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一些埃及學研究者認為美尼斯和那爾邁是同一個人；也有部分學者認為美尼斯其實是荷爾-阿哈，他從那爾邁那兒繼承了一個已經統一的埃及；此外，還有人認為那爾邁開始了統一埃及的進程，但是他未獲得成功或者只是獲得了部分成功，剩下的統一進程則是由美尼斯完成的。某些學者持美尼斯與那爾邁是同一人的觀點是基于出土的數個陶器中出現的代表那爾邁——這位傳說中的國王的象形文字符號——Mn。在納哈爾·提拉哈出土的一塊陶片上，人們發現了那爾邁國王的“王宮門面”，其中出現了這位埃及國王的5個王名，其中一個即包含了符號Mn（即代表美尼斯）；而其后則連接著荷魯斯式王銜“那爾邁”。由此推論即知美尼斯的王名中包括了那爾邁。不過，在各個提到美尼斯的陶片的記載中也有相互矛盾的地方，從而無法確證其真正的身份。
另外一個同樣具有說服力的理論認為那爾邁是一位成功統一埃及的國王（可能是蝎子王，人們在耶拉孔波利斯出土的陶器上亦發現了他的名字）的直接繼承人，其使用的統一的上下埃及的標符也是從上一代傳下來的。最近，在第一王朝法老登和卡的墓中發現的王表都將那爾邁列為王朝的建立者，其繼位者為荷爾-阿哈（而其中未提及美尼斯）。
人們認為那爾邁的妻子是（意即仁慈的奈斯神），她是北部埃及的一位公主，帶有其名字的碑文發現于那爾邁的繼任者荷爾-阿哈和哲爾的墓中。這表明她可能是荷爾-阿哈的母親。
在語音學上，那爾邁的王名是由代表鯰魚（n'r）和鑿子（mr）的象形文字符號組成的。他名字的現代變種包括了“荷爾·那爾邁魯”（Hor Narmeru）或“荷爾·馬里納”（Hor Merinar），但是，學術會議一般習慣稱之為那爾邁。
那爾邁的陵墓在阿拜多斯的烏姆·卡伯地區被發現，由兩個相連的墓室組成，毗鄰在其之前的提尼斯城的統治者——卡的陵墓。
1994年夏，納哈爾·提拉哈探險隊的挖掘者在以色列南部發現了一塊陰刻陶片，其上記載了亦稱為“那爾邁”的王名。考古學家確認該人即為詹姆斯·E·奎貝爾在上埃及發現的那爾邁調色板上所提及的那爾邁。這塊銘文是在一塊較大的圓形平臺上發現的，該處可能是一個存儲倉的所在地基。通過礦物學鑒定，人們判定這塊陶片是一個于公元前3000年從尼羅河流域傳入以色列地區的酒甕的碎片。
考古學家還發現了當時產于南部迦南，而又傳入埃及的陶器，這些陶器上印有那爾邁的王名。此外，還有部分產于阿拉德、恩·貝索、拉法赫和特爾·厄拉尼的陶器。
File:BaboonDivityBearingNameOfPharaohNarmerOnBase.png|鐫刻有那爾邁王名的狒狒神雪花石膏雕像，藏于柏林埃及博物館。
File:MudJarSealing-EstateOfNarmer_MetropolitanMuseum.png
File:Narmer Macehead.png
File:Narmer-PotterySherdWithSerekhAndName_MuseumOfFineArtsBoston.png
* Possibly copied: http://www.crystalinks.com/narmer.html
* Dodson, Aidan. Hilton, Dyan. ''The Complete Royal Families of Ancient Egypt'', Thames & Hudson  2004
* Gardiner, Alan. ''Egypt of the Pharaohs.'', Oxford University Press, 1961
* Kinnaer, Jacques. ''What is Really Known About the Narmer Palette?'', KMT: A Modern Journal of Ancient Egypt, Spring 2004.
* Shaw, Ian. ''The Oxford History of Ancient Egypt.'', Oxford University Press, 2000.
*   ''The Narmer Catalog''
美尼斯是傳說中第一位將古埃及統一起來的統治者。通常認為他於公元前3100年前創立了古埃及第一王朝。如同古羅馬的羅慕路斯，美尼斯被視為古埃及歷史的創建者。
根據傳說，將上下埃及統一成為一個國家的是一個名叫「美尼斯」的法老。然而，這名字並沒有在現存的王名表（開羅殘片和巴勒莫石碑）上出現，這些殘缺的王名表乃是刻於一塊第五王朝的石碑上。作為埃及的第一個統治者，美尼斯是在較後期的史料上才出現的。根據曼涅托的《埃及史》（Aegyptiaca），古埃及起初是神的王朝，然後是神人和亡靈的王朝，接下來才是人的王朝，而在人王朝中，美尼斯就是第一位王。
就第十九王朝（公元前13世紀）的兩個王名表（阿拜多斯王名表及都靈王名表）而言，記載的名稱為「美尼」（Meni），而公元前3世紀的埃及歷史學家曼涅托則稱他為「美尼斯」；公元前5世紀的希臘歷史學家希羅多德稱第一位埃及法老為「米恩」（Min）；西西里的狄奧多羅斯則稱之為米納斯（Menas）。美尼斯亦出現在希臘羅馬時期的通俗小說中，可見他在後期被視為重要人物。
美尼斯的功勞亦在於建立了孟斐斯以作為埃及首都。根據曼涅托的著作，美尼斯在位共62年，最後他是被一頭河馬殺死的。
19世紀末發現的那爾邁調色板描述了當時還未被人所認識的法老那爾邁，其所屬年份很有可能比美尼斯還要早，從調色板中可見，那爾邁揮動權標頭打擊敵人，另外亦戴有代表上下埃及的紅冠和白冠。有學者認為那爾邁（或其繼承人荷爾-阿哈）和美尼斯是同一人。也有學者認為美尼斯從已經統一埃及的那爾邁手上繼承了國家；另一種觀點人為美尼斯完成了統一，那爾邁只是開始了統一過程，當中可能未竟全功又或者只是成功了一部分。但無論如何，有大量考古證據證明有那爾邁這麼的一位法老存在，而公認證實「美尼斯」存在的證據只得在涅伽達的一個大墓地所發現的一塊象牙板上以兩女神名刻有其名字。一般懷疑美尼斯或者是那爾邁的其中一個名字，或者是那爾邁上一任的法老，也有可能是與那爾邁的繼任人荷爾-阿哈為同一人。還有人認為美尼斯是埃及人所創造出來的傳說。另一些人認為那爾邁是美尼斯的父親。
學者無法確認美尼斯身份的原因有二，其一是同代文獻中並無美尼斯的名字；其二是早王期的其他國王，如荷爾-阿哈、哲爾等的墓都已於阿拜多斯發現，但屬於美尼斯的墓至今仍未發現。
*Gardiner, Alan (1961):  Egypt of the Pharaohs , Oxford University Press
* Menes (king of Egypt) - Britannica Online Encyclopedia
*  Menes - Digital Egypt for Universities
