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* 臺灣民視/八大電視劇《終極三國》（2009年）：由邵翔飾演。
* 中國電視劇《三國》（2010年）：由陳奕霖飾演。
* 中國電視劇《武神趙子龍》（2016年）：由張曉晨飾演。
* 中國優酷網路劇《終極三國》（2017年）：由SpeXial-易恩飾演。
* 真三國無雙系列／無雙OROCHI系列（光榮公司開發，服卷浩司配音）
* 王者榮耀 定位為戰士／刺客
* 三國殺名將傳 定位為暴力隊肉盾
尼羅河（，，埃及語：?'pī / ''iteru''，科普特語：????? / ''phiaro''）是一條流經非洲東部與北部的河流，與中非地區的剛果河、非洲南部的贊比西河以及西非地區的尼日爾河並列非洲最大的四個河流系統。尼羅河長6650公里，是世界上第一長的河流。2007年雖有來自巴西的學者宣稱亞馬遜河長度更勝一籌，但尚未獲全球地理學界的普遍認同。尼羅河有兩條主要的支流，白尼羅河和青尼羅河。發源于埃塞俄比亞高原的青尼羅河是尼羅河下游大多數水和營養來源，但白尼羅河則是兩條支流中最長的。它源于非洲中部的大湖地區，其最遠的源頭位于盧旺達，向北它流經坦桑尼亞并注入維多利亞湖，再從此湖中溢出注入艾伯特湖，往北流入烏干達和蘇丹共和國南部，并于后者處形成大面積沼澤濕地。藍尼羅河源于埃塞俄比亞的塔納湖，從東南流入蘇丹。在蘇丹首都喀土穆附近，白尼羅河藍尼羅河相匯，形成尼羅河。尼羅河泛濫定期於每年7-11月。
尼羅河從蘇丹首都向北穿過蘇丹和埃及，所經過的地方均是沙漠。從古代開始埃及的文明就依靠尼羅河而形成和興旺。除海港和海岸附近的城市外埃及所有的城市和大多數居民住在阿斯旺以北的尼羅河畔，幾乎所有的古埃及遺址均位于尼羅河畔。在其入海口尼羅河形成一個巨大的三角洲，在這里它注入地中海。
尼羅河的古埃及語圣書體
尼羅河這個詞來自于阿拉伯語，而阿拉伯語又來自于希臘語，原意是河谷的意思。
古埃及語中尼羅河的發音是，意思是“大河”，其圣書體顯示在右圖中。
在科普特語，尼羅河被稱為或者，意思是“河流”，它也來源于古埃及名稱。
埃及境內的尼羅河
尼羅河的流域總面積為3,254,555平方公里，占非洲總面積的10%。
尼羅河有兩條主要支流：源于東非赤道附近的白尼羅河和源于埃塞俄比亞的青尼羅河。這兩條支流均位于東非大裂谷的西側。另一條較不重要的支流是阿特巴拉河，它只在下雨時流過埃塞俄比亞，而且此后很快就干枯了。
有人認為尼羅河的源頭是維多利亞湖。但是有一些相當大的河流注入維多利亞湖。其中最遠的源頭位于盧旺達的紐恩威森林。通過魯卡拉拉河、穆沃戈河、尼亞巴隆哥河和卡蓋拉河在坦桑尼亞城市布科巴附近注入維多利亞湖。
埃塞俄比亞青尼羅河上游巴希爾達附近的青尼羅河瀑布。按照其附近的一座村莊它也被稱為梯西薩特瀑布
(watershed)
在烏干達金賈附近尼羅河通過瑞本瀑布離開維多利亞湖，在這里它被稱為維多利亞尼羅河。它長約500公里，它流經基奧加湖注入艾伯特湖，此后被稱為艾伯特尼羅河。然后它流過蘇丹，在這里被稱為賈貝爾河（山河）。
在艾伯特尼羅河的流量基本上終年恒定，平均每秒流過1048立方米，此后尼羅河進入蘇丹南部的巨大沼澤地。在這個沼澤地中尼羅河由于蒸發和蒸騰作用喪失其一半的水量。到沼澤地末端其水流量降低到每秒510立方米。
在與720公里長的加扎勒河匯流后它被稱為，或白尼羅河。白尼羅河這個名字來自于懸浮在河水中的白粘土顆粒。
在馬拉卡勒白尼羅河的平均流量為每秒924立方米，十月初水流量最高，可以達每秒1218立方米，四月末水流量最低，為每秒609立方米。這個波動的原因是索巴特河，它在十月時流量僅每秒680立方米，在三月初則達每秒99立方米。在旱季（一月至六月）白尼羅河提供了尼羅河70％到90％的排放總量。
白尼羅河流過喀土穆。它漲水時留下營養豐富的淤泥。古埃及人使用這個土壤來種田。
青尼羅河源于埃塞俄比亞高原上的塔納湖，至喀土穆它長約1400公里。青尼羅河與白尼羅河匯流后形成尼羅河。尼羅河90%的水和96%的懸浮物來源于埃塞俄比亞，其中59%的水來自于青尼羅河。但是只有在夏季埃塞俄比亞高原上雨季雨水充沛的時候對土壤的侵蝕和運輸大，而在其它季節里從埃塞俄比亞注入尼羅河的水比較少。八月末的潮濕季節里青尼羅河的流量往往可以超過每秒5663立方米。
調整後的白尼羅河衛星空照圖
過去坦噶尼喀湖通過東非大裂谷注入艾伯特尼羅河，這條支流比現在最長的支流還要長約900英里。但是在中新世裡由于維龍加山脈火山爆發將這條河道堵住了。
在蘇丹境內，尼羅河與其下游非常不同。從蘇丹的喀土穆到埃及的阿斯旺段是尼羅河落差最大的一段。這一段長約1400公里，多峽谷，多拐彎，海拔從喀土穆的460米降到阿斯旺的180米，總落差280左右。由于河流沿途所遇的巖石硬度不同以及地質構造活動，這一段河床被侵蝕形成六個瀑布，自下游而上，分別命名為第一至第六瀑布。尼羅河從喀土穆往北約80公里，流經第一個峽谷--沙巴羅加峽（Sabaloka Gorge）。峽谷長約12公里，最大谷深150米左右，河面從峽谷上游的500-1000米突然縮小至寬150-250米。第六瀑布就位于該峽谷的北出口處，瀑布沒有明顯的落差，只是可以看到河兩岸的石頭，河水相對遄急一些。第六瀑布也就是尼羅河最上游的一個瀑布，位于喀土穆北90公里。從喀土穆北部的第六瀑布開始它轉向南，流相當長的一段后才轉向北。
阿特巴拉河是尼羅河最后一個大的支流。阿特巴拉河源于埃塞俄比亞，塔納湖以北，于喀土穆以北約300公里處注入尼羅河。
從一月至六月干燥季節中阿特巴拉河沒有流量，而白尼羅河的河水占尼羅河總流量的70%至90%，與此同時青尼羅河的流量僅為每秒113立方米。不過上游的水壩對流量有一定的調節。
尼羅河與大多數其它河流不同，從它總長度的一半開始（阿特巴拉河）它沒有支流了。從這一點開始向北它由于蒸發而不斷變小。
在造壩前在阿斯旺每年河水流量的差異可達15倍。八月末九月初高潮時流量為每秒8212立方米以上，四月末五月初低潮時流量為每秒552立方米。但是由于尼羅河河谷非常復雜，因此其主流的流量受到氣候、分支、蒸發和地下水水流的影響。
在開羅以北尼羅河分為兩個分流：羅塞塔河位于西部，達米埃塔河位于東部，形成尼羅河三角洲，注入地中海。
多年來對尼羅河的利用是東非和非洲之角的政治議題之一。許多國家，包括烏干達、蘇丹、埃塞俄比亞和肯尼亞抱怨埃及對尼羅河水資源的霸權。尼羅河流域計劃是促進“尼羅河流域國家”和平協作和平等使用得著最重要的項目。但是許多人依然對于埃及在當地的支配作用而感到不安。
卡蓋拉河和河匯流處
從石器時代開始尼羅河就已經是古埃及文明的命脈。埃及大多數居民和所有城市位于阿斯旺以北的尼羅河畔。前八千年以前由于氣候變化或者由于對干燥草原的過分畜牧利用導致尼羅河沿岸沙漠化，迫使人類越來越集中在河谷兩岸生活，了一個高度中央集權的農業經濟社會的形成。
在有史紀錄中，尼羅河曾于829年和1010年兩次封凍。
在埃及尼羅河也擁有精神意義。在古埃及神話中專門有一位對尼羅河年度洪水負責的神哈比。他和法老均控制尼羅河的洪水。同時尼羅河也被看作是生命、死亡和死后生命的一條通道。東方被看作是出生和生長的地方，西方則是死亡的地方，每天太陽神拉都經歷出生、死亡和再生。因為埃及人相信要獲得死后再生，他們必須被埋葬在代表死亡的一方，因此所有的墳墓均位于尼羅河西岸。
根據希羅多德的描寫繪制的公元前450年左右被居住的世界的地圖
希臘歷史學家希羅多德稱“埃及是尼羅河的贈禮”。沒有尼羅河水的灌溉埃及文明可能只會曇花一現。尼羅河為一個旺盛的文明和它三千多年不衰的歷史提供了一切條件。
希臘人和羅馬人均試圖尋找尼羅河的源頭，但都沒有成功。因此在古典希臘和羅馬的圖像中尼羅河總是被顯示為一名將頭和面用枝葉蒙蓋起來的男神。阿伽撒爾基德斯報道說托勒密二世派遣了一支遠征軍，這支軍隊至少能夠確定青尼羅河夏季的洪水是由埃塞俄比亞高原上的雨季導致的，可以確定的是這支遠征軍最遠到達了麥羅埃，但是在古代沒有任何歐洲人到達了塔納湖。
直到15、16世紀歐洲人對于尼羅河河源所知甚少。15、16世紀里歐洲人來到了埃塞俄比亞，見到了塔納湖，并且找到了湖南山里青尼羅河的源頭。詹姆斯·布魯斯自稱是第一個到達青尼羅河源頭的人，但是現代歷史學家認為耶穌會教士佩德羅·波埃茲是第一名找到青尼羅河源的人。不過從15世紀末開始歐洲人就已經居住在埃塞俄比亞了，因此很可能他們中有人在波埃茲之前就已經到達了青尼羅河河源，但是無法將這個消息傳出埃塞俄比亞。
