ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
以下示範如何使用分數傅立葉轉換和Cutoff line來將噪音濾除:
步驟(1) 首先決定cutoff line和縱軸f-axis的夾角
步驟(2) 利用分數傅立葉轉換對時頻分布旋轉 ，使 cutoff line 垂直橫軸 t-axis。
步驟(3) 算出 後，再利用低通遮罩(Low pass Mask)將噪音濾掉。
步驟(4) 最後再做一次分數傅立葉轉換 ，將時頻分布旋轉回原來的位置。
令接收到的信號為 ，最後得到的信號為 ，可將以上步驟用數學式子表示如下:
:假設發射一信號s(t)，中間受到雜訊干擾，最後收到的訊號為f(t)=s(t)+noise
:399x399像素
:(a) 發射訊號的時域圖
:(b) 接收訊號的時域圖
:(c) 發射訊號的韋格納分布  412x412像素
:(d) 接收訊號的韋格納分布，有由此可見cross-term已經大大的影響時頻圖的可見姓，加上雜訊後的韋格納分布更是無法清楚地將訊號分離開來
:(e) 發射訊號的加伯轉換
:(f) 接收訊號的加伯轉換
:415x415像素(g) 接收訊號的加伯-維格納轉換
:(h) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊
:(i) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊
:371x371像素
:(j) 對(i)做分數傅立葉轉換
:(k) 利用高通濾波器濾波，把兩條cutoff lines設置在低頻
:(l) 經過(k)濾波器以後
:(m) 透過同上的手法再做兩次低通濾波器，把旁邊兩條線給去除後可得到的還原訊號
:(n) 發射訊號(藍色)和還原訊號(綠色)的比較，兩者的MSE僅有0.1128%
由以上可知，透過分數傅立葉旋轉時頻圖的技巧來設計濾波器，我們可以精準地還原訊號
一樣假設接收訊號受到了雜訊干擾
(a) 發射訊號
(b) 接收訊號
(c) 接收訊號的韋格納分
(d) 接收訊號的加伯轉換
(e) 接收訊號的加伯-維格納轉換，在這邊的濾波器需要五條cutoff lines(藍線)，但有兩條是垂直時間軸，可以直接在時間軸上去除，剩下的三條則需要利用分數傅立葉轉換來去除。
(f) 還原訊號，MSE僅0.3013%
優點: 運算複雜度較低，有快速傅立葉轉換的演算法。
缺點: 僅有一個維度，頻域，來分析；雜訊若和訊號重疊，則難以分離。
分數傅立葉轉換
優點: 運用旋轉的技巧在時頻圖上去除雜訊，多了一個維度,時域，來分析；除非雜訊和訊號同時在頻域和時域上重疊，否則將可以分離兩訊號。
缺點: 運算複雜度較高。
其他的時間-頻率變換：
*  DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions
*  Class notes of Time frequency analysis and wavelet transform --  from Prof. Jian-Jiun Ding's course website
* N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," ''Journal of Mathematics Physics MIT'', 18, 70-73 (1929).
* V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," ''J. Inst. Appl. Math.'' 25, 241–265 (1980).
* Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," ''IEEE Trans. Sig. Processing'' 42 (11), 3084–3091 (1994).
* Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," ''IEEE Trans. Sig. Processing'' 49 (8), 1638–1655 (2001).
* D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," ''SIAM Review'' 33, 389-404 (1991).  (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
* Haldun M. Ozaktas,  Zeev Zalevsky and  M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics.
* Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013
臺灣省濁水溪與大肚溪流域自然史與文化史科技研究計畫，簡稱濁大計畫，是由中央研究院歷史語言研究所、國立臺灣大學和耶魯大學共同合作的研究計畫，主要目的是對臺灣的濁水溪、大肚溪流域進行古今的人地關係研究，自1972年開始實施、至1976年結束，由張光直主持，行政院國家科學委員會、美國國家科學基金和哈佛燕京學社資助。這個計畫重要的意義在於將科技合作和生態研究的概念帶進了臺灣考古學，使得臺灣的考古可以有更進一步的發展。
* 中央研究院歷史語言研究所91年度計畫書 實施方式－【分支一】考古發掘遺物、照片、記錄與檔案
皮埃爾·伐里農皮埃爾·伐里農（Pierre Varignon，），耶穌會神父，法國數學家。生于卡昂，卒于巴黎。他的貢獻主要在靜力學。他是首個說明力距的概念和計算的人。
他是法國應用微積分的先軀之一。他用萊布尼茲的微分體系，簡化了牛頓有關力學的數學證明。1699年，他應用微分來計算液體流動的問題。1702年運用微積分計算以彈簧控制的時鐘。
行房姿勢、性姿勢、性體位或性交體位，泛指參與性行為者所采行的姿勢。
印度《欲經》的展示圖之一
《紅樓夢》第23回中賈璉要求王熙鳳改變一些新奇的姿勢，“只是昨兒晚上，我不過是要改個樣兒，你就扭手扭腳的。”
;一般使陰莖與陰道交合的一些身體姿勢：
*正常體位：女仰臥平躺，兩腳伸直，男方身體在其上。
*泰山壓頂式：女仰臥平躺，抬起雙腳並伸直，男方俯身兩腿伸直，姿勢如做-{zh-cn:俯臥撐;zh-hk:掌上壓;zh-tw:伏地挺身;zh-sg:俯臥撐;zh:掌上壓;}-般進入私處。
*蝸牛回巢式：女仰臥平躺，抬起雙腳並屈膝，男方跪姿進入。
*河童上滑石式（女俯臥之後趴位），女方趴臥背對男方，雙腳稍微分開，而男方在女方臀部後方進入私處。
*狗仔式（女俯臥之膝肘位）：女方趴著，將兩腳分開跪著，把臀部翹高，手掌和膝蓋貼地呈貓式。男方以跪姿扶著女方腰部，緊貼女性臀部進入私處。
