tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema: Seis rapazes e seis raparigas organizaram uma festa do Dia das Bruxas. Há quatro disfarces de abóbora, quatro de bruxa e quatro de caveira. De quantas formas podem os amigos disfarçar-se de modo que cada tipo de disfarce seja escolhido por dois rapazes e duas raparigas?

Opções:
A) $720$
B) $1956$
C) $8100$
D) $34650$
E) $531441$

Resolução: Opção C. (Há $15\times 6=90$ maneiras de distribuir os rapazes (e as raparigas); $90\times 90=8100$.)

Resposta correta: C
Problema: O João tem um irmão. Eles plantaram algumas flores no seu jardim e repararam que, em cada dia, o número de flores duplicava pelas $17$h, começando na sexta-feira. No final da terça-feira seguinte havia $480$ flores. Quantas flores havia na manhã de sexta-feira?

Opções:
A) $7$
B) $15$
C) $30$
D) $60$
E) $120$

Resolução: Opção B). (O número de flores duplicou $5$ vezes. Logo, inicialmente havia $15$ flores.)

Resposta correta: B
Problema: O João e o irmão repararam que, no bairro onde moram, cada família tem uma ou duas crianças. Sabendo que 40% das crianças tem um irmão, qual é a percentagem de famílias com duas crianças?

Opções:
A) $20\%$
B) $25\%$
C) $30\%$
D) $35\%$
E) $40\%$

Resolução: Opção B). ($\dfrac{40:2}{100-40:2}=\frac{20}{80}=25\%$.)

Resposta correta: B
Problema: O João escreveu num papel todos os números de $3$ algarismos com os algarismos $1,2,3$ (possivelmente repetidos), como, por exemplo, $312$ ou $223$. Qual é a soma de todos estes números?

Opções:
A) $999$
B) $1998$
C) $2997$
D) $4995$
E) $5994$

Resolução: Opção E). (Há $3\times 3\times 3=27$ números com um valor médio de $222$. O total é $27\times 222=5994$.)

Resposta correta: E
Problema: No bairro do João há uma equipa de rugby. Num jogo de rugby é possível marcar pontos de três maneiras diferentes: com um pontapé aos postes, que vale $3$ pontos, com um ensaio, que vale $5$ pontos, e com um ensaio convertido, que vale $7$ pontos. Num jogo, a equipa do bairro marcou $24$ pontos. De quantas maneiras diferentes é possível fazê-lo? (Por exemplo, com $4$ pontapés, $1$ ensaio e $1$ ensaio convertido.)

Opções:
A) $3$
B) $4$
C) $5$
D) $7$
E) $11$

Resolução: Opção C). (As cinco soluções são: $3\times {\bf 7}+ {\bf 3}$, $2\times {\bf 7}+ 2\times {\bf 5}$, ${\bf 7}+{\bf 5}+ 4\times {\bf 3}$, $3\times {\bf 5}+ 3\times {\bf 3}$, $8\times {\bf 3}$.)

Resposta correta: C
Problema: Os pais do João deram algumas moedas ao João e ao irmão. Se o João receber duas moedas do irmão, eles ficarão com o mesmo número de moedas. Se o irmão receber uma moeda do João, ele ficará com o triplo de moedas do João. Quantas moedas deram os pais aos dois irmãos?

Opções:
A) $8$
B) $12$
C) $16$
D) $20$
E) $24$

Resolução: Opção B). (O João tem $4$ moedas e o irmão $8$.)

Resposta correta: B
Problema: Uma capicua é um número que é igual quando é lido ao contrário. Por exemplo, $212$ e $15351$ são capicuas. O João gosta de formar capicuas e, ao ler no jornal da escola o número $N=35798642$, determinou a maior capicua $A$ inferior a $N$ e a menor capicua $B$ superior a $N$. Quanto vale $B-A$?

Opções:
A) $1000$
B) $11000$
C) $111000$
D) $1111000$
E) $11011000$

Resolução: Opção B. (As capicuas são $A=35788753$ e $B=35799753$.)

Resposta correta: B
Problema: O João descobriu um algarismo $a$ para o qual o número $20210a$ é primo. Qual é esse algarismo?

