tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema: O Emídio gosta muito de capicuas. Uma capicua é um número que não se altera quando é lido ao contrário. Por exemplo, $202$ e $36163$ são capicuas. Quantas capicuas existem que somadas com $2017$ continuam a ser capicuas?

Opções:
A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $3$
E) $4$

Resolução: Ao adicionar $2017$ a uma capicua de $1$ ou $2$ algarismos, a soma não pode ser uma capicua pois é menor que a capicua seguinte, $2112$, exceto na soma $2017+99=2116$, que não é capicua. Uma capicua com $3$ algarismos é da forma $aba$, com $a$ e $b$ algarismos. A soma de $aba$ com $2017$ será menor ou igual a $3016$, logo ou é uma capicua com o primeiro algarismo igual a $2$ ou é igual a $3003$. Uma vez que $3003-2017=986$, que não é capicua, resta ver o outro caso. Nesse caso, para a soma ser capicua tem de terminar no algarismo $2$, portanto $7+a=12$, ou seja $a=5$. O segundo algarismo de $2017+5b5$, ou é $5$, ou é $6$. Se for igual a $5$, $b+1+1=5$, ou seja, $b=3$ e $535$ satisfaz as condições pretendidas. Se o segundo algarismo for $6$, a soma $b+1+1$ teria de ser $16$, o que é impossível por $b$ ser um algarismo. Se a capicua tiver quatro algarismos ($abba$ com $a$ e $b$ algarismos) a soma $2017+abba$ pode ter $5$ ou $4$ algarismos. Se tiver $5$ algarismos, como o primeiro algarismo é $1$, para ser uma capicua, $a+7$ teria de ser igual a $11$, ou seja, $a=4$ e isso implica que a soma $2017+abba$ não tem $5$ algarismos. Se a soma $2017+abba$ tiver $4$ algarismos, esta soma será uma capicua se o algarismo das unidades de $a+7$ for igual a $a+2$ ou $a+2+1$ e, é fácil verificar, ambos os casos são impossíveis. Se a capicua tiver $5$ algarismos ($abcba$ com $a,b$ e $c$ algarismos) para que $abcba+2017$ seja capicua o algarismo das unidades de $a+7$ teria de ser igual a $a$ ou $a+1$ e ambos os casos são impossíveis. Para capicuas com mais do que cinco algarismos aplica-se um argumento análogo. Portanto, $535$ é a única capicua que somada com $2017$ ainda dá uma capicua. Opção correta: B).

Resposta correta: B
Problema: No parque do Fontelo há um escorrega como o que se apresenta na figura. A rampa do escorrega, $[BC]$, mede $3$ metros. A distância, medida no solo, desde a escada à rampa, $[AB]$, mede $4$ metros. A plataforma superior, $[DC]$, mede $1$ metro e o ângulo entre esta plataforma e a rampa mede $140$ graus. Quanto mede, em graus, o ângulo entre a escada e o solo? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pspolygon(0,0)(10,0)(4.63769,4.49951)(1.63769,4.49951) \multiput(0.163769,0.449951)(0.163769,0.449951){9}{ \psline(-0.163769,0)(0.163769,0)} \rput(-0.5,0){$A$} \rput(10.5,0){$B$} \rput(5.1,4.8){$C$} \rput(1.3,4.8){$D$} \end{pspicture}

Opções:
A) $45$
B) $50$
C) $60$
D) $70$
E) $75$

Resolução: Seja $E$ o ponto em $[AB]$ tal que $[DE]$ é paralelo a $[CB]$. Uma vez que $[DCBE]$ é um paralelogramo, tem-se $\overline{EB}=\overline{DC}=1$ m e $\overline{DE}=\overline{BC}=3$ m. Assim $\overline{AE}=4-1=3$ m e o triângulo $[ADE]$ é isósceles. Uma vez que $D\hat{C}B=140^{\circ}$ também $D\hat{E}B=140^{\circ}$ e $A\hat{E}D=180-140=40^{\circ}$. No triângulo isósceles $[ADE]$, tem-se $D\hat{A}E= \dfrac{180-40}{2}=70^{\circ}$. Opção correta: D). (image2)


