tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema: A soma dos primeiros $1998$ números pares é igual a $p$, enquanto que a soma dos primeiros $1998$ números ímpares é igual a $q$. A diferença $p-q$ é igual a

Opções:
A) 1
B) 1998
C) -1998
D) 999
E) 998

Resolução: Temos $$p=2+4+6+\dots+3996 \quad \mbox{e} \quad q=1+3+5+\dots+3995.$$ Assim $$p-q=(2-1)+(4-3)+(6-5)+\dots+(3996-3995)=1998.$$ Opção correcta: B.

Resposta correta: B
Problema: A soma de cinco números entre 1 e 9, todos distintos, é igual a 30. Se os colocarmos por ordem crescente, o segundo é 4. Qual o número que figura na quarta posição?

Opções:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9

Resolução: As duas únicas possibilidades de ordenar cinco algarismos da forma descrita são: $$2,4,7,8,9 \quad \mbox{ ou } \quad 3,4,6,8,9.$$ Em qualquer dos casos o quarto algarismo é igual a $8$. Opção correcta: D.

Resposta correta: D
Problema: Nos quadrados da figura seguinte, os vértices $A,\,B$ e $C$ estão sobre uma recta: (image1) O valor de $x$ é igual a


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{picture}(121.00,75.00)(0,10) \put(5.00,5.00){\line(1,0){20.00}} \put(25.00,5.00){\line(0,1){20.00}} \put(25.00,25.00){\line(-1,0){20.00}} \put(5.00,25.00){\line(0,-1){20.00}} \put(25.00,5.00){\line(1,0){35.00}} \put(60.00,5.00){\line(0,1){35.00}} \put(60.00,40.00){\line(-1,0){35.00}} \put(25.00,40.00){\line(0,-1){35.00}} \put(121.00,5.00){\line(0,1){61.00}} \put(121.00,66.00){\line(-1,0){61.00}} \put(60.00,66.00){\line(0,-1){61.00}} \put(60.00,5.00){\line(1,0){61.00}} \put(15.00,8.00){\makebox(0,0)[cb]{$4$}} \put(42.00,8.00){\makebox(0,0)[cb]{$7$}} \put(90.00,8.00){\makebox(0,0)[cb]{$x$}} \put(3.00,27.00){\makebox(0,0)[rb]{$A$}} \put(24.00,41.00){\makebox(0,0)[rb]{$B$}} \put(59.00,67.00){\makebox(0,0)[rb]{$C$}} \put(8.50,22.50){\makebox(0,0)[rb]{$\bullet$}} \put(28.50,37.50){\makebox(0,0)[rb]{$\bullet$}} \put(63.00,63.00){\makebox(0,0)[rb]{$\bullet$}} \end{picture}

Opções:
A) 10
B) $\frac{49}{4}$
C) 11
D) $\frac{33}{4}$
E) $\frac{77}{4}$

Resolução: Temos então (image2) Como os triângulos $[AEB]$ e $[BDC]$ são semelhantes concluímos que $y=\frac{3\times 7}{4}=\frac{21}{4}$. Assim $x=\frac{21}{4} + 7 = \frac{49}{4}$. Opção correcta: B.


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{picture}(121.33,67.33) \put(5.00,5.00){\line(1,0){20.00}} \put(25.00,5.00){\line(0,1){20.00}} \put(25.00,25.00){\line(-1,0){20.00}} \put(5.00,25.00){\line(0,-1){20.00}} \put(25.00,5.00){\line(1,0){35.00}} \put(60.00,5.00){\line(0,1){35.00}} \put(60.00,40.00){\line(-1,0){35.00}} \put(25.00,40.00){\line(0,-1){35.00}} \put(121.33,5.00){\line(0,1){61.33}} \put(121.33,66.33){\line(-1,0){61.33}} \put(60.00,66.33){\line(0,-1){61.33}} \put(60.00,5.00){\line(1,0){61.33}} \put(15.00,18.00){\makebox(0,0)[cb]{$4$}} \put(42.67,32.00){\makebox(0,0)[cb]{$7$}} \put(90.67,8.00){\makebox(0,0)[cb]{$x$}} \put(3.00,27.00){\makebox(0,0)[rb]{$A$}} \put(7.00,23.25){\makebox(0,0)[rb]{$\bullet$}} \put(23.00,42.00){\makebox(0,0)[rb]{$B$}} \put(27.00,38.25){\makebox(0,0)[rb]{$\bullet$}} \put(58.00,68.33){\makebox(0,0)[rb]{$C$}} \put(62.00,64.25){\makebox(0,0)[rb]{$\bullet$}} \put(32.00,30.00){\makebox(0,0)[rb]{$3$}} \put(66.00,52.00){\makebox(0,0)[rb]{$y$}} \put(33.00,17.00){\makebox(0,0)[rb]{$E$}} \put(27.00,23.25){\makebox(0,0)[rb]{$\bullet$}} \put(68.00,32.00){\makebox(0,0)[rb]{$D$}} \put(62.00,38.25){\makebox(0,0)[rb]{$\bullet$}} \end{picture}

