ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
PID控制器可以追溯到1890年代的設計。PID控制器是在船舶自動操作系統中漸漸發展。1911年開發的控制器是最早期PID型控制器的其中之一，而第一個發表PID控制器理論分析論文的是俄裔美國工程師。米諾爾斯基當時在設計美國海軍的自動操作系統，他的設計是基於對舵手的觀察，控制船舶不只是依目前的誤差，也考慮過去的誤差以及誤差的變化趨勢，後來米諾爾斯基也用數學的方式加以推導。他的目的是在於穩定性，而不是泛用的控制，因此大幅的簡化了問題。比例控制可以在小的擾動下有穩定性，但無法消除穩態誤差，因此加入了積分項，後來也加入了微分項。
當時在新墨西哥號戰艦上進行測試，利用控制器控制舵的角速度，利用PI控制器可以角度誤差維持在±2°以內，若加上D控制，角度誤差維持在±1/6°，比最好的舵手還要好。
不過因為海軍人員的抗拒，海軍那時候未使用這套系統，在1930年代也有其他人作出類似的研究。
在自動控制發展的早期，用機械設備來實現PID控制，是由槓桿、彈簧、阻尼及質量組成，多半會用壓縮氣體驅動。氣動控制器還一度是工業上的標準。
電子的類比控制器可以用電晶體、真空管、電容器及電阻器組成。許多複雜的電子系統中常會包括PID控制，例如磁碟的讀寫頭定位、電源供應器的電源條件、甚至是現代地震儀的運動偵測線路。現代電子控制器已大幅的被這些利用單晶片或FPGA來實現的數位控制器所取代。
現代工業使用的PID控制器多半會用PLC或有安裝面板的數位控制器來實現。軟體實現的好處是相對低廉，配合PID實現方式調整的靈敏度很大。在工業鍋爐、塑膠射出機械、燙金機及包裝行業中都會用到PID控制。
變化的電壓輸出可以用PWM來實現，也就是固定週期，依要輸出的量去調整週期中輸出高電位的時間。對於數位系統，其時間比例有可能是離散的，例如週期是二秒，高電位時間設定單位為0.1秒，表示可以分為20格，精度5%，因此存在一量化誤差，但只要時間解析度夠高，就會有不錯的效果。
PID是以它的三種糾正算法而命名。受控變數是三種算法（比例、積分、微分）相加後的結果，即為其輸出，其輸入為誤差值（設定值減去測量值後的結果）或是由誤差值衍生的信號。若定義為控制輸出，PID演算法可以用下式表示：
: ：比例增益，是調適參數
: ：積分增益，也是調適參數
: ：微分增益，也是調適參數
: ：誤差=設定值（SP）- 回授值（PV）
: ：目前時間
: ：積分變數，數值從0到目前時間
用更專業的話來講，PID控制器可以視為是頻域系統的濾波器。在計算控制器最終是否會達到穩定結果時，此性質很有用。如果數值挑選不當，控制系統的輸入值會反復振盪，這導致系統可能永遠無法達到預設值。
PID控制器的一般轉移函數是：
其中''C''是一個取決于系統帶寬的常數。
不同比例增益Kp下，受控變數對時間的變化（Ki和Kd維持定值）
比例控制考慮當前誤差，誤差值和一個正值的常數Kp（表示比例）相乘。Kp只是在控制器的輸出和系統的誤差成比例的時候成立。比如說，一個電熱器控制器是在目標溫度和實際溫度差10°C時有100%的輸出，而其目標值是25°C。那么它在15°C的時候會輸出100%，在20°C的時候會輸出50%，在24°C的時候輸出10％，注意在誤差是0的時候，控制器的輸出也是0。
比例控制的輸出如下：
若比例增益大，在相同誤差量下，會有較大的輸出，但若比例增益太大，會使系統不穩定。相反的，若比例增益小，若在相同誤差量下，其輸出較小，因此控制器會較不敏感的。若比例增益太小，當有干擾出現時，其控制信號可能不夠大，無法修正干擾的影響。
比例控制在誤差為0時，其輸出也會為0。若要讓受控輸出為非零的數值，就需要產生一個穩態誤差或偏移量。
不同積分增益Ki下，受控變數對時間的變化（Kp和Kd維持定值）
積分控制考慮過去誤差，將誤差值過去一段時間和（誤差和）乘以一個正值的常數Ki。Ki從過去的平均誤差值來找到系統的輸出結果和預定值的平均誤差。一個簡單的比例系統會震盪，會在預定值的附近來回變化，因為系統無法消除多余的糾正。通過加上負的平均誤差值，平均系統誤差值就會漸漸減少。所以，最終這個PID回路系統會在設定值穩定下來。
積分控制的輸出如下：
積分控制會加速系統趨近設定值的過程，並且消除純比例控制器會出現的穩態誤差。積分增益越大，趨近設定值的速度越快，不過因為積分控制會累計過去所有的誤差，可能會使回授值出現過衝的情形。
不同微分增益Kd下，受控變數對時間的變化（Kp和Ki維持定值）
微分控制考慮將來誤差，計算誤差的一階導，并和一個正值的常數Kd相乘。這個導數的控制會對系統的改變作出反應。導數的結果越大，那么控制系統就對輸出結果作出更快速的反應。這個Kd參數也是PID被稱為可預測的控制器的原因。Kd參數對減少控制器短期的改變很有幫助。一些實際中的速度緩慢的系統可以不需要Kd參數。
微分控制的輸出如下：
微分控制可以提昇整定時間及系統穩定性。不過因為純微分器不是因果系統，因此在PID系統實現時，一般會為微分控制加上一個低通濾波器以限制高頻增益及雜訊。實際上較少用到微分控制，估計PID控制器中只有約20%有用到微分控制。
PID的參數調試是指透過調整控制參數（比例增益、積分增益/時間、微分增益/時間）讓系統達到最佳的控制效果。穩定性（不會有發散性的震盪）是首要條件，此外，不同系統有不同的行為，不同的應用其需求也不同，而且這些需求還可能會互相衝突。
PID只有三個參數，在原理上容易說明，但PID參數調試是一個困難的工作，因為要符合一些特別的準則，而且PID控制有其限制存在。歷史上有許多不同的PID參數調試方式，包括齊格勒－尼科爾斯方法等，其中也有一些已申請專利。
PID控制器的設計及調試在概念上很直覺，但若有多個（且互相衝突）的目標（例如高穩定性及快速的暫態時間）都要達到的話，在實際上很難完成。PID控制器的參數若仔細的調試，會有很好的效果，相反的，若調適不當，效果會很差。一般初始設計常需要不斷的電腦模擬，並且修改參數，一直達到理想的性能或是可接受的妥協為止。
有些系統有非線性的特性，若在無載下調試的參數可能無法在滿載下動作，可以利用增益規劃的方式進行修正（在不同的條件下選用不同的數值）。
若PID控制器的參數未挑選妥當，其控制器輸出可能是不穩定的，也就是其輸出發散，過程中可能有震盪，也可能沒有震盪，且其輸出只受飽和或是機械損壞等原因所限制。不穩定一般是因為過大增益造成，特別是針對延遲時間很長的系統。
一般而言，PID控制器會要求響應的穩定，不論程序條件及設定值如何組合，都不能出現大幅振盪的情形，不過有時可以接受臨界穩定的情形。
PID控制器的最佳性能可能和針對過程變化或是設定值變化有關，也會隨應用而不同。
兩個基本的需求是調整能力（regulation，干擾拒絕，使系統維持在設定值）及命令追隨 （設定值變化下，控制器輸出追隨設定值的反應速度）。有關命令追隨的一些準則包括有上昇時間及整定時間。有些應用可能因為安全考量，不允許輸出超過設定值，也有些應用要求在到達設定值過程中的能量可以最小化。
有許多種調試PID控制器參數的方法，最有效的方式多半是建立某種程序，再依不同參數下的動態特性來調試參數。相對而言人工調試其效率較差，若是系統的響應時間到數分鐘以上，更可以看出人工調試效率的不佳。
