ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
*2005年1月1日，慈濟啟用位於慈濟關渡園區內的慈濟人文志業中心（臺北市北投區立德路2號），大愛電視一起遷入慈濟人文志業中心，同時大愛衛星電視股份有限公司改制名為慈濟傳播人文志業基金會，簡稱大愛電視。
*2012年1月1日，大愛電視開臺14週年，正式宣布進入高畫質時代，節目全面改為高畫質製作，並開播高畫質電視頻道——DaAi2 HD（大愛二臺HD）。
*2013年1月14日，中天電視董事長馬詠睿與大愛電視總監湯健明共同宣布，中天電視與大愛電視正式合作，第一部是1月18日起中天娛樂臺每日21點整播出大愛劇場，《明天更美麗》為大愛劇場首部在中天娛樂臺播出的連續劇。其後2月2日起中天娛樂臺也會播出《大愛全紀錄》。
*2014年10月21日，大愛電視一臺高畫質版本已於YouTube開播。
*2014年11月25日，大愛電視與韓國教育放送公社（EBS）締結姊妹臺，未來雙方在重大教育性活動上會互相協助報導並適當授權新聞，也會交換教育節目及紀錄片播出，也會合製紀錄片與兒童教育節目且共同擁有版權。
*2015年3月21日，大愛電視二臺高畫質版本已於YouTube開播。
*2017年10月1日，大愛電視將旗下所有頻道標準畫質版本畫面比例全面更改為16:9，同時將大愛二臺和高畫質版本大愛一臺的臺標旁取消標註「HD」字樣。
2016年6月1日，原大愛電視新聞編輯黃聖智控告大愛電視違反《工會法》，後法院裁決大愛電視處以新臺幣3萬元罰鍰，並須令黃聖智復職，其後大愛電視與其達成和解。
2018年，大愛電視臺在臺灣播出的《智子之心》連續劇在播出期間遭到中國大陸政府批評，稱有美化日軍之嫌，慈濟亦遭到國臺辦關切。中國大陸國臺辦發言人安峰山證實，「這齣電視劇美化侵略戰爭，理所應受到兩岸民眾共同反對」。中國大陸網民亦對該劇上映表達不滿，認為其跪舔殖民統治，美化戰爭。在《智子之心》播出兩集後，大愛電視便停播《智子之心》。臺灣NCC發言人翁柏宗表示，無預警停播已經損及閱聽眾權益，NCC會了解停播原因。大愛強調，停播無關政治，而是因劇情涉及戰爭，與電視臺宗旨不符。臺灣導演李惠仁表示，大愛電視臺的行為是自我審查。導演樓一安則說，中國大陸網友處於思想箝制，必然只能複製中共政權的官媒言論，他批評臺灣電視臺業者，自砍新戲，可恨又可悲，也心疼努力演員的處境。
* 009 大愛電視 - 中華電信 MOD 網站
* 099 大愛二臺 - 中華電信 MOD 網站
《汽船威利號》是華特迪士尼全球第一齣有聲的動畫片，動畫片的主角是著名的米奇老鼠。此影片於1928年11月18日在紐約79街殖民大戲院（Colony Theater）上映，米老鼠的生日便定為了那天。
片內的米老鼠沒有說話，只隨著輕快的音樂躍動和吹口哨。其形象博得觀眾的喜歡，並轟動了全紐約。隨即米老鼠就成了舉世聞名的「明星」。1932年，這部影片更獲得了奧斯卡的特別獎。
據說上映時，紐約人到場看的並非劇情，而是這隻可愛的老鼠，在這七分多鐘內徹底的娛樂了在座的市民們。
米老鼠駕駛蒸氣外輪船，暗示他是船長。他高高興興地吹口哨“汽船比爾”，並拉響了三聲汽艇的汽笛聲。 很快，真正的船長皮特出現了，他命令米老鼠離開艦橋。 米老鼠對皮特做了鬼臉。皮特試圖踢他，但米老鼠及時沖開，皮特不小心踢到了自己的屁股。米奇沖下樓梯，在船甲板上的一塊肥皂上滑倒，并掉在一個水桶里。一只鸚鵡嘲笑他，米奇就把水桶扔向了它。
一直在觀察整個過程的皮特，一個人駕駛汽船。他咬下一些嚼煙，并吐了出來。吐出的口水向后飛去，并敲響了船的鈴。皮特被這逗樂了，再次吐口水，但這次口水打在他臉上，讓他變得懊惱。
蒸汽船在 "Podunk Landing" 停留，裝載各種牲畜。就在就在他們準備出發時，米妮出現了，跑過來并趕在船離開之前抓住了船。米奇沒有及時看到她，但她沿著岸邊追著船跑，米奇把貨吊鉤在她的內衣上，把她帶到了船上。
放到甲板上時，米妮不小心掉下了一把四弦琴和一些 "Turkey in the Straw" 的樂譜，這些東西被一只山羊吃掉了。兩只老鼠把山羊的身體當作留聲機，它們像曲柄一樣轉動山羊的尾巴來播放音樂。米奇用船上的各種物體作為打擊樂器的伴奏，像樂器一樣 "演奏" 動物。最后，米奇用牛的牙齒和舌頭作為木琴來演奏這首歌。
皮特船長對這種音樂表演不感興趣，讓米奇去削土豆皮。在土豆倉里，先前嘲笑他的那只鸚鵡出現在舷窗里，在此嘲笑他。受夠了這只鳥的嘲笑，米奇向它扔了一個剝了一半皮的土豆，把它打回了下面的河里。影片最后，米奇坐在土豆旁邊大笑。
原本迪士尼公司還不是一個有名的公司，公司要完成這部史上第一部有聲動畫，需要足夠的經費。當迪士尼先生打算放棄這部電影時，殖民地劇院的老板哈里·瑞奇巴赫以100美元的代價買下《威利號汽船》兩周的播映權。華特迪斯尼簽了字。就這樣，米老鼠一夜成名，華特迪士尼先生從此聲名大噪。
1928年11月18日，《汽船威利號》在紐約進行首映，反響非常激烈，而這一天也被定為米奇的生日。
*汽船威利號常出現在與迪士尼有關的遊戲中， 像是1994年的《米奇大冒險》、 2005年的《王國之心II》，以及2010年的《傳奇米奇》、2012年的《傳奇米奇2：兩人之力》與2018年的《Disney Heroes: Battle Mode》中皆可以看到汽船威利號的蹤影與關卡。
*在《阿拉丁與大盜之王》中，精靈曾戲仿汽船威利號的造型與動作。
*在1992年的《辛普森一家》第六季中，霸子和點子在觀看癢癢鼠與抓抓貓的電影版時，片中出現了戲仿汽船威利號的造型與動作。
*在1998年的電影《搶救雷恩大兵》中，1944年時，一名德軍戰虜向美軍士兵提到了汽船威利號，甚至模仿片中汽笛聲來表示自己喜歡美國。
*在1999年的高飛卡通《如何當個服務生》裡，片中高飛戲仿汽船威利號的造型與動作，連劇中所演的片名也改成了Steamboat Goofy（汽船高飛號），甚至片頭也從原本的米奇和米妮改成了高飛與克拉貝爾，但可惜最後撞到米奇本人和真正的汽船威利號而沈船。
*在2008年的《飛出個未來》電影版Beast with a Billion Backs中，片頭主角們闖入的的世界戲仿了汽船威利號的風格。
*在動畫《神奇寶貝鑽石&珍珠》美版中，原日版第三十九話的標題皮卡丘留守記在美版集數被改成Steamboat Willies，與汽船威利號的原文名稱相同。
*從2007年上映的《未來小子》開始，華特迪士尼公司便將此動畫擷取一小片段作為電影播放前的標誌，自此之後成為迪士尼經典動畫長片的另一個logo商標，每當有新的經典動畫長片時一定會使用，在第50部長片魔髮奇緣問世時特別使用50th的特別版商標作為第50部經典動畫長片紀念，到無敵破壞王時則使用八位元電玩風格的特別版商標。
*在2018年的《POP TEAM EPIC》的第5集中出現了來自汽船威利號中的聲音，而且POP TEAM EPIC的原著漫畫第2卷第195話更是直接惡搞了汽船威利號。
*（由華特迪士尼動畫工作室官方帳號提供）
* 汽船威利號（迪士尼動畫短片百科）
* 《汽船威利號》：米老鼠90歲，Happy Birthday!