*隔山取火式 （女俯臥之膝肘位）：姿勢如狗仔式，男方進入私處後，一邊扭身與女方親嘴，增加雙方交流。
*老漢推車式：女俯臥之趴著，將兩腳分開直立，把臀部翹高。男方以站姿扶著女方腰部，緊貼女性臀部進入私處。
*床上互抱式（女側臥），雙方躺著並抱住對方，面對面的姿勢進入私處。
*樹熊背抱式（女側臥之後側位）：雙方方向側躺，女方稍微向後翹起臀部，男方在女方後側進入私處。
*半邊燒鵝脾式（女側臥之側入體位）：女方側躺，並提起一隻腳，男方跪著進入私處。
*觀音坐蓮式（男仰臥女上位，騎乘位）：男方平躺，腳伸直或坐在床緣，女方雙腿分開，坐在男方上面，面向男方，將私處插入，快速地前后擺動。
*倒騎驢式（男仰臥女上位，騎乘位）：男方平躺，腳伸直或坐在床緣，女方雙腿分開，坐在男方上面，背向男方，將私處插入，快速地前后擺動。
; 家具在姿勢上的輔助或限制：
: 枕頭或性愛枕或情趣家具（如桌子、椅子、躺椅、床等）主要是以生殖器的接觸為採用目的，不同類型的器具在不同的特定姿勢進行。但也可能反而會減少男女雙方動作上的變化性，身體四肢被家具所限制住。
*高腰位的正常體位：女性平躺，在腰部下方墊枕頭或性愛枕以提高臀部，雙腳打開。
*跑馬射金錢式：女性躺在床邊，讓腿可以自然垂在床邊的位置，讓男性站在床前的姿勢
:——此時女方可以讓腿自然垂在床邊，或是身體躺著而使兩腳跨勾著男方的腰，在男方往前挺入的時候，女方的兩腳可以順勢幫助男方深入。
*床邊咬庶式，：女方側躺於床上，女方稍微向後翹起臀部，男方站於床邊進入私處。
:尚有一些雙方面對面，同採坐姿、跪姿或站姿的性交體位。
* 蟾蜍食日式 / 女上式－男方先坐定，雙手撐住後方；而女方騎至男方大腿上，膝蓋跪地。或是可將雙腿纏繞住男方的腰，擁抱對方。
* 大海撈月式 / 八爪式－雙方都坐在地上，並將雙手撐住後方。男方腳打直，而女方將臀部靠近男方下體，先插入之後，再將雙腿跨至男方肩膀上。此姿勢容易剌激G點，讓女方獲得快感，呻吟不斷。
* 搖籃式－男方先平躺，女方先採女上位讓男方插入私處。接著男方慢慢將身體打直，變成坐姿，但不將陰莖拔出，此時雙方用雙腿纏住對方的臀部、將雙手穿過對方的膝蓋下方，進而抱住對方，像個搖籃一樣進行搖擺。
* 求婚式－男女雙方面對面，以求婚的方式下跪並緊貼對方，但需以不同腳下跪，男方從正面插入私處。
* 扶椅式－男方先採跪坐的姿勢，而女方則跨坐至男方的陰莖上插入私處，並同採跪姿。
* 大字式－雙方都採站姿，女方站的地方要比男方稍高，雙腿張開比肩膀寬，男方從正面插入私處。
* 老樹盤根式－首先男方站立，女方坐在大約與男方臀部同高的桌上，雙腿環繞住男方腰部，而男方雙手扶住女方臀部插入私處。
* 金雞獨立式－類似火車便當式，但女方背後緊貼牆壁，以減輕男方的負擔，雙腳纏繞住男方大腿讓男方插入，形成的畫面會有如金雞獨立一般。
* 火車便當式 / 龍舟掛鼓式，男方站立並抱起女方，女方雙腳纏住男方的腰、雙手勾住男方脖子，讓男方插入私處。此姿勢仰賴男方的腰力及臂力，較為高難度。
* 乞兒煲飯式－此姿勢男方蹲著，後腳跟不著地，以前腳掌支撐；而女性面對面讓男方抱住，雙腳交叉於男方腰部。此乃一高難度的性交體位，若男性臂力不夠，則易使後腳根受傷。這名稱是一種神態的描述，由於乞兒拿著飯煲蹲在地上煲飯時，因後腳跟不著地，身體總是會不停上下搖晃著。
; 參與者超過兩人時
二人以上同時性行為姿勢從雙人姿勢衍生而來。
; 其他性接觸部位
除了性交姿勢之外，人們的一些不同部位的性接觸，例如肛交、指交、拳交、口交（為男人陰莖口交，為女人陰戶口交、舔肛、雙人69式等）或非插入式性行為（手交、足交、乳交、股間性愛、女女交叉或陰莖摩擦）等，一般則歸入更為廣義的人類性活動。
* Hooper, Anne J., "Sexopedia". DK Publishing; 1st American ed., Dec. 1, 2002 ISBN 0-7894-8958-9 272 pages
* Hooper, Anne J., "Anne Hooper's Kama Sutra". DK Publishing. 1st ed., January 1, 1998. ISBN 1-56458-649-9 160 pages
* McMeel, Andrews and Lisa Sussman. "Sex Positions". October, 28 2002 ISBN 1-84222-266-X
* Bodansky, Steve and Vera Bodansky "The Illustrated Guide to Extended Massive Orgasm". Hunter House. 1st ed., June 2002. ISBN 0-89793-362-1 235 pages
* Kemper, Alfred M. "Love Couches Design Criteria", 1972, Los Angeles. Library of Congress #75-36170. 101 pages. Design criteria for assistive furniture, with sections on accommodation of disabled persons.
*  Flash Animations for 21 positions of performing sexual intercourse
*  Six Best Sex Positions
*  BetterSex Positions of the Week
*  Animated Sexual Positions
*  Sex Positions to hit the g spot
*  Kama Sutra Animated - Explanations with Macromedia Flash animations for sex positions
*  Gay Sex Positions - Gay and Lesbian Sex Positions
*  Indian History On Sex
*  Kamasutra positions and history
*  Guide to Sex for Large Couples
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*  Sex Positions in a car (Humor)
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*  Sex Positions for Older People
* 膣イキしやすい體位について
此錶盤展示地質學時間及地球歷史事件。冥古宙40億前年部分為無生命時期，其餘部分體現了生命之演進。最後二百萬年的第四紀為人類時間，在圖中太短而看不到。
地球上出現了生物的演化歷程。
