה של ברית המועצות.
הוא טס לראשונה ב־4 באוקטובר 1968, ונכנס לשירות בפברואר 1972. ייצורו נמשך עד שנת 2006 ובסך הכול יוצרו כ־900 מטוסים מדגם זה, מתוכם פחות מ-100 עדיין נמצאים בשירות.
המטוס תוכנן כך שיוכל להמריא משדות תעופה מושלגים ולא סלולים בלי להינזק.
לשם כך יש לו 14 צמיגים גדולים מנופחים בלחץ נמוך.
בדגם המקורי ישנם שלושה מנועי קוזנצוב NK-8-2, בתצורה דומה לזו שבבואינג 727, הקיימים גם במטוס האיליושין IL-62 מה שנתן לו יחס דחף-משקל טוב יחסית.
בדגם M משתמשים בשלושה מנועי סולוביוב D-30KU-154. יש לו שני כני נסע אחוריים אשר מתכנסים למכלים שעל הכנפיים, ומערכת זנב בצורת האות T.
למטוס יש היסטוריה של תאונות, אולם הן בדרך כלל יוחסו לשימוש בתנאים קשים (במיוחד תנאי מזג אוויר קשים), שימוש תכוף, תחזוקה לקויה, וטעויות אנוש, ולאו דווקא לבעיות בתכנון.
ב-4 ביולי 2001 התרסק מטוס מדגם זה של חברת ולדיווסטוק אייר שהמריא מיקטרינבורג במהלך הנחיתה לחניית ביניים באירקוטסק.
התאונה נגרמה בשל טעות אנוש.
כל 145 הנוסעים ואנשי הצוות נהרגו.
ב־4 באוקטובר 2001 התרסק מטוס מדגם זה של חברת סיביר אייר שהמריא מת"א מעל הים השחור.
חקירה גילתה שהמטוס הופל בידי טיל קרקע-אוויר SA-5 תועה.
ההערכה היא שהטיל נורה בעת תרגיל של צבא אוקראינה.
ב־10 באפריל 2010 התרסק מטוסו הנשיאותי של נשיא פולין לך קצ'ינסקי, סמוך לשדה התעופה בעיר סמולנסק אשר ברוסיה, במטוס שהו 96 נוסעים באותו הזמן וכולם נהרגו.
בין הנוסעים היו נשיא פולין, רעייתו, ובכירים נוספים בממשל הפולני, התאונה מיוחסת למזג האוויר הערפילי בזמן הנחיתה, ולטעות אנוש של הטייס.
ב-25 בדצמבר 2016 התרסק בים השחור מטוס של משרד ההגנה הרוסי מסוג זה שהיה בדרכו מנמל התעופה הבינלאומי של סוצ'י לבסיס חיל האוויר הרוסי חמיימים ליד לטקיה שבסוריה.
טופולב Tu-134 (קוד דיווח נאט"ו: Crusty) הוא מטוס נוסעים דו-מנועי מתוצרת ברית המועצות.
זהו אחד ממטוסי הנוסעים שהיו נפוצים ביותר במדינות ברית ורשה, אולם השימוש בו דועך בשל הגבלות על עוצמת הרעש בשדות התעופה.
לאחר שחברת "סוד אוויאסיון" הצרפתית חשפה את הקרוול, שבו השתמשו לראשונה בשני מנועים בתוך מכלים בחלק האחורי של גוף המטוס, הזדרזו יצרני מטוסים אחרים להשתמש בתכנון חדשני זה.
יתרונו של עיצוב זה הוא בזרימת אוויר חלקה על הכנף מבלי שפתח הפליטה ומכל המנוע יפריעו.
כמו כן, עיצוב זה מפחית את הרעש בתא הנוסעים.
אולם עיצוב זה חייב מחשבה עמוקה על סוגיית מרכז הכובד ביחס למרכז המטוס (אשר נמצא באזור הכנף).
מייצבי הגובה הועלו לראש מייצב הכיוון, כדי לפנות מקום למנועים, מה שחייב את חיזוק המייצב, והוסיף למשקל המטוס בחלקו האחורי.
