tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
ההתנגדות נדחתה ברוב של 55 מתנגדים אל מול 45 תומכים, כאשר כל הסיעה הדמוקרטית לצד חמישה סנאטורים רפובליקנים (סוזן קולינס ממיין, ליסה מרקאוסקי מאלסקה, מיט רומני מיוטה, בן סאס מנברסקה ופט טומי מפנסילבניה) הצביעה בעד דחיית ההצעה של פול.
הצבעה זו נתפסה כ"הצבעת מבחן", כזו שנתנה עדות מוצקה לכך שהסנאט לא יגיע לרוב בן שני שלישיים הדרוש להדחתו של טראמפ.
על פי הסכם בין מנהיג הרוב צ'אק שומר למנהיג המיעוט מיץ' מקונל, נקבע לוח הזמנים הטרום-משפטי.
בית הנבחרים, באמצעות תשעת מנהלי ההדחה הדמוקרטים, הגיש ב-2 בפברואר כתב קדם-משפט בן 80 עמודים.
כתגובה, ב-2 בפברואר הגישו עורכי הדין של טראמפ תגובה בת 14 עמודים, שטענה כי הסנאט אינו יכול להצביע בדבר הרשעתו של טראמפ כאשר הוא כבר לא ממלא את התפקיד, כמו גם כי נאומו של טראמפ על הבחירות לנשיאות טרם ההסתערות על הקפיטול היה מוגן בחסות התיקון הראשון לחוקת ארצות הברית.
כמעט 150 משפטנים המתמחים בתיקון הראשון לחוקה וחוקרים חוקתיים מכל הקשת הפוליטית מצאו כי טענת התיקון הראשון של טראמפ "קלת דעת מבחינה משפטית" ולא מהווה הגנה בת קיימא מפני הרשעה
הצגת התזכיר הטרום-משפטי הוצג בפני הסנאט ב-8 בפברואר, ושלב ההגנה במשפט החל יממה לאחר מכן ב-9 בפברואר.
טראמפ, באמצעות עורכי דינו ברוס ל.
קסטור הבן, דייוויד שׁוֹאֶן ומייקל ט.
ואן דר וין, טען כי ההנהגה הדמוקרטית בבית הנבחרים עוסקת ב"ניסיון אנוכי" לתעל לטובתה את ההסתערות על הקפיטול ואת השלכותיה.
הם טענו שבמקום לרפא את האומה או להעמיד לדין מחוקקים שהשתתפו בהסתערות, הדמוקרטים פועלים "לרתום באופן נחרץ את הכאוס של האירוע לרווח פוליטי אישי".
באופן לא שגרתי למסמכים משפטיים, עורכי הדין של טראמפ השתמשו ברטוריקה מפלגתית, וכתבו שהדמוקרטים סובלים מ"תסמונת הפרעת טראמפ" ; ביקשו "להשתיק יריב פוליטי ומפלגת מיעוט" כחלק ממאמץ שנמשך שנים; ו"רעבים לתיאטרון פוליטי שיהווה סכנה לדמוקרטיה הרפובליקנית שלנו ולזכויות היקרות לנו".
כחלק מניסיון להרחיק את טראמפ מתמוכיו שהסתערו על הקפיטול, כתבו עורכי דינו כי "האנשים שסתערו על הקפיטול באופן פלילי עשו זאת על דעת עצמם ומסיבותיהם שלהם, והם ניצבים בפני דין פלילי".
עורכי הדין של טראמפ, תוך ציטוט מקורות מפוקפקים כמו אתר הקונספירטיבי "The Gateway Pundit", בנוסף טענו בכתב ההגנה שלהם באופן משולל-בסיס כי מספר היבטים בהסתערות על הקפיטול כללו דמויות המתנגדות לטראמפ ולא כאלה התומכות בו.
עוד בכתב ההגנה הוכחש כי טראמפ לא נקט צעדים כלשהם כדי לבלום את האלימות, וטראמפ תואר כמי שנחרד מהאירועים ונטען שהיה "שטף של פעילות בתוך הבית הלבן שהוגבל בידי גורמים נוהליים מורכבים".
עורכי דינו של טראמפ טענו כי הנשיא לשעבר לא הסית את הפורעים וכי הערותיו והרטוריקה שלו לגבי לחימה היו מטפוריים ולא היוו קריאה לאלימות.
הם טענו כי טראמפ, בעצרת שקדמה להתסערות על הקפיטול, השתמש במונח קרב (Battle) "במובן הפיגורטיבי" ולא "כדי לעודד מעשי אלימות".
עורכי הדין תיארו בנוסף כמה ממעשיו של טראמפ עצמו, כולל שיחת טלפון בה לחץ טראמפ על מזכיר המדינה של ג'ורג'יה בראד ראפנספרגר "למצוא" קולות נוספים עבורו כדי לבטל את ניצחונו של ביידן בג'ורג'יה, כפוליטיים גרידא.
עורכי דינו של טראמפ הרחיבו גם את טיעוניהם בדבר חופש הדיבור, וטענו כי לא ניתן היה להרשיעו בשל התיקון הראשון לחוקת ארצות הברית.
מיעוט של חוקרים משפט סבור כי התיקון הראשון חל על הליכי הדחה.
כתב ההגנה של טראמפ הציג 15 התייחסויות למאמר שכתב המלומד המשפטי בריאן קאלט ב-2001, בו הסיק קלאט כי הדחה של נשיא לשעבר אינה חוקתית.
קאלט לעומת זאת השיב כי עורכי הדין של טראמפ העלו "מצג שווא תפל" על עבודתו, וכי למעשה הסיק שישנו "בסיס איתן" להדחות בדיעבד של נשיא, לאחר שהצהיר ודחה טיעונים מנוגדים.
בתמרון חסר תקדים בהיסטוריה של ארצות הברית הצהיר צוות ההגנה המשפטית של טראמפ כי טראמפ, אם יורשע על ידי הסנאט, ינסה לערער על פסק הדין.
עורכי הדין של טראמפ טענו כי ההרשעה תהיה "בלתי מורשית" ו"לא מחייבת" — וכי אם טראמפ יתמודד שוב לנשיאות ארצות הברית הוא יערער על כך בבית משפט.
בהתחשב בפסק הדין ניקסון נגד ארצות הברית , לא ברור אם או באיזו מידה יהיה ערעור על הרשעה בידי הסנאט שפיט.
תיק משפטי זה של בית המשפט העליון של ארצות הברית קבע פה אחד כי השאלה האם הסנאט קיים כיאות הליך הדחה היא שאלה פוליטית ולא ניתן יהיה לפתור אותה ברשות השופטת.
ב-9 בפברואר השיב בית הנבחרים לכתב ההגנה של טראמפ.
במכתב לעורכי הדין של טראמפ ב-4 בפברואר הזמין מנהל ההדחה הראשי ג'יימי רסקין את דונלד טראמפ להעיד (ולהיות מושא לחקירה נגדית ) לפני משפט ההדחה או במהלכו.
מנהלי ההדחה מבית הנבחרים טענו כי עדותו של טראמפ הכרחית לאחר שהודיע קבל עם ועדה כי הוא חולק על טענות בית הנבחרים כי הסית את ההתקוממות בקפיטול.
במכתב נאמר כי מיאונו של טראמפ להעיד יתמוך ב"הסקה שלילית" נגד טראמפ.
עוד במכתב צוין כי אין כל מחסום בפני נשיא לשעבר לתת עדות במהלך משפט, בנימוק כי הנשיאים ג'רלד פורד וביל קלינטון העידו במהלך תפקידם, ובית המשפט העליון קבע פסק הדין "טראמפ נגד ואנס" כי טראמפ אינו היה חסין מפני הליך חוקי בעת כהונתו כנשיא.
עורכי הדין של טראמפ, קסטור ושואן, הגיבו לרסקין באותו יום במכתב נחרץ שדחה את ההזמנה.
מנהלי ההדחה הודיעו כי לא יזמנו באורח רשמי ומחייב את הנשיא לשעבר טראמפ להעיד, בנימוק כי ישנן עדויות רבות נוספות (כולל עדויות וידאו) התומכות באשמתו.
רסקין הצהיר כי "מיאונו המידי של עדות מדבר בעד עצמו ומבסס בבירור הסקה שלילית התומכת באשמתו".
כהכנה למשפט, בנו הדמוקרטים בבית הנבחרים תיק מפורט נגד טראמפ, והטעימו את מה שטראמפ לכאורה ידע לפני ההסתערות על הקפיטול ב-6 בינואר, והשפעת דבריו ומעשיו על תומכיו המתפרעים במטרה להראות כי טראמפ "זימן את ההמון, קיבץ את ההמון והצית את להבת ההתקפה הזו".
בשינוי בולט באסטרטגיה, המנהלים סירבו לדון בלוגיסטיקה של התיק, בעוד שבמשפט ההדחה הקודם עשו הדמוקרטים שימוש בכלי תקשורת שונים כדי להסביר את עמדתם לציבור.
המנהלים ביקשו גם ליישם את הלקחים שנלמדו במשפט ההדחה האחרון: לא להתנגד לרפובליקנים, להשתמש בסרטונים מרובים ולהעלות טיעונים תמציתיים.
המנהלים התכוננו לסיים את טיעוניהם בתוך שבוע, תוך שהם מוותרים על זימון עדים מתוך אמונה שיהיה זה מיותר ויעכב את סדרי העדיפויות של ממשל ביידן למסד חקיקות ולאשרר מינויי מועמדים לקבינט.
המנהלים התכוונו להשתמש כראיות בתצהירי ה-FBI בהם הואשמו מאות ממתפרעים בקפיטול, שרבים מהם ציינו את הערותיו של טראמפ כהרשאה להסתער על הקפיטול.
בתיקים מסוימים, טראמפ מתואר כ"קושר דה פקטו" להסתערות על הקפיטול והכוח המניע מאחורי ההתקוממות, על פי פעיל "הנערים הגאים" איתן נורדיאן.
כפועל יוצא, התובעים מטעם בית הנבחרים הודיעו כי הם מציגים את התיק כ"תביעה פלילית של פשע אלים".
מנהלי בית הנבחרים וצוותם, בסיוע משרד עורכי הדין "Debevoise & Plimpton", ערכו צילומי וידאו ושמע מהעצרת של טראמפ וההסתערות שבאה בעקבותיה על הקפיטול, כמו גם פרטים על הפגיעות בנפש שנגרמו לכוחות אכיפת החוק.
