Problema (nível 3): A Maria pretende construir no seu jardim uma piscina com a forma de um triângulo retângulo de catetos $12$ m e $16$ m. Sabendo que é preciso colocar um bordo com $1$ m de largura à volta da piscina, determina a área de terreno necessária para a sua construção. (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-4,-2)(26,12) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](0,0)(20,0)(7.2,9.6) \pspolygon(-3.5863,-1.79315)(25.37945,-1.79315)(6.84137,12.11041) \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(10,0)(10,-1.79315) \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(13.6,4.8)(14.67589,6.23452) \psline[linewidth=0.4pt]{<->}(3.6,4.8)(2.16548,5.87589) \rput(11.82,-0.89657){$1$ m} \rput(15.67249,4.36635){\rotatebox{-36.8699}{$1$ m}} \rput(1.83554,3.94168){\rotatebox{53.1301}{$1$ m}} \end{pspicture}

Resolução: O Teorema de Pitágoras permite concluir que o comprimento de $[DF]$, a hipotenusa do triângulo $[EDF]$, é $\displaystyle \sqrt{16^2+12^2}=20$ m. Solução 1: Pelo critério AA, pode afirmar-se que os triângulos $[JKF]$ e $[EFD]$ são semelhantes logo, $$ \frac{\overline{ED}}{\overline{JF}}=\frac{\overline{DF}}{\overline{FK}}=\frac{\overline{EF}}{\overline{JK}}, $$ donde se conclui que $\displaystyle \overline{FK}=\frac{5}{3}$ e $\displaystyle \overline{JK}=\frac{4}{3}$. Da mesma forma, dado que $[KCL]$ e $[DFE]$ são semelhantes e $\overline{KL}=1$, conclui-se que $\displaystyle \overline{KC}=\frac{5}{3}$ e $\displaystyle \overline{LC}=\frac{4}{3}$. Assim, $\overline{JC}=\overline{JK}+\overline{KC}=3$. (image2) Por fim, também os triângulos $[ABC]$ e $[DEF]$ são semelhantes com razão de semelhança $$\frac{\overline{BC}}{\overline{EF}}=\frac{1+16+\overline{JC}}{16}=\frac{5}{4},$$ portanto, $$\mbox{\'area de }[ABC]=\left(\frac{5}{4}\right)^2\times\mbox{ \'area de }[EFD]=\left(\frac{5}{4}\right)^2\times\frac{16\times 12}{2}=150\, m^2.$$ (Observação: Em vez de utilizar a semelhança entre $[ABC]$ e $[DEF]$ poder-se-ia calcular $\overline{IA}$, de forma análoga ao cálculo de $\overline{JC}$. Determinados $\overline{JC}$ e $\overline{IA}$, o cálculo da área de $[ABC]$ é imediato.) Solução 2: Observe-se que $[AID]$ e $[AHD]$ são congruentes, logo $\displaystyle \overline{IA}=\overline{HA}$. Analogamente, $\displaystyle \overline{MC}=\overline{JC}$. Sejam $\displaystyle a=\overline{IA}=\overline{HA}$ e $\displaystyle b=\overline{MC}=\overline{JC}$. Os triângulos $[ABC]$ e $[DEF]$ são semelhantes pois têm os três lados paralelos, logo, $$ \frac{20+a+b}{20}=\frac{16+1+b}{16}=\frac{12+1+a}{12}, $$ ou seja, $ b-4a+5=0\mbox{ e } -3b+2a+5=0.$ Resolvendo o sistema obtém-se $a=2$ e $b=3$. Portanto, a área do triângulo $[ABC]$ mede $(16 + 1 + 3)\times (12+1+2)/2=150$ m$^2$.


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[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pspolygon[linewidth=.4pt,linecolor=black,fillcolor=azulclarologotipo,fillstyle=solid](0.,0.)(3.,0.)(0.,4.) \psline[linewidth=.4pt,linecolor=blue](0.,0.)(3.,0.) \psline[linewidth=.4pt,linecolor=blue](3.,0.)(0.,4.) \psline[linewidth=.4pt,linecolor=blue](0.,4.)(0.,0.) \psline[linewidth=.4pt](0.,0.)(-0.5,0.) \psline[linewidth=.4pt](0.,4.)(-0.5,4.) \psline[linewidth=.4pt](3.,0.)(2.9937588756504523,-0.5) \psline[linewidth=.4pt](3.,0.)(3.397592107100104,0.29819408032507794) \psline[linewidth=.4pt](0.,4.)(0.39759210710010395,4.298194080325078) \psline[linewidth=.4pt](-0.5,5.49498355645855)(-0.5,-0.5) \psline[linewidth=.4pt](-0.5,-0.5)(3.9962376673439124,-0.5) \psline[linewidth=.4pt](3.9962376673439124,-0.5)(-0.5,5.49498355645855) \psline[linewidth=.4pt](0,-0)(-0,-0.5) \psline[linewidth=.4pt](0.,4.)(-0.5,4.66) \psline[linewidth=.4pt](-0.5,4.66)(-0.1,4.95) \psline[linewidth=.4pt](3,0)(3.9962376673439124,-0.5) \begin{scriptsize} \rput[bl](0.043351968978945526,0.1){$E$} \rput[bl](0,4.9){$L$} \rput[bl](-0.25,4.6){$1$} \rput[bl](-0.8,4.8){$K$} \rput[bl](2.5, 0.1){$D$} \rput[bl](1.2, 0.1){$12$} \rput[bl](0., 3.5){$F$} \rput[bl](-0.35, 3.8){$1$} \rput[bl](0.25, 3.95){$1$} \rput[bl](0.1, 2){$16$} \rput[bl](-0.75,4.028619655238704){$J$} \rput[bl](-0.1,-0.7){$P$} \rput[bl](0.05, -0.35){$1$} \rput[bl](2.8, -0.35){$1$} \rput[bl](3, 0.25){$1$} \rput[bl](-0.45631371682832583,5.515719910617485){$C$} \rput[bl](4.040677455437116,-0.48026831906975886){$A$} \rput[bl](-0.7,-0.7){$B$} \rput[bl](-0.75,0.01939736673751147){$Q$} \rput[bl](-0.35, 0.1){$1$} \rput[bl](0.4478432384419747,4.32603970631446){$M$} \rput[bl](3.4458373532856026,0.3168174178132676){$H$} \rput[bl](2.9,-0.7){$I$} \end{scriptsize} \end{pspicture}