對白尼羅河的知識就更少了。古代錯將尼日爾河當作是白尼羅河的上游。比如老普林尼稱尼羅河源于“下毛里塔尼亞的山里”，在地面上流過“許多天”的距離，然后轉入地下，然后又出現到地面上，形成一個巨大的湖，此后又沉到沙漠下，流過“20天距離，直到埃塞俄比亞附近”。
1858年英國探險家約翰·漢寧·斯皮克在隨同理查德·弗朗西斯·伯頓探查中非時到達了維多利亞湖的南岸。他是第一個看到維多利亞湖的歐洲人。斯皮克在第一次看到這個大湖時就相信他發現了尼羅河的源頭。他以維多利亞女王命名這個湖。伯頓這個時候正在坦噶尼喀湖邊養病，他對斯皮克稱發現了尼羅河的河源非常生氣。伯頓認為這個問題還沒有解決。兩人的公開爭吵很快就普及到了當時整個科學界，而且還引起了許多其他探險家的興趣。他們當中有聲稱證實，也有聲稱否定了斯皮克的發現的人。英國著名探險家和傳教士大衛·利文斯頓未能證實斯皮克的發現，他向西跑得太遠了，進入了剛果河的流域。最后美國探險家亨利·莫頓·史丹利環繞了維多利亞湖，在其北岸發現了瑞本瀑布，從而證實了斯皮克的發現。
2004年1月17日南非人亨德利·柯慈帶領的白尼羅河探險隊從烏干達的尼羅河河源出發。他們利用了四個月又兩星期沿尼羅河一直到達埃及羅塞塔尼羅河注入地中海處。國家地理學會于2005年末發行了一部題為《最長之河》的關于這次探險的紀錄片。
2004年4月28日地質學家和紀錄片制片人戈登·布朗一起從埃塞俄比亞的塔納湖一直到達地中海畔亞歷山大港海濱，成為第一次沿青尼羅河全程的人。雖然還有其他人參加了這次探險，但是他們兩人是唯一走過全程的人。他們使用了一臺和兩臺手提攝影機，將他們的探險拍成了名為《神秘的尼羅河》的電影。同時他們還出版了一本同名的書。他們在大多數路上使用機動的船。2005年1月29日加拿大人萊斯·吉克林和新西蘭人馬克·田納成為第一個完全使用人力劃槳走過尼羅河全程的人。
2005年4月30日一支由南非人彼得·梅瑞蒂特和亨德利·柯慈帶領的探險隊首次行過了尼羅河最遠的支流，從盧旺達紐恩威森林發源的卡蓋拉河。
2006年3月31日，一支由三名英國及紐西蘭人所組成探險隊在麥克格里格的帶領下宣布，他們從維多利亞湖再向上溯源，最後發現一個位於盧旺達紐恩威森林的源頭，長度約增加100多公里。
File:Sails on Nile near Aswen.jpg|埃及附近的尼羅河
File:Nile.jpg|在樂蜀與阿斯旺之間的游船上看尼羅河
File:EternalNile.JPG|尼羅河畔的沼澤地
埃及90%以上的人口分布在尼羅沿岸平原和三角洲地區。每年夏季尼羅河會發大水，在其河谷平原上沉積下肥沃的淤泥。尼羅河上有數個瀑布，它們主要是由小島、淺灘和礁石組成，組成阻礙航行的障礙。蘇丹境內的沼澤地對航行也造成障礙，以至于埃及曾經試圖挖運河來促進積水的流動。
今天尼羅河依然在大多數流程中被用來運輸貨物。尤其在冬季風逆流吹，因此帆船可以借助風力逆流而上，再借助水力行向下游。阿斯旺以北是傳統的旅游勝地，既有游艇也有傳統的木帆船。此外還有許多旅館式的游船，這些游船在樂蜀和阿斯旺之間航行，一般在埃德富和考姆翁布停靠。過去這些游船從開羅一直開到這里，但出于安全起見多年來只在北部航行。
1970年代，埃及在阿斯旺興建了一座110米的阿斯旺水壩，壩上出現了一個巨大的水庫——納賽爾水庫，得到發電、防洪、灌溉、養魚、航運、旅游等利益。大壩的建成雖然防止了下游的洪水泛濫，但是尼羅河攜帶至下游和入海的泥沙大大減少，尼羅河三角洲的海岸線受海浪侵蝕不斷向后退縮。埃及政府已采取措施，防止三角洲被地中海吞沒。
尼羅河畔的城市有喀土穆、阿斯旺、樂蜀、開羅等。首都開羅在尼羅河三角洲的頂端，是阿拉伯國家中人口最多的城市。亞歷山大港是埃及在地中海邊的重要港口，也是非洲最大的港口。
1980年代里干旱在蘇丹和埃塞俄比亞導致大規模的饑荒。但是埃及通過納賽爾水庫的存水防止了干旱的襲擊。
今天的尼羅河是歷史上第五條從埃塞俄比亞高原向北流的河流。使用衛星圖像可以在沙漠里看到今天尼羅河以西的干枯了的河道。一條在中新世晚期古尼羅河的河道今天已經被泥砂填沒。古尼羅河將碎屑巖沉淀帶入地中海，今天在這些巖層中發現了數個天然氣礦。
中新世晚期的地中海與大西洋隔絕，蒸發導致整個地中海幾乎干枯時，尼羅河一直流到地中海的海底，到海拔數百米以下。今天這條河谷已經被后來的沉淀堆滿。
在維龍加山脈的火山將河道截斷之前坦噶尼喀湖的水注入尼羅河，當時尼羅河最遠的河源位于今天贊比亞的境內。
馬神廟位于北京市海淀區阜成路西段的一個地名，為紀念袁崇煥贈給祖大壽的戰馬“賽赤兔”而修建。附近有北京工商大學。以及工運學院。
數學上，序數是自然數的一種擴展，與基數相對，著重於次序的性質。大於有限數的序數也稱作超限序數。
超限序數是由數學家格奧爾格·康托爾于1897年引入，用來考慮無窮序列，並用來對具有序結構的無窮集進行分類。
自然數可以用來做兩件事：描述一個集合的大小，或者描述序列中一個元素的位置。在有限的世界里這兩個概念是一致的，當處理無限集合時人們不得不區分這兩者。從大小的概念可以引申出如康托爾描述的“基數”，而位置的概念則被推廣到這里將要說明的序數。
基數這一概念可以適用於沒有特殊結構的集合，而序數卻和同一種稱為良序集的特殊集合有著密切的關聯（這種關聯如此密切，以至于一些數學家不去區分這兩個概念）。簡單說來，一個良序集是一個全序集（任意給定兩個元素，可以定義一個大的、一個小的），不存在無窮降鏈（但可以有無窮升鏈），換言之有最小元素。序數可以用來標定任何給定的良序集的元素（最小的元素標定為0，其后的標定為1，再后的標定為2，依此類推），同時也可以用來給出良序集的“長度”—沒有用來標定良序集的元素的最小序數就是這個良序集的長度。這個“長度”也稱為集合的序類型。
任何一個序數都是通過先于它的所有序數構成的集合來定義：實際上，序數最常見的定義就是把每個序數等同于先于它的所有序數構成的集合。比如，序數42就是比它小的序數的序類型，也即，我們把從0（所有序數中最小的）到41（42的直接前驅）這些序數組成集合{0,1,2,…,41}，該集合就是序數42。相反的，任何下閉的序數集合—意思是說，任何比該集合中一個序數小的序數都在該集合中—就是（或者等同于）一個序數。
ω2的“火柴桿”圖像表示，每個豎桿與一個形如“ω·''m''+''n''”的序數相對應（這里''m''和''n''是自然數）。
目前為止，我們只考慮了有限的序數，即自然數。但無限的序數也是存在的：最小的無限序數是ω，它是自然數（有限序數）的序類型，或者等同于自然數集（實際上，自然數集是良序的—正如所有的序數集合一樣—并且自然數集也是下閉的，所以它等同于一個序數，也就是我們定義的ω）。
或許對序數更清晰的直覺可以通過檢視最初的幾個序數建立起來：如上所述，序數開始于自然數，0, 1, 2, 3, 4, 5, …；然后在所有的自然數之后是第一個無限序數，ω，緊接其后的是ω+1, ω+2, ω+3，等等（加號的確切含義將會在后面給出，這里把它看作標籤就可以了）。在這些之后就是ω·2（也即ω+ω）, ω·2+1, ω·2+2，等等，緊接著是ω·3，然后是后來的ω·4。我們通過這種方式形成的序數集合（形如“ω·''m''+''n''”的序數，這里''m''和''n''是自然數），一定有一個序數等同於它：即ω2。更進一步，我們可以得到ω3，ω4，等等，以及ωω和其后的ωω2，乃至其后很多的ε0（這只是給出了幾個最小—可數—的序數）。我們可以按照如上方式無限的進行下去。
檔案: Constructing The Natural Numbers.gif
良序集合是在其中所有非空子集都有一個最小元素的有序集合：這等價于（至少在假定依賴選擇公理下）說這個集合是全序的并且沒有無限遞減序列，這樣說可能較直觀。在實踐中，良序的重要性體現於超限歸納法的應用，大致上它是聲稱，若有一性質可從一個元素的前驅傳遞到這個元素自身，那麼該性質必定對（給定良序集合的）所有元素成立。如果一個計算（計算機程序或游戲）的狀態可以被良序，即在每一個步驟都伴隨著“更低”的步驟的方式下，則這個計算必然會終止。
