tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
במציאות, לרוב משתמשים בבדיקת השערות על מנת להשוות בין המצב ה"רגיל" לבין מצב מלאכותי שאותו רוצים לבדוק בניסוי.
נתונים נאספים מהמצב אותו רוצים לבדוק, והנתונים מהמצב ה"רגיל" מהווים קבוצת בקרה עבור הניסוי.
נניח שהניסוי רוצה לבדוק שיטה חדשה ללימוד כתיבה: קבוצה אחת של תלמידים תלמד בשיטה החדשה, וקבוצת הבקרה תלמד בשיטה המסורתית ללימוד כתיבה.
ניתן להשוות בין שתי הקבוצות במגוון פרמטרים: דקדוק, איות, סדר, תוכן, אוצר מילים ועוד.
אם הסיכוי לכך שנסיק שהשיטה החדשה טובה יותר על אף שבאמת אין הבדל ביניהן לגבי פרמטר מסוים הוא רק 5%, אז בהינתן למשל 5 פרמטרים שנבדקים הסיכוי שנגיע למסקנה שגויה שהשיטה החדשה טובה יותר בפרמטר אחד לפחות מגיעה כבר ל-22.6% - סיכוי לא מבוטל בכלל.
בהינתן 10 פרמטרים שנבדקים ומושווים בין הקבוצות, הסיכוי מגיע כבר ל-40.1%.
נניח שהניסוי רוצה לבדוק את היעילות של תרופה חדשה (ביחס לתרופות קיימות או ביחס להיעדר מתן תרופה), והבדיקה נעשית על ידי בדיקת שיפור באחד מתוך כמה תסמינים של המחלה.
ככל שיותר תסמינים נבדקים, כך הסיכוי שבאחד מהם לפחות תתקבל המסקנה שהתרופה טובה יותר גדל, אפילו אם התרופה כלל אינה מועילה.
נניח שהניסוי רוצה לבדוק את מידת הבטיחות של תרופה חדשה (ביחס לתרופות קיימות או ביחס להיעדר מתן תרופה), על ידי בדיקת מספר תופעות לוואי.
ככל שנבדקות יותר תופעות לוואי, כך הסיכוי שהתרופה החדשה תימצא פחות בטוחה גבוה יותר, שכן הסיכוי שהיא תימצא כגורמת לשיעור גבוה יותר של תופעות לוואי בתופעת לוואי אחת לפחות גבוה יותר.
במהלך השנים פותחו שיטות רבות שנועדו להתמודד עם הבעיה, כשלכל אחת מהן יתרונות וחסרונות.
בין השיטות הידועות ניתן למנות את:
תיקון בונפרוני - בשיטה זו מקטינים את ה- של בדיקת השערה בודדת פי מספר הבדיקות.
זאת על מנת להבטיח שהסיכוי לטעות אחת או יותר מסוג I לא יהיה גדול מ-.
שיטה זו מגדילה את הסיכוי לטעות מסוג II, ונחשבת שמרנית.
תיקון סידאק - דומה מאוד לתיקון בונפרוני, רק מעט פחות שמרני (מאפשר סיכוי מעט יותר גבוה לטעות מסוג I על מנת להקטין את הסיכוי לטעות מסוג II).
שיטת הולם-בונפרוני - דומה לשניים הקודמים, אך היא מתוחכמת יותר ומאפשרת להקטין את הסיכוי לטעות מסוג II באופן משמעותי.
שיעור התגליות השגויות - שיטה זו מקלה על החוקר בכך שהיא אינה מחייבת שהסיכוי לטעות יחידה מסוג I תהיה קטנה מ-, אלא היא מסתפקת בדרישה שהתוחלת של היחס בין מספר התגליות השגויות לבין סך מספר התגליות, תהיה קטנה מ-.
הנחה מקלה זו מאפשרת השגת עוצמה גבוהה יותר במידה משמעותית.
Closed testing procedure - בשיטה זו דוחים השערה רק אם ניתן לדחות כל חיתוך אפשרי שלה עם ההשערות האחרות שנבדקות.
ניתן להסתכל על שיטת הולם-בונפרוני כעל מקרה פרטי של שיטה זו.
מבחן דאנט - מבחן המיועד להשוואה של קבוצה של טיפולים (treatments) לאותה קבוצת בסיס.
למשל, להשוואה של כל אחת מ-5 תרופות שונות לתרופת דמה.
בעיית הדוויגר–נלסון היא בעיה פתוחה במתמטיקה השואלת מהו המספר הקטן ביותר של צבעים שבו ניתן לצבוע את כל הנקודות במישור, אם אסור לצבוע באותו צבע שתי נקודות שמרחקן זו מזו הוא 1. בלשון טכנית, השאלה היא מהו המספר הכרומטי של גרף מרחקי היחידה במישור האוקלידי.
את הבעיה הציג אדוארד נלסון ב-1950, לאחר שהוגו הדוויגר דן בבעיה דומה ב-1945. בתוך זמן קצר הוברר שמספר הצבעים מקיים .
את ריצוף חלת הדבש של המישור (במשושים משוכללים) אפשר לצבוע בשבעה צבעים, וזה מוכיח שאכן .
מאידך, מכיוון ש"הפלך של מוזר" הוא גרף מרחקי יחידה (בן 7 קודקודים) שהמספר הכרומטי שלו 4, מתקיים גם .
לפי תוצאה כללית של ניקולאס חוברט דה ברויין ופול ארדש (1951), אם המספר הכרומטי של גרף הוא לפחות k, אז יש לו תת-גרף סופי כזה.
לכן, כל חסם תחתון על יתקבל מהצגת גרף מרחקי יחידה בעל מספר כרומטי מתאים.
ב-1998 הראה פריטיקין (Pritikin) שגרף מרחקי יחידה בעל מספר כרומטי 5 הוא בן 13 קודקודים לפחות; וגרף מרחקי יחידה בעל מספר כרומטי 6 (אם יש כזה) הוא בן 6,198 קודקודים לפחות.
ב-1981 הראה פלקונר (Falconer) שאם כל קבוצות הצבע הן מדידות, אז מספר הצבעים הוא לפחות 5. ב-2018 מצא אוברי דה גריי גרף מרחקי יחידה (בן 1,581 קודקודים) שהמספר הכרומטי שלו הוא 5, ובכך שיפר את החסם ל-.
שאלה דומה אפשר לשאול עבור גרף מרחקי היחידה במרחב התלת-ממדי, שגם המספר הכרומטי שלו אינו ידוע.
הבעיה נחקרה גם עבור "גרף מרחקי ה-d" בספירה ובמישור ההיפרבולי, שם המספר הכרומטי עלול להיות תלוי ביחידת המרחק d.
בעיית הנקודה במצולע (PIP) היא מונח בגאומטריה חישובית ומבקשת לדעת האם נקודה נתונה במישור נחה בחלקו הפנימי, החיצוני, או על השפה של מצולע כלשהו.
בעיה זו היא מקרה פרטי של בעיות מסוג אפיון המיקום של נקודה (point location problems), ויש לה יישומים במגוון תחומים שעוסקים בעיבוד מידע גאומטרי, כמו למשל גרפיקה ממוחשבת, ראייה ממוחשבת, מערכות מידע גאוגרפי, אמצעי תכנון תנועה ברובוטים ותכנון בעזרת מחשב.
על אף שהבעיה נראית טריוויאלית במבט ראשון, היא נעשית סבוכה (מבחינת כוח חישוב) כאשר מתייחסים למצולעים שחותכים את עצמם ובעלי מספר עצום של צלעות.
החל מ-1974 קיימות שתי גישות אלגוריתמיות נפוצות בשימוש: מעקב קרן (Ray casting) וסיכום זוויות.
הגישה הראשונה במהותה מתבססת על משפט עקומת ז'ורדן, ואילו השנייה מתבססת על המושג של אינדקס ליפוף.
דרך פשוטה אחת לברר האם נקודה נמצאת מבפנים או מבחוץ למצולע פשוט היא לבדוק כמה פעמים קרן, שמתחילה בנקודה ומתקדמת בכיוון קבוע, חותכת את המצולע.
אם הנקודה נמצאת מחוץ למצולע אז הקרן תחתוך את שפת המצולע מספר זוגי של פעמים.
אם הנקודה בתוך המצולע אז היא תחתוך את השפה מספר אי זוגי של פעמים.
עם זאת, שיטה זאת לא עובדת אם הנקודה נמצאת בדיוק על השפה של המצולע.
כתוצאה, אחר שתי חציות עוקבות, היא תימצא באותו תחום של המישור.
אבחנה זו מבוססת מתמטית על משפט עקומת ז'ורדן, שבפשטות קובע שכל עקומה מישורית סגורה שאינה חותכת את עצמה מחלקת את המישור ל"תחום פנימי" ו"תחום חיצוני".
אם היא ממומשת על מחשב עם אריתמטיקה בעלת דיוק סופי, התוצאות עשויות להיות לא מדויקות אם הנקודה נמצאת קרוב מאוד לשפה של המצולע, זאת בשל שגיאות עיגול.
זו אינה בדרך כלל בעיה רצינית, שכן המהירות חשובה בהרבה מדיוק מושלם במרבית היישומים של גרפיקה ממוחשבת.
עם זאת, בשביל ליצור תוכנית מחשב נכונה פורמלית, יש להציג מספר קטן מאוד ε ולבדוק האם נקודה P נמצאת במרחק של עד ε מאחת מצלעות המצולע, כך שבמקרה זה האלגוריתם יעצור וידווח ש-"הנקודה P נמצאת קרוב מאוד לשפה".
רוב המימושים של האלגוריתם בודקים בצורה סדרתית חיתוכים של קרן עם כל אחת מצלעות המצולע.
בשיטה זאת יש להתמודד עם הבעיה הבאה.
אם הקרן עוברת בדיוק דרך קודקוד של המצולע, אז היא תחתוך שני מקטעים בנקודות הקצה שלהם.
למרות שאין הדבר פוגם בתהליך הספירה במידה וקודקוד זה הוא נקודת החיתוך האחרונה של הקרן עם המצולע, במידה והקרן אינה יוצאת סופית מהמצולע דרך אחד מקודקודיו יש למנות את נקודת החיתוך הזו פעמיים ולא פעם אחת כדי לא לפגוע בתוצאה.
בעיה דומה עולה כאשר יוצא במקרה שאחת מצלעות המצולע מתלכדת עם הקרן.
