ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
度量空間 (''M'', ''d'') 的子集 ''S'' 是有界的，如果它包含在有限半徑的球內，就是說如果對于所有 ''S'' 中的 ''s''，存在 ''M'' 中的 ''x'' 并且 ''r'' > 0，使得 d(''x'', ''s'') ''n'' 的子集下列二者是等價的。
*度量空間是緊致的，當且僅當它是完備的并且是完全有界的。
*歐幾里得空間 R''n'' 的子集是緊致的，當且僅當它是閉集并且是有界的。
在拓撲向量空間中，存在一個有界集合的不同定義，通常叫做馮·諾伊曼有界性。如果拓撲向量空間的拓撲是由均勻度量所誘導，如度量是由賦范向量空間的范數所誘導的情況，則這兩個定義是一致的。
一個實數集合是有界的，當且僅當它有上界和下界。這個定義可擴展到任何偏序集合的子集。注意這個更一般的有界性概念不對應于“大小”的概念。
對於偏序集合 ''P'' 的子集 ''S''，如果 ''S'' 中的所有元素 ''s''，都小於 ''P''中的某個元素''k''，也就是對於所有''s''∈''S'',''s'' ≤ ''k''，其中''k''∈ ''P'' ，則稱''S''為上有界的(bounded above)，而元素 ''k'' 稱為 ''S'' 的上界。同理可定義下有界和下界。（參見上界和下界。）
偏序集合 ''P'' 的子集 ''S'' 叫做有界的，如果它有上界和下界二者，或等價的說，它被包含在一個區間內。注意這不是集合 ''S'' 自己的一個性質，而是集合 ''S'' 作為 ''P'' 的子集的性質。
有界偏序集合 ''P''（就是說自身就是有界而不是作為子集）是有最小元素和最大元素的偏序集合。注意這個有界性的概念與有限大小無關，有界偏序集合 ''P'' 的子集 ''S'' 在 ''P'' 的次序（的限制）下也不必然是有界偏序集合。
R''n'' 的子集 ''S'' 是關于歐幾里得距離有界的，當且僅當它在下作為 R''n'' 的子集是有界的。但是，''S'' 可以是在字典序下有界，而不關于歐幾里得距離有界。
序數的類被稱為是無界的，或共尾的，在給定任何序數的時候，總是有這個類的某個成員大于它。所以在這種情況下，“無界”不意味著自身是無界的而是作為序數類的子類是無界的。
副食品是營養學的一個分類，指主食以外的食物；其具體指涉範圍因不同飲食文化對「主食」的定義而異。
一般而言，米、小麥、玉米、馬鈴薯等澱粉含量較多，以提供食用者能量為主要目的食物視為主食，而其餘的肉類、蔬菜、水果、乳類等食物則視為副食品。
另外，有育嬰指南把副食品定義為嬰兒除了人奶和奶粉以外的「離乳食品」、斷奶前副食品，例如白粥等流質、泥狀、糊狀食物至軟軟的固體食物。 亦稱嬰兒食品(baby foods)。
祖父母是指父親跟母親的父母親，又稱“爺爺、奶奶”、“爺爺、嫲嫲”。母親的父母稱為外祖父母，正式場合稱為外公、外婆。自己則分別是祖父母和外祖父母的孫兒或孫女、外孫，或外孫女。
不同地方及方言對祖父母和外祖父母有不同的稱謂，但現代中文正式稱呼是祖父母／爺爺奶奶和外祖父母／外公外婆。吳語區稱祖父母為爹爹、姆奶，稱外祖父母為外爺、外婆。山東河北東北地區則稱祖父母為爺爺、奶奶（也有稱爺爺為大大，或稱奶奶為嫲嫲的，如山東部份地區），稱外祖父母為姥爺、姥姥/姥娘。四川多數地方稱祖父母為爺爺、奶奶，稱外祖父母為家公、家婆等。客家話中稱祖父為阿公(a-gung)，祖母則為阿婆(a-po)；外祖父為姐公(d?za-gong)，祖母則為姐婆(d?za-po)。 粵語稱祖父母為爺爺、嫲嫲或阿爺、阿嫲，稱外祖父母為公公、婆婆或阿公、阿婆。閩南語不論是祖父母還是外祖父母都稱阿公(a-gong)、阿嬤（阿媽/a-ma）（外祖父母也可較專一地稱外公(ggua-gong)、外嬤(ggua-ma)），湘語祖父母為爹爹（dia-dia），娭毑，外祖父母為外公外婆。
由于社會發展的變遷，某些地方出現了父母雙方的父母都稱“爺爺”、“奶奶”的現象。
同樣的稱謂在不同方言中所指稱的對象可能不同。例如公公、婆婆在中國北方話是兒媳稱丈夫的父母，但在粵語卻是指母親的父母。此外，對祖父母和外祖父母的口語稱呼也有用來稱呼與自己無親屬關係的老人家，是擬親屬稱謂。
+ 各地方及母語相關稱謂
外祖父外祖母
丈夫父親丈夫母親
無親屬關係的長者
公公             婆婆
爹爹??阿爺唔奶/嗯娘/親娘??阿娘
爺爺??阿爺嫲嫲??阿嫲
公公??阿公婆婆??阿婆
老爺??家公奶奶??家婆（部份地方舊稱「安人」）
阿公阿婆/阿嫲
阿公??公公??俺公阿嬤??嬤嬤??俺嬤
阿公??外公阿嬤??外嬤
阿公??阿叔??阿伯阿嬤??阿姨??阿姆
吾老??老翁/老官吾老??底家（臺家）
依伯依姆/伊婆
老公公老婆婆
爺爺奶奶（個別地區稱「嫲嫲」）
姥爺姥姥/姥娘
老爺爺/老大爺??大爺老奶奶??大娘
爺(爺)孃(孃)/奶(奶)
簡(爺/兒)??舅舍爺??舅莊爺??外爺??姥爺簡婆??舅舍孃??舅莊孃   婆婆??姥孃??板板
(老)爺爺??公公??阿公(老)孃孃??婆婆   阿婆/阿家(母)
老漢(家/兒)??爺爺老婆(家/兒)??孃孃/奶奶
爺爺（舊稱「爹爹」）奶奶（舊稱“太”）
家公爹爹家家
爺爺??阿公??公公??公奶奶??阿婆   婆婆??婆
家公??外公/外爺??阿公??公公??公家家/家婆/家母??外婆??阿婆??婆婆??婆
老人公??公公老人婆??婆婆
爺爺/老爺爺/老爺/大爺??公公??阿公奶奶/老奶奶??婆婆??阿婆
+ 各地方及方言容易混淆相關稱謂
稱謂「爹爹」指的是：
稱謂「阿公」指的是：
父親的父親母親的父親
稱謂「爺爺」指的是：
稱謂「阿婆」指的是：
稱謂「姐公」指的是：
稱謂「公公」指的是：
稱謂「姐婆」指的是：
稱謂「婆婆」指的是：
稱謂「舅公」指的是：
父親的舅舅母親的舅舅
稱謂「奶奶」指的是：
自己上下各九代，共十八代：
*上九代：鼻祖，遠祖，太祖，烈祖，天祖，高祖，曾祖，祖，父
*下九代：子，孫，曾孫，玄孫，來孫，晜孫，仍孫，雲孫，耳孫
所謂祖宗十八代是指自己上下九代的宗族成員。
上按次序稱謂：
生己者爲父母，
父之父爲祖，
祖父之父爲曾祖，
曾祖之父爲高祖，
高祖之父爲天祖，
天祖之父爲烈祖，
烈祖之父爲太祖，
太祖之父爲遠祖，
遠祖之父爲鼻祖。
即：父、祖、曾、高、天、烈、太、遠、鼻。書中說：因人懷胎，鼻先受形，故鼻祖爲始祖。
下按次序稱謂：
父之子爲子，
子之子爲孫，
孫之子爲曾孫，
曾孫之子爲玄孫，
玄孫之子爲來孫，
來孫之子爲晜（讀kūn；客語：Kun）孫，
晜孫之子爲仍孫，
仍孫之子爲雲孫，
雲孫之子爲耳孫。
即：子、孫、曾、玄、來、晜、仍、雲、耳。書中說：耳孫者，謂祖甚遠，僅耳目聞之也。
粵語中的「阿爺」有其他含義，港澳親共人士會稱呼位於北京的中華人民共和國政府或中共政權為「阿爺」。泛民主派人士以此稱呼用以批評建制派及親共人士，諷喻他們對中共當局無條件言聽計從。
2018年6月20日，一位家長爆料稱，上海教育出版社出版的二年級第二學期語文課本（試用本）中第24課，將《打碗碗花》原著中的“外婆”一詞改為“姥姥”，第5課《馬鳴加的新書包》一文中也有同樣的更改。
