ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
* D.W. North. "A tutorial introduction to decision theory". ''IEEE Trans. Systems Science and Cybernetics'', 4(3), 1968. Reprinted in Pearl & Shafer. ''(also about normative decision theory)''
* Glenn Shafer and Judea Pearl, editors. ''Readings in uncertain reasoning''. Morgan Kaufmann, San Mateo, CA, 1990.
* Howard Raiffa ''Decision Analysis: Introductory Readings on Choices Under Uncertainty''. McGraw Hill. 1997. ISBN 0-07-052579-X
* Morris De Groot ''Optimal Statistical Decisions''. Wiley Classics Library. 2004. (Originally published 1970.) ISBN 0-471-68029-X.
* Khemani , Karan, Ignorance is Bliss: A study on how and why humans depend on recognition heuristics in social relationships, the equity markets and the brand market-place, thereby making successful decisions, 2005.
* J.Q. Smith ''Decision Analysis: A Bayesian Approach''. Chapman and Hall. 1988. ISBN 0-412-27520-1
* Akerlof, George A. and Janet L. YELLEN, Rational Models of Irrational Behavior
* Arthur, W. Brian, Designing Economic Agents that Act like Human Agents: A Behavioral Approach to Bounded Rationality
* James O. Berger ''Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis''. Second Edition. 1980. Springer Series in Statistics. ISBN 0-387-96098-8.
* Goode, Erica. (2001) '' In Weird Math of Choices, 6 Choices Can Beat 600''. The New York Times. Retrieved May 16, 2005.
* http://www.decisionsciences.org/
* http://www4.gsb.columbia.edu/decisionsciences
* http://onlinelibrary.wiley.com/journal/10.1111/%28ISSN%291540-5915/issues
* http://www.hindawi.com/journals/ads/contents/
在數學哲學和邏輯中，直覺主義，或者新直覺主義（Neointuitionism ）（對應於前直覺主義（Preintuitionism）），是用人類的構造性思維活動進行數學研究的方法。也可翻譯成直觀主義。
任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價于它的構造的可能性。這和古典的方法不同，因為根據古典方法，一個實體的存在可以通過否定它的不存在來證明。對直覺主義者來說，這是不正確的：不存在的否定不表示可能找到存在的''構造''證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。
直覺主義把數學命題的正確性和它可以被證明等同起來；如果數學對象純粹是精神上的構造，還有什么其它法則可以用作真實性的檢驗呢（如同直覺主義者所說的一樣）？這意味著直覺主義者對一個數學命題的含義，可能與古典的數學家有不同理解。例如，說 ''A'' 或 ''B''，對于一個直覺主義者，是宣稱 ''A'' 或是 ''B'' 可以被「證明」，而非兩者之一「為真」。值得一提的是，只允許 ''A'' 或 非''A'' 的排中律，在直覺主義邏輯中是不被允許的；因為不能假設人們總是能夠證明命題 ''A'' 或它的否定命題。
直覺主義也拒絕承認的抽象概念；也就是說，它不把像所有自然數的集合或任意有理數的序列這樣的無窮當作實體來考慮。這要求將集合論和微積分的基礎分別重新構造為和構造主義分析。
* Curry-Howard對應
燕獻武帝慕容德，後改名慕容備德，字玄明，十六國時期南燕皇帝，鮮卑人，是前燕文明帝慕容皝之幼子，前燕景昭帝慕容儁、後燕成武帝慕容垂皆為其兄。《晉書》載其「年未弱冠，身長八尺二寸，姿貌雄偉」。又「博觀群書，性清慎，多才藝」。
前燕時期慕容儁在位時，慕容德被封為梁公。後來慕容儁之子慕容暐繼帝位，再被改封為范陽王。369年，曾與慕容垂一同大敗東晉桓溫的進攻。370年，前燕為前秦所滅後，一度被前秦帝苻堅任命為張掖（今中國甘肅省張掖市）太守，數年後被免職。
後來苻堅欲南-{征}-東晉，慕容德被任命為奮威將軍隨軍，留下金刀拜別母親公孫氏及胞兄原北海王慕容納而去。383年，前秦於淝水之戰敗北，苻堅寵妃張夫人走失投靠慕容暐，慕容暐送她回京，慕容德阻止并勸他趁亂復國，未果。
后來慕容垂趁機起兵建後燕，慕容德嚮應之，被命為車騎大將軍，重新受封為范陽王，然其諸子及慕容納皆因留在後方而被前秦所殺。
396年，慕容垂臨終，遺命太子慕容寶將鄴城（今中國河南省臨漳縣）委由慕容德鎮守。慕容寶繼位後，即以慕容德為使持節、都督冀、兗、青、徐、荊、豫六州諸軍事、特進、車騎大將軍、冀州牧，領南蠻校尉，鎮守鄴城。
397年，北魏攻擊後燕，後燕兵敗如山倒，皇帝慕容寶向北方故地逃亡，後燕國土被截為南北二部，位在南方的慕容德被慕容寶任命為丞相，領冀州牧。不久，慕容垂另一子趙王慕容麟來逃至鄴城，以鄴城難守，建議慕容德南遷滑臺（今中國河南省滑縣）。398年正月，慕容德又受慕容麟建議先稱燕王，稱燕王元年，史稱此一政權為南燕。次年（399年），再遷廣固（今中國山東省青州市），以為都城。
400年，慕容德正式稱帝，改元建平，並在此時把自己名字改為慕容備德，以便臣民避諱。慕容德時年已65歲，是中國歷史上即位時年齡第二大的皇帝（第一名為唐朝的武則天，登基時67歲）。
慕容備德不知道母親公孫夫人和胞兄慕容納都已經不在人世，曾于建平二年（401年）十月派平原人杜弘去長安尋訪。杜弘說：“臣至長安，若不能得知太后動止，當西往張掖，以死效力。”并為自己年逾六十的父親杜雄乞求本縣縣令之職。慕容備德不顧中書令張華反對，認為杜弘“為君迎母，為父求祿，忠孝備矣，何罪之有！”以杜雄為平原令。杜弘到張掖為盜賊所殺。四年（403年），慕容備德舊部趙融從長安前來，告知公孫夫人和慕容納的死訊，慕容備德放聲痛哭以至于吐血，因而臥病不起，從此健康惡化。
慕容備德有女兒無兒子，為繼承人心焦，慕容納之子慕容超持當年慕容德拜別母親的金刀來歸，慕容備德遂以慕容超襲封北海王，后立為太子。
建平六年九月戊午（405年11月17日），慕容備德去世，慕容超繼位。去世當晚從四方城門抬出十餘口棺木，秘密埋葬在山谷之中，因此實際上他並未葬於其陵寢「東陽陵」，後人遂不知其安葬之處。慕容德後來被諡為獻武皇帝，廟號世宗。
*樂安公主，嫁南燕冠軍將軍、宜陽公蘭瑰
category:五胡十六國人物
燕末主慕容超，字祖明，十六國南燕末代皇帝，鮮卑人。
