tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema: No clube dos Magos do Oriente, todos os sócios podem votar para escolher o presidente. Nas últimas eleições havia dois candidatos. O vencedor obteve o dobro dos votos do adversário. Os sócios Belchior, Baltazar e Gaspar não estavam presentes e foram os únicos sócios que não votaram. Sabendo que $64\%$ dos sócios votaram no vencedor, quantos sócios tem o clube?

Opções:
A) $64$
B) $75$
C) $96$
D) $100$
E) $133$

Resolução: Como o vencedor obteve o dobro dos votos do adversário e $64\%$ votaram no vencedor, $32\%$ votaram no outro candidato. Assim $100-(64+32)=4 \%$ dos sócios não votaram. Sabemos que foram $3$ sócios que não votaram, se $x$ é o número de sócios do clube, tem-se (table1) logo $x=\frac{300}{4}$. O clube tem $75$ sócios. Opção B)


Conteúdo referenciado:
[table1]
\begin{tabular}{c} $4 - 100$ \\ $ 3 - x $ \end{tabular}

Resposta correta: B
Problema: O convite da festa de anos do Filipe contém um retângulo central com 17 cm$^2$ de área. Prolongando cada lado deste retângulo para o dobro, obtém-se um vértice do convite, como na figura. Qual é a área total do convite, em cm$^2$? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-4.5,-3)(4.5,3) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](-1.5,-1)(1.5,-1)(1.5,1)(-1.5,1) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](-1.5,1)(4.5,1)(-1.5,3) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](1.5,-1)(-4.5,-1)(1.5,-3) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](-1.5,-1)(-4.5,-1)(-1.5,3) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](1.5,1)(4.5,1)(1.5,-3) \pspolygon(-4.5,-1)(1.5,-3)(4.5,1)(-1.5,3) \psline(-1.5,1)(4.5,1) \psline(1.5,-1)(-4.5,-1) \psline(-1.5,-1)(-1.5,3) \psline(1.5,1)(1.5,-3) \end{pspicture}

Opções:
A) $34$
B) $51$
C) $68$
D) $85$
E) $102$

Resolução: Cada triângulo tem o dobro da largura do retângulo e a mesma altura, logo tem a mesma área. Portanto, a área do convite é $5\times 17=85$ cm$^2$. Opção correta: D)

Resposta correta: D
Problema: O Filipe organizou uma competição com os amigos. Um dos desafios era descobrir o algarismo das unidades do número $2^{2021}+0^{2021}+2^{2021}+1^{2021}$. Qual é a solução deste desafio?

Opções:
A) $1$
B) $3$
C) $5$
D) $7$
E) $9$

Resolução: Dividindo o hexágono em losangos, do modo indicado na figura, a área de cada losango mede $\frac{36}{12}=3$ cm$^2$. O polígono azul ocupa 9 losangos, logo a sua área mede $9\times 3=27$ cm$^2$. (image1) Opção correta: A)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1;0)(0.866;30)(0.5;60)(0.866;90)(1;120)(0.866;150)(0.5;180)(0.866;210)(1;240)(0.866;270)(0.5;300)(0.866;330) \pspolygon(1;0)(1;60)(1;120)(1;180)(1;240)(1;300) \psline(1;120)(0.5;120)(0.5;60)(0.5,0)(1,0) \psline(0.5,0)(0.5;300)(0.5;240)(1;240) \psline(0.5;240)(0.5;180)(0.5;120)(0,0)(0.5,0) \psline(0.5;240)(0,0) \end{pspicture}

Resposta correta: A
Problema: No final da competição, o Filipe entregou um prémio a cada um dos seus $21$ amigos. O prémio por uma medalha de ouro era de $20$ rebuçados, por uma de prata $10$ rebuçados, por uma de bronze $5$ rebuçados e por uma menção honrosa $2$ rebuçados. A quem não recebeu nenhum deste prémios, o Filipe deu um rebuçado. O número de amigos medalhados foi um sexto do número de amigos que não recebeu nenhuma medalha. Ao todo, o Filipe entregou $54$ rebuçados. Sabendo que não houve medalhas de prata, quantas menções honrosas houve?

