ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
1818年，索倫?阿貝爾與神學家Stener Johannes Stenersen展開一場關於Stenersen於1806年著作的教義問答的神學爭論，並且被媒體廣泛報導。於是，索倫贏得了一個稱號－阿貝爾辯論(挪威文: Abel Spandabel)。尼爾斯?阿貝爾對此表示：「這真是天大的慶典」。同時，索倫?阿貝爾又因侮辱主持人而遭到彈劾。於是，1818年九月索倫結束其政治生涯並搬回耶爾斯塔，兩年後，他死於飲酒過量，享年48歲。
1821年，阿貝爾進入奧斯陸大學就讀時，就已是在挪威小有名氣的數學家。而由於經濟能力不佳，Bernt Michael Holmboe提供他獎學金並向朋友募款籌錢資助他。但阿貝爾此時已熟讀學校圖書館最新的數學文獻，老師難以提供知識給他。此時，阿貝爾開始研究困擾數學家兩百五十年的問題—一元五次方程式求根公式解。並且將證明寄到北歐當時數學相對成熟的克里斯欽自由城，審查的瑟倫·拉斯穆森教授與教授無法找出錯誤，但半信半疑，於是轉寄到哥本哈根給北歐數學第一把交椅—費迪南德?戴根。他也找不出任何錯誤，但不相信一個遠在克里斯欽自由城的學生有能力解決此擊倒無數傑出數學家的難題，戴根在回信中要求阿貝爾給予幾個範例解釋其證明，並加註：阿貝爾如此聰明的頭腦不應浪費在此「無縫」的難題，並建議阿貝爾鑽研橢圓函數及超越數等新興的領域，戴根並寫道：「你會找到通往廣闊的分析學海洋的麥哲倫海峽。」
阿貝爾在計算範例時，發現了其證明的嚴重錯誤。1822年，阿貝爾從奧斯陸大學畢業，其在校表現平平，但數學方面十分突出。
阿貝爾筆記本上的一頁
大學畢業之後，奧斯陸大學教授仍然給予阿貝爾經濟援助，克里斯托弗·荷斯坦教授甚至讓阿貝爾住在他家的閣樓，阿貝爾因此視荷斯坦夫人他第二個母親。此時期，阿貝爾幫助弟弟皮德通過挪威的國家藝術考試，也幫妹妹伊沙貝斯在城裡找到工作。
1823年初，阿貝爾第一篇文章發表在挪威最早創始的期刊"自然科學期刊"，正好荷斯坦教授也是該期刊的創始人之一。阿貝爾接著在自然科學期刊發表幾篇文章，但期刊的編輯逐漸認為阿貝爾的文章過於艱澀，與該期刊傳播科學於大眾的導向相左。同年，阿貝爾以法文寫成論文"積分所有微分公式的可能性的廣義表徵"(挪威文: en alminnelig Fremstilling af Muligheten at integrere alle mulige Differential-Formler)。他向哥廷根大學申請資金以發表該論文，但文章在審查的過程中不慎遺失，往後也沒被找到。
1823年中，拉斯穆森(Rasmussen)教授提供阿貝爾 100 挪威泰勒的獎學金去哥本哈根拜訪戴根及其他優秀數學家。在哥本哈根，阿貝爾對費馬最後定理做了些研究，阿貝爾叔叔Peder Mandrup Tuxen當時住在位於哥本哈根的軍港克里斯蒂安，阿貝爾在這段時間認識他的未婚妻坎普·克里斯汀。
坎普·克里斯汀
1824年，克里斯汀搬到挪威的索恩鎮，該年的聖誕節，兩人完成訂婚，而這段時間，克里斯汀的職業是當地一名有錢人的家庭女教師。
回到挪威之後，阿貝爾打算到法國和德國與一流的數學家學習，於是向政府申請獎學金。起初，政府只給他一年 200 挪威泰勒，共兩年的獎學金讓它留在克里斯蒂學習法文和德文。兩年後，阿貝爾才獲得每年 600 挪威泰勒的獎學金，並且政府答應將來允許他出國深造。在學習法文和德文的這段時間，阿貝爾以法文發表它的第一個著名的工作：一般一元五次方程式無公式解的代數方程證明，現在該定理稱為阿貝爾-魯菲尼定理。然而，因為阿貝爾經濟條件不佳，無法支付昂貴的大量影印費用，故該文只有精簡的六頁，讀起來艱澀難懂。此外，阿貝爾曾將它寄給高斯，但也遭高斯棄置一旁。直到1826年，阿貝爾才在克雷勒雜誌的第一期發表其完整的證明。
1825年，阿貝爾寫信給挪威國王卡爾三世·約翰，希望能出國學習數學，國王允許他的請求。九月，克里斯汀獨自留在挪威，阿貝爾和四位大學同學一同出國，四位同學分別是克里斯琴P.B 部克、巴爾薩澤 M. 克來哈、尼古拉 B. 穆勒和奧托坦克，一行人到哥本哈根後便分道揚鑣，他們要去柏林或阿爾卑斯山研究地理。阿貝爾原先申請獎學金時預定要前往哥廷根拜會卡爾·弗里德里希·高斯，但他臨時決定和同學一起去柏林，之後再去哥廷根和巴黎。
在前往柏林的途中，阿貝爾經過阿爾托納，現今隸屬於漢堡市，拜訪天文學家海因里希·克里斯蒂安·舒馬赫。接著，阿貝爾在柏林停留四個月，其間結識數學家奧古斯都·利奧波德·克雷勒，克雷勒此時正在創辦期刊Journal für die reine und angewandte Mathematik，提供阿貝爾發表研究成果一個很好的舞臺，阿貝爾遂大量投稿於該期刊，期刊的第一年阿貝爾即提供七篇文章，大大提升該期刊的品質，直到今天該期刊仍持續發行。
離開柏林後，阿貝爾與同伴往阿爾卑斯山方向前進，分別至來比錫與弗萊貝格拜訪卡爾·弗里德里希·瑙曼與其弟奧古斯特·瑙曼，阿貝爾在弗萊貝格做一些關於橢圓函數與雙曲函數的研究，以及阿貝爾函數。
接著，阿貝爾先後到達德累斯頓、布拉格、維也納、第里雅斯特、威尼斯、維洛那、波札諾、因斯布魯克、盧塞恩以及巴塞爾。1826年六月，阿貝爾與同伴分別，獨自從巴塞爾前往巴黎。在巴黎，當時居住於此的挪威畫家 Johan G?rbitz 幫阿貝爾找到一間公寓，讓他可以繼續從事其代數微分可加性定理的研究。誠如前述，阿貝爾將其一生大部分的文章投在克雷勒創辦的雜誌 Journal für die reine und angewandte Mathematik，但他於1826年十月完成一生最重要的工作——代數微分的可加性定理後，將它交給法國科學院。但由於阿貝爾的工作幾乎不為人知，而且阿貝爾的個性謙虛，不會四處宣揚他的發現，負責審查該論文的數學家奧古斯丁·路易·柯西將之視為天方夜譚，並擱置在一旁，直到阿貝爾死後才有人回去科學院找出它。
西元1827年1月，阿貝爾的在也負擔不起昂貴的旅費，他回到柏林，短暫的擔任任過克雷勒的雜誌 Journal für die reine und angewandte Mathematik 的編輯，四個月後又辭職，回到挪威。
阿貝爾的旅途實質上並未為他帶來幫助，他在哥廷根沒有見到高斯，也沒有在巴黎發表任何文章。政府因此停止提供阿貝爾獎學金，他只好向挪威銀行貸款 200 挪威泰勒應急，但至死不曾償還。同時他開始擔任家教賺取生活費，並且將他大部分的文章投到克雷勒的雜誌。1828年中，他將其一份重要的橢圓函數論論文投到天文學通報(當時該報社位於阿爾托納區，後來先後遷到基爾、柏林)，以和卡爾·雅可比競爭橢圓函數論領域的領導地位。
在巴黎期間 ，阿貝爾曾染上肺結核，長期的旅行加劇了他的病情。1828年圣誕節，他滑著雪橇到弗羅蘭拜訪他的未婚妻克里斯汀，兩人一起享受假期的歡愉使其病情稍有緩解。在此同時，克雷勒已為阿貝爾爭取到柏林大學的教授職位。克雷勒寫信告訴阿貝爾這個好消息，但信件送達時已太遲了，兩天前，1829年4月6日，阿貝爾已經病逝。