בעיה זו נפתרת כדלהלן: אם נקודת חיתוך כלשהי היא קודקוד של צלע המצולע הנבחנת, אז היא נספרת רק אם קודקוד הקצה השני של הצלע אינו נמצא על הקרן.
אלגוריתם אחר מבוסס על חישוב אינדקס הליפוף של המצולע ביחס לנקודה.
אם אינדקס הליפוף אינו אפס, אז הנקודה נמצאת בתוך המצולע.
דרך אחת לחשב את אינדקס הליפוף היא לסכום את זוויות הראייה שבהן צופה המוצב על הנקודה יראה את כל אחת מצלעות המצולע.
בשיטה זו יש להשתמש בפונקציות טריגונומטריות הפוכות ולכן היא צורכת כוח חישובי רב, כך שבאופן כללי אלגוריתם זה איטי יותר מאלגוריתם מעקב הקרן.
בעיית ההתנגדות המינימלית של ניוטון היא הבעיה של מציאת גוף הסיבוב אשר יחווה התנגדות מינימלית כאשר הוא נע דרך זורם הומוגני במהירות קבועה בכיוון ציר הסיבוב.
הבעיה נקראת על שם אייזק ניוטון, אשר חקר את הבעיה ב-1685 ופרסם אותה ואת פתרונה ב-1687 בספרו "פרינקיפיה".
זוהי הדוגמה הראשונה לבעיה שנפתרה בעזרת הכלים של חשבון הווריאציות, והיא הופיעה כעשור לפני בעיית הברכיסטוכרון.
ניוטון עיבד את פתרונו לצורה גאומטרית סינתטית אשר לא סיפקה שום רמז לגבי הגזירה שלו, ודייוויד גרגורי היה הראשון שהצליח לשכנע את ניוטון לכתוב אנליזה של הפתרון בעבורו.
כך הגזירה שותפה בקרב תלמידים ועמיתים על ידי גרגורי.
לפי I Bernard Cohen, במדריך שלו לפרינקיפיה של ניוטון: "המפתח לשיטת ההסקה של ניוטון נמצא בשנות ה-1880, כאשר הרוזן של פורטסמות' העניק את האוסף המשפחתי שלו של כתביו המדעיים והמתמטיים של ניוטון לאוניברסיטת קיימברידג'.
בין כתבי היד של ניוטון נמצאה טיוטה למכתב, ...
שבו ניוטון פירט את הטיעון המתמטי שלו.
מסמך זה לא הובן במלואו עד הפרסום של ספרו של D.
Whiteside (משנת 1974), אשר הפרשנות האנליטית וההיסטורית שלו אפשרה לחוקרי ניוטון לא רק להתחקות באופן מלא אחר דרכו של ניוטון לתגלית וההוכחה, אלא אף לפענח את החישוב המחודש המאוחר של ניוטון (1694) את המשטח בעלת ההתנגדות המינימלית".
אף על פי שהמודל של ניוטון להתנגדות זורם שגוי בהתאם להבנה הנוכחית, למודל שלו יש חשיבות במקרה הגבולי של זרימה היפרקולית.
ניוטון חזה שמודל ההתנגדות שלו יהיה מצליח ביותר בעבור מהירויות גבוהות מאוד, כפי שהיקשים 2-5 לטענה 33 בספרו מדגישים בבירור.
בטענה 34 של הספר השני של הפרינקיפיה, ניוטון כתב:
ניוטון מוכיח את הטענה באמצעות ההצגה של חוק הסינוס בריבוע שלו, שקובע שכאשר משטח נטוי בזווית משתנה ביחס לכיוון הזרימה המציפה, ההתנגדות הניצבת אליו (בכיוון הנורמל למשטח) שהוא יחווה D תשתנה בהתאם לכלל .
חוק זה נובע מההנחה שהחלקיקים הפוגעים מתנגשים אלסטית עם המשטח, כך שהם מוחזרים בהתאם לחוקי ההחזרה.
אינטגרציה של נוסחת ההתנגדות על פני רצועות כדוריות אפשרה לו לחשב את ההתנגדות שיחווה כדור.
מיד לאחר הטענה הזאת מופיעה הפסקה המכילה את התנאי המפורסם שמקיים עקום אשר, כאשר הוא סובב סביב צירו, יוצר את הגוף שחווה פחות התנגדות מכל גוף אחר, בין כל הגופים בעלי רוחב ואורך נתון.
בצורתה המודרנית, הבעיה של ניוטון דורשת למזער את האינטגרל הבא:
כאשר מייצגת את העקום שסובב סביב ציר ה-x ו-.
I היא הפיחות (ההפרש) בהתנגדות שיוצרים החלקיקים הפוגעים במשטח המתעקם DNG (הנוצר על ידי סיבוב העקום) לעומת ההתנגדות שייצרו חלקיקים שיפגעו בדיסקה האחורית DA .
שים לב שהראש של הגוף הוא קטום (הדיסקה BG), כשהמשולשים GBC ו-GBR אינם חלק ממנו, אלא רק משמשים את ניוטון כדי לבטא את תנאי המינימום.
האינטגרל הזה קשור בהתנגדות הכוללת שחווה הגוף באמצעות הקשר: .
הבעיה היא למצוא את העקום שיוצר את הגוף שחווה התנגדות נמוכה יותר מכל גוף אחר בעל אותו אורך קבוע L ורוחב קבוע H.
כיוון שהגוף חייב להתחדד בכיוון התנועה, H הוא רדיוס הדיסקה שמהווה את המשטח האחורי של הגוף שנוצר על ידי סיבוב העקום סביב ציר ה-x.
היחידות נבחרות כך שקבוע הפרופורציה הוא 1. שים לב גם שאם , אז האינטגרל, כשהוא מחושב בין x = 0 ל-x = L, הוא שלילי.
כאשר העקום הוא הקו האופקי, DK, אז הגוף יהיה גליל, , האינטגרל יהיה אפס ולכן פירוש הדבר שההתנגדות של הגליל היא: , מה שמסביר את הופעת האיבר הקבוע בנוסחה.
התנאי שמקיים גוף עם התנגדות מינימלית
הבנייה הסינתטית המקורית של ניוטון
ב-Scholium לטענות שלו על צורת הגוף בעל ההתנגדות המינימלית, ניוטון הציג את הבנייה הגאומטרית הבאה:
כלומר, על פי ניוטון, אם GB הוא רדיוס הראש הקטום של גוף הסיבוב בעל ההתנגדות המינימלית, אז כל נקודה N על העקום שיוצר אותו צריכה לקיים: .
באיור 3 לעיל ניוטון הציג גרף של ההתנגדות כפונקציה של רדיוס הראש הקטום, שלו נקודת מינימום כאשר h = BG (ניוטון חישב במפורש מה צריך להיות רדיוס הראש הקטום כתלות באורך ורוחב הגוף).
בעיית המגנט הנע והמוליך הוא ניסוי מחשבתי מפורסם, שמקורו במאה ה-19, הנוגע לנקודת המפגש בין תאוריית האלקטרומגנטיות הקלאסית ותורת היחסות הפרטית.
במסגרת הניסוי המחשבתי, גדלים מדידים כמו זרם חשמלי והספק החימום המתפתח בתיל מוליך הנע במהירות קבועה v ביחס למגנט, מחושבים בשתי מערכות ייחוס שונות: מערכת הייחוס שבה נמצא המגנט במנוחה ומערכת הייחוס שבה המוליך במנוחה.
הגדלים הנצפים בניסוי, למשל הזרם, חייבים להיות זהים בכל תיאור, בהתאמה עם עקרון היחסיות הבסיסי, אשר קובע ש"רק תנועה יחסית ניתנת לצפייה; אין סטנדרט אוניברסלי של מנוחה".
הבעייתיות נעוצה בחוסר העקביות בתיאור הסיבה לזרם המתפתח - תורת האלקטרומגנטיות הקלאסית סיפקה הסבר שונה עבור כל מערכת ייחוס.
במערכת הייחוס של המגנט, המטענים החשמליים החופשיים נעים במהירות התנועה v של התיל המוליך, ולכן הם יחוו כוח לורנץ המסיע אותם לאורך התיל, המשתנה בהתאם לחוזק השדה המגנטי בכל נקודה של התיל.
בהנחה שהכח המגנטי הפועל על המטענים בחלקי התיל השונים הוא אסימטרי, יתפתח זרם חשמלי בלולאת התיל, ותיווצר אנרגיה בצורת חום במעגל.
ממערכת הייחוס של המוליך, המטענים החופשיים נמצאים במנוחה ואילו המגנט הוא שנע, כך שכוח לורנץ מתאפס.
במקרה זה המטענים בלולאת התיל לא מקבלים את האנרגיה שלהם מהאמצעי המניע את המוליך, אלא מהשראה אלקטרומגנטית - לולאת התיל נמצאת בשדה מגנטי משתנה בזמן, כלומר עובר דרכה שטף מגנטי משתנה, כך שלפי חוק פראדיי נוצר כוח אלקטרו מניע לאורך הלולאה.
גם כאן השדה המגנטי לא מבצע עבודה, אלא שהזרם הנוצר בלולאת התיל יוצר שדה מגנטי בעצמו, המפעיל כוח על המגנט הנע המנוגד לכיוון תנועתו.
כלומר, מקור האנרגיה כאן הוא האמצעי המניע את המגנט, והעבודה המכנית שהוא משקיע באה לידי ביטוי בהשראה אלקטרומגנטית בלולאה המוליכה.
לפי התיאור הקלאסי של האלקטרומגנטיות (משוואות מקסוול), המטענים במוליך חווים כוח מגנטי במערכת הייחוס של המגנט וכוח חשמלי במערכת הייחוס של המוליך.
לאותה תופעה מתקבלים איפה שני תיאורים שונים בתלות במערכת הייחוס של הצופה.
מנקודת מבט מודרנית, בעיה זו אינה בגדר פרדוקס אמיתי, כשלמעשה ניתן להסתכל עליה כעל מעין הסבר לתקפותו של חוק פראדיי.
כיום, במסגרת התיאור היחסותי של השדה האלקטרומגנטי, זוהי עובדה ידועה שבמערכת ייחוס אחת עשוי להימדד בנקודה שדה חשמלי בלבד ובמערכת ייחוס שנעה ביחס אליה עשוי להימדד שדה מגנטי בלבד באותה נקודה (אלו הן "הצורות השונות" שבהן בא השדה האלקטרומגנטי לידי ביטוי).