前秦建元六年（370年），前燕為前秦所滅後，慕容超之父慕容納一度仕於前秦，後來遷居於張掖（今中國甘肅省張掖市）。慕容納之弟慕容德受前秦帝苻堅之命隨軍南-{征}-東晉，留下金刀拜別母親公孫氏而去。
前秦建元十九年（383年），前秦於肥水之戰敗北，慕容納、德之兄慕容垂趁機起兵建後燕，前秦遂殺慕容納本人及慕容德諸子。公孫氏因年老而免死，慕容納之妻段氏正好懷孕，暫不執行死刑，羈押於獄中。有個叫呼延平的獄卒，是慕容德以前的下屬，慕容德曾免其死罪，對其有恩。因此，他幫助公孫氏及段氏逃至羌地，慕容超即於該處誕生。
慕容超十歲時，祖母公孫氏去世，臨終前把金刀給慕容超，說：「如果天下太平，你能夠向東回到故土，可以將這把刀還給你叔叔（慕容德）。」呼延平後來又讓慕容超母子逃亡到呂光在位時的後涼。後來的後涼王呂隆向後秦姚興投降，慕容超母子又被遷往長安（今中國陝西省西安市）。呼延平去世後，慕容超之母段氏讓慕容超娶呼延平之女。
慕容超認為幾位伯叔父先後在東方稱帝，恐怕被後秦知道身分，所以就裝成神智失常之人，並以行乞維生。後秦人都看不起他，遂對他不起疑，所以行動自由不受限制。當時已登上南燕帝位的慕容德聽說這件事，立即派使者迎接他，慕容超不告別母親、妻子即東行。後來到達南燕，呈獻金刀給慕容德，並告以其祖母也就是慕容德之母臨終的遺言，慕容德聽了之後哀傷不已。將慕容超封為北海王（即慕容納在前燕的王爵），任命為侍中、驃騎大將軍、司隸校尉，開王府置僚佐。
史載「慕容超身高八尺，腰帶九圍，姿器魁傑」，和慕容德頗為相似，而且「精彩秀髮，容止可觀」，《晉書》和《十六國春秋》皆載此時他才被取名為慕容超。慕容德由於年輕時生的兒子已經在前秦被殺害，晚年只有女兒沒有兒子，所以動了讓慕容超繼承之心。而慕容超亦深知慕容德的意思，因此「入則盡歡承奉，出則傾身下士」，於是輿論一致稱讚，不久即被立為太子。
南燕建平六年九月戊午（405年11月17日），慕容德去世，九月己未（11月18日），慕容超即皇帝位，改元太上。慕容超登位後，寵信舊部公孫五樓，聽信其言，大殺功臣，時稱“欲得侯，事五樓”。又喜好遊獵，使得人民苦不堪言。他的嬸母、皇太后段季妃等密謀廢掉他立慕容鐘，事發，慕容超殺了相關諸臣，廢黜了段季妃。
太上三年（407年），因母段氏、妻呼延氏尚留在後秦，遂向後秦稱藩，後秦就將其母、妻送還。慕容超追尊其父慕容納為穆皇帝，立其母為皇太后，妻為皇后。
南燕向後秦稱藩後，慕容超即計畫南下攻擊淮北，使得東晉不堪其擾。太上五年（409年），東晉將領劉裕率軍進攻南燕反擊。次年二月丁亥日（410年3月25日），南燕都城廣固（今中國山東省青州市）陷落，慕容超被俘，被送往東晉都城建康（今中國江蘇省南京市）斬首。死後無諡號及廟號，有史家稱他為南燕末主。
慕容超同時也是除了系出同源的吐谷渾外，五胡十六國時期源自鮮卑慕容部的最後一位帝王。
* 幸姬魏夫人，410年正月初一魏夫人從慕容超登廣固城，見東晉大軍之盛，握住慕容超的手，相對而泣
* 慕容鍾、慕容統、慕容根、慕容法、慕容鎮、慕容昱、慕容凝
*《資治通鑒》卷一百一十四至一百一十五
在數學哲學中，構成主義或構造主義認為要證明一個數學對象存在就必須把它構造出來。如果假設一個對象不存在，并從該假設推導出一個矛盾，對于構成主義者來說，不足以證明該對象存在。（構造性證明）
構成主義常常和直覺主義混淆，實際上，直覺主義只是構成主義的一種。直覺主義強調數學的基礎建立在數學家們個人的直覺上，這樣就把數學在本質上作為一種主觀活動。構成主義不這樣強調，并和對數學的客觀看法保持一致。
構造主義者的數學使用構造性邏輯，該邏輯將真實性和證明等同起來。要構造性的證明，我們必須證明或，或兩者同時成立。要構造式的證明，我們必須給出一個特定的和一個的證明。要構造式的證明，我們必須給出一個算法，它對于每個輸出一個的證明。
構造主義同時拒絕采用無窮對象，例如無窮集合和序列。
在經典實分析中，實數構造的方法之一是把它作為有理數的柯西列對。這個構造在構造主義數學中不成立，因為序列是無窮的。
作為替換，我們把實數表示為一個算法，它取一個正整數然后輸出一對有理數使得
使得當增大，區間變小，而前個這種區間的交不空。我們使用來計算它所表示的實數的任何精度的有理數近似。
在這個定義下，實數可以用一個算法表示，它對于每個計算出最大的整數使得然后輸出。
這個定義和采用柯西列的經典定義相關，除了要求序列是構造式的：也就是說，我們有個計算第個序列中的元素的算法，所以有一個計算任意精確的對的有理數近似的算法。
注意構造性要求使得上述定義和通常非構造主義的實數定義不相容：因為每個算法必須是一個有限指令集上的有限序列，存在一個雙射函數。所以所有算法的集合和所有自然數的集合有同樣的基數。當使用一個非構造式的定義時，康托對角線論證證明實數比自然數有更高的基數。
傳統上，數學家對于數學構造主義曾經持懷疑態度，如果不是完全反對的話，很大程度上這是因為它對構造分析的限制．
這些觀點希爾伯特在1928年曾有強烈表示．他在《數學基礎》寫道：“把排中律從數學家那里拿走，就像把望遠鏡從天文學家那里拿走，或是從拳擊手那里把拳頭拿走一樣”1
（排中律在構造性邏輯中不成立）。
，在他1967年的著作《構造性分析學基礎》中，作了很多驅散這種恐怖，他的辦法是用構造性的框架中發展出傳統的分析學的大部分．
但是，不是所有數學家都認為Bishop非常成功，因為的他的書必須比經典分析教科書更復雜．
無論如何，多數數學家不認為應該把自己限制到構造主義方式，甚至當可以這樣做時。
* 克羅內克（Leopold Kronecker）
* L.E.J. Brouwer
* Paul Lorenzen
* Errett Bishop
數學上，數學基礎一詞有時候用于數學的特定領域，例如數理邏輯，公理化集合論，證明論，模型論，和遞歸論（可計算性理論）。但是尋求數學的基礎也是數學哲學的中心問題：在什么終極基礎上命題可以稱為“真”?
目前占統治地位的數學范式是基于公理化集合論和形式邏輯的。實際上，幾乎所有現在的數學定理都可以表述為集合論下的定理。在這個觀點下，所謂數學命題的真實性，不過就是該命題可以從集合論公理使用形式邏輯推導出來。
這個不能解釋一些問題：為什么我們應沿用現行的公理而不是別的，為什么我們應沿用現行的邏輯規則而不是別的，為什么「真」數學命題（例如，算術領域的皮亞諾公理）在物理世界中似乎是真的。這被尤金·維格納在1960年叫做“數學在自然科學中無理由的有效性”（''The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences''）。
在（有時也叫柏拉圖主義）中，獨立于人類的數學對象的世界的存在性被作為一個基本假設；這些對象的真實性由人類「發現」。在這種觀點下，自然定律和數學定律有類似的地位，因此"有效性"不再"無理由"。不是我們的公理，而是數學對象的真實世界構成了數學基礎。但，顯然的問題在于，我們如何接觸這個世界？
一些數學哲學的現代理論不承認這種數學基礎的存在性。有些理論傾向于專注，並試圖把數學家的實際工作視為一種社會群體來作描述和分析。也有理論試圖創造一個，把數學在"現實世界"中的可靠性歸結為人類的認知。這些理論建議只在人類的思考中找到基礎，
* '' The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences '', Eugene Wigner, 1960;
* ''What is mathematical truth?'', Hilary Putnam, 1975;
* ''Mathematics as an objective science'', Nicholas D. Goodman, 1979;
* ''Some proposals for reviving the philosophy of mathematics'', Reuben Hersh, 1979;
* ''Challenging foundations'', Thomas Tymoczko, 1986, preface to first section of ''New Directions in the Philosophy of Mathematics'', 1986 and (revised) 1998, which includes also Putnam, Goodman, Hersh.
