tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema (nível 3): Encontra todos os pares de números inteiros $a$ e $b$ tais que $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{10}.$$ (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \psline[linewidth=0.7pt](-3.4,3.5)(-2.7,3.5) \psline[linewidth=0.7pt](-0.9,3.5)(-0.2,3.5) \psline[linewidth=0.7pt](1.75,3.5)(3.075,3.5) \end{pspicture}

Resolução: Podemos reescrever a equação inicial, para $a$ e $b$ inteiros não nulos, na forma $10(a+b)=ab$, ou $$(a-10)(b-10)=100.$$ Dado que os divisores de $100$ são os elementos do conjunto $$\{\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 5,\pm 10,\pm 20,\pm 25,\pm 50,\pm 100\}$$ os pares $(a,b)$ podem assumir os seguintes valores $$ (-90,9), (-40,8), (-15,6), (-10,5), (11,110), (12,60), (14,35), (15,30), (20,20),$$ $$ (9,-90), (8,-40), (6,-15), (5,-10), (110,11), (60,12), (35,14), (30,15).$$
Problema (nível 3): Num triângulo $[ABC]$ traçam-se as mediatrizes dos três lados. Em seguida, reflete-se o ponto de interseção das mediatrizes em relação aos três lados, obtendo-se os pontos $D$, $E$ e $F$. Mostra que os triângulos $[ABC]$ e $[DEF]$ são congruentes. (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(20,12) \pspolygon(0,0)(20,0)(15,12) \psline[linestyle=dashed](10,2.875)(10,-2.875) \psline[linestyle=dashed](10,2.875)(25,9.125) \psline[linestyle=dashed](10,2.875)(5,9.125) \rput(10,2.875){$\bullet$} \rput(10,-2.875){$\bullet$} \rput(25,9.125){$\bullet$} \rput(5,9.125){$\bullet$} \rput(-1,-1){$A$} \rput(21,-1){$B$} \rput(15,13){$C$} \rput(25,10.125){$D$} \rput(5,10.125){$E$} \rput(11,-2.875){$F$} \end{pspicture}

Resolução: Sejam $O$ o ponto de interseção das mediatrizes e $G,H$ e $I$ os pontos de interseção das mediatrizes com os lados $[BC]$, $[AC]$ e $[AB]$, respetivamente. O triângulo $[AIH]$ é semelhante a $[ABC]$ pelo critério LAL, uma vez que têm o ângulo em $A$ comum e $\frac{\overline{AI}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AH}}{\overline{AC}}=\frac{1}{2}$, já que $I$ e $H$ são pontos médios dos lados. De modo análogo se pode justificar a semelhança dos triângulos $[HGC]$ e $[IBG]$ com o triângulo $[ABC]$. Destas três semelhanças vem que $\frac{\overline{HI}}{\overline{CB}}= \frac{\overline{IG}}{\overline{AC}}= \frac{\overline{HG}}{\overline{AB}}=\frac{1}{2}$, logo, pelo critério LLL, o triângulo $[GHI]$ é semelhante ao triângulo $[ABC]$ com razão de semelhança $\frac{1}{2}$. (image2) Logo, os triângulos $[AIH]$, $[IBG]$, $[HGC]$ e $[GHI]$ são congruentes, uma vez que são todos semelhantes ao triângulo $[ABC]$ com razão de semelhança $\frac{1}{2}$. Tendo agora em atenção os triângulos $[HIG]$ e $[EDF]$, uma vez que $\overline{OI}=\overline{IF}$, $\overline{GD}=\overline{OG}$ e $\overline{OH}=\overline{HE}$, há três pares de triângulos semelhantes pelo critério LAL: $[OHI]$ e $[OEF]$, $[OIG]$ e $[OFD]$, $[OHG]$ e $[OED]$, todos com o respetivo ângulo em $O$ comum, e com razão de semelhança igual a $\frac{1}{2}$. Finalmente tem-se $\overline{ED}=2 \overline{HG}= \overline{AB}$, $\overline{EF}= 2 \overline{HI}= \overline{CB}$ e $\overline{FD}= 2 \overline{IG}= \overline{AC}$, portanto os triângulos $[ABC]$ e $[DEF]$ são congruentes pelo critério LLL.


