tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
בעזרת חישוב אינטגרל המתקף-תנע שמעביר החלקיק הפוגע לחלקיק המטרה (האלקטרון), ניתן להראות שהאלקטרון נרתע באנרגיה קינטית שערכה:
כאשר v מהירות החלקיק הפוגע ו-b הוא פרמטר הפגיעה.
זוהי האנרגיה שמאבד החלקיק בהתנגשות יחידה; אף על פי כן, האינטראקציה האלקטרומגנטית היא ארוכת-טווח, מה שאומר שבכל רגע נתון החלקיק מוסר אנרגיות לאלקטרונים רבים.
(חילקנו כאן בגובה הגליל x).
קיבלנו איפה ביטוי מהצורה , התואם לצורה הפונקציונלית של נוסחת בתה, וגם המקדם A של הלוגריתם זהה.
ניתן לראות שהכרחי לקבוע גבולות לטווח האינטראקציה של החלקיק, אחרת האינטגרל יתבדר.
מכיוון שהאינטראקציה החשמלית נחלשת עם המרחק, ברור שבמרחק גדול מספיק האנרגיה שנמסרת לכל אלקטרון תהיה ברת השוואה ואף קטנה יותר מאנרגיית העירור הממוצעת I, כך שהעובדה שהאלקטרונים נמצאים במצב קשור משחקת תפקיד (במכניקת הקוונטים, חלקיק קשור יכול לקבל אנרגיה רק במנות בדידות).
הגבול העליון של האינטגרל חייב לפיכך להיות יחסי הפוך לאנרגיית העירור הממוצעת I, שכן ככל שהיא קטנה יותר כך טווח האינטראקציה המייננת גדול יותר.
שיקולים אלו מסבירים מדוע נוסחת בתה היא מהצורה
כאשר B קבוע כלשהו בעל יחידות של אנרגיה.
בתורת המספרים, נוסחת הסכימה של אבל (במקורות מסוימים נקראת גם זהות אבל) היא נוסחה המקשרת בין סכום של סדרה לערך של אינטגרל.
נוסחה זו משמשת לניסוח מגוון זהויות הנוגעות לפונקציות אריתמטיות ופונקציות L, וכן להוכחת נוסחת פרון .
הנוסחה נקראת על שמו של המתמטיקאי הנורווגי נילס הנריק אבל.
בערך זה נסמן ב-, , ו- את קבוצת המספרים הטבעיים, השלמים, הממשיים והמרוכבים בהתאמה.
כמו כן, עבור נסמן ב- את הקטע הסגור בין ל-.
בנוסף, נסמן ב- את פונקציית הערך השלם וכן נגדיר להיות פונקציית החלק השברי.
לבסוף, נסמן ב- את פונקציית הלוגריתם הטבעי.
תהי סדרה כלשהי של מספרים ממשיים או מרוכבים.
כמו כן, יהי ופונקציה גזירה ברציפות .
נוסחה זאת נקראת נוסחת הסכימה של אבל.
אם הסדרה מתחילה מהאינדקס (כלומר, לכל ), נוסחת הסכימה של אבל יכולה לקבל את הצורה:
אם משאיפים בשני צידי המשוואה את מתקבל:
לצורך פשטות, נוכיח רק את המקרה בו ו- שניהם מספרים שלמים אי-שליליים.
הוכחת המקרה הכללי דומה, אך דורשת כמה שלבים נוספים.
כל שנותר כעת הוא להוכיח את השוויון בין הסכום שנותר מימין לבין האינטגרל בנוסחה.
לשם כך יש לשים לב כי לכל מתקיים ש-.
כמו כן, לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, לכל :
הצבת שוויון זה בנוסחה לעיל תניב את נוסחת הסכימה של אבל.
ניתן לראות כי לכל .
לכן, לפי נוסחת הסכימה של אבל, לכל :
מעבירים את לאגף שמאל ומשאיפים את שני הצדדים לאינסוף.
ניתן להוכיח כי האינטגרל האינסופי מימין מתכנס.
משמע ההפרש בין המספר ההרמוני ה--י לבין מתכנס לקבוע.
זהו קבוע אוילר-מסקרוני אשר מסומן ב-.
הנוסחה לעיל מאפשרת למצוא את סדר ההתכנסות של סדרת ההפרשים לקבוע אוילר-מסקרוני, זאת מכיוון ש:
הפונקציה היא פונקציית המספרים הראשוניים ו- היא פונקציית צ'בישב הראשונה.
באמצעות נוסחת הסכימה של אבל ניתן להראות כי לכל :
משפט המספרים הראשוניים קובע כי:
באמצעות שתי הנוסחאות לעיל ניתן להוכיח כי משפט זה שקול לכך ש:
מסיבה זו, אחת הדרכים להוכיח את משפט המספרים הראשוניים היא על-ידי ההוכחה כי שואף ל-1.
וריאציות על פונקציית זטא של רימן
ניתן להוכיח כי הנגזרת הלוגריתמית של פונקציית זטא של רימן בתחום היא:
מגדירים פונציה כך שלכל מתקיים:
אם משתמשים בפונקציה עבור קבוע כלשהו בתחום לעיל, ניתן להשתמש בגרסה האינסופית של נוסחת הסכימה של אבל כדי לקבל:
באופן דומה, אפשר להוכיח עבור פונקציית מרטנס אשר מסומנת ב- שמתקיימת הזהות:
מישל (מיכאל) דה נוסטרדם, או בגרסה הלטינית נוסטרדמוס (Nostradamus; 14 או 21 בדצמבר 1503 – 2 ביולי 1566) היה אסטרולוג ורופא צרפתי ממוצא יהודי.
ידוע, בין השאר, בעקבות ספרי הנבואות שחיבר.
נוסטרדמוס נולד בסן-רמי-דה-פרובאנס, למשפחה יהודית שהמירה את דתה זמן קצר לפני היוולדו ונקראה לפני כן גאסונט.
הוריו היו ז'אק ורנה דה נוסטרדם.
אחד מתוך כ-9 ילדים, בצעירותו, עסק סבו של נוסטרדמוס, הרופא ז'אן דה-סנט רמי, בחינוך נכדו.
הוא לימד אותו בעיקר רפואה, שבאותם הימים חלק גדול ממנה היה מבוסס לא רק על מדעים מדויקים, אלא גם על אמונות רוחניות ותופעות על-טבעיות כמו אסטרולוגיה וכשפים.
בנוסף, לימד הסב את נכדו מתמטיקה, יוונית, לטינית, עברית, לימודים קלאסיים וכנראה שגם סודות כישוף וקבלה, למרות שהדבר מעולם לא הוכח.
ז'אן מת כשנוסטרדמוס היה עוד נער.
לאחר מותו, הנער חזר לבית הוריו והמשיך שם בחינוכו על ידי סבו השני, פייר דה-נוסטרדם, שמו המקורי היה קרשקש גאסונט, שם אופייני ליהודים מאזור קטלוניה.
האב הקדום הרחוק ביותר הידוע של נוסטרדמוס הוא יהודי בשם אסטרוג (אתרוג) מהעיר קרקסון אשר נפטר בשנת 1420.
לאחר מכן, נשלח מישל ללמוד באוניברסיטה באביניון.
כישרונו והצטיינותו היו כה מעולים עד שהוא החל גם ללמד במהרה.
יש הטוענים שהוא אף לימד שכדור הארץ סובב סביב השמש במחזור של שנה, עוד לפני שקופרניקוס טען טענה מהפכנית זו.
לאחר זמן מה, הועבר נוסטרדמוס לבית הספר לרפואה של מונפליה, שנחשב לטוב ביותר, בגלל הזכות שניתנה לו לנתח גופות, מה שנחשב לחטא בעיני הכנסייה.
הוא סיים את לימודיו בהצלחה.
נוסטרדמוס התפרסם לראשונה בזכות יכולתו לטפל באופן יעיל במגפת הדבר שפרצה בשנת 1546 בפרובאנס.
לא ידוע במדויק מה היו דרכיו לריפוי המחלה, אך ידוע שהוא לא נהג להשתמש בשיטות הנהוגות באותם הימים כנגד המגפה, כמו הקזת דם, למשל.
ידוע שפרט לתרופות שנתן, הוא הציע עצות למטופליו בקשר להיגיינה, דבר שבאותו הזמן נחשב לחסר ערך.
מכאן בנה נוסטרדמוס את תדמיתו כרופא בעל כישורים יוצאי דופן שעוזר בנדיבות לעניים וחולי המגפה חסרי הישע.
מ-1547 החל נוסטרדמוס לכתוב נבואות בצורת בתים בעלי ארבע שורות.
בשנת 1550, פרסם נוסטרדמוס את הראשון באלמנכים השנתיים שלו.
האלמנך, כמו ה-15 שבאו בעקבותיו, הכיל מידע נבואי קריא, ובו מועדי המצבים הירחיים עם הפניות לאירועים צפויים שהרחיבו את אופק הידע האסטרולוגי.
ב-1555 הוציא נוסטרדמוס את המהדורה הראשונה של ספרו, שנקרא "נבואות", וכונה גם "מאות".
המהדורה הראשונה הייתה חלקית, אך המהדורה השלמה פורסמה לאחר מכן, וחולקה ל-10 חלקים שכונו "מאות".
בכל מאה היו 100 בתים, פרט למאה השביעית, בה היו 42 בתים.
כל בית היה אמור לייצג אירוע מסוים שיקרה בעתיד, עד לשנה 3797. הספר זכה לאהדה רבה, היות שהאסטרולוגיה הייתה אהודה מאוד בתקופה זו.
נוסטרדמוס זכה להתקבל בעקבות כך אצל חברי בית המלוכה הצרפתי, ובהם קטרינה דה מדיצ'י.
נוסטרדמוס מת ב-1 ביולי 1566, מהמחלות צינית ומיימת.
מאחר שהיה מפורסם עוד בחייו, עיקר הידיעות על נוסטרדמוס הוא אוסף אגדות.
סיפור אחד מספר על כך שהוא כרע ברך לפני נזיר פרנציסקני פשוט וצעיר, האח פליס פרטי.
נוסטרדמוס נשק לגלימתו של הנזיר הצעיר בהסבירו שכך הוא מביע את הערכתו לאפיפיור.
הדבר לא העיד על טעות בזיהוי, נטען בביוגרפיה שלו, אלא על כושר נבואי, מאחר שפרטי הוכתר מאוחר יותר לאפיפיור סיקסטוס החמישי בשנת 1585, 19 שנה לאחר מותו של נוסטרדמוס.