上海市教育委員會教研室認為，根據《現代漢語詞典》第六版的解釋，“姥姥”是普通話詞匯，“外婆”“外公”屬于方言。有媒體查閱了第6版《現代漢語詞典》，發現“外婆”一詞上確實標注“方言”，而語義為外祖母的“姥姥”一詞無此標注。
一些網友和媒體對此改動表達異議和批評。《打碗碗花》原著作者李天芳則表示，無論“外婆”還是“姥姥”，南方北方都會知道這兩個詞的含義。李天芳同時指出，上海教育出版社并未就文章使用和修改與她聯系，沒有做到尊重作者、保障作者的權益。
6月23日，上海市教委發文，責成市教委教研室會同上海教育出版社迅速整改、向作者和社會各界致歉、與作者溝通，以及將教科書中的“姥姥”恢復回原文所用“外婆”一詞。
中國交通建設股份有限公司（、），簡稱中交、中交建或中國交建，在2005年成立，是中國交通建設集團控股的上市公司，亦是中國交建最主要的業務單元。
中交建股份主要從事交通基建建設、基建設計、疏浚及港口機械製造業務，是目前中國最大的港口建設及設計企業；中國領先的公路、橋樑建設及設計企業；中國最大、世界第三大的疏浚企業；上市子公司分別是上海振華港口機械（ZPMC）和路橋建設，其中上海振華是全球最大的集裝箱起重機製造商。公司的發展目標是成為全球知名的工程承包商、城市綜合體開發運營商、特色房地產商、基礎設施綜合投資商、海洋重工與港口機械制造集成商。
中國交通建設是中國大陸最大的基建中國中央企業之一，具有獨特龍頭概念。招股時獲得香港不少富翁，包括李嘉誠、李兆基、劉鑾雄、郭鶴年，以及沙特阿拉伯王子阿勒瓦利德·本·塔拉勒（Alwaleed bin Talal）等，透過私人名義或策略性股東認購股份，也得到中國人壽集團、周大福及新加坡政府投資機構（GIC）作為策略性股東。
2014年12月11日中國交通建設全資附屬公司中交國際（香港）控股有限公司與澳洲禮頓控股公司簽署了股權買賣協議，斥資9.531億澳元（約61.13億港元）收購禮頓控股旗下澳洲工程承包服務商John Holland喬恩荷蘭集團全部權益。
2015年3月30日中國交通建設重組旗下的疏浚業務，並設立中交疏浚，以推進中交疏浚設立後將中交疏浚分拆上市。：中交疏浚設立後新發行117.1億股普通股用於收購公司持有的中交天津航道局有限公司100%股權、中交上海航道局有限公司100%股權和中交廣州航道局有限公司100%股權。該等股權以上述三家航道局最近一期經審計的淨資產金額為基準確定對價為234.3億元。後續中交疏浚將以現金收購公司下屬的中交國際航運有限公司和香港海事建設有限公司，收購價格以資產評估結果為基準確定。收購完成後，中交國際航運有限公司和香港海事建設有限公司將成為中交疏浚全資或控股子公司。
2017年10月26日，中國交通建設宣佈，中交國際、SPV公司及Aecon就建議收購事項訂立協議，據此，SPV公司（中國交通建設間接全資附屬公司）在加拿大商業公司法下根據安排計劃以約14.5億加元收購Aecon股份。於建議收購事項完成後，Aecon將成為中國交通建設的間接全資附屬公司。但是，在2018年5月23日，加拿大聯邦政府認為此收購不符合加拿大的國家安全利益，因此否決此協議。
2020年8月27日，美國商務部宣布將中交疏浚（集團）、中交天津航道局、中交上海航道局、中交廣州航道局、中交第二航務工程局列入美國出口管制實體清單，理由是“幫助中國軍隊在南海修建人工島”。
第四獨立大隊（，簡稱ErP 4）是持續戰爭期間芬蘭陸軍的一支特種部隊，於1943年7月1日由當時現有的長程偵察巡邏隊改組而成。
ErP 4之下各連皆以其指揮官的名字命名。
*Osasto Vehni?inen, 維堡
*Osasto Kuismanen, 約恩蘇
*Osasto Marttina, 卡亞尼
*Osasto Paatsalo, 羅瓦涅米
*Lento.os/ErP 4, 米凱利—空中分隊（1944年6月23日成立）
*KoulK/ErP 4—訓練中心（1944年7月1日成立）
冬季戰爭中沒有使用長程偵察隊，然而芬蘭於1940年春開始培訓長程偵察隊。隊員大部分是冬季戰爭的退伍軍人，但有一些是英格里亞及卡累利阿的難民。在持續戰爭前，共約150人受訓。這支偵察隊一開始只有15人，但在持續戰爭期間增加到60人。1943年7月1日偵察隊改為第四獨立大隊（ErP 4）。1944年又另外成立了一支配備有水上飛機的特種部隊來支援它。大隊的兵力共計男性678位及女性76位。（見 Lotta Sv?rd）
ErP 4在1943年執行了超過50次任務，1944年執行略低於100次，還參與了拉普蘭戰爭。它在1944年11月30日解散。
當時芬蘭還有一些部隊執行了和ErP 4相似但較短程的任務，包括：
* 芬蘭陸軍第三師長程偵察分隊
* 芬蘭陸軍第十四師長程巡邏隊
* 1939年至1945年芬蘭的長程偵察部隊
中油燃氣集團有限公司，簡稱中油燃氣，2000年，被日本光通信收購後，透過「金力國際集團有限公司」換取上市，改名為光通信國際有限公司。隨著科網股爆破後，改名「中華城市燃氣集團」，再改名為「日本亞太事業投資」，後來改名中油燃氣集團有限公司，並改為每年12月31日底財政年度。
中油燃氣雖有中油之名，其實為一註冊在百慕達的民間企業，2018年第一大股東為許鐵良，持股24.5%，註冊登記地 在百慕達，詳細地址為：Clarendon House，2 Church Street，Hamilton HM 11，Bermuda。
中油燃氣的主要業務為投資于天然氣及能源相關的業務。其城市天然氣業務始于2002年，與中國石油天然氣集團全資下屬機構中國石油天然氣管道局攜手成立中油中泰燃氣有限責任公司，致力拓展城市燃氣業務，先后在天津、山東、湖南、青海投資及經營天然氣業務。
中油燃氣是一家經營天然氣銷售的企業。例如在2007年10月，該公司就江蘇如皋市天然氣項目訂框架協議，料總投資額將為2.5億人民幣，另亦就如皋港油氣貿易、加工、倉儲及物流項目訂框架協議，總投資額30億人民幣，該公司將擁有控制權益。同時，該公司正為發展山西煤層氣天然氣項目進行洽商，並計劃在山西建立一所液化天然氣生產廠房，料初期投資約2億港元，目前並未訂立正式協議。其公司亦於2007年12月，該公司持有51%的附屬公司，將以總投資8億人民幣，於廣東省潮州市城鎮範圍內經營城市天然氣業務，據此中石油（857.HK）已同意每年向潮州市銷售及供應20億立方米天然氣，中油然氣附屬將獨家銷售及分銷有關天然氣。中油燃氣表示，附屬公司發展潮州天然氣項目的註冊資本為2.5億人民幣，而潮州市面積3,613.9平方公里，人口約250萬人。
*  中油燃氣集團有限公司 為於百慕達註冊成立之有限公司
*   中油燃氣集團有限公司 為於百慕達註冊成立之公司
格里戈里·納烏莫維奇·沃伊京斯基（，），或譯維經斯基，本名扎爾金，漢名吳廷康，俄裔猶太人，共產國際創立初期人物，中國共產黨創始人之一，中共初創時期經費的實際提供者。1920年奉命到中國建立中國共產黨，曾為共產國際派駐中國的代表，中國研究家。
1920年2月，布爾什維克奪取西伯利亞后，打通了跟中國的陸地交通。不久在此建立俄共（布）遠東局，負責在中國及其他國家建立共產黨的工作。4月，遠東局派遣代表吳廷康來到中國北京，其妻M. F. Kuznetsova隨行擔任助手，見到李大釗。李大釗隨即將他介紹給在上海的陳獨秀。5月，吳廷康在一位定居海參崴的山東平度籍華僑楊明齋陪同下前去上海，勸說陳獨秀組建中國的共產黨。陳于是開始與幾個城市的革命者進行聯絡。8月，陳在上海法租界漁陽里2號的家中組建了中國共產黨和社會主義青年團。吳廷康協助成立了上海外國語學社，送青年出國學習，培養幹部。次年7月，來自幾個城市的十幾名代表在不遠處的望志路召開了中國共產黨第一次全國代表大會。1924年5月，吳廷康受命來到上海，主持召開中共中央執行委員會擴大會議。11月底，參加在上海召開的中國共產黨第四次全國代表大會。
