ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
數學分析研究的內容包括實數、複數、實函數及複變函數。數學分析是由微積分演進而來，在微積分發展至現代階段中，從應用中的方法總結升華為一類綜合性分析方法，且初等微積分中也包括許多數學分析的基礎概念及技巧，可以認為這些應用方法是高等微積分生成的前提。數學分析的方式和其幾何有關，不過只要任一數學空間有定義鄰域（拓撲空間）或是有針對兩物件距離的定義（度量空間），就可以用數學分析的方式進行分析。
亞里士多德用窮竭法計算圓的面積，方法是以邊數越來越多的內接或外切正多邊形逼近。這是一個非正式的極限的例子，而極限也是數學分析的基本概念
在古希臘數學的早期，數學分析的結果是隱含給出的。比如，芝諾的兩分法悖論就隱含了無限幾何和。再后來，古希臘數學家如歐多克索斯和阿基米德使數學分析變得更加明確，但還不是很正式。他們在使用窮竭法去計算區域和固體的面積和體積時，使用了極限和收斂的概念。在的早期，12世紀的數學家婆什迦羅第二給出了導數的例子，還使用過現在所知的羅爾定理。
歷史上，數學分析起源于17世紀，伴隨著牛頓和萊布尼茲發明微積分而產生的。在17、18世紀，數學分析的主題，如變分法，常微分方程和偏微分方程，傅立葉分析以及母函數基本上發展于應用工作中。微積分方法成功的運用了連續的方法近似了離散的問題。
貫穿18世紀，函數概念的定義成為了數學家們爭論的主題。到了19世紀，柯西首先地通過引入柯西序列的概念將微積分建立在一個穩固的邏輯基礎之上。他還開始了複分析的形式理論。泊松、劉維爾、傅里葉以及其他的數學家研究了偏微分方程和調和分析。
18世紀中葉，黎曼引入了他的積分理論。在19世紀的最后第三個年代還產生了魏爾施特拉斯對于分析的算術化，他認為幾何論證從本質上是一種誤導，并提出了。此時，數學家們開始擔心他們在沒有證明的情況下假設了實數連續統的存在。戴德金用戴德金分割構造了實數。大約在那個時候，對黎曼積分精煉的種種嘗試也引向了實數函數的非連續集合的“大小”的研究。
在19世紀末時，也發現了許多病態函數，像是處處不連續函數、處處連續但處處不可微分的魏爾斯特拉斯函數以及等。卡米爾·若爾當發展了若爾當測度，而格奧爾格·康托爾提出了現在稱為樸素集合論的理論，勒內-路易·貝爾證明了貝爾綱定理。在20世紀初期，利用公理化的集合論將微積分進行形式化，昂利·勒貝格解決了量測問題，大衛·希爾伯特導入了希爾伯特空間來求解積分方程。賦範向量空間的概念已經提出，1920年代時斯特凡·巴拿赫創建了泛函分析。
數學中的度量空間是一個集合，而集合中兩個元素的距離（叫做度量）有清楚的定義。
大部份的數學分析都是針對特定的度量空間，最常見的是數線、複數平面、歐幾里得空間、其他向量空間及整數。數學中沒有度量的分包括有量測理論（描述大小而不是距離）及泛函分析（研究不需要距離概念的拓撲向量空間）
度量空間是一個有序對，其中是一集合，而為中的度量（也是函數）
使得針對任何的，以下的敘述都成立：
#  &nbsp;&nbsp;&nbsp;（非負性）
#  若且唯若  &nbsp;&nbsp;&nbsp;（不可分者同一）
#  &nbsp;&nbsp;&nbsp;（對稱性）
#  &nbsp;&nbsp;&nbsp;（三角不等式）
數列是一個有序的列表，數列像集合一樣都是由元素組成，但和集合不同，數列有順序的概念，而完全相同的元素可以在數列中出現一至多次。更準確的說法，數列可以用定義域為全序關係可數集（例如自然數）的函數來定義。
數列最重要的性質是收斂，若簡單的做非正式的定義，一數列若存在極限，表示此數列收斂。若繼續下非正式的定義，一個無窮數列''a'n''，若在n非常大時接近一數值''x''，則稱此數列有極限，而其極限為''x''，因此極限也可以視為是數列趨向的數值。因此針對數列''a'n''，當''n'' → ∞時，''a'n''和''x''之間的距離會趨近於0：
數學分析在當前被分為以下幾個分支領域：
* 實分析是數學分析中，專門處理實數及實值函數的一個分支。這包括對極限、微分、積分、冪級數和測度的研究。
* 複分析，是對從複平面到複平面的複數可微函數的研究，和複數的解析函數（或亞純函數）有密切的關係。可以應用在許多不同的數學領域中，包括代數幾何、數論、應用數學等，也廣為應用在物理領域中，例如流體力學、熱力學、機械工程、電機工程及量子場論。
* 泛函分析探討函數空間及一些和向量空間相關的結構（例如內積、範數及拓撲空間）等，以及在作用在這些空間中的線性算子，也會介紹例如巴拿赫空間以及希爾伯特空間的概念。
* 傅立葉分析研究如何將一個函數或者信號表達為基本波形的疊加，並擴展成傅立葉級數和傅立葉變換的概念。
* 微分方程是未知數為一變數或多變數的函數，且方程和函數其導數或高階導數有關的方程。微分方程在工程、物理、經濟、生物學中都是重要的一部份。
*數值分析是研究數學分析中相關問題（和離散數學不同）中有關數值近似（和不同）算法的研究。。許多問題的解析解是很難求得的，數值分析不在意解析解，比較著重在可接受的誤差範圍內找到近似解。
*變分法處理泛函的極值，就像一般的微積分處理函數的極值一樣。
* 抽象調和分析處理傅立葉級數及其抽象化的應用。
* 將幾何方法用來研究偏微分方程及將偏微分方程理論應用在幾何學上。
* 研究在狄拉克算子或是類似算子下會消失的克利福德函數。
* P進數分析是有關P進數的研究，P進數和一般實數及複數有些微妙的不同。
* 非標準分析是研究超實數及其函數，對於無窮小量及無窮大的函數有嚴謹的處理。
* 研究可以用可計算性理論進行的分析。
* 隨機分析是針對隨機過程進行的解析式方法。
* 是有關凸集合及凸函數的研究。
* 是在半環中的分析，是沒有加法逆元的代數結構。。當應用Tropical分析的技巧時，可以將一些非線性的問題轉變為線性的問題。
數學分析的技巧可以用在其他以下的領域：
經典力學、相對論及量子力學中大部份的內容都是以數學分析及微分方程為基礎。其中重要的微分方程包括牛頓第二運動定律、薛定諤方程及愛因斯坦場方程。
泛函分析是量子力學中的一個重要主題。
信號處理可以用在許多不同信號的處理上，不論是聲音、無線電波、光波、地震波其至影像，傅立葉分析可以取出信號中特定的成份，可以進一步將信號加強或是移除。大部份的信號處理技術都包括了將信號進行傅立葉轉換、轉換後信號進行簡單的處理，再進行反轉換。
數學分析的技巧可以用在以下的數學領域中：
*微分幾何：將微積分應用在稱為流形的特殊數學空間中，流形有特殊的內在結構，但有單純的局部特性。
*《數學分析原理》格里高利·米哈伊洛維奇·菲赫金哥爾茨著
*《數學分析》（共兩卷）卓里奇著
*《微積分和數學分析引論》理查·科朗特著
*《數學分析》湯姆·麥克·阿波斯托著
*《數學分析原理》Walter Rudin（盧丁）著
*《高等數學引論》（共四卷）華羅庚著，高等教育出版社
*《數學分析》（共兩冊）華東師范大學數學系
*《數學分析》（共兩冊）歐陽光中，朱學炎，金福臨，陳傳璋著
*《數學分析》（共兩冊）陳紀修，於崇華，金路著
*《數學分析新講》（共三冊）張筑生編著
*《數學分析講義》（共三冊）劉玉璉，傅沛仁著
*《數學分析》（共三冊）周民強，方企勤著
*《數學分析講義》 （共三冊）陳天權 編著
*《簡明數學分析（第二版）》郇中丹、劉永平、王昆揚著
*《數學分析教程（第3版）》（共兩冊）常庚哲、史濟懷編著
*《數學分析》（共三冊）徐森林、薛春華編著
*《數學分析》（共兩冊）歐陽光中、姚允龍、周淵編著
*《數學分析教程》（共兩冊）李忠 方麗萍編著
*《古今數學思想》1-4冊，莫里斯·克萊因著，上海科學技術出版社
*《吉米多維奇數學分析習題集》鮑里斯·帕夫羅維奇·吉米多維奇著
*《數學分析中的問題和定理》喬治·波利亞，G.Szego（舍貴）著
*《數學分析習題課講義》（上下兩冊）謝惠民等著
*《數學分析中的典型問題與方法》裴禮文著
*《數學分析問題研究與評注》汪林等著
*《數學分析習題演練》周民強著
* 《數學辭海（第一卷）》，山西教育出版社，中國科學技術出版社，東南大學出版社
* Smith, David E. 1958. ''History of Mathematics''. Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7.
