tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema: No quadro da sala de aula do Manuel estão marcados $10$ pontos de uma circunferência. O Manuel quer desenhar uma linha formada por $9$ segmentos de reta com extremidades nesses pontos, sem cruzamentos, como na figura. De quantas maneiras diferentes é possível desenhar essa linha? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \rput(1;0){$\bullet$} \rput(1;36){$\bullet$} \rput(1;72){$\bullet$} \rput(1;108){$\bullet$} \rput(1;144){$\bullet$} \rput(1;180){$\bullet$} \rput(1;216){$\bullet$} \rput(1;252){$\bullet$} \rput(1;288){$\bullet$} \rput(1;324){$\bullet$} \psline(1;144)(1;108)(1;72)(1;180)(1;36)(1;216)(1;252)(1;288)(1;0)(1;324) \end{pspicture}

Opções:
A) $55$
B) $1024$
C) $1280$
D) $362880$
E) $3628800$

Resolução: Opção C. (Há $10$ escolhas para o $1^\circ$ vértice e $2$ para cada um dos seguintes: $\frac{10\times 2^8}{2}=1280$)

Resposta correta: C
Problema: O João pegou num retângulo de lados $5$ dm e $12$ dm e recortou um triângulo, tendo obtido a bandeirola da figura. Sabendo que a diagonal do retângulo mede $13$ dm, qual é o perímetro da bandeirola, em decímetros? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0)(12,0)(0,5)(12,5) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0)(6,2.5)(0,5) \psline(0,0)(12,0) \psline(12,0)(0,5) \psline(0,5)(0,0) \psline(0,0)(12,5) \psline(12,5)(0,5) \psline[linestyle=dashed](12,0)(12,5) \end{pspicture}

Opções:
A) $29$
B) $34$
C) $42$
D) $55$
E) $60$

Resolução: Opção C. (As diagonais intersetam-se nos pontos médios. O perímetro é $12+5+12+13/2+13/2$)

Resposta correta: C
Problema: O João gosta muito de múltiplos de $5$ e, num certo dia, contou todos os múltiplos de $5$ que existem entre $1$ e $2019$. Qual foi o número que o João obteve?

Opções:
A) $125$
B) $375$
C) $376$
D) $403$
E) $404$

Resolução: Opção D. ($2019=5\times 403+4$)

Resposta correta: D
Problema: Usando um tabuleiro quadriculado de dimensão $4\times 6$, o João inventou um jogo que consiste em traçar um caminho desde um canto colorido até ao canto oposto, só usando as casas coloridas e sem repetir casas, como indicado­ na figura. Quantos caminhos diferentes pode o João traçar? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \rotatebox{90}{\multiput(0,0)(0,2){3}{ \multiput(0,0)(1,1){2}{ \multiput(0,0)(2,0){2}{ \pspolygon[linestyle=none,fillcolor=azullogotipo,fillstyle=solid](0,0)(1,0)(1,1)(0,1) }}} \multiput(0,0)(0,1){7}{\psline(0,0)(4,0)} \multiput(0,0)(1,0){5}{\psline(0,0)(0,6)} \psline[linecolor=black,linewidth=1mm](0.5,0.5)(1.5,1.5)(2.5,0.5)(3.5,1.5)(1.5,3.5)(3.5,5.5)} \end{pspicture}

Opções:
A) $6$
B) $9$
C) $12$
D) $15$
E) $18$

Resolução: Opção B. (Ao chegar à $2^a$ casa colorida há $3$ opções e cada uma origina $3$ caminhos diferentes)

Resposta correta: B
Problema: Na figura ao lado está representado um retângulo $[ABEF]$ de lados $\overline{AB}=6$ cm e $\overline{AF}=8$ cm. Sabendo que $3/4$ da área do retângulo está pintada, quanto mede a área de $[ACDEF]$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](0,0)(2,0)(2,1.5)(0,3) \psline(0,0)(4,0) \psline(4,0)(0,3) \psline(0,0)(0,3) \psline(2,0)(2,3)(0,3) \rput(0,-0.3){$A$} \rput(2,-0.3){$B$} \rput(4,-0.3){$C$} \rput(2.3,1.8){$D$} \rput(2,3.3){$E$} \rput(-0.3,3.3){$F$} \end{pspicture}

Opções:
A) $12$ cm$^2$
B) $24$ cm$^2$
C) $48$ cm$^2$
D) $60$ cm$^2$
E) $72$ cm$^2$

Resolução: Opção D. (Área $[ABEF]=48$ cm$^2$ e área $[BCD]=12$ cm$^2$)

Resposta correta: D
Problema: O João registou numa folha, por ordem crescente, todos os números que se escrevem alternando dois algarismos diferentes, começando por $101$, $121$, $\ldots$ e terminando em $2020$. Quantos números registou o João?