1927年4月還在武漢出席中國共產黨第五次全國代表大會。國共分裂后，離開中國。在伊爾庫茨克從事經濟工作。
30年代在莫斯科從事教學研究工作。
*石川禎浩：〈 魏金斯基與馬列主義在中國的初期傳播渠道〉。
孝柳鐵路，是中國山西省呂梁市的一條地方鐵路，由介西鐵路的孝西站為起點，途經汾陽市、中陽縣、離石區，并以柳林縣穆村站為終點。全長115.4公里，以貨運為主，設計年運量800萬噸。營運單位為孝柳鐵路有限責任公司。其中山西省出資60%，鐵道部出資40%。1993年通車。2005年發送量871萬噸。
該線的電氣化工程于2006年9月20日開始，由中鐵十二局電氣化公司負責承建。首期工程包括于東槽至中陽八個車站之間架設接觸網，當中中陽至三角莊段于2007年4月完工，6月29日開通。而大同電力機車也為孝柳鐵路制造兩輛韶山7型電力機車（編號SS7-0112及0113），以配合日後完成的電氣化工程。
余下的中陽至穆村路段也將于2008年2月開始進行電氣化工程，預計同年9月完成。
孝柳鐵路于2011年10月實現全線電氣化及微機聯鎖。
全線共設有13個車站，由孝西站開始，經東槽、石莊、小景、會溝、三角莊、枝柯、柳溝村、中陽、朱家店、離石、柳林縣和穆村站。
格奧爾格-漢斯·萊因哈特（，），納粹德國陸軍大將，曾為第3裝甲軍團司令、中央集團軍司令，戰後於「國防軍最高統帥部審判」受審，判有戰爭罪和危害人類罪，處15年有期徒刑，於1952年獲釋。
萊因哈特出生在薩克森王國包岑市。第一次世界大戰時加入德軍步兵團作戰。
1934年2月他晉升為陸軍上校沒多久跳升少將；在第二次世界大戰初爆發他領軍在波蘭戰役建立戰功，被頒贈騎士鐵十字勳章，並升級為中將；此場戰爭他是第4裝甲師師長；即便萊因哈特他錯失閃電戰的第一場戰鬥 - 9月1日及2日兩天攻佔Mokra 及Ostrowy兩天結束的戰鬥，可是第4裝甲師是第一支攻佔華沙的德軍部隊。當佔領華沙後，大部份波蘭軍隊已撤退至市郊外，卻仍留四營兵力軍隊抵抗新進城的納粹德軍；波蘭戰役結束後，他率領「第4裝甲師」移防至西歐前線進攻，此次他閃電戰成功襲擊阿登及駐法英軍，這幾項戰功讓他在1940年6月晉升作「裝甲軍」軍長。法國戰役 (二戰)結束後，萊因哈特在作戰行動代號「海獅行動」──他奉令率領一個裝甲師準備跨海進攻英國，海獅行動是格特·馮·倫德施泰特元帥負責策劃：萊因哈特領一個裝甲師都聽令格特·馮·倫德施泰特元帥命令作為首批登陸英國作戰先頭部隊；但這作戰計劃始終未實現。
1941年6月,萊因哈特被調派至東戰場於蘇聯領導第41軍，攻至列寧格勒；1941/42年冬天他率軍在冰天雪地包圍困列寧格勒達900天，成功奮力擊退俄國紅軍數次追擊得到「橡葉鐵十字勳章」；1944年他領軍邊戰邊維護俄境至波蘭及東普魯士的德軍佔領地暢通無阻。
1944年8月16日，他升級接任中央集團軍司令，因為與希特勒意見不合(萊因哈特主張撤兵至波蘭戰爭初「德蘇互不侵犯條約」國界邊境，集合殘兵整補再作打算，被撤職回國。 ?
1945年6月，萊因哈特遭到美軍逮捕並受國防軍最高統帥部審判；他被控以「戰犯」罪名，被判15年徒刑，但是只囚禁4年於1952年他即獲得釋放。
* Berger, Florian, ''Mit Eichenlaub und Schwertern. Die h?chstdekorierten Soldaten des Zweiten Weltkrieges''. Selbstverlag Florian Berger, 2006. ISBN 3-9501307-0-5.
* Fellgiebel, Walther-Peer. ''Die Tr?ger des Ritterkreuzes des Eisernen Kreuzes 1939-1945''.  Friedburg, Germany: Podzun-Pallas, 2000. ISBN 3-7909-0284-5.
* Stonebooks.com
* Mimerswell.com
埃爾齊·克賴斯勒·西格（，），生於伊利諾伊州切斯特，美國漫畫家，因創作了“大力水手”而聞名。
在長期患病后，西格爾于1938年10月死于白血病和肝病，享年43歲。
嘉露蓮娜·庫高娃（，），捷克杰欽出生，捷克超級名模。她是高級時裝品牌：Louis Vuitton、Versace、Yves Saint Laurent、Prada、Celine、Chanel、Christian Dior的代言人。嘉露蓮娜上過Vogue及Numero等雜誌封面或內頁，也有參與Fendi、Roberto Cavalli、Givenchy等著名時裝及奢侈品的時裝展。
嘉露蓮娜在出道不久，《Vogue》雜誌的總編，Anna Wintour點名說她該會是「next supermodel」。嘉露蓮娜的入行途徑非常簡單直接，友人把她的照片寄到布拉格的公司後，她隨即接到了工作，其後她到米蘭工作更得到Prada的廣告合約。她曾是Victoria's Secreat的內衣模特兒亦在07年以年賺3500萬美金，成為10大賺錢最多名模中跟黛莉亞·維寶莉並列第8位。。
渡江戰役，又稱京滬杭戰役，是第二次國共內戰末期，中國共產黨領導的中國人民解放軍于1949年4月21日至6月2日在長江中下游強渡長江，與中國國民黨領導中華民國國軍湯恩伯、白崇禧兩集團進行的戰略性戰役。
渡江戰役中，中國人民解放軍第二、三野戰軍和中原、華東軍區部隊共約100萬人，從東、中、西3個突擊集團，于4月15日在江蘇省靖江至安徽省望江段實施渡江作戰，首先殲滅沿江防御之敵，爾后向南發展。渡江戰役結束后，中國人民解放軍攻下國民黨的政治經濟中心地區，以傷亡6萬余人為代價，殲滅國軍11個軍部、46個師共43萬余人，佔領中華民國首都南京、全國經濟中心上海，及杭州、武漢等大城市，及江蘇、安徽兩省全境和浙江省大部及江西、湖北、福建等省各一部，為爾后進軍華東、向華南、西南地區奠定條件。此戰役后，中國國民黨領導的中華民國政府遂喪失統治全國的基礎，最終敗退臺灣。
1948年末至1949年初，第二次國共內戰經過遼瀋戰役、淮海戰役和平津戰役三大戰役，國軍的精銳重兵集團大部分被消滅，中國人民解放軍則大為增強，控制長江以北的廣大地區，開始渡江作戰的軍事準備。
自1948年秋以來，國民政府軍事上失利加上經濟上幣制改革失敗。12月27日，南京公教人員眷屬連日緊急疏散。1949年1月21日上午10時許，蔣中正召集在南京黨政軍高級人員百餘人，在其官邸舉行緊急會議。蔣宣布下野文告，由副總統李宗仁任代總統，1月22日，提出與中共方面進行和平談判，但蔣仍以中國國民黨總裁身份掌握軍政大權，整頓軍隊、冀望依靠長江防線劃江而治。并籌劃將主要機關和重要物資撤至粵、閩、臺等地，預備將國庫儲備運往臺灣。26日，中共已接管今南京市轄區內、長江北岸的六合縣。
2月20日，中國人民解放軍第三野戰軍向所屬各部發布“京滬杭戰役預備命令”。2月25日，中國共產黨中央軍事委員會電示第二野戰軍、第三野戰軍：3月中旬或下旬，應準備占領浦口及炮擊南京。
