segment_id	start_time	end_time	set	text
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00000	930	4048	train	Við ætlum að skoða núna hlutrúm í r í n-ta
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00001	4049	8776	train	og hugtökin vídd og myndvídd, þetta eru subspace, dimension og rank á ensku.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00002	17927	23463	train	Skilgreiningin á hvað er hlutrúm, þá, segjum að við séum með eitthvert safn, h af vigrum í r í n-ta,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00003	24064	29096	dev	þá eru [UNK] há hlutrúm ef eftirfarandi skilyrði yrðu uppfyllt: hlutrúmið verður að innihalda núll vigurinn.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00004	29846	34123	eval	Okei, og fyrir alla vigra í hlutrúminu
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00005	35393	41573	train	þá þarf að gilda að summan af þeim sé líka í hlutrúminu. Og fyrir einhvern vigur í hlutrúminu og einhvern fasta a,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00006	42006	45727	train	þá verður nauðsynlega fasti sinnum vigurinn líka að vera í hlutrúminu.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00007	46123	52111	eval	Þannig að þetta eru þrjú skilyrði sem við þurfum að tékka til að athuga hvort að eitthvað sem við fáum gefið er hlutrúm. Við skulum skoða dæmi.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00008	54892	62872	train	Hér er okkur gefið mengið s, það eru allir vigrar í r í öðru, allir tveggja staka vigrar, sem eru margfeldi af vigrinum mínus tveir einn,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00009	63864	71514	train	[UNK] fasta margfeldið af þessum vigri, og spurt er: er þetta hlutrúm í r í öðru. Sjáið þið: a má vera hvaða rauntala sem er og svarið er já,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00010	71879	73197	train	við segjum í fyrsta lagi:
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00011	73814	79234	dev	núll er jafnt og núll sinnum vigurinn mínus tveir, núll vigurinn, þannig að,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00012	80434	82948	train	núll vigurinn er sannarlega í menginu s.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00013	84082	91161	train	Og svo í öðru lagi, ef ég tek tvo vigra, eigum við að segja u, sem er fasti, c einn sinnum vigurinn minn.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00014	92032	97191	train	Hann er í s og annan vigur v sem er c tveir sinnum vigurinn minn.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00015	98420	100418	train	Nú, þá er u plús v,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00016	102697	104284	train	skrifum hérna þá er u og v
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00017	104873	105984	dev	sannarlega í s,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00018	106458	116690	train	þá er u plús v, mundi þá gefa mér vigurinn sé einn plús c tveir sinnum, mínus tveir einn, semsagt eitthvað fasta margfeldi sinnum, vigurinn minn og sem sannarlega er í rúminu s.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00019	117775	118833	train	Og svo í þriðja lagi
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00020	119921	123949	train	ef við segjum að ég sé með vigurinn u sem er c einn mínus tveir einn,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00021	124800	128612	dev	og ég tek, hérna, eitthvað fasta margfeldi af honum, segjum ég segi:
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00022	129531	134740	train	k sinnum u, nú þá er ég með k sinnum c einn sinnum mínus tveir einn vigurinn,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00023	135887	139123	dev	einhver fasti hásin sé einn sinnum vigurinn minn.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00024	139489	145333	train	Þannig að sannarlega er þessi í rúminu mínu s, þannig að svarið er já.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00025	148794	150084	train	Við skulum taka nokkur dæmi í viðbót,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00026	151040	156710	train	en kannski áður en ég held áfram með þetta, þá sjáið þig hvað við erum með hérna, hvaða fyrirbæri við erum með með línu sem fer í gegnum núll komma núll, [UNK]
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00027	158528	161784	train	línu sem hefur ákveðna hallatölu sem fer í gegnum núll komma núll.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00028	162846	163569	train	Nú,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00029	163894	170913	train	annað dæmi um hlutrúm, það er enginn sem inniheldur bara núll vigurinn, og þar getum við, við getum sýnt það með því að fara í gegnum þessi þrjú skilyrði.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00030	172106	188460	train	R í n-ta inniheldur klárlega núll vigurinn og summa af tveimur vigrum, ef þú leggur saman tvo n staka vigra, þá ertu ennþá í, með n staka vigur og ef þú margfaldar n staka vigur með fasta þá ertu sannarlega ennþá með n staka vigur þannig r í n-ta er hlutrúm í r í n-ta.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00031	189696	191101	train	Sjáið þetta mengi hérna