Opções:
A) $18$
B) $81$
C) $90$
D) $91$
E) $100$

Resolução: Opção D. (O João registou $9\times 9=81$ números com $3$ algarismos e $10$ números com $4$ algarismos.)

Resposta correta: D
Problema: Numa loja de doces há bombons de quatro tipos de chocolate: branco, leite, negro e rubi. O João quer comprar três desses bombons. De quantas maneiras diferentes pode fazê-lo?

Opções:
A) $20$
B) $24$
C) $32$
D) $40$
E) $64$

Resolução: Opção A. (Há $4$ escolhas com $1$ tipo, $4\times 3=12$ escolhas com $2$ tipos e $4$ escolhas com $3$ tipos.)

Resposta correta: A
Problema: O Diogo gosta de jogos e desafios matemáticos. Estes são os desafios que ele pretende resolver hoje. Podes ajudá-lo a encontrar as soluções? O Diogo tem cinco cartas diferentes, cada uma com uma das letras A, B, C, D ou E. Inicialmente as cartas estavam por ordem alfabética. No primeiro movimento, o Diogo passou a carta do meio para o início, ficando com a sequência CABDE e, no segundo movimento, passou a carta do final para o meio, ficando com CAEBD. De seguida repetiu sucessivamente os dois primeiros movimentos. No final de $2020$ movimentos, qual foi a carta que ficou no ínicio?

Opções:
A) Letra A
B) Letra B
C) Letra C
D) Letra D
E) Letra E

Resolução: Analisem-se as sequências obtidas nos primeiros movimentos realizados ABCDE $\longrightarrow$ CABDE $\longrightarrow$ CAEBD $\longrightarrow$ ECABD $\longrightarrow$ ECDAB $\longrightarrow$ DECAB $\longrightarrow$ DEBCA $\longrightarrow$ BDECA $\longrightarrow$ BDAEC $\longrightarrow$ ABDEC $\longrightarrow$ ABCDE Ao fim de $10$ movimentos, repete-se a sequência inicial. Como $2020=10\times 202$, a carta que ficou no início após $2020$ movimentos foi a carta com a letra A. Opção correta: E)

Resposta correta: E
Problema: O Diogo gosta de jogos e desafios matemáticos. Estes são os desafios que ele pretende resolver hoje. Podes ajudá-lo a encontrar as soluções? Quantos números entre $1$ e $2020$ têm o produto dos seus algarismos igual a $12$?

Opções:
A) $30$
B) $34$
C) $37$
D) $40$
E) $42$

Resolução: O número não pode ter apenas um algarismo. Com dois algarismos, eles têm de ser $2$, $6$ ou $3$, $4$. Há quatro números com dois algarismos que verificam o pretendido ($26$, $62$, $34$, $43$). Com três algarismos, estes têm de ser $1$, $2$, $6$ ou $1$, $3$, $4$ ou $2$, $2$, $3$. Nos dois primeiros casos há $3\times 2=6$ números (três possibilidades para a escolha do primeiro algarismo e duas possibilidades para a escolha do segundo) e no terceiro caso apenas três números (escolher a posição do número $3$). Portanto, com três algarismos há $15$ números que verificam o pretendido. Com quatro algarismos, estes têm de ser $1$, $1$, $2$, $6$ ou $1$, $1$, $3$, $4$ ou $1$, $2$, $2$, $3$. Em todos estes casos o primeiro algarismo tem de ser $1$, caso contrário o número seria maior que $2020$. Nos dois primeiros casos, temos três possibilidades para o segundo algarismo e duas para o terceiro, logo há $6$ números possíveis em cada. Com os algarismos $1$, $2$, $2$, $3$, o primeiro será $1$, e depois há três possibilidades para colocar o $3$ (os restantes algarismos são $2$). Portanto, com quatro algarismos há $6+6+3= 15$ possibilidades. No total há $15+15+4= 34$ números que verificam o pretendido. Opção correta: B)

