tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
שימוש בכלים מובנים במכשירים לניטור זמן מסך ולהגדרת מגבלות (כגון Screen Time ב־iOS ו־Digital Wellbeing באנדרואיד);
במקרים חמורים – פנייה לטיפול פסיכולוגי או התמכרויות, לעיתים בשילוב גישות כמו טיפול קוגניטיבי־התנהגותי.
ניקוי רעלים דיגיטלי (Digital detox) – תקופות קצרות או ממושכות של הימנעות יזומה משימוש במדיה דיגיטלית, לשם הפחתת עומס והתבוננות מחדש בהרגלים.
התנ"ך הוא הספר הנפוץ ביותר והמתורגם ביותר בעולם.
התנ"ך בשלמותו תורגם לכ-300 לשונות וחלקים ממנו תורגמו לכ-2,000 לשונות.
השפעת התנ"ך ניכרת בחיי יום-יום, כשההשפעה ניכרת בין היתר על השפה, התרבות ותחומים אחרים.
התנ"ך היה אחד ממעצבי הזהות של החברה הישראלית במהלך רובה של המאה ה-20. התנ"ך הוזכר על ידי דוברים ישראליים רבים כמקור לערכים לאומיים ואוניברסליים, כמו הקשר לארץ ישראל והדאגה לחלש.
במיוחד נודע בכך דוד בן-גוריון אשר ראה בתנ"ך את המרכיב השלישי במשולש עם-ארץ-ספר.
השפה העברית בארץ ישראל ספגה מהתנ"ך ביטויים רבים, ולימוד התנ"ך לדור הצעיר נחשב למשימה חשובה.
ראש הממשלה דוד בן-גוריון קיים בביתו חוג לתנ"ך, וחלק מנשיאי המדינה הלכו בעקבותיו.
בשנת העשור למדינת ישראל התקיים חידון התנ"ך הראשון, ובעקבותיו החלה מסורת של חידוני תנ"ך ברחבי הארץ.
בשנת 1963 נערך חידון התנ"ך העולמי לנוער, ששודר ברדיו ואחר כך בטלוויזיה וזכה לפופולריות.
התנ"ך הפך לאחד ממקצועות הלימוד המרכזיים בישראל, בבתי ספר ממלכתיים ודתיים, והוא ממקצועות חובה בבחינות בגרות.
בקהילות אורתודוקסיות בישראל, התנ"ך נתפס כספר מחייב ויום-יומי, המהווה בסיס לחוקי היהדות ומורה דרך להתנהלות בחיי היומיום.
מאז שנות ה-70 חלה ירידה במעמד התנ"ך בישראל, לטענת פרופ' אניטה שפירא בעקבות מפגש עם הבעיה הפלסטינית לאחר מלחמת ששת הימים וניכוס התנ"ך על ידי תנועות פוליטיות כגוש אמונים.
היא מציינת גם מעבר מפרשנות ביקורתית לפרשנות מסורתית, בהובלת פרופ' נחמה ליבוביץ, שגרם להתרחקות מלימודי התנ"ך.
לעומתה, פרופ' יאירה אמית סבורה כי דווקא באותן שנים התחזקה הביקורת המקראית בבתי הספר, ומכחישה את הטענה שבעבר הייתה אהבה רבה יותר ללימודי תנ"ך, היות שבכל מהלך המאה ה-20 התלוננו על הכישלון בהוראת התנ"ך.
יישובים רבים בישראל נוסדו באתרם של יישובים תנ"כיים או סמוך אליהם, ולכן נושאים את השם המקראי של המקום, לדוגמה: שילה, מגידו ובית חורון.
בחלק מערי ישראל התקיימה התיישבות רצפיה מאז תקופת המקרא כמו: ירושלים, חברון, בית לחם, יפו, עכו, שכם, באר שבע ואשקלון.
חלק מהיושבים נקראים על שמם של שבטי ישראל ונחלותיהם: בני שמעון, מעלה אפרים, רמות מנשה.
יש יישובים בישראל להם שמות סמליים בהשראת צירופי-מילים מפסוקי התנ"ך כגון ראשון לציון, ראש פינה ופתח תקווה.
יישובים ואזורים רבים בעולם נקראים על שם מקומות המוזכרים בתנ"ך.
לדוגמה: , ובית לחם, בפנסילבניה (ארצות הברית).
הספרות והאמנות הושפעו גם הם רבות מהתנ"ך.
סופרים רבים קבלו את השראתם מהתנ"ך, גם אם בכתיבתם הוסיפו נופך ופרשנות משלהם למוטיבים או גבורים מספר הספרים.
כך לדוגמה "שמשון" של זאב ז'בוטינסקי, או "יוסף ואחיו" של תומאס מאן או "כבשת הרש" של משה שמיר.
בשנת 2020 פורסמה סדרת ספרי פרוזה המנגישים את התנ"ך וחוברו על ידי הסופר אייל כהן.
מוזיקאים מהשורה הראשונה כתבו בהשראת סיפורי התנ"ך.
מספר דוגמאות: "שמשון ודלילה" של קמיל סן סנס, "בריאת העולם" של היידן, והנדל שכתב מוזיקה על שורה של דמויות מהמקרא: שאול, יוסף, יפתח, אסתר ודבורה הנביאה.
משוררים יהודיים רבים משלבים פסוקי-תנ"ך ביצירותיהם, בצורות שונות.
בשירה "אחותי רוחמה" שבצה נעמי שמר ביטויים מספר שיר השירים.
השראה של התנ"ך על שירים נמצאת גם בשירה המפורסם של להקת כוורת שנכתב על ידי דני סנדרסון "גוליית".
אמנם השיר מכיל פרטים שאין קשר בינם לבין התנ"ך או אפילו לגבי המציאות (גוליית ששמו דומה לאפריים), אך השיר מבוסס על הסיפור התנ"כי של דוד וגוליית.
גם בפיסול ובציור נלקחים נושאים רבים מסיפורי התנ"ך.
דוגמאות בולטות לפיסול של נושאים תנ"כיים הם הפסלים משה ודוד של מיכלאנג'לו בואונרוטי.
בין יצירותיו של הצייר רמברנדט ציורו המפורסם "משה שובר את הלוחות".
גם הצייר גוסטאב דורה שצייר מאות תמונות שמהוות גם פרשנות לסצנות מהתנ"ך.
בשנת 2010 יצא לאקרנים הסרט הסאטירי "זוהי סדום", בהשתתפות כוכבי "ארץ נהדרת", שהתבסס על סיפור סדום ועמורה מספר בראשית והציג ביקורת הומוריסטית על סיפורי התנ"ך.
הסדרה "היהודים באים" מקדישה חלק ניכר מהמערכונים הסאטירים שלה לסיפורי המקרא.
התמרת פוּרְיֵיה (נקראת גם טרנספורם פורייה; ) היא התמרה אינטגרלית המשמשת ככלי מרכזי באנליזה הרמונית.
התמרת פורייה היא פירוק של פונקציה לרכיבים מחזוריים (סינוסים וקוסינוסים או לחלופין אקספוננטים מרוכבים) וביצוע אנליזה מתמטית לפונקציה על ידי ניתוח רכיביה.
בשל כך ניתן לראות את ההתמרה בתור מיפוי בין מרחב הזמן למרחב התדר.
שיטה זו פותחה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה וקרויה על שמו.
להתמרות פורייה יש שימוש נרחב מאוד בפיזיקה, בהנדסה ובכל תחום העוסק בפולסים ובגלים, ובפרט באופטיקת גלים ובמכניקת הקוונטים.
התמרת פורייה היא אחד הכלים החשובים בהנדסת חשמל ומהווה את הבסיס המדעי לפיתוחים טכנולוגיים בתחומי התקשורת הספרתית, עיבוד אותות ומערכות ליניאריות, עיבוד תמונה וקידוד.
כמו כן, התמרת פורייה משמשת ככלי בתחומים רבים נוספים של המתמטיקה, למשל בתור כלי עזר לפתרון של משוואות דיפרנציאליות, או בתורת המספרים האנליטית (למשל נוסחת הסכימה של פואסון).
בפיזיקה של מצב מוצק ניתן להשתמש בהתמרת פורייה למעבר מהסריג הישיר (כלומר סריג המתאר את מבנה הגביש במרחב המקום) לסריג הופכי (סריג המתאר את אותו הגביש ב"מרחב הגל").
התמרת פורייה מהווה כלי חשוב בניתוח של צלילים משום שצליל צלול (תו בתדר בודד) הוא למעשה גל קול המתנודד בזמן בתדר מסוים.
ההתמרה מאפשרת לנתח צלילים ולבודד את התדרים המרכיבים אותם.
באופן כללי יותר, התמרת פורייה מאפשרת לאתר רכיבים מחזוריים בתוך פונקציה, ולכן יש לה שימוש רחב בניתוח אותות ובעיבוד תמונה.
ההתמרה היא הרחבה לטור פורייה – כאשר זמן המחזור של הפונקציה המחזורית בטור פורייה שואף לאינסוף מתקבלת התמרת פורייה.
מוטיבציה – פירוק לפונקציות הרמוניות
התמרת פורייה נוצרה מהצורך לפרק כל פונקציה, לצירוף של כמה פונקציות הרמוניות, כאשר פונקציה הרמונית מוגדרת כפונקציה מחזורית בעלת תדירות זוויתית (לפעמים נקראת בקיצור "פונקציה הרמונית" או פשוט "הרמוניה").
הצורה הכללית של פונקציה הרמונית היא:
צירוף ליניארי של כמה פונקציות כאלה נותן ביטוי מהצורה הכללית:
כאשר הוא זמן המחזור של , ו־ היא התמרת פורייה ההפוכה של עבור המחושב כך:
על ידי הכפלת כל מקדם בהרמוניה המתאימה לו וסכימת המכפלות, מקבלים את הפונקציה המקורית כסכום של פונקציות אורתונורמליות (כלומר פונקציות בלתי תלויות ליניארית שהנורמה של כל אחת מהן היא 1).
כל אחד מהמקדמים, בתחום הנדסת החשמל ובייצוג של האות (סיגנל) המקורי כתלות בזמן, מייצג עוצמה של תדר במערכת היחידות החדשה שאליה הומר על ידי התמרת פורייה ההפוכה.
כאשר בביטוי האחרון לשם מציאת המקדם, משתמשים בדרך כלל בתוך בערכים של הפונקציה מצורתה הרגילה, כלומר בערכים מתוך הפונקציה המקורית.