מנהיג ברית המועצות ניקיטה חרושצ'וב ביקר בשנת 1960 בצרפת, והתרשם עד מאוד מתא הנוסעים השקט של הקאראוול, וב-1 באוגוסט התקבלה במשרד התכנון טופולב הוראה רשמית לייצר מטוס טופולב Tu-124 בתצורת מנועים דומה (אשר סומל Tu-124A).
בשנת 1961 עדכנה חברת התעופה הלאומית אארופלוט את המפרט הדרוש כך שהמטוס יוכל לשאת יותר נוסעים ומטען.
האב טיפוס הראשון, שמספרו CCCP-45075, טס לראשונה ב-29 ביולי 1963. אולם מספר חודשים מאוחר יותר, ב-22 באוקטובר, התרסק מטוס BAC 1-11 בריטי, בעל עיצוב דומה, וכל אנשי צוותו נהרגו.
המטוס הזדקר זמן קצר לאחר ההמראה והתרסק.
מייצבי הגובה נלכדו במערבולת אשר נוצרה בשל זרם הפליטה מהמנועים, מה שמנע את האפשרות להיחלץ מההזדקרות.
מהנדסי טופולב שינו את העיצוב בהתאם והגדילו את שטח מייצבי הגובה ב-30% כדי לשפר את יכולת השליטה.
כמו כן, דרישות כושר הנשיאה של איירופלוט הצריכו ייצורו של מנוע סולובייב D-30 - מנוע טורבו-מניפה משופר.
ב-20 בנובמבר קיבל המטוס את הסימול Tu-134 באופן רשמי.
המטוס בולט בכמה החלטות תכנון יוצאות דופן.
כך למשל, הכנף משוכה לאחור בזווית של 35 מעלות, לעומת 25 - 28 מעלות במטוסים דומים שיוצרו במערב.
במנועים של המטוסים הראשונים שיוצרו לא היו מהפכי דחף, ועל כן המטוס הוא אחד המטוסים הבודדים אשר משתמשים במצנחי עצירה בעת הנחיתה.
רוב המיכשור האלקטרוני פעל על זרם ישר.
במטוס, כמו גם במטוסי נוסעים סילוניים סובייטיים מוקדמים אחרים, ישנו חרטום שקוף, אשר מקורו בטופולב 16, וכני נסע שבהם הגלגלים מנופחים בלחץ נמוך כדי להיות מסוגל לנחות על מסלולים לא-סלולים.
טיסתו המסחרית הראשונה של המטוס נערכה בספטמבר 1967, ממוסקבה לעיר הקיט סוצ'י אשר לחופי הים השחור.
בשנת 1968 החלו לתכנן בחברת טופולב גרסה משופרת של המטוס.
הגוף הוארך ב-2.1 מטר, כדי לשאת נוסעים נוספים, והוספה יחידת כוח עזר בזנב.
למנועים נוספו מהפכי דחף במקום המצנח המסורבל.
הדגם המשופר, שסומן Tu-134A טס לראשונה ב-22 באפריל 1969, ונכנס לשירות מסחרי ב-9 בנובמבר 1970.
בסך הכול יוצרו 852 מטוסים, והם נמצאים עדיין בשימוש ברוסיה ובחבר המדינות, ובמדינות נוספות במזרח התיכון.
כמה מטוסים הוסבו להיות מטוסי מנהלים מפוארים.
חוקי הגבלת עוצמת הרעש בשדות התעופה גרמו להיעלמות המטוס משדות התעופה של אירופה, בשל מנועי ה-D-30 הרועשים שלו.
בעקבות התאונה בטיסה 9605 של רוסאייר שהתרחשה ב-20 ביוני 2011, דרש נשיא רוסיה דמיטרי מדבדב ממשרד התחבורה הרוסי לזרז הליכי קרקוע כל מטוסי הטופולב Tu-134 וקרקוע מוחלט שלהם עד 2012. עם זאת, קרקועם הסופי בוצע רק בשנת 2019.
