tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
חישוב של רכיבים אלה מתוך המדד נותן
כאשר יכול להיות אפס, חיובי או שלילי ואינו מוגבל ל-±1.
ניתן לתאר מרחב איזוטרופי והומוגני על ידי המטריקה
בגבול שבו קבוע העקמומיות () גדל לאינסוף, מתקבל מרחב אוקלידי שטוח.
גבול זה שקול למקרה .
אם אינו אפס המרחב אינו אוקלידי.
כאשר אומרים שהמרחב סגור או אליפטי.
כאשר אומרים שהחלל פתוח או היפרבולי .
סכום הזוויות של משולש, השוכן על פני משטח של מרחב פתוח, יהיה קטן מ-180°.
סכום הזוויות של משולש, השוכן על פני משטח של מרחב סגור, יהיה גדול מ-180°.
מרחב מוגן היא סדרת רשת קומית ישראלית משנת 2023. הסדרה נוצרה ונכתבה על ידי אנה פתחוב ובוימה על ידי אייל דיקמן.
הסדרה הועלתה לאתר יוטיוב מ-24 באוגוסט עד 5 בספטמבר 2023.
לאחר שהמבצע הצבאי "אגרוף פלדה" יוצא לדרך ואזעקות הטילים כולאות את תושבי באר שבע בבתים, מנסים גיבורי הסדרה, סטודנטים תושבי העיר באר שבע, לדבוק בשגרת חיים נורמלית במציאות לא נורמלית.
למשל, לצאת לדייטים תחת יירוטים, לעשות סקס בממ"ד לפני שהמשפחה תכנס להסתתר שם, להיפגש בבר הנרגילות הכושל אך היחיד שפתוח, ובעיקר – להתעלם מהמציאות בה הם נמצאים ולהסתער על החיים, לפני שהחיים יסתערו עליהם בחזרה.
כי כאשר כל רגע יכול ליפול עליך טיל ולהרוג אותך – התאווה לטרוף את העולם מתעוררת ומורידה אותך מהפסים.
אנה (אנה פתחוב) – סטודנטית למשחק, ילדותית, עקשנית ורגילה לקבל כל מה שהיא רוצה בדרך שלה.
מסתערת על החיים לפני שהם יסתערו עליה חזרה.
ניצן (ניצן רוטשילד) – בן זוגה של אנה והשמאלן הטרגי – עושה הכול למען דו קיום אך יוצא לו גזעני.
מרוב כוונות טובות – רק מחמיר את מצבו.
כרוך אחרי אנה ויעשה כל שתבקש.
דפי (דני הרציאנו) – ג'ינג'ית אליטיסטית מהצפון שנאלצת "להתלכלך" עם החיים בבאר שבע.
סטודנטית למגדר שתעשה הכול כדי למצוא את בן הזוג המושלם.
אופק (דניאל אנגל) – השכן התימהוני של דפי, חובב ניקיון וירקות, מובטל וטוב לו עם זה.
בחור תמים ובעל ראייה חיובית על העולם ועל עצמו.
חי את הרגע, אז אל תהרסו לו.
דור (דור ברנס) – בעל בר-נרגילות כושל בשם "מרחב מוגן" בו החברים מבלים.
חשובה לו התדמית והפיכת הבר למקום המגניב ביותר בישראל.
נופר (נופר ברנס) – בת הזוג של דור וסטודנטית לתקשורת.
שאפתנית שתמיד רודפת אחרי הכתבה המנצחת, גם אם זה יעלה לה בפגיעה בסביבתה.
תכלת (תכלת פז) – בת דודתו המביכה של דור.
היא פרפורמרית אקסצנטרית, נפש אומן מיוסרת, שרותמת את המלחמה למען יצירת האומנות הקדושה והנעלה ביותר.
ירון (אלירן הרוש) – סטודנט להנדסה.
חתיך, עשיר, עם דיבור צבאי והסגברה, דוש שמאוהב בעצמו ובטוח שהוא הגבר שאת צריכה להביא להכיר להורים שלך.
יוצרת הסדרה אנה פתחוב, הייתה השואורנרית, כתבה, הפיקה, ערכה וידאו של חלק מהפרקים ושיחקה.
הסדרה בוימה על ידי אייל דיקמן במסגרת פרויקט הגמר בלימודי קולנוע וטלוויזיה בפקולטה לאמנויות ע"ש יולנדה ודוד כץ.
הסדרה יצאה ב-26 באוגוסט 2023, כחודש לפני טבח שבעה באוקטובר.
מאז, הסדרה זכתה להצלחה, ערוץ היוטיוב הגיע כמעט למיליון צפיות, פרק ראשון על 117 אלף, הסדרה מרחב מוגן התקבלה ל-11 פסטיבלים ברחבי העולם וזכתה בתואר הקומדיה הכי טובה בפסטיבל אופוליה באיטליה ובבחירת הקהל בסדרות עצמאיות בפסטיבל צ'לסי בניו יורק.
עלתה לחמישיית הגמר בפרסי האקדמיה לטלוויזיה 2023 בקטגוריית סדרת רשת.
הסדרה השתתפה ב-11 פסטיבלים שונים ברחבי העולם, כגון die Seriale,L.A Webfest,Rio Webfest Apulia ועוד.
בדצמבר 2024 הסדרה התקבלה לפסטיבל Hollywood Series המהדורה ה-8, והתמודדה ב-7 קטגוריות שונות, שיא של הסדרה בפסטיבל אחד: הסדרה הכי טובה, הקומדיה הכי טובה, היוצרת הכי טובה, הבמאי הכי טוב, השחקנית הכי טובה לאנה פתחוב, שחקנית המשנה הכי טובה לנופר ברנס והמוזיקה הכי טובה.
ב-31.12.24 הסדרה זכתה בקטגוריה - הסדרה הכי טובה בכל הז'אנרים בפסטיבל Hollywood Series, הזכייה השלישית של "מרחב מוגן" בעולם.
קשירוּת היא תכונה העשויה לאפיין מרחב טופולוגי.
היא מבחינה בין מרחבים שהם "חתיכה אחת" לבין מרחבים שאפשר לפרק לכמה מרכיבים שונים.
דוגמאות למרחבים קשירים: מרחב המספרים הממשיים (), הקטע הממשי , המישור (), ריבוע במישור.
דוגמאות למרחבים לא קשירים: הישר הממשי שהוציאו ממנו נקודה אחת, האיחוד של שני הקטעים ו־.
מרחב שאינו קשיר, ניתן לחלק לתתי מרחבים קשירים באופן השומר על התכונות הטופולוגיות, ולכן במקרים רבים די ללמוד את הטופולוגיה של מרחבים קשירים.
זוג של קבוצות פתוחות זרות במרחב טופולוגי, שאיחודן שווה לכל המרחב, נקרא פירוק של המרחב.
אם אחת משתי הקבוצות היא הקבוצה הריקה והשנייה היא כל המרחב, הפירוק נקרא טריוויאלי.
מרחב שהפירוק היחיד שלו הוא הפירוק הטריוויאלי נקרא מרחב קשיר.
מרחב המספרים הממשיים הוא קשיר.
אומנם אפשר להציג את כאיחוד של שתי קבוצות זרות, למשל , אבל אינה פתוחה ב־.
לא ניתן להציגו כאיחוד של שתי קבוצות פתוחות זרות.
מרחב המספרים הממשיים, שהוציאו ממנו את הראשית, אינו קשיר.
ניתן להציג אותו כאיחוד של שתי קבוצות פתוחות: .
לעומת זאת, המישור, שהוציאו ממנו את הראשית (או קבוצה בת־מניה כלשהי של נקודות), הוא עדיין קשיר.
ניתן להציג אותו כאיחוד של שתי הקבוצות , .
הקבוצות הללו הן אומנם סגורות ב־ אבל הן פתוחות במרחב .
באופן כללי: תת־מרחב של הוא קשיר, אם ורק אם הוא קטע.
מרחב המספרים הרציונליים אינו קשיר, וכך גם קבוצת קנטור.
מכיוון שהמשלים של קבוצה פתוחה הוא קבוצה סגורה, הקבוצות המהוות פירוק של המרחב הן גם סגורות.
מכאן עולה שמרחב הוא קשיר אם ורק אם אי אפשר לכתוב אותו כאיחוד זר של שתי קבוצות סגורות זרות (לא ריקות).
אותו טיעון מעיד על נוסח שקול נוסף: מרחב הוא קשיר אם ורק אם אין לו תת־קבוצה לא טריוויאלית (לא הקבוצה הריקה ולא המרחב כולו) שהיא פתוחה וסגורה כאחת.
קבוצה כזאת נקראת "סגוחה" (הלחם בסיסים של סגורה+פתוחה; באנגלית: clopen).
תנאי נוסף השקול לקשירות הוא תכונת ערך הביניים: מרחב הוא קשיר, אם ורק אם לכל פונקציה רציפה מ־ אל (המספרים הממשיים), התמונה היא קטע ב־.
הוכחת שקילות: אם לא קשיר, הפונקציה ששולחת את אחת מהקבוצות הפתוחות ל־ והשנייה ל־ היא רציפה.
בכיוון השני, אם ו־ בתמונה אך לא, התמונות ההפוכות של ושל הן פתוחות.
תמונה רציפה של קבוצה קשירה היא קבוצה קשירה.
בפרט, כל מרחב מנה של מרחב קשיר הוא מרחב קשיר, כי העתקת המנה היא רציפה.
אם לכל פונקציה רציפה מהמרחב לעצמו יש נקודת שבת, אז המרחב קשיר (משום שאם פירוק לקבוצות פתוחות, עם נקודות , אז לפונקציה השולחת נקודות ב־ ל־ ונקודות ב־ ל־ אין נקודות שבת).
המכפלה של מרחבים טופולוגיים היא קשירה אם ורק אם כל המרחבים המשתתפים במכפלה קשירים.
סגור ופנים של קבוצה קשירה
הסגור של קבוצה קשירה הוא קבוצה קשירה.
מעבר לכך, אם קשירה, אז גם כל קשירה.
באופן פיגורטיבי: כאשר מוסיפים לקבוצה קשירה נקודות ה"נוגעות" בה, הקשירות אינה נפגמת.
לעומת זאת, הפנים של קבוצה קשירה הוא לא תמיד קבוצה קשירה.
למשל, במישור, איחוד של שני עיגולים סגורים משיקים הוא קשיר, אבל הפנים של איחוד זה (שהוא איחוד של הפנימים של שני העיגולים) אינו קשיר.