Opções:
A) $6$
B) $7$
C) $8$
D) $9$
E) $10$

Resolução: O elevador ainda poderia levar $60$ caixas pequenas, ou seja a parte do elevador vazia é representada pela fração $\frac{60}{102}$ . Sendo assim, queremos que esta parte seja ocupada por caixas grandes. Se $x$ for o número de caixas grandes, a parte do elevador ocupada por $x$ caixas grandes é $\frac{x}{68}$. Igualando estas duas expressões, tem-se $$ \frac{x}{68}=\frac{60}{102} \Longleftrightarrow x=\frac{60 \times 68}{102} \Longleftrightarrow x=40 $$ O Diogo ainda pode colocar $40$ caixas grandes. Opção correta: C)

Resposta correta: C
Problema: O João encontrou no supermercado a seguinte promoção: "Compre três pacotes de bolachas e leve o quarto pacote por apenas $6$ cêntimos." O João aproveitou a promoção e pelos quatro pacotes de bolachas pagou $3$ euros. Qual é o preço de um pacote de bolachas?

Opções:
A) $94$ cêntimos
B) $96$ cêntimos
C) $97$ cêntimos
D) $98$ cêntimos
E) $1$ euro

Resolução: Opção D. (Os três pacotes custaram $3-0,06=2,94$, logo cada pacote custa $\frac{2,94}{3}=0,98$)

Resposta correta: D
Problema: O João uniu dois retângulos e três triângulos equiláteros, como se mostra na figura. Unindo os centros dos cinco polígonos, criou o pentágono colorido da figura. Se a área de cada retângulo é $9$ cm$^2$ e a área de cada triângulo é $5$ cm$^2$, qual é a área, em cm$^2$, do pentágono? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linewidth=2pt](-2,-1.5)(2,-1.5)(2.31;30)(2.31;90)(2.31;150) \pspolygon(-4,0)(-4,-3)(4,-3)(4,0)(4;60)(4;120) \psline(-4,0)(4,0) \psline(0,-3)(0,0)(4;60) \psline(0;0)(4;120) \end{pspicture}

Opções:
A) $\frac{19}{2}$
B) $\frac{21}{2}$
C) $\frac{23}{2}$
D) $12$
E) $14$

Resolução: Opção A. (A área ocupa um triângulo equilátero e meio retângulo, ou seja, $5+\frac{9}{2}=\frac{19}{2}$ cm$^2$.)

Resposta correta: A
Problema: O João disse a um amigo: "A metade do triplo da minha idade é o dobro da terça parte da tua idade." Qual é o quociente entre a idade do mais velho dos dois e a idade do outro?

Opções:
A) $1$
B) $\frac{2}{3}$
C) $\frac{9}{4}$
D) $\frac{3}{2}$
E) $\frac{9}{2}$

Resolução: Opção C. (Multiplicando a idade do João por $\frac{3}{2}$ e novamente por $\frac{3}{2}$, obtemos a idade do amigo.)

Resposta correta: C
Problema: O João partilhou as suas bolachas com os amigos. O Afonso comeu metade das bolachas que o Bruno comeu, o Carlos comeu mais três bolachas do que o Afonso, o David só comeu uma bolacha e o João comeu tantas bolachas como as que os seus amigos comeram juntos. Ao todo comeram $80$ bolachas. Quantas bolachas comeu o Carlos?

Opções:
A) $9$
B) $12$
C) $15$
D) $16$
E) $18$

Resolução: Opção B. (O Afonso, Bruno, Carlos e João comeram respetivamente $9$, $18$, $12$ e $40$ bolachas.)

Resposta correta: B
Problema: O João comprou $120$ selos nos correios, alguns com o valor de $3$ cêntimos e os restantes de $6$ cêntimos. O João pagou com uma nota de $5$. Qual é que poderia ter sido o troco?

Opções:
A) $0$
B) $0,74$
C) $1,05$
D) $1,52$
E) $1,70$

Resolução: Opção B. (O troco pode variar entre $0$ e $1,40$ e, em cêntimos, tem resto $2$ na divisão por $3$.)

Resposta correta: B
Problema: A Ana, o Bernardo, a Carla e o Diogo têm a mesma idade. Qual dos seguintes algarismos não pode ser o algarismo das unidades do produto das idades dos quatro amigos?

