Problema (nível 2): Na Terra das Figuras Geométricas, o Tiago viu a subtração $\bigtriangleup \!\bigcirc\! \Box - \bigcirc\, \Box\, \bigtriangleup = 126$ escrita numa parede. Sabendo que cada símbolo representa um algarismo de $0$ a $9$, quais são os valores possíveis para $\bigcirc\, \Box\, \bigtriangleup $?

Resolução: Comecemos por notar que ter-se $\Diamond\!\bigcirc\! \Box - \bigcirc\, \Box\, \Diamond = 126$ equivale a ter-se $ \bigcirc\, \Box\, \Diamond + 126 = \Diamond\!\bigcirc\! \Box$. Fica então claro que: Ou seja, para cada valor possível de $\Diamond$, existe no máximo uma solução. Solução 1: Analisamos então cada uma das possibilidades, começando por escolher $\x$: (table1) Solução 2: Observando que, se $\y\z\x$ é uma solução, então $\y\z\x + 111$ também é, e que $\y\z\x = 082$ é uma solução, encontramos imediatamente as soluções $193$, $304$, $415$, $526$, $637$, $748$ e $859$. Fica-nos a faltar considerar o caso em que $\x = 1$. Se $\x = 1$, então necessariamente $\z = 7$ e $\y = 9$. Mas esta atribuição não conduz a uma solução uma vez que, como já observado, devemos ter $\y \leq 8$. Resposta: O número $\y\z\x$ pode tomar os seguintes valores: $082$, $193$, $304$, $415$, $526$, $637$, $748$ e $859$. Comecemos por notar que ter-se $\Diamond\!\bigcirc\! \Box - \bigcirc\, \Box\, \Diamond = 126$ equivale a ter-se $ \bigcirc\, \Box\, \Diamond + 126 = \Diamond\!\bigcirc\! \Box$. Fica então claro que: Ou seja, para cada valor possível de $\Diamond$, existe no máximo uma solução. Solução 1: Analisamos então cada uma das possibilidades, começando por escolher $\x$: (table2) Solução 2: Observando que, se $\y\z\x$ é uma solução, então $\y\z\x + 111$ também é, e que $\y\z\x = 082$ é uma solução, encontramos imediatamente as soluções $193$, $304$, $415$, $526$, $637$, $748$ e $859$. Fica-nos a faltar considerar o caso em que $\x = 1$. Se $\x = 1$, então necessariamente $\z = 7$ e $\y = 9$. Mas esta atribuição não conduz a uma solução uma vez que, como já observado, devemos ter $\y \leq 8$. Resposta: O número $\y\z\x$ pode tomar os seguintes valores: $082$, $193$, $304$, $415$, $526$, $637$, $748$ e $859$. $\Box$ é o algarismo das unidades de $6 + \Diamond$; Comecemos por notar que ter-se $\Diamond\!\bigcirc\! \Box - \bigcirc\, \Box\, \Diamond = 126$ equivale a ter-se $ \bigcirc\, \Box\, \Diamond + 126 = \Diamond\!\bigcirc\! \Box$. Fica então claro que: Ou seja, para cada valor possível de $\Diamond$, existe no máximo uma solução. Solução 1: Analisamos então cada uma das possibilidades, começando por escolher $\x$: (table3) Solução 2: Observando que, se $\y\z\x$ é uma solução, então $\y\z\x + 111$ também é, e que $\y\z\x = 082$ é uma solução, encontramos imediatamente as soluções $193$, $304$, $415$, $526$, $637$, $748$ e $859$. Fica-nos a faltar considerar o caso em que $\x = 1$. Se $\x = 1$, então necessariamente $\z = 7$ e $\y = 9$. Mas esta atribuição não conduz a uma solução uma vez que, como já observado, devemos ter $\y \leq 8$. Resposta: O número $\y\z\x$ pode tomar os seguintes valores: $082$, $193$, $304$, $415$, $526$, $637$, $748$ e $859$. $\bigcirc$ é o algarismo das unidades da soma de $2 + \Box$ com o algarismo das dezenas de $6 + \Diamond$ (que se considera $0$ se esta soma for inferior a $10$); Comecemos por notar que ter-se $\Diamond\!\bigcirc\! \Box - \bigcirc\, \Box\, \Diamond = 126$ equivale a ter-se $ \bigcirc\, \Box\, \Diamond + 126 = \Diamond\!\bigcirc\! \Box$. Fica então claro que: Ou seja, para cada valor possível de $\Diamond$, existe no máximo uma solução. Solução 1: Analisamos então cada uma das possibilidades, começando por escolher $\x$: (table4) Solução 2: Observando que, se $\y\z\x$ é uma solução, então $\y\z\x + 111$ também é, e que $\y\z\x = 082$ é uma solução, encontramos imediatamente as soluções $193$, $304$, $415$, $526$, $637$, $748$ e $859$. Fica-nos a faltar considerar o caso em que $\x = 1$. Se $\x = 1$, então necessariamente $\z = 7$ e $\y = 9$. Mas esta atribuição não conduz a uma solução uma vez que, como já observado, devemos ter $\y \leq 8$. Resposta: O número $\y\z\x$ pode tomar os seguintes valores: $082$, $193$, $304$, $415$, $526$, $637$, $748$ e $859$. $\Diamond$ é a soma de $1 + \bigcirc$ com o algarismo das centenas de $26 + \Box \Diamond$. Em particular, devemos ter $\Diamond \geq 1$ e $\y \leq 8$.


