Problema (nível 2): O André recebeu um pião e quer pintar cada uma das quatro regiões com uma das seguintes cores: amarelo, castanho e verde. Ajuda o André a encontrar o número total de maneiras diferentes de pintar o seu pião. (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \rput(0,0){\rotatebox{10}{ \pspolygon(3;90)(3;210)(3;330) \pspolygon(1.5;30)(1.5;150)(1.5;270) \psarc(0,0){3}{45}{80} \psarc(0,0){2.7}{55}{75} \psarc(0,0){3}{165}{200} \psarc(0,0){2.7}{175}{195} \psarc(0,0){3}{285}{320} \psarc(0,0){2.7}{295}{315} }} \end{pspicture}

Resolução: Há três formas de pintar a face central, logo o número de maneiras de pintar o pião é o triplo do número de maneiras diferentes de pintar as três faces exteriores do pião. Determinemos, então, este último número. Temos três possibilidades quanto ao número de cores diferentes usadas. No caso de as três faces serem todas pintadas da mesma cor, temos apenas $3$ piões diferentes. No caso de haver duas faces da mesma cor e a outra face ter uma cor diferente, temos $3$ cores possíveis para a cor que se usa em duas faces e $2$ cores possíveis para a que se usa na outra face. Note-se que só há um pião com duas faces pintadas de amarelo e a outra face pintada de castanho e o mesmo se verifica para qualquer uma das outras $5$ combinações possíveis de duas cores diferentes. Temos, assim, um total de $6$ piões diferentes neste caso. Se as três faces têm todas cores diferentes, temos, neste caso, $2$ piões diferentes, dependendo da ordem como se usam as cores nas faces do pião. Há, assim, $3+6+2=11$ maneiras diferentes de pintar as faces exteriores do pião. Logo o número de maneiras diferentes de pintar o pião todo é $3 \times 11 = 33$, indicadas na figura. #1#2#3#4 [linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=#1](1.5;270)(1.5;150)(3;210) [linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=#2](1.5;270)(1.5;30)(3;330) [linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=#3](1.5;30)(1.5;150)(3;90) [linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=#4](1.5;30)(1.5;150)(1.5;270) (3;90)(3;210)(3;330) (1.5;30)(1.5;150)(1.5;270) $\;\;\,$(image2) $\;$ (image3) $\;$ (image4) $\;$ (image5) $\;$ (image6) $\;$ (image7) $\;$ (image8) $\;$ (image9) $\;$ (image10) $\;$ (image11) $\;$ (image12) $\;\;\,$(image13) $\;$ (image14) $\;$ (image15) $\;$ (image16) $\;$ (image17) $\;$ (image18) $\;$ (image19) $\;$ (image20) $\;$ (image21) $\;$ (image22) $\;$ (image23) $\;\;\,$(image24) $\;$ (image25) $\;$ (image26) $\;$ (image27) $\;$ (image28) $\;$ (image29) $\;$ (image30) $\;$ (image31) $\;$ (image32) $\;$ (image33) $\;$ (image34)


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{yellow}{yellow}{yellow} \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{brown}{brown}{brown}{yellow} \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{green}{green}{green}{yellow} \end{pspicture}
[image5]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{yellow}{brown}{yellow} \end{pspicture}
[image6]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{yellow}{green}{yellow} \end{pspicture}
[image7]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{brown}{brown}{yellow}{yellow} \end{pspicture}
[image8]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{brown}{brown}{green}{yellow} \end{pspicture}
[image9]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{green}{green}{yellow}{yellow} \end{pspicture}
[image10]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{green}{green}{brown}{yellow} \end{pspicture}
[image11]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{brown}{green}{yellow} \end{pspicture}
[image12]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{green}{brown}{yellow} \end{pspicture}
[image13]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{yellow}{yellow}{brown} \end{pspicture}
[image14]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{brown}{brown}{brown}{brown} \end{pspicture}
[image15]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{green}{green}{green}{brown} \end{pspicture}
[image16]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{yellow}{brown}{brown} \end{pspicture}
[image17]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{yellow}{green}{brown} \end{pspicture}
[image18]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{brown}{brown}{yellow}{brown} \end{pspicture}
[image19]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{brown}{brown}{green}{brown} \end{pspicture}
[image20]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{green}{green}{yellow}{brown} \end{pspicture}
[image21]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{green}{green}{brown}{brown} \end{pspicture}
[image22]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{brown}{green}{brown} \end{pspicture}
[image23]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{green}{brown}{brown} \end{pspicture}
[image24]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{yellow}{yellow}{green} \end{pspicture}
[image25]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{brown}{brown}{brown}{green} \end{pspicture}
[image26]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{green}{green}{green}{green} \end{pspicture}
[image27]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{yellow}{brown}{green} \end{pspicture}
[image28]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{yellow}{green}{green} \end{pspicture}
[image29]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{brown}{brown}{yellow}{green} \end{pspicture}
[image30]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{brown}{brown}{green}{green} \end{pspicture}
[image31]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{green}{green}{yellow}{green} \end{pspicture}
[image32]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{green}{green}{brown}{green} \end{pspicture}
[image33]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{brown}{green}{green} \end{pspicture}
[image34]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \trian{yellow}{green}{brown}{green} \end{pspicture}