tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
"אם לכל נקודה בגרף אינסופי קשיר יש מספר סופי של צלעות היוצאות ממני, אזי הגרף מכיל מסלול אינסופי".
כדי להדגיש את החשיבות של הלמה עצמה מחוץ להקשר של משפט ברנשטיין קניג ציין 4 יישומים של הלמה:
הכללה של משפט בורל הקובע כי "עבור תת-קבוצה של הקטע ו־ משפחה של קטעים עם התכונה שכל נקודה ב־ מוכלת באיזשהו קטע בה.
אזי קיים מספר טבעי כך שאם הקטע מחולק ל־ תת-קטעים, אזי תת-קטעים המכילים נקודה מ־ מוכלים בקטע הנמצא ב־".
הוכחת מקרה פרטי של משפט ארבעת הצבעים.
הוכחה לטענה שאם נניח שהמין האנושי לעולם לא ייכחד, אזי קיים בינינו אדם שיש לו אינסוף צאצאים.
הוכחה שבשחמט קיים מספר טבעי התלוי במספר , כך שאם הלבן משחק החל מנקודה אזי הלבן יכול לנצח בפחות מ־ מהלכים.
משפט הפריסות הפיניטריות (The fan theorem) של בראואר הוא, מנקודת מבט של המתמטיקה הקלאסית היפוך לוגי של גרסה חלשה של הלמה של קניג.
תת-קבוצה של נקרא חסם (bar) אם לכל פונקציה מ־ אל הקבוצה יש קטע התחלתי ב־.
חסם הוא בר־הפרדה (detachable) אם כל רצף סופי הוא או בחסם או שאינו בחסם (הנחה זו הכרחית כי במתמטיקה אינטואיציוניסטית כלל השלישי מן הנמנע לא תמיד נכון).
חסם הוא אחיד (uniform) אם קיים מספר טבעי כך שלכל פונקציה מ־ אל הקבוצה (רצף אינסופי, הנקרא גם אלמנט), יש קטע התחלתי בחסם באורך שלא עולה על .
משפט הפריסות הפיניטריות של בראואר טוען שכל חסם בר־הפרדה הוא גם אחיד.
המשפט ניתן להוכחה בשיטות קלאסיות כאשר רואים בחסם כיסוי פתוח של המרחב הטופולוגי הקומפקטי .
כל רצף בחסם הוא קבוצה פתוחה במרחב (הקבוצה היא כל מה שמתחיל ברצף הזה).
מההנחה, זהו כיסוי של כל המרחב.
מקומפקטיות, יש לכיסוי תת-כיסוי סופי.
את נוכל לבחור בתור אורך הרצף הגדול ביותר מבין הרצפים המתאימים לתת-הכיסוי הסופי שבחרנו.
כאמור, ההוכחה שקולה להוכחת גרסה חלשה של הלמה של קניג: לכל מספר טבעי , לכל תת-עץ אינסופי של יש מסלול אינסופי.
נשים לב כי ההוכחה שנתנו כמו גם ההוכחה שניתנה למשפט הכללי, אינה קונסטרוקטיבית.
בהוכחה מעלה, הסיבה היא שבכל שלב יש שימוש בהוכחה על דרך השלילה כדי למצוא את הקדקוד השכן הבא במסלול.
החשיבות של משפט הפריסות הפיניטריות הוא בכך שהוא התקבל (בין אם כאקסיומה או על ידי הוכחה קונסטרוקטיבית מעקרון קודם) באסכולות הקונסטרוקטיביות ובאינטואיציוניזם בפרט כלגיטימי ובכך אפשר עבודות רבות באנליזה קונסטרוקטיבית.
הלמה של קניג שקולה לגרסה מוחלשת של אקסיומת הבחירה — עקרון הבחירה התלויה.
בהוכחת הלמה, בכל שלב באינדוקציה נבחר קדקוד המקיים תכונה מסוימת, ואמנם בהכרח קיים קדקוד אחד כזה לפחות, אך אם יש יותר מאחד אין בחירה טבעית בין הקדקודים האפשריים.
אם הגרף הוא בן מנייה, אזי ניתן למנות את הקדקודים ועל ידי סדר טוב ניתן לבחור בהוכחה את הקדקוד הקטן ביותר בסדר.
במקרה כזה הלמה תקפה באקסיומות צרמלו פרנקל גם ללא בחירה.
הלמה של קניג היא אפוא הגבלה של עקרון הבחירה התלויה ליחס שלם כך שלכל קיימים מספר סופי של כך ש־.
אמנם באופן כללי אקסיומת הבחירה חזקה יותר מעקרון הבחירה התלויה וגוררת אותו, ההגבלה הזו של העיקרון שקולה להגבלה של אקסיומת הבחירה.
כאשר הבחירה בכל קדקוד נעשית על תת-קבוצה סופית של קבוצה שאינה בהכרח בת מנייה, הלמה של קניג אומרת ש־"כל עץ אינסופי בעל דרגה סופית מכיל מסלול אינסופי" שקול לכך שכל קבוצה בת מנייה של קבוצות סופיות מכילה פונקציית בחירה.
ניסוח זה של הלמה של קניג ושל אקסיומת הבחירה אינו יכיח באקסיומת צרמלו פרנקל.
במתמטיקה הפוכה, החוקרת אילו אקסיומות נחוצות לצורך הוכחת משפטים מתמטיים מסוימים, יש חשיבות לגרסה החלשה של הלמה המתייחסת לעצים כדי לאפיין מערכות של אריתמטיקה מסדר שני.
בניגוד למערכת פאנו המהווה תיאור בשפה מסדר ראשון של המספרים הטבעיים, מערכות אלה מתארות אותם בשפה מסדר שני ומאפשרות בכך לכמת גם על קבוצות של מספרים טבעיים, ולעבוד עם אינסוף מספרים, תנאי הכרחי לדוגמה עבור משפטים בתחום האנליזה המתמטית לדוגמה.
המערכת (קיצור של Weak König's lemma, כאשר ה־ מסמל שבמערכת זו אינדוקציה מתמטית היא מסדר שני), שהיא אחת מחמש המערכות המרכזיות, מוגדרת בין היתר על ידי הלמה של קניג.
היא מורכבת מהאקסיומות של מערכת יחד עם הגרסה החלשה של הלמה הטוענת שכל עץ בינארי מלא (קרי, עץ כל הסדרות של ו־) מכיל מסלול אינסופי.
טענה זו, הקרויה "למת קניג החלשה" פשוטה לתיאור בשפת האריתמטיקה מסדר שני.
לשתי המערכות, ו־ יש אותה שפה מסדר ראשון, ופירושו ששתי המערכות מוכיחות אותן טענות הכתובות בשפה מסדר ראשון.
לעומת זאת, חזקה יותר מרעותה, שכן משפטים מתמטיים מרכזיים רבים יכיחים בה ולא ב־, אלו משפטים המנוסחים בשפה מסדר שני שלא ניתנים לניסוח בסדר ראשון.
ישנן מספר טענות השקולות ללמת קניג החלשה, ולכן ל־ במערכת .
משפט היינה-בורל לקטעי יחידה סגורים — לכל כיסוי על ידי סדרת קטעים פתוחים יש תת-כיסוי סופי..
משפט היינה-בורל למרחבים מטריים ספרביליים חסומים לחלוטין.
משפט ויירשטראס הראשון לקטעים סגורים — כל פונקציה רציפה ממשית על קטע סגור היא חסומה.
משפט נקודת השבת של בראואר, לפונקציות רציפות על מכפלה סופית של קטעי יחידה.
משפט השלמות של גדל (לשפות בנות־מנייה).
קיימות גם מערכות חזקות יותר מ־, אחת החשובות בהן, ובכלל, היא שבה הלמה של קניג בגרסתה המלאה נכונה.
למעשה, ב־, הלמה של קניג גוררת את .
אומרים שלעוצמה k יש תכונת העץ אם לכל עץ מגובה k, שבו כל רמה היא מעוצמה קטנה מ-k, יש מסלול באורך k.
הלמה של קניג אומרת שלאָלֶף אֶפֶס יש תכונת העץ.
אהרונשיין הוכיח של- אין תכונת העץ .
תכונת העץ עבור אינה נובעת מ-ZFC, אבל היא עקבית עם ZFC, ועקבי אפילו שכל המונים , עבור n מ-2 ואילך, הם בעלי תכונת העץ.
באלגברה, הלמה של שור היא טענה בסיסית הקובעת כי חוג האנדומורפיזמים של מודול פשוט הוא חוג עם חילוק, כלומר כל אנדומורפיזם לא אפס של מודול פשוט הוא אוטומורפיזם.
לטענה שימושים רבים בקביעת המבנה של חוגים ארטיניים נוצרים סופית וכן בתורת ההצגות.
הלמה נקראת על שמו של המתמטיקאי היהודי ישי שור, שעסק בתורת ההצגות של חבורות.
יהי מודול מעל חוג נתון .
נסמן ב- את חוג האנדומורפיזמים של , היינו
זהו חוג עם פעולות החיבור וההרכבה.
הלמה של שור קובעת כי אם מודול פשוט (כלומר, אין לו תתי מודולים פרט לטריוויאליים), אז הוא חוג עם חילוק - כל איבר בו הוא הפיך.
הכיוון ההפוך ללמה של שור אינו נכון.
למשל, המודול מעל אינו מודול פשוט אבל חוג האנדומורפיזמים שלו איזומורפי לשדה .
אזי הגרעין הוא תת-מודול של , ומכך ש- נקבל בהכרח , כלומר חד-חד-ערכית.
בדומה, התמונה היא תת-מודול של , ומכך ש- נקבל בהכרח , כלומר גם על, ולכן הפיכה.
יישום נפוץ עבור הלמה של שור הוא בהוכחת משפט ודרברן-ארטין, הקובע כי חוג פרימיטיבי ארטיני איזומורפי לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק.
לפי ההנחה, מעל החוג קיים מודול פשוט ונאמן, ולכן לפי הלמה של שור חוג האנדומורפיזמים מעליו הוא חוג עם חילוק.
כדי להשלים את ההוכחה יש להשתמש במשפט הצפיפות של ג'ייקובסון.
בפיזיקה, מן הלמה של שור משתמע כי המצבים העצמיים של מערכת פיזיקלית בעלת סימטריה שייכים להצגות אי פריקות של חבורת הסימטריה, והערכים העצמיים מנוונים בהתאם לגודל ההצגות.
הלמוט הולצר היה מדען גרמני בצוות המדענים שפיתחו את טיל ה-V-2, אשר הועבר לארצות הברית במהלך מבצע פייפרקליפ.
