Problema (nível 4): Cem piratas, ordenados de $1$ a $100$, querem partilhar um tesouro formado por $2016$ moedas de ouro. O pirata número $1$ começa por fazer uma proposta de divisão das moedas. Se essa proposta for aceite por mais de metade dos piratas (incluindo o seu próprio voto), ela é executada. Caso contrário, o pirata número $1$ é expulso e cabe agora ao pirata número $2$ fazer uma proposta de divisão das moedas entre os piratas $2$ a $100$. O processo repete-se até haver uma proposta aceite por mais de metade dos piratas ainda não expulsos. O código do piratas, conhecido e respeitado por todos, estipula que: Quantas moedas propõe o pirata número $1$ para si próprio? cada pirata rejeita uma proposta se tiver a certeza de que, caso a proposta não passe, o resultado final será melhor ou igual para si próprio; caso contrário aceita a proposta. se um pirata pode fazer duas propostas que mais de metade dos piratas aceitem, então ele faz a melhor proposta possível para si próprio (se as duas forem iguais para si próprio, faz uma à sorte).

Resolução: Suponhamos que todas as propostas são rejeitadas até ficarem apenas os piratas $99$ e $100$. Então, qualquer proposta feita pelo pirata $99$ será rejeitada pelo pirata $100$, porque assim ficará com as moedas todas a seguir. Portanto o pirata $99$ tem a certeza de que ficando apenas dois piratas, ele ficará sem nenhuma moeda. Suponhamos agora que todas as propostas são rejeitadas até ficarem apenas os piratas $98$ a $100$. Se o pirata $98$ propuser $1$ moeda ao pirata $99$, este aceitá-la-á. Por outro lado, qualquer proposta feita pelo pirata $98$ será rejeitada pelo pirata $100$. Portanto, o pirata $98$ irá propor $2015$ moedas para si próprio e $1$ moeda para o pirata $99$ e a proposta será aceite pela maioria. O pirata $100$ tem a certeza de que ficando apenas três piratas, ele ficará sem nenhuma moeda. Repetindo o raciocínio agora apenas com os piratas $97$ a $100$, vemos que uma proposta do pirata $97$ será aceite pelo pirata $98$ apenas se lhe oferecer $2016$ moedas, pelo pirata $99$ se lhe oferecer $2$ moedas e pelo pirata $100$ se lhe oferecer $1$ moeda. Como o pirata $97$ precisa de mais dois votos, basta oferecer moedas aos piratas $99$ e $100$. A proposta de distribuição das moedas desde o pirata $100$ até si próprio é portanto $(1,2,0,2013)$. Do mesmo modo, ficando apenas Note-se que, pelo raciocínio anterior, para cada pirata, as propostas vão alternando entre $0$ e $1$ ou entre $0/2$ e $1$, consoante a paridade do seu número. Logo, em geral, se restarem apenas $n$ piratas e Portanto, para $n=100$, a proposta será $(0,1,1,1,0,1,0,\ldots, 1,0,2016-100/2)$, ou seja, o pirata $1$ propõe para si próprio $1966$ moedas de ouro. $5$ piratas, a proposta será $(2,0,1,0,2013)$. $6$ piratas, a proposta será $(0,1,2,1,0,2012)$. $7$ piratas, a proposta será $(1,0/2,0,0/2,1,0,2012)$. Neste caso, o símbolo $0/2$ significa que o pirata $94$ pode oferecer $2$ moedas a um dos vários piratas assinalados, à sorte; aos restantes oferece $0$ moedas, porque já não necessita de mais votos favoráveis. $8$ piratas, a proposta será $(0,1,1,1,0,1,0,2012)$. Neste caso, observe-se que o pirata $93$ pode oferecer apenas $1$ moeda a cada um dos piratas $97$ e $99$, uma vez que eles não têm a certeza de que receberão mais do que $1$ moeda se a proposta for rejeitada (podem receber $0$ ou $2$ moedas, dependendo da sorte). $9$ piratas, a proposta será $(1,0/2,0/2,0/2,1,0/2,1,0,2011)$. $n$ for par, a proposta será $(0,1,1,1,0,1,0,\ldots, 1,0,2016-n/2)$. $n$ for ímpar, a proposta será $(1,0/2,0/2,0/2,1,0/2,1,\ldots,0/2,1,0,2016-(n+1)/2)$.