ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
十堰市，古稱鄖陽，是中華人民共和國湖北省下轄的地級市，位于湖北省西北部。市境東南界襄陽市，南達神農架林區，西南毗重慶市，西接陜西省安康市，北抵陜西省商洛市，東北臨河南省南陽市。地處鄂渝陜豫四省市交界的山地河谷區，南部為大巴山，中部為武當山，北部為秦嶺。漢水自西往東橫貫全境，其支流堵河發源于市境西南，東部有丹江口水庫。全市總面積23,666平方公里，人口320.9萬，市人民政府駐茅箭區。十堰是隨丹江口水利樞紐工程、東風汽車公司等項目而發展起來的工業城市。四大道教名山之首武當山位于市境中部，是聯合國教科文組織認定的世界文化遺產。
十堰作為地理名稱來由，其來歷有兩種說法：
# 一說來源于十堰鎮。相傳古時此地原名張家莊，后改名陳家街，清代中葉，人們在陳家街東側的百二河攔河筑壩，沿河先后筑起頭堰、二堰、三堰、四堰、五堰、六堰，在花果園犟河上攔河修起了頭堰、二堰、三堰、岳竹堰，兩處共有十個堰；自此筑起十個堰以后，十堰便成為行政區劃的一個專名；
# 第二個說法源于明代志書記載。明朝成化二十年（1484年）《湖廣圖經志》和嘉靖元年（1522年）《湖廣通志鄖陽》說：十堰在縣（鄖縣）南，因溪作十堰以溉田。其志記載《鄖陽十景》：天馬崖高，摘星坡峻，南門晴望，十堰春耕，蕭寺留題，仙宮遺像，武陽神洞，盛水靈泉，龍滾灘聲，沄洲雨意。而人之常識：山水寺宮常為風景，難得春耕亦是名勝。其志載韓弼《十堰春耕》贊頌詩：布谷聲中水滿溪，南疇北隴把鋤犁；勸農不費田官力，腰鼓一聲人自齊。詩中田官乃軍屯官，專門管理屯田生產。萬歷十八年（1590年）《鄖臺志》卷之十載李蔭詩中說：軍民雜處樂耕鋤，總屬中丞保障余。軍民雜處乃鄖陽特色，中丞乃是巡撫別稱。鄖陽撫臺，當時轄鄖陽、襄陽等府。據說明朝的十堰有：十堰、九傾坪堰、虎尾堰、白龍堰、尖山堰、黃龍堰、雙龍堰、佃戶堰（白浪上堰）、么堰（白浪中堰）、譚家堰（白浪下堰）。
中華人民共和國初期，十堰只是一個荒涼小鎮，因明朝筑十堰引溪水灌溉田地得名。1963年開始的三線建設政策，丹江口水利樞紐工程、第二汽車制造廠（東風汽車公司）等工程和企業的陸續上馬，推動了當地工業大躍進式的發展，正是基于這種政策才催生了一座新的城市的誕生，十堰一躍成為一座現代化的汽車城。
今十堰市城區原為鄖縣的一部分，是隨中國二汽落戶此地發展起來的新型工業城市。1967年劃鄖縣的十堰、黃龍兩區和茶店區的茅坪公社成立十堰辦事處，1969年成立縣級十堰市，1973年將十堰市升為省轄市。
*1949年設兩鄖專區，屬陜南行署區領導。兩鄖專署駐鄖陽縣，轄鄖陽、均縣、房縣、竹山、竹溪、鄖西等6縣；
*1950年兩鄖專區劃回湖北省，改稱鄖陽專區，鄖陽縣改為鄖縣，鄖陽專署駐鄖縣；
*1952年撤銷鄖陽專區，原鄖陽專區所屬各縣并入襄陽專區；
*1965年復設鄖陽專區，專署駐鄖縣；襄陽專區所屬鄖縣、均縣（駐丹江鎮）、房縣、竹山、竹溪、鄖西6縣劃入鄖陽專區；
*1969年設立十堰市，屬鄖陽專署領導；鄖陽專區轄1市、6縣；
*1970年鄖陽專區改稱鄖陽地區，行署駐十堰市，轄十堰市及鄖縣、房縣、竹溪、均縣（駐丹江鎮）、竹山、鄖西等6縣；
*1973年十堰市改由省直轄，鄖陽地區轄6縣；
*1994年9月29日，原鄖陽地區與十堰市地、市合并為新的十堰市至今，代管原省轄縣級市：丹江口市；
*2014年12月17日，鄖縣改為鄖陽區，十堰現轄房縣、竹溪、竹山、鄖西、丹江口市、張灣區、茅箭區、鄖陽區。
十堰位于湖北與河南、陜西和重慶四省市交界處，南與重慶市巫溪縣、湖北神農架林區接壤，東南和湖北保康縣、谷城縣和老河口市為鄰，東北與河南省鄧州市、淅川縣交界，北與陜西省商南、山陽縣毗鄰，西和陜西鎮安、旬陽、白河、平利和鎮坪縣相鄰。大巴山東段逶迤于南，秦嶺餘脈屏障其北，漢水自西向東穿越全境，最高海拔2740米，最低海拔87米。境內的最大河流為漢水，自西向東貫穿全境，流經鄖西、鄖縣、丹江口兩縣一市；境內50公里以上的有堵河、滔河、馬欄河、神定河等30余條。有丹江口水電站，位于丹江口市境內，連接三省五縣市，總水域面積745平方公里。
全境大部分屬于亞熱帶季風氣候，四季分明，雨熱同期，降水充足。年日照時數平均為1620～1990小時。
+ 十堰市四大機構現任領導人
中國共產黨十堰市委員會
十堰市人民代表大會常務委員會
十堰市人民政府
中國人民政治協商會議十堰市委員會
湖北省十堰市鄖陽區
* 曾憲武（1994年10月－1998年2月）
* 閻增福（1998年2月－1999年8月）
* 李憲生（1999年8月－2002年4月）
* 趙斌（2002年5月－2008年3月）
* 陳天會（2008年3月－2012年5月）
* 周霽（2012年5月－2016年12月）
* 張維國（2016年12月－2021年4月）
* 胡亞波（2021年4月－）
* 吳發育（1995年2月－1997年2月）
* 馬榮華（1997年3月－2001年1月）
* 趙斌（2001年1月－2002年12月）
* 陳天會（2002年12月－2008年3月）
* 汪鴻雁（2008年3月－2008年7月）
* 張嗣義（2008年7月－2010年5月）
* 周霽（2010年5月－2012年8月）
* 張維國（2012年8月－2016年12月）
* 陳新武（2016年12月－2021年4月）
* 黃劍雄（2021年6月－）
十堰市下轄3個市轄區、4個縣，代管1個縣級市。
* 市轄區：茅箭區、張灣區、鄖陽區
* 縣：鄖西縣、竹山縣、竹溪縣、房縣
另外，十堰市設置了以下管理區：
* 十堰經濟開發區（白浪經濟開發區）
* 賽武當風景區（賽武當自然保護區）
* 武當山旅游經濟特區——丹江口市境內，為管理武當山事務的正縣級機構，直轄于十堰市，與丹江口市無行政上的隸屬關系。
十堰市行政區劃圖
注：茅箭區數字中包含十堰（白浪）經濟開發區，面積45.33平方公里、十堰東城經濟開發區及賽武當風景區（賽武當自然保護區）；丹江口市數字中包含武當山旅游經濟特區，面積291.08平方公里。
根據2020年第七次全國人口普查，全市常住人口為3209004人。其中，男性為1751834人，占總人口的52.44%；女性為1589009人，占總人口的47.56%。總人口性別比（以女性為100）為110.25。0－14歲的人口為503558人，占總人口的15.07%；15－64歲的人口為2552029人，占總人口的76.39%；65歲及以上的人口為285256人，占總人口的8.54%。
* 和交匯十堰。隨著火車提速，武白、鄖十一級路的建設，交通條件進一步改善，穿市而過，即將竣工的十天高速和在建的十房高速，谷竹高速，鄖十高速，將十堰打造成三橫一縱的交通樞紐。
* 襄渝鐵路橫貫東西，每天有73對旅客列車停靠十堰站，可直達北京、天津、上海、重慶、成都、西安、武漢、鄭州、哈爾濱、南京、南昌、杭州、廣州、福州等地。
* 漢江黃金水道運輸可通江達海。
* 十堰武當山機場：2012年12月8日奠基，2016年2月5日正式通航。
因中心城區人口數量不多，且主要人口構成為20世紀70年代前后支援東風公司建設到當地的外地技術移民，在東風公司汽車銷售良好的20世紀90年代中期，十堰市人均可支配收入一度曾達到全國前十位。后因城市產業單一以及國有大型企業在九十年代末普遍出現的困境，加之東部沿海城市經濟發展迅速，十堰市人均可支配收入雖年年增長，卻不可能再進入該榜單的十強，但仍然長期占領湖北省地級城市城區人均可支配收入榜首位置，領先于省會武漢市。據官方統計，從1991年至2006年的16年間，十堰市市城市居民人均可支配收入由1685.64元增加到10944.45元，增長近5.49倍，扣除價格因素年均增長7.9%；城市居民人均消費性支出由1321.20元提高到8616.00元，增長5.52倍，扣除價格因素年均增長7.9%。
