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La flota combinada avanzó por el río Paraná, intentando entrar en contacto con el gobierno rebelde de Corrientes y con Paraguay, cuyo nuevo presidente, Carlos Antonio López, pretendía abrir en algo el régimen cerrado heredado del doctor Francia. Lograron vencer la fuerte defensa que hicieron las tropas de Rosas, dirigidas por su cu?ado Lucio Norberto Mansilla en la batalla de la Vuelta de Obligado, pero meses más tarde fueron derrotados en la batalla de Quebracho. Esas batallas hicieron demasiado costoso el triunfo anterior, por lo que no se volvió a intentar semejante aventura.
Al saber las noticias sobre la defensa de la soberanía argentina en el Plata, el general José de San Martín, que vivía en Francia, escribió:
Ya en su testamento redactado el 23 de enero de 1844 ―un poco más de un a?o y medio antes de Obligado― ya había legado su sable corvo, la espada más preciada que tenía, la que había usado en Chacabuco y Maipú, al gobernador Rosas, quien la recibiría después del fallecimiento del libertador.
Gran Breta?a levantó el bloqueo en 1847, aunque recién en 1849, con el tratado Arana-Southern, se concluyó definitivamente este conflicto. Francia tardó un a?o más, hasta la firma del tratado Arana-Le Prédour. Estos tratados reconocían la navegación del río Paraná como ?una navegación interna de la Confederación Argentina y sujeta solamente a sus leyes y reglamentos, lo mismo que la del río Uruguay en común con el Estado Oriental?.
卡塞羅斯戰役導致了羅薩斯的垮臺
法國和英國撤軍后，蒙得維的亞只能依靠巴西帝國維持生計。后者是烏拉圭獨立的保證人，為了自己的利益濫用了這一條件。胡安·曼努埃爾·德羅薩斯認為與巴西的戰爭不可避免，并試圖利用它重新征服東岸米西奧內斯（Misiones Orientales）。他向帝國宣戰，并任命胡斯托·何塞·德·烏爾基薩為指揮官。聯邦黨的多位人物指責羅薩斯這一行動中，借由的戰爭局勢而不召開制憲會議的借口。
機智的反對派相信，單靠一元派是無法打敗羅薩斯的。于是就想到了烏爾基薩。
烏爾基薩和羅薩斯一樣渴望自由，但在風格上迥然不同。在1850年末，羅薩斯任命他在蒙得維的亞和途中消除走私，走私活動在前些年給恩特雷里奧斯帶來巨大的收益。因為布宜諾斯艾利斯海關要求海外貿易必須通過那里，所以這對烏爾基薩的省來說是一個嚴重的經濟問題，于是烏爾基薩準備對抗羅薩斯。
但他并不打算以一元派者的方式擊敗如此強大的敵人，于是開始和周圍的人談判。經過幾個月的談判，他與科連特斯和巴西秘密結盟。帝國政府承諾資助他們的戰役并用他們的船只運送他們的軍隊，此外，或許是出于政治目的，帝國還向烏爾基薩本人提供巨額資金以供他個人使用。
在1851年5月1日，烏爾基薩發布恢復該省的外交權。
烏爾基薩也沒有直接向敵人發起進攻，而是首先襲擊了烏拉圭的奧里貝，強迫他向他投降，并將政府交給白黨與紅黨的持不同政見者聯盟。然后他沒收了屬于奧里貝部隊和他的士兵的阿根廷武器，這些武器被編入了烏爾基薩的“”。
直到那時，烏爾基薩才移到圣菲，推翻了埃查古（Echagüe），并襲擊了羅薩斯。帕切科（Pacheco）叛逃后，羅薩斯接管了他的軍隊，并最后在1852年2月3日的卡塞羅斯戰役中戰敗。
戰敗后，羅薩斯離開了戰場，僅有一名助手陪同，并在“Hueco de los sauces”（現布宜諾斯艾利斯市加雷廣場）簽署了辭呈：
次日下午，羅薩斯跑到英國公使館避難。在英國代辦羅伯特·戈爾（Robert Gore）的保護下，他乘坐英國軍艦“沖突”號前往英國。到達那個國家后，他在南安普敦的郊區中租來的農場里定居。
En su exilio recibió muy pocas visitas, pero escribió un buen número de cartas a quienes habían sido sus amigos. En general, trataban de su situación económica, de testimonios sobre su propia vida y en algunos casos tocaba temas de política actual: por ejemplo, escribió a Mitre que lo que le convenía a Buenos Aires era separarse del resto del país y establecerse como una nación independiente. Nunca aprendió a hablar inglés ni ningún otro idioma.