הוא ידוע במיוחד בשל תכנון ובנייה של סימולטור אלקטרוני למערכת הבקרה של טיל ה-V-2. כמומחה להנחיה מרחוק (Remote control) בצוות של ורנר פון בראון, הולצר קיבל את התפקיד של מנהל מחלקת המחקר בפנמינדה שעסקה בפיתוח "אלומות מנחות" - אותות רדיו שמשודרים מהקרקע כדי לשמור על הטיל במסלול הנכון.
באמצעות בחינת המסלולים השונים שנתקבלו עבור הטיל, ניתן היה לבחור במסלול האופטימלי האפשרי, כלומר במסלול בעל הטווח הבליסטי המקסימלי עבור כמות דלק נתונה.
הדבר אפשר למעשה לחשב את כמות הדלק הדרושה כד להגיע למטרות מרוחקות מסוימות.
מחשב זה הקדים את כל אמצעי בקרת הטיסה הידועים בספרות המקצועית, וכמחשב הראשון שנעשה בו שימוש לצורכי בקרת טיסה אקטיבית הוא יצר את הבסיס למערכות מתקדמות כגון מערכות הטוס על חוט של ה-F-16 וה-F-117.
הולצר והקבוצה שלו פיתחו גם את מערכת הטלמטריה "messina" עבור טיל ה-V2. מערכת זו שידרה את נתוני הטיסה של הטיל בחזרה לתחנת השיגור, וכך נתאפשר למשל, לבחון את מידת מהימנות מערכת הניווט של הטיל (בהשוואה למדידות שנתקבלו ממערכת מכ"ם).
זה היה ככל הנראה היישום הראשון של טלמטריה לצרכים צבאיים.
נכדתו, מרגרט הולצר, היא אלופת העולם ושיאנית העולם במשחה ל-200 מטר גב.
הלמוט וינקלהופר הוא כדורגלן עבר גרמני ששיחק בבאייר לברקוזן ובבאיירן מינכן בעמדת המגן.
וינקלהופר החל לשחק בקבוצה הבוגרת של באיירן מינכן בשנת 1981, וזכה עם הקבוצה בגביע הגרמני בשנת 1982. באותה שנה עבר לבאייר לברקוזן, שם שיחק שלוש עונות, צבר 90 הופעות והבקיע חמישה שערים.
בשנת 1985 חזר וינקלהופר לבאיירן מינכן, וזכה עמה בארבע אליפויות הבונדסליגה בחמש העונות בהן שיחק שם, ובגביע גרמני נוסף.
וינקלהופר פתח בהרכב בגמר גביע אירופה לאלופות 1987, בו הפסידה באיירן מינכן 2-1 לפורטו.
בשנת 1990 נאלץ וינקלהופר לפרוש מכדורגל כשהוא בן 29 בלבד, בגין פציעות חוזרות, שבגינן מיעט לשחק.
וינקלהופר שיחק בנבחרת גרמניה המערבית הצעירה בגביע העולם בכדורגל עד גיל 20 שנערך בשנת 1981 באוסטרליה, וסייע לנבחרת לזכות בטורניר לאחר ניצחון 4-0 בגמר על נבחרת קטר.
עם זאת, וינקלהופר מעולם לא שיחק בנבחרת הבוגרת.
הלמוט האלר היה כדורגלן גרמני ששיחק באאוגסבורג, בבולוניה, ביובנטוס ובנבחרת גרמניה המערבית בעמדת הקשר.
האלר החל את הקריירה שלו בBC אאוגסבורג כנער, ועלה לבוגרים בשנת 1957. בשנת 1962 עבר האלר לשחק בבולוניה האיטלקית ששילמה עבורו 750 אלף מארק גרמני.
בבולוניה האלר שיחק שש עונות, בהן הבקיע 48 שערים ב-180 הופעות.
בעונת 1963/64 זכה האלר עם בולוניה באליפות הסרייה א', בזכות הפרש שערים טוב יותר משל הסגנית אינטר מילאנו.
הצלחתו של האלר בבולוניה גררה התעניינות ממועדונים גדולים יותר, ובשנת 1968 חתם האלר ביובנטוס.
במועדון זה האלר העביר את התקופה הטובה ביותר בקריירת המועדונים שלו.
בעונת 1970/81 הגיע האלר עם יובנטוס לגמר גביע ערי הירידים, שם הפסידה הקבוצה ללידס יונייטד בצמד מפגשים בגין שערי חוץ.
בעונת 1971/72 האלר ויובנטוס זכו באליפות הסרייה א' בפער של נקודה אחת מהסגנית מילאן והשלישית טורינו.
בעונת 1972/73 שוב זכה האלר עם יובנטוס באליפות, בפער של נקודה אחת ממילאן, אבל הפסיד עם הקבוצה בגמר הגביע האיטלקי למילאן, ובגמר גביע אירופה לאלופות לאייאקס אמסטרדם בתוצאה 1-0. בגמר זה נכנס האלר כמחליף בדקה ה-49 במקומו של רוברטו בטגה.
בתום עונת 1972/73 עזב האלר את יובנטוס לאחר שצבר 116 הופעות והבקיע 21 שערים, וחזר לקבוצת נעוריו אאוגסבורג, שהפכה להיות קבוצה מאוחדת של BC אאוגסבורג ו-TSV שוואבן.
בעונה הראשונה של האלר בבכורה המחודשת, זכה האלר באליפות הליגה המחוזית הדרומית, אך הקבוצה לא עלתה מאחר שטניס בורוסיה ברלין ששיחקה בליגה מחוזית אחרת צברה נקודה אחת יותר.
בתום עונת 1978/79 פרש האלר ממשחק פעיל, ועסק לתקופות מסוימות באימון קבוצות חובבים, ואף העביר תקופה באימון אאוגסבורג.
האלר ערך את הופעת הבכורה שלו בנבחרת גרמניה המערבית בשנת 1958. בשנת 1962 השתתף האלר עם הנבחרת במונדיאל 1962, שם הודחה הנבחרת ברבע הגמר מול נבחרת יוגוסלביה.
האלר השתתף גם במונדיאל 1966, שם הבקיע צמדים בשלב הבתים מול נבחרת שווייץ וברבע הגמר מול נבחרת אורוגוואי.
האלר כבש את השער הראשון בחצי הגמר מול נבחרת ברית המועצות, בו ניצחה גרמניה המערבית בתוצאה 2-1. במשחק הגמר הבקיע האלר את שער היתרון הזמני לנבחרת גרמניה המערבית מול נבחרת אנגליה, בדרך לתיקו 2-2 בתום 90 דקות.
בהארכה האנגלים ניצחו 4-2 וזכו במונדיאל.
האלר סיים את מונדיאל 1966 כסגן מלך השערים עם שש הבקעות, כשרק אאוסביו הבקיע יותר, תשעה שערים.
האלר השתתף גם במונדיאל 1970 אך שיחק רק במשחק שלב הבתים מול נבחרת מרוקו, והוחלף במחצית על ידי יורגן גרבובסקי.
האלר לא שיחק יותר באותו מונדיאל בגין פציעה, ולאחר מונדיאל זה פרש מהנבחרת, לאחר שהבקיע 13 שערים ב-33 הופעות.
האלר סבל בשנת 2006 התקף לב חריף, אך החלים ממנו.
בהמשך סבל מדמנציה וממחלת פרקינסון.
האלר נפטר באוקטובר 2012, כאשר היה נשוי בפעם השלישית, לאישה הצעירה ממנו ב-43 שנים, והותיר שני בנים ובת.
האלר היה דודו של הכדורגלן כריסטיאן הוכשטטר, שהעביר קריירה ארוכה בבורוסיה מנשנגלדבך ושיחק גם בנבחרת גרמניה המערבית.
אליפות הליגה הגרמנית המחוזית הדרומית: 1973/74
באנליזה מתמטית, הלמה של קרונקר היא משפט מתמטי הקושר בין התכנסות של סדרה לבין התכנסות של טור המתאים לה במובן שיתואר להלן.
משפט זה משמש פעמים רבות לטפל בהתכנסות של סכומים ממוצעים של משתנים מקריים בלתי-תלויים.
דוגמה בולטת לכך היא אחת ההוכחות של החוק החזק של המספרים הגדולים, העושה שימוש במשפט זה יחד עם משפט שלושת הטורים של קולמוגורוב.
המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי הגרמני לאופולד קרונקר.
תהי סדרה של מספרים ממשיים.
נניח כי הטור האינסופי מתכנס למספר ממשי.
אזי לכל סדרה מונוטונית עולה של מספרים ממשיים המתבדרת לאינסוף, מתקיים כי,
הנחנו כי , ולכן קיים כך שמתקיים לכל .
עבור כל מספיק גדול, נפרק את הסכום שקיבלנו לשני סכומים:
כאשר , האיבר הראשון מתכנס ל- והאיבר השלישי מתכנס ל-, והם מבטלים זה את זה; האיבר השני מתכנס לאפס כי ; והאיבר האחרון חסום על ידי .
הלמוט דוקאדאם (ברומנית: Helmut Robert Duckadam; 1 באפריל 1959 – 2 בדצמבר 2024) היה כדורגלן רומני ששיחק בעמדת השוער ונשיא קבוצת סטיאווה בוקרשט.
הוא כונה "הגיבור של סביליה", עקב הופעתו הייחודית בדו-קרב הפנדלים של גמר גביע האלופות 1986 בו עצר את כל ארבעת הפנדלים שנבעטו אליו משחקני ברצלונה, והיה לשוער הראשון שעושה זאת בהיסטוריית המשחק.
דוקאדאם נולד ב-1 באפריל 1959 בסמלק שברומניה, והתחיל לשחק בגיל 14 בליגות האזוריות.
בעקבות שתי הופעותיו במדי נבחרת רומניה ב-1982 הוא הוחתם על ידי הקבוצה הטובה ברומניה באותה העת, סטיאווה בוקרשט.
הוא זכה עימה פעמיים ברציפות באליפות הליגה הרומנית, וגם בתואר החשוב ביותר שהקבוצה זכתה בהיסטוריה שלה, גביע אירופה לאלופות.
ב-7 במאי 1986 הגיעה סטיאווה בוקרשט לגמר האלופות בו פגשה את הפייבוריטית לזכייה, ברצלונה.
המשחק נגמר בתוצאה 0-0 לאחר הארכה ובדו-קרב הפנדלים דוקאדאם עצר את כל ארבע הבעיטות שנבעטו אליו משחקני ברצלונה, ובכך היה לשוער הראשון שעושה זאת בטורניר אירופאי.
בוקרשט זכתה בסיום המשחק להניף את הגביע בפעם הראשונה בתולדותיה.
