ticoAg/ChineseCorpus-Kaggle-fanti huggingface dataset:
但如果范數函數''f''可以是任何歐幾里得函數，那么使二次整數環是歐幾里得整環的''D''的可能值到目前為止還不確定。是歐幾里得整環但不是規范歐幾里德整環的第一個例子（''D''=69）發表于1994年。溫伯格於1973年證明，在廣義黎曼猜想成立的前提下，''D''>0時的二次整數環是歐幾里得整環，當且僅當它是一個主理想環。
輾轉相除法也可以應用至非交換環，如赫爾維茨四元數。令表示這樣一個環中的兩個元素。他們有右公約數''δ''如果。同樣，他們有左公約數''δ''如果。因為乘法不符合交換律，也就有兩個版本的輾轉相除法，一個計算右公約數，一個計算左公約數。例如對于右公約數，輾轉相除法求最大公約數的第一步可以寫成：
其中ψ0是商，ρ0是余數。對于左公約數，第一步過程是：
不管是哪一種，這個過程都會重復到最大左公約數或者最大右公約數計算出，像在歐幾里得整環中一樣，的“大小”一定小于，并且對於只有有限種的可能大小，這樣才能保證算法能夠結束。
由輾轉相除法得出的大多數結果都適用于非交換環。例如，貝祖等式表明最大右公約數可以表示成的倍數和的倍數的和，即，存在使：
對于最大左公約數，等式如下：
貝祖等式可以用來解非交換環的丟番圖方程。
輾轉相除法可以推廣至紐結理論。
輾轉相除法有三個性質保證它不會永遠進行下去。第一，它可以寫成一系列遞歸式：
其中每一個余數都比前一個余數小，|''r'k''|&nbsp;''k''?1|。第二，余數的大小有嚴格下限，如|''r'k''|&nbsp;≥&nbsp;0。第三，小于|''r'k''|的數的數量是有限的。輾轉相除法推廣至其他數學結構，如和超限序數時仍保持這種性質。
輾轉相除法的一個重要推廣是代數幾何中格羅布納基的概念。像前文所述，''a''和''b''的最大公約數''g'' 是它們的理想的生成元素。也就是說，對任何整數''s''和''t''，存在另一個整數''m''使：
雖然這對一元多項式也成立，但是對多元多項式就不成立了。在多元多項式的情況下，生成元素的有限集合''g''1、''g''2……可以定義如下：
其中''s''、''t''和''m'k''是多元多項式。任何這樣的多元多項式''f''可以表示成生成多項式的和加上惟一的余數多項式''r'', 通常叫做多項式''f''的一般形式。
雖然商多項式''q'k''可能不惟一。這些生成多項式的集合就叫做格羅布納基。
*  Demonstrations of Euclid's algorithm
*  Euclid's Algorithm  at cut-the-knot
*  The Euclidean Algorithm  at MathPages
*  Euclid's Game  at cut-the-knot
*  Music and Euclid's algorithm
馬克斯·馮·勞厄（，），德國物理學家，因發現晶體中X射線的衍射現象而獲得1914年諾貝爾物理學獎。
1879年10月9日，馬克斯·勞厄出生于科布倫茨附近的普法芬多夫（Pfaffendorf），父親是德國的一位軍隊官員并于1913年獲得世襲貴族稱號，馬克斯·勞厄也隨之改稱馬克斯·馮·勞厄。由于父親經常被派到不同的城市工作，馬克斯·馮·勞厄的童年前后在布蘭登堡、漢堡的阿爾托納（Altona）、波茲南、柏林和斯特拉斯堡度過。
1898年中學畢業后，馮·勞厄服了一年的兵役，接著開始在斯特拉斯堡大學學習數學、物理和化學，不久后轉學到了哥廷根大學，主要研究光學，并受到物理學家和以及數學家大衛·希爾伯特的重要影響。此后，馮·勞厄又在慕尼黑大學學習過一個學期，1902年轉去柏林洪堡大學，在馬克斯·普朗克手下工作。馮·勞厄在柏林洪堡大學聽了關于干涉譜線和熱輻射的課程，這些內容的影響體現在了馮·勞厄關于平面平行板中干涉現象的博士論文中。1903年，馮·勞厄在柏林洪堡大學獲得博士學位，導師是馬克斯·普朗克，此后他又去了哥廷根大學兩年，1905年回到柏林，成為普朗克在理論物理學研究所的助手，研究熵在輻射領域的應用以及光波相干性的熱動力特征。
1906年，馮·勞厄獲得大學任教資格后，開始研究愛因斯坦的相對論，1907年利用光學實驗證明了愛因斯坦的速度疊加理論。馮·勞厄從1909年起在慕尼黑大學的理論物理學研究所任教光學、熱動力學和相對論。1912年，馮·勞厄成為蘇黎世大學的物理學教授。1914年他又去了法蘭克福，1916年起加入了維爾茨堡大學的戰時研究工作，從事用于電報和無線通信的真空管研究。1919年，馮·勞厄被任命為柏林洪堡大學的物理學教授，他回到柏林任教直到1943年，自1934年起，他又是柏林帝國物理技術學院的顧問。
1917年，當物理研究所在柏林建立時，愛因斯坦擔任主任，而馮·勞厄則任副主任，負責研究所的大部分管理工作，與德國的科學研究接觸緊密，在這段時期及以后，馮·勞厄對德國科學研究的發展起到了重要的作用。柏林在二戰中被炸后，1944年，馮·勞厄隨著物理研究所一起搬遷到了黑欣根，并一直在那里工作到1945年，其間，他致力于《Geschichte der Physik》（物理學歷史）一書的撰寫，這本書先后共出版了四版，被從德語翻譯成其他7種語言。馮·勞厄在黑欣根迎接了法國軍隊的到來，并被一項英美聯合任務被扣留去了英國，一同被拘留的共有10位德國核物理學家，直到1946年獲釋。在英國期間，馮·勞厄寫了一篇關于X射線衍射時的低吸收的論文，于1948年貢獻給了在哈佛大學的國際晶體學家聯盟。1946年，他作為馬克斯·普朗克研究所的執行主任前往哥廷根，任哥廷根大學的名譽教授。
1951年，馮勞厄被選為馬克斯普朗克學會在柏林的弗里茨哈伯物理化學研究所主任，
與 Borrmann分等合作，從事 X射線光學的多項研究，直到1958年才退休。
1960年4月8日，馮勞厄在駕車前往實驗室的途中發生交通事故，
一位剛學會駕駛的摩托車手與馮勞厄的汽車相撞，
摩托車手當場死亡，馮勞厄的汽車翻轉，他被消防隊員從車下救出。
雖然剛開始他看上去從傷病中逐漸恢復，但仍舊在1960年4月24日去世，時年80歲。
馮勞厄晚年曾受到憂鬱癥的困擾，
