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Problema (nível 4): Na figura seguinte, $[ABC]$ é um triângulo equilátero de lado $7$, $[ADE]$ é um triângulo equilátero de lado $3$ e $C$, $E$ e $D$ são colineares. Determina $\overline{BE}$. (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(3,7.5) \pspolygon(0,0)(7;109.1)(7;169.1) \pspolygon(0,0)(3;70.89)(3;10.89) \psline(3;70.89)(7;109.1) \rput[c](0,-0.5){$A$} \rput[c](7.5;169.1){$B$} \rput[c](7.5;109.1){$C$} \rput[c](3.5;10.89){$D$} \rput[c](3.5;69){$E$} \end{pspicture}

Resolução: Resolução 1: Seja $F$ o pé da perpendicular a $CD$ que passa por $A$. Então $[AFE]$ e $[AFC]$ são triângulos retângulos, logo, pelo Teorema de Pitágoras tem-se $$ \overline{CF}^2=\overline{AC}^2-\overline{AF}^2=\overline{AC}^2-(\overline{AE}^2-\overline{EF}^2)=7^2-3^2+\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac{169}{4}. $$ Portanto $\overline{CF}=\dfrac{13}{2}$, pelo que $\overline{CE}=\overline{CF}-\overline{EF}=\dfrac{13}{2}-\dfrac{3}{2}=5$. (image2) Como $B\widehat AE=60^\circ+C\widehat AE=C\widehat AD$, $\overline{BA}=\overline{CA}$ e $\overline{AE}=\overline{AD}$, então os triângulos $[BAE]$ e $[CAD]$ são congruentes. Logo $\overline{BE}=\overline{CD}=\overline{CE}+\overline{ED}=5+3=8$. Resolução 2: Como $A\widehat EC=180^\circ-A\widehat ED=180^\circ-A\widehat BC$, então $[BAEC]$ é um quadrilátero cíclico. Pelo Teorema de Ptolomeu, tem-se $ \overline{AC}\times \overline{BE}=\overline{AB}\times \overline{CE}+\overline{AE}\times \overline{BC} $ , ou seja, $ 7\times\overline{BE}=7\times 5+3\times 7=56. $ Logo $\overline{BE}=8$. Resolução 3: Como $[BAEC]$ é um quadrilátero cíclico, então $B\widehat EA=B\widehat CA=60^\circ$. Pelo Teorema dos Cossenos aplicado ao triângulo $[BEA]$, tem-se $ \overline{AB}^2=\overline{BE}^2+\overline{EA}^2-2\times\overline{BE}\times \overline{EA}\times\cos(B\widehat EA) $ , ou seja, $$ 7^2=\overline{BE}^2+3^2-3\times\overline{BE}. $$ Usando a fórmula resolvente, obtém-se $\overline{BE}=8$.


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[image2]
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(3,7.5) \pspolygon(0,0)(7;109.1)(7;169.1) \pspolygon(0,0)(3;70.89)(3;10.89) \psline(3;70.89)(7;109.1) \psline[linestyle=dashed](0,0)(2.598;40.89) \psline[linestyle=dashed](7;169.1)(3;70.89) \rput[c](0,-0.5){$A$} \rput[c](7.5;169.1){$B$} \rput[c](7.5;109.1){$C$} \rput[c](3.5;10.89){$D$} \rput[c](3.5;69){$E$} \rput[c](3.098;40.89){$F$} \end{pspicture}
Problema (nível 4): Um saco contém $255$ bolas numeradas de $1$ a $255$. Qual é o número máximo de bolas que podem ser retiradas do saco de modo a que, entre as bolas retiradas, nenhuma tenha um número que seja o dobro do de outra?

