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在現代，夢被認為是與潛意識溝通的管道。夢的內容可能非常普通、正常，也可能極度超現實主義風格。夢可以有各種不同的主題，包括恐懼、興奮、魔法、抑郁、冒險，或者是性。夢中發生的事件并不受做夢者的控制，除非是處于清明夢中，做夢者會擁有自我意識。有時候，夢會讓人產生創造力，或者給予人靈感。最著名的故事之一是德國化學家凱庫勒宣稱夢見一條銜尾蛇，而悟出苯環的分子結構。但他的說法遭到質疑。
在不同的文化和不同的時代，人們對夢的含義有各種不同的看法。目前獲得的最早關于夢的記錄材料，是大約5000年前美索不達米亞的一塊粘土板。在古希臘和古羅馬時代，人們相信夢是來自亡者的占卜信息，可以預言未來。有一些文化會進行儀式，希望能夠產生有預言能力的夢。
西格蒙德·弗洛伊德創立了精神分析學，在1900年代早期的許多著作中闡述了夢的理論和解釋。他將夢解釋為人們深處的欲望和焦慮的表現，通常會和被壓抑的童年記憶或者欲望有關。在《夢的解析》（1899）中，弗洛伊德發展了一套解釋夢的心理技術，設計了許多規則來解釋夢中出現的符號和主題。
在澳洲原住民的泛靈論創世傳說中，夢是一個常見的概念，它屬于一個個人或者群體，可以理解為“沒有時間的時間”，在其中產生了初始的創造或者永恒的創造。
米索不達米亞的蘇美爾人于大約公元前3100年就留下了夢的記錄。在這些記錄下的故事里，神與國王都對夢非常重視，比如公元前7世紀的國王亞述巴尼拔，在他的泥板記錄上，出現了許多描述傳說中的國王吉爾伽美什的故事。
米索不達米亞人相信，在睡夢中，人的靈魂或者靈魂的一部分會離開身體，而靈魂真實去過的地方和人就形成了夢。據說有時夢之神會背負著做夢者的靈魂。巴比倫人和亞述人將夢分為來自神靈的“好夢”和來自鬼怪的“壞夢”。他們也相信夢是征兆和預言。
在古埃及，從公元前2000年前開始，埃及人就在莎草紙上寫下他們的夢。夢境形象鮮明，栩栩如生的人會被另眼相看，認為是受到神的賜福。古埃及人相信夢是某種神諭，傳遞來自神的信息。他們認為接近神意的最好途徑就是夢，所以他們會試圖誘生夢或者孵夢。埃及人會前往神廟，睡在特殊的“夢床”上以期待接收到神的指導、安撫和滿足。
虎跑泉和虎跑夢泉雕塑
在中國古代，有人認為在睡夢期間，魂分為兩個部分，一個部分離開身體四處游蕩，另一部分保持在身體內。這個解釋自古就遭到質疑，例如哲學家王充就對它進行了駁斥。。夢有時也被看做是一種意象語言。《莊子·齊物論》-{云}-：「且有大覺，而后知此其大夢也。」印度人寫于公元前900到500年的《奧義書》中，強調了夢的兩個意義：首先，夢是內心欲望的表露；其次，在夢醒來之前靈魂離開身體并且接受指導。
古希臘人繼承了古埃及人信仰中關于好夢和壞夢的劃分以及孵夢。希臘的夢之神摩耳甫斯也會給睡在圣殿和神廟中的人帶來警告和預言。最早的希臘人相信，神會在夢中親自造訪做夢者，祂們從鑰匙孔中進入房間，留下信息后從同一路徑離開。
安提豐在公元前5世紀撰寫了已知的希臘第一本關于夢的書。在同一世紀，其他文化對希臘的影響，使得關于睡眠中靈魂離體的信仰得到進一步發展。希波克拉底（469-399 BC）關于夢的理論很簡單：在白天，靈魂吸收影像；而在晚上，靈魂產生影像。希臘哲學家亞里士多德（384-322 BC）相信夢會導致生理學活動，他相信夢可以用來分析和預言病癥。西塞羅相信所有的夢都來自于做夢者在之前白天的思想和對話。西塞羅在《》中描述了一個長夢的圖像，而馬克羅比烏斯寫了《論西庇阿之夢》來評論它。
雅各夢見，c. 1690，畫作者Michael Willmann
猶太教認為夢是世界經驗的一部分，是可以解釋，可以從中學習教訓的。在塔木德的Tractate Berachot 55-60中有過相關的探討。
古代希伯來人把他們的夢和信仰緊密聯系起來。盡管希伯來人是一神論者，相信夢是唯一上帝的聲音。他們也會區分好的夢（來自上帝）和壞的夢（來自惡靈）。希伯來人和許多古代文明一樣，也會孵夢以得到神的啟示。比如希伯來先知撒母耳就睡耶和華殿內約柜那里，聽到了神呼喚他。圣經中大部分的夢都記載在創世紀中。
基督徒繼承了希伯來人關于夢的大部分信念，相信夢的超自然屬性，因為舊約中包含了許多夢帶來神的訊息的故事。最有名的夢的故事是，這座天梯連接著大地和天堂。許多基督徒宣揚上帝可以在夢中向人類說話。
Iain R. Edgar研究了夢在伊斯蘭教中的情況，他提出夢在伊斯蘭歷史和穆斯林的生活中有重要的地位，解夢是最后一位先知穆罕默德去世之后，穆斯林接收神的指示的唯一途徑。
在印度教典籍《吠陀》中的《曼都卡奧義書》里，夢是靈魂在生命中的三個狀態之一，其他兩個是清醒狀態和睡眠狀態。
一些哲學家認為，我們所謂的“真實世界”可能是或者就是一個幻覺，這種想法稱為本體論的懷疑主義。
有關這一類思想最早的記載來源于《莊子》，在印度教的典籍中也多次探討過。在笛卡爾的《第一哲學沉思集》中，它第一次被介紹給西方哲學界。
一些美洲原住民部落和墨西哥人相信夢是和他們的祖先溝通的方式。一些美洲原住民部落使用作為進入青春期的儀式，儀式中禁食、祈禱，直到在夢中接收到所期待的指引，然后再回來告訴部落的其他成員。
中世紀對于解夢進行了壓制，它們被認為是惡，夢中的影像是魔鬼的引誘。許多人相信，魔鬼會往睡夢中的人頭腦裡塞進墮落有害的想法。馬丁·路德，新教的創立者，就相信夢是魔鬼的杰作。但是，天主教徒，比如圣奧古斯丁和哲羅姆，都聲稱他們生活的方向，曾經受到過夢境的強烈影響。
夢和黑暗的影像，是弗朗西斯科·戈雅的銅版畫《理性沉睡，心魔生焉》的主題。薩爾瓦多·達利的《由圍繞著石榴的蜜蜂引起的夢，在醒來之前一秒鐘》（1944）也涉及了這個主題，包括同時出現的裸女、從石榴中跳出來的老虎，以及像蜘蛛一樣的大象作為背景。亨利·盧梭最后的畫作是《夢境》，而畢加索于1932年創作了《夢》。
消失中的柴郡貓。
在19世紀的奇幻和幻想文學中常常出現夢，其中最廣為人知的是劉易斯·卡羅爾的《愛麗絲夢游仙境》，及其續集《愛麗絲鏡中奇遇》。和其他文學作品里的夢中世界不同，卡羅爾筆下的夢境和真正的夢境更加類似，包括許多變形和因果關系的變異。
其他虛構的夢境包括霍華德·菲利普斯·洛夫克拉夫特的幻夢境，以及《說不完的故事》中的幻想世界，其中包括“失落夢境荒漠”、“可能性之海”與“悲傷之沼”。包括幻覺和其他變異現實的夢中世界，出現在菲利普·狄克的許多作品中，包括《The Three Stigmata of Palmer Eldritch》和《Ubik》。豪爾赫·路易斯·博爾赫斯也探索過類似的主題，例如《環形廢墟》。而在中國傳統文學中，《紅樓夢》中的“太虛幻境”是對春夢的著名描述。
現代的流行文化中常常會構思一些夢境，就像弗洛伊德所說，表達做夢者深處的恐懼和欲望。電影《綠野仙蹤》（1939）中描繪了一個彩色的夢境，使得多蘿西發現了現實是黑白色，于是開始用新的方式生活。在《愛德華大夫》（1945）、《諜網迷魂》（1962）、《夢幻之地》（1989）和《盜夢空間》（2010）這些電影中，主人公必須從非真實的夢境中找出有用的線索。
