Problema (nível 4): Um triângulo está dividido em nove triângulos menores, onde estão colocados contadores com o número zero em cada um dos dez vértices. Um movimento consiste em escolher um dos nove triângulos e aplicar aos três contadores desse triângulo a mesma operação: adicionar uma unidade ou subtrair uma unidade. Na figura está ilustrado um possível movimento. Diz-se que o número inteiro $n$ é dominante se for possível, ao fim de alguns movimentos, obter uma configuração em que os números dos contadores são todos consecutivos e o maior desses números é $n$. Determina todos os números dominantes. (image1) (image2)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-3,-2)(3,4) \def\contador#1{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0){0.4} \rput(0,0){$#1$}} \pspolygon(3;-30)(3;90)(3;210) \pspolygon(1.732,0)(-1.732,0)(1.732;240)(1.732;60)(1.732;120)(1.732;300) \rput(0,0){\contador{0}} \rput(1.732,0){\contador{0}} \rput(-1.732,0){\contador{0}} \rput(-0.866,-1.5){\contador{0}} \rput(-2.598,-1.5){\contador{0}} \rput(0.866,-1.5){\contador{0}} \rput(2.598,-1.5){\contador{0}} \rput(-0.866,1.5){\contador{0}} \rput(0.866,1.5){\contador{0}} \rput(0,3){\contador{0}} \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(-3,-2)(3,4) \def\contador#1{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0){0.4} \rput(0,0){$#1$}} \pspolygon(3;-30)(3;90)(3;210) \pspolygon(1.732,0)(-1.732,0)(1.732;240)(1.732;60)(1.732;120)(1.732;300) \rput(0,0){\contador{-1}} \rput(1.732,0){\contador{-1}} \rput(-1.732,0){\contador{0}} \rput(-0.866,-1.5){\contador{0}} \rput(-2.598,-1.5){\contador{0}} \rput(0.866,-1.5){\contador{-1}} \rput(2.598,-1.5){\contador{0}} \rput(-0.866,1.5){\contador{0}} \rput(0.866,1.5){\contador{0}} \rput(0,3){\contador{0}} \rput(-3.7,0.75){\LARGE$\rightarrow$} \end{pspicture}

Resolução: Subdividam-se os vértices em três tipos da seguinte forma (table1) Cada adição ou subtração afetará um vértice de cada tipo, pelo que as somas dos quatro números correspondentes a A's, dos três correspondentes a B's e dos três correspondentes a C's terão de ser iguais. Queremos então dez números consecutivos $(k,k+1,...,k+9)$ tais que quatro deles somados são iguais a metade dos restantes seis somados, ou seja, $$4k + i_0+i_1+i_2+i_3 = 3k + (i_4+i_5+i_6+i_7+i_8+i_9)/2$$ com $\{i_0,...,i_9\}=\{0,1,2,...,9\}$. Escrevendo $I=i_0+i_1+i_2+i_3$, temos $k=\dfrac{45-I}{2}-I=3\times\dfrac{15-I}{2}.$ Para $k$ ser mínimo, queremos $I$ tão grande quanto possível. A escolha $I=9+8+7+6=30$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=9+8+7+5=29$, obtém-se $k=-21$. Para $k$ ser máximo, queremos $I$ tão pequeno quanto possível. A escolha $I=0+1+2+3=6$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=0+1+2+4=7$, obtém-se $k=12$. Portanto, $k$ é um múltiplo de $3$ entre $-21$ e $12$. Para mostrar que podemos obter esta distribuição nos triângulos, basta ver que podemos obter qualquer configuração que verifique a propriedade de ter a mesma soma nos três tipos de vértices. Notemos que sempre que temos uma configuração em losango (table2) podemos subtrair uma unidade de X e adicioná-la a W sem alterar mais vértices, subtraindo $1$ ao triângulo de vértices X, Y, Z e adicionando $1$ ao triângulo de vértices Y, Z, W. Deste modo, podemos "transferir" unidades dentro do mesmo conjunto. Como os vértices de cada um dos subconjuntos da partição estão todos ligados por losangos, podemos transferir à vontade unidades dentro do mesmo subconjunto, pelo que podemos obter a configuração pretendida a partir de qualquer uma que tenha soma de cada classe igual a $4k+I$ (por exemplo o mesmo triângulo adicionado $4k+I$ vezes). Subdividam-se os vértices em três tipos da seguinte forma (table3) Cada adição ou subtração afetará um vértice de cada tipo, pelo que as somas dos quatro números correspondentes a A's, dos três correspondentes a B's e dos três correspondentes a C's terão de ser iguais. Queremos então dez números consecutivos $(k,k+1,...,k+9)$ tais que quatro deles somados são iguais a metade dos restantes seis somados, ou seja, $$4k + i_0+i_1+i_2+i_3 = 3k + (i_4+i_5+i_6+i_7+i_8+i_9)/2$$ com $\{i_0,...,i_9\}=\{0,1,2,...,9\}$. Escrevendo $I=i_0+i_1+i_2+i_3$, temos $k=\dfrac{45-I}{2}-I=3\times\dfrac{15-I}{2}.