*  What is Foundations of Mathematics?
*  Logic and Mathematics
*  Foundations of Mathematics mailing list
模型論一般是指數學中集合論的論述角度對數學概念表現（representation）的研究，或者說是對于作為數學系統基礎的“模型”的研究。粗略地說，該學科假定有一些既存的數學“對象”，然后研究：當這些對象之間的一些運算或者一些關系乃至一組公理被給定時，可以相應證明出什么，以及如何證明。
比如實數理論中一個模型論概念的例子是：我們從一個任意集合開始，作為集合元素的每個個體都是一個實數，其間有一些關系和（或）函數，例如{ ×, +, ?, ., 0, 1 }。若我們在該語言中問"? ''y'' (''y'' × ''y'' = 1 + 1)"這樣一個問題，顯然該陳述對實數而言成立 - 確實存在這樣的一個實數''y'',即所謂2的平方根；對于有理數，該陳述卻并不成立。一個類似的命題，"? ''y'' (''y'' × ''y'' = 0 ? 1)",在實數中不成立，卻在復數中成立，因為''i'' × ''i'' = 0 ? 1。
模型論研究什么是在給定的數學系統中可證的，以及這些系統相互間的關系。它特別注重研究當我們試圖通過加入新公理和新語言構造時會發生什么。
現在模型論（及其方法）已經廣泛地應用于其它數學分支甚至理論計算機與工程計算中。例如Hrushovski用模型論方法證明了代數幾何中的Mordell-Lang猜想。
結構被形式的定義于某個語言''L''的上下文中，它由常量符號的集合，關系符號的集合，和函數符號的集合組成。在語言''L''上的結構，或''L''-結構，由如下東西組成：
# 一個全集或底層集合''A''，它包含所有感興趣的對象（"論域"），
# 給''L''的每個常量符號一個在''A''中元素，
# 給''L''的每個''n''價函數符號一個從''A'n''到''A''的函數，和
# 給''L''的每個''n''價關系符號一個在''A''上的''n''-元關系（換句話說，''A'n''的一個子集）。
函數或關系的價有時也叫做元數（術語"一元"、"二元"和"n-元"中的那個元）。
在語言''L''中的理論，或''L''-理論，被定義為''L''中的句子的集合。如果句子的集合閉合于通常的推理規則之下，則被稱為閉合理論。例如，在某個特定''L''-結構下為真的所有句子的集合是一個閉合''L''-理論。
''L''-理論''T''的模型由在其中''T''的所有句子都為真的一個''L''-結構組出，它通常用T-模式的方式定義。
理論被稱為可滿足的，如果它有模型。
例如，偏序的語言有一個二元關系≥。因而偏序的''語言''的結構就是帶有≥所指示的二元關系的一個集合；如果此外它還滿足偏序的公理，則它是偏序的''理論''的模型。
哥德爾完備性定理表明理論有一個模型當且僅當它是一致的，也就是說沒有矛盾可以被該理論所證明。這是模型論的中心，因為它使得我們能夠通過檢視模型回答關于理論的問題，反之亦然。不要把完全性定理和完備理論的概念混淆。一個完備的理論是包含每個句子或其否命題的理論。重要的是，一個完備的協調理論可以通過擴展一個協調的理論得到。
緊致性定理說一組語句S是可滿足的（即有一個模型）當且僅當S的每一個有限子集可滿足。在證明理論的范圍內類似的定義是下顯而易見的，因為每個證明都只能有有限量的證明前提。在模型論的范疇內這個證明就更困難了。目前已知的有兩個證明方法，一個是庫爾特·哥德爾提出的（通過證明論），另一個是阿納托利·伊萬諾維奇·馬爾采夫提出的（這個更直接，并允許我們限制最后模型的基數）。
模型論一般與一階邏輯有關。許多模型論的重要結果（例如哥德爾完備性定理和緊致性定理）在二階邏輯或其它可選的理論中不成立。在一階邏輯中對于一個可數的語言，任何理論都有可數的模型。這在勒文海姆-斯科倫定理中有表達，它說對于任何可數的語言中的任何有一個無限模型都有一個可數的初等子模型。
莫雷（Morley）證明了著名的范疇定理。即對于可數語言的任何可數完備理論，如果它在某個不可數基數上是范疇的，則它在所有不可基數上都是范疇的。這個定理極大的刺激了模型論的發展，產生了后來對的研究。
近來模型論更加著重于對于其它數學分支，尤其是代數和代數幾何的應用。
*Wilfrid Hodges, ''A shorter model theory'' (1997) Cambridge University Press ISBN 0-521-58713-1
脊髓灰質-{}-炎（，簡稱），俗稱小兒麻痺-{}-癥（中文名稱譯自日語「」；后者則譯自英語），又譯急性灰白髓炎。是由脊髓灰質炎病毒引起，可感染人類之病癥。大約有90%到95%的感染並沒有任何癥狀。剩下5%到10%有發燒、頭痛、嘔吐、腹瀉、頸部僵硬以及四肢疼痛等輕微癥狀。這些有癥狀的患者往往在一到兩周內就會完全復原。只有約0.5%的患者會發生而導致。疾病的進程可能只是數小時，也可能需要數天。肌力變弱的狀況往往發生在下肢，很少發生在頭部、頸部、橫膈膜的肌肉。大多數的人可以自行復原，但少數的人會造成終生殘疾。在感染此病毒造成肌力變弱的患者中，有2%到5%的幼年患者與15%到30%成年患者會導致死亡。從中恢復，需要很長的時間，會很長一段時間都有如同感染時期一樣的肌力不足。該病不僅會感染小兒，成年人也會因感染發病而造成殘疾，如發明四乙基鉛與氟利昂的美國化學家托馬斯·米基利等。
脊髓灰質炎病毒通常經糞口傳播。也有可能經由被糞便汙染的水或食物傳染，經由唾液傳染是較為少見的狀況。感染病毒的患者，即便已經毫無癥狀達六周，還是有可能具有散播疾病的能力。藉由在患者的糞便之中找到病毒，或是在血液中找到相對應的抗體，可以用來作為小兒痲痹癥的診斷依據。
脊髓灰質炎可以藉著脊髓灰質炎疫苗來預防感染，有口服滴劑、糖丸與注射型等形式。但為了讓疫苗達到效用，必須連續注射/服用多劑才行。美國疾病控制與預防中心建議旅客還有居住在脊髓灰質炎病毒依然猖獗的國家里面的居民，應追加注射/服用脊髓灰質炎疫苗。一旦感染後，目前尚無特效藥或療法。脊髓灰質炎的感染人數，已從1988年的35萬例，降至2013年的416例。在2014年，此疾病只在阿富汗、奈及利亞與巴基斯坦間傳播。
脊髓灰質炎已存在有千年之久，在古代的藝術品中，處處可見對此病癥的描寫。在1789年，英國醫師首先對脊髓灰質炎提出完整的臨床描述，接著再1908年，奧地利裔醫師蘭德施泰納是第一個確定脊髓灰質炎病毒的人。大規模的疾病爆發始於19世紀末的歐洲與美國。20世紀，小兒痲痺癥更接著成為疫區中最讓人擔憂的。1950年代，美國病毒學家喬納斯·索爾克製作出世上第一劑小兒痲痺疫苗。期盼藉由疫苗的施打和早期發現，WHO在2013年預計最終可於2018年將這個疾病自世界上根除。在2013年，卻在敘利亞發現幾例新個案，且2014年五月，世界衛生組織因為小兒痲痺癥在亞洲、非洲以及中東的疫情爆發所以發佈國際公共衛生緊急事件。到今天為止，在其他動物上並未發現感染小兒痲痺癥的情形。