* Stillwell, John. 2004. ''Mathematics and its History''. 2nd ed. Springer Science + Business Media Inc. ISBN 978-0-387-95336-6.
*  數學分析課程  - 華東師范大學數學系
*  數學分析課程 - 北京大學數學科學學院
薩克森-安哈爾特是德意志聯邦共和國的一個州，州府在馬格德堡。它與下薩克森州、勃蘭登堡州、薩克森州和圖林根州相鄰。
薩克森-安哈爾特的北部是平原，這里的城市與北德的城市有著共同的歷史關系，它們中有些是漢薩同盟的成員。中部是肥沃的馬格德堡平原。西南部是哈茨山。南部靠近薩克森的邊界上以哈雷為中心是一個重要的工業區（有“化學三角”之稱）。
薩克森-安哈爾特有兩個重要的工業區，在南部從哈雷開始一直到薩克森州的萊比錫是德國歷史上傳統的重工業區，尤其以化工為主，其他工業如光學工業也是很著名的。中部以馬格德堡為中心是另一個重要的工業區。馬格德堡的優點是它交通方便。這座城市位于中歐東西交通要道之上，從巴黎通向華沙，甚至莫斯科的高速公路和鐵路經過這里，從德國西部通向首都柏林的德國高速列車也通過此處。貫通中歐的中歐運河和從捷克既可以航行的易北河在這里相交。
哈茨山區是德國的一個重要的國內旅游區。
在兩德統一的過程中，原東德的薩克森-安哈爾特州受到很大的經濟沖擊，一些過去東德重要的國營企業（如魯納石油提煉廠、羅伯特隆電子工業等）關閉，使薩克森-安哈爾特州許多人失業。薩克森-安哈爾特州是今天德國失業率比較高（2005年達20%）、負債也比較高的一個州，在德國聯邦州中屬于相對貧困州。
薩克森-安哈爾特州的重要城市有：
薩克森-安哈爾特是一個非常年輕的州，第二次世界大戰后它才成立。從歷史上來看它的主要部分是普魯士的薩克森省，加上二戰以前的安哈爾特自由邦和不倫瑞克公國的一部分。
1947年7月21日薩克森-安哈爾特州正式成立，但1952年7月23日就被解散了（東德當時廢棄了州作為行政區，而直接國內分地區和縣，以加強中央對地區的控制），1990年10月28日兩德合併后再度成立。
從1990年薩克森-安哈爾特州再次成立后，該州的政府多次更換，原因往往是原州政府被控貪污或原政府成員曾為東德國家安全局工作（按德國法律原東德國家安全局的正式或非正式工作人員不得進入國家機構）。
在1998年的州政府選舉中極右的德意志人民聯盟首次參加選舉立刻獲得了近13%的選票，全國為之大嘩。
在2002年的一次大選中基督教民主聯盟獲勝，德國民主社會主義黨獲第二位，德國社會民主黨第三，德國自由民主黨第四，其它黨派未能獲得5%的選票落選。德意志人民聯盟因內部分裂落選。
在2011年3月20日的州議會選舉中，結果是:德國基督教民主聯盟(CDU)41，左翼黨(Linke)29，德國社會民主黨(SPD)26，聯盟90/綠黨(B90/G)9，基民盟和社民黨組成了新一屆大聯合政府。
2011年新一屆州議會議員分布
現在的州長是基督教民主聯盟的Reiner Haseloff。
薩克森-安哈爾特在2007年的行政區劃，3個直轄市和11個縣
到2003年為止，薩克森-安哈爾特劃分為三個地區。2004年1月1日起，地區被取消，全州劃分為3個直轄市和21個縣。2007年，薩克森-安哈爾特劃分為3個直轄市和11個縣。
3個直轄市：
*馬格德堡（面積200.95km2）
*德紹-羅斯勞（面積244.62km2）
*哈雷（面積135.01km2）
*薩爾茨韋德爾-阿爾特馬克縣（面積2,292km2），首府薩爾茨韋德爾
*施滕達爾縣（面積2,423.04km2），首府施滕達爾
*比爾德縣（面積2,366km2），首府哈爾登斯萊本
*耶里肖蘭縣（面積1,336.63km2），首府布爾格
*哈爾茨縣（面積2,104km2），首府哈爾伯施塔特
*薩爾茨蘭縣（面積1,425.9km2），首府貝恩堡
*安哈特-比特費爾德縣（面積1,452.7km2），首府克滕
*維滕貝格縣（面積1,929.89km2），首府維滕貝格
*曼斯費爾德-南哈茨縣（面積1,448.6km2），首府桑格豪森
*薩勒縣（面積1,433km2），首府梅澤堡
*布爾根蘭縣（面積1,413.4km2），首府瑙姆堡
*  薩克森-安哈爾特州政府網站
山地生態學是生態學的一個分支，研究地球山地和其他高地的生態系統。山地是由眾多山所在的地域，有別於單一的山或山脈，山地與丘陵的差別是山地的高度差異比丘陵要大，高原的總高度有時比山地大，有時相比較小，但高原上的高度差異較小，這是山地和高原的區分，但一般高原上也可能會有山地，比如青藏高原。
山地生態受氣候的影響很大，氣溫隨著高度的上升而下降，因此山地生態系統根據海拔高度形成不同的生態區。森林在中海拔地區常見，但隨著高度上升，氣候變得干燥，樹林會逐漸過渡到草地和苔原。
上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間，因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3}；右下角的集合也不是個拓撲空間，因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。
拓撲空間是一種數學結構，可以在上頭形式化地定義出如收斂、連通、連續等概念。拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用，是一個居于中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值，研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學。
拓撲空間是一個集合??和其上定義的拓撲結構組成的二元組。?的元素??通常稱為拓撲空間?的點。而拓撲結構一詞涵蓋了開集，閉集，鄰域，開核，閉包，導集，濾子等若干概念。從這些概念出發，可以給拓撲空間作出若干種等價的定義。在教科書中最常見的定義是從開集開始的。?