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[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pspolygon(0,0)(20,0)(15,12) \psline[linestyle=dashed](10,2.875)(10,-2.875) \psline[linestyle=dashed](10,2.875)(25,9.125) \psline[linestyle=dashed](10,2.875)(5,9.125) \rput(10,2.875){$\bullet$} \rput(10,-2.875){$\bullet$} \rput(25,9.125){$\bullet$} \rput(5,9.125){$\bullet$} \rput(-1,-1){$A$} \rput(21,-1){$B$} \rput(15,13){$C$} \rput(25,10.125){$D$} \rput(5,10.125){$E$} \rput(11,-2.875){$F$} \rput(10.3,3.8){$O$} \rput(18,7){$G$} \rput(7.7,7){$H$} \rput(10.5,-0.8){$I$} \psline(10,0)(7.5,6) \psline(10,0)(7.5,6) \psline(10,0)(17.5,6) \psline(7.5,6)(17.5,6) \pspolygon(5,9.125)(25,9.125)(10,-2.875) \end{pspicture}
Problema (nível 3): Num museu estão em exposição $2018$ quadros. Cada quadro está pintado com, exatamente, $n$ cores distintas. Embora não haja nenhuma cor comum a todos os quadros, qualquer conjunto de $7$ quadros tem pelo menos uma cor em comum. Qual é o menor valor possível de $n$?

Resolução: O menor valor possível de $n$ é $7$. Em primeiro lugar, mostremos que é possível pintar cada um dos $2018$ quadros do museu com $7$ cores distintas. Consideremos $8$ cores $c_1,\ldots,c_8$. O primeiro quadro do museu pode ser pintado com as cores $c_2,\ldots,c_8$, o segundo quadro com as cores $c_1,c_3,\ldots,c_8$, etc..., o sétimo quadro com as cores $c_1,\ldots,c_6,c_8$ e o oitavo quadro, bem como os restantes $2010$ quadros, com as cores $c_1,\ldots,c_7$. Com esta coloração, ambas as condições do problema são satisfeitas. Mostremos agora que é sempre necessário usar pelo menos $7$ cores distintas em cada quadro. Sejam $c_1,\ldots,c_n$ as cores do primeiro quadro, $Q_1$, do museu. Tem de existir um segundo quadro, $Q_2$, que não tem a cor $c_1$. Como quaisquer $7$ quadros têm uma cor em comum, em particular $Q_1$ e $Q_2$ também têm de ter uma cor em comum. Essa cor não pode ser $c_1$. Admitamos, sem perda de generalidade, que é $c_2$. Tem de existir um quadro, $Q_3$, que não tem a cor $c_2$. Como quaisquer $7$ quadros têm uma cor em comum, em particular $Q_1$, $Q_2$ e $Q_3$ também têm de ter uma cor em comum. Essa cor não pode ser $c_1$ nem $c_2$. Admitamos, sem perda de generalidade, que é $c_3$. Argumentando, sucessivamente, da mesma forma, é possível garantir a existência de um quadro $Q_4$ que tem a cor $c_4$ mas não tem a cor $c_3$, um quadro $Q_5$ que tem a cor $c_5$ mas não tem a cor $c_4$, um quadro $Q_6$ que tem a cor $c_6$ mas não tem a cor $c_5$ e um quadro $Q_7$ que tem a cor $c_7$ mas não tem a cor $c_6$. Logo $n\geq 7$.
Problema (nível 4): Qual é o maior múltiplo de $3$ que não pode ser escrito na forma $7a+11b$, onde $a$ e $b$ são números naturais?