調試方法的選擇和是否可以暫時將控制迴路「離線」有關，也和系統的響應時間有關。離線是指一個和實際使用有些不同的條件（例如不加負載），而且控制器的輸出只需考慮理論情況，不需考慮實際應用。在線調試是在實際應用的條件，控制器的輸出需考慮實際的系統
。若控制迴路可以離線，最好的調試方法是對系統給一個步階輸入，量測其輸出對時間的關係，再用其響應來決定參數。
+ 選擇調試方式
不需要數學，可以在線調試
需要有經驗的工程師
齊格勒－尼科爾斯方法
被證實有效的方法，可以在線調試
會影響製程，需要試誤，得到的參數可能使響應太快
調適的一致性，可以在線調試或離線調試，可以配合計算機自動設計，包括閥及感測器的分析，可以在下載前進行模擬，可以支援非穩態（NSS）的調試
需要成本或是訓練
Cohen–Coon
好的程序模型
需要一些數學，需離線調試，只對一階系統有良好效果
若需在系統仍有負載的情形進行調試（線上調試），有一種作法是先將及設為零，增加一直到迴路輸出震盪為止，之後再將設定為「1/4振幅衰減」（使系統第二次過衝量是第一次的1/4）增益的一半，然後增加直到一定時間後的穩態誤差可被修正為止。不過若可能會造成不穩定，最後若有需要，可以增加，並確認在負載變動後迴路可以夠快的回到其設定值，不過若太大會造成響應太快及過衝。一般而言快速反應的PID應該會有輕微的過衝，只是有些系統不允許過衝。因此需要將回授系統調整為過阻尼系統，而比造成震盪的一半還要小很多。
調整PID參數對其步階響應的影響
調整PID參數對系統的影響如下
(on)  上升時間
小幅增加 ↗
小幅減少 ↘
大幅減少↓↓
齊格勒－尼科爾斯方法是另一種啟發式的調試方式，由John G. Ziegler和Nathaniel B. Nichols在1940年代導入，一開始也是將及設定為零，增加比例增益直到系統開始等振幅振盪為止，當時的增益稱為，而振盪週期為，即可用以下的方式計算增益：
+ 齊格勒－尼科爾斯方法
''PI''
''PID''
大部份現代的工業設備不再用上述人工計算的方式調試，而是用PID調試及最佳化軟體來達到一致的效果。軟體會收集資料，建立模型，並提供最佳的調試結果，有些軟體甚至可以用參考命令的變化來進行調試。
數學的PID調試會將脈衝加入系統，再用受控系統的頻率響應來設計PID的參數。若是響應時間要數分鐘的系統，建議用數學PID調試，因為用試誤法可能要花上幾天才能找到可讓系統穩定的參數。最佳解不太容易找到，有些數位的迴路控制器有自我調試的程序，利用微小的參考命令來計算最佳的調試值。
也有其他調試的公式，是依不同的性能準則所產生。許多有專利的公式已嵌入在PID調試軟體及硬體模組中。
一些先進的PID調試軟體也可以在動態的情況下用演算法調整PID迴路，這類軟體會先將程序建模，給微擾量，再根據響應計算參數。
PID控制可以應用在許多控制問題，多半在大略調整參數後就有不錯的效果，不過有些應用下可能反而會有差的效果，而且一般無法提供最佳控制。PID控制的主要問題是在於其為回授控制，係數為定值，不知道受控系統的資訊，因此其整體性能常常是妥協下的結果。在沒有受控系統模型的條件下，PID控制最佳的控制器，但若配合系統模型，可以有進一步的提昇。
當PID控制器單獨使用時，若因應用需求，需調整PID迴路增益使控制系統不會過衝，其效果有可能很差。PID控制器的缺點還包括無法處理受控系統的非線性、需在反應時間及調整率之間妥協、無法針對參數的變動而反應（例如系統在暖機後特性會改變）、以及大擾動下的波形落後。
PID控制器最顯著的提昇是配合前饋控制，加入有關系統的資訊，只用PID控制器來控制誤差。另外，PID控制器也有一些小幅的改善方式，例如調整參數（增益規劃或是依性能進行適應性的調整）、提昇性能（提高取樣率、精度及準度，若有需要加入低波濾波器），或是用多個串接的PID控制器。
PID控制器常見的問題是在於其線性且對稱的特性，若應用在一些非線性的系統，其效果可能會有變化。以暖通空調中常見的溫度控制，可能是採用主動加熱（用加熱器加熱），但冷卻是使用被動冷卻（不加熱，自然冷卻），其冷卻速度比加熱速度慢很多，輸出若有過衝，下降速度很慢，因此PID控制需調整為不會過衝的過阻尼，以減少或避免過衝，但這也延長了整定時間，使性能變差。
微分器的問題在於對量測或程序產生的高頻雜訊會有放大效果，因此會對輸出造成大幅的變動。因此真實的控制器不會有理想的微分器，只有一個有限頻寬的微分器或高通濾波器。一般為了移除高頻的雜訊，會在量測時加入低通濾波器，若低通濾波器和微分器對消，濾波效果也就受限了，因此低雜訊的量測設備相當重要。實務上可以使用中值濾波器，調昇濾波效率及實際上的性能。有時可以將微分器關閉，對控制性能的影響不大，此時稱為PI控制器。
基本的PID演算法在一些控制應用的條件下有些不足，需進行小幅的修改。
積分飽和是理想PID演算法實現時常見的問題。若設定值有大的變動，其積分量會有大幅的變化，大到輸出值被上下限限制而飽和，因此系統會有過衝，而且即使誤差量符號改變，積分量變小，但輸出值仍被上下限限制，維持在上限（或下限），因此輸出看似沒有變化，系統仍會持續的過衝，一直要到輸出值落在上下限的範圍內，系統的回授量才會開始下降。此問題可以用以下方式處理：
* 在程序變數離開可控制範圍時，暫停積分。
* 讓積分值限制在一個較小的上下範圍內。
* 重新計算積分項，使控制器輸出維持上下限之間的範圍內。
PI控制器的方塊圖
PI控制器（比例-積分控制器）是不用微分單元的PID控制器。
控制器的輸出為
其中為設定值SP和量測值PV的誤差：
PI控制器可以用Simulink或Xcos之類的軟體進行建模，方式是使用「flow chart」圖框，其中用以下的拉氏運算子：
: = 比例增益
: = 積分增益
值的選擇需在減少過衝以及增加安定時間之間取捨。
微分單元對輸入中的高頻信號格外敏感，PI控制器因為沒有微分單元，在訊號雜訊大時，在穩態時會更加穩定。但對狀態快速變化的反應較慢，因此相較於調適到最佳值的PID控制器，PI控制器會較慢到達設定值，受干擾後也比較慢恢復到正常值。
PDF控制（pseudo-derivative feedback control）可以視為是PI控制器的變體，比例控制器的輸入由誤差值改為回授值。
許多PID迴路是控制機械元件（例如閥）。機械保養是一筆可觀的費用，磨損會使得機械在有輸入信號時出現靜摩擦或是不動作區，都會導致控制性能的下降。機械損耗的速度主要和設備多常改變其狀態有關。若磨損是主要考量的話，PID迴路可以有輸出的遲滯現象以減少輸出狀態的改變。若變化小，仍在不動作區內，讓控制器的輸出維持上一次的值。變化要大到超過不動作區，實際的狀態才會隨之變化。
若系統的設定值有步階變化，比例單元和微分單元也會有對應的變化，特別是微分單元對於步階變化的輸出特別的大，因此有些PID演算法會配合以下的修改來處理設定值的變化。
;設定值斜坡變化
:此修改方式下，設定值會用線性或是一階濾波的方式，由原始值變到新的值，避免因為步階變化產生的不連續。
;只對程序變數（回授量）微分
:此修改下，PID控制器只針對量測的程序變數（PV）微分，不對誤差微分。程序變數是實際的物理量，較不易有瞬間的變化，而誤差可能因為設定值的步階變化而有瞬間變化。這也是一種簡單的設定值加權法。
;設定值加權
:設定值加權分別調整在比例單元及微分單元中的誤差量，誤差量的設定值乘以一個0到1之間的加權，積分單元的誤差量需使用真實的設定值，以避免穩態誤差。這兩個參數不影響對負載變化及量測雜訊的響應，可以提昇對設定點變化的響應。