Resolução: Para cada $k\in \{0,\ldots,7\}$, considere-se o conjunto $A_k=\{2^k,\ldots,2^{k+1}-1\}$ com $2^k$ elementos: $$A_0=\{1\},\quad A_1=\{2,3\},\quad A_2=\{4,5,6,7\},\quad \ldots\quad,\quad A_7=\{128,129,\ldots,255\}.$$ Como nenhum elemento de $A_1\cup A_3\cup A_5\cup A_7$ é o dobro de outro seu elemento, e $A_1\cup A_3\cup A_5\cup A_7$ tem $2^1+2^3+2^5+2^7=170$ elementos, então podem ser retiradas pelo menos $170$ bolas com as propriedades requeridas. Seja $X$ um subconjunto de $\{1,2,\ldots,255\}$ tal que nenhum elemento de $X$ é o dobro de outro elemento de $X$. Para cada número $n$ de $A_6$, apenas um dos números ${n,2n}$ pode estar em $X$. Como em $A_7$ existem $64$ elementos que não são o dobro de um elemento de $A_6$, então $X$ tem no máximo $64+64=128$ elementos de $A_6$ e $A_7$. Do mesmo modo, $X$ tem no máximo $16+16=32$ elementos de $A_4$ e $A_5$, tem no máximo $4+4=8$ elementos de $A_2$ e $A_3$ e tem no máximo $1+1=2$ elementos de $A_0$ e $A_1$. Portanto $X$ tem no máximo $128+32+8+2=170$ elementos. Assim, o número máximo de bolas que podem ser retiradas é $170$.
Problema (nível 4): A Helena e o Luís vão jogar um jogo com dois sacos de berlindes. Eles jogam alternadamente e cada jogada consiste num dos seguintes movimentos: Ganha quem deixar ambos os sacos vazios. Antes de começar a jogar, a Helena contou os berlindes de cada um dos sacos e disse ao Luís "Podes começar tu!", enquanto pensava "Assim vou ganhar de certeza!!!". De que formas poderiam estar distribuídos os berlindes pelos sacos? retirar um berlinde de um dos sacos; retirar um berlinde de cada um dos sacos; passar um berlinde de um saco para o outro.

Resolução: Designe-se por PP uma situação em que ambos os sacos têm um número par de berlindes, por PI quando um dos sacos tem um número par de berlindes e o outro tem um número ímpar e por II quando ambos os sacos têm um número ímpar de berlindes. Se inicialmente se tiver uma situação PP, depois da jogada do Luís há apenas dois resultados possíveis: PI ou II. Em cada um dos casos, a Helena pode voltar a uma situação PP, diminuindo o número total de berlindes. Assim, eventualmente a Helena chegará à situação em que ambos os sacos estão vazios e portanto ganha o jogo. Se inicialmente se tiver uma situação PI ou II, o Luís pode retirar berlindes para obter uma situação PP e portanto eventualmente ganhará o jogo.
Problema (nível 4): No triângulo $[ABC]$ a bissetriz de $\angle BAC$ interseta $[BC]$ em $D$ e o triângulo $[ADC]$ é isósceles com base $[AC]$. Determina o triângulo $[ABC]$ com menor perímetro, sabendo que os comprimentos dos lados dos triângulos $[ABC]$ e $[DAC]$ são números inteiros. (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(7,8) \pspolygon(7,0)(0.75,7.80625)(2.5,0) \psline(2.5,0)(4.75,2.81025) \rput[tl](7,0){$C$} \rput[tr](2.5,0){$A$} \rput[br](0.75,7.80625){$B$} \rput[bl](4.75,2.81025){$D$} \end{pspicture}