福布斯“大陸最佳商業城市榜”2007年度十堰市排名第65位。
在2008年10月《中國城市綜合競爭力報告》中，十堰市在“最具潛力的城市”中排名第四，報告中稱：“湖北的十堰市排在第四位，‘人均綠地面積’和‘每萬人高校在校學生數’都排在前兩位，說明城市環境優良，人才資本優勢明顯。”
市內有湖北汽車工業學院、湖北醫藥學院、漢江師范學院等高等學校。截止2008年，十堰大學生人口占全市總人口的比例超過北京、上海等城市，高居全國第一。
市內有東風高級中學、十堰市第一中學、鄖陽中學三所省級示范高中。
*十堰市2001年被評為“中國優秀旅游城市”，
*武當山，武當山位於湖北西北部丹江口市境內，古名太和山，是中國道教名山，國家5A級旅游景區，是國內著名的道教圣地。1982年被列為國家重點風景名勝區，其中金頂、紫霄宮、玄岳門被國務院定為全國重點文物保護單位；1994年12月被確定為世界文化遺產。
據國際旅游聯合會評定，武當山入選“歐洲人最喜愛的中國十大景區”
*溫泉寺，房縣境內，始建于清康熙四十八年（1709年）。
*四方山植物園，位于市中心的北郊，海拔578m。花草樹木品種達570多鐘，共引種植物127科，2370 屬，570種，綠化覆蓋率30%以上，面積達800多畝，植物園內已有100多個景點，30多個花卉。規劃中的四方山風景區占地1.5萬畝，劃分為九個景區。
*武柱峰，位于湖北省十堰市的武當大峽谷西北側，距武當天柱峰14公里，海拔1132 米，為武當72峰之第45峰，如筍兩峰形同座椅，之間端坐高60米、寬40米的真武巨大石像，身著修服，五官形備，目光深邃，背依伏龍山，面迎武當山金頂， 其頭頂上茂密的白皮松儼然發髻，臉寵圓潤，鼻翼高隆，兩手平放于雙膝，打坐修行狀十分逼真，石像在艷陽照射下金光燦燦，輝煌奪目。
*十堰環球港，有英倫風格有軌小火車。
十堰市周邊景點
四方山植物園、牛頭山國家森林公園
虎嘯灘風景區
武當花谷景區
1999年被評為“國家園林城市”，2005年被評委“國家生態示范區”。
城區綠化面積在全國范圍內僅次于深圳市排名第二。
* 全國創建文明城市工作先進城市
* 全國社會治安綜合治理優秀地市
汪達爾人鍛造的金製飾品
汪達爾人（Vandals）是古代一個東日耳曼部族，在民族大遷徙中于429年占領今北非突尼斯一帶，建立了汪達爾王國。公元455年，他們從海上出發，并于6月2日洗劫了羅馬城。
公元533年，東羅馬帝國名將貝利薩留討伐汪達爾人，大獲全勝並毀滅了汪達爾王國，將其重新納入帝國疆土。汪達爾王國的亡國之君蓋利默則被押解到君士坦丁堡，退隱度過余生。汪達爾人曾在554年發動過一次武裝叛亂，亦被帝國派兵迅速鎮壓。此後大部分汪達爾人被陸續押解到帝國各境為奴，而少部分人則分散在帝國軍中服役。如此這般，汪達爾人不僅喪失了自己的國家，而且作為一個民族自此之后也消失得無影無蹤。
汪達爾人（Vandals）的名字會被聯想到瑞典州份「Vendel」，可能源自原始日耳曼語動詞*wand-（改變/流浪）或日耳曼神話人物「」（耀亮的流浪者；流浪者，長庚），或名為「光明的汪達爾」的日耳曼神明。
Vandals亦即英文中“破壞”（vandalism）一詞由來。
輾轉相除法的演示動畫：兩條線段長分別可表示252和105，則其中每一小分段長代表最大公因數21。如動畫所示，只要輾轉地從大數中減去小數，直到其中一段的長度為0，此時剩下的一條線段的長度就是252和105的最大公因數。
在數學中，輾轉相除法，又稱歐幾里得算法，是求最大公約數的算法。輾轉相除法首次出現于歐幾里得的《幾何原本》（第VII卷，命題i和ii）中，而在中國則可以追溯至東漢出現的《九章算術》。
兩個整數的最大公約數是能夠同時整除它們的最大的正整數。輾轉相除法基于如下原理：兩個整數的最大公約數等于其中較小的數和兩數相除余數的最大公約數。例如，252和105的最大公約數是21；因為，所以147和105的最大公約數也是21。在這個過程中，較大的數縮小了，所以繼續進行同樣的計算可以不斷縮小這兩個數直至余數為零。這時，所剩下的還沒有變成零的數就是兩數的最大公約數。由輾轉相除法也可以推出，兩數的最大公約數可以用兩數的整數倍相加來表示，如。這個重要的結論叫做貝祖定理。
輾轉相除法最早出現在歐幾里得的《幾何原本》中（大約公元前300年），所以它是現行的算法中歷史最悠久的。這個算法原先只用來處理自然數和幾何長度（相當於正實數），但在19世紀，輾轉相除法被推廣至其他類型的數學對象，如高斯整數和一元多項式。由此，引申出歐幾里得整環等等的一些現代抽象代數概念。后來，輾轉相除法又擴展至其他數學領域，如紐結理論和多元多項式。
輾轉相除法有很多應用，它甚至可以用來生成全世界不同文化中的傳統音樂節奏。在現代密碼學方面，它是RSA算法（一種在電子商務中廣泛使用的公鑰加密算法）的重要部分。它還被用來解丟番圖方程，比如尋找滿足中國剩余定理的數，或者求有限域中元素的逆。輾轉相除法還可以用來構造連分數，在施圖姆定理和一些整數分解算法中也有應用。輾轉相除法是現代數論中的基本工具。
輾轉相除法處理大數時非常高效，如果用除法而不是減法實現，它需要的步驟不會超過較小數的位數（十進制下）的五倍。拉梅于1844年證明了這點，同時這也標誌著計算復雜性理論的開端。
歐幾里得的輾轉相除法計算的是兩個自然數''a''和''b''的最大公約數''g''，意思是能夠同時整除''a''和''b''的自然數中最大的一個。兩個數的最大公約數通常寫成GCD(''a'', ''b'')，或者簡寫成(''a'', ''b'')，但是第二種寫法也被使用在其他數學概念，如二維向量的坐標。
如果GCD(''a'',&nbsp;''b'')&nbsp;=&nbsp;1，則稱''a''和''b''互素。''a''和''b''是否互素和它們是否素數無關。如，6和35都不是素數，因為它們都可以分解為多于一個素因數的乘積：6 = 2 × 3，35 = 5 × 7。但是，6和35互素，因為除了1以外沒有自然數同時整除6和35。
一個24×60的長方形正好被十個12×12的方格填滿，其中12是24和60的最大公約數。一般地，當且僅當''c''是''a''和''b''的公約數時，''a''×''b''尺寸的長方形可被邊長''c''的正方形正好填滿。
令''g'' = GCD(''a'', ''b'')。由于''a''和''b''都是''g''的整數倍，所以可以寫成''a'' = ''mg''、''b'' = ''ng''，并且不存在更大的整數''G'' > ''g''使等式成立。為了使''g''盡可能大，就要使''a''和''b''中所有公約數都提取出來歸入''g''中，所以自然數''m''和''n''一定互素，并且''a''和''b''的最大公約數''g''可以被''a''和''b''的所有其他公因數''c''整除。
我們可以用右圖來解釋最大公約數的概念：設一個長方形的邊長為''a''和''b''。因為''a''和''b''的任何公約數''c''都可以整除''a''和''b''，所以長方形的邊都可以等分為長度為''c''的線段，也就是長方形可以被邊長為''c''的正方形正好填滿。而最大公約數''g''是所有可能的''c''中最大的一個。例如，一個24 × 60的長方形區域可以分成1 × 1、2 × 2、3 × 3、6 × 6或12 × 12的正方形網格。也就是說，12是24和60的最大公約數。
