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*鄭咸：“侯諱某，姓關氏，以忠義大節事蜀先主昭烈皇帝，為左右御侮之臣，官至前將軍，假節鉞。侯之名聞天下后世，雖老農稚子，皆能道之。然謂侯英武善戰，為萬人敵耳，此不足以知侯也。曹孟德以奸雄之資，挾天子以令中原，虎視鄰國，謂‘本初猶不足數，而況其下乎？’獨先主區區，欲較其力，而與之抗。然屢戰而數敗矣。士於此時，懷去就之計者，得以擇主而事之。茍不明於忠義大節，孰肯抗強助弱，去安而即危者？夫爵祿富貴，人之所甚欲也。視萬鍾猶一芥之輕，比千乘於匹夫之賤者，豈有他哉，忠盡而義勝耳。侯以為曹公名為漢臣，實漢仇也。而先主固劉氏之宗種，侯嘗受漢爵號矣。茍為擇其所事，則當與曹乎？當與劉乎？曹、劉之不敵，雖愚者知之。巴蜀數郡，以當天下之半，其成功不可待也，而侯豈以此少動其心哉？秋霜之嚴，見日見則消；南金之堅，遇剛則折。而侯之忠義凜然，雖富貴在前，死亡居后，不可奪也。孔融、楊彪皆巨德元老，一日少忤曹公，乃戮而囚之。侯為曹公所得，不敢加無禮焉；比其去也，熟視而不敢追。然則侯之所本，勝曹公多矣。蓋有以服其心而折其氣，豈在行陣間乎！侯本解人，廟於郡城之西。廟久不治，里中父老相與經營，加完新焉。時維太守張公，別乘張公，相與為雍容鎮靜之政，而解民熙然樂之，日有馀暇，可以致力於神矣。然則神安其宅，厥有由哉。”（《重修廟記》）
*張商英：“月缺不改光，劍折不改鋩。月缺白易滿，劍折尚帶霜。勢利尋常事，難屈志士腸。男兒有死節，可殺不可量。”（《詠辭曹事》）
*張仲宣：“張遼運籌之方，可以歸之於先軌；關羽搴旗之效，可以論之於后塵。”（《對知合孫吳可以運籌決勝策》）
*南濤：“及刺顏良于東郡，曹公即表王漢壽亭侯。”（《紹興重修廟記》）
*黃茂才：“氣蓋世，勇而強。萬眾中，刺顏良。”（《武安王贊》）
*葉適：“（耿）豪雖兇粗不足取，而以關張比之，則又其細爾。”（《習學記言·卷三十五》）
*朱熹：“正如關羽擒顏良，只知有此人，更不知有別人，直取其頭而歸。”、“關羽恃才疏鹵，自取其敗。”（《朱子語類》）
*孫銳：“千載人，百世士。知正統，明大義。漢丞相，蜀先主。同公心，燭三光。為岳瀆，為星云。今不死，髯將軍。”（《云長公贊》）
*陸游：“顏良文丑知何益，關羽張飛死可傷。等是人間號驍將，太山寧比一毫芒。”（《讀史》）
*洪邁：“自古威名之將，立蓋世之勛，而晚謬不克終者，多失于恃功矜能而輕敵也。關羽手殺袁紹二將顏良、文丑于萬眾之中。及攻曹仁于樊，于禁等七軍皆沒，羽威震華夏，曹操議徙許都以避其銳，其功名盛矣。而不悟呂蒙、陸遜之詐，竟墮孫權計中，父子成禽，以敗大事。”（《容齋隨筆·卷十一》）
*陳亮：“夫關羽好勇而無謀，恃氣而驕功，此其勢甚易譎也。”
*陳元靚：“劍氣凌云，實曰虎臣。勇如一國，敵萬人。蜀展其翼，吳折其鱗。惜乎中勇，前后絕倫。”（《事林廣記后集》）
*火魯胡達：“來謁崇寧廟，遺容古貌寒。奮戈扶寒祚，斬將報曹瞞。忠烈條山并，英靈解土安。未能雄吳魏，常使后人嘆。”（《謁解州廟》）
*郝經：“羽、飛昭烈啑血起義，夙定君臣之分，期復漢室，百折興王。闞如兩虎嘯風從龍，夾之以飛，雄猛震一世，號稱萬人敵。羽報效于操，致書而去，飛瞋目橫矛，而與操決。矯轎義烈，上通于天，漢于是乎不亡。”；“羽儀狀雄偉，岳岳尚義，儼若神人。”（《續后漢書·卷十六》）；“昔魏武之於關侯，梁高祖之於賀拔勝，孔明之於徐庶，皆謀臣猛將，反覆去就，知其無留，意猶不固止。”（《與賈丞相書》）；“云長萬人之敵，而呂蒙襲取。昭烈一世之雄，而陸遜摧破。漢之義師，不復東征。祗保梁益，吳遂蹈跨荊揚。操不可圗，丕乃禪代曺氏。遂有中國，而天下三分，殆非人謀亦天意也！”（《續后漢書·卷五十六》）；“躍馬斬將萬眾中，侯印賜金還自封。橫刀拜書去曹公，千古凜凜國士風。跨有荊、益事戰攻，直指許、洛期一戎。操為喘氣謀避鋒，權為鯨梟示象恭。”（《重建廟記》）
*迺賢：“ 昔游玉泉寺，系馬松樹林。獨坐大石上，浩歌梁父吟。老衲林下來，示我三古印。連環絡螭紐，篆畫蝕蒼暈。將軍觔無敵，勁氣橫九州。志在復漢鼎，豈事身封侯？昭烈勢孤危，恃侯作堅壘。威震曹家啊，膽落中夜起。浮云幾變滅，瑑刻良可摹。今人千載下，拂拭空嗟吁。”（《賦關將軍印》）
*周午：“三分鼎峙裂九州，群飛擇木各為謀。云長天挺萬人敵，不事他人獨事劉。分雖君臣情骨肉，此豈漢賊所能祿？仲謀不度來求婚，遣使甘言只屈辱。奮髯北伐將徙都，白衣狙詐勞仁呼。赤帝不靈天既厭，荊蜀中斷絕一隅。人亦各為其主耳，南昌局量非操擬。嵯峨一冢余千年，長使英雄淚如水。”（《題大王冢》）
*程嚴卿：“將軍氣作漢長城，此身肯與賊俱生？一時成敗風云散，千古精誠日月明。最恨含沙多鬼蜮，堪憐失水制鯤鯨。九京莫喚英雄起，余子紛紛論甲兵。”（《題大王冢》）
*朱元璋：“克敵在勇，全勝在謀。昔，關羽號萬人敵，為呂蒙所破，為無謀也，爾宜深戒之。”（《明實錄·太祖實錄·卷一》）
*楊博：“維帝忠義昭宇宙，功業垂史冊，祀祠遍天下，黃發稚齒，極海窮邊，靡不崇重。而帝之隨在者靈，威蓋顯赫，千載一日。”
*李贄：“云長信義，不設機械，觀其待徐公明可見也。到底是個君子，不比小人，外厚其貌而衷薄甚也。”
*鐘敬伯： “云長信義性成，機械不生，故徐晃自詐而彼自誠也。其威鎮華夏，忠貫古今，真圣而不可知之之謂神乎？”
*王夫之：“吳、蜀之好不終，關羽已死，荊州以失，曹操以乘二國之離，無忌而急于篡，關羽安能逃其責哉？羽守江陵，數與魯肅生疑貳，于是而諸葛之志不宣，而肅亦苦矣。肅以歡好撫羽，豈私羽而畏昭烈乎？其欲并力以抗操，匪舌是出，而羽不諒，故以知肅心之獨苦也。” 、「關羽，可用之材也，失其可用而卒至於敗亡，昭烈之驕之也，私之也，非將將之道也。」（《讀通鑒論·卷九》）
*李鑒：“炎漢阿危配此身，垂成功業委枯榛。傅糜俱罪生狂計，蒙遜陰謀繆見親。自許以南俱失望，吞吳而下豈無因？三分往事成陳跡，椽筆稱量自有神。”（《題大王冢》）
*胡琦：「孰若云長大勇憤發，心不忘義，事漢昭烈，誓同生死。守荊州九年，賊畏之如虎，討樊之舉，鼓忠烈之氣，破奸雄之膽，可不謂壯哉！惜乎事機垂成，禍生于所忽，乃守其志，終始不回，卓然為漢忠臣，獨見稱于后世。廟食玉泉，至今不絕。四方祈謁，靈應如響，不亦盛乎！及考其事跡本末具存，國志所不載者散在眾籍，文字交錯，難用檢尋，覽之者無不病焉。」（《新編實錄序》）
*張珣：“憶昔天下初三分，猛將并驅誰軼群。桓桓膽氣萬人敵，臥龍獨許髯將軍。威吞曹瞞欲遷許，中興當日推元勛。惜我壯繆功不就，竟令豺兕還紛紛。血食千年廟貌古，歲時歌舞今猶勤。君不見天都、靈武巢未覆，撫髀常思漢壽君。”（《義勇行》）
*程敏政：“古今稱之者，以其忠義大節，足以仰高于后也。”（《讀將鑒博議》）
*畢沅：“吳國公戒之曰：‘克敵在勇，全勝在謀。昔關羽號萬人敵，為呂蒙所破，為無謀也，爾宜深戒之。’”（《續資治通鑒》）
*劉緯：“鞍馬平生百戰身，可憐于此臥荒榛。俘來于禁元輕敵，釁起孫吳為結親。魚水君臣終不忝，功名竹帛擬重新。玉泉寂寂悲黃鳥，千載英靈漢代人。”（《題大王冢》）
*乾隆帝:“關帝力扶炎漢，志節懔然，陳壽撰志，多存私見。正史存謚，猶寓譏評，曷由傳信？今方錄四庫書，改曰忠義。武英殿可刊此旨傳末，用彰大公。”（《清史稿》卷84）
