tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
ו- הם וקטורים אינפיניטסימליים המקושרים לתיל 1 ו-2, בהתאמה (בדרך כלל נמדדים במטרים),
הווקטור הוא וקטור היחידה המצביע מהאלמנט הדיפרנציאלי של תיל 2 לעבר האלמנט הדיפרנציאלי של תיל 1, ו-|r| הוא המרחק שמפריד בין האלמנטים הללו,
סימן הכפל × מייצג מכפלה וקטורית,
הסימן של 'I''n הוא יחסית לאוריינטציה .
כדי לקבוע את הכוח בין תילים המצויים בתווך חומרי, יש להחליף את הקבוע המגנטי בפרמביליות של התווך.
משוואת הגז האידיאלי היא משוואת מצב, המתארת את היחס בין המשתנים האקסטנסיביים והאינטנסיביים של גז אידיאלי.
המשתנים אשר לוקחים חלק במשוואה הם הלחץ , הטמפרטורה המוחלטת , נפח הגז וכמות הגז במולים .
כאשר הוא קבוע הגזים האוניברסלי.
המשוואה תקפה עבור גזים אידיאליים - גזים היפותטיים המורכבים ממולקולות שאינן מבצעות אינטראקציה ביניהן, כלומר כל מולקולה נעה באופן עצמאי מיתר המולקולות בגז.
גזים אלו אינם בהכרח מכילים חלקיקים נקודתיים ללא מבנה פנימי, אלא עשויים להיות מורכבים ממולקולות פולי-אטומיות עם דרגות חופש סיבוביות, ויברציוניות וחשמליות.
משוואת הגז האידיאלי מתארת את תנועת מרכזי המסה של המולקולות, אשר אכן יכולים להחשב כמסות נקודתיות.
לעומת זאת, עבור תכונות אחרות של גז אידיאלי כמו אנטרופיה, למבנה הפנימי של המולקולות תיתכן השפעה.
משוואת הגז האידיאלי מהווה קירוב טוב לחישוב תכונות החומר של גזים רבים והתנהוגתם תחת שלל תנאים ועבור טווח רחב של ערכים, כל עוד שילוב ערכי הטמפרטורה והלחץ רחוק מספיק מהערכים עבורם נוצרת התעבות או המראה.
למרות זאת, משוואה זו אינה מציינת אם גז מתקרר או מתחמם תחת דחיסה או התפשטות.
גז אידיאלי מסוגל להישאר באותה טמפרטורה בתהליכים אלו, אך רוב הגזים אינם אידיאליים ומקיימים את אפקט ג'ול תומסון.
העבודה הראשונית על התנהגותם של גזים החלה באירופה בחציה השני של המאה ה-17 על ידי רוברט בויל.
בשנת 1662 הוא ניסח את חוק בויל, אשר אומת מאוחר יותר באופן עצמאי בדיוק רב על ידי אדם מריוט ולכן החוק נקרא כיום חוק בויל-מריוט.
עבודתו הכינה את הקרקע עבור ז'וזף לואי גה-ליסאק, אשר ניסח ב-1802 את חוק גה-ליסאק לפיו עבור גז הנמצא בנפח קבוע, הלחץ והטמפרטורה נמצאים ביחס ישר, כלומר - .
בנוסף לכך, ב-1787 נוסח חוק שארל על ידי הפיזיקאי ז'אק שארל הקובע כי בלחץ קבוע, נפחה של כמות נתונה של גז גדל ככל שהטמפרטורה גדלה, כלומר מתקיים .
ב-1833 אמיל קלפרון איחד את עבודתם של בויל, מריוט, שארל וגה-ליסאק למשוואת מצב אחת עבור גז אידיאלי : , כאשר היה קבוע התלוי בסוג הגז.
למשוואת הגז האידיאלי ישנן מספר הצגות שונות.
שתי ההצגות הנפוצות ביותר הן:
- הטמפרטורה המוחלטת של הגז
קבוע הגזים האוניברסלי הוא בקירוב וערכו של קבוע בולצמן הוא .
ביחידות SI - נמדד בפסקל, נמדד במ"ק, נמדד במולים ו- נמדד בקלווין.
כאשר המסה המולרית של הגז ו- הצפיפות.
הוא קבוע הגז הספציפי המוגדר בתור וערכו משתנה עבור גזים שונים.
הניסוח הנ"ל מתקבל מכך שמספר המולים הוא:
כאשר היא המסה הכוללת של הגז.
על ידי הצבת בהצגה הסטנדרטית מתקבלת ההצגה המולרית:
משילוב של חוק בויל, חוק שארל וחוק גה-ליסאק מתקבלת משוואת הגז המשולבת.
כלומר, היחס בין מכפלת הנפח והלחץ , לטמפרטורה ע"פ החוקים הנ"ל הוא קבוע.
הצגה נוספת של המשוואה המשולבת מתייחסת לגדלים הללו לפני ואחרי שתהליך התרחש בגז:
כאשר אגף שמאל מתאר את היחס בו נכללים הנפח, הלחץ והטמפרטורה ההתחלתיים, ואגף שמאל מתאר את היחס עם הגדלים הללו לאחר התהליך.
משוואת הגז האידיאלי תקפה גם כאשר מדובר במערכת בעלת יותר משלושה מימדים.
המשוואה עבור מערכת כזו היא:
ניתן לראות משיקולי יחידות כי גם הלחץ משתנה עם מספר המימדים.
מגדירים שני מונחים חדשים, גז מושלם תרמית וגל מושלם קלורית (Perfect Gas).
מודלים אלו משמשים כניתוח פשוט של זרימות אוויר בטמפרטורות נמוכות עד בינוניות ולחצים נמוכים עד בינוניים בתרמודינמיקה ואווירודינמיקה.
מודל תיאורטי ספציפי של גז אידיאלי שבו החום הסגולי נותר קבוע ואינו תלוי בטמפרטורה, דבר הגורם לאנרגיה הפנימית ולאנתלפיה להיות פונקציות לינאריות של הטמפרטורה בלבד.
הגז נמצא בשיווי משקל תרמי.
מתקיים , לפי הקשרים ,.
מודל תיאורטי ספציפי של גז אידיאלי שבו הלחץ, הנפח, הטמפרטורה והצפיפות קשורים ביניהם ללא תלות בכוחות בין-מולקולריים.
מודל זה מניח חלקיקים נקודתיים ללא נפח עצמי ואינטראקציות זניחות ולכן תקף בלחצים נמוכים וטמפרטורות בינוניות.
עבור מספר קבוע של מולים n:
, יכולים להיות תלויים בטמפרטורה, כלומר , .
כאמור, תנאים אלו נכונים בהנחת אינטרקציות זניחות, אבל מחייבים לחץ קבוע או נפח קבוע.
החוקים אשר קדמו למשוואת הגז האידיאלי המוכרת כיום והובילו לפיתוחה, התגלו באמצעות ניסויים בהם שינו רק שניים מהמשתנים של הגז, בעוד יתר המשתנים נשארו קבועים.
כאשר הוא הלחץ, הנפח, הטמפרטורה ו- מספר החלקיקים.
אינם קבועים באופן כללי, אך בפיתוח נתייחס אליהם כך מכיוון שבכל משוואה בה ייעשה שימוש יהיה צורך רק במשתנים שצוינו במפורש.
הפיתוח מתחיל עם גז בעל המאפיינים עליו מבצעים תהליכים אשר משנים את גודל משתנים אלו בשלבים.
תחילה משנים רק את הנפח ומספר החלקיקים, ובהתאם לחוק אבוגדרו:
לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים .
כעת משנים את הטמפרטורה והלחץ.
בשלב הבא משנים את הנפח והלחץ, ועל פי חוק בויל מריוט:
לבסוף נשנה את הטמפרטורה ומספר החלקיקים.
בצורה דומה ניתן להגיע אל ההצגה המקבילה בה מופיעים מספר המולים וקבוע הגזים , על ידי שימוש בכך ש- ולכן מתקיים:
ניתן לפתח את משוואת הגז האידיאלי על ידי שימוש בתוצאות של מדידות הטמפרטורה, הלחץ והנפח ומציאת הגבולות המתאימים.
נניח כי הלחץ והנפח של מולים של גז המוחזקים תחת טמפרטורה קבועה כלשהי נמדדים על טווח רחב של לחצים וטווח רחב של ערכי המכפלה .
נסמן את הנפח המולרי בתור .
את היחס בין ל- ניתן להביע באמצעות טור חזקות מהצורה הבאה:
כאשר וכו' נקראים המקדמים הויראליים והם תלויים בטמפרטורה ובאופי הגז.
בטווח הלחצים בין 0 ל-40 אטמוספירות היחס בין ל- הוא בקירוב ישר, כך שרק שני המקדמים הראשונים משמעותיים.
באופן כללי, ככל שהלחץ גדל כך גדל גם מספר הרכיבים בטור.
מהקשר בין ל- המתקבל עבור גזים שונים באותה טמפרטורה, אפשר לראות כי כאשר המכפלה היא באותו גודל עבור כל הגזים.
מכך נובע כי המקדם הויראלי הראשון הוא בלתי תלוי באופי הגז ולכן תלוי רק בטמפרטורה, כלומר: .
טמפרטורת הגז האידיאלי מוגדרת באמצעות הלחץ בנקודה המשולשת, , על פי הביטוי הבא:
ואת ביטוי זה ניתן לפתח על ידי מכפלה ב- של המונה והמכנה של הגבול הנ"ל:
בצעד האחרון, נחליף את חזרה ב- ובכך נגיע אל המשוואה הרצויה:
מכיוון ש- , טור החזקות המלא הוא:
למקדמים הויראליים חשיבות גבוהה גם בפיזיקה תאורטית מכיוון שהם קשורים בין היתר לתכונות מולקולריות.
בפיתוח זה ישנן שתי הנחות מובילות:
המולקולות המרכיבות את הגז הן מערכות עצמאיות לחלוטין - הן אינן משפיעות אחת על תנועת האחרת.
מעבר אנרגיה בין מולקולות הוא אפשרי, כך שהמערכת יכולה להגיע לשיווי משקל תרמי.
פונקציית החלוקה הקנונית היא פונקציה של מספר החלקיקים , הנפח והטמפרטורה המוגדרת בצורה הבאה:
כאשר היא האנרגיה האפשרית ה- של הגז הכולל, כלומר האנרגיה של כל המולקולות.