16 歲時，阿貝爾證明了二項式定理對所有的數字成立，擴展了歐拉的研究：只對有理數成立。19歲時，他發現沒有一般的代數五次方程的根的解決方案。為了要做到這一點，他發明（和伽羅瓦各自獨立發明）極其重要的理論：群論 。除此之外，阿貝爾對橢圓積分理論基礎很有貢獻，並且研究部分的橢圓函數、超橢圓函數，以及另外一類後來以他名字命名的阿貝爾函數，並寫了直到他去世后才被世人發現的橢圓函數的巨著。當阿貝爾在巴黎時，他發表了一篇論文，提出橢圓函數具有雙週期的特性，阿德里安-馬里·勒壤得將該文交給柯西，並引用羅馬詩人賀拉斯的話，說該文乃是一個「比青銅還不朽的里程碑」。然而，柯西仍然不曾把它當一回事。
阿貝爾曾談及高斯的簡潔的寫作風格，“他是像狐貍用尾巴抹去它的蹤跡”，就如高斯自己說的：“建筑完成就要拆除腳手架。」
三次多項式在坐標平面上的圖形
多項式是代數學中的基礎概念，是由稱為未知數的變量和稱為系數的常數通過有限次加減法、乘法以及自然數冪次的乘方運算得到的代數表達式。多項式是整式的一種。未知數只有一個的多項式稱為一元多項式；例如就是一個三項一元二次多項式。未知數不止一個的多項式稱為多元多項式，例如就是一個三項三元三次多項式，一個多項式有幾次取決于最高的那個項的次數。(xy屬于二次)
可以寫成只由一項構成的多項式也稱為單項式。如果一項中不含未知數，則稱之為常數項。
多項式在數學的很多分支中乃至許多自然科學以及工程學中都有重要作用。
給定一個環（通常是交換環，可以是有理數、實數或者復數等等）以及一個未知數，則任何形同：
的代數表達式叫做上的一元多項式。其中是中的元素。未知數不代表任何值，但環上的所有運算都對它適用。在不至于混淆的情形下，一般將一元多項式簡稱為多項式。可以證明，兩個多項式的和、差與積仍然是多項式，即多項式組成一個環，稱爲上的（一元）多項式環。而所有的二元多項式則可以定義為所有以一元多項式為系數的多項式，即形同
的代數表達式。其中都是中的元素。全體這樣的表達式也構成一個環，記為。以此類推，可以定義所有元多項式集合：
多項式總可以表示為有限個元素的和，其中每個元素都是未知數與中一個常數的乘積，這樣的元素稱為多項式的項，其中的常數稱為該項的系數。在中，多項式的每一項都是形同的乘積形式。其中是系數，被稱為在這一項中的次數。所有之和稱為這一項的次數。比如在以下這一項：
中，系數是，不定元的次數是，的次數是，這一項的次數是。可以寫成只由一項構成的多項式也稱為單項式。如果一項中不含未知數，則稱之為常數項。
某個未知數在多項式各項中最大的次數稱為多項式中未知數的次數，擁有這樣次數的的項被稱為的最高次項。所有項的次數中最高的稱為多項式的次數。對于一元多項式來說，唯一的未知數的次數也稱為多項式的次數，未知數的最高次項也稱為多項式的最高次項。
例如多項式：中的次數最高，是，故此多項式的次數為四。因而此多項式可稱為三元四次四項式。稱為四次項，、稱為一次項或線性項，而是零次項或常數項。
多項式的次數記作。約定零多項式沒有次數，也沒有未知數。常數多項式分為零次多項式（非零常數）和零多項式。一次多項式又稱為線性多項式。多項式中的一次項又稱為線性項。如果某個多項式的所有項都有相同次數，則稱其為齊次多項式。
一個一元多項式被稱為首一多項式，如果它的最高次項的系數是的單位元。
選定一個未知數后，多項式可依各項中該未知數的次數以降序或升序排列。次數從低到高是升冪排列。次數從高到低是降冪排列。例如
是依''X''的次數降冪排列。而
則是以''Y''的次數升冪排列。
兩個多項式相加可以看作是對兩組單項式的和進行重組與合并同類項。通過加法結合律，可以將同類項放在一起，合并之后就得到了兩個多項式的和。例如以下的兩個多項式：
它們的和是：
化簡之後得到：
例如以下的兩個多項式：
計算它們的乘積，步驟如下：
和整數之間的帶余除法類似。可以證明，設有多項式和非零多項式，則存在唯一的多項式和，滿足：
而多項式若非零多項式，則其乘冪嚴格小于的乘冪。
作為特例，如果要計算某個多項式除以一次多項式得到的餘多項式，可以直接將代入到多項式中。除以的餘多項式是。
具體的計算可以使用類似直式除法的方式。例如，計算除以，列式如下：
因此，商式是，餘式是。
，f(x)除以g(x)
，應用多項式乘法的矩陣算法
因式分解是指把一個多項式分解成幾個（非常數的）多項式的乘積。其中的每一個多項式稱為原多項式的因式。因式分解有助于理解多項式的性質，比如根的分布等等。因式分解的結果通常和多項式所在的系數域有關。如果要求因式分解後的每一個因式都在一定的系數域（比如有理數域）里面，那么結果可能和要求它們在另一個系數域（比如說復數域）里不同。比如多項式在有理數域內分解為：
在實數域內則可以進一步分解為：
在復數域內還可以再進一步分解：
如果給定了系數域，那么在不考慮因式排列順序的情況下，因式分解是唯一的。如果（在給定的系數域上）一個多項式不能被表示為次數嚴格比它低的多項式的乘積，就稱它為不可約多項式。因式分解一般是指將多項式分解到不可再分的多項式乘積，也就是不可約多項式的乘積，否則稱其為不完全的因式分解。
對于一元多項式來說，所有復系數多項式都可以分解成若干個一次因式的乘積，這個結論等價于代數基本定理。所有實系數多項式都可以分解為次數不超過二次的多項式的乘積。比較復雜的是有理數系數多項式的因式分解。首先，給定一個有理系數多項式，可以將其乘以一個特定的有理數，將其變成一個整系數多項式，所以有理系數多項式和整系數多項式的因式分解是等價的。如果一個整系數多項式各項系數的最大公約數是，就稱其為本原多項式。不是本原多項式的整系數多項式，假設其各項系數的最大公約數是，那么可以將的因式分解問題轉化為本原多項式的因式分解問題。所以有理數系數和整系數多項式的因式分解都等價于本原多項式的因式分解問題。利用本原多項式可以證明：整系數多項式如果能分解為有理系數多項式的乘積，那么也必然能分解成整系數多項式的乘積。艾森斯坦判別法給出了判定整系數多項式不可約的充分條件。另一個常用的準則與多項式的最高次項系數與常數項系數有關。如果某個多項式有某個有理數根（既約形式），那么分子必然整除常數項系數，而分母也必然整除最高次項系數。
多項式函數是指給多項式中的不定元賦值的映射。比如說一元多項式函數的普遍形式為：
其中的是一個代數，可以是有理數、實數或復數。多項式函數是函數而不是多項式，但多項式函數之間也可以進行像多項式一般的加法、乘法運算，其結果仍舊是多項式函數。所以所有的多項式函數也構成一個環，而且這個環顯然和多項式環同構。
與多元多項式對應的也有多元多項式函數。比如就是一個與二元多項式對應的二元多項式函數。
所有多項式函數都是光滑函數（無限可微連續函數），因此可以定義其導數、原函數等概念。另外，當每個變量都趨于無窮大（絕對值）的時候，多項式函數的值（絕對值）也趨于無窮大。
