ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
中國人口的老齡化演變既受現代化推進影響，更主要是由于過嚴生育政策的長期實施，致青少兒人口比重下降造成的。老齡化大大超前于經濟發展，即“未富先老”。
據2017年的預測，即使立即全面鼓勵生育，2100年中國總人口也將是在8億人以下，而且人口結構也不會得到優化，少子老齡化反而會更加嚴重。
另外，由于多年來中國處于嚴重少子化，2030年之後，中國勞動力缺口在6000萬人以上，屆時中國的發展將面臨兩難選擇。如果拒絕引進外來勞動力，經濟將失去活力，陷入長期低迷；如果大規模引進非洲和穆斯林等地區勞動力，則又將造成外來文化與本土文化沖突，社會或將陷入動蕩。也有意見指出如果真的大規模引入外國移民，那相當於中國付出巨大的代價不讓本民族孩子出生，最後卻把土地騰給外來移民。與本國出生的人口相比，外來移民在語言、文化和認同感上都不相同，基礎素質上也有顯著差距。對於那些因為限制政策未能如願生育的家庭，這種現實於情於理何堪？然而，道義的說辭無法對抗經濟規律和現實需求，當大量人口老無所依，社會普遍缺乏年輕勞動力時，外來移民將紛至沓來，而且很多人來了將不再離開。如何管理外來移民將是中國未來又一個挑戰。
截至2020年11月，男性人口7億2334萬人，女性人口6億8844萬人，總人口性別比為105.07：100（以女性為100）。2014年中國大陸出生人口性別比為115.88:100，2015年為113.51:100，2016年為112.88:100，2017年為111.9:100。中國大陸的性別比長期不均衡，至2020年第七次人口普查，男性比例上升至51.24%，達到歷史新高。除了同時面臨人口老齡化和勞動人口流出的遼寧、吉林兩省外，中國大陸其他所有省份和直轄市的男性人口均高于女性，外來人口比例較高的廣東、海南兩省男性比例更超過53%。中國大陸男性人口的比例過高，主要來源于以往農村地區重男輕女的傳統習俗，改革開放后農村產檢逐漸普及，重男輕女思想濃厚的農村家庭得以在產期就獲知胎兒性別，提前打掉女胎。盡管中國大陸官方嚴格禁止產檢醫生透露胎兒性別，但地下產檢依然長期存在。對于已充分城市化數十年的東北地區，則不存在男女比例失衡的問題。隨著中國大陸快速城市化，重男輕女思想的根基已逐漸減弱，但仍需較長時間才能反映到宏觀數據中。性別比失衡、女童死亡率高于男童等因素影響下，適婚年齡男性人口受到婚姻擠壓成為社會問題，是中國“最嚴峻的人口問題之一”，亦是中國大陸結婚彩禮普遍畸高的重要原因之一。
中國大陸有規模龐大的流動人口。根據2010年統計，有超過2億流動人口，而離開戶口登記地半年以上的人數則超過2.6億。許多來自農村的勞動力前往廣東、上海、浙江等沿海省市尋找工作。
中國還存在自1958年開始的戶籍制度，這個制度雖然在改革開放后有所放松，但是一直是入學、醫療、就業等制度性歧視的重要來源之一。
改革開放后，中國大陸普通居民獲得更多出國留學、移民的機會，在1980年代形成移民潮。進入21世紀，留學、移民境外更為平常。
根據中國政府2011年統計數據，共有60多萬外國人在中國大陸居住，在華工作的外國人也達到22萬人。隨著在華外國人口增多，外國人聚集區也在一些地方逐漸開始顯現，例如北京逐漸形成了韓國人居住區，廣州則有規模龐大的非洲人黑人聚集區。
中國大陸的移民政策尚在摸索發展階段。在歷史上，中國雖不斷接納不同國家的外來移民，但總體數量很少，相關的移民法律法規也不完善。例如中國雖然有給予外國人永久居留權的綠卡制度，但從2004年至2013年，總共只發出了七千余張，平均每年簽發七百餘張。。中國政府正在完善移民制度，吸引更多希望定居中國的外國人。
2020年第七次人口普查顯示，居住在中國大陸接受普查登記的香港特別行政區居民371,380人、澳門特別行政區居民55,732人、臺灣地區居民157,886人，外籍人員845,697人，合計1,430,695人。上述人員中，居住時間三個月以下的40,659人；居住時間三個月至半年的56,342人；居住時間半年至一年的166,884人；居住時間一年至兩年的248,174人；居住時間兩年至五年的314,954人；居住時間五年以上的603,682人，大多數在陸境外人員為長期居留。以商務為目的77,008人；以就業為目的444,336人；以學習為目的219,761人；以定居為目的419,517人；以探親為目的74,735人；其他目的195,338人，就業和定居是境外人員來華的主要目的。境外人員大多集中在廣東和云南兩省，上海和福建也有超過10萬境外居民。
中國大陸鄉鎮（街道）人口密度圖
黑河-騰沖人口分布線
中國大陸的人口地區分布很不均衡，超過94%的中國人生活在占全國總面積43%的土地上。黑河-騰衝線體現了中國人口東南和西北的分布區域之懸殊差異。
原廣東省人口與計劃生育委員會主任張楓認為中國的最佳人口數量為10億。
“一胎化”所依據的“適度人口”研究，全國政協前副主席宋健等人和田雪原1981年分別以動物蛋白攝入量和技術裝備程度為標準，得出中國的“適度人口”為7億人。這些研究依據的假設均被證明完全錯誤。例如田雪原在研究中假設固定資產年增長率不超過5.5%，但中國1980年以來的固定資產年增長率遠遠超過這一假設。而只要將該假設的數值增加1%，得出的“適度人口”就會從7億人變為19億人；宋健等人在1981年選擇中國與發達國家（法國）之間相差最大的動物蛋白攝入量為標準，假設中國各類農產品在不同年代年增長率上限為1%到6%不等，得出要達到法國的水平，中國在2050年只能容納7.38億人，但如果將年增長率的假設上限上調2%，中國可以容納人口就將從7.38億人變成30億人，而目前中國人口現已超過13億人，營養水平與發達國家幾無差別。自1980年後，“適度人口”論已被國際學術界所摒棄。
文件:2005-07-08 Mahjong.JPG|縮略圖|left|北京老人娛樂
中國政府實行的計劃生育，雖然大大減緩了中國人口總量的進一步增長，但是卻也帶來了人口老齡化、侵犯人權等社會問題。如果總和生育率（即每對夫妻生育的子女數）低于2.1（已考慮未報出生兒），人口長期看來會不斷地減少。所以現在對于計劃生育是否屬于成功的人口控制政策這一問題，爭論激烈。但由于人口基數尚大，人口總數現在仍然呈上升趨勢，預計這一趨勢將在2025年前后結束。
2012年~2022年，中國人口仍將保持慣性增長，年均凈增長400萬左右。有分析認為，中國人口總量于2025年左右達到頂峰，數量介于14.1億和14.3億之間，并開始逐漸減少。勞動力年齡人口已于2012年開始下降，2050年老年人口達峰值。
根據2021年5月11日公布的最新中國人口普查報告結果顯示，2020年中國大陸出生人數僅為1200萬人，創下自1960年以來的最低出生人口，人口老齡化進一步加劇。為了對抗嚴重的人口老齡化的問題，中國政府開始放寬計劃生育政策，2011年開始二孩政策取代了1979年施行的一胎政策。2021年，二孩政策又被三孩政策取代。然而收效甚微。根據網絡民調顯示，許多中國大陸人都不想生孩子。
漢族是中國的主體民族，占全部人口的91.11%。其他少數民族眾多，官方承認其中較顯著的55個少數民族，占8.89%，其他如葡萄牙人、猶太族及由于外國移民、通婚而產生的新進民族則不在此列。其他56個民族之外的共約64萬人被官方稱為“未識別民族”。
少數民族增長快于漢族，從1953年占全國人口6.1%，到1990年的8.04%，2000年的8.41％，2010年的8.49%，再到2020年的8.89%。
