tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema: Seja $[ABC]$ um triângulo acutângulo tal que $\overline{AB} =\overline{ AC}$ e $\overline{BC} = 6$ cm. Sabendo que a circunferência que passa em $A$, $B$ e $C$ tem raio $\dfrac{25}{8}$ cm, quanto mede a área de $[ABC]$ em cm$^2$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \small \pnode(2;60){A} \uput[60](A){$A$} \pnode(2;-46){B} \uput[-46](B){$B$} \pnode(2;166){C} \uput[166](C){$C$} \pscircle(O){2} \pspolygon(A)(B)(C) \end{pspicture}

Opções:
A) $12$
B) $13$
C) $14$
D) $15$
E) $16$

Resolução: Seja $O$ o centro da circunferência e $M$ o ponto médio de $[BC]$. Como $\overline{AB}=\overline{AC}$, então $AM$ é perpendicular a $BC$, logo $[OCM]$ é um triangulo retângulo. Pelo teorema de Pitágoras, $\overline{OM}^2=\overline{OC}^2-\overline{CM}^2=\left(\dfrac{25}{8}\right)^2-3^2=\dfrac{49}{64}$, pelo que $\overline{OM}=\dfrac{7}{8}$ cm. Então $\overline{AM}=\overline{AO}+\overline{OM}=\dfrac{25}{8}+\dfrac78=4$ cm. Logo a área de $[ABC]$ é $\dfrac{\overline{AM}\times\overline{BC}}{2}=\dfrac{4\times 6}{2}=12$ cm$^2$. Opção correta: A) (image2)


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[image2]
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \small \pnode(3.125;60){A} \uput[60](A){$A$} \pnode(3.125;-46){B} \uput[-46](B){$B$} \pnode(3.125;166){C} \uput[166](C){$C$} \pnode(0,0){O} \uput[0](O){$O$} \pnode(-0.4375,-0.75777){M} \uput[240](M){$M$} \pscircle(O){3.125} \pspolygon(A)(B)(C) \psline(O)(C) \psline(A)(M) \end{pspicture}

Resposta correta: A
Problema: Num certo triângulo retângulo, o comprimento de cada lado em centímetros é um inteiro. Sabe-se que a soma do comprimento da hipotenusa com o comprimento do cateto menor é $54$ cm. Quanto mede, em cm, o perímetro do triângulo?

Opções:
A) $78$
B) $79$
C) $84$
D) $90$
E) $99$

Resolução: Sejam $a<b<c$ os três lados do triângulo. Sabemos que $a+c=54$ cm. Pelo teorema de Pitágoras, $c^2=a^2+b^2$, ou seja, $(54-a)^2=a^2+b^2$. Logo $b^2=54^2-108a=108(27-a)$. Como $108=2^2\times 3^3$, então $27-a$ é da forma $3\times n^2$, ou seja, $27-a$ é igual a $3\times 1^2=3$ ou a $3\times 2^2=12$. No primeiro caso, temos $a=24$, $b=18$ e $c=30$, o que não é possível porque $a<b$. No segundo caso, temos $a=15$, $b=36$ e $c=39$. Logo o perímetro do triângulo é $15+36+39=90$ cm. Opção correta: D)

Resposta correta: D
Problema: O Francisco escreveu uma sequência de números começando com $25$. A partir do quarto termo da sequência, inclusive, cada termo da sequência é a média dos três anteriores. Sabendo que os seis primeiros termos da sequência são números naturais e que o sexto número escrito foi o $8$, qual é o quinto termo da sequência?

Opções:
A) $5$
B) $6$
C) $7$
D) $8$
E) $9$

Resolução: Seja $25,a,b,c,d,8$ a sequência escrita pelo Francisco. Temos $\dfrac{b+c+d}{3}=8$, logo $b=24-c-d$. Também $\dfrac{a+b+c}{3}=d$, logo $a=3d-b-c=3d-(24-c-d)-c=4d-24$. Temos ainda $\dfrac{25+a+b}{3}=c$, logo $3c=25+(4d-24)+(24-c-d)=25+3d-c$. Portanto, $4c=25+3d$. Como $a=4d-24>0$, então $d\geq 7$. Como $c=\dfrac{25+3d}{4}$ é inteiro, então $d=9,13,17\ldots$. Os correspondentes valores de $c$ são $13,16,19,\ldots$. Como $b=24-c-d>0$, então $c+d<24$, logo só temos o caso $d=9$, $c=13$. Então $b=2$ e $a=12$. Portanto, o Francisco escreveu a sequência $25,12,2,13,9,8$. Opção correta: E)

Resposta correta: E
Problema: O João tem $2024$ moedas. Ele quer colocar algumas destas moedas em $7$ caixas, de modo que a caixa $1$ tenha o dobro das moedas da caixa $2$, a caixa $2$ tenha o dobro das moedas da caixa $3$ e assim sucessivamente. No final, nenhuma das caixas fica vazia. De quantas maneiras o pode fazer?