如果把（一元）多項式中的所有系數全都約束為到某個正整數之間的整數（不包括），再把代入多項式函數計算，這其實相當於寫出一個進制整數——按降冪排列，每一項系數（沒有則補零）正是對應位置的數字。例如，可看作時的。
多項式方程是指多項式函數構成的方程。給定多項式，則對應的多項式函數可以構造方程：
就是一個多項式方程。
如果某個使得多項式方程，那么就稱為多項式方程的解，或多項式函數的一個根或零點。多項式函數的根與多項式有如下關系：如果某個是多項式函數的一個根，那么一次多項式整除多項式，也就是說存在多項式，使得：；反之亦然。如果存在（一般來說大于的）正整數，使得，那么稱是多項式函數的一個重根。
多項式的根是否存在以及根的數目取決于多項式的系數域以及指定的根所在的域。代數基本定理說明，復系數多項式在復數域內必然有至少一個根。這可以推出，次多項式函數必定有個根。這里說的個根指包括了重根的情況。另外可以證明，奇數次實系數多項式在實數域內至少有一個根。
是兩個不同的項
若存在i使得，但，則在前
例如，這種排列法稱為字典排列法。
多項式函數在分析學中有重要的作用。由于多項式函數有簡潔明確的形式，很容易對其進行量化分析。比如，多項式函數
它的導函數是：
它的原函數（族）是：
這個定義可以類比到多項式本身，令多項式中也定義導數的概念。多項式的導數多項式是：
它的積分多項式則是：
一個次多項式（大于等于）的導數多項式是一個次多項式。常數多項式的導數多項式是零多項式。它的積分多項式則是一個次多項式。和分別稱為多項式的微分算子和積分算子。
多項式可以推廣到係數在任意一個環的情形，請參閱條目多項式環。
-{zh-cn:朱鹮;zh-tw:朱鷺}-（學名：'），又名-{zh-cn:朱鷺;zh-tw:朱?;}-、日本鳳頭鹮、朱臉鹮鷺，在日本亦俗稱桃花鳥，是一種罕見的中型?科鳥類，也是朱?屬（屬名：）的唯一物種，曾一度廣布於東北亞，如今僅在中國漢中盆地尚存野生族群。根據2014年的統計，全球野生朱鷺數量僅存一千餘隻。
與大部分鷺科鳥類相似，朱鹮的棲息地和取食地是分開的，它們喜歡棲息在高大的喬木頂端，在水田、沼澤、山區溪流附近覓食。
朱鹮曾經是分布非常廣泛的一個鳥種，歷史上中國東北、臺灣（1945年以前）、日本、朝鮮和俄羅斯的西伯利亞都有朱鹮分布的記錄。它在中國的分布范圍較廣泛，也曾經是東亞地區非常常見的一個鳥種。在江戶時代的日本，由于朱鹮數量過多危害農業，曾有農民向幕府申請要求驅趕捕獵朱鹮。但從1960年代開始，本物種的數量陡降，到1970年代，中國、日本和蘇聯的科學家花費大量精力尋找朱鹮但一無所獲，一度以為朱鹮已經滅絕。日本最后5只野生朱鹮于1981年被全部捕獲，進行人工飼養以復育但失敗；2003年10月10日朱鷺「」死亡後，日本原生的野生朱鹮已告絕滅。日本現有的朱鹮是1990年代從中國引進的，為中日兩國合作人工繁殖的育種。
中國自從1964年后沒有朱鹮的報道。直到1981年，中國科學家劉蔭增帶領團隊經過三年五萬多公里的科學考察，終于在陜西南部的漢中洋縣發現了僅存的7只朱鹮，并在那里建立專門的保護區，目前中國是世界上唯一有野生朱鹮分布的國家。30多年後，2018年的野生種群數量已經超過1700只，并建立了一定規模的人工飼養和再引入種群。朱鹮終于擺脫了“野外滅絕”的危險。
朱紅色區域是朱鷺過去的分布區域。白色圓點則是朱鷺的復育地點。
朱鹮為雄雌同形同色的鳥類，成鳥全身羽色以白色為基調，但上下體的羽干以及飛羽略沾淡淡的粉紅色，尤以初級飛羽的粉紅色較濃，頭頸部的羽毛特化伸長形成下垂的冠羽，整個面部，包括額部、眼周、眼瞼和下嘴基部裸露無羽毛，且呈鮮艷的紅色，喙的尖端和下喙的基部紅色其他部分黑色，虹膜金黃色，腳亦為鮮亮的紅色。
朱鹮的灰色羽毛是繁殖羽，繁殖季節的成鳥在整個頭部和頸部乃至肩部會分泌出黑色的粉末狀物質，通過朱鹮的“水浴”，將頭部，頸部和背部部沾染成灰黑色。但必須指出這種顏色的變化是由分泌物造成的，而非羽毛本身顏色的變化。幼鳥為成鳥的灰色版本，在成鳥應為白色的羽毛在幼鳥均為灰色。頭部的冠羽較短。朱鹮的叫聲非常嘈雜刺耳。
朱鹮平均壽命為20-30歲。最長壽的朱鹮為日本在1968年3月捕獲的名叫“阿金”，人工飼養條件下于2003年10月10日因為頭部撞擊籠子而死亡，歿年36歲。
身長75公分，翼展可達130公分。
朱鹮是一種觸覺性取食的鳥類。朱鹮喙部尖端有很多觸覺細胞，常用其長而彎的喙部從水下的泥里探尋蝦蟹、蛙類、小魚、田螺甲蟲等水生動物為主食，有時還會吸入泥土來萃取有機物質。其他食物還有泥鰍、鯽魚、黃鱔，蛙類，河蟹，澤蝦，田螺、蝌蚪，蟋蟀，蝗蟲，蟬，蛇類，蠑螈，水生昆蟲；偶爾也會吃一些稻穗，豆類，蕎麥，草籽等。
朱鹮每年4月開始筑巢，巢構建在楊樹等高大喬木的樹梢，離地面有5－10米的高程，巢系由樹枝枯藤等材料交纏而成，每巢產卵2－4枚，卵淡青色，具褐色斑點，孵化期約一個月。
* CITES瀕危等級：附錄I 生效年代：1997年
* IUCN瀕危等級：瀕危 生效年代：1996年
* IUCN瀕危等級：EN D 生效年代：2003年
* 中國國家重點保護等級：一級 生效年代：1989年
* 中國瀕危動物紅皮書等級：瀕危 生效年代：1996年
目前朱鹮受到生存環境惡化、天敵威脅和自身生物學性質的影響而瀕危。由于適合朱鹮筑巢的高大喬木遭砍伐，以及適合朱鹮覓食的水田大面積改造為旱田，本物種的生存空間正在不斷收縮，另外越來越廣泛使用的農藥也威脅了他們的安全；朱鹮種群高度密集，至今只有一個野外種群，一旦爆發疫情很容易造成種群滅絕，另外自身繁殖能力低下與抵御天敵的能力較弱也是造成本物種瀕危的重要原因。
2014年5月28日，在中國大陸陜西省漢中市洋縣被拍攝到王錦蛇攻擊保護鳥類朱鹮的照片。
1986年在中國林業部的支持下，陜西省政府在洋縣成立“陜西朱鷺保護觀察站”專門負責朱鹮的保護與研究。從1993年至2003年，在陜西、北京等地共建立了十三個朱鷺保護地，總面積達四千二百三十公頃，此外為了擴大種群，北京動物園還積極開展朱鷺人工繁殖的研究，是世界上最早成功繁殖朱鷺的科研機構。主持這項工作的是北京動物園高級工程師李福來。
2008年朱鹮在浙江省德清縣開始進行野外放養訓練和養殖，浙江大學提供技術支持。
中、日兩國從1985年起共同保護朱鷺，並簽訂了《中日共同保護朱鷺計劃》，各自為立法及教育推廣保護朱鷺而努力。
:*  陜西漢中朱鹮國家級保護區（陝西漢中トキ國家級保護區）
:*  佐渡トキ保護センター
:**  野生復帰ステーション
:*  はばたけトキ：新潟日報社 - 新潟日報の新聞記事アーカイブサイト
:*  トキと人びと --放鳥へ - 朝日新聞サイト內での特集
:*  トキ情報 - 環境省によるトキのページ
:**  放鳥トキ情報 - 環境省による放鳥トキのページ（毎日更新される）
:*  （牛浦トキ）  （ 日本語版）
:*  ''Nipponia nippon''  - IUCNレッドリスト Version 2010.4.
