ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
語音訊號的特性就是它的頻率隨著時間劇烈變化。因為語音訊號所涵蓋的資訊非常的多，所以相對的計算時間會是很重要的考量。
根據Nyquist criterion及人耳可聽的的頻率上限約為20000Hz這兩個條件，因此語音信號的取樣頻率需為40000左右。
然而我們對於時頻分析的輸出在時間軸的解析度要求往往不會到這麼高，加上時頻分析出來的結果為原本輸入訊號維度的兩倍，為減少運算時間，我們會降低輸出的取樣頻率，如100Hz。
以短時距傅立葉變換為例
其中為輸入信號的取樣間隔，
為輸出信號的取樣間隔
其中需滿足下列條件
(1) N為一整數
時頻分析在語音領域同時包含音樂訊號、聲音訊號以及聲紋辨識。
例如speech signal:
* 聲紋:不同人說話的聲音頻譜(聲紋)不同
* 同一個人發不同的聲音也擁有不同的聲音頻譜
* 語調的不同也會使頻譜的變化情況不同
* 同一個字音，其中子音與母音的頻譜亦不相同
例如研究指出在聲紋(中文注音第一、二、三、四聲和輕聲)當中的語調會使時間和瞬時頻率的關係有所不同。
時頻分析在生醫工程上的應用幾乎都是用以分析生理訊號，如肌電圖(EMG)、心電圖(ECG)等等。
其中肌電圖(EMG)是肌肉收縮時的電位變化和肌纖維震動的變化所產生的生理訊號，故常用以探討肌肉收縮力量程度大小或用來判定肌肉是否產生疲勞的工具，進而推估身體狀態的生理訊號。EMG訊號為非週期性且隨機的訊號，所以若將時域訊號進行快速傅利葉轉換(FFT)並不適宜，取而代之的是對EMG信號進行短時傅立葉轉換(STFT)，獲得EMG信號的功率頻譜密度函數(power spectral density function，PSDF)，其反映了EMG信號頻率隨時間而變化。
短時傅立葉轉換屬於時頻分析的一種，是在傅立葉轉換中加入一個移動的視窗函數(window function) w(t)，用來對輸入的訊號做切割，在對視窗內的訊號做傅立葉轉換，產生一個二維的時間頻率分佈圖。視窗選擇方面大約包含了Hamming、Hanning、Gaussian 等等，而視窗選擇對於STFT有很大的影響，若為較小的window function可得到較佳的時域解析度，但會犧牲頻域解析度；反之，若選擇較大的window function將會得到較佳的頻域解析度但較差的時域解析度，藉由適當window size的設定，就能觀察出肌肉收縮力量程度大小隨著時間而改變。
HRV analysis of ECG signal in frequency domain
心電圖也是常見的電生理訊號之一，記錄了心臟整個活動過程，心臟收縮前必先產生電氣活動(electrical activity)，此電氣活動是由許多心肌的興奮波所組成。興奮波起源於心臟的竇房節(SA Node)，並經由心肌特化的傳導系統(conducting system)將此興奮波傳遍整個心臟，心電圖即是源於心臟的興奮區與未興奮區之間的電位差。而在心電圖(ECG)的應用最常見的例子即為心率變異度分析（heart rate variability, HRV），將ECG信號使用時頻分析可用以檢測自主神經系統活性，亦可進行進行個人壓力與情緒分析。
為了評估自主神經系統功能及對心血管活動的影響，亦可對ECG信號進行希爾伯特-黃變換（Hilbert-Huang transform,HHT）以獲得Hilbert時頻譜，利用Hilbert-Huang時頻來做時頻特徵提取和分析。依據短時程HRV信號的線性頻域分析指標，得到不同生理頻帶的Hilbert能量圖，提取總能量，各生理頻帶的能量和其歸一化能量以及生理頻段的能量比值作為評價心率變異性的時頻特徵。基於Hilbert譜的時頻特徵的區分性能好，有較清晰的生理意義，能反映人的生理病理變化，為短時程HRV信號分析提供了一種有效方法。
以往大多數的心率變異度分析都是以快速傅立葉轉換頻譜分析為基礎，來探討研究現象之心率變異頻譜特性與自主神經活性之間關聯性。但是對於快速變化的生理訊號，如ECG是一個非穩定(non-stationary)訊號，使得傅立葉轉換無法達到有效的處理，使用快速傅立葉轉換頻譜分析有其侷限性。另一種較為合適的方法是以平滑式魏格納－韋立分佈時頻分析法(smoothed pseudo Wigner-Ville distribution; SPWVD)為基礎，分析受試者之心率變異度之頻譜特性，來檢視受試者心率變異度中之低頻頻譜能量(LF)與高頻頻譜能量(HF)的增減現象，其比值為自主神經平衡指標(LF/HF)，其頻率範圍定義如下所列。
:1. 極低頻範圍的正常心跳間期的變異數(VLF) - 截取頻率範圍為0 - 0.04 Hz
:2. 低頻範圍的正常心跳間期的變異數(LF) - 截取頻率範圍為0.04 - 0.15 Hz，為交感神經活性指標
:3. 高頻範圍的正常心跳間期的變異數(HF) - 截取頻率範圍為0.15 - 0.4 Hz，為副交感神經活性指標
PCG訊號含有預知身體狀況的資訊，所以可說是有臨床診斷的價值。
在一個心動週期當中，有兩個主要的聲音，也就是第一心音及第二心音。
第一心音是由四個成分組成，是因為主動脈膜的閉合所產生。
第二心音是由兩個成分組成，是因為肺動脈瓣膜的閉合所產生。
雖然心音訊號可以說是一個不段重複的訊號，但是我們不將它定義為一個簡單的週期訊號。
這是因為，心音訊號具有非平穩性，而且心音訊號是由許多複雜的事件所產生的訊號所疊加的多成分訊號。
而傳統的頻譜分析方法，只能反映訊號的靜態頻譜特徵，但是，能夠反映心臟及心血管系統病理特徵的心音訊號，一般來說是非平穩時變特徵。
所以，使用頻譜分析方法，就無法反映心音訊號隨時間的變化。
因此，心音訊號的時頻分析用於心臟方面的研究和臨床診斷，有非常好的分析效果。
EEG分析，是一種研究大腦電訊號的方法，並且是一種無創傷的方法。
EEG可以分成三種，也就是非瞬時自發性EEG、瞬時自發性EEG和誘發性EEG。
傅立葉轉換和各種衍生的方法，可以很好地用在非瞬時自發性EEG。
但是，對於瞬時自發性EEG和誘發性EEG，用傅立葉轉換的方式來分析顯然無法給予充分的資訊，因為這兩種訊號都是非平穩訊號，因此就會用到時頻分析的方法。
另外，EEG訊號中，有時會出現一些短瞬時脈衝，這些脈衝可能含有病理資訊，也可能僅僅只是干擾訊號。不論屬於哪種類型，對這些脈衝訊號做檢測和分析都十分重要，因此將時頻分析方法應用在EEG訊號處理中，是許多學者的研究方向。
一個機械設備的故障診斷可以概括為以下五個部分：
(1)	採集訊號
(2)	從採集的訊號中，用訊號處理的方法，提取出能夠反映機械設備狀態的特徵。
(3)	以某些狀態識別方法，監測機械設備並判斷機械設備的狀態，檢查是否有故障的狀況。