*清代趙翼的《廿二史劄記》卷七關張之勇的部份，詳細整理了古人以關羽、或關張用作皆為勇將代名詞的資料，並且認為「漢以後稱勇者必推關張」。
*蔡東藩：“赤膽忠心誓報劉，越江討賊死方休；東吳不念東風惠，萬古江潮咽恨流。”
*毛澤東：“關云長大體上是不懂統一戰線的，這個人并不高明，對待同盟軍搞關門主義，不講政策。”
*中國魏晉南北朝史學會前會長朱大渭：「關羽並非只有一般名將英勇戰鬥的作風，以及武藝超群的素質，而且具有指揮大型戰役的能力，荊州的失守，主要責任不在關羽，而是蜀國戰略方針失誤造成的。關羽雖有一定責任，但其忠於職守，以身殉職，應無所非議。」「關羽從小受儒家思想薰陶，因而在處身立事道德規範上，同劉備、諸葛亮可算同道中人。劉備甚有知人之明，他之所以特別看重關羽，深知其德才兼備，後來將留守荊州以及北伐的重任交給他，其原因也在於此。」
*歷史學家、《萬曆十五年》作者黃仁宇：關羽剛傲而缺乏處事的謹慎周詳，他不顧利害讓自己兩面受敵，弄到戰敗授首，比曹操早死一個月。可是千百年之後關公仍被中國人奉為戰神，民間崇拜的不是他的指揮若定，而是他的道德力量。關羽『義重如山』，至今秘密結社的團體仍有些奉之為師祖。
*廈門大學人文學院教授易中天：「關羽確實有令人崇敬之處，那就是特重情義。民間崇拜關羽雖然有道理，但有些信仰和習俗也很奇怪。比方說剃頭匠奉關羽為祖師爺，就匪夷所思。關羽並沒有當過剃頭匠呀！再說東漢時也不剃頭。想來想去，也就是他們手上都有一把刀。不過關老爺手上的刀是殺頭的，不是剃頭的。清代有一剃頭舖門前掛一對聯云：『問天下頭顱幾許，看老夫手段如何』，倒很像關羽的口氣。還把關羽奉為財神，什麼民營企業啊，個體戶啊，供個關羽當財神，難道他們的錢是靠打架搶來的嗎？你說關羽一個武將封個戰神不就行了嗎？怎麼還當起財神了呢？依我看啊，關羽，遲早要被民間推崇為愛神。因為他對愛情的追求是很執著的。據《三國志·關羽傳》裴松之註引《蜀記》和《華陽國志》，關羽曾經愛上了一個女人，一再向曹操表示要娶其為妻。這話說多了以後，曹操便『疑其有異色，先遣迎看。』一看，果然國色天香，結果『因自留之』，害得關羽很是鬱悶（羽心不自安）。此事如果屬實，曹操就太不厚道了。」
*中國社會科學院研究員尹韻公：「關羽是一個心機較深、善於處理人際關係、左右逢源的人，無論在敵友哪一方皆可受到厚待，可能這是他在黑白兩道都吃香的緣故了。正史中的關羽並非如人們所崇拜的那個關公高大完美。乃是隨著歷史的發展，根據心理和社會需要不斷改造而成的一個來自於現實而又大大超現實的一個偶像。」
*禚夢庵《三國人物論集》：「建安二十四年十月，曹操與孫權都已親自出馬，為了戰一關羽，魏吳兩國幾乎動員了傾國人馬，上下費盡心機，則關羽之勇猛善戰可知了。 這次戰役，關羽雖敗猶榮，但蜀漢克復中原的希望，也隨關羽俱逝了。本來萬人之敵的猛將，很少不剛而自矜的，只要用之得當，剛猛正是優點。這種剛烈人物，古今中外，代不乏人。即以吾國而論，如楚之項籍，漢之關羽，宋之岳飛，近人吳子玉，都是這一類型。這類人物，也同高人義士一樣，為歷史增加不少光彩。但他們成功最快，失敗也最速，只留下許多可歌可泣的故事，供人憑弔而已！」
《三國志》、《資治通鑒》等正史以及三國魏晉時期的其它資料等并沒有可以被用來推測關羽出生年月的相關信息，唯一牽涉到年齡長幼的信息是關羽比張飛年長數歲，不過張飛的年齡也無任何記載。
但是伴隨著關羽從北宋開始在民間藝術形象及各統治政權對其推崇的不斷提高，此后關于其出生時間開始出現了多種不同信息，諸如：
* 宋孟元老《東京夢華錄》 六月六日 未指明年份。
* 元胡琦《關羽年譜》 延熹三年六月二十四日。
* 明崇禎二年（1629年）立於石磐溝關羽祖塋的《祀田碑記》延熹三年六月二十二日。
* 清康熙十七年（1678年），解州州守王朱旦據傳在浚修古井時發掘出關羽的墓磚，磚上刻有關羽祖、父兩世的表字，生卒年月等，還提到關羽的家庭狀況。他因而寫了《前將軍關壯穆侯祖墓碑銘》。依銘所記，關羽生於桓帝延熹三年（160年）六月二十四日。
* 清張鎮于乾隆二十一年（1756年）編修的 《解良關帝志》 延熹三年六月二十二日。
* 周廣業 《關王事跡征信編》 郭茂泰 《荊州府志》等認為是五月十三日。
《關帝志》內容多出自《三國演義》，非嚴謹的史料；《祀田碑記》和《前將軍關壯穆侯祖墓碑銘》未經嚴格考究。現在，關于關羽出生日期的考證仍舊在繼續，諸如田福生就認為延熹三年六月二十四日（160年8月13日）最可信，此外延熹三年（160年）六月二十二日等說法也有相關證據。
各種說法都缺乏「決定性證據」，值得注意的是所有出生年相關的資料首次出現的時間相距三國時期都超過一千年，可考證和確信程度均不大。當然近年來開始也有史學家指出陳壽的《三國志》也有記載錯誤。
明清官方祀典堅持一年兩祭，以五月十三為關帝君聖誕，每年南京六部太常寺官祭，今日民間主要以農曆六月二十四日作為神明關公聖誕日，五月十三則視為官方生日。
清代安順地戲面具關羽像
《桃園三結義》木雕，左為關羽，中為劉備，右為張飛
關羽於民間的形象，至宋代即與今日相去不遠。洪邁的《容齋隨筆》按理是史論，但其中已有「關羽手殺袁紹二將顏良、文醜於萬眾之中」的傳說。而膾炙人口的三英戰呂布、千里保皇嫂、華佗為關羽刮骨療毒、水淹七軍等民間傳說，都已見於《三國志平話》，《三國志平話》所敘事跡雖多為民間傳說、然卻初步架構了三國歷史進程的故事。元代關漢卿所作戲曲《關大王獨赴單刀會》有提到關羽過五關，可見《三國演義》中過五關斬六將的情節亦早已在民間流傳。《水滸傳》中，關勝為關羽後裔。
章回小說《三國演義》作者羅貫中著力將關羽這個人物形象，刻畫成繼呂布後的三國武藝第一人，頗有「武聖」之風。總成過往傳奇、野史、戲曲、地方世代說法、被官史避畏說法、說部話本及民間傳說中關羽的故事，和史書中關羽的事蹟有所出入，如關羽溫酒斬華雄為漢末、魏晉以來的傳說，按史華雄實為孫堅所殺；土山約三事是關羽戰敗而投降；文醜死因存見地方史料以及東晉王羲之父子的二王尺牘集和容齋隨筆。而桃園結義、戰呂布、過五關斬六將、戰黃忠、手持青龍偃月刀、坐騎赤兔馬、身高樣貌等都為三國演義小說中所雕塑。而後人更引此形象將關羽神話，造就了民間偶像。
《三國演義》對於關羽忠勇自負的性格也加以誇大、轉嫁，如諸葛亮問關羽若曹、孫同時來侵，關羽回答要分兵拒之，關羽不滿馬超授官而起妒，改寫為要入川與馬超比武，關羽拒婚時罵孫權的兒子是犬子等等，都是小說的藝術創作。
從傳統戲曲至現代，各類文化作品對關羽多有演繹。
中國傳統戲曲中關羽的角色，以民間傳說、野史、《三國演義》的描寫而創作，其臉譜為揉紅臉，表示忠勇，「紅臉忠勇」之說法即由關羽臉譜而來。勾丹鳳眼，雙眼俊秀。加上關羽有「美髯公」之稱，所以都會加上演關羽時專用的大髯口，稱為「五綹」或「關公髯」。手執青龍偃月刀和紅馬鞭，頭戴專有的綠色盔頭，綴黃絨球配后兜，兩耳垂白飄帶和黃絲穗，著綠蟒。因後世對關羽的信仰普遍，具有神格，為表示對關羽的敬畏，所以會特意在面譜上加一黑點或加一條金線，稱做「破臉」，代表不敢完全模仿他。而且關公亮相姿式就有48種之多，稱為「關公48圖」。
