ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
* 1866年：美國總統安德魯·約翰遜正式宣布南北戰爭結束。
* 1882年：俄羅斯作曲家柴可夫斯基創作的管弦樂作品《1812序曲》在莫斯科救世主大教堂首演。
* 1899年：基督教竹塹新禮拜堂於中巷考棚旁落成（今南門街關帝廟附近）。
* 1905年：中國同盟會在日本東京成立，孫中山被推舉為總理。
* 1913年：英國冶金學家發明不銹鋼。
* 1914年：第一次世界大戰：德國攻佔布魯塞爾。
* 1926年：日本日本放送協會正式成立。
* 1940年：蘇聯十月革命領導人托洛斯基於墨西哥遭史達林派人刺殺，翌日逝世。
* 1940年：中國抗日戰爭：中國國民革命軍第八路軍出動100多個團在華北地區與日軍作戰，史稱百團大戰。
* 1944年：維希法國元首菲利普·貝當被納粹德國逮捕。
* 1949年：匈牙利人民共和國成立。
* 1945年：第二次世界大戰：蘇聯紅軍占領沈陽。
* 1955年：蔣介石下令調查孫立人兵變案。
* 1958年：首批方便面在日本問世。
* 1960年：塞內加爾退出馬里聯邦，成立塞內加爾共和國。
* 1963年：卡波恩宣布塞波加大公國復辟。
* 1967年：香港六七暴動進入土製炸彈浪潮。一對姊弟因為好奇，在街頭接觸到可疑物件後雙雙被炸死。
* 1968年：布拉格之春：以蘇聯為主的華沙條約組織成員國軍隊入侵捷克斯洛伐克。
* 1973年：文化大革命：中國共產黨第十次全國代表大會通過決議，將林彪和陳伯達等人永遠開除出黨。
* 1975年：美國國家航空航天局發射維京1號，目的地火星。
* 1977年：美國國家航空航天局的-{zh-tw:航海家2號; zh-hk:航行者2號; zh-cn:旅行者2號; }-自佛羅里達州-{zh-tw:卡納維爾角; zh-hk:卡納維拉爾角; zh-cn:卡納維拉爾角;}-升空，其任務目的為探索太陽系的外行星。
* 1986年：美國俄克拉荷馬州埃德蒙市郵局的郵差在郵局槍殺14位同事后自殺。
* 1988年：兩伊戰爭：伊拉克和伊朗按照聯合國安理會598號決議正式實行停火，兩伊戰爭結束。
* 1988年：美國黃石國家公園發生大規模火災，其中最嚴重的時候在1天內摧毀超過610平方公里的土地。
* 1991年：中國紅十字會代表人員抵達臺灣，成為42年來，首批到達臺灣的中國大陸公職人員。是次到達臺灣的主要是探望在閩獅漁事件中被扣留的中國大陸漁民。
* 1991年：蘇聯解體：愛沙尼亞脫離蘇聯，宣布恢復獨立。
* 1993年：以色列總理伊扎克·拉賓與巴勒斯坦解放組織主席亞西爾·阿拉法特達成和平協議，并簽署奧斯陸協議。
* 2007年：中華航空120號班機由上午從臺灣桃園機場出發前往日本沖繩，降落那霸機場後突然發生起火和爆炸，機上165名乘客包括機組人員全員平安。
* 2008年：西班牙航空5022號班機墜毀於位在馬德里的馬德里－巴拉哈斯機場，造成飛機上154人死亡。
* 2012年：緬甸宣布終止刊物出版前的審查制度。
* 1086年：波列斯瓦夫三世，波蘭公爵（1138年逝世）
* 1457年：朝鮮成宗，朝鮮王朝第9代君主（1495年逝世）
* 1745年：法蘭西斯·亞斯理，美國宗教人物（1816年逝世）
* 1778年：貝爾納多·奧希金斯，智利民族獨立運動領袖（1842年逝世）
* 1779年：永斯·貝采利烏斯，瑞典化學家，現代化學命名體系建立者（1848年逝世）
* 1820年：古斯塔夫·勒·格雷，法國攝影師（1884年逝世）
* 1833年：本杰明·哈里森，美國第23任總統（1901年逝世）
* 1844年：陸奧宗光，日本外交家（1897年逝世）
* 1850年：威廉·莫格福德·哈姆勒特，澳洲化學家（1931年逝世）
* 1860年：雷蒙·普恩加萊，法國政治家，曾任法國總理、外交部長、總統（1934年逝世）
* 1868年：埃倫·羅斯福，美國網球運動員、美國總統富蘭克林·D·羅斯福的堂姐（1954年逝世）
* 1886年：保羅·田立克，美國新教、新正統、存在主義神學家（1965年逝世）
* 1890年：霍華德·菲利普·洛夫克拉夫特，美國恐怖科幻與奇幻小說作家，史蒂芬·金推崇其為「20世紀最偉大的古典恐怖故事作家」（1937年逝世）
* 1894年：吳宓，中國文學家（1978年逝世）
* 1901年：薩爾瓦托雷·夸西莫多，義大利詩人、翻譯家，獲1959年諾貝爾文學獎（1968年逝世）
* 1903年：張靈甫，中華民國軍人（1947年逝世）
* 1910年：埃羅·沙里寧，芬蘭裔美國建築師、設計師，華盛頓杜勒斯國際機場為其名作之一（1961年逝世）
* 1911年：黃萬里，中國水利工程專家（2001年逝世）
* 1913年：羅杰·斯佩里，美國神經生理學家，1981年諾貝爾生理學或醫學獎得主（1994年逝世）
* 1916年：吳成家，臺灣日治及戰後時期作曲家（1981年逝世）
* 1917年：高登，英國特許會計師和企業家（2007年逝世）
* 1935年：榮·保羅，美國醫師、眾議員、共和黨籍總統候選人
* 1936年：白川英樹，日本化學家，2000年諾貝爾化學獎得主
* 1937年：安德烈·康查洛夫斯基，俄羅斯電影導演、編劇、製片人
* 1939年：費爾南多·波因，菲律賓影帝，曾參選2004年菲律賓總統選舉（2004年逝世）
* 1941年：斯洛博丹·米洛舍維奇，南斯拉夫總統，聯合國戰犯（2006年逝世）
* 1941年：黃主文，臺灣政治人物
* 1942年：艾薩克·海耶斯，美國作曲家、音樂家、歌手、演員、《南方公園》角色大廚配音（2008年逝世）
* 1943年：西爾維斯特·麥考伊，蘇格蘭喜劇演員、街頭藝術家
* 1944年：拉吉夫·甘地，印度總理（1991年逝世）
* 1946年：宗毓華，美國新聞記者，第一位擔任美國主流電視網晚間新聞主播的亞裔美國人
* 1946年：羅伯特·普蘭特，英國搖滾歌手、音樂創作人，前齊柏林飛船主唱
* 1951年：穆罕默德·穆爾西，埃及工程師、大學教授、政治家及阿拉伯埃及共和國第5任總統（2019年逝世）
* 1953年：鳳飛飛，臺灣歌手（2012年逝世）
* 1955年：陳美齡，香港旅日歌手、演員、作家，日本聯合國國際兒童緊急基金協會大使
* 1955年：陳乙東，香港人物