生命演化歷程紀錄地球上生命發展過程中的主要事件。本條目中的時間表，是以科學證據為基礎所做的估算。生物演化指生物的族群從一個世代到另一個世代之間，獲得並傳遞新性狀的過程。並解釋長時段的生物演化過程中，新物種的生成與生物世界的多樣性。經歷數十億年的演化與物種形成，現在的各物種之間皆由共同祖先互相連結。
以下的列表除非有寫公元或西元，否則是從現在開始算，如6500萬年前是指距離現在已有6500萬年的時間了。
137.98±0.37億年前
136億年前
銀河系誕生。
45.7億年前
太陽在一個坍縮的氫分子云內形成。
地球從環繞早期太陽旋轉的吸積盤之中形成。
45.33億年前
依大碰撞假說，原始的地球與忒伊亞相撞，在原始地球周圍產生一個環，這個環在數百萬年之後形成月球。重力的拉扯使地球的自轉軸傾斜，建立了地球生命的形成環境。
42-40億年前
地球表面溫度降低使地殼得以凝固，大氣與海洋形成。
最早生命的出現，可能是源於能夠自我複製的RNA分子。這些生命的繁殖所需要的資源有限，所以不久之後便開始競爭。由於天擇青睞在複製上更有效率的分子，因此DNA逐漸成為最主要的複製物。
後期重轟炸期（41~38億年前）：地球、月球、火星及金星受到小行星及彗星（微行星）撞擊的高峰期。連續的干擾可能誘發生命的演化（參胚種論），海洋被完全煮沸。
38-35億年前
最後共同祖先（原核生物）在古太古代出現，屬于單細胞生物，分化出細菌及古細菌。同時細胞結構出現。早期原核生物都是化能生物。
細菌發展了光合作用的原始模式，但最初不會產生氧。這些生物透過電化學梯度產生三磷酸腺苷（ATP），以二氧化碳為碳源及氧化無機物來抽取能量。後來原核生物演化了糖酵解，從如葡萄糖的有機物釋出能量。糖酵解產生了現今所有生物都用到的三磷酸腺苷分子來臨時儲存能量。
32-30億年前
微生物開始造巖，疊層巖出現。
28-25億年前
能進行光合作用的藍菌出現，牠們以水為還原劑，並排出氧。氧首先將海洋中的鐵氧化，產生鐵礦石。氧在大氣層的濃度上升，對厭氧細菌都有毒。
26-25億年前
大氧化事件。
25-23億年前
一些細菌演化到有能力去使用氧來有效地從有機物中抽取能量。差不多所有好氧細菌都用相同的三羧酸循環及氧化磷酸化來使用氧；厭氧細菌大量滅絕。
由于大氧化事件，大氣中的還原性氣體基本耗盡。過剩的氧氣開始和海洋和地殼中的鐵元素發生反應，大量紅色的石英砂巖和赤鐵礦形成。
23-20.5億年前
休倫冰河期：由于大氧化事件，大氣層中的強溫室氣體——甲烷被光合作用排放的氧氣消耗殆盡。更多的地表熱量以長波輻射的形式散逸到太空，造成地表溫度驟降。曾經熾熱的地球表面第一次被冰雪覆蓋。
18.5億年前
複雜的細胞出現，包括有細胞器的真核生物。最接近的可能就是古細菌。大部份有細胞器的都可能是從共生細菌衍生而來：粒線體會用像現今立克次體般從有機物抽取能量，而葉綠體則從光及有機物合成能量。這是共同演化的例子。
多細胞生物出現，首先是生活在海洋中的真核藻類。
出現有性生殖，引發更快的演化。大部份的生命於海洋及湖中出現，一些藍菌已經生活在濕潤的泥土中。
12-10億年前
疊層巖達到高峰。
10-7.2億年前
出現大型具刺疑源類，氧氣的累積使臭氧層可以形成；而臭氧層可阻擋太陽的有害輻射，使生命可以在陸地上發展。
7.2-6.35億年前
根據雪球地球假說，成冰紀的冰河時期非常嚴重，連海洋亦完全結冰，只有在熱帶的海水仍保持是液態。
6.65億年前
多細胞動物在海洋出現。（但亦有研究顯示最早的動物生活在湖泊的環境中。）
6.35-5.41億年前
第二個超級大陸潘諾西亞形成于6億年前并于5.4億年前分裂。在埃迪卡拉紀（6.35-5.41億年前）有復雜的多細胞動物埃迪卡拉生物群出現，主要是刺胞動物，其次是多孔動物等，可能生活於淺海近岸的水中。
5.41億年前
5.41億年前發生埃迪卡拉紀末期滅絕事件。
顯生宙是距今5.4億年以來有大量生物化石出現的時期。顯生宙表示在這個時期地球上有顯著的生物出現。而那些看不到或者很難見到生物的時代被稱做隱生宙。
5.4-5.2億年前
寒武紀大爆發產生了大多現今動物的主要的門，其成因仍然存疑。以三葉蟲為主的節肢動物是寒武紀時期種類最多的門。。
5.2億年前
最早的脊椎動物出現。它們的特點是沒有下腭且骨架由軟骨構成，與后代相比還缺少很多特征。
5.0億年前
古杯動物滅絕，剛剛開始的造礁工程就此停止。
在寒武紀至奧陶紀間發生第一次生物集群滅絕，是為寒武紀-奧陶紀滅絕事件；但沒有證據表示有這個滅絕事件。
奧陶紀生命大輻射：屬級分類單元的動物增長了超過3倍，古生代演化動物群（Palaeozoic evolutionary fauna）開始逐漸替代寒武紀演化動物群（Cambrian evolutionary fauna）。鈣藻出現，從而導致浮游生物出現了爆發式的增長，浮游生態系統建立。從浮游生物獲益的苔蘚動物重新啟動了造礁工程。
4.8億年前
甲胄魚類出現，甲胄魚類是有頜下門的祖先。
4.75億年前
珊瑚綱取代苔蘚動物為造礁主力。
4.72億年前
第一批原始植物從綠藻演化並移至陸地上，沿湖邊生長。與它們一同的有真菌，可能植物與真菌是共生的，地衣就是共生的例證。
4.45-4.43億年前
奧陶紀-志留紀滅絕事件發生，大約85%的物種從地球上永遠消失。其規模在顯生宙的五次大滅絕事件中位列第二。此后古生代演化動物群開始占據主導。
4.3-4.28億年前
有頜下門和維管植物出現。
4.3-4.2億年前
節肢動物的外骨骼可以支撐身體及阻止水份流失，是第一類移至陸地的動物。最早的有多足亞門（馬陸及蜈蚣），及後有蝎子。4.67億年前出現的廣翅鱟在志留紀很繁盛，部分物種已經有了在陸地上活動的能力。
4.05億年前
野火現象出現。
首類沒有翅膀的昆蟲，即蠹魚、跳蟲及纓尾蟲出現。
3.87億年前
植物演化出木本植物：木質素和發達的根系。土壤生態系統日益興盛。
3.76億年前
種子植物出現，演化出花粉、種子。種子蕨門是最原始的種子植物，葉片類似真蕨類，種子生長在葉片上。
3.76-3.59億年前
泥盆紀后期滅絕事件發生的時期。
兩次撞擊事件：阿拉莫（Alamo）撞擊事件和錫利揚（Siljan）大撞擊事件。
3.75億年前
Kellwasser滅絕事件。嚴重影響了海洋生態系統。
3.75-3.65億年前
一些淡水的肉鰭魚類發展了支撐結構并成為四足總綱。四足總綱利用牠們的腳走上陸地，可能是為了獵食陸上獵物。兩棲類今天仍保有很多早期四足總綱的特徵。
3.59億年前
Hangenberg滅絕事件。同時嚴重影響了陸地和淡水生態系統，盾皮魚類滅絕。
3.59-2.51億年前
軟骨魚類的黃金時期。
3.5-2.5億年前
卡羅冰河時期在早石炭紀開始，於晚二疊紀完結。由於極移，大部份的岡瓦那大陸從亞洲及南美洲中心至印度及澳洲中心都冰封了。
3.4-3.3億年前
離片錐目、爬行形類出現。
3.25億年前
