Problema (nível 3): Na viagem medieval de Santa Maria da Feira, $15$ visitantes, todos com idades diferentes, participaram num torneio de tiro ao arco com regras muito peculiares: - Inicialmente, os jogadores são divididos em duas equipas (de qualquer tamanho). - Em cada ronda, disputa-se uma partida entre o participante mais novo de cada uma das equipas. - O jogador que perde a partida é eliminado do torneio, e o jogador que vence a partida muda de equipa, ocupando o lugar do jogador que perde. - O torneio termina quando uma das equipas estiver vazia, sendo vencedora a outra equipa. Sabe-se que, em cada partida entre dois jogadores, o mais velho dos dois jogadores venceu a partida e que a equipa vencedora terminou com exatamente três jogadores. De quantas maneiras se pode ter feito a divisão inicial por equipas?

Resolução: Chame-se A e B às duas equipas. Vai-se fazer as seguintes duas observações: Para justificar isso, veja-se o que acontece ao fim de cada partida. Suponhamos que, antes de uma partida, o jogador mais novo (chame-se-lhe Zé) está na equipa A. Agora veja-se dois casos: Isto justifica a observação (a). Desta forma, a equipa que tem o jogador mais novo é a equipa do jogador que perde em todas as partidas, e portanto tem em cada partida um jogador substituído por um jogador da outra equipa, mantendo o número de jogadores. Isto justifica a observação (b). Desta forma, a equipa vencedora termina com $3$ jogadores precisamente se, inicialmente, a equipa que tem o jogador mais novo tiver $3$ jogadores. O número de distribuições que respeitam essa propriedade é, assim, o número de maneiras de escolher $2$ jogadores para além do jogador mais novo. Há $14$ maneiras de escolher um jogador para além do mais novo, e $13$ maneiras de escolher um segundo. No entanto, a ordem entre estes dois jogadores não importa, portanto o número de maneiras de escolher estes dois jogadores é $\frac{14\times13}{2}=91$. Há assim $91$ maneiras em que os jogadores podem ter sido distribuídos inicialmente. Chame-se A e B às duas equipas. Vai-se fazer as seguintes duas observações: Para justificar isso, veja-se o que acontece ao fim de cada partida. Suponhamos que, antes de uma partida, o jogador mais novo (chame-se-lhe Zé) está na equipa A. Agora veja-se dois casos: Isto justifica a observação (a). Desta forma, a equipa que tem o jogador mais novo é a equipa do jogador que perde em todas as partidas, e portanto tem em cada partida um jogador substituído por um jogador da outra equipa, mantendo o número de jogadores. Isto justifica a observação (b). Desta forma, a equipa vencedora termina com $3$ jogadores precisamente se, inicialmente, a equipa que tem o jogador mais novo tiver $3$ jogadores. O número de distribuições que respeitam essa propriedade é, assim, o número de maneiras de escolher $2$ jogadores para além do jogador mais novo. Há $14$ maneiras de escolher um jogador para além do mais novo, e $13$ maneiras de escolher um segundo. No entanto, a ordem entre estes dois jogadores não importa, portanto o número de maneiras de escolher estes dois jogadores é $\frac{14\times13}{2}=91$. Há assim $91$ maneiras em que os jogadores podem ter sido distribuídos inicialmente. Ao longo do torneio, a equipa que tem o jogador mais novo (que ainda não foi eliminado) é sempre a mesma; Chame-se A e B às duas equipas. Vai-se fazer as seguintes duas observações: Para justificar isso, veja-se o que acontece ao fim de cada partida. Suponhamos que, antes de uma partida, o jogador mais novo (chame-se-lhe Zé) está na equipa A. Agora veja-se dois casos: Isto justifica a observação (a). Desta forma, a equipa que tem o jogador mais novo é a equipa do jogador que perde em todas as partidas, e portanto tem em cada partida um jogador substituído por um jogador da outra equipa, mantendo o número de jogadores. Isto justifica a observação (b). Desta forma, a equipa vencedora termina com $3$ jogadores precisamente se, inicialmente, a equipa que tem o jogador mais novo tiver $3$ jogadores. O número de distribuições que respeitam essa propriedade é, assim, o número de maneiras de escolher $2$ jogadores para além do jogador mais novo. Há $14$ maneiras de escolher um jogador para além do mais novo, e $13$ maneiras de escolher um segundo. No entanto, a ordem entre estes dois jogadores não importa, portanto o número de maneiras de escolher estes dois jogadores é $\frac{14\times13}{2}=91$. Há assim $91$ maneiras em que os jogadores podem ter sido distribuídos inicialmente. A equipa que tem o jogador mais novo tem sempre o mesmo número de jogadores. Chame-se A e B às duas equipas. Vai-se fazer as seguintes duas observações: Para justificar isso, veja-se o que acontece ao fim de cada partida. Suponhamos que, antes de uma partida, o jogador mais novo (chame-se-lhe Zé) está na equipa A. Agora veja-se dois casos: Isto justifica a observação (a). Desta forma, a equipa que tem o jogador mais novo é a equipa do jogador que perde em todas as partidas, e portanto tem em cada partida um jogador substituído por um jogador da outra equipa, mantendo o número de jogadores. Isto justifica a observação (b). Desta forma, a equipa vencedora termina com $3$ jogadores precisamente se, inicialmente, a equipa que tem o jogador mais novo tiver $3$ jogadores. O número de distribuições que respeitam essa propriedade é, assim, o número de maneiras de escolher $2$ jogadores para além do jogador mais novo. Há $14$ maneiras de escolher um jogador para além do mais novo, e $13$ maneiras de escolher um segundo. No entanto, a ordem entre estes dois jogadores não importa, portanto o número de maneiras de escolher estes dois jogadores é $\frac{14\times13}{2}=91$. Há assim $91$ maneiras em que os jogadores podem ter sido distribuídos inicialmente. Se o segundo jogador mais novo também estiver na equipa A, depois da partida o Zé é eliminado, e o segundo jogador mais novo passa a ser o mais novo, e está na equipa A. Chame-se A e B às duas equipas. Vai-se fazer as seguintes duas observações: Para justificar isso, veja-se o que acontece ao fim de cada partida. Suponhamos que, antes de uma partida, o jogador mais novo (chame-se-lhe Zé) está na equipa A. Agora veja-se dois casos: Isto justifica a observação (a). Desta forma, a equipa que tem o jogador mais novo é a equipa do jogador que perde em todas as partidas, e portanto tem em cada partida um jogador substituído por um jogador da outra equipa, mantendo o número de jogadores. Isto justifica a observação (b). Desta forma, a equipa vencedora termina com $3$ jogadores precisamente se, inicialmente, a equipa que tem o jogador mais novo tiver $3$ jogadores. O número de distribuições que respeitam essa propriedade é, assim, o número de maneiras de escolher $2$ jogadores para além do jogador mais novo. Há $14$ maneiras de escolher um jogador para além do mais novo, e $13$ maneiras de escolher um segundo. No entanto, a ordem entre estes dois jogadores não importa, portanto o número de maneiras de escolher estes dois jogadores é $\frac{14\times13}{2}=91$. Há assim $91$ maneiras em que os jogadores podem ter sido distribuídos inicialmente. Se o segundo jogador mais novo estiver na equipa B, então é necessariamente o jogador mais novo da equipa B. Na partida, ele joga contra o Zé, e elimina o Zé, passando a ser o jogador mais novo do torneio, e ficando na equipa A.