''a''和''b''的最大公約數是兩數共有的素因數的乘積。例如，462可以分解成2&nbsp;×&nbsp;3&nbsp;×&nbsp;7&nbsp;×&nbsp;11；1071可以分解成3&nbsp;×&nbsp;3&nbsp;×&nbsp;7&nbsp;×&nbsp;17。462和1071的最大公約數等于它們共有的素因數的乘積3&nbsp;×&nbsp;7&nbsp;=&nbsp;21。如果兩數沒有公共的素因數，那么它們的最大公約數是1，也即這兩個數互素。輾轉相除法的優點就在於它能以有系統的方式求出兩數的最大公約數，而無需分別對它們作因式分解。大數的素因數分解被認為是一個困難的問題，即使是現代的計算機也非常難於處理，所以許多加密系統的原理都是建基於此。
在數學中，尤其是抽象代數的環論中，最大公約數有一個更加巧妙的定義：''a''和''b''的最大公約數''g''是''a''和''b''的線性和中的最小正整數，即所有形如''ua''&nbsp;+&nbsp;''vb''（其中''u''和''v''是整數）的數中的最小正整數。可以證明，所有''ua''&nbsp;+&nbsp;''vb''都是''g''的整數倍（''ua''&nbsp;+&nbsp;''vb'' = ''mg''，其中''m''是整數）。用現代數學語言來說，''a''和''b''生成的理想即是由''g''生成的主理想。最大公約數的這個定義和其他定義的等價性將在下面描述。
三個數的最大公約數的定義和兩個數的相同，即是它們共有的素因數的積，它們或者也可以按下式計算：
所以，歐幾里得的輾轉相除法實際可以計算任意多整數的最大公約數。
下文的論證會用到三種相關的數學方法，分別是數學歸納法、遞歸和無窮遞降。數學歸納法經常用來證明某個定理對所有自然數成立：首先證明定理對一個特定的數''n''0成立（通常是1）；然后證明如果定理對自然數''n''成立的話，那麼它對自然數''n''&nbsp;+&nbsp;1成立。這樣，便可證明定理對所有大于''n''0的自然數也成立。遞歸是將相關的數組成一個數列(''a''1,&nbsp;''a''2,&nbsp;''a''3...)，當中除初始項外，其中每一項都用前一項或前幾項表示。如斐波那契數列就是遞歸的，每一項''F'n''都等于''F'n''?1&nbsp;+&nbsp;''F'n''?2（n≧2）。輾轉相除法中的一些等式也是遞歸的。最后，無窮遞降是用方程的一個自然數解導出比它小的自然數解。但是，這種轉化不能永遠進行下去，因為只有有限個小於原來的自然數解的自然數。所以，要麼方程無解，不然在有限步內必然能得出最小的自然數解。在下文會用到此法來證明輾轉相除法一定會在有限步內結束。
輾轉相除法是一種遞歸算法，每一步計算的輸出值就是下一步計算時的輸入值。設''k''表示步驟數（從0開始計數），算法的計算過程如下。
每一步的輸入是都是前兩次計算的非負余數''r'k''?1和''r'k''?2。因為每一步計算出的余數都在不斷減小，所以，''r'k''?1小于''r'k''?2。在第''k''步中，算法計算出滿足以下等式的商''q'k''和余數 ''r'k''：
其中0 ≤ ''r'k''&nbsp;''k''?1。也就是''r'k''?2要不斷減去''r'k''?1直到比''r'k''?1小。
為求簡明，以下只說明如何求兩個非負整數''a''和''b''的最大公約數（負數的情況是簡單的）。在第一步計算時（''k''&nbsp;=&nbsp;0），設''r''?2和''r''?1分別等于''a''和''b''，第2步（此時''k''&nbsp;=&nbsp;1）時計算''r''?1（即''b''）和''r''0（第一步計算產生的余數）相除產生的商和余數，以此類推。整個算法可以用如下等式表示：
如果有''a''&nbsp;0會等于0，余數''r''0則等于''a''。然後，算法的第二步便是把''b''除以''a''，再計算所得之商和餘數。所以，對於''k'' ≥ 0總有''r'k'k''?1，即運算的每一步中得出的余數一定小于上一步計算的余數。
由于每一步的余數都在減小并且不為負數，必然存在第''N''步時''r'N''等于0，使算法終止，''r'N''?1就是''a''和''b''的最大公約數。其中''N''不可能無窮大，因為在''r''0和0之間只有有限個自然數。
輾轉相除法的正確性可以分成兩步來證明。在第一步，我們會證明算法的最終結果''r'N''?1同時整除''a''和''b''。因為它是一個公約數，所以必然小于或者等于最大公約數''g''。在第二步，我們證明''g''能整除''r'N''?1。所以''g''一定小于或等于''r'N''?1。兩個不等式只在''r'N''?1&nbsp;=&nbsp;''g''時同時成立。具體證明如下：
因為第一步的證明告訴我們''r'N''?1&nbsp;≤&nbsp;''g''，所以''g''&nbsp;=&nbsp;''r'N''?1。即：
算法的演示動畫。最初的綠色矩形的長和寬分別是''a''&nbsp;=&nbsp;1071、''b''&nbsp;=&nbsp;462，從中不斷鋪上462×462的正方形直到剩下部分面積是462×147；然后再鋪上147×147的正方形直至剩下21×147的面積；最后，鋪上21×21的正方形時，綠色部分就沒有了。即21是1071和462的最大公約數。
例如，計算''a''&nbsp;=&nbsp;1071和''b''&nbsp;=&nbsp;462的最大公約數的過程如下：從1071中不斷減去462直到小于462（可以減2次，即商''q''0&nbsp;=&nbsp;2），余數是147：
然后從462中不斷減去147直到小于147（可以減3次，即''q''1&nbsp;=&nbsp;3），余數是21：
再從147中不斷減去21直到小于21（可以減7次，即''q''2&nbsp;=&nbsp;7），沒有余數：
此時，余數是0，所以1071和462的最大公約數是21，這和用素因數分解得出的結果相同（見上文）用表格表示如下：
1071 = 462 ''q''0 + ''r''0
''q''0 = 2、''r''0 = 147
462 = 147 ''q''1 + ''r''1
''q''1 = 3、''r''1 = 21
147 = 21 ''q''2 + ''r''2
''q''2 = 7、''r''2 = 0（算法終止）
輾轉相除法的計算過程可以用圖形演示。假設我們要在''a''×''b''的矩形地面上鋪正方形瓷磚，并且正好鋪滿，其中''a''大于''b''。我們先嘗試用''b''×''b''的瓷磚，但是留下了''r''0×''b''的部分，其中''r''00×''r''0的正方形瓷磚鋪，又留下了''r''1×''r''0的部分，然后再使用''r''1×''r''1的正方形鋪……直到全部鋪滿為止，即到某步時正方形剛好覆蓋剩余的面積為止。此時用到的最小的正方形的邊長就是原來矩形的兩條邊長的最大公約數。在圖中，最小的正方形面積是21×21，而原先的矩形邊長是1071×462，所以21是1071和462的最大公約數。
在每個步驟''k''中，輾轉相除法都需要計算兩個數''r'k''?1和''r'k''?2的商''q'k''和余數''r'k''：
