tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
הממד הגלובלי של חוג הוא הממד הפרויקטיבי הגדול ביותר של מודולים מעליו; זהו גם הממד האינג'קטיבי הגדול ביותר של מודולים מעל החוג.
הממד הגלובלי הוא אפס אם ורק אם החוג ארטיני פשוט למחצה.
הממד הגלובלי שווה ל-1 אם החוג תורשתי.
הממד השטוח הגדול ביותר של מודולים מעל החוג נקרא הממד הגלובלי החלש, והוא קטן או שווה לממד הגלובלי, עם שוויון עבור חוגים נותריים.
אם G חבורה, הממד הפרויקטיבי של חוג החבורה נקרא גם הממד הקוהומולוגי של החבורה G.
זהו גם המספר n הקטן ביותר שעבורו כל חבורות הקוהומולוגיה , עבור , מתאפסות.
הממד הקוהומולוגי של שדה מוגדר כממד הקוהומולוגי של חבורת גלואה האבסולוטית שלו.
לדוגמה, לשדות ו- (כאשר k סגור אלגברית) יש ממד קוהומולוגי n.
ממד גלפנד קירילוב של אלגברה מודד את קצב הגידול שלה ביחס לקבוצת יוצרים.
הוא שווה ל-0 אם האלגברה בעלת ממד סופי (במובן הרגיל), ויכול להיות גם 1, כל מספר ממשי גדול או שווה ל-2, או אינסוף.
הממד האחיד (uniform dimension) של מודול M הוא מספר המחוברים הישרים האחידים המרכיבים תת-מודול עיקרי (תת-מודול הוא עיקרי אם הוא נחתך עם כל תת-מודול שאינו אפס; מודול שכל תת-המודולים שלו עיקריים נקרא אחיד), או אינסוף אם אין סכום ישר כזה.
מסמנים את הממד הזה בסימון ; נקרא גם ממד גולדי.
מודול האפס הוא היחיד שיש לו ממד 0; ממד 1 יש רק למודולים אחידים.
הממד של סכום ישר שווה לסכום הממדים.
הממד של תת-מודול תמיד קטן או שווה לזה של המודול; הממדים שווים אם ורק אם תת-המודול הוא עיקרי.
מכאן שבמודול בעל ממד n אי-אפשר ליצור סכום ישר של יותר מ-n תת-מודולים.
בפרט, הממד האחיד של מרחב וקטורי מעל שדה הוא הממד הרגיל.
במתמטיקה, הממד הוא מספר (לרוב מספר טבעי), המתאר את מספר דרגות החופש במרחב.
בתחומים שונים של המתמטיקה קיימות דרכים שונות למדוד ולהגדיר ממד, שלכל אחת מהן יישומים אחרים.
בגאומטריה הקלאסית היו ידועים עצמים אפס ממדיים (כגון נקודה), עצמים חד-ממדיים (כגון קו ישר), עצמים דו-ממדיים (כגון המישור והמעגל) ועצמים תלת-ממדיים (כגון קובייה וכדור).
כהכללה של מושג זה, קיימים מרחבים וקטוריים מכל ממד: הממד של מרחב וקטורי סופר כמה קואורדינטות נחוצות כדי לתאר כל נקודה במרחב, ומוגדר כמספר האיברים בבסיס של המרחב.
מנקודת מבט מופשטת, הממד הוא מושג יחסי: הממד של שדה המספרים המרוכבים, כמרחב וקטורי מעל עצמו, הוא 1; הממד של אותו שדה, כמרחב מעל שדה המספרים הממשיים, הוא 2 (זוהי ההתייחסות המקובלת למישור המרוכב); ואילו הממד של כל אחד משני שדות אלה מעל שדה המספרים הרציונליים הוא אינסופי.
בפרט, הממד של חבורת לי שווה לממד של אלגברת לי המתאימה לה.
בטופולוגיה קיימת הכללה של מושג זה, המודדת מרחבים טופולוגיים כלליים יותר, וקרויה ממד הכיסוי של לבג.
כקודמיו, גם ממד זה הוא תמיד מספר שלם.
בגאומטריה אלגברית מוגדר הממד על-פי אורכה של השרשרת הארוכה ביותר של עצמים מתאימים במרחב.
כך למשל, למרחב התלת-ממדי יש ממד 3, משום שהוא מכיל את המישור, המכיל את הקו הישר, המכיל את הנקודה.
ההגדרה האנלוגית בתורת החוגים הקומוטטיביים קרויה ממד קרול.
בתורת החוגים נמצאים בשימוש עוד ממדים רבים אחרים.
באנליזה, ובפרט בחקר הפרקטלים, יש צורך בהכללה של מושג הממד, המאפשרת גם מרחבים בעלי ממד שאינו שלם.
לפרטים ראו ממד האוסדורף, וקרובו, ממד מינקובסקי.
ממד האוסדורף הוא הכללה של מושג הממד.
זהו מספר ממשי לא שלילי המשויך למרחב מטרי.
הציג אותו בשנת 1918 המתמטיקאי פליקס האוסדורף.
רבות מהטכניקות הכרוכות בחישובו של ממד האוסדורף פותחו על ידי המתמטיקאי הקראי-רוסי אברהם בסיקוביץ', ולכן ממד האוסדורף קרוי לעיתים ממד האוסדורף-בסיקוביץ'.
לעיתים רחוקות יותר הוא קרוי "ממד פרקטלי".
רקע - ממד "נאיבי" וממד טופולוגי
באופן אינטואיטיבי, ממד של קבוצה (למשל תת-קבוצה של המרחב האוקלידי) מציין את מספר הפרמטרים הבלתי תלויים הנחוצים לציון מקומה של נקודה במרחב זה.
מושג מתמטי שמייצג בקירוב גישה נאיבית זו הוא הממד הטופולוגי של הקבוצה.
נקודה במישור, למשל, מתוארת באמצעות שני פרמטרים בלתי תלויים (הקואורדינטות הקרטזיות שלה), ולכן, במשמעות זו, המישור הוא דו-ממדי.
כפי שניתן לצפות, ממד טופולוגי הוא תמיד מספר טבעי.
ממד טופולוגי מתנהג בדרכים לא צפויות כאשר מדובר בקבוצות מורכבות במיוחד, כגון פרקטלים.
לקבוצת קנטור, למשל, יש ממד טופולוגי 0, אך מבחינה מסוימת היא מתנהגת כבעלת ממד גבוה יותר.
ממד האוסדורף מאפשר להתמודד גם עם קבוצות כאלה.
כדי להגדיר את ממד האוסדורף לקבוצה X, נתחשב תחילה במספר הכדורים, , שרדיוסם אינו גדול מ-r, הנחוצים כדי לכסות את X לחלוטין.
מובן שככל ש-r נעשה קטן יותר, (N(r גדל.
באופן כללי, אם (N(r פרופורציונלי ל- כאשר r שואף ל-0, אנו אומרים שלקבוצה X יש ממד d.
למעשה, הגדרה פורמלית של ממד האוסדורף נעשית באופן עקיף.
מתברר שממד האוסדורף מחדד את מושג הממד הטופולוגי, ומקשר אותו לתכונות נוספות של המרחב, כגון שטח ונפח.
ניתן להגדיר את ממד האוסדורף במספר דרכים.
להלן הגדרה באמצעות מידת האוסדורף.
עבור תת-קבוצה נגדיר את הקוטר של כך:
יהי , תהי תת-קבוצה כלשהי ויהי כיסוי בן-מניה של , כלומר
נאמר ש- הוא -כיסוי של אם לכל מתקיים :
נשים-לב ש- מונוטונית עולה ככל ש- קטנה (כי אז יש פחות כיסויים מותרים) לפיכך הגבול קיים.
נגדיר את מידת האוסדורף החיצונית ה-d ממדית של S כך:
וכעת נגדיר את ממד האוסדורף של S להיות:
כלומר ממד האוסדורף של הקבוצה S הוא החסם התחתון של כל ה-d-ים עבורם מידת האוסדורף החיצונית ה-d ממדית של S היא אפס.
למרחב האוקלידי ממד האוסדורף .
למעגל היחידה ממד האוסדורף 1.
לקבוצה בת-מניה ממד האוסדורף 0.
לקבוצת קנטור ממד האוסדורף .
ממד האוסדורף לרוב קשה מאוד לחישוב.
עבור פרקטלים מסוימים ממד האוסדורף מתלכד עם הממד הפרקטלי.
את הממד הפרקטלי קל יותר לחשב ולכן הוא שימושי יותר.
נוסחת הממד הפרקטלי פועלת על פרקטל בעל תכונת הדמיון העצמי, שבה הפרקטל מורכב ממספר העתקים מוקטנים של עצמו.
כלומר, אם נתמקד בחלק קטן של הפרקטל ונגדיל אותו בסקאלה המתאימה נקבל שוב את הפרקטל השלם.
הגדרה זו של הממד נותנת אינטואיציה חדשה לגבי מושג הממד.
הממד הפרקטלי של S מוגדר להיות:
r - גורם הכיווץ (כלומר פי כמה נצטרך להקטין את הפרקטל הגדול כדי לקבל עותק מוקטן שלו שמוכל בו).
m - מספר העותקים - הוא מספר העותקים של הפרקטל המוקטן פי r שמוכלים בפרקטל השלם.
d - זהו הממד הפרקטלי
כאשר מחלקים ריבוע להרבה ריבועים קטנים, אם אורך הצלע של הריבוע הקטן הוא מאורך הצלע המקורית, אזי בריבוע הגדול יכנסו ריבועים קטנים.
גורם הכיווץ הוא , מספר העותקים הוא והממד הפרקטלי הוא:
נשים לב שזו בדיוק התוצאה שהיינו מצפים לה מההגדרה המוכרת של ממד.
קבוצת קנטור היא קבוצה המתקבלת בתהליך איטרטיבי של חלוקת קטע ל-3 והסרת הקטע האמצעי, תהליך זה חוזר על עצמו לאורך כל תת-קטע וכך מתקבל פרקטל המוכל בקטע [0,1] בישר הממשי.
מהו הממד של קבוצת קנטור?
בכל שלב באיטרציה אנו מחלקים את קבוצת קנטור לשני עותקים, כל עותק קטן פי 3 מהשלב הקודם.
לכן, באיטרציה ה-N יש לנו עותקים כאשר כל עותק אורכו קטן פי מהאורך המקורי.