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pspolygon(0,0)(10,0)(4.63769,4.49951)(1.63769,4.49951) \psline(1.63769,4.49951)(7,0) \multiput(0.163769,0.449951)(0.163769,0.449951){9}{ \psline(-0.163769,0)(0.163769,0)} \rput(-0.5,0){$A$} \rput(10.5,0){$B$} \rput(5.1,4.8){$C$} \rput(1.3,4.8){$D$} \rput(7,-0.5){$E$} \end{pspicture}

Resposta correta: D
Problema: O Emídio alinhou os seus $2017$ berlindes da seguinte forma: (image1) Quantos berlindes azuis tem o Emídio?


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,-0.5)(13,1) \multiput(0,0)(1,0){13}{ \pscircle[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0){0.4}} \pscircle[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,0){0.4} \pscircle[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](4,0){0.4} \pscircle[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](8,0){0.4} \pscircle[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](13,0){0.4} \rput(14.5,0){$\cdots$} \end{pspicture}

Opções:
A) $61$
B) $62$
C) $63$
D) $64$
E) $65$

Resolução: Os berlindes verdes aparecem seguindo a sequência $1,2,3,4, \dots$. De $1$ até $62$ têm-se $\dfrac{62\times 63}{2}=1953$ berlindes verdes. Entre estes berlindes verdes aparecem $62$ berlindes azuis, ou seja, $1953+62= 2015$ berlindes no total. Uma vez que o Emídio tem $2017$ berlindes, após estes berlindes aparecem mais $2$ berlindes verdes. O número de berlindes azuis do Emídio é $62$. Opção correta: B).

Resposta correta: B
Problema: O código do cacifo do David no balneário do Tuadela é uma sequência de quatro algarismos. Cada um destes algarismos ou é $0$, ou é $1$, ou é $2$ e a soma dos quatro algarismos é um número par. Quantos códigos diferentes é possível definir?

Opções:
A) $41$
B) $42$
C) $64$
D) $65$
E) $81$

Resolução: A soma dos quatro algarismos é um número par, logo terá quatro, dois ou zero algarismos iguais a $1$. Se houver quatro algarismos iguais a $1$, só há uma possibilidade, o código $1111$. Se houver dois algarismos iguais a $1$, há seis formas de colocar os uns $(1\,1\,*\,*, 1\,*\,1\,*, 1\,*\,*\,1, *\,1\,1\,*,\linebreak *\,1\,*\,1, *\,*\,1\,1)$. Nos outros dois algarismos, podemos colocar ou o algarismo $0$ ou o algarismo $1$. Assim, há $6\times 2 \times2= 24$ códigos diferentes com dois algarismos iguais a $1$. Se não houver algarismos iguais a $1$, cada um dos quatro algarismos pode ser igual a $0$ ou igual a $2$, logo haverá $2 \times 2 \times 2 \times 2= 16$ códigos diferentes. Portanto há $1+24+16= 41$ códigos diferentes. Opção correta: A).

Resposta correta: A
Problema: O David sobrepôs cinco cartas retangulares, do mesmo tamanho, de modo que cada uma tapa exatamente um quarto da área da carta anterior, tal como se apresenta na figura. A área total da figura assim obtida é $8$ dm$^2$. Quantas cartas são necessárias para obter uma figura construída do mesmo modo com $2018$ dm$^2$ de área total? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,-3) \def\carta#1{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=#1](0,0)(2,0)(2,-1)(0,-1)} \rput(0,0){\carta{verdelogotipo}} \rput(1,-0.5){\carta{azullogotipo}} \rput(2,-1){\carta{verdelogotipo}} \rput(3,-1.5){\carta{azullogotipo}} \rput(4,-2){\carta{verdelogotipo}} \end{pspicture}

