Problema (nível 2): O João tem $136$ berlindes vermelhos e $136$ berlindes azuis. Em cada dia, o tio do João deixa-o trocar ou $11$ berlindes vermelhos por $7$ berlindes azuis ou $20$ berlindes azuis por $28$ berlindes vermelhos. O João pode, depois de algumas trocas, ficar com três vezes mais berlindes azuis do que vermelhos?

Resolução: Designe-se por tipo A a troca de $11$ berlindes vermelhos por $7$ berlindes azuis e por tipo V a troca de $20$ berlindes azuis por $28$ berlindes vermelhos. Inicialmente, o João tem o mesmo número de berlindes vermelhos e azuis. Para que o João fique com três vezes mais berlindes azuis do que vermelhos, é necessário usar trocas do tipo A. Após uma troca do tipo A, o João fica com $143$ berlindes azuis e $125$ berlindes vermelhos. Como ainda não tem o triplo de berlindes azuis, são necessárias mais trocas do tipo A. Após outra troca do tipo A, o João fica com $150$ berlindes azuis e $114$ berlindes vermelhos. Após outra troca do tipo A, o João fica com $157$ berlindes azuis e $103$ berlindes vermelhos. Após outra troca do tipo A, o João fica com $164$ berlindes azuis e $92$ berlindes vermelhos. Após outra troca do tipo A, o João fica com $171$ berlindes azuis e $81$ berlindes vermelhos. Após outra troca do tipo A, o João fica com $178$ berlindes azuis e $70$ berlindes vermelhos. Após outra troca do tipo A, o João fica com $185$ berlindes azuis e $59$ berlindes vermelhos. Como o número de berlindes azuis é já mais do triplo do número de berlindes vermelhos, é necessária agora uma troca do tipo V. Após uma troca do tipo V, o João fica com $165$ berlindes azuis e $87$ berlindes vermelhos. Como o número de berlindes azuis é novamente inferior ao triplo do número de berlindes vermelhos, é necessário continuar com as trocas do tipo A. Após uma troca do tipo A, o João fica com $172$ berlindes azuis e $76$ berlindes vermelhos. Após outra troca do tipo A, o João fica com $179$ berlindes azuis e $65$ berlindes vermelhos. Após outra troca do tipo A, o João fica com $186$ berlindes azuis e $54$ berlindes vermelhos. Como o número de berlindes azuis é já mais do triplo do número de berlindes vermelhos, é necessária agora uma troca do tipo V. Após uma troca do tipo V, o João fica com $166$ berlindes azuis e $82$ berlindes vermelhos. Como o número de berlindes azuis é novamente inferior ao triplo do número de berlindes vermelhos, é necessário continuar com as trocas do tipo A. Após uma troca do tipo A, o João fica com $173$ berlindes azuis e $71$ berlindes vermelhos. Após outra troca do tipo A, o João fica com $180$ berlindes azuis e $60$ berlindes vermelhos. Portanto, o João consegue, com $12$ trocas do tipo A e duas trocas do tipo V, ficar com três vezes mais berlindes azuis do que berlindes vermelhos. Nota: A partir deste momento, se o João fizer $13$ trocas do tipo A e $5$ trocas do tipo V, perde $9$ berlindes azuis e $3$ berlindes vermelhos, portanto continua com três vezes mais berlindes azuis do que berlindes vermelhos. Assim, o João, com $25$ trocas do tipo A e $7$ trocas do tipo V, também consegue ficar com três vezes mais berlindes azuis do que berlindes vermelhos. Continuando este procedimento, observa-se que o João consegue ficar com três vezes mais berlindes azuis do que berlindes vermelhos, fazendo $12+13k$ trocas do tipo A e $2+5k$ trocas do tipo V, para $k=0,1,\ldots,20$.