??的子集的集合族稱為開集系（其中的元素稱為開集），當且僅當其滿足如下開集公理：
* O2：若，則（對任意并運算封閉）。
* O3：若，則。（對有限交運算封閉）。
從開集出發定義其它各概念：
* 從開集定義閉集：的子集是閉集，當且僅當是開集。
* 從開集定義鄰域：的子集是點的鄰域，當且僅當存在開集，使。
* 從開集定義開核：的子集的開核等于包含的所有開集之并。
的子集的集合族稱為閉集系（其中的元素稱為閉集），當且僅當其滿足如下閉集公理：
* C2：若，則（對任意交運算封閉）。
* C3：若，則。（對有限并運算封閉）。
（顯然，閉集是開集的對偶概念）。
從閉集出發定義其它各概念：
* 從閉集定義開集：的子集是開集，當且僅當是閉集。
* 從閉集定義閉包：的子集的閉包等于包含A的所有閉集之交。
的映射（指的冪集的冪集）。這樣將的每個點映射至的子集族。稱為的鄰域系（的元素稱為的鄰域），當且僅當對任意的，滿足如下鄰域公理：
* U2：若，則。（鄰域系對鄰域的有限交封閉）。
* U4：若，則存在，且，使對所有，有。
從鄰域出發定義其它概念：
* 從鄰域定義開集：的子集是開集，當且僅當對任意，有。（是其中每個點的鄰域）。
* 從鄰域定義開核：的子集的開核。
* 從鄰域定義閉包：的子集的閉包。
的冪集上的一元運算（即將的子集A映射為的子集）稱為閉包運算（像稱為原像的閉包）。當且僅當運算滿足下述的閉包公理：
集合的閉包通常記為。
從閉包出發定義其它概念：
* 從閉包定義閉集：的子集是閉集，當且僅當。
* 從閉包定義開核：的子集的開核。
* 從閉包定義鄰域：的子集是點的鄰域，當且僅當。
的冪集上的一元運算（即將的子集A映射為的子集）稱為開核運算（像稱為原像的開核或內部）。當且僅當運算滿足如下開核公理：
集合的開核通常記為。
（顯然，開核運算是閉包運算的對偶概念）。
從開核出發定義其它概念：
* 從開核定義開集：的子集是開集，當且僅當。
* 從開核定義鄰域：的子集是點的鄰域，當且僅當。
* 從開核定義閉包：的子集的閉包。
的冪集上的一元運算（即將的子集映射為的子集）稱為導集運算（像稱為原像的導集），當且僅當滿足以下導集公理：
從導集出發定義其它概念：
* 從導集定義閉集：的子集是閉集，當且僅當。
同一個全集可以擁有不同的拓撲，有些是有用的，有些是平庸的，這些拓撲之間可以形成一種偏序關系。當拓撲的每一個開集都是拓撲的開集時，稱拓撲比拓撲更細，或稱拓撲比拓撲更粗。
僅依賴于特定開集的存在而成立的結論，在更細的拓撲上依然成立；類似的，僅依賴于特定集合不是開集而成立的結論，在更粗的拓撲上也依然成立。
最粗的拓撲是由空集和全集兩個元素構成的拓撲，最細的拓撲是離散拓撲，這兩個拓撲都是平庸的。
在有些文獻中，我們也用大小或者強弱來表示這里粗細的概念。
類似定義拓撲空間，連續映射也有基于開集，閉集，開核，閉包和鄰域等概念的等價定義。
拓撲空間上的一個映射稱為連續映射，當且僅當它滿足以下條件之一：
* 對任何開集的原像是開集。（這個定義符合我們關于連續映射不會出現破碎或者分離的直觀印象。）
* 對點的任一鄰域，都存在點的一個鄰域，使得，則稱在點連續，而連續映射即點點連續的映射。
同胚映射是一個連續的雙射，并且它的逆映射也連續。兩個拓撲空間之間存在同胚映射，則稱這兩個空間是同胚的。從拓撲學的觀點上來講，同胚的空間是等同的。
拓撲空間作為對象，連續映射作為態射，構成了拓撲空間范疇，它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖通過不變量來對這個范疇進行分類的想法，激發和產生了整個領域的研究工作，包括同倫論、同調論和K-理論。
給定拓撲空間(X,τ)，A是X的子集，有以下概念（繼續使用上面的符號）：
;內部，內點
:A的開核o(A)又稱為A的內部，其元素稱為A的內點。
;外部，外點
:X - c(A)稱為A的外部，其元素稱為A的外點。
;邊界，邊界點
:c(A)∩c(X-A)稱為A的邊界，其元素稱為A的邊界點。
:A的閉包c(A)中的點稱為A的觸點。
;稠密性，稠密集
:稱A在X中是稠密的（或稱稠密集），當且僅當c(A) = X。
:稱A是X的邊緣集，當且僅當X-A在X中是稠密的。
;疏性，疏集
:稱A在X中是疏的（或稱疏集），當且僅當c(A)是X中的邊緣集。
;第一范疇集，第二范疇集
:稱A是X中的第一范疇集，當且僅當A可以表示為可數個疏集的并。稱A是X中的第二范疇集，當且僅當A不是X中的第一范疇集。
;聚點，導集
:X中的點x稱為A的聚點，當且僅當x ∈ c(A - {x})（或者等價地，x的任意鄰域至少包含x以外的A的一個點）。A的所有聚點組成的集合稱為A的導集。
:A中的點x稱為A的孤立點，當且僅當它不是A的聚點。
;孤點集，離散集
:稱A為孤點集或離散集，當且僅當A中所有的點都是A的孤立點。
:稱A為自密集，當且僅當A中的點都是A的聚點（等價地，A中沒有A的孤立點）。
:稱A為完備集，當且僅當A等于其導集。
:A的最大自密子集稱為A的自密核。
:稱A是無核集，當且僅當A的自密核是?（或等價地，A的任意非空子集都含有孤立點）。
網的目的在推廣序列及極限，網的收性稱作Moore-Smith收斂。其關鍵在於以有向集合代替自然數集。
空間上的一個網是從有向集合映至的映射。
若存在，使得對每個的鄰域都存在，使得，則稱網收斂至。
幾乎所有點集拓撲學的基本概念都能表述作網的收斂性，請參閱主條目網
* 實數集R構成一個拓撲空間：全體開區間構成其上的一組拓撲基，其上的拓撲就由這組基來生成。這意味著實數集R上的開集是一組開區間的并（開區間的數量可以是無窮多個，但進一步可以證明，所有的開集可以表示為可數個互不相交的開區間的并）。從許多方面來說，實數集都是最基本的拓撲空間，并且它也指導著我們獲得對拓撲空間的許多直觀理解；但是也存在許多“奇怪”的拓撲空間，它們有悖于我們從實數集獲得的直觀理解。
*更一般的，n維歐幾里得空間R''n''構成一個拓撲空間，其上的開集就由開球來生成。
*任何度量空間都可構成一個拓撲空間，如果其上的開集由開球來生成。這中情況包括了許多非常有用的無窮維空間，如泛函分析領域中的Banach空間和希爾伯特空間。
*任何局部域都自然地擁有一個拓撲，并且這個拓撲可以擴張成為這個域上的向量空間。
*除了由全體開區間生成的拓撲之外，實數集還可以賦予另外一種拓撲—下限拓撲（lower limit topology）。這種拓撲的開集由下列點集構成—空集、全集和由全體半開區間''a'', ''b'')生成的集合。這種拓撲嚴格地細于上面定義的歐幾里得拓撲；在這種拓撲空間中，一個點列收斂于一點，當且僅當，該點列在歐幾里得拓撲中也收斂于這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。
*每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的凸集。在0、1、2和3維空間中，相應的單形分別是點、線段、三角形和四面體。
*每一個單純復形都是一個拓撲空間。一個單純復形由許多單形構成。許多幾何體都可以通過單純復形—來建立模型，參見多胞形（Polytope）。
* 扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的的拓撲，這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對R''n''或者C''n''來說，相應扎里斯基拓撲定義的閉集，就是由全體多項式方程的解集合構成。
* 線性圖是一種能推廣圖的許多幾何性質的拓撲空間。
* 泛函分析中的許多算子集合可以獲得一種特殊的拓撲，在這種拓撲空間中某一類函數序列收斂于零函數。
*任何集合都可以賦予離散拓撲。在離散拓撲中任何一個子集都是開集。在這種拓撲空間中，只有常數列或者網是收斂的。
*任何集合都可以賦予平庸拓撲。在平庸拓撲中只有空集和全集是開集。在這種拓撲空間中，任和一個序列或者網都收斂于任何一個點。這個例子告訴我們，在某些極端情況下，一個序列或者網可能不會收斂于唯一的一個點。
* 有限補拓撲。設X是一個集合。X的所有有限子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為有限補空間。有限補空間是這個集合上最小的T1拓撲。
* 可數補拓撲。設X是一個集合。X的所有可數子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為可數補空間。
*如果Γ是一個序數，則集合0, Γ是一個拓撲空間，該拓撲可以由區間(''a'', ''b''生成，此處''a''和''b''是Γ的元素。
# ?=?{1,2,3,4}?和??內兩個子集組成的集族??會形成一個-{zh-hans:平庸拓撲;zh-hant:密著拓撲}-。
# ?=?{1,2,3,4}?和??內六個子集組成的集族??=??會形成另一個拓撲。
# ?=?（整數集合）及集族??等於所有的有限整數子集加上??自身''不是''一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是??的全部，因此不在??內。
# 1個元素的集上總拓撲數顯然只有1個。
# 2個元素的集上總拓撲數顯然只有4個。
# 3個元素的集上總拓撲數-{只有}-29個。
# 4個元素的集上總拓撲數-{只有}-355個。
# n個元素的集上總拓撲數規律還在研究中，不過已取得些成果。參見OEIS-A000798說明
3點集 X={a,b,c}的拓撲總共有29個,可分為九類，具體如下：