Resposta correta: B
Problema: Um número inteiro positivo diz-se simples se se escreve utilizando apenas os algarismos 1 ou 2 (ou ambos). Quantos números simples existem, inferiores a um milhão?

Opções:
A) 62
B) 63
C) 126
D) 127
E) 128

Resolução: O número de números simples inferiores a um milhão pode obter-se somando o número de números simples com $1,2,3,4,5$ e $6$ algarismos. Com um algarismo existem apenas dois números simples: o $1$ e o $2$. Como os números simples com um dado número de algarismos se obtêm acrescentando os algarismos $1$ ou $2$ aos números simples com um algarismo a menos, obtemos $4$ números simples com dois algarismos, $8$ números simples com três algarismos, $16$ números simples com quatro algarismos, $32$ números simples com cinco algarismos e, finalmente, $64$ números simples com seis algarismos. O número de números simples inferiores a um milhão é então igual a $$2+4+8+16+32+64=126.$$ Opção correcta: C.

Resposta correta: C
Problema: O meu ratinho branco disse-me: “A minha cauda mede $14\;cm$ mais do que a sua metade!". Quantos centímetros mede a cauda do meu ratinho?

Opções:
A) 14
B) 21
C) 24
D) 28
E) 30

Resolução: D.

Resposta correta: D
Problema: Se uma máquina produz 150 objectos num minuto, quantos produz em 10 segundos?

Opções:
A) 10
B) 15
C) 25
D) 30
E) 50

Resolução: C.

Resposta correta: C
Problema: Pintam-se de preto as 6 faces de um cubo de madeira. Se dividirmos este cubo em 27 cubos iguais, quantos dos cubos pequenos terão exactamente 2 faces pintadas?

Opções:
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
E) 26

Resolução: D.

Resposta correta: D
Problema: Se $a\diamond b$ representar o maior dos números $2a$ e $a+b$, quanto vale $(1999\diamond 2000)\diamond(2000\diamond 1999)$?

Opções:
A) 7997
B) 7998
C) 7999
D) 8000
E) 8001

Resolução: Temos que $(1999\diamond 2000)=3999$ e $(2000\diamond 1999)=4000$, logo $(3999\diamond 4000)=7999$. Opção correcta: C.

Resposta correta: C
Problema: Uma companhia de aviação ofereceu um desconto de dez por cento aos seus passageiros. Devido a um atraso num dos seus voos, devolveu vinte por cento da importância paga por cada passageiro. Qual é o desconto total para estes passageiros?

Opções:
A) $12\%$
B) $20\%$
C) $22\%$
D) $28\%$
E) $30\%$

Resolução: Se $x$ é o preço inicial da viagem, cada passageiro só pagou $\frac{9}{10}x$. A companhia devolveu a cada passageiro deste voo $\frac{2}{10} \frac{9}{10}x$. O desconto total foi então $\frac{1}{10}+\frac{18}{100}=\frac{28}{100}$, isto é, foi de 28%. Opção correcta: D.

Resposta correta: D
Problema: Um veículo de três rodas, com duas rodas sobresselentes, percorre $300\;km$. Se cada uma das 5 rodas for usada para percorrer a mesma distância, qual é essa distância?

Opções:
A) $60\;km$
B) $75\;km$
C) $100\;km$
D) $150\;km$
E) $180\;km$

Resolução: As rodas percorrem no total $900\;Km$. Como há cinco rodas, cada uma percorre $\frac{900}{5}=180\;Km$. Opção correcta: E.

Resposta correta: E
Problema: Considera um quadrado $[ABCD]$ com 4 metros de lado. Sejam $P$ o ponto de $[AB]$ tal que $\overline{AP}=\sqrt 3\;m$ e $Q$ e $R$ os pés das perpendiculares traçadas desde $P$ sobre as diagonais do quadrado. Quanto vale $\overline{PQ}+\overline{PR}$ ?

