tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema: Do outro lado da porta, encontrou o guardião Xavier que lhe disse: “Já reparaste bem no teto desta sala? Tem desenhado um quadrado $[ABCD]$ cuja área mede $16$ m$^2$. O segmento $[EF]$ que vês traçado, tem $1$ metro de comprimento e é paralelo ao lado $[AB]$. Só sairás daqui se adivinhares qual é a área da região pintada.” O que deverá responder o Zacarias? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(4,4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linestyle=none](0,0)(4,0)(3,1.5)(4,4)(0,4)(2,1.5) \pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4) \psline(0,0)(2,1.5)(0,4) \psline(4,0)(3,1.5)(4,4) \psline(2,1.5)(3,1.5) \uput[225](0,0){$A$} \uput[315](4,0){$B$} \uput[45](4,4){$C$} \uput[135](0,4){$D$} \uput[180](2,1.5){$E$} \uput[0](3,1.5){$F$} \end{pspicture}

Opções:
A) $4$ m$^2$
B) $6$ m$^2$
C) $10$ m$^2$
D) $12$ m$^2$
E) $16$ m$^2$

Resolução: Como a área do quadrado mede $16$ m$^2$, o seu lado mede $4$ m. Logo, a área a branco é a área de dois triângulos cujas alturas somam $4 - 1 = 3$ m, ou seja, mede $\frac{4 \times 3}2 = 6$ m$^2$. Podemos então concluir que a área da região sombreada é de $16 - 6 = 10$ m$^2$. Opção correta: C).

Resposta correta: C
Problema: Mais um enigma resolvido, e o Zacarias encontra o seu velho amigo Vítor que lhe diz: “Estás a ver este livro? Se me disseres quantas páginas tem, eu ajudo-te a sair daqui. Dou-te uma dica: o algarismo $3$ aparece $22$ vezes.” Qual é o número máximo de páginas que pode ter o livro do Vítor?

Opções:
A) $22$
B) $111$
C) $113$
D) $114$
E) $122$

Resolução: Repare-se que o algarismo $3$ ocorre $22$ vezes entre os números $1$ e $122$. Como o número $123$ usa o algarismo $3$, o livro do Vítor tem, no máximo, $122$ páginas. Opção correta: E).

Resposta correta: E
Problema: Quase à saída do magnífico castelo, os dois amigos deparam-se com o Grande Mestre Ulisses que tinha acabado de calcular a soma $4 + 44 + 444 + \cdots + \underbrace{4 \dots 4}_{2022\text{ algarismos}}$. Qual é o número formado pelos últimos três algarismos do número que ele obteve?

Opções:
A) $088$
B) $768$
C) $816$
D) $928$
E) $968$

Resolução: Começamos por observar que para os últimos três algarismos da soma indicada apenas contribuem os últimos três algarismos de cada uma das parcelas. Logo, o número procurado é o número formado pelos últimos três algarismos de $4 + 44 + 444 \times 2020 = 896928$, ou seja, o $928$. Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: O visor duma calculadora está avariado e só é possível, em qualquer operação, ver o algarismo das unidades. A sucessão $8, 6, 4, 0, 4, 4, 8, 2, \dots$ foi construída da seguinte forma: a partir do terceiro, cada termo é a soma dos dois anteriores, tal como aparece na calculadora avariada. Qual é o $2022^\circ$ termo desta sucessão?

Opções:
A) $0$
B) $2$
C) $4$
D) $6$
E) $8$

Resolução: Escrevendo mais alguns termos da sucessão, tem-se $$ {\bf 8},{\bf 6}, 4, 0, 4, 4, 8, 2,0,2,2,4,6,0,6,6,2,8,0,8,{\bf 8},{\bf 6}, \dots $$ ou seja, a sucessão repete-se de $20$ em $20$ termos. Como $2022=101 \times 20 + 2$, o termo $2022$ vai ser $6$. Opção correta: D)