暗沙是一個海洋區域，一般位於海平面以下。暗沙位於海洋較淺的位置，通常覆蓋有碎屑沙粒的珊瑚礁體。暗沙較深且表面平坦的稱作暗灘，有時會露出水面者稱暗礁。相比其周圍的環境，暗沙可能位處於淺沙洲旁，又或位於水下山脈的頂部。
暗沙的形成可以是兩方面的：由於火山活動或海水沖擦，令原有在陸上的沙灘沉沒；又或是由石灰巖或陸源性沉積物形成的。在熱帶地區，一些被淹沒的環礁沙灘，由於與任何陸地都不相連，因此無法從外部引入沉積物，只可能因為沉積以外的原因形成。
* 南中國海：曾母暗沙、北康暗沙和南康暗沙等。
雷鬼樂（英文：Reggae），又譯雷吉樂、瑞格樂、雷吉、雷鬼，是1960年代源自於牙買加的一種音樂類型，也是是牙買加或的流行樂。雷鬼的名稱源自牙買加某個街道名稱，意思是日常生活上一些瑣碎的事情。1968年由樂團演唱的是第一首出現Reggay的流行樂曲，為此音樂類型命名，也向大眾介紹雷鬼音樂。雷鬼音樂有時會用來指多種牙買加的舞曲總稱，不過雷鬼音樂主要是指一種受到牙買加傳統音樂、美國爵士樂和節奏布魯斯影響的音樂，而且從早期的斯卡曲風和所衍生的新音樂類型。雷鬼音樂常和新聞、社會八卦以及政治評論有關。雷鬼音樂的特點是其貝斯吉他和鼓強拍的對位，以及其反拍節奏部分。雷鬼音樂是起源於斯卡曲風和慢拍搖滾，雷鬼音樂類似慢拍搖滾一樣，用貝斯作為節奏樂器。
雷鬼音樂和拉斯塔法里運動有密切的關係，拉斯塔法里運動是的宗教，自1930年代從牙買加發展，主要是提倡泛非主義。在拉斯塔法里運動普及之後，隨著拉斯塔法里運動以及其教義開始被人所知，雷鬼音樂也開始在全世界流行。雷鬼音樂是傳播拉斯塔法里運動主要信息的重要工具，音樂家成為了信息傳遞者，如拉斯塔法里運動所提到的：「士兵和-{}-音樂家是帶來改變的工具。」。
在音樂風格上，雷鬼音樂結合了節奏布魯斯、爵士樂以及（慶祝用的鄉間音樂，是農村大眾的舞曲，也取代了讚美詩和當地教堂歌唱的改編聖歌）、卡里普索音樂（calypso）,，也受到傳統非洲民間節奏的影響。雷鬼音樂中最容易識別的是其反拍節奏，由吉他或網鋼琴在反拍上所彈奏的斷奏和弦。其強拍在二、四拍上。雷鬼音樂的速度一般會比斯卡曲風和慢拍搖滾要慢。在雷鬼音樂中可以看到對唱的概念。雷鬼樂的代表人物是巴布·馬利（Bob Marley，又譯作鮑勃·馬萊，1945年-1981年），他帶動了雷鬼樂的流行。雷鬼音樂流派是由鼓和貝斯所主導。主要的樂手有樂團的、鮑勃·馬利與哭泣者樂隊的、中的、Toots and the Maytals的、The Skatalites的、、和來自的Anthony "Benbow" Creary。貝斯吉他在雷鬼音樂中的角色很重要。雷鬼音樂中的貝斯樂音很粗重，而且經過處理，以去掉其高頻音，強調其低頻音。雷鬼音樂中的吉他多半是在反拍時彈奏。雷鬼音樂常會用牙買加方言、或方言演唱。雷鬼音樂的歌詞會強調社會批判以及其宗教上的傳統，不過許多的雷鬼音樂也會討論比較不沈重，比較個人的主題，例如愛和社交。
雷鬼音樂已擴展到世界上的許多國家，常配合當地的樂器演奏，也會和其他的音樂融合。從中美洲西班牙語的巴拿馬開始，擴展到南美大陸的委內瑞拉、圭亞那，之後擴展到其他國家。（其中也包括雷鬼音樂），自1960年代就開始流行，也演變出許多的子流派，也和其他的音樂融合。許多雷鬼樂手的音樂生涯是從英國開始的，也有許多歐洲藝人以及樂團從歐洲的牙買加和加勒比群體中取得靈感。1970年代后，雷鬼樂開始成為主流流行音樂曲風之一，眾多樂隊歌聲紛紛效仿，其中以英國的UB40和警察樂隊最為知名。非洲的雷鬼音樂是從巴布·馬利在1980年代訪問辛巴威開始流行。在牙買加，雷鬼音樂的授權是一大收入來源。2018年，雷鬼音樂被列入聯合國教科文組織的非物質文化遺產。
* 廣義上指牙買加境內流行音樂，但也包含斯卡曲風、或者。
Skank guitar節奏，一般常視為是雷鬼樂節奏
雷鬼樂採用了一些節奏藍調（R&B）、爵士樂、音樂、、非洲音樂及拉美音樂中的一些元素。
雷鬼樂的拍號一般會是4/4拍，由於其平衡的節奏不太適合其他的拍號．例如3/4拍。雷鬼樂中最容易識別的是其弱拍的節奏。由吉他或鋼琴（或二者都有）演奏的斷音．一般稱為。
雷鬼樂的重音在每個小節的第二拍及第四拍，而且用鼓強調第三拍，創造出一個獨特的感受。雷鬼的弱拍可以視為在重音在「1 and 2 and 3 and 4 and etc」的and上，和其他流行音樂的強拍恰好相反。
雷鬼樂的節奏一般比斯卡或慢拍搖滾要慢，其特點是較慢的節奏、吉他或鋼琴的弱拍、強調第三拍，以及由切分音組成，旋律性的低音線，這些特質使雷鬼樂不同於其他音樂。
圖-244外觀設計
圖-244（Tu-244）是俄羅斯圖波列夫公司已終止研發的新一代超音速客機，該計劃於1970年代末首度提出。新飛機預計可載客300多人，是協和號的三倍，飛機亦首次嘗試使用低溫燃料作為動力來源。
90年代中期，美國太空總署聯同俄羅斯，以一架Tu-144LL飛機作飛行試驗，作研發新一代超音速客機之用，所收集得的數據也會被應用於圖-244客機。圖-244的計劃已於1993年終止。
category:幹線客機
歐亞大陸板塊、阿拉伯板塊、和印度板塊疆界線特寫。
伊朗高原（Iranian plateau，也稱波斯高原（Persian plateau））是在西亞、南亞和中亞之間的地質特徵。它是歐亞大陸板塊的一部分，楔入阿拉伯板塊和印度板塊之間而形成，它的西邊是扎格羅斯山脈，北部是裏海和克佩特山脈，西北部是亞美尼亞高原和高加索山脈，南部是霍爾木茲海峽和波斯灣，東部是印度的印度河-恆河平原 。
在這塊歷史地區曾出過安息帝國（帕提亞）、米底王國、阿契美尼德帝國、和薩珊王朝（法爾斯），屬於伊朗的心臟地帶，也包含大伊朗先前領域的部分地區。扎格羅斯山脈形成高原的西部邊界，山脈東部的坡地也包括在內。《大英百科全書》明確地把“低地的胡齊斯坦”排除在伊朗高原之外，並將埃蘭地區定性為一個“從美索不達米亞平原連接到伊朗高原的大片地區”。
伊朗高原從西北的裏海到東南的俾路支斯坦，延伸將近2,000公里。它涵蓋伊朗的絕大部分，加上印度河以西的阿富汗和巴基斯坦，總面積約3,700,000平方公里（1,400,000平方英里）。雖然當地被稱為“高原”，但它遠非平坦，而包含數個山脈，最高峰是厄爾布爾士山脈的德馬峰，高度5,610公尺，伊朗中部克爾曼市以東的盧特沙漠，海拔高度則降到300公尺以下。
在地質學上，這個被稱為伊朗高原的是岡瓦那大陸的增生地體，一個處於北部的圖蘭地臺，和（往北移動的阿拉伯板塊與歐亞大陸碰撞所形成的縫合帶）之間的區域。由於世人對大陸碰撞帶有普遍的興趣，而且對伊朗的地質學，特別是經濟地質學曾做過長期研究（但伊朗的主要石油蘊藏並不在這個高原之上），因此對這個地區的地質條件了解甚多。
伊朗高原在地質上是指阿拉伯板塊與歐亞大陸板塊撞撞而形成的巨大褶皺逆衝斷層帶山脈以北的區域。根據此定義，伊朗的西南部並未包含在高原之內。
它從伊朗西北部東阿塞拜疆省一直延伸到印度河以西的阿富汗及巴基斯坦。它還包括阿塞拜疆共和國，，以及土庫曼斯坦的小部分。高原海拔一般約在900－1500公尺之間。
伊朗高原的山脈可分為五個主要的（見下文）。