El 28 de agosto de 1862 firmó su testamento en Southampton. En su cláusula segunda nombró albacea —ejecutor testamentario— al "Honorable Lord Vizconde Palmerston", por "las tan finas como amistosas consideraciones con que me ha favorecido". "En el caso de su muerte (de Palmerston) nombro a la persona que desempe?e el Ministerio de Relaciones Exteriores del Gobierno de Su Majestad Británica".
Aún en vida del exgobernador, José Manuel Estrada opinó que Rosas:
1856年8月9日，布宜諾斯艾利斯參議院（Senado de Buenos Aires）批準了一項法案，將羅薩斯列為“國家被告”，并宣布法院對移交給羅薩斯的普通罪行的審判具有管轄權。
1857年，布宜諾斯艾利斯省立法機關頒布了“起訴胡安·曼努埃爾·羅薩斯法”，宣布胡安·曼努埃爾·德·羅薩斯為“祖國的叛徒”。
誹謗意圖在所涉代表的論據中得到證明：
經上訴分庭和高等法院確認，法官西斯托·維勒加斯（Sixto Villegas）的判決如下：
在南安普敦舊公墓的紀念碑
羅薩斯于1877年3月14日在他位于英格蘭南安普敦的莊園中去世，而陪伴著他的就是他的女兒曼努埃爾塔 (Manuelita) 。
當他去世的消息傳到布宜諾斯艾利斯時，政府禁止為他舉行任何葬禮或彌撒，并為他暴政的受害者組織了一次不尋常的回應。
羅薩斯的豪宅巴勒莫的圣貝尼托，因為他的流放而被遺棄，并在接下來的十年中成為廢墟。后來被政府用于各種用途，如：、海軍學校等。總統多明戈·福斯蒂諾·薩米恩托推動將住宅場地改造成公共空間，而則以卡塞羅斯戰役的名字命名。這座建筑一直屹立到1899年2月3日，并由時任市長Adolfo Bullrich在幾乎沒有社會反對的情況下改名。
Después de la caída de Juan Manuel de Rosas, Urquiza declaró que no habría ?ni vencedores ni vencidos?,y se apresuró a reunir el Congreso Constituyente de Santa Fe, que sancionó la Constitución Argentina de 1853 el 1 de mayo de ese a?o. Al a?o siguiente asumió como presidente de la Argentina, pero la provincia de Buenos Aires, dominada por los unitarios ―mas muchos antiguos colaboradores de Rosas― se negó a participar en esa Constitución y se separó del país. En 1859 el país fue unificado legalmente junto con la provincia de Buenos Aires, aunque la reunificación real se produjo ―por la fuerza― a partir de 1861.
Tampoco hubo un cambio significativo en las costumbres políticas ya que los gobernantes que lo sucedieron, que se habían opuesto a su régimen quejándose de las persecuciones sufridas, hostigaron con extrema crueldad a sus opositores, a quienes negaron los derechos más elementales, ejecutando a muchos de ellos con la excusa de que no eran partidarios en armas, sino simples bandidos.
Las largas guerras civiles que siguieron a la caída de Rosas, por lo menos hasta 1880 ―en las cuales participaron miembros del partido federal hasta 1873― justificaron en el mismo Rosas su permanente y esperada acción pacificadora y modernizadora de la constitución que había combatido.
Los críticos más emblemáticos de Rosas y su gobierno fueron políticos de ideología liberal como Mitre y Sarmiento. Estos habían debido emigrar en ese período hacia otros países, como Uruguay y Chile. Tras la batalla de Caseros, todos ellos regresaron juntamente con los cientos de exiliados a causa del rosismo. Alberdi en cambio, aunque también debió exiliarse, alternó una fuerte oposición inicial con una actitud de justificación basada en la idea de la necesidad de una autoridad nacional fuerte; visitó a Rosas en Southampton en 1857 y mantuvo un breve intercambio epistolar con él.
También expresó Alberdi:
El pensamiento de Alberdi y su obra ''Bases y puntos de partida para la organización política de la República Argentina'', conjuntamente con el modelo estadounidense, y las constituciones argentinas anteriores fueron la génesis de la nueva Constitución Nacional.
El Estado de Buenos Aires sometió a Rosas a un proceso criminal; aún antes de que este fuera resuelto, el 9 de agosto de 1856 el Senado de Buenos Aires sancionó un proyecto de ley, en el cual se calificaba a Rosas:
Ya en el siglo XX, el investigador Tulio Halperín Donghi, citado por Pacho O’Donnell, sostuvo que Rosas:
Al mismo tiempo, numerosos académicos contemporáneos continúan sosteniendo la posición altamente negativa y tiránica de Rosas. Tal el caso de Alberto Benegas Lynch (hijo), quien en su artículo ?Juan Manuel de Rosas: perfil de un tirano?, hace un acabado resumen citando la opinión de muy diversos autores partidarios de esta postura.