現在我們不想區分兩個良序集合，如果它們只是在“它們元素的標記”上不同，或者更加形式的說：如果我們可以把第一個集合的元素和第二個集合的元素配對起來，使得如果在第一個集合中一個元素小于另一個元素，則在第二個集合中第一個元素的配對者也小于第二個元素的配對者，反之亦然。這種一一對應叫做序同構（或嚴格的遞增函數），而這兩個有序集合被稱為序同構的，或相似的（明顯的這是一個等價關系）。假定在兩個有序集合之間存在一個序同構，這個序同構是唯一的：所以，把兩個集合視為本質上同一的，并尋求同構類型（類）的“規范”代表，就顯得很自然了。這就是序數所提供的作用，并且它還給任何良序集合的元素提供了規范的標記方式。
所以我們本質上希望定義序數為良序集合的同構類：就是說，作為“是序同構”這一等價關系的等價類。但是這涉及一個技術上的困難，事實上這個等價類實在太大了，所以在策梅洛-弗蘭克爾集合論中並不是一個集合。但是這不是個嚴重的困難。我們稱序數是在這個類中任何集合的序類型。
序數的最初定義，例如在《數學原理》中，把一個良序的序類型定義為，由類似（序同構）于這個良序的所有良序組成的集合。換句話說，序數是良序集合的等價類。這個定義在ZF和相關的公理化集合論中必須拋棄，因為這些等價類太大而不能是集合。但是這個定義，在類型論、蒯因的新基礎集合論和有關的系統中仍可使用（就最大序數的布拉利-福爾蒂悖論，在這裡它給出了頗令人驚訝的另一種解決方式）。
與其定義序數為良序集合的等價類，我們可以嘗試定義它為（規范的）代表這個類的某個特定良序集合。因此我們希望把序數構造為特殊的良序集合，使得所有良序集合都同構于一個且只是一個序數。
馮·諾伊曼提議了巧妙的定義，現在被作為了標準：定義每個序數為特殊的良序集合，也就是在它之前的所有序數的集合。形式的說:
:一個集合''S''是一個序數，當且僅當''S''中的元素在集合從屬關系下為全序集，并且''S''的任意元素也是''S''的子集。
自然地，這樣的一個集合''S''在集合包含關係下為良序集。這依賴于良基公理：所有非空集合''B''都有一個元素''b''不相交于''B''。
按此定義，自然數也是序數。（參見自然數的集合論定義）例如，2是4 = {0, 1, 2, 3}的一個元素，而2等于{0, 1}，因而它是{0, 1, 2, 3}的子集。
可以通過超限歸納法證明，所有有限的良序集合都精確的同構于這樣構建的序數的其中一個。
進一步的，所有序數的元素也是序數自身。給定兩個序數''S''和''T''，''S''是''T''的一個元素，當且僅當''S''是''T''的真子集。此外，要么''S''是''T''的一個元素，要么''T''是''S''的一個元素，要么它們是相等的。所以所有的序數集合都是全序集。事實上: 所有的序數集合都是良序集。這個重要結果一般化了“所有的自然數集合是良序集”此一事實，并允許我們自由地通過序數使用超限歸納法。
另一個推論是所有序數''S''都是完全由小于''S''的序數作為元素的一個集合。這個陳述以其他序數完全確定了所有序數的內部結構。它被用于證明關于序數的很多其他有用的結果。其中的一個例子是在序數間的次序關系的重要性質：所有的序數集合都有一個上確界，這個序數是通過取在這個集合中的所有序數的并集而獲得的。另一個例子是所有序數的搜集不是集合的事實。因為所有序數只會是包含其他序數，從而所有序數的搜集的所有成員也是它的子集。所以，如果這個搜集是個集合，通過定義它自身將必定是個序數；那么它將是自身的成員，這跟正規公理矛盾。（請參見布拉利-福爾蒂悖論）。所有序數的類通常寫為"Ord"、"ON"或"∞"。
一個序數是有限的，當且僅當它的反序也是良序的，即當且僅當它的所有子集都有最大元素。
假設良序定理，所有集合都可加上良序關係。利用超窮遞歸可證明所有良序集都與某序數同構（即存在雙射使得a>b ? f(a)>f(b)）。有限集合所有良序關係都是同構的，若有''n''個元素，對應序數就是''n''。無限集合有無限的良序關係，如自然數集配以0b ? ''f''（a）>''f''（b）。一個集合對應的最小序數，就是這集合的基數。
還有序數定義的其他現代公式化。這些定義在本質等價于上面給出的定義。下面給出其中的一個。一個類''S''被稱為傳遞性的，如果''S''的每個元素''x''是''S''的子集，也就是。序數接著被定義為其成員也是傳遞的傳遞集合。從它得出成員們自身也是序數。注意使用了正規公理（基礎公理）來證實這些序數通過包含（子集）是良序的。
超限歸納法在任何良序集合中成立，但是它與序數的關系如此重要而值得在這里重申。
:若有一性質可從小于給定序數''α''的序數的集合傳遞到''α''自身，則此性質對所有序數都成立。
就是說，如果“若''P''(''β'')對所有''β''ι)是一個序數序列（由極限''γ''標定的族）的時候，并且如果我們假定 (''α''ι)是遞增的（''α''ιι′只要''ι''ι}的最小上界，就是說大于這個序列任何一項的最小序數（總是存在）。在這個意義上，極限序數是所有（由自身標定的）更小序數的極限。
因此，所有序數要么是零，要么是一個后繼者（有一個良好定義的前驅者），要么是極限。這個區別是重要的，因為很多通過超限歸納的定義依賴于它。經常地，在通過超限歸納在所有序數上定義一個函數''F''的時候，你定義''F''（0），和''F''(''α''+1)（假定''F''(''α'')已定義了），并接著對極限序數''δ''定義''F''(''δ'')為對所有''β''0 = ω的勢為，它也是ω2或ε0（都是可數序數）的勢。所以（假定選擇公理）我們把ω等同於，除了記號用在寫基數的時候，而ω用在寫序數的時候（這一點很重要，因為而）。還有，是最小的不可數序數（要看出其存在性，只需考慮由自然數的良序的等價類組成的集合：每個這樣的良序都定義了一個可數序數，然後是這個集合的序類型），是勢大于的最小序數，以此類推，而是對自然數''n''的極限（任何基數的極限是基數，所以這個極限實際上是在所有之后的第一個基數）。
序數的共尾性是作為的共尾子集的序類型的最小序數。注意一些作者只對極限序數定義或使用共尾性。序數或任何其他良序集合的集合的共尾性是這個集合的序類型的共尾性。
因此對于極限序數，存在著一個極限為的-標定的嚴格遞增序列。例如，ω2的共尾性是ω，因為序列ω·''m''（這裡的''m''在自然數上取值）趨向于ω2；但是，更加一般的說，任何可數極限序數都有共尾性ω。一個不可數的極限序數可以有要么同一樣的共尾性ω，要么有不可數共尾性。
0的共尾性是0。任何后繼序數的共尾性是1。任何極限序數的共尾性至少是。
等于其共尾性的序數叫做正規的，并且它總是初始序數。任何正規序數的極限都是初始序數的極限，因而也是初始的，即使它不是正規的（它通常不是）。如果有選擇公理，則對于每個α，都是正規的。在這種情況下，序數0, 1, , ，和都是正規的，而2, 3, ，和ωω·2是非正規的初始序數。
任何序數''α''的共尾性都是正規序數，就是說''α''的共尾性的共尾性等同于''α''的共尾性。所以共尾性運算是等冪的。
我們已經提及了（參見康托爾范式）序數艾普塞朗數ε0，它是滿足等式的最小序數，所以它是序列0, 1, , , ，等的極限。很多序數可以用特定序數函數的不動點的方式定義（如果使得的第個序數叫做，則我們總可以繼續嘗試找到使得的第個序數，“以此類推”，但微妙在于“以此類推”）。我們可以嘗試有系統的這么做，而不管用什么系統來定義和構造序數，總是有一個序數正好位于這個系統所構造的所有序數之上。也許以這種構造系統的方式限定的最重要的序數是邱奇-克萊尼序數（儘管名字中有，這個序數是可數的），它是不能以可計算函數表示的最小序數。不過，還是可以在之下定義相當大的序數，它們有的標誌著特定形式系統的“證明論強度”（例如，標誌著皮亞諾算術的強度）。也可以在邱奇-克萊尼序數之上定義更大的序數，這些大序數會在邏輯的多個部分有研究價值。
* Conway, J. H. and Guy, R. K. "Cantor's Ordinal Numbers." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 266-267 and 274, 1996.