יחד עם ניסוי פיאזו, האברציה של האור, ובאופן ישיר פחות התוצאות השליליות של מבחני סחיפת האתר כדוגמת ניסוי מייקלסון-מורלי, בעיה זו מהווה חלק מהרקע האמפירי לשכתוב של יסודות הפיזיקה בידי אלברט איינשטיין ב"שנת הפלאות" שלו (1905) - והיא השפיעה באופן ישיר על הפיתוח הקונספטואלי של תורת היחסות הפרטית.
בעיית המילה היא אחת מבעיות ההכרעה העיקריות באלגברה קומבינטורית, הראשונה משלוש בעיות דן.
הבעיה היא לקבוע, באובייקט אלגברי (חבורה, חבורה למחצה, חוג וכדומה) הנתון על ידי ייצוג סופי, האם מילה נתונה שווה לאיבר היחידה.
בעיית המילה אינה פתירה בחבורה כללית, ואפילו לא בחבורה פתירה כללית (Kharlampovich 1981).
הפתירות של בעיית המילה בחבורה הנתונה על ידי יוצרים ויחסים אינה תלויה בייצוג.
הבעיה פתירה בחבורה אם ורק אם פונקציית דן של החבורה היא רקורסיבית.
בעיית המילה פתירה בחבורות עם יחס יחיד (Magnus, 1932).
לא ידוע האם בעיית המילה פתירה בכל חבורה עם שני יחסים.
את הדוגמה הראשונה לחבורה מוצגת סופית עם בעיית מילה לא פתירה נתנו Novikov (ב-1955) ו-Boone (ב-1959), משני צידי מסך הברזל, ובאופן בלתי תלוי.
לחבורה נוצרת סופית יש בעיית מילה פתירה אם ורק אם היא מוכלת בחבורה פשוטה המוכלת בחבורה מוצגת סופית (זהו משפט Boone-Higman, 1973).
בעיית המילה אינה פתירה במונויד (Tsejtin, 1958).
בעיית ההתרה במתמטיקה היא הבעיה של מציאת אלגוריתם שבהינתן מערכת שהיא ייצוג כלשהו של קשר, למשל, בתרשים קשר, ידע לזהות מצב שבו אין בפועל "קשר", הוא המצב שנקרא "מותר" (באנגלית unknot).
ישנם מספר סוגים של אלגוריתמי התרה.
אולם רמת הסיבוכיות של אלגוריתם התרה היא שאלה פתוחה במתמטיקה מפני שלא ידוע אם ניתן לייצר אלגוריתם כזה בסיבוכיות זמן פולינומית, במילים אחרות, לא ידוע (נכון ל-2021) אם הפתרון של בעיית ההתרה שייך למחלקה P.
צעדים ראשונים לקראת קביעת סיבוכיות בוצעו להוכיח שהבעיה היא במחלקות סיבוכיות מסדר גבוה, אשר מכילות את P.
באמצעות משטחים רגילים לתאר את משטחי זייפרט של קשר נתון, הראו האס, לגריאס ופיפנגר (Hass, Lagarias & Pippenger) בשנת 1999 כי בעיית ההתרה שייכת למחלקת הסיבוכיות NP.
בשנת 2005 טענו הרה טאני וימאמוטו (Hara, Tani & Yamamoto) כי בעיית ההתרה שייכת ל-AM ∩ co-AM, אולם מאוחר יותר הם חזרו בהם מטענה זו.
בשנת 2011, גרג קופרברג הוכיח כי (בהנחת נכונות של השערת רימן הכללית) בעיית ההתרה היא ב-co-NP, ובשנת 2016, מארק לקנבי סיפק הוכחה ללא תנאי לחברות ב-co-NP.
לבעיית ההתרה יש את אותה סיבוכיות חישובית כמו בדיקה אם הטמעה של גרף לא מכוון במרחב האוקלידי הוא חסר קישורים.
אחד מהקשרים של אוצ'יאיי הכולל 139 קודקודים, למשל, במקור "הותר" על ידי תוכנת מחשב תוך 108 שעות, אך הזמן הזה צומצם במחקרים עדכניים יותר ל-10 דקות.
במתמטיקה, ובפרט במדעי המחשב, בעיית הווקטור הקרוב ביותר היא בעיה NP-שלמה אשר משמשת בהצפנה וברדוקציה של בעיות.
שימוש מהותי של בעיה זו הוא בפרוטוקול ההצפנה GGH.
בעיה זו היא בעיית הסריג המפורסמת ביותר.
בהינתן קבוצה של וקטורים בלתי תלויים מעל :
סריג (Lattice) הנפרש על ידי הוא קבוצת כל הצירופים הליניאריים האפשריים של הווקטורים עם מקדמים שלמים, כלומר:, לעיתים נקרא לסריג זה הסריג שנוצר על ידי B
נגדיר בנוסף את הדטרמיננטה של הסריג להיות כאשר det היא הדטרמיננטה של קבוצת הווקטורים B.
עבור סריג נגדיר את הסריג הדואלי, שנסמנו , בתור האוסף הבא: .
טענה מרכזית היא להוכיח שאכן הסריג הדואלי הוא המרחב הדואלי של הסריג המקורי.
בעיית הווקטור הקרוב ביותר: יהי ומספר חיובי .
בעיית הווקטור המינימלי היא למצוא וקטור כך ש
בתורת ההסתברות, בעיית המומנטים עוסקת בתנאים בהם התפלגות נקבעת ביחידות על ידי המומנטים שלה.
כלומר תחת אילו תנאים לסדרת מומנטים קיימת התפלגות אחת שמתאימה לה.
לבעיית המומנטים מספר ניסוחים ומספר שימושים, ביניהם בתורת ההסתברות, אנליזה פונקציונלית וסטטיסטיקה.
בניסוח הקלאסי, בעיית המומנטים שואלת, בהינתן סדרה , האם קיימת מידה חיובית על הישר הממשי, , כך ש־.
הבעיה למעשה עוסקת בקיום ויחידות של המידה אבל במונחים של תורת ההסתברות.
בעיית המומנטים שקולה לשאלה האם התפלגות נקבעת על פי המומנטים שלה.
ניסוח זה הנקרא גם בעיית המומנטים של המבורגר .
לבעיית המומנטים ניסוחים נוספים הנבדלים בתומך של :
עבור סדרת מומנטים , התנאים ההבאים שקולים:
קיימת מידה כך ש .
לכל , המטריצה המוגדרת על ידי היא מטריצה חיובית.
לכל ולכל מתקיים וגם .
לכל , המטריצות המוגדרות על ידי הן מטריצות חיוביות.
הסדרה, זו סדרת מומנטים ב אם לכל מתקיים .
המשפטים ההבאים מהווים תנאים ליחידות המידה המקיימת את בעיית המומנטים הקלאסית:
תהיי מידת הסתברות, כך שלכל , המומנט סופי.
אם לטור חזקות יש רדיוס התכנסות חיובי עבור חיובי כלשהו אזי מידת ההסתברות היחיד בעל המומנטים .
תהי סדרת מומנטים כך שמתקיים אז קיימת לכל היותר פונקציית צפיפות אחת, , כך ש .
היחידות של המידה בבעיית המומנטים בנוסח האוסדורף נובע ממשפט הקירוב של ויירשטראס.
המונח בעיית המומנטום הופיע לראשונה בשנים 1894–1895, במאמרו של המתמטיקאי תומאס יוהאן סטילטיס.
המאמר עסק בשברים משולבים ובין היתר, סטילטיס הציג ופתר בו את בעיית המומנטים בניסוח דומה לבעיית מומנטים סטילטיס אך התעסק רק בקיומו של המידה ולא ביחידותו.
במאמר, סטילטס טבע את השם 'מומנטים' מעולם המכניקה ממנו שאב השראה לפתרון בעיות אנליטיות שונות.
ב-1920, המתמטקאי הגרמני הנס המבורגר , הרחיב את הבעיה לציר הממשי והציג תנאים מספקים והכרחים לקיום מידת מתאימה.
בשונה לסטילטיס, המבורגר גם הציג תנאים מספקים והכרחים ליחידות הפתרון.
המבורגר היה הראשון שהתייחב לבעיית המומנטים כתורה בפני עצמה וכיום, הניסוח שלו לבעיה ידוע בתור הניסוח הקלאסי.
בסמיכות לעבודותו של המבורגר, גם המתמטיקאים רולף נבנלינה, מרסל ריס, טורסטן קלרמן ופליקס האוסדורף פיתחו את בעיית המומנטים.
בעיית האמפתיה הכפולה היא תיאוריה פסיכולוגית וסוציולוגית שנטבעה לראשונה בשנת 2012 על ידי דמיאן מילטון, סוציולוג שחוקר אוטיזם.
התיאוריה טוענת שיחסים חברתיים בין אוטיסטים לנוירוטיפיקלים היא מוגבלת יותר בשל חוסר בהבנה חברתית הדדית.
בשל עובדה זו, אוטיסטים חווים קושי רב בהבנה ובפיתוח אמפתיה כלפי נוירוטיפיקלים, ונוירוטיפיקלים ירגישו את אותו הדבר כלפי אוטיסטים.
הקושי בהבנה הדדית נובע מהבדלים בתקשורת, בתפיסה החברתית קוגניטיבית ובתפיסת החוויות השונה של שני הצדדים.
מחקרים מהשנים האחרונות הראו שרוב האוטיסטים מסוגלים ליצור קשרים חברתיים, לתקשר ביעילות, להזדהות בקלות, ולהראות הדדיות חברתית עם אוטיסטים אחרים.
תיאוריה זו מאתגרת את הקונצנזוס הקיים, שבמסגרתה אוטיזם היא נכות נוירולוגית אשר פוגעת ביכולות התקשורת והרגש.
תיאוריה זאת גם סותרת את תאוריית עיוורון הנפש ("Mind-blindness") שהציע הפסיכולוג הבריטי-יהודי סיימון ברון-כהן בסוף שנות ה-90, אשר טוענת שהתאוריה של התודעה לקויה בקרב אוטיסטים.
בעיית האמפתיה הכפולה קיבלה תמיכה ניכרת במחקרים מהשנים האחרונות ויש לה פוטנציאל לשנות באופן קיצוני את דרכי הטיפול באוטיסטים (בהיבטים של התערבות פסיכולוגית ופסיכו-חינוך).
מחקרים של ברון-כהן משנת 2018 ו-2022, מאששים את תאוריית בעיית האמפתיה הכפולה.
