Problema (nível 3): O Artur pensou num número inteiro positivo e reparou que a soma dos seus três divisores mais pequenos é $17$ e que a soma dos seus três maiores divisores é $3905$. Indica todos os números em que o Artur pode ter pensado.

Resolução: Seja $n$ um número em que o Artur pode ter pensado. O mais pequeno divisor de $n$ é $1$, pelo que os dois divisores seguintes têm de somar $16$. O divisor seguinte de $n$ terá de ser primo menor do que $8$, pelo que temos as seguintes possibilidades: Assim, as únicas possibilidades para os menores divisores de $n$ são $(1,3,13)$ e $(1,5,11)$. 1º caso – $(1,3,13)$: Os maiores divisores de $n$ são $(n,n/3,n/13)$ e então $n+n/3+n/13=3905$, pelo que $n=2769$. 2º caso – $(1,5,11)$: Os maiores divisores de $n$ são $(n,n/5,n/11)$ e então $n+n/5+n/11=3905$, pelo que $n=3025$. Assim, existem duas soluções, $2769$ e $3025$. Seja $n$ um número em que o Artur pode ter pensado. O mais pequeno divisor de $n$ é $1$, pelo que os dois divisores seguintes têm de somar $16$. O divisor seguinte de $n$ terá de ser primo menor do que $8$, pelo que temos as seguintes possibilidades: Assim, as únicas possibilidades para os menores divisores de $n$ são $(1,3,13)$ e $(1,5,11)$. 1º caso – $(1,3,13)$: Os maiores divisores de $n$ são $(n,n/3,n/13)$ e então $n+n/3+n/13=3905$, pelo que $n=2769$. 2º caso – $(1,5,11)$: Os maiores divisores de $n$ são $(n,n/5,n/11)$ e então $n+n/5+n/11=3905$, pelo que $n=3025$. Assim, existem duas soluções, $2769$ e $3025$. Se fosse $2$, o outro seria $14$, mas então $7$ também seria um divisor e seria mais pequeno; Seja $n$ um número em que o Artur pode ter pensado. O mais pequeno divisor de $n$ é $1$, pelo que os dois divisores seguintes têm de somar $16$. O divisor seguinte de $n$ terá de ser primo menor do que $8$, pelo que temos as seguintes possibilidades: Assim, as únicas possibilidades para os menores divisores de $n$ são $(1,3,13)$ e $(1,5,11)$. 1º caso – $(1,3,13)$: Os maiores divisores de $n$ são $(n,n/3,n/13)$ e então $n+n/3+n/13=3905$, pelo que $n=2769$. 2º caso – $(1,5,11)$: Os maiores divisores de $n$ são $(n,n/5,n/11)$ e então $n+n/5+n/11=3905$, pelo que $n=3025$. Assim, existem duas soluções, $2769$ e $3025$. Se fosse $3$, o outro seria $13$; Seja $n$ um número em que o Artur pode ter pensado. O mais pequeno divisor de $n$ é $1$, pelo que os dois divisores seguintes têm de somar $16$. O divisor seguinte de $n$ terá de ser primo menor do que $8$, pelo que temos as seguintes possibilidades: Assim, as únicas possibilidades para os menores divisores de $n$ são $(1,3,13)$ e $(1,5,11)$. 1º caso – $(1,3,13)$: Os maiores divisores de $n$ são $(n,n/3,n/13)$ e então $n+n/3+n/13=3905$, pelo que $n=2769$. 2º caso – $(1,5,11)$: Os maiores divisores de $n$ são $(n,n/5,n/11)$ e então $n+n/5+n/11=3905$, pelo que $n=3025$. Assim, existem duas soluções, $2769$ e $3025$. Se fosse $5$, o outro seria $11$; Seja $n$ um número em que o Artur pode ter pensado. O mais pequeno divisor de $n$ é $1$, pelo que os dois divisores seguintes têm de somar $16$. O divisor seguinte de $n$ terá de ser primo menor do que $8$, pelo que temos as seguintes possibilidades: Assim, as únicas possibilidades para os menores divisores de $n$ são $(1,3,13)$ e $(1,5,11)$. 1º caso – $(1,3,13)$: Os maiores divisores de $n$ são $(n,n/3,n/13)$ e então $n+n/3+n/13=3905$, pelo que $n=2769$. 2º caso – $(1,5,11)$: Os maiores divisores de $n$ são $(n,n/5,n/11)$ e então $n+n/5+n/11=3905$, pelo que $n=3025$. Assim, existem duas soluções, $2769$ e $3025$. Se fosse $7$, o outro seria $9$, mas então $3$ também seria um divisor e seria mais pequeno.