感覺受到他不喜歡的其他科學家和軍方的迫害，
不過最終他成功克服了憂鬱癥，
重新回到了充滿榮譽感和快樂的生活中，
他不是一位藝術家，但卻十分愛好各種藝術，
尤其是古典音樂，他閱讀廣泛的歷史和科學哲學書籍。
馮勞厄還愛好帆船、滑雪、登山和騎摩托車，
他經常和他的科學家朋友們登山遊覽阿爾卑斯山。
馮勞厄在柏林是一個出名的摩托車手，起初他是騎摩托車去大學授課，
後來才改駕汽車，因為他喜歡高速的感覺，
但卻從未發生過意外，直到結束他生命的那次交通事故。
馮·勞厄的科學研究涉及的范圍很廣。在他的早期研究中，他對愛因斯坦的相對論非常感興趣，1907年至1911年間發表了8篇關于相對論應用的論文，1911年出版了一本關于狹義相對論的著作，1921年又出版了另一本關于廣義相對論的著作，兩本書都再版多次。
馮·勞厄最著名的研究是發現了晶體中的X射線衍射現象，借此不僅證明了X射線的波特性，也證明了晶體的晶格結構。憑借這一研究成果，馮·勞厄獲得了1914年的諾貝爾物理學獎。馮·勞厄的這一發現源自于他對光波通過周期性結晶顆粒問題的討論，他得出一個想法，電磁射線的波長越短，正如X射線所呈現的那樣，會在某種介質中引起衍射或者干涉現象，而晶體則正是這樣一種介質。雖然當時參與討論的他的同事Sommerfeld和W. Wien等對此提出了反對意見，但是Sommerfeld的助手W. Friedrich與P. Knipping對此進行了實驗，在經歷了幾次失敗后，終于成功證明了這一想法的正確性。馮·勞厄給出了這一現象的數學公式，并于1912年發表了這一發現。這是固體物理學中具有里程碑意義的發現，從此，人們可以通過觀察衍射花紋研究晶體的微觀結構，并且對生物學、化學、材料科學的發展都起到了巨大的推動作用，例如1953年詹姆斯·沃森和佛朗西斯·克里克就是通過X射線衍射方法得到了DNA分子的雙螺旋結構。
馮·勞厄的另一項重要貢獻是對超導問題的研究，完成于他任柏林洪堡大學理論物理學教授期間。這一時期，Walther Meissner正在柏林帝國物理技術學院研究許多金屬在相當于液氦溫度時呈現的電阻消失現象，馮·勞厄在1932年對這一現象作出了解釋，破壞超導性的磁場閾值依物體形狀的不同而改變，因為磁場是在超導狀態建立后才形成的，磁場由所用金屬表面的超導電流引起。這一解釋得到了確認，并為Meissner隨后對超導體消除其內部整個磁場的發現開創了道路，并成為F. London和H. London的超導理論的基礎。馮·勞厄與F. London和H. London一同發表了一篇論文，他在1937年至1947年間總共發表了12篇相關論文和一本著作。
馮·勞厄為德國科學研究的發展作出了重要的貢獻，他對普魯士有著一種深深的愛，對公正和公平有著強烈的責任感。在希特勒和納粹統治時期，馮·勞厄冒著受到譴責和人身傷害的危險，始終堅持科學真理，支持不被納粹黨所接受的相對論。馮·勞厄一直支持愛因斯坦，支持相對論和量子理論，反對受到納粹影響的20世紀上半葉的“德國物理學”。當愛因斯坦退出柏林學會時，柏林學會的副主席宣稱愛因斯坦的退出對學會沒有損失，此時學會內僅有馮·勞厄一人提出了抗議。
二戰結束后，馮·勞厄積極參與到組建新的德國物理學機構中，1946年至1949年擔任新組建的英國占領區內的德國物理學會主席，他還參與了德意志聯邦共和國多家物理學會合并成為德國物理學會聯盟，和不倫瑞克的聯邦物理學技術學院的新建。1951年，馮·勞厄任馬克斯·普朗克學會弗里茨·哈伯研究所（柏林）的主任，此外他還是柏林自由大學校委會的榮譽成員，1958年獲得該校的榮譽博士學位。
馮·勞厄曾獲得過包括馬克斯·普朗克獎章在內不計其數的榮譽。他獲得了波恩大學、斯圖加特大學、慕尼黑大學、柏林大學、曼徹斯特大學和芝加哥大學的榮譽博士學位，是俄羅斯學會、柏林科學學會、德國物理學會、法國物理學會、法國礦物學和晶體學會的成員。他也是馬克斯·普朗克學會的榮譽議員，德國倫琴學會的榮譽成員，哥廷根、慕尼黑、都靈、斯德哥爾摩、羅馬、馬德里等科學學會以及倫敦皇家學會的會員。1948年成為國際晶體學家聯盟的榮譽主席，1952年獲得騎士勛章，1953年獲得大十字勛章。
為了紀念馮·勞厄，法國格勒諾布爾的以他和另一名法國物理學家保羅·朗之萬的名字共同命名。
1979年，德意志民主共和國曾發行一枚特種郵票，以紀念馮·勞厄誕辰100周年。
*  諾貝爾獎官方網站關于馬克斯·馮·勞厄生平介紹
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阿茲特克，又譯為阿茲臺克、阿茲提克，是一個14至16世紀存在于墨西哥的古代文明，主要分布在墨西哥中部和南部，因阿茲特克人而得名。阿茲特克人是墨西哥的原住民，廣義上包括在西班牙殖民者到來之前就居住在墨西哥谷地上的多個民族，狹義上專指使用納瓦特爾語的民族，即納瓦人。
阿茲特克文明中最大一級的行政區劃是「城邦」，有些城邦組成政治聯盟或政治邦聯。其中，1427年建立的阿茲特克帝國最具影響力，帝國由墨西加城邦特諾奇蒂特蘭、阿科爾瓦城邦特斯科科以及特帕內克城邦特拉科潘組成，政治影響力深遠，領土范圍極盛時東抵墨西哥灣，西至太平洋，南達恰帕斯和危地馬拉。由于其強大的歷史影響力，“阿茲特克”在狹義上常特指阿茲特克帝國；但廣義來說，在殖民者入侵之前抑或是在西班牙殖民時代，中部美洲的所有的納瓦人國家均可歸入阿茲特克文明的一部份。
阿茲特克人于約12世紀末由北方遷入墨西哥谷地，這里人口稠密，后來成為阿茲特克城邦崛起的中心。墨西加人是阿茲特克人的主要分支，他們在特斯科科湖中的島礁建立起特諾奇蒂特蘭城邦，并定居于此。1427年，特諾奇蒂特蘭和特斯科科、特拉科潘結盟，聯合擊退了曾支配谷地的特帕內克城邦阿斯卡波察爾科。此三邦的聯盟在后世被稱為阿茲特克帝國，在隨后的百余年內通過武力和貿易攻勢展開擴張，成長為中部美洲勢力范圍最龐大的城邦聯盟。盡管被稱為帝國，阿茲特克帝國事實上是一個以朝貢體系為基礎的“朝貢帝國”，依托于扶植傀儡君主、政治聯姻以及思想控制的方式間接控制其他城邦，強制其定期向宗主進貢，并不以軍事駐防的方式實行直接統治。帝國借此限制各邦同外部的貿易聯系，使其屬邦越發依賴帝國中央。1519年，阿茲特克帝國的領土達到極盛，但一年后即迎來了歐洲人的歷史性的訪問。1520年，西班牙殖民者埃爾南·科爾特斯一行抵達中部美洲。科爾特斯利用中部美洲城邦間的矛盾，和阿茲特克的敵對城邦結盟，在1521年攻陷特諾奇蒂特蘭，俘獲并處決特拉托阿尼夸烏特莫克，并在特諾奇蒂特蘭的廢墟之上建起了現代墨西哥城。科爾特斯以此為中心實現對中部美洲全境的征服和殖民，將之納入西班牙殖民帝國。
