Problema (nível 4): Uma rua de sentido único tem $4$ lugares de estacionamento, numerados de $1$ a $4$. Nesta rua conduzem $4$ condutores à procura de estacionamento. Cada um dos condutores tem o seu lugar de estacionamento favorito, respetivamente $x_1$, $x_2$, $x_3$ e $x_4$, e estaciona nele, se estiver livre. Caso contrário estaciona no primeiro lugar livre após o seu lugar favorito. Se não há lugares livres após o seu lugar favorito o condutor desiste de estacionar e vai-se embora. Por exemplo, se o primeiro condutor prefere o lugar $x_1=2$, o segundo condutor prefere o lugar $x_2=4$, o terceiro condutor prefere o lugar $x_3=2$ e o quarto condutor prefere o lugar $x_4=1$, conseguem todos estacionar: o primeiro no lugar $2$, o segundo no lugar $4$, o terceiro no lugar $3$ e o quarto no lugar $1$. Dizemos então que $(2,4,2,1)$ é uma lista de preferências adequada. Quantas listas $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ de preferências adequadas existem?

Resolução: Solução 1: Notemos que para uma lista $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ não ser adequada tem que ocorrer exatamente um dos seguintes três casos: Assim, há $81+32+18=131$ listas não adequadas. Como o número total de listas sem restrições é $4^4=256$, então há $256-131=125$ listas adequadas. Solução 2: Adicionemos um lugar extra após o $4.^\circ$ lugar, designado por lugar $5$, e rearranjemos os lugares de estacionamento num circulo. É claro que agora todos os condutores podem estacionar e haverá exatamente um lugar de estacionamento livre após todos os condutores estacionarem. Nesta situação, uma lista de preferências é adequada se e só se o lugar $5$ é o lugar livre após todos os condutores estacionarem. Por simetria, apenas $1/5$ das $5^4$ listas de preferências $(a_1,a_2,a_3,a_4)$, com $a_i\in\{1,2,3,4,5\}$ para $i=1,2,3,4$, leva a que o lugar $5$ fique livre, pelo que há exatamente $5^3=125$ listas de preferências adequadas. Solução 1: Notemos que para uma lista $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ não ser adequada tem que ocorrer exatamente um dos seguintes três casos: Assim, há $81+32+18=131$ listas não adequadas. Como o número total de listas sem restrições é $4^4=256$, então há $256-131=125$ listas adequadas. Solução 2: Adicionemos um lugar extra após o $4.^\circ$ lugar, designado por lugar $5$, e rearranjemos os lugares de estacionamento num circulo. É claro que agora todos os condutores podem estacionar e haverá exatamente um lugar de estacionamento livre após todos os condutores estacionarem. Nesta situação, uma lista de preferências é adequada se e só se o lugar $5$ é o lugar livre após todos os condutores estacionarem. Por simetria, apenas $1/5$ das $5^4$ listas de preferências $(a_1,a_2,a_3,a_4)$, com $a_i\in\{1,2,3,4,5\}$ para $i=1,2,3,4$, leva a que o lugar $5$ fique livre, pelo que há exatamente $5^3=125$ listas de preferências adequadas. todos as preferências $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ estão em $\{2,3,4\}$ – neste caso há $3$ escolhas para cada preferência, logo ao todo há $3^4=81$ listas possíveis. Solução 1: Notemos que para uma lista $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ não ser adequada tem que ocorrer exatamente um dos seguintes três casos: Assim, há $81+32+18=131$ listas não adequadas. Como o número total de listas sem restrições é $4^4=256$, então há $256-131=125$ listas adequadas. Solução 2: Adicionemos um lugar extra após o $4.^\circ$ lugar, designado por lugar $5$, e rearranjemos os lugares de estacionamento num circulo. É claro que agora todos os condutores podem estacionar e haverá exatamente um lugar de estacionamento livre após todos os condutores estacionarem. Nesta situação, uma lista de preferências é adequada se e só se o lugar $5$ é o lugar livre após todos os condutores estacionarem. Por simetria, apenas $1/5$ das $5^4$ listas de preferências $(a_1,a_2,a_3,a_4)$, com $a_i\in\{1,2,3,4,5\}$ para $i=1,2,3,4$, leva a que o lugar $5$ fique livre, pelo que há exatamente $5^3=125$ listas de preferências adequadas. existe uma preferência igual a $1$ e três preferências estão em $\{3,4\}$ – neste caso, temos $4$ possibilidades para a preferência igual a $1$ e para as restantes há $2$ escolhas, logo ao todo há $4\times 2^3=32$ listas possíveis. Solução 1: Notemos que para uma lista $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ não ser adequada tem que ocorrer exatamente um dos seguintes três casos: Assim, há $81+32+18=131$ listas não adequadas. Como o número total de listas sem restrições é $4^4=256$, então há $256-131=125$ listas adequadas. Solução 2: Adicionemos um lugar extra após o $4.^\circ$ lugar, designado por lugar $5$, e rearranjemos os lugares de estacionamento num circulo. É claro que agora todos os condutores podem estacionar e haverá exatamente um lugar de estacionamento livre após todos os condutores estacionarem. Nesta situação, uma lista de preferências é adequada se e só se o lugar $5$ é o lugar livre após todos os condutores estacionarem. Por simetria, apenas $1/5$ das $5^4$ listas de preferências $(a_1,a_2,a_3,a_4)$, com $a_i\in\{1,2,3,4,5\}$ para $i=1,2,3,4$, leva a que o lugar $5$ fique livre, pelo que há exatamente $5^3=125$ listas de preferências adequadas. existe uma preferência igual a $1$, outra em $\{1,2\}$ e duas preferências iguais a $4$ – neste caso, temos $6$ possibilidades para as preferências iguais a $4$ e $3$ possibilidades para as restantes, nomeadamente, $1-1$, $1-2$ ou $2-1$. Logo, ao todo, há $6\times 3=18$ listas possíveis.