2020年第七次全國人口普查中，與2010年第六次全國人口普查相比，漢族人口增加60,378,693人，增長4.93%；各少數民族人口增加11,675,179人，增長10.26%。
各民族生育率差別很大，布依族生育率（1.905）是中國朝鮮族（0.622）的三倍多，但所有主要民族生育率都低于世代更替水平。
中國是一個宗教多樣化的國家。根據中國政府的報告，現有各種宗教信徒一億多人，經批準開放的宗教活動場所近13.9萬處，宗教團體5500多個。其中，人數最多的宗教包括佛教、道教、基督新教、天主教、伊斯蘭教。
中國（大陸地區）歷次人口普查主要指標
總人口（萬人）
男性（萬人）
女性（萬人）
0-14歲年齡段比重（%）
15-64歲年齡段比重（%）
65歲及以上年齡段比重（%）
漢族人口（萬人）
漢族人口占總人口比重（%）
少數民族人口（萬人）
少數民族人口占總人口比重（%）
大專及以上（萬人）
高中和中專（萬人）
初中（萬人）
小學（萬人）
文盲人口（萬人）
文盲率（%）
城鎮人口（萬人）
鄉村人口（萬人）
1981年及以前數據為戶籍統計數，1982年起數據為依據人口普查和抽查的調整數。
年末總人口（萬人）
出生數 （萬人）
死亡數（萬人）
自然增長數（萬人）
出生率(‰)
死亡率(‰)
自然增長率(‰)
下表列出1950年至2080年的中國大陸總人口、人口變動情況和占世界比例，其中未來的數據是根據現有生育水平預測的。
+ 中國大陸人口估計和預測（1950-2080年）數據來源：《世界人口前景：2017年訂正本》（假設生育率不變）
總人口占世界比例
出生（萬人/年）
出生人口占世界比例
死亡（萬人/年）
增長（萬人/年）
1950－1955
1955－1960
1960－1965
1965－1970
1970－1975
1975－1980
1980－1985
1985－1990
1990－1995
1995－2000
2000－2005
2005－2010
2010－2015
2015－2020
2020－2025
2025－2030
2030－2035
2035－2040
2040－2045
2045－2050
2050－2055
2055－2060
2060－2065
2065－2070
2070－2075
2075－2080
*中華人民共和國行政區人口密度表
*中華人民共和國各省級行政區總和生育率表
*中華人民共和國各省級行政區人口性別比例列表
環是由集合R和定義于其上的兩種二元運算（記作+和·，常被簡稱為加法和乘法，但與一般所說的加法和乘法不同）所構成的，符合一些性質（具體見下）的代數結構。
環的定義類似于交換群，只不過在原來「+」的基礎上又增添另一種運算「·」（注意我們這里所說的 + 與 · 一般不是我們所熟知的四則運算加法和乘法）。在抽象代數中，研究環的分支為環論。
集合和定義于其上的二元運算  和  構成的三元組，構成一個環，若它們滿足：
# 形成一個交換群，其單位元稱為零元素，記作  ，即：
#* 是封閉的
#*  滿足 ， 稱為  的加法逆元
# 形成一個半群，即：
# 乘法關于加法滿足分配律，即：
其中，乘法運算符  常被省略，所以  可簡寫為  。此外，乘法是比加法優先的運算，所以  其實是 。
考慮一個環，根據環的定義，易知有以下性質：
* ，有 ；（這也是為什么 作為加法群的單位元，卻被稱為“零元素”）
證明:(環的結合律)(環有加法逆元) ；  同理
證明: (環的結合律) ；  同理，故
:若環R中，(R, ·)構成幺半群。即：?1∈R，使得?a∈R，有1·a=a·1=a。則R稱為幺環。此時幺半群(R, ·)的幺元1，亦稱為環R的幺元。
:若環R中，(R, ·)還滿足交換律，從而構成交換半群，即：?a，b∈R，有ab=ba，則R稱為交換環。
;無零因子環
:若R中沒有非0的零因子，則稱R為為無零因子環。
* 此定義等價于以下任何一條：
** R\{0}對乘法形成半群；
** R中非0元素的乘積非0；
:無零因子的交換幺環稱為整環。
例：整數環，多項式環
;唯一分解環
:若整環R中每個非零非可逆元素都能唯一分解，稱R是唯一分解環.
:若環R是幺環，且R\{0}對R上的乘法形成一個群，即：?a∈R\{0}，?a-1∈R\{0}，使得a-1·a=a·a-1=1。則R稱為除環。
* 除環不一定是交換環。反例：四元數環。
:每個理想都是主理想的整環稱為主理想環。
:若幺環R中的極大理想是零理想，則稱R為單環。
* 集環：非空集的集合R構成一個環，當且僅當它滿足以下幾個條件中任何一個：
** R對集合的并和差運算封閉，即：?E，F∈R ? E∪F∈R，E-F∈R；
** R對集合的交和對稱差運算封閉，即：?E，F∈R ? E∩F∈R，E△F∈R；
** R對集合的交，差以及無交并運算封閉。
:這樣得到的集環以交為乘法，對稱差為加法；以空集為零元，并且由于?E∈R，E∩E=E·E=E，因此它還是布爾環。
* 整數環是一個典型的交換且含單位環。
* 有理數環，實數域，復數域都是交換的含單位元環。
* 所有項的系數構成一個環A的多項式全體AX是一個環。稱為A上的多項式環。
* n為正整數，所有n×n的實數矩陣構成一個環。
考慮環(R, +, ·)，依環的定義知(R, +)是阿貝爾群。集合I ? R，考慮以下條件：
# (I, +) 構成 (R, +) 的子群。
# ?i ∈ I，r ∈ R，有i·r ∈ I。
# ?i ∈ I，r ∈ R，有r·i ∈ I。
若I滿足條件1，2則稱I是R的右理想；
若I滿足條件1，3則稱I是R的左理想；
若I滿足條件1，2，3，即I既是R的右理想，也是R的左理想，則稱I為R的雙邊理想，簡稱理想。
* 整數環的理想：整數環Z只有形如{nZ}的理想。
* 在環中，(左，右，雙邊)理想的和與交仍然是(左，右，雙邊)理想。
* 在除環中，(左，右)理想只有平凡(左，右)理想。
* 對于環R的兩個理想A，B，記。則由定義易知：
*# 若A是R的左理想，則AB是R的左理想；
*# 若B是R的右理想，則AB是R的右理想；
*# 若A是R的左理想，B是R的右理想，則AB是R的雙邊理想。
;真（左，右，雙邊）理想
:若R的（左，右，雙邊）理想I滿足：I是R的真子集，I稱為R的真（左，右，雙邊）理想。
;極大（左，右，雙邊）理想
:環R及其真（左，右，雙邊）理想I，I被稱為R的極大（左，右，雙邊）理想，若不存在R的真（左，右，雙邊）理想J,使得I是J的真子集。
:* 若 I 是極大（左，右）理想，又是雙邊理想，則 I 是極大理想。
:* 極大雙邊理想不一定是極大（左，右）理想。
:環R，A ? R，定義=RA+AR+RAR+ZA，則易知：
:* 是環R的理想，并且是R中所有包含子集A的理想的交,即是R中包含子集A的最小理想。
:稱為由子集A生成的理想，A稱為的生成元集。當A是有限集時，稱為R的有限生成理想。
:* 下面是生成理想的幾種特殊情況：
:*# 當R是交換環時，=RA+ZA
:*# 當R是幺環時，=RAR
:*# 當R是交換幺環時，=RA
:* 同一個理想，其生成元集可能不唯一。
:由環R中單個元素生成的理想稱為R的主理想。即，設a ∈ R，則稱為R的主理想。
:真理想I被稱為R的素理想，若?理想A，B ? R，AB ? I ? A ? I 或 B ? I。
:若環R的零理想是素理想，則稱R是素環(或質環)。無零因子環是素環。在交換環R中，真理想 I 是素理想的充分且必要條件是：是素環.