而在舊時上演關公戲曲時，有許多規矩：如扮演關羽的演員在演出前三到十天要齋戒淨身，不近女色；出場前要給關帝像燒香、奉茶、燒紙錢祭拜，常用牲禮，甚至殺雞殺豬；演員要在頭盔或者前胸掛有關帝像的黃表附，演出結束要用此紙拭臉，并拿到關帝像前焚化，以示感謝關帝的庇護；演《單刀會》時，周圍不可有嬉鬧聲、在演《走麥城》時，更要臺上臺下燒檀香、點蠟燭。據說如果違犯戒律，關帝就會顯靈，演員要出事故，戲園要出亂子。清朝后宮演戲時，每臨關公出場，皇帝、后妃都得離座走幾步，然后才能坐下看戲。一些有損于關帝形象的劇目，如《斬熊虎》、《怒斬關平》、《關公辭曹》等，宮廷及燕京的著名戲園皆禁止上演。而現今也有對演關羽的演員有不少禁忌，如當演員上了妝後，不可大笑、有邪淫，其他人看到上妝後的關羽也不能舉動失儀。
以關羽為主角的京劇劇目稱關羽戲（簡稱關戲，也稱老爺戲）。最初，演員在演出時以唱為主。同時，劇目僅有《戰長沙》、《華容道》、《斬華雄》等幾出。有作者認為在20世紀初，王鴻壽（老三麻子）豐富了關羽戲的劇目。并通過他在臉譜、服飾、念白、唱腔等方面的革新創造，使關羽的形象更為高大完美。
有關於關羽或有其角色的電影、電視劇集，及曾飾演關羽的演員亦有不少，例如有（依年份）：
*1956年《關公月下釋貂蟬》、1957年《關公千里送嫂》（香港麗星影片公司電影）：由關德興飾演
*1957年《關公守華容 劉備過江招親》（香港寶華影業公司電影）：由靚華亨飾演
*1968年《桃園三結義》（臺灣國益影業公司），由丁強飾演。
*1969年《武聖關公》：由楊群飾演
*1974年《武聖關公》（臺灣中視電視劇）：由郎雄飾演
*1976年《三國春秋》（麗的電視本港臺電視劇集）：由劉志榮飾演
*1976年《戰神》（別名：《關公大戰外星人》）（陳洪民執導電影）
*1984年《關公保嫂過五關》（華視臺語午間電視劇）：由李隆華飾演
*1985年《諸葛亮》（亞洲電視（ATV）電視劇）：由鄭軍飾演
*1985年《諸葛亮》（香港電視劇）：由鄭雷飾演
*1992年《醫神華佗》（無綫電視翡翠臺電視劇集）：由尹揚明飾演
*1992年《鹿鼎記》（王晶執導電影)）：由吳孟達飾演 海公公扮關羽剌殺 鰲拜
*1993年《關公》（別名：《關公傳奇》）（中國太原電視臺電視劇）、2002年《貂蟬》（中國深圳電視臺電視劇）：由張山飾演
*1994年《三國演義》（中國中央電視臺電視劇集）：由陸樹銘飾演
*1996年《三國英雄傳之關公》（中華電視公司電視劇）：由陳俊生（青年）、勾峰（中年）飾演
*1996年《諸葛孔明》（電影）：由馬泉來飾演
*1998年《超時空要愛》（黎大煒執導電影）：由王衛國飾演
*1999年《一代梟雄曹操》（柯俊雄執導電影）：由馬泉來飾演
*1999年《曹操》（中國中央電視臺電視劇）、2001年《呂布與貂蟬》（陳凱歌執導電視劇）：由楊凡飾演
*2000年《江湖告急》（林超賢執導電影）：由黃秋生飾演
*2001年《關公》（電視劇）：由李田野（青年）、王英權（中年）飾演
*2002年《武圣關公出解梁》（電視劇）：由陳思成飾演
*2004年《武聖關公》（中央電影公司電影）：由王英權飾演
*2008年《見龍卸甲》（李仁港執導電影）：由狄龍飾演
*2008年《赤壁》（吳宇森執導電影）：由巴森飾演
*2009年《終極三國》（臺灣八大電視電視劇）：由胡宇崴飾演
*2010年《越光寶盒》（劉鎮偉執導電影）：由方力申飾演
*2010年《三國》（中國大陸電視劇）：由于榮光飾演
*2011年《關雲長》（麥兆輝、莊文強執導電影）：由甄子丹飾演
*2012年《回到三國》（無綫電視翡翠臺電視劇集）：由歐瑞偉飾演
*2012年《銅雀臺》（趙林山執導電影），由成宗煥飾演
*2014年《曹操》（胡玫執導電視劇），由張益群飾演
*2015年《半為蒼生半美人》（梁辛全執導電視劇），由于彥凱飾演
*2016年《武神趙子龍》（國建勇執導電視劇），由李田野飾演
*2017年《終極三國》（中國優酷網路劇）：由SpeXial-子閎飾演
*2020年《新解釋·三國志》（福田雄一執導電影）：由橋本哲飾演
*2021年《真·三國無雙》 （周顯揚執導電影）：由韓庚飾演
在三國漫畫中，關羽被刻畫成是繼呂布之後的天下第一猛將，與張飛各自擁有萬夫莫敵的實力。而且在諸多的三國漫畫的劇情中，經常可以看見關羽獨戰呂布的場面，如：王欣太的《蒼天航路》、陳某的《火鳳燎原》、池上遼一的《》、本宮宏志的《吞食天地》等，也許是在人們的心目中認為關羽是武聖，而呂布是戰神的原因，所以才把這兩人設定為死敵。
* 《幻想三國誌 -天元靈心記-》
在關羽家鄉解縣，傳說關羽本名馮賢，生在有文化教養的農家，青少年時期在家習文練武兼作農事，娶胡氏為妻，更在光和元年五月十三（178年6月16日）生了關平。大約在關羽24歲時，即183年，因斬殺惡豪呂熊而逃離家鄉至幽州涿郡，並改姓為關。
於明朝時，仍有關羽有一子關索一說，但關羽不認他，最後成為蜀漢一員將領，不過學者一般認為關索只是傳說，歷史上并沒有關索此人。
在陶弘景《古今刀劍錄》一書中，曾記載關羽當時為劉備重任，不惜親自採都山的鐵，鑄成二刀，銘為萬人。後來關羽兵敗，將二刀投入水中。
明朝小說《三國演義》中，將關羽所使用的武器設定為青龍偃月刀，然根據文獻記載及出土文物中，偃月刀係在宋朝才開始出現，但因《三國演義》廣為流傳，後世也將青龍偃月刀稱為「關刀」。因關羽善使關刀，故俚語以「關公面前耍大刀」來稱在專家面前賣弄本事、不自量力的意思。
因為《三國演義》故事家喻戶曉，所以產生不少與關羽有關的歇後語，如關羽過江赴會、單騎千里、義薄雲天、威震華夏、喝酒看不出來臉紅、華容道放曹操一念舊情等。
又因關公鬍子漂亮，因此有外號「美髯公」之稱。
南梁（此時南北朝，距離關羽生活年代約300年）陶弘景《古今刀劍錄》記載：“關羽為先主所重，不惜身命，自采武都山鐵為二刀，銘曰在萬人。及羽敗，惜刀，投于水。此記載較為可信，歷史上的關羽很可能用的是兩把環首刀。
近代日本浮世繪師櫻井雪館(1715-1790)所繪《桃園三結義圖》
正史上并未記載關羽使用的武器，受《三國演義》等的影響，現代關羽的形象一般使用偃月刀（青龍偃月刀），不過考古學上并無漢晉時期使用此類武器的證據。正史上也沒有對于關羽坐騎戰馬的特別記載，不過《三國演義》講述了曹操將原為呂布騎乘的赤兔馬轉送于關羽的故事，深入民心。據小說家言，赤兔馬在關羽成仁之后絕食而死，故今日祭祀關羽的廟宇或大堂等，常會有一尊赤兔馬的雕塑像。戲曲劇目中，亦會為關羽安排服侍赤兔馬的一位馬童。
三國無雙是1997年在PS平臺上出現了一款對戰游戲，直到2000年，光榮在PS2借用新平臺制作了第一部真三國無雙。這種獨特的游戲方式可以讓玩家體會到一騎當千的感覺，在游戲界一亮，受到玩家歡迎。無雙系列除了它獨特的游戲方式以外，它的人設也是頗為出色的。主要受到《蒼天航路》這部漫畫所影響。相同的是，和呂布爭鋒的不是趙云，而是關羽。二人也被設定為死敵。另外在吞食天地II 赤壁之戰、三國戰紀作為主要角色也很受歡迎。
民間以關羽為忠義之神，據此而有《關聖帝君覺世真經》，為華人民間信仰三大善書之一。官府推其忠，百姓崇其義。關羽作為勸忠勸善的神明，各朝皇帝多半敬奉非常，其「侯而王，王而帝，帝而聖，聖而天」的過程請參考下表：
受封「漢壽亭侯」爵位
建安二十四年
前將軍、假節鉞
崇寧至道真君
壯繆義勇武安王
壯繆義勇武安英濟王
顯靈義勇武安英濟王
齊天護國大將軍、檢校尚書、守管淮南節度使兼山東、河北四門關招討使兼提調諸宮神、無分地處檢校官、中書門下平章政事開府儀同三司、駕前都統軍、無佞侯壯穆義勇武安英濟王、護國崇寧真君