羅薩斯的墓碑，雷科萊塔公墓
胡安·曼努埃爾·德·羅薩斯的遺體被流放了一個多世紀。直到1989年10月1日卡洛斯·梅內姆任期中根據前任伊莎貝爾·庇隆于1974年頒布的法律而回歸。目前安葬在布宜諾斯艾利斯市的雷科萊塔公墓中的家族墓（panteón familiar）。
1999年，在和的軍需官西伯廣場（Intendente Seeber）中的建立了第一座紀念他的紀念碑。（位于布宜諾斯艾利斯巴勒莫區）
的一個以他的名字命名，但首都并沒有一條路如此命名。
然而，在阿根廷的其他地區，有以他命名的城市設施：如拉馬坦薩德被稱為“胡安·曼努埃爾·德·羅薩斯準將大道”（Avenida Brigadier General Juan Manuel de Rosas）。在圣馬丁將軍市的何塞·萊昂·蘇亞雷斯（Jose León Suárez）4號公路以羅薩斯命名。在圣卡洛斯-德巴里洛切的海濱大道就叫羅薩斯，羅薩里奧市的一條中央街道也是如此。
在1991年，阿根廷郵政發行了附有他的肖像的郵票，價值4000奧斯特拉爾。
自1992年以來，20比索的紙幣上就印有他的身影。在2017年10月，毛里西奧·馬克里政府下令20比索替換為原駝的肖像。
在布宜諾斯艾利斯省圣米格爾-德爾蒙特市（San Miguel del Monte），羅薩斯牧場被保留了下來。現在屬于Los Cerrillos牧場，Guardia de Monte博物館在那里。
En la localidad de Virrey del Pino ―calle Máximo Herrera 5700―, en el partido de La Matanza, Provincia de Buenos Aires, se conserva el casco de la antigua estancia San Martín (Estancia El Pino), adquirida el 20 de abril de 1822 por la sociedad Rosas, Terrero y Cía., formada por Rosas, Juan Nepomuceno Terrero y Luis Dorrego. Al disolverse esa sociedad en 1837, pasó a ser de propiedad exclusiva de Rosas. Allí funciona actualmente el Museo Histórico Municipal de La Matanza Brigadier General Don Juan Manuel de Rosas.
En la localidad de San Andrés -calle 72 y Diego Pombo, N° 3324-, en el Partido de General San Martín, Provincia de Buenos Aires, se conserva el edificio construido en 1840 durante el conflicto que la Argentina mantuvo con Francia en los a?os 1838-1840, donde funcionó la comandancia del campamento de los Santos Lugares de Rosas.
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卡爾曼濾波器會追蹤系統的估計狀態，以及估計的變異量或是不確定性。會透過狀狀態轉換模型以及其量測來更新估計值。 是指時間''k''時的估計，還沒有考慮第''k''次量測''y'k''的資訊，為對應的不確定性
卡爾曼濾波（Kalman filter）是一種高效率的遞歸濾波器（自回歸濾波器），它能夠從一系列的不完全及包含雜訊的測量中，估計動態系統的狀態。卡爾曼濾波會根據各測量量在不同時間下的值，考慮各時間下的聯合分布，再產生對未知變數的估計，因此會比只以單一測量量為基礎的估計方式要準。卡爾曼濾波得名自主要貢獻者之一的魯道夫·卡爾曼。
卡爾曼濾波在技術領域有許多的應用。常見的有飛機及太空船的。卡爾曼濾波也廣為使用在時間序列的分析中，例如信號處理及計量經濟學中。卡爾曼濾波也是機器人運動規劃及控制的重要主題之一，有時也包括在。卡爾曼濾波也用在中軸神經系統運動控制的建模中。因為從給與運動命令到收到感覺神經的回授之間有時間差，使用卡爾曼濾波有助於建立符合實際的系統，估計運動系統的目前狀態，並且更新命令。