其中0 ≤ ''r'k''&nbsp;''k''?1。除法的算法保證這樣的商和余數總是存在。自然數的除法算法還指出這樣的商和余數是惟一的，但這對輾轉相除法而言并非必要。
在歐幾里得最初的描述中，商和余數是通過連續的減法來計算的，即從''r'k''?2中不斷減去''r'k''?1直到小于''r'k''?1。一個更高效的做法是使用整數除法和模除來計算商和余數：
輾轉相除法可用偽代碼表示，比如除法版本可以寫成
function gcd(a, b)
while b ≠ 0
b ← a mod b
return a
c++版本：
int gcd(int m,int n)
int t = 1;
while(t != 0)
t=m%n;
Rust版本：
fn gcd(x: isize, y: isize) -> Option {
match (x,y) {
(0, 0)         => None,
(a, 0)         => Some(a.abs),
(mut a, mut b) => {
while b != 0 {
let t = b;
b = a % b;
a = t;
Some(a.abs)
Python3版本：
while b != 0:
t = a % b
在第''k''次循環開始時，變量''b''的值是前一次運算的余數''r'k''?1，變量''a''的值是再前一次運算的余數''r'k''?2。步驟''b'' := ''a'' mod ''b''的作用等同于遞歸式''r'k'' ≡ ''r'k''?2 mod ''r'k''?1。變量''t''的功能是在下一個余數''r'k''計算過程中臨時性地保存''r'k''?1的值。在一次循環結束時，變量''b''的值是前一次運算的余數''r'k''，變量''a''的值是再前一次運算的余數''r'k''?1。
在歐幾里得定義的減法版本，取餘運算被減法替換。
if a = 0
if a > b
a ← a ? b
b ← b ? a
變量''a''和''b''的值分別是前兩次的余數''r'k''?1和''r'k''?2。假定第''k''次循環開始時''a''大于''b''，那么''a''等于''r'k''?2，因為''r'k''?2 > ''r'k''?1。在循環過程中，''a''重復減去''b''直到比''b''小，此時''a''就是下一個余數''r'k''；然后''b''重復減去''a''直到比''a''小，此時''b''就是下一個余數''r'k''+1；重復執行直到''b'' = 0。
以下是遞歸版本：
if b = 0
return gcd(b, a mod b)
c++遞歸版本如下：
int gcd(int n,int m)
return  m == 0 ? n : gcd(m, n % m);
Rust遞歸版本：
(0, 0)  => None,
(a, 0)  => Some(a.abs),
_       => gcd(y, x % y),
Java版本：
public class MethodOfSuccessiveDivision {
System.out.println(gcd(1071,462));
public static int gcd(int a,int b){
if(b == 0){
return a if b == 0 else gcd(b, a %b)
例如GCD(1071,&nbsp;462)的計算過程是：函數的第一次調用計算GCD(462,&nbsp;1071&nbsp;mod&nbsp;462)&nbsp;=&nbsp;GCD(462,&nbsp;147)；下一次調用計算GCD(147,&nbsp;462&nbsp;mod&nbsp;147)&nbsp;=&nbsp;GCD(147,&nbsp;21)，在接下來是GCD(21,&nbsp;147&nbsp;mod&nbsp;21)&nbsp;=&nbsp;GCD(21,&nbsp;0)&nbsp;=&nbsp;21。
在另一個版本的算法中，每一步還要把取余運算時計算出的商增加一后再重新計算余數（此時計算出的余數應該是負的），然后取兩個余數的絕對值較小的數作為下一步運算時使用的余數。取余運算后，設''r'k''是計算出的余數（此時為正），''q''是計算出的商：
即假設。然後使用以下式子計算出一個負的余數''e'k''：
如果|''e'k''|&nbsp;''k''|，那么用''e'k''替換''r'k''進行下一次運算。如利奧波德·克羅內克所指出的，這個版本需要的運算步驟是歐幾里得算法的所有版本中最少的。
輾轉相除法可能在歐幾里得之前幾個世紀就已經有了。圖為使用兩腳規進行測量。
輾轉相除法是目前仍然在使用的歷史最悠久的算法之一。它首次出現于《幾何原本》（卷7命題1–2、卷10命題2–3）（大約公元前300年）。在卷7中用于整數，在卷10中用于線段的長度（以現代的觀點看，線段的長度可視為正實數，也就是說輾轉相除法實際可用於實數上，但是當時未有實數的概念）。卷10中出現的算法是幾何的，兩段線段''a''和''b''的最大公約數是''a''和''b''的公度中的最大值。
這個算法可能并非歐幾里得發明，因為他也有將先前其他數學家的一些成果編進他的《幾何原本》。數學家、歷史學家認為卷7的內容可能來自畢達哥拉斯學院出身的數學家寫的關于數論的教科書。輾轉相除法在當時很可能已為尤得塞斯（大約公元前375年）所知
，甚至可能更早之前就已經存在，因為歐幾里得和亞里士多德的著作中都出現了一詞（意為“輾轉相減”）。
幾個世紀之后，輾轉相除法又分別被中國人和印度人獨立發現，主要用來解天文學中用到的丟番圖方程以及制定準確的歷法。5世紀末，印度數學家、天文學家阿里亞哈塔曾稱輾轉相除法為“粉碎機”，這可能是因為它在解丟番圖方程時很有效。在中國，《九章算術》中提到了一種類似輾轉相減法的“更相減損術”。《孫子算經》中則出現了中國剩余定理的一個特例，但是直到1247年秦九韶才於其《數學九章》中解答了該定理的一般情況，當中用到了他發明的大衍求一術。此法的其中一部分實際上便是輾轉相除的原理，秦九韶在書中對此有明確表述。在歐洲，輾轉相除法首次出現于的著作《愉悅討喜的問題》（'）的第二版在歐洲，輾轉相除法被用于丟番圖方程和構建連分數。后來，英國數學家在其著作中收編了擴展歐幾里得算法，作為一個有效計算連分數的方法。他將此法的來源歸名於。
19世紀，輾轉相除法促成了新數系的建立，如高斯整數和艾森斯坦整數。1815年，高斯用輾轉相除法證明高斯整數的分解是惟一的，儘管他的研究到了1832年才首度發表。高斯在他的《算數研究》（出版于1801年）中實際上也有援引這個算法，但僅是以連分數方法的形式敘述。約翰·狄利克雷是第一個將輾轉相除法作為數論的基礎的數學家。狄利克雷提出，數論中的很多結論，如分解的惟一性，在任何使輾轉相除法適用的數系中均有效。狄利克雷的數論講義後來經理查德·戴德金編輯和推廣，戴德金也有以輾轉相除法來研究代數整數。比如，他是第一個用高斯整數的分解惟一性證明費馬平方和定理的數學家。戴德金還率先定義了歐幾里得整環的概念。19世紀末，戴德金所定義的理想概念使得數論的重心不必建基於輾轉相除法，從而促進了理論的發展。
“歐幾里得算法是所有算法的鼻祖，因為它是現存最古老的非凡算法。”
——高德納，《計算機程序設計藝術，第二卷：半數值算法》，第二版 (1981), p. 318.