Resolução: Se $3n$ é da forma $7a+11b$, com $b\geq 2$, então $3(n+1)=3n+3=7a+11b+3=7a+11b+14-11=7(a+2)+11(b-1)$ também é da forma pretendida. Deste modo, como $69=7\times 2+11\times 5$ é da forma pretendida, então também $72$, $75$, $78$ e $81$ o são. Se $3n$ é da forma $7a+11b$, então $3n+18=7a+11b+18=7(a+1)+11(a+1)$ também é dessa forma. Portanto, todos os múltiplos de $3$ maiores que $66$ são da forma pretendida . Por outro lado, se tivéssemos $66=7a+11b$, então $11(6-b)=7a$ seria um múltiplo comum de $7$ e $11$, ou seja, seria pelo menos $77$. Logo o maior múltiplo de $3$ que não é da forma $7a+11b$ é $66$.
Problema (nível 4): Sejam $[ABC]$ um triângulo de área $9$ e $D$, $E$, $F$ pontos nos lados $[AB]$, $[BC]$ e $[AC]$, respetivamente, tais que $DE$ é paralelo a $AC$ e $DF$ é paralelo a $BC$. Sabendo que a área de $[DEB]$ é o quádruplo da área de $[AFD]$, qual é a area de $[CFE]$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,-0.5)(4,2.5) \pspolygon(0,0)(4,0)(3,2) \psline(1,0.666)(1.333,0) \psline(1,0.666)(3.333,1.333) \psline(1.333,0)(3.333,1.333) \rput(-0.2,-0.2){$A$} \rput(4.2,-0.2){$B$} \rput(3,2.2){$C$} \rput(1.333,-0.25){$D$} \rput(3.6,1.4){$E$} \rput(0.8,0.75){$F$} \end{pspicture}

Resolução: Sejam $F'$, $C'$ e $E'$ as projeções ortogonais de $F$, $C$ e $E$ na reta $AB$. (image2) Temos então que $$\text{Área}_{[ABC]}=\frac{\overline{AB}\times\overline{C'C}}{2},\qquad\text{Área}_{[AFD]}=\frac{\overline{AD}\times\overline{F'F}}{2}\qquad{\text e}\qquad\text{Área}_{[DEB]}=\frac{\overline{DB}\times\overline{E'E}}{2}.$$ Como $AB\parallel AD\parallel DB$, $BC\parallel DF\parallel BE$ e $CA\parallel FA\parallel ED$, então $[ABC]$, $[ADF]$ e $[DBE]$ são semelhantes. Como $\text{Área}_{[DEB]}=4\times\text{Área}_{[AFD]}$, então $\frac{\overline{DB}\times\overline{E'E}}{2}=4\times\frac{\overline{AD}\times\overline{F'F}}{2}$, ou seja, $$\frac{\overline{DB}\times\overline{E'E}}{\overline{AD}\times\overline{F'F}}=4$$ Pela semelhança $[ADF]\sim[DBE]$, temos $\left(\frac{\,\overline{DB}\,}{\overline{AD}}\right)^2=4$, ou seja, $\overline{DB}=2\times\overline{AD}$. Assim, $\overline{AB}=\overline{AD}+\overline{DB}=3\times\overline{AD}$. Como $[ABC]\sim[ADF]$, com razão de semelhança $3$, então $\text{Área}_{[ADF]}=\frac{1}{9}\text{Área}_{[ABC]}=1$, pelo que $\text{Área}_{[DEB]}=4\text{Área}_{[AFD]}=4.$ Finalmente tem-se $\text{Área}_{[ABC]}=\text{Área}_{[ADF]}+\text{Área}_{[DEB]}+\text{Área}_{[CFE]}+\text{Área}_{[DFE]}\Leftrightarrow 9=1+4+2\times \text{Área}_{[CFE]}\Leftrightarrow\text{Área}_{[CFE]}=2.$