כלומר, לקבוצת קנטור יש ממד לא שלם שגדול מאפס אך קטן מאחד.
באלגברה ליניארית, הממד של מרחב וקטורי הוא מספר האיברים בבסיס של המרחב.
כלומר, הממד שווה למספר הפרמטרים החופשיים הנחוצים לתאר כל וקטור במרחב.
יהי מרחב וקטורי מעל שדה עם בסיס בגודל .
המספר נקרא הממד של ומסומן: .
כשרוצים לציין את התלות בשדה הבסיס מסמנים , ולפעמים גם .
הממד מכליל את המספרים המוכרים אינטואיטיבית מן המרחבים האוקלידיים הראשונים: הקו הישר הוא חד-ממדי, המישור דו-ממדי, והמרחב המוגדר לפי אורך, רוחב וגובה הוא תלת-ממדי.
כעוצמה של קבוצה, הממד הוא מספר טבעי (לרבות אפס), או עוצמה אינסופית.
לממד מהאלגברה הליניארית יש הכללות לתחומים נוספים במתמטיקה.
כאשר המרחב הווקטורי נפרש על ידי קבוצה סופית של איברים, הממד שלו מעל שדה נתון, מאפיין אותו באופן מלא:
כל שני מרחבים וקטוריים בעלי אותו ממד סופי מעל אותו שדה הם איזומורפיים זה לזה.
המרחב היחיד מממד 0 הוא מרחב האפס, הכולל את וקטור האפס בלבד.
אם מרחב וקטורי מממד סופי ו- תת-מרחב של ומתקיים אז .
כלומר, תת־מרחב מאותו ממד של המרחב המקורי, שווה לממד המקורי.
הממד של סכום ישר של מרחבים הוא סכום הממדים.
הממד של המכפלה הטנזורית שווה למכפלת הממדים.
הממד של מרחב ההעתקות הליניאריות שווה למכפלת הממדים של המרחבים המעורבים.
הממד של מרחב הווקטורים שווה ל-, והממד של אלגברת המטריצות הוא .
משפט הממדים קושר את הממד של סכום וחיתוך תת-מרחבים: אם , אז .
זאת בהתאם לעיקרון ההכלה וההדחה.
אם מרחב וקטורי מעל שדה שיש לו תת-שדה , אז מרחב וקטורי מעל , והממדים מקיימים .
בפרט, אם שדות, אז .
עובדה בסיסית זו מאפשרת להסיק מספר תשובות לבעיות מפורסמות של ימי קדם, למשל: אי אפשר לקבל מספרים מסוימים על ידי פעולות של הוצאת שורש ריבועי, וזו הסיבה לכך שלא ניתן לבנות את השורש השלישי של 2, את הזווית בת 20 מעלות, או את השורש השביעי של היחידה.
ממגורות דגון הן מסוף הגרעינים הנמלי של מדינת ישראל ומרכזן נמצא בכיכר פלומר פינת דרך העצמאות בצידו המערבי של נמל חיפה עם שלוחה בנמל אשדוד.
כ-75% מכלל יבוא הגרעינים (כ-3 מיליון טון גרעיני דגנים) מיובאים לישראל מדי שנה דרך הממגורות, בהם גרעיני חיטה, תירס, סויה, שעורה, דורה ועוד.
הדגנים נפרקים מהאניות ברציף ייעודי בנמל שליד הממגורות, מועברים במסועים למבנה הממגורות, ושם נמסרים לפי הוראות יבואני הגרעינים למשאיות ולקרונות רכבת המובילים את הגרעינים לרחבי הארץ.
בשנת 1951 קיבל דוקטור ראובן הכט זיכיון להקמה ניהול, תפעול ותחזוקה של הממגורות למשך 51 שנה, והן נחנכו בשנת 1955. הממגורות תופעלו על ידי חברת "דגון בתי ממגורות לישראל בע"מ" על פי זיכיון ממשלת ישראל עד שנת 2003, אז עברו הממגורות מבעלות פרטית לבעלות רשות הנמלים.
רשות הנמלים הוציאה מכרז לבחירת מפעיל לממגורות ועד סיום הליכי המכרז, כולל ערעור בפני בית המשפט העליון המשיכה חברת דגון לתפעל את הממגורות.
ב-2009 הוכרזה חברת דגון כזוכה במכרז ל-10 השנים עד 2019.
בשנת 2006 נחשף כי גרעיני תבואה שהתפזרו בחצר הממגורות משכו אליהם יונים והנהלת הממגורות התמודדה עם הבעיה באמצעות ירי ביונים, דבר שעורר מחאות ציבוריות רבות על ידי ארגוני צער בעלי חיים, שדרשו מהממגורות לדאוג לניקוי החצר במקום להרוג את היונים.
בשנת 2012 שינתה דגון את דרך מסירת גרעיני התבואה לבעליהם, דבר שהוביל לניקוי חצר הממגורות לחלוטין מגרעינים ולהקטנת אוכלוסיית היונים סביב המפעל.
מבנה הממגורות, שתכנן האדריכל יוסף קלארווין, מתנשא לגובה של 65 מטרים, ובו כ-200 תאים לאחסון גרעיני הדגנים.
קיבולת האחסון של הממגורות היא כ-85 אלף טון.
בממגורות הוקם מוזיאון דגון שהוא מוזיאון ארכאולוגי לתולדות איסום תבואות בארץ ישראל בימי קדם.
על פי תוכנית מתאר ארצית חלקית לחופי חיפה וטירת כרמל - תמ"א 3/13, השטח עליו בנוי מסוף הגרעינים צפוי להיות חזית ים עירונית והממגורות אמורות לעבור למקום אחר, אם כי לא החל תכנון בעניין ואין תאריך יעד.
בשנת 2007 זכתה סיון בירן במקום הראשון בתחרות עזריאלי לאדריכלות על תכנון ממגורות דגון בסמוך לנמל הקישון אם כי לתוכנית יש בעיית ישימות היות שרוב מטעני הגרעינים מובלים באניות פנמקס שאינן יכולות להיכנס לנמל הקישון הקיים או לבצע בו סיבוב לצורך יציאה ממנו.
באשדוד פועלות ממגורות שבנייתן הסתיימה בשנת 1984 והן בעלות כושר אחסון גרעינים ותבואה בכמות השווה לכ-70% מכושר האחסון של ממגורות דגון בחיפה.
חברת דגון הפעילה את הממגורות באשדוד עד שנת 2018, שבה עבר התפעול לחברת לוגיסטיקר.
למרות כושר האחסון המשמעותי של הממגורות באשדוד וקרבתן היחסית למרכז הארץ, רובו המוחלט של יבוא הגרעינים לישראל משונע דרך חיפה ורק חלק זעום מגיע לאשדוד.
הסיבה לכך היא ריחוקן של הממגורות באשדוד מקו החוף, מה שמצריך שימוש במשאיות לשינוע הגרעינים בין הרציף לממגורות.
התכנון לעתיד הוא חלוקה שווה יותר של הייבוא בין נמלי חיפה ואשדוד באמצעות הקמת מסוע גרעינים בעלות של 250 מיליון ש"ח ובאורך של 2.5 ק"מ מרציף 21 בנמל אשדוד אל הממגורות הממוקמות בעורף הנמל.
המסוע נכנס לשימוש בינואר 2023 והגביר את תפוקת הפריקה ושינוע הגרעינים והתבואה מהרציף אל הממגורות באשדוד פי שמונה לעומת השינוע במשאיות.
ממגורה היא מבנה לאחסון חומרים בתפזורת ובמקרים מסוימים אף לנוזלים.
ממגורות משמשות בעיקר בתחומי החקלאות והתעשייה.
ממגורות נבנות על פי רוב ממתכת או מבטון.
הן בעלות צורות שונות, שהנפוצות ביותר בהן הן של גלילים צרים וגבוהים.
לממגורות פתח מילוי עליון ופתח ריקון תחתון.
בין החומרים הנפוצים המאוחסנים בממגורות ניתן למצוא גרעיני דגנים, פחם, מלט ועוד.
במקרים מסוימים עבודה בממגורה עלולה להיות מסוכנת.
ממגורות שימשו את האנושות משחר ההיסטוריה.
בחפירות תל צף נמצאו שרידים של שש ממגורות שנבנו על בסיס ממספר שכבות של לבנים, וקיר היקפי מלבנים בגובה 2–3 מטר.
על הקירות החיצוניים התגלו שרידי טיח סיד לבן.
כלי נגינה ממברנופוני הוא כלי נגינה בו נעשית הפקת הצליל באמצעות הרעדת ממברנה מתוחה.
שיטת הורנבוסטל זקס מפצלת סיווג זה לארבע קבוצות עיקריות:
ממברנופוניים-הקשה (21): כלים בהם מקישים על הממברנה באמצעות היד או כלי עזר אחר (הסוג הנפוץ ביותר, לדוגמה: טימפני)
ממברנופוניים-פריטה (22): כלים בהם הטחת מיתר אשר קשור לכלי אל מול הממברנה, מרעידה אותה (נפוץ בכלי הקשה הודיים)
ממברנופוניים-חיכוך (23): כלים בהם חיכוך הממברנה יוצר את הצליל (נפוץ במוזיקה אירית מסורתית, לדוגמה: בוראן)
ממברנופוניים-זמזום (24): כלים המשנים צליל שהופק באופן אחר באמצעות הרעדת ממברנה (נדיר יחסית, לדוגמה: קאזו)
ממברנה סינתטית היא קרום דק המחקה מבחר תכונות של ממברנה ביולוגית ומשמשת למגוון מטרות בביולוגיה, בכימיה ובהנדסה, הן במחקר והן בתעשייה.
ממברנה סינתטית יכולה לשמש להפרדת חומרים במעבדה.
החלק הפעיל שלה שמאפשר מעבר סלקטיבי של חומר.
הממברנה מכילה בדרך כלל פולימרים או חומרים קרמיים כמו תערובת של זכוכית ומתכת.
הכוח שמניע את החומר דרך הממברנה יכול להיות מפל ריכוזים, הפרשי לחץ או מתח חשמלי.
לממברנה הסינתטית יש תפקיד חשוב בתהליכי הפרדה כמו מיקרופילטרציה, אולטראפילטרציה, אוסמוזה הפוכה, הפרדת גזים, דיאליזה או כרומטוגרפיה.
היישום תלוי בסוג החומר ממנו הממברנה עשויה.
