tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
השימוש המפורש והפורמלי בטיפוסים (ולכן צורה מוקדמת של מה שמכונה כיום "תורת הטיפוסים") נועד במקור למנוע את הפרדוקסים שהתרחשו בלוגיקה ובמתמטיקה בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20. אבל זו לא הייתה השיטה היחידה שפותחה למטרה זו.
כלי נוסף להתחמקות מהפרדוקס היה כוונון עדין של תורת הקבוצות של קנטור מאת ארנסט זרמלו, והתפיסה הלולאתית של קבוצה, שנבעה מאקסיומה הבסיסית של תורת הקבוצות של זרמלו-פראנקל.
הגישה של הימנעות מהפרדוקס בתורת הטיפוסים שונה לחלוטין מהגישה התאורטית של תורת הקבוצות.
ראשית, בגישה הטיפוסית, השפה משתנה על מנת להימנע מהפרדוקס, ולא האקסיומות.
יתרה מזאת, מאז שהורחבה התיזה של צ'רץ' עם טיפוסים פשוטים ב-1940, תורת הטיפוסים המשיכה להתמקד ברעיון הפונקציה בלוגיקה ובמתמטיקה.
מאז 1940, פונקציות נותרו אחד ממושאי המחקר העיקריים של תורת טיפוסים.
תורת המידות (אתיקה) מאת הפילוסוף היהודי-הולנדי ברוך שפינוזה, הוא ספר פורץ דרך במחשבה הפילוסופית - הן מבחינת תוכנו, והן מבחינת גישתו השיטתית לנושא.
מטרתו היא הצגת אלטרנטיבה ל'גאולת הנפש' הדתית, על ידי שיטה פילוסופית מסודרת לגאולת הנפש בעזרת התבונה בלבד וללא צורך בהסתמכות על כתבי קודש או כהנים מתווכים.
שפינוזה כינה את שיטתו "גאומטרית", משום שהוא בנה את ספרו בדומה ליסודות של אוקלידס - בטיפול בכל נושא השתמש בהקדמה, הגדרות, אכסיומות, למות, טענות, הוכחות, ומסקנות.
בלשון ימינו היינו אומרים ששפינוזה בנה את תורתו באופן ריגורוזי.
בימיו התחום העיקרי שהשתמש בצורת טיעון ריגורוזית היה הגאומטריה, ולכן השתמש שפינוזה במלה זו כדי לתאר את שיטתו.
שפינוזה יצר כך מבנה לוגי-הנדסי, מערכת סגורה, כתובה בזהירות שהוא עצמו מעיד עליה "בדרכנו הגאומטרית המייגעת" (אתיקה, חלק ד', משפט 18, עיון) שאמורה להיות חסינה מפני ביקורת, וכך מוכיח באופן שיטתי את המסקנות אליהן הוא מגיע.
הספר היה מוכן כבר בשנת 1675 - כך על פי איגרת שפינוזה להיינריך אולדנבורג - אך שפינוזה דחה את הוצאתו עקב שמועות שהגיעו לאוזניו על כך שהואשם בכפירה.
בסופו של דבר יצא הספר בשנת 1677, לאחר מותו של שפינוזה, על ידי תלמידיו שהחזיקו בכתבי היד כבר קודם לכן.
לא ברור אם הספר נכתב במקורו בהולנדית או לטינית, שפת הפילוסופיה של אותו הדור, אך הוא הופץ במהדורתו הלטינית, ועל בסיסה תורגם לשפות שונות.
הספר תורגם לראשונה לעברית על ידי שלמה רובין בשנת תרמ"ה (1885).
תרגום שני יצא על ידי יעקב קלצקין בשנת תרפ"ד (1924), ותרגום שלישי על ידי פרופסור ירמיהו יובל בשנת תשס"ג (2003).
שפינוזה פורש בפני הקורא תפיסת עולם אחדותית, בה האל זהה לעולם ומבטא את עצמו דרך כל הדברים הבאים לידי קיום.
הוא מתאר את האדם כפגיע ומוגבל בתוך הטבע האינסופי, אך עם זאת כבעל יכולת לקחת חלק ולהשתתף באופן פעיל מבחינה רוחנית בעולם.
הוא מציע לאדם נחמה בכלים תודעתיים שיעזרו לו להבין ולקבל את מוגבלותו דרך חיים בהנהגת התבונה.
על מנת לפרוש את משנתו, שפינוזה נעזר במספר מונחים שגורים משדות המחשבה של הפילוסופיה והתאולוגיה.
הוא העניק למושגים אלו פרשנות חדשה ולעיתים מרחיקת לכת, דבר שאפשר לו להמשיך מסורת פילוסופית-תאולוגית שמתכתבת עם ההוגים שקדמו לו, תוך כדי שהוא טוען את המושגים במשמעויות חדשות לגמרי.
להלן ביאור של מספר מונחים עיקריים בהם שפינוזה עושה שימוש:
כששפינוזה תיאר את אלוהים, הוא לא תיאר ישות פרסונלית, חיצונית לטבע, כזו ששולטת בו ומכופפת את החוקים שפועלים בו כדי לשנות את מהלך העניינים הטבעי.
אלוהים של שפינוזה לא מתערב בשום דרך בחוקיות הקבועה של הטבע.
האל הוא אינו ישות חיצונית (טרנסצנדנטי) לעולם, או כזו שמתערבת באופן שרירותי עם המתרחש בו.
הוא העולם בעצמו (אימננטי), או בלשונו של שפינוזה: "כל מה שנמצא, נמצא באלוהים, ובלי אלוהים, שום דבר אינו יכול להימצא ולא להיות מושג".
חוקי הטבע הלא משתנים מבטאים את שלמותו של אלוהים.
אלוהים של שפינוזה הוא כל הקיים, וכל הקיים הוא אלוהים.
המציאות היא ביטוי של הרצון האינסופי, הנצחי והלא משתנה של אלוהים.
אלוהים זהה לטבע עצמו, וככזה הוא כפוף לאותה חוקיות קבועה שמבטאת את רצונו, לאותה שרשרת סיבתית שהטבע פועל בה.
זהו מושג שמגיע מהפילוסופיה האריסטוטלית ובמקורו מצביע על העצמיות, על העניין העומד במהותו של כל דבר והופך אותו למה שהוא.
העצם אצל אריסטו הוא תשתית מטאפיזית שנושאת את התכונות הפרטיות של כל דבר.
שפינוזה הרחיב את מושג העצם לקצה; אצלו העצם אינו תשתית של דברים פרטיים, אלא העצם הוא העצמיות של הקיום, או של היקום כולו, על שלל התופעות שבו.
אם אצל אריסטו לכל דבר יש עצם משלו, אצל שפינוזה יש עצם אחד בלבד, והוא מוכיח שלא יכולים להיות יותר מעצם אחד - "עצם אינסופי באופן מוחלט אינו ניתן לחלוקה."
למעשה, העצם, התשתית לקיום כולו, זהה לאלוהים עצמו - "אלוהים, או העצם בן אינסוף תארים, שכל אחד מהם מבטא מהות נצחית ואינסופית, קיים בהכרח."
בעוד שבתאולוגיה, בשירה הדתית או בכתבי הקודש תוארי אלוהים הם פשוט מילות תיאור הבאות לצייר בדמיון הקורא מושג על אלוהים או על פעולתו, הרי שאצל שפינוזה תואר אלוהים הוא מדיום בו אנחנו יכולים לתפוס אותו בעזרת שכלנו.
אלוהים, בהיותו אינסופי, הוא בעל אינסוף תארים מעצם ההיקש הלוגי; "באלוהים אני מבין יש אינסופי באופן מוחלט, כלומר, עצם בן אינסוף תארים...", אך לבני האדם יש את הכושר לתפוס רק שניים מהם: תואר ההתפשטות ותואר המחשבה.
תואר ההתפשטות הוא המהות החומרית שמתפשטת במרחב, בה אלוהים נגלה לנו.
זהו האופן הגשמי בו אנו תופסים את אלוהים, אינסופי בחלל ובזמן.
היכולת, או המאמץ שלנו להבין את החומר בעולם ואת החוקיות העומדת בבסיס ההתנהגות שלו, הם חלון להבנת המהות החומרית של אלוהים עצמו, ולא עוד איזה טבע מטריאליסטי או אקראי.
תואר המחשבה הוא המהות הרוחנית, בה מתקיימים המחשבה, הרגשות והרצון כביטוי של אלוהים כדבר חושב בעצמו.
תואר המחשבה אינו תכונה אוטונומית של האדם - אלא הוא משקף את המחשבה האלוהית אשר המחשבה האנושית היא חלק ממנה.
כל הדברים הפרטיים - עצמים, מחשבות ומקרים, הם אופנים שנובעים מאלוהים ודרכם הוא מממש את עצמו.
בהיות אלוהים אינסופי באופן מוחלט, כך גם כמות האופנים בהם הוא מתבטא היא אינסופית.
העוצמה שלו יוצאת לפועל בכל מקרה של הטבע, בכל מחשבה, בכל צירוף אפשרי של מבנה אטומי או תנועה של צביר גלקסיות שאי פעם היו או יתממשו לעתיד לבוא.
שפינוזה חלק על החלוקה הקרטיזיאנית של גוף ונפש.
בעוד שדקארט הצביע על הגוף והנפש כעל עצמים מובחנים, שפינוזה טען כנגדו כי קיים רק עצם אחד - אלוהים, וכל האופנים הקיימים הם ביטויים שלו.
הגוף והמחשבה, שניהם תארים שונים בהם ניתן לתפוש את אלוהים והם מתקיימים זה לצד זה במקביל בכל הפעלה של אדם.
המחשבה אינה מנותקת מהגוף ואינה יכולה להשפיע עליו, המקור של שניהם הוא אחד, והם מתגלים לנו כשני תארים שונים.
על שניהם פועלת אותה חוקיות, והם מונהגים במקביל, כפויים על ידי סיבותיהם הקודמות.
שפינוזה מצביע על שרשרת סיבתית אינסופית שמכוננת את המציאות, חוקיות דטרמיניסטית בלתי ניתנת לשינוי שמתבטאת בכל האופנים דרך תוארי האל - "מתוך סיבה נתונה קבועה ומסוימת נובעת בהכרח תולדה; ולהפך, אם לא נתונה סיבה קבועה ומסוימת, אי אפשר שתנבע ממנה שום תולדה".