*  Who was Menes? - Egypt Abu Simbel in Nubia, A Feature Tour Egypt Story
阿蒙霍特普四世（按不同的時間體系估計，去世于前1351年-前1334年之間），后改名埃赫那吞（Akhenaten，也譯作埃赫那頓），古埃及第十八王朝法老。
阿蒙霍特普四世是第十八王朝全盛時期的法老阿蒙霍特普三世的兒子，其母親是阿蒙霍特普三世的王后提伊。較可信的出生時間為其父在位的第26年（前1379年至前1362年）。他不是阿蒙霍特普三世的長子（長子是圖特摩斯王子）。
阿蒙霍特普四世統治了17年（始自前1364年至前1347年之間，結束于前1351年至前1334年之間）。他在位時期所推行的宗教改革是古埃及歷史上最重大的事件之一，也是長期以來學者研究的焦點課題。
像古埃及的所有法老一樣，阿蒙霍特普四世擁有多個名字。實際上，新王國的法老們使用5個名字（參見五重命名法）。對于阿蒙霍特普四世，更特殊的是他還出于政治目的改過一次名字。
* 阿蒙霍特普四世的真名（出生時的名字，即拉名，以太陽神拉的兒子名義取的名字）是阿蒙霍特普，意為“阿蒙的仆人”。阿蒙是底比斯，后來也是整個埃及的主神的名字。希臘語文獻中將他的這個名字寫為更符合希臘人命名習慣的“阿蒙諾菲斯”（Αμ?νοφι?）。在很長一段時間里，西方考古學界都使用阿蒙諾菲斯這個名字。
* 阿蒙霍特普四世的王銜（樹蜂式王銜）是“涅弗爾-赫普魯-拉”（Nefer-kheperu-Rê），字面意思為“拉的容貌是美麗的”。后來這個王銜又附加了一個部分：“瓦恩拉”（Wa-en-Ra），字面意思為“拉是獨一無二的”。在著名的古埃及文獻阿馬爾奈文書中，出現了王銜的一個變體：Naphu(`)rureya。
* 在阿蒙霍特普四世推行宗教改革之后，為了表示與阿蒙信仰的決裂和對阿頓信仰的支持，他更改了自己的拉名。新的名字明顯表示出阿頓崇拜的意思：“埃赫那頓”（Akhenaten），字面意思為“阿頓的仆人”或“阿頓光輝的靈魂”。
* 阿蒙霍特普四世在宗教改革之后沒有拋棄原來的王銜，但把荷魯斯銜改成了邁里阿頓（Mery-Aten），意為“受到阿頓喜愛的”。
* 阿蒙霍特普四世的兩女神式王銜為Wernesytemakhetaten（意為“埃赫那頓的偉大統治”）。
* 阿蒙霍特普四世的金荷魯斯式王銜為Wetjesrenenaten（意為“以阿頓的名義贊頌”）。
所有名字的寫法請見下表。
阿蒙霍特普四世：
埃赫那吞頭像，現藏盧克索博物館
阿蒙霍特普四世在位時期最重要的事件即是推行阿頓崇拜的宗教改革。他在登上王位的第一年就開始宣傳這位將取代以往一切神靈的尊貴的太陽神。為了實現這個目標，他與底比斯的阿蒙祭司進行了無情的爭鬥，并為了徹底擺脫阿蒙祭司而將帝國的都城由底比斯遷到其新建的城市埃赫塔頓（今埃及阿瑪納地區）。
有關阿蒙霍特普四世統治后期的關鍵史料來自于被稱為阿馬爾奈文書的古埃及文獻。這些文件發現于現代的泰勒阿馬爾奈，即阿蒙霍特普四世時代的埃赫塔頓。文件主要是阿蒙霍特普四世王朝的外交通函。這些信箋中包含了真正的無價之寶：來自亞洲地區的大量泥版文件，它們是埃及在亞洲的殖民地或盟友發給法老的。這些文獻顯示，由于阿蒙霍特普四世對宗教事務的過度關注，埃及在國外的影響力下降，甚至是出現了明顯的國力衰退。法老對宗教改革以外的政治活動的漠視最終導致由圖特摩斯三世建立起來的埃及帝國發生了大麻煩。
在亞洲的總督和附庸國的國王向法老寫信，他們抱怨經常被無故斥責或欺騙。在其在位早期，阿蒙霍特普四世與亞洲主要國家米坦尼的國王發生嚴重矛盾。他因此與赫梯人結盟，而這些可怕的戰士在他們的偉大領袖蘇庇路里烏瑪一世領導下，正在進攻米坦尼以圖建立自己的霸權。許多臣服于埃及的亞洲小王公也受到赫梯人的威脅，他們只能向遠在非洲的法老本人求援，而阿蒙霍特普四世一概置之不理。總之，在他統治期間埃及對亞洲的控制大幅削弱；很多學者認為一個全盛的埃及帝國時代正是在這里結束。
阿蒙霍特普四世的統治時期（有時被稱為“阿馬爾奈時期”）也曾發生其它重大事件，包括一場瘟疫，也許是世界上第一次大流感爆發。這場疾病從埃及擴散到整個中東，殺死了赫梯新王國國王蘇庇路里烏瑪一世本人。可能正是這場疾病導致了埃赫塔頓這座城市的迅速衰落，在阿蒙霍特普四世去世后不久它就荒廢了。
埃赫那吞戴著藍冠，現藏開羅博物館，曾一度在暴亂中遺失，現已找回。
阿蒙霍特普四世在其在位的第一年引入了對太陽神阿頓的崇拜，從而宣告了埃及歷史上一場意義非常的宗教改革的開始。阿頓原本是一個古老但不甚重要的埃及神祇，現在被法老提高到了最顯赫的地位。阿頓崇拜的早期階段是以阿頓為最高神，但同時不否認其他神靈的神性的“單一主神教”式宗教，與傳統的埃及宗教并無沖突；但后期階段，阿頓就明顯顯示出原始一神教的色彩了。
阿頓的字面意思是指太陽光輪本身。在古埃及的神話體系裡，最重要的太陽神是拉，他是古王國時期的主神。拉后來與象征法老家族王權的荷魯斯以及在隨著底比斯崛起為埃及首都而地位急劇上升的底比斯地方神阿蒙合併。這種合併相當突兀，但卻為古埃及人所接受。阿蒙霍特普四世簡化了這個體系，通過宣稱可以看見的太陽形象本身是唯一的神，他創造了已知的世界上第一種一神教。一些研究者把阿頓信仰理解為一種含有樸素科學思想的自然主義，其理論的基礎在于認識到太陽的能量是地球上所有生命的最根本能源這一事實。
阿蒙霍特普四世為什么要推行如此劇烈的宗教改革，是研究者一直探究的課題。較為可信的是，法老希望通過貶低阿蒙神的地位來打擊底比斯的阿蒙祭司階層。這樣一來，他的宗教改革實際是一場政治斗爭。法老想要集中權力，以遏制自新王國建立以來權勢日益強大的祭司集團與王室分庭抗禮的傾向。
阿蒙霍特普四世在其在位的第5年開始建造一座新首都，埃赫塔頓（意為阿頓的視線）。在同一年他正式把自己的名字改為埃赫那頓，作為他的新崇拜的證據。此后不久他就把埃及幾乎所有的宗教活動都集中到埃赫塔頓，盡管城市本身似乎還未完工。埃赫那頓為阿頓在埃及各地建造了許多宏大的神廟，包括一座位于卡納克的神廟，那里原本主要祭祀阿蒙。埃赫那頓也被廣泛相信是著名的阿頓頌詩的作者。
在宗教改革的最初階段阿蒙霍特普四世僅僅將阿頓描述為一個類似于阿蒙-拉的“最高神祇”，以使這種新信仰更接近于埃及的傳統宗教形式。但是在統治的第9年他開始宣布阿頓不僅僅是最高的神，而是唯一的神。這使法老本人，成為人民與神交流的唯一中介，從而排除了在底比斯的阿蒙祭司。不僅如此，埃赫那頓下令破壞埃及全國的阿蒙神廟。在埃及其它神廟里所崇拜的眾多神明也受到打擊。
由于埃赫那頓的改革，這一時期的埃及藝術呈現出一種新的特點，常被稱為阿馬爾奈風格。其特點為取法自然，著重寫實。
埃赫那頓與家人崇拜阿頓
埃赫那吞的正室妻子，娜芙蒂蒂的頭雕，現藏柏林新博物館，埃及正在要求索還