Opções:
A) $0$
B) $1$
C) $5$
D) $6$
E) $9$

Resolução: Opção E. (O algarismo das unidades de $10^4$ é $0$, o de $11^4$ é $1$, o de $12^4$ é $6$ e o de $15^4$ é $5$.)

Resposta correta: E
Problema: Para ir da sua casa até à casa do Diogo, a Ana tem de percorrer ruas com sentido único, como indicado na figura. Quantos caminhos diferentes a Ana tem à escolha para ir da sua casa até à casa do Diogo? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(6,1.732) \pspolygon(0,0)(6,0)(5,1.732)(1,1.732) \psline[ArrowInside=->,arrowscale=2.5](0,0)(2,0) \psline[ArrowInside=->,arrowscale=2.5](2,0)(4,0) \psline[ArrowInside=->,arrowscale=2.5](4,0)(6,0) \psline[ArrowInside=->,arrowscale=2.5](1,1.732)(3,1.732) \psline[ArrowInside=->,arrowscale=2.5](3,1.732)(5,1.732) \psline[ArrowInside=->,arrowscale=2.5](0,0)(1,1.732) \psline[ArrowInside=->,arrowscale=2.5](2,0)(1,1.732) \psline[ArrowInside=->,arrowscale=2.5](2,0)(3,1.732) \psline[ArrowInside=->,arrowscale=2.5](3,1.732)(4,0) \psline[ArrowInside=->,arrowscale=2.5](4,0)(5,1.732) \psline[ArrowInside=->,arrowscale=2.5](5,1.732)(6,0) \rput(-0.5,0){Ana} \rput(6.7,0){Diogo} \end{pspicture}

Opções:
A) $1$
B) $7$
C) $11$
D) $16$
E) $20$

Resolução: Opção C. (Há $3\times 3$ trajetos que passam pelo vértice central e $2$ trajetos que não passam.)

Resposta correta: C
Problema: A Carla pediu ao Bernardo que escrevesse todos os números entre $100$ e $1000$, constituídos apenas pelos algarismos $0$, $1$, $2$, $3$ ou $5$, sem repetição. Quantos destes números são divisíveis por $6$?

Opções:
A) $7$
B) $8$
C) $10$
D) $12$
E) $13$

Resolução: Opção A. (O Bernardo escreveu os números $102$, $120$, $132$, $150$, $210$, $312$ e $510$.)

Resposta correta: A
Problema: A Ana escolheu o número $A=50^6$, o Bernardo o número $B=10^{10}$ e a Carla o número $C=6^{15}$. Por que ordem deve o Diogo colocar os números escolhidos de modo que fiquem por ordem crescente?

Opções:
A) $A<B<C$
B) $B<A<C$
C) $C<B<A$
D) $A<C<B$
E) $B<C<A$

Resolução: Opção B. ($10^{10}=2^4\times 5^4\times 10^6<5^2\times 5^4\times 10^6=50^6=(2^2\times 5^4)^3<(2^2\times 3^2\times 6^3)^3=(6^5)^3=6^{15}$.)

Resposta correta: B
Problema: Num quadrado com $6$ cm de lado, o Pedro traçou alguns segmentos de reta unindo vértices e pontos médios de lados, tal como se mostra na figura. Qual é, em cm$^2$, a área do paralelogramo sombreado? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(15,6) \rput(9,0){ \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0)(4,2)(6,6)(2,4) \pspolygon(0,0)(6,0)(6,6)(0,6) \psline(0,0)(6,3) \psline(0,0)(3,6) \psline(0,3)(6,6) \psline(3,0)(6,6) } \end{pspicture}

Opções:
A) $2$
B) $4$
C) $6$
D) $8$
E) $12$

Resolução: Opção E. (O paralelogramo tem um terço da área do quadrado, ou seja, $ 12$ cm$^2$.)

Resposta correta: E
Problema: O Pedro escreveu todos os números de seis algarismos começados por $20210$ e reparou que apenas um deles é um número primo. Qual é o último algarismo desse número?

