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世界青年日（英文譯名：，-{zh-cn:港澳稱為普世青年節; zh-tw:港澳稱為普世青年節; zh-hk:亦名世界青年日; zh-sg:港澳稱為作普世青年節}-），簡稱世青，是天主教會為青年族群舉辦的國際節慶活動，由前教宗若望·保祿二世於1984年發起。其舉辦的緣由，是為了扭轉有天主教信仰的青年日益遠離教會的傾向。世界青年日分為每年聖枝主日在羅馬舉行的「教區級慶典」、和每2至3年舉行一次的「國際級慶典」兩種；如無特別指出屆次，一般所稱的「世界青年日」皆是指國際級慶典。世青國際級慶典在全球擇一城市或教區舉辦，一般皆在暑假舉行，時間約一星期，除了禮儀與靈修活動外，也包括各種國際文化與信仰交流活動，每屆均吸引全球各地的教會青年共襄盛舉。
舉辦世界青年日的目的有三個方面：
#向青年傳播希望
#*世界青年日是全世界青年聚集到一起的盛大節日，今天也是一個把年輕人的自信和力量帶回教會的很好的方法。
#*世界青年日不僅僅是世界青年的一次簡單的集會，而且也是一次向世界青年傳播真理的機會。它是一個呼吁，讓全世界的青年走到一起，團結如一人。
#以全人類的名義
#*改變和團結所有人在21世紀依然是一個奇跡。國際事件能夠帶來更多希望但是也帶來更多的恐懼（例如原教旨主義、民族主義和其他新的沖突升級）。教會和基督徒自己能夠一定程度上避免恐怖事件發生，還能引導每一個人找到自己的方向和希望。
聖伯多祿廣場
4月11日—12日
我們認識了，且相信了天主對我們所懷的愛（若望一書 4:16）
8月15日—20日
我是道路、真理、生命（若望福音 14:6）
8月10日—15日
其實你們所領受的聖神...使你們作義子（羅馬人書 8:15）
光明山修道院
我來，卻是為叫他們獲得生命，且獲得更豐富的生命（若望福音 10:10）
1月10日—15日
就如父派遣了我，我也同樣派遣你們（若望福音 20:21）
黎剎公園（Rizal Park）
8月19日—24日
辣彼，你住在那裏？你們來看看吧！（若望福音 1:38-39）
聖言成了血肉，寄居在我們中間（若望福音 1:14）
羅馬第二大學
7月23日—28日
你們是地上的鹽，世界的光（瑪竇福音 5:13-14）
8月16日—21日
我們特來朝拜他（瑪竇福音 2:2）
7月15日—20日
當聖神降臨於你們身上時，你們將充滿聖神的德能，為我作證人。（宗徒大事錄 1:8）
140萬—200萬
在耶穌基督內生根修建，堅定於信德（哥羅森書 2:7）
去使萬民成為門徒（瑪竇福音 28:19）
科帕卡瓦納海灘
7月26日—31日
憐憫人的人是有福的，因為他們要受憐憫（瑪竇福音 5:7）
慈悲營地
1月22日—27日
看，上主的婢女，願照禰的話成就於我吧（路加福音 1:38）
胡安迪亞斯都會公園
※備註：「參與人數」反映的是參加閉幕感恩祭的人數，除了青年朝聖者外還包含許多當地民眾。
1986年3月23日
''你們但要在心內尊崇基督為主；若有人詢問你們心中所懷希望的理由，你們要時常準備答覆。''（伯多祿前書 3:15）
1988年3月27日
''他無論吩咐你們什麼，你們就作什麼。''（若望福音 2:5）
1990年4月8日
''我是葡萄樹，你們是枝條。''（若望福音 15:5）
1992年4月12日
''你們往普天下去，向一切受造物宣傳福音''（馬爾谷福音 16:15）
1994年3月27日
''就如父派遣了我，我也同樣派遣你們。''（若望福音 20: 21）
''主! 惟你有永生的話，我們去投奔誰呢？''（若望福音 6:68）
1998年4月5日
''圣靈將指教你一切''（若望福音 14:26）
''父自己愛你們''（若望福音 16:27）
''誰若願意跟隨我，該棄絕自己，天天背著自己的十字架跟隨我''（路加福音 9:23）
''看，你的母親!''（若望福音 19:27）
''我們願拜見耶穌。''（若望福音 12:21）
''你的言語是我步履前的靈燈，是我路途上的光明。''（聖詠 119:105）
''如同我愛了你們，你們也該照樣彼此相愛。''（若望福音 13:34）
2009年4月5日
''我們已寄望於永生的天主。''（弟茂德前書 4:10）
''善師，為承受永生，我該做什麼？'' （馬爾谷福音 10:17）
''在主內應常喜樂'' （斐理伯書 4:4）
2014年4月13日
''神貧的人是有福的，因為天國是他們的'' （瑪竇福音 5:3）
''心裡潔淨的人是有福的，因為他們要看見天主'' （瑪竇福音 5:8）
''全能者在我身上行了大事，衪的名字是聖的'' （路加福音 1:49）
2018年3月25日
''瑪利亞，不要害怕，因為妳在天主前獲得了寵幸'' （路加福音 130）
''青年人，我對你說：起來吧！'' （參：宗廿六14）
''你起來，為你見到的事作證。'' （參：宗廿六 16）
每屆世青的活動有部分不同之處，但均以下列的內容來籌畫行程：
朝聖者抵達與報到
要理講授（以語言為單位、由多個主教主講，朝聖者前往報名時選定之場地參加）
朝聖者步行至閉幕會場（及閉幕感恩祭場地）；會場內同時舉行音樂表演、祈禱時間等各種暖場活動
閉幕感恩祭（教宗主祭）、宣布下屆舉辦地
教宗歡迎儀式
青年節慶（文化展演和靈修活動）
拜苦路（教宗主持）
守夜祈禱（教宗主持），朝聖者在閉幕會場過夜
*  聖座網站 > 世界青年日
*  World Youth Day.com
* 亞洲青年日（Asian Youth Day）
* 臺灣青年日（Taiwan Youth Day）
威廉·查默斯·伯恩斯（William Chalmers Burns，），漢名賓惠廉，又名賓為霖，蘇格蘭來華傳教士（加入英國長老會差會曾經在歐美兩洲是一個很出名的布道家。他曾經在英國跟美國這兩個地方領導了屬靈的復興運動。
賓惠廉出生于一個小康之家，是當地教堂ministerWilliam Hamilton Burns (1779-1859)的第三個兒子，母親是Elizabeth Chalmers（-1879). 17歲時賓惠廉的信仰在苦難中得到強化，隨后賓惠廉接受神學訓練，他就讀于阿伯丁馬修學院(后合并為阿伯丁大學)和格拉斯哥大學神學院。
在一次奮興會（revival meeting）期間，他經歷到上帝的呼召。1839年，在24歲時，賓惠廉獲得許可在格拉斯哥長老會講道。
1851年 (咸豐元年) ，賓惠廉經香港到達福建廈門。在漫長的航程中，他花費大量時間學習漢語。他在清朝末年在汕頭、廈門等地傳教。
1854年 (咸豐四年)，賓惠廉護送一名病重的同工回國，在英國各地報導中國的需要。第二年，他再度動身來華，結伴而行的是以后主持閩南教務的杜嘉德(Cartairs Douglas)。
1855年 (咸豐五年)，賓惠廉抵達上海，在那里與戴德生相遇，兩人在一起同工了相當一段時間。 后來創立中國內地會的戴德生從他在屬靈上得到很大的幫助。
1863年(同治二年)，賓惠廉抵達北京，傳教四年。在北京，一位俄國朋友為他照了一張相，右手拿著雨傘，左手拿著圣經。
1867年(同治六年)，他繼續前進，抵達東北境內牛莊(營口)，1868年(同治七年)春天，在牛莊病逝。
賓惠廉有一句很有名的話叫“Always ready”（隨時待命）。他曾經用過這一句話做為他主要的信息，也是他生活事奉的準則。因為他是西方來華宣教士當中算是比較早的一位，他所寫的書，文章所講的信息影響了很多的人。他就是勉勵基督徒說，“你要隨時準備好說，神啊我在這里，請差遣我”。
* McMullen, Michael D., ''God's Polished Arrow: W. C. Burns, Revival Preacher'', Christian Focus Publications, 2000, ISBN 1-85792-395-2