Resposta correta: D
Problema: Seja $[ABC]$ um triângulo tal que $\overline{AB}=5$ cm, $\overline{AC}=7$ cm e $\overline{BC}=4$ cm. Pelo ponto $D$, no interior do triângulo, traçam-se retas paralelas aos três lados que os intersetam nos pontos $P$, $Q$, $R$ e $S$, tal como se mostra na figura. Qual é a medida, em cm, de $\overline{PQ}+\overline{RS}$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-1,0)(4,5) \small \pspolygon(0,0)(-1,4.89898)(4,0) \psline(2.25,0)(-0.5625,2.75568) \psline(-0.25,1.22474)(2.75,1.22474) \psline(1.25,0)(0.5625,3.36805) \rput(-0.3,-0.3){$B$} \rput(4.4,0){$C$} \rput(-1.3,5.1){$A$} \rput(0.8,3.6){$P$} \rput(3,1.5){$Q$} \rput(2.25,-0.4){$R$} \rput(-0.9,2.8){$S$} \rput(1.3,1.5){$D$} \end{pspicture}

Opções:
A) $4$
B) $5$
C) $5,5$
D) $6$
E) $7$

Resolução: Por construção, os quadriláteros $[APDS]$ e $[DQCR]$ são paralelogramos, logo $\overline{AP}=\overline{SD}$ e $\overline{DR}=\overline{QC}$. Então $\overline{PQ}+\overline{RS}=\overline{PQ}+\overline{SD}+\overline{DR}=\overline{PQ}+\overline{AP}+\overline{QC}= \overline{AC}= 7$ cm. Opção correta E).

Resposta correta: E
Problema: Com doze azulejos retangulares formou-se uma parede quadrangular, tal como se mostra na figura. Se a soma dos perímetros dos azulejos é $4200$ cm, quantos centímetros mede o lado da parede? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(6,6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0)(1,0)(1,1.5)(0,1.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](1,0)(3.5,0)(3.5,1.5)(1,1.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](3.5,0)(6,0)(6,1.5)(3.5,1.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,1.5)(2,1.5)(2,3)(0,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](2,1.5)(4,1.5)(4,3)(2,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](2,1.5)(4,1.5)(4,3)(2,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](4,1.5)(6,1.5)(6,2.5)(4,2.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](4,2.5)(6,2.5)(6,4.5)(4,4.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,3)(1,3)(1,4.5)(0,4.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](1,3)(4,3)(4,4.5)(1,4.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,4.5)(2.5,4.5)(2.5,6)(0,6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](2.5,4.5)(4.5,4.5)(4.5,6)(2.5,6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](4.5,4.5)(6,4.5)(6,6)(4.5,6) \end{pspicture}

Opções:
A) $105$
B) $210$
C) $300$
D) $350$
E) $380$

Resolução: A soma dos perímetros de todos os retângulos contém a medida de $4$ lados da parede no perímetro do quadrado; no interior há mais $3$ conjuntos de segmentos horizontais que formam um lado (que se têm de contar duas vezes por terem sobreposições de dois lados de perímetros de azulejos) e $2$ conjuntos de segmentos verticais que formam um lado (que se têm de contar duas vezes por terem sobreposições de dois lados de perímetros de azulejos). Portanto, a soma dos perímetros de todos os retângulos é igual a $4+2\times6+2\times2=14$ vezes o lado da parede, logo o lado mede $4200/14=300$ cm. Opção correta C) (image2)


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(6,6) \pspolygon(0,0)(6,0)(6,6)(0,6) \psline(1,0)(1,1.5)(0,1.5) \psline(3.5,0)(3.5,1.5)(1,1.5) \psline(6,1.5)(3.5,1.5) \pspolygon(0,1.5)(2,1.5)(2,3)(0,3) \pspolygon(2,1.5)(4,1.5)(4,3)(2,3) \pspolygon(2,1.5)(4,1.5)(4,3)(2,3) \pspolygon(4,1.5)(6,1.5)(6,2.5)(4,2.5) \pspolygon(4,2.5)(6,2.5)(6,4.5)(4,4.5) \pspolygon(0,3)(1,3)(1,4.5)(0,4.5) \pspolygon(1,3)(4,3)(4,4.5)(1,4.5) \pspolygon(0,4.5)(2.5,4.5)(2.5,6)(0,6) \pspolygon(2.5,4.5)(4.5,4.5)(4.5,6)(2.5,6) \pspolygon(4.5,4.5)(6,4.5)(6,6)(4.5,6)  \psline(0,1.5)(6,1.5) \psline(0,4.5)(6,4.5) \psline(0,3)(4,3) \psline(4,2.5)(6,2.5)  \psline(1,0)(1,1.5) \psline(3.5,0)(3.5,1.5) \psline(2,1.5)(2,3) \psline(4,1.5)(4,4.5) \psline(1,3)(1,4.5) \psline(2.5,4.5)(2.5,6) \psline(4.5,4.5)(4.5,6) \end{pspicture}

Resposta correta: C
Problema: O Bruno tem muitos berlindes azuis, brancos, verdes e vermelhos. O Bruno quer oferecer ao irmão três berlindes, usando duas cores diferentes (por exemplo, o Bruno poderia oferecer ao irmão dois berlindes azuis e um berlinde branco). De quantas maneiras pode o Bruno escolher os berlindes?

