Problema (nível 4): Poderá o conjunto $\{1,2,3,\cdots,3000\}$ conter um subconjunto de 2000 elementos tais que nenhum deles é o dobro de outro?

Resolução: Seja $X=\{1,2,\dots,3000\}$. Tentemos construir um subconjunto $A$ de $X$ de acordo com o enunciado. Como o dobro de qualquer número no intervalo $P=[1501,3000]$ não pertence a $X$ poderíamos pôr qualquer um destes 1500 inteiros em $A$ sem nenhum problema. Evidentemente que depois teríamos que ser cuidadosos na escolha dos elementos de $Q=[751,1500]$ a colocar em $A$: não poderíamos colocar nenhum que fosse metade de um entretanto já escolhido de $P$. É claro que se escolhessemos $k$ inteiros de $Q$ não poderíamos escolher mais do que $1500-k$ inteiros de $P$ e, portanto, no total não poderíamos escolher mais do que 1500 inteiros do intervalo $P\cup Q=[751,3000]$. Portanto, de modo a construirmos o conjunto $A$, pelo menos 500 dos seus elementos deverão pertencer ao intervalo $[1,750]$: $$1,2,\dots,750,\underbrace{\overbrace{751,\dots,1500}^{Q}, \underbrace{\overbrace{1501,\dots,3000}^{P}}_{\leq 1500}}_{\leq 1500}$$ Se repetirmos este raciocínio sucessivamente chegaremos à conclusão que teremos necessariamente de escolher Esta última afirmação mostra que é impossível existir tal subconjunto $A$ de $X$. Esta resolução diz-nos ainda que se se exigir que $A$ tenha somente 1999 elementos, já a resposta é afirmativa pois $1500+375+94+23+6+1=1999.$ Seja $X=\{1,2,\dots,3000\}$. Tentemos construir um subconjunto $A$ de $X$ de acordo com o enunciado. Como o dobro de qualquer número no intervalo $P=[1501,3000]$ não pertence a $X$ poderíamos pôr qualquer um destes 1500 inteiros em $A$ sem nenhum problema. Evidentemente que depois teríamos que ser cuidadosos na escolha dos elementos de $Q=[751,1500]$ a colocar em $A$: não poderíamos colocar nenhum que fosse metade de um entretanto já escolhido de $P$. É claro que se escolhessemos $k$ inteiros de $Q$ não poderíamos escolher mais do que $1500-k$ inteiros de $P$ e, portanto, no total não poderíamos escolher mais do que 1500 inteiros do intervalo $P\cup Q=[751,3000]$. Portanto, de modo a construirmos o conjunto $A$, pelo menos 500 dos seus elementos deverão pertencer ao intervalo $[1,750]$: $$1,2,\dots,750,\underbrace{\overbrace{751,\dots,1500}^{Q}, \underbrace{\overbrace{1501,\dots,3000}^{P}}_{\leq 1500}}_{\leq 1500}$$ Se repetirmos este raciocínio sucessivamente chegaremos à conclusão que teremos necessariamente de escolher Esta última afirmação mostra que é impossível existir tal subconjunto $A$ de $X$. Esta resolução diz-nos ainda que se se exigir que $A$ tenha somente 1999 elementos, já a resposta é afirmativa pois $1500+375+94+23+6+1=1999.$ pelo menos 125 elementos do intervalo $[1,187]$: $$1,2,\dots,187,\underbrace{188,\dots,375, \underbrace{376,\dots,750}_{\leq 375}}_{\leq 375}$$ Seja $X=\{1,2,\dots,3000\}$. Tentemos construir um subconjunto $A$ de $X$ de acordo com o enunciado. Como o dobro de qualquer número no intervalo $P=[1501,3000]$ não pertence a $X$ poderíamos pôr qualquer um destes 1500 inteiros em $A$ sem nenhum problema. Evidentemente que depois teríamos que ser cuidadosos na escolha dos elementos de $Q=[751,1500]$ a colocar em $A$: não poderíamos colocar nenhum que fosse metade de um entretanto já escolhido de $P$. É claro que se escolhessemos $k$ inteiros de $Q$ não poderíamos escolher mais do que $1500-k$ inteiros de $P$ e, portanto, no total não poderíamos escolher mais do que 1500 inteiros do intervalo $P\cup Q=[751,3000]$. Portanto, de