tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema (nível 3): A professora da Luísa pediu-lhe para escrever todos os números de três algarismos. Depois disse-lhe para pintar de amarelo todos os que são iguais a $25$ vezes a soma dos seus algarismos. Quantos números pintou a Luísa de amarelo? Por exemplo, o número $328$, que é diferente de $25\times (3+2+8)$, não ficou pintado de amarelo.

Resolução: Um múltiplo de $25$ termina em $00$, $25$, $50$ ou $75$. Se um número de três algarismos termina em $00$, então é igual a $100$ vezes a soma dos seus algarismos, e portanto não ficou pintado de amarelo. A soma dos algarismos de um número de três algarismos, que seja múltiplo de $25$, é no máximo igual a $9+7+5=21$. Como $25\times 21=525$, e $5+2+5$ não é igual a $21$, os números que ficaram pintados de amarelo só podem ser números entre $125$ e $475$ terminados em $25$, $50$ e $75$. Ao lado apresenta-se uma tabela para testar os $12$ números nessas condições. A Luísa pintou de amarelo três números: $150$, $225$ e $375$. (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \rput(0,0){$\begin{array}{|c|l|c|} \hline {\text{\sf n\'{u}mero}} & 25\times {\text{\sf soma dos algarismos}} & {\text{\sf amarelo}} \\ \hline \hline 125 & 25\times 8=200 & {\text{\sf N\~{a}o}}\\ \hline 150 & 25\times 6=150 & {\text{\sf Sim}}\\ \hline 175 & 25\times 13=325 & {\text{\sf N\~{a}o}}\\ \hline 225 & 25\times 9=225 & {\text{\sf Sim}}\\ \hline 250 & 25\times 7=175& {\text{\sf N\~{a}o}}\\ \hline 275 & 25\times 14=350 & {\text{\sf N\~{a}o}}\\ \hline 325 & 25\times 10=250 & {\text{\sf N\~{a}o}}\\ \hline 350 & 25\times 8=200& {\text{\sf N\~{a}o}}\\ \hline 375 & 25\times 15=375 & {\text{\sf Sim}}\\ \hline 425 & 25\times 11=275 & {\text{\sf N\~{a}o}}\\ \hline 450 & 25\times 9=225 & {\text{\sf N\~{a}o}}\\ \hline 475 & 25\times 16=400 & {\text{\sf N\~{a}o}}\\ \hline \end{array}$} \end{pspicture}
Problema (nível 3): Um ponto no interior de um quadrilátero está unido aos pontos médios dos quatro lados, como se indica na figura, determinando quatro quadriláteros. As medidas das áreas de três desses quadriláteros são $23$, $13$ e $25$. Quanto mede a área do quarto quadrilátero? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \rotatebox{90}{\pspolygon(0,0)(9,0)(7.10436,11.30576)(0.97407,12.20118) \psline(2.9334,8)(4.5,0) \psline(2.9334,8)(0.48703,6.10059) \psline(2.9334,8)(4.03921,11.75347) \psline(2.9334,8)(8.05218,5.65288) \rput(2,4){\rotatebox{-90}{$25$}} \rput(2,9.5){\rotatebox{-90}{$13$}} \rput(5.5,9.5){\rotatebox{-90}{$23$}} \rput(5.5,4){\rotatebox{-90}{$?$}}} \end{pspicture}

Resolução: A área do quarto quadrilátero é igual à soma das áreas dos triângulos $[PGC]$ e $[PFC]$. Uma vez que $E$, $F$, $G$ e $H$ são pontos médios dos lados, os triângulos (table1) têm a mesma área (têm a mesma altura e bases com o mesmo comprimento). Logo $$ \mbox{Área}_{[PEAH]}+\mbox{Área}_{[PGCF]}= \mbox{Área}_{[PEBF]}+\mbox{Área}_{[PGDH]} $$ ou seja, $ 13+\mbox{Área}_{[PGCF]}= 25+23 $. Logo a área de $[PGCF]$ é $25+23-13=35$. (image2)


