ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
馬勒卡所在環境不斷惡化，其結構遭地形和猛烈風切變摧毀，同時冷空氣入侵並破壞馬勒卡的暖心結構，馬勒卡隨即進入轉化過程和發展出鋒面。中國國家氣象中心在下午5時半把馬勒卡降為熱帶風暴，之後僅2個多小時便在晚上8時10分表示馬勒卡在東海道以南海域轉化為溫帶氣旋，日本氣象廳和香港天文臺也先後在晚上8時45分和9時45分跟隨宣佈馬勒卡已轉化；聯合颱風警報中心則在21日凌晨5時把馬勒卡降為熱帶低氣壓，並發佈最後警告。馬勒卡的殘餘系統之後以正東路線重返西北太平洋，朝著國際換日線方向行進，最終在2日後完全消散。
強烈颱風莫蘭蒂侵襲臺灣期間，電腦數值預報模式一致預期馬勒卡在臺灣以東海域轉向，北上橫過琉球群島和日本一帶。但莫蘭蒂遠去後，副熱帶高壓脊並未如預期般快速東退，使得馬勒卡的預測路線與莫蘭蒂一樣是比原先預期明顯偏西，預料會在宜蘭縣東面近距離掠過，對剛受莫蘭蒂蹂躪的花東地區，以及北臺灣構成重大威脅，交通部中央氣象局表示預計在9月15日晚上重新發佈颱風警報。因應莫蘭蒂減弱遠離而解除颱風警報後剛好半日，當馬勒卡位於恆春之東南東約680公里時，中央氣象局於晚上11時半再度發布海上颱風警報。氣象局表示預計在翌日（16日）中午前後發佈陸上颱風警報，並指出馬勒卡將在翌日晚上至17日最接近臺灣，暴風圈會掃過東北部，呼籲民眾做好防颱準備，尤其東北部需嚴防強風大雨。
由於馬勒卡在晚間進一步增強，並採取偏西北路徑，氣象局在16日凌晨5時半表示需提前在早上發佈陸上颱風警報，並會密切留意馬勒卡的強度變化。當馬勒卡移至恆春之東南東約470公里時，中央氣象局在早上8時半對花東地區和宜蘭縣發佈陸上颱風警報。氣象局特別指出，馬勒卡沿途路徑海溫高，強度已直逼中度颱風上限，且增強趨勢仍持續，會密切監察馬勒卡會否上試強烈颱風級別，警告民眾不可掉以輕心，需慎防連日降雨引發坍方、落石、土石流及山洪暴發；另外東部、北部、西南部沿海有長浪出現，加上天文大潮未減退，低窪地區需嚴防淹水和海水倒灌。宜蘭縣、花蓮縣、臺北市、新北市、基隆市宣佈在翌日（17日）全日停班停課。當晚陸上警戒範圍由宜蘭縣和東臺灣擴展至北臺灣，氣象局亦對多個縣市發佈大雨或豪雨特報。
馬勒卡的暴風圈在17日凌晨開始籠罩臺灣東半部，不過馬勒卡的大雨區集中在東面環流，加上吹偏西風下花東地區和宜蘭縣受到地形屏蔽，因此宜蘭縣和北臺灣在早上初段風雨仍未明顯，花蓮和臺東的雨勢和風勢也比預期小，只有山區受馬勒卡的外圍雨帶影響而有大雨；可是氣象局警告宜蘭縣和北臺灣天氣將在中午左右開始迅速轉壞，風雨逐漸增強。花蓮和宜蘭到上午較後時間已有顯著風雨，部份道路淹水，岸邊風高浪急，但與此同時臺東雨勢則逐步減緩，午後甚至出現焚風，天氣變得酷熱，測得攝氏36.1度高溫。由於馬勒卡西面環流緊密且對流偏弱，氣象局預報中心主任鄭明典在Facebook貼文分析，若馬勒卡往偏東北推進，北部山區的風雨會相對緩和；然而若馬勒卡路徑較為偏西北，就會引致北部山區的風雨變得顯著，以北緯25度、東經123度為參考點，偏差50公里可以導致實測風雨相差2倍以上。馬勒卡於下午2時至3時最接近臺灣本島，在宜蘭之東北東約110公里掠過。風暴期間，士林油坑測得超過400毫米雨量。
入夜後馬勒卡漸轉向北北東前進，開始遠離臺灣，加上馬勒卡強度回落和暴風圈收縮，各地由西北風逐步轉吹西南風，雖仍間中有大雨，但風勢逐漸緩和。氣象局表示預計在翌日凌晨解除陸上颱風警報，並於早上考慮解除所有颱風警報。當馬勒卡位於臺北之東北約180公里時，中央氣象局在18日凌晨2時半解除陸上颱風警報。隨著馬勒卡加速向東北遠離，其對臺灣的威脅消除，當馬勒卡移至臺北之東北約290公里時，中央氣象局在早上8時半解除所有颱風警報。氣象局仍維持對山區、臺南和東臺灣發佈大雨特報，並指出臺灣附近各海面風浪仍大、沿海地區有長浪，提醒民眾需保持警惕，持續提防淹水、海水倒灌、坍方、落石和土石流。
颱風莫蘭蒂橫掃巴丹群島過後，馬勒卡緊接而來。於解除對莫蘭蒂的風暴信號後剛好一日，菲律賓大氣地球物理和天文服務管理局在9月15日下午5時再度發出一號風暴信號，當時馬勒卡集結在土格加勞市以東約615公里。馬勒卡於9月16日在巴丹群島東北面200公里內掠過，由於馬勒卡環流緊密，且西面環流較弱，因此當地只吹清勁西北風、漸轉西至西南強風，有狂風驟雨。隨著馬勒卡北移遠離，菲律賓大氣地球物理和天文服務管理局在17日上午11時解除所有風暴信號，當時馬勒卡移至巴士古以北約460公里。
馬勒卡在9月19日重新增強並逼近日本九州，其風眼在衞星雲圖上清晰現可見。
由於馬勒卡會在臺灣以東海域轉向，嚴重威脅八重山群島，因此當地居民加緊採取防風措施，嚴陣以待。馬勒卡於9月17日上午10時半以巔峰狀態橫掃與那國島，當地初時吹東北颶風和有狂風暴雨，致使與那國町內大面積停電，於風眼過境時風雨短暫靜止，但很快便從西南面再次來襲。而鄰近的石垣島則整日受東至東北、漸轉南至東南颶風，以及馬勒卡東面環流較活躍的對流引起之豪雨侵襲。至20日沖繩縣因災農牧業損失達到3093萬日元，以竹富町受災最為嚴重。隨後馬勒卡重新組織，於19日直指鹿兒島而行，對九州亦構成重大威脅，當地晚間天氣急速轉壞，有狂風大雨。馬勒卡於20日午夜12時後在大隅半島再次登陸，鹿兒島縣刮起颶風程度旋風。登陸後馬勒卡順勢向四國地方前進，其中心於9月20日上午11時通過室戶岬。因九州電力鹿兒島支社遭到巨大影響，至21日鹿兒島縣內1萬3400戶仍然處于停電狀態。21日至22日，九州旅客鐵道（JR九州）指宿枕崎線山川站至枕崎站間因枕木遭破壞而停運。島四國各地有狂風暴雨，宮崎縣延岡市北川町截至9月20日早上7時的24小時降雨量為破紀錄的444.5毫米，北川部分河道也因此泛濫，房屋、道路被淹浸；德島縣也錄得1小時85.5毫米的降雨量。橫掃四國地方後，馬勒卡於下午1時37分在和歌山縣田邊市再次登陸，關西地區受豪雨影響，其中兵庫縣洲本市測得1小時95毫米的雨量。隨後馬勒卡在下午3時到達三重縣尾鷲市，此時接近中心最高持續風速為每秒25米，中心最低氣壓985百帕斯卡，以每小時50公里的速度繼續東移，最終在晚上9時於東海道以南海域轉化為溫帶氣旋。
