tomron87/hebrew-wikipedia-sentences-corpus huggingface dataset:
בראש תכונות אלה נמצאות מכפלת אוילר והמשכה אנליטית לפונקציה מרומורפית בכל המישור המרוכב.
אחת התכונות הבסיסיות ביותר של פונקציית זטא של רימן היא מכפלת אוילר.
מכפלת אוילר נותנת את הביטוי הבא לפונקציית זטא של רימן (בתחום ההתכנסות שלה):
כאן מסמנת את פונקציית זטא של רימן והמכפלה היא על כל הראשוניים.
קל להסיק את נוסחת המכפלה הזאת מהמשפט היסודי של האריתמטיקה.
אין הגדרה מוסכמת אחת למושג הכללי של פונקציית L, אבל באופן כללי פונקציית L היא טור דיריכלה שמקיים תכונות הדומות לאלה של פונקציית זטא של רימן, ובראשן מכפלת אוילר והמשכה אנליטית.
דיריכלה הבין שאם סדרת המקדמים היא כפלית אז לטור דיריכלה המתאים יהיה אפשר לכתוב מכפלת אוילר.
זה נותן את המוטיבציה להגדרה הבאה:
קרקטר דיריכלה עם מנחה (condactor) הוא פונקציה המקיימת:
פונקציית L של דיריכלה היא טור דיריכלה שסדרת מקדמיו היא קרקטר דיריכלה.
באופן מפורש פונקציית L של דיריכלה מוגדרת על ידי הטור כאשר הוא קרקטר דיריכלה.
טור זה מתכנס בהחלט בחצי המישור
השם פונקציית L של דיריכלה יכול להתייחס, בהתאם להקשר, הן לטור כביטוי, הן לערכו של טור זה כפונקציה מחצי המישור ל - והן להמשכה האנליטית של פונקציה זו .
השימוש האחרון הוא הנפוץ ביותר.
מכפלת אוילר: באופן דומה למכפלת אוילר הקלאסית קל להראות שפונקציית L של דיריכלה מקיימת את נוסחת המכפלה הבאה:
המשכה אנליטית: לפונקציית L של דיריכלה יש המשכה אנליטית לכל המישור מלבד הנקודה .
אם הקרקטר לא טריוויאלי (זאת אומרת שהוא מקבל גם ערכים שאינם 0 או 1) אז המשכה זו אנליטית גם בנקודה .
אחרת לפונקציית L יש קוטב פשוט בנקודה זו (במקרה זה פונקציית L של דיריכלה שווה לפונקציית זטא עד כדי כופל פשוט).
משוואה פונקציונלית: פונקציית L של דיריכלה מקיימת משוואה פונקציונלית הקושרת את ערכה בנקודה לערכה בנקודה .
משוואה זו דומה למשוואה הפונקציונלית של פונקציית זטא של רימן.
אי־התאפסות ב - 1: דיריכלה הוכיח שעבור קרקטר דיריכלה לא טריוויאלי פונקציית L לא מתאפסת בנקודה .
משפט זה מהווה חלק מרכזי בהוכחת משפט דיריכלה על ראשוניים בסדרות חשבוניות.
אי־התאפסות על אבסיסת ההתכנסות: אדמר ודה לה ואלה פוסן הוכיחו שפונקציית L לא מתאפסת כאשר .
הם הוכיחו אי־התאפסות זו בסמוך להוכחתם של משפט המספרים הראשוניים.
ההוכחה משלבת בין הוכחתו של דיריכלה לאי־ההתאפסות בנקודה 1 והוכחתם לאי־התאפסות של פונקציית זטא על אבסיסת ההתכנסות שלה (המהווה חלק מרכזי בהוכחת משפט המספרים הראשוניים).
אי־התאפסות זו גוררת גרסה של משפט דיריכלה המשלבת בין משפט דיריכלה למשפט המספרם הראשוניים.
גרסה זו נוגעת לצפיפות הטבעית של מספרים ראשוניים בסדרה חשבונית.
אי־התאפסויות נוספות: במרוצת השנים הוכיחו מתמטיקאים רבים אי־התאפסות של פונקציית L בתחומים נוספים.
אי־התאפסויות אלה גוררות טענות נוספות על התפלגויות של מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות.
הכללה אולטימטיבית של אי־התאפסויות אלה היא ההשערה שפונקציית L לא מתאפסת בחצי המישור .
השערה זו היא מקרה פרטי של השערת רימן המוכללת והיא גוררת מידע מדויק למדי על התפלגויות של מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות.
נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה: עבור קרקטר דיריכלה ממשי , דיריכלה פיתח נוסחה שקושרת בין הערך לבין מספר מחלקה של מספר שלם המתקבל מהמנחה של .
מנוסחה זו ניתן להסיק מידית את אי־ההתאפסות של .
דיריכלה גם פיתח נוסחה נוספת, מפורשת יותר, לערך אך לא ניתן להסיק ממנה ישירות את אי־ההתאפסות של .
נוסחת מספר המחלקה של דדקינד עבור שדות ציקלוטומיים: מנוסחה זו קל להסיק קשר בין מכפלת הערכים עבור קרקטרים (לא טריוויאליים) בעלי אותו המנחה ובין מספר המחלקה של ההרחבה הציקלוטומית המתאימה.
מכאן קל להסיק את אי־ההתאפסות של .
זאת לא הייתה ההוכחה המקורית של דיריכלה לאי־התאפסות זו.
דיריכלה הוכיח את אי־ההתאפסות עבור קרקטר ממשי על ידי נוסחת מספר המחלקה שלו, והשתמש בשיטה פשוטה יותר כדי להראות את אי־ההתאפסות עבור קרקטר שאינו ממשי.
במתמטיקה, פונקציית W של למברט (נקראת גם: פונקציית אומגה), היא פונקציה רב-ערכית, השווה לאוסף הענפים של הפונקציה ההופכית של הפונקציה , כש- הוא מספר מרוכב כלשהו ו- היא פונקציית האקספוננט.
לכל מספר שלם משויך ענף אחד, המסומן בצורה .
לפונקציות אלו מתקיימת התכונה הבאה: אם ו- הם מספרים מרוכבים כלשהם, אזי מתקיים:
אם מתעסקים רק בעולם המספרים הממשיים, אז קיימים שני הענפים ו- בלבד; עבור המספרים הממשיים ו- והמשוואה:
למשוואה זו יש פתרון רק עבור ; אנו מקבלים כי אם , ואת שני הערכים וגם אם (כפי שניתן לראות בתמונה).
הפונקציה שימושית בקומבינטוריקה, לדוגמה, בספירת עצים.
ניתן להשתמש בה בכדי לפתור משוואות המכילות אקספוננט (למשל המקסימום של משוואת פלאנק, משוואת התפלגות בוז-איינשטיין ומשוואת התפלגות פרמי-דיראק).
פונקציית W של למברט קרויה על שם המתמטיקאי יוהאן היינריך למברט.
לעיתים הענף הראשי מסומן כ- והענף מסומן כ-.
לעיתים הפונקציה נקראת גם "לוגריתם המכפלה" (באנגלית product logarithm) כיוון שאם הפונקציה ההופכית של נקראת לוגריתם, אז הגיוני לקרוא לפונקציה ההופכית של המכפלה בשם "לוגריתם המכפלה"
הפונקציה קשורה לקבוע אומגה, ששווה ל-.
אומנם את פונקציית W של למברט לא ניתן לבטא באמצעות פונקציות אלמנטריות., אך ניתן לייצג אותה ובעיקר את הענף הראשי שלה בדרכים אחרות.
בתחום , ניתן לייצג באמצעות האינטגרל הבא:
ועבור התחום הרחב יותר , ניתן לפשט עוד יותר את הביטוי:
קיים ייצוג נוסף לענף הראשי:
עבור התחום בו הענף הראשי מוגדר, מתקיים:
(שני האינטגרלים שווים כיוון שהפונקציה בתוך האינטגרל סימטרית).
ניתן גם להציג את הענף הראשי באמצעות השבר המשולב הבא:
ובאופן דומה, עבור התחום :
לפי השיטה למציאת נגזרת של פונקציה סתומה, ניתן להראות כי לכל הענפים של יש משוואה דיפרנציאלית רגילה:
( אינה גזירה עבור ) כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה עבור הנגזרת של :
ובאמצעות שימוש בזהות נקבל את הנוסחה הבאה:
ניתן למצוא את האינטגרל של הפונקציה , ושל פונקציות רבות נוספות המכילות בתוכן את פונקציית W, על ידי שימוש באינטגרציה באמצעות החלפת משתנים:
המשוואה השנייה היא בשימוש הנפוץ יותר, אך אינה מוגדרת עבור .
אם נשתמש בעובדה כי נקבל:
קיימים כמה אינטגרלים מסוימים שימושיים של הענף הראשי של פונקציית W.
את המשוואה הראשונה ניתן למצוא באמצעות כתיבת אינטגרל גאוסיאני בקואורדינטות קוטביות.
את המשוואה השנייה ניתן למצוא על ידי שימוש בהחלפה , ואז ניתן גם להחליף את:
המשוואה השלישית נובעת מהמשוואה השנייה על ידי ההחלפה , ובנוסף גם המשוואה הראשונה נובעת מהשלישית על ידי ההחלפה .
עבור כל מספר אלגברי השונה מ-0, מתקיים כי הוא מספר טרנסצנדנטי.
אם הוא 0, אז חייב להיות גם הוא 0, ואם הוא מספר לא אלגברי שונה מאפס, אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס, חייב להיות מספר טרנסצנדנטי, ולכן חייב להיות גם הוא מספר טרנסצנדנטי.
למטה מובאים ערכים מיוחדים של הענף הראשי ():
פונקציית אקטיבציה או פונקציית שפעול של נוירון ברשת עצבית מלאכותית היא פונקציה מתמטית המחשבת את הפלט של הנוירון ביחס לקלטים שהוא מקבל ולמשקלם.
פונקציות האקטיבציה הן מרכיב מרכזי ברשתות נוירונים, שהן צורת המימוש הנפוצה של מערכות בינה מלאכותית מודרנית.
