ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
蛋白質資料庫（Protein Data Bank，簡稱PDB）是一個專門收錄蛋白質及核酸的三維結構資料的數據庫。由Worldwide Protein Data Bank監管。PDB可以經由網絡免費訪問，是結構生物學研究中的重要資源。為了確保PDB資料的完備與權威，各個主要的科學雜志、基金組織會要求科學家將自己的研究成果提交給PDB。在PDB的基礎上，還發展出來若干依據不同原則對PDB結構數據進行分類的數據庫，例如GO將PDB中的數據按基因進行了分類。這些資料和數據一般是世界各地的結構生物學家經由X射線晶體學或NMR光譜學實驗所得，並釋放到公有領域供公眾免費使用。
PDB的歷史可以追溯到1971年，當時布魯克黑文國家實驗室的Walter Hamilton決定在Brookhaven建立這個數據庫。1973年Hamilton去世后，Tom Koeztle接管了PDB。1994年1月，以色列魏茨曼科學研究學院的Joel Sussman被任命為PDB負責人。在1998年10月，PDB被移交給了Research Collaboratory for Structural Bioinformatics(RCSB)，并與1999年6月移交完畢，新的負責人是羅格斯大學(Rutgers大學)（RCSB成員）的Helen M. Berman。2003年，PDB作為wwPDB的核心，成為了一個國際性組織。同時，wwPDB的其他成員，包括PDBe（歐洲）、RCSB（美國）、PDBj（日本）也為PDB提供了數據積累、處理和發布的中心。 於2006年加入。值得一提的是，雖然PDB的數據是由世界各地的科學家提交的，但每條提交的數據都會經過wwPDB工作人員的審核與注解，并檢驗數據是否合理。PDB及其提供的軟件現在對公眾免費開放。
按方法和年份確定蛋白質結構的速率
PDB數據庫每週更新（UTC+0 星期三）。 同樣，PDB館藏列表也每週更新一次。 截至，現有統計信息如下：
蛋白質/核酸複合物
X射線晶體學
''總數:''
::PDB中的103,514個結構具有結構因子文件。
::9,057個結構具有NMR約束文件。
::PDB中的2,826個結構具有化學位移文件。
::PDB中的1,403個結構在EM Data Bank中存有3DEM地圖文件
這些數據表明大多數結構是由X射線衍射確定的，但是現在約10％的結構由蛋白質NMR確定。 當使用X射線衍射時，獲得蛋白質原子坐標的近似值，而通過NMR實驗發現蛋白質原子對之間距離的估計值。 因此，在後一種情況下，通過求解來獲得蛋白質的最終構象。 一些蛋白質由低溫電子顯微鏡確定。 （單擊原始表中的數字將顯示由該方法確定的結構示例。）
上述結構因子文件的意義在於，對於具有結構文件的由X射線衍射確定的PDB結構，可以查看電子密度圖。 這些結構的數據存儲在“電子密度服務器”上
過去，PDB的結構數量以近似指數的速度增長，通過了1982年的100個註冊結構里程碑，1993年的1,000個，1999年的10,000個，以及2014年的100,000個。然而，自2007年以來，新蛋白質結構的積累速率似乎已經趨於穩定。
* 生物核磁共振數據庫（美國）
* PDB的官方網站（總站） ，區域網站（下）
*  The Worldwide Protein Data Bank (wwPDB)— parent site to regional hosts (below)
**   (美國蛋白質結構數據庫)
**  PDBe  (歐洲蛋白質結構數據庫, PDBe: Protein Data Bank Europe)
**  PDBj  （日本蛋白質結構數據庫, PDBj: Protein Data Bank Japan)
**  BMRB, Biological Magnetic Resonance Data Bank  (USA)
*  wwPDB Documentation  — documentation on both the PDB and PDBML file formats
*  Looking at Structures  — The RCSB's introduction to crystallography
*  PDBsum Home Page  — Extracts data from other databases about PDB structures.
*  Nucleic Acid Database, NDB  — a PDB mirror especially for searching for nucleic acids
*  Introductory PDB tutorial sponsored by PDB
*  PDBe: Quick Tour on EBI Train OnLine
孫家棟，男，遼寧瓦房店人，中國人造衛星專家，被稱為中國的“衛星之父”。共和國勳章、兩彈一星功勛獎章獲得者，2009年度國家最高科學技術獎獲得者，中國探月工程總設計師，北斗導航系統第一代和第二代總設計師。
1942年，13歲的孫家棟考入哈爾濱第一高等學校土木系，中途因為戰爭而失學。1947年，進入哈爾濱工業大學預科班專修俄文，後來加入中國人民解放軍空軍。1951年9月進入蘇聯茹科夫斯基空軍工程學院學習。
1956年8月，孫家棟加入中國共產黨。1958年4月回國後，到錢學森主持的國防部第五研究院從事導彈研究。歷任國防部第五研究院和第一設計部副主任，第七機械工業部第一研究院第一設計部副主任、高級工程師，第七機械工業部第五研究院副院長、院長，航天工業部副部長、研究員，航空航天工業部副部長。長期從事導彈、衛星的設計和研制工作，是中國試驗同步通信衛星的總設計師。
1970年4月24日，“東方紅一號”發射成功。1971年，“實踐一號”衛星發射成功（任總體設計師）。1975年，中國第一顆返回式遙感衛星發射成功（任總體設計師）。作為總設計師研發中國第一顆同步試驗通信衛星“東方紅二號”。該衛星於1984年發射成功。1979年10月，中國宇航學會成立，其當選為第一屆理事會副理事長。
1988年，孫家棟當選國際宇航科學院院士，1992年當選中國科學院院士，1996年當選國際歐亞科學院院士。1999年獲得兩彈一星功勛獎章。2003年任中國探月工程總設計師，獲得2009年度國家最高科學技術獎。