Opções:
A) $\sqrt 2\;m$
B) $2\;m$
C) $2\sqrt 2\;m$
D) $2\sqrt 3\;m$
E) $4\;m$

Resolução: Designando por $O$ o centro do quadrado tem-se $\overline{PQ}= \overline{AQ}$ e $\overline{PR}= \overline{BR}=\overline{QO}$ logo $\overline{PQ} + \overline{PR} = \overline{AQ}+\overline{QO}=\frac{1}{2} \overline{AC}=2\sqrt{2}$ metros. Opção correcta: C.

Resposta correta: C
Problema: Um automóvel percorre a seguinte estrada: (image1) O comprimento desta estrada é igual ao comprimento de:


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{picture}(120.00,30.00)(-120,-10) \put(0,0){\line(1,0){20.00}} \put(40,0){\line(1,0){20.00}} \put(80,0){\line(1,0){20.00}} \put(120,0){\line(1,0){20.00}} \put(30,0){\oval(20,20)[t]} \put(70,0){\oval(20,20)[b]} \put(110,0){\oval(20,20)[t]} \end{picture}
[image2]
\begin{picture}(90.00,30.00) \put(0,0){\line(1,0){60.00}} \put(30,0){\circle{20}} \put(70,0){\oval(20,20)[b]} \end{picture}
[image3]
\begin{picture}(40.00,30.00) \put(0,-10){\line(1,0){20.00}} \put(20,-10){\line(0,1){20.00}} \put(20,10){\line(-1,0){20.00}} \put(0,10){\line(0,-10){20.00}} \put(10,0){\circle{20}} \end{picture}
[image4]
\begin{picture}(150.00,30.00) \put(0,0){\line(1,0){20.00}} \put(40,0){\line(1,0){20.00}} \put(80,0){\line(1,0){20.00}} \put(30,0){\oval(20,20)[t]} \put(70,0){\oval(20,20)[t]} \put(110,0){\oval(20,20)[t]} \put(130,0){\oval(20,20)[b]} \end{picture}
[image5]
\begin{picture}(85.00,30.00) \put(0,-10){\line(1,0){20.00}} \put(20,-10){\line(0,1){20.00}} \put(20,10){\line(-1,0){20.00}} \put(0,10){\line(0,-10){20.00}} \put(10,-10){\circle{20}} \put(10,10){\oval(20,20)[t]} \end{picture}
[image6]
\begin{picture}(85.00,30.00) \put(0,-10){\line(1,0){20.00}} \put(20,-10){\line(0,1){20.00}} \put(20,10){\line(-1,0){20.00}} \put(0,10){\line(0,-10){20.00}} \put(10,10){\circle{20}} \put(10,-10){\circle{20}} \end{picture}

Opções:
A) (image2)
B) (image3)
C) (image4)
D) (image5)
E) (image6)

Resolução: D

Resposta correta: D
Problema: A temperatura máxima de quinta-feira foi $4^\circ C$ mais elevada do que a de domingo. A temperatura máxima de quarta-feira foi $6^\circ C$ mais baixa do que a de domingo. Se a temperatura máxima de quinta-feira foi $22^\circ C$, qual foi a temperatura máxima de quarta- -feira?

Opções:
A) $12^\circ C$
B) $16^\circ C$
C) $22^\circ C$
D) $24^\circ C$
E) $32^\circ C$

Resolução: A

Resposta correta: A
Problema: Num armário tenho 5 pares iguais de sapatos pretos e 5 pares iguais de sapatos brancos. Quantos sapatos tenho de tirar no mínimo (sem olhar para eles) para ter, com toda a certeza, um par de sapatos da mesma cor?