על פי העיתון "ניו יורק טיימס", המנהלים היו מודאגים מלערב חברי קונגרס רפובליקנים שהדהדו את טענותיו של הנשיא בדבר הונאת בחירות כדוגמת פול גוסאר, ובייחוד אלה שהטילו ספק והתנגדותו לספירת קולות חבר האלקטורים, למשל במקרה של ג'וש האולי וטד קרוז.
המנהלים ביקשו להבהיר כי לא המפלגה הרפובליקנית עומדת למשפט אלא טראמפ עצמו, במטרה שלא לנכר את הסנאטורים הרפובליקנים ממשפט ההדחה.
צוות ההגנה המשפטית של טראמפ ציין כי יציג את טיעוני הפתיחה שלהם ביום אחד.
ברוס קסטור, דייוויד שואן, מייקל ואן דר וין ו-ויליאם ג'יי ברנן היו סנגוריו של טראמפ.
עוד בטרם המשפט הכריז טראמפ כי לא ייגש להעיד בפני הסאנט.
קסטור ושואן אמרו בכוונתם להגן על טראמפ הגנה טכנית בעיקר, וטענו כי הסנאט חסר סמכות לדון נשיא לשעבר לאחר שעזב את תפקידו מכיוון שחוקת ארצות הברית אינה אומרת מפורשות שניתן לעשות כן, מה שלטענתם נותן לרפובליקנים נקודת יציאה משפיטת התנהגותו של טראמפ.
קסטור ושואן התכוננו גם להכחיש שטראמפ הסית לאלימות או התכוון להפריע למיסוד ניצחונו של ג'ו ביידן בבחירות בידי הקונגרס, וטענו כי טענות טראמפ משוללות-הבסיס כי הבחירות "נגנבו" מוגנות על ידי התיקון הראשון לחוקה.
בריאיון עיתונאי לפוקס ניוז, קסטור אמר כי יסתמך על תיעודי וידאו, כולל מקרים של פרעות וביזה שהתרחשו בהפגנות Black Lives Matter בפורטלנד ובערים אחרות בהן התרחשה תסיסה על רקע גזעי, והביא את הרטוריקה של הדמוקרטים בדבר אי-שקט כדוגמה לצביעות.
בערב שלפני טיעוני הפתיחה של צוות ההגנה, נראו הסנאטורים מייק לי, טד קרוז ולינדזי גרהאם נכנסים לחדר בו שהו עורכי הדין טראמפ במטרה להתאמן על הליטיגציה הקרבה ובאה במשפט.
קרוז המעיט בערכה של הפגישה, ותיאר אותה כהזדמנות "לחלוק את מחשבותיהם על האסטרטגיה המשפטית של ההגנה".
כאשר כתבים התעמתו עם שואן בנוגע לנייטרליות של הסנאטורים כמושבים חסרי-פניות המתייעצים עם צוות ההגנה, הוא אמר כי למשפט לא היה "שום מראית עין של הליך הוגן".
ב-8 בפברואר הגיעו מנהיגי הסיעות בסנאט, צ'אק שומר ומיץ' מקונל, להסכמה על ההחלטה הנוהלית עבור המשפט, תוך שהם מעניקים למנהלי ההדחה ולעורכי הדין של טראמפ עד 16 שעות לכל צד להציג את טיעוניהם וליצור אפשרות לדיון, ולהצביע על זימון עדים אם מנהלי ההדחה יחפצו בכך.
שומר הודיע כי כללי המשפט סוכמו בצוותא עם הדמוקרטים והרפובליקנים בסנאט, כמו גם בשיתוף מנהלי ההדחה והצוות המשפטי של טראמפ.
עורך דינו של טראמפ דייוויד שואן, יהודי אדוק, ביקש במקור להשהות את המשפט לקראת השבת, החל מערב יום שישי ב-12 בפברואר, ולחדש את המשפט ביום ראשון, 14 בפברואר.
מנהיג הרוב צ'אק שומר (גם הוא יהודי) ויתר הנהגת הסנאט נעתרו לבקשה זו, אך שון נמלך בדעתו מאוחר יותר מבקשתו ואמר כי עורכי דין אחרים בצוות ההגנה המשפטית של טראמפ יוכלו להמשיך במשפט במהלך השבת.
לו אכן המשפט היה מושהה בשבת, לוח הזמנים של המשפט שנקבע בטיוטת ההחלטה הנוהלית היה משתנה.
מנהלי ההדחה החלו לטעון לאחר עורכי דינו של טראמפ, שגם הם ניצלו את 16 השעות שלהם למען הצגת טיעוניהם.
באותו היום התקיימה ישיבה בת ארבע שעות בה שאלו הסנאטורים שאלות לשני הצוותים המשפטיים, כמו במשפטי הדחה קודמים.
לאחר מכן דרשו מנהלי ההדחה להשהות את ישיבה זו ולהצביע על זימון עדים.
במצגת בת שעתיים שהתקיימה ב-9 בפברואר, טענו מנהלי ההדחה כי לסנאט ישנה הסמכות לדון בהדחתו של טראמפ.
קסטור, אחד מעורכי דינו של טראמפ, פתח את טיעון ההגנה במה שרבים מתחו ביקורת כהצגה לא ממוקדת ומבולבלת במשך 48 דקות.
קסטור טען כי ההדחה נבעה ממניעים פוליטיים, ומיותרת מכיוון שהמצביעים כבר היו "חכמים דיו" בכך שלא בחרו בטראמפ פעם נוספת לנשיאות, ובכך הודו במפורש טראמפ ועורכי דינו כי ביידן זכה בבחירות חופשיות והוגנות.
בתגובה, ג'יימי רסקין השמיע קטעי וידאו מההסתערות על הקפיטול ואת הרטוריקה של טראמפ כדי להדגיש את ההשלכות האפשריות אם נשיאים יוכלו לבצע עבירות בלתי ניתנות לערעור בשבועות האחרונים לכהונתם ללא אחריות חוקתית.
ההצהרה כי ביידן ניצח בבחירות נראתה כערעור הן על טענותיו של טראמפ בכתב ההגנה לפיהן לכאורה הבחירות נגנבו וזוייפו; והן כפועל יוצא מטענות אלה נאומו בעצרת שקדמה להסתערות על הקפיטול היה לכאורה מוצדק שכן טראמפ האמין שהבחירות מיסודן היו חשודות.
תחילה טראמפ הבהיר ליועציו כי הוא אינו רוצה שעורכי דינו יאמרו כי ביידן ניצח בבחירות בצורה הוגנת, גם אם לא היה זה מוקד המשפט שלהם.
בעקבות זאת, דווח כי טראמפ היה מאוד לא מרוצה מהביצועים של קסטור במשפט.
טיעוניו של קסטור זכו לביקורת נרחבת בשל הצהרות מוזרות וחסרות קוהרנטיות כמו .
בתגובה אמר אלן דרשוביץ, מעורכי דינו של טראמפ בהליך ההדחה הראשון: "אין שום ויכוח.
אין לי מושג מה הוא עושה".
בעקבות הדיון בן ארבע השעות בו הציגו שני הצדדים טיעונים לשאלה האם המשפט אינו חוקתי משום שטראמפ כבר לא בתפקיד, ברוב של 56 תומכים מול 44 מתגדים הצביע הסנאט כי משפט ההדחה אכן חוקתי.
חמשת הסנאטורים הרפובליקנים שהצביעו במקור עם הדמוקרטים בהצבעת "טיעון הסדר" של ראנד פול הצביעו פעם נוספת בעד חוקתיות המשפט, יחד עם הסנאטור ביל קסידי מלואיזיאנה, שבהצהרה לתקשורת לאחר מכן תיאר את הטיעונים של מנהלי ההדחה כ"מאורגנים, ממוקדים ומשכנעים".
היעדר התמיכה הרפובליקנית להמשיך במשפט ההדחה התפרש כסימן המעיד על הסיכויים הרבים של טראמפ להזדכות במשפט.
טד קרוז, שהצביע נגד חוקתיות המשפט, אמר לפוקס ניוז עוד באותו היום כי הוא מאמין שהוא חוקתי אך אינו הכרחי.
ב-9 בפברואר תיאר ג'יימי רסקין את האירועים בבית הנבחרים במהלך ההסתערות על הקפיטול.
הוא סיפר כיצד אנשים התקשרו ליקיריהם כדי להיפרד, וסיפר כי "הצליל המטריד ביותר ששמע אי פעם בחייו" היה ההמון הזועם שהלם בדלתות מליאת בית הנבחרים.
בנוגע לחוקתיות משפט ההדחה של טראמפ אשר כבר עזב את תפקידו, הוא קרא לסנאטורים שלא ליצור "חריג מינואר" לאחריותו של נשיא ארצות הברית.
ב-10 בפברואר החלו מנהלי ההדחה להציג את התיק המשפטי שבנו.
הם הציגו צילומים חדשים מההסתערות, כולל צילומי מצלמות גוף של שוטרי משטרת הקפיטול של ארצות הברית.
סטייסי פלסקט חשפה כי המתפרעים הגיעו למרחק בן מאה רגל (כ-30 מטרים) מהמקום בו הסתתר סגן הנשיא מייק פנס עם משפחתו, והטעימה את העובדה כי מחוץ לקפיטול נבנה גרדום לצד קריאות "תלו את מייק פנס".
פלסקט הוסיפה לטעון כי האדם שחדר למשרדה של יושבת ראש בית הנבחרים ננסי פלוסי היה חמוש בשוקר חשמלי בן 950 אלף וולט, וגרסה כי הפורעים התכוונו לרצוח את פלוסי.
פלסקט הצהירה כי חברי הקונגרס נקלעו לסכנה בגלל נאומיו וציוציו של טראמפ.
היא ציטטה עדות שניתנה בידי הפורעים עצמם אשר נעצרו בידי כוחות אכיפת החוק, ושאמרו כי היו הורגים כל מי שהיו שמים עליו יד.
פלסקט אמרה כי "הם דיברו על התנקשות בחיי סגן נשיא ארצות הברית [...] הם עש וזאת מפני שדונלד טראמפ שלח אותם".
ב-11 בפברואר הציגו מנהלי ההדחה מצגת.
דיאנה דיגט טענה כי הצהרות פורעים שנאמרו "לפני, במהלך ואחרי הסתערות מבהירות כי ההתקפה התחוללה עבור דונלד טראמפ, על פי הוראותיו, וכדי להגשים את משאלותיו".
טד לו טען שטראמפ לא הפגין שום חרטה לאחר ההתקפה.
מיד לאחר תום היום הראשון לטיעוני הפתיחה במשפט, הסנאטור מייק לי העלה התנגדות .