2011年1月26日，中共中央政治局常委、中央書記處書記、國家副主席習近平分別來到中國工程院院士王忠誠，中國科學院院士孫家棟、李振聲家中，代表胡錦濤總書記和黨中央看望這三位為新中國科技事業作出突出貢獻的著名科學家，向他們致以誠摯的問候和新春的祝福。
2018年12月18日，在中國共產黨主持的改革開放四十周年大會上，表彰為改革開放杰出貢獻人員：航天科技事業創新發展的重要推動者。
2019年，孫家棟被全國人大常委會決定授予共和國勛章。
1959年4月3日，30歲的孫家棟經空軍司令部劉恩光的夫人介紹，與哈爾濱工人醫院小兒科醫生魏素萍相識。8月9日，二人在北京南苑舉行婚禮。1962年，魏素萍被調入北京，到五院附屬醫院做醫生。12月，孫家棟和魏素萍的第一個孩子孫中亮誕生。1967年，他們的第二個孩子魏紅誕生。
* 東方紅人造衛星系列、中國返回式衛星
1080i是一種高清電視信號格式，「1080」表示垂直方向有1080條水平掃描線，「i」表示採用交錯式掃描視訊顯示方式（interlaced scan）。
1080i先掃描單數的垂直畫面，再掃描雙數的垂直畫面，故只需要1080p一半的頻寬，但是碰到高速移動的物體時，物體周圍就有晃動現象。早期的高清晰度電視都是這種規格，因為早期的頻寬較小，無法一次送出全部，故用這種方式一次送一半來減少頻寬。
1080p為逐行掃描（progressive scan），是因現在頻寬較大而延伸出來的傳輸方式。
目前大多數數位高畫質電視的頻道都是以1080i的格式播出，部分高清體育頻道則因隔行掃描的局限而選用720p或1080p。
《幸福的女人》（、）是韓國KBS電視臺於2007年1月至7月期間，韓國時間逢星期六、日，晚上7時55分播放的週末連續劇，接上一檔的《傳聞中的七公主》。八大電視引進臺灣譯為《誰來愛我》，中視也以此名播出。後八大戲劇臺於早上八點重播時，將譯名更為《幸福的女人》播出。
此劇由因出演過SBS《老天爺啊，請給我愛！》而引起觀眾關注的尹晶喜及出演過MBC《秘密男女》的金錫勛，加上鄭糠雲、文晶熙、高斗心、張勇、金允慶、姜志燮、張美仁愛等演員演出。
李知妍是父親李宗民在外面帶回來的私生女，她父親的正室樸媛希已有兩個女兒，大女兒知淑和二女兒知萱。知妍12歲時，父親在外又有另一個女人，終被女兒們的母親趕走。雖然，知妍不是親生的，但是，知淑和知萱的母親都當她女親女兒般看待，三姊妹感情也非常好。在這個複雜的家庭環境下長大，知妍仍努力讀書，終於成了一個首飾設計師，並且有一個愛他的丈夫崔俊鎬。
經過一年幸福的新婚生活，俊鎬在同學會再遇初戀情人趙荷英，並在酒醉下與她發生關係。從幸福的夢中醒來後，知妍傷心欲絕下要求離婚，而俊鎬因工作關係到美國逗留3年，荷英也跟隨俊浩到美國留學；另一方面，警察金太燮因捉賊而遇上知妍，但同袍卻為此殉職。過身的同袍留下了一個兩歲大的兒子，太燮不忍心將他送到孤兒院而收養了他，成了一個未婚爸爸……
3年後，大姊知淑仍未結婚，與母親好友年紀比知淑小的兒子由冤家漸漸變成情人；二姊懷了孩子，但丈夫的事業還未有成；而知妍也有一個女兒——恩芝，是知妍離婚後才發現懷有了俊鎬的孩子。此時，俊鎬亦與荷英回國。俊鎬在找知妍時，發現她有一個孩子，懷疑是他的骨肉。但當知妍告訴俊鎬，恩芝是她與其他男人所生後，俊鎬一氣之下，答應與荷英結婚……
太燮的養子也有5歲了，在搬家時，在新居附近遇上3年前認識的知妍，兩人的關係漸漸變得密切；另一方面，俊鎬從大嫂在當醫生的舊同學口中得知兩年多前由她幫知妍接生的嬰兒，其實是俊鎬的骨肉後，俊鎬打算放棄對知妍的愛的念頭又忘掉了，他想與知妍復婚，因此，三人又陷入了複雜的關係……
** 片頭曲：唐禹哲《絕無僅有》
*編劇：樸晶蘭（《黃色手帕》）
*導演：金宗昌（《黃色手帕》、《愛情的條件》、《玫瑰人生》）
在算法信息論（計算機科學和數學的一個分支）中，一個對象比如一段文字的柯氏復雜性（亦作柯爾莫哥洛夫復雜性、描述復雜性、柯爾莫哥洛夫-復雜度、隨機復雜度，或算法熵）是衡量描述這個對象所需要的信息量的一個尺度。柯氏復雜性是由安德雷·柯爾莫哥洛夫于1963年發現，所以用他的名字命名。
以下面的兩個長度為64的字符串為例。
第一個字符串可以用中文簡短地描述為“重復32個‘01’”。第二個字符串沒有明顯的簡短描述。
一個字符串的柯氏復雜性（或者，區別如后）是這個字符串的最短描述的長度。換言之，一個字符串的柯氏復雜性是能夠輸出且僅輸出這個字符串的最短計算機／圖靈機程序的長度。
這樣的定義導致在使用不同的描述語言或者不同的圖靈機的時候柯氏復雜性不一樣。所以在討論柯氏復雜性的時候，通常都事先固定一個通用圖靈機作為參照。可以證明在使用做參照的時候，對任意的圖靈機，都存在一個僅決定于和的常數使得對所有的字符串相對于的柯氏復雜性（或者）和相對于的柯氏復雜性（或者）都滿足
:。根據這點，通常確定了一個參照圖靈機后就用和表示柯氏復雜性（省略）。
不難證明，任何字符串的柯氏復雜度都不會比字符串自身的長度超過太多。類似與上文中的0101字符串，它的柯氏復雜度和字符串的長度關系不大，因此并不復雜。
與康托爾的對角論證法、哥德爾不完備定理和圖靈的停機問題類似，柯氏復雜度的概念可以用于闡述和證明不可能性。
柯氏復雜度可以適用于任何數學概念，但是本文只針對字符串。首先需要確定我們用以描述字符串的語言，它可以基于任何計算機語言，例如LISP、Pascal或Java字節碼。如果 P 是一個可以輸出字符串 ''x''的程序，則 P 是 ''x''的描述。描述長度就等于程序 P 作為字符串的長度，乘上每個字符的比特數。（例如，對于 ASCII來說是7）
我們也可以使用圖靈機的編碼。每一個圖靈機 M 都對應一個字符串 。如果 M 是一個圖靈機，給它輸入字符串 ''w'' 它會輸出字符串 ''x''，那么這段拼合起來的字符串 ＋''w'' 就是 ''x''的描述。這種描述更適合比較嚴謹的證明，通常是在正式研究中才會使用。在本文的討論中會使用比較非正式的描述。
對于任何一個字符串 ''s'' ，都存在至少一個描述。可以用以下程序表示：
function GenerateFixedString
return ''s''
如果 ''s'' 的描述 ''d''(''s'') 長度達到最小（即使用最少的比特數），它就可以稱為 ''s'' 的“最小描述”。同時，''d''(''s'')的長度（也就是這個描述使用的比特數）就是 ''s''的“柯氏復雜度”，寫作 ''K''(''s'')。可以表示為：
:''K''(''s'') = |''d''(''s'')|.