PID控制器若再配合前饋控制（開迴路控制），可以再提昇其控制性能。在前饋控制中考慮系統的已知資訊（例如理想加速度或是慣量），再將輸出加到PID控制器的控制輸出，以提昇整體的系統性能。前饋量可能是控制輸出主要的部份，而PID控制器只用來補償目標值和開迴路控制器輸出之間的誤差。因為前饋輸出不會受到回授的影響，因此也不會造成系統的振盪，可以在不影響穩定性的條件下提昇系統的響應。前饋可以依目標值及其他量測到的干擾量來產生，目標值加權是一種簡單的前饋控制方式。
例如，在大部份的運動控制系統中，為了要使機械負載加速，致動器要產生更大的力。若用速度環的PID控制器來控制負載速度，比較理想的方式是先得到理想的瞬間加速度值，適量調整加權後再加到PID的輸出中。因此控制器輸出中有一部份是不隨機械速度而改變的輸出，再用PID根據實際輸出和目標的差異去增加或是減少輸出。這類有前饋控制的PID控制器可以加快控制系統的反應速度。
有時PID控制器會規劃為無衝擊（bumpless）的特性，在參數變化時重新計算適當的積分累計值，使輸出不會因參數變化有不連續的改變。
二個PID控制器可以組合在一起，得到較佳的效果，這稱為串級PID控制。以兩個PID控制器組成的串級PID控制為例，其中一個PID控制器在外迴路，控制像液面高度或是速度等主要的物理量，另一個PID控制器是內迴路，以外迴路PID控制器的輸出做為其目標值，一般是控制較快速變化的參數，例如流量或加速度等。若利用串級PID控制，可以增加控制器的工作頻率，並降低其時間常數。
例如一個溫控的循環水浴設備有二個串級的PID控制器，分別有各自的熱電偶溫度感測器。外迴路的控制器控制水溫，其感測器距加熱器很遠，直接量測整體水溫，其誤差量是理想水溫及整體水溫的差值。外迴路PID控制器的輸出即為內迴路控制器的目標值，內迴路控制器控制加熱器，其感測器是在加熱器上，其誤差量是加熱器的理想溫度及量測到溫度的差值，其輸出會使加熱器維持在設定值附近。
內外迴路控制器的參數可能會差很多，外迴路的PID控制器有較長的時間常數，對應所有的水加熱或是冷卻需要的時間。內迴路的PID控制器反應會比較快。每個控制器可以調整到符合其真正控制的系統，例如水槽中所有的水，或是加熱器本身。
工業上常看到PID控制器，而許多工業相關資料中看到的都是「標準形」的PID，其中比例增益也作用在及兩項，和上述「理論」段落看到的形式不同。「標準形」的PID為：
:為積分時間
:為微分時間
在標準形中，每一個參數有其明確的物理意義，輸出是根據現在誤差、過去誤差及未來誤差而決定，加上微分項可以預測若控制系統不改變的話，時間後的誤差，而積分項是用過去所有誤差的和來調整輸出，希望在時間後可以完全消除誤差，而輸出的值會再乘以單一的增益。
在理想的平行式PID中，其方程如下：
其中的增益和標準形PID係數的關係是：及。平行式PID中的參數都視為單純的增益，最泛用，靈活性也最高，但較沒有物理意義，因此只用在PID的理論處理中，標準形PID雖在數學上比較複雜，在工業中較常使用。
許多情形下，PID控制器處理的變數是無因次的量，是某個最大值的比例，介於0到100%之間，而轉換為實際物理量（如泵浦速率或是水加熱的功率）是在PID控制器外，而這些控制變數是有因次的物理量（例如溫度）。此時增益多半不會表示為「每變化一度的輸出」，而會以溫度的形式表示，代表「100%輸出下的溫度（變化）」，代表輸出由0變到1（0%變為100%）下的溫度變化。
在大部份的商業控制系統中，是用過程變數取代誤差作為微分項的輸入，其原因是當目標值有不連續變化時，微分控制會產生很大的突波，若目標值不變，改變過程變數的效果和改變誤差相同，因此有些PID控制器會用過程變數作為微分項的輸入，不會影響控制器控制過程變數，抗雜訊的能力。
大部份的商業控制系統也提供選擇，讓過程變數作為微分控制及比例控制的輸入，因此誤差只作為積分控制的輸入，這也不會影響控制器控制過程變數，抗雜訊的能力。
上述的修改可以避免目標值有不連續變化時，輸出值有對應不連續的變化，若目標值有步階變化，這項調整就相當重要。
也有些雙自由度（2-DoF）PID控制架構除了一般的PID控制外，再加上只針對過程變數進行的微分及比例控制，再分別用增益進行調整，目標是同時對目標步階響應以及雜訊抑制都有良好的性能。
有關會將PID控制器進行拉氏轉換：
PID控制器的拉氏轉換也代表著控制器的傳遞函數，因此可以確認整體系統的傳遞函數。
PID控制器可以寫成以下的形式
若受控設備的傳遞函數如下：
因此若受控設備有不穩定的極點，看似可以用此方式消除，不過實際上有些差異，由干擾到輸出的閉迴路傳遞函數中仍有不穩定的極點，因此仍可能會發散。
另一種PID控制器的表示法為串級型（series）或稱為交互型（interacting）
其中參數和標準型的參數有以下的關係
上述作法可表示為二個串級的PD控制器及PI控制器，在早期類比電路的時代較容易實現，雖然控制器已經數位化，不過仍有些維持此形式。
若要在微處理機（MCU）或是FPGA中實現PID控制或是分析其性能，就需要將控制器離散化。一階微分可以用後向有限差分表示，積分項也離散化，若取樣時間為，積分項可以用下式近似
微分項可近似為
因此PID控制器的離散化可以將微分，再用一階導數及二階導數的定義求得，可以得到
以下是一段實現PID演算法的偽代碼：
error = setpoint - measured_value
integral = integral + error*dt
derivative = (error - previous_error)/dt
output = Kp*error + Ki*integral + Kd*derivative
previous_error = error
wait(dt)
goto start
此例中有兩個變數在迴圈前需初始化為0，然後開始迴圈。目前的誤差（error）是用目前目標值（setpoint）減去系統反饋值（measured_value）而得，然後再進行積分和微分運算，比例項、積分項及微分項乘以各自參數後得到輸出（output）。在實際系統中，這會透過數位類比轉換器轉換為類比訊號，作為受控系統的控制量。目前的誤差量及積分會儲存，以便下次計算微分及積分時使用，程式會等待dt秒後開始，迴圈繼續進行，透過類比數位轉換器讀取新的系統反饋值及目標值，再計算誤差量及輸出。
*  改善PID微分和積分的方法及其它控制系統的計算機自動設計CAutoD
*  學習PID和其他系統調試是如何工作的
*  PID控制器實驗室，PID調試的Java applets
*  一系列的PID調試的Java Applets
*  PID控制系統算法的信息和教程
*  用Excel模擬基本的PID
*  如果用電子部件制作一個PID控制器查看22頁
*  關于PID控制器的文章，教材
*  PID馬達定速與定角控制公式比較
*  Ang, K.H., Chong, G.C.Y., and Li, Y. (2005)， PID control system analysis, design, and technology. ''IEEE Transactions on Control Systems Technology'', 13 (4). pp. 559-576. ISSN 1063-6536