$ Para $k$ ser mínimo, queremos $I$ tão grande quanto possível. A escolha $I=9+8+7+6=30$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=9+8+7+5=29$, obtém-se $k=-21$. Para $k$ ser máximo, queremos $I$ tão pequeno quanto possível. A escolha $I=0+1+2+3=6$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=0+1+2+4=7$, obtém-se $k=12$. Portanto, $k$ é um múltiplo de $3$ entre $-21$ e $12$. Para mostrar que podemos obter esta distribuição nos triângulos, basta ver que podemos obter qualquer configuração que verifique a propriedade de ter a mesma soma nos três tipos de vértices. Notemos que sempre que temos uma configuração em losango (table4) podemos subtrair uma unidade de X e adicioná-la a W sem alterar mais vértices, subtraindo $1$ ao triângulo de vértices X, Y, Z e adicionando $1$ ao triângulo de vértices Y, Z, W. Deste modo, podemos "transferir" unidades dentro do mesmo conjunto. Como os vértices de cada um dos subconjuntos da partição estão todos ligados por losangos, podemos transferir à vontade unidades dentro do mesmo subconjunto, pelo que podemos obter a configuração pretendida a partir de qualquer uma que tenha soma de cada classe igual a $4k+I$ (por exemplo o mesmo triângulo adicionado $4k+I$ vezes). Para $k=12$ há uma partição que funciona: $16+14+13+12=21+19+15=20+18+17=55$ Subdividam-se os vértices em três tipos da seguinte forma (table5) Cada adição ou subtração afetará um vértice de cada tipo, pelo que as somas dos quatro números correspondentes a A's, dos três correspondentes a B's e dos três correspondentes a C's terão de ser iguais. Queremos então dez números consecutivos $(k,k+1,...,k+9)$ tais que quatro deles somados são iguais a metade dos restantes seis somados, ou seja, $$4k + i_0+i_1+i_2+i_3 = 3k + (i_4+i_5+i_6+i_7+i_8+i_9)/2$$ com $\{i_0,...,i_9\}=\{0,1,2,...,9\}$. Escrevendo $I=i_0+i_1+i_2+i_3$, temos $k=\dfrac{45-I}{2}-I=3\times\dfrac{15-I}{2}.$ Para $k$ ser mínimo, queremos $I$ tão grande quanto possível. A escolha $I=9+8+7+6=30$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=9+8+7+5=29$, obtém-se $k=-21$. Para $k$ ser máximo, queremos $I$ tão pequeno quanto possível. A escolha $I=0+1+2+3=6$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=0+1+2+4=7$, obtém-se $k=12$. Portanto, $k$ é um múltiplo de $3$ entre $-21$ e $12$. Para mostrar que podemos obter esta distribuição nos triângulos, basta ver que podemos obter qualquer configuração que verifique a propriedade de ter a mesma soma nos três tipos de vértices. Notemos que sempre que temos uma configuração em losango (table6) podemos subtrair uma unidade de X e adicioná-la a W sem alterar mais vértices, subtraindo $1$ ao triângulo de vértices X, Y, Z e adicionando $1$ ao triângulo de vértices Y, Z, W. Deste modo, podemos "transferir" unidades dentro do mesmo conjunto. Como os vértices de cada um dos subconjuntos da partição estão todos ligados por losangos, podemos transferir à vontade unidades dentro do mesmo subconjunto, pelo que podemos obter a configuração pretendida a partir de qualquer uma que tenha soma de cada classe igual a $4k+I$ (por exemplo o mesmo triângulo adicionado $4k+I$ vezes). Para $k=9$ há três partições que funcionam, uma das quais é: $15+11+10+9=18+14+13=17+16+12=45$ Subdividam-se os vértices em três tipos da seguinte forma (table7) Cada adição ou subtração afetará um vértice de cada tipo, pelo que as somas dos quatro números correspondentes a A's, dos três correspondentes a B's e dos três correspondentes a C's terão de ser iguais. Queremos então dez números consecutivos $(k,k+1,...,k+9)$ tais que quatro deles somados são iguais a metade dos restantes seis somados, ou seja, $$4k + i_0+i_1+i_2+i_3 = 3k + (i_4+i_5+i_6+i_7+i_8+i_9)/2$$ com $\{i_0,...,i_9\}=\{0,1,2,...,9\}$. Escrevendo $I=i_0+i_1+i_2+i_3$, temos $k=\dfrac{45-I}{2}-I=3\times\dfrac{15-I}{2}.