最小描述長度取決于選擇什么語言來描述；但是改變描述語言所帶來的長度變化是有限的，這個屬性稱作不變性理論。
一些描述語言可以被稱作“最優的”。它們有如下屬性：給定任意一個描述語言來描述一個對象，我們也可以用最優描述語言來描述該對象，只需要在原來的那段描述前面加上一段固定的前綴。這段前綴僅僅取決于使用哪一種描述語言，不取決于對對象的描述，也不取決于被描述的對象。
以下是“最優描述語言”的一個例子。這個語言中的描述都會包括以下兩部分：
* 第一部分描述了另一種描述語言。
* 第二部分是對象在那一種描述語言下的表述。
更技術性的說法是，第一部分是一段計算機程序，如果把第二部分輸入這個程序，就會輸出該對象。
不變性理論指的是：對于任意的描述語言 ''L''，最優描述語言都至少和 ''L'' 同樣有效，但是會增加一段固定的前綴。
證明： 對於以''L''作為描述語言的任意一段描述 ''D''，''D'' 都可以轉換成為最優描述語言下的一段描述，這段描述包括將 ''L'' 描述為一段計算機程序 ''P'' （前面提到的第一部分），然后將原來的描述 ''D'' 作為這段程序的輸入（第二部分）。新的描述 ''D'' ’ 的長度（近似值）為：
:|''D''’| = |''P''| + |''D''|
''P'' 的長度為常數，不取決于 ''D'' ，所以，至多有一個常數項長度的前綴，不取決于描述對象。所以，最優描述語言在up to固定前綴的意義上是通用的。
"'定理"'：設 ''K''1 和 ''K''2 是滿足 圖靈完備性的描述語言 ''L''1 和 ''L''2的復雜度函數，則存在一個常數 ''c'' ，僅取決于對于語言 ''L''1 和 ''L''2 的選擇，有：
:?''s''.  -''c'' ≤ ''K''1(''s'') - ''K''2(''s'') ≤ ''c''.
證明：根據對稱性，可以證明存在一個常數 ''c'' 對于所有的字符串 ''s'' 滿足：
:''K''1(''s'') ≤ ''K''2(''s'') + ''c''.
然后，假設語言 ''L''1 中存在一個程序，相當于是 ''L''2 的解釋器:
function InterpretLanguage(string ''p'')
其中 ''p'' 是 ''L''2 中的一個程序。解釋器有以下屬性：
: 運行 InterpretLanguage ，輸入 ''p'' 將會返回運行 ''p'' 的結果。
然后，設 ''L''2 中的程序 P 是 ''s'' 的最小描述，則 InterpretLanguage(P) 將會返回字符串 ''s''。而 ''s'' 的描述長度，是以下兩項之和：
# 程序 InterpretLanguage 的長度，可以看做常數 ''c''。
# P 的長度。根據定義，就是 ''K''2(''s'').
以上證明了所需的上界。
算法信息論是計算機科學中的一個領域，研究柯氏復雜性和其他對于字符串（或者其他數據結構）的復雜性度量。
柯氏復雜性的理論和概念基于的一些關鍵性理論。1960年，所羅門諾夫發表了《歸納推理的通用性理論導論》，作為他所創立的的一部分。在1964年發表的《信息與控制》的第一和第二部分 “歸納推理的正式理論” 中，他給出了一個更完整的描述。
安德雷·柯爾莫戈洛夫稍后于1965年在 ''Problems Inform. Transmission'' 上獨立發表了這一理論。格里高利·柴廷也在 ''J. ACM'' 上發表了這一理論——柴廷的論文提交于1966年10月，于1968年12月修訂，引用了所羅門諾夫和柯爾莫戈洛夫的論文。
這個理論認為，在所有從對字符串的描述中解碼出字符串的算法里，存在一個最優的算法。這個算法對于所有的字符串來說，都可以得到和其他算法同樣短的代碼，除去一段固定的附加代碼，這段代碼不取決于字符串，只取決于所選擇的算法。所羅門諾夫用這個算法和它所允許的代碼長度，定義了一個字符串的“普適概率”，以對字符序列的歸納推斷作為基礎。柯爾莫哥諾夫利用這個理論定義了字符串的很多屬性，包括復雜度、隨機度和信息。
當柯爾莫戈洛夫了解到所羅門諾夫的工作之后，承認了所羅門諾夫的發現在先。在很長一段時間內，所羅門諾夫的工作在蘇聯比在西方更為人知曉。科學界的共識一般是把和復雜度有關的工作歸功于柯爾莫戈洛夫，因為他主要研究序列的隨機程度；而算法信息論的工作則歸功于所羅門諾夫，他主要集中研究用普適概率分布來進行序列預測。這兩個領域的邊界，包括描述復雜度和概率通常被稱為柯爾莫戈洛夫復雜度。計算機科學家李明認為這是馬太效應的體現。
柯爾莫戈洛夫復雜度或者算法信息論有很多變體，其中一個廣泛應用的概念是“自生成程序”，主要來自于（1974）。
Mark Burgin基于布盧姆公理（Blum 1967），對于柯氏復雜度進行了公理化（Burgin 1982）。
在以下討論中，我們用 ''K''(''s'') 來表示字符串 ''s'' 的復雜度。
顯而易見，一個字符串的最小描述不可能超過字符串本身的長度太多。上文中的程序GenerateFixedString 可以輸出 ''s'' ，長度比 ''s'' 稍長。
定理：存在一個常數 ''c'' ，使得：
:?''s''. ''K''(''s'') ≤ |''s''| + ''c''
定理：存在字符串，擁有任意大的柯氏復雜度。嚴格表述為：對于任意 ''n'' ∈ ?，存在一個字符串 ''s'' 的復雜度 ''K''(''s'') ≥ ''n''
證明：反證。如果定理不成立，則任意的無限長字符串，都可以使用有限個數，復雜性小于 ''n'' 比特的程序 來生成了。
定理： ''K'' 不是一個可計算函數。也就是說，不存在一個程序，可以把字符串 ''s'' 作為輸入，然后輸出它的 ''K''(''s'')。
證明：以下的反證法將使用類似Pascal語言的代碼。為了證明的簡單起見，該語言的描述（即其解釋器）大概有  比特。下面開始反證法，假設有這樣一個程序存在：
function KolmogorovComplexity(string s)
它可以把字符串 ''s'' 作為輸入，然后輸出它的 ''K''(''s'')；簡單起見，假設這一函數的長度是  比特。現在考慮另一段長度為  比特的程序：
function GenerateComplexString
for i = 1 to infinity:
for each string s of length exactly i
if KolmogorovComplexity(s) >= 8000000000
return s
它將 KolmogorovComplexity 作為子程序，這個程序會從短到長檢查所有的字符串，直到找到一個復雜度至少有  比特的字符串 ''s'' 。這也就意味著，任何短于  比特的程序都不可能輸出這個字符串。但是，以上的整個程序能夠輸出 ''s'' ，而其長度卻只有 比特，反證完畢。（如果 KolmogorovComplexity 的代碼要更短一些，反證依然成立。如果它要更長，那么 GenerateComplexString 中使用的常數也可以相應變大。）
以上使用的反證法類似于：“不 能 用 少 于 二 十 個 字 定 義 的 最 小 整 數”。也可以使用停機問題 ''H'' 的不可計算性來推導 ''K'' 的不可計算性，因為 ''K'' 和 ''H'' 是圖靈等價的。
它的一個結論，在程序員群體中被幽默地稱為，其涵義之一是指不存在一個最優的規模優選編譯器。
柯氏復雜性的鏈式法則，是指：
:''K''(''X'',''Y'') = ''K''(''X'') + ''K''(''Y''|''X'') + ''O''(log(''K''(''X'',''Y''))).