איחוד וחיתוך של קבוצות קשירות
איחוד של קבוצות קשירות אינו בהכרח קשיר.
למשל, האיחוד של שני קטעים פתוחים זרים ב־, אינו קשיר.
אולם, אם חיתוכן של הקבוצות אינו ריק, אז איחודן הוא קשיר.
כך קובע "משפט הפרח": אם היא משפחה של תת־קבוצות קשירות שהחיתוך של כל שתיים מהן לא ריק, אז גם קשירה.
לדוגמה, איחוד של ישרים במישור העוברים דרך הראשית (בצורת "פרח") הוא קשיר.
התוצאה נכונה גם כאשר מניחים רק שכל שתי קבוצות במשפחה אינן מופרדות.
חיתוך של קבוצות קשירות אינו בהכרח קשיר.
למשל, חיתוך של שני מעגלים במישור (שאינם משיקים) הוא שתי נקודות.
תת־קבוצה של מרחב היא קשירה, אם היא מהווה מרחב קשיר בטופולוגיה היחסית שלה.
כדי לתאר הגדרה זו במונחי הטופולוגיה של , יש לעדן את מושג הפירוק: קבוצות לא ריקות שהסגור של כל אחת מהן זר לשנייה, הן קבוצות מופרדות, והאיחוד שלהן מופרד.
תת־קבוצה היא קשירה, אם ורק אם לא ניתן לכסות אותה באיחוד של קבוצות מופרדות, אלא אם היא מכוסה מלכתחילה על ידי אחד המרכיבים.
התת־קבוצות הקשירות המקסימליות של מרחב נקראות רכיבי קשירות, וכל מרחב טופולוגי מתפרק לאיחוד זר של רכיבי קשירות.
כל רכיב קשירות הוא קבוצה סגורה (כי בהינתן רכיב שהוא מחלקת שקילות המתאימה לאיבר , מכך ש־ מתקיים , ובנוסף מכך ש־ קשיר נובע שגם קשיר.
אבל הקבוצה הקשירה המקסימלית שמכילה את , ולכן .
לכן , מה שאומר ש־ סגור).
נקודות השייכות זו לקבוצה אחת וזו לאחרת בהפרדה של המרחב, נקראות נקודות מופרדות.
נקודות שאינן ניתנות להפרדה שייכות לאותן קבוצות פתוחות־וסגורות.
היחס "לא ניתנות להפרדה" הוא יחס שקילות, ומחלקות השקילות שלו הזה הן רכיבי קוואזי־קשירות.
כל רכיב קשירות מוכל ברכיב קוואזי־קשירות של המרחב.
אם למרחב יש רק רכיב קוואזי־קשירות יחיד, אז הוא קשיר (ולכן אין צורך להגדיר את המושג "מרחב קוואזי־קשיר").
במרחב האוסדורף קומפקטי מרכיבי הקוואזי־קשירות ומרכיבי הקשירות מתלכדים.
מסילות במרחב הטופולוגי מאפשרות להגדיר גם יחסי שקילות עדינים יותר.
כל תמונה רציפה של הקטע במרחב נקראת מסילה, והקצוות שלה קשורים מסילתית.
אם המסילה אינה חותכת את עצמה, היא נקראת קשת, והקצוות שלה קשורים קשתית.
קשירות מסילתית וקשירות קשתית של נקודות הם יחסי שקילות, ויש להן מחלקות שקילות, הנקראות, בהתאמה, רכיבי קשירות מסילתית ורכיבי קשירות קשתית.
מרחב קשיר מסילתית מקומית שבנוסף לכך הוא קשיר, הוא קשיר מסילתית.
זה נובע מכך שבמרחב קשיר מסילתית מקומית, כל רכיב קשירות מסילתית הוא קבוצה פתוחה, לכן רכיבי קשירות שונים (שהם תמיד זרים זה לזה) יתנו פירוק לפתוחות זרות, בסתירה לקשירות.
לכן במרחב כזה קיים רכיב קשירות מסילתית יחיד.
רכיבי הקוואזי־קשירות במרחב הם הגדולים ביותר.
כאמור, כל רכיב קוואזי־קשירות הוא איחוד של רכיבי קשירות.
אלו, בתורם, הם איחוד של רכיבי קשירות מסילתית, ואת האחרונים אפשר לכתוב כאיחוד של רכיבי קשירות קשתית.
יש דוגמאות המראות שהרכיבים (ויחסי השקילות המתאימים להם) עשויים להיות שונים זה מזה.
דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 4 (כרך ב'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.
מרחב פשוט קשר הוא מרחב טופולוגי קשיר מסילתית, שבו אפשר לכווץ כל לולאה סגורה לנקודה אחת, באופן רציף.
זוהי הדרך הפורמלית לנסח את הדרישה שבמרחב לא יהיו חורים שאפשר לאתר אותם באמצעים חד־ממדיים.
מרחבים כאלה הם מן העצמים היסודיים בטופולוגיה אלגברית.
מרחב טופולוגי הוא פשוט קשר אם הוא קשיר מסילתית וגם כל לולאה רציפה במרחב הומוטופית לאפס.
כלומר, כל פונקציה רציפה אפשר להרחיב לפונקציה רציפה (כאשר הוא עיגול היחידה).
מן ההגדרה נובע שמרחב קשיר הוא פשוט קשר אם ורק אם החבורה היסודית היא טריוויאלית.
המישור האוקלידי הוא פשוט קשר, משום שכל לולאה אפשר לכווץ בהדרגה לנקודה אחת.
לעומת זאת, אם מוציאים מן המישור נקודה אחת, הוא מפסיק להיות פשוט קשר – את המסילה המקיפה את הנקודה החסרה אי אפשר לכווץ.
כזה הוא המצב כל עוד הקבוצה שמוציאים היא חסומה.
אם מוציאים ממישור קרן, התוצאה היא שוב מרחב פשוט קשר, מכיוון שאי אפשר להקיף את הקרן החסרה בלולאה שתאבחן את חסרונה.
אם מוציאים מהמישור ישר שלם, הוא מתפרק לשני מרכיבי קשירות, שכל אחד מהם פשוט קשר.
הכדור התלת-ממדי הוא פשוט קשר.
אם עושים בו גומה, הוא נותר פשוט קשר, אלא אם הגומה הופכת לחור מפולש העובר בכדור מצד לצד.
במקרה כזה אפשר, כמקודם, לעטוף את החור בלולאה שלא ניתן לכווץ לנקודה.
אם מוציאים מכדור את הליבה שלו, שצורתה גם היא כדורית, מתקבל מרחב פשוט קשר – את החור שנוצר אי אפשר לאתר באמצעים חד־ממדיים (כאן נדרשת חבורת ההומולוגיה השנייה, ).
הטורוס, טבעת מביוס ובקבוק קליין הם דוגמאות למרחבים שאינם פשוטי קשר.
תנאי הכרחי לכך שמרחב יהיה פשוט קשר הוא שהמרחב יהיה קשיר מסילתית, ובפרט קשיר.
במרחבים שאינם קשירים מסילתית, ניתן לבדוק בנפרד האם כל רכיב קשירות מסילתית הוא פשוט קשר בפני עצמו.
למרחבים טופולוגיים מסוימים (ובהם כל היריעות) קיים מרחב כיסוי אוניברסלי, שהוא מרחב קשיר מסילתית ופשוט קשר, המכסה אותם באופן נוח במיוחד.
מרחבים כאלה אפשר לתאר כמרחבי מנה של מרחב הכיסוי, ביחס לחבורה היסודית.
מן ההגדרה נובע מיד שהחבורה היסודית של מרחב פשוט קשר היא טריוויאלית.
בטופולוגיה, קְשירוּת מסילָתית היא עידון של תכונת הקשירות של מרחבים טופולוגיים.
מרחב טופולוגי הוא מרחב קָשיר מסילתית אם ניתן לחבר כל שתי נקודות שלו על ידי מסילה רציפה במרחב.
במילים אחרות: מרחב הוא קשיר מסילתית, אם לכל שתי נקודות ב־, קיימת פונקציה רציפה מקטע היחידה אל , המקיימת .
דוגמאות: , וכן כל קטע ב־, הם קשורים מסילתית.
גם כל מרחב אוקלידי ־ממדי, לכל , הוא קשיר מסילתית.
אם מוציאים מספר בן־מניה של נקודות ממרחב אוקלידי ־ממדי כלשהו, כאשר , השארית קשורה מסילתית.
הקשר בין קשירות מסילתית לקשירות
טַענה: כל מרחב קשיר מסילתית הוא קשיר.
הוכחה: יהי מרחב קשיר מסילתית.
נניח בשלילה כי הוא אינו קשיר, לכן קיימת העתקה שהיא רציפה ועל.
מכיוון ש־ קשיר מסילתית, קיימת מסילה מ־ ל־.
היא רציפה (כהרכבת רציפות) ועל.
אבל זה עומד בסתירה לכך ש־ קשיר.
לעומת זאת, ההפך אינו נכון כפי שניתן לראות בדוגמה הבאה.
דוגמה למרחב קשיר אשר אינו קשיר מסילתית
נבחין כי שתיהן קשירות מסילתית.
עם זאת, איחודן, , המכונה עקומת הסינוס של הטופולוגים ומופיע בתרשים משמאל, הוא קבוצה קשירה, שאינה קשירה מסילתית: לא ניתן לחבר במסילה נקודה של עם נקודה של .
תמונת רציפה של מרחב קשיר מסילתית היא קשירה מסילתית.
תמונה רציפה של מסילה היא מסילה.
מסקנה: מרחבי מנה של מרחבים קשורים מסילתית הם קשורים מסילתית (כי העתקות מנה הן פונקציות רציפות ועל).
מכפלה של מרחבים קשורים מסילתית
מכפלה של מרחבים היא קשירה מסילתית אם ורק אם כל קואורדינטה קשירה מסילתית.
באופן פורמלי: בהינתן מרחבים לא ריקים.
אז הם קשירים מסילתית אמ"מ מכפלתם, , קשירה מסילתית.
כיוון ראשון: נניח כי כל קשיר מסילתית.
יהיו ו־ שתי נקודות ב .
לכל קיימת מסילה בין ל־.
(כלומר, מתקיים לכל כאשר ההטלה על הרכיב ה־ של המכפלה)
היא רציפה כיוון שכל הקואורדינטות שלה רציפות ומתקיים: וגם כנדרש.
כיוון שני: נניח כי קשירה מסילתית.