לפונקציה הנבחרת יש השפעה על ביצועי הרשת, ועל ההתאמה שלה לביצוע המשימה שעליה אומנה.
מטרת הפונקציה היא לקבוע את עוצמת הפלט של הנוירון, ביחס לקלט שקיבל.
ההשראה לאופן הפעולה של פונקציות אקטיבציה התקבלה מאופן הפעולה של תאי העצב במוח, אשר הפלט שלהם נקבע בהתאם לפוטנציאל הפעולה.
נוירון ברשת נוירונים מלאכותית פועל כפרספטרון (אלגוריתם בסיסי בתחום למידת המכונה), כך שהוא מקבל וקטור קלט, מכפיל אותו בווקטור משקולות שנלמד בזמן האימון.
לאחר מכן נקבע פלט הנוירון באמצעות העברת תוצאת המכפלה בפונקציית האקטיבציה.
מטרה נוספת של פונקציית האקטיבציה היא להכניס אי-ליניאריות לרשת, ולכן הפונקציות הנמצאות בשימוש רווח הן פונקציות לא ליניאריות, או פונקציות שיש בהן אלמנט כלשהו של אי ליניאריות.
פונקציית אקטיבציה לא ליניארית מאפשרת לפתור בעיות לא טריוויאליות באמצעות חיבור של מספר קטן של צמתים.
פונקציות האקטיבציה המודרניות כוללות את ReLU ששימשה במודל הראייה הממוחשבת AlexNet מ-2012, את GELU ששימשה במודל BERT שאומן על ידי Google ב-2018, ואת הפונקציה הלוגיסטית סיגמואיד ששימשה במודל זיהוי דיבור משנת 2012 שפותח על ידי הינטון.
מלבד הביצועים האמפיריים שלהן, לפונקציות האקטיבציה יש גם תכונות מתמטיות שונות.
לכל תכונה יש השפעה כלשהי על אימון הרשת, וישנן תכונות נוספות שעשויות להשפיע עליה.
על פי משפט הקירוב האוניברסלי , רשת עצבית דו-שכבתית שמשתמשת בפונקציית אקטיבציה לא ליניארית, יכולה לקרב כל פונקציה.
כאשר הנוירונים ברשת משתמשים בפונקציית אקטיבציה ליניארית, הרשת כולה שווה ערך לרשת חד-שכבתית בשל תכונות הליניאריות.
כאשר פונקציית האקטיבציה חסומה, שיטות אימון מבוססות גרדיאנט נוטות להיות יציבות יותר, מכיוון ששינוי בקלט משפיע על המשקולות באופן מוגבל בכל צעד.
כאשר הפונקציה לא חסומה, האימון בדרך כלל יעיל יותר מכיוון שקלטים מסוים עשויים להשפיע בצורה חזקה יותר על השינוי במשקולות.
במקרה כזה, נדרש בדרך כלל שימוש ב-learning rate קטן יותר.
פונקציות שהשיפוע שלהן באינסוף לא שואף לאפס, כלומר לא מתקיים , מתאימות להתמודדות עם בעיית הגרדיאנט הנעלם דוגמה לפונקציה כזו היא ReLU.
בשימוש בשיטות אופטימיזציה מבוססות גרדיאנט רצוי שהפונקציה תהיה גזירה ברציפות.
פונקציית המדרגה (פונקציה שנותנת 0 לכל ערך שקטן מ-0, ו-1 לכל ערך שגדול מ-0) אינה גזירה ב-0, והנגזרת שלה היא 0 לכל ערך אחר, ולכן שיטות מבוססות גרדיאנט לא יכולות לבצע את השיפורים שלהם בהתבסס עליה.
ניתן לחלק את פונקציות האקטיבציה הנפוצות ביותר לשלוש קטגוריות: פונקציות ridge, פונקציות רדיאליות ופונקציות אגרגציה.
פונקציות ridge הן פונקציות מרובות משתנים הפועלות על צירוף ליניארי של משתני הקלט.
ברשתות עצביות ביולוגיות, פונקציית האקטיבציה היא בדרך כלל הפשטה המייצגת את הדחף עצבי בנוירון.
בצורתה הפשוטה ביותר, הפונקציה היא בינארית, כלומר הנוירון יכול לבחור האם להוציא פלט או לא.
עוצמת הפלט של נוירונים חסומה, ופונקציות שמחקות את ההתנהגות הזו בצורה מהימנה הן פונקציות שהטווח שלהן הוא מרחב סופי, כמו סיגמואיד.
פונקציות רדיאליות נמצאות ברשתות מסוג RBF , שיעילות בקירוב אוניברסלי של פונקציות.
פונקציה בשימוש נפוץ היא פונקציית גאוס, , כאשר הוא הווקטור המייצג את מרכז הפונקציה ו- ו- הם פרמטרים המשפיעים על רדיוס הגאוסיאן.
פונקציות אגרגציה נמצאות בשימוש נרחב בשכבת האגרגציה (pooling) ברשתות קונבולוציה, ובשכבת הפלט של רשתות סיווג בעלות מספר מחלקות.
הפונקציות האלה מבצעות אגרגציה על הקלט, למשל בחירת הממוצע, המינימום או המקסימום.
בסיווג מרובה מחלקות, נעשה שימוש בפונקציית סופטמקס שיוצרת התפלגות מהקלט שהתקבל, כלומר מייצרת וקטור שסכומו 1.
שםויזואליזציהמשוואה, נגזרות, טווחסדר גזירותפונקציית הזהותפונקציית מדרגהטנגנס היפרבוליReLU GELU (Gaussian Error Linear Unit)Leaky ReLUגאוסיאןסופטמקס לכל Maxout
בתורת המספרים פונקציית L של ארטין היא פונקציית L שמספקת מידע על ההתהגות של איבר פרובניוס המתאים לראשוניים שונים בהרחבת שדות מספרים נתונה.
פונקציית L של ארטין מכלילה את פונקציית L של דיריכלה.
כמו שפונקציית L של דירכלה מאפשרת לחקור התפלגות של ראשוניים בסדרה חשבונית, פונקציית L של ארטין מאפשרת לחקור התפלגות של ראשוניים בעלי תכונות אריתמטיות מורכבות יותר.
לפי השערת לנגלנדס, כל פונקציית L של ארטין שווה לפונקציית L של תבנית אוטומורפית מתאימה.
את הפונקציה הגדיר אמיל ארטין בשנת 1923 על מנת לפרק את פונקציית זטא של דדקינד למכפלה של פונקציות בצורה שתכליל פירוקים קודמים של דדקינד וובר.
בהינתן הרחבת גלואה של שדות מספרים והצגה (מרוכבת) של חבורת גלואה , פונקציית L של ארטין היא פונקציה מרומורפית על .
את ערכה של פונקציית L של ארטין בנקודה מסמנם ב:
כרגיל בפונקציות L, הגדרות שונות של הפונקציה מגדירות פונקציה אנליטית רק בחלק מהמישור המרוכב, כך שגם לצמצום של פונקציית L של ארטין לתחומים אלו קוראים לעיתים פונקציית L של ארטין ומסמנים אותה באותו האופן.
לפונקציית L של ארטין יש גם גרסה עבור הצגה של חבורת גלואה של הרחבה של שדות מקומיים.
גרסה זו נקראת פונקציית L המקומית של ארטין.
כשרוצים להדגיש שמדברים על פונקציית L של ארטין הלא מקומית מכנים אותה פונקציית L הגלובלית של ארטין.
הסימונים במקרה המקומי מקבילים לסימונים במקרה הגלובלי.
פונקציית L המקומית של ארטין פשוטה בהרבה מזאת הגלובלית.
במקרה של שדות מקומיים לא ארכימדיים היא מהווה פונקציה רציונלית ב- כאשר הוא מציין השארית של השדות המקומיים הרלוונטיים.
פונקציית L הגלובלית של ארטין היא מכפלה אינסופית של פונקציות L מקומיות של ארטין המתאימות להרחבות שדות מקומיים לא ארכימדיים המתקבלים מההרחבה .
מסיבות טכניות לעיתים יותר נוח להגדיר את פונקציות L המקומיות של ארטין רק עבור חלק מהמקרים.
אם מחליפים את המכפלה המלאה במכפלה חלקית מקבלים את פונקציית L החלקית של ארטין.
למושג זה אין הגדרה מוסכמת אחת הוא טכני ותלוי הקשר.
ניתן להרחיב את המכפלה המגדירה את פונקציית L של ארטין כך שהיא תכיל גם פונקצייות L מקומיות המתאומות לשדות ארכימדיים.
הפונקציה המתקבלת בצורה כזאת נקראת פונקציית L המורחבת של ארטין (או פונקציית של ארטין) ומסומנת לעיתים ב- במקום ב - .
היחס בין פונקציות L המורחבת של ארטין ופונקציות L של ארטין נקרא לעיתים כופל גמא.
זאת משום שניתן להביע אותו באמצעות ביטוי פשוט יחסית שמערב את פונקציית גמא.
כרגיל בפונקציות L, המכפלה שמגדירה את הפונקציה, הטור שמתקבל מפתיחת הסוגריים בה, הפונקציה עצמה וההמשכות האנליטיות שלה לקבוצות שונות במישור כולן נקראות באותו השם.
בהינתן שדה מספרים , מקום סופי של הוא אידיאל ראשוני של החוג של השלמים ב-.
אם אז המקומות הסופיים של הם פשוט מספרים ראשוניים.
מקומות סופיים של הם מקרה פרטי של מקומות של .
המקומות של כוללים מלבד המקומות הסופיים של גם את המקומות האינסופיים של .
ניתן להגדיר את המקומות הארכימדיים בתור שיכונים של ל-.
נסמן את אוסף המקומות הסופיים של שדה ב-.
נקבע הרחבה סופית של שדות מספרים .
בהינתן מקום סופי ניתן לפרק את האידיאל לאידיאלים ראשוניים:
אומרים שמקומות נמצאים מעל המקום .
אומרים ש- אינו מסועף ביחס להרחבה אם .
אומרים ש- אינו מסועף ביחס להרחבה כל המקומות של הנמצאים מעליו אינם מסועפים.