Resposta correta: B
Problema: O Diogo gosta de jogos e desafios matemáticos. Estes são os desafios que ele pretende resolver hoje. Podes ajudá-lo a encontrar as soluções? O hexágono regular da figura tem $36$ cm$^2$ de área. O Diogo pintou de azul um polígono com todos os lados paralelos a lados do hexágono e usando como vértices trés vértices do hexágono, seis pontos médios de lados do hexágono e três pontos interiores do hexágono, como indicado na figura. Quanto mede a área desse polígono azul, em cm$^2$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1;0)(0.866;30)(0.5;60)(0.866;90)(1;120)(0.866;150)(0.5;180)(0.866;210)(1;240)(0.866;270)(0.5;300)(0.866;330) \pspolygon(1;0)(1;60)(1;120)(1;180)(1;240)(1;300) \end{pspicture}

Opções:
A) $27$
B) $28$
C) $29$
D) $30$
E) $32$

Resolução: Dividindo o hexágono em losangos, do modo indicado na figura, a área de cada losango mede $\frac{36}{12}=3$ cm$^2$. O polígono azul ocupa 9 losangos, logo a sua área mede $9\times 3=27$ cm$^2$. (image2) Opção correta: A)


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1;0)(0.866;30)(0.5;60)(0.866;90)(1;120)(0.866;150)(0.5;180)(0.866;210)(1;240)(0.866;270)(0.5;300)(0.866;330) \pspolygon(1;0)(1;60)(1;120)(1;180)(1;240)(1;300) \psline(1;120)(0.5;120)(0.5;60)(0.5,0)(1,0) \psline(0.5,0)(0.5;300)(0.5;240)(1;240) \psline(0.5;240)(0.5;180)(0.5;120)(0,0)(0.5,0) \psline(0.5;240)(0,0) \end{pspicture}

Resposta correta: A
Problema: O Diogo gosta de jogos e desafios matemáticos. Estes são os desafios que ele pretende resolver hoje. Podes ajudá-lo a encontrar as soluções? No elevador do prédio do Diogo cabem $68$ caixas grandes ou $102$ caixas pequenas. O Diogo colocou no elevador $42$ caixas pequenas. Quantas caixas grandes ainda pode colocar?

Opções:
A) $34$
B) $36$
C) $40$
D) $42$
E) $60$

Resolução: O elevador ainda poderia levar $60$ caixas pequenas, ou seja a parte do elevador vazia é representada pela fração $\frac{60}{102}$ . Sendo assim, queremos que esta parte seja ocupada por caixas grandes. Se $x$ for o número de caixas grandes, a parte do elevador ocupada por $x$ caixas grandes é $\frac{x}{68}$. Igualando estas duas expressões, tem-se $$ \frac{x}{68}=\frac{60}{102} \Longleftrightarrow x=\frac{60 \times 68}{102} \Longleftrightarrow x=40 $$ O Diogo ainda pode colocar $40$ caixas grandes. Opção correta: C)

Resposta correta: C
Problema: A Laura recortou um quadrado de lado $10$, como o representado na figura, ao longo da linha assinalada. Qual é a diferença entre os perímetros das duas figuras que ela obteve? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,8) \multiput(0,0)(0,1){11}{\psline(0,0)(10,0)} \multiput(0,0)(1,0){11}{\psline(0,0)(0,10)} \psline[linewidth=1.2mm,linecolor=blue](2,0)(2,2)(4,2)(4,3)(7,3)(7,2)(6,2)(6,1)(8,1)(8,5)(3,5)(3,7)(5,7)(5,8)(8,8)(8,9)(6,9)(6,10) \end{pspicture}

Opções:
A) $0$
B) $4$
C) $8$
D) $34$
E) $52$

Resolução: Opção B. (A diferença entre os perímetros das figuras é $(4+8)-(6+2)= 4$)

Resposta correta: B
Problema: A Laura escreveu as cinco frações seguintes. Qual dessas frações representa o maior número?