Resolução: Sejam $a=\overline{AC}$, $b=\overline{AD}=\overline{DC}$, $c=\overline{BD}$ e $d=\overline{AB}$, números inteiros. (image2) Como $[AD]$ é a bissetriz de $\angle BAC$ e $[DAC]$ é isósceles com base $[AC]$, então $B\widehat AD=D\widehat AC=D\widehat CA$. Então tem-se $[ABC]\sim[DAB]$, logo $$\frac{b+c}{d}=\frac{d}{c}=\dfrac{a}{b}.$$ Seja $k$ o máximo divisor comum de $b$ e $c$. Então $b=ke$, $c=kf$, onde $e$ e $f$ são primos entre si. Portanto, $d^2=c(b+c)=k^2f(e+f)$ e $a^2=\dfrac{b^2d^2}{c^2}=\dfrac{k^2e^2k^2f(e+f)}{k^2f^2}=\dfrac{k^2e^2(e+f)}{f}$. Como $e$ e $f$ são primos entre si e $a$ é inteiro, então $f$ divide $k^2$. Por outro lado, se $k$ e $a$ tivessem algum fator comum, então dividindo $a,b,c,d$ por este fator daria origem a um triângulo nas condições do enunciado, com menor perímetro. Logo, podemos supor que $k$ e $a$ são primos entre si, donde se conclui que $k^2$ divide $f$. Portanto $f=k^2$, o que implica que $c=k^3$, $d^2=k^4(e+k^2)$ e $a^2=e^2(e+k^2)$. Pela desigualdade triangular, tem-se $a<2b$. Elevando ao quadrado, obtém-se $e^2(e+k^2)<4k^2e^2$, ou seja, $e<3k^2$. Se $k=1$, então $e<3$ e portanto $d^2=e+1$ é impossível. Se $k=2$, então $a^2=e^2(e+4)$, $b=2e$, $c=8$, $d^2=16(e+4)$, com $e<12$. Então $e=5$, donde $a=15$, $b=10$, $c=8$, $d=12$. O perímetro de $[ABC]$ é então $15+10+8+12=45$. Se $k\geq 3$, então $d>c\geq 27$, logo o perímetro de $[ABC]$ é maior do que $54$.


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[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(7,8) \pspolygon(7,0)(0.75,7.80625)(2.5,0) \psline(2.5,0)(4.75,2.81025) \rput[tl](7,0){$C$} \rput[tr](2.5,0){$A$} \rput[br](0.75,7.80625){$B$} \rput[bl](4.75,2.81025){$D$} \rput[tl](4.75,-0.20){$a$} \rput[tl](6.0,2.1){$b$} \rput[tl](3.0,2.1){$b$} \rput[tl](2.9,5.6){$c$} \rput[tl](0.7,4.6){$d$} \psarc(2.5,0){0.65}{0}{50} \psarc(2.5,0){0.8}{50}{100} \psarc(7,0){0.65}{130}{180} \end{pspicture}
Problema (nível 4): Quantos números inteiros de $1$ a $1000$ são divisíveis pela parte inteira da sua raiz cúbica?