* 1957年：西蒙·唐納森，英國數學家
* 1958年：瓊·愛倫，美國女演員
* 1961年：格雷格·伊根，澳大利亞科幻小說作家、業餘數學家
* 1963年：林慧萍，臺灣女歌手
* 1963年：卓惠珠，臺灣輕度自閉癥特教講師
* 1965年：金成陽三郎，日本漫畫原作者
* 1966年：劉純燕，中國央視少兒節目主持人“金龜子”
* 1966年：恩里科·萊塔，意大利前總理
* 1968年：白鳥由里，日本動畫聲優
* 1968年：白巖松，中國記者及主持人
* 1969年：張協進，臺灣棒球選手
* 1970年：約翰·卡馬克，美國程序員、企業家
* 1971年：關繼威，美國電影演員、特技演員
* 1973年：小馬，臺灣藝人，前偶像團體咻比嘟嘩成員
* 1973年：陶德·希爾頓，美國職業棒球大聯盟球員
* 1974年：陳波，中國退役足球運動員
* 1974年：艾美·亞當斯，美國演員
* 1974年：米夏·柯林斯，美國男演員、製片人
* 1977年：羨宜芳，華裔法國籍乒乓球運動員
* 1979年：諸葛紫岐，香港女性模特兒
* 1979年：傑米·卡倫，英國歌手
* 1979年：河東勳，韓國藝人
* 1980年：鄭智，中國足球運動員
* 1981年：班·巴恩斯，英國男演員
* 1982年：喬舒亞·肯尼迪，澳洲足球運動員
* 1983年：尤里·日爾科夫，俄羅斯足球運動員
* 1983年：安德魯·加菲爾德，英國電影、舞臺劇演員
* 1983年：陳西貝，中國歌手、演員
* 1984年：劉健，中國足球運動員
* 1984年：森山未來，日本演員
* 1985年：羅錦龍，臺灣棒球選手
* 1985年：鄭濤，中國足球運動員
* 1985年：艾華路·尼格度，西班牙足球員
* 1986年：勝地涼，日本演員
* 1988年：鍵本輝，日本舞蹈團體Lead成員
* 1988年：杰里德·貝勒斯，美國職業籃球運動員
* 1989年：顧超，中國足球運動員
* 1989年：孫平海，中國足球運動員
* 1990年：拉諾米·克羅莫維焦約，荷蘭女子游泳運動員
* 1992年：黛咪·洛瓦特，美國演員、歌手、作詞人
* 1992年：白石麻衣，日本女子偶像團體乃木坂46前成員
* 1993年：秋元真夏，日本女子偶像團體乃木坂46成員兼第二任隊長
* 1994年：李佳恩，韓國女子偶像團體After School成員
* 2001年：Asahi，韓國男子偶像團體TREASURE成員
* 984年：若望十四世，羅馬主教（出生日期不詳）
* 1528年：格奧爾格·馮·弗倫茲貝格，神圣羅馬帝國軍事家（1473年出生）
* 1672年：約翰·德·維特，荷蘭數學家及政治家（1625年出生）
* 1823年：庇護七世，羅馬主教（1740年出生）
* 1854年：弗里德里希·謝林，德國哲學家（1775年出生）
* 1864年：來島又兵衛，日本江戶時代長州藩的武士，禁門之變中戰敗後自殺（1817年出生）
* 1864年：久坂玄瑞，日本江戶時代長州藩的武士，禁門之變中戰敗後自殺（1840年出生）
* 1904年：勒內·瓦爾德克-盧梭，法國政治家（1846年出生）
* 1914年：庇護十世，羅馬主教（1835年出生）
* 1915年：保羅·埃爾利希，德國細菌學家及免疫學家（1854年出生）
* 1925年：廖仲愷，中國國民黨左派首領（1877年出生）
* 1945年：本-{莊}-繁，日本關東軍總司令（1876年出生）
* 1961年：珀西·布里奇曼，美國物理學家（1882年出生）
* 1968年：喬治·伽莫夫，美籍俄裔天文學家及物理學家（1904年出生）
* 2001年：-{zh-cn:弗雷德·霍伊爾; zh-tw:佛萊德·霍伊爾}-，英國天體物理學家（1915年出生）
* 2005年：蔣徐乃錦，蔣經國長子蔣孝文之妻，革命先烈徐錫麟之孫女（1938年出生）
* 2006年：喬·羅森塔爾，第二次世界大戰的著名攝影師，1945年普立茲獎得主（1911年出生）
* 2008年：趙耀東，中華民國第十五任經濟部長，中國鋼鐵股份有限公司創辦人之一（1916年出生）
* 2008年：華國鋒，中國共產黨和中華人民共和國前領導人（1921年出生）
* 2012年：山本美香，日本記者（1967年出生）
* 2013年：丁天缺，中國畫家，中國介紹畢加索第一人（1916年出生）
* 2017年：傑利·路易斯，美國喜劇演員（1926年出生）。
芥子毒氣，亦簡稱為芥子氣，學名二氯二乙硫醚，是一種重要的糜爛性毒劑，因味道與芥末相似而得名。
芥子氣主要通過皮膚或呼吸道侵入肌體，潛伏期2—12小時。它直接損傷組織細胞，對皮膚、黏膜具有糜爛刺激作用：皮膚燒傷，出現紅腫、水泡、潰爛；呼吸道黏膜發炎壞死，出現劇烈咳嗽和濃痰，甚至阻礙呼吸；眼睛出現結膜炎，導致紅腫甚至失明；對造血器官也有損傷；多半有繼發感染。攝入芥子氣會引起嘔吐和腹瀉。世界衛生組織界定為一級致癌物。正常氣候條件下，僅0.2mg·m-3的濃度就可使人受到毒害，死亡率約1%。
由于其可以經皮膚入侵人體，只使用防毒面具不足以應付芥子氣的威脅，唯有穿著全套防毒衣或乘搭有核生化防護的載具，才可以安全通過受污染地區。在戰史上使用量、普遍性和殺傷最大，故被稱作“毒劑之王”。
芥子氣的含氮類似物稱為氮芥，毒性比芥子氣弱，被作為腫瘤化療藥物使用。
1822年，比利時化學家德斯普雷茲（César-Mansuète Despretz）發現芥子氣。1886年，德國化學家維克托·梅耶首次人工合成純凈的芥子氣；他發明的合成方法至今仍是芥子氣最重要的合成方法之一。
在第一次世界大戰中，德軍首先在比利時的伊普爾地區對英法聯軍使用芥子氣，并引起交戰各方仿效，當時稱芥子氣為「Yperite」；當時身為德國巴伐利亞步兵班長的希特勒曾被英軍的芥子氣炮彈毒傷，眼睛暫時失明。據統計，在第一次世界大戰中共有1,2000噸芥子氣被用於戰爭用途；因毒氣傷亡的人數達到130萬人，其中88.9%是因芥子氣中毒。
在第二次世界大戰中，日軍曾在中國東北地區秘密駐有負責毒氣研究和試驗的七三一部隊；并在中日戰爭初期的淞滬會戰、徐州會戰、衡陽戰役等大規模戰役中使用過大量芥子氣，造成中國軍民大量傷亡。兩伊戰爭中，伊拉克也使用過芥子氣對付伊朗軍隊。