Opções:
A) $3$
B) $6$
C) $8$
D) $12$
E) $16$

Resolução: Opção D. (Há $4$ escolhas para a cor que aparece duas vezes e $3$ escolhas para a outra cor.)

Resposta correta: D
Problema: No quarto do Bruno está um quadro com uma fotografia dos dois irmãos. Tanto o quadro como a fotografia são quadrados e a fotografia tem $9$ cm de lado. Sabendo que o perímetro da fotografia mede metade do perímetro do quadro, qual é a área total do quadro? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(7,7) \pspolygon[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=brown!50](0,0)(18,0)(18,18)(0,18) \rput(4.5,4.5){\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0)(9,0)(9,9)(0,9)} \end{pspicture}

Opções:
A) $64$ cm$^2$
B) $72$ cm$^2$
C) $96$ cm$^2$
D) $216$ cm$^2$
E) $324$ cm$^2$

Resolução: Opção E. (O lado do quadro mede $9\times 2=18$ cm.)

Resposta correta: E
Problema: Na escola do Bruno estão dois painéis formados por azulejos de tamanho igual. O Bruno reparou que as partes pintadas dos dois painéis tinham a mesma área e o mesmo perímetro. Um dos painéis está representado na figura ao lado. Qual das seguintes figuras poderá representar o outro painel? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(7,7) \pspolygon[linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](1,0)(2,0)(2,1)(3,1)(3,2)(4,2)(4,1)(5,1)(5,0)(6,0)(6,1)(7,1)(7,2)(6,2)(6,3)(5,3)(5,4)(6,4)(6,5)(7,5)(7,6)(6,6)(6,7)(5,7)(5,6)(4,6)(4,5)(3,5)(3,6)(2,6)(2,7)(1,7)(1,6)(0,6)(0,5)(1,5)(1,4)(2,4)(2,3)(1,3)(1,2)(0,2)(0,1)(1,1) \multiput(0,0)(0,1){8}{\psline[linewidth=0.01pt](0,0)(7,0)} \multiput(0,0)(1,0){8}{\psline[linewidth=0.01pt](0,0)(0,7)} \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(7,7) \pspolygon[linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](0,0)(7,0)(7,7)(6,7)(6,5)(5,5)(5,2)(4,2)(4,1)(3,1)(3,2)(2,2)(2,5)(1,5)(1,7)(0,7) \multiput(0,0)(0,1){8}{\psline[linewidth=0.01pt](0,0)(7,0)} \multiput(0,0)(1,0){8}{\psline[linewidth=0.01pt](0,0)(0,7)} \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(0,0)(7,7) \pspolygon[linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](3,0)(4,0)(4,1)(6,1)(6,2)(4,2)(4,3)(7,3)(7,4)(4,4)(4,5)(6,5)(6,6)(4,6)(4,7)(3,7)(3,6)(1,6)(1,5)(3,5)(3,4)(0,4)(0,3)(3,3)(3,2)(1,2)(1,1)(3,1) \multiput(0,0)(0,1){8}{\psline[linewidth=0.01pt](0,0)(7,0)} \multiput(0,0)(1,0){8}{\psline[linewidth=0.01pt](0,0)(0,7)} \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(0,0)(7,7) \pspolygon[linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](0,0)(1,0)(1,2)(6,2)(6,0)(7,0)(7,7)(6,7)(6,5)(1,5)(1,7)(0,7) \multiput(0,0)(0,1){8}{\psline[linewidth=0.01pt](0,0)(7,0)} \multiput(0,0)(1,0){8}{\psline[linewidth=0.01pt](0,0)(0,7)} \end{pspicture}
[image5]
\begin{pspicture}(0,0)(7,7) \pspolygon[linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](1,0)(2,0)(2,2)(3,2)(3,0)(4,0)(4,2)(5,2)(5,0)(6,0)(6,3)(7,3)(7,4)(6,4)(6,7)(5,7)(5,5)(4,5)(4,7)(3,7)(3,5)(2,5)(2,7)(1,7)(1,4)(0,4)(0,3)(1,3) \multiput(0,0)(0,1){8}{\psline[linewidth=0.01pt](0,0)(7,0)} \multiput(0,0)(1,0){8}{\psline[linewidth=0.01pt](0,0)(0,7)} \end{pspicture}
[image6]
\begin{pspicture}(0,0)(7,7) \pspolygon[linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](0,0)(2,0)(2,1)(3,1)(3,2)(4,2)(4,1)(5,1)(5,0)(7,0)(7,1)(6,1)(6,2)(5,2)(5,3)(4,3)(4,4)(5,4)(5,5)(6,5)(6,6)(7,6)(7,7)(5,7)(5,6)(4,6)(4,5)(3,5)(3,6)(2,6)(2,7)(0,7)(0,6)(1,6)(1,5)(2,5)(2,4)(3,4)(3,3)(2,3)(2,2)(1,2)(1,1)(0,1) \multiput(0,0)(0,1){8}{\psline[linewidth=0.01pt](0,0)(7,0)} \multiput(0,0)(1,0){8}{\psline[linewidth=0.01pt](0,0)(0,7)} \end{pspicture}

