Problema (nível 2): O Martim tem muitas peças quadradas com lados $1$, $2$ e $3$. Na figura está um quadrado que ele construiu com quinze peças de lado $1$, quatro peças de lado $2$ e duas peças de lado $3$. Ele quer construir um quadrado em que o número de peças de lado $2$ seja o dobro do número de peças de lado $1$ e o número de peças de lado $3$ seja o triplo do número de peças de lado $1$. Qual é o lado do menor quadrado que o Martim pode construir? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \small \def\qdois{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linewidth=1.25pt](0,0)(2,0)(2,2)(0,2)} \def\qtres{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linewidth=1.25pt](0,0)(3,0)(3,3)(0,3)} \pspolygon[linewidth=1.25pt](0,0)(7,0)(7,7)(0,7) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=tijolorosa](0,0)(7,0)(7,7)(0,7) \multirput(0,0)(1,0){8}{\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(0,7)} \multirput(0,0)(0,1){8}{\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(7,0)} \rput(0,1){\qtres} \rput(1,4){\qtres} \rput(4,3){\qdois} \rput(5,0){\qdois} \rput(3,1){\qdois} \rput(5,5){\qdois} \multirput(0,0)(1,0){8}{\psline(0,0)(0,7)} \multirput(0,0)(0,1){8}{\psline(0,0)(7,0)} \end{pspicture}

Resolução: Se o Martim usar uma peça de lado $1$, tem que usar duas peças de lado $2$ e três peças de lado $3$. Estas peças têm, no total, $1\times 1\times 1+2\times 2\times 2+3\times 3\times 3=1+8+27=36$ quadrículas. Como um quadrado de lado $6$ também tem $36$ quadrículas, é necessário verificar se o Martim pode agrupar as peças de forma a construir este quadrado. A única forma de colocar as três peças de lado $3$ é posicionar duas lado a lado: (image2) Nas quadrículas restantes ainda é necessário colocar um quadrado de lado $3$ e dois quadrados de lado $2$, o que não possível porque $3+2+2=7$ e a largura total é $6$. Se o Martim usar duas peças de lado $1$, então as peças que tem que usar têm, no total, $36\times 2=72$ quadrículas, e não há nenhum quadrado com este número de quadrículas. Se o Martim usar três peças de lado $1$, então as peças que tem que usar têm, no total, $36\times 3=108$ quadrículas, e não há nenhum quadrado com este número de quadrículas. Se o Martim usar quatro peças de lado $1$, então as peças que tem que usar têm, no total, $36\times 4=144$ quadrículas. Neste caso, o o Martim pode agrupar as quatro peças de lado $1$, as oito peças de lado $2$ e as $12$ peças de lado $3$ de forma a construir um quadrado de lado $12$: (image3) Portanto, o lado do menor quadrado que o Martim pode construir é $12$.


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[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(6,6) \small \def\qdois{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linewidth=1.25pt](0,0)(2,0)(2,2)(0,2)} \def\qtres{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linewidth=1.25pt](0,0)(3,0)(3,3)(0,3)} \pspolygon[linewidth=1.25pt](0,0)(6,0)(6,6)(0,6) \multirput(0,0)(1,0){7}{\psline(0,0)(0,6)} \multirput(0,0)(0,1){7}{\psline(0,0)(6,0)} \rput(0,3){\qtres} \rput(3,3){\qtres} \multirput(0,0)(1,0){7}{\psline(0,0)(0,6)} \multirput(0,0)(0,1){7}{\psline(0,0)(6,0)} \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(0,0)(12,12) \small \def\qdois{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linewidth=1.25pt](0,0)(2,0)(2,2)(0,2)} \def\qtres{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linewidth=1.25pt](0,0)(3,0)(3,3)(0,3)} \pspolygon[linewidth=1.25pt](0,0)(12,0)(12,12)(0,12) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=tijolorosa](0,0)(12,0)(12,12)(0,12) \multirput(0,0)(1,0){13}{\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(0,12)} \multirput(0,0)(0,1){13}{\psline[linewidth=1.25pt](0,0)(12,0)} \multirput(0,0)(3,0){2}{ \multirput(0,0)(0,3){4}{\rput(0,0){\qtres}}} \multirput(6,6)(3,0){2}{ \multirput(0,0)(0,3){2}{\rput(0,0){\qtres}}} \multirput(6,0)(2,0){2}{ \multirput(0,0)(0,2){3}{\rput(0,0){\qdois}}} \multirput(10,2)(2,0){1}{ \multirput(0,0)(0,2){2}{\rput(0,0){\qdois}}} \multirput(0,0)(1,0){13}{\psline(0,0)(0,12)} \multirput(0,0)(0,1){13}{\psline(0,0)(12,0)} \end{pspicture}