*  Understanding Servo Tune(其中包括PID調整方法範例)
*  LabView360技術文章 PID
術語格來源于描述這種次序的哈斯圖的形狀。
在數學中，格是其非空有限子集都有一個上確界（稱為并）和一個下確界（稱為交）的偏序集合（poset）。格也可以特征化為滿足特定公理恒等式的代數結構。因為兩個定義是等價的，格理論從序理論和泛代數二者提取內容。半格包括了格，依次包括海廷代數和布爾代數。這些"格樣式"的結構都允許序理論和抽象代數的描述。
需要注意的是，本條目介紹的是序理論中的“格”，-{zh-hans:并; zh-hant:並;}-非幾何與群論中的“格（群論）”（點陣），兩者的英文均為“lattice”。雖然在繼承自平面的次序中，每個點陣都是格，但是許多格不是點陣。
考慮任意一個偏序集合（''L'',≤），如果對集合L中的任意元素a,b，使得a,b在L中存在一個最大下界，和最小上界，則(''L'',≤)是一個格。
這里對于取a,b的最大下界的操作用表示；
對于取a,b的最小上界操作用  表示。
有界格有一個最大元素和一個最小元素，按慣例分別指示為1和0（也叫做頂和底）。任何格都可以通過增加一個最大元素和最小元素而轉換成有界格。
使用容易的歸納論證，你可以演繹出任何格的所有非空有限子集的上確界（并）和下確界（交）的存在。一個很重要的格的種類是完全格。一個格是完全的，如果它的所有子集都有一個交和一個并，這對比于上述格的定義，這里只要求所有非空有限子集的交和并的存在。
另一種定義格的方式是將格定義為一種代數結構。一個格是一個代數結構，其中和是定義在集合上的二元運算，且對于所有的滿足：
從上述三個公理恒等式可以得出重要的：
這些公理斷言了(''L'',)和(''L'',)都是半格。吸收律是唯一交和并都出現了的公理，把格同一對半格區別開來-{zh-hans:并; zh-hant:並;}-確保這兩個半格正確的交互。特別是，每個半格都是另一個半格的對偶。“有界格”要求交和并都有一個零（neutral）元素，分別習慣叫做1和0。參見半格條目。
格與廣群家族有一些聯系。因為交和并都符合交換律和結合律。格可以看作由有相同的承載者的兩個交換半群組成的。如果格是有界的，這些半群也是交換幺半群。吸收律是特定于格理論的唯一定義恒等式。
''L'' 閉包于交和并之下，通過歸納，蘊涵了''L''的任何有限子集的交和并的存在性，有著一個例外：空集的交和并分別是最大元素和最小元素。所以格只在它是有界的條件下包含所有有限（包含空）交和并。為此有些作者定義格的時候要求0和1是''L''的成員。而以這種方式定義格不損失一般性，因為任何格都可以被嵌入一個有界格中，這里不接受這種定義。
格的代數解釋在泛代數中扮演根本性角色。
格的代數定義蘊涵了序理論的定義，反之亦然。
明顯的，序理論的格引發了兩個二元運算和。容易看出這些運算使(''L'', , )變成代數意義上的格。反之亦真：考慮代數定義的格(''M'', , )。現在定義在''M''上的偏序≤如下，對于''M''中的元素''x''和''y''
: ''x'' ≤ ''y'' 當且僅當''x'' = ''x'y''
: ''x'' ≤ ''y''當且僅當''y'' = ''x'y''
吸收律確保了兩個定義實際上是等價的。你現在可以檢查以這種方式介入的關系≤定義了在其中二元交和并是通過最初運算和而給出的一個偏序。反過來，由得出自上述序理論公式的代數定義的格（''L'', , ）引發的次序一致于''L''的最初次序。
因為格的兩個定義是等價的，你可以隨意調用任何定義的適合你用的方面。
* 對于任何集合''A''，''A''的所有子集的搜集（叫做''A''的冪集）可以通過子集包含的次序獲得一個以''A''自身和空集為上下界的格。集合的交集和并集分別解釋為交（meet）和并（join）。
* 對于任何集合''A''，''A''的所有有限子集的搜集，通過包含次序也是格，-{zh-hans:并; zh-hant:並;}-且將是有界的當且僅當''A''是有限的。
* 自然數（包括0）在“極小值”（min）和“極大值”（max）運算下，按照通常次序形成格。0是底，沒有頂。
* 自然數的笛卡爾平方，按有隨后定義的≤排序是格，(''a,b'')≤(''c,d'')?(''a'' ≤ ''c'')  &(''b'' ≤ ''d'')。(0,0)是底；沒有頂。
* 正整數在采用最大公約數和最小公倍數運算之下，用整除作為次序關系也形成一個格：''a'' ≤ ''b''如果''a''整除''b''。底是1；沒有頂。
* 任何完全格都是（非常特殊的）有界格。這個類別引出了大量實際例子。
在兩個格之間的適當的態射概念可以輕易的同上述代數定義得出。給定兩個格（''L'', , ）和（''M'', , ），''格的同態''是一個函數''f'' : ''L'' → ''M''使得
: ''f''(''x'y'') = ''f''(''x'')  ''f''(''y'')，
: ''f''(''x'y'') = ''f''(''x'')  ''f''(''y'')。
所以''f''是兩個底層半格的同態。當考慮帶有更多結構的格的時候，這個態射也應當注意這個額外結構。所以在兩個有界格''L''和''M''之間的態射''f''還有下列性質：
: ''f''(0''L'') = 0''M''，
: ''f''(1''L'') = 1''M''。
在序理論公式中，這些條件只聲稱格的同態是保持二元交和并的一個函數。對于有界格，最小和最大元素的保持只是空集的并和交的保持。
格的任何同態必然關于相關的次序關系是單調的；參見極限的保持。反過來當然不是真的：單調性決不蘊涵要求的保持性質。
假定同構作為可逆態射的標準定義，格的同構就是雙射格同態。格和它們的態射形成了一個范疇。
格''L''的子格是''L''的非空子集，它是帶有同''L''一樣的交和并運算的格。就是說，如果''L''是一個格，而''M''是''L''的子集使得對于''M''中的所有元素對''a'', ''b''有''a'b''和''a'b''在''M''中，則''M''是''L''的子格。
格''L''的子格''M''是''L''的凸子格，如果''x ≤ z ≤ y''和''x'', ''y''在''M''中蘊涵了''z''屬于''M''，對于在''L''中的所有元素''x, y, z''。
設是含有格中的元素以及符號的邏輯命題，令是將中的替換為，將替換為，將替換為，將替換為后所得到的命題。則稱是的對偶命題。
設是含有格中的元素以及符號的邏輯命題，若對于一切格為真，則的對偶命題也對于一切格為真。
可在線免費獲得的專著：
* Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. '' A Course in Universal Algebra. ''  Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
* Jipsen, Peter, and Henry Rose, '' Varieties of Lattices '', Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8.