הגדרה זו לחופש למעשה שוללת כל אפשרות של בחירה חופשית אצל האדם בהיותו חלק מהטבע ומהמכניקה הסיבתית.
סוג החופש היחיד שמתאפשר לאדם הוא אך ורק במידה בה האדם משתמש בתבונתו כדי להבין את שרשרת הסיבות של המקרים.
הדברים מתרחשים באופן עוקב לסיבותיהם, והתפיסה השכלית של האדם היא סוג של חופש, כיוון שכאשר האדם מבין באופן הולם את המחשבה האלוהית, הרי הוא קונה לעצמו חלק מהחופש האלוהי.
חלק א' - על אלהים
חלק ב' - על טבע הנפש ומקורה
חלק ג' - על מקור הרגשות וטבען
חלק ד' - על שעבוד האדם (על כוחן של הרגשות)
חלק ה' - על עוצמת השכל (על חירות האדם)
"תורת המדות", מתורגמת מרומית על ידי יעקב קלצקין, בצירוף הקדמה, הערות, מראה מקומות, תרגומי המונחים וביאוריהם ושתי תמונות.
"אתיקה", תרגום מלטינית על ידי פרופסור ירמיהו יובל, עם מבוא והערות, הוצאת הקיבוץ המאוחד יולי 2003 (הדפסה ראשונה).
תורת המודלים היא תחום במתמטיקה העוסק בחקר מודלים של תורות מתמטיות, תוך שימוש בכלים מלוגיקה מתמטית.
מושאי המחקר העיקריים בתחום זה הם מבנים בשפות פורמליות, לרוב בלוגיקה מסדר ראשון.
כיום מקובלת חלוקה של תורת המודלים לתורת המודלים הקלאסית (ובפרט classification theory), ליישומים של תורת המודלים באלגברה ולתורת המודלים הגאומטרית.
תורת המודלים התפתחה במאה ה-20 מתוך הלוגיקה המתמטית.
מוצאה ממשפט השלמות של גדל, שמאפשר לדבר על ספיקות ועל מודלים במקום על יכיחות.
זו נקודת מבט שהביאה לגילויים של משפט הקומפקטיות ומשפטי לוונהיים-סקולם, שמהווים את הבסיס לתחום כולו.
מרגע שהוכחו שני המשפטים האלו, התחום הלך וצבר תאוצה:
באמצעות משפט הקומפקטיות, ניתן היה למצוא מודלים שמקיימים תכונות מסוימות (כמו מודלים לא סטנדרטיים של האריתמטיקה, או מודלים לאנליזה לא סטנדרטית).
משפט לוונהיים סקולם מאפשר לדרוש, לתורות מסוימות, מודלים מעוצמות רצויות.
נמצאו יישומים ראשונים עבור אלגברה; למשל, הוכחתו של טרסקי לכך שתורת השדות הסגורים ממשית היא בעלת חילוץ כמתים, הביאה למציאת פתרון אלגנטי לבעיה ה-17 של הילברט.
במידה מסוימת אופיין כוח ההבעה של הלוגיקה מסדר ראשון (משפט לינדסטרום).
במקביל, תורת המודלים כבר לא הסתפקה באפיון המודלים הקיימים לתורות מסדר ראשון ובהוכחת תכונות שלהם; פותחו שיטות לסיווג מודלים על פי עושרם המתמטי, ולא רק על פי עוצמתם.
מכאן והלאה התפתחה תאוריה עשירה לאפיון מודלים של תורות שלמות בנות מניה.
ניתוח מודלים על סמך עושרם המתמטי
הכלים המודרניים המאפשרים לסווג מודלים כ'עשירים' הם טיפוסים - קבוצות עקביות של נוסחאות מסדר ראשון, המאפשרות להציג תכונה כלשהי של המשתנים בהם הן מנוסחות.
כל טיפוס מגלם בתוכו "תכונה" מסוימת, שיכולה להתקיים או לא להתקיים במודל.
מודלים שמקיימים את התכונה הם מודלים שמממשים את הטיפוס; השאר משמיטים אותו.
באופן טבעי, מודלים שמממשים כמות טיפוסים גדולה נחשבים לעשירים - המודלים האלה נקראים מודלים רוויים.
מודלים שמשמיטים טיפוסים רבים הם דלים; למשל, מודלים אטומיים, שמממשים את הכמות הקטנה ביותר של טיפוסים (מממשים אך ורק טיפוסים מבודדים).
לכל אחד מסוגי המודלים האלו קיימות תכונות רבות ומיוחדות, היוצרות תאוריה עשירה.
תאוריה זו אפשרה, בין השאר, להוכיח משפטי מבנה רבים בתורת המודלים, בהם משפט הקטגוריות של מורלי, משפט "לעולם לא 2" של ווט ומשפט Ryll Nardzewsky.
מודל M הוא רווי אם לכל קבוצת פרמטרים A שעוצמתו קטנה מעוצמת M, מתקיים אחד מהתנאים (השקולים) הבאים:
לכל n טבעי, כל n-טיפוס חלקי מעל A ממומש ב-M.
לכל n טבעי, כל n-טיפוס שלם מעל A ממומש ב-M.
כל 1-טיפוס מעל A ממומש ב-M.
במובן זה, המודל מקיים "כל תכונה הגיונית".
לפיכך, מודלים רויים נחשבים לעשירים.
בהגדרה קיים חסם עליון על עוצמת קבוצת הפרמטרים - עוצמת M.
החסם הכרחי; בלעדיו, תמיד קיים טיפוס שאינו ממומש במבנה (ה-1-טיפוס שבו המשתנה v שונה מכל איברי המבנה).
לא לכל התורות קיימים מודלים רוויים, ולעיתים הקיום מותנה בהנחות תורת-קבוצתיות; למשל, מהשערת הרצף המוכללת נובע כי בהינתן מונה אינסופי , לכל תורה שעוצמתה קטנה ממנו, קיים מודל רווי מעוצמה .
עבור תורות "טובות" מספיק לא קיים צורך בהנחות תורת קבוצתיות על מנת להוכיח קיומו של מודל רווי אינסופי.
למשל, לכל תורה w-יציבה קיים מודל רווי מעוצמה k לכל מונה אינסופי k.
כשקיימים מודלים רוויים, השימושים לכך רבים; למשל, קבוצות הן גדירות מעל קבוצת פרמטרים אם ורק אם הן מקובעות קבוצתית תחת אוטומורפיזמים המשמרים את הפרמטרים (באלגברה, למשל, כל שורש של פולינום גדיר מעל קבוצת המקדמים שלו.
לכן, בהרחבת שדות אלגברית, אוטומורפיזמים אינם אלא תמורות על השורשים).
כל מודל רווי הוא אוניברסלי - מודל המשכן בתוכו אלמנטרית כל מודל מעוצמה הקטנה מעוצמתו.
השימוש המקובל ביותר במודלים רוויים הוא ביצירת מה שמכונה "מודל מפלצת" - Monster Model - מודל רווי לתורה T מעוצמה , שהיא מונה אינסופי גדול ככל שנרצה.
בכל פעם שדנים במודלים של תורה שלמה T, ניתן להניח שהם מעוצמה הקטנה מ- ולכן הם מהווים תתי מבנים אלמנטריים שלו - קיימת תועלת רבה בהתבוננות בכל המודלים כתתי מבנים של מודל עצום ומורכב אחד.
כל שני מודלים רוויים שווי עוצמה השקולים אלמנטרית הם איזומורפיים - כלומר, לכל תורה שלמה T קיים מודל רווי יחיד לכל היותר מכל עוצמה אינסופית - תכונה זו מאפשרת להוכיח את משפט קייזלר-שלח, לפיו שני מבנים הם שקולים אלמנטרית אם ורק אם יש להם על חזקות איזומורפיות.
1. מבנה המספרים הרציונליים Q ביחס לסדר הטבעי עליהם - קל לראות שמבנה זה מממש כל טיפוס שלם מעל קבוצה סופית של פרמטרים.
2. כל שדה סגור אלגברית שאינו בן מניה הוא רווי - ניתן להתאים לכל טיפוס אידיאל בחוג הפולינומים מעל השדה; זהו חוג ראשי, ולכן כל אידיאל כזה נוצר על ידי פולינום אחד f.
אם הטיפוס הראשוני אינו מבודד, הטיפוס לא יכול להכיל את הנוסחה f(x)=0 (שכן אז הנוסחה הזו מבודדת אותו), ולכן הוא מכיל את שלילתה; כלומר טיפוסים לא מבודדים ניתנים למימוש על ידי איברים טרנסצנדנטיים, ואלה קיימים בכל שדה סגור אלגברית שאינו בן מניה (מעל כל קבוצת פרמטרים מעוצמה הקטנה מעוצמת השדה).
3. אם תורה היא k-קטגורית למונה k שאינו בן מניה, אז המודל היחיד שלה מעוצמה k הוא רווי.
מודל של תורה T הוא ראשוני אם קיים שיכון אלמנטרי שלו בכל מודל אחר של T.
זהו המודל הפשוט ביותר של התורה - "המינימום האפשרי" שנדרש על מנת לקיים אותה - ולכן לרוב מודלים ראשוניים נחשבים למודלים דלים.
מלוונהיים-סקולם נובע כי אם לתורה T קיים מודל ראשוני, אז עוצמתו היא .
בכל מודל ראשוני בן מניה, כל טיפוס ממומש הוא מבודד.
מודל שמקיים שכל טיפוס ממומש הוא מבודד נקרא מודל אטומי, וזהו זן נוסף של מודלים דלים.
מודל ראשוני שאינו אטומי אפשרי רק בשפות שאינן בנות מניה.
למעשה, בקרב תורות שלמות בנות מניה הקשר בין מודלים ראשוניים לאטומיים הוא אף עמוק יותר: מודל הוא ראשוני אם ורק אם הוא אטומי ובן מניה.
מתברר שמודלים אטומיים שווי עוצמה של תורה T שמממשים את אותם טיפוסים מעליה הם איזומורפיים; מכאן שאם לתורה קיים מודל ראשוני, אז הוא המודל הראשוני היחיד עד כדי איזומורפיזם.
משפט זה מאפשר לאפיין את התורות שיש להן בדיוק מודל בן מניה אחד עד כדי איזומורפיזם; אלה התורות ה--קטגוריות.