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00032	191232	195972	train	með [UNK] kallast stundum núll [HIK: hl] hlutrúmið við skulum ekki rugla því saman við núll rúmið.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00033	197092	198176	train	Nú við tökum fleiri dæmi.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00034	202926	213702	train	Nú, kannski er einhver sem veltir fyrir sér, af því við vorum með línu áðan og línan var hlutrúm, hvort að allar línur séu hlutrúm. Þannig að ég ætla gefa ykkur hérna [HIK: aðr] annað dæmi um línu: tveir einn sinnum k plús einn einn,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00035	213760	215859	train	þar sem k er rauntala, þetta er lína,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00036	216455	221631	train	Og þá er spurning: er þessi lína hlutrúm? Og þá er ég að spyrja: er þetta hlutrúm í r í öðru.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00037	222976	228973	train	Og svarið er nei, vegna þess einfaldlega að núll vigurinn er ekki á línunni þannig að svarið er nei,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00038	231099	231729	train	því núll
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00039	233926	234705	train	er ekki á línunni.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00040	238587	242189	train	Ég get ekki valið mér fasti k hér, þannig að út komi
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00041	242212	246531	eval	vigurinn núll núll, þýðir að núll sé ekki á línunni og þetta er því ekki hlutrúm.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00042	250925	267774	eval	Og enn tökum við annað dæmi: ef við erum með p stykki af vigrum sem eru r í n-ta þá er spanið af þessum vigrum hlutrúm í r í n-ta. Í fyrsta lagi er núll vigurinn í spaninu vegna þess að ég vel mér bara, munið að spanið af vigrunum er lína [UNK] þannig að ég er vel mér alla stuðlana [UNK] fá núll,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00043	267776	276145	train	þá fæ ég núll vigurinn. Nú í öðru lagi þá er þetta línuleg samantekt af þeim þannig að fasti sinnum einn vigur og summan af tveimur vigrum er klárlega í hlutrúminu.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00044	277673	282310	train	Okei. Nú bætum við nýjum hugtökum, við bætum við dálkarúmum og núllrúmum.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00045	285544	296428	train	Nú dálkarúm fylkis a það er mengið af öllum línulegum samantektum, á dálkavigrum fylkisins, við táknum þetta col a, col fyrir collumn space,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00046	299353	313108	train	núllrúm fylkisins a er aftur mengi allra lausna á jöfnu a x jafnt og núll. Þurfum að finna núllrúmið, [UNK] semsagt að finna þá vigra sem a varpar yfir í núll.Þetta táknum við null af a, null fyrir nullspace.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00047	313866	319263	train	Nú dálkar rúmfylkisins og reyndar núllrúm fylkisins, eru bæði hlutrúm.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00048	323122	325612	train	Nú segjum að við séum með m sinnum n fylkið a,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00049	325958	331448	train	þá eru allir dálkavigrarnir hérna í a m-staka vigrar, og þá segjum við spanið
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00050	332928	334037	eval	af dálkavigrunum.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00051	336928	340408	train	Við [UNK] að spana svona vigrum, það eru alltaf hlutrúm,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00052	340663	342686	train	það var í, hérna,dæmi hérna á undan,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00053	343018	344970	train	þannig að spanið af þessum hérna:
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00054	347579	348600	train	Þetta er hlutrúm.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00055	350550	358140	train	Og hlutrúm hvað, í hvaða vídd? Ja, vigrarnir hér allir, m, staka vigrar, þetta er m sinnum n fylkið, það er m línur, [UNK]
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00056	358631	360982	train	í hlutrúm í r í n-ta.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00057	362374	362823	train	Svona.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00058	363522	368525	train	Okei og það er hægt að sýna að þetta sé hlutrúm, bara eins og hérna, maður hefði gert í dæminu á undan,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00059	370103	372773	train	hér rétt á undan, okei núllrúm fylkisins a,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00060	374420	377315	train	við erum með m sinnum n fylki, við erum að hugsa:
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00061	378086	386316	train	Hvaða vigrar x varpast yfir í núll, það er þetta hér sem er lykillinn, og af því að a er m sinnum n fylkið þá er þetta örugglega n sinnum einn vigur,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00062	386785	388728	train	þannig að núllrúmið,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00063	393272	394111	train	það er hlutrúm
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00064	396807	402777	train	og það hefur n stök, hver vigur, hver vigur þannig að hlutrúm í r í n-ta.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00065	405429	409832	train	Munið þið núllrúm fylkisins a er mengi allra lausna á þessari hérna jöfnu, semsagt
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00066	409838	410852	eval	x-ið er lykillinn hérna.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00067	411367	418471	train	Nú, hvernig gæti maður sýnt að núllrúmið sé alltaf hlutrúm? Ja, í fyrsta lagi er núll í menginu?
