Problema (nível 4): O Adérito passeia pela Praça da República em Tomar em direcção à estátua de D. Gualdim Pais. A estátua tem $h$ metros de altura e está em cima de um pedestal com $p$ metros de altura. Os olhos do Adérito estão a $e$ metros do chão, com $0<e<p$. A que distância do pedestal deve o Adérito parar para que a estátua lhe pareça o maior possível? Sugestão: Representa por $A$ o ponto mais alto da estátua, por $B$ os pés da estátua e por $C$ os olhos do Adérito. Supõe que a perpendicular ao solo que passa por $A$ contém o ponto $B$. A estátua parecer-lhe-á o maior possível quando $A\hat{C}B$ for máxima.

Resolução: Solução 1: Considere-se o sistema de eixos cartesianos a seguir indicado. units <30pt,30pt> (image1) Seja $\ell$ a recta de equação $y=e$. O ponto $C$ pertence à recta $\ell$ e tem abcissa positiva. Determine-se $C$ de modo que $A\hat{C}B$ seja a maior possível. Como $A$, $B$ e $C$ não são pontos colineares, existe uma circunferência que passa por $A$, $B$ e $C$. Suponha-se que o ponto $C$ é tal que a recta $\ell$ intersecta a circunferência em dois pontos distintos, $C$ e $C^{\prime }$. units <20pt,20pt> (image2) Seja $M$ um ponto da recta $\ell$, interior à circunferência. Prove-se que $A\hat{M}B> A\hat{C}B$. Seja $Q$ o ponto de intersecção da circunferência com o prolongamento de $[AM]$ e considerem-se os triângulos $[ABQ]$ e $[ABM]$. (table1) Assim, $A\hat{B}Q+A\hat{Q}B+Q\hat{A}B=180^{\mbox {\rmv o}}$ e $A\hat{B}M+A\hat{M}B+M\hat{A}B=180^{\mbox {\rmv o}}$. Como $Q\hat{A}B=M\hat{A}B$, das igualdades anteriores, resulta $$A\hat{B}Q+A\hat{Q}B= A\hat{B}M+A\hat{M}B. $$ Como $Q$ pertence à circunferência e todos os ângulos inscritos que descrevam o mesmo arco têm a mesma amplitude, $A\hat{Q}B=A\hat{C}B$ e, uma vez que $A\hat{B}Q> A\hat{B}M$, tem-se $$ A\hat{M}B-A\hat{Q}B=A\hat{B}Q-A\hat{B}M>0, $$ ou seja, $$ A\hat{M}B> A\hat{Q}B=A\hat{C}B. $$ Assim, quando a circunferência intersecta a recta $\ell$ em mais do que um ponto, $A\hat{C}B$ não atinge o seu valor máximo. Suponha-se agora que o ponto $C$ é tal que a circunferência que passa por $A$, $B$ e $C$ é tangente à recta $\ell$. Seja $M$ um ponto da recta $\ell$ com abcissa positiva e exterior à circunferência. Prove-se que $A\hat{M}B<A\hat{C}B$. Seja $P$ o ponto de intersecção da circunferência com $[AM]$ e considerem-se os triângulos $[ABP]$ e $[ABM]$. (table2) Assim, $A\hat{B}P+A\hat{P}B+P\hat{A}B=180^{\mbox {\rmv o}}$ e $A\hat{B}M+A\hat{M}B+M\hat{A}B=180^{\mbox {\rmv o}}$. Como $P\hat{A}B=M\hat{A}B$, das igualdades anteriores, resulta $$A\hat{B}P+A\hat{P}B= A\hat{B}M+A\hat{M}B. $$ Como $A\hat{P}B=A\hat{C}B$, pois $P$ pertence à circunferência e todos os ângulos inscritos que descrevam o mesmo arco têm a mesma amplitude, e $A\hat{B}P<A\hat{B}M$, tem-se $$ A\hat{P}B-A\hat{M}B=A\hat{B}M-A\hat{B}P>0, $$ ou seja, $$ A\hat{M}B<A\hat{P}B=A\hat{C}B. $$ Portanto, $A\hat{C}B$ atinge o seu valor máximo quando a circunferência que passa por $A$, $B$ e $C$ é tangente à recta $\ell$ em $C$. units <20pt,20pt> (image3) Determinem-se as coordenadas de $C$. O ponto $A$ tem coordenadas $(0,p+h)$ e o ponto $B$ coordenadas $(0,p)$. Como $[AB]$ é uma secante da circunferência, a mediatriz de $[AB]$ passa pelo centro $D$ da circunferência. Assim, a ordenada de $D$ é igual a $p+\frac{h}{2}$. Por outro lado, a circunferência é tangente à recta $\ell$ em $C$. Logo, $[DC]$ é perpendicular à recta $\ell$ e, portanto, $D\equiv(x_C,p+\frac{h}{2})$, $C\equiv(x_C,e)$ e $\overline{DC}=p+\frac{h}{2}-e$. Como $B$ também pertence à circunferência, por aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo $[BDE]$ units <20pt,20pt> (image4) resulta $ \left(p+\frac{h}{2}-e\right)^2=x_C^2+ \left(\frac{h}{2}\right)^2$, o