它說明，能夠輸出 ''X'' 和 ''Y'' 的最短程序，相當于輸出 ''X'' 和已知 ''X'' 的情況下可以輸出 ''Y'' 的程序之和再加上一個對數參數。使用這個法則，可以定義柯氏復雜性的互信息近似。
計算 ''K''(''s'')的上界很簡單：只需要使用某種算法壓縮字符串 ''s'' ，再把所選語言中的壓縮算法加上壓縮后的字符串，它們的和就是長度上界。其實這就相當于給定語言中的自解壓縮檔。
如果一個字符串 ''s'' 的一個描述長度不超過 |''s''|&minus;''c'' 比特，則可以說這個字符串可以被壓縮掉 ''c'' 。這相當于說 ''K''(''s'') ≤ |''s''
由于同樣的理由，大部分的字符串都是復雜的，也就是說難以被顯著地壓縮，它們的 ''K''(''s'')并不比 |''s''|， ''s''的長度小多少。準確地說，對于任意的 ''n'' ，有 2''n'' 個長度為 ''n'' 的字符串。在這些字符串的樣本空間中的離散型均勻分布表明，對于每一個長度為 ''n'' 的字符串，權重為 2?''n'' 。
定理：對于長度為 ''n'' 的字符串組成的樣本空間的離散型均勻分布來說，一個串不能被壓縮以 ''c'' 的概率至少為 1 - 2?''c''+1 + 2?''n''。
證明：所有描述長度不超過 ''n''-''c'' 的字符串的數量，可以由以下等比數列得到：
:1 + 2 + 22 + ... + 2''n''-''c'' = 2''n''-''c''+1 - 1.
那么，還剩下至少：
:2''n'' - 2''n''-''c''+1 + 1
個長度為 ''n'' 的字符串不能夠被壓縮以 ''c'' 。對于單個字符串的概率，應該除以 2''n'' 。
柯氏復雜性 ，與兩個下界可計算函數 , 。橫坐標 (對數坐標) 列舉了所有字符串 ''s''，以長度排序；縱坐標（線性坐標）使用比特來標示字符串的長度。大部分的串是不可壓縮的，也就是說它們的柯氏復雜度比它們的長度要多一個常數。圖中展示了17個不可壓縮的字符串，是幾乎垂直的那些線段。根據柴廷不完全定理，任何計算柯氏復雜性的下界的程序都不可能超過某個極限，且不取決于輸入的字符串 ''s''。
我們已經知道，在所有可能的字符串里，大部分的串都是復雜的，也就是說它們不能被顯著地壓縮。然而，如果一個串的復雜度超過了某個閾值，則它不能被形式化地證明為復雜的。形式化的證明如下：首先，為自然數建立一個公理系統 S 。這個公理系統需要足夠強，可以判定關于字符串復雜度的斷言 A ，并且和 S 中的 FA 相關聯。這個關聯需要有以下屬性：
如果 FA可以被 S 中的定理證明，則相對應的斷言 A 為真。這個「形式化」可以用人工編碼例如哥德爾數的方法實現，或者依照對于 S 的預期解釋來進行形式化。
定理：存在一個常數 ''L'' （ ''L'' 僅取決于特定的公理系統以及描述語言的選擇），使得沒有任何一個 ''s'' 滿足以下情況：
:''K''(''s'') ≥  ''L'' (在 S 中形式化)
可以在公理系統 S 中證明。
考慮到占多數的幾乎不可壓縮的串，大部分這樣的情況都會成立。
這個結論的證明脫胎于佩里悖論中使用的自指結構。使用反證法，如果定理不成立，則：
:假設 (X): 對于任何整數 ''n'' ，存在一個字符串t ''s'' ，在 S 中存在不等式 "''K''(''s'')&nbsp;≥&nbsp;''n''"的一個證明。 (假設可以在 S 內形式化)。
我們可以使用以下方式列舉 S 中的所有形式化證明
function NthProof(int ''n'')
它接受輸入 ''n'' ，然后輸出一個證明。這個函數會列舉所有的證明，有一些證明是針對我們并不關心的一些公式，盡管在 S 的語言中所有可能的證明都是關于某個 ''n'' 的。其中有一些證明是針對復雜度公式  ''K''(''s'')&nbsp;≥&nbsp;''n''，其中 ''s'' 和 ''n'' 都是語言 S 中的常數。以下程序
function NthProofProvesComplexityFormula(int ''n'')
可以確定，第 ''n'' 個證明是否證明了復雜度公式  ''K''(''s'')&nbsp;≥&nbsp;''n''。字符串 ''s'' 和整數 ''L'' 分別可以由以下程序計算：
function StringNthProof(int ''n'')
function ComplexityLowerBoundNthProof(int ''n'')
考慮以下程序：
function GenerateProvablyComplexString(int ''n'')
if  NthProofProvesComplexityFormula(i) and ComplexityLowerBoundNthProof(i) ≥ ''n''
return StringNthProof(''i'')
對于給定的 ''n'' ，這個程序會嘗試所有的證明，直到找到一個字符串以及 S 中關于公式''K''(''s'')&nbsp;≥&nbsp;''L'' （其中 ''L''&nbsp;≥&nbsp;''n''）的形式證明。如果假設（X）成立，那么這個程序會停止。這個程序的長度為 ''U''. 存在一個整數 ''n''0 使得 ''U''&nbsp;+&nbsp;log2(''n''0)&nbsp;+&nbsp;''C''&nbsp;0，其中 ''C'' 是以下程序的前綴：
function GenerateProvablyParadoxicalString
return GenerateProvablyComplexString(''n''0)
（注意 ''n''0 是直接包含在以上函數中的，而前面的 log2(''n''0) 已經包含了它） 程序 GenerateProvablyParadoxicalString 輸出的字符串 ''s'' ，存在一個 ''L'' 使得 ''K''(''s'')&nbsp;≥&nbsp;''L'' 可以在 S 中形式化證明，且 ''L''&nbsp;≥&nbsp;''n''0。所以，''K''(''s'')&nbsp;≥&nbsp;''n''0 成立。但是， ''s'' 也可以被長度為 ''U''&nbsp;+&nbsp;log2(''n''0)&nbsp;+&nbsp;''C'' 的程序描述，所以它的復雜度小于 ''n''0。以上矛盾證明了 假設 (X) 不能成立。