Resolução: Seja $n$ um número entre $1$ e $1000$. Se $n\in[1,7]$, então a parte inteira de $\sqrt[3]{n}$ é $1$, que divide $n$. Se $n\in[8,26]$, então a parte inteira de $\sqrt[3]{n}$ é $2$, que divide $n$ em $10$ casos. Se $n\in[27,63]$, então a parte inteira de $\sqrt[3]{n}$ é $3$, que divide $n$ em $13$ casos. Se $n\in[64,124]$, então a parte inteira de $\sqrt[3]{n}$ é $4$, que divide $n$ em $16$ casos. Se $n\in[125,215]$, então a parte inteira de $\sqrt[3]{n}$ é $5$, que divide $n$ em $19$ casos. Se $n\in[216,342]$, então a parte inteira de $\sqrt[3]{n}$ é $6$, que divide $n$ em $22$ casos. Se $n\in[343,511]$, então a parte inteira de $\sqrt[3]{n}$ é $7$, que divide $n$ em $25$ casos. Se $n\in[512,728]$, então a parte inteira de $\sqrt[3]{n}$ é $8$, que divide $n$ em $28$ casos. Se $n\in[729,999]$, então a parte inteira de $\sqrt[3]{n}$ é $9$, que divide $n$ em $31$ casos. Se $n=1000$, então a parte inteira de $\sqrt[3]{n}$ é $10$, que divide $n$. Há portanto $7+10+13+16+19+22+25+28+31+1=172$ números entre $1$ e $1000$ divisíveis pela parte inteira da sua raiz cúbica.
Problema (nível 4): Na figura seguinte, os pontos $E$ e $F$ estão nos prolongamentos de $[AC]$ e $[BC]$, $[ACFG]$ e $[BCED]$ são losangos, $H$ é o ponto de interseção de $AC$ e $BG$, $I$ é o ponto de interseção de $BC$ e $AD$, e $J$ é o ponto de interseção de $AI$ e $BH$. Mostra que $[JICH]$ e $[ABJ]$ têm a mesma área. (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-1,0)(6,6) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](3.26571,0.5769)(3.83082,0.67673)(3.5,2)(2.31572,1.32327) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0)(3.26571,0.5769)(4,0) \psline(-0.97769,3.91077)(4,0) \psline(5.78993,1.02282)(0,0) \psline(0,0)(-0.97769,3.91077) \psline(4,0)(2.52231,5.91077) \psline(2.52231,5.91077)(-0.97769,3.91077) \psline(5.78993,1.02282)(4,0) \psline(0,0)(5.28993,3.02282) \psline(5.28993,3.02282)(5.78993,1.02282) \psline(0,0)(4,0) \rput(0,-0.2){$A$} \rput(4,-0.2){$B$} \rput(3.65,2.3){$C$} \rput(6.0,1.0){$D$} \rput(5.5,3.1){$E$} \rput(2.5,6.2){$F$} \rput(-1.2,3.9){$G$} \rput(2.35,1.6){$H$} \rput(3.95,0.9){$I$} \rput(2.8,0.65){$J$} \end{pspicture}

Resolução: Tem-se área$_{[ABJ]}=$ área$_{[ABH]}\times\dfrac{\overline{BJ}}{\overline{BH}}=$ área$_{[ABC]}\times\dfrac{\overline{AH}}{\overline{AC}}\times\dfrac{\overline{BJ}}{\overline{BH}}$ e área$_{[CIJH]}=$ área$_{[ACI]}-$ área$_{[AHJ]}=$ área$_{[ABC]}\times\dfrac{\overline{CI}}{\overline{CB}}-$ área$_{[ABH]}\times\dfrac{\overline{HJ}}{\overline{BH}}=$ $\qquad\qquad\qquad=$ área$_{[ABC]}\times\left(\dfrac{\overline{CI}}{\overline{CB}}-\dfrac{\overline{AH}}{\overline{AC}}\times\dfrac{\overline{HJ}}{\overline{BH}}\right)$ Então área$_{[ABJ]}=$ área$_{[CIJH]}\Leftrightarrow$AHAC×BJBH=CICB-AHAC×HJBH⇔AHAC=CICB$. Mas, como os lados de um losango são congruentes e, por outro lado, tem-se as semelhanças $[CBH]∼[FBG]$ e $[ACI]∼[AED]$, então $AHAC=1-CHAC=1-CHFG=1-CBFB=FCFB=ACAE=CIED=CICB$, o que prova o pretendido.
Problema (nível 4): A Isabel tem $n$ folhas. Ela quer distribuir os números naturais por estas folhas, ficando cada número apenas numa folha. Além disso, sempre que dois números distintos estiverem na mesma folha, também a sua soma deverá estar nessa folha. Determina qual é o maior número que pode ficar isolado numa folha.