– מרחב הפונקציה המותמרת – נקרא מרחב התדירות הזוויתית, או פשוט מרחב התדר.
אפשר לראות את המשרעת והפאזה של כרכיבים של אות מחזורי בעל תדירות זוויתית .
למרחב המקורי קוראים מרחב הזמן.
משמעות ההתמרה למרחב התדר היא שמקבלים פונקציה מרוכבת שמחזירה עבור כל תדירות את המשרעת והפאזה המתאימות על ידי מספר מרוכב (ערכו המוחלט הוא המשרעת, והזווית שלו היא הפאזה).
דבר זה נותן כלי חזק מאוד לניתוח התנהגות של פונקציות מבחינת התדר.
דוגמה לשימוש בהתמרה: בקובצי שמע ניתן לפרק את גל הקול לפונקציות הרמוניות ולהסיר מהקובץ את התדירויות הגבוהות (על ידי מסנן מעביר תדרים נמוכים – low-pass filter) שהאוזן לא שומעת ובכך להקטין את נפח הקובץ באופן משמעותי.
התמרת פורייה של פונקציה מוגדרת כפונקציה כך שמתקיים:
אפשר להגדיר את ההתמרה בעזרת קבועים אחרים, בחירת הקבועים נעשית משיקולי נוחות.
ההתמרה מוגדרת רק עבור פונקציות שעבורן אינטגרל כזה מוגדר ולא מתבדר.
האינטגרל קיים עבור פונקציות שהן אינטגרביליות בערכן המוחלט לפי לבג, כלומר פונקציות ב-.
מכאן ניתן להגדיר את התמרת פורייה בקבוצה שהיא קבוצה צפופה ב-.
בשלב הבא מרחיבים את ההתמרה על כל , ומקבלים שהתמרת פורייה מוגדרת על אוסף הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג – שהוא מרחב הילברט.
באופן דומה, אפשר להגדיר את ההתמרה בצורה הבאה (התמרה זו נקראת התמרת פורייה הפוכה).
זו ההתמרה של פונקציה שניתנת על ידי:
אפשר לראות שהפעלת התמרת פורייה ההפוכה על התמרת פורייה מחזירה את הפונקציה המקורית.
אפשר לכתוב כל פונקציה , שהיא פונקציה אינטגרבילית בריבוע לפי לבג (אפשר לכתוב זאת בקיצור כך ) כצירוף ליניארי (אינטגרלי) של פונקציות הרמוניות בעלות תדר יחיד באופן הבא:
נקראת "ההצגה של במרחב התדר" בעוד שהפונקציה נקראת "ההצגה של במרחב הזמן".
ניתן להצדיק נוסחה זאת משיקולים של אורתוגונליות במרחב .
ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב התדר את הפונקציה המתאימה במרחב הזמן על פי משוואה (1) נקראת "התמרת פורייה הפוכה".
ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב הזמן את הסט הרציף של המשרעות והפאזות עבור כל תדירות (למעשה, זוהי פונקציה במרחב התדר) על פי משוואה (2) נקראת "התמרת פורייה".
לעיתים מחליפים בין המונחים הנ"ל בספרים שונים.
מספר סימונים שונים נהוגים עבור התמרת פורייה וכן ישנן מספר מוסכמות איפה להכניס את גורמי הנרמול בסך .
הוספת גורם הנרמול באחד מכיווני ההתמרה.
הוספת גורם נרמול לפני כל אחת מההתמרות.
הוספת גורם הנרמול להגדרת המכפלה הפנימית.
גישת הסימונים שהופיעה בהגדרה השנייה היא הגישה הנפוצה בפיזיקה ובהנדסה.
היא גם שכיחה במתמטיקה עיונית, אם כי בתחום זה גם גישות סימון אחרות זוכות לתפוצה רחבה.
העיקרון המתמטי שמאחורי התמרת פורייה
מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג
המרחב הוא מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג.
מרחב זה, בצירוף המכפלה הפנימית
אוסף הפונקציות מהווה מערכת אורתונורמלית שלמה, שהיא מעין הכללה של בסיס אורתונורמלי, משמע:
כאשר הפונקציה היא פונקציית דלתא של דיראק.
מערכת זו נקראת במתמטיקה "הבסיס ההרמוני" ואילו בפיזיקה קוראים לפונקציות אלה "גלים מישוריים".
במובן זה, המשמעות של הפונקציה המותמרת היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני, משמע .
והמשמעות של ההתמרה ההפוכה היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני המוצמד .
ניתן לראות את התמרת פורייה כאופרטור .
אופרטור זה הוא איזומטריה (כלומר על ושומר מרחקים).
ניתן אף להגדיר את התמרת פורייה בגישה זאת, כאשר בהתחלה מגדירים את האופרטור על קבוצה צפופה (מרחב שוורץ למשל) עליה הוא איזומטריה, ומרחיבים מרציפות.
לעיתים נהוג לסמן את ההתמרה כפונקציה של הפונקציה המקורית שמחזירה פונקציה אחרת:
או בעזרת אופרטור ה"כובע" על הפונקציה המקורית:
מאחר שסימן ה"כובע" פשוט יותר, הוא יותר מקובל מהשימוש באותיות גדולות או באותיות מסולסלות.
כמו כן, את התמרה פורייה ההפוכה נהוג לסמן על ידי כובע הפוך:
לעיתים, כאשר הממשק הגרפי איננו מאפשר ציור "כובע" רחב, שמים את הביטוי המבוקש בסוגריים ואופרטור ה"כובע" (או הכובע ההפוך) מופיע מעליהם בדומה לסימון של חזקה.
התמרת פורייה לאותות בזמן בדיד (DTFT)
התמרת פורייה בזמן בדיד (discrete-time Fourier transform) היא למעשה טור פורייה (כאשר עושים החלפת משתנים בין t ל־θ).
נניח ש־ הוא אות בזמן בדיד, אזי התמרתו נתונה על ידי:
כאשר תנאי מספיק לקיום ההתמרה הוא:
וההתמרה ההפוכה נתונה על ידי:
הסבר אינטואיטיבי על מחזוריות התדר:
אות בזמן בדיד הוא הכפלה של הפונקציה בזמן רציף ב"רכבת הלמים" כאשר רכבת הלמים מוגדרת כך:
כאשר הוא זמן המחזור של הרכבת.
מישור התדר "רגיש" לקפיצות חדות במישור הזמן, כלומר אם יש אי רציפות או שיפוע מאוד גדול בפונקציה, זה גורר תדרים גבוהים.
עיקרון זה נובע מהכלל שיוסבר בהמשך:
משמעותו היא שגזירה של אות במרחב משפיעה בצורה ליניארית על מישור התדר, כך שהתדרים הגבוהים מקבלים משרעת גבוהה עם עליית התדר.
לכן בעת מכפלה של הפונקציה המקורית ברכבת הלמים, שהיא מחזורית, מישור התדר יתנהג כמו פונקציית ההלמים ויהיה מחזורי.
אפשר להסביר זאת גם מבחינה מתמטית מהעיקרון שמכפלה בזמן שקולה לקונבולוציה בתדר,, והתמרת פורייה של רכבת הלמים שווה לרכבת הלמים (עם זמן מחזור שונה ומשרעת שונה), כך שהכפלת האות ברכבת הלמים בזמן יוצרת קונבולוציה של ספקטרום התדירויות של האות עם רכבת הלמים.
מהעיקרון שקונבולוציה של כל פונקציה עם הלם היא הזזה של הפונקציה למקום ההלם, מתקבלת פונקציה מחזורית שכל מחזור בה הוא העתקה של ספקטרום התדירויות המקורי.
מפיתוח מתמטי זה עולה שאם דוגמים אות בזמן בדיד, החל מתדר דגימה מסוים (המכונה "תדר נייקוויסט"), אפשר לשחזר את האות במלואו ללא איבוד שום מידע שהרי במישור התדר כל ספקטרום התדירויות של האות המקורי נשמר, רק ששוכפל אינסוף פעמים.
נוצרה פה תופעה מעניינת: דגימה בזמן שקולה למחזוריות בתדר.
וגם להפך – התמרת פורייה של אות אינסופי שערכו 0 החל מזמן מסוים (בערך מוחלט), זהה להרחבה מחזורית של אותו האות (טור פורייה), כלומר הרחבה מחזורית בזמן שקולה לדגימה בתדר.
התמרת פורייה לאותות סופיים (או מחזוריים) בזמן בדיד (DFT)
התמרת פורייה הבדידה (DFT) מוגדרת על ידי:
ההתמרה במקרה זה היא העתקה ליניארית חח"ע ממרחב ה-N-יות על עצמו.
התמרה זו היא ההתמרה היחידה בה הסכימה היא סופית, דבר שהופך אותה לשימושית מאוד עבור שימושי המחשב.
משמעות ההתמרה היא מעבר בין בסיסים ליניאריים.
מקובל לסמן את ההרמוניה הבסיסית כך:
על ידי סימון זה, ניתן לכתוב את מטריצת המעבר בין בסיס הזמן לבסיס התדר:
מטריצה זו היא אוניטרית (עד כדי קבוע), הפיכה ומוגדרת חיובית.
משמעות הדבר היא שבמעבר למישור התדר אין איבוד מידע (אפשר לחזור למישור הזמן על ידי הכפלה במטריצה ההפוכה) ואין שינוי באנרגיה (אוניטרית, הערכים העצמיים שווים ל-1 בערכם המוחלט).
כאשר עוברים למישור התדר מתקבל וקטור שמשמעותו הוא המשערת הנדרשת עבור כל הרמוניה כדי לבנות את אותו הווקטור כצירוף ליניארי של כל ההרמוניות (וזהו למעשה, ההרכב הספקטרלי של האות).
ככל שיהיה יותר דגימות בזמן, כך מימד המטריצה עולה.
משמעות הדבר שהאות מיוצג על ידי יותר תדרים והרזולוציה בתדר עולה.
התמרה זו שימושית מאוד בעיבוד אותות ספרתי.
מימוש נאיבי של ההתמרה על וקטור מימד n עובד בסיבוכיות .
קיים גם אלגוריתם מהיר למימוש ההתמרה בשם FFT בסיבוכיות .