最明顯的特征就是穩定期過后，出現漸進的肌肉萎縮癥（肌肉質量下降），四肢無力，感覺疼痛和疲勞，進行日常活動的能力下降；衰減的上肢功能和肺的功能。
最明顯的癥狀是疲勞，即使是輕微的體力活動通常會產生疲勞，也可以加劇其它癥狀；呼吸或吞咽困難，睡眠相關呼吸障礙，如睡眠呼吸暫停的問題和耐寒能力下降等顯著癥狀。
隨著病情發展，四肢逐漸出現各種畸形。早期的畸形可以矯正，后遺癥后期癱瘓肌肉不再恢復，肌纖維逐漸萎縮變小，甚至消失。因肌肉萎縮，肌力不平衡和身體的負重，產生組織攣縮，骨關節畸形。常見的畸形有關節攣縮，骨關節變形，，足外翻，膝內翻或外翻，骨盆傾斜，脊柱側凸，下肢縮短等。減弱或消失。
現在治療脊髓灰質炎的重點是減輕其癥狀，加速復原以及避免併發癥。支持性的措施包括避免萎縮肌肉感染的抗細菌藥，止痛的鎮痛藥，適量的運動以及有營養的食物。脊髓灰質炎的治癒包括長期的復健治療，包括職能治療、物理治療、矯正鞋及背帶，有時會需要進行骨科整形。
有時可能會需要可攜式來輔助呼吸。以往曾使用過一種未侵入式，負壓的呼吸器，一般稱為鐵肺，鐵肺用在急性的脊髓灰質炎感染時，在病患可以自主呼吸之前，以人工方式維持呼吸。今日許多曾得過脊髓灰質炎，有永久性呼吸麻痺的人會使用夾克式，穿在胸腹部的呼吸器來維持呼吸。
以往治療脊髓灰質炎的方式包括有水療、電療、按摩及被動式運動，也有像肌腱延長或是神經移植等手術治療。
口服脊髓灰質炎疫苗的兒童
世界上有兩種對抗脊髓灰質炎的疫苗，兩種都可以誘導對脊髓灰質炎的免疫，有效隔絕人對人的脊髓灰質炎傳播，不但保護接種疫苗的人，也可以保護社會群體（稱為群體免疫）。
第一個計劃作為脊髓灰質炎疫苗的，是一種血清型減毒活疫苗，是由病毒學家希拉里·科普羅夫斯基所研發。疫苗原型在1950年2月27日施打在一位八歲的兒童身上。科普羅夫斯基在1950年代繼續研發疫苗，在比屬剛果有大規模的試驗，1958年至1960年時在波蘭也為七百萬名兒童注射PV1及PV3的血清型疫苗。
第二種滅活疫苗是在1952年由喬納斯·索爾克在匹茲堡大學開發，在1955年4月12日公諸於世沙克疫苗是無活性的脊髓灰質炎疫苗（IPV），是由猴子腎臟組織培養中生長的脊髓灰質炎病毒為基礎，再利用甲醛使病毒去活性。在注射兩劑後，90%以上的接種者會產生對三種血清型病毒的抗體，在注射三劑後，至少99%的接種者對脊髓灰質炎免疫。
後來阿爾伯特·沙賓開發了另一種活的口服脊髓灰質炎疫苗（OPV），是在一般人體溫度下，將病毒反覆的通過非人體的細胞而得。減毒的沙賓疫苗會快速的在腸胃中複製，這是脊髓灰質炎首先會感染及複製的器官，但沙賓疫苗無法在神經系統組織中快速的複製。一劑沙賓疫苗可以使接種者對三種血清的脊髓灰質炎有50%的免疫力。三劑沙賓疫苗可以讓超過95%的接種者產生抗體沙賓疫苗的臨床試驗在1957年開始，在1958年時美國國立衛生研究院選擇沙賓疫苗及其他研究者的疫苗實驗，確認哪一種效果最好，在1962年註冊。很快沙賓疫苗就變成世界上唯一在使用的脊髓灰質炎疫苗。
由於沙賓疫苗價格便宜，容易接種，且在消化道中的免疫力非常好（在地方性流行病時，這可以避免感染），很多國家都曾經用沙賓疫苗來控制脊髓灰質炎。在非常少數的情形下（約75萬人中會出現一人），減毒的沙賓疫苗會轉變為可造成癱瘓的病毒。大部份已開發國家都已改為沙克疫苗，不論單獨施打或和沙賓疫苗一起接種，沙克疫苗都不會轉變為可造成癱瘓的病毒。
小兒麻痹癥后遺癥目前沒有確定統一的理論解釋。被廣泛認同的是“神經疲勞”學說。神經疲勞理論認為，運動神經元纖維的擴大需要增加代謝應激來應對神經細胞體滋養纖維。經過多年的使用，這種應激可能超過神經元的承受力，導致生長的纖維逐漸惡化，最終是神經元本身。這會導致肌肉無力和癱瘓。
小兒麻痺癥/急性無力肢體麻痺疫區
古埃及第十八王朝時（1403 - 1365 BC）出土的石板畫
在古埃及第十八王朝時（1403 - 1365 BC）出土的石板畫，就很明確的畫出小兒麻痺病人的姿態。1789年，臨床醫師清楚描述其病狀。後來經由微生物學的發展，明確的將小兒麻痺病毒歸在「腸道病毒」，傳染途徑藉由「人傳人」、「糞口傳染」（食物和飲水易受病人的糞便汙染），好發季節是溫帶地區的夏季與早秋或是熱帶地區的雨季。
由於，醫生1840年的研究工作和1890年的研究工作等病例資料，以致曾被稱為「海涅－梅定」病。這種疾病後來被稱為「小兒麻痺癥」，是根據發病傾向於兒童。
*  世界衛生組織 | 脊髓灰質炎 世界衛生組織網站
逆數學（Reverse mathematics）是數學的一個分支，大致可以看成是&ldquo;從定理導向公理&rdquo;而不是通常的方向(從公理到定理)。更精確一點，它試圖通過找出證明所需的充分和必要的公理來評價一批常用數學結果的邏輯有效性。
該領域由Harvey Friedman在其文章&ldquo;二階算術系統及其應用（Some systems of second order arithmetic and their use）&rdquo;中創立。它被Stephen G. Simpson和他的學生以及其他一些人所追隨。Simpson寫了關于該主題的參考教科書''二階算數的子系統(Subsystems of Second Order Arithmetic)'';本條目大部分內容取自該書的簡介性質的第一章。其他參考讀物的細節參看參考。
逆數學的原則如下:從一個框架語言和一個基理論—一個核心(公理)體系—開始,它可能弱到無法證明大部分我們感興趣的定理，但是它要強到足以證明一些特定的其區別和所研究的課題不相關的命題之間的等效性或者足以建立一些足夠明顯的事實(例如加法的可交換性)。在該弱的基系統之上有一個''全''理論，強到足以證明我們感興趣的定理，而正常的數學直覺在該理論中又不受侵害。
在基系統和全系統之間，逆數學家需求給一些公理集標上中間的強度，它們（在基系統上）互相不等價:每個系統不僅要證明這個或那個經典定理而且需要在核心體系上''等價于''該定理。這保證定理的邏輯強度可以被精確的衡量(至少對所選的框架語言和核心系統來說):更弱的公理系統無法證明該定理，而更強的公理系統不被該定理所蘊涵。
若基系統選得太強（作為極端情況，選它為完整的策墨羅-富蘭科集合論），則逆數學沒有什么信息：很多(全系統的,也就是說通常的數學定理)定理會成為核心系統的定理，所以他們全都等價，我們對于他們的強度一無所知。若基系統選得太弱(作為極端情況，選它為謂詞演算)，則定理間的等價關系過于細化：沒有任何東西等價除了很明顯的，同樣我們一無所知。如何選取框架語言也是一個問題：它需要不用太多翻譯便足以表達通常的數學思想，而它不應預設太強的公理否則我們會碰到和核心系統太強一樣的麻煩。