3月25日，解放軍「砲轟安慶」。3月28日，桂系軍隊自動撤出安慶，解放軍「集中九江，窺伺南昌」；安慶國軍獨力撐持，「甚為危急」。同日，國軍海軍封鎖長江安慶江面。至4月中，解放軍消滅長江北岸的多數國軍據點，只有浦口、裕溪口、安慶還有國軍據守。
4月1日，國共雙方代表團在北平市（今北京市）進行“和平談判”。4月13日，張治中由北平電李宗仁與何應欽，謂周恩來於今日面交「國內和平協定」一件，「內分八條，二十四款」。張治中又上蔣介石一電報，謂到北平後，中國共產黨言論態度，意在逼降，並勸蔣「毅然放下一切」。4月15日，國共談判代表擬定《國內和平協定》最后修正案，商定于4月20日簽字。4月20日，行政院院長何應欽對中國共產黨所提八條二十四款，斷然予以拒絕。李宗仁、何應欽電告北平國民政府談判代表張治中拒絕簽字，和談破裂。1949年4月21日毛澤東主席和朱德總司令發布《向全國進軍的命令》，向人民解放軍下達渡江作戰命令。
在淮海戰役結束后，解放軍各野戰軍重新統一編制番號。中原野戰軍改稱第二野戰軍，華東野戰軍改稱第三野戰軍。解放軍投入第二野戰軍、第三野戰軍以及第四野戰軍的南下先遣兵團等以渡江作戰。渡江作戰之前線最高指揮機關是設于合肥的渡江戰役總前敵委員會（簡稱總前委），成員：第二野戰軍司令員劉伯承、政委鄧小平、第三野戰軍司令員陳毅、副司令員粟裕、副政委譚震林組成，是由“淮海戰役總前委”延續而來。因長江水位會在5月初“桃花汛”期上漲，解放軍準備于4月間發起渡江作戰。1949年4月3日，發布《京滬杭戰役實施綱要》計劃渡江作戰。根據綱要規定，第一階段在湖口至江陰的長江沿線上完成渡江任務，并實行戰役展開，然后第二階段完成分割和包圍國軍的任務，并控制京滬線、浙贛線鐵路一段，切斷國軍退路，最后階段分別殲滅包圍之敵。占領蘇南、皖南及浙江，攻占南京、上海、杭州（三地當時簡稱“京滬杭”），最終目的奪取中華民國政治、經濟中心。
解放軍渡江作戰部隊作戰地域劃分為：第三野戰軍第8兵團（第20、第26、第34、第35軍）、第10兵團（第23、第28、第29、第31軍）作為東線集團，作戰地域在長江揚州三江營至鎮江張黃港江一段，由粟裕、張震（第三野戰軍參謀長）負責指揮；第三野戰軍第7兵團（第21、第22、第24軍）、第9兵團（第25、第27、第30、第33軍）作為中線集團，作戰地域在長江裕溪口至樅陽，由譚震林負責指揮；第二野戰軍第3兵團（第10、第11、第12軍）、第4兵團（第13、 第14、第15軍）、第5兵團（第16、第17、第18軍）作為西線集團，作戰地域在長江樅陽至望江，由劉伯承、李達（第二野戰軍參謀長）負責指揮；另外以第四野戰軍第12兵團（第40、第43軍）以及部分軍區部隊掩護西集團側后，在武漢以東、以北，鉗制武漢方面兵力抽調轉用于(南)京滬，策應渡江作戰。
第三野戰軍特種兵縱隊的炮兵部隊分別配屬東集團（三個團又兩個營）、中集團（兩個團又一個營）支援渡江作戰。
解放軍當時的宣傳口號為“打過長江去，解放全中國！”
為切實弄清國軍布防長江的情況，渡江戰役總前委指示，在渡江作戰之前，派一支部隊先遣渡江，執行偵察任務。根據前委這一指示，第三野戰軍第九兵團選調偵察營的一連、二連另加4個偵察班，組成“先遣渡江大隊”，分左右兩路渡江偵察。1949年3月中旬的一天，時任第9兵團第27軍偵察二連連長的高錦堂帶領一支化裝的隊伍直奔安徽省無為縣的長江二道江壩邊，在一小村隱蔽駐下。4月6日晚，偵察連從葉家墩登船強行南渡。當船到江心時，被南岸駐守的國軍部隊發現，頓時各種火力一齊掃來。經過近半個小時的激戰，偵察二連終于在十里場登陸，并連夜急行軍60余里，占領獅子山。
4月18日，高錦堂又接到命令，速帶隊返回江邊，以接應大部隊渡江。4月21日拂曉，偵察二連在江南岸與聶鳳智軍長率領的大部隊勝利會師。
渡江戰役前夕，英國“紫石英”號軍艦，於4月20日溯長江而上，在解放軍數次警告無果下，解放軍炮擊“紫石英”號軍艦，先后前來增援的三艘英艦也被擊退，是為紫石英號事件。
國軍方面，計劃借助長江天塹確保江南，同時，沿浙贛鐵路與湘桂鐵路及其以南地區準備第二線抵抗地帶。國軍的長江防線重點于京滬地區（京，當時指首都南京），而蕪湖至湖口的防線上兵力較薄弱。國軍認為若解放軍強渡長江，可以憑借海、空軍優勢在長江遮斷解放軍后續渡江部隊，集結在(南)京、滬、杭等要點的部隊可憑借鐵路、公路以及水路迅速機動至解放軍渡江戰場達到將其殲滅的目的。國軍預計解放軍方面因缺乏渡河工具以及徐蚌會戰（即淮-{}-海戰役）中傷亡大而需要一段時期休整，國軍可利用這段時間整訓二線編練兵團。
經過國共內戰的三大戰役，國軍精銳之師消耗殆盡，很多部隊曾受重創或是重建或新建的，因此防守兵力不足，士氣亦比較低落。
國軍由京滬杭警備總司令部負責統一指揮蘇南、皖南、浙江等地防御，湯恩伯擔任總司令。直接擔任長江防御的是十八個軍，國軍依托長江組織防御的部隊作戰地域劃分為：第8兵團（第55、第68、第96軍）防守湖口至銅陵；第7綏靖區（第20、第66、第88軍、第106軍）防守銅陵至馬鞍山；第6兵團及首都衛戍總司令部（第28、第45、第99軍）防守南京及以東、以西地區；第1綏靖區（第4、 第21、第51、第123軍、第54軍）防守鎮江至江陰；淞滬警備司令部（第37、第52、第75軍）防守蘇州至上海間。在浙贛鐵路沿線上杭州、金華、衢州，徽州等地部署有第17兵團、第9編練司令部等的六個軍（第18、第67、第73、第74、第85、第87軍）作為第二線防御。以海軍海防第二艦隊和江防艦隊分駐長江江面，空軍四個大隊支援作戰。
以江西湖口為界，以西還有位于武漢的華中軍政長官公署（1949年4月由“華中剿匪總司令部”改稱），白崇禧擔任總司令，以第58、第126軍、第3兵團（第7、第48軍）、第19兵團（第127，第128軍）位于武漢及其以東，還有配置于二線的兵團。
1949年4月20日18時，解放軍第三野戰軍第7、9兵團組成的中線集團率先發起渡江作戰，21時，第9兵團第25、第27軍和第七兵團第24、第21軍組成的第一梯隊渡江登陸，標志渡江戰役正式開始。21日，占領南岸的銅陵、繁昌等地。
1949年4月21日夜，解放軍第二野戰軍和第三野戰軍以木帆船為主要渡江工具，開始強渡長江，實施有重點的多路突擊的方法，一舉越過湖口至江陰間的長江防線，解放軍登上灘頭陣地，突破國軍防御，國軍的多次反擊被打退。解放軍先后爭取國軍江陰要塞起義和中華民國海軍第二艦隊倒戈，控制江面，從灘頭向縱深發展，多路穿插分割國軍防線。22日解放軍東集團、西集團分別占領縱深5至10公里的灘頭陣地。國軍長江防線完全崩潰，國軍最早動搖的是第8兵團，于21日開始撤退。4月22日，蔣在杭州召集李宗仁、何應欽等商討「最後一戰」，下令：「把南京城下關火車站、碼頭、水電廠都炸掉。不能給共軍留下一點東西。我們要在浙贛線以北山地建立第二道防線。」22日下午，京滬杭警備總司令部開始實施向浙贛鐵路沿線、杭州、上海方向總退卻，第1綏靖區22日開始撤退；第7綏靖區和首都衛戍總司令部23日開始撤退。企圖在上海、杭州、浙贛鐵路沿線組織新的防御戰線。
控制出海口的江陰要塞4月21日易幟後，國軍第二艦隊被堵在長江中無法出海，不願投共的19艘艦艇從長江突圍，到4月23日14艘艦艇成功突圍，保全了中華民國海軍部分實力。
