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*  The 12 golden notes of music
*  Chromatic Scale - Analysis
M理論是物理學中將各種相容形式的超弦理論統一起來的理論。此理論最早由美國數學物理學家愛德華·威滕於1995年春季在南加州大學舉行的一次弦理論會議中提出。威滕的報告牽起了一股研究弦理論的熱潮，被稱為。
弦理論學者在威滕的報告之前已經識別出五種不同的超弦理論。儘管這些理論看上去似乎非常不一樣，但多位物理學家的研究指出這些理論有著微妙且有意義的關係。特別而言，物理學家發現這些看起來相異的理論其實可以透過兩種分別稱為S對偶和T對偶的數學變換所統合。威滕的猜想有一部份是基於這些對偶的存在，另有一部份則是基於弦理論與11維超重力場論的關係。
儘管尚未發現M理論的完整表述，這種理論應該能夠描述叫膜的二維及五維物體，而且也應該能描述低能量下的11維超引力。現今表述M理論的嘗試一般都是基於矩陣理論或AdS/CFT對偶。威滕表示根據個人喜好M應該代表Magic（魔術理論）、Mystery（神秘理論）或Membrane（膜理論），但應該要等到理論更基礎的表述出現後才能決定這個命名的真正意義。
有關M理論數學架構的研究已經在物理和數學領域產生了多個重要的理論成果。弦理論學界推測，M理論有可能為研發統合所有自然基本力的統一理論提供理論框架。當嘗試把M理論與實驗聯繫起來時，弦理論學者一般會專注於使用額外維度緊緻化來建構人們所處的四維世界候選模型，但是到目前為止，物理學界還未能證實這些模型是否能產生出人們所能觀測到（例如在大型強子對撞機中）的物理現象。
開弦與閉弦。
現代物理學中一個最深層問題就是量子引力。現在對引力的理解是來自阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對論，是經典物理學框架內的表述。然而，非引力的力則是由量子物理學的框架所描述，這是一套完全不同的表述，用於描述基於概率的物理現象。為了使廣義相對論與量子力學原則一致，因此需要一套引力的量子理論，但當使用量子理論的平常方式去描述引力時就出現了難題。
弦理論是一種嘗試使引力與量子力學一致的理論框架。粒子物理學的類點粒子在弦理論中被一種叫弦的一維物體所取代。弦理論描述弦是如何在空間中傳播及與其他弦之間的相互作用。在某一個形式的弦理論中只會有一種弦，看起來可能像普通線的線圈或線段，而且能夠以不同的方式振動。一根弦在比弦尺度大得多的距離下看起來就像是普通粒子，而其質量、電荷及其他性質則視乎弦的振動態而定。就這樣所有不同的基本粒子都可以被視為振動的弦。弦的其中一個振動態產生引力子，它是一種承載引力的量子力學粒子。
弦理論共有多個形式：I型、IIA型及IIB型，還有雜交弦理論的兩味（和）。這些不同的弦理論讓不同型的弦及低能量時所產生的粒子出現不同的對稱性。比方說，I型理論包括開弦（有末端的段）和閉弦（形成密閉的圈），但IIA和IIB型則只包括閉弦。這五種理論中的每一種都是由M理論不同的特殊極限個案所產生的。這種理論與它的前身弦理論一樣，是引力的量子理論的一個例子。它用量子力學的規則描述了一種像人們所熟悉的引力那樣的力。
緊緻化的例子：其中一維捲曲成圓環狀的二維表面在遠距離下看起來就像是一維的。
人們在日常生活中有熟悉的空間三維：長、寬和高。愛因斯坦的廣義相對論把時間視作於空間三維同等的維度；時間和空間在廣義相對論并不是分開的實體，而是統合成了四維時空。引力現象在這個框架下被視為時空幾何的后果。
儘管四維時空能很好地描述宇宙，但是物理學家還是有多個理由去研究其他的維度。一些個案中的不同維度數時空模型在數學上比較容易處理，而且能夠更好地進行計算和更容易瞭解整個模型。在凝聚態物理學中也有二維或三維時空能有用地描述現象的情況。最后還有實際上可以超過四維的情況，不過此時額外維度則需要避過觀測。
弦理論和M理論的一個顯著特徵就是需要額外的時空維度，以清除在數學上的矛盾。弦理論中的時空是10維的，而M理論的時空則為11維。為了使用這些理論來描述真實的物理現象，就必需想像這些額外維度不會被實驗觀測到的情況。
緊緻化是物理理論中一種修改維度數的方法。緊緻化假設一些額外維度被“捲曲”成圓環狀。在這些被捲起的時空趨向於非常小的極限時，就能得有效時空維度數較低的理論。緊緻化可以通過考慮多維物件來解釋，如橡膠水管。如果從足夠距離外看橡膠水管的話，它看起來就只有一維，就是長度。然而，向水管靠近的話，就會發現它的第二維圓周。因此在橡膠水管表面爬行的螞蟻能以二維方式移動。
弦理論對偶示意圖。黃箭頭代表S對偶。而藍箭頭則代表T對偶。M理論可以通過與這些對偶的組合來得出五種理論中任一種的等效理論。
從M理論不同極限所得出的理論之間實際上有著非常有意義的關係。這些不同的物理理論間其中一個能夠存在的關係叫S對偶。一套理論中的一強相互作用粒子集，在某些個案下可被視為另一套完全不同理論中的一弱相互作用粒子集，這樣的一種關係就是S對偶。籠統地來說，強相互作用粒子有著頻密的結合和衰變，而弱相互作用粒子則并不經常。結果是I型弦理論在S對偶下與雜交弦理論等效。而IIB型弦理論也類似地以S對偶與自身有意義地聯繫著。
而不同弦理論間的另一種關係就是T對偶。這里要考慮的是在圓環狀額外維度中傳播的弦。T對偶中在半徑為的圓環中傳播的弦與在半徑為中環狀中傳播的弦等效，即是說一種描述中的所有可觀測量在對偶描述中都有對應量。例如，弦在圓環中傳播時是有動量的，而它可以環繞圓環超過一次。弦環繞圓環的次數叫卷繞數。若一描述中弦的動量為，卷繞數為，則在對偶描述中它的動量為，卷繞數為。例如，IIA型弦理論在T對偶下與IIB型等效，而雜交弦理論的兩個形式也是由T對偶所聯繫。
“對偶”這個詞一般來說指的是兩個看起來不一樣的的物理系統原來是有意義的等效系統。若兩種理論由對偶所聯繫的話，則是指一種理論可以通過某些方式變換成與另一種理論看起來一樣的理論。這樣就可以說兩種理論在變換下互為對偶。換句話來說，兩種理論是同一現象的數學上不同的描述而已。
另一種對M理論起到作用的重要物理概念就是超對稱。這是一種存在於某些理論中的數學關係，是聯繫一種叫玻色子的粒子和另一種叫費米子的粒子的。籠統地來說，費米子是構成物質的，而玻色子則是傳遞相互作用的。在擁有超對稱性的理論中，每一種玻色子都有對應的費米子，反之亦然。將超對稱性作為局部對稱時，所得的量子力學理論會自動包括引力。這樣的理論叫超引力理論。
加入了超對稱概念的弦理論叫超弦理論。超弦理論有數種不同的形式，全部都歸入了M理論的框架。超弦理論在低能量時可用10維時空的超引力估算。類似地，M理論在低能量時則可用11維時空的超引力估算。
在弦理論及如超引力理論的相關理論中，膜是一種將點的概念推廣到更高維度的物體。比方說，點粒子可被視為零維上的膜，而弦則可被視為一維上的膜。同時，亦可考慮更高維的膜。它們在維時就叫膜。膜是動力學物體，因此它們能按照量子力學的規則在時空中傳播。它們能夠擁有質量及其他屬性，例如電荷。膜所掃出的維體積叫“世界體積”。物理學家很多時候會研究與電磁場相似的場，而電磁場就是膜的世界體積內活動。“膜”一詞（brane）是源自於二維的膜（membrane）。
在弦理論中產生基本粒子的基礎物體為一維弦。儘管現時對M理論所描述的物理現象仍不是很瞭解，但是物理學家知道M理論所描述的是二維膜與五維膜。現時對M理論的絕大部份研究都是在嘗試能更好地理解這些膜的性質。
