Problema (nível 4): Ao implantar um bairro residencial construíram-se nove avenidas no sentido norte-sul e seis avenidas no sentido este-oeste, formando quarteirões quadrados com $100$m de lado. Os bombeiros aconselharam a colocação de pontos de água para incêndio em algumas das interseções, respeitando a seguinte regra: nenhuma interseção deve estar a mais do que $200$m de distância de um ponto de água. Qual o número mínimo de pontos de água que podem ser colocados de forma a respeitar a recomendação dos bombeiros?

Resolução: O ponto de água que garante o abastecimento de um canto do bairro pode ser colocado em $6$ interseções diferentes. A figura seguinte ilustra os pontos de água que cobrem o canto superior esquerdo e em cada um é indicado o número de interseções por ele cobertas. (image1) Assim, um ponto de água que abasteça um canto do bairro cobre, no máximo, $11$ interseções. Se usarmos os pontos de água que cobrem $11$ interseções para cobrir dois dos cantos mais próximos, assinalados a vermelho na figura seguinte, cobrimos apenas $20$ interseções e nenhum outro par de pontos de água cobre mais interseções (uma vez que $11+9=20$). (image2) Portanto para abastecer os quatro cantos com apenas quatro pontos de água, cobrimos no máximo $40$ interseções. Sobram $54-40=14$ interseções por cobrir. No entanto, quando colocamos um ponto de água numa interseção este cobre, no máximo, $13$ interseções, como indicado na figura seguinte. (image3) Portanto são necessários pelo menos mais dois pontos pontos de água. O esquema da figura seguinte mostra que é possível respeitar a recomendação dos bombeiros com $6$ pontos de água. (image4) Portanto $6$ é o número mínimo de pontos de água que respeita a recomendação dos bombeiros.


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[image1]
\begin{pspicture}(0,3)(2,5) \small \psline(0,5)(2.5,5) \psline(0,4)(1.5,4) \psline(0,3)(0.5,3) \psline(0,5)(0,2.5) \psline(1,5)(1,3.5) \psline(2,5)(2,4.5) \rput[tl](-0.5,5.5){\textbf{6}} \rput[tl](0.92,5.6){\textbf{8}} \rput[tl](-0.5,4.18){\textbf{8}} \rput[tl](1.92,5.6){\textbf{9}} \rput[tl](-0.5,3.18){\textbf{9}} \rput[tl](1.06,3.8){\textbf{11}} \begin{scriptsize} \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](2,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](1,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](1,4) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](0,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](0,4) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](0,3) \end{scriptsize} \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(3.5,5.2) \psline(0,5)(8,5) \psline(0,4)(8,4) \psline(0,3)(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,1)(8,1) \psline(0,0)(8,0) \psline(0,5)(0,0) \psline(1,5)(1,0) \psline(2,5)(2,0) \psline(3,5)(3,0) \psline(4,5)(4,0) \psline(5,5)(5,0) \psline(6,5)(6,0) \psline(7,5)(7,0) \psline(8,5)(8,0) \begin{scriptsize} \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](0,0) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](1,0) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](2,0) \psdots[dotstyle=*](3,0) \psdots[dotstyle=*](4,0) \psdots[dotstyle=*](5,0) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](6,0) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](7,0) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](8,0) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](0,1) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](1,1) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](2,1) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](3,1) \psdots[dotstyle=*](4,1) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](5,1) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](6,1) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](7,1) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](8,1) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](8,2) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](8,3) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](8,4) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](8,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](7,2) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](7,3) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](7,4) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](7,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](6,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](6,4) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](6,3) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](6,2) \psdots[dotstyle=*](5,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](5,4) \psdots[dotstyle=*](5,3) \psdots[dotstyle=*](5,2) \psdots[dotstyle=*](4