נבחין כי ומכיוון שהמכפלה קשירה מסילתית קיימת מסילה המחברת בין ל־.
נטיל את המסילה על הקואורידנטה ה־ ונקבל מסילה המחברת בין ל־ כנדרש.
בדומה לפירוק של מרחב למרכיבי קשירות, אפשר לפרק כל מרחב טופולוגי לרכיבי קשירות מסילתית, כאשר כל רכיב הוא קבוצה קשירה מסילתית שלא ניתן לחבר את נקודותיה במסילות לאף נקודה אחרת (זו למעשה חלוקה של המרחב למחלקות שקילות).
בדוגמה של עקומת הסינוס של הטופולוגים, ו־ הם רכיבי הקשירות המסילתית של המרחב .
חלוקת המרחב לרכיבי קשירות מסילתית היא עידון של החלוקה לרכיבי קשירות: כל רכיב קשירות הוא איחוד זר של רכיבי קשירות מסילתית.
רכיב הקשירות המסילתית של נקודה במרחב הוא הקבוצה הקשירה מסילתית הגדולה ביותר המכילה את (כלומר איחוד של כל הקבוצות הקשירות מסילתית המכילות את ).
לתכונת הקשירות המסילתית חשיבות מיוחדת בטופולוגיה אלגברית.
בדרך כלל החבורה היסודית של מרחב טופולוגי תלויה בבחירה של נקודת הבסיס, והיא מושפעת רק מן המבנה של מרכיב הקשירות המסילתית של אותה נקודה.
אם ניתן לחבר שתי נקודות במסילה, אז החבורות היסודיות המבוססות בנקודות אלה הן איזומורפיות זו לזו.
מכיוון שכך, החבורה היסודית של מרחב קשיר מסילתית אינה תלויה בנקודת הבסיס.
מֶרְחַבְיָה הוא קיבוץ בעמק יזרעאל, השוכן כ־2 ק"מ ממזרח לעפולה, לרגלי גבעת המורה, בסמוך למושב מרחביה.
הקיבוץ, שנוסד בשנת 1911, נמצא בתחום השיפוט של המועצה האזורית עמק יזרעאל, והוא משתייך לתנועה הקיבוצית.
השם מרחביה לקוח מפסוק בתהילים: .
התיישבות יהודית במרחביה הייתה כבר משנת 1911 (הקואופרציה של פרנץ אופנהיימר על 3,000 דונם מאדמות הכפר פולה שנרכשו בשנת 1910).
משנת 1918 עת התפרקה הקואופרציה ועד 1921 התחלפו במקום כמה קבוצות של מתיישבים.
בשנת 1924 הוקם מושב העובדים מרחביה.
בשנת 1929 הוקם בסמוך הקיבוץ, בידי קבוצת חברי השומר הצעיר מגליציה, שעלו לארץ ישראל אחרי מלחמת העולם הראשונה וישבו קודם בהכשרה בחיפה.
בקיבוץ ממשיכים היום בניהם, נכדיהם וניניהם.
הקיבוץ נבנה על שרידי מבצר צלבני (Castrum Fabe או La Fève) של מסדר אבירי היכל שלמה (הטֶמפּלָרִים) שנכבש על ידי צלאח א-דין בספטמבר 1183 בקרב אל-פולה .
קרוי היום "הגבעה" או "גבעת פולה".
הקיבוץ ידע שנות התחלה קשות של הקמת משק חקלאי על גידולי פלחה, מעט מים, הכנסת המיכון החקלאי, זנים חדשים, הקמת רפת, לול ודיר צאן.
לאחר שנים הגיעו גם מי השקיה, ונכנסו גידולי שלחין ופרדס.
לחברים הראשונים הצטרפו גם חניכי השומר הצעיר מחו"ל ומישראל.
עם עליית הנאצים לשלטון בגרמניה קלט הקיבוץ בני נוער שנמלטו משם.
זו הייתה חברת הנוער הראשונה, ואחריה באו רבות.
עבור בני נוער רבים הפזורים בכל ישראל הייתה מרחביה הבית הראשון בארץ ישראל.
בשנת 1960 הוקם בקיבוץ המפעל הראשון בישראל לצינורות פלסטיים (פלסים).
המפעל היה חלוץ בהחדרת השימוש בצינורות פלסטיק להשקיית מטעים ושדות, לביוב, לשקתות ועוד.
מפעל "פלסים" הפך למקום התעסוקה העיקרי ומקור ההכנסה הראשי.
ב-2011 רכשה קבוצת גאון אחזקות 51% ממניות המפעל, וביחד עם 20% מרכישה קודמת שלה, הייתה לבעלת המניות העיקרית במפעל, בעוד הקיבוץ נותר בעל מניות מיעוט (29%).
במבני בית הספר התיכון המקומי לשעבר שוכן כיום אתר קליטה לעולים ממדינות ברית המועצות לשעבר.
בסמוך לקיבוץ נמצא בית-ספר היסודי האזורי "אופקים", שבו לומדים ילדי מרחביה (הקיבוץ והמושב) והקיבוצים גזית ועין דור.
(תלמידי היסודי ממשיכים אחר כך לבית הספר האזורי במזרע)
באתר ההיסטורי של הקואופרציה הוקם מוזיאון "החצר הגדולה", המציג את תולדותיה של מרחביה, והוא כולל גם חדרים משוחזרים של גולדה מאיר, שחייתה במרחביה מספר שנים סמוך לעלייתה לארץ בשנת 1921, ושל מאיר יערי שהיה חבר הקיבוץ
והמנהיג ההיסטורי של תנועת השומר הצעיר, הקיבוץ הארצי ומפלגת הפועלים המאוחדת אשר התמזגה עם גופים אחרים והייתה לתנועת מרצ.
במלאת 50 שנה למרחביה הונצח האירוע בבול מזכרת מיוחד ; ב-25 בנובמבר 1959, הנפיק דאר ישראל בול יובל זה שעליו ציור של מבנה בקיבוץ.
דאר ישראל מכר 1,165,000 בולים מבול זה במשך כחודש וחצי עד להפסקת מכירתו.
בטופולוגיה, רגולריות ותכונת הן דוגמאות לתכונות הפרדה.
מרחב רגולרי הוא מרחב טופולוגי המפריד בין נקודות לבין קבוצות סגורות, באמצעות סביבות פתוחות.
מרחב רגולרי שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא מרחב .
מרחב טופולוגי הוא רגולרי, אם לכל קבוצה סגורה ונקודה שאיננה ב-, קיימות קבוצות פתוחות וזרות, שאחת מהן מכילה את והשנייה את .
תכונה זו נקראת 'הפרדה בקבוצות פתוחות'.
ניסוח אחר: לכל נקודה וקבוצה פתוחה במרחב, כך ש-, קיימת קבוצה פתוחה כך ש-.
כל מרחב הוא מרחב אוריסון (הקרוי גם מרחב ), כלומר אפשר להפריד בו בין נקודות באמצעות סביבות סגורות וזרות.
בפרט, מרחב כזה הוא מרחב האוסדורף (מרחב ), שבו אפשר להפריד בין נקודות באמצעות סביבות פתוחות.
מרחב האוסדורף שהוא גם מרחב קומפקטי מקומית הוא מרחב רגולרי.
תכונת הרגולריות סגורה למכפלות: אם רגולריים, אז גם המכפלה רגולרית.
מֶרְחַבְיָה הוא מושב בעמק יזרעאל הנמצא 3 ק"מ מזרחית לעפולה, בתחום השיפוט של המועצה האזורית עמק יזרעאל.
שם היישוב לקוח מפסוק בספר תהילים: .
בשנת 1924 הפכה המושבה מרחביה, אשר הוקמה בשנת 1911 בסמוך לקואופרציה במרחביה, למושב עובדים תוך תגבורה בעולים מפולין ותושבים מתל אביב אשר רצו לעסוק בחקלאות כאיכרים.
לאחר שנים של בעיות בהספקת מים בקיץ, הושלם מכון להספקת מים למושב בתחילת 1929. בשנת 1929 הוקם קיבוץ מרחביה בסמוך למושב.
כלכלת המושב הייתה מבוססת במשך שנים רבות על חקלאות.
כיום קיימים במושב גם עסקים קטנים בתחום התיירות הכפרית ועוד, ורבים מהתושבים עובדים מחוץ ליישוב.
בשנות ה-90 הוקמה במושב מרחביה הרחבה קהילתית של תושבים שאינם בעלי נחלות חקלאיות.
בטופולוגיה, מרחב רגולרי לחלוטין ומרחב טיכונוף הם מרחבים טופולוגיים המקיימים תכונות הפרדה מסוימות.
מרחב רגולרי לחלוטין הוא מרחב שבו אפשר להפריד בין קבוצה סגורה לנקודה באמצעות פונקציה רציפה.
מרחב רגולרי לחלוטין שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא מרחב טיכונוף, או מרחב .
מרחב טופולוגי הוא רגולרי לחלוטין, אם לכל קבוצה סגורה ונקודה שאיננה ב-, קיימת פונקציה רציפה , כך ש- ו-.
הפרדה כזו נקראת 'הפרדה באמצעות פונקציה רציפה'.
במקרה כזה ברור שאפשר להפריד בין ו- גם באמצעות קבוצות פתוחות, ולכן מרחב רגולרי לחלוטין הוא בפרט מרחב רגולרי.
מאותה סיבה, כל מרחב הוא בפרט מרחב T3. בנוסף לזה, מרחב הוא גם מרחב האוסדורף לחלוטין, שבו אפשר להפריד נקודות באמצעות פונקציות רציפות, ולכן גם מרחב האוסדורף.
מרחב טופולוגי הוא רגולרי לחלוטין אם ורק אם קיימת לו קומפקטיפיקציה מקסימלית.
כל חבורה טופולוגית היא רגולרית לחלוטין.
חבורה טופולוגית המקיימת את תכונת ההפרדה T0 מקיימת את תכונת טיכונוף.
מרחב פרויקטיבי הוא גאומטריה עם נקודות וישרים, המקיימת כמה אקסיומות פשוטות.
למרחב פרויקטיבי יש ממד, ומרחב מממד 2 נקרא מישור פרויקטיבי.
מרחבים פרויקטיביים הם מושא המחקר המרכזי בגאומטריה פרויקטיבית.
מרחבים פרויקטיביים קשורים קשר הדוק למרחבים אפיניים, וכמותם אפשר לטפל בהם גם מנקודת מבט אקסיומטית וגם מנקודת המבט של הדוגמה העיקרית למרחב אפיני – המרחב האוקלידי.