包括阿爾伯特·愛因斯坦和赫爾曼·閔可夫斯基在內的物理學家和數學家在二十世紀初期開拓出使用四維幾何來描述物理世界的手段。這些研究的頂點就是愛因斯坦的廣義相對論表述，把引力與四維時空的幾何聯繫起來。
廣義相對論的成功使得研究人員著手研究用更高的維度幾何來解釋其他力。西奧多·卡魯扎於1919年的研究指出，在五維時空中電磁力與引力會統合成一種力。這項研究後來被奧斯卡·克萊因改進，並指出卡魯扎提出的額外維度能夠以半徑為公分的環狀形式存在。
不論是卡魯扎-克萊因理論還是愛因斯坦後來的嘗試，統一場論的開發從沒有完全成功過。失敗原因的其中一部份是因為克魯扎-克萊因理論預測了一種從未見過的粒子，而另一部份則是它不能正確預測電子的質量電荷比。而且開發這些理論的時候，其他物理學家才開始發現量子力學，也就是最終能成功描述像電磁力的已知力的理論，還有到二十世紀中期才被發現的新核力。因此幾乎過了五十年，物理學界才重新認真對待額外維度。
愛德華·威滕於1980年代對理解超引力理論作出了貢獻。他在1995年提出了M理論，啟動了。
新的概念和數學工具為廣義相對論帶來新鮮的見解，亦為1960至70年代帶來了現在被稱為的光景。物理學家在1970年代中開始研究將廣義相對論與超對稱的高維度理論，也就是所謂的超引力理論。
廣義相對論並沒有為時空可行的維度數設置極限。雖然它一般是用四維空間表述，但是要以同樣的方程式寫下任何維度數的引力場也是可能的。由於超引力理論為維度數設置了上限，因此限制較多。維爾納·納姆於1978年的研究證明了具一致性的超對稱理論的時空維度上限為11維。巴黎高等師範學校的、和於同年證明了超引力不但允許最高11維，而且實際上維數最多時理論才是最優雅的。
不少物理學家最初希望透過緊緻化11維超引力，來使得建構四維世界的擬真模型變得可行。他們希望這種模型能為自然的四種基本力提供統一的描述，這四種基本力是電磁力、強和弱核力，以及引力。物理學界對11維超引力的興趣很快就因為發現了各種問題而衰減。其中一個問題就是物理定律看起來像是會分辨順時針及逆時針方向，這個現象又叫手徵性。愛德華·威滕與其他研究者發現緊緻化11維並不能輕易地導出手徵性。
由於弦理論能夠統合粒子物理學與量子引力，因此不少物理學家在1984年的期間都轉而研究弦理論。弦理論與超引力理論不同的是，它能夠容納標準模型的手徵性，同時又能得出與量子效應一致的引力理論。另一個讓物理學家們在1980至90年代對弦理論趨之若鶩的原因就是弦理論具有的高度唯一性。普通的粒子理論要考慮任何的粒子集時，就只需使用能描述該粒子集經典行徑的任意拉格朗日量。而弦理論的可能性就窄得多了：截至1990年代為止，弦理論只有五種相容的形式。
儘管相容的弦理論種類一隻手能數完，但是為甚麼不是只有一種相容表述仍然是一個謎。然而，當物理學家開始更仔細地檢驗這些理論時，他們發現這些理論的聯繫方式是既微妙又有意義的。
克勞斯·蒙托寧（Claus Montonen）與大衛·奧利夫於1970年代末為一些物理理論假設了一個屬性。這個假設的深度形式所考慮的是，它所描述的是夸克和膠子相近的粒子，而原子核就是由夸克和膠子所組成的。此理論中粒子間相互作用的強度由一個叫耦合常數的數所量度。蒙托寧與奧利夫的結果（也就是現在的）說明了耦合常數為的超對稱楊米爾斯理論與耦合常數為的同樣理論等效。也就是說，一個強相互作用的粒子系統（耦合常數大）在一個弱相互作用的粒子系統（耦合常數小）中有等效描述，反之亦然。
幾位物理學家在1990年代將蒙托寧-奧利夫對偶推廣成聯繫不同弦理論的S對偶。曾以四維雜交弦為背景來研究S對偶。與成功證明了大耦合常數的IIB型弦理論與小耦合常數的同樣理論在S對偶下是等效的。理論物理學家們還發現了不同的弦理論是可以用T對偶來聯繫的。這種對偶意味著在不同時空幾何下傳播的弦可能在物理學上是等效的。
弦理論延伸了普通的粒子物理學，它將零維的點粒子提升成一維的物體——弦。因此理論物理學家在1980年代末期就很自然地研究起用二維的或更高維度的膜來取代粒子。這些物體早在1962年就已被保羅·狄拉克研究過，到了1980年代再有一群為數不多的熱心物理學家重新研究它們。
超對稱嚴重地限制了膜維度的可能數。埃里克·伯格雪夫（Eric Bergshoeff）、埃爾金·塞茲金（Ergin Sezgin）及保羅·唐森德於1987年證明了十一維的超引力能容納二維的膜。這些物體在直覺上看起來就像在十一維時空中傳播的紙張或薄膜。、保羅·賀維（Paul Howe）、稻見武夫及凱洛格·斯蒂爾（Kellogg Steele）在這項發現後不久就研究了十一維其中一維捲成環狀的緊致化情況。在這個設定中可以設想薄膜包住環狀維度。若環狀的半徑足夠小的話，則此膜看起來就跟十維時空的弦一樣。達夫與他的研究夥伴實際上亦證明了這種構造所得出的正是IIA型超弦理論的弦。
安德魯·施特羅明格於1990年發表了相近的結果，指出使用5維的弱相互作用膜來描述10維的強相互作用弦可能可行。物理學家在剛開始時並不能證明這項關係，原因有二。一方面蒙托寧-奧利夫對偶當時仍待證明，另一方面5維膜的量子特性當時在技術上仍然存在不少疑問。上述兩項難題的第一項由於1993年解決，他確立了某些物理理論需要同時帶電荷和磁荷的物體方能成立，正如蒙托寧和奧利夫在研究中預測的那樣。
儘管研究取得了這樣的進展，弦與5維膜的間的關係依然是一項假說，這是因為物理學家仍未成功將膜量子化。邁克爾·達夫、拉姆茲·胡里（Ramzi Khuri）、盧建新、魯本·米納西安（Ruben Minasian）和他們的研究團隊從1991年開始研究弦理論的一種特殊緊殊化，它將10維中的4維捲起來。如果只考慮包圍這些額外維度的5維膜的話，則那膜就正如1維弦一樣。於是這樣的話就能將之前弦與膜間的假說關係簡化成弦與弦之間的關係，而後者可被用於測試已經確立的理論技巧。
M理論、五種超弦理論與11維超引力之間關係的示意圖。陰影部份代表M理論中可行的一系列不同的物理情況。在以圖中尖端代表的某些極限個案中，可以使用圖中標記的六種理論中的其中一種來描述其物理。
普林斯頓高等研究院的愛德華·威滕在南加州大學1995年的弦理論研討會中講話時，提出了一套出人意表的理論，就是全部五種超弦理論實際上都是一種11維時空理論的不同極限個案。威滕的報告將之前關於S對偶、T對偶和弦理論含有二維和五維膜的全部研究成果都綁在一起了。互聯網在威滕報告後的數月內出現了數以百計的新論文，確認了膜在新理論中是有著重要角色的。今日這股研究熱潮被稱為。
在威滕報告後其中一項重要的發展就是1996年威滕與弦理論家合作的研究。威滕與霍扎瓦使用了兩個10維邊界的分量來研究特殊時空幾何上的M理論。他們的研究為M理論的數學架構提供了線索，同時亦建議了如何把M理論與真實世界的物理聯繫起來。
一些物理學家最初指出新理論是膜的基本理論，但是威滕對理論中膜的角色存疑。霍扎瓦與威滕在1996年的一篇論文中寫道：
在沒有理解M理論的真正意義和架構的情況下，威滕提議根據個人口味M應該代表Magic（魔術理論）、Mystery（神秘理論）或Membrane（膜理論），而這個命名的真正意義要等到理論更基礎的表述出現後才能下決定。
矩陣在數學上是數字或其他數據的矩形陣列。在物理學上就是將矩陣標記用在數學表述中重要地方的某種物理理論。矩陣模型描述了在量子力學框架下一組矩陣的性質。
矩陣理論的一個重要例子就是由湯姆·班克斯、、和李奧納特·蘇士侃於1997年所提出的BFSS矩陣理論。這套理論描述了一組9個大型矩陣的性質。他們在論文中除了展示其他證明，還成功證明了11維超重力描述了這套矩陣理論的低能量極限。這些計算引導了他們提出BFSS矩陣理論與M理論完全等價。因此可以使用BFSS矩陣理論作為正確M理論表述的原型，以及在相對簡單的設定下研究M理論特性的工具。
