Problema (nível 3): O Alexandre e o César combinaram jogar, em cada dia de uma semana, uma partida de ténis de mesa. Uma vitória no primeiro dia vale um ponto, uma vitória no segundo dia vale dois pontos, uma vitória no terceiro dia vale três pontos, e assim sucessivamente, até ao sétimo dia, no qual uma vitória vale sete pontos. Cada derrota vale sempre zero pontos e nunca há empates. Uma forma de o César obter mais pontos do que o Alexandre é, por exemplo, ganhar no segundo, sexto e sétimo dias. De quantas formas pode o César obter mais pontos do que o Alexandre?

Resolução: Solução 1: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Entre os $2^7=128$ resultados possíveis para os jogos durante a semana, há $8$ formas distintas de o César terminar a semana com $14$ pontos, empatando com o Alexandre: $$(image1) $$ Por outro lado, há tantas formas de o César terminar a semana com mais pontos do que o Alexandre, como de o Alexandre terminar com mais pontos do que o César. Logo há $\frac{128-8}{2}=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Solução 2: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Logo, para que o César obtenha mais pontos, terá que obter pelo menos $15$ pontos. Logo há $16+14+13+8+3+3+2+1=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Solução 1: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Entre os $2^7=128$ resultados possíveis para os jogos durante a semana, há $8$ formas distintas de o César terminar a semana com $14$ pontos, empatando com o Alexandre: $$(image2) $$ Por outro lado, há tantas formas de o César terminar a semana com mais pontos do que o Alexandre, como de o Alexandre terminar com mais pontos do que o César. Logo há $\frac{128-8}{2}=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Solução 2: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Logo, para que o César obtenha mais pontos, terá que obter pelo menos $15$ pontos. Logo há $16+14+13+8+3+3+2+1=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Suponha-se primeiro que o César ganha nos três últimos dias da prova. Então o César obterá mais pontos do que o Alexandre, independentemente dos resultados nos quatro primeiros dias. Há $2\times 2\times 2\times 2=16$ resultados possíveis para o conjunto dos quatro primeiros dias. Solução 1: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Entre os $2^7=128$ resultados possíveis para os jogos durante a semana, há $8$ formas distintas de o César terminar a semana com $14$ pontos, empatando com o Alexandre: $$(image3) $$ Por outro lado, há tantas formas de o César terminar a semana com mais pontos do que o Alexandre, como de o Alexandre terminar com mais pontos do que o César. Logo há $\frac{128-8}{2}=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Solução 2: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Logo, para que o César obtenha mais pontos, terá que obter pelo menos $15$ pontos. Logo há $16+14+13+8+3+3+2+1=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Suponha-se agora que o César ganha nos dois últimos dias da prova, mas perde no quinto dia. Como $6+7=13$, o César não obterá mais pontos do que o Alexandre apenas se também perder nos segundo, terceiro e quarto dias. Logo há $16-2=14$ resultados possíveis para o conjunto dos quatro primeiros dias que permitem ao César obter mais pontos. Solução 1: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Entre os $2^7=128$ resultados possíveis para os jogos durante a semana, há $8$ formas distintas de o César terminar a semana com $14$ pontos, empatando com o Alexandre: $$(image4) $$ Por outro lado, há tantas formas de o César terminar a semana com mais pontos do que o Alexandre, como de o Alexandre terminar com mais pontos do que o César. Logo há $\frac{128-8}{2}=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Solução 2: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Logo, para que o César obtenha mais pontos, terá que obter pelo menos $15$ pontos. Logo há $16+14+13+8+3+3+2+1=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Suponha-se agora que o César ganha nos quinto e sétimo dias, mas perde no sexto dia. Como $5+7=12$, o César não obterá mais pontos do que o Alexandre apenas se também perder nos terceiro e quarto dias, e pelo menos no primeiro ou no segundo dia. Logo há $16-3=13$ resultados possíveis para o conjunto dos quatro