טופולב Tu-104 (קוד דיווח נאט"ו: Camel) היה מטוס נוסעים דו-מנועי לטווח בינוני מתוצרת ברית המועצות.
טופולב Tu-104 היה מטוס הנוסעים הסילוני השלישי בעולם, אחרי דה האווילנד קומט הבריטי, וה הקנדי.
הוא היה הראשון מבין השלושה אשר נכנס לשירות סדיר.
חברת איירופלוט הוציאה דרישה בתחילת שנות החמישים למטוס נוסעים מודרני בעל כושר נשיאה גדול יותר וביצועים טובים יותר מאשר כלי הטיס שהיו ברשותה.
הדרישה נענתה על ידי משרד התכנון טופולב, אשר סיפק תכנון שהתבסס על המפציץ האסטרטגי טופולב Tu-16. הכנפיים, המנועים ומשטחי הזנב של המטוס זהים לאלו של המפציץ.
גוף המטוס הורחב והפך למדוחס (לצורך הובלת נוסעים) ויכול היה להכיל 50 נוסעים.
טיסתו הראשונה של המטוס הראשון מייצור סדרתי נערכה ב-6 בנובמבר 1955 במפעל בחרקוב.
200 מטוסים מדגם זה נבנו עד הפסקת הייצור בשנת 1960. המטוס היה חלק מצי מטוסי הנוסעים של חברת איירופלוט עד שנת 1981. חברת התעופה הצ'כית הלאומית רכשה כמה מטוסים מדגם Tu-104A בעלי כושר נשיאה של 81 נוסעים.
לאחר הוצאתו משירות מסחרי הועברו כמה מטוסים לצבא הסובייטי ושימשו לתובלת אנשי צבא ולאימון קוסמונאוטים בתנאי חוסר משקל.
Tu-110 – דגם ניסוי (פיילוט) עם 4 מנועים.
ב-7 בפברואר 1981 מטוס טופולב Tu-104 הזדקר בעת ההמראה מנמל התעופה פושקין והתרסק, כתוצאה ממטען עודף שלא הועמס כראוי.
בעקבות התאונה קורקעו כל יתר המטוסים מדגם זה.
טופולב Tu-144 (קוד דיווח נאט"ו: Charger) היה אחד משני מטוסי הנוסעים העל קוליים היחידים בעולם.
כלי התקשורת במערב כינו אותו "קונקורדסקי" בשל הדמיון הרב בינו לבין מטוס הנוסעים העל-קולי השני - הקונקורד אם כי האבטיפוס טס לראשונה ב-31 בדצמבר 1968 ליד מוסקבה, כחודשיים לפני הקונקורד.
ה-Tu-144 עבר את מהירות הקול לראשונה ב-5 ביוני 1969 וב-15 ביולי באותה שנה היה למטוס הנוסעים העל-קולי הראשון שטס במהירות כפולה ממהירות הקול.
סיפור תוכנית הפיתוח של ה-Tu-144 נקשר פעמים רבות לטענות בדבר ריגול תעשייתי נגד חברת איירוספסיאל הצרפתית - אחת משתי החברות שפיתחו את הקונקורד (וזאת אף על פי שה-Tu-144 המריא לראשונה לפניו).
נציג איירופלוט בפריז סרגיי פבלוב נעצר בשנת 1965 כשברשותו תוכניות מפורטות של מערכת הבלמים, כני הנסע והמבנה של הקונקורד.
סוכן סובייטי בשם סרגיי פאבייב שנעצר בשנת 1977 השיג ככל הנראה כבר באמצע שנות השישים את כל התוכניות של הקונקורד, אולם היו אלו תוכניות ראשוניות של אב-הטיפוס שלא היו יכולות להספיק למהנדסים הסובייטים כדי לבנות את המטוס בפועל אלא רק לשמש כאינדיקציה לגבי כוונות המהנדסים הצרפתים והבריטים בפיתוח הקונקורד.