高原西北部有本廷山脈和托魯斯山脈的交彙處，地形崎嶇不平，與它西邊的安納托利亞高原相比，海拔更高，氣候更惡劣，降水量更大，這個區域以“前托魯斯山脈”之名而為人知，山峰的平均海拔超過3,000公尺。亞拉臘山在前托魯斯山脈區域，最高點在土耳其境內，高度5,137公尺（16,854英尺）。凡湖（也在土耳其境內）位於山區，海拔1,546公尺（5,072英尺）。
主要的河流發源自前托魯斯山脈：阿拉斯河向東流入裏海。幼發拉底河和底格里斯河往南流，先在伊拉克會合，然後流入波斯灣。這些山中也有幾條小溪，流入黑海或內陸的凡湖。印度河始於西藏的高地，從頭到尾流經巴基斯坦，幾乎就是沿著伊朗高原的東部邊緣南下，形成伊朗高原的東部邊界。
安納托利亞東南部位於前托魯斯山脈以南。是一個連綿起伏的丘陵和廣闊的高原地區，一直延伸到敘利亞。海拔逐漸降低，從北部的大約800公尺（2,600英尺）到南部的大約500公尺（1,600英尺）。小麥和大麥是這個地區傳統上的主要農作物。
**德馬峰，高5,610公尺 (18,410英尺)
**，高4,500公尺 (14,800英尺)
***最高峰西阿·卡瓦尼峰（Kuh-e Siah Khvani），高3,314公尺 (10,873英尺)
**埃斯得傑山（Eshdeger Range）高2,920公尺 (9,580英尺)
**，高4,755公尺 (15,600英尺)
**塔夫坦火山，高3,941公尺 (12,930英尺)
**，高3,578公尺 (11,739英尺)
在青銅時代，埃蘭橫跨扎格羅斯山脈，連接美索不達米亞和伊朗高原。從楔形文字中得知的可能位於伊朗高原的中部。在遠古時代，由於波斯的阿契美尼德王朝起源於波斯（或稱法爾斯（Fars）），這個地區因此被稱為波斯。自薩珊王朝時代起，中古波斯語的Erān（即現代波斯語的Irān）就開始被用來指這個國家（而不是當作種族稱號）（請參閱伊朗名稱來源以及伊朗名稱）。
伊朗高原的考古遺址和文化地點包括：
*伊朗高原中部（“（Jiroft culture）”）
**卡夫塔·洪（Kaftar Khoun）
高原擁有歷史悠久的橡樹林和楊樹林。在設拉子周圍有橡樹林。還有楊樹、榆樹、梣樹、柳、核桃、松樹、和柏樹，但是前述中的後面兩種屬於少見。從公元1920年開始，楊樹被砍伐，用於製作門，榆樹用於製作犁。其他樹木，如相思樹、柏樹、和也用於製作裝飾器物。在花卉方面，高原有歐丁香、茉莉花、和薔薇。山楂和南歐紫荊（Cercis siliquastrum）兩者很常見，用於編織籃子。
高原上有相當多的野生動物，包括豹、熊、鬣狗、野豬、、瞪羚、和。這些動物大多見於高原樹木茂密的山區。裏海和波斯灣的沿岸有水禽棲息，例如、鴨、和。在半沙漠地區中有鹿、刺猬、狐貍、和22種囓齒動物，俾路支斯坦則有和亞洲黑熊。
俾路支斯坦地區，以及厄爾布爾士山脈和扎格羅斯山脈的山坡上有各式各樣的兩棲動物和爬蟲類，例如蟾蜍、蛙類、陸龜、蜥蜴、蠑螈、鼠蛇、、和蝰蛇科。波斯灣有200種魚類。在裏海有30種很重要的商用鱘魚。
伊朗高原的居民透過伐木，製作門、犁、和籃子。也種植果樹，生產梨、蘋果、、榅桲（別名木梨）、李子、油桃、櫻桃、桑葚，而桃在20世紀變得很常見。扁桃仁（杏仁）和開心果在比較溫暖地區很常見。還種有椰棗、橙、葡萄、瓜類、和萊姆。其他的食用植物包括馬鈴薯和花椰菜，是直到歐洲人在定居點把灌溉系統改善之後才得以種植。其他的蔬菜，有高麗菜、番茄、朝鮮薊、黃瓜、菠菜、蘿蔔、萵苣、和茄子。
高原地區還生產小麥、大麥、小米、豆類、鴉片、棉花、紫花苜蓿、和煙葉。大麥主要作飼馬用。芝麻供榨麻油用。到1920年，高原地區也種植蘑菇和藥用植物駱駝刺屬。在克爾曼省有種植藥用及香料植物葛縷子。
分類:亞洲地區
分類:地形區
分類:阿塞拜疆地形
分類:阿富汗地形
狄拉克函數示意圖。直線上箭頭的高度一般用於指定函數前任何乘法常數的值，亦即等於函數下方的面積。另一種慣例是把面積值寫在箭頭的旁邊。
狄拉克函數是以零為中心的正態分佈隨的（分佈意義上的）極限。
在科學和數學中，狄拉克函數或簡稱函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於1。函數有時可看作是在原點處無限高、無限細，但是總面積為1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或點電荷的密度。
從純數學的觀點來看，狄拉克函數並非嚴格意義上的函數，因為任何在擴展實數線上定義的函數，如果在一個點以外的地方都等於零，其總積分必須為零。函數只有在出現在積分以內的時候才有實質的意義。根據這一點，函數一般可以當做普通函數一樣使用。它形式上所遵守的規則屬於的一部分，是物理學和工程學的標準工具。包括函數在內的運算微積分方法，在20世紀初受到數學家的質疑，直到1950年代洛朗·施瓦茨才發展出一套令人滿意的嚴謹理論。嚴謹地來說，函數必須定義為一個分佈，對應於支撐集為原點的概率測度。在許多應用中，均將視為由在原點處有尖峰的函數所組成的序列的極限，而序列中的函數則可作為對函數的近似。
在訊號處理上，函數常稱為單位脈衝符號或單位脈衝函數。克羅內克函數是對應於狄拉克函數的離散函數，其定義域為離散集，值域可以是0或者1。
''δ''函數的圖形通常可以視為整條''x''軸和正''y''軸。雖然稱為函數，但''δ''函數並非真正的函數，至少它的值域不在實數以內。例如，和這兩個數學對象除了在以外都有相同的值，但其積分卻不相同。根據勒貝格積分理論，若''f''和''g''為函數，使得幾乎處處成立，則''f''可積當且僅當''g''可積且''f''和''g''的積分相同。要嚴謹處理''δ''函數，須用到測度論或分佈。
''δ''函數可以代表一個既高又窄的尖峰函數（脈衝），用以描述點電荷和質點等抽象化的概念。舉例來說，要描述球桿擊球的動力學問題，可以用''δ''函數描述擊球那一刻的力。不但各種方程式會因此簡化，而且只需球桿傳遞的總衝量就能算出球擊出後的運動，而不須考慮球桿向球傳遞能量的複雜具體情況。
在應用數學中，''δ''函數往往能看作是某函數序列的極限（弱極限），該序列中的每一項都在原點處有一個尖峰，例如以零為中心、方差趨向零的高斯分佈序列。
約瑟夫·傅利葉在他的《熱分析理論》中呈現了以下的方程式，今天稱為傅里葉積分定理：
這相當于以這種方式引入了''δ''函數：
之後，奧古斯丁·路易·柯西用指數函數表達了這一定理：
柯西指出，在某些情況下，積分的計算順序會影響計算結果。
分佈理論允許重新排列柯西方程式，使它更接近以上傅里葉的方程式：
其中''δ''函數可表達為：
在接下來的幾個世紀，數學家才逐漸理解這一指數形式的嚴謹含義，以及方程式中的函數''f''所需的條件。用舊有的數學觀念來理解，會有以下的問題：
:經典傅里葉變換的最大缺點在於，能夠有效計算的只有很狹窄的一類函數。這些函數必須（在無限的鄰域內）足夠快地降至零，才能保證傅里葉積分值的存在。例如，連多項式這種如此簡單的函數，也不存在經典意義上的傅里葉變換。經典傅里葉變換擴展至分佈，大大增加了能夠進行變換的函數類型，移除了諸多障礙。
之後，（Michel Plancherel）開創性的''L''2理論（1910年）、諾伯特·維納和（Salomon Bochner）的貢獻（1930年前後）以及最後洛朗·施瓦茨歸納這一切的分佈理論（1945年）進一步推廣了傅里葉積分，並建立了狄拉克''δ''函數的嚴格定義。
