Problema (nível 2): Na figura seguinte, o retângulo $[ABCD]$ tem área $60$ cm$^2$. A área do triângulo $[ABE]$ é um quinto da área de $[ABCD]$ e a área do triângulo $[EFC]$ é um oitavo da área do retângulo. Qual é a área do triângulo sombreado? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6.5,4) \pspolygon(0,0)(6,0)(6,5)(0,5) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,5)(3.5,0)(6,3) \psline(0,5)(3.5,0) \psline(3.5,0)(6,3) \psline(0,5)(6,3) \rput(-0.5,5.5){$A$} \rput(6.5,5.5){$B$} \rput(6.5,-0.5){$C$} \rput(-0.5,-0.5){$D$} \rput(6.5,3){$E$} \rput(3.5,-0.5){$F$} \end{pspicture}

Resolução: Do enunciado vem diretamente que: Das duas primeiras igualdades deduzimos que $\displaystyle \overline{AB}=\frac{60}{\overline{BC}}=\frac{24}{\overline{BE}} \Rightarrow \overline{BE}=\frac{2}{5} \overline{BC}$, donde se deduz que $\overline{EC}=\frac{3}{5} \overline{BC}$, e portanto $\displaystyle \overline{EC}=\frac{36}{\overline{AB}}$. Usando agora a terceira igualdade, sabemos que $\displaystyle \overline{EC}=\frac{15}{\overline{CF}}$ donde podemos concluir que $\displaystyle \frac{36}{\overline{AB}}=\frac{15}{\overline{CF}}$ e que $\displaystyle \overline{DF}=\overline{AB}-\frac{15}{36}\overline{AB}=\frac{21}{36}\overline{AB}$. Finalmente podemos calcular que Área$\displaystyle [AFD]=\frac{\overline{AD}\times \overline{DF}}{2}=\dfrac12\overline{BC}\times \frac{21}{36}\overline{AB}=\dfrac12\frac{60\times 21}{36}=17,5$. Área$[AEF]=$Área$[ABCD]$-(Área$[ABE]$+Área$[ECF]$+Área$[EFD]$)$=60-(12+7,5+17,5)=23$cm$^2$. Do enunciado vem diretamente que: Das duas primeiras igualdades deduzimos que $\displaystyle \overline{AB}=\frac{60}{\overline{BC}}=\frac{24}{\overline{BE}} \Rightarrow \overline{BE}=\frac{2}{5} \overline{BC}$, donde se deduz que $\overline{EC}=\frac{3}{5} \overline{BC}$, e portanto $\displaystyle \overline{EC}=\frac{36}{\overline{AB}}$. Usando agora a terceira igualdade, sabemos que $\displaystyle \overline{EC}=\frac{15}{\overline{CF}}$ donde podemos concluir que $\displaystyle \frac{36}{\overline{AB}}=\frac{15}{\overline{CF}}$ e que $\displaystyle \overline{DF}=\overline{AB}-\frac{15}{36}\overline{AB}=\frac{21}{36}\overline{AB}$. Finalmente podemos calcular que Área$\displaystyle [AFD]=\frac{\overline{AD}\times \overline{DF}}{2}=\dfrac12\overline{BC}\times \frac{21}{36}\overline{AB}=\dfrac12\frac{60\times 21}{36}=17,5$. Área$[AEF]=$Área$[ABCD]$-(Área$[ABE]$+Área$[ECF]$+Área$[EFD]$)$=60-(12+7,5+17,5)=23$cm$^2$. Área$[ABCD]=\overline{AB}\times \overline{BC}=60$; Do enunciado vem diretamente que: Das duas primeiras igualdades deduzimos que $\displaystyle \overline{AB}=\frac{60}{\overline{BC}}=\frac{24}{\overline{BE}} \Rightarrow \overline{BE}=\frac{2}{5} \overline{BC}$, donde se deduz que $\overline{EC}=\frac{3}{5} \overline{BC}$, e portanto $\displaystyle \overline{EC}=\frac{36}{\overline{AB}}$. Usando agora a terceira igualdade, sabemos que $\displaystyle \overline{EC}=\frac{15}{\overline{CF}}$ donde podemos concluir que $\displaystyle \frac{36}{\overline{AB}}=\frac{15}{\overline{CF}}$ e que $\displaystyle \overline{DF}=\overline{AB}-\frac{15}{36}\overline{AB}=\frac{21}{36}\overline{AB}$. Finalmente podemos calcular que Área$\displaystyle [AFD]=\frac{\overline{AD}\times \overline{DF}}{2}=\dfrac12\overline{BC}\times \frac{21}{36}\overline{AB}=\dfrac12\frac{60\times 21}{36}=17,5$. Área$[AEF]=$Área$[ABCD]$-(Área$[ABE]$+Área$[ECF]$+Área$[EFD]$)$=60-(12+7,5+17,5)=23$cm$^2$. Área$[ABE]=\frac{\overline{AB}\times \overline{BE}}{2}=12$; Do enunciado vem diretamente que: Das duas primeiras igualdades deduzimos que $\displaystyle \overline{AB}=\frac{60}{\overline{BC}}=\frac{24}{\overline{BE}} \Rightarrow \overline{BE}=\frac{2}{5} \overline{BC}$, donde se deduz que $\overline{EC}=\frac{3}{5} \overline{BC}$, e portanto $\displaystyle \overline{EC}=\frac{36}{\overline{AB}}$. Usando agora a terceira igualdade, sabemos que $\displaystyle \overline{EC}=\frac{15}{\overline{CF}}$ donde podemos concluir que $\displaystyle \frac{36}{\overline{AB}}=\frac{15}{\overline{CF}}$ e que $\displaystyle \overline{DF}=\overline{AB}-\frac{15}{36}\overline{AB}=\frac{21}{36}\overline{AB}$. Finalmente podemos calcular que Área$\displaystyle [AFD]=\frac{\overline{AD}\times \overline{DF}}{2}=\dfrac12\overline{BC}\times \frac{21}{36}\overline{AB}=\dfrac12\frac{60\times 21}{36}=17,5$. Área$[AEF]=$Área$[ABCD]$-(Área$[ABE]$+Área$[ECF]$+Área$[EFD]$)$=60-(12+7,5+17,5)=23$cm$^2$. Área$[ECF]=\frac{\overline{EC}\times \overline{CF}}{2}=7,5$.