Resolução: Se uma folha contém os números $a$ e $b$, e outra folha contém os números $c$ e $d$, então o número $ac+bd$ tem que pertencer a ambas as folhas, o que é impossível. Portanto conclui-se que cada folha contém no máximo um número, exceto uma folha, que contém todos os restantes números. A esta folha chamar-se-á a folha grande e às restantes folhas pequenas. O número $2n-2$ pode ficar isolado numa folha, se nas restantes $n-2$ folhas pequenas ficarem os números de $1$ a $n-2$. Para mostrar que $2n-2$ é o maior número que pode ficar isolado, suponhamos que o número $N>2n-2$ está numa das folhas pequenas. O número $N$ pode ser decomposto numa soma de duas parcelas de pelo menos $n-1$ formas diferentes, nomeadamente $1+(N-1)$, $2+(N-2)$, $\ldots$, $(n-1)+(N-(n-1))$. Como $N$ não está na folha grande, nenhum destes pares de parcelas está na folha grande. Assim, em cada par, há pelo um número numa folha pequena, o que é impossível, porque apenas há $n-2$ folhas pequenas disponíveis.
Problema (nível 2): O quadrado representado na figura tem $400$ cm$^2$ de área e está dividido em $4$ retângulos geometricamente iguais e um quadrado. A área da região sombreada é $112$ cm$^2$. Qual é o comprimento e a largura de cada um dos retângulos? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-2,0)(0,3.5) \pspolygon(0,0)(20,0)(20,20)(0,20) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](8,8)(8,12)(12,12)(12,20)(20,20)(20,8) \psline(8,0)(8,8)(20,8) \psline(0,12)(12,12)(12,20) \psline(8,8)(8,12) \psline(12,8)(12,12) \end{pspicture}

Resolução: Observe-se que $4$ regiões iguais à sombreada tem área igual à soma da área do quadrado maior com a área de $3$ quadrados iguais ao pequeno, ou seja, $4\times 112=400+3\times($área do quadrado pequeno). Assim, conclui-se que a área do quadrado pequeno é $16$ cm$^2$ e, consequentemente, o seu lado mede $4$ cm. Como o comprimento do lado do quadrado maior é $20$ cm e é igual à soma do lado do quadrado mais pequeno com duas larguras de retângulos, tem-se que a largura de cada retângulo é $8$ cm. Além disso, o lado do quadrado é igual à soma de uma largura e de um comprimento dos retângulos e, portanto, o comprimento de cada retângulo é $12$ cm.
Problema (nível 2): Durante as férias de Verão, o Alberto e o Marco por vezes jogavam duas partidas de xadrez depois do jantar. Por sete vezes, o Alberto ganhou a primeira partida. Sempre que o Marco ganhou a primeira partida, o Alberto ganhou a segunda partida. Em nove dias, um jogador ganhou a primeira partida e o outro ganhou a segunda. E em dois dias, o mesmo jogador ganhou as duas partidas. Nenhuma partida terminou empatada. Quantos foram os dias em que o Alberto ganhou a segunda partida?

Resolução: Quem ganhou as duas partidas em dois dias foi o Alberto, porque sempre que o Marco ganhou a primeira partida, o Alberto ganhou a segunda. Logo, como o Alberto ganhou sete vezes a primeira partida, então em cinco dias ganhou o Alberto a primeira partida e o Marco a segunda. Assim, foram $9-5=4$ os dias em que o Marco ganhou a primeira partida e o Alberto a segunda. Portanto, o Alberto ganhou a segunda partida em $4+2=6$ dias.
Problema (nível 2): A Madalena tem um jardim em forma de "L" que dividiu em três partes, como mostra a figura. Na região do meio, em forma de "V", plantou violetas, e no resto do terreno, plantou margaridas. Quanto mede a área do terreno em que a Madalena plantou violetas? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(4,4)  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo,linestyle=none](0,0)(4,1)(1,1)(1,4) \psline(0,0)(4,1) \psline(0,0)(1,4) \pspolygon(0,0)(4,0)(4,1)(1,1)(1,4)(0,4) \uput[0](4,0.5){$1$ m} \uput[90](0.5,4){$1$ m} \uput[180](0,2){$4$ m} \uput[270](2,0){$4$ m} \end{pspicture}

Resolução: Juntando os dois triângulos que contêm margaridas, obtém-se um retângulo de lados $1$ e $4$ m, ou seja, com área $4$ m$^2$. Como a área total do terreno é de $7$ m$^2$, então a área do terreno com violetas mede $7-4=3$ m$^2$. (image2)