באותה השנה נבחר להיות לשחקן הרומני הטוב ביותר.
כמה שבועות בלבד לאחר הגמר דוקאדאם סבל מהפרעת דם נדירה, דבר שהוביל לקריירה שלו להיעצר ב-3 שנים עד חזרתו למשחק פעיל בשנת 1989 בקבוצה ווגונול אראד מהליגה השנייה, שם סיים את הקריירה שלו.
על פי ראיון אישי שהתקיים בשנת 1999, הוא הגיע לדרגת רב-סרן במשטרת הגבול הרומנית במקום הולדתו.
בנוסף לכך הוא פתח באותו המקום בית ספר לכדורגל על שמו.
ב-25 במרץ 2008 דוקאדאם עוטר על ידי נשיא רומניה, טריאן בססקו, על חלקו בזכייתה של בוקרשט בגביע האלופות של 1986. שנתיים לאחר מכן הוא מונה לנשיא הקבוצה הרומנית, וכיהן בתפקיד עד למותו.
השחקן הרומני של השנה: 1986
הלמוט אוברלאנדר היה פושע מלחמה נאצי שהיה חבר בכיתות המוות של איינזצגרופן של גרמניה הנאצית בברית המועצות הכבושה במהלך מלחמת העולם השנייה.
מופיע ברשימת פושעי המלחמה הנאצים המבוקשים ביותר במרכז שמעון ויזנטל.
החל משנת 1994, ממשלת קנדה עשתה מספר ניסיונות לבטל את אזרחותו, על סמך זה שהוא מנע או הציג באופן שגוי את מעורבותו בפשעי מלחמה נאציים.
בשנת 2017, לאחר הניסיון הרביעי של הממשלה להסיר את אזרחותו, הוא הפסיד בערעורו, מכיוון שבית המשפט הפדרלי של קנדה מצא את ביטולו 'סביר' ובשנת 2019 דחה בית המשפט הפדרלי לערעורים פה אחד את בקשתו.
ב־5 בדצמבר 2019, בית המשפט העליון של קנדה סירב לדון בערעורו של אוברלאנדר, תוך שהוא מפנה את הדרך לגירושו מהמדינה.
במקביל באפריל 2020 נודע כי ועדת החקירות הפדרלית של רוסיה פתחה נגדו בתיק חקירה בגין מעורבותו ברצח עם ברוסטוב על הדון וברצח 214 ילדים בעיירה ייסק במחוז קרסנודאר שבדרום רוסיה.
אוברלאנדר נולד בהלבשטט, במושבה מולוצ'נה שהייתה יישוב רוסי במה שכיום הוא מחוז זפוריז'יה באוקראינה.
במהלך הלחימה פעל תחת פיקודו של קורט כריסטמן.
היחידה שבה שירת אוברלאנדר הייתה יחידה סמגרת איינזצגרופה ד' - SK 10a שהייתה כפופה לגרופנפיהרר אוטו אולנדורף ופעלה בדרום אוקראינה.
בית המשפט הפדרלי של קנדה, בתיק "אוברלנדר נגד קנדה (התובע הכללי)", נקבע כי אוברלנדר היה חלק מיחידת Ek 10a של איינזצגרופן D במהלך מלחמת העולם השנייה.
בית המשפט הפדרלי של קנדה אפיין את איינזצגרופן D כאחת מכמה חוליות המוות, האחראיות להרג יותר משני מיליון בני אדם, שרובם היו אזרחים ורובם יהודים.
על פי הפסיקה, משנת 1941 עד 1943 שימש אוברלאנדר עם Ek 10a כמתורגמן וסייען.
בנוסף לעבודת התרגום, הוטלה משימת מציאת והגנה על מזון וצחצוח מגפיים.
הוא חי, אכל, טייל ועבד במשרה מלאה עם חיילי ה-Ek 10a.
בשנים 1943–1944 שירת בחיל הרגלים בצבא הגרמני.
אוברלאנדר היגר לקנדה עם אשתו מרגרט בשנת 1954, שם ניהל עסק בתחום הבנייה והתגורר בקיטצ'ר-ווטרלו באונטריו.
הוא הפך לאזרח קנדי בשנת 1960. בשנת 1995 ממשלת קנדה יזמה נגדו הליך של היפוך התאזרחות וגירושו.
ב-28 בפברואר 2000 דיווח השופט אנדרו מק'קיי על ממצאיו: הוא הגיע למסקנה כי אין ראיות לכך שאוברלאנדר היה מעורב, במישרין או בעקיפין, בביצוע פשעי מלחמה או פשעים כלשהם נגד האנושות .
עם זאת ייתכן שהוא לא גילה את תיעוד המלחמה שלו במהלך ראיון ההגירה שלו בשנת 1953 בקרלסרוהה, גרמניה.
ממשלת קנדה קבעה כי נימוק מידע זה מהווה סיבה מספקת כדי להסיר מאוברלאנדר את אזרחותו הקנדית.
אנדרו טלגדי, שהיה חבר הפרלמנט של אוברלנדר, והיה באותה תקופה מזכירו הפרלמנטרי של שר האזרחות וההגירה, התפטר מתפקידו בשל התנגדותו להחלטה זו.
באוקטובר 2008 שללה הממשלה את אזרחותו של אוברלאנדר.
בנובמבר 2009 ביטל בית המשפט הפדרלי לערעורים החלטה זו ובכך החזיר את אזרחותו.
בשנת 2012 שוב הוסרה מאוברלנדר אזרחותו באמצעות צו מועצה של ממשלת קנדה.
אוברלאנדר ערער על הוראת 2012 לבית המשפט הפדרלי של קנדה, שבית המשפט דחה בשנת 2015. לאחר מכן ערער אוברלאנדר על החלטת 2015 לבית המשפט הפדרלי לערעורים של קנדה.
בשנת 2016 בית המשפט קיבל את ערעורו, תוך שהוא מחסל את הוראת הממשלה.
ביולי 2016, בית המשפט העליון של קנדה דחה את בקשת הממשלה לרשות ערעור על ההחלטה.
כתוצאה מכך, על מנת לגרש את אוברלאנדר לצורך משפט, על הממשלה היה להוכיח תחילה שהוא השתתף מרצון בפעילות כיתות המוות עקב פסק הדין של בית המשפט העליון מ–2013 לפיו אשמה על ידי חברותו בארגון איננה עילה מספקת כדי להיחשב לפושע מלחמה.
ביולי 2017 השתמשה ממשלת קנדה שוב בצו מועצה כדי לשלול מאוברלאנדר את אזרחותו הקנדית בפעם הרביעית.
בספטמבר 2018 קבע שופט בית המשפט הפדרלי, מייקל פלן, כי הביטול הרביעי הזה היה כדין.
רק בית המשפט הפדרלי לערעורים יכול היה לדון בערעור על החלטתו של פלן ולאוברלאנדר לא הייתה זכות אוטומטית לערער על החלטת בית המשפט האחרונה, אך היה עליו לבקש רשות ערעור.
בדיווח חדשותי נאמר כי הוא "התמודד עם סיכונים מוגברים של העמדה לדין אם אי פעם יגורש לגרמניה, שם היה אזרח בעבר.
בשינוי מדיניותה מנסה גרמניה כעת בשנות ה-90 לחייהם לדונם כשותפים לפשעי מלחמה נאצים".
ב-25 באפריל 2019, בית המשפט הפדרלי לערעורים דחה את בקשתו של אוברלאנדר לפתוח את תיקו מחדש בשל הטיה לכאורה של השופט מיכאל פלן בשנת 2008. החלטת בית המשפט לערעורים התקבלה פה אחד.
ב-5 בדצמבר 2019, בית המשפט העליון של קנדה סירב להעניק לאוברלאנדר אישור לערער על החלטת בית המשפט הפדרלי, תוך פינוי הדרך לגירושו מהמדינה.
בשנת 2020 נודע כי הרשויות בקנדה החלו בתהליך גירושו מהמדינה ובוועדת החקירות של רוסיה פתחו הליך פלילי נגדו על אשמתו ברצח 30,000 מתושבי מחוז רוסטוב.
ד"ר הלמוט זל ואשתו אנמרי היו מצילי שואה גרמנים שחיו בברלין בתקופת הרייך השלישי.
בשנת 1981 קיבלו את אות חסיד אומות העולם על ידי יד ושם בטקס שנערך בירושלים.
זל היה בעל מפעל קטן לחלקים מכניים בשכונת דאהלם בברלין.
במרץ 1943 שכר כנער שליח, נער יהודי שחי באופן בלתי חוקי ברחובות ברלין מאז מאי 1942. ד"ר זל לא הבין אז שהילד, שהופיע לבוש במדי הנוער ההיטלראי, היה יהודי מוסווה.
שלושה שבועות לאחר מכן הודה הילד עזרא בן גרשום בזהותו האמיתית.
זל הגיב בכך שהזדהה כסוציאל-דמוקרט ותיק ואויב מושבע של המשטר הנאצי.
מכר סידר לילד תעודות נסיעה מזויפות, אשר התיימרו להוכיח שהוא נוסע לווינה בהוראת תעשיית החימוש הגרמנית.
בלילות האחרונים לפני המסע, זל הגן על גרשום בביתו שבפוטסדאם, וסיפק לו אוכל ועזרה.
אשתו של ד"ר זל, אנמרי, הייתה שותפה למעשה ההצלה.
ב-28 במאי 1981 הכיר יד ושם בד"ר הלמוט ואנמרי זל כחסידי אומות העולם.
בחישובי נקודה צפה, הלֶמה של סטרבנץ היא משפט שנותן את התנאים בהם חישוב הפרש של נקודה צפה מחושב באופן מדויק.
היא נקראת על שם פט ה.
סטרבנץ, שפרסם אותה כמשפט 4.3.1 בספרו Floating Point Computation בשנת 1974.
הלמה של סטרבנץ טוענת שעבור מערכת מספרים של נקודה צפה עם מספרים תת-נורמליים, כגון IEEE 754 binary64, אם , הם מספרי נקודה צפה כך שמתקיים:
אז המספר גם הוא מספר נקודה צפה.
ולכן, חישוב ההפרש מתבצע באופן מדויק.
ניתן להשוות בין הלמה של סטרבנץ לבין ביטול הרסני:
הלמה של סטרבנץ טוענת כי אם , הן מספרי נקודה צפה מספיק קרובים, אז ההפרש ביניהם מחושב באופן מדויק, ללא צורך בעיגול: .
התופעה של ביטול הרסני היא שאם , הם ערכים משוערכים למספרים האמיתיים , בהתאמה.