Opções:
A) $670$
B) $675$
C) $680$
D) $1340$
E) $1345$

Resolução: Na figura, em quatro das cinco cartas, um quarto da carta está tapado, logo, no total, há uma carta tapada. Assim, a área de $4$ cartas é $8$ dm$^2$, logo cada carta tem $\frac{8}{4}=2$ dm$^2$ de área. Em todas as figuras construídas do mesmo modo, há uma carta visível e cada uma das cartas restantes tem $1,5$ dm$^2$ visíveis. Assim $2018-2=2016$ dm$^2$ é a área das cartas que têm um quarto tapado. Como $2016:1,5= 1344$, há $1344$ cartas com um quarto tapado e a figura terá $1344+1=1345$ cartas. Opção correta: E).

Resposta correta: E
Problema: No fim de semana passado, $120$ adeptos do Tuadela compraram bilhete para o jogo e o clube arrecadou $270$ euros. O preço normal de um bilhete é $5$ euros, os maiores de $65$ anos pagam $2$ euros e as crianças pagam apenas $1$ euro. O número de adultos que pagaram bilhete foi o triplo do número de crianças. Quantos adultos pagaram o bilhete normal?

Opções:
A) $20$
B) $25$
C) $30$
D) $50$
E) $70$

Resolução: O número de adultos que pagou bilhete foi $\frac{3}{4} \times 120=90$. O número de crianças que pagou bilhete foi $\frac{1}{4} \times 120=30$. Por parte dos adultos, o clube arrecadou $270-30=240$ euros. Sendo $x$ o número de adultos que pagaram o bilhete normal e $y$ o número de pessoas com mais de $65$ anos, tem-se que $x+y=90$, ou seja, $x=90-y$. Por outro lado, atendendo ao valor arrecadado, temos $5x+2y=240$, logo $5 \times (90-y) + 2 y =240$, ou seja, $y=70$, donde se conclui que $x=20$. Portanto, houve $20$ adultos que pagaram o bilhete normal. Opção correta: A).

Resposta correta: A
Problema: O emblema do Tuadela é um círculo com oito quadrados iguais, dispostos como se apresenta na figura, representando as oito modalidades praticadas. O emblema do clube no casaco do David é um círculo com $2$ cm de raio. Qual é a área, em cm$^2$, de cada um dos oito quadrados coloridos no emblema do David? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,-1.5)(0,3) \def\quadrado#1{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=#1](0,0)(0.89443,0)(0.89443,0.89443)(0,0.89443)} \pscircle(0,0){2} \rput(-0.89443,-1.78885){\quadrado{azullogotipo}} \rput(0,-1.78885){\quadrado{verdeescurologotipo}} \rput(0.89443,-0.89443){\quadrado{azulclarologotipo}} \rput(0.89443,0){\quadrado{verdelogotipo}} \rput(0,0.89443){\quadrado{azullogotipo}} \rput(-0.89443,0.89443){\quadrado{verdeescurologotipo}} \rput(-1.78885,0){\quadrado{azulclarologotipo}} \rput(-1.78885,-0.89443){\quadrado{verdelogotipo}} \end{pspicture}

Opções:
A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{4}{5}$
C) $\frac{5}{6}$
D) $\frac{8}{9}$
E) $1$

Resolução: Seja $x$ o comprimento do lado de cada quadrado. O triângulo representado na figura é retângulo, a hipotenusa é igual ao raio da circunferência e os catetos medem $x$ e $2x$. Pelo teorema de Pitágoras, $x^2 + (2x)^2 = 2^2$, logo $x^2= \frac{4}{5}$. Assim, a área de cada quadrado é $\frac{4}{5}$ cm$^2$. Opção correta: B). (image2)