:*  ''Nipponia nippon'' - Japanese Crested Ibis - 鳥類の動畫サイト "the Internet Bird Collection" 內のページ
拋物線、準線L與焦點F
每秒30次拍攝的跳躍的球所形成的拋物線軌跡
拋物線形熔巖流
拋物線是一種圓錐曲線。在一個平面內，拋物線的每一點Pi，其與一個固定點F之間的距離等於其與一條不經過此點F的固定直線L之間的距離。這固定點F叫做拋物線的「焦點」，固定直線L叫做拋物線的「準線」。
*軸：拋物線是軸對稱圖形，它的對稱軸簡稱軸。
*頂點：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點。
*弦：拋物線的弦是連接拋物線上任意兩點的線段。
**焦弦：拋物線的焦弦是經過拋物線焦點的弦。
***正焦弦：拋物線的正焦弦是垂直于軸的焦弦。
*直徑：拋物線的直徑是拋物線一組平行弦中點的軌跡。這條直徑也叫這組平行弦的共軛直徑。
**主要直徑：拋物線的主要直徑是拋物線的軸。
拋物線即把物體拋擲出去，落在遠處地面，這物體在空中經過的曲線。
在焦點上的點光源發出的光線，經拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸。典型應用如手電筒。
*過拋物線焦弦兩端的切線的交點在拋物線的準線上；
*過拋物線焦弦兩端的切線互相垂直；
*以拋物線焦弦為直徑的圓與拋物線的準線相切；
*過拋物線焦弦兩端的切線的交點與拋物線的焦點的連線和焦點弦互相垂直；
*過焦弦兩端的切線的交點與焦弦中點的連線，被拋物線所平分；
*過焦弦的一端作準線的垂線，垂足、頂點和焦弦的另一端點三點共線；
*由焦弦兩端分別作準線的垂線，兩垂足與拋物線焦點的連線互相垂直；
拋物線的標準方程有四個：
（開口向右）；
（開口向左）；
（開口向上）；
（開口向下）；
（p為焦準距）
*在拋物線中，焦點是，準線的方程是；
**c=焦點至頂點之距離的絕對值
焦點在 x 軸正半軸的拋物線參數方程為：
拋物線上任意一點P至準線之距離與P至焦點C的距離恆等
拋物線的準線方程：將拋物線的方程化為標準形式：
拋物線的方程：，焦點在x軸上
它的準線為：
拋物線的方程：，焦點在y軸上
安東尼·高第所設計的米拉公寓的拱型結構
*拋物線平移是自頂點（上式）移至頂點
#截距：拋物線在軸和軸上的截距都是，也就是說，拋物線經過坐標原點，這個點是拋物線的頂點。
#對稱性：拋物線關于軸對稱。
#范圍：因為，所以當時，y才有實數值。又因為，所以可取任何實數值。當增大時，的絕對值也隨之增大，因此該拋物線在軸的右側向上、向下無限伸展。
#離心率：拋物線上一點到焦點的距離與這一點到準線的距離的比叫做拋物線的離心率。拋物線的離心率等于。
若拋物線方程式為：，
則過此拋物線上一點之切線方程式為
*記憶方式：拋物線中的項，二次項為兩半，改成，
虎尾鎮位於雲林縣中央，因其產業活動而有「糖都」、「巾都」之稱。鎮內人口約7萬人，為雲林地區重要的農業鄉鎮之一，並是高鐵雲林站的設站處。
荷蘭曾經殖民統治臺灣南部，為虎尾有史之始。其《熱蘭遮城日誌》記載此地原居有平埔族「虎尾壠社」，當時該社涵蓋的地區相當廣大，且人數眾多，曾與荷蘭發生戰役。後來有學者推測，?華武壟? （Farvolong）的發音可能就是「虎尾」的由來。但也有人認為，「虎尾」之名是源於虎尾溪。
東寧王國（明鄭政權）帶領大批軍士入臺和屯墾，此時期據說即有漢人移民虎尾，在今日興中里尾寮清雲宮並有相關的廟宇肇建故事。
關於虎尾地名由來，有一虛構傳說是說在明鄭時期，諸羅北的樹林(大林)有一隻老虎，鄭成功前往攻打，因此當地被稱為打貓，老虎逃到虎尾，鄭成功切其尾，因此叫虎尾。
1684年，清朝擊潰東寧王國，將臺灣納入其版圖，劃歸福建省，虎尾當時全境屬臺灣府諸羅縣管轄。1717年（康熙五十六年）的《諸羅縣志》中有「五間厝-{莊}-」之記載，一般解釋為虎尾，或者位在他里霧堡（今斗南鎮）的五間厝-{莊}-。
1734年（雍正十二年），今土庫鎮、虎尾鎮一帶設大坵田堡，其開墾大致從西往東，故虎尾較土庫開發為晚。該堡之東有一小沙丘（臺灣話稱「沙崙」），周遭稱為大崙腳，據推測為今日虎尾鎮大崙腳公園所在處。雍正年間有記載一條名為「吼尾溪」（後來的虎尾溪）的溪流流經大崙腳之南。
較大規模的漢人開墾發生於乾隆年間，大崙腳-{莊}-也在此時發展成大崙腳街。雲林縣誌記載，乾隆24年（1757年），福建閩人郭六才等人至大崙腳招佃開墾，在虎尾溪北邊一處俗稱「后尾」的地方搭建了五間簡陋草寮。此是「五間厝-{莊}-」地名比較可信的由來。開墾成功後，郭六才成為大坵田堡最初的大租戶（擁有土庫、虎尾的所有田地）。後來大租權數次轉賣，並於乾隆55年（1788年）因大租戶翁姓涉入漳泉械鬥，大租權被官府抄封。乾隆三十年（1765年），大崙腳居民建德興宮，祀奉池府千歲，人稱?大崙腳王爺?，是今日虎尾地區的主要信仰之一。
《臺灣通史》卷32記載，林恭等人於咸豐三年四月下旬響應道光末年開始的太平天國之亂，而在臺灣發起抗清民軍，賴棕是叛軍領袖之一。《雲林縣採訪冊》記載：?咸豐三年1853年，賴棕犯嘉義；五月初六日，大崙腳-{莊}-曾雞角聚眾應之大坵田堡內大恐。里人陳適均集鄉勇自固，境賴以安。」但同年七月底林恭之亂即被官兵剿滅。
後來不知何年間，大崙腳街荒廢凋零（有一說是：曾雞角之亂時，大崙腳-{莊}-就被焚燬 。但似乎與史書記載不合），日治初期繪製的臺灣堡圖上標示為一片墳墓。此後至今，大崙腳一詞也未不再成為虎尾地區的莊名或里名。虎尾溪邊的五間厝-{莊}-雖存，但也長年沒落。
日治時期是虎尾地區，尤其是五間厝迅速繁榮的重要時期。1901年，虎尾地區尚屬臺中縣斗六廳土庫支廳大坵田堡，1906年，大日本製糖株式會社在土庫支廳五間厝-{莊}-河岸邊的一塊荒地設立五間厝製糖工場（今虎尾糖廠），不少日人隨之移居虎尾，並為當地提供就業機會。當時糖廠宿舍區及附近市街已有都市規劃，採棋盤式設計，但仍以日本一貫的種族隔離政策，分為日本員工宿舍區和臺灣員工宿舍區。宿舍區內有公園（今同心公園）、澡堂、神社、火車站（五間厝驛）、教育機構、醫院、旅社等，是雲嘉南地區於日治時期鮮見之規模。1909年時在今天虎尾科技大學第一校區內設置日本人子女才能就讀的小學校斗六小學校五間厝分教場，1921年獨立為臺南州虎尾郡尋常高等小學校，即今安慶國小。據1915年的戶口調查，五間厝莊居民兩千餘人中，近半是日本人。次年為紀念日本大正天皇即位五周年，建五間厝神社。
File:虎尾糖廠01.JPG|虎尾糖廠。
File:虎尾驛.jpg|五間厝驛。
File:雲林縣虎尾鎮 安慶國小 - panoramio.jpg|安慶國小。
1920年（大正九年），臺灣行政區劃重劃，日本政府認為五間厝莊發展已經較土庫莊迅速，將改名為虎尾莊的五間厝莊和土庫莊合同周邊各莊建置臺南州虎尾郡，虎尾自次取代土庫成為周邊政經、文化中心。虎尾郡役所設於今日虎尾鎮林森路與中山路的路口。1928年，政府成立技職學校虎尾農業補習學校（今虎尾農工）。1933年，虎尾莊升格為虎尾街，人口已有2萬餘人。1936年，日本在虎尾設置虎尾飛行基地，曾為神風特攻隊基地。同年虎尾首間戲院「虎尾座」開設。1939年成立虎尾家政女學校，次年更成立臺南州立虎尾高等女學校（後來的省立虎尾女中，1981年併入虎尾高中）。1942年，因應學生數增長，日本在街內設立第二所國民學校虎尾街南國民學校（今日立仁國小），原虎尾街國民學校（今日虎尾國小）則改稱虎尾街北國民學校，即當地耆老口中的“南國民、北國民”。太平洋戰爭開打後的1944年10月，虎尾糖廠與虎尾飛行基地首次遭到美軍轟炸。至日本投降為止，虎尾一帶遭到1,200枚炸彈與燃燒彈攻擊。