輾轉相除法的其他應用發展于19世紀。1829年，施圖姆將輾轉相除法用于施圖姆序列（用于確定多項式的不同實根的個數的方法）。
輾轉相除法是歷史上第一個，即尋找兩個可通約實數的整數關系的算法。近年來，出現了一些新穎的整數關系算法，如和福爾卡德于1979年發表的弗格森-福爾卡德算法（Ferguson–Forcade algorithm）
、以及與它相關的、HJLS算法以及PSLQ算法。
1969年，科爾（Cole）和戴維（Davie）基于輾轉相除法創造了一種二人游戲，叫做「歐幾里得游戲」。這個游戲有最優策略。游戲開始于兩列分別為''a''和''b''個棋子組成的序列，玩家輪流從較長一列中取走較短一列棋子數量的''m''倍的棋子。如果兩列棋子''p''和''q''分別由''x''和''y''個棋子組成，其中''x''大于''y''，那么玩家可以將序列''p''的棋子數量減少為自然數''x'' ? ''my''。最后率先將一列棋子清空的玩家勝出。
貝祖等式說明，兩個數''a''和''b''的最大公約數''g''可以表示為''a''和''b''的線性和。也就是說，存在整數''s''和''t''使''g''&nbsp;=&nbsp;''sa''&nbsp;+&nbsp;''tb''。
整數''s''和''t''可以從輾轉相除法算出的商''q''0、''q''1……計算出。 從輾轉相除法的最后一步開始，''g''可以表示成前一步的商''q'N''?1和前兩步的余數''r'N''?2和''r'N''?3：
而前兩步的余數又分別可以表示成它們前兩步的余數和商：
將這兩行式子先後代入第一個式子，可以將''g''表示成''r'N''?4和''r'N''?5的線性和。重復進行迭代直到出現''a''和''b''：
最終，''g''可以表示成''a''和''b''的線性和：''g''&nbsp;=&nbsp;''sa''&nbsp;+&nbsp;''tb''。貝祖等式以及以上證明都可以擴展至歐幾里得整環。
貝祖等式提供了另一種定義''a''和''b''的最大公約數''g''的方法。考慮形如''ua''&nbsp;+&nbsp;''vb''（其中''u''和''v''是整數）的數的集合。因為''a''和''b''都可以被''g''整除，所以這個集合中的所有元素都可以被''g''整除。也就是說這個集合中的數都可以表示成''g''的倍數，或者''a''和''b''的其他公約數的倍數。但是，只有最大公約數才是這個集合的元素。根據貝祖等式，有''g''&nbsp;=&nbsp;''sa''&nbsp;+&nbsp;''tb''。換言之，當''u''&nbsp;=&nbsp;''s''、''v''&nbsp;=&nbsp;''t''時得出''g''。任何其他的公約數都不是這個集合的元素，因為它們都不能被比它們大的''g''整除。相反地，''g''的任何倍數都屬于這個集合，只要令''u''&nbsp;=&nbsp;''ms''、''v''&nbsp;=&nbsp;''mt''，便有：
所以，形如''ua''&nbsp;+&nbsp;''vb''的數的集合等于''g''的整數倍的集合。也就是說，任意兩個數的線性和的集合等同于它們最大公約數的整數倍的集合。''a''和''b''的最大公約數叫做''a''和''b''的理想的生成元素。這個最大公約數的定義導出了兩個現代抽象代數的概念：主理想（由單個元素生成的理想）以及主理想整環（其每一理想都是主理想的整環）。
這個結果可以解決某些實際問題。例如，考慮兩個容積分別為''a''和''b''的量杯，其中''a''和''b''為正整數。通過加入或倒去''u''倍第一個量杯的體積以及''v''倍第二個量杯的體積的液體，任何體積為''ua''&nbsp;+&nbsp;''vb''的液體都可以被量出（只要''ua''&nbsp;+&nbsp;''vb''為正數）。根據貝祖等式，凡是可以被量出的液體，其體積一定是''a''和''b''的最大公約數''g''的倍數。
貝祖等式的整數''s''和''t''可以通過擴展歐幾里得算法算出。這個擴展算法在原有輾轉相除法的基礎上增加了兩個遞歸等式：
算法開始時：
加上這兩個遞歸式后，當算法終止于''r'N''&nbsp;=&nbsp;0，貝祖等式的整數''s''和''t''分別由''s'N''和''t'N''給出。
這個算法的正確性可以用數學歸納法來證明。假設遞歸至第''k''?1步是正確的，也就是假設：
在''j''小于''k''時皆成立。則第''k''步運算得出以下等式：
因為''r'k''?2和''r'k''?1被假定是正確的，所以可以用''s''和''t''表示：
整理后得到第''k''步的結果，和我們期望得到的結果一致：
整數''s''和''t''也可以用矩陣運算得出。輾轉相除法的計算過程：
可以寫作2×2的商矩陣乘以一個2維余數向量：
令M表示所有商矩陣的乘積：
這使輾轉相除法化簡為：
如要用''a''和''b''的線性和表示''g''，可將等式兩邊同時乘以矩陣M的逆矩陣。M的行列式等于(?1)''N''+1，因為它等于商矩陣的行列式的乘積，而每一個的行列式都是?1。因為M的行列式不為零，最終的余數向量可以利用M的逆矩陣解出：
由上式可以得出''g'' = (?1)''N''+1 ( ''m''22 ''a'' ? ''m''12 ''b'')。
貝祖等式中的兩個整數分別是''s''&nbsp;=&nbsp;(?1)''N''+1''m''22、''t''&nbsp;=&nbsp;(?1)''N'm''12。矩陣法的效率可前文描述的輾轉相除法的遞歸算法是相同的，每一步都有兩次乘法和兩次加法。
貝祖等式對輾轉相除法的很多應用都很重要，如證明自然數的唯一分解性質假設數字''L''可以寫成兩個因數''u''和''v''的乘積，即''L''&nbsp;=&nbsp;''uv''。如果另一個數''w''與''u''互素的數也能整除''L''，那么''w''必須整除''v''，證明如下：如果''u''和''w''的最大公約數是1，則根據貝祖等式存在''s''和''t''使
兩邊都乘以''v''：
因為''w''整除等式右邊，所以也應整除等式左邊的''v''。這個結果叫做歐幾里得引理。如果一個素數整除''L''那么它至少整除''L''的一個因數。如果一個數''w''互素于數列''a''1、''a''2、…、''a'n'' 中的每一個數，則''w''也一定互素于它們的乘積''a''1&nbsp;×&nbsp;''a''2&nbsp;×&nbsp;…&nbsp;×&nbsp;''a'n''。
歐幾里得引理足以證明每一個自然數的素數分解是惟一的。我們用反證法來證明，假設''L''可以分別分解成''m''個素數和''n''個素數，即：
根據假設，每個素數''p''都能整除''L''，因此它必須能夠整除某個''q''；因為''q''也是一個素數，所以''p''&nbsp;=&nbsp;''q''。同理，對于每一個''p''都存在一個''q''與它相等。所以兩種分解除了順序不同以外是完全相同的。整數分解的惟一性在數學證明中有很多應用，下文將會提到。