נמצאו (באופן בלתי תלוי, על ידי מספר חוקרים) התנאים השקולים הבאים לתורות בשפות בנות מניה, שיש להן מודלים אינסופיים:
כל טיפוס מסדר n הוא מבודד (לכל n טבעי);
לכל n טבעי, אוסף הטיפוסים מסדר n הוא סופי;
לכל מספר טבעי n, יש מספר סופי של נוסחאות עם n משתנים חופשיים, עד כדי שקילות ביחס לתורה;
כל מודל בן מניה של התורה הוא אטומי.
משפט "לעולם לא 2" של ווט:
ההצבעה על מודלים רוויים ואטומיים מאפשרת להוכיח שלא ייתכן שלתורה מסדר ראשון בשפה בת מניה יהיו שני מודלים בני מניה עד כדי איזומורפיזם (זהו משפט ווט - vaught's 'never 2' theorem).
הסיבה לכך היא שניתן להוכיח שקיומם של שני מודלים בדיוק מחייבת שאחד מהם הוא ראשוני, והשני הוא רווי.
מתוכם ניתן ליצור מודל שלישי, שהוא אינו ראשוני ואינו רווי, ולכן לא איזומורפי לאף אחד משני המודלים האלה.
נובע ממחקר מתקדם יותר בתורת המודלים, כשהמודלים אינם בלוגיקה מסדר ראשון.
הרקע למשפט הוא פיתוחן של לוגיקות אינסופיות (בהן ניתן לכמת על מספר אינסופי של איברים, ולבצע קוניונקציות ודיסיונקציות אינסופיות).
אחת מהן היא הלוגיקה , שהיא חזקה מהלוגיקה מסדר ראשון - היא עולה עליה בכך שניתן לבצע בה קוניונקציות ודיסיונקציות בנות מניה.
משפט האיזומורפיזם של סקוט אומר שלכל מבנה בן מניה יש פסוק בלוגיקה המאפיין אותו עד כדי איזומורפיזם.
שאלות רבות עולות בקשר למספר המודלים מעוצמה k, עד כדי איזומורפיזם, שיש לתורה T (לצורך הפשטות דנים בתורה שהיא בת מניה מסדר ראשון, ובעלת מודלים אינסופיים).
בפרט נחקרה שאלה זו לגבי הערכים שיכול לקבל :
קל לראות שיש למונה זה חסם עליון, והוא .
ממשפט "אף פעם לא 2" של ווט, מונה זה שונה מ-2. מצד שני, לכל מספר טבעי אחר n יש דוגמה לתורה T כך ש- =n.
השערת ווט (vaught's conjecture) היא ההשערה שאלו האפשרויות היחידות: אם אינו בן מניה, אז עוצמתו היא כעוצמת הרצף.
קל לראות שהיא נובעת בקלות מהשערת הרצף; אך ללא הנחת השערת הרצף מתקבלת בעיה קשה מאוד לפתרון.
מורלי (Morley) הגיע לפתרון חלקי לבעיה זו.
הוא הוכיח שללא השערת הרצף, אם מניחים כי גדול מ- , אז עוצמתו היא בהכרח .
הוכחת המשפט עושה שימוש כביר בלוגיקה אינסופית (אף על פי שניסוחו תקף ללוגיקה מסדר ראשון, ולכאורה לא מצריך מעבר כזה) ובתורת הקבוצות התיאורית.
אם כן, מחוזקים ממשפט מורלי, פתרון השערת ווט מצטמצם לשאלה האם קיימת תורה T עבורה שווה ל - .
להוכיח שלא תיתכן תורה כזו, או לחלופין לתת דוגמה לתורה כזו (בהנחת שלילת השערת הרצף), פירושו לפתור את השערת ווט.
בעשור הקודם מצא החוקר רובין נייט (Robin Knight) דוגמה נגדית להשערת ווט.
השערת ווט הוכחה עבור מחלקות מרכזיות של תורות, בהן תורות -יציבות, תורות o-מינימליות, תורות של גרפים ומחלקות נוספות.
לכן, עד העשור הקודם, הדעה הרווחת הייתה שהשערת ווט נכונה.
תורת הכמות של הכסף (Quantity Theory of Money) היא תאוריה מקרו-כלכלית מוניטרית שמסבירה שינויים בתוצר וברמת המחירים כפועל יוצא של שינויים בכמות הכסף במשק.
תאוריה זו מהווה חלק בלתי נפרד מלימודי המבוא למאקרו-כלכלה בזכות פשטותה.
מייצג את כמות הכסף במשק
מדובר בקבוע שמציין כמה פעמים הכסף מחליף ידיים בשנה אחת.
למשל- אם התוצר במשק הוא 100 וכמות אמצעי התשלום היא 20, הדעת נותנת שהכסף יעבור מיד ליד 5 פעמים עד שהמשק יקנה את מלוא התוצר במהלך השנה.
מייצג את התוצר הריאלי, או ליתר דיוק כמות של "סלי מצרכים" אופייניים למשק.
מייצג את רמת המחירים במשק או לחלופין - מחירו של סל מצרכים כנ"ל ( מייצג איפוא את התוצר הנומינלי - בערכים כספיים).
במקום להתייחס ל- כאל כמות סלי המצרכים הממוצעים במשק ול- כאל מחיר כל אחד, ניתן לסכום את מכפלת וקטורי הכמות והכסף של המצרכים השונים (כלומר- לכפול לגבי כל מצרך את הכמות שיוצרה במחיר המכירה ולסכום את המכפלות).
הטענה היא שגידול בכמות הכסף יגרום לשינוי ביחס ישר של התוצר (אם המשק אינו בתעסוקה מלאה) או של רמת המחירים תוך יצירת אינפלציה (אם המשק בתעסוקה מלאה).
טענה אחרת היא ששינוי בתוצר יוביל לשינוי ביחס ישר של כמות הכסף דרך שוק הכסף.
למשל- אם תהיה צמיחה והתוצר יגדל, הביקוש לכסף יגדל כי המשק יצטרך יותר כסף כדי "לקנות" את התוצר במהירות מחזור נתונה, כתוצאה מכך הביקוש לכסף יעלה בשוק הכסף, והריבית תעלה וכתוצאה מכך הצמיחה עלולה להיעצר.
כמובן שאם הצמיחה תלוּוֶה בגידול בהיצע הכסף על ידי הבנק המרכזי - הריבית לא תשתנה והצמיחה תימשך.
תורת הכנף הדקה היא ענף בתורת האווירודינמיקה.
היא פישוט לתורת הכנפיים שקושרת את זווית התקיפה לכוח העילוי עבור זרימה לא צמיגה בזורם בלתי-דחיס.
היא פותחה על ידי המתמטיקאי הגרמני-אמריקאי מיכאל מקס מונק, ולאחר מכן לוטשה על ידי האווירודינמיקאי הרמן גלאורט ואחרים ב-1920. התאוריה מניחה זרימה אידיאלית, דו-ממדית, סביב כנף דקה.
ניתן לדמות את פרופיל הכנף לפרופיל בעל עובי אפס ומוטת כנפיים אינסופית.
תורת הכנף הדקה הייתה מאוד מקובלת בעבר משום שסיפקה בסיס תאורטי יציב למאפיינים עיקריים של כנף תחת השפעת זרימה דו-ממדית:
בפרופיל כנף סימטרי, מרכז הלחץ והמרכז האווירודינמי ממוקמים בדיוק במרחק רבע מיתר אווירודינמי משפת התקיפה.
בפרופיל כנף קמורה, המרכז האווירודינמי ממוקם בדיוק רבע מיתר אווירודינמי משפת התקיפה.
השיפוע של מקדם העילוי מול זווית ההתקפה הוא בדיוק רדיאנים, כלומר .
המרכז האווירודינמי נמצא במרחק רבע מיתר אווירודינמי משפת התקיפה, בנקודה זו מתקיים *מרכז הלחץ הוא הנקודה שבה הלחץ מכל הכיוונים זהה
מרכז אווירודינמי – הנקודה שבה המומנט, שנוצר כתוצאה מהכח האווירודינמי הפועל על הכנף, לא משתנה עקב כח העילוי.
עבור פרופיל סימטרי קו זה מתלכד עם המיתר האווירודינמי.זווית התקפה - הזווית הנוצרת בין הזרימה המציפה את הכנף ובין המיתר האווירודינמי עבור פרופיל כנף סימטרי, ובין קו האפס-עילוי עבור פרופיל קמור.
זרימה בלתי דחיסה + זרימה תמידית (ρ=const)
בדומה לכל גוף הנע בזורם, ניתן להגדיר את מקדמי הגרר והעילוי של כנף מקדם העילוי מקדם הגררמקדם המומנט
l – עילוי ליחידת אורךd – גרר ליחידת אורך – המומנט הפועל בשפת התקיפה עקב כוחות העילוי ליחידת אורךc – אורך המיתר האווירודינמי
דרך נוספת להגדיר את מקדם העילוי היא לפי זווית ההתקפה.
עבור פרופיל סימטרי:עבור פרופיל קמור:
כאשר זה מקדם העילוי כאשר זווית ההתקפה היא אפס.
מידול כנף בעזרת זרימה פוטנציאלית
קו זה הוא קו העקימון , שיוצר ערבוליות לאורך הישר s.
תחת הנחת קוטה, הערבוליות בשפת הזרימה היא אפס.
מאחר שהכנף דקה, ניתן להשתמש בקואורדינטה x במקום ב-s, וניתן להניח כי כל הזוויות הן זוויות קטנות.
מחוק ביו-סבר, ערבוליות זו יוצרת שדה זרימה כאשר x היא קואורדינטת המיקום שבו נוצרת המהירות המושרת ו-ξ היא קואורדינטת המיקום של אלמנט הערבוליות היוצר את המהירות.
c הוא אורך המיתר האווירודינמי של הכנף.
מאחר שאין זרימה בכיוון הניצב למשטח הכנף, צריך לאזן את המהירות כתוצאה מהמהירות החיצונית .
– מהירות הזרימה המציפה α – זווית ההתקפה – עוצמת הערבול – קו העקימון – זווית קו העמימון
ניתן לפתור את המשוואה ולקבל ביטוי עבור אם נציב את הקשר הבאולקבל את הפתרון כטור פורייהאת המקדמים ניתן למצוא ולקבל
נדרוש נקבלמקדם הגרר על כנף יהיה מורכב מגרר מושרה, הנגרם כתוצאה מהעילוי.
