Problema (nível 4): O Artur está a montar um tapete, como representado na figura, usando as seguintes peças: Cantos: (image1) Laterais: (image2) Interiores: (image3) Há um canto amarelo, dois azuis e um cinzento; há duas peças laterais amarelas, duas azuis e quatro cinzentas; há uma peça interior amarela, duas azuis e uma cinzenta. O Artur pretende que no seu tapete não haja duas peças da mesma cor com um lado em comum (embora possam ter um vértice em comum). (image4) De quantas formas distintas pode o Artur montar o seu tapete? Nota: Duas configurações que se podem obter uma da outra por rotação são consideradas iguais.


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(1,1) \rput(0,0){\canto{white}} \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(1,1) \rput(0,0){\lateral{white}} \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(0,0)(1,1) \rput(0,0){\interior{white}} \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(0,0)(-1,3) \rput(1,-2.2){\rotatebox{90}{\canto{white}}} \rput(2.1,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(3.2,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(4.3,-1.2){\rotatebox{180}{\canto{white}}} \rput(1,-1.1){\rotatebox{90}{\lateral{white}}} \rput(1.1,-1.1){\interior{white}} \rput(2.2,-1.1){\interior{white}} \rput(3.3,-0.1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(1,0){\rotatebox{90}{\lateral{white}}} \rput(1.1,0){\interior{white}} \rput(2.2,0){\interior{white}} \rput(3.3,1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(0,1.1){\canto{white}} \rput(1.1,1.1){\lateral{white}} \rput(2.2,1.1){\lateral{white}} \rput(3.3,2.1){\rotatebox{270}{\canto{white}}} \end{pspicture}

Resolução: Como duas configurações que se podem obter uma da outra por rotação são consideradas iguais, podemos contar apenas as configurações em que o canto superior esquerdo é cinzento. Uma vez que há quatro peças laterais cinzentas e não pode haver duas com um lado em comum, então há uma em cada lado do tapete. Portanto qualquer configuração é da forma: (image5) A peça interior cinzenta não pode ter um lado comum com as laterais, logo só tem duas posições possíveis, que definem a posição das restantes peças interiores: (image6) (image7) Assim, ao todo há $8$ configurações: (image8) (image9) (image10) (image11) (image12) (image13) (image14) (image15) Como duas configurações que se podem obter uma da outra por rotação são consideradas iguais, podemos contar apenas as configurações em que o canto superior esquerdo é cinzento. Uma vez que há quatro peças laterais cinzentas e não pode haver duas com um lado em comum, então há uma em cada lado do tapete. Portanto qualquer configuração é da forma: (image16) A peça interior cinzenta não pode ter um lado comum com as laterais, logo só tem duas posições possíveis, que definem a posição das restantes peças interiores: (image17) (image18) Assim, ao todo há $8$ configurações: (image19) (image20) (image21) (image22) (image23) (image24) (image25) (image26) No primeiro caso, se o canto inferior direito fosse azul, as laterais com um lado em comum com esse canto seriam cinzentas e as seguintes seriam amarelas, o que impossibilitaria a colocação do canto amarelo. Portanto, o canto inferior direito é amarelo e os restantes cantos são azuis: (image27) Há $6$ formas de escolher os lados em que vão ficar as $2$ peças laterais azuis, e cada forma determina as posições das peças restantes, logo, neste caso, há $6$ configurações. Como duas configurações que se podem obter uma da outra por rotação são consideradas iguais, podemos contar apenas as configurações em que o canto superior esquerdo é cinzento. Uma vez que há quatro peças laterais cinzentas e não pode haver duas com um lado em comum, então há uma em cada lado do tapete. Portanto qualquer configuração é da forma: (image28) A peça interior cinzenta não pode ter um lado comum com as laterais, logo só tem duas posições possíveis, que definem a posição das restantes peças interiores: (image29) (image30) Assim, ao todo há $8$ configurações: (image31) (image32) (image33) (image34) (image35) (image36) (image37) (image38) No segundo caso, ficam definidas as posições das peças laterais e do canto inferior direito: (image39) O canto amarelo pode ser colocado numa das duas posições restantes, logo, neste caso, há $2$ configurações.