在流行文化中，大部分的夢并非符號化的，而是直白和現實化地刻畫了做夢者的恐懼和欲望。夢中的情景和做夢者的真實世界難以區分，成為削減主人公和觀眾的安全感的手段。這些夢會使得恐怖電影的主人公，例如《魔女嘉莉》（1976）、《黑色星期五》（1980）或者《》（1981）的主人公在看起來似乎很安全的地方休息時，遭到黑暗勢力的襲擊。
在奇幻作品中，夢境和現實的分界會表現得更為模糊。夢可能從生理上被入侵或者篡改，例如《》（1984）、《猛鬼街》系列（1984–2010）、《全面啟動》（2010），或者直接變為現實，比如在娥蘇拉·勒瑰恩的《天鈞》（1971）這本書中，主人公發現自己的某些夢可以追溯過去、改變現實。Peter Weir在1977年的電影《The Last Wave》夢的實質做了一個簡單的解釋，通過電影中的土著之口說出“夢是某種現實的影子”。在Kyell Gold的小說《Green Fairy》中，主人公Sol在苦艾酒引發的夢中體驗到了以為死于100年前的舞者的記憶，并且其中一些記憶在他的生活中變為現實。這一類故事利用了觀眾自己的夢的體驗，所以觀眾感覺比較真實。
在19世紀晚期，精神治療師西格蒙德·弗洛伊德發展出一套理論，認為夢是由無意識意愿的滿足所驅動的。弗洛伊德將夢稱為“通往無意識的大道”。他創建了“夢反映做夢者的無意識”的理論，認為夢的內容是由無意識欲望的滿足塑造的。他認為，重要的無意識欲望通常與童年時的記憶和經驗有關。弗洛伊德認為，夢境包含顯性夢境（manifest dream-content）和隱性夢境（latent dream-content），隱性夢境和潛意識深處的愿望或者幻想相關聯，而顯性夢境流于表面，缺少意義。顯性夢境常常會掩蓋或者模糊隱性夢境。
在弗洛伊德的早期著作中，他認為絕大多數的隱性夢境的主題都是本能的性沖動，然而他之后放棄了這樣絕對的說法。在《超越快樂法則》中，他考慮了創傷或者侵犯如何影響夢的內容。在《精神分析新論》中的一篇演講《Dreams and Occultism》中，他還討論了超自然觀念的起源。
卡爾·榮格反對弗洛伊德的許多理論。榮格擴充了弗洛伊德關于夢和做夢者無意識欲望相關的想法。他將夢描述成給予做夢者的訊息，可以幫助做夢者自我改善。他相信夢是在向做夢者揭示他們感情或者信仰上的問題和恐懼。
榮格寫到，重復出現的夢境意在反復地吸引注意，表示做夢者忽視了夢中的某個主題。他相信這些夢中的符號和圖像出現在所有的夢中。榮格相信在白日形成的記憶在夢里也很重要，這些記憶在無意識中形成了印象，需要在自我（ego）休息時處理。無意識的頭腦會以夢的形式重現這些過去的片段，榮格將其稱為“白日的殘留”。榮格還認為夢并不是純粹獨立的，所有的夢都是一張“心理因素的巨網”的一部分。
將他的夢的理論作為格式塔療法的核心。夢被看做自身里面被忽視、拒絕或者壓制的部分的投射，榮格聲稱，可以將夢中出現的每個人看作是做夢者自己的一部分，稱作夢的主觀方式。皮爾斯擴展了這種觀點，認為甚至夢中無生命的物體也代表做夢者的一部分。所以，做夢者被要求想象自己是夢中的物體，然后描述它，以便了解該物體的特質和做夢者的人格如何關聯。
REM睡眠期間的腦電圖
長期的觀察證明，夢和快速動眼睡眠（REM）睡眠強烈相關。在REM睡眠期間，腦電圖（EEG）所顯示的腦活動近似于清醒狀態。在非快速動眼睡眠（non-rapid-eye-movement sleep, NREM sleep）的各期（1~4期）被喚醒後，即使有做夢的報告，其夢境也很平淡，生動性差，但概念和思維性較強，睡眠者常常報告在思考某些問題，而不是在做什麼。在REM睡眠期間，神經遞質去甲腎上腺素、血清素和組胺的釋放都受到了抑制。在人的一生中，典型的做夢的時間總和是6年。（也就是大約每晚2小時）大部分的夢只持續5到20分鐘。夢源于腦中何處？是僅有一個源頭還是涉及到腦中的許多部分？以及夢對于身體和心靈的作用是什么？這些問題都尚未解決。
在大多數夢境中，做夢者都不會發覺自己是在做夢，不管夢境如何荒誕古怪。其中的原因也許是腦內負責邏輯和計劃的前額葉皮質在做夢期間減少了活動，使得做夢者和夢更積極地進行互動，而不用思考會發生什么結果，所以在現實中看起來很突兀的事情可以融合到夢中。
如果測量一段REM睡眠的時間長度，并且在叫醒被試之后詢問夢的時間長度，只要做夢者還沒有來得及修改或者遺忘夢境，他/她都能準確地說出做夢的時間長度。一些研究者猜測，所謂“夢的時間膨脹”的現象，并不會真正出現。REM睡眠和夢的緊密關系，是第一批描述夢的本質的報告的基礎：夢是每夜都會發生的，而非偶然的現象；是每個睡眠周期都會發生的高頻次行為，而且間隔可預測，大概每60-90分鐘就會出現。
每一段REM睡眠和做夢的時間在夜晚逐漸變長，第一段是最短的，大約10-12分鐘，第二段和第三段會增加到15-20分鐘。在夜晚結束的那段睡眠會長達15分鐘，雖然會表現為許多獨立的片段，因為在夜晚結束時會多次短暫醒來。當被試在第一段REM睡眠之后醒來時，有50%可以報告所做的夢；而當最后一段REM睡眠時被叫醒，這個比例上升到了99%。回憶夢境成功率的上升可能與一夜的夢中，夢的圖像、色彩和情感都越來越鮮明。
除了人類以外，其他很多動物可能也有REM睡眠和做夢的能力。科學研究表明，所有的哺乳動物都會經歷REM睡眠。REM睡眠的時間長短隨物種不同：海豚的REM時間較短，人類的時間中等，而犰狳和北美負鼠的時間屬于最長之列。
在對猴子、狗、貓、大鼠、象和鼩鼱的研究中都觀察到了夢。鳥類和爬蟲類也有做夢的跡象。睡眠和夢的問題相互交織，科學家對于動物的夢的研究表明，它們的功能至今為止尚不清楚。然而，睡眠的作用正在漸漸清晰，例如，對大鼠或其他實驗動物的睡眠剝奪，會導致生理指標的惡化和真實組織的損壞。
有的科學家認為，人類做夢應該和所有羊膜動物有同樣的理由。從進化論的觀點來看，夢應該能滿足某種生物學上的需求，能夠在自然選擇中獲得某種好處，或者至少對于其生存適應沒有負作用。2000年，Antti Revonsuo，芬蘭圖爾庫大學的教授，認為在過去，夢可以通過展示危險事件的刺激以幫助人類準備認出和避免危險。這個理論稱為威脅-刺激理論。Tsoukalas (2012) 認為夢和掠食性動物出現導致的激活圖樣有關，這在REM睡眠的控制機制中仍然非常明顯（見下文）。
目前學術界對夢的成因與目的仍無定論，普遍的看法是：夢是腦在作資訊處理與鞏固長期記憶時所釋出的一些神經脈衝（就像打掃時揚起的灰塵或正被處理中的資訊流），被意識腦解讀成光怪陸離的視、聽覺所造成的。
J. Allan Hobson與Robert McCarley在1976年提出「活化-合成」假說（Activation-synthesis hypothesis），挑戰了弗洛伊德主義的統治地位，改變了夢的研究狀況。他們認為：夢的出現與特徵是快速動眼睡眠（rapid-eye-movement sleep, REM sleep）狀態時生理運作的產物。當快速動眼睡眠由橋腦（pons）活化所啟動時，和意識有關的大腦網路接受橋腦刺激訊號也呈現活化狀態，因而大腦將這些由下而上的刺激訊號（PGO訊號）混合整理後即為夢的展現。由於此時大腦的活化是處於被動型式且訊息來源為隨機、封閉（由橋腦產生），因此缺乏清醒狀態時的自覺及反省，展現於夢境內容也因而有怪異、不合邏輯的特性。腦會合成和解釋這些活動，例如，溫度、濕度等物理環境的變化或者類似性高潮的物理刺激，為這些信號創造意義，從而得到夢。Hobson認為：“夢的影像是隨機的，對這些夢的影像的隨機綜合可以用來擬合內源的刺激”。這個理論基于REM睡眠的生理學，Hobson相信夢是前腦對源于腦干的隨機輸出的反應表現。活化-合成理論假設，夢的奇怪特性是因為這部分腦區試圖將本來就很古怪的信息碎片黏合成完整的故事。