אגדה אחרת מספרת על נסיעתו של נוסטרדמוס לפריז לבקשתה של קטרינה דה מדיצ'י, מלכת צרפת, כאשר התעורר בלילה לשמע נקישות על דלתו.
עבד צעיר נבהל מאובדן כלב הציד האהוב של אדונו, קיווה שהחוזה המפורסם יוכל לעזור לו.
נוסטרדמוס ענה על הבקשה בלא שיקום ממיטתו ובלא שהצעיר יספיק לשאול את השאלה.
הוא הורה לצעיר לצאת החוצה לדרך המובילה לאורליאן, שם ימצא את הכלב מובל ברצועה.
ואכן, כך ממשיך הסיפור, נמצא הכלב כעבור שעה.
לפי סיפור אחר, כאשר התארח נוסטרדמוס במצודת פנס בלורן, ביקש ממנו האציל דה פלורינוויל לחזות מראש גורל שני חזירים, אחד שחור, שנובא שייאכל על ידי האציל, והשני לבן, שנובא לו שייאכל בידי זאב.
האציל הורה להכין את החזיר הלבן לסעודת הערב.
כשהוכיח האציל את נוסטרדמוס שהחזיר הלבן לא יוכל להיאכל בידי זאב, כי הם עומדים לאוכלו, טען נוסטרדמוס שזהו החזיר השחור.
הטבח נקרא לאמת את דברי האציל, אך למרבה הפלא, הוא סיפר שגופת החזיר הלבן נלקחה מהמטבח בידי זאב שגודל בידי אחד מהשומרים, וכדי שלא לאכזב את אדונו, הכין הטבח במקום החזיר הלבן את השחור, וכך התגשמה נבואת נוסטרדמוס.
ב-1700 ביקשו השלטונות להעביר את גופתו של נוסטרדמוס למקום מכובד יותר מאשר קבר מאונך שבכנסייה פרנציסקנית מקומית.
בזמן ההעברה נפתח הקבר והתגלה בו תליון ועליו רשומה השנה בה נפתח הארון, 1700. סיפור אחר מספר שב-1789, כמה חיילים שיכורים של המשמר הלאומי חיללו את גופת נוסטרדמוס ושתו מגולגלתו יין, כי האמינו שמי שישתה מגולגלתו יראה אוצר גדול.
ביום שלאחר מכן, חבורת מלוכנים תפסה את אותם החיילים והאיש אשר שתה מהגולגולת של נוסטרדמוס נורה למוות.
עוד בימיו, נבואותיו של נוסטרדמוס זכו לאהדה רבה.
האגדות עליו עזרו מאוד למוניטין שלו, בנוסף לסיפורים על יכולות הריפוי הפלאיות שלו.
רבים מייחסים לו את ניבוי המהפכה הצרפתית, נפוליאון, שתי מלחמות העולם והיטלר בפרט, פיגועי 11 בספטמבר, ועוד.
עם זאת, רבים עוד יותר טענו שנבואותיו הן מעורפלות מדי וניתן לפרשן בכל דרך שהיא.
סיבה נוספת לטענות כנגדו היא שיטותיו, אשר נראות כחסרות כל היגיון או בסיס.
לפי עדותו שלו ורמיזות בבתים שהוא כתב, נראה שהשתמש באסטרולוגיה, תפילות וטקסים מאגיים שונים למיניהם, אשר גרמו לו "לראות" את העתיד בעזרת ישות אלוהית כלשהי, מה שייחס להתגלות בהשראת האל.
גם כישורו הרפואי הוטל בספק.
נטען שהוא השתמש בידע שעבר לו מסבו, ושגם הוא אינו ממציא שיטות רפואה אלו, ועל כן אין לזקוף לנוסטרדמוס את כישרונו הרפואי לו בלבד.
בימיו נטען רבות שהוא השתמש במעשי כשפים, אך טיעונים אלו לא שכנעו את הציבור, שהמשיך לראות בו את הרופא הטוב במדינה.
בעיני רבים אין כיום לכתביו של נוסטרדמוס ערך של ממש.
כך, למשל, אמרה דאווה סובל, העורכת המדעית לשעבר של השבועון טיים כי "יש ליחס את נבואותיו של נוסטרדמוס לדמיונו ואת הצלחתו לכריזמה שלו.
עם זאת, ניסוחן המעורפל מאפשר, כמובן, לפרש אותן לכאן ולכאן." ברור אם כן, שאין אלו נחשבות נבואות באמת כלל וכלל, כיון שאין להן שום הוכחה מוצקת, שהרי הן ניתנות לפרשנויות רבות ונבואה צריכה להיות מוכחת וקנקרטית.
למרות כל אלו, עדיין נוסטרדמוס וכתביו השונים, בעיקר כתבי הנבואות שלו, נותרו פופולריים.
כעדות לפופולריות הזו, המשיכו מו"לים רבים להדפיס את מאות הבתים במשך למעלה מ-400 שנה.
ב-1537 מתו אשתו הנרייט דה אנקוזה ושני ילדיהם ממחלת הדבר, בשעה שהיה בדרכו למטופל במחוז כפרי רחוק.
לאחר עשור נישא נוסטרדמוס שנית לאלמנה עשירה בשם אן פוסארד גאמל, שילדה לו שלושה בנים ושלוש בנות.
המפורסם שבהם הוא כנראה סזאר נוסטרדמוס, שנוסטרדמוס כתב לו את ההקדמה של ספרו, "נבואות".
במתמטיקה, נוסחת נסיגה היא נוסחה שמגדירה סדרת איברים באופן רקורסיבי.
כל איבר מוגדר באמצעות האיברים הקודמים בסדרה.
למשל, סדרת פיבונאצ'י מוגדרת על ידי נוסחת הנסיגה , יחד עם תנאי ההתחלה .
בהגדרה רקורסיבית יש שני חלקים:
תנאי התחלה הקובעים את האיברים הראשונים בסדרה,
נוסחת הנסיגה, המגדירה כל איבר בסדרה באופן רקורסיבי לפי האיברים הקודמים לו.
מעבר מנוסחת נסיגה להצגה מפורשת
נוסחת נסיגה מתארת את הקשר בין האיברים בסדרה, אבל אינה נותנת תיאור ישיר שלהם.
כדי לחשב את האיבר ה-n בסדרה (ואפילו כדי להעריך את סדר הגודל שלו), יש לחשב את כל האיברים הקודמים.
פתרון של נוסחת הנסיגה הוא מעבר מנוסחה כזו לנוסחה מפורשת ("נוסחה ישירה" או "נוסחה סגורה" ).
ישנן מספר שיטות לעשות כן:
במקרים של נוסחת נסיגה פשוטה, ניתן להציב שוב ושוב את הנוסחה בעצמה עד אשר מגיעים אל תנאי ההתחלה, ובכך להגיע לנוסחה סגורה.
זוהי נוסחה של סדרה הנדסית, שבה המנה של כל שני איברים עוקבים היא .
כעת ניקח את הנוסחה של ונציב בה את עצמה שוב ושוב עד אשר נגיע לאיבר :
לעיתים, ובמיוחד במקרים בהם לא ניתנים תנאי התחלה, אין דרך שיטתית לפתור נוסחת נסיגה, אולם ניתן להעריך את צורתו של הפתרון שיתקבל - למשל, האם יהיה מהצורה .
כשפותרים בדרך זו, יש להשתמש בתנאי ההתחלה הידועים של נוסחת הנסיגה כדי לחשב את המקדמים של הנוסחה המפורשת, ואז להוכיח (למשל באמצעות אינדוקציה מתמטית) את נכונות הנוסחה המנוחשת.
זוהי דרך שיטתית לפתור נוסחאות מהצורה (סדרת לוקאס) (הערה: נוסחת נסיגה זו, בה יש התייחסות לשני איברים קודמים בסדרה, נקראת "נוסחת נסיגה כפולה").
עבור נוסחה שכזו, יש לפתור את המשוואה הריבועית ולקבל את השורשים .
אם השורשים שונים, האיבר הכללי של נוסחת הנסיגה הוא מהצורה .
אם הם זהים, האיבר הכללי הוא .
את המקדמים יש למצוא באמצעות תנאי ההתחלה.
בתור דוגמה נפתור את סדרת פיבונאצ'י, שהיא כזכור מהצורה , כלומר אנו מחפשים את שורשי המשוואה .
לכן האיבר הכללי הוא מהצורה .
מהמשוואה הראשונה נקבל: (כי האיבר הראשון הוא 0) ולכן .
האיבר השני הוא 1, ולכן לאחר שנציב את הנתונים במשוואה השנייה נקבל: .
על כן, הנוסחה הכללית של פיבונאצ'י היא: .
דרך נוספת לפתרון נוסחאות נסיגה היא באמצעות פונקציות יוצרות שמקדמיהן הם איברי הנוסחה.
אם נתון יחס הנסיגה עם תנאי התחלה כאשר אומרים שזו סדרת נסיגה ליניארית לא-הומוגנית.
לפני שניגשים לפתור אותה בשיטות שתוארו קודם יש לבצע לה הומוגניזציה.
אם לסדרה יש מצב יציב או גבול של סדרה אז הדבר אפשרי.
זהו הגבול של הסדרה וקיים רק אם (נוסחה זו מתקבלת על ידי החלפת כל ה-y-ים בגבול ).
כעת נגדיר סדרה חדשה: .
סדרה זו מקיימת את היחס הבא:
ומכאן אפשר להמשיך כמו מקודם.
מוצאים את k השורשים של הפולינום האופייני .
אם יש k שורשים שונים, הפתרון הכללי יהיה
כאשר את המקדמים מוצאים באמצעות תנאי ההתחלה.
אם יש שורש מריבוי m אז במקום m מופעים שלו רושמים את הביטוי .
אם יש שורש מרוכב, אז הוא בא עם שורש צמוד.
נרשום את שני השורשים כך ואז נשתמש בנוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת) ונוסחת דה-מואבר כדי לרשום אותם בצורה
כאשר הם קבועים ממשיים אותם מוצאים מתנאי ההתחלה (ביחד עם שאר מקדמי הצירוף הליניארי).
נוסחת סטרלינג (על שם המתמטיקאי הסקוטי ג'יימס סטרלינג) היא קירוב מתמטי לערך של (במילים: עצרת) עבור ערכים גדולים של .
זוהי נוסחה אסימפטוטית בשימוש בסימון אסימפטוטי, ופירושה שבגבול היחס שואף ל-1:
כתוצאה מכך (כפי שיפורט להלן) .
בגרסה כללית יותר, הנוסחה נותנת הערכה לפונקציית גמא המהווה הרחבה של פונקציית העצרת: .
