Problema (nível 4): O Luís e a Ana estão a remodelar o quintal da sua casa e decidiram pavimentar um caminho de 1 metro de largura por 10 metros de comprimento. Esqueceram-se de combinar quem faria as compras e ambos compraram material: o Luís comprou 10 pedras quadradas de 1 metro de lado e a Ana comprou 5 pedras rectangulares de 1 metro por 2 metros. Sabendo que eles consideram a possibilidade de usar todas as pedras quadradas, todas as rectangulares ou misturar quadradas e rectangulares, quantas configurações diferentes há para o pavimento?

Resolução: Solução 1: Seja $p$ o número de pedras rectangulares utilizadas. Vamos considerar as 6 possibilidades: Portanto existem 89 formas diferentes de fazer o pavimento. Solução 2: Seja $f(n)$ o número de configurações possíveis para um caminho de dimensões 1 metro por $n$ metros, pavimentado com as pedras compradas. Como a única possibilidade de pavimentar um caminho de 1 por 1 metro é usar 1 pedra quadrada então $f(1)=1$. Para um caminho 1 por 2 há 2 possibilidades: 1 pedra rectangular ou 2 quadradas, logo $f(2)=2$. Para $n \geq 3$, a primeira pedra a ser posta pode ser quadrada ou rectangular. O número de configurações possíveis para o primeiro caso é $f(n-1)$ e para o segundo é $f(n-2).$ Portanto $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$. Assim temos que $f(3)=3,f(4)=5, f(5)=8,\ldots, f(10)=89.$ Solução 1: Seja $p$ o número de pedras rectangulares utilizadas. Vamos considerar as 6 possibilidades: Portanto existem 89 formas diferentes de fazer o pavimento. Solução 2: Seja $f(n)$ o número de configurações possíveis para um caminho de dimensões 1 metro por $n$ metros, pavimentado com as pedras compradas. Como a única possibilidade de pavimentar um caminho de 1 por 1 metro é usar 1 pedra quadrada então $f(1)=1$. Para um caminho 1 por 2 há 2 possibilidades: 1 pedra rectangular ou 2 quadradas, logo $f(2)=2$. Para $n \geq 3$, a primeira pedra a ser posta pode ser quadrada ou rectangular. O número de configurações possíveis para o primeiro caso é $f(n-1)$ e para o segundo é $f(n-2).$ Portanto $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$. Assim temos que $f(3)=3,f(4)=5, f(5)=8,\ldots, f(10)=89.$ $p=0$ Existe uma única configuração (a que se obtém usando todas as pedras quadradas). Solução 1: Seja $p$ o número de pedras rectangulares utilizadas. Vamos considerar as 6 possibilidades: Portanto existem 89 formas diferentes de fazer o pavimento. Solução 2: Seja $f(n)$ o número de configurações possíveis para um caminho de dimensões 1 metro por $n$ metros, pavimentado com as pedras compradas. Como a única possibilidade de pavimentar um caminho de 1 por 1 metro é usar 1 pedra quadrada então $f(1)=1$. Para um caminho 1 por 2 há 2 possibilidades: 1 pedra rectangular ou 2 quadradas, logo $f(2)=2$. Para $n \geq 3$, a primeira pedra a ser posta pode ser quadrada ou rectangular. O número de configurações possíveis para o primeiro caso é $f(n-1)$ e para o segundo é $f(n-2).$ Portanto $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$. Assim temos que $f(3)=3,f(4)=5, f(5)=8,\ldots, f(10)=89.$ $p=1$ Existem 9 posições possíveis para a pedra rectangular, logo existem 9 configurações possí­veis. Solução 1: Seja $p$ o número de pedras rectangulares utilizadas. Vamos considerar as 6 possibilidades: Portanto existem 89 formas diferentes de fazer o pavimento. Solução 2: Seja $f(n)$ o número de configurações possíveis para um caminho de dimensões 1 metro por $n$ metros, pavimentado com as pedras compradas. Como a única possibilidade de pavimentar um caminho de 1 por 1 metro é usar 1 pedra quadrada então $f(1)=1$. Para um caminho 1 por 2 há 2 possibilidades: 1 pedra rectangular ou 2 quadradas, logo $f(2)=2$. Para $n \geq 3$, a primeira pedra a ser posta pode ser quadrada ou rectangular. O número de configurações possíveis para o primeiro caso é $f(n-1)$ e para o segundo é $f(n-2).$ Portanto $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$. Assim temos que $f(3)=3,f(4)=5, f(5)=8,\ldots, f(10)=89.