Opções:
A) $1$
B) $3$
C) $4$
D) $7$
E) $9$

Resolução: Opção E. ($202101$ e $202107$ são múltiplos de $3$; $202103$ é múltiplo de $11$; $2020104$ é par.)

Resposta correta: E
Problema: Para cada número real $x$, define-se o valor de $f(x)$ como sendo o mínimo dos números $\{4x+1,x+2,-2x+4\}$. Por exemplo, $f(\mathbf{3})={\text{\sf mínimo}}\{4\times \mathbf{3}+1,\mathbf{3}+2,-2\times \mathbf{3}+4\}={\text{\sf mínimo}}\{13,5,-2\}=-2.$ Qual é o maior valor possível para $f(x)$?

Opções:
A) $\dfrac13$
B) $\dfrac23$
C) $\dfrac53$
D) $\dfrac83$
E) $\dfrac{11}3$

Resolução: Opção D. ($f(\frac23)=\frac83$; se $x<\frac23$, $x+2<\frac83$; se $x>\frac23$, $-2x+4<\frac83$)

Resposta correta: D
Problema: O Raul tem um grande caderno em que as páginas não estão numeradas. Ele tem autocolantes com os algarismos de $0$ a $9$, e decidiu numerar as páginas do caderno. O Raul tem autocolantes suficientes de cada algarismo, mas tem apenas $22$ autocolantes do algarismo $2$. Começando na página $1$, quantas páginas consecutivas é que o Raul consegue numerar?

Opções:
A) $22$
B) $99$
C) $112$
D) $119$
E) $199$

Resolução: Entre $1$ e $99$ há dez números em que o algarismo das unidades é o $2$ e dez números em que o algarismo das dezenas é o $2$. Para numerar as páginas até $100$, o Raul precisa de usar $20$ autocolantes com o algarismo $2$, ficando a sobrar apenas dois autocolantes. Os próximos números com o algarismo $2$ são $102$, $112$ e $120$, e portanto a última página que o Raul consegue numerar é o $119$. Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: Na capa do caderno do Raul está representado um triângulo retângulo $[ABC]$, um quadrado $[ACDE]$ e um retângulo $[BCFG]$. Sabendo que $\overline{AB}=\overline{BG}=2$ cm e que a área do quadrado é igual à área do retângulo, quanto mede, em cm, o lado $[BC]$? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,-1.5)(2.5,1.9) \small \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linestyle=none](0,0)(1.61803,0)(1.61803,-1)(0,-1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](1.61803,0)(2.40419,1)(1.40419,1.78615)(0.61803,0.78615) \psline(0.61803,0.78615)(0,0)(0,-1)(1.61803,-1)(1.61803,0)(2.40419,1)(1.40419,1.78615)(0.61803,0.78615)(1.61803,0) \psline(1.61803,0)(0,0) \uput{0.05}[135](0.61803,0.78615){$A$} \uput{0.05}[180](0,0){$B$} \uput{0.08}[0](1.61803,0){$C$} \uput{0.05}[0](2.40419,1){$D$} \uput{0.05}[90](1.40419,1.78615){$E$} \uput{0.05}[-45](1.61803,-1){$F$} \uput{0.05}[225](0,-1){$G$} \psline(0.49443,0.62892)(0.65166,0.50531)(0.77526,0.66254) \end{pspicture}

Opções:
A) $\sqrt{5}-2$
B) $\sqrt{5}-1$
C) $\sqrt{5}$
D) $\sqrt{5}+1$
E) $\sqrt{5}+2$

Resolução: Seja $x$ a medida do lado $[BC]$, e consequentemente a área do retângulo $[BCFG]$, e do quadrado $[ACDE]$, é $\overline{BG}\times \overline{BC}=2x$. Usando o Teorema de Pitágoras, obtemos que $$\overline{AB}^2+\overline{CA}^2=\overline{BC}^2\Leftrightarrow 2^2+2x=x^2 \Leftrightarrow x^2=4+2x\;.$$ O lado $[BC]$ é a hipotenusa do triângulo retângulo $[ABC]$, e portanto a sua medida é maior do que $\overline{AB}$. A resposta certa é assim uma das opções: C, D ou E. Fazendo $x=\sqrt{5}+1$, verificamos que a igualdade $x^2=2x+4$ é satisfeita. Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: O Raul escreveu no seu caderno todos os $120$ números com $4$ algarismos que contêm apenas os algarismos $1,2,3,4,5$ e em que cada um deles aparece no máximo uma vez. Depois calculou a soma de todos esses $120$ números. Qual foi o resultado dessa soma?