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[table1]
\begin{tabular}{lp{5mm}l} \\ $\bullet$ $[AEP]$ e $[PEB]$ && $\bullet$ $[GCP]$ e $[PGD]$\\ $\bullet$ $[BFP]$ e $[PFC]$ && $\bullet$ $[DHP]$ e $[PHA]$\\ \\ \end{tabular}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \rotatebox{90}{\pspolygon(0,0)(9,0)(7.10436,11.30576)(0.97407,12.20118) \psline(2.9334,8)(4.5,0) \psline(2.9334,8)(0.48703,6.10059) \psline(2.9334,8)(4.03921,11.75347) \psline(2.9334,8)(8.05218,5.65288) \psline[linestyle=dashed](2.9334,8)(0,0) \psline[linestyle=dashed](2.9334,8)(9,0) \psline[linestyle=dashed](2.9334,8)(7.10436,11.30576) \psline[linestyle=dashed](2.9334,8)(0.97407,12.20118) \rput(2,4){\rotatebox{-90}{$25$}} \rput(2,9.5){\rotatebox{-90}{$13$}} \rput(5.5,9.5){\rotatebox{-90}{$23$}} \rput(5.5,4){\rotatebox{-90}{$?$}}} \rput(-8,3.8){$P$} \rput(-12.5,0){$A$} \rput(-6,-0.5){$E$} \rput(0.4,-0.6){$B$} \rput(0.7,4.5){$F$} \rput(0.6,9.6){$C$} \rput(-5.8,9){$G$} \rput(-11.5,8){$D$} \rput(-12.5,4){$H$} \end{pspicture}
Problema (nível 3): Um número de três algarismos diz-se lendário se o produto do seu algarismo das centenas pelo número formado pelos outros dois algarismos tem uma unidade a menos do que o produto do seu algarismo das dezenas pelo número formado pelos outros dois algarismos. Por exemplo, o número $341$ é lendário, uma vez que $3\times 41=4\times 31-1$. Quais são os números lendários de três algarismos?

Resolução: Seja $n=a\times 100+b\times 10+c$ um número lendário com algarismo das centenas $a$, algarismo das dezenas $b$ e algarismo das unidades $c$. Então $a\times (10 b+c)+1=b\times(10a+c)$, ou seja, $ac+1=bc$, ou ainda, $(b-a)\times c=1$. Assim conclui-se que $b-a=1$ e $c=1$, logo os números lendários são $121$, $231$, $341$, $451$, $561$, $671$, $781$ e $891$.
Problema (nível 3): A Luísa desenhou um retângulo cujos lados mediam $24$ cm e $36$ cm. Ela pintou o lado maior de vermelho e o lado menor de amarelo. De seguida pintou de amarelo todos os pontos dentro do retângulo mais próximos do lado menor. Quanto mede a área da região pintada de amarelo?

Resolução: Ao dividir-se o retângulo em quadrados de lado $6$ cm, observa-se que a região pintada de amarelo é composta por dois triângulos de base $24$ e altura $12$ cm. (image1) Assim, a área da região pintada de amarelo mede $\displaystyle 2\times \frac{24\times 12}{2}=288 \, cm^2.$