מנקודת המבט של גאומטריית חילה, מרחב פרויקטיבי הוא גאומטריה שיש בה שני טיפוסים, נקודות וישרים, עם יחס חילה ביניהם.
מערכת של נקודות וישרים נקראת מרחב פרויקטיבי אם דרך כל שתי נקודות x, y עובר ישר יחיד xy, יש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים, ומתקיימת אקסיומת ובלן-יאנג: אם הישרים ab ו-cd נחתכים, אז גם ac ו-bd נחתכים.
מרחב פרויקטיבי הוא מרחב דזרגי אם הוא מקיים את משפט דזרג.
במרחב פרויקטיבי נתון, קבוצת נקודות הכוללת יחד עם כל שתי נקודות x,y את כל הנקודות על הישר xy נקראת תת-מרחב.
תת-מרחב שאינו מוכל כולו בישר אחד מהווה מרחב פרויקטיבי בעצמו.
תת-המרחב הנוצר על ידי שלוש נקודות x, y, z שאינן על ישר אחד נקרא מישור.
בדומה להגדרות באלגברה ליניארית, אפשר להגדיר בסיס של מרחב פרויקטיבי P כקבוצה S שהיא פורשׂת (כלומר S יוצרת את P) ובלתי תלויה (S אינה נפרשת על ידי אף תת-קבוצה אמיתית שלה).
תת-מרחב מקסימלי (כזה שבהוספת נקודה אחת פורש את המרחב כולו) נקרא על-מישור.
העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב פרויקטיבי לקבוצת הנקודות של מרחב פרויקטיבי נקראת קולינאציה אם לכל x,y,z על ישר אחד, גם התמונות נמצאות על ישר אחד.
כל קולינאציה משרה העתקה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצות הישרים של המרחבים, ומעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים.
קולינאציה שומרת על בסיסים וממדים.
מרחבים פרויקטיביים שיש ביניהם קולינאציה הם איזומורפיים.
קולינאציה a ממרחב פרויקטיבי לעצמו היא מרכזית אם יש לה נקודת מרכז (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a).
קולינאציה מרכזית שנקודת המרכז שלה אינה שייכת לציר נקראת הומולוגיה.
קולינאציה ב- נקבעת באופן יחיד על ידי התמונה של נקודה כלשהי שאינה ב-; אם המרחב דזרגי, אז החבורה פועלת טרנזיטיבית על החלק שמחוץ ל- של כל ישר דרך p.
(על הקולינאציות של המישור הפרויקטיבי הקלאסי, ראה מישור פרויקטיבי).
קולינאציה בין מרחבים פרויקטיביים משרה קולינאציה בין המרחבים האפיניים המתקבלים מהם, ולהפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרויקטיביים שהם מגדירים.
המרחב הדואלי הוא הגאומטריה שהנקודות והישרים שלה הן תת-המרחבים מקו-ממד 1 ו-2 של P, בהתאמה.
זהו מרחב פרויקטיבי, מאותו ממד כמו P.
קולינאציה מ-P למרחב הדואלי (שהיא התאמה בין נקודות לתת-מרחבים מממד d-1, המעבירה שלוש נקודות על ישר לשלושה מרחבים הנחתכים במימד d-2) נקראת דואליות של P.
אם היא דואליות, אז לכל תת-מרחב U של P מתקיים .
דואליות היא פולריות, אם אם ורק אם ; פולריות אינה אלא דואליות מסדר 2. תת-מרחב U של P הוא מוחלט ביחס לפולריות , אם .
אם לפולריות יש לפחות ישר מוחלט אחד, אז הנקודות והישרים המוחלטים מהווים מרחב פולרי.
אם P מוגדר בקואורדינטות הומוגניות, אפשר לתאר את הדואליות והפולריות שלו באמצעות תבניות ביליניאריות; ראו להלן.
קואורדינטות הומוגניות מספקות דרך נוחה לבנות מרחב פרויקטיבי.
יהי F שדה ויהי מרחב וקטורי.
מ-V מסלקים את נקודת הראשית (שתשמש עוגן לפרספקטיבה), ועל הנקודות הנותרות מגדירים יחס שקילות באופן הבא: הנקודות שקולות אם קיים סקלר , כך ש- .
הנקודות של המרחב הפרויקטיבי הן, על-פי ההגדרה, מחלקות השקילות , המייצגות ישרים מנוקבים (בלא הראשית) במרחב המקורי.
לכל תת-מרחב ליניארי , המרחב הפרויקטיבי המתאים כולל את הנקודות עבור .
הממד הפרויקטיבי תמיד קטן ב-1 מן הממד באלגברה ליניארית: מרחבים חד-ממדיים מתאימים לנקודות, מרחבים דו-ממדיים לישרים, וכן הלאה.
אם הוא מרחב וקטורי מממד סופי, אפשר לתאר כל וקטור שלו על ידי קואורדינטות באמצעות הבסיס הסטנדרטי: .
יחס השקילות מוגדר על באופן הבא: , כלומר: קיים סקלר שונה מאפס כך ששתי ה-n+1-יות פרופורציוניות זו לזו על ידי סקלר זה.
זהו יחס שקילות על V.
את מחלקת השקילות של וקטור תחת היחס הזה נסמן כאשר סימון הנקודתיים בא להזכיר שמה שרק היחסים בין הקואורדינטות משמעותיים.
הקואורדינטות המתארות את מחלקת השקילות נקראות "קואורדינטות הומוגניות".
המרחב הפרויקטיבי מוגדר להיות המרחב של כל מחלקות השקילות הללו, כלומר: .
בבניה שתוארה לעיל אפשר להחליף את שדה הסקלרים F בכל חוג עם חילוק (אסוציאטיבי) D, כאשר המרחב הווקטורי V מוחלף במרחב וקטורי שמאלי מעל D (לאו דווקא מממד סופי).
כל מרחב פרויקטיבי מממד 3 ואילך נבנה באופן הזה, וכל מרחב פרויקטיבי הנבנה באופן זה הוא דזרגי.
לפי המשפט היסודי הראשון של הגאומטריה הפרויקטיבית, כל מרחב פרויקטיבי דזרגי הוא מהצורה עבור מרחב וקטורי שמאלי V מעל חוג עם חילוק.
ההוכחה של המשפט היסודי אינה קלה, אבל הרעיון המרכזי פשוט למדי.
בהינתן המרחב הפרויקטיבי P, מסירים ממנו על-מישור כדי לקבל מרחב אפיני A, בו בוחרים נקודת אפס ומגדירים פעולת חיבור על ידי פעולות ההזזה (המתחלפות זו עם זו).
אוסף ההומולוגיות של A, ביחס לנקודת המרכז 0, ויחד עם העתקת האפס (המכווצת את המרחב לנקודה), מהווה חוג עם חילוק D ש-A מרחב וקטורי מעליו.
המרחב הפרויקטיבי , כאשר V מרחב וקטורי מעל שדה הסקלרים D (חוג עם חילוק, כאמור), מקיים את משפט פאפוס אם ורק אם D הוא שדה (קומוטטיבי).
התאמה זו בין תכונה אלגברית של שדה הסקלרים לבין התכונות הגאומטריות של המרחב הווקטורי, הייתה אחד הגורמים הראשונים לפיתוחה של תורת הזהויות של חוגים.
יהי V מרחב וקטורי מעל חוג עם חילוק D.
כל העתקה ליניארית הפיכה משרה קולינאציה של (קולינאציה היא העתקה הפיכה של הנקודות, המעבירה ישר לישר).
שתי העתקות ליניאריות משרות את אותה קולינאציה אם ורק אם אחת מהן מתקבלת מהשנייה על ידי כפל באיבר מרכזי של D.
את חבורת ההעתקות המתקבלות באופן הזה מסמנים ב- (אם D הוא שדה, הסימון מתלכד עם הסימון המקובל לחבורה הליניארית הפרויקטיבית).
אם , כך ש- הוא מרחב פרויקטיבי d-ממדי, אז חבורת הקולינאציות פועלת טרנזיטיבית על החדרים של המרחב (חדר הוא דגל מקסימלי, כלומר שרשרת של תת-מרחבים בממדים ).
בדומה לזה, החבורה פועלת טרנזיטיבית על התבניות של המרחב (תבנית, frame, היא קבוצה של d+2 נקודות שכל d+1 מהן מהוות בסיס למרחב הפרויקטיבי); ואם D שדה (קומוטטיבי), אז הפעולה הזו היא חדה.
כדי לקבל את כל הקולינאציות של , יש להכליל את חבורת ההעתקות הליניאריות להעתקות ליניאריות למחצה: העתקה אדיטיבית היא ליניארית למחצה אם יש אוטומורפיזם כך ש-.
את חבורת ההעתקות הליניאריות למחצה מסמנים ב-, וכמו במקרה של העתקות ליניאריות, .
המשפט היסודי השני של הגאומטריה הפרויקטיבית קובע שחבורת הקולינאציות של היא .
אם P הוא מרחב פרויקטיבי מהצורה , כאשר V מרחב וקטורי שמאלי מעל חוג עם חילוק D, אז המרחב הדואלי של P הוא המרחב הפרויקטיבי , כאשר הוא המרחב הדואלי של V, המהווה מודול שמאלי מעל החוג המנוגד .
במרחבים פרויקטיביים המתוארים על ידי קואורדינטות הומוגניות, אפשר לתאר את כל הדואליוֹת והפולריוֹת באמצעות תבניות ביליניאריות והכללות שלהן, באופן הבא.
תבנית ססקווילינארית של V היא פונקציה בי-אדיטיבית המקיימת ו-, כאשר הוא אנטי-אוטומורפיזם.
כל תבנית כזו מגדירה דואליות על המרחב , לפי .
כל דואליות של מוגדרת באופן כזה.
לפי משפט בירקהוף--פון נוימן, כל פולריות של מוגדרת כמתואר לעיל, כאשר התבנית f היא סימטרית, או אנטי-סימטרית, או הרמיטית או אנטי-הרמיטית ביחס ל- שהיא אינוולוציה של D.
מרחב קומפקטי מקומית הוא מרחב טופולוגי שבו לכל נקודה קיימת סביבה קומפקטית.
תכונה זו מתקיימת באופן אוטומטי בכל מרחב טופולוגי קומפקטי, אם כי ישנם מרחבים קומפקטיים מקומית שאינם קומפקטיים (כגון הישר הממשי).
לעיתים קרובות, תכונת הקומפקטיות המקומית מאפשרת לטפל במרחב, העשוי להיות ענק ומסובך, בכלים המתאימים למרחבים קומפקטיים.