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[image2]
\begin{pspicture}(0,-0.5)(4,2.2) \pspolygon(0,0)(4,0)(3,2) \psline(1,0.666)(1.333,0) \psline(1,0.666)(3.333,1.333) \psline(1.333,0)(3.333,1.333) \psline[linestyle=dashed](1,0.666)(1,0) \psline[linestyle=dashed](3,2)(3,0) \psline[linestyle=dashed](3.333,1.333)(3.333,0) \rput(-0.2,-0.2){$A$} \rput(4.2,-0.2){$B$} \rput(3,2.2){$C$} \rput(1.333,-0.25){$D$} \rput(3.6,1.4){$E$} \rput(0.8,0.75){$F$} \rput(0.8,-0.25){$F'$} \rput(2.8,-0.25){$C'$} \rput(3.5,-0.25){$E'$} \end{pspicture}
Problema (nível 4): As reuniões do ClubeMat efetuam-se sempre em mesas redondas nas quais não há duas pessoas com exatamente três lugares entre elas (vazios ou não). Qual é o número máximo de membros do ClubeMat que se podem sentar numa mesa com $22$ lugares?

Resolução: Numeremos os lugares da mesa de $1$ a $22$. Dos lugares $1$ e $5$ só um pode estar ocupado, já que há três cadeiras entre eles. O mesmo entre $5$ e $9$, $9$ e $13$, $13$ e $17$, $17$ e $21$, $21$ e $3$, $3$ e $7$, $7$ e $11$, $11$ e $15$, $15$ e $19$ e $19$ e $1$. Obtemos assim um ciclo de $11$ lugares $(1,5,9,13,17,21,3,7,11,15,19,1)$ em que não se podem ocupar dois lugares consecutivos, pelo que podemos apenas ocupar $5$ deles. Se começarmos o mesmo processo no lugar $2$ obtemos um segundo ciclo de $11$ lugares $(2,6,10,14,18,22,3,8,12,16,20,2)$ com a mesma propriedade, pelo que apenas $5$ destes podem estar ocupados. Então podem sentar-se no máximo $10$, por exemplo nos lugares $1,2,3,4,9,10,11,12,17$ e $18$.
Problema (nível 4): O centro de um número natural é a soma do quádruplo do seu algarismo das unidades com o número que obtém quando se apaga o algarismo das unidades. Para cada número natural $n$, pode-se formar uma sucessão que começa em $n$ e cada termo é o centro do termo anterior. Por exemplo, a sucessão que começa em $2018$ é $2018$, $233$, $35$, $23$, $14$, $17$, $\ldots$ Um número natural $n$ diz-se centrado se na sucessão que começa em $n$ existe algum termo que é centro de si próprio. Determina todos os números centrados.

Resolução: Vejamos primeiro quais são os números que são centro de si próprios. Seja $n=10a+b$, com $0\leq b\leq 9$. O centro de $n$ é $a+4b$. Tem-se $10a+b=a+4b\Leftrightarrow b=3a$. Logo os únicos números que são centro de si próprios são $13$, $26$ e $39$. Temos $n$ múltiplo de $13$ se e só se $n+39b$ é múltiplo de $13$, ou seja, $10a+40b$ é múltiplo de $13$. Como $10$ é primo com $13$, então $n$ é múltiplo de $13$ se e só se $a+4b$ é múltiplo de $13$. Assim, se uma sucessão começa com um número $n$ que não é múltiplo de $13$, nenhum dos termos seguintes é múltiplo de $13$ e portanto não é centro de si próprio. Logo $n$ não é centrado. Se $n$ é múltiplo de $13$, então $(a+4b)-(10a+b)=3(b-3a)\leq 0$, logo a sucessão que começa em $n$ é decrescente até chegar a um termo que é centro de si próprio, ou seja $n$ é centrado. Portanto, os números centrados são os múltiplos de $13$.
Problema (nível 4): Seja $[ABC]$ um triângulo qualquer e sejam $D$, $E$ e $F$ as reflexões do circuncentro em relação aos três lados. Mostra que os triângulos $[ABC]$ e $[DEF]$ são congruentes.