4月23日，解放軍東集團占領丹陽、常州、無錫等地，切斷(南)京滬線鐵路，并進占鎮江。解放軍中集團占領蕪湖，展開追擊戰先后捕捉殲滅國軍第7綏靖區部分守軍。
立于南京下關區的渡江勝利紀念碑
渡江戰役中第三野戰軍第8兵團所屬第35軍是惟一部署在長江北岸于南京正面的軍，22日對浦口地區發起攻擊。22日晚，第35軍先頭部隊103師偵察連進入南京。此前不久，代總統李宗仁跑回桂林「休息」，中華民國政府要員乘坐飛機離開南京，中華民國政府中下層官員也慌忙撤離，22日，中華民國政府宣布撤離首都南京遷往廣州。23日晚，第35軍開始渡江，未經激烈戰斗就于次日占領南京。24日凌晨，104師312團3營9連占領總統府。（亦有2營率先攻占的說法。）24日晨，毛澤東為新華社撰寫新聞，宣布延續22年的國民黨反動政權就此覆滅。。南京市人民政府后來將4月23日定為“南京解放紀念日”。
解放軍按預先的戰役計劃，渡過長江后，中集團與東集團統一由粟裕、張震指揮。利用長江在南京—鎮江段向北凸出的有利地形，實施鉗形突破。從24日開始，第三野戰軍司令部命令東集團和中集團展開追擊圍殲作戰。第8兵團、第10兵團主力沿丹陽、常州推進，占領溧陽、宜興地區切斷京杭國道，第9兵團、第7兵團由南陵經宣城地區發起追擊，東西對進實施鉗形夾擊，截斷國軍由鎮江、南京、蕪湖等地向南撤往杭州的退路。27日晚，第9兵團與第10兵團于浙江吳興、長興地區會師封閉合圍圈，沿著(南)京杭道路撤退的國軍五個軍（第4、第28、第45、第66軍及第51軍的一部等）的部隊被合圍于郎溪、廣德、長興地區等地。國軍組織抵抗處于混亂狀態，至29日全部殲滅，俘虜共8萬余人。27日第三野戰軍第10兵團第29軍進占蘇州，向上海方向警戒。28日第三野戰軍第7兵團由譚震林指揮，向杭州推進，于5月3日佔領杭州。第三野戰軍在郎、廣圍殲戰中以及在長江南岸追擊中殲滅國軍共計13.9萬余人。1949年4月下旬解放軍渡江以及追擊中，京滬杭地區的國軍有7個軍（第4、第20、第28、第45、第66、第68、第99軍部）被殲滅。
第二野戰軍組成的西集團為切斷湯恩伯、白崇禧指揮的兩個集團的聯系，堵其退路，在近四百里寬的正面上分多路向浙贛鐵路追擊，5月3日，第二野戰軍第4兵團占領浙贛線的上饒—貴溪一線；第5兵團占領衢縣；第3兵團占領金華，與第三野戰軍第7兵團在諸暨會師。國軍在浙贛鐵路沿線建立防御戰線的計劃落空。5月5日占領浙贛線上的重鎮鷹潭，40師解放鐵路南面的金溪縣城。此后，部隊繼續向南、向西挺進。按照第二野戰軍司令部指示，第15軍向福建省追殲敵人，第14軍南下奔襲臨川、南城，第13軍沿浙贛鐵路向江西省會南昌進擊。5月10日，陳賡部接到野戰軍前委“作接管南昌的準備”的命令。5月16日，第二野戰軍第4兵團第13軍第37師接到“搶渡撫河，解放南昌”的命令，向南昌進軍。同日，占領進賢。5月17日，第四野戰軍第15兵團渡過長江進入江西后，解放贛西北地區，并配合第二野戰軍向南昌方向挺進。5月21日，第二野戰軍第4兵團37師開始進攻南昌，在城東謝埠鎮與國軍發生激戰。5月22日拂曉，守衛南昌的國軍夏威兵團撤退，并炸毀贛江上的中正橋，37師占領南昌。
第四野戰軍先遣兵團（第12兵團）和中原軍區部隊為達到牽制華中軍政長官公署白崇禧集團；策應第二野戰軍、第三野戰軍渡江作戰；待第四野戰軍主力南下的目的，4月下旬進至長江北岸，逼進武漢。白崇禧指揮華中軍政長官公署于5月初開始收縮兵力準備南撤，計劃遲滯第四野戰軍渡江，掩護主力分別向湖南、鄂西地區撤退。第四野戰軍第12兵團（第40、第43軍）完成策應第二、第三野戰軍渡江作戰的任務后，于5月14日在團風至武穴間南渡長江，并在16日佔領漢口，17日佔領武昌地區、漢陽地區。5月15日，華中軍政長官公署副長官、第19兵團司令張軫率（第128軍）2萬余人在賀勝橋倒戈。
湯恩伯指揮京滬杭警備總司令部主力8個軍（第21、第51、第52、第54、第75、第123軍守浦西，第12、第37軍守浦東）退守上海，并以中華民國海軍海防第一艦隊和空軍協助防守。防御重點在于吳淞、高橋（上海）與上海市區，保障出海通路。解放軍渡江戰役總前委計劃以第三野戰軍第10（第26、第28、第29、第33軍）、第9兵團（第20、第27、第30、第31軍）8個軍發起上海戰役，同時，第三野戰軍第7兵團繼續向浙江進軍。
第三野戰軍以吳淞作為攻擊重點，目的是封鎖吳淞口，使國軍為保護由海路撤退的通道而集中兵力在吳淞周圍，避免在市區內進行較大規模的戰斗，目的是完整接管城市，為此還特別規定進入市區作戰盡可能的不使用重炮。計劃從浦東、浦西兩翼迂回，分別取道浦西的嘉定地區，浦東的川沙、高橋，實施鉗形攻勢，進抵寶山、吳淞，后續任務是由松江、青浦進攻上海市區。
5月10日第三野戰軍下達淞滬戰役作戰命令，于5月12日發起上海戰役，開始攻擊上海外圍陣地。在浦西，向寶山、吳淞攻擊的戰斗付出較大的代價但沒有大的進展，16日調整部署，選擇戰線薄弱部打開缺口楔入縱深側背，糾正集團進攻的方式，取得進展，至19日逼近威脅吳淞口。在浦東，18日逼近高橋，遇到國軍多次反擊。23日，解放軍向上海市區發起總攻，24日，國軍向吳淞收縮防線，確保從海上撤退的通路。至25日，解放軍快速穿插進占蘇州河以南市區，26日攻占上海市區，爭取淞滬警備司令部副司令劉昌義率部陣前倒戈。解放軍于27日占領上海。解放軍傷亡3萬多人，國軍除了5萬人乘船從海上撤走外，損失15萬多人（傷亡1.5萬人，9.4萬人被俘，4.4萬人倒戈）。
6月2日，第三野戰軍第25軍攻占崇明島，至此，渡江戰役結束。渡江戰役是繼“三大戰役”后，中國人民解放軍以優勢兵力進行的一次大規模的進攻戰役行動。此役解放軍攻占南京、杭州、武漢、上海等大城市和蘇、浙、贛、皖、閩、鄂廣大地區。解放軍傷亡6萬余人，國軍損失43萬多人。民國政府通過守住長江防線，劃江而治的計畫落空，解放軍在這一戰役中取得壓倒性勝利，為此后解放軍進軍福建及華南、西南地區創造有利條件，加速中國共產黨奪取全大陸治權的進程。
* 渡江勝利紀念碑 南京下關區熱河路廣場
* 渡江勝利紀念館 南京下關區
* 渡江戰役紀念館 合肥濱湖新區云谷路
* 渡江戰役總前委舊址 合肥市肥東縣
;毛澤東詩詞
* 渡江戰役攻下南京后，毛澤東在當時北平香山雙清別墅寫一首《七律·人民解放軍占領南京》
附：1949年8月18日，毛澤東説：
* 《渡江偵察記》：上海電影制片廠1954年攝制，導演：湯曉丹，由孫道臨、李玲君、齊衡、陳述主演，軍事顧問：高錦堂。影片以時任第9兵團第27軍偵察二連連長的高錦堂為原型，描寫渡江戰役前夕，解放軍偵察員渡江偵察的故事。是當時一部頗為經典的電影。
* 《風雨下鐘山》：八一電影制片廠1982年攝制，導演：袁先、韋林玉、里坡，由張克瑤、王鐵成、孫飛虎主演。
* 《大戰寧滬杭》：八一電影制片廠攝制，1999年首映，是重大革命歷史題材主旋律電影“大進軍”系列之一。
桶後溪位於臺灣北部，是南勢溪最大的支流，流域分佈於新北市烏來區東北部。其源頭位於烘爐地山，向西偏北流至孝義，匯集南邊的支流阿玉溪後，繼續流至烏來，在此注入南勢溪而終止。
南勢溪與桶後溪匯流處
桶後溪上游有桶後越嶺古道，可通往宜蘭縣礁溪鄉。
2020年1月2日，一架隸屬中華民國空軍救護隊的UH-60M黑鷹直升機失事墜毀於該溪谷，機上13名機組員及乘客中有8人死亡，其中包含時任中華民國參謀總長沈一鳴空軍上將、國防部政治作戰局副局長于親文空軍少將及總士官督導長韓正宏陸軍士官長等中華民國國軍高階將領。