ומגרר שיורי, הנוצר בגלל הצורה של הכנף.
– גרר שיוריe – קבוע המתאר את צורת הכנף
– כמה הכנף ארוכה ביחס למיתר האווירודינמי
תורת החוגים היא ענף של האלגברה המופשטת העוסק בחקר חוגים – מבנה אלגברי בעל שתי פעולות בינאריות, המכלילות דוגמאות יסודיות כמו חוג המספרים השלמים וחוג המטריצות מעל שדה.
באמצעות הכללה זו, משפטים מהאריתמטיקה מורחבים לעצמים שאינם מספרים, כגון פולינומים, מטריצות ופונקציות.
תורת החוגים עוסקת במבנה של חוגים, באידיאלים והמודולים שלהם, במחלקות מיוחדות של חוגים (כגון חוגי חבורה וחוג עם חילוק), ובשלל תכונות של חוגים, מהן המעוררות עניין במסגרת תורת החוגים עצמה, ומהם הרלוונטיות ליישומי תורת החוגים.
גאומטריה אלגברית ותורת המספרים האלגברית, המכילות דוגמאות רבות לחוגים חילופיים (קומוטטיביים), הניעו חלק נכבד מחקר החוגים החילופיים, הידוע כעת כאלגברה קומוטטיבית.
כיוון ששלושה ענפים אלה כל כך קשורים זה בזה, קשה לפעמים לשייך תוצאה מסוימת דווקא לאחד מהם.
משפט האפסים של הילברט, למשל, הוא משפט יסודי בגאומטריה אלגברית, אך הוכחתו נעשית בכלים של אלגברה קומוטטיבית.
דוגמה נוספת היא המשפט האחרון של פרמה, שמנוסח במונחים של אריתמטיקה אלמנטרית, שהיא חלק מהאלגברה הקומוטטיבית, והוכחתו כוללת תוצאות עמוקות מתורת המספרים האלגברית וגאומטריה אלגברית.
חוגים לא חילופיים הם בעלי אופי שונה.
המגמה הנוכחית בחקירתם החלה בשנות ה-80, עם פיתוחה של גאומטריה לא קומוטטיבית ועם גילוין של חבורות קוונטיות, שהובילו להבנה טובה יותר של חוגים לא חילופיים, ובפרט חוגים נתריים לא חילופיים.
שורשיה של תורת החוגים החילופיים נמצאים בתורת המספרים האלגברית, בגאומטריה אלגברית ובתורת השמורות הפולינומיות.
מקום מרכזי בהתפתחותם של ענפים אלה תפסו חוגי שלמים בשדות מספרים אלגבריים ובשדות פונקציות אלגבריות וחוגים של פולינומים בשני משתנים או יותר.
תורת החוגים הלא חילופיים החלה בניסיונות להרחיב את המספרים המרוכבים למערכות של מספרים היפר-מרוכבים.
ראשיתן של תורות אלה בתחילת המאה ה-19, והן הגיעו לבשלות רק ברבע השלישי של המאה העשרים.
ויליאם רואן המילטון הניח את היסודות לאלגברת הקווטרניונים בשנת 1843. חוקרים נוספים עסקו במאה ה-19 במבנים אלגבריים נוספים, קודם שהנושא נעטף במסגרת הכללית של מבנים אלגבריים.
מספרים היפר-מרוכבים שונים זוהו עם חוגי מטריצות בידי ג'וזף ודרברן (1908) ואמיל ארטין (1928).
הגדרה אקסיומטית ראשונה של חוג ניתנה בשנת 1914 על ידי אברהם הלוי פרנקל, בהשפעת הגישה האקסיומטית של שטייניץ לשדות, האסכולה האמריקאית של א.ה.
מור, ובעיקר עבודתו תחת קורט הנזל על שדה המספרים ה-p-אדיים.
האקסיומות של פרנקל תארו מה שמוכר היום כחוג עם יחידה, שבו כל איבר רגולרי הוא הפיך ("חוג קלאסי"), וכך שלכל שני איברים a,b יש איברים רגולריים u,v כך ש-ab=bau=vba.
שמיידלר, מאמר שעסק בתורת האידיאלים, שבו הגדירו אידיאל ימני ואידיאל שמאלי בחוג.
כעבור שנה פרסמה נתר מאמר פורץ דרך בדבר תנאי שרשרת בהקשר של אידיאלים.
מאמר זה הביא ליצירת המושג חוג נתרי, ובו נתנה נתר את ההגדרה המקובלת כיום לחוג חילופי.
חוג הוא מבנה הכולל קבוצה עם פעולות המכונות "חיבור" ו"כפל", המקיימות מספר תכונות:
שתי הפעולות קיבוציות (אסוציאטיביות; כלומר וכן )
פעולת החיבור חילופית (קומוטטיבית; כלומר )
קיים איבר יחידה ביחס לחיבור, שבדרך כלל מסומן כ-0 (כלומר )
קיים איבר נגדי לכל איבר ביחס לפעולת החיבור, שבדרך כלל מסומן בסימן מינוס (כלומר )
מתקיים חוק הפילוג (דיסטריבוטיביות; כלומר וכן )
אם ביחס פעולת הכפל יש איבר יחידה, שמסומן בדרך כלל כ-1 או כ-, החוג נקרא "חוג עם יחידה".
לדוגמה, חוג המספרים השלמים הוא חוג עם יחידה (המספר 1), אך לחוג , שכולל את כל המספרים השלמים הזוגיים עם הפעולות הרגילות, אין יחידה כפלית.
אם פעולת הכפל גם היא חילופית, החוג נקרא "חוג חילופי" (חוג קומוטטיבי).
כמו בהרבה מבנים אלגבריים, גם כאן אפשר להגדיר תתי-מבנים.
זה טבעי להגדיר תת-חוג של בתור תת-קבוצה של שסגורה תחת פעולות החיבור והכפל של החוג (ואם לחוג יש יחידה, דורשים גם שהיחידה תהיה בתת-חוג).
עם זאת, יש תת-מבנה של חוג שמתגלה כהרבה יותר שימושי, מבנה זה נקרא אידיאל.
תת-חבורה של חוג נקראת אידיאל שמאלי אם לכל ו- מתקיים ואידיאל ימני אם לכל ו- מתקיים .
אידיאל דו-צדדי הוא אידיאל שהוא גם אידיאל שמאלי וגם אידיאל ימני.
בחוגים חילופיים כל האידיאלים הם דו-צדדיים.
האידיאלים משחקים תפקיד חשוב מאוד בתורת החוגים ובאפיון המבנה של החוג.
לעיתים ישנן צורות שונות להציג את אותו החוג.
הדרך לזהות שתי הצגות של אותו החוג היא למצוא "איזומורפיזם" בין שתי ההצגות.
כלומר: העתקה בין שני חוגים תקרא הומומורפיזם אם היא מכבדת את פעולות החיבור והכפל ואת איברי היחידה.
היא תיקרא מונומורפיזם אם היא גם חד חד ערכית, ותיקרא אפימורפיזם אם היא על.
במקרה שהיא גם מונומורפיזם וגם אפימורפיזם, היא נקראת איזומורפיזם.
במילים אחרות, חוגים באותו הגודל הם איזומורפיים, אם ניתן לזהות את האיברים שלהם בהתאמה מלאה השומרת על שתי הפעולות.
שלושת משפטי האיזומורפיזם של חוגים מספקים צורה כללית לאיזומורפיזם בין חוגי מנה שונים של חוג נתון.
חוג קרוי חילופי אם פעולת הכפל המוגדרת בו היא חילופית.
חוגים חילופיים מדמים מערכות מספרים מוכרות, ומאפיינים שונים של חוג חילופי בודקים עד כמה הוא דומה למספרים השלמים.
בתורת החוגים החילופיים מספרים מוחלפים לעיתים קרובות באידיאלים, ואידיאל ראשוני מכליל את המספר הראשוני בחוג המספרים השלמים.
חוגים חילופיים הם גם בעלי חשיבות בגאומטריה אלגברית – בעזרתם ניתן לחקור מאפיינים של עצמים גאומטריים, כמו חוגי קואורדינטות וממד.
תחום שלמות, שהוא חוג חילופי עם יחידה כפלית שאין בו מחלקי אפס (כלומר: אם , אז בהכרח או ), מכליל תכונה נוספת של השלמים.
תחום ראשי (או "תחום אידיאלים ראשיים") הוא תחום שלמות שכל האידיאלים שלו הם ראשיים, כלומר מהצורה .
תחומים ראשיים מקיימים תכונה של חוג המספרים השלמים שהיא מהותית לתורת המספרים האלמנטרית: לכל זוג איברים מחלק משותף מקסימלי שאפשר להציג כצירוף שלהם.
חוג אוקלידי הוא חוג חילופי שבו אפשר לבצע חילוק עם שארית, וכך לממש את האלגוריתם של אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי.
כל חוג אוקלידי הוא תחום ראשי.
חוג בזו הוא חוג בו כל אידיאל נוצר סופית נוצר על ידי איבר אחד, כלומר ראשי.
חוג ראשי מיוחד הוא חוג בזו מקומי וארטיני.
לחוגים אלו מבנה נוח למדי – יש להם רק מספר סופי של אידיאלים, כולם חזקות של האידיאל המקסימלי היחיד.
משפט זריצקי-סמואל קובע כי כל חוג בזו ניתן לכתוב כמכפלה של תחומים ראשיים וחוגים ראשיים מיוחדים.
גאומטריה אלגברית היא ענף במתמטיקה העוסק בחקירה של עצמים גאומטריים באמצעות אלגברה מופשטת (לרוב קומוטטיבית).
גאומטריה אלגברית קלאסית עוסקת בחקר אוסף הפתרונות של מערכת משוואות פולינומיליות.
כאשר ישנו יותר ממשתנה אחד, שיקולים גאומטריים הופכים להיות חשובים לצורך הבנת התופעות השונות המתרחשות.
הגאומטריה האלגברית עוסקת לרוב בניסיון להבין את מכלול הפתרונות של משוואות פולינומיליות, ולרוב אינה עוסקת בחיפוש פתרון מסוים.