Opções:
A) (image2)
B) (image3)
C) (image4)
D) (image5)
E) (image6)

Resolução: Opção D. (O painel tem área $29$ quadrículas e perímetro $44$ lados de quadrícula.)

Resposta correta: D
Problema: Por baixo dos painéis está a inscrição $123456789101112\cdots9899100$, formada pelos números inteiros de $1$ a $100$, colocados lado a lado. Quantos algarismos tem esta inscrição?

Opções:
A) $192$
B) $195$
C) $198$
D) $200$
E) $201$

Resolução: Opção A. ($9\times 1+90\times 2+1\times 3=192$.)

Resposta correta: A
Problema: O Pedro tem vários cubos, que colocou em dez sacos. Nenhum dos sacos ficou vazio e todos os sacos ficaram com um número diferente de cubos. Qual é o número mínimo de cubos que o Pedro pode ter?

Opções:
A) $15$
B) $25$
C) $35$
D) $45$
E) $55$

Resolução: Opção E. (O Pedro tem no mínimo $1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55$ cubos.)

Resposta correta: E
Problema: O Pedro desenhou uma planificação de um dos seus cubos, e o irmão dele completou o desenho com dois triângulos isósceles, como na figura. O perímetro de todo o desenho é $96$ cm e o perímetro de $[CDEFG]$ é $62$ cm. Sabendo ainda que $[DEF]$ tem o triplo do perímetro de $[ABH]$, quanto mede $[CD]$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-4,-7)(20,9) \scriptsize \pspolygon(12,0)(0,0)(0,4)(12,4)(12,8)(8,8)(8,-4)(12,-4) \psline(4,0)(4,4) \psline(12,0)(12,4) \psline(0,0)(-4,0)(-10.7082,2)(-4,4)(0,4) \psline(-4,0)(-4,4) \psline(12,-4)(32.1246,2)(12,8) \uput{0.5}[180](-10.7082,2){$A$} \uput{0.5}[270](-4,0){$B$} \uput{0.5}[225](8,-4){$C$} \uput{0.5}[300](12,-4){$D$} \uput{0.5}[0](32.1246,2){$E$} \uput{0.5}[60](12,8){$F$} \uput{0.5}[135](8,8){$G$} \uput{0.5}[90](-4,4){$H$} \end{pspicture}

Opções:
A) $3$ cm
B) $4$ cm
C) $5$ cm
D) $6$ cm
E) $7$ cm

Resolução: Opção B. (Tem-se $\overline{AB}=7$ cm, $\overline{CD}=4$ cm e $\overline{EF}=21$ cm.)

Resposta correta: B
Problema: Cinco dos cubos do Pedro são coloridos e têm escritos os seguintes números: $$ 72 \qquad 69 \qquad 80 \qquad 95 \qquad 70 $$ O cubo castanho tem um número maior do que o verde, mas menor do que o encarnado. A diferença entre os números do cubo azul e do preto é $8$. Qual é o número no cubo castanho?

Opções:
A) $72$
B) $69$
C) $80$
D) $95$
E) $70$

Resolução: Opção E. (Verde: $69$, castanho: $70$, encarnado: $95$, azul e preto: $80$ e $72$.)