#{?, X}
#{?,{a},X},{?,{b},X},{?,{c},X}
#{?,{a,b},X},{?,{a,c},X},{?,{b,c},X}
#{?,{a},{b,c},X},{?,{b},{a,c},X},{?,{c},{a,b},X}
#{?,{a},{a,b},X},{?,{a},{a,c},X},{?,{b},{a,b},X},{?,{b},{b,c},X},{?,{c},{a,c},X},{?,{c},{b,c},X}
#{?,{a},{a,b},{a,c},X},{?,{b},{a,b},{b,c},X},{?,{c},{a,c},{b,c},X}
#{?,{a},{b},{a,b},X},{?,{a},{c},{a,c},X},{?,{b},{c},{b,c},X}
#{?,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{?,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{?,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{?,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{?,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{?,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
#{?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}
*拓撲空間的任何一個子集都可以被賦予一個子空間拓撲，子空間拓撲中的開集是全空間上的開集和子空間的交。
*對任何非空的拓撲空間族，我們可以構造出這些拓撲空間的積上的拓撲，這種拓撲稱為積拓撲。對于有限積來說，積空間上的開集可以由空間族中各個空間的開集的積生成出來。
*商拓撲可以被如下地定義出來：若''X''是一個拓撲空間，''Y''是一個集合，如果''f'' : ''X'' ?→? ''Y''是一個滿射，那么''Y''獲得一個拓撲；該拓撲的開集可如此定義，一個集合是開的，當且僅當它的逆像也是開的。可以利用''f''自然投影確定下''X''上的等價類，從而給出拓撲空間''X''上的一個等價關系。
依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。并且由于這些分類產生了許多不同的術語。
以下假設X為一個拓撲空間。
詳細資料請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中采用了不同地定義方式，請參照分離公理的歷史。
;拓撲不可區分性
:X中兩個點x，y稱為拓撲不可區分的，當且僅當如下結論之一成立：
:*對X中每個開集U，或者U同時包含x，y兩者，或者同時不包含它們。
:*x的鄰域系和y的鄰域系相同。
:X稱為可分的，當且僅當它擁有一個可數的稠密子集。
:X稱為第一可數的，當且僅當其任何一個點都有一個可數的局部基。
:X稱為第二可數的，當且僅當其擁有一個可數的基。
:X稱為連通的，當且僅當它不是兩個無交的非空開集的并。（或等價地，該空間的閉開集（既開又閉的集合）只有空集和全空間兩者）。
:X稱為局部連通的，當且僅當它的每個點都存在一個特殊的局部基，這個局部基由連通集構成。
;完全不連通
:X稱為完全不連通的，當且僅當不存在多于一個點的連通子集。
:X稱為道路連通的，當且僅當其任意兩點''x''和''y''，存在從''x''到''y''的道路''p''，也即，存在一個連續映射''p'':?0,1?→?''X''，滿足''p''（0）= ''x''  且''p''（1）= ''y''。道路連通的空間總是連通的。
;局部道路連通
:X稱為局部道路連通的，當且僅當其每個點都有一個特殊的局部基，這個局部基由道路連通集構成。一個局部道路連通空間是連通的，當且僅當它是道路連通的。
:X稱為單連通的，當且僅當它是道路連通且每個連續映射都與常數映射同倫。
:X稱為可縮的，當且僅當它同倫等價到一點。
:X稱為超連通的，當且僅當任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。
:X稱為極連通的，當且僅當任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含道路連通。
:X稱為平庸的，當且僅當其開集只有本身與空集。
（詳細資料請參照緊集）
:X稱為緊的，當且僅當其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。
;林德洛夫性質
:X稱為擁有林德洛夫性質，當且僅當其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。
:X稱為仿緊的，當且僅當其任意開覆蓋都有局部有限開覆蓋的加細。
:X稱為可數緊的，當且僅當其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。
:X稱為可數緊的，當且僅當其任意點列都包含收斂子列。
:X稱為偽緊的，當且僅當其上的任意實值連續函數都有界。
可度量性意味著可賦予空間一個度量，使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一個第二可數的正則豪斯多夫空間可被度量化。由此可導出任何第二可數的流形皆可度量化。
對於任一類代數結構，我們都可以考慮其上的拓撲結構，并要求相關的代數運算是連續映射。例如，一個拓撲群乃是一個拓撲空間配上連續映射（群乘法）及（反元素），使之具備群結構。
同樣地，可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間，使得加法與純量乘法是連續映射，這是泛函分析的主題；我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。
結合拓撲與代數結構，往往可以引出相當豐富而實用的理論，例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中，人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論，并得到較簡明的陳述；如數論中的局部域（一種拓撲域），伽羅瓦理論中考慮的Krull拓撲（一種特別的拓撲群），以及定義形式概形所不可少的I-進拓撲（一種拓撲環）等等。
拓撲空間也可能擁有自然的序結構，例子包括：
*譜空間（spectral space）上的序結構。
* 特殊化預序：定義。常見於計算機科學。
n個元素的集上總拓撲數規律
*整數數列線上大全:OEIS-A000798.
* John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
* James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.
*點集拓撲學初步 / 江澤涵-{著}-. - 上海: 上海科學技術出版社, 1979年1月。
*點集拓撲學基礎 / 吳東興-{著}-. - 北京: 科學出版社, 1981年3月。
*點集拓撲學原理 / 鮑姆-{著}-;蒲思立譯. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。
*一般拓撲學 / 李普舒茨-{著}-;陳昌平等譯. - 上海: 華東師大出版社, 1982年1月。
*一般拓撲學 / 凱萊-{著}-;吳叢，吳讓泉譯. - 北京: 科學出版社, 1982年5月。
*拓撲學引論 / 本特·門德爾森-{著}-;陳明蔚譯. - 南寧: 廣西人民出版社, 1983年1月。
*基礎拓撲學 / 阿姆斯特朗-{著}-;孫以豐譯. - 北京: 北京大學出版社, 1983年1月。
*點集拓撲學 / 方嘉琳編-{著}-. - 沈陽: 遼寧人民出版社, 1983年4月。
*拓撲學的基礎和方法 / 野口宏-{著}-;郭衛中，王家彥譯. - 北京: 科學出版社, 1986年3月。
*拓撲學初步 / 蘇步青-{著}-. - 上海: 復旦大學出版社, 1986年4月。
*拓撲學基礎教程 / 曼克勒斯-{著}-;羅嵩齡等譯. - 北京: 科學出版社, 1987年8月。
*基礎拓撲學 / 何伯和，廖公夫-{著}-. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。
*一般拓撲學專題選講 / 蔣繼光-{著}-. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。
*拓撲學導論 / 鮑里索維奇等-{著}-;盛立人等譯. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。
*基礎拓撲學講義 / 尤承業編-{著}-. - 北京: 北京大學出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.
