tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema: Seis sacos contêm $18$, $19$, $21$, $23$, $25$ e $34$ rebuçados, respetivamente. Cinco dos sacos têm rebuçados de fruta e o outro tem rebuçados de chocolate. O António ficou com três sacos, o Domingos com dois e sobrou o saco com rebuçados de chocolate. O António observou que ficou com o dobro dos rebuçados do Domingos. Quantos rebuçados de chocolate havia?

Opções:
A) $18$
B) $19$
C) $21$
D) $23$
E) $34$

Resolução: Seja $x$ o número de rebuçados com que o Domigos ficou. O António ficou com $2x$ rebuçados e o número de rebuçados de chocolate é $18+19+21+23+25+ 34 - 3x= 140-3x$. Uma vez que $140= 3 \times 46+2$, o número de rebuçados de chocolate tem resto $2$ na divisão por $3$. O único número de $\{ 18,19,21,23,25, 34 \}$ que verifica esta condição é $23$. Assim o número de rebuçados de chocolate é $23$. Resposta correta: D)

Resposta correta: D
Problema: Quantos números inteiros há entre $1$ e $2012$ que não são divisíveis por $3$ nem por $7$?

Opções:
A) $957$
B) $960$
C) $1055$
D) $1150$
E) $1725$

Resolução: Como $3 \times 670= 2010$ há $670$ múltiplos de $3$ entre $1$ e $2012$. Como $7 \times 287= 2009$ há $287$ múltiplos de $7$ entre $1$ e $2012$. Como $21 \times 95= 1995$ há $95$ múltiplos de $21$ entre $1$ e $2012$. Assim o número de inteiros entre $1$ e $2002$ que não são divisíveis por $3$ nem por $7$ é $2012-670-287+95= 1150$. Opção correta: C).

Resposta correta: C
Problema: Um visor numérico digital é constituído por $7$ segmentos, dispostos como se apresenta na primeira figura, que podem estar acesos ou apagados. O António e o Domingos estão sentados frente a frente numa mesa onde está colocado um visor digital. O António acende os dois segmentos assinalados na segunda figura e verifica que ele e o Domingos observam a mesma figura. Depois o Domingos acende os segmentos assinalados na terceira figura e verifica que os dois já não observam o mesmo. Quantos desenhos o Domingos consegue fazer de modo que o António veja exatamente a mesma figura do outro lado da mesa? (-3.7,-2.5)(28.28,-0.5) 90[linewidth=4.4pt](-2.06,0.82)(-2.06,-0.02) [linewidth=4.4pt](-2,1)(-1,1) [linewidth=4.4pt](-0.94,0.82)(-0.94,-0.02) [linewidth=4.4pt](-2.04,-0.4)(-2.04,-1.24) [linewidth=4.4pt](-2,-0.2)(-1,-0.2) [linewidth=4.4pt](-0.96,-0.38)(-0.96,-1.22) [linewidth=4.4pt](-1.96,-1.4)(-0.96,-1.4) (-1.46,-1.9)António (-1.46,1.5)180Domingos (7,-3)90[linewidth=4.4pt](0.92,0.78)(0.92,-0.06) [linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0.98,0.96)(1.98,0.96) [linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](2.04,0.78)(2.04,-0.06) [linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0.94,-0.44)(0.94,-1.28) [linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0.98,-0.24)(1.98,-0.24) [linewidth=4.4pt](2.02,-0.42)(2.02,-1.26) [linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1.02,-1.44)(2.02,-1.44) (1.51,-1.9)António (1.51,1.5)180Domingos (14,-6.1)90[linewidth=4.4pt](4.06,0.78)(4.06,-0.06) [linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](4.12,0.96)(5.12,0.96) [linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](5.18,0.78)(5.18,-0.06) [linewidth=4.4pt](4.08,-0.44)(4.08,-1.28) [linewidth=4.4pt](4.12,-0.24)(5.12,-0.24) [linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](5.16,-0.42)(5.16,-1.26) [linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](4.16,-1.44)(5.16,-1.44) (4.66,-1.9)António (4.66,1.5)180Domingos

