Problema (nível 4): O calendário gregoriano tem 12 meses. Será que qualquer outro calendário para um ano comum (de 365 dias) constituído apenas por meses de 28, 30 ou 31 dias tem necessariamente 12 meses?

Resolução: Solução 1: Como o número 365 é ímpar, qualquer calendário tem pelo menos um mês de 31 dias. Os restantes 334 dias são agrupados em meses de 28, 30 ou 31 dias. Da desigualdade $\frac{334}{28}<12$ conclui-se que, se todos esses meses tivessem 28 dias, o seu número seria inferior a 12. Por outro lado, a desigualdade $\frac{334}{31}>10$ implica que, se todos os meses tivessem 31 dias, o seu número seria superior a 10. Portanto os 334 dias são obrigatoriamente agrupados em 11 meses. Conclui-se assim que qualquer calendário tem necessariamente 12 meses. Solução 2: Da desigualdade $\frac{365}{28}<14$ conclui-se que, se existisse um calendário constituído por apenas meses de 28 dias, teria quando muito 13 meses. Por outro lado, a desigualdade $\frac{365}{31}>11$ implica que um calendário só com meses de 31 dias teria pelo menos 12 meses. Portanto qualquer calendário (com meses de 28, 30 ou 31 dias) tem necessariamente 12 ou 13 meses. Da desigualdade $\frac{365-30}{28}<12$ tem-se que um calendário com pelo menos um mês de 30 ou 31 dias possui obrigatoriamente 12 meses. Assim um calendário com 13 meses teria apenas meses de 28 dias, o que não é possível porque o número de dias do calendário (365) é ímpar. Conclui-se assim que qualquer calendário tem necessariamente 12 meses. Solução 3: Designando o número de meses de 28, 30 e 31 dias por $x$, $y$ e $z$, respectivamente, as soluções em $\bkN_0$ da equação $$28x+30y+31z=365 \hspace*{1.7cm} (1) $$ representam todos os calendários possíveis (nas condições do enunciado). A igualdade $$28(x+y+z)+2y+3z=365 \hspace*{.5cm} (2) $$ implica que $x+y+z \leq \frac{365}{28}$, logo $x+y+z\leq 13$. Por outro lado, da igualdade $$31(x+y+z)-3x-y=365 \hspace*{.5cm} (3)$$ conclui-se que $x+y+z\geq\frac{365}{31}$, donde $x+y+z\geq 12$. Então $x+y+z=12$ ou $x+y+z=13$. Se fosse $x+y+z=13$, da igualdade (2) obter-se-ia a equação $2y+3z=1$ que não tem solução em $\bkN_0$. Portanto $x+y+z=12$ e conclui-se assim que qualquer calendário tem necessariamente 12 meses. Como curiosidade apresentam-se todas as soluções em $\bkN_0$ da equação (1). Conjugando a equação (3) com a equação $x+y+z=12$ tem-se que $3x+y=7$, pelo que $0\leq x \leq 2$. Atribuindo valores a $x$ e resolvendo as equações $3x+y=7$ e $2y+3z=1$ obtêm-se as seguintes soluções: Solução 1: Como o número 365 é ímpar, qualquer calendário tem pelo menos um mês de 31 dias. Os restantes 334 dias são agrupados em meses de 28, 30 ou 31 dias. Da desigualdade $\frac{334}{28}<12$ conclui-se que, se todos esses meses tivessem 28 dias, o seu número seria inferior a 12. Por outro lado, a desigualdade $\frac{334}{31}>10$ implica que, se todos os meses tivessem 31 dias, o seu número seria superior a 10. Portanto os 334 dias são obrigatoriamente agrupados em 11 meses. Conclui-se assim que qualquer calendário tem necessariamente 12 meses. Solução 2: Da desigualdade $\frac{365}{28}<14$ conclui-se que, se existisse um calendário