但後來Mark Solms認為夢是在前腦形成的，而REM睡眠和夢并不直接相關。他在約翰內斯堡和倫敦的神經外科工作時，發現腦幹受傷的病人仍舊有夢，與Hobson的理論相悖；而頂葉（負責軀體感覺與感覺整合的顱頂皮質）受傷的病人則沒有夢，顯示腦幹只與REM夢有關，頂葉與REM夢和NREM夢都有關。
在2004年綜合Hobson和Solms的理論，提出「連續活化」理論：睡眠的功用之一是把臨時記憶轉化成長期記憶，快速動眼睡眠（REM）階段處理無意識的「程序性記憶」，而非動眼（NREM）階段處理有意識的「陳述性記憶」。在REM階段，腦的無意識部份正在處理程序性記憶，而有意識部份的活動則因感覺被切斷而降至最低，此時自記憶庫流出的資訊脈衝會活化有意識部份而使它藉由聯想編織出一段夢。而當另一脈衝到達時，則又編出另一段夢，夢境乃突然改變。這解釋了為什么夢既有連續性（在同一個夢中），又會突然變化（兩個夢之間）。
Tsoukalas在2012年認為REM睡眠是假死這種眾所周知的防御機制進化的結果。假死是一些動物面對掠食性動物的最后防線，它們會全身癱瘓，看起來像是死亡（例如負鼠的行為）。Tsoukalas認為假死和REM睡眠從神經生理學機制和現象上都很像是假死，例如都是由腦干控制、全身癱瘓、交感神經系統激活、體溫調控的變化。
Eugen Tarnow認為，夢是長期記憶持續的激活，即使在清醒狀態也存在。夢之所以古怪，是因為長期記憶的建構行為。參照Wilder Penfield 和Rasmussen的發現，對于無聊說電刺激會產生類似于夢的體驗；而在清醒的時候，我們的決策能力則會使用真實世界來不斷解釋長期記憶。Tarnow的理論是對弗洛伊德的夢的理論的再創造，用長期記憶來替代了弗洛伊德的無意識，用長期記憶的建構來代替了弗洛伊德的“夢的工作”。
海馬體的位置
在2001年的研究表明，夢中世界里不合常理的地點、特征可以幫助腦強化聯結，固化語義記憶。不合常理的情景之所以會出現，是因為在REM睡眠期間，海馬體和新皮質之間的信息流減少了。
這個信息流的減少，是因為代表壓力的激素皮質醇在睡眠后期（通常是在REM睡眠期間）出現。記憶鞏固的重要步驟是將距離遠但是相關的記憶聯系在一起。Payne 和 Nadal 假設這些記憶將會鞏固而成為平順的敘事，類似于壓力之下形成記憶的過程。
德國漢堡的生理學家Robert (1886)，第一個提出了夢是生理必需，它能夠擦除（a）沒有完成的感官印象（b）在白天沒有完成的構思。夢的作用使得未完成的材料被抹去（壓制）或者深埋變成記憶的一部分。弗洛伊德在《夢的解釋》中多次批評了Robert的觀點。Hughlings Jackson (1911) 認為睡眠扮演了清潔工的角色，負責掃除白日形成的不必要記憶和聯結。
這個觀點在1983年被Crick 和Mitchison再次拾起，提出了理論，認為夢就像計算機在關機時擦除運行中的程序，在睡眠中擦除（壓制）腦中無用的節點和其他“垃圾”。然而，與之相反的觀點，認為夢可以掌握信息，固化記憶的觀點（Hennevin and Leconte, 1971）也很流行。
Coutts認為夢是睡眠期間的主要任務，可以增強心智的能力以滿足在人在清醒時的需要。他將夢分為兩種相：在調和相（accommodation phase）中，心理基模（mental schemas）通過吸取夢中的主題進行自我調節。在相（emotional selection phase）中，夢用以測試之前調和形成的基模。可以適應的將保留下來，而不能適應的將被淘汰。這個周期符合睡眠周期，在一晚典型的睡眠中重復很多次。阿爾弗雷德·阿德勒認為夢常常是解決問題的情感準備，將個體從常識引向個人邏輯。殘留的夢中感覺可能強化或者抑制深思熟慮的行為。
許多理論認為，夢是REM睡眠的一種生理副產品，并沒有天然的目的。Flanagan認為“夢是進化的，并無有用的功能。夢是一架設計用來思考和睡眠的機器的自由運作”。Hobson從另一個角度也認為夢是附屬現象。他認為夢的本質對于清醒狀態并沒有顯著影響，大部分人并不需要回憶夢境，但是白天的生活絲毫不受影響。
然而，一些進化心理學家認為夢對于生存起到一些作用。Deirdre Barrett將夢描述為“另一種生化狀態的思考”，她相信人類在睡眠時會繼續思考同一些問題，不管是個人問題還是客觀問題。她在研究中發現，在所有的領域包括數學、作曲、商業抉擇中，都有可能在夢中得到解決。另一個相關的理論是Mark Blechner所謂的夢之達爾文主義（Oneiric Darwinism），夢是在創建隨機突變的想法。有一些想法因為無用而被腦拒絕了，而另一些有價值的被保留下來。
也有心理學家認為，人類做夢是大腦在虛擬環境中對如何處置危險情況的預演。尤其是噩夢，人類每年要做300到1000次噩夢。人類正是在噩夢中進行安全訓練。芬蘭心理學家Antti Revonsuo指出，夢是特地為了提供“威脅刺激”而演化出來的。他提出的“威脅刺激理論”指出，在人類演化的大部分時間里，受到環境和他人的威脅都是非常嚴重的，如果能夠從中生存下來會對繁衍后代非常有利。于是夢在演化中出現了，它可以復制這些威脅，以便人能夠不斷地練習如何避開它們。作為這個理論的證據，Revonsuo指出，現代人的夢中所遇到的危險情況，要比人們在實際的日常生活中要多得多，而人們都能良好地處置這些威脅。該理論提出，夢的目的是提供重復的威脅事件的情節，以便個體能夠更好地在真實生活中處理它。
英國作家Anders Johansson認為，夢同時表現了欲望和恐懼；夢和人類生存和發展的四個部分相關：身體危險、社會地位、健康和性繁殖。他認為，我們夢到危險、恥辱、病痛，是為了刺激我們恐懼并避開它們；而我們也會夢見較高的社會地位、性幻想對象，是為了激勵我們去爭取它們。這樣，夢就成為了對演化有用的系統。
關于夢的功能，還有許多假說，包括：
* 夢可以通過幻想來滿足心理中被壓抑的部分，把外來刺激轉化成夢境以防止被驚醒。
* 認為當說出自己的夢時，可以表達一些不能直說的東西。
* Hartmann說，夢的功能類似精神療法。它可以在“安全的地方創造聯結”，使得做夢者可以在夢中整合在清醒時散亂的思想。
* LaBerge和DeGracia認為夢的功能之一是，將無意識的元素通過一個臨時的基礎重組到意識中，他們把這個過程稱為“精神重組”，類似于DNA的基因重組。從生物計算學的角度看來，精神重組可以幫助腦中的信息網絡實現可塑性。
* 希羅多德在《歷史》中寫道：“夢中向我們展示的景象，常常是和白日有關的多，無關的少。”
從1940年代到1985年，Calvin S. Hall在凱斯西儲大學收集了超過50000份夢的報告。1966年，Hall 和Van De Castle發表了《夢的內容分析》（''The Content Analysis of Dreams''），其中他們設計出了一個符號系統來描述來自大學生的1000份夢的報告。他們的研究結果指出，來自世界不同地方的參與者，都報告了類似的夢中內容。Hall的完整的夢的報告，在1990年代中期由他的門生William Domhoff公開發表，很有參考意義。
