Problema (nível 4): Na figura, $\left[ABCD\right]$ é um quadrado de lado $1$. Os pontos $E$, $F$, $G$ e $H$ são tais que $\left[AFB\right]$, $\left[BGC\right]$, $\left[CHD\right]$ e $\left[DEA\right]$ são triângulos retângulos. Sabendo que as circunferências inscritas em cada um destes triângulos e a circunferência inscrita no quadrado $\left[EFGH\right]$ têm todas o mesmo raio, quanto mede o raio das circunferências? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(4.5,4.5) \pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4) \psline(0,0)(3,1.73205) \psline(4,0)(2.26795,3) \psline(4,4)(1,2.26795) \psline(0,4)(1.73205,1) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,2){0.73205} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](1.26795,3.26795){0.73205} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](3.26795,2.73205){0.73205} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](3.26795,2.73205){0.73205} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](2.73205,0.73205){0.73205} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](0.73205,1.26795){0.73205} \rput(-0.2,-0.2){$A$} \rput(4.2,-0.2){$B$} \rput(4.2,4.2){$C$} \rput(-0.2,4.2){$D$} \rput(0.7,2.26){$H$} \rput(2.26,3.2){$G$} \rput(3.3,1.73){$F$} \rput(1.73,0.7){$E$} \end{pspicture}

Resolução: Considerando os pontos de tangência $K$, $L$ e $M$ da circunferência inscrita no triângulo $\left[DCH\right]$ aos lados $\left[DC\right]$, $\left[CH\right]$ e $\left[HD\right]$, respetivamente, concluímos que a área de $\left[DCH\right]$ é dada por $$ A_{[DCH]}=\dfrac{r\cdot\overline{DC}}{2}+\dfrac{r\cdot\overline{CL}}{2}+\dfrac{r\cdot\overline{HL}}{2}+\dfrac{r\cdot\overline{HM}}{2}+\dfrac{r\cdot\overline{MD}}{2}=\dfrac{r}{2}(1+\overline{CL}+r+r+\overline{MD})=r(1+r) $$ uma vez que $\overline{CL}+\overline{MD}=\overline{CK}+\overline{KD}=1$. Os triângulos $\left[ADE\right]$, $\left[DCH\right]$, $\left[CBG\right]$ e $\left[BAF\right]$ são congruentes pois são triângulos retângulos semelhantes com a mesma hipotenusa. Assim, tem-se que $$A_{\left[ABCD\right]}=4\cdot A_{\left[DCH\right]}+A_{\left[EFGH\right]},$$ ou seja, $$1^2=4\cdot r(1+r)+(2r)^2.$$ . Temos, então, $8r^2+4r-1=0$, ou seja, $r= \frac{\sqrt{3}-1}{4} \mbox{ ou } r=\frac{-\sqrt{3}-1}{4}$. Como $\frac{-\sqrt{3}-1}{4}$ é um número negativo o valor de $r$ é $\frac{\sqrt{3}-1}{4}$. (image2)


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[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4) \psline(0,0)(3,1.73205) \psline(4,0)(2.26795,3) \psline(4,4)(1,2.26795) \psline(0,4)(1.73205,1) \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,2){0.73205} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](1.26795,3.26795){0.73205} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](3.26795,2.73205){0.73205} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](3.26795,2.73205){0.73205} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](2.73205,0.73205){0.73205} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](0.73205,1.26795){0.73205} \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](0,4)(1.26795,3.26795) \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](4,4)(1.26795,3.26795) \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](1,2.26795)(1.26795,3.26795) \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](1.26795,4)(1.26795,3.26795) \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](1.26795,3.26795)(1.63397,2.63397) \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.1pt](1.26795,3.26795)(0.63397,2.90192) \rput(-0.2,-0.2){$A$} \rput(4.2,-0.2){$B$} \rput(4.2,4.2){$C$} \rput(-0.2,4.2){$D$} \rput(0.7,2.26){$H$} \rput(2.26,3.2){$G$} \rput(3.3,1.73){$F$} \rput(1.73,0.7){$E$} \rput(1.27,4.2){$K$} \rput(1.5,3.5){$O$} \rput(1.8,2.5){$L$} \rput(0.4,2.9){$M$} \end{pspicture}