ממכניקת הקוונטים ידוע כי לגז במכל גדול סופי יש אנרגיות בדידות, הוא אינדקס בדיד המתייג את האנרגיות השונות לפי גודלן.
הסכום הוא על כל הערכים העצמיים (כולל ניוון) של ההמילטוניאן המתאר את המערכת.
בנוסף, האנרגיה החופשית של הלמהולץ נתונה על ידי .
מהנחה 1 ניתן להגיד כי האנרגיות הן סכומי אנרגיות של מולקולות בודדות , כלומר:
האנרגיות הללו הן של מולקולות נפרדות הנעות בצורה עצמאית במכל.
ניתן לרשום את , פונקציית החלוקה עבור המולקולות הבודדות, בצורה הבאה:
כאשר אין אינטראקציות, תחת ההנחה כי הגז מכיל סוג אחד בלבד של מולקולות, את פונקציית החלוקה הכוללת אפשר לבטא באמצעות על ידי:
הניסוח הנ"ל אינו מדויק לחלוטין מכיוון שבמכניקת הקוונטים מולקולות גז מאותו הסוג הן חלקיקים זהים, בדיוק כמו אלקטרונים, ולכן נדרש פקטור של כדי להימנע מספירה חוזרת.
כלומר הביטוי המלא הוא .
את הנפח ניתן להביע באמצעות משוואות המצב של האנרגיה החופשית של הלמהולץ כך שמתקיים:
לפי המכניקה הקלאסית ומכניקת הקוונטים, את האנרגיה המולקולרית המאפיינת את המצב המיקרוסקופי ה- ניתן להפריד במדויק לשני רכיבים , כאשר:
- האנרגיה הטרנסלציונית של מרכז המסה של המולקולה.
- האנרגיה הפנימית של המולקולה.
לכן, גם את פונקציית החלוקה של אותו מצב מיקרוסקופי ניתן להביע בצורה דומה:
האנרגיה הפנימית של המולקולה אינה תלויה בנפח , אך האנרגיה הטרנסלציונית כן תלויה ולכן יתקיים:
האנרגיה הטרנסלציונית של מולקולה אחת הנעה בקופסה בנפח היא בעיה הניתנת לפתירה בצורה אנליטית.
כלומר הפתרון של האנרגיות ידוע בדיוק מוחלט והוא:
תחת ההנחה כי נפח הקופסה הוא ומכיוון שמדובר בשלושה ממדים מתקיים .
בקירוב דיי טוב, ניתן להחליף את הסכום המופיע בביטוי עבור באינטגרל כך ש,
נשים לב לכך ש- אינו תלוי בנפח ולכן:
כעת ניתן לקבל את משוואת הגז האידיאלי המלאה:
נסתכל על קובייה בעלת צלע באורך המלאה בגז אידיאלי בלחץ בטמפרטורה .
נסמן את ו- בתור מספר המולים ומספר מולקולות הגז בקובייה בהתאמה.
בנוסף, נסמן את בתור מסת מולקולת גז ואת בתור מסת הגז כולו.
נניח בפיתוח זה כי כל ההתנגשויות המתרחשות בתוך המכל הן התנגשויות אלסטיות - כלומר אין איבוד אנרגיה קינטית כתוצאה מהתנגשויות.
תחילה, נרצה למצוא את התדירות בה מולקולה יחידה מתנגשת בדופן מסוימת של המכל.
נתחיל לשם הפשטות בבחינת המתרחש בכיוון כאשר המולקולה בזמן נמצאת במיקום ומהירותה היא .
המולקולה תתנגש בדופן הקובייה לראשונה ב- לאחר שעברה מרחק בזמן כלשהו .
ההתנגשות השנייה באותה הדופן תתרחש בזמן כאשר המרחק שעברה המולקולה בין שתי ההתנגשויות הוא ואינטרוול הזמן בין שתי ההתנגשויות הוא .
באופן דומה ההתנגשות השלישית תתרחש בזמן , כך שהמרחק שהמולקולה עברה בין ההתנגשויות יהיה גם כן ואינטרוול הזמן יישאר זהה:
שני הגדלים הללו, המרחק ואינטרוול הזמן, יישארו זהים בין כל זוג התנגשויות עוקבות, ולכן ניתן לחשב את גודל המהירות בתור המרחק שהמולקולה עברה חלקי אינטרוול הזמן:
מכיוון שכל ההתנגשויות אלסטיות ואין כוחות חיצוניים, המהירות אינה משתנה במהלך תנועת המולקולה ולכן:
מכאן ניתן לנסח את אינטרוולי הזמן בין כל זוג התנגשויות עוקבות גם בצורה הבאה:
הזמן הממוצע בין התנגשויות לאחר התנגשויות יהיה:
וכאשר מספר ההתנגשויות שואף לאינסוף נקבל:
זהו הזמן הממוצע בין התנגשויות המתרחשות על דופן אחת.
תדירות ההתנגשויות אם כך תהיה:
חישוב הכוח הפועל על הדופן
הכוח מוגדר כקצב שינוי התנע :
השינוי בתנע הוא ההפרש בין התנע לפני ההתנגשות בדופן לתנע לאחר ההתנגשות, כלומר:
הכוח שהדופן מפעילה על המולקולה הוא:
לפי החוק השלישי של ניוטון, הכוח שהמולקולה תפעיל על הדופן יהיה שווה בגודלו ל- והפוך בסימנו, כלומר:
ניתן כעת להציב את התדירות שחושבה קודם לכן ולקבל:
עד לשלב זה התייחסנו רק למקרה בו קיימת מולקולה יחידה.
כאשר הכוח יופעל על ידי מולקולות הנעות בכיוון הוא יהיה מהצורה הבאה:
מהירות RMS מוגדרת בצורה הבאה:
ולכן ניתן להביע את הכוח המופעל על הדופן גם כך:
הגדרת הלחץ הפועל על הדופן הוא הכוח שמופעל עליה בידי הגז ליחידת שטח, כלומר:
כאשר שטח דופן הקובייה ו- נפח הקובייה.
לאורך הפיתוח התייחסנו רק לתנועת מולקולות בכיוון , כעת נשלב גם את תרומת תנועת המולקולות בשני הכיוונים הנותרים .
הקשר בין רכיבי הכיוונים השונים של מהירות ה- RMS ניתן לביטוי ע"י:
כאשר בקירוב גודל שלושת הרכיבים הוא שווה - , לכן נקבל כי .
כאשר נחליף את ב- בביטוי ללחץ נקבל כי הלחץ הוא:
האנרגיה הקינטית הנתונה מהמכניקה הקלאסית היא:
האנרגיה הקינטית עבור גז מונואטומי הידועה ממכניקה סטטיסטית נתונה על יד:
כאשר הוא קבוע בולצמן ו- טמפרטורת הגז.
השוואת שני הביטויים לעיל מניבה את הקשר בין מהירות ה-RMS לטמפרטורה:
על ידי שילוב שני הקשרים שנמצאו בשלבים הקודמים, ניתן להגיע לביטוי הרצוי של משוואת הגז האידיאלי:
בנוסף, מהביטוי שהתקבל ניתן לנסח את מהירות ה- RMS כמשוואה המכילה גדלים מדידים:
כאשר היא המסה המולקולרית של הגז האידיאלי.
למשוואת הגז האידיאלי ונגזרותיה שימושים גם בתחום הרפואה.
השפעת הגובה על נפח גזים בגוף האדם
באמצעות חוק בויל ניתן לתאר את השפעת הגובה מעל פני הים על גזים בחללים סגורים בגוף האדם, ולחשב את לחץ הגז הכולל בחלל בית החזה באמצעות פלטיזמוגרפיה.
כאשר הגובה גדל, הלחץ האמביינטי יורד ולכן על פי חוק בויל נפח החללים הסגורים אמור להתרחב.
במודל מלאכותי שהיווה העתק של מערכת הנשימה האנושית עם חזה אוויר של 40 מיליליטר, נצפתה עליה בנפח בטווח של 16.2%-12.7% בגובה של כ־1500 מטר מגובה פני הים.
לתוצאה זו חשיבות רבה במקרים בהם נדרש פינוי של החולה בהליקופטר וחזה האוויר עלול לעבור למצב של חזה אוויר בלחץ, תרחיש אשר ניתן למנוע על ידי ביצוע ניקור חזה לפני ההמראה.
בגובה של 2.5 ק"מ מעל גובה פני הים משוערת התרחבות של עד כ-30% עבור נפח גז סגור בגוף האדם.
באמצעות חוק בויל - , ניתן לחשב את השינוי הצפוי לנפח עבור בגבהים השונים.
לדוגמה, עבור חולה עם חזה אוויר של 40 מיליליטר בגובה פני הים, נחשב את השינוי בנפח כאשר יגיע לגובה של 1500 מטר.
חוק הגז האידיאלי יכול לשמש לחישוב ריכוז חומרי הרדמה בתערובות גזים.
מכשירים המיועדים לניטור ריכוז חומרי הרדמה בתערובת גזים לרוב מציגים את התוצאה בחלק היחסי באחוזים מהנפח הכולל, המוגדר בצורה הבאה:
- הנפח הכולל של תערובת הגזים.
כשרוצים לחשב את ההשפעה של חומר הרדמה על נפח נתון של גז, הגדרה זו אינה שימושית כל כך.
הגודל המשמעותי הוא מספר המולקולות, או מספר המולים, של חומר ההרדמה המוכלים ביחידת נפח של תערובת הגז.
עבור גז אידיאלי ההגדרה לעיל של החלק היחסי מהנפח הכולל עובדת כנדרש, זאת מכיוון שעל פי משוואת הגז האידיאלי בלחץ וטמפרטורה קבועים יחידת נפח של הגז תכיל תמיד את אותו מספר המולים.
במילים אחרות, כאשר הלחץ והטמפרטורה קבועים, נפח הגז פרופורציונלי למספר המולים.
לכן, את ריכוז חומר ההרדמה בתערובות ניתן לתאר באחוזים ממספר המולים הכולל, כלומר:
במקרים בהם משוואת הגז האידיאלי אינה שמישה, המשוואה שיש להשתמש בה היא משוואת הגז הריאלי :
כאשר הוא פקטור הקומפרסיביליות, המתאר את היחס בין הנפח האמיתי של הגז לנפח המחושב באמצעות משוואת הגז האידיאלי.
לכן, עבור גז אידיאלי מתקיים .