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[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(4,4.5)  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo,linestyle=none](0,0)(4,1)(1,1)(1,4) \psline(0,0)(4,1) \psline(0,0)(1,4) \pspolygon(0,0)(4,0)(4,1)(1,1)(1,4)(0,4) \psline[linestyle=dashed](0,1)(1,1) \psline[linestyle=dashed](0,2)(1,2) \psline[linestyle=dashed](0,3)(1,3) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1) \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,1) \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,1) \uput[0](4,0.5){$1$ m} \uput[90](0.5,4){$1$ m} \uput[180](0,2){$4$ m} \uput[270](2,0){$4$ m} \end{pspicture}
Problema (nível 2): Um tabuleiro quadrado $3\times 3$ é inicialmente preenchido com zeros. De seguida, em cada passo, escolhe-se um quadrado $2\times 2$ e soma-se um a todos os números do quadrado escolhido. Por exemplo, os três primeiros passos podem ser $$ (image1) \rightarrow (image2) \rightarrow (image3) \rightarrow (image4) \rightarrow \cdots $$ O tabuleiro seguinte foi obtido depois de $28$ passos, mas alguns dos números foram apagados. Descobre os números que foram apagados. $$(image5)$$


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[image1]
\begin{array}{|c|c|c|} \hline 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ \hline \;0\; & \;0\; & \;0\; \\ \hline \end{array}
[image2]
\begin{array}{|c|c|c|} \hline 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 1 \\ \hline \;0\; & \;1\; & \;1\; \\ \hline \end{array}
[image3]
\begin{array}{|c|c|c|} \hline 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 2 & 2 \\ \hline \;0\; & \;1\; & \;1\; \\ \hline \end{array}
[image4]
\begin{array}{|c|c|c|} \hline 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 3 & 2 \\ \hline \;1\; & \;2\; & \;1\; \\ \hline \end{array}
[image5]
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \;\;\;& 17 & \;\;\; \\ \hline & & 9 \\ \hline 7 & & \\ \hline \end{array}

Resolução: Como a quadrícula central faz parte de qualquer quadrado $2\times 2$ e foram dados $28$ passos, então na quadrícula central está o número $28$. $$(image6)$$ O número $17$ que está presente no tabuleiro indica que foi escolhido $17$ vezes um dos quadrados $2\times 2$ de cima. Portanto, foi escolhido um dos quadrados $2\times 2$ de baixo $28-17=11$ vezes. Assim, a quadrícula por baixo da quadrícula central contém o número $11$. Do mesmo modo, a quadrícula à esquerda da quadrícula central contém o número $19$. $$(image7)$$ O número $7$ que está presente no tabuleiro indica que foi escolhido $7$ vezes o quadrado $2\times 2$ inferior esquerdo. Portanto, foi escolhido o quadrado $2\times 2$ inferior direito $11-7=4$ vezes. Assim, a quadrícula inferior direita contém o número $4$. Do mesmo modo, as quadrículas restantes contêm os números $12$ e $5$. $$(image8)$$


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[image6]
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \;\;\;& 17 & \;\;\; \\ \hline & 28 & 9 \\ \hline 7 & & \\ \hline \end{array}
[image7]
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \;\;\;& 17 & \;\;\; \\ \hline 19 & 28 & 9 \\ \hline 7 & 11 & \\ \hline \end{array}
[image8]
\begin{array}{|c|c|c|} \hline 12& 17 & \;5\; \\ \hline 19 & 28 & 9 \\ \hline 7 & 11 & 4\\ \hline \end{array}
Problema (nível 2): Numa folha quadrada de lado $10$ cm, o António usou a seguinte planificação para construir um cubo. Qual foi a área desperdiçada da folha? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(5,5) \pspolygon(0,0)(5,0)(5,5)(0,5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](4,0)(5,1)(4,2)(5,3)(4,4)(3,3)(1,5)(0,4)(1,3)(0,2)(1,1)(2,2) \psline(2,4)(1,3)(2,2)(3,3)(4,2)(3,1) \end{pspicture}

Resolução: Dividindo a folha em $25$ quadrados de lado $2$ cm, observa-se que foram desperdiçados $6$ quadrados e $14$ meios quadrados. (image2) Portanto ao todo foi desperdiçada uma área de $(6+14/2)\times 4=52$ cm$^2$.