Elementary texts recommended for those with limited mathematical maturity:
* Donnellan, Thomas, 1968. ''Lattice Theory''. Pergamon.
* Gr?tzer, G., 1971. ''Lattice Theory: First concepts and distributive lattices''. W. H. Freeman.
The standard contemporary introductory text:
* Davey, B.A., and H. A. Priestley, 2002. ''Introduction to Lattices and Order''. Cambridge University Press.
The classic advanced monograph:
* Garrett Birkhoff，1967. ''Lattice Theory'', 3rd ed. Vol. 25 of American Mathematical Society Colloquium Publications. American Mathematical Society.
Free lattices are discussed in the following title, not primarily devoted to lattice theory:
* Johnstone, P.T., 1982. ''Stone spaces''. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3. Cambridge University Press.
The standard textbook on free lattices:
* R. Freese, J. Jezek, and J. B. Nation, 1985. "Free Lattices". Mathematical Surveys and Monographs Volume: 42, American Mathematical Association.
設是一個偏序集，若對于任意的，都有最小上界（并），或者對于任意的，都有最大下界（交），則稱構成一個半格。
也可以將半格定義為一個代數結構。一個半格是一個代數結構或，其中和如同在格的定義中所述。
* 半格是滿足運算是冪等的和交換的半群。
{x,y,z}的子集的集合按包含排序的哈斯圖。
偏序集合（，簡寫）是數學中，特別是序理論中，指配備了偏序關系的集合。
這個理論將對集合的元素進行排序、順序或排列等直覺概念抽象化。這種排序不必是全部的，就是說不需要保證此集合內的所有對象的相互可比較性。是具有閉偏序的拓撲空間。
給定集合S，“≤”是S上的二元關系，若“≤”滿足：
#自反性：?a∈S，有a≤a；
#反對稱性：?a，b∈S，a≤b且b≤a，則a=b；
#傳遞性：?a，b，c∈S，a≤b且b≤c，則a≤c；
則稱“≤”是S上的非嚴格偏序或自反偏序。
給定集合S，“＜”是S上的二元關系，若“＜”滿足：
#反自反性：?a∈S，有a≮a；
#反對稱性：?a，b∈S，a＜b ? b≮a；
#傳遞性：?a，b，c∈S，a＜b且b＜c，則a＜c；
則稱“＜”是S上的嚴格偏序或反自反偏序。
嚴格偏序與有向無環圖（DAG）有直接的對應關系。一個集合上的嚴格偏序的關系圖就是一個有向無環圖。其傳遞閉包是它自己。
容易證明以下結論：
*給定集合S上的一個（非嚴格，自反）偏序「≤」，則可自然地誘導出S上的一個（嚴格，反自反）偏序「」也是S上的一個（嚴格，反自反）偏序；
由上述可知，只要定義了「≤」、「」中的任何一個，其余三個關系的定義可以自然誘導而出，這四種關系實際上可以看成一體。故此在不嚴格區分的情況下，只需定義其一即可（通常是「≤」），稱之為集合S上的偏序關系。（“偏序關系”通常被用來稱呼非嚴格偏序關系。）
*（非嚴格，自反）偏序和（嚴格，反自反）偏序之間的對應關系不同于在（非嚴格）弱序和嚴格弱序直接的對應（逆關系的補集）。只有對于全序這些對應才是相同的。
若集合S上定義了一個偏序，則S稱為偏序集（poset）；若將其上的偏序關系改為其逆關系，得到的新偏序集S'稱為S的序對偶。
雖然通常術語“有序集”用來稱呼全序集，但當上下文中不涉及其他序關系時，“有序集”也可用于稱呼偏序集。
-{下面}-是一些主要的例子：
* 自然數的集合配備了它的自然次序（小于等于關系）。這個偏序是全序。
* 整數的集合配備了它的自然次序。這個偏序是全序。
* 自然數的集合的有限子集{1, 2, ..., ''n''}。這個偏序是全序。
* 自然數的集合配備了整除關系。
* 給定集合的子集的集合（它的冪集）按包含排序。
* 向量空間的子空間的集合按包含來排序。
一般的說偏序集合的兩個元素''x''和''y''可以處于四個相互排斥的關聯中任何一個：要么''x''  ''y''，要么''x''和''y''是“不可比較”的（三個都不是）。全序集合是用規則排除第四種可能的集合：所有元素對都是可比較的，并且聲稱三分法成立。自然數、整數、有理數和實數都關于它們代數（有符號）大小是全序的，而復數不是。這不是說復數不能全序排序；比如我們可以按詞典次序排序它們，通過''x''+i''y'' < ''u''+i''v''當且僅當''x'' < ''u''或(''x'' = ''u''且''y'' < ''v'')，但是這種排序沒有合理的大小意義因為它使得1大于100i。按絕對大小排序它們產生在其中所有對都是可比較的預序，但這不是偏序因為1和i有相同的絕對大小但卻不相等，違反了反對稱性。
全序''T''是偏序''P''的線性擴展，只要''x'' ≤ ''y''在''P''中成立則''x'' ≤ ''y''在''T''中也成立。在計算機科學中，找到偏序的線性擴展的算法叫做拓撲排序。
* J. V. Deshpande, ''On Continuity of a Partial Order'', Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 19, No. 2, 1968, pp. 383-386
數學上，二元關系（，或簡稱關系）用於討論兩種物件的連系。諸如算術中的「大於」及「等於」、幾何學中的「相似」或集合論中的「為……之元素」、「為……之子集」。
集合與集合上的二元關系是，當中，稱為的圖，是笛卡兒積的子集。若則稱與有關系，并記作或。
但經常地我們把關系與其圖等價起來，即若則是一個關系。
例子：有四件物件{球，糖，車，槍}及四個人{甲，乙，丙，丁}。若甲擁有球，
乙擁有糖，及丁擁有車－即無人有槍及丙一無所有－則二元關系為「……擁有……」便是
:=({球，糖，車，槍}, {甲，乙，丙，丁}, {(球，甲), (糖，乙), (車，丁)})。