:環R的真理想I，若?理想A，A2 ? I ? A ? I。則稱 I 是環R的半素理想。
* 半素理想是一類比素理想相對較弱條件的理想，因為素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。
:* 除環的零理想是極大理想。在有單位元的環中，如果零理想是其極大理想,稱這種環是單環。除環是單環，域也是單環。反之則不對，即存在不是除環的單環。
:* 定理1 在整數環Z中，由p生成的主理想是極大理想的充分必要條件是：p是素數。
:* 定理2 設R是有單位元1的交換環。理想 I 是R的極大理想的充分且必要條件是：商環是域。
:* 定理3 設 I 是環R的左理想，則 I 是R的極大左理想的充分必要條件是對R的任意一個不含在 I 中的左理想J都有。
* 零因子 （zero divisor）：
:設b是環中的非零元素，稱a為左零因子，如果ab=0；同樣可以定義右零因子。通稱零因子；
整環（Integral domain），又譯作整域，是抽象代數中的一個概念，指含乘法單位元的無零因子的交換環。一般假設環中乘法單位元1不等于加法單位元0，以除去平凡的環。整環是整數環的抽象化，它很好地繼承了整數環的整除性質，使得我們能夠更好地研究整除理論。
整環也可以定義為理想是素理想的交換環，或交換的無零因子環。
設是一個交換環，存在，（0為加法單位元），使得
:（存在乘法單位元）
并且對任意的，如果，那么或者，或者。用數學方式表示為：
:（沒有零因子）
就稱其為整環。
定義中的無零因子性質也可以用環中乘法的消去律替代：如果，并且，那么。用數學方法表示就是：
*整環的代表性例子是整數環。是一個交換環，并且乘法單位元1不等于加法單位0。最后，兩個整數相乘等于0，則必然有其中一個等于0。
*多項式環是整環當且僅當其系數構成整環。比如整系數一元多項式環和實系數二元多項式環。
*每個域都是整環。相對的，每個阿廷整環都是域。特別地，每個有限的整環都是有限域。整數環就是一個非阿廷整環不是域的例子，因為它有無窮遞降的理想列：
*對每個整數，是實數域的子環，因此是整環。是復數域的子環，因此是整環。當時，后者被稱為高斯整數環。
*若是一個交換環，是的一個理想，那么商環是整環當且僅當''P''是素理想。由此可推出是整環當且僅當是素理想。
在整環上可以定義類似于整數環里的整除性質。
''a''與''b''是''R''中的兩個元素，定義''a''整除''b''或''a''是''b''的約數或''b''是''a''的倍數，當且僅當存在''R''中的一個元素''x''使得''ax'' = ''b''。
整除關系滿足傳遞性，即''a''整除''b''，''b''整除''c''推出''a''整除''c''。''a''整除''b''，則''a''整除''b''的所有倍數。''a''的兩個倍數的和與差仍是''a''的倍數。
1的約數稱為''R''的可逆元。可逆元整除所有元素。
若''a''整除''b''并且''b''整除''a''，則稱''a''與''b''相伴。''a''與''b''相伴當且僅當存在可逆元''u''使得''au'' = ''b''。
非可逆元''q''稱為既約元，如果''q''不能寫成兩個非可逆元的乘積。
如果''p''不是零元或可逆元，且對任意''a，b''，如果''p''整除''ab''可推出''p''整除''a''或''p''整除''b''，則稱''p''為素元。
這兩個定義是整數環中素數的推廣。如果''p''是素元，那么''p''生成的主理想是素理想。每個素元都是既約元，但反過來則只有當''R''是唯一分解環才正確。
8月21日是陽曆年的第233天（閏年是234天），離一年的結束還有132天。
* 1140年：郾城之戰中，宋朝將領岳飛率軍大勝金朝將領兀術。
* 1192年：源賴朝繼任征夷大將軍，成為日本真正的統治者。
* 1609年：意大利科學家伽利略展示了人類歷史上第一架按照科學原理制造出來的望遠鏡。
* 1680年：普韋布洛起義中反抗的普韋布洛人占領了西班牙殖民者城市圣菲。
* 1716年：第七次奧威戰爭中，威尼斯援軍的抵達迫使奧斯曼帝國放棄了克基拉島的包圍攻勢，保下了威尼斯共和國對伊奧尼亞群島的控制。
* 1770年：詹姆斯·庫克宣布建立新南威爾士州，將東澳大利亞并入大不列顛王國領土。
* 1778年：英國軍隊開始對法國軍隊控制的本地治里進行圍城戰。
* 1791年：海地革命因一場巫毒儀式轉化成武裝起義而爆發。
* 1810年：法國元帥讓-巴蒂斯特·貝爾納多特獲得瑞典國會選為瑞典王儲。
* 1856年：美國首位駐日領事湯森·哈里斯抵達日本。
* 1900年：維新派唐才常發動的自立軍起義被剿滅。
* 1911年：法國巴黎羅浮宮珍藏的列奧納多·達芬奇油畫《蒙娜麗莎》失竊。
* 1912年：孫中山為張裕公司題詞“品重醴泉”。
* 1918年：護法運動：桂系軍閥排斥孫中山，孫中山憤而辭去大元帥之職。日軍政府政務會議推岑春煊為主席總裁。
* 1935年：長征途中，中國工農紅軍開始通過四川境內的松潘草地。
* 1942年：瓜達爾卡納爾島戰役中，美國海軍陸戰隊在大鱷魚灣擊敗日本陸軍。
* 1944年：第二次世界大戰：加拿大和波蘭實施作為諾曼地戰役最后總攻擊的溫順行動，成功奪取了具有重要戰略意義的法國法萊斯。
* 1944年：第二次世界大戰：中蘇美英四國根據《中、蘇、美、英四國關于普遍安全的宣言》，為籌建世界性國際組織，于美國華盛頓附近敦巴頓橡樹園舉行敦巴頓橡樹園會議。會議擬定了《關于建立普遍性國際組織的建議案》，建議這個國際組織取名為聯合國。
* 1945年：蔣介石代表中國在聯合國憲章上簽字。
* 1959年：美國正式宣布夏威夷為第50個州。
* 1963年：越南共和國總統吳廷琰的弟弟吳廷瑈指揮特種部隊查抄舍利寺等佛教寺院，最後至少逮捕1,400人並且殺害數百名佛教徒。
* 1963年：一架圖-124客機因起落架故障在涅瓦河迫降，機上52人無一死亡。
* 1968年：布拉格之春：以蘇聯為首的-{zh-cn:華沙條約組織; zh-tw:華沙公約組織; zh-hk:華沙公約組織;}-軍隊占領捷克斯洛伐克首都布拉格，并逮捕其領導人杜布切克，布拉格之春結束。
* 1976年：因8月18日的板門店事件，聯合國軍進行「保羅·班揚」作戰計劃，砍除造成阻礙-{zh-tw:南、北韓; zh-hk:南、北韓; zh-cn:韓國、朝鮮; zh-sg:朝韓}-相互監視的楊樹。
* 1980年：鄧小平接受意大利記者奧里亞娜·法拉奇專訪，對毛澤東的歷史地位做了評價。、
* 1981年：首支多國維和部隊在貝魯特登陸，并負責監督巴勒斯坦解放組織撤出黎巴嫩。
* 1983年：菲律賓反對黨領導人-{zh-hant:班尼格諾·艾奎諾; zh-hans:貝尼格諾·阿基諾;}-搭乘飛機回到馬尼拉，在步下飛機之后在馬尼拉國際機場（今馬尼拉尼諾伊·阿基諾國際機場）遇刺身亡。