因應馬勒卡有機會上試超強颱風級別，橫越臺灣東面外海後會靠近浙江對開海域，中國國家氣象中心在9月16日下午6時發佈颱風藍色預警信號，當時馬勒卡集結在臺灣花蓮之東南約340公里。隨著馬勒卡北移接近，國家氣象中心在翌晨（17日）6時正發佈颱風黃色預警信號，當時馬勒卡移至宜蘭之東南偏東約130公里。馬勒卡於18日凌晨最接近中國東南沿岸，在浙江溫嶺之東南約250公里掠過，浙江沿海一帶吹強烈西至西北風，有狂風驟雨。馬勒卡在19日向東北方向遠離，中國東南沿岸風力下降，國家氣象中心在早上6時改發颱風藍色預警信號，當時馬勒卡集結在日本鹿兒島之西南約480公里。隨著馬勒卡橫過東海加速遠去，國家氣象中心於半日後在下午6時解除所有颱風預警信號，當時馬勒卡位於鹿兒島之西南約180公里。
*日本氣象廳： 1616最佳路徑數據 、2016年熱帶氣旋最佳路徑（ 數據 、 路徑圖 ）
*美國聯合颱風警報中心： 18W最佳路徑數據 、 颱風-{}-馬勒卡最佳路徑圖
*美國海軍研究實驗室： 18W檔案
*中華民國交通部中央氣象局： 侵臺颱風資料庫——中度颱風-{}-馬勒卡、 馬勒卡最佳路徑圖、2016年氣象年報及觀測年報（有待公佈）
*香港天文臺： 2016年9月熱帶氣旋概述 、《2016熱帶氣旋年刊》（網頁版有待公佈）、實時天氣稿（ 9月13日 － 14日 － 15日 － 16日 － 17日 － 18日 － 19日 － 20日 ）
《德布西森林》，是一部於2016年上映的電影。由桂綸鎂、陸弈靜領銜主演。臺灣於2016年10月28日上映
一對母女在山中過著貌似苦修的生活。看起來鬱鬱寡歡的女兒，因丈夫收賄在保護區建設音樂廳而舉發丈夫，疑似造成丈夫舉槍殺害夫妻的獨子並進而自戕。
因此事而自咎的女兒被母親帶至山中，希望能透過在山中的生活，化解女兒心中揮之不去的噩夢。
上映後口碑及票房皆不盡理想，臺北最終票房僅126萬臺幣。
戴喜云（Tye Kee Yoon，），原名春榮，字欣然，號喜云，廣東大埔人，馬來亞富商，曾任清廷駐檳榔嶼副領事，清廷駐海峽殖民地代總領事等職。
1873年戴喜云24歲，家貧，只身由大埔到馬來亞檳城謀生，白手起家，先當小販，后來到霹靂州太平一間中藥鋪門前擺一個算命和代客寫信的小攤子；后來藥鋪老板請他當書記 。1885年，藥鋪原老板因經營不得法，生意失敗，乃將藥鋪交老伙計戴喜云承頂 ，改名杏春堂。不久，時來運轉，馬來亞中藥業蓬勃發展，杏春堂藥鋪發達起來，他又在檳城、怡保開設杏春堂分店，還將業務擴展到礦山、農業和典當業，不出二十年，戴喜云成為二十世紀初的檳城地產王，擁有檳城市區最多地產，成為馬來亞巨富
戴喜云還涉足酒店業。
1907年-1910年，戴喜云被清廷任命為駐檳榔嶼副領事，接替梁輝，1911年，升任駐新加坡的南洋代總領事。
戴喜云1919年逝于檳城,享年70歲，據當地報紙報道，戴喜云是當時檳城首富。
喜云生前立戴氏家族信托，規定戴氏家族產業，包括領事館所在的“五層樓建筑”至少在三代人之前不得轉讓或出售，產業所得到10%，必須用于教育事業.
妻子Khoo Lye Neoh（郭麗娘，諧音），于1913年四月6日，在檳城逝世。
長子戴芷汀，字培基，生于1871年。曾先后在福建省兩個府當過知府。到檳城后，擔任檳城潮州會館的財政，一直到1938年。
次子Tye Siok Guan 戴淑原，又名戴培元（1887-1944）。辛亥革命后，清政府被推翻，戴喜云下臺，民國孫中山大總統任命戴喜云的二兒子戴淑原為檳榔嶼的領事。1939年戴淑原響應胡文虎的號召，創立檳城客屬公會，并出任第一屆會長1944你戴淑原在檳城逝世。
三子Tye Keat Kwong（音），1915年8月5日，與中國駐英國公使劉玉麟（Lew Yuk-Lin）之長女劉小姐在澳門結婚.1919年9月8日在美國進修的戴吉光不幸逝世
四子Tai Tsz Ten（戴澤天 音）
女兒，Khoo Chye Hean夫人，1913年11月14日逝世。
孫Tye Soo Cheong（戴素宗 音），戴淑原之子，香港大學畢業，1938年５月娶 Marbel Hu 為妻。戴素宗的表兄黃巖凱（Huang Yen Kai）是1933年-1934年中國駐檳城副領事。
孫Tye Kean Lin（戴今麟 音），戴澤天之子，1967年2月26日逝世；孫媳Leong Kwai Yoong （梁快榮 諧音）。戴今麟無男丁，育有一女Tye Poh Poh（戴寶寶 諧音）。
曾孫戴志華，戴淑原唯一的男孫
戴喜云熱心教育及其他公益事業。1901年曾在大埔縣家鄉捐款興辦學校，也向新加坡、檳榔嶼等地華校捐助15萬元；
他捐助的機構包括
*檳城愛德華國王紀念醫院（ King Edward Memorial Hospital）
*檳城基督復臨安息日醫院（Adventist Hospital）
*檳城檳城免費學校（Penang Free School）
1907年捐米糧10萬擔，救濟大埔縣災民
戴喜云屢捐巨款賑災興學，社會影響巨大,曾獲大清政府賜予同知銜、道銜、鹽運使銜,曾被委任為駐擯城領事,并獲二品銜,一品封典。 1911 年又委其兼任駐新加坡領事。
戴喜云死后，英殖民地政府在檳城命名一條“戴喜云路（Jalan  Tye Kee Yoon）作為紀念。
大埔縣城郊印山麓，建有戴公碑亭，紀念戴公。
檳城時中分校舊址，當地人稱為Goh Chan Lau（五層樓），原是一棟豪華的大廈，戴喜云在1908年買下，設立為大清國檳城領事館
檳城的荷花河路（Leith Street）14號是張弼士故居張弼士大廈，隔壁就是戴喜云故居戴喜云大廈
分類:戴姓藍明谷，本名藍益遠，日治時期岡山街街尾崙人，作家，基隆中學教師，臺灣白色恐怖時期因涉及基隆市工作委員會案，共產黨員，被判死刑槍決。
本名藍益遠的藍明谷，出生於1919年，是家中老大。岡山公學校高等科畢業，就讀高等科期間都擔任級長。公學校高等科畢業後，藍益遠就讀臺南師範學院，畢業後到「枋寮公學校」教書三年，1940年調到「老埤公學校」（現屏東縣崇文國小），不到一年，藍益遠在1941年，北上到東京，與已考上「東京醫學專門學校」的弟弟蔡川燕會合，準備升學。
在東京準備繼續升學的藍益遠與二弟蔡川燕，以及同一時期到東京的岡山青年，包括王荊樹、張順安等，曾成立發揚漢民族意識的「興漢會」。想到中國的藍益遠，以考取日本在北京設立的「東亞經濟學院」的方法，在1942年到中國北京。他在這個時期與後來成為戰後臺灣鄉土文學先驅的名作家，高雄美濃人鍾理和相識，成為鍾理和一生最要好的朋友。由於經濟學科的內容不符合他喜好文學的個性，加上不願再由家中支援經費，藍益遠只讀了一年，就透過朋友介紹，到河北省南部的新鄉擔任當地劉姓臺商的記帳工作，直到日本戰敗。