夢的視覺表現是高度幻覺化的：不同地點和不同的物體的形象會始終互相混入。地點、人物、物體的形象總的來說都可以對應到人的記憶和經驗，但是它們的形象是極端夸大和古怪的。
先天的盲人夢中不會有視覺影像。他們的夢會和其他感覺有關，比如他們從小接觸到的聽覺、觸覺、嗅覺和味覺。
在Hall的研究中，夢中最經常經歷的情感是焦慮。其他的情感包括被遺棄、憤怒、恐懼以及快樂。負面的情緒比正面的情緒常見得多。
Hall的數據分析表明，和性有關的夢的發生率低于10%，在10-20歲中段的年輕人中最為普遍。另一個研究表明，男性和女性共計87%的夢會包含性的內容。在某些情況下，和性有關的夢會導致性高潮或者遺精。這樣的夢俗稱為“春夢”。
有一小部分人聲稱自己的夢只有黑白的。2008年，鄧迪大學的研究人員發現在童年時期僅僅觀看過黑白電視和電影的人，會在25%的情況下報告做黑白的夢。
有證據表明，某種醫學身體狀況（通常是神經方面的）會對夢有影響。例如，擁有聯覺的人從未報告有完全黑白的夢，而且會難以想象一個夢里只有黑白二色。
解夢可以是主觀意愿和經驗的產物，嘗試解夢是普世文化現象，所有的人類社會都有解夢的習俗。《個性與社會心理學雜志》最近發起的一項研究表明，大部分人都相信“他們的夢揭露了有意義的隱藏的真實”。這個調查在美國、韓國和印度進行，表明74%的印度人、65%的韓國人和56%的美國人相信這一點。
在亞洲地區，人們會以靠人的夢來占卜吉兇，是為占夢。中國民間也流傳了一本 解夢書籍，共有七類夢境的解述。
治療惡夢（通常和PTSD有關）的療法，可能包含想象夢的每個階段可能的替代情節。
有認為發夢是因為人入睡後靈魂離開軀體，穿越時空，因而有人在現實中會驚覺在夢中曾經見過、經歷過的事情或事物，稱為既視感。有些夢被視為「神異夢境」（Divine Dream），在夢中，祖先、偉人、祭司或神祇會向睡眠者現身，給他預言、建議或警告，古希臘蘇格拉底時常在夢中得到指示，孔子一再與周公在夢中相會，都屬於神異夢境。
在夜間，會有許多外界刺激轟炸著感官，但是腦通常會把它們解釋、轉化為夢的一部分，以便讓睡眠繼續。夢對刺激的吸納，指的就是實際的感覺，例如環境的聲音，被夢境吸納：例如聽見電話鈴聲會轉化為夢境中的電話鈴，而在尿床時會夢見撒尿。然而，意識也會在遇到危險時，或者被訓練為聽到某種特定聲音時（例如嬰兒的哭聲）醒來。
“夢對現實的吸納”這個說法，也可用于指早先白日的事件變為夢中元素的過程。最近的研究表明，在大約一周前發生的事件，在夢中最容易出現。目前的研究顯示長到6天的回溯記憶可以表現在夢境。不過，大部份的夢並無可以辨識的前驅經驗。另有研究發現可回溯至7天前的記憶，尼爾森曾放了一部令人不安的影片（印尼村民為了舉行儀式屠殺水牛）給一組志願者看，這部影片首次反映在志願者夢中的高峰期是放映後三天，然後腦內的重播則相隔一週，也就是在放映後第十天。這個模式符合一項針對跳傘新手的研究結果，他們的經驗在第一次跳傘後三天才從夢裡冒出來，然後在跳傘後第十天二度重現。
根據調查，很多人認為他們的夢可以預言生活中的事件。心理學家將他們的這種經驗稱作認知偏誤，表示選擇性記住那些正確預言的記憶，進行扭曲，從而夢就可以回溯性地解釋為和生活經歷相符合。夢的豐富層次使得從中非常容易找出和真實事件相符的情節。
在一個實驗中，被試被要求在日記本上寫下他們的夢。這會阻止選擇性記憶效應，而夢就不再顯現出預言未來的能力。另一個實驗中給了被試一本假的日記，上面記載了表現為預言的夢。日記里描述了某個人的生活，以及一些預言成功的夢和沒有預言的夢。當被試被要求回憶他們所閱讀的夢時，他們回憶起可以預言的夢的成功率要高于沒有預言的夢。
清醒夢又稱為清明夢，意思是在夢中可以保持清醒，并且知道自己正在做夢。有些人在做夢時會突然醒覺到自己正在做夢，當他知道自己在做夢時，他便可以控制自己的夢境，這便是清醒夢了。在清醒夢中，你可以自由地控制自己的行動，也可以任意控制夢境的內容，甚至夢中的其它人也完全由你來控制。但是清醒夢并不要求一定要能夠控制夢中物體。只要知道自己在做夢就稱為清醒夢。清醒夢的發生經過了科學確認。
1975年，心理學家Keith Hearne成功地完成了和一個做夢者在清醒夢期間溝通。被試和Hearne的助手Alan Worsley之前約定了在清醒夢期間將眼球左右運動，然后在夢中完成了這項任務。
一年之后，生理心理學家Stephen LaBerge完成了類似的工作，包括：
*用眼球運動來描繪被試在夢中的時間感覺。
*比較在清醒時和在夢中唱歌時的腦電活動。
*夢中的性愛、性喚起和高潮的比較。
夢的成因的一種解釋為神經脈衝中一些未被處理好的衝擊，這些衝擊波會使我們大腦中的一小部分從睡眠狀態中活躍起來，經過大腦的處理，形成夢。換言之，只要我們大腦的判斷部分及思考部分也活躍起來，能夠發出更強的衝擊波，取代原先的衝擊波，那我們便能隨心所慾控制自己的夢境的一切，即清醒夢，包括感覺、其他人的言行舉止、甚至違反一切物理定律。
控夢需要做夢者自己知道身在夢中，才可能達至改變。
#知覺（醒覺），想控制夢境的人必須先要知道自己身處夢中，並相信夢境是能夠隨心改變，從而激發大腦思考部分活躍。
#改變，當思考部分活躍起來後，便能夠按自己思想去改變夢境的內容，然而作夢者意志必須堅定，否則大腦傳出的衝擊波較原先未被處理的衝擊波弱，夢境內容將不會被改變。
一般人會認為控夢是不可能的事，因為當人進入夢境後，自我意識便會失去，自己將不能判斷出是否在夢中，然而根據實驗發現，人是能夠透過訓練使自己在夢中判斷出自己在做夢，但成功率偏低，只有約兩成實驗對象能在半年時間內訓練至成功控夢，而且他們指出，儘管能改變夢境內容，但可改變的範圍有限，一般只能改變做夢者集中精神去思索的一樣事物。對於此點，亦有不同的解釋，大部分人認為是人腦在睡眠中能被激發的部分有限，無法處理太多神經脈衝，因此大部分仍是靠潛意識去處理。但實驗仍能作出總結，控夢是能夠透過訓練達到。
有人認為，控夢其實很容易達到。只要在一個不尋常的處境下告訴自己是夢，就可以依思考做出自己想做的事情，完成許多在現實生活無法完成的事情，且可以在夢醒後持續記得夢的內容。
無心過失之夢（DAMT）是指做夢者夢見他/她努力想要制止的無心過錯（一個典型例子就是一個戒煙者夢見自己在抽煙）。經歷過DAMT的被試報告在醒來時會感覺到罪惡感。有研究發現在DAMT和成功阻止這樣的行為之間有著正相關。
對夢的回憶常常極其不可信，然而回憶的技巧是可以訓練的。在人剛剛從夢中醒來時，夢常常可以被回憶起來。女性比起男性來，會更經常成功回憶起夢。難以回憶起的夢，通常會被認為是具有相對小的心理影響，而心理凸顯效應、喚起和干涉都會在夢的回憶中起重要作用。通常夢會因為聽到或者看見某個隨機的信息而觸發。“凸顯假說”認為，所謂“凸顯”的夢中內容，也就是故事性、強烈、異常的內容更容易被記住。有許多證據表明，生動的、強烈的、或者不尋常的夢會經常被記起。“夢日記”可以幫助夢的回憶，通常是出于心理治療或者個人愛好。