Opções:
A) $1$
B) $3$
C) $5$
D) $7$
E) $9$

Resolução: Opção E. ($202101$ é divisível por $3$, $202103$ é divisível por $11$, $202105$ é divisível por $5$ e $202107$ é divisível por $3$.)

Resposta correta: E
Problema: O João numerou todos os vértices do seu cubo preferido com os números de $1$ a $8$, de forma a que na mesma aresta não haja dois números consecutivos. O João colocou os números $1$ e $2$ em vértices da mesma face. Qual é maior soma dos quatro algarismos dessa face que ele pode ter obtido?

Opções:
A) $14$
B) $15$
C) $16$
D) $17$
E) $18$

Resolução: Opção C. (A maior soma da face é obtida com os números $1,2,5,8$.)

Resposta correta: C
Problema: A Inês e a Mariana estavam a brincar com $2024$ berlindes, numerados de $1$ a $2024$. A Inês propôs à Mariana que escolhesse alguns berlindes, mas sem escolher dois que estivessem numerados com inteiros consecutivos. Quantos berlindes pode, no máximo, a Mariana escolher?

Opções:
A) $2$
B) $1012$
C) $1013$
D) $2023$
E) $2024$

Resolução: A Mariana maximiza o número de berlindes escolhidos se escolher todos os berlindes com um número par, ou todos os berlindes com um número ímpar, ou seja, $1012$ berlindes. Opção correta: B)

Resposta correta: B
Problema: Pegando no berlinde que tinha o número $2024$, a Inês reparou que a soma dos seus algarismos é $8$. Quantos números com essa propriedade existem entre $2000$ e $3000$?

Opções:
A) $7$
B) $21$
C) $28$
D) $42$
E) $125$

Resolução: Claramente, $3000$ não satisfaz a propriedade desejada. Como todos os números entre $2000$ e $2999$ começam por $2$, pretendemos saber quantas sequências existem com $3$ algarismos cuja soma é $6$. Ora, usando os algarismos de $0$ a $9$, podemos obter $6$ das seguintes formas: \begin{align*} & 0 + 0 + 6,\qquad 0 + 1 + 5,\qquad 0 + 2 + 3,\qquad 0 + 3 + 3, \\ & 1 + 1 + 4,\qquad 1 + 2 + 3,\qquad 2 + 2 + 2. \end{align*} Em cada caso em que há três algarismos diferentes, há $6$ possibilidades; em cada caso em que há dois algarismos diferentes, há $3$ possibilidades; e no caso em que há três algarismos iguais, só há $1$ possibilidade. Portanto, ao todo há $3+6+6+3+3+6+1=28$ sequências de $3$ algarismos cuja soma é $6$. Opção correta: C)

Resposta correta: C
Problema: Por altura da Páscoa, o António dinamizou uma caça aos ovos no seu grupo de escuteiros. Para isso, escondeu $48$ ovos de chocolate e pediu aos colegas que se organizassem em pares e os procurassem. Ao fim de meia hora, cada equipa tinha encontrado um ovo. Percebendo que ainda havia ovos escondidos, o António pediu aos colegas que formassem grupos de quatro e voltassem a procurar. Cada equipa voltou a encontrar um ovo, e o António constatou que já não havia ovos escondidos. Quantos colegas tem o António no seu grupo de escuteiros?

Opções:
A) $24$
B) $36$
C) $48$
D) $64$
E) $128$

Resolução: Solução 1: Como na segunda ronda do jogo, o número de equipas a participar foi metade do número de equipas a participar na primeira, na segunda ronda foi encontrado um terço do número total de ovos, ou seja, foram encontrados $16 = \frac{48} 3$ ovos. Como cada equipa tinha $4$ elementos, podemos concluir que o António tinha um total de $16 \times 4=64$ colegas. Solução 2: Observe-se que cada grupo de $4$ pessoas encontrou $3$ ovos. Como foram escondidos $48 = 3 \times 16$ ovos, o António tinha um total de $4 \times 16=64$ colegas. Opção correta: D)

Resposta correta: D
Problema: A Maria decidiu oferecer à sua madrinha um quadro feito por si. Ela desenhou $230$ figuras geométricas: $80$ estrelas, $70$ quadrados, $40$ círculos, $16$ pentágonos, $12$ hexágonos, $8$ triângulos e $4$ octógonos. A Maria pretende pintar cada figura de verde ou de vermelho, de modo que duas figuras do mesmo tipo tenham a mesma cor e que a maioria das figuras seja verde. De quantas formas pode a Maria pintar o seu quadro?