Opções:
A) 3
B) 5
C) 10
D) 11
E) 20

Resolução: D

Resposta correta: D
Problema: Quantos fósforos são precisos para formar o oitavo termo da seguinte sequência: (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{picture}(120.00,15.00)(0,-2.5) \put(0,0){\line(1,0){9.00}} \put(9,0){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(0,0){\line(0,1){9.00}} \put(0,9){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(10,0){\line(0,1){9.00}} \put(10,9){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(10,10){\line(-1,0){9.00}} \put(1,10){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(10,10){\line(2,-1){9.00}} \put(19,5.5){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(10,0){\line(2,1){9.00}} \put(19,4.5){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(30,0){\line(1,0){9.00}} \put(39,0){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(30,0){\line(0,1){9.00}} \put(30,9){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(40,0){\line(0,1){9.00}} \put(40,9){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(40,10){\line(-1,0){9.00}} \put(31,10){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(40,0){\line(1,0){9.00}} \put(49,0){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(40,0){\line(0,1){9.00}} \put(40,9){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(50,0){\line(0,1){9.00}} \put(50,9){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(50,10){\line(-1,0){9.00}} \put(41,10){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(50,10){\line(2,-1){9.00}} \put(59,5.5){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(50,0){\line(2,1){9.00}} \put(59,4.5){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(70,0){\line(1,0){9.00}} \put(79,0){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(70,0){\line(0,1){9.00}} \put(70,9){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(80,0){\line(0,1){9.00}} \put(80,9){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(80,10){\line(-1,0){9.00}} \put(71,10){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(80,0){\line(1,0){9.00}} \put(89,0){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(80,0){\line(0,1){9.00}} \put(80,9){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(90,0){\line(0,1){9.00}} \put(90,9){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(90,10){\line(-1,0){9.00}} \put(81,10){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(90,0){\line(1,0){9.00}} \put(99,0){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(90,0){\line(0,1){9.00}} \put(90,9){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(100,0){\line(0,1){9.00}} \put(100,9){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(100,10){\line(-1,0){9.00}} \put(91,10){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(100,10){\line(2,-1){9.00}} \put(109,5.5){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(100,0){\line(2,1){9.00}} \put(109,4.5){\makebox(0,0)[cc]{\tiny $\bullet$}} \put(120.00,5){\makebox(0,0)[cc]{$\cdots$}} \end{picture}

Opções:
A) 21
B) 24
C) 27
D) 30
E) 34

Resolução: C

Resposta correta: C
Problema: O colar de safiras da Cleópatra indicado na figura tem 2002 pedras na primeira fila. Quantas pedras tem o colar? $(image1) $


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{array}{l} \\\\\\ \diamond\diamond\diamond\diamond\diamond\diamond \diamond \diamond \diamond \diamond \diamond \diamond \diamond \diamond \diamond \hspace*{0.6cm} ...\\ \hspace*{2.8mm}\hspace*{2.8mm}\diamond\diamond\diamond\hspace*{2.8mm} \hspace*{2.7mm}\diamond\diamond \diamond \hspace*{2.7mm} \hspace*{2.8mm}\diamond \diamond \diamond \hspace*{2.7mm} \\ \hspace*{2.8mm}\hspace*{2.8mm}\diamond\diamond\hspace*{2.7mm}\hspace*{2.8mm} \hspace*{2.7mm}\diamond\diamond \hspace*{2.7mm}\hspace*{2.8mm} \hspace*{2.7mm}\diamond \;\diamond \hspace*{2.7mm} \hspace*{2.7mm}\\ \hspace*{2.8mm}\hspace*{2.8mm}\hspace*{2.8mm}\diamond\hspace*{2.7mm} \hspace*{2.8mm}\hspace*{2.8mm}\hspace*{2.7mm}\diamond \hspace*{2.8mm}\hspace*{2.8mm} \hspace*{2.7mm}\hspace*{2.7mm}\diamond \hspace*{2.7mm} \hspace*{2.7mm} \hspace*{2.7mm} \end{array}

Opções:
A) 4024
B) 4204
C) 4240
D) 4402
E) 4420

Resolução: Como $2002=400\times 5+2$, o colar da Cleópatra tem $(5+3+2+1)\times400+2$ $=11\times400+2$ $=4402$ pedras. Opção correcta: D)

Resposta correta: D
Problema: Quando o Calvin pediu uma mesada ao pai, este respondeu-lhe: “Calcula a soma de todos os números ímpares de dois algarismos e subtrai-lhe a soma de todos os números pares de dois algarismos. O resultado obtido será o valor da tua mesada." Qual será a mesada do Calvin?

Opções:
A) 45
B) 46
C) 48
D) 49
E) 50

Resolução: $ (11+13+15+\ldots+97+99)-(10+12+14+\ldots+96+98)$ $=(11-10)+(13-12)+(15-14)+ \ldots+(97-96)+(99-98)$ $=45\times 1=45.$ Opção correcta: A)

Resposta correta: A
Problema: Qual é a razão entre o perímetro de um círculo e o perímetro de um quadrado que têm a mesma área?