מבחינה חיצונית ניתן להבחין בדמיון רב בין ה-Tu-144 והקונקורד.
אך בדיקה מעמיקה יותר מגלה שההבדלים במערכות הניהוג, במערכות הניווט ובמנועים הם גדולים למדי, בדומה להבדלים בין מעבורת החלל הסובייטית בוראן לבין מעבורות החלל האמריקאיות.
למעשה, בחלק מהמערכות ה-Tu-144 דווקא מתקדם יותר ממקבילו המערבי.
הבדל משמעותי בין המטוסים הוא בכנף.
מהנדסי ה-Tu-144 לא נזקקו לכנף עם קימורים מורכבים כמו בקונקורד לשם תמרון במהירויות נמוכות והשתמשו בכנפוני קנארד במקום.
תוכנית הפיתוח של ה-Tu-144 ספגה מכה קשה ב-3 ביוני 1973, עת התרסק המטוס הסדרתי הראשון מדגם Tu-144S (מספר רישום 77102) בסלון האווירי בפריז.
במהלך צלילה חריפה ניסו הטייסים להפנות את חרטום המטוס מעלה והמטוס התרסק, וכשפגע בקרקע הרס חמישה-עשר בתים.
שמונה אנשים נהרגו על הקרקע בנוסף לששת האנשים שהיו במטוס.
סיבת ההתרסקות נותרה במחלוקת עד היום.
סברה נפוצה היא שהמטוס ניסה להתחמק ממטוס מיראז' 3 שטס בקרבתו וניסה לצלם את הקנרדים, אשר נחשבו למתקדמים לתקופתם, ושממשלות צרפת וברית המועצות ערפלו את החקירה כדי למנוע את חשיפת הפרטים.
הצרפתים הכחישו את דבר טיסת המיראז' בדיווח הראשוני על האירוע, ייתכן כדי למנוע האשמות נגדם על ריגול תעשייתי.
בדוחות מאוחרים יותר הודו הצרפתים בנוכחותו של המיראז' במקום, אך לא במעורבותו בהתרסקות.
סברה אחרת היא שהקופסה השחורה נמצאה על ידי הסובייטים ופוענחה, וכי סיבת ההתרסקות הייתה שינויים שביצע צוות מהנדסי הקרקע במנגנון הייצוב העצמי לפני יום התצוגה האווירית השני.
השינויים היו אמורים לגרום למטוס להפגין ביצועים טובים יותר מהקונקורד, אולם הם גרמו בלי משים לניתוק מנגנוני בדיקה ומשוב שהיו אמורים למנוע קצב טיפוס גבוה מדי, מה שהוביל להזדקרות ולהתרסקות.
סברה שלישית גורסת שמדובר בחבלה מכוונת מצד הצוות הבריטי/צרפתי.
לפי סברה זו, ידעו צוותי התכנון המערביים על כוונת הסובייטים לגנוב את התוכניות, ועל כן "שתלו" בהן תרשימים שהכילו פגמים.
ה-Tu-144S נכנס לשירות מסחרי ב-26 בדצמבר 1975. המטוס טס בקו מטען ודואר בין מוסקבה ואלמה-אטה, אז בירת הרפובליקה הסובייטית של קזחסטן, כהכנה לקראת כניסתו לתובלת נוסעים.
קווי נוסעים החלו לפעול בנובמבר 1977 ונמשכו עד 23 במאי 1978, אז ארעה נחיתת אונס של מטוס מדגם Tu-144D במהלך מבדקי קדם המסירה, שבה נהרגו חלק מאנשי צוות המטוס.
טיסת איירופלוט שיצאה לדרכה ב-1 ביוני 1978 הייתה טיסת הנוסעים האחרונה (ומספר 55 בסך הכל).
בחברת איירופלוט המליצו להשתמש בדגם הייצור החדש, ה-Tu-144D, לקו מטענים שהחל לפעול ב-23 ביוני 1979 ממוסקבה לחברובסק, שהתאפשר בשל החלפת המנועים בדגם החדש במנועי RD-36-51 היעילים יותר.