* Burns, William C., ''Revival Sermons'', Banner of Truth Trust, 1980, ISBN 0-85151-316-6
* Stewart James Alexander, ''Biographical Sketches: William Chalmers Burns / Robert Murray McCheyne'', Asheville, NC: Revival Literature, 1963
* Tow, Timothy, ''William C Burns: Grandfather of Bible-Presbyterians'', Singapore: Christian Life Publishers, 1994.  ISBN 9971-9913-4-9
* Burns, Islay, ''Memoir of the Rev. Wm. C. Burns, M.A : missionary to China from the English Presbyterian Church'', 1870. (Reprint: San Francisco : Chinese Materials Center, 1975)
* Clarke, Agnes H. L., ''China's man of the Book. The story of William Chalmers Burns, 1815-1868'', London : Overseas Missionary Fellowship, 1968
* Houghton, S. M., ''Five pioneer missionaries: D. Brainerd, W. C. Burns, J. Eliot, H. Martyn, J. G. Paton'', London : Banner of Truth Trust, 1965
* MacMillan, Donald N., ''The Kirk in Glengarry-A History of the Presbytery of Glengarry 1987-1984'', 1985.
* Valen, L. J. van, ''Die aan alle wateren zaait : uit het leven van William Chalmers Burns ; zendeling en evangelist'', Ede : Hardeman, 1988, ISBN 90-71272-22-2
* William C. Burns (1-Smithers)
* William C. Burns (2-Revival Library)
椴樹屬（學名：）植物統稱椴樹，屬于錦葵目錦葵科椴樹亞科，舊時分類于椴樹科或田麻科。
椴樹是落葉喬木，高可達30米，直徑可達1米；單葉互生，常有星狀毛或單毛，有鋸齒或缺齒，通常基部斜歪；兩性花，複聚傘花序；明顯的特徵是在總柄之基部與膜質、舌狀的苞片合生；堅果或漿果。
椴樹只分布在北半球；分布范圍包括歐洲，亞洲和北美東部，而以亞洲的物種最多。
城市里生長在路邊的椴樹會經常被椴始葉螨（''Eotetranychus tiliarium''）侵襲。嚴重的話椴樹樹葉會早在七月份就全部脫落。這些路邊的椴樹也會經常被小椴樹葉蜂（''Caliroa annulipes''）侵擾。
椴樹被日耳曼人尊奉為愛情與幸運女神弗蕾亞。以前中歐的很多村落中心都有一棵椴樹，椴樹下經常是聚會、信息交流或者是舉行婚禮的地點。五月初大部分的舞蹈節都在椴樹下舉行。
由於日耳曼人在椴樹下舉行集會（Thing）的傳統，這里也經常成為村莊法院，所以椴樹也常被稱作“法院樹”或者“法院椴樹”。與歐洲橡木相對，椴樹常被認為是女性的植物，由于其名字與德語"柔和"一詞"lind"音近。在日耳曼人心中，椴樹是神圣的。
瑞典著名博物學家、“植物學之父”林奈 (Carl von Linné)，其姓氏也是來自瑞典語的椴樹（lind）。而德國的萊比錫、俄國的利佩茨克和拉脫維亞的利耶帕亞三市的名稱在各自的語言中都是「椴樹」的意思。其中後兩者的市徽都有椴樹的圖案。
在中亞熱帶地區的寺廟中常種植椴樹屬樹種，作為菩提樹的替代樹種，以表達佛教的覺悟之意。
椴木木質軟，易切割，是制作木質餐具、碟子、碗和其他家用物品的主要木材。椴樹葉是一種草藥，芽及嫩葉均可生食。椴樹的花有香味，可用作草藥或草本茶，重瓣的品種則通常用於製造香水。椴樹同時是蜂蜜的主要來源之一，其蜜糖色淺而味道濃郁。藥用的椴樹通常以小葉椴為主，因其有效成份的濃度較高。
本屬大約有46個種，以下是其中的部分：
* 美洲椴樹 (''Tilia americana'')
* 紫椴 (''Tilia amurensis'')
* ''Tilia caucasica''
* 長苞椴 (''Tilia chenmoui'')
* 華椴 (''Tilia chinensis'')
* ''Tilia chingiana''
* 小葉椴, 石椴 (''Tilia cordata'')
* ''Tilia'' 'Harold Hillier'
* 毛糯米椴 (''Tilia henryana'')
* 湖北毛椴 (''Tilia hupehensis'')
* ''Tilia insularis''
* ''Tilia intonsa''
* 華東椴 (''Tilia japonica'')
* ''Tilia kiusiana''
* ''Tilia koreana''
* ''Tilia laetevirens''
* ''Tilia ledbourii''
* 遼椴 (''Tilia mandshurica'')
* ''Tilia maximowicziana''
* ''Tilia mexicana''
* 南京椴 (''Tilia miqueliana'')
* ''Tilia'' 'Moltkei'
* 蒙椴 (''Tilia mongolica'')
* 粉椴 (''Tilia oliveri'')
* 石椴 (''Tilia parvifolia'' = 小葉椴 ''Tilia cordata'')
* ''Tilia paucicostata''
* ''Tilia petiolaris''
* 闊葉椴 (''Tilia platyphyllos'')
* ''Tilia tarquetii''
* 銀毛椴 (''Tilia tomentosa'')
* ''Tilia tuan''
* 克里米亞椴樹 (''Tilia x euchlora'')
* 荷蘭椴樹 (''Tilia x intermedia, T. x europaea, T. x vulgaris'')
* ''Tilia x varsaviensis''
數學上，一個微分流形''M''的切叢(tangent bundle) ''T''(''M'')是一個由''M''各點上切空間組成的向量叢，其總空間是各切空間的不交并集：
總空間''T''(''M'')每個元素都是一個二元組(''x'',''v'')，其中''v''是在點''x''的切空間''T'x''(''M'')內的一枚向量。
切叢有自然的2''n''維微分流形結構如下：
為自然的投影映射，將(''x'',''v'')映射到基點''x''；
若''M''是個''n''維流形，''U''是''x''的一個足夠小的鄰域，
φ :''U''→R''n''是一個局部坐標卡，
''V''是''U''在''T''(''M'')的前象''V''（)），則存有一個映射ψ : ''V''  → R''n'' × R''n''：ψ(''x'', ''v'') = (φ(''x''), dφ(''v'')).