1945年8月15日，被投擲二顆原子彈的日本宣佈戰敗投降，過了幾天藍益遠就回到地名改回「北平」的北京，與蔡川燕及鍾理和重逢。基於分工的原則，兼顧理想與現實，老二蔡川燕留在中國，於1946年6月，與一群志同道合的朋友，坐火車到張家口，投奔中國共產黨；作為大哥的藍益遠，則必須回到國民黨控制的臺灣，負起作為家中老大的責任。在藍益遠回臺前，會講華語又會日語的他，在北平曾擔任教導臺籍日軍中國歷史及國家觀念的講師，在蔡川燕投奔共產黨後（改名李河民），藍益遠即與王荊樹搭上救濟總署的船到上海，藍益遠在上海待到同年10月，才再搭船回到臺灣。在這四個月期間，藍益遠待在中共地下黨員，臺灣人李應章醫師的臺灣旅滬同鄉會，並與同鄉會的人員，中共地下黨連絡人福州人林昆往來，成為共產黨的地下黨員。
藍益遠於1946年10月中旬回到岡山的家，此時家中經濟不再像之前優裕，街尾崙莊於1943年因土地成為軍事用地，而被遷莊到岡山大寮（戰後改名大遼）以東。藍益遠在找到臺灣省教育會編輯組的工作，隻身北上。藍益遠北上後，與先回臺灣的王荊樹及陳本江合租日式房舍居住。藍益遠到臺北不久，共產黨在臺組織就與他聯繫，並要藍寫自傳入黨。在同一時期，他透過陳本江的關係認識張阿冬，兩人在1946年底結婚。1947年2月，透過鍾理和的介紹，藍益遠到鍾理和同父異母弟弟鍾浩東擔任校長的基隆中學任教。鍾浩東於1946年4月返回臺灣，8月受聘擔任基隆中學校長，擔任校長期間積極於延攬各方人才來擔任老師，藍明谷即是其中一位。
1947年2月27日夜，吳克泰帶領藍明谷與延平學院學生葉松培拜訪帶領「新中國戲劇社」來臺北演出的中國戲劇界名人歐陽予倩，了解如何「組織與開展」學生界的戲劇活動。
1947年二二八事件後，對國民黨失望的鍾浩東校長開始組織團隊，並加入共產黨。1947年9月，成立中國共產黨「基隆中學支部」，學校不少老師都是幹部，後來擴大改組為「臺灣省基隆市工作委員會」。1948年秋天開學後，鍾浩東籌辦批判國民黨政府的地下報紙《光明報》，內容主要在啟蒙臺灣人及報導國共內戰實況，由呂赫若與藍明谷合作發行。《光明報》由支持共產黨的志工以半夜張貼及發送的方式散布，放在基隆中學學校教室，或是由臺大的同志學生負責散布。
基隆中學的行動在《光明報》發行一年後被破獲，此案是國民黨戰後白色恐怖的第一案，史稱「基隆市工作委員會案」或「基隆中學案」。
藍益遠此時已改名為「藍明谷」在發現校長及同事被捕後，9月8日帶著懷孕的妻子及兩歲的兒子，連夜回到岡山老家，躲過了9月9日的另一波逮捕。藍明谷在家中深入簡出，但後來仍覺得不安全，於是開始離家逃亡的日子。藍明谷為了避免被捕，以四處移動的方式，躲藏在不少地方，包含高雄火車站附近的妹夫家，美濃尖山鍾理和弟弟鍾里志的住處，鍾理和家的後山，屏東內埔。藍明谷10月初與另一位基隆中學的同事，美濃人李旺輝，躲到今天那瑪夏區。
1950年初，藍明谷到屏東內埔找原本在基隆中學擔任總務主任的鍾國輝，鍾國輝帶他躲到大武山。鍾國輝與李旺輝在9月被捕。10月14日，鍾浩東等三名基隆中學同事被槍決。由於長時間抓不到藍明谷，藍的父親、妻子、妹夫等人，都被情治單位以窩藏罪犯的罪名逮捕，要逼他出面，藍明谷於是在12月28日到高雄市第一分局自首。
藍明谷被捕後，於1951年3月26日宣判「死刑，禠奪公權終身，全部財產除酌留其家屬必須生活費用外，沒收之。」藍明谷在同年4月29日，被帶到水源路林口-{里}-刑場(馬場町)槍，遺體送往國防醫學院浸製處理。1951年4月18日，藍明谷的三弟前往臺北看守所打聽消息，才將藍明谷的屍體自國防醫學院解剖室的福馬林池撈出，據傳遺體上不但有兩處槍傷，頸部也有刀痕。
藍明谷在北京時期即開始於當地紙媒發表文章，可惜多已逸失。目前找到的作品有，1946刊登於北京「臺灣省旅平同鄉會」機關刊物《新臺灣》的短篇小說〈一個少女的死〉、〈問答小天地〉、〈臺灣高砂族歌謠〉（譯作）。藍明谷回臺後，曾在《國聲報》發表〈今孟子見縣長〉、〈才和財〉、〈傳為佳話〉；在《臺灣文化》發表〈魯迅與「故鄉」〉、〈鄉村〉。他將魯迅作品《故鄉》譯為日文，以中日文對照印刷，由「現代文學研究會」於1947年8月在臺灣發行，作為臺灣人學習中文的教材。
* 曾健民 主編：《復現的星圖》，人間出版社，ISBN 957-8660-64-2
* 謝培屏編輯，《戰後臺灣政治案件：藍明谷案史料彙編》，臺北市：國史館，2014。
波爾圖可以指：
* 波爾圖 (皮奧伊州)，巴西
* 波爾圖足球俱樂部，葡萄牙足球俱樂部
* 澳門波爾圖足球會，澳門的同名足球會
圓周率是一個數學常數，為一個圓的周長和其直徑的比率，近似值約等於3.141592654，常用符號來表示。
因為是一個無理數，所以它不能用分數完全表示出來（即它的小數部分是一個無限不循環小數）。當然，它可以用像般的有理數來近似。的數字序列被認為是隨機分布的，有一種統計上特別的隨機性，但至今未能證明。此外，還是一個超越數——它不是任何有理數系數多項式的根。由於的超越性質，化圓為方的問題不可能用尺規作圖解決。
幾個文明古國在很早就需要計算出的較精確的值以便于生產中的計算。公元5世紀時，中國劉宋數學家祖沖之用幾何方法將圓周率計算到小數點后7位數字。大約同一時間，印度的數學家也將圓周率計算到小數點后5位。歷史上首個的精確無窮級數公式（即π的萊布尼茨公式）直到約1000年后才由印度數學家發現。微積分的出現，很快地將的計算位數推至數百位，足以滿足任何科學工程的計算需求。在20和21世紀，由于計算機技術的快速發展，借助計算機的計算使得的精度急速提高。截至2021年8月，的十進制精度已高達6.28×1013位。當前人類計算的值的主要目的是為打破記錄、測試超級計算機的計算能力和高精度乘法算法，因為幾乎所有的科學研究對的精度要求都不會超過幾百位。
