Problema (nível 4): O Proença tem um novo tabuleiro de xadrez $8\times 8$ e quer decompô-lo em $n$ retângulos que não se sobrepõem, de modo que: $(i)$ cada retângulo tenha tantos quadrados brancos como pretos; $(ii)$ não haja dois retângulos com o mesmo número de quadrados. Determina o valor máximo de $n$ para o qual uma tal decomposição é possível. Para este valor de $n$, determina todos os possíveis conjuntos $\{A_1,\ldots,A_n\}$, onde $A_i$ é o número de quadrados do retângulo $i$, para os quais uma decomposição do tabuleiro nas condições pretendidas é possível.

Resolução: Como todos os retângulos têm um número diferente de quadrados, podemos assumir que $A_1<A_2<\cdots<A_n$. Vamos começar por mostrar que $n\leq 7$. Por absurdo, suponhamos que $n\geq 8$. Como a condição $(i)$ implica que cada $A_i$ é um número par, o número de quadrados cobertos pelos retângulos na decomposição é: $$A_1+A_2+\cdots+A_n\geq 2+4+6+8+10+12+14+16=72,$$ o que é impossível uma vez que o tabuleiro só tem $64$ quadrados. Portanto temos de ter $n\leq 7$. Além disso, temos necessariamente $A_7<24$, pois caso contrário teríamos $A_1+A_2+\cdots+A_7\geq 2+4+6+8+10+12+24=66>64$. Portanto, para $n=7$ obtemos as seguintes $5$ possibilidades para $\{A_1,A_2,\ldots,A_7\}$: $\{2,4,6,8,10,12,22\}$, $\{2,4,6,8,10,14,20\}$, $\{2,4,6,8,10,16,18\}$, $\{2,4,6,8,12,14,18\}$ e $\{2,4,6,10,12,14,16\}$. A primeira sequência não é possível de ser obtida uma vez que não é possível ter um retângulo no tabuleiro com dimensão $1\times 22$ ou $2\times 11$. Cada uma das outras $4$ sequências correspondem a decomposições possíveis do tabuleiro, como se ilustra em baixo. (image1) Portanto, o máximo valor de $n$ é $7$ e há $4$ diferentes decomposições do tabuleiro em $7$ retângulos que satisfazem as condições pedidas.


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(20,20) \def\tabuleiro{ \multirput(0,0)(1,0){9}{ \psline(0,0)(0,8)} \multirput(0,0)(0,1){9}{ \psline(0,0)(8,0)} \multirput(0,0)(1,1){2}{ \multirput(0,0)(2,0){4}{ \multirput(0,0)(0,2){4}{ \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black!20](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)}}} } \def\retangulo#1#2#3#4#5{ \rput(#1,#2){ \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=#5,opacity=0.7](0,0)(#3,0)(#3,#4)(0,#4) }} \rput(0,12){ \tabuleiro \retangulo0345{cyan} \retangulo4325{verdelogotipo} \retangulo6127{orange} \retangulo0023{green!70} \retangulo4041{azulclarologotipo} \retangulo2142{magenta} \retangulo2021{yellow} \rput(4,-1){$\{2,4,6,8,10,14,20\}$} } \rput(12,12){ \tabuleiro \retangulo2025{verdelogotipo} \retangulo0563{brown} \retangulo4144{purple} \retangulo6523{green!70} \retangulo4041{azulclarologotipo} \retangulo0124{magenta} \retangulo0021{yellow} \rput(4,-1){$\{2,4,6,8,10,16,18\}$} } \rput(0,0){ \tabuleiro \retangulo1372{orange} \retangulo0563{brown} \retangulo6523{green!70} \retangulo0041{azulclarologotipo} \retangulo0142{magenta} \retangulo0312{yellow} \retangulo4043{red} \rput(4,-1){$\{2,4,6,8,12,14,18\}$} } \rput(12,0){ \tabuleiro \retangulo4325{verdelogotipo} \retangulo6127{orange} \retangulo0444{purple} \retangulo0061{green!70} \retangulo0341{azulclarologotipo} \retangulo6021{yellow} \retangulo0162{red} \rput(4,-1){$\{2,4,6,10,12,14,16\}$} } \end{pspicture}