這個映射定義了T(M)的一個坐標圖。
背景知識見微分流形條目。
切叢帶有一個自然的拓撲（不是不交并拓撲（disjoint union topology））以及微分結構，使得它自己成為一個流形。''T''(''M'')的維數是''M''的兩倍。
每個''n''維向量空間的切空間是一個''n''維向量空間。那么作為一個集合，''T''(''M'')和''M'' × R''n''同構。但作為一個流形，''T''(''M'')并不總是和積流形''M'' × R''n''微分同胚。這在切叢是''平凡''的時候是真的。就象流形局部由歐幾里得空間構造一樣，切叢局部構造在''M'' × R''n''上。
若''M''是一個''n''維流形，則它有一個圖冊（''U''α, φα）其中''U''α是''M''中開集而
是一個同胚。''U''上的這些局部坐標對于每個''x'' ∈ ''U''給出了''T'x'M''和R''n''之間的一個同構。我們然后可以定義一個映射
這是通過下式完成的
我們用這些映射來定義''T''(''M'')上的拓撲和光滑結構。''T''(''M'')的子集''A''是開的當且僅當對于每個α，在R2''n''中是開的。這樣這些映射是''T''(''M'')的開子集和R2''n''的同胚，所以可以作為''T''(''M'')的光滑結構的坐標圖。坐標圖定義域的交集上的變換函數用相關的坐標變換的雅可比矩陣引出，所以是R2''n''的開子集間的光滑映射。
切叢是稱為向量叢（自己是纖維叢的特例）的更一般的構造的特例。直接一點的說，''n''維流形''M''的切叢可以定義為一個''M''上的''n''階向量叢，其變換函數由相應的坐標變換的雅可比矩陣給出。
向量場是切叢的截面。
局部向量場是切叢的局部截面。
所有局部向量場的集合構成一個層（sheaf）。
*  MathWorld: Tangent Bundle
*  PlanetMath: Tangent Bundle
* Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
* Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, ''Gravitation'', (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.
纖維-{}-束（fiber bundle 或 fibre bundle）又稱纖維-{}-叢，在數學上，特別是在拓撲學中，是一個局部看來像直積空間，但是整體可能有不同的結構。每個纖維叢對應一個連續滿射
''E'' 和乘積空間 ''B'' × ''F''　的局部類似性可以用映射  來說明。也就是說：在每個　''E''　的局部空間 ，都存在一個相同的''F''（''F''　稱作纖維空間），使得  限制在  上時　與直積空間　''B'' × ''F''　的投影　　相似。（通常會用此滿射：π : ''E'' → ''B''　來表示一個纖維叢，而忽略''F'' ）
如果　，也就是一個可以整體上等於乘積空間的叢叫做''平凡叢''（trivial bundle）。
纖維叢擴展了向量叢(vector bundle)，向量叢的主要實例就是流形的切叢（tangent bundle）。他們在微分拓撲和微分幾何領域有著重要的作用。他們也是規范場論的基本概念。
一個纖維叢由四元組（''E'', ''B'', π, ''F''）組成，其中''E'', ''B'', ''F''　是拓撲空間而π : ''E'' → ''B''　是一個連續滿射，滿足下面給出的局部平凡（local triviality）條件。''B'' 稱為叢的基空間（base space），''E'' 稱為總空間（total space）,而''F'' 稱為纖維（fiber）。映射π 稱為投影映射.下面我們假定基空間''B'' 是連通的。
我們要求對于''B'' 中的每個點 ''x'',存在一個在 ''B'' 中 包含 ''x'' 的開鄰域''U''，並有一個同胚映射 φ:π?1（''U''）→ ''U'' × ''F'' (顯然　''U'' × ''F''　是一個乘積空間) ，φ 並且要滿足 ，也就是下圖是可交換的：
Local triviality condition
其中 proj1 : ''U'' × ''F'' → ''U'' 是自然投影而 φ : π?1(''U'') → ''U'' × ''F'' 是一個同胚（這裡的局部平凡條件有些書會定義為 ）。所有{(''U'i'', φ''i'')} 的集合稱為叢的局部平凡化。
對于 ''B'' 中每點 ''p''，原象（preimage）π?1(''p'') 和 ''F'' 同胚并稱為點 ''p'' 上的纖維.一個纖維叢（''E'', ''B'', π, ''F''）經常記為
以引入一個空間的短恰當序列。注意每個纖維叢 π : ''E'' → ''B'' 都是一個開映射，因為積空間的投影是開映射。所以 ''B'' 有由映射π決定的商拓撲(quotient topology).
一個光滑纖維叢是一個在光滑流形的范疇內的纖維叢。也就是，''E'', ''B'', ''F''都必須是光滑流形且所有上面用到的函數都必須是光滑映射。
令''E'' = ''B'' × ''F''并令π : ''E'' → ''B''為對第一個因子的投影，則''E''是''B''上的叢.這里''E''不僅是局部的積而且是整體的積。任何這樣的纖維叢稱為平凡叢.
莫比烏斯帶是圓上的非平凡叢。
最簡單的非平凡叢的例子可能要算莫比烏斯帶（M?bius strip）.莫比烏斯帶是一個以圓為基空間''B''并以線段為纖維''F''的叢。對于一點的鄰域是一段圓弧；在圖中，就是其中一個方塊的長。原象在圖中是個（有些扭轉的）切片，4個方塊寬一個方塊長。同胚φ把''U''的原象映到柱面的一塊：彎曲但不扭轉.