錦州之戰可以指：
* 松錦之戰，明朝與清朝於1639年至1642年的戰爭。
* 錦州戰役 (1925年)，發生於1925年12月5－8日，是北洋政府時期內戰之一，交戰兩方為從奉軍分離的東北國民軍及奉軍。
* 錦州戰役 (1948年)，第二次國共內戰遼沈戰役的其中一個戰役。
弗拉達·洛絲亞珂娃（，，），原名埃琳娜·弗拉基米諾芙娜·洛絲亞珂娃（，），蘇聯西伯利亞出生，俄羅斯超級名模。
她的模特生涯開始時，為了不想跟模特Elena Rosenkova的名字相混淆，她把自己的名字Elena改為Vlada。Vlada是從她父親的名字Vladimir女性化後取得的。弗拉達比吉瑪·沃德更娃娃的樣子、可塑性極高，可說是百搭的模特兒。這種模特兒正是時尚圈子裏超渴求的。
現在的弗拉達幾乎取代另一娃娃臉名模，吉瑪·沃德。
*  Vlada Roslyakova on supermodels.nl
*  Vlada Roslyakova on style.com
比較平面上曼哈頓度量與歐幾里得度量之不同：在曼哈頓度量裡，三條線（紅、黃、藍）對相同的起終點有相同的長度（12）；而在歐幾里得度量裡，綠線的長度為 ，且是唯一的最短路徑。
在數學中，度量（度規）或距離函數是個函數，定義了集合內每一對元素之間的距離。帶有度量的集合叫做度量空間。度量能導出集合上的拓撲，但不是所有拓撲都可以由度量生成。當一個拓撲空間的拓撲可以由度量來描述的時候，則稱此一拓撲空間為可度量化的。
在微分幾何中，“度量”一詞也用來稱呼定義為由微分流形的切向量映射至純量之雙線性形式，讓沿著曲線的距離可透過積分來取得。此一概念有個更適合的術語，稱之為度量張量（或黎曼度量）。
集合 ''X'' 上的度量為一函數（稱之為“距離函數”或簡稱為“距離”）
: ''d'' : ''X'' × ''X'' → R
這里的 R 是實數的集合，且對于所有 ''X'' 內的 ''x''、''y''、''z''，均滿足如下條件:
# ''d''(''x'', ''y'') ≥ 0（非負性，或稱分離公理）
# ''d''(''x'', ''y'') = 0 當且僅當 ''x'' = ''y''（同時公理）
# ''d''(''x'', ''y'') = ''d''(''y'', ''x'')（對稱性）
# ''d''(''x'', ''z'') ≤ ''d''(''x'', ''y'') + ''d''(''y'', ''z'')（次加性／三角不等式）
條件1與條件2為正定函數的定義。條件1可由其他條件推導而出。
上述條件反應了對距離這個概念的直觀想法。例如，不同點間之距離為正值，且從 x 至 y 的距離會等於從 y 至 x 的距離。三角不等式則意指從 x 經過 y 至 z 的距離至少會大於直接從 x 至 z 的距離。歐幾里得在其著作中表示，兩個點之間的最短距離為直線；這即是其幾何學內之三角不等式。
上面的條件也可只保留條件2，再加上一個新的三角不等式條件：
: 4*. d(x, z) ≤ d(z, y) + d(y, x)
條件1可直接由條件4*導出。使用條件2與條件4*可導出條件3，並因而給出條件4。
一度量被稱為超度量，若該度量滿足更強之三角不等式，每個點都不能落於其他點「之間」：
: 對于所有 ''M'' 中的 ''x'', ''y'', ''z''，''d''(''x'', ''z'') ≤ max(''d''(''x'', ''y''), ''d''(''y'', ''z''))
''X'' 上的度量 ''d'' 叫做內在度量，如果 ''X'' 中的任兩個點 ''x'' 和 ''y'' 可以被其長度任意接近于 ''d''(''x'', ''y'') 的曲線連接起來。
對于定義了加法 + : ''X'' &times; ''X'' → ''X'' 的集合，''d'' 叫做平移不變度量，如果
:''d''(''x'', ''y'') = ''d''(''x'' + ''a'', ''y'' + ''a'')
，對于所有 ''X'' 中的 ''x''、''y'' 和 ''a''。
* 離散度量: 如果 ''x'' = ''y'' 則 ''d''(''x'',''y'') = 0，否則 ''d''(''x'',''y'') = 1。
* 歐幾里得度量是平移和旋轉不變的。
* 更一般的，任何由范數(見后)引發的度量是平移不變的。
* 如果 (pn)n∈N 是定義(局部凸)拓撲向量空間 ''E'' 的半范數序列，則
:是定義相同拓撲的度量。(可以將  替代為任何嚴格正數的可總和序列 。)
* 圖度量，依特定圖內的距離定義出之度量。
* 黎曼度量，一種適合用於任一微分流形上的度量。對任一此類流形，可在每個點 p 上選定一個對稱、正定的雙線性形式 L: Tp × Tp → ?，其中 Tp 為 p 上的切空間。因此，每個在此流形上的切向量 v 的長度即定義為
= √L(v, v)。對於每個在此流形上的可微路徑，其長度則定義為切向量之長度對路徑上每個點的積分，其中其積分可透過路徑參數計算之。最後，為得到定義於流形上每對點 {x, y} 上的度量，可取從 x 至 y 的所有路徑間，其路徑長度之最小值。具有黎曼度量之光滑流形稱之為黎曼流形。
* 複投影空間上的富比尼–施圖迪度量，為黎曼度量的一個例子。
對于一個給定集合 ''X''，兩個度量 ''d''1 和 ''d''2 被稱為拓撲等價的 (一致等價的)如果恒等映射
:id: (''X'',''d''1) → (''X'',''d''2)
是同胚(一致同構)。
例如，如果  是度量，則  和  是等價于  的度量。
參見度量空間的等價性。
向量空間上的範數均等價於某個度量，且會是均勻與平移不變的。換句話說，每個範數都能決定一個度量，而某個度量能決定一個範數。
給定一個賦范向量空間 (''X'',
) ，可定義 ''X'' 上的度量為
:''d''(''x'',''y''):=
''x''-''y''
度量 ''d'' 被稱為由范數
反過來如果在向量空間 ''X'' 上的度量 ''d'' 滿足下列性質
*''d''(''x'',''y'') = ''d''(''x''+''a'',''y''+''a'') (平移不變性)
*''d''(α''x'',α''y'') = |α|''d''(''x'',''y'') (均勻性)
則可定義 ''X'' 上的范數為
:=''d''(''x'',0)
類似的，半范數能導出偽度量(見后)，均勻(homogeneous)平移不變偽度量能導出半范數。
可將度量的概念由兩個元素間之距離推廣成非空有限多重集內元素之距離。多重集是集合概念的推廣，使得同一元素能出現多次。定義 Z=XY 為由多重集 X 與 Y 內元素所組成之多重集，亦即若 x 在 X 內出現一次，在 Y 內亦出現一次，則會在 Z 內出現兩次。在非空有限多重集上的距離函數 d 是個度量，若
# d(X) = 0，若 X 內所有元素均相等，不然 d(X) > 0。（正定性）
# d(X) 在 X 的所有置換下不變。（對稱性）
# 。（三角不等式）
須注意，最熟悉的兩個元素間之度量僅出現在條件 1 與條件 2 內的多重集 X 有兩個元素，以及條件 3 內的多重集有一個元素的情形下。例如，若 X 由兩個 x 所組成，則依據條件 1，d(X)=0。