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00068	421196	421975	train	Spyrjum við okkur.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00069	422627	425552	train	Og svarið er já, ef ég margfalda a með núll, þá fæ ég núll
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00070	426368	427627	train	og svo getum við athugað,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00071	427936	429774	eval	ja er summa tveggja vigra,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00072	430283	443900	train	í núllrúminu, er hún ennþá í núllrúminu? Segjum að, að u sé í núllrúminu, þá er a sinnum u núll og segjum að einhver vigur v sé í núllrúminu, þá er a sinnum, v jafnt og núll. Er þá a sinnum u plús v,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00073	445022	447556	eval	þa er það a sinnum u plús a sinnum v,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00074	448384	454714	dev	sem er núll plús núll, það er nefnilega núll vigurinn. Og í þriðja lagi, ef ég tek einhver fasta margfeldi af u,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00075	455882	464912	eval	c er einhver fasti, einhver rauntala, þá get ég skrifað þetta sem a c sinnum a sinnum u af því það að margfalda, við [UNK] taka fastan þarna út fyrir sviga,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00076	466113	469143	train	og þá eru þetta sjö sinnum núll vigurinn sem er einmitt núllvigurinn.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00077	470077	475567	eval	þannig svona mundi maður, með aðeins, hérna, fínni uppsetningu, sýna að eitthvað væri, að núllrúmið
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00078	476664	480816	train	sé sannarlega alltaf hlutrúm, núllrúm, svona, sé alltaf hlutrúm.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00079	482850	489179	eval	Skoðum hérna dæmi. Við erum með fylki a og vigur b og svo spyrjum við: er b í dálkarúmi a?
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00080	489937	495151	dev	Hvað erum við þá að spyrja? Við erum að spyrja: hefur a x jafnt og b lausn?
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00081	497448	498978	train	Og þetta er jafna sem við kunnum að leysa.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00082	500139	500679	train	Við gerum það.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00083	504062	513960	train	Við ætlum að leysa a x jafnt og b. Við setjum upp aukið fylki með a hérna og svo b, þannig að okkur vantar einn dálk þarna, og þarna birtist hann. Svo ryðjum við þetta fylki
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00084	515813	523673	train	og við fáum einn mínus þrír mínus fjórir og þrír. Við fáum núll, mínus sex, mínus átján,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00085	524201	527597	train	og fimmtán, og núll, núll, núll og núll, svona,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00086	529085	534937	train	og þá sjáum við að við erum með tvo vendidálka, þessi hérna vendidálkur [HIK:þrið] er ekki
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00087	534986	539276	train	vendidálkur og gefur okkur þá frjálsa breytu þannig að sannarlega er til lausn.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00088	541539	544660	train	Og svarið er þá já. B er í, dálkarúmi a,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00089	549976	554146	dev	sem sagt a x jafnt og b hefur lausn þannig að b er í dálkarúmi a.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00090	554785	562688	train	Ok, þá er það næsta spurning: finnið núllrúmið fyrir a, semsagt finnið alla vigra x sem að varpast yfir í núll,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00091	562753	564385	train	finnið allar lausnir á þessari jöfnu.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00092	564946	572567	train	Nú við erum byrjuð, við [HIK: ry] ruddum fylkið hérna í a liðnum, við getum notað okkur þetta nú er hægri hliðin okkar bara núll.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00093	573568	574138	train	Þannig að við segjum:
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00094	574742	579042	train	b, þá erum við með a núll,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00095	580060	584415	train	sem er aftur jafngilt fylkinu, einn, núll, núll, mínus þrír, mínus sex, núll
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00096	584423	588398	train	mínus fjórir, mínus átján, núll, og núll, núll, núll. [UNK] Svona.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00097	592106	601916	train	Aftur erum við með eina frjálsa breytu, x þrír, og þegar við erum að finna núllrúmið þá er þægilegt að ryðja alla leið, semsagt [UNK], rudda línu [UNK] þannig að við gerum það,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00098	602283	606651	train	og þegar við erum komin alla leið þá fáum við, svo mikið sem, þetta fylki hérna.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00099	610673	612017	train	Og það vantar einn þrist hjá mér,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00100	617094	630413	train	þannig að við getum lesið lausnina út hér, x þrír er frjáls breyta, þetta er ekki vendidálkur, þannig að ég er með x einn er jafnt og mínus fimm x þrír og ég er með x tveir er jafnt og mínus þrír x þrír og x þrír er frjáls