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[image1]
\begin{pspicture}(-0.0977,-0.5)(4.454171256496616,2.5) \pspolygon[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray,fillcolor=yellow,fillstyle=solid](0.,2.4)(1.2,1.2023297828191948)(0.,0.) \pspolygon[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray,fillcolor=yellow,fillstyle=solid](3.6,2.4)(2.3987567013392503,1.2023297828191946)(3.6,0.) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](0.,0.)(0.,2.4) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](0.,2.4)(3.6,2.4) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](3.6,2.4)(3.6,0.) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](3.6,0.)(0.,0.) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](0.,0.6002242574284996)(3.6,0.6002242574284995) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](0.,1.2023297828191948)(3.6,1.2023297828191946) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](0.,1.8044353082098896)(3.6,1.8044353082098896) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](0.6,2.4)(0.6,0.) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](1.2,2.4)(1.2,0.) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](1.8,2.4)(1.8,0.) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](2.3975182210168646,2.4)(2.4,0.) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](3.,2.4)(3.,0.) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](1.2,2.4)(0.6,2.4) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](0.6,2.4)(0.6,0.) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](1.2,2.4)(1.2,0.) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](0.,2.4)(1.2,1.2023297828191948) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](1.2,1.2023297828191948)(0.,0.) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](0.,0.)(0.,2.4) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](3.6,2.4)(2.3987567013392503,1.2023297828191946) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](2.3987567013392503,1.2023297828191946)(3.6,0.) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray](3.6,0.)(3.6,2.4) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray,arrows=<->](0,-0.2)(3.6,-0.2) \psline[linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray,arrows=<->](-0.2,0)(-0.2,2.4) \rput(1.8,-0.5){$36$ cm} \rput(-0.8,1.2){$24$ cm} \end{pspicture}
Problema (nível 3): O João colocou $16$ copos numa mesa. Uma jogada consiste em virar $3$ copos diferentes ao contrário (os que estão virados para cima ficam virados para baixo e vice-versa). Inicialmente todos os copos estão virados para baixo. Qual é o número mínimo de jogadas que o João precisa de efetuar para que os copos fiquem todos virados para cima?

Resolução: Em $5$ ou menos movimentos é possível virar no máximo $3\times 5=15$ copos. No entanto, é possível virar todos os copos para cima em $6$ movimentos. Na figura seguinte são indicados esses movimentos, onde estão assinalados os copos que se invertem: (0,0)(0.5,-3)(2.5,-3)(3,0) (0,-3)(0.5,0)(2.5,0)(3,-3) (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(64,-24) \multiput(0,0)(4,0){16}{\rput(0,0){\copoinvertido}}  \multiput(0,-4)(4,0){3}{\rput(0,0){\copo}}  \multiput(12,-4)(4,0){13}{\rput(0,0){\copoinvertido}} \multiput(0,-8)(4,0){3}{\rput(0,0){\copo}}  \multiput(12,-8)(4,0){3}{\rput(0,0){\copo}}  \multiput(24,-8)(4,0){10}{\rput(0,0){\copoinvertido}} \multiput(0,-12)(4,0){6}{\rput(0,0){\copo}}  \multiput(24,-12)(4,0){3}{\rput(0,0){\copo}}  \multiput(36,-12)(4,0){7}{\rput(0,0){\copoinvertido}} \multiput(0,-16)(4,0){9}{\rput(0,0){\copo}}  \multiput(36,-16)(4,0){3}{\rput(0,0){\copo}}  \multiput(48,-16)(4,0){4}{\rput(0,0){\copoinvertido}} \multiput(0,-20)(4,0){11}{\rput(0,0){\copo}}  \multiput(44,-20)(4,0){1}{\rput(0,0){\copoinvertido}} \multiput(48,-20)(4,0){2}{\rput(0,0){\copo}}  \multiput(56,-20)(4,0){2}{\rput(0,0){\copoinvertido}} \multiput(0,-24)(4,0){11}{\rput(0,0){\copo}}  \multiput(44,-24)(4,0){1}{\rput(0,0){\copo}}  \multiput(48,-24)(4,0){2}{\rput(0,0){\copo}}  \multiput(56,-24)(4,0){2}{\rput(0,0){\copo}} \end{pspicture}
Problema (nível 3): A Joana tem um telemóvel que, quando não é utilizado, demora $2$ horas a carregar totalmente a sua bateria. Quando está a carregar e a ser usado em simultâneo, o telemóvel da Joana gasta $40\%$ da energia que recebe. A Joana chegou a casa às $18$h$00$ com a bateria do telemóvel completamente gasta e às $20$h$30$ tem de sair novamente. Durante quanto tempo, no máximo, pode a Joana usar o telemóvel, garantindo que a bateria fica totalmente carregada quando sair de casa?