Opções:
A) $16665$
B) $33330$
C) $166650$
D) $199980$
E) $399960$

Resolução: Cada um dos cinco dígitos aparece um número igual de vezes como algarismo das unidades, das dezenas, das centenas e dos milhares, ou seja cada um dos dígitos é usado $\frac{120}{5}=24$ vezes em cada uma das posições. A soma dos algarismos das unidades é portanto $24\times (1+2+3+4+5)=24\times 15=360$. De igual modo a soma dos algarismos das dezenas, das centenas e dos milhares é $360$, donde se conclui que a soma dos $120$ números é igual a: $$360+10\times 360+100\times 360+1000\times 360=1111\times 360=399960\,.$$ Opção correta: E).

Resposta correta: E
Problema: Na contra-capa do caderno está um retângulo $[ABCD]$, cujas medidas dos lados são $\overline{AB}=6$ cm e $\overline{AD}=30$ cm. O ponto $G$ é o ponto médio de $[AD]$ e o ponto $E$ pertence ao prolongamento de $[AB]$ e é tal que $\overline{BE}=2$ cm. Se $F$ é o ponto de interseção de $[ED]$ com $[BC]$, qual é a área do quadrilátero $[BFDG]$ em cm$^2$? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,-2)(30,6) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,0)(7.5,0)(30,6)(15,6) \psline(15,6)(0,0)(0,-2)(30,6) \psline(30,6)(0,6)(0,0)(30,0)(30,6) \uput[135](0,6){$A$} \uput[180](0,0){$B$} \uput[0](30,0){$C$} \uput[45](30,6){$D$} \uput[270](0,-2){$E$} \uput[-45](7.5,0){$F$} \uput[90](15,6){$G$} \end{pspicture}

Opções:
A) $60$
B) $67,5$
C) $75$
D) $82,5$
E) $90$

Resolução: Os triângulos retângulos $[BEF]$ e $[CDF]$ são semelhantes, uma vez que os ângulos $E\widehat{F}B$ e $D\widehat{F}C$ são iguais, por serem verticalmente opostos. Como $\frac{\overline{BE}}{\overline{CD}}=\frac{1}{3}$, pela semelhança dos triângulos $\frac{\overline{BF}}{\overline{CF}}=\frac{1}{3}$ e consequentemente $\overline{BF}=\frac{1}{4}\overline{BC}=7,5$. A área do paralelogramo $[BFDG]$ é $\ds \frac{\overline{BF}+\overline{DG}}{2}\times \overline{AB} =\frac{7,5+15}{2}\times 6=67,5$. Opção correta: B).

Resposta correta: B
Problema: Qual é a ordenação dos números $x=50^6$, $y=10^{10}$ e $z=6^{15}$ por ordem crescente?

Opções:
A) $x<y<z$
B) $y<x<z$
C) $y<z<x$
D) $z<y<x$
E) $z<x<y$

Resolução: Opção B. ($10^{10}=2^4\times 5^4\times 10^6<5^2\times 5^4\times 10^6=50^6=(2^2\times 5^4)^3<(2^2\times 3^2\times 6^3)^3=(6^5)^3=6^{15}$.)

Resposta correta: B
Problema: Tanto o número $122$ como o número $2021$ têm exatamente dois algarismos iguais a $2$. Quantos números inteiros positivos menores do que $10000$ têm esta propriedade?

Opções:
A) $171$
B) $180$
C) $486$
D) $513$
E) $627$

Resolução: Opção C. (Há $6$ escolhas para a posição dos algarismos $2$ e $9^2$ escolhas para os outros algarismos.)