Resposta correta: E
Problema: Um dos cubos do Pedro é feito de plasticina. O Pedro retirou $5$ cm$^3$ a esse cubo e com o volume restante formou um paralelepípedo com um lado igual ao cubo original, outro lado $1$ cm maior e o terceiro lado $1$ cm menor. Quanto media o lado do cubo original?

Opções:
A) $3$ cm
B) $4$ cm
C) $5$ cm
D) $6$ cm
E) $7$ cm

Resolução: Opção C. (O cubo tem volume $5^3=125$ cm$^3$ e o paralelepípedo $5\times 6\times 4=120$ cm$^3$.)

Resposta correta: C
Problema: O Rafael e o Gonçalo são avançados da mesma equipa e os dois juntos já marcaram $15$ golos. Cada um marcou o mesmo número de golos com o pé. Sabendo que apenas o Gonçalo marcou golos de cabeça e que exatamente $1/3$ dos seus golos foram marcados de cabeça, quantos golos marcou o Rafael?

Opções:
A) $3$
B) $4$
C) $5$
D) $6$
E) $7$

Resolução: Opção D. (Ambos marcaram $6$ golos com o pé e o Gonçalo marcou $3$ golos de cabeça.)

Resposta correta: D
Problema: Para um exercício do treino, o Rafael, o Gonçalo, o Bruno, o Diogo e o João trouxeram uma bola assinada por si. No final do exercício, todos tinham uma bola, mas apenas dois deles ficaram com a bola com o seu nome. De quantas maneiras diferentes podem ter ficado distribuídas as bolas no final?

Opções:
A) $2$
B) $6$
C) $10$
D) $15$
E) $20$

Resolução: Opção E. (Há $10$ maneiras de escolher os dois jogadores que ficam com a mesma bola e duas maneiras de trocar as bolas entre os outros três.)

Resposta correta: E
Problema: O Diogo, o Bruno e o João jogam com as camisolas com os números: $2$, $8$ e $17$. Eles repararam que se somassem os números das suas camisolas dois a dois, obteriam os números das camisolas do Bernardo, do Nuno e do Otávio. Como acharam este procedimento engraçado, somaram novamente os números que obtiveram dois a dois. Se fizerem este procedimento $2023$ vezes, qual será a diferença entre os dois maiores números obtidos?

Opções:
A) $6$
B) $9$
C) $15$
D) $126$
E) $1237$

Resolução: Opção A. (A diferença entre os dois maiores números alterna entre $6$ e $9$.)

Resposta correta: A
Problema: O treinador da equipa usa bolas de tamanhos diferentes, com raios de $2$, $3$ e $10$ dm. O Bernardo colocou-as no chão de modo que as três esferas fossem tangentes entre si. Quanto mede, em dm$^2$, a área do triângulo cujos vértices são os centros das esferas? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pscircle(0,0){2} \pscircle(9.11823,7.80115){10} \pscircle(-3.25048,3.79926){3} \pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(9.11823,7.80115)(-3.25048,3.79926) \end{pspicture}

Opções:
A) $15$
B) $20$
C) $25$
D) $30$
E) $35$

Resolução: Opção D. (O triângulo é retângulo, com catetos $2+3$ e $2+10$ e hipotenusa $3+10$ dm.)

Resposta correta: D
Problema: O Tomás tem um plano de treino com três amigos: joga uma partida de xadrez com o seu amigo Tiago, de $3$ em $3$ dias, com o Pedro joga duas partidas de xadrez, de $6$ em $6$ dias, e com a Mariana joga três partidas de xadrez de $8$ em $8$ dias. Hoje o Tomás jogou com os três amigos. Quantas partidas de xadrez ele irá jogar com os três amigos, até ao final do dia em que voltará a jogar de novo com os três?

Opções:
A) $17$
B) $21$
C) $25$
D) $41$
E) $46$

Resolução: Uma vez que m.m.c$(3,6,8)=24$, ele volta a jogar com todos no mesmo dia daqui a 24 dias. Até lá jogou 8 vezes com o Tiago, logo 8 partidas, 4 vezes com o Pedro, logo $4\times 2=8$ partidas e 3 vezes com a Mariana, logo $3 \times 3=9$ partidas. No total, ele jogou $8+8+9=25$ partidas. Opção correta: C).