昆蟲能夠飛行，並出現了多個目（如古網翅目、疏翅目、透翅目及原直翅目）。大部份石松綱、木賊綱的森林覆蓋陸地，植物死亡後變成了煤及原油。裸子植物開始廣泛分化。
3.1億年前
爬行形類的一支演化出羊膜卵，產生了能在地上繁殖的羊膜動物。不久后羊膜動物分裂出合弓綱和蜥形綱。
3.06-3.00億年前
發生石炭紀雨林崩潰事件。地球氣候開始動蕩，干濕季節變得鮮明，冰川導致雨林迅速萎縮分隔成孤立的小塊。它宣告了石炭紀的終結。這場小型滅絕事件帶走了最后的巨型節肢動物。
3.05億年前
巨脈蜻蜓是最大的昆蟲，翅膀展開長達75厘米。
盤古大陸形成及維持了1億年左右。這是地球上的大洲最近的閉合。
3-2.51億年前
羊膜動物的的一支合弓綱占據了陸地生態系統的主導。
2.99億年前
由于石炭紀雨林崩潰事件。石松類衰落，種子蕨和裸子植物興起，季節性的針葉林開始發育。植物已經出現了地理區系的分化。
2.75億年前
獸孔目出現，使合弓綱脫離了蜥蜴的樣貌。
2.65億年前
最初的主龍形下綱動物出現。
2.59億年前
峨嵋山暗色巖事件發生，導致繁盛一時的恐頭獸亞目滅絕。發生后其他獸孔目和副爬行動物占據了陸地生態位。
2.51億年前
二疊紀-三疊紀滅絕事件滅絕了約90%的物種，這是最嚴重的生物集群滅絕。滅絕過後，水龍獸是地表最常見的動物。主龍類開始演化出許多分支。大氣層的氧含量下降至16%。一些桿狀菌菌株2-9-3的孢子被困在新墨西哥州的鹽結晶中，於2000年重新活躍及分裂，是世界上最古老的生物。
2.51-2億年前
氣候非常乾燥，適合這種氣候的主龍類及裸子植物得益。主龍類已經分化為偽鱷類、恐龍及翼龍目等。裸子植物（松柏門及蘇鐵門佔大部份）是陸地上的主要植物。
2.46億年前
各種以雙殼類（包括腕足動物）為食的動物類群明顯增多。與雙殼綱的繁盛同步。
在合弓綱中，演化出哺乳動物的首個先軀獸孔目，特別是真犬齒獸下目。所有哺乳動物幼時都有乳腺及能保持恆常體溫。常染色體對中的一個得到SRY基因（從X染色體的SOX3基因衍生而來）成為Y染色體，長度亦縮短了。
三疊紀-侏羅紀滅絕事件發生。恐龍從滅絕事件中存活，並繁盛起來。聯體病毒科可追溯至這個或更早的時期。
1.9-1.5億年前
現今的兩棲類，滑體亞綱包括無尾目、有尾目開始出現。
1.83億年前發生的托阿爾階滅絕事件對於海生生物的影響最大，尤其是菊石等軟體動物。
1.8億年前
盤古大陸分裂為幾個大陸，最大的是岡瓦那大陸，由現今的南極洲、澳洲、南美洲、非洲及印度組成，南極洲當時還是一片森林。北美洲及歐亞大陸當時仍然連接，是為勞亞大陸。
1.8-1.44億年前
軟骨魚綱的第二次主要演化事件。
1.64億年前
最早能游泳的哺乳動物近親獺形貍尾獸出現。
1.6億年前
3米長的五彩冠龍在中國西北的新疆出現，是早期的暴龍超科。
1.5億年前
恐龍甚為普遍及多樣化，有腕龍、迷惑龍、劍龍、異特龍、細小的嗜鳥龍及奧斯尼爾龍。鳥類從獸腳亞目演化出來。始祖鳥是鳥類的近親。
1.30億年前
被子植物演化出可以吸引昆蟲及其他動物散播花粉的花朵。被子植物的革新引發動物的演化及共同演化；帝龍在中國滿洲生活，有羽毛及體長1點6公尺。
1.25億年前
現今有胎盤哺乳動物的祖先攀援始祖獸出現，牠像現今的睡鼠。鸚鵡嘴龍是後期有角恐龍的祖先。
1.23億年前
千禧中國鳥龍有原始的羽毛但不是用作飛翔，其他有羽毛恐龍包括中華龍鳥及長城鳥。其他恐龍包括多刺甲龍及始暴龍出現。
1.20億年前
只有25厘米闊的森林翼龍在中國遼寧出現。
1.17-1.16億年前
阿普第階滅絕事件發生。根據地層中的證據，此事件對海洋生物造成較大的影響，對陸地生物則較小。
1.10億年前
帝鱷出現。肉食性恐龍包括馳龍科的恐爪龍及棘龍科，草食性恐龍包括波塞東龍、高吻龍及蜥結龍。
1.00億年前
鯊齒龍及南方巨獸龍出現。
8800萬年前
印度及馬達加斯加大陸分裂。
8000萬年前
蜥腳下目、鴨嘴龍科、角龍科及獸腳亞目很多的恐龍種類出現，超過一半已知的恐龍都是在中生代的最後3千萬年。印度開始移往歐亞大陸。
7500萬年前
人類及老鼠的最後共同祖先出現。
白堊紀-第三紀滅絕事件將差不多一半的動物物種消滅，是因小行星撞擊揚起銥微塵覆蓋整個地球，引起氣候變冷所致。墨西哥的希克蘇魯伯隕石坑出現。沒有了非鳥恐龍，哺乳動物的多樣性及體型得以增長。
6000萬年前
古食肉目（可能是細齒獸類的祖先）在北半球出現，於520萬年前滅絕。已知最大的蛇泰坦巨蟒生活在南美洲熱帶雨林。
5500萬年前
被子植物演化出多肉的水果和營養豐富的堅果和種子。
一些哺乳動物重回海洋，其他的亦開始演化成能飛行，如蝙蝠。一類細小、生活在夜間及棲息樹上吃昆蟲的靈長總目分支出靈長目、樹鼩。靈長目有雙目視覺及抓東西的指，可以幫助從一顆樹跳往另一顆。
澳洲從南極洲中分裂出來。最早的真靈長類首次於北美洲、亞洲及歐洲出現，例如美國懷俄明州的辛普森氏果猴及中國雲南的亞洲德氏猴。尖吻鯖鯊可能是大白鯊的祖先。
5250萬年前
最早的翼手目芬尼氏爪蝠出現。
5000萬年前
馬由始祖馬開始進行演化。鯨魚及海豚的祖先遊走鯨可能像海獅般在陸地上行走及像水獺在海中游泳，牠的腳有蹼，並且是以耳朵聽聲音。''Pezosiren portelli''是現今海牛的祖先，像河馬般在陸地上行走及像水獺在海中游泳。細齒獸類包括小古貓屬是所有狗、貓、熊、浣熊、狐貍、土狼、狐狼及麝貓的祖先，是肉食性及像鼬鼠般可以爬樹。現代的銀杏出現。
4650萬年前
遊走鯨後代的羅德侯鯨是鯨魚的祖先，開始不再飲用淡水。
4300萬年前
始祖象出現，有長的鼻，但沒有象鼻或象牙。
4000萬年前
靈長目分支成原猴亞目及簡鼻亞目，簡鼻亞目是白天活動及草食性的。
3700萬年前
龍王鯨的後肢開始縮少及發現完好，聽覺開始經下顎傳至中耳。在埃及的鯨魚谷當時是在水中，龍王鯨未有呼吸孔，要把頭部伸出水面呼吸。原猴亞目的早期祖先''Biretia fayumensis''及''Biretia megalopsis''在埃及沙漠出現。
3500萬年前
禾本科從被子植物中演化出來。
3000萬年前
簡鼻亞目分支成闊鼻小目及狹鼻小目。闊鼻小目有卷尾及遷移至南美洲，雄性是色盲的。狹鼻小目留在非洲，其中一種祖先可能是埃及猿。''Bugtipithecus inexpectans''、''Phileosimias kamali''及''Phileosimias brahuiorum''像現今的狐猴是生活在巴基斯坦中部布格蒂丘陵的雨林中。所有貓的祖先原小熊貓生活在歐洲的樹上，在2000萬年前滅絕。
2750萬年前
巨犀生活在蒙古。
2500萬年前
狹鼻小目雄性可以看見顏色及失去了費洛蒙。狹鼻小目分支成兩個總科：猴總科及人型總科。猴總科並沒有卷尾，有些甚至原全沒有尾巴。所有人型總科都沒有尾巴。
2200萬年前
印度與亞洲碰撞，產生喜瑪拉雅山及青藏高原。由於濕度被斷絕，中亞洲成為了沙漠。恐象出現，於200萬年前滅絕。部份像狗、熊及浣熊的''Ursavus elmensis''（所有熊的祖先）出現，其體型只有狐貍般大，以植物及昆蟲來補足肉食。第一類貓熊亞科分支出來，當中只有大熊貓能生存至今。巨牙鯊出現，於160萬年前滅絕。海帶目出現，并且形成海藻森林生態系統。