洪武二十七年
恢復關羽原“前將軍壽亭侯”（之“漢”字久缺）頒旨列入祀典
協天護國忠義大帝
萬曆四十二年
三界伏魔大帝神威遠鎮天尊關聖帝君
真元顯應昭明翼漢天尊
忠義神武關聖大帝
聖曾祖光昭公、聖祖裕昌公、聖考成忠公追封三代公爵
頒令全國啓建武廟、併入祀典文武百官、各省縣百姓按祭孔之太牢祭儀、春秋兩祀此為關羽列入國家祭祀主神之始
乾隆三十一年
加封「靈佑」二字
加封「仁勇」二字
忠義神武靈佑仁勇威顯關聖大帝
忠義神武靈佑仁勇威顯護國保民精誠綏靖關聖大帝追封三代為王
忠義神武靈佑仁勇威顯護國保民精誠綏靖翊讚宣德關聖大帝此為關羽歷代最長之封號
元文宗至順二年（1331年）敕封的官職最多，其次為清德宗光緒帝的「忠義神武靈佑仁勇威顯護國保民精誠綏靖翊讚宣德關聖大帝」封號，共26個字，採用了眾多美好的文詞。
金瓜石勸濟堂關羽銅像
249x249像素
關羽的祠廟遍佈各地，為最多祠廟的中國神明之一。唐初開始便有武廟，但主祀的是輔佐武王克殷的周朝宰相姜子牙，而關羽則為從祀之神。如平日出征，則祭拜佛教四大天王中掌管北方的毘沙門天王，並繪製毘沙門天王旗，以保佑戰爭勝利。
關帝信仰，可能肇始於宋代，完成於明代。關羽信仰由來已久，至宋朝更趨昌盛，至遲宋朝末年，民間供奉關羽的廟宇已經「郡國州縣、鄉邑間井皆有」，宋朝皇帝也多追封關羽為王。元代朝廷雖崇信藏傳佛教，但未箝制民間信仰，因此民間對關羽的崇信有增無減，元朝皇帝且曾遣使致祭。明代不立武廟，然而明太祖朱元璋嘗以「漢壽亭侯關羽廟」列為京師金陵祀典之一，之後明朝歷任皇帝不斷追封關羽，關羽漸漸成為明朝「所最崇奉」。明朝尊奉關羽，甚至要求藩屬朝鮮官方修建「關王廟」。隨著明朝追封關羽為帝，明朝人對關羽的尊稱也由「關王」漸漸升格為「關帝」，沿襲至今。
新竹市古奇峰育樂園普天宮的高120公尺巨型關聖帝君神像。
明清以降，供奉關羽的廟宇不僅遍佈漢地，且延伸至蒙古、西藏。而朝鮮、越南、日本、琉球亦有供奉關帝的廟宇。
佛教也視關羽為護法神，漢地佛教尊奉為伽藍菩薩，源於隋代創建天臺宗的智者大師。後來藏傳佛教亦尊關羽為護法神。
民間宗教中也有尊關帝為主神的，如神武靈拳
隨著關羽地位變得顯赫，關羽更被尊稱為「武王」、「武聖人」，與孔子並肩而立，合稱「文武二聖」。也正因為關羽如此顯赫，除了軍人、武師奉他為行業神崇拜外，就連商業、煙業、描金業、香燭業、教育業、命相家等等不相干的行業也推崇關羽，所以也信奉他為財神、五文昌。在香港，香港警察和香港黑幫等黑白兩道都有信奉關羽的習俗。如香港警察在1930年代起有供奉關帝的習慣，以祈求關帝庇佑。而香港黑幫在接收新會員的入會儀式時，亦會有關帝象坐鎮。
* 陳壽 著，裴松之 注：《三國志》
* 大塚秀高：〈 關羽和劉淵－－關羽形象的形成過程〉。
*田海：〈 關羽信仰興盛與道教的關係〉。
* 朱海濱：〈 國家武神關羽明初興起考——從姜子牙到關羽〉。
*伊藤晉太郎：〈 關于“關羽文獻”中的關羽書信〉。
* 容世誠：〈 關公戲的驅邪意義〉
如果不加特殊說明，通常所說的圖靈機都是確定型圖靈機。非確定型圖靈機和確定型圖靈機的不同之處在于，在計算的每一時刻，根據當前狀態和讀寫頭所讀的符號，機器存在多種狀態轉移方案，機器將任意地選擇其中一種方案繼續運作，直到最后停機為止。具體而言，其狀態轉移函數為
其中是狀態集合，是帶字母表，分別表示讀寫頭向左和向右移動；符號 表示集合的冪集，即
例如，設非確定型圖靈機的當前狀態為，當前讀寫頭所讀的符號為，若
則將''任意地''選擇一個，按其進行操作，然后進入下一步計算。
非確定型圖靈機在輸入串上的計算過程可以表示為一棵樹，不同的分支對應著每一步計算的不同的可能性。只要有任意一個分支進入接受狀態，則稱接受；只要有任意一個分支進入拒絕狀態，則稱拒絕；某些分支可能永遠無法停機，但只要有一個分支可以進入接受或拒絕狀態，我們就說在輸入上可停機。注意，我們規定必須是無矛盾的，即它不能有某個分支接受而同時另一個分支拒絕，這樣有矛盾的非確定型圖靈機是不合法的。
定理：對于任意一個非確定型圖靈機，存在一個確定型圖靈機，使得它們的語言相等，即。
證明：因為非確定型圖靈機的計算過程就是一棵樹，因此我們只需遍歷該樹就可以模擬其計算過程。一個簡單的想法是利用深度優先搜索來遍歷的計算樹，但這樣行不通，因為的某些計算分支可能永遠不停機！所以我們可以采用一種在算法設計中稱為迭代加深搜索的技巧來遍歷的計算樹。具體證明如下：
對于非確定型圖靈機，構造一個確定型圖靈機如下：
# 深度優先地模擬的每個分支的計算，但每個分支最多只計算步，如果某個計算分支在步內可以停機，則也停機，并將該計算分支的計算結果輸出。
# 令增加 1，跳轉到上一步繼續執行。
顯然，若有某個分支可以停機，則此也一定會找到該分支并停機。因此。
定理2：如果語言L被非確定型圖靈機在多項式時間內接受，則一定存在多項式P使得語言L被時間復雜度為的確定型圖靈機程序所接受。
定理2說明了為什么在證明P = NP之前，所有的NPC問題都只有指數時間復雜度算法。
張飛，字益德，東漢末年幽州涿郡（今河北省保定市涿州市）人氏，三國時期蜀漢名將，亦是劉備的主要親信之一，與關羽並稱“萬人敵”。
官至車騎將軍、領司隸校尉，封西鄉侯，后遇刺身亡，蜀漢追謚桓侯，是為西鄉桓侯。元朝加封為武義忠顯英烈靈惠助順王。
陳壽在撰寫《三國志》的時候，將張飛與關羽、馬超、黃忠、趙雲合為一傳（《三國志·蜀書·關張馬黃趙傳》），羅貫中的長篇小說《三國演義》中又將該五人并稱“五虎上將”，隨著民間劇目的發展，便廣為世人所知。而在中國傳統文化中，張飛以粗獷剛烈好酒著稱，雖然此形象主要來源于小說和戲劇等民間藝術，但已深入人心。
漢靈帝中平元年（184年），與關羽在涿郡跟隨劉備起兵，隨從周旋，不避艱險。關羽年長張飛數歲，張飛事之如兄。劉備領平原相，關羽、張飛皆為別部司馬，分統部曲。三人寢則同床，恩若兄弟。漢獻帝興平元（194）年，劉備領徐州牧，以張飛為司馬。建安元年（196年），左將軍袁術不忿劉備據有徐州，自淮南來攻，兩軍在盱眙、淮陰相持，張飛留守下邳。下邳相曹豹與張飛不和，勾結當時正寄寓在徐州的奮武將軍呂布襲取下邳。張飛殺曹豹，引起丹楊兵叛變，中郎將許耽開門引呂布入城。劉備將士在前方聽說家屬被俘，軍無戰心，不得已而投降呂布。呂布將劉備安置在小沛，而劉備兵力逐漸恢復到萬余人，引起呂布警覺，于是再次進攻劉備，劉備西奔司空曹操。曹操表薦劉備為豫州牧，讓他繼續在小沛牽制呂布。建安三年（198年），曹操東征，消滅呂布，表薦劉備為左將軍，關羽、張飛為中郎將。劉備與車騎將軍董承等受漢獻帝衣帶詔，密謀誅殺曹操。建安四年（199年），僭號稱帝的袁術因為勢力衰弱，打算北投堂兄大將軍袁紹，劉備主動請纓去徐州截擊袁術，會袁術病死，所部依附廬江太守劉勛。于是劉備在下邳殺死徐州刺史車胄，留關羽守下邳，身還小沛。建安五年（200年），曹操東征，劉備戰敗，北投袁紹，關羽被俘，后逃歸劉備。史書并未記載張飛是否曾與劉備失散或重聚，只知同年張飛在譙郡遇到曹操大將夏侯淵的侄女并納為妻室。曹操隨后在官渡之戰中大敗袁紹。
日本浮世繪里的張飛