芥子氣的凝固點高，當氣溫低于凝固點時純品會形成針狀結晶，所以一般不在氣溫低的情況（如冬季）下使用，或加入四氯化碳/二氯乙烷/路易氏氣形成低凝固點的混合物；比重大、溶解度小，在水中大都沉于水底，少部分呈油狀薄膜漂浮水面，可造成水源長期染毒；蒸氣壓低而難揮發，但能穿透橡膠製品。
+ 物理特性
無色或微黃色油狀液體；工業品為淡黃色/黃色油狀液體，含雜質越多，貯存時間越長、顏色越深，有深至深褐色的。揮發性中等，難溶于水，易溶于乙醇等有機溶劑。
純品有不易察覺、略帶甜味的大蒜氣味，工業品有較濃的大蒜氣味或芥末氣味。空氣中可憑嗅覺察覺到的最低濃度為0.7ug/L。
14.43℃
217℃（常壓；分解）
比重（20℃）
揮發度（20℃）
0.57&nbsp;mg/L
溶解度（20℃）
0.081％
夏天：空曠地5到24小時、森林三到五天冬天：三天到數周
能滲透皮膚、布、皮革、橡皮等物質
芥子氣可以被濃硝酸氧化為β,β'-二氯乙基亞砜，被三氧化鉻-乙酸氧化為β,β'-二氯乙基砜。
Depretz利用乾燥的乙烯處理二氯化硫製備芥子氣:
: SCl2 + 2 C2H4 → (ClCH2CH2)2S
Levinstein法則以一氯化硫為底物:
: 8 S2Cl2 + 16 C2H4 → 8 (ClCH2CH2)2S + S8
以上反應都要求和緩的加料速度，成品純度在66%~70%間，且含有膠狀硫，久置則析出。多用於工業規模的生產。
Meyer法用三氯化磷作氯化劑，通過硫二甘醇的氯代獲得芥子氣。硫二甘醇可由2-氯乙醇和硫化鈉作用製得：
: 3 (HOCH2CH2)2S + 2 PCl3 → 3 (ClCH2CH2)2S + 2 P(OH)3
1912年，Clarke以濃鹽酸替代Meyer法所用的三氯化磷，進一步降低了生產成本：
: (HOCH2CH2)2S + 2 HCl → (ClCH2CH2)2S + 2 H2O
此外，氯化亞砜、光氣均可用作硫二甘醇的氯化劑。後者可以製得純度很高的芥子氣。
硫原子的親核性產生鄰基參與作用，使得氯格外容易離去，形成強親電試劑锍離子。后者受DNA的鳥嘌呤堿基進攻，形成交聯DNA，干擾基因復制與表達，從而誘發，產生組織壞死、水腫乃至癌變。
在染毒12小時內用30％濃度的硫代硫酸鈉（大蘇打）溶液處理染毒部位皮膚可以有效減輕痛苦。臨床上常用注射谷胱甘肽配合口服維生素E來治理芥子氣中毒。芥子氣可溶於鹼性液，所以殘毒可以用石灰水消毒。
魔方的所有可能重新排列形成一個群，叫做魔方群。
在數學中，群（group）是由一種集合以及一個二元運算所組成的代數結構，並且符合“群公理”。群公理包含下述四個性質，分別是封閉性、結合律、單位元和對于集合中所有元素存在逆元素。
很多熟知的數學結構比如數系統都遵從群公理，例如整數配備上加法運算就形成一個群。如果將群公理的公式從具體的群和其運算中抽象出來，就使得人們可以用靈活的方式來處理起源于抽象代數或其他許多數學分支的實體，而同時保留對象的本質結構性質。
群在數學內外各個領域中是無處不在的，這使得它們成為當代數學的中心原理。
群與對稱性有密切的聯系。例如，對稱群描述了幾何體的對稱性：它是保持物體不變的變換的集合。李群應用于粒子物理的標準模型之中；龐加萊群也是李群，能表達狹義相對論中的對稱性；點群能幫助理解分子化學中的對稱現象。
群的概念產生自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽羅瓦在19世紀30年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何學的貢獻之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，有自己獨特的研究方法。為了研究群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和單群。除了它們的抽象性質，群論還研究表示群的各種具體方式（群表示論和計算群論）。對有限群已經發展出了特別豐富的理論，這在2004年完成的有限簡單群分類中達到頂峰。從1980年代中葉以來，將有限生成群作為幾何對象來研究的幾何群論，成為了群論中一個特別活躍的分支。
群是由集合''G''和二元運算"·"構成的，符合以下四個性質（稱“群公理”）的數學結構。其中，二元運算結合任何兩個元素''a''和''b''而形成另一個元素，記為，符號"·"是具體的運算，比如整數加法。
群公理所述的四個性質為：
對于所有''G''中''a'', ''b''，運算''a''·''b''的結果也在''G''中。
對于所有''G''中的''a'', ''b''和''c''，等式 (''a''·''b'')·''c'' = ''a''· (''b''·''c'')成立。
存在''G''中的一個元素''e''，使得對于所有''G''中的元素''a''，總有等式''e''·''a'' = ''a''·''e'' = ''a''成立。
對于每個''G''中的''a''，存在''G''中的一個元素''b''使得總有''a''·''b'' = ''b''·''a'' = ''e''，此處''e''為單位元。
群運算的次序很重要，把元素''a''與元素''b''結合，所得到的結果不一定與把元素''b''與元素''a''結合相同；亦即，（交換律）不一定恒成立。滿足交換律的群稱為交換群（阿貝爾群，以尼爾斯·阿貝爾命名），不滿足交換律的群稱為非交換群（非阿貝爾群）。
整數加法群中，對于任何兩個整數都有''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''（加法的交換律）成立，因此，整數加法群是交換群。但是對稱群中交換律并不總是成立，所以一般的對稱群不是交換群。
群G的單位元經常記做1或，這個記號來自乘法單位元。對于阿貝爾群，可以把群運算記做+，單位元記做0；這種情況下群稱為加法群。單位元也可記做id。
群也常常簡記為。可以根據上下文來判斷一個符號指的是集合還是群。
* 考慮一個非空集合，則為一個群，若且唯若，對所有，若有，則為一個群。
設為一個群，若裡面存在元素，使得，則稱G關於運算"*"為一個循環群。
最常見的群之一是整數集和整數的加法所構成的群。它由以下數列組成：
:..., ?4, ?3, ?2, ?1, 0, 1, 2, 3, 4,&nbsp;...