הוא עבר לתקוף חלק מהמצגת של התביעה בה תיארו את שיחת הטלפון של טראמפ אליו ואל הסנאטור טומי טוברוויל, וטען כי תיאור השיחת הטלפון היה שגוי מיסודו.
הדבר עורר בלבול רב, שכן דובריהם של לי וטוברוויל איששו את שיחת הטלפון של טראמפ.
למרות המצב המסובך, מנהל ההדחה הראשי רסקין הסכים בסופו של דבר להתנגדותו של לי וקרא לכך "מהומה רבה על לא דבר".
ב-12 בפברואר הציגו עורכי דינו של טראמפ — שואן, ואן דר וין, ברנן וקסטור — את טיעוני הפתיחה שלהם.
ואן דר וין כינה את סעיף ההדחה "מעשה נקמה פוליטי" שאין הוא חוקתי, המסתכם ב"תרבות הביטול הפוליטית" כלפי טראמפ ותומכיו.
הם הציגו סרטון שמראה כי טראמפ בנאומו ביקש במפורש מתומכיו "להשמיע את קולם בדרך שלווה ופטריוטית" (Peacefully & Patriotically), וכי ההאשמה של בית הנבחרים כי טראמפ הסית להתקוממות הייתה "שקר מופרך ומפלצתי".
ואן דר וין טען כי אם אכן ההסתערות על הקפיטול הייתה מתוכננת כפי שטענו תיקים פליליים שהוגשו כנגד פורעים בהסתערות, טראמפ לא יכול היה להסית את מה שכבר תוכנן.
שואן טען כי בית הנבחרים לא העניק לצוות ההגנה המשפטית של טראמפ שום הליך הוגן במהלך ההדחה עצמה של בית הנבחרים, וכי בית הנבחרים תמרן צילומים והעביר מידע לא מדויק.
הם גם הוספיו לבקר את מנהלי ההדחה על שבתוקף אמרו כי ניתן לבסס ראיה "לפי דיווחים" בעיתונות.
תוך שימוש ב-"Whataboutism" כהגנה משפטית, עורכי דינו של טראמפ הציגו מונטאז' של סרטים המדגים את מה שהם תיארו כצביעות בתגובות הדמוקרטים לרטוריקה של טראמפ.
כדוגמות, הציגו עורכי הדין סרטוני וידאו של צ'אק שומר לכאורה מאיים על ברט קוואנו וניל גורסץ', שופטי בית המשפט העליון של ארצות הברית, בעצרת של תנועות בעד הפלות.
למחרת הביע שומר התנצלות, דבר שטראמפ מעולם לא עשה.
סרטוני הווידאו שהציגו כללו דמוקרטים שהשתמשו במילים "להילחם" ובביטוי "fight like hell" במספר ראיונות, הערות ונאומים, תוך התמקדות בסנאטורית אליזבת וורן.
רבים מהקליפים, בהם כיכבו אישים דמוקרטים בהם מקסין ווטרס, אל גרין, ננסי פלוסי ואלכסנדריה אוקסיו-קורטז, אליזבת וורן וג'ון טסטר וגם הנשיא ג'ו ביידן, הוצאו מהקשרם.
השימוש בשם הפעולה "לחימה" על מגוון הטיותיו, נעשה בהקשר של לחימה למען בוחרים כנגד מכשולים בירוקרטיים (כמו בסרטון של טסטר), לחימה עבור עמדות פרוגרסיביות (כמו בסרטון של וורן), או לחימה בנגיף קורונה (כמו בקליפ של שומר).
עורכי הדין של טראמפ טענו, באופן כוזב, ששני הציוצים הראשונים של טראמפ במהלך ההסתערות על הקפיטול קראו להרגיע את ההתפרעויות, כשבפועל טראמפ למעשה צייץ לראשונה ציוץ מתריס נגד סגן הנשיא מייק פנס בטרם פרסם ציוץ נוסף שקרא "להישאר שלווים".
עורכי הדין גרסו, תוך דבקות בטענה כי הקריאות של הדמוקרטים להדחת טראמפ היו הוכחה למוסר כפול מצדם, כי דמוקרטים וליברלים ביקשו לפגוע בטראמפ פיזית ופוליטית מאז תחילת נשיאותו.
בנוסף הם הציגו קטעים מנאומים של טראמפ לאורך השנים אותם התקשורת והדמוקרטים לא הציגו כהלכה, לדברי עורכי הדין, כראיה לכך שהוא תמיד גינה עליונות לבנה ואלימות.
הם התעקשו כי דבריו של טראמפ בעצרת הם "רטוריקה פוליטית רגילה" ונגזרת של חופש הביטוי.
צוות ההגנה סיים את טיעוניו לאחר פחות משלוש שעות, והמשיך לישיבת שאלות ותשובות.
במהלך הצגת טיעוני ההגנה, הסנאטורים הרפובליקנים טד קרוז, מייק לי, דן סאליבן, מייר בראון, טוד יאנג ומרשה בלקברן נפגשו בפרטיות שוב ושוב כדי לדון ב"סטנדרטים" שלהם למשפט ההדחה.
יתרה מזאת, קרוז ולינדזי גרהאם התייעצו שוב ושוב עם עורכי הדין של טראמפ במהלך ההפסקות.
הרפובליקנים החמיאו באופן כללי להצגת הטיעונים של מנהלי ההדחה, כאשר ההתמקדות הופנתה להתרעתו של טד לו כי הוא אינו מודאג מאפשרות שטראמפ ינצח בבחירות נוספות לנשיאות, אלא מהפסד נוסף בהם.
מרבית הרפובליקנים אמרו כי הם מאמינים שטראמפ יזוכה, וחלקם חזרו על קביעתם בדבר אי-החוקתיות לכאורה של עצם המשפט.
מצגת עורכי הדין של טראמפ זכתה לשבחים על ידי רפובליקנים כמו רון ג'ונסון וג'ון באראסו.
לעומת זאת, הדמוקרטים מתחו ביקורת על הצגת הטיעונים של עורכי הדין של טראמפ, והוקיעו את כתב ההגנה המשווה את הרטוריקה של טראמפ מעט לפני ההסתערות על הקפיטול לתגובות העבר של הדמוקרטים.
הסנאטור טים קיין כינה זאת "טיעון בדוי"; מרטין היינריך תיאר זאת "שקילות כוזבת לחלוטין, אני לא זוכר שום אספסוף אלים אחרי אף אחת מההערות הללו"; וגם הסנאטור כריס קונס יצא חוצץ נגד הטיעונים שהציגו עורכי הדין של טראמפ.
על פי דיווחים שונים בעיתונות האמריקאית, שואן איים בערב 11 בפברואר — בלילה שלפני הצגת טיעוני הפתיחה של ההגנה — לנטוש את צוות ההגנה המשפטית של טראמפ בגלל חילוקי דעות בנוגע לשימוש בסרטונים.
טראמפ התקשר לשואן ושכנע אותו להישאר.
מנהלי ההדחה הציגו את טיעוני הסגירה שלהם ב-13 בפברואר.
רסקין טען כי "הזנחת החובות של טראמפ [...] הייתה גורם מרכזי בהסתה שלו להתקוממות, ובלתי ניתן להפרדה ממנה", וכי שיחת הטלפון של טראמפ עם מנהיג הרפובליקנים בבית הנבחרים קווין מקארתי איששה כי אין הוא דאג לשלומם של חברי הקונגרס.
מדליין דין הציגה סרטוני וידאו של טראמפ חוזר על "השקר הגדול".
הסנאטור מייק לי קטע בקצרה את טיעוניהם כדי להתנגד לשימוש בסרטון, מכיוון שאסור לקבל ראיות חדשות במהלך טיעוני הסגירה, אך דין טענה כי ההצהרה כבר רשומה, ולכן היא הורשתה להמשיך ולהשתמש בה.
ג'ו נגוס סיים דבריו בפנייה רגשית לסנאטורים והביע הרמזים למרטין לותר קינג, והזהיר מפני "עתיד אפל" לו הסנאטורים לא ירשיעו את טראמפ.
נגוס הכחיש גם את טענות ההגנה על היעדר הליך הוגן בתואנה שההגנה הציגה את ראיותיה במלואן ודחתה הזמנות להעיד ולספק ראיות מחייבות, והצדיק את ההצגה של דמוקרטים שונים עושים שימוש בשדה הסמנטי של המילה "קרב" בכך שטען כי הצהרות אלה לא הסתיימו בניסיון לערער על תוצאות הבחירות.
עורך דינו של טראמפ, מייקל ואן דר וין, הציג טיעון סיום שהכיל טענות שגויות רבות ומשוללות בסיס.
הוא טען, באופן כוזב, כי ההסתערות על הקפיטול הייתה "מתוכננת מראש על ידי קבוצת קיצוניות משמאל וימין".
למעשה, ההסתערות התחוללה בידי פורעים המזוהים עם אידאולוגיה ימנית, שחלקם תכננו מראש את ההסתערות ואחרים שהשתתפו באופן ספונטני.
ואן דר וין טען כי שום דבר שטראמפ אמר "לא יכול להתפרש אי פעם כמעודד או תומך בהתקוממות", אף שרבים מאלה שהסתערו על הקפיטול אמרו במפורש כי דבריו של טראמפ דרבנו אותם לפעול.
תוך הדהוד טענות שטראמפ הצהיר בעבר, האשים ואן דר וין את הנשיא ג'ו ביידן ואת סגנית הנשיא קמלה האריס כי "מיאנו שוב ושוב לגנות" מעשי אלימות במהלך הפרות הסדר בקיץ 2020 על רקע המהומות הגזעיות; למעשה, ביידן והאריס גינו שוב ושוב התפרעויות, אלימות והפרות חוק.
ואן דר וין הטיח בדמוקרטים טענות בדבר רדיפות שווא, וכינה זאת "העמדת פנים מוחלטת מן המסד ועד הטפחות" ו"מרדף משוגע ארוך שנים אחר נקמת דם" נגד טראמפ, וטען כי החשש של הדמוקרטים מפני טראמפ הוא סיכוייו להיבחר מחדש לנשיאות.
את דבריו סיים בטענה כי ישנו "מסע צלב מוטרף", וקרא לסנאטורים שלא "לצעוד בדרך האפלה אלמוניות ופילוג".
עוד הוא טען ללא כל בסיס כי "אחד האנשים הראשונים שנעצרו היה מנהיג אנטיפה", אף על פי שהרשויות הפדרליות לא קשרו את האיש המדובר, ג'ון ארל סאליבן , לאנטיפה, וה-FBI מסר כי אין שום עדות למעורבות אנטיפה באירוע.