例如，雖然通常(正向的)數學使用集合論的語言，并在策墨羅-富蘭科集合論的系統中實現(這個系統，如果不加顯式的否認，被數學工作者假設為缺省基礎系統),事實上這個系統比真正所需要的強很多—這也是逆數學給我們的教訓之一。雖然逆數學特定的結果可以用集合論的框架表達，通常這不是很合適，因為這預設了太強的假定(例如任何階的集合的存在性和構造它們的一致性)。
在逆數學根據Friedman,Simpson和其他人的現在的實現中，框架語言(通常)選為二階算術，而核心理論選為遞歸理解，而全理論則為經典分析。我們接下來必須關于這些說上兩句。
本節有點技術性，主要試圖精確描述逆數學的通常框架(也就是，二階算數子系統)。
二階算數的語言是一種分為兩類的(一階謂詞演算的)語言。一些術語和變量，通常用小寫字母表示，用于指代個體/數字，它們可以視為自然數。其他變量，稱為''類變量''或者''謂詞''，并經常用大寫表示，指代個體的類/謂詞/屬性，它們可以視為自然數的集合。個體和謂詞都可以量化，''所有''或者''存在''。一個公式如果有未限定的''類''變量，(雖然它可能有自由類變量和確定個體變量，)稱為算式(arithmetical)。
個體術語可以用常數0，單元函數S (''后續函數'')和二元操作+和&middot; (加和乘)組成。后續函數產生一個比輸入大一的自然數。關系 = (相等) 和 < (自然數的比較) 可以關聯兩個個體，而關系 &isin; (屬于) 關聯一個個體和一個類。
例如是二階算數定義嚴謹的公式，它是一個算式，有一個自由類變量''X''和一個確定個體變量''n'' (但是沒有確定類變量，這是算術共識的要求),而是一個定義嚴謹的公式卻不是算式，它有一個確定類變量''X''和一個確定個體變量''n''。
常用的5個子系統按照強度(stength)分別是
RCA0 	(Recursive comprehension axiom);
WKL0 	(Weak K?nig's lemma);
ACA0 	(Arithmetical comprehension axiom);
ATR0 	(Arithmetical transfinite recursion);
Π11-CA0 (Π11 comprehension axiom);
*  Harvey Friedman's home page
* ''Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, B.C., 1974), Vol. 1'', pp. 235–242. ''Canad. Math. Congress, Montreal, Que.'', 1975.
*  Stephen G. Simpson's home page
* '' Subsystems of Second Order Arithmetic''. ''Perspectives in Mathematical Logic'', Springer-Verlag, Berlin, 1999. ISBN 3-540-64882-8.
密切平面：過空間曲線上P點的切線和P點的鄰近一點Q可作一平面，當Q點沿著曲線趨近于P時，平面的極限位置稱為曲線在P點的密切平面。
其中 R ＝ {X,Y,Z}表示P點的密切平面上任意一點的向徑。
上式也可用行列式表示為
數學中，有一組常在數學表達式中出現的符號。數學工作者一般熟悉這些符號，所以使用時不一定會加以說明。但絕大多數常見的符號都有相應標準或Unicode符號說明等加以規范。
下表列出了很多常見的數學符號，並附有名稱、讀法和應用領域。第三欄給出一個非正式的定義，第四欄提供簡單的例子。
表示和是相同的東西或其值相等。
表示和不是相同的東西或其值不相等。
表示小於'。表示大於'。
表示小於或等於'。表示大於或等於'。
小於等於，大於等於
表示 3 加 3。
表示 6 減 3 或 6 被 3 減。
5 表示 5 的負數。
表示包含所有屬於但不屬於的元素的集合。
表示 2 乘以 3。
表示所有第一個元素屬於，第二個元素屬於的有序對的集合。
… 和…的直積
表示向量和的向量積。
或表示 6 除以 3 或 3 除 6 或 6 被 3 除。
表示其平方為的正數。
若用極坐標表示複數（滿足），則。
表示實數軸（或複平面）上 ''x'' 和 0 的距離。
表示連乘積。
表示隨機變量概率分佈為。
：標準正態分佈
「圖形A~圖形B」表示兩個圖形形狀完全相同（但大小不一定一樣）
當，則, , ，但是不代表 , ,
相似於，…與…相似
表示真則也真；假則不定。可能和一樣，或者有下面將提到的函數的意思。可能和一樣，或者有下面將提到的交集的意思。
為真，但一般情況下為假（因為可以是）。
推出，若…則 …
表示真則真，假則假。
當且僅當（若且唯若）
命題為真當且僅當為假。將一條斜線穿過一個符號相當於將 "" 放在該符號前面。
邏輯與或交運算
若為真且為真，則命題為真；否則為假。
，當是自然數
命題邏輯，格理論
邏輯或或併運算
若或（或都）為真，則命題為真；若兩者都假則命題為假。
若和剛好有一個為真，則命題為真。的意義相同。
恆為真，恆為假。
命題邏輯，布爾代數
表示對於所有為真。
對所有；對任意；對任一
表示存在至少一個使得為真。
表示有且僅有一個 ''x'' 使得 ''P''(''x'') 為真。
或表示定義為的一個名字（注意：也可表示其它意思，例如恒等于）。表示定義為的邏輯等價。
表示組成的集合。
集合構造記號
表示所有滿足的的集合。和的意義相同。
滿足…的集合
表示沒有元素的集合。的意義相同。
元素歸屬性質
表示屬於集合
表示不屬於。
屬於；不屬於
表示的所有元素屬於。表示但。
（有的地方記作）
並集(聯集)
表示包含所有和的元素但不包含任何其他元素的集合。
…和…的並集
表示包含所有同時屬於和的元素的集合。
…和…的交集
表示所有屬於但不屬於的元素的集合。
表示在的值。
先執行括號內的運算。
' :''X'Y''
表示從集合映射到集合。
是一個函數，使得。
若且，則 。
表示，另一定義參見自然數條目。
表示極限存在。
是擴展的實數軸上大於任何實數的數；通常出現在極限中。
表示圓周長和直徑之比。
是半徑為的圓的面積
zh:範數; zh-hans:范數; zh-hant:範數}-
是-{zh:賦范線性空間; zh-hans:賦范線性空間; zh-hant:賦範向量空間}-元素的範數。
…的範數；…的長度
從…到…的和
從…到…的積
表示所有 (n+1)-元組 。
函數在點的導數，也就是，那裡的切線斜率。
… 撇;  …的導數
不定積分 或 反導數
表示導數為'的函數.
