Problema (nível 4): Considerem-se os três quadrados indicados na figura. Mostra que se as medidas dos lados do quadrado menor e do quadrado maior forem números inteiros, então, adicionando à medida da área do quadrado menor a medida da área do quadrado inclinado, obtém-se um quadrado perfeito. (image1)


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[image1]
\begin{picture}(0.00,50.00)(-580,30) \put(0,0){\line(0,1){200}} \put(0,0){\line(1,0){200}} \put(200,0){\line(0,1){200}} \put(0,200){\line(1,0){200}} \multiput(140,0)(0.6,1.4){100}{\line(0,1){1.4}} \multiput(200,140)(-1.4,0.6){100}{\line(-1,0){1.4}} \multiput(60,200)(-0.6,-1.4){100}{\line(0,-1){1.4}} \multiput(0,60)(1.4,-0.6){100}{\line(1,0){1.4}} \put(0,42){\line(1,0){42}} \put(42,0){\line(0,1){42}} \end{picture}

Resolução: Solução 1: Considerem-se os pontos $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$ e as distâncias $p$, $q$ e $r$ indicados na figura. Sejam ainda $x=\overline{BD}$ e $y=\overline{FC}$. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo $[ABC]$ vem $$q^{2}=(r+x)^{2}+(r+y)^{2}=2 r^2 + 2r(x+y) + x^2 +y^2.$$ (image2) Como os triângulos $[BED]$ e $[ECF]$ são semelhantes tem-se $\displaystyle \frac{y}{r}=\frac{r}{x}$, isto é, $xy=r^2$. Logo, $$q^2=2xy+2r(x+y)+x^2+y^2=(x+y)^2+2r(x+y)=(x+y)(x+y+2r).$$ Uma vez que $x+y+2r=p$, $$q^2=(p-2r)p+p^2-2pr \quad \mbox{ e } \quad q^2+r^2=p^2-2pr+r^2=(p-r)^2.$$ Visto que $p$ e $r$ são inteiros, também $p-r$ é inteiro e, portanto, $q^2+r^2$ é um quadrado perfeito. Solução 2: Considerem-se as distâncias $p$ e $r$ e o quadrado de lado $p-r$ indicados na figura. Os dois triângulos rectângulos que sobram do quadrado inclinado, divididos em quatro triângulos rectângulos mais pequenos, completam o quadrado de lado $p-r$ considerado. Logo a soma da medida da área do quadrado menor com a medida da área do quadrado inclinado é igual à medida da área do quadrado de lado $p-r$, isto é, $(p-r)^2$ e visto que $p$ e $r$ são inteiros, também $p-r$ é inteiro. (image3)


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[image2]
\begin{picture}(0.00,50.00)(-550,-50) \put(0,0){\line(0,1){200}} \put(0,0){\line(1,0){200}} \put(200,0){\line(0,1){200}} \put(0,200){\line(1,0){200}} \multiput(140,0)(0.6,1.4){100}{\line(0,1){1.4}} \multiput(200,140)(-1.4,0.6){100}{\line(-1,0){1.4}} \multiput(60,200)(-0.6,-1.4){100}{\line(0,-1){1.4}} \multiput(0,60)(1.4,-0.6){100}{\line(1,0){1.4}} \put(0,42){\line(1,0){42}} \put(42,0){\line(0,1){42}} \put(100,205){\vector(1,0){100}} \put(100,205){\vector(-1,0){100}} \put(21,-5){\vector(1,0){21}} \put(21,-5){\vector(-1,0){21}} \put(100,212){\makebox(0,0){\small $p$}} \put(21,-12){\makebox(0,0){\small $r$}} \put(125,160){\makebox(0,0){\small $q$}} \put(-5,-10){\makebox(0,0){\small $A$}} \put(143,-10){\makebox(0,0){\small $C$}} \put(-8,63){\makebox(0,0){\small $B$}} \put(-8,40){\makebox(0,0){\small $D$}} \put(50,50){\makebox(0,0){\small $E$}} \put(47,-10){\makebox(0,0){\small $F$}} \end{picture}
[image3]
\begin{picture}(0.00,0.00)(-50,200) \put(0,0){\line(0,1){200}} \put(0,0){\line(1,0){200}} \put(200,0){\line(0,1){200}} \put(0,200){\line(1,0){200}} \multiput(140,0)(0.6,1.4){30}{\line(0,1){1.4}} \multiput(158,42)(1.2,2.8){35}{\line(0,1){1.4}} \multiput(200,140)(-2.8,1.2){50}{\line(-1,0){1.4}} \multiput(60,200)(-1.2,-2.8){15}{\line(0,-1){1.4}} \multiput(42,158)(-0.6,-1.4){70}{\line(0,-1){1.4}} \multiput(0,60)(1.4,-0.6){100}{\line(1,0){1.4}} \put(0,42){\line(1,0){42}} \put(42,0){\line(0,1){42}} \put(100,205){\vector(1,0){100}} \put(100,205){\vector(-1,0){100}} \put(21,-5){\vector(1,0){21}} \put(21,-5){\vector(-1,0){21}} \put(100,212){\makebox(0,0){\small $p$}} \put(21,-12){\makebox(0,0){\small $r$}} \multiput(42,42)(3,0){52}{\line(1,0){1.5}} \put(198,42){\line(1,0){2}} \multiput(42,42)(0,3){52}{\line(0,1){1.5}} \put(42,198){\line(0,1){2}}  \put(0,158){\line(1,0){158}} \put(158,0){\line(0,1){158}}  \multiput(60,200)(0,-2.8){15}{\line(0,-1){1.4}} \multiput(200,140)(-2.8,0){15}{\line(-1,0){1.4}} \multiput(140,0)(0,2.8){15}{\line(0,1){1.4}} \multiput(0,60)(2.8,0){15}{\line(1,0){1.4}} \multiput(158,158)(0,2.8){15}{\line(0,1){1.4}} \multiput(158,158)(2.8,0){15}{\line(1,0){1.4}} \end{picture}