因為的定義中涉及圓，所以在三角學和幾何學的許多公式，特別是在圓形、橢球形或球形相關公式中廣泛應用。在更近代的數學分析裡，改由實數系統譜性質中的特征值或週期來定義，不再指涉幾何。所以它也在一些和圓之幾何無甚相關的數學和科學領域中出現，像是數論、統計以及幾乎物理學中的所有領域。的廣泛應用使它成為科學界內外最廣為人知的常數之一。人們已經出版了幾本專門介紹的書籍，圓周率日（3月14日）和值計算突破記錄也往往會成為報紙的新聞頭條。此外，背誦值的世界記錄已經達到100,000位的精度。
直徑為1的圓的周長是π
數學家用小寫希臘字母表示圓周和其直徑之比，有時也將其拼寫為“”，這來自于希臘語“”（周長）的首字母。在英語中，的發音與英文單詞“Pie”（，西式餡餅）相同。在數學中，的小寫字母（或者是其無襯線體）要和表示連乘積的大寫形式Π相區分開。
關于為何選擇符號的原因，請參見π符號的引入一節。
圓的周長略大于其直徑的三倍長。 精確的比例稱為。
常用定義為圓的周長與直徑的比值：
無論圓的大小如何，比值為恒值。如果一個圓的直徑變為原先的二倍，它的周長也將變為二倍，比值不變。當前的定義隱性地使用了歐幾里得幾何中的一些定理，雖然一個圓的定義可以擴展到任意曲面（即非歐幾里得幾何），但這些圓將不再符合定律。
這里，圓的周長指其圓周的弧長，弧長這一概念可以不依賴幾何學————而是使用微積分學中的極限來定義。例如，若想計算笛卡兒坐標系中單位圓上半部分的弧長，需要用到積分：
上述積分是由卡爾·魏爾斯特拉斯于1841年對的積分定義。
這些依賴于周長，且隱性地依賴積分的的定義，如今在文獻中并不常見。雷默特解釋說這是因為在現代微積分教學中，大學一般將微分學課程安排在積分學課程之前，所以不依賴于后者的的定義就很有必要了。其中一種定義，由提出，由愛德蒙·蘭道推廣，其表述如下：是兩倍于能使余弦函數等于零的最小正數。余弦函數可以由獨立于幾何之外的冪級數定義，或者使用微分方程的解來定義。
在相似的啟發下，可以用關于復變量的復指數函數來定義。復指數類似余弦函數，可透過多種方式定義。令函數值為一的復數集合是一個如下所示的（虛）算數過程：
并且其中包括一個獨特的正實數。
一個基于同樣想法，但更為抽象的定義運用了精巧的拓撲學和代數學概念，用以下定理描述：存在一個唯一的從加法模數整數組成的實數群 R/Z 到絕對值為1的復數組成的乘法群的連續同態（拓撲學概念，指在拓撲空間之間的一種態射）。數字被定義為此同態派生的模的一半。
在給定的周長的條件下，圓會圍成最大的面積，因此的表述同樣為等周不等式中出現的常數（乘四分之一）。此外，在很多其他緊密相關的方程中，作為某些幾何或者物理過程的特征值出現；詳見下文。
是個無理數，也就是說，無法表示成兩個整數之比的形式（形如的分數常用來近似表達，但是沒有任何普通分數（指整數的比）可以取到的精確值）。由于是無理數，故可表示為無限不循環小數。有多種方法能，這些證明也都要用到微積分學和反證法。人們還無法準確得知可以用有理數來近似的程度（稱為無理性度量），不過估計其無理性度量比或的要大，但是小於劉維爾數的無理性度量。
人們通過檢驗，包括正規數的檢驗，驗證了的位數沒有明顯的固定模式。因此，的小數中任意固定長度的序列（例如3位數字的000,001……999）出現機率都相同。不過有關是正規數的猜想既無證明，亦無-{zh-hans:證偽;zh-hant:否證;}-。
電腦的出現使得人們可以生成大量的不同位數，并進行統計分析。金田康正針對的十進制數字進行了詳細的統計分析，并驗證了其分布的正規性：例如，將出現0到9十個數字的頻率進行假設檢定，找不到有特定重復規律的證據。根據無限猴子定理，任何任意長度，由隨機內容組成的子序列都有可能看起來像不隨機產生的。因此，就算的小數序列通過了隨機性統計測試，其中也可能有幾位的數字看起來似有規律可循而非隨機數，例如的十進制寫法中，自第762位小數后開始出現了連續六個的9。
由于是超越數，不能利用尺規作圖化圓為方。
不僅是個無理數，還是一個超越數，即不是任何一個有理數系數多項式的根。（比方說，試圖通過解有限項方程，來求得的值。）
的超越性衍生出了一些重要的結果：不能通過有理數經有限次四則運算和開平方運算來獲得，因此不是規矩數。換言之，利用尺規作圖作不出長度為的線段，也就不可能用尺規方法做出一個與已知圓面積相等的正方形。后者即為有名的化圓為方問題，該問題早在古典時代即已提出，曾困擾人們數千年之久。直至今天，依然有民間數學愛好者聲稱他們解決了這一問題，第185頁。
像所有的無理數一樣，無法表示成一個分數。但是每一個無理數，包括，都能表示成一系列叫做連分數的連續分數形式：
圓周率近似值包括：
其他進位制中的近似值
歐拉公式給出了的復指數與復平面上以原點為圓心的單位圓上的點之間的關系。
任何復數（以為例）都可以表示為一組實數對：在極坐標系中，一個實數用來表示半徑，代表復平面上復數離原點的距離；另一個實數則用來表示夾角，即這條半徑（復平面上復數與原點的連線）與正實軸經順時針轉動的夾角。這樣一來，就可寫成
:，這里代表一個虛數單位，即。
在復分析中，歐拉公式將三角函數與復指數函數糅合在一起：
:，這里數學常數是自然對數的底數。
歐拉公式確立了的復指數與復平面上以原點為圓心的單位圓上的點之間的關系，而且當時，歐拉公式就能改寫為歐拉恆等式的形式：
:。此等式亦稱“最奇妙的數學公式”，全因為它將五個最基本的數學常數簡潔地聯系起來。
歐拉等式亦可用于求出方程的個不同的復數根（這些根叫做次單位根”），可以根據以下公式求得：
震盪弦的泛音是二次微分的本徵函數，會形成泛音列。對應的本徵值會形成由整數倍組成的等差數列
經常出現在和幾何相關的問題之中。然而，在不少和幾何無關的問題中也可以看到的身影。
在許多的應用中都會以特征值的形式出現。例如理想的問題可以建模為函數在單位區間的圖形，固定邊界值為。弦振動的模態會是微分方程的，此處是相關的特徵值。受施圖姆-劉維爾理論限制，只能是一些特定的數值。而即為一個特征值，因為函數滿足邊界條件及微分方程。
依照第一代開爾文男爵威廉·湯姆森所述的一個傳說，古迦太基城的外形是等周長問題的一個解。這些包圍著海的區域是迦太基女王狄多所圍的，城不靠海的邊界需要用一塊指定大小的牛皮圍住，後來是將牛皮剪成小段
是上述方程中最小的特征值，也和弦振動的有關。一個讓弦振動的方式是提供弦能量，能量會滿足維廷格函數不等式，其中提到若函數使得，且和都是平方可積函數，則以下的不等式成立：
此例中等號成立的條件恰好是為倍數的時候。因此似乎是維爾丁格不等式的最佳常數，因此也是最小的特征值（根據的計算方式）
