Problema (nível 3): Numa carruagem de um comboio estavam seis pessoas: o Amílcar, a Beatriz, a Catarina, o Daniel, o Eduardo e a Fernanda. Durante a viagem repararam que cada um deles tinha o mesmo número de amigos nessa carruagem. De quantas formas pode isto acontecer?

Resolução: Para visualizar as diferentes possibilidades nas relações de amizade entre as $6$ pessoas da carruagem, representa-se cada pessoa por um ponto e traça-se um segmento entre $2$ pontos para indicar que as pessoas correspondentes são amigas. Há vários casos a considerar. Portanto, no total há $1+15+70+70+15+1=172$ formas de essas $6$ pessoas terem todas o mesmo número de amigos na carruagem. Para visualizar as diferentes possibilidades nas relações de amizade entre as $6$ pessoas da carruagem, representa-se cada pessoa por um ponto e traça-se um segmento entre $2$ pontos para indicar que as pessoas correspondentes são amigas. Há vários casos a considerar. Portanto, no total há $1+15+70+70+15+1=172$ formas de essas $6$ pessoas terem todas o mesmo número de amigos na carruagem. Caso 1: todos têm $0$ amigos na carruagem. Na nossa representação, isso significa que não há nenhuma ligação entre os $6$ pontos. Só há uma forma de isso acontecer. Para visualizar as diferentes possibilidades nas relações de amizade entre as $6$ pessoas da carruagem, representa-se cada pessoa por um ponto e traça-se um segmento entre $2$ pontos para indicar que as pessoas correspondentes são amigas. Há vários casos a considerar. Portanto, no total há $1+15+70+70+15+1=172$ formas de essas $6$ pessoas terem todas o mesmo número de amigos na carruagem. Caso 2: todos têm $1$ amigo na carruagem, o que corresponde a juntar as $6$ pessoas aos pares, como na seguinte representação. (image1) Se eles não são amigos entre si, então a única configuração possível é a seguinte: (image2) Neste caso, o primeiro amigo do Amílcar por ordem alfabética pode escoler entre três amigos e o outro pode escolher entre dois amigos. Assim, nesta configuração, há $10\times 3\times 2=60$ possibilidades. Portanto, neste caso, há $10+60=70$ possibilidades. Para visualizar as diferentes possibilidades nas relações de amizade entre as $6$ pessoas da carruagem, representa-se cada pessoa por um ponto e traça-se um segmento entre $2$ pontos para indicar que as pessoas correspondentes são amigas. Há vários casos a considerar. Portanto, no total há $1+15+70+70+15+1=172$ formas de essas $6$ pessoas terem todas o mesmo número de amigos na carruagem. Caso 4: todos têm $3$ amigos na carruagem. Este caso é similar ao caso em que todos têm $2$ amigos, pois ter $3$ amigos corresponde a ter $2$ “não-amigos”, ou seja, também há $70$ possibilidades neste caso. Para visualizar as diferentes possibilidades nas relações de amizade entre as $6$ pessoas da carruagem, representa-se cada pessoa por um ponto e traça-se um segmento entre $2$ pontos para indicar que as pessoas correspondentes são amigas. Há vários casos a considerar. Portanto, no total há $1+15+70+70+15+1=172$ formas de essas $6$ pessoas terem todas o mesmo número de amigos na carruagem. Caso 5: todos têm $4$ amigos na carruagem. Esse caso corresponde a todos terem $1$ “não-amigo”, o que dá mais $15$ possibilidades. Para visualizar as diferentes possibilidades nas relações de amizade entre as $6$ pessoas da carruagem, representa-se cada pessoa por um ponto e traça-se um segmento entre $2$ pontos para indicar que as pessoas correspondentes são amigas. Há vários casos a considerar. Portanto, no total há $1+15+70+70+15+1=172$ formas de essas $6$ pessoas terem todas o mesmo número de amigos na carruagem. Caso 6: todos têm $5$ amigos na carruagem, e só há $1$ forma de isso acontecer.


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[image1]
\begin{pspicture}(-3,-0.5)(1.5,2.0) \psline(-1.73,2.46)(0.27,2.46) \psline(1.27,0.73)(0.27,-1) \psline(-1.73,-1)(-2.73,0.73) \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](-1.73,-1) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](-1.73,2.46) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](0.27,2.46) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](1.27,0.73) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](0.27,-1) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](-2.73,0.73) \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} O Amílcar pode ter um de $5$ amigos possíveis. De entre os quatro restantes passageiros, o primeiro por ordem alfabética pode ter um de $3$ amigos possíveis, e o par restante fica determinado. Neste caso, há assim $5\times 3$ possibilidades. Para visualizar as diferentes possibilidades nas rela\c{c}\~{o}es de amizade entre as $6$ pessoas da carruagem, representa-se cada pessoa por um ponto e traça-se um segmento entre $2$ pontos para indicar que as pessoas correspondentes s\~{a}o amigas. Há v\'{a}rios casos a considerar. Portanto, no total h\'{a} $1+15+70+70+15+1=172$ formas de essas $6$ pessoas terem todas o mesmo n\'{u}mero de amigos na carruagem. \underline{Caso 3}: todos t\^{e}m $2$ amigos na carruagem. O Amílcar pode ter qualquer um de $10$ pares de amigos ($BC$, $BD$, $BE$, $BF$, $CD$, $CE$, $CF$, $DE$, $DF$ e $EF$, onde cada letra representa a inicial de cada passageiro). Se os amigos do Amílcar forem amigos entre si, então as amizades ficam determinadas e a configuração é a seguinte: \begin{center}  \begin{pspicture}(-3,-0.5)(1.5,2.0) \psline(-1.73,2.46)(0.27,2.46) \psline(0.27,2.46)(1.27,0.73) \psline(0.27,-1)(-1.73,-1) \psline(-1.73,-1)(-2.73,0.73) \psline(-1.73,2.46)(1.27,0.73) \psline(0.27,-1)(-2.73,0.73) \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](-1.73,-1) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](-1.73,2.46) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](0.27,2.46) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](1.27,0.73) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](0.27,-1) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](-2.73,0.73) \end{scriptsize} \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(-3,-0.5)(1.5,2.0) \psline(-1.73,2.46)(0.27,2.46) \psline(0.27,2.46)(1.27,0.73) \psline(1.27,0.73)(0.27,-1) \psline(0.27,-1)(-1.73,-1) \psline(-1.73,-1)(-2.73,0.73) \psline(-2.73,0.73)(-1.73,2.46) \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](-1.73,-1) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](-1.73,2.46) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](0.27,2.46) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](1.27,0.73) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](0.27,-1) \psdots[dotstyle=*,linecolor=black](-2.73,0.73) \end{scriptsize} \end{pspicture}