下面將整數的加法的性質與四個群公理做對比，可以看出，整數集和整數的加法是可以構成群的。
#對于任何兩個整數''a''和''b''，它們的和''a'' + ''b''也是整數。換句話說，在任何時候，把兩個整數相加都能得出整數的結果。這個性質叫做在加法下封閉。
#對于任何整數''a'', ''b''和''c''，(''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' +（''b'' + ''c''）。用話語來表達，先把''a''加到''b''，然后把它們的和加到''c''，所得到的結果與把''a''加到''b''與''c''的和是相等的。這個性質叫做結合律。
#如果''a''是任何整數，那么0 + ''a'' = ''a'' + 0 = ''a''。零叫做加法的單位元，因為把它加到任何整數都得到相同的整數。
#對于任何整數''a''，存在另一個整數''b''使得''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' = 0。整數''b''叫做整數''a''的逆元，記為?''a''。
正方形的對稱操作（比如旋轉和反射）形成了一個群，叫做二面體群，并記為D4。二面體群中有下列8個對稱：
140px id (保持原樣)
140px r1 (向右旋轉90°)
140px r2 (向右旋轉180°)
140px r3（向右旋轉270°）
140px fv (垂直翻轉)
140px fh (水平翻轉)
140px fd (對角翻轉)
140px fc（反對角翻轉）
正方形對稱群（D4）的元素。對頂點進行著色和編號只是把這些運算形象化。
:*恒等運算保持所有東西不變，記為；
:*把正方形向右（順時針）旋轉90°、180°和270°，分別記為，和。
:*關于垂直和水平中線的反射記為和，關于兩個對角線的反射記為和。
任何兩個對稱和都可以複合，即進行一個之后再進行另一個。先進行'然后進行'在符號上“從右到左”寫為
:（“進行對稱操作''a''之后再進行對稱操作''b''”。從右到左的記號來源于函數複合）。
右面的群表列出了這種複合的所有可能結果。例如，右旋270°然后水平翻轉，等于進行一個沿對角線的反射，如群表中藍色突出的單元格所示。使用上述符號可以記為：
+ D4的群表
元素id、r1、r2和r3形成一個子群，用紅色突出。這個子群的左和右陪集分別用綠色和黃色突出。
給定這個對稱的集合和描述的運算，群公理可以理解如下：
* 閉合公理要求任何兩個對稱''a''和''b''的複合''b''·''a''仍是對稱。另一個群運算的例子是
:r3·fh = fc
就是說在水平翻轉后右旋270°等于沿反對角線翻轉（fc）。確實，兩個對稱的所有其他組合仍得出一個對稱，這可以使用群表來檢查。
* 結合律的限制處理多於兩個對稱的複合：給定D4的三個元素''a''、''b''和''c''，有兩種方式計算“''a''接著''b''接著''c''”。
:(''a''·''b'')·''c'' = ''a''· (''b''·''c'')
的要求，意味著三個元素的複合與先進行哪個運算是無關的。
例如， (fd·fv)·r2 = fd· (fv·r2)可以使用右側的群表來檢查
(fd·fv)·r2
&nbsp;=&nbsp;
fd· (fv·r2)
* 單位元是保持所有東西不變的對稱id：對于任何對稱''a''，進行''a''然后進行id（或進行id然后進行''a''）等于''a''，用符號表示為
:id·''a'' = ''a''
:''a''·id = ''a''
* 逆元素撤銷某個其他元素的變換。所有對稱都是可以撤銷的：恒等id，翻轉fh、fv、fd、fc和180°旋轉r2這些變換都是自身的逆元，因為把它們進行兩次就把正方形變回了最初的樣子。旋轉r3和r1相互是逆元，因為按一個方向旋轉再按另一個方向旋轉相同角度保持正方形不變。用符號表示為
:fh·fh = id
:r3·r1 = r1·r3 = id
與上述的整數群不同的是，在整數群中運算次序是無關緊要的，而在D4中則是重要的：fh·r1 = fc然而r1·fh = fd。換句話說，D4不是阿貝爾群，這使得這個群的結構比上面介紹的整數群要更加復雜。
抽象群的現代概念是從多個數學領域發展出來的。群論的最初動機是為了求解高於4次的多項式方程。十九世紀法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦，擴展了保羅·魯菲尼和約瑟夫·拉格朗日先前的工作，依據特定多項式方程的根（解）的對稱群給出了對它的可解性的判別準則。這個伽羅瓦群的元素對應於根的特定置換。伽羅瓦的想法最初被同代人所拒絕，只在死后才出版。更一般的置換群由奧古斯丁·路易·柯西專門研究。阿瑟·凱萊的《On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1》（1854年）給出有限群的第一個抽象定義。
幾何是第二個系統性的使用群，特別是對稱群的領域。這類群是菲利克斯·克萊因1872年的愛爾蘭根綱領的一部分。在新型的幾何如雙曲幾何和射影幾何形成之后，克萊因利用群論以更連貫的方式來組織它們。索菲斯·李進一步發展了這些想法，在1884年創立了李群的研究。
對群論有貢獻的第三個領域是數論。一些阿貝爾群結構在卡爾·弗里德里希·高斯的數論著作《算術研究》（1798年）中被隱含地用到，并被利奧波德·克羅內克更明顯地用到。 1847年，恩斯特·庫默爾發展了描述用素數做因數分解的理想類群，使證明費馬大定理的早期嘗試達到了高潮。
把上述各種來源融合成一個群的統一理論是從卡米爾·若爾當的《Traité des substitutions et des équations algébriques》（1870年）開始的。 瓦爾特·馮·迪克（1882年）給出了第一個抽象群的現代定義的陳述。在二十世紀，群在費迪南德·格奧爾格·弗羅貝尼烏斯和威廉·伯恩賽德的開拓性著作中獲得了廣泛的認識，他們研究有限群的表示理論，還有理查德·布勞爾的模表示論和Issai Schur的論文。 赫爾曼·韋伊、埃利·嘉當和很多其他人推進了李群和更一般的局部緊群的理論。它的代數對應者——代數群的理論，由克勞德·舍瓦萊（從1930年代晚期開始）和后來阿爾曼德·波萊爾和雅克·蒂茨的重要著作奠基。
芝加哥大學于1960-61年舉辦的“群論年”活動促使群論家們以丹尼爾·格倫斯坦，約翰·格里格斯·湯普森和瓦爾特·法伊特為基礎展開合作。在大量其他數學家的幫助下，他們完成了有限單群的分類。這項工程，不論是從證明長度來說還是從參與人數來說，其浩大程度超越了之前一切的數學成果。簡化此證明的研究還在進行中。群論在當下仍是一個活躍的數學分支，并仍在對其他分支產生重大影響。
可以從群公理直接獲得的關于所有群的基本事實，通常包含在初等群論中。例如，重復應用結合律公理，可以證明以下等式
:''a''·''b''·''c'' = (''a''·''b'')·''c'' = ''a''·（''b''·''c''）
可以推廣到多於三個因子。因為這意味著括號可以插入到一序列的項的任何地方，所以通常省略括號。
公理可以弱化為只宣稱左單位元和左逆元的存在性。二者可以被證明實際上是雙側的，所以得出的定義與上面給出的等價。
群公理的兩個重要結果是單位元和逆元的唯一性。在群中只能有一個單位元，而群中的每個元素都正好有一個逆元素。
要證明''a''的逆元素的唯一性，假設''a''有兩個逆元，記為''l''和''r''。則
''l''·''e''
由于''e''是單位元
''l''· (''a''·''r'')
因為''r''是''a''的逆元，所以''e'' = ''a''·''r''
(''l''·''a'')·''r''
根據結合律，它允許重新安排括號
''e''·''r''
由于''l''是''a''的逆元，就是說''l''·''a'' = ''e''
因此''l''和''r''被一系列等式連接了起來，所以它們是相等的。換句話說''a''只有一個逆元。