日治時代的虎尾街日人甚多，二戰之後，光是虎尾郡被遣送回國的日本人就有七千人，除嘉義市外，以虎尾被遣送的日人為最多。
1946年1月成立臺灣省臺南縣政府，將臺南州虎尾郡虎尾街改制為臺南縣虎尾區虎尾鎮，設區署與鎮公所。同年10月由陳餘泉擔任虎尾鎮長，副鎮長為歐登輝。
1947年2月底，省會臺北市發生後來對臺灣社會影響深遠的二二八事件。消息約在3月1日晚間傳到虎尾，街上開始發生本省人、外省人之衝突。3月2日凌晨，民眾在吳重庚帶領下佔領虎尾區公所，取得武器並解放被拘留的犯人，虎尾地區秩序大亂，吳重庚無力壓制。隨後民眾更組成民軍，以虎尾合同廳舍為根據地，一早在仕紳王標領導下進攻虎尾空軍基地，並有斗六、北港等地民軍支援。民軍和國民政府軍隊人數相當，國軍初期以武器優勢略占上風，後來斗六陳篡地給予民軍武器支援後民軍才佔領基地。基地內不少裝備被雲嘉地區民軍侵占。當時附近的外省人多集中在虎尾中山堂，由虎尾區三民主義青年團區隊長陳明崙保護。
國民政府自中國大陸派出的鎮暴軍隊進入虎尾時，民軍渙散解體，國軍在當地搜捕所謂「暴民」。虎尾長老教會附近居民表示，當時有一些民軍躲進教會內，牧師稱教會是美國的，國軍因而放棄搜查，部分民軍因此改信基督新教。被捕民軍先遊街示眾，而後槍決。1975年時，有人興建虎尾三姓公廟，祭祀二二八事件中在虎尾東市場被槍決的顧尚泰醫師、李持芳中醫師及從事印刷技工的王濟寧。
民國三十九年（1950年）8月16日，行政院第145次會議通過將臺灣省由九省轄市八縣改為五省轄市十六縣，並廢掉「區」的層級，並於9月8日公布實施。原臺南縣部分分出臺南縣市、嘉義縣、雲林縣，其中雲林縣是由斗六、虎尾、北港三區所組成，虎尾地區始改為雲林縣虎尾鎮。
當年重新設置雲林縣時，虎尾曾與斗六競爭縣治的位置，但當時斗六之人口、繁華程度與重要性都超過虎尾，且 「置縣暨置縣址委員會」考量縱貫鐵路通過斗六而非虎尾，委員會積極向政府爭取將縣治設在斗六，卻引發虎尾地區居民不滿。最後經協調後，縣治設於斗六市，司法部門雲林地方法院設於虎尾鎮。紛爭平息後，雲林縣政府於民國三十九年（1950年）10月25日成立。隔年推行地方自治，於8月5日進行鄉鎮長選舉，首任民選虎尾鎮鎮長吳興旺於8月15日上任。虎尾圓環斗六的經濟和人口從清治時期至今都領先虎尾，1915年時光是斗六堡轄下的斗六街（今日斗六市的市中心）規模已是五千多人，而虎尾這地名還沒出現，只有人口規模從一百到兩千出頭不等的十三個-{莊}-。二戰後又因雲林縣治設於斗六鎮（1981年升格為斗六市），數十年的資源挹注使得斗六市在人口和經濟方面的成長都遠勝虎尾鎮。
二戰後臺糖曾興盛一段時間，加以空軍基地受訓的新兵會在鎮上消費，虎尾維持了二十幾年快速成長的歲月，1963-69年之間曾經一條路上（和平路）有三間電影院（虎尾戲院=日治時期的虎尾座；國民戲院；黃金戲院）。虎尾戲院在1969年最先結束營業，但1972年在中正路開了白宮戲院，到1977年國民戲院結束營業之前，一座小鎮仍有三間電影院。黃金戲院於1987年結束營業，如今只剩白宮戲院，而白宮戲院也曾於1990年代末及2020年歇業。
1970年代臺灣進行產業升級後，農產品初級加工的糖業逐漸沒落，蔗田面積銳減，臺糖的農場和糖廠一座接著一座關閉。如今虎尾糖廠是全臺僅存在冬天製糖季節還有五分車載運甘蔗原料的地方，但規模業已大不如前。
1980以來，老街區的外圍開發許多新住宅區，行政中心東遷，雲林工專不斷升級為虎尾科技大學的過程帶來商業區西移，百年歷史的中山老街、和平老街、福民老街則因許多建築老舊失修而漸漸褪色，主要商業區變成與中山路垂直的中正路一直延伸到虎尾科技大學後門。1991年開始裁撤虎尾空軍基地，少了軍人讓商業瞬間蕭條許多。
虎尾鎮經濟型態主要仍是農產品原物料、農產品加工，紡織為主的輕工業，以及小規模商業。但各方面逐漸改變中：文教方面，雲林工專升級為國立虎尾科技大學後，學生數擴大到1萬出頭，已是虎尾鎮居民的1/7，帶來龐大消費和房地產租賃需求；虎尾高中成為與斗六高中、私立正心高中齊名的學府；立仁國小和虎尾國小之間的數條街道形成連綿近公里的補教商圈。交通方面，臺78線快速道路虎尾交流道、國道一號虎尾交流道與高鐵雲林站等交通設施陸續開通，在後者附近則有中科虎尾園區、臺大醫院虎尾分院相繼設立；後者帶來的就醫人潮又使原本就診所林立的鎮上新開了更多各科診所。歷史文物方面，陸續修復了極具歷史價值的虎尾郡役所（作為布袋戲館）、虎尾郡役所官邸（作為雲林故事館）、虎尾合同廳舍、虎尾涌翠閣、虎尾鐵橋、虎尾驛，福民老街整修，並在虎尾糖廠內設立糖業文物館；景觀有北溪厝與過溪仔的彩繪農村；藝文方面有虎尾厝沙龍的修復並作為獨立書屋；日治時期即以高級餐廳面貌登場的?新高樓?繼續以?歸去來茶坊?之名屹立不搖；觀光方面則有布袋戲傳習中心、農業博覽公園、毛巾觀光工廠和標榜農村體驗的民宿出現。宗教方面，持法媽祖宮在2000年之後大受關注，被譽為最美、最環保的媽祖廟。2017年，雲林縣舉辦2017年臺灣燈會，主燈區設在鎮境內的高鐵特定區。
虎尾鎮位居臺灣省雲林縣中央，南隔虎尾溪（北港溪）與斗南鎮、大埤鄉相望，北接新虎尾溪鄰西螺鎮、二崙鄉、崙背鄉，東近莿桐鄉、斗六市，西距土庫鎮，全鎮東西長約13.5公里 ，南北約6公里 ，略呈長方形，中心位置位於東經120度2分6秒，北緯23度4分5秒。處嘉南平原之西北側，位濁水溪沖積扇上，地勢平坦，由東向西略為傾斜，高約海拔49公尺 。新虎尾溪、虎尾溪二溪分別流經虎尾鎮南、北邊境，舊虎尾溪發源於虎尾鎮，嘉南大圳濁水溪幹線貫穿鎮區。
虎尾鎮人口約有7萬，人口密度每平方公里約有1,030人，唯人口成長趨緩，自然增加數常為負值，社會增加又極為有限的情況下，人口數有略微下降之趨勢。鎮內人口最多的里為平和里，人口第二多的里為新吉里，人口最少的里為建國里。
虎尾鎮歷年人口變化（1948年－2030年）
虎尾鎮公所是虎尾鎮最高層級的地方行政機關，在中華民國政府架構中為縣轄鎮自治的行政機關，同時負責執行縣政府及中央機關委辦事項，虎尾鎮的自治監督機關為雲林縣政府。鎮長由全體鎮民直接選舉產生，任期為四年，可連選連任一次。虎尾鎮公所並置鎮政會議，為鎮政最高決策機構，在鎮長之下，設有5課4室等9個內部單位及7個附屬機關。
虎尾鎮民代表會是虎尾鎮的最高民意機關，代表虎尾鎮全體鎮民立法和監察鎮政。鎮民代表由公民直選選出，任期為四年，可連選連任。虎尾鎮民代表會共有13位鎮民代表，分別為第一選區8席鎮民代表、第二選區2席鎮民代表、第三選區2席鎮民代表、第四選區1席鎮民代表，主席、副主席由13位鎮民代表互選產生。
虎尾大成社區
虎尾鎮目前共有29個里：
位於市區中央，為全虎尾最重要的商業區，同時也是虎尾較早開發的地區，人口約1200人。
位於市區東南，是一塊格子狀道路的區域，幾乎都是店家，人口約2100人。
位於市區東北，舊稱後莊，民宅與店家各半，東仁國中、虎尾高中位於此處，人口約3000人。
位於市區北部，包括大量政府機關，虎尾農工、大崙腳公園、虎尾水塔在此，人口約3000人。
位於市區西部，舊屬西安里，後從西安里分出，民宅與店家各半，生活機能良好，立仁國小位於此處，人口約5000人。
位於市區西北，虎尾天后宮在此，但德興宮卻不在此處，人口約3000人。
位於市區西南，舊稱五間厝，多為民宅，人口約3000人。
