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Problema: Resolve o desafio combinatório que foi proposto ao João: Qual é o número máximo de triângulos com vértices nos pontos da figura que é possível construir? (image1)


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[image1]
\begin{picture}(100,100)(0,0) \put(0,40){\makebox(0,0){$\bullet$}} \put(20,40){\makebox(0,0){$\bullet$}} \put(40,0){\makebox(0,0){$\bullet$}} \put(40,20){\makebox(0,0){$\bullet$}} \put(40,40){\makebox(0,0){$\bullet$}} \put(40,60){\makebox(0,0){$\bullet$}} \put(60,40){\makebox(0,0){$\bullet$}} \put(80,40){\makebox(0,0){$\bullet$}} \put(0,40){\line(1,0){80}} \put(40,0){\line(0,1){60}} \end{picture}

Opções:
A) $8$
B) $12$
C) $18$
D) $24$
E) $42$

Resolução: Designe-se por ponto central o ponto de intersecção da linha vertical com a linha horizontal. Um triângulo tem de ter dois vértices sobre a linha vertical ou dois vértices sobre a linha horizontal. Comece-se por contar os triângulos em que nenhum dos vértices é o ponto central. Há três maneira de escolher dois pontos sobre a linha vertical, de modo que nenhum deles seja o ponto central. Como há quatro pontos na linha horizontal diferente do ponto central, é possível construir $3\times 4=12$ triângulos com dois vértices sobre a linha vertical e um sobre a linha horizontal. De modo análogo, há seis maneiras de escolher dois pontos sobre a linha horizontal, de modo a que nenhum dos dois seja o ponto central e há três pontos na linha vertical diferentes do ponto central. Por isso, é possível construir $6\times 3=18$ triângulos com dois vértices sobre a linha horizontal e um sobre a linha vertical. Assim, é possível construir $12+18=30$ triângulos tal que nenhum dos vértices é o ponto central. Por fim, note-se que um triângulo em que o ponto central é um dos vértices, tem os outros dois vértices, um sobre a linha vertical e o outro sobre a linha horizontal. Então, é possível construir $3\times 4=12$ triângulos nestas condições. Portanto, o número de triângulos que é possível construir com vértices nos pontos da figura é $12+18+12=42$. Opção correcta: E).

Resposta correta: E
Problema: O fundo da toca do coelho Pascoal é um polígono regular. O polígono tem $35$ diagonais, quantos lados tem?

Opções:
A) $8$
B) $9$
C) $10$
D) $11$
E) $12$

Resolução: A partir de cada vértice de um polígono regular de $n$ lados saem $n-3$ diagonais, uma vez que se une este vértice aos restantes excepto ele próprio e os dois adjacentes. Assim, o dobro do número de diagonais é $n(n-3)$, uma vez que se contou cada diagonal duas vezes. Neste caso, tem-se $n(n-3)= 2 \times 35 = 2 \times 5 \times 7$. Da factorização apresentada facilmente se conclui que $n=10$. Opção correcta: C).

Resposta correta: C
Problema: O Pascoal compra sempre a mesma pasta de dentes. Na última compra, o tubo tinha menos $20$ gramas e o preço era o mesmo. Desta forma o Pascoal reparou que o preço por kg aumentou $25$%. Qual era o peso, em gramas, do tubo original?

Opções:
A) $100$
B) $120$
C) $125$
D) $150$
E) $160$

Resolução: Se o preço aumentou $25$% é porque $20$ gramas é um quarto do peso do novo tubo. Ou seja o tubo reduzido tem $80$ gramas e o inicial teria $100$ gramas. Opção correcta: A)

Resposta correta: A
Problema: O carrossel mágico tem $20$ lugares. O coelho Pascoal começou a saltar à volta do carrossel, chegando, em cada salto, a um lugar diferente. Após o primeiro salto colocou o número um no lugar a que chegou, no final do segundo salto o número dois e assim sucessivamente até colocar o número vinte num dos lugares. A amplitude dos saltos foi sempre a mesma. O número $11$ encontrava-se no lugar imediatamente antes do lugar do número $4$. Qual era o número do lugar imediatamente a seguir ao $4$?

