Problema (nível 2): As ruas da cidade Ponto Verde têm dez mil candeeiros solares numerados a partir do centro da cidade. Cada candeeiro é disposto num de oito sentidos diferentes: norte, sul, este, oeste, nordeste, noroeste, sudeste e sudoeste, como indicado na figura. Assim, por exemplo, o candeeiro $21$ está no sentido sudoeste, o candeeiro $22$ está no sentido sul e o candeeiro $23$ no sentido sudeste. Em que sentido está disposto o candeeiro com o número $2013$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-12,-8)(12,-8) \pscircle(0,0){2} \pscircle(4,4){1} \pscircle(4,0){1} \pscircle(8,0){1} \pscircle(12,0){1} \pscircle(-4,0){1} \pscircle(-8,0){1} \pscircle(0,4){1} \pscircle(0,8){1} \pscircle(0,-4){1} \pscircle(0,-8){1} \rput(4,0){\rotatebox{-90}{\footnotesize$1$}} \rput(4,4){\rotatebox{-45}{\footnotesize$2$}} \rput(0,4){\rotatebox{0}{\footnotesize$3$}} \rput(-4,4){\rotatebox{45}{\footnotesize$4$}} \rput(-4,0){\rotatebox{90}{\footnotesize$5$}} \rput(-4,-4){\rotatebox{135}{\footnotesize$6$}} \rput(0,-4){\rotatebox{180}{\footnotesize$7$}} \rput(4,-4){\rotatebox{225}{\footnotesize$8$}} \rput(8,-4){\rotatebox{225}{\footnotesize$9$}} \rput(8,0){\rotatebox{-90}{\footnotesize$10$}} \rput(8,4){\rotatebox{-45}{\footnotesize$11$}} \rput(8,8){\rotatebox{-45}{\footnotesize$12$}} \rput(4,8){\rotatebox{-45}{\footnotesize$13$}} \rput(0,8){\rotatebox{0}{\footnotesize$14$}} \rput(-4,8){\rotatebox{45}{\footnotesize$15$}} \rput(-8,8){\rotatebox{45}{\footnotesize$16$}} \rput(-8,4){\rotatebox{45}{\footnotesize$17$}} \rput(-8,0){\rotatebox{90}{\footnotesize$18$}} \rput(-8,-4){\rotatebox{135}{\footnotesize$19$}} \rput(-8,-8){\rotatebox{135}{\footnotesize$20$}} \rput(-4,-8){\rotatebox{135}{\footnotesize$21$}} \rput(0,-8){\rotatebox{180}{\footnotesize$22$}} \rput(4,-8){\rotatebox{225}{\footnotesize$23$}} \rput(8,-8){\rotatebox{225}{\footnotesize $24$}} \rput(12,-8){\rotatebox{225}{\footnotesize$25$}} \rput(12,-4){\rotatebox{225}{\footnotesize$26$}} \rput(12,0){\rotatebox{-90}{\footnotesize$27$}} \rput(12,5){{$\vdots$}} \psline(4,1)(4,3) \psline(3,4)(1,4) \psline(-1,4)(-3,4) \multiput(-4,4)(0,-4){2}{\pscircle(0,-4){1} \psline(0,-1)(0,-3)} \multiput(-4,-4)(4,0){3}{\pscircle(4,0){1} \psline(1,0)(3,0)} \multiput(8,-4)(0,4){3}{\pscircle(0,4){1} \psline(0,1)(0,3)} \multiput(8,8)(-4,0){4}{\pscircle(-4,0){1} \psline(-1,0)(-3,0)} \multiput(-8,8)(0,-4){4}{\pscircle(0,-4){1} \psline(0,-1)(0,-3)} \multiput(-8,-8)(4,0){5}{\pscircle(4,0){1} \psline(1,0)(3,0)} \multiput(12,-8)(0,4){2}{\pscircle(0,4){1} \psline(0,1)(0,3)} \psline(12,1)(12,3) \pscircle(-4,4){1} \psline[linewidth=0.1pt,linestyle=dashed](-11,0)(15,0) \psline[linewidth=0.1pt,linestyle=dashed](0,-11)(0,10) \rput(16,0){\sf E} \rput(0,12){\sf N} \rput(-14,0){\sf O} \rput(0,-12){\sf S} \rput(16,0){\sf E} \rput(12,12){\sf NE} \rput(12,-12){\sf SE} \rput(-12,12){\sf NO} \rput(-12,-12){\sf SO} \end{pspicture}

Resolução: Observe-se que os quadrados dos números ímpares estão na direção sudeste e os quadrados dos números pares estão na direção noroeste. Na figura seguinte está representada a disposição dos candeeiros cujos números estão entre $44^2=1936$ e $45^2=2025$. (image2) Observe-se ainda que o número $44^2+44=1980$ está na direção sudoeste e o número $44^2+44+44/2=2002$ está na direção sul. Assim, o número $2013$ está na direção sudeste.


