Problema (nível 3): Um grupo de amigos decidiu organizar um torneio de xadrez, onde cada jogador jogou duas vezes contra cada um dos outros. No final do torneio, descobriram que cada jogador tinha ganho exatamente dois jogos, tendo empatado ou perdido todos os restantes. Para além disso, dados dois jogadores quaisquer, cada um deles ganhou ao outro ou ganhou a alguém que tinha ganho ao outro. Qual é o número máximo de amigos que podem ter participado no torneio?

Resolução: O número máximo de jogadores é $6$. Fixemos o jogador $A$. Ele ganhou a dois jogadores, $B$ e $C$. Cada um destes ganhou a dois outros jogadores, $D$ e $E$, e $F$ e $G$ respetivamente. Como para cada jogador $X$, ou $A$ ganhou a $X$, ou $A$ ganhou a alguém que ganhou a $X$, não podem existir mais jogadores para além de $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$, pelo que a resposta não é superior a $7$. Suponhamos que é $7$, ou seja, que todos estes jogadores são diferentes. Como $C$ não ganhou a $A$, $B$, $D$ e $E$, então ganhou a alguém que ganhou a estes jogadores. Logo, as quatro vitórias de $F$ e $G$ têm de ter sido sobre estes quatro jogadores. Mas então o $F$ não ganhou ao $G$ nem ganhou a ninguém que ganhou ao $G$, pelo que não há qualquer distribuição de vitórias que obedeça às regras pretendidas. Para mostrar que com $6$ jogadores é possível, basta considerar, por exemplo, as vitórias: O número máximo de jogadores é $6$. Fixemos o jogador $A$. Ele ganhou a dois jogadores, $B$ e $C$. Cada um destes ganhou a dois outros jogadores, $D$ e $E$, e $F$ e $G$ respetivamente. Como para cada jogador $X$, ou $A$ ganhou a $X$, ou $A$ ganhou a alguém que ganhou a $X$, não podem existir mais jogadores para além de $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$, pelo que a resposta não é superior a $7$. Suponhamos que é $7$, ou seja, que todos estes jogadores são diferentes. Como $C$ não ganhou a $A$, $B$, $D$ e $E$, então ganhou a alguém que ganhou a estes jogadores. Logo, as quatro vitórias de $F$ e $G$ têm de ter sido sobre estes quatro jogadores. Mas então o $F$ não ganhou ao $G$ nem ganhou a ninguém que ganhou ao $G$, pelo que não há qualquer distribuição de vitórias que obedeça às regras pretendidas. Para mostrar que com $6$ jogadores é possível, basta considerar, por exemplo, as vitórias: $A$ ganha a $B$ e a $C$; O número máximo de jogadores é $6$. Fixemos o jogador $A$. Ele ganhou a dois jogadores, $B$ e $C$. Cada um destes ganhou a dois outros jogadores, $D$ e $E$, e $F$ e $G$ respetivamente. Como para cada jogador $X$, ou $A$ ganhou a $X$, ou $A$ ganhou a alguém que ganhou a $X$, não podem existir mais jogadores para além de $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$, pelo que a resposta não é superior a $7$. Suponhamos que é $7$, ou seja, que todos estes jogadores são diferentes. Como $C$ não ganhou a $A$, $B$, $D$ e $E$, então ganhou a alguém que ganhou a estes jogadores. Logo, as quatro vitórias de $F$ e $G$ têm de ter sido sobre estes quatro jogadores. Mas então o $F$ não ganhou ao $G$ nem ganhou a ninguém que ganhou ao $G$, pelo que não há qualquer distribuição de vitórias que obedeça às regras pretendidas. Para mostrar que com $6$ jogadores é possível, basta considerar, por exemplo, as vitórias: $B$ ganha a $D$ e a $E$; O número máximo de jogadores é $6$. Fixemos o jogador $A$. Ele ganhou a dois jogadores, $B$ e $C$. Cada um destes ganhou a dois outros jogadores, $D$ e $E$, e $F$ e $G$ respetivamente. Como para cada jogador $X$, ou $A$ ganhou a $X$, ou $A$ ganhou