$ Para $k$ ser mínimo, queremos $I$ tão grande quanto possível. A escolha $I=9+8+7+6=30$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=9+8+7+5=29$, obtém-se $k=-21$. Para $k$ ser máximo, queremos $I$ tão pequeno quanto possível. A escolha $I=0+1+2+3=6$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=0+1+2+4=7$, obtém-se $k=12$. Portanto, $k$ é um múltiplo de $3$ entre $-21$ e $12$. Para mostrar que podemos obter esta distribuição nos triângulos, basta ver que podemos obter qualquer configuração que verifique a propriedade de ter a mesma soma nos três tipos de vértices. Notemos que sempre que temos uma configuração em losango (table8) podemos subtrair uma unidade de X e adicioná-la a W sem alterar mais vértices, subtraindo $1$ ao triângulo de vértices X, Y, Z e adicionando $1$ ao triângulo de vértices Y, Z, W. Deste modo, podemos "transferir" unidades dentro do mesmo conjunto. Como os vértices de cada um dos subconjuntos da partição estão todos ligados por losangos, podemos transferir à vontade unidades dentro do mesmo subconjunto, pelo que podemos obter a configuração pretendida a partir de qualquer uma que tenha soma de cada classe igual a $4k+I$ (por exemplo o mesmo triângulo adicionado $4k+I$ vezes). Para $k=6$ há seis partições que funcionam, uma das quais é: $14+8+7+6=15+11+9=13+12+10=35$ Subdividam-se os vértices em três tipos da seguinte forma (table9) Cada adição ou subtração afetará um vértice de cada tipo, pelo que as somas dos quatro números correspondentes a A's, dos três correspondentes a B's e dos três correspondentes a C's terão de ser iguais. Queremos então dez números consecutivos $(k,k+1,...,k+9)$ tais que quatro deles somados são iguais a metade dos restantes seis somados, ou seja, $$4k + i_0+i_1+i_2+i_3 = 3k + (i_4+i_5+i_6+i_7+i_8+i_9)/2$$ com $\{i_0,...,i_9\}=\{0,1,2,...,9\}$. Escrevendo $I=i_0+i_1+i_2+i_3$, temos $k=\dfrac{45-I}{2}-I=3\times\dfrac{15-I}{2}.$ Para $k$ ser mínimo, queremos $I$ tão grande quanto possível. A escolha $I=9+8+7+6=30$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=9+8+7+5=29$, obtém-se $k=-21$. Para $k$ ser máximo, queremos $I$ tão pequeno quanto possível. A escolha $I=0+1+2+3=6$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=0+1+2+4=7$, obtém-se $k=12$. Portanto, $k$ é um múltiplo de $3$ entre $-21$ e $12$. Para mostrar que podemos obter esta distribuição nos triângulos, basta ver que podemos obter qualquer configuração que verifique a propriedade de ter a mesma soma nos três tipos de vértices. Notemos que sempre que temos uma configuração em losango (table10) podemos subtrair uma unidade de X e adicioná-la a W sem alterar mais vértices, subtraindo $1$ ao triângulo de vértices X, Y, Z e adicionando $1$ ao triângulo de vértices Y, Z, W. Deste modo, podemos "transferir" unidades dentro do mesmo conjunto. Como os vértices de cada um dos subconjuntos da partição estão todos ligados por losangos, podemos transferir à vontade unidades dentro do mesmo subconjunto, pelo que podemos obter a configuração pretendida a partir de qualquer uma que tenha soma de cada classe igual a $4k+I$ (por exemplo o mesmo triângulo adicionado $4k+I$ vezes). Para $k=3$ há nove partições que funcionam, uma das quais é: $12+6+4+3=11+9+5=10+8+7=25$ Subdividam-se os vértices em três tipos da seguinte forma (table11) Cada adição ou subtração afetará um vértice de cada tipo, pelo que as somas dos quatro números correspondentes a A's, dos três correspondentes a B's e dos três correspondentes a C's terão de ser iguais. Queremos então dez números consecutivos $(k,k+1,...,k+9)$ tais que quatro deles somados são iguais a metade dos restantes seis somados, ou seja, $$4k + i_0+i_1+i_2+i_3 = 3k + (i_4+i_5+i_6+i_7+i_8+i_9)/2$$ com $\{i_0,...,i_9\}=\{0,1,2,...,9\}$. Escrevendo $I=i_0+i_1+i_2+i_3$, temos $k=\dfrac{45-I}{2}-I=3\times\dfrac{15-I}{2}.