משפט: קיימת פונקציה ממשית המקיימת:
עבור -ים גדולים ולכן .
כפל שני האגפים ב- יתן את הנוסחה ל-.
פיתוח הנוסחה מתבסס על פיתוח אסימפטוטי לטור של האינטגרל המגדיר את פונקציית גמא והפיכתו לאינטגרל של גאוסיאן כפול תיקונים מסדרים שונים.
הצדקה אסימפטוטית לקירוב סטרלינג עוברת דרך ההוכחה כי .
כאשר את המעבר מצד שמאל של המשוואה עשינו בעזרת הגדרת העצרת.
את השוויון השני קיבלנו בעזרת חוקי הלוגריתמים.
את הקירוב קיבלנו בעזרת סכום דארבו עליון.
כל המעברים האלה נכונים מבחינה מתמטית גם עבור ולכן .
לוגריתם העצרת אינו שווה במדויק לערך האינטגרל שחושב קודם, וכדי להגיע לצורה המדויקת של נוסחת סטרלינג יש להעריך את האינטגרל בעזרת קירוב מסדר גבוה יותר.
את האינטגרל ניתן לקרב בעזרת כלל הטרפז הנובע מנוסחת אוילר-מקלורן – נחלק את השטח מתחת לגרף של בתחום ל- טרפזים בעלי רוחב 1 וגבהים , וכך נוכל לקרב את האינטגרל על ידי הסכום:
שכן כל האיברים בסכום פרט לאיבר הראשון והאחרון מופיעים פעמיים (בעוד האיבר הראשון הוא ).
מכאן הדרך לקירוב סטרלינג ישירה:
כאשר השמטנו את הקבוע 1 שהופיע בערך המדויק של האינטגרל המסוים משום שהוא לא תורם להתנהגות האסימפטוטית של , אלא נכנס למעשה בחישוב הקבוע (שאינו מובא כאן), כך שמקבלים בסופו של דבר:
הנוסחה התגלתה לראשונה על ידי אברהם דה מואבר בצורה:
דה מואבר נתן קירוב רציונלי לערך הלוגריתם הטבעי של הקבוע.
תרומתו של סטרלינג הייתה להראות שהקבוע שווה במדויק ל-.
נוסטלגיה הוא מונח שמשמעותו געגועים והתרפקות על העבר, על פי רוב תוך אידיאליזציה שלו.
את המושג נוסטלגיה טבע בשנת 1688 יוהנס הופר, רופא שווייצרי, לתיאור תופעה אצל חיילים שווייצרים שנשלחו אל שדה הקרב רחוק מביתם.
המונח הורכב משתי מילים יווניות: נוסטוס (νόστος), שמשמעותה שיבה הביתה, בעיקר ביצירות ההומריות, ואלגוס (ἄλγος), שפירושה כאב.
הופר הגדיר נוסטלגיה כמחלה המתאפיינת בתשוקתו של אדם לחזור למולדתו.
במרוצת המאה ה-19 השתנתה משמעות המושג, וכיום אין מתייחסים עוד לנוסטלגיה כאל מחלה.
מתקנים חברתיים שונים ביקרו את הנוסטלגיה כמנוגדת להיסטוריה, כריאקציונית וכאסקפיסטית.
אחרים ראו בה תופעה חיובית, המאפשרת דיאלוג בין העבר להווה.
על פי רוב קשורה הנוסטלגיה לזיכרונות ילדות.
כאשר אדם בוגר מבקר במחוזות ילדותו, הוא נזכר בעברו.
התחושות המלוות זיכרונות אלה עשויות להיות נעימות ולעורר געגוע.
חוויית הנוסטלגיה מרמזת כאילו השתבש עניין יסודי כלשהו מאז תקופת הילדות וכי יש צורך לחזור ולהתחיל הכול מחדש.
נוסטלגיה (לטינית) פירושה - הבט לאחור בכאב.
על כך כתב הסופר דייוויד סלע בספרו "בשבוע הבא - אמריקה": "...מאז עברו שנים רבות.
מקצתן טובות, מקצתן פחות, אך תמיד הסיעו אותי מחשבותיי אל נוף ילדותי, כנווט הטועה בדרך וחוזר למקום האחרון שבו היה הכול ברור, ידוע ומסומן..." מנגנוני הזיכרון ההפכפכים מסננים את הזיכרונות הבלתי נעימים, מצרפים זיכרונות חיוביים זה לזה, מתבלים בקורט גוזמה ומשאלות לב, ויוצרים תודעת עבר נוכחת המגינה מפני אימי ההווה.
אופנות רטרו מכתיבות חזרה לסגנונות העבר.
אפשר לאתר זאת בתחומים שונים, החל בעיצוב המוצר ואופנה ועד סגנונות מוזיקה וספרות.
טיפוח העבר מתבטא גם בחזרה אל השורשים המשפחתיים באמצעות טיולים, כתיבה ובניית עץ יוחסין, כמו גם חיטוט בארכיונים.
הנוסטלגיה ואופנות הרטרו הן אבן שואבת עבור צעירים החותרים לייחד עצמם מסביבתם או המתגעגעים לדבר מה שמעולם לא חוו, אלא רק שמעו על אודותיו מהוריהם ומבני משפחתם המורחבת.
העבר הערטילאי הופך בעקבות מעורבותם הרגשית לישות חיה ואהובה.
הסופר עלי מוהר עשה שימוש רב בנוסטלגיה.
בטורו "מהנעשה בעירנו" הרבה לעסוק בעיר תל אביב וגייס לצורך טיעוניו את זיכרונותיו מן העיר בתקופות מוקדמות יותר (בשנות ה-50 וה-60 של המאה ה-20) ואת המשורר האהוב עליו, נתן אלתרמן.
הוא התרפק על העבר מתוך גישה של עצב נוסטלגי, שהיה מהול בהומור רך וסרקסטי.
דוגמה ירושלמית לכתיבה נוסטלגית הוא ספרו של העיתונאי חיים ברעם "אדום צהוב שחור", שבו הוא מספר על ילדותו בירושלים של שנות ה-50, על החיים ברחוב המלך ג'ורג' ועל האהבה הגדולה שלו לקבוצת הכדורגל הפועל ירושלים.
נוסחת לוטשי העדשות היא נוסחה שפיתח האיטלקי בונאוונטורה קאוואליירי במאה ה־17. הנוסחה מתארת את הקשר בין עוצמת העדשה (התלויה באורך המוקד של העדשה) לבין מקדם השבירה של החומר שממנו עשויה העדשה, עוביה במרכזה ורדיוסי העקמומיות של העדשה.
אם עובי העדשה קטן בהרבה מהרדיוסים שלה, ניתן להשתמש בנוסחה המקורבת:
כאן D היא עוצמת העדשה בדיופטרים.
דיוקה של הנוסחה המקורבת טוב רק עבור עדשות דקות, כלומר עדשות שבהן עובי העדשה קטן לעומת אורך המוקד שלה.
f הוא אורך המוקד של העדשה (חיובי - עדשה מרכזת, שלילי - עדשה מפזרת).
n1 הוא מקדם השבירה של העדשה.
n2 הוא מקדם השבירה של התווך שבו נמצאת העדשה.
R1 ו־R2 הם רדיוסי העקמומיות של העדשה.
R1 הוא רדיוסו של המשטח הקדמי, R2 הוא רדיוסו של המשטח האחורי.
d הוא עוביה של העדשה במרכזה.
כדי לחשב את אורך המוקד (ואת עוצמתה) של העדשה, מציבים בנוסחה את רדיוסי העקמומיות.
סימנו של כל רדיוס נקבע כך: אם מרכז הכדור שיוצר את המשטח נמצא מאחורי העדשה, הרדיוס הוא חיובי.
לפיכך, במקרה של עדשה דו קמורה, הרדיוס של המשטח הקדמי הוא חיובי, והרדיוס של המשטח האחורי הוא שלילי.
בעדשה דו קעורה, הרדיוס של המשטח הקדמי הוא שלילי, והרדיוס של המשטח האחורי הוא חיובי.
הרדיוס של מישור (משטח ישר) הוא אינסוף.
קיימת גם גרסה נוספת של הנוסחה, נפוצה פחות, ובה סימן המינוס בנוסחה מוחלף בסימן פלוס, ואז סימני הרדיוסים מוגדרים באופן אחר, ופחות אינטואיטיבי.
כדי להימנע מבלבול בין "קמור" ו"קעור" ניתן לזכור שעדשה דו קמורה צורתה כתפוז.
ישנם מספר סוגים של עדשות מרכזות ומפזרות:
עדשה דו־קמורה (עדשה ששני צידיה קמורים):
עדשה קמורה־קעורה (מניסקוס קמור), עדשה שרדיוס העקמומיות של הצד הקמור שלה קטן מרדיוס העקמומיות של הצד הקעור:
עדשה דו־קעורה (עדשה ששני צידיה קעורים):
עדשה קעורה־קמורה (מניסקוס קעור), עדשה שרדיוס העקמומיות של הצד הקעור שלה קטן מרדיוס העקמומיות של הצד הקמור:
באלגברה ליניארית, נוסחת קרמר (או כלל קרמר) היא נוסחה מפורשת לפתרון מערכת משוואות ליניאריות בעזרת דטרמיננטות.
היא קרויה על שם המתמטיקאי השווייצרי גבריאל קרמר.
מבחינה חישובית הנוסחה אינה יעילה, שכן מספר הצעדים שצריך לעשות בחישוב הדטרמיננטות הרלוונטיות גדול מזה הדרוש בתהליך החילוץ של גאוס, אך יש לה חשיבות כיוון שהיא נותנת ביטוי חד-משמעי של פתרון המערכת, מה שגם מאפשר להוכיח תכונות של מטריצות ודטרמיננטות.
כך למשל הנוסחה מספקת ביטוי מפורש לאיבר הכללי של מטריצה הפוכה, באופן שנובע ממנו כי מטריצה היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מ-0.
כידוע מאלגברה ליניארית, למערכת משוואות ריבועית (כלומר, מספר המשתנים שווה למספר המשוואות) המיוצגת על ידי , כאשר היא מטריצה ריבועית, ו- הוא וקטור עמודה, קיים פתרון יחיד אם ורק אם .
על פי נוסחת קרמר, הרכיב ה- של וקטור הפתרון נתון על ידי
כלומר המערכת מיוצגת על ידי המטריצה
הוכחה בעזרת התכונות של פונקציית נפח
נניח כי נתונה המערכת .
נסמן את עמודות המטריצה ב־.