…的不定積分;  …的反導數
表示''x''-軸和'在和之間的函數圖像所夾成的帶符號面積。
從…到…以…為變量的積分
偏導數組成的向量
…的(del或nabla或梯度)
設有是的對於的當其他變量保持不變時的導數.
表示的次數（也記作）
表示垂直於；更一般的正交於'.
表示是最小的元素.
表示蘊涵，在'成立的每個模型中，''也成立.''
表示由導出.
命題邏輯, 謂詞邏輯
表示是的正規子群.
是…的正規子群
表示模其子群的商群.
表示同構於''。''
, 其中是四元數群  是 克萊因四群.
表示正比於''。''
「圖形A?圖形B」表示兩個圖形完全相等（即形狀完全相同，大小完全一樣）
當，則, , , , ,
全等於，…與…全等
*用於數學、科學和工程的希臘字母
*  Compendium of Mathematical Symbols - Math Vault
*  Math Symbols List - RapidTables
* Jeff Miller: ''Earliest Uses of Various Mathematical Symbols''
*  TCAEP - Institute of Physics
數學教育是研究數學教學的實踐和方法的學科。而且，數學教育工作者也關注促進這種實踐的工具及其研究的發展。數學教育是現代社會激烈爭論的主題之一。這個術語有個歧義，它既指各地的教室里的實踐，也指新生的一個學科，它有自己的期刊，會議，等等。這方面最重要的國際組織是。
基礎數學是多數古文明的教育系統的一部分，包括古希臘，羅馬帝國，吠陀社會和古埃及。在多數情況下，只有足夠高地位，財富或等級的男性孩童才能接受正規教育。
在柏拉圖把文科分成三藝和四術的劃分中，四術包括數學的算術和幾何領域。這個結構在中世紀歐洲所發展的經典教育的體系得到了延續。幾何的教育基于歐幾里得的''原本''。商業的學徒，如石匠，商人和借貸者需要學習和他們的行業相關的這種實用數學。
第一本英語的數學教科書由羅伯特·雷科德出版，從1540年的''藝術的基礎''(''The Grounde of Artes'')開始。
在文藝復興時期，數學的學術地位下降了，因為它和手工業和貿易緊密相關。雖然在歐洲的大學里繼續教授數學，它被視為自然哲學，形而上學和道德哲學的輔助。
這個趨勢在十七世紀得到某種逆轉，阿伯丁大學在1613年建立數學主席職位，隨后有牛津大學在1619年建立幾何主席職位和劍橋大學在1662年設立的盧卡遜教授。但是，數學一般不在大學之外教授。例如牛頓在他在1661年進入劍橋三一學院之前沒有受過正規數學教育。
在十八世紀和十九世紀，工業革命導致城市人口大量增加。基本的數字技能，如描述時間，數錢和簡單算術，稱為新的城市生活的基本能力。在新的公共教育系統中，數學成了從幼年開始的課程的中心部分。
到二十世紀，數學成了所有發達國家的核心課程的一部分。但是，多樣和變化著的關于數學教育的目的的思想導致所采用的內容和方法幾乎沒有任何整體上的一致性。
在不同的時期在不同的文化和國家中，數學教育試圖達到不同的目標。這些目標包括:
* 教授給所有學生的數字技巧。
* 教授給大部分學生的實用數學（算術，基礎代數，平面和立體幾何，三角學），使得他們有能力從事貿易或手工業。
* 早期的抽象代數概念教育（例如集合和函數）
* 選擇性的數學領域的教育（例如歐式幾何）作為公理化體系的實例和演繹推理的一個模型
* 選擇性的數學領域的教育（例如微積分）作為現代社會的智力成就的一個實例
* 教授給希望以科學為職業的學生的高等數學
數學教育的方式和變化的目標一致。
絕大部分的歷史時期，數學教育的標準是地域性的，由不同的學校或教師根據學生的水平和興趣來設置。
在現代，有一種趨勢是建立地區或國家標準，通常隸屬于更廣泛的學校教學大綱。例如在英國，數學教育的標準是英國國家教育大綱的一部分。在美國，美國數學教師國家委員會 制定了一系列文檔，最近的有學校數學的原則和標準 ，為學校數學的總體目標達成了一致。更具體的教學標準一般在州一級制定 - 譬如在加利福尼亞，加州教育理事會為數學教育制定了標準.
不同水準的數學教授給不同年齡的學生。一個大致的對算術和代數的子課題的教學年齡的參考如下:
* 加法：5-7歲;更多的位數8-9歲
* 減法：5-7歲;更多的位數8-9歲
* 乘法：7-8歲;更多的位數9-10歲
* 除法：8歲;更多的位數9-10歲
任何特定環境下的方法很大程度上由相關的教育系統所設定的目標所決定。教授數學的方法包括:
* 經典教育 - 中世紀的經典教育大綱中的數學教育通常基于歐幾里得的《幾何原本》，它被作為演繹推理的范式來教授。
* 死記硬背 - 通過重復和記憶來教授數學結果，定義和概念。通常用于乘法表。
* 習題 - 通過完成大量同類的練習來傳授數學技巧，例如加帶分數或者解二次方程。例如，古氏積木（Cuisenaire rods）來教授分數。
* 問題求解 - 通過給學生無標準答案，不同尋常的，和有時候無解的問題來培養數學的智力，創造力和啟發式思考。問題的范圍可以從到像國際數學奧林匹克競賽這樣的國際數學競賽問題。
* 新數學 - 一種專注于集合論這樣的抽象概念而不是實際應用的教授數學的方法。
* 歷史方法 - 教授在一個歷史，社會和文化背景下數學的發展過程。比純粹抽象的方式提供了更多的人文樂趣。
這些方法不是所有的，而且任何數學教育系統很可能包含很多不同的方法。
這些人曾在一生中某一階段教授數學，但他們在其他方面更為著名：
* Lewis Carroll, 英國作家Charles Dodgson的筆名，曾在牛津基督教堂講授數學
* 道爾頓, 英國化學家和物理學家，曾在曼徹斯特，牛津和約克的學校和大學教數學。
* Tom Lehrer, 美國歌曲作家和諷刺作家，曾在哈佛和麻省理工學院教數學。
* Georg Joachim Rheticus, 奧地利繪圖家，哥白尼的學生，曾在Wittenberg大學教數學。
* Edmund Rich, 13世紀坎特伯雷大主教，在牛津和巴黎的大學教過數學。
* 阿奇·威廉斯, 美國運動員，奧運金牌得主，在加里福尼亞高中教過數學。
;美國數學教育相關主題
;和數學的癥狀
*  Knowledge Web of Mathematics Teachers: 數學教師知識庫
*  Taiwan Association for Mathematics Education: 臺灣數學教育學會
** GPIMEM - Technology, other media and Mathematical Education Research Group - State University of S?o Paulo (UNESP), Rio claro Campus, Brazil
**  GPIMEM - Technology, other media and Mathematical Education Research Group
木（學名：）是樺木科榿木屬的植物，為中國特有的植物。古文作“-{機}-”（非“-{機}-”的簡化字，揚雄的《蜀都賦》有「春-{機}-楊柳」句）。
