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作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。成書最遲在東漢前期的《九章算術》中，已經出現過以矩陣形式表示線性方程組系數以解方程的圖例，可視為矩陣的雛形。矩陣正式作為數學中的研究對象出現，則是在行列式的研究發展起來后。邏輯上，矩陣的概念先于行列式，但在歷史上則恰好相反。日本數學家關孝和（1683年）與微積分的發現者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1693年）近乎同時獨立建立了行列式論。其后行列式作為解線性方程組的工具逐步發展。1750年，加布里爾·克拉默發現了克萊姆法則。
阿瑟·凱萊被認為是矩陣論的奠基人
進入十九世紀后，行列式的研究進一步發展，矩陣的概念也應運而生。奧古斯丁·路易·柯西是最早將行列式排成方陣并將其元素用雙重下標表示的數學家。他還在1829年就在行列式的框架中證明了實對稱矩陣特征根為實數的結論。其后，詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特注意到，在作為行列式的計算形式以外，將數以行和列的形式作出的矩形排列本身也是值得研究的。在他希望引用數的矩形陣列而又不能用行列式來形容的時候，就用“matrix”一詞來形容。而在此之前，數學家已經開始將增廣矩陣作為獨立的對象引用了。西爾維斯特使用“matrix”一詞是因為他希望討論行列式的子式，即將矩陣的某幾行和某幾列的共同元素取出來排成的矩陣的行列式，所以實際上“matrix”被他看做是生成各種子式的“母-{}-體”：
阿瑟·凱萊被公認為矩陣論的奠基人。他開始將矩陣作為獨立的數學對象研究時，許多與矩陣有關的性質已經在行列式的研究中被發現，這也使得凱萊認為矩陣的引進是十分自然的。他說：“我決然不是通過四元數而獲得矩陣概念的；它或是直接從行列式的概念而來，或是作為一個表達線性方程組的方便方法而來的。”他從1858年開始，發表了《矩陣論的研究報告》等一系列關于矩陣的專門論文，研究了矩陣的運算律、矩陣的逆以及轉置和特征多項式方程。凱萊還提出了凱萊-哈密爾頓定理，并驗證了3×3矩陣的情況，又說進一步的證明是不必要的。哈密爾頓證明了4×4矩陣的情況，而一般情況下的證明是弗羅貝尼烏斯于1898年給出的。
此后更多數學家開始對矩陣進行研究。埃爾米特證明了如果矩陣等于其復共軛轉置，則特征根為實數。這種矩陣后來被稱為埃爾米特矩陣。弗羅貝尼烏斯對矩陣的特征方程、特征根、矩陣的秩、正交矩陣、矩陣方程等方面做了大量工作。1878年，在引進了不變因子、初等因子等概念的同時，弗羅貝尼烏斯給出了正交矩陣、相似矩陣和合同矩陣的概念。同年，他探討了矩陣的最小多項式（最小方程）問題。1894年的論文中，他討論了矩陣理論和四元數理論的關系。1896年，他給出了凱萊-哈密爾頓定理的完整證明。矩陣理論在19世紀沿著兩個方向發展，分別是作為抽象代數結構和作為代數工具描述幾何空間的線性變換。矩陣理論為群論和不變量理論的發展。
無限維矩陣的研究始于1884年。龐加萊在兩篇不嚴謹地使用了無限維矩陣和行列式理論的文章后開始了對這一方面的專門研究。1906年，希爾伯特引入無限二次型（相當于無限維矩陣）對積分方程進行研究，極大地促進了無限維矩陣的研究。在此基礎上，施密茨、赫林格和特普利茨發展出算子理論，而無限維矩陣成為了研究函數空間算子的有力工具。
將一些元素排列成若干行，每行放上相同數量的元素，就是一個矩陣。這里說的元素可以是數字，例如以下的矩陣：
排列成的形狀是矩形，所以稱為矩陣。在中國大陸，橫向的元素組稱為「-{行}-」，縱向稱為「-{列}-」，而在臺灣則相反，橫向稱為「-{列}-」，縱向稱為「-{行}-」。矩陣一般用大寫拉丁字母表示，需要具體寫出其中元素時，一般用方括號或圓括號括起。以上的矩陣是一個4-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-3-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-的矩陣。
行數是1或列數是1的矩陣又可分別稱為行向量和列向量。這是因為一個向量可以表示成行數或列數是1的矩陣形式。矩陣的任一行／列都是一個行／列向量，例如矩陣的第一-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-就是一個-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-向量。行／列向量可以看成一個向量，因此可以稱矩陣的兩行／列相等，或者某一行等于某一列，表示其對應的向量相等。
一個矩陣從左上角數起的第-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-第-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-上的元素稱為第項，通常記為、、或。在上述例子中。如果不知道矩陣的具體元素，通常也會將它記成或。反之，如果的元素可以寫成只與其-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-數和-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-數有關的統一函數，那么也可以用作為的簡寫。例如是矩陣
的簡寫。要注意的是，在計算機編程中，由于數組的首項是第0項，故編程者可能會將第1行／列稱為第0行／列，從而對矩陣的寫法產生影響，比如矩陣就要改寫成。
矩陣的元素可以是數字、符號或數學表達式。一般為了-{zh-cn:支持; zh-tw:支援;}-矩陣的運算，矩陣的元素之間應當能做加減法和乘法，所以是某個環的元素。最常見的是元素屬于實數域或復數域的矩陣，簡稱為實矩陣和復矩陣。更一般的情況下，矩陣的元素可以是由一個環中的元素排成。給定一個環，所有由中元素排成的矩陣的集合寫作或。若，則通常記以或，稱其為維矩陣或方陣。
矩陣的最基本運算包括矩陣加（減）法，數乘和轉置運算。被稱為“矩陣加法”、“數乘”和“轉置”的運算不止一種，其中最基本最常用的定義如下：
矩陣和的和（差）：為一個矩陣，其中每個元素是和相應元素的和（差），
標量與矩陣的數乘：的每個元素是的相應元素與的乘積，
矩陣的轉置是一個的矩陣，記為（有些書中也記為或、），其中的第個-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-向量是原矩陣的第個-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-向量；或者說，轉置矩陣第-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-第-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-的元素是原矩陣第-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-第-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-的元素，
矩陣的加法運算滿足交換律：。矩陣的轉置和數乘運算對加法滿足分配律：
矩陣加法和數乘兩種運算使得成為一個維的實數線性空間。而轉置和數乘運算滿足類似于結合律的規律：
矩陣也有類似行列式的初等變換，即對矩陣的某些行和某些列進行三類操作：交換兩行／列，將一行／列的每個元素都乘以一個固定的量，以及將一行／列的每個元素乘以一個固定的量之后加到另一行／列的相應元素上。這些操作在求其逆矩陣時有用。
兩個矩陣的乘法僅當第一個矩陣的-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-數(column)和另一個矩陣的-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-數(row)相等時才能定義。如是矩陣和是矩陣，它們的乘積是一個矩陣，它的一個元素
矩陣的乘法滿足結合律和對矩陣加法的分配律（左分配律和右分配律）：
矩陣的乘法與數乘運算之間也滿足類似結合律的規律；與轉置之間則滿足倒置的分配律。
矩陣乘法不滿足交換律。一般來說，矩陣及的乘積存在，但不一定存在，即使存在，大多數時候。比如下面的例子：
這一特性使得矩陣代數與常見的一些數域（有理數、實數、復數）以及環（多項式環、整數環）都不同。給定一個維的方塊矩陣，與交換的所有方塊矩陣構成一個環，稱為的交換子環。這些矩陣也構成的一個子空間，稱為的可交換空間。與中所有矩陣交換的矩陣只有形如的矩陣（稱為數乘矩陣）。其中的是單位矩陣，也就是主對角線上的元素為1，其它元素為0的矩陣。任意矩陣乘以單位矩陣都得到自身：。
除了最常見的矩陣乘法定義以外，也有一些較不常見的矩陣乘法，比如阿達馬乘積和克羅內克乘積。
矩陣乘法的一個基本應用是在線性方程組上。線性方程組是方程組的一種，它符合以下的形式：
其中的以及等等是已知的常數，而等等則是要求的未知數。運用矩陣的方式，可以將線性方程組寫成一個向量方程：
其中，是由方程組里未知量的系數排成的矩陣，是含有個元素的-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-向量，是含有個元素的-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-向量。
這個寫法下，將原來的多個方程轉化成一個向量方程，在已知矩陣和向量的情況下，求未知向量。
矩陣是線性變換的便利表達法。矩陣乘法的本質在聯系到線性變換的時候最能體現，因為矩陣乘法和線性變換的合成有以下的聯系：
以表示所有長度為的-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-向量的集合。每個的矩陣都代表了一個從射到的線性變換。反過來，對每個線性變換，都存在唯一矩陣使得對所有中的元素，。這個矩陣第-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-第-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-上的元素是正則基向量（第個元素是1，其余元素是0的向量）在映射后的向量的第個元素。
也就是說，從射到的線性變換構成的向量空間上存在一個到的一一映射：
以下是一些典型的2維實平面上的線性變換對平面向量（圖形）造成的效果，以及它們對應的2維矩陣。其中每個線性變換將藍色圖形映射成綠色圖形；平面的原點(0, 0)用黑點表示。
推移，幅度m=1.25.