Conteúdo referenciado:
[image5]
\begin{pspicture}(0,-2.5)(5,2.5) \rput(1,-2.2){\rotatebox{90}{\canto{white}}} \rput(2.1,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(3.2,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(4.3,-1.2){\rotatebox{180}{\canto{white}}} \rput(1,-1.1){\rotatebox{90}{\lateral{gray!50}}} \rput(1.1,-1.1){\interior{white}} \rput(2.2,-1.1){\interior{white}} \rput(3.3,-0.1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(1,0){\rotatebox{90}{\lateral{white}}} \rput(1.1,0){\interior{white}} \rput(2.2,0){\interior{white}} \rput(3.3,1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(0,1.1){\canto{gray!50}} \rput(1.1,1.1){\lateral{white}} \rput(2.2,1.1){\lateral{gray!50}} \rput(3.3,2.1){\rotatebox{270}{\canto{white}}} \end{pspicture}
[image6]
\begin{pspicture}(0,-2.5)(5,2.5) \rput(1,-2.2){\rotatebox{90}{\canto{white}}} \rput(2.1,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(3.2,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(4.3,-1.2){\rotatebox{180}{\canto{white}}} \rput(1,-1.1){\rotatebox{90}{\lateral{gray!50}}} \rput(1.1,-1.1){\interior{azulclarologotipo}} \rput(2.2,-1.1){\interior{yellow!50}} \rput(3.3,-0.1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(1,0){\rotatebox{90}{\lateral{white}}} \rput(1.1,0){\interior{gray!50}} \rput(2.2,0){\interior{azulclarologotipo}} \rput(3.3,1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(0,1.1){\canto{gray!50}} \rput(1.1,1.1){\lateral{white}} \rput(2.2,1.1){\lateral{gray!50}} \rput(3.3,2.1){\rotatebox{270}{\canto{white}}} \end{pspicture}
[image7]
\begin{pspicture}(0,-2.5)(5,2.5) \rput(1,-2.2){\rotatebox{90}{\canto{white}}} \rput(2.1,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(3.2,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(4.3,-1.2){\rotatebox{180}{\canto{white}}} \rput(1,-1.1){\rotatebox{90}{\lateral{gray!50}}} \rput(1.1,-1.1){\interior{azulclarologotipo}} \rput(2.2,-1.1){\interior{gray!50}} \rput(3.3,-0.1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(1,0){\rotatebox{90}{\lateral{white}}} \rput(1.1,0){\interior{yellow!50}} \rput(2.2,0){\interior{azulclarologotipo}} \rput(3.3,1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(0,1.1){\canto{gray!50}} \rput(1.1,1.1){\lateral{white}} \rput(2.2,1.1){\lateral{gray!50}} \rput(3.3,2.1){\rotatebox{270}{\canto{white}}} \end{pspicture}
[image8]
\begin{pspicture}(0,-2.5)(5,2.5) \rput(1,-2.2){\rotatebox{90}{\canto{azulclarologotipo}}} \rput(2.1,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{yellow!50}}} \rput(3.2,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{gray!50}}} \rput(4.3,-1.2){\rotatebox{180}{\canto{yellow!50}}} \rput(1,-1.1){\rotatebox{90}{\lateral{gray!50}}} \rput(1.1,-1.1){\interior{azulclarologotipo}} \rput(2.2,-1.1){\interior{yellow!50}} \rput(3.3,-0.1){\rotatebox{270}{\lateral{gray!50}}} \rput(1,0){\rotatebox{90}{\lateral{azulclarologotipo}}} \rput(1.1,0){\interior{gray!50}} \rput(2.2,0){\interior{azulclarologotipo}} \rput(3.3,1){\rotatebox{270}{\lateral{yellow!50}}} \rput(0,1.1){\canto{gray!50}} \rput(1.1,1.1){\lateral{azulclarologotipo}} \rput(2.2,1.1){\lateral{gray!50}} \rput(3.3,2.1){\rotatebox{270}{\canto{azulclarologotipo}}} \end{pspicture}
[image9]
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[image10]
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[image11]
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[image12]
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[image13]
