Problema (nível 4): Num campeonato desportivo participam dez equipas, cinco portuguesas e cinco espanholas. Cada equipa joga com quatro equipas diferentes: um jogo em casa e outro jogo fora contra equipas portuguesas; e um jogo em casa e outro jogo fora contra equipas espanholas. De quantas maneiras diferentes é possível escolher os jogos deste campeonato?

Resolução: Começamos por fixar uma das equipas portuguesas $A$. Para o jogo em casa desta equipa contra outra equipa portuguesa há $4$ hipótese de escolha. Essa equipa vai jogar em casa contra uma das outras $3$ equipas portuguesas. A terceira equipa $C$ não pode jogar em casa contra $A$, porque sobrariam apenas duas equipas portuguesas que teriam que jogar entre si duas vezes. Sendo assim, $C$ joga em casa contra uma das duas equipas que faltam, e esta recebe a última, que finalmente recebe a equipa $A$ que fixámos originalmente. Este raciocínio não depende da equipa que escolhemos em primeiro lugar. Há assim $4\times 3\times 2=24$ escolhas para os jogos entre equipas portuguesas. De igual modo, há $24$ escolhas para os jogos entre equipas espanholas. Para os jogos entre equipas dos dois países, temos duas maneiras diferentes de organizar os jogos. Em conclusão, há $24\times 24\times (2400+2880)=3041280$ maneiras diferentes de escolher os jogos deste campeonato. Começamos por fixar uma das equipas portuguesas $A$. Para o jogo em casa desta equipa contra outra equipa portuguesa há $4$ hipótese de escolha. Essa equipa vai jogar em casa contra uma das outras $3$ equipas portuguesas. A terceira equipa $C$ não pode jogar em casa contra $A$, porque sobrariam apenas duas equipas portuguesas que teriam que jogar entre si duas vezes. Sendo assim, $C$ joga em casa contra uma das duas equipas que faltam, e esta recebe a última, que finalmente recebe a equipa $A$ que fixámos originalmente. Este raciocínio não depende da equipa que escolhemos em primeiro lugar. Há assim $4\times 3\times 2=24$ escolhas para os jogos entre equipas portuguesas. De igual modo, há $24$ escolhas para os jogos entre equipas espanholas. Para os jogos entre equipas dos dois países, temos duas maneiras diferentes de organizar os jogos. Em conclusão, há $24\times 24\times (2400+2880)=3041280$ maneiras diferentes de escolher os jogos deste campeonato. Existem duas equipas portuguesas $A$ e $B$ e duas equipas espanholas $X$ e $Y$ tais que $A$ e $B$ jogam contra $X$ e $Y$. Neste caso, é preciso apenas escolher se $A$ joga em casa com $X$ ou com $Y$, ou seja, há duas hipóteses. Neste cenário, as restantes $3+3$ equipas terão que jogar entre si. A “primeira” equipa portuguesa recebe uma das $3$ espanholas e esta recebe uma das duas restantes portuguesas e assim sucessivamente, num total de $3\times 2\times 2=12$ escolhas diferentes. Nesta maneira de organizar os jogos, é preciso ainda escolher as duas equipas portuguesas $A$ e $B$ de entre as cinco participantes, e as duas equipas espanholas $X$ e $Y$. Em cada um dos casos, há $10$ maneiras diferentes de escolher as duas equipas. Para este caso, temos um total de $2\times 12 \times 10 \times 10=2400$ escolhas. Começamos por fixar uma das equipas portuguesas $A$. Para o jogo em casa desta equipa contra outra equipa portuguesa há $4$ hipótese de escolha. Essa equipa vai jogar em casa contra uma das outras $3$ equipas portuguesas. A terceira equipa $C$ não pode jogar em casa contra $A$, porque sobrariam apenas duas equipas portuguesas que teriam que jogar entre si duas vezes. Sendo assim, $C$ joga em casa contra uma das duas equipas que faltam, e esta recebe a última, que finalmente recebe a equipa $A$ que fixámos originalmente. Este raciocínio não depende da equipa que escolhemos em primeiro lugar. Há assim $4\times 3\times 2=24$ escolhas para os jogos entre equipas portuguesas. De igual modo, há $24$ escolhas para os jogos entre equipas espanholas. Para os jogos entre equipas dos dois países, temos duas maneiras diferentes de organizar os jogos. Em conclusão, há $24\times 24\times (2400+2880)=3041280$ maneiras diferentes de escolher os jogos deste campeonato. Se a hipótese anterior não ocorrer, então a primeira equipa portuguesa recebe uma das $5$ equipas espanholas, que recebe uma das $4$ portuguesas que ainda não foi escolhida, e assim sucessivamente até a última equipa espanhola receber a primeira equipa portuguesa. Temos então $5\times 4^2\times 3^2\times 2^2=2880$ escolhas.