相應的平凡叢''B'' × ''F''看起來像一個圓柱，但是莫比烏斯帶有個整體上的扭轉。注意這個扭轉只有整體上才能看出來；局部看來莫比烏斯帶和圓柱完全一樣（在其中任何一個豎直的切一刀會產生同樣的空間）。
一個類似的非平凡叢是克萊因瓶，它可以看作是一個"扭轉"的圓在另一個圓上的叢。相應的平凡叢是一個環，''S''1 × ''S''1。
一個覆蓋空間是一個以離散空間為纖維的纖維叢。
纖維叢的一個特例，叫做向量叢,是那些纖維為向量空間的叢（要成為一個向量叢，叢的結構群—見下面—必須是一個線性群）。向量叢的重要實例包括光滑流形的切叢和余切叢。
另一個纖維叢的特例叫做主叢。更多的例子參看該條目。
一個球叢是一個纖維為n維球面的纖維叢。給定一個有度量的向量叢（例如黎曼流形的切叢），可以構造一個相應的''單位球叢'',其在一點''x''的纖維是所有''E'x''的單位向量的集合.
纖維叢的截面（section或者cross section）是一個連續映射''f'' : ''B'' → ''E''使得π(''f''(''x''))=''x''對于所有''B''中的''x''成立。因為叢通常沒有全局有定義的截面，理論的一個重要作用就是檢驗和證明他們的存在性。這導致了代數拓撲的示性類理論。
截面經常只被局部的定義（特別是當全局截面不存在時）。纖維叢的局部截面是一個連續映射''f'' : ''U'' → ''E''其中''U''是一個''B''中的開集而π(''f''(''x''))=''x''對所有''U''中的''x''成立。若（''U'', φ）是一個局部平凡化圖，則局部截面在
''U''上總是存在的。這種截面和連續映射''U'' → ''F''有1-1對應。截面的集合組成一個層（sheaf）。
纖維叢經常有一個對稱群描述重疊的圖之間的相容條件。特別的，令''G''為一個拓撲群，它連續的從左邊作用在纖維空間''F''上。不失一般性的，我們可以要求''G''有效的作用在''F''上，以便把它看成是''F''的同胚群。纖維叢的一個''G''-圖冊（''E'', ''B'', π, ''F''）是之前定義過的''局部平凡化''並且滿足：對任何兩個重疊的局部平凡化中的元素也就是圖（''U'i'', φ''i''）和（''U'j'', φ''j''）且 ，則函數
是由以下方式給出：
其中  是一個稱為轉移函數（transition function）的連續映射。兩個''G''-圖冊是等價的如果他們的聯集也是''G''-圖冊。一個''G''-叢是有''G''-圖冊等價類的纖維叢。群''G''稱為該叢的結構群（structure group）。
在光滑范疇中，一個''G''-叢是一個光滑纖維叢，其中''G''是一個李群而相應的在''F''上的作用是光滑的并且變換函數都是光滑映射。
轉移函數''t'ij''滿足以下條件
第三個條件用到三個相交的 上叫做上鏈條件（cocycle condition，見?ech上同調）。
一個主叢是一個''G''-叢，其纖維可以認為是''G''本身，并且有一個在全空間上的''G''的右作用保持纖維不變。
* 拉回叢（pullback bundle）
* PlanetMath: Fiber Bundle
* MathWorld: Fiber Bundle
*Norman Steenrod, ''The Topology of Fiber Bundles'', Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6.
*David Bleecker, ''Gauge Theory and Variational Principles'', Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7.  See chapter one.
-{zh-hans:基于16S 核糖體RNA序列分析重建出的地球生命演化樹;zh-tw:基於16S 核糖體RNA分析而重建出的地球生命演化樹，顯示可明顯區別的三支：細菌、古菌和真核生物}-
自動生成的生命樹，基於完全測序的基因組。
系統發生樹又稱為種系發生樹、親緣關係樹，或演化樹，是一種呈現不同物種或是同物種不同族群的個體之間親緣關係的樹狀圖。分析個體親緣關係的學術領域稱為系統發生學（phylogenetics），可應用於多個領域的研究，如支序分類學（cladistics）、流行病學（epidemiology），以及生態學（ecology）。
演化樹由「節點」和「線段」組成。
節點可分為「葉」和「中途點」。葉是演化樹中最末端的節點，是確定存在而且被拿來分析的資料。通常是物種或是同物種的不同樣本。而中途點則是在演化樹中除了葉以外的節點，這些點以演化來說是這些葉在演化過程中共同起源的祖先，它們是在推算演化樹時假設存在過的個體。有些演化樹中還有另一種節點「根」，是除了前述的中途點以外用來表示萬物起源的點；更正確地說，它呈現出的是演化樹中所有個體最接近當代的源頭。根是演化樹中一切節點的上游，它的上游沒有起源。最常用的決定根的位置的方法是使用一個或多個無可爭議的同源物種作爲「外群」（outgroup），這個外群要足夠近，但又不能太近以至于和樹中的種類相混。下方會討論有根和無根演化樹之間的差異。
這裡所稱的分支指的是每個節點所連接到的線段。演化樹中的葉位在最外端，只會被一根線段連接。然而，中途點的分支數量則有較多可能。以有根樹來說，具有一個親源以及恰好兩個子點的中途點稱做二分點 (bifurcating nodes)，而如果有超過兩個子點的話則稱為多分點 (multifurcating nodes)。因為無根演化樹即為去除根的有根演化樹，所以無根樹中的二分點有三個分支，也就是在有根的情況下一個親源加上兩個子點的數量，而超過三個的那些便相當於是多分點。
不管是葉或是中途點都被「線段」所連接。當樹有方向性的時候，一根線段的兩個端點中位於演化上游的點稱作親源 (parental node) ，下游的點則稱為子點 (child node)。連接各個節點的線段不一定會有單位。當一個演化樹的線段沒有長度單位時，意味的是這個演化樹只呈現個體之間的親疏遠近，但親疏遠近的程度則不是重點。如果這些線段有了單位，那麼個體之間的差異就也在演化樹中被呈現出來。單位有可能是差異多寡或是演化時間。
線段所表示的分隔程度以其長度呈現。長度越大意味著線段兩端的兩個點(兩個祖先或是從祖先到葉)之間差異越大。誠如前述，長度單位可以是差異的多寡或是時間的長短，而且兩者是可以互相轉化的。假設一段演化過程中差異出現的速度是而且累積了個差異，那麼其時間長度。這個變換的過程稱為定年 (tree dating)。
肌球蛋白的無根樹
樹可分爲有根樹和無根樹兩類。「根」是呈現出的是演化樹中所有個體最接近當代的源頭。因此，有根樹呈現出了演化的方向，也就是從根往葉演化。右圖即是一個有根樹，表示了三域系統(Woese 1998)。另一方面，無根樹則顧名思義是沒有包含「根」的演化樹。即便個體之間的差異在演化樹中沒有改變，無根樹因為不呈現起源，因此無法呈現出演化的方向，每條線段的兩個演化方向都有可能。