Resolução: A Joana tem $2h30m=2,5$ horas para carregar totalmente a bateria do telemóvel. Se não utilizasse o telemóvel, a bateria ficaria completamente carregada em $2$ horas e, ao fim de uma hora, teria apenas metade ($50\%$) da bateria carregada. Por isso, ao fim de $x$ horas ($x\leq 2$) de carregamento sem utilização, a Joana teria $x.50\%$ de bateria carregada. Por outro lado, se carregasse e utilizasse em simultâneo o telemóvel durante $2$ horas, então ficaria apenas com $60\%$ da bateria carregada. Se carregasse e utilizasse em simultâneo o telemóvel durante uma hora, apenas ficaria com $30\%$ da bateria carregada. Por isso, ao fim de $x$ horas de carregamento e utilização simultâneos, o telemóvel ficaria com $x.30\%$ de bateria carregada. Assim, se a Joana quer a bateria completamente carregada ao fim de $2h30m$ utilizando o telemóvel durante $x$ horas (e, portanto, não utilizando durante $2,5-x$ horas), então $$ 0,3.x + 0,5(2,5-x)=1 \quad (ou \quad 30\% x + 50\% (2,5-x)=100\%) $$ ou seja, $0,2\times x=0,25$, logo $x=1,25$ horas $=75$ mins. Assim, a Joana pode utilizar o telemóvel durante $75$ mins.
Problema (nível 3): O João começou a escrever num quadro os primeiros números inteiros: $1$, $2$, $3$, $\ldots$ Quando ficou sem espaço, parou, apagou um dos números e calculou a média dos números que ficaram no quadro. Sabendo que o João obteve o resultado $40,75$, determina o número que o João apagou. Indica todas as possibilidades.

Resolução: Seja $n$ o maior número que o João escreveu e $k$ o número que o João apagou. Como $1\leq k\leq n$, então a média calculada pelo João está entre a média dos números $1$, $2$, $\ldots$, $n-1$ e a média dos números $2$, $3$, $\ldots$, $n$, ou seja, está entre $n/2$ e $n/2+1$. Assim, \[\frac{n}{2}\leq 40.75\leq\dfrac{n}{2}+1,\] ou seja, \[79.5\leq n\leq 81.5.\] Portanto temos $n=80$ ou $n=81$. Para $n=80$, temos que a soma dos números do quadro é $40,75\times 79=3219,25$, que não é um número inteiro. Para $n=81$, temos que a soma dos números do quadro é $40,75\times 80=3260$. Como $1+2+\cdots+81=3321$, então o número apagado é $3321-3260=61$ e esta é a única possibilidade.
Problema (nível 4): Num saco estão berlindes azuis, brancos e castanhos. Sabe-se que: Qual é o menor número possível de berlindes castanhos no saco? existem pelo menos tantos berlindes azuis como metade do número de berlindes brancos; o número de berlindes azuis é no máximo um terço do número de berlindes castanhos; no total, o número de berlindes azuis e brancos é maior do que $54$.

Resolução: Sejam $a$, $b$ e $c$ os números de berlindes azuis, brancos e castanhos, respetivamente. Pela primeira condição, sabemos que $a\geq\dfrac{b}{2}$, ou seja, $b\leq 2a$. Pela terceira condição, sabemos que $a+b>54$, ou seja, $b>54-a$. Logo, $54-a<b\leq 2a$, pelo que $3a>54$. Como $a$ é inteiro, temos $a\geq 19$. Pela segunda condição, $a\leq\dfrac{c}{3}$, ou seja, $c\geq 3a\geq 57$. Finalmente, se tomarmos $a = 19$, $b = 36$ e $c = 57$, as três condições do enunciado são satisfeitas, logo, o menor número possível de berlindes castanhos no saco é $57$.
Problema (nível 4): Quais são os números de três algarismos que são iguais a $34$ vezes a soma dos seus algarismos? Por exemplo, o número $436$, que é diferente de $34\times(4+3+6)$, não é um dos desses números.