בסך הכול ביצעו מטוסי Tu-144 55 טיסות נוסעים ו-102 טיסות מטען בטרם יצאו משירות רשמית באוגוסט 1984⁩.
אולם ידוע שחברת איירופלוט המשיכה להשתמש במטוס ה-Tu-144D לאחר תום תקופת השירות המוצהרת לטיסות לא-מתוכננות.
דיווח אחד מספר על טיסה מחצי האי קרים לקייב בשנת 1987.
בסך הכול יוצרו שישה-עשר מטוסים בעלי יכולת טיסה.
האבטיפוס, שמספר הרישום שלו היה 68001, מטוס קדם-יצור מדגם Tu-144S שמספרו 77101, תשעה מטוסים מייצור סדרתי מדגם Tu-144S שמספריהם 110–77102, וחמישה מטוסי Tu-144D שמוספרו 115–77111. כמו כן יוצר לפחות מטוס אחד לבדיקות על הקרקע במקביל לייצורו של האבטיפוס.
למטוסים מדגם Tu-144S היה מנועי טורבו מניפה מדגם NK-144, ולמטוסים מדגם Tu-144D היו מנועי RD-36-51, בעלי צריכת דלק משופרת בעת טיסה על-קולית.
המנועים המשופרים לא נזקקו למבער לשם שיוט במהירות על-קולית ולכן המטוסים מהדגם המאוחר היו בעלי טווח ארוך יותר.
המטוסים מדגם Tu-144S עם מנועי ה-NK-144 לא יכלו לטוס במהירות שיוט של מאך 2 ללא מבער, אלא רק 1.6 מאך.
המטוס הוא גם אחד האחרונים שנזקק למצנח עצירה (כמו הדגמים המוקדמים של ה-Tu-134).
למרות שטיסת הנוסעים המסחרית האחרונה של המטוס נערכה בשנת 1978, ייצורו נמשך במשך שש שנים נוספות, עד שבשנת 1984 הופסקה באמצע בנייתו של מטוס Tu-144D שמספר הרישום שלו היה 77116. שני המטוסים האחרונים שיוצרו שמשו במהלך שנות השמונים כמעבדה מעופפת והשתתפו בין השאר במחקר לבדיקת התדלדלות שכבת האוזון בגבהים.
בתחילת שנות התשעים ערכו אשת העסקים ג'ודית דה-פול וחברתה IBP Aerospace משא ומתן בין חברת טופולב לנאס"א (וחברת רוקוול, ומאוחר יותר עם בואינג).
הם הציעו מטוס Tu-144 שישמש כפלטפורמת ניסויים למערכות טיסה מסחרית על-קולית, כחלק מתכנון הדור הבא של מטוסי נוסעים על-קוליים.
המטוס עבר שינויים רבים בעלות של 350 מיליון דולר וזכה לסימון Tu-144LL (הסימון LL הוא ראשי התיבות של "מעבדה מעופפת" ברוסית - Летающая лаборатория).
מטוס זה טס בסך הכול 27 פעמים נוספות בשנים 1996 ו-1997. בין טייסי המטוס היה גורדון פולרטון.
בשנת 1999 הופסק הפרויקט (שנחשב להצלחה) בשל העדר מימון.
דווח כי ה-Tu-144LL נמכר במכירה פומבית מקוונת ביוני 2001 בסכום של 11 מיליון דולר, אולם התברר שהעסקה לא מומשה — חברת Tejavia, דיווחה בספטמבר 2003 שהעסקה לא נחתמה.
מנועי הקוזנצוב NK-321 (אשר משמשים גם את המפציץ טופולב Tu-160) נחשבים לפריטים בעלי יעוד צבאי, וממשלת רוסיה לא אישרה לייצא אותם.
בתערוכה האווירית במוסקבה בשנת 2005 מצא מייסד חברת Tejavia רנדל סטפנס את מנועי ה-NK-321 בתצוגה ואת ה-Tu-144LL מעלה חלודה בשדה הניסויים של טופולב במרכז ניסויי הטיסה גרומוב.
