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Problema: O pai do Francisco tem um terreno retangular onde plantou couves e batatas, como mostra a figura seguinte. A área plantada com couves tem o quádruplo da área plantada com batatas. Sabendo que $\overline{AE}=6$ cm, quanto mede $[AD]$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(11,5) \small \pspolygon(0,0)(11,0)(11,5)(0,5) \psline(0,5)(11,3) \rput(11.5,5.5){$A$} \rput(-0.5,5.5){$B$} \rput(-0.5,-0.5){$C$} \rput(11.5,-0.5){$D$} \rput(11.5,3){$E$} \end{pspicture}

Opções:
A) $9$ cm
B) $12$ cm
C) $15$ cm
D) $18$ cm
E) $24$ cm

Resolução: Opção C.

Resposta correta: C
Problema: Na cidade do Francisco há $2014$ habitantes, uns nunca dizem a verdade e os restantes nunca mentem. Nas últimas eleições para a Junta de freguesia, havia três candidatos e cada habitante tinha preferência por um único candidato. O boletim de voto continha três questões: Prefere o João do supermercado? Prefere o Quim do café? Prefere o José da padaria? Cada um dos habitantes respondeu às três questões. Se foram apurados $3000$ “Sim”, quantos habitantes que nunca mentem há na cidade?

Opções:
A) $986$
B) $1028$
C) $1500$
D) $2014$

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: A Ana foi até à praia da Costa Nova e, a meio do caminho, deu boleia ao Mário. No final do dia, a Ana e o Mário regressaram juntos a casa da Ana. A Ana gastou $16$ euros de gasolina na viagem e o Mário insistiu em pagar a sua parte. Quanto deve pagar o Mário?

Opções:
A) $5,50\,$
B) $6\,$
C) $6,25\,$
D) $6,50\,$
E) $7\,$

Resolução: Se a Ana gastou $16$ euros na viagem, gastou $8$ euros na ida e $8$ no regresso. Da viagem de regresso o Mário deverá pagar metade, e da viagem de ida, metade da metade, ou seja, um quarto. Portanto, o Mário deverá pagar $4+ 2=6$ euros. Opção correta: B).

Resposta correta: B
Problema: Num tabuleiro com $100$ linhas e $100$ colunas numeradas de $1$ a $100$, a Sofia pintou as linhas múltiplas de $2$ e as colunas múltiplas de $3$. Quantas quadrículas ficaram por pintar?

Opções:
A) $1650$
B) $3300$
C) $3350$
D) $6650$
E) $8350$

Resolução: Entre $1$ e $100$ há $50$ múltiplos de $2$ e como a Sofia pintou as linhas numeradas com múltiplos de $2$, deixou por pintar $100-50=50$ linhas. Entre $1$ e $100$ há $33$ múltiplos de $3$ e como a Sofia pintou as colunas numeradas com múltiplos de $3$, deixou por pintar $100-33=67$ colunas. Portanto ficaram por pintar $50\times 67=3350$ quadrículas. Opcão correta: C)

Resposta correta: C
Problema: A Sofia usa $20$ velas novas por dia para iluminar a sua casa. Ela recicla as suas velas usadas de tal forma que $4$ velas usadas se transformam numa vela nova. A Sofia tem em casa $995$ velas novas e nenhuma usada. Durante quantos dias a Sofia vai conseguir iluminar a sua casa com estas velas?

Opções:
A) $61$
B) $62$
C) $65$
D) $66$
E) $248$

Resolução: No primeiro dia a Sofia só precisa de usar $16$ velas novas. De facto, depois de queimar $16$ velas, recicla-as formando mais $4$ velas e perfazendo as $20$ velas de que precisa nesse dia. Além disso, reciclando as últimas $4$ velas que queimou, fica com uma vela reciclada para o dia seguinte. Com esta forma de usar as velas, a Sofia precisa de $16$ velas novas no primeiro dia e de $15$ velas novas em cada um dos dias seguintes. Como $995=16+ 65\times 15 + 4$, com $995$ velas a Sofia ilumina a sua casa durante $66$ dias (e sobram-lhe $4$ velas novas). Opção correta: D)