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首里站是一位於日本沖繩縣那霸市首里汀良町3丁目的單軌電車車站，是現時沖繩都市單軌電車線的一個車站。2019年單軌列車由本站伸延至浦添市的Tedako浦西站。
本站是通往沖繩島的首要名勝首里城的下車站。
首里站內一景
本站採用2個側式月臺的設計，而非跟隨大部份其他車站月臺的島式月臺設計，主要是能分流上、下車的乘客。隨伸延工程展開，1號月臺曾處於停用狀態，令到列車只能使用2號月臺進行-{乘降}-，這令月臺上的混雜情況有所增加。但隨伸延工程完成，1號月臺作為往Tedako浦西方向的月臺，月臺上的混雜情況有所改善。
+ 首里站月臺
沖繩都市單軌電車線
Tedako浦西方向
歌町、牧志、縣廳前、小祿、那霸機場方向
*2003年8月10日：隨沖繩都市單軌鐵路線通車，本站啟用。
*2019年10月1日：沖繩都市單軌電車線自本站延伸通車至Tedako浦西站。
1日平均乗車人數
;公共機關/公共設施
*那霸市首里文化館，那霸市立首里圖書館
*沖繩縣立南部醫療中心，兒童醫療中心
*琉貿超市（Ryubo Store）首里店
*蔦屋書店（TSUTAYA）首里店
*沖繩縣立博物館（於2005年3月關閉，位於歌町的新館於2007年開幕。）
*首里城公園 - 徒步約15分鐘，或轉乘8號線巴士(首里城下町線)，需時5分鐘。
*列車到達時，會播放首里民謠「赤田首里殿內」的樂曲。
; link=沖繩都市單軌電車 沖繩都市單軌電車
: 沖繩都市單軌電車線
:: 儀保（14）－首里（15）－石嶺（16）
*  沖繩都市單軌電車 – 首里站
刺魟星雲（Hen 3-1357）是已知最年輕的行星狀星雲（PN）。刺魟星雲位於南天天壇座的方向上，距離18,000光年。雖然它的大小約為太陽系的130倍，但只有其它已知行星狀星雲大小的1/10左右。大約40年前，我們觀察到它還只是一顆氣體還沒有變熱和電離的原行星狀星雲。在《自然》這本雜誌上，博布朗斯基（Bobrowsky）等人描述了哈伯太空望遠鏡是如何發現刺魟星雲15等的中心恆星和17等的伴星。此處的刺魟星雲影像顯示從中央恆星持續流出的光，是如何的與氣體的外殼。這是一個很重要的觀察，因為還沒有很好的了解這些光流出時是如何變得如此準直的過程。
在發現刺魟星雲之前，它的中央恆星被稱為He3-1357，卡爾·海因茲在1967年該星分類為A或B型Hα譜線恆星。在1971年觀測到這是一顆原行星（PPNe），而它似乎是一顆漸近巨星支（AGB）的B1超巨星。1989年，IUE發現這顆恆星有行星狀星雲（PN）的發射線（Parthasarathy et al. 1993）。由於星雲是新形成的，而且非常的小，地面觀測無法解析它；博布朗斯基使用哈伯太空望遠鏡觀測，發現了這個星雲，並將它命名為"刺魟星雲"（"Stingray Nebula"）。
在1995年，行星狀星雲中央星（PNN）被觀測為DA白矮星，在1987至1995年之間，它的亮度似乎下降了3個因次。估計PNN的質量為，並且有一個相距0.3弧秒的伴星；估計星雲的質量為，亮度是 。
這顆中央恆星的不尋常之處在於它的光度在20年間變暗。它的溫度上升了40,000°C，一個解釋是它經歷了一次氦閃。
File:Stingray Nebula and SAO 244567.jpg|位於刺魟星雲中心，快速演化的恆星。
10.75 apparent magnitude - 5 * (log10(5.6 kpc distance) - 1) = -3.0 absolute magnitude
* The Scale of the Universe  (Astronomy Picture of the Day 2012 March 12)
* Stingray Nebula at Constellation Guide
是歷史上第九十七次航天飛機任務，也是亞特蘭提斯號太空梭的第二十一次太空飛行。
* 杰弗里·威廉姆斯（，曾執行、聯盟TMA-8以及遠征13號任務），任務專家
* 蘇珊·赫爾姆斯（，曾執行、、、、、遠征2號以及任務），任務專家
* 尤里·烏薩切夫（，俄羅斯宇航員，曾執行聯盟TM-18、聯盟TM-23、、以及遠征2號任務），任務專家
88式，可能指：
*88式坦克——中國的ZTZ-88主戰坦克。
*88式狙擊步槍（QBU-88）——中國的狙擊步槍。
*88式通用機槍（QJY-88）——中國的通用機槍
*漢陽八八式步槍——中國的漢陽八八式步槍。
*88式75毫米防空炮——日本的防空炮。
*K1主戰坦克（88戰車）——韓國的主戰坦克。
*88式自動步槍（QBU-88）——朝鮮的自動步槍。
張濟民（)，男，浙江鎮海（今寧波市鎮海區貴駟王家橋村）人，美籍華人實業家。
1936年，年僅十六歲，張濟民遠赴日本創業，當時身邊帶了二十甕榨菜。他在日本創立了“日獨”藥品株式會社。一開始企業的員工只有三人，后來發展到超千人的規模。企業資本則由原來的三萬美元激增到三千萬美元，一舉成為日本當地最大的外資企業。
1973年，張濟民毅然決定飛越太平洋，到美國二度創業。他在舊金山成立“西湖”投資開發公司，商業上的經營運作成功使他獲得“灣區首富”、“加州地產大王”之稱。
曾出任美國華商總會第一任會長和新中國教育基金會的第一任會長。張濟民為促上海與舊金山結成友好城市亦發揮了很大作用。
曾創辦美國“華聲電視”，宣傳報道中國的情況。
較早便參與投資中國西部的開發建設。20世紀90年代初至今，投資了內蒙古包頭市。
*《我的經營觀》，戴光宗編譯，經濟管理出版社出版，ISBN?7801180844。另有人民文學出版社出版的版本。
*  中國僑網 張濟民故鄉行：“我還會回來”
*  中國華人民共和國國務院僑務辦公室 美國西湖投資開發公司
現場藝術（英文：Live art），又譯為臨場藝術或即場藝術，是一種非戲劇的表演形式。它源於視覺藝術家對傳統藝術的超越，強調當下的、現場的、真實的、不拘型式的表演，主張每個人都可以用自己特有的方式來創作。
總部設於英國倫敦的「現場藝術推廣協會（Live Art Development Agency）」為世界知名的現場藝術推動組織。
Tony，本名田中貴之，畢業于宮城縣仙臺市的美術專門學校，日本插畫家、原畫家、人物設計師。現任rpm有限公司執行董事。
原為廣告設計員，後來轉職為插畫家。因十八禁遊戲的繪畫原畫的工作較多而越趨知名。