(4)	分析與診斷機械設備的狀態。若機械設備發生故障，要分析故障的類型、性質、發生部份等。
(5)	最後，根據機械設備的狀態及可能的發展趨勢做出決策，例如維修。
而對於蒐集來的訊號，不僅只會蒐集到能夠反映出機械設備某特定部分的工作狀態資訊，也會蒐集到其他零件的資料，這些資料對於研究該特定部分的狀態而言，是一種背景雜訊。
另外，一般而言，這樣的背景雜訊會比狀態資訊來的更大，而由於大多數的機械訊號都是非平穩訊號，特徵時頻譜範圍又廣，成分非常複雜，並且又如前述參雜許多背景雜訊。
所以，要怎樣把所需的狀態資訊提取出來，提高訊雜比，並且將故障特徵資訊放大，是一個重要的機械故障診斷的研究方向。
時頻分析則為機械故障診斷帶來了一線曙光。作為一種聯合時間與頻率的分析方法，它能夠很好的分析非平穩訊號，並且將訊號與雜訊做分離，找出所謂的故障訊號。
因此，用時頻分析方法來表示訊號在不同時間和頻率上的能量密度，從時域、頻域同時分析訊號成分，可以成功地應用於機械設備故障診斷。
運用無線電受到海面反射來的回波頻譜來估算表層海流。原理包括了幾種物理現象，布拉格散射、都卜勒效應、深水波假設。
海洋的表面是粗糙的，其中包含了各種波長的波浪，當一個近岸的測站發射無線電波，電波碰撞到海面，因為布拉格散射，波浪波長為二分之一的無線電波長的波浪會造成強的回波。
若是打向一靜止的粗糙面，回波訊號的頻率應該與發射頻率相符，但海面上的波浪是行進的，對於電波接收站而言，其所收到的訊號，是一個移動中的訊號來源，所以觀察到的回波頻率因為都卜勒效應，回波訊號頻率不再是原發射頻率，而會發生在發射頻率加上一偏移頻率。
因為波浪沒有特定的方向，可說是在海面往四面傳遞，對於無線電側站位置而言，遠離的波會造成負的偏移頻率，即回波頻率降低，反之，靠近測站的波浪會形成一偏移頻率為正的回波。
其偏移頻率的大小值與波速相關，波浪波速根據深水波的假設，波速是波長之函數，因為先前布拉格散射，當無線電波頻率給定，其回波訊號主要是二分之一無線電波長的波浪，故此偏移頻率可以估計出來。
由於表層海流載著海表面的波浪走，所以觀測到的無線電頻譜，和預測上的頻譜會有所不同，而這中間不同的量可以來估算出表層海流。
通常無線電波站都有Ｘ, Y, Z軸三個方向的天線，藉由三個方向的接收訊號，雷達可以分辨出回波的方位，藉由到達回波在時間軸上可以分辨出回波的距離。
以下舉一個虛構的例子來解說。
An trivial example of received signal spectrum
無線電測站發出一頻率為Fc，也就是波長為的無線電波，因為1) 海表面有波長不一的波浪2) 因為布拉格散射，波長為的波浪會產生較大的回波能量 3)這些波浪四面傳遞，且波浪波速在深水波假設中，可以近似成。
回波的產生源，波浪，因為以波浪波速移動，都卜勒現象的緣故，回波訊號會有一個頻率位移Δf，遠離測站靠近測站的波浪分別造成Fc-Δf， Fc+Δf的回波（如虛線所示）。
假設又一個靠岸（流向測站）表層海流，海流帶著波浪行進，其結果是離岸的浪減速，靠岸的流加速，其在頻率域相當於右偏（頻率增加）。藉著觀察回波頻率極強值（實線）和無流情況推算出來的頻率強值之間的差距，來推算出逕向上流速（遠離或靠近測站方向上的流速）。
鯨豚的研究常常仰賴著研究者現場目視觀察，由於人力物力有限，只能在小範圍內，海況佳，日間的情況下來研究。鯨豚的一大習性是發聲，透過被動地監聽鯨豚，研究者可以更進一步的來研究。以海豚的聲音為例，最粗淺地看至少有兩種，即click 和 whistle。二種聲音從時頻圖來看是一目了然，二種在時頻圖有截然不同的特性，click是短時間(50-150 μs)寬頻的信號(65 – 100kHz)，whistle是頻率調變的訊號（2 – 20kHz）。一般來說，click信號和海豚用來定位導航，獵食有關，而whistle和海豚的社交，溝通有關。也有可能同一時間發出兩種聲音。這當中許多學問，包含各種聲音的功能，發聲的機制，有待釐清。
資料的壓縮包含圖像、影像及語音的壓縮，其中最廣為利用的時頻分析方法應為小波分析。以影像來說，是用二維離散的小波轉換進行壓縮，圖一為二維離散小波轉換的結構圖，所得的四個結果分別為影像中的低頻及不同範圍的高頻成分，為影像中的低頻成分，為水平方向的邊緣，為垂直方向的邊緣，為圖像中的角落。而保留低頻成分，捨棄其他高頻部分，再進行數次的二維離散的小波轉換，可得粗略但很接近原圖的縮圖，以達到縮圖的效果，每進行一次二維離散的小波轉換可將資料量縮為原圖的1/4倍左右，其中小波分析的影像壓縮以JPEG 2000為主。
臺灣的第二顆衛星FORMOSAT-2(FS-2)是具高分辨率的遙感衛星，而FORMOSAT-3(FS-3)/COSMIC(Formosa 3號衛星，氣象、電離層和氣候星座觀測系統）包括6個低地球軌道(Low-Earth-Orbit, LEO)衛星是第一個演示近實時數值天氣的星座，使用來自全球定位系統(Global Positioning System, GPS)衛星的無線電信號進行預測(Numerical Weather Prediction, NWP)。資料中指出，衛星任務每天都會受到自動重配置命令 (Automatic Reconfiguration Order, ARO)的干擾，FS-2記錄著相當多ARO事件，另外在另一顆FS-3上也記錄了許多計算機異常事件(衛星重啟或重置)，同時也有相關紀錄在FS-2上。而這些ARO事件也大多歸因於發現這些異常當中有相當star tracker data多應歸因於單事件失敗(Single Event Upset, SEU)，也因此我們必須了解更多SEU的起因來避免ARO的事件一再發生而使衛星受到干擾。在研究中發現FS-2的ARO和星體追蹤儀數據的遺失位元(Lost Bytes, LB)與太空天氣成正向相關，而幾個太空氣象的主要參數正是影響衛星任務的原因:例如地球磁場的Kp指數，質子密度，電子密度和10.7 cm radio flux (RF)。另外也發現FS-3的電腦重置也與地球磁場的Kp指數，質子密度，10.7 cm radio flux (RF)和X射線相關。因此若能使用時頻分析當中的Hilbert-Huang transform和其他方法來分析此非線性且不穩定的太空數據，可以結合這些太空天氣的相關參數，進而避免SEU甚至其餘ARO事件的發生機率，也可使得衛星任務更為穩定。
三軸加速規可以用來判斷一個人的活動、行動，如果可以利用三軸加速規加上時頻分析，則可以分析一個人的活動行為，例如計步器(跑或走的活動)，亦有人利用此方法分析得到帕金森氏癥的病人的健康狀態。
