Problema (nível 4): A Maria quer resolver um desafio com um baralho de cartas, cada uma com uma figura diferente. Inicialmente, as cartas são distribuídas de forma aleatória por dois montes, não necessariamente em partes iguais. O objetivo da Maria é passar as cartas todas para o mesmo monte. Em cada jogada, a Maria tira a carta de cima de cada monte e confronta-as. No livro de regras, há uma tabela que indica, para cada confronto de cartas, qual das duas vence. Ambas as cartas são então colocadas no fundo do monte da carta vencedora, pela ordem que a Maria escolher. O desafio termina quando todas as cartas ficam num único monte. Mostra que é sempre possível a Maria resolver o desafio, independentemente da distribuição inicial das cartas e da tabela do livro de regras.

Resolução: Se o baralho tiver apenas duas cartas, o jogo termina logo na primeira jogada. Vamos então supor que o baralho tem pelo menos três cartas. Representemos cada distribuição possível das cartas pelos dois montes por um ponto. Dois pontos $A$ e $B$ são ligados por uma seta de $A$ para $B$ se, numa jogada, for possível passar da distribuição $A$ para a distribuição $B$. Se ambos os montes têm mais de uma carta, o ponto respetivo tem duas setas a sair, porque a Maria pode escolher como coloca as cartas em confronto de duas formas. Também tem duas setas a entrar, porque essa distribuição pode ser sido originada pelo confronto das duas cartas de baixo de um monte ou do outro e, em cada caso, há uma única distribuição possível (a carta mais forte mantém-se no mesmo monte e a outra muda de monte). Se um dos montes tem uma única carta, há igualmente duas setas a sair, mas apenas uma a entrar, porque o confronto anterior está determinado. Se um dos montes não tem cartas, o jogo já terminou, logo não tem setas a sair, mas tem uma seta a entrar. Designemos estes pontos como sendo respetivamente do tipo X, tipo Y e tipo I. (image1) (image2) (image3) Seja $A$ formado pelo ponto inicial da Maria, todos os pontos a que a Maria pode chegar e as respetivas setas de saída. Suponhamos que em $A$ não se encontra nenhum ponto do tipo I. Então, em $A$, todos os pontos têm duas setas a sair e no máximo duas setas a entrar. Como cada seta tem uma entrada e uma saída, o número total de entradas e saídas em $A$ é igual. Portanto, todos os pontos de $A$ têm também duas setas a entrar, ou seja, são do tipo X. Além disso, os pontos cujas setas vão até um ponto de $A$ também estão em $A$. Se ambos os montes da configuração inicial $P$ da Maria têm mais de uma carta, então o monte menor de um dos pontos cuja seta vai até $P$ (que está em $A$) tem menos uma carta do que o monte menor de $P$. Repetindo este raciocínio, chegamos a uma configuração de $A$ onde o monte menor tem apenas uma carta. Mas esta configuração é do tipo Y, o que é impossível. Portanto em $A$ existe algum ponto do tipo I, ou seja, é possível a Maria resolver o desafio. Nota: A representação descrita depende da tabela do livro de regras. Por exemplo, se houver apenas três cartas, temos apenas duas possibilidades $A>B>C>A$ ou $A>B>C<A$, que correspondem respetivamente às representações (image4) (image5) (image6)


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[image1]