מנקודת מבט זו, הקומפקטיות המקומית מהווה פשרה בין דרישת הקומפקטיות, העשויה להיות חזקה מדי, לבין שימור ההתנהגות הקומפקטית בסביבה קרובה של כל נקודה.
קומפקטיות מקומית מאפשרת לפרק את המרחב לחלקים, אולי חופפים חלקית, כך שכל אחד מהם קומפקטי.
במרחב האוסדורף כל קבוצה קומפקטית היא ממילא סגורה, ולכן מרחב האוסדורף הוא קומפקטי מקומית אם יש לו כיסוי פתוח שבו הסגור של כל קבוצה הוא קומפקטי.
בספרות יש הגדרות שונות למושג הקומפקטיות המקומית במרחבים שאינם האוסדורף.
בוויקיפדיה, מרחב טופולוגי הוא קומפקטי מקומית אם לכל נקודה יש בסיס מקומי של קבוצות קומפקטיות.
בנוסף לישר הממשי שהוזכר לעיל, כל מרחב אוקלידי הוא קומפקטי מקומית.
הספירה הדו-ממדית היא מרחב קומפקטי (כי היא קבוצה סגורה וחסומה במרחב התלת-ממדי).
אם נוציא ממנה נקודה אחת היא כבר לא תהיה קומפקטית, אך היא תישאר קומפקטית מקומית.
במקרה הזה המרחב הטופולוגי שנותר הומאומורפי למישור.
להלן דוגמה למרחב שבו לכל נקודה יש סביבה קומפקטית, ולא לכל נקודה יש סביבה בעלת סגור קומפקטי: זו הטופולוגיה על קבוצה אינסופית , שבה הקבוצות הפתוחות הן אלו המכילות נקודה קבועה 0 (והקבוצה הריקה).
לכל הסביבה קומפקטית, אבל ל- אין סביבה בעלת סגור קומפקטי כי לכל קבוצה המכילה את מתקיים .
קומפקטיות מקומית היא "תכונה תורשתית", כלומר על כל קבוצה פתוחה או סגורה במרחב המקורי הטופולוגיה המושרית היא בעלת התכונה קומפקטיות מקומית.
היא איננה תכונה תורשתית במובן הרגיל (כלומר לא לכל תת-קבוצה, הטופולוגיה המושרית עליה היא קומפקטית מקומית).
מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית הוא מרחב רגולרי (לעומת זאת מרחב האוסדורף קומפקטי הוא מרחב נורמלי).
בעוד שמכפלה אינסופית של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית (לפי משפט טיכונוף), מכפלה של מרחבים קומפטיים מקומית אינה בהכרח קומפקטית מקומית.
עובדה זו מוליכה להגדרת חוג האדלים של שדה גלובלי, שהוא כן קומפקטי מקומית.
מרחב תלת-ממדי הוא מרחב מתמטי או פיזיקלי, שיש לו שלושה ממדים, למשל אורך, רוחב וגובה.
בפיזיקה קלאסית משתמשים במרחב כזה לתיאור העולם המקיף אותנו.
במתמטיקה, מבנים תלת-ממדיים נחקרים במסגרת הנדסת המרחב, האנליזה הווקטורית והטופולוגיה התלת-ממדית.
בפיזיקה הקלאסית, המרחב התלת-ממדי הוא ה"מקום" שבו מתרחשים כל האירועים הפיזיקליים.
לכל מאורע פיזיקלי אפשר לתת (עד כדי עקרון אי הוודאות) מקום מסוים (כלומר: אוסף קואורדינטות) במרחב.
המרחב הפיזיקלי מאופיין בתכונות שאנו רגילים אליהן מניסיוננו היומיומי: הוא רציף (לפחות באופן מעשי, אם כי רציפות המרחב היא נושא שעדיין מצוי בוויכוח מטאפיזי), הוא בעל שלושה ממדים (אורך, רוחב וגובה) יש בו מושג של מרחק (מטריקה) ואפשר לחבר בו דרכים (ליניאריות).
על כן, מבחינה מתמטית נהוג למדל את המרחב הפיזיקלי כמרחב האוקלידי עם הנורמה האוקלידית ולתארו באמצעות מערכת צירים קרטזית תלת-ממדית.
בני האדם חווים את העולם כעולם תלת-ממדי.
בתחילת המאה ה-20, בעיקר בזכות עבודתו של הרמן מינקובסקי ופיתוח תורת היחסות, הוברר שנוח יותר לתאר את המרחב כאילו הוא ארבע-ממדי, וכולל גם את ממד הזמן.
ביסוד תורת המיתרים עומדת ההנחה שהיקום הוא בעל ממד גבוה אף יותר, כאשר הממדים הגבוהים "מכורבלים" ולא ניתן למדוד אותם ישירות.
הנדסת המרחב עוסקת בגופים תלת-ממדיים, כגון קובייה, כדור, גליל.
באלגברה ובאנליזה, מרחב וקטורי המורכב מצירופים של שלושה וקטורי בסיס הוא מרחב תלת-ממדי.
במרחב כזה, ובפרט במרחב האוקלידי התלת-ממדי, אפשר לתאר כל נקודה על ידי שלשה של מספרים, ולצרכים מעשיים מקובל להשתמש במערכת צירים קרטזית.
ישנם מרחבים שהתמונה הנשקפת בהם מכל נקודה דומה, בקירוב, לזו הנשקפת מנקודת הראשית של - ועם זאת הם אינם מציגים את אותה התנהגות במרחקים גדולים; שפת הכדור היא דוגמה למרחב כזה, בממד 2. מרחבים כאלה, שהם תלת-ממדיים "מקומית", נקראים יריעות תלת-ממדיות, ובהן עוסקת הטופולוגיה תלת-ממדית.
השערת פואנקרה, ההשערה החשובה ביותר בתחום זה, נפתרה לא מכבר.
בתעופה אזרחית, מרחב פיקוח תעופתי הוא מרחב אווירי בעל גבולות מוגדרים, שבו מוענקים לכל הפחות שירותי מידע טיסה (Flight Information Service או FIS) ושירותי חירום (Alerting Service או ALS).
השירותים זמינים לכל מטוס הנמצא באזור מידע הטיסה.
החלוקה למרחבי פיקוח תעופתי היא החלוקה העליונה של המרחב האווירי בעולם, וכל חלק מהאטמוספירה שייך למרחב פיקוח תעופתי מוגדר.
החלוקה למרחבי פיקוח תעופתי אינה נעשית לפי מפתח חלוקה קבוע; יש אומנם מדינות ששטחן חופף למרחב פיקוח תעופתי בודד, אך קיימות מדינות גדולות המחולקות למספר אזורים, ומדינות קטנות החולקות את אותו מרחב.
מרחב הפיקוח מעל לאוקיינוס מחולקים ל"מרחבי פיקוח אוקיאניים" (Oceanic Information Regions), ומופקדים באחריותן של המדינות הסמוכות.
חלוקת האחריות בין הרשויות נעשית בהסכמים בינלאומיים במסגרת פעולתו של הארגון הבינלאומי לתעופה אזרחית (ICAO).
מרחב פיקוח תעופתי מתחיל בגובה הקרקע (GND).
לעיתים מחולקת האטמוספירה לשתי שכבות של מרחבי פיקוח תעופתי, ובמקרה זה קרויה השכבה העליונה בכינוי "מרחב פיקוח עילי" (Upper Information Region או UIR), ותחילתה בגובה של 7,500 מטר.
אין הכרח לקיומה של חפיפה גאוגרפית בין מרחבי פיקוח תעופתי למרחבי הפיקוח העיליים.
השירותים המוענקים בכל מרחב פיקוח תעופתי מופקדים באחריותו של אזור בקרה מרחבית (Area Control Center או ACC) שבדרך כלל מעניק את שמו לאזור מידע הטיסה עליו הוא אחראי, והממוקם בשדה תעופה בתחומי האזור.
ייתכנו מספר מרכזי בקרה אזוריים במרחב פיקוח תעופתי אחד.
בישראל מופקדת רשות התעופה האזרחית על הענקת שירותי תעבורה אווירית.
המנהל מגדיר את מרחב הפיקוח התעופתי של ישראל, כדלקמן:
מרחב שלמה (מרש"ל) הוא הכינוי שנתנה ישראל לאזור של דרום סיני בעת שהיה בשליטתה, בתקופה שלאחר מלחמת סיני ובעיקר בתקופה שלאחר מלחמת ששת הימים.
מרחב שלמה היה אזור בעל מנהל אזרחי משלו ומפקדה צבאית משלו (שבמהלך מלחמת יום הכיפורים הופרדה מפיקוד הדרום לפיקוד מרחבי עצמאי).
אזור דרום סיני נכבש על ידי חטיבה 9 בסוף 1956, במלחמת סיני, ופונה על ידי צה"ל במרץ 1957. האזור כונה "מפרץ שלמה".
מפקד האזור היה אל"ם מתי פלד, שכיהן בתפקיד עד מעברו לפקד על הממשל הצבאי הישראלי ברצועת עזה ב־26 בפברואר 1957.
ב־22 בפברואר 1957 השלים צה"ל את פינוי כל סיני מלבד מפרץ שלמה ורצועה המקשרת אותו עם אילת.
ב־10 במרץ 1957 פינה צה"ל את המרחב והעבירו לידי כוח החירום של האומות המאוחדות.
פינוי צה"ל הסתיים בפועל ב־12 במרץ 1957, עם יציאת יחידה קטנה ששמרה על ציוד בנמל.
שיטה זו הועתקה מפריסת הצבא האמריקאי בווייטנאם בשנות ה-60 ומטרתה הייתה מעורבות באוכלוסייה, מתן שירותים, התחבבות והתחככות ומניעת חדירת השפעות לא רצויות בעצם הנוכחות בשטח.
הנציגויות שהיו בנואיבה, דהב, א-טור, אבו רודס וסנטה קתרינה, אוישו בקציני ונגדי ממשל צבאי וכוחות ביטחון שוטף.
בין מפקדיה של היחידה הזו היו:
רס"ן אפרים איש שלום 1981, עד השבת האזור למצרים, בשנת 1982.
בספטמבר 1969 הקימה ועדת המנכ"לים לטיפול בעניינים האזרחיים בשטחים המוחזקים ועדה בינמשרדית מיוחדת למרחב שלמה, שתטפל כפיתוח אזרחי באזור, בסמכויות של ועדה לתכנון ולבנייה.