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00101	633058	633597	train	breyta.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00102	635388	637037	train	Þannig að lausnin mín er:
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00103	638824	642963	train	mínus fimm, mínus þrír, og einn sinnum x þrír. Þ
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00104	644600	646490	train	annig að núllrúmið mitt
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00105	650391	652515	train	er bara spanið af þessum vigri.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00106	656700	657585	train	Svona.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00107	660368	679088	train	Nú við skulum bæta við hugtaki. Við ætlum að skoða hvaða [HIK: hlu] grunnur fyrir hlutrúmi er. Ef við erum eitthvað hlutrúm sem við skulum, kalla v í r í n-ta, þá eru vigrar, x einn, x tveir upp í x k sem eru í v. Þeir kallast grunnur fyrir v, ef þeir eru línulega óháðir
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00108	679680	681240	train	og þeir spanna v.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00109	682752	685481	dev	Þetta eru semsagt, spanna allt rúmið og vera línulega óháðir.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00110	687028	687867	train	Við skulum skoða dæmi.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00111	690030	700079	eval	Nú, til dæmis eru einingarvigrarnir e einn, e tveir, e þrír, grunnur fyrir r í þriðja, vegna þess að við getum, þeir eru línulega óháðir og þeir spanna allt r í þriðja.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00112	700670	709367	train	Nú, þessir einingavigrar, einingavigur þýðir bara þetta hafi lengdina einn, þessir vigrar eru stundum kallaðir líka grunnvigrarnir.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00113	710998	728475	train	Vegna þess að [UNK] hinn hefðbundni grunnur fyrir r í þriðja, og svo er líka til annað nafn, oft notum við hérna i j, og k, setjum þá svona lítinn hatt á þá ef að þeir eru einingarvigrar. I, j og k munum við nota líka jafnmikið og e einn e tveir, e þrír.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00114	730435	733035	train	Nú, við skulum prufa að finna grunn fyrir núllrúm,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00115	733500	734785	dev	sjáum dæmi.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00116	735757	738817	train	Ok. Við ætlum að finna grunn fyrir núllrúm þessa hérna fylkis, a.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00117	739566	743101	eval	Við byrjum á að setja upp aukið fylki,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00118	744056	744805	train	a núll.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00119	746532	750076	train	Það sem við erum að fara að gera, við erum að leysa, í raun og veru, bara jöfnuna a x jafnt og núll,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00120	750162	751062	train	eða bara nákvæmlega það,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00121	751633	754901	train	við setjum upp þetta fylki og við ryðjum, og við fáum
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00122	755892	757030	train	fylkið,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00123	758914	760174	dev	sem lítur svona út, nú,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00124	760727	763997	train	hérna erum við með vendistuðul, hér erum við með vendistuðul,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00125	764022	765582	train	það eru tveir vendistuðlar,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00126	766304	768393	train	það eru semsagt tveir vendidálkar,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00127	768534	770179	dev	það þýðir að það eru ákkúrat þrír
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00128	770703	774071	train	dálkar sem eru ekki vendidálkar þannig að þetta eru frjálsar breytur.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00129	774389	775361	train	X tveir,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00130	775992	779282	train	x fjórir og x fimm eru frjálsar breytur.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00131	782866	786918	train	Nú, þá vitum við að núllrúmið okkar,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00132	788072	789481	train	grunnurinn fyrir núllrúmið okkar
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00133	790392	791922	train	inniheldur nákvæmlega þrjá vigra.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00134	792749	794881	train	Við skulum sjá hvernig lausnin á jöfnuhneppinu er.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00135	800089	805037	train	Nú lausnin er svona: það eru þrjár frjálsar breytur þannig ég get [UNK] sinnum upp í þrjá vigra og