如前所述，中途點可能為二分或是多分，而當中途點不是二分的時候就意味著不知道誰的祖先先出現在演化歷程中，或者可以說多分點代表了演化樹的不確定性 (uncertainty)。比方說，當病原體同時感染多名患者時，從不同患者體內取樣本再計算演化樹，其結果很可能就會是沒有分層、只有單一親源多重分支到數個葉的「星型樹」(star tree)，呈現著未知的感染順序。如果沒有那麼極端，在演化樹中有些中途點是二分而有些是多分，則為局部解明樹 (partially resolved tree)。如果全部的中途點都是二分，則為完全解明樹 (fully resolved tree or resolved tree)或稱二分樹 (bifurcating tree)。
算一顆演化樹指得是決定出手上的樣本的演化先後順序，甚至計算演化過程所累積的變異數量或是所耗時間。或者簡單的說，是要分析手中樣本的祖先出現順序以及彼此之間的差異。
近鄰結合法 neighbor-joining (NJ)
最大簡約法 maximum parsimony (MP)
最大似然估計 maximum likelihood (ML)
貝葉斯法 Bayesian
定年 (tree dating) 指的是把樹的各個線段從差異數量換算成時間。雖然在前方已經提過
但是速率通常是無從得知的，它有可能在演化過程中一直都一樣，也可能因為環境壓力使得變異速率每歷經一代就越來越高，也有可能一直都是隨機的忽快忽慢。所以時鐘的數學模型 (clock models) 便是為了此困難而存在。
* RAxML (maximum likelihood): https://github.com/stamatak/standard-RAxML
* Phylip (maximum likelihood)：http://evolution.genetics.washington.edu/phylip.html
* ARB：http://www.arb-home.de/
* MrBayes: http://mrbayes.csit.fsu.edu/index.php
* BAMBE: http://www.mathcs.duq.edu/larget/bambe.html
* BEAST2 (Bayesian): https://github.com/CompEvol/beast2.git
' Hillis Plot ( image )
*系統發生學(phylogenetics)
*系統發生網路(phylogenetic network)
* The Death of the Tree of Life is Greatly Exaggerated
* 生物軟件網 進化樹分析軟件
向量叢(vector bundle)也翻譯成向量-{束}-，是數學，特別是幾何學，上的一種幾何結構，在空間 ''X''（''X'' 可以是拓撲空間、流形或代數簇）的每一點指定(或"黏上")一個向量空間(比如 )，而這些向量空間“粘起來”又構成一個新的拓撲空間（或流形，或代數簇）。
在 ''X'' 之上的向量叢最簡單的例子是，''X''×，另一個較複雜的典型的例子是微分流形的切叢(tangent bundle)：對流形的每一點"黏"上流形在該點的切空間。
另一個例子是法叢：給定一個平面上的光滑曲線，可在曲線的每一點附上和曲線垂直的直線；這就是曲線的"法叢"。
向量叢定義中的向量空間主要常見的是實空間跟複空間，分別稱作實向量叢跟複向量叢。複向量叢可以視為一種帶有附加結構的實向量叢。
向量叢是纖維叢的一種。
一個實向量叢要包含下列空間跟映射：
*''X''（基空間(base space)）和''E''（全空間(total space)）為拓撲空間(或是流形等其他空間)
*一個連續滿射 π : ''E'' → ''X''（稱作投影）
* 對 ''X'' 中的每點 ''x''，π?1（{''x''}）是有限維的實向量空間(稱作纖維(fiber) )。
且這些空間跟映射要滿足以下相容性條件：對 ''X'' 中的每一點有一個開鄰域  包含這點，一個自然數 ''n'',和一個同胚
使得對所有''x'' ∈ ''U'',:
*  對所有 ''v'' ∈  R''n''均成立
* 映射　　是兩個向量空間 R''n'' 和 π?1(''x'') 之間的線性同構。
開鄰域''U''和同胚φ合起來叫做叢的局部平凡化。這表示映射π在局部看起來"像" ''U'' × R''n''到''U'' 上的投影.
向量叢 ''X'' × R''n'' 稱為平凡，如果賦予這空間一個投影映射　''X'' × R''n'' → ''X''，也就是  ''E''=''X'' × R''n'' 整體上是 ''X'' 的乘積空間 。
每個纖維π?1（''x''）是一個有限維實向量空間，所以有在點 ''x'' 有一個維數''d'x''，由局部平凡化的性質可知函數　 在局部上是常數，也就是它在''X''　的每個連通的部份上為常數。如果它在''X''上是常數的話，我們把這個維數叫做向量叢的''階''。一階向量叢也叫線叢。
一個從向量叢π1 : ''E''1 → ''X''1到向量叢π2 : ''E''2 → ''X''2的態射（morphism）是一對連續映射''f'' : ''E''1 → ''E''2和''g'' : ''X''1 → ''X''2使得
* ''g''π1 = π2''f''
File:BundleMorphism-01.png
* 對于每個''X''1中的''x'',由''f''誘導的映射π1?1({''x''}) → π2?1({''g''(''x'')})是一個向量空間的線性變換。
所有向量叢的類和叢的射組成了一個范疇。限制到光滑流形和光滑叢射，我們就有了光滑向量叢的范疇。
我們可以考慮有一個固定基空間''X''的所有向量叢組成的范疇。我們取那些在基空間''X''上為恒等映射（identity map）的射作為在這個范疇中的射.
也就是說，叢射滿足下面的交換圖：
File:BundleMorphism-02.png
（注意這個范疇不是可交換的；向量叢的射的核通常不能很自然的成為一個向量叢。）
給定一個向量叢 π : ''E'' → ''X''， 和 ''X'' 的開子集 ''U''，我們可以考慮這個向量叢 在 ''U'' 上的截面，也就是連續函數 ''s'' : ''U'' → ''E'' 滿足 。本質上，截面在 ''U'' 的每一點指定一個向量，且這向量屬於在該點的''纖維''，即 ，並且要求這種指定要有連續性(或可微性，依討論空間而有所不同)。
例如，微分流形的切叢的截面就是流形上的向量場("微分"流形上一般會要求向量場可微)。
令 ''F''(''U'') 為''U''上所有截面的集合. ''F''(''U'')中至少有個元素 ''s''，稱作零截面(zero section)，這個截面函數 ''s'' 會把 ''U'' 的每一點 ''x'' 都映射到向量空間π?1（''x''）中的零向量。使用每點的加法和數乘，''F''(''U'')本身也構成了向量空間。這些向量空間的總和就是 ''X'' 上的向量空間的層(shelf)。
若 ''s'' 屬于''F''(''U'') 而 α : ''U'' → R是 ''U'' 上的連續函數，則α''s'' 依然屬於集合 ''F''(''U'')。我們可以看到 ''F''(''U'') 是一個 ''U'' 上的連續實值函數的環上的模，進一步講，若O''X''表示''X''上連續函數的層結構，則''F''是O''X''-模的一個層.