בין אם השגיאה בחישובם מופיע מעיגול קודם או מקיטום, השגיאה המתקבלת בחישוב ההפרש בין המספרים המשוערכים היא הפוכה בפרופורציה להפרש המדויק .
ולכן, אם הערכים קרובים מאוד, השגיאה של החישוב המשוערך גדולה מאוד.
במילים אחרות, הלמה של סטרבנץ מראה שחישוב חיסור של נקודות צפה קרובות היא מדויקת, אך התוצאה המתקבלת היא בעלת שגיאה גדולה.
הלמה של סטרבנץ היא חשובה להוכחת תיאוריות על גבול עליון באלגוריתמים של נקודה צפה.
בתור דוגמה, נוסחת הרון לחישוב שטח של משולש עם צלעות , , היא:
אם נשתמש בנוסחה הזאת בחישובי נקודה צפה, היא עשויה לתת תוצאות בעלות שגיאה גדולה עבור משולשים צרים.
לעומת זאת, עבור הנוסחה החלופית:
נוכל להוכיח, בעזרת הלמה של סטרבנץ, שהיא בעלת שגיאה קדמית נמוכה לכל קלט אפשרי.
הלמוט בהלקה היה גנרל גרמני במלחמת העולם השנייה.
בהלקה נולד ב-7 בפברואר 1893 בלובהאן ליד דנציג, ובמלחמת העולם הראשונה שירת כקצין בצבא הקיסרות הגרמנית.
על פעולותיו במלחמה הוא קיבל את עיטור צלב הברזל מדרגה ראשונה ושנייה ואת אות הפציעה בשחור.
לאחר סיום המלחמה הוא עבר לשירות המשטרה וקודם לדרגת אובר לויטננט ב-1 ביולי 1920. ב-15 באוקטובר 1935 הוא עבר לשרת בוורמאכט בדרגת מיור וב-1 ביוני 1938 הועלה לדרגת אוברסט לויטננט.
ב-13 במאי 1941 הוא הועלה לדרגת אוברסט, וב-20 בספטמבר 1942 הוא קיבל את עיטור צלב האבירים של צלב הברזל.
ב-12 בפברואר 1943 הוא מונה למפקד רגימנט הרייכסגרנדירים ה"הוך אנד דויטשמאסטר" של דיוויזיית הגרנדירים ה-44, שהועברה לאיטליה באוגוסט 1943. ב-1 בינואר 1944 הוא הועלה לדרגת גנרל מיור, וב-1 בפברואר מונה למפקד הדיוויזיה ה-334, אשר התפרסה באזור פסקארה על חוף הים האדריאטי.
ב-1 באוגוסט 1944 הועלה לדרגת גנרל לויטננט.
באוקטובר 1944 היא שובצה לקורפוס הפאנצר ה-14 והשתתפה בקרבות ההגנה באזור בולוניה, שם הייתה כפופה אף פעם לקורפוס הצנחנים ה-1. ב-25 בינואר 1945 הוא קיבל תוספת עלי אלון לעיטור צלב האבירים של צלב הברזל, ולאחר כניעת קבוצת ארמיות C הוא נלקח בשבי ליד רימיני בסוף אפריל 1945.
ביוני 1947 הוא הועבר למחנה השבויים 11 בבריטניה.
לאחר שחרורו הוא התגורר במינכן עד מותו ב-8 באפריל 1956.
הלמוט אבט היה אסטרונום אמריקאי שהתמחה באסטרופיזיקה.
הלמוט אבט נולד בשנת 1925 בגרמניה ומשפחתו היגרה לארצות הברית כאשר הוא היה בן שנתיים.
בשנת 1946 הוא סיים לימודי תואר ראשון במתמטיקה באוניברסיטת נורת'ווסטרן ותוך שנתיים השלים באותה האוניברסיטה לימודי תואר שני בפיזיקה.
בשנת 1952 הוא סיים עבודת דוקטורט במכון הטכנולוגי של קליפורניה.
אבט עבד כשנה במצפה הכוכבים ליק ועבר לאוניברסיטת שיקגו בה היה פרופסור בשנים 1953–1959. בשנת 1960 אבט החל לעבוד במצפה כוכבים באריזונה ועבד בו עד לשנת 2000.
בשנים 1966–1968 הוא היה נשיא "הארגון האסטרונומי של הפסיפיק".
בשנים 1971–1999 אבט היה עורך הירחון Astrophysical Journal.
הלמוט אבט התמחה, בין היתר, בחקר התפתחות הכוכבים ובחקר כוכבים כפולים.
במהלך חייו הוא פרסם מעל ל-300 מאמרים.
על פעילותו רבת השנים הוענק לאבט פרס על שם ג'ורג' ואן ביאסנרואק בשנת 1997. בשנת 1996 התגלה אסטרואיד 9423 שנקרא על שמו.
בשנת 2003 פורסם ספר עם אוסף מאמרים של מדענים שונים.
הלמוט גרוסקורט היה גרמני, חבר בצוות באבווהר, ארגון המודיעין הצבאי, קצין בוורמאכט "כוח ההגנה", צבא הקבע של גרמניה הנאצית וקצין קישור בין שירות הביון למפקדת צבא היבשה של גרמניה.
השתתף בתנועת ההתנגדות הגרמנית לנאציזם.
הלמוט גרוסקורט נולד למשפחה בורגנית בעיירה לודנשייד שבצפון וסטפאליה.
אמו הייתה בת למשפחת תעשיינים.
אביו הכומר בא ממשפחה של מורים ואנשי כנסייה.
אחיו הבכור ריינהרד, היה עורך דין גרמני שפעל נגד שחיתות והשפעת הנאציזם בכנסייה האוונגליסטית של ברמן.
גרוסקורט סיים את לימודיו בגימנסיה בברמן וב-1916 במלחמת העולם הראשונה התגייס לגדוד חיל הרגלים הגרמני ה-75 ולחם בחזית המערבית הצרפתית.
שם נפצע ונשבה על ידי הבריטים בשנה שלאחר מכן.
לאחר מלחמת העולם הראשונה התגייס לרייכסווהר, צבא גרמניה בין השנים 1919–1935. לאחר מכן עזב את הצבא כדי ללמוד חקלאות.
ב-1929 מונה לנציגו של ארווין פון ויצלבן, לימים קונספירטור, מורד בשלטונו של היטלר אשר הוצא להורג בשל השתתפותו בקשר העשרים ביולי.
ב-1935, גויס גרוסקורט לאבווהר, מנגנון המודיעין הצבאי של הרייך הגרמני, ובסופו של דבר הפך לקונספירטור (מורד) פעיל ברשת ענפה של קצינים במודיעין הצבאי, שהיו חלק מההתנגדות הגרמנית בניהולו של האדמירל וילהלם קנריס.
קנריס היה מפקד האבווהר, סגנו היה הגנרל האנס אוסטר.
שניהם התנגדו להיטלר ולנאציזם ותכננו להוכיח כי המרד שלהם הוא נגד חבורת פושעים ולא נגד שלטון חוקי לגיטימי.
הם תכננו להציג בפני העם הגרמני מסמכים רבים מספור על שחיתויות, פשעים ומעשי רצח, אי סדרים בנוער ההיטלראי, עבירות מס של הרמן גרינג וחבריו וראיות המעידות על אחריותו האישית של היטלר לפוגרום האנטי-יהודי בנובמבר 1938, ליל הבדולח.
המטרה המרכזית של אוסטר הייתה ביסוס תנועת ההתנגדות, חיזוקה והרחבתה, כך שתהיה מוכנה לפתוח בהפיכה מייד עם חידוש שיתוף הפעולה עם הרמטכ"ל גנרל פרנץ האלדר.
אוסטר מינה את קולונל גרוסקורט, שהיה וראש מחלקת החבלה, לתפקיד קצין הקישור בין שירות הביון למפקדת צבא היבשה.
עם כניסתו לתפקיד קצין המודיעין הצבאי החל גרוסקורט להפעיל לחץ על מפקדיו.
המינוי אפשר לו ליצור קשרים הדוקים ככל האפשר עם פרנץ האלדר, גנרל בכיר במלחמת העולם השנייה ואחראי על תוכניות הפלישה.
המינוי אפשר לגרוסקורט לתווך בינו לבין ראשי תנועת ההתנגדות ולשכנע אותו לפעול בדחיפות נגד היטלר.
אך המהלך לא הביא לתוצאה המיוחלת.
תסכולם של אוסטר וחבריו רק גבר כאשר הבינו שלא יוכלו לשכנע את הגנרל האלדר לפעול, מכיוון שלא ראה בכיבושה של צ'כוסלובקיה סיבה מספקת להפלת המשטר.
בשנת 1938 הקצה וילהלם קנריס, שהיה ראש ההבוואר, את גרוסקורט, שהתקדם לדרגת רב-סרן, לעמוד בראש מדור "מיעוטים וחבלה" של שירות הביון הצבאי האחראי על לוחמה לא קונבנציונלית במדינות זרות.
קנריס חשש מכוחו הגובר של ה-SS במבצעים כאלה, במיוחד מהשפעתו על קונרד הנליין, שהיה פוליטיקאי פרו נאצי, ולכן הוא שלח את גרוסקורט לחבל הסודטים לקראת התוכנית המתוכננת.
משימתו כללה חיזוק גרמנים אתניים מתונים באזור בתקווה שימצא פתרון ותמנע מלחמה.
הוא אסף מידע מודיעיני על הגנות צ'כיות, הטמין מזבלות נשק סודיות ואימן מורדים פוטנציאליים בחבלה.
פעילויות אלו הכעיסו את ריינהרד היידריך, מפקד ה-SD ואת ה-SD, שהחמירו את המתיחות על מנת להצדיק פלישה לצ'כיה.
כקצין מודיעין גרוסקורט היה חסיד של הברנדרבורגים - כוחות מיוחדים גרמניים, יחידה שפעלה כשלוחת גוף המודיעין של האבווהר ולקחו חלק בתפיסת מטרות בדרך של חבלה והסתננות.
גרוסקורט פיקד על פעולות לחימה לא מוסכמות בחבל הסודטים ופעל נגד האג'נדה של היטלר.
מאוחר יותר הועבר מחדש לצבא הסדיר בעקבות ביקורת שהשמיע על פשעי מלחמה שביצעו כוחות גרמניים בפולין.
לאחר שפיקד על גדוד חייל רגלי בפלישה לצרפת נטל על עצמו מגוון תפקידי מטה.