在群中，可以進行除法：給定群''G''的元素''a''和''b''，''G''中存在方程''x''·''a'' = ''b''的唯一解''x''。實際上，把方程右乘以''a''?1給出解''x'' = ''x''·''a''·''a''?1 = ''b''·''a''?1。類似地，''G''中存在方程''a''·''y'' = ''b''的唯一解''y''，也就是''y'' = ''a''?1·''b''。一般地說，''x''和''y''不一定相等。
這一結果的一個推論是“乘以某個群中的元素''g''”是一個雙射。特別地，如果''g''是群''G''的一個元素，則有''G''到自身的雙射，（稱為由''g''引起的左平移）它將映射為。類似地，由''g''引起的右平移是一個''G''到自身的雙射，它將映射為。如果''G''是阿貝爾群，由同一個元素引起的左平移和右平移是相同的。
:下列章節使用了數學符號如''X'' = { ''x'', ''y'', ''z'' }來表示集合''X''包含元素''x''、''y''和''z''，或來表示''x''是''X''的一個元素。記法意味著''f''是對''X''的所有元素指定''Y''的一個元素的函數。
要超越上述純粹符號操作水平去理解群，必須采用更加結構性的概念。有一個概念性原理位于所有下列概念的底層：要發揮群提供的結構（而無結構的集合就沒有）的優勢，與群有關的構造必須與群運算''兼容''。下列概念中以各種方式表現了這種兼容性。例如，群可以通過叫做群同態的函數相互關聯。根據上述這個原理，要求它們以精確的意義照顧到群結構。群的結構還可以通過把它們分解成子群和商群來理解。“保持結構”的原理是在數學中反復出現的一個主題，它是靠范疇來工作的一個實例，在這裡的情況下靠群范疇。
群同態是保持群結構的函數。兩個群之間的函數''a'': ''G'' → ''H''是同態，如果等式
:''a''(''g''·''k'') = ''a''(''g'')·''a''(''k'')
對于所有''G''中的元素''g''、''k''都成立，就是說在進行映射''a''之后還是之前進行群運算所得到的結果是一樣的。這個要求保證了''a''(e''G'') = e''H''，以及對于''G''中的所有''g''，都有''a''(''g'')?1 = ''a''(''g''?1)。因此群同態保持了群公理提供的''G''的所有結構。
兩個群''G''和''H''被稱為同構的，如果存在群同態''a'': ''G'' → ''H''和''b'': ''H'' → ''G''，使得先后（以兩種可能的次序中每個次序）應用兩個函數分別等于''G''和''H''的恒等函數。就是說，對于任何''G''中的''g''和''H''中''h''，有''a''(''b''(''h'')) = ''h''和''b''(''a''(''g'')) = ''g''。從抽象的觀點來看，同構的群攜帶了相同的信息。例如，證明對於''G''的某個元素''g''有''g''·''g'' = e''G''，等價於證明''a''(''g'')·''a''(''g'') = e''H''，因為應用''a''於第一個等式得到第二個，而應用''b''於第二個得到第一個。
非正式的說，子群是包含在更大的群''G''內的一個群''H''。具體的說，''G''的單位元包含在''H''中，并且只要''h''1和''h''2在''H''中，則和''h''1?1也在其中，所以''H''的元素對于限制於''H''的''G''上的群運算確實形成了一個群。
在上面例子中，單位元和旋轉構成了一個子群''R'' = {id, r1, r2, r3}，在上面的群表中突出為紅色：任何兩個復合的旋轉仍是一個旋轉，并且旋轉可以被相反方向上的旋轉（它的逆元）所抵消。子群檢驗法是群''G''的子集''H''是子群的充分必要條件：對于所有元素''g'', ''h'' ∈ ''H''，只需檢查。了解子群族對于作為一個整體來理解群是重要的。
給定群''G''的任何子集''S''，由''S''所生成的子群是由''S''的元素和它們的逆元的乘積組成。它是包含''S''的''G''的最小子群。在上面介紹例子中，r2和fv所生成的子群由這兩個元素本身、單位元id和fh = fv·r2構成。這還是個群，因為結合這四個元素或它們的逆元（在這個特殊情況下，是這些相同的元素）中任何兩個仍得到這個子群中的元素。
在很多情況下，需要認為兩個群元素是等同的，如果它們只差一個給定子群中的元素。例如，在上述D4中，一旦進行了翻轉，只進行旋轉運算（不再進行翻轉）正方形就永遠不能回到r2的構型，就是說旋轉運算對于是否已經進行了翻轉的問題是無關緊要的。陪集可用來把這種現象形式化：子群''H''定義了左陪集和右陪集，它們可以認為是把''H''平移了一個任意群元素''g''。用符號表示，''H''的包含''g''的左和右陪集分別是
:''gH'' = {''gh'', }和''Hg'' = {''hg'', }。
任何子群''H''的陪集形成了''G''的一個劃分；就是說所有左陪集的并集與''G''相等，而且兩個陪集要么相等，要么有空的交集。第一種情況''g''1''H'' = ''g''2''H''出現當且僅當，就是說如果這兩個元素差異了''H''的一個元素。類似的考慮也適用於''H''的右陪集。''H''的左和右陪集可以相等也可以不相等。如果它們相等，就是說對于所有''G''中的''g''有''gH''&nbsp;=&nbsp;''Hg''，則''H''被稱為正規子群。
在前面介紹的對稱群D4中，由旋轉構成的子群''R''的左陪集''gR''要么等于''R''，如果''g''是''R''自身的一個元素；要么等于''U'' = fv''R'' = {fv, fd, fh, fc}（用綠色突出）。子群''R''還是正規的，因為fv''R'' = ''U'' = ''R''fv且對于任何fv以外的元素也是類似的。
有時在由陪集形成的集合上可以賦予一個滿足群公理的運算而使之成為''商群''或''因子群''。這僅在子群是正規的時候才可行。給定任何正規子群''N''，商群定義為
:''G'' / ''N'' = {''gN'', }，“ 模 ”
這個集合從最初的群''G'' 繼承了一個群運算（有時叫做陪集乘法或陪集加法）：對于所有''G'' 中的''g'' 和''h''，(''gN'')· (''hN'') =（''gh''）''N''。這個定義是由關聯任何元素''g''到它的陪集 ''gN'' 的映射是群同態的想法（自身是上面提出的一般結構性考慮的一個實例）所激發的，或者是叫做泛性質的一般抽象考慮。陪集''eN '' = ''N''充當了這個群的單位元，在商群中''gN'' 的逆元是(''gN'')?1 =（''g''?1）''N''。
商群的群表。
商群的元素是代表單位元的''R'' 自身和''U'' = fv''R''。商群上的群運算如右側所示。例如，''U''·''U'' = fv''R''·fv''R'' =（fv·fv）''R'' = ''R''。子群''R'' = {id, r1, r2, r3}和對應的商群都是阿貝爾群，而D4不是阿貝爾群。通過較小的群構造較大的群，例如從子群''R'' 和商群構造D4，被抽象為叫做半直積的概念。
商群和子群一起形成了用它的展示描述所有群的一種方法：任何群都是這個群的生成元上的自由群模以“關係”子群得到的商群。例如，二面體群D4可以由兩個元素 ''r'' 和 ''f'' 生成（比如''r''&nbsp;=&nbsp;r1右旋，和 ''f''&nbsp;=&nbsp;fv 垂直）或任何其他）翻轉），這意味著正方形的所有對稱都是這兩個對稱或它們的逆元的有限復合。與關係在一起
:''r ''4&nbsp;=&nbsp;''f ''2&nbsp;=&nbsp;(''rf'' )2&nbsp;=&nbsp;1,
這個群就完全描述出來了。群的展示還可以被用來構造凱萊圖，它是一種利用圖形來輔助理解離散群的工具。
子群和商群以下列方式相互關聯：''G'' 的子集''H'' 可以被看作單射，就是說任何目標元素都有最多一個映射到它的元素。單射的對立是滿射（所有目標的元素都被映射到了），比如規范映射。通過這些同態理解子群和商群強調了這些定義中內在的結構性概念。一般的說，同態既不是單射也不是滿射。群同態的核與像和第一同構定理研究這個現象。
如果同一個群中的兩個元素''p'' 和''q ''滿足關係：''p = x?1qx''，其中''x'' 也是同一個群中的元素，則稱元素''p'' 和''q'' 共軛。共軛關系是一個等價關系，即它滿足三個性質：共軛是自反的、對稱的和傳遞的。