a alguém que ganhou a $X$, não podem existir mais jogadores para além de $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$, pelo que a resposta não é superior a $7$. Suponhamos que é $7$, ou seja, que todos estes jogadores são diferentes. Como $C$ não ganhou a $A$, $B$, $D$ e $E$, então ganhou a alguém que ganhou a estes jogadores. Logo, as quatro vitórias de $F$ e $G$ têm de ter sido sobre estes quatro jogadores. Mas então o $F$ não ganhou ao $G$ nem ganhou a ninguém que ganhou ao $G$, pelo que não há qualquer distribuição de vitórias que obedeça às regras pretendidas. Para mostrar que com $6$ jogadores é possível, basta considerar, por exemplo, as vitórias: $C$ ganha a $E$ e a $F$; O número máximo de jogadores é $6$. Fixemos o jogador $A$. Ele ganhou a dois jogadores, $B$ e $C$. Cada um destes ganhou a dois outros jogadores, $D$ e $E$, e $F$ e $G$ respetivamente. Como para cada jogador $X$, ou $A$ ganhou a $X$, ou $A$ ganhou a alguém que ganhou a $X$, não podem existir mais jogadores para além de $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$, pelo que a resposta não é superior a $7$. Suponhamos que é $7$, ou seja, que todos estes jogadores são diferentes. Como $C$ não ganhou a $A$, $B$, $D$ e $E$, então ganhou a alguém que ganhou a estes jogadores. Logo, as quatro vitórias de $F$ e $G$ têm de ter sido sobre estes quatro jogadores. Mas então o $F$ não ganhou ao $G$ nem ganhou a ninguém que ganhou ao $G$, pelo que não há qualquer distribuição de vitórias que obedeça às regras pretendidas. Para mostrar que com $6$ jogadores é possível, basta considerar, por exemplo, as vitórias: $D$ ganha a $C$ e a $F$; O número máximo de jogadores é $6$. Fixemos o jogador $A$. Ele ganhou a dois jogadores, $B$ e $C$. Cada um destes ganhou a dois outros jogadores, $D$ e $E$, e $F$ e $G$ respetivamente. Como para cada jogador $X$, ou $A$ ganhou a $X$, ou $A$ ganhou a alguém que ganhou a $X$, não podem existir mais jogadores para além de $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$, pelo que a resposta não é superior a $7$. Suponhamos que é $7$, ou seja, que todos estes jogadores são diferentes. Como $C$ não ganhou a $A$, $B$, $D$ e $E$, então ganhou a alguém que ganhou a estes jogadores. Logo, as quatro vitórias de $F$ e $G$ têm de ter sido sobre estes quatro jogadores. Mas então o $F$ não ganhou ao $G$ nem ganhou a ninguém que ganhou ao $G$, pelo que não há qualquer distribuição de vitórias que obedeça às regras pretendidas. Para mostrar que com $6$ jogadores é possível, basta considerar, por exemplo, as vitórias: $E$ ganha a $D$ e a $A$; O número máximo de jogadores é $6$. Fixemos o jogador $A$. Ele ganhou a dois jogadores, $B$ e $C$. Cada um destes ganhou a dois outros jogadores, $D$ e $E$, e $F$ e $G$ respetivamente. Como para cada jogador $X$, ou $A$ ganhou a $X$, ou $A$ ganhou a alguém que ganhou a $X$, não podem existir mais jogadores para além de $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$, pelo que a resposta não é superior a $7$. Suponhamos que é $7$, ou seja, que todos estes jogadores são diferentes. Como $C$ não ganhou a $A$, $B$, $D$ e $E$, então ganhou a alguém que ganhou a estes jogadores. Logo, as quatro vitórias de $F$ e $G$ têm de ter sido sobre estes quatro jogadores. Mas então o $F$ não ganhou ao $G$ nem ganhou a ninguém que ganhou ao $G$, pelo que não há qualquer distribuição de vitórias que obedeça às regras pretendidas. Para mostrar que com $6$ jogadores é possível, basta considerar, por exemplo, as vitórias: $F$ ganha a $A$ e a $B$.