線性丟番圖方程：9''x''&nbsp;+&nbsp;12''y''&nbsp;=&nbsp;483的圖像，它的解用藍點表示。
丟番圖方程是以亞歷山大數學家丟番圖的名字命名的一類方程，它的解被限制在整數范圍。關于整數''x''和''y''的線性丟番圖方程形如：
其中''a''、''b''、''c''是已知整數。這個方程可以寫成關于''x''的同余式：
令''g''為''a''和''b''的最大公約數，a、b都能被g整除，故''ax''&nbsp;+&nbsp;''by''能夠被''g''整除。所以，''c''一定能夠被''g''整除，不然方程就無解。方程兩邊若同時除以 ，方程就變成了貝祖等式：
其中''s''和''t''可以用擴展歐幾里得算法求解。所以這個丟番圖方程的一個解即是：
總體而言，丟番圖方程如果有解，就一定有無數個解。只需要考慮兩個解 (x1,&nbsp;y1) 和 (x2,&nbsp;y2)：
或者可以寫成：
所以相鄰兩個解的''x''之間的差是，''y''之間的差是。這樣，所有的解都可以表示成：
當''t''取遍所有整數時，方程所有的解都可以從 (''x''1,&nbsp;''y''1) 計算出來。如果限制為正整數解 (''x''&nbsp;>&nbsp;0,&nbsp;''y''&nbsp;>&nbsp;0) 的話，那么解的數量就可能是有限的。有時候，這種對解的限制使丟番圖方程在未知數個數比方程數更多的情況下仍然能有唯一解，而在允許實數解的線性方程組中，這種情況是不可能的。
有限域是一個支持四種運算的數集。這四種運算也通稱為加法、減法、乘法、除法，跟一般的四則運算有相同的性質，如交換律、結合律和分配律。舉例來說，使用同余可以讓13個數字的集合 {0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;…,&nbsp;12} 構成一個有限域。在這個域中，任何數學運算（加減乘除）都歸約成13的模，例如 5&nbsp;×&nbsp;7&nbsp;=&nbsp;35&nbsp;mod&nbsp;13&nbsp;=&nbsp;9。對于任意素數''p''，都可以定義這種有限域；使用更復雜的方法，也可以對素數''p''的''m''次方定義這樣的有限域。有限域也叫做伽羅瓦域，其縮寫為 GF(''p'') 或 GF(''p''&nbsp;''m'')。
在這樣一個有''m''個數的域中，任何非零元素''a''都存在惟一乘法逆 ''a''?1 使''aa''?1&nbsp;=&nbsp;''a''?1''a''&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;mod&nbsp;''m''。這可以通過解同余式''ax''&nbsp;≡&nbsp;1&nbsp;mod&nbsp;''m'' 得出，或者也可以解與之等價的丟番圖方程
這個方程可用擴展歐幾里得算法解出（參見上文）。在RSA算法中，尋找乘法逆是非常重要的一步，它決定了使用哪個數來解密信息。雖然RSA算法不使用域而是使用環，擴展歐幾里得算法仍然可以用來求乘法逆。歐幾里得算法也被應用于糾錯碼，例如，它可以代替伯利坎普－梅西算法解基于有限域的BCH碼和里德-所羅門碼。
輾轉相除法也可以用來解線性丟番圖方程組。如在中國剩余定理中，整數可以表示成被''N''個互素的數''m'i''除留下的余數：
為了從''x''的''N''個余數''x'i''中確定''x''的值，我們將這些式子組合成單個線性丟番圖方程，其中模數''M''是所有模數''m'i''的乘積，然后定義''M'i''如下：
也就是，''M'i''是除了''m'i''以外所有模數的乘積。接著是關鍵的一步，尋找''N''個數''h'i''使：
有了這些數''h'i''之后，整數''x''可以用下式從余數''x'i''中解出：
因為''h'i''是''M'i''的乘法逆，所以可以使用擴展歐幾里得算法求出（見上一節）。
輾轉相除法和連分數有著緊密的關系。計算連分數的過程如下：
其中每個式子的右邊最后一項都等于下一個式子的左邊項的倒數。所以前兩個式子可以組合成：
第三個式子可以代入分母中的''r''1/''r''0：
每一步中，最后一項''r'k''/''r'k''?1都可以用下一個式子代換，直至最后一個式子，結果是：
在上文的例子中計算了GCD(1071, 462)，其中商''q'k''分別是2、3、7，所以分數 1071/462 可以寫成如下連分數形式：
計算最大公約數是很多整數分解算法的重要步驟，如、Shor算法、以及。用輾轉相除法算最大公約數效率非常高。而連分數分解法由于用到了連分數，所以也需要使用輾轉相除法。
用輾轉相除法求 GCD(x,y) 時所需的步數。紅點表示所需步驟較少（快），黃、綠、藍點所需步驟依次增加（慢）。
輾轉相除法的計算效率已經被徹底研究過了。一個算法的效率可以用計算所需步數乘以每步計算的開銷表示。加百利·拉梅于1884年指出，用輾轉相除法計算兩個數的最大公約數所需的步數不會超過其中較小數十進制下的位數''h''的5倍。因為每一步的計算開銷通常也是''h''數量級的，所以輾轉相除法的復雜度是''h''2。
計算兩個自然數''a''和''b''的最大公約數所需的步數可以表示為''T''(''a'',&nbsp;''b'')。如果''a''和''b''的最大公約數是''g''，''a''&nbsp;=&nbsp;''mg''，''b''&nbsp;=&nbsp;''ng''，而''m''和''n''是兩個互素整數，那么：
這可以通過在輾轉相除法的計算過程中的每一步都除以''g''來證明。同樣，當''a''和''b''同時乘以''w''時，計算步數不變：''T''(''a'',&nbsp;''b'')&nbsp;=&nbsp;''T''(''wa'',&nbsp;''wb'')。所以，對于數值上相近的數，如T(''a'',&nbsp;''b'')和T(''a'',&nbsp;''b''&nbsp;+&nbsp;1)，計算步數可能相差很大。
根據輾轉相除法的遞歸性質可以得出另一個公式：
其中，根據定義有''T''(''x'', 0)&nbsp;=&nbsp;0。