2100萬年前
像獴的生物乘坐植物造成的筏由馬達加斯加漂浮至非洲，並成為所有當地肉食性哺乳動物的祖先。
2000萬年前
非洲板塊與亞洲碰撞。擬指犬是狗的祖先，第五爪縮短了，有現今狗的上爪的影子。牠們的外表像現今的麝貓，腳及腳趾適合奔走。犬科及貓科開始分支。象的祖先嵌齒象出現。
1600萬年前
鮫齒鯨顯示鯨魚的早期回聲定位。
1500萬年前
猿從非洲遷徙至歐亞大陸，成為了長臂猿及猩猩。人類祖先從長臂猿形成。猩猩、大猩猩及黑猩猩都是屬於人科，人類則屬人族。
1300萬年前
人類祖先從猩猩祖先形成。猩猩的親屬開遠祿豐古猿出現。加泰羅尼亞皮爾勞爾猿可能是人科及人類的共同祖先。
1000萬年前
氣候開始變得寒冷乾燥，大草原及草原代替了森林。猴的數量激增，猿則減少。人類祖先從大猩猩的祖先形成。馬進入全盛期並開始擴展至整個北半球。1000萬年前牠們因面對偶蹄目的競爭而衰減。''Tomarctus''是極之像狗的動物。
700萬年前
最大的靈長目巨猿在中國、越南及北印度生活，於30萬年前滅絕。
560萬年前
地中海乾涸，為墨西拿鹽度危機。
500萬年前
人類祖先從黑猩猩祖先形成。最後共同祖先是乍得人猿。最早的人類分支是千年人。黑猩猩及人類的DNA有98%相似，在血紅素中只有一個胺基酸不同。黑猩猩的一類可以在基因上比現今所有60億人更多樣化，因為黑猩猩祖先與人類祖先分支後，人類演化過程中曾經歷種群瓶頸效應之故。黑猩猩及人類的喉頭重新移位至咽及肺部中間，可見共同祖先都有這個語言前身的特質。
480萬年前
人族出現黑猩猩的大小的地猿，並且站立行走。
370萬年前
一些南方古猿在肯雅的火山灰中留下腳印。
300萬年前
雙足的南方古猿在非洲大草原演化，並被恐貓屬所獵殺。非洲南方古猿及鮑氏南方古猿，並其他包括肯尼亞平臉人的屬出現。大猩猩在剛果河南岸消失。現今的馬屬首次出現。恐象的下顎有向下的象牙。
火山爆發及產生很多細小的陸地連結了南北美洲。發生南北美洲生物大遷徙。哺乳動物由北美洲往南遷徙，並造成當地的哺乳動物滅絕。
250萬年前
斯劍虎出現。
220萬年前
大猩猩分裂成西部大猩猩及東部大猩猩。
200萬年前
能人在坦桑尼亞使用原始石器工具，有可能與羅百氏傍人一同生活。布若卡氏區出現。人屬的物種吃肉，而傍人則吃植物及白蟻。一些在剛果河南部的黑猩猩分支出倭黑猩猩，倭黑猩猩生活在雌性主導的社會。斯劍虎由北美洲前往南美洲。
180萬年前
直立人在非洲演化，並遷徙至其他大洲，主要是南亞。
175萬年前
格魯及亞人有直立人及能人的特徵。雕齒獸在秘魯南部生活。
160萬年前
巨型短面袋鼠在澳洲出現，於40000年前消失。像袋熊的麗紋雙門齒獸在澳洲出現，於45000年前滅絕。
150萬年前
猩猩分裂為婆羅洲猩猩及蘇門達臘猩猩。袋獅在澳洲出現，於46000年前滅絕。
100萬年前
犬屬從''Tomarctus''分支出來。灰狐是現今最原始的犬屬。
灰狼遷移至北美洲極地。
地球最後（最近一次）的地磁反轉。
人類與尼安德特人的共同遺傳祖先出現。
直立人使用木炭來控制火，但仍不懂如何生火。
東部大猩猩分支為東部低地大猩猩及山地大猩猩。大角鹿出現，在9500年前滅絕。
35.5萬年前
海德堡人在義大利南部的羅卡蒙菲納火山留下腳印，是最早的人屬腳印。
北極熊從棕熊演化。
19.5萬年前
衣索匹亞奧莫河的奧莫化石遺存是最早的人類。
長者智人練習禮儀及宰殺河馬。
線粒體夏娃在非洲生活，她是所有現今人類的最後女性祖先。
尼安德特人從海德堡人演化及住在歐洲及中東，開始埋葬屍體及照顧病人，有現今人類的舌骨及會使用矛。FOXP2基因出現。
西元前10萬年前
第一個人類從海德堡人演化及在非洲出現。人類生活在南非及以色列。人類經兩個途徑進入亞洲：經中東往北行，及從衣索匹亞往南走，經紅海及阿拉伯南部（參單源論）。突變造成皮膚顏色的改變，以吸收最有效的紫外線。種族開始成立。非洲的人口基因仍然較為分化。
西元前8.25萬年前
人類在薩伊使用鋒利的動物骨頭捕魚。
西元前8萬年前
人類在剛果製造魚叉。
西元前7.4萬年前
多峇巨災理論指多峇湖的超級火山爆發，人類人口只剩2000。6年沒有夏天及緊接的1000年冰河時期。火山灰達5米深覆蓋印度及巴基斯坦。
西元前7萬年前
最近的冰河時期，威斯康辛冰期開始。人類在南非布隆伯斯洞穴以骨頭製造工具，及畫壁畫。他們亦收集貝殼及鑽孔製作頸飾。巨河貍出現，在1萬年前消失。
西元前6萬年前
Y染色體亞當在非洲生活，是人類男性Y染色體的最後祖先。
西元前5萬年前
人類由亞洲延伸至澳洲及歐洲。海岸線的延伸速度較內陸為快。披毛犀在不列顛群島生活。
西元前4萬年前
克羅馬儂人在法國繪畫及捕獵猛獁象。他們有特別的認知能力，使他們成為食物鏈的頂端。澳洲巨大的有袋目滅絕。
西元前3.2萬年前
德國福格海德有第一個雕塑史前獅子人雕像。法國有第一個用鳥骨製的笛。印尼有石器工具。
西元前3萬年前
人類從西伯利亞分幾波進入北美洲，較後的經過白令陸橋進入，早期的可能是以跳島戰術經阿留申群島進入。歐洲人越過大西洋到達北美洲。人類抵達所羅門群島及前往日本。在撒哈拉使用弓箭，在摩拉維亞有首個陶瓷動物模型。
西元前2.8萬年前
在非洲那米比亞出現最古老的圖畫。德國出現最古老的陰莖雕塑。
西元前2.7萬年前
尼安德特人消失，人屬只餘下人類及佛羅勒斯人。捷克出現紡織。
西元前2.5萬年前
從猛獁象牙發明了標槍。
西元前2.4萬年前到西元前2.2萬年前
維倫多夫的維納斯屬於此段時期。
西元前2萬年前
人類在青藏高原留下腳印及手印。從動物脂肪製造油燈。山頂洞人以骨針來縫製動物飾物。猛獁象骨頭在俄羅斯建造房屋。
西元前1.8萬年前
佛羅勒斯人在遙遠的印尼出現。
西元前1.5萬年前
最後的冰河時期完結，海水漫過全球，造成多個近岸地區水浸，將以往的大陸分成島嶼。日本從亞洲分開，西伯利亞與阿拉斯加分開，塔斯曼尼亞與澳洲分開，爪哇島形成，砂拉越、馬來西亞及印尼分隔。一些人類在中東的肥沃月彎開展農業，並且發展城市。因為生產食物及飼養動物，世界人口暴漲。拉斯考克山洞及加拉加斯出現石洞壁畫。
西元前1.4萬年前
全新世滅絕事件開始，超過100種大型哺乳動物消失。
西元前1.15萬年前
斯劍虎滅絕。
西元前1.1萬年前
佛羅勒斯人及猛獁象滅絕。人類首先畜養印度狼。所有現今的狗都是屬於狼。
西元前1.04萬年前
開始種植植物，在近東耕種。耶利哥人口有19000。
西元前8000年前
撒哈拉仍有河流、湖及季候風。日本繩文時代製造全世界最早的陶制容器。人類抵達南美洲的蓬塔阿雷納斯。世界人口達500萬。
西元前6千年前
亞洲西南部、敘利亞、約旦、土耳其及伊拉克種植麥。
西元前4500年前
種植亞洲型稻及非洲型稻。
西元前1200年前
鐵器出現在中東和東南歐，人類開始鐵器時代。
西元前1000年
世界人口達5000萬。
西元前500年