הקשר בין DFT ל-DTFT והעיוות שנוצר ב-DFT
ניתן להסתכל על הווקטור הסופי שעליו מבצעים DFT בזמן כווקטור אינסופי שעליו מבצעים DTFT כאשר כל הדגימות שאינם הווקטור עצמו שוות ל-0. מבט זה מסביר תופעה של עיוות ספקטרלי שנוצרת ב-DFT.
ניקח לדוגמה פונקציית קוסינוס פשוטה.
התמרת ה-DTFT שלה היא "דלתא" בתדר, כלומר, היא מורכבת רק מתדר אחד.
אמנם אם נעבור לזמן סופי, הדבר שקול להכפלה של הקוסינוס ב"חלון", הקוסינוס מוכפל בפונקציה שמאפסת את כל מה שלא בתחום ההגדרה שלה.
כאשר עוברים למישור התדר ההכפלה בחלון הופכת לקונבולוציה עם ההתמרת פורייה של החלון (שהיא למעשה פונקציית sinc) ובמקום "דלתא" יפה בתדר מתקבלת "זליגת אנרגיה" בין תדרים סמוכים.
כדי להתגבר על מכשול זה משתמשים בשיטת החלונות (שינוי צורת החלון כך שיוריד את העיוות) או באלגוריתם "WOLA FFT" (ביצוע DFT על ממוצע של מספר חלונות).
התמרת פורייה והתמרת פורייה ההפוכה הן ליניאריות, כלומר:
על תכונות של העתקות ליניאריות ראו בערך העתקה ליניארית.
זהות פרסבל היא מקרה פרטי אך שימושי ביותר של משפט פלנשרל.
הפירוש של תכונה זאת היא שימור הנורמה, כלומר האוניטריות של התמרת פורייה.
העיקרון הפיזיקלי של זהות פרסבל הוא שסך האנרגיה של האות במישור הזמן שווה לסך האנרגיה במישור התדר.
התמרת פורייה מקיימת את הזהויות הבאות בקשר לקונבולוציה:
התכונות האלו של התמרת פורייה הופכות אותה לשימושית מאוד בחישובים מורכבים נומריים,
במקום לעשות קונבולוציה (שהיא למעשה סכימה על כל המרחב של הכפלות של פונקציות), ניתן להתמיר את הפונקציות למרחב פורייה ושם לכפול אותן פעם אחת ולהחזיר את התוצאה בהתמרה ההפוכה.
לעיתים רבות הדרך השנייה יותר מהירה חישובית.
קונבולוציה כוללת 3 פעולות: שיקוף הזזה וסכימה (אינטגרציה) והפונקציה המתקבלת היא פונקציה של t כלומר התוצאה תלויה במידת ההזזה.
כמו כן התמרת פורייה כוללת הכפלה ב וסכימה כאשר מתקיימת הנוסחה , כלומר, ההזזה בזמן שקולה להכפלה באקספוננט בתדר.
משמעות הדבר היא שהזזה במישור הזמן, משמעותה "סיבוב ליניארי" במישור התדר.
כדי להזיז פונקציה בשלמותה, צריך להזיז את התדרים שבה בלי לפגוע בשלמות הפונקציה.
כדי לעשות זאת, צריך להזיז את התדרים הנמוכים יותר מהתדרים הגבוהים (בזמן שתדר זז מחזור שלם תדר זז 2 מחזורים).
התמרת פורייה מתנהגת בצורה נוחה במיוחד ביחס לפעולת הגזירה.
מאחר שמותר להכניס את סימן הגזירה תחת האינטגרל, קל לראות כי:
כלומר, גזירה במרחב הזמן שקולה פשוט לכפל ב־ במרחב התדר.
תכונה שימושית זו נובעת מכך שהפונקציה המעריכית היא פונקציה עצמית של אופרטור הגזירה, שכן
תכונה זו הופכת את התמרת פורייה למאוד שימושית בעבודה עם מערכות שמאופיינות על ידי משוואה דיפרנציאלית (כגון מערכת LTI).
ההכללה לפונקציות ב־ ממדים היא מיידית.
אם פונקציה אינטגרבילית לבג, אזי הפונקציה נקראת "ההצגה של f במרחב וקטור הגל" ונתונה על ידי
וההתמרה ההפוכה מחזירה את הפונקציה המקורית ומוגדרת על ידי:
הוא אינטגרל "נפחי" על כל המרחב (משמע ).
הטבלאות הבאות מכילות מספר התמרות שימושיות.
ו־ מציינות את ההתמרות של ו־ בהתאמה.
רק שלוש המוסכמות הנפוצות ביותר מובאות כאן.
פונקציה התמרת פורייה אוניטרית, תדירות רגילה התמרת פורייה אוניטרית, תדירות זוויתית התמרת פורייה לא-אוניטרית, תדירות זוויתית הערותהגדרות 101ליניאריות 102הסטה בזמן 103הסטה בתדר, דואלי ל־102 104שינוי קנה מידה בתחום הזמן.
אם גדול, אזי מרוכז סביב 0 ו־ נמרחת ומונמכת.
105אותה התמרה מופעלת פעמיים, אבל t מחליף את משתנה התדר (ξ או ω) לאחר ההמרה הראשונה.
f היא פונקציית שוורץ 106.5אינטגרציה.
היא פונקציית דלתא של דיראק ו־ היא הממוצע (רכיב DC) של כך ש־ 107הדואלי של 106 108הסימון מסמן קונבולוציה של ו־ — כלל זה הוא משפט הקונבולוציה 109הדואלי של 108 110עבור ממשיתסימטריה הרימיטית.
113עבור מדומה טהורה הוא צמוד מרוכב.
הכללה של כללים 110 ו־113.115כלל זה נובע מכללים 101 ו־103, תוך שימוש בנוסחת אוילר:116כלל זה נובע מכללים 101 ו־103, תוך שימוש בנוסחת אוילר:
פונקציה התמרת פורייה אוניטרית, תדירות רגילה התמרת פורייה אוניטרית, תדירות זוויתית התמרת פורייה לא-אוניטרית, תדירות זוויתית הערותהגדרות201פונקציית המלבן.
פונקציית sinc מנורמלת מוגדרת כאן כ־ 202הדואלי של 201. פונקציית המלבן היא מסנן מעביר נמוכים (LPF) אידיאלי, ופונקציית sinc היא התגובה להלם שלו, מה שמורה על כך שמסנן זה אינו סיבתי.
פונקציית sinc מוגדרת כאן כ־ 203 הפונקציה היא פונקציית המשולש 204 הדואלי של 203. 205הפונקציה היא פונקציית מדרגה, ו־.
206מכאן רואים שעבור התמרת פורייה אוניטרית, פונקציית גאוס מהצורה היא התמרת פורייה של עצמה עבור ערכים מסוימים של .
על מנת שהיא תהיה אינטגרבילית, צריך להתקיים .
התמרת פורייה של התפלגות מעריכית כפולה (התפלגות לפלס) היא פונקציית לורנץ.
209התמרת פורייה של סקאנט היפרבולי היא גם סקאנט היפרבולי.
210 הוא פולינום הרמיט מסדר n.
אם אז פונקציות גאוס־הרמיט הן פונקציות עצמיות של אופרטור התמרת פורייה.
פונקציה התמרת פורייה אוניטרית, תדירות רגילה התמרת פורייה אוניטרית, תדירות זוויתית התמרת פורייה לא-אוניטרית, תדירות זוויתית הערותהגדרות 301 היא פונקציית דלתא של דיראק.
עבור מקרה בו מרוכב, ראו כלל 206 לעיל.
309 הוא מספר טבעי, ו־ היא הנגזרת ה־n של פונקציית דלתא של דיראק.
כלל זה נובע מכללים 107 ו־301. באמצעות כלל 101 ניתן להרחיב כלל זה לכל פולינום.
310הדואלי של 309. היא הנגזרת ה־n של פונקציית דלתא של דיראק.
כלל זה נובע מכללים 106 ו־302. 311 היא פונקציית הסימן.
כדי לעבוד איתה במסגרת תורת ההתפלגויות צריך להשתמש בערך העיקרי של קושי כאשר בודקים אותה מול פונקציות שוורץ.
כלל זה יכול להיות שימושי בלימוד התמרת הילברט.
312 היא התפלגות הומוגנית המוגדרת לפי הנגזרת ההתפלגותית 313הנוסחה הזאת תקפה עבור .
עבור , מופיעים כמה איברים סינגולריים בראשית, שניתן למצוא על ידי גזירה של 320. אם , אז פונקציה אינטגרבילית באופן מקומי , ולכן היא התפלגות מחוסמת (tempered distribution).
הפונקציה היא פונקציה הולומורפית מהחצי הימני של המישור המרוכב (RHP) למרחב הפונקציות המחוסמות.
היא מאפשרת הרחבה מרומורפית ייחודית עבור התפלגות מחוסמת, המסומנת גם עבור .
מקרה פרטי של 313. 314הדואלי של 311. במקרה זה יש להתייחס להתמרת פורייה כערך העיקרי של קושי.
ניתן להוכיח כלל זה מכללים 302, 102 ומכך שמתקיים:.
317הפונקציה היא פונקציית בסל מהסוג הראשון מסדר 0. 318כלל זה הוא הכללה של כלל 317. הפונקציה היא פונקציית בסל מהסוג הראשון מסדר n.
הפונקציה היא פולינום צ'בישב מהסוג הראשון.
יש צורך להשתמש באינטגרל חלק סופי (finite part integral) בעת בדיקה של ⁠ או מול פונקציות שוורץ.
השיטה הספציפית המשמשת להגדרת אינטגרל החלק הסופי הזה יכולה להשפיע על המקדם של פונקציית הדלתא.
320נוסחה זאת תקפה כאשר .
פתרון משוואות דיפרנציאליות (בעיקר חלקיות)
התמרת לפלס היא כלי מתמטי שהשימוש בו מקל מאוד על ניתוח ההתנהגות של מערכות ליניאריות ללא תלות בזמן, כגון מעגלים חשמליים ומערכות מכניות ואופטיות.
ההתמרה קרויה על-שמו של פייר-סימון לפלס.
את התהליך בו מבצעים התמרת לפלס לפונקציה מקובל לסמן .
אם היא פונקציה ממשית, נהוג לסמן את ההתמרה שלה ב-, והיא מוגדרת לפי האינטגרל המסוים .
התמרת לפלס היא התמרה אינטגרלית: פונקציה המקבלת פונקציה (ממשית או מרוכבת) ומחזירה פונקציה מאותו סוג.