假設用輾轉相除法求自然數''a''和''b''（''a''&nbsp;>&nbsp;''b''&nbsp;>&nbsp;0）的最大公約數需要''N''步，那么滿足這一條件的''a''和''b''的最小值分別是斐波那契數''F'N''+2和''F'N''+1。這可以用數學歸納法證明。假設''N''&nbsp;=&nbsp;1，''b''整除''a''，滿足這一條件的''a''和''b''最小是''b''&nbsp;=&nbsp;1、''a''&nbsp;=&nbsp;2，正是''F''2和''F''3。現在假設這一規律對''M''&nbsp;?&nbsp;1有效。一個需要''M''步的算法的第一步是''a''&nbsp;=&nbsp;''q''0''b''&nbsp;+&nbsp;''r''0，第二步是''b''&nbsp;=&nbsp;''q''1''r''0&nbsp;+&nbsp;''r''1。因為算法是遞歸的，它需要''M''&nbsp;?&nbsp;1 步才能算出 GCD(''b'',&nbsp;''r''0)，其中''b''和''r''0的最小值是 ''F'M''+1 和 ''F'M''。所以''a''的最小值是當 ''q''0&nbsp;=&nbsp;1 的時候，此時 ''a''&nbsp;=&nbsp;''b''&nbsp;+&nbsp;''r''0&nbsp;=&nbsp;''F'M''+1&nbsp;+&nbsp;''F'M''&nbsp;=&nbsp;''F'M''+2。1844年，加百利·拉梅發現這個證明標志著計算復雜性理論的誕生。這也是斐波那契數列的第一個實際應用。
這個結果也證明了輾轉相除法的運算步驟不會超過較小數十進制下的位數的五倍。因為如果算法需要''N''步，那么''b''一定大于或等于''F'N''+1，也就是一定大于或等于''φ'N''?1，其中''φ''是黃金分割比。因為''b''&nbsp;≥&nbsp;''φ'N''?1，所以''N''&nbsp;?&nbsp;1&nbsp;≤&nbsp;log''φ'b''。因為log10''φ''&nbsp;>&nbsp;1/5，(''N''&nbsp;?&nbsp;1)/5&nbsp;10''φ''&nbsp;log''φ'b''&nbsp;=&nbsp;log10''b''，所以''N''&nbsp;≤&nbsp;5&nbsp;log10''b''。所以，輾轉相除法不會進行超過''O''(''h'')次除法，其中''h''是較小數''b''在十進制下的位數。
輾轉相除法的平均步驟數有三種不同的定義。第一種定義是計算已知自然數''a''和從0到''a''&nbsp;?&nbsp;1范圍內隨機選取的自然數''b''的最大公約數所需的時間''T''(''a'')：
但是因為''T''(''a'',&nbsp;''b'')在連續整數間變化非常劇烈，所以''T''(''a'')的值也會顯得很雜亂。
為了解決這個問題，第二種定義規定τ(''a'')只要取遍其中所有和''a''互素的數即可：
在小于''a''的數中，有''φ''(''a'')個數與''a''互素，其中''φ''是歐拉函數。在這個定義中，τ(''a'')的函數值增長得平穩很多。
誤差項的增長率為O(''a''?(1/6) + ε)，其中ε是無窮小量。公式中的常數''C''等于：
其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數，ζ′是黎曼ζ函數的導數。公式最左邊的由兩個獨立的方法確定。
因為第一種定義可以通過用第二種定義的求和來完成：
所以也可以由以下公式近似：
其中Λ(''d'')是馮·曼戈爾特函數。
第三種定義''Y''(''n'')定義為從1到''n''間隨機選取''a''和''b''（均勻分佈）時計算它們的最大公約數所需的平均步驟數：
將''T''(''a'')的近似公式代入，得到''Y''(''n'')的近似：
在輾轉相除法的每一步中，商''q'k''和余數''r'k''都通過''r'k''?2和''r'k''?1求出：
所以每一步的計算開銷主要與計算商''q'k''的算法有關，因為余數''r'k''可以很迅速地從''r'k''?2、''r'k''?1和''q'k''計算出來：
而計算一個''h''位整數的除法的算法復雜度是''O''(''h''(''?''+1))，其中''?''是商的位數。
作為對比，輾轉相除法原先的版本使用的是減法，因此效率要慢很多。進行一次除法等同于進行''q''次減法（其中''q''是商）。如果''a''和''b''的比很大，計算出的商也很大，也就需要進行很多次減法。但在另一方面，計算出來的商在大多數情況下都是非常小的，除法中得出一個確定的商''q''的概率大約是。其中''u''&nbsp;=&nbsp;(''q''&nbsp;+&nbsp;1)2。比如，商是1、2、3、4的可能性分別是大約41.5%、17.0%、9.3%、5.9%。因為計算機計算減法要快于除法，特別是對于很大的數字，所以減法版本的輾轉相除法的性能可以比得上除法版本。這也被運用于二進制最大公約數算法。
綜合考慮算法需要的步數和每一步的計算開銷，輾轉相除法隨兩個數字''a''和''b''的平均位數成平方級的速度增長(''h''2)。設''h''0、''h''1、…、''h'N''?1表示計算過程中的余數''r''0、''r''1、…、''r'N''?1的位數，因為算法的步數''N''隨''h''線性增長，所以算法的運算時間為：
因為輾轉相除法的高效率，它在實踐中被廣泛使用。作為對比，本段中介紹以下輾轉相除法以外的其他最大公約數算法的效率。
計算兩數''a''和''b''的最大公約數有一個效率很慢的算法：將''a''除以從2到''b''之間的每一個整數以計算出它們所有的公約數，其中最大的一個即是最大公約數。在這個算法中，步驟數隨''b''線性增長，也就是隨輸入數字的位數呈指數級增長。另一個很低效的算法是計算出兩個數的所有素因數（見上文），最大公約數等于所有公共素因數的乘積。但是整數分解算法效率極低，很多現代的加密系統甚至依靠這種低效率來防止資料被破解。
除了輾轉相除法之外，也有一些高效的算法存在，如二進制最大公約數算法將除法操作替換成了二進制的移位，以進一步提高用計算機運算時的效率。但是，這種改變并沒有降低算法的復雜度（仍然是''O''(''h''2)），雖然它在計算機上確實比輾轉相除法快些。也可以通過只檢視''a''和''b''的前幾位數來進一步提高效率，不過效果并不明顯。二進制版的算法還可以擴展到其它進制，效率最多可以提升五倍。
對于超過25,000位數的大數，有一種改進使算法復雜度降低至平方級以下，如Sch?nhage、Stehlé、Zimmermann等人提出的算法。這些算法利用2×2的矩陣（見上文）。這些亞平方級的算法復雜度通常是。
如上文所述，輾轉相除法最早用來尋找兩自然數的最大公約數，但其實它也可以被推廣至實數，甚至是多項式、二次整數和赫爾維茨四元數。在這些數系中，輾轉相除法甚至被用來證明一個重要特性：惟一分解，即這些數系中的數能夠被惟一地分解成不可約元素（素數在這些數系的對應物）。惟一分解是數論中很多證明的基礎。
輾轉相除法可以被應用至實數，如歐幾里得在幾何原本第10卷中所說的那樣。算法的目的是計算出實數''g''，使已知實數''a''和''b''是它的整數倍：''a''&nbsp;=&nbsp;''mg''、''b''&nbsp;=&nbsp;''ng''，其中''m''和''n''是整數。這也就找到了''a''和''b''的整數關系，即找到整數''s''和''t''使''sa'' + ''tb'' = 0。歐幾里得使用輾轉相除法來處理不可通約的長度。