水平鏡射變換
“擠壓”變換，壓縮程度r=3/2
伸縮，3/2倍
旋轉，左轉30°
設有的矩陣代表綫性變換，則矩陣積代表了綫性變換的復合，因為
矩陣的秩是指矩陣中線性無關的行／列向量的最大個數，同時也是矩陣對應的線性變換的像空間的維度。秩－零化度定理說明矩陣的-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-數量等于矩陣的秩與零空間維度之和。
行數與列數相同的矩陣稱為方塊矩陣，簡稱方陣。所有維的方塊矩陣構成一個線性空間，這個空間對矩陣乘法也是封閉的，因此也是一個代數。方陣稱為可逆或非奇異的，如果存在另一個方陣，使得
成立。這時候可以證明也有成立，可將矩陣稱為的逆矩陣。一個矩陣的逆矩陣如果存在的話，就是唯一的，通常記作。
矩陣的元素稱為其主對角線上的元素。方塊矩陣的所有主對角線元素之和稱為它的跡，寫作。盡管矩陣的乘法不滿足交換律，方陣相乘時交換順序會導致乘積變化，但它們的跡不會變，即。除此以外，矩陣轉置的跡等于其自身的跡，。
如果一個方陣只有主對角線上的元素不是0，其它都是0，那么稱其為對角矩陣。如果主對角線上方的元素都是0，那么稱為下三角矩陣；反之如果主對角線下方的元素都是0，那么稱為上三角矩陣。例如的時候，這些矩陣分別寫作：
::（對角矩陣），（下三角矩陣）和（上三角矩陣）。
的一個線性變換f將藍色圖形變成綠色圖形，面積不變，而順時針排布的向量1和2的變成了逆時針排布。對應的矩陣行列式是-1.
方塊矩陣的行列式是一個將其映射到標量的函數，記作或，反映了矩陣自身的一定特性。一個方陣的行列式等于0當且僅當該方陣不可逆。系數是實數的時候，二維（三維）方陣的行列式的絕對值表示單位面積（體積）的圖形經過對應的線性變換后得到的圖形的面積（體積），而它的正負則代表了對應的線性變換是否改變空間的定向：行列式為正說明它保持空間定向，行列式為負則說明它逆轉空間定向。
2×2矩陣的行列式是
3×3矩陣的行列式由6項組成。更高維矩陣的行列式則可以使用萊布尼茲公式寫出，或使用拉普拉斯展開由低一維的矩陣行列式遞推得出。
兩個矩陣相乘，乘積的行列式等于它們的行列式的乘積：。將矩陣的一行／列乘以某個系數加到另一行／列上不改變矩陣的行列式，將矩陣的兩行／列互換則使得其行列式變號。用這兩種操作可以將矩陣變成一個上三角矩陣或下三角矩陣，而后兩種矩陣的行列式就是主對角線上元素的乘積，因此能方便地計算。運用行列式可以計算線性方程組的解（見克萊姆法則）。
的方塊矩陣的一個特征值和對應特征向量是滿足
:的標量以及非零向量。特征值和特征向量的概念對研究線性變換很有幫助。一個線性變換可以通過它對應的矩陣在向量上的作用來可視化。一般來說，一個向量在經過映射之后可以變為任何可能的向量，而特征向量具有更好的性質。假設在給定的基底下，一個線性變換對應著某個矩陣，如果一個向量可以寫成矩陣的幾個特征向量的線性組合：
其中的表示此向量對應的特征值是，那么向量經過線性變換后會變成：
可以清楚地知道變換后向量的結構。
另一個等價的特征值定義是：標量為特征值，如果矩陣是不可逆矩陣。根據不可逆矩陣的性質，這個定義也可以用行列式方程描述：為特征值，如果
:這個定義中的行列式可以展開成一個關于的''n''階多項式，叫做矩陣的特征多項式，記為。特征多項式是一個首一多項式（最高次項系數是1的多項式）。它的根就是矩陣特征值。哈密爾頓－凱萊定理說明，如果用矩陣本身代替多項式中的不定元，那么多項式的值是零矩陣：
轉置等于自己的矩陣，即滿足的方塊矩陣叫做對稱矩陣。滿足的矩陣稱為反對稱矩陣。在復系數矩陣中，則有埃爾米特矩陣的概念：滿足的方塊矩陣稱為埃爾米特矩陣，其中的表示的共軛轉置矩陣。
根據譜定理，實對稱矩陣和復埃爾米特矩陣擁有特征基，即由矩陣的特征向量組成的基底。因此任何向量都能表示成矩陣特征向量的線性組合。此外，這兩類矩陣的特征值都是實數。
正定矩陣對應的二次型的取值范圍永遠是正的，不定矩陣對應的二次型取值則可正可負
的實對稱矩陣如果滿足對所有非零向量，對應的二次型
函數值都是正數，就稱為正定矩陣。類似地還有半正定矩陣、負定矩陣、不定矩陣等概念。對稱矩陣的正定性與其特征值密切相關。矩陣是正定的當且僅當其特征值都是正數。
矩陣在許多學科領域中都有應用，在很多時候，除了需要知道矩陣的理論性質以外，還需要計算矩陣的數值。為了矩陣的計算能夠足夠精確與快捷，數值線性代數中專門有研究矩陣的數值計算方法。與其它的數值計算一樣，矩陣的數值計算注重的主要也是算法的復雜度和數值穩定性。矩陣的數值計算可以使用直接計算，也可以用迭代算法，例如在計算方塊矩陣的特征值時，可以從一個非零向量開始，通過特定迭代方法得到一個逼近某個特征向量的向量序列。
測量一個算法的復雜度是指估計此算法需要的基本運算如數字的加法和乘法的次數，或者找出它的一個上界。例如按照定義計算的話，兩個階方陣的乘法需要次數字乘法計算，因為其乘積是一個階方陣，有個元素，計算每個元素需要次數字乘法。如果使用施特拉森算法的話，可以將數字乘法的次數減低到大約次。此外，編程語言或環境本身對算法的復雜度也會有影響。
某些特殊類型的矩陣攜帶的數據量比一般矩陣要少，同時帶來的信息量比一般矩陣多。一個重要的例子是稀疏矩陣，這類矩陣中絕大部分的元素是零。有關稀疏矩陣的計算，如計算稀疏矩陣的線性方程組時，可以使用一些專用于稀疏矩陣的特殊算法（比如共軛梯度法），減低計算復雜度。
算法的數值穩定性是指輸入值的小變化不會讓計算結果產生很大偏差。例如計算矩陣的逆時，可以用以下的算法（其中表示的伴隨矩陣，表示的行列式）
這個算法在的行列式接近0的時候會引起很大的舍入誤差。而如果使用全選主元的高斯消去法求逆，則在復雜度降低的同時能夠避免舍入誤差，保證數值穩定性。
矩陣研究的一大方向是將一般的矩陣用一些比較“簡單”的矩陣來表示。這種表示方式稱為矩陣的變換與分解。矩陣變換與分解的方法有很多，它們的目的都是希望化簡后的矩陣保持原矩陣的某些性質，比如行列式、秩或逆矩陣，而形式相對簡單，因而能用容易地進行討論和計算，或者能使得某些算法更易執行。
LU分解將矩陣分解為一個下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積。分解后的矩陣可以方便某些問題的解決。例如解線性方程組時，如果將系數矩陣分解成的形式，那么方程的求解可以分解為求解和兩步，而后兩個方程可以十分簡潔地求解（詳見三角矩陣中“向前與向后替換”一節）。又例如在求矩陣的行列式時，如果直接計算一個矩陣的行列式，需要計算大約次加法和乘法；而如果先對矩陣做分解，再求行列式，就只需要大約次加法和乘法，大大降低了計算次數。這是因為做分解的復雜度大約是次，而后注意到和是三角矩陣，所以求它們的行列式只需要將主對角線上元素相乘即可。
若爾當矩陣，其中灰色框內的是若爾當塊
高斯消去法也是一種矩陣分解方法。通過初等變換操作，可以將任何矩陣變為階梯形矩陣，而每個操作可以看做是將矩陣乘上一個特定的初等矩陣。奇異值分解則是另一種分解方法，將一個矩陣表示成3個矩陣的乘積：。其中和是酉矩陣，是對角矩陣。