,5) \psdots[dotstyle=*](4,4) \psdots[dotstyle=*](4,3) \psdots[dotstyle=*](4,2) \psdots[dotstyle=*](3,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](3,4) \psdots[dotstyle=*](3,3) \psdots[dotstyle=*](3,2) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](2,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](2,4) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](2,3) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](2,2) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](1,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](1,4) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](1,3) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](1,2) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](0,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](0,4) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](0,3) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](0,2) \end{scriptsize} \end{pspicture*}
[image3]
\begin{pspicture}(1,0.5)(7,6) \psline(3,5)(3,0) \psline(4,5)(4,0) \psline(5,5)(5,0) \psline(4,6)(4,5) \psline(3,6)(3,5) \psline(5,6)(5,5) \psline(3,6)(5,6) \psline(2,5)(6,5) \psline(1,4)(7,4) \psline(1,3)(7,3) \psline(1,2)(7,2) \psline(2,1)(6,1) \psline(3,0)(5,0) \psline(1,4)(1,2) \psline(2,5)(2,1) \psline(3,6)(3,0) \psline(6,5)(6,1) \psline(7,4)(7,2) \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*](3,0) \psdots[dotstyle=*](4,0) \psdots[dotstyle=*](5,0) \psdots[dotstyle=*](2,1) \psdots[dotstyle=*](3,1) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](4,1) \psdots[dotstyle=*](5,1) \psdots[dotstyle=*](6,1) \psdots[dotstyle=*](7,2) \psdots[dotstyle=*](7,3) \psdots[dotstyle=*](7,4) \psdots[dotstyle=*](6,5) \psdots[dotstyle=*](6,4) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](6,3) \psdots[dotstyle=*](6,2) \psdots[dotstyle=*](5,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](5,4) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](5,3) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](5,2) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](4,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](4,4) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](4,3) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](4,2) \psdots[dotstyle=*](3,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](3,4) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](3,3) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](3,2) \psdots[dotstyle=*](2,5) \psdots[dotstyle=*](2,4) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=qqzzqq](2,3) \psdots[dotstyle=*](2,2) \psdots[dotstyle=*](1,4) \psdots[dotstyle=*](1,3) \psdots[dotstyle=*](1,2) \psdots[dotstyle=*](3,6) \psdots[dotstyle=*](4,6) \psdots[dotstyle=*](5,6) \end{scriptsize} \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(0,0)(8,5) \psline(0,5)(8,5) \psline(0,4)(8,4) \psline(0,3)(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,1)(8,1) \psline(0,0)(8,0) \psline(0,5)(0,0) \psline(1,5)(1,0) \psline(2,5)(2,0) \psline(3,5)(3,0) \psline(4,5)(4,0) \psline(5,5)(5,0) \psline(6,5)(6,0) \psline(7,5)(7,0) \psline(8,5)(8,0) \begin{scriptsize} \psdots[dotstyle=*](0,0) \psdots[dotstyle=*](1,0) \psdots[dotstyle=*](2,0) \psdots[dotstyle=*](3,0) \psdots[dotstyle=*](4,0) \psdots[dotstyle=*](5,0) \psdots[dotstyle=*](6,0) \psdots[dotstyle=*](7,0) \psdots[dotstyle=*](8,0) \psdots[dotstyle=*](0,1) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](1,1) \psdots[dotstyle=*](2,1) \psdots[dotstyle=*](3,1) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](4,1) \psdots[dotstyle=*](5,1) \psdots[dotstyle=*](6,1) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](7,1) \psdots[dotstyle=*](8,1) \psdots[dotstyle=*](8,2) \psdots[dotstyle=*](8,3) \psdots[dotstyle=*](8,4) \psdots[dotstyle=*](8,5) \psdots[dotstyle=*](7,2) \psdots[dotstyle=*](7,3) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](7,4) \psdots[dotstyle=*](7,5) \psdots[dotstyle=*](6,5) \psdots[dotstyle=*](6,4) \psdots[dotstyle=*](6,3) \psdots[dotstyle=*](6,2) \psdots[dotstyle=*](5,5) \psdots[dotstyle=*](5,4) \psdots[dotstyle=*](5,3) \psdots[dotstyle=*](5,2) \psdots[dotstyle=*](4,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](4,4) \psdots[dotstyle=*](4,3) \psdots[dotstyle=*](4,2) \psdots[dotstyle=*](3,5) \psdots[dotstyle=*](3,4) \psdots[dotstyle=*](3,3) \psdots[dotstyle=*](3,2) \psdots[dotstyle=*](2,5) \psdots[dotstyle=*](2,4) \psdots[dotstyle=*](2,3) \psdots[dotstyle=*](2,2) \psdots[dotstyle=*](1,5) \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*,linecolor=red](1,4) \psdots[dotstyle=*](1,3) \psdots[dotstyle=*](1,2) \psdots[dotstyle=*](0,5) \psdots[dotstyle=*](0,4) \psdots[dotstyle=*](0,3) \psdots[dotstyle=*](0,2) \end{scriptsize} \end{pspicture}