Problema (nível 3): A minha rua tem casas numeradas de $1$ a $100$ e cada casa é pintada de azul ou de amarelo. Para decidir a cor de uma casa aplica-se a seguinte regra: somam-se os algarismos do número da casa e, se a soma é ímpar pinta-se a casa de azul, senão pinta-se a casa de amarelo. Por exemplo, a casa número $27$ é pintada de azul e a casa número $37$ é pintada de amarelo. Hoje de manhã, somei todos os números das casas azuis na minha rua. Qual é o total que obtive?

Resolução: Podemos escrever os números de $0$ a $99$ num tabuleiro $10 \times 10$ da seguinte forma $(image1)$ A resposta pretendida é portanto a soma das quadrículas azuis mais $100$, porque a casa número $100$ também é pintada de azul. Resolução 1: A soma de todos estes números é igual a \begin{align*} &(1+3+5+7+9) + (10+12+14+16+18) +\cdots+ (90+92+94+96+98) + 100=\\ =&\underbrace{(1+3+5+7+9)}_{25} + 5\times10+ \underbrace{(0+2+4+6+8)}_{20} + \cdots + 5\times90 + \underbrace{(0+2+4+6+8)}_{20} +100=\\ =& 5\times 25 + 5\times 20+ 5\times (10+20+\cdots+90) + 100=\\ =& 125 + 100 + 5\times 450 + 100=\\ =& 2575 \end{align*} Portanto, a soma de todos os números das casas pintadas de azul na minha rua é igual a $2575$. Resolução 2: Para somar todos os números que aparecem em quadrículas azuis, observamos que a soma de cada número com o seu simétrico, relativamente ao centro do tabuleiro, é sempre igual a $99$: $$(image2)$$ Em todo o tabuleiro, há $50$ quadrículas azuis que formam $25$ somas, todas iguais a $99$. Assim, a soma de todos os números que aparecem em quadrículas azuis é igual a $25\times99=2475$. Portanto, a soma de todos os números das casas pintadas de azul na minha rua é igual a $2475+100=2575$.


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[image1]
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \;0\;\cellcolor{Gold1} &10 &\cellcolor{Gold1}20 &30 &40\cellcolor{Gold1} &50 &60\cellcolor{Gold1} &70 &80\cellcolor{Gold1} &90\\ \hline \;1\;&\cellcolor{Gold1} 11& 21&\cellcolor{Gold1} 31& 41&\cellcolor{Gold1} 51& 61&\cellcolor{Gold1} 71& 81&\cellcolor{Gold1} 91\\ \hline \;2\;\cellcolor{Gold1} &12 &22\cellcolor{Gold1} &32 &42\cellcolor{Gold1} &52 &62\cellcolor{Gold1} &72 &82\cellcolor{Gold1} &92\\ \hline \;3\;&\cellcolor{Gold1} 13& 23&\cellcolor{Gold1} 33& 43&\cellcolor{Gold1} 53& 63&\cellcolor{Gold1} 73& 83&\cellcolor{Gold1} 93\\ \hline \;4\;\cellcolor{Gold1} &14 &24\cellcolor{Gold1} &34 &44\cellcolor{Gold1} &54 &64\cellcolor{Gold1} &74 &84\cellcolor{Gold1} &94\\ \hline \;5\;&\cellcolor{Gold1} 15& 25&\cellcolor{Gold1} 35& 45&\cellcolor{Gold1} 55& 65&\cellcolor{Gold1} 75& 85&\cellcolor{Gold1} 95\\ \hline \;6\;\cellcolor{Gold1} &16 &26\cellcolor{Gold1} &36 &46\cellcolor{Gold1} &56 &66\cellcolor{Gold1} &76 &86\cellcolor{Gold1} &96\\ \hline \;7\;&\cellcolor{Gold1} 17& 27&\cellcolor{Gold1} 37& 47&\cellcolor{Gold1} 57& 67&\cellcolor{Gold1} 77& 87&\cellcolor{Gold1} 97\\ \hline \;8\;\cellcolor{Gold1} &18 &28\cellcolor{Gold1} &38 &48\cellcolor{Gold1} &58 &68\cellcolor{Gold1} &78 &88\cellcolor{Gold1} &98\\ \hline \;9\;&\cellcolor{Gold1} 19& 29&\cellcolor{Gold1} 39& 49&\cellcolor{Gold1} 59& 69&\cellcolor{Gold1} 79& 89&\cellcolor{Gold1} 99\\ \hline \end{array}
[image2]
\begin{array}{cc} 1+98=99\quad\quad\quad&\quad\quad\quad\vdots\\ \phantom{\vdots}3+96=99\quad\quad\quad&\quad\quad\quad 45+54=99\\ \phantom{\vdots}5+94=99\quad\quad\quad&\quad\quad\quad 47+52=99\\ \vdots\quad\quad\quad&\quad\quad\quad 49+50=99 \end{array}