הבסיס הפיזיקלי הוא הפרדה לפי גודל, אפיניות כימית או אלקטרוסטטיות.
ממברנות חדירות למחצה, שמאפשרות מעבר מים בלבד או יוני מלחים בלבד, משמשות בתהליך אוסמוזה הפוכה או אלקטרודיאליזה לצורך התפלת מים.
אותן ממברנות יכולות לשמש במתקני הפקת אנרגיה בשיטת אנרגיה כחולה .
בפיזיקה, ממד של מערכת משקף דרגת חופש של תנועה במרחב.
מספר הממדים של מרחב הוא מספר הקואורדינטות המינימלי שצריך כדי לתאר אותו, ומספר הכיוונים הבלתי-תלויים בהם אפשר לנוע (למשל, כיוונים ניצבים הם לרוב בלתי תלויים).
לקו ישר ישנו ממד אחד כיוון שיש לו רק דרגת חופש אחת.
ליקום ישנם שלושה ממדים מרחביים מוכרים - אורך, רוחב וגובה.
לפי תורת היחסות, ליקום ישנם ארבעה ממדים: שלושת הממדים המוכרים וממד הזמן.
לארבעת הממדים הללו ניתן השם "מרחב-זמן".
הנקודות במרחב-זמן נקראות "מאורעות" ואפשר לתאר אותן כרביעייה סדורה בקואורדינטות (t, x, y, z) - זמן, אורך, רוחב וגובה.
ישנן תאוריות נוספות, שאינן נתמכות בניסויים, שגורסות שביקום שלנו ישנם יותר מארבעה ממדים.
בניסוחים המוקדמים של תורת המיתרים גרסו שהיקום מורכב מ-10 ממדים.
מאוחר יותר, לאחר ששופרו המשוואות, הגיעו למסקנה שהיקום מורכב מ-11 ממדים – מתוכם 10 ממדים הם מרחביים, וממד זמן אחד, ואולם ישנן תורות אחרות שלפיהן ישנם מספרים אחרים של ממדים.
לפי תורות אלו הממדים הנוספים (נוסף על ארבעת הממדים המוכרים) בלתי נצפים ללא מדידת כבידה מכיוון שהם קומפקטיים ומזעריים.
לפי פיתוחים בתורת העל-מיתר ותורת M הדרך היחידה שלנו לחזות בממדים הנוספים היא באמצעות כוח הכובד.
זאת מכיוון שהגרביטון, החלקיק הנשא של הכבידה, הוא היחיד המסוגל "לגלוש" לממדים הנוספים, בעוד החלקיקים הנשאים של שאר הכוחות, או חלקיקי החומר אינם מסוגלים לעשות זאת, והם "כבולים" לארבעת ממדי היקום.
קיומם של ממדים נוספים לא אושש בניסויים עד כה.
מודל שהציעו נימה ארקני-חאמד, סאבאס דימופולוס וגאורגי (גיה) דבלי מתאר אפשרות לבנות את חוקי הפיזיקה בעולם עם חמישה ממדים שבהם הממד החמישי אינו ממוזער, אך מתנהג באופן שונה משאר הממדים, ובו רק חלקיקים מסוימים יכולים לנוע.
גם מודל זה זכה למחקרים תאורטיים רבים אך לא אושש בניסויים עד כה.
במתמטיקה, ממד קרול הוא שמם המשותף של כמה ממדים של חוגים, המתלכדים עבור חוג נתרי קומוטטיבי.
ממדים אלו קרויים על שמו של וולפגנג קרול, שפיתח את ממד קרול הקטן.
ממד קרול הקטן הוא המספר המקסימלי של הכלות בשרשרת עולה של אידיאלים ראשוניים.
באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית, ממד זה של חוג הפונקציות על יריעה מספק הגדרה אלגברית לממד הגאומטרי שלה.
לכל אלגברה אפינית קומוטטיבית יש ממד סופי, וחוגים בעלי ממד סופי חולקים עם האלגברות האפיניות כמה תכונות חשובות.
לחוג ארטיני קומוטטיבי יש ממד אפס.
נניח כי הוא חוג, וכי הם אידיאלים ראשוניים ב-, כך ש-.
אז נאמר שאידיאלים ראשוניים אלו יוצרים שרשרת באורך .
ממד קרול הקטן של הוא החסם העליון של כל אורכי השרשראות של אידיאלים ראשוניים, והוא סופי או שווה לאינסוף.
לדוגמה, האידיאלים הראשוניים היחידים בחוג המספרים השלמים הם אידיאלים ראשיים מהצורה כאשר מספר ראשוני, וכן אידיאל האפס.
כמו כן, אף אידיאל ראשוני (מלבד אידיאל האפס) אינו מוכל באידיאל ראשוני אחר, ולפיכך השרשרת העולה המקסימלית של אידיאלים ראשוניים היא השרשרת .
לפיכך ממד קרול של חוג המספרים השלמים הוא 1. בדומה לזה, ממד קרול של כל תחום ראשי הוא 1. האידיאל הראשוני היחיד בשדה הוא אידיאל האפס, לכן ממד קרול של כל שדה הוא 0.
לכל אידיאל ראשוני בחוג PI נתרי יש גובה סופי (אך ממד קרול הקטן של חוג כזה עשוי להיות אינסופי).
במקרה הכללי , ואלו החסמים הטובים ביותר האפשריים על הממד של חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל .
לעומת זאת אם הוא חוג נתרי מממד , אז ממד קרול הקטן של הוא בדיוק .
בהמשך לזה, אם שדה, אז ממד קרול של החוג הוא בדיוק .
ממד קרול הקלאסי עדין יותר.
נאמר שאידיאלים מקסימליים הם בעלי עומק 0, ושלאידיאל ראשוני יש עומק (כאשר סודר) אם לכל ראשוני המכיל ממש את יש עומק קטן מ-.
ממד קרול הקלאסי הוא הסודר המינימלי המהווה עומק של כל הראשוניים בחוג.
לחוג יש ממד קרול קלאסי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי השרשרת העולה על אידיאלים ראשוניים.
ממד קרול (סתמי) מוגדר עבור מודולים מעל חוג .
ממד קרול שווה לסודר אם הוא אינו קטן מ-, ואם לכל שרשרת יורדת , ממקום מסוים ואילך, .
בפרט, למודול (שאינו אפס) יש ממד 0 אם ורק אם הוא ארטיני; למודול (שאינו ארטיני) יש ממד 1 אם ורק אם בכל שרשרת יורדת המנות ארטיניות החל ממקום כלשהו, למודול יש ממד 2 אם ורק אם בכל שרשרת יורדת המנות הן מממד 1 או 0 החל ממקום כלשהו.
למודול נתרי יש ממד קרול (אבל לא לכל מודול).
ממד קרול של החוג הוא הממד שלו כמודול מעל עצמו, אם הוא קיים.
בפרט, לכל חוג נתרי יש ממד קרול.
כל סודר יכול להיות ממד קרול של חוג נתרי קומוטטיבי, וממד קרול של תחום ראשי שמאלי.
אם לחוג יש ממד קרול, אז מוכרח להיות נתרי; ולכל נתרי, .
כל חוג בעל ממד קרול מקיים את תנאי השרשרת העולה על אידיאלים ראשוניים.
בחוג שיש לו ממד קרול, כל אידיאל מכיל מכפלה של מספר סופי של ראשוניים (זוהי תכונה חשובה של חוגים נתריים).
בחוג שיש לו ממד קרול מתקיים אי-השוויון .
בחוג קומוטטיבי מתלכדים ממד קרול וממד קרול הקלאסי, ואם הממד סופי (והחוג קומוטטיבי) הם שווים גם לממד קרול הקטן.
לחוג שיש לו ממד קרול יש ממד יוניפורמי סופי; חוג חוג ראשוני למחצה שיש לו ממד קרול (שמאלי) הוא חוג גולדי (שמאלי).
ממד קרול אינו גדל תחת תמונות הומומורפיות.
בחוגים קומוטטיביים (ובכלל, בחוגים עם זהויות) בהרחבה שלמה נשמר ממד קרול.
לדוגמה, בתורת המספרים האלגברית משתמשים בכך שחוגי שלמים הם בעלי ממד קרול 1; הדבר נובע לכן ישירות מהגדרתם כהרחבות שלמות של חוג השלמים, שמימדו 1.
Arnold הראה שקיימים חוגים קומוטטיביים מממד קרול סופי, שחוג טורי החזקות מעליהם (במשתנה אחד) אינו מקיים את תנאי השרשרת העולה על ראשוניים.
יתרה מזאת, הוא הראה שאם חוג טורי החזקות הוא בעל ממד קרול סופי אז חוג הבסיס מקיים את תנאי הסופיות SFT: לכל אידיאל, יש תת-אידיאל נוצר סופית כך שחזקות חסומות של אברי האידיאל הרחב שייכות לאותו אידיאל הנוצר סופית.
Bergman שאל האם באלגברה אפינית ממד גלפנד קירילוב חוסם את ממד קרול.
Bell הראה שהדבר אינו נכון: יש אלגברות אפיניות מממד גלפנד קירילוב 2 וממד קרול שרירותי, לרבות אלגברה כזו שאינה מקיימת את תנאי השרשרת העולה על ראשוניים.
ממד קומפקטי הוא ממד פיזיקלי המתאר מרחב קומפקטי.
ממד כזה עשוי ללבוש צורת לולאה (שהיא ספירה חד־ממדית), בניגוד לממדים הרגילים, שצורתם היא קו ישר אינסופי, ואינם קומפקטיים.
הלולאה היא הצורה היחידה האפשרית לממד קומפקטי יחיד.
במרחב שיש בו כמה ממדים קומפקטיים, הם עשויים להיות בלתי תלויים זה בזה (ולהופיע כמכפלה קרטזית, כגון ), אבל גם להיות כרוכים זה בזה באופנים מורכבים, כדוגמת ספירה רב ממדית או כל יריעת רימן קומפקטית אחרת.
בתורת המיתרים נעשה שימוש בממדי מרחב קומפקטיים המהווים הרחבה של המרחב-זמן המוכר בפיזיקה.
ממדים קומפקטיים נוספים טרם התגלו, וייתכן שהדבר נובע מגודלם הזעיר.
ממויידה (איטלקית Mamoiada; סרדינית: Mamujada) היא עיר בנפת נואורו במחוז סרדיניה.