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[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(5,5) \pspolygon(0,0)(5,0)(5,5)(0,5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](4,0)(5,1)(4,2)(5,3)(4,4)(3,3)(1,5)(0,4)(1,3)(0,2)(1,1)(2,2) \psline(2,4)(1,3)(2,2)(3,3)(4,2)(3,1) \psline(0,1)(5,1) \psline(0,2)(5,2) \psline(0,3)(5,3) \psline(0,4)(5,4) \psline(1,0)(1,5) \psline(2,0)(2,5) \psline(3,0)(3,5) \psline(4,0)(4,5) \end{pspicture}
Problema (nível 2): Um número de cinco algarismos $abcde$ diz-se uma montanha se os seus algarismos verificarem as desigualdades $a<b<c>d>e$. Por exemplo, $68987$ é uma montanha. Quantas montanhas existem maiores do que esta?

Resolução: Se $abcde$ é um montanha maior do que $68987$, então $a=7$, $b=8$ e $c=9$. O algarismo $d$ pode variar de $1$ até $8$ e, para um dado valor de $d$, o algarismo $e$ pode variar de $0$ até $d-1$, ou seja, existem $d$ possibilidades. Logo ao todo há $1+2+3+4+5+6+7+8=36$ possibilidades para os algarimos $d$ e $e$.
Problema (nível 2): O Dinis pegou numa caixa de palitos, todos com o mesmo comprimento, e construiu os hexágonos de lado $1$ e de lado $2$ da figura. De quantos palitos precisaria o Dinis para construir o hexágono de lado $9$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,-2.0)(4.5,1.0) \rput(-2,-0.866){\psline(0,0)(1;0) \psline(0,0)(1;60) \psline(0,0)(1;120) \psline(0,0)(1;180) \psline(0,0)(1;240) \psline(0,0)(1;300) \psline(0,0)(1;0) \psline(1;0)(1;60) \psline(1;60)(1;120) \psline(1;120)(1;180) \psline(1;180)(1;240) \psline(1;240)(1;300) \psline(1;300)(1;360)} \rput(3,0){\psline(0,0)(1;0) \psline(0,0)(1;60) \psline(0,0)(1;120) \psline(0,0)(1;180) \psline(0,0)(1;240) \psline(0,0)(1;300) \psline(0,0)(1;0) \psline(1;0)(1;60) \psline(1;60)(1;120) \psline(1;120)(1;180) \psline(1;180)(1;240) \psline(1;240)(1;300) \psline(1;300)(1;360)} \rput(4,0){\psline(0,0)(1;0) \psline(0,0)(1;60) \psline(0,0)(1;120) \psline(0,0)(1;180) \psline(0,0)(1;240) \psline(0,0)(1;300) \psline(0,0)(1;0) \psline(1;0)(1;60) \psline(1;60)(1;120) \psline(1;120)(1;180) \psline(1;180)(1;240) \psline(1;240)(1;300) \psline(1;300)(1;360)} \rput(3.5,-0.866){\psline(0,0)(1;0) \psline(0,0)(1;60) \psline(0,0)(1;120) \psline(0,0)(1;180) \psline(0,0)(1;240) \psline(0,0)(1;300) \psline(0,0)(1;0) \psline(1;0)(1;60) \psline(1;60)(1;120) \psline(1;120)(1;180) \psline(1;180)(1;240) \psline(1;240)(1;300) \psline(1;300)(1;360)} \rput(2.5,-0.866){\psline(0,0)(1;0) \psline(0,0)(1;60) \psline(0,0)(1;120) \psline(0,0)(1;180) \psline(0,0)(1;240) \psline(0,0)(1;300) \psline(0,0)(1;0) \psline(1;0)(1;60) \psline(1;60)(1;120) \psline(1;120)(1;180) \psline(1;180)(1;240) \psline(1;240)(1;300) \psline(1;300)(1;360)} \rput(3,-1.732){\psline(0,0)(1;0) \psline(0,0)(1;60) \psline(0,0)(1;120) \psline(0,0)(1;180) \psline(0,0)(1;240) \psline(0,0)(1;300) \psline(0,0)(1;0) \psline(1;0)(1;60) \psline(1;60)(1;120) \psline(1;120)(1;180) \psline(1;180)(1;240) \psline(1;240)(1;300) \psline(1;300)(1;360)} \rput(4,-1.732){\psline(0,0)(1;0) \psline(0,0)(1;60) \psline(0,0)(1;120) \psline(0,0)(1;180) \psline(0,0)(1;240) \psline(0,0)(1;300) \psline(0,0)(1;0) \psline(1;0)(1;60) \psline(1;60)(1;120) \psline(1;120)(1;180) \psline(1;180)(1;240) \psline(1;240)(1;300) \psline(1;300)(1;360)} \rput(4.5,-0.866){\psline(0,0)(1;0) \psline(0,0)(1;60) \psline(0,0)(1;120) \psline(0,0)(1;180) \psline(0,0)(1;240) \psline(0,0)(1;300) \psline(0,0)(1;0) \psline(1;0)(1;60) \psline(1;60)(1;120) \psline(1;120)(1;180) \psline(1;180)(1;240) \psline(1;240)(1;300) \psline(1;300)(1;360)} \end{pspicture}