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* Patrick Suppes, ''Axiomatic Set Theory'', D.Van Nostrand Company Inc., 1960
* Ordinals at ProvenMath
京劇中的關羽
關羽，字雲長，本字長生，司隸河東解良人（今山西省運城市），約生於東漢桓帝延熹年間，漢末三國時劉備的主要親信、生死之交和著名將領，同時與張飛也是生死之交。二人並稱“萬人敵”。建安四年（199年），受封漢壽亭侯。赤壁之戰後，劉備助周瑜攻打南郡曹仁，遣關羽絕北道，阻擋曹操援軍，曹仁退走。後來劉備領軍入益州，關羽留守荊州。建安二十四年（219年），關羽圍襄樊二城，曹操派于禁前來增援，關羽擒獲于禁，斬殺龐德，曹操一度想遷許都以避其銳。後曹派徐晃前來增援，而東吳背盟，遣陸遜、呂蒙偷襲荊州，關羽腹背受敵，兵敗被殺。景耀三年（260年），蜀漢后主劉禪追謚壯繆侯。
關羽最為特殊之處是由于他性情忠義而倍受中華文化推崇，並且被作為神祇膜拜，產生關羽信仰，並傳至日本、朝鮮、越南、琉球等漢字文化圈國家。由于他體現了儒家文化中捍衛正統的忠義勇武的形象，多被民眾尊稱為關公、關老爺，又多次被后代帝王褒封，直至武聖，與“文圣”孔子齊名。故也俗稱為（關）聖帝、（關）帝君、（關）聖帝君、關帝、關帝爺等而流傳至今。道教尊為協天大帝、伏魔大帝、翊漢天尊等，漢傳佛教及藏傳佛教奉其為護法神之一，稱為「伽藍菩薩」。其中儒宗神教奉為五文昌之一，而扶鸞信仰者則奉為恩主，故又稱關公為恩主公、山西夫子、文衡聖帝、文賢聖帝，是為五恩主之一。民間受《三國演義》等傳統作品影響，普遍認為關羽與劉備、張飛義結金蘭，關羽排行第二，故又俗稱其為關二爺、關二哥。陳壽撰寫之《三國志》，將關羽與張飛、馬超、黃忠、趙雲合為一傳（《三國志·蜀書·關張馬黃趙傳》），羅貫中的長篇小說《三國演義》又將該五人并稱“五虎上將”，毛宗崗稱其為“三絕”之“義絕”。直至現代，某些社會群體與場合仍常有祭拜關公。
日本大阪市關帝廟內的關羽神像
關羽是河東解良人。早年因犯罪而亡走家鄉，避難於涿郡。中平元年（184年），劉備在鄉里募集支持民眾以組織一支義勇軍來參與保衛鄉里免於黃巾軍的掠奪，而關羽與張飛也隨之禦侮。191年，劉備擔任平原相時，以關羽、張飛為別部司馬，分統部曲。劉備與二人寢則同床，恩若兄弟。而稠人廣坐，侍立終日，隨劉備周旋，不避艱險。
194年，劉備繼陶謙領徐州，之後在建安元年（196年）被袁術、呂布夾攻，關羽便跟隨劉備一起投奔曹操。198年，劉備與曹操一同在下邳圍攻呂布；據《蜀記》及《華陽國志》記載，當時呂布部將秦宜祿外出求援，留下前妻杜氏和兒子秦朗，關羽以其妻沒有生子，曾向曹操請求城破後娶杜氏為妻，曹操答應。之後關羽又數次向曹操提起，曹操懷疑杜氏是否異常美貌，城破後便先去看她，見她有美色，便占為己有，關羽因此心中不安。後來曹操任車冑為徐州刺史，關羽與劉備便跟隨曹操班師。曹操和劉備一同打獵，關羽勸劉備趁機殺死曹操，劉備不聽。後袁術北上投奔袁紹，劉備奉曹操命攔截袁術於徐州，劉備趁機襲殺車冑，命關羽守下邳、領徐州，劉備返回小沛。
日本浮世繪中的關羽
建安五年（200年）正月，曹操攻破劉備，劉備投奔袁紹，關羽戰敗被生擒。曹操任命關羽為偏將軍，禮之甚厚。曹操壯慕關羽為人，而察知其無久留之心意，謂張遼試以人情探問。既而張遼以此問關羽，關羽嘆息道：「吾極知曹公待我厚，然吾受劉將軍厚恩，誓以共死，不可背之。吾終不留，吾要當立效以報曹公乃去。（我深知曹公待我甚厚，但我受劉備將軍厚恩，發誓共死，不可背棄。我始終不會留下，我必要立功報效曹公後才離去。）」張遼以關羽言報告曹操，曹公義之：「事君不忘其本，天下義士也。」，張遼回答曹操：「羽受公恩，必立效報公而後去也。」（關羽受到主公的恩惠，必定會報答主公之後再行離去。）
同年二月，袁紹派大將顏良與淳于瓊、郭圖等攻白馬，曹操親自率軍救援，並命張遼與關羽為先鋒。關羽望見顏良麾蓋，單人匹馬衝入敵陣，殺顏良於萬軍中，斬首而返，袁軍將領無人能擋，白馬之圍被解，關羽被封為漢壽亭侯。
關羽立功後，曹操知道關羽必會離去，反而重加賞賜，想要留住他，但是關羽盡拒曹操賞賜，四月留書告辭，回到劉備身邊。曹操左右欲追之，不過曹操說「彼各為其主，勿追也。」而阻止。當時劉備已在汝南附近，聯合劉辟等進攻曹操，于是前去該處會合。裴松之註讚揚曹操：「曹公知羽不留而心嘉其志，去不遣追以成其義，自非有王霸之度，孰能至於此乎？斯實曹公之休美。」
皇家安大略博物館藏關羽塑像
201年，劉備攜民以投靠劉表，屯兵於新野。建安十三年（208年），諸葛亮剛從隆中出來，受到劉備重視，只是由於劉備與自己情好日密，就引得「關羽、張飛等不悅」，最後還是劉備出來說：「孤之有孔明，猶魚之有水也。願諸君勿復言。（我有孔明，就像魚得到水。但願諸位切莫再說。）」；關羽、張飛才作罷。曹操南下，劉備南逃，另遣關羽乘數百艘船駛向江陵（故楚郢都）會合，但劉備於途中被曹操軍追至擊潰，幸而關羽軍駛至漢津，一同乘船至夏口。長坂會面後，魯肅隨劉備向東南斜趨漢津，在此與關羽水軍會合，接著向江夏進發。劉備聯合孫權在烏林擊敗曹操後，曹操留曹仁等防守江陵，於是劉備又與孫權大將周瑜夾攻曹仁，命關羽絕北道斷曹仁後路，最後成功逼使曹軍放棄江陵。劉琦死，群下推劉備為荊州牧，劉備即遣諸葛亮為軍師中郎將，督令零陵、桂陽、長沙三郡，收其租賦，以供軍實，又以關羽為襄陽太守、蕩寇將軍駐江北，張飛為宜都太守、征虜將軍在南郡，趙雲為偏將軍領桂陽太守。這時襄樊等荊州北部為曹操所有。劉備平定蜀地後，以關羽總督荊州事，掌管劉備所控制之部分荊州，包括荊州南部四郡（武陵、零陵、桂陽、長沙）和從東吳借來的南郡治所江陵和附近的孱陵。江夏郡則被曹操和孫權所分。建安十六年（211年）三月，曹操下令鍾繇率軍西征漢中張魯，讓夏侯淵出河東與鍾繇相會。在張松出言下，益州牧劉璋採納請劉備入蜀之意見，並派軍議校尉法正為使，孟達為副，各領兵2,000人，前往荊州邀請劉備入蜀助攻張魯。諸葛亮、關羽、張飛、趙雲、劉封、孟達、馬良等留在荊州。