其中的首項是物件的集合，次項是人的集合，而末項是由有序對（物件，主人）
組成的集合。比如有序對（球，甲）以球甲表示，
代表球為甲擁有。
不同的關系可以有相同的圖。以下的關系
: ({球，糖，車，槍}, {甲，乙，丁}, {(球，甲), (糖，乙), (車，丁)})
中人人皆是物主，所以與不同，但兩者有相同的圖。
話雖如此，我們很多時候索性把定義為而“有序對”亦即是“”。
二元關系可看作成二元函數，這種二元函數把輸入元及視為獨立變數並求真偽值（包括「有序對是或非二元關系中的一元」此一問題）。
若，則稱為上的關係。
設是一個集合，則
# 空集稱作上的空關系
# 稱作上的全域關系（完全關係）
# 稱作上的恒等關系
設及，是 上的關系，令
則0,1矩陣
稱為的關系矩陣，記作。
設，是上的關系，令圖，其中頂點集合，邊集合為，且對于任意的，滿足當且僅當。則稱圖是關系的關系圖，記作。
關系的基本運算有以下幾種：
* 設為二元關系，中所有有序對的第一元素構成的集合稱為的定義域，記作。形式化表示為
* 設為二元關系，中所有有序對的第二元素構成的集合稱為的值域，記作。形式化表示為
* 設為二元關系，的定義域和值域的并集稱作的域，記作，形式化表示為
* 設為二元關系，的逆關系，簡稱的逆，記作，其中
* 設為二元關系，與的合成關係記作，其中
* 設為二元關系，是一個集合。在上的限制記作，其中
* 設為二元關系，是一個集合。在下的像記作，其中
* 設為上的二元關系，在右復合的基礎上可以定義關系的冪運算：
關系的性質主要有以下五種：
:在集合X上的關系R，如對任意，有，則稱R是自反的。
* 非自反性（自反性的否定的強型式）：
:在集合X上的關系R，如對任意，有，則稱R是非自反的。
:在集合X上的關系R，如果有且必有，則稱R是對稱的。
* 反對稱性（不是對稱性的否定）：
* 非對稱性（對稱性的否定的強型式）：
:非對稱性是 滿足非自反性的反對稱性。
設為集合上的關系，下面給出的五種性質成立的充要條件：
# 在上自反，當且僅當
# 在上非自反，當且僅當
# 在上對稱，當且僅當
# 在上反對稱，當且僅當
# 在上非對稱，當且僅當
# 在上傳遞，當且僅當
設是非空集合上的關系，的自反（對稱或傳遞）閉包是上的關系，滿足
# 是自反的（對稱的或傳遞的）
# 對上任何包含的自反（對稱或傳遞）關系有
一般將的自反閉包記作，對稱閉包記作，傳遞閉包記作。
下列三個定理給出了構造閉包的方法：
對于有限集合上的關系，存在一個正整數，使得
求傳遞閉包是圖論中一個非常重要的問題，例如給定了一個城市的交通地圖，可利用求傳遞閉包的方法獲知任意兩個地點之間是否有路相連通。可以直接利用關系矩陣相乘來求傳遞閉包，但那樣做復雜度比較高；好一點的辦法是在計算矩陣相乘的時候用分治法降低時間復雜度；但最好的方法是利用基于動態規劃的Floyd-Warshall算法來求傳遞閉包。
袋狼（學名：'），現已全部滅絕，因其身上斑紋似虎，又名塔斯馬尼亞虎，曾廣泛分布于新幾內亞熱帶雨林、澳大利亞草原等地，後因人類活動只分布於塔斯馬尼亞島。袋狼是近代體型最大的食肉有袋類動物，和其他有袋動物一樣，母體有育兒袋，產下不成熟的幼獸，在育兒袋中發育，為夜行性動物。
現代的袋狼第一次出現距離現今約400萬年。至1990年代初，至少已發現7個物種的袋狼化石。迪森袋狼（Nimbacinus dicksoni）是這7種被發現的化石中，年代最久遠的物種，可追溯至2300萬年前，也是體形最小的。袋狼曾廣泛生活於澳洲和新幾內亞，5千年前，澳洲野犬隨人類進入澳大利亞，與食性相同的袋狼發生爭鬥，袋狼隨后從新幾內亞和澳大利亞草原漸漸消失，僅在大洋洲的塔斯馬尼亞島上還有生存。澳大利亞的原住民首次接觸袋狼，已發現許多袋狼雕刻在巖石上，可以追溯到至少公元前1000年。
但自1770年英國探險家科克到澳大利亞探險以來，因為被懷疑襲擊羊群，所以被牧民所痛恨，然而多數事件的元兇其實是澳洲野犬。移民們把袋狼視為敵人，認為其為「殺羊魔」，並且在政府的獎賞制度鼓勵下進行大肆屠殺，加上其他因素——可能是疾病，狗的引入，和人類侵佔其棲息地——使其近乎絕跡。1888年塔斯馬尼亞政府更以每隻袋狼頭獎勵1英鎊，鼓勵農民殺死袋狼，此獎金計劃直至1909年停止。
1933年有人捕獲一只袋狼，命名為班哲明，飼養在赫巴特動物園，1936年因管理員疏忽曝曬而死亡，此后再沒有活袋狼存在的消息。
1936年後不斷傳出有酷似袋狼的動物在新幾內亞襲擊家畜的消息，也有許多目擊者聲稱他們看到袋狼，但卻沒有鐵證可以證明袋狼確實仍存於世。1967年有人在山洞中發現腐爛的動物屍體，經專家證實確為袋狼屍體，但對其是否為新鮮屍體或是多年前留下的乾屍，科學家看法分歧。袋狼是否已經滅絕，不得而知。但目前科學界普遍認為袋狼已經滅絕。
袋狼的描述各有不同，描述來自作為證據的標本，化石記錄，皮膚和骨骼遺骸，黑白的照片和電影以及人工飼養袋狼。
袋狼就像一隻大而短毛有長尾巴的狗。牠有棕黃色的皮毛，肚子是奶油色的，在其背部臀部有獨特的深色條紋，因而獲得了特色綽號“老虎”。牠的體毛濃密而軟，長約15毫米（0.6英寸），耳朵直立，長約8厘米（3.1英寸）。
成熟的袋狼身長100?130厘米（39至51英寸），加上尾巴，約50至65厘米（20至26英寸）。測得最大樣本從鼻子到的尾巴身長為290厘米（9.5英尺）。成年袋狼的身高約60厘米（24英寸），體重20?30公斤（40至70磅），與雄性袋狼平均比雌性大。早期的科學的研究表明，它擁有敏銳的嗅覺，這使得它能夠追蹤獵物。
在霍巴特動物園和倫敦動物園拍攝的袋狼的影像
袋狼是肉食性動物。牠肚子上的肌肉和骨架能有效地脹大，能使袋狼吃下大量的食物。袋狼的獵物包括有袋鼠，小袋鼠和袋熊，鳥類和其他小動物，例如負鼠。
袋狼很可能在西元前2000年已於澳洲大陸消失，其消失原因是由於澳洲原住民的競爭和侵入的澳洲野狗。
Wilf Batty在野外殺死最後一隻袋狼
雖然袋狼消失於澳洲大陸，但部分袋狼仍在塔斯馬尼亞州生存直到20世紀30年代。在此期間，人類很少看見牠們，但慢慢開始袋狼攻擊羊事件增加，導致推行獵殺袋狼賞金計劃，企圖控制牠們的數量，這可能是導致袋狼完全滅絕的主要原因。但是，袋狼完全滅絕可能由多種因素導致，其中包括歐洲殖民者引入野狗競爭，其棲息地受破壞，以及犬瘟熱病也影響了許多袋狼，在20世紀20年代末，袋狼已成為極為罕見的野生動物。已知最後一隻野生袋狼在1930年塔斯馬尼亞東北的小鎮mawbanna被一個農民Wilf Batty打死。1936年，最後一隻人工飼養袋狼死亡，這個物種亦宣告滅絕。
最後圈養的袋狼（雖然從來沒有被證實它的性別）在1933年住進霍巴特動物園，在那裡住了三年。1936年9月7日，這袋狼死於極端高溫。這袋狼最為人所知的62秒黑白色畫面電影拍攝於1933年。其後數十年，人們一直搜尋袋狼，1983年，美國媒體巨頭泰德·透納懸紅10萬美元獎勵，鼓勵人們找到袋狼存在的證明。2005年3月，澳大利亞新聞雜誌《公報》成立125週年慶祝活動時，提供了安全捕獲活袋狼的125萬美元獎勵。然而至2005年6月底時，沒有任何證據顯示袋狼仍然存在。
