Problema (nível 3): Na figura (image1) $[ABC]$ é um triângulo rectângulo e $[ABHI]$, $[BCFG]$ e $[ADEC]$ são quadrados. Determina a área total da figura.


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[image1]
\begin{picture}(106.00,100.00)(-90,25) \put(88.00,66.00){\line(-1,0){32.00}} \put(56.00,66.00){\line(0,1){24.00}} \put(56.00,90.00){\line(4,-3){32.00}} \put(88.00,66.00){\line(0,-1){32.00}} \put(88.00,34.00){\line(-1,0){32.00}} \put(56.00,34.00){\line(0,1){32.00}} \put(56.00,66.00){\line(-1,0){24.00}} \put(32.00,66.00){\line(0,1){24.00}} \put(32.00,90.00){\line(1,0){24.00}} \put(56.00,90.00){\line(3,4){24.00}} \put(80.00,122.00){\line(4,-3){32.00}} \put(112.00,98.00){\line(-3,-4){24.00}} \multiput(88.00,34.00)(0.12,0.32){200}{\line(0,1){0.32}} \multiput(80.00,122.00)(-0.18,-0.12){267}{\line(-1,0){0.18}} \multiput(32.00,66.00)(0.12,-0.16){200}{\line(0,-1){0.16}} \put(54.00,94.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $A$}} \put(91.00,64.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $B$}} \put(52.00,62.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $C$}} \put(28.00,93.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $D$}} \put(28.00,64.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $E$}} \put(56.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $F$}} \put(88.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $G$}} \put(115.00,101.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $H$}} \put(83.00,125.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $I$}} \put(72.00,69.00){\makebox(0,0)[cc]{\small 4}} \put(58.00,78.00){\makebox(0,0)[cc]{\small 3}} \end{picture}

Resolução: O triângulo $[ABC]$ é rectângulo pelo que a sua área mede $\frac{3\times 4}{2}=6$ e a sua hipotenusa $ [AB]$ mede 5. O triângulo rectângulo $[ECF]$ tem catetos iguais aos do triângulo $[ABC]$, pelo que a sua área mede também 6. Os quadrados $[ABHI]$, $[BCFG]$ e $[ADEC]$ têm áreas que medem $5^2=25$, $4^2=16$ e $3^2=9$, respectivamente. Falta portanto calcular as medidas das áreas dos triângulos $[ADI]$ e $[BHG]$. Para calcular a medida da área de $[ADI]$ determinemos a medida da altura deste triângulo relativamente à base $[AD]$. Para isso prolonguemos o cateto $[AD]$ até ao ponto $J$ por forma a que $\widehat{AJI}=90^\circ$, como se indica na figura seguinte. (image2) Como $[DJ]$ é paralelo a $[CB]$ os ângulos $\widehat{CBA}$ e $\widehat{BAJ}$ são iguais. Segue-se então que $\widehat{CAB}=\widehat{JAI}$, pelo que os triângulos $[AJI]$ e $[ABC]$ têm ângulos iguais. Como as respectivas hipotenusas, $[AI]$ e $[AB]$ medem ambas 5, segue-se que $[IJ]$, a altura pretendida, mede 4. Isto é, a área de $[ADI]$ mede $\frac{3\times 4}{2}=6$. De forma análoga se deduz que a área do triângulo $[BHG]$ mede também 6. Finalmente, a área total da figura mede $6+6+25+16+9+6+6=74$.


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[image2]
\begin{picture}(106.00,100.00)(-90,25) \put(88.00,66.00){\line(-1,0){32.00}} \put(56.00,66.00){\line(0,1){24.00}} \put(56.00,90.00){\line(4,-3){32.00}} \put(88.00,66.00){\line(0,-1){32.00}} \put(88.00,34.00){\line(-1,0){32.00}} \put(56.00,34.00){\line(0,1){32.00}} \put(56.00,66.00){\line(-1,0){24.00}} \put(32.00,66.00){\line(0,1){24.00}} \put(32.00,90.00){\line(1,0){24.00}} \put(56.00,90.00){\line(1,0){24.00}} \put(80.00,90.00){\line(0,1){32.00}} \put(77.00,90.00){\line(0,1){3.00}} \put(77.00,93.00){\line(1,0){3.00}} \put(56.00,90.00){\line(3,4){24.00}} \put(80.00,122.00){\line(4,-3){32.00}} \put(112.00,98.00){\line(-3,-4){24.00}} \multiput(88.00,34.00)(0.12,0.32){200}{\line(0,1){0.32}} \multiput(80.00,122.00)(-0.18,-0.12){267}{\line(-1,0){0.18}} \multiput(32.00,66.00)(0.12,-0.16){200}{\line(0,-1){0.16}} \put(54.00,94.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $A$}} \put(91.00,64.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $B$}} \put(52.00,62.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $C$}} \put(28.00,93.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $D$}} \put(28.00,64.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $E$}} \put(56.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $F$}} \put(88.00,30.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $G$}} \put(115.00,101.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $H$}} \put(83.00,125.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $I$}} \put(83.00,88.00){\makebox(0,0)[cc]{\small $J$}} \put(72.00,69.00){\makebox(0,0)[cc]{\small 4}} \put(58.00,78.00){\makebox(0,0)[cc]{\small 3}} \end{picture}