העיר שוכנת בגובה של 644 מעל פני הים, כ- 17 ק"מ מהעיר נואורו, בירת הנפה, בלב אזור ברבג'יה של אולולאי (Barbagia di Ollolai).
פרסומה של העיר בא לה בזכות הקרנבל ומוזיאון מוזיאון המסכות הים תיכוני (Museo delle Muschere Medierranee) ששוכן בה.
האירועים הנערכים בעיר נעשה שימוש בשני סוגי מסכות בולטים - הממוטות וה"איסוהדורס" (Issohadores).
ממד VC הוא מדד בתחום הלמידה החישובית המתאר את רמת כושר ההפרדה (הקיבולת, הסיבוכיות או העושר) של קבוצת מסווגים שניתנת ללמידה באמצעות אלגוריתם למידה סטטיסטית.
ממד ה-VC של מחלקת מסווגים (מחלקת היפותזות) כלשהי , מוגדר כגודל הקבוצה הגדולה ביותר של דוגמאות ש- מנפצת (shatter), כאשר ההגדרה היא ש- מנפצת קבוצת דוגמאות C סופית כלשהי, אם לכל סיווג אפשרי של C, קיים מסווג h מתוך המחלקה שמחזיר את הסיווג הנ"ל.
נניח כי היא מחלקת מסווגים ממרחב כלשהו לקבוצה בגודל 2 ( מקובל , לעיתים גם ) .
גודלה המרבי של קבוצה כזאת, כקבוצת פונקציות בין שתי קבוצות סופיות, הוא לכל היותר (תלוי באילו היפותזות מחלקת ההיפותזות שלנו כוללת).
כאשר גודלה הוא בדיוק , אנו אומרים כי מנפצת את .
במילים אחרות, כאשר מנפצת קבוצה כלשהי, פירוש הדבר הוא שהיא מכילה את כל התיוגים האפשריים על האיברים שלה (כאשר התיוגים נלקחים מ ).
ממד VC הוא גודלה של הקבוצה הגדולה ביותר ש מנפצת, כלומר
כאשר מנפצת כל קבוצה סופית, נאמר כי ממד VC הוא אינסופי ונסמן
ממד ה-VC של מחלקה המכילה מסווג יחיד הוא 0, וזאת מכיוון שהיא איננה מנפצת אפילו נקודה אחת.
באופן כללי ממד ה-VC של מחלקה חסום מלמעלה על ידי לוג (בבסיס 2) של גודל המחלקה.
ממד ה-VC של מחלקת מפרידים ליניאריים (linear predictors) במרחב d-ממדי הוא d+1.
לדוגמה, ממד ה-VC של מחלקת מפרידים ליניאריים במרחב דו־ממדי הוא 3. לא ניתן לפזר במרחב הווקטורי 4 נקודות אשר קו ישר יכול לנפץ תמיד.
מאידך, קיים סידור של 3 נקודות שאותן מפריד ליניארי יכול לסווג בהצלחה, עבור כל סיווג.
ממד ה-VC של מחלקת עצי החלטה עם מספר צמתים בלתי מוגבל, מעל קבוצה אינסופית, הוא אינסוף.
ממד ה-VC של מחלקת כל המסווגים האפשריים, מעל קבוצה אינסופית, הוא אינסופי, וזאת מכיוון שהיא מנפצת כל קבוצה סופית של דוגמאות.
קיים קשר הדוק בין ממד ה VC של מחלקת היפותזות לבין learnability של מחלקת היפותזות במודל הסטטיסטי (ראה למידת PAC).
בפרט, ממד VC סופי הוא המדד לבחינה האם מחלקה של מסווגים בינארים היא נלמדת (learnable) במודל הזה בהסתברות גבוהה בלי תלות בהתפלגות הנתונים (Agnostic).
למעשה נכונה תוצאה רחבה יותר, המכונה המשפט היסודי של למידה סטטיסטית ( The fundamental theorem of statistical learning) עבור סיווג בינארי
יהי מרחב ותהא מחלקת מסווגים, ונניח שפונקציית ההפסד (loss function) היא 0/1, כלומר סופרת את מספר הטעויות .
ל יש התכנסות במידה שווה (uniform convergence)
ניתנת ללמידה באמצעות אלגוריתם ERM
ניתנת ללמידה באמצעות PAC (כלומר היא PAC learnable)
ל יש ממד VC סופי
מָמוֹגרפיה היא בדיקה המבוססת על קרני רנטגן, ומיועדת לזיהוי ואבחון מוקדם של רקמות חשודות באזור החזה.
ב-1913 הדפיס אלברט סלומון (Salomon), מנתח יהודי-גרמני, את המונוגרפיה שלו שהתמקדה בתועלות המופקות ממחקרים רדיולוגיים שבוצעו על דגימות מסטקטומיות.
סלומון ערך את מחקרו על 3,000 מסטקטומיות, והצליח לראשונה לערוך השוואה בין רקמות שד בריאות לרקמות שד נגועות באמצעות קרני רנטגן ובכך הוכיח שניתן לבצע אבחנה רדיולוגית בין קרצינומות ממאירות ושפירות.
בנוסף, סלומון הצליח להציג את התפשטותו של גידול סרטני אל תוך בלוטות הלימפה האקסילריות, סיפק מידע רב ערך באשר להתפשטות ולתיחום של גידולים והיה הראשון שגילה שקיימים מספר סוגים של סרטן שד.
עבודות נוספות בנוגע לרדיוגרפיה של השד לא הופיעו עד לשנת 1927, עד אשר אוטו קליינשמידט (Kleinschmidt), מנתח גרמני, הכניס אזכור של הנושא לתוך ספרו בפרק שהוקדש לשד.
ב-1930 דיווח רדיולוג אמריקאי בשם סטפורד וורן (Warren) על טכניקה סטראוסקופית לממוגרפיה שבוצעה על מטופלות, שלאחר מכן נכנסו לניתוח.
וורן השתמש בין היתר בסרט צילום של חברת קודאק לצורך כך.
הוא דיווח לאחר מכן שלעומת הדיאגנוזה הקלינית הפרה-כירורגית שלא הייתה מספיק ברורה ומוחלטת, הממוגרם היה ברוב המקרים מדויק (ב-54 מתוך 58 מטופלים).
ב-1931 הכין וולטר פוגל (Vogel) הגרמני סיווג רדיוגרפי של נגעים שפירים בשד והסביר כיצד ניתן להבדיל בין גידולים שפירים לקרצינומות.
באותה השנה דיווח גם פול סיבולד (Seabold) האמריקאי על מחקריו בנוגע לדיאגנוזה רדיוגרפית של מחלות שד.
ב-1938 פרסמו ג'קוב גרשון-כהן (Gerson-Cohen) ואלברט שטניקבר (Stnickber) מאמר שתיאר את טווח המופעים הרדיוגרפיים התקינים של השד כפונקציה של גיל ומצב ווסתי.
הם העירו במאמרם שעוד נדרשת התקדמות משמעותית בצד הטכני בשימוש בקרני רנטגן בטרם יהיה ניתן להשתמש בממוגרפיה ככלי דיאגנוסטי לשלבים פתולוגיים מוקדמים.
בהמשך כתב עליו רוברט איגן (Egan) ש"על אף חוסר ההכרה המוחלט על ידי עמיתיו בעירו [פילדלפיה], גרשון-כהן התעקש על השימוש בבדיקת רנטגן של השד, המשיך כתלמיד מסור של הממוגרפיה וכתב ללא לאות על הנושא בניסיון לשכנע את עמיתיו.
הגישה שלו הייתה ניסיון לבסס את הממוגרפיה על בסיס אנטומי באמצעות קורלציה בין תצלומי רנטגן של נגעים בשד לבין דגימות מיקרוסקופיות".
את עיקר מחקרו זה ערך גרשון-כהן בשנות ה-50 יחד עם הפתולוגית הנודעת הלן אינגלבי (Ingleby), שעשה שימוש בחיתוכים היסטולוגיים של השד.
גרשון-כהן הדגיש את החשיבות של תמונות בעלות ניגודיות גבוהה עבור דיאגנוזה טובה, ולצורך כך השתמש ב-2 סרטי צילום שביניהם חוצצת שכבת אלומיניום בעובי של 0.5 מילימטר.
סרט הצילום העליון חשף ניגודיות טובה של החלק האחורי והעבה של השד, ואילו סרט הצילום התחתון חשף ניגודיות טובה של החלק הקדמי של השד.
ב-1949 החיה ראול לבורן (Leborgne) האורוגוואי את העניין בממוגרפיה במספר מאמרים שפרסם, והיה הראשון לדווח על יכולת זיהוי רדיולוגית של מיקרו-הסתיידויות בשד בקרב 30% מהגידולים ועל הקשר ביניהן לקרצינומה בשד.
הוא גם זיהה את החשיבות של דחיסה של השד בעת הממוגרפיה ככלי לשיפור איכות התצלומים.
לבורן היה חלוץ בשיפור איכות הדימות, ושם דגש מיוחד על האבחנה המבדלת בין הסתיידויות שפירות וממאירות.
ב-1960 פריצת דרך הושגה על ידי רוברט איגן, שתיאר טכניקה ממוגרפית חדשה העושה שימוש במילי-אמפר גבוה ובקילו-וולט נמוך.
איגן דיווח על תוצאות מצוינות בדימות שד אצל 1,000 מטופלות ראשונות, וניתן בהחלט לומר שהשימוש הנרחב בממוגרפיה הוא בראש ובראשונה הודות לעבודתו החשובה של איגן.
מאמרו של איגן הכה גלים והביא לעניין רב בממוגרפיה.
במאי 1963, מרכז הבקרה למחלות שד בארצות הברית (Cancer Control Program) מימן ועידה שתדון ותדווח על יעילות הממוגרפיה.
בוועידה הוצגו תוצאות של מחקר ממוגרפי רחב שנערך בשיתוף של 24 מוסדות; שיעור התוצאות החיוביות אמיתיות (true positives) היה 79%, ושיעור התוצאות השליליות שגויות (false negatives) היה 21%.
מסקנות הוועידה היו שממוגרפיה אכן יכולה לאפשר אבחנה בין נגעים שפירים לממאירים, ושניתן להשתמש בה כדי לאבחן סרטן אצל נשים א-סימפטומטיות, ושהטכניקה שפותחה על ידי איגן קלה לשכפול ותוכל להילמד על ידי רדיולוגים אחרים.