$ Para $k$ ser mínimo, queremos $I$ tão grande quanto possível. A escolha $I=9+8+7+6=30$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=9+8+7+5=29$, obtém-se $k=-21$. Para $k$ ser máximo, queremos $I$ tão pequeno quanto possível. A escolha $I=0+1+2+3=6$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=0+1+2+4=7$, obtém-se $k=12$. Portanto, $k$ é um múltiplo de $3$ entre $-21$ e $12$. Para mostrar que podemos obter esta distribuição nos triângulos, basta ver que podemos obter qualquer configuração que verifique a propriedade de ter a mesma soma nos três tipos de vértices. Notemos que sempre que temos uma configuração em losango (table12) podemos subtrair uma unidade de X e adicioná-la a W sem alterar mais vértices, subtraindo $1$ ao triângulo de vértices X, Y, Z e adicionando $1$ ao triângulo de vértices Y, Z, W. Deste modo, podemos "transferir" unidades dentro do mesmo conjunto. Como os vértices de cada um dos subconjuntos da partição estão todos ligados por losangos, podemos transferir à vontade unidades dentro do mesmo subconjunto, pelo que podemos obter a configuração pretendida a partir de qualquer uma que tenha soma de cada classe igual a $4k+I$ (por exemplo o mesmo triângulo adicionado $4k+I$ vezes). Para $k=0$ há doze partições que funcionam, uma das quais é: $9+5+1+0=8+4+3=7+6+2=15$ Subdividam-se os vértices em três tipos da seguinte forma (table13) Cada adição ou subtração afetará um vértice de cada tipo, pelo que as somas dos quatro números correspondentes a A's, dos três correspondentes a B's e dos três correspondentes a C's terão de ser iguais. Queremos então dez números consecutivos $(k,k+1,...,k+9)$ tais que quatro deles somados são iguais a metade dos restantes seis somados, ou seja, $$4k + i_0+i_1+i_2+i_3 = 3k + (i_4+i_5+i_6+i_7+i_8+i_9)/2$$ com $\{i_0,...,i_9\}=\{0,1,2,...,9\}$. Escrevendo $I=i_0+i_1+i_2+i_3$, temos $k=\dfrac{45-I}{2}-I=3\times\dfrac{15-I}{2}.$ Para $k$ ser mínimo, queremos $I$ tão grande quanto possível. A escolha $I=9+8+7+6=30$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=9+8+7+5=29$, obtém-se $k=-21$. Para $k$ ser máximo, queremos $I$ tão pequeno quanto possível. A escolha $I=0+1+2+3=6$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=0+1+2+4=7$, obtém-se $k=12$. Portanto, $k$ é um múltiplo de $3$ entre $-21$ e $12$. Para mostrar que podemos obter esta distribuição nos triângulos, basta ver que podemos obter qualquer configuração que verifique a propriedade de ter a mesma soma nos três tipos de vértices. Notemos que sempre que temos uma configuração em losango (table14) podemos subtrair uma unidade de X e adicioná-la a W sem alterar mais vértices, subtraindo $1$ ao triângulo de vértices X, Y, Z e adicionando $1$ ao triângulo de vértices Y, Z, W. Deste modo, podemos "transferir" unidades dentro do mesmo conjunto. Como os vértices de cada um dos subconjuntos da partição estão todos ligados por losangos, podemos transferir à vontade unidades dentro do mesmo subconjunto, pelo que podemos obter a configuração pretendida a partir de qualquer uma que tenha soma de cada classe igual a $4k+I$ (por exemplo o mesmo triângulo adicionado $4k+I$ vezes). Para $k=-3$ há catorze partições que funcionam, uma das quais é: $6+4+(-2)+(-3)=5+1+(-1)=3+2+0=5$ Subdividam-se