Resolução: Qualquer número de três algarismos, $abc$, se escreve como $100a+10b+c$, onde $a$, $b$, $c$ são algarismos e $a\neq 0$. O número de três algarismos, $abc$, é igual a $34$ vezes a soma dos seus algarismos se $$100a+10b+c=34(a+b+c)\,\Leftrightarrow\, 66a-33c=24b \,\Leftrightarrow\,3\times 11 (2a-c)=24b\,.$$ Como $11$ é um número primo, e não é divisor de $24$, teria que ser divisor de $b$, o que é impossível pois $b\leq 9$. Isto implica que $b=0=2a-c$, e portanto as soluções do problema acontecem quando $b=0$ e $c=2a$. Temos então quatro soluções: $102$, $204$, $306$ e $408$.
Problema (nível 4): Num triângulo $[ABC]$, retângulo em $B$, o lado $[AB]$ mede $6$. Sejam $M$ o ponto médio de $[AB]$ e $P$ o pé da perpendicular a $AC$ que passa por $M$. Sabendo que $[PM]$ mede $\frac{3}{2}$, determina a distância de $M$ a $C$. (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6.5,3.5) \psline(2.25,1.29904)(3,0) \psline(6,3.4641)(0,0) \psline(0,0)(6,0) \psline(6,0)(6,3.4641) \psline(6,3.4641)(3,0) \rput(-0.2,-0.2){$A$} \rput(6.2,-0.2){$B$} \rput(6.2,3.7){$C$} \rput(3,-0.35){$M$} \rput(2.05,1.45){$P$} \end{pspicture}

Resolução: Solução 1: Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo $[APM]$ obtém-se $\overline{AP}=\sqrt{3^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{27}}{2}$. Os triângulos $[ABC]$ e $[APM]$ são semelhantes porque têm o ângulo em $A$ em comum e um ângulo reto, logo $$ \frac{\overline{AP}}{\overline{AB}}= \frac{\overline{PM}}{\overline{BC}} \Longleftrightarrow \frac{\frac{\sqrt{27}}{2}}{6}= \frac{\frac{3}{2}}{\overline{BC}}. $$ Portanto, $\overline{CB}=2\sqrt{3}$. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo $[BMC]$ tem-se $\overline{CM}=\sqrt{3^2 + \left( 2\sqrt{3} \right)^2}=\sqrt{21}$. Logo, a distância de $M$ a $C$ é $\sqrt{21}$. Solução 2: Como $[APC]$ é um triângulo retângulo, tem-se $$ \sin\widehat A=\dfrac{\overline{PM}}{\overline{AM}}=\dfrac{1}{2} $$ pelo que $\widehat A=30^\circ$. Como $[ABC]$ é um triângulo retângulo, tem-se $$\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\tan\widehat A=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{BC}}{6} $$ pelo que $\overline{BC}=2\sqrt{3}$. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo $[BMC]$ tem-se $\overline{CM}=\sqrt{3^2 + \left( 2\sqrt{3} \right)^2}=\sqrt{21}$.
Problema (nível 2): Um quadrado com $27$ cm de lado foi dividido em quadrados mais pequenos, como se representa na figura. Quanto mede a área do quadrado colorido? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,15) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linestyle=none](19,19)(27,19)(27,27)(19,27) \psline(0,0)(27,0) \psline(0,9)(27,9) \psline(9,15)(27,15) \psline(0,18)(9,18) \psline(15,19)(27,19) \psline(9,21)(15,21) \psline(15,23)(19,23) \psline(0,27)(27,27) \psline(0,0)(0,27) \psline(9,0)(9,27) \psline(15,9)(15,27) \psline(18,0)(18,9) \psline(19,15)(19,27) \psline(21,9)(21,15) \psline(23,15)(23,19) \psline(27,0)(27,27) \end{pspicture}

Resolução: Na figura indicam-se as medidas dos comprimentos dos lados de cada um dos quadrados mais pequenos. A área do quadrado colorido mede $8 \times 8= 64$ cm$^2$. (image2)