Opções:
A) $64$
B) $65$
C) $126$
D) $127$
E) $128$

Resolução: Obedecendo à regra de cada tipo de figuras geométricas ser pintada de uma só cor, existem $2^7$ formas de colorir o quadro de verde e vermelho. Como metade de $230$ é um número ímpar e cada tipo de figura geométrica foi desenhada um número par de vezes, em nenhuma dessas colorações se tem exatamente metade das figuras pintadas da mesma cor. Logo, em exatamente metade das colorações, mais de metade das figuras é verde. Assim, a Maria pode pintar o quadro de $2^6=64$ maneiras diferentes. Opção correta: A)

Resposta correta: A
Problema: A professora do Pedro, no dia Internacional da Matemática, lançou à turma alguns desafios. Tenta ajudar o Pedro a encontrar a solução de cada um deles. Seis bolas numeradas de um a seis são colocadas num saco. Retiram-se, ao acaso, três bolas do saco e determina-se a soma dos três números. Quantos valores diferentes se podem obter?

Opções:
A) $9$
B) $10$
C) $12$
D) $14$
E) $16$

Resolução: A soma mais pequena que se pode obter é $1+2+3=6$ e a maior é $4+5+6=15$. Resta verificar que se podem obter todas as somas entre $6$ e $15$. Tem-se $7=1+2+4$, $8=1+2+5$, $9=1+2+6$, $10=2+3+5$, $11=2+3+6$, $12=3+4+5$, $13=3+4+6$, $14=3+5+6$. Portanto, há $10$ somas diferentes que se podem obter. Opção correta: B)

Resposta correta: B
Problema: A professora do Pedro, no dia Internacional da Matemática, lançou à turma alguns desafios. Tenta ajudar o Pedro a encontrar a solução de cada um deles. Na figura a cruz verde foi construída, dentro de um quadrado grande, usando $5$ quadrados iguais e tem $24$ cm de perímetro. Qual é, em cm$^2$, a área do quadrado grande? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(4,4) \small \pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](1,0)(2,1)(3,0)(4,1)(3,2)(4,3)(3,4)(2,3)(1,4)(0,3)(1,2)(0,1) \end{pspicture}

Opções:
A) $24$
B) $32$
C) $36$
D) $40$
E) $48$

Resolução: A cruz verde é constituída por $5$ quadrados pequenos. Além da cruz, no quadrado grande há mais $3$ quadrados pequenos (quatro metades e quatro quartos), logo o quadrado grande tem $8$ quadrados pequenos.. O perímetro da cruz é igual a $12$ vezes o lado de um dos quadrados pequenos, por isso o lado de cada quadrado pequeno mede $2$ cm. Portanto, a área do quadrado grande é $8\times 2 \times 2=32$ cm$^2$. Opção correta: B)

Resposta correta: B
Problema: A professora do Pedro, no dia Internacional da Matemática, lançou à turma alguns desafios. Tenta ajudar o Pedro a encontrar a solução de cada um deles. O mínimo múltiplo comum entre todos os números naturais de $1$ até $15$ é múltiplo de que número?

Opções:
A) $2^3\times3^3\times 5$
B) $2^2\times 3^2\times 5^2$
C) $2\times 3^3\times 5$
D) $2^2\times 3^2\times 5$
E) $100$

Resolução: O mínimo múltiplo comum entre todos os números naturais desde $1$ até $15$ é $2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7\times 11 \times 13$, pelo que das opções apresentadas só pode ser múltiplo de $2^2\times 3^2\times 5$. Opção correta: D)

Resposta correta: D
Problema: A professora do Pedro, no dia Internacional da Matemática, lançou à turma alguns desafios. Tenta ajudar o Pedro a encontrar a solução de cada um deles. Quantos números de $3$ algarismos, todos distintos, são múltiplos de $9$ e também de $6$ ?