עם הוצאתם משירות של מטוסי הקונקורד בסוף שנת 2003 פנו מספר גורמים בעלי ממון במטרה להשתמש ב-Tu-144LL לשם שבירת שיאים בטיסות טרנס-אטלנטיות, אך סטפנס יעץ להם לוותר על הרעיון, הן בשל בעיית יצוא המנועים, והן בשל העלות הגבוהה הצפויה של החזרתו לכשירות של המטוס המחליד.
שני המטוסים האחרונים שיוצרו (מספרי רישום 77114 ו-77115) נמצאים עדיין במפעל של חברת טופולב בעיר ז'וקובסקי, והם צפויים להימכר ולהפוך לגרוטאות מתכת.
מטוס Tu-144 יחיד נמצא בתצוגה מחוץ לשטחי ברית המועצות לשעבר.
מוזיאון הרכב והטכנולוגיה בזינסהיים שבגרמניה רכש אותו, והוא הובל לשם (ולא הוטס) בשנת 2001. המטוס צבוע בצבעי איירופלוט, ולידו מוצב מטוס קונקורד בצבעי אייר פראנס.
בטופולוגיה, הטופולוגיה הטריוויאלית המוגדרת על קבוצה , היא הטופולוגיה שבה רק הקבוצה הריקה והקבוצה עצמה הן פתוחות (ובהתאם, רק המרחב כולו והקבוצה הריקה סגורות).
זוהי הטופולוגיה החלשה ביותר שאפשר להגדיר על קבוצה - והיא מצויה בקצה המנוגד לזה של הטופולוגיה הדיסקרטית, שהיא החזקה ביותר שאפשר להגדיר (ובה כל תת-הקבוצות פתוחות).
הטופולוגיה הטריוויאלית אינה מקיימת אף תכונת הפרדה (אלא אם בעל נקודה אחת).
כל פונקציה המוגדרת אל המרחב הטריוויאלי היא פונקציה רציפה.
טופולב הוא שמה של חברה רוסית לתעופה וחלל שבסיסה במוסקבה.
החברה קמה על בסיס המשרד לתכנון ניסויי המפורסם "טופולב" (OKB-156) שנוסד בברית המועצות על ידי אנדריי טופולב ב-22 באוקטובר 1922. החברה עוסקת כיום בפיתוח, ייצור ושיפוץ מטוסים, מערכות חלל ואווירונאוטיקה אזרחיות וצבאיות, כמו גם בתחומי טכנולוגיית הטילים והתעופה הימית ויצרה למעלה מ-18,000 מטוסי טופולב בדגמיהם השונים.
נחשבת לאחת מיצרניות המטוסים המתקדמות ביותר במזרח אירופה.
משרד התכנון טופולב נוסד על ידי אנדריי ניקולאייביץ' טופולב ב-1922 כמשרד שהתמחה בתכנון אווירונאוטי של מטוסי מתכת, הייצור בפועל נעשה על ידי מפעלים אחרים.
תחום ההתמחות בטופולב היה מפציצים כבדים, ורבים מתכנוניו השפיעו מאוד על מגמות התכנון של מפציצים ומטוסי נוסעים גדולים שנים רבות לאחר מכן.
בשנת 1937 עקב חשדות כי זממו להקים מפלגה פשיסטית, נעצרו ולדימיר פטליאקוב וטופולוב.
מכון טופולב הפך למחנה גולאג מסוג שרשקה (шара́шка) בו המשיכו לפתח מטוסים.
בשנת 1940 פטליאקוב תכנן מטוס פטליאקוב Pe-8, מפציץ אסטרטגי ראשון שנבנה בברית המועצות.
בתקופת מלחמת העולם השנייה היה ה Tu-2 "באט", מפציץ כל-מתכת דו מנועי, אחד ממטוסי התקיפה הטובים ביותר של הצבא האדום.