constituído por apenas meses de 28 dias, teria quando muito 13 meses. Por outro lado, a desigualdade $\frac{365}{31}>11$ implica que um calendário só com meses de 31 dias teria pelo menos 12 meses. Portanto qualquer calendário (com meses de 28, 30 ou 31 dias) tem necessariamente 12 ou 13 meses. Da desigualdade $\frac{365-30}{28}<12$ tem-se que um calendário com pelo menos um mês de 30 ou 31 dias possui obrigatoriamente 12 meses. Assim um calendário com 13 meses teria apenas meses de 28 dias, o que não é possível porque o número de dias do calendário (365) é ímpar. Conclui-se assim que qualquer calendário tem necessariamente 12 meses. Solução 3: Designando o número de meses de 28, 30 e 31 dias por $x$, $y$ e $z$, respectivamente, as soluções em $\bkN_0$ da equação $$28x+30y+31z=365 \hspace*{1.7cm} (1) $$ representam todos os calendários possíveis (nas condições do enunciado). A igualdade $$28(x+y+z)+2y+3z=365 \hspace*{.5cm} (2) $$ implica que $x+y+z \leq \frac{365}{28}$, logo $x+y+z\leq 13$. Por outro lado, da igualdade $$31(x+y+z)-3x-y=365 \hspace*{.5cm} (3)$$ conclui-se que $x+y+z\geq\frac{365}{31}$, donde $x+y+z\geq 12$. Então $x+y+z=12$ ou $x+y+z=13$. Se fosse $x+y+z=13$, da igualdade (2) obter-se-ia a equação $2y+3z=1$ que não tem solução em $\bkN_0$. Portanto $x+y+z=12$ e conclui-se assim que qualquer calendário tem necessariamente 12 meses. Como curiosidade apresentam-se todas as soluções em $\bkN_0$ da equação (1). Conjugando a equação (3) com a equação $x+y+z=12$ tem-se que $3x+y=7$, pelo que $0\leq x \leq 2$. Atribuindo valores a $x$ e resolvendo as equações $3x+y=7$ e $2y+3z=1$ obtêm-se as seguintes soluções: $x=0$, $y=7$ e $z=5$; Solução 1: Como o número 365 é ímpar, qualquer calendário tem pelo menos um mês de 31 dias. Os restantes 334 dias são agrupados em meses de 28, 30 ou 31 dias. Da desigualdade $\frac{334}{28}<12$ conclui-se que, se todos esses meses tivessem 28 dias, o seu número seria inferior a 12. Por outro lado, a desigualdade $\frac{334}{31}>10$ implica que, se todos os meses tivessem 31 dias, o seu número seria superior a 10. Portanto os 334 dias são obrigatoriamente agrupados em 11 meses. Conclui-se assim que qualquer calendário tem necessariamente 12 meses. Solução 2: Da desigualdade $\frac{365}{28}<14$ conclui-se que, se existisse um calendário constituído por apenas meses de 28 dias, teria quando muito 13 meses. Por outro lado, a desigualdade $\frac{365}{31}>11$ implica que um calendário só com meses de 31 dias teria pelo menos 12 meses. Portanto qualquer calendário (com meses de 28, 30 ou 31 dias) tem necessariamente 12 ou 13 meses. Da desigualdade $\frac{365-30}{28}<12$ tem-se que um calendário com pelo menos um mês de 30 ou 31 dias possui obrigatoriamente 12 meses. Assim um calendário com 13 meses teria apenas meses de 28 dias, o que não é possível porque o número de dias do calendário (365) é ímpar. Conclui-se assim que qualquer calendário tem necessariamente 12 meses. Solução 3: Designando o número de meses de 28, 30 e 31 dias por $x$, $y$ e $z$, respectivamente, as soluções em $\bkN_0$ da equação $$28x+30y+31z=365 \hspace*{1.7cm} (1) $$ representam todos os calendários