1999年澳洲博物館館長麥克?阿契在悉尼博物館發現一個自1866年被保存在酒精中的小袋狼標本，麥克?阿契便著手研究從中抽取DNA使袋狼復活的可能性，2000年5月13日又在其他博物館發現六個類似的標本，使得相關的基因庫更為完整。麥克?阿契表示，袋狼將在五十年內透過複製科技重現於世。古生物學家艾奇(Michael Archer)指出，如今在博物館中的袋狼樣本，可以用來提取可用的DNA，得到這些DNA片段的序列僅僅是第一步，下一步是要將DNA片段列拼起來取得完整的基因組，這是一項複雜而具有挑戰性的工作。如果袋狼的整個基因組序列被測定，帶著袋狼全序列基因組的核酸，將會植入到袋狼的近親袋獾(Tasmanian devil)的去核卵細胞中，然後植入袋獾的子宮中進行發育，在順利的情況下，就能誕生一隻袋狼。
*1964年，目擊者Rilla Martin拍下一張據信為袋狼的照片，但許多學者質疑照片的真實性。
*2012年在澳大利亞西部發現數具無頭袋鼠尸體，唯一能造成這種傷口的捕食者就是袋狼（袋狼的嘴部可張開至90度，用以咬碎獵物頭骨），此外還有人拍到一段遠距離影像，影像中的動物有條紋，且移動方式不同于任何現存物種但與袋狼一致。（參考自自然界怪奇事件錄）
袋狼是澳洲塔斯馬尼亞州的象徵，其州徽上的兩隻動物就是袋狼。
分類:已滅絕的哺乳動物
金屬材料一般是指工業工程應用中的純金屬或合金。自然界中大約有70多種純金屬，其中常見的有金、銀、銅、鐵、鋁、錫、鎳、鉛、鋅、碳等等。而合金常指二種或二種以上的金屬或金屬與非金屬結合而成，且具有金屬特性的材料。常見的合金如鐵和碳所組成的鋼合金；銅和鋅所形成的合金為黃銅等。
金屬及合金具有下列共同特性：
#固體狀態下具有晶體結構。
#具有獨特的金屬光澤且不透明。
#導電性和導熱性良好。
*:降伏強度、抗拉強度、抗壓強度、抗剪強度、抗扭強度˙-
一般可將金金屬材料分類為下述兩大類：
#鐵屬金屬(ferrous metal)材料是指鐵及鐵之合金，例如純鐵、鋼鐵及鑄鐵及等屬此。
#非鐵屬金屬(noferrous metal)材料是指鐵屬以外的金屬材料，如Cu、Al、Mg、Zn、Pb等都如此。
在數學中，兩個集合和的笛卡兒積，又稱直積，在集合論中表示為，是所有可能的有序對組成的集合，其中有序對的第一個對象是的成員，第二個對象是的成員。
舉個實例，如果集合是13個元素的點數集合，而集合是4個元素的花色集合?, ?, ?, ?，則這兩個集合的笛卡兒積是有52個元素的標準撲克牌的集合??????。
笛卡兒積得名于笛卡兒，因為這概念是由他建立的解析幾何引申出來。
易見笛卡兒積滿足下列性質：
* 一般來說笛卡兒積不滿足交換律和結合律。
* 笛卡兒積對集合的并和交滿足分配律，即
* 若一個集合包含有無限多的元素，那這個集合對自身的笛卡爾積有和一樣多的元素。
集合的笛卡兒平方（或二元笛卡兒積）是笛卡兒積。一個例子是二維平面，（這里是實數集） - 它包含所有的點，這里的和是實數（參見笛卡兒坐標系）。
為了幫助枚舉，可繪制一個表格。一個集合作為行而另一個集合作為列，從行和列的集合選擇元素，以形成有序對作為表的單元格。
可以推廣到在個集合上的''n''-元笛卡兒積:
實際上，它可以被等同為。它是''n''-元組的集合。
一個例子是歐幾里得三維空間，這里的同樣是指實數集。
對最常用的數學應用而言，上述定義通常已經足夠。但是，也可以在任意（可能無限）的集合的搜集上定義笛卡兒積。
如果是任何指標集合，而
是由'索引的集合的搜集，則我們定義
就是定義在索引集合上的所有函數的集合，使得這些函數在特定索引上的值是的元素。
對在中每個，定義自
叫做第投影映射。
''n''-元組可以被看作在上的函數，它在上的值是這個元組的第'個元素。所以，在'是的時候，這個定義跟有限情況的定義是一致的。在無限情況下這個定義給出的是集合族。
在無限情況，一個令人熟悉的特例是，當索引集合是自然數集的時候：這正是其中第''i''項對應于集合'的所有無限序列的集合。再次，提供了這樣的一個例子：
是實數的無限序列的搜集，可視之為帶有無限個構件的向量或元組。另一個特殊情況（上述例子也滿足它）是在乘積中的各因子''Xi''都是相同的時候，類似于“笛卡兒指數”。這樣，在最先定義中的無限并集自身就是這個集合自身，而其他條件被平凡的滿足了，所以這正是從''I''到''X''的所有函數的集合。
在別的情況，無限笛卡兒積就不那麼直觀了；盡管在高等數學中的應用有其價值。
“非空集合的任意非空搜集的笛卡兒積為非空”這一陳述等價于選擇公理。
如果是從到的函數，而是從到的函數，則它們的笛卡兒積是從到的函數，帶有
跟之前類似，函數的笛卡兒積也可以擴展到函數的元組和無限情況。
*  Cartesian Product at ProvenMath
在數學中，有序對是兩個對象的搜集，使得可以區分出其中一個是“第一個元素”而另一個是“第二個元素”（第一個元素和第二個元素也叫做左投影和右投影）。帶有第一個元素''a''和第二個元素''b''的有序對通常寫為(''a'', ''b'')。
符號(''a'', ''b'')也表示在實數軸上的開區間；在有歧義的場合可使用符號。
設(''a''1, ''b''1)和(''a''2, ''b''2)是兩個有序對。則有序對的特征或定義性質為：
有序對可以有其他有序對作為投影。所以有序對使得能夠遞歸定義有序''n''-元組（''n''項的列表）。例如，有序三元組 (''a,b,c'')可以定義為(''a'', (''b,c''))，一個對嵌入了另一個對。這種方法也反映在計算機編程語言中，就是從嵌套的有序對構造元素的列表。例如，列表 (1 2 3 4 5)變成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp編程語言使用這種列表作為基本數據結構。
有序對的概念對于定義笛卡爾積和關系是至關重要的。
諾伯特·維納在1914年提議了有序對的第一個集合論定義：
他注意到這個定義將允許《數學原理》中所有類型只透過集合便能表達。（在《數學原理》中，所有元數的關系都是原始概念。）
在公理化集合論中，有序對(''a'',''b'')通常定義為庫拉托夫斯基對：
陳述“''x''是有序對''p''的第一個元素”可以公式化為
而陳述“''x''是''p''的第二個元素”為
注意這個定義對于有序對''p'' = (''x'',''x'') = { {''x''}, {''x'',''x''} } = { {''x''}, {''x''} } = { {''x''} }仍是有效的；在這種情況下陳述(? ''Y''1 ∈ ''p'', ? ''Y''2 ∈ ''p'' : ''Y''1 ≠ ''Y''2 → (''x''  ''Y''1 ∨ ''x''  ''Y''2))顯然是真的，因為不會有''Y''1 ≠ ''Y''2的情況。