Opções:
A) $\displaystyle \frac{2} {\pi}$
B) $\displaystyle \frac{2} {\sqrt{\pi}}$
C) 1
D) $\displaystyle \frac {\sqrt{\pi}}{2}$
E) $\displaystyle \frac{\pi}{2}$

Resolução: Sejam $l$ o comprimento do lado do quadrado e $r$ a medida do raio do círculo. O círculo e o quadrado têm a mesma área, ou seja, $l^2=\pi r^2$, logo $l=\sqrt{\pi}r$. Assim a razão entre o perímetro do círculo e o perímetro do quadrado é $$\displaystyle\frac{2\pi r}{4l}=\frac{\pi r}{2\sqrt{\pi}r}=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$ Opção correcta: D)

Resposta correta: D
Problema: Harry Potter e Ron Weasley prepararam duas poções mágicas, de igual volume, com lágrimas de crocodilo e suor de gato preto. A razão entre o volume de lágrimas e o volume de suor obtida na poção do Harry foi $3$ e a obtida na poção do Ron foi $2$. Com um golpe da sua varinha mágica o professor Severus Snape misturou as duas poções no mesmo caldeirão. Qual foi a razão obtida?

Opções:
A) $\displaystyle \frac{5}{2}$
B) $\displaystyle \frac{9}{4}$
C) $\displaystyle \frac{17}{7}$
D) $\displaystyle \frac{23}{9}$
E) $\displaystyle\frac{25}{11}$

Resolução: Sejam $S_1$ e $S_2$ as quantidades de suor de gato preto das poções do Harry e do Ron. As correspondentes quantidades de lágrimas de crocodilo são $3S_1$ e $2S_2$. Como as duas poções têm igual volume tem-se $4S_1=3S_2$ e a razão obtida é $$\displaystyle \frac{3S_1+2S_2}{S_1+S_2}=\frac{4(3S_1+2S_2)}{4(S_1+S_2)}=\frac{3(4S_1)+8S_2}{4S _1+4S_2} =\frac{3(3S_2)+8S_2}{3S_2+4S_2}= \frac{17}{7}.$$ Opção correcta: C)

Resposta correta: C
Problema: O Gastão colheu alguns trevos de três e quatro folhas para oferecer à Margarida. Se o ramo de trevos tinha 17 folhas, com quantos trevos de quatro folhas ficou a Margarida?

Opções:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) nenhum

Resolução: (B)

Resposta correta: B
Problema: O maior número de pontos de intersecção de um quadrado com uma circunferência é:

Opções:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 8
E) 10

Resolução: (D)

Resposta correta: D
Problema: Se numerarmos de 1 a 5 os vértices da estrela indicada na figura e em seguida percorrermos a estrela no mesmo sentido, colocando o número 6 no vértice 1, o número 7 no vértice 2, o número 8 no vértice 3 e assim sucessivamente até ao número 2001, em que vértice fica este número? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{picture}(0,0)(-850,-10) \multiput(80,130)(0.14695,-0.45225){200}{\line(1,0){0.14695}} \multiput(109.39,39.55)(-0.3847,0.2795){200}{\line(1,0){0.3847}} \put(32.45,95.45){\line(1,0){95.55}} \multiput(80,130)(-0.14695,-0.45225){200}{\line(-1,0){0.14695}} \multiput(50.61,39.55)(0.3847,0.2795){200}{\line(1,0){0.3847}} \put(80,140){\makebox(0,0)[lc]{\small $1$}} \put(113,32){\makebox(0,0)[lc]{\small $2$}} \put(28,95){\makebox(0,0)[rc]{\small $3$}} \put(133,95){\makebox(0,0)[lc]{\small $4$}} \put(47,32){\makebox(0,0)[rc]{\small $5$}} \end{picture}

Opções:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Resolução: (A)

Resposta correta: A
Problema: A formiga e o arroz-doce Para solucionar o mistério do dado desaparecido, Tintim necessita de se disfarçar com um bigode e um par de óculos. Sabendo que ele tem 3 bigodes e 2 pares de óculos diferentes, de quantas formas se pode disfarçar Tintim?

Opções:
A) 3
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

Resolução: (C)

Resposta correta: C
Problema: A formiga e o arroz-doce O ladrão entra numa sala de cinema, onde existem 26 filas, com 24 lugares cada uma, numerados da esquerda para a direita, com início na primeira fila. Tintim sabe que o ladrão está sentado no lugar número 375. Em que fila está o ladrão?