Opções:
A) $38$
B) $42$
C) $44$
D) $46$
E) $55$

Resolução: Um número é múltiplo de $9$ se a soma dos seus algarismos for múltipla de $9$. Se o número também tem de ser múltiplo de $6$ terá de ser um número par (porque sendo múltiplo de $9$ já é múltiplo de $3$). Vamos procurar os números pares (terminam em $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$) múltiplos de $9$ com três algarismos distintos. Para números que terminam em $0$, a soma dos outros dois algarismos (que não podem ser $0$) tem de ser $9$ (não pode ser $18$ porque seriam ambos $9$ logo não eram distintos). Temos as seguintes possibilidades para os algarismos das centenas e dezenas: $18$, $81$, $27$, $72$, $36$, $63$, $45$, $54$. Ou seja, temos $8$ números nestas condições. Para números que terminam em $2$, a soma dos outros dois algarismos (distintos de dois) tem de ser $7$ ou $16$. Se a soma é $7$, temos as seguintes possibilidades para os algarismos das centenas e dezenas: $70$, $16$, $61$, $34$, $43$. Se a soma é $16$, temos as seguintes possibilidades para os algarismos das centenas e dezenas: $79$, $97$. Ou seja, temos $7$ números nestas condições. Para números que terminam em $4$, a soma dos outros dois algarismos (distintos de quatro) tem de ser $5$ ou $14$. Se a soma é $5$, temos as seguintes possibilidades para os algarismos das centenas e dezenas: $50$, $23$, $32$. Se a soma é $14$, temos as seguintes possibilidades para os algarismos das centenas e dezenas: $95$, $59$, $86$, $68$. Ou seja, temos $7$ números nestas condições. Para números que terminam em $6$, a soma dos outros dois algarismos (distintos de seis) tem de ser $3$ ou $12$. Se a soma é $3$, temos as seguintes possibilidades para os algarismos das centenas e dezenas: $30$, $12$, $21$. Se a soma é $12$, temos as seguintes possibilidades para os algarismos das centenas e dezenas: $39$, $93$, $48$, $84$, $57$, $75$. Ou seja, temos $9$ números nestas condições. Para números que terminam em $8$, a soma dos outros dois algarismos (distintos de oito) tem de ser $1$ ou $10$. Se a soma é $1$, temos a seguinte possibilidade para os algarismos das centenas e dezenas: $10$. Se a soma é $10$, temos as seguintes possibilidades para os algarismos das centenas e dezenas: $91$, $19$, $73$, $37$, $64$, $46$. Ou seja, temos $7$ números nestas condições. Portanto, há $8+7+7+9+7=38$ números nestas condições. Opção correta A)

Resposta correta: A
Problema: Num chuvoso dia de novembro, o Martinho regressava a casa para celebrar o Magusto. Ele não sabia ainda como conseguiria arranjar castanhas para todos os amigos que o esperavam. No seu saco, trazia apenas entre $40$ e $50$ castanhas. Ainda assim, não se podia queixar muito, pois tinha o triplo das castanhas do seu melhor amigo, que nem sequer $15$ tinha. Quantas castanhas tinha o Martinho?

Opções:
A) $40$
B) $42$
C) $45$
D) $48$
E) $50$

Resolução: Opção B). ($42$ é o único múltiplo de $3$ entre $40$ e $50$ que, dividido por $3$, fica inferior a $15$.)

Resposta correta: B
Problema: Estava imerso nos seus pensamentos, quando percebeu que era o seu dia de sorte: à sua frente, estava um vendedor de castanhas! Pediu tantas quanto precisava e, no final, pagou $20$ em moedas de $50$ cêntimos e $90$ em moedas de dois euros. Quantas moedas é que o Martinho entregou ao vendedor?

Opções:
A) $40$
B) $45$
C) $55$
D) $85$
E) $110$

Resolução: Opção D). (O Martinho entregou $40$ moedas de $50$ cêntimos e $45$ moedas de $2$ euros.)

