Problema (nível 4): Uma rede de metro com $n\geq 2$ estações, onde cada estação está ligada a cada uma das restantes por uma linha de sentido único, diz-se dispersa se existirem duas estações $A$ e $B$ tais que não é possível ir de $A$ a $B$ através da rede. Se uma rede é dispersa, mas for possível escolher uma estação $A$ e inverter o sentido de todas as linhas de e para $A$ de modo a que a nova rede já não seja dispersa, diz-se que a rede é corrigível. Indica todos os inteiros $n$ para os quais existe uma rede com $n$ estações, dispersa e não corrigível.

Resolução: Usaremos a notação $A>B$ para indicar que existe uma linha de $A$ para $B$ e a notação $A\gg B$ se existir um caminho de $A$ para $B$ através da rede. Se $A_1>A_2>\cdots>A_k>A_1$, dizemos que $(A_1,\ldots,A_k)$ é um ciclo. Dada uma estação $A$, definimos o bairro de $A$ como o conjunto das estações $B$ tais que $A\gg B\gg A$ (incluindo $A$). Note-se que se $B$ está no bairro de $A$, então $A$ está no bairro de $B$. Consideremos uma rede dispersa e não corrigível, com $n$ estações. Como a rede é dispersa, tem mais do que um bairro. Sejam $A>B$ estações em bairros diferentes. Se $C$ está no bairro de $A$ e $D$ está no bairro de $B$, então $C>D$, pois em caso contrário teríamos $A>B\gg D>C\gg A$, pelo que $A$ e $B$ estariam no mesmo bairro. Suponhamos que a rede tem $3$ estações $A$, $B$ e $C$ em bairros diferentes, com $A>B$. Então $C>A>B$, $A>C>B$ ou $A>B>C$. Suponhamos, sem perda de generalidade, que é o último caso. Então $A>C$, pois em caso contrário, seria $A>B>C>A$, logo $A$, $B$ e $C$ estariam no mesmo bairro. Assim, existem estações $A$ e $C$ tais que, para qualquer estação $B$ de outro bairro, se tem $A>B>C$. Então, invertendo as ligações de e para $B$, obtém-se uma rede tal que $A>C>B>A$ e, para qualquer outra estação $D$ se tem $A\gg D\gg C>B>A$. Deste modo, a rede seria corrigível. Concluímos assim que uma rede dispersa e não corrigível tem exatamente dois bairros. Suponhamos que um desses bairros tem $4$ ou mais estações. Como, dadas duas estações $A$ e $B$ nesse bairro se tem $A\gg B\gg A$, então existe, nesse bairro, um ciclo $(A_1,\cdots,A_k)$. Suponhamos que o ciclo passa por todas as estações do bairro. Então, se $A_{k-1}>A_1$, $(A_1,\ldots,A_{k-1})$ é um ciclo; se $A_1>A_{k-1}$, $(A_1,A_{k-1},A_k)$ é um ciclo. Portanto, em qualquer caso, existe nesse bairro um ciclo que não passa por todas as estações do bairro. Dado um ciclo $(A_1,\cdots,A_k)$ num bairro que não passe por todas as estações, se existe uma estação $B$ nesse bairro tal que $A_i>B>A_j$, então existe um $i$ tal que $A_i>B>A_{i+1}$ (ou $A_k>B>A_1$). Assim, $(A_1,\ldots,A_i,B,A_{i+1},\ldots,A_k)$ é um ciclo com mais uma estação. Se não existir tal estação, então existem estações $B$ e $C$ nesse bairro tal que $A_i>B>C>A_j$ para quaisquer $1\leq i,j\leq k$. Assim, $(A_1,\ldots,A_{k-1},B,C)$ é um ciclo com mais uma estação. Concluímos assim que podemos juntar uma estação a cada ciclo, pelo que existe um ciclo $(A_1,\ldots,A_k)$ que passa por todas as estações de um bairro, exceto uma, digamos $B$. Suponhamos, sem perda de generalidade, que para cada estação $C$ do outro bairro, se tem $B>C$ e seja $i$ tal que $A_{i+1}>B>A_i$ (ou $A_1>B>A_k$). Invertendo as ligações de e para $B$, obtém-se uma rede tal que $B>A_{i+1}>\cdots>A_i>C>B$, logo na nova rede só há um bairro, ou seja, a rede é corrigível. Deste modo, se uma rede é dispersa e não corrigível, tem exatamente dois bairros, cada um com menos de $4$ estações, isto é, cada um com $1$ ou $3$ estações. Logo $n=2$, $n=4$ ou $n=6$. Para cada um destes valores, existe uma rede dispersa e não corrigível: para $n=2$, consideremos a rede $\{A,B\}$ com $A>B$; para $n=4$ consideremos a rede $\{A_1,A_2,A_3,B\}$ com o ciclo $(A_1,A_2,A_3)$ e cada $A_i>B$; para $n=6$ consideremos a rede $\{A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3\}$ com os ciclos $(A_1,A_2,A_3)$, $(B_1,B_2,B_3)$ e cada $A_i>B_j$.