Problema (nível 4): De quantas formas é possível distribuir nove bolas, numeradas de $1$ a $9$, por três caixas diferentes, de modo a que a soma dos números das bolas em cada caixa seja um múltiplo de três?

Resolução: Os números de $1$ a $9$ podem ser agrupados consoante o seu resto na divisão por $3$: Os números do primeiro grupo podem colocados em qualquer caixa, havendo um total de $3^3=27$ maneiras diferentes de o fazer. Suponhamos que os números do segundo grupo ficam na mesma caixa. Então os elementos do terceiro grupo também têm que ficar juntos. Neste caso, temos $3\times 3=9$ maneiras de escolher as caixas respetivas. Suponhamos agora que os números do segundo grupo ficam em duas caixas. Um dos elementos fica sozinho e na sua caixa tem de ficar um elemento do terceiro grupo. Os outros dois elementos do segundo grupo ficam juntos e na sua caixa têm de ficar os outros dois elementos do terceiro grupo. Neste caso, temos $3\times 3=9$ maneiras de escolher os elementos de cada grupo que ficam sozinhos e $3\times 2=6$ maneiras de escolher as caixas, num total de $9\times 6=54$ maneiras. Suponhamos finalmente que os números do segundo grupo ficam em três caixas. Em cada caixa tem de ficar um elemento do terceiro grupo. Neste caso, temos $3\times 2=6$ maneiras de escolher as caixas para cada grupo, num total de $6\times 6=36$ maneiras. Assim, ao todo, há $27\times(9+54+36)=27\times 99=2673$ maneiras diferentes de colocar os números nas caixas. Os números de $1$ a $9$ podem ser agrupados consoante o seu resto na divisão por $3$: Os números do primeiro grupo podem colocados em qualquer caixa, havendo um total de $3^3=27$ maneiras diferentes de o fazer. Suponhamos que os números do segundo grupo ficam na mesma caixa. Então os elementos do terceiro grupo também têm que ficar juntos. Neste caso, temos $3\times 3=9$ maneiras de escolher as caixas respetivas. Suponhamos agora que os números do segundo grupo ficam em duas caixas. Um dos elementos fica sozinho e na sua caixa tem de ficar um elemento do terceiro grupo. Os outros dois elementos do segundo grupo ficam juntos e na sua caixa têm de ficar os outros dois elementos do terceiro grupo. Neste caso, temos $3\times 3=9$ maneiras de escolher os elementos de cada grupo que ficam sozinhos e $3\times 2=6$ maneiras de escolher as caixas, num total de $9\times 6=54$ maneiras. Suponhamos finalmente que os números do segundo grupo ficam em três caixas. Em cada caixa tem de ficar um elemento do terceiro grupo. Neste caso, temos $3\times 2=6$ maneiras de escolher as caixas para cada grupo, num total de $6\times 6=36$ maneiras. Assim, ao todo, há $27\times(9+54+36)=27\times 99=2673$ maneiras diferentes de colocar os números nas caixas. $3$, $6$ e $9$ têm resto $0$; Os números de $1$ a $9$ podem ser agrupados consoante o seu resto na divisão por $3$: Os números do primeiro grupo podem colocados em qualquer caixa, havendo um total de $3^3=27$ maneiras diferentes de o fazer. Suponhamos que os números do segundo grupo ficam na mesma caixa. Então os elementos do terceiro grupo também têm que ficar juntos. Neste caso, temos $3\times 3=9$ maneiras de escolher as caixas respetivas. Suponhamos agora que os números do segundo grupo ficam em duas caixas. Um dos elementos fica sozinho e na sua caixa tem de ficar um elemento do terceiro grupo. Os outros dois elementos do segundo grupo ficam juntos e na sua caixa têm de ficar os outros dois elementos do terceiro grupo. Neste caso, temos $3\times 3=9$ maneiras de escolher os elementos de cada grupo que ficam sozinhos e $3\times 2=6$ maneiras de escolher as caixas, num total de $9\times 6=54$ maneiras. Suponhamos finalmente que os números do segundo grupo ficam em três caixas. Em cada caixa tem de ficar um elemento do terceiro grupo. Neste caso, temos $3\times 2=6$ maneiras de escolher as caixas para cada grupo, num total de $6\times 6=36$ maneiras. Assim, ao todo, há $27\times(9+54+36)=27\times 99=2673$ maneiras diferentes de colocar os números nas caixas. $1$, $4$ e $7$ têm resto $1$; Os números de $1$ a $9$ podem ser agrupados consoante o seu resto na divisão por $3$: Os números do primeiro grupo podem colocados em qualquer caixa, havendo um total de $3^3=27$ maneiras diferentes de o fazer. Suponhamos que os números do segundo grupo ficam na mesma caixa. Então os elementos do terceiro grupo também têm que ficar juntos. Neste caso, temos $3\times 3=9$ maneiras de escolher as caixas respetivas. Suponhamos agora que os números do segundo grupo ficam em duas caixas. Um dos elementos fica sozinho e na sua caixa tem de ficar um elemento do terceiro grupo. Os outros dois elementos do segundo grupo ficam juntos e na sua caixa têm de ficar os outros dois elementos do terceiro grupo. Neste caso, temos $3\times 3=9$ maneiras de escolher os elementos de cada grupo que ficam sozinhos e $3\times 2=6$ maneiras de escolher as caixas, num total de $9\times 6=54$ maneiras. Suponhamos finalmente que os números do segundo grupo ficam em três caixas. Em cada caixa tem de ficar um elemento do terceiro grupo. Neste caso, temos $3\times 2=6$ maneiras de escolher as caixas para cada grupo, num total de $6\times 6=36$ maneiras. Assim, ao todo, há $27\times(9+54+36)=27\times 99=2673$ maneiras diferentes de colocar os números nas caixas. $2$, $5$ e $8$ têm resto $2$.