Opções:
A) $7$
B) $9$
C) $13$
D) $15$
E) $17$

Resolução: Uma vez que o número $4$ aparece a seguir ao $11$ os saltos não podem ter comprimento um. Se os saltos fossem de comprimento dois só os lugares pares ficariam com números e sabe-se que cada lugar do carrossel ficou com um único número. Se o salto tivesse comprimento três, o coelho teria colocado os números de $1$ a $20$ sucessivamente nos lugares $1,4,7,10,13,16,19,2,5,8,11,14,17,20,3,6,9,12,15,18$. Observa-se assim que o número $4$ foi colocado no lugar $10$ e o número $11$ no lugar $11$, logo estão em posições consecutivas. Do outro lado do número $4$ estará assim o número colocado na posição $9$. Por consulta da lista apresentada conclui-se que é o número $17$. Opção correcta: E)

Resposta correta: E
Problema: O João Martim tem $50$ cubos feitos de madeira ou de pano. Os cubos de madeira são azuis e os de pano são azuis ou vermelhos. Há exactamente $20$ cubos de madeira e $10$ cubos vermelhos. Quantos cubos de pano azul tem o João Martim?

Opções:
A) $0$
B) $10$
C) $20$
D) $30$
E) $40$

Resolução: C)

Resposta correta: C
Problema: Se todos os cubos de pano são bonitos e alguns cubos com desenhos são de pano, qual das seguintes opções é necessariamente verdadeira?

Opções:
A) Todos os cubos de pano têm desenhos.
B) Alguns cubos bonitos têm desenhos.
C) Alguns cubos de pano não são bonitos.
D) Há cubos com desenhos que não são de pano.
E) Nenhuma das anteriores.

Resolução: B)

Resposta correta: B
Problema: Um dos canteiros da Clara tem a forma de um hexágono regular com $2$ metros de lado. No centro, e em cada vértice do hexágono, a Clara colocou um aspersor de água com um alcance de $1$ metro. Qual é a área do canteiro, em metros quadrados, que não é regada pelos aspersores?

Opções:
A) $0$
B) $\sqrt{3}- \displaystyle\frac{\pi}{2}$
C) $6\sqrt{3} - 3 \pi$
D) $12 - 3 \pi$
E) $3\pi$

Resolução: [(a)] A área do canteiro que não é regada é a área que na figura aparece a branco. A área total do hexágono é igual a seis vezes a área do triângulo equilátero $[ABC]$. Como $\overline{AB}=2$, a área do triângulo $[ABC]$ é $\sqrt{3}$ m$^2$ e a área do hexágono é $6\sqrt{3}$ m$^2$. Os aspersores regam no centro um círculo com $1$ metro de raio e, em cada vértice, um sector circular com $1$ metro de raio e $120$ graus de amplitude. A área regada será igual à área de três círculos com $1$ metro de raio, isto é, $3 \pi$ m$^2$. Portanto, a área do canteiro que não é regada pelos aspersores é $6\sqrt{3} - 3 \pi$ m$^2$. Opção correcta: C) (image1)


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[image1]
\begin{pspicture*}(-17.33,-11.97)(8.49,6.01) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white,opacity=1.0](0,0)(3,-1)(4.5,2.6)(3,5.2)(0,5.2)(-1.5,2.6) \newcommand{\sector}{ \psarc[linestyle=none,fillcolor=ttccff,fillstyle=solid,opacity=1.0](0,0){1.5}{0}{120} \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=ttccff,opacity=1.0](0,0)(1.5,0)(-0.75,1.3)} \put(0,0){\sector} \rput{60}(3,0){\sector} \rput{120}(4.5,2.6){\sector} \rput{180}(3,5.2){\sector} \rput{240}(0,5.2){\sector} \rput{300}(-1.5,2.6){\sector} \pscircle[linestyle=none,fillcolor=ttccff,fillstyle=solid,opacity=1.0](1.5,2.6){1.5} \rput[bl](-0.36,-0.46){$A$} \rput[bl](3.00,-0.44){$B$} \rput[bl](1.3,2.9){$C$} \psline[linewidth=0.4pt](0,0)(3,-0) \psline[linewidth=0.4pt](3,0)(4.5,2.6) \psline[linewidth=0.4pt](4.5,2.6)(3,5.2) \psline[linewidth=0.4pt](3,5.2)(0,5.2) \psline[linewidth=0.4pt](0,5.2)(-1.5,2.6) \psline[linewidth=0.4pt](-1.5,2.6)(0,0) \psline(-1.5,2.6)(4.5,2.6) \psline(0,5.2)(3,0) \psline(0,0)(3,5.2) \end{pspicture*}

Resposta correta: C
Problema: A Clara comprou $40$ bolbos de três flores diferentes por $40$ euros. Cada bolbo de lírio africano custou $5$ euros, cada bolbo de jarro $1$ euro e cada bolbo de crocus $25$ cêntimos. Sabendo que a Clara comprou mais jarros do que lírios, quantos bolbos de jarro comprou?