在群中可以找到一個集合，這個集合中每一個元素都相互共軛，而在這個集合以外群的其他部分已經沒有任何元素與他們具有共軛關係了。稱這種集合為群中的一個共軛類。同一個群的兩個類之間一定沒有共同的元素。群中一個元素一定屬於且僅屬於一個類。如果群中沒有元素與該元素共軛，則該元素自成一類。
群的例子和應用大量存在。起點是上面介紹過的整數的群 Z 帶有加法作為群運算。如果把加法替代為乘法，就得到了乘法群。這些群是抽象代數中重要概念的前身。
群應用於很多數學領域中。數學對象的性質經常是通過將群關聯與數學對象關聯，并研究相應的群的性質來研究的。例如，儒勒·昂利·龐加萊通過引入基本群創立了現在所謂的代數拓撲。通過這種連接方式，拓撲性質比如臨近和連續轉換成了群的性質。例如，右側的圖像描繪了平面減去一個點的基本群的元素。這個群的元素給出為在這個區域內的環路。藍色環路被認為是零同倫（因此是無關緊要的），因為它可以收縮為一個點。圓孔的存在防止了橙色環路被收縮。橙色環路（或任何環繞這個圓孔一次的其他環路）所生成的，去掉了一個點的平面的基本群是無限循環群。基本群以這種方式探測到了這個圓孔。
在更新近的應用中，影響已經被倒轉過來，由群論背景來激發幾何結構了。在類似的脈絡下，幾何群論采用了幾何概念，比如在雙曲群的研究中。其他一些大量應用群論的數學分支包括代數幾何和數論。例如，典型群和Picard群在代數幾何上有重要應用；參見
除了上述理論應用之外，還存在很多群的實踐應用。密碼學依賴於抽象群論方式和從計算群論中特別是實現于有限群上的時候所得到的算法知識的結合。群論的應用不限於數學；科學如物理、化學和計算機科學都受益於這個概念。
很多數系統，比如整數和有理數享有自然給予的群結構。在某些情況下比如對于有理數，加法和乘法運算二者都引發群結構。這種系統是叫做環和-{zh-cn:域; zh-tw:體;}-的更一般的代數結構的前身。
整數Z在加法下的群記為（Z, +），它在上面已經描述了。整數帶有用乘法替代加法的運算，(Z,&nbsp;·)不形成群。閉合、結合律和單位元公理滿足，但逆元不存在：例如，''a'' = 2是整數，但方程''a·b'' = 1的唯一解在這種情況下是''b'' = 1/2，它是有理數而非整數。因此不是所有Z的元素都有（乘法）逆元。
對乘法逆元存在的要求建議了考慮分式
整數的分式（要求''b''非零）叫做有理數。所有這種分數的集合通常記為Q。對于有理數帶有乘法成為群仍有一個小障礙：因為有理數0沒有乘法逆元（就是說沒有''x''使得''x''·0 = 1），(Q,&nbsp;·)仍然不是群。
但是，所有非零有理數的集合Q\{0} = {''q'' ∈ Q, ''q'' ≠ 0}形成一個在乘法下的阿貝爾群，記為。結合律和單位元公理從整數的性質中得出。閉合要求在去掉零之后仍成立，因為任何兩個非零有理數的乘積永遠不是零。最后，''a''/''b''的逆元是''b''/''a''，所以逆元公理也滿足。
有理數（包括0）在加法下也形成群。同時帶有加法和乘法運算產生更復雜的結構叫做環—如果同時除法總是可能的話（如在Q中）就是域，它在抽象代數中占據中心位置。群論理論因此位于這些實體的理論的底層部分。
對于任何素數''p''，模算術提供了整數模以''p''的乘法群。群的元素是不能被''p''整除的整數模''p''的同余類，就是說兩個數被認為是等價的如果它們的差被''p''整除。例如，如果''p'' = 5，則精確地有四個群元素1, 2, 3, 4:排除了5的倍數而6和?4都等價于1。群運算給出為乘法。因此4·4 = 1，因為通常意義下的乘積16等價於1,而5整除16 ? 1 = 15。以上事實記為
:16 ≡ 1（mod 5）。
''p''的首要作用是確保了兩個都不被''p''整除的整數的乘積也不被''p''整除，因此指示的同馀類的集合在乘法下閉合。單位元如平常的乘法群一樣是1，而結合律可以從整數的相應性質得出。最后，逆元公理要求給定不整除于''p''的整數''a''，存在一個整數''b''使得
:''a''&nbsp;·&nbsp;''b''&nbsp;≡&nbsp;1（mod ''p''），就是說''p''整除的差。
逆元''b''可以使用貝祖等式和最大公約數等于1的事實找到。在上述''p'' = 5的情況下，4的逆元是4，3的逆元是2，因為3·2 = 6 ≡ 1 (mod 5)。所有的群公理都滿足。實際上，這個例子類似于上述（Q\{0},·），因為它是在有限域F''p''中非零元素的乘法群，記為F''p''×。這些群對于公開密鑰加密是至關重要的。
單位一的六次複數根形成一個循環群。''z''是本原元而''z''2不是，因為''z''的奇數冪不是''z''2的冪。
''循環群''是其所有元素都是特定元素''a''的冪的群（在群運算被寫為加法的時候使用術語倍數）。在乘法符號下，群的元素是：
:..., ''a''?3, ''a''?2, ''a''?1, ''a''0 = ''e'', ''a'', ''a''2, ''a''3, ...,
這裡的''a''2意味著''a''·''a''，而''a?3''表示''a''?1·''a''?1·''a''?1=(''a''·''a''·''a'')?1等等。這個元素''a''叫做這個群的生成元或本原元。
這類群的典型例子是單位一的''n''次複數根，由滿足''z'n'' = 1的複數''z''給出，其運算為乘法。任何有''n''個元素的循環群同構於這個群。使用某些域論，群F''p''×可以被證明為是循環群：對于''p'' = 5, 3是生成元因為31 = 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2,而34 ≡ 1。無限循環群同構於（Z, +），它是前面介紹的整數在加法下的群。因為這兩個原型都是阿貝爾群，所以任何循環群都是。
阿貝爾群包括有限生成阿貝爾群的基本定理的研究是非常成熟的；對這個事態的反映是很多有關群論的概念，比如中心和交換子，描述了一個給定群不是阿貝爾群的程度。
''對稱群''是由給定數學對象的對稱組成的群，對稱源于它們的幾何本性（比如前面介紹的正方形的對稱群）或源于代數本性（比如多項式方程和它們的解）。概念上說，群論可以被認為是對稱性的研究。 數學中的對稱性極大的簡化了幾何或分析對象的研究。群被稱為作用於另一個數學對象''X''上，如果所有群元素進行某個在''X''上的運算兼容於群定律。在下面最右側例子中，7階的（2,3,7）三角群的一個元素通過置換突出的彎曲的三角形作用在鑲嵌上（其他的元素也是）。通過群作用，群模式被連接到了所作用到的對象的結構上。
旋轉和翻轉形成一個大二十面體的對稱群。
在化學領域中，比如晶體學、空間群和點群描述分子對稱性和晶體對稱性。這些對稱性位于這些系統的化學和物理表現的底層，而群論使簡化對這些性質的量子力學分析成為可能。例如，群論被用來證實在特定量子級別間不出現光學躍遷簡單的因為涉及到了狀態的對稱性。
群不只對評定在分子中蘊含的對稱性有用，而且令人驚奇的它們還可以預測出分子的對稱性有時候可以改變。姜-泰勒效應是高對稱的分子的變形，此時，在通過分子的對稱運算相互關聯的一組可能基態中，該分子將采納一個特定的低對稱的基態。
同樣的，群論還可以幫助預測在物質經歷相變的時候出現的物理性質的變更，比如晶體形式從立方體變為四面體。一個例子是鐵電物質，這裡從順電到鐵電狀態的變更出現在居里溫度時，與從高對稱順電狀態到低對稱鐵電狀態的變更有關，并伴隨著所謂的軟聲子模式，它是在變化時轉到零頻率的振動晶格模式。
這種自發對稱性破缺在基本粒子物理中找到了進一步應用，這裡它的出現與戈德斯通玻色子的出現有關。
富勒烯展現了二十面體對稱。
氨NH3。它的對稱群是6階的，用120°旋轉和反射生成的。
立方烷C8H8刻畫了八面體對稱。
六水合銅（II）配合物銅|Cu(OH2)62+。相較于完美的對稱形狀，分子垂直膨脹大約22%（姜-泰勒效應）。
（2,3,7）三角群是雙曲群，它作用在這個雙曲面的鑲嵌上。
有限對稱群比如馬蒂厄群被用于編碼理論中，它又用于傳輸數據的糾錯和CD播放器中。另一個應用是微分伽羅瓦理論，它刻畫有已知形式的不定積分的函數，給出何時特定微分方程的解有良好表現的群論判定標準。在群作用下保持穩定的幾何性質在幾何不變量理論中研究。