卡爾曼濾波的演算法是二步驟的程序。在估計步驟中，卡爾曼濾波會產生有關目前狀態的估計，其中也包括不確定性。只要觀察到下一個量測（其中一定含有某種程度的誤差，包括隨機雜訊）。會通過加權平均來更新估計值，而確定性越高的量測加權比重也越高。演算法是迭代的，可以在實時控制系統中執行，只需要目前的輸入量測、以往的計算值以及其不確定性矩陣，不需要其他以往的資訊。
使用卡爾曼濾波不用假設誤差是正態分布，不過若所有的誤差都是正態分布，卡爾曼濾波可以得到正確的條件機率估計。
也發展了一些擴展或是廣義的卡爾曼濾波，例如運作在非線性系統的及無跡卡爾曼濾波（unscented Kalman filter）。底層的模型類似隱馬爾可夫模型，不過的狀態空間是連續的，而且所有潛在變量及可觀測變數都是正態分布。
卡爾曼濾波的一個典型實例是從一組有限的，包含噪聲的，通過對物體位置的觀察序列（可能有偏差）預測出物體的位置的坐標及速度。在很多工程應用（如雷達、機器視覺）中都可以找到它的身影。同時，卡爾曼濾波也是控制理論以及控制系統工程中的一個重要課題。
例如，對于雷達來說，人們感興趣的是其能夠跟蹤目標。但目標的位置、速度、加速度的測量值往往在任何時候都有噪聲。卡爾曼濾波利用目標的動態信息，設法去掉噪聲的影響，得到一個關于目標位置的好的估計。這個估計可以是對當前目標位置的估計（濾波），也可以是對于將來位置的估計（預測），也可以是對過去位置的估計（插值或平滑）。
這種濾波方法以它的發明者魯道夫.E.卡爾曼（Rudolph E. Kalman）命名，但是根據文獻可知實際上Peter Swerling在更早之前就提出了一種類似的算法。
斯坦利·施密特（Stanley Schmidt）首次實現了卡爾曼濾波器。卡爾曼在NASA埃姆斯研究中心訪問時，發現他的方法對于解決阿波羅計劃的軌道預測很有用，后來阿波羅飛船的導航電腦便使用了這種濾波器。關于這種濾波器的論文由Swerling（1958）、Kalman (1960)與Kalman and Bucy（1961）發表。
目前，卡爾曼濾波已經有很多不同的實現。卡爾曼最初提出的形式現在一般稱為''簡單''卡爾曼濾波器。除此以外，還有施密特擴展濾波器、信息濾波器以及很多Bierman, Thornton開發的平方根濾波器的變種。也許最常見的卡爾曼濾波器是鎖相環，它在收音機、計算機和幾乎任何視頻或通訊設備中廣泛存在。
以下的討論需要線性代數以及概率論的一般知識。
卡爾曼濾波器使用系統的動態模型（例如，運動的物理定律），該系統的已知控制輸入以及多個順序的測量值（例如來自傳感器的測量值）來形成對系統變化量（其狀態）更好的估計，其精度比僅使用一種測量獲得的估算值高。它是一種常見的感測器融合和數據融合算法。
雜訊的感測器數據，描述系統演化的方程式的近似值以及未考慮所有因素的外部因素都限制了確定系統狀態的能力。卡爾曼濾波器有效地處理了由於感測器數據雜訊引起的不確定性，並在一定程度上處理了隨機外部因素。卡爾曼濾波器使用加權平均值生成系統狀態的估計值，作為系統預測狀態和新測量值的平均值。權重的目的是估計值具有更好（即較小）的不確定性的值會被更多“信任”。權重是根據共變異數來計算的，共變異數是對系統狀態預測的估計不確定性的度量。加權平均值的結果是介於預測狀態和測量狀態之間的新狀態估計，並且比任何一個狀態都有更好的估計不確定性。在每個時間步重複此過程，新的估計值及其共變異數將通知後續迭代中使用的預測。這意味著卡爾曼濾波器可以遞迴地工作，並且只需要系統狀態的最後“最佳猜測”，而不是整個歷史，就可以計算新狀態。
測量和當前狀態估計的相對確定性是重要的考慮因素，通常根據卡爾曼濾波器的增益來討論濾波器的反應。卡爾曼增益是賦予測量值和當前狀態估計值的相對權重，可以進行“調整”以獲得特定的性能。增益高時，濾波器將更多的精力放在最新的測量上，因此反應速度更快。增益較低時，濾波器會更緊密地遵循模型預測。在極端情況下，接近1的高增益將導致估計的軌跡更加跳躍，而接近零的低增益將消除雜訊，但會降低反應速度。
在執行濾波器的實際計算時（如下所述），狀態估計值和共變異數被編碼到矩陣中，以處理單個計算集中涉及的多個維度。這允許在任何過渡模型或共變異數中表示不同狀態變量（例如位置，速度和加速度）之間的線性關係。