一個簡單的例子為由元素為整數之非空有限多重集 X 所組成之集合，具有度量 。較複雜的例子則有資訊距離與歸一化壓縮距離。
有許多放寬度量公理的方法，能給出較度量空間更為廣義的不同概念。用來描述這些推廣的詞彙並沒有統一，例如在泛函分析裡的偽度量通常可由向量空間上的半範數導出，因此會很自然地稱之為「半度量」。在拓撲學裡，名詞使用間的相互衝充時常出現。
一些作者允許距離函數 d 達到無限大值，亦即距離是在擴展實數線上的非負數。此一函數稱之為擴展度量，或「∞-度量」。每個擴展度量均可換變成有限度量，使得度量空間在考量拓撲上之概念（如連續性或收斂性）時會等價。此一有限度量可使用一個在零時值為零的次可加單調遞增有界函數，如 ''d''&prime;(''x'', ''y'') = ''d''(''x'', ''y'') / (1 + ''d''(''x'', ''y'')) or ''d''&prime;&prime;(''x'', ''y'') = min(1, ''d''(''x'', ''y''))。
度量的取值可由正實數  推廣至其他任一有向集合。在此一情形下，公理的重構會建構出一致空間：具有能比較不同點之局部拓撲的代數結構之拓撲空間。
X 上的偽度量是個函數 d : X × X → R，滿足度量的公理，除了條件 2 不一定只在相同元素時才為 0。換句話說，偽度量的公理為：
# ''d''(''x'', ''y'') ≥ 0
# ''d''(''x'', ''x'') = 0（但對於不同的值 ，也可能會出現 d(x, y)=0。）
# ''d''(''x'', ''y'') = ''d''(''y'', ''x'')
# ''d''(''x'', ''z'') ≤ ''d''(''x'', ''y'') + ''d''(''y'', ''z'').
在某些情形下，偽度量因其與半範數間的關係，會被稱為半度量。
有時，會定義擬度量為一個除對稱性外，滿足度量所有公理之函數：
# ''d''(''x'', ''y'') ≥ 0 (非負值)
# ''d''(''x'', ''y'') = 0 &nbsp; 若且唯若 &nbsp; ''x'' = ''y'' (同時公理)
# ''d''(''x'', ''y'') = ''d''(''y'', ''x'') (對稱性，沒有)
# ''d''(''x'', ''z'') ≤ ''d''(''x'', ''y'') + ''d''(''y'', ''z'') (三角不等式)
在現實生活中，擬度量很常見。例如，給定一個由山村所組成之集合 X，則 X 內元素間之平均步行時間會形成一個擬度量，因為上坡會比下坡花去更多時間。另一個例子為具有單行道的計程車度量，從點 A 至點 B 的路徑與從點 B 至點 A 的路徑不組成不一樣的集合。不過，這個概念很少用於數學之中，且其名稱亦未完成統一。
實數上的擬度量可定義為
:''d''(''x'', ''y'') = ''x'' &minus; ''y'' 若 ''x'' ≥ ''y''，不然
:''d''(''x'', ''y'') = 1。其中，1可被替代為無限大或 1+10(y-x) 等值。
由此一擬度量所導出之拓撲空間為下限拓撲。此一空間可描述削去金屬棒的過程：可輕易地減少其長度，但很難或不可能增加其長度。
若 d 為 X 上之擬度量，則下列式子可形成 X 上的度量 d'：
:''d''(''x'', ''y'') = (''d''(''x'', ''y'') + ''d''(''y'', ''x'')).
X 上之半度量為一函數 d : X × X → R，滿足前三個公理，但不一定滿足三角不等式：
# ''d''(''x'', ''y'') = 0 &nbsp; 若且唯若 &nbsp; ''x'' = ''y''
一些作者會使用較弱的三角不等式，如：
: ''d''(''x'', ''z'') ≤ ρ (''d''(''x'', ''y'') + ''d''(''y'', ''z'')) &nbsp;&nbsp;&nbsp; (ρ-放寬三角不等式)
: ''d''(''x'', ''z'') ≤ ρ max(''d''(''x'', ''y''), ''d''(''y'', ''z'')) &nbsp;&nbsp;&nbsp; (ρ-度量外不等式).
ρ-度量外不等式蘊涵著 ρ-放寬三角不等式（假定第一個公理成立），且 ρ-放寬三角不等式蘊涵著 2ρ-度量外不等式。三角不等式即為 1-放寬三角不等式，因此蘊涵著 2-度量外不等式，且超度量不等式恰為 1-度量外不等式。滿足這些等價條件的半度量有時會被稱為「擬度量」、「近度量」或外度量。
ρ-度量外不等式被用來模擬網際網路內的來回通訊延遲。
放寬度量的後三個公理會形成預度量，即一個滿足下列條件之函數：
# ''d''(''x'', ''x'') = ''0''
其稱呼並未統一。預度量有時會被用來指其他如偽半度量或偽度量等度量的推廣。
每個預度量都能依下列方式形成拓撲。對於一個正實數 r，中心為點 p，半徑為 r 的開球為
:''Br''(''p'') = { ''x'' | ''d''(''x'', ''p'') r(p) 包含於該集合內。每個預度量空間都是拓撲空間，並實際上，都是序列空間。一般而言，Br(p) 不一定會是此一拓撲之開集合。兩個集合 A 與 B 間的距離可定義為
:''d''(''A'', ''B'') = inf''x''?''A'', ''y''?''B'' ''d''(''x'', ''y'').
上式會形成預度量空間內冪集上之預度量。若從一（偽半）度量空間開始，則可得到一個偽半度量，亦即為一個對稱預度量。每個預度量都可以形成一個預閉運算子，如下所示：
:''cl''(''A'') = { ''x'' | ''d''(''x'', ''A'') = 0 }.
可結合「偽」、「擬」、「半」等前綴詞，如偽擬度量會放寬同時公理與對稱公理，且僅是個具三角不等式的預度量。對於偽擬度量空間，開球可形成開集合的基。有關偽擬度量的一個非常基本的例子為集合 {0,1}，具有 d(0,1) = 1 與 d(1,0) = 0 所形成之預度量。其對應之拓撲空間為謝爾賓斯基空間。
威廉·勞維爾曾研究過具有擴展偽擬度量的集合，稱之為「廣義度量空間」。從範疇論的觀點來看，擴展擬度量空間與擴推偽擬度量空間，及其對應之不放大映射，是表現最好的度量空間範疇。可取任意多的積與上積，形成在給定範疇內的商對象。若去掉「擴展」這個條件，則只能取有限多的積與上積。若去掉「偽」這個條件，則無法形成商對象。為能維持這些良好的範疇性質之度量空間的推廣。
在微分幾何裡會使用到度量張量，可被認為是個「無窮小」二次度量函數，被定義為在流形的切空間上，具有適當之可微分性質的非退化對稱雙線性形式。雖然度量張量不是本條目所定義之度量函數，透過對流形上之路徑的度量張量之平方根積分，可導出偽半度量函數。具有度量張量的流形稱為偽黎曼流形，用於相對論的幾何研究內。若對度量張量上之內積加上正定性之性質，則其流形稱之為黎曼流形，且其路徑之積分能導出度量。
* pages 91–94 explain the use of quasimetrics in finance.