近現代對阿茲特克文明的大規模研究始于19世紀，隨著考古發掘和文獻研究工作的進行，阿茲特克文明的文化、藝術和宗教逐漸為世人所了解。除了考古工作發現的古建筑和古物件外，既有的書面文獻也起到重要作用，包括原住民、西班牙征服者的紀實文學，以及16世紀和17世紀由西班牙牧師或是有讀寫能力的阿茲特克人編撰的文化和歷史文獻等。十二卷手抄本佛羅倫薩手抄本是其中較為著名的文獻，由方濟各會修士貝爾納迪諾·德薩阿貢結合一些阿茲特克人的描述寫成，完整全面地記錄了阿茲特克文明的文化、宗教、社會、經濟和歷史樣貌。
德國地理學家馮·洪堡在19世紀早期率先用“阿茲特克”一詞指代中部美洲納瓦人以貿易、習俗、宗教、語言或政治聯盟為紐帶聯系起來的文明集合體，“阿茲特克”一詞就此被學界廣泛接受和使用。不過，阿茲特克的具體界定也仍是一直以來學術討論的主題之一。根據中部美洲歷史的斷代法共識，900年至1521年的后古典時期內，中部美洲的絕大部分族群都擁有大體類似的文化烙印。因此，大部分普遍認為象征阿茲特克文明的文化元素并不是阿茲特克帝國的專屬，因此對“阿茲特克文明”概念更貼切的理解是一種普遍存在的中部美洲文化體系，其農業以玉米栽培為主，社會形成貴族和平民的階級分野，崇拜以特斯卡特利波卡、特拉洛克和克察爾科亞特爾為主的神系，歷法系統由365天一周期的太陽歷內嵌260天一周期的神圣歷組成。與之相對應地，守護神祇維齊洛波奇特利、雙子金字塔和阿茲特克陶制品則是阿茲特克人獨有的文化符號。現代墨西哥國家建立后，阿茲特克文化作為其國土上曾存在的重要文化而成為其現代國家認同的根基之一。特諾奇蒂特蘭建城傳說中雄鷹銜長蛇立于仙人掌之上的經典場面出現在墨西哥國旗和國徽上，為其重要的國家象征之一。
中文的阿茲特克音譯自英文的Aztec，詞源是納瓦特爾語的aztecatl，復數aztecah，意為“來自阿茲特蘭”的人。阿茲特蘭是傳說中多個墨西哥中部民族的發源地。阿茲特克人并不使用這個詞匯稱呼他們自己，但有部分其他來自阿茲特蘭的移民族群使用。根據阿茲特克神話的記載，墨西加人的守護神維齊洛波奇特利曾對追隨者說道：“如今，你們的名字不再是阿茲特克人，而是墨西加人。”現今“阿茲特克人”狹義上指特諾奇蒂特蘭的墨西加人（ ），墨西加也是他們的自稱。特諾奇卡人（ ）和科爾瓦人（ ）也是墨西加人的自稱。
廣義上，阿茲特克的范圍也包括特諾奇蒂特蘭的另外兩個盟邦特斯科科和特拉科潘，它們和特諾奇蒂特蘭共同組成了阿茲特克三邦同盟，也稱為“阿茲特克帝國”。因此，“阿茲特克”有時也是“阿茲特克帝國”的簡稱。美國歷史學家曾批評過這個用法，他更支持“庫爾瓦-墨西加”，另一位歷史學家佩德羅·卡拉斯科則支持使用“特諾奇卡帝國”。卡拉斯科曾寫道，“阿茲特克（帝國）”一詞“無法體現古墨西哥民族上的復雜性，也無法用于辨別這個我們正研究的政治實體的主要元素。”
而在最為廣義的范疇內，阿茲特克可以指所有的阿茲特克城邦文明，他們和墨西加、阿科爾瓦和特帕內克人有著緊密的歷史和文化聯系，都使用古典納瓦特爾語為通用語。在杰爾姆·A·奧夫納的著作《阿茲特克特斯科科的法律與政治》（''Law and Politics in Aztec Texcoco''）便使用了這樣的用法。照此理解，可以用“阿茲特克文明”一詞指代所有后古典時代晚期的墨西哥中部文明，他們在文化上有著很大的共通之處。現今用“阿茲特克”一詞指代中部美洲納瓦人以貿易、習俗、宗教、語言或政治聯盟為紐帶聯系起來的文明集合體，此說法是德國地理學家馮·洪堡在1810年確立的。1843年威廉·H·普雷斯科特關于墨西哥征服史的著作引入了這個用法，在其出版之后，阿茲特克這個詞匯便逐漸被全世界所接受和采用，包括19世紀的墨西哥學者們，他們用這個詞來區分現在的墨西哥和殖民時代以前的“墨西加”。阿茲特克的具體定義是一直以來歷史學術討論的主題之一，但這個詞匯在今日仍然更為常用。
現今關于阿茲特克社會的資料有以下幾個來源。一是阿茲特克遺址中的考古學遺物——從寺廟金字塔到田間茅屋中的任何物件都可以幫助了解阿茲特克世界的大致輪廓。不過考古學家們也必須依靠其他書面來源，以解讀文物的歷史背景。二是原住民和西班牙人在殖民時代初期寫成的書面歷史記載，其上的文字提供了很多阿茲特克城邦政治和統治世系的歷史信息。西班牙殖民時期的書面史料大多以拉丁字母寫成，作者包括懂得拉丁文字的阿茲特克人，以及和原住民交流過其歷史和習俗的西班牙修士。撰寫過阿茲特克宗教文獻的西班牙修士包括方濟各會的托里比奧·德貝納文特·莫托里尼亞，1524年到達中美洲的之一；方濟各會的弗雷·胡安·德托爾克馬達，撰寫了《印第安君主國》（Monarquia Indiana）；道明會的，他的作品記載了大量的阿茲特克宗教和歷史信息。
除了文字的形式，手抄本的圖像式記載也包括在內，有些手抄本甚至只有圖形和象形文字。16世紀早期的門多薩手抄本是一部重要的圖文史料，其中記載了被阿茲特克帝國征服的城邦名，帝國收受的貢品類型，以及社會的階級構造和性別結構。佛羅倫薩手抄本是方濟各會修士貝爾納迪諾·德薩阿貢在原住民抄寫員和知情人協助下于1545年至1590年寫成的，使用西班牙語和納瓦特爾語雙語，記載了許多關于阿茲特克宗教、政治、歷法和社會結構的信息，也包括原住民視角的西班牙殖民戰爭細節，甚至還有植物學、動物學、貿易往來和工藝品信息，幾乎類似于一部民族百科全書。
此外也有不少納瓦人自己制作的史料，常用圖畫和文字組合的形式介紹阿茲特克國家的歷史。有名的納瓦人編年史作者包括來自阿梅卡梅卡-查爾科的、特諾奇蒂特蘭的特索索莫克、特拉斯卡拉的、特斯科科的伊斯特利爾索奇特爾和等。一些參與過殖民征服的西班牙人也撰寫有書面史料，如貝爾納爾·迪亞斯·德爾卡斯蒂略，他撰寫的《征服新西班牙信史》完整地記載了西班牙征服戰爭的全過程。當代納瓦人的文化習俗也有歷史研究價值。現今對阿茲特克文明的研究，大多是基于常規的歷史研究科學方法，輔以與民族史學和人種志信息相結合的考古學知識而進行。