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[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(0,15) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linestyle=none](19,19)(27,19)(27,27)(19,27) \psline(0,0)(27,0) \psline(0,9)(27,9) \psline(9,15)(27,15) \psline(0,18)(9,18) \psline(15,19)(27,19) \psline(9,21)(15,21) \psline(15,23)(19,23) \psline(0,27)(27,27) \psline(0,0)(0,27) \psline(9,0)(9,27) \psline(15,9)(15,27) \psline(18,0)(18,9) \psline(19,15)(19,27) \psline(21,9)(21,15) \psline(23,15)(23,19) \psline(27,0)(27,27) \rput(-1.3,5.2){$9$} \rput(-1.3,14.2){$9$} \rput(-1.3,22.2){$9$} \rput(3.2,-2.2){$9$} \rput(13.2,-2.2){$9$} \rput(23.2,-2.2){$9$} \rput(5.2,29){$9$} \rput(12.5,29){$6$} \rput(17,29){$4$} \rput(22.5,29){$8$} \end{pspicture}
Problema (nível 2): Num jogo de andebol entre o Avanca e o Boa-Hora havia um número igual de adeptos de cada equipa. No intervalo, $40\%$ dos adeptos foram lanchar. De entre aqueles que lancharam, $75\%$ eram adeptos do Avanca. Qual a percentagem de pessoas que assistiram ao jogo que são adeptos do Boa-Hora e não lancharam?

Resolução: Como $75\%$ dos $40\%$ de adeptos que foram lanchar são do Avanca, podemos concluir que $30\%$ dos adeptos foram lanchar e são do Avanca: (table1) Como sabemos existir um número igual de adeptos de cada equipa, a soma das percentagens de cada coluna tem que ser $50\%$, e por outro lado, como sabemos que $40\%$ dos adeptos foram lanchar, sabemos que a soma das percentagens da primeira linha tem que ser $40\%$, e a soma das percentagens da segunda linha tem que ser $60\%$. Esta informação é suficiente para completar a tabela acima: (table2) Conclui-se assim que $40\%$ dos adeptos são do Boa-Hora e não lancharam.


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[table1]
\begin{tabular}{c|c|c|} \cline{2-3} & Avanca & Boa-Hora \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{lanchou} & $30\%$ & ? \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{não lanchou} & ? & ? \\ \hline \end{tabular}
[table2]
\begin{tabular}{c|c|c|} \cline{2-3} & Avanca & Boa-Hora \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{lanchou} & 30\% & 10\% \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{não lanchou} & 20\% & 40\% \\ \hline \end{tabular}
Problema (nível 2): Na semana da Matemática, o Professor Pedro afixou na sala de aula uma tabela igual à da figura, e propôs o seguinte desafio: os alunos deveriam preencher cada um dos cinco quadrados vazios com um número. No final, a soma dos três números de cada coluna teria que ser igual à soma dos três números de cada linha e também igual à soma dos três números de cada diagonal. Sabendo que os alunos foram bem sucedidos no desafio, de que forma foi preenchida a tabela? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,3) \multiput(0,0)(0,1){4}{\psline(0,0)(3,0)} \multiput(0,0)(1,0){4}{\psline(0,0)(0,3)} \rput(0.5,2.5){$6$} \rput(1.5,2.5){$\dfrac43$} \rput(1.5,1.5){$4$} \rput(2.5,1.5){$\dfrac{16}{3}$} \rput(0.5,0.5){} \end{pspicture}

Resolução: A soma dos três números da primeira linha tem que ser igual à soma dos três números da coluna da direita, ou seja, $6 + \frac 4 3$ tem que ser igual à soma de $\frac {16} 3$ com o número que fica no canto inferior direito. Logo, esse número tem que ser $2$. Somando os três números da diagonal já completa ($6$, $4$ e $2$), ficamos a saber que a soma dos números de cada linha, de cada coluna, e de cada diagonal é $12$, o que permite preencher o resto da tabela da seguinte forma: os números em falta na primeira e segunda linhas são, respetivamente, $\frac {14} 3$ e $\frac 8 3$ e os números em falta nas primeira e segunda colunas são, respetivamente, são $\frac {10} 3$ e $\frac {20}3$. Ao lado está indicada a tabela completa. (image2)