埃赫那吞的側室基亞的卡諾匹斯罐，上面刻著基亞的頭像，現藏開羅博物館
保存至今的阿蒙霍特普四世統治時期的埃及藝術作品（壁畫和雕塑）大多屬于阿馬爾奈風格，它們大量描繪了法老的家庭生活，而其中他的家庭成員尤其是娜芙蒂蒂王后的形象顯得非常突出。阿馬爾奈風格的藝術品多是描繪法老與王后的幸福生活為主題。這些藝術品描繪的娜芙蒂蒂的形象出現了美丑兩個極端，有時會夸張地表現在她的拉長的頭部和突出的腹部。這是埃及歷史上唯一一次法老的神圣家庭被以自然主義的風格表現出來，并且他的家庭明顯顯示出其樂融融的特點。娜芙蒂蒂經常作出一些只有法老本人才會做的舉動，這可能暗示她獲得了超過一個王后通常所應擁有的權力。
保存下來的埃赫那頓的藝術形象表現出他有一副非常奇特的外貌：極其細長的四肢，突出的腹部和寬大的臀部。這帶來了一些奇怪的觀點，例如認為埃赫那頓實際上是一個化裝成男人的女人，或是雙性人，或者患有什么性別決定混亂的病癥。也有一些學者認為是基因突變所造成，畢竟古埃及近親通婚太過普遍，王室尤其是如此，但這些猜測目前仍沒有實際依據。另一種理論解釋說法老奇怪的容貌是受到馬凡氏綜合癥的折磨的緣故。
直到埃赫那頓的木乃伊被發現并確定身份之前，有關他的種種身體缺陷的解釋還會不斷出現。然而，必須注意到，作為一個法老，埃赫那頓完全可以控制工匠將自己及整個王室家庭的形象塑造成什么樣子。與其說現存的雕刻展示了法老本人的真實容貌，更容易相信今天看到的奇怪形象可能正是埃赫那頓特意要藝術家和工匠所描繪的風格。
* 妻子：娜芙蒂蒂，基亞，梅莉塔提，巴凱特-阿吞（阿肯那頓之姐妹），梅珂塔吞
* 兒子：圖坦卡蒙（有理論認為圖坦卡蒙是埃赫那頓的弟弟，或其他關系）
* 女兒：梅莉塔提，梅珂塔吞， 安克姍海娜曼，妮斐妮斐魯阿吞-塔斯荷瑞特，妮斐妮斐魯麗 , 賽塔番拉恩
阿肯那頓的石棺碎片重組，發現于其原本位于阿瑪納的陵墓，現藏于開羅博物館。
阿肯那頓和阿瑪納家族最后出現的日期發現于梅里拉二世的陵墓，日期是阿肯那頓統治第12年的第二月。在這之后的歷史記錄都已不明，只有圖坦卡門繼承王位被闡明。
阿肯那頓遭破壞的皇家棺材。發現于KV55陵墓
柏林博物館在2012年12月的記者會上詳述了一段明確記有阿肯那頓統治的第十六年（Year 16 III Akhet day 15）的銘文。這段銘文于阿瑪納北部的一個石灰石采石場里被發現， 銘文中提到了仍在世的娜芙蒂蒂。該銘文還提到了位于阿瑪納的建造計劃，并明確證實阿肯那頓和娜芙蒂蒂在阿肯那頓去世前一年仍是皇家夫婦。
阿肯那頓的頭骨
阿肯那頓計劃將墓地遷至尼羅河東邊（太陽升起之處），而不是埃赫塔頓西部（太陽落下之處）的皇家墓地。其遺體后來在首都遷回底比斯后被移走，而最近的基因檢測確認了發現KV55的木乃伊是圖坦卡蒙的父親，而這具木乃伊“最有可能”就是阿肯那頓本人。該陵墓里發現有大量阿瑪納時期的物品，包括了一個被蓄意破壞的皇家殯葬面具。其石棺已被破壞，但過后被重建并放置在開羅博物館。
阿肯那頓的巫沙布提俑，發現于其原本位于阿瑪納的陵墓，現藏于布魯克林博物館。
同樣地，雖然大部分人都認為阿肯那頓死于其執政的第17年，但斯門卡瑞是與其共同執政2或3年還是短暫在位仍不清楚。若斯門卡瑞在阿肯那頓死后還活著，那他可能獨立執政的法老并統治埃及少于一年。斯門卡瑞的繼位者為統治埃及2年又一個月的女法老——娜芙娜芙魯阿頓。反過來，這位女法老可能傳位于圖坦卡頓，即后來的圖坦卡門，然后由維齊爾阿伊攝政。圖坦卡門被認為是斯門卡瑞的弟弟，阿肯那頓與基亞的兒子，雖然仍有人認為他是斯門卡瑞的兒子。2010年的DNA檢測表明圖坦卡門的確是阿肯那頓的兒子。 有人提出，阿肯那頓死后，娜芙蒂蒂就改名為娜芙娜芙魯阿頓執政，但有學者認為娜芙娜芙魯阿頓其實是阿肯那頓的長女梅里塔提。一塊發現于阿瑪納陵墓的所謂“核心石碑”娜芙蒂蒂可能成為了阿肯那頓共同執政者，但這并不完全確定，因為上面的名字被去掉并被刻成安赫塞那蒙和娜芙娜芙魯阿頓的名字。
阿肯那頓死後，被後繼者斥為「異端」，很多關於他的紀錄都遭到之後的統治者抹煞。
美國作曲家菲利普·格拉斯作有歌劇《阿肯那頓》。
*  Akhenaten and the Hymn to the Aten
*  A more detailed profile of him
*  A profile discussing his familial relations
*  The Great Hymn to the Aten
*  A Re-examination of the Long Coregency from the Tomb of Kheruef by Peter Dorman
2-D環繞（2-D Torus）是一種二維的網孔連接方式，指二維網孔的垂直和水平方向均帶環繞，的情形，典型的16節點的2-d環繞，它與超立方體連接在拓撲上是等價的。
辛烷值是交通工具所使用燃料的抗爆震程度之量測指標（該指標一般常用于描述汽油的性能）；辛烷值越高表示抗爆震能力越好。
辛烷值一般是區分不同等級汽油的關鍵標準，比如中國大陸的98號汽油及臺灣98無鉛汽油，均表示其辛烷值為98；但注意各地區加油站的對汽油的標示方法并不統一，在一些國家其出售的汽油的數值不等于常見的研究法得到的辛烷值（如美國），另一些則根本不以數值標示（如德國）。
提高汽油辛烷值的方法包括加入四乙基鉛及甲基叔丁基醚、碳酸二甲酯、（甲基環戊二烯三羰基錳）等。由於鉛是有毒物質，因此大部分國家的油站已不再提供含鉛汽油，僅餘航空汽油仍帶有鉛，而汽車只有在賽車中某些賽事等特殊場合使用。
汽油內的正庚烷在高溫和高壓下較容易引發自燃造成爆震現象，降低引擎效率，更可能引致汽缸壁過熱甚至活塞損壞，因此正庚烷的辛烷值定為0；而異辛烷的爆震現象很小，其辛烷值定為100。其他的碳氫化合物也有不同的辛烷值，有可能小於0（如正辛烷），也有可能大於100（如甲苯），因此汽油中的辛烷值直接取決於汽油內各種碳氫化合物的成分比例。
如果測得一種汽油在標準發動機試驗中與標準油作比較，所產生的爆震程度相當于66%異辛烷和34%正庚烷的混合液（體積比）所產生的爆震程度，那么其辛烷值便稱為66。全球多數國家采用研究法和馬達法測定辛烷值，而用研究法數值標注。
研究法（RON，Research Octane Number）是模擬中低速溫和駕駛狀態下對辛烷值進行測定，為廣泛采用的測定與標注方法（亞洲國家多採用此種方法）。
馬達法（MON，Motor Octane Number）則是模擬高負荷狀態下對辛烷值進行測定，也是一種常用的測定方法。一般市售車用汽油使用馬達法測定時，會比使用研究法測定低8~12辛烷值。
抗爆度（AKI，Anti-Knock Index）是美加地區(如美國、加拿大和巴西)使用的汽油標號模式，其值為RON與MON的平均值。
AKI=(MON+RON)/2