從建安十八年至建安十九年，劉備圍攻雒城將近一年，龐統被流矢射中，重創身亡。張飛、趙雲、劉封等隨諸葛亮率軍入蜀，關羽留下鎮守荊州，馬良、麋芳、士仁、廖化協助關羽鎮守荊州。關羽聽說馬超歸降劉備，便寫信給諸葛亮，問馬超才能可與誰相比，諸葛亮回信說：「馬超文武兼備，氣概雄烈，過於常人，可稱得上一世之豪傑，是黥布、彭越一流之人物，可以與張飛相提並論，但是趕不上美髯公你超逸絕群。」劉備派簡雍進入成都勸說劉璋投降，劉璋與簡雍「同輿而載，出城歸命」；劉璋向劉備繳械投降，益州易主，歸屬劉備。在建安二十年（215年），曹操征伐漢中，最終降服張魯，搶在劉備之前占有漢中。孫權派人討還荊州，劉備答道：「須得涼州，當以荊州相與」；為盡快解決荊州問題，回兵保衛益州，劉備以湘水為界，將江夏、長沙、桂陽三郡劃給孫吳。孫權認為劉備只是敷衍，於是派太守要接管荊南三郡，被關羽一一驅逐。孫權大怒，命呂蒙率兵二萬強行攻取三郡，又命魯肅率萬餘兵馬駐軍巴丘防止關羽來救；劉備聞訊，派關羽帶兵前往爭奪，並親率五萬兵到公安作為關羽後援。時關羽號稱有三萬人馬，自選五千精銳宣稱要從上游渡河，吳將甘寧率領一千人前往駐守，關羽得知后沒有過河，在河對岸扎營，這個地方後來稱為“關羽瀨”。雙方對峙期間，呂蒙已盡取三郡，北上與魯肅會合。於是魯肅邀請關羽會談，雙方約定軍馬各駐於百步外，僅雙方將領攜帶單刀與會，會中雙方據理力爭，但沒有共識。此時，曹操進攻漢中的張魯，武陵及零陵歸劉。但雙方關係已趨惡化，孫權已經仇視劉備、關羽君臣。
成都武侯祠中的關羽塑像
建安二十四年（219年）秋七月，馬超、龐羲、射援、諸葛亮、關羽、張飛、黃忠、法正、李嚴等120人聯名上表劉備為漢中王。劉備在奪得漢中後自稱漢中王，拜關羽為前將軍、假節鉞，都督荊州。同年，關羽率軍從江陵北上，發動襄樊戰役。關羽率軍進攻荊州北部的樊城，當時樊城是曹操部下曹仁駐守，曹操派左將軍于禁進行援救。于禁七軍火速增援曹仁，關羽與于禁交鋒，時至八月，大雨滂沱，山洪暴發，漢水驟漲，水淹七軍，于禁束手就擒，部下幾乎全部投降，副將龐德被活捉不降，最後被關羽所殺。關羽進一步圍困曹軍大將曹仁於樊城，並另派遣軍隊包圍襄陽。而曹操所指派的荊州刺史胡修、南鄉太守傅方反而投降了關羽。與此同時，自許都以南，曹操陣營治下的梁、郟、陸渾等地的盜賊皆回應關羽的印號，願為其支黨，關羽一時威震華夏。
這使曹操與群臣商議遷徙漢獻帝所在之許都以避關羽兵銳鋒芒，司馬懿、蔣濟等人勸阻，以為關羽得志，孫權必不服，可遣人勸孫權在其後方干擾、從背后出兵攻擊關羽，許諾「封」江南之地予孫權，則樊城之圍自然解決，曹操同意。
成都武侯祠庭院中的關羽雕像
建安二十四年（219年）十月，曹操動員徐晃、張遼等將，及兗州刺史裴潛、豫州刺史呂貢等率軍救援樊城，更準備親自征討關羽。十月，呂蒙任征荊州大督，率兵西上，公安士仁、江陵麋芳開城投降。孫權親自率軍為後援。麋芳、士仁因與關羽有嫌隙而不戰而降，呂蒙、陸遜等遂次第攻陷荊州各地。
救援樊城的徐晃一開始因為部隊多為新兵，認為很難與關羽抗衡，不過之后曹操先后派遣徐商、呂建等將領以及殷署、朱蓋等12營兵馬增援徐晃，最終徐晃出戰擊敗圍困樊城的關羽軍隊。此時，關羽知悉後方生變乃南撤，但水軍仍然控制漢水。關羽回軍江陵途中，陸遜任右護軍、鎮西將軍屯駐夷陵，呂蒙任南郡太守駐江陵。期間關羽不斷派遣使者前往呂蒙處，關羽軍隊家屬多在江陵，呂蒙讓使者到城中傳遞家書，關羽軍因此漸漸潰散。關羽至當陽西保麥城，敗走麥城後，士兵繼續逃散，關羽身邊只剩十餘騎。十二月（220年1月23日—2月21日），關羽偽降，在城墻上立幡旗模仿人樣，借機率數十騎出逃，一路突圍至臨沮縣章鄉南（今湖北省襄陽市南漳縣）。十二月關羽被孫權大將潘璋部將馬忠捕殺，孫權將其首級送至洛陽曹操處。關平、趙累亦於臨沮被斬殺。
蜀記記載，孫權一度有意不處決關羽，將他留下做為應對劉備和曹操的戰力；孫權近臣建言：「野狼絕不可豢養，否則一定會帶來禍害。曹操於活捉關羽後沒有立即將他處斬，自取大患，後來受他反攻而甚至一度考慮遷都，主公難道忘記了嗎？關羽萬萬不可活命。」裴松之注則認為，按吳書孫權遣將潘璋逆斷羽退路，羽至即斬，而且臨沮去江陵二三百里，不可能不即時殺關羽，焉有時間議其生死。南北朝時世人普遍認為關羽不願投降而殉節。
洛陽關林關羽像
孫權將關羽首級送給曹操，曹操以諸侯之禮將其安葬于洛陽，通常認為即關林，不過現代有觀點認為關莊村關羽墓才是埋葬關羽頭顱之處，關林只是萬歷年間建的祀祠場所。孫權將關羽身軀以諸侯禮安葬于當陽，即關陵，也稱當陽大王冢。蜀漢政權則在成都為關羽建衣冠冢，即是成都關羽墓，以招魂祭祀。后來，關羽故鄉山西運城解州則建立了關帝廟，是為解州關帝廟，被認為是關羽魂魄歸返之處。因此民間也稱關羽“頭枕洛陽，身臥當陽，魂歸故鄉（或稱『魂歸故里』、‘魂歸山西’）”。
關羽逝後兩個月內，呂蒙與曹操相繼病故。孫權背盟偷襲和關羽成仁，象征孫劉聯盟徹底破裂。章武元年（221年），蜀漢先主劉備以為關羽報仇之名東征東吳，曾專程到大王冢祭拜關羽，并在玉泉山建關羽祠。之后蜀漢軍隊在夷陵之戰中敗于陸遜率領的孫權軍，沒能奪回荊州。
景耀三年（260年）九月，蜀漢後主劉禪在追諡幾位重要大臣時，追謚關羽為「壯繆侯」。
后世歷代王朝對關羽皆有追封，北宋宋徽宗時將關羽追封為“忠惠公”后又加封為“武安王”，也是宋朝之后關羽開始被神化，從元朝開始關羽的封號逐漸被加上“真君”“帝君”“圣”等神祇的名號直到清朝光緒時最后追封的稱號為“忠義神武靈佑仁勇威顯護國保民精誠綏靖翊贊宣德關圣大帝”，也開始大規模塑像建廟供奉。民間祭祀多稱關羽為武財神，有別於文財神趙公明。
關羽個性堅毅忠直但是剛愎驕矜，不甘屈居人下。馬超歸附時，關羽寫信給諸葛亮問：「馬超的才能可與誰相比？」諸葛亮回信說：「孟起兼資文武，雄烈過人，一世之傑，黥、彭之徒，當與益德（張飛）並驅爭先，猶未及髯（關羽）之絕倫逸群。」及黃忠官拜後將軍，關羽憤怒地說：「大丈夫終不與老兵同列！」幸得諸葛亮和費詩勸解，關羽才接受。他看不起才能平庸的人，對這些人都會毫無掩飾的鄙視厭惡，其中麋芳、傅士仁十分怨恨關羽輕視自己，樊城一戰失利與他們見死不救投奔東吳有莫大關連，只有才能或品德受關羽認可的人，關羽才願意友善來往，諸葛亮、張飛、廖化和忠節著名的趙累都與他交好，當年身處魏營時徐晃、張遼也與之友好。
關羽交友喜好與張飛相反，關羽愛護武士、輕視儒生；張飛則喜親近文人、待士兵嚴苛。
清文宗咸豐五年（1855年）追封關羽的曾祖關氏為“光昭王”，祖父關審為“裕昌王”，父親關毅為“成忠王”。
*正史并未記載關羽妻為何人，清代馮景撰《關侯祖墓碑記》稱關羽妻胡氏，名玥，即關平之母。
*正史并未記載關羽妾為何人，但民間的戲劇對於中國古代四大美女之一貂蟬的故事作一點延伸，並常常提到關羽，在《關公月下釋貂蟬》中，貂蟬就被關羽釋放，最後不知所終。而《關公蒙面斬貂蟬》就借姜太公蒙面斬妲己為藍本並道出紅顏禍水，關羽害怕其傾國傾城之貌會為天下帶來大亂。有些稗官野史中稱貂蟬與呂布分開以後，成為關羽之妾。