הוועדה מינתה צוות לתכנון כלכלי והטילה עליו להכין תוכנית מיתאר מרחבית.
הצוות הגיש ב־1970 תוכנית להקמת שישה מרכזי פיתוח.
במרץ 1970 הוקם מינהל אזרחי, שהופקד על פיתוח התשתית במרכזים המתוכננים ומתן שירותים ממלכתיים ומוניציפליים למתיישבים חדשים ולאוכלוסייה המקומית.
בראש המנהל האזרחי הועמד בתחילה חיים צבן, איש משרד החקלאות, שהוחלף ביוני 1970 באלוף במילואים אברהם יפה, במקביל לתפקידו כראש רשות שמורות הטבע.
באוגוסט החליף יהודה רשף את יפה כראש המנהל האזרחי.
רשף התפטר מהתפקיד באמצע 1972. אף למנהל האזרחי היו נציגויות בשטח שדאגו לרווחת האוכלוסייה לצרכיה, לפרויקטים של פיתוח (דרכים, בארות מים, מרפאות, מרכזים מסחריים ועוד) בתיאום עם תיאום הפעולה בשטחים ועם המפקדה הצבאית, יצגו את משרדי הממשלה שונים ועמד בקשר מול ארגוני סעד.
(במהלך השנים שירתו בתפקיד ראובן רוזנטל, דודו קצין ואפרים איש-שלום) בא-טור היה נציג המינהל האזרחי, אבי אופיר.
בסנטה קתרינה, היה זה אבי רובנס.
באוקטובר 1972 החליטה הממשלה להעביר את האחריות לפעולות הפיתוח וכן את הריכוז ואת התיאום של הפעילות האזרחית במרש"ל ממשרד הביטחון למשרד הפיתוח, והוקם המינהל לפיתוח מרש"ל.
שר הפיתוח מינה את סגן מנכ"ל מינהל מקרקעי ישראל ראובן אלוני לראש המנהל.
במשך כל שהות צה"ל באזור דרום סיני לא נרשמו כל אירועים חריגים ונשמרו השקט, הפיתוח האזורי ואווירת האמון, בין צה"ל לבין כ־13,000 תושבי דרום סיני הבדואים.
מרחב שלמה היווה יעד תיירותי מבוקש לישראלים, בין בתיירות חופים לאורך מפרץ אילת ובין בטיולים לאזור ההר הגבוה שם גם הוקם בית ספר שדה ליד מנזר סנטה קתרינה.
בסמוך לשארם א-שייח הוקם בסיס של חיל הים הישראלי ששימש את זירת ים סוף של החיל, ובסיס "אופיר" של חיל האוויר הישראלי.
ערב המלחמה שימש מפקד מרחב שלמה במקביל במינוי משני כמפקד חטיבת הנגב.
ב-6 באוקטובר 1973, יומה הראשון של מלחמת יום הכיפורים, נערך בשמי מרחב שלמה קרב האוויר הראשון במלחמת יום הכיפורים, שבו השתתפו שני מטוסי F-4 פנטום ("קורנס") של חיל האוויר הישראלי, שהיו בכוננות יירוט, ומולם עשרים ושמונה מטוסי מיג-17 ומיג-21 מצריים (שבע רביעיות) - שתקפו מטרות במרחב שלמה.
בסיומו של הקרב, שנמשך כשש דקות, הופלו שבעה מטוסי מיג והשאר נמלטו, ואילו מטוסי הפנטום נחתו בשלום.
שעות אחדות לאחר הקרב תקף מפציץ מצרי את יחידת הבקרה 528, הסמוכה לשדה אופיר, השמיד את מתקניה וגרם לחמישה הרוגים.
ב-9 באוקטובר 1973 הופרד אזור מרחב שלמה מפיקוד הדרום והפך לפיקוד עצמאי, פיקוד מרש"ל, בפיקודו של האלוף ישעיהו גביש.
הפיקוד פיקד על חטיבת הנגב, חטיבת הצנחנים וכוחות נוספים, ועסק בבלימת ניסיונו של הצבא המצרי להתקדם לכיוון ראס סודר, במרדף אחר שלושה גדודי קומנדו מצריים שהונחתו בתחומו ובשיתוף פעולה עם זירת ים סוף של חיל הים.
ב-20 בנובמבר 1973 הועבר אלוף פיקוד הדרום, שמואל גונן, לתפקיד מפקד פיקוד מרש"ל.
החל משנת 1975, פיקד על המרחב תא"ל אריה (בירו) דיין.
על המפקדה פיקדו סא"ל מוסא עטיה, סרן אילן ברוך ומפקדה האחרון יוסי (ג'ו) ניסימוב, שהעבירה לידי המצרים בטקס צבאי רשמי ב-19 בנובמבר 1979.
בספטמבר 1975, בהסדר הביניים עם מצרים, נסוג צה"ל מאזור אבו רודס שנכלל במרחב שלמה.
צה"ל ייצב קו ממזרח לאבו רודס ומדרומה באזור שדות הנפט של בליים, כשהגישה המצרית לאבו רודס קרקעית הייתה באמצעות "כביש משותף".
במהלך השנים 1979 עד 1982, הועברו מעת לעת שטחים נוספים לידי מצרים: אזור א-טור, אזור ואדי פיראן, ואזור סנטה קתרינה, שהיה האחרון במסגרת הסכם הביניים וייצוב "קו אל-עריש - שארם א-שייח".
בהסכם השלום בין ישראל למצרים ב־1979 התחייבה ישראל לפנות את סיני ולהחזירו למצרים בתוך שלוש שנים.
ב־1 באפריל 1982 הוכרז מרחב שלמה כשטח צבאי סגור והוגבלה הכניסה אליו לבעלי רישיון.
ב־25 באפריל הועבר המרחב לידי מצרים.
כיום זהו מחוז דרום סיני של מצרים.
שכונת מרחביה היא שכונת מגורים קטנה במרכז ירושלים החדשה, שנוסדה בידי מספר אישים יהודים בשלהי שנות ה-30 של המאה ה-20. השכונה גובלת בשכונות קריית שמואל, טלביה וקטמון הישנה, והיא בנויה סביב הרחובות איתמר בן אב"י, הנשיא, הפלמ"ח, הגדוד העברי, מבוא יורם ומבוא הרכבי.
הקרקע שעליה נבנתה השכונה נרכשה בעסקה סיבובית מאת המסדר הנוצרי הישועי בירושלים.
כמתווכים בין בעלי הקרקע הנוצרים לבין הרוכשים היהודים שימשו הסוחרים הערבים ג'וזף פסקל אלבינה וחאטשה קאנקאשיאן.
בין הרוכשים היהודים בלט בעיקר הסוחר הירושלמי ראובן זילברשטיין, שלאחר רכישת הקרקע חילק את השטח למגרשים ומכר אותם לאישים ולמשפחות שונות.
בין בוני הבתים הראשונים בשכונה נמנו עמינדב קרלין, זאב זילברשטיין וולטר כץ, ומעט מאוחר יותר גם בנה את ביתו בשכונה גם ראובן זילברשטיין עצמו, ברח' הפלמ"ח של ימינו.
במהלך מלחמת העצמאות נקלעה שכונת מרחביה לקו האש, ומשך תקופה ארוכה הומטרה על בתי השכונה אש מכיוון העמדות הערביות בשכונת קטמון, סביב מנזר סן סימון.
לאחר מלחמת העצמאות הפכה מרחביה לחלק מגוש השכונות היהודיות המרכיבות את לִבה של ירושלים המערבית, בהן רחביה, טלביה, קטמון וקריית שמואל.
בתוך כך הלכה ואיבדה מרחביה את אופייה הייחודי, ועל פי רוב היא נחשבת כיום לחלק אינטגרלי משכונת קריית שמואל.
מרחב - התנועה לעירוניות בישראל (לשעבר: מרחב - התנועה לעירוניות מתחדשת בישראל) היא עמותה ישראלית שהוקמה בשנת 2004, המונה כיום יותר מ-500 חברים בהם מתכנני ערים, אדריכלים, אנשי אקדמיה ומתכננים, הפועלת במטרה לקדם נורמות של תכנון ערים בר קיימא ועירוניות חדשה בישראל.
הארגון מתמקד בשינוי הסביבה העירונית הבנויה ופועל לפיתוח המדיניות והכלים המקצועיים הנחוצים ליצירת שינוי.
העמותה מארגנת כנסים ארציים ותערוכות ומעורבת בתכנון ערים ותהליכי שיתוף ציבור ושאררט.
בשנת 2009 הקימה עמותת מרחב את המעבדה להעצמה עירונית ואת "מכון ראשי הערים" שתפקידו לשפר את הקשר של ראשי הערים עם התושבים לקבלת ההחלטות בנושאי התכנון והבניה.
ובשנת 2010 השיקה בול דואר חדש בנושא עירוניות חדשה בישראל.
בשנת 2015 שינתה העמותה את שמה וכיום היא נקראת "מרחב - התנועה לעירוניות בישראל".
90% מתושבי ישראל חיים ביישובים עירוניים, אולם מרבית הערים בישראל מתוכננות באופן לקוי, שאינו מאפשר לתושביהן הזדמנויות כלכליות, חברתיות ותרבותיות למימוש הפוטנציאל הגלום בהם כפרטים או כקהילה.
העמותה מקדמת סביבה עירונית המבוססת על מרחב ציבורי שהאדם במרכזו.
סביבה איכותית המאפשרת נגישות עם מגוון אמצעי תחבורה.
סביבה קומפקטית, אינטנסיבית, מרובת שימושים והזדמנויות, המתוכננת מתוך כבוד לתרבות, לקהילה, לאקלים ולנוף מקומי.
באמצעות יצירת מודעות והקניית ידע, בניית כלים מבוססי מחקר, שינוי במדיניות התכנון ושינוי בתהליכי התכנון.
לטענת העמותה, ניתן ליצור שינוי מהותי באיכות החיים העירונית בישראל ביישום תכנון הומאני המונע ניוון והזנחה בערים, פיתוח מקומי עתיר הזדמנויות ובר קיימא ותהליכי תכנון דמוקרטיים המשתפים את כל בעלי העניין.
מכון ראשי ערים להתחדשות עירונית
מיזם משותף עם המשרד להגנת הסביבה.
מתן כלים מקצועיים לראשי הערים בישראל לקידום התחדשות עירונית בת-קיימא ופיתוח כלכלה מקומית, באמצעות סדנאות עבודה ובהשתתפות צוות מקצועי וראשי ערים.