ההתמרה היא העתקה ליניארית ממרחב הפונקציות הממשיות לעצמו (למעשה, ההעתקה מוגדרת רק בתנאים מסוימים, כפי שיתואר בהמשך).
ייחודה הוא בכך שהיא מקיימת את הזהות , וכך היא הופכת נגזרת של פונקציה לכפל של הפונקציה במשתנה, תכונה המקלה על ניתוח של מערכות דינמיות ליניאריות הקבועות בזמן.
ההתמרה שימושית במיוחד בפתרון של משוואות דיפרנציאליות.
בהנדסת חשמל מקובל לומר שהתמרת לפלס מעבירה ממישור הזמן למישור התדר, אף על פי שלמישור לפלס אין כלל משמעות של תדר.
ההתמרה שמעבירה ממישור הזמן למישור התדר היא התמרת פורייה (למעשה, אם s הוא מדומה טהור, התמרת לפלס זהה להתמרת פורייה).
מישור לפלס הוא מישור מדומה ללא משמעות פיזיקלית פשוטה והוא משמש לפתרון משוואות דיפרנציאליות.
התמרות אינטגרליות הוצגו לראשונה על ידי לאונרד אוילר שפתר בעזרת ההתמרות משוואות דיפרנציאליות רגילות ליניאריות מסדר שני.
לפלס עצמו מזכיר בכתביו את עבודתו של אוילר על התמרות אינטגרליות.
היה זה שפיצר שהצמיד את שמו של לפלס לביטוי שאוילר השתמש בו.
בסוף המאה ה-19 הרחיבו המתמטיקאים פואנקרה, פינקרלה , אבל ופיקאר את התמרת לפלס גם למישור המרוכב ולשני משתנים.
במאה ה-20 שכללו החוקרים הארי בייטמן , ברנשטיין, דוטש , הביסייד וברומיץ' את התמרת לפלס.
כאמור, התמרת לפלס פועלת גם במישור המרוכב, ובמקום הדרישה מגיעה הדרישה .
השוויון האחרון מתקיים מכיוון ש:
באופן דומה ניתן להראות כי: .
לכן, על פי הליניאריות של ההתמרה נקבל כי:
ניתן לראות שאם s הוא מדומה טהור (כלומר, ) התמרת לפלס הופכת להתמרת פורייה.
נשאלת השאלה לאילו פונקציות קיימת התמרת לפלס.
על פי ההגדרה, אם האינטגרל מתכנס אז ההתמרה קיימת, אבל קיים גם מדד עבור הפונקציה עצמה – הסדר המעריכי שלה:
לפונקציה יש סדר מעריכי בגובה אם קיימים קבועים כך שלכל מתקיים .
לדוגמה, הסדר המעריכי של הוא ( יכול להיות שלילי), הסדר המעריכי של הוא 0 (כי נוכל לבחור מספיק גדול), ולפולינומים יש סדר מעריכי כלשהו גדול מ-0 (שוב, כי נוכל לבחור מספיק גדול, ובאינסוף אקספוננט "מנצח" פולינום).
ל־ לעומת זאת, לא קיים סדר מעריכי כי לא ניתן לחסום אותה עם אקספוננט.
ואז אם רציפה למקוטעין על חצי-הישר הימני, ומסדר מעריכי אז קיימת לה התמרת לפלס לכל (במקרה הממשי – ).
כלומר, האקספוננט צריך "למשוך למטה" חזק יותר.
בעוד שלכל פונקציה המקיימת את התנאים האמורים קיימת התמרת לפלס, קיימות פונקציות שאינן מקיימות תנאים אלו, ובכל זאת קיימת להן התמרה.
לדוגמה, לפונקציה לא קיים סדר מעריכי אך קיימת לה התמרת לפלס לכל .
בהינתן שתי פונקציות, ו־, וההתמרות לפלס שלהן הן ו- בהתאמה,
ניתן להראות שהתמרת לפלס של כל פונקציה רציפה למקוטעין ובעלת סדר מעריכי, מתכנסת בהחלט ובמידה שווה.
אם רציפה למקוטעין על חצי הישר הימני ובעלת סדר מעריכי אז .
רואים בטבלת ההתמרות כי מעלת המכנה תמיד גבוהה ממעלת המונה.
התמרת לפלס של טורי חזקות
על ידי שימוש בתכונת הליניאריות ובטבלת ההתמרות, נקבל: .
לטורי חזקות אינסופיים, לעומת זאת, לא תמיד קיימת התמרת לפלס.
התמרת לפלס עבור טור החזקות קיימת אם הטור מתכנס לכל , וקיים טבעי כך שלכל ולכל מתקיים .
אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות אז מתקיים:
משפט זה נוח במיוחד כאשר מעוניינים בערך ההתחלתי של הפונקציה במישור הזמן, משום שהוא אינו מחייב את חישוב של התמרת לפלס הפוכה של .
אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות וכל הקטבים של נמצאים בחצי המישור השמאלי, ולכל היותר ישנו קוטב בודד בראשית, אז מתקיים:
משפט זה שימושי כאשר מעוניינים בהתנהגות המערכת לאחר ריסון תנאי ההתחלה.
מייצג את פונקציית דלתא של דיראק.
, מספר ממשי, בדרך-כלל מייצג זמן, אף על פי שיכול לייצג כל מימד בלתי-תלוי.
הוא מספר מרוכב המסמל את התדירות הזוויתית.
, ו־ הם מספרים ממשיים.
מערכת סיבתית היא מערכת שבה התגובה להלם היא אפס לכל זמן (כלומר ).
בפתרון משוואות דיפרנציאליות בעזרת התמרת לפלס, מנצלים את הזהות , שמקשרת בין התמרת לפלס של הנגזרת לבין התמרת לפלס של הפונקציה.
בהינתן משוואה דיפרנציאלית רגילה הכוללת נגזרות מסדרים שונים, ניתן לבצע התמרת לפלס על המשוואה, לבודד את הביטוי להתמרת לפלס של הפונקציה הנעלמת – ואז לבצע התמרת לפלס הפוכה ולמצוא את פתרון המשוואה.
בתורת הבקרה, כאשר מאפיינים מערכת, מופיעים לעיתים קרובות ביטויים המערבים נגזרות.
מאחר שהתמרת לפלס הופכת גזירה למכפלה ואינטגרציה לחלוקה, הטיפול בביטויים כאלה הוא נוח, וכאשר מאפייני המערכת אינם תלויים בזמן, התמרת לפלס של משוואות התנועה נותנת פולינומים, אשר מאפשרים אנליזה קלה של המצב (ע"ע: פונקציית תמסורת).
במתמטיקה ובעיבוד אותות, התמרת Z היא התמרה הממירה אות בדיד בתחום הזמן, שהוא סדרה של מספרים ממשיים או מרוכבים, לייצוג מרוכב במרחב התדר.
זוהי למעשה ההתמרה המקבילה להתמרת לפלס הפועלת על אותות רציפים.
היא מהווה הכללה של פיתוח לטורי פורייה המרוכבים לכל המישור המרוכב ולא רק למעגל היחידה.
ישנם שימושים רבים להתמרה זו במערכות בקרה ומערכות משוב.
התמרת Z, בדומה להתמרות אינטגרליות אחרות, מחולקת לשתי התמרות – חד-צדדית ודו-צדדית.
התמרת Z דו-צדדית של אות בזמן בדיד היא הפונקציה המוגדרת כך:
כאשר הוא מספר שלם, ו- הוא מספר מרוכב.
באופן אלטרנטיבי, במקרים בהם מוגדר רק עבור ערכי n אי-שליליים, ניתן להשתמש בהתמרת Z החד-צדדית:
בעיבוד אותות, הגדרת ההתמרה החד-צדדית משמשת במקרים בהם האות הוא סיבתי.
דוגמה חשובה להתמרת Z החד-צדדית היא פונקציה יוצרת הסתברות, כאשר היא ההסתברות שמשתנה מקרי בדיד יקבל את הערך , ו- נכתבת בדרך-כלל במונחי .
מאפייניה של התמרת Z שימושיים בהקשר זה של תורת ההסתברות.
כאשר הוא מסילה סגורה המקיפה את ראשית הצירים שכל השטח הכלוא בה נמצא בתחום ההתכנסות של ההתמרה.
האינטגרל מבוצע נגד כיוון השעון.
על המסילה להכיל את כל הקטבים של ההתמרה .
מקרה מיוחד מתקבל כאשר המסילה היא מעגל היחידה (בה ניתן להשתמש רק כאשר תחום ההתכנסות כולל את מעגל היחידה).
במקרה זה, התמרת Z ההפוכה מצטמצמת לכדי התמרת פורייה ההפוכה לאותות בדידים:
תחום ההתכנסות (Region of Convergence; ROC) של ההתמרה הוא קבוצת הנקודות במישור המרוכב בהן ההתמרה מתכנסת:
ההתמרה הדו-צדדית שלו אינה מתכנסת באף נקודה, מאחר שהאות מתבדר כאשר n שואף ל-.
לעומת זאת, ההתמרה החד-צדדית שלו כן מתכנסת באזור מסוים.
השוויון האחרון נגזר מסכומו של טור גאומטרי, כאשר זה האחרון מתכנס רק כאשר , או בניסוח חלופי, כאשר .
לכן, תחום ההתכנסות של ההתמרה הוא כל המישור המרוכב, פרט לעיגול שמרכזו בראשית ורדיוסו 0.5.
כעת נבחן את האות (כאשר היא פונקציית מדרגה).
שוב, הטור הגאומטרי מתכנס (והשוויון שלעיל מתקיים) רק כאשר או כאשר .
כלומר, תחום ההתכנסות במקרה זה הוא עיגול שמרכזו בראשית ורדיוסו 0.5 (זהו למעשה התחום המשלים של ההתמרה הקודמת).
דוגמה זו באה להדגיש כי אותות שונים עשויים להיות בעלי התמרות זהות, אך בעלי תחומי התכנסות שונים.
ההתמרה לבדה אינה מספיקה אם כן, ויש צורך בידיעת תחום ההתכנסות גם כן.
שתי הדוגמאות ממחישות כי ההתמרה של האות היא ייחודית רק כאשר היא מלווה בתחום ההתכנסות המתאים.
ציור מפת הקטבים והאפסים של שתי הדוגמאות עשוי להראות כי תחומי ההתכנסות בשני המקרים אינם כוללים את הקוטב של ההתמרה שנמצא ב-.