特征分解是將一個矩陣寫成的形式，其中是一個可逆矩陣，是對角矩陣。如果的特征分解存在，就稱它是可對角化的矩陣。不能對角化的矩陣，也有類似的分解方式。任意的矩陣都可以寫成的形式，其中的矩陣是若爾當標準型。若爾當標準型是矩陣的一種，它與對角矩陣類似，只不過主對角線上的元素不是數值，而是若爾當塊：主對角線上為同一元素，主對角線右上一行的次對角線上都是1，其它元素都是0的矩陣（見右圖）。特征分解可以方便計算矩陣的冪次和多項式，如要計算：
而其中對角矩陣的冪次要比容易計算得多。同理還可計算矩陣指數：（在線性微分方程中有應用）、矩陣對數和矩陣的平方根。為了提高算法的數值穩定性，還有舒爾分解等矩陣分解方法。
矩陣的元素除了可以是實數和復數以外，也可以任意環或域中元素。在線性代數中，矩陣的性質可以經由有限維的線性空間中的線性變換定義。更廣泛的，無限維空間中的線性算子，則可以定義更廣泛的無窮維矩陣。矩陣的另一種推廣是張量。標量可以看成零維方式排列的數據（只有一個“點”），向量可以看成是一維方式排列的數據（若干個“點”排成的“線段”），矩陣可以看成是二維方式排列的數據（若干個“線段”排成的“矩形”），而張量的概念則包括了這幾種排列方式。在張量的概念中，標量是零維張量，向量是一維張量，矩陣是二維張量，而更高維方式排列的數據方式就是高維張量。
矩陣的元素除了可以是實數和復數以外，還可以是任何能夠使得矩陣的運算律成立的元素。首先，矩陣的元素可以是任意一個域（即能夠進行“加減乘除”運算的集合）中元素。例如編碼理論中會出現系數為有限域中元素的矩陣，以及有理數系數的矩陣。如果矩陣的系數所在域不是代數閉域，那么在求矩陣的特征值時，由于特征值是相應的特征多項式的根，可能不在系數域中，而是在系數域的某個擴域L中。反過來，如果考慮擴域，以及中的一個元素，以及中線性變換，那么由于也是一個-線性變換，它可以表示成一個的系數矩陣，其中的是擴域的階數。是這個矩陣的特征值，這個矩陣的特征多項式是在中的最小多項式的冪次：
: 。其中的是擴域 的階數。
更一般的情況是矩陣的元素屬于某個環。環是比域更廣泛的概念，只要求其中元素能夠進行加減法和乘法運算（不一定能定義除法）。給定一個環，中的矩陣之間可以相互加減以及相乘，所以關于矩陣的加法和乘法也構成一個環，稱為矩陣環。維方陣的環與左-模的自同態環同構。
若是交換環，則是一個帶單位元的-代數，滿足結合律，但不滿足交換律。其中的矩陣仍然可以用萊布尼茲公式定義行列式。一個矩陣可逆當且僅當其行列式為環中的可逆元（域上的矩陣可逆只需行列式不等于0）。
前面已經提到，所有的線性變換都對應著一個中的矩陣。更一般地，給定了基底后，任意兩個有限維線性空間之間的線性映射也對應著一個矩陣。設空間和的基底分別是和，那么
:對任意  ，
矩陣實際上“記錄”了中每個基底向量經過變換后得到的中的像在基底下的形式。要注意矩陣的內容取決于基底的選擇。可以說，矩陣是線性變換''f''在特定“角度”（基底）下的“素描”。不同的“角度”下，描述的矩陣是不同的，但這些矩陣都是相似矩陣。與矩陣有關的基本概念都可以用線性變換的層面來解釋，比如一個矩陣的轉置可以用''f''的對偶變換'來表示。
當矩陣的元素是帶單位元的環中的元素時，的-矩陣對應的則是-自由模和之間的-線性變換。的時候，這些-線性變換可以相互復合，因此維的-矩陣環能夠與-自同態環同構。
群是比環更寬泛的代數結構，只需要集合配備一個滿足結合律的二元運算，即將兩個群內元素映射到群內一元素的運算。矩陣群是指矩陣關于矩陣乘法組成的群。顯然，只有方塊矩陣才能構成乘法群。所有維的可逆方陣構成一個群，稱為階一般線性群。由于群內每個元素都必須是可逆的，任意的矩陣群都必然是一般線性群的子群。
能夠在矩陣乘法和求逆矩陣運算下保持的性質都可以用來刻畫一定的矩陣群。例如所有行列式為1的矩陣可以構成一個群，稱為階特殊線性群。所有維的正交矩陣，即滿足：
的矩陣也構成一個群，稱為階正交群。正交矩陣得名于它在中對應的線性變換具有保角性，也就是說對基本的點積，滿足
每個有限群都同構于一個矩陣群。實際上，每個有限群都同構于某個置換群的子群，而每個置換群都同構于一個矩陣群（見置換群的正則群表示）鑒于矩陣群的性質可以通過與矩陣相關的更多手段更好地理解，常常通過研究矩陣群來研究一個有限群。相關的理論稱為群表示論。
無窮維矩陣可以指行數或列數無窮大，或兩者都是無窮大的矩陣。盡管這樣的矩陣無法完整寫出，但只要知道每行每列的元素的值，仍然可以對它進行矩陣操作和運算。這里矩陣的行數和列數甚至不一定需要是可數集。需要注意的是，無窮維矩陣的乘法涉及到無窮級數求和，因此只有在相關的無窮級數收斂的時候，才能定義矩陣的乘積。無限維矩陣也可以是方塊矩陣，定義為行標記集合與列標記集合相同的矩陣（如）。
無限矩陣無法定義通常意義上的行列式，因此可逆矩陣不一定是方塊矩陣，同理，酉矩陣也不一定要是方塊矩陣。
空矩陣是指行數或列數為零的矩陣。空矩陣的定義可以完善一些關于零維空間的約定。包括約定一個矩陣與空矩陣相乘得到的也是空矩陣，兩個和的空矩陣相乘是一個的零矩陣（所有元素都是零的矩陣）。0×0的空矩陣的行列式約定為1，所以它也可以有逆矩陣，約定為它自己。
分塊矩陣是指一個大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例，以下的矩陣
可分割成4個2×2的矩陣
:。將矩陣分塊可以使得矩陣結構清晰，在某些時候可以方便運算、證明。兩個大小相同、分塊方式也相同的矩陣可以相加。行和列的塊數符合矩陣乘法要求時，分塊矩陣也可以相乘。將矩陣分塊相乘的結果與直接相乘是一樣的。用分塊矩陣求逆，可以將高階矩陣的求逆轉化為多次低階矩陣的求逆。
矩陣在許多領域都應用廣泛。有些時候用到矩陣是因為其表達方式緊湊，例如在博弈論和經濟學中，會用收益矩陣來表示兩個博弈對象在各種決策方式下的收益。文本挖掘和索引典匯編的時候，比如在TF-IDF方法中，也會用到文件項矩陣來追蹤特定詞匯在多個文件中的出現頻率。
復數可以用實系數的2×2矩陣表示：
這種表示法與復數的加減法、乘法都相兼容。比如，2×2的旋轉矩陣可以用來表示模長為1的復數，一個向量乘以此旋轉矩陣可以視作一個復數乘以該模長為1的復數。對四元數也有類似的矩陣表達。
早期的密碼技術如希爾密碼也用到矩陣。然而，矩陣的線性性質使這類密碼相對容易破解。計算機圖像處理也會用到矩陣來表示處理對象，并且用放射旋轉矩陣來計算對象的變換，實現三維對象在特定二維屏幕上的投影。多項式環上的矩陣在控制論中有重要作用。
化學中也有矩陣的應用，特別在使用量子理論討論分子鍵和光譜的時候。具體例子有解羅特漢方程時用重疊矩陣和福柯矩陣來得到哈特里－福克方法中的分子軌道。
一個無向圖的鄰接矩陣。