在幾何學中引入座標一般都是有用的。例如，為了研究歐幾里得平面上的幾何，可以把平面上的所有點與一對軸之間的距離定義為坐標和。由於點的坐標在普通幾何中是一對數字，因此可以把它們相乘，而兩個座標的相乘結果並不取決於相乘的順序。那就是。乘法的這種性質叫交換律，而幾何學與坐標的交換代數這個關係是大部份現代幾何學的起點。
非交換幾何學是一門嘗試歸納這個情況的數學分科。這門學科改為考慮乘法不遵從交換律的數字相近物件（也就是說不一定等於的物件），例如矩陣，而不使用普通數字。這門學科的研究者想像這些非交換物件是一些更通用化“空間”概念中的坐標，然後利用與普通幾何學間的對比來證明這些通用空間中的定理。
阿蘭·科納、和在1998年發表的論文中指出矩陣理論的某些方面是由所描述，那套特殊理論中的空間坐標是不符合交換性質的。它一方面確立了矩陣理論和M理論之間的聯繫，另一方面也確立了矩陣理論和非交換幾何學的聯繫。這很快就導致了非交換幾何學和其他各種物理理論間的重要聯繫相繼被發現。
雙曲平面上組成的鑲嵌。
一些物體具有時間空間範圍，如電磁場等，而應用在這些物體上的量子力學就是量子場論。量子場論是粒子物理學研究基本粒子的基礎理論，而其中這些粒子是由基本場的激發所描述。而凝聚態物理學也會使用量子場論來模擬類似於粒子的準粒子。
物理學家們可以透過反德西特/共形場論（AdS/CFT）對偶來表述M理論及研究其性質。AdS/CFT對偶由胡安·馬爾達西那於1997年末提出，這項理論結果意味著在某些個案中M理論是等同於一種量子場論。AdS/CFT對偶除了為數學家和物理學家就弦和M理論的數學結構提供了啟發之外，它還為解決在傳統計算技巧無效區間中的量子場論提供了多方面的線索。
在AdS/CFT對偶中，時空的幾何是由愛因斯坦場方程中某些叫反德西特空間的所描述。非常基本地來說，反德西特空間是一個數學模型，其中點與點間的距離概念（度規），與日常歐幾里德幾何中的距離概念不一樣。反德西特空間與有著密切的關係，而雙曲空間可用左圖的圓盤表示。左圖為由三角形和正方形所組成的密鋪。用某種方式可以為點間的距離下定義，使得所有三角形和正方形都是一樣大小的，並且圓周的外邊界與其內部任一點的距離為無限。
三維的反德西特空間就像是一疊雙曲圓盤，每一片圓盤代表某時間的宇宙態。可以使用這樣的時空來研究各種量子引力理論，例如M理論。
現在想像一疊雙曲圓盤，其中每一片圓盤代表某時間的宇宙態。而由此形成的幾何物體就是反德西特空間。它看起來像實心的圓柱體，其中每一片截面都是雙曲圓盤。右圖中時間以垂直方向行進。這圓柱體的表面在對偶中有著重要的角色。反德西特空間跟雙曲圓盤一樣，它的彎曲方式使得內部任何一點與邊界面的距離為無限遠。
這樣的結構雖然描述了只有二維空間加一維時間的假想宇宙，但還是可推廣至適用於任何維數。雙曲空間實際上是可以超過二維的，把這些雙曲空間“疊起來”就能形成反德特空間的高維度模型。
反德西特空間的重要特點在於其邊界（三維德西特空間的邊界看起來像圓柱體）。這種邊界有一個特性，就是在任何點的局部範圍都和閔考斯基時空很像，而閔考斯基時空就是非重力物理所用的時空模型。因此可以構建一套“時空”由反德西特空間邊界提供的輔助理論。而這項觀察正是對偶的起點，因為對偶把反德西特空間的邊界視為共形場論的“時空”。對偶主張共形場論相等於反德西特空間主體的重力理論，也就是說兩者可以像有“字典”的那樣將計算互相翻譯。一套理論中的每一件實體在另一套理論中都有對應的實體。比方說，重力理論中的單一粒子可能對應邊界理論中的某粒子集。此外，兩套理論的量化預測也是一致的，例如說重力理論中兩個粒子碰撞的概率是40%，那麼共形場論的對應粒子集碰撞概率也會是40%。
(2,0)理論可用於理解紐結理論的結果。
AdS/CFT對偶其中一項特別的實踐指出，積空間上的M理論等同於6維邊界上所謂的(2,0)理論。這裏“(2,0)”指的是理論中出現的特定超對稱。在這個例子中，重力理論的時空實際上為7維（因此標記為），以及額外4維的“緊緻”維度（由表示）。由於時空在現實世界中是4維的，最少在宏觀上是這樣的，因此對偶的這個形式並不能作為重力的現實模型。同樣道理，由於對偶另一邊的理論所描述的是6維世界，因此不能作為任何現實世界系統的可行模型。
然而，物理學家們已經證實(2,0)理論對研究量子場論的一般性質有重要作用。這套理論確實包括了不少數學上有趣的有效場論，而且引出了聯繫這些場論的新對偶。例如，路易斯·阿爾達伊（Luis Alday）、和立川裕二（Yuji Tachikawa）證明了把曲面上理論緊緻化後，得出的是一種4維量子場論，而且還找到一種聯繫這套理論的物理和某些與曲面本身有關的物理概念的對偶，叫。理論學者們最近把這些概念開拓至研究以緊緻化降至3維的理論。
(2,0)理論除了在量子場論的應用之外，它還在純粹數學中衍生出重要結果。例如，威滕使用(2,0)理論的存在性來為數學中一種叫幾何朗蘭茲綱領的假想關係作出“物理”解釋。威滕在後續的研究中證明了(2,0)理論可用於理解一種叫的數學概念。霍瓦諾夫同調由於2000年前後開發，是紐結理論的工具，紐結理論是研究各種不同紐結形狀並將之分類的數學分科。數學上(2,0)理論的另一種應用則是大衛·格約托、和安德魯·奈茨克（Andrew Neitzke）的研究，使用物理概念來推導出內的新成果。
AdS/CFT對稱的另一項實踐，就是指出等同於3維上一種叫ABJM理論的量子場論。在這個形式的對偶中，M理論中其中7維捲了起來，餘下非緊緻化的4維。由於人們所處的宇宙的時空為4維，所以這個形式的對偶給出了某程度上較真實的重力描述。
在這個形式的對偶中出現的ABJM理論還有其他各種有趣的理由。由奧弗爾·阿哈羅尼（Ofer Aharony）、奧朗·伯格曼（Oren Bergman）、丹尼爾·賈弗里斯（Daniel Jafferis）和胡安·馬爾達西那開拓的ABJM理論，與另一種量子場論
陳-西蒙斯理論有著密切的關係。後者因其與紐結理論而被威滕於1980年末推廣開來。除此之外，ABJM理論還被用於解決凝聚態物理學難題用的半現實模型。
卡拉比-丘流形的截面。
M理論除了是一門吸引了巨大研究興趣的理論學科，還為真實世界物理模型的構築提供了結合廣義相對論和粒子物理學標準模型的框架。唯象學是物理學家利用較理論化的概念來構建真實自然模型的理論物理學分科。而弦唯象學則是弦理論中嘗試構建出基於弦和M理論的現實粒子物理模型的部份。
這些模型一般都是基於緊緻化。物理學家們以弦或M理論的10或11維空間為出發點，假定出額外維度的形狀。他們能透過所選取的大概形狀，構建出與粒子物理學標準模型粗略相近的模型，模型裏面還包括著未被發現的粒子，這些粒子一般都是與已知類似的粒子的超對稱伴子。其中一種從弦理論中推導出現實物理的常用方法就是以10維雜交理論為起點，並假設其6維額外維度的形狀類似於6維的卡拉比-丘流形。它是一種特殊的幾何形體，以數學家和丘成桐命名。卡拉比-丘流形為從弦理論中提取現實物理提供了不少途徑。其他相近的方法可用於以M理論來構建出能某程度重現4維世界物理的模型。
一方面是因為理論和數學上的難點，而另一方面則是因為測試這些理論所需的實驗溫度極高（比可預見的將來中技術上可行的還要高），所以現時並沒有實驗證據能一致地指出這些模型中的任一種是自然基礎的正確描述。因此引起了社群中的一部份人批評這種統一手法，以及質疑繼續研究這種難題的價值。