התכונה נכונה באופן כללי להתמרות בעלות מספר קטבים: תחום ההתכנסות לעולם לא יכיל בתוכו את קטבי ההתמרה.
יציבותה של מערכת יכולה להיקבע עם ידיעת תחום ההתכנסות לבדו.
אם תחום ההתכנסות כולל את מעגל היחידה, אז המערכת יציבה.
בדוגמאות שלעיל, הדוגמה הראשונה (בהתמרה החד-צדדית) עשויה לייצג מערכת יציבה, מאחר שתחום ההתכנסות () כולל את מעגל היחידה.
לפחות החיתוך של ROC1 ו-ROC2
ROC, מלבד אם ו- אם הזזה בזמן
ROC, מלבד אם ו- אם
לפחות החיתוך של X1(z) ו-
, רק אם הקטבים של נמצאים בתוך מעגל היחידה.
התמרת Z והתמרות לפלס ופורייה
התמרת Z הדו-צדדית היא למעשה התמרת לפלס הדו-צדדית של דגימה אידיאלית של פונקציה:
כאשר היא פונקציה בזמן רציף הדוגמת את האות , האות הוא הדגימה ה-n-ית, ו- הוא מחזור הדגימה.
ההתמרות זהות ביחס להחלפה .
באופן דומה, התמרת Z החד-צדדית היא למעשה התמרת לפלס (החד-צדדית) של דגימה אידיאלית של פונקציה.
יתר על כן, התמרת Z היא הכללה של התמרת פורייה בזמן בדיד (DTFT).
ניתן לעבור בין התמרת Z להתמרת פורייה על ידי ההחלפה , או במילים אחרות, לחשב את התמרת Z על מעגל היחידה.
על מנת למצוא את תגובת התדר של המערכת, יש לחשב את התמרת Z על מעגל היחידה, כלומר תחום ההתכנסות של ההתמרה חייב להכיל את מעגל היחידה.
אם הוא איננו מכיל את מעגל היחידה, אזי התמרת פורייה DTFT של המערכת אינה קיימת.
משוואת הפרשים ליניארית במקדמים קבועים
נתבונן במשוואת הפרשים ליניארית בעלת מקדמים קבועים:
נפעיל את התמרת Z על שני האגפים של המשוואה לעיל, ותוך שימוש בתכונות הליניאריות וההזזה בזמן נקבל:
נסדר את המשוואה ונקבל את פונקציית התמסורת המתאימה (היחס בין המוצא לכניסה ):
מתוך המשפט היסודי של האלגברה, למונה של פונקציית התמסורת יש M שורשים (שהם האפסים של התמסורת H), ולמכנה יש N שורשים (שהם קטבי התמסורת).
נבטא את פונקציית התמסורת במונחי הקטבים והאפסים:
כאשר הוא האפס ה-k-י ו- הוא הקוטב ה-k-י.
הקטבים והאפסים של פונקציית התמסורת הם לרוב מרוכבים, ותמונת המישור המרוכב שעליו הם משורטטים נקראת "מפת הקטבים והאפסים".
מציאת השורשים של המכנה, כלומר קטבי התמסורת, עשויה לשמש שלב ביניים בפירוק התמסורת לשברים חלקיים והמרת הפונקציה בחזרה למישור הזמן (באמצעות התמרת Z ההפוכה).
ההתמרה ההפוכה של פונקציית התמסורת נקראת תגובת ההלם של המערכת.
אם מערכת בעלת פונקציית תמסורת מעוררת על ידי אות , אזי תגובת המערכת תהא .
את תגובת המערכת בזמן ניתן למצוא מתוך פירוק ההתמרה לשברים חלקיים ומציאת ההתמרה ההפוכה.
בפועל, נוח לפרק לשברים חלקיים דווקא את לפני הכפלה ב- על מנת למצוא ביטוי של שנוח לחשב עבורו את ההתמרה ההפוכה.
בחישוב קוונטי, התמרת פורייה קוונטית היא שער קוונטי המבצע התמרת פורייה בדידה.
פעולה זו בעלת חשיבות רבה עבור אלגוריתמים שונים בחישוב קוונטי, ובפרט אלגוריתם שור לפירוק לגורמים של מספר שלם, ואלגוריתם למציאת תת חבורה חבויה.
בעוד שחישוב התמרת פורייה "קלאסית" על קלט באורך דורשת ביצוע פעולות, הרי שביצוע פעולה זו על גבי מחשב קוונטי אפשרית על ידי ביצוע פעולות בלבד
מכאן שקיים יתרון מעריכי בסיבוכיות של הפעולה הקוונטית לעומת המקבילה הקלאסית.
מאידך, בעוד הפעולה ה"קלאסית" פועלת על וקטור של ערכים, הפעולה הקוונטית היא על מצב קוונטי הנמצא בסופרפוזיציה קוונטית, כאשר המקדמים מתארים את ערכי הווקטור הקלאסי השקול.
מכיוון שלא ניתן לבצע מדידה ישירה של ערכי המקדמים בסופרפוזיציה קוונטית, השקילות אינה מלאה, ולא ניתן לקבל שיפור מעריכי עבור ביצוע ההתמרה באופן כללי.
הפעלת השער על אוגר בעל קיוביטים במצב הקוונטי , כאשר מוגדרת על ידי
כאשר היא המכפלה של שני המספרים השלמים x ו-y.
התנ"ך השטני הוא ספר שנכתב על ידי אנטון לה-ויי בשנת 1969 ומהווה את הבסיס הפילוסופי והפולחני לדת האתאיסטית "שטניזם לה-וייאני", בה דוגלים חברי כנסיית השטן, אחד מהארגונים השטניסטיים הגדולים ביותר.
הוא מכיל אוסף של מאמרים, הבחנות ופולחנים שטניסטיים בסיסיים, ומתאר את הפילוסופיה השטניסטית הייחודית של להווי (אם כי הוא מכיר בהשפעתם של פילוסופים שונים על גיבוש פילוסופיה זו, ביניהם ניקולו מקיאוולי, פרידריך ניטשה, ראגנר רדבירד ואיין ראנד).
הספר מכיל את העקרונות הבסיסיים של שטניזם, ונחשב לאבן היסוד של הפילוסופיה והדוֹגמה עליה היא מושתתת.
כנסיית השטן היא הדוניסטית ואינדיבידואליסטית במהותה, המבקשת להתאים לטבע האנושי ולטפח את הפוטנציאל הטמון בפרט וטוענת שהדתות המונותאיסטיות מדכאות אותו.
שטניסטים גורסים כי התנ"ך השטני אינו נתון לפרשנות או רוויזיה, ושאין תוקף בדת השטניסטית לאף חוק או עיקרון הנוגדים את הכתוב בתנ"ך השטני.
חלוקתו של התנ"ך השטני לספרים
לאחר ההקדמות שנכתבו על ידי מחברים אחרים, התנ"ך השטני מחולק לארבעה ספרים: "ספרו של השטן", "ספרו של לוציפר", "ספרו של בליעל" ולבסוף "ספרו של לווייתן".
כל ספר מתמקד בפן שונה של שטניזם, ומשרת מטרה ייחודית בתוך המבנה של התנ"ך השטני.
"ספרו של השטן: ההוקעה התופתית" מציג את הדת השטנית באופן דרמטי, דרך פרוזה טקסית.
זהו הספר היחידי בתנ"ך השטני בעל פורמט פיוטי, הבנוי באופן מכוון כפואמה.
חמשת הפרקים הראשונים ב"ספרו של השטן" הותאמו לו מתוך ספרו הידוע לשמצה של ראגנר רדבירד, "עוצמה היא נכונה".
אנטון להווי לא העתיק מרדבירד באופן ישיר: הוא השתמש בקטעים מתוך חלקים שונים ב"עוצמה היא נכונה", וערך שינויים בטקסט כדי לתקן את מה שהוא תפס כפגמים בהיגיון או בעקביות בפילוסופיה של רדבירד.
כפי שאנטון להווי ציין בהקדמתו שסופחה למהדורות המאוחרות של "עוצמה היא נכונה", הוא מצא בספר זה מנה נכבדת של השראה, אך גם שגיאות מובהקות שמונעות ממנו, כמו שהוא במקור, ליישר קו עם הפילוסופיה השטנית.
היה זה המסר הכללי של "עוצמה היא נכונה" שקסם ללהווי, ואותו ניסה לתפוס על ידי בחירה בררנית של פסקאות ועריכת שינויים בטקסט המקורי.
"ספרו של השטן" הוא הספר הקצר ביותר בתנ"ך השטני, אך באופנים רבים גם הדרמטי ביותר.
נדמה שהכוונות מאחוריו הן להדליק את הקורא, לעורר את חוש ההיגיון והעלבון שלו ולעודד אותו להסכים עם המאמרים על הפילוסופיה והדוגמה השטנית העוקבים ב"ספרו של לוציפר".
להווי דקלם את "ספרו של השטן" במלואו (כמו בהקלטה של "המיסה השטנית") או בחלקו בטקסים שטניים שונים.
"ספרו של השטן" מקושר באופן סמלי עם יסוד האש.
"ספרו של לוציפר: ההארה" עוקב את "ספרו של השטן".
הספר קרוי על שם לוציפר, כינויו של השטן באמונה הנוצרית.
לאחר האינטונציה הזועמת של "ספרו של השטן", מבקש "ספרו של לוציפר" להסביר בטון הגיוני את הפילוסופיה והדוגמה השטנית.
"ספרו של לוציפר" מחולק לשנים-עשר מאמרים, כל אחד מהם מרכיב חיוני בארכיטקטורה של שטניזם.
הסיכומים הבאים הם תקצירים של כל אחד מאותם מאמרים:
"מבוקש- 'אלוהים' חי או מת"
מאמר קצר זה מציג את שטניזם כדת אתאיסטית במהותה, ומעמיד לדין את הדתות האחרות כמבוססות על אשליה ואשמה.
כמו כן, הוא מבהיר את הגישה השטנית לשאלת קיומו של אלוהים:
הקטע ממנו לקוחה פסקה זאת מציע ש"אלוהים" הוא מושג אנושי, אמצעי שנוצר כדי להסביר את מה שהאדם לא היה מסוגל להסביר בשל בורותו או בשל חוסר יכולתו לתפוס את טבעה של המציאות.