כאשר משתמשים במשוואת הגז הריאלי, אין זה שימושי בחלק היחסי מהנפח כמדד לריכוז - מספר המולים והנפח אינם פרופורציונליים במקרה זה ולכן אין שוויון בין החלק היחסי מהנפח הכולל לחלק היחסי ממספר המולים הכולל.
כדי שהשימוש בחלק היחסי מהנפח יהיה תקין, יש צורך למצוא את פקטור הקומפרסיביליות - אם הוא שווה ל-1 או קרוב ברמת הדיוק הרצויה ל-1 ניתן להשתמש במשוואת הגז האידיאלי לחישוב הריכוז.
אם לא, יש להשתמש במדד של מספר מולים ליחידת נפח בתערובת.
בניסוי בו מדדו את פקטור הקומפרסיביליות עבור תערובות של חמצן עם חומרי ההרדמה איזופלורן, אנפלורן והלותאן בטמפרטורת החדר ולחץ אטמוספירי, נמצא כי ניתן לתאר את ריכוז חומרי ההרדמה באמצעות משוואת הגז האידיאלי עם אי ודאות של 0.3%.
לכן, באופן כללי אין צורך להתחשב בסטייה ממשוואת הגז האידיאלי והחלק היחסי מהנפח הוא מדד תקין לחישוב ריכוז חומר ההרדמה בתערובת.
משוואת גיבס-דוהם מתארת את היחס בין שינויים בפוטנציאל הכימי במערכת תרמודינמית לבין החלקיקים השונים המרכיבים אותה.
כאשר מתאר את כמות המולים מחומר , מתאר את השינוי האינפיניטסימלי בפוטנציאל הכימי עבור אותו החומר , מסמל את האנטרופיה, את הטמפרטורה בסקלאת קלווין, הנפח, ו- הלחץ.
מתאר את מספר החומרים השונים במערכת.
משוואת גיבס-דוהם מראה כי גדלים אינטנסיביים במערכות תרמודינמיות אינם בלתי תלויים.
לא ניתן להשתמש במשוואת גיבס-דהם עבור מערכות תרמודינמיות קטנות לאור השפעות של תופעות מיקרוסקופיות שונות.
המשוואה קרויה על שמם של הפיזיקאים ג'וסיה וילארד גיבס ופייר דוהם.
ניתן לפתח בפשטות את משוואת גיבס-דוהם מתוך החוק הראשון של התרמודינמיקה.
הדיפרנציאל השלם של האנרגיה החופשית של גיבס, , במונחי המשתנים החופשיים שלו הוא
האנרגיה החופשית של גיבס היא תוצאה של טרנספורם לז'נדר של האנרגיה של המערכת.
לכן את הנגזרות במשוואה לעיל ניתן להחליף ולתאר באופן הבא:
האנרגיה החופשית של גיבס של מערכת ניתנת כתיבה גם באופן הבא:
כך שאם נגזור את הדפרנציאל השלם מתוך המשוואה לעיל נקבל:
מההשוואה בין שתי המשוואות של נקבל:
שניתנת לפישוט לכדי משוואת גיבס-דוהם:
דרך נוספת לפיתוח משוואת גיבס-דוהם מתחשב בתכונות האקסטנסיביות של האנרגיה.
כאשר מסמל את כל המשתנים האקסטנסיביים של האנרגיה של המערכת,.
מכאן נסיק כי האנרגיה של המערכת היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון.
לפי משפט אוילר לפונקציות הומגניות, הקשר לעיל מתקיים כאשר בוחרים את הנפח, כמות החלקיקים והאנטרופיה להיות המשתנים האקסטנסיבים:
הדיפרנציאל השלם של משוואה זו היא:
לפי החוק הראשון של התרמודינמיקה, על ידי השוואה לביטוי הדיפרנציאל השלם של האנרגיה, , ניתן לבסוף לקבל את משוואת גיבס-דוהם:
נרמול של משוואת גיבס-דוהם באמצעות האקסטנסיביות של המערכת, כגון המספר הכולל של המולים במערכת, מקנה את היחס בין המשתנים האינטנסיבים של המערכת.
כך לדוגמה, עבור מערכת פשוטה עם תרכובות שונות, יהיו משתנים בלתי תלויים המכונים "דרגות חופש".
אם, לדוגמה, מכל מכיל חנקן טהור בטמפרטורת החדר (298 K) ובלחץ של 25 MPa, אז ניתן לחשב את צפיפות החומר (258 kg/m3), האנתלפיה (272 kJ/kg), האנטרופיה (5.07 kJ/kg⋅K) או כל משתנה תרמודינמי אינטנסיבי אחר.
אם במקום חנקן יש במכל תערובת של חמצן וחנקן אז נדרש מידע כדי לבצע חישובים אלו.
לרוב מידע זה יהיה היחס בין החמצן לחנקן במערכת.
אם במערכת קיימים החומר נמצא במספר פאזות שונות, אז הפוטנציאל הכימי שווה לאורך הגבול של שיווי המשקל בין הפאזות.
תוך הנחה שהמערכת בשיווי משקל תרמודינמי, כלומר שהטמפרטורה והלחץ קבוע, באמצעות משוואת גיבס-דוהם ניתן לחלץ את חוק הפאזות של גיבס.
במכניקה אנליטית, משוואת המילטון-יעקובי היא ניסוח חלופי של המכניקה הקלאסית.
המשוואה שקולה לניסוחים אחרים כגון חוקי התנועה של ניוטון, המכניקה הלגראנז'ית והמכניקה ההמילטונית.
המשוואה נקראת על שמם של ויליאם רואן המילטון וקרל גוסטב יעקובי שפתחו אותה בראשית המאה ה-19.
משוואת המילטון־יעקובי שימושית במיוחד במציאת גדלים נשמרים במערכות בהן מציאת הפתרון המלא של המערכת איננה אפשרית.
במהלך סוף המאה ה-17 ותחילת המאה ה-18 נסוב ויכוח בין מדענים שדגלו בכך שהאור הוא חלקיק הנע במסלולים מוגדרים - הקרניים המופיעות באופטיקה גאומטרית, ובין אלו שטענו שהאור הוא גל, וכל נקודה אליה מגיע חזית הגל היא מקור של גל כדורי - עקרון הויגנס.
ב-1818 הראה פרנל שניתן להסביר גם את האופטיקה הגאומטרית וגם את תופעות העקיפה באמצעות תיאוריה גלית של האור.
האופטיקה הגאומטרית והתיאור החלקיקי של האור יכול להתבצע בהסתמך על עקרון פרמה.
לפי עיקרון זה, קרן אור גאומטרית תטייל בין נקודה לנקודה לאורך המסלול בו זמן התנועה של הקרן יהיה מינימלי.
מאחר שמהירות האור בתווך היא כאשר הוא מקדם השבירה של החומר הרי שהקרן תנוע לאורך המסלול בו מינימלי.
מצד שני, לפי התיאור הגלי של האור, האור מקיים משוואת גלים מהצורה , גל אור מונוכרומטי יכול להיכתב בצורה כאשר האמפליטודה של הגל, הפאזה ו- התדירות.
במקרה כזה, משוואת הגלים הופכת להיות: .
אם אורך הגל , קטן אז הפאזה גדולה, משתנה לאט ביחס להשתנות הפאזה, וניתן להזניח את הנגזרות של .
בנוסף ניתן להזניח את הנגזרת השנייה של הפאזה ביחס לנגזרת של הפאזה בריבוע.
מתקבלת המשוואה הבאה עבור הפאזה:
משוואה זו ידועה בתור משוואת האייקונל.
קווים עליהם נקראים קווים שווי פאזה, או חזית הגל.
האופטיקה הגאומטרית מתקבלת מהאופטיקה הגלית בקירוב זה, וקרן אור גאומטרית תנוע במאונך לקווים שווי פאזה.
ב-1833 הצביע המילטון על העובדה שקיימת הקבלה בין תנועה של מערכת במכניקה קלאסית לתנועה של קרן אור גאומטרית.
בשני המקרים קיים פונקציונל שמקבל ערך מינימום לאורך מסלול, במקרה האופטי הפונקציונל הוא זמן התנועה לאורך המסלול ובמקרה המכני הפונקציונל הוא הפעולה.
משוואת המילטון־יעקובי מחפשת למצוא את המקבילה המכנית לתיאור הגלי.
היא עושה זאת באמצעות חיפוש משטחים שווי "פעולה" שמהווים את חזית הגל המכנית.
מרגע שקווים אלו נמצאו, קיים קשר ביניהם לבין המסלול בו המערכת תמשיך להתקדם.
ההקבלה הזו מצביעה על מאפיין גלִי של המערכת המכנית, ובכך מהווה בסיס נוח לפיתוח מכניקת הקוונטים.
בהינתן סט של קואורדינטות קנוניות והמילטוניאן עבור מערכת פיזיקלית כך שמתקיימים משוואות המילטון הפונקציה המנהלת של המילטון (Hamilton's principal function, פירוט בהמשך) הפותרת את משוואת המילטון-יעקובי:
כלומר הגדלים הם גדלים נשמרים.
גם הגדלים הם קבועים במהלך התנועה.
אם ידועים הערכים הללו בזמן ניתן להפוך את סט המשוואות ולקבל .
אם ההמילטוניאן לא תלוי ישירות בזמן הפונקציה המאפיינת של המילטון (Hamilton's characteristic function) הפותרת את משוואת המילטון-יעקובי הלא תלויה בזמן:
הפונקציה ניתנת לבחירה כדי לפשט את הביטויים בפתרון, ובחירות שונות לא ישנו את פתרון הבעיה.
אם נעשה שימוש בפונקציה , מתקיים ומתקיים הקשר הבא בין הפונקציה המנהלת לפונקציה המאפיינת , אם הלגרנז'יאן המקורי יכול להיכתב בצורה אז היא האנרגיה של המערכת .
טרנספורמציות קנוניות מאפשרות לעבור ממערכת אחת של קואורדינטות קנוניות המקיימת את משוואת המילטון עבור ההמילטוניאן , לסט אחר המקיים את משוואת המילטון עבור המילטוניאן אחר .
ניתן לפתח טרנספורמציה קנונית באמצעות שימוש בפונקציה יוצרת מסוג שני כך שיתקיים .
משוואת המילטון־יעקובי מגיעה מטרנספורמציה קנונית שמטרתה ליצור מצב בו ההמילטוניאן החדש שווה זהותית ל-0 .