הטענה כי הווקטור פותר את המערכת היא בעצם הטענה כי
נחשוב על הדטרמיננטה כעל פונקציית נפח, המקבלת כארגומנטים את עמודות המטריצה:
הדטרמיננטה מתקבלת מהחלפת העמודה ה-k בעמודה b.
מכיוון שהדטרמיננטה, כפונקציית נפח, היא ליניארית בכל רכיב, מתקבל
ומתכונת פונקציית הנפח, לכל מתקיים כי ולכן נותרנו עם
נניח כי נתונה מערכת לא הומוגנית:
כאשר הוא וקטור הפתרון (היחיד) של המערכת.
לחישוב האיבר ה- של , נוסיף למערכת משוואה אחת, כך:
כאשר בשורה התחתונה במטריצה כל האיברים הם אפס, פרט לעמודה ה- ולעמודה ה-.
מכיוון שהווקטור פותר את המערכת, קל לראות על ידי העברת אגפים כי הווקטור המורחב פותר את המערכת המורחבת, שהיא כעת מערכת הומוגנית.
טענה מאלגברה ליניארית אומרת כי למערכת משוואות הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם הדטרמיננטה מתאפסת.
הווקטור המורחב אינו וקטור האפס והוא פותר את המערכת, ולכן הדטרמיננטה של המטריצה המורחבת חייבת להתאפס.
נפתח את הדטרמיננטה לפי השורה התחתונה, ונשים לב כי המינור ה- הוא פשוט הדטרמיננטה של המטריצה מוכפל בגורם , מכיוון שכדי להביא את העמודה האחרונה למקום ה- יש לבצע על העמודות תמורה שהיא מחזור באורך .
בנוסף, מהנוסחה לפיתוח המינור יש להכפיל בגורם ולכן מתקבל:
נוסחת ציולקובסקי היא משוואה שפותחה על ידי מדען הטילים הרוסי קונסטנטין ציולקובסקי, ופורסמה בשנת 1903. הנוסחה מבטאת את מהירותו הסופית של טיל כפונקציה של גורמים שונים.
היא המהירות ההתחלתית של הטיל
היא מהירות הגזים הנפלטים מהטיל
הנוסחה ונגזרותיה מאפשרים לחשב מהי כמות הדלק הנדרשת לטיל על מנת להשיג מהירות מסוימת ובעצם מאפשרת לדעת מה נדרש לטיל על מנת לעבור בין גרמי שמים כאשר מחשיבים בנוסף את השפעת כוחות המשיכה הפועלים על הטיל.
משוואות ההנעה הרקטית פורסמו על ידי ציולקובסקי בשנת 1903, ובמשך שנים נחשב ציולקובסקי לראשון שהגה אותן.
עם זאת, מחקר מעודכן יותר גילה חישובים דומים שנערכו בבריטניה בשנת 1813, לשם בחינת היעילות של רקטות קרקע-קרקע ששימשו למטרות לחימה.
משוואות אלה הופיעו בחיבור מאת ויליאם מור , שנקרא מסה על תנועת הרקטות (A Treatise on the Motion of Rockets).
הנוסחה משמשת בפיתוח טילים רב־שלביים.
בטילים אלו, כל שלב נושר לאחר שנגמר בו הדלק, והטיל יכול להמשיך ולהאיץ, עד להשגת המהירות הנדרשת לשם הגעה למסלול סביב הארץ או ליציאה משדה הכבידה של גרמי שמיים שונים.
בעזרת הנוסחה ניתן לאמוד את המהירות שישיג הטיל בהינתן המהירות ההתחלתית והמסה בתחילת ובסוף כל שלב.
המהירות של גוף היא האינטגרל של התאוצה:
לפי החוק השני של ניוטון:
וידוע לפי חוקי ניוטון ש:
המתקף של גוף הוא השינוי בתנע:
כאן מייצג את הדלק שנפלט מהטיל.
שווה לאפס כי לפני שהדלק נפלט מהירותו הייתה שווה למהירות הטיל:
הוא מהירות פליטת הדלק, נסמן:
הוא דיפרנציאל המסה של הדלק שנפלט.
כאשר הוא קצב הפליטה של הדלק.
ֹ (מאחר שפליטת דלק משמע חיובי וירידה במסת הרקטה כלומר שלילי)
כאשר המעבר השלישי נובע מהחלפת משתנים
נוסחת קיילי היא נוסחה בתורת הגרפים הקובעת שמספר העצים הפורשים של גרף שלם בעל n צמתים הוא .
בניסוח אחר ניתן לומר שמספר העצים המחברים n צמתים מסומנים הוא .
הנוסחה נקראת על שמו של המתמטיקאי הבריטי ארתור קיילי, וניתן לראות אותה כמקרה פרטי של משפט קירכהוף, המאפיין את מספר העצים הפורשים בגרף כלשהו.
הנוסחה הוכחה לראשונה על ידי המתמטיקאי הגרמני קרל בורכרט ב-1860, על ידי שימוש בדטרמיננטות.
היא הוכללה על ידי קיילי ב-1889, ואף שהלה התייחס במפורש לבורכרט שמו נדבק לנוסחה.
בתורת הגרפים גרף הוא אוסף של צמתים ושל קשתות המחברות בין הצמתים.
גרף שלם הוא גרף שבו צומת מחובר בקשת לכל אחת מהצמתים האחרים.
באיור ניתן לראות גרף שלם בעל 5 צמתים.
עץ הוא גרף שבו קיים מסלול אחד בלבד המחבר כל שני צמתים.
עץ פורש הוא תת גרף שהוא עץ המכיל את כל הצמתים של הגרף המקורי.
דרגה של צומת - מספר הקשתות המחוברות לאותו צומת.
עלה הוא צומת בעץ המחובר לצומת אחד בלבד, כלומר צומת בעל דרגה 1.
למשפט קיילי מספר הוכחות, נביא כאן שתיים מהן.
הוכחה זו התגלתה על ידי היינץ פרופר בשנת 1918. ההוכחה מבוססת על קוד פרופר.
קוד פרופר הוא מילה המציינת מבנה של עץ ובכך מראה התאמה חד חד ערכית בין העצים הפורשים של גרף שלם לבין המילים באורך n-2 מעל אלפבית של n אותיות אפשריות.
בהינתן עץ עם קדקודים הממוספרים מ-1 עד נבנה ממנו מילה שאורכה .
חוזרים על הפעולה הזאת עד שנשארים לבסוף עם גרף המכיל שני צמתים בלבד המחוברים בקשת.
מכיוון שבגרף המקורי היו n צמתים, במהלך התהליך מחקנו צמתים ולכן בסיום אנחנו מקבלים מילה שאורכה אותיות.
כעת נראה שיש גם התאמה מכל מילה באורך אותיות מעל אלפבית בגודל n לעץ פורש בעל n קדקודים.
נשים לב שהדרגה של כל צומת בעץ שווה למספר הפעמים שהצומת מופיע בקוד פרופר ועוד אחד.
מכאן על מנת לייצר עץ מתוך מילה נתונה, נתחיל בכך שנחשב באופן זה את הדרגה של כל צומת.
עתה נבדוק מבין כל הצמתים בעלי דרגה 1, דהיינו אלה שכלל לא הופיעו במילה, מהו הצומת שמספרו הסידורי הוא הקטן ביותר.
האות הראשונה בקוד פרופר מציינת קשת בין צומת זה לבין המספר הראשון בקוד.
באופן זה ממשיכים את התהליך עד אשר מייצרים את העץ המתאים לקוד.
מכאן שיש התאמה חד חד ערכית בין עצים בעלי n קודקודים למילים המכילות n-2 אותיות מתוך n אותיות אפשריות.
מספר המילים הללו הוא , ומכאן נובעת נוסחת קיילי.
הוכחה זו משתמשת בטכניקה הנקראת "ספירה כפולה" בה סופרים גודל מסוים בשתי דרכים, ועל ידי השוואה ביניהן מקבלים את הגודל הדרוש.
נסמן את מספר העצים הפורשים ב-Cn.
עץ מושרש - עץ מכוון כך שאחד הקדקודים ("שורש") נבחר ולכל שאר הקשתות ניתן כיוון "החוצה" מהשורש (כך שניתן להגיע מהשורש לכל קדקוד).
יער מושרש - איחוד זר של עצים מושרשים.
כעת נספור בשתי דרכים את התשובה לשאלה הבאה: בכמה דרכים ניתן להגיע מיער מושרש שבו עץ אחד ליער מושרש שבו n עצים (כל אחד מהם בין קדקוד אחד) על ידי הסרת קשתות, כאשר עוברים בדרך רק דרך יערות מושרשים?
דרך ראשונה - מהסרת קשת מיער מושרש תמיד מקבלים יער מושרש, כי קיבלנו שני עצים חדשים: זה שהיה בו את השורש נשאר עץ, ובשני הקדקוד שחובר בקשת שהוסרה נעשה שורש.
לכן מספר הדרכים להתחיל ביער מושרש שיש עץ אחד ולהגיע ל-n עצים בני קדקוד אחד הוא פשוט מספר הדרכים להתחיל בעץ כלשהו ולהוריד לו את כל הקשתות בסדר כלשהו, ומובטח לנו שנעבור בדרך רק ביערות מושרשים.
נחשב: יש לנו בהתחלה Cn עצים שונים, וכיוון שלכל אחד מהם אפשר לבחור כל אחד מ-n הקודקודים להיות שורש, יש Cnn עצים מושרשים שונים.
כעת נחשב את מספר הדרכים להסיר את הקשתות: יש n-1 קשתות, וצריך לבחור את הסדר שבו מסירים אותן; יש סך הכול !(n-1) דרכים כאלה.
סך הכול מקבלים !(Cnn(n − 1 או !Cnn דרכים.
דרך שנייה - הפעם נלך בכיוון ההפוך: נתחיל מיער עם n עצים ובכל שלב נוסיף קשת עד שנגיע ליער עם עץ אחד.
לצורך כך נשים לב שהוספת קשת ליער מושרש הופכת ליער מושרש רק אם אנחנו מחברים קדקוד אל שורש של עץ אחר.
נמספר את השלבים כך שהשלב בו יש n עצים הוא מספר 1 והאחרון מספר n.
עכשיו נסתכל על שלב מספר k כלשהו: יש בו k עצים.
כדי להוסיף קשת כך שיישאר עץ מושרש עלינו לבחור קדקוד כלשהו - יש n דרכים לעשות זאת, ואז לבחור עץ אחר - יש k-1 דרכים לעשות זאת.
סך הכול יש (n(k-1 דרכים לעבור משלב k לשלב k+1. עלינו לעבור ככה על כל השלבים, ולכן יש להכפיל את כל הביטויים הללו לכל k עד שתיים (שזה השלב האחרון שעלינו לעבור ממנו לשלב הבא).