המטוס יוצר במספרים גדולים החל מ-1942, אולם חלקו האחורי יוצר מעץ בשל המחסור במתכת.
בשנת 1945 נחתו בברית המועצות 4 מפציצי בואינג B-29 סופרפורטרס אמריקאיים לאחר הפצצה ביפן.
הם הועתקו במהרה על ידי טופולב בציון Tu-4, שהיה למפציץ הביניבשתי הסובייטי הראשון.
זה המריא לראשונה ב 1947 ויוצר במספרים ניכרים, תוך הסתמכות על התכנון במפציצים הגדולים הבאים מתוצרת טופולב.
ה Tu-16 היה למעשה Tu-4 מוגדל עם מנועי סילון וכנף משוכה לאחור, לשיפור ביצועי הטיסה.
מטוס זה היה למפציץ הבין יבשתי הסובייטי החשוב ביותר, מעין מקבילו של ה B-52 האמריקאי, ושירת כמפציץ אסטרטגי, מטוס ביון וסיור ומטוס ללוחמה נגד צוללות.
מה Tu-16 הצבאי פותח מטוס הנוסעים הסילוני Tu-104 שהיה לתקופה מסוימת מטוס הנוסעים הסילוני היחיד בעולם (לאחר קרקוע הדה-הבילנד קומט).
בדומה, פותח מה Tu-95 מטוס הנוסעים Tu-114, המטוס המהיר בעולם שהונע במדחפים.
מאפיין חיצוני בולט של מטוסי טופולב תת-קוליים גדולים הוא הימצאות פודים גדולים המתמשכים משפת הזרימה של הכנפיים.
אלו מכילים את כני הנסע המתאפיינים במספר רב של צמיגים בעלי לחץ אוויר נמוך, המאפשרים המראה ונחיתה משדות תעופה מאולתרים ובלתי סלולים.
לדוגמה, מטוס ה Tu-154, בן דורו של הבואינג 727, צויד ב-14 צמיגים, כמספר הצמיגים של הבואינג 777-200 הגדול בהרבה.
טופולב עבד על תכנוני מפציצים על-קוליים עוד בטרם טיסותיהם הראשונות של ה Tu-16 וה Tu-95. תכנונים אלו התממשו ב Tu-98 "באקפין", שלא נכנס לשירות אך היה לבסיסם של אבות הטיפוס Tu-102 שפותח למיירט גדל הממדים T-28 "פידלר" ו Tu-105 שפותח למפציץ העל קולי Tu-22 "בליינדר" באמצע שנות השישים.
בשנים אלו הוקמה גם חטיבת "K" לכלי טיס בלתי מאוישים שייצרה את כטב"מי הסיור Tu-139 ו Tu-143.
בסוף שנות השישים החל מתבלט במשרד בנו של א.נ טופולב, אלכסיי טופולב.
תחת הנהגתו פותח מטוס הנוסעים העל קולי הראשון בעולם, Tu-144 (שכונה בלצון "קונקורדסקי" בשל דמיונו למטוס הקונקורד), מטוס הנוסעים הנפוץ Tu-154 והמפציץ האסטרטגי Tu-22M "בקפייר".
מטוסים אלו העמידו את יכולותיה של ברית המועצות בשורה אחת עם אלו של המערב.
בשנות השבעים התמקד המשרד בשיפור יכולות מפציצי ה Tu-22M.
ישנם משקיפים הטוענים כי המספר הרב של מפציצים אסטרטגיים מתקדמים בידי ברית המועצות היווה זרז לשיחות סאל"ט 1 ו 2. גם מטוס הנוסעים Tu-154 שופר ונקרא Tu-154M.
בשנות השמונים פותח מפציץ אסטרטגי על קולי חדש, ה-Tu-160 "בלקג'ק", שהתעלה על מקבילו האמריקאי, הרוקוול B-1B, אך התפוררותה של ברית המועצות הביאה לכך שחבלי הלידה הטכניים של מטוס מתקדם זה מעולם לא טופלו.