卡爾曼濾波建立在線性代數和隱馬爾可夫模型（hidden Markov model）上。其基本動態系統可以用一個馬爾可夫鏈表示，該馬爾可夫鏈建立在一個被高斯噪聲（即正態分布的噪聲）干擾的線性算子上的。系統的狀態可以用一個元素為實數的向量表示。隨著離散時間的每一個增加，這個線性算子就會作用在當前狀態上，產生一個新的狀態，并也會帶入一些噪聲，同時系統的一些已知的控制器的控制信息也會被加入。同時，另一個受噪聲干擾的線性算子產生出這些隱含狀態的可見輸出。
為了從一系列有噪聲的觀察數據中用卡爾曼濾波器估計出被觀察過程的內部狀態，必須把這個過程在卡爾曼濾波的框架下建立模型。也就是說對于每一步''k''，定義矩陣F''k'', H''k'', Q''k'', R''k''，有時也需要定義B''k''，如下。
卡爾曼濾波器的模型。圓圈代表向量，方塊代表矩陣，星號代表高斯噪聲，其協方差矩陣在右下方標出。
卡爾曼濾波模型假設''k''時刻的真實狀態是從（''k''&nbsp;?&nbsp;1）時刻的狀態演化而來，符合下式：
*F''k''是作用在x''k''?1上的狀態變換模型（/矩陣/向量）。
* B''k''是作用在控制器向量u''k''上的輸入－控制模型。
* w''k''是過程噪聲，并假定其符合均值為零，協方差矩陣為Q''k''的多元正態分布。
時刻''k''，對真實狀態x''k''的一個測量z''k''滿足下式：
其中H''k''是觀測模型，它把真實狀態空間映射成觀測空間，v''k''是觀測噪聲，其均值為零，協方差矩陣為R''k'',且服從正態分布。
初始狀態以及每一時刻的噪聲{x0, w1, ..., w''k'',  v1 ... v''k''}都認為是互相獨立的。
實際上，很多真實世界的動態系統都并不確切的符合這個模型；但是由于卡爾曼濾波器被設計在有噪聲的情況下工作，一個近似的符合已經可以使這個濾波器非常有用了。更多其它更復雜的卡爾曼濾波器的變種，在下邊討論中有描述。
卡爾曼濾波是一種遞歸的估計，即只要獲知上一時刻狀態的估計值以及當前狀態的觀測值就可以計算出當前狀態的估計值，因此不需要記錄觀測或者估計的歷史信息。卡爾曼濾波器與大多數濾波器不同之處，在於它是一種純粹的時域濾波器，它不需要像低通濾波器等頻域濾波器那樣，需要在頻域設計再轉換到時域實現。
卡爾曼濾波器的狀態由以下兩個變量表示：
*，在時刻''k''的狀態的估計；
*，后驗估計誤差協方差矩陣，度量估計值的精確程度。
卡爾曼濾波器的操作包括兩個階段：預測與更新。在預測階段，濾波器使用上一狀態的估計，做出對當前狀態的估計。在更新階段，濾波器利用對當前狀態的觀測值優化在預測階段獲得的預測值，以獲得一個更精確的新估計值。
:(預測狀態)
:（預測估計協方差矩陣）
可參考：http://www.cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf
可參考：http://web.mit.edu/kirtley/kirtley/binlustuff/literature/control/Kalman%20filter.pdf
首先要算出以下三個量：
:(測量殘差，measurement residual)
:(測量殘差協方差)
:（最優卡爾曼增益）
然后用它們來更新濾波器變量x與P：
:(更新的狀態估計)
:（更新的協方差估計）
使用上述公式計算僅在最優卡爾曼增益的時候有效。使用其他增益的話，公式要復雜一些，請參見推導。
如果模型準確，而且與的值準確的反映了最初狀態的分布，那么以下不變量就保持不變：所有估計的誤差均值為零
且協方差矩陣準確的反映了估計的協方差：
請注意，其中表示的期望值, 。
考慮在無摩擦的、無限長的直軌道上的一輛車。該車最初停在位置0處，但時不時受到隨機的沖擊。每隔''Δt''秒即測量車的位置，但是這個測量是非精確的；想建立一個關于其位置以及速度的模型。來看如何推導出這個模型以及如何從這個模型得到卡爾曼濾波器。
因為車上無動力，所以可以忽略掉B''k''和u''k''。由于F、H、R和Q是常數，所以時間下標可以去掉。
車的位置以及速度（或者更加一般的，一個粒子的運動狀態）可以被線性狀態空間描述如下：
其中是速度，也就是位置對于時間的導數。
假設在（''k''&nbsp;?&nbsp;1）時刻與''k''時刻之間，車受到''a'k''的加速度，其符合均值為0，標準差為''σ'a''的正態分布。根據牛頓運動定律，可以推出
:（因為''σ'a''是一個標量）。
