Problema (nível 4): Um número inteiro positivo $N$ diz-se flexível se existir um número $M$, obtido através de uma permutação dos algarismos de $N$ (não podendo começar com o algarismo $0$), tal que $M+N$ ainda se pode obter através de uma permutação dos algarismos de $N$. Por exemplo, $6147$ é flexível porque $6147+1467=7614$. Determina todos os números flexíveis com $3$ algarismos.

Resolução: Solução 1 Seja $abc$ a representação decimal da soma $M+N$. Então pode-se concluir que: Então têm-se as seguintes possibilidades: $(image1) \quad (image2) \quad (image3) \quad (image4) \quad (image5) \quad (image6)$ No primeiro caso, obtém-se a equação $200b+20a=100a+10b$, ou seja, $19b=8a$, que é impossível. No segundo caso, obtém-se a equação $2N=10N-1000c+c$, ou seja, $8N=999c$, que é impossível. No terceiro caso, obtém-se $a=b+c+1$ e $c=a+b-10$, pelo que $c=2b+c-9$, ou seja, $2b=9$, que é impossível. No quarto caso, obtém-se $c=4$ e $b=5$, que correspondem aos números flexíveis $495$ e $459$. No quinto caso, obtém-se $a=2c+1$, $c=2a-10$, pelo que $c=4c-8$, ou seja, $3c=8$, que é impossível. No sexto caso, obtém-se a equação $2N=(N-a)/10+100a$, ou seja, $19N=999a$, que é impossível. Portanto os únicos números flexíveis são $495$ e $459$. Solução 2 Cada algarismo de $M+N$ obtém-se somando os algarismos de $M$ e $N$ nas mesmas posições. Quando esta soma é superior a $9$, retira-se $10$ a esta soma e soma-se $1$ à soma que estiver na posição imediatamente à esquerda (usualmente diz-se “e vai um”), ou seja, retira-se $9$ à soma dos três algarismos de $M$ e $N$. Designe-se por $S_x$ a soma dos algarismos do número $x$. Então $S_{M+N}=S_M+S_N-9k$, onde $k$ é o número de vezes que ocorre a operação “e vai um”. Como $S_M=S_N=S_{M+N}$, então $S_N=9k$. Como $N$ tem três algarismos, então $S_N\leq 27$, logo $1\leq k\leq 3$. Mas se $k=3$, então $N$ teria que ser $999$, que não é flexível. Falta, portanto, ver os casos $k=1$ e $k=2$. Portanto os únicos números flexíveis com três algarismos são $459$ e $495$. o primeiro algarismo de $N$ e $M$ não é $a$; Solução 1 Seja $abc$ a representação decimal da soma $M+N$. Então pode-se concluir que: Então têm-se as seguintes possibilidades: $(image7) \quad (image8) \quad (image9) \quad (image10) \quad (image11) \quad (image12)$ No primeiro caso, obtém-se a equação $200b+20a=100a+10b$, ou seja, $19b=8a$, que é impossível. No segundo caso, obtém-se a equação $2N=10N-1000c+c$, ou seja, $8N=999c$, que é impossível. No terceiro caso, obtém-se $a=b+c+1$ e $c=a+b-10$, pelo que $c=2b+c-9$, ou seja, $2b=9$, que é impossível. No quarto caso, obtém-se $c=4$ e $b=5$, que correspondem aos números flexíveis $495$ e $459$. No quinto caso, obtém-se $a=2c+1$, $c=2a-10$, pelo que $c=4c-8$, ou seja, $3c=8$, que é impossível. No sexto caso, obtém-se a equação $2N=(N-a)/10+100a$, ou seja, $19N=999a$, que é impossível. Portanto os únicos números flexíveis são $495$ e $459$. Solução 2 Cada algarismo de $M+N$ obtém-se somando os algarismos de $M$ e $N$ nas mesmas posições. Quando esta soma é superior a $9$, retira-se $10$ a esta soma e soma-se $1$ à soma que estiver na posição imediatamente à esquerda (usualmente diz-se “e vai um”), ou seja, retira-se $9$ à soma dos três algarismos de $M$ e $N$. Designe-se por $S_x$ a soma dos algarismos do número $x$. Então $S_{M+N}=S_M+S_N-9k$, onde $k$ é o número de vezes