對于一些人來說，在入睡前有時會產生來自前一晚的夢的感覺，然而，它們通常過于微弱難以回憶。至少95%的夢沒有進入記憶。將短期記憶轉化為長期記憶所必須的腦化學系統在REM睡眠期間被抑制了。除非一個夢特別生動，并且在做夢期間或者短時間內醒來，夢的內容都不會被記住。
和凸顯假說相符合，有許多證據表明，擁有更多生動、強烈或者不尋常的夢的人，對夢的回憶也會比較多。有理由相信，意識的連續性和夢的回憶有關。更明確地說，在白天經歷了更生動和不尋常的生活的人，也會做更多容易被記得的夢，從而對夢的回憶更多。對于個性中創造力、想象力和幻想更多的人，例如有經驗開放性、白日夢、幻想傾向人格、吸收意識和易催眠等特性的人，會有更多的夢的回憶。也有證據表明夢和清醒時經驗的奇異特性是有關聯的，也就是說，在白天經歷到更奇異的生活，例如嚴重的人會有更多夢的回憶，也會更常做噩夢。
關于既視感（déjà vu）的一個理論認為，這種似曾相識的感覺，是因為人在夢中見過類似的場景或者情節，然后忘記了它，直到在清醒時見到了類似情景才想起來，所以顯得很神秘。
白日夢是影像化的幻想，在清醒時體會到栩栩如生的影像，特別是那些有趣、快樂的想法、希望和目標。白日夢有很多種類，在心理學家之間并沒有形成一致的標準。大眾也用這個詞來表示范圍廣泛的各種體驗。哈佛的心理學家Deirdre Barrett發現，許多經歷過栩栩如生、如夢境般心像的人，會用“白日夢”來稱呼這個現象，而其他很多人會用“白日夢”這個詞來指代較輕微的心像、未來的計劃、對記憶的回顧或者僅僅是“出神”（類似頭腦一片空白）。
白日夢長期以來被貶為懶惰、無所事事，但是現在人們也承認在特定條件下白日夢也是有建設性的。有許多例子表明，進行創造性工作的人，例如作曲家、小說家和電影制作人，會在白日夢期間產生新的想法。與之類似，研究型的科學家、數學家和物理學家在他們的領域也可能在白日夢中得到靈感。
幻覺，在廣義上指的是沒有刺激的情況下出現的感知。在嚴格的意義上，幻覺指的是在清醒、有意識狀態下的，沒有刺激的情況下，獲得的類似真實的感知，它們生動、像真實、位于外部空間。較晚的定義區分了幻覺和夢中的幻象，后者不是處于清醒狀態。
惡夢是一種讓人不舒服的夢，可以帶來強烈的負面情緒，通常是恐懼，也會有情緒抑郁、焦慮和悲傷。惡夢中會包含危險、不舒服、心理或者物理的恐怖。做惡夢的人常常會在一種痛苦的情緒中醒來，可能在很長時間內無法再次入睡。
夜驚是一種主要發生在兒童之間的睡眠障礙，會導致恐怖的感覺。不應將夜驚和惡夢混淆，后者指的是夢引起的恐怖或者恐懼。
*Jayne Gackenbach，朱恩伶譯：《夢的指南：解析奧妙的清明之夢》，臺灣，遠流
*《夢的迷信與夢的探索》，劉文英著，中國社會科學出版社，1989。
*《 活在夢中 》，勇創著，網路短篇小説， 2018。
*  夢的原理 -- Elements of Dream
*  Dreams Dictionary (The Meaning of Dreams)
*  Newsweek Article exploring dreams
*  Psychological and biological aspects of dreaming
*  DreamGate  offers an exhaustive list of * Rüya Tabirleridream related sites
*  The Interpretation of Dreams (alternative ideas)
陽明文庫所收藏的《信長公記》
《信長公記》是部半傳記式的回憶錄，由織田信長舊將太田牛一（和泉守）著作。內容主要描寫關於日本戰國時代名將織田信長與其父織田信秀的生平事蹟。全書共16卷，從織田信秀崛起（天文三年、1534年）寫到本能寺之變後，德川家康逃回三河（天正十年、1582年）為止。由於作者曾為織田家臣，加上對事件的描述詳實完備，該著被認為是可信度相當高的一本著作，不過由於為半回憶錄式的寫作，故不代表全書毫無錯誤。
該書現存有25種版本，皆宣稱為太田牛一所著。目前無法確切確定何者為是，市面上流通一般以「町田本」為主。
內容形式則可分成下列三種:
* 《原本信長記》：以岡山大學池田家文庫所藏和內閣文庫本代表，分2冊15卷，但缺首卷。
* 《永錄十一年記》：前田前侯爵家所藏，據稱為太田牛一親筆真跡，僅單卷。
* 《信長公記》：名叫町田久成的人所藏，寬永年間的手抄本，全16卷，收錄並刊行於明治34年（1901年）《史籍集覽》第19冊。
版本差異主要分成兩系，一為「原本信長記」系，以岡山大學池田家文庫本為代表（15卷）；一為「信長公記」系，以町田本為代表（16卷）。差別在於町田本含首卷（織田信長上洛前之記事），然而首卷謬誤處多因而被認為參考價值低於其餘15卷。
目前於日本各藏書單位所藏之書名名稱各異，有《信長公記》、《原本信長記》、《安土記》、《安土日記》、《太田牛一　永祿十一年記》、《永祿十一年記》等。
為了和小瀨甫庵所著《信長記》（又稱《甫庵信長記》）區隔，一般慣以《信長公記》稱呼之。
*http://ousar.lib.okayama-u.ac.jp/ikedake/komonjo/ja
*https://dl.ndl.go.jp/
* 信長公記全書原文(町田本)
以斐波那契數為邊的正方形拼成的近似的黃金矩形(1:1.618)
-{zh-hant:費波那契數;zh-hans:斐波那契數}-（意大利語：Successione di Fibonacci），又譯為菲波拿契數、菲波那西數、斐氏數、黃金分割數。所形成的數列稱為-{zh-hant:費波那契數列;zh-hans:斐波那契數列}-（意大利語：Successione di Fibonacci），又譯為菲波拿契數列、菲波那西數列、斐氏數列、黃金分割數列。
在數學上，斐波那契數是以遞歸的方法來定義：
用文字來說，就是斐波那契數列由0和1開始，之後的斐波那契數就是由之前的兩數相加而得出。首幾個斐波那契數是：
:987……
特別指出：0不是第一項，而是第零項。
公元1150年印度數學家Gopala和金月在研究箱子包裝物件長寬剛好為1和2的可行方法數目時，首先描述這個數列。在西方，最先研究這個數列的人是比薩的李奧納多（義大利人斐波那契Leonardo Fibonacci），他描述兔子生長的數目時用上了這數列:
兔子對的數量就是斐波那契數列
*第一個月初有一對剛誕生的兔子
*第二個月之後（第三個月初）牠們可以生育
*每月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子
假設在n月有兔子總共a對，n+1月總共有b對。在n+2月必定總共有a+b對：因為在n+2月的時候，前一月（n+1月）的b對兔子可以存留至第n+2月（在當月屬於新誕生的兔子尚不能生育）。而新生育出的兔子對數等於所有在n月就已存在的a對
斐波納契數是帕斯卡三角形的每一條紅色對角線上數字的和。
斐波納契數也是帕斯卡三角形的每一條紅色對角線上數字的和。
為求得斐波那契數列的一般表達式，可以藉助線性代數的方法。高中的初等數學知識也能求出。
比較係數可得：
即為等比數列。
由以上可得：
故數列為等比數列
設Jn為第n個月有生育能力的兔子數量，An為這一月份的兔子數量。