Opções:
A) $\dfrac{2016}{2015}$
B) $\dfrac{2017}{2016}$
C) $\dfrac{2018}{2017}$
D) $\dfrac{2019}{2018}$
E) $\dfrac{2020}{2019}$

Resolução: Opção A. (Os números são $1+\dfrac{1}{2015},\ldots,1+\dfrac{1}{2019}$ sendo o primeiro o maior)

Resposta correta: A
Problema: Qual é o maior número que é possível escrever utilizando cada um dos números $1$, $2$ e $3$ uma única vez e duas operações elementares ($+$, $-$, $\times$, $\colon$ )? Por exemplo, o número $4$ pode ser escrito como $(3-1)\times 2$.

Opções:
A) $6$
B) $7$
C) $8$
D) $9$
E) $10$

Resolução: Opção D. ($9 = (2+1)\times 3$ e os maiores nos possíveis obtêm-se multiplicando nos maiores que $1$)

Resposta correta: D
Problema: A Laura desenhou três linhas num cubo, como na figura. Qual das seguintes opções corresponde à planificação do cubo? (0,0)(4,0)(4,1)(0,1) (1,-1)(2,-1)(2,2)(1,2) (3,0)(3,1) (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,3) \pspolygon(0,0)(2,0)(2,2)(0,2) \psline(2,0)(3,1)(3,3)(1,3)(0,2) \psline(2,2)(3,3) \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](0,0)(2,1)(2.5,2.5)(1,3) \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(0,1) \rput(0,0){\cuboplanificado \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](1,-1)(2,-0.5) \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](1,2)(2,1.5) \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](0,0.5)(0.5,1)} \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(0,0)(0,1) \rput(0,0){\cuboplanificado \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](0,0)(1,0.5)(1.5,1)(1,2)} \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(0,0)(0,1) \rput(0,0){\cuboplanificado \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](1,0)(2,0.5)(2.5,1) \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](3.5,0)(4,1)} \end{pspicture}
[image5]
\begin{pspicture}(0,0)(0,1) \rput(0,0){\cuboplanificado \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](3,0)(4,0.5) \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](0,0.5)(0.5,1) \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](1,1.5)(2,1)} \end{pspicture}
[image6]
\begin{pspicture}(0,0)(0,1) \rput(0,0){\cuboplanificado \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](1,1)(2,1.5) \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](2.5,0)(3,1) \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](0,0.5)(0.5,1) } \end{pspicture}

Opções:
A) (image2)
B) (image3)
C) (image4)
D) (image5)
E) (image6)

Resolução: Opção D. (A, C e E dão origem a linhas separadas; B dá origem à linha [linewidth=0.1pt](0,0)(2,0)(2,2)(0,2) [linewidth=0.1pt](2,0)(3,1)(3,3)(1,3)(0,2) [linewidth=0.1pt](2,2)(3,3) [linecolor=blue,linewidth=1pt](0,0)(2,1)(2.5,2.5)(0,2) )

Resposta correta: D
Problema: A Maria faz coleção de moedas. Ele tinha as moedas guardadas em caixas, com $17$ moedas em cada caixa. O avô deu-lhe uma moeda nova, e a Maria decidiu agora guardar $20$ moedas em cada caixa e ficou com uma caixa vazia. Quantas caixas tem a Maria?

Opções:
A) $1$
B) $3$
C) $5$
D) $7$
E) $9$

Resolução: Opção D. (Há $120$ moedas e $7$ caixas, uma vez que $7\times 17+1=6\times 20$.)

Resposta correta: D
Problema: Para passar o tempo, a Maria e os seus vizinhos inventaram uma operação triangular. Quando escrevem os números $a$, $b$ e $c$ num triângulo #1#2#3 (0,0)(3,0)(3;60) (0.95,0.55)#1 (2.05,0.55)#2 (1.5,1.498)#3 (image1) esse triângulo toma o valor do número $\dfrac{a+b\times c}{a-b\times c}$. Por exemplo, o valor do triângulo #1#2#3 (0,0)(3,0)(3;60) (0.95,0.55)#1 (2.05,0.55)#2 (1.5,1.498)#3 (image2) é $5$. Qual é o valor do triângulo maior da figura ao lado? #1#2#3 (0,0)(3,0)(3;60) (0.95,0.55)#1 (2.05,0.55)#2 (1.5,1.498)#3 (image3)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(3,2.7) \rput(0,0){\triangulo{$a$}{\raisebox{1mm}{$b$}}{$c$}} \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(3,2.3) \rput(0,0){\triangulo{$3$}{$2$}{$1$}} \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(0,0)(9,8) \pspolygon(0,0)(9,0)(9;60) \rput(0.866,0.5){\triangulo{$11$}{$3$}{$3$}} \rput(5.134,0.5){\triangulo{$12$}{$2$}{$3$}} \rput(3,4.196){\triangulo{$12$}{$2$}{$2$}} \end{pspicture}