建安十三年（208年），丞相曹操南征劉表，會劉表病死，少子劉琮投降曹操。劉備自樊城經襄陽南下江陵，諸葛亮勸劉備襲取襄陽，被劉備拒絕。曹操抵達襄陽，聽說劉備已經南下，立即派出曹純率領五千精騎追擊，一日一夜追出三百余里，在當陽長坂坡追上劉備，劉備和諸葛亮、張飛、趙云等數十騎逃亡。張飛奉命率二十騎斷后，趙云則保護甘夫人和阿斗慢行。張飛依仗地勢，據水斷橋，嗔目橫矛，咆哮道：“身是張益德也，可來共決死！（我就是張益德，放馬過來過來決一死戰！）”敵軍內無人敢于向前，劉備等人得以順利撤退至漢津，與關羽船隊會合，然后抵達夏口，會合劉表長子江夏太守劉琦。劉備以諸葛亮為使，聯合割據江東的討虜將軍孫權，在赤壁之戰中擊敗曹操，曹操留行征南將軍曹仁、橫野將軍徐晃于江陵，使折沖將軍樂進守襄陽，然后北還。赤壁之戰中，劉備、關羽、張飛的戰斗力給討虜將軍帳下左部督周瑜留下了深刻印象，他在之后給孫權的上書中稱“劉備以梟雄之姿，而有關羽、張飛熊虎之將”；然而早在赤壁之戰前，曹操的謀士奮武將軍程昱就已經盛稱“劉備有英名，關羽、張飛皆萬人敵也”了。
赤壁之戰后，劉備南征武陵、長沙、零陵、桂陽，四郡皆降。江陵之戰時由于吳將周瑜圍困江陵日緊，而關羽又斷絕北道，曹仁、徐晃放棄江陵突圍。當時劉備派張飛率領一千人追隨周瑜作戰，換來周瑜兩千人馬跟隨關羽用來堵截曹仁后方。戰后劉備封拜元勛，以關羽為蕩寇將軍、襄陽太守，張飛為征虜將軍、宜都太守，封新亭侯，其間宜都實為孫權勢力範圍，所以張飛只是可能駐於江北或劉備大本營公安而已。諸葛亮為軍師中郎將，趙雲為牙門將軍。建安十五年（210年），偏將軍領南郡太守周瑜病死，孫權為減輕軍事壓力，采納贊軍校尉魯肅的建議，將江陵轉讓劉備，張飛轉任南郡太守。建安十六年（211年），劉備受益州牧劉璋之邀入蜀，幫其消滅割據漢中的鎮民中郎將領漢寧太守張魯。劉備北駐葭萌，次年與劉璋反目，召諸葛亮、張飛等夾攻益州。張飛溯流西上，所向披靡，在江州生擒巴郡太守嚴顏。張飛叱責嚴顏：“大軍至，何以不降而敢拒戰？”嚴顏回答：“卿等無狀，侵奪我州，我州但有斷頭將軍，無有降將軍也。”張飛大怒，命左右牽去砍頭，嚴顏臉色不變，說：“斫頭便斫頭，何為怒邪？”張飛大為欽佩，于是釋放嚴顏，待為上賓。張飛隨后從墊江西上，與劉璋領帳下司馬張裔戰于德陽，張裔敗退，張飛追至成都，與劉備會合。建安十九年（214年），劉璋投降，益州平定。
建安二十年（215年），孫權索要荊州的長沙、零陵、桂陽三郡，劉備不許，孫權便自行委任官吏，遭關羽全部驅逐。孫權大怒，遣廬江太守、偏將軍呂蒙督兩萬人攻取三郡，使漢昌太守、橫江將軍魯肅率萬人在巴丘牽制關羽，自己則在陸口調度諸軍。劉備率五萬人到公安，遣關羽將三萬兵至益陽。兩軍尚未開戰，魏公曹操已經攻占漢中，張魯南逃巴中。劉備急忙與孫權議和，轉讓長沙、桂陽，孫權返還零陵。劉備回到江州，遣護軍、偏將軍黃權率兵救援張魯，而張魯已經投降曹操。曹操北還，留征西將軍夏侯淵、平狄將軍張郃守漢中，張郃則不斷從巴西擄掠百姓，強迫遷徙到漢中。劉備于是以張飛領巴西太守，命其進兵宕渠，在巴西之戰中擊退張郃。當時兩軍相持五十余日，張飛率精兵萬余人從小道進攻張郃，山道狹窄，首尾不能相救，張郃大敗，僅帶十余人棄馬爬山逃回漢中。
建安二十二年（217年），劉備進攻漢中，分遣張飛、平西將軍馬超、將軍吳蘭等攻取武都。曹操遣都護將軍曹洪救援。張飛揚言要截斷曹洪后路，騎都尉曹休指出此是疑兵之計，勸說曹洪立即進攻吳蘭，即大敗吳蘭，張飛、馬超退回漢中，吳蘭被陰平氐人強端殺害。
建安二十四年（219年），劉備在定軍山與夏侯淵對峙，討虜將軍黃忠推鋒必進，陣斬夏侯淵。魏王曹操自長安來援，劉備拒不出戰，曹操將士逃亡日益增多，不得不放棄漢中。劉備隨即在漢中自稱大司馬、漢中王，以關羽為前將軍，假節鉞；馬超為左將軍、張飛為右將軍，假節；黃忠為后將軍，賜爵關內侯；法正為尚書令、護軍將軍。不久，關羽北伐曹操，而孫權偷襲南郡，關羽撤軍，所部潰散，在臨沮被孫權擒獲，獻首曹操。
建安二十六年（221年），劉備稱帝，改元章武。策諸葛亮為丞相，假節錄尚書事；馬超為驃騎將軍，領涼州牧，進封斄鄉侯；張飛為車騎將軍，領司隸校尉，進封西鄉侯。
張飛素來善待士人而不體恤兵士，劉備時常告誡他：“你對手下士卒刑罰過重，經常鞭打他們，又把他們留在身邊侍奉你，這樣做日后必成禍患。”張飛聽過后仍不悔改。
不久，劉備出兵東征吳王孫權以報關羽之仇，命張飛率萬人自閬中至江州會合。臨出發前，張飛被帳下將領張達、范彊殺害，兩人帶其首級東奔孫權。張飛營中都督立即表報劉備，劉備聽說是張飛營都督上表，就猜到張飛已經死了，嘆息說：“噫！飛死矣。”傷心欲絕。
京劇裡的張飛（正中）
蜀漢景耀三年（260年），追謚關羽“壯繆侯”，張飛“桓侯”，馬超“威侯”，黃忠“剛侯”；追賜軍師中郎將龐統關內侯爵位，謚“靖侯”。
前蜀天漢元年（917年）（其時前蜀改國號為漢）正月，封張飛為靈應王。
元順帝至元六年（1340年），加封張飛為武義忠顯英烈靈惠助順王。
清代嘉慶帝將「閬中張飛祠」列入「四川省春秋祀典」，成為官方祭祀的大神。
頤和園長廊彩繪：卒為帳下范疆、張達所刺殺。
關羽、張飛皆稱萬人敵，為世之虎臣，羽報效曹操、飛義釋嚴顏，並有國士之風。然羽剛而自矜，飛暴而無恩，皆以短取敗，屬世之常道。
劉備曾勸告張飛道：「卿刑殺旣過差，又日鞭檛健兒，而令在左右，此取禍之道也。（你刑罰殺戮太過度，又常日鞭韃健兒，卻又置他們於左右，這是取禍之道呀。）」卒為帳下范彊、張達所刺殺。
與關羽不同的是，關羽重視武人、輕視士大夫；張飛輕視武人，喜愛結交士大夫。
* 夏侯氏：為夏侯淵侄女，夏侯霸堂妹。夏侯氏在十三、四歲時出外砍柴，被張飛擄走，張飛認為她是良家婦女，遂納為妻室。生有兩女，其長女為劉禪皇后。
*張苞：張飛長子，早逝，但有一子張遵。《三國演義》中虛構其參與諸葛亮北伐，墜崖傷重而亡。
* 張紹：張飛次子，官至侍中、尚書仆射。
*敬哀張皇后：張飛長女，蜀漢章武元年（221）納為太子妃，建興元年（223）立為皇后，建興十五年（237）薨。
* 張皇后：敬哀皇后之妹，建興十五年（237）入為貴人，延熙元年（238）立為皇后。蜀漢滅亡后，隨劉禪東遷洛陽，稱「安樂公夫人」。
* 張遵：張苞之子，官至尚書。隨都護、衛將軍諸葛瞻與征西將軍鄧艾戰于綿竹，臨陣歿。
*陳壽：“關羽、張飛皆稱萬人之敵，為世虎臣。羽報效曹公，飛義釋嚴顏，並有國士之風。然羽剛而自矜，飛暴而無恩，以短取敗，理數之常也。”、“初，飛雄壯威猛，亞於關羽，魏謀臣程昱等咸稱羽、飛萬人之敵也。羽善待卒伍而驕於士大夫，飛愛敬君子而不恤小人。”（《三國志·蜀書·關張馬黃趙傳第六》）
*劉備：「卿刑殺既過差，又日鞭撾健兒，而令在左右，此取禍之道也。」、「以君忠毅，侔蹤召虎，名宣遐邇，故特顯命，高墉進爵，兼司于京。其誕將天威，柔服以德，伐叛以刑，稱朕意焉。」（《三國志·蜀書·關張馬黃趙傳第六》）
*傅幹：“劉備寬仁有度，能得人死力。諸葛亮達治知變，正而有謀，而為之相；張飛、關羽勇而有義，皆萬人之敵，而為之將；此三人者，皆人傑也。”（《三國志·蜀書·先主傳第二》）
*楊戲：“關羽、張飛，出身匡世，扶翼攜上，雄壯虎烈。藩屏左右，翻飛電發，濟於艱難，贊主洪業，侔跡韓、耿，齊聲雙德。交待無禮，並致姦慝，悼惟輕慮，隕身匡國。”（《三國志·蜀書·鄧張宗楊傳第十五》）
*劉巴：“大丈夫處世，當交四海英雄，如何與兵子共語乎？”（《三國志·蜀書·董劉馬陳董呂傳第九》）