באותו הזמן הוכיחו ג'ון מרטין (Martin) ועמיתים נוספים את הפוטנציאל הגדול של הממוגרפיה לאבחון קרצינומה גם במרפאות פרטיות.
בסמוך לכך, הקולג' האמריקאי לרדיולוגיה (ACR) פיתח, בסיועו של איגן, שיטות למידה חדשות וייסד ועדות ומרכזים להכשרה ברמה הארצית.
בין השנים 1963–1966 ביצעו פיליפ סטראקס (Strax), לואיס ואנט (Venet) וסם שפירו (Shapiro) את המחקר המבוקר הראשון במטרה לבדוק האם אבחון ממוגרפי משפיע על רמת התמותה מסרטן השד.
המטופלות מקבוצת הניסוי עברו בדיקות ממוגרפיה תקופתיות קבועות במשך 5 שנים.
תוצאות המחקר הראו שבהשוואה לקבוצת הביקורת, שיעור התמותה בקרב קבוצת הניסוי פחת בכמעט שליש.
בסוף שנות ה-60, היה סטראקס לאדם הראשון שפיתח וניהל בהצלחה את היחידה הניידת הראשונה לממוגרפיה ולאבחון סרטן השד.
התקדמות טכנית - קסרוממוגרפיה וסנוגרף
בשנות ה-50 התרחשה קפיצת דרך טכנולוגית חשובה בדמות פיתוח הקסרוממוגרפיה (xeromammography).
הקסרוממוגרפיה הייתה דוגמה לשיתוף פעולה מוצלח בין הרפואה והתעשייה.
העקרונות הפיזיקליים של יצירת תמונות אלקטרוסטטיות היו ידועות עוד מהמאה ה-18; בשנת 1937 פיתח צ'סטר קרלסון (Carlson) את עקרונות היסוד של הקסרוגרפיה שבסופו של דבר הביאו לפיתוח מכונת הצילום התעשייתית בשנת 1950.
בשנת 1952 ערכו ג'ון רואצ' (Roach) והרמן הילבו (Hilleboe) מחקר שבחן את הפוטנציאל הרפואי של שיטה רדיולוגית חדשה שתתבסס על עקרונות אלו - הקסרורדיוגרפיה (Xeroradiography), ובה תצלומי רנטגן של הגוף מופקים על גבי נייר ולא על גבי סרט צילום.
ב-1960 דיווחו הווארד גואולד (Gould) ועמיתים נוספים על שיפור משמעותי באיכות תצלומי רנטגן קסרוממוגרפיים של השד בהשוואה לתצלומי רנטגן שבוצעו בממוגרם הקודם.
בוועידת הממוגרפיה החמישית שהתקיימה באוניברסיטת אמורי שבאטלנטה בשנת 1966 הציג ג'ון וולף (Wolfe) את התנסותו הרבה עם הטכניקה החדשה ותובנות לגבי שיפורים אפשריים של המכשיר.
בשלב זה הקסרוממוגרם היה מסורבל וגדול, והורכב למעשה מ-5 חלקים שונים.
העניין הרב שגרמה הוועידה הביאה לכך שה-ACR ביקש מחברת זירוקס להקים תוכנית מחקר ופיתוח לקסרוממוגרפיה, ואכן כתוצאה מכך התבצעו מספר ניסויים קליניים נרחבים וולף, ג'ון מרטין (Martin) ובהמשך גם גלוריה פרנקל (Frankl) מילאו תפקיד חשוב.
בסופו של דבר, 5 הרכיבים המגושמים של הקסרוממוגרם "נדחסו" לתוך 2 רכיבים בלבד, וב-1971 ניתן היה לרכוש את הקסרוממוגרם התעשייתי הראשון.
ב-1987 חלה התקדמות נוספת ו-2 הרכיבים אוחדו לרכיב אחד בלבד, ובנוסף גם החל השימוש בטונרים נוזליים במקום באבקה וכתוצאה מכך איכות התצלומים השתפרה וכמות הקרינה הנדרשת הצטמצמה.
וולף תרם תרומה חשובה נוספת בכך שיצר סיווג של הסימנים העדינים של סרטן השד והקשר שלהם לצפיפות הפרנכימה של השד.
וולף, מרטין ופרנקל פעלו רבות, במאמרים שכתבו ובתוכניות לימוד שפיתחו, על מנת שהשימוש בקסרוממוגרפיה יהיה רחב ככל האפשר.
ב-1965 פיתח שארל גרוס (Gros) משטראסבורג, צרפת, יחד עם חברת CGR, את אב הטיפוס של הסנוגרף (Senographe).
הסנוגרף היה למעשה היחידה הראשונה שהוקדשה לממוגרפיה בלבד.
פיתוח הסנוגרף היווה אבן דרך חשובה בשיפור איכות התצלומים הממוגרפיים.
גרוס עבד במסירות וקרא בקביעות להרחבת השימוש בממוגרפיה ולהבנת הפוטנציאל הגדול לזיהוי גידולים סמויים.
הבדיקה משמשת ככלי זיהוי ואבחון לרקמות דמויות גושים באזור החזה ובית השחי ומומלצת לגילוי מוקדם של סרטן השד.
הבדיקה אינה אינדיקטור מוחלט לזיהוי ואבחון של רקמות סרטניות.
קיימות מספר בדיקות משלימות לבדיקת הממוגרפיה כגון ביופסיה, דימות תהודה מגנטית (MRI), אולטרסאונד, ממוגרפיה פולטת פוזיטרונים ודקטוגרפיה.
במהלך הבדיקה מוצמד השד בין שני משטחים מקבילים (כמודגם בתמונה).
נלקחות דגימות תמונה מזווית אנכית ואלכסונית.
בממוגרפיה דיגיטלית, תמונות הרנטגן נשמרות בדיסק ואינן מודפסות.
השיטה הדיגיטלית היא המקובלת כיום.
אם עולה חשש לרקמה חשודה שעלולה להיות סרטנית, החולה מופנית לבדיקות בירור נוספות שיאבחנו את סוג הרקמה.
הבדיקה הנחשבת טובה ביותר לזיהוי סוג הרקמה היא ביופסיה.
בישראל מתבצעות מדי שנה כ-350,000 ממוגרפיות.
אחוזי ההשתתפות בביצוע בדיקת ממוגרפיה אחת לפחות במהלך שנתיים הם מעל 70%.
עלות בדיקה בודדת למדינה הוא 347 ש"ח (לא כולל הוצאות נוספות כגון ביופסיה או עלות אובדן ימי עבודה).
כלומר, קופת המדינה מממנת את בדיקות הממוגרפיה במעל ל-120 מיליוני ש"ח לשנה.
מטא-אנליזה בנושא בדיקות סקר של סרטן השד מצאה כי ביצוע סקר באמצעות ממוגרפיה בנשים גילאי 50–70 מפחיתה ב-20%–35% את התמותה מסרטן שד.
עם זאת, התועלת הבריאותית הכוללת של ממוגרפיה כבדיקת סקר, שנויה במחלוקת, כיוון שבניסויים מבוקרי הקצאה אקראית לא נמצא הבדל בתוחלת החיים בין קבוצת הסקירה לקבוצת הביקורת.
השערת החוקרים באשר לתוצאות הסקרים הם:
חלק ממקרי סרטן השד שאובחנו באמצעות ממוגרפיה היו שגויים וגרמו להטיית הסטטיסטיקה
מודעותן הרבה של הנשים למחלה מביאה אותן לגילוי עצמי מוקדם
הטיפולים המוצעים כיום לסרטן כה יעילים שהגילוי המוקדם אינו מסייע לטיפול.
המלצות משרד הבריאות לגבי גילוי מוקדם לסרטן השד כוללות בדיקת ממוגרפיה פעם בשנתיים לכל אישה בגיל 50–74. לפי נתוני התוכנית הלאומית למדדי איכות לרפואת הקהילה בישראל, שיעור הביצוע של בדיקת ממוגרפיה לפי המלצות אלו עמד בשנת 2017 על 70.5%.
נשים עם קרובות משפחה מדרגה ראשונה שחלו בסרטן השד, נשים שנתגלתה בהן מחלת שד שפירה ובביופסיה הופיעה אטיפיה או נשים בקבוצת סיכון גבוהה יותר ביחס לאוכלוסייה הכללית מונחות לבצע בדיקת ממוגרפיה פעם בשנה החל מגיל 40.
תופעות הלוואי הלא רצויות של ממוגרפיה
בדיקת הממוגרפיה, על אף יעילותה ככלי סקר לאיתור מוקדם של סרטן השד, כרוכה במספר תופעות לוואי וחסרונות פוטנציאליים.
אלה כוללים תוצאות חיוביות-כוזבות, אבחון יתר, טיפול יתר, חשיפה לקרינה מייננת והשלכות פסיכולוגיות.
תוצאה חיובית-כוזבת מתקבלת כאשר הממוגרפיה מזהה ממצא חשוד, אך לאחר בירור נוסף (הכולל לעיתים בדיקות הדמיה נוספות או ביופסיה) מתברר כי אין מדובר בסרטן.
תוצאות אלו הן אחת מתופעות הלוואי הנפוצות והמשמעותיות ביותר של בדיקות הסקר.
הסיכון המצטבר לקבלת תוצאה חיובית-כוזבת אחת לפחות לאורך 10 סבבי בדיקה דו-שנתיים בתוכניות אירופאיות נע בין 8.1% ל-20.4%.
הסיכון המצטבר לעבור הליך פולשני (כמו ביופסיה) שבסופו של דבר יתברר כשפיר, נע בין 1.8% ל-4.1%.
בארצות הברית, שם נהוג מודל של "סקר אופורטוניסטי" (עם מידה מופחתת של התארגנות לאומית), השיעורים גבוהים משמעותית.
מחקרים הראו כי הסיכון המצטבר לתוצאה חיובית-כוזבת אחת לפחות על פני 10 בדיקות ממוגרפיה נע בין 58% ל-77%.
גורמי סיכון לתוצאה חיובית-כוזבת כוללים גיל צעיר יותר ושדיים עם רקמה צפופה.
אבחון יתר הוא איתור של גידול סרטני, שבמהלך חייה של האישה לא היה גורם לתסמינים כלשהם או מסכן את חייה.
מדובר בגידולים "רדומים" או שמתפתחים לאט מאוד.
זוהי תופעת לוואי משמעותית, מכיוון שהיא מובילה באופן ישיר לטיפול יתר.
הערכת היקף התופעה מורכבת, והאומדנים משתנים מאוד בין מחקרים.