ציינו שתי דרכים לספור את אותו דבר, לכן אפשר להשוות ביניהן ולקבל:
מכאן שמספר העצים הפורשים הוא nn-2.
נוסחת קינגמן, בתורת התורים, היא נוסחה המספקת קירוב למודל תורים מסוג G/G/1. מודל תורים מסוג זה מציין, לפי סימון קנדל, מודל כללי בעל שרת יחיד ותור אינסופי.
G/G/1 מתאר מערכת בעלת מופע לקוחות שלו התפלגות כללית כלשהי, תהליך שירות עם התפלגות כללית כלשהי, שרת יחיד ותור אינסופי, הפועל על פי מודל FCFS, נכנס ראשון יוצא ראשון.
הנוסחה מאפשרת מציאת קירוב לתוחלת זמן ההמתנה בתור.
כלומר, מציאת משך זמן ההמתנה הממוצע של לקוח, מרגע כניסתו לתור ועד לתחילת קבלת השירות.
הנוסחה הוצגה לראשונה בשנת 1966 על ידי ג'ון קינגמן, במאמרו "On the Algebra of Queues", והיא נחשבת לקירוב טוב עבור מערכת העובדת בנצילות גבוהה.
הנוסחה שהציג קינגמן הייתה זו:
הוא זמן השירות הממוצע ( הוא קצב השירות הממוצע)
הוא קצב המופע של לקוחות חדשים במערכת
ca הוא קבוע השונות של תהליך מופע הלקוחות (כלומר סטיית התקן של משך הזמן בין מופע למופע חלקי משך הזמן הממוצע בין מופע למופע)
cs הוא קבוע השונות למשך השירות (כלומר סטיית התקן למשך השירות חלקי משך השירות הממוצע)
הנוסחה היא מכפלתם של שלושה איברים התלויים בנצילות השרת, בשונות הזמנים במערכת ובמשך השירות בהתאמה.
הנוסחה מבטאת הנחות אינטואיטיביות לגבי משך ההמתנה, שמשכו ארוך יותר ככל שנצילות השרת עולה, ככל שהשונות במשך הזמן בין המופעים או בזמן השירות עולה וככל שמשך השירות הממוצע עולה (בהתאמה לאיברים השונים במכפלה).
נוסחת פריס בהנדסת מערכות תקשורת, משמשת מהנדסי תקשורת לקביעת הספק המתקבל באנטנה (בתנאים אופטימליים) כאשר מאנטנת המקור נובע שידור במרחק מה בהספק ידוע מראש.
הנוסחה עוצבה על ידי מהנדס התקשורת האמריקני-דני הארולד פריס בשנת 1945 כשעבד במעבדות בל.
בצורתה הפשוטה ביותר, נוסחת פריס היא כדלהלן:
כשישנן שתי אנטנות, יחס ההספק בכניסת אנטנת הקליטה להספק המשודר באנטנת השידור נתון ע"י:
כאשר ו הם הגברי האנטנות (בהנחת איזוטרופיות), אורך הגל הוא ו הוא המרחק בין שתי האנטנות.
צורה נוספת של המשוואה היא:
(היחידות של הגבר dB, ויחידות ההספק הן dBm או dBW)
בהנדסת מערכות רדיו נהוג לחשב באמצעות הנוסחה את הניחות בערוץ, כלומר דווקא את ההפרש ב-dB בין הספק השידור לבין הספק הקליטה; על כן, לרוב משתמשים מהנדסי רדיו בנוסחה השקולה:
שבה הקבוע 32.442 מתקבל כתוצאה מציון המרחק בקילומטרים, והתדירות במגה-הרץ.
הצורות הפשוטה הזו באה לידי ביטוי כאשר התנאים האידיאלים הבאים מתקיימים:
(כאשר גדול בהרבה מ ).
אם אז התוצאה שתתקבל תתן תוצאה שגויה מבחינה פיזיקלית כאשר ההספק המתקבל גדול יותר מההספק המשודר.
האנטנות הן ללא חיץ ביניהן ואין רב נתיב.
הוא ההספק המתקבל באנטנת הקליטה.
יש הפסדים בכבלים של האנטנה ובמחברים.
יתרה מכך, ההספק בכניסה לאנטנה יועבר במלואו אל קו התמסורת של האנטנה כאשר יש תיאום עכבות.
הוא ההספק המשודר מאנטנת השידור.
יתרה מכך, ההספק במוצא האנטנה יועבר במלואו אל התווך החופשי בין שתי האנטנות כאשר יש תיאום עכבות.
האפקט של חוסר תיאום העכבות, חוסר כוונון האנטנות והקיטוב וספיגה של הספק יכולים להיכלל על ידי הוספת איבר נוסף לנוסחה; לדוגמה:
הוא ההגבר של אנטנת השידור בכיוון שהיא "רואה" את אנטנת הקליטה.
הוא ההגבר של אנטנת הקליטה בכיוון שהיא "רואה" את אנטנת השידור.
ו הם מקדמי ההחזרה של אנטנות השידור והקליטה.
ו הם וקטורי הקיטוב של אנטנות השידור והקליטה.
בתורת המספרים, נוסחת לז'נדר (על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר; נקראת גם נוסחת דה פוליניאק על שם אלפונס דה פוליניאק) קובעת את הפירוק לגורמים ראשוניים של , כאשר הסימן "" מסמן את פעולת העצרת:
כאשר מספר ראשוני ו- היא פונקציית הערך השלם (עיגול כלפי מטה).
בניסוח שקול, הנוסחה קובעת שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של ראשוני המחלקת את הוא .
הסכום האינסופי לכאורה הוא למעשה סכום סופי, שכן החל משלב מסוים כל איברי הסכום מתאפסים משום של- מתקיים .
" עצרת" הוא מכפלת המספרים מ-1 עד :
לכן המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של ראשוני המחלקת אותו הוא סכום המעריכים של החזקות הגבוהות ביותר של המחלקות כל אחד מהמספרים מ-1 עד .
לכל ראשוני , אנחנו יודעים כי מחלק בדיוק מספרים מ-1 עד שכן כפולותיו הן .
ביניהם מספרים שמתחלקים אפילו ב-, ולכן יש לספור אותם פעם נוספת.
ובאופן כללי, יש ביניהם בדיוק המתחלקים ב-, ויש לספור אותם שוב.
נסכום את כל המקרים יחדיו ונקבל שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של המחלקת את הוא .
נמצא כמה אפסים מופיעים בסוף הכתיב העשרוני של המספר .
מספר האפסים שווה למעריך של החזקה הגבוהה ביותר של 10 המחלקת את .
הפירוק לגורמים של חזקות של 10 הוא .
לכן המעריך המבוקש יהיה הקטן מבין המעריכים של החזקות הגבוהות ביותר של הראשוניים 2 ו-5 המחלקות את .
ברור כי המעריך הגבוה יותר מבין השניים הוא זה של 2 (שכן הוא מחלק יותר מספרים בין 1 ל-199) ולכן מספיק למצוא את המעריך של 5. לפי הנוסחה המעריך הוא:
מכאן שהמספר מסתיים ב-47 אפסים.
נסמן ב- את סכום הספרות של בבסיס .
ניסוח שקול לנוסחת לז'נדר קובע שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של המחלקת את הוא .
מכאן לפי נוסחת לז'נדר המעריך של חזקה הגבוהה ביותר של המחלקת את הוא:
המעבר מ-(1) ל-(2) אפשרי מכיוון שלכל , המקדם מופיע פעם אחת בדיוק כמקדם של כל אחד מבין .
המעבר מ-(2) ל-(3) מתבצע על-ידי שימוש בנוסחה לסכום טור הנדסי.
קיימת לנוסחת לז'נדר גרסה שקולה אשר עושה שימוש בפונקציית הלוגריתם הטבעי ופונקציית פון מנגולד .
פונקציית פון מנגולד מוגדרת כך שלכל מספר טבעי :
בגרסה זו, נוסחת לז'נדר מקבלת את הצורה:
לוקחים לוגריתם על שני צידי המשוואה בנוסחת לז'נדר המקורית, ומקבלים:
מקדם בינומי שווה למספר התת-קבוצות מגודל שיש לקבוצה בגודל .
מכאן שהוא בהכרח מספר שלם.
עם זאת, זוהי הוכחה קומבינטורית לטענה, ואילו נוסחת לז'נדר מספקת הוכחה אלמנטרית לטענה (כזו המסתמכת רק על תכונות מספרים).
פונקציית הערך השלם מקיימת את האי-שוויון הטריוויאלי .
לפי נוסחת לז'נדר אגף ימין הוא המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של המחלקת את , בעוד אגף שמאל הוא המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של המחלקת את .
מהאי-שוויון אנו מסיקים שלכל חזקת ראשוני בפירוק של לגורמים, כפולה שלו מופיעה בפירוק של , ולכן מתחלק ב-, כלומר מספר שלם.
לפי נוסחת לז'נדר המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של המחלקת את הוא , עובדה המשמשת בהוכחה האלמנטרית של פאול ארדש להשערת ברטראן.
נוסחת יריב - שם טוב הייתה יוזמה מדינית שהגו יחדיו בשנת 1974 שרי הממשלה ה-16 אהרן יריב וויקטור שם טוב, שבה קראו למדינת ישראל להכיר באש"ף ולנהל משא ומתן לשלום עם הפלסטינים.
ויקטור שם טוב היה ממנהיגי מפלגת מפ"ם במשך עשרות שנים.
בשנת 1961 נבחר לראשונה לכנסת החמישית וכיהן בה עד לשנת 1969. בכנסת שישית, בשנים 1969–1977, כיהן כשר שאינו חבר כנסת.
אהרן יריב פרש מצה"ל בשנת 1972 לאחר 33 שנות שירות ביטחוני, החל ב"הגנה" ובהמשך בבריגדה היהודית ולאחר מכן בצה"ל מראשיתו.
הוא הגיע לדרגת אלוף והיה ראש אמ"ן.
לשמו נקשר ההישג המודיעיני שתרם לניצחון במלחמת ששת הימים.
בזמן מלחמת יום הכיפורים, בשנת 1973, גויס למילואים כעוזר מיוחד לרמטכ"ל, ועמד בראש צוות המשא ומתן עם המצרים בקילומטר ה-101 לייצוב הפרדת הכוחות בין ישראל למצרים.
לאחר פרישתו מצה"ל הצטרף למפלגת העבודה, שהייתה אז במערך.
יריב נבחר כחבר הכנסת בבחירות לכנסת השמינית שנערכו ב-1974, זמן קצר לאחר המלחמה.