בעיית הידיים המלוכלכות היא שאלה מוסרית-פוליטית הנוגעת למצבים שבהם מנהיגים עומדים בפני דילמה אם לבצע מעשים לא-מוסריים, או אף פסולים מבחינה מוסרית, כדי להשיג תכלית מוסרית גבוהה יותר – למשל הצלת חיי קהילה פוליטית, מניעת אסון חברתי, או שימור סדר חברתי בסיסי.
השאלה המרכזית היא האם, ובאילו תנאים, למנהיג מותר או אף חובה "ללכלך את ידיו" לשם השגת מטרה הכרחית.
הדיון הפילוסופי על ידיים מלוכלכות
הדיון המודרני בבעיית הידיים המלוכלכות התעצם בעקבות כתביהם של הפילוסוף וההוגה הפוליטי האמריקאי מייקל וולצר ושל הוגים נוספים.
מקור הביטוי הוא במחזהו של ז'אן-פול סארטר "ידיים מלוכלכות" משנת 1948, שבו אומר אחד הגיבורים, הודרר, כי ידיו "מלוכלכות עד המרפקים", ושואל: "האם אתה חושב שאפשר לשלוט באופן תמים?".
וולצר טען כי במצבי "חירום עליון", שבהם קיומה של קהילה פוליטית נתון בסכנה ממשית ומיידית, מנהיגיה עשויים להיות מחויבים לבצע מעשים חמורים מבחינה מוסרית, ואף לפגוע בחפים מפשע, כדי להציל את הציבור.
הוא דן בכך בהקשר של מבצעי ההפצצה הבריטיים על ערים גרמניות בשנים 1942–1940. לדבריו:"ככל שניצחון גרמני נראה באותן שנים ודאי יותר בהיעדר מתקפת מפציצים, כך גדלה הצדקת המהלך.
זה אינו רק מפני שניצחון כזה היה מפחיד, אלא גם משום שהוא נראה קרוב; ולא רק משום שהוא היה קרוב, אלא משום שהיה מפחיד כל כך.
זהו מצב חירום עליון שבו עשויים להידרש לפגיעה בזכויות חפים מפשע ולשבירת מוסכמות המלחמה...
השאלה נעשית: האם עליי להמר על פשע קונקרטי זה (הרג חפים מפשע) כדי למנוע את הרשע הבלתי-מדיד (ניצחון הנאצים)?"הפילוסוף הבריטי ברנרד ויליאמס עסק בבעיה בהקשרים פחות קיצוניים.
לשיטתו, החיים הפוליטיים מלאים מצבים שבהם "דבר בלתי־נעים מבחינה מוסרית נדרש באופן ברור".
מנהיג שימנע תמיד מכל מעשה מפוקפק מוסרית, עלול להימנע בפועל ממימוש אותן מטרות מוסריות שלשמן קיימת הפוליטיקה מלכתחילה.
מרטין הוליס על ידיים מלוכלכות
הפילוסוף הבריטי מרטין הוליס עסק גם הוא בבעיית הידיים המלוכלכות, והציג דוגמאות היסטוריות להמחשתה.
אחת מהן היא טבח גלנקו.
הוליס טען כי הפקודה לבצע רצח "תחת אמון" הייתה מעשה שאסור היה לתת ואסור היה לציית לו.עם זאת, הוא מצביע על הערך התועלתני של יצירת "דוגמה מדממת" כאזהרה לראשי שבטים אחרים.
לשיטתו, אין מדובר בשאלה האם "המטרה מקדשת את האמצעים", שכן ייתכן שאסטרטגיות אחרות לאיחוד המדינה היו מובילות אף הן לתוצאות חמורות.
זהו מצב של ידיים מלוכלכות: המנהיגים האמינו שעליהם לבחור בדרך מוסרית מפוקפקת כדי לקדם תועלת ציבורית רחבה יותר.
הוליס הדגיש כי הפוליטיקה היא אמנות הפשרה, וכי לעיתים "הטוב ביותר הוא אויבו של הטוב".
דוגמה נוספת שמביא הוליס היא החלטתו של וינסטון צ'רצ'יל במלחמת העולם השנייה לא להזהיר את תושבי קובנטרי מפני מתקפה אווירית גרמנית צפויה.
על פניו, הימנעות מאזהרה נראית פסולה, אולם לפי הטענה שיוחסה לצ'רצ'יל, אזהרה הייתה עשויה לחשוף בפני הגרמנים שהבריטים פענחו את צופן האניגמה – גילוי שהיה גורם נזק ארוך טווח גדול אף יותר.[ מחקרים היסטוריים מאוחרים יותר הטילו ספק בכך שלצ'רצ'יל אכן הייתה ידיעה מוקדמת על המתקפה.
במתמטיקה, בעיית הזווית המקסימלית של רגיומונטנוס היא בעיית אופטימיזציה מפורסמת שהוצגה על ידי המתמטיקאי הגרמני יוהנס מילר (הידוע גם בשם רג'ומונטנוס) במאה ה-15. הבעיה היא כדלקמן:
בהינתן הגבהים של החלק העליון והתחתון של הציור מעל גובה עיני הצופה, כמה רחוק מהקיר צריך הצופה לעמוד על מנת למקסם את הזווית הנוצרת על ידי הציור, ואיזה קודקוד נמצא בעין הצופה?
אם הצופה עומד קרוב מדי לקיר או רחוק מדי ממנו, הזווית קטנה; איפשהו בין לבין היא גדולה ככל הניתן.
אותה גישה חלה על מציאת המקום האופטימלי לבעיטת כדור ברוגבי.
לצורך העניין, אין צורך שהתמונה תיתלה במאונך לקו גובה העיניים של הצופה.
ישנו עיגול ייחודי העובר דרך החלק העליון והתחתון של הציור ומשיק לקו גובה העיניים.
לפי גאומטריה אלמנטרית, אם מיקום הצופה היה נע לאורך המעגל, הזווית הנוצרת על ידי הציור הייתה נשארת קבועה (זווית היקפית).
כל המיקומים על קו גובה העיניים, למעט נקודת ההשקה, נמצאים מחוץ למעגל, ולכן הזווית הנוצרת על ידי הציור מנקודות אלה קטנה יותר.
ניתן לבנות את נקודת ההשקה על ידי השלבים הבאים:
שקף את הנקודה התחתונה של הציור על פני קו גובה העיניים.
שרטט קטע בין נקודה משוקפת זו לנקודה העליונה של הציור.
שרטט את המעגל שקוטרו הוא קטע זה.
נקודת המשיק היא אחת משתי הנקודות שבהן המעגל חוצה את הקו בגובה העיניים (זו שנמצאת מול התמונה).
ניתן להראות כי אלגוריתם זה מאפשר שרטוט נכון של נקודת ההשקה באמצעות חזקה של נקודה כדי להראות שהמרחק מהקיר לנקודת ההשקה הוא הממוצע הגאומטרי של גבהי החלק העליון והתחתון של הציור.
באופן שקול, לריבוע שאורך צלעותיו הוא הממוצע הגאומטרי של גבהי החלק העליון והתחתון של הציור שטח זהה למלבן שאורך צלעו הארוכה הוא כגובה החלק העליון של הציור ואורך צלעו הקצרה הוא כגובה החלק התחתון של הציור.
לפיכך, שרטוט מעגל העובר דרך הנקודה העליונה של הציור ודרך הנקודה התחתונה המשוקפת של הציור, כאשר שתי נקודות אלו אנטיפודיות, ומשיק לקו גובה העיניים, מתאפשר לפי טענה 14 בספר השני של "יסודות" של אוקלידס, המתארת כיצד לבנות ריבוע עם שטח זהה לשטח של צורה מלבנית נתונה.
כיום, בעיה זו ידועה באופן נרחב משום שהיא מופיעה כתרגיל בספרי לימוד רבים בקורסי חשבון אינפיניטסימלי 1.
a = גובה תחתית הציור מעל קו גובה העיניים;
b = גובה החלק העליון של הציור מעל קו גובה העיניים;
x = מרחק הצופה מהקיר;
α = זווית הגובה של תחתית הציור, במבט מנקודת הצופה;
β = זווית הגובה של ראש הציור, במבט מנקודת הצופה.
הזווית שאנו מבקשים למקסם היא β − α .
המשיק של הזווית גדל ככל שהזווית גדלה; לכן די למקסם
ומכיוון ש b-a הוא קבוע חיובי, מספיק רק למקסם את הגורם השני במכפלה לעיל.
ועל כן הזווית גדלה ככל ש-x נע בין 0 ל ab√ וקטנה ככל ש-x גדל מ ab√.
לפיכך הזווית מקסימלית כאשר x = ab√, כלומר הממוצע הגאומטרי של a ו-b.
הראנו כי מספיק למקסם את הביטוי
זה שווה ערך למזעור הביטוי ההופכי:
ערכו של ביטוי זה מינימלי כאשר x = √ ab .
בעיית מונטי הול או בעיית "עשינו עסק" היא בעיה בתורת ההסתברות שפתרונה אינו אינטואיטיבי.
הבעיה מכונה גם "הפרדוקס של מונטי הול".
הבעיה קרויה על שם שעשועון הטלוויזיה האמריקאי המצליח "Let's Make a Deal " בהנחיית מונטי הול.
בסוף התוכנית מציגים בפני השחקן שלוש דלתות.
מאחורי אחת מהן מצוי פרס יקר ערך – מכונית – ומאחורי שתי הדלתות האחרות – עזים.
השחקן מעדיף את המכונית, אבל הוא אינו יודע איזו דלת מסתירה אותה, ונאלץ לבחור באקראי.
אם יבחר בדלת הנכונה, יזכה בפרס; אחרת, לא יקבל דבר.
הגרסה הפשוטה של הבעיה מנוסחת כך:לאחר שהשחקן הצביע על אחת הדלתות, נניח דלת מס' 1, המנחה, היודע מהי הדלת הנכונה, פותח אחת משתי הדלתות האחרות, נניח דלת מס' 3, ומגלה מאחוריה עז.
כעת מאפשרים לשחקן להחליט האם לדבוק בבחירה המקורית שלו, או לשנות את ההחלטה ולהעדיף במקומה את הדלת האחרונה שנותרה סגורה - דלת מס' 2.בניתוח פשטני של הסיטואציה, אפשר לטעון נותרו שתי דלתות סגורות, שאחת מהן מסתירה את הפרס, ולשחקן אין מושג באיזו דלת מדובר.
עבור כל אחת מהן הסיכוי שהפרס מאחוריה הוא 1/2, ולכן השחקן יכול לבחור באחת מהן לפי תחושת הבטן שלו, וההסתברות לקבל פרס תהיה זהה.