ב-13 בפברואר זוכה טראמפ בידי הסנאט, כאשר 57 סנאטורים הצביעו בעד הרשעתו ו-43 הצביעו נגד.
שבעה סנאטורים רפובליקנים הצטרפו לסיעה הדמוקרטית והצביעו בעד הרשעת טראמפ: ריצ'רד בר מקרוליינה הצפונית, ביל קסידי מלואיזיאנה, סוזן קולינס ממיין, ליסה מרקאוסקי מאלסקה, מיט רומני מיוטה, בן סאס מנברסקה, ופט טומי מפנסילבניה.
בכך, רומני כבר לא היה לסנאטור היחיד בהיסטוריה של ארצות הברית שהצביע בעד הרשעה של נשיא ממפלגתו שלו.
חרף פסק הדין שזיכה את טראמפ, ההצבעה להרשעה הייתה ההצבעה הדו-מפלגתית ביותר בהליך הדחה אי פעם בהיסטוריה האמריקאית.
כמו כן, עקב כך נעשה טראמפ לנשיא הראשון בהיסטוריה שזוכה פעמיים בידי הסנאט.
ננסי פלוסי הייתה ליושבת ראש בית הנבחרים היחידה שהחלה בשני הליכי הדחת נשיא, ומינתה את מנהלי שני משפטי ההדחה, ששניהם הסתיימו בזיכוי.
לאחר זיכויו במשפט ההדחה בסנאט, המשיך טראמפ להתמודד עם צרות משפטיות, בהן איומים לנקיטה בצעדים פליליים או ליטיגציה אזרחית.
הסיכוי שטראמפ עשוי להתמודד עם תביעה פלילית או תביעה אזרחית הנובעת מההסתערות על הקפיטול הועלה על ידי חברי קונגרס רפובליקנים אחדים, בהם חברת בית הנבחרים ליז צ'ייני, הסנאטור מרקו רוביו ומנהיג המיעוט מיץ' מקונל.
לשכת מזכיר המדינה של ג'ורג'יה פתחה בחקירה על אודות ניסיונותיו של טראמפ לבטל את תוצאות הבחירות לנשיאות ארצות הברית 2020 במדינה, כולל שיחת טלפון בין הנשיא למזכיר רפאנספרגר.
התובעת המחוזי של מחוז פולטון, פאני ויליס, פתחה גם היא בחקירה פלילית על האם טראמפ שידל להונאת בחירות, הפרה של החוק במדינת ג'ורג'יה.
טראמפ עצמו הביע חשש כי הוא עשוי להיות מואשם בעבירות פליליות בגין מעשיו סביב ההסתערות על הקפיטול.
ללא קשר לכך, טראמפ ניצב בפני חקירה של מדינת ניו יורק על אודות עסקות ארגון טראמפ במנהטן.
סעיף 3 לתיקון ה-14 לחוקת ארצות הברית פוסל מלשרת במשרה הן פדרלית והן מדינתית את כל מי שנשא שבועה להגן על החוקה ו"חולל התקוממות או מרי", או "העניק סיוע למדינת אויב".
על אף שהסעיף, מבחינה מילולית, אינו מתאר באופן מפורש את האופן בו ניתן להפעילו, באמצעות תקדים בקונגרס ניתן להפעיל את הפסילה בידי רוב פשוט בשני בתי הקונגרס, וניתן להסיר אותה באמצעות רוב מיוחס בלבד.
במהלך ההדחה השנייה של טראמפ בבית הנבחרים, סעיף 3 צוטט בסעיף ההדחה כחלק מהבסיס לפסילתו של טראמפ מכהונה בתפקיד עתידי.
ברם, ישנה מחלוקת האם סעיף 3 יכול לשמש "דרך חליפית לפסילה [מתפקיד]" בשעה שהסנאט זיכה את טראמפ מהרשעה.
דמוקרטים כמו ריצ'רד בלומנטל, כריס מרפי, דיק דרבין ובן קרדין, שקלו להפעיל את סעיף 3 כדי לאסור על טראמפ לשוב לחיים הפוליטיים, אם כי מהלך כזה ייכנס לטריטוריה חוקתית ומשפטית לא מוכרת.
סקר של רויטרס ומכון הסקרים "Psos Poll", שפורסם ב-22 בינואר 2021, מצא כי 51% מהאמריקאים תמכו בהרשעתו של טראמפ במשפט ההדחה, 37% התנגדו ו-12% אינם היו בטוחים.
55% מהאמריקאים תמכו בפסילתו של טראמפ בידי הסנאט מלמלא בעתיד משרה פדרלית, בעוד 34% התנגדו לצעד זה, ו-11% אמרו שהם לא בטוחים.
סקר אחר של אוניברסיטת מונמאות' שפורסם ב-25 בינואר מצא כי 52% מהאמריקאים תמכו בהרשעתו של טראמפ לעומת 44% התנגדו, ו-57% תמכו בפסילת טראמפ משירות ציבורי בעתיד.
מנתונים של סקר מאת ABC News בשיתוף Ipsos, אשר ראה אור ב-7 בפברואר, 56% מהאמריקאים העדיפו שהסנאט ירשיע את טראמפ ויפסול אותו כפועל יוצא מלכהן בתפקיד פדרלי, בעוד 43% התנגדו לכך.
סקר של CBS News בשיתוף מכון המחקר הבריטי YouGov פורסם ב-8 בפברואר, ולפיו 56% מאזרחי ארצות הברית תמכו בהרשעת טראמפ, כשמנגד 44% התנגדו.
סקר שהוזמן על ידי The Hill יחד עם HarrisX, פורסם ב-10 בפברואר, ומצא כי 52% מהאמריקאים תמכו בהרשעה לעומת 48% מתנגדים.
באותו היום התפרסם סקר נוסף מאת אתר האינטרנט "Vox" וצוות החשיבה "Data for Progress", בו נמצא כי 12% מהרפובליקנים תומכים בהרשעת טראמפ לעומת 82% מהדמוקרטים ו-52% מהעצמאים התומכים בכך, וכי 69% מהרפובליקנים אמרו כי הם יטו פחות להצביע למועמד פוליטי ממדינתם אם הצביע בעד הרשעת טראמפ.
משפט האש הוא סרט דרמה אמריקאי המבוסס על סיפור אמיתי, שבוים בידי אדוארד זוויק.
הסרט מבוסס על מאמר מאת דייוויד גרן "Trial by Fire" שפורסם במגזין הניו יורקר בשנת 2009. בסרט מככב ג'ק אוקונל בתור קמרון טוד ווילינגהאם, ובנוסף משחקים בסרט לורה דרן, אמילי מיד, ג'ף פרי וג'ייד פטיג'ון בתפקידי משנה.
הסרט הוקרן בהקרנת בכורה במסגרת פסטיבל הסרטים של טליורייד ב-31 באוגוסט 2018. הוא הופץ ב-17 במאי 2019 בידי רודסייד ארטקשנס.
בישראל הסרט הוצג בשירותי הטלוויזיה של Yes הטלוויזיה בלוויין וסלקום TV, ובHOT תחת שם אחר: "צדק בלהבות".
בלילה אחד בשנת 1991 מתעורר קמרון טוד ווילינגהאם משנתו ומגלה שביתו עולה באש.
למרות מאמציו הרבים הוא לא מצליח להציל את חייהן של שלוש בנותיו.
במשפט שנערך לווילינהאם, התביעה חושפת לכאורה כי השריפה נגרמה במכוון, באמצעות שימוש בדלק, והעדויות שמצביעות על כך הן הסימן על הרצפה שהתפשט בצורת פנטגרם והעובדה שכביכול המקרר הוזז במטרה לחסום את הדלת.
עדים מטעם התביעה מציגים את וויליננגהאם כאדם אלים.
מי שהיה השותף לתא הכלא של ווילינגהאם בעבר, ג'וני ווב, גם הוא מעיד ומצהיר כי ווילינגהאם אמר לו שהאש הוצתה במכוון.
למרות תחנונים לגבי חפותו של ווילינגהאם מצד עצמו וגם מצד סטייסי אשתו, ווילינגהאם נידון למוות.
בזמן שהוא מחכה לעונש המוות שלו, ווילינגהאם מוכה ומאוים על ידי סוהרים ואסירים, ובסופו של דבר מועבר לבידוד בכלא שם הוא חווה התמוטטות רגשית תוך שהוא מתעקש על חפותו, ונזכר בפלאשבקים מחיי המשפחה שלו.
במהלך הבידוד שלו מתגלה כי ווילינגהאם וסטייסי אשתו ניהלו מערכת יחסים מסובכת, וכי היא בגדה בו והוא פעל כלפיה באלימות.
אף על פי כן, נראה כי השניים דואגים זה לזה אף על פי שסטייסי מפסיקה בסופו של דבר להשיב למכתבים ששולח לה ווילינגהאם בהוראת אימה המאמינה כי הוא אשם.
ווילינגהאם יוצר קשר עם עורך דין חדש בשם ריבס, בתקווה להוכיח את חפותו תוך הסתגלות לחייו בכלא על ידי היכנעותו לסוהר האלים במיוחד דניאלס, והתיידדות עם האסיר והשותף לתא, פונצ'אי ג'יימס.
במהלך תקופה זו ווילינגהאם משפר את אוצר המילים שלו, ובעזרת ג'יימס שותפו לתא, שלבסוף נלקח מתאו ומוצא להורג, הוא כותב מכתב לעמותה של נוצרים שמסייעים לנידונים למוות.
המכתב שכתב ווילינגהאם מגיע בסופו של דבר לאליזבת גילברט, מחזאית שמזדהה עם המקרה שלו, למרות שבעלה לשעבר ושני ילדיה מתעקשים שהוא אשם.
כשגילברט מבקרת בכלא היא נדהמת מההתנהלות הנעימה והשלווה שלו ומהמאבקים ההדדיים של בני הזוג ואהבתם לילדיהם.
ווילינגהם ממשיך להעמיק בתחביבים שלו בתחום האמנות והשירה.
גילברט מתחילה להטיל ספק בעדויות שניתנו במשפט של ווילינגהאם ובהתנהלות של עורך הדין ריבס שנראה שלא התקדם עם התיק במהלך שש השנים שחלפו.
בזמן שהיא מגלה שחלק מהעדים במשפט לא אמרו אמת, נקבע תאריך למועד הוצאתו להורג של ווילינגהאם.