研究法測定的正庚烷和異辛烷的辛烷值分別定義為0和100。下表是各類燃料的辛烷值。
研究法（RON）
馬達法（MON）
抗爆度（AKI）
*氫氣的辛烷值會隨其測定方法不同，有很大的變化，其RON法測定結果相當高，而MON法測定結果則非常低。由於氫的燃燒速度相當高，而其解離能及燃燒產生能量也低，因此在實際應用上，氫的抗爆震性不佳。氫氣的特性適合在使用火箭發動機中，而不適合在一般四行程循環的引擎中使用。
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英文大寫花體字
大寫字母或大寫體是許多拼音字母的其中一種寫體形式，例如''A'', ''B'', ''C''等。
大寫體有時又稱做上層字盤體（uppercase）。因為西方在過去活字印刷體期，凡大寫字體都會放在檢字抽屜的上層，故也有此別稱。
大寫體一般和小寫體的字體高度覓度是有明顯分別的，但在有些語言中也不分大小寫，希臘字母、拉丁字母在發明初期，只有一種字體，即大寫體。很多全音素文字與輔音音素文字的書寫系統，如阿拉伯字母、希伯來字母、提非納文字、傳統蒙古文、諺文、中文等均不區分大小寫。
大寫體的用途多半是
# 用於一句的句首。
# 增加易讀性。例如招牌和標籤。
# 在某些語言中，有強調的效果。
# 人名和地名等專有名詞。
* 在德語，所有的名詞都要用大寫字母開頭，是使用大寫字母最多的語言。
* 在英語，只有專有名詞和由它們衍生的形容詞用大寫字母開頭，如China和Chinese。
* 在法語，專有名詞衍生的形容詞則只能用小寫字母，如Chine和chinois。
* 在俄語，除非全部大寫以外，有三個字母的大寫形式罕用（Ъ、Ы、Ь），因為這三個字母通常不會出詞首。
* 在漢語拼音，中華人民共和國國家標準GB/T 16159—1996《漢語拼音正詞法基本規則》4.9規定，專有名詞的第一個字母大寫。
有時候，姓氏完全大寫有助於辨認，因為不同地區的語言有不同的習慣表示姓名。世界語常常如此書寫姓名。
* 毛澤東寫作MAO Zedong
* 喬治·華盛頓寫作George WASHINGTON
* 卡斯特羅寫作Fidel Alejandro CASTRO Ruz
四乙基鉛是有機金屬化合物的一種，其結構是一個鉛原子與四個乙基分子連在一起。
四乙基鉛是一種石油燃料添加劑; 首先與1920年代開始的汽油混合作為專利提高辛烷值的燃料添加劑，使發動機壓縮得到大幅提高。 這增加車輛性能（燃油經效率）。四乙基鉛在19世紀中期被化學鑒定，但其抗爆效應是在1921年由通用汽車研究實驗室發現的，該實驗室花費了數年的時間試圖找到既高效又廉價的添加劑。
1970年美國環境保護署根據開始對機動車尾氣排放作出規定。1986年美國停賣含鉛汽油。HK於1991 年4月1日開始賣無鉛汽油，減低有害的含鉛汽油對環境造成的污染,實施《空氣污染管制（車輛設計標準）（排放）規例》，規定所有2.5公噸以下新車必須遵守嚴格的排放標準，又另訂明由1992年1月1日起，所有使用汽油引擎的新車均須採用無鉛汽油。中國國務院辦公廳關于限期停止生產銷售使用車用含鉛汽油的通知》（國辦發1998129號），于2000年1月1日停產含鉛汽油，2000年7月1日全面停賣和使用含鉛汽油。臺灣中油股份有限公司自1999年6月1日起開始供應九八無鉛汽油，目前加油站賣92、95、98三種無鉛汽油。
四乙基鉛可由氯乙烷與鈉鉛合金反應製取，方程式如下：
Na4Pb + 4C2H5Cl → (C2H5)4Pb + 4NaCl
四乙基鉛為無色、具黏性的液體，因為該化合物不帶電荷，且外圍由四個烷基包圍，使其具有親脂性，可溶於汽油。
值得注意的是，四乙基鉛結構中的四個C-Pb鍵的引力相當弱，內燃機燃燒的溫度可使其分解。分解時，會先轉變為三乙基鉛(CH3CH2)3Pb和乙基自由基，這些自由基會清除其他自由基。透過自由基反應，從而不致過早開始燃燒，使點燃適當地延遲，預防震爆（爆震）。
四乙基鉛一度廣泛使用作為添加劑在汽油，以提高燃料的辛烷值，以防止發動機內發生震爆，從而能夠使用更高的壓縮比率，藉以提高汽車發動機效率和功率。最初使用四乙基鉛添加劑的美國，與最初使用酒精作添加劑的歐洲比較。含鉛汽油的優點從它的高能量含量和貯藏品質較高表現出來，最終成為了普遍使用的燃料添加劑。其中一個最大的優點，四乙基鉛比其他抗爆震劑或使用高辛烷值的汽油混合劑比例比較，僅需要非常低的濃度，就達到提高燃料的辛烷值。典型的製備方法，是以一分體積的乙基液（內含四乙基鉛）加到1260分體積未經處理的汽油。其他抗爆震劑必須在用較大量的份量和/或比天然汽油的能源值更低。高能源值的含鉛汽油會有更大的燃油效率。
當酒精用來作為抗爆劑，會造成燃料吸收水分和空氣，高濕度燃油可導致燃料喉管生鏽和腐蝕。而四乙基鉛是較易溶於汽油，而乙醇則難溶於汽油，且溶解度隨燃料濕度增加。隨著時間的推移，水滴和積水的水分可以形成在燃油系統的燃料喉管結冰。此外燃料的高濕度也可以出現生物污染問題，由於某些細菌能夠在水面和汽油的表面繁殖，從而在燃料系統內造成細菌滋生。四乙基鉛的毒性，使其具殺菌特性，有助防止燃油污染和細菌生長而造成燃油降解。
此化合物常用於汽車汽油的添加劑，提高辛烷值，作為抗震爆之用，從而延長各零件的壽命。其燃燒會產生固體一氧化鉛和鉛。
固體鉛金屬與氧化鉛會在發動機內迅速積聚，損害發動機內各個零件。
:(CH3CH2)4Pb + 13O2 → 8CO2 + 10H2O + Pb
:2Pb + O2 → 2PbO
因此會加入1,2-二溴乙烷或1,2-二氯乙烷，令鉛反應為可蒸發的溴化鉛和氯化鉛，但這些物質會造成空氣污染，對兒童腦部構成損害，因此石油公司開始推出無鉛汽油。此外，這種添加劑也會造成催化轉換器內的催化劑受污染，催化劑失效會使汽車的催化轉換器失去其功能。
四乙基鉛為劇毒性物質，其毒性為金屬鉛的100倍，且常用於解救鉛中毒的金屬螯合劑，如依地酸鈣鈉（乙二胺四乙酸二鈉鈣,EDTA 2Na-Ca）對該化合物中毒無效。皮膚接觸，吸入揮發物皆可中毒。進入人體後，部分會轉變為三乙基鉛，三乙基鉛可穿透血腦屏障，傷害中樞神經系統。
四乙基鉛的輕度中毒癥狀為易興奮、急躁、易怒、焦慮不安和病癥型類神經癥，重度中毒癥狀為躁動不安、精神錯亂、幻覺、妄想、譫妄、人格改變、甚至暴力行為等精神運動性興奮表現。
在大多數工業化國家，由於擔心空氣和土壤鉛含量以及鉛累積的神經毒性，在2000年初完成了逐步淘汰公路車輛燃料。 1975年美國強制使用催化轉換器和更新的車型以滿足更嚴格的排放法規，開始逐步淘汰美國含鉛汽油。 汽車工程和石油化學的若干進展減少了四乙基鉛的需求。 用於製造高辛烷值共混原料如重整油和同分異構辛烷的更安全方法減少了對四乙基鉛的依賴，與其他各種毒性的抗爆添加劑一樣，包括金屬化合物如甲基環戊二烯基三羰基錳（MMT）以及含氧化合物包括甲基叔，甲基叔丁基醚（MTBE），叔戊基甲基醚（TAME），和（ETBE）。