מספר משפטים מאלגברה קומוטטיבית מהווים את הבסיס בגאומטריה האלגברית הקלאסית, כמו משפט הבסיס של הילברט ומשפט האפסים של הילברט.
אלכסנדר גרותנדיק נתן הגדרות מודרניות לעצמים של הגאומטריה האלגברית.
הוא הגדיר ספקטרום של חוג חילופי כמרחב של האידיאלים הראשוניים עם טופולוגיית זריצקי, והרחיב מינוח זה בעזרת אלומה וסכמה של חוגים.
תורת המספרים האלגברית היא תת-תחום של תורת המספרים, הנעזר במונחים אלגבריים (חילופיים) כדי לחקור עצמים כמו חוגי שלמים ושלמים אלגבריים בעזרת חוגים.
מונח מרכזי בתורה זו הוא חוג דדקינד – חוג חילופי נתרי נוצר סופית, בו כל אידיאל ראשוני הוא מקסימלי (כלומר בעל ממד קרול 1).
הוא המהווה הכללה נחוצה לחוג ראשי, ובכך פותר את הבעיה של פירוק לראשוניים בחוגי שלמים כלליים – בחוג דדקינד כל אידיאל ניתן לכתוב כמכפלה סופית ויחידה של אידיאלים ראשוניים.
בחוג דדקינד לכל אידיאל שברי קיים אידיאל שברי הפכי לו.
לכן חבורת מחלקות האידיאלים היא אכן חבורה, ואף חבורה אבלית חופשית לה תפקיד מרכזי באפיון החוג.
לכל חוג דדקינד ניתן להגדיר הערכה לפי אידיאל ראשוני, כחזקה המקסימלית שבה הוא מופיע בפירוק של האידיאל.
כך ניתן להבין אובייקטים בתורת המספרים האלגברית בעזרת תורת ההערכות.
חוג לא חילופי הוא חוג בו פעולת הכפל איננה חילופית.
לחוגים לא חילופיים תורת מבנה עשירה ומסובכת יותר מזו של חוגים חילופיים.
אובייקט המרכזי בתורה זו הוא חוגי מטריצות.
חוגים לא חילופיים המקיימים תנאי שרשרת על האידיאלים השמאליים שלהם, כמו חוגים ארטיניים ונתריים, מהווים נושא חשוב למחקר.
למשל, משפט הופקינס-לויצקי קובע כי כל חוג ארטיני שמאלי הוא נתרי שמאלי.
חוגים לא חילופיים נחקרים גם על ידי המודולים שלהם, וטענות רבות קושרות בין חוג למודולים מעליו, כמו הלמה של נקאימה.
חוגי מטריצות הם הדוגמה הקלאסית לחוגים לא חילופיים.
חוג מטריצות (מסדר נתון) מעל חוג נתון, הוא אוסף כל המטריצות מאותו סדר באיברי החוג, עם פעולת החיבור (רכיב רכיב) וכפל מטריצות, המושרות מפעולות החוג המקורי.
כל חוג מטריצות מסדר גדול מ-1 איננו חילופי ובעל מחלקי אפס.
תורת המבנה של חוגי מטריצות מעל חוגים כלליים היא עשירה ומסובכת.
כל חוג שקול מוריטה לחוג מטריצות מעליו, בכל מספר משתנים, מה שמכליל את האפיון במשפט ודרברן-ארטין.
חוגים רבים מתקבלים כחוגי מטריצות מעל חוגים מיוחדים, כמו חוגים עם חילוק.
חוג עם חילוק הוא חוג בו לכל איבר שונה מאפס יש הפכי (דו צדדי) לכפל.
חוג חילופי עם חילוק הוא שדה.
לעומת זאת, במקרה הלא קומוטטיבי, התורה עשירה הרבה יותר.
המשפט הקטן של ודרברן קובע כי כל חוג סופי עם חילוק הוא שדה, ולכן עיקר העניין הוא בחוגים אינסופיים.
דוגמה לחוג כזה היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון.
משפט ודרברן-ארטין קובע כי כל חוג ארטיני פשוט הוא חוג מטריצות מעל חוג עם חילוק.
כל מודול מעל חוג עם חילוק הוא מודול חופשי.
חוג פשוט למחצה הוא חוג המהווה מודול פשוט למחצה מעל עצמו, כלומר חוג השווה לתשתית (סכום האידיאלים הפשוטים) שלו.
חוג הוא פשוט למחצה אם ורק אם כל מודול מעליו הוא פריק לחלוטין.
משפט ודרברן-ארטין קובע כי חוג הוא פשוט למחצה אם ורק אם הוא איזומורפי למכפלה של חוגי מטריצות מעל חוג עם חילוק.
חוג חבורה של חבורה סופית הוא פשוט-למחצה אם ורק אם המאפיין של שדה הבסיס זר לסדר החבורה (הכיוון הקשה הוא משפט משקה).
חוג ראשוני למחצה הוא חוג ללא אידיאלים נילפוטנטיים.
רדיקלים רבים, כמו רדיקל ג'ייקובסון, הם ראשוניים למחצה.
חוג נקרא פרימיטיבי למחצה אם רדיקל ג'ייקובסון הוא אפס.
כל תחום שלמות אפיני (מעל שדה) הוא פרימיטיבי למחצה; בתורה הלא חילופית המונח עשיר יותר.
משפט גולדי קובע כי כל חוג גולדי ראשוני למחצה משוכן כחוג שברים בחוג פשוט למחצה.
חוג קואורדינטות של יריעה אלגברית אפינית
כאשר X היא יריעה אלגברית אפינית, הקבוצה של כל הפונקציות הרגולריות על X יוצרת חוג הקרוי קוראים חוג הקואורדינטות של X.
ליריעה אלגברית פרויקטיבית מוגדר חוג אנלוגי, הקרוי חוג הקואורדינטות ההומוגני.
שמורה פולינומית ביחס לפעולה של חבורה G על מרחב וקטורי היא פולינום הנשמר תחת הפעולה לכל .
השמורות תלויות בחבורה G, ובאופן שבו היא פועלת על המשתנים (המהווה הצגה ליניארית שלה על המרחב הדואלי ל-V).
לפי משפט שהוכיח דויד הילברט, המכונה המשפט היסודי של תורת האינווריאנטים, אם היא חבורה רדוקטיבית הפועלת ליניארית על אלגברה אפינית (הליניאריות פירושה שגם ), אז אף היא אפינית – כלומר קיימים מספר סופי של אינווריאנטים היוצרים את מעל השדה.
משפט זה היה משפט חשוב מאוד שהוכיח הילברט, לאחר שרבים ניסו להוכיח אותו למקרים פרטיים.
תורת החוזים היא ענף בכלכלה העוסק בדרכים בהן על שחקנים לנהוג ובדרכים שהם בפועל נוהגים בהן כשהם חותמים על חוזים, בדרך כלל במצבים של מידע א-סימטרי.
בשל הקשר של ענף זה ליחסי סוכנות ולתמריצים, נהוג לסווג ענף זה בתוך התחום הנקרא "ניתוח כלכלי של המשפט".
אחד השימושים החשובים של תורת החוזים הוא עיצוב תוכניות אופטימליות לשכר מנהלים בהתאם לביצועיהם.
העבודה הפורמלית הראשונה בתחום זה נעשתה על ידי הכלכלן קנת' ארו בשנות ה-60. בשנת 2016 קיבלו הכלכלנים אוליבר הארט ובנגט הולמסטרום פרס נובל לכלכלה על עבודותיהם בתחום תורת החוזים.
פרקטיקה מקובלת בניתוח המיקרו כלכלי של תורת החוזים היא לייצג את העדפותיו של מקבל ההחלטה על ידי סוגים מסוימים של פונקציות תועלת מספריות, ואז להשתמש באלגוריתם של אופטימיזציה כדי למצוא את ההחלטה האופטימלית (הטובה ביותר) עבור מקבל ההחלטות.
בשיטה זו נעשה שימוש בתורת החוזים בניתוח של מספר מקרים טיפוסיים הנפוצים במציאות, כמו סיכון מוסרי, מודל האיתות ובחירה שלילית .
הרעיון של מודלים אלו הוא מציאת דרכים תאורטיות לתמרץ את הסוכנים כך שיבצעו את ההחלטות הטובות ביותר (עבור המנהל - זה שהסוכנים עובדים עבורו), אפילו תחת חוזה ביטוח.
התוצאות העיקריות של מודלים אלו הן: מציאת התכונות המתמטיות של פונקציית התועלת של הסוכן ושל המפעיל של הסוכן; ניתוחים עבור הנחות-יסוד פחות קשיחות; גרסאות שונות של המבנה העיתי של היחסים החוזיים; ועוד.
במודלים נהוג בדרך כלל להניח שניתן לראות את מקבלי ההחלטות כאילו הם ממקסמים פונקציית תועלת מטיפוס פון נוימן-מורגנשטרן.
המודלים העיקריים של בעיית הסוכן
במודלים של סיכון מוסרי, המידע הא-סימטרי הוא אי-היכולת של המנהל (זה שהסוכן עובד עבורו) לפקח אחר פעולותיו של הסוכן או לוודא אותן.
חוזים מבוססי-ביצועים בהם התגמול מבוסס על תוצאות בפועל הניתנות לאימות בקלות יכולים במקרים רבים לשמש כתמריץ טוב לסוכן לפעול בצורה הטובה ביותר עבור המנהל, אך כשהסוכנים הם שונאי-סיכון חוזים מסוג זה אינם אופטימליים, מכיוון שמנגנון התמרוץ לא מספק להם ביטוח במקרה של כישלון.
המודל הטיפוסי של סיכון מוסרי מוצג להלן:
ההחלטה האופטימלית של המנהל נתונה על ידי מציאת המקסימום הבא:
היא המשכורת של הסוכן, שהיא פונקציה של הרווחים שהשיג עבור המנהל , שהיא בעצמה פונקציה של המאמץ של הסוכן .
מייצג את עלות המאמץ (עבור כל מידת מאמץ, כמה היא עולה/שווה לסוכן במונחי כסף), והתועלת המינימלית שעבורה מוכן הסוכן לעבוד היא .
היא קעורה עבור סוכן שונא-סיכון, קמורה עבור סוכן אוהב-סיכון, וליניארית עבור סוכן אדיש לסיכון.