Resposta correta: D
Problema: Uns metros mais à frente, o Martinho encontrou um mendigo quase sem roupa. Bondoso como era, parou à beira dele para o ajudar. Como ele estava cheio de frio, pegou no cobertor que trazia para o aquecer, cortou-o e deu metade ao mendigo. Sabendo que o cobertor era quadrado e que o Martinho o cortou em dois retângulos iguais, cada um com $72$ decímetros de perímetro, qual era a área do cobertor?

Opções:
A) $81$ dm$^2$
B) $96$ dm$^2$
C) $144$ dm$^2$
D) $576$ dm$^2$
E) $676$ dm$^2$

Resolução: Opção D). (O lado do quadrado mede $24$ dm e, portanto, a sua área mede $24^2 = 576$ dm$^2$.)

Resposta correta: D
Problema: Perante um gesto tão bonito, a tempestade desapareceu e um sol radioso começou a brilhar. O sol era tão magnífico que, durante a semana que se seguiu, o número de flores que havia num campo nas redondezas, duplicou pelas $17$h de cada dia, começando na sexta-feira. No final da terça-feira seguinte havia $480$ flores. Quantas flores havia na manhã de sexta-feira?

Opções:
A) $7$
B) $15$
C) $30$
D) $60$
E) $120$

Resolução: Opção B). (O número de flores duplicou $5$ vezes. Logo, inicialmente havia $15$ flores.)

Resposta correta: B
Problema: O Martinho convidou o mendigo para se juntar aos festejos que o aguardavam. O mendigo prontamente aceitou. A viagem era tão longa que tiveram tempo para inventar uma linguagem secreta. Nessa linguagem, as palavras CASTANHA, VENDEDOR, MARTINHO e NOVEMBRO escrevem-se, não necessariamente por esta ordem: $$ \Large(image1)$$ Nessa linguagem, como é que se escreve a palavra inglesa MATH?


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[image1]
\begin{array}{*8cp{20mm}*8c} \circledast&\Cup&\bowtie&\blacktriangleleft&\clubsuit&\divideontimes&\eqcirc&\boxdot && \divideontimes&\boxdot&\between&\smiley&\circledast&\rotatebox[origin=c]{270}{$\Lleftarrow$}&\bowtie&\boxdot\\ \between&\smiley&\divideontimes&\sun&\smiley&\sun&\boxdot&\bowtie && \bell&\Cup&\rightthreetimes&\blacktriangleleft&\Cup&\divideontimes&\eqcirc&\Cup \end{array}
[image2]
\begin{array}{cccc} \bell&\Cup&\blacktriangleleft&\eqcirc \end{array}
[image3]
\begin{array}{cccc} \bell&\Cup&\divideontimes&\eqcirc \end{array}
[image4]
\begin{array}{cccc} \circledast&\Cup&\divideontimes&\eqcirc \end{array}
[image5]
\begin{array}{cccc} \between&\Cup&\blacktriangleleft&\eqcirc \end{array}
[image6]
\begin{array}{cccc} \circledast&\Cup&\blacktriangleleft&\eqcirc \end{array}

Opções:
A) $(image2)$
B) $(image3)$
C) $(image4)$
D) $(image5)$
E) $(image6)$

Resolução: Opção E). (O código é $(image7)$.)

Resposta correta: E
Problema: O Henri, o Miguel e o Tomás colecionam berlindes. O Henri tem mais um berlinde do que o Miguel e o Tomás tem menos um berlinde do que o triplo dos berlindes que o Henri tem. Eles juntaram os seus berlindes e compraram mais seis. No final, o total de berlindes era o dobro do número de berlindes que o Tomás tinha inicialmente. Quantos berlindes tinham os três amigos inicialmente?

Opções:
A) $22$
B) $28$
C) $34$
D) $36$
E) $40$

Resolução: Opção B). (O Henri, o Miguel e o Tomás tinham $6$, $5$ e $17$ berlindes, respetivamente.)

Resposta correta: B
Problema: Quantos números de três algarismos, com os algarismos todos diferentes, são múltiplos de $18$?

Opções:
A) $38$
B) $43$
C) $45$
D) $48$
E) $53$

Resolução: Opção A). (Há $8$, $7$, $7$, $9$ e $7$ números terminados em $0$, $2$, $4$, $6$ e $8$, respetivamente.)