מצד שני, אפשר לטעון שהעובדה שהמנחה הציע לשחקן להחליף את הדלת שבחר מגדילה את הסיכוי שמאחוריה נמצאת המכונית, כי המנחה לא רוצה שהשחקן יזכה במכונית, ולכן על השחקן לדבוק בבחירתו.
מצד שלישי, אפשר לטעון שהמנחה דווקא רודף סנסציות וכיוון שהוא ראה שהשחקן בחר בדלת שמאחוריה עז הוא מציע לו להחליף אותה בדלת שמאחוריה מכונית, ולכן לשחקן עדיף לקבל את ההצעה.
התשובה תלויה בהיכרותו של השחקן עם המנחה והערכתו לגבי רצונותיו.
אם אין לו דרך להכריע בזה, הוא חוזר למסקנה שאין זה משנה מה הוא יבחר.
בניסוח זה של הבעיה, היא הופכת להיות סוגיה בפסיכולוגיה של מנחי טלוויזיה, ולא בהסתברות, ועל כן נתגלו אי-הסכמות בין מי שניסו לחשב מהי הבחירה שכדאי לשחקן לעשות.
נתבונן בניסוח מדוקדק יותר של הבעיה:לאחר שהשחקן הצביע על אחת הדלתות, המנחה, היודע מהי הדלת הנכונה, מחויב על-פי כללי המשחק לפתוח אחת משתי הדלתות האחרות ולגלות מאחוריה עז.
כעת, השחקן צריך להחליט האם להישאר עם אותה דלת, או להחליף אותה באחרת.בניסוח הזה של הבעיה, אי אפשר לתלות את ההסתברות בפסיכולוגיה של המנחה, כי המנחה היה חייב לפתוח את אחת הדלתות ולגלות מאחוריה עז.
במבט ראשון אפשר לחזור לטעון שהפתיחה של אחת הדלתות לא שינתה עבור השחקן מאומה, ועדיין נותרו לו שתי דלתות שאין לו דרך להכריע ביניהן, והסיכוי שהפרס נמצא מאחורי כל אחת מהן זהה.
אולם מתברר שהעובדה שהמנחה היה חייב לפתוח את אחת הדלתות שהשחקן לא בחר, היא מידע חשוב שמאפשר לשחקן לחשב במדויק את סיכויו שהפרס נמצא מאחורי כל אחת מהדלתות.
הסיכוי שהפרס נמצא מאחורי הדלת שבחר נשאר 1/3 כמקודם, והמידע החדש לא משפיע עליה כיוון שהמנחה לא היה יכול לפתוח אותה לפי חוקי המשחק.
אולם הסיכוי שהפרס נמצא מאחורי הדלת הנותרת הוא 2/3, כיוון שהמנחה היה יכול לפתוח אותה ולא פתח אותה.
תוצאה זו נראית אבסורדית, שכן על עצם הקיום של דלת מסתירת-עז שהשחקן לא בחר בה, הו ידע ממילא, וקשה להבין אינטואיטיבית כיצד פתיחה של דלת זו משפיעה על הסיכויים שמאחורי השנייה נמצאת מכונית.
ברור שאם לאחר שהדלת נפתחה, יזדמן לאולפן אורח שלא יודע איזו דלת השחקן בחר, הוא לא יוכל להכריע בין הדלתות הסגורות ומבחינתו הסיכויים לכל אחת מהן שווים.
גרסה מוקדמת של הבעיה הופיעה לראשונה עוד בשנת 1889, בספרו של ז'וזף ברטראן Calcul des probabilités.
השם "הבעיה של מונטי הול" ניתן לבעיה זו על ידי סטיב סלווין , לאחר שהציג אותה במאמר שפורסם בפברואר 1975 בכתב העת American Statistician , אף שבשעשועון המקורי אין בחירה חוזרת - לאחר שהשחקן בחר באחת משלוש הדלתות, מסתיים הסיפור.
הבעיה הוצגה עוד קודם לכן, בשנת 1959, על ידי מרטין גרדנר, בטורו בירחון Scientific American.
אצל גארדנר היא קרויה "בעיית שלושת האסירים" וניסוחה:
שלושה אסירים, א', ב' וג' נידונו למוות.
המושל בחר באופן אקראי אחד מהם והחליט להעניק לו חנינה, ואת בחירתו גילה רק לסוהר.
הסוהר מסרב לגלות לא' מה יהיה גורלו, אך מוכן לגלות לו מי מבין שני האסירים האחרים יצא להורג בתנאים הבאים:
אם ב' זכה בחנינה יאמר הסוהר את שמו של ג', אם ג' זכה בחנינה יאמר הסוהר את שמו של ב', אם א' זכה בחנינה יבחר הסוהר באקראי בין ב' לג'.
הסוהר אומר שב' יוצא להורג כך שהזוכה בחנינה הוא א' או ג'.
מה ההסתברות שהזוכה בחנינה הוא א'?
קל לראות ששתי הבעיות שקולות זו לזו, למרות שבמבט ראשון נראה שהסיכוי של א' וג' שווה זה לזה, הסיכוי של א' לזכות בחנינה נותר 1/3 וסיכויו של ג' עלה ל2/3.
נקודת המפתח בגרסה השנייה של הבעיה, היא מחויבות המנחה לפתיחת דלת שמאחוריה מסתתרת עז, מה שמשאיר במשחק שתי דלתות.
אם השחקן צודק בניחוש הראשון ובוחר במכונית (הסיכוי לכך הוא 1/3), החלפת הדלת תגרום לו להפסיד.
ואם טעה ובחר בעז, המנחה פותח את הדלת השגויה האחרת, ומשאיר סגורה את הדלת הנכונה; במקרה כזה ההחלפה תבטיח לשחקן את הפרס, וזה קורה בסיכוי של 2/3.
נאמר שהאורח מצביע על אחת הדלתות.
מבחינתו, הסיכוי שזוהי הדלת הנכונה הוא חצי.
השחקן יודע שהסיכוי הוא שליש או שני שלישים (תלוי כמובן באיזו דלת מדובר).
באותה עת, מבחינת המנחה הכל-יודע, הסיכוי הוא אפס או אחת.
מנקודת המבט של השחקן, אם מאחורי הדלת שהוא בחר יש מכונית, שינוי הבחירה תמיד יגרום לו לקבל עז, ואם מאחורי הדלת שהוא בחר ישנה עז, שינוי הבחירה תמיד יגרום לו לקבל מכונית.
כיוון שבתחילה היו 2 עיזים ומכונית אחת, ההסתברות שהוא בחר עז גדולה פי שתיים מההסתברות שהוא בחר מכונית, ולכן שינוי הבחירה יכפיל את הסיכוי שלו לקבל במכונית.
במבט ראשון פתרון הבעיה נראה מנוגד לאינטואיציה, אבל ניתן גם להציג את הבעיה באופנים אחרים, שהופכים את הפתרון לקל יותר להבנה:
אם אחרי בחירת הדלת היה המנחה מציע (תמיד) לנטוש אותה ולבחור במקומה בשתי הדלתות האחרות, כך שאם מסתתרת מכונית מעברו השני של אחת מהן - נזכה בה, היה ברור שכדאי לקבל את ההצעה.
אבל בכך שהוא פותח רק אחת משתי הדלתות האחרות, וחושף את העז, המנחה מציע לשחקן בדיוק את ההצעה הזו: לקבל את שתי הדלתות שלא בחרנו, שידוע כי באחת מהן נמצאת עז.
כאן קל יותר להשתכנע שהסיכויים לזכות בפרס אחרי החלפה הם 2/3.
דרך אחרת להסביר את הפתרון היא בניתוח אסטרטגי.
האסטרטגיה "הצמד למה שבחרת בהתחלה" מבטיחה לשחקן הסתברות זכייה של 1/3, משום שזו הייתה ההסתברות מרגע הבחירה הראשון.
האסטרטגיה "החלף בכל מקרה" היא האסטרטגיה המשלימה (המנחה השאיר רק שתי דלתות), ולכן ההסתברות להצליח בעזרתה היא 2/3.
נניח שמתקיים אותו משחק עם אלף דלתות, כאשר בצידה השני של אחת מהן מסתתר פרס, ומאחורי 999 הדלתות הנוספות נמצאות עזים.
בתחילה נבחר דלת, והמנחה יפתח עוד 998 דלתות נוספות, שבצידן השני עזים.
במצב כזה, השחקן צריך לשאול את עצמו "מה הסיכויים שההחלפה תגרום לי להפסד"?
זה יקרה רק כאשר הוא בחר את הדלת הנכונה כבר בהתחלה, אירוע שהסיכוי לו הוא 0.1%.
לעומת זאת, אם יחליף את הבחירה, יש סיכוי של 99.9% לקבל מכונית, כיוון שזו הדלת היחידה שהמנחה לא פתח למרות שהיה יכול לפתוח אותה.
מאורע X: המכונית מאחורי וילון 1.
מאורע Y: המכונית מאחורי וילון 2.
מאורע Z: המכונית מאחורי וילון 3.
מאורע B: המנחה פותח את וילון 2 שמאחוריו עז.
נבחין כי בתחילת השעשועון כאשר המשתתף יבחר את הווילון באופן שרירותי (נניח כי הבחירה שלו היא X) ההסתברות לבחירה שווה ולכן - P(X)=P(Y)=P(Z)=1/3
כעת נחשב את ההסתברות לזכייה במכונית כאשר המשתתף החליף וילון, וכאשר הוא לא החליף וילון.
מקרה ראשון - המשתתף לא החליף וילון - P(X|B):
נחשב את ההסתברות שהמכונית תהייה מאחורי הווילון הראשון בהינתן שהיא לא מאחורי הווילון השני.
הסיכוי לזכייה במכונית נשמר והוא 1/3.
מקרה שני - המשתתף החליף וילון - P(Z|B):
נחשב את ההסתברות שהמכונית תהייה מאחורי הווילון השלישי בהינתן שהיא לא מאחורי הווילון השני.
הסיכוי לזכייה במכונית הוא 2/3.
נבחין כי הסיכויים לזכות במכונית לאחר החלפת הווילון אכן גדולים יותר מהסיכויים לזכות במכונית ללא החלפת הווילון הנבחר בתחילת השעשועון.
הקוד הבא בפייתון מבצע סימולציה של המשחק, והרצה שלו נותנת קירוב של הפתרון:
בספר "המקרה המוזר של הכלב בשעת לילה", מובאת החידה וההד האקדמי שהיא עוררה כהוכחה לכך שמתמטיקה היא דבר שאיננו ברור ואינטואיטיבי.