傳統上，經濟數據被視為不穩定且具嘈雜訊號的時間序列資訊，且被正統理論認為是隨機程序，基本上不存在規律性。經濟或金融資料屬於時變的資訊，而其在此領域中大多使用統計方法做分析，例如自回歸模型(AR)，經濟學家大多使用經驗數據來手動擬合人工線性模型，而此隨機模型的擬合通常只能計算均值和方差，對於大量的金融經濟應用層面並不足夠。因為經濟金融的時序統計資料在頻域上是相對未開發的領域。在這種情況下，其頻譜資訊會隨著時間而一直改變，以傳統的傅立葉轉換是不足以充分描述該資訊的循環特性，因此後人研發了聯合時頻表示法(joint time-frequency representation, JTFR)來克服這個問題，因為它能同時在時域和頻域表現其時間序列和做分析。使用JTFA，我們不僅可以知道此信號(資訊)當中存在哪種類型的周期，而且知道它們何時發生以及持續多長時間。當有持續一定時間的周期集中在聯合時頻域中時，隨機噪聲趨於均勻地擴展到整個時頻平面。因此，JTFA具有更高的信噪比(SNR)。例如部分研究中，會在JTFA當中先用加伯轉換(Gabor transform)和短時傅立葉轉換兩個線性模型分析原始的ISE資料，以及兩個二次模型(韋格納分布和Page distribution)做時頻分析。通過特殊合成的時間序列可以藉此評估每個TFR在檢測和解碼原始ISE數據中可能存在的特性，也可以對它們的趨勢或是週期分量進行分析和計算。此方法可以大致模擬股票指數系列(例如原始ISE系列)的模式，並以此做為比較績效分析的基準。接著比較不同時頻分析方法以取最優，並再使用過去指數數據重複做分析，以察看結果是否對從新興市場到成熟市場的股票數據來源變化是否可靠。另外也可以使用Hilbert-Huang transform，不是先進行預白化，而是找到一條平滑的趨勢曲線以擬合經驗數據，以便差值包含盡可能多的有意義的周期;儘管平滑曲線呈現長期趨勢，但差值可進一步用於分析短期行為。儘管頻譜表明了殘差所包含的頻率成分，但它並不能告訴它們何時出現或持續多長時間。因為只有那些持續一定時間的頻率才被認為是有意義的周期，所以無法僅從頻譜上確定經濟週期。
使用JTFA或其餘時頻分析方法進行經濟數據分析的發展是指日可待的，這種發展趨勢可以使金融界發生分析及預測上大革命。
以訊號處理的方式解析地震波有助於地質學家更準確的掌握地底構造，透過觀察地震波在地底中傳播的情形，辨識巖層、礦物等物質。除了自然發生的地震，人為爆破而生成的震波，搭配訊號處理技術的使用，也可以應用於石油探測及礦石開採等實務面。
近代隨著科技進步，電腦輔助運算成為必要之工具，地震觀測主要為數位地震儀系統，這樣一來，可獲取大量取樣點及高解析度、高頻寬、足夠的動態範圍的數位化地震波形資料。由於地震觀測系統得動態範圍和頻率範圍皆為有限值，並且記錄地面的活動有著不同程度的變形；因此不同型態的外界干擾和系統內部雜訊會對於地震波紀錄造成干擾。在資料記錄過程中，會出現傾斜、平移、波形變形等現象，因此在對地震波進行時頻分析前，必須進行修正，調整儀器內部影響，以及過濾雜訊。
以時頻分析而言，對於地震波的處理，可以分為以下幾種，分別為使用短時傅立葉轉換(Short Time Fourier Transform), 希爾伯特-黃轉換(Hilbert-Huang Transform)以及小波轉換(Wavelet Transform)。
短時傅立葉轉換(Short Time Fourier Transform, STFT)
窗函數(window function)若為矩形，則寫為 ，
計算速度快，呈現的圖形直觀且方便，可以於野外觀測現場進行。
分析過程中，主要目的為確定各窗函數(window function)中的主頻，因此窗函數大都選擇為矩形，矩形窗(rectangular window)的寬度 T 一般選擇大於地震波的週期，透過窗函數的滑動，得到地震波隨時間變化的頻率表現。
希爾伯特-黃轉換(Hilbert-Huang Transform, HHT)
適合用來對非線性及非穩定的訊號做時頻分析。
透過經驗模態分解及希爾伯特轉換，得到包含時間、頻率、及振幅三種資訊的結果。由於經驗模態分解的效率高，加上此時頻分析方法不依賴於傅立葉轉換的使用，因此能有效反映訊號內部特徵，達到去除雜訊並保有訊號的非線性及非穩定特徵，符合地震波的訊號分析。
小波轉換(Wavelet Transform)
小波轉換分析具有良好的時頻局部化性質，優於傳統的傅立葉分析。
透過時間窗(time window)及頻率窗(frequency window)的改變，能在時間軸及頻率軸上表達局部特徵，因此，適合用於觀察一正常訊號中的反常結果，在分析訊號的過程中具有放大鏡的功能。
另外，ZAM(Zhao-Atlas-Marks distribution ，ZAM)方法為非線性時頻分析方法，其母函數為錐形函數，研究顯示，此類時頻分析方法適合應用像地震波等非平穩訊號之研究，能有效抑制時頻分析結果中的交互干擾項，同時使時頻分析之結果密集度較高。
以下舉例以時頻分析對地震波之分析結果:
對自然發生之地震及人為爆破事件進行ZAM時頻分析，觀察結果得知
1.包括天然地震和人為爆破在內的數位地震波形中，S波之較高能量密度區域處於低頻區域，其頻帶比P波之高能量密度區域頻帶來得窄，且其能量密度比P波能量密度更大；
2.天然地震的高能量密度分布較為離散，而人為爆破的高能量密度分布區域較為集中。
鵬利國際 ，(當時為0268.HK)，當時是以1973年「國際京華地產有限公司」在香港交易所上市，直至2003年在特別股東大會通過私有化，正式脫離香港股市。
物業、地產及酒店經營，當中主要經營凱萊酒店、鵬利中心等。
1987年，奔達國際收購電視廣播(0511.HK)股權，但交易告吹。
1990年，奔達國際當時原本股東湯臣集團(0258.HK)因涉及交易欺詐，而予售給中國糧油。
* 香港首家“紅籌”公司提出股份回購計劃
磺溪（亦稱北磺溪、Nothern Sulfur creek）為於臺灣北部的獨立水系，發源於七星山北麓，於新北市金山區注入東海。其幹流長度13.50公里，流域面積49.07平方公里，分佈於臺北市士林區、北投區、新北市金山區等行政區，主要支流有清水溪、西勢溪。
磺溪中游段的河床巖石因受硫磺質浸染而成黃褐色，為本溪特色。磺溪流域有楓林瀑布、馬槽溫泉等景點，下游附近有金山老街、磺港漁港，為陽明山、北海岸地區著名的旅遊勝地。
* 經濟部水利署水利櫥窗-雙溪、磺溪水系
羅伯特·沃波爾爵士被普遍認為是英國歷史上首位首相。一般認為，他的首相任期在他於1721年4月獲委為第一財政大臣、財政大臣及下議院領袖三職開始；但也有人認為他的首相任期始於內閣重臣湯森子爵在1730年退休後才開始。總括而言，自1721年4月至1730年5月，由於內閣由沃波爾爵士及湯森子爵兩人分掌，因此後人稱為沃波爾／湯森內閣；而自1730年5月至1742年2月，內閣大權由沃波爾一人掌握，因此後人稱為沃波爾內閣。
;沃波爾／湯森內閣（1721年4月－1730年5月）
*第一財政大臣、財政大臣及下議院領袖
::1721年－1730年：羅伯特·沃波爾爵士