הקטע הזה גם מציג את האמרה "אני האלוהים של עצמי", ביטוי של העצמה-אישית אנוכית, הנתפסת כתכונה חיובית על ידי שטניסטים.
"האלוהים שאתה מציל עשוי להיות עצמך"
מאמר זה ממשיך את הקונספט של "אני האלוהים של עצמי" עם הסבר מלא לתפיסת העולם האנוכית של השטניסט.
מאמר קצר זה גורס שכל האלוהויות הומצאו על ידי בני אדם, ולכן לסגוד לאלוהים חיצוני זה כמו לסגוד בעקיפין לאדם שיצר אותו.
לפיכך, הגישה השטנית ההגיונית היא ליצור את האל בדמותך שלך, כלומר את עצמך, ו"לסגוד" לו.
המתקבל מכך, הוא שהפרט רואה את עצמו כבעל החשיבות הגבוהה ביותר מבין כל הישויות, ומאמץ גישה אנוכית בלתי מתנצלת כלפי העולם.
"מספר הוכחות לעידן השטני החדש"
לאחר שני המאמרים הראשונים שמגנים את הדתות האלטרואיסטיות כצבועות ומעודדת שנאה-עצמית, מאמר זה מציע את הדת השטניסטית כתחלופה וניגוד; דת התואמת את צרכיו של האדם.
הוא פותח בהשאה ש"שבעת החטאים" הם בעצם כולם חלק בלתי נפרד מהטבע האנושי ואינם "חטאים" כלל.
הוא מצהיר שהם כולם דחפים אנושיים שלא ניתן להתחמק מהם, שנבחרו בקפידה על ידי הנצרות כדי להבטיח שכל בני האדם יחטאו- מאחר שאף אחד אינו יכול להימנע מלשתף פעולה עם הדחפים האינסטינקטיביים הללו.
להווי טוען שזהו אמצעי שנוצר כדי להבטיח את התלות של האדם בכנסייה הנוצרית, מאחר שלאף אחד לא תהיה ברירה אלא להתחנן בפני אלוהים למחילה על חטאים שלבטח ביצע.
להווי מציע להפך; שיש לקבל את אותם "חטאים" משום שהם טבעיים עבור האדם, ויש אפילו להחשיב אותם כערכיים.
הוא נותן דוגמאות, ביניהן זו:
הוא ממשיך ומסביר שבעידן מודרני זה, אנשי דת צריכים באופן מתמיד לשנות ולפרש מחדש את הטקסטים שלהם כדי להדביק את קצב הדרישות מצד "מאמינים" שיתנו להם רשות להתמסר לתאוות האנושיות הנורמליות שלהם.
להווי רואה בכך לא רק צביעות אלא גם הוכחה לכך שדתות אלו הן, במהותן, מיושנות ויש להיפטר מהן לחלוטין ולהחליפן עם דת המתאימה יותר לצרכיו של האדם.
שטניזם, להווי מציע, היא הדת הזאת.
להווי אז מצדיק את הפן הדתי בשטניזם על ידי כך שהוא מסביר מדוע אינה פילוסופיה בלבד.
הוא מסביר שאחת הסיבות לכך שלבני אדם תמיד הייתה דת, היא שיש לו צורך בדוגמה וטיקסיות.
שטניזם מכירה בכך, ולכן מציידת את חסידיה בדוגמה וטיקסיות בצורה של כישוף ופולחן.
להווי טוען שזוהי בדיוק תכונה זו שמפרידה בין שטניזם להומניזם או פילוסופיות אחרות שהן אתיאיסטיות במהותן, והופך אותה לדת אמיתית שמתאימה לטבע הגשמי של האדם.
להווי מסכם את המאמר בציון העובדה שדתות "העידן החדש" האחרות שטוענות לספק לחסידיהן כלים לביצוע כישוף נכשלו בכך מפני שעשו הפרדה בין "כישוף לבן" ו"כישוף שחור".
להווי אומר שכל כישוף הוא אותו הדבר, משום שכולו כאחד נעשה עבור פיאור שמו של המכשף ולכן, כמו כל מעשיו של האדם, הוא אנוכי באופן מהותי.
להווי מציע ששטניסט יכול לבחור לעזור לאלו שאכפת לו מהם, כולל לעצמו, או לדון את אלו שהוא מתעב, אך בכל מקרה מעשיו הם בשיקול דעת עצמי ולכן בעלי אופי אנוכי.
–"גיהנום, השטן, וכיצד למכור את נשמתך"
במאמר זה להווי מסביר מדוע, אם אינו מאמין באלוהיות או בשטנים במובנם המילולי, בחר את השם "שטניזם" כדי לתאר את הדת שלו.
להווי מציין שהמקור העברי של המילה "שטן" הוא מונח שמשמעותו "מתנגד", שתקף לא רק לישויות על-טבעיות אלא גם לכל אדם שהוא יריבך.
כמו כן הוא מסביר את החשיבות המיתולוגית והספרותית של דמות השטן בהיסטוריה, מהאל היווני "פאן", ל"שעיר לעזאזל" שהשתמשו בו כדי שיספוג את חטאי בני האדם, ועד לבחירתם והטמעתם של דמונים וישויות פגניות בידי הנצרות באותו גיוון בה הטמיעה שדים או קדושים.
המסקנה הסופית של להווי היא שהשטן וכל השדים מייצגים את הטבע הגשמי של האדם שאותו דנו כרשע, ואת ההפך של הכל מסגידה מתרפסת לאלוהים ועד קונפורמיות.
לכן השטן כדמות מיתולוגית-ספרותית הוא הסמל המושלם עבור דת שמעלה על נס את הטבע האנושי הגשמי והעצמאי.
ניתן להשוות את ההשקפה של להווי על השטן להשקפתו הספרותית של ג'ון מילטון עליו: חיה גאה ועצמאית.
מאמר זה קצר באופן מפתיע בהתחשב במשמעותיות שלו.
כאן להווי מסביר במושגים ברורים מאוד את ההשקפה השטניסטית בנוגע לענייני אהבה ושנאה, והתפקידים שלהם בפרשיות אנושיות.
להווי מבהיר שאף על פי ששטניזם היא דת אנוכית ללא פשרות, הוא מגדיר אנוכיות לפי הרצון האמיתי של האינדווידואל.
לפיכך, אם אדם באמת דואג לאדם אחר ומבקש להביע את אהבתו, אז עליו לעשות כן מכל הלב: אדם אנוכי לחלוטין יכול להכיר בכך שאם הוא אוהב אדם אחר, האדם הזה חשוב לפי מידת האהבה כלפיו.
ניתן להשוות זאת באופן חיובי להתייחסות של האתיקה האגואיסטית לאותו עניין; שבסופו של דבר מה שתורם לאחרים עשוי לתרום גם לפרט, ובכך נשמר העיקרון שהאינטרסים האישיים תמיד בראש סדר העדיפויות.
להווי כלל לא רומז שאהבה היא לא רגש טבעי לאדם, ואף מדגיש שלהפך: מאוד טבעי לאהוב פרטים מסוימים, אך לאהוב את כל בני האדם, ובכך להיות אלטרואיסטי, אינו רק טעות פילוסופית אלא למעשה בלתי אפשרי ואפילו מזיק ליכולת לאהוב באמת את האנשים המעטים הראויים לכך.
להווי גם כן מסביר ששנאה, כמו אהבה, היא רגש טבעי לאדם ולפיכך אין להכחיש אותה.
הוא מבהיר שיש לכוון שנאה כלפי אלו שראויים לה לפי מידת הכוונה הזדונית במעשיהם, וכמו אהבה, אין זה הגיוני לשנוא את כל בני האדם.
להווי מהרהר בכך שאף על פי ששטניזם מקדמת בנחישות גם אהבה וגם שנאה פרטנית, אלו המאמינים בדתות אלטרואיסטיות מתעלמים מעובדה זו ופוטרים את שטניזם כדת של שנאה.
הוא מסיק שתפיסה מוטעית ושקרית זו נובעת מכך שדתות אלטרואיסטיות סולדות מלהכיר בעובדה ששנאה גם היא רגש טבעי לאדם, ולכן אם רק מציינים בפני חסידיהן את העובדה ששטניזם כן מותירה לפרטים לשנוא את אויביהם, היא מיד מצטיירת בפניהם כחסרת אהבה בכללותה.
בניגוד לאמונה הרווחת ששטניזם מקדמת התנהגות מופקרת בקרב כל בני האדם, במאמר זה להווי למעשה מבקר בחריפות את תנועת ה"אהבה החופשית" (שהייתה בשיאה בשנות השישים של המאה ה-20, הזמן בו נכתב התנ"ך השטני) אותה קידמו ילדי הפרחים בזמנם כמגבילה, באותה מידה בה מגבילות הדתות האלטרואיסטיות בהטפתן שסקס הוא רע.
העמדה של להווי, פעם נוספת, בעלת אופי אינדיבידואלי לגמרי בכל הנוגע לאתיקה ועניינים מיניים.
הוא גורס שבעוד שחלק מבני האדם למעשה מאוד נהנים מהוללות מינית, חלקם האחר, מעצם טבעם, מסתדרים טוב יותר עם הרבה פחות פעילות מינית, או אפילו ללא פעילות מינית כלל.
להווי מאמין שאף אחד מהמצבים האלו אינם בלתי טבעיים או ראויים לגינוי, אלא שכל פרט צריך לקבוע את גבולותיו לפי הטעם וההעדפות המיניות האישיות שלו.
על יסוד עיקרון בסיסי זה, להווי מרחיב בנושא על ידי הבהרה מדויקת של השוני בין פעילות מינית שטנית מורשית ולא מורשית.
הנחת היסוד של מה מותר מסוכמת על ידי המקסימה הזאת:
להווי ממהר לציין שאין זה אוסר לפיכך מזוכיזם מיני, משום שיש לפרש "כל עוד אין הדבר פוגע באף אחד אחר" במשמעות "כל עוד אינו מבקש מפורשות שיפגעו בו".
הצהרה זו בפתיחות מותירה הומוסקסואליות, ביסקסואליות, פוליגמיה, סקס בתוך או מחוץ לנישואים, משחקים מיניים כולל בדסמ, אורגיות או כל נטייה אחרת מסוג זה, ובאותו זמן כוללת גם הטרוסקסואליות, מונוגמיה או נישואים "מסורתיים".
שטניזם מתייחסת לכל אותן פעילויות בצורה שווה ובאותה מידת כבוד.
