Problema (nível 4): O chão da sala rectangular do Mateus está pavimentado com mosaicos quadrados e tem 423 por 756 mosaicos de lado. Certo dia, ao mudar a disposição dos móveis, o Mateus fez um risco no chão em linha recta entre dois cantos opostos. Quantos mosaicos terá o Mateus de comprar para substituir os mosaicos riscados?

Resolução: Considere-se o rectângulo $[ABCD]$ com $423$ por $756$ de lado dividido em quadrículas com $1$ unidade de lado. O rectângulo $[ABCD]$ representa o chão da sala, cada quadrícula um mosaico e $[BD]$ o risco. Designe-se cada fila de $756$ quadrículas, paralela a $[BC]$, por linha e cada fila de $423$ quadrículas, paralela a $[AB]$, por coluna. Prove-se que o risco atravessa, em cada coluna, uma ou duas quadrículas. Considerem-se os pontos $E$, $F$ e $G$ indicados na figura, onde $[EG]$ é a intersecção de $[BD]$ com uma coluna e $F$ é o ponto de intersecção da recta que passa por $E$ e é paralela a $[BC]$ com a recta que passa por $G$ e é paralela a $[CD]$. Atendendo a que os triângulos $[EFG]$ e $[BCD]$ são semelhantes, tem-se $\frac{\overline{FG}}{\overline{EF}}= \frac{\overline{CD}}{\overline{BC}}=\frac{423}{756}<1$ e, como $\overline{EF}=1$, conclui-se que (image1) $\overline{FG}<1$. Assim, o risco atravessa, em cada coluna, uma ou duas quadrículas e só atravessa duas quadrículas na mesma coluna se mudar de linha nessa coluna. Cada mudança de linha do risco corresponde a uma coluna com duas quadrículas riscadas, excepto no caso em que o risco muda de linha num vértice de uma quadrícula. Deter­mi­ne-se agora o número de vértices nestas condições. Seja $P$ um vértice de quadrícula pertencente ao risco e diferente de $B$. Considere-se o triângulo $[BQP]$ rectângulo em $Q$, representado na figura. Como os triângulos $[BQP]$ e $[BCD]$ são seme­lhantes, tem-se $\frac{\overline{PQ}}{\overline{BQ}}= \frac{\overline{DC}}{\overline{BC}}=\frac{423}{756}$. Além disso, pela escolha de $P$, $\overline{PQ}$ e $\overline{BQ}$ são números inteiros inferiores ou iguais a 423 e 756, respectivamente. (image2) Observe-se ainda que qualquer ponto pertencente ao risco que satisfaça as condições indicadas é vértice de uma quadrícula. Como $423=9 \times 47$, $756=9 \times 84$ e $m.d.c.\{47,84\}=1$, tem-se $\frac{423}{756}=\frac{9 \times 47}{9 \times 84}=\frac{8 \times 47}{8 \times 84}=\ldots =\frac{2 \times 47}{2 \times 84}=\frac{47}{84}$. Donde se conclui que o número de vértices de quadrículas pertencentes ao risco e diferentes de $B$ é exactamente $9$. Por isso, ao atravessar o rectângulo dum vértice ao outro, o risco atravessa 9 sub-rectângulos $47 \times 84$, dum vértice ao outro, como se indica na figura. Assim, em cada sub-rectângulo, existem $47-1=46$ mudanças de linha do risco, logo, o número de quadrículas riscadas é $84+46=130$. Conse-quen­temente, o Mateus terá de comprar $9\times 130=1170$ mosaicos para substituir os mosaicos riscados. (image3) Nota: Observe-se que $\frac{\overline{DC}}{\overline{BC}}$ é o declive da recta que contém $[BD]$.


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[image2]
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[image3]
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