Opções:
A) $12$
B) $13$
C) $14$
D) $15$
E) $16$

Resolução: Opção D). (As caixas têm $n+2n+4n+\cdots+64n=127n\leq 2024$ moedas, logo $n\leq 15$.)

Resposta correta: D
Problema: Na figura, $[ABCD]$ é um quadrado de lado $6$ cm, $E$ é um ponto no lado $[AD]$, $F$ é um ponto no lado $[CD]$, $M$ é o ponto médio de $[AB]$ e $G$ é um ponto de $[MC]$. Sabendo que $[DEGF]$ é um quadrado, determina a área, em cm$^2$, de $[AMGE]$. (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(6,6) \small \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0)(3,0)(4,2)(0,2) \pspolygon(0,0)(6,0)(6,6)(0,6) \psline(3,0)(6,6) \psline(0,2)(4,2)(4,6) \uput[225](0,0){$A$} \uput[-45](6,0){$B$} \uput[45](6,6){$C$} \uput[135](0,6){$D$} \uput[180](0,2){$E$} \uput[90](4,6){$F$} \uput[-45](4,2){$G$} \uput[270](3,0){$M$} \end{pspicture}

Opções:
A) $7$
B) $5\sqrt{2}$
C) $7,5$
D) $8$
E) $6\sqrt{2}$

Resolução: Opção A). ($\overline{AM}=3$; $[FCG]$ é semelhante a $[BMC]$, logo $\overline{AE}=2$, $\overline{EG}=4$. A área é $\frac{(3+4)}{2}\times 2$.)

Resposta correta: A
Problema: A casa do João tem o número $1142$, que curiosamente tem a soma dos seus algarismos igual ao seu produto, ambos iguais a $8$. Quantos números têm a soma e o produto dos seus algarismos igual a $8$?

Opções:
A) $12$
B) $13$
C) $22$
D) $23$
E) $30$

Resolução: Opção D). ($1$ com o algarismo $8$; $12$ com os algarismos $1,1,2,4$; $10$ com os algarismos $1,1,2,2,2$.)

Resposta correta: D
Problema: O número de sócios do Clube dos Berlindes é um número par com dois algarismos, em que o algarismo das dezenas é maior do que o das unidades. Quantos números existem nestas condições?

Opções:
A) $10$
B) $15$
C) $16$
D) $25$
E) $30$

Resolução: Opção D). (Há um número terminado em $8$, três em $6$, cinco em $4$, sete em $2$ e nove em $0$.)

Resposta correta: D
Problema: O clube tem duas paredes com $18$ dm de altura e $12$ dm de largura. A Ana, com uma lata de tinta, pintou uma das paredes, de baixo para cima, e a tinta terminou $15$ dm acima do chão. A Beatriz, com uma lata de tinta igual, pintou a outra parede, da esquerda para a direita. Qual é a largura, em dm, da parte pintada pela Beatriz? (image1) (image2)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(12,18) \small \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0)(12,0)(12,15)(0,15) \pspolygon(0,0)(12,0)(12,18)(0,18) \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(12,18) \small \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0)(10,0)(10,18)(0,18) \pspolygon(0,0)(12,0)(12,18)(0,18) \end{pspicture}

Opções:
A) $8$
B) $8,5$
C) $9$
D) $10$
E) $11$

Resolução: Opção D). (A área pintada foi $12\times 15=180$ dm$^2$, que é igual a $18\times 10$ dm$^2$.)

Resposta correta: D
Problema: A Ana, a Beatriz e o Carlitos fazem coleção de berlindes especiais. A Ana tem mais um berlinde especial do que a Beatriz e o Carlitos menos um do que o triplo dos berlindes especiais que a Beatriz tem. Eles repararam que o Carlitos tinha tantos berlindes especiais como a soma dos berlindes especiais da Ana com os da Beatriz. Quantos berlindes especiais têm os três em conjunto?