Resposta correta: C
Problema: O retângulo da figura tem lados de comprimento $6$ e $10$. O paralelogramo $[AECF]$ tem área $12$ e o segmento de reta $[GE]$ é perpendicular ao segmento­ de reta $[AF]$. Quando mede o segmento de reta $[GE]$? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,-1)(10,5) \small \pspolygon[linewidth=0.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linestyle=none](0,0)(2,0)(10,6)(8,6) \pspolygon[linewidth=0.5pt](0,0)(10,0)(10,6)(0,6) \psline[linewidth=0.5pt](0,0)(8,6) \psline[linewidth=0.5pt](2,0)(10,6) \psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.28,0.96) \rput(-0.5,-0.5){$A$} \rput(10.5,-0.5){$B$} \rput(10.5,6.5){$C$} \rput(-0.5,6.5){$D$} \rput(2,-0.5){$E$} \rput(8,6.5){$F$} \rput(1.1,1.5){$G$} \end{pspicture}

Opções:
A) $\dfrac{3}{4}$
B) $\dfrac{4}{5}$
C) $1$
D) $\dfrac{6}{5}$
E) $\dfrac{4}{3}$

Resolução: Opção D. (Tem-se $\overline{EC}=\sqrt{6^2+8^2}=10$ e a área de $[AECF]$ é $12=\overline{EC}\times\overline{GE}$.)

Resposta correta: D
Problema: Quantos pares $(x,y)$ de números inteiros positivos são soluções da equação $$x^2y^5=6^{12}?$$

Opções:
A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $3$
E) $4$

Resolução: Opção E. (As soluções $(x,y)$ são $(2\times 3,2^2\times 3^2)$, $(2^6\times 3,3^2)$, $(2\times 3^6,2^2)$, $(2^ 6\times 3^6,1)$.)

Resposta correta: E
Problema: A Alice, a Beatriz e a Carolina são irmãs. A soma das idades das três irmãs é $42$. A Alice tem o dobro da idade da Beatriz. A Carolina é dois anos mais nova do que a Beatriz. Qual é a idade da Beatriz?

Opções:
A) $10$
B) $11$
C) $12$
D) $13$
E) $14$

Resolução: Opção B. (A Alice tem $22$ anos, a Beatriz tem $11$ anos e a Carolina tem $9$ anos.)

Resposta correta: B
Problema: No quarto da Alice está um quadro com uma fotografia das três irmãs. A fotografia é um retângulo de largura $3$ dm e altura $5$ dm e a moldura tem largura constante, como na figura. Sabendo que o perímetro da fotografia mede metade do perímetro do quadro, qual é a área total do quadro? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(7,7) \pspolygon[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=brown!50](0,0)(21,0)(21,27)(0,27) \rput(6,6){\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0)(9,0)(9,15)(0,15)} \end{pspicture}

Opções:
A) $20$ dm$^2$
B) $30$ dm$^2$
C) $42$ dm$^2$
D) $56$ dm$^2$
E) $63$ dm$^2$

Resolução: Opção E. (O quadro tem largura $3+4=7$ dm e altura $5+4=9$ dm.)

Resposta correta: E
Problema: A Carolina vai de casa até à escola de bicicleta, por ruas de sentido único. Na figura está representado o sentido de cada rua. De quantas formas pode a Carolina escolher o trajeto? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(9,1.732) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](0,0)(2,0) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](2,0)(4,0) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](4,0)(6,0) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](6,0)(8,0) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](1,1.732)(3,1.732) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](3,1.732)(5,1.732) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](5,1.732)(7,1.732) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](7,1.732)(9,1.732) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](0,0)(1,1.732) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](2,0)(1,1.732) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](2,0)(3,1.732) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](4,0)(3,1.732) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](4,0)(5,1.732) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](6,0)(5,1.732) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](6,0)(7,1.732) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](8,0)(7,1.732) \psline[linewidth=0.5pt,ArrowInside=->,arrowscale=2](8,0)(9,1.732) \rput(-1,0){Casa} \rput(10,1.732){Escola} \end{pspicture}

Opções:
A) $1$
B) $7$
C) $9$
D) $16$
E) $20$

Resolução: Opção C. (A Carolina tem de escolher um dos nove caminhos ascendentes.)

Resposta correta: C
Problema: Na parede da escola da Carolina está a inscrição $123456789101112\cdots201920202021$, formada pelos números inteiros de $1$ a $2021$, colocados lado a lado. Quantos algarismos tem esta inscrição?