在更高維度的分析中也有類似的角色，出現在其他類似問題的特徵值中。就如以上所述，的一個特點是等周定理中的最佳常數：周長為的平面若爾當曲線，所圍面積滿足以下的不等式
等號成立的條件是曲線為一圓形，因為及.。
圓周率也和龐加萊不等式的最佳常數有關，是一維及二維的特征向量最佳值中，最小的一個，因此會出現在許多經典的物理現象中，例如經典的位勢論。其一維的情形即為維廷格不等式。
圓周率也是傅里葉變換的一個重要常數，傅里葉變換屬於積分變換，將一個在實數線上的一個有複數值，可積分的函數，轉換為以下的型式：
傅里葉變換有幾種不同的寫法，但不論怎麼寫，傅里葉變換及反傅里葉變換中，一定會有某處出現。不過上述的定義是最經典的，因為其描述了空間中唯一的幺正算符，也是空間到空間的代數同態。
不確定性原理中也有出現這個數字。不確定性原理提出了可以將一個函數在空間及在頻域中局部化程度的下限，利用傅立葉轉換的方式表示：
物理的結果，有關量子力學中同時觀測位置及動量的不確定性，見下文。傅立葉分析中的出現是的結果，證實了海森伯群的的唯一性。
高斯函數的圖像，函數下方與X軸圍成的陰影部分面積為。
高斯積分是對高斯函數在整條實軸上的積分，即函數下方與X軸圍成的面積，其結果為，
此積分的計算可以先計算對整條實軸的積分的平方，通過轉換笛卡爾坐標系為極坐標系從而求得
其他計算方法可參閱高斯積分。高斯函數更一般的形式為，求一般形式的高斯積分均可通過換元積分法轉化為求的積分。
另外，當高斯函數為以下形式時，它則是平均數為和標準差為的正態分布的機率密度函數：
因為這個函數是一個概率密度函數，函數下方與X軸圍成的面積必須為1，令和即可變換得出。概率論與統計學領域經常使用正態分布來作為復雜現象的簡單模型：例如科學家通常假設大多數試驗觀測值的隨機誤差都是服從正態分布。
由一維布朗運動的反正弦定律，可以通過試驗正信號相對于負信號領先權過零點的分布反過來推算
概率論與統計學中的中心極限定理解釋了正態分布以及的核心作用，這個定理本質上是聯系著的譜特征與海森堡不確定性原理相關的特征值，并且在不確定性原理中有
這里的與分別為位置與動量的標準差，是約化普朗克常數，而不等式的等號當且僅當粒子的波函數為高斯函數使成立。
同樣地，作為唯一獨特的常數使得高斯函數等于其自身的傅里葉變換，此時的高斯函數形式為。根據豪的說法，建立傅里葉分析基本定理的“全部工作（whole business）”簡化為高斯積分。
圓周率在遠古時期（公元前一千紀）已估算至前兩位（“3”和“1”）。有些埃及學家聲稱，遠至古王國時期時期的古埃及人已經用作為圓周率的約數，但這個說法受到了質疑。，第30頁。參見.參見
最早有記載的對圓周率估值在古埃及和巴比倫出現，兩個估值都與圓周率的正確數值相差不到百分之一。巴比倫曾出土一塊公元前1900至1600年的泥板，泥板上的幾何學陳述暗示了人們當時把圓周率視同（等於3.125）。埃及的萊因德數學紙草書（鑒定撰寫年份為公元前1650年，但抄自一份公元前1850年的文本）載有用作計算圓面積的公式，該公式中圓周率等于（約等於3.1605）。
公元前4世紀的《》中的天文學運算把（約等於3.139，精確到99.91%）用作圓周率估值。公元前150年前的其他印度文獻把圓周率視為（約等於3.1622）。
第一個有紀錄、嚴謹計算數值的演算法是透過正多邊形的幾何算法，是在西元前250年由希臘數學家阿基米德所發明。這個算法使用了有一千年之久，因而有時亦稱阿基米德常數。阿基米德的算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長，以此計算的上限及下限，之後再將六邊形變成十二邊形，繼續計算邊長……，一直計算到正96邊形為止。他根據多邊形的邊長證明（也就是）。阿基米德得到的上限也造成一個常見誤解，認為就等於。在公元前150年，希臘羅馬的科學家克勞狄烏斯·托勒密在《天文學大成》一書中提到的數值是3.1416，可能來自阿基米德，也可能來自阿波羅尼奧斯。數學家在1630年利用多邊形的方式計算到第39位小數，一直到1699年，其他數學家才利用無窮級數的方式打破其紀錄，計算到第71位小數。
中國歷史上，的數值有3、3.1547（公元前一世紀）、（公元前100年，數值約3.1623）及（第三世紀，數值約3.1556）。大約在公元265年，曹魏的數學家劉徽創立了割圓術，用3,072邊的正多邊形計算出的數值為3.1416。劉徽後來又發明了一個較快的算法，利用邊數差兩倍的正多邊形，其面積的差值會形成等比數列，其公比為的原理，配合96邊形算出的數值為3.14。祖沖之在公元480年利用割圓術計算12,288形的邊長，得到的值在3.1415926和3.1415927之間。他同時提出了的約率22/7和密率355/113。在之後的八百年內，這都是準確度最高的估計值。為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這一推算值命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。
印度天文學家阿耶波多在公元499年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了3.1416的數值。斐波那契在大約1220年利用獨立於阿基米德多邊形法，計算出3.1418。義大利作家但丁·阿利吉耶里用的數值則是。
波斯天文學家卡西在1424年利用3×228邊的多邊形，計算到六十進制的第9位小數，相當十進制的第16位小數。這一突破成為當時的紀錄，延續了約180年。法國數學家弗朗索瓦·韋達在1579年用3×217邊形計算到第9位小數，佛蘭芒數學家阿德里安·范·羅門在1593年計算到第15位小數。荷蘭數學家魯道夫·范·科伊倫在1596年計算到第20位小數，他之後又計算到第35位小數（因此在二十世紀初之前，圓周率在德國會稱為魯道夫數）。荷蘭科學家威理博·司乃耳在1621年計算到第34位小數，而奧地利天文學家在1630年用1040邊形計算到第38位小數，至今這仍是利用多邊形算法可以達到最準確的結果。