כשגילברט וריבס נפגשים עם ד"ר הרסט, מומחה בתחום, הוא מסביר להם שככל הנראה המקרר לא הוזז על מנת לחסום את הדלת ונראה שמקור השריפה הוא לא הצתה כפי שנאמר על ידי המושבעים.
למרות זאת לריבס אין אפשרות לערער ומתעלמים מהדו"ח של ד"ר הרסט.
גילברט עוברת תאונת דרכים וסובלת מההשלכות שלה, בזמן שוילינגהאם מוצא להורג כך שהיא אינה נוכחת בזמן שהוא נושא נאום נוקב על השינויים שעבר במהלך מאסרו באגף הנידונים למוות ומבקש לפזר את אפרו על קברי בנותיו.
דניאלס מבצע בחוסר רצון את הזריקה הקטלנית ומתבונן בדמעות ביחד עם סטייסי וריבס בווילינגהם מת.
גילברט, שכעת משותקת כתוצאה מהתאונה שעברה, מפזרת את האפר של ווילינגהם עם ילדיה שלה.
בסיום הסרט נראה קטע של מושל טקסס האמיתי ריק פרי בו הוא מכחיש כל אשמה בנושא הנידונים למוות שהוצאו להורג.
ג'ק אוקונל - קמרון טוד ווילינגהאם
לורה דרן - אליזבת גילברט
אמילי מיד - סטייסי ווילינגהאם
משפט הבנקאים הוא סרט תיעודי משנת 2022 שפורסם בכאן 11 ועוסק בפעילות קבוצת באים לבנקאים בהובלת עורך הדין ברק כהן.
הסרט מתעד את פעילותו של כהן ושותפיו כנגד ראשי מערכת הבנקאות בישראל.
יוצר הסרט הוא אליאב לילטי שהיה מעורב בהפקה (יחד עם סתיו מירון), בימוי, צילום וכתיבת הסרט.
חלק משמעותי מתקציב הפקת הסרט (כרבע מיליון ש"ח) גויס באמצעות מימון המונים בהדסטארט בתחילת 2020 בתמיכת למעלה מ-1,200 איש.
הסרט נתמך גם על ידי הקרן החדשה לקולנוע וטלוויזיה, מפעל הפיס ומכון ון-ליר בירושלים.
נכון ל-1 באוקטובר 2023, הסרט צבר למעלה מ-558,000 צפיות באתר יוטיוב, מה שהפך אותו לאחת מהיצירות התיעודיות הנצפות ביותר של תאגיד השידור הישראלי.
העיתון מעריב והאתר "כיפה" פרסמו ביקורת חיובית על הסרט.
המגזין "פורטפוליו" פרסם ביקורת מעורבת על הסרט עם ציון שלכ-3.5 כוכבים מתוך 5.
בתאוריה המתמטית של משטחים מינימליים, משפט הבועה הכפולה קובע שהצורה שתוחמת ובה בעת מפרידה בין שני נפחים נתונים ואשר לה שטח הפנים המינימלי האפשרי היא בועה כפולה סטנדרטית: שלוש כיפות כדוריות הנפגשות בזוויות של 120° לאורך מעגל משותף.
מכיוון שקרומי סבון מממשים משטחים מינימליים כאלה, המשפט מתאר למעשה את האופן שבו שתי בועות סבון כדוריות יתמזגו למשטח יחיד כאשר פני השטח שלהן באים במגע.
משפט הבועה הכפולה נוסח ונחשב לנכון במהלך המאה ה-19, והפך למוקד מחקר מרכזי ב-1989, אך לא הוכח עד 2002.
ההוכחה שנמצאה משלבת מספר מרכיבים.
הקומפקטיות של משטחים מראה שהפתרון קיים.
טיעון סימטריה מוכיח שהפתרון חייב להיות גוף סיבוב, והוכח גם שהוא חייב להיות מורכב ממספר סופי של חתיכות חלקות.
הוכחתה של ג'ין טיילור את חוקי פלטו מתארת איך החתיכות הללו חייבות להיות מעוצבות ומחוברות אחת לשנייה, ובדיקת מספר סופי של מקרים פרטיים הובילה למסקנה, שמבין כל גופי הסיבוב המחוברים בדרך זו, רק לבועה הכפולה הסטנדרטית יש שטח מינימלי.
משפט הבועה הכפולה מרחיב את אי השוויון האיזופרימטרי, לפיו העקומה בעלת ההיקף המינימלי התוחמת שטח נתון היא מעגל, והמשטח בעל שטח הפנים המינימלי העוטף נפח נתון הוא הספירה.
תוצאות אנלוגיות על המעטפת האופטימלית של שני נפחים קיימות עבור משטחים בעלי אנרגיות (מתח פנים) שונות, למידות שונות המוגדרות על המשטחים, ולמרחבים אוקלידיים מכל ממד.
צורת קרומי סבון כפתרון לבעיות איזופרימטריות
פתרון מתמטי מדויק של בעיות איזופרימטריות, השואפות לקבוע מתאר גאומטרי בעל שטח פנים (או היקף אם מדובר על שני ממדים) מינימלי תחת אילוצים מסוימים, דורש כלים הלקוחים מתחום חשבון הווריאציות, שבאמצעותם ניתן לקבוע צורת מתאר עבורה וריאציית שטח הפנים של שפת התחום מתאפסת עבור כל וריאציה משמרת נפח של התחום.
זהו התנאי המתמטי לנקודת קיצון של פונקציונל.
בעיות אלו נפתרות היטב על ידי מערכות של קרומי סבון התוחמות זורם דחוס, מכיוון שלקרומים כאלו יש אנרגיה היחסית לשטח הפנים שלהם, כך שעל פי העיקרון הפיזיקלי שמערכות מתייצבות במצב של מינימום אנרגיה נובע שקרומים אלו מקבלים צורה הפותרת את הבעיה.
ההמשגה הפיזיקלית של התחומים אותם עוטפים קרומי הסבון ככאלו המכילים זורם מועילה במיוחד בפתרון בעיות איזופרימטריות, ומשום שזורמים (נוזלים או גזים) מעבירים לחץ באופן אחיד לכל חלקיהם (חוק פסקל), ובפרט יוצרים לחץ זהה על שפת התחום.
כפועל יוצא מכך, כל וריאציה משמרת נפח אינה תורמת לאנרגיית המערכת, ומאפשרת לבודד את אנרגיית שטח הפנים, כך שמערכת של קרומי סבון התוחמים זורם דחוס אכן ממזערת את שטח הפנים.
אילולא הלחץ בתוך התחום היה אחיד, אז הזזה אינפיניטסימלית של שפת התחום בנקודה בה הלחץ גבוה לא הייתה מתקזזת אנרגטית עם הזזה אינפיניטסימלית בנקודה בה הלחץ נמוך.
כפי שיוסבר בהמשך, לרעיון זה של "לחץ פנימי", על אף שיש לו מקור פיזיקלי ולא מתמטי, יש חשיבות, למשל, בקביעת רדיוסי העקמומיות של בועה כפולה סטנדרטית.
ההקבלה הפיזיקלית הזאת מסייעת גם בפתרון שעשועי מתמטיקה העוסקים בבעיות איזופרימטריות; למשל, כיצד לחלק מצולע נתון לשני תחומים זהים בשטחם בעזרת עקומה בעלת היקף מינימלי.
במקרה זה, הרעיון של "לחץ פנימי" אחיד של הנוזל לאורך העקומה מאפשר להסיק כי עקומה זו היא בהכרח בעלת עקמומיות קבועה, כלומר קשת של מעגל.
תנאי נוסף, האנלוגי לנוסחה לזווית הרטבה מתורת הנימיות, מאפשר להסיק כי קשת מעגלית זאת בהכרח חותכת את צלעות המצולע בזוויות ישרות.
חוקי פלטו קובעים שהמעטפת החלקה למקוטעין בעלת שטח הפנים המינימלי שתוחמת נפח נתון או קבוצה של נפחים נתונים חייבת לקבל את הצורה הנצפית בבועות סבון, שבהן משטחים בעלי עקמומיות ממוצעת קבועה נפגשים בשלשות, ויוצרים זוויות דיהדרליות של 120° ( רדיאנים).
בבועה כפולה סטנדרטית, שלוש כיפות כדוריות נפגשות בזוויות הזאת לאורך מעגל משותף.
שתיים מהכיפות הכדוריות הללו יוצרות את השפה החיצונית של הבועה הכפולה בעוד שהשלישית שבחלק הפנימי מפרידה את שני הנפחים אחד מהשני.
בבועות פיזיקליות, הרדיוסים של הכיפות הכדוריות יחסיים הפוך להבדל הלחצים בין הנפחים אותן הן תוחמות, בהתאם למשוואת יאנג-לפלס.
במסגרת האנלוגיה בין בעיות מזעור שטח פנים לצורת קרומי סבון, הקשר הזה בין הלחץ לרדיוס משתקף מתמטית בעובדה שבעבור כל בועה כפולה סטנדרטית, שלושת הרדיוסים , , ו- של שלוש הכיפות הכדוריות מקיימים את המשוואה:
כאשר הוא הרדיוס הקטן יותר בין שתי הכיפות החיצוניות.
הצידוק למשוואה זו הוא שמכיוון שלכל המשטחים הכדוריים מתח פנים זהה , הלחץ בתוך כל אחד מהנפחים התחומים הוא ו- בהתאמה, כך שמכך שרדיוס העקמומיות של הכיפה הפנימית המפרידה בין הנפחים צריך לתאום להפרש הלחצים בין התחומים נובע למעשה הקשר לעיל.
בפרט, במקרה שבו שני הנפחים והרדיוסים שווים, חישוב הרדיוס האמצעי נותן ערך אינסופי, ובמקרה זה יש לפרש את המשטח האמצעי כעיגול שטוח, שהוא למעשה הגבול של כיפה כדורית בעלת רדיוס אינסופי.
משפט הבועה הכפולה קובע שבעבור כל שני נפחים, הבועה הכפולה הסטנדרטית (המצייתת לכללים שתוארו מקודם) היא הצורה בעלת השטח המינימלי שעוטפת אותם; שום קבוצה אחרת של משטחים עוטפת את אותה כמות של מרחב עם פחות שטח פנים כולל.
במישור האוקלידי, באופן אנלוגי, ההיקף הכולל המינימלי של מערכת עקומים העוטפת שני שטחים נתונים מתקבל על ידי שלוש קשתות מעגליות, עם אותו קשר בין הרדיוסים שלהם, והנפגשות באותה זווית של 120°.
בעבור שני שטחים שווים, הקשת האמצעית מתנוונת לכדי קטע של קו ישר.