理論學者研究弦唯象學的另一手法，就是假設M理論7維額外維度的形狀與相似。這是一種由牛津大學數學家所構建的特殊7維形體。由於現時在數學上對流形的理解仍然很有限，因此物理學家要充份地開發這種弦唯象學的手法很有難度。
比方說，數學家和物理學家常常對空間假設一項叫“光滑”的數學特性，但如果想從流形中得出4維世界的物理就不能假設這特性存在。另一個難題就是流形並不是複流形，因此物理學家在此不能使用數學分科複分析的工具。還有決定性的難題是流形在存在性、唯一性和性質上都有不少的未決問題，而且數學家還沒有一套對這種流形的系統性搜尋方式。
由於流形有著不少的難點，因此嘗試以M理論來構建現實物理理論時，主要都是用11維時空緊緻化這種較直接的方式。威滕、霍扎瓦、及其他研究者開發了一種叫雜M交理論的方法。這個方法把M理論11維中的其中1維想像成環狀。若環狀很小的話，則時空實際上變成了10維。然後就可以假設10維中的6維形成了卡拉比-丘流形。若這個卡拉比-丘流形也被視為微小的話，則所得的理論為4維。
雜交M理論已被用於構建膜宇宙學的模型，其中可觀測宇宙被視為存在於高維度環繞空間的一張膜上。它還衍生出不需要依賴宇宙暴漲理論的另類早期宇宙理論。
*  Superstringtheory.com &nbsp;– The "Official String Theory Web Site", created by Patricia Schwarz. References on string theory and M-theory for the layperson and expert.
*  Not Even Wrong &nbsp;– Peter Woit's blog on physics in general, and string theory in particular.
*  bbc-horizon: parallel-uni &nbsp;– 2002 feature documentary by BBC Horizon, episode Parallel Universes focus on history and emergence of M-theory, and scientists involved.
*  pbs.org-nova: elegant-uni &nbsp;– 2003 Emmy Award-winning, three-hour miniseries by Nova with Brian Greene, adapted from his The Elegant Universe (original PBS broadcast dates: October 28, 8–10 p.m. and November 4, 8–9 p.m., 2003).
C大調音階的音程組織模式
上行和下行的半音音階 半音音階
音階在音樂理論中，一個音階是按照泛音列或音高排列，並因其規律形成循環的一系列音符。一個音階中的音符按照音高的上升而排列便是上行音階，若音符按照音高的下降而排列則是下行音階。
在巴洛克至浪漫主義時期（common practice period）的背景下，大部分甚至全部的音樂作品的旋律與和聲都是建筑在單獨一個音階的音符上的，即一貫地使用大調或小調音階中的音（并不是刻板的堅持一貫，而是總體上一貫使用，該音階以外的音可能也偶爾出現），可以在五線譜開始處用調號標記出樂曲所使用的音階。
由于使用同等的八度原則，音階通常以一個八度排列，而排列更高的八度和更低的八度只是重復這一模式。表示一個音樂音階將一個八度分割成一定數量的步數，而一步即是兩個音符之間可以識別的距離（或者說音程，兩個音之間的音高距離）。 無論如何，音階中并不會出現同度音程，特別是在微分音音程中。
透過每一步音程距離的組合，可以把音階分成不同的類型。例如，半音音階的每一步音程距離都是半音音程，而大調音階的音程模式則為：全音-全音-半音-全音-全音-全音-半音（一個全音等于兩個半音）；小調音階的音程模式則是：全音-半音-全音-全音-半音-全音-全音。基于各自所使用的音程模式，音階又可分為大調音階、小調音階、全音音階，半音音階等等。
一個指定的音階，是由其特有的音程模式和音階中被稱為主音或稱第一音級的指定音所定義。所謂的主音就是音階中的第一個音，并且所采用的音程模式從這個音開始。通常，一個音階的名稱由它的音程模式和主音決定。例如，所謂C大調指的是用大調音階的音程模式，並以C音（Do）為主音。
音階用于建構音樂，因為音階具有隨意性，所以音階的種類幾乎無限多。任何的文化或音樂傳統都有其慣用的音階，透過一首樂曲的音階就可能顯示出其文化背景，甚至整個文化的曲調系統。例如，中國、蘇格蘭以及其他一些國家普遍應用五聲音階，事實上五聲音階是使用最為廣泛的音階。五聲音階常見的的音程排列次序有：C-D-E-G-A-C。
西方藝術音樂基本上使用起源于古希臘音樂理論的自然音排列的七聲音階，即所謂調式音階。在中世紀及文藝復興時期時有12種音程排列方式，每種排列方式的全音和半音所處的位置不同，即12種調式，除了來自希臘人的7種調式外，其余6種與宗教音樂關系密切。當和聲在音樂中的地位日益重要時，調式體系趨于瓦解，而被認為最適合應用于和聲的兩個調式則保留至今日，即是今日我們所使用的大調音階和小調音階。
在未開化民族和有古老文化的民族中都可以找到最簡單的音階，而最復雜的音階則存在于最先進的文化之中。與較落后的文化相比而言，較發達的文化中，音階被作曲家與演奏者作為一種規則，而且對于運用音階的規則與傳統也比較明確，同時音階也被用作音樂的描述與分析的手段。復雜的音階運用體系存在于許多民族之中，盡管許多國家之間音樂的風格差異很大，但就音階在其中發揮的作用而言卻有一些相似的地方。
各音高以半音的距離所排列而成的音列。是一種「十二音音階」，但沒有人這樣稱呼。
多用於爵士音樂或現代音樂，以「全音」、「半音」…的規律所構建，當中以能形成減七和弦為其最大特色。
從西周到春秋戰國，隨著音樂的蓬勃發展，中國音階由「宮、商、角、-{徵}-、羽」五聲，加上兩個偏音「變-{徴}-、變宮」，擴展成為七聲音階。以此二偏音為主音的音樂較為剛強激昂，故較少為人使用。此二偏音最主要乃扮演輔助音，如經過音、倚音、鄰音的角色，為襯托五聲之用。
全音音階為較受認識的六聲音階，另外藍調音階以及不少歐洲的民歌均採用不同形式的六聲音階。
於不少的民族音樂中出現，特別是東方音樂，中國、日本等的民歌便是採用了這種音階。印尼甘美蘭音樂中的另一種調式亦是五聲音階，同樣它是將一個八度平分為五個音。
四聲或以下的音階，理論上是存在的，但實際使用上，部份的民族音樂的確有用上四聲音階外，其他的都很少出現。
另外，例如波斯、阿拉伯一帶，以及印度等地方，由於他們有獨特的音律系統，能產生比西方音樂的12個半音－甚至24個微分音更多的音高，相對而言，他們的音階系統變會變得更為複雜。
*  Octave Frequency Sweep, Consonance & Dissonance
*  WolframTones—hear and play musical scales
*  Visual representation of scales from WolframTones
*  Database in .xls and FileMaker formats of all 2048 possible unique scales in 12 tone equal temperament + meantone alternatives.