替代鉛添加劑已經過科學測試，其中一些已於1999年在獲得英國歷史車輛俱樂部聯合會的批準。
，聯合國環境署贊助的淘汰工作已基本完成：只有阿爾及利亞，也門和伊拉克繼續普遍使用含鉛汽油，但已沒有國家專門使用它。2021年8月30日，聯合國環境規劃署宣佈全球最後一個供應有鉛汽油的國家阿爾及利亞於7月起停供，有鉛汽油正式走入歷史。
道路車輛禁用燃料禁令生效如下：
*歐盟: 1 January 2000
*愛爾蘭: 1 January 2000
*意大利: 1 January 2002
*西班牙: 1 August 2001
*英國: 1 January 2000
*中華民國（臺灣）: 2000
*印度: March 2000
*關島: 1 January 1996 (USA)
自2002年地球首腦會議發起禁令之后，含鉛汽油應該在2006年1月1日在全大陸完全淘汰 。 但是，在阿爾及利亞的煉油廠需要改變; 因此含鉛燃料在阿爾及利亞部分地區仍然可用，并計劃于2016年淘汰，該國最終已於2021年7月完全停止供應含鉛燃油。
* 《常用藥物手冊》中華書局(香港)有限公司，主編 周自永 王世祥
* https://web.archive.org/web/20090615101553/http://www.gdpcc.com/standard/standard36.htm
在快速傅里葉變換（FFT）的并行算法中使用了蝶形連接網絡。
*二維網孔連接網絡上的FFT：
將n個處理器排成的二維網孔連接網絡，假設輸入序列已經存放在了各個處理器中。
下面以16點變換來解釋這個問題，連成的網絡及編號如下圖所示：
根據快速傅里葉變換的算法，我們來研究這16個點計算時四次循環的具體執行情況。
#同一列間隔一行的元素運算。
#同一列間相鄰行的元素運算。
#同一行間隔一列的元素運算。
#同一行間相鄰列的元素運算。
由上面的算法執行過程，我們發現，數據交換-{只}-在同一行或同一列之間的節點間進行。如果我們在第一，二步循環之后對網孔中的數據進行矩陣轉置，那么就可以只在同一列節點之間進行運算。
*超立方體連接網絡上的FFT：
如果我們按超立方體連接的格雷碼將待變換點列填入，那么我們發現，數據交換將只在相鄰節點間進行。因此數據通信花費恒為O(1)。
首先，我們設消息傳遞并行計算機中通信模型使用的是Store-and-forward而不是cut-through模型。下面令表示通信開銷，表示通信開始時間，表示傳送一個字的通信時間，表示數據每一跳的延遲，表示第l次循環時的開銷，而表示進行一個單位運算的時間。p為處理器數，d=log(p)，n為待變換的序列大小。
那么我們有公式：
有這個公式，我們可以得出：
#在二維網孔上的等效率標準函數為：
#在超立方體上的等效率標準函數為：；
* 參考文獻：The Scability of FFT on Parallel Computers, Anshul Gupta and Vipim Kummar。
鵝毛筆用大型鳥類的羽毛製成。以往多數是從鵝的翅膀取下來，經過脫脂、硬化處理後即可削切筆尖。
鵝毛筆在大約西元700年時普及，西方還沒有發明出金屬筆尖的沾水筆、鋼筆和原子筆之前，鵝毛筆為主要的書寫工具。中世紀之前大多用蘆葦筆書寫，但之後漸漸為鵝毛筆所取代，書寫的材質為羊皮紙、莎草紙（或紙）。
最強韌的鵝毛筆大多取自於鳥禽類翅膀最外層的五根羽毛，左側翅膀的羽毛更佳，因為其生長的角度較能符合右手寫字使用者的握筆習慣。
除了鵝之外，天鵝羽毛製成的鵝毛筆更是稀有且昂貴；若要書寫精細的字體，烏鴉的羽毛最佳，接著是老鷹、貓頭鷹、火雞等。
1810年發明鋼筆以後，羽毛筆逐漸沒落。
手工切割的鵝毛筆是書寫西方書法的首選工具，比金屬製筆更能產生不同的筆觸跟韌性。使用時要先沾墨水才能書寫。鵝毛筆桿能吸附墨水，在書寫時能因毛細作用而有持續供水的效果。
鵝毛筆的筆尖製作有各種方式，依據書寫的用途而不同，例如粗體字的話，就斜切較大的角度去製成。而寫信等小字時，就削得較尖，如同現今鋼筆有M、F、B等的分法。但鵝毛筆相當容易磨損，這也造成了西方書法的一些書寫韻味。
離散傅里葉變換（，縮寫為），是傅里葉變換在時域和頻域上都呈離散的形式，將信號的時域采樣變換為其DTFT的頻域采樣。
在形式上，變換兩端（時域和頻域上）的序列是有限長的，而實際上這兩組序列都應當被認為是離散周期信號的主值序列。即使對有限長的離散信號作DFT，也應當將其看作其周期延拓的變換。在實際應用中通常采用快速傅里葉變換計算DFT。
對于點序列，它的離散傅里葉變換（DFT）為
其中是自然對數的底數，是虛數單位。通常以符號表示這一變換，即
離散傅里葉變換的逆變換（IDFT）為：
實際上，DFT和IDFT變換式中和式前面的歸一化系數并不重要。在上面的定義中，DFT和IDFT前的系數分別為和。有時會將這兩個系數都改成。
連續時間信號以及對應的連續傅里葉變換都是連續函數。由于數位系統只能處理有限長的離散信號，因此必須將和都離散化，并且建立對應的傅里葉變換。
假設時限于，再通過時域采樣將離散化，就可以得到有限長離散信號，記為。設采樣周期為，則時域采樣點數。
它的傅里葉變換為
這就是在時域采樣后的連續傅里葉變換，也就是離散時間傅里葉變換，它在頻域依然是連續的。
下面將頻域信號轉化為有限長離散信號。與對時域信號的處理類似，假設頻域信號是帶限的，再經過離散化，即可得到有限長離散信號。依據采樣定理，頻域采樣若要能完全重建原信號，頻域信號應當帶限于。由于時域信號時限于，由采樣定理以及時頻對偶的關系，頻域的采樣間隔應為。故，頻域采樣點數為：
即頻域采樣的點數和時域采樣同為，頻域采樣點為。
而DTFT在頻域上采樣：
令，將其歸一化，就得到前面定義的離散傅里葉變換。因此，DFT就是先將信號在時域離散化，求其連續傅里葉變換后，再在頻域離散化的結果。
下面考察離散傅里葉變換與連續傅里葉變換（CFT，Continuous Fourier Transform）的關系。連續傅里葉變換
將這個積分以黎曼和的形式近似，有：
這一結論指出離散傅里葉變換確實是連續傅里葉變換在某種意義上的近似。不過必須注意以下兩點：
* 離散傅里葉變換的處理對象是時限的
為此，通常對連續信號的時域采樣再做一次加窗處理（Windowing），這樣就得到帶限的有限長離散信號。
離散時間傅里葉變換（DTFT）是在時域上對連續傅里葉變換的采樣。DFT則是在頻域上對DTFT的均勻采樣。離散信號（n=0,...,N-1）的DTFT為：
對在離散的頻點上采樣
即為的DFT。由于DTFT在頻域是周期的，所以在DTFT頻域上的均勻采樣也應是周期的。實際上是這個周期序列的主值序列。