*諸葛亮謂巴曰：“張飛雖實武人，敬慕足下。主公今方收合文武，以定大事；足下雖天素高亮，宜少降意也。”（《三國志·蜀書·董劉馬陳董呂傳第九》）
*郭嘉：“劉備有雄才而甚得眾心。張飛、關羽者，皆萬人之敵也，為之死用。”（《三國志·魏書·程郭董劉蔣劉傳第十四》）
*程昱：“劉備有英名，關羽、張飛皆萬人敵也。”（《三國志·魏書·程郭董劉蔣劉傳第十四》）
*董昭：“劉備勇而志大，關羽、張飛為之羽翼，恐備之心未可得論也！”（《三國志·魏書·程郭董劉蔣劉傳第十四》）
*劉曄：“今破漢中，蜀人震恐，其勢自傾。以公之神明，因其傾而壓之，無不克也。若小緩之，諸葛亮明於治而為相，關羽、張飛勇冠三軍而為將，蜀民既定，據險守要，則不可犯矣。今不取，必為後憂。”（《三國志·魏書·程郭董劉蔣劉傳第十四》）
*周瑜：“劉備以梟雄之姿，而有關羽、張飛熊虎之將，必非久屈為人用者。”（《三國志·吳書·周瑜魯肅呂蒙傳第九》）
*袁準：“張飛、關羽與劉備俱起，爪牙腹心之臣，而武人也。”
*“值天下大亂，（劉）遐為塢主，每擊賊，率壯士陷堅摧鋒，冀方比之張飛、關羽。”（《晉書·劉遐傳》）
*“（閻）負、（梁）殊曰：‘驍勇多權略，攻必取，戰必勝，關、張之流，萬人之敵者，則前將軍新興王飛，建切將軍鄧羌，立忠將軍彭越，安遠將軍范俱難，建武將軍徐盛。’”（《晉書·苻生載記》）
*“李庠，字玄序，特第三弟也。少以烈氣聞。趙廞深器之，與論兵法，無不稱善，每謂所親曰：‘李玄序蓋亦一時之關、張也。’”（《晉書·李特載記》）
*“傉檀曰：‘吾今新牧貴州，懷遠安邇之略，為之若何？’（宗）敞曰：‘涼土雖弊，形勝之地，道由人弘，實在殿下。段懿、孟祎，武威之宿望；辛晁、彭敏，秦、隴之冠冕；斐敏、馬輔，中州之令族；張昶，涼國之舊胤；趙昌、張穆、邊憲、文齊、楊班、梁崧、趙昌，武同飛、羽。’”（《晉書·禿髮傉檀載記》）
*李暠：“詠群豪之高軌，嘉關張之飄杰，誓報曹而歸劉，何義勇之超出！據斷橋而橫矛，亦雄姿之壯發。”（《晉書·列傳第五十七》）
*“史臣曰：‘長孫肥結發內侍，雄烈知名，軍鋒所指，罔不奔散，關、張萬人之敵，未足多也。’”（《魏書·長孫肥傳》）
*“當世推其驍果，皆以為關、張弗之過也。”（《魏書·楊大眼傳》）
*“賊以延伯眾少，開營競追，眾過十倍，臨水逼蹙。（蕭）寶夤親觀之，懼有虧損。延伯不與其戰，身自殿后，抽眾東渡，轉運如神，須臾濟盡，徐乃自渡。賊徒奪氣，相率還營。寶夤大悅，謂官屬曰：‘崔公，古之關、張也。今年何患不制賊！’”（《魏書·崔延伯傳》）
*“薛彤、（高）進之并道濟腹心，有勇力，時以比關羽、張飛。’”（《宋書·檀道濟傳》）
*“朱異之徒，積受金貝，遂使咸稱胡、趙，比昔關、張，誣掩天聽，謂為真實。”（《粱書·列傳第五十》）
*“又有西域胡，妙于弓矢，弦無虛發，眾軍尤憚之。及將戰，（吳）明徹謂摩訶曰：‘若殪此胡，則彼軍奪氣，君有關、張之名，可斬顏良矣。’摩訶曰：‘愿示其形狀，當為公取之。’明徹乃召降人有識胡者，云胡著絳衣，樺皮裝弓，兩端骨弭。明徹遣人覘伺，知胡在陣，乃自酌酒以飲摩訶。摩訶飲訖，馳馬沖齊軍，胡挺身出陣前十馀步，彀弓未發，摩訶遙擲銑鋧，正中其額，應手而仆。”（《陳書·蕭摩訶傳》）
*“武人略陽垣歷生、襄陽蔡道貴，拳勇秀出，當時以比關羽、張飛。”（《南史·文惠太子傳》）
*“（從弟京杲）后從李光弼出井陘，督趫蕩先驅，戰嘉山尤力，（唐）肅宗異之，召見曰：‘黥、彭、關、張之流乎！’”（《新唐書·辛云京傳》）
*“金將時全、合連、孛術魯答哥率細軍及眾軍三道渡淮，涉以合連善戰，乃命張惠當之。惠，金驍將，所謂‘賽張飛’者，既歸宋，金人殺其妻，所部花帽軍，有紀律，它軍不及也。惠率諸軍出戰，自辰至酉，金人大敗，答哥溺死，陷失太半，細軍喪者幾二千。”（《宋史·賈涉傳》）
*“將作大匠、屯騎校尉朝那侯青，武邑人也。機巧有算略，驍勇善騎射，所在先登陷陳。慕容俊擬之張飛。”（《十六國春秋·前燕錄》）
*“蜀之乃祖乃父，或士或人，而皆內稟忠貞，外資驍果，武負關張之氣，文傳揚馬之風，迎大駕以涉岷峨，合諸軍而定關輔忠氣冠乎日月，勛業著乎山河，凡在幽遐，皆所傳達。”（《冊府元龜·傳檄》）
*“大周天授元年，拜公為鎮軍大將軍，行左豹韜衛大將軍。□壇受策，禮逾韓信；野戰頻勝，事逸張飛。”（《大周故鎮軍大將軍高君墓志銘并序》）
*常璩：“初，飛勇冠三軍，與關羽俱稱萬人之敵。羽善待小人而驕士大夫，飛愛敬君子而不恤小人，是以皆敗 。”（《華陽國志·劉先主志》）
*庾信：“昔者受律赤符，韓信當千里，治兵白帝。張飛擬萬人，皆比于今日，公之謂也。”（《周上柱國宿國公河州都督普屯威神道碑銘》）
*李德裕：“忻州刺史兼御史中丞李丕，幼而倜儻，長負不羈，才耀奇而穎出，智釋結而解，御侮是寄，益德冠於三軍，騷動得人，劇孟雄於一敵。”（《授李丕汾州刺史制》）；“蜀先主與關羽、張飛同臥起，而稠人廣坐，侍立終日。皆用此道，故能成功。夫御英杰，使猛將，與見道德之人，接方正之士不同也，不可以繁禮飾貌，以浮辭足言，宜洞開胸懷，令見肝肺。氣懾其勇，恩結其心，雖踞洗召之，不為薄矣。祿山，夷狄之譎詐者也，非將門英豪，草萊奇杰，其戰斗之氣，擊刺之才，去關、張遠矣！”（《英杰論》）
*殷堯藩：“威名垂萬古，勇力冠當時。回首三分國，何人賦黍離。”（《張飛廟》）
*杜甫：“孰與關張並，功臨耿鄧親。應天才不小，得士契無鄰。 ”（《謁先主廟》）
*李亨：“自兇狂構禍，區宇未寧，蘊忠貞以立身，資義勇而成務。加其識度宏遠，謀略沖深。張飛乃萬人之敵，卻縠是三軍之帥。”（《命郭子儀充東京畿等道元帥詔》）
*王鎔：“早綰父兵，夙知軍志。張飛之敵，每說無前。魏萬之名，咸言必大。”（《薦王師範表》）
*張說：“思齊忠壯而異材，求之古人，張飛、許褚等也。”（《舉陳光乘等表》）
*崔致遠：“然必愿劍拂狼星，旗迎圣日，終繼張飛之拒后，不慚聶叔之致師。”；“軍名定難，雅稱關張之聲；縣號宜君，克符堯舜之德。”（《賀殺黃巢賊徒狀》）；“斯乃司徒相公鏡於心而寬兮綽兮，枰於事而無偏無黨，網羅雋彥，籠罩驍雄，於儒則沈謝呈才，於武則關張效力。”（《初投獻太尉啟》）；“所謂有非常之人，然后有非常之事，絳灌亦一時俊杰，關張非累世勛庸，鏤姓名於金鼎玉鍾，飾儀形於云臺煙閣，永言盡美，孰敢爭先？”（《徐州時溥司空·第二》）
*孔平仲：“狄青字漢臣。元昊叛，屢將兵出戰，四年間大小二十五陣，八中流矢，人呼‘狄天使’，上觀其儀表曰：‘朕之關張。’”（《孔氏談苑》）
*曾鞏：“侯以智勇為將，號萬人敵。當蜀之初，與魏將張郃相距于此，能破敵軍，以安此土，可謂功施于人矣。其歿也，又能澤而賜之，則其食于閬人不得而廢也，豈非宜哉？。”（《元豐類稿·閬州張侯廟記》）
*員興宗：“吾鄉所遣騎，乃探騎耳。豈人人關張乎！”（《九華集·卷二十四》）
*綦崇禮：“以頗牧之才，關張之勇，盡護諸將，獨殿一方，鏖兵苦戰，則大敵為殱，據險守堅，則嚴師莫犯。”（《北海集·卷十一》）
*李廌：“駢英雄則關張奮其武，登雋良則龐蔣善其職。”（《濟南集·卷五》）
*楊萬里：“過威則離，張飛是也。過強則驕，李光弼是也。”（《誠齊易傳》）
*徐夢莘：“（張）仲寶字子賢，有膂力，時人謂之小張飛子。”（《三朝北盟會編·卷一百三十二》）
*樓鑰：“荊門多古跡，義勇之士服習教法，持利兵以賈勇。望高陽之長阪，其亦有慕張益徳之橫矛拒敵者乎！”（《荊門軍義勇甲仗庫記》）