::1721年－1730年：湯森子爵
::1721年－1724年：加特利勳爵
::1724年－1730年：紐卡素公爵
::1721年－1725年：麥克爾斯菲爾德伯爵
::1725年：委員會狀態
::1725年－1730年：金勳爵
::1721年－1726年：京斯敦公爵
::1726年－1730年：特雷弗勳爵
::1721年－1725年：卡爾頓勳爵
::1725年－1729年：德文郡公爵
::1730年：特雷弗勳爵
::1721年－1722年：馬爾博羅公爵
::1722年－1725年：卡多根伯爵
::1725年－1730年：阿蓋爾公爵
::1721年－1722年：康華里勳爵
::1722年－1730年：維明頓伯爵
;沃波爾內閣（1730年5月－1742年2月）
::1730年－1742年：羅伯特·沃波爾爵士
::1730年－1742年：紐卡素公爵
::1730年－1742年：哈林頓勳爵
::1730年－1733年：金勳爵
::1733年－1737年：塔爾博特勳爵
::1737年－1742年：哈德威克伯爵
::1730年：維明頓伯爵
::1730年－1731年：委員會狀態
::1731年－1733年：德文郡公爵
::1733年－1735年：朗斯代爾子爵
::1735年－1740年：戈多爾芬伯爵
::1740年－1742年：伊克沃斯赫維勳爵
::1730年－1742年：維明頓伯爵
::1730年－1740年：阿蓋爾公爵
::1740年－1742年：孟塔古公爵
::1730年－1742年：亨利·佩勒姆
橫山是分隔越南北部及中部的山脈，為越南河靜省和廣平省兩省的邊界。橫山山脈屬安南山脈的一部分。山脈總長50公里，山勢險峻。
在古代，橫山是交通上的一大障礙。在黎中興朝的時候，阮潢受到鄭檢的迫害，向阮秉謙求教。阮秉謙說：「橫山一帶，萬世容身。」阮潢接受了他的建議，得以在廣南建立與北方鄭氏分庭抗禮的根據地。在16世紀至18世紀時，橫山與??江成為越南鄭氏政權及阮氏政權的國境分界線。其山頂上有橫山關和海雲關，在古代是戰略要地。
越南淪為法國殖民地之後，橫山成為中圻與北圻的自然分界線。法國殖民政府駐軍於橫山關。
越南在開通國道1A號的時候，在橫山修築了海雲隧道。從此以後，交通開始大大方便起來。
磺溪（亦稱南磺溪、Southern Sulfur creek）位於臺灣北部，屬於淡水河水系，為外雙溪的支流。流域分佈於臺北市北投區、士林區。磺溪的後段亦為北投區及士林區的界河。上游又稱陽明溪，發源於陽明山國家公園的七星山小油坑，流經竹子湖、過峰頂橋後匯入另一個發源於竹子湖西側的源流下湖溪，之後在頂北投一帶匯入支流紫明溪後始稱磺溪，然後於猴洞附近匯集來自華岡地區的支流松溪後成為北投、士林的邊界河流，最後於外雙溪沿溪道路之「建德橋」（士林之「司法院法官學院」、及「臺北高等行政法院辦公廳舍」旁）下注入基隆河的支流外雙溪。
磺溪因上游有硫磺而得名、溪水含硫磺不適生飲。有時為與同樣發源於七星山，但往北流至新北市金山區出海的另一條（北）磺溪區隔，稱本溪為南磺溪，而該溪為北磺溪。
從陽投公路（北投區泉源路）上的惇敘高工到天母西路的磺溪橋段，是磺溪的中游，地勢落差有150公尺。行義路沿著溪谷一路下降，路旁有許多可泡溫泉的餐廳。自磺溪橋至建德橋之間沿溪兩岸均築有堤岸步道、栽種有金露花（堤岸步道旁的綠籬）、櫻花樹等喬灌木樹種，可供散步、健行、賞鳥等休閒活動。介於明德橋及東華僑之間、即北投區榮華里與士林區蘭興里之交界段落，段落兩岸除堤岸散步道外靠溪沿岸均另建有平行堤岸散步道之單一出入口專用「沿溪賞鳥步道」。
淡水信義線在明德站與芝山站間介於東華橋及建民橋的河段跨過（南）磺溪。
於2012年磺溪在磺溪橋及石牌橋之間的河段被臺北市政府建置為「磺溪彩虹健康步道」。
*永和橋（位於天母北路,雙向橋/雙向單車道、人行道）
*磺溪橋（位於天母西路,雙向橋/雙向單車道、人行道）
*天母橋（連接榮華三路及中山北路六段405巷雙向橋/雙向單混合車道）
*「蘭興一號公園」旁小型木造鋼骨便橋（行人）
*華興橋 (榮華里「福德宮」旁中型水泥便橋/行人）
*明德橋（連接北投區明德路150巷及士林區克強路、中山北路六段/雙向橋/雙向單車道、人行道）
*東華橋（北接東華街,南接福華路,平行捷運紅線北邊/單向橋往淡水方向/單向雙車道、人行道）
*建民橋（北接西安街,南接福華路,平行捷運紅線南邊/單向橋往臺北市區/單向雙車道、人行道）
*石牌橋（昔日名為「軟橋」，北接北投區文林北路，南接士林區文林路/雙向橋/雙向三車道、中央分隔島、人行道）
*文林橋 (位於福國路, 雙向橋/雙向各2車道、自行車與人行道, 2017年4月通車)
*建德橋（雙向橋/雙向單混合車道、平行外雙溪）
完親王，名李墡，朝鮮高宗的庶長子，封為完和君。其母為賜號永保堂的淑媛李順娥（追封為貴人）。
其父高宗15歲時大婚，王妃是長其一歲的閔妃。但高宗對閔妃敬而遠之，迷戀尚宮李順娥，李尚宮于同治七年（1868年）首先生子李墡。
閔妃先后懷孕四次，流產一次，夭折兩次，因此高宗生父雲峴君對閔妃的生育能力產生懷疑，主張立永寶堂李氏（李尚宮）之子完和君李墡為王世子。閔妃聯合自己家族的閔升鎬、閔謙鎬及其他反雲峴君勢力于同治十二年（1873年）十一月發動兵變，閔妃集團掌握實權，雲峴君被迫離京，隱居慶尚道三溪洞。
李坧出生后，閔妃要求立刻將剛出生的李坧封為世子。神貞王后不滿閔妃掌權，主張立李墡為世子。高宗支持閔妃，閔妃花重金賄賂清朝，獲得清朝支持。光緒元年（1875年）正月初一，高宗冊封不滿周歲的李坧為王世子，李坧成為朝鮮王朝五百年來受封年齡最小的世子。
光緒二年（1876年）正月，清朝派前盛京戶部侍郎吉和、內閣學士烏拉喜崇阿為正副敕使前往朝鮮，正式冊封李坧為王世子。李坧的“競爭對手”李墡，則在世子冊封后被封為完和君，與母親一起居住於宮外。1880年，完和君去世，年僅十三歲。坊間盛傳為明成皇后所害，比如黃玹的記載稱當時民間關于完和君的死有兩種說法，一種是明成皇后將他倒立塞進鲊甕而活活憋死，另一種說法是用棒槌打死的。正史上對完和君的死因也沒有明確的記載。
大韓帝國隆熙元年10月1日（陰曆八月二十四日），純宗以完平君李昇應為正使、趙同熙為副使，追封李墡為完親王，諡號孝憲(??)，全稱完孝憲王(????)。
斯雷姆斯卡米特羅維察（塞爾維亞語：）是位于塞爾維亞伏伊伏丁那自治省薩瓦河畔的一座城市，人口約4萬（2002年）。
小酸模（學名：'），蓼科多年生草本植物。原生於歐亞大陸，被廣泛引入到北半球其餘區域。
酸模（學名：'），又名蕦、薞蕪，蓼科多年生草本植物，歐洲和西亞大多數的草原均可見到其蹤跡。酸模含有豐富的維他命A、維他命C及草酸，草酸導致此植物嚐起來有酸溜口感，常作料理調味用。酸模亦具藥用價值，有利尿、發汗、行血等功效。
File:酸模 20190423205314.jpg |''花與葉''
