Problema (nível 3): O João e a Maria decidiram partilhar uma tablete de chocolate que estava dividida em quadradinhos. O João é muito guloso e, na ausência da Maria, comeu todos os quadradinhos da borda da tablete, na esperança de que a Maria não desse pela diferença. A Maria não se deixou enganar e comeu os restantes quadradinhos. Sabendo que ambos comeram o mesmo número de quadradinhos, quantos quadradinhos podem ter os lados deste tipo de tablete?

Resolução: Considere-se uma tablete de chocolate com $m \times n$ quadradinhos de lado, onde $m \leq n$. Os quadradinhos do meio formam um rectângulo com $(n-2)\times(m-2)=nm-2n-2m+4$ quadradinhos, enquanto que os quadradinhos da borda são $2m+2n-4$. Como estes valores são iguais tem-se $nm-2n-2m+4 =2m+2n-4$, ou seja, $(m-4)(n-4)=8$. Os números $m-4$ e $n-4$ são divisores de $8=2^3$. Então, têm-se as seguintes possibilidades: Portanto, os lados duma tablete deste tipo ou têm $5$ e $12$ quadradinhos ou têm $6$ e $8$ quadradinhos. Considere-se uma tablete de chocolate com $m \times n$ quadradinhos de lado, onde $m \leq n$. Os quadradinhos do meio formam um rectângulo com $(n-2)\times(m-2)=nm-2n-2m+4$ quadradinhos, enquanto que os quadradinhos da borda são $2m+2n-4$. Como estes valores são iguais tem-se $nm-2n-2m+4 =2m+2n-4$, ou seja, $(m-4)(n-4)=8$. Os números $m-4$ e $n-4$ são divisores de $8=2^3$. Então, têm-se as seguintes possibilidades: Portanto, os lados duma tablete deste tipo ou têm $5$ e $12$ quadradinhos ou têm $6$ e $8$ quadradinhos. $m-4=-4$ e $n-4=-2$, ou seja, $m=0$ e $n=2$; Considere-se uma tablete de chocolate com $m \times n$ quadradinhos de lado, onde $m \leq n$. Os quadradinhos do meio formam um rectângulo com $(n-2)\times(m-2)=nm-2n-2m+4$ quadradinhos, enquanto que os quadradinhos da borda são $2m+2n-4$. Como estes valores são iguais tem-se $nm-2n-2m+4 =2m+2n-4$, ou seja, $(m-4)(n-4)=8$. Os números $m-4$ e $n-4$ são divisores de $8=2^3$. Então, têm-se as seguintes possibilidades: Portanto, os lados duma tablete deste tipo ou têm $5$ e $12$ quadradinhos ou têm $6$ e $8$ quadradinhos. $m-4=-8$ e $n-4=-1$, ou seja, $m=-4$ e $n=3$; Considere-se uma tablete de chocolate com $m \times n$ quadradinhos de lado, onde $m \leq n$. Os quadradinhos do meio formam um rectângulo com $(n-2)\times(m-2)=nm-2n-2m+4$ quadradinhos, enquanto que os quadradinhos da borda são $2m+2n-4$. Como estes valores são iguais tem-se $nm-2n-2m+4 =2m+2n-4$, ou seja, $(m-4)(n-4)=8$. Os números $m-4$ e $n-4$ são divisores de $8=2^3$. Então, têm-se as seguintes possibilidades: Portanto, os lados duma tablete deste tipo ou têm $5$ e $12$ quadradinhos ou têm $6$ e $8$ quadradinhos. $m-4=1$ e $n-4=8$, ou seja, $m=5$ e $n=12$; Considere-se uma tablete de chocolate com $m \times n$ quadradinhos de lado, onde $m \leq n$. Os quadradinhos do meio formam um rectângulo com $(n-2)\times(m-2)=nm-2n-2m+4$ quadradinhos, enquanto que os quadradinhos da borda são $2m+2n-4$. Como estes valores são iguais tem-se $nm-2n-2m+4 =2m+2n-4$, ou seja, $(m-4)(n-4)=8$. Os números $m-4$ e $n-4$ são divisores de $8=2^3$. Então, têm-se as seguintes possibilidades: Portanto, os lados duma tablete deste tipo ou têm $5$ e $12$ quadradinhos ou têm $6$ e $8$ quadradinhos. $m-4=2$ e $n-4=4$, ou seja, $m=6$ e $n=8$.