\begin{pspicture}(-1,-2)(1,1) \small \rput(0,0){$\bullet$} \psline[arrows=->](0,0)(1,1) \psline[arrows=->](0,0)(1,-1) \psline[arrows=->](-1,-1)(0,0) \psline[arrows=->](-1,1)(0,0) \rput(0,-2){Montes com mais de uma carta} \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(-1,-2)(1,1) \small \rput(0,0){$\bullet$} \psline[arrows=->](0,0)(1,1) \psline[arrows=->](0,0)(1,-1) \psline[arrows=->](-1.4,0)(0,0) \rput(0,-2){Um monte com uma carta} \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(-1,-2)(1,1) \small \rput(0,0){$\bullet$} \psline[arrows=->](-1.4,0)(0,0) \rput(0,-2){Um monte sem cartas} \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4) \tiny \rput(4;45){$\bullet$} \rput(2;0){$\bullet$} \rput(3;0){$\bullet$} \rput(4;15){$\bullet$} \rput(4;105){$\bullet$} \rput(2;60){$\bullet$} \rput(3;60){$\bullet$} \rput(4;75){$\bullet$} \rput(4;165){$\bullet$} \rput(2;120){$\bullet$} \rput(3;120){$\bullet$} \rput(4;135){$\bullet$} \rput(4;225){$\bullet$} \rput(2;180){$\bullet$} \rput(3;180){$\bullet$} \rput(4;195){$\bullet$} \rput(4;285){$\bullet$} \rput(2;240){$\bullet$} \rput(3;240){$\bullet$} \rput(4;255){$\bullet$} \rput(4;345){$\bullet$} \rput(2;300){$\bullet$} \rput(3;300){$\bullet$} \rput(4;315){$\bullet$} \psline[arrows=->](2;0)(2;60) \psline[arrows=->](2;60)(2;120) \psline[arrows=->](2;120)(2;180) \psline[arrows=->](2;180)(2;240) \psline[arrows=->](2;240)(2;300) \psline[arrows=->](2;300)(2;0) \psline[arrows=->](2;0)(3;0) \psline[arrows=->](2;60)(3;60) \psline[arrows=->](2;120)(3;120) \psline[arrows=->](2;180)(3;180) \psline[arrows=->](2;240)(3;240) \psline[arrows=->](2;300)(3;300) \psline[arrows=->](3;0)(4;345) \psline[arrows=->](3;0)(4;15) \psline[arrows=->](3;60)(4;45) \psline[arrows=->](3;60)(4;75) \psline[arrows=->](3;120)(4;105) \psline[arrows=->](3;120)(4;135) \psline[arrows=->](3;180)(4;165) \psline[arrows=->](3;180)(4;195) \psline[arrows=->](3;240)(4;225) \psline[arrows=->](3;240)(4;255) \psline[arrows=->](3;300)(4;285) \psline[arrows=->](3;300)(4;315) \end{pspicture}
[image5]
\begin{pspicture}(-3,-4)(3,4) \tiny \rput(4;45){$\bullet$} \rput(3;60){$\bullet$} \rput(2;90){$\bullet$} \rput(4;75){$\bullet$} \rput(4;105){$\bullet$} \rput(3;120){$\bullet$} \rput(4;135){$\bullet$} \rput(3;240){$\bullet$} \rput(2;270){$\bullet$} \rput(1;270){$\bullet$} \rput(3;300){$\bullet$} \rput(1;90){$\bullet$} \psline[arrows=->](3;60)(4;45) \psline[arrows=->](3;60)(4;75) \psline[arrows=->](3;120)(4;105) \psline[arrows=->](3;120)(4;135) \psline[arrows=->](2;270)(3;240) \psline[arrows=->](2;270)(3;300) \psline[arrows=->](2;90)(3;60) \psline[arrows=->](2;90)(3;120) \psline[arrows=->](1;270)(2;270) \psline[arrows=->](1;90)(2;90) \psline[arrows=<->](1;90)(1;270) \end{pspicture}
[image6]
\begin{pspicture}(-3,-4)(4,3) \tiny \rotatebox{180}{ \rput(4;45){$\bullet$} \rput(3;60){$\bullet$} \rput(2;90){$\bullet$} \rput(4;75){$\bullet$} \rput(4;105){$\bullet$} \rput(3;120){$\bullet$} \rput(4;135){$\bullet$} \rput(3;240){$\bullet$} \rput(2;270){$\bullet$} \rput(1;270){$\bullet$} \rput(3;300){$\bullet$} \rput(1;90){$\bullet$} \psline[arrows=->](3;60)(4;45) \psline[arrows=->](3;60)(4;75) \psline[arrows=->](3;120)(4;105) \psline[arrows=->](3;120)(4;135) \psline[arrows=->](2;270)(3;240) \psline[arrows=->](2;270)(3;300) \psline[arrows=->](2;90)(3;60) \psline[arrows=->](2;90)(3;120) \psline[arrows=->](1;270)(2;270) \psline[arrows=->](1;90)(2;90) \psline[arrows=<->](1;90)(1;270) } \end{pspicture}