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[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(0,3) \multiput(0,0)(0,1){4}{\psline(0,0)(3,0)} \multiput(0,0)(1,0){4}{\psline(0,0)(0,3)} \rput(0.5,2.5){$6$} \rput(1.5,2.5){$\dfrac43$} \rput(2.5,2.5){$\dfrac{14}{3}$} \rput(0.5,1.5){$\dfrac{8}{3}$}\rput(1.5,1.5){$4$} \rput(2.5,1.5){$\dfrac{16}{3}$} \rput(1.5,1.5){$4$} \rput(2.5,1.5){$\dfrac{16}{3}$} \rput(0.5,0.5){$\dfrac{10}{3}$}\rput(1.5,0.5){$\dfrac{20}3$}\rput(2.5,0.5){$2$} \rput(0.5,0.5){} \end{pspicture}
Problema (nível 2): O Euclides foi visitar o Museu de Arte Matemática e reparou na obra representada na figura, a qual é constituída por sete segmentos de reta. Ficou intrigado com o facto de estarem assinalados sete ângulos, mas apenas quatro das suas amplitudes. Sabendo que as restantes três são iguais, descobre a sua medida. (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(9,0) \large \pspolygon(0,0)(9,0)(7.11882,2.89677)(5.54269,-2.98541)(4.08215,1.79178)(3.1471,-1.6979)(1.71816,2.97594) \psarc(0,0){0.5}{0}{60} \rput(0.9,0.4){$60^\circ$} \psarc(1.71816,2.97594){0.5}{240}{287} \rput(1.55,1.9){$47^\circ$} \psarc(3.1471,-1.6979){0.5}{75}{107} \psarc(4.08215,1.79178){0.5}{255}{287} \psarc(5.54269,-2.98541){0.5}{75}{107} \psarc(7.11882,2.89677){0.5}{255}{303} \rput(7.3,1.8){$48^\circ$} \psarc(9,0){0.5}{123}{180} \rput(8.2,0.35){$57^\circ$} \end{pspicture}

Resolução: Sejam $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ e $\delta$ as amplitudes dos quatro ângulos indicados nos três triângulos de cima na figura. Como a amplitude de ângulos verticalmente opostos é igual, os ângulos indicados nos dois triângulos de baixo têm as mesmas amplitudes $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ e $\delta$. Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é $180^\circ$, pode-se concluir que $\alpha= 180^\circ- 60^\circ - 47^\circ=73^\circ$ e $\delta=180^\circ - 57^\circ - 48^\circ=75^\circ$. Uma vez que os três triângulos do meio têm um ângulo com a mesma amplitude, pode-se concluir que $\alpha + \beta = \beta + \gamma = \gamma + \delta$, donde $\alpha = \gamma=73^\circ$ e $\beta = \delta=75^\circ$. Logo a amplitude do ângulo que se pretende calcular é $180^\circ - 73^\circ - 75^\circ=32^\circ$. (image2)


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[image2]
\begin{pspicture}(0,-2.5)(9,2.5) \large \pspolygon(0,0)(9,0)(7.11882,2.89677)(5.54269,-2.98541)(4.08215,1.79178)(3.1471,-1.6979)(1.71816,2.97594) \psarc(0,0){0.5}{0}{60} \rput(0.9,0.4){$60^\circ$} \psarc(1.71816,2.97594){0.5}{240}{287} \rput(1.55,1.9){$47^\circ$} \psarc(3.1471,-1.6979){0.5}{75}{107} \psarc(4.08215,1.79178){0.5}{255}{287} \psarc(5.54269,-2.98541){0.5}{75}{107} \psarc(7.11882,2.89677){0.5}{255}{303} \psarc(2.628,0){0.25}{104}{180} \psarc(2.628,0){0.25}{287}{360} \psarc(3.60205,0){0.25}{180}{255} \psarc(3.60205,0){0.25}{0}{75} \psarc(4.62996,0){0.25}{105}{180} \psarc(4.62996,0){0.25}{285}{360} \psarc(6.34263,0){0.25}{180}{255} \psarc(6.34263,0){0.25}{0}{75} \rput(7.3,1.8){$48^\circ$} \psarc(9,0){0.5}{123}{180} \rput(8.2,0.35){$57^\circ$} \small \rput(2.25,0.35){$\alpha$} \rput(2.95,-0.35){$\alpha$} \rput(3.95,.45){$\beta$} \rput(3.25,-.45){$\beta$} \rput(5,-.45){$\gamma$} \rput(4.3,.35){$\gamma$}\rput(6.7,.4){$\delta$} \rput(6.0,-.4){$\delta$} \end{pspicture}