Problema (nível 3): A Isabel tem uma folha azul, uma folha vermelha e uma folha amarela. Ela quer escrever os números inteiros de $1$ a $2012$ nestas folhas, ficando cada número apenas numa folha. Além disso, sempre que dois números distintos estiverem na mesma folha, também a sua soma (caso seja um dos números de $1$ a $2012$) deverá estar nessa folha. De quantas formas pode a Isabel escrever os números?

Resolução: Se o número $1$ e o número $2$ forem escritos na mesma folha, então todos os restantes números estão também nessa folha. Há então, três casos possíveis, consoante a folha usada. Se o número $1$ for escrito na folha $A$ e o número $2$ for escrito na folha $B$, então o número $3$ pode ser colocado em qualquer uma das três folhas. Então há $1+2+3=6$ casos possíveis. Como $A$, $B$ e $C$ podem ser escolhidos entre as cores azul, vermelha e amarela de seis formas diferentes, então há $6\times 6=36$ possibilidades. Ao todo, há portanto $3+36=39$ formas diferentes de escrever os números. Se o número $1$ e o número $2$ forem escritos na mesma folha, então todos os restantes números estão também nessa folha. Há então, três casos possíveis, consoante a folha usada. Se o número $1$ for escrito na folha $A$ e o número $2$ for escrito na folha $B$, então o número $3$ pode ser colocado em qualquer uma das três folhas. Então há $1+2+3=6$ casos possíveis. Como $A$, $B$ e $C$ podem ser escolhidos entre as cores azul, vermelha e amarela de seis formas diferentes, então há $6\times 6=36$ possibilidades. Ao todo, há portanto $3+36=39$ formas diferentes de escrever os números. Se o $3$ for colocado na folha $A$, então todos os restantes números são colocados na folha $A$. Se o número $1$ e o número $2$ forem escritos na mesma folha, então todos os restantes números estão também nessa folha. Há então, três casos possíveis, consoante a folha usada. Se o número $1$ for escrito na folha $A$ e o número $2$ for escrito na folha $B$, então o número $3$ pode ser colocado em qualquer uma das três folhas. Então há $1+2+3=6$ casos possíveis. Como $A$, $B$ e $C$ podem ser escolhidos entre as cores azul, vermelha e amarela de seis formas diferentes, então há $6\times 6=36$ possibilidades. Ao todo, há portanto $3+36=39$ formas diferentes de escrever os números. Se o $3$ for colocado na folha $B$, então também terão que ser colocados nessa folha os números $5$ e todos os números a partir do $7$. Os números que sobram (o $4$ e o $6$) não poderão por isso ser colocados na folha $A$; há então, dois casos possíveis, nomeadamente, $4$ e $6$ na folha $B$, ou $4$ na folha $C$ e $6$ na folha $B$. Se o número $1$ e o número $2$ forem escritos na mesma folha, então todos os restantes números estão também nessa folha. Há então, três casos possíveis, consoante a folha usada. Se o número $1$ for escrito na folha $A$ e o número $2$ for escrito na folha $B$, então o número $3$ pode ser colocado em qualquer uma das três folhas. Então há $1+2+3=6$ casos possíveis. Como $A$, $B$ e $C$ podem ser escolhidos entre as cores azul, vermelha e amarela de seis formas diferentes, então há $6\times 6=36$ possibilidades. Ao todo, há portanto $3+36=39$ formas diferentes de escrever os números. Se o $3$ for colocado na folha $C$, então o número $4$ pode ser colocado em qualquer uma das três folhas.