呂潔（，），祖籍廣東肇慶，中國藝人。
呂潔中學畢業于執信中學，大學時期在廣東外語外貿大學修讀法語。她在1998年開始拍電視廣告，成為著名的廣告模特兒。然后從2002年開始接拍電視連續劇《網絡情人》、《柴米新人類》等。
*2001年：《網絡情人》 飾 蕭蕭
*2002年：《柴米新人類》 飾 GIGI
*2003年：《功夫足球》飾 珠珠
*2004年：《伙頭智多星》飾 心理醫生
*2006年: 《美夢人生》飾 白霜
*2007年：《新不了情》 飾 萬少玲
*2008年：《外地媳婦本地郎》飾 唐芷若
*2008年：《廣州人家》 飾 陳嘉美
*2010年：《電視臺的故事》
*2004年：《七年很癢》 飾 MABLE
*2005年：《后備甜心》飾 HELEN
*2006年: 《情意拳拳》飾 MACY
*2006年：《天行者》 飾 呂文麗
*2008年： 香港電影節開幕電影
*2012年：《嫁個100分男人》 飾 女主持人
*  一個模特也是一個不折不扣的車迷
*  呂潔：許多新人故意破壞行規
*  郭東文自封“老騙子”　小呂潔首演激情戲
鄭集，男，四川南溪人，中國著名的生物化學家、教育家，營養學家。中國營養學的奠基人，中國生物化學的開拓者之一。世界最長壽教授和世界最高齡作家。
鄭集(英文名: Libin T. Cheng)於1900年5月6日出生在四川省宜賓市南溪縣劉家鄉一個清寒的農民家庭。自幼家境貧寒，自身又體弱多病。14歲才入南溪縣高級小學讀書，17歲以第一名的成績畢業。1921年，鄭集考入國立成都高等師范學校，不久因病退學。多次因病失學的不幸也沒有掩蓋住他聰穎的天資，后來他懷揣好友的資助，1924年如愿考入國立東南大學（1928年更名國立中央大學）生物系，1928年畢業。1930年赴美國留學，入俄亥俄州立大學專攻生物化學，於1931 年獲得了碩士學位。并于耶魯大學、印地安那大學學習，於 1934 年獲得印第安納大學 的博士學位。同年，基於他的研究成果和潛力，他被選為Sigma Xi 學會會員。回國后任歷任中國科學社生物研究所研究員，中央大學醫學院教授、生化科教授兼主任，華東軍醫學院、第四軍醫大學教授，南京大學醫學院教授、生物系教授兼生物化學教研室主任。
1945年在中央大學醫學院創辦生化研究所，培養生化研究生，這是中國教育史上第一個培養生物化學研究生的正式機構。一生桃李滿天下。進入古稀之年后，開辟衰老生化機制研究，提出衰老機制的代謝失調學說，為中國衰老生物化學奠定了基礎。
先后參與創辦中國營養學會、生物化學會。曾任中央大學教授會主席、中國營養學會首任理事長。
早在1931年，鄭集就成為中國科學會美國分會會員，並與他人合作科研論文“Motor Localization on the Cerebral Cortex of the Guinea-pig (Cavia Cobaya)”（“豚鼠大腦皮層的運動定位”），發表在''The Journal of Comparative Neurology''. ''比較神經病學雜誌''。
他於1934歸國，“負責在中國科學會生物實驗室設立生理化學系。 任國立中央大學中央醫學院醫學院任生物化學教授兼科主任1950年起任南京醫科大學生物學教授兼生物化學系主任。1956年在南京大學被評為一級教授，1959年任南大生化系教研室主任。他編寫了許多教材和教科書。他的一些教科書至今仍在使用，如《普通生物化學》。
100歲以後，他仍然教書、寫書。2010年，俄亥俄州立大學校長E. Gordon Gee博士到南京訪問鄭集。
鄭於 2010 年 5 月享年 110 歲。譽為世界上最年長的教授。  他一生的大部分時間都在南京大學醫學院和生物系任教。他於 2010 年 7 月 29 日去世。  被列為中國老一輩生物物理學家的偉人之一。
* 英文版：''A Preliminary Note on the Epithelium and Its Adjacent Structures of the Fish's Stomach in Spring and Winter''(《初探春季和冬季魚類胃的上皮及其鄰近結構》)，1931，南京，中國科學社
* 英文版：''Are the So-called Poisonous Food-combinations Really Poisonous?''（《所謂有毒食物組合真的有毒嗎？》），1936 ，南京，中國科學社
* 英文版：''A Laboratory Manual of Biochemistry''（《生物化學實驗手冊》），1939 ，
* 《實用營養學》1964，正中書局
* 《健康長壽之路》，1987
* 《衰老與抗衰老》，2001,香港三聯書店
* 《普通生物化學》, 2007,  高等教育出版社
* 《不老的技術：百歲教授養生經》，2008，高寶國際出版社
* 《鑒證長壽-百歲教授的養生經》，2008，四川辭書出版社
* 《最好的醫生是養生》， 2010， 江蘇教育出版社
* 《不老的智慧》，2010，四川辭書出版社
* 英文版: “Lipoid Content” (“脂質含量”) P. 241 (1931)
* 英文版: *“Are the So-called Poisonous Food-combinations Really Poisonous?” (“所謂有毒食品組合真的有毒嗎？”), 1936，Issue 3 of Biochemical publication, Science Society of China Biological Laboratory Volume 11. Science Society of China Biological Laboratory
* 英文版: “A Note on the Vitamin C Content of Some Dried, Sugared and Salted Chinese Vegetables and Fruits (《中國部分乾、糖、鹽蔬果中維生素C含量的註解》), 1939，The Biological Laboratory of the Science Society of China, Zoological series, v. 13, no. 7, Science Society of China
* 英文版: “A Simple Dark Adaptometer” (“簡單暗適應計”), 1946, Chinese Medical Journal, 63A, pp188–190, American Psychological Association
* 英文版: “Biochemical Education In China: Past and Present” (“中國的生化教育：過去和現在”), 1986,