modo a construirmos o conjunto $A$, pelo menos 500 dos seus elementos deverão pertencer ao intervalo $[1,750]$: $$1,2,\dots,750,\underbrace{\overbrace{751,\dots,1500}^{Q}, \underbrace{\overbrace{1501,\dots,3000}^{P}}_{\leq 1500}}_{\leq 1500}$$ Se repetirmos este raciocínio sucessivamente chegaremos à conclusão que teremos necessariamente de escolher Esta última afirmação mostra que é impossível existir tal subconjunto $A$ de $X$. Esta resolução diz-nos ainda que se se exigir que $A$ tenha somente 1999 elementos, já a resposta é afirmativa pois $1500+375+94+23+6+1=1999.$ pelo menos 31 elementos do intervalo $[1,46]$: $$1,2,\dots,46,\underbrace{47,\dots,93, \underbrace{94,\dots,187}_{\leq 94}}_{\leq 94}$$ Seja $X=\{1,2,\dots,3000\}$. Tentemos construir um subconjunto $A$ de $X$ de acordo com o enunciado. Como o dobro de qualquer número no intervalo $P=[1501,3000]$ não pertence a $X$ poderíamos pôr qualquer um destes 1500 inteiros em $A$ sem nenhum problema. Evidentemente que depois teríamos que ser cuidadosos na escolha dos elementos de $Q=[751,1500]$ a colocar em $A$: não poderíamos colocar nenhum que fosse metade de um entretanto já escolhido de $P$. É claro que se escolhessemos $k$ inteiros de $Q$ não poderíamos escolher mais do que $1500-k$ inteiros de $P$ e, portanto, no total não poderíamos escolher mais do que 1500 inteiros do intervalo $P\cup Q=[751,3000]$. Portanto, de modo a construirmos o conjunto $A$, pelo menos 500 dos seus elementos deverão pertencer ao intervalo $[1,750]$: $$1,2,\dots,750,\underbrace{\overbrace{751,\dots,1500}^{Q}, \underbrace{\overbrace{1501,\dots,3000}^{P}}_{\leq 1500}}_{\leq 1500}$$ Se repetirmos este raciocínio sucessivamente chegaremos à conclusão que teremos necessariamente de escolher Esta última afirmação mostra que é impossível existir tal subconjunto $A$ de $X$. Esta resolução diz-nos ainda que se se exigir que $A$ tenha somente 1999 elementos, já a resposta é afirmativa pois $1500+375+94+23+6+1=1999.$ pelo menos 8 elementos do intervalo $[1,11]$: $$1,2,\dots,11,\underbrace{12,\dots,23, \underbrace{24,\dots,46}_{\leq 23}}_{\leq 23}$$ Seja $X=\{1,2,\dots,3000\}$. Tentemos construir um subconjunto $A$ de $X$ de acordo com o enunciado. Como o dobro de qualquer número no intervalo $P=[1501,3000]$ não pertence a $X$ poderíamos pôr qualquer um destes 1500 inteiros em $A$ sem nenhum problema. Evidentemente que depois teríamos que ser cuidadosos na escolha dos elementos de $Q=[751,1500]$ a colocar em $A$: não poderíamos colocar nenhum que fosse metade de um entretanto já escolhido de $P$. É claro que se escolhessemos $k$ inteiros de $Q$ não poderíamos escolher mais do que $1500-k$ inteiros de $P$ e, portanto, no total não poderíamos escolher mais do que 1500 inteiros do intervalo $P\cup Q=[751,3000]$. Portanto, de modo a construirmos o conjunto $A$, pelo menos 500 dos seus elementos deverão pertencer ao intervalo $[1,750]$: $$1,2,\dots,750,\underbrace{\overbrace{751,\dots,1500}^{Q}, \underbrace{\overbrace{1501,\dots,3000}^{P}}_{\leq 1500}}_{\leq 1500}$$ Se repetirmos este raciocínio sucessivamente chegaremos à conclusão que teremos necessariamente de escolher Esta última afirmação mostra que é impossível existir tal subconjunto $A$ de $X$. Esta resolução diz-nos ainda que se se exigir que $A$ tenha somente 1999 elementos, já a resposta é afirmativa pois $1500+375+94+23+6+1=1999.$ pelo menos 2 elementos do intervalo $[1,2]$: $$1,2,\underbrace{3,4,5, \underbrace{6,\dots,11}_{\leq 6}}_{\leq 6}$$