點序列的DFT只能在有限的個頻點上觀察頻譜，這相當于從柵欄的縫隙中觀察景色，對于了解信號在整個頻域上的特性是不夠的。為了觀察到其他頻率的信息，需要對原信號做一些處理，以便在不同的頻點上采樣。
將原來在DTFT頻域上的采樣點數增加到點，這樣采樣點位置變為。則對應的DFT成為
若在序列之后補上M-N個零，設為，則上式變為
因此將補零再做DFT就可以得到的DTFT在其他頻率上的值，相當于移動了柵欄，因而能夠從其他位置進行觀察。
點DFT的頻譜分辨率是。柵欄效應一節指出可以通過補零觀察到更多的頻點，但是這并不意味著補零能夠提高真正的頻譜分辨率。這是因為實際上是采樣的主值序列，而將補零得到的周期延拓之后與原來的序列并不相同，也不是的采樣。因此與是不同離散信號的頻譜。對于補零至點的的DFT，只能說它的分辨率僅具有計算上的意義，并不是真正的、物理意義上的頻譜。頻譜分辨率的提高只能在滿足采樣定理的條件下增加時域采樣長度來實現。
周期為N的離散信號構成一個''N''維歐幾里得空間。在這一空間上兩個信號''x''和''y''的內積定義為
下面給出上的一組正交基：
將信號''x''在這組正交基上分解，得
此即為離散傅里葉變換。又
此即為離散傅里葉變換的逆變換。
由此可知，在正交分解的角度上說，離散周期信號的離散傅里葉變換實質上是在正交基上的分量。而從線性變換的角度上說，是圓周卷積的特征向量，則是對應的特征值。
根據卷積定理，離散信號x與y的圓周卷積對偶于頻域上x與y離散傅里葉變換的乘積。下面揭示DFT與圓周卷積的內在關系。
對長為N的離散信號與，如果要計算它們的卷積，就必須定義與在''0≤n''kn''是Kronecker delta。
時域信號序列的相位移動（其中為整數）在頻域反映為“循環移位”，即：頻域信號序列變為，其中下標是指將''k-m''對''N'' 取余。類似的，由對偶性，時域信號序列的循環移位對應于頻域信號序列的相移：
上文中DFT與DTFT一節已經證明，離散序列的傅里葉變換是周期的。有限長序列的離散傅里葉變換可以被看作是它的周期延拓序列的離散時間傅里葉變換。由時頻對偶性可知也可以被看作它的周期延拓的主值。
上一節的移位定理隱含著DFT的周期性，因為DFT的幅度不受輸入信號的循環移位的影響，因為時移在頻域對偶于相移，循環移位僅僅使DFT的相位產生平移。周期性的邊界條件在DFT的許多應用中有重要作用。解差分方程時，就假設邊界條件是滿足周期性的，這是一個很有用的性質（參見應用）。
如果''X'k''和''Y'k''分別是''x'n''和''y'n''的離散傅立葉變換，那么就有普朗歇爾定理：
其中星號表示復共扼。帕塞瓦爾定理是普朗歇爾定理的一個特例：
DFT在諸多多領域中有著重要應用，下面僅是頡取的幾個例子。需要指出的是，所有DFT的實際應用都依賴于計算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法，即快速傅里葉變換。
快速傅里葉變換（即FFT）是計算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法。按照DFT的定義計算一個長為n的序列的DFT需要的計算復雜度達到了，而同樣長度FFT的計算復雜度僅為。由于DFT的逆變換可以由DFT表示，所以DFT逆變換的計算同樣可以由FFT完成。FFT算法的提出，使DFT得到了廣泛的實際應用。
前面指出，DFT是連續傅里葉變換的近似。因此可以對連續信號x（t）均勻采樣并截斷以得到有限長的離散序列，對這一序列作離散傅里葉變換，可以分析連續信號x（t）頻譜的性質。前面還提到DFT應用于頻譜分析需要注意的兩個問題：即采樣可能導致信號混疊和截斷信號引起的頻譜泄漏。可以通過選擇適當的采樣頻率（見奈奎斯特頻率）消減混疊。選擇適當的序列長度并加窗可以抑制頻譜泄漏。
由于人類感官的分辨能力存在極限，因此很多有損壓縮算法利用這一點將語音、音頻、圖像、視頻等信號的高頻部分除去。高頻信號對應于信號的細節，濾除高頻信號可以在人類感官可以接受的范圍內獲得很高的壓縮比。這一去除高頻分量的處理就是通過離散傅里葉變換完成的。將時域或空域的信號轉換到頻域，僅儲存或傳輸較低頻率上的系數，在解壓縮端采用逆變換即可重建信號。
離散傅里葉變換及其多維形式在偏微分方程的求解中也有應用。此時DFT被看作傅里葉級數的近似。傅里葉級數將函數在復指數''e'inx''上展開，這正是微分算子的特征方程：''d''/''dx'' ''e'inx'' = ''in'' ''e'inx''。因此，通過傅里葉級數的形式，線性常微分方程被轉換為代數方程，而后者是很容易求解的。此時得到的結果是偏微分方程解的級數表示，只要通過DFT逆變換即可得到其一般表示。這種方法被稱作譜方法或級數解法。
目前長整數或多項式乘法最快速的算法是基于離散傅里葉變換的。由于整數（或多項式）乘法是逐位（或逐項）乘累加的形式，因此整數（或多項式）乘積的數字（或系數）可以用乘數數字（或乘式系數）的卷積表示。利用卷積定理，只要將數字（或系數）序列通過離散傅里葉變換變到頻域，就可以將逐個乘累加的卷積變為對位的乘法，從而減少計算量，再以一次逆變換便可以得到乘法結果。需要注意整數乘法還有進位的問題。下面以多項式乘法為例說明這一應用：
假設需要計算多項式乘法''c''(''x'') = ''a''(''x'')·''b''（''x''），這一乘積結果的各項系數的表達式實際上是線性卷積的形式。由于離散傅里葉變換對應于圓周卷積，因此需要將這兩個乘式的系數按照次數升序排列，序列后“補零”，使它們的長度''d''大于兩式最高項次數的和：''d'' > deg(''a''(''x'')) + deg(''b''(''x''))。然后作圓周卷積：
其中c就是''c''(''x'')系數的向量。由于圓周卷積的DFT是乘積，有：
利用快速傅里葉變換，這一算法的運算復雜度為。
OFDM（正交頻分復用）在寬帶無線通信中有重要的應用。這種技術將帶寬分為''N''個等間隔的子載波，可以證明這些子載波相互正交。尤其重要的是，OFDM調制可以由IDFT實現，而解調可以由DFT實現。OFDM還利用DFT的移位性質，在每個幀頭部加上循環前綴（Cyclic Prefix），使得只要信道延時小于循環前綴的長度，就能消除信道延時對傳輸的影響。
數論轉換是離散傅利葉轉換(DFT)的一個特例 ，此運算是根據模運算 而取得的，需要是質數 ，如此可以建構出有限域，並且存在  個可以整除  的實數根。如此可以得到， 為正整數。令  為第  個單位根，則第  個單位根  可以表示成  。另外，再令 為  次方  模運算之循環個數。
則數論矩陣為
與  各為 Column 與 Row  的指數(index), 令  與  各代表Column 與 Row  的總數，則， .
