Problema: Numa das longas filas de espera dentro do parque temático, o Artur tenta substituir cada uma das $10$ letras que aparecem na adição seguinte por um algarismo. (table1) De quantas formas pode ele realizar essa tarefa de modo que a adição seja verdadeira e que letras diferentes correspondam a algarismos diferentes?


Conteúdo referenciado:
[table1]
\begin{tabular}{*7{p{1mm}}} && J & U & N & H & O\\ + && J & U & L & H & O\\ \hline &A & G & O & S & T & O\\ \end{tabular}

Opções:
A) $0$
B) $2$
C) $4$
D) $6$
E) $8$

Resolução: Aparecem $10$ letras diferentes nessa adição: A, G, H, I, J, L, N, O, S e T, logo, como letras diferentes correspondem a algarismos diferentes, temos de usar os $10$ algarismos $0,1,2,\ldots,9$. Tem-se ${\mbox O}=0$ e, como $99999+99999<200000$, tem-se ${\mbox A}=1$. Como O e ${\mbox U}+{\mbox U}$ são pares, então não há transporte para a coluna ${\mbox U}+{\mbox U}={\mbox O}$, ou seja, logo ${\mbox U}+{\mbox U}=0$ ou ${\mbox U}+{\mbox U}=10$. Como todas as letras correspondem a números diferentes, tem-se ${\mbox U}=5$. Assim, a adição pode ser separada em duas partes: (table2) e (table3) . Como ${\mbox J}+{\mbox J}+1>9$, temos ${\mbox J}\geq 5$. Dado que ${\mbox U}=5$, há quatro hipóteses para ${\mbox J}$: $$ \left. (image1) \right. $$ $1^{\underline{\textrm{\scriptsize o}}}$ caso – ${\mbox J}=6$ e ${\mbox G}=3$: Na adição $$ (table4) $$ falta atribuir um valor às letras J, L, N, S e T de entre os valores $2, 4, 7, 8$ e $9$. Como T tem de ser par, só pode tomar os valores $2, 4$ ou $8$. A análise dos diferentes casos é feita abaixo. $$\left. (image2) \right. \\ \\ {\mbox T}=4&\Longrightarrow& \left< (image3) \right. \\ \\ {\mbox T}=8&\Longrightarrow& \left< (image4) \right. \\ {\mbox H}=9 & \Longrightarrow & ${\mbox N}+{\mbox L}+1={\mbox S}$ com $2,4,7$ & & \left< (image5) \right. \end{array} \right. \end{array} \right.$$ $2^{\underline{\textrm{\scriptsize o}}}$ caso – ${\mbox J}=8$ e ${\mbox G}=7$: Analogamente ao caso anterior, falta atribuir um valor às letras H, L, N, S e T de entre os valores $2, 3, 4, 6$ e $9$. Como T tem de ser par, só pode tomar os valores $2, 4$ ou $6$. A análise dos diferentes casos é feita abaixo. $$\left. (image6) \right. \\ \\ {\mbox T}=4&\Longrightarrow& \left< (image7) \right.\\ \\ {\mbox H}=7 & \multicolumn{4}{l}{\textrm{(Imposs\'{\i}vel porque }{\mbox G}=7)} \end{array} \right. \\ \\ {\mbox T}=6&\Longrightarrow& \left< (image8) \right. \end{array} \right.$$ Logo, há $6$ formas diferentes de o Artur escrever a adição do enunciado. Opção correta: D).


Conteúdo referenciado:
[table2]
\begin{tabular}{*4{p{1mm}}} && J & 5\\ + && J & 5\\ \hline &1 & G & 0\\ \end{tabular}
[table3]
\begin{tabular}{*7{p{1mm}}} & N & H & 0\\ + & L & H & 0\\ \hline & S & T & 0\\ \end{tabular}
[image1]
\begin{array}{rccccl} {\mbox J}=6 & \Longrightarrow & 6+6+1=13 &\Longrightarrow & {\mbox G}=3 &\\ {\mbox J}=7 & \Longrightarrow & 7+7+1=15 &\Longrightarrow & {\mbox G}=5 &\textrm{(Imposs\'{\i}vel porque }{\mbox U}=5\textrm{ e }{\mbox U}\neq {\mbox G})\\ {\mbox J}=8 & \Longrightarrow & 8+8+1=17 &\Longrightarrow & {\mbox G}=7 &\\ {\mbox J}=9 & \Longrightarrow & 9+9+1=19 &\Longrightarrow & {\mbox G}=9 &\textrm{(Imposs\'{\i}vel porque }{\mbox J}\neq {\mbox G}) \end{array}
[table4]
\begin{tabular}{*7{p{1mm}}} & N & H & O\\ + & L & H & O\\ \hline & S & T & O\\ \end{tabular}
[image2]
\begin{array}{rcl} {\mbox T}=2&\Longrightarrow& \left< \begin{array}{rl} {\mbox H}=1 & (\textrm{Imposs\'{\i}vel porque }{\mbox A}=1)\\ \\ {\mbox H}=6 & \textrm{(Imposs\'{\i}vel porque }{\mbox J}=6) \end{array}
[image3]
\begin{array}{rcm{2.2cm}l} {\mbox H}=2 & \Longrightarrow & ${\mbox N}+{\mbox L}={\mbox S}$ \,\,\,com $7,8,9$ &\textrm{(Imposs\'{\i}vel)}\\ \\ {\mbox H}=7 & \Longrightarrow & ${\mbox N}+{\mbox L}+1={\mbox S}$ com $2,8,9$ &\textrm{(Imposs\'{\i}vel)} \end{array}
[image4]
\begin{array}{rcm{2.2cm}cl} {\mbox H}=4 & \Longrightarrow & ${\mbox N}+{\mbox L}={\mbox S}$ \,\,com $2,7,9$ & & \left< \begin{array}{c} {\mbox N}=2, {\mbox L}=7, {\mbox S}=9\\ \textrm{}\\ {\mbox N}=7, {\mbox L}=2, {\mbox S}=9 \end{array}
[image5]
\begin{array}{c} {\mbox N}=2, {\mbox L}=4, {\mbox S}=7\\ \textrm{}\\ {\mbox N}=4, {\mbox L}=2, {\mbox S}=7 \end{array}
[image6]
\begin{array}{rcl} {\mbox T}=2&\Longrightarrow& \left< \begin{array}{rcm{2.2cm}l} {\mbox H}=1 & \multicolumn{3}{l}{\textrm{(Imposs\'{\i}vel porque }{\mbox A}=1)}\\ \\ {\mbox H}=6 & \Longrightarrow & ${\mbox N}+{\mbox L}+1={\mbox S}$ com $3,4,9$ &\textrm{(Imposs\'{\i}vel)} \end{array}
[image7]
\begin{array}{rcm{2.2cm}cl} {\mbox H}=2 & \Longrightarrow & ${\mbox N}+{\mbox L}={\mbox S}$ \,\,\,com $3,6,9$ && \left< \begin{array}{c} {\mbox N}=3, {\mbox L}=6, {\mbox S}=9\\ \textrm{}\\ {\mbox N}=6, {\mbox L}=3, {\mbox S}=9 \end{array}
[image8]
\begin{array}{rcm{2.2cm}l} {\mbox H}=3 & \Longrightarrow & ${\mbox N}+{\mbox L}={\mbox S}$ \,\,\,com $2,4,9$ &\textrm{(Imposs\'{\i}vel)}\\ \\ {\mbox H}=8 & \multicolumn{3}{l}{\textrm{(Imposs\'{\i}vel porque }{\mbox J}=8)} \end{array}

Resposta correta: D