1519年的墨西哥谷
阿茲特克文明是中部美洲文明的一員。這一地區是世界文明搖籃之一，相較美洲其他地區較早產生了定居農業和社會組織。中部美洲的墨西哥谷地群山環抱，氣候溫和，有眾多宜于狩獵的物種，也能支持大規模農業。墨西哥谷地的中央分布著巨大的咸水湖——特斯科科湖，其北端和沙爾托坎湖、孫潘戈湖兩個淡水湖相連，南端則通向索奇米爾科湖和查爾科湖另外兩個淡水湖。雨水使得沿湖地區形成沖積平地，十分有利于農業生產。古典時期的發達文明特奧蒂瓦坎在前200年興起于此。特奧蒂瓦坎是古典時期墨西哥谷地文明的中心，擁有大量人口，還建起大型的宗教祭祀建筑。7世紀，特奧蒂瓦坎文明衰落，取而代之的是這一時期隨之興起的其他城邦，包括阿斯卡波察爾科、喬盧拉（Cholula）和索奇卡爾科（Xochicalco）等。
現有的共識認為，創造阿茲特克文明的納瓦人并不是墨西哥中部高地的原住民，而是自墨西哥西北部分批移民至此，但特奧蒂瓦坎是否有納瓦人定居還未有定論。有研究指，納瓦人最早定居在位于現瓜納華托州的巴希奧地區，在6世紀達到人口頂峰，隨后因干旱而人口驟減。旱季恰與墨西哥谷地遷入新民族的時間點吻合，研究者因此認為此即納瓦人遷移的直接原因。特奧蒂瓦坎文化衰落后，喬盧拉和索奇卡爾科等城邦可能已經有納語使用者定居。納瓦人南遷之后，當地原有的歐托-曼格語系民族受到影響，和遷入的以狩獵采集活動為主的游牧族群發生融合，逐漸形成了后來的阿茲特克文化。進入10世紀后，一些納瓦人城邦逐漸興起，包括墨西哥谷的圖拉、和，以及莫雷洛斯州的夸烏納瓦克。圖拉城邦由納瓦人的分支托爾特克人建立，是后古典期托爾特克文明的中心。托爾特克人是優秀的建筑者、技工，精于農耕，還建立起被稱為的君主制政權。托爾特克文化繼承了中部美洲文化的共通點，其衣著、宗教、歷法甚至是政治制度都深刻地影響了中部美洲地區的其他文明。托爾特克文化在12世紀初逐漸衰亡，后來的阿茲特克人也自視為興盛的托爾特克文明的繼承者。
托爾特克文明陷落以后，墨西哥谷地陷入內部紛爭，文明中心轉移到特斯科科湖南部的。
墨西加人是南遷的納瓦人的一支，他們是阿茲特克文明的中心城邦特諾奇蒂特蘭的建立者。在建立這一城邦之前，墨西加人同樣并不居于此地，有說法稱他們遷徙的起點位于偏西的米卻肯州，而他們的文化卻發源于在偏東的今瓦哈卡州北部和普埃布拉州一帶。墨西加人在殖民時代的史料中描述了他們遷入墨西哥谷的過程——墨西加人起初和其他民族一同遷徙，包括特拉斯卡拉人、特帕內克人和阿科爾瓦人等，但隨后他們依照守護神維齊洛波奇特利的指引另辟他路，同時正式得名墨西加人。當他們到達谷地時，當地已經有許多阿茲特克城邦，其中實力最強大的是南方的和西方的阿斯卡波察爾科。墨西加人在此的最初定居點位于查普爾特佩克，但因劫掠行為而被驅逐，于1299年被押解或遷徙至庫爾瓦坎。庫爾瓦坎的統治者科科斯特利（Cocoxtli）允許一部分墨西加人定居在蒂薩潘的空曠荒地中，在那里，墨西加人和庫爾瓦人通婚，并大量吸納庫爾瓦文化元素。庫爾瓦坎的統治世系可以追溯到托爾特克的古都圖拉，墨西加人由于和庫爾瓦人通婚，也自稱同圖拉文明有歷史聯系。墨西加人幫助科科斯特利展開征服活動，聲名逐漸顯赫，為此科科斯特利同意將自己的女兒許配給墨西加首領。但是，墨西加人恩將仇報，舉行儀式將她獻祭。因此，墨西加人再度遭到驅逐。
根據阿茲特克傳說，1323年，墨西加人在特斯科科湖發現了一只銜著蛇停在仙人掌上的老鷹，而這就是維齊洛波奇特利指引他們尋找的建城記號。墨西加人于是在湖上的一個沼澤島上建立起特諾奇蒂特蘭城，大部分史料記載的建成時間是1325年。1376年，阿卡馬皮奇特利被選為特諾奇蒂特蘭的首個領袖，稱為大特拉托阿尼，這也是墨西加統治王朝的開端。阿卡馬皮奇特利的父親是墨西加人，母親是庫爾瓦人。
14世紀中葉，阿斯卡波察爾科的特帕內克人展開軍事擴張，庫爾瓦坎在其壓力下陷入衰落。而在同一時期，特斯科科湖東岸的特斯科科城邦迎來興起，這一城邦由阿科爾瓦人建立，繼承了庫爾瓦坎的文化成就。特帕內克人的軍事擴張也就此威脅到特斯科科的獨立，雙方因而爆發沖突。
阿斯卡波察爾科的統治者是智勇雙全的，在他的統治下，阿斯卡波察爾科成為地區強權。墨西加人亦屬于特索索莫克的附庸，派戰士支援特帕內克人的地區征服戰事，并借由成功的城邦征服活動贏得部分朝貢，特諾奇蒂特蘭的政治和經濟地位也因而有所提升。
1396年，阿卡馬皮奇特利逝世，王子維齊利維特爾即位。維齊利維特爾迎娶了特索索莫克的女兒。維齊利維特爾之子奇馬爾波波卡在1417年成為特諾奇蒂特蘭新的統治者，翌年，為支援特索索莫克的戰事，他向特斯科科的阿科爾瓦人宣戰，誅殺其統治者，此人也是奇馬爾波波卡的女婿。1426年，特索索莫克逝世，其子嗣陷入王位爭奪，在此期間奇馬爾波波卡意外死亡，特索索莫克之子是可疑的兇手。
維齊利維特爾的兄弟、奇馬爾波波卡的叔叔伊斯科阿特爾被選舉為墨西加新的特拉托阿尼，當時墨西加人已經不再和阿斯卡波察爾科并肩，轉而相互敵對。特斯科科的內薩瓦爾科約特爾成為墨西加人新的盟友，他是特斯科科王伊斯特利爾索奇特爾的兒子。伊斯科阿特爾亦與馬斯特拉的兄弟托托基瓦斯特利結盟，后者是特帕內克族城邦特拉科潘的統治者。如此一來，特諾奇蒂特蘭、特斯科科和特拉科潘三個城邦互為同盟，共同反抗特帕內克人的霸權，他們包圍了阿斯卡波察爾科。1428年，盟軍摧毀阿城，并將君主馬斯特拉獻祭。特諾奇蒂特蘭借此戰一躍成為墨西哥谷最為強大的城邦，而這個對抗阿斯卡波察爾科的起義同盟，也成為了后世所知的阿茲特克帝國的成立基礎。
伊斯科阿特爾并未停止其征戰，他隨后率軍征服了、索奇米爾科、庫伊特拉瓦克和米斯基克幾個處于南方湖泊區域的城邦，他們已經發展出較當地先進而高產的奇南帕農業，即在淺湖床上開辟矩形耕地，于其上種植作物。莫雷洛斯谷地的夸烏納瓦克（今庫埃納瓦卡）也被納入伊斯科阿特爾的軍事征服版圖，成為屬邑。
托瓦爾手抄本所繪的蒙特蘇馬一世的加冕場景
