tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema (nível 2): A Vera usou a planificação da figura para construir uma pirâmide de base quadrada. Todas as arestas da pirâmide têm comprimento $2025$ mm. As retas $CH$ e $EF$ intersetam-se no ponto $I$. Qual é a amplitude do ângulo $EIH$ ? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,-2)(0,0) \small \pnode(0,0){A} \uput{0.05}[225](A){$A$} \pnode(2,0){B} \uput{0.05}[-45](B){$B$} \pnode(2,2){C} \uput{0.05}[60](C){$C$} \pnode(0,2){D} \uput{0.05}[135](D){$D$} \pnode(2;-60){E} \uput{0.05}[270](E){$E$} \pnode(3.73205,1){F} \uput{0.05}[-30](F){$F$} \pnode(1,3.73205){G} \uput{0.05}[90](G){$G$} \pnode(2;150){H} \uput{0.05}[180](H){$H$} \pnode(5.73205,3){I} \uput{0.05}[30](I){$I$} \pspolygon[fillstyle=solid, fillcolor=verdelogotipo](A)(E)(B)(F)(C)(G)(D)(H) \pspolygon(A)(B)(C)(D) \psline(H)(I)(E) \end{pspicture}

Resolução: Como $[HAD]$ é equilátero, tem-se $H\widehat{D}A = 60^\circ$ e como $[ABCD]$ é um quadrado, tem-se $A\widehat{D}C = 90^\circ$, pelo que $H\widehat{D}C = 60^\circ+90^\circ = 150^\circ$. Como $\overline{DC} = \overline{DH}$, tem-se então $D\widehat{C}H =\dfrac{180^\circ-150^\circ}{2}= 15^\circ$, pelo que $H\widehat{C}B = 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ$. Tem-se, assim, $F\widehat{C}I = 180^\circ-75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$. Tem-se $E\widehat{B}F = 360^\circ - 90^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 150^\circ$, e, como $\overline{BF} = \overline{BE}$, isso implica $B\widehat{F}E = 15^\circ$. Como $B\widehat{F}C = 60^\circ$, conclui-se que $C\widehat{F}E= 75^\circ$, e $I\widehat{F}C = 105^\circ$. Conclui-se que \[ C\widehat{I}F = 180^\circ - F\widehat{C}I -I\widehat{F}C = 180^\circ - 45^\circ - 105^\circ = 30^\circ. \]
Problema (nível 2): Um cesto contém várias bolas. Ao removermos as bolas em grupos de $2$, sobra uma única bola no cesto. O mesmo acontece se removermos as bolas em grupos de $3$, de $4$, de $5$ ou de $6$: sobra sempre uma bola no cesto. No entanto, ao removê-las em grupos de $7$, o cesto fica vazio . Qual é o menor número possível de bolas no cesto?

Resolução: O número de bolas no cesto deve ser $1$ a mais do que um múltiplo de $2$, $3$, $4$, $5$ e $6$. Como o mínimo múltiplo comum de $2$, $3$, $4$, $5$ e $6$ é $60$, o número de bolas no cesto deve ser $1$ a mais do que um múltiplo de 60. De entre estes, o número mais pequeno que é divisível por $7$ é o $301$. Portanto, o menor número de bolas no cesto é $301$.
Problema (nível 1): Uma camioneta pode transportar um máximo de $300$ kg de carga. Pode transportar exatamente $20$ sacos de areia ou exatamente $60$ sacos de cimento. Se a camioneta já transporta $7$ sacos de areia, quantos sacos de cimento ainda pode levar?

Resolução: Cada saco de areia pesa $300/20=15$ Kg e cada saco de cimento pesa $300/60=5$ Kg. Como a camioneta já tem 7 sacos de areia, que correspondem a $7\times 15=105$ Kg de carga, pode transportar mais $300-105=195$ Kg de carga, que correspondem a $195/5=39$ sacos de cimento.
Problema (nível 1): Numa folha de papel quadrada, com $6$ cm de lado, a Isabel uniu um vértice a pontos médios de dois lados e estes pontos ao centro do quadrado. Depois pintou o pedaço da folha limitada por estas linhas, como mostra a figura. Qual é a área da região que a Isabel pintou? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(6,6) \small \pspolygon(0,0)(6,0)(6,6)(0,6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](6,6)(0,3)(3,3)(3,0) \end{pspicture}

Resolução: Solução 1: Vamos calcular a área da região não pintada e subtraí-la à área do quadrado, que é igual a $6^2=36$ cm$^2$. (image2) A área da região não pintada é a área do quadrado $[DEGF]$ mais a área dos triângulos $[ABE]$ e $[BCF]$. O quadrado $[DEGF]$ tem lado $3$, uma vez que cada um dos seus lados tem metade do comprimento do quadrado grande, e assim a sua área é $3^2=9$. Cada um dos triângulos tem base $6$ e altura $\frac{6}{2}=3$, metade do lado do quadrado grande, e portanto a área de cada um deles é $\frac{6\times 3}{2}=9$. A área da região não pintada é igual $36-9-2\times 9=9$ cm$^2$. Solução 2: A região pintada pode ser dividida em dois triângulos $[BFG]$ e $[BGE]$. (image3) A área de $[BFG]$ é igual a $\frac{\overline{FG}\times \overline{HB}}{2}=\frac{3\times 3}{2}=\frac{9}{2}$. O triângulo $[BGE]$ tem igualmente área igual a $\frac{9}{2}$. A área da região pintada é assim igual a $2\times \frac{9}{2}=9$ cm$^2$.


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[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(6,6) \small \pspolygon(0,0)(6,0)(6,6)(0,6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](6,6)(0,3)(3,3)(3,0) \uput{0.1}[-45](6,0){$A$} \uput{0.1}[45](6,6){$B$} \uput{0.1}[135](0,6){$C$} \uput{0.1}[225](0,0){$D$} \uput{0.2}[270](3,0){$E$} \uput{0.2}[180](0,3){$F$} \uput{0.2}[225](3,3){$G$} \uput{0.2}[90](3,6){$H$} \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(0,0)(6,6) \small \pspolygon(0,0)(6,0)(6,6)(0,6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](6,6)(0,3)(3,3)(3,0) \psline(3,3)(6,6) \psline[linestyle=dashed](3,3)(6,3) \uput{0.1}[-45](6,0){$A$} \uput{0.1}[45](6,6){$B$} \uput{0.1}[135](0,6){$C$} \uput{0.1}[225](0,0){$D$} \uput{0.2}[270](3,0){$E$} \uput{0.2}[180](0,3){$F$} \uput{0.2}[225](3,3){$G$} \uput{0.2}[0](6,3){$H$} \end{pspicture}