實數的輾轉相除法和整數的算法有兩個區別。第一，余數''r'k''是實數，雖然商''q'k''仍然是整數。第二，算法不能保證在有限步內結束。如果能在有限步內結束，那么分數是一個有理數，即：
于是我們可以寫出它的有限連分數形式：。如果算法無法結束，那么是無理數，可以寫成無限的連分數形式：。無限連分數的一個例子是：黃金分割比和2的算術平方根：。通常，算法能夠結束的可能性是很低的，因為對于實數，幾乎所有都是無理數。
如果算法不結束，也可以在第''k''步時終止計算，得到近似連分數。終止時的''k''越大，則近似越準確。連分數''m''/''n''的分子和分母互素并滿足下式：
其中遞歸的初始值是。是在分母是''n'k''的數中最精確的有理數近似值：
只含有一個變量''x''的多項式可以和整數一樣進行加法、乘法和分解為不可約多項式（也就是多項式中的“素數”）。兩個多項式''a''(''x'')和''b''(''x'')的最大公約數''g''(''x'')定義為它們分解之后共有的不可約因式的乘積，這可以用輾轉相除法進行計算。對于多項式的算法和整數的算法很相似，在每個步驟''k''，計算出滿足以下遞歸式的商多項式''q'k''(''x'')和余數多項式''r'k''(''x'')：
其中''r''?2(''x'')&nbsp;=&nbsp;''a''(''x'')，''r''?1(''x'')&nbsp;=&nbsp;''b''(''x'')。所選擇的商式必須能使''q'k''(''x'') ''r'k''?1(''x'')的首項系數和''r'k''?2(''x'')的相等，這樣才能保證每個余數的次數小于前一個余數（deg''r'k''(''x'') ''k''?1(''x'')）。因為非零多項式的次數是非負整數，并且在每一步都減小，所以輾轉相除法的計算一定能在有限步內結束。最后一個非零余數即是兩個多項式''a''(''x'')和''b''(''x'')的最大公約數。
例如，有如下兩個四次多項式，都可以分解成兩個二次多項式的乘積：
在下一步中，''b''(''x'')除以''r''0(''x'')得到''r''1(''x'') = ''x''2 + ''x'' + 2。最終，''r''0(''x'')除以''r''1(''x'')得到的余數為0，所以''r''1(''x'')是''a''(''x'')和''b''(''x'')的最大公約數，這和它們因式分解的結果相符合。
上文所述的很多應用也適用于多項式。輾轉相除法可以解多項式的線性丟番圖方程和中國剩余定理，也可以用來定義多項式的連分數展開式。
多項式的輾轉相除法也有其他應用，如施圖姆定理，一個用于計算多項式在給定區間內的實根個數的方法。這被應用于其他領域，如控制論的勞斯-赫爾維茨穩定性判據。
最后，多項式的系數不必局限于整數、實數、甚至復數。這些系數可以是其他域中的元素，如上文所述的有限域GF(''p'')。從輾轉相除法得出的結論也可以直接推廣至這類多項式。
高斯素數''u''&nbsp;+&nbsp;''vi''在復平面的分布，其中''u''2&nbsp;+&nbsp;''v''2小于500。
高斯整數是滿足α&nbsp;=&nbsp;''u''&nbsp;+&nbsp;''vi''的復數，其中''u''和''v''是普通整數，''i''是虛數單位（-1的平方根）。通過在高斯整數中定義輾轉相除法，根據上文貝祖等式可以證明高斯整數的惟一分解。高斯整數的惟一分解性質在很多應用中都很重要，如計算勾股數或者證明費馬平方和定理。輾轉相除法用于這些應用很方便，但并非必不可少，一些定理也可以由其他方式證明。
對于兩個高斯整數α和β的輾轉相除法和普通整數只有兩個區別。像整數一樣，算法的第''k''步計算出商''q'k''和余數''r'k''：
其中''r'k''?2&nbsp;=&nbsp;α，''r'k''?1&nbsp;=&nbsp;β，每個余數都嚴格地小于前一個余數，|''r'k''|&nbsp;''k''?1|。第一個區別即是：商和余數都是高斯整數，也就是復數，所以商''q'k''是透過對實際比例（如複數α/β）的實部和虛部取最近似整數來找出的。第二個區別就是需要定義復數比較大小的方法。所以我們定義一個范數函數''f''(''u'' + ''v''i) = ''u''2 + ''v''2，以將高斯整數''u''&nbsp;+&nbsp;''vi''轉換成普通整數來比較大小。在每個步驟''k''中，余數的范數''f''(''r'k'')必須小于前一個余數的范數''f''(''r'k''?1)。因為范數是非負整數并且在每一步都減小，所以輾轉相除法在有限步內一定能結束。最后一個非零余數即是α和β的最大公約數，即能同時整除α和β的整數中范數最大的一個。若把乘以±1或±i的所得結果考慮在內，那麼可以說α和β的最大公約數是唯一的。
很多其他應用如線性丟番圖方程、中國剩余定理都適用于高斯整數，高斯整數的連分數也可以用輾轉相除法定義。
如果一個支持兩種二元運算（+ 和 ·）的元素的集合形成一個交換環''R''并且可以使用輾轉相除法求最大公約數，那么這個集合叫做歐幾里得整環。這兩個二元運算不必是平常算數中的加法和乘法，它們可以是更廣泛的概念，如群或幺半群中的運算。但是這些運算仍然需要遵守交換律、結合律、分配律。
推廣之后的輾轉相除法需要一個歐幾里得函數，即一個將''R''映射到非負整數集合的函數''f''，使得對于''R''中非零元素''a''和''b''，''R''中存在''q''和''r''滿足''a'' = ''qb'' + ''r''，''f''(''r'') 2''i''π/''n''是1的''n''次方根，即ω''n''&nbsp;=&nbsp;1。雖然這對于某些''n''成立（如''n''=3時的艾森斯坦整數），但在其他情況下并非總是正確的。惟一分解性質在分圓域的失效使恩斯特·庫默爾發明了理想數的概念，隨后理查德·戴德金創造了理想的概念。
艾森斯坦素數''u''&nbsp;+&nbsp;''v''ω在復平面的分布（范數小于500，ω等于1的立方根）。
二次整數環對于解釋歐幾里得整環很有幫助。二次整數是高斯整數的推廣，高斯整數中的虛數單位''i''被替換成一個復數ω。二次整數的形式是''u''&nbsp;+&nbsp;''v''ω，其中''u''和''v''是整數，ω有兩種形式，取決于參數''D''。如果''D''不等于四的倍數加一，那么：
如果''D''等于四的倍數加一，那么：
如果二次整數環有像上文用來比較高斯整數的那樣的范數函數，那么它就是規范歐幾里德整環。只有當''D''&nbsp;=&nbsp;?11, ?7, ?3, ?2, ?1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57或73時，二次整數環才是規范歐幾里德整環。''D''&nbsp;=&nbsp;?1和?3時的二次整數分別叫作高斯整數和艾森斯坦整數。