1827年，柯西首次明確寫下一個無限高的單位脈衝函數（柯西分佈的無限小版本）。西莫恩·德尼·帕松和古斯塔夫·基爾霍夫之後在研究波傳播的時候，考慮過這一函數。基爾霍夫與赫爾曼·馮·亥姆霍茲將單位脈衝描述為高斯分佈的極限，這也符合開爾文勳爵對點熱源的描述。19世紀末，奧利弗·黑維塞利用形式上的傅里葉級數對單位脈衝進行操作。1930年，保羅·狄拉克在影響深遠的《量子力學原理》中引入了''δ''函數作為一種「方便的記號」，故此該函數今天以他命名。
籠統地來說，''δ''函數是在實數線上的一個函數，在原點上無限，在所有其他點上為零，
並同時滿足以下條件
這只是一個概略的表述：''δ''函數並不是一個嚴格意義上的函數，沒有任何定義在實數線上的函數能滿足以上的條件。更嚴謹地來說，''δ''函數可以定義為分佈或測度。
測度是其中一種嚴謹定義''δ''函數的方法。作為一個測度，''δ''函數取一個實線R的子集''A''，當時輸出，否則。如果把''δ''函數想象成位於0的一個理想化的質點，則''δ''(''A'')代表集合''A''所包含的質量。一個函數相對於''δ''的積分便可以定義為相對於這個測度的勒貝格積分。對於所有連續緊支撐函數''f''，這一積分滿足：
測度''δ''相對於勒貝格測度不絕對連續，它其實是一個。因此，它並不具有拉東-尼科迪姆導數，也就是不存在滿足以下條件的函數''δ''：
雖然這種寫法仍非常常見，但是它實際上只是一種方便的記號，而不是任何有良好定義的（黎曼或勒貝格）積分。
作為R上的概率測度，狄拉克測度可以通過它的累積分佈函數──單位階躍函數──來定義：
換句話說，''H''(''x'')是積累指示函數相對於測度''δ''的積分：
''δ''函數相對於一個連續函數的積分可以通過黎曼－斯蒂爾傑斯積分嚴格定義：
''δ''函數的所有更高矩都是零。其特徵函數和矩母函數都等於1。
在分佈理論中，一個廣義函數並不像普通函數一樣直接定義，而是在它相對其他函數積分的時候，以它如何影響這一積分來定義。沿著這條思路，只須定義''δ''函數相對某個足夠「良好」的測試函數的「積分」就足夠了。如果''δ''函數已經定義為測度，則這種積分可以是測試函數相對於這''δ''測度的勒貝格積分。
測試函數空間一般可包括所有上的緊支撐光滑函數。作為一個分佈，''δ''函數是在測試函數空間上的線性泛函，定義為
若要使''δ''成為一個正式的分佈，它必須要在測試函數空間上相對某個合適拓撲為連續的。在測試函數空間上的線性泛函要能夠良好定義一個分佈，其必要和充分條件是，對於每個正整數，有整數和常數，使得對每個測試函數，以下不等式都成立：
當就是''δ''分佈時，對所有的取，就能滿足這條不等式。因此，''δ''是級數為零的分佈。它也是一個緊支撐分佈，其支撐集是。
δ分佈有幾種等價的定義。例如，它是黑維塞階躍函數的分佈導數，也就是說，對於任何測試函數，
直觀而言，如果允許分部積分法，以上的積分就會簡化為
而利用黎曼－斯蒂爾杰斯積分的分部積分法可以得到
在測度論中，狄拉克測度通過積分產生分佈。相反，公式在所有緊支撐連續函數空間上定義了一個，且根據里斯表示定理，該積分可以表示為相對於某拉東測度的勒貝格積分。
當講到「狄拉克''δ''函數」時，一般指的是分佈，而不是測度。因此一些文獻也會稱之為「狄拉克''δ''分佈」。測度論中相對應的概念則稱為。
在''n''維歐幾里得空間R''n''中，狄拉克''δ''函數可以定義為一個測度，使得對於所有緊支撐連續函數''f''，滿足
作為一個測度，''n''維''δ''函數是每個獨立變量的1維''δ''函數的積測度。也就是說，若，則
上文的1維''δ''分佈也存在''n''維推廣。儘管在物理學和工程學中應用廣泛，公式還是必須小心使用，因為多個分佈的積只有在較狹窄的條件下才有良好的定義。
狄拉克測度這個概念可以定義在任何集合上。設''X''是集合，，Σ為''X''子集上的任何σ-代數，則對每個集合可以定義測度：
這就是單位質量集中在''x''0處的狄拉克測度。
''δ''函數也可以推廣至微分流形，由於具有微分結構，因此能保留它作為分佈的一些性質。流形''M''上以為中心的''δ''函數可定義為以下分佈：
對於所有''M''上的緊支撐光滑實數值函數''φ''。一個常見的特殊情況是，''M''是歐幾里得空間R''n''中的一個開集。
在局部緊豪斯多夫空間''X''中，集中在點''x''的狄拉克測度是對應於對緊支撐連續函數''φ''的Daniell積分的拉東測度。推廣到這一層次，已經無法進行普通的微積分，不過仍然可以使用抽象分析中的許多工具。例如，映射是把''X''嵌入到包含所有在''X''上的有限拉東測度的空間（具有淡拓撲）的一個連續函數。而且，''X''在這一嵌入下的值域的凸包，在在''X''上的概率測度空間中是一個稠密集。
對非零純量，''δ''函數有以下縮放性質：
''δ''函數是一個偶分佈，也就是說
因此''δ''函數屬於?1階齊次函數。
''δ''和的分佈積等於零：
相反，若，其中和為分佈，則存在常數使得
延時''δ''函數的積分為：
因此''δ''函數有「篩選」或「採樣」的功能──可以篩選出函數在的值。
可以推論，函數與延時''δ''函數卷積後會受到延時：
這必須在是緩增分佈的前提下才會成立（見下文關於傅里葉變換的討論）。以一個特殊情況為例，有恆等式如下（把''δ''視為分佈）
更一般地來說，''δ''分佈可以和光滑函數復合，使得熟悉的變量更換公式成立：
條件是為連續可微函數且處處非零。換言之，作為一個分佈具有唯一的定義，使得這條恆等式對於一切緊支撐測試函數''f''都成立。因此，定義域必須切割開來，排除這一點。如果處處非零，那麼此分佈滿足；否則如果在處有一個實數根，則
很自然地，對連續可微函數，可以把「定義」為
其中求和跑遍的所有根，這些根都假設為單根。比如，
''δ''分佈的廣義縮放特性，用積分寫出：
''δ''分佈在維空間中的縮放性質如下：
從而''δ''是一個階齊次分佈。''δ''分佈在任何鏡射和旋轉下不變：
和單變量時一樣，可以唯一地定義''δ''與雙利普希茨函數的復合，使得恆等式
對於所有緊支撐函數成立。
利用幾何測度論中的餘面積公式，可以定義''δ''函數與從一個歐幾里得空間到另一個不同維度的空間的浸沒的復合，所產生的結果是一種流。在連續可微函數滿足的梯度處處非零的特殊情況下，以下恆等式成立：
其中右邊的積分範圍是，即所定義的一個維曲面（依閔可夫斯基容度）。這叫做單層（simple layer）積分。
更一般地來說，若是中的光滑超曲面，則可以把聯繫到在上對任何緊支撐光滑函數積分的分佈：
其中是聯繫到的超曲面測度。這種推廣與上的單層位勢的位勢論相關。設是中具有光滑邊緣的區域，則等於的指示函數的（分佈意義上的）法向導數：
其中是向外法線。
''δ''函數屬於緩增分佈，所以擁有良好定義的傅里葉變換。正式地說，（在一些傅里葉變換慣例下）有
一個分佈的傅里葉變換的定義是，在緩增分佈與速降函數的對偶配對下，要求傅里葉變換是自伴的。從而，定義為滿足以下條件的唯一緩增分佈：
對於一切速降函數''φ''。從此可推導，的確。
這條恆等式意味著，''δ''函數與任何其他緩增分佈''S''的卷積即等於''S''：