落葉喬木；長橢圓形葉子，邊緣有稀疏鋸齒；春季開花，雌雄同株，柔荑花序單生于新枝葉腋；果穗懸垂，構造略同赤楊。
分布于中國大陸的四川、江蘇、陜西、甘肅、貴州等地，生長于海拔500米至3,000米的地區，常生于山坡或岸邊的林中，目前尚未由人工引種栽培。
光延反應（Mitsunobu反應）是一種雙分子親核取代反應（SN2反應）。 由日本化學家光延旺洋（Mitsunobu, Oyo） 等人于1967年發明，是現代有機合成中常用的反應。 該反應能將醇通過與三苯基膦和偶氮二羧酸二乙酯（DEAD） 反應轉化為多種化合物比如酯。 此反應的特點是條件溫和，產率高并帶有構型翻轉。
參見相關的綜述。
醇羥基在偶氮二羧酸二乙酯（DEAD）和三苯基膦的作用下被親核試劑取代，同時跟羥基所連的碳原子構型發生翻轉（瓦爾登翻轉，Walden inversion）。總反應方程式如下：
Mitsunobu反應
Mitsunobu反應機構相當復雜，其中的中間體實體以及它們所起的作用仍然有許多爭論。
首先是三苯基膦（2)進攻DEAD形成中間體(3)，奪取羧酸(4)質子形成離子(5)，醇氧進攻離子(5)的膦碳正中心形成離子(8)，而DEAD脫落下來形成肼的副產物(7)。其中(8)到(11)的手性翻轉取決于羧酸的pKa以及溶劑極性。
雖然說反應當中參與了很多的膦中間體，但是(8)到(12)是唯一形成產物的路徑并且最后得到三苯基氧膦副產物。
對于Mitsunobu反應來說，投料順序至關重要。首先應當將羧酸，醇，三苯基膦溶解于適當的溶劑當中，比如四氫呋喃（或者乙醚等），冷至零度，然后將DEAD緩慢滴加，最后在室溫下攪拌。若反應不完可以升溫到室溫或者繼續加熱進行。 另外一種投料方式，是將三苯基膦和DEAD先于溶劑中攪拌，再將醇和酸依次溶劑加入。
許多其他的親核試劑都能代替常規的羧酸來進行反應。 而要讓反應進行順利，親核試劑的pKa必須不大于15。
取代的酰亞胺
一個有用的改進，是使用樹脂鍵合的三苯基膦和二叔丁基偶氮二羧酸酯來代替DEAD。 這樣反應以后的后處理，可以使用過濾來去除三苯氧膦，二叔丁基偶氮二羧酸酯通過三氟乙酸處理來除去。此外Bruce H. Lipshutz還開發了一種試劑(DCAD)，能夠很方便的通過過濾來除去。
(氰基亞甲基) 三烷基正膦
角田 鉄人等人發現可以把三苯基膦和DEAD結合成一個試劑：正膦（Phosphorane）葉立德 (ylide)。(氰基甲基)三甲基正膦 (CMMP, R = 甲基) 和 (氰基甲基)三丁基正膦 (CMBP, R = 丁基) 都被證明有效。
The mechanism of the phosphorane variant of the Mitsunobu reaction
葉立德在這里起到堿和還原劑的作用。副產物是 乙腈 (6) 和三苯氧膦 (8)。
在有機合成中常用來使一個帶羥基的手性碳原子在溫和的條件下發生構型翻轉，以改變其立體化學構型。
此外選用不同的親核試劑可以生成C-O鍵，C-N鍵，C-S鍵，C-C鍵等等。
Mitsunobu反應被應用于合成芳香醚。
Mitsunobu反應應用
反應實例當中不使用DEAD而用堿性更強的偶氮二羧酸二哌啶酯（ADDP），這是因為酚羥基酸性太弱了。反應當中的膦是高分子支載的三苯基膦（PS-PPh3）。
*  The Mitsunobu Reaction by Kevin Jantzi
榿木屬（也稱赤楊屬，學名：）是樺木科的一個屬。在中歐有三種本土赤楊：普通赤楊，灰赤楊和綠赤楊。
和其他樺木科植物一樣，赤楊的花是單性雌雄同株的，葇荑花序。每一花序僅含有雌性或雄性花。赤楊是闊葉樹木中唯一雌性花序會木質化的。木質化后的雌性花序被稱作球果。
全世界有赤楊30余種。安第斯赤楊只在南美洲安第斯山脈分布，未見其在歐洲，亞洲和北美洲有分布。
赤楊是為夏綠落葉喬木或灌木。
赤楊的根部與固氮細菌共生，形成根瘤,這和結節細菌與豆類植物共生所形成的菌根一樣。因此赤楊即使在樹葉脫落后也有足夠的氮源。這種共生關系使得赤楊能在低氮環境中生存。所以在那些經自然作用或者人類活動后失去植被的地區，赤楊常常作為一種先鋒植物在這些地方繁殖，比如雪崩后，綠赤楊會作為先鋒，首先在該地區生長，為其他植物進駐做準備。
灰赤楊和普通赤楊(''A. incana'' 和 ''A. glutinosa'') 常見于水域邊緣或者潮濕地區。在非常潮濕的地區養分經常不充足，具固氮作用的根瘤起著決定性作用，這就是有些地區只有赤楊生長，而不見其他樹種的原因。
灰赤楊和普通赤楊能防止河水對堤岸的侵蝕，起到很大的生態作用。
赤楊木輕，在濕度經常變化的環境中很容易變壞。但在水中它卻可以長久保存。赤楊木在新鮮砍伐后或者在潮濕環境中可以燃燒。特別適用于土方作業，制作刷子桿柄，掃帚桿，玩具還有樂器。
* 意大利赤楊 (''Alnus cordata'')
* 普通赤楊 (''Alnus glutinosa'')
* 灰赤楊, 也作白赤楊(''Alnus incana'')
* 安第斯赤楊 (''Alnus jorullensis'')
* 美國赤楊 (''Alnus rubra'')
* 綠赤楊 (''Alnus viridis'')
* 臺灣赤楊(''Alnus formosana'') (Burkill ex Forbes & Hemsl.) Makino
列維-奇維塔聯絡，在黎曼幾何中， 是切叢上的無撓率聯絡，它保持黎曼度量(或偽黎曼度量)不變。因意大利數學家圖利奧·列維-奇維塔而得名。
黎曼幾何基本定理表明存在唯一聯絡滿足這些屬性。
在黎曼流形和偽黎曼流形的理論中，共變導數一詞經常用于列維-奇維塔聯絡。聯絡的坐標空間的表達式稱為克里斯托費爾符號。
設  為一黎曼流形（或偽黎曼流形），則仿射聯絡  在滿足以下條件時是列維-奇維塔聯絡。
#無撓率：也就是，對任何向量場  我們有 ，其中  是向量場  和  的李括號。
#與度量相容：也就是,對任何向量場 我們有 ，其中  表示函數  沿向量場  的導數。
列維-奇維塔聯絡也定義了一個沿曲線的導數，通常用  表示。
給定一個在  上的光滑曲線 和 上的一個向量場 ，其導數定義如下
* MathWorld: Levi-Civita Connection
* PlanetMath: Levi-Civita Connection
菌根（希臘語：μυκ??，''mykós''，"fungus"，和 ρ?ζα，''riza''，"root" ，英語：''mycorrhiza''，復數形式 ''mycorrhizae'' 或 ''mycorrhizas''）指的是維管束植物的根與真菌組成的共生關系體，可協助植物吸收水分與養分。 該關系一般是互利共生的，但偶爾是弱致病性的。菌根在土壤生物學和土壤化學中具有重要作用。