que ocorre a operação “e vai um”. Como $S_M=S_N=S_{M+N}$, então $S_N=9k$. Como $N$ tem três algarismos, então $S_N\leq 27$, logo $1\leq k\leq 3$. Mas se $k=3$, então $N$ teria que ser $999$, que não é flexível. Falta, portanto, ver os casos $k=1$ e $k=2$. Portanto os únicos números flexíveis com três algarismos são $459$ e $495$. o terceiro algarismo de $N$ ou $M$ pode ser $c$ apenas no caso de o restante terceiro algarismo ser $0$; Solução 1 Seja $abc$ a representação decimal da soma $M+N$. Então pode-se concluir que: Então têm-se as seguintes possibilidades: $(image13) \quad (image14) \quad (image15) \quad (image16) \quad (image17) \quad (image18)$ No primeiro caso, obtém-se a equação $200b+20a=100a+10b$, ou seja, $19b=8a$, que é impossível. No segundo caso, obtém-se a equação $2N=10N-1000c+c$, ou seja, $8N=999c$, que é impossível. No terceiro caso, obtém-se $a=b+c+1$ e $c=a+b-10$, pelo que $c=2b+c-9$, ou seja, $2b=9$, que é impossível. No quarto caso, obtém-se $c=4$ e $b=5$, que correspondem aos números flexíveis $495$ e $459$. No quinto caso, obtém-se $a=2c+1$, $c=2a-10$, pelo que $c=4c-8$, ou seja, $3c=8$, que é impossível. No sexto caso, obtém-se a equação $2N=(N-a)/10+100a$, ou seja, $19N=999a$, que é impossível. Portanto os únicos números flexíveis são $495$ e $459$. Solução 2 Cada algarismo de $M+N$ obtém-se somando os algarismos de $M$ e $N$ nas mesmas posições. Quando esta soma é superior a $9$, retira-se $10$ a esta soma e soma-se $1$ à soma que estiver na posição imediatamente à esquerda (usualmente diz-se “e vai um”), ou seja, retira-se $9$ à soma dos três algarismos de $M$ e $N$. Designe-se por $S_x$ a soma dos algarismos do número $x$. Então $S_{M+N}=S_M+S_N-9k$, onde $k$ é o número de vezes que ocorre a operação “e vai um”. Como $S_M=S_N=S_{M+N}$, então $S_N=9k$. Como $N$ tem três algarismos, então $S_N\leq 27$, logo $1\leq k\leq 3$. Mas se $k=3$, então $N$ teria que ser $999$, que não é flexível. Falta, portanto, ver os casos $k=1$ e $k=2$. Portanto os únicos números flexíveis com três algarismos são $459$ e $495$. o segundo algarismo de $N$ ou $M$ pode ser $b$ apenas no caso de o restante segundo algarismo ser $9$; Solução 1 Seja $abc$ a representação decimal da soma $M+N$. Então pode-se concluir que: Então têm-se as seguintes possibilidades: $(image19) \quad (image20) \quad (image21) \quad (image22) \quad (image23) \quad (image24)$ No primeiro caso, obtém-se a equação $200b+20a=100a+10b$, ou seja, $19b=8a$, que é impossível. No segundo caso, obtém-se a equação $2N=10N-1000c+c$, ou seja, $8N=999c$, que é impossível. No terceiro caso, obtém-se $a=b+c+1$ e $c=a+b-10$, pelo que $c=2b+c-9$, ou seja, $2b=9$, que é impossível. No quarto caso, obtém-se $c=4$ e $b=5$, que correspondem aos números flexíveis $495$ e $459$. No quinto caso, obtém-se $a=2c+1$, $c=2a-10$, pelo que $c=4c-8$, ou seja, $3c=8$, que é impossível. No sexto caso, obtém-se a equação $2N=(N-a)/10+100a$, ou seja, $19N=999a$, que é impossível. Portanto os únicos números flexíveis são $495$ e $459$. Solução 2 Cada algarismo de $M+N$ obtém-se somando os algarismos de $M$ e $N$ nas mesmas posições. Quando esta soma é superior a $9$, retira-se $10$ a esta soma e soma-se $1$ à soma que estiver na posição imediatamente à esquerda (usualmente diz-se “e vai um”), ou seja, retira-se $9$ à soma dos três algarismos de $M$ e $N$. Designe-se por $S_x$ a soma dos algarismos do número $x$. Então $S_{M+N}=S_M+S_N-9k$, onde $k$ é o número de vezes que ocorre a operação “e vai um”. Como $S_M=S_N=S_{M+N}$, então $S_N=9k$. Como $N$ tem três algarismos, então $S_N\leq 27$, logo $1\leq k\leq 3$. Mas se $k=3$, então $N$ teria que ser $999$, que não é flexível. Falta, portanto, ver os casos $k=1$ e $k=2$. Portanto os únicos números flexíveis com três algarismos são $459$ e $495$. Caso $k=1$. Como $S_N=9$, a operação “e vai um” só pode ocorrer quando se soma o maior algarismo de $N$ com ele próprio. Olhando apenas para a posição deste algarismo, têm-se os casos $5+5=0$, $6+6=2$, $7+7=4$, $8+8=6$ e $9+9=8$. No primeiro caso, o terceiro algarismo é $9-5-0=4$ e no segundo caso o terceiro algarismo é $9-6-2=1$. Mas não há números flexíveis formados pelos algarismos $\{5,0,4\}$ ou $\{6,2,1\}$. Nos três últimos casos, a soma dos três algarismos ultrapassa $9$. Solução 1 Seja $abc$ a representação decimal da soma $M+N$. Então pode-se concluir que: Então têm-se as seguintes possibilidades: $(image25) \quad (image26) \quad (image27) \quad (image28) \quad (image29) \quad (image30)$ No primeiro caso, obtém-se a equação $200b+20a=100a+10b$, ou seja, $19b=8a$, que é impossível. No segundo caso, obtém-se a equação $2N=10N-1000c+c$, ou seja, $8N=999c$, que é impossível. No terceiro caso, obtém-se $a=b+c+1$ e $c=a+b-10$, pelo que $c=2b+c-9$, ou seja, $2b=9$, que é impossível. No quarto caso, obtém-se $c=4$ e $b=5$, que correspondem aos números flexíveis $495$ e $459$. No quinto caso, obtém-se $a=2c+1$, $c=2a-10$, pelo que $c=4c-8$, ou seja, $3c=8$, que é impossível. No sexto caso, obtém-se a equação $2N=(N-a)/10+100a$, ou seja, $19N=999a$, que é impossível. Portanto os únicos números flexíveis são $495$ e $459$. Solução 2 Cada algarismo de $M+N$ obtém-se somando os algarismos de $M$ e $N$ nas mesmas posições. Quando esta soma é superior a $9$, retira-se $10$ a esta soma e soma-se $1$ à soma que estiver na posição imediatamente à esquerda (usualmente diz-se “e vai um”), ou seja, retira-se $9$ à soma dos três algarismos de $M$ e $N$. Designe-se por $S_x$ a soma dos algarismos do número $x$. Então $S_{M+N}=S_M+S_N-9k$, onde $k$ é o número de vezes que ocorre a operação “e vai um”. Como $S_M=S_N=S_{M+N}$, então $S_N=9k$. Como $N$ tem três algarismos, então $S_N\leq 27$, logo $1\leq k\leq 3$. Mas se $k=3$, então $N$ teria que ser $999$, que não é flexível. Falta, portanto, ver os casos $k=1$ e $k=2$. Portanto os únicos números flexíveis com três algarismos são $459$ e $495$. Caso $k=2$. Como $S_N=18$, a operação “e vai um” ocorre nas duas posições à direita. Se o maior algarismo de $N$ for somado com ele próprio temos novamente os casos $5+5=0$, $6+6=2$, $7+7=4$, $8+8=6$ e $9+9=8$. Nos dois primeiros casos, a soma dos algarismos é menor que $18$. Nos casos seguintes, o terceiro algarismo é, respectivamente, $7$, $4$ e $1$ e não há números flexíveis formados pelos algarismos $\{7,4,7\},\{8,6,4\}$ ou $\{9,8,1\}$. Se o maior algarismo $a$ de $N$ for somado com outro algarismo $b$, então na sua soma surge o terceiro algarismo $c$. Então $a+b=10+c$ e $a+b+c=18$, logo $c=4$. Olhando apenas para a posição deste algarismo, têm-se os casos $8+6=4$ e $9+5=4$. No primeiro caso, não há números flexíveis formados pelos algarismos $\{8,6,4\}$. O terceiro caso dá origem à solução $459+495=954$.