רצח של ילדים יהודים בבילה צרקווה, אוגוסט 1941
ב 20 באוגוסט 1941, בסביבות 4 אחר הצהריים, שני כמרי חטיבה דיווחו להלמוט, שהיה קצין מודיעין באותו הזמן, על כך שבעיר בילה צרקווה שבאוקראינה יש 90 ילדים יהודים שנכלאו בבניין במשך 24 שעות ללא מים ומזון ובתנאים בלתי נסבלים.
לפי המידע מהכמרים, הניסיון להשיג את התערבותו של מפקד העיר לא הצליח.
חצי שעה לאחר מכן, גרוסקורט הגיע לבניין וכבר מבחוץ יכול היה לשמוע את היבבות של הילדים שבפנים.
בחצר הבניין היו 20 נגדים וגברים וכמה אוקראינים חמושים אך לא הייתה שמירה מול הבניין.
שומר אוקראיני עם רובה עמד בכניסה לחדרים המחוברים שבהם היו בערך 90 ילדים וכמה נשים.
גרוסקורט שאל את ראש האס אס שלו שירות הביטחון שבדיוק נכנס מה עומד להיעשות לילדים.
הוא ענה שהוריהם נורו למוות ושככה מתוכנן לקרות גם להם.
מבלי שום תגובה נוספת, גרוסקורט פנה ישירות למפקד חיל המצב המקומי ודרש הסבר.
בתגובה הגיב המפקד שאין לו השפעה על צעדי שירות הביטחון והציע לו לדון בנושא עם מפקד השדה סגן אלוף רידל, אך גם רידל הצהיר בפניו שהוא משוכנע שמהלך זה הוא נכון ונחוץ והוסיף שכבר חלק מהילדים ההם נהרגו יום לפני.
גרוסקורט ביקש מרידל לעכב את ההעברה של הילדים אך ללא הצלחה.
יום למחרת הוציא האס אס את הילדים לבור שם נורו על ידי אנשי העזר האוקראינים.
זמן קצר לאחר מכן הגיש גרוסקורט דו"ח רשמי לצבא במחאה על הרציחות וכינה אותן לא אנושיות ומדכאות עבור חיילי הצבא בסביבה.
עם זאת, הביקורת שהשמיע גרוסקורט הופנתה אך ורק לכישלון של המפקדים המקומיים שלא ביצעו את ההתעללות והרצח של הילדים הרחק מן החיילים הגרמנים, שחלקם "הוטרדו" מיבבות הילדים.
הדו"ח של גרוסקורט לא התנגד רשמית למצוקת הילדים עצמה, אלא לחוסר היעילות של התהליך ולהשפעה הפוטנציאלית המזיקה על רוח הלחימה של החיילים הגרמנים הסמוכים.
כך כתב גרוסקורט בדו"ח: "מנהיגי הצבא מחנכים את החיילים להימנע, מתוך תודעה חיילית טהורה, מאלימות ומגסות כלפי אוכלוסייה חסרת ישע.
הצבא מבין היטב את הצורך בפעולה נחרצת נגד הפרטיזנים אך במקרה שלפנינו נוקטים אמצעים נגד נשים וילדים, אמצעים שאינם נבדלים במאומה מזוועות האויב שהחיילים עדים להן דבר יום ביומו".
גרוסקורט סיים את שירותו הפעיל כראש המטה של קרל שטרקר, הקורפוס ה-11. הוא השתתף בקרב סטלינגרד, קרב אשר התחולל בין מדינות הציר המזרחי לבין ברית המועצות ועזר לנסח את ההודעה הסופית ששלחו הכוחות הגרמניים אשר היו לכודים שם.
לאחר כניעת הגרמנים חלה בטיפוס ומת בעודו בשבי הסובייטי.
שחזור יומניו ומאמריו סיפקו מקור משמעותי להיסטוריונים שרצו לחקור את ההתנגדות המוקדמת להיטלר במסגרת הצבא הגרמני.
גרוסקורט היה אחד מקציני הצבא הראשונים שהצטרפו להתנגדות ונודע כ-"נשמת ההתנגדות בתוך האבווהר" מאז קיץ 1938. לאחר המלחמה פורסם יומנו של גרוסקורט שחשף את תפקידו כאחד מחברי המפתח להתנגדות הגרמנית בתוך הנאציזם.
הוא גם היה אחד המחברים של מזכר סודי שנכתב באוקטובר 1939 שכותרתו, "אסון קרוב", עם הדיפלומטים חסו פון הצדורף ואריך קורט, המתאר פוטנציאל להפיכה נגד היטלר.
יומניו של גרוסקורט והמסמכים ששמר הביאו לתובנות חשובות בקרב ההיסטוריונים על ההתנגדות המוקדמת להיטלר על ידי שמרנים וקציני צבא.
מסמכים שלו מהטיפול בפעילות הסודית של מולר ברומא סיפקו גם אוסף של ראיות על התכתבות בין ההתנגדות הגרמנית, הממשלה הבריטית והותיקן.
ההיסטוריון פרידריך הילר פון גארטרינגן תיאר את גרוסקורט כ-"מתנגד נחוש של הנאציזם".
הלמוט זוננפלד (סוננפלדט; באנגלית: Helmut Sonnenfeldt; 13 בספטמבר 1926 – 18 בנובמבר 2012) היה מומחה אמריקאי בולט למדיניות חוץ.
כונה "הקיסינג'ר של קיסינג'ר" בשל הזיקה הפילוסופית וההשפעה שהייתה לו על הנרי קיסינג'ר, האדריכל הראשי של מדיניות החוץ האמריקנית בממשל ניקסון ובממשל פורד.
זוננפלד נולד ב-1926 בברלין שבגרמניה למשפחה יהודית.
הוריו, ולתר וגרטרוד החזיקו מרפאה משפחתית.
ב-1938 נשלח עם אחיו ריצ'רד (שנודע מאוחר יותר כמתרגם הראשי במשפטי נירנברג) לבית הספר באונס קורט של אנה אסינגר באנגליה, וכך ניצלו השניים משואת יהודי גרמניה.
ב-1944 היגר לארצות הברית והתגייס לצבא האמריקני.
לאחר שירותו הצבאי למד באוניברסיטת ג'ונס הופקינס.
זוננפלד כיהן בתפקידים בכירים במועצה לביטחון לאומי ובמחלקת המדינה האמריקנית בממשלות ניקסון ופורד, ושימש כעוזרו ויועצו הקרוב של הנרי קיסינג'ר.
בינואר 1971 הלין זוננפלד בפני קיסינג'ר על שהאחרון הדיר אותו מכל מעורבות בניהול היחסים מול ברית המועצות.
ב-1973 חשף תחקיר של הניו יורק טיימס כי קיסינג'ר נתן אישית הוראה ל-FBI לצותת לעוזריו במועצה לביטחון לאומי ובהם גם זוננפלד.
לפי מרטין אינדיק, נתן קיסינג'ר את ההוראה כדי להבטיח את עצמו מפני חשדות בנאמנות כפולה (ליהודים) וזוננפלד "מעולם לא סלח לו".
לאחר פרישתו משירות המדינה, כיהן כחוקר אורח באוניברסיטת ג'ונס הופקינס ובמכון ברוקינגס.
זוננפלד הוא זוכה מדליית ליאו בק לשנת 1997, השנה החמישית שבה הוענקה המדליה.
זוננפלד הלך לעולמו ב-2012 אחרי מחלה ממושכת.
הלמוט בקר , היה פושע מלחמה, קצין בכיר בוואפן אס אס בדרגת בריגדפיהרר אשר פיקד בין היתר על דיוויזיית האס אס ה-3. נידון למוות והוצא להורג בברית המועצות.
המלוט בקר נולד בעיירה אלטרופפין בפרובינציית ברנדנבורג, שהשתייכה לאימפריה הגרמנית.
שירת במשך 12 שנים והשתחרר בדרגת שטאבס-פלדוובל (מקבילה לרס"ר בצה"ל).
בפברואר 1933 התגייס לאס אס והצטרף למפלגה הנאצית.
הוא הוצב לשרת ביחידת אס.אס.
בעיר גרייפסוואלד, שם שירת ביחד עם הרמן פרייס ווילהלם ביטריך.
ביולי 1934 הועלה לדרגת אונטר-שטורמפיהרר – דרגת קצונה הזוטרה ביותר באס.אס.
בשנת 1935 הוצב כמפקד פלוגה ביחידת אס.אס.
במחנה הריכוז דכאו (עם הזמן תהפוך היחידה לדיוויזיית האס אס ה-3 "טוטנקופף").
בשנת 1938 כמפקד גדוד השתתף בסיפוח אוסטריה ובפלישה לחבל הסודטים.
במהלך המערכה בפולין פיקד בקר על גדוד אס.אס.
שפעל בעורפה של הארמייה העשירית.
באוקטובר 1939 הוקמה דיוויזיית האס אס ה-3 "טוטנקופף".
בקר התמנה למפקד גדוד ברגימנט רגלים ה-1 של הדיוויזיה.
על חלקו במערכה עוטר בשתי הדרגות של צלב הברזל.
בשלבים ראשונים של מבצע ברברוסה פיקד בקר על גדוד הסיור של הדיוויזיה.
באוקטובר של אותה שנה מונה למפקד הרגימנט ה-3 של הדיוויזיה.
במהלך הקרבות על כיס דמיאנסק על בסיס הרגימנט שלו ויחידות נוספות הקים "כוח בקר" – יחידה שהגנה על הפרוזדור הצר שחיבר בין הכוחות המכותרים לכוח הגרמני העיקרי מחוץ לכיתור.
על חלקו בקרבות אלו קיבל את עיטור הצלב הגרמני בזהב.
הועלה לדרגת שטנדרטנפיהרר ומונה למפקד הרגימנט ה-6 הממונע של הדיוויזיה.
השתתף בקרב חרקוב השלישי ובקרב קורסק.
בספטמבר 1943 עוטר בצלב האבירים של צלב הברזל.
באוקטובר 1943 נשלח לאיטליה, שם השתתף בהקמת דיוויזיית הפאנצרגרנדיר אס אס ה-16.
ב-13 ביולי 1944 מונה בקר למפקד דיוויזיית האס אס ה-3, ופיקד עליה עד סוף המלחמה.
באוקטובר 1944 הועלה לדרגת בריגדפיהרר.
בקר קיבל על פעולותיו תוספת עלי אלון לעיטור צלב האבירים של צלב הברזל.
יחד עם הדיוויזיה השתתף בקרבות הבלימה בפולין, בקרב אגם בלטון ובקרבות באוסטריה.
לאחר כיבוש וינה על ידי הצבא האדום נסוג עם שרידי הדיוויזיה לאוסטריה תחתית.
במאי 1945 נכנע לכוחות צבא ארצות הברית.