הבועה הכפולה הסטנדרטית התלת-ממדית היא גוף סיבוב של הבועה הכפולה הדו-ממדית הזאת.
בכל ממד גבוה יותר, המעטפת האופטימלית של שני נפחים היא שוב שלוש כיפות של היפר-ספירות, הנפגשות כולן בזווית 120°.
באנליזה מרוכבת, למת האומדן, הידועה גם בשם אי-שוויון , היא לֶמה הנותנת חסם עליון לאינטגרל מסילתי.
החסם מאפשר לחסום אינטגרלים, למשל לצורך החישובים הנדרשים במשפט השארית.
אם היא פונקציה מרוכבת רציפה על המסילה ואם המודול שלה חסום על ידי הקבוע עבור כל על , אז:
כאשר הוא אורך המסילה .
בפרט, ניתן לקחת את המקסימום כחסם עליון.
אם מקרבים את המסילה כאיחוד סופי של קטעים קטנים, אז המקסימום של הערכים בקטעים אלה אינו רחוק מהחסם על המסילה.
לפיכך, אם מבצעים אינטגרל של המקסימום על פני כל המסילה, אז האינטגרל של על המסילה חייב להיות קטן ממנו או שווה לו.
ניתן להוכיח את האי-שוויון באמצעות הגדרת האינטגרל הקווי, אי-שוויון המשולש האינטגרלי והנוסחה עבור אורך עקומה כדלקמן:
בעיה – חשבו את האינטגרל .
פתרון – במקום לחשב את האינטגרל בגבולות המבוקשים, נקרב את ונשאיף את לאינסוף.
לשם כך נשלים את קטע האינטגרציה למסילה סגורה, על ידי הוספת חצי המעגל מ- לכיוון (נגד כיוון השעון).
את חצי המעגל הזה נסמן ב-.
לפי משפט השארית, האינטגרל הזה שווה ל- כפול סכום השאריות בכל נקודות הסינגולריוּת.
הסינגולריות היחידה של הפונקציה בתוך המסילה היא בנקודה .
; ומכאן שהשארית, שהיא המקדם של
מכאן נובע שהאינטגרל על פני כל המסילה הוא .
אורכו של מסלול האינטגרציה הוא חצי היקף מעגל שרדיוסו , ומכאן .
מאי-שוויון המשולש ניתן לראות כי:
הערך הזה שואף לאפס כאשר שואף לאינסוף, ומכאן ש-.
בגאומטריה, משפט ההפרדה הבסיסי עוסק בקשר בין קבוצות קמורות ונקודות שנמצאות מחוץ לקבוצה.
המשפט טוען שבהינתן נקודה שלא נמצאת בקבוצה הקמורה תמיד ניתן יהיה למצוא היפר-מישור שיפריד את הקבוצה מהנקודה.
תהי קבוצה קמורה וסגורה במרחב האוקלידי ויהי המקיים אז קיים וקטור ומספר כך ש:
נתון קמורה וסגורה ולכן ממשפט הקירוב הטוב ביותר קיים שהוא הווקטור הקרוב ביותר ל ב.
מעובדה זו, נובע אי השוויון הבא:
ברור ש ו- לכל .
אם כך אז לכל .
משפט הגבול של פואסון (לעיתים נקרא גם "חוק האירועים הנדירים") הוא משפט מרכזי בתורת ההסתברות, הקובע כי בהינתן מספר רב של ניסויים בלתי-תלויים בעלי הסתברות הצלחה קטנה בכל ניסוי, התפלגות פואסון מהווה קירוב מוצלח להתפלגות בינומית
המשפט מתאר כיצד ניתן להבין אירועים נדירים באמצעות חלוקה של הזמן או המרחב לאינטרוולים קטנים מאוד, כך שההסתברות ששני אירועים יתרחשו באותו אינטרוול היא זניחה.
כאשר מספר האינטרוולים גדול מאוד, מספר האירועים הכולל יתפלג בקירוב כהתפלגות פואסון.
באופן פורמלי, אם נסמן את מספר האירועים הכולל באינטרוול כולו כ-, ניתן לחלק את האינטרוול ל- תתי-אינטרוולים קטנים בגודל שווה, כך ש- (על מנת להבטיח שהתתי-אינטרוולים יהיו קטנים מספיק).
בהינתן שההסתברות להתרחשות אירוע בכל תת-אינטרוול היא , ניתן לדמות את התהליך כסדרת ניסויי ברנולי, שבהם כל תת-אינטרוול נחשב לניסוי שבו האירוע מתרחש בהסתברות .
לכן, מספר האירועים הכולל נוטה להתפלגות בינומית .
כאשר לוקחים את הגבול , ההתפלגות הבינומית מתכנסת להתפלגות פואסון .
למעשה, התפלגות פואסון מהווה קירוב להתפלגות הבינומית כאשר גדול ו- קטן כך ש- נשאר קבוע.
קירוב זה מועיל במיוחד כאשר נדרשת הערכת ההסתברויות ללא חישוב ישיר של המקדם הבינומי.
במובן זה, משפט הגבול של פואסון מראה כיצד להתפלגות הבינומית יש "גבול פואסוני" בתרחישים של אירועים נדירים, ומהווה מקרה פרטי של הכללה רחבה יותר, כמו משפט לה קאם, המאפשר לכל אחד מהניסויים להיות בעל הסתברות הצלחה שונה, כל עוד סכום ההסתברויות נותר קבוע.
תהי סדרה של מספרים בקטע כך ש- כאשר .
נגדיר (כלומר מתפלג בינומית עם ניסויים והסתברות הצלחה בכל ניסוי).
אזי לפי משפט הגבול של פואסון, לכל מתקיים:
כלומר שואף בהתפלגותו להתפלגות פואסון עם הפרמטר .
באופן שקול, ההתפלגות הבינומית מתכנסת להתפלגות כאשר (במובן של התכנסות נקודתית של פונקציות הסתברות).
הוכחה: עבור קבוע, נניח (המקרה טריוויאלי, שכן אם אז עבור גדול מספיק קטן מאוד כך ש- בהסתברות כמעט 1, בדומה להתפלגות פואסון עם ).
שהוא בדיוק מקדם ההסתברות של , כנדרש.
משפט הגבול של פואסון מספק בסיס תאורטי למודלים של ספירת אירועים נדירים בתחומים רבים בסטטיסטיקה ובפיזיקה.
מספר הזוכים בהגרלת לוטו כאשר ההסתברות לזכייה בודדת נמוכה מאוד.
מספר ההתפרקויות של אטומים רדיואקטיביים בפרק זמן קצר.
מספר שיחות הטלפון הנכנסות למוקד שירות בפרק זמן נתון.
מספר שגיאות הדפוס בדף מודפס (כאשר כל מילה מוגהה בהסתברות גבוהה).
מספר מוטציות בקטע DNA בעקבות חשיפה לקרינה.
דוגמה היסטורית מפורסמת היא הניתוח של הסטטיסטיקאי לדיסלאוס בורטקיביץ, שהראה כי מספר החיילים בצבא הפרוסי שנהרגו מבעיטת סוסים בשנה מסוימת מתאים מאוד להתפלגות פואסון.
משפט הגבול של פואסון קשור למספר משפטי גבול בתורת ההסתברות:
מצב זה מכונה לעיתים "משטר תוחלת גדלה", ובו מספר ההצלחות הצפוי הוא בסדר גודל גדול (ככל ש- גדול).
זוהי למעשה התוצאה שמתוארת על ידי משפט דה מואבר-לפלס.
מאחר שניתן לראות בכל התפלגות בינומית כסכום של התפלגויות ברנולי בלתי תלויות שלכולן אותה הסתברות , נקבל שהנחה מרכזית במשפט הגבול של פואסון, אם נסתכל עליו כעל משפט שמתייחס לסכום של התפלגויות ברנולי, היא שכל משתני הברנולי הם בעלי אותה הסתברות הצלחה.
משפט לה קאם מרחיב את משפט הגבול של פואסון בכך שהוא מאפשר הסתברויות הצלחה שונות בין המשתנים.
אם נתון רצף של משתני ברנולי בלתי-תלויים עם הסתברויות , והתוחלת הכוללת שואפת לערך קבוע , אז סכום המשתנים מתפלג בקירוב כהתפלגות פואסון .
משפט הגבול של פואסון מתקבל כמקרה פרטי של משפט לה קאם כאשר לכל המשתנים יש אותה הסתברות הצלחה , כך ש-.
אם קטן מאוד ו- כאשר , ממשפט לה קאם התפלגות סכום המשתנים מתכנסת להתפלגות פואסון .
בפרט, במקרה בו כל המשתנים חולקים את אותה הסתברות , סכום המשתנים מתפלג בדיוק כהתפלגות בינומית , ולכן משפט לה קאם מחזיר אותנו למשפט הגבול של פואסון.
משפט הטבע היא אחת מגישות המשפט הקלאסיות ובבסיסה ניצבת העמדה כי קיים חוק טבעי נצחי, לא משתנה, שטבוע בעולם ובאדם.
לפי הגישה הטבע משקף את החוכמה האלוהית וגילויו של החוק ניתן להסקה מתוך הטבע על ידי חשיבה רציונלית.
משפט הטבע הוא נורמה הקיימת באופן עצמאי, ואינה תלויה בחוק שנחקק על ידי בני אדם תחת משטר מסוים, בחברה או במדינה.
קרי, עיגונה של הנורמה בחוק הוא הצהרתי בלבד, שכן הנורמה קיימת גם ללא החוק.
למונח משפט הטבע מספר שימושים ויש לו מקום בפילוסופיה של המשפט, בהשקפת עולם, או כסוג מיוחד של חוק, בהתאם לנסיבות שבהן נעשה שימוש במונח.
תורת משפט הטבע הוצגה לראשונה על ידי אריסטו ומאוחר יותר אומצה לתוך הנצרות על ידי תומאס אקווינס.
הבנה אחת של המושג "משפט הטבע" היא "חוק של הטבע" – זאת אומרת, העיקרון כי הדברים הם צריכים להיות כמו שהם, כיוון שכך הם.
שימוש כזה במונח נמצא באופן מיוחד בסקוטלנד, שם המונח "משפט הטבע" תופס מקום מקביל למשפט האזרחי ולמשפט הפלילי והשימוש בו אינו מוגבל לבני אדם.
מנקודת מבט פילוסופית, במסורות המשפט האנגלי והאמריקאי, העקרונות של משפט הטבע באים לידי ביטוי, בין במפורש או במשתמע, במסמכים כגון המגנה כרטה והצהרת העצמאות של ארצות הברית, שם מתייחסים לזכויות, באופן ישיר או עקיף, כזכויות טבועות.