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[image2]
\begin{pspicture}(-12,-16)(12,16) \rput(-8,12){{$\cdots$}} \pscircle(-12,12){1.6} \pscircle(-16,12){1.6} \pscircle(-16,8){1.6} \psline(-9.6,12)(-10.4,12) \psline(-13.6,12)(-14.4,12) \psline(-16,9.6)(-16,10.4) \psline(-16,5.6)(-16,6.4) \rput(-12,12){\rotatebox{45}{\footnotesize$1935$}} \rput(-16,12){\rotatebox{45}{\footnotesize$1936$}} \rput(-16,8){\rotatebox{45}{\footnotesize$1937$}} \rput(-16,0){{$\vdots$}} \pscircle(-16,-8){1.6} \pscircle(-16,-12){1.6} \pscircle(-12,-12){1.6} \psline(-9.6,-12)(-10.4,-12) \psline(-13.6,-12)(-14.4,-12) \psline(-16,-9.6)(-16,-10.4) \psline(-16,-5.6)(-16,-6.4) \rput(-16,-8){\rotatebox{135}{\footnotesize$1979$}} \rput(-16,-12){\rotatebox{135}{\footnotesize$1980$}} \rput(-12,-12){\rotatebox{135}{\footnotesize$1981$}} \rput(-8,-12){{$\cdots$}} \pscircle(-4,-12){1.6} \pscircle(0,-12){1.6} \pscircle(4,-12){1.6} \psline(-5.6,-12)(-6.4,-12) \psline(-1.6,-12)(-2.4,-12) \psline(1.6,-12)(2.4,-12) \psline(5.6,-12)(6.4,-12) \rput(-4,-12){\rotatebox{135}{\footnotesize$2001$}} \rput(0,-12){\rotatebox{180}{\footnotesize$2002$}} \rput(4,-12){\rotatebox{225}{\footnotesize$2003$}} \rput(8,-12){{$\cdots$}} \pscircle(12,-12){1.6} \pscircle(16,-12){1.6} \pscircle(16,-8){1.6} \psline(9.6,-12)(10.4,-12) \psline(13.6,-12)(14.4,-12) \psline(16,-9.6)(16,-10.4) \psline(16,-5.6)(16,-6.4) \rput(12,-12){\rotatebox{225}{\footnotesize $2024$}} \rput(16,-12){\rotatebox{225}{\footnotesize$2025$}} \rput(16,-8){\rotatebox{225}{\footnotesize$2026$}} \rput(16,-4){{$\vdots$}} \psline[linewidth=0.1pt,linestyle=dashed](-15,0)(19,0) \psline[linewidth=0.1pt,linestyle=dashed](0,-15)(0,14) \rput(20,0){\sf E} \rput(0,16){\sf N} \rput(-18,0){\sf O} \rput(0,-16){\sf S} \rput(16,16){\sf NE} \rput(16,-16){\sf SE} \rput(-16,16){\sf NO} \rput(-16,-16){\sf SO} \end{pspicture}