世界人口達1億。
世界人口達2億。
公元1627年
最後一隻原牛於1627年被波蘭獵人射殺，宣告了原牛的滅絕。
公元1662年或1688年-1715年之間
渡渡鳥滅絕。
公元1815年
4月10日，印尼坦博拉火山噴發，它的火山灰幾乎覆蓋了世界的每個角落，全球溫度下降了約5℃，引發了1816年著名的「無夏之年」。
公元1835年
世界人口達10億。
公元1952年
加勒比僧海豹滅絕——最後確定觀察到加勒比僧海豹的紀錄是於1952年的小塞拉納島。西元2008年，美國政府宣佈經過5年搜尋，認為牠們已經滅絕。
公元1969年
人類尼爾·阿姆斯壯在7月21日02:56 (世界時)正式在月球行走。
公元2005年
亞馬遜森林經歷100年來最嚴重的乾旱
公元2008年
白鱀豚功能性滅絕；世界人口約6706993000人。
世界人口超過70億。全新世滅絕事件仍然繼續，最近50年更有上升趨勢。
*   Berkeley Evolution
*  Evolution Timeline
*   Tree of Life Web Project - explore complete phylogenetic tree interactively
*   A more compact timeline at the TalkOrigins Archive
*   Palaeos - The Trace of Life on Earth
*   John Kyrk's Timeline from Big Bang to present
*   University of Waikato - Sequence of Plant Evolution
*   University of Waikato - Sequence of Animal Evolution
*  Timeline of evolution
*   History of Life on Earth
*   Exploring Time from Planck Time to the lifespan of the universe
*  Interactive Plant Evolution Timeline - from the University of Cambridge Ensemble Project
狗髀洲，或稱狗脾洲，是香港的一個島嶼，位於香港島東南部鶴咀半島以南，地區行政上屬於南區的赤柱及石澳選區（D17）。
狗髀洲本名珓杯洲，因為該島的形狀像古時占卜用的珓杯。因以前村民認字不多才誤傳誤寫為發音相近的「狗髀」。
狗髀洲上並沒有居民。
短時距傅立葉變換是傅立葉變換的一種變形，也稱作windowed Fourier transform或time-dependent Fourier transform，用於決定隨時間變化的信號局部部分的正弦頻率和相位。實際上，計算短時距傅立葉變換(STFT)的過程是將長時間信號分成數個較短的等長信號，然後再分別計算每個較短段的傅立葉轉換。通常拿來描繪頻域與時域上的變化，為時頻分析中其中一個重要的工具。
將訊號做傅立葉變換後得到的結果，並不能給予關於信號頻率隨時間改變的任何資訊。以下的例子作為說明：
傅立葉變換後的頻譜和短時距傅立葉轉換後的結果如下：
傅立葉轉換後, 橫軸為頻率(赫茲)
短時距傅立葉轉換, 橫軸為時間(秒)，縱軸為頻率(赫茲)
由上圖可發現，傅立葉轉換只提供了有哪些頻率成份的資訊，卻沒有提供時間資訊；而短時傅立葉轉換則清楚的提供這兩種資訊。這種時頻分析的方法有利於頻率會隨著時間改變的信號，如音樂信號和語音信號等分析。
簡單來說，在連續時間的例子，一個函數可以先乘上僅在一段時間不為零的窗函數再進行一維的傅立葉變換。再將這個窗函數沿著時間軸挪移，所得到一系列的傅立葉變換結果排開則成為二維表象。數學上，這樣的操作可寫為：
另外也可用角頻率來表示：
其中是窗函數，窗函數種類有很多種，會在稍後再做仔細討論。是待變換的訊號。是的傅立葉變換。 隨著的改變，窗函數在時間軸上會有位移。經後，信號只留下了窗函數截取的部分做最後的傅立葉轉換，所得到的結果為一複數函數，代表著信號隨時間與頻率變化的大小與相位。
在離散時間的例子，資料會被切割成數個大量的幀，而每組幀通常會互相重疊，避免因切割方式造成邊界的誤差。而每組幀在各自進行傅立葉轉換後所得的複數結果會再進行相加，可得到每個點時間與頻率變化的大小與相位。數學上，這樣的操作可寫為：
相同地，其中是窗函數，是待變換的訊號。在這個例子裡，m是離散的且ω是連續的，但大部分實際的應用當中，短時距傅立葉轉換在電腦中都是以快速傅立葉轉換進行計算(見實現方法的快速傅立葉變換)，而此時這兩個參數都是離散且被量化的。
當只想要得知特定少數的ω，或是短時距傅立葉轉換每次窗函數移動m的值，則短時距傅立葉轉換可以利用sliding DFT演算法更有效地計算出來。
短時距傅立葉轉換是可逆的，也就是說原本的信號可以藉由反短時距傅立葉轉換將短時距傅立葉轉換後的信號還原。
其中最廣為接受的反短時距傅立葉轉換方法是重疊-相加之摺積法，此方法也促成了更多樣的信號處理方法。
反短時距傅立葉轉換，其數學類似傅立葉轉換，但須消除窗函數的作用，首先必須先將窗函數的總面積規模化使得
而從上也可輕易地得出
連續傅立葉轉換公式如下：
將進行上述的替換：
將積分順序進行交換：
因此傅立葉轉換可以視為某種將所有的短時距傅立葉轉換的相位同調部分進行相加。
而反傅立葉轉換公式如下：
因此 可以從被復原
與上面所列的窗函數的式子進行比較，可得
對反傅立葉轉換公式中的來說是不變的
:另外用角頻率來表示：
窗函數通常滿足下列特性:
# ，即為偶函數。
# ，即窗函數的中央通常是最大值的位置。
# ，即窗函數的值由中央開始向兩側單調遞減。
# ，即窗函數的值向兩側遞減為零。
常見的窗函數有：方形、三角形、高斯函數等，而短時距傅立葉轉換也因窗函數的不同而有不同的名稱。而加伯轉換，即為窗函數是高斯函數的短時距傅立葉轉換，通常沒有特別說明的短時距傅立葉轉換，即為加伯轉換。
當在特殊應用時，窗函數特性的第一點可以不滿足，如下圖的非對稱窗函數，其中。左圖為窗函數原本的圖形，而在計算短時距傅立葉變換時，需將窗函數轉到軸上得出，換言之，欲得到的短時距傅立葉變換的結果需在的時間點才能算出，因此若愈小，即可愈快得結果，此種非對稱窗函數可應用在地震波、碰撞偵測...等，需要即時處理的應用。800x800像素
*優點：比起傅立葉轉換更能觀察出信號瞬時頻率的資訊。
方形窗函數，B = 50，橫軸為時間(秒)
右圖即為方形窗函數的一個例子，其數學定義：
可以隨要分析的信號，來調整B的大小（即調整方形窗函數的寬度）。至於B的選擇，將會在下面探討。
短時傅立葉轉換可以簡化為
反短時傅立葉轉換可簡化為
其大部分的特性都與傅立葉轉換的特性相對應
*位移特性(時間軸方向的移動)
*調變特性(頻率軸方向的移動)