לאחר סיום המלחמה הקרה התמקדה חברת טופולב במטוסי נוסעים תת-קוליים חסכוניים הפועלים על דלק חליפי.
התכנונים המתקדמים של טופולב למאה ה-21 הם מטוסי הנוסעים והמטען Tu-204/214, Tu-330 ו Tu-334.
בנוסף, עוסקת החברה גם בייצור מזל"טים.
החברה עוסקת בפיתוח מטוס טופולב Tu-206, שהוא גרסה של מטוס Tu-204, המונע באמצעות גז טבעי.
נמצא כרגע בשלבי פיתוח ובמימון ממשלתי.
במתמטיקה, הענף הקרוי טופולוגיה אלגברית עוסק בחקר תכונותיהם של מרחבים טופולוגיים באמצעות כלים אלגבריים.
אחת המטרות העיקריות של הטופולוגיה היא למיין מרחבים לפי טיפוס ההומיאומורפיזם או טיפוס ההומוטופיה שלהם.
כרגיל, מאמצי מיון מתמקדים בניסיון לזהות שמורות - מאפיינים המשותפים לכל המרחבים השייכים לאותה מחלקת שקילות.
משפחה עשירה של שמורות כאלה מתקבלת על ידי התאמה של מבנים אלגבריים, כגון חבורות או חוגים, למרחבים טופולוגיים, בדרכים שונות.
בעזרת מציאת אינווריאנטים אלגבריים שונים למרחבים טופולוגיים, אפשר ללמוד על תכונות שלהם וכן להבדיל ביניהם.
עם זאת, עד כה לא נמצאו אינווריאנטים אלגבריים מלאים - כלומר, כאלה שיאפיינו מרחבים טופולוגיים שונים באופן מלא.
החבורה היסודית היא דוגמה בסיסית וחשובה להתאמה של מבנה אלגברי למרחב טופולוגי.
בהינתן מרחב טופולוגי X ונקודת בסיס , החבורה היסודית שלו מורכבת ממחלקות השקילות של מסילות ב-X המתחילות ומסתיימות ב- .
מגדירים כפל של זוג מסילות על ידי "טיול בקצב כפול" לאורך המסילה האחת ואחר כך לאורך המסילה השנייה.
אינטואיטיבית, החבורה היסודית מאפשרת לתפוס "חורים" מסוג מסוים.
למשל, החבורה היסודית של המישור
היא טריוויאלית (החבורה המכילה רק איבר אחד), כי אין בו חורים.
לעומת זאת, אם מנקבים במרחב חור מתקבלת חבורה שונה, איזומורפית ל- .
אם מנקבים במרחב חור נוסף מתקבלת חבורה אחרת (החבורה החופשית בעלת שני יוצרים - יוצר לכל חור).
נשים לב שאם הנקב הוא נקודתי או בצורת דיסקה, החבורה היסודית זהה.
כלומר, לזוג המרחבים ו- , כאשר 0 מייצג את הראשית ו- D מייצג את דיסקת היחידה, יש חבורות יסודיות איזומורפיות (שתיהן איזומורפיות ל- ).
זה "בסדר" כי X ו- Y הומיאומורפיים.
מתברר, שלמעגל יש אותה חבורה יסודית כמו ל- X ול- Y, אף על פי שהוא אינו הומיאומורפי אליהם.
אבל גם זה "בסדר", כי המרחבים X, Y ו- שקולים הומוטופית.
ואומנם ניתן להוכיח שהחבורה היסודית נקבעת רק לפי טיפוס ההומוטופיה של המרחב (כפי שקורה לרוב השמורות בטופולוגיה אלגברית).
אולם בכך לא מסתיים הסיפור.
למשל, לכל הספירות, , עבור , יש חבורה יסודית טריוויאלית (כמו ל- ), אף-על-פי שמרחבים אלו אינם שקולים הומוטופית זה לזה (ובפרט אינם הומיאומורפיים).
אינטואיטיבית, החבורה היסודית אינה מסוגלת לתפוס חורים מממד גבוה.