הוא שימש שר התחבורה בממשלת גולדה מאיר קצרת הימים, שארכה חודש בלבד עד להתפטרותה ב-11 באפריל.
עם הקמת ממשלתו של יצחק רבין ב-3 ביוני 1974 נתמנה יריב לשר ההסברה בממשלת רבין הראשונה.
ראשית כהונתה של הכנסת השמינית, בה כיהנו שני האישים כשרים.
הייתה בצל הטראומה הלאומית שפקדה את הציבור בישראל בעקבות מלחמת יום הכיפורים, שאמנם הסתיימה בניצחון צה"ל, אך החלה בהפתעה אסטרטגית וגבתה מחיר של אלפי הרוגים ומאות שבויים.
על רקע טלטלה זו גיבשו שני האישים את נוסחת יריב - שם טוב.
דחיית הנוסחה על ידי הממשלה
שני השרים גיבשו את עמדתם זו בנפרד, אך נוסחה זו, קיבלה את הכינוי "נוסחת יריב - שם טוב".
הדבר היה בגדר מהפך בהשקפה ששררה בממשלת גולדה מאיר במשך כל חמש שנותיה, שאימצה את הצהרתה של ראש הממשלה כי איננה מכירה בקיומו של עם פלסטיני.
הנוסחה הובאה לידיעת הציבור בראיון שהעניק השר יריב לגלי צה"ל ב-12 ביולי 1974, בו אמר: "אין להעלות על הדעת משא ומתן עם שוללי קיומנו".
יחד עם זאת הוסיף: "אילו הכריז הארגון לשחרור פלסטין כי 'האמנה הלאומית' בטלה ומבוטלת וכי הוא מכיר בקיומה הריבוני של ישראל – או אז, ורק אז, היה נוצר מצב חדש שבו אפשר היה גם לשקול עמדה חדשה ביחס למשא ומתן".
בעקבות דבריו אמר ראש הממשלה יצחק רבין: "בחתירתה של ישראל לקראת שלום היא מעניקה עדיפות ראשונה להסדרים בין מדינות ערב לבין ישראל, ובראש ובראשונה למצרים, וכי הבעיה הפלשתינאית אינה הבעיה המרכזית, ואת פתרונה יש למצוא במסגרת הסדר בין ישראל לירדן".
השר ישראל גלילי העלה את הנושא בשתי שאילתות בישיבת הממשלה שהתקיימה ב-14 ביולי וראש הממשלה השיב כי לא חל שינוי בעמדת הממשלה.
בזאת דחתה למעשה הממשלה את נוסחתם של שני השרים.
חלפו כשלוש שנים והשר שם טוב ביקש לנצל את הזדמנות ביקורו בישראל של סיירוס ואנס, מזכיר המדינה של ארצות הברית בממשלו הנשיא ג'ימי קרטר, ולהעלות שוב את היוזמה בישיבת הממשלה.
מזכיר המדינה אמור היה להגיע לישראל ביום ג', 15 בפברואר 1977. ישיבתה השבועית של הממשלה התכנסה ביום א', 13 בפברואר.
בישיבה אמר השר שם טוב כי כדאי להציג בפני ואנס הצעה הכוללת את נוסחת יריב - שם טוב, בדבר נכונות לנהל משא ומתן עם כל גורם ערבי שיכיר בישראל.
שר החוץ יגאל אלון השיב באופן נחרץ כי הוא שולל גישה זאת הפותחת פתח להקמת מדינה שלישית, מלבד מדינת ישראל וממלכת ירדן.
בתום הדיון החליטה הממשלה שלא להעלות בפני מזכיר המדינה הצעות חדשות, אלא להבהיר לוואנס כי ישראל רואה עדיפות רק להסכם שלום כולל עם שכנותיה.
יגאל אלון הוסיף כי פתרון הבעיה הפלסטינית יהיה במסגרת הסכם שלום עם ירדן המחזיקה, לדבריו, בשני שלישים מארץ ישראל.
אלון הוסיף שישראל תדרוש את שיתופם של נציגים פלסטינים במשלחת ירדן, ופסק כי אש"ף אינו בא בחשבון לייצוג הפלסטינים.
בזאת בא הקץ לרעיון ההדברות עם הפלסטינים למשך 16 השנים הבאות.
ב-17 במאי 1977 חל בישראל "המהפך", כאשר בבחירות לכנסת התשיעית ניצח הליכוד בראשותו של מנחם בגין, והוא נתמנה לראש ממשלת ישראל.
ממשלתו של בגין החלה במגעים עם מצרים שהביאו בסופם לחתימתם בשנת 1978 של הסכמי קמפ דייוויד בהם נכללה התוכנית להעניק אוטונומיה לפלסטינים, ובעקבות ההסכמים נחתם בשנת 1979 הסכם השלום עם מצרים.
בהתקרב הבחירות לכנסת העשירית, שעמדו להתקיים בשנת 1981, התכנסה ועדת המצע של מפלגת העבודה.
הוועדה, בראשותו של השר ישראל גלילי, התכנסה בסוף חודש נובמבר 1980. בפני הוועדה הועלתה ההצעה לכלול במצע המפלגה סעיף בדבר משא ומתן עם הפלסטינים.
לאחר דיונים ערים אישרה הוועדה ברוב קולות נוסחה בדבר "נכונות להידברות עם אישים וגורמים פלסטינים שיכירו בישראל ויימנעו מטרור".
יושב ראש המפלגה, שמעון פרס, תמך בהחלטה.
ביחס להחלטה התפתח דין ודברים חריף בין הניצים והיונים בוועדה.
חבר הכנסת עמוס הדר הטיח לעומת המצדדים בהחלטה: "אני מבין למה שמתכוונים כאן.
זוהי בעצם נוסחת יריב - שם טוב".
לאחר האינתיפאדה הראשונה, שפרצה בשנת 1987, החל לחול שינוי בעמדתו של יצחק רבין ביחס לסכסוך הישראלי-פלסטיני.
רבין היה אז שר הביטחון בממשלת האחדות הלאומית שבראשה עמד, על פי הסכם רוטציה, יצחק שמיר.
השינוי אצל רבין הבשיל במלחמת המפרץ שפרצה בשנת 1990. הבריחה ההמונית ממרכזי הערים שהתחוללה במהלך מלחמה זאת, שכנעה אותו שהחברה הישראלית איננה יכולה עוד לחיות תחת איום מלחמתי ויש לחתור לשלום.
לאחר ניצחון מפלגת העבודה בבחירות שנערכו בחודש יוני 1992 חזר רבין לכהן כראש ממשלת ישראל.
במהלך שנת 1993 החלו שיחות חשאיות בין נציגי ישראל לבין הנהגת אש"ף, תחילה בלונדון ואחר כך באוסלו.
אלה נעשו ישירות מול הנהגת אש"ף, שיחות אלה הבשילו לכלל הסכמי אוסלו.
ב-13 בספטמבר 1993 נערך על מדשאות הבית הלבן, בהשתתפות נשיא ארצות הברית ביל קלינטון, ראש ממשלת ישראל יצחק רבין וראש אש"ף יאסר ערפאת, טקס חגיגי לחתימת "הצהרת העקרונות בדבר הסדרי ביניים של ממשל עצמי".
במגעים שקדמו לחתימת ההסכם ובעצם החתימה עליו פעל יצחק רבין למעשה, לאחר שנים רבות, לפי נוסחתם של אהרן יריב וויקטור שם טוב.
יצחק רבין לא זכה להמשיך בתהליך, חייו נקפדו ב-4 בנובמבר 1995 מכדורי מרצח.
במרוצת שני העשורים שחלפו מאז היו עליות ומורדות ביחסים שבין מדינת ישראל לבין הפלסטינים והצדדים טרם הגיעו להסדר קבע.
באלגברה ליניארית, נוסחת קושי בינה היא נוסחה לדטרמיננטה של מכפלת מטריצות שאינן דווקא ריבועיות.
הדטרמיננטה מוגדרת רק למטריצות ריבועיות.
היא כפלית, כלומר מקיימת את הזהות לכל שתי מטריצות ריבועיות מאותו סדר.
נוסחת קושי בינה מכלילה את הזהות גם למטריצות שאינן דווקא ריבועיות.
נסמן ב- את קבוצת כל תתי הקבוצות של מגודל m.
עבור , נסמן ב- את המטריצה המתקבלת מהעמודות של A באינדקסים הנמצאים ב- (בסדר המקורי), וב- את המטריצה המתקבלת מהשורות של B באינדקסים הנמצאים ב- (בסדר המקורי).
אם n=m, אז כלומר תת-הקבוצה היחידה היא הקבוצה כולה ואז המטריצות זהות למקוריות ומתקבלת הזהות .
אם m>n, אין תתי קבוצות כאלה ולכן הסכום הוא הסכום הריק ששווה ל-0, ואכן במקרה זה הדטרמיננטה בהכרח 0 כי המטריצה לא הפיכה משיקולי דרגות.
נסמן את העמודה ה-i של מטריצה ב- כמו כן, נסמן ב-, כאשר הם וקטורי עמודה, את המטריצה המתקבלת מהם.
לבסוף נסמן ב- את קבוצת כל התמורות על .
נשתמש במולטילינאריות הדטרמיננטה ובנוסחה הישירה ונקבל:
ניתן להכליל את המשפט באופן הבא: תהיינה מטריצות מסדר בהתאמה.
תהיינה תתי קבוצות של בהתאמה בגודל k.
נסמן ב- את קבוצת כל תתי הקבוצות של מגודל k.
עבור תתי קבוצות של טבעיים, נסמן ב- את המטריצה המתקבלת מהשורות של שנמצאות ב-, והעמודות של הנמצאות ב-.
נוסטלג'יה קריטיק ( - נוסטלג'ה קריטיק, בתרגום חופשי: "מבקר הנוסטלגיה") היא סדרת רשת קומית אמריקאית של דאג ווקר.
הסדרה עלתה לאוויר ביוטיוב ביולי 2007 עד שעברה לאתר האישי של ווקר "That guy with the glasses" ולאחר מכן ל"Channel Awesome".
כוכב הסדרה הוא מבקר סרטים מריר, ציני וזעפן בשם "הנוסטלג'יה קריטיק" או בקיצור "הקריטיק" (דאג ווקר) המבקר סרטים וסדרות טלוויזיה מילדותו ומהשנים האחרונות תוך התפרצויות כעס קומיות ומוגזמות.
התוכנית עלתה לאוויר ביוטיוב ביולי 2007 אך פרקי התוכנית הוסרו בגלל טענות להפרת זכויות יוצרים.