ביום הכניעה היו בשורות הדיוויזיה קצת פחות מ־1,000 חיילים ורק שני טנקים שמישים.
בקר נמסר על ידי האמריקאים לברית המועצות.
הוא הוחזק בכלא צבאי בעיר פולטבה.
בנובמבר 1947, ביחד עם קצינים נוספים של דיוויזיית אס.אס.
השלישית נשפט על פשעי מלחמה שביצעו חייליו בשטח ברית המועצות.
נמצא אשם ונידון ל־25 שנות מאסר.
את עונשו ריצה במחנה עבודה במחוז סברדלובסק.
במהלך המאסר ניסה מספר פעמים לארגן שביתות אסירים.
לאחר אחד הניסיונות נשפט על ידי בית הדין הצבאי ונמצא אשם בניסיון המרדה.
ב-9 בספטמבר 1952 נידון לעונש מוות.
הלמוט הסה (25 באוגוסט 1898 - 26 בדצמבר 1979) היה מתמטיקאי גרמני שעסק בתורת המספרים האלגברית.
הוא ידוע בתרומותיו לתורת שדות המחלקה, לגאומטריה דיופנטית (עקרון הסה), ולתורה של עקומים אליפטיים.
הסה נולד בעיר קאסל, מחוז הסן-נסאו שבגרמניה.
אביו היה השופט פול ריינהרד הסה (12 באפריל 1868 - 1 ביוני 1940 ) ואמו הייתה מרגרתה לואיז אדולפין קוונטין (נולדה ב-5 ביולי 1872 במילווקי ).
במלחמת העולם הראשונה שירת הסה בצי הגרמני הקיסרי, ואחריה למד באוניברסיטת גטינגן.
לאחר מכן למד באוניברסיטת מרבורג.
בעבודת הדוקטורט שלו מ-1921, בהנחיית קורט הנזל, הוא הוכיח את משפט הסה-מינקובסקי, כפי שהוא נקרא כיום, על תבניות ריבועיות מעל שדות מספרים.
לאחר מכן הוא התקבל למשרות באוניברסיטאות קיל, האלה ומרבורג.
הוא היה מחליפו של הרמן וייל בגטינגן ב-1934.
הסה הוזמן לשאת דברים בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים (ICM) בשנת 1932 בציריך ודובר המליאה של הקונגרס שהתקיים בשנת 1936 באוסלו .
בשנת 1933 חתם הסה על "נדר הנאמנות של הפרופסורים של האוניברסיטאות ובתי ספר התיכוניים בגרמניה לאדולף היטלר ולמדינה הנציונל-סוציאליסטית".
ב-1937 ביקש הסה חברות במפלגה הנאצית, אך הבקשה נדחתה לכאורה בשל מוצאו היהודי המרוחק.
לאחר המלחמה חזר הסה לזמן קצר לגטינגן ב-1945, אך הודר על ידי השלטונות הבריטיים.
לאחר מינויים קצרים בברלין, מ-1948 ואילך הוא הצטרף כפרופסור באוניברסיטת המבורג.
הוא שיתף פעולה עם מתמטיקאים רבים, בפרט עם אמי נתר וריכרד בראואר על אלגברות פשוטות, ועם הרולד דבנפורט על סכומי גאוס ( יחסי הסה-דבנפורט), ועם קאהיט ארף על משפט הסה-ארף.
באנליזה מרוכבת ובתורת המספרים האנליטית הלמה של לנדאו היא משפט הקושר בין אבסיסת ההתכנסות של טור דיריכלה לקטבים שלו.
הלמה הוכחה על ידי אדמונד לנדאו בשנת 1905 כחלק מסדרת עבודותיו בתורת המספרים האנליטית.
מאז הלמה הפכה לכלי שימושי מאוד בתורת המספרים האנליטית.
טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה כאשר היא סדרה של מקדמים מרוכבים ו - הוא משתנה מרוכב.
אם הוא טור חזקות, אז קיים כך שאוסף הנקודות בהם הטור מתכנס בהחלט הוא העיגול
המספר נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור.
תכונה חשובה של טורי חזקות היא שאי אפשר להמשיך אותם אנליטית לעיגולים בעלי רדיוס גדול יותר מרדיוס ההתכנסות שלהם.
מנקודת מבט של טור טיילור של פונקציה אנליטית, תכונה זו אומרת שרדיוס ההתכנסות של טור טילור הוא המרחק לסינגולריות הקרובה ביתר.
אותו הדבר נכון עבור כל פונקציית L של דיריכלה ביחס לקרקטר דיריכלה לא טריוויאלי.
טור דיריכלה הוא טור פונקציות מהצורה
כאשר היא סדרה של מקדמים מרוכבים ו - הוא משתנה מרוכב.
אם הוא טור דיריכלה, אז קיים כך שאוסף הנקודות בהם הטור מתכנס בהחלט הוא חצי המישור
המספר נקרא אבסיסת ההתכנסות (Abscissa of convergence) של הטור.
בשונה מטורי חזקות, במקרים רבים, ניתן להמשיך אנליטית טורי דיריכלה לחצאי מישורים גדולים יותר מתחום ההתכנסות שלהם.
הוא דוגמה לפונקציית L של דיריכלה.
אבסיסת ההתכנסות שלו היא 1 אולם ניתן להמשיך אותו אנליטית לכל המישור המרוכב.
הלמה של לנדאו אומרת שדבר כזה לא ייתכן אם מקדמי הטור חיוביים.
הטור מתכנס עבור כל המקיים
לפונקציה יש המשכה אנליטית לתחום
מתכנס לכל עבור כל המקיים .
ההוכחה לא מסובכת והיא מבוססת על השוואה בין טור דיריכלה לטור טיילור של הפונקציה בנקודות שונות, ועל העובדה שטור טילור מתכנס בכל עיגול בה הפונקציה אנליטית.
בתורת המספרים ובתחומים אחרים במתמטיקה, ניתן לעיתים לחקור בעיות ספירה מסוימות על ידי פונקציית זטא מתאימה.
בהינתן בעיית ספירה, ניתן במקרים רבים לקודד את התשובה עליה על ידי סדרה של מספרים חיוביים.
סדרה כזו ניתן לחקור על ידי פונקציית זטא שהיא טור דיריכלה:
אבסיסת ההתכנסות של טור זה מספקת מידע רב על קצב הגידול של הסדרה .
במקרים רבים, לפונקציה יש המשכה מרומורפית מעבר לתחום ההתכנסות.
אם המשכה זאת מספיק רחבה, אז הלמה של לנדאו גוררת שאבסיסת ההתכנסות שווה לחלק הממשי של הקוטב הימני ביותר של ההמשכה המרומורפית.
במקרים רבים קשר זה בין אבסיסת ההתכנסות לקטבים של הפונקציה מאפשר לקחת מידע חלקי על האבסיסה ועל הקטבים ולקבל ממנו מידע מדויק בהרבה על שניהם.
דוגמה קלאסית לשימוש של הלמה של לנדאו היא בהוכחתו של לנדאו לאי-ההתאפסות של פונקציית L של דיריכלה עבור קרקטר דיריכלה ממשי בנקודה .
טענה זאת מהווה חלק חשוב בהוכחת משפט דיריכלה על ראשוניים בסדרות חשבוניות.
דיריכלה הוכיח את הטענה הזאת בשנת 1837 כחלק מהוכחתו למשפט דיריכלה.
הוכחתו של דיריכלה הייתה ארוכה ומסובכת.
לנדאו מצא, באמצעות הלמה שלו הוכחה קצרה ואלגנטית לטענה זו בתחילת המאה ה-20.
הוכחה זו קצרה משמעותית מהוכחתו המקורית של דיריכלה, אולם היא פחות אלמנטרית מכייון שהיא משתמשת באנליזה מרוכבת.
כמו כן, בשונה מההוכחה המקורית של דיריכלה, הוכחת זו, לא נותנת שום מידע על הערך .
הלמוט גינתר גודדט היבנר היה צעיר גרמני שהוצא להורג בגיל 17 על ידי עריפה בשל התנגדותו למשטר הנאצי.
הוא היה האדם הצעיר ביותר בהתנגדות הגרמנית לנאציזם שנידון למוות על ידי בית הדין העממי והוצא להורג.
הלמוט היבנר, שנולד בהמבורג ב-8 בינואר 1925, הגיע ממשפחה דתית ולא פוליטית בעיר המבורג, גרמניה.
הוא היה חבר בכנסיית ישוע המשיח של קדושי אחרית הימים, כמו גם אמו וסביו.
אביו המאומץ, הוגו, שהיה תומך נאצים, נתן לו את שם המשפחה היבנר.
מגיל צעיר היה היבנר חבר בתנועת הצופים, ארגון שנתמך באותה תקופה באופן נרחב על ידי כנסיית ישוע המשיח של קדושי אחרית הימים.
אולם בשנת 1935 אסרו הנאצים את פעילות הצופים בגרמניה.
בעקבות זאת הצטרף לתנועת הנוער ההיטלראי, כפי שנדרש על פי החוק, אך עזב אותה לאחר ליל הבדולח בשנת 1938, כאשר הנאצים, כולל חברי הנוער ההיטלראי, הרסו עסקים ובתים של יהודים.
כאשר אחד ממנהיגי הקהילה המקומית שלו ניסה לאסור על יהודים להשתתף בשירותים הדתיים של הקהילה, מצא עצמו היבנר מתנגד למדיניות החדשה.
למרות זאת, הוא המשיך להשתתף בטקסים הדתיים יחד עם חברים בעלי דעות דומות, בעוד חברי כנסיית ישוע המשיח של קדושי אחרית הימים במקומות אחרים באזור המשיכו להתווכח על הנושא.
חברו ושותפו להתנגדות, רודולף "רודי" וובה, דיווח מאוחר יותר שמתוך כ-2,000 חברי הקהילה בעיר המבורג, רק שבעה תמכו בנאצים — אך חמישה מהם היו שייכים לסניף סנט גאורג (St.
Georg) שבו היו חברים הוא והיבנר, מה שיצר מתיחות עם הרוב שהתנגדו או לא תמכו בנאצים.
לאחר שהיבנר סיים את לימודיו בבית הספר התיכון בשנת 1941, הוא החל התמחות במנהל הציבורי ברשות הרווחה של המבורג.
שם פגש מתמחים נוספים, ואחד מהם – גרהרד דואר – גויס מאוחר יותר על ידו לפעילות ההתנגדות.
בבית מרחץ מקומי פגש חברים חדשים, ואחד מהם הגיע ממשפחה בעלת רקע קומוניסטי.