Opções:
A) $4$
B) $5$
C) $10$
D) $16$
E) $20$

Resolução: Observe-se que para cada desenho que o Domingos faz no quadrado do lado esquerdo do visor existe exactamente uma forma de acender alguns segmentos do quadrado do lado direito de modo que o António veja exatamente a mesma figura do ouro lado da mesa. Assim resta contar o número de desenhos diferentes que podem ser feitos no quadrado do lado esquerdo. Como este quadrado é composto por quatro segmentos e cada segmento pode estar aceso ou apagado, existem $2 \times 2 \times 2 \times 2=16$ desenhos diferentes neste quadrado. Opção correta: C)

Resposta correta: C
Problema: O António tem um carro elétrico que tem um conta-metros. O conta-metros serve para assinalar os metros percorridos, sendo formado por $4$ discos que rodam. Cada um dos discos deveria conter os algarismos de $0$ a $9$, mas o conta-metros do carro do António tem um defeito e nenhum dos discos contém o algarismo $4$. Por exemplo, o António observou que, quando o carro percorreu $4$ metros, o mostrador indicava $0005$. Neste momento, o mostrador indica $2012$. Quantos metros percorreu o carro do António?

Opções:
A) $505$
B) $543$
C) $1469$
D) $1507$
E) $ 1811$

Resolução: Em cada centena não se contam $19$ metros: os dez números que têm $4$ como segundo algarismo e os $9$ que têm como último algarismo $4$ (sendo que o segundo não é quatro). Assim num milhar temos os $100$ números que começam por $4$ que não são contados mais $19$ por cada centena diferente desta última, ou seja $100+ 9\times 19=271$. Assim até $2000$ são contados a mais $271+271= 542$ m. Até $2012$ só se contou um a mais, logo contam-se a mais $543$ metros, ou seja o conta-metros deveria marcar $2012-543= 1469$ metros. Opção correta: C)

Resposta correta: C
Problema: No Reino do Seis-Seis todas as frases devem conter a palavra, ou o algarismo, seis. O Rei, Seis Sexto, apresentou quatro desafios, apesar deste número não ser muito do seu agrado. Na expressão $6\Box 6\Box 6$, podem ser colocados os sinais $+,-,\times$ ou $:$ nos quadrados. Usando estes três números seis e dois sinais diferentes, qual é o resultado que não se pode obter?

Opções:
A) $6$
B) $7$
C) $12$
D) $30$
E) $42$

Resolução: Opção C.

Resposta correta: C
Problema: No Reino do Seis-Seis todas as frases devem conter a palavra, ou o algarismo, seis. O Rei, Seis Sexto, apresentou quatro desafios, apesar deste número não ser muito do seu agrado. Quantos números de $3$ algarismos têm a soma dos seus algarismos igual a $6$?

Opções:
A) $16$
B) $18$
C) $20$
D) $21$
E) $22$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: No Reino do Seis-Seis todas as frases devem conter a palavra, ou o algarismo, seis. O Rei, Seis Sexto, apresentou quatro desafios, apesar deste número não ser muito do seu agrado. No Reino do Seis-Seis, há seis acrobatas com a mesma altura. Cada um dos seis mede $1,8$ m mas quando um sobe para os ombros de outro, os dois juntos medem $3,3$ m. Quanto mede, em metros, a torre formada pelos seis acrobatas?

Opções:
A) $6,3$
B) $9,3$
C) $9,6$
D) $9,9$
E) $10,8$

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: No Reino do Seis-Seis todas as frases devem conter a palavra, ou o algarismo, seis. O Rei, Seis Sexto, apresentou quatro desafios, apesar deste número não ser muito do seu agrado. De quantas maneiras diferentes se podem escrever os números de $1$ a $6$ nos círculos de modo que cada seta aponte sempre de um número maior para um menor? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-2,9)(0,-6) \pscircle(1,0){1} \pscircle(-2,-3){1} \pscircle(4,-3){1} \pscircle(-4,-6){1} \pscircle(0,-6){1} \pscircle(4,-6){1} \psline[arrows=->](0,0)(-2,-2) \psline[arrows=->](2,0)(4,-2) \psline[arrows=->](-3,-3)(-4,-5) \psline[arrows=->](-1,-3)(0,-5) \psline[arrows=->](4,-4)(4,-5) \end{pspicture}

Opções:
A) $6$
B) $12$
C) $14$
D) $18$
E) $20$

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: A Catarina tem uma caixa grande com $2012$ caixas médias dentro. Dentro de cada caixa média tem duas caixas pequenas e dentro de cada caixa pequena tem três caixas pequeninas. Quantas caixas tem a Catarina?