位於市區南部，道路為小格子狀，民宅與店家各半，生活機能良好，糖廠及安慶國小位於此處，人口約3000人。
即新吉莊，緊鄰虎尾市區西境。呈現格子狀的住宅區。人口約5000人，僅次於平和里。
包括眷村建國一至四村。在虎尾市區北，原屬廉使里。人口僅600多人且急速高齡化。
緊鄰虎尾市區東境。虎尾第一大里，人口約5000多人，大多數人口位於虎尾最大住宅區大成社區。
即頂南，臺78線快速道路虎尾交流道和揚子國中位於此處。
即中、下湳。
即番薯(雲林縣虎尾鎮)，虎尾鎮唯一位於虎尾溪南部的里。
大屯西部的里。原本和東屯里是同一個-{里}-。
大屯東部的里。
在大屯東部，包含三合、舊部、吳厝三村。
在大屯西部，古稱牛埔。
在大屯北部，該里只有北溪厝一聚落，人口約1000人。
包括墾地、海墘厝、光復莊(春日移民村)三個小村的里。
包括頂過溪子和過溪子，人口約2800人。
包括半路店、頂頭竹圍、山尾，在頂、下溪里間。
包含數個小型聚落。實際上的下過溪子位於頂溪里。
在過溪子東。國道一號虎尾交流道、惠來火葬場位在此處。
在廉使與埒內之間的里，西邊是高鐵雲林站一帶，東緊鄰安溪里安溪寮。
虎尾第三大里，人口約3800人，北邊是高鐵雲林站的都市計畫區。
虎尾第四大里。縣道145與縣道158在此交會。
在埒內東南，該里僅含中型聚落堀頭，人口約1000人。
在埒內西北，但其實有一塊土地離埒內較近，卻被算在本里內，人口2000人。
雲林縣警察局在此鎮設有虎尾分局，轄區包誇虎尾鎮、土庫鎮、褒忠鄉和元長鄉，其分駐所、派出所詳列如下：
*雲林縣警察局虎尾分局 05-6331771
**虎尾派出所 05-6322118
**埒內派出所 05-6221995
**惠來派出所 05-6222065
**大屯派出所 05-6651474
**土庫分駐所 05-6622514
**馬光派出所 05-6652364
**褒忠派出所 05-6972040
**龍巖派出所 05-6972544
**元長分駐所 05-7882009
**客厝派出所 05-7882764
**鹿寮派出所 05-7983725
臺灣雲林地方法院
法務部矯正署的雲林監獄及雲林第二監獄
本鎮以第一級產業（農業）為其主要產業。
虎尾鎮地勢平坦、土地肥沃，適合事農，農產品有甘蔗、水稻、花生、甘薯、蘆筍、大蒜、玉米等；也積極推動花卉外銷，主要以劍蘭、多花菊、夜來香為主。此外，經濟型農作物除了早年興中里栽種的鐵樹外，現今惠來里也種植薰衣草。
中部科學工業園區虎尾園區，設有標準廠房。
入駐廠商有臺灣小原光學、元翎精密工業、銘安科技、富喬工業、臺灣立期、友霖生技、友杏生計及王子製藥；另有李長榮化工及炎洲在建廠中。
*虎尾郵局 05-6334310 雲林縣虎尾鎮林森路1段495號
*虎尾圓環郵局 05-6324204 雲林縣虎尾鎮光復路387號
*虎尾科技大學郵局 05-6326035 雲林縣虎尾鎮文化路64號
*虎尾鎮農會 05-6323511 雲林縣虎尾鎮和平路68號
*德興分部 05-6336253 雲林縣虎尾鎮德興路16號
*大屯分部 05-6551174 雲林縣虎尾鎮東屯里36之1號
*惠來分部 05-6223074 雲林縣虎尾鎮惠來里109號
*頂溪分部 05-6220911 雲林縣虎尾鎮東興路1之2號
*立仁分部 05-6335875 雲林縣虎尾鎮新興里光復路197號
*臺灣銀行 05-6337367 雲林縣虎尾鎮林森路2段369號
*臺灣土地銀行 05-6327373 雲林縣虎尾鎮林森路1段490號
*第一商業銀行 05-6322330 雲林縣虎尾鎮中正路83號
*華南商業銀行 05-6334901 雲林縣虎尾鎮中正路50號
*彰化商業銀行 05-6322561 雲林縣虎尾鎮中正路35號
*合作金庫商業銀行 05-6313821 雲林縣虎尾鎮中正路15號
*臺灣中小企業銀行 05-6337171 雲林縣虎尾鎮和平路45號
*臺北富邦銀行 05-6321212 雲林縣虎尾鎮光復路391號
*臺中商業銀行 05-6313788 雲林縣虎尾鎮林森路2段57之2號
*京城商業銀行 05-6323301 雲林縣虎尾鎮公安路133號
*元大商業銀行 05-6339169 雲林縣虎尾鎮和平路1號
*日盛國際商業銀行 05-6335658 雲林縣虎尾鎮德興路97號
*元富證券虎尾分公司 05-6360389雲林縣虎尾鎮中正路15號3、4樓
*元大證券虎尾分公司 05-6313000雲林縣虎尾鎮林森路2段84號1樓
*中信證券虎尾分公司 05-6333581雲林縣虎尾鎮德興路16號6樓
*兆豐證券虎尾分公司 05-6313388雲林縣虎尾鎮公安路133號4樓
*凱基證券虎尾分公司 05-6333581雲林縣虎尾鎮公安路160號2、3、4樓
*富星證券股份有限公司 05-6334888雲林縣虎尾鎮和平路1號4、5樓
*永豐金證券虎尾分公司 05-6365288雲林縣虎尾鎮新生路136號3樓
*富邦綜合證券虎尾分公司 05-6336611雲林縣虎尾鎮公安路133號2、3樓
虎尾鎮立圖書館大門口
虎尾自來水廠內的唧筒室
虎尾郡役所、虎尾郡役所官邸、虎尾合同廳舍、虎尾登記所、虎尾涌翠閣、虎尾自來水廠、虎尾鐵橋、虎尾驛、建國眷村、中央廣播電臺虎尾分臺等。
境內舉辦的「虎尾巾都馬拉松」因補給豐盛，一時造成話題。
虎尾德興宮，主祀池府千歲，在地人稱「王爺公、大崙腳王爺、虎尾王爺」，為虎尾最悠久的廟宇，有三百多年歷史，同時見證虎尾歷史發展，為虎尾最重要的信仰中心，每年池府千歲聖誕遶境，虎尾德興宮以及虎尾街上更是擠的水洩不通、熱鬧非凡。
虎尾新興宮，主祀吳府千歲。
虎尾寺是雲林的名勝古剎，長久以來一直是虎尾重要的地標，創建於民國六年（1917年）。座落於虎尾鎮和平路民生路與華南路之間的虎尾寺是也鎮內唯一的純比丘尼修行道場。 虎尾鎮也有其他的佛教寺院如龍善寺、虎尾安溪慧日講堂、法鼓山虎尾共修處等。國際佛光會中華總會-虎尾分會成立於1993年，會員有一百六十人。
虎尾持法媽祖宮，被稱為全國最美的媽祖廟之一，還有一年只開放四天供參觀的「石雕園和梳妝園區」。
虎尾鎮屬清水祖師信仰者有建於1975年的頂湳泰安寺和建於1908年的中湳安泰寺。
民國37年（1948年），韓雨霖奉師母孫素貞之命至臺灣開荒辦道，因渡化斗六人李清賀而至雲林縣傳一貫道。在陳鴻珍、林書昭、林廷才等人協助下道務日漸興盛。該教在虎尾鎮有三寶堂、三寶宮、濟公禪寺等三間佛堂。
三寶堂是一貫道發一崇德雲林道場六和區的公共佛堂，建於1966年，創建人李靈木家族多為該組線六和區道親。主祀中壇太子元帥，有扶鸞活動。三寶宮是李靈木鑑於附近道親日多而發願興建，供道親集會的廟宇佛堂，於1997年落成，主祀明明上帝。主要慶典活動為農曆3月15日明明上帝聖誕。濟公禪寺的前身是朱厚璽於1974年興建的濟公禪院，作為發一崇德雲林道場雲祥區聚會場所。1995年改建為今九層樓建築。主祀萬國教主（濟公活佛）。
;臺灣基督長老教會虎尾教會
;真耶穌教會虎尾教會
;中華浸信宣道會虎尾教會
;基督教虎尾浸信會
;虎尾福氣教會
;虎尾靈糧堂
;虎尾鎮召會
;虎尾至寶教會
嘉義教區虎尾耶穌聖心堂
;大崙腳王爺聖誕繞境
虎尾德興宮主祀池府千歲，為虎尾信仰中心，在地人稱王爺公、大崙腳王爺，每年農曆6月18日為池府千歲聖誕，德興宮會舉行平安繞境，每年皆熱鬧非凡，早期在這天虎尾人皆會辦流水席請客，因此在這天外地人進到虎尾都會發現市場都沒東西了，因為家家戶戶都買光回去辦桌宴客了，甚至當天車子要停在郊外才能走進虎尾市區，後來時代變遷也漸漸越來越少人宴客，不過德興宮仍然會舉行聖誕繞境，虎尾人也會前往德興宮向王爺祝壽，也顯示出王爺公在虎尾人的重要位置。