באפריל 2008 הוסרו כל הסרטונים מיו טיוב ונחתם הסכם עם האתר "בליפ טי וי" (Blip TV) בשנת 2009 מה שהביא להחזרת הסרטונים ליוטיוב.
ב-10 באוגוסט 2008 הוכרז על תחרות במטרה ליצור תוכנית ספין אוף בשם "החיפוש אחר הנוסטלג'יה צ'יק" (The search for the nostalgia chick).
בסופה של תחרות נבחרה לינדזי אליס לתפקיד הנוסטלג'יה צ'יק ב-15 בספטמבר 2008. מטרת תוכנית הספין אוף היא לבקר תכנים שפונים יותר לנשים.
אליס נבחרה מתוך שלוש מועמדות ועל אף שהיא נבחרה לתפקיד צורפו שתי המועמדות הנוספות לאתר של ווקר.
ב-14 בספטמבר 2012 הכריז ווקר כי הוא פורש מתפקיד הנוסטלג'יה קריטיק ושהתוכנית לא תפורסם יותר.
אך ב-23 בינואר 2013 פורסם סרטון בשם "הסקירה חייבת להמשיך" (The review must go on) שבה הכריז ווקר כי הוא חוזר לתפקיד תוך שהוא סוקר את הסרט חייו המוזרים של טימותי גרין.
ווקר הודיע שהוא יתחיל גם לעשות סרטונים בהם ינתח נושאים הקשורים בסרטים ("למה אנחנו אוהבים להפחיד את הילדים שלנו?", "האם 'סיינפלד' שיקרה לנו?").
ב-30 בדצמבר 2015 עלה הפרק ה-300 במספר, כשהקריטיק מקיים קרוס אובר עם מבקר סרטים נוסף, הסינמה סנוב (The Cinema Snob), שמגולם על ידי בראד ג'ונס.
פרקי התוכנית אורכים בין תשע דקות לחצי שעה וכוללים ביקורת הומוריסטית על הסרט המדובר.
הבדיחות עושות שימוש בקליפים מהסרט או סרטים אחרים, וכוללות קללות גסות ורדודות, חיקויים של קטעים ודמויות מתוך ומחוץ לסרטים, בדיחות פוליטיות, בדיחות על אמריקה, שחקנים ועוד.
חלק מהבדיחות הן בדיחות חוזרות, כלומר מופיעות ביותר מפרק אחד, ולפעמים מתייחסות לכך שזו לא הפעם הראשונה שהופיעו בתוכנית.
בזמן הביקורת הקריטיק יסביר מה לא בסדר בסרט וסיבות מסוימות לאיכותו הירודה.
לאורך הסדרה התפתחו יכולות המשחק של דאג, ההומור וההגשה של התוכנית, יכולות ניתוח הסרטים של הקריטיק ואיכות המערכונים השזורים לאורך כל הביקורת.
אחרי העונה החמישית דאג יצר את התוכנית דמו ריל, בו דוני (שמגולם על ידי דאג עצמו) מנסה ליצור רימייקים לסרטים מפורסמים.
תוכנית זו אמנם לא הצליחה, אך היא צירפה לצוותו של ווקר שחקנים מקצועיים וגרמה לכך שהחל מהעונה השישית החלה התוכנית להשתמש בסקיצות, מערכונים קצרים שנועדו לצחוק באופן כללי יותר על הסרט.
לפעמים המערכונים יתלכדו לכדי סיפור מסגרת שמתנהל ברקע הביקורת, ואף לסיפור בהמשכים.
במהלך התוכנית דאג ורוב שיחקו דמויות רבות, בין אם פרודיות על דמויות מסרטים או חיקויים של שחקנים/סלבריטאים מהעולם האמיתי.
עם זאת, החל מהעונה השישית הצטרפו אנשי צוות רבים שעבדו עם דאג לפני כן בדמו ריל.
דאג ווקר - הנוסטלג'יה קריטיק ודמויות רבות נוספות לאורך התוכנית, חלקן משמשות את דאג לתוכניות אחרות בערוץ.
הבולטות שבהן הן צ'סטר א.
Bum), קבצן מסומם אשר מבקר בזמנו החופשי סרטים חדשים, "הבחור הזה עם המשקפיים", אינטלקטואל שעונה לשאלות מטופשות בקשר לסדרות, דומניק, ברמן קוקני העובד בבר שנקרא "ארמון הפיקסלים" ובו מתארחות דמויות ממשחקי וידאו, ודושי מקניטפוק, מעריץ נוקדן של הקריטיק המחפש איפה הקריטיק "נופל" וטועה.
על אף שהוא מעריץ של הקריטיק, דושי מחפש בעיקר איך לגרום לקריטיק סבל.
רוב ווקר - דמויות רבות לאורך התוכנית.
משחק בעיקר את דמותו של סנטה קרייסט, שילוב בין ישו וסנטה קלאוס.
הוא גם מופיע מפעם לפעם עם ראש של דינוזאור, ולקראת סוף סצנה כזאת הוא פונה לקהל ואומר: "אני דינוזאור...".
מלקולם ריי השתתף בדמו ריל והחל להשתתף בתוכנית החל מהעונה השישית.
הוא מגלם את עצמו כחבר של הקריטיק במערכונים ודמויות רבות, במיוחד אם דרוש שצבע עורן יהיה שחור (כיוון שריי הוא אפרו-אמריקני) הזכורות שבהן הן השטן ו-ווילי וונקה השחור.
רייצ'ל טייטס השתתפה בדמו ריל והחלה להשתתף בתוכנית החל מהעונה השישית.
היא גילמה את עצמה כחברה של הקריטיק במערכונים ודמויות נשיות רבות.
הזכורות ביותר שבהן הן גריטה מהעונה הראשונה של פאוור ריינג'רס (עם זאת קולה של גריטה הוא קולו של ווקר אך טיאטס מספקת את התנועות) ואיוולינה, בתו של השטן.
בתחילת העונה השביעית עזבה רייצ'ל למען הגשמת שאיפותיה המקצועיות.
הופיעה בפרק אחד בעונה 11.
טמרה צ'יימברס הופיעה לראשונה בביקורת אחת בעונה השישית והצטרפה כשחקנית קבועה זמן קצר לאחר עזיבתה של רייצ'ל.
היא מגלמת את עצמה כחברה של הקריטיק, ודמויות רבות אחרות, בעיקר נשים או ילדים.
הזכורה ביותר שבהן היא "היפר מעריצה", מעריצה אובססיבית של דברים רבים שמאוהבת בקריטיק ומשמשת בעיקר כפאנץ' ליין עבורו.
גיימ'ס ג'רוז השתתף בדמו ריל והחל להשתתף בתוכנית החל מהעונה השישית.
מלבד היותו אחראי תפאורה הוא מגלם דמויות רבות בתוכנית, אם כי לא רבות כמו שאר השחקנים.
ג'ייסון לוס השתתף בוולוגים של דאג על הסדרה אדוונצ'ר טיים והשתתף בפרקים של התוכנית כשחקן משנה.
בארני ווקר, אביהם של האחים ווקר.
כאשר הוא מופיע, הופעותיו בדרך כלל קצרות ומשניות.
לא כל פרק של התוכנית הוא ביקורת רגילה.
פרקים רבים הם רשימות "אחד עשר הגדולים", השוואות בין גרסאות שונות של סרטים, חודשים חגיגיים ועוד.
החל מהעונה השישית, על מנת להקל על עבודתו של דאג ווקר, ישנה רוטציה קבועה בין ביקורות רגילות לתוכניות שקלות יותר יחסית להפקה.
על רצפת העריכה: הנפוצים ביותר החל מהעונה השישית הם פרקי על רצפת העריכה (Editorial).
אלו פרקים בהם הנוסטלג'יה קריטיק מדבר בצורה יותר רגועה על נושאים רבים ומגוונים הקשורים לסרטים וסדרות טלוויזיה בצורה מקצועית ועניינית.
הפרקים יכולים לדבר על תופעה מסוימת, סרט מסוים, שחקן מסוים ונושאים רבים אחרים.
אחד עשר הגדולים: פרקים נפוצים מתחילת הסדרה ועד היום הם רשימות דירוג "אחד עשר הגדולים" (Top 11) כנפוץ באינטרנט.
הסיבה שאלו רשימת אחד עשר הגדולים ולא עשרת הגדולים כנפוץ באינטרנט היא שהנוסטלג'יה קריטיק "רוצה ללכת צעד אחד קדימה" הנושאים יכולים להיות שחקנים, דמויות, רגעים ספציפיים.
חודשים מיוחדים: במהלך הסדרה הוקדשו חודשים שלמים בכל שנה לנושא אחד:
חודש ינואר מוקדש לנושא אחר כל שנה.
הנושא יכול להיות שחקן מסוים (חודש ארנולד שוורצנגר, חודש ניקולס קייג'), סדרת סרטים כלשהי (חודש "מטריקס", חודש "מסע בין כוכבים") או כל נושא אזוטרי אחר (חודש סרטי המשך, בו נסקרו סרטי המשך של סרטים עליהם דיבר הנוסטלג'יה קריטיק בעבר).
חודש אוקטובר נקרא "ליל כל הנוסטלגיות" והוא מוקדש לסרטי אימה לכבוד ליל כל הקדושים.
על פי המסורת אחד מהסרטים בחודש זה הוא סרט של יוצר האימה סטיבן קינג.
חודש דצמבר מוקדש לחג המולד.
על פי המסורת יש רשימת "שנים עשר הגדולים" (בניגוד לאחד עשר) וסרטי חג מולד.
בנוסף דאג ווקר מעלה לאתר כל יום במהלך חודש דצמבר סרטונים קצרים שבהם הוא מדבר כעצמו (ולא כנוסטלג'יה קריטיק) על סרטי דיסני.
ספיישל פרסומות: בתוכנית הראשונה לחודש נובמבר הקריטיק מבקר פרסומות נוסטלגיות בניגוד לסרטים נוסטלגיים.
כיוון שפרסומות הן הרבה יותר קצרות מסרטים, הקריטיק מדבר על מספר רב של פרסומות בכל ספיישל.
ישן מול חדש: במהלך התוכנית נעשו מספר סרטוני השוואה שנקראו "ישן מול חדש".
בסרטון, הקריטיק משווה בין שתי גרסאות של אותו סרט.
מה שלא ידעתם: תוכנית שבמסגרתה "הקריטיק" מציג את פרטי טריוויה קטנים הנוטים לחמוק מעין הצופה בסרטים שונים.
זה היה אמיתי?: תוכנית בה הקריטיק מדבר על סדרות אזוטריות שנשכחו עם במרוצת הזמן ושקיומן יישמע מוזר לרוב הצופים.