圖論中可以用矩陣描述一個有限圖。這個矩陣叫做相關矩陣的鄰接矩陣，記錄了圖的每兩個頂點之間是否有邊連接。對簡單圖來說，鄰接矩陣的元素只取兩個值：0和1,第-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-第-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-上取值為0，表示沒有從第個頂點連到第個頂點的邊，取值為1則說明有。如果是一般情況的話，第-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-第 -{zh-cn:列; zh-tw:行;}-上的取值是從第個頂點連到第''j''個頂點的邊的數目。距離矩陣則是表示圖中各頂點之間距離的矩陣。在研究互聯網等復雜網絡的時候，鄰接矩陣常常會是稀疏矩陣。因此網絡理論中有專門研究稀疏矩陣的方面。
在多元函數微積分學中，對二階偏導數存在的函數，可以定義其海森矩陣：
時，海森矩陣的特征值一正一負，說明函數在處有一個鞍點（紅色點）
嚴格來說，僅當函數在某一點上的二階偏導數存在，才能定義這一點上的海森矩陣。海森矩陣給出了函數在這一點的變化率方面的信息。當給定的點是函數平穩點（即函數在這一點上的一階偏導數都是0）時，就需要利用海森矩陣來查看函數在這一點周圍的增長特性。多元函數在點的泰勒展開是：
如果函數在點x的一階偏導數都是0，那么，所以函數在x附近的變化率取決于海森矩陣的性質。如果是正定矩陣，那么函數在點x取得局部最小值，如果是負定矩陣，則函數在x取得局部最大值。在這類情況下，關于函數''f''的條件最優化問題可以轉變為關于海森矩陣的二次規劃問題。
矩陣在多元函數微積分中的另一個應用是雅可比矩陣。函數在某一點x上的一階偏導數存在時，可以定義它在這點上的雅可比矩陣：
:。如果，而又是滿秩矩陣（秩等于）的話，根據反函數定理，可以找到函數在x附近的一個局部的反函數。
偏微分方程理論中，二階擬線性偏微分方程可以根據最高次偏導項系數構成的矩陣的正定性分類。假設有一個二階擬線性偏微分方程：
:   并假設
記矩陣。如果矩陣是正定或負定矩陣，那么就稱方程為橢圓形偏微分方程；如果不可逆，就稱為拋物形偏微分方程，如果可逆而且恰有個特征值同號，就稱為雙曲型偏微分方程。其它情況下也稱為超雙曲形偏微分方程。不同類型的方程解的形式也不一樣。
用數值方法解偏微分方程時更需要用到矩陣。一個重要的方法是有限元方法，在求解各種物理中遇到的偏微分方程時廣泛使用。有限元方法的基本思想是用一系列“簡單”函數的線性組合來“逼近”偏微分方程的精確解。這些“簡單”函數通常是指將求解區域分割成一定數量的“小塊”后，僅在某一“小塊”上非零的分段線性函數。選定了網格和“簡單”函數后，可以求解關于剛度矩陣的方程得到近似解。有限元理論中證明了在滿足一定的條件下，近似解將隨著網格趨于精細而弱收斂到精確解。
概率論中常用到隨機矩陣，即-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-向量是概率向量（即所有的元素都在0和1之間，并且加起來等于1的向量）的矩陣。隨機矩陣可用來定義有限概率空間中的馬爾可夫鏈。設隨機變量是某個馬爾可夫鏈在時刻的狀態，所有可能的狀態稱為狀態空間，那么隨機矩陣則記錄了假設已知的可能情況下做各種取值的可能性。的第-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-第-{zh-cn:列; zh-tw:行;}-上的元素表示當的時候，的可能性。的第-{zh-cn:行; zh-tw:列;}-記錄了從轉移到各種狀態的可能性。所以叫做時刻的轉移矩陣。如果馬爾可夫鏈的轉移矩陣不隨時刻變化，則稱為齊次馬爾可夫鏈。這時馬爾可夫鏈的吸引態可以通過計算轉移矩陣的特征向量得到。
統計學中也會用到各種不同的矩陣。描述統計學中常常需要用矩陣的形式來描述數據樣本，顯得更為緊湊。幾個隨機變量的協方差矩陣表示它們之間的協方差關系，在某種程度上表示了它們相互間的關聯程度（但不絕對）。
統計學中用到矩陣的另一個地方是線性回歸中的最小二乘法分析。當觀測到隨機樣本時，線性回歸法的目標是希望找到以下的線性關系：
即將變量表示成的分量的線性組合與一個已知的隨機誤差的和。這個表示可以寫成矩陣的形式，并利用矩陣的奇異值分解來分析。
另一種隨機矩陣是指每個元素都是隨機變量的矩陣，這些隨機變量可以都遵循同一個分布，或各自遵循不同的分布。一個常見的例子是全部元素都是相互獨立的標準正態分布隨機變量的隨機矩陣。這種隨機矩陣在數論和物理中也有應用。
線性變換及其所對應的對稱，在現代物理學中有著重要的角色。例如，在量子場論中，基本粒子是由狹義相對論的洛倫茲群所表示，具體來說，即它們在旋量群下的表現。內含泡利矩陣及更通用的狄拉克矩陣的具體表示，在費米子的物理描述中，是一項不可或缺的構成部分，而費米子的表現可以用旋量來表述。描述最輕的三種夸克時，需要用到一種內含特殊酉群SU(3)的群論表示；物理學家在計算時會用一種更簡便的矩陣表示，叫蓋爾曼矩陣，這種矩陣也被用作SU(3)規范群，而強核力的現代描述──量子色動力學的基礎正是SU(3)。還有卡比博-小林-益川矩陣（CKM矩陣）：在弱相互作用中重要的基本夸克態，與指定粒子間不同質量的夸克態不一樣，但兩者卻是成線性關系，而CKM矩陣所表達的就是這一點。
1925年海森堡提出第一個量子力學模型時，使用了無限維矩陣來表示理論中作用在量子態上的算子。這種做法在矩陣力學中也能見到。例如密度矩陣就是用來刻畫量子系統中“純”量子態的線性組合表示的“混合”量子態。
另一種矩陣是用來描述構成實驗粒子物理基石的散射實驗的重要工具。當粒子在加速器中發生碰撞，原本沒有相互作用的粒子在高速運動中進入其它粒子的作用區，動量改變，形成一系列新的粒子。這種碰撞可以解釋為結果粒子狀態和入射粒子狀態線性組合的標量積。其中的線性組合可以表達為一個矩陣，稱為S矩陣，其中記錄了所有可能的粒子間相互作用。
矩陣在物理學中的另一類泛應用是描述線性耦合調和系統。這類系統的運動方程可以用矩陣的形式來表示，即用一個質量矩陣乘以一個廣義速度來給出運動項，用力矩陣乘以位移向量來刻畫相互作用。求系統的解的最優方法是將矩陣的特征向量求出（通過對角化等方式），稱為系統的簡正模式。這種求解方式在研究分子內部動力學模式時十分重要：系統內部由化學鍵結合的原子的振動可以表示成簡正振動模式的疊加。描述力學振動或電路振蕩時，也需要使用簡正模式求解。
在幾何光學裏，可以找到很多需要用到矩陣的地方。幾何光學是一種忽略了光波波動性的近似理論，這理論的模型將光線視為幾何射線。採用近軸近似，假若光線與光軸之間的夾角很小，則透鏡或反射元件對於光線的作用，可以表達為2×2矩陣與向量的乘積。這向量的兩個分量是光線的幾何性質（光線的斜率、光線跟光軸之間在的垂直距離）。這矩陣稱為光線傳輸矩陣，內中元素編碼了光學元件的性質。對於折射，這矩陣又細分為兩種：「折射矩陣」與「平移矩陣」。折射矩陣描述光線遇到透鏡的折射行為。平移矩陣描述光線從一個主平面傳播到另一個主平面的平移行為。