Resolução: Os palitos estão dispostos em três direções. Devido à simetria que existe entre as direções, basta contar o número de palitos dispostos horizontalmente. O cálculo desse número pode-se fazer do seguinte modo: \begin{align*} &9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9=\\ =&2\times (9+10+11+12+13+14+15+16+17)+18=252 \end{align*} Logo o Dinis precisaria de $3\times 252=756$ palitos para construir um hexágono de lado $9$.
Problema (nível 1): No interior de um terreno retangular com $5$ metros de comprimento e $3$ de largura, o senhor João construiu uma piscina retangular com um terço da área do retângulo maior. No terreno restante plantou orquídeas e rosas em áreas iguais, como se indica na figura. Qual é a área de terreno com orquídeas? (image1)


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\begin{pspicture}(-2,6)(0,0) \pspolygon(0,0)(5,0)(5,3)(0,3) \pspolygon[fillstyle=solid,linestyle=none,fillcolor=azullogotipo,opacity=1.0](1.056,0.634)(3.943,0.634)(3.943,2.366)(1.056,2.366) \pspolygon[linestyle=dashed](1.056,0.634)(3.943,0.634)(3.943,2.366)(1.056,2.366) \psline[linestyle=dashed](0,3)(5,0) \end{pspicture}

Resolução: Inicialmente o terreno tinha $5\times 3=15$ m${}^2$. A piscina construída pelo senhor João tem $15/3=5$ m$^2$ e o terreno onde plantou tem $15-5=10$ m$^2$. Como foram plantadas iguais áreas de orquídeas e de rosas, a área de terreno com orquideas é $5$ m$^2$.
Problema (nível 1): Um número é teimoso se na sua divisão por $7$ o quociente for igual ao resto. Indica todos os números teimosos.

Resolução: Na divisão de um número por $7$ é possível obter como resto $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$. Assim, os números teimosos são os que divididos por $7$ têm o quociente e o resto iguais e com os valores $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$. Portanto os números teimosos são $0\times 7+0=0$, $1\times 7+1=8$, $2\times 7+2= 16$, $3\times 7+3=24$, $4\times 7+4=32$, $5\times 7+5=40$, $6\times 7+6=48$.