*劉克莊：“骨已朽黃泉下，傳猶列青史中。猛樸時來宰相，關張運去英雄。”（《即事六言四首》）
*陳元靚：“漢失其鹿，三分鼎峙。爰佐昭烈，實惟車騎。敵萬人，兵行九地。睠是雄材，霸王之器。”（《事林廣記后集》）
*郝經：“羽、飛昭烈啑血起義，夙定君臣之分，期復漢室，百折興王。闞如兩虎嘯風從龍，夾之以飛，雄猛震一世，號稱萬人敵。羽報效于操，致書而去，飛瞋目橫矛，而與操決。矯轎義烈，上通于天，漢于是乎不亡。”（《續后漢書·卷十六》）
*祖無擇：“蜀之諸將，惟飛最雄。”（祖龍圖·《據水斷橋賦》）
*馮夢龍：“釋嚴顏，誨馬超，都是細心作用，后世目飛為粗人，大枉。”（《智囊?上智部?見大卷?030張飛》）
*盧弼：“張飛屯固山，曹洪破吳蘭，飛退走。是飛雖勇猛，亦時為強敵所敗也。”（《三國志集解》）
南朝·梁·陶弘景《古今刀劍錄》：“張飛初拜新亭侯，自命匠煉赤朱山鐵為一刀，銘曰‘新亭侯，蜀大將也’。后被范強所殺，將此刀入于吳。”此事純屬無稽之談，張飛封新亭侯時尚在荊州，身未嘗入蜀，何以便稱“蜀大將”？即身在蜀，亦當稱“漢將軍飛”。
清代安順地戲面具張飛像
小說《三國演義》總成過往小說、戲曲、話本及民間傳說中張飛的故事，和史書中的張飛事蹟有所出入，如怒鞭督郵者實為劉備；長坂大哮嚇死夏侯傑是誇張手法；以至數戰呂布、古城聚義、獨取武陵、大戰馬超、使用蛇矛、身高樣貌，甚至張飛字「翼德」等都是虛構。
傳說張飛頭顱葬于重慶云陽張桓侯廟（張飛廟），軀體葬于四川閬中張桓侯祠（漢桓侯祠）。此外主祀寺廟尚有四川自貢桓侯宮、臺灣臺中市東興市場福興宮等，副祀寺廟則有四川成都武侯祠、臺灣臺北市北投行天宮、新北市三峽行修宮、桃園市大溪劉備廟等。
很多人誤以為張飛字翼德，以為這才跟飛字相協。其實「益」是通假「鷁」，一種會飛的水鳥。另外陳壽在《三國志》記載其表字「益德」有兩處，裴松之注亦有兩處，應為事實。近代學者任乃強注《華陽國志》亦認同此說。
民間流傳張飛善書畫、善畫仕女圖，例如明《畫髓元詮》載：「張飛……喜畫美人，善草書」清《歷代畫徵錄》載：「張飛，涿州人，善畫美人」等，更有「三弟（張飛）畫美人，二哥（關羽）補竹」之說。相關說法最早出自明朝人的筆記，並有一份查無原蹟的石刻拓文傳世。由於明朝上離漢朝已遠，史料不見於唐宋，而明人偽作之風又盛，缺乏實證下史家對此說多持否定態度，卻成為漫畫家、小說家熱衷的題材。
張飛帶兵征劉璋時製造。又有一說，饅頭乃出自三國蜀漢諸葛亮。當時諸葛亮率軍南渡瀘水以討孟獲。根據當地的習俗，大軍渡江之前必須以人頭祭祀河神。諸葛亮遂命人以白麵裹肉蒸熟，代替人頭投入江中。諸葛亮將其命名為「瞞頭」，即欺瞞河神之假頭之意。另一說命名為「蠻頭」，蠻人之頭之意。
早在北宋·葉廷珪的《海錄碎事》中就記載張飛的馬名為「豹月烏」（《三國志補注》中亦有引用，稱出自《彙苑》）。在許多明代文人的私人筆記著作中，曾提及張飛的坐騎名為「玉追」，而且還根據「人中有呂布，馬中有赤兔」的句式，而傳有「人中有張飛，馬中有玉追」一語；據古時口耳相傳的民間傳說習俗，「玉追」很有可能是「烏騅」（黑色的馬）音誤而成。另外，在舊版小說中，張飛坐騎則為「閉月烏」。
*《桃園三結義》（1968年，（臺灣國益影業公司電影）：由趙群飾演
*《三國春秋》（1976年，麗的電視本港臺電視劇）：由郭峰飾演
*《關公》（1992年，浙江華策影視電視劇）：由王為念飾演
*《三國演義》（1992年，中國中央電視臺電視劇）：由李靖飛飾演
*《貂蟬》（2002年，陳家林執導電視劇）：由李靖飛飾演
*《三國英雄傳之關公》（1996年，中華電視公司電視劇）：由崔浩然飾演
*《超時空要愛》（1998年，黎大煒執導電影）：由李綺虹飾演的Gigi，在跨越時空回到古代三國後化身張飛。
*《呂布與貂蟬》（2001年，陳凱歌執導電視劇）：由寇占文飾演
*《武圣關公》（2004年，鄭克洪執導電視劇）：由張友齡飾演
*《見龍卸甲》（2008年，李仁港執導電影）：由陳之輝飾演
*《赤壁》（2008年，吳宇森執導電影）：由臧金生飾演
*《終極三國》（2009年，臺灣八大電視劇）：由博焱飾演
*《越光寶盒》（2010年，劉鎮偉執導電影）：由樊少皇飾演
*《三國》（2010年，中國傳媒大學電視制作中心 電視劇）：由康凱飾演
*《回到三國》（2012年，無綫電視 電視劇）：由曾偉權飾演
*《曹操》（2014年，胡玫執導電視劇）：由李龍飾演
*《武神趙子龍》（2016年，國建勇執導電視劇）：由朱來成飾演
*《終極三國》（2017年，中國優酷網路劇）：由金中西飾演
*《新解釋·三國志》（2020年，福田雄一執導電影）：由高橋努飾演
*《真·三國無雙》 （2021年，周顯揚執導電影）：由張建聲飾演
* 真三國無雙 系列由掛川裕彥配音
* 神魔之塔(Tower of Saviors)
* 《火鳳燎原》（陳某）、火鳳燎原外傳小說《翼德》（王貽興）: 設定為著名的桃園畫家，曾以繪畫之名畫製地圖，在諸葛亮出山前為劉備軍軍師，以「有勇無謀」見稱。
中國傳統戲曲中張飛的角色，以《三國演義》的描寫而創作，臉譜勾成黑十字門蝴蝶臉。蝴蝶有張“飛”、“翼”德之意。而不同場合，張飛臉譜可以勾畫出笑面或是怒面；同時張飛的臉譜為黑臉而有豹頭環眼之態，加上大髯口，表現其兇猛、驍勇之相。
*張飛牛肉起源于四川閬中，當地回族群眾喜食牛羊肉，因牛肉熏制后呈外表黑色，內里紅色，故冠以張飛“面黑心紅”之形象而得名。
*張飛豆干起源于四川閬中，張飛鎮守閬中時，見閬苑山清水秀盛產一種米黃豆，遂用此豆加山泉制作豆干，結果其味更佳。此法后流傳于民間，制作的豆干成為川北一絕，老百姓因感念張飛，便將此豆干稱為張飛豆干。——豆干口味獨特，色香味俱全。
*張飛板麵起源于河南新野，在傳統的工藝上，通過精加工、揉條摔板的麵厚薄均勻，炸炒燜燉佐料而成。
* 西晉·陳壽著、劉宋·裴松之注《三國志》
枚舉器是圖靈機的一種變種。它和圖靈機的工作原理類似，但它不需要接受輸入，一旦開始運行后就不停地在紙帶上打印出一個一個的字符串。可以把它看作是一種帶打印機的圖靈機。枚舉器''E''所打印出的字符串的集合稱為該枚舉器的語言，記作。
* 可能是無限集合，這種情況下將永不停機。
* 枚舉器可以以任意的順序枚舉語言，而且可能多次重復地打印出中的同一個串。
黃忠，字漢升，一說字漢叔，荊州南陽郡（今河南省南陽市）人，三國時蜀漢的著名將領。本為漢末群雄劉表部下中郎將，長沙太守韓玄部將，後成為劉備部將，歷任討虜將軍、征西將軍，官至後將軍，去世後諡號為剛侯。陳壽在撰寫《三國志》的時候，將黃忠與關羽、張飛、馬超、趙雲合為一傳（《三國志·蜀書·關張馬黃趙傳》），羅貫中的長篇小說《三國演義》中又將該五人并稱“五虎上將”，廣為世人所知。
早年事蹟未有確切史料詳載，唯只能確知，當劉表受領荊州刺史到達襄陽開始治理荊州之後，便可能在麾下任事。
黃忠原初在荊州刺史劉表麾下任職中郎將，與劉表從子劉磐共守長沙攸縣，與太史慈相拒。及後曹操南侵荊州，仍擔故任，假行裨將軍，統屬於長沙太守韓玄。
赤壁之戰後，劉備上征荊南四郡。武陵太守金旋、長沙太守韓玄、桂陽太守趙範及零陵太守劉度投降，黃忠亦隨韓玄投降。
並隨劉備軍隊入蜀。後劉備與劉璋決裂，黃忠於葭萌關受任進攻成都，作戰時身先士卒、勇冠三軍。益州定後，被封為討虜將軍。