File:酸模 20190423205357.jpg|''花序''
File:酸模 20190423205518.jpg|''花序''
File:酸模 20190423205649.jpg|''葉片脈絡''
沃克·施隆多夫（，）是一位德國導演，也是德國新浪潮的成員之一，並曾經贏得金棕櫚獎和奧斯卡最佳外語片。
瑪米·熱納瓦·杜德·艾森豪威爾（，）是美國第34任總統德懷特·艾森豪威爾的妻子，在1953年至1961年丈夫任職總統期間為美國第一夫人。
1916年，19歲的瑪米與艾森豪威爾結為夫妻。艾森豪威爾的整個軍旅生涯中在全美國各個軍營間四處奔波，還多次被派駐至海外，瑪米也和他一同輾轉，在兩人婚后30年才買下首座房產。艾森豪威爾在第二次世界大戰中名聲遠揚，瑪米則一直在華盛頓深居簡出。之后艾森豪威爾在1953年就職美國總統，瑪米也因此入住白宮成為第一夫人。在白宮期間，瑪米曾與多國政治人物會面，她自信的風格和周密的招待也給各國政要留下深刻印象。瑪米性格開朗，喜愛服飾珠寶，在民眾中廣受歡迎。她喜愛社交，但依然看重隱私，在很多事務中不愿公開表達立場，同時也在個別議題中做出了關鍵貢獻。艾森豪威爾于1961年卸任后，瑪米和他回到賓夕法尼亞州葛底斯堡的農場居住，直至1979年逝世。
瑪米·艾森豪威爾出生的房子，位于艾奧瓦州布恩卡羅街709號（原718號）
17歲的瑪米
瑪米·熱納瓦·杜德于1896年11月14日在美國艾奧瓦州布恩出生。父親是約翰·謝爾頓·杜德（，1870年11月18日－1951年6月23日），從事肉類加工行業；母親原名埃莉弗拉·瑪蒂爾德·卡爾森（，1878年5月13日－1960年9月28日），是瑞典移民的后代。瑪米的名字中的“熱納瓦”來自一首流行歌曲《可愛的熱納瓦湖》。她是家中的次女，家中還有一個姐姐埃莉諾·卡爾森·杜德（，1895年6月27日－1912年1月8日）和兩個妹妹艾達·梅·杜德（，1900年12月23日－1918年11月9日）、瑪貝爾·弗朗西絲·“麥克”·杜德（，1902年10月6日－1988年10月15日）。
瑪米9個月大的時候隨全家搬到了艾奧瓦州錫達拉皮茲居住，7歲時又搬到了科羅拉多州，定居在科羅拉多斯普林斯。1905年，杜德家搬到丹佛定居，之后的冬天則會較溫暖的在德克薩斯州圣安東尼奧度過。瑪米父親的肉類生意極為成功，因此她的童年生活也十分優渥，自幼便四處旅行，接觸各種服飾和珠寶。
瑪米曾在丹佛和圣安東尼奧兩地的學校學習，1914年到1915年間還曾在沃爾科特私立女子精修學校讀書。她對學習沒什么興趣，在校期間學業也不突出，但她跟父親學會了理財，很早就能輕松處理財務問題。盡管家庭條件優越，瑪米依然懂得如何省錢。她還學會了彈鋼琴和電風琴，喜歡跳舞、橋牌和。
杜德家的房子，位于丹佛拉法葉街750號。瑪米和艾森豪威爾就在這里結為夫婦
1916年，艾森豪威爾夫婦在德克薩斯州圣安東尼奧的合影
1915年10月，瑪米在德克薩斯州拜訪朋友時，遇到了當時還是少尉的德懷特·艾森豪威爾。1916年2月14日情人節當天，艾森豪威爾送給她一枚戒指，二人正式訂婚。這枚戒指是艾森豪威爾親自設計，仿照他的西點軍校畢業紀念戒指打造，以紫水晶鑲嵌在金戒指當中。同年7月1日，兩人在瑪米父母位于丹佛的家中結為夫妻。這一天也是艾森豪威爾第一次被提拔的日子。夫婦二人婚后在科羅拉多州和堪薩斯州阿比林的艾森豪威爾家度過了10天的蜜月，之后就住在山姆·休斯頓堡的營房里。
瑪米在1917年9月24日產下一子，但他在1921年1月2日便因猩紅熱病逝，死時僅3歲。次年8月3日，瑪米又在丹佛產下次子。他在日后成為美國軍事史學家、作家和外交家，曾任美國駐比利時大使。
婚后，艾森豪威爾曾被多次提拔調動，瑪米也和其他的軍人妻子一樣跟隨丈夫四處奔波。瑪米曾經估計自己在丈夫37年的軍旅生涯中至少搬家過27次。兩人曾在賓夕法尼亞州葛底斯堡居住，還曾到過馬里蘭州、科羅拉多州、堪薩斯州、佐治亞州和華盛頓特區的多個軍事營地。艾森豪威爾被派駐海外的巴拿馬運河區、法國和菲律賓自治領期間，瑪米也都跟隨他前往。
1941年珍珠港事件爆發后，夫婦二人回到美國。在整個第二次世界大戰期間，艾森豪威爾在海外征戰，聲名大噪；瑪米則幾乎一直住在華盛頓特區，夫婦二人近三年未見一面，僅憑書信交流。她還擔憂丈夫的安危，一度因此抑郁和焦慮。在華盛頓居住期間，瑪米深居簡出，甚少公開露面。這期間她一直和其他軍人妻子一起，在華盛頓的軍人餐廳和紅十字會做志愿工作。戰后的1948年，艾森豪威爾退伍出任哥倫比亞大學校長，這對夫婦搬到紐約居住，還在1949年買下了賓夕法尼亞州葛底斯堡的一處農場。這處農場是夫婦二人擁有的首個房產。1950年，艾森豪威爾再次入伍，赴法國巴黎出任北約歐洲盟軍最高司令，瑪米也陪同前往，直至1952年才回到美國。兩人在葛底斯堡的房子因此一直擱置到1955年才正式完工。
瑪米身著就職禮服的畫像
1952年，艾森豪威爾夫婦回到美國，瑪米陪同丈夫在全美舉行競選活動。在競選活動中，瑪米受到民眾的熱烈歡迎。艾森豪威爾最終成功當選第34任總統，于1953年就職。兩人在就職典禮上公開接吻，成為第一對完成此舉的總統夫婦。當時的美國仍然實行種族隔離制度，但她力主邀請非裔歌手瑪麗安·安德森到就職典禮現場演唱，還安排自己的非裔女傭參加了典禮的全部活動。
在就職典禮中，瑪米身著一件由設計的粉紅色晚禮服。她本人尤其喜愛一種粉紅色，這種色彩常被稱作“第一夫人”或“瑪米粉”，一度引起美國民眾的流行熱潮。她熱愛服飾珠寶，在任期間每年都被紐約服裝學院評為全美十二位最會穿衣的女性之一。她的經典造型是身穿及地長裙，佩戴手鐲和珍珠首飾，頭戴小帽，留著短發和劉海。
在白宮期間，瑪米和艾森豪威爾一同接見過多國政要，其開朗的性格給他們留下了深刻的印象。她將白宮管理得井井有條，對白宮員工也親切對待，甚至會給員工舉辦生日晚會、幫他們收集商品優惠券。她還會烹飪一種“百萬美元軟糖”，成為在全美廣受民眾歡迎的一種甜點。瑪米熱情好客，但仍然謹慎保護自己的隱私，不愿在大多數公眾事務中表明立場，僅有極個別時候會表達自己的意見。她反對種族隔離制度，曾邀請非裔兒童參加白宮復活節滾彩蛋活動，成為美國歷史上的首次，也因此被選為榮譽會員。她不喜歡約瑟夫·麥卡錫的粗魯為人，尤其厭惡他在美國國內搜尋共產主義者時所采用的手段，因此堅決拒絕邀請他到白宮參加活動。在艾森豪威爾罹患心臟病后，瑪米積極幫助籌款，之后該協會的收入上漲了70%。她還幫助喪偶后寡居生活困難的軍人妻子，為她們提供住房保障和醫療服務。瑪米在民眾中極受歡迎，自1952年起連續多年登上蓋洛普民調的“全美最受敬仰的十位女性”名單。
艾森豪威爾在任期間曾在1955年突發心臟病，1956年接受腹部手術，1957年又輕微中風。瑪米之后將丈夫的健康放在首位，一直細心照顧丈夫。而她本人也有心臟疾病，還患有美尼爾氏綜合癥，難以保持身體平衡，行走不穩。一度有傳言誤以為她有酗酒的習慣。
1971年時的瑪米