英德海軍協定是英國和納粹德國于1935年6月18日就兩國海軍軍備力量所簽訂的條約。
條約主要規定：德國海軍艦艇總噸位不超過華盛頓海軍條約和倫敦海軍條約所規定的英聯邦國家海軍艦艇總噸位的35%。在潛艇方面，德國保證，保有的潛艇噸位不超過英聯邦國家海軍潛艇總噸位的45%。
一般認為《英德海軍協定》合法解除了《凡爾賽和約》對德國海軍軍備的限制。
* Hall III, Hines H. "The Foreign Policy-Making Process in Britain, 1934-1935, and the Origins of the Anglo-German Naval Agreement" ''Historical Journal'' (1976) 19#2 pp.&nbsp;477–499  online
扶餘國，古國名，亦作夫餘、鳧臾，由中國東北地區的古老民族扶餘人所建立的國家，亦是中國東北地區第一個有史可考的國家。扶餘國從前2世紀立國到494年東扶餘國被高句麗滅國為止，歷時約700年。前期國都在今吉林省吉林市，后期國都在今吉林省農安縣。扶余國是漢朝的屬國，據《后漢書》記載，扶余國行政區劃隸屬玄菟郡，獻帝時，其王求改屬遼東郡。傳說歷代扶余王故去時，玄菟郡太守都賞以銀鏤玉衣的玉匣為葬具。
朝鮮半島的政權認為扶余人是今天-{zh-hant:韓國;zh-hans:朝鮮}-人的先民之一。部分日本學者的騎馬民族征服王朝說也認為扶余、高句麗可能是日本人的起源。
根據《後漢書》卷85的〈東夷列傳〉：
扶餘的起源地位於今日中國吉林省的松花江流域，遼寧省昌圖縣、洮南市以北，至黑龍江省雙城市以南，皆其國土。今昌圖縣之扶餘城即古扶餘王所居。扶餘最強盛之時，南達高句麗、東達挹婁、西接鮮卑，方圓約二千里（中國三國時代的一里約有今日450米，方圓二千里即約900公里的範圍）。
扶餘最早在史書出現的地方是《史記》，在衛滿朝鮮於前108年被滅國時就已存在。《三國遺事》傳說解夫婁時，宰相阿蘭弗（有「右輔」的意思）假借「天帝」的話而篡位，解夫婁東遷。為分辨這兩個扶餘，史書一般稱前者為「北扶餘」，東遷後的為「東扶餘」（其實東扶餘也是北扶餘，只是金蛙與原北扶餘脫離關係）。至西漢時期，被劃入玄菟郡。漢武帝年，扶-{餘}-開始向漢朝進貢。大武神王殺帶素後扶餘開始衰退，漢順帝永和元年（136年），扶-{餘}-王曾來到洛陽，晉書記載永和二年夫餘為百濟所侵西徙近燕。之後到了三國時代，遼東半島被公孫氏支配。後來扶-{餘}-受到鮮卑的攻擊，慢慢步向衰亡。至晉太康時，為慕容廆所破，旋即復國（扶餘王依慮自殺，子弟亡走沃沮，子依羅後即位）。346年慕容氏又攻擊扶餘（同時兩屬於慕容與高句麗），最後在北魏被勿吉所滅亡。唐薛仁貴征高句麗，嘗攻拔之。渤海國曾經在東扶餘故地建扶餘府，領扶州，仙州，扶州領扶餘，布多，顯義，鵲川四地。金朝置蒲與路（於農安故地置濟州），明朝置福餘衛，皆扶餘之音轉也。夫餘是最早從濊貊中脫離建國的部落。最早的扶餘人受濊貊人統治，後來濊貊人受扶餘統治。
扶餘人曾經有五批入高句麗，第一批是朱蒙離開東夫餘時帶去的，第二批是大武神王殺帶素時，帶素的從弟帶10000人來附，以椽那部置之，賜姓絡氏。第三批是曷思在鴨綠谷自立為王，其孫都頭於公元68年時降高句麗。第四批是廣開土王征服後扶餘時。第五批是公元477年扶餘王降高句麗文咨王時。高句麗的絕奴部由扶餘人構成（包括扶餘王）。
渤海國置扶餘府與鄚頡府，遼代置黃龍府管之，金代時已被當渤海人視之。
北扶餘是扶餘國最初發祥的地域。傳說公元前239年由解慕漱創建北扶餘（公元前239年－公元前58年）。有人認為北扶餘是北夷索離國。建國的人是東明，他逃亡濊人中稱王。
解夫婁王東遷之後，王位由金蛙王和他的兒子帶素王順序繼承。到22年，帶素王與高句麗的大武神王開戰，大武神王攻入東扶餘首都，帶素王被殺，帶素王的三弟曷思帶同殘部退往鴨綠谷（殺當地海頭王），是為曷思王，建國後扶餘（其孫都頭於公元68年降高句麗）。285年，後扶餘再往東逃往沃沮地，即今日中國吉林省的延邊自治州。後來他們被廣開土王侵略，最後被長壽王征服。494年被勿吉擊敗，國王投靠高句麗，後扶餘滅亡。
卒本扶余是北扶余國的一個延續國。前86年，高豆莫（東明王）打敗解夫婁奪到北扶余王位后，將北扶余改名為卒本扶余。卒本扶余在朱蒙繼位時演化成高句麗。但又有考證認為高句麗和扶餘沒有關系，高句麗發源于遼河地區，最初是扶餘的侵略者，后占據扶餘故土。
百濟的聖王在538年遷都之後，將原來的國號改名為南扶餘。百濟王族也姓扶余。
2世紀頃東夷諸國 夫余位置。
4世紀頃東夷諸國 夫余位置。
北扶餘、東扶餘時期，王位以世襲方式傳承，王以下有掌管四-{出}-道的馬加、牛加、豬加、狗加（等同於部落首領）。王和四-{出}-道諸加同樣有大使，大使者、使者（外使者，宮殿使者）等臣僚，而在諸加之下的階級依次為豪民（氏族首領）、下戶（百姓）、奴婢。實施嫡長子繼承制，如長子不肖，由諸加（有參政、議政，決定國家大事的權力）共推嫡次子與庶子為王。有誤時，諸加自戰，下戶（主要由濊人組成）擔糧供應，挹婁也是他們下戶，扶餘分別對他們邑落加以統屬，並向族長收貢品，至三世紀不能再忍受扶餘人苛征（黃初中叛之），扶餘數伐之，而卒不能服。
扶餘律法對犯法者嚴懲。殺人者死，沒其家人為奴、姦淫（不論男女）、忌妒罪（限女子，女家欲得回屍首，輸牛馬）死刑（暴屍於山上），盜竊罪賠償12倍。謀反者先火炙，後斬首，家人為奴。
扶餘以農業和畜牧業為主（狩獵為輔），盛產名馬（駑者善養令肥）、赤玉、大珠，貂皮。社會盛行巫術，也會在戰爭時祭天占卜以預知吉兇。其占卜方式是殺牛而觀其蹄，如果牛蹄併躘即為吉兆。每年殷曆12月，扶餘皆舉行「迎鼓祭」（可能屬秋收祭典，其他穢系民族是十月祭天），人民飲酒歌舞，統治者赦免罪人。扶餘國與其他穢系民族不同，其他穢系民族是農業民族，扶餘國是農牧兼有。扶餘也重視農業，如作物失收，歸咎於國王，要殺或廢（認為王的神聖已失去）。
扶餘人認為人死後靈魂不滅，崇尚厚葬，甚至停靈5個月，以久為榮。王與諸加的葬儀更為講究，例如玉匣為棺、百人殉葬等等。居喪男女穿純白衣（平時也穿白衣），扶餘國早期居豎穴式木材住處，後有宮殿，倉庫與監獄。扶餘人下戶答話時跪地，與中原相似。吃食時用俎豆。
婚俗方面，扶餘社會容許一夫多妻，而且有兄長死，則弟娶嫂為妻的轉房婚風俗。扶餘國善於養馬，被高句麗繼承，朱蒙以善於養馬出名，他那匹馬叫果下馬，高句麗人也善於騎射，四出道中有馬加（扶餘王始祖東明曾被馬所救），象徵扶餘人對馬有圖騰崇拜。
* 《辭源》1951年2月版，第276/4頁
* Just who are the Japanese?Where did they come from, and when?by Jared Diamond
加速度是物理學中的一個物理量，是一個矢量，主要應用于經典物理當中，一般用字母表示，在國際單位制中的單位為米每二次方秒。加速度是速度矢量對于時間的變化率，描述速度的方向和大小變化的快慢。