16世紀及17世紀時，的計算開始改用無窮級數的計算方式。無窮級數是一組無窮數列的和。無窮級數讓數學家可以計算出比阿基米德以及其他用幾何方式計算的數學家更準確的結果。雖然詹姆斯·格雷果里及戈特弗里德·萊布尼茨等歐洲數學家利用無窮數列計算而使得該方法為大家所知，但這種方法最早是由印度科學家在大約1400到1500年之間發現的。第一個記載的用無窮級數計算的人是約公元1500年左右時，印度天文學家在他的著作《》中用梵語詩所記錄。當時沒有這個數列對應的證明，而證明出現在另一本較晚的印度作品《》，年代約在公元1530年。尼拉卡莎將該數列歸功於更早期的印度數學家（&nbsp;1350&nbsp;– &nbsp;1425）。有許多相關的無窮級數，包括有關、及的，現在稱為或π的萊布尼茨公式。瑪達瓦在1400年用無窮級數計算到第11位小數，但在1430年一位波斯數學家卡西利用多邊形算法否定了他算的的結果。
并非所有和有關的研究都旨在提高計算它的準確性。1735年，歐拉解決了巴塞爾問題，因而建立了所有平方數倒數和與的關系。之后歐拉發現了歐拉乘積公式，得到了、素數的重要關聯，對日後黎曼ζ函數的研究影響深遠。
1761年，瑞士數學家約翰·海因里希·朗伯利用正切函數的無窮連分數表達式了是無理數。1794年，法國數學家阿德里安-馬里·勒讓德證明了也是無理數。1882年，德國數學家費迪南德·馮·林德曼證明了對任何非零代數數，都是超越數，該結論后來由魏爾斯特拉斯推廣為林德曼-魏爾斯特拉斯定理。據此定理和歐拉公式，只能是超越數，進而證實了勒讓德和歐拉提出的超越性猜想。哈代在其著作《數論導引》中則稱此證明在提出後，經過希爾伯特、施瓦茲和其他一些人化簡過。
萊昂哈德·歐拉在他在1736年到1748年的作品中開始使用希臘字母表示圓周率，因此也開始廣為數學界使用
在用專指“圓周率”之前，希臘字母即已用於幾何概念中。威廉·奧特雷德在1647年起在《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）就已經用及（對應p和d的希臘字母）來表示圓的周長及直徑的比例。
威廉·瓊斯在他1706年出版的《新數學導論》中提到了，是目前已知最早專門用希臘字母表示圓周和其直徑比例的人。這個希臘字母的第一次出現，是在書中討論一個半徑為1的圓時，提到「其圓周長的一半」。瓊斯選用了的原因可能是因為它是希臘文中“周邊”一詞“”的第一個字。不過瓊斯提到，他的那些有關的算式是出自「真正聰明的約翰·梅欽先生」，因此人們推測在瓊斯之前，約翰·梅欽就已經開始使用此希臘字母表示圓周率。
瓊斯是在1706年開始使用此希臘字母，但直到萊昂哈德·歐拉在其1736年出版的《》中開始使用之后，其他的數學家們才紛紛開始用來指代圓周率。在此之前，數字家可能用像''c''或''p''之類的字母代表圓周率。因為歐拉與歐洲其他數學家之間時常互相寫信來往，的用法迅速傳播開來。1748年歐拉在他的《無窮小分析引論》再一次提到了，寫道：「為了簡潔起見，我們將此數字寫為，等於半徑為1的圓周長的一半。」這個表示方式之後也推展到整個西方世界。
由于與圓密切相關，故它出現在許多幾何學和三角學的公式中（特別是與圓、球體和橢圓相關的那些）。 此外，也出現在其他學科的重要公式中，比如統計學、物理學，傅立葉分析和數論的公式。
圓的面積等于乘以陰影部分面積。
出現在基于圓的幾何圖形（如橢圓、球、圓錐與環面）的面積、體積公式中。下面是一些涉及到的較常見公式：
上述公式是''n'' 維球的體積與其邊界（(''n''?1) 維球的球面）的表面積的特殊情況，具體將在后文給出解釋。
描述由圓產生的圖形的周長、面積或體積的定積分通常會涉及到。例如，表示半徑為1的半圓的面積的積分為：
由于的積分表示上半圓（此處的平方根由勾股定理得出）, 從-1到1的積分可用來計算計算半圓與 軸之間的面積。正弦和余弦函數的重復周期為 2。
三角函數要用到角，而數學家們常常用弧度作為角度的單位。在弧度制中起著重要作用，數學家將一個周角，即角度 360°，定義為弧度。由這條定義可得，角度 180° 等于弧度，角度弧度。因此，常用的三角函數的周期為的倍數；例如，正弦和余弦周期為，對于任何角度和任何整數，都有
單值化，虧格為3且歐拉特征值為&minus;4的面，作為雙曲面與的對稱群PSL(2,7)的商。根據高斯-博內定理，基本域的雙曲面積為8.
常數出現在將及其拓撲學聯系起來的高斯-博內定理中。具體來說，如果一個緊曲面的高斯曲率為，那么有
其中是該曲面的歐拉示性數，是一個整數。例如，一個曲率為1（也就是說其也為1，對于球面而言此時的曲率半徑與半徑重合）的球面的表面積。球面的歐拉特征數可以通過其同源組計算，其結果為2。于是，便得出
即為半徑為1的球面的表面積公式。
常數還出現在拓撲學的許多其他的積分公式中，特別是那些涉及通過陳-韋伊同態的特征類。
向量分析的方法可以通過分解成球諧函數來理解（圖示）
向量分析是與向量場的性質有關的微積分的分支，并有許多物理應用，例如應用在電磁學中。位于三維笛卡爾坐標系原點的點源的為
表示位于距原點的單位質量（或電荷）的勢能，而是維度常數。在這里由表示的場可以是（牛頓）引力場或（庫侖）電場，是位勢的負梯度：
特殊情況有庫侖定律和牛頓萬有引力定律。高斯定律表明，通過包含原點的任何平滑、簡單、封閉、可定向曲面的場的向外通量等于：
標準形式會將的這個因子吸收到常數中，但這種說法表明了它必須出現在“某處”。此外，是單位球面的表面積，但並沒有假設是球面。然而，作為散度定理的結果，由于遠離原點的區域是真空（無源的），只有中的表面的同調類與計算積分有關，因此可以由相同同調類中的任何方便的表面代替，特別是球形，因為球面坐標可以用于計算積分。
高斯定律的結果之一是位勢的負拉普拉斯算子等于狄拉克δ函數的倍：
通過卷積就能得到物質（或電荷）的更一般分布，給出泊松方程
其中是分布函數。
愛因斯坦方程表明，時空的曲率是由其中的物質能量產生的。
常數在與愛因斯坦場方程中的四維勢起類似的作用，愛因斯坦方程是形成廣義相對論基礎的一個基本公式，并且把引力的基本相互作用描述為物質和能量引起的時空彎曲的結果：
Ehlers, Jürgen, ''Einstein's Field Equations and Their Physical Implications'', Springer, 2000, p 7, ISBN 978-3-540-67073-5.
