Problema (nível 2): AntónioO João fez o seguinte desenho e nas bolas colocou os números de $1$ a $14$ de modo que duas bolas estão ligadas se o número de uma for um divisor do número da outra. Por exemplo, as bolas com os números $6$ e $12$ estão ligadas, mas as bolas com os números $5$ e $11$ não estão. Qual é o número que o João colocou na bola colorida? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \rotatebox{90}{ \def\bola{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0){0.33}} \def\disco{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0){0.33}} \pnode(-2,-1){P1} \pnode(4,4){P2} \pnode(2,-2){P3} \pnode(2,0){P4} \pnode(-2,4){P5} \pnode(3.5,-5){P6} \pnode(-2,-6){P7} \pnode(1.5,1){P8} \pnode(1.5,-3){P9} \pnode(0,4){P10} \pnode(0,2){P11} \pnode(3,-1){P12} \pnode(0,-4){P13} \pnode(4,-6){P14} \psline(P3)(P9)(P1)(P8)(P4)(P1)(P2)(P4) \psline(P8)(P2)(P10)(P5)(P1)(P3)(P6)(P2) \psline(P7)(P1)(P6)(P12)(P3) \psline(P11)(P1)(P10) \psline(P4)(P12)(P2)(P14) \psline(P13)(P1)(P14)(P7) \psline(P1)(P12) \rput(P1){\bola} \rput(P2){\bola} \rput(P3){\bola} \rput(P4){\disco} \rput(P5){\bola} \rput(P6){\bola} \rput(P7){\bola} \rput(P8){\bola} \rput(P9){\bola} \rput(P10){\bola} \rput(P11){\bola} \rput(P12){\bola} \rput(P13){\bola} \rput(P14){\bola} } \end{pspicture}

Resolução: O número $1$ está ligado aos números $2,\ldots,14$, logo está na única bola com $13$ ligações. O número $2$ está ligado aos números $1,4,6,8,10,12,14$, logo está na única bola com $7$ ligações. O número $12$ está ligado aos números $1,2,3,4,6$, logo está na única bola com $5$ ligações. A bola colorida está ligada ao número $12$, logo é um divisor de $12$, diferente de $1$ e $2$, ou seja, tem o número $3$, $4$ ou $6$. O número $3$ está ligado aos números $1$, $6$, $9$ e $12$; o número $4$ está ligado aos números $1$, $2$, $8$ e $12$; o número $6$ está ligado aos números $1$, $2$, $3$ e $12$. Portanto os números $3$, $4$ e $6$ estão em bolas com $4$ ligações, estando as bolas $3$ e $6$ ligadas entre si. Portanto, a bola colorida tem o número $4$. Nota: Podem ser ainda deduzidas as posições dos números $3,6,8,9$, descritas na figura seguinte: (image2)


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{pspicture}(-2,-4)(2,4) \rotatebox{90}{ \def\bola{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0){0.33}} \def\disco{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0){0.33}} \pnode(-2,-1){P1} \pnode(4,4){P2} \pnode(2,-2){P3} \pnode(2,0){P4} \pnode(-2,4){P5} \pnode(3.5,-5){P6} \pnode(-2,-6){P7} \pnode(1.5,1){P8} \pnode(1.5,-3){P9} \pnode(0,4){P10} \pnode(0,2){P11} \pnode(3,-1){P12} \pnode(0,-4){P13} \pnode(4,-6){P14} \psline(P3)(P9)(P1)(P8)(P4)(P1)(P2)(P4) \psline(P8)(P2)(P10)(P5)(P1)(P3)(P6)(P2) \psline(P7)(P1)(P6)(P12)(P3) \psline(P11)(P1)(P10) \psline(P4)(P12)(P2)(P14) \psline(P13)(P1)(P14)(P7) \psline(P1)(P12) \rput(P1){\bola} \rput(P2){\bola} \rput(P3){\bola} \rput(P4){\disco} \rput(P5){\bola} \rput(P6){\bola} \rput(P7){\bola} \rput(P8){\bola} \rput(P9){\bola} \rput(P10){\bola} \rput(P11){\bola} \rput(P12){\bola} \rput(P13){\bola} \rput(P14){\bola} \rput(P1){\rotatebox{-90}{$1$}} \rput(P2){\rotatebox{-90}{$2$}} \rput(P3){\rotatebox{-90}{$3$}} \rput(P4){\rotatebox{-90}{$4$}} \rput(P6){\rotatebox{-90}{$6$}} \rput(P8){\rotatebox{-90}{$8$}} \rput(P9){\rotatebox{-90}{$9$}} \rput(P12){\rotatebox{-90}{$12$}} } \end{pspicture}