這意味著，''δ''是緩增分佈上的卷積的單位元。而且，在卷積下的緊支撐分佈空間是一個以''δ''函數為單位元的結合代數。這在訊號處理應用中尤其重要，因為與緩增分佈的卷積屬於線性非時變系統，而基於''δ''函數的線性非時變系統可以測量該緩增分佈的脈衝響應。只要對''δ''作適當的近似，就可以以任意要求的程度算出脈衝響應。一旦知道脈衝響應，就能完全描述整個系統的特征。詳見線性非時變系統理論：脈衝響應和卷積。
緩增函數''f''(''ξ'') = 1的反傅里葉變換等於''δ''函數。更正式地表達，
更嚴謹地來說，有
對於一切速降函數''f''。
這樣，''δ''函數暗示著在R上的傅里葉核的正交性，即：
換句話說，緩增分佈
的傅里葉變換是
這同樣可以通過對傅里葉變換要求自伴性而得出。
利用傅里葉變換的解析延拓，可以得出''δ''函數的拉普拉斯變換：
狄拉克''δ''分佈的分佈導數是一個分佈''δ''′，它對於所有緊支撐光滑測試函數''φ''定義為
此處第一個等號類似於分部積分，因為若''δ''是個真正的函數，則
''δ''的''k''階導數的定義大同小異，對任何測試函數''φ''，
從而''δ''是個無限可微分佈。
''δ''函數的一階微分是差商
的分佈極限。更準確地說，有
其中τ''h''是平移算子，對於函數的定義是，而對於分佈''S''的定義是
在電磁學中，''δ''函數的一階導數代表一個位於原點的點磁偶極，因此也稱為「偶極」或偶函數。
''δ''函數的導數滿足一些基本性質，包括：
這些性質都可以通過對測試函數積分，並運用分部積分法推導而出。
另外，''δ''′與緊支撐光滑測試函數''f''的卷積為
這來自卷積的分佈導數的性質。
更一般地說，在''n''維歐幾里得空間R''n''中的開集''U''上，以點為中心的狄拉克''δ''分佈定義為
對於一切，其中''S''(''U'')是所有''U''上的緊支撐光滑函數的空間。若是任何多重指標，而?''α''表示相關的混合偏導數算子，則''δ'a''的''α''階導數?''α'δ'a''是
對於一切。也就是說，''δ'a''的''α''階導數是個分佈，它在任何測試函數''φ''的值等於''φ''在點''a''的''α''階導數（加上合適的正負號）。
''δ''函數的一階偏導數可以視為沿著坐標平面的雙層。更一般地來講，支撐在一個曲面上的單層的法向導數是在該曲面上的雙層，並表示一個層磁單極。''δ''函數的更高階導數，在物理學裡稱為多極。
高階導數很自然地能夠建構具有單元素支撐集的分佈的完整結構。若''S''是任何在''U''上、支撐集為一個點{''a''}的分佈，那麼存在整數''m''和一組係數''c''α，使得
''δ''函數可以視為一個函數序列的極限：
其中''ηε''(''x'')有時稱為初生''δ''函數。這一極限是個弱極限：對於一切緊支撐連續函數''f''，有
或者，這個極限對於一切緊支撐光滑函數''f''都存在。這兩種不同的弱收斂模式往往有十分微妙的差異，前者是依測度的淡拓撲收斂，而後者則是分佈的收斂。
通常一個初生''δ''函數''ηε''可以如下建構。設''η''是一個R上的總積分為1的絕對可積函數，並定義
在''n''維當中，改用以下縮放
在簡單的變量更換之後，可見''ηε''的積分同樣等於1。不難證明，對於一切連續緊支撐函數''f''都成立，從而''ηε''作為一個測度向''δ''弱收斂。
這樣建構的''ηε''叫做對單位元的近似，因為包含所有絕對可積函數的空間''L''1(R)在函數卷積這一作用下閉合：，當''f''和''g''都屬於''L''1(R)。然而，''L''1(R)在卷積下並沒有單位元：沒有任何元素''h''使得對於所有''f''都成立。但序列''ηε''仍然能夠近似這種單位元，就是說
在平均收斂（即''L''1中的收斂）下，此極限存在。要確保幾乎處處點收斂，還需要對''ηε''加上更多的前提，比如它必須是對應於一個緊支撐函數的柔化函數。
如果最初的本身已經是光滑的而且具有緊支撐，那麼整個序列就叫做柔化序列。標準柔化序列可以通過選擇某個適當歸一化的衝激函數''η''來定義，例如
在數值分析等的一些情況下，以分段線性函數對單位元進行近似會更加有用。可以定義''η''1是一個三角形函數，然後有
它們全部都是連續的且具有緊支撐，但不是光滑的，從而也不是柔化函數。
在概率論中，很自然地會加入一項額外條件，亦即要求對單位元近似的初始''η''1是正的，因為這樣它就會代表一個概率分佈。有時需要和概率分佈來卷積的原因是，輸出值是輸入值的凸組合，因此處於最高與最低輸入值之間，從而能夠避免過衝或下衝。取''η''1為任何隨意的概率分佈，並如上設，就可以取得對單位元的近似。此外，如果''η''的平均值為0，且更高矩較小，那麼序列就會向''δ''函數收斂得更快。比如，設''η''1是上的均勻分佈，即矩形函數，則：
又以維格納半圓分佈舉例，
這是連續的，且具有緊支撐，但因為不是光滑的，所以也不是柔化函數。
初生''δ''函數往往以卷積半群的身份出現。這相等於另加一個條件──''ηε''與''ηδ''的卷積必須滿足
對於所有''ε''和。''L''1中形成初生''δ''函數的卷積半群一定是對單位元的近似（用上式的意思），但半群設下了限制性頗強的條件。
在實踐當中，對單位元的半群近似出現在物理學所啟發的橢圓型和拋物型偏微分方程中，作為基本解或格林函數。在應用數學中，半群是線性非時變系統的輸出。抽象地來說，若''A''是一個作用在''x''的函數上的線性算子，則在對初值問題求解時會出現卷積半群：
其中極限同樣是弱極限。設，得出相關的初生''δ''函數。
下面將列出若干有物理意義的、在此類基本解中所出現的卷積半群。
熱核，定義是
代表的是一條無限長絲在''t'' > 0時的溫度，如果在''t'' = 0時在原點處儲藏了一個單位的熱能。此半群依照一維熱傳導方程式演變：
在概率論中，''ηε''(''x'')是一個平均值為0、方差為''ε''的正態分佈。它代表了一個粒子從原點開始，作標準布朗運動，在這一刻的概率密度函數。在這種情況下，半群條件也就體現了布朗運動的馬可夫性質。
在高維歐幾里得空間R''n''中，熱核等於
並且在作必要的修改後有著相同的物理解釋。而且，當，，因此它也代表了一個初生''δ''函數。
是拉普拉斯方程在上半平面中的基本解。它代表了一個半無限平板在邊緣的電勢固定為''δ''函數時的電勢。帕松核也和柯西分佈有緊密的聯繫。半群根據以下方程演變：
其中的算子嚴謹地定義為傅里葉乘數
在波動力學等物理範疇中，須要解不少雙曲型偏微分方程，而這些方程有更多的奇異解。因此，從相關的柯西問題的基本解所產生的初生''δ''函數，一般都是震蕩積分。例如，從穿音速氣體動力學的的解，取得歸一化艾里函數
雖然用的是傅里葉變換，但是不難看到，這從某種意義上產生了一個半群，只不過由於它不是絕對可積的，所以無法從上文更強的意義來定義半群。許多用振蕩積分來建構的初生''δ''函數，只能從分佈意義上收斂（見下文的例子狄利克雷核），而不能從測度意義上收斂。
另一個例子是R1+1中的波動方程式的柯西問題：
解''u''代表了一條具有無限彈性的弦，一開始在原點處受到擾動後，距離平衡的位移程度。
其他同類的對單位元的近似還包括，廣泛應用於電子和電訊中的sinc函數
以及貝塞爾函數
要對線性偏微分方程