其中是里奇曲率張量，是數量曲率，是度量張量，是宇宙學常數，是萬有引力常數，是真空中的光速，而是應力-能量張量。愛因斯坦方程的左邊是度量張量的拉普拉斯算子的非線性模擬，並化簡（reduce）至在弱域的極限，而右邊是分布函數的模擬乘以。
複雜的解析函數可以以一系列的流綫和等電位綫（許多以直角相交的曲綫）視覺化，圖中是伽瑪函數的複數對數。
在復分析中，沿復平面若爾當曲線的圍道積分是研究解析函數的重要手段之一。簡化版的柯西積分公式表明，對任意若爾當曲線內任一點，以下圍道積分給出：
該命題是柯西積分定理的直接推論，后者表明上述圍道積分在圍道的同倫變換下保持不變，因而沿任一曲線的積分和沿以為圓心的圓周積分的結果相同。更為一般地，該公式對不通過點的任意可求長曲線都成立，但等式右邊要乘以曲線關于該點的卷繞數。
一般形式的柯西積分公式建立了全純函數 在若爾當曲線上的值與曲線內任意點處值的關系：
柯西積分定理是留數定理的一個特例。根據留數定理，在區域內除去有限個點解析的亞純函數在邊界上的圍道積分與函數在這些點的留數之和滿足：
通過將三個球面霍普夫纖維化，下方是 富比尼–施圖迪度量的黎曼球面 with its 富比尼–施圖迪度量 (如圖所示的三個平行曲面). 恒等式可以確定一個數列。
階乘函數的值等于所有小于等于的正整數之積，它的定義域只包含非負整數。Γ函數則是階乘的推廣。它在復平面的右半平面定義為：
再利用解析延拓可以將它的定義域擴展到除去非正整數的整個復數域。當自變量取正整數時，函數給出階乘；當自變量取半整數時，計算結果含有。例如，。
根據魏爾施特拉斯分解定理，函數可分解為如下的無窮乘積：
其中是歐拉-馬斯刻若尼常數。利用該分解公式和函數在的值，亦可以證明沃利斯乘積式。函數和黎曼ζ函數、的恒等式存在關聯，其中扮演著重要的角色。
函數常用于計算維歐氏空間中''n'' 維球的體積和''n'' 維球面的表面積。對維歐氏空間中半徑為'維球，其體積和表面積滿足：
兩者還滿足如下的關系式：
當很大時，利用函數可以得到關于階乘的一個近似公式。該公式稱作斯特靈公式，等價于：
斯特靈近似的幾何應用之一是。將維歐幾里得空間的單純形記作，則表示該單純形的所有面擴大。于是
這是僅含一個晶格點之凸體體積的（最佳）上界。
每個質數都有一個關聯的，即圓的算數定域。分析數論中的L函數也定域在每個質數''p''上。
雙曲面積的  倍。
黎曼ζ函數 在數學的許多領域均有應用。當自變量 ，可以寫作
找到這個無窮級數的解析解是數學界著名的“巴塞爾問題”。1735年，歐拉解決了這個問題，他得到該無窮級數等于。歐拉的結論可以推導出一個數論中的結果，即兩個隨機整數互質（即無公因數）的概率為 。由于任意整數可由質數整除的概率（例如，在所有正整數中，連續7個數中有且只有一個可以被7整除）。因此，任取兩個隨機整數都能以質數整除的概率為，至少有一個不能整除的概率則為。又因為一個隨機整數能否被兩個不同的質數整除是相互獨立事件，那么兩個隨機整數互質的概率可以表示成關于所有質數的無窮乘積
這個結論可以結合隨機數生成器，利用蒙特卡羅方法計算的近似值。
?巴塞爾問題的結論意味著幾何導出量的數值與質數的分布有著深刻的關聯。巴塞爾問題是谷山－志村定理的一個特殊情況，是的一個特例，即猜想一個這種形式的算術量關于所有質數的無窮乘積能夠等于一個幾何量——某個體積的倒易。在巴塞爾問題中，這個空間是一個 。
函數同樣滿足黎曼方程的公式，其中用到了和伽瑪公式：
函數導數也滿足
最終的結果是可以從諧振子中求得。這個泛函行列式可以通過一個無窮乘積展開式計算, 而且這種方法等價于沃利斯乘積公式。這種方法可以應用于量子力學, 尤其是玻爾模型中的變分。
P進數中的表示（如圖），它們是的元素。很大程度地利用了這個系統。
周期函數的傅里葉級數中，很自然地出現了。周期函數即實數的小數部分所構成群上的函數。傅里葉分解指出，一個上的復值函數可表示為無窮多個的的線性疊加之和。也就是說，到圓群（模為1的復數組成的乘法群）的映射是連續群同態。的特征都具有的形式，這是一個定理。
在上存在一個唯一的特征值，直到復共軛，那是一個群同態。在圓群中使用 哈爾測度，常數是這個特征值的拉東-尼科迪姆導數值的一半。其他的特征值的導數值為的正整數倍。因此，常數是一個獨特的數字，以至于配備了其哈爾測度的群，具有對于整數倍的點陣的龐特里亞金對偶性。這是的一維版本。
常數與模形式和Θ函數密切相關——比如，橢圓曲線中的就很大程度上涉及到了楚德諾夫斯基算法（一種快速計算的方法）。
模形式是以在上半平面的全純函數的在（或其子群，是的一格）下的變換特性歸納。Θ函數便是一例：
它是一種名為的模形式，有時以表達。
常數是一個特殊的常數，它會使雅可比函數形成自守形式，即該函數會以特定方式變換。有若干恆等式在所有自守形式下成立。，例如：
它使得必然在離散海森伯群下以表示（representation）變換。一般模形式和其他函數也包含，這也是根據。
箕舌線，其英文名來源于瑪利亞·阿涅西（1718–1799），是柯西分布的一個幾何構筑圖。
是一個概率密度函數。其總概率等于1，因為下列積分：
柯西分布的香農熵等于, 也含。
柯西分布控制做布朗運動的粒子通過膜的通道
柯西分布在位勢論中扮演著重要的角色因為它是最簡單的和與在半平面上做布朗運動相關聯的經典泊松核。以及希爾伯特變換與泊松核的漸近線有關。 希爾伯特變換是一個由奇異積分的柯西主值給出的積分變換
常數是唯一的（正）歸一化因子因此定義了一個在實數軸上的平方可積分實值函數的希爾伯特空間上的。 和傅里葉變換一樣，希爾伯特變換就其在希爾伯特空間的變換特性而言可以完全特征化。直到歸一化，它是唯一的與正膨脹對易且與實數軸的所有反射反對易有界線性算子。常數是唯一的能使這個變換幺正的歸一化因子。
alt=一個複數平面下，曼德博集合的黑色圖案，背景為藍色的|thumb|可以從曼德博集合中計算，計算方式和計算從(?0.75, ε)點開始，一直到發散之前的次數有關
大衛·波爾（David Boll）在1991年發現在曼德博集合分形中也有的出現。他檢查在曼德博集合在位置的特性。若考慮坐標在「頸部」的點，而趨近於零，在發散之前迭代的次數和相乘，會趨近於。若是在右側尖點處附近的點也會有類似的特性：在發散之前迭代的次數和的平方根相乘，也會趨近於。
即便不是一個物理常數，也經常出現在描述宇宙的基本原則方程中，因為與圓以及球坐標系的關系密切。比方說，這是經典力學領域一個簡單的公式，給出了長度為L的單擺做小幅擺動的近似周期（為地球引力加速度常數）：
海森堡不確定性原理是量子力學的一個基本公式，它表明在對一個粒子測量時，其位置不確定度與動量不確定度不可能同時達到任意小（為普朗克常數）：
近似於三這一特性，和電子偶素的半衰期相對較長有密切的聯系。其半衰期的倒數和精細結構常數的關係為
也出現在許多結構工程的公式中，例如歐拉推導的挫曲公式說明了長度為、截面二次軸矩為的細長形物體，在不挫曲的條件下可以承受的最大軸向負載：
流體動力學的斯托克斯定律中也有。斯托克斯定律是半徑約為的小球體在黏度的流體中以速度運動時會受到的阻力滿足：
在理想狀態下，一個河流的曲折程度——也就是河道本身的長度與源頭到入海口的比值——隨著時間的推移逐漸趨向于。河流外邊緣的快速水流的彎曲會導致河流內邊緣加倍的侵蝕，而河道因此變得更加彎曲，使得整個河流彎折得更加厲害。然而，這股彎折勁兒最終會導致河流折回一開始彎折的地方，導致“短路”，并在此過程中形成一個河跡湖。這兩種相反的因素使得河道長度與源頭到入海口的比值的平均值為。