primeiros dias que permitem ao César obter mais pontos. Solução 1: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Entre os $2^7=128$ resultados possíveis para os jogos durante a semana, há $8$ formas distintas de o César terminar a semana com $14$ pontos, empatando com o Alexandre: $$(image5) $$ Por outro lado, há tantas formas de o César terminar a semana com mais pontos do que o Alexandre, como de o Alexandre terminar com mais pontos do que o César. Logo há $\frac{128-8}{2}=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Solução 2: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Logo, para que o César obtenha mais pontos, terá que obter pelo menos $15$ pontos. Logo há $16+14+13+8+3+3+2+1=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Suponha-se agora que o César ganha nos quintos e sexto dias, mas perde no sétimo dia. Se ganhar no quarto dia, então o César obterá mais pontos do que o Alexandre, independentemente dos $2\times 2\times 2=8$ resultados possíveis para os três primeiros dias. Se perder no quarto dia, então o César obterá mais pontos do que o Alexandre apenas se ganhar no terceiro dia e em pelo menos mais algum dia, o que dá mais $3$ possibilidades. Solução 1: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Entre os $2^7=128$ resultados possíveis para os jogos durante a semana, há $8$ formas distintas de o César terminar a semana com $14$ pontos, empatando com o Alexandre: $$(image6) $$ Por outro lado, há tantas formas de o César terminar a semana com mais pontos do que o Alexandre, como de o Alexandre terminar com mais pontos do que o César. Logo há $\frac{128-8}{2}=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Solução 2: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Logo, para que o César obtenha mais pontos, terá que obter pelo menos $15$ pontos. Logo há $16+14+13+8+3+3+2+1=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Suponha-se agora que o César ganha no sétimo dia e perde nos quinto e sexto dias. Então para que obtenha mais pontos do que o Alexandre, tem que ganhar nos terceiro e quarto dias, e em pelo menos um dos dois primeiros dias. Isto dá mais $3$ possibilidades. Solução 1: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Entre os $2^7=128$ resultados possíveis para os jogos durante a semana, há $8$ formas distintas de o César terminar a semana com $14$ pontos, empatando com o Alexandre: $$(image7) $$ Por outro lado, há tantas formas de o César terminar a semana com mais pontos do que o Alexandre, como de o Alexandre terminar com mais pontos do que o César. Logo há $\frac{128-8}{2}=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Solução 2: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Logo, para que o César obtenha mais pontos, terá que obter pelo menos $15$ pontos. Logo há $16+14+13+8+3+3+2+1=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Suponha-se agora que o César ganha no sexto dia e perde nos quinto e sétimo dias. Então para que obtenha mais pontos do que o Alexandre, tem que ganhar nos segundo, terceiro e quarto dias, independentemente do resultado no primeiro dia. Isto dá mais $2$ possibilidades. Solução 1: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Entre os $2^7=128$ resultados possíveis para os jogos durante a semana, há $8$ formas distintas de o César terminar a semana com $14$ pontos, empatando com o Alexandre: $$(image8) $$ Por outro lado, há tantas formas de o César terminar a semana com mais pontos do que o Alexandre, como de o Alexandre terminar com mais pontos do que o César. Logo há $\frac{128-8}{2}=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. Solução 2: Observe-se primeiro que $1+2+3+4+5+6+7=28$. Logo, para que o César obtenha mais pontos, terá que obter pelo menos $15$ pontos. Logo há $16+14+13+8+3+3+2+1=60$ formas de o César obter mais pontos do que o Alexandre. A única possibilidade que resta para que o César obtenha mais pontos do que o Alexandre, é aquela em que vence nos cinco primeiros dias e perde nos dois últimos.


Conteúdo referenciado:
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\begin{array}{p{3cm}p{3cm}p{3cm}p{3cm}} $7+6+1$,& $7+5+2$,& $7+4+3$,& $7+4+2+1$,\\ $5+4+3+2$,& $6+4+3+1$,& $6+5+2+1$,& $6+5+3$. \end{array}
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[image8]
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