Opções:
A) $2018$
B) $10061$
C) $12073$
D) $18109$
E) $20120$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: A soma dos algarismos de $2012$ é $5$. Quantos números de quatro algarismos têm esta propriedade?

Opções:
A) $26$
B) $28$
C) $34$
D) $35$
E) $36$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: A televisão do Gabriel tem os canais $1$ a $41$. O Gabriel ligou a televisão no canal $15$ e carregou $2012$ vezes no botão de avançar um canal. Em que canal ficou a televisão do Gabriel?

Opções:
A) $18$
B) $19$
C) $20$
D) $21$
E) $22$

Resolução: Opção A.

Resposta correta: A
Problema: A Catarina escreveu todos os números de $1$ até $2012$. O Gabriel apagou todos os números pares e a Catarina apagou todos os números múltiplos de $3$. Quantos números restaram?

Opções:
A) $335$
B) $336$
C) $337$
D) $671$
E) $672$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: O João, no fim de semana passado, foi visitar o seu amigo Jaime que vive noutra cidade. A ligação entre as duas cidades é feita de comboio e a viagem dura $4$ horas e $50$ minutos. De cada uma das cidades partem comboios de hora à hora, não há outros comboios a circular e todos circulam à mesma velocidade. O João saiu no comboio das $10$ h quando na outra cidade também estava a sair um comboio. Por quantos comboios é que o comboio do João passou durante a sua viagem?

Opções:
A) $5$
B) $6$
C) $7$
D) $8$
E) $9$

Resolução: Como a viagem dura $4$ horas e $50$ minutos, o comboio do João vai-se cruzar com o que saiu às 10h e os quatro anteriores, e ainda com os quatro seguintes. Logo o comboio do João cruza-se com 9 comboios. Opcão correta: E)

Resposta correta: E
Problema: O Jaime colocou $10$ soldadinhos no chão da forma indicada na figura. O Jaime ofereceu $3$ destes soldadinhos ao João com a condição de ele retirar os três na mesma linha reta. De quantas maneiras é que o João pôde escolher os seus $3$ soldadinhos? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(2,0) \rput(0.5,1){$\bullet$} \rput(1.5,1){$\bullet$} \rput(0,2){$\bullet$} \rput(1,2){$\bullet$} \rput(2,2){$\bullet$} \rput(0.5,3){$\bullet$} \rput(1.5,3){$\bullet$} \rput(0,4){$\bullet$} \rput(1,4){$\bullet$} \rput(2,4){$\bullet$} \end{pspicture}

Opções:
A) $6$
B) $10$
C) $12$
D) $14$
E) $16$

Resolução: Na horizontal há duas possibilidades e em cada diagonal com $4$ soldadinhos o João tem de selecionar $3$, o que corresponde a escolher o soldadinho que vai ficar de fora, ou seja, em cada uma dessas duas diagonais há 4 opções. Portanto, no total, há 12 maneiras. Opcão correta: C)

Resposta correta: C
Problema: A mãe do Jaime, para comemorar a presença do João, fez um bolo quadrado e convidou toda a sua família para o lanche. A mãe partiu o bolo com cortes paralelos aos lados, que o atravessavam por completo e sem sobrepor fatias. Ao todo estavam $55$ pessoas na casa do Jaime e todos queriam uma fatia. Quantos cortes, no mínimo, foi necessário fazer?