Resposta correta: D
Problema: A Sofia tinha uma folha retangular cujo comprimento é o quádruplo da largura. Ela fez dois cortes nessa folha a partir de um dos vértices, como indicado na figura. Um dos triângulos é isósceles e tem área $72$ cm$^2$. O outro triângulo tem um cateto que é $12$ vezes maior do que o outro. Qual é a área, em cm$^2$, da parte da folha de papel que sobrou? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(12,3) \pspolygon(0,0)(12,0)(12,3)(0,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0)(12,0.6667)(12,3)(3,3) \end{pspicture}

Opções:
A) $240$
B) $312$
C) $336$
D) $408$
E) $576$

Resolução: Seja $a$ a largura da folha (e $4a$ o seu comprimento). Como o triângulo isósceles tem área $72$ cm$^2$, vem $\frac{a^2}{2}=72$, logo $a=12$. O outro triângulo é rectângulo e os seus catetos medem $4 \times 12=48$ cm e $\frac{48}{12}=4$ cm, logo a sua área mede $\frac{48 \times 4}{2}=96$ cm$^2$. Portanto, a área da folha de papel que sobrou mede $48\times 12 -72-96=408 $ cm$^2$. Opcão correta: D)

Resposta correta: D
Problema: A Sofia colou, em cada face de um cubo com $5$ cm de lado, um cubo de lado $3$ cm. Em cada face livre dos cubos de lado $3$ cm colou um cubo com $1$ cm de lado. Depois pintou o sólido resultante como se indica na figura. Qual é a área total pintada? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-3,-3)(8,10) \def\cubocinco{ \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0)(5,0)(6.5,2)(6.5,7)(1.5,7)(0,5) \pspolygon(0,0)(5,0)(5,5)(0,5) \psline(5,0)(6.5,2) \psline(6.5,2)(6.5,7) \psline(6.5,7)(5,5) \psline(6.5,7)(1.5,7) \psline(1.5,7)(0,5)} \def\cubotres{ \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,0)(3,0)(3.9,1.2)(3.9,4.2)(0.9,4.2)(0,3) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline(3,0)(3.9,1.2) \psline(3.9,1.2)(3.9,4.2) \psline(3.9,4.2)(3,3) \psline(3.9,4.2)(0.9,4.2) \psline(0.9,4.2)(0,3)} \def\cuboum{ \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azulclarologotipo](0,0)(1,0)(1.3,0.4)(1.3,1.4)(0.3,1.4)(0,1) \pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \psline(1,0)(1.3,0.4) \psline(1.3,0.4)(1.3,1.4) \psline(1.3,1.4)(1,1) \psline(1.3,1.4)(0.3,1.4) \psline(0.3,1.4)(0,1)} \rput(5.8,4.4){\cuboum} \rput(2.5,3){\cubotres} \rput(2.6,-3.2){\cuboum} \rput(0.6,-1.2){\cuboum} \rput(1.3,-2.6){\cubotres} \rput(4.6,-1.2){\cuboum} \rput(2.0,-2.0){\cuboum} \rput(-1.4,0.8){\cuboum} \rput(-3.4,2.8){\cuboum} \rput(-2.7,1.4){\cubotres} \rput(-1.4,4.8){\cuboum} \rput(0.6,2.8){\cuboum} \rput(-2.0,2.0){\cuboum} \rput(0,0){\cubocinco} \rput(6.6,0.8){\cuboum} \rput(5.3,1.4){\cubotres} \rput(6.6,4.8){\cuboum} \rput(8.6,2.8){\cuboum} \rput(6.0,2.0){\cuboum} \rput(0.6,6.8){\cuboum} \rput(1.3,5.4){\cubotres} \rput(2.6,8.8){\cuboum} \rput(4.6,6.8){\cuboum} \rput(2.0,6.0){\cuboum} \rput(1.4,-0.8){\cuboum} \rput(-0.6,1.2){\cuboum} \rput(0.1,-0.2){\cubotres} \rput(1.4,3.2){\cuboum} \rput(3.4,1.2){\cuboum} \rput(0.8,0.4){\cuboum} \end{pspicture}