上式表達了兩個月之間，兔子數目之間的關係。而要求的是，An+1的表達式。
根據特征值的計算公式，我們需要算出來  所對應的解。
展開行列式有：。
故當行列式的值為 0，解得  或 。
將兩個特徵值代入
求特徵向量得
第一個月的情況是兔子一對，新生0對。
將它分解為用特徵向量表示。
:  （4）
:  （5）
將（4） 代入 （5）
現在在6的基礎上，可以很快求出An+1的表達式，將兩個特徵值代入6中
（7）即為An+1的表達式
實際上，如果將斐波那契數列的通項公式寫成，即可利用解二階線性齊次遞迴關係式的方法，寫出其特徵多項式（該式和表達斐波那契數列的矩陣的特徵多項式一致），然後解出=，=，即有，其中為常數。我們知道，因此，解得。
設為黃金比例，則有恆等式與，其中為任意整數，則
因此得到的一般式：
此一般式對任意整數成立
當為足夠大的正整數時
可通過編程觀察斐波那契數列。分為兩類問題，一種已知數列中的某一項，求序數。第二種是已知序數，求該項的值。
可通過遞歸遞推的算法解決此兩個問題。
事實上當n相當巨大的時候，O（n）的遞推/遞歸非常慢……這時候要用到矩陣快速冪這一技巧，可以使遞迴加速到O(logn)。
開普勒發現數列前、後兩項之比1/2 ,2/3 , 3/5 ,5/8 ,8/13 ,13/21 ,21/34 ,...... ,也組成了一個數列，會趨近黃金分割：
斐波那契數亦可以用連分數來表示：
而黃金分割數亦可以用無限連分數表示：
而黃金分割數也可以用無限多重根號表示：
斐波那契數列中，只有3個平方數：0、1、144。
證明以下的恆等式有很多方法。以下會用組合論述來證明。
* 可以表示用多個1和多個2相加令其和等於的方法的數目。
不失一般性，我們假設，是計算了將1和2加到n的方法的數目。若第一個被加數是1，有種方法來完成對的計算；若第一個被加數是2，有來完成對的計算。因此，共有種方法來計算n的值。
計算用多個1和多個2相加令其和等於的方法的數目，同時至少一個加數是2的情況。
如前所述，當，有種這樣的方法。因為當中只有一種方法不用使用2，就即　（項），於是我們從減去1。
#若第1個被加數是2，有種方法來計算加至的方法的數目；
#若第2個被加數是2、第1個被加數是1，有種方法來計算加至的方法的數目。
#重複以上動作。
#若第個被加數為2，它之前的被加數均為1，就有種方法來計算加至0的數目。
若該數式包含2為被加數，2的首次出現位置必然在第1和的被加數之間。2在不同位置的情況都考慮到後，得出為要求的數目。
*且，其中為黃金比例，為任意整數
特別地，當''m'' = ''n''時，
*整除，若且唯若''n''整除''m''，其中''n''≧3。
*任意連續三個菲波那契數兩兩互質，亦即，對於每一個''n''，
:gcd(''F'n'', ''F'n''+1) = gcd(''F'n'', ''F'n''+2) = gcd(''F'n''+1, ''F'n''+2) = 1
斐波那西數列是斐波那西n步數列步數為2的特殊情況，也和盧卡斯數列有關。
反費波那西數列的遞歸公式如下：
如果它以1,-1開始，之後的數是：1,-1,2,-3,5,-8, ...
反費波那西數列兩項之間的比會趨近。
費波那西數列可以用一個接一個的正方形來表現，巴都萬數列則是用一個接一個的等邊三角形來表現，它有的關係。
佩爾數列的遞歸公式為，前幾項為0,1,2,5,12,29,70,169,408,...
1970年，尤裏·馬季亞謝維奇指出了偶角標的斐波那契函數
正是滿足Julia Robison假設的丟番圖函數，因而證明了希爾伯特第十問題是不可解的。
在斐波那契數列中，有質數：
2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917……
目前已知最大質數是第81839個斐波那契數，一共有17103位數。不過，人們仍不知道是不是無限個有斐波那契質數。
JavaScript迭代版
function fib(n) {
var fib_n = function(curr, next, n) {
if (n == 0) {
return curr;
return fib_n(next, curr+next, n-1);
return fib_n(0, 1, n);
alert(fib(40));
C語言通項公式版
double constant_a = (1 + sqrt(5)) / 2;
double constant_b = (1 - sqrt(5)) / 2;
double constant_c = sqrt(5) / 5;
double value_1 = 0;
int value_2 = 0;
scanf("%d", &n);
if(n > 0)
c++二變數求某項版
int main  {
int x,y,n;
x=1;y=0;
cin >> n;
for (int i=0;i
c++通項公式版
unsigned long long n;
double ca = (1 + sqrt(5)) / 2;
double cb = (1 - sqrt(5)) / 2;
double cc = sqrt(5) / 5;
double v1 = 0;
double v2 = 0;
cout >n;
for (unsigned long long i = 0; i Python語言通項公式版
# Fibonacci numbers module
def fib(n):    # write Fibonacci series up to n
a, b = 0, 1
while b
fibs = 0, 1
numZS = int(input('How many Fibonacci numbers do you want? '))
for i in range(numZS-2):
fibs.append(fibs-2 + fibs-1)
print fibs
(defun fibs (x)
(cond ((equal x 0) 1)
((equal x 1) 1)
(t (+ (fibs (- x 1))
(fibs (- x 2))))))
(do ((n 0 (+ n 1))
(i 1 j)
(j 1 (+ i j)))
((equal n x) i)))
遞迴版，時間複雜度為 O(2^n)：
func fibonacci(n int) int {
通用版，時間複雜度為 O(n)：
a, b := n%2, 1
for i := 0; i
Java語言通項公式版：
public int fibonacci(int n){
Java語言快捷版：
C語言陣列版：
int n,s,L;
printf("輸入長度");
scanf("%d",&L);
while(L
Python Lambda 遞迴版:
fib = lambda n: n if n
* KNUTH, D. E. 1997. The Art of Computer ProgrammingArt of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley. Chapter 1.2.8.