艾森豪威爾夫婦和長子杜德的墳墓，位于堪薩斯州阿比林的德懷特·艾森豪威爾總統圖書館
1961年，艾森豪威爾卸任，兩人回到賓夕法尼亞州葛底斯堡居住。夫婦二人退休后在加利福尼亞州棕櫚沙漠亦有一處房產。1968年，艾森豪威爾的健康狀況急劇惡化，入住，瑪米也陪同他一起前往。艾森豪威爾最終于1969年3月28日逝世，之后瑪米一直住在葛底斯堡的農場，在冬天會前往加利福尼亞州和佐治亞州度假。她曾四處旅行，在孫子與理查德·尼克松的女兒朱莉結婚后，還經常前往白宮看望。1972年，瑪米曾在理查德·尼克松的選舉廣告中現身。1970年代末，瑪米健康狀況開始惡化，她于是搬到華盛頓特區的一處公寓居住。
1979年9月25日，瑪米突發中風，被緊急送往沃爾特·里德陸軍醫療中心。11月1日清晨，她在睡夢中逝世。瑪米之后被埋葬在堪薩斯州阿比林的德懷特·艾森豪威爾總統圖書館，與丈夫德懷特和長子杜德埋葬在一起。第一夫人羅莎琳·卡特和帕特·尼克松出席了她的葬禮。
* Eisenhower, Susan. ''Mrs. Ike: Memories and Reflections on the Life of Mamie Eisenhower''. New York: Farrar, Straus and Giroux, 1996.  ISBN 0374215146
* Holt, Marilyn Irvin. ''Mamie Doud Eisenhower: The General's First Lady''.  Lawrence: University Press of Kansas, 2007. ISBN 9780700615391
* Kimball, D. L. ''I Remember Mamie''. Fayette, IA: Trends & Events, 1981. ISBN 0942698002
*  艾森豪威爾總統圖書館 館藏：
**瑪米·艾森豪威爾 生平年表 和 相關文件
**瑪米·艾森豪威爾私人秘書瑪麗·簡·麥卡福里的 相關文件
**瑪米·艾森豪威爾醫生華萊士·沙利文的 相關診療記錄
**瑪米·艾森豪威爾“百萬美元軟糖” 配方
* 葛底斯堡學院收藏瑪米·艾森豪威爾的 信件
* C-SPAN紀錄片《》中瑪米·艾森豪威爾的 相關片段
陳邦柱可以指：
* 陳邦柱 (1934年)，江西九江人，曾任湖南省省長、中國國內貿易部部長
* 陳邦柱 (1945年)，陜西咸陽人，曾任中華人民共和國國家測繪局局長
《聲空感應》是2008年馬來西亞電視臺八度空間繼《星空》后推出的一部恐怖電視劇，第一季于2008年1月6日至3月30日在播出，由本地著名中文電臺播音員陳峰及曾宏輝主演。本劇因第一季大受歡迎而拍攝第二季，于2010年10月17日至翌年1月9日播出，由張智成與李洺中主演。
《聲空感應》故事內容主要環繞在電臺各具不同背景的DJ身上，劇情以一些無法解釋的或靈異或怪趣的事件出發，有些是在不經意間，有些是DJ與聽眾在空中交流時發生的不可思議、如幻似真的奇異怪事。劇情有的撲朔迷離、有的驚險刺激、有的幽默滑稽，各式不同類型的故事逐一展開。《聲空感應》的十一個不同內容故事，由不同的演員擔綱演出，演員陣容包括實力派演員、真人秀出身的新生代藝人以及主持界跨刀演出的藝人等。
《聲空感應2》的單元故事不再僅是圍繞著電臺DJ與聽眾所發生的靈異經歷而已，甚至還延續至電臺上下不同階層的職員，從電臺見習生、電臺小職員到電臺創作主管，一樣無可避免地經歷了不可思議的奇遇，因而改變了他們的人生。《聲空感應2》總共由7個獨立故事單元組成，分為13集播出，并由出身于香港的資深制作人周以勤任編審及監制。
《聲空感應》當本土制作華語電視劇收視方面得佳績，收視最高收視更成功突破50萬人。本劇也有改編至菲律賓版本《Midnight DJ》，在當地TV5電視臺播映。
*  八度空間《聲空感應》官方網站（觀眾也可在此觀看前集）
孝明皇后，王氏，邠州新平縣（今陜西省彬州市）人，宋太祖繼室，亦是宋朝建立后冊立的第一位皇后。
彰德軍節度使王饒第三女（其姐為太原郡夫人），有胞弟王繼勳。後周顯德五年（958年），宋太祖在第一任妻子賀氏逝世後，迎娶王氏為繼室。但王饒去世于顯德五年十月，王氏并未守喪便婚嫁，且在次年生下兒子趙德芳，實屬不合禮法。宋太祖當時為殿前都指揮使。王氏為人「恭勤不懈，仁慈御下」。後來，周世宗賜王氏鳳冠霞帔，封為瑯邪郡夫人。
建隆元年（960年），太祖即位，同年八月甲申，冊王氏為皇后。她常服寬衣，佐御膳，善彈箏鼓琴，早上起床，便會誦讀佛書。王皇后事奉杜太后至孝。生子女三人，兩個女兒皆早夭，兒子趙德芳也早早死去。乾德元年十二月（964年）甲申，王皇后逝世，年二十二。二年四月，葬安陵之北。神主享於別廟。太平興國二年，祔享太廟。
王繼勛因為王皇后的緣故被任用，后來屢次犯法，也因為宋太祖追思王皇后而沒有得到追究，宋太宗登基后才伏法。后來宋真宗得知王繼勛的子孫陷入貧困，也因為王皇后的原因予以照拂。
《文獻通考》：“宋太祖皇帝四子：賀皇后生留哥、魏王德昭、顯哥。王皇后生岐王德芳。”似王皇后為宋太祖生子趙德芳。韓維《榮王從式墓志》志主為趙德芳孫、趙惟憲次子趙從式，亦作王皇后生趙德芳。趙德芳享年二十三歲，勉強可謂早逝，但《宋史》說王皇后“生子女三人，皆夭”，《宋史》之疏漏不嚴謹之處可見一斑。
*《宋史·卷二百四十二·列傳第一》后妃上
任國為周代的諸侯，在今天的山東濟寧市任城區，泗上十二諸侯之一，一直充當小國的角色，為齊、晉、魯等大國的政治資本，后來亡于戰國時代．
多貝西小波，是以比利時女性物理暨數學家英格麗·多貝西（Ingrid Daubechies）的名字命名之一種小波函數，當初英格麗·多貝西發現了一種具有階層（hierarchy）性質的小波，便將此小波以她的名字命名。多貝西小波主要應用在離散型的小波轉換，是最常使用到的小波轉換，通常使用在數位信號分析、信號壓縮跟雜訊去除。
一般而言的離散小波轉換通常是以正交小波（orthogonal wavelet）為基底，而多貝西小波也是一種正交小波。由於它很容易經由快速小波轉換（fast wavelet transform（FWT））實現，所以常會放在數位信號處理的教科書中教學。
對於有限長度的小波，應用於快速小波轉換（fast wavelet transform（FWT））時，會有兩個實數組成的數列：一是作為高通濾波器的係數，稱作小波濾波器（wavelet filter,也稱為mother wavelet）；二是低通濾波器的係數，稱作調整濾波器（scaling filter,也稱為father wavelet）。
我們則以濾波器的長度N來形容濾波器為DN，例如：N=2的多貝西小波寫作D2、N=4的多貝西小波寫作D4，以此類推（N為偶數）。實際上常用的多貝西小波為D2到D20。