לדוגמה הביטוי: "...שהרי כל בני האדם נבראו שווים, ובוראם העניק להם זכויות שאין ליטול מהם" מבטא את הרעיון כי מדובר בזכויות טבעיות שתוקפן אינו מותנה בעיגונם בחוק.
המילים המקדימות משפט זה: "אנו סבורים שאמיתות אלה ברורות מאליהן", מביעות בצורה מפורשת השקפה פילוסופית של משפט הטבע.
בבסיס המשפט הטבעי עומדות שתי טענות בסיסיות:
פילוסופית אתית – יש בתחום המוסר עקרונות אובייקטיביים המחייבים את כל בני האדם בכל החברות ותוקפו לא תלוי בהסכמים של קבוצה מסוימת או אחרת.
פילוסופיה משפטית – נורמה שקובעים בני אדם בחברה מסוימת יכולה להיות חוק בעל תוקף משפטי רק אם אינה מנוגדת לעקרונות המוסר האובייקטיביים של המשפט הטבעי.
שתי טענות אלו משקפות שני שלבים: הראשון מניח כי ישנם עקרונות שמקובלים על כל בני האדם בעולם, השני קובע כי המשפט חייב להתאים לעקרונות אלו.
אריסטו בספרו אתיקה ניקומאכית קובע את מושג "הצדק הטבעי" האוניברסלי שמקובל על הכול - ישנו משהו משותף כללי וצודק שממנו נובעים החוקים שבני האדם קובעים.
תומאס אקווינס בספרו סומה תאולוגיה משלב את מערכת הדת עם תפיסת המשפט הטבעי.
אקווינס מבחין בין ארבעה סוגי חוקים:
חוק נצחי (lex aeterna) – מתפקד כעיקרון על בדומה לאידיאות של אפלטון.
בגלל עליונותו לא יכול להיות מושג על-ידי בני האדם במלואו.
החוק הטבעי הוא חלק מן החוק האלוהי.
חוק אלוהי (lex divina) – נמסר לבני האדם באמצעות כתבי הקודש וההתגלות.
חוק טבעי (lex naturalis) – ההשתתפות של האדם במחשבה האלוהית וקבלת כללי התנהגות.
לבני האדם יש מספר נטיות שהם מפתחים (להתקיים, לגדול, להתנסות חושית...) והמשפט הטבעי מבוסס על נטיות האדם כיצור רציונלי.
האדם מסיק את המשפט הטבעי מתוך התבוננות בטבע.
חוק אנושי (lex humana)– חוק של המושל.
מהווה קונקרטיזציה של המשפט הטבעי וחייב להתאים לו.
משפט הטבע כפי שהוא מנוסח בספרו של תומאס הובס "לויתן", הוא ציווי, או כלל, אשר אפשר לבררו בהיגיון ולפיו אסור על האדם לעשות מעשה שהוא מזיק לחייו, או מסכן את אפשרות קיומם, או להפסיק את אותם אמצעים המאפשרים את קיומם.
שני הראשונים מפורטים בפרק י"ד ויתרתם בפרק ט"ו של הספר:
"כל אדם חייב לשאוף לשלום, במידה שתקוה לו להשיגו; וכשאינו יכול להשיגו, זכאי הוא לבקש ולנצל את כל אמצעי-הסעד והיתרונות של מלחמה".
"יהי אדם נכון, כשגם אחרים נכונים לכך, לנטוש את זכותו זו לכל דבר, במידה שימצא לנחוץ למען השלום ולשם הגנה על עצמו; ויהי מסתפק באותה מידה של חירות כלפי בני-אדם אחרים, שהיה מניח בידם ביחס לעצמו."
"הצדק" - "הכורת אמנה חייב לקיימה".
חוק טבעי זה הוא יסוד ומקור הצדק.
כאשר נכרתת אמנה, הפרתה כרוכה באי-צדק והגדרת אי-צדק איננה אחרת מאשר אי-קיום אמנה.
וכל אשר אינו בלתי צודק, הוא צודק.
"הכרת טובה" – "המקבל טובה מאחר מתוך חסד גרידא, יהיה משתדל שהגומל אותה לא תהא לו סיבה סבירה להתחרט על רצונו הטוב".
הפרת חוק זה נקראת כפיות טובה.
"הסתגלות הדדית או נוחות לבריות" – "יהי כל אדם מתאמץ להסתגל לשאר הבריות".
"נכונות למחול" – "כשהעבריין מביע חרטה ומבקש מחילה, חייב אדם למחול את חטאיו בעבר, ובלבד שתהא נתונה ערובה לעתיד."
"שבמעשי נקם יש לחשוב רק על הטובה העתידה" – "כשאדם לוקח נקם, אל יהי נותן דעתו על גודל הרעה בעבר, אלא על גודל הטובה שתבוא בעקבותיו".
החוק אוסר על הטלת עונש אלא מתוך כוונה לתקן את דרכו של העבריין.
"נגד עזות פנים" – "אל יהי אדם מכריז במעשה, בדיבור, בהבעת פנים, או במחווה, על שנאתו או על בוז לבו לזולת".
"נגד הגאווה" – "יהי כל אדם מכיר בחברו כשווה לו על-פי הטבע"
"נגד השחצנות" – "כשבני-אדם עושים שלום ביניהם, אל יהי שום אדם דורש שתהא שמורה לו זכות כל-שהיא, שלא היה מסכים שתהא שמורה לכל אחד ואחד מן השאר".
"דין-יושר" – "מי שבוטחים בו וממנים אותו שופט בין אדם לחברו, יהיה פוסק ביניהם ביושר, על פי קנה-מידה שווה".
"שימוש שווה בדברים משותפים" – "דברים שאי-אפשר לחלקם לחלקים, יש להשתמש בהם במשותף, אם מן האפשר הוא; ואם כמות הדבר מניחה זאת, בלא הגבלה; ואם לאו, באורח פרופורציוני למספרם של בעלי הזכות".
"בדבר הפלת גורל" – באשר למקרים שבהם לא ניתן לחלקם ולא להשתמש במשותף ואז "הזכות כולה, או – במקרה של שימוש לסירוגין – החזקה הראשונה, תהא נקבעת על ידי הפלת גורל"
"בדבר בכורה, ובדבר תפישה ראשונה" – אותם דברים שלא ניתן להשתמש בהם במשותף ואף לא לחלקם לחלקים ואשר לא הסכימו על הפלת גורל, הרי שיהיו של התופש ראשון או הבכור.
"בדבר מתווכים" – "כל הבא לתווך לשם שלום, יש לאפשר לו מעבר בטוח"
"בדבר מסירת סכסוכים לבוררות" – "בכל סכסוך יהיו הצדדים מוסרים את קביעת זכותם למשפטו של בורר".
"שום אדם אינו דיין לעצמו" ואשר משמעותו היא כי אדם אינו יכול לשמש כבורר לענייניו שלו.
"לא יהא שופט מי שיש בו סיבה טבעית למשוא-פנים"
"בדבר עדים" כאשר קיימת מחלוקת עובדתית וכאשר אין לשופט ראיות נוספות להכריע בין עדות אחת למשנייה, יש להאמין למספר העדים הגדול יותר.
גישות של משפט הטבע בעולם המודרני
כיום יש ניסיון להוציא את המשפט הטבעי מהדת ולחבר אותו למוסר האוניברסלי.
המשפט הטבעי מבוסס על חשיבה של האדם על מה שטוב ואין צורך בהוכחה.
אם החוק סוטה מהטוב הבסיסי (חיים, ידע, הגיון, דת...) יש לו פחות תוקף מוסרי – הוא לא בטל אך הוא מבוקר על ידי המשפט הטבעי.
המשפט הטבעי מפסיק להיות מקור תוקף למשפט הפוזיטיבי והופך להיות כלי פרשני לביקורת עליו.
הבסיס למשפט הטבעי נלמד מהסכמות משותפות לכלל בני האדם.
לכל קהילה יש טובים אנושיים שונים שנובעים מתפיסות מוסריות שונות ולכן המשפט הטבעי אינו מקור לדין הרצוי אלא רק ביקורת עליו.
מקור התוקף של המשפט הוא פוזיטיבי.
בעבר - גם אנשי המשפט הטבעי וגם הפוזיטיביסטים מסכימים לטענה הראשונה לפיה יש מוסר שמקובל על כולם.
הטענה השנייה (שהחקיקה המשפטית האנושית חייבת להתאים למשפט הטבע) נמצאת במחלוקת.
הפוזיטיביסטים טוענים שיש הפרדה בין המוסר למשפט ואנשי המשפט הטבעי טוענים שהמוסר עומד מאחורי כל חוק.
כיום – לאור מגמת הרב-תרבותיות, דווקא הטענה הראשונה נמצאת במחלוקת.
לטענת המבקרים, האמונה שקיים מוסר אוניברסלי אחד לכל האנושות היא בעייתית.
הניסיון לקבוע מוסר אוניברסלי אחד נתפס בעיניהם כניסיון של תרבות מערב שמתנשא ומנסה להשליט את ערכיו על כל העולם.
לכן, כשתוקפים את הטענה הראשונה של המשפט הטבעי, גם הטענה השנייה נופלת כי אין מוסר משותף שמכריע בכל מקום.
פוזיטיביזם גובר על המשפט הטבעי כי הוא מסכים שיש עקרונות מקובלים בכל חברה שצריך לכתוב אותם ובכך מתאפשרת בקרה פוזיטיביסטית על כללי המשפט שלנו.
מערכת המשפט בארץ מתנגדת בעיקרון למשפט טבעי ומסתמכת בפסקי הדין על חוק רשום.
חריג יחיד לכך הוא במשפטי הנאצים אולם גם בהם ההסתמכות העיקרית היא על מוסר שמקובל בעולם כולו – מוסר אוניברסלי.
במקומות שיש בהם חוסר ניתן להשתמש בעקרונות השיטה המקובלים במערכת.
גם הפוזיטיביסטים יסכימו למהלך כזה בתנאי שהמשפט הטבעי יתקבל כאמצעי ביקורת ולא כמייצר דין חדש.
יישום המשפט הטבעי בפסיקה בישראל
פסק דין חשוב, העוסק בשאלת "המשפט הטבעי" ומהווה אבן דרך בשיטת המשפט הישראלית, ובהיסטוריה של בית המשפט העליון הוא ע"ב1/65 ירדור נ.
יו"ר ועדת הבחירות המרכזית לכנסת השישית, פ"ד יט (3), 365 (פסק דין ירדור).
