Problema (nível 2): A Helena está a brincar com três peças de um puzzle. Duas têm a forma de um triângulo retângulo, e a terceira tem a forma de um retângulo. A Helena repara que, com as três peças, consegue formar as figuras ao lado. A peça triangular menor tem a mesma área do retângulo e a peça triangular maior tem $3$ cm$^2$ de área. Qual é a área do retângulo? (image1) (image2) (image3)


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[image1]
\begin{pspicture}(-6,-2.5)(6,-2.5) \pspolygon(-6,0)(-2,6)(0,6)(6,0) \psline(0,0)(0,6) \psline(-2,0)(-2,6) \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,-2.5)(0,-2.5) \pspolygon(-6,0)(6,0)(0,6)(-6,2) \psline(-6,2)(0,2) \psline(0,0)(0,6) \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(9,-12.5)(9,-12.5) \rotatebox{225}{\pspolygon(-4,0)(0,6)(6,0) \psline(0,0)(0,6) \psline(0,0)(0,-2)(6,-2)(6,0)} \end{pspicture}

Resolução: Através das duas primeiras figuras, conclui-se que o lados maiores do retângulo, o cateto maior do triângulo pequeno e ambos os catetos do triângulo grande têm o mesmo comprimento. Solução 1: Observe-se agora a terceira figura formada pela Helena. Completando a figura com triângulos congruentes às duas peças triangulares, obtém-se a seguinte figura: (image4) O triângulo $[ABC]$ é retângulo e isósceles, logo os triângulos $[ABC]$ e $[BCG]$ formam um quadrado de área $6$ cm${}^2$. Como $[AD]$ e $[AC]$ têm o mesmo comprimento, $[ADHC]$ é também um quadrado de área $6$ cm$^2$. Uma vez que o retângulo $[ADEF]$ e os triângulos $[EFC]$ e $[EHC]$ têm a mesma área, conclui-se que cada uma das peças mais pequenas tem $\frac{6}{3}=2$ cm${}^2$ de área. Solução 2: Na figura seguinte, $[ACD]$ e $[ABC]$ são congruentes, logo têm ambos área $3$ cm$^2$. (image5) O triângulo $[CED]$ tem a mesma base e a mesma altura do retângulo $[ADEF]$, portanto tem metade da sua área. Assim, Área$_{[ACD]}=$Área$_{[ADEF]}+$Área$_{[CEF]}-$Área$_{[CED]}=(1+1-1/2)$Área$_{[ADEF]}=\dfrac{3}{2}$Área$_{[ADEF]}$ Logo Área$_{[ADEF]}=\dfrac{2}{3}$Área$_{[ACD]}=2$ cm$^2$. Solução 3: Como o retângulo $[ADEF]$ e o triângulo $[CEF]$ têm a mesma área e a mesma base $[EF]$, então $[CEF]$ tem o dobro da altura de $[ADEF]$, ou seja $\overline{CF}=2\overline{AF}$. (image6) Assim, o triângulo $[CEF]$ tem a mesma base do triângulo $[ABC]$ e $2/3$ da sua altura, logo tem $2/3$ da sua área, ou seja, $2/3\times 3=2$ cm$^2$.


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[image4]
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,7) \pspolygon(-6,0)(6,0)(0,6)(-6,2) \psline(-6,2)(0,2) \psline(0,0)(0,6) \psline[linestyle=dashed](6,0)(6,6) \psline[linestyle=dashed](-6,6)(6,6) \psline[linestyle=dashed](-6,2)(-6,6) \rput(0,-1){$A$} \rput(6.1,-1){$B$} \rput(6.1,7){$G$} \rput(0,7){$C$} \rput(-6.1,7){$H$} \rput(-6.1,-1){$D$} \rput(-6.8,2){$E$} \rput(0.8,2){$F$} \end{pspicture}
[image5]
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,7) \pspolygon(-6,0)(6,0)(0,6)(-6,2) \psline(-6,2)(0,2) \psline(0,0)(0,6) \psline[linestyle=dashed](-6,0)(0,6) \rput(0,-1){$A$} \rput(6.1,-1){$B$} \rput(0,7){$C$} \rput(-6.1,-1){$D$} \rput(-6.8,2){$E$} \rput(0.8,2){$F$} \end{pspicture}
[image6]
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,7) \pspolygon(-6,0)(6,0)(0,6)(-6,2) \psline(-6,2)(0,2) \psline(0,0)(0,6) \rput(0,-1){$A$} \rput(6.1,-1){$B$} \rput(0,7){$C$} \rput(-6.1,-1){$D$} \rput(-6.8,2){$E$} \rput(0.8,2){$F$} \end{pspicture}