舉個例子來說，當  則
因為  經  的模運算為  ，因此可以判定此情況為  個次方一循環，所以 ，可以整除 。則數論矩陣可以表示成
在一些特殊的情況下，令  ，而  不是值數也是有意義的。像是 Fermat Number Transform 中，以及?Mersenne Number Transform 中 .
# Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., (1999). ''Discrete-time signal processing'', Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall. ISBN 0137549202
# Mallat, S., ''A Wavelet Tour of Signal Processing, Second Edition'', Academic Press, ISBN 0-12-466606-x
# Gill, J., ''Fourier Transform and Its Applications''
一個五項余弦級數的時域信號。頻率為  的倍數。振幅為 1, 2, 3, 4, 5。時間步長為 0.001 s
用FFT（~40,000次運算）五項余弦級數及用顯式積分（~1億次運算）得出的DFT。時間窗口是10秒。FFT是用FFTW3（ http://www.fftw.org/  ）計算的。顯式積分DFT是用 https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/  計算的。
縮放后的五項余弦級數的DFT。注意到顯式積分更細的步長大小比FFT更精確地再現了峰值（4）和頻率（56.569 Hz），代價是速度慢了上千倍。
快速傅里葉變換，是快速計算序列的離散傅里葉變換（DFT）或其逆變換的方法。傅里葉分析將信號從原始域（通常是時間或空間）轉換到頻域的表示或者逆過來轉換。FFT會通過把DFT矩陣分解為稀疏（大多為零）因子之積來快速計算此類變換。  因此，它能夠將計算DFT的復雜度從只用DFT定義計算需要的 ，降低到 ，其中  為數據大小。
快速傅里葉變換廣泛的應用于工程、科學和數學領域。這里的基本思想在1965年才得到普及，但早在1805年就已推導出來。 1994年美國數學家把FFT描述為“我們一生中最重要的數值算法”，它還被IEEE科學與工程計算期刊列入20世紀十大算法。
用FFT計算DFT會得到與直接用DFT定義計算相同的結果；最重要的區別是FFT更快。（由于捨入誤差的存在，許多FFT算法還會比直接運用定義求值精確很多，后面會討論到這一點。）
令 ''x''0, ...., ''x'N''-1 為復數。DFT由下式定義
直接按這個定義求值需要 O(''N''2) 次運算：''X'k'' 共有 ''N'' 個輸出，每個輸出需要 ''N'' 項求和。直接使用DFT運算需使用N個複數乘法(4N 個實數乘法)與N-1個複數加法(2N-2個實數加法)，因此，計算使用DFT所有N點的值需要''N''2複數乘法與''N''2-N 個複數加法。FFT則是能夠在 O(''N'' log ''N'') 次操作計算出相同結果的任何方法。更準確的說，所有已知的FFT算法都需要 O(''N'' log ''N'') 次運算（技術上O只標記上界），雖然還沒有已知的證據證明更低的復雜度是不可能的。（Johnson and Frigo, 2007）
要說明FFT節省時間的方式，就得考慮復數相乘和相加的次數。直接計算DFT的值涉及到 ''N''2 次復數相乘和 ''N''(''N''?1) 次復數相加（可以通過削去瑣碎運算（如乘以1）來節省 O(''N'') 次運算）。眾所周知的基2庫利-圖基算法，''N'' 為2的冪，可以只用 (''N''/2)log2(''N'') 次復數乘法（再次忽略乘以1的簡化）和 ''N''log2(''N'') 次加法就可以得到相同結果。在實際中，現代計算機通常的實際性能通常不受算術運算的速度和對復雜主體的分析主導（參見Frigo & Johnson, 2005），但是從 O(''N''2) 到 O(''N'' log ''N'') 的總體改進仍然能夠體現出來。
假設一個M*N型矩陣S可分解成列向量以及行向量相乘：
若有個相異的非平凡值（ where ）
有個相異的非平凡值
則S共需要個乘法。
Step 1：
Step 2：
簡化理論的變型：
也是一個M*N的矩陣。
若有個值不等於0，則的乘法量上限為。
假設，其中彼此互質
點DFT的乘法量為，則點DFT的乘法量為：
假設，P是一個質數。
若點的DFT需要的乘法量為
有個值不為及的倍數，
有個值為及的倍數，但不為的倍數，
則N點DFT的乘法量為：
庫利-圖基算法是最常見的FFT算法。這一方法以分治法為策略遞歸地將長度為的離散傅里葉變換分解為長度為的個較短序列的離散傅里葉變換，以及與個旋轉因子的復數乘法。
這種方法以及FFT的基本思路在1965年J. W. Cooley和J. W. Tukey合作發表''An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series''之后開始為人所知。但后來發現，實際上這兩位作者只是重新發明了高斯在1805年就已經提出的算法（此算法在歷史上數次以各種形式被再次提出）。
庫利-圖基算法最有名的應用，是將序列長為''N ''的DFT分割為兩個長為''N/2 ''的子序列的DFT，因此這一應用只適用于序列長度為2的冪的DFT計算，即基2-FFT。實際上，如同高斯和Cooley與Tukey都指出的那樣，Cooley-Tukey算法也可以用于序列長度''N ''為任意因數分解形式的DFT，即混合基FFT，而且還可以應用于其他諸如分裂基FFT等變種。盡管Cooley-Tukey算法的基本思路是采用遞歸的方法進行計算，大多數傳統的算法實現都將顯式的遞歸算法改寫為非遞歸的形式。另外，因為Cooley-Tukey算法是將DFT分解為較小長度的多個DFT，因此它可以同任一種其他的DFT算法聯合使用。
下面，我們用N次單位根來表示。
# 周期性，具有周期，即
# 對稱性：。
# 若是的約數，
為了簡單起見，我們下面設待變換序列長度。根據上面單位根的對稱性，求級數時，可以將求和區間分為兩部分：
和是兩個分別關于序列奇數號和偶數號序列N/2點變換。由此式只能計算出的前N/2個點，對于后N/2個點，注意和都是周期為N/2的函數，由單位根的對稱性，于是有以下變換公式：
這樣，一個N點變換就分解成了兩個N/2點變換。照這樣可繼續分解下去。這就是庫利-圖基快速傅里葉變換算法的基本原理。根據主定理不難分析出此時算法的時間復雜度為
*蝶形結網絡和位反轉（Bit Reversal）：
:首先將個輸入點列按二進制進行編號，然后對各個編號按位倒置并按此重新排序。例如，對于一個8點變換，
:001倒置以后變成 100
:000 → 000
:001 → 100
:010 → 010
:011 → 110
:100 → 001
:101 → 101
:110 → 011
:111 → 111
:倒置后的編號為{0,4,2,6,1,5,3,7}。
:然后將這n個點列作為輸入傳送到蝶形結網絡中，注意將因子逐層加入到蝶形網絡中。