בעקבות ההיכרות הזו, היבנר החל להאזין לשידורי רדיו של מדינות אויב – פעולה שנחשבה באותה תקופה לבגידה חמורה ואסורה בהחלט על פי החוק הנאצי.
בקיץ של אותה שנה גילה היבנר מכשיר רדיו גלי קצר בארון המסדרון, שהיה שייך לאחיו-למחצה הגדול, גרהרד, שרכש אותו מוקדם יותר באותה שנה בצרפת.
הלמוט החל להאזין לבדו לשידורי ה-BBC, ושאב מהם מידע שמהווה בסיס לכתיבת טקסטים אנטי-נאציים ועלוני תעמולה נגד המלחמה, מהם הפיץ עותקים רבים.
העלונים שכתב נועדו לחשוף בפני הציבור עד כמה היו דיווחי הממשלה מברלין על מלחמת העולם השנייה מעוותים ומטעים.
בנוסף, הוא הדגיש את פשעיהם של אדולף היטלר, יוזף גבלס ומנהיגים נאצים נוספים.
נושאים נוספים בעלוניו כללו את חוסר התוחלת שבמלחמה, תבוסתה המתקרבת של גרמניה, וכן התעללויות שחוו לעיתים צעירים במסגרת תנועת הנוער ההיטלראי.
באחת מחוברותיו, למשל, הוא כתב:
בסוף שנת 1941, היבנר החל לשתף שלושה מחבריו בהאזנה לשידורים: קרל-היינץ שניבה ורודי וובה, שניהם חברים גם כן בכנסיית ישוע המשיח של קדושי אחרית הימים, ולימים הצטרף גם גרהרד דואר.
היבנר גייס אותם לעזור לו בהפצת כ-39 עלונים שונים, שכללו חומר מוקלד שהתבסס על שידורי הרדיו הבריטיים (בעיקר ה-BBC).
הם הפיצו את העלונים ברחבי העיר המבורג תוך שימוש בשיטות חשאיות: נעיצת העלונים בלוחות מודעות, הכנסת עותקים לתיבות דואר, והחבאתם בכיסי מעילים של עוברי אורח – הכול מתוך סיכון רב ותחת עינה הפקוחה של המשטרה הנאצית.
ב-5 בפברואר 1942 נעצר הלמוט היבנר על ידי הגסטפו במקום עבודתו – רשות הרווחה של המבורג, בבניין הביברהאוס שבעיר.
באותה תקופה ניסה לתרגם את העלונים לצרפתית במטרה להפיצם בקרב שבויי מלחמה, אך עורר את חשדו של עמית לעבודה וחבר המפלגה הנאצית, היינריך מון, שהסגיר אותו לשלטונות.
ב־11 באוגוסט 1942, בגיל 17, נשפט הלמוט היבנר כבגיר בבית הדין העממי בברלין, שהוסמך לדון בעבירות בגידה.
לאחר הקראת גזר הדין, עמד היבנר מול השופטים ואמר:
הוא קיווה כי הגישה הישירה והמתריסה שנקט תעורר את זעמם של השופטים כלפיו בלבד, ובכך תסייע להציל את חבריו לפעילות ההתנגדות.
כפי שנכתב בהכרזה הרשמית, הלמוט היבנר הורשע בקשירת קשר לביצוע בגידה חמורה ובהגשת סיוע לאויב– עבירות שנחשבו מהחמורות ביותר ברייך השלישי.
הוא נידון לא רק לעונש מוות, אלא גם לשלילת זכויותיו האזרחיות לצמיתות.
כתוצאה מכך, הותר לסוהרי הכלא להתעלל בו פיזית ונפשית.
הוא הוחזק בתא קר במיוחד, ללא מצעים או שמיכות, ונמנעה ממנו כל גישה לתנאי מחיה בסיסיים — חלק ממדיניות הענישה וההשפלה שכוונה כלפי מי שנחשבו בוגדים במדינה הנאצית.
היה זה חריג ביותר עבור המשטר הנאצי לשפוט קטין — ובוודאי לגזור עליו עונש מוות — אך בית הדין קבע כי הלמוט היבנר הפגין רמת אינטליגנציה הגבוהה מהממוצע לגילו.
יחד עם הידע הכללי והפוליטי שגילה, והתנהלותו הנחושה במהלך המשפט, סברו השופטים כי מדובר בנער בעל תודעה ובשלות יוצאות דופן לגילו.
לכן, כך נאמר בפסק הדין, יש להעניש את היבנר כאדם בוגר — ולא כקטין — בשל "מסוכנותו הרעיונית" והיכולת שלו להבין היטב את משמעות מעשיו.
עורכי דינו של הלמוט היבנר, אמו ואף סניף הגסטפו בברלין פנו בבקשת חנינה, בתקווה להמיר את עונש המוות למאסר עולם.
לטענתם, העובדה שהיבנר הודה באופן מלא במעשיו והפגין מוסריות וחרטה, הצביעה על כך שלא איבד את ערכיו – וראויה להתחשבות.
עם זאת, הנהגת הנוער של הרייך (Reichsjugendführung) התנגדה בחריפות.
לשיטתה, פעולותיו של היבנר יצרו איום ממשי על מאמץ המלחמה של העם הגרמני, ולכן גזר דין מוות היה הכרחי ונדרש כאזהרה.
ב-27 באוקטובר 1942, משרד המשפטים הנאצי אישר את פסיקת בית הדין המיוחד.
היבנר קיבל את ההודעה על דחיית החנינה בשעה 13:05 – ביום המיועד לביצוע ההוצאה להורג.
ב־27 באוקטובר 1942, בשעה 20:13, הוצא הלמוט היבנר להורג באמצעות עריפה בגיליוטינה בחדר ההוצאות להורג שבכלא פלצהנזה (Plötzensee) בברלין.
שני חבריו, קרל-היינץ שניבה ורודי וובה, שנעצרו אף הם בעקבות פעילות ההתנגדות, נידונו לעונשי מאסר: שניבה לחמש שנים, וובה לעשר שנים.
הם שרדו את המלחמה ושוחררו לאחר סיומה.
בשנת 1937, נשיא כנסיית ישוע המשיח של קדושי אחרית הימים, היבר ג'יי.
גרנט, ביקר בגרמניה וקרא לחברי הקהילה להישאר במקום, לשמור על שקט ולא לעורר בעיות.
כתוצאה מהקריאה הזו, היו בקהילה מי שראו בהלמוט היבנר גורם מפריע, שעלול לסבך את שאר חברי הכנסייה בגרמניה בהתנהגותו.
עמדת ההנהגה הכנסייתית לא השתנתה גם לאחר ליל הבדולח, שנה לאחר ביקורו של גרנט — אירוע שבו הותקפו בתי כנסת, עסקים ובתים יהודיים ברחבי גרמניה.
רק אז הוחלט לפנות את כל המיסיונרים הלא-גרמנים מגרמניה, אך לא ניתנה הנחיה לשנות את ההתנהלות הכללית של חברי הכנסייה המקומיים.
נשיא סניף כנסיית ישוע המשיח של קדושי אחרית הימים המקומי בהמבורג, ארתור זאנדר (1907–1989), היה תומך פעיל במפלגה הנאצית.
הוא אף תלה שלט בכניסה לבית התפילה שבו נכתב: "אין כניסה ליהודים."
כעשרה ימים לאחר מעצרו של הלמוט היבנר, ב־15 בפברואר 1942, טען זאנדר כי ביצע את נידויו מהכנסייה.
עם זאת, נידוי זה לא היה תקף, מכיוון שלא קיבל את האישור הנדרש מנשיא המחוז של הכנסייה, אוטו ברנדט, אשר הצהיר מאוחר יותר כי לא היה מאשר את ההחלטה בשום אופן.
והדביק שלט בכניסה לבית הכנסת ובו נכתב "יהודים אינם רצויים".
עשרה ימים לאחר מעצרו של הובנר, ב-15 בפברואר 1942, טען זנדר כי נידה את הצעיר.
[ 12 ] הנידוי לא היה תקף, מכיוון שלא היה בו האישור הנדרש מנשיא מחוז הכנסייה, אוטו ברנדט, שטען מאוחר יותר שלעולם לא היה חותם עליו.
בשנת 1946, ארבע שנים לאחר הוצאתו להורג ולאחר תום המלחמה, הכריזה הנשיאות הראשונה של כנסיית ישוע המשיח של קדושי אחרית הימים, יחד עם נשיא המיסיון הגרמני החדש, מקס צימר, כי נידויו של הלמוט היבנר בטל ומבוטל.
הם קבעו שההליך לא נעשה לפי הנהלים הנכונים, ולכן אינו תקף.
בנוסף, בשנת 1948, הוסמך היבנר לאחר מותו לדרגת זקן הקהילה (Elder) בכנסייה, וכל ברכות המקדש הוחזרו לו באופן רשמי.
צעדים אלו נועדו להבהיר כי חברותו בכנסייה מעולם לא הייתה מוטלת בספק.
מרכז נוער, בית ספר ושביל בעיר המבורג נקראים על שמו של הלמוט היבנר.
השביל, הנושא את שמו, עובר בין רחוב Greifswalder לרחוב Kirchenweg ברובע סנט גאורג.
בכלא פלצהנזה לשעבר בברלין, שבו הוצא היבנר להורג, הוקם תצוגה על התנגדותו, משפטו והוצאתו להורג — במקור בחדר הגיליוטינה שבו בוצע גזר הדין.
מאז שונתה התצוגה, וכיום היא מוקדשת גם לקורבנות נוספים של הנאצים.
במקום מניחים לעיתים קרובות זר פרחים לזכרו של היבנר ולזכר אחרים שהוצאו שם להורג.
לזכרו של היבנר קיימת גם אבן נגף – לוחית זיכרון קטנה המשובצת במדרכה – הנמצאת בכתובת Sachsenstraße 42 בשכונת המבורג-המרברוק.
ב־8 בינואר 1985, שישים שנה להולדתו של הלמוט היבנר, נערכו בהמבורג טקסי זיכרון רשמיים ביוזמת רשויות העיר.
שני חבריו להתנגדות, קרל־היינץ שניבה ורודי וובה, אשר היגרו לארצות הברית לאחר המלחמה, חזרו להמבורג לרגל האירוע.
הם היו אורחי כבוד ונשאו דברים בטקס — מחווה לזכר חברם ולמאבקם המשותף נגד המשטר הנאצי.
סיפורו של הלמוט היבנר היה נושא ליצירות ספרותיות, דרמטיות וקולנועיות שונות.
בשנת 1970, פרסם הסופר הגרמני גינתר גראס את ספרו "הרדמה מקומית" (Local Anaesthetic), העוסק בקבוצת היבנר.