在經典力學中，牛頓第二定律說明了力和加速度成正比，這定律又稱為「加速度定律」。假設施加於物體的淨外力為零，則加速度為零，速度為常數，由於動量是質量與速度的乘積，所以動量守恆。在電動力學裏，呈加速度運動的帶電粒子會發射電磁輻射。
簡單地說，速度描述了位置是如何變化的，而加速度描述了速度是如何變化的。比如，水平地向前扔出一個物體，起初它的速度朝向正前，然而由於重力它開始在向前的同時向下墜落，即其速度改變了。這里改變物體速度的主要是地球的重力引起的重力加速度。
加速度具有向量性質，即需要用大小和方向同時描述一個加速度。在光滑水平面上向前運動的物體，如果向左或向右施以力，即給予了不同的加速度，則其速度會發生變化（包含了速率及方向），然而向左的加速度和向右的加速度顯然引起了不同的效果。同樣，施力的大小不同，引起的加速度不同，最終的結果也不一樣，亦可以從向量的加成性來看。作為一個矢量，加速度的疊加和分解分別遵循平行四邊形法則和三角形法則。
具體而言，加速度描述的是速度隨時間的變化率。需要注意的是，由于速度也是矢量，因此加速度不為零的物體速度的大小（稱之為速率）也不一定會發生變化，實際上，如果加速度保持與速度垂直，速度大小就一直不會改變，同時方向一直改變。這種情況在生活中最常見的是圓周運動，比如在被拴在一端固定的線的另一端的一個小物體在線保持繃直時做的運動，又比如帶電粒子在僅受靜磁場的洛倫茲力時做的運動。
設質點A呈一維運動，時刻位于處，經過時間后位于處，則定義質點A在時刻的瞬時速度（簡稱速度）為
其中，表示位移對時間的一階導數，在時間-位移圖上表現為求斜率。
首先，定義時刻到時刻之間的平均加速度為
平均加速度粗略地表示了在該段時間內物體速度的變化情況。如果越小，該段時間內速度的波動就越小，描述的速度變化情況也就越精細，從而定義質點A在時刻的瞬時加速度為
三個質點從坐標原點以相同的速度出發，由于分別擁有正、零、負的加速度而導致其位置和關于時間的曲線。
瞬時加速度，簡稱加速度。進而有
在直線運動時，矢量約化為帶符號的標量，其絕對值表示該物理量的大小。速度為正表示向右，速度為負表示向左（二維空間座標中）。加速度與速度方向相同（即符號相同）時表示物體不斷加速，不同則表示物體不斷減速。
右圖畫出了三個質點在從坐標原點以相同的速度出發，由于分別擁有正、零、負的加速度而導致其位置關于時間的曲線。可以將其想象為在光滑桌面上，三個木塊以相同初速度，沿斜面向下、沿水平面、沿斜面向上滑行。
在位移-時間圖上，加速度由曲線的凹凸性表示，加速度為正的部分表現為凸函數，反之為凹函數，亦可以從微分的角度來分析。
用兩次差分表示如何從位移矢量近似地得到加速度矢量，在數學表示中以粗體或是上方標註箭號為向量。
設質點A在空間中運動，原點O指向A的矢量為其矢徑，則可類似定義其速度矢量和加速度矢量為
右圖表現的是一個質點沿一曲線運動的軌跡，表示出了兩次微分的過程，為了清晰表示，這里使用差分（并不趨于0）近似代替了微分，因此表現的是平均速度和平均加速度。可以看出，加速度與速度都具有方向和大小，并且即使在同一時刻兩者方向也不一定相同。加速度與速度方向平行的分量表示速度大小的變化率（相同則加速，相反則減速），而與速度垂直的分量表示速度方向的變化率（速度矢量轉動的角速度）。
在足夠小時，可以將那一小段曲線運動（稱作元弧）近似看作直線運動或圓周運動。
在經典物理下，即速度遠小于光速、研究宏觀物體時，可以使用伽利略變換來研究不同參考系間的加速度的聯系，簡單來說就是座標間的轉換，但仍有保持一定的不變量：
其中，為物體在參考系下的加速度，為物體在參考系下的加速度，為參考系在參考系下的加速度。
考慮站在地面看火車上的人拋出一個小球，這個公式表達：小球相對于地面的加速度，等于小球相對于火車的加速度加上火車相對于地面的加速度。這個式子是矢量表達式，即三個加速度矢量的方向不在同一條直線上時，要使用矢量加法計算。
加速度最主要的應用之一是牛頓第二定律。簡單地說，牛頓第二定律表明，感受到合外力的作用，物體的加速度與合外力成正比，與質量成反比，加速度方向沿合力方向，在國際單位制中表示為
其中表示物體所受合外力，為物體質量，為物體的加速度。
在古典物理下，牛頓第二定律廣泛適用。此外，牛頓第二定律要求所處參考系為慣性參考系。由于經典物理的研究幾乎都會或多或少地涉及到物體在力的作用下的運動，又由于牛頓第二定律和伽利略變換極具簡潔性，所以，牛頓第二定律是經典動力學裏的重要基礎定律，質點運動亦然。
當帶質量物體加速時，慣性是物體維持原有運動狀態的傾向，慣性力是對於這傾向的衡量。因為慣性力實際上並不存在，只有原本將該物體加速的作用力實際存在，因此慣性力又稱為假想力。更具體而言，根據牛頓第二定律，
其中，是第個作用力，是物體的加速度。
重新編排，可以得到
設定慣性向量，這物體的動力系統滿足方程式
想像這慣性向量為由於加速度運動而產生的一種力，稱為慣性力。因為慣性力與所有作用於這物體的外力的向量總和為零，這動力系統可以視為處於動力平衡狀態。藉著這機制，可以將動力系統約化為靜力系統，用靜力學發展出的方法來解析動力問題。
慣性力在平日生活中其實很常見，例如，停止不動的火車突然向前方加速，則所有站立乘客都會向後方傾移，這便是慣性力效應，從另外一個角度而言也是為了提供乘客們有足夠的摩擦力來進行移動。
將位移對于時間進行一階求導得到了速度，二階求導得到了加速度。可能會想到，可以通過進行三階求導來得到一個諸如加加速度的物理量。
在工程學中經常需要用到加加速度，特別是在交通工具設計以及材料等問題。交通工具在加速時將使乘客產生不適感，這種不適感不僅來自于加速度，也與加加速度有關。在這種情況中，加速度反應人體器官在加速度運動時所感受到的力（見牛頓第二定律），加加速度則反應這作用力的變化快慢。較大的加加速度將會使人體產生相當的不適感，例如在電梯升降，汽車、火車等加速和轉彎的過程中（在這些情況中加速度和加加速度的效應一般會同時存在）。人體需要時間適應加速度的變化，假若加加速度超過安全標準，則可能會發生像車禍造成的頸部扭傷（whiplash）一類的人體傷害。因而在設計交通工具時加加速度是必須考慮的因素。
在物理學裏，加加速度現在主要應用在混沌理論領域。
角加速度涉及繞著固定軸轉動的物體，例如，想象一個圓盤和一個垂直固定於其中心的木棍，兩隻手合拍住木棍并前後磨擦，造成木棍與圓盤共同轉動（例如，在地上高速旋轉的陀螺，繞著固定點轉動）。在圓盤上做一個標記（如一條半徑），則繞著固定軸轉動的物體可以簡單地用標量角弧（即該標記轉動的角弧）來做定量描述。
旋轉運動可以與直線運動相類比：位移、速度、加速度，分別對應於角弧、角速度、角加速度。直線運動中已有的定律和方法可以直接帶入，用於旋轉運動，例如，使用已有的勻加速直線運動理論來研究勻角加速度固定軸轉動。
在國際單位制中，角加速度的單位為弧度每二次方秒。其定義式為
其中，為物體角加速度，為物體角速度，為物體轉過的角弧。
