Problema (nível 4): Pretende-se pintar algumas quadrículas de um tabuleiro $3\times 3$. Na figura seguinte estão apresentadas algumas formas de pintar o tabuleiro: (image1) (image2) (image3) (image4) Duas formas de pintar são consideradas iguais se uma se obtém da outra rodando o tabuleiro. Por exemplo, na figura, a segunda e a terceira formas de pintar o tabuleiro são iguais. De quantas formas distintas se pode pintar o tabuleiro?


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)  \psline(0,0)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(3,0)(3,3) \psline(0,0)(3,0) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2) \psline(0,3)(3,3) \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)  \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0)(1,0)(1,1)(2,1)(2,2)(0,2) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,0)(3,0)(3,1)(2,1) \psline(0,0)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(3,0)(3,3) \psline(0,0)(3,0) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2) \psline(0,3)(3,3) \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)  \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](3,0)(3,1)(2,1)(2,2)(1,2)(1,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,2)(3,2)(3,3)(2,3) \psline(0,0)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(3,0)(3,3) \psline(0,0)(3,0) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2) \psline(0,3)(3,3) \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)  \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline(0,0)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(3,0)(3,3) \psline(0,0)(3,0) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2) \psline(0,3)(3,3) \end{pspicture}

Resolução: Designemos as cores das casas do tabuleiro de $C_1$ a $C_9$, como na figura. (image5) Como cada quadrícula pode ser pintada ou não, há $2^9=512$ formas de pintar o tabuleiro. No entanto, algumas destas formas obtêm-se de outras através de rotações do tabuleiro (de $90^\circ$, $180^\circ$ ou $270^\circ$). (image6) (image7) (image8) Se $C_1=C_3=C_7=C_9$ e $C_2=C_4=C_6=C_8$, então as quatro formas de pintar apresentadas são iguais. Há $2^3=8$ maneiras de isto acontecer, o que corresponde a $8$ formas distintas de pintar o tabuleiro. Se $C_1=C_9$, $C_3=C_7$, $C_2=C_8$, $C_4=C_6$, mas não acontece o caso anterior, então a primeira forma de pintar é igual à terceira, e a segunda é igual à quarta. Há $2^5-8=24$ maneiras de isto acontecer, o que corresponde a $24/2=12$ formas distintas de pintar o tabuleiro. Em qualquer outro caso, as quatro formas de pintar apresentadas são diferentes. Há $512-8-24=480$ maneiras de isto acontecer, o que corresponde a $480/4=120$ formas distintas de pintar o tabuleiro. Assim, ao todo há $8+12+120=140$ formas distintas de pintar o tabuleiro.


Conteúdo referenciado:
[image5]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)  \psline(0,0)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(3,0)(3,3) \psline(0,0)(3,0) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2) \psline(0,3)(3,3) \rput(0.5,2.5){$C_1$} \rput(0.5,1.5){$C_4$} \rput(0.5,0.5){$C_7$} \rput(1.5,2.5){$C_2$} \rput(1.5,1.5){$C_5$} \rput(1.5,0.5){$C_8$} \rput(2.5,2.5){$C_3$} \rput(2.5,1.5){$C_6$} \rput(2.5,0.5){$C_9$} \end{pspicture}
[image6]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)  \psline(0,0)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(3,0)(3,3) \psline(0,0)(3,0) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2) \psline(0,3)(3,3) \rput(0.5,2.5){$C_3$} \rput(0.5,1.5){$C_2$} \rput(0.5,0.5){$C_1$} \rput(1.5,2.5){$C_6$} \rput(1.5,1.5){$C_5$} \rput(1.5,0.5){$C_4$} \rput(2.5,2.5){$C_9$} \rput(2.5,1.5){$C_8$} \rput(2.5,0.5){$C_7$} \end{pspicture}
[image7]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)  \psline(0,0)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(3,0)(3,3) \psline(0,0)(3,0) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2) \psline(0,3)(3,3) \rput(0.5,2.5){$C_9$} \rput(0.5,1.5){$C_6$} \rput(0.5,0.5){$C_3$} \rput(1.5,2.5){$C_8$} \rput(1.5,1.5){$C_5$} \rput(1.5,0.5){$C_2$} \rput(2.5,2.5){$C_7$} \rput(2.5,1.5){$C_4$} \rput(2.5,0.5){$C_1$} \end{pspicture}
[image8]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)  \psline(0,0)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(3,0)(3,3) \psline(0,0)(3,0) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2) \psline(0,3)(3,3) \rput(0.5,2.5){$C_7$} \rput(0.5,1.5){$C_8$} \rput(0.5,0.5){$C_9$} \rput(1.5,2.5){$C_4$} \rput(1.5,1.5){$C_5$} \rput(1.5,0.5){$C_6$} \rput(2.5,2.5){$C_1$} \rput(2.5,1.5){$C_2$} \rput(2.5,0.5){$C_3$} \end{pspicture}