* 1986年：喀麥隆西北部的火山湖尼奧斯湖噴發高濃度二氧化碳，造成方圓20公里內1,700人死亡。
* 1991年：蘇聯解體：拉脫維亞脫離蘇聯，宣布恢復獨立。
* 1991年：蘇聯解體－八一九政變：蘇聯總統戈爾巴喬夫在電視講話上宣布由保守派發動的政變失敗。
* 1993年：美國太空總署與火星觀察者號失去聯絡。
* 1993年：中國的王軍霞獲第四屆世界田徑錦標賽一萬米金牌。
* 1995年：大西洋東南航空529號班機空難。
* 2000年：俄羅斯正式宣布庫爾斯克號全體官兵遇難。
* 2001年：北約組織決定派遣維和部隊前往馬其頓。
* 2005年：第二十三屆世界大學生運動會在土耳其伊茲密爾閉幕。
* 2006年：臺灣中國國際商銀與交通銀行合併更名為兆豐國際商業銀行。
* 2007年：5級風暴颶風迪安登陸猶加敦半島造成45人死亡，以及將近15億美元的經濟損失。
* 2011年：日本大型女子偶像組合-乃木坂46出道
* 2016年：2016年夏季奧林匹克運動會在巴西里約熱內盧的馬拉卡納體育場舉行閉幕典禮。
* 2019年：香港中華煤氣因業績差而捱沽，股價大跌5.26%至16.2元，是2008年11月以來最大的單日跌幅，亦是表現最差的恒指成分股。
* 1165年：腓力二世，法國卡佩王朝國王（1223年逝世）
* 1535年：島津義弘，日本安土桃山時代的島津家大名（1619年逝世）
* 1567年：圣方濟各·沙雷氏，瑞士主教（1654年逝世）
* 1643年：阿方索六世，布拉干薩王朝的第二位葡萄牙國王，綽號「勝利王」（1683年逝世）
* 1645年：洪昇，清朝戲曲家，《長生殿》作者（1704年逝世）
* 1725年：讓-巴蒂斯特·格勒茲，法國肖像畫家（1805年逝世）
* 1754年：威廉·默多克，蘇格蘭發明家，煤氣燈發明者（1839年逝世）
* 1754年：伯納斯特·塔爾頓，英國陸軍將領及政治家（1833年逝世）
* 1765年：威廉四世，英國國王，漢諾瓦國王（1837年逝世）
* 1789年：奧古斯丁·路易·柯西，法國數學家，主要貢獻在微積分學、複變函數和微分方程（1857年逝世）
* 1798年：儒勒·米什萊，被譽為「法國史學之父」的歷史學家（1874年逝世）
* 1840年：韓默理，比利時聖母聖心會會士，天主教西南蒙古教區主教（1900年逝世）
* 1858年：魯道夫，奧匈帝國皇帝弗朗茨·約瑟夫一世獨子（1889年逝世）
* 1872年：奧伯利·比亞茲萊，十九世紀末最偉大的英國插畫藝術家之一（1898年逝世）
* 1887年：詹姆斯·穆迪，英國海員，鐵達尼號六副（1912年逝世）
* 1891年：艾米利亞諾·梅爾卡多·德爾托羅，曾以115歲156日列入金氏世界記錄世界上最年長者（2007年逝世）
* 1925年：莫里斯·皮亞拉，法國電影導演、劇作家和演員，以嚴謹和無情的風格知名（2003年逝世）
* 1927年：托馬斯·孟蓀，耶穌基督後期聖徒教會第16任總會會長（2018年逝世）
* 1929年：，日本文學學者
* 1930年：-{zh-cn:瑪格麗特公主; zh-tw:瑪格麗特公主; zh-hk:瑪嘉烈公主;}-，英國王親。（2002年逝世）
* 1936年：威爾特·張伯倫，美國籃球明星（1999年逝世）
* 1937年：古斯塔沃·諾沃亞，前厄瓜多總統（2021年逝世）
* 1939年：費斯圖斯·莫加埃，前波札那總統
* 1940年：塞邁雷迪·安德烈，匈牙利數學家、美國國家科學院院士
* 1952年：伊日·帕勞貝克，捷克社民黨副主席，第6任捷克共和國總理
* 1953年：關根勤，日本男演員
* 1956年：金·凱特羅，英國裔加拿大女演員
* 1956年：喬恩·泰斯塔，美國蒙大拿州美國參議院議員
* 1956年：馮錦堂，香港男配音員
* 1958年：繆騫人，香港演員
* 1959年：新居昭乃，日本歌手
* 1961年：史蒂芬·海倫伯格，美國漫畫家，《海綿寶寶》作者（2018年逝世）
* 1963年：穆罕默德六世，摩洛哥阿拉維王朝第22位君主
* 1967年：竇文濤，香港鳳凰衛視主持人。
* 1967年：凱莉-安·摩絲，加拿大女演員
* 1967年：皇名月，日本漫畫家、插畫家
* 1967年：塞爾日·坦基揚，美籍亞美尼亞歌手、作曲家、詩人、政治活動家
* 1968年：陳旭然，中國主持人（1998年逝世）
* 1971年：波特，美國棒球選手
* 1971年：關德輝，臺灣男演員
* 1971年：萩原聖人，日本演員
* 1971年：細野豪志，日本民主黨眾議院議員
* 1973年：謝爾蓋·布林，美國電腦工程師、企業家，Google創辦人之一
* 1974年：路嘉怡，臺灣主持人
* 1976年：樸宣暎，韓國女演員
* 1976年：謝夫·根寧咸，美籍牙買加足球員
* 1978年：吳辰君，臺灣女演員
* 1978年：布密卡·曹拉，印度女演員
* 1978年：杰森·馬奎斯，美國職棒大聯盟明尼蘇達雙城先發投手
* 1978年：于毅，中國男演員及歌手
* 1979年：劉威煌，香港歌手
* 1980年：李正秀，韓國足球運動員
* 1983年：史葛·麥當勞，澳洲足球運動員
* 1984年：麥曦茵，香港導演、編劇
* 1984年：艾莉婕，法國科西嘉島女歌手
* 1984年：B·J·厄普頓，美國職棒大聯盟選手
* 1985年：尼古拉斯·阿爾瑪格羅，西班牙網球運動員
* 1986年：尤塞恩·博爾特，牙買加短跑名將，現100米、200米、4x100米接力世界記錄保持者
* 1986年：沃特·布拉馬，荷蘭足球選手
* 1987年：金起範，韓國男子偶像團體Super Junior成員
* 1987年：鄭汛，中國冰舞運動員
* 1988年：羅伯特·萊萬多夫斯基，波蘭足球運動員
* 1989年：希丹·彭尼蒂亞，美國女演員
* 1989年：朱德·特魯姆普，英國職業撞球選手
* 1990年：柏·本漢，美國喜劇演員、音樂家、演員、電影導演、編劇、詩人
* 1992年：宋承炫，韓國男子偶像樂團FTIsland成員
* 1993年：林莎，臺灣女藝人
* 2002年：余景天，中國男藝人
* 913年：唐道襲，五代十國前蜀將官（出生日期不詳）
* 1151年：阿方索七世，卡斯提爾國王（1105年出生）
* 1581年：佐久間信盛，日本武將。（1527年出生）
* 1614年：伊莉莎白·巴托里，那達斯地伯爵的遺孀。（1560年出生）
* 1774年：慶恭皇貴妃，乾隆帝皇貴妃。（1724年出生）
* 1836年：克勞德-路易·納維，法國工程師、物理學家。（1785年出生）
* 1855年：孝靜成皇后，咸豐帝的養母。（1812年出生）
* 1940年：托洛茨基，前蘇聯共產黨和第四國際領袖，為革命家、軍事家、政治理論家和作家。（1879年出生）
* 1943年：亨利克·蓬托皮丹，丹麥作家，1917年諾貝爾文學獎獲得者。（1857年出生）
* 1982年：索布扎二世，斯威士蘭國王。（1899年出生）
* 1983年：班尼格諾·艾奎諾，菲律賓政治人物。（1932年出生）
