Problema (nível 4): Para cada vértice de um quadrado de lado $5$ cm, escolhe-se um ponto a $1$ cm de distância, marcado sobre um dos lados do quadrado. Em seguida escolhe-se um outro ponto no quadrado e a partir dele desenham-se os quatro triângulos determinados pelos vértices do quadrado e os pontos escolhidos anteriormente. Na figura seguinte estão duas possibilidades de escolha. Qual é a maior área que os quatro triângulos juntos podem ter? (image1) (image2)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3.5)   \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,0)(1.25,1.7)(0.6,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](3,0)(1.25,1.7)(3,0.6) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](3,3)(1.25,1.7)(2.4,3) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,3)(1.25,1.7)(0,2.4) \psline(0,0)(1.25,1.7) \psline(0.6,0)(1.25,1.7) \psline(3,0)(1.25,1.7) \psline(3,0.6)(1.25,1.7) \psline(3,3)(1.25,1.7) \psline(2.4,3)(1.25,1.7) \psline(0,3)(1.25,1.7) \psline(0,2.4)(1.25,1.7) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \rput(0.3,-0.3){$1$} \rput(3.3,0.3){$1$} \rput(2.7,3.3){$1$} \rput(-0.3,2.7){$1$} \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)   \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,0)(3,1.25)(0.6,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](3,0)(3,1.25)(2.4,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](3,3)(3,1.25)(2.4,3) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,3)(3,1.25)(0.6,3) \psline(0,0)(3,1.25) \psline(0.6,0)(3,1.25) \psline(3,0)(3,1.25) \psline(2.4,0)(3,1.25) \psline(3,3)(3,1.25) \psline(2.4,3)(3,1.25) \psline(0,3)(3,1.25) \psline(0.6,3)(3,1.25) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \rput(0.3,-0.3){$1$} \rput(2.7,-0.3){$1$} \rput(2.7,3.3){$1$} \rput(0.3,3.3){$1$} \end{pspicture}

Resolução: Se os quatro pontos escolhidos a $1$ cm dos vértices estão, dois a dois, em lados opostos do quadrado, como na figura (image3) então, dois triângulos opostos têm uma base de $1$ cm e a soma das suas alturas é $5$ cm. Logo, a soma das áreas de dois triângulos opostos é $\dfrac{5}{2}$ cm$^2$, pelo que a soma das áreas dos quatro triângulos é $5$ cm$^2$. Se para um dos pontos escolhidos a $1$ cm do vértice, não foi escolhido nenhum ponto no lado oposto, como na figura (image4) então, como no caso anterior, há dois triangulos opostos cuja área total é $\dfrac{5}{2}$ cm$^2$. Os dois triângulos restantes têm base $1$ cm e a área de cada um é tanto maior quanto maior for a altura respetiva. Esta altura é no máximo $5$ cm, o que acontece se o último ponto escolhido estiver no lado oposto às bases dos dois triângulos. Neste caso a área de cada um destes dois triângulos é $\dfrac{5}{2}$ cm$^2$ e a área total é $3\times\dfrac{5}{2}$ cm$^2=\dfrac{15}{2}$ cm$^2$. (image5) A área máxima é, assim, $\dfrac{15}{2}$ cm$^2$.


Conteúdo referenciado:
[image3]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \small   \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,0)(1.25,1.7)(0.6,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](3,0)(1.25,1.7)(3,0.6) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](3,3)(1.25,1.7)(2.4,3) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,3)(1.25,1.7)(0,2.4) \psline(0,0)(1.25,1.7) \psline(0.6,0)(1.25,1.7) \psline(3,0)(1.25,1.7) \psline(3,0.6)(1.25,1.7) \psline(3,3)(1.25,1.7) \psline(2.4,3)(1.25,1.7) \psline(0,3)(1.25,1.7) \psline(0,2.4)(1.25,1.7) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \rput(0.3,-0.3){$1$} \rput(3.3,0.3){$1$} \rput(2.7,3.3){$1$} \rput(-0.3,2.7){$1$} \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \small   \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,0)(1,2)(0.6,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](3,0)(1,2)(2.4,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](3,3)(1,2)(3,2.4) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,3)(1,2)(0,2.4) \psline(0,0)(1,2) \psline(0.6,0)(1,2) \psline(3,0)(1,2) \psline(2.4,0)(1,2) \psline(3,3)(1,2) \psline(3,2.4)(1,2) \psline(0,3)(1,2) \psline(0,2.4)(1,2) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \rput(0.3,-0.3){$1$} \rput(2.7,-0.3){$1$} \rput(3.3,2.7){$1$} \rput(-0.3,2.7){$1$} \end{pspicture}
[image5]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \small   \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,0)(1,3)(0.6,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](3,0)(1,3)(2.4,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](3,3)(1,3)(3,2.4) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,3)(1,3)(0,2.4) \psline(0,0)(1,3) \psline(0.6,0)(1,3) \psline(3,0)(1,3) \psline(2.4,0)(1,3) \psline(3,3)(1,3) \psline(3,2.4)(1,3) \psline(0,3)(1,3) \psline(0,2.4)(1,3) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \rput(0.3,-0.3){$1$} \rput(2.7,-0.3){$1$} \rput(3.3,2.7){$1$} \rput(-0.3,2.7){$1$} \end{pspicture}