Problema (nível 4): Para que valores de $n$ é possível marcar $n$ pontos no plano de modo que cada ponto tenha pelo menos três outros pontos a distância $1$?

Resolução: São precisos pelo menos quatro pontos. Se existir uma configuração com quatro pontos, três deles formam um triângulo equilátero de lado $1$. O quarto ponto está à mesma distância dos outros três, e portanto é o circuncentro do triângulo equilátero. Num triângulo equilátero de lado $1$, o circuncentro está a uma distância inferior a $1$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\mbox{ \'{e} o valor exato}\right)$ de cada um dos vértices, e portanto é impossível marcar $4$ pontos no plano de modo que cada um deles esteja à distância $1$ dos outros três. Se existir uma configuração com cinco pontos, cada um deles tem três ou quatro pontos à distância $1$. Se todos tiverem apenas três pontos à distancia $1$, cada um deles tem um, e apenas um, ponto a uma distância diferente de $1$, o que é impossível porque o número de pontos é ímpar. Ou seja, quatro pontos estão sobre uma circunferência de raio $1$ e centro no quinto ponto. Numa circunferência, dois pontos estão a uma distância igual ao comprimento do raio se o ângulo ao centro formado pelos seus raios for $60^o$, e é impossível colocar $4$ pontos sobre uma circunferência de modo a que cada um deles esteja a um ângulo de $60^o$ de outros dois. Concluímos que para $n\leq 5$, não é possível marcar $n$ pontos no plano de modo que cada ponto tenha pelo menos três outros pontos a distância $1$. Vamos a seguir verificar que para $n\geq 6$, existem configurações nas condições do enunciado. Marcamos no plano três pontos, de modo a que formem um triângulo equilátero de lado $1$. De seguida marcamos mais três pontos, que resultam dos três primeiros através de uma translação de uma unidade (de modo a que não haja sobreposição dos pontos). Se continuarmos este processo, obtemos uma configuração com $3k$ pontos, $k\geq 2$, de modo que cada ponto tem três outros pontos a distância $1$. (image1) Configuração com $9=3+3+3$ pontos. Para $n=7$, marcamos os seis vértices de um hexágono regular de lado $1$ e o seu centro. Cada dois vértices consecutivos e o centro formam um triângulo equilátero de lado $1$. Se fizermos a translação de um desses triângulos, como no caso anterior, obtemos uma configuração, nas condições do enunciado, com $7+3k$ pontos. Para $n=8$, marcamos no plano quatro pontos, de modo a que formem um quadrado de lado $1$. De seguida marcamos mais quatro pontos, que resultam dos quatro primeiros através de uma translação de uma unidade, de tal modo que o vetor da translação faça um ângulo de $60^o$ com um lados do quadrado. Cada um destes oito pontos tem pelo menos três outros pontos a distância $1$. Pela maneira como a translação foi definida, três desses pontos formam um triângulo equilátero, e procedendo como nos casos anteriores, obtemos uma configuração, nas condições do enunciado, com $8+3k$ pontos. (image2) Configuração com $14=8+3+3$ pontos. Podemos então concluir que para $n\geq 6$, é possível marcar $n$ pontos no plano de modo que cada ponto tenha pelo menos três outros pontos a distância $1$.


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(5.414,2) \psdots[dotstyle=*, dotsize=8pt](0,-1)(0,1)(1.414,0)(2,-1)(2,1)(3.414,0)(4,-1)(4,1)(5.414,0) \pspolygon[linestyle=dashed](0,-1)(0,1)(1.414,0) \pspolygon[linestyle=dashed](2,-1)(2,1)(3.414,0) \pspolygon[linestyle=dashed](4,-1)(4,1)(5.414,0) \psline[linestyle=dashed](0,1)(4,1) \psline[linestyle=dashed](0,-1)(4,-1) \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(7.414,2) \psdots[dotstyle=*, dotsize=8pt](0,-1)(0,1)(1.414,0)(2,-1)(2,1)(3.414,0)(1.414,-2)(3.414,-2) \pspolygon[linestyle=dashed](0,-1)(0,1)(1.414,0) \pspolygon[linestyle=dashed](2,-1)(2,1)(3.414,0) \psline[linestyle=dashed](0,1)(2,1) \psline[linestyle=dashed](0,-1)(2,-1) \psline[linestyle=dashed](0,-1)(1.414,-2) \psline[linestyle=dashed](2,-1)(3.414,-2) \pspolygon[linestyle=dashed](1.414,0)(3.414,0)(3.414,-2)(1.414,-2) \psdots[dotstyle=*, dotsize=8pt](4,-1)(5.414,0)(5.414,-2) \pspolygon[linestyle=dashed](4,-1)(5.414,0)(5.414,-2) \psdots[dotstyle=*, dotsize=8pt](6,-1)(7.414,0)(7.414,-2) \pspolygon[linestyle=dashed](6,-1)(7.414,0)(7.414,-2) \psline[linestyle=dashed](3.414,0)(7.414,0) \psline[linestyle=dashed](2,-1)(6,-1) \psline[linestyle=dashed](3.414,-2)(7.414,-2) \end{pspicture}