求解，其中''L''是R''n''上的一個微分算子，可以先取得基本解，即對以下方程求解：
當''L''相對簡單的時候，通常直接利用傅里葉變換就可以求解（如上文提到的帕松核和熱核）。如果算子比較複雜，可以先考慮更簡單的方程
其中''h''是一個平面波函數，意思是對於某向量ξ，有
這樣的方程可以用柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理求解（如果''L''的係數是解析函數），或者用求積法求解（如果''L''的係數是常數）。所以，如果''δ''函數能夠分解成平面波的話，理論上就能取得線性偏微分方程的解。
對''δ''函數進行平面波分解的方法，最早是約翰·拉東（Johann Radon）所發展的一套通用技巧之一，之後由弗瑞茲·約翰進一步發展至這種形式（1955）。選擇''k''，使得是一個偶整數；對於實數''s''，定義
要取得''δ''，對相對球體測度dω積分，再對積分施用拉普拉斯算子的冪，其中''ξ''屬於單位球面''S'n''?1：
此處的拉普拉斯算子理解為弱導數，所以上式的意思是，對於任何測試函數''φ''，
這一結果來自牛頓位勢公式（牛頓位勢是帕松方程的基本解）。這實際上是拉東變換的逆轉公式，因為它能夠從''φ''(''x'')在超曲面上的積分取回''φ''(''x'')的值。例如，若''n''是奇數，而，則右邊的積分等於
其中是''φ''的拉東變換：
平面波分解的另一個等價表達式是
對於偶數''n''，且
對於奇數''n''。
在對傅里葉級數的研究當中，一個重要的問題是須要判斷，和某週期函數相關的傅里葉級數是否收斂到該函數，以及從何種意義上收斂。週期為2π的函數''f''的傅里葉級數的第''n''部分和，定義是與狄利克雷核在區間?π,π上的卷積：
傅里葉級數的一個基礎結果說明，當，狄利克雷核趨向於''δ''函數的倍數。收斂指的是從分佈意義上的收斂，即
對於一切緊支撐光滑函數''f''。從而，在區間?π,π上有
儘管如此，但這並不對所有緊支撐連續函數成立，換言之，''DN''從測度意義上並不弱收斂。鑒於傅里葉級數無法收斂，因此數學家建立了各種可和性方法來達到收斂。從切薩羅求和法發展出費耶核
費耶核從一種更強的意義向''δ''函數收斂：
對於一切緊支撐連續函數''f''。結果是，所有連續函數的傅里葉級數在每一點上都是切薩羅可和的，且和的值等於該函數的值。
狄拉克''δ''分佈是在包含所有平方可積函數的希爾伯特空間L2上所稠密定義的一個無界線性泛函。緊支撐光滑函數在''L''2中是一個稠密集，且''δ''分佈對於緊支撐光滑函數有良好定義。在許多應用中，可以對''L''2的某個子空間賦予更強的拓撲，使得''δ''函數能夠定義一個有界線性算子。
;索伯列夫空間
索伯列夫嵌入定理應用在實數線R上的索伯列夫空間上時，意味著任何平方可積函數''f''，只要滿足
就必定是連續的，而且滿足
從而''δ''是一個在索伯列夫空間''H''1上的有界線性泛函。另一個等價的說法是，''δ''是''H''1的連續對偶空間''H''?1的元素。更一般地說，在''n''維中，有，條件是。
在複分析中，''δ''函數出現在柯西積分公式中，公式說明，若''D''是複數平面上一個具有光滑邊緣的域，則
對於一切在''D''的閉包內連續的全純函數。從而，對於此類全純函數，''δ''函數''δ'z''可以以柯西積分表示：
更一般地來說，設''H''2(?''D'')是一個哈代空間，它是所有在''D''中直到''D''的邊緣都是連續的全純函數，在''L''2(?''D'')中的凸包。''H''2(?''D'')中的函數可以唯一地延續成''D''上的全純函數，而且柯西積分公式仍然成立。特別是對於，''δ''函數''δ'z''是一個''H''2(?''D'')上的連續線性泛函。這是多複數變量函數中的特殊情況：對於光滑域''D''，Szeg?核代替了柯西積分的角色。
在可分希爾伯特空間中，給定一個由函數{''φ'n''}組成的標準正交基（如一個緊自伴算子的歸一化特徵向量），那麼任何向量''f''都可以表達成：
係數{αn}可以如下得出：
這是狄拉克符號的一種。在這種寫法下，''f''以並矢方式展開：
設''I''是該希爾伯特空間上的恆等算子，則表達式
稱為單位分解。當希爾伯特空間是''L''2(''D'')，包含所有在域''D''上的平方可積函數，那麼
就是一個積分算子，而''f''可以重新表達為：
右邊的級數是在''L''2當中向''f''收斂。就算''f''是連續函數，點收斂極限也不一定存在。儘管如此，往往可以濫用符號，寫
如此來表示''δ''函數：
在適當的中，其中包含所有緊支撐光滑函數，視乎基''φ'n''的性質，上方的級數有可能在Φ*中收斂。在大多數實際情況下，標準正交基來自於某個積分或微分算子，這時候級數會從分佈的意義上收斂。
1827年柯西在若干論文中寫下無限高、無限窄的函數時，用到了一個無限小數''α''，使得函數''δα''滿足
他（以及拉扎爾·卡諾）把無限小數定義為一個趨向於零的序列。
非標準分析能夠嚴謹地處理無限小數。利用超實數的語言，狄拉克''δ''函數可以用含有無限小數的延伸實數來表達，詳見論文所列出的相關書目。這樣定義的''δ''函數是真正意義上的函數，使得對於每個實函數''F''，都有
結果與傅里葉和柯西用別的語言所表達的一樣。
狄拉克梳子是無限個相距''T''的''δ''函數
由一系列狄拉克測度組成的均勻脈衝串叫做，亦稱Shah分佈，是一個取樣函數，常用在數碼訊號處理和離散時間訊號分析中。狄拉克梳子是許多單個''δ''函數的無限和，和的極限是分佈意義上的極限：
這可以理解為，在每個整數處都有一個單位質點。
狄拉克梳子是其自身的傅里葉變換（或乘以某個歸一常數）。其重要性在於，若''f''是速降函數，則''f''在週期化後的結果以以下卷積表示：
這正是帕松求和公式。
索霍茨基－魏爾斯特拉斯定理是量子力學中重要的定理，它把''δ''函數和分佈p.v.1/''x''聯繫起來，後者是函數1/''x''的柯西主值，定義是
索霍茨基公式說明，
此處的極限是分佈意義上的極限，就是說對於一切緊支撐光滑函數''f''，
克羅內克''δ''函數''δij''的定義是，
對於所有整數''i''、''j''。它滿足以下的篩選性質：若是一個兩頭無限的序列，則
這和狄拉克''δ''函數的篩選性質十分相似：對於任何R上的實函數或複函數''f''，有
也就是說，克羅內克''δ''函數可以看作是與狄拉克''δ''函數對應的離散函數。
在概率論和統計學中，狄拉克函數往往以概率密度函數的身份，來代表一個離散分佈或部分離散、部分連續的分佈（概率密度函數一般只用作描述完全連續分佈）。例如，設一組點x = {''x''1, ..., ''xn''}，對應概率為''p''1, ..., ''pn''；由這些點所組成的離散分佈的概率密度函數可以寫作
又舉一例，設一個分佈，其中十分之六的情況下輸出標準正態分佈，而十分之四的情況下輸出單個數值3.5，這是一個部分連續、部分離散的混合分佈。其密度函數是
也可以以完全不同的方法，用''δ''函數表示擴散過程（如布朗運動）中的。一個隨機過程的局部時的表達式為
這代表了該過程在某特定區間內，在點''x''所花的時間。更準確地說，當只有一個維度時，上面的積分可以寫成