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{pspicture}(0,-1.5)(0,3) \def\quadrado#1{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=#1](0,0)(0.89443,0)(0.89443,0.89443)(0,0.89443)} \pscircle(0,0){2} \rput(-0.89443,-1.78885){\quadrado{azullogotipo}} \rput(0,-1.78885){\quadrado{verdeescurologotipo}} \rput(0.89443,-0.89443){\quadrado{azulclarologotipo}} \rput(0.89443,0){\quadrado{verdelogotipo}} \rput(0,0.89443){\quadrado{azullogotipo}} \rput(-0.89443,0.89443){\quadrado{verdeescurologotipo}} \rput(-1.78885,0){\quadrado{azulclarologotipo}} \rput(-1.78885,-0.89443){\quadrado{verdelogotipo}} \psline(0,0)(1.78885,0.89443) \psline(0,0)(1.78885,0) \rput(0.45,-0.2){$x$} \rput(1.35,-0.2){$x$} \rput(1.6,0.45){$x$} \rput(0.7,0.55){$2$} \end{pspicture}

Resposta correta: B
Problema: O João criou uma figura colando, sem sobreposições, $10$ autocolantes do tipo (image1) e $5$ do tipo (image2). Qual é a proporção pintada na figura criada pelo João?


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(2,2) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0)(2,0)(2,1)(1,1)(1,2)(0,2) \multiput(0,0)(1,0){3}{\psline(0,0)(0,2)} \multiput(0,0)(0,1){3}{\psline(0,0)(2,0)} \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(2,2) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,1)(2,1)(2,2)(1,2) \multiput(0,0)(1,0){3}{\psline(0,0)(0,2)} \multiput(0,0)(0,1){3}{\psline(0,0)(2,0)} \end{pspicture}

Opções:
A) $\dfrac{1}{2}$
B) $\dfrac{7}{12}$
C) $\dfrac{5}{8}$
D) $\dfrac{2}{3}$
E) $\dfrac{3}{4}$

Resolução: Opção D. (Tem-se $10\times 3+5\times 2=40$ casas pintadas, num total de $15\times 4=60$ casas e $\dfrac{40}{60}=\dfrac23$)

Resposta correta: D
Problema: Outra figura criada pelo João, com autocolantes quadrados de lado $2\,cm$, tem a forma de um retângulo de área $260\,cm^2$ e perímetro inferior a $2\,m$. Sabendo que os autocolantes cobrem todo o retângulo sem sobreposições, quanto mede o perímetro do retângulo?

Opções:
A) $36$ cm
B) $65$ cm
C) $72$ cm
D) $108$ cm
E) $130$ cm

Resolução: Opção C. (Há $260/4=65$ autocolantes num quadriculado $13\times 5$, que tem perímetro $72\,$cm)

Resposta correta: C
Problema: O João vai participar num torneio de lançamentos composto por $10$ voltas. Em cada volta decide se quer lançar ou não. Se não lançar, mantém os seus pontos. Se lançar e acertar no alvo, recebe $3$ pontos; se lançar e falhar, perde $1$ ponto. Cada jogador começa com $10$ pontos. No fim do torneio, todos os participantes tiveram pontuações diferentes. Quantos jogadores, no máximo, podem ter participado no torneio?

Opções:
A) $37$
B) $38$
C) $39$
D) $40$
E) $41$

Resolução: Opção B. (Todas as pontuações de $0$ a $40$ pontos são possíveis, exceto $39$, $38$ e $35$ pontos)

Resposta correta: B
Problema: O Artur juntou sete borrachas retangulares iguais e formou o padrão representado na figura ao lado. Quantos retângulos é possível distinguir nessa figura? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(9,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0)(6,0)(6,1)(9,1)(9,3)(3,3)(3,2)(0,2) \psline(3,0)(3,2) \psline(6,1)(6,3) \psline(0,1)(6,1) \psline(3,2)(9,2) \end{pspicture}

Opções:
A) $16$
B) $17$
C) $18$
D) $19$
E) $20$

Resolução: Vamos contar os retângulos de diferentes tamanhos que podemos distinguir na figura: (table1) Opção correta: D).