Resposta correta: A
Problema: Uma pirâmide é construída usando cubos de lado $1$ colocados uns em cima dos outros. O topo da pirâmide tem apenas um cubo; a segunda camada tem $3\times3=9$ cubos; a terceira camada tem $5\times5=25$ cubos; e assim sucessivamente, tendo o lado de cada camada dois cubos a mais do que o da camada imediatamente acima. Se a pirâmide tiver $6$ camadas, qual é a área da superfície exposta da pirâmide, incluindo a base? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(6,6) \small \def\cubo{ \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0)(1,0)(1.3,0.4)(1.3,1.4)(0.3,1.4)(0,1) \pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \psline(1,0)(1.3,0.4)(1.3,1.4)(0.3,1.4)(0,1) \psline(1,1)(1.3,1.4)} \multirput(0,0)(-0.3,-0.4){11}{\multirput(0,0)(1,0){11}{\cubo}} \multirput(0.7,0.6)(-0.3,-0.4){9}{\multirput(0,0)(1,0){9}{\cubo}} \multirput(1.4,1.2)(-0.3,-0.4){7}{\multirput(0,0)(1,0){7}{\cubo}} \multirput(2.1,1.8)(-0.3,-0.4){5}{\multirput(0,0)(1,0){5}{\cubo}} \multirput(2.8,2.4)(-0.3,-0.4){3}{\multirput(0,0)(1,0){3}{\cubo}} \multirput(3.5,3)(-0.3,-0.4){1}{\multirput(0,0)(1,0){1}{\cubo}} \end{pspicture}

Opções:
A) $205$
B) $288$
C) $326$
D) $386$
E) $414$

Resolução: Opção D). (Há $121$ faces viradas para baixo, $121$ para cima e $36$ para cada um dos outros lados.)

Resposta correta: D
Problema: Antes de ir dormir, o Miguel reparou que o seu relógio digital marcava 23:54. A meio da noite, o Miguel acordou e reparou que o relógio marcava 03:21. Ele apercebeu-se de que, em ambas as vezes, os quatro algarismos que apareciam no relógio eram quatro algarismos consecutivos. Curioso, ele decidiu registar ao longo de um dia inteiro todas as vezes que isso acontecia. Quantos registos fez o Miguel?

Opções:
A) $19$
B) $24$
C) $30$
D) $51$
E) $72$

Resolução: Opção C). ($18$ vezes usando $0$, $1$, $2$ e $3$; $10$ vezes com $1$, $2$, $3$ e $4$; $2$ vezes com $2$, $3$, $4$ e $5$.)

Resposta correta: C
Problema: Qual é o algarismo das unidades de $1 + 2^2 + 2^4 + 2^6+ \cdots + 2^{2024}$ ?

Opções:
A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $4$
E) $5$

Resolução: Opção A. (O algarismo das unidades das parcelas é $1,4,6,4,6,\ldots,4,6$.)

Resposta correta: A
Problema: O João fez o seguinte desenho e nas bolas colocou os números de $1$ a $14$ de modo que duas bolas estão ligadas se o número de uma for um divisor do número da outra. Por exemplo, as bolas com os números $6$ e $12$ estão ligadas, mas as bolas com os números $5$ e $11$ não estão. Qual é o número que o João colocou na bola colorida? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \rotatebox{90}{ \def\bola{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0){0.33}} \def\disco{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0){0.33}} \pnode(-2,-1){P1} \pnode(4,4){P2} \pnode(2,-2){P3} \pnode(2,0){P4} \pnode(-2,4){P5} \pnode(3.5,-5){P6} \pnode(-2,-6){P7} \pnode(1.5,1){P8} \pnode(1.5,-3){P9} \pnode(0,4){P10} \pnode(0,2){P11} \pnode(3,-1){P12} \pnode(0,-4){P13} \pnode(4,-6){P14} \psline(P3)(P9)(P1)(P8)(P4)(P1)(P2)(P4) \psline(P8)(P2)(P10)(P5)(P1)(P3)(P6)(P2) \psline(P7)(P1)(P6)(P12)(P3) \psline(P11)(P1)(P10) \psline(P4)(P12)(P2)(P14) \psline(P13)(P1)(P14)(P7) \psline(P1)(P12) \rput(P1){\bola} \rput(P2){\bola} \rput(P3){\bola} \rput(P4){\disco} \rput(P5){\bola} \rput(P6){\bola} \rput(P7){\bola} \rput(P8){\bola} \rput(P9){\bola} \rput(P10){\bola} \rput(P11){\bola} \rput(P12){\bola} \rput(P13){\bola} \rput(P14){\bola} } \end{pspicture}