其中是區間的指示函數。
以下舉一個例子，展示''δ''函數如何在量子力學中派上用場。一個粒子的波函數所給出的，是粒子出現在特定空間範圍內的機率幅。波函數假定屬於希爾伯特空間''L''2（平方可積函數空間），且粒子在某空間範圍內出現的總概率，等於波函數的絕對值平方在該範圍內的積分。一組波函數{''φ'n''}叫做標準正交，如果
其中''δ''指的是克羅內克''δ''函數，而不是狄拉克''δ''函數。一組標準正交波函數叫做在平方可積函數空間中完備，如果任何波函數''ψ''都可以表達為一些''φ'n''的線性組合：
其中。量子力學中的哈密頓算符量度的是（束縛態的）能級，而算符的所有本徵函數正正就組成了波函數完備標準正交系統，每個本徵函數所對應的特徵值等於能量值。這組能量值叫做這個哈密爾頓算符的光譜。利用狄拉克符號（如上），上式所表達的就是單位分解：
此處，特徵值都是離散的，但一個可觀察量的特徵值也可以是連續的，就如位置算符。位置（在一維當中）的光譜是整條實數線，所以稱作連續光譜。不過，和哈密頓算符不同的是，位置算符並沒有正式的本徵函數。為了解決這一困局，通常會擴大所允許使用的函數，從普通的函數到所有分佈。換言之，量子力學的希爾伯特空間要由合適的取代。這樣一來，位置算符就有了一套完備的本徵分佈，對應於實數線上的每個點''y''：
位置的本徵函數（分佈）用狄拉克符號記作，亦稱為位置本徵態。
這種處理方法同樣可以應用於動量算符，以及一切希爾伯特空間上的自伴無界算子''P''，前提是''P''具有連續光譜，且不存在退化特徵值。更確切地說，有一個實數的子集Ω（即算子的光譜）和一組分佈''φ'y''，對應於Ω的每個元素''y''，使得
也就是說，''φ'y''是''P''的特征向量（本徵分佈）。如果這些特征向量（作為分佈）都滿足歸一化條件：
那麼對於一切測試函數ψ，就有
此處所得出的單位分解和離散的情況比較，有相似之處：
其中以算子為值的積分同樣理解為弱積分。若''P''的光譜同時含有連續和離散部分，則它的單位分解須包含跑遍所有離散態的和，再加上跑遍所有連續態的積分。
''δ''函數在量子力學中還有眾多特殊應用，例如''δ''位勢阱。
在結構力學中，''δ''函數可以用來描述結構上的瞬時荷載或點荷載。一個諧振子在''t''=0時突然受到衝量為''I''的力的衝擊，其演變可以如下描述：
其中''m''是質量，ξ是撓度，而''k''是彈簧常數。
根據歐拉﹣伯努力理論，一條細長的樑的靜力負荷撓度是
其中''EI''是樑的彎曲剛度，''w''是撓度，''x''是空間坐標，而''q''(''x'')則是負荷分佈。如果棟樑在''x'' = ''x''0處受到點力''F''的負荷，那麼負荷分佈可以寫作
由於''δ''函數的積分是黑維塞階躍函數，因此細長棟樑在多個點受到點力負荷時的靜力負荷撓度，可以用一組分段多項式來表示。
''δ''函數還可以描述作用在一條樑上的點。設兩個相距''d''的相反方向的點力''F''，它們在棟樑上所產生的彎矩為''M'' = ''Fd''。在保持''M''不變的情況下，使''d''趨向於零。假設所產生的彎矩位於''x'' = 0，方向是順時針，那麼對棟樑的負荷分佈就是
因此點彎矩可以用''δ''函數的導數來描述。對棟樑方程積分，得出的撓度一樣是分段多項式。
* , cf p 449 and pp 546–551. 法文原始文本請參見 這里
* KhanAcademy.org視頻講義
* 狄拉克''δ''函數 ，PlanetMath
孟斐斯或孟菲斯（；埃及阿拉伯語：?????；）曾是的都城，也是下埃及的第一個諾姆。它的遺跡在拉希納村附近，位于開羅南方20公里處。
根據曼涅托的敘述，這座城市是由法老美尼斯于公元前3100年左右建立的。它是埃及古王國的首都，并直到古地中海時期都是一座重要的城市。它在尼羅河三角洲的河口占據了一個重要的戰略位置，并是一系列重要活動的故鄉。城市里有許多的工坊，工廠，以及倉庫，人們在此將商品和食物運往整個王國。在巔峰時期，孟菲斯是商業，貿易和宗教中心。
一般認為孟非斯的保護神是卜塔，他同時也是工匠們的保護神。他的神廟Hut-ka-Ptah（意為“卜塔靈魂的所在”）是城市中最為杰出的建筑物之一。曼涅托將這座神廟的名稱翻譯成希臘文，這個詞被認為是現代埃及在英文中的名字的詞源。
孟菲斯的歷史和古埃及歷史息息相關。它最終的衰落被認為是后來建造的亞歷山大港在經濟上超過它的重要性的結果。而它在宗教上的重要性也在《薩洛尼卡敕令》發布之后，人們逐漸拋棄古代宗教而逐漸消散。
現在這座古代都城的遺址能讓人們一窺它曾經的榮耀。自1979年以來，它就和吉薩的金字塔一同被認定為世界遺產。目前它作為生態博物館開放給人們參觀。
孟菲斯在幾乎長達4千年的歷史中有過許多不同的名字。《希伯來語經卷》中的挪弗一般是指孟斐斯。孟斐斯是古埃及的一座重要城邑。它在古埃及的名稱是Inbu-Hedj（意為“白城”）。
由于它的大小，有時候人們也以其他的名字來稱呼它。而這些名字通常來源于附近其他在某個時期重要的建筑或地區名。例如，根據一段第一中間期的記載，它被稱呼為Djed-Sut（永恒的地方）而這是特提金字塔的名稱。
在某個時期，這座城市也被稱為Ankh-Tawy（意為“兩片土地上的生命”（Life of the Two Lands））。這個名稱顯示了它位于上埃及和下埃及之間重要的戰略地位。它能追溯到中王國時期并經常出現于古埃及的記載中。有一些學者們主張這個名字指的是城市的西部，位于卜塔神廟和薩卡拉墓地之間的有著一棵神樹的地區。
在新王國開始的時候（公元前1550年），孟菲斯被稱為Men-nefer（意為“不朽和美麗的”），在科普特語中寫作Menfe。現在英文中的Memphis來自于希臘文對于Menfe的翻譯，而這個名字最初被用來稱呼位于城市西邊的。
埃及歷史學家曼涅托將這座城市稱為Hut-kaPtah（意為“卜塔靈魂的所在”），他將這個名字在希臘文中寫作A? γυ πτo?（Ai-gy-ptos）。拉丁文中則寫成AEGYPTVS，最終變成了現代英文中的Egypt。對科普特人的稱呼（Copt）也被認為是來自于這個詞。
在圣經中，門菲斯被稱為Moph或Noph。
孟菲斯位于開羅南部20公里的尼羅河西岸。位于開羅南方的一些現代城市和小鎮例如拉希納村，代赫舒爾，阿布希爾，，都在孟菲斯的范圍內。同時，這座城市也是上埃及和下埃及的分界點（上埃及的第22個諾姆，下埃及的第一個諾姆）。
目前沒有人居住在孟菲斯的遺址處。距離孟菲斯最近的定居點是拉希納村。而因來源不同，估計出的孟菲斯的歷史人口也有很大的不一致。根據T. Chandler的估計，孟菲斯曾經有3萬人居住，并且在它建立直到公元前2250年左右和公元前1557到1400年之間是世界上最大的城市。K.A.Bard對于人口的估計比T. Chandler要保守，她認為這座城市在古王國時期有大約6000人居住。
這是一個描繪神Nefertem的儀式性的物品，她主要于孟菲斯得到祭祀。華特斯藝術博物館。
孟菲斯在古王國時期連續做了8個王朝的都城，并于第六王朝時期作為卜塔（創造與藝術之神）崇拜的中心而達到了頂峰。保衛卜塔神廟的雪花石制斯芬克斯仍講述著這座城市曾經的力量和榮耀。由神卜塔，塞克邁特和他們的兒子組成的孟菲斯三位神靈構成了這座城市崇拜的中心。
