Problema (nível 4): O Domingos dividiu uma folha de papel quadrada, com $20$ cm de lado, em $5$ pedaços de igual área. O primeiro corte de comprimento $5$ cm teve início na fronteira do papel a $7$ cm de um canto e prolongou-se até ao ponto $P$, que dista $10$ cm de um dos lados do quadrado, como indicado na figura seguinte. (image1) Se o Domingos fez todos os outros cortes em linha recta a partir do ponto P, de que forma cortou o papel?


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[image1]
\begin{picture}(0.0,0)(-200,0) \put(0,0){\line(1,0){80}} \put(0,0){\line(0,-1){80}} \put(0,-80){\line(1,0){80}}\put(80,-80){\line(0,1){80}} \put(14,-40){$\bullet$} \put(20,-42){$P$} \multiput(17,-35)(0,5){7}{\line(0,1){3}} \put(16,-36){\line(-2,1){16}} \put(-8,-17){\small$ 7$} \put(20,-20){\small $ 10$} \put(5,-45){\small $5$} \end{picture}

Resolução: O quadrado [ABCD] indicado na figura seguinte representa a folha de papel e [EP] o primeiro corte feito pelo Domingos. (image2) Dado que a área da folha de papel mede $400$ cm$^2$, a medida da área de cada pedaço é $80$ cm$^2$. Seja $F$ o ponto em $[AB]$ tal que a área de $[AFPE]$ mede $80$ cm$^2$. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo $[EPQ]$ tem-se que $\overline{PQ}^2+(10-7)^2=5^2$, logo $\overline{PQ}=4$ cm. Portanto, a área de $[APE]$ mede $14$ cm$^2$. Então, a área de $[AFP]$ mede $80-14=66$ cm$^2$ e, assim, ${\displaystyle \frac{\overline{AF}\times 10}{2}=66}$, ou seja, $\ds \overline{AF}=\frac{66}{5}$ cm. A área de $[FBP]$ mede ${\displaystyle \frac{(20-\overline{AF})\times 10}{2}}=34$ cm$^2$. Se $G$ for o ponto em $[BC]$ tal que a área de $[FBGP]$ mede $80$ cm$^2$, a medida da área de $[BGP]$ é $80-34=46$ cm$^2$ e, por isso, ${\displaystyle \frac{\overline{BG}\times (20-4)}{2}=46}$, ou seja, $\ds \overline{BG}=\frac{23}{4}$ cm. Assim, a área de $[GCP]$ mede $\ds \frac{(20-\overline{BG})\times 16}{2}=114$ cm$^2$. Se $H$ for o ponto em $[BC]$ tal que a área de $[PGH]$ mede $80$ cm$^2$, tem-se ${\displaystyle \frac{\overline{GH}\times 16}{2}=80}$, ou seja, $\overline{GH}=10$ cm. Note-se que $\ds \overline{HC}=20-10-\frac{23}{4}=\frac{17}{4}$ cm e a área de $[PHC]$ mede $34$ cm$^2$. Assim, seja $I$ o ponto em $[DC]$ tal que a medida da área de $[PHCI]$ é $80$ cm$^2$, ou seja, a área de $[CIP]$ mede $80-34=46$ cm$^2$ e ${\displaystyle \frac{\overline{IC}\times 10}{2}=46}$, logo, $\ds \overline{IC}=\frac{46}{5}$ cm. Os valores de $\overline{AF}$, $\overline{BG}$, $\overline{GH}$ e $\overline{IC}$ determinam completamente os segmentos $[PF]$, $[PG]$, $[PH]$ e $[PI]$ que representam os cortes efectuados pelo Domingos, como indicado na figura seguinte. (image3)


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[image2]
\begin{picture}(0.0,0)(-200,0) \put(0,0){\line(1,0){80}} \put(0,0){\line(0,-1){80}} \put(0,-80){\line(1,0){80}}\put(80,-80){\line(0,1){80}} \put(20,-40){$P$} \multiput(18,-35.2)(0,5){7}{\line(0,1){3}} \multiput(0,-36)(5,0){4}{\line(1,0){3}} \put(18.1,-35.5){\line(-2,1){18}} \put(-8,-17){\small $7$} \put(20,-20){\small $10$} \put(5,-25){\small $5$} \put(-10,3){$A$} \put(-11,-43){$Q$} \put(83,3){$B$} \put(-10,-90){$D$}\put(83,-90){$C$}\put(-11,-32){$E$} \end{picture}
[image3]
\begin{picture}(0.0,0)(-200,0) \put(0,0){\line(1,0){80}} \put(0,0){\line(0,-1){80}} \put(0,-80){\line(1,0){80}} \put(80,-80){\line(0,1){80}} \put(16,-36){\line(-3,1){16}} \put(16,-36){\line(2,3){24}} \put(16,-36){\line(4,1){64}} \put(16,-36){\line(2,-1){64}} \put(16,-36){\line(1,-2){22}} \put(5,-47){$P$} \put(-9,3){$A$} \put(81,3){$B$} \put(-9,-92){$D$} \put(81,-92){$C$} \put(-11,-33){$E$} \put(45,3){$F$} \put(83,-25){$G$} \put(83,-66){$H$} \put(35,-90){$I$} \put(-8,-15){\small $7$} \put(15,7){\small $\frac{66}{5}$} \put(60,7){\small ${\frac{34}{5}}$} \put(83,-10){\small $\frac{23}{4}$} \put(83,-45){\small $10$} \put(83,-78){\small $\frac{17}{4}$} \put(52,-92){\small $\frac{46}{5}$} \put(10,-92){\small $\frac{54}{5}$} \put(-13,-55){\small $13$} \end{picture}