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{array}{cccc} &b&a&0\\ +&b&a&0\\ \hline &a&b&0 \end{array}
[image2]
\begin{array}{cccc} &c&a&b\\ +&c&a&b\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image3]
\begin{array}{cccc} &c&a&b\\ +&b&c&a\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image4]
\begin{array}{cccc} &c&9&b\\ +&c&b&9\\ \hline &9&b&c \end{array}
[image5]
\begin{array}{cccc} &c&9&a\\ +&c&9&a\\ \hline &a&9&c \end{array}
[image6]
\begin{array}{cccc} &b&c&a\\ +&b&c&a\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image7]
\begin{array}{cccc} &b&a&0\\ +&b&a&0\\ \hline &a&b&0 \end{array}
[image8]
\begin{array}{cccc} &c&a&b\\ +&c&a&b\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image9]
\begin{array}{cccc} &c&a&b\\ +&b&c&a\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image10]
\begin{array}{cccc} &c&9&b\\ +&c&b&9\\ \hline &9&b&c \end{array}
[image11]
\begin{array}{cccc} &c&9&a\\ +&c&9&a\\ \hline &a&9&c \end{array}
[image12]
\begin{array}{cccc} &b&c&a\\ +&b&c&a\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image13]
\begin{array}{cccc} &b&a&0\\ +&b&a&0\\ \hline &a&b&0 \end{array}
[image14]
\begin{array}{cccc} &c&a&b\\ +&c&a&b\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image15]
\begin{array}{cccc} &c&a&b\\ +&b&c&a\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image16]
\begin{array}{cccc} &c&9&b\\ +&c&b&9\\ \hline &9&b&c \end{array}
[image17]
\begin{array}{cccc} &c&9&a\\ +&c&9&a\\ \hline &a&9&c \end{array}
[image18]
\begin{array}{cccc} &b&c&a\\ +&b&c&a\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image19]
\begin{array}{cccc} &b&a&0\\ +&b&a&0\\ \hline &a&b&0 \end{array}
[image20]
\begin{array}{cccc} &c&a&b\\ +&c&a&b\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image21]
\begin{array}{cccc} &c&a&b\\ +&b&c&a\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image22]
\begin{array}{cccc} &c&9&b\\ +&c&b&9\\ \hline &9&b&c \end{array}
[image23]
\begin{array}{cccc} &c&9&a\\ +&c&9&a\\ \hline &a&9&c \end{array}
[image24]
\begin{array}{cccc} &b&c&a\\ +&b&c&a\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image25]
\begin{array}{cccc} &b&a&0\\ +&b&a&0\\ \hline &a&b&0 \end{array}
[image26]
\begin{array}{cccc} &c&a&b\\ +&c&a&b\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image27]
\begin{array}{cccc} &c&a&b\\ +&b&c&a\\ \hline &a&b&c \end{array}
[image28]
\begin{array}{cccc} &c&9&b\\ +&c&b&9\\ \hline &9&b&c \end{array}
[image29]
\begin{array}{cccc} &c&9&a\\ +&c&9&a\\ \hline &a&9&c \end{array}
[image30]
\begin{array}{cccc} &b&c&a\\ +&b&c&a\\ \hline &a&b&c \end{array}