由一系列透鏡或反射元件組成的光學系統，可以很簡單地以對應的矩陣組合來描述其光線傳播路徑。
在電子學裏，傳統的或節點分析會獲得一個線性方程組，這可以以矩陣來表示與計算。
很多種電子元件的電路行為可以用矩陣來描述。設定為輸入向量，其兩個分量為輸入電壓與輸入電流。設定為輸出向量，其兩個分量為輸出電壓與輸出電流。這電子元件的電路行為可以描述為；其中，是2×2矩陣，內有一個阻抗元素、一個導納元素、兩個無量綱元素與。這樣，電路的計算可以約化為矩陣計算。
* 矩陣論專有名詞表：有關矩陣論所用到的名詞的定義
; 百科全書
*  MacTutor: Matrices and determinants
*  Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages
*  Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors
; 在線書籍
; 線上矩陣計算器
* , a freeware package for matrix algebra and statistics
* Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)
公歷紀元或公元（，縮寫為），也稱西元，是當今國際社會最為廣泛使用的紀年標準，源於西方國家使用的基督紀年，以當時認定的耶穌出生年為紀年的開始。第一年被稱作基督元年（耶穌出生的那一年）。後來，由於西方文化的強勢，西曆紀元成為世界通用標準。
在英語裡「紀元前」是用「B.C.」來代表，「紀元後」是用「A.D.」代表；「B.C.」是「Before Christ」（基督前）的首字母縮寫，基督徒常譯為「主前」；而「A.D.」則是拉丁文「Anno Domini」（主的年份）的縮寫，基督徒常譯為「主後」。因著一些非基督徒的現代學者及科學家基于世俗化和宗教中立原則，就試圖用「B.C.E.」和「C.E.」來分別代表「公元前」和「公元後」；「C.E.」是「Common Era」的縮寫，意為「公元」，而「B.C.E.」是「Before the Common Era」的縮寫，意為「公元前」，許多人簡略從舊「B.C.」。但「C.E.」也被一些人認為是「Christian Era」（基督紀元）的縮寫。
公元紀年起源於基督教的影響。公元525年，基督教神學家狄奧尼修斯·伊希格斯建議將耶穌生年定為紀元元年，以取代當時羅馬教廷所採用的「戴克里先曆」（以迫害基督徒著稱的羅馬皇帝戴克里先登基之年，即公元284年做為元年，俗稱「」（Era of Martyrs）。伊希格斯並推算耶穌是生於古羅馬建國後754年，但後來的歷史學家發現他的計算可能有誤，耶穌並非出生于公元1年；現在一般以耶穌誕生在約公元前7年至前4年左右的說法最可靠（大希律王卒于公元前4年）。
在英語裡，傳統上「紀元前」是用「B.C.」來代表，「紀元後」是用「A.D.」代表；「B.C.」是「Before Christ」（基督前）的首字母縮寫，基督徒常譯為「主前」；而「A.D.」則是拉丁文「Anno Domini」（在主之年）的縮寫，基督徒常譯為「主後」。現代由於西曆紀元的通用和標準化，為避免非基督徒的反感以及文化、意識形態上的爭議，也為了分清基督正確出生年分的訛誤（耶穌並非出生于公元1年），英語中越來越常用「B.C.E.」和「C.E.」來分別代表「紀元前」和「紀元後」；「C.E.」是「Common Era」的縮寫，意為「公元」，而「B.C.E.」是「Before the Common Era」的縮寫，意為「公元前」，但許多人基于各種因素仍然使用「B.C.」，「A.D.」則略去不寫。而「C.E.」也被一些人認為是「Christian Era」（基督紀年）的縮寫。
聯合國採用公元（B.C.E. 和 C.E.）而非西元（B.C. 和 A.D.）。本身信仰基督新教的前聯合國秘書長科菲·安南也支持使用公元做為紀年，他也指基督教人士可以將 C.E. 理解為「Christian Era」。中國歷史上最通行的紀年方式是干支紀年法，即把10天干和12地支分別組合起來，每60年為一週期。中國歷史上曾有過的其他紀元方式有：天文紀年法、歷史紀年法、帝王年號紀年法、黃帝紀年和孔子紀年等等。1911年10月10日辛亥革命後，湖北軍政府使用黃帝紀年。次年（1912年），中華民國臨時政府決定採用國際通用的公元曆法做為國曆，但紀元部分沿用中國獨自的紀年傳統，稱民國紀年。
因最初是從西方傳入，故1912年中華民國政府成立後以「西曆」或「西元」作為習慣翻譯，如今臺灣地區仍沿用。在中華人民共和國成立後，1949年9月27日，中國人民政治協商會議第一屆全體會議決議，同年10月1日成立的中華人民共和國放棄使用民國紀年，改採用世界通用的公元紀年制度，大陸地區改稱「公元」，以昭明其是「國際共同」，避免「西方獨用」的歧義。
* 二十四節氣、皇帝年號、中國歷史年表
* 公歷、格里歷、紀元、紀年、公歷紀年
年代，中國古代亦稱「秩」，1個年代為連續的10年，通常適用于用公元紀年。年代的劃分為：依照公元紀年，某一年如果能被10整除，那么當年及此后9年（若公元前則為之前9年）共10年稱為1個年代，即XXX0年到XXX9年為一個年代。由于公元紀年中缺少0年，因此，有且僅有的兩個只有9年的年代為前0年代和0年代。
漢語中有兩種表達年代的方法：
* XXX0年代：指XXX0年-XXX9年的連續10年，如1760年代指1760年至1769年這連續10年，這種表達方式與英語1760s類似。
* XX世紀X0年代：指XX世紀X0-X9的連續10年，如18世紀60年代，等同于1760年代，即1760年至1769年這連續10年。中國大陸《出版物上數字用法的規定》規定要用這種表達方式。但是這種表達方式有缺陷：XX00年代和XX10年代無法用該方式表達，必須說成“XX世紀第一個十年/XX世紀頭十年”、“XX世紀第二個十年”。也可以用“XX世紀初”表達“XX世紀第一個十年”，如：18世紀初，指1700年至1709年這段時間的連續10年。此外，該方式的缺陷還有年代的起止年份與世紀的起止年份有矛盾，以及年代的名稱與它是一個世紀的第幾個10年不一致。
雖然中國大陸有如上規定，但在中國大陸，這兩種表達方式實際上無論是民間還是學術界都有使用，甚至還一度引起爭議。
目前日常所說“50年代”、“60年代”……一般都指20世紀的50年代、60年代……，這是因為20世紀剛過，而21世紀50年代……還沒到來，所以目前習慣上用這種簡稱。
基督紀年，又稱為主曆，是源自於基督教的紀年方法，以耶穌誕生年作為紀年的開始。在儒略曆與格里曆中，在耶穌誕生之後的紀年，稱為主的年份（，縮寫為A.D.；又譯為主後），而在耶穌誕生之前的紀年稱為主前（，縮寫為B.C.）。現代學者為了淡化其宗教色彩，加上耶穌生于公元1年實乃謬誤，多半改採用公元（Common Era，縮寫為C.E.）與公元前（Before the Common Era，縮寫為B.C.E.）的說法。該紀念方法是狄奧尼修斯·伊希格斯于525年發明，但是直到800年左右才開始廣泛使用。