ניתן להראות שכמעט כל המקומות (הסופיים) של (זאת אומרת כולם פרט למספר סופי) הם לא מסועפים ביחס להרחבה הנתונה .
נסמן את אוסף המקומות הסופיים של שדה שאינם מסועפים ביחס ל- ב-.
עבור הרחבת גלואה סופית של שדות מספרים ועבור מקום סופי שאינו מסועף ביחס להרחבה זאת פרובניוס הגדיר איבר בחבורת גלואה .
איבר זה נקרא איבר פרובניוס.
ניתן להראות שאם הם שני מקומות הנמצאים מעל אותו מקום סופי של אז איברי פרובניוס
ו- צמודים בחבורת גלואה .
בהתאם, עבור ראשוני שאינו מסועף ביחס להרחבה , מגדירים את איבר פרובניוס להיות איבר פרובניוס של אחד הראשוניים של הנמצאים מעל .
איבר זה אינו מוגדר היטב כאיבר בחבורה אך מוגדר עד כדי הצמדה.
במילים אחרות מחלקת הצמידות שלו מוגדרת היטב.
ניתן להרחיב הגדרה זו גם למקומות סופיים מסועפים, אולם במקרה זה איבר פרובניוס יהיה איבר בחבורת גלואה שונה במקצת.
נקבע הרחבת גלואה של שדות מספרים והצגה (מרוכבת) של חבורת גלואה .
פונקציית L המקומית של ארטין
יהי מקום סופי של שאינו מסועף ביחס להרחבה .
פונקציה זו (כפונקציה מ-) נקראת פונקציית L המקומית של ארטין.
זוהי פונקציה רציונלית ב- ובפרט פונקציה מרומורפית ב-.
ניתן להרחיב הגדרה זו גם עבור מקומות סופיים מסועפים.
ההגדרה מסובכת מעט יותר אך עדיין נותנת פונקציות רציונליות ב-.
ניתן גם להרחיב הגדה זו גם עבור מקומות אינסופיים.
אולם במקרה זה לא יהיה ניתן להביע את הפונקציה שתתקבל באמצעות פונקציה רציונלית, ותתקבל פונקציה מרומורפית מסובכת יותר הניתנת להבעה באמצעות פונקציית גמא.
הערה: אם בוחרים מקום סופי הנמצא מעל אז ניתן להגדיר הרחבת שדות מקומיים
כאשר ו- הם ההשלמות של ו- על פי הערכים המוחלטים המוגדרים באמצעות המקומות המתאימים.
מכאן מקבלים שיכון של חבורות גלואה
קל לראות שפונקציית L המקומית של ארטין תלויה רק בשדות ו- ובצמצום .
למעשה ניתן להגדיר אותה עבור כל הצגה של כאשר היא הרחבת גלואה של שדות מקומיים.
במקרה כזה מסמנים את ערכה של פונקציית L המקומית של ארטין ב-.
פונקציית L הגלובלית של ארטין
פונקציית L של ארטין מוגדרת באופן הבא:
קל לראות שמכפלה זו מתכנסת עבור בעל חלק ממשי גדול מספיק, ובהתאם מגדירה פונקציה אנליטית בחצי מישור ימני.
פונקציית L החלקית של ארטין
בהינתן קבוצה סופית של מקומות סופיים ניתן להגדיר את פונקציית L החלקית של ארטין על ידי
בדרך כלל בוחרים את כך שתכיל את כל המקומות המסועפים.
בכך אפשר להימנע מהעיסוק בראשוניים המסועפים בהם ההגדרה של פונקציות L המקומיות מסובכת יותר.
בחירות שונות של ישנו את הפונקציה, אבל, למטרות רבות, שינוי זה לא יהיה משמעותי.
יחס בין שתי פונקציות L חלקיות הוא פונקציה מרומורפית עם תיאור פשוט יחסית.
הניתוח של פונקציית L החלקית פשוט יותר מזאת של המלאה (בהנחה שבוחרים את באופן מתאים), עם זאת הוא מספק מידע רב על פונקציית L המלאה, כך שדי בו כדי להוכיח תכונות רבות של פונקציית L של ארטין.
לעומת זאת, עבור תכונות עדינות יותר, כמו השערת ארטין ומשוואה פונקציאלית לא די בפונקציית L החלקית.
פונקציית L המורחבת של ארטין
פונקציית L המורחבת של ארטין מוגדרת באופן דומה לפונקציית L של ארטין אלא שהמכפלה היא על כל המקומות של .
במילים אחרות פונקציית L המורחבת של ארטין היא המכפלה של פונקציית L של ארטין במכפלת פונקציית L המקומיות של ארטין עבור כל המקומות הארכימדיים.
המכפלה של פונקציית L המקומיות של ארטין עבור כל המקומות הארכימדיים של נקראת לעיתים כופל גמה והגדרתה מבוססת על פונקציית גמא.
כופל גמה פשוט בהרבה מפונקציית L של ארטין (בגלל שהמכפלה בהגדרתו היא סופית) אולם מסובך יותר מפונקציית L המקומית של ארטין.
משפט בראואר על אינדוקציה של קרקטרים (יחד עם תכונות 4, 5) מאפשר לעשות רדוקציה עבור תכונות 1, 3 למקרה בו היא קרקטר כפלי.
מקרה זה דומה למדי להוכחות של הטענות המקבילות עבור פונקציית זטא של רימן, פונקציית זטא של דדקינד, פונקציית L של דיריכלה, ופונקציית L של הקה.
תכונות 4–7 תקפות גם עבור יתר הגרסאות של פונקציית L של ארטין.
בפרט אפשר להסיק מתכונה 8.1 למעלה, את משפט הצפיפות של צ'בוטרב בגרסתו הנוגעת לצפיפות הטבעית.
מידע זה נותן מידע על התפלגות של ההתנהגות של פולינום עם מקדמים שלמים כאשר חוקרים אותו מודולו מספר ראשוני רץ, או באופן כללי יותר על התפלגות של ההתנהגות של סכמה כאשר חוקרים אותה מודולו מספר ראשוני רץ.
השערת לנגלנדס מקשרות בין הצגות (n-ממדיות) של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים לבין תבניות אוטומורפיות המתאימות לחבורה מעל השדה .
הצגה של חבורת גלואה האבסולוטית של מתפקטרת דרך הצגה של חבורת גלואה של הרחבה נורמלית .
אחת הדרכים לאפיין את התאמת לנגלנדס היא הטענה שפונקציית L של ארטין המתאימה להצגה שווה לפונקציית L שמתאימה לתבנית האוטומורפית המתאימה ל- תחת התאמת לנגלנדס.
פונקציונליזם (תפקודנות) בתחום הפילוסופיה, ובמיוחד בתחום הגות הנפש הוא גישה שמסבירה את החוויות הנפשיות, שהם תוצר של פעילות גופנית, על פי הצורך בהם.
כך לדוגמה כאב נועד לגרום לתפישה וסברה שיש פציעה ולמוּדעוּת לבעיה כדי שתטופל, תגרום להתנהגות שתקל על האיבר הפגוע, ותפיק קריאות לעזרה, הבעות שיוצרות הזדהות כמו עיווי הפנים, בכי, או קריאה לעזרה.
הפונקציונליזם כדרך הגדרה, הועלה בידי החוקר האוסטרלי הילרי פטנם.
זו דרך להסביר את התפתחות התופעה מהבחינה הפיזית, שכן לדעת חוקרים האוחזים בדרך זו, יש זהות מדעית בין הנפשי לגופני, בין השכלי הרוחני והחווייתי למוחי הפיזי והגשמי, באמצעות הפעילות העצבית וההורמונלית, והתגובות הגופניות.
במדעי החומר ובמדעי החיים, תופעות מתפתחות מוסברות לא רק דרך גלגולן הנסיבתי אלא גם באמצעות תפקודם.
וכך הימצאות שלג בהרים הגבוהים מוסבר לא רק כתופעה פשוטה של השפעת הטמפרטורה הסטטיסטית במקום של לחץ אויר נמוך אלא גם כהיזון חוזר של צבעו הלבן של הקרח המשיב את קרינת השמש ומפזר אותו אל החלל החיצון בלי להיקלט באדמה, ושיתוף עם תופעת העננות "המגינה" על הארץ מפני התחממות.
לעורם של יצורים, יש תפקיד דומה של הגנה, וכך גם לקרום הממברנה של התא החי, אלא שלאלה בניגוד לשכבות שלג ושכבות עננים יש גם תפקידי העברת חומרים תוך סינונם, באופן "אקטיבי" לעיתים על פי "אות חיצונית" או "זיהוי" החומר.
תפקודי ותפקידי המצבים הנפשיים כמו כעס, ריגוש, תכנון, חלימה, דימוי, חוויית צלילים תואמים או זועקים, ריחות טובים ודוחים, וכדומה, כולם משמשים כדרך להסברת "סיבת" התפתחותם והישארותם בתהליך של ברירה טבעית, ששומרת על היצור מועילה או נטפלת אליו בדרך כלשהי.
פונקציית דיריכלה היא פונקציה ממשית המקבלת את הערך 1 עבור כל מספר רציונלי ואת הערך 0 עבור כל מספר אי רציונלי.
כלומר זוהי הפונקציה המציינת של קבוצת המספרים הרציונליים על הישר:
מקורות מסוימים מגדירים את פונקציית דיריכלה דווקא כפונקציה המציינת של המספרים האי-רציונליים.
הפונקציה נחקרה לראשונה על ידי המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה.
פונקציית דיריכלה מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:
היא אינה רציפה באף נקודה על הישר - לכל רציונלי ניתן לבנות סדרה של מספרים אי רציונליים השואפת אליו, ולהפך, על כן כל נקודה של הפונקציה היא נקודת אי רציפות מן הסוג השני, ומכאן ברור שאין קטע שהיא רציפה בו או גזירה בו.
למשל, נניח כי , אזי ניתן להגדיר מספר אי רציונלי שנמצא ביניהם כך: .
אין קטע שהיא מונוטונית בו.
אין קטע שהיא אינטגרבילית רימן בו.