*西風狂詩曲2：暴風雨（TEMPEST）（Softmax1998年12月17日發售，旭力亞2000年發售）
*小秘書Lina（Room with Lina）（株式會社Visual Lab1999年6月24日發售，遊戲橘子2000年9月26日發售）
*Ciel Limited Collector's Box ～Tony Illustration Games～
*After… -Story Edition-
*Tony's Art Works Graph I?IV（臺灣限定販售）
*COLLECT1 Tony同人畫集總集篇（C76販售）
*Tony線畫集 Tony's Line ART works Vol.1 （C77由世嘉販售，光明系列線稿本）
*Tony's ARTworks from Shining Wind
*（十八禁，ISBN 978-4-86379-107-7）
*http://www.sp-janis.com/
* Shining World
* 仏蘭西少女～Une fille blanche～
金融風險,指任何有可能導致企業或機構財務損失的風險。
* :en:Savings and Loan crisis
* :en:Long Term Capital Management
盧于道，男，浙江鄞縣（今寧波）人，中國解剖學家，中國解剖學的先驅之一，尤開拓了中國近現代神經解剖學領域。
1926年，畢業于國立東南大學心理學系，在校曾修讀生物學。
畢業后，赴美國留學，于芝加哥大學攻讀神經解剖學，后獲解剖學哲學博士學位，因成績優異，得金鑰匙獎，并入選美國人類學會終身會員。
1930年，學成歸國，于上海醫學院任副教授。
1931年開始，擔任中央研究院心理學研究所研究員。
1941年，擔任湘雅醫學院（當時在貴陽）教授。
1941年-1942年，擔任中國科學社生物研究所教授和中國科學社代理總干事。
1942年開始，出任復旦大學生物系教授。1942年—1946年，出任復旦大學生物系主任。1949年—1951年，再度出任復旦大學生物系主任。
1943年，入中國科學工作者協會。
1944年，入民主科學座談會（該社后來改名作民主科學社）。
1946年，參與并發起九三學社，當選九三學社監事。
1948年10月，赴解放區，在石家莊得到毛澤東接見。
1949年3月，以中國代表團團員的身份參加世界和平大會（捷克布拉格）。
1949年9月，出席了中國人民政治協商會議，參與制定了《中國人民政治協商會議共同綱領》。
1949年10月1日，登天安門城樓，參與了中華人民共和國開國大典。
1949年—1952年，任復旦大學理學院院長。1953年，任復旦大學研究生部主任。
1953年，參加中國第4次赴朝鮮慰問團（賀龍為慰問團團長）。
參加中國訪問蘇聯的代表團。
1985年，因病逝世，享年79歲。
* 九三學社中央常委，九三學社中央副主席，九三學社上海分社主任委員。
* 第二、三、五、六屆全國人大代表。
* 美國希格鶴賽（Sigma xi）科學榮譽學會會員
*《神經解剖學》（是中國第一部人體神經系統解剖學專著）
沙頭角村可以指以下位於香港新界北區沙頭角的地方：
*鹽寮下村，香港昔日的一條鄉村，被俗稱為「沙頭角村」
*沙頭角邨，香港房屋協會興建的一個「郊區公共房屋」，又寫成「沙頭角村」
《災難鑑識》（英語：）是由加拿大神殿街製作公司（Temple Street Productions）所製作的紀錄片節目，並在美國探索頻道播出，節目已經製作至第二輯。內容講述世界各地一些災難事故的發生以及解構其發生原因，節目在探索頻道的口號為「完美的災難」（''Perfect Disaster''）。
原事件之發生日期
The Inferno at Kaprun
2000年奧地利登山纜車大火
155位滑雪遊客死於奧地利Kaprun滑雪勝地的登山纜車火災，一連串致命的事件皆肇因於纜車隧道上方兩公里處高山車站的一臺暖氣機。
德國高鐵車禍
艾雪德列車出軌事故
The Collapse of Big Blue
Big Blue collapse at Miller Park
The Sampoong Collapse
三豐百貨店倒塌事件
The Mystery of the Derbyshire
國王十字車站大火
國王十字車站火災
恩斯卡德大爆炸
恩斯卡德煙花廠爆炸事件
澳洲火車出軌
Waterfall火車出軌事故
一輛有四節車廂的載客列車在澳大利亞新南威爾士州出軌，其後直撞山邊巖石。
拉克尼斯號油輪翻覆
拉克尼斯號油輪翻覆事故
一艘長達166米的油輪在挪威卑爾根南部擱淺並翻沉，30位船員其中18人死亡。
內華達化工廠爆炸
1988年5月4日
太平洋工程公司爆炸事件
香港嘉利大廈大火
嘉利大廈五級火警
香港史上最嚴重的災難性大火，逾百名職員被困於一座15層高的商業大廈的頂層。
聖胡安大樓爆炸
Humberto Vidal 爆炸事件
在Humberto Vidal 鞋店內佈滿不明的刺鼻氣體，當店內的冷氣機啟動後，店鋪隨即發生爆炸。
* Seismic Seconds
*  Temple Street Productions website
壓力測試是針對特定系統或是組件，為要確認其穩定性而特意進行的嚴格測試。會讓系統在超過正常使用條件下運作，然後再確認其結果。進行壓力測試的原因可能包括：
* 確認系統在什麼條件下會損壞，以及安全使用條件。
* 確認預測系統在什麼條件下會損壞或其安全使用條件的數學模型是否準確
* 確認系統在正常工作條件以外，是否可以正常運作
可靠度工程師常會在預期使用條件下測試待測物，甚至是在可以使待測物提早損壞（加速應力）的條件下測試，目的是了確認待測物的壽命或是其失效模式。
應力或壓力一詞在一些產業（例如材料科學）有特殊的含義。因此應力測試就有其技術上特定的含義（例如材料的）
波動性（又稱“波幅”），指金融資產在一定時間段的變化性。通常以一年內漲落的標準差來測量。原本定義光的波動性指兩列光波在空中相遇時發生疊加，在某些區域總加強，某些區域減弱，相間的條紋或者彩色條紋的現象。
在金融市場中，投資的波動性與其風險有著密切的聯系，波動若越大則代表該金融商品不穩定。
年化波動率定義為對象資產的年回報率的對數值的標準差。
一般的時間長度為T（年）的一段時間內的波動率則定義為：
因此，如果一種資產（如股票）在長度為P的一段時間內，日均的對數回報率的標準差為，那么年化波動性為