Opções:
A) $13$
B) $15$
C) $17$
D) $26$
E) $51$

Resolução: Fazendo $a$ cortes numa direção e $b$ cortes noutra, o número total de fatias é $(a+1)(b+1)$. Pretende-se $(a+1)(b+1) \geq 55$. Analisando as possibilidades tem-se que $a=6$, $b=7$ satisfaz a condição. O número de cortes é 13. Opção correta: A)

Resposta correta: A
Problema: O Jaime gosta de desafios Matemáticos e, antes de se despedir do João, colocou-lhe a seguinte questão: Cinco quadrados com lados de comprimento $10$ cm, $8$ cm, $6$ cm, $4$ cm e $2$ cm, respetivamente, colocam--se ao lado uns dos outros, como se mostra na figura. Qual é a área, em cm$^2$, pintada de azul na figura? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture*}(-25.28,-20.94)(31.35,12.95) \pspolygon[linecolor=azullogotipo,fillcolor=azullogotipo,fillstyle=solid,opacity=0.6](0,10)(30,0)(30,2.02)(27.98,2.07)(27.98,4.05)(23.93,4.09)(23.93,5.97)(17.96,6.02)(17.96,7.96)(10,8.04)(10,10) \psline[linecolor=tttttt](0,0)(10,0) \psline[linecolor=tttttt](10,0)(10,10) \psline[linecolor=tttttt](10,10)(0,10) \psline[linecolor=tttttt](0,10)(0,0) \psline[linecolor=tttttt](10,0)(17.96,0) \psline[linecolor=tttttt](17.96,0)(17.96,7.96) \psline[linecolor=tttttt](17.96,7.96)(10,7.96) \psline[linecolor=tttttt](10,7.96)(10,0) \psline[linecolor=tttttt](17.96,0)(23.93,0) \psline[linecolor=tttttt](23.93,0)(23.93,5.97) \psline[linecolor=tttttt](23.93,5.97)(17.96,5.97) \psline[linecolor=tttttt](17.96,5.97)(17.96,0) \psline[linecolor=tttttt](23.93,0)(27.98,0) \psline[linecolor=tttttt](27.98,0)(27.98,4.05) \psline[linecolor=tttttt](27.98,4.05)(23.93,4.05) \psline[linecolor=tttttt](23.93,4.05)(23.93,0) \psline[linecolor=tttttt](27.98,0)(30,0) \psline[linecolor=tttttt](30,0)(30,2.02) \psline[linecolor=tttttt](30,2.02)(27.98,2.02) \psline[linecolor=tttttt](27.98,2.02)(27.98,0) \psline(0,10)(30,0) \end{pspicture*}

Opções:
A) $60$
B) $70$
C) $80$
D) $90$
E) $100$

Resolução: A área pintada é igual à área total da figura menos a área do triângulo branco, ou seja, igual a $10^2+ 8^2 + 6^2 + 4^2 + 2^2 - \frac{10 \times (10+8+6+4+2)}{2}= 70$ cm$^2$. Opção correta: B)

Resposta correta: B
Problema: A Escola dos Números anda num grande alvoroço. O Campeonato Olímpico de Matemática de $2012$ está a começar! No Campeonato de xadrez, cada jogo é disputado por dois alunos de diferentes anos. Inscreveram-se $7$ alunos do quinto ano, $4$ alunos do sexto ano e $5$ alunos do sétimo ano. De quantas maneiras diferentes é possível organizar o primeiro jogo?

Opções:
A) $48$
B) $55$
C) $63$
D) $83$
E) $140$

Resolução: Cada um dos $7$ alunos do $5^\circ$ ano pode jogar com cada um dos $4$ alunos do $6^\circ$ ano e com cada um dos $5$ alunos do $7^\circ$ ano. Cada um dos $4$ alunos do $6^\circ$ ano pode jogar com cada um dos $5$ alunos do $7^\circ$ ano. Portanto há $7\times 4+7\times 5+4\times 5=83$ maneiras diferentes de organizar o jogo. Opção correta: D)

Resposta correta: D
Problema: A Escola dos Números anda num grande alvoroço. O Campeonato Olímpico de Matemática de $2012$ está a começar! No Campeonato do Cálculo Mental, um jogador tem de conseguir obter determinado número, somando os números de $6$ cartões que escolhe dentro de uma caixa. Quando foi a vez do João, a caixa tinha muitos cartões repetidos, mas apenas com os números $5$, $8$ e $13$. O João perdeu porque não era possível obter o número pretendido. Que número era esse?