* 1995年：蘇布拉馬尼揚·錢德拉塞卡，印度裔美國物理學家（1910年出生）
* 2012年：梅萊斯·澤納維，曾任埃塞俄比亞總統、總理。（1955年出生）
* 2015年：汪東興，中國共產黨前高級領導人（1916年出生）
* 2016年：顧正秋，臺灣京劇演員（1929年出生）
* 2021年：瑪麗·金斯基王妃，列支敦斯登親王妃（1940年出生）
根據2012年7月統計，英國人口大約有6400萬，其中三分之一居住在英格蘭東南部（首都倫敦就有820萬）。其中英格蘭人占83.6%，蘇格蘭人占8.6%，其他還有威爾斯人占4.9%，愛爾蘭人占2.9%（威爾斯人、蘇格蘭人、愛爾蘭人皆屬凱爾特人），印度人占1.8%及非洲人占1.8%。
英國人口密度（2011年人口普查）
2012年各國人口密度（單位：每km2人口）
根據英國國家統計署2016年的預測，英國人口將在2016年中期至2026年中期間增加360萬，年平均增長率為0.5%。英格蘭人口預計增長5.9%，威爾士為3.1%，蘇格蘭和北愛爾蘭分別為3.2%和4.2%。該預測沒有考慮英國脫歐的影響。
50萬人以上的市區有13個，它們是倫敦、伯明翰、格拉斯哥、里茲和布拉福、、謝菲爾德、利物浦、萊斯特、曼徹斯特、貝爾法斯特、布里斯托爾、泰恩河畔紐卡斯爾和諾丁漢。
根據2011年英國人口普查，英國有6300萬人，其中男性3100萬，女性3200萬；英格蘭5300萬，蘇格蘭530萬，威爾士310萬，北愛爾蘭180萬。
人口（2020年中期）
人口佔比（%）
面積佔比（%）
人口密度（每km2人口）
下表爲英國各時期結果。1901年以前的結果包括全愛爾蘭，1901年起只包括北愛爾蘭。
+各時期英國人口普查結果
人口（時期開始時）
人口密度（每km2）（時期開始時）
?82,000
?92,000
?67,000
&nbsp;22,000
&nbsp;12,000
?12,000
?27,000
&nbsp;&nbsp;5,000
&nbsp;61,000
粗出生率（‰）
粗死亡率（‰）
自然增長率（‰）
粗遷移率（‰）
粗變化率（‰）
總和生育率是指每個婦女平均生育的孩子數量。
資料來源：Our World In Data和。
注：若要查看1552年以來每年的數據，請點擊參考來源連結。
2020年1月-3月
2021年1月-3月
-4,956（-2.94%）
+32,621（+19.18%）
1543–1950
來源：Our World In Data和聯合國
1950–2015
來源: 聯合國世界人口展望
1950–1955
1955–1960
1960–1965
1965–1970
1970–1975
1975–1980
1980–1985
1990–1995
1995–2000
2000–2005
2005–2010
2010–2015
根據2011年人口普查，0-4歲人數較多，反映了近幾年出生人數較多；5-9歲的人數較少則是21世紀初出生人數少所導致的；而60-64歲和40-49歲人數較多則是因為二戰後與六十年代的嬰兒潮。在高年齡段，女性多於男性，反映了女性的預期壽命較長。在低年齡段，男性多於女性，反映了每年出生的男孩略多於女孩。
根據國家統計署2016年的估計，英國的年齡中位數為40.0歲。2015年約有556,270名90歲及以上的人生活在英國，比1985年的194,670人有所增加，約有14,570名100歲以上的人和850名105歲以上的人。英國人口將繼續老齡化，85歲及以上的人將從2016年中期的160萬增長到2041年中期的320萬。
+年齡結構（1976-2019年）
+來源：國家統計署
0–15歲（%）
16–64歲（%）
65歲及以上（%）
+各年齡人口（2011年）
+分性別的年齡結構（2011年）
男性（百萬）
女性（百萬）
總人口（百萬）
FAO, 2005年; 單位:千人
英國人口密度 (2011年普查)
人口：64,100,000（2013年統計）
* 0-14歲： 17.3% （男性 5,287,590; 女性 5,036,881）
* 15-64 歲： 65.8% （男性 20,980,815; 女性 20,479,803）
* 65 歲及以上：  16.9% （男性 4,186,561; 女性  5,549,195） （2011年統計）
增長率： 0.453% （2012年統計）
出生率：12.27/1,000人 （2012年統計）
死亡率： 9.33/1,000人 （2012年統計）
凈遷移率： 2.59/1,000人（2012年統計）
*嬰兒期： 1.05 男性/女性
*15歲以下： 1.05 男性/女性
*15-64 歲： 1.02 男性/女性
* 65 歲及以上： 0.8 男性/女性
*總人口： 0.99 男性/女性 （2008年統計）
嬰兒死亡率： 4.93/1,000人 （2008年統計）
*女性： 82.4 歲 （2012年統計）
生育率： 1.91個子女/婦女 （2008年統計）
*印度人、巴基斯坦人和其他： 7.9% （2001年）
*英國國教、天主教、長老會、衛理公會： 59%
（2011年統計）
語言：英語、威爾斯語（威爾士人口的26%），蘇格蘭蓋爾語（在蘇格蘭有60,000人使用）
*女性：  99%（2003年統計）
*  Census 2001 website
*Abstract (1833). ''Abstract of the Answers and Returns made pursuant to an act passed in the eleventh year of the reign of His Majesty 喬治四世 intituled an act for taking an account of the population of Great Britain, and the increase and diminution thereof''. Population Register Abstract 1831. 大不列顛及愛爾蘭聯合王國 Parliamentary Papers, 38.
*Arkell, T. (1992). ''An Examination of the Poll Taxes of the late Seventeenth Century, the Marriage Duty Act and Gregory King.''
*K. Schürer, & T. Arkell (eds.), ''Surveying the People: the interpretation and use of document sources for the study of population in the late seventeenth century'' (pp.&nbsp;142–177). Oxford: Leopard's Hill Press.