Opções:
A) $1$
B) $2$
C) $5$
D) $13$
E) $21$

Resolução: [(b)] A Clara pagou um número inteiro de euros logo o número de crocus que comprou é múltiplo de $4$. Seja $c$ o número de crocus, $j$ o número de jarros e $l$ o número de lírios que a Clara comprou. Tem-se $ \left\{ (image1) \right.$. Subtraindo à primeira equação a segunda, obtém-se $4l= \frac{3c}{4}$, ou seja, $l= \frac{3c}{16}$. Como $l$ é um número inteiro, $3c$ é múltiplo de $16$, mas sendo $16$ primo com $3$, conclui-se que $c$ é múltiplo de $16$. Uma vez que $c<40$ tem-se $c=16$ ou $c=32$. Se $c=16$, tem-se $l=\frac{3\times 16}{16}=3$ e $j=40-16-3=21$. Se $c=32$, tem-se $l=\frac{3\times 32}{16}=6$ e $j=40-32-6=2$. No entanto, neste último caso, o número de lírios é superior ao número de jarros. Portanto, a Clara comprou $21$ jarros. Opção correcta: E).


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[image1]
\begin{array}{l} l+ j + c = 40 \\ 5l + j + \frac{c}{4} = 40 \end{array}

Resposta correta: E
Problema: As sementes que a Clara comprou vinham numa caixa cúbica. A Clara reparou que podia formar um triângulo equilátero com três vértices da caixa. Quantos triângulos equiláteros distintos se podem construir deste modo?

Opções:
A) $6$
B) $8$
C) $12$
D) $18$
E) $24$

Resolução: [(d)] Os lados dos triângulos equiláteros com vértices nos vértices de um cubo são diagonais das faces do cubo, como se apresenta na figura. Cada diagonal de uma face do cubo pertence a dois triângulos equiláteros. Como há $12$ diagonais, haverá $24$ triângulos equiláteros. Como cada lado do triângulo foi contado três vezes, há $8$ triângulos equiláteros distintos nas condições pretendidas. Opção correcta: B). (image1)


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[image1]
\begin{pspicture*}(-7.46,-5.72)(16.16,4.39) \psline[linewidth=0.4pt](0,0)(3,0) \psline[linewidth=0.4pt](3,0)(3,3) \psline[linewidth=0.4pt](3,3)(0,3) \psline[linewidth=0.4pt](0,3)(0,0) \psline(3,0)(4.05,1.07) \psline(3,3)(4.06,4.06) \psline(1.06,4.06)(4.06,4.06) \psline(4.06,4.06)(4.05,1.07) \psline(0,3)(1.06,4.06) \psline[linecolor=ttzzff](0,3)(3,0) \psline[linecolor=ttzzff](3,0)(4,4) \psline[linecolor=ttzzff](4,4)(0,3) \end{pspicture*}

Resposta correta: B
Problema: Os três primos do João têm idades que são números ímpares consecutivos. Sabendo que a soma destas idades é $33$, qual é a idade do primo mais velho do João?

Opções:
A) $11$
B) $13$
C) $17$
D) $27$
E) $33$

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: O João fez uma lista com todas as palavras formadas pelas quatro letras do seu nome, "J", "O", "A", "O", como por exemplo, AOOJ. Quantas palavras diferentes tem essa lista?

Opções:
A) $6$
B) $8$
C) $12$
D) $20$
E) $24$

Resolução: Opção C.