אולם היא כן אינטגרבילית לבג, ואינטגרל לבג שלה בכל קטע הוא 0. זאת משום שקבוצת הרציונליים היא קבוצה ממידה אפס ולכן הפונקציה מתאפסת כמעט בכל מקום.
בשל תכונות אלו משמשת פונקציית דיריכלה לעיתים קרובות בתור דוגמה נגדית, כדי להראות שתכונה כלשהי, המתקיימת בפונקציות ממשיות רבות, אינה מתקיימת בכולן.
הווריאציה של פונקציית דיריכלה מספקת דוגמה לפונקציה שרציפה בנקודה 0 בלבד, והווריאציה מספקת דוגמה לפונקציה גזירה בנקודה 0 בלבד.
אחת המסקנות ממשפט הקטגוריה של בר היא שכל סדרת פונקציות רציפות המתכנסת נקודתית, מתכנסת לפונקציה שקבוצת נקודות האי רציפות שלה היא מקטגוריה ראשונה.
לכן פונקציית דיריכלה, שאינה רציפה באף נקודה, אינה גבול של אף סדרת פונקציות רציפות בשום קטע.
עם זאת, פונקציית דיריכלה היא גבול כפול של סדרת פונקציות רציפות:
לכן פונקציית דיריכלה היא פונקציית בר מסדר שני.
פונקציית דיריכלה אינה רציפה משום שאין לה גבול באף נקודה.
לפונקציה יש גבול בנקודה 0, למרות שאינה רציפה באף נקודה.
אם יש לפונקציה גבול בכל נקודה, אז קבוצת נקודות אי-הרציפות שלה לכל היותר בת-מניה.
פונקציית גל היא פתרון של משוואת גלים.
זוהי פונקציה של מיקום במרחב ובזמן והיא משמשת לתאר מערכת המתנהגת כמו גל.
שימוש נפוץ ביותר במושג פונקציית גל הוא במכניקת הקוונטים, שם משוואת התנועה היא תמיד משוואת שרדינגר שהיא סוג של משוואת גלים.
את פונקציית הגל נהוג לסמן כ- או לעיתים פשוט כ-.
גובה פני נוזל עומד ללא תנועה יהיה אחיד במרחב ולא ישתנה בזמן.
אם תיווצר תנועה (למשל על ידי זריקת אבן) יהיה גובה הנוזל שונה בנקודות שונות וישתנה עם הזמן.
תנועה כזאת נקראת גל והפונקציה המתארת את גובה פני הנוזל, ביחס לגובה האחיד, בכל מיקום ובכל זמן, נקראת פונקציית הגל.
דוגמה נוספת להתנהגות של פונקציית גל היא צפיפות האוויר כשנוצרים גלי קול.
במכניקת הקוונטים המצב של מערכת כלשהי מתואר על ידי וקטור במרחב הילברט הנקרא וקטור מצב.
פעמים רבות מתייחסים לווקטור זה כאל פונקציית גל.
במקרים כאלה, פונקציית הגל היא פתרון למשוואת הגלים של שרדינגר והיא אינה מיצגת גודל פיזיקלי מדיד, אך הערך המוחלט שלה בריבוע מייצג את ההסתברות, או צפיפות הסתברות, למצוא את המערכת במצב מסוים.
כשהמערכת מתוארת על ידי גדלים כמו מיקום ותנע, לדוגמה המיקום והתנע של אלקטרון יחיד, יש לפונקציית הגל צורה דומה לזו של גלים אחרים ("קלאסיים") הנזכרים למעלה.
ערך זה דן בסוג זה של פונקציית גל.
לעובדה שפונקציית גל יכולה לתאר חלקיקים יש קשר לדואליות גל-חלקיק כמו גם לעובדה שלפונקציית הגל של האור ניתן ליחס תכונות חלקיקיות כמו תנע ומיקום ומכאן נובע המושג פוטון.
פונקציית הגל יכולה להיות פונקציה של המיקום (והזמן) ואז נהוג לכתוב אותה כ-.
כאן - וקטור המקום ו- הוא הזמן.
ערך הפונקציה, שנקרא לפעמים משרעת, הוא מרוכב, באופן כללי.
צפיפות הסתברות נתונה על ידי לכן אם נרצה לחשב את ההסתברות של המערכת (לדוגמה חלקיק) להימצא בתחום V כלשהו, נצטרך לסכום על צפיפות ההסתברות בתוך התחום כלומר:
מכיוון שהמערכת חייבת להיות במיקום כלשהו, חייב להתקיים
כשהאינטגרל הוא על כל המרחב.
תנאי זה נקרא הנירמול של פונקציית הגל.
תמונה פשוטה יותר מתקבלת אם נתבונן בחלקיק היכול לנוע רק בכיוון אחד, נאמר ציר ה-.
זוהי מערכת חד־ממדית, כלומר כדי לתאר את המערכת כל שצריך הוא להגיד מה המיקום של החלקיק על ציר ה-.
תיאור קלאסי של המערכת יינתן על ידי , המיקום של החלקיק כפונקציה של הזמן.
התיאור הקוונטי הוא דרך פונקציית הגל: .
אם נרצה לדעת איפה החלקיק בזמן כלשהו, נוכל לחשב את ההסתברות שלו להיות בכל נקודה.
מכיוון ש הוא רציף יש אינסוף () נקודות בכל תחום והסיכוי של החלקיק להיות בנקודה מסוימת שואף לאפס, אך הסיכוי של החלקיק להיות בתחום הוא סופי ונתון על ידי
מרחב המיקום לעומת מרחב התנע
גל מישורי במימד אחד נתון על ידי: כאשר הוא מספר הגל ו- הוא אורך הגל.
לפי השערת דה ברויי תנע הגל הוא
ניתן לרשום את פונקציית הגל כסופרפוזיציה של גלים מישוריים:
כש- היא התמרת פוריה של .
לכן, הפונקציה נותנת גם היא תיאור שלם של המערכת כשההסתברות למצוא את המערכת עם תנע בתחום נתונה על ידי
כתיבה של ו- כווקטורים מכלילה את הרעיון לשלושה ממדים.
אם נרצה לתאר חלקיק הנמצא במיקום מאוד מדויק, נכתוב את פונקציית הגל, במרחב המיקום, כפונקציית דלתא ולכן במרחב התנע הפונקציה תהיה קבועה (התמרת פורייה של פונקציית דלתא).
משמעות הדבר שתנע החלקיק אינו מוגדר מכיוון שהוא יכול לקבל כל ערך באותה הסתברות.
ובאותו אופן, לחלקיק בעל תנע מאוד מדויק לא יהיה מיקום מוגדר.
זוהי המחשה של עקרון אי הוודאות.
התפתחות מושג פונקציית הגל באה מההתנהגות הכמו-גלית של חלקיקים, שנצפתה בניסויים.
בניסויים אלה נראה שהאלקטרון מתנהג כאילו מיקומו "מרוח" על כל המרחב והוא נמצא במספר רב של מקומות בו-זמנית כל עוד לא מודדים באיזה מקום הוא נמצא.
בעקבות ניסוי שני הסדקים ועבודתו של לואי דה ברויי נוסח הרעיון שאת מיקומו של חלקיק ניתן לתאר כהרכבה של גלים שתיצור חבורת גלים הממורכזת סביב מיקומו ה"קלאסי" של החלקיק.
שיקולים סמי-קלאסיים על תכונות של גלים הביאו להצעת הצורה הכללית של פונקציית הגל של חלקיק חופשי:
כמו גל, גם הפתרון הכללי הוא בעצם טרנספורם פורייה על מרחב דואלי שלא תלוי במיקום - זהו מרחב התנע (ראה מכניקה המילטוניאנית).
תיאור החלקיק על ידי פונקציית גל הסביר מדוע אלקטרונים יכלו לבצע התאבכות.
כדי לקבל את התפתחות פונקציית הגל בזמן, הפעיל שרדינגר שוב שיקול סמי-קלאסי.
עבור גל אור מקוונטט מתקיימים הקשרים הבאים:
כאשר E אנרגיה, p הוא תנע ו-c מהירות האור.
אך עבור חלקיק חופשי מתקיים ש
בבסיס המקום (r), אופרטור התנע מוצג כ ולכן משוואת שרדינגר עבור חלקיק חופשי היא:
(ניתן לראות זאת על ידי חישוב מפורש של שני אגפי המשוואה ושימוש בתכונות של נגזרות חלקיות).
כדי להכליל עבור מקרה בו החלקיק איננו חופשי, אלא נתון תחת השפעת פוטנציאל, מוסיפים את הפוטנציאל למשוואה באופן הבא:
הביטוי באגף ימין הוא ההמילטוניאן H שפועל על פונקציית הגל ומכך ניתן להסיק את הצורה הכללית של משוואת שרדינגר.
קריסת פונקציית הגל היא תיאור שניתן על פי פרשנות לא מוכחת של תורת הקוונטים, פרשנות קופנהגן.
זוהי התופעה שבה בכל עת שמבצעים מדידה, פונקציית הגל עוברת ממצב של סופרפוזיציה קוונטית למצב עצמי מובחן.
קריסת פונקציית הגל היא תוספת חיצונית למכניקת הקוונטים ולא חלק מהפורמליזם של שרדינגר, ונילס בוהר הוסיף אותה על מנת להסביר את התופעה הניסיונית שבה כאשר מבצעים מדידה כלשהי על חלקיק קוונטי (כגון אלקטרון), אחרי שנמדד ערך מסוים, מדידות חוזרות יראו רק את הערך הזה ולא שום ערך אחר.
בסימון דיראק אפשר לבטא את קריסת פונקציית הגל כך:
נניח שלפני המדידה קיים חלקיק בסופרפוזיציה של שלושה מצבים עצמיים (בלי הגבלת כלליות, שווי הסתברות):
נניח שמבצעים עליו מדידה, שמבדילה בין שלושת המצבים העצמיים הללו (מדידה כזאת אפשר לייצג על ידי אופרטור השלכה שהוא אינו אוניטרי).
אם במדידה מקבלים את הערך העצמי "2", אזי אחרי המדידה מצב החלקיק הוא והתוצאה של כל מדידה נוספת תהיה תמיד "2".