Opções:
A) $336$
B) $426$
C) $486$
D) $570$
E) $654$

Resolução: No cubo de lado $5$ a Sofia pintou, em cada uma das $6$ faces, uma área de $5^2-3^2=25-9=16$ cm$^2$. Logo a área pintada no cubo de lado $5$ cm é igual a $6\times 16=96$ cm$^2$. Em cada cubo de lado $3$ cm, a Sofia pintou uma área de $3^2-1^2=9-1=8$ cm$^2$ em $5$ faces. Como há $6$ cubos de lado $3$ cm, a área pintada nesses cubos é igual a $6\times 5 \times 8=240$ cm$^2$. Em cada cubo de lado $1$ cm, a Sofia pintou completamente $5$ faces ou seja uma área de $5$ cm$^2$. Como há $6\times 5=30$ cubos de lado $1$ cm, a área pintada nesses cubos é igual a $30\times 5=150$ cm$^2$. No total a Sofia pintou uma área de $96+240+150=486 $ cm$^2$. Opcão correta: C)

Resposta correta: C
Problema: O clube da Matemagia funciona numa casa como a representada na figura. Qual das figuras seguintes poderá representar a vista de cima do clube? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-1,-2.5)(2,3)  \psline(2,0.33)(2,1.33)(-0.75,2.25)(-0.75,0.25)(3,-1)(4.5,0.5)(4.5,1.5)(3.5,1.83)(2,0.33)(2,-0.67) \psline(2,1.33)(2.75,2.08) \psline(2.75,2.08)(2.75,1.08) \psline(2.75,2.08)(0.875,3.5) \psline(2,1.33)(0.875,3.5) \psline(-0.75,2.25)(0.875,3.5) \psline(3,-1)(3,0)(4.5,1.5) \psline(3,0)(2,0.33) \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,-2)(5,-2)  \psline(3.67,1.5)(0,1.5)(0,0)(5,0)(5,1.5)(3.67,1.5)(3.67,0) \psline(3.67,1.5)(0,0) \psline(3.67,0)(0,1.5) \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(0,-2)(5,-2)  \psline(3.67,1.5)(0,1.5)(0,0)(5,0)(5,3)(3.67,3)(3.67,0) \psline(3.67,1.5)(2.5,0.75)(3.67,0) \psline(0,0)(1.17,0.75)(0,1.5) \psline(1.17,0.75)(2.5,0.75) \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(0,-2)(5,-2)  \psline(3.67,1.5)(0,1.5)(0,0)(5,0)(5,3)(3.67,3)(3.67,0) \psline(3.67,1.5)(0,0) \psline(3.67,0)(0,1.5) \end{pspicture}
[image5]
\begin{pspicture}(0,-2)(5,-2)  \psline(3.67,1.5)(0,1.5)(0,0)(5,0)(5,3)(2.67,3)(2.67,1.5) \psline(3.67,0)(3.67,1.5) \psline(3.67,1.5)(0,0) \psline(3.67,0)(0,1.5) \end{pspicture}
[image6]
\begin{pspicture}(0,-2)(5,-2)  \psline(3.67,1.5)(0,1.5)(0,0)(5,0)(5,1)(3.67,1)(3.67,0) \psline(3.67,1)(3.67,1.5) \psline(3.67,1.5)(0,0) \psline(3.67,0)(0,1.5) \end{pspicture}

Opções:
A) (image2)
B) (image3)
C) (image4)
D) (image5)
E) (image6)

Resolução: Opção C.

Resposta correta: C
Problema: O logotipo do clube foi criado sobrepondo dois pedaços de uma fita com $1$ cm de largura. As outras dimensões, em centímetros, estão indicadas na figura. Qual é a área, em cm$^2$, do logotipo? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-3,0.5)(4,7) \footnotesize  \pspolygon(0,0)(1,1)(1,3)(4,3)(3,4)(1,4)(1,7)(0,6)(0,4)(-3,4)(-2,3)(0,3) \rput(2.5,2.5){$3$} \rput(-1.5,4.5){$3$} \rput(-1,2.5){$2$} \rput(2,4.5){$2$} \rput(1.5,2){$2$} \rput(-0.5,1.5){$3$} \rput(-0.5,5){$2$} \rput(1.5,5.5){$3$} \end{pspicture}

Opções:
A) $10$
B) $11$
C) $12$
D) $13$
E) $14$

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: O clube da Matemagia está aberto todos os dias da semana mas o Miguel só o pode visitar na sua manhã livre, a quarta-feira. Hoje o Miguel esteve no clube e assistiu a um espetáculo de Matemágicos. Estes espetáculos realizam-se de $13$ em $13$ dias. Daqui a quantos dias o Miguel vai poder assistir a um novo espetáculo?