que é equivalente a $x_C=\sqrt{(p-e)(p-e+h)}$. Portanto, o Adérito deve parar a $\sqrt{(p-e)(p-e+h)}$ metros do pedestal. Solução 2: Considerem-se os triângulos rectângulos $[ADC]$ e $[BDC]$. Denote-se $\overline{DC}=d$, $\overline{BD}=p-e=q$, $A\hat{C}B=\alpha$ e $B\hat{C}D=\beta$. units <30pt,30pt> (image5) Determine-se $d$ de modo que $\alpha$ seja o maior possível, ou seja, de modo que $\mbox{sen}^2 \alpha$ seja o maior possível (visto que a função $g$ definida por $g(\alpha)= \mbox{sen}^2 \alpha$ é estritamente crescente no intervalo $[0, \frac{\pi}{2} ]$). Como $\mbox{sen } \alpha = \mbox{sen } ((\alpha +\beta)-\beta)=\mbox{sen } (\alpha +\beta)\mbox{cos } \beta -\mbox{cos } (\alpha +\beta)\mbox{sen } \beta $, tem-se $\mbox{sen }\alpha=\frac{hd}{\sqrt{(d^2+q^2)(d^2+(h+q)^2) }}$ e, deste modo, basta maximizar a função $f$ definida por $f(d)=\frac1h \mbox{sen }^2 \alpha = \frac{d^2}{(d^2+q^2)(d^2+(h+q)^2)}$ no intervalo $]0,+\infty [$. Assim, o valor $d$ pretendido verifica $f^{\prime }(d)=0$ e, uma vez que $$f^{\prime }(d)=\frac{2d(q^2(h+q)^2-d^4)}{(d^2+q^2)^2(d^2+(h+q)^2)^2},$$ tem-se $d=\sqrt{q(h+q)}$. Visto que $f^{\prime \prime }(\sqrt{q(h+q)})=\frac{-8}{(h+2q)^4}<0$, $f$ atinge o seu valor máximo em $d=\sqrt{q(h+q)}$. Portanto, o Adérito deve parar a $\sqrt{(p-e)(p-e+h)}$ metros do pedestal.


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[image2]
\beginpicture \arrow <5pt> [.2,.67] from 0 0 to 4 0 \arrow <5pt> [.2,.67] from 0 0 to 0 3 \put {\tiny $\bullet$} at 0 1.1 \put {\tiny $\bullet$} at 0 2.2 \put {\tiny $B$} at -0.2 1.1 \put {\tiny $\bullet$} at 2.15 0.5 \put {\tiny $C$} at 2.4 0.25 \put {\tiny $\bullet$} at 0.5 0.5 \put {\tiny $C^{\prime }$} at 0.3 0.2 \setdashes <2pt> \plot 0 0.5 3.5 .5 / \put {\tiny $A$} at -0.2 2.2 \setsolid \circulararc 360 degrees from 0 2.2 center at 1.3 1.65 \endpicture
[table1]
\begin{tabular}{llll} \setcoordinatesystem units <30pt,30pt> (image6) & \hspace*{1cm} & \hspace*{1cm} & \setcoordinatesystem units <30pt,30pt> (image7) \end{tabular}
[table2]
\begin{tabular}{llr} \setcoordinatesystem units <30pt,30pt> (image8) & \ \ \ \ & \setcoordinatesystem units <30pt,30pt> (image9) \end{tabular}
[image3]
\beginpicture \arrow <5pt> [.2,.67] from 0 0 to 4 0 \arrow <5pt> [.2,.67] from 0 0 to 0 3 \put {\tiny $\bullet$} at 0 1.1 \put {\tiny $\bullet$} at 0 2.2 \put {\tiny $B$} at -0.2 1.1 \put {\tiny $\bullet$} at 1.01 1.65 \put {\tiny $D$} at 1.11 1.85 \put {\tiny $\bullet$} at 1.01 0.5 \put {\tiny $C$} at 1.01 0.25 \setdashes <1pt> \plot 0 1.65 1.01 1.65 / \plot 1.01 1.65 1.01 .5 / \setdashes <2pt> \plot 0 0.5 3.5 .5 / \put {\tiny $A$} at -0.2 2.2 \setsolid \circulararc 360 degrees from 0 2.2 center at 1.01 1.65 \endpicture
[image4]
\beginpicture \arrow <5pt> [.2,.67] from 0 0 to 4 0 \arrow <5pt> [.2,.67] from 0 0 to 0 3 \put {\tiny $\bullet$} at 0 1.1 \put {\tiny $\bullet$} at 0 2.2 \put {\tiny $B$} at -0.2 1.1 \put {\tiny $\bullet$} at 1.01 1.65 \put {\tiny $D$} at 1.11 1.85 \put {\tiny $\bullet$} at 1.01 1.65 \put {\tiny $E$} at 0.1 1.85 \put {\tiny $\bullet$} at 0 1.65 \put {\tiny $C$} at 1.01 0.25 \setsolid \plot 0 1.65 1.01 1.65 / \plot 0 1.1 1.01 1.65 / \setdashes <1pt> \plot 1.01 1.65 1.01 .5 / \setdashes <2pt> \plot 0 0.5 3.5 .5 / \put {\tiny $A$} at -0.2 2.2 \setsolid \circulararc 360 degrees from 0 2.2 center at 1.01 1.65 \endpicture
[image5]
\beginpicture \plot 0 3 2.5 0.5 / \plot 0 0.5 0 3 / \plot 0 0.5 2.5 0.5 / \plot 0 1.1 2.5 0.5 / \put {\tiny $\bullet$} at 0 0.5 \put {\tiny $\bullet$} at 0 1.1 \put {\tiny $\bullet$} at 0 3 \put {\tiny $B$} at -0.2 1.1 \put {\tiny $D$} at -0.2 0.5 \put {\tiny } at 0.5 0.27 \put {\tiny $A$} at -0.2 3 \put {\tiny $\bullet$} at 2.5 0.5 \put {\tiny $C$} at 2.7 0.5 \endpicture