Problema (nível 4): No dia 6 de Março de 2002 decorreram em Coimbra as comemorações dos 500 anos do nascimento do matemático Pedro Nunes. Nessa manhã entraram dez pessoas na livraria Viva a Ciência. Cada uma destas pessoas comprou exactamente 3 livros diferentes. Além disso, quaisquer duas pessoas compraram pelo menos um exemplar de um mesmo livro. As Aventuras Matemáticas de Pedro Nunes foi um dos livros que obteve o maior número de vendas nessa manhã. Qual é o menor valor que este número pode ter tomado?

Resolução: Designe-se por $N$ o número de pessoas que compraram algum exemplar de As Aventuras Matemáticas de Pedro Nunes. Fixada uma das 10 pessoas, digamos, $P$, então cada uma das restantes 9 pessoas comprou pelo menos algum exemplar de algum dos livros de $P$, logo (pelo Princípio de Dirichlet) pelo menos 4 pessoas (incluindo $P$) compraram exemplares de um mesmo livro. Logo $N\geq4$. Prove-se que não pode ser $N=4$. De facto, se fosse $N=4$ então teriam sido comprados exactamente $4$ exemplares de As Aventuras Matemáticas de Pedro Nunes, e não poderiam ter sido comprados mais de $4$ exemplares de nenhum dos restantes livros comprados. Mas então, teriam sido comprados exactamente $4$ exemplares de cada livro. Com efeito, designe-se por $P_1,\ldots,P_{10}$ as 10 pessoas. Seja $i\in\{1,\ldots,10\}$. Considere-se a correspondente pessoa $P_i$, e designe-se por $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ os 3 livros (distintos) por ela comprados. Então, pelo menos um exemplar destes livros, digamos, $\alpha$, foi comprado por mais 3 pessoas, digamos, por $P_q$, $P_r$ e $P_s$. Como $P_i$ e cada uma das restantes seis $P_j$'s ($j\neq i,q,r,s$) têm que ter pelo menos um exemplar em comum de um mesmo livro, e cada exemplar de cada livro não pode ser comprado por mais de 4 pessoas (pois estamos a assumir que $N=4$), então 3 das restantes 6 pessoas $P_j$'s teriam que ter comprado algum exemplar do livro $\beta$, e as outras 3 pessoas teriam que ter comprado algum exemplar do livro $\gamma$. Assim, de cada livro de $P_i$ foram comprados exemplares por exactamente mais 3 pessoas, ou seja, para cada um dos 3 livros de $P_i$ foram comprados exemplares por exactamente 4 pessoas. Como $P_i$ foi fixado arbitrariamente, deduz-se que por cada livro distinto comprado pela totalidade das 10 pessoas foram comprados exemplares por exactamente 4 destas pessoas. Mas isto é impossível, pois como cada uma das 10 pessoas comprou exactamente 3 livros, então no total foram comprados 30 exemplares (eventualmente vários exemplares do mesmo livro), e não é possível particionar estes 30 exemplares em grupos de 4 (para se obter $4$ exemplares de cada um dos livros distintos), já que 30 não é divisível por $4$. Decorre que $N\geq5$. Para concluir que é $5$ o menor número de pessoas que poderiam ter comprado algum exemplar de As Aventuras Matemáticas de Pedro Nunes, basta observar que com um total de $7$ livros distintos é possível distribuir $3$ exemplares distintos (escolhidos de entre os $7$ livros) a cada uma das $10$ pessoas nas condições observadas, como se constata de imediato pelo quadro abaixo, onde para cada $i=1,2,\ldots,7$, $\ell_i$ designa cada um dos livros e na coluna correspondente a cada $P_j$ estão assinalados os livros cujos exemplares essa pessoa comprou. (table1)


Conteúdo referenciado:
[table1]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} $P_1$ & $P_2$ & $P_3$ & $P_4$ & $P_5$ & $P_6$ & $P_7$ & $P_8$ & $P_9$ & $P_{10}$ \\ \hline $\ell_1$ & $\ell_1$ & $\ell_2$ & $\ell_3$ & $\ell_1$ & $\ell_2$ & $\ell_3$ & $\ell_1$ & $\ell_1$ & $\ell_2$ \\ $\ell_2$ & $\ell_4$ & $\ell_4$ & $\ell_5$ & $\ell_6$ & $\ell_5$ & $\ell_4$ & $\ell_2$ & $\ell_4$ & $\ell_4$ \\ $\ell_3$ & $\ell_5$ & $\ell_6$ & $\ell_6$ & $\ell_7$ & $\ell_7$ & $\ell_7$ & $\ell_3$ & $\ell_5$ & $\ell_6$ \end{tabular}