Opções:
A) $14$
B) $35$
C) $53$
D) $65$
E) $91$

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: Um dos problemas que o Miguel já resolveu no clube foi o seguinte: sobrepondo dois quadrados iguais, pode obter-se uma figura que consiste em quatro regiões limitadas, como se observa na ilustração. Qual é a maior quantidade de regiões que se pode obter usando dois quadrados iguais? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-1,0)(2,1.5)  \pspolygon(0,0)(1;50)(1.4142;95)(1;140) \pspolygon(-0.2,0)(0.8,0)(0.8,1)(-0.2,1) \end{pspicture}

Opções:
A) $3$
B) $5$
C) $6$
D) $8$
E) $9$

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: O Miguel gosta muito de números. Também no clube aprendeu que uma capicua é um número que não se altera quando é lido ao contrário. Por exemplo, $707$ e $15451$ são capicuas. O Miguel fez uma lista de todas as capicuas com cinco algarismos (os números não podem começar pelo algarismo $0$) por ordem crescente e observou que o décimo segundo número da sua lista era o número da porta do clube. Qual é esse número?

Opções:
A) $11111$
B) $11211$
C) $12121$
D) $12221$
E) $12321$

Resolução: Opção A.

Resposta correta: A
Problema: Durante um campeonato de ténis um vendedor anunciava: "Água com $25\%$ de desconto: $4$ garrafas de água custam apenas $1,50$!". Qual é o preço de uma garrafa de água quando não está em promoção?

Opções:
A) $0,45$
B) $0,47$
C) $0,50$
D) $0,75$
E) $1,00$

Resolução: Opção C.

Resposta correta: C
Problema: A máquina de calcular do Gonçalo tem uma tecla especial. Quando no visor está o número $x$ e se prime essa tecla, o visor passa a mostrar o número $\displaystyle\frac{x+1}{x-2}$. Se o Gonçalo premir essa tecla duas vezes quando o visor mostra o número $4$, que número passa a mostrar o visor?

Opções:
A) $2$
B) $4$
C) $6$
D) $7$
E) $8$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: Ao somar $19$ números inteiros consecutivos, o Gonçalo obteve $2014$. Qual é o menor dos $19$ números?

Opções:
A) $97$
B) $99$
C) $102$
D) $104$
E) $106$

Resolução: Opção A.

Resposta correta: A
Problema: Num jogo de ténis entre o João e o Gonçalo, quatro quintos da assistência são apoiantes do João e o resto são apoiantes do Gonçalo. Durante o intervalo, dois terços dos apoiantes do João sairam, mas os apoiantes do Gonçalo ficaram. Que fração representa a proporção de apoiantes do Gonçalo na assistência que ficou depois do intervalo?

Opções:
A) $3/7$
B) $8/15$
C) $7/15$
D) $4/7$
E) $7/75$

Resolução: Opção A.

Resposta correta: A
Problema: A Clarisse levou para a escola uma máquina de calcular com um botão estragado. Quando se carrega nele, o número que está no visor por vezes é dividido por $5$ e outras vezes diminui $100$ unidades. No visor da máquina está o número $2015$. Quantas vezes a Clarisse tem de carregar no botão estragado para garantir que chega a um número inferior a $1$?

Opções:
A) $5$
B) $20$
C) $21$
D) $22$
E) $23$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: Na aula de trabalhos manuais, a Emília pintou todas as faces de um cubo e em seguida cortou-o em cubinhos do mesmo tamanho. Entre esses cubinhos $36$ ficaram com duas faces pintadas. Em quantos cubinhos foi o cubo cortado?