Resposta correta: C
Problema: O irmão do João pintou a seguinte sequência de desenhos em papel quadriculado. Quantas quadrículas pintadas tem o décimo desenho? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,-2)(10,3) \small \newcommand{\quadrado}{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue!30](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)} \put(0,0){\quadrado} \put(5,0){\quadrado} \put(4,-1){\quadrado} \put(4,1){\quadrado} \put(6,-1){\quadrado} \put(6,1){\quadrado} \multiput(10,-2)(2,0){3}{\quadrado} \multiput(10,2)(2,0){3}{\quadrado} \multiput(10,0)(2,0){3}{\quadrado} \multiput(11,-1)(2,0){2}{\quadrado} \multiput(11,1)(2,0){2}{\quadrado} \put(18,0.3){$\cdots$} \end{pspicture}

Opções:
A) $41$
B) $50$
C) $100$
D) $130$
E) $181$

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: A calculadora do João tem um defeito; ao efectuar a multiplicação de dois números, a calculadora obtém o produto deles adicionado de duas unidades. Por exemplo, o resultado da operação $3\boxtimes 5$ é $3\times 5+2=17$. O João efectuou a conta $1\boxtimes 1\boxtimes 1\boxtimes\cdots\boxtimes 1$, onde premiu a tecla $\boxtimes$ $2009$ vezes. Qual foi o resultado final que obteve?

Opções:
A) $1$
B) $3$
C) $2009$
D) $2010$
E) $4019$

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: Os habitantes da República de Flechas só comemoram a existência do seu país em certos anos especiais. Os primeiros anos em que realizaram esta comemoração foram $1$, $10$, $11$, $110$, $111$, $1110$, $1111$. Em que ano realizarão a próxima comemoração?

Opções:
A) $10000$
B) $10101$
C) $10111$
D) $11110$
E) $11111$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: A República de Flechas está limitada por um muro alto que numa vista aérea tem a representação seguinte. O lado de cada quadrícula mede $1$ km. Quanto mede a área da República de Flechas? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(4,4) \multiput(0,0)(1,0){5}{\rput[c](0,0){$\bullet$}} \multiput(0,1)(1,0){5}{\rput[c](0,0){$\bullet$}} \multiput(0,2)(1,0){5}{\rput[c](0,0){$\bullet$}} \multiput(0,3)(1,0){5}{\rput[c](0,0){$\bullet$}} \multiput(0,4)(1,0){5}{\rput[c](0,0){$\bullet$}} \pspolygon(0,0)(1,1)(3,1)(3,3)(4,4)(4,0) \end{pspicture}

Opções:
A) $5,5$ km$^2$
B) $6$ km$^2$
C) $6,5$ km$^2$
D) $7$ km$^2$
E) $7,25$ km$^2$

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: Para comemorar os $1111$ anos de existência do seu país, o Presidente da República de Flechas inaugurou um monumento onde está pintada a sequência de $1111$ setas indicada na figura. Como termina a sequência? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,-2)(10,6) \newcommand{\casa}{\psline[arrows=->](0,0)(0,1) \psline[arrows=->](0,1)(0.5,1.5) \psline[arrows=->](0.5,1.5)(1.5,1.5) \psline[arrows=->](1.5,1.5)(2,1) \psline[arrows=->](2,1)(2,0) \psarc[arrows=->](2.5,0){0.5}{180}{360}} \put(0,0){\casa} \put(3,0){\casa} \put(6,0){\casa} \put(10,0.75){{\bf \ldots}} \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(-1,0)(1,0) \psline[arrows=->](0,-0.2)(0,0.8) \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(-1,0)(1,0) \psline[arrows=->](0,0)(0.5,0.5) \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(-1,0)(1,0) \psarc[arrows=->](0.5,0.5){0.5}{180}{360} \end{pspicture}
[image5]
\begin{pspicture}(-1,0)(1,0) \psline[arrows=->](0,0.8)(0,-0.2) \end{pspicture}
[image6]
\begin{pspicture}(-1,0)(1,0) \psline[arrows=->](0,0)(1,0) \end{pspicture}

Opções:
A) (image2)
B) (image3)
C) (image4)
D) (image5)
E) (image6)

Resolução: Opção A.

Resposta correta: A
Problema: No planeta Geometrix, cada ano tem $10$ meses de igual duração. Cada semana nesse planeta dura $5$ dias e cada ano tem $80$ semanas. Quantos dias tem cada mês no planeta Geometrix?

Opções:
A) $5$
B) $10$
C) $40$
D) $50$
E) $80$

Resolução: Opção C.