אם הסוכן אדיש לסיכון ואין מגבלות על התשלומים שמשולמים לסוכן, העובדה שהמנהל לא יכול לדעת את מידת המאמץ של הסוכן אינה מהווה בעיה.
בשיווי משקל גובה התשלום הקבוע יהיה שווה בדיוק לתועלת המינימלית שעבורה מוכן הסוכן לעבוד (), כך שהמנהל ישיג את התועלת המקסימלית שאותה הוא יכול להשיג.
לעומת זאת, אם הסוכן שונא-סיכון, ישנו טרייד-אוף בין התמריצים לסוכן לבין הביטוח שלו מפני סיכונים, כך שלא ניתן ליצור חוזה שיביא בהכרח לכך שהסוכן יקבל רק את התועלת המינימלית () ולא יותר מכך.
כמו כן, גם אם הסוכן הוא אדיש לסיכון, אבל הוא בעל מגבלות תשלום (למשל, אין לו מספיק כסף התחלתי בשביל לשלם למנהל מראש את התשלום הקבוע), התוצאה תהיה שהתועלת של הסוכן תהיה גבוהה מהתועלת המינימלית (), על חשבון התועלת של המנהל.
המודל של סיכון מוסרי פותח לראשונה על ידי סטיבן שאוול, סטנפורד ג' גרוסמן, אוליבר הארט וכלכלנים נוספים בשנות ה-70 ובשנות ה-80 של המאה ה-20. המודל הורחב למקרים של משחקים חוזרים ונשנים של סיכון מוסרי על ידי ויליאם פ.
רוג'רסון, והורחב למקרים של ריבוי משימות על הסוכן על ידי בגנט הולמסטרום ופול מילגרום.
המודל שבו לסוכן יש מגבלות תשלום הורחב גם הוא בשני כיוונים אלו.
למרות הקושי בבדיקה אמפירית של מודלים המבוססים בין היתר על משתנים אותם לא ניתן לגלות (כמו מידת המאמץ של הסוכן), הנחת היסוד של תורת החוזים שלפיה לאופן מתן התמריצים יש השפעה על הביצועים נבדקה ונמצאה נכונה.
במודלים של בחירה שלילית (Adverse Selection), המנהל אינו מודע לתכונה מסוימת של הסוכן בשעה שהם חותמים על החוזה ביניהם.
התכונה הזאת נקראת ה"סוג" של הסוכן.
למשל, הסיכוי של אדם לרכוש ביטוח בריאות גבוה יותר ככל שסיכוייו לחלות גבוהים יותר.
במקרה זה ה"סוג" של הסוכן (רוכש הביטוח) הוא מצבו הבריאותי, שאותו רק הוא יודע, ובפרט המנהל לא יודע אותו.
דוגמה ידועה נוספת היא חוזים ציבוריים: רשויות המדינה (המנהל) לא יודעות את העלות האמיתית שנגרמת לפירמה (הסוכן) בגין אספקת השירותים.
במקרה זה ה"סוג" של הסוכן היא רמת העלות שלו באספקת השירותים.
במודלים של בחירה שלילית המנהל מציב בפני הסוכן מספר חוזים אפשריים, והמטרה של המנהל היא שהסוכן יבחר בחוזה שמתאים ל"סוג" שלו הסוכן שייך.
תפריט-בחירה המקיים את התכונה שהסוכן יבחר את החוזה שמתאים לו, נקרא: incentive-compatible (מתאים מבחינת תמריצים).
על מנת לעשות זאת, המנהל צריך לנסח את החוזים כך שהחוזה שמתאים ל"סוג" מסוים, יגדיל את התועלת של הסוכן מספיק כדי שיהיה משתלם לו להיכנס לחוזה.
התאוריה של בחירה שלילית פותחה לראשונה על ידי רוג'ר מאירסון, אריק מסקין וכלכלנים אחרים בשנות ה-80. בשנות האלפיים התאוריה גם נבדקה הן בניסויי מעבדה והן בשטח.
התאוריה הורחבה במהלך השנים במספר כיוונים, למשל: 1) אם מניחים שלסוכן יש אפשרות בחירה אם לאסוף מידע או לא, 2) לקיחה בחשבון של מגבלות של זמן ו/או של יכולת חישוב של מקבל ההחלטה, 3) לקיחה בחשבון של העדפות חברתיות של מקבל ההחלטה, כמו אלטרואיזם, חלוקה הוגנת ועוד.
תורת החוזים עושה גם שימוש במושג "חוזים שלמים" (Complete Contracts), שהם חוזים שמתארים את התוצאות המשפטיות של החוזה בכל מצב שיכול להתרחש.
פיתוחים חדשים הידועים כ"תאוריית החוזים הלא-שלמים" (Theory of Incomplete Contracts), שפותחה על ידי אוליבר הארט ועמיתיו, חוקרים את ההשפעה של חוסר-היכולת של השותפים לחוזה לנסח חוזים שלמים, על התמריצים שלהם.
אחד השימושים החשובים של תאוריה זו הוא גישת גרוסמן-הארט-מור לזכויות על נכסים לגבי תאוריית הפירמה .
מכיוון שזה קשה עד בלתי-אפשרי לנסח חוזים שלמים, בחוק יש בדרך כלל כללי ברירת מחדל שנועדו למלא את החסר בחוזה לגבי מצבים או פרטים אליהם החוזה לא התייחס בפירוש.
תורת החבורות החישובית היא ענף של מתמטיקה חישובית העוסק באלגוריתמים לפתרון בעיות הנובעות מתורת החבורות.
בעיות רבות בחבורות נתונות על ידי יוצרים ויחסים אינן ניתנות לחישוב אלגוריתמי .
עם זאת, יש שיטות (שאינן מבטיחות עצירה) לחישוב האינדקס של תת-חבורה בחבורה נתונה: ראו אלגוריתם טוד-קוקסטר ואלגוריתם קנות'-בנדיקס.
חישובים רבים בחבורות סופיות אפשר לממש בחבורת התמורות .
החבורה נתונה בדרך כלל על ידי קבוצת יוצרים.
החישובים נעזרים בתת-חבורות המייצבים של החבורה .
למשל, את סדר החבורה אפשר לחשב על ידי הכפלת האינדקסים בשרשרת תת-החבורות .
את החישוב הנאיבי אפשר להאיץ באמצעות שימוש בבסיסים: בסיס לחבורה הוא קבוצת נקודות המקיימת (ולכן איבר מוגדר היטב על ידי הפעולה שלו על ).
בסיס חזק לקבוצת יוצרים הוא בסיס, המקיים את התנאי לכל תת-קבוצה .
אלגוריתם שרייר-סימס מקבל קבוצת יוצרים לחבורת תמורות, ומחזיר קבוצת יוצרים טובה יותר ובסיס חזק ביחס אליה.
תורת המבחנים הקלאסית (באנגלית, Classical test theory - CTT) היא תאוריה פסיכומטרית, העוסקת בניבוי תוצאות של מבחנים פסיכולוגים כגון קושי של פריטים או יכולת של נבחנים.
התאוריה מבוססת על הרעיון שציון של אדם בין אם הוא ציון נצפה או שהושג במבחן הוא סכום של ציון אמיתי (המבטא את היכולת האמיתית של הנבחן) ושגיאה (המבטא טעויות הנובעות מבעיות במדידה).
תורת המבחנים הקלאסית מציעה סט של עקרונות המסייעות להבחין עד כמה ההערכה שלנו בנוגע לציון האמיתי מדויקת, או במילים אחרות לקבוע את מהימנותם של מבחנים.
ניתן להתייחס לתורת המבחנים הקלאסית כשם נרדף לתורת הציונים האמיתית.
המושג "קלאסי" בהקשר של תורת המבחנים מתייחס לא רק להתפתחות הכרונולוגית של המודלים השונים, אלא גם כניגוד לתיאוריות הפסיכומטריות מאוחרות יותר, המכונות באופן קולקטיבי תורת התגובה לפריט.
תורת המבחנים הקלאסית כפי שאנו מכירים אותה היום פותחה על ידי נוביק (1966) ותוארה בטקסטים קלאסיים כגון זה של לורד ונוביק (1968) ואלן וין (1979/2002).
התיאור של תורת המבחנים הקלאסית להלן מתבסס על כתבים אלו.
תורת המבחנים הקלאסית מתבססת על שלושת הרעיונות הבאים והתפתחותה התאפשרה תודות להמשגה שלהם:
הכרה בקיום של שגיאות מדידה
הכרה בכך ששגיאות מדידה הן אקראיות ובלתי תלויות אחת בשנייה
הגדרת המתאם סטטיסטי ופיתוח היכולת לבנות לו אינדקס.
בשנת 1904, צ'ארלס ספרמן פיתח את הכלים הסטטיסטים לתיקון של שגיאת מדידה במתאם ולהשיג את מדד המהימנות הנדרשת לביצוע התיקון.
כלים אלו נחשבים כתחילתה של תורת המבחנים הקלאסית.
חוקרים נוספים כדוגמת ג'ורג' אודני יול, טרומן לי קלי, פריץ קודר ומריון ריצ'רדסון שפיתחו את נוסחאות קודר – ריצ'רדסון, לואי גוטמן, ולאחרונה, מלווין נוביק המשיכו את דרכו של ספירמן ומהווים האבות המייסדים של תורת המבחנים הקלאסית.
תורת המבחנים הקלאסית מניחה שלכל אדם יש "ציון אמיתי", "T", שהיה מתקבל אם לא היו טעויות במדידה.
הציון האמיתי של האדם מוגדר כציון הממוצע של אינסוף העברות בלתי תלויות של המבחן.
לא ניתן לצפות בציון האמיתי של האדם, אלא רק ב"ציון הנצפה", "X".
שגיאות מדידה במבחן, E, הן טעויות אקראיות ובלתי תלויות המשפיעות על הציון הנצפה.
כיוון שכך ניתן לקבוע כי במספר אין סופי של העברות בלתי תלויות ממוצע השגיאות יהיה אפס.
הכוונה היא שכיוון שהשגיאות הן אקראיות הן מבטלות אחת את השנייה ובעלות השפעה קטנה על הממוצע של הציון.
ניתן להגדיר את הציון הנצפה, X, כציון האמיתי בתוספת שגיאת המדידה.
או במילים ציון אמיתי+שגיאה=ציון נצפה
תורת המבחנים הקלאסית עוסקת ביחסים בין שלושת המשתנים , , ו .