Opções:
A) $60$
B) $64$
C) $100$
D) $125$
E) $216$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: O recinto da escola da Clarisse e da Emília tem três espaços verdes, com a forma de semicírculo, que rodeiam o edifício, cuja base é um triângulo retângulo. Se os dois espaços verdes mais pequenos têm áreas $1000$ $m^2$ e $2000$ $m^2$, qual é a área, em $m^2$, do espaço verde maior? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \small \psarc[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0.707,0){0.707}{180}{360} \psarc[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0.5){0.5}{90}{270} \psarc[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0.707,0.5){0.866}{-35.264}{144.736} \pspolygon(0,0)(1.414,0)(0,1) \end{pspicture}

Opções:
A) $3000$
B) $1000\sqrt{5}$
C) $1000\pi$
D) $1000\sqrt{3}\pi$
E) $3000\pi$

Resolução: Opção A.

Resposta correta: A
Problema: Nessa escola há alunos de $13$, $14$ e $15$ anos. A razão entre os alunos de $15$ anos e de $13$ anos é de $5:3$ e a razão entre os alunos de $15$ anos e de $14$ anos é de $8:5$. Quantos alunos tem a escola, sabendo que são menos de $150$?

Opções:
A) $16$
B) $24$
C) $55$
D) $89$
E) $120$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: O César escreveu todos os números de cinco algarismos formados apenas com os algarismos $1$ ou $2$. Quantos desses números têm mais do que dois algarismos iguais a $1$?

Opções:
A) $15$
B) $16$
C) $20$
D) $26$
E) $32$

Resolução: Há $2^5=32$ números de cinco algarismos formados apenas com os algarismos $1$ ou $2$. Destes, metade têm mais algarismos $1$ do que algarismos $2$. Opção correta: B).

Resposta correta: B
Problema: O César desenhou a figura seguinte, em que $\overline{AB}=\overline{BC}$ e o triângulo $[DEF]$ é equilátero. Qual destas relações é verificada pelas amplitudes dos ângulos $a, b$ e $c$? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,-0.5)(5,5.5) \pspolygon(0,0)(4,0)(2,5) \psline(2.42494,0)(3.05263,2.36842) \psline(3.05263,2.36853)(0.68767,1.72781) \psline(0.68767,1.72781)(2.42494,0) \rput(-0.3,-0.2){\small $A$} \rput(4.3,-0.2){\small $C$} \rput(2,5.4){\small $B$} \rput(3.4,2.6){\small $D$} \rput(2.4,-0.4){\small $E$} \rput(0.3,1.9){\small $F$} \rput(1.3,2.3){\scriptsize $b$} \rput(1.7,0.3){\scriptsize $a$} \rput(3.1,1.6){\scriptsize $c$} \psarc[linewidth=0.4pt](0.68767,1.72781){.3}{12}{65} \psarc[linewidth=0.4pt](2.42494,0){.3}{133}{177} \psarc[linewidth=0.4pt](3.05263,2.36853){.3}{253}{294} \end{pspicture}

Opções:
A) $2\hat{a}=\hat{b}+\hat{c}$
B) $2\hat{a}=\hat{b}-\hat{c}$
C) $2\hat{b}=\hat{a}+\hat{c}$
D) $2\hat{c}=\hat{a}+\hat{b}$
E) $\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}=120^{\circ}$

Resolução: Como $\angle AED$ é um ângulo externo de $[EDC]$, então $A\widehat ED=E\widehat DC+E\widehat CD$, ou seja, $a+60=c+E\widehat CD$. Logo $E\widehat CD=60+a-c$. Analogamente, uma vez que $\angle BFE$ é externo a $[AEF]$, temos $E\widehat AF=60+b-a$. Como $\overline{AB}=\overline{BC}$, então $E\widehat CD=E\widehat AF$, ou seja, $60+a-c=60+b-a$. Logo $2a=b+c$. Opção correta: A).

Resposta correta: A
Problema: O César decide ler toda a coleção de “Matemática divertida” do pai que é composta por vários livros de $30$ páginas cada um. Ele estabeleceu o seguinte esquema de leitura: no primeiro dia lê uma página, no segundo dia lê duas páginas, no terceiro dia lê três páginas e assim sucessivamente durante $30$ dias. Em quantos desses dias, o César acaba a sua leitura no fim de um livro da coleção?