在美國，通常認為（因為美國每年有252個交易日）。因此如果某資產的，那么就可以算出年化波動率為
當然也可依上式算出月波動率等：時，
南安瀑布緊鄰著省道臺30線流入樂樂溪。
樂樂溪，又稱樂庫樂庫溪、拉庫拉庫溪，是秀姑巒溪第一大的支流。樂樂溪本身源流為米亞桑溪，發源於中央山脈最高峰秀姑巒山東側，但整個水系的最遠源流則為其支流馬霍拉斯溪，發源於中央山脈的馬博拉斯山東側。米亞桑溪與發源自達芬尖山的另一支流塔達芬溪（即拖馬斯溪）合流後，始稱為「樂樂溪」。
此後逐漸匯集南北兩側各大支流，南邊為闊闊斯溪、伊霍霍爾溪與黃麻溪等溪；北邊為馬霍拉斯溪、馬戛次托溪（即明貢溪）與阿不郎溪（即塔洛木溪）等溪。匯流上述諸溪後，樂樂溪在卓樂（卓麓）的卓富大橋前與清水溪匯流，然後至玉里鎮安通附近匯入秀姑巒溪。該溪流經花蓮縣卓溪鄉與玉里鎮兩鄉鎮。
該溪流域西為中央山脈南二段主稜，南有新康山支脈，北面則是馬博拉斯山、馬利加南山東峰、布干山至玉里山稜線，周邊高山環繞。
拉庫拉庫溪的「拉庫拉庫」或「樂庫樂庫」，來自於布農語：「Luk-Luk」。有三種說法：第一種說法是溪邊有很多無患子樹；第二種說法則是溪流沖打石頭所發出的聲音；第三種說法則是指「石頭很軟」，容易受水切割。
該溪流域多峽谷瀑布也可由此而見。
「樂樂」來自於閩南語「濁濁」的諧音。是指該溪較下游的支流清水溪混濁，所以取名為濁濁溪（即為樂樂溪，另日語漢字「樂樂」發音為Raku-raku）。亦有稱作「濁水溪」。
*樂樂溪：花蓮縣玉里鎮、卓溪鄉
該流域目前多數居民為布農族巒社群（takebanuad）。
樂樂溪流域為玉山國家公園範圍，在南安設有遊客中心。附近則有瓦拉米步道（瓦拉鼻步道）、日治八通關越嶺道、拉庫拉庫溫泉（大分溫泉）、南安瀑布、山風瀑布等景點。
余光中曾為樂樂溪作詩〈拉庫拉庫溪〉如下：
在新中橫公路的三條計畫路線當中，玉里玉山線（改編前的原臺18線）是沿著樂樂溪谷開闢，並按照八通關越道路（即八通關古道日治部分）原有路基上計畫興築。目前，山風以西之路段已被放棄開闢，僅將山風至玉里之路段開通，並於2006年與玉長公路合併被編入為臺30線。
樂樂溪流域尚有清代所修建的「中路」（現八通關古道清古道部分）。
*楊南郡、王素娥，1988《玉山國家公園八通關古道東段調查研究報告》，南投：內政部營建署玉山國家公園管理處。
*中華民國國家公園學會，1996《玉山國家公園拉庫拉庫溪水生生物相調查》南投：內政部營建署玉山國家公園管理處。
*中原大學建築系，1999《 玉山國家公園拉庫拉庫溪流域布農族舊部落調查研究 》報告書。南投：內政部營建署玉山國家公園管理處。
*顏亮平，1999《拉庫拉庫溪流域布農族居住文化變遷之研究》，私立中原大學建築學系研究所碩士論文
*中原大學建築系，2001 《拉庫拉庫溪流域日治時期遺址原地保存之可行性研究與初步規劃》報告書。南投：內政部營建署玉山國家公園管理處。
*中原大學建築系，2002 《拉庫拉庫溪流域人文史蹟原址保存或復舊工程之整體規劃》報告書。南投：內政部營建署玉山國家公園管理處。
*林一宏，2004 《八二粁一四五米：八通關越道路東段史話》。南投：玉山國家公園管理處。
*林一宏、顏亮平，2000 〈拉庫拉庫溪流域布農族舊部落與建築之踏查〉《國家公園學報》10(2)：249-273。
*林一宏，2001 〈拉庫拉庫溪流域八通關越嶺道東段日治時期遺址之調查與考證：以駐在所為主體〉《臺灣文獻》52(1)：407-429。
*林一宏，2000〈八通關越嶺道東段四處駐在所遺址之研究〉，收於中華民國建築學會編《第十二屆建築研究成果發表會論文集》，頁205-208。臺北。
*林一宏，2000〈玉山國家公園拉庫拉庫溪流域布農人舊聚落與建築踏查〉，行政院文化建設委員會中部辦公室主辦、屏東縣立文化中心承辦「原住民文化資產研習營：原住民舊社保存與文化傳承」研討會論文，頁57-86。屏東。
* 拉庫拉庫溪雲煙：拉庫拉庫溪的人文史蹟探索
*  玉山國家公園東部園區史前史之研究(pdf)
在數學中，代數數論是數論的一支，其中我們將「數」的概念延伸，以解決具體的數論問題。我們在代數數論中考慮代數數，這類數是有理係數多項式的根。與此相關的概念是數域，這是有理數域的有限擴張。在此框架下能推廣整數為代數整數，並研究一個數域裡的代數整數。
代數整數在加法、減法與乘法下構成一個環，但整數的許多性質並不能推廣到一般數域裡的代數整數上，其中一個例子是素因數分解的唯一性（又稱算術基本定理），這是十九世紀數學家試圖證明費馬大定理時遇到的主要阻礙，然而代數數論的應用不僅止於此。數學中一些較深入的理論有助於讓我們了解代數數與代數整數的性質——包括伽羅瓦理論、伽羅瓦上同調、類域論、表示理論與L-函數的相關理論等等。
數論中的許多問題可藉由「模 p」（其中 p 為素數）來研究。這套技術導向p進數的建構，而p進數是局部域的例子；局部域的研究運用了一些研究數域時的相同方法，但是通常更容易處理。一般數域上的陳述常與各個局部域上的相應陳述有關，例如哈瑟原理：「一個有理係數二次方程在有理數域上有解，若且唯若它在實數上及在每個素數 p 之 p進數域上有解」。這類結果往往被稱作局部-整體原理，其中「局部」意指局部域，而「整體」意指數域。
代數數域K的整數環OK的元素的素分解和整數環Z的素數分解有不同之處，不是每個OK的元素都唯一分解。雖然OK元素的唯一分解束在某些情況下可能成立，如高斯整環，但在其它情況下可能會失敗， 如二次域Z √-5中，6就不是唯一分解|:
OK的理想類群是一個整數環OK的元素是否唯一因子分解的度量，特別是當整數環OK理想類群是平凡群時，當且僅當O為唯一分解整環。0的唯一因子分解和OK素理想間關系。
OK元素的唯一分解可能成立：這時OK的理想的唯一分解成素理想（即它是一個戴德金整環）。這使得在研究OK的素理想尤其重要。從另方面，從整數環Z更改為代數數域K的整數環OK后，整數環Z中素數就能生成Z素理想（其實，Z的每一個素理想（p）的形式是：pZ）可同一素數在O中可能不再生成素理想，例如，在高斯整環中，理想2Zi不再是素理想：
但理想3Zi是一個素理想。高斯整環唯一因子分解完整的答案使用費爾馬大定理，其結果為：
得出這種簡單的結果對更一般的整數環來說是代數數論的基本問題。當代數數域K是有理數Q的阿貝爾擴張時（即有交換伽羅瓦群的擴張）類域論實現了這一目標。
（根據類域論，因K為有理域Q時OK才有唯一分解，以下K=Q，注意有理域Q和有理數域不同，實域R和實數域不同）
在OK素理想的概念的一個重要的推廣是理想論，也叫賦值論，這兩種方法之間的關系如下：