*  我國抗衰理論研究奠基人鄭集教授喜度109周歲生日
*  鄭集110歲教授的生命傳奇
*  南京最長壽老人過110歲生日
*  南京大學為鄭集教授舉辦110周歲生日慶祝會
*  最長壽教授昨過110歲生日 眾多市民前來討壽
粵菜，是中國八大菜系之一，也是四大中國菜系之一，亦稱廣東菜、廣府菜，是廣府民系的代表性菜肴。值得注意的是，雖然客家民系和潮汕民系也生活在廣東省境內，但客家菜和潮州菜（潮汕菜）均不被歸納在粵菜之中。不過，廣府菜也在一定程度上受到客家菜和潮州菜的影響。
屈大均《廣東新語》載：“天下所有食貨，粵地幾盡有之，粵地所有之食貨，天下未必盡也。”反映出它的烹調食材涵蓋範圍很廣。粵菜廚師擅長把食物作改變後，還能滲透出食物原本的味道。流傳有「食在廣州，廚出鳳城」的俗語，其中「鳳城」指的是順德縣（現佛山市順德區）。對于廣東如此豐富的食文化，在包括天津在內的北方地區也有俗語“有腳的桌子椅子不吃”、“四條腿的板凳不吃，兩條腿的廚子不吃”來形容廣東人所食之廣。近代廣東得益於貿易經濟，還有大量外省移民與南洋香料，進一步提高了食物的豐富度。粵菜館亦是海外中國餐館的主流。
粵菜的特色在於著重食物原本的味和配合，因此它只會用很少量的香料，亦少有辣的菜式，但使用香料的種類十分廣。不少廣東菜都會用上薑、蔥、糖、鹽、醬油、米酒、油、滷水等。烹調內臟時會使加多一點如大蒜一類的香料。廣東菜間中會使用五香粉和白-{胡}-椒粉。為了保留原味，一般做得比較為清淡，所以喜歡以清蒸的方式烹調，鮮有帶濃烈的味道。
廣東省有豐富的農業和水產資源，可以較低成本提供新鮮食品，令廣東菜強調烹出自然鮮味。為提高食物的鮮味，廣東菜使用的豬肉、牛肉通常是來自即日被宰的牲口。雞鴨經常是數小時前才宰殺，而魚更會被養在魚缸內直至烹調之前。有時廣東菜餐館中的侍應更會把生猛的魚蝦拿到客人的桌前，以證明食物在烹調前還是活的。在廣東人來看，香料是用來掩蓋過不新鮮的味道。新鮮的海鮮是無氣味的，所以最好的烹調方法是清蒸。以蒸魚為例，只需加少量醬油、薑和蔥，帶出海鮮的自然鮮甜味就可以了。多數餐館都會很喜歡用大蒜和香料去擺脫他們陳舊的海鮮存貨。所以說吃廣東菜有一個簡單法則：香料和食物的新鮮程度成反比。越少的香料就越鮮。
嚴格來說，粵菜再細分三種風格：廣府、客家、潮汕，以上烹調多用於廣府菜。另外客家菜油水重、口味偏重；潮汕菜則以河鮮居多。
由于嶺南地區氣候炎熱潮濕，因此人們愛喝湯滋身，這也使湯水成為粵菜的特色之一。粵菜裡的湯通常是由各種材料熬上數小時而成，因而稱為「老火湯」，有時還會加入中藥。粵菜其中較大眾化的湯有：南北杏菜乾豬肺湯、花生雞腳木瓜湯。
雖然粵菜廚師很注意材料是否新鮮，但粵菜仍然會使用乾貨和醃漬過的食物。一些廚師會結合使用新鮮材料和乾貨。乾貨通常都會先被浸泡在水中然後再烹調，或者乾貨會被烹調較長時間，例如乾鮑和乾貝。至於醃漬食物，不僅可以被保存得更久，有時它們還會因而有獨特的味道。
粵菜中常用的乾貨：
File:HK food Kennedy Town New Chinese Rest BBQ Mix.jpg|粵菜 - 燒味拼盤，是冷盤，有海蜇、叉燒、燒鵝、燒雞、燻蹄等
File:CantoneseWontonnoodle.jpg|雲吞麵
File:Lemonchicken.jpg|西檸雞
File:Crispyfriedchicken.jpg|炸子雞配以蝦片
呂叔湘，譜名鍾湘，學名湘，字叔湘，以字行，男，江蘇丹陽人，中國語言學家，近代漢語學的拓荒者和奠基人。其堂兄為畫家呂鳳子，又與佛學家呂澂同族。
呂叔湘生於在江蘇丹陽，曾就讀于丹陽縣高等小學、江蘇省常州高級中學。
1922年考入國立東南大學外國語言文學系，1926年畢業。畢業后曾在丹陽中學、蘇州中學擔任英語老師。
1936年赴英國留學，先后在牛津大學人類學系、倫敦大學圖書館學科修讀。
留學期間，因中國抗日戰爭開戰，在1938年歸國，回國后歷任云南大學文史系副教授、華西協合大學中國文化研究所研究員、金陵大學中國文化研究所研究員兼國立中央大學中文系教授。
中華人民共和國成立後，擔任清華大學中文系的教授。1952年起，任中國科學院語言所研究員。1953年，成為語言所副所長。1963年至1982年，成為語言所的所長。
1956年7月，中國大辭典編纂處與新華辭書社人員偕語言研究所部分人員一同組建詞典編輯室，呂叔湘兼任該室主任和《現代漢語詞典》的編輯長。
文化大革命時，進入五七幹部學校。
1971年回到自宅，文革中保持沈默。
文革後的1978-1985年任中國文字改革委員會委員、副主任委員、顧問，《中國語文》雜志主編。
1980年，中國語言學會成立，至1985年時都是該會的會長，也是國務院學位委員會委員。還是「中國大百科全書」的語言文字之卷的主編、《中國大百科全書》總編輯委員會委員。
1994年被聘為俄羅斯科學院外籍院士。長年推廣普通話及倡漢字拉丁化，並積極提倡規範文法，要求普通話白話文學及非文學作品皆應合乎其所主張之標準文法。
*1980年起為美國語言學會榮譽會員。
*1987年獲香港中文大學榮譽文學博士學位。
*2004年榮登《世界名人錄》。
1983年5月拿出多年積蓄的6萬元，設立中國社會科學院青年語言學家獎金的基金。
*  呂叔湘中學（原丹陽中學）
黃尾嶼又被稱作黃麻嶼、黃毛山、黃毛嶼或者是黃嶼，在日本則稱呼為久場島，是一座位於臺灣東北方島鏈釣魚臺列嶼東側的荒島。黃尾嶼在一些古代文獻亦被稱為「黃尾山」、「黃尾島」以及「烏港」，並且於明清時期被視為琉球冊封使的航路指標島嶼之一；而在琉球國第二尚氏當時的文獻資料中也以「黃尾嶼」記載之，而由於島嶼上棲息著大量鳥隻使得該島又被稱作「鳥島」。而日語之中所使用的漢字「久場」一詞，則是將琉球語首里－那霸中央方言中原本指蒲葵的「」借用而成，而沖繩地區便常以「」來指稱外觀像蒲葵的黃尾嶼。此外八重山群島地區則由於島嶼土壤呈現黃色緣故，因此常另外以「黃色之島」形容之。
1895年1月14日，日本政府以無主地先佔原則宣布正式將釣魚臺以及周遭的島嶼納入沖繩縣管理範圍，而這也包括作為釣魚臺列嶼之一的南小島。同年4月17日，於甲午戰爭中戰敗的大清帝國和大日本帝國簽訂《馬關條約》，清朝割讓臺灣以及附屬島嶼給與日本，中國政府主張釣魚臺列嶼包含在該條約中被割讓的臺灣附屬島嶼。
1896年時古賀辰四郎向日本政府免費租借釣魚臺、黃尾嶼、北小島和南小島，並且雙方同意在租借30年後改以付費的方式繼續出借土地。不過到了1932年5月20日，古賀辰四郎的兒子古賀善次便向日本政府提議購買釣魚臺和黃尾嶼，同一年還付費買下了包括北小島和南小島等土地。