由于按蝶形結網絡計算n點變換要進行log ''n''層計算，每層計算n個點的變換，故算法的時間復雜度為。
在Cooley-Tukey算法之外還有其他DFT的快速演算法。對于長度且與互質的序列，可以采用基于中國剩余定理的互質因子算法將N長序列的DFT分解為兩個子序列的DFT。與Cooley-Tukey算法不同的是，互質因子算法不需要旋轉因子。
Rader-Brenner算法是類似于Cooley-Tukey算法，但是采用的旋轉因子都是純虛數，以增加加法運算和降低了數值穩定性為代價減少了乘法運算。這方法之后被split-radix variant of Cooley-Tukey所取代，與Rader-Brenner演算法相比，有一樣多的乘法量，卻有較少的加法量，且不犧牲數值的準確性。
Bruun以及QFT演算法是不斷的把DFT分成許多較小的DFT運算。（Rader-Brenner以及QFT演算法是為了2的指數所設計的演算法，但依然可以適用在可分解的整數上。Bruun演算法則可以運用在可被分成偶數個運算的數字）。尤其是Bruun演算法，把FFT看成是，并把它分解成與的形式。
另一個從多項式觀點的快速傅立葉變換法是Winograd算法。此演算法把分解成cyclotomic多項式，而這些多項式的系數通常為1，0，-1。這樣只需要很少的乘法量（如果有需要的話），所以winograd是可以得到最少乘法量的快速傅立葉演算法，對于較小的數字，可以找出有效率的算方式。更精確地說，winograd演算法讓DFT可以用點的DFT來簡化，但減少乘法量的同時，也增加了非常多的加法量。Winograd也可以利用剩余值定理來簡化DFT。
Rader演算法提出了利用點數為N（N為質數）的DFT進行長度為N-1的回旋摺積來表示原本的DFT，如此就可利用摺積用一對基本的FFT來計算DFT。另一個prime-size的FFT演算法為chirp-Z演算法。此法也是將DFT用摺積來表示，此法與Rader演算法相比，能運用在更一般的轉換上，其轉換的基礎為Z轉換（Rabiner et al., 1969）。
在許多的運用當中，要進行DFT的資料是純實數，如此一來經過DFT的結果會滿足對稱性：
而有一些演算法是專門為這種情形設計的（e.g. Sorensen, 1987）。另一些則是利用舊有的演算法（e.g. Cooley-Tukey），刪去一些不必要的演算步驟，如此省下了記憶體的使用，也省下了時間。另一方面，也可以把一個偶數長度且純實數的DFT，用長度為原本一半的復數型態DFT來表示（實數項為原本純實數資料的偶數項，虛數項則為奇數項）。
在Matlab上用一次N點FFT計算兩個N點實數信號x,y的FFT:
function X,Y = Real2FFT( x,y )
% N-point FFT is used for 2 real signals both with length N
N = length(x);
z = x+y*i?;
Z = fft(z);
X = 0.5*(Z+conj(Z(1+mod(0:-1:1-N,N))));
Y = 0.5*(Z-conj(Z(1+mod(0:-1:1-N,N))))/i;
一度人們認為，用離散哈特利轉換（Discrete Hartley Transform）來處理純實數的DFT會更有效率，但接著人們發現，對于同樣點數的純實數DFT，經過設計的FFT，可以比DHT省下更多的運算。Bruun演算法是第一個試著從減少實數輸入的DFT運算量的演算法，但此法并沒有成為人們普遍使用的方法。
對于實數輸入，且輸入為偶對稱或奇對稱的情形，可以更進一步的省下時間以及記憶體，此時DFT可以用離散余弦轉換或離散正弦轉換來代替（Discrete cosine/sine transforms）。由于DCT/DST也可以設計出FFT的演算法，故在此種情形下，此方法取代了對DFT設計的FFT演算法。
DFT可以應用在頻譜分析以及做摺積的運算，而在此處，不同應用可以用不同的演算法來取代，列表如下：
用來做頻譜分析的情況下，DFT可用下列的演算法代替：
*正交基底的擴展（orthogonal basis expantion）包括正交多項式（orthogonal polynomials）以及CDMA.
*Walsh（Hadamard）轉換
*時頻分布（time-frequency distribution）
用來做摺積的情況下，DFT可用下列的演算法代替：
*直接做摺積（direct computing）
*分段式DFT摺積（sectioned DFT convolution）
*威諾格拉德快速傅立葉變換演算法
*沃爾什（Walsh、Hadamard）轉換
長久以來，人們對於求出快速傅立葉變換的複雜度下限以及需要多少的運算量感到很有興趣，而實際上也還有許多問題需要解決。即使是用較簡單的情形，即點的DFT，也還沒能夠嚴謹的證明出FFT至少需要（不比小）的運算量，目前也沒有發現複雜度更低的演算法。通常數學運算量的多寡會是運算效率好壞最主要的因素，但在現實中，有許多因素也會有很大的影響，如快取記憶體以及CPU均有很大的影響。
在1978年，Winograd率先導出一個較嚴謹的FFT所需乘法量的下限：。當時，DFT只需要次無理實數的乘法即可以計算出來。更詳盡，且也能趨近此下限的演算法也一一被提出（Heideman & Burrus, 1986; Duhamel, 1990）。很可惜的是，這些演算法，都需要很大量的加法計算，目前的硬體無法克服這個問題。
對於所需加法量的數目，雖然我們可以在某些受限制的假設下，推得其下限，但目前並沒有一個精確的下限被推導出來。1973年，Morgenstern在乘法常數趨近巨大的情形下（對大部分的FFT演算法為真，但不是全部）推導出加法量的下限：。Pan（1986）在假設FFT演算法的不同步的情形有其極限下證明出加法量的下限，但一般來說，此假設相當的不明確。長度為的情形下，在某些假設下，Papadimitriou（1979）提出使用Cooley-Tukey演算法所需的複數加法量是最少的。到目前為止，在長度為情況，還沒有任何FFT的演算法可以讓複數的加法量比還少。
還有一個問題是如何把乘法量與加法量的總和最小化，有時候稱作"演算複雜度"（在這裡考慮的是實際的運算量，而不是漸近複雜度）。同樣的，沒有一個嚴謹下限被證明出來。從1968年開始，點DFT而言，split-radix FFT演算法需要最少的運算量，在的情形下，其需要個乘法運算以及加法運算。最近有人導出更低的運算量：。（Johnson and Frigo, 2007; Lundy and Van Buskirk, 2007）
大多數嘗試要降低或者證明FFT複雜度下限的人都把焦點放在複數資料輸入的情況，因其為最簡單的情形。但是，複數資料輸入的FFT演算法，與實數資料輸入的FFT演算法，離散餘弦轉換（DCT），離散哈特列轉換（DHT），以及其他的演算法，均有很大的關連性。故任何一個演算法，在複雜度上有任何的改善的話，其他的演算法複雜度也會馬上獲得改善（Duhamel & Vetterli, 1990）。
當輸入信號長度為N時:
N = 1~60
N  1000
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