是中世紀拉丁語，意思是「主的年份」，基督徒用以來標誌耶穌誕生的年份（主后XXXX年）。
西班牙語：紀元後，d.C/D.C.，「Despues de Cristo」（基督後）；紀元前，a.C/A.C，「Antes de Cristo」（基督前）。
法語：紀元後，ap.J-C，「Après Jésus-Christ」（基督後）；紀元前，av.J-C，「Avant Jésus-Christ」（基督前）。
德語：紀元後，n. Chr.，「nach Christus」（基督後）；紀元前，v. Chr.，「vor Christus」（基督前）。
中文譯名，是指將某個非中文的人名、地名等翻譯成中文后的名稱。由于中文的文字是使用漢字而非拼音文字，因此對于使用拼音文字進行拼寫的人名、地名來說，需要將有關的拼音文字的發音漢字化，才能變成中文名字（而不是直接采用其拼音文字或拼音文字的改寫）。例外的是漢字文化圈的日語、韓語及越南語，其譯名一般使用原文的漢字（或改寫）。將拼音文字的發音漢字化，中國一般採用現代標準漢語，香港、澳門等地則採用香港政府粵語拼音，而南洋華人採用閩南語。
對于一些特殊領域（如天主教）的名字，有一套特殊的標準。另外，有外國官方機構為方便世界華文傳媒采訪，亦會為當地官員編寫一份官方譯名列表。有時國外有華裔血統的名人也有因為傳媒誤譯而發表聲明訂正，例如柬埔寨首相洪森曾在2003年向傳媒發新聞稿指出，他姓名的漢字寫法應該是“雲升”。
譯名準則未確立。同一個地名，往往造出多個中文譯名，造成混亂。社會上引起了統一地名翻譯的討論。當時提出的原則有：
*音譯字以國音為標準，不用方音。
*用字應該普通，不要超出教育部的4808個常用字之外（例外：Rita譯為「莉妲」，其中「妲」字就不是4808個常用字之一）。
為了解決譯名混亂，於中華民國時已有人編製譯音表，作為譯名標準，例如何崧齡等人編纂，民國十三年（1924年）初版的《標準漢譯外國人名地名表》。何崧齡在序文中說道：「外國人名地名，向無一定譯法，淆亂之弊，與日俱深，學者苦之。本書目的，在補救斯弊；換言之，即謀譯名之統一，使學者稍節時力而已。……吾人先議定《西文譯音凡例》，次照《凡例》，編製《西文譯音總表》。——即西文每一音素，均擇一發音相當之漢字，作為標準譯字；無相當譯字者，用『借譯』；發音近似者，用『準譯』。——以此《總表》為標準，製造新譯名。」
漢化譯名，即漢字文化圈以外的人名譯成類似漢式姓名。其中往往直用古來漢土已有用姓，如李、司徒、金等。
此類譯名有幾種譯法。如果其人是先名後姓，多會將姓名照漢姓名排列，又或者基於本姓譯作全名，又或者根據原姓名時會譯姓，名則取譯部份。姓、名總共會譯成幾多個漢字、用何種字，多視乎其人性別、譯者習慣及發音根據。例如克魯泡特金可以譯為「柯伯堅」，托爾斯泰為「陶斯道」。電影《亂世佳人》中奇勒·基寶所演角色原名「Rhett Butler」，漢譯作「白瑞德」，「白」即「Butler」省，「瑞德」即「Rhett」。又如賀錦麗，本名「Kamala Devi Harris」，「賀」的粵語即「Harris」的省略，而「錦麗」的粵語發音又與「Kamala」的發音相近。
漢化譯名當中有部份是其人自取。前香港總督衞奕信本名「David Clive Wilson」，其名曾譯作「魏德巍」，出自他的老師所贈對聯：「德者當以道為本，巍峻應有穩定基」。後來又用「魏德維」。到就任香港總督前，以取字及廣東話諧音不吉利為由，取用今名。
自中國與西方接觸以來，曾出現過很多形式的音譯。早期最廣泛使用的是以閩南語、粵語和上海話的漢字讀音為音譯基礎。比如，Switzerland 和 Sweden 之所以被音譯成“瑞士”和“瑞典”，就是因為在老國音，閩南語以及粵語中，“瑞”字念Sui，最為接近這兩國的西方名稱。近年來，在中國由于推普的關系，中國各地使用的音譯方式也向普通話的漢字讀音靠攏，例如 Thomas 這個原本使用粵語音譯成“湯姆斯”的名字，近年來也改為使用普通話音譯的“托馬斯”。
外國不同語言的拼寫與發音的對應規律，一般人不可能全都了解，若不加以規範，則必定出現誤譯。於是中國大陸組織專家學者，為世界50多種語言制定漢字譯音表，每種語言可能出現的音節，都指定音譯漢字。譯名以音似為主，形似為輔。（例如發音有清音濁化，仍照清音翻譯。）人名翻譯，有部份音節按男女分用不同漢字。地名通名需要意譯，所以編訂世界不同語言地名通名的中文名稱。
*外國地名、人名、企業機構名等，均可在 新華全媒新聞服務平臺提供的歷史資料庫中所包含的文獻資料數據庫的“國際譯名”欄目中查詢。
*對於外國地名，可以參照2017年民政部地名研究所編《世界地名譯名詞典》和1998年中國地名委員會編《外國地名譯名手冊》。并可參照中國大百科全書出版社1984年編輯出版的《世界地名錄》和知識出版社1988年編輯出版的《世界地名譯名手冊》。無現成譯名可循的地名，根據地名委員會的《外國地名漢字譯寫通則》及國家標準GB/T 17693《外語地名漢字譯寫導則》音譯。
*外國民族名可參考《中國大百科全書·民族》和商務印書館的《世界民族譯名手冊》。
*外國人名，優先參照新華社譯名室編輯、中國對外翻譯出版公司1993年出版的《世界人名翻譯大辭典》，以及《中國大百科全書》各卷所附的“外國人名譯名對照表”。其次可參照新華社編輯、商務印書館出版的針對各個語種的姓名譯名手冊，如《英語姓名譯名手冊》、《法語姓名譯名手冊》、《德語姓名譯名手冊》、《西班牙語姓名譯名手冊》、《葡萄牙語姓名譯名手冊》、《羅馬尼亞語姓名譯名手冊》、《意大利語姓名譯名手冊》等。以上均未收錄的人名，可根據新華社編輯，商務印書館出版的《譯音表》中相應語言的譯音表音譯。
*全國科學技術名詞審定委員會負責科學技術名詞的翻譯和規范。可通過其主辦的“術語在線”網站進行規范術語的查詢。
臺灣對外國地名的翻譯參照國家教育研究院（前國立編譯館）出版的的《外國地名譯名》（最新版為2014年第四版）。臺灣對于外國人名的譯法并無統一標準。雖然官方通訊社中央通訊社編有《標準譯名錄》，但并無規范統一使用。一些臺灣媒體會采用中央通訊社的譯法，但也有媒體自行另起譯名。
#（收錄《外國地名譯名》的數據）
在體育、娛樂圈、英國政治人物、少量美國政治人物、少量外國地名的範疇，香港通用的中文譯名都以香港的母語粵語（廣州話標準）翻譯。正因如此，很多香港譯名如用普通話譯就會使讀音大幅偏離原音。因為香港曾是英國殖民地，英國政治人物為了顯得親民，會由相關部門將譯名譯成中式名字，如「彭定康」、「麥理浩」、「葛量洪」、「司徒拔」等。