處理關于空間加速度矢量的問題，除了直接計算矢量之外，更多的時候可以將加速度按照適當坐標軸分解，即將矢量形式的加速度表示為相互獨立的不同方向上的標量的形式。因為標量的計算要容易很多，因此這是解決問題常用的方法。
在平面直角坐標系中，
其中和分別為''x''、''y''坐標軸上的單位矢量，皆為常矢量。
這種分解方式的優點在于，形式簡便，思維簡單；因為單位矢量不會變化，故質點在二個方向上的投影等價于直線運動，并將其疊加，使得問題完全化為代數問題，并且可以直接使用直線運動的已有結論。
在極點為O、極軸為L的極坐標系裏，點  、點   的坐標分別以綠色、藍色展示。
在二維空間裡，極坐標系用半徑坐標  、角坐標  來表示質點的位置。半徑坐標是極點與質點的直線距離；角坐標是極點與質點的連線對於極軸的角弧。在任意點的兩個單位矢量分別為沿半徑向外的和垂直于半徑指向角坐標正方向的。不論是直角坐標或是極坐標都可以互相來駔變換，坐標和坐標之間有一定的轉換量，使用以方便所在的坐標系為主。
從極坐標  和  可以計算出直角坐標：
在極坐標系中，位置、速度、加速度分別為
兩個單位矢量、會隨質點所處位置不同而變化，并可通過分析得出結論，在質點運動的時候
其中，經過微小時間後，單位矢量、的微小變化分別為、。
應用微分的萊布尼茲法則
在極坐標系下，速度、加速度分別為
加速度按自然坐標系分解
假設一個質點移動於二維平面。在質點軌道的任意位置，二維自然坐標系的一個坐標軸方向（切向）保持與軌道切線方向平行，另一個坐標軸方向（法向）則與軌道法線平行。分解按右圖。向量可以無限地做拆解，所以只需要選擇對於分析最有利的為主！通常以切線方向和法線方向來分解。
簡單地說，加速度的切向分量表示速度大小的變化，加速度的法向分量表示速度方向的變化，即
其中，為此時刻的速度大小，為此時刻的曲率半徑。
在勻速圓周運動中，速度大小不改變，方向不停改變，需要保持垂直于其切向的加速度來改變方向。
若質點以不變的速率（速度大小）沿著圓周繞著圓心運動，則質點呈勻速圓周運動，質點具有向心加速度，其方向保持沿半徑方向向裏（因此不斷變化），大小為
其中，是角速度。
這公式也可以從極坐標系分解中，代入與勻速圓周運動相關的特殊值得到。更一般的情況下（非勻速圓周運動），以矢量來表示，
在矢量式中，令沿半徑向外為正。在平面的情況下，該矢量式約化為上述標量式，這時會得到一個負號，通常以圓座標來表示最為合適。
假設，在一根繩子的一端系上一個小物體（比如石頭），另一端握在手中，大致保持手不動而水平旋轉，則手會明確地感受到繩子的拉力，該拉力的反作用力在繩子的另一端表現為向心力，提供小物體的向心加速度。當轉得越快，向心力會越大，可以定性地驗證上述向量式。從這個實驗，可以看出，向心加速度總是使物體趨向于朝著圓心做運動；如果沒有繩子施予向心力，物體一定會飛奔出去。
再舉一個例子，在游樂場的巨大旋轉圓盤上，大部分遊客都會站立不穩，總是會向外摔倒，這是因為缺乏向心力施予於遊客。在旋轉圓盤的非慣性系中，遊客會感受到慣性力，但由於缺乏向心力，無法達成平衡狀態，因此被向外“甩”出去，這慣性力又稱為離心力，人們以這個原理制成了離心機。
上述公式不但對於從勻速圓周運動成立，也可以應用於各種圓周運動、甚至任意曲線運動，只是上述的和應理解為該時刻的瞬時物理量，應以曲率半徑替代，表示的是物體的加速度在垂直于路徑方向的分量。
如勻速圓周運動圖所示，某一時刻質點速度為，極短時間過后，質點沿圓周前行，速度變成。因為是勻速圓周運動，速度大小保持為，但方向會保持與圓相切（垂直于半徑），不斷改變。關注圖的左上部分，當使用弧度值時，速度大小的改變在極小時近似于，方向大約沿半徑向裏，則該段時間內的平均加速度大小為
其中，角速度。
以上“近似”在時精確成立。又因為
氣旋溫斯頓接近初始峰值強度時的紅外線衛星雲圖。由於科里奧利力影響，風暴以順時針方向旋轉
給定固定參考系''S''與旋轉參考系''S，從固定參考系''S''觀察，旋轉參考系''S以勻角速度轉動。移動於旋轉參考系''S的質點因為運動速度而產生的偏轉效應，稱為「科里奧利效應」，這是為紀念法國科學家賈斯帕-古斯塔夫·科里奧利而命名。
舉例而言，設想一個巨大的圓盤在地上繞著定點勻角速度轉動（定點運動），而這定點為圓盤的圓心，在圓盤上沿半徑方向有一個直導軌，一個物體被限制在導軌上運動，從圓心勻速向外移動。從地上（固定參考系）觀察，物體的軌跡不是一條直線，而是一條弧形或者螺旋形路線，物體也會感受到導軌的約束力，其方向垂直於導軌，並且指向圓盤旋轉方向（不是角速度向量的方向），這約束力促使物體朝著圓盤旋轉方向加速，使物體的軌跡呈弧形或螺旋形。從圓盤（旋轉坐標系）觀察，物體所感受到的科里奧利力會與導軌施予的約束力相抵消，因此，物體只會呈直線運動。假若，導軌不存在，則物體會逆著圓盤旋轉方向以科里奧利加速度運動。
在科里奧利效應裏，參考系S'的物體的柯里奧利加速度與感受到的科里奧利力分別為
其中為科里奧利加速度，為參考系S'在參考系S中的角速度矢量，為物體在參考系''S中的速度矢量。
在氣象學裏，科里奧利力使得熱帶氣旋在沒有強引導氣流影響下移向兩極。 熱帶氣旋靠近兩極部分含有東風，科里奧利力會將東風拉向兩極；靠近赤道部分含有西風，科里奧利力會將西風拉向赤道。在地球上越接近赤道科里奧利力會越弱，所以科里奧利力影響熱帶氣旋靠近兩極部分會較靠近赤道部分為多。因此，在沒有其他引導氣流抵消科里奧利力的情況下，北半球的熱帶氣旋一般會向北移動，而南半球的熱帶氣旋則會向南移動。
科里奧利力也會開啟氣旋系統的旋轉，但驅動高速度旋轉的主要因素，不是科里奧利力，而是凝結熱。
給定固定參考系''S''與旋轉參考系''S，從固定參考系''S''觀察，旋轉參考系''S以非勻角速度轉動。從旋轉參考系''S觀察，物體因這非勻角速度而感受到的虛設力（fictitious force）稱為「歐拉力」，產生的加速度稱為「歐拉加速度」。歐拉力與歐拉加速度之間的關係式為
設想一個巨大的圓盤在地上繞著定點轉動，而這定點為圓盤的圓心。在圓盤的非圓心位置固定一個物體。圓盤呈非勻角速度運動，則從旋轉參考系S'觀察，延著物體的圓形軌跡切向（不是角速度向量的方向），此物體的受力是歐拉力。
歐拉加速度的一般公式為
其中，是物體在旋轉參考系S'的位置。
以下為幾種特殊的運動，因為在不同的模型下質點常被不同地近似處理，并且可以得出的結論較之上面的積分式常能極大地簡省計算量，故有研究的價值。最常運用的就是拋體運動，以及自由落體。
若某質點保持加速度，則其速度的大小和方向不會變化，質點將保持在同一直線上以同一速率（速度大小）運動，這種運動被稱作勻速直線運動。特殊地，若速度，則質點靜止。
勻速直線運動主要出現在牛頓第一定律中，該定律表示：“不受任何力或受合力為零的物體作勻速直線運動。”由于自然界中大部分力的隨距離增大而減小，故離所有其它物體足夠遠的某一物體的運動能夠在足夠的精度下被近似為勻速直線運動。這種近似常被用于尋找慣性參考系和粒子物理學的運算當中。
