Problema (nível 3): No reino da Matemática existe uma rua em que as casas do lado esquerdo estão numeradas com os números ímpares de $1$ a $7$, e as do lado direito com os números pares de $2$ a $10$. O rei pretende remodelar o aspeto da rua, pintando cada uma das casas de azul ou de branco. Além disso, ele não quer que haja $3$ casas seguidas no mesmo lado, pintadas da mesma cor (por exemplo, as casas $2$, $4$ e $6$ não podem ter a mesma cor), e quer que a soma dos números das casas azuis seja igual à soma dos números das casas brancas. De quantas maneiras pode o rei mandar pintar as casas daquela rua? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \def\casa#1{ \psline(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)(0,0) \psline(1,1)(0.5,1.5)(0,1) \rput(0.5,0.5){#1}} \rput(1,1){\casa{2}} \rput(1,3){\casa{4}} \rput(1,5){\casa{6}} \rput(1,7){\casa{8}} \rput(1,9){\casa{10}} \rput(-3,2){\casa{1}} \rput(-3,4){\casa{3}} \rput(-3,6){\casa{5}} \rput(-3,8){\casa{7}} \psline(0,0)(0,11) \psline(-1,0)(-1,11) \end{pspicture}

Resolução: Como a soma de todos os números das casas é $1 + 2 + \dots + 7 + 8 + 10 = 46$, sabemos que a soma dos números das casas azuis e dos números das casas brancas tem que ser $\frac{46} 2 = 23$. Como $23$ é ímpar, temos que pintar um número ímpar de casas do lado esquerdo de cada cor. Logo, no lado esquerdo da rua, há uma casa de uma cor e três de outra cor. Vamos supor que uma casa é azul e três são brancas, sendo o outro caso simétrico. Como não há três casas seguidas da mesma cor, temos apenas dois casos a considerar: No primeiro caso, a soma dos números das casas do lado direito a pintar de azul deve ser $23 - 5 = 18$ e a pintar de branco deve ser $23 - (1 + 3 + 7) = 12$. Como não há três casas seguidas da mesma cor e $8 + 6 + 2 < 18$, a casa número $10$ tem que ser pintada de azul. Analogamente, como não há três casas seguidas da mesma cor e $6 + 4 < 12$, a casa número $8$ tem que ser pintada de branco. É então fácil concluir que as casas números $2$ e $6$ serão azuis e que a casa número $4$ será branca. Logo, no primeiro caso existe apenas uma maneira de pintar as casas. No segundo caso, a soma dos números das casas do lado direito a pintar de azul deve ser $23 - 5 = 20$ e a pintar de branco deve ser $23 - (1 + 3 + 7) = 10$. Seguindo um raciocínio análogo ao do caso precedente, podemos concluir que a casa número $10$ tem que ser pintada de azul. Ficam a faltar pintar as casas com os números $2$, $4$, $6$, e $8$, sendo que a soma dos números das casas pintadas de cada uma das cores deve ser $10$. Claramente existem duas formas de fazer isso: ou se pintam as casas com os números $2$ e $8$ de azul e as restantes de branco, ou se pintam as casas com os números $2$ e $8$ de branco e as restantes de azul. Como ambas as escolhas respeitam a restrição de não haver três casas seguidas pintadas com a mesma cor, podemos concluir que há duas maneiras possíveis de pintar as casas no segundo caso. Logo, o rei pode mandar pintar as casas de $2 \times (1 + 2) = 6$ formas distintas. Como a soma de todos os números das casas é $1 + 2 + \dots + 7 + 8 + 10 = 46$, sabemos que a soma dos números das casas azuis e dos números das casas brancas tem que ser $\frac{46} 2 = 23$. Como $23$ é ímpar, temos que pintar um número ímpar de casas do lado esquerdo de cada cor. Logo, no lado esquerdo da rua, há uma casa de uma cor e três de outra cor. Vamos supor que uma casa é azul e três são brancas, sendo o outro caso simétrico. Como não há três casas seguidas da mesma cor, temos apenas dois casos a considerar: No primeiro caso, a