Opções:
A) $4$
B) $6$
C) $8$
D) $10$
E) $12$

Resolução: Opção D). (A Ana tem $3$ berlindes, a Beatriz $2$ e o Carlitos $5$.)

Resposta correta: D
Problema: Num torneio de berlindes participaram $6$ jogadores e cada jogador jogou uma vez com cada um dos restantes jogadores. Uma derrota vale $0$ pontos, um empate vale $1$ ponto (para cada jogador) e uma vitória vale $2$ pontos. No final do torneio um dos jogadores terminou com $8$ pontos, outro com $6$ pontos e os restantes quatro jogadores terminaram todos com o mesmo número de pontos. Qual é o número de pontos com que cada um destes quatro jogadores terminou o torneio?

Opções:
A) $4$
B) $5$
C) $7$
D) $9$
E) $10$

Resolução: Opção A). (No total houve $15$ jogos, logo $30$ pontos distribuídos. Temos $30=8+6+4+4+4+4$.)

Resposta correta: A
Problema: Ricardo Um grupo de $21$ pessoas juntou-se para um almoço de Natal. Na ida, foram $3$ pessoas em cada carro e $9$ pessoas numa carrinha. Na volta, foram $4$ pessoas em cada carro. Quantas voltaram na carrinha?

Opções:
A) $4$
B) $5$
C) $6$
D) $7$
E) $8$

Resolução: Opção B. (Como $21=9+3\times 4$, havia $4$ carros, logo vieram $21-4\times 4=5$ pessoas na carrinha.)

Resposta correta: B
Problema: Ricardo A Maria está a fazer broinhas doces para o Natal, seguindo a receita da sua avó. A receita diz que devem ser adicionadas à massa das broinhas 1/4 de colher de sopa de canela e 1/3 de colher de sopa de noz moscada. Infelizmente a Maria trocou os ingredientes e adicionou à massa 1/3 de colher de canela e 1/4 de colher de noz moscada. Quantas colheres de sopa de noz moscada deve a Maria adicionar à massa para que a proporção entre estes dois ingredientes fique correta?

Opções:
A) $\dfrac7{36}$
B) $\dfrac9{36}$
C) $\dfrac{12}{36}$
D) $\dfrac{17}{36}$
E) $\dfrac{25}{36}$

Resolução: Opção A. (para manter a proporção $\frac{1/4}{1/3}=\frac{1/3}{1/4+x}$, devem ser adicionadas $x=7/36$ colheres.)

Resposta correta: A
Problema: Ricardo Para decorar a sua árvore de Natal, o João construiu um cubo de madeira de dimensões $3$cm$\times 3$cm$\times 3$cm, e perfurou três buracos quadrados, através do centro de uma face até à face oposta. Qual é a área total, em cm$^2$, de madeira exposta neste cubo perfurado? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(19,1.4) \def\cubo{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](1,0)(1.3,0.4)(1.3,1.4)(1,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,1)(0.3,1.4)(1.3,1.4)(1,1)} \multirput(0.6,0.8)(1,0){3}{\cubo} \multirput(0.6,1.8)(2,0){2}{\cubo} \multirput(0.6,2.8)(1,0){3}{\cubo} \multirput(0.3,0.4)(2,0){2}{\cubo} \multirput(0.3,2.4)(2,0){2}{\cubo} \multirput(0,0)(1,0){3}{\cubo} \multirput(0,1)(2,0){2}{\cubo} \multirput(0,2)(1,0){3}{\cubo} \end{pspicture}

Opções:
A) $54$
B) $63$
C) $72$
D) $78$
E) $81$

Resolução: Opção C. (A área total é a soma da área externa ($6\times (3^2-1^2)$) com a área dos buracos ($6\times 4$).)

Resposta correta: C
Problema: Quantos algarismos tem o número $30^8$?

Opções:
A) $3$
B) $8$
C) $9$
D) $11$
E) $12$

Resolução: Uma vez que $30^8=3^8 \times 10^8$, o número de algarismos será igual à soma de $8$ com o número de algarismos de $3^8$. Mas $3^8=9^4=81^2=6561$, logo o número $30^8$ tem $8+4=12$ algarismos. Opção correta: E)

Resposta correta: E
Problema: Um agricultor quer encher um tanque e, para isso, tem à sua disposição um balde azul e um balde vermelho. Ele consegue encher o tanque usando $120$ vezes o balde vermelho, ou usando $90$ vezes o balde vermelho e $40$ vezes o balde azul. Quantas vezes precisa de usar o balde azul para encher o mesmo tanque?