:若有一信號，分別為做方形窗函數短時  距傅立葉轉換的結果，則。
:1. 當，
:2. 當，
方形窗函數短時距傅立葉轉換用不同窗函數寬度(B)的比較，橫軸為時間(秒)，縱軸為頻率(赫茲)
*由上述特性中的特殊信號來分析，信號只有在的時候有值；若短時距傅立葉轉換是理想的話，應該只有在的時候有能量。但由上面的特性可發現，能量會出現在中間。因此，若我們取較小的，則可使結果趨近理想。
*接著我們來分析，信號因為沒有改變，應該為DC。若短時距傅立葉轉換是理想的話，應該只有在的時候有能量。但由上面的特性可發現，能量會沿著頻率軸呈現sinc函數。若我們取較大的，可使sinc函數沿著頻率軸變窄，使得結果趨近理想。
*綜合以上說明，若我們使用較大的方形窗函數寬度，則時間軸的解析度會下降；頻率軸的解析度上升。若使用較小的，則時間軸的解析度會上升；頻率軸的解析度下降。我們以下面做為例子說明：
結果如右圖所示，B越大則在頻率變化處(t = 10, 20)附近的頻率越不準確，即可能會有多個頻率成分出現。但同時，其他時間點的能量則較集中；沒有如B較小時，頻率散開或模糊的情形。
上述也是其中一個小波轉換及多解析度分析作為改進的方向，其中多解析度分析能在高頻時有較好的時間軸解析，而在低頻時能有較好的頻率軸解析，此種組合較契合許多實際的應用。
時間軸與頻率軸的解析度無法同時提升也與海森堡不確定性原理有關，即時間與頻率的標準差乘積有所限制，而高斯函數恰好能符合不確定性原理的極值，也就是兩者同時達到最好的解析度，而應用高斯函數的時頻分析方法即為加伯轉換，而在經過修改及多解析度分析後，成為了莫萊小波。
*優點：方形窗函數的短時距傅立葉轉換有許多可應用的數學特性，在數位的應用上所需的計算時間較少。
當Nyquist頻率是能被有意義分析的頻率最大值的限制，而瑞利頻率則是能被有限頻寬頻的窗函數解析的頻率最小值的限制。若給定一窗函數的長度是T秒，最低能被解析的頻率即為1/T Hz。
瑞利頻率在短時距傅立葉變化的應用中扮演重要的角色，像是在分析神經信號時。
Spectrogram即短時傅立葉轉換後結果的絕對值平方，兩者本質上是相同的，在文獻上也常出現spectrogram這個名詞。
從連續短時距傅立葉變化的定義出發
令  ，則上述式子時域可從連續轉為離散
上式可改寫為
(1)要滿足Nyquist criterion
:的頻寬為。而的頻寬則為，的頻寬也為
:因為在時域相乘相當於在頻域做摺積，因此的頻寬為(通常會遠大於，所以主要影響頻寬的是)
:轉換到離散形式，其中
:，由於無限大的上下限實務上做不到，所以嘗試變成有限大的上下限。
:假設 for
:假設t-axis有T個取樣點，f-axis有F個取樣點，則我們總共要對TF個點做次的運算，因此可得複雜度為
:優點：簡單及有彈性(因為限制少)
:缺點：複雜度較高
(2) (N可為任意整數)
(3)  (做N點傅立葉轉換，輸入必要<=N)
標準的離散傅立葉轉換式子為
由直接運算得知如下公式
因此為了讓上式符合離散傅立葉轉換的上下界，令代入上式即可得
步驟一：計算
步驟三：決定
步驟五：轉換成
步驟六：設，並回到步驟三，直到
藉由取樣定理可得知
假設及，則經由可得
:及，則經由可得
步驟三：計算
步驟四：利用求得的計算快速傅立葉轉換
步驟五：轉換到
*註：若是於程式中執行，要注意m可能為負數，所以需要利用到週期性性質
:因此可將上式改為，其中代表取m除以N的餘數
步驟六：設定，回到步驟三直到
利用FFT計算，其中每次FFT的時間複雜度為
總時間複雜度為
優點：與直接運算相比，複雜度較低
缺點：較多限制，包括
(4)需為方形窗函數的短時距傅立葉轉換
因為是方形窗函數
，因此原式可由此關係變成以下式子
而由此可看出n和n-1有遞迴關係，如下
(1)以FFT計算
(2)利用遞迴關係式計算算
(1)FFT計算一次
(2)利用遞迴關係，計算時的數值，因此共會執行T-1次遞迴，如下式
:每次遞迴都要計算及兩個乘法(相當於2F的複雜度)
總時間複雜度
優點：四種運算中，最低的複雜度
#只適用於方形窗函數的短時傅立葉轉換
#由於遞迴的關係，會有累加誤差。所以只要當中有小錯誤，誤差會累積到最後，造成無可預期的錯誤
#不能用在不平衡的取樣點
即可由直接運算的式子導出Chirp_Z變換的式子，如下所示
Step1:
Step2:
Step3:
當n為定值時
(1)假設 相乘時間複雜度為2Q+1
(2)令，則 convolution時間複雜度為
(3)相乘時間複雜度為 F
因此，總時間複雜度為
雖然此實現方法和使用FFT計算的時間複雜度相同，但因為convolution相當於做三次FFT，因此實際操作時運算時間約為使用FFT計算的2~3倍
優點：只有一項限制：
缺點：與前四種相比，複雜度是中間的。
將直接法和快速傅立葉轉換方法做修正
其中，  ,
假設 for ，則上下限可藉由以下推導而修正
則上限可以寫成，下限則以此類推
註：(輸入訊號的取樣間隔)
(在t軸上的輸出訊號的取樣間隔)
然而，是整數會是比較好的。
則經由上述公式可求得S=441，代表經由unbalanced sampling，我們跟原本相比可減少441倍的取樣點。
由於t軸的取樣點少了S倍，因此跟原本的直接運算複雜度相比，只要把即可，如下：
(2)  : (只要是整數的倒數即可)
(3) ，的頻寬是
i.e.  ，當
步驟五：轉換
步驟六：設定及返回步驟三，直到
(1) 先用比較大的
(2) 如果發現 和  之間有很大的差異，則在， 之間選用比較小的取樣區間
(， 和 皆為整數)
再用Unbalanced Sampling for STFT and WDF 中修正後的快速傅立葉轉換方法算出 ，
(3) 以此類推，如果 的差距還是太大，則再選用更小的取樣間隔
若有一音樂信號總共有1.6秒，
#選擇，則共有點
#t隨時間不同有不同的選擇，如下
::，共29點
::可以這樣做的原因為：有些音樂訊號在和弦與和弦中間幾乎沒有變化，因此可以挑選較大的取樣;和弦在變換時，頻率會變化的較劇烈，因此變換和弦是需要用較多的取樣點。藉由此種non-uniform的取樣，可以讓我們大幅減少運算量，從最一開始的可看出我們的運算量大幅降低。
# Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2011.
# Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck : Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall, ISBN 0-13-754920-2
# Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2017.
# Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2020.