1945年第二次世界大戰正式宣告結束後，美國於1946年2月2日開始對北緯30度以下的日本領土實施軍事統治。而在1952年4月28日《舊金山和約》正式生效以後，黃尾嶼則改歸為琉球政府進行管理。而在1970年7月時，琉球政府開始於釣魚臺、黃尾嶼、赤尾嶼、北小島和南小島等釣魚臺列嶼的島嶼上架設禁止非法登陸的警告牌。1972年5月15日時，美國決定連同琉球群島以及釣魚臺列嶼都歸還給日本政府進行管理。與此同時，美國政府和日本政府也同意將黃尾嶼和赤尾嶼列為駐日美軍的轟炸練習處。
然而在美國決定將釣魚臺列嶼歸還給日本並且讓後者展開實際統治後，中華人民共和國與中華民國立即主張包含黃尾嶼在內的島嶼皆為中國固有領土；其中儘管日本政府多次表示釣魚臺列嶼並不存在有主權爭議等問題，然而中華人民共和國以及中華民國則認為日本必須歸還因為《馬關條約》而被割讓的釣魚臺列嶼。到了2012年9月11日，日本行政機關向其所認定的釣魚臺、南小島以及北小島的民間所有人栗原家族以20億5千萬日圓的價錢收購土地，這也意味著日本政府將釣魚臺等島嶼的地位國有化。不過在這次事件之中日本政府並未向栗原一家購買黃尾嶼等島嶼，而這項將爭議性的領土「國有化」舉動亦引起中國大陸和臺灣對於釣魚臺議題的嚴重反彈。
黃尾嶼是1座位於中國大陸大陸棚東部邊緣臺灣-宍道褶曲帶的第四紀小規模玄武巖質火山島，其大地座標系位置位於北緯25度55分、東經123度40分。就相對位置來看黃尾嶼則是處於釣魚臺列嶼北方處，並且距離作為主要島嶼的釣魚臺約28公里。整座島嶼面積約為0.9091平方公里，島上最高峰黃毛峰其海拔高度爲117公尺，其他還有高達105公尺的信天山。日本將黃尾嶼和其附近的3個小島礁視為自身專屬經濟區邊界的參考點之一，在2012年3月2日時日本則將這些島礁分別命名為北西小島、北小島和北東小島。不過對於日本將黃尾嶼視為其實際統治領土的主張，中華人民共和國與中華民國則多次表示自身才擁有領土的統治權。其中中華人民共和國在之後公布的釣魚臺附近領海基線中，亦將黃尾嶼周邊的海豚島、下虎牙島、海星島與海龜島列入領海基點。
日本企業家古賀辰四郎過去曾於黃尾嶼西南地區興建柴魚片工廠以及鳥羽加工廠，然而隨著太平洋戰爭爆發以及工廠結束營運後島嶼也成為一座荒島。而在1972年5月15日到1978年6月為止，黃尾嶼和赤尾嶼則一直被美軍作為轟炸練習基地使用之。今日黃尾嶼島上棲息著大量的短尾信天翁，並且有報告指出亦有信天翁開始於此結巢繁殖。此外在島嶼周遭還有包括黃尾嶼龍蝦在內的豐富海產，另外島嶼上還有棲息著作為特有種之的黃尾嶼蜈蚣。
*  http://watchizu.gsi.go.jp/watchizu.html?b=255525&l=1234055
*  http://w3land.mlit.go.jp/cgi-bin/WebGIS2/WC_AirPhoto.cgi?IT=p&DT=n&PFN=COK-78-1&PCN=C3&IDX=2&PNO=1,2,3,4
南小島又被稱作大蛇島或者是鳥島，在日本則稱呼為南小島，是組成釣魚臺列嶼的其中一座荒島，並且常與北小島合稱為橄欖山、薛坡蘭或者是黃茅嶼。其中南小島與北小島之間相隔長約150公尺、寬約200公尺的橄欖門海峽，而過去在東海風浪大時臺灣漁民往往會選擇將船隻駛於此以躲避風浪。南小島的面積約0.40平方公里，而在島嶼上分別有海拔139公尺高的拳頭嶺與89公尺高的拇指峰。
1896年時，古賀辰四郎向日本政府免費租借釣魚臺、黃尾嶼、北小島和南小島，並且雙方同意在租借30年後改以付費的方式繼續出借土地。然而1932年7月15日，古賀辰四郎的兒子古賀善次便向日本政府提議繼續購買北小島和南小島等土地，而在同一年他亦付費買下了釣魚臺和黃尾嶼。1945年第二次世界大戰正式宣告結束後，美國於1946年2月2日開始對北緯30度以下的日本領土實施軍事統治。
在1952年4月28日《舊金山和約》正式生效以後，南小島則改歸為琉球政府進行管理。而在1968年時，陸陸續續有中華民國籍工作人員前往。到了1970年7月時，琉球政府開始於釣魚臺、黃尾嶼、赤尾嶼、北小島和南小島等釣魚臺列嶼的島嶼上架設禁止非法登陸的警告牌。1972年5月15日時，美國決定連同琉球群島以及釣魚臺列嶼都歸還給日本政府進行管理。然而在美國選擇將釣魚臺列嶼移交給日本並且讓後者展開實際統治後，這一項決定馬上促使得中華人民共和國與中華民國紛紛主張包含北小島在內的島嶼皆為中國固有的領土，其中兩者認為日本必須歸還因為《馬關條約》而被割讓的釣魚臺列嶼。
在2010年12月10日時，日本2名沖繩縣石垣市的市議會議員在獲得日本政府核可後登陸南小島。而根據統計在2002年到2012年期間，日本總務省每年花費150萬日圓來向日本政府認定的島嶼所有人栗原弘行一家持續承租南小島的土地使用權。不過到了2012年年9月11日，日本行政機關向其認定的釣魚臺、南小島以及北小島的民間地主以20億5千萬日圓的價錢收購土地，這也意味著日本政府透過的方式將釣魚臺等島嶼的地位國有化。但儘管日本政府已經將南小島列為國有財產，但是一般大眾仍然必須事先獲得許可才能夠登陸島嶼。另外在這次事件之中日本政府並未向其認定的擁有者購買黃尾嶼等島嶼，而這項將爭議性的領土「國有化」舉動亦引起中國大陸和臺灣對於釣魚臺議題的嚴重反彈。
南小島其相對位置位在西表島北方約160公里、釣魚臺列嶼主島釣魚臺東南方約5.5公里處，絕對位置則為北緯25度43.2分、東經123度32分。南小島主要由礫質砂巖、安山巖和珊瑚礁組成，最高峰為位於島嶼西北部、海拔高度139公尺的拳頭嶺，第二高峰則為位於島嶼東南部、海拔高度89公尺的拇指峰。南小島周遭海域還有如龍門島、臥龍島、飛龍島、龍珠島、長龍島以及金龍島等許多小島礁，並且在北邊隔著的橄欖門與北小島相望。
日本企業家古賀辰四郎過去曾於黃尾嶼西南地區興建柴魚片工廠以及鳥羽加工廠，然而隨著工廠結束營運之後島嶼也成為一座荒島。另外過去南小島由於盛產各種蛇類因此又被稱作「大蛇島」，甚至由於蛇隻數量過多反而造成島嶼上的鳥類絕跡。植物方面，據1950至60年代琉球大學所進行的調查顯示，釣魚島主島上主要分6種植物群落，而主島和南小島合計有89科235種蕨類植物和種子植物，然而島嶼缺乏農業價值。1971年4月1日，琉球大學調査團在南小島發現12隻常居、且被列為瀕危物種的短尾信天翁，2002年也有研究報告指有短尾信天翁將南小島視為繁殖地。
*  http://watchizu.gsi.go.jp/watchizu.html?b=254337&l=1233246
北小島又被稱作大鳥島，在日本亦稱呼為北小島，是位於臺灣東北方島鏈釣魚臺列嶼東側的荒島。其中北小島因為有許多鳥類棲息而又被稱作「大鳥島」，並且常與南小島合稱為「橄欖山」、「薛坡蘭」或者是「黃茅嶼」。在2012年1月16日日本政府開始劃定自身專屬經濟區邊界的參考點後，於同年3月2日時也將釣魚臺北方的島礁、赤尾嶼北方的島礁和黃尾嶼北方的島礁皆命名為北小島。但對於日本堅持將北小島視為其實際統治領土的主張，中華人民共和國與中華民國則多次表示自身才擁有領土的主權。北小島與南小島之間相隔長約150公尺、寬約200公尺的橄欖門海峽，而過去在東海風浪大時臺灣漁民往往會選擇將船隻駛於此以躲避風浪。北小島島上主要地形包括有135公尺高的獅峰與鷹峰，以及蓮花石和孔明石等景觀。