במחקרים אירופאיים שנחשבו למותאמים היטב (תוך התחשבות בזמן ההקדמה באבחון ובמגמות תחלואה), אומדני אבחון היתר נעו בין 1% ל-10% מכלל מקרי סרטן השד.
קבוצת העבודה של Euroscreen סיכמה את הנתונים והעריכה כי שיעור אבחון היתר עומד על כ-6.5% בקרב נשים שעוברות בדיקות סקר בין גיל 50 ל-69.
כל מקרה של אבחון יתר מוביל בהגדרה לטיפול יתר – מתן טיפולים אונקולוגיים (כגון ניתוח, הקרנות, כימותרפיה או טיפול הורמונלי) לאישה שלא הייתה נפגעת מהגידול אלמלא אותר.
תחום עיקרי המעורר דאגה בהקשר זה הוא אבחון של קרצינומה DUCTAL IN SITU (DCIS), מצב טרום-סרטני שברוב המקרים לא יתפתח לסרטן פולשני.
סקירה שיטתית של ספריית קוקרן מצאה כי בקרב קבוצות נשים שעברו סקר, נרשמה עלייה של 31% בסך הניתוחים (כריתת שד חלקית ומלאה) ועלייה של 20% בניתוחי כריתת שד מלאה (מסטקטומיה) בהשוואה לקבוצות שלא עברו סקר.
העלייה משקפת את הטיפול במקרים שאובחנו באבחון יתר.
סיכון לסרטן שד הנגרם מקרינה
ממוגרפיה עושה שימוש בקרינת רנטגן (קרינה מייננת), אשר חשיפה אליה כרוכה בסיכון תאורטי, אם כי קטן מאוד, להתפתחות סרטן.
הסיכון מוערך באמצעות מודלים סטטיסטיים ולא ממחקרים אפידמיולוגיים ישירים, בשל נדירות המקרים.
ההערכות מראות כי הסיכון נמוך משמעותית מהתועלת.
לדוגמה, מחקר נורווגי העריך כי עבור 100,000 נשים העוברות סקר דו-שנתי מגיל 50 עד 69, צפויים כ-10 מקרים של סרטן שד שנגרם מהקרינה ומוות אחד כתוצאה מכך.
לשם השוואה, באותה קבוצה, בדיקות הסקר צפויות למנוע כ-350 מקרי מוות מסרטן השד.
כלומר, היחס בין מקרי מוות שנמנעו למקרי מוות שנגרמו מהבדיקה עומד על לפחות 117 ל-1.
הסיכון גבוה יותר ככל שהחשיפה מתרחשת בגיל צעיר יותר, ולכן סוגיית התועלת מול הסיכון מורכבת יותר עבור נשים בשנות ה-40 לחייהן, וכן עבור נשים עם נטייה גנטית (כגון נשאיות מוטציות בגנים BRCA), הרגישות יותר לקרינה.
לתהליך הסקר בממוגרפיה, ובמיוחד לקבלת תוצאה חיובית-כוזבת, עלולות להיות השלכות פסיכולוגיות שליליות.
השפעות קצרות-טווח: רוב המחקרים מראים כי נשים שמוזמנות לבדיקות נוספות חוות חרדה, מתח, דאגה ואי-שקט בתקופה שבין קבלת הזימון ועד לקבלת התוצאה הסופית.
השפעות ארוכות-טווח: הממצאים לגבי השפעות ארוכות-טווח פחות עקביים.
חלק מהמחקרים לא מצאו הבדלים משמעותיים ברמות החרדה לאורך זמן, אך מחקרים אחרים מצאו כי נשים שחוו תוצאה חיובית-כוזבת דיווחו על השלכות פסיכו-סוציאליות שליליות יותר (כגון שינויים בערכים קיומיים ובתחושת הרוגע הפנימי) אפילו 3 שנים לאחר האירוע, בהשוואה לנשים עם תוצאה תקינה.
אבחון DCIS: אבחון של DCIS גורם לעיתים קרובות לבלבול וחרדה.
נשים רבות אינן מבינות את ההבדל בין מצב זה לסרטן פולשני, והשימוש במונח "קרצינומה" והמלצות לטיפולים אגרסיביים (כמו כריתת שד) עלולים להעצים את החרדה.
ממוגרם שגרתי מורכב משני מנחים בסיסיים: זווית קראניו-קאודלית (craniocaudal - CC) וזווית מדיו-לטרלית אלכסונית (mediolateral - MLO).
מנחים אלו מאפשרים ויזואליזציה מקסימלית והבנה תלת-ממדית של רקמות השד.
קיימת חשיבות עליונה בהבנה תלת-ממדית של השד, הן מתוך מטרה לצמצם את ההפרעות ממבנים אנטומיים אחרים שיחפפו והן מתוך מטרה להגדיל את כמות רקמות השד שיצולמו וכך להביא לזיהוי טוב יותר של גידולים.
קיימים מנחים נוספים שייתכן ויהיו נדרשים להערכה של נשים בעלות שתלי שד.
קסרוממוגרפיה ("xero" משמעותו יבש ביוונית) היא סוג של דימות באמצעות קרני רנטגן, כאשר התצלומים מופקים על גבי נייר ולא על גבי סרט צילום.
הטכניקה מתבססת על תכונה הנקראת פוטו-מוליכות - תכונה של חומרים מסוימים לשנות את תכונותיהם החשמליות על ידי חשיפה לקרינה כמו אור או קרני רנטגן למשל.
בטכניקה זו לוחית של אלומיניום המצופה שכבה דקה של סלניום נטענת בצורה אחידה כאשר מועברת מול מכשיר הנקרא סקורוטרון (Scorotron); הסקרוטרון הוא מכשיר שגורם להתפרקות עטרה (corona discharge) - התפרקות מטען חשמלי הנגרמת כתוצאה מיינון של נוזל או אוויר המקיפים מוליך טעון חשמלית.
לפני החשיפה לקרני הרנטגן, פני השטח של הסלניום טעונים במטען אחיד; כאשר פוטון מקרני הרנטגן מתנגש בציפוי האמורפי של הסלניום, הסלניום הפוטו-מוליך מאבד את המטענים החשמליים שלו בכמות הפרופורציונלית לאנרגיה של קרני הרנטגן.
המטען האחיד מתפרק באופן חלקי, ותבנית המטען הנותר יוצרת תמונה אלקטרוסטטית חבויה (לטנטית).
את התמונה האלקטרוסטטית החבויה מפתחים (הופכים לגלויה) על ידי חשיפה של פני השטח של הלוחית לאבקה של חלקיקים טעונים שלילית הנקראת טונר, כאשר חלקיקים טעונים אלו נמשכים לפני השטח של הלוחית (הטעונים חיובית) בהתאם לעוצמה של המטען שנותר לאחר החשיפה לקרני הרנטגן.
בשלב הסופי, התמונה שנוצרת על ידי הטונר מועברת לגיליון בתהליך אלקטרוסטטי, ומקובעת אליו.
ממו די פיליפוצ'ו (באיטלקית: Memmo di Filippuccio; סביבות 1250, סיינה – 1325, סן ג'ימיניאנו), היה צייר איטלקי מסיינה, שבחבל טוסקנה.
המידע המתועד על קורות חייו מועט, זאת בדומה לרבים מהאמנים בני אותה תקופה.
על כן הביוגרפיה שלו היא משוערת ברובה, משוחזרת על ידי החוקרים על פי מעט המידע ובמידה רבה על סמך זיהוי יצירותיו שנעשה בעיקר על פי סגנון הציור.
לכן יש גם הבדלים בין המקורות השונים.
נולד בסיינה לאב שהיה צורף זהב.
בנו ליפו ממי היה צייר אף הוא.
ביתו ג'ובנה הייתה נשואה לצייר סימונה מרטיני.
היה פעיל בסן ג'ימיניאנו לפחות מ-1303, ייתכן שבתחילת דרכו יחד עם דוצ'ו.
בנו ליפו ממי קיבל את הכשרתו הראשונית בסדנה שלו בסן ג'ימיניאנו.
מ-1317 יצרו יחד סדרה של פרסקאות מאסטה לבית העירייה של סן ג'ימיניאנו.
באלגברה מופשטת, ממד פרויקטיבי של מודול הוא אורך הרזולוציה הפרויקטיבית הקצרה ביותר של המודול.
הממד הפרויקטיבי שווה לאפס אם ורק אם המודול עצמו פרויקטיבי.
הממד הפרויקטיבי הגדול ביותר של מודולים מעל חוג נקרא הממד הגלובלי של החוג.
הממד הפרויקטיבי של קטן או שווה ל- אם יש שרשרת מדויקת מהצורה , כאשר כל ה- פרויקטיביים.
אפשר לחסום את הממד של מודול מנה, של תת-מודול ושל הרחבה, באמצעות הממדים של המודולים האחרים המעורבים בבניה: לכל סדרה קצרה מדויקת מתקיים ,
מעל חוג קומוטטיבי נתרי, אם למודול יש ממד פרויקטיבי סופי, אז הממד הפרויקטיבי שלו קטן או שווה מממד קרול של החוג.
בתורת החוגים, ממד גלפנד-קירילוב הוא מספר ממשי אי-שלילי המותאם למודול מעל אלגברה.
הממד הוא מדד לקצב הגידול של המודול ומכליל את המונח ממד קרול של מודול מעל אלגברה קומוטטיבית, תוך שהוא מקיים חלק מהתכונות שלו.
במקור, הממד הוגדר בהקשר של מעלת טרנסצנדנטיות לא-קומוטטיבית, שאפשרה להוכיח כי חוגי השברים של אלגברות וייל שונות אינם איזומורפיים זה לזה.
מקרה פרטי וחשוב שבו נחוץ ממד זה הוא כשרואים את האלגברה כמודול מעל עצמה (לזה קוראים 'ממד גלפנד-קירילוב של האלגברה').
עבור אלגברה אפינית, ניתן לחשב את הממד באמצעות בחירת קבוצת יוצרים (סופית) וחישוב ממדי המרחבים הווקטוריים הנפרשים באמצעות מילים (מונומים) באותם יוצרים.
כך בא לביטוי אופייה הקומבינטורי של האלגברה בחישוב הממד.
ממד גלפנד-קירילוב שימושי בגאומטריה לא קומוטטיבית, שם משתמשים בו כדי למיין יריעות לא קומוטטיביות.
יהי שדה ו אלגברה מעליו.