Resolução: Sejam $O$ o ponto de interseção das mediatrizes e $G,H$ e $I$ os pontos de interseção das mediatrizes com os lados $[BC]$, $[AC]$ e $[AB]$, respetivamente. O triângulo $[AIH]$ é semelhante a $[ABC]$ pelo critério LAL, uma vez que têm o ângulo em $A$ comum e $\frac{\overline{AI}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AH}}{\overline{AC}}=\frac{1}{2}$, já que $I$ e $H$ são pontos médios dos lados. De modo análogo se pode justificar a semelhança dos triângulos $[HGC]$ e $[IBG]$ com o triângulo $[ABC]$. Destas três semelhanças vem que $\frac{\overline{HI}}{\overline{CB}}= \frac{\overline{IG}}{\overline{AC}}= \frac{\overline{HG}}{\overline{AB}}=\frac{1}{2}$, logo, pelo critério LLL, o triângulo $[GHI]$ é semelhante ao triângulo $[ABC]$ com razão de semelhança $\frac{1}{2}$. (image1) Logo, os triângulos $[AIH]$, $[IBG]$, $[HGC]$ e $[GHI]$ são congruentes, uma vez que são todos semelhantes ao triângulo $[ABC]$ com razão de semelhança $\frac{1}{2}$. Tendo agora em atenção os triângulos $[HIG]$ e $[EDF]$, uma vez que $\overline{OI}=\overline{IF}$, $\overline{GD}=\overline{OG}$ e $\overline{OH}=\overline{HE}$, há três pares de triângulos semelhantes pelo critério LAL: $[OHI]$ e $[OEF]$, $[OIG]$ e $[OFD]$, $[OHG]$ e $[OED]$, todos com o respetivo ângulo em $O$ comum, e com razão de semelhança igual a $\frac{1}{2}$. Finalmente tem-se $\overline{ED}=2 \overline{HG}= \overline{AB}$, $\overline{EF}= 2 \overline{HI}= \overline{CB}$ e $\overline{FD}= 2 \overline{IG}= \overline{AC}$, portanto os triângulos $[ABC]$ e $[DEF]$ são congruentes pelo critério LLL.


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pspolygon(0,0)(20,0)(15,12) \psline[linestyle=dashed](10,2.875)(10,-2.875) \psline[linestyle=dashed](10,2.875)(25,9.125) \psline[linestyle=dashed](10,2.875)(5,9.125) \rput(10,2.875){$\bullet$} \rput(10,-2.875){$\bullet$} \rput(25,9.125){$\bullet$} \rput(5,9.125){$\bullet$} \rput(-1,-1){$A$} \rput(21,-1){$B$} \rput(15,13){$C$} \rput(25,10.125){$D$} \rput(5,10.125){$E$} \rput(11,-2.875){$F$} \rput(10.3,3.8){$O$} \rput(18,7){$G$} \rput(7.7,7){$H$} \rput(10.5,-0.8){$I$} \psline(10,0)(7.5,6) \psline(10,0)(7.5,6) \psline(10,0)(17.5,6) \psline(7.5,6)(17.5,6) \pspolygon(5,9.125)(25,9.125)(10,-2.875) \end{pspicture}
Problema (nível 2): Num retângulo $[ABCD]$, o ponto $E$ pertence ao lado $[DC]$ e está equidistante dos pontos $A$ e $C$. Sabendo que $\displaystyle D\widehat AE=7\, C\widehat AB$, determina $A\widehat EC$. (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(5.67,1) \pspolygon[linewidth=0.4pt](0,0)(6.31375,0)(6.31375,1)(0,1) \psline[linewidth=0.4pt](0,0)(6.31375,1) \psline[linewidth=0.4pt](0,0)(3.07768,1) \rput(-0.2,-0.2){$A$} \rput(6.33,-0.2){$B$} \rput(-0.2,1.2){$D$} \rput(6.6,1.2){$C$} \rput(3.07768,1.2){$E$} \end{pspicture}