在第十八王朝和新王國開始之后，孟菲斯隨著底比斯的崛起經歷了一小段衰落時期。但在亞歷山大港建城之前于波斯人的手中得到了復興。在古羅馬時期亞歷山大港是最重要的城市，而孟菲斯在福斯塔特于公元641年建城之前一直是埃及第二重要的城市。但在后來它卻遭到了拋棄，并成了附近居民點的采石處。在12世紀之前，它仍是一處雄偉的遺跡，但隨著時間的推移逐漸變成了一處僅比低矮的遺跡和分散的石塊要好的遺存。
卜塔和賽克邁特站在拉美西斯二世的兩邊。
曼涅托記載的傳說中提到第一位統一上下埃及的法老美尼斯在用堤壩將河分隔開來，之后于河岸上建立了他的都城。希臘歷史學家希羅多德也提到了一個類似的故事。他在波斯帝國時期訪問了這座城市，并發現這個國家的統治者非常注意對堤壩的維護以保證城市不受每年河水泛濫的影響。希羅多德認為這座城市于在他造訪之前2500多年之前于公元前3100年左右建城。
有一種理論認為美尼斯是一位傳說中的法老，就像羅馬帝國的羅慕路斯一樣。還有一些人認為上下埃及是因為共同的需求而聯合在一起的，并發展出了共同的文化和貿易伙伴，而且上下埃及聯合之后的第一個都城毫無疑問是孟菲斯。古埃及學家還在那爾邁石板上發現了美尼斯和征服下埃及尼羅河三角洲并稱呼自己為法老的那爾邁。這個石板能追溯到公元前31世紀，因此印證了由美尼斯將上下埃及聯合起來的傳說。2012年，一段描述前王朝時期法老Iry-Hor參觀孟菲斯的碑文在西奈被發現了，由于Iry-Hor比那爾邁還要早兩代，這證明那爾邁并不是城市的建立者。
這座城市在古王國時期留下來的信息很少。它是自第一王朝時開始統治孟菲斯地區的法老們的都城。據曼涅托所述，在美尼斯統治的早期，王權的中心位于南方的提尼斯。
曼涅托還記載道，古代的資料表明“白城”（the white walls）是由美尼斯所建。在一些記載中它被稱為“白色的堡壘”（Fortress of the White Wall），有可能是法老為了更好的控制這兩個以對方為對手的王國而將權利的中心轉移來的。第三王朝時期位于薩卡拉的左賽爾建筑群變成了皇室儀葬室，有著所有和皇室有關的東西：神廟，圣地，紀念地，行宮和營房。
孟菲斯的黃金時期始于第四王朝這一時期，孟菲斯仍作為戴有雙冠的法老們的住所以及將兩個王國聯合起來的神圣象征。卜塔神廟中會進行加冕儀式和大赦等紀念日的慶祝活動，例如賽德節的慶祝儀式。關于這些儀式最早的跡象發現于左賽爾（Djoser）室中。
同時開始了神職人員在卜塔神廟中進行祭祀的傳統。皇室和貴族高官們的葬禮儀式所需獻出的食物和其他物品顯示了這座神廟的重要性。這座神廟也于孟卡拉統治早期被記載在巴勒莫石碑的年鑒上，從記載中我們得知孟菲斯的高階祭司們成對進行祭祀工作，而這種情況至少持續到了特提的統治時期。
這段時期孟菲斯的建筑形式和在吉薩的很像。最近的考古活動在第四王朝的王室墓地發現那段時期王國的重心放在皇室墓地的建造上。而這一見解的有力證據來自于城市的名稱，它和第六王朝時期修建的一樣。接著，孟菲斯變成了一個藝術和建筑學實踐場所，充滿了對前任法老們的紀念性建筑。
以拉美西斯二世的名義修復的中王國時期雕塑。
所有墓地都被由工匠居住的帳篷所包圍，而他們的唯一工作就是建造皇室墳墓。神廟們由神圣坦密諾斯（Temenos）相連，道路和運河則聯系著不同的港口，這一景象向四面八方蔓延了好幾公里。孟菲斯變成了真正意義上的大都市帶。城市的邊界不斷地向外擴張，而中心地帶仍位于卜塔神廟建筑群附近。
在中王國前期，埃及的都城和政治中心移去了位于南方的底比斯，這導致孟菲斯經歷了一段時期的低潮。于卜塔神廟西邊手工匠區和墓地的發掘表明，雖然孟菲斯已不是政治中心，但它仍是埃及在商貿和藝術上最重要的城市。
同時發現的遺跡也展現了這段時期孟菲斯的建造重心。一個有阿蒙涅姆赫特一世名字的巨大花崗巖祭臺上記載了一位法老為真實之主（master of Truth）卜塔建造了一座神殿。另外一些發現的帶有法老阿蒙涅姆赫特二世名字的石塊則在拉美西斯二世修筑巨大的外墻之前被用作支撐巨大石塊的地基。據一塊記載這段時期皇室活動的石板上的記述，法老們還進行了以采礦為目的的遠征，國境外有因遠征而建立的營地，雕像和紀念物則被豎立起來以祭祀神圣的神靈。在卜塔神廟的廢墟中發現了一塊印有名字的石頭，上面記載了將建造建筑物的承諾作為對孟菲斯神靈的禮物。而且，在這里發現的很多經過新王朝時期修復的雕塑能追溯到第十二王朝時期，例如在神廟廢墟當中發現的曾以拉美西斯二世的名義修復的兩座巨大石像。
根據希羅多德和狄奧多羅斯的記載，阿蒙涅姆赫特三世建造了卜塔神廟的北門。和這位法老有關的遺跡是在所進行的發掘中被發現以及得到確認的。另外一個值得注意的地方是卜塔神廟高階祭司的馬斯塔巴在這段時期建造在薩卡拉皇室金字塔的附近，這表現了孟菲斯的皇室和祭司有著密切的聯系。而這一傾向在第十三王朝得到了延續，有一些法老葬于薩卡拉，這證實了孟菲斯在王國內仍保持非常重要的地位。
在喜克索斯人變得強大并入侵埃及的時期（公元前1650年），孟菲斯遭受到了圍攻。在陷落之后，喜克索斯人的國王拆卸，搶劫或損毀了許多孟菲斯的雕像和紀念碑，并于后來將劫掠來得物品運往他們位于阿瓦里斯的新首都。皇室宣傳的證據后來被人們發現，并認為是第十七期王朝的底比斯法老們所為，他們于半個世紀之后重新奪回了王國。
第十八王朝隨著底比斯人戰勝入侵者而展開了。盡管阿蒙霍特普二世和圖特摩斯四世的統治時期都將一部分皇室的重心放在孟菲斯，但是主要的權力仍在南方。隨著他們統治所帶來的和平時期，孟菲斯因它的地理位置而再一次迎來了繁榮。加強的于其他國家的貿易網絡讓Peru-nefer港變成了通往王國和其他地方（例如朱拜勒和累范特）的窗口。
在新王國時期，孟菲斯還變成了皇室公主和貴族男孩門的教育中心。在孟菲斯出生并長大的阿蒙霍特普二世在他的父親統治時期成了setem—下埃及的高階祭司。在圖特摩斯四世還是孟菲斯的年輕王子的時候，他感受并記錄了一個著名的夢。在對遺址進行發掘的時候，它在卜塔神廟的東邊發現了一些有著圖特摩斯四世名字的石塊和破損的柱廊。這些遺存來自于一個皇室建筑，很有可能是一個正式的宮殿。
在遺址處找到的阿斯塔爾塔神廟（希羅多德曾錯誤地認為這是為希臘女神阿佛洛狄忒而造的）也能追溯到第十八王朝時期，準確的來說是阿蒙霍特普三世的統治時期（公元前1388/86年至1351/1349年）。這位法老在孟菲斯最重要的杰作是一座被稱為“Nebmaatra和卜塔聯合在一起”（Nebmaatra united with Ptah）的神廟。這座神廟在他統治的時期被多次提到，例如在描述孟菲斯高階管理員（High Steward of Memphins）于伊（Huy）事跡的記載中。這座神廟的具體地址至今仍沒被發現，但是來自神廟的石英巖石塊后來被拉美西斯二世（公元前1279至1213年）用來修筑一間小型的卜塔神廟。而這讓一些古埃及學家認為這座神廟建于阿蒙霍特普三世所建造的神廟之上。
根據在孟菲斯發現的銘文記載，阿肯那頓（公元前1353/51年至公元前1336/34年，又稱阿蒙霍特普四世）在城中建立了一座阿頓神廟。其中一位掌管祭祀的祭祀的墓室被發現于薩卡拉。他的繼承者圖坦卡蒙（公元前1332至1323年）在統治的第二年的晚些時候將宮廷從阿瑪那遷至孟菲斯。在經歷過被認為是異端的對太陽神阿托恩的崇拜之后，圖坦卡蒙在孟菲斯對神廟進行了修復并恢復了一些以往的傳統。