;虎尾中元文化祭
虎尾中元文化祭，最初只是居民們於農曆7月15日中元節當天，以集體大拜拜的方式，聚集在街道旁，祭拜陰間無家可歸，漂浮在外的孤魂野鬼，各路「好兄弟」們。這種集體大拜拜形式的市仔普，其實就像街普、廟普，目的只是向鬼魂們示好及超渡，祈求閤家平安，生意興隆。
後來的虎尾中元祭全鎮會劃分為七個區域舉行，每年從7月1日起，各區就開始搭建普壇，準備各種香案及祭品。各個普壇都設有拜亭，擺置紙糊羽林真君、翰林所、同歸所、孤衣山，以及長達數百公尺的供桌，以供參拜民眾放置供品。最近幾年，隨著經濟能力的提升，虎尾中元祭排場越來越大，祭品也越來越豐富，一入夜晚，整個虎尾市街沐浴在炫亮的燈海及歌舞聲中。至今虎尾中元祭已成為地方上的一大盛事，臺灣民間更有流傳著「北基隆、南虎尾」一俗語。
;五間厝白鶴陣
「白鶴陣」是「宋江三陣」中最罕見、幾乎失傳的一陣。西安里五間厝的「白鶴陣」其前身即為宋江陣，所不同的是五間厝「白鶴陣」打的拳路招式是少林寺「軟拳」，異於宋江陣的少林寺「實拳」，而且早期五間厝「白鶴陣」都是由女性表演，這也是白鶴陣不同於宋江、金獅兩陣的特色。
依前西安里里長、鎮長林文彬所言，1946年左右，一位來自北港新崙的老師傅到虎尾一帶附近開館教授武術，「一開始先學『白鶴拳』，半年之後再學『白鶴陣』。傳承至今，只剩下五間厝還保留著。而每年的農曆五月十三是『鎮興宮』的廟慶，所以白鶴陣就擔負起遶境、護駕的角色，進而演變成習俗。」
;國際偶戲節
由於雲林縣為全臺布袋戲發展的一大中心，許多布袋戲大師皆出自雲林，為展現布袋戲故鄉的文化特色，因此縣政府自1999年開始每年舉辦偶戲節活動，在地方與政府積極的耕耘下已奠基為雲林年度一大盛會，藉著來自不同國家的偶戲表演者和國內各個戲劇團體的展演活動，在交流、觀摩中，給予國內民眾有機會欣賞到多元的偶戲技藝文化，更期活動的展現，有計畫將傳統藝術的新活力注入國人心中。
主場地：虎尾鎮布袋戲館、合同廳舍、雲林故事館及周邊腹地，位於林森路二段，麥當勞前郵局正對面，虎尾的市中心。預計民國112年位於農博公園的布袋戲傳習中心落成後將移至此舉辦展演。
財團法人中央廣播電臺在虎尾鎮設有分臺，短波發射功率100千瓦，主要對中國大陸播出財團法人中央廣播電臺的國語節目。因短波可能會影響高鐵行車安全，央廣已確定在2013年底停播虎尾分臺。
國立虎尾科技大學是虎尾鎮境內唯一一所大專院校，屬科技大學中的「四技」，前身是雲林工專當年臺灣三大工專之一。
國立臺灣大學雲林分部
* 農業推廣教育中心(鋤禾館)
* 國立臺灣大學植物教學醫院雲林分院
* 國立臺灣大學生物資源暨農學院動物疾病診斷中心雲林分部
境內完全中學僅有雲林縣私立揚子高級中學，普通高中有國立虎尾高級中學，技職高中有國立虎尾高級農工職業學校和雲林縣私立大成高級商工職業學校。
國民中學共有三所，分別是位在中溪里的雲林縣立虎尾國民中學、廉使里的縣立雲林縣立崇德國民中學和東仁里的縣立雲林縣立東仁國民中學。
Yangtze High School 揚子中學.jpg|揚子高中
File:Chiehshou_Building_HWSH_虎尾高中介壽樓_20190712.jpg|虎尾高中
File:Chongde Junior High School 崇德國中.jpg|崇德國中
*雲林縣虎尾鎮虎尾國民小學 （雲林縣虎尾鎮明正路88號）
*雲林縣虎尾鎮中正國民小學 （雲林縣虎尾鎮安溪里林森路一段64號）
*雲林縣虎尾鎮立仁國民小學 （雲林縣虎尾鎮立仁里立仁街40號）
*雲林縣虎尾鎮光復國民小學 （雲林縣虎尾鎮墾地里11鄰39號）
*雲林縣虎尾鎮大屯國民小學 （雲林縣虎尾鎮東屯-{里}-147號）
*雲林縣虎尾鎮拯民國民小學 （雲林縣虎尾鎮建國里建國三村10號）：前身為空軍子弟學校，為紀念中華民國空軍葉拯民將軍殉國而改名，曾因人數過少併入大屯國民小學，而後才以公辦民營的方式獨立出來。
*雲林縣虎尾鎮廉使國民小學 （雲林縣虎尾鎮廉使里文科路1410號）
*雲林縣虎尾鎮中溪國民小學 （雲林縣虎尾鎮頂溪里過溪63號）
*雲林縣虎尾鎮平和國民小學 （雲林縣虎尾鎮平和里光復路22號）
*雲林縣虎尾鎮安慶國民小學 （雲林縣虎尾鎮安慶里民主路36號）
*雲林縣虎尾鎮惠來國民小學 （雲林縣虎尾鎮惠來里114號）
Datun Elementary School 06.jpg|大屯國民小學大門
拯民國小大門.jpg|拯民國民小學大門
雲林縣虎尾鎮 安慶國小 - panoramio.jpg|安慶國民小學
國立臺灣大學醫學院附設醫院雲林分院虎尾院區
天主教若瑟醫院
高鐵雲林站虎尾鎮有臺灣高速鐵路經過，其在雲林縣之主車站雲林車站亦在虎尾鎮境內。
虎尾驛(舊虎尾車站)虎尾糖廠轄下之運蔗鐵路，自1911年以來即兼營客運、成為地方重要交通工具，也使虎尾位居輻輳之地，計有雲虎線（斗六方面）、北港線（嘉義方面）、龍巖線（臺西方面）、西螺線（西螺方面）、莿桐線（莿桐方面）。昔日的虎尾車站仍保留，但公路發達後，1978年全面撤廢而停駛，現僅餘馬公厝線運蔗。
2015年配合高鐵雲林站通車，雲林縣政府規劃過往虎尾糖鐵復駛連結虎尾市區及高鐵車站。2017年配合國家前瞻基礎建設計畫，目前計畫中。
*境內有中山高速公路（國道一號）經過，並於2017年在境東、里程235.7公里處設虎尾交流道，可聯絡高鐵雲林站、斗六市；斗南鎮境內、虎尾鎮東南方的斗南交流道距虎尾鎮市區約莫4公里，亦常為居民利用。
*境內有臺78線（東西向快速公路臺西古坑線）經過，設虎尾交流道於虎尾鎮南側。
*省道公路則有臺1線經過虎尾鎮東側，主要通過惠來厝等聚落。縣道方面，縣道145號為通過市區的主要幹道，在市區內路名為林森路，是西螺、土庫連結重要道路；斗六聯絡道編為縣道145乙線，是雲林車站聯外要道之一；縣道158號則為外環道文科路，為連結土庫馬光及斗南之幹道。
*市區內主要幹道還有一條名為光復路，是縣道158號舊線。
*虎尾-北港堤防道路(起至158縣道經虎尾鐵橋-興南橋-五間厝-158甲線-土庫聯美大橋-元長客厝-崙子橋-北港水道頭園區終點)
*服務範圍包括虎尾市區、高鐵雲林站周圍、埒內社區等，可供 24 小時隨時自助借還騎乘至斗六市區、斗南市區。
**Y02 臺灣好行北港虎尾線
**0701 臺西－高鐵雲林站
**7101 虎尾－麥寮－雲林長庚醫院
**7104 虎尾－宵仁厝－麥寮
**7107 虎尾－元長－口湖
**7108 虎尾－有才寮－崙豐
**7109 虎尾－臺西－崙豐
**7111 虎尾－臺西－麥寮
**7112 虎尾－下街－麥寮
**7116 西螺－廣興－虎尾
**7117 西螺－下湳－虎尾
**7118 西螺－二崙－虎尾
*虎尾糖廠 - 日治時期曾為東南亞最大製糖工場。現今仍為臺灣最大糖廠之一，與彰化縣的溪湖糖廠、屏東市的屏東糖廠，並稱臺灣三大糖廠。
**雲林布袋戲館（原為虎尾郡役所）
** 雲林故事館（原為虎尾郡役所官邸）
** 雙星毛巾OEM客製化工廠
**農博公園(2013年雲林農業博覽會活動場地）
**美人樹大道-位於建成路(清雲路至農博公園)花期約為每年11-12月
File:虎尾糖廠01.JPG|虎尾糖廠
File:興隆毛巾觀光工廠.jpg|興隆毛巾觀光工廠
File:虎尾天后宮.jpg|虎尾天后宮
File:Huwei Joint Government Office Building, Yunlin (Taiwan).jpg|虎尾合同廳舍