1896年時，古賀辰四郎向日本政府免費租借釣魚臺、黃尾嶼、北小島和南小島，並且雙方同意在租借30年後改以付費的方式繼續出借土地。然而1932年7月15日，古賀辰四郎的兒子古賀善次便向日本政府提議繼續購買北小島和南小島等土地，而更早之前還付費買下了釣魚臺和黃尾嶼。
1945年第二次世界大戰正式宣告結束後，美國於1946年2月2日開始對北緯30度以下的日本領土實施軍事統治。而在1952年4月28日《舊金山和約》正式生效以後，北小島則改歸為琉球政府進行管理。在1970年7月時，琉球政府開始於釣魚臺、黃尾嶼、赤尾嶼、北小島和南小島等釣魚臺列嶼的島嶼上架設禁止非法登陸的警告牌。1972年5月15日時，美國決定連同琉球群島以及釣魚臺列嶼都歸還給日本政府進行管理。然而在美國決定將釣魚臺列嶼移交給日本並且讓後者展開實際統治後，這一項決定馬上促使得中華人民共和國與中華民國紛紛主張包含北小島在內的島嶼皆為中國固有的領土；其中中華人民共和國和中華民國政府皆表示日本必須歸還因為《馬關條約》而被割讓的釣魚臺列嶼，但是對此要求日本政府則認為釣魚臺列嶼本身並不存在有主權爭議。
在1996年時，日本右翼政治團體則派人前往北小島建設簡易燈塔。而根據統計在2002年到2012年期間，日本總務省每年花費150萬日圓來向日本政府認定的島嶼所有人栗原弘行一家持續承租北小島的土地使用權。不過到了2012年9月11日，日本行政機關向其認定的釣魚臺、北小島以及南小島的民間地主以20億5千萬日圓的價錢收購土地，這也意味著日本政府透過的方式將釣魚臺等島嶼的地位國有化。但儘管日本政府已經將北小島列為國有財產，但為了維護島嶼的平穏和安定使得日本政府嚴格禁止石垣市同意他人對島嶼進行測量或者開發，而一般大眾仍然必須事先獲得許可才能夠登陸島嶼。而雖然在這次事件之中日本政府並未向其認定的擁有者購買黃尾嶼等島嶼，然而這項將爭議性領土「國有化」的舉動亦引起中國大陸和臺灣對於釣魚臺議題的嚴重反彈。
北小島其相對位置位在西表島北方約160公里、釣魚臺列嶼主島釣魚臺東南東方約5公里處，而絕對位置則為北緯25度43.6分、東經123度32.3分左右。整個島嶼寬約540公尺、長約880公尺、海岸線長約3.5公里，而面積則有0.31平方公里。北小島周邊包括有鳥巢島、鳥卵島、小鳥島等若干小島礁，並且在南邊隔著寬度約200公尺的橄欖門與南小島的拳頭嶺相望。兩者之間的橄欖門海峽長約150公尺，過去在東海遭遇較強風浪時臺灣漁民多會將船隻駛於此水道以躲避風浪。北小島最高峰為位於南部、海拔高度135公尺的獅峰，而第二高峰則為位於中部偏北的鷹峰，其他較高處還有孔明石以及蓮花石。北小島島嶼上棲息著各種鳥類，高良鐵夫在1953年8月發現北小島附近海域有大量出被列為瀕危物種的短尾信天翁，而在2002年時也有報告指短尾信天翁開始於島嶼上繁殖。1970年12月10日，九州、長崎大學合同學術調査團也在北小島發現數隻黑腳信天翁。
沖南巖又被稱作南巖、大南小島或者是蛇島，在日本則稱呼為沖之南巖，是釣魚臺列嶼中的一座無人荒島。沖南巖本身島嶼地質為火山島結構火山島，通常跟和它相應的沖北巖一同被歸類為釣魚臺其附屬島嶼中。其相對位置位在石垣島北方約160公里、釣魚臺列嶼主島釣魚臺東方約7公里處，島嶼整體面積約0.01平方公里，而其海拔高度最高僅有13公尺。目前包括日本、中華人民共和國和中華民國都聲稱擁有沖南巖之主權，其中日本認定沖南巖等釣魚臺列嶼皆為其實際統治的領土，但是另外一方面中華人民共和國與中華民國則多次表示自身才合法擁有該土地的主權。
*  http://watchizu.gsi.go.jp/watchizu.html?b=254519&l=1233359
沖北巖又被稱作北巖、大北小島或者是鳥島，在日本則稱呼為沖之北巖，是釣魚臺列嶼中的一座荒島。沖北巖本身島嶼地質為火山島結構，通常跟和它相應的沖南巖一同被歸類為釣魚臺其附屬島嶼中。目前包括日本、中華人民共和國和中華民國都聲稱擁有沖北巖之主權，其中日本主張對沖北巖等釣魚臺列嶼擁有主權並為由其實際統治的領土，但是另一方面中華人民共和國與中華民國則多次表示自身才合法擁有領土的主權。
沖北巖位在石垣島北方約160公里、釣魚臺列嶼主島釣魚臺北東方約6公里處，而其確實位置則為北緯25度46.5分、東經123度32分。島嶼整體面積約0.05平方公里，而其海拔高度最高僅有28公尺。沖北巖主要由北-{}-嶼、元寶島和飛雲島3個主要島嶼所組成，而在北-{}-嶼和元寶島之間則隔著元寶門海峽。而在最大的島嶼北-{}-嶼周邊還有數個小型島礁聚集，其中主要的包括有沖北巖仔島以及小元寶島，而有的時候亦會直接以「北-{}-嶼」作為主要島嶼北-{}-嶼和附近小礁石的統稱。而另外一方面，日本則依照島嶼相對方位而將沖北巖分成東巖與西巖2個主要巖礁。
*  http://watchizu.gsi.go.jp/watchizu.html?b=254652&l=1233239
呂鳳子，譜名鍾濬，原名濬，字鳳癡，號鳳子，晚以號行，男，江蘇丹陽人，中國國畫宗師，美術教育家。其弟為佛學家呂澂，堂弟為史學家呂叔湘。
幼時聰穎，1901年十六歲時參加科舉考試，一舉得中秀才，一時與胡小石兩人并稱“江南才子”。1903年在蘇州武備學堂習武。1907年秋考入南京兩江優級師范學堂，入圖畫手工科。兩江師范學堂由兩江總督署所辦，為江南第一學府；也是中國近代美術教育事業的先驅，畢業生成為之后不久成立的南京、上海、蘇州、杭州等地美術和藝術專科學校的師資先驅，開拓發展了早期的中國藝術教育。生源主要來自江南省和江西省，人才濟濟。與姜丹書、汪采白、凌文淵、李健、關溉亭等人同學，師從李瑞清等人，1910年畢業。1910年在上海創辦中國第一所美術專科學校神州美術院，1912年在江蘇丹陽創辦正則女子學校，1940年在四川壁山創辦正則藝術專科學校；曾任兩江師范學堂附中教員、北京女子高等師范學校教授兼圖工科主任、上海美術專科學校教授兼教務主任、國立東南大學教授兼藝術系主任、國立中央大學教授兼圖畫科主任、鎮江中學校長、江蘇師范學院教授兼國畫制圖系主任等。
呂鳳子一生培養眾多美術人才，為中國現代美術教育宗師。劉海粟、徐堅白、李可染、吳冠中、張安治、姚夢谷、鄧白、楊云龍、烏密風、劉魯生等人都是他的弟子。三十年代與國畫家張大千、顏文梁、陳之佛、高劍父和西畫家徐悲鴻、潘玉良、呂斯百、龐薰琴等人執教于南京中央大學藝術系時，其弟子徐悲鴻、張書旗、柳子谷曾合稱畫壇“金陵三杰”。