במצב כזה, מתקיים כלומר הקואורדינטות החדשות הן קבועות במהלך התנועה, ותנועת המערכת במרחב הפאזה כפי שהוא מתואר על ידי הקואורדינטות האלו הוא נקודה (בניגוד למסלול חד־ממדי המתאר את התנועה במרחב הפאזה כפי שהוא נפרש על ידי קואורדינטות אחרות).
בהתאם למשוואות של הפונקציה היוצרת נקבל אבל לפי המשוואות הללו מתקיים גם ולכן שהיא משוואת המילטון־יעקובי עבור הפונקציה היוצרת .
התוצאה לפיה מתקבלת מהמשוואות .
הנגזרת המלאה לפי הזמן של הפונקציה המנהלת של המילטון מקיימת:
כלומר מתקיים כאשר הוא הלגראנז'יאן.
משוואה זו מזכירה את הגדרת הפעולה של המערכת המשמשת בעקרון הפעולה המינימלית כדי לפתח את משוואות אוילר־לגראנז'.
על אף שהפונקציה המנהלת והפעולה מזכירות אחת את השנייה, הן אובייקטים מתמטיים שונים - הפונקציה המנהלת היא פונקציה בעלת תחום במרחב הפאזה והזמן, לעומתה הפעולה היא פונקציונל בעלת תחום במרחב המסלולים הפיזיקליים במרחב הקונפיגורציות.
הקשר בין הפונקציה המנהלת לפעולה נובע מכך שאם נסתכל במערכת, שהתחילה בזמן בנקודה במרחב הקונפיגורציות והמקיימת המסלול המייצר נקודת אקסטרמום לפעולה נקבע באופן יחיד מתנאי ההתחלה.
בנוסף, אם הפרש הזמנים בין שתי נקודות קטן מספיק, קיים רק מתנאי התחלה אחד (ולפיכך רק מסלול אחד) שיכול להביא את המערכת מהנקודה לנקודה כך שהפעולה תקבל ערך אקסטרימום.
לפיכך, בהינתן נקודת התחלה במרחב הקונפיגורציות, ניתן להגדיר פונקציה של הקוארדינטות בסיום המסלול כך ש-, כאשר המסלול הוא המסלול היחיד בו הפעולה מקבלת ערך אקסטרימום.
הפונקציה הזו מקיימת את משוואת המילטון-יעקובי, והיא למעשה הפונקציה המנהלת של המילטון.
בפיתוח זה, התנעים הקנוניים שהפונקציה המנהלת תלויה בהן מופיעים כקבועי אינטגרציה של פתרון משוואת המילטון-יעקובי.
הקואורדינטות הראשוניות והסופיות קובעות את המהירויות הראשוניות ובאמצעותן את הערכים של .
באופן דומה, הנגזרת המלאה לפי הזמן של הפונקציה המאפיינת מקיימת:
ולכן מתקיים הביטוי הזה נקרא קשור לפעולה המקוצרת באופן דומה לאופן בו הפונקציה המנהלת קשור לפעולה.
מתנד הרמוני חד־ממדי מתואר על ידי ההמילטוניאן: לכן משוואת המילטון יעקובי הלא תלויה בזמן עבור המתנד היא: לאחר אלגברה נקבל ומכאן
היא האנרגיה הנשמרת של המערכת, ו- היא הפאזה הנשמרת אף היא.
נכתוב את משוואת המילטון־יעקובי הלא תלויה בזמן עבור מערכת קואורדינטות קרטזיות:
משוואה זו, היא משוואת האייקונל עבור הפונקציה .
לכן, באופן מקביל לתיאוריה האופטית, אם נניח שתנועת החלקיק היא תנועה של גל, והפונקציה מתארת את הגל המונוכרומטי, נקבל שמשוואת הגלים שמקיימת הפונקציה היא:
וזוהי משוואת שרדינגר הלא תלויה בזמן.
המשוואה התלויה בזמן יכולה להתקבל על ידי ההחלפה של .
לחלופין, ניתן להתחיל ממשואת שרדינגר ולהשתמש בהצבה .
, משוואת המילטון־יעקובי מתקבלת בגבול הקלאסי , בו מתקבל גבול זה מקביל לגבול של האופטיקה הגאומטרית בו אורך הגל קטן והפאזה גדולה.
משוואות המשאבה והטורבינה של אוילר הן המשוואות הבסיסיות ביותר בתחום תכנון הטורבינות.
משוואות אלו מושלות בהספק, בנצילות ובגורמים אחרים המכתיבים את התכנון של טורבינות.
בעזרתן של משוואות אלו העומד ההידראולי שיוצרת משאבה או טורבינה ניתן לחישוב בקלות.
הן נוסחו על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18.
המומנט הפועל על הלהבים הוא:
כאשר היא צפיפות הזורם, היא הספיקה הנפחית של המשאבה, הם הרדיוס הפנימי והחיצוני של המשאבה, הם המהירויות המשיקיות של הזורם בכניסה (כלומר ברדיוס הפנימי) וביציאה (ברדיוס החיצוני) מהמשאבה, היא המהירות הזוויתית של הלהבים, ו- הן המהירויות הקוויות של סיבוב הלהבים בחלקם הפנימי והחיצוני בהתאמה.
מבט ראשוני במשוואות עשוי ליצור רושם שאין במשוואות אלו מספיק מידע כדי לנבא את פרמטרי העבודה של המשאבה, שכן הספיקה הנפחית אינה נתונה, אולם תאוריית אוילר מתארת גם כיצד ניתן לנבא את הספיקה בתלות במאפיינים הגאומטריים של הלהבים.
נמחיש זאת עם דוגמה חישובית.
חישוב ההספק של מדחף אונייה
נחשב את ההספק הנדרש ממדחף אונייה, המורכב מלהבים המסתובבים במהירות זוויתית , בעלי רדיוס פנימי וחיצוני בעלי עובי (כלומר הלהבים המסתובבים מגדירים גליל בגובה ), וזווית להב פנימית וחיצונית , כאשר זוויות הלהב מוגדרות ביחס לכיוון המשיקי.
נניח כי המים אינם דחיסים וכי צמיגותם אינה משמעותית.
נחשב את הספיקה הנפחית .
במערכת הייחוס של הלהב המסתובב, אם הזוויות של משטח הלהב הן כאלה שהזווית בין כיוון המהירות הקווית שלו לבין הכיוון המקביל למשטח היא קטנה מזווית ההזדקרות, אז הזרימה המציפה את הלהב (במערכת הייחוס של הלהב המסתובב, הזורם הוא שנע) תצליח לעקוב אחרי המתאר הגאומטרי של הלהב.
לכן, הקשר בין המהירות הרדיאלית של הזורם ברדיוס הפנימי של המשאבה, שנסמנה , לבין המהירות המשיקית שלו (אותה סימנו ), הוא משיקולים קינמטיים:
קשר זה נובע מכך שבמערכת הייחוס של הלהב, לאחר שהזרימה המציפה פוגעת בו היא עוקבת במדויק אחרי המתאר שלו, ולכן במערכת הייחוס האבסולוטית (במערכת המעבדה) הזרימה תתקדם בכיוון הרדיאלי באותו קצב כמו נקודה הנעה במעלה הלהב תוך כדי שהיא נעה בכיוון המשיקי במהירות .
מכיוון ש-, נקבל שהספיקה הנפחית היא:
המומנט שפועל על המדחף הוא:
בכימיה פיזיקלית, משוואת בורן-לנדה היא אמצעי לחישוב אנרגיית הסריג של גביש יוני.
ב-1918, מקס בורן ואלפרד לנדה הציעו שאנרגיית הסריג ניתנת לחישוב מן הפוטנציאל האלקטרוסטטי השלילי של כל יון בגביש, בתוספת איבר דחייה:
M הוא קבוע מדלונג חסר הממדים, שנקבע על פי הגאומטריה של הסריג;
z+ - מספר המטען של הקטיונים;
z− - מספר המטען של האניונים;
e - מטען האלקטרון, ששווה ל- קולון;
ε0 - הקבוע הדיאלקטרי של הריק;
r0 - המרחק בין אניון וקטיון קרובים ביותר;
n - אקספוננט בורן, המגדיר את חוזק כוחות הדחייה בסריג: בדרך כלל זהו מספר בין 5 ל-12, הנקבע באופן ניסיוני ממדידות של מקדם הדחיסות של מוצק הגביש, או משיקולים תאורטיים;
E - אנרגיית הסריג: זוהי אנרגיית ההמראה המולרית של הגביש היוני.
הגביש היוני ממודל כאוסף של כדורים אלסטיים קשיחים אשר נדחסים יחדיו על ידי המשיכה האלקטרוסטטית בין היונים.
משיכה זאת מתאזנת על ידי כוחות דחייה קצרי טווח (הנגרמים על ידי אפקטים מורכבים יותר מאשר אינטראקציה אלקטרוסטטית בין מטענים נקודתיים), מה שמאפשר לגביש להגיע לשיווי משקל במרחק אופייני מסוים בין יונים מנוגדים קרובים ביותר (מרחק זה מכונה "קבוע הסריג").
האנרגיה הפוטנציאלית האלקטרוסטטית, Epair, בין צמד יונים בעלי מטען זהה בגודלו והפוך בסימנו הוא:
z - מספר המטענים היסודיים (מטען האלקטרון) על כל יון;
ε0 - המקדם הדיאלקטרי של הריק;
r - המרחק המפריד בין מרכזי היונים;
קבוע זה מכונה "קבוע מדלונג" ומסומן באות M.
לפיכך עומק בור הפוטנציאל בו מצוי יון בודד הוא:
r - מרחק קטן ביותר בין יונים בעלי סימנים מנוגדים (קבוע הסריג).
בורן ולנדה הציעו שאינטראקציית הדחייה בין יוני הסריג צריכה להיות מיוצגת על ידי חוק חזקה בתלות בקבוע הסריג, כך ש-:
B - קבוע המגדיר את חוזק האינטראקציה הדחייתית בסריג;
n - אקספוננט בורן, המייצג את תלילות מחסום הפוטנציאל הדחייתי.