להווי גם מוסיף ומפרט שא-סקסואליות היא התנהגות תקפה באותה מידה, עבור מישהו שאינו חפץ בפעילות מינית כלל.
להווי טוען ששטניזם היא הדת הראשונה שמאמצת עמדה זו באופן גלוי.
יש להדגיש שאותה הצהרה אינה מותירה, לפיכך, אף פעילות כגון אונס, פדופיליה או כל פעילות מינית בה המשתתפים אינם רוצים או אינם יכולים לתת את הסכמתם המודעת והמיודעת (כמו במקרה של ילד).
שטניזם גם במפורש אוסרת התנהגות בלתי חוקית מכל סוג.
עובדה זו מפריכה את הטענה ששטניזם מוחלת על התעללות בילדים או כל צורה של התנהגות פלילית.
"לא כל הערפדים מוצצים דם"
אחד מהמאמרים הכי מפורסמים מהתנ"ך השטני, שכן בו להווי קובע את המושג "ערפדים נפשיים".
להווי מגדיר את הערפד הנפשי כמישהו שמנסה לעשות מניפולציות פסיכולוגיות על אחרים על ידי כך שהוא משחק באופן שיטתי את תפקיד הקורבן: למשל, אדם שכל הזמן משתמש בפגם פיזי חסר חשיבות כתירוץ לחסרונותיו וכאמצעי להשיג סימפתיה והטבות מאחרים.
להווי מאמין שאלו שלוקחים על עצמם את תפקיד הקורבן כדי לעורר רגשי אשם, הם חלשים במהותם ולכן על שטניסטים להרחיק אותם או להתרחק מהם.
(יש להדגיש שלהווי אינו מניח שכל מי שיש לו פגם פיזי הוא אוטומטית חלש, אלא שכל מי שמשתמש בפגם שכזה כדי להשיג רחמים והטבות הוא חלש).
להווי מזהיר שאנשים מסוג זה מרוקנים את הפרט מהאנרגיות הנפשיות שלו (לכן המונח "ערפדים נפשיים") ולכן יש להתמודד עמם בחוסר רחמים ולהיפטר מהם לפני שנותנים להם רשות לשלוט בחיים של אינדווידואלים חיוניים ובעלי יכולת.
כאן, להווי מגדיר שטניזם כפילוסופיה הדוניסטית במהותה, אך גישתו להדוניזם היא אפיקורסית בטבעה.
להווי מצהיר בצורה ברורה שהוא מאמין שהאדם תמיד צריך להתכוונן לכיוון התמסרות, במקום התנזרות.
בעוד שדתות אחרות מבקשות להכתיב ממה יש להתנזר (- מרוב הדחפים הטבעיים של האדם, לפי להווי), שטניזם מחפשת לעודד את האדם להתמסר לכל תאוותיו הגשמיות (כל עוד הן לא עוברות את גבול האתיקה השטניסטית, ראה מאמר על מיניות שטנית לדוגמה).
שטניזם, כדת אתית, עומדת על כך שמאחר שאין חיים אחרי המוות ולפיכך גם לא גן עדן, צריך להשיג כל אושר וסיפוק בחיים האלו, בעולם הזה.
בשל כך להווי מייעץ להתמסר עד כמה שאתה מסוגל, כדי לבלות את ימי חייך הספורים עלי האדמות בצורה הטובה ביותר.
אף על פי כן, להווי גם מזהיר מפני קומפולסיביות, כלומר כישלון בתרגול שליטה עצמית, ובייחוד מפני לקיחת חלק בהרס-עצמי בתחפושת של "התמסרות".
לעיתים קרובות משתמשים בקו מנחה זה כטיעון שטני נגד פעילויות כמו לקיחת סמים.
להווי גם מוסיף ומדגיש שרגשי אשם דתיים אשר מונעים מהמאמינים ליהנות מעצמם הם למעשה רק כפייתיות בתחפושת של דבקות דתית; כפייתיות להתכחש לעצמך.
"על הבחירה בהקרבת קורבן אנושי"
במאמר זה, להווי מגנה באופן חד משמעי רצח או פגיעה בבעלי חיים למען טקס או למטרות כישוף, בניגוד מוחלט לאמונה הנפוצה ששטניזם מעודדת תרגול זה.
להווי מצהיר שלגרום נזק לחיה חפה מפשע הוא אי צדק גס, וחסר תועלת מבחינת כישוף.
להווי מציע במקום זאת שהמכשף יציע את עצמו: במקרה של טקס תאווה, למשל, על ידי יצירת אורגזמה.
הוא מסביר שהמטרה של הקרבת חיה כקורבן היא, לכאורה, להפיק ממנה את האנרגיה החיונית כדי לבצע מעשה כשפים, אך בעצם ניתן להגיע לאפקט כישופי טוב יותר בעזרת תפוקת אנרגיה אורגזמית.
להווי כמו כן מציע שבעוד שהשטניסט אינו מעודד, תחת שום נסיבות, פעילות פלילית, אם הפרט מאמין שלאדם כלשהו מגיע למות, אז יש לו צידוק מוחלט להטיל על אותו אדם קללה ובכך לעשות ממנו "קורבן אנוש".
בעוד שמאמר זה אכן מרחיב על נושאים חשובים ביותר באתיקה השטנית, בעיקר בנוגע ליחס לחיות ולהיבטים מסוימים של כישוף, הוא גם שזור בהומור אופייני, כמו למשל בהצהרה בנוגע לכל אותם "מכשפים לבנים" לכאורה, שלהווי טוען בסרקסטיות ש"אורגזמה אחת טובה לוודאי תהרוג אותם!".
"חיים לאחר המוות דרך סיפוק האגו"
בהרחבה על נקודת המבט הבלתי-רוחנית שלו, להווי מסביר שמאחר שאין חיים בעולם הבא, יש להעריך הערכה רבה את החיים הנוכחיים ואין לשלול את ערך החיים של האינדווידואל.
לפיכך, הוא ממליץ ששטניסטים ידאגו לשמור ולשמר את חייהם כל עוד הם יכולים, ומבקר קשות את התרגול הדתי של "קידוש השם".
להווי מצהיר שהנסיבות תחתן שטניסט ירצה להקריב את חייו או לסכן אותם הן מצומצמת בהחלט.
מבין נסיבות אלו הוא מציין באופן ספציפי את ההגנה על היקרים ללבו של השטניסט, בעיקר הבן/בת זוג או הילדים.
כמו כן, להווי מגנה התאבדות, חוץ מאשר באותן נסיבות בהן, כפי שהוא מנסח זאת, החיים עצמם הפכו להיות משוללי הנאה והמוות הפך למקור היחידה להקלה.
אין חריגה זו כוללת את אלו הסובלים מתעוב עצמי בלתי מוצדק, אלא מתייחסת לאלו, אשר בשל מחלה סופנית מייסרת או נסיבות דומות, אינם יכולים לצפות כלל להנאה בחיים הקצרים שנותרו להם, ולכן בוחרים לסיימם מהר וללא כאב מאשר להמשיך ולסבול ייסורים מתמשכים.
בנוסף לכך, להווי מאמץ את העמדה שמשום שהפרט לעולם לא ישיג תפארת בעולם הבא (משום שאינו קיים), על הפרט לשאוף לתפארת בעולם הזה.
הוא מאמץ את העמדה הקלאסית-משהו שניתן להשיג אלמותיות על ידי יצירת שם נצחי בעבור עצמך על ידי עשיית מעשים יוצאים מן הכלל: ניתן להשוות זאת, למשל, למיתוסים של גיבורים יוונים כמו אכילס.
להווי מתאר בקצרה שלושה חגים שטניים:
החשוב ביותר בשטניזם הוא יום ההולדת של השטניסט, כיום בו נולדה האלוהות שהיא העצמי.
כך השטניסט מזכיר לעצמו שהוא הדבר הכי חשוב עבור עצמו בכל היקום, ולכן יש לתת כבוד לקיומו החיוני ולחייו.
להווי ממליץ שהשטניסט יחגוג את יום ההולדת שלו בכל דרך שהוא רואה לנכון, באיזו מידה של הדר וטיקסיות שהוא חפץ בה.
ניתן גם לראות בחגיגה השטנית של יום ההולדת לעג כלפי החגים בדתות אחרות המבקשים להנציח את יום לידתם של אלים או קדושים שונים.
אחרי יום ההולדת של הפרט, להווי מציג שני חגים נוספים בעלי חשיבות שטנית: ליל ולפורגה (Walpurgisnacht) וליל כל הקדושים (Halloween).
הבכיר מביניהם, ליל ולפורגה, שבנוסף לחשיבות המיסטית של תאריך זה, גם מציין את ייסודה של כנסיית השטן בשנת 1966, או, כפי שהיא נקראת, אנוס שאטאנאס (שנתו של השטן בלטינית) [Annos Satanas].
תאריך זה נחגג לרוב על ידי שטניסטים באמצעות טקסים פרטיים או קבוצתיים, וחגיגות פרטיות או משפחתיות כדי להנציח את ייסודה של כנסיית השטן.
כמו כן ליל כל הקדושים נחגג בשל חשיבותו המיסטית, אם כי שטניסטים נוטים להתייחס בהומור מסוים לחגיגתו, באותה צורה בה מתייחסים אל חגיגתו לא-שטניסטים.
להווי גם מציין את זמני חילופי העונות כחגים שטניים, כחגים בעלי חשיבות עתיקה בהיסטוריה האנושית כולה.
אף על פי כן, להווי מאמין שלפסיכודרמה מעוררת רגשית יש מקום בתוך הדת השטנית כאמצעי לפורקן רגשי וגיוס מוטיבציה - נושא אליו הוא מתייחס בפירוט בשארית התנ"ך השטני.
אין להמעיט בחשיבותו של "ספרו של לוציפר" לדת השטניסטית.
הסגנון הטופיקלי של מאמר זה הפך לסימן ההיכר של להווי, ותוכנו מהווה את אחד היסודות החשובים ביותר בחשיבה השטנית.
בסגנונו, המאמר הנדון לעיל כתוב בזהירות ובחסכוניות כדי להבטיח שהמסרים המועברים בו תמיד ברורים ובלתי ניתנים לפרשנות שונה, אך עם זאת הוא מכיל את כל מה שהיה צריך להיאמר.