Resolução: Seja $C\widehat AB=a$. Os ângulos $CAB$ e $ECA$ são alternos internos, logo têm a mesma amplitude, ou seja, $E\widehat CA=a$. Observe-se agora que o triângulo $[ACE]$ é isósceles, pois $\overline{AE}=\overline{EC}$, por isso, $E\widehat AC=E\widehat CA=a$. Uma vez que $D\widehat AE=7a$ e $D\widehat AE+E\hat AC+C\hat AB=90^\circ$, é possível concluir que $9a=90^\circ$, ou seja, $a=10^\circ$. Assim, $A\widehat EC=180^\circ-2a=180^\circ-20^\circ=160^\circ.$
Problema (nível 2): O João recebeu um total de $2018$ amêndoas de chocolate nesta Páscoa. Sabendo que vinham em sacos de $18$ ou $20$ amêndoas, quantos sacos de $18$ amêndoas pode ele ter recebido? Indica todas as possibilidades.

Resolução: Como $2018=18\times 1+20\times 100$, o João pode ter recebido $1$ saco de $18$ amêndoas e $100$ de $20$. O mínimo múltiplo comum de $18$ e $20$ é $180=9\times 20=10\times 18$. Assim, $9$ sacos de $20$ amêndoas podem ser trocados por $10$ sacos de $18$, $2\times 9$ sacos de $20$ amêndoas por $2\times 10$ sacos de $18$, $\ldots$, $11\times 9$ sacos de $20$ amêndoas podem ser trocados por $11\times 10$ sacos de $18$. Portanto o João pode ter recebido $1$, $11$, $\ldots$, $111$ sacos de $18$ amêndoas. Solução 2: Se o João receber $x$ sacos de $18$ e $y$ sacos de $20$ amêndoas então $18\times 1+20\times 100 = 18 x+20 y$, ou seja, $20(100-y) = 18(x-1)$. Podemos então concluir que $20(100-y)$ e $18(x-1)$ são múltiplos de $18$ e $20$, ou seja, múltiplos de $180$, o seu mínimo múltiplo comum. Temos então que $$20(100-y)=180k \Leftrightarrow y=100-9k.$$ Como $y$ é um número natural chegamos a $k\in \{0,1,\dots, 11\}$ e da equação $$ 18(x-1)=180k\Leftrightarrow x=10k+1 $$ concluímos que $x\in\{1,11,21,31,\dots,111\}$.
Problema (nível 2): O Saltão e o Pulão são dois gafanhotos que gostam de participar em corridas de saltos. A estratégia do Saltão é dar sempre o mesmo salto de $2018$ mm de comprimento. Por outro lado, o Pulão gosta de começar com saltos pequenos e ir progressivamente aumentando o comprimento dos saltos. Assim, o primeiro salto do Pulão mede $3$ mm, o segundo $16$ mm, o terceiro $29$ mm, e assim sucessivamente, com cada salto a medir mais $13$ mmdo que o anterior. Sabendo que os gafanhotos partem da mesma posição e saltam sempre ao mesmo tempo, ao fim de quantos saltos o Pulão alcança o Saltão?

Resolução: No primeiro salto, o Pulão percorreu $3$ mm, no segundo salto percorreu $3+13$ mm, no terceiro percorreu $3+2\times 13$ mm, e assim sucessivamente, tendo no $n$-ésimo salto percorrido $3+(n-1)\times 13$ mm. Uma vez que $2018=3+(156-1)\times 13$, concluímos que no $156^{\circ}$ salto o Pulão percorreu $2018$ mm, igualando o comprimento dos saltos do Saltão. A partir do $156^{\circ}$ salto, o Pulão começou a recuperar terreno em cada salto. No $157^\circ$ salto, o Pulão recuperou o que perdeu no $155^\circ$ salto, no $158^\circ$ salto, o Pulão recuperou o que perdeu no $154^\circ$ salto, e assim sucessivamente, até ao salto número $156+155=311$, em que recuperou o que perdeu no $1^\circ$ salto.
Problema (nível 2): O João tem $22$ fósforos cujos comprimentos em mm são potências de $2$, tendo dois fósforos de cada comprimento. Os fósforos mais pequenos medem $2^1=2$ mm e os maiores medem $2^{11}=2048$ mm. Quantos triângulos diferentes pode o João formar usando um fósforo para cada lado? (image1)


