Problema (nível 4): Quantas formas há de pintar um tabuleiro $m\times n$, de modo que cada casa seja pintada de azul, branco, castanho ou dourado, e em cada quadrado $2\times 2$ haja uma casa de cada cor?

Resolução: Comecemos por observar que, se uma coluna tiver apenas duas cores, digamos $A$ e $B$, então as colunas adjacentes têm apenas as cores $C$ e $D$, e, repetindo o raciocínio, concluimos que todas as colunas têm apenas duas cores. Do mesmo modo, se uma linha tiver apenas duas cores, então todas as linhas têm apenas duas cores. Além disso, todas as colunas têm apenas duas cores ou todas as linhas têm apenas duas cores. De facto, se uma coluna tem três ou mais cores, existem três casas consecutivas nessa coluna com cores diferentes, digamos $A$, $B$ e $C$. Então as casas correspondentes nas colunas adjacentes têm as cores $C$, $D$ e $A$, respetivamente. Do mesmo modo, as casas correspondentes nas colunas adjacentes a essas têm as cores $A$, $B$ e $C$, respetivamente, e assim sucessivamente. Logo cada uma dessas três linhas tem apenas duas cores, pelo que todas as linhas têm apenas duas cores. (table1) Vamos contar quantas possibilidades de pintar o tabuleiro há em cada caso. Os dois casos podem acontecer em simultâneo. Se todas as colunas e todas as linhas tiverem duas cores, a escolha das primeiras duas casas das primeiras duas linhas e colunas define a coloração de todo o tabuleiro, logo há $24$ formas de pintar o tabuleiro. Assim, ao todo há $6\times 2^n+6\times 2^m-24$ formas de pintar o tabuleiro. Todas as colunas têm duas cores. Há $4\times 3=12$ formas de escolher as cores das primeiras duas casas da primeira coluna. Para cada uma das $n-1$ colunas seguintes, há $2$ formas de escolher as cores das primeiras duas casas. Estas escolhas definem as cores de todas as casas do tabuleiro, logo ao todo há $12\times 2^{n-1}=6\times 2^n$ formas de pintar o tabuleiro. Comecemos por observar que, se uma coluna tiver apenas duas cores, digamos $A$ e $B$, então as colunas adjacentes têm apenas as cores $C$ e $D$, e, repetindo o raciocínio, concluimos que todas as colunas têm apenas duas cores. Do mesmo modo, se uma linha tiver apenas duas cores, então todas as linhas têm apenas duas cores. Além disso, todas as colunas têm apenas duas cores ou todas as linhas têm apenas duas cores. De facto, se uma coluna tem três ou mais cores, existem três casas consecutivas nessa coluna com cores diferentes, digamos $A$, $B$ e $C$. Então as casas correspondentes nas colunas adjacentes têm as cores $C$, $D$ e $A$, respetivamente. Do mesmo modo, as casas correspondentes nas colunas adjacentes a essas têm as cores $A$, $B$ e $C$, respetivamente, e assim sucessivamente. Logo cada uma dessas três linhas tem apenas duas cores, pelo que todas as linhas têm apenas duas cores. (table2) Vamos contar quantas possibilidades de pintar o tabuleiro há em cada caso. Os dois casos podem acontecer em simultâneo. Se todas as colunas e todas as linhas tiverem duas cores, a escolha das primeiras duas casas das primeiras duas linhas e colunas define a coloração de todo o tabuleiro, logo há $24$ formas de pintar o tabuleiro. Assim, ao todo há $6\times 2^n+6\times 2^m-24$ formas de pintar o tabuleiro. Todas as linhas têm duas cores. De modo análogo se conclui que há $6\times 2^m$ formas de pintar o tabuleiro.


Conteúdo referenciado:
[table1]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $\cdots$ &$A$&$C$&$A$&$C$&$A$&$\cdots$\\ \hline $\cdots$ &$B$&$D$&$B$&$D$&$B$&$\cdots$\\ \hline $\cdots$ &$C$&$A$&$C$&$A$&$C$&$\cdots$\\ \hline \end{tabular}
[table2]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $\cdots$ &$A$&$C$&$A$&$C$&$A$&$\cdots$\\ \hline $\cdots$ &$B$&$D$&$B$&$D$&$B$&$\cdots$\\ \hline $\cdots$ &$C$&$A$&$C$&$A$&$C$&$\cdots$\\ \hline \end{tabular}