קריסת פונקציית הגל מתרחשת רק לפי פרשנות קופנהגן.
קיימים פירושים אחרים למכניקת הקוונטים, שבהם פונקציית הגל איננה קורסת, אחד מהם הוא פירוש העולמות המרובים.
פונקציית הדלתא של דיראק (מכונה גם פונקציית הלם), המסומנת , היא פונקציה מוכללת שימושית בפיזיקה, בהנדסה ובהסתברות.
למרות שמה, היא אינה פונקציה במובן המקובל.
הגדרתה היא על פי תכונות של האינטגרל המסוים שלה: לכל A ו-B חיוביים מתקיים
התחום של פונקציית דלתא הוא קבוצת המספרים הממשיים.
מהתכונה הראשונה ניתן להסיק שהערך של הוא אפס לכל x פרט ל־.
כדי לקיים את התכונה השנייה, הערך ב־ לא יכול להיות מספר סופי, ולכן הטווח שלה אינו מוכל בקבוצת המספרים הממשיים.
אולם ערכי הפונקציה אינם מעניינים בפני עצמם, אלא האינטגרלים שלה.
פונקציית הדלתא של דיראק, שהיא הכללה של פונקציית הדלתא של קרונקר, נוסחה על ידי הפיזיקאי פול דיראק.
ניתן להגדיר אותה במספר דרכים, למשל כגבול חלש של סדרה של פונקציות שהשטח מתחת לגרף של כל אחת מהן הוא 1, בעוד שהתחום בו הן אינן מתאפסות זהותית הוא קטע הולך וקטן סביב .
לרוב, פונקציית דלתא מוגדרת באמצעות התכונה הבאה
אפשר לחשוב על פונקציית דלתא, מבחינה אינטואיטיבית, כפונקציה שמקבלת את הערך 0 בכל נקודה שאיננה אפס ואת "הערך אינסוף" (או ליתר דיוק ערך אינסופי כלשהו) בנקודת האפס, כך שהאינטגרל המוכלל של הפונקציה על הישר הממשי הוא 1. זו אינה פונקציה במובן המקובל, אבל ההצגה הזו מאפשרת להבין חלק מתכונות הפונקציה.
באופן כללי יותר אפשר לרשום:
ניתן לראות את פונקציית דלתא כפונקציית צפיפות של התפלגות בדידה בעלת פונקציית הסתברות המקבלת 0 לפני ערך מסוים ו-1 אחריו, כלומר:
לפונקציית הסתברות כזו קוראים פונקציית הביסייד (פונקציית מדרגה), והיא פונקציה קדומה של פונקציית דלתא.
לכן באופן לא-פורמלי אפשר לתאר את פונקציית דלתא כ"נגזרת" של פונקציית הביסייד (למרות שלפונקציה זו יש נקודת אי-רציפות בה לא ניתן להגדיר נגזרת), כלומר:
אינטואיטיבית, סביב כל x שונה מ-0 פונקציית הביסייד היא קבועה, ולכן נגזרתה אפס, אך עבור x=0 יש בפונקציית הביסייד קפיצה עם "שיפוע" אינסופי ולכן נגזרת אינסופית בנקודה זו.
תכונות אלה מתאימות לתיאור האינטואיטיבי של פונקציית דלתא.
אין פונקציה שמקיימת את התכונות האלו אך אפשר להגדיר את "פונקציית דלתא" באמצעות שימושים במושגים מתמטיים אחרים: פונקציונל או מידה של אינטגרל לבג.
כפונקציונל, אפשר להגדיר את פונקציית דלתא באופן הבא:
זהו פונקציונל לגיטימי הפועל על מרחב הפונקציות הממשיות.
פונקציונל זה אמנם חסום בנורמת הסופרמום אך הוא אינו חסום (ולכן גם לא רציף) במרחב הילברט .
יתרה מכך, הוא אינו מוגדר היטב באותו מרחב, כיוון ששם שתי פונקציות נחשבות לשוות אם הן נבדלות לכל היותר על קבוצת נקודות בעלת מידה אפס, ולכן אין משמעות לערך הפונקציה בנקודה ספציפית.
למרות זאת, מאחר שלפי משפט ההצגה של ריס אפשר לרשום כל פונקציונל ליניארי חסום כמכפלה פנימית (ובמרחב כאינטגרל) רושמים גם את הפונקציונל הזה כאינטגרל.
זהו רק סימון נוח ואין למעשה שום פונקציה שמקיימת את השוויון.
אפשר גם להתייחס לפונקציית דלתא כאל מידה באופן הבא:
על ידי שימוש במידה זו, אפשר לרשום אינטגרל לבג ולקבל:
רישום זה מבלבל ועדיף עליו הסימון:
כאשר H היא פונקציית הביסייד.
את הרישום האחרון אפשר להצדיק במסגרת התורה של אנליזה פונקציונלית ואינטגרלים ספקטרליים.
את פונקציית דלתא אפשר לתאר גם כגבול של סדרת פונקציות.
כל פונקציה בסדרה נהיית צרה יותר אך גבוהה יותר יחסית לקודמתה, והשטח שמתחת לגרף שלה נשאר קבוע - 1.
באופן פורמלי, סדרת פונקציות תקרא "סדרת דלתא" אם , כלומר לפי ההגדרה של דלתא הגבול צריך לקיים .
דוגמאות לסדרות של פונקציות שמקיימות את הנדרש: פונקציית המלבן, גאוסיאן, לורנציאן.
למשל נסתכל בסדרה הבאה של פונקציות המלבן:
זוהי סדרה של פונקציות שהגרפים שלהן הם מלבנים, או פונקציות מציינות על הקטע המוכפלות ב-n, כמתואר בתרשים.
נראה שזוהי סדרת דלתא: כל מלבן הוא ברוחב ובגובה n ולכן השטח שלו שווה ל-1, מה שאומר שבהשאפה לאינסוף, אינטגרל המכפלה שלו עם כל פונקציה תחזיר את ערך הפונקציה בנקודה 0.
התמרת פורייה של הפונקציה היא הפונקציה הקבועה , ומכאן ההתמרה ההפוכה:
באמצעות החלפת משתנים באינטגרציה ותכונת הזוגיות אפשר להוכיח ש־.
הוכחה: נניח ש-a חיובי (אם a שלילי, נשתמש בתכונת הזוגיות ונעבוד עם כארגומנט הפונקציה).
כאשר החלפת המשתנים היא .
כאשר xi הם השורשים של g, כלומר: .
הוכחה: מאחר שבכל קטע I בו האינטגרל אפשר להפריד את האינטגרל לסכום של אינטגרלים על קטעים קטנים כרצוננו סביב שורשי g, כלומר:
מאחר שהקטעים קטנים כרצוננו, אפשר בכל קטע לקרב את g על ידי קירוב ליניארי: .
נציב זאת באינטגרל ונשתמש בתכונה , יתקבל:
עבור פונקציית מבחן גזירה, אפשר לחשב את הנגזרת של פונקציית דלתא באמצעות אינטגרציה בחלקים ולקבל ש־.
בפיזיקה, פונקציית דלתא היא התיאור המתמטי (פונקציית ההתפלגות) של מטען חשמלי נקודתי או מסה נקודתית.
הפונקציה מוגדרת עבור וקטור מיקום כ-.
בהנדסת חשמל, עיבוד אותות ואנליזת פורייה, פונקציית דלתא – הנקראת גם הלם – משמשת לביצוע מניפולציות של התמרת פורייה, ולניתוח אותות ומערכות.
מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן ניתנת לאפיון מלא על ידי התגובה שלה להלם.
בהסתברות, פונקציית דלתא היא פונקציית צפיפות המתאימה לפונקציית ההסתברות של התפלגות מנוונת.
התפלגות בדידה לא-מנוונת ניתנת לתיאור על ידי סכום משוקלל של פונקציות דלתא מוזזות.
במכניקת הקוונטים משתמשים לעיתים בפונקציות דלתא כבסיס למרחב המקום או התנע.
הפונקציה הדואלית לפונקציית דלתא מוזזת היא גל מישורי: .
בתורת שטורם-ליוביל המשמשת לפתרון משוואות דיפרנציאליות, פונקציית דלתא מספקת את אחת משתי ההגדרות לפונקציית גרין, ובכך מאפשרת לפתור באופן שיטתי משוואות דיפרנציאליות אי הומוגניות.
פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת מֵרוֹמורפית, המרחיבה את מושג ה"עצרת" לכל המישור המרוכב: לכל מספר טבעי , הפונקציה מקבלת את הערך .
הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18, אך הסימון של הפונקציה באות נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של לז'נדר.
גאוס הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, , לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף בצרפת, ובעקבות זאת גם בשאר העולם.
הפונקציה מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב באמצעות האינטגרל .
לפונקציית גמא קטבים (פשוטים) בנקודות בלבד, ואין לה שורשים.
הפונקציה מקיימת את המשוואה הפונקציונלית , המסבירה את הקשר לפונקציית העצרת, ועוד זהויות פונקציונליות רבות אחרות.
פונקציית גמא מוגדרת על ידי האינטגרל הבא:
וזאת לכל שהחלק הממשי שלו, , הוא חיובי.
פונקציה זו מתלכדת עם הפונקציה המוגדרת באמצעות הגבול
, המוגדר היטב לכל .
משום כך, הפונקציה השנייה מהווה המשכה אנליטית של האינטגרל לפונקציה מרומורפית.
ניתן להראות שעבור מספרים טבעיים, פונקציית גמא שווה (בהזזת 1) לפונקציית העצרת.
אם הוא חיובי ושלם, אזי , כי על ידי ביצוע אינטגרציה בחלקים, אפשר להראות כי , ומאחר ש- נקבל כי
זהות חשובה אחת לפונקציית גמא היא נוסחת השיקוף: .
זהות חשובה אחרת היא נוסחת הכפל של גאוס:
לפונקציית גמא יש קוטב ב לכל טבעי.
בנקודה זאת נתון גם ש:
המכפלה האינסופית הבאה, כפי שהראה ויירשטראס, נכונה לכל מרוכב, אשר אינו שלם אי-חיובי:
משפט בוהר-מולרופ הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא על פי המשוואה הפונקציונלית שהיא מקיימת.