Opções:
A) $2$
B) $4$
C) $9$
D) $12$
E) $15$

Resolução: Opção B. (Os três triângulos pequenos têm o valor de $10$, $3$ e $2$.)

Resposta correta: B
Problema: A Maria desenhou um quadrilátero $[ABCD]$ de tal modo que $B\widehat AC=35^\circ$, $A\widehat CB=45^\circ$, $A\widehat DB=60^\circ$ e a reta $BD$ divide o ângulo $ABC$ em dois ângulos iguais. Quanto mede $D\widehat AC$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(5,4) \pspolygon(0,0)(4,0)(4.56343,3.19534)(1.59898,3.42902) \psline(0,0)(4.56343,3.19534) \psline(4,0)(1.59898,3.42902) \psarc(0,0){1}{0}{35} \psarc(4.56343,3.19534){1}{215}{260} \psarc(1.59898,3.42902){1}{246}{305} \rput(1.7,0.4){$35^\circ$} \rput(3.6,1.7){$45^\circ$} \rput(1.7,1.8){$60^\circ$} \rput(0,-0.5){$A$} \rput(4,-0.5){$B$} \rput(4.7,3.6){$C$} \rput(1.7,3.8){$D$} \end{pspicture}

Opções:
A) $15^\circ$
B) $20^\circ$
C) $25^\circ$
D) $30^\circ$
E) $35^\circ$

Resolução: Opção E. ($D\widehat{B}A=50^\circ$ e $B\widehat{A}D=70^\circ$.)

Resposta correta: E
Problema: Na rua da Maria há dez casas. As casas estão em fila lado a lado. De quantas maneiras é possível pintar todas as casas de azul, branco e castanho de modo que cada casa tenha um único vizinho com a casa pintada da mesma cor.

Opções:
A) $3$
B) $6$
C) $24$
D) $40$
E) $48$

Resolução: Opção E. (Cada par de casas consecutivas está pintado da mesma cor, logo há $3\times 2^4$ escolhas.)

Resposta correta: E
Problema: O João começou a escrever os números $1$, $4$, $7$, $10$, e assim sucessivamente, somando sempre $3$ unidades ao número anterior. Só parou quando reparou que iria escrever um número de $5$ algarismos. Quantos números escreveu o João?

Opções:
A) $999$
B) $1234$
C) $3000$
D) $3333$
E) $9999$

Resolução: Opção D. ($1+3\times 3333=10000$)

Resposta correta: D
Problema: Um número de quatro algarismos chama-se superímpar se tiver um número ímpar de algarismos ímpares. Por exemplo, $2021$ é um número superímpar. Quantos números superímpares existem?

Opções:
A) $2500$
B) $3000$
C) $3500$
D) $4000$
E) $4500$

Resolução: Opção E. ($5^4+3\times(4\times 5^3)+4\times 5^3+3\times 5^4=4500$)

Resposta correta: E
Problema: Na figura seguinte, o retângulo $[ABCD]$ tem área $60$ cm$^2$. A área do triângulo $[ABE]$ é um quinto da área de $[ABCD]$ e a área do triângulo $[EFC]$ é um oitavo da área do retângulo. Qual é a área do triângulo sombreado? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6.5,6) \pspolygon(0,0)(6,0)(6,5)(0,5) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,5)(3.5,0)(6,3) \psline(0,5)(3.5,0) \psline(3.5,0)(6,3) \psline(0,5)(6,3) \rput(-0.5,5.5){$A$} \rput(6.5,5.5){$B$} \rput(6.5,-0.5){$C$} \rput(-0.5,-0.5){$D$} \rput(6.5,3){$E$} \rput(3.55,-0.5){$F$} \end{pspicture}