Conteúdo referenciado:
[table1]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $\x$ & $\z$ & $\y$ & É solução? \\ \hline\hline 1 & 7 & 9 & Não, porque devemos ter $\y \leq 8$ \\ \hline 2 & 8 & 0 & Sim: $\y\z\x = 082$ \\ \hline 3 & 9 & 1 & Sim: $\y\z\x = 193$ \\ \hline 4 & 0 & 3 & Sim: $\y\z\x = 304$ \\ \hline 5 & 1 & 4 & Sim: $\y\z\x = 415$ \\ \hline 6 & 2 & 5 & Sim: $\y\z\x = 526$ \\ \hline 7 & 3 & 6 & Sim: $\y\z\x = 637$ \\ \hline 8 & 4 & 7 & Sim: $\y\z\x = 748$ \\ \hline 9 & 5 & 8 & Sim: $\y\z\x = 859$ \\ \hline \end{tabular}
[table2]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $\x$ & $\z$ & $\y$ & É solução? \\ \hline\hline 1 & 7 & 9 & Não, porque devemos ter $\y \leq 8$ \\ \hline 2 & 8 & 0 & Sim: $\y\z\x = 082$ \\ \hline 3 & 9 & 1 & Sim: $\y\z\x = 193$ \\ \hline 4 & 0 & 3 & Sim: $\y\z\x = 304$ \\ \hline 5 & 1 & 4 & Sim: $\y\z\x = 415$ \\ \hline 6 & 2 & 5 & Sim: $\y\z\x = 526$ \\ \hline 7 & 3 & 6 & Sim: $\y\z\x = 637$ \\ \hline 8 & 4 & 7 & Sim: $\y\z\x = 748$ \\ \hline 9 & 5 & 8 & Sim: $\y\z\x = 859$ \\ \hline \end{tabular}
[table3]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $\x$ & $\z$ & $\y$ & É solução? \\ \hline\hline 1 & 7 & 9 & Não, porque devemos ter $\y \leq 8$ \\ \hline 2 & 8 & 0 & Sim: $\y\z\x = 082$ \\ \hline 3 & 9 & 1 & Sim: $\y\z\x = 193$ \\ \hline 4 & 0 & 3 & Sim: $\y\z\x = 304$ \\ \hline 5 & 1 & 4 & Sim: $\y\z\x = 415$ \\ \hline 6 & 2 & 5 & Sim: $\y\z\x = 526$ \\ \hline 7 & 3 & 6 & Sim: $\y\z\x = 637$ \\ \hline 8 & 4 & 7 & Sim: $\y\z\x = 748$ \\ \hline 9 & 5 & 8 & Sim: $\y\z\x = 859$ \\ \hline \end{tabular}
[table4]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $\x$ & $\z$ & $\y$ & É solução? \\ \hline\hline 1 & 7 & 9 & Não, porque devemos ter $\y \leq 8$ \\ \hline 2 & 8 & 0 & Sim: $\y\z\x = 082$ \\ \hline 3 & 9 & 1 & Sim: $\y\z\x = 193$ \\ \hline 4 & 0 & 3 & Sim: $\y\z\x = 304$ \\ \hline 5 & 1 & 4 & Sim: $\y\z\x = 415$ \\ \hline 6 & 2 & 5 & Sim: $\y\z\x = 526$ \\ \hline 7 & 3 & 6 & Sim: $\y\z\x = 637$ \\ \hline 8 & 4 & 7 & Sim: $\y\z\x = 748$ \\ \hline 9 & 5 & 8 & Sim: $\y\z\x = 859$ \\ \hline \end{tabular}