在每一時刻，對其位置進行測量，測量受到噪聲干擾。假設噪聲服從正態分布，均值為0，標準差為''σ''z。
如果知道足夠精確的車最初的位置，那么可以初始化
并且，若讓濾波器知道確切的初始位置，可給出一個協方差矩陣：
如果不確切的知道最初的位置與速度，那么協方差矩陣可以初始化為一個對角線元素是''B''的矩陣，''B''取一個合適的比較大的數。
此時，與使用模型中已有信息相比，濾波器更傾向于使用初次測量值的信息。
按照上邊的定義，從誤差協方差開始推導如下：
整理誤差向量，得
因為測量誤差v''k''與其他項是非相關的，因此有
利用協方差矩陣的性質，此式可以寫作
使用不變量P''k''|''k''-1以及R''k''的定義這一項可以寫作
這一公式對于任何卡爾曼增益K''k''都成立。如果K''k''是最優卡爾曼增益，則可以進一步簡化，請見下文。
卡爾曼濾波器是一個最小均方誤差估計器，后驗狀態誤差估計（英文：''a posteriori'' state estimate）是
最小化這個矢量幅度平方的期望值，，這等同于最小化后驗估計協方差矩陣P''k''|''k''的跡（trace）。將上面方程中的項展開、抵消，得到：
當矩陣導數是0的時候得到P''k''|''k''的跡（trace）的最小值：
此處須用到一個常用的式子，如下：
從這個方程解出卡爾曼增益K''k''：
這個增益稱為''最優卡爾曼增益''，在使用時得到最小均方誤差。
在卡爾曼增益等于上面導出的最優值時，計算后驗協方差的公式可以進行簡化。在卡爾曼增益公式兩側的右邊都乘以S''k''K''k'T''得到
根據上面后驗誤差協方差展開公式，
最后兩項可以抵消，得到
這個公式的計算比較簡單，所以實際中總是使用這個公式，但是需注意這公式僅在使用最優卡爾曼增益的時候它才成立。如果算術精度總是很低而導致數值穩定性出現問題，或者特意使用非最優卡爾曼增益，那么就不能使用這個簡化；必須使用上面導出的后驗誤差協方差公式。
假設真正的狀態是無法觀察的馬爾可夫過程，測量結果是從隱性馬爾可夫模型觀察到的狀態。
:Hidden Markov Model
根據馬爾可夫假設，真正的狀態僅受最近一個狀態影響而與其它以前狀態無關。
與此類似，在時刻''k''測量只與當前狀態有關而與其它狀態無關。
根據這些假設，隱性馬爾可夫模型所有狀態的概率分布可以簡化為：
然而，當卡爾曼濾波器用來估計狀態''x''時，感興趣的機率分布，是基於目前為止所有個測量值來得到的當前狀態之機率分布
在信息濾波器或逆共變異數濾波器中，估計的共變異數和估計狀態分別由信息矩陣和信息向量代替。 這些定義為：
同樣，預測的共變異數和狀態具有等效的信息形式，定義為：
以及測量共變異數和測量向量，它們定義為：
信息更新現在變得微不足道了。
信息過濾器的主要優點是，只需將其測量信息矩陣和向量相加即可在每個時間步長過濾N個測量值。
為了預測信息過濾器，可以將信息矩陣和向量轉換回它們的狀態空間等效項，或者可以使用信息空間預測。
如果F和Q是非時變的，則可以將這些值緩存起來，並且F和Q必須是可逆的。
在1930年代，Fletcher和Munson進行了有關不同頻率的聲音感知的開創性研究。他們的工作導致了在工業雜訊和聽力損失調查中加權測得的聲音水平的標準方法。此後，已在濾波器和控制器設計中使用了頻率
加權，以管理目標頻段內的性能。
通常，頻率整形函數用於加權指定頻段中誤差頻譜密度的平均功率。 令  表示由 傳統的卡爾曼濾波器。 同樣，讓  表示因果頻率加權傳遞函數。 最小化  是通過簡單地構建  而產生的。
的設計仍然是一個懸而未決的問題。 一種進行方式是識別產生估計誤差的系統，並將  設置為等於該系統的倒數。 可以重複執行此過程，以提高均方誤差為代價，增加濾波器階數。可以將相同的技術應用於平滑器。
基本卡爾曼濾波器（The basic Kalman filter）是限制在線性的假設之下。然而，大部份非平凡的（non-trivial）的系統都是非線性系統。其中的「非線性性質」（non-linearity）可能是伴隨存在過程模型（process model）中或觀測模型（observation model）中，或者兩者兼有之。
在擴展卡爾曼濾波器（Extended Kalman Filter，簡稱EKF）中狀態轉換和觀測模型不需要是狀態的線性函數，可替換為（可微的）函數。
函數''f''可以用來從過去的估計值中計算預測的狀態，相似的，函數''h''可以用來以預測的狀態計算預測的測量值。然而''f''和''h''不能直接的應用在協方差中，取而代之的是計算偏導矩陣（Jacobian）。