Opções:
A) $120$
B) $130$
C) $160$
D) $190$
E) $200$

Resolução: Pelas hipóteses dadas, $40$ baldes azuis têm a mesma capacidade que $120-90=30$ baldes vermelhos. Assim, o número de baldes azuis que necessitamos para encher o tanque será $40 \times \left( 120 : 30\right)=160 $. Opção correta: C)

Resposta correta: C
Problema: O código do cadeado da Maria é um número de quatro algarismos. A soma dos quatro algarismos é igual a $33$ e o algarismo $8$ aparece um número ímpar de vezes. Quantas possibilidades existem para este código?

Opções:
A) $15$
B) $16$
C) $18$
D) $20$
E) $22$

Resolução: O algarismo $8$ aparece uma ou três vezes. Se aparecer apenas uma vez, então os restantes algarismos têm, necessariamente, que ser $7$, $9$, $9$ e, neste caso, existem $12$ códigos possíveis. Se aparecer três vezes, então o quarto algarismo é o $9$ e, neste caso, existem $4$ códigos possíveis. Assim, existem $16$ possibilidades para o código do cadeado da Maria. Opção correta: B)

Resposta correta: B
Problema: O triângulo $[ABC]$ isósceles com $\overline {AB}=\overline{AC}$ foi dividido em três triângulos isósceles mais pequenos: escolhe-se um ponto $D$ no lado $[AC]$ tal que $\overline{AD}=\overline{DB}$ e um ponto $E$ no segmento $[BD]$ tal que $\overline{CE}=\overline{CD}$ e $\overline{BE}=\overline{EC}$, como se representa na figura. Qual é, em graus, a medida da amplitude do ângulo $BAC$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-1,0)(1,3.07) \small \pnode(0,3.07768){A} \uput[90](A){$A$} \pnode(-1,0){B} \uput[180](B){$B$} \pnode(1,0){C} \uput[0](C){$C$} \pnode(0.61803,1.17557){D} \uput[45](D){$D$} \pnode(0,0.72654){E} \uput[135](E){$E$} \pspolygon(A)(B)(C) \psline(B)(D) \psline(C)(E) \end{pspicture}

Opções:
A) $24$
B) $28$
C) $30$
D) $35$
E) $36$

Resolução: As hipóteses do enunciado garentem-nos que $C \widehat B A = A \widehat C B$, $B \widehat A D = D \widehat B A$, $E \widehat D C = C \widehat E D$ e $C \widehat B E = E \widehat C B$. Como os ângulos $B E C$ e $B D A$ são suplementares aos ângulos $CED$ e $EDC$, respetivamente, e estes têm a mesma amplitude, resulta que $B \widehat E C = A \widehat D B$. Logo, os triângulos $[BEC]$ e $[ADB]$ são semelhantes. Em particular, resulta que os cinco ângulos $BAC$, $DCE$, $ECB$, $CBE$, e $EBA$ têm todos a mesma amplitude. Finalmente, como a soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo $[ABC]$ é precisamente a soma das amplitudes destes cinco ângulos, resulta que $B \widehat A C = \left(\frac{180} 5\right)^\circ = 36^\circ$. Opção correta: E)

Resposta correta: E
Problema: Uma prova de corrida é constituída por um número inteiro de voltas a uma pista. A Maria correu $\ds{\frac{2}{9}}$ do percurso total, depois bebeu um pouco de água e correu mais $\ds{\frac{5}{6}}$ de uma volta. Sabendo que ainda lhe falta correr $\ds{\frac{3}{4}}$ do percurso, quantas voltas tem esta prova?

Opções:
A) $18$
B) $27$
C) $30$
D) $35$
E) $36$

Resolução: Podemos deduzir do enunciado que $\frac 1 4$ do percurso total corresponde a $\frac 2 9$ do percurso mais $\frac 5 6$ de uma volta, ou seja, $\frac 5 6$ de uma volta é o mesmo que $\frac 1 4 - \frac 2 9=\frac 1 {36} $ do percurso. Logo, a prova tem $30 = 36 \times \frac56$ voltas. Opção correta: C)

Resposta correta: C
Problema: A Maria escreveu cinco inteiros positivos distintos menores que $10$. Se somar quaisquer dois destes cinco números, o resultado nunca será igual a $10$. Que número foi escrito, de certeza, pela Maria?