公元212年（建安十七年），劉備進駐葭萌，並得劉璋手下幕僚張松等人協力。張松的哥哥廣漢太守張肅害怕災難臨頭，就把張松的圖謀稟告了劉璋，劉璋將張松收捕處死，下令所有關隘的守衛部隊封鎖道路。劉備大怒，召劉璋白水軍督楊懷，責其無禮，斬之。乃使黃忠 、卓膺勒兵向璋。劉備徑至關中，質諸將并士卒妻子，引兵與黃忠 、卓膺等進到涪，據其城。劉璋遣劉璝、冷苞、張任、鄧賢等拒劉備於涪城，皆破敗，退保綿竹。劉璋復遣李嚴督綿竹諸軍，李嚴率眾降劉備。劉備軍益強，分遣諸將平下屬縣，諸葛亮、張飛、趙雲等將兵泝流定白帝、江州、江陽，惟關羽留鎮荊州。劉備進軍圍雒；時劉璋子劉循守城，被攻且一年
成都武侯祠中的黃忠塑像
219年，劉備北攻漢中時，黃忠在定軍山戰役中，乘著高勢、擂鼓吶喊進攻敵人，斬殺曹操大將夏侯淵、趙昂（詳見漢中之戰），被升為征西將軍。同年，劉備稱漢中王，改封黃忠為後將軍，賜關內侯，雖然諸葛亮認為：「忠之名望，素非關、馬之倫也。而今便令同列。馬、張在近，親見其功，尚可喻指；羽遙聞之，恐必不悅，得無不可乎！（黃忠的名望，一向不能與關羽、馬超相提并論。而現今讓他們同列。馬超、張飛在附近，親眼見到他的功勞，還可以勸服接受；但關羽在遠方聽到這個消息，恐怕必定不會愉快，怎可能不作反對呢！）」，但劉備仍決定實行，派費詩前往勸解關羽，黃忠便與張飛、馬超、關羽同級。
220年（建安二十五年）（一說222年（章武二年））八月，黃忠病逝。260年（景耀三年）九月，后主劉禪追贈黃忠為剛侯。
黃忠作戰時身先士卒、勇冠三軍，在漢中之戰對著曹軍精兵，仍能斬殺大將夏侯淵，受到劉備特別提拔成後將軍。但因早年未有名聲，關羽憤怒地說：「大丈夫終不與老兵同列！」後經費詩勸解平息關羽怒氣。
陳壽評曰：「忠常先登陷陣，勇毅冠三軍。」；「黃忠、趙雲強摯壯猛，並作爪牙，其灌、滕之徒歟？」（指黃忠為灌嬰。）
諸葛亮：「忠之名望，素非關、馬之倫也。而今便令同列。馬、張在近，親見其功，尚可喻指；羽遙聞之，恐必不悅，得無不可乎！」
關羽：“大丈夫終不與老兵同列！”（《三國志·蜀志十一·費詩傳》）
楊戲的《季漢輔臣贊》中贊黃漢升：「將軍敦壯，摧峰登難，立功立事，於時之幹。」
劉備戲謔地讚賞黃忠：「當得其魁，用此，何為邪？」（開玩笑：你應該斬殺大帥張郃嘛，斬了夏侯淵幹嘛呢？）
程公許：「蜀將如關、張、龐統，吳將如周瑜、魯肅，志長命短，天下重惜之。而馬超、黃忠、趙云、費祎、呂蒙、程普、步騭、甘寧輩皆智勇絕倫，足以當一面。」
李景星《四史評議》：「關羽，張飛，馬超，黃忠，趙雲，皆為蜀之名將，故合傳。」
羅貫中：「將軍氣概與天參，白發猶然困漢南。至死甘心無怨望，臨降低首尚懷慚。寶刀燦雪彰神勇，鐵騎臨風憶戰酣。千古高名應不泯，長隨孤月照湘潭。」
頤和園長廊彩繪：黃忠請戰
周曰校插圖版《三國志通俗演義》中的黃忠魏延獻長沙
小說《三國演義》總成過往傳奇、野史、戲曲、地方世代說法、被官史避畏說法、說部話本及民間傳說中黃忠的故事，描寫了黃忠數戰關羽、與嚴顏一起計奪天蕩山、受封五虎將等事蹟，
在《三國演義》中，黃忠除了武藝高強、有謀有勇之外，還擁有百步穿楊的箭術，這是民間藝術中除「年老」外關於黃忠的另一特徵。黃忠在小說中相當重視情義，他在長沙城中曾阻止魏延殺主公韓玄（當時韓玄正欲處死黃忠）、攻四川時又於落鳳坡救出魏延。另外，黃忠的性格亦甚高傲，易中激將法，曾兩度被諸葛亮諷刺其老邁而奮戰建功，最後更於劉備-{征}-吳時因不服老而遭吳軍圍攻，被吳將馬忠射擊，回營傷亡。
* 中國中央電視臺電視劇《三國演義》（1994年）：由王洪濤、葉鈞分別飾演。
* 中國電影《見龍卸甲》（2008年）：由王洪濤飾演。
* 臺灣民視 / 八大電視劇《終極三國》（2009年）：由宏正飾演。
* 中國電視劇《三國》（2010年）：由宋來運飾演。
* 中國湖南衛視電視劇《武神趙子龍》（2016年）：由張山飾演。
* 中國優酷網路劇《終極三國》（2017年）：由張賀茗飾演。
* 真三國無雙系列 / 無雙OROCHI系列（光榮公司開發，川津泰彥配音）
* 《火鳳燎原》（陳某）、《火鳳燎原》外傳小說《伯符》（王貽興）:設定為甘寧之箭術導師，接應射殺孫堅成功之甘寧,於孫策智削袁術兵及智取東安時登場，在劉曄的計謀下和甘寧率兵突襲在皖北和劉勳手下混戰的紀靈，於孫策攻沙羨時和太史慈交手並不分勝負，更以箭傷射傷韓當、周泰和朱治，以掩護甘寧上船。
三國演義的武器是鳳嘴刀和寶弓兩件武器。
於陶弘景的《古今刀劍錄》一書中，曾記載黃忠在劉備平定南郡時得到一刀，如血般的赤色，名作血色刀。在漢中戰夏侯軍時，就是用此刀在一日之中，手刃百多人。
因小說《三國演義》中黃忠老將軍的形象深入民心，「老黃忠」一詞被用來形容老當益壯的人。
1825年，四川成都西郊營門的農民在耕地中發現一塊書有「黃剛侯諱漢升之墓」的墓碑、幾根人骨、一把劍和一塊玉。墓碑上「諱漢升」三字，“諱”字為敬稱，“漢升”為黃忠的字，石碑雖不是三國時期的舊物，大概是唐宋以後人們為黃忠修葺墳墓時所立，但是這也表明此處應該就是當年黃忠安葬之地。於是，耕地地主劉沅便邀村人共同捐錢修復黃忠墓，並於墓旁修建黃忠祠。
修復的墓高4米，周長約13米；墓園種植松柏，黃忠祠內有依《三國演義》所作的黃忠全身坐像。而雞矢樹的名字漸被淡忘，轉而直叫「黃忠墓」。每年清明時節，鄉民們都會在這裏趕廟會，祭祀黃忠。中華人民共和國成立以後，黃忠祠、墓祭祀盛行不如前。到了大躍進時期，因「青年賽過趙子龍，老人賽過老黃忠」的口號，雞矢樹便改名為「黃忠村」，目前名為“黃忠小區”。
1965年，為了修整公路，黃忠墓被挖開，墓園柏樹被砍伐，文革浩劫期間，塑像被拆毀，匾聯被砸爛，祠墓幾乎蕩然無存，只餘空空棺槨，雖然近年已開始修復黃忠祠、墓，但仍大不如前。
另外，如今的成都市西北的“營門口”相傳是當年黃忠曾駐扎軍營之處。
*《三國志?蜀書?關張馬黃趙傳》
在數學、邏輯和計算機科學中，遞歸語言或遞迴語言是也叫做可判定語言或圖靈可判定語言的形式語言類型。所有遞歸語言的類經常被稱為 R。這種語言類型在喬姆斯基層級中沒有定義。
遞歸語言有兩種等價的主要定義:
遞歸語言是在形式語言的字母表上的所有可能的字的集合的遞歸子集。
設 ''S'' &sube; &Sigma;* 是一個語言，''M'' 是一臺圖靈機，
若對于任何字符串 &omega; &isin; &Sigma;*，有
# &omega; &isin; ''S'' 當且僅當 ''M'' 接受 &omega;
# &omega; &notin; ''S'' 當且僅當 ''M'' 拒絕 &omega;
則稱 ''M'' 判定語言 ''S''。
若存在這樣的 ''M''，''S'' 就稱為圖靈可判定語言。
遞歸語言是在下列運算下是閉合的。就是說，如果 ''L'' 和 ''P'' 是兩個遞歸語言，則下列語言也是遞歸的:
* ''L'' 的Kleene星號
* ''L''的非刪除(non-erasing)同態 φ(L)
* ''L'' 和 ''P'' 的串接
注意圖靈可判定語言和圖靈可識別語言的區別：若 ''S'' 是圖靈可識別語言，則只需存在一
臺圖靈機 ''M''，當 ''M'' 的輸入 &omega; &isin; ''S'' 時，''M'' 一定會
停機并進入接受狀態；當 ''M'' 的輸入 &omega; &notin; ''S'' 時，''M'' 可能停