בשנים 2010 - 2019 התקיימו ארבע עשרה סדנאות, בהן השתתפו 92 איש, ראשי ערים וראשי מועצות מכל רחבי הארץ.
תהליך משתף והכנת מסמך מדיניות משולב ואלטרנטיבי אשר יציע תוכנית, כלים ורעיונות להשגת שינוי אמיתי ביישובים העירוניים בישראל והפיכתם לעירוניים ומשגשגים תוך יצירת איכות חיים ונגישות מרבית להזדמנויות לכולם.
מטרת המיזם להכין מסמך מדיניות ותוכנית פעולה לחיזוק העירוניות במדינת ישראל, ולהניח אותו על שולחן הכנסת, הממשלה, ובפני הציבור המקצועי והרחב כמצע לדיון ציבורי וכבסיס למדיניות עירונית בישראל.
לפתח את כלי המדיניות הדרושים לחיזוק העירוניות בישראל, ולנסות אותם במסגרת עיר אחת, אשדוד.
הפרויקט הוא רב מגזרי וכולל משרדי ממשלה, עיריית אשדוד, אקדמיה, ארגוני חברה וסביבה, חברות יזמיות ומתכננים פרטיים.
ב-2015 יצא בהוצאת העמותה הספר "ישראל עירונית 2050: כלים, מדדים ותמריצים לעירוניות, תשתית למדיניות עירונית".
חיזוק וחידוש שכונות ותיקות ומרכזי הערים
שימוש בקרקע זמינה בתוך השכונות הוותיקות בערים הקיימות ליצירת מלאי דירות איכותיות, שתאפשר את צמצום קצב הזחילה העירונית והצורך בהקמה של יישובים חדשים תוך שמירה על האוכלוסייה המקומית, ניצול תשתיות עירוניות קיימות, צמצום התלות ברכב הפרטי שיאפשר צמצום פליטות ומזהמים, חיסכון בזמן ובכסף למימוש יחידות הדיור.
פיתוח והטמעה של כלי תכנון יישומי לקידום התחדשות עירונית מקיימת בערי ישראל, על ידי ניתוח של מקרי בוחן מייצגים של שכונות להתחדשות עירונית ובחינת כלים כלכליים ודרך שיטתית המתאימה לבחינת כל מתחם עירוני בישראל.
כאשר הפתרונות מותאמים לכל מתחם להתחדשות על פי מאפייניו הייחודיים.
"העיר כמנוע לצמיחה כלכלית", אשקלון 2011
"כנס סחנין לחדשנות תכנונית ביישובים הערביים", אפריל 2010
"רנסאנס עירוני בישראל", באר שבע דצמבר 2005
מרחב קשיר מקומית בטופולוגיה, ובתחומים מתמטיים נוספים, הוא מרחב טופולוגי שבו כל סביבה של נקודה מכילה סביבה פתוחה וקשירה.
תכונת הקשירות המקומית קרובה באופייה לתכונת הקשירות, אבל השתיים אינן גוררות זו את זו.
קשירות וקומפקטיות הן שתי תכונות בסיסיות בטופולוגיה.
חשיבותן של תכונות אלה הוכרה בתחילה עבור תת-קבוצות של המרחב האוקלידי, אלא שעד מהרה הוברר שהתכונות אינן תלויות במטריקה המוגדרת על המרחב, אלא במאפיינים הטופולוגיים שלו.
מרחב טופולוגי הוא קשיר מקומית בנקודה , אם לכל קבוצה פתוחה המכילה את , קיימת תת-קבוצה קשירה ופתוחה עבורה .
מרחב שהוא קשיר מקומית בכל נקודה הוא מרחב קשיר מקומית.
אם לכל קבוצה פתוחה המכילה את קיימת קבוצה פתוחה וקשירה כך ש- נמצא בפנים של , אומרים ש- קשיר מקומית באופן חלש ב-..
המרחב קשיר מקומית בנקודה אם יש לו בסיס מקומי של קבוצות פתוחות וקשירות, וקשיר מקומית באופן חלש, אם יש לו שם בסיס מקומי של סביבות קשירות (כל קבוצה פתוחה הכוללת את הנקודה היא סביבה שלה, אבל ההפך אינו נכון).
מכאן שאם המרחב קשיר מקומית בנקודה, הוא גם קשיר שם מקומית באופן חלש.
ההפך אינו נכון, ועם זאת, מרחב שהוא קשיר מקומית באופן חלש בכל נקודה שלו, הוא בהכרח קשיר מקומית בכל נקודה.
כל מרחב קשיר מסילתית הוא קשיר, ולכן מרחב קשיר מסילתית מקומית הוא גם קשיר מקומית.
לכל מספר טבעי , המרחב האוקלידי קשיר וקשיר מקומית.
המרחב קשיר מקומית, איך אינו קשיר.
המרחב (הידוע כ"עקומת הסינוס של הטופולוגים") קשיר, אך אינו קשיר מקומית ואינו קשיר מסילתית.
מרחב המספרים הרציונליים , עם הטופולוגיה המושרית מן הישר הממשי, אינו קשיר ואינו קשיר מקומית.
מרחב המסרק קשיר וקשיר מסילתית אך אינו קשיר מקומית.
תהי קבוצה אינסופית בת מנייה.
תחת הטופולוגיה הקו-סופית מתקיים כי קשירה מקומית אך לא קשירה מסילתית מקומית.
על פי ההגדרה, קשירות מקומית היא תכונה מקומית.
עם זאת, כל התכונות המתקיימות במרחב קשיר מתקיימות באופן מקומי במרחב קשיר מקומית, למשל:
מרחב הוא קשיר מקומית אם ורק אם קיים לו בסיס המכיל רק קבוצות קשירות.
איחוד זר של מרחבים הוא קשיר מקומית אם ורק אם כל אחד מהמאוחדים קשיר מקומית.
בפרט, היות שמרחב הנקודה קשיר מקומית, כל מרחב דיסקרטי הוא קשיר מקומית.
מצד שני, מרחב דיסקרטי הוא בלתי קשיר לחלוטין ועל כן הוא קשיר אם ורק אם יש בו לכל היותר נקודה אחת.
מרחב בלתי קשיר לחלוטין יהיה קשיר מקומית אם ורק אם הוא דיסקרטי.
מכאן נובעת באופן מיידי הטענה בדוגמאות לפיה המספרים הרציונליים אינם מהווים מרחב קשיר מקומית.
ההגדרות המובאות בחלק זה מבוססות על התוצאה הבאה:
למה: תהי משפחה של תת-קבוצות במרחב טופולוגי , שהחיתוך של כולן אינו ריק.
אם כל קבוצה קשירה (קשירה מסילתית) אזי האיחוד קשיר (קשיר מסילתית).
עתה נוכל לדון ביחס השקילות המוגדר כך ש- אם קיימת תת-קבוצה קשירה של המכילה את ואת .
ברור כי היחס הזה רפלקסיבי וסימטרי, והטרנזיטיביות שלו נובעת מהלמה.
מחלקות השקילות של היחס נקראות רכיבי הקשירות של .
מחלקת השקילות המכילה את נקראת רכיב הקשירות של ונהוג לסמנה על ידי .
מהלמה נובע כי רכיב הקשירות של הוא תת-הקבוצה הקשירה המקסימלית המכילה את .
היות שהסגור של הוא קבוצה קשירה, ניתן להסיק שכל רכיבי הקשירות סגורים ב-.
אם למרחב יש מספר סופי של רכיבי קשירות, אזי כל רכיב קשירות הוא המשלים של איחוד סופי של קבוצות סגורות ועל כן פתוח בעצמו.
באופן כללי רכיבי קשירות אינם מוכרחים להיות פתוחים (לדוגמה ניתן לקחת את מרחב קנטור, שהוא מרחב בלתי קשיר לחלוטין אך אינו מרחב דיסקרטי).
עם זאת, רכיבי הקשירות של מרחב קשיר מקומי הם פתוחים.
מכאן מתקבל שמרחב קשיר מקומית שווה לאיחוד רכיבי הקשירות שלו.
מצד שני, אם לכל קבוצה סופית של מתקיים שרכיבי הקשירות של פתוחים, אזי ל- בסיס של קבוצות קשירות ולכן קשיר מקומית.
דוגמה: הקבוצה כאשר , ביחד עם טופולוגיית הסדר המושרית מיחס הסדר הלקסיקוגרפי היא בעלת רכיב קשירות אחד (כי היא קשירה).
עם זאת, כל קבוצה מהצורה מהווה רכיב קשירות מסילתית.
רכיבי קשירות של מרחב קשיר מקומית
טענה: בהינתן מרחב קשיר מקומית, כל רכיבי הקשירות שלו פתוחים.
הוכחה: יהי מרחב קשיר מקומית ויהי רכיב קשירות.
לכל יש קבוצה פתוחה קשירה כך ש- וגם .
באלגברה ליניארית, מרחב הפתרונות, מרחב האפסים או הגרעין של מטריצה הוא קבוצת כל הווקטורים שפותרים את המשוואה .
כלומר זהו אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות הליניאריות ההומוגונית המיוצגת על ידי .
את מרחב הפתרונות מסמנים .
מרחב הפתרונות הוא תת-מרחב וקטורי של המרחב הווקטורי , כאשר F הוא השדה שמעליו מוגדרות המשוואות, ו-n הוא מספר העמודות ב- (שהוא מספר הנעלמים במערכת המשוואות).
זאת משום שסכום פתרונות הוא פתרון, וכפל בסקלר של פתרון הוא פתרון.
אם היא העתקה ליניארית שמיוצגת על ידי מטריצה לפי בסיס סדור של התחום של , אז הוא מרחב וקטורי הקואורדינטות של הגרעין לפי , ושני המרחבים איזומורפיים.
הממד של נקרא האפסיות של ומסומן .
לכל מטריצה עם n עמודות מתקיים , כאשר הוא דרגת .
המשפט המקביל להעתקות הוא , כאשר הוא התחום של .
לפי הגדרתו מרחב הפתרונות של מטריצה הוא מרחב הווקטורים העצמיים השייכים לערך עצמי 0. אם המטריצה היא מטריצה הפיכה מרחב הפתרונות מתנוון וכולל רק את וקטור האפס.
מרחב פתרונות לעולם אינו ריק כי הוא תמיד כולל את וקטור האפס.
באופן כללי, המרחב העצמי של ערך עצמי של מטריצה הוא .