Opções:
A) $51$
B) $52$
C) $53$
D) $54$
E) $55$

Resolução: Como $5+5+8+8+13+13=52$, $8+8+8+8+8+13=53$, $5+5+5+13+13+13=54$ e $5+8+8+8+13+13=55$, então o número pretendido é o $51$. Opção correta: A)

Resposta correta: A
Problema: A Escola dos Números anda num grande alvoroço. O Campeonato Olímpico de Matemática de $2012$ está a começar! No campeonato de Pick, cada jogador recebe uma carta, com $3$ vértices brancos assinalados num quadriculado onde o lado de cada quadrícula mede $1$ cm. Ganha o jogador que mais rapidamente escolher um quarto vértice de modo a obter um quadrilátero com a maior área possível. O Joaquim recebeu a carta que aparece na figura e foi o primeiro a responder corretamente ao desafio. Qual é a área, em cm$^2$, do quadrilátero obtido pelo Joaquim? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(4,0) \rput(0,0){$\bullet$} \rput(1,0){$\bullet$} \rput(2,0){$\circ$} \rput(3,0){$\bullet$} \rput(4,0){$\bullet$} \rput(0,1){$\circ$} \rput(1,1){$\bullet$} \rput(2,1){$\bullet$} \rput(3,1){$\bullet$} \rput(4,1){$\bullet$} \rput(0,2){$\bullet$} \rput(1,2){$\bullet$} \rput(2,2){$\bullet$} \rput(3,2){$\bullet$} \rput(4,2){$\bullet$} \rput(0,3){$\bullet$} \rput(1,3){$\bullet$} \rput(2,3){$\bullet$} \rput(3,3){$\bullet$} \rput(4,3){$\bullet$} \rput(0,4){$\bullet$} \rput(1,4){$\bullet$} \rput(2,4){$\bullet$} \rput(3,4){$\circ$} \rput(4,4){$\bullet$} \end{pspicture}

Opções:
A) $7,5$
B) $8$
C) $8,5$
D) $9$
E) $9,5$

Resolução: O quarto vértice tem de estar numa das três regiões fora do triângulo formado pelos vértices assinalados. Em cada região o vértice que maximiza a área é o que está mais afastado do lado correspondente. Na figura estes vértices estão indicados pelas letras $A$, $B$ e $C$. (image2) As áreas dos quadriláteros formados a partir dos vértices $A$, $B$ e $C$ são, respetivamente, $9$ cm$^2$, $5,5$ cm$^2$ e $8,5$ cm$^2$. Logo o Joaquim escolheu o vértice A. Opção correta: D)


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(5,5) \rput(0,0){$\bullet$} \rput(1,0){$\bullet$} \rput(2,0){$\circ$} \rput(3,0){$\bullet$} \rput(4,0){$\bullet$} \rput(0,1){$\circ$} \rput(1,1){$\bullet$} \rput(2,1){$\bullet$} \rput(3,1){$\bullet$} \rput(4,1){$\bullet$} \rput(0,2){$\bullet$} \rput(1,2){$\bullet$} \rput(2,2){$\bullet$} \rput(3,2){$\bullet$} \rput(4,2){$\bullet$} \rput(0,3){$\bullet$} \rput(1,3){$\bullet$} \rput(2,3){$\bullet$} \rput(3,3){$\bullet$} \rput(4,3){$\bullet$} \rput(0,4){$\bullet$} \rput(1,4){$\bullet$} \rput(2,4){$\bullet$} \rput(3,4){$\circ$} \rput(4,4){$\bullet$} \psline(0,1)(2,0)(3,4)(0,1) \rput(-0.5,4.5){$A$} \rput(-0.5,-0.5){$B$} \rput(4.5,-0.5){$C$} \end{pspicture}