ביקורת חסרת קליפים: לפעמים, מבוצעת ביקורת על סרט ללא קליפים מתוך הסרט עצמו.
הסיבה העיקרית לכך היא לרוב שהסרט עוד לא יצא לשימוש בייתי, או בשל בעיות של זכויות יוצרים.
בביקורות כאלה השחקנים שעוזרים לווקר מגלמים את הדמויות בסרט באור מגוחך.
ביקורת חיה: ביקורת בה הקריטיק והשחקנים הנוספים חיים את ההתרחשויות בסרט מסוים תוך ניתוח מעמיק.
קרוס אובר: בקרוס אובר נפגשים שני סוקרים או יותר ומסקרים ביחד סרט מסוים.
הדבר שמניע סקירות כאלה הוא מערכת היחסים בין הסוקרים: הסוקרים יכולים להסכים או לא להסכים, ליצור בדיחות משותפות או פשוט לריב.
פרק טעויות: בפרקי הטעויות הקריטיק מוכרח להודות בטעויות שעשה בפרקים קודמים.
מי שמכריח אותו לעשות זאת הוא דושי מקניטפיק, המעריץ מספר אחד של הקריטיק.
דושי, הדוחה חברתית, צועק ונוחר כלפי הסביבה ובסופו של פרק טעויות כזה, הקריטיק מענה אותו.
ביקורת מוזיקלית: בביקורת מוזיקלית נסקר סרט מוזיקלי.
במהלכו שרות הדמויות שירים שמדמים את המתרחש בסרט, לדוגמה, שיר ששרות דמויות אתנחתא קומית בסרט, יושר עם מילים שידגישו את היותן של הדמויות אתנחתא קומית.
עד כה נעשו כשלוש ביקורות כאלה וכולן הן ביקורות קרוס אובר.
לאורך הסדרה הופיעו מספר דמויות בדיוניות.
רוב הדמויות הומצאו על ידי דאג ואף גולמו על ידיו.
החל מהעונה השישית נוצרו דמויות שגולמו גם על ידי השחקנים האחרים.
הנוסטלג'יה קריטיק: הדמות הראשית של התוכנית, הקריטיק הוא מבקר סרטים בעל חולשה לנושאים ותוכניות נוסטלגיות, "הקריטיק", חמוש גם באקדח שחור שבעזרתו הוא מפוצץ דמויות מעצבנות.
כאשר הקריטיק מתעצבן הוא מקבל התקפי זעם מוגזמים ומגוחכים.
דמותו של הקריטיק מגולמת על ידי דאג ווקר.
באם: צ'סטר הוא קבצן מסומם וטיפש שסוקר סרטים חדשים בעת יציאתם.
עברו לא ברור משום שבכל פרק הוא טוען שדבר שקורה בסרט שאותו הוא סוקר, קרה לו, כגון שהוא נחטף על ידי חייזרים, היה אוגר ועוד דברים רבים אחרים.
לרוב צ'סטר מופיע כדי להראות שסרט מסוים מסומם ולכן לא משקיע בצופים.
זה עם המשקפיים: זה עם המשקפיים הוא אינטלקטואל אידיוט וחייכן, שלובש חלוק בית, מעשן מקטרת וקורא בספר גדול.
הוא עונה בתוכניתו על שאלות חכמות ואידיוטיות באופן מטופש ורוב השאלות מגיעות כביכול מהאינטרנט.
בפרק האחרון של התוכנית, ניתנה לו האפשרות לשאול שאלה ומרוב התרגשות הוא התפוצץ.
דומיניק: דומיניק הוא ברמן קוקני שעובד בבר חמישה כוכבים בשם "ארמון הפיקסלים".
אל המקום מגיעים כל הסלבריטאים של משחקי הווידאו.
לכן יצא לו לשמוע כמה סיפורים משונים מאוד, שהמשחק "אנגרי בירדס" החל כמו מלחמת עיראק, הנסיכה פיץ' שולטת במעצמת על ושסוניק הקיפוד מכור לסמים.
ההורה הממושקף: ההורה הממושקף הוא פארודיה על הורות מזניחה.
בפרק אחד הוא נותן לילדתו לקפוא בחוץ, בפרק אחר הוא מכריח את בתו לשחק עם ברבי במקום דורה וכדומה.
ביל: ביל הוא הדמות האהובה ביותר על ידי הקריטיק, עם סיפור רקע ומניע עשיר וייחודי (שאינו מוצג לצופים אף פעם).
הוא הופיע לראשונה בפרק על הדרדסים 2, אבל אם תשאלו, הקריטיק ושאר הדמויות יטענו שהוא היה שם תמיד.
הוא יכול להגיד רק דבר אחד: "מממממהמממ".
המראה שלו מאוד ייחודי, הוא לבוש במשקפי שמש, כובע צילינדר, צעיף סגול, צמיד כתום, בובת יד של צפרדע, כפפת אגרוף בדוגמת הדגל האמריקאי, צעיף חאקי, ווסט צהוב-כחול, מכנסי פסים שחורים-לבנים, וקימונו.
זקפת שטן: זקפת שטן (מתורגם Devil boner) הוא דמות של חולה אקשן חסר מעצורים.
הוא בעל פרצוף גולגולתי ושיער קוצי.
הוא חמוש ברובים ומלווה בפיצוצים בכל פעם שהוא מופיע.
יש לו מספר גדול של ציפוי מתכת מסביב לגולגולת שלו, מה שהופך אותו לחסין קליעים, אבל לא מסוגל להבין חצי מהמילים שמתחילות בס'.
מחזיק בתותח מיוחד בשם "ג'ונסון גסטיס", תותח אגן מיוחד.
יד שמאל שלו מודעת לעצמה ומאוהבת בברוס קמפבל.
ד"ר סמית': ד"ר סמית' הוא פארודיה על דמות מהסרט "אבודים בחלל".
הדמות מטורפת ומופיעה בכל דבר שקשור לעכבישים.
גנרל זוד: פארודיה על דמותו של גנרל זוד מהסרט סופרמן 2. לובש רק בגדי עור ומדבר בסמכותיות על הכל.
הוא נוהג לכנות בני אדם "היוסטונים" ולכדור הארץ "כוכב יוסטון".
הוא גם נוהג לצעוק על הסובבים אותו "כרעו בראאאאך!" (!Kneeeeel).
טרל: טרל הוא פארודיה על דמותו של ג'ון טרבולטה מהסרט "הקרב על כדור הארץ".
קורא לכולם חיות אדם (Man animals) ומדבר במשחק מוגזם.
הוא השורד האחרון מכוכב סייקלון, שלו אטמוספירה רגישה לאש, לאחר שמישהו הדליק על הכוכב סיגריה.
הופיע לראשונה בפרק המאה, שבו גם נסקר הסרט הנ"ל.
דושי מקניטפיק: דושי הוא פארודיה על טוקבקיסטים.
הוא חנון סטריאוטיפי ופתטי שנוהג לנחור ולצעוק.
על אף שהוא מנוי של הקריטיק, הוא בעיקר חושב איך להציק ולהרע לו, לכן הוא גם לבוש כמו יריבו של הקריטיק, חנון המשחקים הזועם.
לרוב, הופעותיו של דושי הן בפרקי טעויות, בהן הוא מכריח את הקריטיק להצטער על טעויות שעשה בסקירות קודמות.
השטן: השטן מגולם על ידי מלקולם ריי.
הוא משתלט על העולם באמצעות חברות צעצועים וטוויטר.
מנישואיו עם קים קרדשיאן נולדה לו איוולינה.
מסתבר שהוא גם יצר את הסרט המסכה חוזרת כדי לאמלל את בני האדם.
ווילי וונקה השחור: פארודיה על דמותו של ג'ין ויילדר בסרט צ'ארלי ומפעל השוקולד.
הוא לרוב מנסה ללמד את הציבור שיעורים לחיים אך באמצעים מטרידים ואכזריים מאוד.
לרוב כאשר הוא מתייחס לאנשים, אלה אנשים שהוא הרג ונישל מנכסיהם.
איוולינה: איוולינה היא בתם המשותפת של השטן וקים קרדשיאן.
היא שמחה כל הזמן אך גם בעלת מוח מעוות ומאמללת אנשים לצורך הנאה אישית וכדי להרשים את אביה.
עם עזיבתה של רייצ'ל טייטס, פסקו הופעותיה של איוולינה.
גריטה: גריטה היא פארודיה על גריטה מהסדרה פאוור ריינג'רס.
כמו בסדרה, קולה לא מתואם עם תנועות הפה שלה.
היא מגולמת על ידי רייצ'ל טייטס אך קולה מסופק על ידי דאג ווקר.
נייט שאמילאן: לאחר שהבמאי מ.
נייט שאמלאן יצר את הסרט את הסרט "אווטאר כשף האוויר האחרון", נוצרה פארודיה בה הוא מתואר כנבל מהסדרה האגדה של קורה, ששואב את כל הרגשות משחקניו.
מאז הוא מופיע כאשר נסקר סרט שלו או כדי להסביר איך שחקן בסרט הפך לשטחי לגמרי.
סנטה קרייסט: סנטה קרייסט נוצר כשילוב של ישו וסנטה קלאוס.
הוא הופיע לראשונה בפרק על ספיישל חג המולד של מלחמת הכוכבים.
מאז הוא מופיע כדי לייצג את כל מה שקשור באלוהים.
הוא מודע היטב לניסיונות ההשתלטות של השטן על העולם באמצעות טוויטר אך כלל לא עושה דבר בנידון.
בהופעה שלו מחוץ לסדרה מתברר שבעורקיו זורם סירופ מייפל במקום דם.
הקריין: הקריין מגולם על ידי מלקולם ריי וכמעט שלא מופיע.
הוא נשמע בעיקר ורק כשיש פרסומת שמטרתה להבהיר עד כמה משהו אידיוטי.
היפר מעריצה: ההיפר מעריצה היא סטריאוטיפ של מעריצה אובססיבית.
היא מאוהבת בקריטיק רק משום שהוא לבוש כמו היפסטר ובאופן כללי נמצאת בכל מועדון מעריצים.
ההיפר מעריצה גם מייצגת רימייקים בפרקי "ישן מול חדש" בעוד שהקריטיק מייצג את המקור.
יצאה והתחתנה עם זקפת שטן.
בני: בני הוא רוצח שכיר ואכזרי.
הוא נשכר על ידי ההיפר מעריצה כדי להכריח את הקריטיק לפתוח איתה במערכת יחסים.
הוא יודע איפה נמצאת כולם ונמצא בכל מקום.