在每一步中使用當前的估計狀態計算Jacobian矩陣，這幾個矩陣可以用在卡爾曼濾波器的方程中。這個過程，實質上將非線性的函數在當前估計值處線性化了。
這樣一來，卡爾曼濾波器的等式為：
使用Jacobians矩陣更新模型
如同擴展卡爾曼濾波器（EKF）一樣, UKF的預測過程可以獨立於UKF的更新過程之外，與一個線性的（或者確實是擴展卡爾曼濾波器的）更新過程合併來使用；或者，UKF的預測過程與更新過程在上述中地位互換亦可。
卡爾曼-布西(Kalman-Bucy)濾波器（以Richard Snowden Bucy命名）是Kalman濾波器的連續時間版本。
它基於狀態空間模型
其中  和  分別代表兩個白噪聲項  和  的強度（或更準確地說：功率譜密度-PSD-矩陣）。
該濾波器由兩個微分方程組成，一個用於狀態估計，一個用於共變異數：
卡爾曼增益由
注意，在此表達式中，對於  ，觀察雜訊  的共變異數同時表示預測誤差（或創新） 的共變異數； 這些共變異數僅在連續時間的情況下才相等。
離散時間卡爾曼濾波的預測步驟和更新步驟之間的區別在連續時間內不存在。
用於共變異數的第二個微分方程是Riccati方程的一個示例。
大多數物理系統表示為連續時間模型，而離散時間測量則經常通過數字處理器進行狀態估計。 因此，系統模型和測量模型由下式給出：
預測方程式是從連續時間卡爾曼濾波器的方程式推導而得，而無需進行測量更新，例如:  。預測狀態和共變異數分別通過求解一組初始值等於上一步估計值的微分方程組來計算。
在線性非時變系統的情況下，可以使用矩陣指數將連續時間動態精確地離散化為離散時間系統。
更新方程與離散時間卡爾曼濾波器的更新方程相同。
*經濟學，特別是宏觀經濟學，時間序列模型，以及計量經濟學
* 比較：維納濾波及粒子濾波器
*  An Introduction to the Kalman Filter , SIGGRAPH 2001 Course, Greg Welch and Gary Bishop
*  Kalman filtering chapter from ''Stochastic Models, Estimation'', by Peter Maybeck
*  Kalman Filter webpage, with lots of links
*  Kalman Filtering
*  The unscented Kalman filter for nonlinear estimation
*  ''Kalman Filters'', thorough introduction to several types, together with applications to ''Robot Localization''
* Gelb A., editor. Applied optimal estimation. MIT Press, 1974.
* Kalman, R. E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, ''Transactions of the ASME - Journal of Basic Engineering'' Vol. 82: pp. 35-45 (1960)
* Kalman, R. E., Bucy R. S., New Results in Linear Filtering and Prediction Theory, ''Transactions of the ASME - Journal of Basic Engineering'' Vol. 83: pp. 95-107 (1961)
* JU97 Julier, Simon J. and Jeffery K. Uhlmann. A New Extension of the Kalman Filter to nonlinear Systems. In The Proceedings of AeroSense: The 11th International Symposium on Aerospace/Defense Sensing,Simulation and Controls, Multi Sensor Fusion, Tracking and Resource Management II, SPIE, 1997.