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\begin{pspicture}(0,0)(3,2) \rput[b](0,0){\includegraphics[scale=0.025]{fosforo}} \rput[b](0.2,0){\includegraphics[scale=0.025]{fosforo}} \rput[b](0.4,0){\includegraphics[scale=0.05]{fosforo}} \rput[b](0.6,0){\includegraphics[scale=0.05]{fosforo}} \rput[b](0.8,0){\includegraphics[scale=0.1]{fosforo}} \rput[b](1.0,0){\includegraphics[scale=0.1]{fosforo}} \rput[b](1.25,0){\includegraphics[scale=0.2]{fosforo}} \rput[b](1.5,0){\includegraphics[scale=0.2]{fosforo}} \rput[b](2.25,0.75){\LARGE$\cdots$} \end{pspicture}

Resolução: Comecemos por observar que se escolhermos três fósforos com tamanhos diferentes $2^x<2^y<2^z$, então $2^x+2^y<2^y+2^y=2\times 2^y=2^{y+1}\leq 2^z$. Logo, pela desigualdade triangular, não podemos formar um triângulo com lados diferentes. Assim, temos de escolher dois fósforos com o mesmo tamanho $2^x$ e um fósforo de tamanho diferente $2^y$, uma vez que só há dois fósforos de cada tamanho. Pela desigualdade triangular, temos $2^x+2^x=2^{x+1}>2^y$, logo $x+1>y$, ou seja, $x\geq y$. Como $x\neq y$, temos $x>y$. Portanto temos de escolher dois números diferentes no conjunto $\{1,2,\ldots,11\}$. Se $x=11$, há $10$ hipóteses para $y$, se $x=10$, há $9$ hipóteses para $y$, e assim por diante, até ao caso $x=2$, em que há só uma hipótese para $y$. Logo há $10+9+8+\cdots+2+1=55$ formas de escolher tais fósforos.
Problema (nível 1): O Sr. José tinha um terreno retangular do qual vendeu uma parte retangular mais pequena, ficando o seu terreno com uma área de $68$m$^2$ e as medidas indicadas na figura. O Sr. José pretende comprar uma rede para cercar o terreno. Sabendo que o metro de rede custa $50$, quanto terá de gastar o Sr. José? (image1)


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\begin{pspicture}(0,-2)(10,9) \pspolygon(0,0)(10,0)(10,8)(4,8)(4,5)(0,5) \rput(5,-0.75){$10\,m$} \rput(-1.25,2.5){$5\,m$} \rput(2,5.7){$4\,m$} \end{pspicture}

Resolução: Observe-se que a área do retângulo $[ABGF]$ mede $5\times 10=50 m^2$, logo a área do retângulo $[EGCD]$ mede $68-50=18 m^2$. Além disso, $\overline{EG}=10-4=6 m$, por isso, $\overline{DE}=18/6=3 m$. Portanto, o perímetro do terreno é $$ \overline{AB}+\overline{BC}+\overline{DC}+\overline{DE}+\overline{EF} + \overline{FA}=10+(5+3) + 6 +3 + 4+5=36\, m. $$ Assim, o Sr José terá de gastar $50\times 36=1800$ em rede para cercar o terreno. (image2)