המשפט קרוי של-שמם של המתמטיקאים הדנים הארלד בוהר ויוהאן מולרופ שהוכיחו אותו.
משפט: פונקציית גמא הממשית, המוגדרת לכל על ידי , היא הפונקציה היחידה בקרן המקיימת:
אחת ההוכחות לנוסחת סטרלינג משתמשת במשפט זה.
במסגרת ההוכחה בונים פונקציה המקיימת את שלושת התנאים במשפט בוהר-מולרפ, ולכן פונקציה זו היא בהכרח פונקציית גמא.
ניתן לאמוד את הערכים הממשיים והמרוכבים של פונקציית גמא בעזרת אומדן לנקזוס או אומדן סטרלינג:
אומדן זה מדויק בכך שהיחס בין האומדן לערך האמיתי שואף ל-1 כש שואף לאינסוף.
בתקשורת ספרתית ובמדעי המחשב, פונקציית גִּבּוּב היא פונקציה שממירה קלט חופשי באורך משתנה לפלט באורך קבוע, בדרך כלל קצר בהרבה.
לא רצוי שפונקציית גיבוב תיתן פלט זהה לקלטים שונים, אך בלתי נמנע שהדבר יקרה לפעמים, ולכן פונקציות גיבוב נמדדות בהסתברות להפקת פלט זהה.
לפונקציות גיבוב יש שימושים בבעיות אלגוריתמיות רבות, ובהן מיון וחיפוש בטקסטים ארוכים ובהצפנה.
פונקציית גיבוב היא מרכיב חשוב בבניית טבלת גיבוב.
הפונקציה משמשת אינדקס (מפתח) לאיברי טבלת הגיבוב והיא "המנוע" הקובע את מהירות הגישה בשליפה ואחסון איברים בטבלה.
בהקשר זה, לפונקציית גיבוב ישנם שני תפקידים:
הפיכת המפתח, שבו משתמשים כדי לאחסן איברים בטבלאות גיבוב, לערך מספרי.
לדוגמה, כשהמפתח הוא מחרוזת, יש להשתמש בפונקציית גיבוב שממירה מחרוזת למספר.
הכנסת הערך המספרי לתחום האינדקסים של הטבלה.
לדוגמה, אם הערך המספרי של המפתח הוא 100 והטבלה היא בת 20 מקומות, יש להמיר את הערך 100 למספר בין 0 ל-19.
פונקציית גיבוב טובה היא פונקציה שבה המפתחות מתחלקים בצורה אחידה, במידת האפשר, בין התאים בטבלה.
לדוגמה, אם יש לנו טבלה בת 20 מקומות ואנו רוצים לאחסן בה מחרוזות, עלינו למצוא פונקציית גיבוב שבה עבור כל מספר בין 0 ל-19, כ-5% מהמחרוזות האפשריות יקבלו את המספר.
דוגמה לפונקציית גיבוב מסוג זה נתונה על ידי האלגוריתם הבא:
עבור על כל האותיות במחרוזת.
הכפל את הסכום הנוכחי ב-256, והוסף לסכום את קוד ה-ASCII של האות;
החזר את ערכו של הסכום מודולו גודל הטבלה (20).
בספרות ניתן למצוא פונקציות גיבוב מורכבות יותר, המחזירות פיזור אחיד יותר.
Chained Hashing (פונקציית גיבוב משורשרת)
פונקציות גיבוב ויישומן לצורך איחזור מידע, נחקרו לראשונה על ידי ארנולד דמי (A.I.
Dumey) ב-1956. מדובר באופן כללי בשיטות היוריסטיות שנותנות פתרון לבעיה שנקראת 'בעיית המילון', שהיא הבעיה הבסיסית שפונקציית גיבוב אמורה לפתור.
בהינתן המרחב של כל אלמנטים האפשריים - מתוכם צריך לאחסן אלמנטים, המטרה היא למצוא פונקציה שממפה אלמנטים מהמרחב למערך כניסות בזיכרון כך ששלוש הפונקציות הבסיסיות: , ו- דהיינו הוספה, מחיקה או חיפוש ערכים, צריכות להתבצע און-ליין במהירות האפשרית ובמינימום זיכרון אפשרי.
הוא המפתח לערך ו- הוא המידע המשויך אליו.
תאורטית אפשר להקצות שטח זיכרון כגודל המרחב ואז כל אלמנט יהיה ממופה לעצמו לפי סדר רץ כלשהו (כל אלמנט יכול להיות אינדקס של עצמו).
אולם במקרה זה צריכת הזיכרון תהיה בזבזנית כי אם קטן משמעותית מ- שטח הזיכרון לא ינוצל במלואו.
מלבד זאת ייתכן שיהיה בלתי מעשי להקצות כמות כזו של זיכרון אם המרחב גדול.
הפתרון של דמי פשוט; מגדירים פונקציה שהיא פונקציה "אקראית", "כאוטית", "משוגעת":
שתמפה את הערכים באקראי, כך שכל כניסה במערך תכיל רשימה מקושרת (מכאן השם), של מפתחות (אם במקרה קיימים שניים או יותר באותה כניסה) כך שמתקיים .
לכל מפתח מצמידים את המידע המשויך אליו.
לצורך הפונקציה האקראית הציע דמי פונקציה פשוטה כמו כאשר ראשוני.
בממוצע הפונקציה פועלת כמצופה והערכים מתפזרים היטב על פני המערך.
הסיכוי שיימצאו מספר גדול של מפתחות בכניסה אחת הוא נמוך.
אפשר לראות שמציאת ערך בטבלה היא בממוצע בסיבוכיות של .
ב-1975 פרסמו לורנס קרטר ומרק ווגמן מאמר רב השפעה שחוקר את פונקציות הגיבוב מהיבט תאורטי.
הם טבעו לראשונה את המושג פונקציית גיבוב אוניברסלית (Universal Hash Function) והראו שלוש מחלקות אפשריות של פונקציות כאלו וכן הוכיחו שפונקציה העונה להגדרה זו, קרובה למינימום התאורטי האפשרי, כלומר עם מינימום התנגשויות ללא תלות באופי הקלט וכן ניתנת לחישוב באופן יעיל.
תהי מחלקה של פונקציות מהצורה כאשר שנבחרה באקראי מתוך המרחב הממפה ערכים מ- ל- כאשר .
אומרים ש- אוניברסלית אם עבור כל כאשר מתקיים:
כלומר ההסתברות שתהיה התנגשות (שהפונקציה תמפה שני ערכים לאותה כניסה) נמוכה או שווה ל- וכן אומרים שהפונקציה 'כמעט אוניברסלית' אם היא מקיימת .
לדוגמה אם נתונה קבוצה עם אלמנטים והקבוצה עם אלמנטים ונתון מספר ראשוני והפונקציה שממפה אלמנטים מ- לקבוצה (מסיבות של יעילות רצוי ש- תהיה השארית מחילוק ב-.
אם אין צורך לבצע חילוק בפועל אלא נוטלים את הסיביות הפחות משמעותיות של האלמנט ומתעלמים מהיתר).
נתונים שני אלמנטים ו- מתוך כאשר .
כדי להימנע מפעולת הצמצום המודולורי שהיא פעולה לא יעילה במונחי מחשוב אפשר לבצע את הטריק הבא: אם עבור כלשהו (למשל הוא מספר ראשוני), אם ניתן לייצוג על ידי סיביות, אזי קיימים כך שמתקיים במילים אחרות הוא הסיביות המשמעותיות ביותר של ו- הוא הסיביות הפחות משמעותיות.
פועל יוצא הוא שהערך אותו מעוניינים למפות מצטמצם מודולו למספר בגודל סיביות.
כדי לחשב את מספיק לחשב את , לבצע בדיקה אם הוא גדול מ- ולכל היותר יידרש חיסור אחד של .
לסיכום אם הוא חזקה של 2, כל התהליך מצטמצם לכפל אחד, שתי פעולות חיבור, הזזה (shift) ופעולה לוגית אחת, ואין צורך במודולו כלל.
דרך אחרת להימנע מחילוק הוצעה על ידי Dietzfelbinger.
נוטלים את הסיביות המשמעותיות של התוצאה.
לדוגמה אם , אם התוצאה בגודל 64 סיביות, נוטלים רק את 32 הסיביות המשמעותיות, או בניסוח אחר: כאשר הוא הזזה לימין (shift right), אזי הפונקציה אוניברסלית.
בהעברת מידע ברשת, יבדוק הצד המקבל את שלמות המידע תוך השוואת פלט פונקציית הגיבוב עם הצד השולח.
אם הפלט לא שווה, יישלח המקטע הפגום מחדש.
בדומה לכך, בהעתקת קבצים ייבדק המקטע המועתק כדי להבטיח את שלמות ההעתקה.
פונקציות דומות משמשות גם לאיתור וירוסים בקבצים ששותפו באינטרנט וגם כדי לוודא שגורם שלישי לא שינה את המידע בדרך .
פונקציה נפוצה לבדיקה ותיקון שגיאות היא CRC.
אלגוריתם חישוב ספרת ביקורת הוא דוגמה לפונקציית גיבוב.
פונקציית גיבוב קריפטוגרפית היא פונקציה חד-כיוונית הממירה קלט באורך כלשהו לפלט באורך קבוע וידוע מראש.
פונקציית גיבוב קריפטוגרפית מתוכננת כך שכל שינוי בקלט יגרום לשינוי משמעותי בפלט.
בדרך זו ניתן להתמודד עם בעיית הבטחת שלמות מסרים גדולים, על ידי השוואת הערך המגובב שלהם במקום להשוותם ישירות.
בשל היותו קטן משמעותית, קל יותר להגן על הערך המגובב מאשר על המסר המקורי.
פונקציות גיבוב קריפטוגרפיות הן מאבני הבסיס של ההצפנה המודרנית ומשמשות כחתימות דיגיטליות, קודי אימות, שמירת סיסמאות ומחולל מספרים פסאודו-אקראיים.