Resposta correta: C
Problema: Em Geometrix existem três países, Cubix, Piramidix e Esferix, representados na figura a cinzento, branco e preto, respectivamente. Os países Cubix e Piramidix formam um quadrado com $4$ km de lado e os países Piramidix e Esferix formam um quadrado com $2$ km de lado. Qual é a diferença entre as áreas de Cubix e Esferix? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,-1)(10,-2) \pspolygon(0,0)(2,0)(2,2)(0,2) \rotatebox{37}{\pspolygon(3,1)(2,1)(2,0)(3,0)} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=cinzentoclaro ,opacity=1.0](0,0)(2,0)(2,1.5)(1.6,1.2)(1,2)(0,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black ,opacity=1.0](2,1.5)(2.4,1.8)(1.8,2.6)(1,2)(2,2) \end{pspicture}

Opções:
A) $10$ km$^2$
B) $12$ km$^2$
C) $14$ km$^2$
D) $16$ km$^2$
E) Não há dados suficientes

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: O planeta Geometrix tinha uma lua com a forma de um cubo com $3$ km de lado. Recentemente, três meteoros cúbicos com $1$ km de lado atravessaram a lua, furando o centro de cada uma das faces. A lua passou assim a ter uma área maior, como indicado na figura. Qual é área total da lua actual? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(10,0) \psline(0,3)(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)(1.5,4.5)(4.5,4.5)(3,3) \psline(3,0)(4.5,1.5)(4.5,4.5) \psline(1,1)(2,1)(2,2)(1,2)(1,1)(1.5,1.5)(1.5,2) \psline(1.5,1.5)(2,1.5) \psline(3.5,1.5)(4,2)(4,3)(3.5,2.5)(3.5,1.5) \psline(4,2)(3.5,2) \psline(1.5,3.5)(2.5,3.5)(3,4)(2,4)(1.5,3.5) \psline(2,4)(2,3.5) \end{pspicture}

Opções:
A) $27$ km$^2$
B) $44$ km$^2$
C) $54$ km$^2$
D) $72$ km$^2$
E) $81$ km$^2$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: Estrelix, um habitante de Geometrix, decidiu colocar os inteiros positivos seguindo a disposição indicada na figura. O número $2011$ está à mesma altura de que número? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,-1.8)(10,2) \newcommand{\estrela}{\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=yellow,opacity=1.0](2;-30)(2;90)(2;210) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=yellow,opacity=1.0](2;30)(2;150)(2;270) } \multiput(0,0)(3.46,0){3}{\estrela} \put(-1.75,0.85){\small $1$} \put(-0.75,0.85){\small $4$} \put(0.55,0.85){\small $8$} \put(1.5,0.85){\small $12$} \put(2.55,0.85){\small $15$} \put(3.9,0.85){\small $19$} \put(5,0.85){\small $23$} \put(6,0.85){\small $26$} \put(7.4,0.85){\small $30$} \put(8.4,0.85){\small $34$} \put(-1.75,-1.1){\small $2$} \put(-0.75,-1.1){\small $6$} \put(0.4,-1.1){\small $10$} \put(1.5,-1.1){\small $13$} \put(2.55,-1.1){\small $17$} \put(3.8,-1.1){\small $21$} \put(5,-1.1){\small $24$} \put(6,-1.1){\small $28$} \put(7.3,-1.1){\small $32$} \put(8.4,-1.1){\small $35$} \put(-1.3,-0.15){\small $3$} \put(-0.1,-0.15){\small $7$} \put(0.9,-0.15){\small $11$} \put(2.1,-0.15){\small $14$} \put(3.266,-0.15){\small $18$} \put(4.3,-0.15){\small $22$} \put(5.6,-0.15){\small $25$} \put(6.66,-0.15){\small $29$} \put(7.8,-0.15){\small $33$} \put(-0.1,1.7){\small $5$} \put(-0.1,-2){\small $9$} \put(3.266,1.7){\small $16$} \put(3.266,-2){\small $20$} \put(6.66,1.7){\small $27$} \put(6.66,-2){\small $31$} \multiput(9.5,-0.15)(0.5,0){3}{\small $\bullet$} \end{pspicture}

Opções:
A) $5$
B) $1$
C) $3$
D) $2$
E) $9$

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: O Gabriel tinha um saco cheio de berlindes. Um dia, decidiu dar um terço dos berlindes ao Afonso. No dia seguinte, deu metade dos berlindes que lhe sobraram ao José, ficando com os restantes. O José recebeu $10$ berlindes. Quantos berlindes recebeu o Afonso?