*:多貝西小波的分類是以消失動量（vanishing moment）的值A（亦為消失動量的個數）為依據（A稱為tap），調整函式（scaling function）及小波函式（wavelet function）的平滑度（smoothness）皆會隨著消失動量的值（tap）增加而增加：例如，當A=1時，多貝西小波即是哈爾小波（Haar wavelet），調整函式及小波函式都是不連續的；當A=2時，多貝西小波的調整函式及小波函式為不能平滑微分的連續函式；當A=3時，調整函式及小波函式已經是連續可微的函式了。以此類推，當A愈大時，多貝西小波的兩個函式平滑度會愈來愈高。以下為多貝西小波跟不同A的調整及小波函式圖：
scaling and wavelet functions
amplitudes of the frequency spectrum  of the above functions
*:多貝西小波的長度為消失動量（vanishing moment）值A的兩倍；所以當消失動量為A時，多貝西小波的小波濾波器（wavelet filter）及調整濾波器（scaling filter）長度皆為2A（N=2A）。一般而言，我們仍是以N來形容多貝西小波的長度：例如，當A=1時，有一個消失動量，多貝西小波寫成D2，長度為2（也是Haar小波）；當A=2時，有兩個消失動量，多貝西小波寫成D4，長度為4；以此類推。但是，在matlab的使用上是以dbA描述多貝西小波，以下則為調整濾波器的係數及A的關係表：
+正交多貝西小波係數
Scaling Coefficient
db1（Haar）
這邊列出4到10點的filter，這些在實務上已經很夠用，消失點(vanish moment)也就是k/2。
g會是低頻的濾波器，h會是高頻的濾波器。
可以看出，這邊採用python的的語法，h會是g的反序，且n為基數時要乘上-1。
Coiflet filter
多貝西小波具有調整函式（低通濾波）及小波函式（高通濾波）兩個函式。因此，我們需先建立調整函式及小波函式的係數:
:首先，調整函數在多尺度分析（multi-resolution analysis）中的每一層皆可寫為下列方程式：
:其中為有限長度實數數列，稱作調整係數。同時，小波函數也可以調整函數的線性組合表示：
:其中亦為有限長度的實數數列，稱做小波係數。
:因為上述方程式必須是齊性的（homogeneous），在建立上，這兩個函式會正規化（normalize）為和（sum）及平方和（sum of square）皆是2。
*:正交性質在此指調整係數就必須和位移偶數間隔後的調整係數互相垂直（內積為0），即為下式：
*:由於正交的特性，小波係數會滿足下列條件：
*:常用的多貝西小波為D2到D20，由於多貝西小波的消失動量為有限個，所以調整及小波係數可以表示為有限長度的多項式
*:上式經過Z轉換（Z-transform）後會變成：
*:我們可以將上式轉換為正交離散小波轉換的一般表示式
*::, ，此時，、有實係數及。
*:定義為可以產生對稱數列的勞倫茲多項式滿足
*:因此便成為對稱型勞倫滋多項式，即。因為  及, 則會是區段0,2中的非負實數。
*:方程式（#）如果除上的truncated power series則可求得對於每個的最小解
*::.（明顯的值會是在（0,2）間的正數）
*:而（#）的齊性方程式是一個對於的反對稱方程式，因此可得一般解為，此一般解有個多項式實係數。
*:的值在區間0,2中並有界線（界線為,）。為了將最大化的過程中會產生許多具有不等式條件的線性方程式。
*:為了解出的，這裡使用Fejer-Riesz-algorithm這個方法（此為頻譜分解的方法）。多項式會因此分開成許多線性因子（linear factor）,此時。每一個線性因子代表可以分解成兩個線性因子的一個勞倫茲多項式，任選其中一個線性因子都可設為。所以會有2N個可能的答案。為了極端相位的目的，挑選所有根都是在單位圓上或是在單位圓內複數根的。
以下為示範小波轉換應用於影像壓縮，壓縮後為原本圖片的四分之一。
假設輸入的圖片大小為M*N，讓圖片對高頻和低頻進行convolution。
對M的基數進行取樣，這個結果會讓兩個維度都變成(M/2)*N。
把低頻的圖片放在上面，高頻的放在下面，低頻的圖片會長的像原本的圖片，高頻的圖片會是只有灰色的圖片。
對新的圖片再進行高頻和低頻的convolution，這時變成M*(N/2)的大小，低頻放在左邊，高頻放在右邊，
最後可以看到0:M/2, 0:N/2就會是原本壓縮過後的圖片。
因小波轉換有良好的性質，經過多次壓縮還是能保有原本的資訊。也就是說可以修改以下的程式碼改成迴圈的方式，
進行多次小波轉換，經過類似的模式再使用多次的反小波轉換，還原出原本大小的圖片。
def subsampling(x, d):
if d == 1:
y = x::2, :
elif d == 2:
y = x:, ::2
return y
def upsampling(x, d):
s = x.shape
y = np.zeros((p * s0, s1))
y::2, : = x
y = np.zeros((s0, p * s1))
y:, ::2 = x
def cconv(x, h, d):
if d == 2:
return np.transpose(cconv(np.transpose(x), h, 1))
y = np.zeros(x.shape)
p = len(h)
pc = int(round( float((p - 1) / 2 )))
for i in range(0, p):
y = y + hi * np.roll(x, i - pc, axis=0)
def DWT(image, h, g): # discrete wavelet transformation
fW = image.copy
j = int(np.log2(image.shape0)-1)
A = fW:2**(j+1):,:2**(j+1):
Coarse = subsampling(cconv(A,h,1),1)
Detail = subsampling(cconv(A,g,1),1)
A = np.concatenate( (Coarse, Detail), axis=0 )
Coarse = subsampling(cconv(A,h,2),2)
Detail = subsampling(cconv(A,g,2),2)
A = np.concatenate( (Coarse, Detail), axis=1 )
fW:2**(j+1):,:2**(j+1): = A
return fW
def iDWT(image, fW, h, g): #image is original, fW is after DWT of that.