1440年，蒙特蘇馬一世·伊爾維卡米納被選為特拉托阿尼，他是維齊利維特爾之子、奇馬爾波波卡的兄弟，曾在伊斯科阿特爾的征服戰爭期間擔任軍事將領。在中美洲歷史中，新統治者的登基往往意味著先王時期的屬邦將揭竿而起、反抗朝貢體系，因此每位新王都需要以一次和前屬邦的“加冕戰爭”作為其統治的開端。蒙特蘇馬登基后，要求各屬邦派工人擴建特諾奇蒂特蘭大神廟，以測試其忠誠度。只有查爾科城拒絕了蒙特蘇馬，這導致兩邦敵對了十余年。
蒙特蘇馬隨后重新征服了莫雷洛斯和格雷羅谷地的城邦，又在今韋拉克魯斯州的瓦斯特克地區和瓦哈卡州的米斯特克地區發動擴張，并在此后將矛頭轉回韋拉克魯斯的中南部地區，征服了科薩馬洛潘、阿維利薩潘和奎特拉斯特蘭。在此期間，特拉斯卡拉、喬盧拉和韋索欽科成為蒙特蘇馬征服活動的主要對手，他們曾向多個被蒙氏征服的城邦發送支援。蒙特蘇馬頻頻向此三國發動一種以小型遭遇為主的低強度戰爭，稱為“榮冠戰爭”（xochiyaoyotl），或屬于持久消耗戰略。
蒙特蘇馬亦加固了三邦同盟和特諾奇蒂特蘭的內部政治結構，他的兄弟特拉卡埃萊爾是其主要的顧問（Cihuacoatl），他在此期間主導了多次政治大變革，鞏固了貴族（pipiltin）階級的權力，制定了法律體系，同時確立了在已征服城邦恢復原首領統治、確保其忠于墨西加統治者的慣例。蒙特蘇馬下令在查普爾特佩克修筑堤道，將那里的水源引入特諾奇蒂特蘭；他還下令在東部修筑堤壩，防止湖水泛濫。1451年至1456年，由于暴雨及冰雹襲擊，特斯科科湖區曾爆發饑荒，不少人餓死或是淪為奴隸，這是蒙特蘇馬統治后期的重大災難。
特斯科科的統治者內薩瓦爾科約特爾建造了大量廟宇和公共建筑，他將特斯科科建設成為墨西哥中部高原的另一個重要城邦。他還鼓勵宗教和藝術的發展。
1469年，阿薩亞卡特爾即位，他是伊斯科阿特爾之子特索索莫克和蒙特蘇馬一世之女所生的兒子。他完成了加冕戰爭，在南方和薩波特克作戰，征服了特萬特佩克地峽的部分地區。阿薩亞卡特爾亦征服了獨立的墨西加城邦特拉特洛爾科，它坐落在特諾奇蒂特蘭所在島嶼的北方，擁有當地最大的集市。特拉特洛爾科的統治者莫基維斯（Moquihuix）是阿薩亞卡特爾的妹夫，阿薩亞卡特爾指責他虐待自己的妹妹，以此為由將特拉特洛爾科納入版圖。
阿薩亞卡特爾隨后向今墨西哥格雷羅州中部、普埃布拉谷地和海灣沿岸進軍，并在托盧卡山谷中同奧托米人（Otomi）和馬特拉欽卡人（Matlatzinca）作戰。托盧卡谷地是阿茲特克國家和強大的塔拉斯卡國之間的緩沖地，在征服托盧卡后，阿薩亞卡特爾開始同該國作戰。在1478年至1479年阿茲特克和塔拉斯卡人的數次大戰中，阿茲特克部隊嚴重受阻，阿薩亞卡特爾的軍隊在特拉希馬洛揚（Tlaximaloyan）之戰慘敗，其麾下32,000名士兵遭受嚴重損失、所剩無幾，鎩羽而歸。
1481年，阿薩亞卡特爾逝世，其兄蒂索克即位。蒂索克即位后著手重修特諾奇蒂特蘭的神廟，亦下令雕刻了著名的“”。不過，其軍事功績并不起眼——蒂索克和奧托米人之間的加冕戰爭以蒂索克的失敗告終，導致蒂索克僅有40人用以在其加冕典禮中獻祭。這也導致其軍事上的軟弱暴露無遺，大部分屬地因而接連發起叛亂，蒂索克不得不將其大部分精力投入于鎮壓叛亂之中。1485年，蒂索克逝世，據稱是被其兄弟、下一任特拉托阿尼阿維特索特爾毒害。
特諾奇蒂特蘭大神廟的復原圖
阿維特索特爾是蒂索克暴斃后的繼任者，他是阿薩亞卡特爾和蒂索克的兄弟，也是蒂索克統治時期的戰爭領袖。阿維特索特爾熱衷于軍事擴張，他的加冕戰爭以鎮壓托盧卡谷地叛亂為主，戰事較為成功，隨后他又征服了希洛特佩克（Jilotepec）和數個墨西哥谷北部的城邦，并將海灣沿岸地區納入版圖。特諾奇蒂特蘭大神廟在1487年擴建完成，阿維特索特爾邀請所有屬邦統治者前來參加開設典禮，并在典禮的四日期間獻祭了大量戰俘，一些文獻指這個數字達到了八萬多，可能有夸大成分，但實際也不少于萬人。這些戰俘大多來自于阿維特索特爾和特斯科科君主內薩瓦爾皮利一同在今瓦哈卡州北部進行的抓捕行動。
阿維特索特爾亦在卡利斯特拉瓦卡（Calixtlahuaca）、馬利納爾科（Malinalco）和特波斯特蘭（Tepoztlan）建立了紀念建筑。在他統治期間，今格雷羅州北部的阿拉維斯特蘭（Alahuiztlan）和奧斯托蒂克帕克（Oztoticpac）曾發動叛亂，為此阿維特索特爾下令將兩個城邦的全部人口處決，并派墨西哥谷的部分居民到當地重新定居。他還強化了阿茲特克和塔拉斯卡邊境的奧斯圖馬地區的駐守，以防衛塔拉斯卡的入侵。
1502年，特諾奇蒂特蘭遭到洪災威脅，阿維特索特爾因此求助特斯科科人幫助修筑堤壩。在巡視堤壩時，他遭到襲擊而死。
《科爾特斯及其部隊席卷神廟》，埃瑪紐埃爾·洛伊茨繪于1848年
蒙特蘇馬二世在西班牙人入侵及其兩年征服戰爭（1519－1521）時統治阿茲特克，并因此成為世界史視角中最為著名的阿茲特克領袖，但其早期成就并不符合這樣的名聲。他在1502年即位，是阿薩亞卡特爾的兒子。他的統治初期和歷代君王并無二致，在加冕戰爭中，他進攻了今瓦哈卡州的要塞城邦諾帕爾蘭（Nopallan），并將鄰近一帶地區納入版圖。他是一位合格的將領，在隨后的征服活動中確立了對今格雷羅州、瓦哈卡州、普埃布拉州大部分地區的統治，并向南擴張至太平洋沿岸。他還向特拉斯卡拉和韋索欽科（Huexotzinco）發動榮冠戰爭，亦加固了和喬盧拉城邦的同盟關系。內政方面，他通過施政使得平民依靠戰功晉升為貴族的行為變得困難，從而鞏固了阿茲特克社會的階級結構，亦制定法令限制平民階級使用的奢侈品類型。
蒙特蘇馬二世對特拉斯卡拉的戰爭并不順利，在此期間，特斯科科人發動叛亂，殺害了蒙特蘇馬二世的妹妹，其軍隊也被特斯科科人包圍擊潰。1516年，特斯科科君主內薩瓦爾皮利逝世，特斯科科陷入繼承爭端，特諾奇蒂特蘭和特斯科科的聯盟陷入解體。
1517年，蒙特蘇馬接到了海灣沿岸森波阿蘭（Cempoallan）附近發現船隊和怪異戰士的消息，決定派使者迎接，查明緣由，并命令沿岸屬邦發現新船隊時隨時上報。1519年，他得知埃爾南·科爾特斯率西班牙船隊來臨。后者很快進入特拉斯卡拉，而特拉斯卡拉是阿茲特克的老對手。11月8日，蒙特蘇馬二世和科爾特斯一行在特諾奇蒂特蘭南部的堤道會面，他邀請科氏作客居留。阿茲特克部隊隨后在海岸摧毀了一處西班牙營地，科爾特斯因而要求蒙特蘇馬處決相關將領，后者接受。蒙特蘇馬二世淪為了西班牙人的俘虜，被軟禁在王宮之中，西班牙人逐漸在這場對抗中占得主動。各屬邦察覺氣氛異常后，1520年6月，針對西班牙人的敵對行動爆發，發生了著名的針對西班牙人的，期間蒙特蘇馬二世被殺，可能是指責他叛國的阿茲特克人行兇，亦有可能是西班牙人在撤離途中泄憤將其殺害。
