Problema (nível 3): Num quadriculado $3$ por $3$ escrevem-se os algarismos de $1$ a $9$. O segundo maior algarismo de cada linha é pintado de azul. O $5$ é o segundo maior algarismo pintado de azul. Uma forma possível de distribuir os algarismos é a seguinte. (image1) De quantas formas diferentes é possível distribuir os algarismos?


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[image1]
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3.5,3.5) \small \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](2,0)(3,0)(3,1)(2,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](2,1)(3,1)(3,2)(2,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](1,2)(2,2)(2,3)(1,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \rput(0.5,0.5){$1$} \rput(1.5,0.5){$7$} \rput(2.5,0.5){$5$} \rput(0.5,1.5){$4$} \rput(1.5,1.5){$9$} \rput(2.5,1.5){$6$} \rput(0.5,2.5){$8$} \rput(1.5,2.5){$3$} \rput(2.5,2.5){$2$} \end{pspicture}

Resolução: Solução 1: Começamos por escrever o algarismo $5$ num dos nove quadrados. De seguida vamos preencher os restantes dois quadrados da linha onde está o $5$. Como o $5$ está pintado de azul, nessa linha está um número maior do que $5$, e outro menor do que $5$, e portanto há $4\times 4$ hipóteses de escolher os números que estão na mesma linha que o $5$. Como para cada par, há duas hipóteses de os escrever, há $32$ hipóteses de preencher a linha que tem o algarismo $5$. Sobram seis algarismos, três maiores e três menores do que $5$. Se escrevermos três desses algarismos numa linha e os outros três noutra, numa das linhas estão, pelo menos, dois algarismos maiores do que $5$, e na outra dois algarismos menores do que $5$, e portanto o $5$ será sempre o segundo maior algarismo pintado de azul. Concluímos que para preencher as duas linhas que estão vazias não existem restrições, ou seja há $6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720$ maneiras de escrever os seis algarismos que faltam. Temos então que é possível distribuir os algarismos de $9\times 32 \times 720=207360$ maneiras diferentes. Solução 2: Começamos por escolher os dois algarismos que estão na mesma linha que o $5$. Como o $5$ está pintado de azul, nessa linha está um número maior do que $5$, e outro menor do que $5$, e portanto há $4\times 4$ hipóteses de escolher os números que estão na mesma linha que o $5$. Numa das outras linhas há dois algarismos menores do que $5$. Como temos ainda disponíveis três desses algarismos, há três hipóteses para os escolher. Para completar a linha, escolhe-se um dos quatro algarismos restantes porque, qualquer que seja a escolha feita, na linha que sobra ficam, pelo menos, dois algarismos maiores do que $5$, e portanto o $5$ será sempre o segundo maior algarismo pintado de azul. Teríamos assim $3\times 4=12$ maneiras de escolher os algarismos da linha onde o algarismo pintado de azul é menor do que $5$. É preciso notar que a hipótese em que os três algarismos da mesma linha são menores do que $5$ foi escolhida três vezes, e portanto existem apenas dez maneiras diferentes de escolher essa linha. Finalmente, as linhas podem estar ordenadas de seis maneiras diferentes, e dentro de cada linha há seis maneiras diferentes de ordenar os algarismos. Temos então que é possível distribuir os algarismos de $16\times 10 \times 6^4=207360$ maneiras diferentes.