運算為通常的絕對值函數|·|，映射有理域Q→實域R的，令絕對值函數|·|p:  定義稱為p-adic絕對賦值，p∈Z中的素數。由奧斯特洛夫斯基的定理，所有p-adic絕對賦值對Q是等價類,p-adic絕對賦值可看成類似通常素數。更普遍的，代數數域K的絕對賦值稱為一個素點。K中素元分兩類：像p-adic絕對賦值|·|p這種等價類是有限的，被稱為有限素元（有限素點）。而通過復域C的模|·|方式定義的素元可看成復域C一個無限子集，被稱為無限素元（或無限素點）。因此，一般表示Q的素元集合為{2，3，5，7，...，∞}，在這種情況下|·|∞是有理域Q的素元（素點）。
K的無限素元可有嵌入同態K→C（即非零的環同態，從K到C）。具體來說，可把嵌入分成兩個不相交的子集，那些像在R中算一個子集S1，其余的為另一子集S2。S1的每個嵌入σ：K→R，對應唯一一個和通常絕對值一樣的絕對賦值;這種方式產生的一個素元的被稱為一個實素元（或實素點）。S2的一個嵌入τ：是K→C不包含在R中的的像，可以形成另一個唯一的嵌入τ，稱為共軛嵌入，組成的復共軛映射為τ的C→C.而此絕對賦值為復數的模：|''z''| =
。這樣的素元叫一個復素元（或復素點）。這樣無限素元的集合的描述如下：每個無限素元對應到一個唯一的嵌入σ：K→R，或一對共軛嵌入τ，τ：K→C.實素點素數表示為''r''1 ，復素點表示為''r''2，嵌入?→C的總數為''r''1+2''r''2，（事實上，等于K/ Q的擴張次數：K：Q）。
算術基本定理說明Z環的乘法結構為：每一個非零整數可以表為唯一的若干素數次冪和±1乘。這對OK的理想的唯一分解對一部分理想正確，不能全正確是因為±1，因為整數1和-1是Z環的可逆元素（即單位，兩者組成一個乘法群叫單位群，記為Z×，是個2階循環群）。更普遍的是，在OK的形式下全部素元乘法可逆組成一個乘法群，記為O×，群素元稱為OK的單位，這個群比2階循環群Z×階大。由狄利克雷單位定理可得：單位群是交換群。更確切的有伽羅瓦模形式：
:OK  Z⊕r⊕（有限循環群）。
有限循環群即為K的單位群O×。OK單元群的階大小，OK的格結構，在類數公式可以看出。
在素點w對數域K完備化給出了一個完全域。如果賦值是阿基米德賦值，得到R或C，都是完全域。如果非阿基米德賦值，則是有理素元的離散賦值，得到有限擴張''K''w / Qp: ：這離散賦值域也是一個完全域，且是有限剩余域。
局部方法簡化了域的算術，能局部研究問題。例如克羅內克韋伯定理，可以輕松地從局部狀態進行。局部域的研究背后的哲學，主要是出于幾何方法。在代數幾何，可通過對極大理想的點集局部化的變量研究入手。而全局信息，可通過局部化綜合在一起得出。在代數數論，局部研究問題是主要方法之一，通過在數域代數中對整數環的素元入手，再對分式域研究得出全局信息。
理想類群階的有限性問題。代數數論一個經典結論是：代數數域的理想類群階有限。
理想類群階大小叫類數，常記為h。
*狄利克雷的單位定理提供了OK 單位乘群O× 的結構描述，它指出:OK Z⊕r⊕（finite circle group）其中有限循環群是O×的所有單位根組成，且''r'' = ''r''1&nbsp;+&nbsp;''r''2&nbsp;?&nbsp;1，或者說，OK是階為''r'' = ''r''1&nbsp;+&nbsp;''r''2&nbsp;?&nbsp;1的有限阿貝爾群，且其扭元素由O×的所有單位根組成
* Kenneth Ireland and Michael Rosen, "A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition", Springer-Verlag, 1990
* Ian Stewart and David O. Tall, "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem," A. K. Peters, 2002
* Jürgen Neukirch, ''Algebraic Number Theory'' (1999), Springer. ISBN 3-5406-5399-6
* Jean-Pierre Serre, ''Cours d'arithmétique'' (1988), PUF. ISBN 2-13-041838-X
林安泰古厝，又稱榮泰厝（臺語：?ng-thài-tshù），是位於臺灣臺北市中山區濱江公園的四合院，原於乾隆年間建在今大安區，1978年因道路拓寬而拆遷，引起古蹟保護運動，促進《文化資產保存法》立法，1984年遷建後作民俗文物館之用，今列歷史建築。
林安泰古厝裝飾
林安泰古厝為明清時期閩南風格的單層二進四合院住宅，具水形山牆、燕尾式屋脊，以祭祀祖先的正廳為中軸，前有凹巢三川門，外有前埕、月眉池。整體建築有正屋、上院、下院、左右配院、上下院次梢間、門房、過水、臥房、護院、書塾。比起一般四合院建築，前廳別具特色，將四根主要的金柱移在廳內，以擴大使用空間。建造不使用明釘，全以接榫、暗釘或楔子接合。因多次建設，所用土磚就有六種、石材三種。
進到正廳，可發現地磚特地以菱形交會成人字形，象徵家族興盛、來訪客人川流不息。透雕窗也象徵子嗣綿綿不絕，為六隻螭虎環抱一香爐。正廳神龕門各刻一百五十朵牡丹花，花姿不一，綻放程度並不相同。神龕下方以夔龍圖騰組合成「福、祿、壽、全」四字，周圍雕刻「老萊子彩衣娛親」及「堯請舜出仕」、「孫真人點龍睛」、「許真人醫虎喉」等古典故事。
在風水學上，後院兩座井為龍眼。但建築大安國中、拓通四維路時，井所在土地已被政府徵收。
林安泰古厝正廳
乾隆十九年（1754年），福建省泉州府安溪縣積德鄉雜貨商人林欽明渡海，家族在艋舺開設名為「榮泰行」的商行，經商富有後，先在現今的羅斯福路興屋治產，至乾隆末年，又買下現在松山、內湖的地。
相傳臺北有「一鳥、二關刀、三蛇、四蓮花」四大風水穴，其中「三蛇」原位於四維路141號的林安泰古厝所在，又稱「南蛇拜斗，蛇頭向七星」。林欽明四子林志能從福建請來的風水師，選在這地興建大宅。當時淡水河支流可直通到現在的敦化南路附近，故建屋所需的閩南磚、黑心石、福杉都可直接由船運到工地。約建於乾隆四十八（1783年）至五十年（1785年）興建，宅名「安泰」取自安溪地名以及榮泰行的「泰」，建築面積二百六十四坪，前後經五次闢建，道光初（1820年代）才完工，地基隙縫刻意填塞道光通寶、內護龍條環木板也刻著道光通寶造型。