*Boulton, J. (1992). "The Marriage Duty Act and parochial registration in London, 1695–1706". In: K. Schürer, & T. Arkell (eds.), ''Surveying the People: the interpretation and use of document sources for the study of population in the late seventeenth century''; pp.&nbsp;222–252. Oxford: Leopard's Hill Press.
*Boulton, J. (1993). "Clandestine marriage in London: an examination of the neglected urban variable", in: ''Urban History''; 20, pp.&nbsp;191–210.
英國君主從1707年5月1日英格蘭王國與蘇格蘭王國合併為大不列顛王國開始計算，大不列顛王國、大不列顛及愛爾蘭聯合王國和大不列顛及北愛爾蘭聯合王國共有12名君主（見英國君主）。自1603年3月24日以來英格蘭王國與蘇格蘭王國便處于斯圖亞特王朝統領的共主邦聯之下，而1707年5月1日這兩國正式合并，建立大不列顛王國。1801年1月1日，大不列顛王國同愛爾蘭王國合并，建立大不列顛及愛爾蘭聯合王國。1922年12月6日，愛爾蘭自由邦成立并脫離聯合王國獨立；1927年4月12日該國因此更名為大不列顛及北愛爾蘭聯合王國。
1702年3月8日安妮女王即位為英格蘭女王、蘇格蘭女王、愛爾蘭女王。1707年5月1日英格蘭王國與蘇格蘭王國合并為大不列顛王國，安妮女王的英格蘭女王與蘇格蘭女王頭銜合并為大不列顛女王。
英國王位繼承權
安妮女王 1707年5月1日–1714年8月1日
1665年2月6日聖詹姆士宮詹姆斯二世和七世與安妮·海德之女
丹麥的喬治圣詹姆士宮1683年7月28日17次妊娠，但無子女存活
1714年8月1日肯辛頓宮49歲
詹姆斯二世和七世之女，瑪麗二世之妹（長子繼承制，1689年權利法案，1701年王位繼承法，1707年聯合法令）
根據英格蘭議會通過的《1701年王位繼承法》，羅馬天主教徒被排除于繼承序列之外，由此漢諾威王朝得以參與繼承。為換取英格蘭在北美和西印度群島的種植園的貿易權，蘇格蘭議會于1707年批準了漢諾威繼承及兩國的聯合。
安妮女王去世時無子嗣存活，由此詹姆斯六世及一世（經由）的外孫女漢諾威的索菲婭之子——喬治一世成為了繼承順位最靠前的非羅馬天主教徒繼承人。
喬治一世喬治·路易1714年8月1日–1727年6月11日
1660年5月28日萊納宮與漢諾威的索菲婭之子
不倫瑞克-呂訥堡-策勒的索菲婭·多羅蒂婭1682年11月21日2名子女
1727年6月11日奧斯納布呂克67歲
詹姆斯六世及一世之外曾孫，繼承法案，漢諾威的索菲婭長子
喬治二世喬治·奧古斯都1727年6月11日–1760年10月25日
1683年10月30日喬治一世與不倫瑞克-呂訥堡-策勒的索菲婭·多羅蒂婭之子
勃蘭登堡-安斯巴赫的卡羅琳1705年8月22日8名子女
1760年10月25日肯辛頓宮76歲
喬治一世之子
喬治三世喬治·威廉·弗雷德里克1760年10月25日–1820年1月29日
1738年6月4日威爾士親王弗雷德里克與之子
梅克倫堡-施特雷利茨的夏洛特聖詹姆士宮1761年9月8日15名子女
1820年1月29日溫莎城堡81歲
喬治二世之孫
喬治四世喬治·奧古斯都·弗雷德里克1820年1月29日–1830年6月26日
1762年8月12日圣詹姆士宮喬治三世與梅克倫堡-施特雷利茨的夏洛特之子
（1）瑪麗亞·費茲荷伯特公園徑1785年9月15日（2）不倫瑞克-沃爾芬比特爾的卡羅琳圣詹姆士宮1795年4月8日1女
1830年6月26日溫莎城堡67歲
喬治三世之長子
威廉四世威廉·亨利1830年6月26日–1837年6月20日
1765年8月21日白金漢宮喬治三世與梅克倫堡-施特雷利茨的夏洛特之子
薩克森-邁寧根的阿德萊德邱宮1818年7月13日2名子女
1837年6月20日溫莎城堡71歲
喬治三世之三子，喬治四世之三弟
維多利亞女王亞歷山德麗娜·維多利亞1837年6月20日–1901年1月22日
1819年5月24日肯辛頓宮肯特及斯特拉森公爵愛德華親王與薩克森-科堡-薩爾費爾德維多利亞公主之女
薩克森-科堡-哥達的阿爾伯特圣詹姆士宮1840年2月10日9名子女
1901年1月22日奧斯本莊園81歲
喬治三世之孫女，喬治四世與威廉四世之侄女
英王愛德華七世雖為維多利亞女王之子，但他隨其父、也就是維多利亞女王丈夫阿爾伯特親王的姓氏薩克森-科堡-哥達。1901年維多利亞女王逝世，漢諾威王朝在英國的統治終結。隨即英王愛德華七世即位，在英國開創了薩克森-科堡-哥達王朝的統治。由于第一次世界大戰期間英國反德情緒高漲，1917年英王喬治五世將英國王室姓氏由薩克森-科堡-哥達改為溫莎。
愛德華七世阿爾伯特·愛德華1901年1月22日–1910年5月6日
1841年11月9日白金漢宮維多利亞女王與薩克森-科堡-哥達的阿爾伯特親王之子
丹麥的亞歷山德拉圣喬治禮拜堂1863年3月10日6名子女
1910年5月6日白金漢宮68歲
維多利亞女王之子
喬治五世喬治·弗雷德里克·恩斯特·阿爾伯特1910年5月6日–1936年1月20日
1865年6月3日馬爾博羅宮愛德華七世與丹麥的亞歷山德拉之子
特克的瑪麗聖詹姆士宮1893年7月6日6名子女
1936年1月20日桑德林漢姆府70歲
愛德華七世之子
愛德華八世愛德華·阿爾伯特·克里斯蒂安·喬治·安德魯·帕特里克·大衛1936年1月20日–1936年12月11日（退位）
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1894年6月23日喬治五世與特克的瑪麗之子
華里絲·沃菲爾德·辛普森1937年6月3日無子女
1972年5月28日塞納河畔訥伊77歲
喬治五世之長子
喬治六世阿爾伯特·弗雷德里克·亞瑟·喬治1936年12月11日–1952年2月6日
1895年12月14日桑德靈厄姆府喬治五世與特克的瑪麗之子
伊麗莎白·鮑斯-萊昂威斯敏斯特教堂1923年4月26日2名子女
1952年2月6日桑德林漢姆府56歲
喬治五世之次子，愛德華八世之二弟
伊麗莎白二世伊麗莎白·亞歷山德拉·瑪麗1952年2月6日起在位
1926年4月21日五月墟市喬治六世與伊麗莎白·鮑斯-萊昂之女
菲利普·蒙巴頓威斯敏斯特教堂1947年11月20日4名子女
喬治六世之女
* English Monarchs – A complete history of the Kings and Queens of England
* Britannia: Monarchs of Britain
西班牙人口密度 (2005年)
人口：40,491,051（2008年統計）
* 0-14歲： 14.4% （男性 3,011,815; 女性 2,832,788）
* 15-64 歲： 67.6% （男性 13,741,493; 女性 13,641,914）
*65 歲及以上：  17.9% （男性  3,031,597; 女性 4,231,444） （2008年統計）
增長率： 0.096% （2008年統計）
出生率：9.87/1,000人 （2008年統計）
死亡率： 9.9/1,000人 （2008年統計）
凈遷移率： 0.99/1,000人（2008年統計）