兩個向量（左側展示），和它們乘以矩陣之后（中間和右側展示）。中間的表示了順時針旋轉90°，而右側的再按因子2伸縮了''x''坐標。
矩陣群由矩陣加上矩陣乘法一起構成。一般線性群''GL''(''n'', R)由所有可逆的''n''乘''n''的帶有實數元素的矩陣構成。它的子群被稱為矩陣群或線性群。上面提及的二面體群例子可以被看作（非常小的）矩陣群。另一個重要矩陣群是特殊正交群''SO''(''n'')。它描述了''n''維的所有可能旋轉。通過歐拉角，旋轉矩陣被用于計算機圖形學中。
表示理論是對群概念的應用并且對深入理解群是很重要的。它通過群作用於其他空間來研究群。一類廣泛的群表示是線性表示，就是說群作用在線性空間中，比如三維歐幾里得空間R3。''G''在''n''-維實向量空間上的表示簡單的是從群到一般線性群的群同態
:''ρ'': ''G'' → ''GL''(''n'', R)。
以這種方式，抽象給出的群運算被轉換成用明確的計算可觸及到的矩陣乘法。
給定一個群作用，這給出了研究所作用的對象的進一步方法。在另一方面，它還產生了關于群的信息。群表示是在有限群、李群、代數群和拓撲群特別是（局部）緊群理論中的起組織作用的原則。
''伽羅瓦群''是通過對求解多項式方程的過程中涉及到的對稱性的研究而被發展起來的。例如，二次方程''ax''2 + ''bx'' + ''c'' = 0的解給出為
對換表達式中的"+"和"?"，也就是置換方程的兩個解可以被看作（非常簡單的）群運算。類似的公式對於三次方程和四次方程也有，但是對於五次方程和更高次的方程就不普遍性的存在。與多項式相關聯的伽羅瓦群的抽象性質（特別是它們的可解性）給出了那些多項式的所有解都可用根式表達的判定標準，就是說這些解可以類似上面公式那樣只使用加法、乘法和方根來表達。
這個問題可以使用域論來處理：考慮一個多項式的分裂域就把問題轉移到了域論的領域中了。現代伽羅瓦理論把上述類型的伽羅瓦群推廣到了域擴張，并通過伽羅瓦理論基本定理建立了在-{zh-cn:域; zh-tw:體;}-和群之間的嚴格關聯，再次凸顯了群在數學中無所不在。
一個群被稱為有限群，如果它有有限個元素。元素的數目叫做群''G''的階。一類重要的有限群是n次對稱群''S'N''，它是''N''個字母的置換的群。例如，在3個字母上的n次對稱群''S''3是由三個字母''ABC''的所有可能置換構成的群，就是說它包含元素''ABC'', ''ACB'', ...,直到''CBA''，總共有6（或3的階乘）個元素。這類群是基礎性的，因為任何有限群都可以表達為''n''次對稱群''S'N''在適合的整數''N''下的子群（凱萊定理）。相似於上述正方形的對稱的群，''S''3還可以解釋為等邊三角形的對稱的群。
在群''G''中的一個元素''a''的階是最小的使得''an&nbsp;=&nbsp;e''的正整數''n''，這裡的  ''an''表示，就是應用運算·於''a''的''n''個復本上。（如果·代表乘法則''a'n''對應於''a''的''n''次冪）。在無限群中，這個''n''可能不存在，在這種情況下''a''的階被稱為無限的。一個元素的階等于這個元素生成的循環子群的階。
更復雜的計數技術例如計數陪集，產生關于有限群的更精確陳述：拉格朗日定理聲稱有限群''G''的任何有限子群''H''的階整除''G''的階。西羅定理證明了它的部分逆命題。
上面討論的二面體群是8階有限群。r1的階為4，這是它生成的子群''R''（見上）的階。反射元素fv等的階是2。如拉格朗日定理所述這兩個階都整除8。上面的群F''p''×有階。
數學家們常常為尋求一種數學對象的完備分類（或列表）而努力。在有限群的領域內，這個目標迅速引出了一系列困難而意義深遠的數學問題。根據拉格朗日定理，p階有限群（p為素數）必定是循環（阿貝爾）群Z''p''。''p''2階群也被證明是阿貝爾群。但這一命題并不能推廣到''p''3階群，如上面的非阿貝爾群——8階二面體群D4所示，其中8 = 23。可以利用計算機代數系統來給較小的群列表，但沒有對一切有限群的分類。一個中間步驟是有限單群分類。如果一個非平凡群僅有的正規子群是平凡群和它自身，那么這個群叫做一個單群或簡單群。若爾當-赫爾德定理說明單群可以作為建構有限群的“磚塊”。 有限單群列表是當代群論的一個主要成就。1998年的菲爾茲獎得主理查·伯切德斯成功地證明了所謂怪獸-胡言亂語猜想。該猜想指出了最大有限簡單散在群——“怪獸群”與一種來自經典復分析和弦理論（一種被認為統一了對許多物理學現象的描述的理論）的對象模函數之間的驚人而深刻的聯系。
很多群同時是群和其他數學結構的例子。用范疇論的語言來說，它們是在范疇中的群對象，這意味著它們是帶著模仿群公理的（叫做態射的）變換的對象（就是說其他數學結構的例子）。例如，所有群（如上面定義的）也是一個集合，所以群是在集合范疇中的群對象。
在複平面中的單位圓在複數乘法下是李群，所以是拓撲群。它是拓撲的因為複數乘法和除法是連續的。它是流形并因此是李群，因為所有小段比如在圖中的紅色圓弧，看起來像（顯示在底下的）實數線的一部分。
某些拓撲空間可以配備上群結構。為了讓群公理與拓撲交織良好，群運算必須是連續函數，就是說如果''g''和''h''只變化很小，那么和''g''?1必須變化不大。這種群叫做拓撲群，并且它們是在拓撲空間范疇內的群對象。最基本的例子是實數R在加法之下，任何其他拓撲-{zh-cn:域; zh-tw:體;}-比如複數或p進數也是類似。所有這些群都是局部緊拓撲群，所以它們有哈爾測度并可以通過調和分析來研究。前者提供了不變積分的抽象形式化。以實數情況為例，不變性意味著有：
對於任何常數''c''成立。在這些-{zh-cn:域; zh-tw:體;}-上的矩陣群也屬于這種結構下，賦值向量環和賦值向量代數群也是如此，它們對數論是基礎性的。無限域擴張的伽羅瓦群比如絕對伽羅瓦群也可以配備上拓撲，叫做Krull拓撲，它又是推廣上面概述的-{zh-cn:域; zh-tw:體;}-和群的連接到無限域擴張的中心概念。適應代數幾何需要的這個想法的高級推廣是étale基本群。
李群（為紀念索菲斯·李而命名）是具有流形結構的群，就是說它們是局部上看起來像某個適當維度的歐幾里得空間的空間。這裡，作為額外結構的流形結構也必須是兼容的，就是說對應於乘法和求逆的映射必須是光滑的。
標準例子是上面介紹的一般線性群：它是所有矩陣的空間的開子集，因為它由不等式
:det (''A'') ≠ 0，
給出。這裡的''A''指示矩陣。
李群在物理中是基礎性的：諾特定理把連續對稱與守恒定律關聯起來。在空間和時間中旋轉和平移不變性是力學定律的基本對稱。它們可以被用來構造簡單的模型——比如在一種狀況下實施軸對稱常常會導致在解用來提供物理描述的方程上的重大簡化。另一個例子是-{zh-hans:洛倫茲變換;zh-hant:勞侖茲變換;}-，它有關於兩個相互運動的觀察者的時間和速度的測量。它們可以用純群論方式推演，通過把變換表達為閔可夫斯基時空的旋轉對稱。在忽略萬有引力的情況下，后者充當了狹義相對論的時空模型。閔可夫斯基時空的完全對稱群，就是說包括了平移，叫做龐加萊群。通過上述聯系，它在狹義相對論中扮演了關鍵角色，并隱含地用于量子場論。 隨位置變化的對稱與規范場論一起構成現代物理對相互作用的描述的中心。
在抽象代數中，通過放松定義群的某個公理可定義出更多的一般結構。例如，如果省略所有元素都逆元的要求，結果的代數結構就叫做幺半群。自然數集N（包括0）在加法下形成了幺半群，還有非零整數在乘法下也是。有一種一般方法用來向任何（阿貝爾的）幺半群正式的增加元素的逆元，非常類似于從得出的方式，這叫做格羅滕迪克群。廣群非常類似于群，除了復合''a''&nbsp;·&nbsp;''b''不必須在所有的''a''和''b''上有定義之外。它們由更加復雜形式的對稱的研究所引發，常見于拓撲和分析結構比如基本廣群中。表格給出一些推廣群的結構。
*, Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
*, Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
*, an elementary introduction.