西安碑林關平像
*關平，關羽長子，跟隨關羽征戰，與關羽一同被斬於臨沮。《三國演義》寫作義子。
*關興，關羽次子，少已有名聲，深得諸葛亮器重，弱冠後擔任侍中、中監軍，數年後死去。
*關氏，關羽之女，民間稱為關銀屏，孫權曾為子求婚，遭關羽所拒，並罵辱來使。在民間傳說中嫁給了李恢之子李遺，現在澄江存有夫婦二人的合墓。
*關索，關羽三子，明朝成化年間說唱詞話《花關索傳》人物，后被補充進《三國演義》，正史并無記載。
*關統，關興之子，娶公主，官至虎賁中郎將，無子而終。
*關彝，關興庶子，在關統逝世後承襲其位。
*據裴松之引《蜀記》注《三國志·關羽傳》，蜀漢滅亡後，龐德之子龐會盡殺關氏為父報仇。但這段記載的可信度有爭議。後世解州、當陽、洛陽等地關姓氏族，常自稱為關羽後裔，然多無可查考。《新唐書·宰相世系表》記載唐德宗年間宰相關播為關興后人。
*關樾，據說是關平長子。《三國志》並無記載，只記載於某些地方志以及傳說。
*後世解州、當陽、洛陽等地關姓氏族，
*《新唐書·宰相世系表》記載唐德宗年間，宰相關播為關興后人。
*清朝《江陵縣志》等記載關平在江陵有後人。
*雍正十年七月六日（1732年8月25日），授關羽五十二代孫關朝泰為五經博士，準其世襲。
*陳壽評曰：「關羽、張飛皆稱萬人之敵，為世虎臣。羽報效曹公，飛義釋嚴顏，並有國士之風。然羽剛而自矜，飛暴而無恩，以短取敗，理數之常也。」（《三國志·蜀書·關張馬黃趙傳第六》）
*曹操：「事君不忘其本，天下義士也。」（《三國志·蜀書·關張馬黃趙傳第六》）
*曹丕詔問群臣令料劉備當為關羽出報吳不。眾議咸云：“蜀，小國耳，名將唯羽。羽死軍破，國內憂懼，無緣復出。”
*孫權欲活關羽以敵劉備、曹操，左右曰：「狼子不可養，後必為害。曹公不即除之，自取大患，乃議徙都。今豈可生！」（《三國志·蜀書·關張馬黃趙傳第六》）
*張遼：「羽受公（曹操）恩，必立效報公而後去也。」（《三國志·蜀書·關張馬黃趙傳第六》）
*溫恢：「關羽驍銳，乘利而進，必將為患。」（《三國志· 魏書·劉司馬梁張溫賈傳第十五》）
*呂蒙：「斯人長而好學，讀左傳略皆上口，梗亮有雄氣，然性頗自負，好陵人。」、「今東西雖為一家，而關羽實熊虎也，計安可不豫定?」（《三國志·吳書·周瑜魯肅呂蒙傳第九》）、「羽素勇猛，既難為敵，且已據荊州，恩信大行，兼始有功，膽勢益盛，未易圖也。」（《三國志·吳書·陸遜傳第十三》）、「關羽分土接境，知羽驍雄，有并兼心。」
*諸葛亮書與關羽：「孟起兼資文武，雄烈過人，一世之傑，黥、彭之徒，當與益德並驅爭先，猶未及髯之絕倫逸群。」（《三國志·蜀書·關張馬黃趙傳第六》）
*郭嘉：「備有雄才而甚得眾心。張飛、關羽者，皆萬人之敵也，為之死用。」（《三國志·魏書·程郭董劉蔣劉傳第十四》）
*程昱：「劉備有英名，關羽、張飛皆萬人敵也。」（《三國志·魏書·程郭董劉蔣劉傳第十四》）
*徐晃：「得關雲長頭，賞金千斤。」（《三國志·蜀書·關張馬黃趙傳第六》）
*劉曄：「今破漢中，蜀人震恐，其勢自傾。以公之神明，因其傾而壓之，無不克也。若小緩之，諸葛亮明於治而為相，關羽、張飛勇冠三軍而為將，蜀民既定，據險守要，則不可犯矣。今不取，必為後憂。」（《三國志·魏書·程郭董劉蔣劉傳第十四》）
*周瑜：“劉備以梟雄之姿，而有關羽、張飛熊虎之將，必非久屈為人用者。”（《三國志·吳書·周瑜魯肅呂蒙傳第九》）周瑜稱關羽、張飛「熊虎之將」，並認為如果像他這樣的人能率領其中的一個攻戰，就可定大事。
*陸遜：「羽矜其驍氣，陵轢於人。始有大功，意驕志逸，但務北進，未嫌於我，有相聞病，必益無備。」、「陛下（孫權）以神武之姿，涎膺期運，破操（曹操）烏林，敗備（劉備）西陵，禽羽（關羽）荊州，斯三虜者當世雄杰，皆摧其鋒。」（《三國志·吳書·陸遜傳第十三》）
*傅幹：「劉備寬仁有度，能得人死力。諸葛亮達治知變，正而有謀，而為之相；張飛、關羽勇而有義，皆萬人之敵，而為之將；此三人者，皆人傑也。」（《三國志·蜀書·先主傳第二》）
*楊戲的《季漢輔臣贊》中贊關雲長、張益德：「關、張赳赳，出身匡世，扶翼攜上，雄壯虎烈。藩屏左右，翻飛電發，濟於艱難，贊主洪業，侔跡韓、耿，齊聲雙德。交待無禮，並致姦慝，悼惟輕慮，隕身匡國。」（《三國志·蜀書·鄧張宗楊傳第十五》）
*董昭：「備勇而志大，關羽、張飛為之羽翼，恐備之心未可得論也！」「羽為人彊梁（也作‘強梁’），自恃二城守固，必不速退。」（《三國志·魏書·程郭董劉蔣劉傳第十四》）
*廖立：「是羽怙恃勇名，作軍無法，直以意突耳，故前后數喪師眾也。」（《三國志·蜀書·劉彭廖李劉魏楊傳第十》）
*袁準：「張飛、關羽與劉備俱起，爪牙腹心之臣，而武人也。」（《三國志·蜀書·諸葛亮傳第五》）
*韋昭：「關背德，作鴟張。割我邑城圖不祥。」
*張儼：「羽圍襄陽，將降曹仁，生獲于禁，當時北邊大小憂懼，孟德身出南陽，樂進、徐晃等為救，圍不即解。」
關羽和張飛在當時及後世都成為勇猛善戰與義士的代名詞：
*「值天下大亂，（劉）遐為塢主，每擊賊，率壯士陷堅摧鋒，冀方比之張飛、關羽。」（《晉書·劉遐傳》）
*禿發傉檀：「臣子逃歸君父，振古通義，故魏武善關羽之奔。」（《晉書·卷一百二十六·載記第二十六》）
*「（閻）負、（梁）殊曰：『……驍勇多權略，攻必取，戰必勝，關、張之流，萬人之敵者，則前將軍新興王飛，建切將軍鄧羌，立忠將軍彭越，安遠將軍范俱難，建武將軍徐盛。』」（《晉書·苻生載記》）
*「李庠，字玄序，特第三弟也。少以烈氣聞。……趙廞深器之，與論兵法，無不稱善，每謂所親曰：『李玄序蓋亦一時之關、張也。』」（《晉書·李特載記》）
*「傉檀曰：『吾今新牧貴州，懷遠安邇之略，為之若何？』（宗）敞曰：『涼土雖弊，形勝之地，道由人弘，實在殿下。段懿、孟禕，武威之宿望；辛晁、彭敏，秦、隴之冠冕；斐敏、馬輔，中州之令族；張昶，涼國之舊胤；趙昌、張穆、邊憲、文齊、楊班、梁崧、趙昌，武同飛、羽。』」（《晉書·禿髮辱檀載記》）
*「崔公，古之關張也。」（《魏書·崔延伯傳》）
*「史臣曰：『長孫肥結髮內侍，雄烈知名，軍鋒所指，罔不奔散，關、張萬人之敵，未足多也。』」（《魏書·長孫肥傳》）
*「當世推其驍果，皆以為關、張弗之過也。」（《魏書·楊大眼傳》）
*「薛彤、（高）進之並道濟腹心，有勇力，時以比關羽、張飛。』」（《宋書·檀道濟傳》）
*「又有西域胡，妙於弓矢，弦無虛發，眾軍尤憚之。及將戰，（吳）明徹謂摩訶曰：『若殪此胡，則彼軍奪氣，君有關、張之名，可斬顏良矣。』」（《陳書·蕭摩訶傳》）
*「武人略陽垣歷生、襄陽蔡道貴，拳勇秀出，當時以比關羽、張飛。」（《南史·文惠太子傳》）