האנרגיה הפוטנציאלית הכוללת של יון בסריג היא סכום של פוטנציאל מדלונג ופוטנציאל הדחייה:
חישוב נקודת המינימום של האנרגיה הזאת לפי r נותן את קבוע הסריג r0 (במצב שיווי משקל) במונחי הקבוע הלא ידוע B:
חישוב האנרגיה הפוטנציאלית המינימלית והצבת הביטוי לקבוע B במונחי r0 מניבים את משוואת בורן-לנדה המקומית:
לפיכך יש לכפול בקבוע אבוגדרו, מה שמניב את התוצאה לאנרגיית ההמראה המולרית:
מדידה ניסיונית של הקבועים במשוואה
בהנחה שההרכב הכימי והמבנה הסריגי של גביש יוני כלשהו ידועים, ניתן להסיק בקלות את קבוע הסריג r0 ממדידות של צפיפות החומר ממנו הגביש עשוי; למשל, עבור נתרן כלורי (מלח בישול) לו אריזה קובית פשוטה, שיקולים גאומטריים פשוטים מראים שצפיפות המלח היא:
כאשר הוא נפח תא היחידה הקובייתי של הסריג, ו- היא המסה האטומית הממוצעת של הסריג.
על מנת להסיק את הקבועים B ו-n באיבר הדחייתי יש לבצע שתי מדידות ניסיוניות נפרדות של חום ההמראה המולרי של הגביש ושל מודול הנפח שלו.
מדידת חום ההמראה המולרי תיתן משוואה אחת (משוואת בורן-לנדה), בעוד שמדידת מודול הנפח, תיתן, כפי שניווכח מיד, משוואה נוספת, שמשתיהן ניתן לחלץ את B ו-n.
על מנת להביע את הקבועים B ו-n, אשר מגדירים את עקומת איבר אנרגיית הדחייה ולפיכך הם גדלים מיקרוסקופיים, למודול הנפח K שהוא גודל מקרוסקופי, יש לזהות כיצד מתנהגת עקומת האנרגיה של יון בסריג בסביבת נקודת המינימום שלה (בסביבת קבוע הסריג ).
האנרגיה המקרוסקופית שהושקעה בדחיסת הגביש חייבת להתבטא בתזוזה קלה של כל יון על עקומת האנרגיה (קבוע הסריג קטן במקצת, וכעת מקבל ערך חדש ), באופן כזה ששינוי האנרגיה המקרוסקופי שווה למחצית מכפלת מספר היונים בשינוי האנרגיה המיקרוסקופי.
לפיכך, הגיוני לקרב את עקומת האנרגיה של יון בגביש בסביבת נקודת המינימום שלה על ידי קירוב פרבולי כאשר
היא הנגזרת השנייה של האנרגיה בסביבת .
מצד שני, מודול הנפח K מוגדר להיות , ולכן העבודה המכנית שהושקעה בדחיסת גביש שנפח שיווי המשקל שלו הוא היא
כאשר E היא האנרגיה המקרוסקופית שהושקעה.
נשאר לקשור בין הגדלים המקרוסקופיים לגדלים המיקרוסקופיים .
לשם כך ניזכר בקשר , נגזור את r לפי V ונקבל:
נציב זאת במשוואה הקודמת ונקבל:
כלומר קיבלנו לבסוף , כך שמכיוון ש- ידוע, מדידת מודול הנפח K מאפשרת לחשב את ; מכיוון ש- היא למעשה הנגזרת השנייה של עקומת האנרגיה הפוטנציאלית של כל יון, , בנקודה , ידיעת מאפשרת להסיק תנאי נוסף על B ו-n.
בפיזיקה, משוואת האייקונל היא משוואה דיפרנציאלית לא ליניארית חלקית מסדר ראשון אשר מופיעה בבעיות הקשורות להתקדמות גלים בתווך לא הומוגני.
היא מבוססת על קירוב מתמטי של תדירויות גבוהות מספיק , המכונה "קירוב האייקונל", המאפשר לתאר התקדמות גלים בהתאם לתפיסה, שמקורה באופטיקה גאומטרית, של קרניים הניצבות לחזיתות הגלים.
משוואת האייקונל הקלאסית של האופטיקה הגאומטרית היא משוואה דיפרנציאלית מהצורה:
כאשר היא הפונקציה הלא ידועה, הקשורה לפאזה של הגל, מסמן את הגרדיאנט, היא הנורמה האוקלידית, ו- היא פונקציה חיובית ונתונה של המקום הקשורה למקדם השבירה של התווך בכל נקודה במרחב.
מכיוון שמרבית התופעות האלקטרומגנטיות הטבעיות והמלאכותיות מערבות תדירויות גבוהות מאוד, או באופן שקול אורכי גל קצרים בהשוואה לאורך ההשתנות האופייני של מקדם השבירה של התווך, הדבר הופך את קירוב האייקונל למתאים באופן טבעי לשימוש בבעיות הקשורות במשוואות מקסוול וקירוב WKB.
בכך משוואת האייקונל מספקת גשר בין האופטיקה הפיזיקלית המתייחסת לאור כאל גלים אלקטרומגנטיים (המפגינים תכונות גליות כמו עקיפה) לבין האופטיקה הגאומטרית המתייחסת אליו כאל משפחה של קרני אור ישרות.
במונח "אייקונל" נעשה שימוש לראשונה בהקשר של אופטיקה גאומטרית בידי היינריך ברונס (Heinrich Bruns).
מקור המונח במילה היוונית אייקון, שפירושה בבואה או דמות.
עם זאת, המשוואה עצמה הופיעה מוקדם יותר בעבודתו המרכזית של ויליאם רואן המילטון על אופטיקה גאומטרית.
כדי לתאר התקדמות גל בתווך לא הומוגני, נתחיל ממשוואת הגלים, אלא שהפעם מהירות הגל היא בעצמה פונקציה של המקום:
מכיוון שאנו שואפים לתאר את התקדמות חזיתות הגלים בתווך שתכונותיו משתנות במרחב אך קבועות בזמן, הגיוני לבצע הפרדת משתנים ולתאר את פונקציית הגל כמכפלה של חלק מרחבי וחלק זמני , ולשאול כיצד משתנה לפי המקום.
תוצאת הצבת במשוואת הגלים נותנת את "משוואת הלמהולץ", שבמקרה הדו-ממדי היא:
כאשר הוא מספר הגל המקומי.
נניח כעת ש- היא מהצורה
כאשר פונקציה שרירותית בעלת יחידות של זמן, כך שהמכפלה מייצגת את הפאזה של הגל בתלות במקום.
נציב זאת במשוואת הלמהולץ ונקבל (לאחר שימוש בכלל לייבניץ וחלוקת שני האגפים ב-) שהפונקציה מקיימת את המשוואה הדיפרנציאלית:
בגבול ותחת הנחת התנהגות "סבירה" של הפונקציה , איבר הנגזרות השניות במשוואה האחרונה מתאפס, ולפיכך ניתן לכתוב מחדש את המשוואה כך:
זוהי משוואת האייקונל והקירוב שבו השתמשנו מכונה "קירוב האייקונל".
את משוואת האייקונל קיבלנו מתוך ההנחה ש-, שאפשרה להתעלם מאיבר הנגזרות השניות במשוואה הדיפרנציאלית שמקיימת הפונקציה .
אבל בכל מערכת פיזיקלית תדירות הגל סופית, ולכן חשוב להבין מהן מגבלות קירוב האייקונל.
גם כאשר התדירות סופית, אפשר להצדיק את המשוואה האייקונלית אם איבר הנגזרות השניות באגף שמאל זניח ביחס לאיברים האחרים, כלומר כאשר מתקיים:
הסכום בתוך הערך המוחלט הוא הלפלסיאן של הפונקציה , שניתן גם לרשמו כדיברגנץ של הגרדיאנט של .
מכיוון ש- הוא הפאזה של הגל, גרדיאנט הפונקציה הוא פשוט וקטור הגל מחולק בתדירות הזוויתית , ולכן התנאי הוא:
כדי שהתנאי יתקיים, הסכום בתוך הערך המוחלט צריכים להיות קטנים בהרבה מ-.
שני האיברים בסכום בלתי תלויים זה בזה, ולכן נדרוש שכל אחד מהם בנפרד יהיה קטן בהרבה מאגף ימין.
מכיוון שמספר הגל קשורות למהירות הגל המקומית בקשר , ניתן לפרש את התנאים על כל אחד מהאיברים בסכום באופן הבא:
התנאי שקול מתמטית לתנאי , והוא קובע למעשה שהטווח האופייני של השינויים במהירות הגל צריך להיות גדול בהרבה מאורך הגל באזור הנידון.
משוואת גולדמן־הודג'קין־כץ (משוואת GHK), המכונה לעיתים משוואת גולדמן, היא משוואה המשמשת לחישוב פוטנציאל המנוחה של תאים חיים, תוך התחשבות בחדירות ובריכוזים של יונים שונים משני צדי הממברנה.
המשוואה פותחה על ידי , אלן הודג'קין וברנרד כץ
משוואת גולדמן משמשת פיזיולוגים כדי לחשב את פוטנציאל הממברנה עבור מגוון תאים, ולמעשה, שימשה את הודג'קין, האקסלי וכץ בחקר האקסון הענק של דיונונים.
הממברנות בתאים חיים חדירות בדרך כלל ליוני נתרן (Na), אשלגן (K) וכלור (Cl).
במנוחה, חדירות התאים לאשלגן היא הגבוהה ביותר.
לכן כאשר הממברנה חדירה ליותר מיון אחד כשכל יון חדיר במידה שונה, יש להשתמש במשוואה שלוקחת בחשבון את החדירויות השונות של היונים.
משוואת GHK מחשבת את פוטנציאל המנוחה של הממברנה (Vm) על ידי שקלול התרומות של מספר יונים, תוך התחשבות בחדירותם ובריכוזיהם בתוך התא ומחוצה לו.
למעשה, היא שוקלת את תרומתו של כל יון על פי החדירות שלו והפרש הריכוזים שלו.
כאשר, המשתנים מציינים את הנתונים הבאים, בדומה למשוואת נרנסט:
T - הטמפרטורה במעלות קלוין
כאשר הממברנה חדירה ליון אחד בלבד, נשתמש במשוואת נרנסט על שם, ולטר נרנסט שפיתח את משוואת נרנסט כדי לחשב את פוטנציאל שיווי המשקל של יון ספציפי.
גולדמן, הודג'קין וכץ קידמו את חקר הפוטנציאל של הממברנה על ידי פיתוח משוואת גולדמן-הודג'קין-כץ כדי להסביר שכל יון שעלול לחדור לממברנה, יכול להשפיע על הפוטנציאל שלו.