位于喬治亞州的六旗主題公園的自由落體機，從高達數十米的地方由靜止釋放，長長的途中幾乎只受到重力，近似為自由落體運動，使得乘客落到地面附近時擁有極高的速度。
若某作質點作直線運動并保持加速度恒定，則質點作勻變速直線運動。在這種情況下，若時刻速度為，時刻速度為，位移為，則可由上面積分式得出
自由落體運動是指初速度為0，加速度恒為豎直向下
的重力加速度g的運動，在地球上大約有。自由落體運動是勻變速直線運動的一種特殊情況。自由落體運動是將地球上的物體下落的狀況進行理想化的抽象模型，當物體在地面附近，且所受空氣阻力遠小于其重力時，在一定精度內可被視作自由落體運動。
加速度是一個矢量，因此“加速度恒定”暗示加速度的大小和方向都不隨時間變化。
一個從左向右被拋出的籃球是如何在重力下運動的（拋體運動）。相鄰兩個球影之間有相同的時間間隔。
當加速度與速度不在同一條直線上時，選取適當的坐標系，可以將其按照平面直角坐標系分解，使質點的運動在其中一個坐標軸上的投影為勻速直線運動，另一個方向上為勻變速直線運動。根據獨立作用原理，兩者的合運動（即質點的軌跡）為一條拋物線的一部分。
拋體運動具體包括平拋運動和斜（上、下）拋運動，和自由落體運動類似，它是在地球上向不同方向拋出的物體在忽略空氣阻力的情況下的運動狀況進行理想化的抽象模型。物體擁有一個非豎直方向的不為零初速度，和豎直向下、大小恒定為重力加速度g的加速度，落地前的軌跡為一條拋物線的一部分。這也正是拋物線名字的由來。
再一個例子是簡諧運動，即質點在正弦或余弦函數形式下的一維運動，一般形式為
其中，為振幅，為角頻率，為初相位。將其對時間求導后可得出
由此也可以得出一些有趣的結論，如在任一時刻，
加速度的另一個重要應用之處是帶電粒子的電磁輻射（即手機和收音機使用所需要的信號來源）。通過對麥克斯韋方程組的研究，可以將帶電粒子產生電磁輻射的規律概括性地定性總結為：帶電粒子的加速度產生電磁輻射，并且電磁輻射的強度和加速度大小正相關。電磁輻射常見于用帶電粒子的碰撞實驗中。這類實驗的一個早期著名例子是盧瑟福用電子碰撞金箔的實驗，這個實驗導致了對原子結構的深入探索。而這類實驗至今廣泛見于在各種大型粒子對撞機中，帶電粒子以很高的速度運動，經受撞擊后變慢、靜止甚至反彈回來，這個過程中顯然速度發生劇烈改變，一定經受了加速度不為零的過程，也一定會放出輻射。這樣產生的輻射被稱為軔致輻射。
加速度產生電磁輻射的另一個很典型的例子是回旋加速器（回旋輻射）。帶電粒子在回旋加速器中作圓周運動，每半圈加速一次，同時運動半徑增大從而形成螺旋軌道，最后以很高的速度射出。圓周運動需要向心加速度來維持，當速度相當高時，加速度太大以至于因為電磁輻射損失的能量過多，導致回旋加速器實際對粒子的加速作用有上限。光速可比擬時，這時因為相對論效應而需使用同步加速器。這樣產生的光能量高、偏振高，并且集中在一個很小的錐角里（相對論效應導致的前燈效應），因此是很好的大型物理用同步輻射光源。
狹義相對論用于速度可以和光速相比擬時的運動，并且要求參考系是慣性系。在狹義相對論中，加速度的定義沒有改變。然而，由于在狹義相對論中，不同的參考系有不同的時間和空間度量標準，即當前參考系中的加速度為當前參考系中的位移對當前參考系中的時間的二階導數，因此在參考系變換（洛倫茲變換）時變得復雜很多。
設有兩個參考系、，在空間直角坐標系中，三個坐標軸相對應平行，在時刻兩坐標系原點對齊，在中以速率沿''x''正方向運動。
同一事件在兩個參考系中的時空坐標、變換如下：
其中，單撇符號  標示該物理量是在 下的測量， 是勞侖茲因子，用表示一質點的速度，表示其加速度。表示定義式如下
y、z方向的定義式與之類似。綜合該定義式，利用坐標轉換的t部分，將坐標轉換的x、y、z連續兩次進行一階求導。
通過展開，可以得到
假想實驗：站在兩種封閉電梯廂中兩個人，無法分辨球的加速度是由慣性力還是真正的引力施加的。其中， 是勞侖茲因子。
可以看出，在狹義相對論中，加速度的變換公式冗長而復雜，各分量的公式也極不相似。再加上如果要考慮到力，雖然仍然成立，但質量也會變得隨參考系的不同而不同。以上原因導致加速度在牛頓力學中那種因為簡潔而具有的優越性，在狹義相對論中不復存在，必須使用更有功能的數學工具，即張量分析。
在廣義相對論中和在量子力學中，大都是從能量、動量等的角度出發（類似于分析力學），而很少會像牛頓第二定律一樣涉及到作用力；實際上，即使在需要表示出“位移的二階導數”這一個量的時候，會趨向于直接使用，等價于，來求解微分方程。因此，加速度在進階理論中較少被用到。
運用到加速度的其中一個例子是等效原理，簡單地說，它敘述了觀測者不能在局部的區域內分辨出由加速度所產生的慣性力或由物體所產生的引力。比如，觀測者站在地球上靜止的電梯廂中向前方拋球，球會向下墜落，是因為地球的引力；而在遠離任何星體的宇宙中的一個電梯廂，在以重力加速度向上（定義觀測者踩到的地面為下）加速運動時，觀測者拋出一個球，仍然會向“下”墜落，是因為慣性力。作為在封閉電梯廂中的觀測者無法分辨這兩種情況，愛因斯坦據此提出，引力與慣性力等價。等效原理是廣義相對論中的支柱性原理之一。
越南於第一屆國會至第六屆國會設立越南社會主義共和國主席，在越南簡稱“國家主席”，作為名義上國家元首的職務。在越南政治中，國家主席的地位一般僅次于作為最高領導人的越共中央總書記。第七屆國會至第八屆國會不設國家主席職務，由越南國會常務委員會主席集體代表國家元首。第九屆國會起恢復以前做法，繼續設立國家主席職務。
根據越南憲法，當國家主席職務出現空缺時，由副主席暫時代理，直至越南國會選出新一任國家主席為止。新任國家主席將完成上一任國家主席剩余的任期。
*領導軍隊，擔任國防與安全委員會主席。
*向國會提議國家副主席、政府總理、最高人民法院院長、最高人民檢察院院長的任命和罷免，向國會提交國防與安全委員會委員名單。
*國會或根據國會常務委員會的決議，進行政府副總理、部長及政府以外的成員的任命和罷免。
*國會或根據國會常務委員會的決議，宣布戰爭事態。
*國會或根據國會常務委員會的決議，發布總動員令及部分動員令，宣布全國及特定地區的緊急狀態。
*任命和罷免最高人民法院副院長、最高人民檢察院副院長。
*對高級將校、外交官、其他職位和階級的官吏，授予勛章、紀念章、國家的榮譽及通知獎。
*進行駐外全權大使的任命和召回，接受外國的大使。代表越南社會主義共和國，在與他國的最高領導人的間進行國際條約的談判及締結。國家主席簽訂的國際條約受到國會的批準生效。
*根據國會或國會常務委員會的決議，宣布大赦。
*有出席國會常務委員會會議的資格。
胡志明（1890－1969）
1946年3月2日
1969年9月2日
孫德勝（1888－1980）
1969年9月3日
1976年7月2日
孫德勝（1888年－1980）
1980年3月30日
阮友壽（1910－1996）
1981年7月4日