בספר גם מופיע חישוב הסתברותי פשוט (באמצעות הסתברות מותנית) שממחיש את פתרון החידה בצורה מתמטית.
בסרט "21", המספר את סיפורו של גאון מתמטי אשר מנצל את כישוריו בתחום המספרים על-מנת לזכות בהימורים בלאס וגאס, מארגן קבוצת המהמרים הוא מרצה באוניברסיטה, והוא מציג לתלמידו את בעיית מונטי הול כמבחן ליכולת החשיבה ההסתברותית שלו.
בסרט מוצגת הגרסה הפתירה של הבעיה (המופיעה כאן שנייה).
לאחר שהתלמיד מסביר מדוע כדאי להחליף את הבחירה ולהגדיל את הסיכוי ל-2/3, הוא עובר את המבחן בהצלחה ומגויס לצוות ההימורים שהרכיב המרצה.
ברומן "דברי מתיקה" מאת איאן מקיואן מציגה גיבורת הרומן, סרינה פרום, בעלת תואר ראשון במתמטיקה, את בעיית מונטי הול לאהובהּ, הסופר טום היילי.
הוא מחבר סיפור קצר שבמרכזו בעיית מונטי הול כבסיס להחלטה בחיים האמיתיים, אך בגרסתו יש טעות בהצגת הבעיה, הנובעת מחוסר בקיאותו בתורת ההסתברות.
סרינה מזהה את הטעות ומציעה גרסה מתוקנת לסיפור.
טום מקבל את הצעתה, ומתקן את סיפורו.
בסדרה "סמוך על סול", עונה 2 פרק 4, הוזכרה הבעיה.
בעיית יוספוס היא חידה בקומבינטוריקה שלה גרסאות אחדות.
החידה קרויה על שמו של יוספוס פלביוס (יוסף בן מתתיהו), שעל-פי המסופר בגרסת פסאודו-הגסיפוס, עיבוד לטיני לספרו "תולדות מלחמת היהודים עם הרומאים", בזכות פתרון חידה זו, הוא היה אחד משני הניצולים היחידים מבין 41 לוחמים יהודים שנלכדו במערה על ידי הרומאים.
חבריו בחרו להתאבד ולא ליפול בשבי, ולכן הסתדרו במעגל, כך שכל לוחם שני במעגל יתאבד, עד למות כולם.
יוספוס לא התלהב מהרעיון שנגזר עליו למות, ולכן חישב היכן במעגל עליו לעמוד כך שיהיה האחרון ברשימה (19).
בימי הביניים עלתה גרסה אחרת של החידה, שמופיעה בספר החידות של קלוד באשה, והוצגה קודם לכן על ידי ניקולו טרטליה: בספינה נמצאים 15 "טובים" ו-15 "רעים", ועקב סופה יש להשליך 15 נוסעים לים.
יש לסדר את 30 הנוסעים במעגל, כך שאם שולפים כל אדם תשיעי מהמעגל ומשליכים אותו לים, יינצלו חייהם של כל הנוסעים ה"טובים".
על-פי האגדה פתר רבי אברהם אבן עזרא חידה זו, ובכך הציל את חייו וחיי תלמידיו.
גרסה נוספת: לאיכר עשיר היו 30 ילדים, 15 מתוכם מאשתו הראשונה, שנפטרה, ו-15 מאשתו השנייה.
האישה השנייה רצתה שבנה הבכור יירש את הנחלה, ולכן פנתה לבעלה בהצעה לסדר את 30 הילדים במעגל, להתחיל בספירה מאחד מהם, ולהוציא מהמעגל כל ילד תשיעי, עד שיישאר רק ילד אחד, והוא יהיה היורש.
זמן מה לאחר התחלת התהליך האיכר שם לב שכל 14 הילדים שהוצאו עד לאותו שלב הם ילדיה של אשתו הראשונה.
הוא שם לב שהבא בתור לצאת הוא הילד האחרון מאשתו הראשונה, ולכן עצר את התהליך והציע שיהפכו את כיוון הספירה, החל מאותו ילד.
האישה, שנדרשה להחלטה מהירה, העריכה שההסתברות לבחירת יורש שהוא פרי בטנה הוא 15 ל-16, ולכן קיבלה את ההצעה.
הנוסח הכללי של בעיה זו הוא: n אנשים עומדים במעגל, ונתון מספר טבעי m, כך ש: .
מתחילים עם אדם כלשהו במעגל, ומוציאים מהמעגל כל אדם m.
תהליך זה נמשך עד שנותר אדם אחד בלבד.
סדר ההוצאות של האנשים נותן את תמורת יוספוס (Josephus permutation), ויש לחשב תמורה זו.
דוגמה: במעגל שבעה אנשים, ומוציאים כל אדם שלישי.
הבעיה התגלגלה גם לפתחם של העוסקים במדעי המחשב, כדוגמה לאלגוריתם, לפתרון הנאיבי יש סיבוכיות זמן ריצה ליניארית, אך ישנם אלגוריתמים הפותרים זאת בזמני ריצה נמוכים יותר.
בעיית הפליטים הפלסטינים היא שאלת מעמדם וגורלם של ערביי ארץ ישראל, אשר יצאו מתחומי המנדט הבריטי ומדינת ישראל במהלך מלחמת העצמאות (המכונה על ידיהם בשם "הנכבה"), אלו שהפכו פליטים ממקום מושבם בגדה המערבית במהלך מלחמת ששת הימים וכן צאצאיהם, שמדינת ישראל מנעה את שיבתם לבתיהם בתום המלחמה.
רבים מן הפליטים וצאצאיהם חיים במחנות הפליטים, בערים ובכפרים ברצועת עזה, ביהודה ושומרון, בירושלים המזרחית, בירדן, בלבנון ובסוריה וכן במדינות אחרות בעולם.
מדינות ערב סירבו לסייע ביישוב הפליטים בשטחיהן, מחשש שצעד כזה יתפרש כהשלמה עם קיום מדינת ישראל ויחליש את המאבק בה.
זאת פרט לירדן, המדינה שקלטה את מספר הפליטים הגדול ביותר, והעניקה להם אזרחות, כחלק מסיפוח הגדה המערבית לממלכה.
להבדיל משאר פליטי העולם המטופלים על ידי נציבות האו"ם לפליטים (UNHCR), בעלי סטטוס של פליטים פלסטינים מטופלים על ידי אונר"א – סוכנות הסעד והתעסוקה של האו"ם לפליטים פלסטינים (UNRWA).
בערך זה המונח "פליט" מתייחס לפליט לפי הגדרת אונר"א.
הגדרת הפליטים של אונר"א אף אינה מחריגה ממצבת הפליטים את אלה מהם שקיבלו אזרחות במקום מושבם החדש או את אלה שביצעו פשעים שונים או אף פעלו נגד מטרות האו"ם (תנאים שיכולים לפסול זכאות של פליטים רגילים).
המנדט שניתן לאונר"א, בניגוד למנדט הנציבות, אינו כולל טיפול בהשבת הפלסטינים למקום ממנו יצאו.
בניגוד לאמונה רווחת, צאצאי פליטים בכל העולם, גם המוגנים על ידי נציבות האו"ם וגם אלו המטופלים על ידי אונר"א, ממשיכים להחזיק במעמד פליט כל עוד לא הוסדר מעמדם.
כך, למשל, קיים כבר דור שלישי לפליטות האפגאנית בפקיסטן.
אוכלוסייה נוספת הקשורה במונח הם אלה מערביי ישראל שעזבו את ביתם הקבוע כתוצאה מהמלחמה אך עדיין נותרו בתחומי מדינת ישראל.
סמל מוכר של המאבק על זכויות הפליטים הוא המפתח הפלסטיני המייצג את זכויותיהם על הבתים והקרקעות אשר נעזבו.
מיד לאחר החלטת החלוקה של ארץ ישראל באו"ם ב-29 בנובמבר 1947, למדינה ערבית ומדינה יהודית, החלו התקפות של ערביי ארץ ישראל על מטרות יהודיות.
בין מועד החלטת החלוקה למועד פלישת צבאות ערב לאחר ההכרזה על הקמת מדינת ישראל, ב-14 במאי 1948, הייתה המלחמה בין יהודים וערבים בארץ ישראל מלחמת אזרחים.
היא התנהלה בין "כנופיות" ערביות מקומיות ולצדן צבא ההצלה של הליגה הערבית, שחדרו לתחומי ארץ ישראל המנדטורית בהעלמת עין של שלטונות המנדט, לבין כוח המגן העברי.
יציאתם של ערביי ארץ ישראל מאזורי הארץ שהוחזקו בידי היהודים והפכו בתום המלחמה לחלק ממדינת ישראל, נמשכה 20 חודשים, מדצמבר 1947 עד יולי 1949. גלי היציאה היו מקבילים לשלבי המלחמה, החל מפרוץ מעשי האיבה בעקבות החלטת החלוקה.
את המניעים לבריחה בשלבים המוקדמים תיאר בכור-שלום שטרית בתזכיר שהגיש לדוד בן-גוריון, על סמך מגעיו עם תושבים ערבים שנותרו בארץ.
לדברי ההיסטוריון בני מוריס, אין שום עדות לכך שהיישוב היהודי ציפה ליציאה המונית של הערבים מחלקי ארץ ישראל שנועדו למדינה היהודית או מחלקים אחרים של הארץ.
כבר בספטמבר 1947 קבעה הוועדה המדינית של הליגה הערבית, כי צפויה נהירה של "נשים, זקנים וטף" מארץ ישראל למדינות ערב, והצהירה שתדאג לקליטתם.
הוועד הערבי העליון ככל הנראה התנגד לגישה זו וטען כי אין להעניק אשרות כניסה לפליטים פלסטינים.
בגל הראשון של היציאה, מדצמבר 1947 ועד מרץ 1948, יצאו כ-50–60 אלף ערבים, רובם מהמעמד הגבוה והבינוני בחיפה, ירושלים ויפו, מיעוטם בדואים וכפריים במישור החוף המרכזי, וחלקם עובדים זרים שחזרו לארצות מוצאם.
תופעת היציאה החלה כבר מספר ימים לאחר פרוץ מעשי האיבה בארץ בעקבות החלטת החלוקה.
היא בלטה במיוחד בשכונות שבמוקדי החיכוך בערים המעורבות, וגברה ככל שהורע המצב הצבאי של הערבים באותם המקומות.