Opções:
A) $2$
B) $3$
C) $4$
D) $6$
E) $9$

Resolução: Opção C. (As seguintes posições têm números definidos: .) (image2)


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\begin{pspicture}(-9,0)(0,1) \scalebox{0.5}{\rotatebox{90}{ \def\bola{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0){0.33}} \def\disco{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0){0.33}} \pnode(-2,-1){P1} \pnode(4,4){P2} \pnode(2,-2){P3} \pnode(2,0){P4} \pnode(-2,4){P5} \pnode(3.5,-5){P6} \pnode(-2,-6){P7} \pnode(1.5,1){P8} \pnode(1.5,-3){P9} \pnode(0,4){P10} \pnode(0,2){P11} \pnode(3,-1){P12} \pnode(0,-4){P13} \pnode(4,-6){P14} \psline(P3)(P9)(P1)(P8)(P4)(P1)(P2)(P4) \psline(P8)(P2)(P10)(P5)(P1)(P3)(P6)(P2) \psline(P7)(P1)(P6)(P12)(P3) \psline(P11)(P1)(P10) \psline(P4)(P12)(P2)(P14) \psline(P13)(P1)(P14)(P7) \psline(P1)(P12) \rput(P1){\bola} \rput(P2){\bola} \rput(P3){\bola} \rput(P4){\disco} \rput(P5){\bola} \rput(P6){\bola} \rput(P7){\bola} \rput(P8){\bola} \rput(P9){\bola} \rput(P10){\bola} \rput(P11){\bola} \rput(P12){\bola} \rput(P13){\bola} \rput(P14){\bola} \rput(P1){\rotatebox{-90}{$1$}} \rput(P2){\rotatebox{-90}{$2$}} \rput(P3){\rotatebox{-90}{$3$}} \rput(P4){\rotatebox{-90}{$4$}} \rput(P6){\rotatebox{-90}{$6$}} \rput(P8){\rotatebox{-90}{$8$}} \rput(P9){\rotatebox{-90}{$9$}} \rput(P12){\rotatebox{-90}{$12$}} }} \end{pspicture}

Resposta correta: C
Problema: Quantos ternos de inteiros $(x, y, z)$ verificam a igualdade $x^2+y^2+z^2=6$?

Opções:
A) $6$
B) $12$
C) $18$
D) $24$
E) $48$

Resolução: Opção D. (Há $3$ posições para a parcela maior e $2$ escolhas para o sinal de cada variável.)

Resposta correta: D
Problema: Uma peça foi colocada num tabuleiro com $2025$ linhas e $2025$ colunas. Em cada movimento, a peça pode deslocar-se uma casa na vertical ou uma casa na horizontal. O número mínimo de movimentos que a peça precisa de fazer para chegar ao canto superior esquerdo é $1000$, e o número mínimo de movimentos que a peça precisa de fazer para chegar ao canto superior direito é $1500$. Quantos movimentos, no mínimo, tem a peça que fazer para chegar à linha inferior do tabuleiro?

Opções:
A) $475$
B) $476$
C) $1500$
D) $1786$
E) $1787$

Resolução: A soma do número de movimentos para chegar ao canto superior direito com o número de movimentos para chegar ao canto superior esquerdo é $2500$. Este número contém todos os movimentos feitos na horizontal, que foram $2024$ (a largura de todo o tabuleiro menos a casa onde o peão se encontra) e duas vezes o número de movimentos feitos na vertical. Ou seja, a peça encontra-se a $(2500-2024):2=476:2=238$ casas da linha superior do tabuleiro. Deste modo, para chegar à linha inferior do tabuleiro a peça terá de se deslocar $2024-238$ casas, ou seja $1786$ casas para baixo. Opção correta: D)

Resposta correta: D