os vértices em três tipos da seguinte forma (table15) Cada adição ou subtração afetará um vértice de cada tipo, pelo que as somas dos quatro números correspondentes a A's, dos três correspondentes a B's e dos três correspondentes a C's terão de ser iguais. Queremos então dez números consecutivos $(k,k+1,...,k+9)$ tais que quatro deles somados são iguais a metade dos restantes seis somados, ou seja, $$4k + i_0+i_1+i_2+i_3 = 3k + (i_4+i_5+i_6+i_7+i_8+i_9)/2$$ com $\{i_0,...,i_9\}=\{0,1,2,...,9\}$. Escrevendo $I=i_0+i_1+i_2+i_3$, temos $k=\dfrac{45-I}{2}-I=3\times\dfrac{15-I}{2}.$ Para $k$ ser mínimo, queremos $I$ tão grande quanto possível. A escolha $I=9+8+7+6=30$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=9+8+7+5=29$, obtém-se $k=-21$. Para $k$ ser máximo, queremos $I$ tão pequeno quanto possível. A escolha $I=0+1+2+3=6$ não funciona pois $k$ não seria um inteiro. Escolhendo $I=0+1+2+4=7$, obtém-se $k=12$. Portanto, $k$ é um múltiplo de $3$ entre $-21$ e $12$. Para mostrar que podemos obter esta distribuição nos triângulos, basta ver que podemos obter qualquer configuração que verifique a propriedade de ter a mesma soma nos três tipos de vértices. Notemos que sempre que temos uma configuração em losango (table16) podemos subtrair uma unidade de X e adicioná-la a W sem alterar mais vértices, subtraindo $1$ ao triângulo de vértices X, Y, Z e adicionando $1$ ao triângulo de vértices Y, Z, W. Deste modo, podemos "transferir" unidades dentro do mesmo conjunto. Como os vértices de cada um dos subconjuntos da partição estão todos ligados por losangos, podemos transferir à vontade unidades dentro do mesmo subconjunto, pelo que podemos obter a configuração pretendida a partir de qualquer uma que tenha soma de cada classe igual a $4k+I$ (por exemplo o mesmo triângulo adicionado $4k+I$ vezes). Para os restantes valores de $k$, basta verificar que substituindo, nas partições anteriores, cada número pelo seu simétrico, obtêm-se partições de $-5, -15, -25, -35,-45$ e $-55$.


Conteúdo referenciado:
[table1]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&A&&&\\ &&B&&C&&\\ &C&&A&&B&\\ A&&B&&C&&A\\ \end{tabular}
[table2]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&X&&&\\ &&Y&&Z&&\\ &&&W&&&\\ \end{tabular}
[table3]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&A&&&\\ &&B&&C&&\\ &C&&A&&B&\\ A&&B&&C&&A\\ \end{tabular}
[table4]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&X&&&\\ &&Y&&Z&&\\ &&&W&&&\\ \end{tabular}
[table5]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&A&&&\\ &&B&&C&&\\ &C&&A&&B&\\ A&&B&&C&&A\\ \end{tabular}
[table6]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&X&&&\\ &&Y&&Z&&\\ &&&W&&&\\ \end{tabular}
[table7]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&A&&&\\ &&B&&C&&\\ &C&&A&&B&\\ A&&B&&C&&A\\ \end{tabular}
[table8]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&X&&&\\ &&Y&&Z&&\\ &&&W&&&\\ \end{tabular}
[table9]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&A&&&\\ &&B&&C&&\\ &C&&A&&B&\\ A&&B&&C&&A\\ \end{tabular}
[table10]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&X&&&\\ &&Y&&Z&&\\ &&&W&&&\\ \end{tabular}
[table11]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&A&&&\\ &&B&&C&&\\ &C&&A&&B&\\ A&&B&&C&&A\\ \end{tabular}
[table12]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&X&&&\\ &&Y&&Z&&\\ &&&W&&&\\ \end{tabular}
[table13]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&A&&&\\ &&B&&C&&\\ &C&&A&&B&\\ A&&B&&C&&A\\ \end{tabular}
[table14]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&X&&&\\ &&Y&&Z&&\\ &&&W&&&\\ \end{tabular}
[table15]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&A&&&\\ &&B&&C&&\\ &C&&A&&B&\\ A&&B&&C&&A\\ \end{tabular}
[table16]
\begin{tabular}{ccccccc} &&&X&&&\\ &&Y&&Z&&\\ &&&W&&&\\ \end{tabular}