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[image2]
\begin{pspicture}(-1.,-1.)(11.,9.) \pspolygon[linewidth=0.4pt](0.,0.)(10.,0.)(10.,8.)(4.,8.)(4.,5.)(0.,5.) \psline[linewidth=0.4pt](0.,0.)(10.,0.) \psline[linewidth=0.4pt](10.,0.)(10.,8.) \psline[linewidth=0.4pt](10.,8.)(4.,8.) \psline[linewidth=0.4pt](4.,8.)(4.,5.) \psline[linewidth=0.4pt](4.,5.)(0.,5.) \psline[linewidth=0.4pt](0.,5.)(0.,0.) \psline[linewidth=0.4pt](0.,5.)(10.,5.) \small \psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.,0.) \rput(-0.25,-0.25){$A$} \rput(5,-0.35){$10$ m} \rput(-0.75,2.5){$5$ m} \rput(2,5.3){$4$ m} \psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](10.,0.) \rput(10.25,-0.25){$B$} \psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](10.,8.) \rput(10.25,8.25){$C$} \psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.,8.) \rput(3.75,8.25){$D$} \psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](4.,5.) \rput(3.7,5.3){$E$} \psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](0.,5.) \rput(-0.25,5.25){$F$} \psdots[dotsize=1pt 0,dotstyle=*](10.,5.) \rput(10.35,5){$G$} \end{pspicture}
Problema (nível 1): O André recebeu um pião e quer pintar cada uma das três regiões com uma das seguintes cores: amarelo, castanho e verde. Se quiser, o André pode pintar regiões diferentes com a mesma cor. Ajuda o André a encontrar o número total de maneiras diferentes de pintar o seu pião. (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \rput(0,0){\rotatebox{10}{ \pspolygon(3;90)(3;210)(3;330) \psline(0,0)(3;90) \psline(0,0)(3;210) \psline(0,0)(3;330) \psarc(0,0){3}{45}{80} \psarc(0,0){2.7}{55}{75} \psarc(0,0){3}{165}{200} \psarc(0,0){2.7}{175}{195} \psarc(0,0){3}{285}{320} \psarc(0,0){2.7}{295}{315} }} \end{pspicture}

Resolução: Temos três possibilidades quanto ao número de cores diferentes usadas. No caso de as três faces serem todas pintadas da mesma cor, temos apenas $3$ piões diferentes. No caso de haver duas faces da mesma cor e a outra face ter uma cor diferente, temos $3$ cores possíveis para a cor que se usa em duas faces e $2$ cores possíveis para a que se usa na outra face. Note-se que só há um pião com duas faces pintadas de amarelo e a outra face pintada de castanho e o mesmo se verifica para qualquer uma das outras $5$ combinações possíveis de duas cores diferentes. Temos, assim, um total de $6$ piões diferentes neste caso. Se as três faces têm todas cores diferentes, temos, neste caso, $2$ piões diferentes, dependendo da ordem como se usam as cores no pião. Há, assim, $3+6+2=11$ maneiras diferentes de pintar o pião, indicadas na figura. #1#2#3 [linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=#1](0,0)(3;90)(3;210) [linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=#2](0,0)(3;210)(3;330) [linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=#3](0,0)(3;330)(3;90) (3;90)(3;210)(3;330) (0,0)(3;90) (0,0)(3;210) (0,0)(3;330) $\;\;\,$(image2) $\;$ (image3) $\;$ (image4) $\;$ (image5) $\;$ (image6) $\;$ (image7) $\;$ (image8) $\;$ (image9) $\;$ (image10) $\;$ (image11) $\;$ (image12)


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[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{yellow}{yellow} \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{brown}{brown}{brown} \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{green}{green}{green} \end{pspicture}
[image5]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{yellow}{brown} \end{pspicture}
[image6]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{yellow}{green} \end{pspicture}
[image7]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{brown}{brown}{yellow} \end{pspicture}
[image8]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{brown}{brown}{green} \end{pspicture}
[image9]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{green}{green}{yellow} \end{pspicture}
[image10]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{green}{green}{brown} \end{pspicture}
[image11]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{brown}{green} \end{pspicture}
[image12]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{green}{brown} \end{pspicture}