上述有序對的定義是“充足”的，在它滿足有序對必須有的特征性質（也就是：如果(''a'',''b'')=(''x'',''y'')則''a''=''x''且''b''=''y''）的意義上，但也是任意性的，因為有很多其他定義也是不更加復雜并且也是充足的。例如下列可能的定義
# (''a'',''b'')reverse:= { {''b''}, {''a'',''b''} }
# (''a'',''b'')short:= { ''a'', {''a'',''b''} }
# (''a'', ''b'')01:= { {0,''a''}, {1,''b''} }
“逆”（reverse）對基本不使用，因為它比通用的Kuratowski對沒有明顯的優點（或缺點）。“短”（short）對有一個缺點，它的特征性質的證明會比Kuratowski對的證明更加復雜（要使用正規公理）；此外，因為在集合論中數2有時定義為集合{ 0, 1 } = { {}, {0} }，這將意味著2是對 (0,0)short。
Kuratowski對：
證明：(''a,b'')K = (''c,d'')K當且僅當''a''=''c''且''b''=''d''。
''僅當：''
:如果''a''=''b''，則 (''a,b'')K =  = { {''a''} }，且 (''c,d'')K =  = { {''a''} }。所以{''c''} = {''a''} = {''c,d''}，或''c=d=a=b''。
:如果''a''≠''b''，則 = 。
::如果{''c,d''} = {''a''}，則''c=d=a''或 =  =  = { {''a''} }。但這樣就會等於，繼而''b = a''，跟先前的假設矛盾。
::如果{''c''} = {''a,b''}，則''a=b=c''，這矛盾于''a''≠''b''。所以{''c''} = {''a''}，即''c=a''，且{''c,d''} = {''a,b''}。
::并且如果''d=a''，則{''c,d''} = {''a,a''} = {''a''}≠{''a,b''}。所以''d=b''。
:所以同樣有''a=c''且''b=d''。
''當：''
:反過來，如果''a=c''并且''b=d''，則顯然 = 。所以 (''a,b'')K = (''c,d'')K。
(''a,b'')reverse =  =  = (''b,a'')K。
:如果 (''a,b'')reverse = (''c,d'')reverse，則 (''b,a'')K = (''d,c'')K。所以''b=d''且''a=c''。
:反過來，如果''a=c''和''b=d''，則顯然 = 。所以 (''a,b'')reverse = (''c,d'')reverse。
Rosser（1953年）擴展了蒯因的有序對定義。Quine-Rosser的定義要求自然數的先決定義。設是自然數的集合，是在內的相對差集，並定義：
φ(''x'')包含在''x''中所有自然數的后繼，和''x''中的所有非數成員。特別是，φ(''x'')不包含數0，所以對于任何集合''A''和''B''，。
以下是有序對 (''A'',''B'')的定義：
提取這個對中那些不包含0的所有元素，然後再還原的作用，就得出了''A''。類似的，''B''可以通過提取這個對的包含0的所有元素來復原。
有序對的這個定義有個顯著的優點。在類型論和從類型論派生出的集合論如新基礎中，這個對與它的投影有相同的類型（所以術語叫做“類型齊平”有序對）。因此一個函數（定義為有序對的集合），有只比序對的投影的類型高1的類型。對蒯因集合論中有序對的廣泛的討論請參見Holmes (1998)。
Morse（1965年）提出的Morse-Kelley集合論可以自由的使用真類。Morse定義有序對的方法，使得它的投影可以是真類或者集合。（Kuratowski定義不允許這樣）。它首先像Kuratowski的方式那樣，定義投影為集合的有序對。接著，他''重定義''對 (''x'',''y'')為
這里的笛卡爾積是指由Kuratowski對組成的集合並且
這便允許了定義以真類為投影的有序對。
金屬基復合材料（Metal Matrix Composite，MMC）一般是以金屬或合金為連續相而顆粒，晶須或纖維形式的第二相組成的復合材料。目前其制備和加工比較困難，成本相對較高，常用在航天航空和軍事工業上。現在復合材料生產加工技術已經相對比較成熟，民用，商用領域均有使用。
*  Assessment of Metal Matrix Composites for Innovations
*  Space application of MMCs
*  Metal Matrix Composites
等價關係也稱為同值關係即設是某個集合上的一個二元關系。若滿足以下條件：
# 自反性：
# 對稱性：
# 傳遞性：
則稱是一個定義在上的等價關系。習慣上會把等價關係的符號由改寫為。
例如，設，定義上的關系如下：
其中叫做與模3 同餘，即除以3的餘數與除以3的餘數相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不難驗證為上的等價關系。
并非所有的二元關係都是等價關係。一個簡單的反例是比較兩個數中哪個較大：
* 沒有自反性：任何一個數不能比自身為較大
* 沒有對稱性：如果，就肯定不能有
* 實數之間的"≥"關系滿足自反性和傳遞性，但不滿足對稱性。例如，7 ≥ 5 無法推出 5 ≥ 7。它是一種全序關系。
*Brown, Ronald, 2006. '' Topology and Groupoids.'' Booksurge LLC. .
*Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., ''Symmetries in Physics: Philosophical Reflections''. Cambridge Univ. Press: 422-433.
* and Crawley, Peter, 1973. ''Algebraic Theory of Lattices''. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
*Higgins, P.J., 1971. '' Categories and groupoids.'' Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
*, 1973. ''A Treatise on Time and Space''. London: Methuen. Section 31.
*Rosen, Joseph (2008) ''Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry''. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.