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00136	805088	811498	train	eigum við að kalla þá eitthvað, eigum við að kalla þá einn, eða u v og w bara.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00137	812238	816542	dev	Þetta er vigurinn u, þetta er vigurinn v, og þetta er vigurinn w hérna.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00138	818403	821613	dev	Þessir þrír vigrar, þeir spanna þá núllrúmið.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00139	824119	830028	train	Nú til að vera grunnur þá þurfa þeir að [HIK; s], fyrir núllrúmið, þá þurfa þeir að spanna núllrúmið, en þeir þurfa sannarlega líka að vera línulega óháðir,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00140	830633	839458	eval	og við getum alltaf verið viss um að þegar við fáum vigrana svona út úr, hérna, þessum útreikningum, þá fáum við alltaf þrjá línulega óháða vigra, og við skulum sjá af hverju,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00141	840440	843799	train	munið að x tveir, x fjórir og x fimm voru frjálsu breyturnar mínar,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00142	844182	846696	dev	þannig að í þessum hérna,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00143	846868	864075	train	ef við skoðum þessa hérna, þessi stök hér, x tveir muni alltaf, hérna vigurinn mun alltaf [UNK] einn hér en núll í þessum hérna tveimur, aftur á móti í fjórða staki vigursins, þá mun vera einn hér en núll í þessum tveimur og í fimmta staki vigursins þá munu vera hér en núll í hinum tveimur.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00144	864419	868286	train	Þannig að það er engin leið til að skrifa þá sem línulega samantekt af hvorum öðrum.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00145	868850	875090	train	Þeir munu nauðsynlega alltaf vera [UNK] óháðir og þeir eru því grunnur fyrir núllrúmið.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00146	880099	881642	train	Skrifum: þeir eru línulega óháðir
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00147	884002	884992	eval	og mynda því grunn fyrir
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00148	891049	905213	train	null a. Nú, þetta er í hlutrúm, þetta núllrúm, hlutrúm í hverju? Nú hlutrúm í r í fimmta, vegna þess að það er eitt, tvö, þrjú, fjögur, fimm stök í vigrunum mínum,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00149	907393	909404	train	við skulum prufa að taka annað dæmi með nýju fylki.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00150	912308	916528	train	Og í þessu dæmi þá skulum við, í staðinn fyrir að finna núllrúmið, skulum finna dálkarúmið, nú,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00151	916761	921221	eval	við þurfum þá að finna það rúm sem að dálkavigrarnir spanna,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00152	922119	925196	eval	við þurfum semsagt að finna línulega óháða vigra sem spanna rúmið.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00153	925570	935146	train	Nú hérna er ég með frekar einfalt fylki b, við sjáum auðveldlega að þriðja vigurinn hérna, getum við búið til, sem línulega samantekt úr þessum tveimur vigrum,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00154	935482	946044	train	ef ég tek mínus þrisvar sinnum b einn, og legg við tvisvar sinnum b tvo, þá fæ b þrjá, þannig að við getum sagt, sem svo, að b þrír bætir engu við, þurfum hann ekki dálkarúmið.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00155	946551	948529	eval	Nú, sama má segja um
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00156	948668	962156	train	þennan hérna vigur, það er auðvelt að búa hann til sem línulega samantekt af hinum, ef ég segi mínus fimm, nei, plús fimm sinnum b einn, mínus b tveir, þá fæ ég akkúrat b fjóra, [UNK] kalla dálka [UNK] b einn, b tveir, b þrír, b fjórir b fimm,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00157	962636	964922	train	þannig að hann er ekki að bæta neinu við,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00158	965342	968819	train	þanng að grunnur fyrir dálkarúmið hérna.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00159	971789	974879	train	Grunnur fyrir dálkarúmið,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00160	976427	978888	train	er nákvæmlega b einn,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00161	980112	980943	train	b tveir
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00162	981760	982360	train	og b fimm.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00163	983686	985923	train	Þessir þrír vigrar spanna allt algorythm-ið.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00164	986121	1000731	train	Já, maður þarf náttúrulega að vera viss um að þeir séu línulega óháðir en sjá þeir mættu fjórir, nei þrír grunnvigrar, í r í fjórða. Þeir eru örugglega línalega óháðir þannig að dálkarúmið hérna er spannað af þessum hérna þremur vigrum.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00165	1005791	1011071	train	Ok. Nú er þetta einfalt að sjá út. Hérna kemur svo gagnlegt setning: setning þrettán,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00166	1013056	1013985	train	fyrir önnur tilfelli.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00167	1016436	1018175	train	Vendidálkar a
