Problema: O Mário tem uma caixa de dimensões $4$ dm$\times 3$ dm$\times 3$ dm, muitos cubos com $1$ dm de aresta e muitos cubos com $2$ dm de aresta. O Mário quer encher a caixa, com alguns dos seus cubos, sem deixar nenhum espaço vazio. De quantas formas o pode fazer? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,4) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0)(4,0)(5.2,1.5)(5.2,4.5)(4,3)(0,3) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,3)(4,3)(5.2,4.5)(4.5,6.3)(0.5,6.3)(1.2,4.5) \pspolygon(0,0)(4,0)(4,3)(0,3) \psline(4,3)(5.2,4.5) \psline(5.2,4.5)(5.2,1.5) \psline(5.2,1.5)(4,0) \psline(5.2,4.5)(1.2,4.5)(0,3) \psline[linewidth=0.2pt](1.2,4.5)(1.2,3) \psline(1.2,4.5)(0.5,6.3)(4.5,6.3)(5.2,4.5) \end{pspicture}

Opções:
A) $25$
B) $28$
C) $29$
D) $30$
E) $36$

Resolução: Se o Mário só usar cubos com $1$ dm de aresta tem uma forma de encher a caixa. Usando apenas um cubo com $2$ dm de aresta e todos os outros com $1$ dm de aresta, pode colocar o cubo grande em $6$ posições diferentes no fundo da caixa e em outras seis se o colocar junto à tampa, ou seja, com um cubo grande há $12$ maneiras diferentes de encher a caixa. (image2) Usando dois cubos com $2$ dm de aresta e os restantes com $1$ dm de aresta, há $4$ formas de os colocar no fundo da caixa. (image3) Além destas $4$, há mais três hipóteses para cada uma destas configurações: colocar um dos cubos no fundo e o outro junto à tampa, colocar um junto à tampa e o outro no fundo, ou colocar ambos junto à tampa, ou seja, $4 \times 4=16$ novas possibilidades. Portanto, há $1+12+16=29$ maneiras diferentes de encher a caixa com cubos. Opção correta: C).


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{pspicture}(-5,0)(22,3) \pspolygon(-5,3)(-5,0)(-1,0)(-1,3) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](-5,2)(-5,0)(-3,0)(-3,2) \pspolygon(0,3)(0,0)(4,0)(4,3) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,2)(1,0)(3,0)(3,2) \pspolygon(5,3)(5,0)(9,0)(9,3) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](7,2)(7,0)(9,0)(9,2) \pspolygon(10,3)(10,0)(14,0)(14,3) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](12,3)(12,1)(14,1)(14,3) \pspolygon(15,3)(15,0)(19,0)(19,3) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](16,3)(16,1)(18,1)(18,3) \pspolygon(20,3)(20,0)(24,0)(24,3) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](20,3)(20,1)(22,1)(22,3) \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture*}(0,0)(19,3) \pspolygon(0,3)(0,0)(4,0)(4,3) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,2)(0,0)(2,0)(2,2) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=green,fillstyle=solid,opacity=0.1](2,2)(2,0)(4,0)(4,2) \pspolygon(5,3)(5,0)(9,0)(9,3) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](5,3)(5,1)(7,1)(7,3) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=green,fillstyle=solid,opacity=0.1](7,3)(7,1)(9,1)(9,3) \pspolygon(10,3)(10,0)(14,0)(14,3) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](10,3)(10,1)(12,1)(12,3) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=green,fillstyle=solid,opacity=0.1](12,2)(12,0)(14,0)(14,2) \pspolygon(15,3)(15,0)(19,0)(19,3) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.1](15,2)(15,0)(17,0)(17,2) \pspolygon[linecolor=black,fillcolor=green,fillstyle=solid,opacity=0.1](17,3)(17,1)(19,1)(19,3) \end{pspicture*}

Resposta correta: C