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[table1]
\begin{tabular}{|c|>{\centering\arraybackslash}m{5cm}|c|} \hline altura $\times$ comprimento & desenho & n\'{u}mero \\ \hline $1 \times 1$ &(image2) & $7$ \\ \hline $1 \times 2$ &(image3) & $4$ \\ \hline $2 \times 1$ &(image4) & $4$ \\ \hline $1 \times 3$ &(image5) & $1$ \\ \hline $2 \times 2$ &(image6) & $2$ \\ \hline $3 \times 1$ &(image7) & $1$ \\ \hline \multicolumn{2}{|r|}{Total}& $19$\\ \hline \end{tabular}

Resposta correta: D
Problema: Num quadrado de lado $8$ cm, o Artur traçou segmentos de reta e coloriu um quadrado e $12$ trapézios, como se pode ver na figura ao lado. O ponto $B$ é o ponto médio de $[AC]$, $C$ é o ponto médio de $[BD]$ e $D$ é o ponto médio de $[BE]$. Da mesma forma, $G$ é o ponto médio de $[FH]$, $F$ é o ponto médio de $[EG]$, $E$ é o ponto médio de $[DG]$ e do mesmo modo para os outros lados do quadrado. Quanto mede, em cm${}^2$, a área colorida? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pspolygon(0,0)(8,0)(8,8)(0,8) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,0)(2,0)(0,2)(0,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,0)(3,0)(4,1)(4,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](5,0)(6,0)(4,2)(4,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](6,0)(7,0)(8,1)(8,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,4)(2,4)(0,2)(0,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,4)(3,4)(4,3)(4,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](5,4)(6,4)(4,2)(4,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](6,4)(7,4)(8,3)(8,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,4)(2,4)(0,6)(0,5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,4)(3,4)(4,5)(4,6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](5,4)(6,4)(4,6)(4,5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](6,4)(7,4)(8,5)(8,6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,8)(2,8)(0,6)(0,7) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,8)(3,8)(4,7)(4,6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](5,8)(6,8)(4,6)(4,7) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](6,8)(7,8)(8,7)(8,6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](4,2)(6,4)(4,6)(2,4) \rput(-0.5,0){$A$} \rput(-0.5,1){$B$} \rput(-0.5,2){$C$} \rput(-0.5,3){$D$} \rput(-0.5,5){$E$} \rput(-0.5,6){$F$} \rput(-0.5,7){$G$} \rput(-0.5,8){$H$} \end{pspicture}

Opções:
A) $24$
B) $26$
C) $28$
D) $30$
E) $32$

Resolução: Consideremos um quadrado de lado $4$ cm, parcialmente colorido, e dividido em $16$ quadradinhos de lado $1$ cm, como se vê na figura ao lado. A área colorida ocupa $13$ metades destes quadradinhos e, portanto, mede $\frac{13}{2}\ \textrm{cm}^2$. Dado que a figura original corresponde a quatro cópias deste quadrado, a área colorida na figura do enunciado mede $4 \times\frac{13}{2}= 26\ \textrm{cm}^2$. (image2) Opção correta: B).


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,5) \pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,0)(2,0)(0,2)(0,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,4)(4,2)(4,3)(3,4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,4)(2,4)(0,2)(0,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,0)(4,0)(4,2) \psline(1,0)(1,4) \psline(2,0)(2,4) \psline(3,0)(3,4) \psline(0,1)(4,1) \psline(0,2)(4,2) \psline(0,3)(4,3) \end{pspicture}

Resposta correta: B
Problema: O Artur vai a um parque temático com a sua escola. O grupo é composto por $120$ pessoas e o número de crianças é o triplo dos restantes. Nesse parque, há três tipos de bilhetes: o bilhete normal custa $50$, o bilhete com desconto custa $20$ e o bilhete para crianças custa $10$. Sabendo que o montante gasto em bilhetes para crianças representa metade do total gasto em bilhetes, quantas pessoas compraram um bilhete com desconto?

