Problema (nível 4): Dados dois números naturais $a<b$, o Xavier e o Zé jogam o seguinte jogo. Primeiro, o Xavier escreve $a$ números consecutivos à sua escolha; depois, repete alguns deles, também à sua escolha, até ter $b$ números, com a condição de que a soma dos $b$ números escritos seja um número par. O Zé ganha o jogo se conseguir separar os números em dois grupos com a mesma soma. Caso contrário, ganha o Xavier. Por exemplo, para $a=4$ e $b=7$, se o Xavier escrevesse os números $3,4,5,6,3,3,4$, o Zé poderia ganhar, separando estes números nos grupos $3,3,4,4$ e $3,5,6$. Para que valores de $a$ e $b$ é que o Xavier consegue garantir a vitória?

Resolução: Se o Xavier escolher números cuja soma é o número par $2S$, então o Zé pretende formar dois grupos com soma $S$. Vamos mostrar que o Xavier consegue garantir a vitória se e só se $b$ for ímpar (independentemente de $a$). Se o Xavier escolher números cuja soma é o número par $2S$, então o Zé pretende formar dois grupos com soma $S$. Vamos mostrar que o Xavier consegue garantir a vitória se e só se $b$ for ímpar (independentemente de $a$). Se $b$ for ímpar, o Xavier consegue garantir a vitória. Para isso, sendo $N$ um inteiro qualquer maior do que $\dfrac{(a-1)(b-1)}{2}$, basta escolher números entre $N$ e $N+a-1$. Se o Zé formar um grupo com $\dfrac{b-1}{2}$ números (ou menos), terá uma soma no máximo de $\dfrac{b-1}{2}\times (N+a-1)$. Se o Zé formar um grupo com $\dfrac{b+1}{2}$ números (ou mais), terá uma soma no mínimo de $\dfrac{b+1}{2}\times N$. Como $\left(\dfrac{b+1}{2}\times (N+a-1)\right)-\left(\dfrac{b-1}{2}\times N\right)=N-\dfrac{(a-1)(b-1)}{2}>0$, então o Zé não consegue formar um grupo cuja soma seja $S$. Se o Xavier escolher números cuja soma é o número par $2S$, então o Zé pretende formar dois grupos com soma $S$. Vamos mostrar que o Xavier consegue garantir a vitória se e só se $b$ for ímpar (independentemente de $a$). Se $b$ for par, o Xavier não consegue garantir a vitória: Solução 1: Suponhamos que o Xavier conseguia escolher números com os quais não seria possível formar dois grupos com soma $S$. Consideremos um grupo $A$ com $\frac{b}{2}$ elementos cuja soma seja o maior possível, mas menor que $S$. Seja $B$ o grupo formado pelos números restantes. Se em $A$ houvesse algum número $n$ tal que em $B$ estivesse o número $n+1$, então, trocando estes números, obter-se-ia um grupo com soma maior do que a de $A$ e menor do que $S$, contradizendo a definição do grupo $A$. Assim, concluímos que em $A$ não está nenhum número cujo número seguinte esteja em $B$, ou seja, $A$ contém os $\frac{b}{2}$ maiores números escolhidos pelo Xavier. Isto contradiz o facto de que a soma dos números de $A$ é menor do que $S$. Solução 2: O Zé consegue ganhar usando a seguinte estratégia. Ele começa por ordenar os $b$ números de forma crescente $x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_b$. A diferença entre dois números consecutivos ou é $0$ ou é $1$. O Zé vai dividir os números por dois conjuntos $A$ e $B$, com o mesmo número de elementos, da seguinte maneira: Em cada passo a soma de cada um dos conjuntos ou é igual ou difere em uma unidade. No final de distribuídos os $b$ números a soma total é par, e por isso a soma de cada um dos conjuntos $A$ e $B$ tem que ser igual.