File:Murals in Traditional Chinese paper-cutting style, Beisi Village, Huwei Township, Yunlin (Taiwan).jpg|北溪里彩繪剪紙藝術村
*  五十年老店虎尾王家當歸鴨肉麵線
*中山路（虎尾糖廠）：糖廠枝仔冰紅豆冰
*外環道文科路：米多力庭園餐廳
*中正路鐵路：鐵路烤肉、2派克脆皮雞排
*圓環旁：清涼冰店（斗六溝垻知名老店）
*公安路靠近鐵路邊：兩撇滷肉飯（只開早上）
*建國眷村內：撲鼻冰品、太日茶屋、白水咖啡、怪手諒布袋戲古早味柑仔店、哲美系二手書店（內部有販賣飲品）
28.丁崑健＜日治時期虎尾街的興起＞，彰化師大《白沙歷史地理學報》第二期，75-109頁，2006年10月。
29.丁崑健＜日治時期虎尾街的教育發展＞，國立空中大學社會科學學報第十四期，1-29頁，2006年11月
偽素數是指滿足素數的某種性質，但并不一定是素數的數。根據所滿足的性質的不同可以劃分不同種類的偽素數。其中最有名的偽素數是滿足費馬小定理的合數，即費馬偽素數。
費馬偽素數的定義是：對自然數和一個與其互素的自然數''a''，如果整除 ''a'x''-1 - 1，則稱是一個以''a''為底的費馬偽素數或者關于''a''的費馬偽素數。最小的費馬偽素數是341（''=11×31''，關于2）。如果關于任何與其互素的數都是費馬偽素數，則稱是絕對偽素數（或卡邁克爾數），來自找到第一個絕對偽素數的數學家羅伯特·丹尼·卡邁克爾）。最小的絕對偽素數是561。
民族恐怖主義是指因民族沖突而進行的恐怖主義活動及內戰行為。
民族恐怖主義可以由團體主導，例如三K黨、光頭黨和新納粹等，具體行為包括恐嚇壓迫、剝奪公民權等。
實際上，民族恐怖主義則更通常與政治的血腥暴力聯系起來，由一個執政黨及其領導的獨裁政府對其境內的少數民族開展實施的種族屠殺，例如：納粹德國在歐洲領導的猶太人大屠殺、沙皇俄國對猶太人的屠殺、鄂圖曼土耳其帝國的亞美尼亞大屠殺、印度尼西亞蘇哈托軍政府（對印度尼西亞華人及共產黨）、緬甸軍政府、泰國軍政府、中國國民黨及中華民國政府（針對本省人及臺灣原住民），印度（1980年代針等錫克教徒及信奉該教的族裔）以及1994年的盧旺達胡圖族政權。
社會政策，是通過國家立法和政府行政干預，解決社會問題，促進社會安全，改善社會環境，增進社會福利的一系列政策、行動準則和規定的總稱。其核心是解決市場經濟下公民的社會風險。
一般認為，社會政策起源于1873年德國學者組織的“社會政策學會”。第一個給予社會政策以科學概念的是瓦格納（Adolph Wagner）。1891年他在發表的一篇論文中提出，社會政策是運用立法和行政手段，調節財產所得和勞動所得之間的分配不均問題。但是只有到了20世紀的中期以后，由于經濟學、政治學和系統科學等學科的加盟，源于社會福利理論的社會政策才逐漸成為為具有開放性、交叉性和系統性等特點的獨立的應用社會科學學科。
作為一門應用性學科，社會政策的研究內內容主要涉及政策產生過程的理論和方法，以及政策在各個相關領域中的應用這兩個方面。在后一個方面，社會政策又可分為狹義和廣義兩類。狹義的社會政策范圍僅僅涉及勞工及貧民生活，而廣義的社會政策則包括國民福利、就業、住房、健康、文化、教育、人口、婚姻與家庭生活、社區及社會公共環境以及宗教等等。顯然，狹義的界定所對應的只是狹義的社會福利政策，而廣義的界定則對應于各種社會問題的研究。
國際所公認的社會政策發揮重要作用的階段，是從二戰以后到60年代的20余年間。這一階段也可以說是費邊社社會福利觀的全盛時代。費邊社提出對福利國家的建議，認為政府應該通過加強財政政策，立法等渠道去再分配財富和其他的權利，使人民在平等的基礎上，得以自由地去實踐自我。為使社會服務不因貧富差別而出現兩種不同的服務標準導致社會風化，費邊社提出更積極的改善政府提供的服務，使之與私營服務的素質沒有差別（趙維生，1987）。從費邊社的實踐中，我們看到的是“為影響社會福利的一系列的政策活動”（Hill，1997）。這可稱之為社會政策的簡要定義。盡管費邊社的建議在當時并沒有被接受，但它對后來英國福利國家制度的建立卻產生了非常大的影響。庇古的“福利經濟學”和凱恩斯主義的發展，則為福利國家提供了理論基礎。而第二次世界大戰，則在某種程度上成為了福利國家的預演。在戰時的社會生產和全體勞動力實行準軍事化的集中管理和統籌調度，以及對主要生活用品實行了全員定量分配，這種政策非但沒有降低效率，反而使全社會空前團結。正是在這樣背景之下，1942年英國戰時聯合政府委托無黨派人士、經濟學家貝弗里奇（W.Beveridge）起草了一份準備在戰后實施的社會保障計劃——貝弗里奇報告，該報告也被認為是社會政策的里程碑。其核心內容是：社會福利是社會集體應盡的責任,是每個公民應享受的權利。報告提出要以社會保險為主要措施,全面消除貧困、疾病、骯臟、無知、懶散等各種社會弊病。報告還提出了關于“從搖籃到墳墓”的福利國家制度的許多具體設想。并且迅速在歐洲范圍內普及開。
*社會問題(social issues)
在數學中，雙曲線（；，意思是超過、超出）是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。
它還可以定義為與兩個固定的點（稱為焦點）的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是的兩倍，這里的是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。還稱為雙曲線的半實軸。焦點位于貫軸上，它們的中間點稱為中心。
從代數上說，雙曲線是在笛卡爾平面上由如下方程定義的曲線
使得，這裡的所有系數都是實數，并存在定義在雙曲線上的點對的多于一個的解。
注意在笛卡爾坐標平面上兩個互為倒數的變量的圖像是雙曲線。
* 等軸雙曲線：雙曲線的實軸與虛軸長相等，即且，此時漸近線方程為（無論焦點在軸還是軸）。
* 共軛雙曲線：雙曲線的實軸是雙曲線的虛軸且雙曲線的虛軸是雙曲線的實軸時，稱雙曲線與雙曲線為共軛雙曲線。
:幾何表達：
:# 共漸近線，與漸近線平行的直線和雙曲線有且只有一個交點。
:# 焦距相等。
:# 兩雙曲線的離心率平方后的倒數相加等于。
* 單位雙曲線：屬于等軸雙曲線，且半實軸和半虛軸的長均為，即。
:滿足方程：或。
共軛單位直角雙曲線
上面已經列出：
*平面切直角圓錐面的兩半的交截線。
*與兩個固定點（稱為焦點）距離差為常數的點的軌跡。
*到一個焦點的距離和到一條直線（稱為準線）的距離的比例是大于的常數的點的軌跡。這個常數稱為雙曲線的偏心率。
雙曲線由分開兩個焦點的兩個分離的稱為臂或分支的曲線構成。隨著到焦點的距離的變大，雙曲線就越逼近稱為漸近線的兩條線。漸近線交叉于雙曲線的中點，并對于東西開口的雙曲線有斜率，對于北南開口的雙曲線有斜率。
雙曲線有個性質，出自一個焦點的射線反射于雙曲線后看起來像是出自另一個焦點。
雙曲線的一個特殊情況是“等軸”或“直角”雙曲線，它的漸近線交于直角。以坐標軸作為漸近線的直角雙曲線由方程給出，這裡的是常數。
如果對雙曲線方程交換和，得到它的共軛雙曲線。共軛雙曲線有同樣的漸近線。
中心位于的左右開口的雙曲線：
中心位于的上下開口的雙曲線：
實軸貫穿雙曲線的中心并交雙曲線兩臂于它們的頂點（拐點）。焦點位于雙曲線實軸的延長線上。虛軸貫穿雙曲線中點并垂直于實軸。
在兩個公式中，是半實軸（在雙曲線兩臂之間沿著實軸測量的距離），而是半虛軸。