Opções:
A) $10$
B) $15$
C) $20$
D) $25$
E) $30$

Resolução: Como o número de crianças é o triplo dos restantes temos $90$ crianças e $30$ adultos. Os bilhetes para as $90$ crianças custaram $90 \times 10= 900$, o que corresponde a metade do total gasto em bilhetes. Então os $30$ bilhetes para adultos também custaram $900$. Se os $30$ bilhetes de adulto fossem comprados com desconto teriam custado $30\times 20= 600$. Dado que a diferença entre o preço do bilhete normal e o do bilhete com desconto é $50-20=30$, concluímos que $10$ adultos tiveram de comprar o bilhete normal porque $600+10\times 30=900$. Verifica-se de facto que a compra de $10$ bilhetes normais e $20$ bilhetes com desconto totalizam $900$: $10 \times 50 + 20 \times 20=500 + 400 = 900$. Opção correta: C).

Resposta correta: C
Problema: A Zulmira e o Alfredo vão participar numa prova de Olimpíadas de Matemática na Escola Secundária de Mirandela. A ficha de inscrição é um retângulo de papel. A Zulmira reparou que se dividisse a ficha em dois retângulos iguais, cada um dos novos retângulos teria $70$ cm de perímetro. O Alfredo também dividiu a ficha em dois retângulos iguais, mas obteve dois retângulos com perímetro igual a $50$ cm. Qual é o perímetro, em cm, da ficha de inscrição?

Opções:
A) $80$
B) $90$
C) $100$
D) $110$
E) $120$

Resolução: Podemos dividir o retângulo das duas formas seguintes: (image1) (image2) Solução 1: A soma do perímetro de um retângulo A com um retângulo B é igual ao perímetro do retângulo original, mais a soma de metade de todos os seus lados. Ou seja, $50+70=120$ cm é igual a uma vez e meia o perímetro da ficha de inscrição, o que significa que perímetro da ficha de inscrição é $80$ cm. Solução 2: Se designarmos por $x$ e $y$ os lados do retângulo inicial, temos $2x+y=50$ e $2y+x=70$, e portanto $3x+3y=120$, donde se conclui que o perímetro da ficha é $2x+2y=80$ cm. Opção correta: A).


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(3,1) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,1)(0,1) \psline(1.5,0)(1.5,1) \rput(0.75,0.5){A} \rput(2.25,0.5){A} \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,1)(0,1) \psline(0,0.5)(3,0.5) \rput(1.5,0.25){B} \rput(1.5,0.75){B} \end{pspicture}

Resposta correta: A
Problema: Na prova participaram $9$ rapazes do ensino básico e $9$ rapazes do ensino secundário. De entre os alunos participantes, $14$ moram em Mirandela, e desses, $6$ são rapazes. Na prova participaram $7$ raparigas que não moram em Mirandela. Quantos participantes teve a prova?

Opções:
A) $18$
B) $25$
C) $32$
D) $33$
E) $45$

Resolução: Participaram na prova um total de $18$ rapazes, sendo $9$ do ensino básico e $9$ do ensino secundário. Resta descobrir quantas raparigas participaram na prova. Como há $14$ participantes de Mirandela, e desses $6$ são rapazes, há $8$ raparigas de Mirandela. Sabemos ainda que há $7$ raparigas que não moram em Mirandela, e portanto o número total de raparigas é $8+7=15$. A prova teve $18+15=33$ participantes. Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: Enquanto esperavam pelo início da prova, a Zulmira e o Alfredo repararam que o número $2018$ tem $4$ algarismos diferentes cuja soma é $11$. Quantos números têm estas propriedades?