עד כמה יון מסוים יכול לעבור דרך הממברנה.
חדירות גבוהה יותר משמעה השפעה רבה יותר על פוטנציאל הממברנה.
מקדם הדיפוזיה - המראה את מידת חופשיות היון לנוע בתוך הקרום.
מקדם החלוקה - שהוא מדד למסיסות היון בקרום
עובי הקרוםכלומר: הממברנה תהיה חדירה יותר ליון שמקדם הדיפוזיה שלו או מקדם החלוקה שלו גדול.
הנחות יסוד של משוואה זו
לפי המודל של גולדמן, שני גורמים משפיעים על תנועת היונים על פני קרום חדיר: השדה החשמלי הממוצע וההבדל בריכוזי היונים מצד אחד של הממברנה לצד השני.
מניחים שהממברנה היא חומר הומוגני ושהשדה החשמלי בממברנה הוא קבוע והוא משתנה באופן ליניארי לרוחב הממברנה.
משוואת השחיקה של ארצ'רד היא מודל פשוט המתאר שחיקה עקב החלקה, המבוסס על תורת מגע בין חספוסי פני שטח (asperity contact).
בדומה להיפותזה של המתמטיקאי תיאודור ריי משנת 1860, משוואת ארצ'רד מראה כי הנפח של החומר שהוסר כתוצאה משחיקה יחסי לעבודה של כוחות החיכוך.
בשנת 2022, משוואת השחיקה של ארצ'רד במצב מתמיד הורחבה באמצעות עקומת אבוט-פיירסטון, המייצגת את טופוגרפיית המשטח ההתחלתית.
Q הוא הנפח הכולל של החומר שמוסר על ידי שחיקה
K הוא קבוע חסר ממדים
W הוא העומס הנורמלי הכולל
H הוא קשיות המשטחים הרכים ביותר הנמצאים במגע
שימו לב ש פרופורציונלי לעבודה המתבצעת על ידי כוחות החיכוך כפי שמתואר בהיפותזה של ריי.
כמו כן, הערך של K מתקבל אמפירית ותלוי במספר פרמטרים, לרבות איכות פני השטח, אפיניות כימית בין החומר של שני משטחים, קשיות פני השטח, העברת חום בין שני משטחים ועוד.
ניתן לפתח את המשוואה על ידי בחינת התנהגותה של סטייה (asperity) בודדת על פני השטח.
העומס המקומי שסטיית פני שטח נושאת, בהנחה שיש לה חתך רוחב מעגלי עם רדיוס , הינו:
כאשר P הוא לחץ הכניעה עבור סטיית פני השטח, בהנחה שהיא מתעוותת פלסטית.
P יהיה קרוב לקשיות הכניסה, H, של החריפות.
אם נפח החומר המוסר כתוצאה משחיקה, , עבור סטיית פני שטח נתונה, הוא של חצי כדור שנחתך מסטיית פני השטח, נובע:
שבר זה נוצר על ידי החלקה של החומר למרחק של 2a.
לפיכך, , נפח החומר שהוסר כתוצאה משחיקה הנגרמה עקב סטיית פני שטח זו ליחידת מרחק הוא:
עם זאת, לא מכל סטיות פני השטח הוסר חומר בעת הזזה למרחק 2a.
לכן, סך החומר שהוסר כתוצאה משחיקה לכל יחידת מרחק, , יהיה נמוך יותר מהיחס בין W ל -3H.
הדבר מוסבר על ידי הוספת קבוע חסר ממדים K, אשר מתחשב בגורם "3" (שמופיע ביחס בין W ל-3H) לעיל.
ארצ'רד פירש את הקבוע K כהסתברות שיוסר חומר מסטיית פני שטח כתוצאה משחיקה שחיקה 'קלה' לרוב מוגדרת כבעלת קבוע K שערכו K ≈ 10 − 8, בעוד ששחיקה 'חמורה' לרוב מוגדרת כבעלת קבוע K שערכו K ≈ 10 − 2.
משוואת שרדינגר (שידועה גם בשם משוואת הגלים של שרדינגר) היא משוואת התנועה היסודית של מערכות קוונטיות, שהוצעה על ידי הפיזיקאי האוסטרי ארווין שרדינגר ב-1926 ומתארת כיצד מצב קוונטי של מערכת פיזיקלית משתנה לאורך הזמן.
משוואת שרדינגר ניתנת להמרה באופן מתמטי למכניקת המטריצות של הייזנברג ולאינטגרלי המסלול של פיינמן, השקולים לה.
משוואת שרדינגר מתארת את הזמן באופן היוצר קושי עם תאוריות יחסותיות, בעיה שאינה כה חמורה כמו היחס לזמן במכניקת המטריצות או באינטגרלי המסלול.
משוואה זו בעלת חשיבות מרכזית במכניקת הקוונטים הלא-יחסותית.
בפרשנות הרגילה למכניקת הקוונטים, המצב הקוונטי הוא התיאור השלם ביותר היכול להינתן למערכת פיזיקלית.
פתרונות משוואת שרדינגר מתארים מערכות אטומיות ותת-אטומיות, אלקטרונים ואטומים, אך גם מערכות מיקרוסקופיות, וכנראה גם את כל היקום.
בשנת 1909 הראה ארנסט רתרפורד באמצעות ניסוי פיזור של חלקיקי אלפא על עלה דק של זהב שהמטען החיובי באטום מרוכז באזור קטן מאוד במרחב, הידוע היום בשם 'גרעין האטום'.
בעקבות הניסוי הציג רתרפורד מודל של האטום הקרוי המודל הפלנטרי שלפיו האלקטרונים הם חלקיקים קטנים הנעים סביב גרעין האטום באופן דומה לאופן שבו כוכבי הלכת מקיפים את השמש.
בשנת 1913 נילס בוהר פיתח מודל זה, והציג תאוריה הקרויה היום מודל בוהר שממנה משתמע שהאלקטרונים מתנהגים כמו גלים ונעים סביב גרעין האטום באופן הדומה לגלים עומדים.
בבסיס המודל הזה היא ההנחה שהתנע הזוויתי של האלקטרונים, בתנועתם סביב הגרעין, יכול להיות רק כפולות שלמות של קבוע פלנק, ושפליטת אור או פוטון מתרחשת כאשר האלקטרונים עוברים למסלולים עם אנרגיה נמוכה יותר.
מודל זה הראה התאמה מושלמת לספקטרום האנרגיה של אטום המימן וכן הסביר את זמני החיים הארוכים של האטומים (שכן על פי תורת החשמל הקלאסית, אלקטרונים החגים סביב גרעין אמורים לפלוט קרינה שתגרום להם לצנוח לעבר הגרעין).
מודל בוהר שלפיו חלקיקים מתנהגים כמו גלים, יחד עם ההסבר של מקס פלאנק לקרינת גוף שחור (משנת 1900) וההסבר של איינשטיין לאפקט הפוטואלקטרי (משנת 1905) - שלפיהם גלי האור מתנהגים כמו חלקיקים בעלי מנות אנרגיה בדידות (הנקראים פוטונים), מהווים את הבסיס למה שקרוי היום 'תורת הקוונטים הישנה'.
למרות ההצלחות בפיענוח ספקטרום אטום המימן, המודל של בוהר השאיר שאלות רבות פתוחות.
המודל לא נתן הסבר לספקטרום של אטומים ומולקולות מורכבים יותר מהמימן, הוא הראה שהחלקיקים מתנהגים כמו גלים, אך לא הסביר מה בדיוק מתודד ומהי משוואת הגלים של הטבע.
מתן תשובה לשאלות הללו הפך לנושא מחקר מרכזי עבור הקהילה הפיזיקלית, ובפרט עבור קבוצה של תלמידים ומדענים שהובלו על ידי בוהר וכללו אנשים כמו ורנר הייזנברג, מקס בורן ווולפגנג פאולי.
צעד חשוב בדרך למציאת משוואת הגלים הגיע בשנת 1924 כאשר לואי דה ברויי הציג את השערת דה ברויי, לפיה כל חלקיקי החומר בעלי תכונות של גל, ולא רק קרינה אלקטרומגנטית (מושג זה נקרא כיום דואליות הגל-חלקיק):
כאשר הוא אורך הגל, הוא קבוע פלאנק ו- הוא תנע החלקיק.
דה ברויי הראה כי השערתו מתאימה למשוואתו של פלאנק ופיתוחו של איינשטיין, וכן לתורת היחסות הפרטית.
כעת המשוואה של פלאנק התאימה לכל החלקיקים, ולא רק לקרינה האלקטרומגנטית.
צעד נוסף היה בשילוב של רעיונות תורת הקוונטים הישנה עם הפיזיקה הסטטיסטית, שהוחל ביוני 1924 כאשר הפיזיקאי ההודי סאת'ינדרה נאת' בוז (Satyendra Nath Bose) שלח מאמר לאיינשטיין ובו הוכחה חדשה למשוואה של פלאנק.
הוא התייחס לפוטונים כאל מולקולות של גז והשתמש בהוכחה בשיטות מן המכניקה הסטטיסטית.
בניגוד למכניקה הסטטיסטית הקלאסית של לודוויג בולצמן וג'יימס קלרק מקסוול, בה לכל מולקולה יש ייחוד והחלפה בין שתי מולקולות יוצרת מצב חדש, בוז הניח כי ההחלפה בין שני קוונטים של אור אינה יוצרת מצב חדש.
בין השנים 1924–1925 פרסם איינשטיין שלושה מאמרים בהם יישם את רעיונותיו של בוז לגז אידיאלי של מולקולות בהן אטום אחד.
המאמרים תמכו ברעיונותיו של בוז בקשר לאופי הגלי של המולקולות וקישרו רעיונות אלו להשערת דה ברויי.
שנת 1926 הייתה שנת המפתח לפיתוחה של תורת הקוונטים עת התפרסמו שתי גרסאות למשוואת הגלים של החלקיקים.
גרסה אחת שהוצגה על ידי ורנר הייזנברג וקרויה היום על שמו משוואת הייזנברג - הניחה שגדלים פיזיקליים (כמו מיקום, תנע ואנרגיה) נקבעים על ידי אופרטורים ואלו מתפתחים עם הזמן - על פי משוואת הגלים שהוא הציג.
לעומתו, במקביל להייזנברג פעל ארווין שרדינגר לחיפוש משוואת הגלים באופן שונה.