* Arakelian, Hrant (2014). ''Mathematics and History of the Golden Section''. Logos, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)
* 克裏福德A皮科夫.數學之戀.湖南科技出版社.
* 費波那契數，孫智宏（pdf）
*  Periods of Fibonacci Sequences Mod m at MathPages
*  Scientists find clues to the formation of Fibonacci spirals in nature
，簡稱為Lipsum，是指一篇常用於排版設計領域的拉丁文文章，主要的目的為測試文章或文字在不同字型、版型下看起來的效果。中文的類似用法則稱為亂數假文、隨機假文。
從15世紀開始就被廣泛地使用在西方的印刷、設計領域中，在電腦排版盛行之後，這段被傳統印刷產業使用幾百年的無意義文字又再度流行。由於這段文字以「」起頭，並且常被用於標題的測試中，所以一般稱為，簡稱為。
常見的起頭如下：
原先大家以為這段拉丁文只是沒有意義的組合，目的是讓閱讀者不要被文章內容所影響，而只專注於觀察字型或版型，並藉此填滿空間。但根據美國拉丁學者Richard McClintock的研究，Lorem ipsum原來起源於西賽羅《善惡之盡》第一章的32、33兩節：
粗略中譯（經過英文轉譯）：
為了減少Lorem ipsum的可讀性，並且讓字母頻率與現代英語接近，所以有些版本中部分字母被K、W、Z等拉丁文中沒有的字母替換，或是加入zzril、takimata等字。除了原始的Lorem ipsum版本外，網上還有不同長度和不同語言的版本可供使用。
* The quick brown fox jumps over the lazy dog
*  中文 Lorem Ipsum 產生器
*  Multilingual Lorem Ipsum Generator
*  出現在 Word 幫助中的文字 “Lorem ipsum dolor sit amet” 的說明
144是143與145之間的自然數。
*144的五次方可以分解成四個比它小的數的五次方之和。即
*:它是能被此法分解的最小的數。這個結果在1966年由L.J. Lander和T.R. Parkin發現，同時亦反證了歐拉猜想。
*籮為數字144（12打）的另一種表示法，也是一種單位，通常用於十二進位。
*圖-144，世界上首款超音速客機，圖波列夫公司生產
安全素數是滿足2''p''＋1形式的一類數，在這里''p''也是素數。（相反地，素數''p''叫做索菲熱爾曼素數。）開始的幾個安全素數是：
:5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907
之所以叫它們是“安全”素數，是因為它們在加密算法中的運用：某些因數分解的演算法（如）的計算時間部份取決於被分解數的質因數減去一的因數大小，而若被分解的數以一個安全質數2''p''+1作為因數，由於此質數減去一有一個大質數''p''做為因數，計算時間將會變多。但是很容易理解任何一個小于1050的素數都不是真正安全的，因為對于任何一個有著合適算法的現代計算機都能在適當的時間內判斷出它的素性，但是這些小一點的安全素數在加密算法原理的教學中仍然還是很有用的。不過現在對于安全素數還沒有像對費馬素數與梅森素數一樣的特別的素性檢測方法。
除了5，沒有既是費馬素數又是安全素數的數了。一個給定的費馬素數''F''，一個小小的運算就可以證明（''F''－1）/2會是2的冪。
除了7，沒有既是梅森素數又是安全素數的數了。這個證明有點麻煩，不過仍然在基礎代數的范疇內：''p''必須是素數，2''p''-1才有可能是素數，那么((2''p'' - 1) - 1)/2 = 2''p'' - 1 - 1是個梅森數，因此只有當''p''＝3時''p''－1才是素數，此時23-1=7。
第一類坎寧安鏈中所有的數除了最后一項都是索菲熱爾曼素數，除了第一項都是安全素數。以7結尾的安全質數必定會出現在坎寧安鏈的尾端，因為其兩倍加一將會以5結尾，而這是5的倍數。
所有不是安全素數的素數都稱為「危險素數」或「不安全素數」，也就是說，所有無法滿足2''p''＋1形式的一類素數都是危險素數，在這里''p''也是素數。開始的幾個危險素數是：
:2, 3, 13, 17, 19, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 61, 67, 71, 73, 79, 89, 97, 101, 103, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 173, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337
東北季風是因為強大的冷高壓在北半球的秋冬季節盤據蒙古、西伯利亞，順著高壓梯度的空氣流動以及科氏力的影響（加強了行星風系的作用）。在中國東岸，北緯30度以南地區，東北風盛行稱為東北季風。。在中國華北地區風向是西北，華中地區轉為正北，華南以南轉為東北，故稱東北季風。此季風因為發源於陸地上，因此帶來的都是較為乾燥寒冷的氣候，但是若經過海洋攜帶水氣，則容易在迎風面地區降雨，如臺灣北部、海南東北部、越南東岸等地區。東北季風的氣候影響，可及於赤道地區的新加坡一帶。東北季風不等同冷鋒，西南季風不等同暖鋒，雖然兩者間有其相關性。
每年秋季後，高壓在寒冷的歐亞大陸上發展，寒冷而乾燥的空氣自中國海洋吹來，一直到遠離陸地抵達洋面之後，吸收較多的水份。在中國東岸，北緯30度以南地區，東北風盛行(風強而頻率高)稱為東北季風。冬天，高氣壓南下，伴隨前緣的冷鋒面通過東海到達臺灣附近海域時，即帶來東北季風，其風力常相當強勁。臺灣北部及東北部在受東北季風影響的季節裏，經常呈現陰霾有小雨的天氣。
臺灣因東北季風造成的有名的氣候現象：風飛沙、九降風，影響住民的生活。而北部山區生物的北降現象則是氣候造成的生態影響。
1. 風吹砂：南臺灣的沙岸在東北季風的吹拂之下，海邊的砂礫堆積在陸地地區的特殊景象，在恆春地區龍磐草原到佳樂水一帶甚為顯著。
2. 九降風：東北季風在登陸北部地區時，遇到迎風面降雨的情形，到達新竹、苗栗一帶的時候，因為先前已有降雨，此時的風就變得又乾又冷，強勁的風力直逼颱風的程度。新竹有名的米粉就是靠著九降風風乾製造的。
3. 北降現象：指原本應出現在高緯度(較北，溫帶)、中高海拔的物種，因地形、氣候原因而出現於低海拔的現象。例如臺灣北部山區(如陽明山系)普遍分布的野鴨椿、山菊原生於中高海拔或較高緯度的溫帶地區，但在陽明山區的低海拔即有分布，主要是受到東北季風的影響。又如，陽明山系山頂(海拔約1000米)的箭竹草原，一般只出現在約2500米以上的高山(臺灣中央山脈)，亦是因東北季風造成的強風及低溫所影響。