不是O''X''-模的每個層都是以這種方式從向量叢的導的：只有局部自由層可以從這種方法得到。（理由：局部的，我們要找一個投影''U'' × R''n'' → ''U''的一個截面，這些恰好是連續函數''U'' → R''n'',并且這一函數是連續函數''U'' → R''n''-元組.）
更進一步講：''X''上的實向量叢的范疇是等價于O''X''-模的局部自由和有限生成的層的。
所以我們可以將向量叢視為位于O''X''-模的層的范疇內；而后者是可交換的，所以我們可以計算向量叢的射的核。
兩個''X''上的在同一個域上的向量叢，有一個惠特尼和,在每點的纖維為那兩個叢的纖維的直積。同樣，''纖維''向量積和對偶空間叢也可以這樣引入。
向量叢是纖維叢的特例。
光滑向量叢定義為滿足''E''和''X''是光滑流形，π : ''E'' → ''X''是光滑映射，而局部平凡化映射φ是微分同胚的向量叢。
把實向量空間換成複向量空間(complex vector space, 既純量為複數的向量空間)，就得到了復向量叢(complex vector bundle)。這是結構群的約化的特例。也可以用其他拓撲域上的向量空間，但相對比較少見。
除了有限維的向量空間以外，如果''纖維''是某個巴拿赫空間（而不僅是R''n''），就可以得到巴拿赫叢.
* Milnor, John W.; Stasheff, James D. ''Characteristic classes''. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.
法政（canon），為一聖公宗與天主教都有的教會神職榮銜，因為現今角色的不同，在羅馬天主教翻作詠禱司鐸團。是主教可依教會傳統任命的榮譽職份，職責無清楚界定，有解釋教會神學法規，並保衛教會教義的權威。或是做為教會隆重禮儀的推行者，並協助教會行政。亦曾譯作名譽牧師，一般是沒有期限的。然而，也有一些教區法政牧師，是指在座堂有特殊職務的聖品人。
第七、八世紀時，要西方教會聖職人員生活敗壞，不屬任何修會的聖品人紀律鬆懈，陋習叢生，及至八世紀初，英國本篤會會士聖波尼法爵於722年獲教宗額我略二世委任為日耳曼地區主教，他著手組織該地及法蘭克教會，編製教會法律（Canon），漸漸建立成一個有秩序的教會。
波尼法爵的改革工作是以教會的整體生活為對象，要求整個教會皆遵守教會所訂定的規例（Canons）。在差不多同一時期，其門生克雷特剛主教(Chrodengang,708－766)亦展開一項規模較小但同樣重要的改革，就是提高聖品人生活的質素及紀律。他希望不屬修會的聖品人像修士一樣，過著有紀律的生活。他要求在轄區內的聖品人，都遵守與聖品人生活有關的法規。他鼓勵這些聖品人住在一起，組成教士團體。由於當時大城市大多設有主教座堂，於是便在座堂加建宿舍，城市的聖品人住在一起組成團體，過著有紀律的生活，一同嚴格遵守教會規例。
這些教士羣體多數附屬於一所主教座堂，如此這些嚴守教會規矩的聖品被稱為「法政」。最有名的例子就是11世紀時的奧古斯丁團體（Canons of St. Augustine）。之後隨著時代的演變，此一組織逐漸式微。不過仍存於天主教與聖公會的部分主教座堂編制中。
他們除了負起牧民和教導的工作外，還要協助主教管理座堂，並且要參與座堂一日數次的崇拜，就是每日的幾次的「日課」（daily office）或「時辰祈禱」。
在羅馬天主教，所稱的詠禱司鐸班，是一種從屬於主教座堂或副座堂的司鐸集團，其職務是在需要時舉行較隆重的禮儀；並且在教區負責教會法政或其他主教任命相關職務。僅有部分教區保有此團體，例如澳門教區。
此外詠禱司鐸的稱號也有可能以榮銜的方式贈與教區內的資深堂區司鐸作為表揚。
在聖公宗的傳統中，在座堂工作的牧師大多數是由座堂議會（Cathedral Chapter）委任為法政牧師，與為首的座堂主任牧師（Dean）組成座堂議會，一起策劃崇拜、牧民、教導和管理等工作。此外，很多座堂還有「初級法政牧師」（Minor Canons）其工作主要是負責座堂的崇拜，但在管理上沒有決策權。大多數座堂還有另一類法政牧師，他們並非全職在座堂工作的牧師，故被稱為 「名譽法政牧師」（Honorary Canons或Prebendary）。
除了法政牧師外，其實還可以委任平信徒擔任「信徒法政」(Lay Canon)。座堂主任其實是「座堂首席法政」，還可以有領唱法政（Canon Precentor）、法典法政（Canon Chancellor）、財務法政（Canon Treasurer）、牧民法政（Canon Pastor）、福傳法政（Canon Mission）、和神學法政／教憲牧師（Canon Theologian）。
除了座堂外，一些協同教堂，如西敏寺，都擁有著這樣的體制。
問題是一個在理論信息學中計算復雜度理論領域里至今未被解決的問題，也是克雷數學研究所七個千禧年大獎難題之一。P/NP問題中包含了復雜度類P與NP的關系。1971年史提芬·古克（Stephen A. Cook）和相對獨立地提出了下面的問題，即復雜度類P和NP是否是等價的（P=NP?）。
復雜度類P即為所有可以由一個確定型圖靈機在多項式表達的時間內解決的問題；類NP由所有可以在多項式時間內驗證它的解是否正確的決定問題組成，或者等效的說，那些可以在非確定型圖靈機上在多項式時間內找出解的問題的集合。很可能，計算理論最大的未解決問題就是關于這兩類的關系的：
:P和NP相等
在2002年對于100研究者的調查，61人相信答案是否定的，9個相信答案是肯定的，22個不確定，而8個相信該問題可能和現在所接受的公理獨立，所以不可能證明或證否。 對于正確的解答，有一個1,000,000美元的獎勵。
NP-完全問題（或者叫NPC）的集合在這個討論中有重大作用，它們可以大致的被描述為那些在NP中最不像在P中的（確切定義細節請參看NP-完全理論）。計算機科學家現在相信P, NP，和NPC類之間的關系如圖中所示，其中P和NPC類不交。
假設P ≠ NP的復雜度類的圖解。如P = NP則三個類相同。
簡單來說，P = NP問題問道：如果實然問題的正面答案可以很快驗證，其答案是否也可以很快計算？
這裡有一個給你找點這個問題的感覺的例子：
給定一個大數''Y''，我們可以問''Y''是否是合數。例如，我們可能問53308290611是否有非平凡的因數。
答案是肯定的，雖然手工找出一個因數很麻煩。從另一個方面講，如果有人聲稱答案是"對，因為224737可以整除53308290611"，則我們可以很快用一個除法來驗證。
驗證一個數是除數比找出一個明顯除數來簡單得多。用於驗證一個正面答案所需的信息也稱為證明。
所以我們的結論是，給定正確的證明，問題的正面答案可以很快地（也就是，在多項式時間內）驗證，而這就是這個問題屬于NP的原因。
雖然這個特定的問題，最近也被證明為在P類中（參看下面的關于"質數在P中"的參考），這一點也不明顯，而且有很多類似的問題相信不屬于類P。
