Problema (nível 4): Um museu quer proteger a sua peça mais valiosa, mantendo-a sob vigilância constante. Para isso, quer colocar guardas a vigiar a peça, em turnos de $7$ horas consecutivas. Cada guarda começa o seu turno todos os dias à mesma hora. Um guarda é indispensável se houver algum momento do dia em que esteja sozinho a vigiar a peça. Indica todas as possibilidades para o número de guardas que vigiam a peça, de modo que todos sejam indispensáveis.

Resolução: Comecemos por observar que, se todos os guardas são indispensáveis, então em qualquer momento do dia há no máximo dois guardas a vigiar a peça. De facto, suponhamos que num determinado momento estão três guardas a vigiar a peça. Destes, seja $A$ o guarda que começou primeiro o seu turno, $B$ o guarda que terminou por último o seu turno e $C$ o guarda restante. Então $C$ está sempre acompanhado de $A$ ou $B$, logo não é indispensável. Assim, o número total de horas de vigia durante um dia é no máximo $24\times 2=48$ horas. Como cada guarda trabalha $7$ horas por dia e $7\times 7=49>48$, há no máximo $6$ guardas a vigiar a peça. Por outro lado, como $7\times 3=21<24$ e a peça tem vigilância constante, há pelo menos $4$ guardas a vigiar a peça. Falta verificar que é possível vigiar a peça com $4$, $5$ e $6$ guardas: Comecemos por observar que, se todos os guardas são indispensáveis, então em qualquer momento do dia há no máximo dois guardas a vigiar a peça. De facto, suponhamos que num determinado momento estão três guardas a vigiar a peça. Destes, seja $A$ o guarda que começou primeiro o seu turno, $B$ o guarda que terminou por último o seu turno e $C$ o guarda restante. Então $C$ está sempre acompanhado de $A$ ou $B$, logo não é indispensável. Assim, o número total de horas de vigia durante um dia é no máximo $24\times 2=48$ horas. Como cada guarda trabalha $7$ horas por dia e $7\times 7=49>48$, há no máximo $6$ guardas a vigiar a peça. Por outro lado, como $7\times 3=21<24$ e a peça tem vigilância constante, há pelo menos $4$ guardas a vigiar a peça. Falta verificar que é possível vigiar a peça com $4$, $5$ e $6$ guardas: É possível vigiar a peça com $4$ guardas cujos turnos sejam $[0,7]$, $[6,13]$, $[12,20]$ e $[17,24]$. Comecemos por observar que, se todos os guardas são indispensáveis, então em qualquer momento do dia há no máximo dois guardas a vigiar a peça. De facto, suponhamos que num determinado momento estão três guardas a vigiar a peça. Destes, seja $A$ o guarda que começou primeiro o seu turno, $B$ o guarda que terminou por último o seu turno e $C$ o guarda restante. Então $C$ está sempre acompanhado de $A$ ou $B$, logo não é indispensável. Assim, o número total de horas de vigia durante um dia é no máximo $24\times 2=48$ horas. Como cada guarda trabalha $7$ horas por dia e $7\times 7=49>48$, há no máximo $6$ guardas a vigiar a peça. Por outro lado, como $7\times 3=21<24$ e a peça tem vigilância constante, há pelo menos $4$ guardas a vigiar a peça. Falta verificar que é possível vigiar a peça com $4$, $5$ e $6$ guardas: É possível vigiar a peça com $5$ guardas cujos turnos sejam $[0,7]$, $[3,10]$, $[9,16]$, $[15,22]$ e $[17,24]$. Comecemos por observar que, se todos os guardas são indispensáveis, então em qualquer momento do dia há no máximo dois guardas a vigiar a peça. De facto, suponhamos que num determinado momento estão três guardas a vigiar a peça. Destes, seja $A$ o guarda que começou primeiro o seu turno, $B$ o guarda que terminou por último o seu turno e $C$ o guarda restante. Então $C$ está sempre acompanhado de $A$ ou $B$, logo não é indispensável. Assim, o número total de horas de vigia durante um dia é no máximo $24\times 2=48$ horas. Como cada guarda trabalha $7$ horas por dia e $7\times 7=49>48$, há no máximo $6$ guardas a vigiar a peça. Por outro lado, como $7\times 3=21<24$ e a peça tem vigilância constante, há pelo menos $4$ guardas a vigiar a peça. Falta verificar que é possível vigiar a peça com $4$, $5$ e $6$ guardas: É possível vigiar a peça com $6$ guardas cujos turnos sejam $[0,7]$, $[1,8]$, $[8,15]$, $[9,16]$, $[16,23]$ e $[17,24]$.