在菌根關系體中，真菌定殖于宿主植物根的方式，有的是內生菌根，如叢枝菌根真菌（AMF 或 AM），其菌絲體會侵入根部皮層細胞內部；有的是外生菌根，其菌絲體不穿透根部皮層細胞內部，只在細胞壁之間生長延伸；亦有外內生菌根，兼具兩者的一些型態特征或生理特性。
人們至少在19世紀中期就已經知道了真菌能與植物根部形成連接，但是早期的發現者僅僅記錄了這一現象，卻并沒有進一步研究這兩種生物的關系。該共生現象最早在1879-1882年由弗朗齊歇克·卡緬斯基進行了描述，后來對其進行了進一步研究，并在1885年提出了菌根的概念。
從距今約4億年前的萊尼埃燧石層中出土的植物化石中就已經出現了菌根。
菌根廣泛存在于已發現的92%的植物科中（80%的植物種），其中叢枝菌根是植物界里最主要以及最原始的共生形式。叢枝菌根的結構和有記錄的第一塊化石中的結構高度相似，它們都具有內生菌根結構。
小麥是叢枝菌根的
菌根通常被分為外生菌根(ectomycorrhizas)和內生菌根(endomycorrhizas)兩大類，這兩類的區別在于，外生菌根的菌絲不會穿透植物根部細胞，而內生菌根的菌絲會穿透植物細胞的細胞壁，并陷入其細胞膜。內生菌根包括叢枝(arbuscular)、杜鵑花類(ericoid)、和蘭科(orchid)菌根。漿果鵑類菌根（arbutoid mycorrhizas）可以被分為內外生菌根(ectoendomycorrhizas)。水晶蘭類菌根(Monotropoid mycorrhizas)自成一類。
由于內生菌根種類各異，人們將其細分為了叢枝菌根、杜鵑花類菌根、漿果鵑類菌根、水晶蘭類菌根和蘭科菌根。(Arbuscular mycorrhiza, AM；以前也被叫做囊叢枝菌根vesicular-arbuscular mycorrhizas, VAM)的菌絲進入了植物細胞內部，產生氣球狀（囊泡）或二叉分支狀（叢枝）結構。菌絲不會穿透植物的原生質體，但會陷入植物細胞膜中。叢枝結構能夠極大增加菌絲和胞質的接觸面積，這樣有利于二者營養傳輸。
只有球囊菌門的真菌才能產生叢枝菌根。有化石證據與DNA定序結果表明，該共生結構至少在4-4.6億年前的泥盆紀、當世界上最早的陸地植物出現時就已同時出現。叢枝菌根在約85%的植物科中都有發現，其中包括許多作物。叢枝菌根菌絲能夠產生糖蛋白，球囊霉素是土壤中碳儲存的主要形式之一。叢枝菌根真菌（可能）幾百萬年來都是無性生殖，但每個真菌都可能會同時具有幾個不同來源的細胞核(該現象稱為)。
山毛櫸是外生菌根的
外生菌根（Ectomycorrhizas，或簡稱EcM）通常形成于約10%的植物科中，形成外生菌根的植物一般都是木本植物，如樺木科的樺樹、龍腦香科的龍腦香樹、桃金娘科的桉樹、山毛櫸科的橡樹、松科的松樹以及 薔薇科的玫瑰。 families, orchids,形成外生菌根的真菌屬于擔子菌門、子囊菌門和接合菌門。有些外生菌根真菌，如許多疣柄牛肝菌屬和乳牛肝菌屬（''Suillus''）的真菌，只能與某一特定植物屬的植物形成共生體，而如鵝膏菌屬（''Amanita''）等真菌則能與許多不同種類的植物形成菌根。一棵樹可能同時會和至少15種外生菌根真菌形成菌根。外生菌根真菌有數千個物種，它們能在超過200個植物屬中形成菌根。有保守估計認為，世界上的外生菌根真菌物種可能有大約7750種，但考慮到可能的未知的真菌門類，最終的物種估計數值可能會在20000到25000之間。
外生菌根會形成包裹根尖的菌鞘（fungal mantle，又稱菌氈），以及包裹植物根部皮層內部細胞的。在某些情況下菌絲也會穿透植物細胞，這種情況下的菌根叫做內外生菌根（ectendomycorrhiza）。在根外，外生菌根表生菌絲會在土壤和植物碎屑之間形成巨大的網絡。
營養物質可以通過真菌網絡在不同的植物間進行傳遞。紙皮樺和花旗松之間的碳傳遞能夠促進生態系統的演替。  外生菌根真菌雙色蠟蘑''Laccaria bicolor''能夠引誘并殺死彈尾蟲以獲取氮元素，其中部分氮可能會再被轉送給菌根植物。Klironomos和Hart研究發現，接種了雙色蠟蘑的北美喬松所獲取的氮有高達25%是從彈尾蟲處獲取的。
雙色蠟蘑的基因組序列是人們所發表的第一個有代表性的共生真菌基因組序列。該菌基因組中有多個多基因族序列的出現，這暗示雙色蠟蘑可能是通過基因復制來適應共生關系的。在外生菌根根尖處，編碼起共生調節作用的分泌蛋白的譜系特征性基因的表達均出現了上調，這暗示該基因可能會在共生體的交流上扮演重要角色。雙色蠟蘑缺少降解植物細胞壁成分（如纖維素、半纖維素、果膠和果膠酸鹽）的基因，這避免了真菌在定殖根部時會降解宿主細胞。相反的是，雙色蠟蘑擴大了編碼水解細菌和微生物群多糖與蛋白的多基因族。這一基因組分析揭示了菌根真菌腐生營養和活體營養的雙營養生活方式，該生活方式能夠保證真菌在土壤和植物根內都能生存。
從'上分離下來的杜鵑花類菌根真菌
杜鵑花類菌根是第三類在生態上具有較重要意義的菌根，它們的生活史有一個簡單的胞內生存的階段，其間該類真菌會在細胞最外層包裹致密的菌絲。杜鵑花類菌根真菌沒有periradical階段，而它們的胞外階段(extraradical phase)所產生的菌絲十分稀疏，不會十分深入根系周圍的土壤。此外該類真菌可能會形成子實體（通常為小杯狀），但是目前人們對它們的繁殖機理還少有研究。
杜鵑花類菌根還具有腐生營養的能力，這可以使與它們共生的植物能夠獲取到來自非已分解物質的營養。
該種菌根存在于杜鵑花科的,但它和杜鵑花科菌根并不相似，反而和外生菌根在功能和參與形成菌根的真菌種類上都十分相像。它和外生菌根的區別在于，漿果鵑類菌根的部分菌絲會穿透植物根部細胞，成為內外生菌根。
該種菌根出現于杜鵑花目的水晶蘭科，以及蘭科的幾個屬內。這些植物是異養或的，它們從真菌處獲取碳。因此該菌根關系并不是互利共生的。
所有的蘭科植物在生活史的某些階段都會成為行菌異營，并與真菌形成蘭科菌根。這些真菌的菌絲會穿透植物根部細胞，形成稱為菌絲團（pelotons）的典型卷曲狀結構。
菌根真菌能與大多數植物的根形成共生關系。在該共生關系下，植物本身以及被真菌定殖的根部，都屬于菌根的一部分。雖然目前還少有研究關于植物和真菌的菌根關系的具體種類，但目前已研究的植物中，有95%的科都受益于或依賴菌根。蘭科植物若缺少合適的菌根真菌與之共生就會死亡，甚至無法萌發。
最近有關于北方針葉林外生菌根類植物的研究發現，菌根真菌和植物的關系可能遠不只互利共生那么簡單。該研究發現菌根真菌會在氮匱乏的情況下從植物根系中獲取并囤積氮。研究人員認為，有些菌根會根據周圍植物及菌根環境的變化來對營養分配做出調節，該新的模型可能會解釋為什么菌根不會緩解植物的氮匱乏狀況，以及為什么在缺氮的情況下，原本具有菌根和非菌根根系的植物會突然都變成含菌根的根系。