בזמן שפרצה המלחמה הבלתי-רשמית, רוב חברי "הוועד הערבי העליון" (ההנהגה הפלסטינית) לא ישבו בארץ ורבים מבני משפחות האליטה העירונית היו הראשונים לנטוש את מקומות מגוריהם.
יש להניח כי הללו התכוונו ליציאה זמנית עד שתושג רגיעה, אולם הייתה לכך השפעה מוראלית וכלכלית הרסנית על הנשארים.
כבר בתחילת המלחמה, בדצמבר 1947 ובינואר 1948, החלו לצאת מארץ ישראל, קמעה קמעה, משפחות ערביות אמידות.
העיתון הערבי היפואי "א-שעב" ("העם") גינה את התופעה ב-30 בינואר 1948: "הקבוצה הראשונה של הגיס החמישי שלנו כוללת אותם אנשים הנוטשים את בתיהם ומסחריהם והולכים לגור במקום אחר...
לנוכח סימן ראשון של תלאה הם נושאים רגליהם כדי להימלט מלשאת בעול המאבק".
גם מן האזורים הכפריים החלה מנוסה, ובתקופה זו הייתה הבריחה הגדולה ביותר הייתה באזור השרון, בין תל אביב לחדרה, משום שבאזור זה היה רוב יהודי והוא עמד להיות מרכז המדינה היהודית העתידה לקום.
ב-25 בדצמבר 1947 פונה הכפר אל-מסעודיה (סומייל), כנראה מחשש להתקפה יהודית.
תושביו נמלטו תחילה אל הכפר הסמוך ג'מאסין אל-ע'רבי, אולם ב-7 בינואר 1948 גם הוא ננטש, אם כי באופן חלקי.
ב-30 במרץ, האשים השבועון "אל-צריח" את תושבי הכפר שייח' מוניס וכפרים אחרים בסביבת תל אביב, ש"המיטו חרפה על כולנו" על ידי "נטישת כפריהם".
לדברי בני מוריס, פחדם ומנוסתם של תושבי סומייל השפיעה ככל הנראה על מארחיהם בג'מאסין לברוח גם כן.
לדבריו, "דגם זה, שבו נגרמת מנוסת תושבי הכפר המארח בעקבות הבורחים מכפר אחר שמצאו בו מקלט זמני, עתיד היה לחזור על עצמו בחודשים הבאים בכל חלקי הארץ.
בשבועות הראשונים של המלחמה, נמלטו מזרחה כמה שבטים בדואים מתוך שטחים במישור החוף שהיו בשליטה יהודית.
רובם פינו את מאהליהם מתוך פחד מפני התקפה יהודית.
הערבים הכפריים בשרון שנטשו את המקומות בהם ישבו בין דצמבר 1947 למרץ 1948 נהגו כך בעיקר בעקבות התקפות של ההגנה או של האצ"ל, או מתוך פחד מפני התקפות כאלה.
לדעת מוריס, בואם של היוצאים בגל הראשון אל מדינות ערב לא הטיל מעמסה כבדה על המדינות המארחות ונראה שיציאתם לא הטרידה את מנהיגיהן, והן גם לא עשו דבר כדי למנוע את כניסת הפליטים לגבולותיהן.
בדצמבר 1947 החלו ממשלות סוריה ולבנון לחשוש מפני היווצרותה של בעיית פליטים לאורך גבולותיהן.
ב-21 בדצמבר מסר העיתון הסורי אל-איאם כי הן ביקשו מן הוועד הערבי העליון להשפיע על הפלסטינים לאורך גבול הצפון, שיישארו במקומותיהם וישיבו מלחמה בשעת הצורך, ולא יימלטו לסוריה וללבנון.
בסוף ינואר 1948 החלה הבעיה להטריד גם את הוועד הערבי העליון.
מקורות בריטיים דיווחו כי אמין אל-חוסייני ציווה על הפליטים לחזור לבתיהם, ואם יסרבו, ייתפסו בתיהם על ידי ערבים מחוץ לארץ ישראל, שנשלחו לסייע בהגנת האזורים הערביים.
לדעת מוריס, נראה כי אל-חוסייני היה מודאג במיוחד לנוכח בריחתם של גברים בגיל צבא.
הוועד הערבי העליון ניסה לבלום את זרם היוצאים מהארץ.
בין היתר, עשה הוועד, כמו גם הוועדות הלאומיות ו"צבא ההצלה", מאמצים שכללו הטלת מס על היוצאים וכן איומים להחרים את רכושם.
בכינוס מועצת הליגה הערבית שנערך בפברואר 1948 בקהיר, הועלה הצורך להגיש סיוע לפליטים והוחלט להטיל במדינות ערב מס אזרחי שהכנסותיו יוקדשו לסיוע הומניטרי לפלסטינים.
ב-8 במרץ 1948 כתב אמין אל-חוסייני איגרת אל ממשלות סוריה, מצרים ולבנון, בה ציין את הנטייה "של רבים מערביי פלסטין לעזוב את עריהם ולהתיישב בארצות ערביות שכנות".
הוא הצהיר בה כי הוועד הערבי העליון החליט שאיש לא יורשה לעזוב את הארץ בלי הסכמתו, וכי "הערבים הפלסטינים המרובים שעזבו את ארצם מאז תחילת הקרבות", יחויבו לחזור "למען האינטרס הלאומי".
בתזכירים רשמיים שהגיש באותו יום הוועד הערבי העליון למדינות ערב, הוא ביקש שלא להעניק אשרות כניסה לפלסטינים אלא במקרים מיוחדים ולאחר אישורה של "הוועדה הלאומית המקומית".
אולם הממשלות הערביות לא שיתפו פעולה בעניין זה.
עד מאי 1948 הן לא הערימו מכשולים על כניסת פליטים פלסטינים לתחומיהן.
עם זאת, השפעתם של אל-חוסייני והוועד הערבי העליון על האירועים ביישובים הפלסטיניים הייתה רופפת, וגינוי של אל-חוסייני לא היה מבטיח שהוועדות הלאומיות או קבוצות הלא-סדירים יפעלו כראוי כדי לבלום את הבריחה, שכן הייתה להן מערכת עדיפויות שלא הייתה זהה בהכרח לזו של הגופים הכלל-לאומיים.
כך למשל, בחלקים מסוימים של הארץ נרתעו הוועדות הלאומיות מלבלום את היציאה, כיוון שרבים מן היוצאים היו מבני משפחותיהם או ידידיהם של חברי הוועדות.
אולם בדרך כלל פעלו ההנהגות המקומיות ומפקדי המיליציות כדי לצמצם את ממדי המנוסה.
מוריס מציע סיבה נוספת לכישלון בתקופה זאת לצמצם את ממדי היציאה, והיא היחס הסלחני ליציאתם של נשים, זקנים וילדים, מצד מדינות ערב, אל-חוסייני וחלק מן הוועדות הלאומיות.
אל-חוסייני הצהיר מספר פעמים כי הוא מתיר ואף מעודד את פינויים מאזורים שעלולים להתפתח בהם קרבות, כדי להקטין את היקף האבדות בקרב האוכלוסייה האזרחית, וב-8 במרס הפיץ הוועד הערבי העליון חוזר בו יעץ לוועדות הלאומיות לפנות נשים, ילדים וזקנים מאזורי קרבות פוטנציאליים.
מוריס מציע שייתכן ואל-חוסייני סבר כי המוטיבציה של הגברים להילחם תגבר כשידעו שבני משפחותיהם נמצאים במקום בטוח, אלא שנראה כי בריחת בני המשפחות החלישה את נכונות הגברים להישאר ולהילחם.
מוריס טוען כי יציאת הערבים מיישוביהם הייתה בעיקר תוצאה של התקפות מצד הכוחות היהודיים, ובגלל הפחד מפני התקפות אפשריות כאלה בעתיד.
לדבריו, הפלסטינים חשו שבני עמם חלשים ושכוחם של היהודים רב, ואמונם בכוח הצבאי הערבי התערער.
רוב היוצאים ציפו שמדינות ערב יתערבו במלחמה ויביסו את היהודים, ולאחר מכן יוכלו היוצאים לחזור לבתיהם.
אולם מוריס טוען גם כי רק שיעור מבוטל של פליטים יצאו בתקופה זו את הארץ משום שהכוחות היהודיים הורו או "יעצו" להם לעשות כך.
כמו כן, הוא טוען כי רק מעט פליטים יצאו מיישוביהם בתקופה זו בהוראת מנהיגים ערבים, צבאיים או מדיניים.
באביב 1948 החלו יישובים חקלאיים יהודיים לקצור יבול באדמות ערביות נטושות.
הגל השני: אפריל עד יוני 1948
הגל השני של היציאה התרחש בחודשים אפריל–יוני 1948, כתוצאה ישירה ממתקפת "ההגנה" על פי "תוכנית ד'", שעוצבה במרץ 1948 ונועדה להבטיח את שטחי המדינה היהודית לקראת הכרזת העצמאות שלה והפלישה הערבית הצפויה בעקבותיה.
בהתאם לתוכנית, כבשה ההגנה כפרים בפרוזדור ירושלים, סביב קיבוץ משמר העמק ולאורך כביש החוף, ותושביהם ברחו.
רוב היוצאים היו תושבי הערים הגדולות שנכבשו על ידי הכוחות היהודים לפני פלישת הצבאות הערביים: טבריה, חיפה, צפת, בית שאן ויפו.
חלק קטן מהם יצאו מכפרים באצבע הגליל, הגליל המערבי ומבואות ירושלים.
חלק מהיוצאים בגל הזה עזבו לערים וכפרים בתוך ארץ ישראל.
בני מוריס טוען כי תוכנית ד' "נועדה להשגת יעדים צבאיים, ולא הייתה בגדר תוכנית פוליטית לגירושם של ערביי ארץ ישראל", וכי הערבים "נמלטו מישוביהם לרוב לפני או בעיצומם של הקרבות".
עד אפריל 1948, עדיין נותרו בשטח שקבע האו"ם למדינה היהודית כמחצית מהאוכלוסייה הערבית.
אולם לאחר כיבוש הכפר דיר יאסין ליד ירושלים וההרג הרב שהתרחש בו ב-9 באפריל, החל שלב חדש ביציאה ההמונית.
הכפרים מלאו שמועות על מעשי זוועה של היהודים וחלק גדול מהאוכלוסייה הערבית נתקף בהלה.
במאמר שפורסם בדיילי מייל הלונדוני ב-12 באוגוסט 1948, כתב מפקד הלגיון הערבי, ג'ון גלאב: "האזרחים הערבים נתקפו בהלה ונסו מנוסה מבישה.