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[image14]
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[image15]
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[image16]
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[image17]
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[image18]
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[image19]
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[image20]
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[image21]
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[image22]
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[image23]
\begin{pspicture}(0,-2.5)(5,2.5) \rput(1,-2.2){\rotatebox{90}{\canto{azulclarologotipo}}} \rput(2.1,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{gray!50}}} \rput(3.2,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{azulclarologotipo}}} \rput(4.3,-1.2){\rotatebox{180}{\canto{yellow!50}}} \rput(1,-1.1){\rotatebox{90}{\lateral{gray!50}}} \rput(1.1,-1.1){\interior{azulclarologotipo}} \rput(2.2,-1.1){\interior{yellow!50}} \rput(3.3,-0.1){\rotatebox{270}{\lateral{gray!50}}} \rput(1,0){\rotatebox{90}{\lateral{azulclarologotipo}}} \rput(1.1,0){\interior{gray!50}} \rput(2.2,0){\interior{azulclarologotipo}} \rput(3.3,1){\rotatebox{270}{\lateral{yellow!50}}} \rput(0,1.1){\canto{gray!50}} \rput(1.1,1.1){\lateral{yellow!50}} \rput(2.2,1.1){\lateral{gray!50}} \rput(3.3,2.1){\rotatebox{270}{\canto{azulclarologotipo}}} \end{pspicture}
[image24]
\begin{pspicture}(0,-2.5)(5,2.5) \rput(1,-2.2){\rotatebox{90}{\canto{azulclarologotipo}}} \rput(2.1,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{gray!50}}} \rput(3.2,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{azulclarologotipo}}} \rput(4.3,-1.2){\rotatebox{180}{\canto{yellow!50}}} \rput(1,-1.1){\rotatebox{90}{\lateral{gray!50}}} \rput(1.1,-1.1){\interior{azulclarologotipo}} \rput(2.2,-1.1){\interior{yellow!50}} \rput(3.3,-0.1){\rotatebox{270}{\lateral{azulclarologotipo}}} \rput(1,0){\rotatebox{90}{\lateral{yellow!50}}} \rput(1.1,0){\interior{gray!50}} \rput(2.2,0){\interior{azulclarologotipo}} \rput(3.3,1){\rotatebox{270}{\lateral{gray!50}}} \rput(0,1.1){\canto{gray!50}} \rput(1.1,1.1){\lateral{yellow!50}} \rput(2.2,1.1){\lateral{gray!50}} \rput(3.3,2.1){\rotatebox{270}{\canto{azulclarologotipo}}} \end{pspicture}
[image25]
\begin{pspicture}(0,-2.5)(5,2.5) \rput(1,-2.2){\rotatebox{90}{\canto{yellow!50}}} \rput(2.1,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{gray!50}}} \rput(3.2,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{yellow!50}}} \rput(4.3,-1.2){\rotatebox{180}{\canto{azulclarologotipo}}} \rput(1,-1.1){\rotatebox{90}{\lateral{gray!50}}} \rput(1.1,-1.1){\interior{azulclarologotipo}} \rput(2.2,-1.1){\interior{gray!50}} \rput(3.3,-0.1){\rotatebox{270}{\lateral{yellow!50}}} \rput(1,0){\rotatebox{90}{\lateral{azulclarologotipo}}} \rput(1.1,0){\interior{yellow!50}} \rput(2.2,0){\interior{azulclarologotipo}} \rput(3.3,1){\rotatebox{270}{\lateral{gray!50}}} \rput(0,1.1){\canto{gray!50}} \rput(1.1,1.1){\lateral{azulclarologotipo}} \rput(2.2,1.1){\lateral{gray!50}} \rput(3.3,2.1){\rotatebox{270}{\canto{azulclarologotipo}}} \end{pspicture}
[image26]
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[image27]
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[image28]
