Problema (nível 3): O João dividiu uma folha de papel quadrada, com $20$ cm de lado, em $5$ pedaços de igual área. O primeiro corte teve início no centro do quadrado e prolongou-se até à fronteira do papel a $7$ cm de um canto, como indicado na figura seguinte. (image1) Sabendo que o João fez todos os cortes em linha recta a partir do centro do quadrado, de que forma cortou o papel?


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[image1]
\begin{picture}(0.0,0)(-200,0) \put(0,0){\line(1,0){80}} \put(0,0){\line(0,-1){80}} \put(0,-80){\line(1,0){80}}\put(80,-80){\line(0,1){80}} \put(40,-40){\line(-3,1){40}} \put(-8,-17){7} \end{picture}

Resolução: Solução 1: O quadrado [ABCD] indicado na figura seguinte representa a folha de papel e [EP] o primeiro corte feito pelo João. (image2) Dado que a área da folha de papel mede $400$ cm$^2$, a medida da área de cada pedaço é $80$ cm$^2$. Seja $F$ o ponto em $[AB]$ tal que a área de $[AFPE]$ mede $80$ cm$^2$. Visto que a área de $[APE]$ mede $35$ cm$^2$, então, a medida da área de $[AFP]$ é $80-35=45$ cm$^2$ e, assim, ${\displaystyle \frac{ \overline{AF}\times 10}{2}=45}$, ou seja, $\overline{AF}=9$ cm. A área de $[FBP]$ mede ${\displaystyle \frac{(20-9)\times 10}{2}}=55$ cm$^2$. Se $G$ for o ponto em $[BC]$ tal que a medida da área de $[FBGP]$ é $80$ cm$^2$, tem-se que a área de $[BGP]$ mede $80-55=25$ cm$^2$ e, por isso, ${\displaystyle \frac{\overline{BG}\times 10}{2}=25}$, ou seja, $\overline{BG}=5$ cm. Assim, a área de $[GCP]$ mede $75$ cm$^2$. Se $H$ for o ponto em $[DC]$ tal que a área de $[PGCH]$ mede $80$ cm$^2$, tem-se ${\displaystyle \frac{\overline{HC}\times 10}{2}=5}$, ou seja, $\overline{HC}=1$ cm. Note-se que $\overline{DH}=20-1=19$ cm e a área de $[DPH]$ mede $95$ cm$^2$. Seja $I$ o ponto em $[DC]$ tal que ${\displaystyle \frac{\overline{IH}\times 10}{2}=80}$, ou seja, $\overline{IH}=16$ cm. Os valores de $\overline{AF}$, $\overline{BG}$, $\overline{HC}$ e $\overline{IH}$ determinam completamente os segmentos $[PF]$, $[PG]$, $[PH]$ e $[PI]$ que representam os cortes efectuados pelo João, como se indica na figura seguinte. (image3) Solução 2: Os $5$ pedaços de papel obtidos pelo João são decomponíveis em triângulos de igual altura ($10$ cm), cujas bases estão contidas na fronteira do quadrado. Logo, a divisão do quadrado em $5$ pedaços com a mesma área reduz-se à divisão do perímetro do quadrado em $5$ partes iguais. Como o perímetro do quadrado é $80$ cm, conclui-se que cada corte foi efectuado medindo na fronteira do quadrado $80:5=16$ cm a partir do corte anterior. Assim, o João cortou a folha de papel do modo indicado na figura seguinte. (image4)


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[image2]
\begin{picture}(0.0,0)(-200,0) \put(0,0){\line(1,0){80}} \put(0,0){\line(0,-1){80}} \put(0,-80){\line(1,0){80}}\put(80,-80){\line(0,1){80}} \put(41,-45){$P$} \put(40,-40){\line(-2,1){40}} \put(-8,-17){\small 7} \put(-11,3){$A$}\put(83,3){$B$} \put(-11,-90){$D$}\put(83,-90){$C$} \put(-11,-33){$E$} \end{picture}
[image3]
\begin{picture}(0.0,100)(-200,-100) \put(0,0){\line(1,0){80}} \put(0,0){\line(0,-1){80}} \put(0,-80){\line(1,0){80}}\put(80,-80){\line(0,1){80}} \put(40,-40){\line(-3,1){40}} \put(40,-40){\line(-1,6){6.6}} \put(40,-40){\line(2,1){40}} \put(40,-40){\line(2,-3){26.5}} \put(40,-40){\line(-1,-2){20}} \put(70,-90){\small 1} \put(35,-90){\small 16} \put(8,-90){\small 3} \put(-15,-55){\small 13} \put(84,-13){\small 5} \put(84,-51){\small 15} \put(51,3){\small 11} \put(-8,-17){\small 7} \put(17,3){\small 9} \put(25,-50){$P$} \put(-11,3){$A$} \put(81,3){$B$} \put(-11,-92){$D$} \put(81,-92){$C$} \put(-11,-33){$E$} \put(30,3){$F$} \put(83,-25){$G$} \put(57,-92){$H$} \put(19,-92){$I$} \end{picture}
[image4]
\begin{picture}(0.0,100)(-200,-100) \put(0,0){\line(1,0){80}} \put(0,0){\line(0,-1){80}} \put(0,-80){\line(1,0){80}}\put(80,-80){\line(0,1){80}} \put(40,-40){\line(-3,1){40}} \put(-8,-17){\small 7} \put(40,-40){\line(-1,6){6.6}} \put(17,3){\small 9} \put(51,3){\small 11} \put(40,-40){\line(2,1){40}} \put(84,-13){\small 5} \put(84,-51){\small 15} \put(40,-40){\line(2,-3){26.5}} \put(73,-90){\small 1} \put(40,-90){\small 16} \put(9,-90){\small 3} \put(40,-40){\line(-1,-2){20}} \put(-15,-51){\small 13} \end{picture}