*嬰兒期： 1.07 男性/女性
*15歲以下： 1.06 男性/女性
*15-64 歲： 1.01 男性/女性
* 65 歲及以上： 0.72 男性/女性
*總人口： 0.96 男性/女性 （2008年統計）
嬰兒死亡率： 4.26/1,000人 （2008年統計）
*女性： 83.45 歲 （2008年統計）
生育率： 1.3個子女/婦女 （2008年統計）
種族： 地中海民族和日耳曼民族的混合體
*羅馬天主教（包括名義上的）： 94%
語言：西班牙語（官方語言）74%、加泰羅尼亞語17%，加利西亞語7%，巴斯克語2%；其他沒有官方語言地位的語言：阿斯圖里亞斯語、阿拉貢語、柏柏爾語
*女性： 97.2%（2003年統計）
#馬德里 5.843.041
#巴塞羅那 4.686.701
#巴倫西亞 1.623.724
#塞維利亞 1.317.098
#馬拉加 1.074.074
#畢爾巴鄂 947.581
#希洪-奧維耶多 855.199
#阿利坎特 711.215
#薩拉戈薩 683.763
#拉斯帕爾馬斯 616.903
#加的斯 615.494
#穆爾西亞 563.272
#帕爾馬 474.035
#格拉納達 472.638
#維哥 423.821
#圣克魯斯-德特內里費 420.198
#圣塞瓦斯提安 399.125
#拉科魯尼亞 396.015
#巴利亞多利德 383.894
#塔拉戈納 375.749
#科爾多瓦 321.164
#潘普洛納 309.631
*  西班牙 - 美國中情局《世界概況》
除環，又譯非可換體、反對稱體（skew field），是一類特殊的環，在環內除法運算有效。需要特別注意的是，此環內必有非0元素，且環內所有的非0量都有對應的倒數。除環不一定是交換環，比如四元數環。
換種說法，一個環是除環當且僅當其可逆元群包含了環中所有的非零元素。
交換的除環就是域，因此我們只需研究非交換的除環。除四元數環外，如果把四元數環中的系數由實數改為有理數，則仍構成一個除環。更一般地，若是一個環，是上的一個不可約模，則的自同態環是一個除環。
在抽象代數中，體（，）是一種集合，在這個集合中可以對集合的非零元素進行加減乘除，其運算的定義與行為就如同有理數還有實數一樣。體的概念是數域以及四則運算的推廣。因此體是一個廣泛運用在代數、數論還有其他數學領域中的代數結構。
體是環的一種。域和一般的環的區別在於域要求它的非零元素可以進行除法運算，這等於說每個非零的元素都要有乘法逆元。體中的運算關於乘法是可交換的。若乘法運算沒有要求可交換則稱為除環或。
最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體，例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等，都很常在數學的領域中被使用或是研究，特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。
在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論，由évaristeGalois在1830年代提出，致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果，解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外，還解決了五次方程不能有公式解的問題。
非正式的講，體是種集合，集合中的元素可以做兩種運算，"加法"： 和"乘法"： , 且要求集合中任意元素  有加法反元素 ，對所有非零元素  有乘法反元素 ，這種性質讓我們可以用以下方法來定義加法和乘法的"反運算"，減法： 和除法
域是交換性除環。
域是一種交換環(''F'', +, *)，當中加法單位元（0）不等於乘法單位元（1），且所有非零元素有乘法逆元。更簡單講就是：域是可交換除環。
域是個集合  且帶有加法和乘法兩種運算，這裡“運算”可以想成是種映射，對，這映射將此兩元素對應到某元素，且這些運算滿足如下性質：
;在加法和乘法兩種運算上封閉
:，和F（另一種說法：加法和乘法是F上的二元運算）。
;加法和乘法符合結合律
;加法和乘法符合交換律
;符合乘法對加法的分配律
;存在加法單位
:在F中有元素0，使得，
;存在乘法單位
:在F中有不同于0的元素1，使得，
;存在加法逆元
;非零元素存在乘法逆元
: , ，使得
其中“元素0不同于元素1”的要求排除了平凡的只由一個元素組成的域。
由以上性質可以得出一些最基本的推論：
:?(''a * b'') =(?''a'')* b = ''a'' *(?''b'')
:''a'' * 0 = 0
:如果''a * b'' = 0，則要么''a'' = 0，要么''b'' = 0
* 許多常見的數域都是域。比如說，全體複數的集合對于加法和乘法構成一個域。全體有理數的集合也是一個域，它是的子域，并且不包含更小的子域了。
* 代數數域：代數數域是有理數域的有限擴域，也就是說代數數域是上的有限維向量空間。代數數域都同構于的子域，并且這個同構保持不變，即這個同構把每個有理數都映射到它自身。代數數域是代數數論研究的對象。
* 代數數構成的域：所有的代數數的集合對于加法和乘法構成一個域，記作。是有理數域的代數閉包（見下）。是特征為零的代數封閉的域的一個例子。
* 全體實數的集合對于加法和乘法構成一個域。實數域是復數域的子域，也是一個有序域。后者使得實數域上能夠建立起微積分理論。
* 所有的實代數數的集合也構成一個域，它是的一個子域
* 任意一個有限域的元素個數是一個素數q的乘方，一般記作Fq，就是所謂的伽羅瓦域。任意一個元素個數是素數q的域都同構于Z/''p''Z = {0, 1, ..., ''p''???1}。令''p'' = 2,就得到最小的域：F2。F2只含有兩個元素0和1，運算法則如下：
* 設''E''和''F''是兩個域，''E''是''F''的子域，則''F''是''E''的 擴域。設''x''是''F''中的一個元素，則存在著一個最小的同時包含''E''和''x''的''F''的子域，記作''E (x)''，''E (x)''稱作''E''在''F''中關于  ''x''的單擴張。比如說，復數域就是實數域在中關于虛數單位''i''的單擴張
* 每一個有乘法么元的環''R''都對應著一個包含它的域，稱為它的分式域，記作''K''(''R'')。分式域的具體構造方法是定義類似于最簡分數的等價類，再將環“嵌入”其中（詳見分式域）。可以證明，''K''(''R'')是包含''R''的“最小”的域。
* 設''F''是一個域，定義''F (X)''是所有以''F''中元素為系數的分式的集合，則''F (X)''是''F''的一個擴域。''F (X)''是''F''上的一個無窮維的向量空間，這是域的超越擴張的一個例子。
* 設''F''是一個域，''p''(''X'')是多項式環''F'X''上的一個不可約多項式，則商環''F'X''/是一個域。其中的表示由''p''(''X'')生成的理想。舉例來說，R''X''/2 + 1>是一個域（同構于復數域）。可以證明，''F''的所有單擴張都同構于此類形式的域。
* 若''V''是域''F''上的一個代數簇，則所有''V → F ''的有理函數構成一個域，稱為''V''的函數域。
* 若''S''是一個黎曼曲面，則全體''S → C ''的亞純函數構成一個域。
* 由于序數的類不是集合，因此在其上定義的尼姆數不能構成真正的域。但它滿足域的所有條件，且其任意封閉子集（如小于的所有自然數構成的子集）都是域。