*「（從弟京杲）後從李光弼出井陘，督趫盪先驅，戰嘉山尤力，（唐）唐肅宗異之，召見曰：『黥、彭、關、張之流乎！』」（《新唐書·辛雲京傳》）
*「退闕關羽殉節之忠。」（《南齊書·曹虎傳》）
*「羽為曹公所厚而忠不忘其君，可謂賢矣。然戰國之士亦能之。曹公得羽不殺，厚待而用其力，可謂賢矣，然戰國之君亦能之。至羽必欲立效以報曹公，然後封還所賜，拜書告辭而去，進退去就，雍容可觀，則殆非戰國之士矣。曹公內能平其氣，不以彼我為心；外能成羽之忠，不私其力于己，是猶有先王之遺風焉。吾嘗論曹公曰：是人能為善而不能不為惡，能為善，是以能享國；不能不為惡，是以不能取天下。」（唐庚《三國雜記》）
*“衛尉卿兼檢校左金吾衛大將軍涼國公李延昌，克樹勛庸，遍該韜略，關張萬人之敵，勇不顧身；程李二將之名，忠於衛主。”（《冊府元龜·備御》）
*李暠：“詠群豪之高軌，嘉關張之飄杰，誓報曹而歸劉，何義勇之超出！據斷橋而橫矛，亦雄姿之壯發。”（《晉書?列傳第五十七》）
* 虜主元宏遺虎書曰：“卿進無陳平歸漢之智，退闕關羽殉節之忠，嬰閉窮城，憂頓長沔，機勇兩缺，何其嗟哉！”（《南朝梁·南齊書列傳第十一》）
*“朱異之徒，積受金貝，遂使咸稱胡、趙，比昔關、張，誣掩天聽，謂為真實。”（《梁書?列傳第五十》）
*“齊孫臏晏嬰、晉程嬰公孫杵臼、燕樂毅、漢曹參陳平韓信周亞夫衛青霍去病霍光、蜀昭烈帝關羽張飛諸葛亮、唐房玄齡長孫無忌魏征李靖李績尉遲恭渾瑊段秀實等，皆勛德高邁，為當時之冠。”（《宋史·志第五十八·禮八》）
*“關羽則為仇國所禽，張飛則遭帳下所害。凡此名將，悉皆人雄。”（《宋史·列傳第一百九十八·文苑一》）
*“關張比疆治，將相俱和同。”（《梁父吟》）
*“楚、漢未分，絳、灌所以宣力；曹、劉競逐，關、張所以立名。然則名立資草昧之初，力宣候經輪之會，攀附鱗翼，世有之矣。”（《隋書·列傳第二十九》）
*“公結發戎旅，妙善孫吳 。如云如鳥之形，因山背水之勢，莫不深明權變，躬先士卒。雙鞬并帶，二戟兼提。滕灌之驍雄，關張之勇捍，復見於茲矣。”（《大周使持節少傅大將軍大都督恒夏靈銀長五州諸軍事恒州刺史普安壯公墓志銘》）
*“爾久從征伐甚有戰功語其威名乃關張之比也。”（《冊府元龜·誡勵》）
*“蜀之乃祖乃父，或士或人，而皆內稟忠貞，外資驍果，武負關張之氣，文傳揚馬之風，迎大駕以涉岷峨，合諸軍而定關輔忠氣冠乎日月，勛業著乎山河，凡在幽遐，皆所傳達。”（《冊府元龜?傳檄》）
*“關羽、張飛，爪牙悉標于西廡。威生戶牖，武耀庭除。”（《蜀先主廟記》）
*“乃若關云長、張益德，雖曰萬人之敵，而程昱等輩奇之，然功業之著見者蓋鮮矣。”（《十先生奧論注》）
*“索苞有文武材，舉孝廉，除郎中，每征伐克敵，勇冠三軍，時人比之關羽。宋澄於金城，為步羌三千人所圍，窮守孤堆，垂當破沒，苞以完騎五千，奮劍突陣，徑入與澄對坐，捶頭拊掌大笑。羌皆佩盾、擢刀四面直前。苞謂澄曰：“君但安心，觀我擊之。”乃除區弓接矢，繞捶射之，莫不應弦而倒，皆陷盾通中，立殺三十馀人，創夷者百計，羌即散走。稱神。”（《敦煌實錄》）
*“子彥少嘗墜馬折臂，肘上骨起寸余，乃命開內鋸骨，流血數升，言戲自若。時以為逾于關羽。”（《魏書·列傳第十三》）
*“留賛鷙猛壯烈，萬人敵也。其剚刃信足與云長之刮骨，何以異哉？心有主而不動，視疾痛死生若無與於已者，壯士之勇也。況復得其死哉！”（《續后漢書·列傳第六十七》）
*“公專逹西南則卻地千里，東北則獻俘億計。至若挫魏勝觧趙圍，斬顏良於萬人之中，伏孟獲於七縱之際。皆公之任也！”（《文苑英華·巻三百六十九》）
*“惟公少稱弘量，喜慍不形，尤長武略，仁而有勇。及感會風云，立功成務，謙虛下物，始終無改。雖復關羽有國士之風，祭遵懷儒者之操，無以加也。”（《文館詞林·巻四百五十三》）
*“武帝伐廣固，仲德為前驅，戰輒破之，大小二十余戰。論曰：王仲德受任二世，能以功名始終。入關之役，檀、王咸出其下。元嘉北討，則受督于人，有藺生之志，而無關公之憤，長者哉。”（《南史·列傳第十五》）
*張輔：“張飛關羽，皆人杰也。”（《名士優劣論》）
*葛洪：“咸謂勇力絕倫者，則上將之器；洽聞治亂者，則三九之才也。然張飛關羽萬人之敵 ，而皆喪元辱主，授首非所。”
*陸云：“關羽滔天，作云西土。帝曰將軍，整爾熊虎。”（《吳故丞相陸公誄》）
*石重貴評張彥澤：“猛若關張，氣吞荊聶，薦膺委寄，每著勤勞。鳴鏑離弦，既得吟猿之妙；青萍出匣，久彰斷兕之名。營陣之間，皆推果毅。”（《親征契丹命將制》）
*尹義尚：“徐元直西蜀之謀士，關云長劉氏之驍將，須歸即遣，知叛弗追，今之與古，何其異趣？”（《與徐仆射書》）
*常璩：“河東關羽云長，同郡張飛益德，并以壯烈，公壯羽勇銳，拜偏將軍 。”（《華陽國志·劉先主志》）
*張茂：“曜可方呂布、關羽，而云孟德不及，豈不過哉。”（《十六國春秋》）
*崔鴻：“劉淵別將劉翼，驍勇過人，能一手舉殿柱，跳過平陽門，時人擬之關張。”（《十六國春秋》）
*薛安都：“時人云關羽斬顏良不是過也。”（《南史·薛安都傳》）
*庾信：“公入仕四十五年，身經一百六戰。通中陷刃，疾甚曹參；刮骨傅藥，事多關羽。而風神果勇，儀表沉雄，事親無隱無犯。學不專經，略觀書籍；兵無師古，自得縱橫。”（《周柱國大將軍紇干弘神道碑》）
*郎士元：“將軍秉天資，義勇冠今昔。走馬百戰場，一劍萬人敵。誰為感恩者，意是思歸客。流落荊巫間，徘徊故鄉隔。離筵對此宇，灑酒暮天碧。去去無復言，銜悲向陳跡。”（《壯繆侯廟別友人》又稱《關羽祠送高員外還荊州》）
*王維：“非關羽之絕倫，何以廁跡虎臣、儀形麟閣？”（《為曹將軍謝寫真表》）
*元結：“何人恩信過於田橫？何人壯勇等於關羽？”（《問進士（永泰二年通州問）·第五》）
*虞世南頌關羽：“利不動，爵不縶，威不屈，害不折，心耿耿，義烈烈，偉丈夫，真豪杰，綱常備，古今絕”。
*張士貴：“乃絳州義軍都頭目薛懷玉也。此人勇若關張，智同伊尹，堪當大用。”（《薛仁貴征遼事略》）
*賀遂亮：“關羽萬人之敵，聲雄百代。捐軀殉國之志，冒流鏑而逾堅；輕生重義之（闕四字）而難（闕一字）心懸水鏡，鬼神無以蔽其形；質過松筠，風霜不能改其色。”（《大唐平百濟國碑銘》）
*張元晏：“禰衡垂一噪聲之名，關羽藎萬人之敵。御眾布投膠之德，禮賢懷比飯之恭。智略出群，忠果成性。”（《授馮行襲昭信軍節度使制》）
*董侹：“惟將軍當三國之時，負萬人之敵，孟德且避其鋒，孔明謂之絕倫。”（《荊南節度使江陵尹裴公重修玉泉關廟記》）
*李儉：“黃霸為列郡之雄，關羽乃萬人之敵。”（《銀青光祿大夫太子中允贈工部尚書清河張公神道碑銘》）