ממד גלפנד-קירילוב של מעל מוגדר בתור:
כאשר הסופרמום עובר על כל תתי המרחבים ממד סופי ו-.
הממד נדון בהרחבה במקרה שבו רואים את האלגברה כמודול מעל עצמה, במקרה כזה הוא נקרא ממד גלפנד-קירילוב של האלגברה.
לעיתים אומרים כי אלגברה בעלת ממד גלפנד-קירילוב סופי היא בעלת גידול חסום פולינומית.
הערכים האפשריים לממד גלפנד-קירילוב הם .
הממד מונוטוני לאלגברות מנה (מעל שדה הבסיס), ומתקיים: (הממד אינו חיבורי ביחס למכפלה טנזורית).
ממד גלפנד-קירילוב של אלגברה נוצרת סופית הוא אפס אם ורק אם הממד שלה (כמרחב וקטורי) סופי.
אם האלגברה אינה אפינית הטענה איננה נכונה (דוגמה נגדית היא הגבול הישר של כל חוגי המטריצות מעל שדה קבוע).
לפי משפט של סמול, סטאפורד ווארפילד כל אלגברה נוצרת סופית מממד גלפנד-קירילוב 1 היא אלגברה עם זהויות.
במקרה הקומוטטיבי, ממד גלפנד-קירילוב של אלגברה נוצרת סופית מתלכד עם ממד קרול (האורך המקסימלי של שרשרת אידיאלים ראשוניים), ולכן עם דרגת הטרנסצנדנטיות של שדה השברים.
לכל אלגברת-PI נוצרת סופית יש ממד גלפנד-קירילוב סופי (זו תוצאה ממשפט הבסיס של שירשוב).
הממד של אלגברת-PI ניתנת להצגה (כלומר, כזו המשוכנת בחוג מטריצות מעל חוג קומוטטיבי, למשל אלגברה ראשונית עם זהויות), וכן של כל אלגברת-PI נותרית הוא שלם, אך קיימות אלגברות-PI (נוצרות סופית) עם ממד לא שלם.
לפי משפט של Smoktunowicz אין תחומים מדורגים עם ממד לא שלם בין 2 ל־3.
האי-שוויון של ברנשטיין קובע כי ממד גלפנד-קירילוב של כל מודול נוצר סופית (לא אפסי) מעל אלגברת וייל מסדר n מעל שדה ממאפיין אפס אינו קטן מ-n.
ממד גלפנד-קירילוב של חבורה נוצרת סופית מוגדר בתור הממד של אלגברת החבורה שלה (מעל שדה שרירותי; ממד גלפנד-קירילוב של החבורה אינו תלוי בשדה הבסיס).
בפרט, הגידול של חבורה הוא פולינומי אם ורק אם ממד גלפנד-קירילוב שלה סופי.
משפט גרומוב קובע כי חבורה היא מגידול פולינומי אם ורק אם היא מכילה תת-חבורה נילפוטנטית מאינקס סופי.
יש דוגמות לאלגברות אפיניות מממד שרירותי (גדול מ־2 או שווה לו).
יתרה מזאת, ישנן דוגמות כאלה לאלגברות אפיניות פרימיטיביות מעל כל שדה ואף לאלגברות פשוטות.
יש דוגמה לאלגברה אפינית, נילית (ובפרט אלגברית) מממד גלפנד קירילוב 3 (בפרט, זוהי דוגמה נגדית לבעיית קורוש בעלת גידול פולינומי).
לכל מספר ממשי הגדול או שווה ל-8, קיימת אלגברה אפינית נילית עם מספר זה בתור ממד גלפנד-קירילוב שלה.
הממד של סכמה פרויקטיבית לא קומוטטיבית
כתחליף לממד קרול השווה לממד הטופולוגי של סכמות קומוטטיביות, מגדירים ממדים של סכמות לא קומוטטיביות (הגדרת הסכמה עצמה איננה עניין של מה בכך) באמצעות התאמת תחום אפיני נותרי (מעל שדה סגור אלגברית) לסכמה (למעשה הסכמה 'באה' מחוג כזה) והתבוננות בממד גלפנד קירילוב ובממד הגלובלי שלו.
כך, ניתן להגדיר עקומים לא קומוטטיביים, משטחים לא קומוטטיביים וכן הלאה.
ניתן לומר כי מיון העקומים הלא קומוטטיביים הושלם בידי מייקל ארטין וסטאפורד.
הדבר נעשה בהסתמך על עבודות קודמות, שמבטיחות שתחום אפיני מעל שדה סגור אלגברית מממד אחד הוא קומוטטיבי.
באשר למשטחים לא קומוטטיביים (או ליריעות לא קומוטטיביות מממדים גבוהים יותר) המצב שונה.
כל תחום שאינו מכיל תת-אלגברה חופשית משוכן בחוג עם חילוק, וממילא כל תחום מממד גלפנד-קירילוב סופי משוכן בחוג עם חילוק.
עם זאת, פעמים רבות חוג השברים מכיל תת-אלגברה חופשית (אף שהחוג המקורי לא הכיל), ולכן ממד גלפנד-קירילוב שלו הוא אינסוף; לפיכך נחוץ אינווריאנט עדין יותר.
בדומה למצב בגאומטריה אלגברית קומוטטיבית, ניתן להגדיר דרגת טרנסצנדנטיות לחוג עם חילוק באופן הבא:
כאשר הסופרמום עובר על כל תתי-המרחבים הסוף-ממדיים של האלגברה.
הגדרה זו, הנראית מעט מסורבלת במבט ראשון, מתבררת כמכשיר נוח וטבעי למדידת דרגת הטרנסצנדנטיות של אלגברות חילוק.
ואמנם, גלפנד וקירילוב חישבו כי עבור חוגי השברים של אלגברות וייל; מכאן נובע שחוגי שברים אלו אינם איזומורפיים זה לזה.
הדבר נעשה כחלק מעבודתם על מה שכונה השערת גלפנד-קירילוב.
עבור חוגי שברים ניתן לבטא את דרגת הטרנסצנדנטיות באמצעות הנוסחה הקומפקטית יותר הבאה:
כאשר האינפימום עובר על תתי-מרחבים המכילים את 1 ומקיימים (כלומר יוצרים אלגברה שחוג השברים שלה הוא כל החוג הנתון).
מכיוון ש-2 הוא הערך המינימלי האפשרי לאלגברה אפינית, שאינו מבטיח בוודאות שהיא מקיימת זהות פולינומית, התנהגותה של אלגברה מממד כזה (ותורת המבנה שלה) מעניינות במיוחד.
אומרים שלאלגברה יש גידול ריבועי אם פונקציית הגידול שלה חסומה על ידי פולינום ממעלה שנייה.
בראון וסמול שאלו האם אלגברה אפינית, ראשונית ונותרית מממד 2 היא בהכרח פרימיטיבית או מקיימת זהות פולינומית.
בניסוחה זה השאלה נותרה פתוחה, אבל היא נפתרה (לחיוב או לשלילה) בכמה מקרים חשובים.
לשאלה תשובה חיובית במקרים הבאים:
אם שדה הבסיס אינו בן-מנייה והאלגברה בעלת גידול ריבועי (במקרה זה אין צורך להניח נותריות, ומספיק להניח כי האלגברה היא Goldie).
אם האלגברה היא תחום מדורג.
אם האלגברה כמעט-סוף ממדית (במובן שכל מנה אמיתית שלה היא סוף-ממדית) ופרימיטיבית למחצה.
אם האלגברה מוצגת סופית מונומיאלית.
אם האלגברה מדורגת (על ידי חבורת המספרים השלמים), נוצרת על ידי איברים מדרגות 0,1 ו-1- וכמעט כל רכיביה ההומוגניים אינם מתאפסים (במקרה זה מספיק להניח כי ממד האלגברה קטן ממש מ-3, ואף אין צורך בהנחת הנותריות).
התשובה שלילית אם אין מניחים נותריות, ואף קיימת דוגמה כזו, מונומיאלית מגידול ריבועי (ולכן הנחת האי-התאפסות של הרכיבים ההומוגניים בטענה האחרונה אכן הכרחית).
בנוסף, סמול שאל האם תיתכנה לאלגברה נוצרת סופית, ראשונית מממד 2 הצגות אי-פריקות מממדים סופיים אך לא חסומים.
לשאלה זו דוגמה נגדית (מונומיאלית, על ידי Jason Bell וסמוקטונוביץ' שגם הוכיחו כי אם הגידול ריבועי אז אלגברה מונומיאלית אינה יכולה לשמש כדוגמה נגדית עוד).
בגאומטריה אלגברית, הממד הוא פונקציה המתאימה לכל יריעה אלגברית מספר שלם ואי שלילי המתאר את מספר דרגות החופש של היריעה; למשל יריעה מממד אפס היא אוסף סופי של נקודות, ממד של עקום הוא אחד ואילו הממד של היריעה האפינית - והיריעה הפרויקטיבית - הוא - .
מושג הממד קיים גם בסכימות ומבנים כלליים יותר של הגאומטריה האלגברית.
ניתן להגדיר את הממד באופן אקסיומטי על ידי שלוש הנחות המשקפות את התכונות הטבעיות שעל הממד לקיים.
הנחות אלו יחד עם התכונות של יריעה אלגברית גוררות את יחידות הממד.
קיומו של הממד מוכח על ידי בנייה מפורשת של פונקציית ממד, למשל ממד קרול, דרגת טרנסצנדנטיות וממד הילברט.
תהי יריעה אלגברית מעל שדה , לשם הפשטות נניח ש - סגור אלגברית.
הממד הוא פונקציה מהיריעות האלגבריות אל המספרים השלמים האי שליליים - , המקיימת את התכונות הבאות:
לכל כיסוי פתוח של על ידי יריעות אפיניות מתקיים .
אם הוא מורפיזם סופי (finite morphism) בין יריעות אלגבריות ועל, אז מתקיים .
ממשפט שבלה (ראה להלן) נובע שניתן להחליף את האקסיומה השלישית בהנחה אינטואיטיבית יותר -
אם הוא מורפיזם עם סיבים סופיים בין יריעות אלגבריות ועל, אז מתקיים .
מכיוון שהנחה זאת חזקה יותר, מקשה על הוכחת הקיום של פונקציית הממד, ואין בה צורך כדי להגדיר את הממד ביחידות נוח יותר להשתמש בהנחה 3.