**荷蘭足球員 van der Sar （內地稱范德薩）的香港譯名是「雲達沙」，粵音/wan4 daat6 sa1/，用粵語讀起來接近原文。但「雲達沙」的普通話音為/yún dá shā/。
**港督 George Bonham 的其中一個譯名是「文咸」，粵音/man4 haam4/，漢化意譯之下，不論「文咸」的普通話音/wén xián/或粵音，都與英文原音不符。
香港的官方語文是中文和英文，故香港人習慣把拉丁字母文字以英語拼讀，而不以原語言拼讀，不知道同樣的拉丁字母，在不同語言中發音差別可以很大。所以有些香港譯名無視原語言發音，用英語音譯，令譯名失真。（事實上，英國人也按原語言發音轉成英語，而非將拼寫當成英語拼讀。英國廣播公司設有讀音組（Pronunciation Unit），由語言學家編訂外語名字的英語發音。）
**塞爾維亞足球教練（內地稱米盧蒂諾維奇，即米盧），香港譯作「米路天奴域」。「域」粵音/w?k6/，是把“”用英語讀成/vik/而得出的譯音，但按照原文發音/vi?/，譯名可配上對應/?/音的「治」/tsi6/。
**德國足球員Ballack（中國內地、臺灣稱巴拉克），香港譯作「波歷克」。「波」粵音/po1/，乃錯用英文“ball”/b??l/譯音，但Ballack的“Ball-”按德語其實讀/bal/，和英文“ball”的發音差別很大，而後一音節“-ack”的a發音是/a/，並非英文lack中a的發音/?/，因此「勒」的粵音/l?k6/比「歷」/lik6/更接近德語音譯。普通話譯名「巴拉克」，粵語發音為/pa1 lai1 h?k1/，反而比「波歷克」更近Ballack的德文發音。至於香港譯名末尾的「克」字，是仿照普通話音譯習慣，將尾音-k譯為「克」，但「歷」的粵音已有入聲-k尾，實無需要加「克」字。（與此類似的有曼聯中場球員Carrick，內地稱卡里克，香港譯作「卡域克」。）
**德國足球員Marcell Jansen（中國內地、臺灣稱馬塞爾·揚森），香港譯作「馬素·贊臣」，是把德語“j”誤為英文“j”的發音/d?/，Jansen的“Jan-”遂譯作「贊」/tsan3/。德語“j”實際發音是/j/，所以譯作「恩」/j?n1/較佳。
**荷蘭足球員Ooijer（中國內地、臺灣稱奧耶），香港譯作「奧查」，是把荷蘭語“j”誤為英文“j”的發音，故“jer”譯作「查」/tsha4/，但荷蘭語的j和德語j發音同樣是/j/，所以譯作「也」/ja5/較佳。
**意大利球會Juventus（中國內地、臺灣稱尤文圖斯），香港譯作「祖-{}-雲達斯」，同樣是把意大利語“j”誤為英文“j”的發音，故“ju”譯作「祖」/tsou2/，但意大利語的j也是讀/j/，所以譯作「余」/jy4/較佳。
**法國足球員（內地稱安東尼·雷維耶） ，香港譯作「雷維利尼」，但的法語讀音是/?ev?j??/，名字中的“-ill-”讀作/j/，譯名中卻誤當作/l/而譯為「利」/lei6/，若譯為「耶」/j?4/較佳。「尼」字更是畫蛇添足，因法語中最後的“-e”實際上不發音，且「尼」粵音/nei4/，聲母是鼻音/n/，但這名字最後卻是完全不帶鼻音的法文/?/音。
**法國足球員Clichy（內地稱克利希），香港譯作「基歷治」，是把名字中“-ch-”誤為英文的“ch”/t?/音，遂以「治」翻譯“-chy”，但法語的“ch”讀作/?/，故譯作「斯」/si1/較佳。
**委內瑞拉足球運動員Alejandro Moreno（內地稱莫萊諾），香港譯作阿歷山度·摩蘭奴，是把名字中的“j”（西班牙語中發/h/）誤為英文發音的/?/，且將西班牙文的dr（兩個單獨的輔音）當成了英文的dr（一個輔音）。該人名普通話發音譯為亞歷杭德羅·莫雷諾，粵語則譯阿歷-{咸}-度·摩蘭奴為佳。
**西班牙球會Real Madrid（皇家馬德里），香港以前譯為「真馬德里」，是錯將西班牙文Real當英文翻譯，不知道西班牙文Real另有「皇家」一義，而球會名字的Real是西班牙國王賜封，就如當時香港有些機構名字中，也有英國賜封的Royal，現已改正為「皇家馬德里」。
香港足球評述界其實意識到用英語拼讀非英語名字譯名，這種做法並不妥當。2013年，香港足球評述員協會舉辦「你知道我在講『佢』嗎？」球員譯名研討會，與會者基本上贊成「以人名原語言發音為準」的原則，但是認為實行這項原則非常困難，原因包括：
*球迷習慣現有譯名，貿然改用新譯名必會遭到強烈反對，縱使新譯名貼近原語言發音；
*保留現有球員譯名，對新球員用原語言譯，會出現同一名字兩個譯名；
*球員名字的原語言太龐雜，不少語言更是對香港人而言太「偏門」，要掌握這些語言的名字發音極為困難，若允許例外當作英文譯，又會有準則不一的問題；
*即使大家都用同一個發音翻譯，但是各家對於何為好的譯名，各有不同看法；
*要各大電視臺讓步統一譯名已非易事，若要其他傳媒如報章、賽馬會、足球雜誌等都願意跟從，更是難上加難；
*每年都不斷有新球員加入，這些新名字的譯名管理，是長期和繁重的工作，需要有專門機構負責。
俄羅斯、英國的官方漢語譯名， 用本國語發音近似的漢字轉寫
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新加坡初級法庭網站有 初級法庭常用詞匯可查閱英文翻譯漢文和馬來文詞匯。
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新華社翻譯馬來語名詞時常常按照文字翻譯，這是有爭議的，因為其翻譯出來的漢字與原來的馬來語有時會相差很多。另外，馬來西亞很多馬來穆斯林的名字多數來源于阿拉伯語，新華社在翻譯這些人名時，通常會與其他伊斯蘭文化背景國家的人名翻譯取得一致（這應該是很容易理解的），而不是按照馬來語的發音。例如"Abdullah"會按照習慣譯為“阿卜杜拉”，而不是“阿都拉”；"Najib"會按照阿拉伯語習慣翻譯為“納吉布”而不是“納吉”；"Ahmed"會翻譯為“艾哈邁德”而不是“阿末”。
菲律賓華人講閩南語（咱人話），因此華文譯名也以閩南語音譯。例如城市Makati譯名「馬加智」而非「馬卡提」，因為「智」字閩南語聲母是t（不送氣）。菲律賓最底層的行政區劃稱為barangay，譯名為「描籠涯」而非「巴然蓋」，因為「描」「涯」兩字閩南語聲母是濁音b和g（非漢語拼音b和g，後兩者皆是清音。）。「宿霧」的「霧」字閩南語聲母也是b。菲律賓司法部長Leila de Lima，譯名為「黎利馬」，用「黎」字譯de，因為閩南語聲母l的發音接近濁音d。菲律賓的華文譯名與其他地方所用譯名有差別，如首都的譯名是「岷尼拉」，國家名也用「濱」字而非「賓」。目前尚未有統一華文譯名的組織，因此各華報用的譯名可能不同。
美國地名、人名官方譯名，一般以美語發音音譯，可參考美國政府網站， 如美國駐中國大使館
https://web.archive.org/web/20051013061247/http://beijing.usembassy-china.org.cn/。
華文媒體用的譯名有時與官方譯名有差別，比如「白宮」官方稱作「白屋」，「奧-{}-巴馬/歐-{}-巴馬」官方稱作「歐-{}-巴馬」等。