Opções:
A) $5$
B) $10$
C) $15$
D) $20$
E) $30$

Resolução: [(a)]

Resposta correta: A
Problema: O Afonso pintou um quadrado com $3$ dm de lado na parede do seu quarto. Qual é a área da região pintada com a cor azul? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,opacity=1.0](2,3)(3,3)(3,1) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,opacity=1.0](0,3)(1,3)(0,2) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,opacity=1.0](1.5,1.5)(1,2)(0,1)(1,0)(1,1) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,opacity=1.0](1.5,1.5)(2,2)(2,1) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,opacity=1.0](1,0)(3,0)(3,1) \end{pspicture}

Opções:
A) $3$ dm$^2$
B) $3,5$ dm$^2$
C) $4$ dm$^2$
D) $5$ dm$^2$
E) $5,5$ dm$^2$

Resolução: [(b)]

Resposta correta: B
Problema: Na sequência seguinte, cada letra representa um número e a soma de quaisquer três números consecutivos é $25$. Qual é o número representado pela letra $R$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(11,1) \pspolygon(0,0)(11,0)(11,1)(0,1) \multiput(1,0)(1,0){10}{\psline(0,0)(0,1)} \rput[c](-0.5,0.5){$S$} \rput[c](0.5,0.5){$O$} \rput[c](1.5,0.5){$U$} \rput[c](2.5,0.5){$5$} \rput[c](3.5,0.5){$G$} \rput[c](4.5,0.5){$A$} \rput[c](5.5,0.5){$B$} \rput[c](6.5,0.5){$R$} \rput[c](7.5,0.5){$I$} \rput[c](8.5,0.5){$E$} \rput[c](9.5,0.5){$L$} \rput[c](10.5,0.5){$7$} \end{pspicture}

Opções:
A) $5$
B) $7$
C) $13$
D) $18$
E) $20$

Resolução: [(c)]

Resposta correta: C
Problema: O José resolveu formar um cubo usando $8$ cubinhos de vidro, que podem ser transparentes ou opacos. Qual é o número mínimo de cubinhos opacos que ele tem que colocar para que não consiga ver através do cubo, quer olhe de cima, de lado, ou de frente? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(5,5) \psline(0,3)(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)(1.5,4.5)(4.5,4.5)(3,3) \psline(3,0)(4.5,1.5)(4.5,4.5) \psline(1.5,0)(1.5,3)(3,4.5) \psline(0,1.5)(3,1.5)(4.5,3) \psline(0.75,3.75)(3.75,3.75)(3.75,0.75) \end{pspicture}

Opções:
A) $2$
B) $3$
C) $4$
D) $5$
E) $6$

Resolução: [(d)]

Resposta correta: D
Problema: O Carlos colocou, num painel, $2011$ azulejos quadrados com $10$ cm de lado, da forma apresentada na figura. Qual é o perímetro do painel? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,-1)(10,1) \multiput(-1,0)(1,0){1}{\psline(0.5,0.5)} \multiput(-0.5,-0.5)(1,0){1}{\psline(1,1)} \multiput(0,-1)(1,0){6}{\psline(1.5,1.5)} \multiput(6,-1)(1,0){1}{\psline(1,1)} \multiput(7,-1)(1,0){1}{\psline(0.5,0.5)} \multiput(2,-1)(1,0){6}{\psline(-1.5,1.5)} \multiput(1,-1)(1,0){1}{\psline(-1.5,1.5)} \multiput(0,-1)(1,0){1}{\psline(-1,1)} \multiput(7.5,-0.5)(1,0){1}{\psline(-1,1)} \rput[c](8,0){$\cdots$} \rput[c](-0.5,0){\small $1$} \rput[c](0.5,0){\small $3$} \rput[c](1.5,0){\small $5$} \rput[c](2.5,0){\small $7$} \rput[c](3.5,0){\small $9$} \rput[c](4.5,0){\small $11$} \rput[c](5.5,0){\small $13$} \rput[c](6.5,0){\small $15$} \rput[c](0,-0.5){\small $2$} \rput[c](1,-0.5){\small $4$} \rput[c](2,-0.5){\small $6$} \rput[c](3,-0.5){\small $8$} \rput[c](4,-0.5){\small $10$} \rput[c](5,-0.5){\small $12$} \rput[c](6,-0.5){\small $14$} \rput[c](7,-0.5){\small $16$} \end{pspicture}

Opções:
A) $201,1$ m
B) $201,2$ m
C) $402,8$ m
D) $604,2$ m
E) $804,4$ m

Resolução: Colocar os quadrados assim é igual a colocá-los alinhados (em termos de perímetro). Logo o perímetro total é $(2\times 2011+2) \times 10= 40240 cm= 402,4 m$

Resposta correta: C
Problema: Sabe-se que $DEZ\times 4=CEM$, onde cada letra representa um algarismo distinto e diferente de $4$. Quanto vale $Z$?