Opções:
A) $6$
B) $24$
C) $60$
D) $114$
E) $164$

Resolução: Há $6$ possibilidades de escolher quatro algarismos diferentes de modo a que a sua soma seja igual a $11$: Com cada um destes conjuntos de algarismos podemos formar vários números diferentes. Se um dos algarismos for $0$ então, para esse conjunto de algarismos, há três hipóteses para escolher o primeiro algarismo, uma vez que um número não pode começar por $0$. O segundo algarismo pode ser qualquer um dos outros três, e para terceiro algarismo escolhemos entre os dois que ainda não foram usados. Portanto, em cada um dos cinco primeiros casos, há $3\times 3\times 2=18$ números possíveis. Por exemplo, com os algarismos ${0,1,2,8}$ temos os seguintes números: $8210,$ $8201,$ $8120,$ $8102,$ $8021,$ $8012,$ $2810,$ $2801,$ $2180,$ $2108,$ $2081,$ $2018,$ $1820,$ $1802,$ $1280,$ $1208,$ $1082,$ $1028$. O conjunto $\{1,2,3,5\}$ não tem o algarismo $0$. Neste caso, podemos formar com estes algarismos é $4\times 3\times 2=24$ números diferentes, uma vez que todos os quatro algarismos podem estar na primeira posição. Portanto, existem $5\times 18+24=114$ números nas condições do enunciado. Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: Uma empresa de jogos didáticos produz um baralho de cartas com várias operações diferentes. Das seguintes cartas, quantas têm um resultado ímpar? #1 [fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linearc=0.2](0,0)(1.5,0)(1.5,2.25)(0,2.25) (0.75,1.125)$#1$ (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0.2)(9,2.25) \small \rput(0,0){\carta{20-17}} \rput(2,0){\carta{20+17}} \rput(4,0){\carta{20\times17}} \rput(6,0){\carta{201\times7}} \end{pspicture}

Opções:
A) $4$
B) $3$
C) $2$
D) $1$
E) $0$

Resolução: Opção B. (Têm todas um resultado ímpar, exceto $20\times17$)

Resposta correta: B
Problema: Noutro jogo, há diversos berlindes numerados. Quando um jogador acerta com um berlinde com o número $a$ num berlinde com o número $b$, recebe um novo berlinde com a soma de todos os números inteiros entre $a$ e $b$. Por exemplo, quando se acerta com um berlinde com o número $5$ num berlinde com o número $8$, recebe-se um berlinde com o número $5+6+7+8=26$. Numa jogada, o João acertou com um berlinde com o número $1$ num berlinde com o número $4$. Na jogada seguinte, a Maria acertou com um berlinde com o número $6$ no novo berlinde do João. Qual é o número do novo berlinde da Maria?

Opções:
A) $11$
B) $16$
C) $40$
D) $120$
E) $225$

Resolução: Opção C. (O número do novo berlinde da Maria é $6+7+8+9+10=40$)

Resposta correta: C
Problema: O logotipo da empresa é formado por três semicircunferências e dois quartos de circunferência, todas de raio $5\,cm$, dentro de um quadrado, como repre­sentado na figura. Quanto mede a área da região pintada do logotipo? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture*}(0,0)(2,2) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0)(2,0)(2,1)(0,1) \pscircle[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white](1,1){1} \pscircle[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,0){1} \pscircle[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,2){1} \pscircle[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white](0,2){1} \pscircle[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white](2,2){1} \psarc(1,1){1}{180}{360} \pscircle(1,0){1} \pscircle(2,2){1} \pscircle(0,2){1} \pscircle(1,2){1} \pspolygon(0,0)(2,0)(2,2)(0,2) \end{pspicture*}

Opções:
A) $40\,cm^2$
B) $45\,cm^2$
C) $48\,cm^2$
D) $50\,cm^2$
E) $60\,cm^2$

Resolução: Opção D. (A zona pintada da metade superior preenche as zonas não pintadas da metade inferior)

Resposta correta: D
Problema: O Pedro e o Rui, trabalham nessa empresa e, em cada dia, ambos têm que produzir o mesmo número de peças. O Pedro entra às $8$h, produz uma peça a cada $6$ minutos e sai às $12$h$30$m. O Rui entra às $9$h e produz $9$ peças por hora. A que horas sai o Rui?

Opções:
A) $12$h
B) $12$h$30$m
C) $13$h
D) $13$h$30$m
E) $14$h

Resolução: Opção E. (Cada um dos trabalhadores produz $45$ peças)

Resposta correta: E