$ $p=2$ Se a primeira pedra a ser colocada for rectangular sobram $1\times 8$ metros (isto é, 1 metro por 8 metros) para a colocação da segunda pedra rectangular, logo existem 7 posições possíveis para a sua colocação; se primeiro for colocada uma pedra quadrada seguida de uma rectangular, existem 6 posições possíveis para a colocação da segunda pedra rectangular, e assim sucessivamente. Ao todo existem $7+6+5+4+3+2+1=28$ configurações possíveis. Solução 1: Seja $p$ o número de pedras rectangulares utilizadas. Vamos considerar as 6 possibilidades: Portanto existem 89 formas diferentes de fazer o pavimento. Solução 2: Seja $f(n)$ o número de configurações possíveis para um caminho de dimensões 1 metro por $n$ metros, pavimentado com as pedras compradas. Como a única possibilidade de pavimentar um caminho de 1 por 1 metro é usar 1 pedra quadrada então $f(1)=1$. Para um caminho 1 por 2 há 2 possibilidades: 1 pedra rectangular ou 2 quadradas, logo $f(2)=2$. Para $n \geq 3$, a primeira pedra a ser posta pode ser quadrada ou rectangular. O número de configurações possíveis para o primeiro caso é $f(n-1)$ e para o segundo é $f(n-2).$ Portanto $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$. Assim temos que $f(3)=3,f(4)=5, f(5)=8,\ldots, f(10)=89.$ $p=3$ Fazendo variar a posição da primeira pedra rectangular a ser colocada vamos ter as seguintes possibilidades: - colocar 2 pedras rectangulares nos $1\times 8$ metros que sobram: 5+4+3+2+1 configurações; - colocar 2 pedras rectangulares nos $1\times 7$ metros que sobram: 4+3+2+1 configurações; - colocar 2 pedras rectangulares nos $1\times 6$ metros que sobram: 3+2+1 configurações; - colocar 2 pedras rectangulares nos $1\times 5$ metros que sobram: 2+1 configurações; - colocar 2 pedras rectangulares nos $1\times 4$ metros que sobram: 1 configuração. Ao todo existem $35$ configurações possíveis. Solução 1: Seja $p$ o número de pedras rectangulares utilizadas. Vamos considerar as 6 possibilidades: Portanto existem 89 formas diferentes de fazer o pavimento. Solução 2: Seja $f(n)$ o número de configurações possíveis para um caminho de dimensões 1 metro por $n$ metros, pavimentado com as pedras compradas. Como a única possibilidade de pavimentar um caminho de 1 por 1 metro é usar 1 pedra quadrada então $f(1)=1$. Para um caminho 1 por 2 há 2 possibilidades: 1 pedra rectangular ou 2 quadradas, logo $f(2)=2$. Para $n \geq 3$, a primeira pedra a ser posta pode ser quadrada ou rectangular. O número de configurações possíveis para o primeiro caso é $f(n-1)$ e para o segundo é $f(n-2).$ Portanto $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$. Assim temos que $f(3)=3,f(4)=5, f(5)=8,\ldots, f(10)=89.$ $p=4$ Fazendo variar a posição da primeira pedra rectangular a ser colocada e por um raciocínio análogo ao anterior, temos o seguinte: - colocar 3 pedras rectangulares nos $1\times 8$ metros que sobram: 10 configurações diferentes; - colocar 3 pedras rectangulares nos $1\times 7$ metros que sobram: 4 configurações diferentes; - colocar 3 pedras rectangulares nos $1\times 6$ metros que sobram: 1 configuração. Ao todo existem $15$ configurações diferentes. Solução 1: Seja $p$ o número de pedras rectangulares utilizadas. Vamos considerar as 6 possibilidades: Portanto existem 89 formas diferentes de fazer o pavimento. Solução 2: Seja $f(n)$ o número de configurações possíveis para um caminho de dimensões 1 metro por $n$ metros, pavimentado com as pedras compradas. Como a única possibilidade de pavimentar um caminho de 1 por 1 metro é usar 1 pedra quadrada então $f(1)=1$. Para um caminho 1 por 2 há 2 possibilidades: 1 pedra rectangular ou 2 quadradas, logo $f(2)=2$. Para $n \geq 3$, a primeira pedra a ser posta pode ser quadrada ou rectangular. O número de configurações possíveis para o primeiro caso é $f(n-1)$ e para o segundo é $f(n-2).$ Portanto $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$. Assim temos que $f(3)=3,f(4)=5, f(5)=8,\ldots, f(10)=89.$ $p=5$ Existe uma única configuração.