Resposta correta: D
Problema: A Escola dos Números anda num grande alvoroço. O Campeonato Olímpico de Matemática de $2012$ está a começar! Todos os anos o logotipo do Campeonato Olímpico de Matemática é composto por cinco anéis, de cor verde ou azul, onde há mais anéis azuis do que verdes. O logotipo deste ano está representado na figura seguinte. Até este ano, nunca houve dois logotipos iguais, mas no próximo ano vai ser necessário repetir um logotipo. Em que ano começaram os Campeonatos Olímpicos de Matemática? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(1.5,0) \pscircle[linecolor=verdeescurologotipo,linewidth=1.5pt](0,0){0.45} \pscircle[linecolor=azullogotipo,linewidth=1.5pt](1,0){0.45} \pscircle[linecolor=azullogotipo,linewidth=1.5pt](2,0){0.45} \pscircle[linecolor=azullogotipo,linewidth=1.5pt](0.5,-0.45){0.45} \pscircle[linecolor=verdeescurologotipo,linewidth=1.5pt](1.5,-0.45){0.45} \end{pspicture}

Opções:
A) $1981$
B) $1983$
C) $1991$
D) $1997$
E) $2000$

Resolução: Se o anel da esquerda for verde, podem não existir outros anéis verdes ou existir um anel verde, numa das restantes quatro posições. Neste caso, há $5$ logotipos diferentes. Se o primeiro anel verde for o que está na segunda posição, podem não existir outros anéis verdes ou existir um anel verde, numa das restantes três posições. Neste caso, há $4$ logotipos diferentes. Se o primeiro anel verde for o que está na terceira posição, podem não existir outros anéis verdes ou existir um anel verde, numa das restantes duas posições. Neste caso, há $3$ logotipos diferentes. Se o primeiro anel verde for o que está na quarta posição, podem não existir outros anéis verdes ou existir um anel verde na quinta posição. Neste caso, há $2$ logotipos diferentes. Há ainda um logotipo em que o primeiro anel verde é o que está na quinta posição, e um último logotipo, sem anéis verdes. Há assim, ao todo, $5+4+3+2+1+1=16$ logotipos diferentes (a contagem poderia ter sido efectuada de acordo com o número de anéis verdes e obter-se-iam $10$ logotipos diferentes com dois anéis verdes, $5$ logotipos diferentes com um anel verde e um logotipo sem anéis verdes). Como o $16^\circ$ logotipo foi usado em $2012$, então o primeiro foi usado em $2012-15=1997$. Opção correta: D)

Resposta correta: D
Problema: No Reino do Três-Três todas as questões devem conter a palavra, ou o algarismo, três. O Rei, Três Terceiro, apresentou cinco desafios, apesar deste número não ser muito do seu agrado. Um jardim do Reino tem a forma de um triângulo e os seus três lados medem $21$, $21$ e $30$ metros. Pretende- -se delimitar o jardim com uma rede e para isso é necessário colocar um poste de três em três metros. Quantos postes se devem colocar?

Opções:
A) $21$
B) $22$
C) $23$
D) $24$
E) $27$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: No Reino do Três-Três todas as questões devem conter a palavra, ou o algarismo, três. O Rei, Três Terceiro, apresentou cinco desafios, apesar deste número não ser muito do seu agrado. A soma de três números ímpares consecutivos é $27$. Qual é o mais pequeno dos três números?

Opções:
A) $4$
B) $5$
C) $7$
D) $9$
E) $11$

Resolução: Opção C.

Resposta correta: C
Problema: No Reino do Três-Três todas as questões devem conter a palavra, ou o algarismo, três. O Rei, Três Terceiro, apresentou cinco desafios, apesar deste número não ser muito do seu agrado. A figura seguinte representa outro jardim do Reino formado por três quadrados. O quadrado pequeno tem $12$ cm de perímetro e o quadrado médio tem $24$ cm de perímetro. Qual é, em centímetros, o perímetro do quadrado grande? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-2,7)(0,0) \pspolygon(0,0)(2,0)(2,2)(0,2) \pspolygon(0,2)(1,2)(1,3)(0,3) \pspolygon(0,0)(-3,0)(-3,3)(0,3) \end{pspicture}

Opções:
A) $28$
B) $30$
C) $32$
D) $34$
E) $36$

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: No Reino do Três-Três todas as questões devem conter a palavra, ou o algarismo, três. O Rei, Três Terceiro, apresentou cinco desafios, apesar deste número não ser muito do seu agrado. Sou um número menor que $43$. O meu algarismo das unidades é o dobro do meu algarismo das dezenas e a soma dos meus algarismos é par. Qual é o produto dos meus algarismos?

