Problema (nível 4): Sejam $[ABC]$ um triângulo equilátero e $[ABDE]$ um retângulo tais que ambas as figuras têm a mesma área. Os pontos $C$, $D$ e $E$ estão do mesmo lado da recta $AB$. Qual é a razão entre a área da região formada pela interseção de ambas as figuras e a área de $[ABC]$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(4,3) \small \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linestyle=none](0,0)(4,0)(3,1.73205)(1,1.73205) \pspolygon(0,0)(4,0)(4;60) \pspolygon(0,0)(4,0)(4,1.732)(0,1.732) \uput[180](0,0){$A$} \uput[0](4,0){$B$} \uput[90](4;60){$C$} \uput[45](4,1.732){$D$} \uput[135](0,1.732){$E$} \end{pspicture}

Resolução: Sejam $F$ o pé da altura de $[ABC]$ relativamente ao lado $[AB]$, e $G$ e $H$ as interseções de $[DE]$ com $[CA]$ e $[CB]$, respetivamente. Solução 1: (image2) Dado que as áreas de $[ABC]$ e $[ABDE]$ são iguais, conclui-se que $$\overline{DB}= \overline{EA}=\frac{1}{2}\overline{CF}.$$ Observa-se assim que os triângulos $[GHC]$ e $[ABC]$ são semelhantes com razão de semelhança $2$. Desta forma, tem-se $$\overline{AB}=2\times\overline{GH}\mbox{ e }\overline{GE}+\overline{HD}=\frac{1}{2}\overline{AB}.$$ Assim, a área da região formada pela interseção de ambas as figuras é \begin{eqnarray*} \lefteqn{\mbox{área de $[ABDE]$ - área de $[GEA]$- área de $[HDB]$}=}\\ &=& \overline{AB}\times \overline{DB} - \frac{\overline{GE}\times \overline{EA}}{2}-\frac{\overline{HD}\times \overline{DB}}{2}\\ &=& \overline{AB}\times \overline{DB} - \frac{(\overline{GE}+\overline{HD)}\times \overline{DB}}{2}\\ &=& \overline{AB}\times\overline{DB} - \frac{\overline{AB}}{2}\times \frac{\overline{DB}}{2}\\ &=& \frac{3}{4}\times \mbox{área de }[ABDE]= \frac{3}{4}\times \mbox{área de }[ABC]. \end{eqnarray*} Portanto, a razão entre a área da região formada pela interseção de ambas as figuras e a área de $[ABC]$ é $\frac{3}{4}.$ Solução 2: Seja $x$ o comprimento do lado de $[ABC]$. Pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo $[AFC]$, tem-se $$ x^2=\overline{FC}^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2 $$ pelo que $\overline{FC}=\dfrac{\sqrt3}{2}x$. Logo a área de $[ABC]$ é $\dfrac{x\times\dfrac{\sqrt3}{2}x}{2}=\dfrac{\sqrt3}{4}x^2$. Dado que as áreas de $[ABC]$ e $[ABDE]$ são iguais, conclui-se que $\overline{DB}=\dfrac{\sqrt3}{4}x.$ Observa-se assim que os triângulos $[GHC]$ e $[ABC]$ são semelhantes com razão de semelhança $2$, logo a área de $[GHC]$ é um quarto da área de $[ABC]$, ou seja, $\dfrac{\sqrt3}{16}x^2$. Assim, a área da região formada pela interseção de ambas as figuras é $\dfrac{\sqrt3}{4}x^2-\dfrac{\sqrt3}{16}x^2=\dfrac{3\sqrt3}{16}x^2$. Portanto, a razão entre a área da região formada pela interseção de ambas as figuras e a área de $[ABC]$ é $$\dfrac{\,\frac{3\sqrt3}{16}x^2\,}{\frac{\sqrt3}{4}x^2}=\dfrac{3}{4}.$$


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[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(4,3.464) \small \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linestyle=none](0,0)(4,0)(3,1.73205)(1,1.73205) \pspolygon(0,0)(4,0)(4;60) \pspolygon(0,0)(4,0)(4,1.732)(0,1.732) \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3.464) \uput[180](0,0){$A$} \uput[0](4,0){$B$} \uput[90](4;60){$C$} \uput[45](4,1.732){$D$} \uput[135](0,1.732){$E$} \uput[270](2,0){$F$} \uput[135](1,1.732){$G$} \uput[45](3,1.732){$H$} \end{pspicture}