ניתן להשתמש ביחסים אלה כדי לבחון את איכות המבחן והציון.
בהקשר זה, הרעיון החשוב ביותר הוא מושג המהימנות.
מכיוון שניתן להראות כי השונות של הציון הנצפה שווה לסכום השונות של הציון האמיתי ולשונות של ציון השגיאה, ניתן לפתח את המשוואה כך:
משוואה זו, המנסחת את היחס בין אות לרעש, מאפשרת הבנה אינטואטיבית של הקשר בין מהימנות המבחן לציון האמיתי ולטעות: המהימנות של המבחן גבוהה יותר ככל ששיעור שגיאות המדידה נמוך יותר ולהפך.
המהימנות שווה לשיעור השונות בציוני המבחן שהיינו יכולים להסביר לו היינו יודעים את הציון האמיתי.
השורש הריבועי של המהימנות שווה לערך המוחלט של המתאם בין הציון האמיתי לציון נצפה.
מכיוון שלא ניתן לדעת את הציון האמיתי לא ניתן להעריך מהימנות המבחן ישירות.
עם זאת, ניתן לקבל אומדני מהימנות באמצעים אחרים.
אחת הדרכים להעריך מהימנות היא באמצעות בניית "נוסח מקביל", או "נוסח חלופי".
נוסח מקביל מוגדר כנוסח המניב את אותו ציון אמיתי כמו הנוסח המקורי של המבחן ובהתאם גם את אותה שונות של הציון נצפה.
בהינתן שני מבחנים מקבלים x ו-x',
לפי הנחות אלו, ניתן להוכיח כי המתאם בין ציוני הנוסחים המקבילים שווה למהימנות.
השימוש בנוסחים מקבילים להערכת מהימנות הוא מסורבל מכיוון שקשה מאוד ליצור נוסחים מקבילים אמיתיים.
בפועל משתמשים בשיטה זאת לעיתים נדירות.
המדד המקובל על החוקרים כיום למדידת המהימנות מודדת מכונה מדד אלפה של קרונבך.
בהכללה ניתן לומר ששיטה מודדת מהימנות על ידי בדיקת עקיבות פנימית של נוסח המבחן.
בהינתן מבחן המורכב מ פריטים , .
ציון המבחן הכולל מוגדר כסכום של ציוני הפריטים הבודדים, כך שציונו של נבחן מוגדר כך:
מדד האלפא של קרונבאך מוגדר כך:
כאשר הוא סכום השונויות של כל הפריטים.
ניתן להראות כי מדד אלפה קרונבך מספק גבול תחתון למהימנות בהנחות סבירות ולפיכך מהימנות ציוני המבחן תהיה גבוהה תמיד מערכו של מדד אלפא קרונבאך.
מכיוון שהשיטה מאפשרת לחשב את מהימנויות המבחן בקלות יחסית היא פופולרית מאוד בקרב חוקרים וניתן למצוא כלים לחישוב של אלפא קרונבאך בתוכנות סטטיסטיות רבות כגון SPSS, R ו-SAS.
כאמור תורת המבחנים הקלאסיים נוצרה על מנת ליצור הגדרה הולמת למהימנות.
מהימנות אמורה להצביע על האיכות הכללית של ציוני המבחן.
ככלל ניתן לקבוע כי ככל שהמהימנות גבוהה יותר, כך המבחן טוב יותר.
תורת המבחנים הקלאסית אינה קובעת עד כמה גבוהה אמורה מהימנות להיות.
ערך גבוה מדי עבור, לדוגמה מעל 0.9, יכול להצביע על כך שמספר גדול של פריטים מודדים את אותו הדבר.
ככלל אצבע, מומלץ להסתפק באלפה בערך הגבוה מ-0.8 לכלי מחקר.
'קריטריונים' מעין אלו אינם מבוססים על טיעונים פורמליים, אלא הם תוצאה של מוסכמות ופרקטיקה מקצועית.
המידה בה ניתן למפות אותם לעקרונות פורמליים של הסקה סטטיסטית אינה חד משמעית.
מהימנות מספקת ערך יחיד המודד את איכות המבחן - מהימנות.
עם זאת, היא לא מספקת מידע אודות פריטים בודדים.
ניתוח פריטים בגישה הקלאסית מסתמך לעיתים קרובות על שני נתונים סטטיסטיים: ערך ה-P (פרופורציה) והמתאם הכולל של הפריט ( מקדם מתאם נקודה-ביסרי ).
ערך ה-P מייצג את שיעור הנבחנים המשיבים נכונה, ובדרך כלל מכונה "קושי פריט".
המתאם הכולל של הפריט מספקת ערך המבטא את "יכולת ההבחנה" של הפריט.
נתונים סטטיסטיים אלו מחושבים עבור כל פריט בחירה המרובה ומשמשים להערכת פריטים ולאבחון בעיות אפשריות, כגון מסיח מבלבל.
תורת המבחנים הקלאסית היא תאוריה משפיעה על ציוני המבחנים במדעי החברה.
בפסיכומטריקה התיאוריה מתחרה עם מודלים מורכבים יותר כגון תורת התגובה לפריט (IRT) ותורת ההכללה.
אחד החסרונות החשובים או הידועים ביותר של תורת המבחנים הקלאסית היא שלא ניתן להפריד בין מאפייני הנבחנים ומאפייני המבחן: כל אחד מהם יכול להתפרש רק בהקשר של השני.
חסרון נוסף טמון בהגדרת המהימנות העומדת בבסיס תורת המבחנים הקלאסית, הקובעת כי מהימנות היא "המתאם בין ציוני נוסחים מקבילים".
ישנו קושי רב בבנייה של נוסחים מקבילים ותהייה האם הדבר בכלל אפשרי.
מקדמי מהימנות שונים מספקים הערכות מהימנות נמוכות יותר או אומדני מהימנות עם הטיות לא ידועות.
חסרון שלישי נוגע לשגיאת מדידה סטנדרטית.
בבסיס תורת המבחנים הקלאסית, עומדת ההנחה כי שגיאת המדידה הסטנדרטית זהה לכל הנבחנים.
עם זאת, ציונים בכל מבחן הם מדדים לא מדויקים באופן שווה עבור נבחנים בעלי יכולות שונות, ולכן ההנחה של שגיאת מדידה שווה לכל הנבחנים בעייתית.
חסרון רביעי בתורת המבחנים הקלאסיים נובע מכך שהיא מכוונת למבחן בכללותו ולא לפריטים.
תורת המבחנים הקלאסית אינה יכולה לעזור לנו לנבא הצלחה של נבחן או קבוצת נבחנים על פריטים בודדים.
תורת המספרים היא ענף של המתמטיקה העוסק בתחום רחב של נושאים, ששורשיהם בחקר התכונות של המספרים הטבעיים.
בעיות רבות בתורת המספרים הן קלות לניסוח אך קשות מאוד לפתרון, וענפים נכבדים במתמטיקה מודרנית פותחו תוך ניסיון לפתור בעיות מסוג זה.
אף שרבות מהבעיות הוותיקות והקשות הללו לא מצאו עדיין את פתרונן יש בחלקן התקדמות רבה, למשל בעניין השערת גולדבך הוכיח צ'ן ג'ינגרון כבר ב-1966 שכל מספר זוגי גדול דיו הוא סכום של מספר ראשוני ומספר בעל 2 מחלקים ראשוניים בלבד לכל היותר.
גם בעניין השערת הראשוניים התאומים הוא התקדם בהוכיחו שלכל מספר שלם זוגי חיובי h, ישנם אינסוף ראשוניים p כך ש-p + h אף הוא בעל 2 מחלקים ראשוניים בלבד לכל היותר.
להשערה זו תרמו מכוון אחר גם טרנס טאו ו בהוכיחם שיש אין סוף זוגות ראשוניים שההפרש ביניהם הוא מספר זוגי קטן מ-246.
ניתן לחלק את תורת המספרים לתחומים, על-פי אופי הבעיות הנדונות ושיטות הפתרון.
בתורת המספרים האלמנטרית נחקרות תכונותיהם של המספרים השלמים ללא ניצולן של טכניקות מענפי מתמטיקה אחרים.
שאלות הקשורות להתחלקות, האלגוריתם של אוקלידס למציאת מחלק משותף מקסימלי, פירוק לגורמים ראשוניים, מספרים משוכללים וסדרות חשבוניות נמצאות בתחום זה.
משפטים מרכזיים הם המשפט הקטן של פרמה ומשפט אוילר המכליל אותו, משפט השאריות הסיני, ומשפט ההדדיות הריבועית.
נלמדות גם פונקציות אריתמטיות, כמו הפונקציה (פי) של אוילר, שהן פונקציות המוגדרות על-פי תכונות מספריות.
תורת המספרים האנליטית משתמשת בכלים של חשבון אינפיניטסימלי ופונקציות מרוכבות כדי להתמודד עם בעיות העוסקות בתכונותיהם של המספרים השלמים.
השערת רימן היא בעיה פתוחה חשובה שצמחה מתורת המספרים האנליטית, ובעיות פתוחות כמו השערת גולדבך נחקרות באמצעים דומים.
ענף חשוב אחר בתורת המספרים האנליטית הוא תורת הקירובים הדיופנטיים, העוסקת בקירובים רציונליים למספרים אי-רציונליים ומאפשרת לחקור את הפתרונות השלמים של משוואות כגון .
תורת המספרים האלגברית עוסקת בשלמים אלגבריים שהם הכללה של המספרים השלמים הרגילים: מספרים כמו או הם שלמים אלגבריים.
למספרים אלה יש, בהנחות מסוימות, תכונות דומות למספרים השלמים הרגילים, וניתן בעזרתם לתקוף ביתר-קלות בעיות בתורת המספרים.
בגאומטריה אלגברית אריתמטית חוקרים בעיות בתורת המספרים בכלים המשלבים גאומטריה ואלגברה.
האובייקטים העיקרים הנחקרים בתחום הם סכימות אריתמטיות.
בתחום זה נודעת חשיבות מיוחדת לחקר עקומים אליפטיים והנקודות השלמות והרציונליות עליהם; ההוכחה של ויילס למשפט האחרון של פרמה שייכת לתחום זה.
השם תורת המספרים הגאומטרית (או גאומטריה של מספרים) מתייחס לתחום קלאסי יותר, בעיקר התורה של מינקובסקי הדנה בגאומטריה של סריגים.