דירוג מטריצות מבוסס על הפעלת פעולות אלמנטריות על מטריצה שמשנות אותה, אך שומרות על מרחב הפתרונות שלה.
שיטת הלכסון של גאוס מתבססת על כך לשם פתרון מערכות של משוואות ליניאריות; מביאים את המטריצה שמייצגת את המערכת למצב מדורג קנוני ממנו קל לקרוא את מרחב הפתרונות, שהוא אוסף הפתרונות למערכת.
שפתרונה , כאשר t פרמטר הנבחר בחופשיות.
על כן מרחב הפתרונות הוא הישר במרחב התלת־ממדי העובר דרך והראשית.
, שכן ישר הוא חד-ממדי.
נתונה מערכת משוואות ליניאריות .
בהינתן שני פתרונות למערכת , ההפרש ביניהם מקיים:
באופן דומה אם פתרון של המערכת האי-הומוגנית ו- פתרון של המערכת ההומוגנית אז:
צירוף שתי העובדות יחדיו מוביל למסקנה שבהינתן פתרון של המערכת , אז כל פתרון אחר מתקבל ממנו על ידי חיבור פתרון של .
בניסוח אחר, אם הוא פתרון כלשהו של , אז קבוצת הפתרונות של היא .
בגאומטריה, מרחב פולרי הוא גאומטריית חילה קבוצתית של נקודות וישרים, שבה כל נקודה שמחוץ לישר מחוברת או לנקודה אחת על הישר או לכולן (נקודות הן מחוברות אם עובר דרכן ישר משותף); ועל כל ישר יש לפחות שלוש נקודות.
למרחב פולרי יש תת-מרחבים מקסימליים, שהם מרחבים פרויקטיביים.
המרחבים האלו קשורים בשרשראות, כדוגמת החדרים בבניין.
אחת הדוגמאות העיקריות למרחב פולרי מתקבלת מתבנית ריבועית המוגדרת על מרחב פרויקטיבי מעל שדה: אוסף הנקודות המאפסות את התבנית, יחד עם הישרים המאפסים אותה, מהווים מרחב פולרי.
משפט המיון של ז'אק טיץ הוא אחד ההישגים החשובים בגאומטריה במאה ה-20.
גאומטריה של נקודות וישרים היא מרחב ליניארי חלקי אם דרך כל שתי נקודות עובר לכל היותר ישר אחד, ועל כל ישר יש לפחות שתי נקודות.
שתי נקודות הן מחוברות אם עובר דרכן ישר משותף (במרחב ליניארי כל שתי נקודות מחוברות).
גאומטריה קבוצתית של נקודות וישרים נקרא מרחב פולרי אם נקודה שמחוץ לישר מחוברת או לנקודה יחידה על הישר, או לכל הנקודות שעליו; ועל כל ישר יש לפחות שלוש נקודות (אם מניחים במקום זה שעל כל ישר יש לפחות שתי נקודות, זהו מרחב פולרי מוכלל).
מרחב פולרי הוא מנוון אם יש בו נקודה המחוברת לכל שאר הנקודות.
מרחב פולרי הוא עבה אם כל תת-מרחב מקו-ממד 1 מוכל בלפחות 3 תת-מרחבים מקסימליים, ודק אחרת (זו ההגדרה גם עבור בניינים).
קבוצת נקודות במרחב פולרי היא תת-מרחב אם כל שתי נקודות בה מחוברות, והיא מכילה כל ישר העובר דרך שתי נקודות שלה.
כל תת-קבוצה של נקודות המחוברות זו לזו, יוצרת תת-מרחב (השווה לחיתוך תת-המרחבים המכילים אותה).
כל מרחב פולרי לא מנוון הוא מרחב ליניארי חלקי.
הדרגה של מרחב פולרי היא האורך המקסימלי של שרשרת תת-מרחבים לא ריקים (ביחס להכלה).
מרחב פולרי מוכלל לא מנוון מדרגה 2 נקרא מלבן מוכלל (את אלו אפשר לתאר אקסיומטית כמרחבים ליניארים חלקיים שבהם כל נקודה שמחוץ לישר מחוברת לנקודה יחידה שעליו, ודרך כל נקודה עוברים לפחות שני ישרים).
נניח ש-S מרחב פולרי מדרגה סופית.
לכל תת-מרחב יש תת-מרחב מקסימלי זר לו.
כל תת-מרחב מהווה חיתוך של שני תת-מרחבים מקסימליים.
תת-מרחב (אמיתי) של מרחב פולרי S נקרא על-מישור פרויקטיבי, אם הוא חותך כל ישר של S.
נסמן ב- את קבוצת הנקודות המחוברות ל-p.
לכל תת-מרחב U שלא כל הנקודות בו מחוברות ל-p, החיתוך הוא על-מישור פרויקטיבי של U.
אם בנוסף לזה U תת-מרחב מקסימלי של S, אז גם תת-המרחב הוא מקסימלי (והוא כולל את הנקודות שעל הישרים דרך p, שיש להם לפחות נקודה אחת ב-).
כל תת-מרחב של מרחב פולרי שיש בו לפחות שני ישרים, הוא מרחב פרויקטיבי (זה משפט Buekenhout, המכליל משפט דומה למרחבים מדרגה סופית שהוכיחו Buekenhout ו-Shult).
משפט זה מכניס את מושג הממד של מרחבים פרויקטיבים לתאוריה של מרחבים פולריים.
משפט Buekenhout-Shult מתאר את מבנה תת-המרחבים של מרחב פולרי S מדרגה סופית n, כדלקמן:
כל תת-מרחב מקסימלי המכיל לפחות שני ישרים הוא מרחב פרויקטיבי מממד n-1;
חיתוך של שני תת-מרחבים הוא תת-מרחב;
לכל נקודה p מחוץ לתת-מרחב מקסימלי U, יש תת-מרחב מקסימלי יחיד W העובר דרך p כך שהחיתוך שלו עם U הוא מממד n-2 (החיתוך כולל בדיוק את הנקודות של U המחוברות ל-p);
יש שני תת-מרחבים מקסימליים זרים.
למעשה, ארבע תכונות אלו הרכיבו את ההגדרה המקורית של ז'אק טיץ.
אכן, טיץ הגדיר מרחב פולרי כגאומטריה קבוצתית עם אובייקטים מטיפוסים (הקרויים נקודה, ישר,...
על-מישור, בהתאמה), המקיימת את ארבע האקסיומות הבאות:
הגאומטריה השאריתית בכל על-מישור היא מרחב פרויקטיבי מממד n-1;
החיתוך של כל שני אובייקטים הוא אובייקט;
לכל נקודה p מחוץ לעל-מישור U יש על-מישור יחיד דרך הנקודה כך שהחיתוך שלו עם U הוא אובייקט מממד n-2, והוא כולל את הנקודות של U המחוברות ל-p;
בכל מרחב כזה, הגאומטריה של הנקודות והישרים היא מרחב פולרי.
במילים אחרות, ההגדרה האקסיומטית לפי נקודות וישרים שקולה לזו של טיץ על ארבע התכונות של תת-מרחבים.
כל מרחב פולרי עבה ולא מנוון, מדרגה 2 ומעלה, הוא בניין מטיפוס , שבו החדרים הם תת-המרחבים המקסימליים.
מרחב המקיים את תנאי מופן נקרא מרחב מופן.
משפט המיון של טיץ קובע שכל מרחב פולרי עבה ולא מנוון, מדרגה 3 ומעלה, הוא מרחב מופן, השייך לאחד הטיפוסים הבאים:
מרחב פולרי סימפלקטי, המוגדר על ידי תבנית בילינארית מתחלפת (alternating) לא מנוונת מעל שדה.
מרחב פולרי הרמיטי, המוגדר על ידי תבנית הרמיטית (או סקיו-הרמיטית) ביחס לאינוולוציה על אלגברת חילוק.
מרחב פולרי אורתוגונלי, המוגדר על ידי תבנית ריבועית לא מנוונת (או, במאפיין 2, פסאודו-ריבועית), מעל אלגברת חילוק.
בדרגה 3 בלבד, מרחב אוקטוניוני מטיפוס המוגדר מעל אלגברת אוקטוניונים.
שלושת הטיפוסים הקלאסיים מוגדרים גם בדרגה 2. המיון של מרחבים פולריים מדרגה 2, הנקראים מרובעים מוכללים (Generalied Quadrangles), אינו שלם, שכן קיימים מישורים רבים שאינם מקיימים את תנאי מופן.
בטופולוגיה אלגברית, מרחב פשוט-קשר מקומית-למחצה הוא מרחב טופולוגי, שבו לכל נקודה יש סביבה פשוטת קשר.
תכונה זו חלשה יותר מהיות המרחב פשוט-קשר מקומית (שפירושה שקיים בסיס של קבוצות פשוטות קשר), ועם זאת היא מספיקה בכמה משפטים יסודיים בטופולוגיה אלגברית, בהם: קיום מרחב כיסוי אוניברסלי ומשפט הסיווג למרחבי כיסוי.
מרחב הוא פשוט-קשר מקומית-למחצה אם לכל נקודה במרחב קיימת סביבה כך שכל לולאה ב- היא נול הומוטופית ב- (כלומר ניתנת לכיווץ באופן רציף ללולאה הקבועה על הנקודה ).
זהו תנאי חלש יותר מפשוט קשר מקומית שכן על הלולאה להיות נול הומוטופית ב- ולא ב-.
מרחבי CW הם פשוטי קשר מקומית למחצה, ולכן גם צורות גאומטריות פשוטות כגון: הספירה ה- ממדית, טורוס ובקבוק קליין.
עגיל הוואי (Hawaiian Earring) אינו פשוט קשר מקומית למחצה.
המשלים של ב-, כאשר מציין את קבוצת המספרים הרציונלים ו- את קבוצת המספרים הממשיים, אינו פשוט קשר מקומית-למחצה.
בטופולוגיה, מרחב פרשה-אוריסון הוא מרחב טופולוגי בו הסגור הסדרתי מתלכד עם הסגור הטופולוגי.
המרחב קרוי על שמם של שניים ממפתחי הטופולוגיה, פאבל סמואילוביץ' אוריסון ו-רנה מוריס פרשה.
נאמר ש- הוא מרחב פרשה-אוריסון אם לכל תת קבוצה מתקיים , כאשר הוא הסגור הטופולוגי ו- הוא הסגור הסדרתי.
כל מרחב מטרי הוא מרחב פרשה-אוריסון.
כל מרחב המקיים את אקסיומת המנייה הראשונה הוא גם מרחב פרשה אוריסון.