*楊炯：“攻城野戰，張飛、關羽；奇策密謀，荀攸、賈詡。”（《瀘川都督王湛神道碑》）、“陶公相宅，郭璞占墳。麵丹鳳而背元龜，兆青烏而徵白馬。三百篇之後，卜筮何從？二千石之榮，子孫無替。長男仁叡、男中仁楷、少男仁護、仁昉等，或體窮三變，藩、陸不足以昇堂；或力敵萬夫、關、張不足以扶轂。”（《唐上騎都尉高君神道碑》）
*杜甫：“孰與關張并，功臨耿鄧親。應天才不小，得士契無鄰。”（《謁先主廟》）
*杜牧：“天下無雙將，關西第一雄。授符黃石老，學劍白猿翁。矯矯云長勇，恂恂郄縠風。”（《題永崇西平王宅太尉愬院六韻》）
*唐僖宗：“前左武軍大將軍宋皓，負關張勇智，有韓白英雄，累著戰功，再居環衛。”（《討王郢詔》）
*王勃：“以先主之寬仁得眾，張飛、關羽萬人之敵，諸葛孔明管、樂之儔，左提右挈，以取天下，庶幾有濟矣。”（《三國論》）
*李德裕：“蜀先主與關羽、張飛同臥起，而稠人廣坐，侍立終日。皆用此道，故能成功。夫御英杰，使猛將，與見道德之人，接方正之士不同也，不可以繁禮飾貌，以浮辭足言，宜洞開胸懷，令見肝肺。氣懾其勇，恩結其心，雖踞洗召之，不為薄矣。祿山，夷狄之譎詐者也，非將門英豪，草萊奇杰，其戰斗之氣，擊刺之才，去關、張遠矣！”（《英杰論》）；“魏得關羽，則張遼挾以前驅。故能挫強楚之鋒，取顏良於麾蓋。”（《授何清朝左衛將軍兼分領蕃渾兵馬制》）
*徐夤：“雖倚關張敵萬夫，豈勝恩信作良圖。能均漢祚三分業， 不負荊州六尺孤。綠水有魚賢已得，青桑如蓋瑞先符。 君王幸是中山后，建國如何號蜀都。”（《蜀》）
*陳淵：“當時先主得關張，能使西川弱勝強。”（《默堂集·卷九》）
*貫休：“龔遂劉寬同煦嫗，張飛關羽太驅馳。”（《賀鄭使君》）
*岑參：“虜騎無數來，見君不敢當。漢將小衛霍，蜀將凌關張。”（《東歸留題太常徐卿草堂》）
*趙蕤：“（虞世南）曰：彼孔明者，命世之奇才，伊呂之儔匹，臣主同心，魚水為譬，但以國小兵弱，斗絕一隅，支對二方，抗衡上國；若使與曹公易地而處，騁其長算，肆關、張之武，盡諸葛之文，則霸王之業成矣。”（《長短經》）
*崔致遠： “軍名定難，雅稱關張之聲；縣號宜君，克符堯舜之德。”（《賀殺黃巢賊徒狀》）；“斯乃司徒相公鏡於心而寬兮綽兮，枰於事而無偏無黨，網羅雋彥，籠罩驍雄，於儒則沈謝呈才，於武則關張效力。”（《初投獻太尉啟》）；“所謂有非常之人，然后有非常之事，絳灌亦一時俊杰，關張非累世勛庸，鏤姓名於金鼎玉鍾，飾儀形於云臺煙閣，永言盡美，孰敢爭先？”（《徐州時溥司空·第二》）
*桑叔文：“漢有汲黯，當朝為之正色。若非功高衛霍，名比關張，孰能有此榮貴。”（《唐故淮南節度討擊副使光祿大夫試殿中監兼泗州長史上柱國北平縣開國伯田府君墓志銘》）
*徐鉉：“唐室崩離，諸侯角逐。吳武王奮桓文之舉，我先君效關張之用。摧（生字“亠兇”，即腦字無月）略地，所向無前。功加于時，慶鐘于后。”（《洪州豐城縣李司空碑文》）
*孔平仲：“狄青字漢臣。元昊叛，屢將兵出戰，四年間大小二十五陣，八中流矢，人呼‘狄天使’，上觀其儀表曰：‘朕之關張。’”（《孔氏談苑》）；“鼉鳴魚躍尚恐懼，萬一敵至誰敢當？邀看大船載旗鼓，聞說乃是關云長。”（《詠于將軍詩》）；“北人更欲生關羽，猶倚糜芳信士仁。 曹操雄心懷白馬，董昭空自弄精神。”（《詠史下·關羽四首》）
*曹勛：“帝謂關張勇，氣吞豺虎群。忠誠昭白日，始卒翊明君。滅沿臺躔耀，哀榮鳳口墳。傳家有賢嗣，淚血入江云。”（《楊和王挽章五首》）
*李邦直：“天下義士，雲長之徒掉臂而徐去，管寧之屬浮海而避之。”（《魏論》）
*謝采伯：“孫權運籌於內，劉備、諸葛亮、周瑜、關侯等，合謀并智，方拒得曹操，敗之於赤壁，亦未為竒政縁。”（《密齋筆記·卷二》）
*文天祥：“項籍、關侯、敖曹擒虎之流。”（《文山集·送彭叔英序》）
*陳子微：“廈傾木不支，鼎重足先折。關張不終身，儀秦亦無舌。”（《本堂集·卷二十九》）
*劉知幾：“關張以傲誕為將，桑霍以滿盈居職。”（《思慎賦》）
*員興宗：“吾鄉所遣騎，乃探騎耳。豈人人關張乎！”（《九華集·卷二十四》）；“時乎不渾護強中擒呂布，神乎不蓋藏萬眾取顏良。”（《九華集·卷二十四》）
*綦崇禮：“以頗牧之才，關張之勇，盡護諸將，獨殿一方，鏖兵苦戰，則大敵為殱，據險守堅，則嚴師莫犯。”（《北海集?卷十一》）
*李廌：“駢英雄則關張奮其武，登雋良則龐蔣善其職。”（《濟南集·卷五》）；“三方各虎踞，猛將皆成群。屹然萬人敵，惟髯稱絕倫。仗節氣蓋世，橫矟勇冠軍。”（《關侯廟》）
*黃履翁：“古之烈士才略，則向寵、柳渾、蔡道貴、鮑昭。或曉暢軍事，料敵萬里；或勇比關張，或治績顯太原。”（《古今源流至論·別集卷四》）
*汪藻：“決勝重圍，飛、羽有萬人之敵。”（《浮溪集·韓世忠除兩鎮節度使制》）
*蕭常：“羽飛萬人之敵勇有余，而不知跡其行事。皆有國士之風，然羽剛而自矜，飛暴而少恩，此其所以敗也。”（《續后漢書》）
*劉克莊：“骨已朽黃泉下，傳猶列青史中。猛樸時來宰相，關張運去英雄。”（《即事六言四首》）；“甘寧關羽至今傳，名將為神自古然。生不封侯三萬戶，死猶廟食數千年。”（《即事六言四首》）
*方回：“萬人為翰墨，無一曹思王。萬人握干殳，無一關云長。”（《題來將軍括蒼送行卷》）
*賈似道：“要知斗處關張勇，頭小牙長體似金。”（《促織經·琵琶翅》）
*何溟：“四海紛紛漢鼎移，將軍委質愿扶持。欲除曹氏眼前害，豈料吳兒肘后欺？報國忠心千載著，復仇遺恨幾人知。我因王事行郊邑，特向高墳酬一卮。”（《題大王冢》）
*趙秉文：“壯如破敵，勢甚擒賊，至如關羽義勇，張綱奮烈。取鯨鯢于堅陣，叱豺狼之當轍。”（《滏水集·古賦·海青賦》）
*李俊民：“鼎足相吞勢未分，誰能傾蓋得將軍？曹吳不是中原手，天下英雄有使君。”（《襄陽詠史·關將軍廟》）
*吳箕：“關云長有功于魏，舍之而去，不畔先主，此有古國士風，亦足以見先主之得人心。”（《常談》）
*岳飛：“一死何足道，要使后世書策知有岳飛之名，與關張輩功烈相仿佛耳。”（《金駝續編·卷二十八》）
*龔開：“大刀關勝，豈云長孫。云長義勇，汝其后昆。”（《宋江三十六贊》）
*郭允蹈：“關云長以萬人之敵，弘護荊州，昭烈君臣以為長城，而輕躁寡謀，墜呂蒙之詭計。昭烈勇于一決，以爭荊州，君臣于是俱失之矣！或謂：是后也，昭烈不自將，而孔明長嘯以下荊州，則何如？曰：非孔明之志也。孔明固謂孫權可以為援而不可圖之。又謂國賊曹操非孫權，又謂法孝直在，必能諫止上此行，孔明蓋亦難之矣。曰：然則荊州遂可置之度外乎？曰：向使云長自江陵出襄陽，而益德、黃權有一人焉，為居守之計。則固可震撼中原，而無后顧之憂矣。云長既死，雖孔明亦未如之何也。”（《蜀鑒 ·昭烈敗績于猇亭》）