Opções:
A) $22$ cm$^2$
B) $23$ cm$^2$
C) $24$ cm$^2$
D) $25$ cm$^2$
E) $26$ cm$^2$

Resolução: Opção B. ($\overline{BE}=\frac{2}{5}\overline{BC}$, $\overline{CF}=\frac{15}{36}\overline{AB}$, Área$[ADF]=17,5$)

Resposta correta: B
Problema: Um canguru sobe uma escada da seguinte forma: começa por saltar para o degrau $3$, e depois salta $1$ degrau para baixo, depois $5$ para cima, depois $3$ para baixo, depois $7$ para cima, depois $5$ para baixo, $9$ para cima e assim sucessivamente (cada salto é dois degraus mais longo que o salto anterior no mesmo sentido). Um dos degraus está partido e o canguru cai se saltar para ele. O canguru vai conseguir subir a escada sem cair, se o degrau partido for o:

Opções:
A) $200$
B) $201$
C) $202$
D) $203$
E) $204$

Resolução: Opção B. (Atinge todos os degraus pares, e todos os degraus da forma $4n+3$.)

Resposta correta: B
Problema: O Francisco começou a escrever, por ordem crescente, os números naturais. Ao fim de algum tempo, escreveu o algarismo $1$ pela $2020^a$ vez. Qual foi o algarismo que o Francisco escreveu logo a seguir?

Opções:
A) $0$
B) $2$
C) $4$
D) $6$
E) $8$

Resolução: Opção E. (O $2020^o$ algarismo $1$ aparece no número $3181$.)

Resposta correta: E
Problema: Na figura está representado um trapézio $[ACDE]$, com área $18$, tal que $\overline{ED}=4$. Sabe-se que a altura do trapézio é um número inteiro e que o comprimento de $[AC]$ é um número inteiro ímpar. Quanto mede a área de $[EDB]$? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(9,4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,4)(6,4)(3,0) \pspolygon(0,0)(5,0)(6,4)(2,4) \rput(-0.4,-0.4){$A$} \rput(3,-0.5){$B$} \rput(5.4,-0.4){$C$} \rput(6.4,4.4){$D$} \rput(1.6,4.4){$E$} \end{pspicture}

Opções:
A) $8$
B) $9$
C) $10$
D) $12$
E) $14$

Resolução: Opção A. (A altura do trapézio mede $4$ e $\overline{AC}=5$.)

Resposta correta: A
Problema: Um número diz-se superduplex se a soma dos seus algarismos for maior do que a soma dos algarismos do seu dobro. Por exemplo, $286$ é superduplex, porque $286\times 2=572$ e $2+8+6>5+7+2$. Quantos números naturais menores do que $500$ são superduplex?

Opções:
A) $110$
B) $130$
C) $150$
D) $180$
E) $200$

Resolução: Opção B. (Há $4$ números superduplex com um algarismo, $40$ com dois e $86$ com três.)

Resposta correta: B
Problema: Na rua do Francisco há dez casas. As casas estão em fila lado a lado. De quantas maneiras é possível pintar todas as casas de azul, branco e castanho de modo que cada casa tenha pelo menos um vizinho com a casa pintada da mesma cor?

Opções:
A) $32$
B) $96$
C) $465$
D) $513$
E) $1024$

Resolução: Opção D. (Tem-se $3\times\left(2^4+10\times 2^3+15\times 2^2+7\times 2+1\right)=513$.)

Resposta correta: D
Problema: A Ana aguarda ansiosamente pelas férias de Natal e passa os seus dias a observar o movimento dos ponteiros do seu relógio. Quantas vezes se cruzam os ponteiros das horas e dos minutos do relógio da Ana ao longo de um dia completo, desde as 0h01 até às 23h59?

Opções:
A) $12$
B) $21$
C) $22$
D) $23$
E) $24$

Resolução: Opção B. (Cruzam-se uma vez a cada $\dfrac{12}{11}$ horas.)

Resposta correta: B
Problema: Numa árvore estão três pássaros em cada ramo e há um pássaro a voar por cima. De repente, os pássaros levantam voo e, de seguida, pousam todos, quatro por ramo, ficando um ramo sem nenhum pássaro. Quantos ramos tem a árvore?

Opções:
A) $3$
B) $4$
C) $5$
D) $6$
E) $7$

Resolução: Opção C. (Há $16$ pássaros e $5$ ramos.)