《夸烏特莫克的殉道》，繪于19世紀
奎特拉瓦克在蒙特蘇馬死后繼位，他僅是王室成員，此前是蒙特蘇馬的顧問。他在統治期間不斷加固特諾奇蒂特蘭的防御工事，以防衛西班牙人和特拉斯卡拉人的入侵。他僅僅統治了80天就暴斃宮中，早期的文獻并未給出具體原因，后世大致認為是因為流行的天花瘟疫。夸烏特莫克即位，他成為阿茲特克國家的最后一個特拉托阿尼。夸烏特莫克登基后繼續指揮保衛特諾奇蒂特蘭。1521年8月13日，特諾奇蒂特蘭告破，他被西班牙人俘虜，這也是西班牙人在中墨西哥確立新霸權的標志。夸烏特莫克被西班牙人囚禁，隨后在出征洪都拉斯探險途中被科爾特斯下令處決，緣由據稱是叛國罪。夸烏特莫克的死也意味著阿茲特克政治史的結束。
在陷落的特諾奇蒂特蘭廢墟上，墨西哥城建立起來，歐洲式建筑逐漸取代老舊的阿茲特克建筑，占據了湖心島。特諾奇蒂特蘭陷落后，阿茲特克士兵被西班牙人招致麾下，參與隨后征服中美洲土地的戰爭，部分士兵在新征服的土地定居。這意味著阿茲特克文化和納瓦語在殖民時代后沒有迅速陷落，反而在殖民時代初期得到了傳播。西班牙人將新征服的墨西哥地區稱為“新西班牙”，建立新西班牙總督轄區。
阿茲特克統治王朝在夸烏特莫克死后繼續統治“圣胡安特諾奇蒂特蘭”，是為墨西哥城的一個原住民區域，但隨后即位的特拉托阿尼多數是西班牙人扶持的傀儡，信仰天主教、姓名前綴有教名，如等。其他阿茲特克城邦被列為殖民地原住民城鎮，由一位原住民總督（gobernador）統治，總督職位最初由當地舊有的統治王朝成員擔任，此人有時會兼任特拉托阿尼，不過在一些城鎮中也有兩個職位由兩人把守的情況。原住民總督負責管治原住民，在傳統的收取貢品和發號施令等事務上仍然發揮著作用，聽命于駐守當地的西班牙官員。這種體制被稱為“監護征賦制”，當地的西班牙官員被稱為監護。在殖民時代初期，一些原住民總督因這項制度變得尤為富有，且具有一定影響力，權力甚至可與西班牙監護相比。
佛羅倫薩手抄本第七卷所繪的阿茲特克人感染天花的情形
在歐洲人抵達墨西哥并完成征服、確立殖民統治后，當地的原住民人口顯著減少，其中很大一部分原因是歐洲人帶來的病菌瘟疫，使得大量沒有抵抗力的原住民喪命。1520年至1521年，天花爆發并席卷特諾奇蒂特蘭，間接導致西班牙人輕易攻破了這個曾經繁榮的阿茲特克都城。在1545年和1576年，天花病毒又是兩次爆發，對原住民形成嚴重威脅。在歐洲人來臨時，當地并沒有人口普查的數據。早期對墨西哥谷地人口的估計數字較小，1942年喬治·庫布勒（George Kubler）給出了20萬的數字，1963年博拉（Borah）和庫克（Cook）依據收貢清單計算出中墨西哥地區貢品數量，推出了1800萬至3000萬的龐大數字，他們也因此遭受批評，被指責為毫無根據。考古學家威廉·桑德斯（William Sanders）根據古宅的考古數據，推斷出100萬至120萬的人口數字。托馬斯·惠特摩爾（Thomas M. Whitmore）基于殖民地普查數字，利用計算機模擬模型推測出在1519年，墨西哥谷地約有150萬人，而全墨西哥共有1600萬人。將以上數據和16世紀銳減后的人口數字相比，殖民征服后墨西哥谷人口的減幅分布在50%到90%之間，而根據桑德斯和惠特摩爾的數據則達到了90%左右。
盡管阿茲特克帝國不復存在，但阿茲特克上層精英的地位在殖民時代得以保留，蒙特蘇馬二世的繼承人和子嗣依然擁有很高的地位。蒙特蘇馬二世之子生有一子迭戈·路易斯·蒙特蘇馬，后者通過婚姻融入了西班牙貴族體系，從而催生了“蒙特蘇馬伯爵”的貴族頭銜。自1696年起至1701年止，新西班牙總督兼有蒙特蘇馬伯爵頭銜。1766年，蒙特蘇馬伯爵獲封為象征最高地位的“格倫代”。1865年，墨西哥已進入第二帝國時期，當時的第十四代蒙特蘇馬伯爵安東尼奧·馬里亞·蒙特蘇馬-馬西利亞·德特魯埃爾-納瓦羅獲封為公爵，爵號也改為蒙特蘇馬公爵。兩個蒙特蘇馬的女兒和萊奧諾爾·蒙特蘇馬被科爾特斯封為監督（encomiendas），頭銜終身享有。萊奧諾爾后來先后和兩位西班牙人結婚，她的第二任丈夫將監督頭銜傳給了二人的女兒。
和其他原住民部族不同，阿茲特克的納瓦人在殖民時代到來后保留了他們原有的政治和社會結構。西班牙人在原住民城鎮建立了印第安人共和體（Republica de indios）作為基本行政區域，在由歐洲人、非洲奴隸和混血的卡斯塔人所組成的新城鎮建立西班牙人共和體（República de espa?oles），二者并存。西班牙人將原住民精英視為殖民體系的貴族，繼續維持殖民時代前的社會結構，并利用這些貴族，將他們作為西班牙殖民政府和原住民之間的中間人，但這也和原住民貴族對基督教和西班牙王室的忠誠度有關。納瓦人精英在當地事務中擁有相當大的自治權。西班牙統治者并未完全了解舊有的政治組織，但他們清楚舊有體系和貴族統治者的重要性。他們將舊的城邦作為基本的行政單元，更名為首府（cabeceras），而原屬于城邦控制區的邊緣城鎮則命名為附屬府（sujetos）。西班牙人在首府建立起伊比利亞風格的市政廳，稱為cabildo，職能和舊有的原住民貴族大體一致。隨后瘟疫不斷爆發，原住民人口銳減，造成人口情況的大變動。為了控制人口分布，殖民政府利用“集合”政策（congregación）進行了多次強制性的人口遷移。分布在人口較為稀少的地區的原住民被強制遷移到新建立的定居點，便于接受傳教和強制勞動。
墨西哥國家宮描繪特諾奇蒂特蘭景象的壁畫，迭戈·里維拉繪
阿茲特克政治上的主要組織單位是阿爾特佩特爾（altepetl），本義為“水嶺”，意譯作城邦。每個城邦都有一名統治者，稱為特拉托阿尼，下轄全城邦的貴族和平民。阿茲特克的城邦中中心的都城是宗教活動和貢品流通的中心地，外圍包圍有居民點。城邦認同是阿茲特克人主要的身份和民族認同因素，城邦人口不一定擁有統一的語言。每一個城邦的政治體系都是互相獨立的，戰爭也會在城邦和城邦之間展開。在墨西哥谷地，城邦的下等區域是卡爾普爾利（calpulli），本義是“長屋”，意譯作公社、氏族，是平民之間的主要政治組織，通常由家庭組成，成員家庭多通過婚姻互相關聯，因此卡爾普爾利又相當于氏族組織。公社在政治上劃有土地，平民在當地組織勞動及開墾土地。公社的領袖可能成為貴族成員，如此他們便能在城邦組織中作為公社代表出現。