Resposta correta: C
Problema: A bandeira do clube é um quadrado $[ABCD]$. Os vértices do quadrado pertencem às retas que contêm os lados do paralelogramo pintado, como na figura. Os pontos $E$ e $F$ são tais que $\overline{AE} = 2\overline{EB}$ e $\overline{FC} = 2\overline{DF}$. Qual é o quociente entre a área do paralelogramo pintado e a área do quadrado $[ABCD]$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \scriptsize \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0.666,1)(1,0)(2.333,2)(2,3) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline(0.6666,1)(2,3) \psline(2,3)(3,0) \psline(0,3)(1,0) \psline(1,0)(2.3333,2) \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0.6666,1)(0,0) \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](2.3333,2)(3,3) \uput{0.1}[225](0,0){$D$} \uput{0.1}[-45](3,0){$C$} \uput{0.1}[45](3,3){$B$} \uput{0.1}[135](0,3){$A$} \uput{0.1}[90](2,3){$E$} \uput{0.1}[-90](1,0){$F$} \end{pspicture}

Opções:
A) $\frac{1}{12}$
B) $\frac{2}{9}$
C) $\frac{2}{7}$
D) $\frac{1}{6}$
E) $\frac{2}{5}$

Resolução: Na figura ao lado, se cada quadrícula tiver área $1$, o quadrado tem área $3\times 3=9$, os triângulos verdes têm área $\dfrac{2\times 2}2=2$ e os triângulos rosa têm área $\dfrac{3\times 1}2=\dfrac32$. Logo a área do paralelogramo é $9-2\times2-2\times\dfrac32=2$. Portanto, a razão entre a área do paralelogramo e a área do quadrado é $\dfrac29$. (image2) Opção correta: B).


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \scriptsize \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,3)(2,3)(0.666,1) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](1,0)(3,0)(2.3333,2) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!50](0,0)(0,3)(1,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!50](3,3)(3,0)(2,3) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0.666,1)(1,0)(2.333,2)(2,3) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline[linestyle=dashed](0,1)(3,1) \psline[linestyle=dashed](0,2)(3,2) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,3) \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3) \psline(0,0)(2,3)(3,0) \psline(0,3)(1,0)(3,3) \end{pspicture}

Resposta correta: B
Problema: O número preferido do Tomás é o $9$, porque nasceu a $9$ de setembro de $2009$. O Tomás escreveu inteiros da seguinte forma: primeiro escreveu o número $1$ uma vez, depois o número $2$ duas vezes, depois o número $3$ três vezes, e assim sucessivamente, até escrever um total de $2023$ algarismos. Quantos algarismos $9$ escreveu o Tomás?

Opções:
A) $79$
B) $86$
C) $88$
D) $96$
E) $99$

Resolução: Uma vez que $1+2+\dots+9=45$ escrevem-se $45$ algarismos, dos quais $9$ algarismos são iguais a $9$. Uma vez que $10+11+\dots+19= \frac{10+19}{2}\times 10= 145$, escrevem-se $145\times 2= 290$ algarismos, dos quais $19$ são iguais a $9$. Uma vez que $20+21+\dots+29= \frac{20+29}{2}\times 10= 245$, escrevem-se $245\times 2= 490$ algarismos, dos quais $29$ são iguais a $9$. Uma vez que $30+31+\dots+39= \frac{30+39}{2}\times 10= 345$, escrevem-se $345\times 2= 790$ algarismos dos quais $39$ são iguais a $9$. Até aqui já se escreveram $45+290+490+790 =1615$ algarismos. Uma vez que $40+41+\dots+45= \frac{40+45}{2}\times 6= 85\times 3= 255$, e $1615+510>2023$, já não se escreveram mais algarismos $9$. No total, o Tomás escreveu $9+19+29+39=96$ algarismos $9$. Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: Três números inteiros positivos $a$, $b$ e $c$ são tais que $\mathop{\rm mdc}(a,16)=b$, $\mathop{\rm mdc}(b,12)=c$ e $\mathop{\rm mdc}(a,c)=4$. Qual é o menor valor possível para $b$?

Opções:
A) $1$
B) $2$
C) $4$
D) $8$
E) $16$

Resolução: Opção C. (Tem-se $a\geq b\geq c\geq 4$. Uma solução possível é $a=b=c=4$.)