Resposta correta: C
Problema: Na figura estão desenhados seis quadrados iguais e um triângulo cujos vértices são os centros de três dos quadrados. O triângulo tem 30 cm$^2$ de área. Qual é a área de cada quadrado? (0,0)(2,0)(2,2)(0,2) (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(6,6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo,linewidth=2pt](1,1)(5,1)(2.6,5) \rput(0,0){\quadrado} \rput(2,0){\quadrado} \rput(4,0){\quadrado} \rput(0.5,2){\quadrado} \rput(2.5,2){\quadrado} \rput(1.6,4){\quadrado} \end{pspicture}

Opções:
A) $5$ cm$^2$
B) $15$ cm$^2$
C) $30$ cm$^2$
D) $45$ cm$^2$
E) $60$ cm$^2$

Resolução: Opção B. (O triângulo tem o dobro da área de um quadrado.)

Resposta correta: B
Problema: Para escrever as medidas das amplitudes dos três ângulos de um triângulo, em graus, utilizaram-se seis algarismos: $7$, $7$, $7$, $6$, $5$ e $4$. Além disso, um dos ângulos mede menos $20^\circ$ que outro. Quanto mede o ângulo menor?

Opções:
A) $45^\circ$
B) $46^\circ$
C) $56^\circ$
D) $64^\circ$
E) $74^\circ$

Resolução: Opção B. (As amplitudes são $46^\circ$, $57^\circ$ e $77^\circ$.)

Resposta correta: B
Problema: Com um retângulo de cartolina, o Belchior fez uma coroa de rei, recortando triângulos isósceles iguais até metade da altura da cartolina, como na figura. Que fração do retângulo inicial ocupa a coroa? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(22,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0)(22,0)(22,2)(21,1)(20,2)(19,1)(18,2)(17,1)(16,2)(15,1)(14,2)(13,1)(12,2)(11,1)(10,2)(9,1)(8,2)(7,1)(6,2)(5,1)(4,2)(3,1)(2,2)(1,1)(0,2) \end{pspicture}

Opções:
A) $\dfrac12$
B) $\dfrac23$
C) $\dfrac34$
D) $\dfrac45$
E) $\dfrac56$

Resolução: Como se pode observar na figura, os triângulos que o Belchior recortou ocupam $\frac{1}{4}$ da área do retângulo inicial. Portanto a coroa ocupa $\frac{3}{4}$ do retângulo inicial. Opcão C)

Resposta correta: C
Problema: Um número de dois algarismos chama-se mago se tiver um algarismo par e outro ímpar. Por exemplo, $50$ é um número mago. Quantos números magos existem?

Opções:
A) $25$
B) $35$
C) $36$
D) $40$
E) $45$

Resolução: Se o primeiro algarismo do número mago é par, poderá ser $2,4,6$ ou $8$, logo temos $4$ possibilidades. O segundo algarismo, neste caso, terá de ser ímpar ($1,3,5,7$ ou $9$), logo temos $5$ possibilidades. Assim, haverá $4 \times 5=20$ números magos deste tipo. Se o primeiro algarismo do número mago é ímpar, poderá ser $1,3,5,7$ ou $9$, logo temos $5$ possibilidades. O segundo algarismo, neste caso, terá de ser par ($0,2,4,6$ ou $8$), logo temos $5$ possibilidades. Assim, haverá $5 \times 5=25$ números magos deste tipo. Portanto, no total, haverá $20+25=45$ números magos. Opcão E)

Resposta correta: E
Problema: O Baltazar somou o comprimento de três lados de um retângulo e obteve como resultado $44$ cm. O Gaspar também somou os comprimentos de três lados do mesmo retângulo e obteve $40$ cm. Quantos centímetros mede o perímetro desse retângulo?

Opções:
A) $42$
B) $48$
C) $56$
D) $64$
E) $84$

Resolução: Ao somarmos o resultado obtido pelo Baltazar com o resultado obtido pelo Gaspar obtém-se o triplo da soma do comprimento com a largura do retângulo. Assim, a soma do comprimento com a largura é $\frac{1}{3}(44+40)=28$. O perímetro do retângulo mede $2\times 28=56$ cm. Opção C)

Resposta correta: C