城邦的城區是阿茲特克人宗教、政治和經濟的中心。阿茲特克帝國的首都是特諾奇蒂特蘭，建造于特斯科科湖的一系列小島之上，面積約10萬平方公里，依據對稱布局規劃而建，分為四個城區（campan，“方向”），中央是以大神廟為中心的宗教儀式區域，其中的大金字塔有50米高。城內建有整齊的街道和廣場，特諾奇蒂特蘭的普通房屋用原木和泥土建成，房頂用蘆葦桿搭成；金字塔、神廟和宮殿等宗教和王室建筑則大多用石頭建造。城市內部運河交錯。特諾奇蒂特蘭的中心區四周被圍墻包圍，包含主建筑大神廟、供奉其他神祇的神廟、蹴球場、卡爾梅卡克（供貴族子女參加的學校）、勇士居所和商人居所，以及供皇帝居住的宗教宮殿，此外還設有頭骨架（tzompantli），展示人祭祭品的頭骨。中心區周圍是其他王室宮殿。大神廟的主建筑大金字塔頂端是供奉特拉洛克和維齊洛波奇特利的神殿，也是大多數人祭活動的主要場所。大神廟經過多次擴建，幾乎每一位統治者都會擴建一次。全城有10余公里長的防水堤壩，城北建有市場，是貿易中心。
特斯科科湖周邊的城邦還包括阿斯卡波察爾科、、特斯科科、庫爾瓦坎、特拉科潘、、科約阿坎、索奇米爾科和等。在普埃布拉谷地，是規模最大的城邦，建有中美洲最大的金字塔。特諾奇蒂特蘭周邊的特拉斯卡拉包含四個小城邦。在莫雷洛斯谷地，夸烏納瓦克是主要的納瓦特爾語城市。托盧卡谷地的托爾洛坎（Tollocan）是馬特拉欽卡人的中心城市。絕大部分阿茲特克城市都擁有一個中央廣場，以雙子大金字塔為中央建筑。雙子大金字塔通常面朝西側，建有兩列階梯，通往兩個神廟建筑。
根據人類學家愛德華多·諾格拉（Eduardo Noguera）按照房屋數量的估計，特諾奇蒂特蘭和鄰近的特拉特洛爾科共有人口20萬。若計入特斯科科湖的沿岸城市和所有島嶼，則共有30萬到70萬人。邁克爾·史密斯（Michael E. Smith）的估測的特諾奇蒂特蘭城區人口為212,500，參與估測的城區面積為1,350公頃，密度為157。墨西哥谷地的第二大城市是特斯科科，其450公頃的區域內有25,000人口。在莫雷洛斯谷地，考古學家邁克爾·史密斯（Michael E. Smith）估測當地的城邦一般有1至1.5萬的人口，領土面積在70至100平方公里間，不過莫雷洛斯谷地的城邦面積較其他地區稍微小些。史密斯認為城邦主要是政治單元，由領主和其管轄的市民組成，而并不是領土單位，因為一些地區內的小型居民點間分屬多個不同的城邦。
1427年，為共同對抗阿斯卡波察爾科的特帕內克人，特諾奇蒂特蘭、特斯科科和特拉科潘組成三邦同盟，也被稱為阿茲特克帝國，三邦的特拉托阿尼都可視作帝國的君主——但事實上特諾奇蒂特蘭擁有更高的威望，因而其特拉托阿尼是阿茲特克帝國實際上的最高統治者，也被后世稱為“阿茲特克皇帝”。阿茲特克帝國是納瓦人唯一一個相對成熟，且形成一定領土規模的政權，帝國的領土范圍最遠到達了今日墨西哥和危地馬拉邊界的太平洋沿岸城市。阿茲特克帝國仰仗間接的統治方式，雖然它和大部分歐洲帝國一樣，擁有復雜的民族構成，但阿茲特克帝國的統治體系更像是一個大規模的朝貢系統，并不是由政府進行直接統治，這與歐洲政治體系嚴密的各大帝國有所區別。人種歷史學家羅斯·哈西格稱對阿茲特克帝國最適合的理解應該是一個非正式的“霸權帝國”，因為它并不聲索已征服領土的至高統治權，原有的統治者大多得到保留，而只是強迫他們進貢，以保證朝貢體系的順利運行。只要朝貢體系能夠順利運轉，帝國的統治者便不會特意干涉已征服地區的內政，而是任由原有的統治者施行自治，不過統治者也會通過通婚或交換貨物等方式和當地統治者建立聯系，以確保他們忠于中央。
為了保證帝國的擴張行動能夠順利進行，統治者們也會取消一些軍事前線地區的朝貢地位，而派軍隊實行直接統治，甚至會委派傀儡君主、設立長期駐軍或強制移民的方式建立統治，如西部和勁敵塔拉斯卡的邊境地帶。這種針對前線地帶的統治策略和帝國在墨西哥谷腹地的統治形式有著很大不同。
盡管西方史學家一直稱呼這個以三方同盟為基礎的政權為“帝國”，但政權統治范圍內的大部分地區都是由城邦組成的，每個城邦都擁有著世襲的統治王朝。阿茲特克人崛起的早期就是憑借著城邦戰爭的形式得以實現；而即使在1427年“帝國”建立以后，城邦也一直是地方行政的基本單位，這些城邦是阿茲特克國家“霸權”統治形式的關鍵。
門多薩手抄本中關于平民進階的說明。阿茲特克的平民階級可以通過捕獲戰俘來提升自己的社會地位，每個社會層級都需要捕獲一定數量的戰俘
阿茲特克社會中，（單數pilli，復數pīpiltin）的地位最高，類似于舊世界的貴族。皮爾利的階級身份是世襲的，并擁有一些社會特權，如消費奢侈品、穿戴上乘服飾等，且可以占有土地、征召平民勞役。皮爾利階級中也有一定地位區分，最高位者通常為特烏克丁（teuctin），即領主，他們占有貴族莊園和住所，可以擔任政府官職或軍事將領。皮爾利約占阿茲特克人口的5%。
下等階級被稱為（單數mācēhualli，復數mācehualtin），即平民。起初僅限農民，但隨時間推移逐漸囊括了一切下等工作者。根據統計資料，在阿茲特克帝國的后期，只有20%的馬塞瓦爾利從事農業，余下大部分為戰士、工匠或商人，又在晚期以工藝事業從業者為主。他們的勞作是阿茲特克市鎮的主要收入來源。馬塞瓦爾利在極度貧困或債務累累時可能會成為貴族的奴隸（tlacotin），但奴隸身份并不世襲。有的馬塞瓦爾利沒有土地，而直接為領主工作，稱為mayehqueh。大部分的馬塞瓦爾利通常會結為不同的公社，稱為卡爾普爾利（calpulli），從屬于城邦，下屬有土地和財產。在戰爭中，馬塞瓦爾利可以通過捕獲戰俘來提升自己的社會地位。