Opções:
A) $3$
B) $5$
C) $7$
D) $8$
E) $9$

Resolução: Pela tabuada do 4 para que $4xE + (\mbox{o que vem de tr\'{a}s}) = E$, $E$ poderia ser 3, 6 ou 9. Eliminando 3 e 6 chega-se à conclusão que $E=9$ e nesse caso $Z=8$

Resposta correta: D
Problema: O Carlos esqueceu-se do código do telemóvel da mãe. Ele recorda-se que os algarismos eram todos diferentes, que o número era múltiplo de $4$ e de $5$ e que a soma dos dois primeiros algarismos era igual à soma dos últimos dois. Quantos números teria de experimentar para acertar no código?

Opções:
A) $4$
B) $8$
C) $12$
D) $14$
E) $16$

Resolução: Como o número é múltiplo de 4 e 5 vai terminar em 0. Será da forma $abc0$ em que $a+b=c$. Como os números são distintos $c\geq 3$. Para ser múltiplo de $4$, as hipóteses são $c=4$: (1340, 3140), $c=6$: (1560, 5160, 2460, 4260), $c=8$: 81780, 7180, 2680, 6280, 3580, 5380). No total 12 hipóteses.

Resposta correta: C
Problema: Quantos números ímpares há de $1$ até $2011$ que não são divisíveis por $5$?

Opções:
A) $201$
B) $402$
C) $604$
D) $805$
E) $1006$

Resolução: De 1 a 2011 há 1006 ímpares, entre os ímpares em cada 5 um é múltiplo de 5, logo entre estes 201 são múltiplos de 5. Ou seja 1006-201= 805 ímpares que não são divisíveis por 5.

Resposta correta: D
Problema: Num passeio pela cidade, o José reparou num anúncio meio apagado onde se lia $12\,\Box\,3\,\Box\,4 = 40$, não se conseguindo perceber os símbolos que estavam nos quadrados. Quais são os símbolos correctos?

Opções:
A) $-,\times$
B) $:,\times$
C) $\times,+$
D) $\times,\times$
E) $+,\times$

Resolução: Opção C.

Resposta correta: C
Problema: Durante o passeio, o José viu um prédio decorado com uma interessante sequência de números. Os primeiros sete números dessa sequência são $1$, $10$, $11$, $110$, $111$, $1110$, $1111$. Qual é o número seguinte?

Opções:
A) $10000$
B) $10101$
C) $10111$
D) $11110$
E) $11111$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: Ao passar numa montra, o José viu um anúncio colocado numa placa de acrílico transparente. Como o anúncio estava numa posição incorrecta, via-se $\raisebox{2.9mm}{\rotatebox{180}{\sf A}}$ em vez de $\sf A$ e $\raisebox{2.9mm}{\rotatebox{180}{\sf E}}$ em vez de $\sf E$. Como se via a letra $\sf R$?

Opções:
A) $\reflectbox{\raisebox{2.5mm}{\rotatebox{180}{\sf R}}}$
B) $\reflectbox{\sf R}$
C) $\raisebox{2.5mm}{\rotatebox{180}{\sf R}}$
D) $\sf R$
E) $\rotatebox{90}{\sf R}$

Resolução: Opção C.

Resposta correta: C
Problema: O José encontrou os seus amigos, Mário e Rita, e resolveram ir todos ao cinema. O José esqueceu-se do dinheiro em casa e por isso o Mário e a Rita pagaram os três bilhetes. O Mário gastou $6,80$ euros e a Rita gastou $7,60$ euros. Quanto dinheiro deve o José devolver à Rita?

Opções:
A) $2$
B) $2,40$
C) $2,60$
D) $2,80$
E) $4,80$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D