Opções:
A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $3$
E) $4$

Resolução: O número de páginas lidas desde o dia $1$ até ao dia $n$ é $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$. Para este número ser múltiplo de $30$ é necessário que $n$ ou $n+1$ seja múltiplo de $5$. Calculando o valor de $\dfrac{n(n+1)}{2}$ para $n=4, 5, 9, 10, 14, 15, 19, 20, 24, 25, 29, 30$, concluímos que este número é múltiplo de $30$ apenas para $n=15,20,24$. Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: O César numerou os nove vértices de uma pirâmide de base octogonal com os algarismos $1,2$ ou $3$ de forma que a soma dos algarismos, em cada face (incluindo a base), seja divisível por $3$. Sabendo que os algarismos não são todos iguais a $3$, quais são os valores possíveis para a soma dos algarismos de todos os vértices?

Opções:
A) $12$
B) $12$ e $18$
C) $15$
D) $15$ e $18$
E) $18$

Resolução: Sejam $f_1,\ldots, f_8,b$ as somas dos números de cada face lateral e da base da pirâmide. Então $f_1+f-2+f_3+f_4+f_5+f_6+f_7+f_8-2b$ é um múltiplo de $3$, que é $8$ vezes o número que está no vértice da pirâmide. Logo no vértice está o número $3$. Como cada $f_i$ é um múltiplo de $3$, então os valores do vértices da base são todos $3$, ou alternadamente $1$ e $2$. Como sabemos que não são todos $3$, então a soma de todos os vértices é $1+2+1+2+1+2+1+2+3=15$. Opção correta: C).

Resposta correta: C
Problema: O Nuno foi a um parque de diversões. Ele quer andar em três montanhas russas e três carrosséis, mas não quer andar duas vezes seguidas no mesmo tipo de diversão. De quantas formas pode o Nuno passar pelas seis diversões?

Opções:
A) 18
B) 36
C) 72
D) 360
E) 720

Resolução: Opção C. ($2\times 6\times 6$, uma vez que há $6$ formas de escolher a ordenação de cada tipo de diversão.)

Resposta correta: C
Problema: Há três tipos de bilhete para entrar no parque. O bilhete normal custa $13$, o bilhete de criança custa $5$ e o bilhete sénior custa $7$. Um grupo de amigos foi ao parque de diversões e pagou no total $120$. Nesse grupo, cada adulto (normal ou sénior) levava duas crianças. Quantos bilhetes normais compraram?

Opções:
A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $6$
E) $10$

Resolução: Opção C. (Um adulto normal paga $23$ e um sénior paga $17$. Tem-se $120=3\times 23+3\times 17$.)

Resposta correta: C
Problema: Uma das diversões do parque é um elevador de $7$ andares, numerados de $1$ a $7$. O elevador está inicialmente parado num andar e termina parando noutro andar. Em cada etapa, o elevador move-se $3$ ou $5$ andares, para cima ou para baixo. Sabendo que o elevador fica parado em cada andar uma única vez, em que andares pode ter começado o elevador?

Opções:
A) $1$ ou $7$
B) $1$, $4$ ou $7$
C) $2,4$ ou $6$
D) $3$ ou $5$
E) qualquer um

Resolução: Opção D. (Os únicos caminhos possíveis são $3-6-1-4-7-2-5$ ou o inverso.)

Resposta correta: D
Problema: O parque de diversões tem a forma de um paralelogramo. A zona aquática mede $25$ hectares, a zona infantil mede $10$ hectares e a zona radical mede $30$ hectares, como indica a figura. Quanto mede, em hectares, a zona de merendas, sombreada na figura? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-0.5,0)(12.5,0) \small \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=gray!50](7.5,5)(12,5)(7.75,2.75) \pspolygon(0,0)(8,0)(12,5)(4,5) \psline(0,0)(7.5,5) \psline(4,5)(2.5,0) \psline(2.5,0)(12,5) \psline(8,0)(7.5,5) \rput(2.1,0.75){$10$} \rput(4.75,4){$25$} \rput(6.5,1){$30$} \end{pspicture}

Opções:
A) $5$
B) $15$
C) $20$
D) $25$
E) $75$

Resolução: Opção B. (Tem-se $25+x=10+30$.)