英國早期的華裔移民都是來自香港圍村的移民。在戰前，香港居民都享有英國的居留權。不少圍村居民為改善生計，都移民到英國謀生。為服務這群不太會英語的香港移民，以及為香港當地的傳媒服務，英國1966年前存在的殖民地部曾經會為全國所有議員和官員編寫一份官方譯名表，方便殖民地范圍內的中文使用者。不過從1972年中英建交開始，中國大陸范圍內官方和民間都沒有使用過此類譯名。由于香港人普遍使用粵語，官方譯名也以粵語的廣州話發音作標準，并且會盡可能將譯名漢化，使華人聽眾有親切感。以下為部份知名人物的香港譯名和中國大陸譯名的分別：
中國大陸譯名
Mrs. Margaret Thatcher
戴-{}-卓爾夫人
撒-{}-切爾夫人
柴-{}-契爾夫人（臺灣）
馬-{}-卓安
約-{}-翰·梅-{}-杰
夏舜-{}-霆
赫塞-{}-爾廷
夏-{}-信廷、夏-{}-思定、希-{}-素庭
Sir David Wilson
衛-{}-奕信
魏-{}-德巍（當駐華大使時的譯名）
彭-{}-定康
柏-{}-藤（委任為港督後停用）
隨著香港殖民政府的消失，現在已不存在新進的官員和議員的中文譯名列表；香港澳門以外的地區，一般都以中國大陸傳媒為標準。這在BBC的中文新聞網頁內亦可留意到。
另外，英國國內的地名或人名如果和宗教有關的話，要先視乎有關宗教，再決定譯名。假如有關名稱和圣公會或基督新教有關，則采用基督教圣經和合本的譯名。例如：圣保羅大教堂。但若有關人物或地方在蘇格蘭或北愛爾蘭信奉天主教的地區，則應采用下一段所列的天主教譯名。
葡萄牙的官方譯名，主要是方便澳門的傳媒報道葡國政府的新聞。葡萄牙本來不太理會澳門的中文媒體，過去當地傳媒都是自行把官員和議員名字的葡語發音用近似的廣東話拼寫。隨著回歸臨近，有關部門才開始統一譯名。
原則上，若有關人物或地方在信仰天主教的地區，則應采用天主教圣經譯本的譯名。所以，故教宗John Paul II的正確譯名應該是若望保祿二世，而不是約翰保羅二世；教宗日常露面的教堂，應該是圣伯多祿大教堂而不是圣彼得大教堂。但要注意，若地名是紀念洗者若翰（新教的施洗約翰）的話，就不要將“若翰”改作“若望”。
由某個地方或機關的官方翻譯可以看出一些它的歷史。例如，在香港總共有六家中學以 St. Paul 為守護者；但是，兩所由香港聖公會開辦的中學譯成“圣保羅”：
*般咸道的聖保羅書院（St. Paul's College）
*麥當奴道的聖保羅男女中學（St. Paul's Co-educational College）
三所由圣保祿修院開辦則譯成“圣保祿”：
*銅鑼灣的聖保祿學校（St. Paul's Convent School）
*跑馬地的聖保祿中學（St. Paul's Secondary School）
*藍田的藍田聖保祿中學（St. Paul's School (Lam Tin)）
澳門也有稱為聖保羅或聖保祿的學校。
韓國雖然自1970年代開始已經停止使用漢字，但70年代以前，韓語的漢字使用量極高。所以，絕大多數的地名和人名都有其正確對應的漢字。為尊重當地和有關人士，請-{zh-hans:盡; zh-hant:盡;}-可能不要自行幫地名和人名作翻譯，而務必要使用原來的漢字。假使沒有對應漢字的話，韓國官方建議采用拉丁化了的名稱。例如：“住在首爾麻浦區的Aeoge驛的學生安Areum”這句句子里面，地方名“Aeoge驛”和人名“安Areum”。
有關韓國各地地名的漢字，可參考有關地區的中文版地圖。假若沒有中文版地圖的話，可參考當地的舊地圖。
尊重韓國官方的要求，韓國首都的中文譯名現改為「首爾」。韓國官方的意見是，除了講述過去的歷史以外，建議提到該國首都時，漢字不應再用「漢城」二字稱之。但目前使用漢語的地區對此意見不一，做法也有很大差別。假設已改成“首爾”，為讓人明瞭易懂，可以再括弧註明“漢城”，或註釋“大韓民國首都”。
有關韓國政要、議員的名稱，可以參考韓國的報社網站。《中央日報》、《朝鮮日報》等大型報社都建有政要及議員的漢字名稱對照表，并設有收費的查詢服務。不過，如果有新聞發生的日期作參考，可以翻查網上過去新聞的PDF版本，來找尋有關人士名稱的漢字寫法。
有關查詢韓國演藝人名字的漢字寫法比較困難，除了因為報章通常都不會寫出他們名字的漢字寫法以外，就連藝人本身也未必記得自己的名字怎樣寫。這時，就要靠有關藝人的經理人公司，或依賴可以信靠的網站。 韓國映畫是一個非常可靠的來源，有時甚至比電影發行商更可靠。例如：韓國人氣偶像車太鉉（Cha Tae-hyun）和全智賢（Jeon Ji-hyun）就多番向香港傳媒投訴自己的名字被錯誤寫為車太賢及全知賢，可見不少藝人其實很看重自己的名字。相反的，韓國報章娛樂版的譯名卻很多時候都是錯的，這一點一定要留意。此外，若有關演藝人在1970年代以前已經活躍于影壇的話，參考當年的電影廣告也是一個很好的方法。也有一些人名最初翻譯錯誤，但後來將錯就錯沿用至今，比如韓國女演員宋慧教在出道時，翻譯員根據韓文“?”(gyo)而將她的名字誤譯作宋慧喬，而這個譯名亦被媒體沿用至今，並且廣為人知。
參看：韓國同音姓氏
越南語既有自己本族語言“純越語詞”又有在中國漢字影響下自己創造出新的語音發音來讀漢字，即“漢越語詞”。純越詞與漢越詞千年來都一直得到越南人的共用，漢越詞占越南語總詞匯中70%以上，說明漢越詞在越語當中的使用率極高。有越南語譯者經過翻譯實踐，總結出可通過音譯、意譯兩種譯法進行越南人名的翻譯。
所謂的音譯指用發音近似的漢字將越南語翻譯過來，這種用于譯音的漢字不再有其自身的原意，只保留其語音和書寫形式。漢越詞在越南語當中所占的比重，且絕大部分漢越詞保持漢語詞的原意。使用純越詞的越南人名中會出現沒有具體意義的單詞，或是有意義但是不能按其意翻譯的字詞，這種情況下一般優先采取音譯的方法。因此音譯翻譯方法也就成為了在越南語人名翻譯中使用最多的一種。因有些漢越詞人名只有一個漢詞相對應，有些漢越詞卻有很多個同音漢字可選擇，而有些少數民族部分人名所使用的文字并未收錄入字典當中。因此在使用音譯法的時應根據不同的情況使用不同的音譯方法：
改翻譯方法使用非常簡便。因為名字只有一個漢詞翻譯對象，所以只需按其漢詞進行翻譯便可。比如“Nguy?n Qu?c S?n阮國山”。
選詞翻譯從姓-墊名-主名一一進行選擇。
*姓用詞的選擇 對于姓用詞的選擇，譯者只要熟悉越南人常用姓氏即可。據考察統計，越南人姓氏之中使用阮姓居首，其次為陳、黎、范、黃、潘、武、鄧、裴、杜、胡、吳、楊、李等。另外還有使用比率較低的姓氏如安、恩、映、歐、潭、陶、段、丁、邢、周、鐘、高、卞、張、王、畢、謝、傅、任、沈、莫、梅、趙、孫等。常見的復姓除了有中國傳統兩字復姓“歐陽”外，越南人也有自己的復姓，如申仲、胡得、阮福等。而雙姓有阮黃、黎喬、潘蘇等，現有雙姓多數是把父姓與母姓配合起來形成的。如?u D??ng可譯為歐陽、Nguy?n Hoàng可譯為阮黃，Phan T?可譯為潘蘇。在姓用詞選擇過程中所遇到的困難是少數民族的姓氏，由于地理、文化、教育、民族語言等因素，現對于少數民族姓氏用詞的收錄非常缺乏，而現對該領域的考慮與研究還很少。因此在翻譯少數民族姓氏時，一般采取相近讀音的漢字進行音譯。