像上面這樣，把問題限制到“是／不是”問題并沒有改變原問題（即沒有降低難度）；即使我們允許更復雜的答案，最后的問題（是否FP = FNP）是等價的。
更正式一些，一個決定問題是一個取一些字符串為輸入并要求輸出為是或否的問題。若有一個算法（譬如圖靈機，或一個LISP或Pascal的程序并有無限的內存）能夠在最多nk步內對一個串長度為n的輸入給出正確答案，其中k是某個不依賴于輸入串的常數，則我們稱該問題可以在多項式時間內解決，并且將它置入類P。直觀的講，我們將P中的問題視為可以較快解決的問題。
現在假設有一個算法A(w,C)取兩個參數，一個串w，也就是我們的決定問題的輸入串，而另一個串C是“建議證明”，并且使得A在最多nk步之內產生“是／否”答案（其中n是w的長度而k不依賴于w）。進一步假設：w是一個答案為“是”的例子，當且僅當，存在C使得A(w,C)返回“是”。
則我們稱這個問題可以在非決定性多項式時間內解決，且將它放入NP類。我們把算法A作為一個所建議的證明的檢驗器，它運行足夠快。（注意縮寫NP代表“Non-deterministic（非確定性）Polynomial（多項式）”而不是代表“Non-Polynomial（非多項式）。）
要解決P = NP問題，NP完全的概念非常有用。不嚴格的講，NP完全問題是NP類中“最難”的問題，也就是說它們是最可能不屬于P類的。這是因為任何NP中的問題可以在多項式時間內變換成為任何特定NP完全問題的一個特例。例如，旅行推銷員問題的判定問題版本是NP完全的。所以NP中的任何問題的任何特例可以在多項式時間內機械地轉換成旅行商問題的一個特例。
所以若旅行商問題被證明為在P內，則P  = NP。旅行商問題是很多這樣的NP完全的問題之一。若任何一個NP完全的問題在P內，則可以推出P = NP。不幸的是，很多重要的問題被證明為NP完全，但沒有一個有已知快速的算法。
雖然是否P=NP還是未知的，在P之外的問題是已經知道存在的。尋找國際象棋或圍棋最佳走法（在''n''乘''n''棋盤上）是NP困難的。因為可以證明P ≠ EXPTIME（指數時間），這些問題位于P之外，所以需要比多項式時間更多的時間。判定中的命題是否為真的問題更加困難。Fischer和于1974年證明每個決定Presburger命題的真偽性的算法有最少22cn的運行時間，''c''為某個常數。這裡，''n''是Presburger命題的長度。因此，該命題已知需要比指數時間更多的運行時間。不可判定問題是更加困難的，例如停機問題。它們無法在任何給定時間內解決。
上面所有的討論，假設了P表示“容易”而“不在P中”表示“困難”。這是一個在復雜度理論中常見而且有一定準確性的假設，它在實踐中卻不總是真的，原因包括如下幾點：
* 它忽略了常數因子。一個需要101000''n''時間的問題是屬于P的（它是線性時間的），但是事實上完全無法處理。一個需要10-100002''n''時間的問題不是在P中的（它是指數時間的），但是對于''n''取值直到幾千時還是很容易處理的。
* 它忽略了指數的大小。一個時間復雜度''n''1000屬于P，但是很難對付。已經證明在P中存在需要任意大的指數的問題（參看時間層次定理）。一個時間復雜度2''n''/1000的問題不屬于P，但對于''n''直到幾千還是容易應對的。
* 它只考慮了最壞情況的復雜度。可能現實世界中的有些問題在多數時候可以在時間''n''中解決，但是很偶爾你會看到需要時間2''n''的特例。這個問題可能有一個多項式的平均時間，但最壞情況是指數式的，所以該問題不屬于P。
* 它只考慮確定性解。可能有一個問題你可以很快解決如果你可以接受出現一點誤差的可能，但是確保正確的答案會難得多。這個問題不會屬于P，雖然事實上它可以很快求解。這實際上是解決屬于NP而還不知道是否屬于P的問題的一個辦法（參看RP，BPP）。
* 新的諸如量子計算機這樣的計算模型，可能可以快速的解決一些尚未知道是否屬于P的問題；但是，沒有一個它們已知能夠解決的問題是NP完全的。不過，必須注意到P和NP問題的定義是采用像圖靈機這樣的經典計算模型的術語表述的。所以，即使一個量子計算機算法被發現能夠有效的解決一個NP完全問題，我們只是有了一個快速解決困難問題的實際方法，而不是數學類P和NP相等的證明。
多數計算機科學家相信P≠NP。該信念的一個關鍵原因是經過數十年對這些問題的研究，沒有人能夠發現一個NP完全問題的多項式時間算法。而且，人們早在NP完全的概念出現前就開始尋求這些算法了（Karp的21個NP完全問題，在最早發現的一批中，有所有著名的已經存在的問題）。進一步地，P = NP這樣的結果會導致很多驚人的結果，那些結果現在被相信是不成立的，例如NP = 反NP和P = PH。
也有這樣論證的：問題較難求解（P）但容易驗證（NP），這和我們日常經驗是相符的。
從另一方面講，某些研究者認為我們過于相信P ≠ NP，而應該也去尋找P = NP的證明。例如，2002年中有這樣的聲明：
雖然百萬美元的獎金和投入巨大卻沒有實質性結果的大量研究足以顯示該問題是困難的，但是還有一些形式化的結果證明為什么該問題可能很難解決。
最常被引用的結果之一是設計神諭。假想你有一個魔法機器可以解決單個問題，例如判定一個給定的數是否為質數，可以瞬間解決這個問題。我們的新問題是，若我們被允許任意利用這個機器，是否存在我們可以在多項式時間內驗證但無法在多項式時間內解決的問題？結果是，依賴于機器能解決的問題，P = NP和P ≠ NP二者都可以證明。這個結論帶來的后果是，任何可以通過修改神諭來證明該機器的存在性的結果不能解決問題。不幸的是，幾乎所有經典的方法和大部分已知的方法可以這樣修改（我們稱它們在相對化）。
如果這還不算太糟的話，1993年Razborov和Rudich證明的一個結果表明，給定一個特定的可信的假設，在某種意義下“自然”的證明不能解決P = NP問題。 這表明一些現在似乎最有希望的方法不太可能成功。隨著更多這類定理得到證明，該定理的可能證明方法有越來越多的陷阱要規避。
這實際上也是為什么NP完全問題有用的原因－若對于NP完全問題存在有一個多項式時間算法，或者沒有一個這樣的算法，這將能用一種相信不被上述結果排除在外的方法來解決P = NP問題。
沒人知道多項式時間演算法對於NP完全問題是否存在。但是如果這樣的演算法存在，我們已經知道其中的一些了！例如下面的算法正確地接受了一個NP完全語言，但是沒人知道通常它需要多久執行。它是一個多項式時間演算法當且僅當P = NP。
// 接受NP完全語言的一個算法子集和。
// 這是一個多項式時間算法當且僅當P=NP。
// “多項式時間”表示它在多項式時間內返回“是”，若
// 結果是“是”，否則永遠運行。
// 輸入：S = 一個自然數的有限集
// 輸出："是"如果某個S的子集加起來等於0。
//         否則，它永遠運行沒有輸出。
// 注意:  "程序數P"是你將一個整數P寫為二進制，然後
//         將位元串考慮為一個程序。