Opções:
A) $4042$
B) $5555$
C) $6063$
D) $6977$
E) $8084$

Resolução: Opção D. ($9\times 1+90\times 2+900\times 3+1022\times 4=6977$.)

Resposta correta: D
Problema: No dia de Reis, o Pedro recebeu um saco de berlindes dos avós. O saco continha $15$ berlindes azuis, $12$ verdes, $9$ brancos, $30$ dourados e $2$ vermelhos. Quantos berlindes ele deve retirar do saco, de olhos fechados, para ter a certeza que retira berlindes de $3$ cores diferentes?

Opções:
A) $4$
B) $12$
C) $28$
D) $32$
E) $46$

Resolução: Opção E. ($30+15+1=46$.)

Resposta correta: E
Problema: O Pedro sobrepôs dois quadrados, como se mostra na figura. Qual é o valor de $x + y$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,-6)(15,6) \pspolygon(0,0)(6,0)(6,6)(0,6) \rput(-1,-6){\rotatebox{30}{ \pspolygon(0,0)(6,0)(6,6)(0,6)}} \psarc(0,1.50555){1}{90}{210} \psarc(2.4641,0){1}{300}{360} \rput(-2,2){$x^\circ$} \rput(4.5,-1){$y^\circ$} \end{pspicture}

Opções:
A) $100$
B) $120$
C) $150$
D) $180$
E) $300$

Resolução: Opção D. (Os ângulos na interseção têm amplitudes $x^\circ$, $y^\circ$, $90^\circ$ e $90^\circ$, cuja soma é $360^\circ$.)

Resposta correta: D
Problema: O Pedro escreveu todos os algarismos do número $5^8 \times 8^5$. Quantos algarismos foram escritos pelo Pedro?

Opções:
A) $10$
B) $11$
C) $12$
D) $13$
E) $14$

Resolução: Opção B. ($5^8 \times 8^5=5^8 \times 2^{15}=10^8\times 2^7=128 \times 10^8$.)

Resposta correta: B
Problema: O Pedro dividiu o retângulo $[ABCD]$ da figura em duas regiões. A área da região colorida mede $3/2$ da área da outra região. Sabendo que $\overline{AD}=10$ cm, $\overline{AE}=6$ cm e $\overline{DF}=18$ cm, quanto mede $[EB]$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(20,10) \small \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0)(6,0)(18,10)(0,10) \pspolygon(0,0)(20,0)(20,10)(0,10) \psline(6,0)(18,10) \rput(-1,-1){$A$} \rput(21,-1){$B$} \rput(21,11){$C$} \rput(-0.5,11){$D$} \rput(6,-1){$E$} \rput(18,11){$F$} \end{pspicture}

Opções:
A) $12$ cm
B) $14$ cm
C) $16$ cm
D) $17$ cm
E) $18$cm

Resolução: Opção B. (Área de $[ADFE]=120$ cm$^2$; Área de $[ABCD]=200$ cm$^2$; $\overline{AB}=20$ cm.)

Resposta correta: B
Problema: Numa viagem pelo mundo, enquanto explorava a Terra dos Enigmas, o Zacarias perdeu-se num belo e enigmático castelo. A porta da sala onde se encontrava, tinha nela escrita a seguinte lista de números: $7, 28, 35, 37, 65$. Para que esta se abra, o Zacarias deve riscar um conjunto de números cuja soma perfaça $100$. De quantas formas o pode fazer?

Opções:
A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $3$
E) $4$

Resolução: Se o Zacarias riscar o número $65$, então, para que a soma dos números riscados seja $100$, ele deverá riscar, além do $65$, um conjunto de números cuja soma seja $35$. Ora, ele tem duas possibilidades para isso: ou risca o $35$ ou o $7$ e o $28$. Se, pelo contrário, o Zacarias não riscar o número $65$, então, como a soma dos restantes números é $7 + 28+ 35 +37 = 107$, ele terá necessariamente que riscar os números $28$, $35$ e $37$. Logo, o Zacarias terá que riscar os números de um dos seguintes conjuntos: $\{35, 65\}$, $\{7, 28, 65\}$, ou $\{28, 35, 37\}$. Opção correta: D).

Resposta correta: D