Resposta correta: C
Problema: Uma escultura de forma triangular, como na figura, tem $5$ faixas azuis e $5$ faixas brancas todas com a mesma largura. Sabendo que a área total da escultura é $100$, qual é a área da região branca? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-2,0)(2,3) \scriptsize \pspolygon(-2,0)(2,0)(1,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](-2,0)(2,0)(1.9,0.3)(-1.7,0.3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](-1.4,0.6)(1.8,0.6)(1.7,0.9)(-1.1,0.9) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](-0.8,1.2)(1.6,1.2)(1.5,1.5)(-0.5,1.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](-0.2,1.8)(1.4,1.8)(1.3,2.1)(0.1,2.1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0.4,2.4)(1.2,2.4)(1.1,2.7)(0.7,2.7) \end{pspicture}

Opções:
A) $25$
B) $37,5$
C) $43,75$
D) $45$
E) $50$

Resolução: Opção D. (A área da região branca é $1+(2+3)+(4+5)+(6+7)+(8+9)=45$.)

Resposta correta: D
Problema: Qual é o menor inteiro positivo $n$ para o qual existe um outro inteiro positivo $m$ tal que $\frac{2}{3}< \frac{m}{n} < \frac{7}{10}$?

Opções:
A) $7$
B) $11$
C) $13$
D) $17$
E) $31$

Resolução: Opção C. ($\frac{2}{3}<\frac{9}{13}<\frac{7}{10}$.)

Resposta correta: C
Problema: O André quer visitar a Bruna, mas apenas se lembra que o número do prédio dela tem quatro algarismos, todos pares e menores que $3$ (como, por exemplo, o número $2022$). Quantas possibilidades há para o número do prédio da Bruna?

Opções:
A) $4$
B) $6$
C) $8$
D) $10$
E) $12$

Resolução: Opção C. (As possibilidades são $2000$, $2002$, $2020$, $2022$, $2200$, $2202$, $2220$ e $2222$.)

Resposta correta: C
Problema: No prédio da Bruna há uma padaria, onde vendem pão de água a $4$ euros por quilo e pãezinhos a $20$ cêntimos cada um. A Bruna comprou pães de água e quatro pãezinhos e pagou $2$ euros. Qual o peso dos pães de água que comprou?

Opções:
A) $100$g
B) $200$g
C) $250$g
D) $300$g
E) $500$ g

Resolução: Opção D. (Os pães de água custaram $0,3\times 4=1,2$ e os pãezinhos custaram $4\times 0,2=0,8$.)

Resposta correta: D
Problema: O prédio da Bruna tem seis casas. Num certo dia, o carteiro trouxe cartas para todas as casas, mas colocou um número diferente de cartas em cada caixa de correio. Qual é o número mínimo de cartas que o carteiro pode ter trazido?

Opções:
A) $15$
B) $18$
C) $21$
D) $23$
E) $25$

Resolução: Opção C. (O carteiro trouxe no mínimo $1+2+3+4+5+6=21$ cartas.)

Resposta correta: C
Problema: Cada um dos três andares do prédio da Bruna tem duas casas, uma no lado direito e outra no lado esquerdo. A padaria fica no R/C esquerdo, onde não mora ninguém. Todas as outras casas estão habitadas, num total de seis pessoas: António, Bruna, Carlos, Dora, Eurico e Fernanda. A Bruna mora com o pai, o António, e no mesmo andar mora também a sua avó Fernanda. A Dora mora do mesmo lado do Carlos e por cima da Fernanda. Em que casa mora o Eurico?

Opções:
A) R/C Direito
B) $1$º Esquerdo
C) $1$º Direito
D) $2$º Esquerdo
E) $2$º Direito

Resolução: Opção D. (RC: Padaria/Carlos; $1$º andar: António,Bruna/Fernanda; $2$º andar: Eurico/Dora.)

Resposta correta: D
Problema: Na noite de fim de ano, enquanto aguardava pela meia-noite, a família do Luís divertia-se a calcular expressões numéricas com aspeto engraçado. A certa altura, o Luís propôs que se calculasse o valor de $(2-0+2-3)\times(2^2-0^2+2^2-3^2)^2$. Quanto vale esta expressão?

Opções:
A) $-1$
B) $1$
C) $4$
D) $81$
E) $2023$

Resolução: Opção B. ($(2-0+2-3)\times(2^2-0^2+2^2-3^2)^2=1\times(-1)^2=1$.)

Resposta correta: B