臺灣的志書裡提到先民觀察到的東北季風現象。
《諸羅縣志》：「南風壯而順，北風烈而嚴；南風多聞，北風罕斷...」
《諸羅縣志》：「九月則北風初烈，或至連月，俗稱九降風。」
《淡水廳志》：「重陽前後忌九廟風，又名九降風。凡颶風多挾雨，九降恒不雨。每望浪色如銀，播空疊起，名曰起白馬，不可行。」
《淡水廳志》：「八九月後，雨少風多，其威愈烈，掃葉捲籜，塵沙蔽天，常經旬不止。」
category:季風
香港人（英文可作：Hong Kongese /Hongkongers/Hong Kong people/Hong Kong Citizen），簡稱港人，是指持有香港永久居民身份的人士，一般不分國籍及種族。
晚清時期，清廷向英國割讓香港。此后，中國大陸歷經政權更迭，但因中華民國政府和中華人民共和國政府對香港主權的主張和各自國籍法規定，在法理上，香港人（華裔香港居民）一直擁有中國人身份。1949年兩岸分治，因兩岸政府對全中國主權的主張，造成中華民國國民和中華人民共和國國民身份重疊。1997年香港主權移交中華人民共和國後，中國籍香港人不論意願自動轉化為中華人民共和國國籍。同時，默認雙重國籍。此外，也有不少其他國籍及其他族裔人士持有香港永久性居民身分證。
香港法律中，對於「香港人」的定義，可見於香港居民，當中亦有永久性居民和非永久性居民之分，所以法律上香港人可以是任何種族、膚色或者國籍，但通常所指的是擁有香港永久居留權的人士。香港人口以華人佔多數，在過去幾次大型香港人口普查中比例都超過93%，非華裔的少數族裔人口佔餘下的7%左右。香港文化以漢族嶺南文化為基礎。
清朝中葉道光年間，香港割讓予英國開始，陸續有廣東人、福建人及其他國籍人士等，以及在第二次世界大戰後，華裔人士及其他外籍人士等大量人口移居香港。
在2020年新西蘭人口普查問卷中填報為香港人群體。
現在，香港雖為中華人民共和國的一個特別行政區，但並非所有香港人均具有中華人民共和國國籍。在香港700萬人口中，約300萬人至400萬人分別持有香港特別行政區護照和英國護照，以及前往中國內地探親、旅遊、經商和工作往來的回鄉證的同時，亦持有海外護照，因此不少港人擁有雙重國籍。
香港有一半人口（約350萬人）擁有英國國籍，當中約340萬為英國國民（海外）（簡稱BNO）持有人。根據英國國籍法，英國國民（海外）人士是英國國籍的一種，屬於英聯邦公民，並非英國公民，所以沒有英國本土及海外領土居留權。這種身分終身有效，但不能傳承至子女後代。另外，部份人因為「居英權計劃」而取得英國公民身分。由於1997年香港主權移交後，任何人士均不能因香港關係而取得英國國籍，持有香港特別行政區護照人士的數目在近年已超過持有英國國民（海外）護照的人數。
在香港主權移交之前以及之後，中華人民共和國並不承認香港人為「英國屬土公民」的身份，但香港人可以持有不同國籍身份等雙重國籍。例如香港主權移交中國後，具有華人血統的香港永久性居民自動成為中華人民共和國公民，他們可申請獲發香港特別行政區護照，亦能擁有其他國籍身份。香港特別行政區實行一國兩制後，香港居民不用徵稅上繳中華人民共和國中央政府，而香港居民納稅人士只需要向香港特區政府繳稅。主權移交之前，在駐港英軍保護香港情況下，香港人能夠以本地召募人員（LEP）身份加入皇家海軍香港中隊和陸軍組織——香港軍事服務團或加入一枝直屬於香港政府之民兵單位——皇家香港軍團（義勇軍）。在主權移交之後，根據香港基本法，香港居民不需要參軍、不用服兵役或進行軍事訓練。香港居民如要進入中國大陸，必須申請並持有中華人民共和國政府簽發的港澳居民來往內地通行證（俗稱回鄉卡、回鄉證）。
1949年兩岸分治后，退守臺灣的中華民國政府仍視香港地區華人屬僑胞，擁有完整的中華民國國民身份。1994年5月以前，依照中華民國內政部《回國僑生戶籍登記辦法》，留學臺灣的香港和澳門僑生自動取得中華民國國民身份證；在香港主權移交前中華民國政府也通過中華旅行社讓合資格的香港人申請華僑身份證明書成為中華民國僑胞，留臺的學生當中不少人也回港發展，故部分香港人能夠同時持有中華民國護照及香港特區護照。依照香港法律遵循的、與中華人民共和國政府相同的一個中國定義，實際上持中華民國籍的香港永久性居民居民仍是中華人民共和國公民。
1997年香港主權移交中華人民共和國之后，中華民國政府以《香港澳門關係條例》規管與香港關係，定義香港居民（香港人）為只持有BNO/特區護照而未有其他國家護照者，與澳門人視為有別於外國人/大陸地區的港澳人士。有作者指出，目前在中華民國憲法增修條文架構下，香港人的法律定位為非外國人、非無國籍者。但是否，與大陸地區人民一樣定性為“非外國人、非本國人（中華民國國民）、非無國籍人”，不得而知。迄今為止，香港仍然有偏向中華民國支持者舉行的活動，例如雙十節慶祝活動。
一些早期移居海外的香港居民，例如有些香港居民與海外僑胞早在1970至80年代開始向海外移居，但仍可保留香港永久居民的身份。之後回流香港的外籍華人因透過歸化而得到其他國家的國籍，最常見有美國、加拿大、新加坡、新西蘭和澳洲等英語系國家。其中一個例子就是那些於1997年香港主權移交前，特別是1990年代初期受六四事件影響，大量香港人擔心政治前途問題而移居海外其它國家造成香港移民潮，但之後亦有不少人士回流返回港的海外人士，因此他們擁有外國護照同時，更擁有香港身份證或香港特別行政區護照，以及前往中國大陸的回鄉證，方便港中兩地工作和經商人士。
清朝解除海禁后，有圍頭人、客家人、福佬人、蜑家人重新遷入，被視為香港最早的原居民。香港開埠後，陸續有廣東商人南下貿易，加上咸豐年間爆發的「太平天國」起義，大批流民來到香港。清末，革命黨人逃避追捕至香港。中華民國延續清朝政策，中港人口來往沒有限制。在第二次世界大戰後至國共內戰後的一段時期，大量難民湧入使香港人口大增，成為香港人口的主體。中華人民共和國成立后前期人口來往不受限制，但之后開始嚴格控制人員進出。1950年代，中國頻頻發生政治運動，一些知識分子偷渡香港。三年饑荒，導致大批廣東農民偷渡香港。文革時期，由知青為主體的偷渡潮涌現，這些知青許多都成為了香港政界、商界、藝術界的核心人物。改革開放后，偷渡人口已大幅減少。此時期，各種由偷渡取得香港身份的人士衍生出家屬團聚問題。例如夫妻偷渡香港，但父母及配偶子女仍留在大陸。香港男性回家鄉娶妻生子。他們只能通過中國政府申請單程證來香港團聚。另外，一部分人基于政治因素移民外國。
按現時政策，每天最多可以讓150名中國大陸居民持單程證來港定居。中國大陸政府開放赴港自由行以來，越來越多的中國大陸中產、富戶人士不惜耗資30多萬港元費用透過一些中介公司來赴港預訂床位生育，拿取子女在香港居留身份證，這些父母並非香港人來港產子（即雙非），造成“赴港產子潮”，但不少香港人對此現象都非常不滿。截至2015年11月，共有約88萬人經單程證到香港定居，成為香港人口增長的主要來源。 此外，港府亦為提升香港的競爭力，透過《優秀人才入境計劃》吸引優秀人材來香港定居發展事業，大部份來自中國大陸，例如李雲迪、周迅、章子怡、湯唯等等。