בשלהי 1925, כתב שרדינגר מאמר שכותרתו הייתה "על התאוריה של גז איינשטיין", שעסק בגז של חלקיקים קוונטים ובוסס על השערת דה ברויי, כמו גם גישתו של איינשטיין לרעיון.
ב-1926 פרסם שרדינגר מאמר נוסף שעסק הפעם באטום המימן.
בגז החלקיקים הקוונטים אפשר היה להניח כי על חלקיקי הגז הקוונטי לא פועל כוח, ולהזניחו, אך באטום המימן לא היה יכול שרדינגר להתעלם מן הכוח שבין הגרעין לאלקטרון.
שרדינגר פיתח משוואה דיפרנציאלית שקשרה בין השינוי בגל כתלות במקום ובין השינוי בו כתלות בזמן, אולם התוצאה לא התאימה לאטום המימן.
הוא ניסה שוב, הפעם באמצעות משוואה יחסותית שתיצור הקבלה בין משוואה מן המכניקה המתייחסת לאלקטרון כחלקיק, ובין משוואה המתארת אותו כגל, וגם הפעם נכשל.
בפעם השלישית ניסה והצליח לתאר הקשר בביטוי לא יחסותי.
עם פיתוח משוואת הגלים על ידי שרדינגר החלה תקופה קצרה שבה נעשה ניסיון לענות אילו משתי התאוריות השונות היא הנכונה (זו של שרדינגר או זו של הייזנברג).
תקופה זו נגמרה כאשר שרדינגר הצליח להראות ששתי הגישות השונות שקולות.
בתורת הקוונטים נהוג לתאר את מצבו של חלקיק באמצעות פונקציית גל.
לכן נצפה שהמשוואה המתארת את השינוי במצבו של חלקיק בזמן ובמרחב תהיה בעלת מבנה כללי של משוואת גלים, דהיינו שיהיה קשר כלשהו בין הנגזרת המרחבית והזמנית של פונקציית הגל.
זוהי פונקציית גל המתארת תנועה של חלקיק (בכיוון החיובי של ציר ה־x):
כאשר הוא מספר הגל, ו- היא התדירות הזוויתית של הגל.
נגזור פעם לפי המקום ופעם לפי הזמן:
על פי השערת דה ברויי, הקשרים בין מספר הגל לתנע ובין התדירות לאנרגיה הם:
כאשר הוא התנע של החלקיק בכיוון החיובי של ציר x, היא האנרגיה שלו ו- הוא קבוע דיראק ().
נציב את הקשרים האלה חזרה לנגזרות ולאחר העברת אגפים נקבל:
בעקבות המשוואות דלעיל נבקש לזהות את האופרטור עם תנע בכיוון החיובי של ציר x (), ואת האופרטור עם אנרגיה ().
נזכר בקשר הקלאסי בין תנע ואנרגיה עבור חלקיק בעל מסה ופוטנציאל :
השימוש בקשר הקלאסי בין אנרגיה ותנע (ללא התחשבות באנרגיה הפנימית) משמעו שהמשוואה שתתקבל תהיה לא יחסותית.
נציב במקום ו- את האופרטורים כפי שנתונים לעיל (נשים לב שהתנע מועלה בריבוע, ולכן יש להפעיל את אופרטור התנע פעמיים):
זוהי משוואת שרדינגר לחלקיק בחד-ממד.
ההכללה לתלת-ממד היא ישירה — הנגזרת המרחבית ניתנת על-ידי הגרדיאנט () וריבוע התנע על-ידי לפלסיאן.
על כן משוואת שרדינגר היא:
ניתן לזהות את הרכיב האנרגטי של המשוואה עם אופרטור ההמילטוניאן , ובכך מתקבלת צורתה הכללית:
משוואה זו דומה למשוואת החום, אך מכיוון שמקדם הנגזרת בזמן הוא מדומה פתרונות המשוואה יהיו פונקציות גל ולא אקספוננט דועך.
בכתיב הכללי ביותר (כתיב ברה-קט) משוואת שרדינגר נראית כך:
הוא אופרטור ההמילטוניאן (שמייצג את האנרגיה של המערכת).
הוא מספר היחידה המדומה, כלומר .
הוא קבוע דיראק ("קבוע פלאנק המצומצם") והוא בעל יחידות של תנע זוויתי.
כאשר ההמילטוניאן בלתי תלוי מפורשות בזמן, הפתרון הכללי של משוואה זו הוא:
את הפתרון הנ"ל אפשר לפתח בבסיס המצבים העצמיים של ההמילטוניאן.
נסמן כאשר הם האנרגיות העצמיות.
מאחר ש- הרמיטי, המצבים העצמיים אורתונורמלים, כלומר (מכפלה פנימית של כל מצב עצמי בעצמו היא 1, ושל כל שני מצבים עצמיים שונים היא 0), ולכן אפשר להשתמש בהתמרת פורייה ולקבל ש:
בבסיס המקום במקום לדבר על מצב קוונטי ערטילאי, מדברים על המיקום והתנע של החלקיק.
בעקבות ניסוי שני הסדקים ועבודתו של לואי דה ברויי נוסח הרעיון שאת מיקומו של חלקיק ניתן לתאר כסופרפוזיציה קוונטית של גלים שתיצור חבורת גלים הממורכזת סביב מיקומו ה"קלאסי" של החלקיק.
תיאור החלקיק על ידי פונקציית גל הסביר מדוע אלקטרונים יכלו לבצע התאבכות, כפי שהתגלה בניסוי.
באופן פורמלי, פונקציית הגל מוגדרת כהטלה של המצב הקוונטי של המערכת על בסיס המקום, כלומר .
בבסיס המקום , אופרטור התנע מוצג כ ולכן משוואת שרדינגר נהיית:
כאשר הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי ו- הוא הפוטנציאל החשמלי.
במקרה זה יש להציב צורה זו במשוואת שרדינגר ולהחליף את התנע באופרטור גזירה כאמור לעיל.
את משוואת שרדינגר, שהיא משוואה דיפרנציאלית חלקית, פותרים באמצעות הפרדת משתנים.
אגף שמאל תלוי רק בזמן, ואגף ימין תלוי רק במרחב, והם שווים תמיד ולכן קבועים.
נקרא לקבוע ההפרדה (שכן הוא מה שתופסים כאנרגיה).
המשוואה עבור הזמן תהיה (לאחר העברת אגפים)
נשים לב רק ש-E הוא קבוע עבור פתרון ספציפי, אבל ישנה סדרה של פתרונות ולכן נהוג לסמן אותו כ.
כעת נותרנו עם הפונקציה ,
ועבור מקבלים את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:
זוהי משוואת ערכים עצמיים שאפשר לפתור באמצעות תורת שטורם ליוביל.
למעשה מחפשים פונקציות שמקיימות את המשוואה .
כלומר פונקציות שפעולת אופרטור ההמילטוניאן עליהן מחזירה את הפונקציה כפול האנרגיה שלה.
אנרגיות אלה (שהן הערכים העצמיים של המשוואה הדיפרנציאלית) נקראות אנרגיות עצמיות ואילו הפונקציות המתאימות להן נקראות מצבים עצמיים.
את המצבים העצמיים נהוג לנרמל, כלומר לכפול במקדם סקלרי כך ש־.
דרישת הנרמול נובעת מהפירוש ההסתברותי של מכניקת הקוונטים, על פיו ריבוע הגודל של המצב העצמי הוא פונקציית צפיפות ההסתברות של החלקיק.
מאחר שזו משוואה ליניארית, את הפתרון הכללי אפשר להציג כסופרפוזיציה של המצבים העצמיים, כלומר:
מאחר ש הוא אופרטור הרמיטי, מובטח לנו ממשפט הילברט שקיים בסיס של מצבים עצמיים אורתונורמליים, כלומר .
לכן, ניתן להציג כל פונקציית גל במרחב הילברט של הבעיה כסכום (ליתר דיוק טור אינסופי) של המצבים העצמיים (כאשר מדובר בחלקיק חופשי, פיתוח כזה קרוי פיתוח פורייה).
את מקדמי הפיתוח ניתן לקבוע באמצעות ידיעת פונקציית הגל ההתחלתית (כלומר , באופן זהה לחלוטין הנעשה עבור טור פורייה כמו כן, נהוג לנרמל את פונקציית הגל כך ש: .
לעיתים אין זה אפשרי (כמו במקרה של אופרטור התנע) ומתקבלות פונקציות עצמיות כך ש- - ולא ניתן לנרמל אותן.
כך חייבים לוותר על האורתונורמליות (ונשארים רק עם אורתוגונליות) אבל במקום זאת בוחרים פונקציות שיקיימו את נרמול דיראק ויקיימו כאשר הפונקציה מימין היא פונקציית דלתא של דיראק.
כך עושים עבור אופרטור התנע החד-ממד (וגם בממדים רבים - ) ובוחרים את הבסיס לכל k ממשי (ובממדים רבים - ).
בסיס זה הוא הבסיס של התמרת פורייה ואכן, במכניקת הקוונטים התמרת פורייה מזוהה עם מעבר לבסיס הפונקציות העצמיות של התנע - מה שלעיתים מפשט את הפתרון (בדיוק כפי שהתמרת פורייה מפשטת לעיתים משוואות דיפרנציאליות).
באלקטרוכימיה, משוואת נרנסט מגדירה את פוטנציאל האלקטרודה ביחס לפוטנציאל האלקטרודה התקני של זוג האלקטרודות או של חצאי התא של תא אלקטרוכימי.
בפיזיולוגיה משמשת משוואת נרנסט למציאת הפוטנציאל החשמלי של קרום התא כאשר הממברנה חדירה ליון אחד .
המשוואה קרויה על שם הכימאי הגרמני-פולני חתן פרס נובל לכימיה (1920) ולטר נרנסט אשר ניסח אותה לראשונה.
היא האקטיביות הכימית בצד המחוזר והמחומצן, בהתאמה.
הוא מספר מולי האלקטרונים אשר עוברים בחצי התגובה.
מכיוון שבמקרים רבים התגובה מתרחשת בטמפרטורת החדר, (25 מעלות צלזיוס) ניתן לקצר ולהציב את הערכים של ו- בטמפרטורת החדר, להחליף את הלוגריתם הטבעי בלוגריתם לפי בסיס 10, ולקבל:
הוא ריכוז המחזר (באיור .