ביישומים שאינם קריפטוגרפיים הן משמשות לעיתים כמזהה ייחודי של קובץ לצורך בדיקת שלמותו או נכונותו וכן לזיהוי קבצים זהים.
פונקציית גיבוב קריפטוגרפית בטוחה מקיימת את התנאים הבאים:
בהינתן פלט מסוים, מציאת ערך קלט מתאים (כלומר קלט כזה שהפעלת הפונקציה עליו תייצר את הפלט הזה), קשה מבחינה חישובית (Preimage).
בהינתן קלט כלשהו קשה חישובית למצוא קלט אחר המוביל לאותו פלט (Second preimage).
מציאת שני קלטים שונים המובילים לאותו פלט קשה מבחינה חישובית (התנגשות, Collision).
קשה, ואולי אפילו בלתי אפשרי להוכיח שפונקציית גיבוב מסוימת היא בטוחה, וקורה שפונקציה מסוימת נחשבת "בטוחה", ומאוחר יותר מתברר שאינה כזו, כאשר נמצאת שיטה יעילה יחסית (כלומר שיטה שעלותה החישובית נמוכה משמעותית מגודל הפלט) למצוא Preimage, Second Preimage או התנגשות.
במקרה כזה נזנח השימוש בפונקציית הגיבוב הזו לצרכים קריפטוגרפיים.
גורל כזה פקד למשל את הפונקציה MD5.
בקומבינטוריקה ובתורת המספרים, חלוקה של מספר טבעי היא הצגה שלו כסכום של חלקים, כמו .
שתי חלוקות שההבדל היחיד ביניהן הוא סדר הרכיבים, נחשבות לאותה החלוקה.
החלוקות מופיעות בתחומים שונים בקומבינטוריקה, כגון פולינומים סימטריים ותורת ההצגות של החבורה הסימטרית.
מספר החלוקות השונות של נקרא פונקציית החלוקה של , ומקובל לסמנו .
עבור הערכים פונקציית החלוקה מקבלת את הערכים .
ערכי הפונקציה גדלים במהירות, לדוגמה:
לצורך כך הם השתמשו בתאוריה של תבניות מודולריות, שהם היו ממייסדיה, כשהמציאו את "שיטת המעגל" לצורך הערכת המקדמים של פונקציית תטא המתאימה לפונקציית החלוקה
בין התכונות המפתיעות של פונקציות החלוקה אפשר למנות את הקונגרואנציות שגילה רמנוג'אן: לכל מתקיים כי מתחלק ב-5. באופן דומה מתחלק ב-7, ו- מתחלק ב-11. תוצאות אלה קשורות במספרים מצולעים.
מאוחר יותר התגלה גם שהמספרים מתחלקים ב-13. בשנת 2000 הוכיח קן אונו שזהויות כאלו קיימות לכל מספר ראשוני ומספר שנים לאחר מכן תוצאה זו הורחבה לכל מספר שלם שזר ל-6.
את פונקציית החלוקה חקר לראשונה לאונהרד אוילר, שמצא עבור הפונקציה היוצרת שלה פירוק למכפלה אינסופית , צעד שבמידת מה נחשב לראשיתה של תורת המספרים האנליטית.
הפירוק פשוט להוכחה באמצעות הנוסחה לסיכום טור הנדסי:
מספר הפעמים שהאיבר יתקבל בפתיחת המכפלה באגף ימין הוא בדיוק מכיוון ש-i קובע באופן יחיד את מספר הפעמים שהמספר מופיע בחלוקה נתונה.
מאותו הטעם, באופן כללי הפונקציה היוצרת של מספר החלוקות בהן מופיעים רק מספרים מקבוצה הוא .
באמצעות מניפולציה על הפונקציה היוצרת, נובעת ממשפט המספרים המחומשים נוסחת הנסיגה:
כאשר הוא המספר המחומש המוכלל ה--י.
זהו סכום סופי, מכיוון ש- (סכום ריק) ולכל מתקיים .
במתמטיקה, פונקציית הערך השלם (נקראת גם פונקציית רִצפה) היא פונקציה המחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל-x (מעגלת כלפי מטה).
פונקציה זו מסומנת , או (x)floor.
פונקציית הערך השלם הוגדרה לראשונה בשנת 1798 על ידי המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר, בהוכחתו לנוסחת לז'נדר.
קרל פרידריך גאוס הציג את הסימון בהוכחתו השלישית, משנת 1808, למשפט ההדדיות הריבועית.
זה נותר הסימון המקובל עד שבשנת 1962 הציג קנת אייברסון, בספרו A Programming Language (על שפת התכנות APL), את הסימון ואת השם "רצפה" (floor) לפונקציה זו (ולצדם את הסימון והשם "תקרה" לפונקציית תקרה).
מאז מקובלים הסימונים של גאוס ושל אייברסון.
יש המשתמשים לפונקציית הערך השלם בסימון .
לכל x ממשי הפונקציה מקיימת:
כאשר השוויון באגף שמאל מתקיים אם ורק אם x שלם.
לכל x ממשי ולכל n שלם מתקיים:
עיגול למספר השלם הקרוב ביותר ל-x ניתן על ידי הנוסחה .
פונקציית התקרה מחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הקטן ביותר שגדול או שווה ל-x.
ניתן לתאר את פונקציה התקרה כך:
הקשר בין פונקציית הרצפה לבין פונקציית התקרה ניתן על ידי הנוסחה .
לכל k מספר ממשי מתקיים: .
במדעי המחשב מוכרת פונקציה בשם Trunc, קיצור של Truncate.
רמז לתיאור הציורי שלה כפונקציה שלוקחת מספר ממשי ו"מקצצת" את החלק השברי שלו ומשאירה רק את החלק השלם.
פונקציה זו מתנהגת כמו פונקציית רצפה עבור מספרים חיוביים, וכפונקציית תקרה עבור שליליים.
שלוש הפונקציות מקבלות ערך שווה עבור כל המספרים השלמים.
פונקציית הערך השלם (פונקציית הרצפה) מוגדרת היטב, במובן שלכל ממשי אכן קיים מספר שלם גדול ביותר שמקיים (ואז נוכל להגדיר ).
הקיום של מספר שלם כזה נובע משילוב של שתי תכונות של קבוצת המספרים השלמים: ראשית, הקבוצה הזו אינה חסומה מלמטה, ושנית, בכל תת-קבוצה חסומה מלמעלה של מספרים שלמים יש איבר גדול ביותר.
לכן, התכונה הראשונה מובילה לכך שהקבוצה של כל המספרים השלמים שקטנים או שווים ל היא קבוצה לא ריקה, והתכונה השנייה מובילה לכך שיש בקבוצה איבר גדול ביותר.
האיבר הזה הוא בדיוק הערך השלם של .
באופן דומה ניתן להראות שפונקציית התקרה מוגדרת היטב, בהתבסס על כך שקבוצת המספרים השלמים אינה חסומה מלמעלה, ובכל תת-קבוצה חסומה מלמטה של מספרים שלמים יש איבר קטן ביותר.
פונקציית המלבן (ידועה גם כפולס של גל מרובע; באנגלית: rectangular, rectangle function, rect function או unit pulse) מוגדרת כדלהלן:
ישנן הגדרות שונות לערך הפונקציה בנקודות אי-הרציפות והן 0, 0.5, 1 או לא מוגדר.
אפשר לבטא את פונקציית המלבן באמצעות פונקציית הביסייד :
פונקציית המלבן מנורמלת מבחינת שטח:
התמרות פורייה של פונקציית המלבן הן:
כאשר היא התדירות הזוויתית ו־ היא הצורה הלא־מנורמלת של פונקציית sinc.
כאשר היא התדירות ו־ היא הצורה המנורמלת של פונקציית sinc.
התמרת פורייה של פונקציית המלבן , היא:
ניתן להגדיר את פונקציית המשולש כקונבולוציה של שתי פונקציות מלבן:
כאשר מסתכלים על פונקציית מלבן כהתפלגות הסתברות, הפונקציה האופיינית שלה היא
והפונקציה יוצרת מומנטים שלה היא
במתמטיקה, פונקציית הסימן היא פונקציה אי זוגית מתמטית אשר נותנת את הסימן ("-" או "+") של מספר ממשי.
בייצוג מתמטי היא מסומנת בדרך כלל ב-"sgn".
פונקציית הסימן היא פונקציה, המחזירה לכל מספר ממשי ערך המתאים לסימן שלו:
פונקציית הסימן משלימה את פונקציית הערך המוחלט: יחד, הם מפרקים כל מספר x לשני חלקים , שאחד מהם הוא, כאמור, הסימן, והשני תמיד חיובי.
כמו כן, פונקציית הסימן אינה רציפה ב-0 והמשמעות של כך היא שהיא גם אינה גזירה שם.
ניתן גם לומר שפונקציית הסימן היא הנגזרת של פונקציית הערך המוחלט, אם כי הגדרה זו אינה מדויקת משום שפונקציית הערך המוחלט אינה גזירה בנקודה .
ניתן להרחיב את הגדרת פונקציית הסימן גם למספרים מרוכבים שונים מאפס על ידי:
הסימן של מספר מרוכב z היא הנקודה על מעגל היחידה הקרובה ביותר לנקודה z במישור המרוכב.
במתמטיקה, פונקציית גרין היא פונקציה המשמשת לפתרון משוואות דיפרנציאליות ליניאריות לא הומוגניות עם תנאי שפה נתונים, והיא שימושית לפתרון בעיות בפיזיקה ובהנדסת חשמל.
הפונקציה נקראת על שם ג'ורג' גרין, מתמטיקאי בריטי אשר פיתח את הרעיון בשנות ה-30 של המאה ה-19.
פונקציית גרין, של אופרטור דיפרנציאלי ליניארי היא פתרון של המשוואה:
כאשר היא פונקציית דלתא של דיראק המוזזת ב-.
אם מימד הגרעין של האופרטור שונה מאפס פונקציית גרין אינה יחידה, אך למעשה תנאי השפה וסימטריות נותנים פתרון יחיד.
ניתן להשתמש בפונקציית גרין כדי לפתור משוואות מהצורה:
פונקציית גרין היא פתרון המשוואה עבור , ובעזרתה ניתן למצוא את פתרון המשוואה .