Resposta correta: B
Problema: Na rua onde o Santiago mora, estão a organizar um concurso em que é preciso acertar com bolas num alvo. Por cada bola que acerta no alvo, o jogador ganha $28$, $15$ ou $7$ pontos. O objectivo do concurso é conseguir exatamente $105$ pontos. Qual o número mínimo de bolas necessário para ganhar o concurso? (image1) (image2)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-3,0)(3,0) \pscircle(0,0){1.6} \rput(0,0){$28$} \pscircle(0,0){3.7} \rput(2.6,0){$15$} \pscircle(0,0){5.8} \rput(4.75,0){$7$} \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \rput(-67,5){\rotatebox{45}{\LARGE\color{blue}\bf Gonçalo}} \end{pspicture}

Opções:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

Resolução: Opção D. ($105=3\times 28+3\times 7$.)

Resposta correta: D
Problema: O vencedor do concurso vai receber chocolates e rebuçados. Ele pode escolher quantos chocolates e quantos rebuçados quer, desde que respeite as seguintes regras: a soma do triplo dos chocolates com o quíntuplo dos rebuçados é menor que $47$ e a diferença entre o quíntuplo dos chocolates e o dobro dos rebuçados é menor que $20$. Qual é o maior número de chocolates que o vencedor pode receber?

Opções:
A) $4$
B) $5$
C) $6$
D) $8$
E) $15$

Resolução: Opção B. (Podem ser $5$ chocolates e entre $3$ e $6$ rebuçados.)

Resposta correta: B
Problema: Num fundo da rua existe um largo com a forma de um quadrado e que mede $108m^2$. O largo está dividido em $9$ quadrados iguais. O concurso de bolas ao alvo vai realizar-se na zona do quadrado central que está pintada a azul na figura. Qual é a área da região onde se vai realizar o concurso? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-3,0)(3,3) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline(1,0)(1,3) \psline(2,0)(2,3) \psline(0,1)(3,1) \psline(0,2)(3,2) \psline(1,0)(3,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,1)(1.667,1)(2,1.5)(2,2)(1,2) \end{pspicture}

Opções:
A) $8$
B) $9$
C) $10$
D) $11$
E) $12$

Resolução: Opção D. (Cada quadradinho mede $12$ m$^2$ e o triângulo no quadrado central mede $1$ m$^2$.)

Resposta correta: D
Problema: Nessa rua existem quatro casas de cada lado, colocadas frente a frente. As casas do lado esquerdo vão ser pintadas de azul, vermelho, branco e rosa e as do lado direito de azul, vermelho, preto e laranja. De quantas maneiras diferentes podem ser pintadas as casas da rua, de modo que casas frente a frente não tenham a mesma cor?

Opções:
A) $14$
B) $96$
C) $168$
D) $288$
E) $336$

Resolução: Opção E. (No lado esquerdo há $24$ possibilidades e para cada, há $14$ possibilidades no lado direito.)

Resposta correta: E
Problema: A Ana desenhou um hexágono regular e pintou-o de verde e azul como se apresenta na figura. Se a área azul mede $420$ cm$^2$, quantos cm$^2$ mede a área pintada de verde? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,0) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linestyle=none](2;60)(2;120)(2;180)(-1,0) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](2;240)(2;60)(2;0) \psline(2;60)(2;240) \psline(2;60)(-1,0) \psline(2;0)(2;240) \pspolygon(2;0)(2;60)(2;120)(2;180)(2;240)(2;300) \psline(-2,0)(2,0) \psline(-1,-1.732)(-1,1.732) \end{pspicture}

Opções:
A) $140$
B) $210$
C) $280$
D) $315$
E) $420$

Resolução: Se traçarmos as três medianas de triângulos indicadas na figura, decompomos as regiões pintadas em sete triângulos com a mesma base e a mesma altura. Assim concluímos que a área pintada de verde mede $\frac34$ da área pintada de azul, ou seja, $\frac34\times 420=315$. Opção correta: D). (image2)


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{pspicture}(0,-1)(0,-1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linestyle=none](2;60)(2;120)(2;180)(-1,0) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](2;240)(2;60)(2;0) \psline(2;60)(2;240) \psline(2;60)(-1,0) \psline(2;0)(2;240) \pspolygon(2;0)(2;60)(2;120)(2;180)(2;240)(2;300) \psline(-2,0)(2,0) \psline(-1,-1.732)(-1,1.732) \psline(-1,0)(0,1.732) \psline(1,0)(2;60) \psline(2;240)(1,0) \end{pspicture}

Resposta correta: D