Problema (nível 4): Uma paciência é jogada num tabuleiro com 10 caixas, numeradas de 1 a 10, e uma reserva. No início da paciência, colocam-se bolas em algumas das 10 caixas (a reserva fica vazia). O objectivo é transferir todas as bolas para a reserva. Uma jogada consiste em esvaziar uma caixa e distribuir as suas bolas pelas restantes caixas e pela reserva observando as seguintes regras: Determina o número máximo de bolas que permite ganhar o jogo. Quando a caixa $n$ é esvaziada, uma bola é colocada na reserva e as outras $n-1$ bolas são distribuídas pelas caixas $1,\,2,\ldots,\,(n-1)$, colocando-se uma bola em cada uma destas caixas.

Resolução: Designemos por $a_i$ o número de bolas inicialmente colocadas na caixa $i$. É evidente que $a_i\leq i$ para que possa ser possível retirar todas as bolas. Solução 1. Designemos ainda por $n_i$ o número de vezes que a caixa $i$ é esvaziada. A caixa $i$ recebe uma bola de cada vez que as caixas $i+1,\,i+2,\ldots,10$ são esvaziadas, pelo que o número de bolas que ficariam nesta caixa, caso ela nunca fosse esvaziada, seria $a_i+n_{i+1}+n_{i+2}+\cdots+n_{10}$. De cada vez que a caixa $i$ é esvaziada retiram-se $i$ bolas pelo que, para que seja possível retirar completamente as bolas, $a_i+n_{i+1}+n_{i+2}+\cdots+n_{10}$ deve que ser múltiplo de $i$ e $n_i=(a_i+n_{i+1}+n_{i+2}+\cdots+n_{10})/i$. Note-se que a caixa 1 pode ter ou não 1 bola, que isso não afecta a possibilidade de a retirar. Isto é, sempre que uma solução verifica $a_1=1$, existe uma outra com o mesmo número de bolas nas caixas 2 a 10 e $a_1=0$. Como procuramos maximizar o número de bolas apenas nos interessam as soluções em que $a_1=1$. Algumas soluções do sistema de equações descrito atrás são (table1) É evidente que não vale a pena procurar soluções que deixem as caixas 9 e 10 vazias, já que o número de bolas que se poderiam ganhar nas outras caixas é inferior ao número de bolas que se perdem ao deixar estas caixas vazias. Logo, o maior número de bolas que permite terminar o jogo é 41. Solução 2. Consideremos a reserva como a caixa 0. Fixemo-nos na caixa $i$ e vejamos o que se passa nas caixas $0,\ldots,i-1$ quando se esvazia qualquer caixa $j$, com $j\geq i$. Como passamos uma bola para cada caixa desde a 0 até à $i-1$, então o total de bolas passadas para estas caixas é $i$. Assim, para esvaziarmos todas as caixas desde a $i$ até à 10, o número de bolas nestas caixas tem de ser múltiplo de $i$, ou seja, $a_i+\cdots+a_{10}$ é múltiplo de $i$. Este conjunto de 10 equações tem obviamente as mesmas soluções que o conjunto da resolução anterior, o que mostra que o maior número de bolas que permite terminar o jogo é 41.


Conteúdo referenciado:
[table1]
\begin{tabular}{|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c||c|c|}\hline caixa & $a_i$ & $n_i$ & $a_i$ & $n_i$ & $a_i$ & $n_i$ & $a_i$ & $n_i$ & $a_i$ & $n_i$ & $a_i$ & $n_i$\\ \hline 10 & 10 & 1 & 10 & 1 & 10 & 1 & 10 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 9 & 8 & 1 & 8 & 1 & 8 & 1 & 8 & 1 & 9 & 1 & 9 & 1 \\ 8 & 6 & 1 & 6 & 1 & 6 & 1 & 6 & 1 & 7 & 1 & 7 & 1 \\ 7 & 4 & 1 & 4 & 1 & 4 & 1 & 4 & 1 & 5 & 1 & 5 & 1 \\ 6 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 3 & 1 & 3 & 1 \\ 5 & 0 & 1 & 5 & 2 & 5 & 2 & 5 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 3 & 0 & 3 & 0 & 3 & 3 & 4 & 2 & 3 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 6 & 0 & 6 & 2 & 7 & 1 & 7 & 0 & 5 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 17 & 1 & 19 &1 & 20 & 1 & 21 & 1 & 16 & 1 & 17 \\ \hline Total & 35 & & 37 & & 39 & & 41 & & 31 & & 33 & \\ \hline \end{tabular}