Problema (nível 3): Num tabuleiro com $3$ colunas e $4$ linhas, cada um dos $12$ quadrados vai ser pintado de verde ou de branco. Na primeira e na última linha, o número de quadrados pintados de verde tem de ser igual. Além disso, na primeira e na última coluna, o número de quadrados pintados de verde também tem de ser igual. De quantas maneiras diferentes é possível pintar o tabuleiro?

Resolução: Vamos dividir as maneiras de pintar a primeira linha em dois casos: ou há mais casas pintadas de branco ou há mais casas pintadas de verde. O número de maneiras de pintar o tabuleiro é igual em cada caso. Por isso, vamos contar as maneiras de pintar o tabuleiro em que na primeira linha há zero ou um quadrados verdes. Os dois quadrados centrais do tabuleiro podem ser pintados de verde ou de branco livremente. Portanto, cada coloração dos restantes quadrados corresponde a quatro maneiras diferentes de pintar o tabuleiro. Finalmente, podemos concluir que há $4\times 2\times (24+16+2)=336$ maneiras diferentes de pintar o tabuleiro. Se depois de pintarmos a primeira e a última linha, o número de quadrados verdes da primeira e da última coluna também for igual, então há $4$ maneiras de pintar a primeira e a última linha. (image1) Para cada um destes casos, há seis maneiras diferentes de pintar os dois quadrados restantes da primeira coluna e os dois quadrados restantes da última coluna: todos de verde, todos de branco e quatro maneiras de pintar um quadrado na primeira e um quadrado na última coluna de cada cor. Há assim $4\times 6=24$ maneiras de colorir o bordo do tabuleiro nestas condições. Se depois de pintarmos a primeira e a última linha, o número de quadrados verdes na primeira e na última coluna diferem em uma unidade, então há $4$ maneiras de pintar a primeira e a última linha. Estas quatro maneiras correspondem a pintar um dos cantos do tabuleiro e o quadrado central da linha oposta de verde, e os restantes quadrados da primeira e da última linha de branco. Para cada um destes casos, há quatro maneiras diferentes de pintar os dois quadrados restantes da primeira coluna e os dois quadrados restantes da última coluna. A figura mostra essas quatro manieras quando o canto superior esquerdo está pintado de verde. Temos assim $4\times 4=16$ maneiras de colorir o bordo do tabuleiro nestas condições. (image2) Se depois de pintarmos a primeira e a última linha, o número de quadrados verdes na primeira e na última coluna diferem em duas unidades, então há apenas duas maneiras de pintar a primeira e a última linha: pintar dois cantos do mesmo lado de verde. Em cada um destes dois casos, só existe uma maneira de pintar os quadrados centrais da primeira e da última coluna. (image3)


Conteúdo referenciado:
[image1]
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[image2]
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[image3]
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