תורת המספרים החישובית עוסקת בחקר אלגוריתמים הרלוונטיים לתורת המספרים.
לאלגוריתמים לבדיקה מהירה האם מספר נתון הוא מספר ראשוני ולפירוק לגורמים חשיבות גדולה בקריפטוגרפיה, תחום שהפך את תורת המספרים מענף עיוני לענף שימושי ביותר.
תורת המספרים האדיטיבית עוסקת בשאלות ובעיות בתורת המספרים המבקשות להציג מספר כסכום של מספרים מקבוצה נתונה.
(למשל מספרים מקבוצת ה[ראשוניים] בהשערת גולדבך ומספרים מקבוצת החזקות בבעיית ווארינג)
תורת המספרים ההסתברותית מיישמת שיטות של הסתברות לתורת המספרים, בעיקר לגבי מספר הגורמים הראשוניים של מספר.
ממייסדי תורה זו היה פאול ארדש.
המספרים הטבעיים מלווים את האדם משחר התרבות.
לא ידוע מתי בדיוק נולד העניין בשאלות "מופשטות" הקשורות במספרים, שאלות שאינן קשורות ישירות בספירת עצמים.
טבלאות בבליות קדומות, מהתקופה שבין 1900 ל-1600 לפנה"ס, דנות בשלשות פיתגוראיות, דהיינו מספרים שלמים המקיימים את התנאי .
טבלה מפורסמת בשם פלימפטון 322 שנחשבה בתחילה כמכילה רישום עסקאות מסחריות, היא למעשה רשימה מסודרת ומדויקת למדי של שלשות כאלה, אם כי אין זה ודאי שלכך הבבלים כיוונו.
תורת המספרים זכתה לפריחה ביוון הקדומה, במיוחד בעבודותיהם של פיתגורס, אוקלידס ודיופנטוס.
תורמים בולטים לפיתוחו של ענף זה בעת החדשה הם פרמה, אוילר וגאוס.
תורת המשחקים היא ענף של המתמטיקה, המנתח מצבי עימות או שיתוף פעולה בין מקבלי החלטות בעלי רצונות שונים.
לדוגמה, כמו המצבים המתעוררים במשחקי לוח שונים, בהם כל אחד מהשחקנים רוצה לנצח, ובפעילות כלכלית, בה כל אחד מהעוסקים שואף להגיע לרווח מקסימלי.
מצבים כאלו מכונים משחקים, והמשתתפים בהם – שחקנים.
הכלכלה, חלק מענפי הפסיכולוגיה ותורת המשחקים האבולוציונית נשענים על מודלים מספריים מתחום תורת המשחקים.
חקירה של משחק מורכב במסגרת תורת המשחקים, מתאפשרת על ידי הפשטתו לאחד מכמה מודלים כלליים, הניתנים לניתוח מתמטי.
המטרה היא "לפתור" את המשחק, כלומר, לזהות בו את דרכי הפעולה הצפויות של השחקנים או להצביע על דרכי פעולה מומלצות לשחקנים בודדים או לקבוצות של שחקנים.
לניבוי נכון של התנהגות השחקנים עשויה להיות משמעות במציאות, אך נושא זה נתון לביקורת ומחלוקת רבה.
לדעתם של תומכי הניבוי, ניתן להסיק מהמודלים כי בחירה נבונה של כללי הצבעה, צריכה להביא בחשבון את האפשרות של הצבעה טקטית (אסטרטגית), לדוגמה: תכנון של תשתית הכבישים צריך להביא בחשבון את בחירות המסלול של הנהגים בשעות העומס.
מאמר של המתמטיקאי הגרמני ארנסט צרמלו (Zermelo) שפורסם בשנת 1913 ומאמרים של המתמטיקאי הצרפתי אמיל בורל (Borel) מהשנים 1921–1927 הם מבשריה של תורת המשחקים.
מאמרים אלו מתייחסים לדוגמאות של שחמט ופוקר, אך עיקר עניינם הוא שאלות כלליות יותר, עקרוניות, העולות ממשחקים אלו.
בשנת 1928 פרסם ג'ון פון נוימן מאמר ובו הוכחה למשפט המינמקס, העוסק במשחק סכום אפס לשני שחקנים, והוא ממשפטי היסוד של תורת המשחקים.
ראשיתה של תורת המשחקים כתחום עצמאי היא ספרם של פון נוימן ואוסקר מורגנשטרן, "תורת המשחקים וההתנהגות הכלכלית" (Theory of Games and Economic Behavior), שיצא לאור בשנת 1944.
בשנים 1950–1953 פרסם ג'ון נאש ארבעה מאמרים העוסקים במשחקים שיתופיים ולא שיתופיים.
בין השאר הוכיח במאמר מ־1951 קיומו של שיווי משקל במשחקים לא שיתופיים, הקרוי כיום על שמו, שיווי משקל נאש.
עבודתו של נאש, שנקטעה למשך שנים רבות בעטייה של מחלת הסכיזופרניה, הביאה לזכייתו בפרס נובל לכלכלה בשנת 1994. הפרס הוענק במשותף לנאש, לג'ון הרסני (Harsanyi) וריינהרד זלטן (Selten) על עבודתם החלוצית בתחום תורת המשחקים הלא שיתופית.
בעקבות עבודתו של נאש הציגו מריל פלאד (Flood) ומלווין דרשר (Dersher) מ"מכון ראנד", בשנת 1950, את הבעיה הידועה בשם דילמת האסיר.
ב-1982 פרסם ג'ון מיינרד סמית' (John Maynard Smith) את הספר "אבולוציה ותורת המשחקים" (Evolution and the Theory of Games), שקידם מאוד את השימוש בתורת המשחקים האבולוציונית בביולוגיה.
פרס נובל שני בכלכלה על עבודה מתחום תורת המשחקים הוענק בשנת 2005 במשותף לישראל אומן ותומאס שלינג (Schelling).
שיטות ומושגים מתורת המשחקים תופסים מקום של כבוד בענפי הכלכלה השונים ובמנהל עסקים ומשמשים גם במדעי חברה אחרים, כמו מדע המדינה ופסיכולוגיה, וכן במשפטים.
בשנים האחרונות גובר העניין בתורת המשחקים במדעי המחשב.
התפתחות זו קשורה לחשיבותם הגוברת של רשתות מחשבים, ובמיוחד רשת האינטרנט.
בציבור הכללי, המודעות הגדלה לתורת המשחקים מתבטאת בחדירה של מושגים הלקוחים מתחום זה, כמו משחק סכום אפס, לשפה המדוברת.
תרמו לכך כמה ספרים פופולריים שנכתבו בזמן האחרון, ובמיוחד נפלאות התבונה, ביוגרפיה של המתמטיקאי ג'ון נאש, מחלוצי תורת המשחקים, שעובדה בשנת 2001 לסרט קולנוע מצליח באותו השם.
תורת המשחקים חוקרת את המשחקים במונחים מתמטיים מוגדרים.
המשחק מכיל מספר שחקנים, סדרת פעולות (או אסטרטגיות) אפשריות לשחקנים אלו ומִפְרט של הרווחים לכל אחד מצירופי התכסיסים.
ישנן שתי דרכים להציג את המשחקים הנפוצים בספרות:
משחק בסגנון הרגיל שחקן ב' בוחר ימין שחקן ב' בוחר שמאל שחקן א' בוחר למעלה -1, -1 4, 3 שחקן א' בוחר למטה 3, 4 0, 0
המשחק הרגיל, הנורמלי (או האסטרטגי) הוא טבלה אשר מראה לשחקנים את התכסיסים ואת הרווח .
יש שני שחקנים: האחד בוחר בשורה והשני בעמודה.
לכל אחד מהשחקנים יש שתי אסטרטגיות, אשר מפורטות במספר השורות ובמספר העמודות.
הספרה הראשונה היא הרווח של שחקן השורה (בדוגמה שלנו הוא שחקן אחד), המספר השני הוא הרווח של שחקן העמודה (בדוגמה שלנו – השחקן השני).
אם שחקן א' נוקט בצעד למעלה ושחקן ב' שמאלה, התוצאה שחקן א' מקבל 4, ושחקן ב' מקבל 3.
במשחק בצורה אסטרטגית (תכסיסית) (strategic, or normal, form game) השחקנים בוחרים את פעולותיהם בעת ובעונה אחת, מבלי לדעת כיצד בחרו האחרים.
משחקים רבים בכלכלה ובפוליטיקה אינם משחקי סכום אפס, משום שתוצאות מסוימות פירושן רווח לכל המשתתפים (מצבי "win-win") ואחרות פירושן הפסד לכול.
משחקים כאלו מותירים פתח לשיתוף פעולה בין השחקנים, אך זה עשוי שלא להתממש אם הוא אינו עולה בקנה אחד עם האינטרסים האנוכיים של חלק מהשחקנים (כמו, למשל, בדילמת האסיר).
האסטרטגיה (תכסיס) של כל שחקן במשחק בצורה אסטרטגית יכולה להיות בחירה באחת מדרכי הפעולה הפתוחות בפניו (אסטרטגיה טהורה) או הגרלה, בה לכל אחת מהפעולות יש הסתברות מסוימת להיבחר (אסטרטגיה מעורבת).
האסטרטגיות של השחקנים מהוות שיווי משקל נאש אם כל אחד מהם בוחר בתשובה טובה ביותר לאסטרטגיות של השחקנים האחרים, כלומר, הוא אינו יכול להשיג תוצאה טובה יותר עבורו באופן חד־צדדי, על ידי בחירה באסטרטגיה אחרת כלשהי.
קיום שווי משקל באסטרטגיות מעורבות מובטח על ידי משפט נאש; שווי משקל באסטרטגיות טהורות לא תמיד קיים.
במשחק היונה–נץ (הנקרא גם משחק ה"שפן", Chicken) ובמלחמת המינים, למשל, קיימים שני שוויי משקל טהורים ושווי משקל מעורב אחד, בעוד שבאבן נייר ומספריים קיים רק שווי משקל מעורב, בו כל שחקן בוחר באקראי, בהסתברות שווה, אחת משלוש הפעולות.
כאשר משחק מוצג בסגנון רגיל, ההנחה הרווחת היא שכל שחקן פועל בעת ובעונה אחת או לפחות מבלי לדעת על פעולות האחר.