阿茲特克是世界上較早強調強制教育的文明之一。兒童在15歲之前的教育由家長負責，教育進度受當地卡爾普爾利公社的監督。15歲后，學生將接受學校教育，為期5年；不過兒童在10歲就可以提前入學。學校分為兩種類型：，由公社運作，教授實用技能和軍事；，教授高級的文學、天文、政治、神學等文化領域學科。卡爾梅卡克的學生大部分是卡爾利貴族的子嗣。學校的教師（tlamatimine）為培養學生的意志力，會采用嚴厲的體罰方式，且要求學生早上洗冷水浴，參加耐力測試等。此外，還有專門教授歌舞藝術和蹴球的學院，這兩種職業在阿茲特克帝國都享有較高地位。女性通常會參加家政和育兒的教育；也有女性接受助產士和醫術教育，稱為蒂齊特爾（tizitl），她們專門負責護理其他阿茲特克女性。在阿茲特克的教育體系中，有一個特別的“長者箴言”（huehuetlatolli）課程，以哲理性語句為載體，傳遞阿茲特克人的價值理念和禮儀觀念。
阿茲特克人的家庭結構既不屬于父系，亦不屬于母系——兩個世系的地位平等，子女的繼承權利也趨于等同。這意味著女性的財富可以企及男性，在婚姻中，女性也擁有較大的經濟自由。不過，阿茲特克社會中的職位分配遵循嚴格的性別區分系統，男性應在外工作，擔任農民、商人、工匠或士兵；女人則更多地擔任家庭主婦，但也可以擔任小范圍內的商人、醫生、祭司或助產士。戰爭在阿茲特克社會中地位崇高，但阿茲特克社會賦予女性維持世界和諧、取悅上蒼的使命，這被認為和戰爭同等重要。這使得一些學者將阿茲特克社會的性別地位情況定義為“性別互補”，男女各司其職，地位平等。
在貴族中間，聯姻被視為一種政治策略，地位低的貴族家庭可通過將女兒嫁給顯赫家庭，孕育出擁有更高地位的子嗣。貴族也流行一夫多妻制，這在平民階級中并不常見，因此一些文獻認為一夫多妻是貴族的專利。
阿茲特克蹴球員為西班牙國王表演，克里斯托弗·魏迪茨于1528年繪
中美洲蹴球（ōllamalitzli）是阿茲特克人最流行的體育運動。這種形式的運動并非阿茲特克人首創，而是流行于中美洲各個民族，歷史悠久。蹴球在納瓦特爾語中被稱為ōllamalitzli，詞根ōlli意為“橡膠”。運動員使用臀，膝蓋和肘擊球，把球送入一個石環內視作獲勝，但具體規則不詳。蹴球運動是阿茲特克人重要的娛樂活動，不過亦被阿茲特克人賦予宗教意義——球被視為太陽的象征，球賽代表著維齊洛波奇特利的白晝勢力，和科瓦特利奎、科約爾沙烏基的黑夜勢力之間的對抗。阿茲特克貴族子女參與的學校卡爾梅卡克有蹴球課程，其中最杰出者可能會成為職業的蹴球運動員。阿茲特克的各大城邦幾乎都建有蹴球場（tlachtli），都城特諾奇蒂特蘭的蹴球場被稱為“圣球場”（teotlachco），在節日慶典期間會舉行正式比賽。比賽的敗者可能會淪為奴隸，西班牙史學家迭戈·杜蘭曾稱蹴球運動員是“不幸而可憐的人”，父母“出賣自己的孩子，將他們的命運作為賭注，讓他們冒著成為奴隸的風險。”阿茲特克人使用橡膠制作球，但他們并未發現國土內高地地區生長的巴拿馬橡膠樹，而依靠低地城邦進貢的橡膠。根據門多薩手抄本中的記錄，特諾奇蒂特蘭每6個月自南部省份接受16,000塊生橡膠，不過不是所有的生橡膠都被用于球的制作。在西班牙征服阿茲特克帝國之后的1528年，科爾特斯將一隊阿茲特克蹴球運動員帶到西班牙，為國王卡洛斯一世表演。
舞蹈表演是阿茲特克人的另一種娛樂方式。以娛樂為目的的舞蹈表演一般在神廟或貴族下轄的偏遠地區舉行，表演者亦會演唱歌曲，有時有樂器伴奏。舞蹈有時也帶有宗教甚至政治意味，舞蹈被認為是取悅神明的方式。宗教慶典上會有固定的舞蹈表演；在政治層面上，舞蹈表演被認為能夠展現帝國威嚴，或是用以紀念戰爭的勝利。
豹勇士的現代重現，由喬治·斯圖亞特（George S. Stuart）仿照馬利亞貝奇亞諾手抄本設計
阿茲特克人尚武，勇士文化是其文化的重要部分。通常阿茲特克人發動戰爭有兩層目的——政治上，阿茲特克的特拉托阿尼希望利用戰爭擴張勢力范圍，從而擴大其朝貢體系，也累積其威望；宗教上，阿茲特克人需要利用戰爭獲取戰俘，作為宗教儀式的祭品。當新的特拉托阿尼登基時，一般會發動“加冕戰爭”，通過擴張或是平叛以證明自己是勇士、獲取民望，并為其加冕典禮獲取貢品。加冕戰爭的失敗會帶來巨大的政治風險，蒂索克的加冕戰爭失敗就致使多個城邦發動叛亂，他本人也不幸暴斃，很有可能被貴族毒害。
阿茲特克的軍隊一般按照階級分為平民軍和貴族勇士（cuāuhocēlōtl）兩部分，分別在特爾波奇卡爾利和卡爾梅卡克兩種學校接受軍事訓練。平民可通過抓捕戰俘以獲得晉升機會。宗教祭司也會隨軍參戰，他們通常攜帶神像，給予軍隊精神支持。貴族勇士內部按抓捕戰俘多寡分為多個階級，身著各式各樣的奇裝異服。阿茲特克社會中的波奇特卡（pochteca）長途商人是重要的軍事情報人員，他們在中美洲各地進行貿易活動，同時會幫助上層階級收集相關情報。如果他們被無故殺害，特拉托阿尼便有了發動戰爭的借口。專職的間諜被稱為基米奇丁（quimichtin），他們通常在戰爭開始前被派入敵對地區探查地形、敵軍情報，并尋找可利用的異議人群。他們使用敵方語言，穿著敵方的服飾，僅在黑夜中行動。如果間諜被識破，他本人便會遭遇酷刑，其家屬也會被貶為奴隸；但行動成功的報酬也頗為豐厚。
“”，一種帶有尖刃的木制手持武器，是阿茲特克戰士標志性的近戰武器
戰爭在納瓦特爾語中被稱為“水火”（ātl tlachinolli）。一旦決定進行戰爭，會將士兵集結到城邦的廣場上接受動員。通常最先出發的是攜帶神像的祭司，第二日將軍帶領貴族勇士出發。第三日，軍隊主力出發，其中特諾奇蒂特蘭軍先于其他城邦的軍隊。在行軍過程中，沿途的城邦亦會派兵跟從。阿茲特克人在墨西哥谷地一帶建造了密集的道路網，軍隊能日行19至32公里。行軍規模依戰爭規模而有所不同，如僅以獲取祭品為目標的榮冠戰爭僅需要很少的士兵。在和米斯特克城邦奎斯特拉瓦坎（Coixtlahuacan）的戰爭中，阿茲特克派出了20萬士兵和10萬名隨行工人。1506年，阿茲特克派出40萬大軍攻打米斯特克城邦圖圖特佩克（Tututepec）。戰爭開始前，士兵會打響戰鼓、吹響螺號以傳達進攻號令。平民軍首先會利用投石繩和弓箭發動第一波進攻，整個軍隊會依照指揮試圖包圍對手，隨后是貴族勇士沖入敵陣利用近戰武器進行肉搏，其中也有人使用投槍器。第一次參加戰斗的年輕人會排在末尾次序沖鋒，且通常是在勝局鎖定以后出動追捕逃兵，并試圖俘獲對手。有論調指阿茲特克人傾向于抓捕戰俘，而不會殺掉對手。有人認為這是阿茲特克軍隊敗給西班牙人的原因之一，但不少歷史學家反對這個意見，事實上阿茲特克軍隊僅僅在榮冠戰爭中才會這么做，而在反抗西班牙人的戰爭中，阿茲特克人會盡可能殺死西班牙敵軍。