soma dos números das casas do lado direito a pintar de azul deve ser $23 - 5 = 18$ e a pintar de branco deve ser $23 - (1 + 3 + 7) = 12$. Como não há três casas seguidas da mesma cor e $8 + 6 + 2 < 18$, a casa número $10$ tem que ser pintada de azul. Analogamente, como não há três casas seguidas da mesma cor e $6 + 4 < 12$, a casa número $8$ tem que ser pintada de branco. É então fácil concluir que as casas números $2$ e $6$ serão azuis e que a casa número $4$ será branca. Logo, no primeiro caso existe apenas uma maneira de pintar as casas. No segundo caso, a soma dos números das casas do lado direito a pintar de azul deve ser $23 - 5 = 20$ e a pintar de branco deve ser $23 - (1 + 3 + 7) = 10$. Seguindo um raciocínio análogo ao do caso precedente, podemos concluir que a casa número $10$ tem que ser pintada de azul. Ficam a faltar pintar as casas com os números $2$, $4$, $6$, e $8$, sendo que a soma dos números das casas pintadas de cada uma das cores deve ser $10$. Claramente existem duas formas de fazer isso: ou se pintam as casas com os números $2$ e $8$ de azul e as restantes de branco, ou se pintam as casas com os números $2$ e $8$ de branco e as restantes de azul. Como ambas as escolhas respeitam a restrição de não haver três casas seguidas pintadas com a mesma cor, podemos concluir que há duas maneiras possíveis de pintar as casas no segundo caso. Logo, o rei pode mandar pintar as casas de $2 \times (1 + 2) = 6$ formas distintas. [Caso 1:] A casa com o número $5$ é azul e as restantes são brancas; Como a soma de todos os números das casas é $1 + 2 + \dots + 7 + 8 + 10 = 46$, sabemos que a soma dos números das casas azuis e dos números das casas brancas tem que ser $\frac{46} 2 = 23$. Como $23$ é ímpar, temos que pintar um número ímpar de casas do lado esquerdo de cada cor. Logo, no lado esquerdo da rua, há uma casa de uma cor e três de outra cor. Vamos supor que uma casa é azul e três são brancas, sendo o outro caso simétrico. Como não há três casas seguidas da mesma cor, temos apenas dois casos a considerar: No primeiro caso, a soma dos números das casas do lado direito a pintar de azul deve ser $23 - 5 = 18$ e a pintar de branco deve ser $23 - (1 + 3 + 7) = 12$. Como não há três casas seguidas da mesma cor e $8 + 6 + 2 < 18$, a casa número $10$ tem que ser pintada de azul. Analogamente, como não há três casas seguidas da mesma cor e $6 + 4 < 12$, a casa número $8$ tem que ser pintada de branco. É então fácil concluir que as casas números $2$ e $6$ serão azuis e que a casa número $4$ será branca. Logo, no primeiro caso existe apenas uma maneira de pintar as casas. No segundo caso, a soma dos números das casas do lado direito a pintar de azul deve ser $23 - 5 = 20$ e a pintar de branco deve ser $23 - (1 + 3 + 7) = 10$. Seguindo um raciocínio análogo ao do caso precedente, podemos concluir que a casa número $10$ tem que ser pintada de azul. Ficam a faltar pintar as casas com os números $2$, $4$, $6$, e $8$, sendo que a soma dos números das casas pintadas de cada uma das cores deve ser $10$. Claramente existem duas formas de fazer isso: ou se pintam as casas com os números $2$ e $8$ de azul e as restantes de branco, ou se pintam as casas com os números $2$ e $8$ de branco e as restantes de azul. Como ambas as escolhas respeitam a restrição de não haver três casas seguidas pintadas com a mesma cor, podemos concluir que há duas maneiras possíveis de pintar as casas no segundo caso. Logo, o rei pode mandar pintar as casas de $2 \times (1 + 2) = 6$ formas distintas. [Caso 2:] A casa com o número $3$ é azul e as restantes são brancas.