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00168	1018667	1020468	train	eru grunnur fyrir dálkarúm a,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00169	1020702	1026718	train	semsagt ekki [HIK: ve] ekki vendidálkarnir í rudda fylkinu, heldur tilsvarandi dálkar í
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00170	1028096	1031246	dev	fylkinu a. Prufum að sjá hérna fyrir ofan í dæminu undan.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00171	1034465	1042414	eval	Þá erum við með þrjá vendistuðla og hefðum getað lesið út strax að þessir þrír dálkar væru vendidálkar. Við skulum prufa að sjá annað dæmi.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00172	1044707	1052988	train	Nú, hérna fáum við gefið fylkið a, svo gerum við viðeigandi línuaðgerðir til að ryðja þetta fylki og fáum fylkið
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00173	1055151	1058452	eval	sem lítur svona út vill svo til að það er sama fylki og dæminu á undan,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00174	1058974	1060527	train	hérna erum við með þrjá vendidálka,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00175	1060866	1072393	train	það eru þessir þrír vendidálkar, þannig að tilsvarandi dálkar í fylkinu a semsagt fylki, dálkur eitt, dálkur tvö og dálkur fimm eru grunnur fyrir dálkunum a
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00176	1075740	1092093	train	ég er búinn að finna hver þeirra eru línunlega óháðir, hérna er hlutmengi af þeim þannig að þeir séu línulega óháðir og spanna allt dálkarúmið athugið: endilega ekki ruglast og taka þessa hér þrjá vigra sem grunninn. Það á að vera alveg ljóst að sjá að þessir þrír vigrar geta
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00177	1092147	1095814	dev	sannarlega ekki spannað alla þessa hérna dálkavigra.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00178	1095815	1100712	train	Það geta ekki spannað það sama. Til dæmis þá stendur: núll hérna í næsta staki af þeim öllum.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00179	1101199	1106722	train	Þannig að línuleg samantekt af þessum þremur vigrum, gæti aldrei gefið vigur sem hefði mínus átta í þessu hérna staki.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00180	1107584	1111064	train	Þannig að ekki ruglast á taka dálkavigrana úr rudda fylkinu.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00181	1115015	1119726	train	Nú, nú er komið að tveimur nýjum hugtökum, við ætlum að skilgreina eitthvað sem heitir vídd,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00182	1120383	1127938	train	og, tala um vídd hlutrúmsins og svo ætlum við að tala um eitthvað sem heitir myndvídd og myndvídd, það eru vídd dálkarúmsins.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00183	1130817	1132093	train	Nú hlutrúm h
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00184	1133416	1142235	train	er sagt hafa þá vídd sem er fjöldi vigra í grunni h, sem sagt: ef það eru tveir vigrar í grunninum þá er víddin tveir
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00185	1144850	1150940	train	þetta táknum við dim h svona dim fyrir til mannsins með enska orðið fyrir vídd.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00186	1151444	1153184	train	Það er ein undantekning frá þessu,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00187	1153845	1158225	eval	ef ég er með vigurinn, mengi sem inniheldur bara núll vigurinn, þá segjum við
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00188	1159220	1160330	train	að víddin sé núll
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00189	1163106	1165116	dev	sem sagt ekki víddina einn þó það sé einn vigur þarna,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00190	1165590	1167090	dev	þetta er undantekning.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00191	1170992	1171922	train	Við skulum bara
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00192	1173376	1175416	train	ja, við gætum tekið r í n-ta sem dæmi.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00193	1179387	1185657	train	Hvað þurfum við marga vigra til að [UNK]? Við þurfum nákvæmlega n stykki. Þannig að víddin,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00194	1186560	1188724	train	fyrir r í n-ta er ákkúrat n
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00195	1191095	1193495	train	og annað dæmi, við gætum tekið plan,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00196	1194712	1196330	dev	segjum við tökum planið
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00197	1197481	1199263	eval	x sem er s sinnum u plús
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00198	1199301	1202561	dev	t sinnum v, er s og t eru einhverjar rauntölur.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00199	1203020	1204866	train	Þá spannar þetta plan sem að
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00200	1206049	1208552	train	fer í gegnum núll komma núll, komma núll.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00201	1210551	1212501	train	Ef við segjum að við séum í, hérna,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00202	1212792	1213783	train	[UNK],