\begin{pspicture}(0,-2.5)(5,2.5) \rput(1,-2.2){\rotatebox{90}{\canto{white}}} \rput(2.1,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(3.2,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(4.3,-1.2){\rotatebox{180}{\canto{white}}} \rput(1,-1.1){\rotatebox{90}{\lateral{gray!50}}} \rput(1.1,-1.1){\interior{white}} \rput(2.2,-1.1){\interior{white}} \rput(3.3,-0.1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(1,0){\rotatebox{90}{\lateral{white}}} \rput(1.1,0){\interior{white}} \rput(2.2,0){\interior{white}} \rput(3.3,1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(0,1.1){\canto{gray!50}} \rput(1.1,1.1){\lateral{white}} \rput(2.2,1.1){\lateral{gray!50}} \rput(3.3,2.1){\rotatebox{270}{\canto{white}}} \end{pspicture}
[image29]
\begin{pspicture}(0,-2.5)(5,2.5) \rput(1,-2.2){\rotatebox{90}{\canto{white}}} \rput(2.1,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(3.2,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(4.3,-1.2){\rotatebox{180}{\canto{white}}} \rput(1,-1.1){\rotatebox{90}{\lateral{gray!50}}} \rput(1.1,-1.1){\interior{azulclarologotipo}} \rput(2.2,-1.1){\interior{yellow!50}} \rput(3.3,-0.1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(1,0){\rotatebox{90}{\lateral{white}}} \rput(1.1,0){\interior{gray!50}} \rput(2.2,0){\interior{azulclarologotipo}} \rput(3.3,1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(0,1.1){\canto{gray!50}} \rput(1.1,1.1){\lateral{white}} \rput(2.2,1.1){\lateral{gray!50}} \rput(3.3,2.1){\rotatebox{270}{\canto{white}}} \end{pspicture}
[image30]
\begin{pspicture}(0,-2.5)(5,2.5) \rput(1,-2.2){\rotatebox{90}{\canto{white}}} \rput(2.1,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(3.2,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{white}}} \rput(4.3,-1.2){\rotatebox{180}{\canto{white}}} \rput(1,-1.1){\rotatebox{90}{\lateral{gray!50}}} \rput(1.1,-1.1){\interior{azulclarologotipo}} \rput(2.2,-1.1){\interior{gray!50}} \rput(3.3,-0.1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(1,0){\rotatebox{90}{\lateral{white}}} \rput(1.1,0){\interior{yellow!50}} \rput(2.2,0){\interior{azulclarologotipo}} \rput(3.3,1){\rotatebox{270}{\lateral{white}}} \rput(0,1.1){\canto{gray!50}} \rput(1.1,1.1){\lateral{white}} \rput(2.2,1.1){\lateral{gray!50}} \rput(3.3,2.1){\rotatebox{270}{\canto{white}}} \end{pspicture}
[image31]
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[image32]
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[image33]
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[image34]
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[image35]
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[image36]
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[image37]
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[image38]
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[image39]
\begin{pspicture}(0,-2.5)(5,2.5) \rput(1,-2.2){\rotatebox{90}{\canto{white}}} \rput(2.1,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{gray!50}}} \rput(3.2,-1.2){\rotatebox{180}{\lateral{yellow!50}}} \rput(4.3,-1.2){\rotatebox{180}{\canto{azulclarologotipo}}} \rput(1,-1.1){\rotatebox{90}{\lateral{gray!50}}} \rput(1.1,-1.1){\interior{azulclarologotipo}} \rput(2.2,-1.1){\interior{gray!50}} \rput(3.3,-0.1){\rotatebox{270}{\lateral{yellow!50}}} \rput(1,0){\rotatebox{90}{\lateral{azulclarologotipo}}} \rput(1.1,0){\interior{yellow!50}} \rput(2.2,0){\interior{azulclarologotipo}} \rput(3.3,1){\rotatebox{270}{\lateral{gray!50}}} \rput(0,1.1){\canto{gray!50}} \rput(1.1,1.1){\lateral{azulclarologotipo}} \rput(2.2,1.1){\lateral{gray!50}} \rput(3.3,2.1){\rotatebox{270}{\canto{white}}} \end{pspicture}