Problema (nível 3): Com pequenos cubos de madeira todos iguais constrói-se um cubo e pintam-se algumas das suas faces. Se há exactamente 45 cubos pequenos sem nenhuma face pintada, quantas faces do cubo construído se pintaram?

Resolução: Para a construção de um cubo grande são necessários $n^3$ pequenos cubos de madeira todos iguais, para algum número inteiro $n$. Há pelo menos $(n-2)^3$ cubos pequenos sem nenhuma face pintada, logo $(n-2)^3\leq 45\leq n^3$. Como $3^3<45<4^3$, tem-se $ n-2<4$ e $n>3$, ou seja, $4\leq n\leq 5$. Assim, se fosse $n=4$, o número de cubos sem nenhuma face pintada seria: Se for $n=5$, o número de cubos sem nenhuma face pintada será: Portanto, pintaram-se exactamente quatro faces do cubo grande e as duas faces que não foram pintadas eram opostas. Para a construção de um cubo grande são necessários $n^3$ pequenos cubos de madeira todos iguais, para algum número inteiro $n$. Há pelo menos $(n-2)^3$ cubos pequenos sem nenhuma face pintada, logo $(n-2)^3\leq 45\leq n^3$. Como $3^3<45<4^3$, tem-se $ n-2<4$ e $n>3$, ou seja, $4\leq n\leq 5$. Assim, se fosse $n=4$, o número de cubos sem nenhuma face pintada seria: Se for $n=5$, o número de cubos sem nenhuma face pintada será: Portanto, pintaram-se exactamente quatro faces do cubo grande e as duas faces que não foram pintadas eram opostas. $4^3-4^2=48$, se houvesse apenas uma face pintada, Para a construção de um cubo grande são necessários $n^3$ pequenos cubos de madeira todos iguais, para algum número inteiro $n$. Há pelo menos $(n-2)^3$ cubos pequenos sem nenhuma face pintada, logo $(n-2)^3\leq 45\leq n^3$. Como $3^3<45<4^3$, tem-se $ n-2<4$ e $n>3$, ou seja, $4\leq n\leq 5$. Assim, se fosse $n=4$, o número de cubos sem nenhuma face pintada seria: Se for $n=5$, o número de cubos sem nenhuma face pintada será: Portanto, pintaram-se exactamente quatro faces do cubo grande e as duas faces que não foram pintadas eram opostas. $4^3-4^2-3\times4=36$, se houvesse duas faces adjacentes pintadas, Para a construção de um cubo grande são necessários $n^3$ pequenos cubos de madeira todos iguais, para algum número inteiro $n$. Há pelo menos $(n-2)^3$ cubos pequenos sem nenhuma face pintada, logo $(n-2)^3\leq 45\leq n^3$. Como $3^3<45<4^3$, tem-se $ n-2<4$ e $n>3$, ou seja, $4\leq n\leq 5$. Assim, se fosse $n=4$, o número de cubos sem nenhuma face pintada seria: Se for $n=5$, o número de cubos sem nenhuma face pintada será: Portanto, pintaram-se exactamente quatro faces do cubo grande e as duas faces que não foram pintadas eram opostas. $4^3-2\times4^2=32$, se houvesse duas faces opostas pintadas, Para a construção de um cubo grande são necessários $n^3$ pequenos cubos de madeira todos iguais, para algum número inteiro $n$. Há pelo menos $(n-2)^3$ cubos pequenos sem nenhuma face pintada, logo $(n-2)^3\leq 45\leq n^3$. Como $3^3<45<4^3$, tem-se $ n-2<4$ e $n>3$, ou seja, $4\leq n\leq 5$. Assim, se fosse $n=4$, o número de cubos sem nenhuma face pintada seria: Se for $n=5$, o número de cubos sem nenhuma face pintada será: Portanto, pintaram-se exactamente quatro faces do cubo grande e as duas faces que não foram pintadas eram opostas. inferior a $32$ nos outros casos. Para a construção de um cubo grande são necessários $n^3$ pequenos cubos de madeira todos iguais, para algum número inteiro $n$. Há pelo menos $(n-2)^3$ cubos pequenos sem nenhuma face pintada, logo $(n-2)^3\leq 45\leq n^3$. Como $3^3<45<4^3$, tem-se $ n-2<4$ e $n>3$, ou seja, $4\leq n\leq 5$. Assim, se fosse $n=4$, o número de cubos sem nenhuma face pintada seria: Se for $n=5$, o número de cubos sem nenhuma face pintada será: Portanto, pintaram-se exactamente quatro faces do cubo grande e as duas faces que não foram pintadas eram opostas. $3^2\times4=36$, se houver apenas uma face por pintar, Para a construção de um cubo grande são necessários $n^3$ pequenos cubos de madeira todos iguais, para algum número inteiro $n$. Há pelo menos $(n-2)^3$ cubos pequenos sem nenhuma face pintada, logo $(n-2)^3\leq 45\leq n^3$. Como $3^3<45<4^3$, tem-se $ n-2<4$ e $n>3$, ou seja, $4\leq n\leq 5$. Assim, se fosse $n=4$, o número de cubos sem nenhuma face pintada seria: Se for $n=5$, o número de cubos sem nenhuma face pintada será: Portanto, pintaram-se exactamente quatro faces do cubo grande e as duas faces que não foram pintadas eram opostas. $3^2\times5=45$, se houver duas faces opostas por pintar, Para a construção de um cubo grande são necessários $n^3$ pequenos cubos de madeira todos iguais, para algum número inteiro $n$. Há pelo menos $(n-2)^3$ cubos pequenos sem nenhuma face pintada, logo $(n-2)^3\leq 45\leq n^3$. Como $3^3<45<4^3$, tem-se $ n-2<4$ e $n>3$, ou seja, $4\leq n\leq 5$. Assim, se fosse $n=4$, o número de cubos sem nenhuma face pintada seria: Se for $n=5$, o número de cubos sem nenhuma face pintada será: Portanto, pintaram-se exactamente quatro faces do cubo grande e as duas faces que não foram pintadas eram opostas. $3\times4^2=48$, se houver duas faces adjacentes por pintar, Para a construção de um cubo grande são necessários $n^3$ pequenos cubos de madeira todos iguais, para algum número inteiro $n$. Há pelo menos $(n-2)^3$ cubos pequenos sem nenhuma face pintada, logo $(n-2)^3\leq 45\leq n^3$. Como $3^3<45<4^3$, tem-se $ n-2<4$ e $n>3$, ou seja, $4\leq n\leq 5$. Assim, se fosse $n=4$, o número de cubos sem nenhuma face pintada seria: Se for $n=5$, o número de cubos sem nenhuma face pintada será: Portanto, pintaram-se exactamente quatro faces do cubo grande e as duas faces que não foram pintadas eram opostas. superior a $48$ nos outros casos.