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00203	1216490	1223989	train	athugið að núll er [HIK: hlu] í á hérna planinu og þess vegna er þetta hlutrúm og þetta plan hefur víddina tveir.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00204	1231680	1235845	train	Nú ef við værum með línu sem fer í [HIK: núll] gegnum núll komma núll, ef [UNK]
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00205	1236738	1238915	train	jafnt og, ja einhver vigur,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00206	1239174	1242696	train	einhver fasti a sinnum p, þar sem a er rauntala,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00207	1243424	1248981	train	þá þurfum við bara einn vigur til að spanna línuna, þannig að þetta hefur víddina einn.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00208	1252591	1259971	train	Nú svo komið að ákveðinni vídd sérstaks hlutrúms, nefnilega hlutrúmsins sem er dálkarúm fylkis og við köllum þetta myndvídd,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00209	1262240	1270280	train	semsagt myndvídd mid fylkis a er vídd dálkarúms a, [UNK] skrifað fyrir myndvídd, þá skrifum við rank a
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00210	1271168	1278637	eval	og maður [UNK] þetta er nákvæmlega víddin á ekki núllrúminu heldur dálkarúminu
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00211	1284628	1286007	eval	og við sjáum dæmi.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00212	1287686	1289246	train	Skoðum dæmi sem voru með hérna áðan,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00213	1290112	1293021	train	við vorum með þrjá vendidálka þá vissum við það væru þrír
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00214	1294400	1300786	train	vigrar í grunninum, [UNK] getum talið hérna það eru einn, tveir, þrír vigrar, þannig að rank fyrir þetta fylki a, væri
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00215	1301628	1302660	dev	jafnt og þrír,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00216	1303091	1305652	train	og sjáið hérna: fjöldi vendistuðla
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00217	1306155	1308239	dev	verður akkúrat rank a.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00218	1313978	1320040	dev	Ok við bætum nú við hérna einni setningu, eitthvað um samhengi milli rank a og vídd núllrúmsins,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00219	1322850	1330739	train	setning fjórtán segir ef a hefur n dálka þá er rank-ið fyrir a plús víddin á núllrúminu akkúrat n.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00220	1331594	1336912	train	Athugið þetta er nokkurs konar [HIK: varðv] varðveislu lögmál, ef við segjum að a sé m sinnum n fylki
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00221	1339776	1344805	train	og við skulum sjá: Fylkið a er semsagt að taka eins vigra [UNK] í r í n-ta
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00222	1346344	1350033	train	og skutla þeim yfir í þetta mengi sem inniheldur
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00223	1350905	1354218	train	vigra í r í n-ta, m staka vigra, nú
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00224	1354614	1356057	eval	allir vigrar hérna,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00225	1356800	1361719	train	sem er einhvern veginn verið að skutla yfir í a sinnum r í n-ta.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00226	1365090	1369409	train	Þeir eru [UNK], þeir geta hitt í þennan vigur, og svo einhvern annan vigur og verið að fylla upp hérna,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00227	1370240	1371470	train	fullt af vigrum hérna,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00228	1372338	1376136	train	nú allir þeir vigrar sem taka ekki þátt í að stækka þetta hérna rúm, þ
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00229	1377451	1378981	eval	að eru vigrarnir hérna í
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00230	1381137	1387157	eval	null a, það eru vigrarnir x sem varpast yfir í nákvæmlega núll.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00231	1389623	1392863	train	Þannig að null a hérna, vigrarnir sem að eru að varpast yfir í núll,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00232	1394007	1396363	train	víddin á því,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00233	1397066	1403565	train	er þá n mínus rank-ið a mínus þeir sem vörpuðust yfir í eitthvað annað hérna.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00234	1409792	1413601	eval	Og við skulum prófa eitt dæmi í viðbót og eina setningu.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00235	1416058	1422538	dev	Okkur er gefið fylkið a hérna, við skulum finna rank-ið af a, við skulum fyrir grunn fyrir dálkarúmið og við skulum finna vídd núllrúmsins. Þannig
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00236	1423637	1430718	train	við byrjum á að ryðja og fá fylkið einn, núll, mínus einn, núll, einn, tveir, núll, núll, núll.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00237	1431205	1433951	eval	Okei, hér getum við strax lesið það út að