המדובר בערעור על סירובה של ועדת הבחירות המרכזית לאשר השתתפותה בבחירות לכנסת השישית של "רשימת הסוציאליסטים", רשימה שחלק מחבריה היו אף חברים בארגון הבלתי חוקי "אל ארד".
בערעור דנו שלושת שופטי בית המשפט העליון, שמעון אגרנט, חיים כהן, ויואל זוסמן.
שלושתם נמנים עם גדולי המשפטנים שקמו במדינת ישראל.
אגרנט וזוסמן הפכו מאוחר יותר נשיאי בית המשפט העליון וכהן המשנה לנשיא בית המשפט העליון.
חיים כהן ייצג את הגישה הפוזיטיביסטית, כאשר קבע כי אם אין למצוא חיקוק מפורש מכוחו יכולה ועדת הבחירות לפסול רשימה מלרוץ לבחירות, הרי שאין בכוחה של הוועדה לפסול את הרשימה, ואחת היא עד כמה יהיו חבריה מסוכנים, וכדבריו:
לפי החוק הקיים במדינה, אשר בה שולט החוק, אין שוללים זכות מאדם, ויהא הוא הפושע המסוכן והבוגד הנבזה ביותר, אלא בהתאם לחוק בלבד.
לא ועדת הבחירות המרכזית ולא בית משפט זה מחוקקים במדינה הזאת: הכנסת היא הרשות המחוקקת, והיא אשר מסמיכה את מוסמכיה, אם רצונה בכך, לעשות לאיש כדרכיו וכפי מעלליו.
בהיעדר הסמכה כזאת מאת המחוקק, לא ההיגיון ולא הכורח ולא אהבת המולדת ולא שום שיקול אחר, יהא אשר יהא - מצדיקים עשיית דין על דעת עצמו ושלילת זכות הזולת.
המדובר בניתוח החוק באופן פוזיטיביסטי, השואל את השאלה לא "מהי הנורמה המשפטית הרצויה", אלא "מהי הנורמה המשפטית הקיימת".
השופט יואל זוסמן בחר בדרך אחרת.
השאלה היא, לדעתו, אם צריכה ועדת הבחירות המרכזית להסתפק בחוק הרשום עלי ספר, או שמא צריכה היא לשקול שיקולים ועקרונות שאינם רשומים בספר החוקים, והם שיאירו את דרכה.
השופט זוסמן קבע כי בנוסף לאות הרשומה של החוק על ועדת הבחירות המרכזית לקחת בחשבון את השיקול הטבעי והמובן מאליו, של זכות ההתגוננות של המדינה מידי אויביה מבפנים ומבחוץ.
כאן מאמץ השופט זוסמן את גישת "המשפט הטבעי" באופן מפורש, תוך שהוא יוצא באופן חזיתי נגד גישתו הפוזיטיביסטית של חברו השופט כהן, תוך שימוש בלקחי השואה, שמהווה כיום אחד הבסיסים האידאולוגיים המוצקים למצדיקי המשפט הטבעי.
גישה זו היא גישה מעט מרוככת מגישתו של השופט זוסמן.
פסק דין ירדור מהווה את אחת הדוגמאות הטובות ביותר להתנגשות בין "הפוזיטיביסטים" ובין "אנשי המשפט הטבעי", וזאת בדור שחווה את השואה, בה נעשה שימוש במערכת משפטית שלמה ובעלת הגיון פנימי, על מנת לעשות מעשים נוראים המנוגדים למוסר האנושי הבסיסי ביותר.
אם כי בדיון זה קיבל בית המשפט את טענת "המשפט הטבעי" ישנן דוגמאות רבות לפסיקה "פוזיטיביסטית", ולא ניתן לומר כי אחת השיטות היא השיטה הדומיננטית במשפט ארצנו.
אחרי מספר שנים, בספרו על פרשנות, מפנה השופט חיים כהן את הקורא לדעת הרוב בירדור, ומתעלם כליל מדעת היחיד שלו עצמו.
משפט המודולריות, המוכר גם בשם משפט טניאמה-שימורה, מקשר בין עקומים אליפטיים ותבניות מודולריות, שני תחומים מתמטיים שלכאורה נראים נפרדים.
משפט המודולריות הוא אחד המשפטים המרכזיים בתורה האריתמטית של עקומים אליפטיים.
יהא עקום אליפטי שמוגדר מעל שדה המספרים הרציונלים.
המשפט טוען שיש מספר טבעי N והעתקה לא קבועה , כאשר הוא העקום המודולרי מדרגה N.
ניסוח שקול הוא שפונקציית L של העקום היא תבנית מודולרית ממשקל 2. הקשר בין הניסוחים הוא שאם היא העתקה לא קבועה ו- היא 1-תבנית הולומורפית על (יש אחת כזאת, עד כדי כפל בסקלר), אז המשיכה לאחור היא תבנית מודולרית ועל פי תורת אייכלר-שימורה, מתאימה לפונקציית L של .
המשפט נוצר תחילה כהשערה שנוסחה על ידי המתמטיקאי היפני הצעיר יוטאקה טניאמה בספטמבר 1955 ובוססה לאחר מכן על ידי עמיתו גורו שימורה, ועל שמם נקרא המשפט.
ההשערה נודעה במערב לאחר שאנדרה וייל הקדיש לה מאמר, שבו הציג ראיות התומכות בה.
ההשערה קובעת שכל עקום אליפטי המוגדר מעל הרציונליים הוא "מודולרי" (כלומר, פונקציית L של העקום מתלכדת עם פונקציית L של תבנית מודולרית).
כבר לפני שנמצאה להשערה זו הוכחה, נכתבו מאמרים על התוצאות שאפשר יהיה להסיק ממנה, כאשר תוכח.
בשנת 1984 הראה המתמטיקאי גרהארד פריי שמתוך דוגמה נגדית למשפט האחרון של פרמה ניתן לבנות עקום אליפטי לא מודולרי, דבר אשר מוכיח כי נכונות השערת טניאמה-שימורה תגרור את נכונות המשפט האחרון של פרמה.
טענה זו נודעה בשם "השערת האפסילון" והוכחה בידי קן ריבט.
בשנת 1995 הצליח אנדרו ויילס, לאחר 7 שנות עבודה להוכיח את נכונות השערת טניאמה-שימורה עבור תת-קבוצה חשובה של עקומים אליפטיים ("המקרה היציב למחצה").
די היה בהוכחה זו כדי להוכיח את המשפט האחרון של פרמה.
לשם כך, חקר ויילס הצגות גלואה (שהיא הצגה של חבורת גלואה האבסולוטית של הרציונליים) המתקבלות מן העקום האליפטי, תבניות מודולריות, וערכים מיוחדים של פונקציות L המתאימות.
בשנת 1996 ניתן פרס וולף לאנדרו ויילס ולרוברט לנגלנדס על התקדמותם המזהירה לקראת הוכחת המשפט.
ההוכחה למשפט טניאמה-שימורה במלואה ניתנה בשנת 1999 על ידי קבוצה של ארבעה מתמטיקאים, ובהם ריצ'רד טיילור, תלמידו לשעבר של ויילס.
טיילור נעזר ברעיונות של ויילס כדי לפתור את השערת ארטין עבור הצגות גלואה שתמונתן בחבורת המטריצות היא חבורת התמורות הזוגיות .
משפט טניאמה-שימורה מהווה מקרה פרטי של סדרה מרחיקת לכת של השערות הקרויה תוכנית לנגלנדס.
בטופולוגיה, משפט החיתוך של קנטור נותן תנאי שקול לשלמות של מרחב מטרי.
משפט זה מהווה הכללה של הלמה של קנטור מחשבון אינפיניטסימלי, וקרוי על שמו של גאורג קנטור.
סדרה יורדת של קבוצות היא סדרת קבוצות מהצורה .
קוטר של קבוצה במרחב מטרי הוא .
המשפט קובע כי מרחב מטרי הוא שלם אם ורק אם לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות ולא ריקות במרחב בעלות קוטר ששואף לאפס, חיתוך כל קבוצות הסדרה אינו ריק.
קל לראות שבמקרה כזה, החיתוך מכיל נקודה יחידה.
דוגמה לשימוש במשפט זה היא העובדה שכל קבוצה סגורה ובת מניה של מספרים ממשיים, מכילה נקודה מבודדת.
זאת כי אם קבוצה כזאת, באינדוקציה ניתן להראות שיש סדרה יורדת של קטעים סגורים , כך שהקטע נחתך עם אך לא מכיל את הנקודה .
ממשפט החיתוך של קנטור עבור יש נקודה של בחיתוך, מה שמוביל לסתירה.
חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם
משפט החיתוך קובע שאם הקבוצות הסגורות מהוות סדרה יורדת שבה הקוטר שואף לאפס, אז יש נקודה משותפת לכולן.
ממבט ראשון נראה שהדרישה על הקוטר מיותרת, שהרי אם מרשים לקבוצות להיות 'גדולות יותר', יהיה קל להן יותר להחזיק נקודה משותפת.
אכן, זה המצב אם מניחים שהקבוצות קומפקטיות: אם נבחר נקודה מכל קבוצה, תהיה לסדרה הנוצרת תת-סדרה מתכנסת בגלל הקומפקטיות, ונקודת הגבול משותפת לכל הקבוצות.
במקרה זה אין צורך להניח שהקוטר שואף לאפס.
אגב, מספיק להניח שהקבוצה הראשונה בסדרה היא קומפקטית, משום שקבוצות סגורות יורשות תכונה זו מן המרחב העוטף אותן.
גם ההנחה שהקבוצות חסומות כליל תספיק, משום שהמרחב שלם על-פי ההנחה.
מאידך, לסתם סדרה יורדת של קבוצות סגורות יכול להיות חיתוך ריק.
לדוגמה, הקטעים על הישר הממשי.
אפילו אם הקבוצות חסומות, החיתוך יכול להיות ריק; לדוגמה, הקבוצות במרחב בנך , כאשר הם אברי הבסיס הסטנדרטי - זו סדרה יורדת של קבוצות סגורות וחסומות, שאין להן אף נקודה משותפת.
כאשר המרחב שלם ו- היא סדרה יורדת של קבוצות סגורות, אפשר לבחור נקודה בכל קבוצה.
מכך שקוטר הקבוצות שואף לאפס נובע שהסדרה היא סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
מכיוון שכל הקבוצות סגורות, נקודת הגבול שייכת לכולן ולכן לחיתוך שלהן.
בכיוון ההפוך, תהי סדרת קושי נתונה.