Problema (nível 4): Um tabuleiro quadriculado tem as suas quadrículas pintadas de branco ou de preto. Diz-se que o tabuleiro está bem pintado se não existirem duas linhas e duas colunas que se intersetem em quatro casas da mesma cor. Qual é o maior valor de $n$ para o qual existe um tabuleiro $n\times 4$ bem pintado?

Resolução: Um tabuleiro $6\times 4$ pode ser bem pintado, como se pode verificar na figura seguinte: (image1) Se existisse um tabuleiro $7\times 4$ bem pintado, então na primeira linha haveria pelo menos 4 quadrículas da mesma cor (podemos supor que são pretas). Note-se agora que se reordenarmos as linhas e as colunas de um tabuleiro bem pintado, obtém-se um novo tabuleiro bem pintado. Então, reordenando as colunas, o tabuleiro ficaria assim: (image2) Por baixo destas casas pretas, o tabuleiro não pode ter apenas casas brancas, e em cada linha tem no máximo uma casa preta, pois em caso contrário, não estaria bem pintado. Portanto, reordenando as linhas do tabuleiro, o tabuleiro ficaria assim: (image3) Como o tabuleiro está bem pintado, então nas primeiras três quadrículas da terceira linha só pode haver uma quadrícula preta e só pode haver uma quadrícula branca, o que é impossível. Assim, não existe nenhum tabuleiro $7\times 4$ bem pintado. Portanto o maior valor para $n$ é $6$.


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(6,4) \pspolygon(0,0)(6,0)(6,4)(0,4) \psline(1,0)(1,4) \psline(2,0)(2,4) \psline(3,0)(3,4) \psline(4,0)(4,4) \psline(5,0)(5,4) \psline(0,1)(6,1) \psline(0,2)(6,2) \psline(0,3)(6,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](3,3)(6,3)(6,4)(3,4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,2)(4,2)(4,3)(1,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,1)(1,1)(1,2)(0,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](2,1)(3,1)(3,2)(2,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](4,1)(5,1)(5,2)(4,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(2,0)(2,1)(0,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](5,0)(6,0)(6,1)(5,1) \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0.5,0)(7.5,4) \pspolygon(0,0)(7,0)(7,4)(0,4) \psline(1,0)(1,4) \psline(2,0)(2,4) \psline(3,0)(3,4) \psline(4,0)(4,4) \psline(5,0)(5,4) \psline(6,0)(6,4) \psline(0,1)(7,1) \psline(0,2)(7,2) \psline(0,3)(7,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,3)(4,3)(4,4)(0,4) \rput(0.5,0.5){$?$} \rput(1.5,0.5){$?$} \rput(2.5,0.5){$?$} \rput(3.5,0.5){$?$} \rput(4.5,0.5){$?$} \rput(5.5,0.5){$?$} \rput(6.5,0.5){$?$} \rput(0.5,1.5){$?$} \rput(1.5,1.5){$?$} \rput(2.5,1.5){$?$} \rput(3.5,1.5){$?$} \rput(4.5,1.5){$?$} \rput(5.5,1.5){$?$} \rput(6.5,1.5){$?$} \rput(0.5,2.5){$?$} \rput(1.5,2.5){$?$} \rput(2.5,2.5){$?$} \rput(3.5,2.5){$?$} \rput(4.5,2.5){$?$} \rput(5.5,2.5){$?$} \rput(6.5,2.5){$?$} \rput(4.5,3.5){$?$} \rput(5.5,3.5){$?$} \rput(6.5,3.5){$?$} \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(0.5,0)(7.5,4) \pspolygon(0,0)(7,0)(7,4)(0,4) \psline(1,0)(1,4) \psline(2,0)(2,4) \psline(3,0)(3,4) \psline(4,0)(4,4) \psline(5,0)(5,4) \psline(6,0)(6,4) \psline(0,1)(7,1) \psline(0,2)(7,2) \psline(0,3)(7,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,3)(4,3)(4,4)(0,4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](3,2)(4,2)(4,3)(3,3) \rput(0.5,0.5){$?$} \rput(1.5,0.5){$?$} \rput(2.5,0.5){$?$} \rput(3.5,0.5){$?$} \rput(4.5,0.5){$?$} \rput(5.5,0.5){$?$} \rput(6.5,0.5){$?$} \rput(0.5,1.5){$?$} \rput(1.5,1.5){$?$} \rput(2.5,1.5){$?$} \rput(3.5,1.5){$?$} \rput(4.5,1.5){$?$} \rput(5.5,1.5){$?$} \rput(6.5,1.5){$?$} \rput(4.5,2.5){$?$} \rput(5.5,2.5){$?$} \rput(6.5,2.5){$?$} \rput(4.5,3.5){$?$} \rput(5.5,3.5){$?$} \rput(6.5,3.5){$?$} \end{pspicture}