possíveis (nas condições do enunciado). A igualdade $$28(x+y+z)+2y+3z=365 \hspace*{.5cm} (2) $$ implica que $x+y+z \leq \frac{365}{28}$, logo $x+y+z\leq 13$. Por outro lado, da igualdade $$31(x+y+z)-3x-y=365 \hspace*{.5cm} (3)$$ conclui-se que $x+y+z\geq\frac{365}{31}$, donde $x+y+z\geq 12$. Então $x+y+z=12$ ou $x+y+z=13$. Se fosse $x+y+z=13$, da igualdade (2) obter-se-ia a equação $2y+3z=1$ que não tem solução em $\bkN_0$. Portanto $x+y+z=12$ e conclui-se assim que qualquer calendário tem necessariamente 12 meses. Como curiosidade apresentam-se todas as soluções em $\bkN_0$ da equação (1). Conjugando a equação (3) com a equação $x+y+z=12$ tem-se que $3x+y=7$, pelo que $0\leq x \leq 2$. Atribuindo valores a $x$ e resolvendo as equações $3x+y=7$ e $2y+3z=1$ obtêm-se as seguintes soluções: $x=1$, $y=4$ e $z=7$ (calendário gregoriano); Solução 1: Como o número 365 é ímpar, qualquer calendário tem pelo menos um mês de 31 dias. Os restantes 334 dias são agrupados em meses de 28, 30 ou 31 dias. Da desigualdade $\frac{334}{28}<12$ conclui-se que, se todos esses meses tivessem 28 dias, o seu número seria inferior a 12. Por outro lado, a desigualdade $\frac{334}{31}>10$ implica que, se todos os meses tivessem 31 dias, o seu número seria superior a 10. Portanto os 334 dias são obrigatoriamente agrupados em 11 meses. Conclui-se assim que qualquer calendário tem necessariamente 12 meses. Solução 2: Da desigualdade $\frac{365}{28}<14$ conclui-se que, se existisse um calendário constituído por apenas meses de 28 dias, teria quando muito 13 meses. Por outro lado, a desigualdade $\frac{365}{31}>11$ implica que um calendário só com meses de 31 dias teria pelo menos 12 meses. Portanto qualquer calendário (com meses de 28, 30 ou 31 dias) tem necessariamente 12 ou 13 meses. Da desigualdade $\frac{365-30}{28}<12$ tem-se que um calendário com pelo menos um mês de 30 ou 31 dias possui obrigatoriamente 12 meses. Assim um calendário com 13 meses teria apenas meses de 28 dias, o que não é possível porque o número de dias do calendário (365) é ímpar. Conclui-se assim que qualquer calendário tem necessariamente 12 meses. Solução 3: Designando o número de meses de 28, 30 e 31 dias por $x$, $y$ e $z$, respectivamente, as soluções em $\bkN_0$ da equação $$28x+30y+31z=365 \hspace*{1.7cm} (1) $$ representam todos os calendários possíveis (nas condições do enunciado). A igualdade $$28(x+y+z)+2y+3z=365 \hspace*{.5cm} (2) $$ implica que $x+y+z \leq \frac{365}{28}$, logo $x+y+z\leq 13$. Por outro lado, da igualdade $$31(x+y+z)-3x-y=365 \hspace*{.5cm} (3)$$ conclui-se que $x+y+z\geq\frac{365}{31}$, donde $x+y+z\geq 12$. Então $x+y+z=12$ ou $x+y+z=13$. Se fosse $x+y+z=13$, da igualdade (2) obter-se-ia a equação $2y+3z=1$ que não tem solução em $\bkN_0$. Portanto $x+y+z=12$ e conclui-se assim que qualquer calendário tem necessariamente 12 meses. Como curiosidade apresentam-se todas as soluções em $\bkN_0$ da equação (1). Conjugando a equação (3) com a equação $x+y+z=12$ tem-se que $3x+y=7$, pelo que $0\leq x \leq 2$. Atribuindo valores a $x$ e resolvendo as equações $3x+y=7$ e $2y+3z=1$ obtêm-se as seguintes soluções: $x=2$, $y=1$ e $z=9$.