Problema (nível 4): Seja $P$ um ponto sobre uma circunferência ${\cal C}_1$ e seja ${\cal C}_2$ uma circunferência de centro $P$ que interseta ${\cal C}_1$ em dois pontos $Q$ e $R$. A circunferência ${\cal C}_3$, de centro $Q$ e que passa por $R$, interseta ${\cal C}_2$ noutro ponto $S$, como na figura. Mostra que $QS$ é tangente a ${\cal C}_1$. (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-2,-2)(4,3) \pscircle(0,0){2} \pscircle(2;60){1.4} \pscircle(1.89075,0.65197){2.6229} \psline(1.89075,0.65197)(1.03572,3.1316) \rput(2;60){$\bullet$} \uput[225](2;60){$P$} \uput[-35](1.89075,0.65197){$Q$} \uput[135](-0.38075,1.96342){$R$} \uput[90](1.03572,3.1316){$S$} \uput[180](2;180){${\cal C}_1$} \uput[0](2.3976,1.81391){${\cal C}_2$} \uput[0](4.5037,0.42381){${\cal C}_3$} \end{pspicture}

Resolução: Solução 1: Sejam $O$ o centro de ${\cal C}_1$ e $\alpha=O\widehat QP$. Como $\overline{OP}=\overline{OQ}$, então também $O\widehat PQ=\alpha$. Como $\overline{PR}=\overline{PQ}$, então $[OPQ]$ e $[OPR]$ são congruentes, logo $O\widehat RP=O\widehat PR=\alpha$. Como $\angle RSQ$ está inscrito em ${\cal C}_3$, então, pelo teorema do arco capaz, $R\widehat SQ=\dfrac{R\widehat PQ}{2}=\dfrac{2\alpha}{2}=\alpha$. Como $\overline{QS}=\overline{QR}$, então $Q\widehat RS=R\widehat SQ=\alpha$. Portanto, todos os ângulos assinalados na figura são congruentes. (image2) Logo, $R\widehat QS=180^\circ-2\alpha$ e $P\widehat QR=180^\circ-\dfrac{2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha$, pelo que $P\widehat QS=R\widehat QS-P\widehat QR=(180^\circ-2\alpha)-(90^\circ-\alpha)=90^\circ-\alpha$. Portanto, $O\widehat QS=O\widehat QP+P\widehat QS=\alpha+(90^\circ-\alpha)=90^\circ$. Solução 2: Sejam $O$ o centro de ${\cal C}_1$ e $M$ o ponto de interseção de $OP$ com $QR$. Como $\overline{QR}=\overline{QS}$ e $\overline{PR}=\overline{PQ}=\overline{PS}$, então $[PQR]$ e $[PQS]$ são congruentes. Logo, $P\widehat QR=P\widehat QS$. Como $\overline{OP}=\overline{OQ}$, então $O\widehat PQ=O\widehat QP$. Portanto, $O\widehat QS=O\widehat QP+P\widehat QS=O\widehat PQ+P\widehat QR=180^\circ-P\widehat MQ$. Uma vez que $[OP]$ é a mediatriz de $[QR]$, tem-se $P\widehat MQ=90^\circ$, pelo que $O\widehat QS=90^\circ$. (image3)


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{pspicture}(-2,-2)(4,3.5) \pscircle(0,0){2} \pscircle(2;60){1.4} \pscircle(1.89075,0.65197){2.6229} \psline(1.89075,0.65197)(1.03572,3.1316) \psline(0,0)(1.89075,0.65197)(1,1.73205)(-0.38075,1.96342)(0,0)(1,1.73205) \psline(1.03572,3.1316)(-0.38075,1.96342) \psline(-0.38075,1.96342)(1.89075,0.65197) \rput(0,0){$\bullet$} \rput(2;60){$\bullet$} \uput[80](2;60){$P$} \uput[-35](1.89075,0.65197){$Q$} \uput[135](-0.38075,1.96342){$R$} \uput[90](1.03572,3.1316){$S$} \uput[240](0,0){$O$} \uput[180](2;180){${\cal C}_1$} \uput[0](2.3976,1.81391){${\cal C}_2$} \uput[0](4.5037,0.42381){${\cal C}_3$} \psarc[linecolor=blue](1.89075,0.65197){0.4}{129.51269}{199.02537} \psarc[linecolor=blue](1,1.73205){0.3}{240}{309.51268} \psarc[linecolor=blue](1,1.73205){0.4}{170.48732}{240} \psarc[linecolor=blue](-0.38075,1.96342){0.4}{280.97463}{350.48731} \psarc[linecolor=blue](1.03572,3.1316){0.4}{219.51268}{289.0253735} \psarc[linecolor=blue](-0.38075,1.96342){0.6}{330}{399.51268} \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(-2,-2)(4,3.5) \pscircle(0,0){2} \pscircle(2;60){1.4} \pscircle(1.89075,0.65197){2.6229} \psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](1.89075,0.65197)(1.03572,3.1316) \psline[linewidth=2pt,linecolor=green](0,0)(1.89075,0.65197) \psline[linewidth=2pt,linecolor=red](1.89075,0.65197)(1,1.73205)(-0.38075,1.96342) \psline[linewidth=2pt,linecolor=green](0,0)(1,1.73205) \psline[linewidth=2pt,linecolor=red](1.03572,3.1316)(1,1.73205) \psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](-0.38075,1.96342)(1.89075,0.65197) \rput(0,0){$\bullet$} \rput(2;60){$\bullet$} \uput[120](2;60){$P$} \uput[-35](1.89075,0.65197){$Q$} \uput[135](-0.38075,1.96342){$R$} \uput[90](1.03572,3.1316){$S$} \uput[240](0,0){$O$} \uput[180](2;180){${\cal C}_1$} \uput[0](2.3976,1.81391){${\cal C}_2$} \uput[0](4.5037,0.42381){${\cal C}_3$} \uput[210](0.755,1.3077){$M$} \end{pspicture}