Opções:
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16

Resolução: (E)

Resposta correta: E
Problema: A formiga e o arroz-doce A mãe do ladrão tem um irmão que tem três filhos e uma irmã que tem cinco filhas. Os avós paternos do ladrão tiveram sete filhos e cada um deles teve quatro filhos. Quantos primos tem o ladrão?

Opções:
A) 29
B) 32
C) 33
D) 35
E) 36

Resolução: (B)

Resposta correta: B
Problema: O jardineiro do Parque Municipal do Mouchão quer plantar canteiros com margaridas, tulipas e violetas de modo que todos os canteiros fiquem com o mesmo número de margaridas, o mesmo número de tulipas e o mesmo número de violetas. O jardineiro tem $180$ margaridas, $396$ tulipas e $504$ violetas e pretende plantá-las todas. Quantos canteiros, no máximo, pode fazer?

Opções:
A) $12$
B) $18$
C) $36$
D) $77$
E) $180$

Resolução: O número máximo de canteiros que o jardineiro pode fazer é m.d.c. $(180, 396, 504 )=36$. Opção correcta: C)

Resposta correta: C
Problema: Um número gigante, com mais de $2222$ algarismos, foi obtido escrevendo por ordem crescente os números naturais cujo primeiro algarismo é $2$. $$220212223242526272829200201202...$$ Qual foi o $2004^{\underline{\mbox{\rmv o}}}$ algarismo a ser escrito?

Opções:
A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $4$
E) $9$

Resolução: Como $2004-(1+20+300)=1683=420\times4+3$, o $2004^{\underline{\mbox{\rmv o}}}$ algarismo foi o $3^{\underline{\mbox{\rmv o}}}$ a ser escrito depois de escrito o número $2419$, ou seja, foi $2$. Opção correcta: C)

Resposta correta: C
Problema: No triângulo rectângulo indicado na figura está inscrito um quadrado. Se a razão entre os catetos é $4$, qual é a razão entre a área do triângulo e a área do quadrado? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{picture}(100,80)(-50,50) \put(0,0){\line(4,1){190}} \put(0,0){\line(1,0){190}} \put(190,0){\line(0,1){47}} \put(152,38){\line(1,0){38}} \put(152,0){\line(0,1){38}} \end{picture}

Opções:
A) $\frac{25}{16}$
B) $\frac{25}{8}$
C) $\frac{16}{5}$
D) $4$
E) $\frac{25}{4}$

Resolução: Dado que os triângulos rectângulos $[ACE]$, $[ABF]$ e $[BCD]$ são semelhantes, tem-se $\frac{\overline{AF}}{\overline{BF}}= \frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}= \frac{\overline{AE}}{\overline{CE}}=4$ e, consequentemente, $\overline{AF}=4\overline{BF}$ e $\overline{BD}=4\, \overline{CD}$. Logo, $\overline{AE}=5\, \overline{FE}$ e $\overline{CE}=\frac{5}{4}\, \overline{DE}$ e a área do triângulo rectângulo $[ACE]$ é $\frac12 (5 \, \overline{FE})(\frac{5}{4}\, \overline{DE})=\frac{25}{8} \; \overline{FE} \times \overline{DE}$. Assim, a razão entre a área do triângulo e a área do quadrado é $\frac{25}{8}$. (image2) Opção correcta: B)


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{picture}(100,80)(-50,50) \put(0,0){\line(4,1){190}} \put(0,0){\line(1,0){190}} \put(190,0){\line(0,1){47}} \put(152,38){\line(1,0){38}} \put(152,0){\line(0,1){38}} \put(-5,-5){\makebox(0,0)[rc]{\tiny{A}}} \put(150,45){\makebox(0,0)[rc]{\tiny{B}}} \put(205,55){\makebox(0,0)[rc]{\tiny{C}}} \put(207,36){\makebox(0,0)[rc]{\tiny{D}}} \put(205,-5){\makebox(0,0)[rc]{\tiny{E}}} \put(158,-8){\makebox(0,0)[rc]{\tiny{F}}} \end{picture}