לכל שתי פונקציות ממד ו- ולכל יריעה אלגברית מתקיים .
בשל תכונה מספר 1, הנקראת גם מקומיות, מספיק להוכיח יחידות עבור יריעות אפיניות.
ממשפט הנורמליזציה של נתר נובע כי כל יריעה אפינית מממד ניתן להעתיק סופית ועל , כלומר קיימת העתקה סופית ועל.
מתכונה מספר 3 נובע כי וגם יחד עם תכונה 2 נובעת יחידות הממד - .
נביא כמה דוגמאות מפורשות לבניית פונקציית ממד המקיימת את התכונות הנ"ל.
כל אחת מהדוגמאות מספקת הוכחת קיום.
ממד קרול של מרחב טופולוגי הוא אורך השרשרת הארוכה ביותר של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות המוכלות ב- פחות אחת:.
הגדרה זו מתאימה גם לגאומטריה אלגברית מאחר שכל יריעה אלגברית היא בפרט מרחב טופולוגי.
נוכיח כי פונקציית ממד קרול עונה על שלוש התכונות הנדרשות לממד של יריעה אלגברית:
נניח יריעה אלגברית כך ש - כיסוי פתוח של יריעות אפיניות ונניח כי , כלומר קיימת שרשרת מאורך מקסימלי של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות.
מאחר ש- קיים כך ש - אז היא שרשרת של קבוצות סגורות לא ריקות ואי פריקות ב - , אז מתקיים .
מאחר לכל וכל שרשרת של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב - ניתן להרים לשרשרת כנ"ל ב - , נובע כי .
ביחד עם אי השוויון הקודם נקבל .
נסמן ונגדיר , מאחר שלכל מתקיים אז היא שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות, לכן, .
כעת נניח כי היא שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות.
מאחר ש- מוכלת ממש ב - וסגורה קיימת פונקציה רגולרית כך ש , מוכלת בקבוצת האפסים של הפונקציה המסומנת על ידי .
ממסקנה ממשפט הנורמליזציה של נתר נובע כי ניתן למצוא מורפיזם על וסופי , מ-3 נקבל כי ומכאן .
נניח הוא מורפיזם סופי ועל בין יריעות אלגבריות.
היא שרשרת עולה של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב-, נסמן אז היא שרשרת של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב, מאחר ש- הוא מורפיזם סופי ניתן להוכיח כי זוהי שרשרת עולה לכן .
לחלופין, תהא שרשרת כנ"ל נרצה למצוא שרשרת מתאימה ב-.
נפרק לרכיבי אי פריקות את תת-היריעה נשים לב שמאחר על מתקיים ומאחר ו- אי פריקה קיים כך ש .
נסמן אז הוא מורפיזם על וסופי בין תת-יריעות בלתי פריקות, על ידי אינדוקציה על ניתן להשלים את לשרשרת עולה של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב-, ונקבל .
יהיו שדות כך ש- הוא הרחבת שדה של .
העוצמה המקסימלית של תת-קבוצה בלתי תלויה אלגברית ב- מעל נקראת דרגת הטרנסצנדנטיות של מעל ומסומנת על ידי .
תהי יריעה אלגברית ו- רכיבי האי פריקות שלה, כלומר .
נגדיר כאשר הוא שדה הפונקציות של היריעה האי פריקה .
ניתן להוכיח שפונקציית הממד המוגדרת באמצעות דרגת הטרנסצנדנטיות של שדות הפונקציות של תתי היריעות הבלתי פריקות מקיימת את שלוש התכונות הנדרשות לממד של יריעה אלגברית.
יריעה אלגברית נקראת שוות ממד אם כל רכיבי אי הפריקות שלה הם בעלי אותו הממד.
תהי יריעה אלגברית ותהי קבוצה פתוחה וצפופה ב, אז .
יהי מורפיזם דומיננטי בין יריעות אלגבריות, אז .
משפט האידיאל הראשי קובע כי עבור יריעה אלגברית אי פריקה - לכל פונקציה רגולרית על : בלתי הפיכה הקבוצה היא יריעה שוות ממד, מממד .
בפרט, עבור פולינום לא קבוע ב- משתנים, ממד היריעה המוגדרת על ידי קבוצת האפסים של הוא .
יהי מורפיזם בין יריעות אלגבריות, אז -
הפונקציה מקיימת כי הקבוצה פתוחה לכל טבעי.
אם בנוסף אי פריק אז לכל מתקיים .
מסקנה ממשפט שבלה - יהי מורפיזם דומיננטי בין יריעות אלגבריות כך שממד הסיבים קבוע, כלומר קיים כך שלכל מתקיים אז .
תהי יריעה אלגברית, נגדיר לכל את הממד המקומי ב- להיות הממד המקסימלי של כל רכיבי אי הפריקות של המכילים את הנקודה :
יריעה אלגברית נקראת חלקה בנקודה אם , כאשר הוא המרחב הווקטורי המשיק זריצקי ליריעה בנקודה והממד שלו הוא הממד הליניארי.
באופן כללי מתקיים בכל נקודה על היריעה .
חישוב הממד של היריעה האפינית
נשים לב שמאחר ו- מוגדרת על ידי משוואה אחת ו- נקבל כי .
בנוסף, מאחר ש- הוא פולינום אי פריק, גם הוא יריעה אי פריקה.
דרך נוספת לחשב את ממד היא בעזרת מורפיזם בירציונלי: נגדיר מפה על ידי זוהי מפה בי רציונלית עם המפה ההפוכה כאשר היא הקבוצה הפתוחה והצפופה ב- אשר איזומורפית לקבוצה הפתוחה והצפופה ב- .
בנוסף, מאחר שרכיבי הפריקות של הפולינום הם נקבל בהתאמה את רכיבי אי הפריקות של הם ונשים לב שחוג הפונקציות הרגולריות על , המסומן ב- איזומורפי לחוג הפולינומים במשתנה אחד , כלומר ובאופן דומה .
בפרט, דרגת הטרנצסדנטיות של שדה השברים היא 1, ניתן למשל לבחור את המונום כאיבר בלתי תלוי אלגברית מעל , באופן דומה דרגת הטרנצסדנטיות של שדה השברים היא 1. על ידי שימוש בממד קרול נקבל באופן שקול לחישוב הקודם - .
תהיי היריעה המוגדרת על ידי החבורה הליניארית הכללית, על מנת לחשב את הממד של יריעת גרסמן נבנה מורפיזם על באופן הבא - יהי מרחב וקטורי ממדי, כל מטריצה תעבור תחת המפה למרחב הליניארי הנפרש על ידי הפעולה של על המרחב , כלומר .
נשים לב ש- על, משום שכל שני תתי מרחבים ליניאריים מממד זהה צמודים על ידי מטריצת מעבר בסיס (כלומר איבר ב- ).
ניתן לזהות את עם אוסף הווקטורים מממד - עם קואורדינטות אחרונות שוות לאפס, כלומר .
לכן לכל מתקיים אם"ם , אוסף המטריצות ב המקיים תנאי זה הוא המטריצות מהצורה כאשר הוא מטריצת אפס מממד .
מכאן נקבל שלכל מתקיים , ממסקנה ממשפט שבלה נקבל כי כלומר.
ממוטיים (שם מדעי: Mammutidae) היא משפחת פרסתנים מסדרת הפילאים שחיו בתקופת האוליגוקן וההולוקן, מ-28 מיליון שנה עד 11,000 שנה לפני זמננו ונכחדו.
למרות שמה של משפחה זו, הסוג ממותה משתייך למשפחה אחרת: משפחת הפיליים.
בני המשפחה חיו ברוב הערבות והיערות של אמריקה הצפונית, אפריקה ואירואסיה.
הם דמו במראם לפילים המודרניים והיו קרוביהם.
הממוטיים היו שעירים וחלקם גם גדולים יותר מהפילים.
המסטודון הגיע לגובה מרבי של 3.25 מטרים ולמשקל 11 טונות.
מְמוּכָן הוא דמות מקראית, אחד משרי פרס ומדי של המלך אחשוורוש המוזכר במגילת אסתר כמציע להוציא את ושתי המלכה מבית המלוכה.
בחז"ל יש המזהים את ממוכן כהמן ויש המזהים אותו כדניאל.
כפי המופיע במגילת אסתר, לאחר שהמלך אחשוורוש שאל את שבעת השרים אשר לפניו מה לעשות למלכה ושתי שאינה מקשיבה לדבריו, הציע לו ממוכן להעביר את ושתי מלפני המלך ולתת את התפקיד המלכותי לאישה טובה ממנה, וכך עשה אחשורוש.
הסיבה של סילוק ושתי הייתה כדי למנוע בזיון לכל השרים מנשותיהם, וכדי שכל הנשים יתנו כבוד לבעליהן.
לפי פרשנות חז"ל היה לממוכן מניעים אישיים גם כן.
אמורא אחד מסביר שאשתו הכתה אותו בנעלה (הייתה מסטרתו בקורדקין שלה).
לפי אמורא אחר היה לממוכן כעס שלא הזמינה ושתי את אשתו למשתה שעשתה.
ולפי אמורא שלישי רצה ממוכן שביתו תחליף את ושתי ולכן פעל כך.
בברייתא המובאת בתלמוד בבלי מופיע שממוכן הוא המן, ונקרא גם ממוכן כיוון שהוא מוכן לפרענות [שלבסוף נתלה על העץ].
וכך התלמוד מצטט את הברייתא:
דעה אחרת בחז"ל היא שממוכן הוא דניאל, ונקרא שמו ממוכן שמוכן לניסים.
בתלמוד בבלי יוצרים על שמו את הפתגם "הדיוט קופץ בראש" [הדיוט הוא אדם פשוט בעל דרגה נמוכה, לא חסר אינטליגנציה].
כיוון שממוכן מופיע אחרון בשרי המלך ובכל זאת משיב לפני שאר השרים.
אמנם לדברי התלמוד הירושלמי הסיבה שממוכן ענה ולא שאר החכמים היא כיוון שבדיני נפשות מתחילים לשאול מן הקטן שבחכמים [אף שבמגילה לא מופיע דעת שאר חכמי פרס].
לפי מדרש אבא גוריון ממוכן הוא מירושלים מה שמסתדר עם הדעה שזה היה דניאל.
ולדעה שדורשת את הכתיב מומכן שהיה מוכן לפורענות גם מסתדר שזה היה דניאל כי דניאל מת באמצע המגילה.