Opções:
A) $1$
B) $2$
C) $4$
D) $5$
E) $6$

Resolução: Para que a soma de quaisquer dois números nunca dê $10$, a Maria apenas pode escrever, no máximo, um dos números de cada um dos conjuntos $\{1, 9\}$, $\{2, 8\}$, $\{3, 7\}$ e $\{4, 6\}$. Como ela escreveu cinco inteiros positivos distintos, terá necessariamente que ter escrito o número $5$. Opção correta: D)

Resposta correta: D
Problema: No Circo das Maravilhas, cada palhaço leva um guizo no nariz, dois em cada braço e três em cada perna. Sabendo que, no total, os palhaços têm $132$ guizos, quantos palhaços tem o circo?

Opções:
A) $11$
B) $12$
C) $13$
D) $21$
E) $22$

Resolução: Opção B). (Como cada palhaço tem $11$ guizos, há $ \frac {132}{11}=12$ palhaços.)

Resposta correta: B
Problema: A plateia do Circo das Maravilhas está dividida em duas partes: um quadrado $E$ do lado esquerdo, com $7$ m de lado, e um retângulo $D$ do lado direito. Sabendo que a plateia tem $54$ m de perímetro, qual é o comprimento do lado maior do retângulo $D$? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(20,7) \small \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0)(7,0)(7,7)(0,7) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](7,0)(20,0)(20,7)(7,7) \pspolygon(0,0)(20,0)(20,7)(0,7) \psline(7,0)(7,7) \rput(3.5,3.5){$E$} \rput(13.5,3.5){$D$} \end{pspicture}

Opções:
A) $8,5$ m
B) $9$ m
C) $10$ m
D) $13$ m
E) $26$ m

Resolução: Opção D). (O lado maior de $D$ tem comprimento $\frac{54 - 4 \times 7}2=13$ m.)

Resposta correta: D
Problema: Os bilhetes para o Circo das Maravilhas têm a seguinte forma: (image1) Enquanto esperava que o magnífico espetáculo começasse, o Guilherme pediu os bilhetes aos amigos e sobrepôs alguns, obtendo a figura ao lado. Sabendo que a área da figura é $2024$ mm$^2$, qual é a área de cada bilhete? (image2)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(2,1) \small \pspolygon(0,0)(2,0)(2,1)(0,1) \psline(1,0)(1,1) \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(5,3) \small \pspolygon(1,0)(4,0)(4,3)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(3,0)(3,3) \pspolygon(0,1)(5,1)(5,2)(0,2) \end{pspicture}

Opções:
A) $184$ mm$^2$
B) $368$ mm$^2$
C) $516$ mm$^2$
D) $759$ mm$^2$
E) $1012$ mm$^2$

Resolução: Opção B). (A área de cada quadrado é $ \frac{2024}{11}=184$, logo a área do bilhete é $184 \times 2=368$ mm$^2$.)

Resposta correta: B
Problema: Quando saiu do circo, o Guilherme foi comprar castanhas para organizar um magusto para os seus amigos. No caminho de volta para casa, deixou cair um quinto das castanhas e quando ia assá-las, reparou que $15$ castanhas estavam podres. Assou assim as $225$ castanhas restantes. Quantas castanhas é que o Guilherme comprou?

Opções:
A) $240$
B) $255$
C) $260$
D) $280$
E) $300$

Resolução: Opção E). (O Guilherme comprou $300$ castanhas, deixou cair $300/5=60$ e assou $240-15=225$.)

Resposta correta: E
Problema: Durante o magusto, o Guilherme reparou que comeu mais uma castanha do que a Maria e que a Francisca comeu menos uma castanha do que o triplo das castanhas que a Maria comeu. Além disso, a Francisca comeu tantas castanhas quanto o Guilherme e a Maria juntos. Quantas castanhas comeram os três amigos?

Opções:
A) $4$
B) $6$
C) $8$
D) $10$
E) $12$

Resolução: Opção D). (O Guilherme comeu $3$ castanhas, a Maria $2$ e a Francisca $5$.)

Resposta correta: D