כמו כן, ראוי לציין שלהווי נמנע מכל צורה של גוזמה ב"ספרו של לוציפר" ונזהר בבחירת מילותיו לכל אורך הספר, כדי שיתייחסו לתוכנו של זה ברצינות המרבית (אם כי, הוא כן שוזר בכתביו הומור יבש, גם בחלק זה).
בניגוד לכך, את המאמרים שלהווי פרסם מאוחר יותר ב"יומנו של השטן" ו"קול השטן!", הוא כתב בצורה נינוחה וחופשייה יותר.
כל המאמרים שנמצאים ב"ספרו של לוציפר" נחשבים לדוגמה שטנית קבועה שאין עליה עוררין, בעוד שהספרים המאוחרים יותר המתוארים לעיל מכילים תערובת של מאמרים, חלקם נחשבים לדוגמה בדת השטנית, ואחרים בבירור רק מתארים דעות אישיות, תחומי עניין או הרהורים אישיים של להווי.
"ספרו של לוציפר" מקושר באופן סמלי עם יסוד האוויר.
"ספרו של בלייעל: השליטה בארץ" מציג בפירוט כיצד שטניסטים תופסים את מושג הכישוף.
כמו "ספרו של לוציפר", גם הוא מחולק למאמרים, אשר כל אחד מהם מציע הסבר רחב יותר למה שלהווי הגדיר ככישוף וכיצד הוא האמין שניתן ליישמו.
מאמרים אלו ומשמעותם מסוכמים בקצרה כאן:
"התאוריה והתרגול של כישוף שטני (הגדרה ומטרה)"
להווי קובע את ההגדרה הבאה לכישוף:
להווי אחרי כן ממשיך ומבדיל בין מה שהוא קורא לו "כישוף פחות/נמוך" ו"כישוף עליון/גבוה".
המושג "כישוף נמוך" מתייחס למניפולציות לא טקסיות, המתבצעות דרך טכניקות טבעיות של תרמית וערמה שמטרתן לתפעל בני אדם אחרים לפי רצון הפרט ובכך להשפיע על המציאות.
לפי להווי, המפתח ליכולת זו טמון בידע כיצד להשתמש במראך החיצוני לטובתך.
הוא טוען שהפרט יכול לאזור מיניות (sexiness), יראה (wonder) או אהדה (sympathy) בהופעתו על מנת לזכות בחיבתם או בציותם של אחרים.
המכשף והמכשפה המוכשרים יכולים אפילו לשלב בין סגנונות מראה אלו כשיש צורך.
להווי מציין שפעולותיו של המכשף כדי לתפעל אחרים הן מרכיב חשוב בכישוף נמוך.
על כישוף נמוך להווי כותב בהרחבה בספרו "המכשפה השטנית".
כישוף גבוה כולל את כל סוגי הכישוף הפולחני והטקסי, עליו להווי מפרט ביתר ה"תנ"ך השטני".
"שלושה סוגים של פולחן שטני"
להווי מציין שלושה סוגים של פולחנים שטניים:
פולחני תאווה מתבצעים כדי למשוך מינית את האדם בו בחרת.
להווי מפרט שצריך להיות לך בראש אדם ספציפי, או לפחות סוג של אדם, על מנת שיהיה איזשהו סיכוי שהכישוף יעבוד.
פולחני חמלה מתבצעים לשם רווחתם של היקרים לליבך, או לשם רווח עצמי.
המטרה היא להגביר את מידת הרווח הגשמי של הנתון תחת הכישוף, בין אם מדובר בחבר או בעצמך.
תחת קטגוריה זאת מתקבצים כל הפולחנים שמטרתם להרוויח עושר חומרי, יתרון פיזי או שיפור המעמד בו הפרט נמצא.
פולחני חורבן ידועים גם בתור קללות או הטלת "עין הרע", ומתבצעים על מנת להרוס את האויבים של הפרט.
להווי כמו כן מזהיר שבכל אחד מהמקרים האלו, הסיכון היחיד הוא שאינך באמת רוצה שמשאלותיך התגשמו.
להווי מצהיר באופן ברור מאוד שאין שום סכנה שהפולחנים שלך (פולחני חורבן, בפרט) יחזרו בחזרה אליך ויזיקו לך (כמו בתאוריה של "חוק השלושה\החזרה")- הסכנה האמיתית היא שתרגיש חרטה ואשמה אם תשיג את מה שביקשת, ובכך אתה בעצמך תזיק לך.
הוא מייעץ שאם הפרט מבצע פולחן חמלה, עליו להיות מודע שכל הרווחים יהיו על חשבונו של אחר; אם הפרט מבצע פולחן חורבן, עליו להיות בטוח שלא אכפת לו אם קורבנו יחיה או ימות, ואם הוא מבצע פולחן תאווה- עליו להיות בטוח שהוא אכן חפץ בפרט אליו הוא מתאווה.
"הפולחן, או "תא לחץ אינטלקטואלי""
כאן להווי מסביר את תפקידם של פולחנים הנעשים לבד ושל אלו הנעשים בקבוצה, ואילו סוגי פולחן מתאימים לביצוע קבוצתי.
הוא מציע שביצוע קבוצתי יכול להעצים פולחני חורבן, אך פולחני תאווה וחמלה לעומת זאת, בשל טבעם הפרטי במיוחד, כדאי לעשות לבד, מאחר שלמודעות עצמית אין מקום בתא הפולחן.
להווי אז ממשיך ומתאר את מקום הפולחן כתא להפחתת לחץ אינטלקטואלי, או אמצעי לשחרור אנרגיה עצורה על ידי היכנסות רצונית לתוך מצב תודעתי של השהיית אי-אמון.
הוא מוסיף שרק אם תפטור את עצמך מביקורת ראציונלית של מעשיך בתא הפולחן, תוכל לקוות להשיג תכליות מאגיות כלשהן.
הוא מכיר בכך שהפולחן השטני דומה בעיקרון לפולחנים של דתות אחרות, אך גם מדגיש שקיים שוני מהותי: השטניסט מודע לכך שהוא נכנס למצב של השהיית חוסר אמונה למען תכלית מסוימת, בעוד שפולחנים של דתות אחרות מבוססים על הונאה עצמית ואשליות.
"המרכיבים ההכרחיים לביצוע כישוף שטני"
להווי מציין חמישה אלמנטים ההכרחיים למעשה כשפים:
"תשוקה": המכשף חייב לחפוץ במטרתו בחשק רב על מנת שהכישוף ישא פרי.
"תזמון": את עת הפולחן יש לבחור בתאום לזמן בו המטרה הכי פתוחה להצעות.
להווי מציין במיוחד את העת בה המטרה נמצאת בשינה עמוקה כזמן האידיאלי לכוון אליה את הכישוף.
"הדמיה": הצגת הציוד התורם לסביבת הפולחן, והדמיית התוצאה הרצויה.
אין זה כולל רק את הציוד הטקסי, אלא גם, ליתר דיוק, כל אמצעי הדמיה מיוחד שיעזור למכשף להרכיב תמונה מנטלית של מה שהוא מבקש להשיג.
זה כולל ציורים, תמונות, פסלים, בובות, טקסטים כתובים או כל דבר אחר שיעזור בלדמיין את התוצאה הרצויה.
"כיוון": כפי שהוזכר לעיל, למכשף צריכה להיות בראש מטרה ברורה.
כל שלושת סוגי הפולחן דורשים מהמכשף שידע בדיוק למי (או לפחות לאיזה סוג של אדם) מיועד הכישוף.
המכשף גם צריך להיות מסוגל לאוורר את כל התשוקה שלו בעת הפולחן, לא לפניו או אחריו.
"איזון": המכשף צריך לדעת לערב בכישוף שלו מנה של הגיון בריא, הידוע גם בתור גורם האיזון.
להווי מבהיר שיש להיות מציאותיים בקשר למשאלות אשר מבקשים להשיג דרך כישוף: לאחל לבלתי אפשרי או לחסר סיכוי לא ישא שום תוצאות, מאחר שהמכשף אינו מסוגל לגייס מספיק אנרגיה כדי להשיג את הבלתי ניתן להשגה בשום אופן.
להווי מציין שזוהי יכולת מאוד נדירה ויקרת ערך להיות מסוגל להתאים בדיוק בין הרצונות שלך לבין היכולות שלך באופן מציאותי.
חלק זה ב"ספרו של בלייעל" מתחיל לפרט הוראות לביצוע פולחן שטני וכיצד לנהל אותו.
הוא כולל הוראות לבחירה ושימוש בביגוד פולחני, מזבח, סמל הבפומט, נרות, פעמון, גביע, נקטר, חרב, פאלוס, גונג וקלף.
"ספרו של בלייעל" מקושר סמלית עם יסוד האדמה.
"ספרו של לויתן: הים הסוער" מכיל הוראות ברורות למה שיש לומר ולעשות בזמן הפולחן.
הטקסט שלו מורכב בעיקר מקריאות ופיוט פולחני, כולל "הקריאה לשטן" שנעשית בתחילתו של כל טקס, וקריאה נפרדת לכל אחד מסוגי הטקסים.
בטקסט נכללים גם תשע-עשרה "מפתחות חנוכיים"; פרשנות חדשה ואפלה לטקסטים באותו שם שנכתבו על ידי ג'ון די בשפה ה"חנוכית" הפיקטיבית (שלטענתו, "למד" אותה מהמלאכים).
מפתחות אלו מתפקדים כמזמורים פולחניים שנועדו לרגש, והתרגום באנגלית נועד גם כן כהצהרות פיוטיות של דוגמה שטנית.
להווי שינה את משמעות המפתחות החנוכיים מהגרסה של ג'ון די, במאמץ להתאים אותם לדוגמה השטנית ועם זאת לשמור על היעילות שלהם כאמצעי פולחני.
"ספרו של לווייתן" מקושר סמלית עם יסוד המים.
התנ"ך השטני מסתיים עם חתימה מסתורית שבה רק המילים "יאנקי רוז".
משמעותה היא עניין לספקולציה, ונותרת תעלומה, לפחות עבור הקהל הרחב.
אתר האינטרנט של כנסיית השטן, לעומת זאת, מציע רמז אפשרי אחד בשיר באותו שם, שהוקלט על ידי להווי באלבום שלו "השטן יוצא לחופשה".
אף על פי כן, האתר מוסיף שזה עשוי להיות או לא להיות רמז כלל, וחשיבותה האמיתית של "יאנקי רוז" תישאר לנצח תעלומה.