* Harvey, A.C. Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
佛誕，通常是慶祝佛教創始人釋迦牟尼佛誕生的日子，又稱「浴佛節」、「灌佛會」、「龍華會」、「華嚴會」等。
紀念的日期，在漢傳佛教和藏傳佛教一般訂為農曆四月初八。
而在南傳佛教、藏傳佛教的一些地區，將佛陀誕生、出家、成道、湼槃於同一日紀念，稱衛塞節，日期訂為陽曆5月份的一個月圓之日（望日），常常是農曆的四月十五日。例如2014年，馬來西亞和新加坡的衛塞節皆定於在5月13日（農曆四月十五）。北傳佛教則稱四月十五日為「佛吉祥日」或「佛顯日」，認為釋迦佛在出生七日時顯示祥瑞，且佛母親摩耶夫人升天，而天龍八部皆奔來供養佛祖、緬懷佛母，屬於佛誕的餘緒，通常與佛誕合併慶祝，而不獨立慶祝。
釋迦牟尼佛誕生在南尼泊爾，為淨飯王之太子，傳說天有九條龍吐出口水為太子洗浴。因為這個典故，便有了慶祝的重要內容：一說要以香水沐浴佛身，所以佛誕節又名「浴佛節」。後代信徒們尊為釋迦牟尼佛。信徒自古以來，在當天佛教寺院都會舉行一連串盛大的浴佛儀式、慶祝活動，祈求佛陀福澤社會，消弭災難，以及禮請法師開壇說法，講經說法。佛教徒也都會在這一天回顧和學習佛陀慈悲的教導。
浴佛節的由來是源自於2600多年前迦毗羅衞國的王后摩耶夫人，在藍毗尼花園的無憂樹下誕下了悉達多太子，也就是後來出家成道的佛陀。太子誕生後，一手指天，一手指地，說道：「天上天下，唯我獨尊。」意思是說，祂已經過三大阿僧祇劫的修行圓滿，即將在人間成佛，所以不論在人間或天上，再也沒有勝過祂的人了。隨即有兩股水從天瀉下，沐浴在王子的身上。後來，佛教徒每年為慶祝佛陀誕辰就沿用此例舉行浴佛儀式，藉此感恩佛陀，讓自己能夠幸運的接觸佛法、修行佛法。
慶祝佛誕節的地區包括中國、蒙古、韓國、日本、越南等地。歷史上，由於各地曆法的轉換，依據不同佛經以及流傳到不同地域形成的傳統，可能在公曆日期上差距甚大。
大部份北傳佛教地區，多少受到中國影響。於中國而言，傳承有按尼泊爾曆法的二月初八，和換算成中國農曆的四月初八等說法，後世多把佛誕日定在農曆四月初八，將佛出家日訂為二月初八，佛成道日訂為十二月初八（臘八節），佛滅日（佛涅槃日）則訂為二月十五，日本與朝鮮半島的佛誕節可說源於中國佛教，基本上沿用了四月初八的說法。
四月十五日是南傳佛教訂定的佛誕與滅日（衛塞節），北傳佛教則稱此日為「佛顯日」或「佛吉祥日」，認為佛在本日顯示種種祥瑞，而天龍八部紛紛奔來聚會，供養佛祖，且佛的母親摩耶夫人在此日升天，故亦有佛教團體將此日與母親節一同慶祝，或者在四月初八佛誕日一併舉行摩耶夫人升天紀念慶典。
在中國古時，佛誕是大節日，慶祝者包括儒生。宋代詩人尹煥曾批評儒生只知道佛誕，根本沒人知道孔子誕辰日：「今四月八日，浮屠氏盛為香花供。問之，則曰佛生日也。吾徒衣逢掖之衣者，深衣大帶者，問以孔聖生之日，則愕眙左右顧，莫知所以為對，非闕歟？」
信眾會到佛寺，參與浴佛、獻花、獻果、供僧、供舍利、演戲等等節目。有些地方傳統會將佛像請到街上巡幸，置於大象上，或以花車乘載。寺院會開放讓信徒進入炷香、禮拜佛像、供養僧眾。
今日的華人地區，常會引入民俗節慶的習慣，如舞龍舞獅、大神尪、八家將等各種陣頭，張燈掛彩，甚至燃放炮竹。
現時中國大陸，每年農歷四月初八，大多數漢傳佛教寺院均會舉行浴佛法會（龍華會）。
在臺灣，佛教寺院及佛教徒會依慣例於農曆四月初八前後舉行紀念及浴佛典禮。經佛教人士與民眾之發起連署設「國定佛誕節」，1999年，中華民國內政部在“國定紀念日”中正式納入佛陀誕辰紀念日，日期為農曆四月八日，由有關機關、團體舉行紀念活動。一些團體（例如佛光山、慈濟基金會）會在“母親節”（五月第二個星期日）合併慶祝。
在香港，1999年，覺光法師為香港成功爭取佛誕日列為公眾假期（但非法定假日），提高佛教文化和中國傳統節日的影響。2007年起，“金色蓮花表演坊”每年在香港舉辦千張佛誕卡大展。2013年5月起，更規劃香港首屆「佛誕文化節」活動持續一整個月，讓社會大眾參與。
澳門各佛教廟宇均會舉行「龍華會」儀式，用「五香水」浴佛。佛誕為澳門公眾假期之一。
日本的浴佛佛壇
銅造誕生釈迦仏立像
佛誕日在日本稱為灌佛會（，）。亦名降誕會、佛生會、浴佛會、龍華會、花會式、花祭。人們會到寺院用澆灌用鮮花裝飾的悉達多太子佛像。在日本，佛誕日並非公眾假期，明治維新後佛誕日從農曆改成公曆的4月8日。只有少數（主要在原
在併入日本後，琉球人仍保持於在農曆四月初八紀念佛陀誕生，並沒有跟隨日本本土改為公曆4月8日。
韓國大邱的佛燈遊行
韓國首爾佛教寺院的浴佛佛壇
佛誕節懸掛的燈籠
韓國首爾的蓮花佛燈遊行