לאחר מציאת פונקציית גרין נכפיל את שני אגפי המשוואה המגדירה אותה ב- ונבצע אינטגרציה על כל תחום ההגדרה שלה, לקבלת:
נציב במקום את האופרטור כפי שהוגדר במשוואה הדיפרנציאלית ונקבל:
מאחר שהאופרטור ליניארי ופועל על בלבד (ולא על משתנה האינטגרציה ) נוכל להוציא אותו מהאינטגרל באגף ימין:
מכאן ניתן לזהות את הפתרון:
כלומר, הפתרון של משוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית תלוי רק בפונקציית גרין של המשוואה ובאיבר הלא הומוגני.
פונקציית גרין של האופרטור נותנת את הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית שהוא מגדיר עבור כל פונקציה .
השימוש העיקרי בפונקציית גרין במתמטיקה הוא לפתרון בעיות שפה אי-הומוגניות.
במקרה שבו האופרטור בלתי תלוי מפורשות במשתנה התלוי (לדוגמה, הוא מכיל רק נגזרות לפי אך לא כפל בפונקציות של ) - פונקציית גרין תלויה רק בהפרש בין שני המשתנים שלה, כלומר היא פונקציה של משתנה אחד:
במקרה כזה, פתרון המשוואה הדיפרנציאלית הלא הומוגנית שווה לקונבולוציה בין האיבר הלא הומוגני לבין פונקציית גרין:
בהנדסת חשמל, פונקציית גרין היא הבסיס לעקרון התגובה להלם.
מערכת ליניארית ניתנת לתיאור על ידי משוואה דיפרנציאלית ליניארית לא הומוגנית, כאשר האיבר הלא הומוגני הוא פונקציית הכניסה למערכת ופתרון המשוואה הוא היציאה של המערכת.
פונקציית הדלתא של דיראק נקראת פונקציית הלם ופונקציית גרין של המשוואה נקראת תגובת ההלם של המערכת משום שהיא יציאת המערכת עבור כניסת הלם.
למערכות ליניאריות בלתי משתנות בזמן יש תגובה להלם שתלויה רק בהפרש הזמנים מרגע כניסת פונקציית ההלם.
במקרה כזה התגובה להלם שימושית במיוחד משום שבעזרתה ניתן לחשב את יציאת המערכת לכל כניסה באמצעות קונבולוציה בינה לבין פונקציית הכניסה, פעולה שניתן לבצע ביעילות בעזרת התמרת פורייה.
פונקציית גרין משמשת גם בתחומים רבים בפיזיקה: בפיזיקה של חומר מעובה לפתירת משוואת הדיפוזיה, באלקטרומגנטיות לפתרון משוואת פואסון, במכניקת הקוונטים לפתרון משוואת שרדינגר ובפיזיקה תאורטית מודרנית לתיאור תהליכים על ידי דיאגרמות פיינמן.
יהי אופרטור שטורם ליוביל - אופרטור דיפרנציאלי ליניארי מהצורה:
כאשר תנאי השפה ניתנים על ידי אופרטור תנאי השפה :
ותהי פונקציה רציפה בתחום .
אזי ישנו פתרון אחד ויחיד המקיים:
כאשר היא פונקציית גרין המקיימת את התנאים הבאים:
כאשר פותרים בעיות עם תנאי שפה, פונקציית גרין צריכה לקיים תנאי שפה טריוויאלים (שמתאפסים), ולכן ניתן להוסיף כוח מאלץ שגם הוא מקיים את משוואת הפונקציות העצמיות.
לדוגמה, אם נסתכל על משטח מוארק אין־סופי שציר ה־ ניצב אליו, ונרצה למצוא את הפוטנציאל במרחב כאשר נמצא מטען בנקודה .
פונקציית גרין המתאימה לבעיה הזאת היא , אך נשים לב שהפונקציה איננה מקיימת את תנאי השפה; לכן נוסיף מטען דמות ונקבל:.
ניתן לראות שאם נציב נקבל התאפסות.
ניתן למצוא את פונקציית הגרין של אופרטור בשתי דרכים:
האחת – לפי הגדרה, אם הוא אופרטור דיפרנציאלי ליניארי אז כאשר היא פונקציית דלתא של דיראק.
בכל זמן ש־ פונקציית הדלתא מתאפסת, ונקבל משוואה דיפרנציאלית הומוגנית.
לאחר מכן נציב תנאי שפה ונדרוש רציפות גם כאשר מקבלת "קליק" (ב־).
לבסוף נדרוש אי־רציפות של הנגזרת הראשונה ב־ ונקבל את הפונקציה.
פונקציית גרין של הבעיה היא הפונקציה המקיימת את המשוואה:
עבור כל פונקציית הדלתא מחזירה אפס ומתקבלת משוואה דיפרנציאלית הומוגנית שהפתרון הכללי שלה הוא:
עבור נציב את תנאי השפה ב-:
מכאן שפונקציית גרין היא מהצורה:
ונותר לקבוע מהם המקדמים ו-.
מרציפות פונקציית גרין עבור נובע כי:
הנגזרת הראשונה של הפתרון אינה רציפה: מבצעים אינטגרציה על שני אגפי המד"ר מ- עד ולוקחים את הגבול .
האינטגרל על פונקציית הדלתא הוא פונקציית מדרגה, ומהקפיצה שלה מקבלים את התנאי הבא:
מתקבלת מערכת משוואות עבור ו- והפתרון שלה הוא:
פונקציית גרין של הבעיה היא:
פונקציית הזהות או טרנספורמציית הזהות היא פונקציה שמחזירה תמיד את אותו הערך שעליו היא פעלה, פונקציה היא פונקציית הזהות אם לכל איבר בקבוצה עליה היא פועלת מתקיים .
פונקציית הזהות על קבוצה מסומנת לעיתים על ידי , או .
תהי פונקציה כלשהי, אזי (כאשר מייצג פעולת הרכבת פונקציות).
בפרט, הוא איבר היחידה של המונואיד הכולל את כל הפונקציות מ- על .
מעל מרחב וקטורי מממד סופי אפשר לייצג כל העתקה ליניארית באמצעות מטריצה.
במרחב וקטורי מממד סופי מיוצגת העתקת הזהות על ידי מטריצת היחידה שצורתה
זוהי מטריצה שבה כל איברי האלכסון הראשי הם 1 ושאר האיברים הם 0.
בתורת המספרים, פונקציית היחידה היא פונקציה אריתמטית כפלית במובן החזק, המוגדרת כלהלן:
היא נקראת כך שכן היא איבר יחידה עבור קונבולוציית דיריכלה.
היא גם משמשת כפונקציה מציינת עבור המספר 1 בתוך קבוצת המספרים השלמים החיוביים.
בתורת ההסתברות, פונקציית הסתברות היא פונקציה המחזירה את ההסתברות שערכו של משתנה מקרי בדיד יהיה שווה בדיוק לערך כלשהו.
בשונה מפונקציית הצפיפות, ההסתברות למאורע כלשהו מתקבלת ישירות על ידי הצבה בפונקציה, ולא באמצעות אינטגרציה שלה.
יהי משתנה מקרי בדיד המוגדר על מרחב מדגם .
פונקציית ההסתברות מוגדרת על ידי .
על-פי ההגדרה, מוגדרת עבור כל המספרים הממשיים, ומחזירה את הערך 0 בערכים ש- אינו יכול לקבל.
פונקציית ההסתברות מקיימת את שלוש האקסיומות הבאות:
הסתברותו של כל מאורע במרחב המדגם גדולה או שווה לאפס
סכום ההסתברויות של כל המאורעות במרחב המדגם שווה 1
סכום ההסתברויות של שני מאורעות זרים שווה להסתברות של איחוד מאורעות אלו, קרי אם ומתקיים אז
ערכים מרכזיים: התפלגות ברנולי, התפלגות בינומית, והתפלגות גאומטרית
ישנן שלוש התפלגויות בדידות מרכזיות: התפלגות ברנולי, ההתפלגות בינומית, וההתפלגות הגאומטרית.
בהתפלגות ברנולי נשתמש כדי לתאר ניסוי בעל שתי תוצאות אפשריות בלבד.
נהוג לכנות את התוצאות 1 ו-0, או הצלחה וכישלון, כאשר ההסתברות להצלחה נתונה לפי p.
פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג ברנולי נתונה על פי הנוסחה הבאה:אחת מהופעותיה הנפוצות של התפלגות ברנולי היא בעת הטלת מטבע.
נניח כי הוא מרחב המדגם המייצג את כל התוצאות האפשריות של הטלת בודדת.
נגדיר על משתנה מקרי הקובע את תוצאת הטלת המטבע כך שאם המטבע נחת על עץ ערכו יהיה 1 ואם נחת על פלי ערכו יהיה 0. ידוע כיההסתברות שהמטבע ינחת על עץ היא .
על פי הנוסחה הנתונה לעיל ובהינתן ההסתברות להצלחה, נוכל לחשב את ההסתברות לכישלון:.
בסך הכל נקבל את פונקציית ההסתברות הבאה
בהתפלגות הבינומית נשתמש כדי לתאר סדרה בת ניסויי ברנולי בלתי תלויים כאשר לכל אחד מהם הסתברות הצלחה .
נציב את הפרמטרים של בנוסחת פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג בינומית שלהלן המחזירה את ההסתברות ש- k הטלות של מטבע הקסם מתוך 7 ייפלו על עץ:כעת נוכל לחשב את ההסתברות לכך שארבעה מתוך שבעת המטבעות ייפלו על עץ ביתר קלות:
בהתפלגות הגאומטרית נשתמש כדי לתאר את כמות הפעמים שנצטרך לחזור על ניסוי בטרם תוצאה מסוימת תתקבל, כאשר ההסתברות לקבלת התוצאה המבוקשת היא .
פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג גאומטרית היא:נוכל להשתמש במשתנה מקרי המתפלג גאומטרית בכדי לתאר את תוצאות הניסוי הבא: נטיל מטבע רגיל עד לקבלת עץ בפעם הראשונה ונמנה את כמות ההטלות שנדרשו להשלמת הניסוי.