f1 = fW.copy
A = f1:2**(j+1):,:2**(j+1):
Coarse = A:2**j:,:
Detail = A2**j:2**(j+1):,:
h1 = h::-1
g1 = g::-1
Coarse = cconv(upsampling(Coarse,1),h1,1)
Detail = cconv(upsampling(Detail,1),g1,1)
A = Coarse + Detail
Coarse = A:,:2**j:
Detail = A:,2**j:2**(j+1):
Coarse = cconv(upsampling(Coarse,2),h1,2)
Detail = cconv(upsampling(Detail,2),g1,2)
f1:2**(j+1):,:2**(j+1): = A
return f1
# A first course in Wavelets with Fourier Analysis, A.Boggess, F.J. Narcowich, 2001
金玟廷（，），名字常被譯作金敏貞，韓國女演員。出生於韓國首爾。
*1994年：MBC《天國的陌生人》
*1999年：SBS《KAIST》飾演 金玟熙
*1999年：KBS《歡樂時光》
*2000年：MBC《壞朋友》
*2001年：KBS《Mina》
*2002年：SBS《情敵》飾演 鄭彩姸
*2002年：KBS《胡同裏的人們》
*2004年：MBC《愛爾蘭》飾演 韓希英
*2005年：SBS《流行70》飾演 高俊熙
*2007年：MBC《New Heart》飾演 南惠昔
*2009年：MBC《2009外人球團》飾演 崔妍智
*2011年：KBS《荊棘鳥》飾演 韓柔京
*2012年：tvN《第三醫院》飾演 陳慧仁
*2014年：tvN《岬童夷》飾演 吳瑪莉亞
*2015年：KBS《生意之神 - 客主2015》飾演 梅月/海住
*2017年：JTBC《Man to Man》飾演 車度荷
*2018年：tvN《陽光先生》飾演 工藤陽花
*2019年：KBS《各位國民》飾演 樸厚子
*2021年：tvN《惡魔法官》飾演 鄭善雅
*1993年：《Kid Cop》
*2001年：《L'Abri》
*2004年：《Flying Boys》
*2009年：《》(股神戰場)
*2012年：《家門的榮光5：家門的歸還》
*2010年：徐仁國《LOVE U》
* 2004年11月20日：《情書》第5集
* 2011年：《Running Man》第50,51集
* 2012年12月13日：《歡樂在一起》第277集
* 2013年：《Running Man》第167集
* 2016年：O'live TV 《Tasty Road S7》主持（與歌手Yura，2月20日至10月20日）
哈爾小波轉換是由數學家於1909年所提出的，也是小波轉換中最簡單的一種轉換，也是最早提出的小波轉換。他是多貝西小波的於N=2的特例，可稱之為D2
哈爾小波的母小波（mother wavelet）可表示為：
且對應的尺度函數（scaling function）可表示為：
其濾波器（filter）被定義為
當n = 0與n = 1時，有兩個非零係數，因此，我們可以將它寫成
在所有正交性（orthonormal）小波轉換中哈爾小波（Haar wavelet）轉換是最簡單的一種轉換，但它並不適合用於較為平滑的函數，因為它只有一個消失矩（Vanishing Moment）。
參與變換的小波函數（wavelet function）也叫母小波（mother wavelet）。小波母函數可表示為：
因此，由上式我們可以歸納出幾個重點：
scaling function，以下為尺度函數的簡易圖示：
（1）簡單（Simple）
（2）快速算法（Fast algorithm）
（3）正交（Orthogonal）→可逆（reversible）
（4）結構緊湊（Compact），實（real），奇（odd）
（5）消失矩（Vanish moment）
哈爾小波具有如下的特性：
（1）任一函數都可以由以及它們的位移函數所組成
（2）任一函數都可以由常函數，以及它們的位移函數所組成
(3)正交性（Orthogonal）
（4）不同寬度的（不同m）的wavelet/scaling functions之間會有一個關係
（5）可以用m+1的 係數來計算m的係數
上圖為哈爾小波轉換的快速演算簡易圖示，此為多重解析結構（multiresolution analysis）。
哈爾變換最早是由數學家在1910年的論文《論正交函數系理論》中所提出，是一種最簡單又可以反應出時變頻譜（time-variant spectrum）的表示方法。其觀念與傅里葉變換相近。傅里葉變換的原理是利用正弦波與余弦波來對訊號進行調變；而哈爾變換則是利用哈爾函數來對訊號進行調變。哈爾函數也含有正弦函數系和余弦函數系所擁有的正交性，也就是說不同的哈爾函數是互相正交的，其內積為零。
以下面的哈爾轉換矩陣為例，我們取第1行和第2行來做內積，得到的結果為零；取第二行和第三行來做內積，得到的結果也是零。依序下去，我們可以發現在哈爾轉換矩陣任取兩行來進行內積的運算，所得到的內積皆為零。
在此前提下，利用傅里葉變換的觀念，假設所要分析的訊號可以使用多個頻率與位移不同的哈爾函數來組合而成。進行哈爾變換時，因為哈爾函數的正交性，便可求出訊號在不同哈爾函數（不同頻率）的情況下所占有的比例。
哈爾變換有以下幾點特性：
# 不需要乘法（只有相加或加減）
# 輸入與輸出個數相同
# 頻率只分為低頻（直流值）與高頻（1和-1）部分
# 可以分析一個訊號的局部特征
# 運算速度極快，但不適合用於訊號分析
# 大部分運算為0，不用計算
# 維度小，計算時需要占用的內存空間少
# 因為大部分為高頻，轉換較籠統
對一矩陣做哈爾小波轉換的公式為，其中為一的區塊且為點的哈爾小波轉換。而反哈爾小波轉換為。以下為在2、4及8點時的值：
:此外，當時，。其中除了第0個row為（=1 1 1 ... 1/，共N個1），第個row為且
:由於數位圖片檔案過大，因此我們往往會對圖片做圖像壓縮，壓縮過後的檔案大小不僅存放於電腦中不會佔到過大容量，也方便我們於網路上傳送。哈爾小波轉換其中一種應用便是用來壓縮圖像。壓縮圖像的基本概念為將圖像存成到一矩陣，例如256x256大小的圖片會存成256x256大小的矩陣，矩陣中的每一元素則代表是每一圖像的某畫素值，介於0到255間。JPEG影像壓縮的概念為先將圖像切成8x8大小的區塊，每一區塊為一8x8的矩陣。示意圖可見右圖。
:在處理8x8二維矩陣前，先試著對一維矩陣作哈爾小波轉換，
:對8x8的二維矩陣A作哈爾小波轉換，由於是對的每一列作哈爾小波轉換，作完後還要對的每一行作哈爾小波轉換，因此公式為。以下為一簡單的例子：
:列哈爾小波轉換（row Haar wavelet transform）
:行哈爾小波轉換（column Haar wavelet transform）
:由以上例子可以看出哈爾小波轉換的效果，原本矩陣中變化量不大的元素經過轉換後會趨近零，再配合適當量化便可以達到壓縮的效果了。此外若一矩陣作完哈爾小波轉換後所含的零元素非常多的話，稱此矩陣叫稀疏，若一矩陣越稀疏壓縮效果越好。因此可對定一臨界值若矩陣中元素的絕對值小於此臨界值，可將該元素令成零，可得到更大的壓縮率。然而取過大的話會造成圖像嚴重失真，因此如何取適當的也是值得討論的議題。
:若應用於區域的頻譜分析及偵測邊緣的話，離散傅立葉變換、Walsh-Hadamard變換及哈爾小波轉換的計算量見下表
terms required for NRMSE <
離散傅立葉變換
哈爾小波轉換
*Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
* Joseph Khoury, Application to image compression, http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/haar.htm
*Lokenath Debnath, Wavelet Transforms and Their Application,Birkhauser, Boston,USA, 2002.
*Charles K. Chui, Wavelets：A Tutorial in Theory and Applications,ACADEMIC PRESS,San Diego,USA, 1992.
*Wavelets and subbands : fundamentals and applications/Agostino Abbate, Casimer M. DeCusatis, Pankaj K. Das.
盧·亨利·胡佛（Lou Henry Hoover，），中文名為胡璐，美國第31任總統赫伯特·胡佛的妻子，美國前第一夫人（1929年－1933年）。至今為止，唯一一位會中文的美國第一夫人。
出生於艾奧瓦州滑鐵盧，在紐約州紐約因心臟病發去世，初葬於加利福尼亞州帕洛阿爾托，後改葬到艾奧瓦州西布蘭奇。
聖誕鐘，買滙豐，香港股市常見名詞，其中「鐘」和「豐」在粵語上是押韻，是指傳統上在每年聖誕節前後（即12月尾至1月初）買入滙豐控股的股票，其股價或會有較好的投資回報，這情況在牛市上通常見效。美國股市同類理論叫。
傳統上「聖誕鐘，買滙豐」是基於以下因素：
*滙豐通常在11月宣佈第三季度業績，由於第三季是傳統股市季，加上滙豐投資收入增，所以第三季業績多數做好。
*由於每年第四季是傳統多個行業的資金週轉較為困難，銀行多數也會大做第三季及第四季借貸、融資及資本開支性生意，所以銀行下半年收入多比上半年好。