Opções:
A) $2$
B) $8$
C) $12$
D) $16$
E) $18$

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: No Reino do Três-Três todas as questões devem conter a palavra, ou o algarismo, três. O Rei, Três Terceiro, apresentou cinco desafios, apesar deste número não ser muito do seu agrado. De quantas maneiras diferentes se podem escrever os números $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ e $6$ nos círculos de modo que cada seta aponte sempre de um número maior para um menor? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-2,8)(0,-8) \pscircle(1,0){1} \pscircle(-2,-3){1} \pscircle(4,-3){1} \pscircle(-4,-6){1} \pscircle(0,-6){1} \pscircle(4,-6){1} \psline[arrows=->](0,0)(-2,-2) \psline[arrows=->](2,0)(4,-2) \psline[arrows=->](-3,-3)(-4,-5) \psline[arrows=->](-1,-3)(0,-5) \psline[arrows=->](4,-4)(4,-5) \end{pspicture}

Opções:
A) $6$
B) $12$
C) $14$
D) $18$
E) $20$

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: Na figura seguinte, o triângulo grande está dividido por três segmentos, formando quatro triângulos e três quadriláteros. A soma dos perímetros dos quadriláteros é $25$ cm; a soma dos perímetros dos quatro triângulos é $20$ cm. O perímetro do triângulo grande é $19$ cm. Qual é a soma dos comprimentos dos três segmentos? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-5,0)(5,3.5) \pspolygon(0,0)(4;0)(4;60) \psline(0,0)(3.5;30) \psline(4,0)(3;60) \psline(4;60)(1.5,0) \end{pspicture}

Opções:
A) $18$
B) $19$
C) $21$
D) $23$
E) $34$

Resolução: Seja $x$ o número de rebuçados com que o Domigos ficou. O António ficou com $2x$ rebuçados e o número de rebuçados de chocolate é $18+19+21+23+25+ 34 - 3x= 140-3x$. Uma vez que $140= 3 \times 46+2$, o número de rebuçados de chocolate tem resto $2$ na divisão por $3$. O único número de $\{ 18,19,21,23,25, 34 \}$ que verifica esta condição é $23$. Assim o número de rebuçados de chocolate é $23$. Resposta correta: D)

Resposta correta: D
Problema: Já saiu este? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(-1,0.5)(1,2) \pspolygon(0.707;45)(1;45)(1.414;90)(1;135)(0.707;135) \end{pspicture}

Opções:
A) $4$
B) $5$
C) $10$
D) $16$
E) $20$

Resolução: Observe-se que para cada desenho que o Domingos faz no quadrado do lado esquerdo do visor existe exactamente uma forma de acender alguns segmentos do quadrado do lado direito de modo que o António veja exatamente a mesma figura do ouro lado da mesa. Assim resta contar o número de desenhos diferentes que podem ser feitos no quadrado do lado esquerdo. Como este quadrado é composto por quatro segmentos e cada segmento pode estar aceso ou apagado, existem $2 \times 2 \times 2 \times 2=16$ desenhos diferentes neste quadrado. Opção correta: C)

Resposta correta: C
Problema: Quantos triângulos retângulos diferente existem em que um dos catetos mede $\sqrt{2013}$ e outros dois lados são inteiros?

Opções:
A) $505$
B) $543$
C) $1469$
D) $1507$
E) $ 1811$

Resolução: Em cada centena não se contam $19$ metros: os dez números que têm $4$ como segundo algarismo e os $9$ que têm como último algarismo $4$ (sendo que o segundo não é quatro). Assim num milhar temos os $100$ números que começam por $4$ que não são contados mais $19$ por cada centena diferente desta última, ou seja $100+ 9\times 19=271$. Assim até $2000$ são contados a mais $271+271= 542$ m. Até $2012$ só se contou um a mais, logo contam-se a mais $543$ metros, ou seja o conta-metros deveria marcar $2012-543= 1469$ metros. Opção correta: C)

Resposta correta: C