π文字學（或譯作圓周率的語言學）是指人們記住大量的位值，并將其世界紀錄載於健力士世界紀錄大全中的做法。維爾·米納（Rajveer Meena）於2015年3月21日在印度於9小時27分鐘內背誦了7萬位的，創下健力士世界紀錄大全認證的世界紀錄。2006年，日本退休工程師原口證，自稱已經背誦了十萬個小數位，但他未獲健力士世界紀錄大全認證。
一個常用於記憶的技巧是背誦一個以單詞的長度代表數值的故事或詩歌：第一個單詞有三個字母，第二個單詞有一個字母，第三個單詞有四個字母，第四個單詞有一個字母，第五個單詞有五個字母，如此類推。一個早期的例子是由英國科學家詹姆士·金斯設計的詩歌：「」這一類的詩歌有時在英文中稱為「」。除了英文，用於記憶的詩歌亦有不同語言的版本。但是，創下紀錄的記憶的人一般並不以詩歌記憶，而是用如記憶數字規律或的方法。
有好幾位作家仿照上述記憶技巧，用的數值創作了新型的方式，其中單詞的長度須符合的數值。《》以上述技巧包含了前3835位的值，一本標準長度的書《Not a Wake》有一萬個單詞，其中每個單詞亦代表了的一個位值。
一個-{zh-cn:派;zh-hk:批;zh-tw:派;}-。圓形的西式餡餅是個常見的雙關語（在英語中，圓周率和-{zh-cn:派;zh-hk:批;zh-tw:派;}-的發音相同）。|bottom
也許因為的公式很簡短而且四處可見， 比其他數學常數在流行文化中更常見。
在2008年由英國公開大學及英國廣播公司聯合制作的記錄片《》于2008年十月由英國廣播公司第四臺播放。影片講述了英國數學家馬庫斯·杜·索托伊在到訪印度研究當地三角學的貢獻時，展示出歷史上最精確的計算公式的信息圖形 。
在巴黎的科學博物館發現宮中有一個稱為「房」的圓形房間。牆上刻有的707位數字。數字貼在圓頂狀的天花板上，由大型的木製字符組成。數值是1853年由英國數學家的計算結果，但是該結果於第528位后開始出現謬誤，其在1946年發現，1949年修正。
卡爾·薩根的小說《接觸未來》中則暗示說，宇宙的創造者在的數字中暗藏了一則信息。的數字也用在凱特·布希所出的專輯中的《Pi》的歌詞里。
在美國，人們在3月14日慶祝圓周率日，一個在學生中很流行的節日。一些自稱“數學極客”的人常常用與其數位來創作一些數學或技術圈內人士才能領會到的笑話。麻省理工學院則有幾個包含“3.14159”的大學。2015年的圓周率日格外重要，因為按照美式的寫法，當天的日期時間3/14/15 9:26:53較之于其他的圓周率日包含了更多位數的。
在北電網絡于2011年舉行的技術專利拍賣會上，谷歌使用了一些包含在內的數學或科學常數進行競價。
在1958年，提議將換成（tau）以便簡化公式。在此定義為的兩倍。然而，沒有任何其他作者曾這樣使用過。有些人使用一個不同的值，。這些人辯稱，不論是作為弧度制下一個圓形周長的1轉，還是作為弧長與半徑的比值（而不是與直徑的比值），都比顯得更加自然，也能因此簡化掉許多公式。已經有媒體報道稱，有人在6月28日慶祝“節”，并吃“兩個派”，因為的值大小約為6.28。然而，對于的使用還并沒有在數學界成為主流。
在1897年，一個業余的美國數學家試圖通過印第安納州議會來通過後世所謂印第安納圓周率法案的法案。這一法案因試圖以法律命令強制規定一個數學常數而臭名遠揚。該法案描述了一個化圓為方的方法，并間接提到了的錯誤值，例如3.2。該法案通過了印第安納州眾議院的表決，但是被參議院否決。
* , English translation by Stephen Wilson.
* .  issue 3 Jan/Feb,  issue 4 Mar/Apr,  issue 5 May/Jun
．2014 houkouonchi found pi to  28472 Decimal places
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* Zebrowski, Ernest, ''A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe'', Rutgers University Press, 1999, ISBN 978-0-8135-2898-4
* Wolfram Mathworld上的 「Pi」
* Wolfram Alpha上的 Representations of Pi
*  Pi搜尋引擎 ：可搜尋、和的20億位
* Demonstration by Lambert (1761) of irrationality of ,  online and analyzed '' BibNum'' (PDF).
*  前1.2百萬位中的部分資料
*  將π前一萬位化作音樂旋律
*  SuperPI 計算π值的軟體，電腦硬體玩家常用來測試電腦運算速度（日文）
*  PiFast  個人電腦上最快的計算π值軟體，是個人電腦計算π值紀錄保持軟體。
*  用大炮求圓周率 ：以蒙特卡羅演算法，利用圓的面積求圓周率。
*  展示將π值計算到10萬位的一個網站
田東站，位于中華人民共和國廣西壯族自治區百色市田東縣平馬鎮，是南昆鐵路和田德鐵路上的火車站，建于1995年，由南寧鐵路局百色車務段管轄。
過嶺，是臺灣桃園市中壢區的一個傳統地域名稱，位於該區西南部。相較於今日行政區，其範圍大致與過嶺里相近。過嶺地名由來為先民來往雙連坡和大崙時須越過此分界用的山嶺，故稱「過界嶺」，後簡稱為過嶺。
臺灣堡圖－桃園市中壢區過嶺周圍截圖
臺灣清治末期至日治初期，過嶺地區為一街莊，稱為「過嶺莊」，隸屬於竹北二堡。該莊西北與苦練腳莊、上大堀莊、崙坪莊為鄰，東北與大崙莊為鄰，東南與雙連陂莊為鄰，南邊為高山頂莊，西南邊為犁頭洲莊。
1901年（日治明治三十四年）11月，全臺廢縣廳改設二十廳，該莊隸屬於桃仔園廳大崙區。1903年（明治三十六年），改名桃園廳。1909年（明治四十二年）10月，合併二十廳為十二廳，該莊隸屬不變。1920年（大正九年），廢十二廳改設五州二廳，該莊改制並改名為「過嶺」大字，隸屬於新竹州中壢郡中壢街。
1915年桃園廳行政區劃（不含蕃地）
省道臺31線又稱「高鐵橋下桃園段道路」，是蘆竹至湖口與高鐵併行的平面幹道，向東北可前往中壢、大園、蘆竹的高鐵沿線各地，向西南可前往新屋、楊梅、湖口的高鐵沿線各地。
市道114號是從新屋區永安漁港至板橋區光復橋的道路，大致以西北—東南走向轉橫向經過本地區西南部及南部邊界，向西可前往新屋、永安漁港等地，向東可前往中壢市區、八德、鶯歌、板橋等地。
桃園捷運中壢新屋線以輕軌系統規劃從桃園機場捷運A22老街溪站經過嶺至頭洲。
寧鄉站，位于中華人民共和國湖南省長沙市寧鄉市，是石長鐵路上的火車站，建于1997年，2013年3月6日進行石長鐵路復線工程，暫停辦理客運業務，2016年7月25日新站房正式啟用，由廣州鐵路集團管轄。
* 寧鄉市農村商業銀行工業園分行
* 2013年3月6日配合石長鐵路復線工程，暫停辦理客運業務。
* 2016年7月25日新站房正式啟用。
中華人民共和國駐洛杉磯總領事館是中華人民共和國派駐美國加利福尼亞州洛杉磯市的最高外交機構。領事館的領區是南加州10個縣（北加州48個縣為駐舊金山領事館領區）、亞利桑那州、夏威夷州、新墨西哥州以及太平洋島嶼。
中美雙方于1987年達成協議，同意在對方國家各自開設第五家領事機構，其中中國在洛杉磯開設總領事館，美國在武漢開設總領事館。
布赫利驅動裝置構造示意圖
布赫利驅動方式是鐵路機車使用的架懸式牽引傳動裝置類型之一，由瑞士勃朗-包維利股份公司（BBC）設計生產，并以發明者（Jakob Buchli，1876年—1945年）的名字命名。這種驅動裝置將牽引電動機固定地安裝在車體底架上，通過具有連桿關節機構的牽引齒輪向傳遞扭矩，使其能夠吸收機車行駛時輪對各個方向的跳動。