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00238	1435632	1436981	eval	víddin fyrir núllrúmið
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00239	1440294	1442483	train	og víddin fyrir dálkarúmið
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00240	1444305	1450259	train	ja, víddin fyrir dálkarúmið þá tel ég að það eru einn, tveir vendistuðlar, þannig að víddin er tveir
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00241	1450800	1456047	train	og ég tel að það eru einn, tveir, þrír dálkar í a þannig að þrír mínus tveir,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00242	1459098	1460536	eval	þrír mínus tveir,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00243	1461134	1462164	train	gefur mér nákvæmlega
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00244	1462275	1464149	dev	vídd núllrúmsins
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00245	1464960	1468230	train	og svo sjáum við, við erum með frjálsa breytu hér þannig
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00246	1468687	1470825	train	að lausnin hérna mundi vera,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00247	1471736	1472794	train	á, hérna,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00248	1475666	1478494	dev	fyrir dálkarúmið þurftum við að finna grunn, þannig að við myndum segja
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00249	1479626	1480945	dev	x þrír er frjáls
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00250	1484946	1487976	train	þannig að við erum með lausnir,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00251	1492105	1493365	eval	afsakið við erum með grunn, við
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00252	1495143	1499587	train	skulum byrja á víddinni fyrir dálkarúmið, nei hérna, grunninn fyrir dálkarúmið, afsakið, ég ruglaðist aðeins,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00253	1500451	1507077	train	semsagt grunninn fyrir dálkarúmið, þá segjum við: þetta eru vendidálkarnir þannig að það eru þessir hér tveir dálkar í a sem gefa mér grunninn,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00254	1508475	1510078	train	einn, fjórir, sjö
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00255	1511424	1513553	train	og tveir, fimm, átta
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00256	1515066	1518455	train	og svo skulum við í gamni líka finna grunn fyrir núllrúmið
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00257	1519360	1523709	train	og þá þurfum við að fara að spá í hvað er frjáls breyta hérna. Það er x þrír
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00258	1526350	1529740	eval	þannig að a x jafnt og núll hefur lausnirnar
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00259	1531464	1532963	eval	x er jafnt og
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00260	1533928	1534996	eval	x þrír,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00261	1535464	1538450	eval	mínus tveir x þrír, og x þrír sé svona,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00262	1539096	1543587	train	og efsta línan gefur x einn mínus x þrír jafnt og núll og neðri gefur x tveir
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00263	1544696	1546527	train	plús tveir x þrír er jafnt og núll
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00264	1547520	1551629	train	þannig að þetta er vigurinn einn mínus tveir einn, svona sinnum x þrír.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00265	1552384	1555354	eval	Þannig að í núll rúminu erum við með einn vigur,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00266	1556373	1557993	train	einn mínus tveir, einn,
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00267	1560494	1565144	train	einn vigur í núllrúminu og tveir vigrar í [HIK: rá], í dálkarúminu.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00268	1568670	1581843	train	Nú setning fimmta segir okkur að ef við erum með eitthvað hlutrúm sem við skulum kalla h, og við, þetta hlutrúm er í r í n-ta og það er p vítt þar sem sagt p vigrar sem spanna h.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00269	1582037	1588621	train	Sérhvert mengi af p stykkjum af línulega óháðum vigrum í r í n-ta er þá grunnur fyrir h.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00270	1589036	1597771	dev	Þannig að við erum semsagt búin að finna p vigra, þeir eru línulega óháðir þá vitum við þeir eru grunnur fyrir vigurrúmið okkar líka
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00271	1599480	1613570	train	Ef við erum búin að finna p stykki af vigrum úr h og þau spanna h, þá vitum við að vigrarnir eru grunnur fyrir h. Semsagt það er til p vítt rúm og það að við erum komin með p vigra sem spanna h, nú þá vitum við erum komin með grunn.
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00272	1615620	1617971	train	Við skulum segja þetta gott um grunna
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00273	1618424	1620795	train	og dálkarúm á línurúm og víddir og hlutrúm
a96bd3a6-f142-4af4-8621-fe4248de0b0b_00274	1621478	1622530	train	og fleira.