聖衣乃日本漫畫家車田正美的作品聖鬥士星矢中的戰鬥服，狀似盔甲。故事中自神話時代起鬥士們以身體作武器，因此便需要戰鬥服的保護。每件聖衣一般有著裝及星座兩種形態：著裝形態下的聖衣能像盔甲般讓鬥士穿著；星座形態的聖衣則自行組合成聖衣所屬星座的動物及物品或神話角色，故事中，聖衣一般會以星座形態的模式由聖衣箱盛載。鬥士必須爆發體內潛能，方能使聖衣與其精神合為一體，否則聖衣只是一件很重的盔甲。
聖衣會依守護星座配對主人，聖衣也會因為小宇宙認同主人，但續作的尤娜似乎是例外，天鷹座在原作是白銀聖衣，在續作卻降級為青銅聖衣。
智慧女神雅典娜之聖鬥士所穿的鎧甲稱為「聖衣」。
聖衣主要分青銅、白銀和黃金三類，分別為最低級的四十八件青銅，中級的二十四件白銀及最高級的十二件黃金聖衣，共84個星座。由於是以88星座為藍本制造的，那剩下的4件又是屬於誰呢？根據「大聖戰史」的暗示，剩下的4件聖衣有可能是「戰神聖戰」中出現。
*但目前尚未確定的聖衣有：船底座，南冕座，波江座，天爐座，繪架座，巨蛇座，望遠鏡座，南三角座，唧筒座，南極座，顯微鏡座，山案座，共12件。其餘聖衣皆在動畫，漫畫及小說中出現，可從各作品中找到。
青銅聖衣乃青銅聖鬥士所穿的聖衣。共48件，每件青銅聖衣亦有所不同。但聖衣在零下150℃會被冰封。聖衣色澤為青銅色，故稱為青銅聖衣。
白銀聖衣乃白銀聖鬥士所穿的聖衣。共24件，每件白銀聖衣亦有所不同。要在零下200℃會被冰封。聖衣色澤為白銀色，故稱為白銀聖衣。
黃金聖衣乃最高級的聖衣，共12件，樣式按黃道十二宮上的十二星座排列設計。要絕對零度（零下273.15度（?273.15℃））才能使聖衣冰封。聖衣色澤為黃金色，故稱為黃金聖衣。
穿著者需要極高的小宇宙，才能發揮出黃金圣衣的力量，黃金聖衣除了會依自己意識、小宇宙來認同主人外，也具備自行化為光芒移動的能力。
而第13件黃金聖衣--蛇夫座的黃金聖衣也在聖鬥士星矢 NEXT DIMENSION 冥王神話中出場。
沾上神（例如城戶紗織）之血及燃燒小宇宙到極限時，聖衣便能化成近似『神衣』的『神聖衣』，穿上『神聖衣』的聖鬥士具有等同於神對抗的力量，故稱為神聖衣。
暗黒聖衣（ブラッククロス）暗黒圣斗士身上的防具。共八十八件，外表和八十八星座的圣衣相同，但顏色是暗黑色。
※原作沒被敘述，不過設定為穆大陸沉沒后，是穆大陸古蹟地的死亡皇后島被大量發現的神秘圣衣。
鋼鐵聖衣（スチールクロス）動畫片獨創，共3件(omega版中設定為原生代鋼鐵聖衣，以及有大量只有裝著形態的鋼鐵聖衣)；是城戶光政生前用高科技模擬的機器聖衣，主要為秘密培養的非正規聖鬥士所用，設有模仿星座的變形。
關於聖衣的由來，根據故事內聖戰史的描述是赤手空拳的聖鬥士們因為不敵身著鱗衣的海鬥士，於是雅典娜才命令穆大陸的神之工匠依據88星座製作出聖衣，聖鬥士們才得以擊退海鬥士，而黑暗聖衣則是製作聖衣時丟棄的瑕疵品。(後來穆大陸沉沒就變成死亡皇后島)
除聖衣外，聖鬥士星矢故事的不同階段中，不同的神祇也有衪們自成一系類似聖衣的戰鬥服。這些戰鬥服通常由敵方的戰士所穿著。
北歐神話中阿薩神族主神奧丁的住處亞斯格特服侍的鬥士們所穿的鬥衣。以北斗星為守護星的戰士，共七件，及一件影子神鬥衣。七個神鬥士以北歐神話美麗的神獸形狀出場，身上均裝飾了奧丁藍寶石。完全是原創的戰衣。
而奧丁藍寶石正是招喚隱藏的『奧丁神鬥衣』的鑰匙。
北歐神話中阿薩神族主神奧丁生前所穿的鬥衣（奧丁戰袍）。擁有七粒奧丁藍寶石才能招喚出來，配有一把能擊破所有邪惡的正義之劍『貝爾蒙神劍（Balmung Sword）』。故事中由主角星矢穿上。
海神波賽頓的鬥士所穿的鎧甲名叫『鱗衣』。
鱗（scale）是魚類身上的鱗片；換句話，以神話中，海洋生物模型創造出無數的海鬥士。
眾多海鬥士由世界七大海洋的守衛者海洋七將軍所統領。海將軍身穿的『鱗衣』比較高貴，自栩能與聖域的 『黃金聖衣』比美，共七件。另有波賽頓的侍從美人魚所穿的『鱗衣』也比較特殊。
『鱗衣』是以神獸、怪物或人物的形態，等待受海皇感召到海界的海鬥士穿上。
冥府之王黑帝斯的鬥士所穿的鎧甲稱為『冥衣』。
『冥衣』（surplice）源自神職人員穿著的白衣，而故事中的『冥衣』設定為寶石般漆黑散發如月亮般冰冷光芒，更是死亡國度忠於黑帝斯冥鬥士的證明。被冥府魔星所選擇的人穿上冥衣後，冥衣的力量就會在其身上發揮作用，轉化為配合冥衣的體質。換句話說，冥斗士的肉身只是使冥衣發揮機能的載體，穿在冥斗士身上的冥衣可以直接改造穿著者的身體和力量。
『冥衣』以魔獸、惡靈、精靈、動物或地蟲姿態為藍本。總共一百零八件。對應的108魔星由來自『水滸傳』天罡與地煞星，但並不是完全相同。
天罡『冥衣』設定上與『黃金聖衣』同級，共三十六件。
地煞『冥衣』設定上與『青銅聖衣』同級，共七十二件。
非黑帝斯軍正規之冥鬥士用『冥衣』，只作為給已死的聖鬥士所用，可對應聖鬥士生前之星座同級的冥衣版本。
冥王黑帝斯與睡神許普諾斯和死神塔那托斯所穿的神級冥衣。
雖然色澤與一般『冥衣』近似，但灰暗的色澤外，配上華麗的裝飾，顯得『冥衣』更英偉特殊。設定上，要絕對零度以下幾百倍才能使『神冥衣』冰封。
始於天界編 序奏?overture?守護奧林匹斯諸神的天使天鬥士所穿的鬥衣。
『聖鬥士星矢 真紅の少年伝說』中登場。
神話的時代被選為太陽神阿波羅處服侍的鬥士才有資格擁有，只有3人；不過他們的實力也凌駕黃金聖鬥士。
聖衣外圍有日輛火焰保護，自比黃金聖衣以上的防禦力，因此那聖衣被稱為『日冕聖衣』。
『神衣』乃希臘神話中奧林匹斯十二主神所穿著的，總計有十二件。
大地母神蓋亞授予泰坦十二神的【神器】兼【戰鬥衣】，是攻防一體的神器，性能遠遠淩駕黃金聖衣。跟其他神或者人類的【戰鬥衣】不同，每一個楚真的分解形態不是人形或者其他生物，而是武器。泰坦神族在著穿上楚真之後，仍可以在保持鎧甲不分解的情況下使用【空想具現化】的能力憑空變出自己的楚真所象徵的武器，有一些變出的武器硬度甚至在原本的楚真之上。
「聖鬥士星矢Ω」中登場。
「刻之神」薩圖恩的刻鬥士（Pallasite）所穿的鬥衣，每一件刻衣都是以武器命名，不過除了四天王、薩圖恩以及帕拉斯，其餘刻衣都沒有分解型態。每位刻鬥士都具有將他人的時間停止的能力，而刻鬥士除了雜兵可分為三個等級，其中作為表面上最強的一級刻鬥士，也就是四天王的刻衣每件都對應黃道十二宮中的三個星座。大部分刻鬥士的實力都來自他們手持的武器，只有少部分（例如四天王跟薩圖恩的左右手米拉和艾烏羅巴）的刻鬥士就算不靠武器實力依舊強大。
日本萬代玩具公司曽推出兩個聖衣模型系列，風行一時。分別為1980年代的及2000年代的聖鬥士聖衣神話