Resposta correta: B
Problema: O quadro indicado na figura é o resultado de um jogo do galo. Quantos quadros diferentes com $4$ X e $5$ O, em que não haja $3$ X em linha recta, consegues formar? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{picture}(100,80)(-100,70) \put(0,33){\line(1,0){100}} \put(0,66){\line(1,0){100}} \put(33,0){\line(0,1){100}} \put(66,0){\line(0,1){100}} \put(16,16){\makebox(0,0)[cc]{\rmix{O}}} \put(49,16){\makebox(0,0)[cc]{\rmix{X}}} \put(82,16){\makebox(0,0)[cc]{\rmix{O}}} \put(16,49){\makebox(0,0)[cc]{\rmix{O}}} \put(49,49){\makebox(0,0)[cc]{\rmix{X}}} \put(82,49){\makebox(0,0)[cc]{\rmix{X}}} \put(16,82){\makebox(0,0)[cc]{\rmix{O}}} \put(49,82){\makebox(0,0)[cc]{\rmix{O}}} \put(82,82){\makebox(0,0)[cc]{\rmix{X}}} \end{picture}

Opções:
A) $48$
B) $78$
C) $378$
D) $2160$
E) $2976$

Resolução: O número de quadros diferentes com $4$ X e $5$ O é $\frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3 \times 2}=126$ e o número de quadros diferentes com $4$ X e $5$ O, em que há $3$ X em linha recta, é $8\times 6=48$. Logo, o número de quadros diferentes com $4$ X e $5$ O, em que não há $3$ X em linha recta, é $126-48=78$. Opção correcta: B)

Resposta correta: B
Problema: A Cubolândia é um país com a forma de um cubo, com $27$ m$^3$ de volume. As $27$ casas da Cubolândia são os cubos com $1$ m de lado que formam o cubo maior. Os nomes dos habitantes da Cubolândia são compostos usando apenas as letras O e I e contêm no máximo $4$ letras. Quantos nomes diferentes podem existir na Cubolândia?

Opções:
A) $4$
B) $8$
C) $12$
D) $16$
E) $30$

Resolução: (E)

Resposta correta: E
Problema: A Cubolândia é um país com a forma de um cubo, com $27$ m$^3$ de volume. As $27$ casas da Cubolândia são os cubos com $1$ m de lado que formam o cubo maior. Duas casas da Cubolândia são vizinhas se tiverem uma face em comum. Quantas casas têm exactamente $4$ casas vizinhas?

Opções:
A) $6$
B) $8$
C) $12$
D) $15$
E) $20$

Resolução: (C)

Resposta correta: C
Problema: O João e a Célia participam nos Sábados à Descoberta no Museu da Ciência. Um dos desafios matemáticos propostos consiste em pesar alguns minerais de igual volume numa balança de dois pratos. Sabendo que três ágatas e um jade pesam tanto como nove olhos de tigre e que cinco ágatas pesam tanto como três jades e um olho de tigre, quantos olhos de tigre pesam tanto como dois jades?

Opções:
A) $3$
B) $4$
C) $5$
D) $6$
E) $7$

Resolução: Quinze ágatas pesam tanto como $9$ jades e $3$ olhos de tigre. Mas $15$ ágatas e $5$ jades pesam tanto como $45$ olhos de tigre. Logo, $9$ jades, $3$ olhos de tigre e $5$ jades pesam tanto como $45$ olhos de tigre, ou seja, $14$ jades pesam tanto como $42$ olhos de tigre. Portanto, um jade pesa tanto como $3$ olhos de tigre e dois jades pesam tanto como $6$ olhos de tigre. Opção correcta: D).

Resposta correta: D
Problema: Para ir da Escola Secundária José Falcão ao Museu da Ciência o João demora $15$ minutos. Sabendo que o João demora tanto tempo a dar $9$ passos como a Célia a dar $10$ e que cada passo da Célia tem metade do comprimento de cada passo do João, quantos minutos demora a Célia a fazer o mesmo percurso?

Opções:
A) $24$
B) $27$
C) $30$
D) $32$
E) $36$

Resolução: No período de tempo em que a Célia dá $10$ passos, o João percorre $2\times 9=18$ vezes o comprimento do passo da Célia, ou seja, no mesmo período de tempo em que a Célia dá $1$ passo, o João percorre $\frac{18}{10}=\frac{9}{5}$ vezes o comprimento do passo da Célia. Logo, a Célia demora $\frac{9}{5}$ vezes mais tempo do que o João a percorrer a mesma distância. Portanto, a Célia demora $\frac{9}{5}\times 15= 27$ minutos a fazer o percurso. Opção correcta: B).

Resposta correta: B