* 域''F''中的所有非零元素的集合（一般記作''F''×）是一個關於乘法的阿貝爾群。''F''×的每個有限子群都是循環群。
* 若存在正整數''n''使得0 = 1 + 1 + ... + 1（''n''個1），那么這樣的''n''中最小的一個稱為這個域的特征，特征要么是一個素數''p''，要么是0（表示這樣的''n''不存在）。此時中最小的子域分別是或有限域，稱之為的素域。
* 一個交換環是域當且僅當它的理想只有自身和零理想。
* 在選擇公理成立的假設下，對每個域''F''都存在著唯一的一個域''G''（在同構意義上），''G''包含''F''，''G''是''F''的代數擴張，并且''G''代數封閉。''G''稱作由''F''確定的代數閉包。在很多情況下上述的同構并不是唯一的，因此又說''G''是''F''的一個代數閉包。
有限體是一個體有著有限多個元素，其元素個數也跟體的階數相同，按照體的定義，可以知道為最小的有限體，因為根據定義，一個體至少包含兩個元素。
通常來說，最簡單的質數階體，就是，在這個體上的加法與乘法等同於在整數上的運算，然後除以n，取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體，如果說這個n為質數，通常我們將這個體記作。
如果我們將向量空間，則我們將V稱作有限體向量空間，其中，可知這個向量空間中，有個元素。
如果我們將有限體放入矩陣，也就是，則此矩陣的元素有
歷史上，三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題，第二個是代數數論，第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年，由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根的置換，在以下的表達
(其中是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上，拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅 和 弗朗索瓦·韋達 的經典解法，其解法藉由簡化三次方程關於未知  到一個 的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察，拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。
請參見伽羅瓦理論
8月22日是陽歷年的第234天（閏年是235天），離一年的結束還有131天。
* 961年：“杯酒釋兵權”事件中，宋太祖趙匡胤迫使高級將領交出兵權。
* 1485年：蘭開斯特王朝的領導人亨利七世成功在博斯沃思原野戰役中擊敗由理查三世所帶領的約克王朝部隊，玫瑰戰爭自此結束。
* 1639年：不列顛東印度公司向毗奢耶那伽羅王朝在印度坦米爾納德邦購買土地，是為今日清奈的前身。
* 1642年：英王查理一世在諾丁漢起兵，英國內戰爆發。
* 1645年：清軍攻破江陰市，開始了被稱為江陰八十一日的屠城。
* 1717年：西班牙軍隊登陸意大利半島西南的薩丁島。
* 1788年：英國在非洲的塞拉利昂建立定居點，作為奴隸的庇護所。
* 1791年：位於法國在美洲之殖民地法屬聖多明哥的黑人奴隸發起大規模暴動，海地革命爆發。
* 1846年：在紅十字會創始人亨利·杜南的倡導下，16個歐洲國家在瑞士簽署首份《日內瓦公約》。
* 1848年：美國併吞新墨西哥州。
* 1849年：澳門總督亞馬留在與副官到關閘附近打鳥，遭到沈志亮等人的襲擊，亞馬留的右肩和首級被斬去。
* 1861年：咸豐帝逝世，愛新覺羅載淳登基，以次年為同治元年。
* 1864年：12個民族簽署首份日內瓦公約，紅十字國際委員會成立。
* 1868年：揚州教案事件中，數千名群眾圍攻傳教士戴德生的住所。
* 1870年：兩江總督馬新貽被刺。
* 1875年：日本與俄國簽訂《聖彼得堡條約》。
* 1898年：中國與德國簽訂《膠澳租地合同》。
* 1910年：大韓帝國總理李完用與日本代表寺內正毅簽訂《日韓合并條約》，日本將韓國吞併。
* 1915年：八百餘名參與西來庵事件的臺灣人被日本政府判處死刑。
* 1920年：上海社會主義青年團在陳獨秀與李大釗的號召下成立。
** 最早的肥皂劇出現在美國的廣播中。
** 領導愛爾蘭國民軍參與愛爾蘭內戰的總司令麥可·柯林斯在經過家鄉科克郡途中時遭遇伏擊而身亡。
** 《共產黨宣言》中譯本問世。
** 於南非約翰尼斯堡首次發現金。
** 中國工農紅軍改編為國民革命軍第八路軍。
* 1941年：第二次世界大戰：列寧格勒圍城戰爆發。
* 1942年：第二次世界大戰：巴西向軸心國宣戰。
** 第二次世界大戰：蘇聯侵佔羅馬尼亞。
** 臺灣全島進入戰場狀態，臺灣總督府連日召開警備、防空會議。
* 1945年：蘇聯紅軍占領旅順與大連。
* 1967年：火燒英國代辦處事件。
* 1968年：教宗保祿六世抵達哥倫比亞訪問，是史上第一個訪問拉丁美洲的教宗。
* 1972年：羅得西亞因實行種族歧視被逐出國際奧林匹克委員會。
** 香港佳藝電視停業，令「五臺山」變成「四臺山」。
** 桑地諾民族解放陣線占領了尼加拉瓜的國家宮。
* 1981年：遠東航空103號班機空難。
* 1988年：南非正式同安哥拉、古巴簽訂停火協議，結束了長達13年的安哥拉內戰。
* 1989年：第一個海王星光環被發現。
* 1990年：第十一屆亞運會火炬在北京天安門廣場點燃，展開以「亞運之光」為主題的火炬傳遞活動。
* 1991年：蘇聯八一九事件：被軟禁的戈巴契夫釋放。
* 1999年：中華航空642號班機在香港國際機場降落時全機向右翻滾機腹朝天並且發生大火，造成3人罹難，210人受傷。
* 2006年：普爾科沃航空612號班機空難。
* 2007年：以特洛伊木馬組成的風暴殭屍網路創下了在1天內發布5,700萬封遭感染之電子郵件的紀錄。
* 2008年：颱風鸚鵡襲港，香港天文臺繼上一次於2003年的颱風杜鵑後，發出九號烈風或暴風風力增強信號。
* 2008年：中國女子乒乓球運動員張怡寧在奧運會上奪得乒乓球女單冠軍。
* 2011年：利比亞全國過渡委員會成功攻下首都的黎波里，穆阿邁爾·卡扎菲政權倒臺，利比亞共和國誕生。
* 2012年：俄羅斯加入世界貿易組織，成為第156個會員國。
* 2013年：因政治斗爭而下臺的前重慶市委書記、中國共產黨中央政治局委員薄熙來以受賄、貪污、濫用職權的罪名在濟南中級人民法院開庭審理。
* 2017年：受熱帶氣旋天鴿外圍下沉氣流影響，香港天文臺總部在下午2時錄得36.6度高溫，是自1885年有紀錄以來最高溫，天水圍濕地公園更錄得39度高溫。
* 1606年：裕妃張氏，明熹宗妃嬪（1623年去世）
* 1647年：丹尼斯·帕潘，法國發明家，壓力鍋前身的發明者（1712年逝世）
* 1760年：良十二世，羅馬教宗（1829年去世）
* 1760年：所羅門·P·夏普，美國政治家（1825年去世）
* 1792年：龔自珍，清朝著名思想家及文學家（1841年逝世）
* 1834年：塞繆爾·蘭利，美國航空先驅（1906年去世）
* 1860年：保羅·高特列本·尼普科夫，德國發明家及技師（1940年去世）
* 1862年：-{zh-cn:克洛德·德彪西;zh-hk:克洛德·德布西;zh-tw:克洛德·德布西}-，法國音樂家（1918年去世）
* 1874年：馬克斯·舍勒，德國哲學家、社會學家，哲學人類學主要代表（1928年去世）
* 1888年：杜月笙，上海青幫著名人物。（1951年逝世）