הספר משלב את סיפור ההתנגדות של היבנר עם ביקורת חברתית עכשווית, תוך שהוא בוחן את יחס החברה הגרמנית לעבר הנאצי דרך עיני דור צעיר המתמודד עם זיכרון, אשמה ומורשת.
רוג'רס, מרצה באוניברסיטת בריגהאם יאנג (Brigham Young University), מחזה בשם "Huebener", אשר הועלה במספר הפקות ובמגוון מקומות לאורך השנים.
שני חבריו של היבנר שהועמדו עמו לדין, קרל-היינץ שניבה ורודי וובה, נכחו בכמה מן ההצגות — כל אחד מהם בנסיבות שונות.
וובה נפטר ממחלת הסרטן בשנת 1992, ושניבה הלך לעולמו בשנת 2010.
בפברואר 2014, זכה המחזה "Huebener" לבכורה בתיכון בעיר סנט ג'ורג', יוטה — מה שסימן את כניסתו גם לעולם החינוך והנוער בארצות הברית.
בשנת 1995 פורסם הספר When Truth Was Treason (כאשר האמת הייתה בגידה) — תיעוד ממקור ראשון של סיפורו של הלמוט היבנר, כפי שסופר על ידי חברו ושותפו להתנגדות קרל-היינץ שניבה.
הספר נכתב על ידי ההיסטוריון בלייר ר.
הולמס והמומחה לשפה הגרמנית אלן פ.
מהדורה מעודכנת של הספר יצאה לאור בשנת 2003.
Hitler, שנכתב על ידי ריצ'רד לויד, כולל ראיונות עם כל חבריו ובני משפחתו הקרובים של היבנר שעדיין היו בחיים בעת כתיבת הספר.
כמו כן, הוא מתבסס על מסמכים ראשוניים מתקופת החקירה תחת השלטון הנאצי, מה שהופך אותו למקור חשוב להבנת ההקשר ההיסטורי והאישי של סיפורו של היבנר.
רודולף גוסטב וובה (Rudolf Gustav Wobbe), אחד משותפיו של הלמוט היבנר להתנגדות, פרסם בשנת 1989 את ספרו Before the Blood Tribunal (לפני טריבונל הדמים).
הספר מתאר את סיפורו האישי של וובה, כולל משפטו בפני בית הדין המיוחד של העם בגרמניה הנאצית, שבו נידון ל־10 שנות מאסר בגין השתתפותו בפעילות התנגדות אנטי־נאצית.
בכתיבתו, רודי, כפי שהיה מוכר, מתאר את השתלשלות האירועים שהובילו למשפטם של שלושת הצעירים, ואת חוויותיו האישיות כאסיר פוליטי במערכת הכליאה של הרייך השלישי.
הספר יצא מאוחר יותר במהדורה מחודשת בשם: Three Against Hitler (שלושה נגד היטלר).
הרומן לנוער The Boy Who Dared (הנער שהעז) מאת סוזן קמפבל ברטולטי, שיצא לאור בשנת 2008, הוא סיפור בדוי אך מבוסס על חייו של הלמוט היבנר.
הספר מציג את סיפורו דרך עיניו של נער גרמני המתקומם נגד המשטר הנאצי, תוך התמקדות בהתלבטויותיו, אומץ לבו והמחיר הכבד ששילם.
ספר קודם של אותה סופרת, Hitler Youth: Growing Up in Hitler's Shadow (נוער היטלר: לגדול בצלו של היטלר), שיצא בשנת 2005 וזכה לציון לשבח של מדליית ניוברי, כולל גם הוא את סיפורו של היבנר, כחלק מהתיאור הרחב של חוויות בני נוער תחת שלטון הרייך השלישי.
סיפורו של היבנר תועד בסרט התיעודי משנת 2003 Truth & Conviction, שנכתב ובוים על ידי ריק מקפארלנד ומאט ויטאקר..
הסיפור תואר גם בסרט העצמאי "תנועת ההתנגדות " משנת 2012.
תערוכה על הלמוט היבנר בשם "אתה אולי לא מכיר אותו, אבל..." מאת האמנית הגרמנייה קורדולה דיץ.
במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, הלמה של פקטה היא למה העוסקת בגבול של סדרות תת-חיבוריות.
הלמה מספקת הערכה לקצב הגידול הליניארי של סדרות מסוג זה.
הלמה נקראת על-שם המתמטיקאי ההונגרי-ישראלי מיכאל פקטה שהוכיח אותה בשנת 1923.
בערך זה נסמן ב- את קבוצת המספרים הטבעיים.
קבוצה זו לא תכלול את המספר 0.
סדרה של מספרים ממשיים תקרא סדרה תת-חיבורית אם ורק אם לכל מתקיים ש:
הלמה של פקטה קובעת שלכל סדרה תת-חיבורית מתקיים ש:
כלומר, הסדרה שואפת לאינפימום שלה.
יש לשים לב שאינפימום זה יכול להיות .
כדי להוכיח שהגבול קיים ומתכנס לאינפימום, מספיק להוכיח כי:
כאשר ו- הם הגבול התחתון והגבול העליון בהתאמה.
שני אי-השוויונות השמאליים נכונים תמיד, לכן יש להוכיח אך ורק את אי-השוויון הימני .
משום שהסדרה תת-חיבורית, אפשר להוכיח באינדוקציה שלכל מתקיים ש:
מגדירים ואז נוסחה זו נכונה גם כאשר אחד מהרכיבים הוא 0 ובפרט .
לכל קיימים ו- כך ש-.
ערך זה תמיד מוגדר היטב מכיוון שזהו מקסימום של קבוצה סופית.
מחלקים את אי-השוויון לעיל ב- ומקבלים:
מאחר ש- נבחר שרירותית, הדבר נכון לכל , משמע .
מגדירים סדרה כך שלכל :
אפשר להוכיח כי הסדרה תת-חיבורית, זאת מכיוון שלכל :
סדרה של מספרים ממשיים תקרא סדרה על-חיבורית אם ורק אם לכל מתקיים ש:
באמצעות הלמה של פקטה אפשר להוכיח כי לכל סדרה על-חיבורית מתקיים ש:
כלומר, הסדרה שואפת לסופרמום שלה.
בדומה למקרה התת-חיבורי, סופרמום זה יכול להיות .
הוכחת מסקנה זו מתבצעת על-ידי השימוש בלמה של פקטה על הסדרה .
סדרה של מספרים ממשיים תקרא סדרה תת-כפלית אם ורק אם לכל מתקיים ש:
באמצעות הלמה של פקטה אפשר להוכיח כי לכל סדרה תת-כפלית שאיבריה חיוביים מתקיים ש:
הוכחת מסקנה זו מתבצעת על-ידי שימוש בלמה של פקטה על הסדרה כאשר היא פונקציית הלוגריתם הטבעי.
יש לשים לב שבגלל שהלמה של פקטה לסדרות תת-כפליות עוסקת בסדרות חיוביות, האינפימום בהכרח סופי והוא גדול או שווה ל-0. לעובדה זו ישנם שימושים משמעותיים, למשל:
לכל טור חזקות שהערכים המוחלטים של המקדמים שלו מהווים סדרה תת-כפלית יש רדיוס התכנסות גדול מ-0 (משפט קושי-אדמר)
לכל סריג קיים קבוע קשירות המצביע על קצב הגידול של מספר ההילוכים הנמנעים-עצמיים האפשריים.
תהי סדרה של מספרים ממשיים שעבורה קיים כך לכל מתקיים ש:
סדרה זו תקרה סדרה כמעט תת-חיבורית.
ניתן להוכיח כי היא תת-חיבורית:
ומצד שני , משמע שהגבול של שתי הסדרות הללו זהה.
הלמוט קרל ברנהארד פון מולטקה (גרמנית: Helmuth Karl Bernhard von Moltke; 26 באוקטובר 1800 – 24 באפריל 1891), היה גנרל-פלדמרשל גרמני מפורסם שנעשה לרוזן ב-1870.
פון מולטקה נולד בפרכים והצטרף לצבא הדני, ולאחר מכן, ב-1822, הצטרף לצבא הפרוסי.
מ-1835 ועד ל-1839 שירת כיועץ לצבא האימפריה העות'מאנית.
בשנת 1857 מונה לראש ה-Großer Generalstab (ראש המטה הכללי) במקום קרל פון רייהר וכיהן בתפקיד עד לשנת 1888. הוא תכנן והוביל בהצלחה מבצעים צבאיים במהלך מלחמת שלזוויג השנייה, במהלך המלחמה האוסטרו-פרוסית של 1866 ובמהלך מלחמת פרוסיה צרפת (1870-1871), שסללה את הדרך לאימפריה גרמנית המונהגת על ידי פרוסיה (1871).
הוא שירת בדיאט בקונפדרציה הצפון-גרמנית מ-1867 עד 1871, ומ-1871 ועד ל-1891 היה חבר ברייכסטאג, הפרלמנט הגרמני של זמנו.
ב-1888 הוא פרש מתפקיד ראש המטה הכללי, ויורשו היה אלפרד פון ולדרזה.
אחיינו, הלמוט יוהאן לודוויג פון מולטקה ("מולטקה הצעיר"), היה ראש המטה הכללי מ-1906 עד ל-1914.
כתב מספר עבודות על תאוריה צבאית.
התזה המרכזית שלו הייתה שיש להבין אסטרטגיה צבאית כמערכת של אפשרויות, מאחר שרק התחלת מבצע צבאי יכולה להיות מתוכננת.
כתוצאה מכך, הוא האמין כי מטרתם העיקרית של מנהיגים צבאיים היא להכיל את ההכנות הנרחבות של כל תוצאה אפשרית.
הצלחתו של מולטקה הייתה בהקמת רשת גיוס, אימון והצטיידות שהתבססה במידה רבה על תשתית הרכבות, אשר אפשרה ריכוז ושינוע מהיר ויעיל של צבא המילואים הפרוסי על ציודו אל החזית בזמן קצר.
כך, בשנת 1870, על אף שנפוליאון השלישי הצרפתי הוא שהכריז מלחמה, הצליח הצבא הפרוסי להגיע לעדיפות מספרית בגבול כאשר הצרפתים עוד היו עסוקים בגיוס.
יתרה מזו, קווי הלוגיסטיקה שתכנן מולטקה אפשרו אספקה טובה יותר לצבא הפרוסי בשטחי האויב מאשר תפקודם של קווי אספקה הצרפתיים בארצם-שלהם.
מולטקה היה כה בטוח בתכנונו ובתרגול הצבא, שלפי האגדה, בעת הגיוס של 1870, ישב וקרא ספר.