לעיתים קרובות נעזבו כפרים עוד בטרם יאיים עליהם מהלך המלחמה".
התקפות ה"הגנה" באפריל והיציאה ההמונית של ערבים בעקבותיהן, הפתיעו את מדינות ערב ואת הוועד הערבי העליון.
ערב המלחמה הייתה בחיפה אוכלוסייה של כ-70,000 ערבים.
לאחר תום הקרב על חיפה בכניעת ההנהגה הערבית ל"הגנה" ב-22 באפריל, הודיעה המשלחת הערבית בבית העירייה כי הקהילה הערבית תתפנה מן העיר.
הבריטים סיפקו משוריינים לליווי שיירות היוצאים וספינות שהוציאו אותם מהעיר, ועד 1 במאי 1948 עזבה כמעט כל האוכלוסייה הערבית.
בתחילת מאי נותרו בעיר בין 3,000 ל-4,000 ערבים בלבד.
ב-5 במאי דיווח הכתב של הטיימס הלונדוני בירושלים כי "הרחובות הערביים שוממים להפליא, וכפי הנראה בעליל הייתה, בעקבות הדוגמה העלובה של המעמד המבוסס יותר, יציאה המונית גם מירושלים, אם גם לא באותו היקף כמו ביפו ובחיפה".
המנוסה מחיפה, יפו וירושלים ערערה מאוד את המורל בקרב הערבים, בד בבד עם התמוטטות הדרגתית של החוק והסדר ביישוביהם, בגלל כניסתם של המתנדבים הזרים החמושים, שלקחו לידיהם את השליטה בכפרים שישבו בהם, ובגלל הציפייה להתפרקות הקרובה של השלטון הבריטי.
בחודש אפריל התגבר תהליך ההתפרקות: שוטרי משטרת המנדט נטשו עם כלי נשקם, ופקידים רבים נמנעו מלהגיע למקומות עבודתם.
המתנדבים הזרים שדדו רכוש, הציקו לנשים, והטילו את אימתם על תושבי הערים, ומאחר שלא הצטיינו כלוחמים, לא הצליחו לטעת בלב המקומיים אמון ביכולתם אפילו רק לבלום את כוחות ה"הגנה".
בערים היה לעיתים מחסור במזון, הייתה עליית מחירים גדולה ואבטלה גבוהה.
בחודש אפריל המשיכו הכוחות הלא-סדירים והוועדות הלאומיות לעודד את עזיבתם של זקנים, נשים וילדים מאזורי קרבות בפועל או בכוח, ככל הנראה על פי דרישת הוועד הערבי העליון.
כך למשל, באפריל צטטה הוועדה הלאומית בירושלים חוזר של הוועד הערבי העליון מ-8 במרץ, להוציא את הנשים, הילדים והזקנים "למקומות מרוחקים מהסכנות", תוך אזהרה כי הפרת ההוראה הזאת תיחשב ל"מכשול במלחמת הג'יהאד ובדרכם של הלוחמים ותפריע לפעולתם בשכונות".
הוראות דומות ניתנו גם במקומות אחרים בארץ.
צבא השחרור הערבי ציווה על תושבי פרדיס להוציא מן הכפר את הנשים והילדים "ולהיות מוכנים לעזבו לגמרי", וגם יחידות הלגיון הערבי הוציאו הוראות לפינוי נשים וילדים, בנימוק שהדבר יסייע בהגנה מפני התקפה יהודית.
בחודשים אפריל־מאי פונו יותר מ-20 כפרים ערביים על פי הוראות מטעם מפקדים ערבים מקומיים, ממשלות ערביות או הוועד הערבי העליון.
עם זאת, לדברי בני מוריס, לא נמצאה שום עדות מתקופה זו שיכולה להצביע על כך שהיציאה ההמונית של ערבים בחודשים אפריל־מאי נעשתה על־פי הוראתם או בעידודם הישיר של מנהיגי ארצות ערב או של אמין אל-חוסייני.
לדעת בני מוריס, בסוף אפריל כבר הבינו חברי הוועד הערבי העליון ואמין אל-חוסייני בראשם, כי הקרב בין ערביי ארץ ישראל ובין היישוב היהודי היה אבוד, וכי מעתה תלויה המלחמה בהתערבותן של מדינות ערב.
מוריס טוען כי אל-חוסייני הבין כי מנהיגיהן אינם ששים להיכנס למלחמה למען הפלסטינים, וסבר כי רק טרגדיה ערבית גדולה תביא את המנהיגים הללו לעמוד בהבטחתם ולהתערב, מכיוון שיגבר הלחץ עליהם מצד דעת הקהל במדינותיהם ומצד מדינות ערב האחרות, בין היתר גם להציל את ה"כבוד" הערבי.
אולם יציאת הערבים מארץ ישראל באפריל ובמאי שירתה היטב את התעמולה הערבית, והיא שימשה למנהיגי מדינות ערב צידוק לפלישתם המתוכננת לארץ ישראל.
התעמולה הערבית הציגה את היציאה בפני העולם כגירוש המוני ומכוון של הערבים על ידי היהודים, בעוד שמקרים של התפנות מרצון היא בחרה להציג כביטוי לסירובם של הערבים לחיות תחת שלטון יהודי.
עם זאת, הסברה בקרב הערבים הייתה שיציאת הערבים היא תופעה זמנית, שכן לאחר פלישת צבאות ערב לארץ ישראל, יחזרו הפליטים אל בתיהם.
במהלך השבועות שבין אפריל לאמצע יוני 1948 יצאו לגלות בין 250,000 ל-300,000 פליטים פלסטינים.
הגורם הראשי שדחף ליציאתם הייתה המתקפה הצבאית היהודית של ההגנה והאצ"ל, ובעיקר החשש ממתקפה כזו: רובם של הכפרים והערים התרוקנו מיד כשהגיעה לפתחם.
לדברי מוריס, נפילת הערים הערביות הגדולות והיציאה מהן באפריל ובמאי גרמו לתחושת פחד וייאוש בקרב תושבי הכפרים, שנותרו ללא מנהיגות פוליטית וחיקו את התפנותם של המעמדות הבינוניים.
לטענת מוריס, נעשו ביוזמת ה"הגנה" וצה"ל מעשי גירוש נקודתיים של ערבים, אולם "לא הייתה תוכנית גדולה או כוללת של גירוש".
עם זאת, מתוך שיקול צבאי של מניעת חזרת התושבים והצורך לשוב ולהילחם כדי לכבוש את אותו יישוב, התגבש בתקופה זו דפוס פעולה של כיבוש כפרים והריסתם, והדבר יצר למעשה מצב של גירוש בפועל.
בתחילת מאי פתחו פתחו מדינות ערב והוועד הערבי העליון במסע הסברה שנועד לבלום את יציאת הפליטים מארץ ישראל ולהביא לשובם של אלה שכבר יצאו, ובמסגרת זו הוצאו הוראות אל מפקדי הכוחות הלא-סדירים והמוח'תארים לעצור את הבריחה.
בין 5 ל-15 במאי פרסמו המלך עבדאללה, הוועד הערבי העליון, הוועדות הלאומיות ומזכ"ל הליגה הערבית עזאם פחה, סדרה של הודעות שנועדו לבלום את הבריחה ולגרום לשיבה.
הוועד הערבי העליון, צבא ההצלה והממשלות הערביות הגבירו את המאמץ לבלום את זרם הפליטים באמצעות פינוי נשים, ילדים וזקנים; איומים מטעם קאוקג'י בכרוזים ובשידורים ברדיו רמאללה להחרים את רכוש העוזבים ואף לפוצץ את בתיהם; וניסיונות להחזיר ממדינות ערב פליטים גברים.
אלא שלמאמצים אלה הייתה השפעה מזערית וזרם הפליטים רק גבר לקראת 15 במאי.
בסוף אפריל הקציבה הליגה הערבית 100 ליש"ט לסיוע לפליטים ובמדינות ערב הוקמו ועדות ממשלתיות לטיפול בבעיה.
ב-12 במאי נענתה לבסוף הליגה לבקשת המופתי והחליטה כי מדינות ערב תענקנה מקלט לפליטים, אך לא לגברים המסוגלים לשאת נשק.
פלישת הצבאות הערביים לארץ ישראל ב-15 במאי לא שינתה באופן משמעותי את דפוס התנהגותה של האוכלוסייה הפלסטינית.
היא נותרה במקומה רק כאשר נמצאה באזור שליטתו של כוח ערבי חזק דיו אל מול הכוח היהודי.
ב-15 במאי הורה פאיז ביי אל-אידריסי "המפקח על ביטחון הציבור" מטעם הוועד הערבי העליון לאנשי המיליציה הפלסטינים לסייע לצבאות הפולשים ולהילחם ב"מפיצי השמועות, הגורמות לבריחת האוכלוסייה הערבית".
מדינות ערב החלו לחסום את דרכם של פליטים שביקשו להיכנס אליהן.
בסוף מאי לחצו מדינות ערב והוועד הערבי העליון על הפליטים במחנות לאורך גבולות הארץ לשוב לבתיהם.
חודשים אפריל־מאי היו ימי הגל העיקרי של יציאת הערבים מן הארץ.
לדעת מוריס, גל זה "לא היה פרי של מדיניות כללית ומתוכננת מראש" של הנהגת היישוב היהודי, שכן הנטישה ההמונית בתקופה זו הפתיעה אותה, וגם את מחברי "תוכנית ד'", אלא שאנשי ההנהגה הבינו כי מדובר בתופעה חיובית עבור היהודים ולפיכך יש לנצלה.
מוריס מסכים עם קביעתו של שירות המודיעין של צה"ל ביוני 1948, שהגורם החשוב ביותר מבין הרבים שהשפיעו על יציאת הערבים בחודשים אפריל עד יוני, היה התקפות היהודים על היישובים הערביים.
אך הוא מציין גם כי בפקודות המבצע של ה"הגנה" לקראת ההתקפות על יישובים, לא נכללו הוראות לגרש את תושביהם.
זמן קצר לאחר תום המלחמה, תיאר מוסא אל-עלמי את גורמי העזיבה: "אם הפלסטינים פינו בסופו של דבר את ארצם, לא היה זה מתוך מורך לב אלא משום שאיבדו כל אמון במערכת ההגנה הקיימת.
הם הבינו את חולשתה ואת חוסר השוויון בין משאביהם וארגונם לבין אלה של היהודים.