交椅洲（，亦作  或 ），又稱大交椅洲，是香港一座無人島嶼。交椅洲外型像交椅（古代中國傳統椅子），因而得名。
交椅洲屬於離島區，位於坪洲及小交椅洲以東，喜靈洲及周公島以北。
交椅洲並沒有民居，近岸有一座建在礁石上的編號81燈塔。山上有由海事處設立，用作海上交通控制的遙距雷達站和差分全球定位系統中央基準站，和一公共直升機坪。
美國軍艦 Regulus 被颱風吹至擱淺
美國軍艦 Regulus 在颱風吹襲後，經三周試圖浮起失敗，美國海軍宣布停止打撈
1971年8月17日颱風露絲吹襲期間，美國軍艦  在交椅洲海面擱淺，當局在接著三周試圖將之重新浮起，惟失敗告終。
Regulus 遂在1971年9月10日退役和拆毀。
2018年9月16日，颱風山竹吹襲香港，解放軍駐港部隊一艘長42米的軍用交通艇「南交86」懷疑鋼錨被風吹斷，最終在交椅洲東面石灘擱淺，右邊船身有明顯的損毀。消息指當時艦艇上人員順利疏散。。保安局解釋該艇為登陸避險。最後該艇在9月23日被吊上躉船運走。
2005年香港政府曾經擬議進行交椅洲填海計劃，將大小交椅洲連接起來，發展該地為全新貨櫃碼頭和港口後勤用地，而且是建議中的10號幹線連接香港島和大嶼山香港迪士尼樂園度假區的海底隧道中途站，但是因為受到環境保護團體的強烈反對下，政府才被迫擱置大小交椅洲發展計劃。
香港政府於2012年公佈《優化土地供應策略：維港以外填海及發展巖洞》，研究增加土地供應，除5個近岸填海選址，另外提出於中部水域填海建造人工島。人工島範圍包括於喜靈洲及交椅洲附近水域填約1,000公頃土地，並保留原先島嶼之海岸線。2016年底《香港2030+：跨越2030年的規劃遠景與策略》研究提出整合梅窩未被充分利用的土地，並加上人工島之新增土地，開拓作香港未來第三個核心商業區，容納最多70萬人口及20萬職位。2018年施政報告，正式提出明日大嶼願景，推行有關計劃。
File:Taikauyichau 2.JPG|交椅洲近鏡
File:Taikauyichau 3.JPG|交椅洲近鏡
仉姓（仉音ㄓㄤˇ，）或作掌姓，是一個中文姓氏。見《姓苑》，即掌氏。中國戰國時期孟子母仉氏，或即魯黨氏之族。
據《姓氏考略》記載，魯有大夫姓黨（音掌 ），支孫有以音為姓，故姓掌，后又改為仉。《通志·氏族略》有一說，“仉”與“督”原是“仉督”復姓，但今已無此復姓。
“仉”字原寫作“??”。《說文解字·爪部》：“??，……-{從}-反爪。”在小篆中，它是“爪”字的水平翻轉。隸變后分解為“亻”“-{幾}-”兩部分，喪失了造字理據。
小交椅洲是香港的一個島嶼，地區行政上屬於離島區。位於坪洲以東，交椅洲以西，喜靈洲、周公島以北。
在香港的官方地圖中，小交椅洲的英文島名叫Siu Kau Yi Chau。
小交椅洲上並沒有居民居住。
File:Siukauyichau 1.JPG|小交椅洲
File:Siukauyichau 2.JPG|小交椅洲遠?
File:Siukauyichau 3.JPG|小交椅洲遠景
橋頭是香港的一個島嶼，地區行政上屬於西貢區。位於西貢市對開海面，橋咀洲以西，與橋咀洲是連島沙洲。
橋頭為橋咀洲附屬島嶼。
橋頭上並沒有居民居住。在礁石上建有一盞海上導航燈。
橋頭及連島沙洲
督姓是中國的一個姓氏，《通志·氏族略》有一說法是“仉”與“督”二個姓原是“仉督”這個復姓，但今已無此復姓。
另外兩種較常見的說法：一是出自春秋時宋戴公之孫華督之后代，以祖名為氏。二是出自春秋時燕國有督亢地，該地居民以地名為姓氏。
英迪拉·普里雅達希尼·甘地（，，），分別擔任兩屆印度總理，並在任內遇刺身亡。英迪拉·甘地是印度獨立後首任總理賈瓦哈拉爾·尼赫魯的女兒，是印度近代最為著名及存有爭論的政治人物之一。她一方面為印度在冷戰時期的發展作出了不少貢獻，維持不結盟政策，和美國及蘇聯皆維持密切關係，但另一方面亦因其在政治管理的方針使她的政績蒙上陰影。在其領導印度期間的政治方針相當硬朗、立場堅定，後人稱她為“印度鐵娘子”。
尼赫魯家族的祖先是來自查謨-克什米爾邦和德里的婆羅門家族。英迪拉的祖父摩迪拉·尼赫魯是北方邦安拉阿巴德的一名訟務律師，也是印度國民大會黨在前甘地時期一位舉足輕重的人物，曾擔任主席一職，亦是著名的《尼赫魯報告》的作者。該報告規劃了有關印度未來的政府體制，以對抗當時的英國殖民政府。至於英迪拉的父親賈瓦哈拉爾·尼赫魯則是一位受過高等教育的律師，以及是印度獨立運動的重要領導人之一。英迪拉是他與妻子卡瑪拉所生的。在英迪拉出生的那段時期，尼赫魯開始與聖雄甘地聯手推動印度獨立運動。
英迪拉和她的母親一直都疏遠尼赫魯家族，所以她從小就只能從多病的母親身上獲得關愛，而她祖父和父親的政治身份亦令她難以與同輩的人親近，故此英迪拉亦培養出堅強、獨立自主的個性。
英迪拉12歲時聚集一班少男少女創立“猴子隊”（名字源自印度教史詩羅摩衍那，傳說中毗濕奴的一個化身羅摩在與邪惡勢力作斗爭時，得到一群猴子的幫助，英迪拉認為他們就有如這班猴子），為國大黨擔任參加游行集會、散發宣傳品等工作。另外，尼赫魯因從事獨立運動的關係，房子經常有警察嚴密看守，傳聞指英迪拉常替父親帶出一些重要文件，以轉交其他獨立運動人士。
英迪拉其實原本並非尼赫魯的獨生女兒，她的弟弟在1924年出生，但存活一星期便告夭折，所以英迪拉才成為獨女。
1936年，她的母親卡瑪拉與病魔掙扎多年後，終因肺結核去世，當時英迪拉只有19歲。在她的童年時期中，並未曾享受過一段穩定的家庭生活，這對她日後的性格發展亦有很大影響。其後，英迪拉進入印度、歐洲和英國的著名學府讀書，如桑蒂尼蓋登（又名「寂鄉」）、牛津大學薩默維爾學院等，但因成績不佳最終都未能獲得學位。在她旅居歐洲大陸和英國的時候，她邂逅了費羅茲·甘地，她們並於1942年結婚並改名為英迪拉·甘地。當時正值獨立運動最后爆發“退出印度運動”的前夕。英迪拉與她的夫婿就因參與獨立運動而被逮捕入獄數個月。1944年，英迪拉誕下拉吉夫·甘地，兩年後又誕下山齊·甘地。
1947年的印度獨立與分裂的過程中，英迪拉為數以百萬計的巴基斯坦難民組建難民營、以及為病人提供藥物資助。這是她首次於公共事務上出力，亦是她未來踏足政壇的一次寶貴經驗。
印度獨立後，由於費羅茲的記者和保險員工作關係，需回到安拉阿巴德工作。所以英迪拉夫婦二人之後又返回當地居住。他們的婚姻在最初的時候相當美滿，但隨著英迪拉帶著兩名兒子遷居德里，去協助她那剛當選首任總理而面臨重大壓力的父親後，這段關係開始惡化。英迪拉成了她父親的私人助理及看護，並經常為父親分憂。隨著這樣的聚少離多，夫婦二人的暫別似乎逐漸演變成婚變。
在1952年，印度舉行第一次大選，英迪拉分別管理尼赫魯家族以及她丈夫費羅茲這兩個競選陣營。當時費羅茲並沒有詢問他岳父尼赫魯的意見就自行參選。最後他成功當選遷回德里，但他卻選擇在德里另外找一間房子居住而沒有與妻子同住。費羅茲當選議員後不久就迅速建立起自己的名聲和地位，最主要是他揭發了一些國家保險業的醜聞，為自己樹立了一個反政府貪污的戰士形象。這一事件亦令到財政大臣、亦是他岳父尼赫魯的助手下臺。