//         每個可能的程序都可以這樣產生，
//         雖然多數什麼也不做因為有語法錯誤。
FOR N = 1...infinity
FOR P = 1...N
以S為輸入運行程序數P N步
IF程序輸出一個不同的整數的列表
AND所有整數都在S中
AND整數的和為0
OUTPUT "是"並 停機
若P = NP，則這是一個接受一個NP完全語言的多項式時間算法。“接受”表示它在多項式時間內給出“是”的答案，但允許在答案是“否”的時候永遠運行。
可能我們想要“解決”子集和問題，而不是僅僅“接受”子集和語言。這表示我們想要它總是停機并返回一個“是”或“否”的答案。是否存在任何可能在多項式時間內解決這個問題的算法？沒有人知道。但是如果這樣的算法存在，那么我們已經知道其中的一些了！只要將上面的算法中的IF語句替換成下面的語句：
IF程序輸出一個完整的數學證明
AND證明的每一步合法
AND結論是S確實有（或者沒有）一個和為0的子集
OUTPUT "是"（或者"不是"如果那被證明了）並停機
P=NP問題可以用邏輯命題的特定類的可表達性的術語來重新表述。所有P中的語言可以用一階邏輯加上最小不動點操作（實際上，這允許了遞歸函數的定義）來表達。類似地，NP是可以用存在性二階邏輯來表達—也就是，在關系、函數、和子集上排除了全稱量詞的二階邏輯。多項式等級，PH中的語言對應與所有的二階邏輯。這樣，“P是NP的真子集嗎”這樣的問題可以表述為“是否存在性二階邏輯能夠表達帶最小不動點操作的一階邏輯的所不能表達的語言？”
普林斯頓大學計算機系樓將二進制代碼表述的“P=NP?”問題刻進頂樓西面的磚頭上。如果證明了P=NP，磚頭可以很方便的換成表示“P=NP！”。
康奈爾大學的Hubert Chen博士提供了這個玩笑式的P不等于NP的證明：
* Gerhard J. Woeginger.  The P-versus-NP page。Lists a number of incorrect solutions to the problem.
* A. S. Fraenkel and D. Lichtenstein, Computing a perfect strategy for n*n chess requires time exponential in n, Proc. 8th Int. Coll. ''Automata, Languages, and Programming'', Springer LNCS 115 (1981) 278-293 and ''J. Comb. Th. A'' 31 (1981) 199-214.
* E. Berlekamp and D. Wolfe, Mathematical Go: Chilling Gets the Last Point, A. K. Peters, 1994. D. Wolfe, Go endgames are hard, MSRI Combinatorial Game Theory Research Worksh., 2000.
* Neil Immerman。Languages Which Capture Complexity Classes. ''15th ACM STOC Symposium'', pp.347-354. 1983.
*   Online drafts
*  未來數學家的挑戰（P與NP的簡介，清楚明瞭）
*  The Clay Math Institute Millennium Prize Problems
*  Computational Complexity of Games and Puzzles
*  Manindra Agarwal, Nitin Saxena, Neeraj Kayal, "PRIMES is in P", Preprint, August 6, 2002
*  The "PRIMES is in P" FAQ
*  Scott Aaronson's Complexity Zoo
* NP-complete問題列表
* 幾乎完備問題與弱完備問題
某裝置上記載WPA密碼的標籤
WPA，意即「Wi-Fi存取保護」，是一種保護無線網路（Wi-Fi）存取安全的技術標準。它是應研究者在前一代的有線等效加密（WEP）系統中找到的幾個嚴重的弱點而產生的。目前廣泛實作的有WPA、WPA2兩個標準，WPA實作了IEEE 802.11i標準的大部分，是在802.11i完備之前替代WEP的過渡方案。WPA的設計可以用在所有的無線網卡上，但未必能用在第一代的無線接入點上。WPA2具備完整的標準體系，但其不能被應用在某些舊型的網卡上。WPA和WPA2這兩個標準都提供了不錯的保全能力，但也都存在自己的問題：
* WPA或WPA2一定要啟動並且被選來代替WEP才能生效，但是在某些舊設備的安裝指引或默認配置中，WEP標準是默認選項。
* 在使用家中和小型辦公室最可能選用的「個人」（Personal）模式時，為了保全的完整性，所需的密語一定要比過去用戶所設定的六到八個字元的密碼還長。
目前最新版標準是2018年1月發表的WPA3。
WPA是由Wi-Fi聯盟這個業界團體創建的，他們擁有Wi-Fi這個名詞的商標，並且會檢驗要使用Wi-Fi這個名詞的設備以核發證書。
四路交握動作
某網路連線軟體顯示WPA協定
對WPA標準的實際運用檢驗從2003年4月開始，并於2003年11月變成強制性。完整的802.11i標準是在2004年6月通過的。
Wi-Fi 基地臺
在WPA的設計中要用到一個802.1X認證服務器來分發不同的密鑰給各個終端用戶；不過它也可以用在較不保險的「預共享密鑰模式」（pre-shared key（PSK）），這是讓同一無線路由器底下的每個用戶都使用同一把密鑰。Wi-Fi聯盟把這個使用pre-shared key的版本叫做「WPA-個人版」或「WPA2-個人版」（WPA-Personal or WPA2-Personal），用802.1X認證的版本叫做「WPA-企業版」或「WPA2-企業版」（WPA-Enterprise or WPA2-Enterprise）。
WPA的資料是以一把128位元的鑰匙和一個48位元的初向量（IV）以RC4流密碼算法來加密。WPA超越WEP的主要改進就是在使用中可以動態改變密鑰的「臨時密鑰完整性協定」（Temporal Key Integrity Protocol，TKIP），加上更長的初向量，這可以擊敗知名的針對WEP的。
除了認證跟加密外，WPA對於所載資料的完整性也提供了巨大的改進。WEP所使用的CRC（循環冗余校驗）先天就不安全，在不知道WEP密鑰的情況下，要篡改所載資料和對應的CRC是可能的，而WPA使用了名為“Michael”的更安全的訊息認證碼（在WPA中叫做，MIC）。進一步地，WPA使用的MIC包含了幀計數器，以避免WEP的另一個弱點——重放攻擊（Replay attack）的利用。