באיור רואים את המתח הנמדד במד המתח (voltmeter) כאשר האלקטרודה הטבולה בתמיסת האבץ (zinc)- היא האנודה והאלקטרודה הטבולה בתמיסת הנחושת (copper) היא הקטודה.
בפיזיולוגיה אנו משתמשים במשוואת נרנסט לחישוב הפוטנציאל בקרום התא כאשר הממברנה חדירה ליון אחד בלבד.
במקרה כזה, בטמפרטורת החדר הערך RT/F יהיה 58. יש לשים לב למטען היון (n שהוא 1 ביון האשלגן או 2 ביון הסידן).
כאשר מטען היון הוא הוא שלילי יש לשנות את הסימן לפני הלוגריתם ל (-) (שלילי).
כאשר הממברנה חדירה ליותר מיון אחד נשתמש במשוואת גולדמן-הודג'קין-כץ.
משוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מהצורה כאשר הוא אופרטור הלפלסיאן.
המשוואה קרויה על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר-סימון לפלס ויש לה שימושים רבים בפיזיקה.
מהווה מקרה פרטי של משוואת פואסון.
משוואת לפלס היא משוואה דיפרנציאלית אליפטית, ולכן פונקציות הרמוניות, שהן פתרונותיה, הן אנליטיות.
תכונות של משוואת לפלס בשני ממדים
משוואת לפלס בשני ממדים בקואורדינטות קרטזיות היא:
משוואת לפלס סימטרית במקרים הבאים:
ביחס להזזה של הצירים, כלומר אם הרמונית, גם הרמונית;
ביחס לסיבוב של הצירים, כלומר אם הרמונית, גם הרמונית;
ביחס לנירמול המשתנים, כלומר אם הרמונית, גם הרמונית.
משוואת לפלס מופיעה בתחומים שונים בפיזיקה, לדוגמה:
פוטנציאל חשמלי באזור ריק ממטענים, מקיים את משוואת לפלס.
התפלגות הטמפרטורה של גוף במצב יציב מקיימת את משוואת לפלס.
באנליזה מרוכבת, הרכיבים הממשי והמדומה של כל פונקציה אנליטית מקיימים את משוואת לפלס.
תוצאה זו נובעת ממשוואות קושי-רימן ומכך שגזירות פונקציה אנליטית פעם אחת מספיקה כדי להסיק גזירותה אינסוף פעמים (כדי שהנגזרות החלקיות השניות המעורבות יהיו שוות).
בנוסף, לפונקציה המקיימת את משוואת לפלס (הנקראת גם פונקציה הרמונית) ניתן לעיתים למצוא פונקציה הרמונית צמודה , כלומר כך שהפונקציה המרוכבת תהיה אנליטית.
פונקציה כזו קיימת באופן נקודתי בתחום פתוח, אך קיומה באופן גלובלי לא מובטח.
משפט מאנליזה מרוכבת קובע כי תחום הוא תחום פשוט קשר אם ורק אם לכל פונקציה הרמונית יש הרמונית צמודה לה בכל התחום.
משוואת קלאוזיוס-קלפרון (Clausius-Clapeyron, על שם רודולף קלאוזיוס ואמיל קלפרון) בתרמודינמיקה, היא משוואה המתארת את הקשר בין הלחץ והטמפרטורה במעבר בין שני מצבי צבירה של החומר.
נהוג לתאר את מצבי הצבירה של החומר בדיאגרמת פאזות T-P.
זהו תרשים דו-ממדי שבו ציר x מתאר את הטמפרטורה T וציר y – את הלחץ P: העקומות בתרשים מפרידות בין אזורים שמתארים מצבי הצבירה שונים של החומר: גז, נוזל ומוצק.
בתנאי טמפרטורה ולחץ שנמצאים על העקומות החומר יכול להימצא בשיווי משקל בין שתי הפאזות - חלק מהחומר יהיה בפאזה אחת והשאר בפאזה האחרת.
משוואת קלאוזיוס-קלפרון מאפשרת לחשב את העקומות האלה, הנקראות עקומות דו־קיום או קווי דו־קיום.
משוואת קלאוזיוס-קלפרון לקווי הדו-קיום היא:
כאשר הוא השיפוע (נגזרת) של עקומת הדו-קיום, הוא החום הכמוס (פר חלקיק), היא הטמפרטורה ו- הוא השינוי בנפח הספציפי (נפח ליחידת מסה) בעת שינוי הפאזה.
נניח שתי פאזות, שנסמן ב־A ו־B, שנמצאות במגע תרמי ושיווי משקל אחת עם השנייה.
בתנאים האלו, הפוטנציאלים הכימיים של שתי הפאזות, מקיימים את הקשר .
מאחר שתנאי זה מתקיים בכל נקודה על עקומת הדו-קיום, תזוזה על גבי העקומה תשמור את היחס.
בניסוח מתמטי, זה אומר שבתזוזה קטנה על העקומה, .
כאשר s ו־v הם האנטרופיה פר חלקיק והנפח פר חלקיק, בהתאמה.
מהצבה במשוואה הקודמת, מתקבל הקשר:
ולאחר סידור מחדש, הקשר מקבל את הצורה
בתהליך הפיך, השינוי בחום δQ נתון על ידי δQ=T dS ולכן החום שהושקע בשינוי מצב הצבירה הוא
וזו בדיוק ההגדרה של חום כמוס, שאותו מקובל לסמן באות .
הצבה של ההגדרה בקשר שקיבלנו, יחד עם הסימון , נותנים
הפיתוח שהובא מקודם מבוסס על המושג של פוטנציאל כימי, אשר הוגדר כמה עשורים מאוחר יותר בהשוואה לגזירה המקורית של המשוואה בידי קלפרון.
טיעונו המקורי של קלפרון מתבסס על ניסוי מחשבתי המערב מעגל קרנו שבו החומר המבצע את העבודה הוא אדים רווים, כלומר חומר שהלחץ והטמפרטורה שלו מצויים על עקומת הדו-קיום בין הפאזה הנוזלית והפאזה הגזית.
נניח שבמכל מצויות פאזה נוזלית ופאזה גזית של חומר מסוים (עצם הקיום של שתי הפאזות במקביל זו לזו מלמד שהחומר מצוי על עקומת הדו-קיום), כשבוכנה ניידת שעליה מופעל לחץ אוטמת את המכל מלמעלה.
כעת נסתכל על ארבעה שלבים של מעגל תרמודינמי, הממומשים באמצעות הכנסת חום למערכת, הסרת משקולת זעירה שתורמת לחץ לבוכנה, שאיבת חום והוספת משקולת שתורמת לחץ לבוכנה.
מכיוון שבמעבר פאזה חום הנכנס למערכת אינו תורם להעלאת הטמפרטורה אלא רק מגדיל את כמות החומר המצוי בפאזה הגזית, כל אחד מהשלבים במעגל הכורכים בהכנסת או הוצאת חום הוא תהליך איזותרמי (ולכן המעגל הזה הוא מעגל קרנו), ומאחר ובאדים רווים הלחץ תלוי בטמפרטורה בלבד, עולה שהאיזותרמות הללו הן גם איזוברים.
אם הכנסת החום מערבת נוזל במסה , אזי מהגדרת החום הכמוס הסגולי עולה ש-: .
שינוי נפח המכל כתוצאה מאידוי נוזל במסה הוא , כאשר הם הנפחים הסגוליים של הפאזה הגזית והנוזלית.
העבודה הכוללת שמבצעת הבוכנה בתהליך קרנו הזה היא לפיכך:
היחס בין העבודה הכוללת לחום שנכנס הוא נצילות המעגל, אשר לפי תוצאה מפורסמת של סאדי קרנו היא בדיוק .
ושוויון זה מאפשר לחשב את שיפוע עקומת הדו-קיום של הפאזה הנוזלית והגזית כפי שמתואר בקשר קלאוזיוס-קלפרון, דהיינו:
המשוואה משמשת כדי לחשב האם מעבר פאזה כלשהו יתרחש או לא.
לדוגמה, הסבר נפוץ לתופעה של החלקה על הקרח הוא כי הלחץ המוגבר של המחליק על הקרח גורם לו להנתך (להפוך ממוצק לנוזל).
האם הסבר זה אכן נכון?
אם T = −2 °C אפשר להשתמש במשוואה עבור מעבר פאזה ממוצק לנוזל, ואז
ואת העובדה שהלחץ גורם לשינוי ב-2 מעלות קלווין,
השווה ללחץ שמפעיל מתאבק סומו (כ-150 ק"ג) שעומד על נעלי עקב (שטח של חצי סמ"ר)!
זהו לחץ הגדול בהרבה מהלחץ שמפעיל מחליק ממוצע על הקרח ולכן הסבר זה בלבד לא מספיק כדי להסביר את התופעה.
משוואת פואסון היא משוואה דיפרנציאלית חלקית עם שימושים רבים באלקטרוסטטיקה, הנדסת מכונות ופיזיקה תאורטית.
היא נקראת על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הצרפתי סימאון דני פואסון.
כאשר הוא אופרטור לפלס או לפלסיאן ו- הן פונקציות מרחביות.
כאשר המרחב הוא מרחב אוקלידי מסמנים את הלפלסיאן כך: ומשוואת פואסון נכתבת בצורה הבאה:
במרחב תלת־ממדי במערכת צירים קרטזית המשוואה היא מהצורה הבאה:
כאשר המשוואה היא הומוגנית () משוואת פואסון הופכת למשוואת לפלס, והפונקציה המקיימת אותה נקראת פונקציה הרמונית:
משוואת פואסון ניתן לפתור על ידי פונקציית גרין.
ישנן גם שיטות נומריות רבות לפתרון.
שיטת הרלקסציה היא אחת מהן.
אחת מאבני היסוד של האלקטרוסטטיקה היא הצגת הבעיה המתוארת על ידי משוואת פואסון.
מציאת עבור נתונה היא בעיה חשובה ועל ידי כך מוצאים את פונקציית הפוטנציאל החשמלי עבור התפלגות מטענים נתונה.
כאשר הוא הפוטנציאל החשמלי (בוולט), היא צפיפות המטען (בקולון למטר בשלישית) ו- היא הפרמיטיביות של הריק (בפאראד למטר).
באזור במרחב שבו אין מטענים מתקיים: והמשוואה לפוטנציאל הופכת למשוואת לפלס:
פוטנציאל של התפלגות מטענים גאוסיאנית