*《代數學引論》第二版ISBN 7-04-008893-2聶靈沼、丁石孫-{著}-，高等教育出版社出版
*  (Galois work was first published by Joseph Liouville in 1843).
* Group  at PlanetMath.
* The development of group theory  at ''The MacTutor History of Mathematics archive''.
中國是一個以漢族為主的多民族國家，漢族目前佔總人口的91%左右，其余為少數民族，以及極少數的歸化外國移民。據中華人民共和國國家統計局2020年1月17日發佈數據，中國大陸總人口突破14億人，為14億5萬人。根據中華人民共和國第七次全國人口普查的數據，中國大陸31個省、自治區、直轄市和現役軍人的人口共1,411,778,724人，約占全球總人口的18%，是世界第一人口大國。
中國人口分布亦不平均，東南沿海地區人口密集，而以新疆、西藏、內蒙古為主的西部地區則人口稀少，東北地區人口更呈現明顯減少趨勢。由于地區經濟發展水平不均衡，中國擁有全球規模最大的流動人口，2020年流動人口規模近3.8億人。
中國目前有較之多數國家更嚴重的少子化和人口老齡化，以及亞洲地區特有的性別比失衡的問題。中國人口生育率已經于20世紀90年代降低至更替水平以下并持續至今，人口總量即將在2025到2030年間達到峰值。中國于1999年開始進入老齡化社會，是較早進入老齡化社會的發展中國家，也是世界上老年人口最多的國家。2020年，全國65歲及以上人口比重達到13.50%，人口老齡化程度已高于世界平均水平。
歷史上，中國人口在世界人口中一直占據較大比例。19世紀上半葉，清朝人口占世界人口的三分之一。此后，因為太平天國、捻亂及回亂等戰亂損失不少人口，光緒年間又發生丁戊奇荒、1887年黃河決口等不少天災，中國人口占世界比例大幅下降。
中華人民共和國成立時，中國大陸人口約5.4億，占世界人口的22%。和許多發展中國家一樣，從1950年起，由于社會較為穩定，死亡率下降，預期壽命逐漸延長，人口因此迅速增長。期間除了1959-1961年間由于三年困難時期產生的饑荒導致人口下降外，直至1970年代中期，中國大陸人口保持每年2%以上高增長的態勢。1981年中國大陸人口達到10億，占世界人口比例維持在22%。
不斷增加的人口促使中國政府認真考慮節制生育的問題。早在1950年代，就有號召要求計劃生育的聲音，但計劃生育到1970年代中期起才逐漸嚴格付諸實踐。起初，政府政策較為寬松，以“宣傳教育”為主。但國家領導人對控制人口期待很高，使得計劃生育政策越來越嚴格，采取強力手段限制生育。從1980年起，許多家庭都只被允許生一個孩子。由于出生率下跌，中國人口增長率迅速下降。出生率從1971年的3.065%下降到2010年的1.19%，而人口增長率也下降到0.5%以下。由于人口調控也產生了諸如老齡化、性別比失衡、勞動人口下降等不利局面，再加上中國婦女生育觀念有所轉變，生育意愿降低，一些地區已經出現了人口負增長，政府逐漸意識到了調整人口政策的重要性。2015年，中國政府宣布廢除“一胎政策”，允許所有婦女生育兩個孩子。
然而，即使開展了“二胎政策”，中國的出生率仍然低于預期。2017年，中國大陸出生率為1.243%。于此同時，由于老齡人口不斷增加，勞動力人口正在萎縮，經濟發展所依賴的人口紅利逐漸消失。生育數量不足以及嚴重的人口老齡化成為了另一個社會問題。
根據2021年5月11日公布的最新中國人口普查報告結果顯示，2020年中國大陸出生人數僅為1200萬人，創下自1960年以來的最低出生人口，人口老齡化進一步加劇。為了對抗嚴重的人口老齡化的問題，中國政府再次放寬計劃生育政策，于2021年5月31日推出三孩政策，取代了2015年的二孩政策。然而收效甚微。根據網絡民調顯示，許多中國大陸人都不想生孩子。
中華人民共和國人口總數與自然增長率（1949年－2008年）
中國大陸人口平均年齡為36.7歲。隨著人口老齡化加劇，平均年齡呈上升態勢。根據測算，中國65歲以上人口比重從1982年的4.9%，升到了2014年的10.5%，老齡化呈加速上升狀態。
按照人口統計標準，0～14歲人口佔總人口的比例在20%～23%，為正常；18%～20%，為少子化；15%～18%，為嚴重少子化；15%以下，為超少子化；23%～30%，為多子化；30%～40%，為嚴重多子化。經過幾十年變遷，中國人口結構由嚴重多子化快速向嚴重少子化演變，並有由嚴重少子化向超少子化演變趨勢，預計到2030年，中國0～14歲人口佔總人口比重將跌破15%。
中國少子化水平位居全球前列。目前發達國家人均GDP普遍在2.5萬美元之上，而中國只有1萬美元。0～14歲人口佔總人口比重，2010年中國已經下降到18.1%，已經低于日本1990年18.3%的水平，而1990年日本人均GDP為2.47萬美元，2010年中國人均GDP只有0.46萬美元。中國的富裕程度與發達國家相差甚遠，而少子化程度已達甚至超過發達國家水平，少子化大大超越了經濟發展階段，嚴重未富先少，已危及人口安全。另一種更具可比性、能排除通貨膨脹影響的辦法，是按購買力平價（PPP）核算人均國民總收入（GNI）。根據世界銀行的數據（按2021年現價國際元核算）。在1990年，日本人均GNI為19,720元。在人口結構與之相近的2010年，中國人均GNI為9,210元，2020年為17,200元。
與此同時，老齡化快速推進。中國65歲及以上老年人口2016年已達 1.5 億，佔世界老年人口比重達23%左右，佔全國人口比重從1982年的4.9%增至2016年的10.8%，上升了5.9個百分點，而1953年到1982年只上升了0.5個百分點。中國65歲及以上老年人口佔總人口比重已大大超過世界平均水平，與美國的12.5%左右僅相差1.7個百分點。據2017年的預測，到2050年，中國65歲及以上的老年人口數量將達到4億，佔總人口比重將超過30%。