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Problema: Antes de desmontarem a árvore de Natal, a mãe do Luís pediu-lhe que fizesse um desenho do seu pinheiro. O Luís fez o desenho da figura ao lado. Sabendo que a área do pinheiro da figura mede $2023$ cm$^2$, quanto mede, em cm$^2$, a área branca? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(6,4) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](2,0)(4,0)(4,1)(6,1)(3,2)(5,2)(3,3)(4,3)(3,4)(2,3)(3,3)(1,2)(3,2)(0,1)(2,1) \psline(0,1)(3,2)(6,1) \psline(1,2)(3,3)(5,2) \psline(2,3)(3,4)(4,3) \multirput(0,0)(1,0){7}{\psline(0,0)(0,4)} \multirput(0,0)(0,1){5}{\psline(0,0)(6,0)} \end{pspicture}

Opções:
A) $8$
B) $16$
C) $2023$
D) $3032$
E) $4046$

Resolução: Opção E. (A área branca mede o dobro da área do pinheiro, ou seja, $4046$ cm$^2$.)

Resposta correta: E
Problema: Quando foi guardar a árvore e os enfeites na arrecadação, o Luís encontrou um cofre que abria com um código de $4$ algarismos. Perguntou à mãe se sabia o código, mas ela lembrava-se apenas que tinha exatamente um algarismo $1$, exatamente um algarismo $2$ e era ímpar. Quantas tentativas deve o Luís fazer para garantir que consegue abrir o cofre?

Opções:
A) $192$
B) $294$
C) $384$
D) $432$
E) $768$

Resolução: Opção C. (Existem $4\times 3 \times 8 \times 8 = 768$ códigos de quatro algarismos que têm exatamente um $1$ e exatamente um $2$. Como metade desses códigos é ímpar, $384$ deles são ímpares.)

Resposta correta: C
Problema: No dia de Reis, a mãe do Luís organizou uma festa em casa. Enquanto preparava a salada de fruta, reparou que não tinha fruta suficiente e pediu ao Luís que fosse comprar bananas, maçãs e laranjas. Sabendo que as bananas e as maçãs pesavam, em conjunto, $5$ quilos, que as bananas e as laranjas pesavam $7$ quilos, e que as maçãs e as laranjas pesavam $8$ quilos, quantos quilos de fruta comprou o Luís?

Opções:
A) $5$
B) $7$
C) $10$
D) $20$
E) $35$

Resolução: Opção C. (Somando os três pesos dados ($5 + 7 + 8 = 20$) obtém-se o dobro do peso total da fruta comprada. Logo, o Luís comprou $10$ quilos de fruta.)

Resposta correta: C
Problema: O logótipo do supermercado Ossónoba é formado por um paralelogramo pintado sobre um quadrado dividido em $9$ quadrículas, como na figura ao lado. Qual é a razão entre a área do paralelogramo pintado e a área do quadrado grande? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \scriptsize \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0.666,1)(1,0)(2.333,2)(2,3) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline[linestyle=dashed](0,1)(3,1) \psline[linestyle=dashed](0,2)(3,2) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,3) \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3) \psline(0,0)(2,3)(3,0) \psline(0,3)(1,0)(3,3) \end{pspicture}

Opções:
A) $\frac{1}{12}$
B) $\frac{2}{9}$
C) $\frac{2}{7}$
D) $\frac{1}{6}$
E) $\frac{2}{5}$

Resolução: Na figura ao lado, se cada quadrícula tiver área $1$, o quadrado tem área $3\times 3=9$, os triângulos verdes têm área $\dfrac{2\times 2}2=2$ e os triângulos rosa têm área $\dfrac{3\times 1}2=\dfrac32$. Logo a área do paralelogramo é $9-2\times2-2\times\dfrac32=2$. Portanto, a razão entre a área do paralelogramo e a área do quadrado é $\dfrac29$. (image2) Opção correta: B).


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[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \scriptsize \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,3)(2,3)(0.666,1) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](1,0)(3,0)(2.3333,2) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=tijolorosa](0,0)(0,3)(1,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=tijolorosa](3,3)(3,0)(2,3) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0.666,1)(1,0)(2.333,2)(2,3) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline[linestyle=dashed](0,1)(3,1) \psline[linestyle=dashed](0,2)(3,2) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,3) \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,3) \psline(0,0)(2,3)(3,0) \psline(0,3)(1,0)(3,3) \end{pspicture}

Resposta correta: B
Problema: O supermercado Ossónoba vende diariamente $600$ caixas de ovos, a $3,\!00$ cada. O supermercado quer mudar o preço das caixas de ovos. Por cada $3$ cêntimos que o preço aumente, o supermercado vende menos $4$ caixas e por cada $3$ cêntimos que o preço diminua, o supermercado vende mais $4$ caixas. Com qual dos seguintes preços a receita do supermercado será maior?

Opções:
A) $2,\!70$
B) $3,\!00$
C) $3,\!30$
D) $3,\!75$
E) $3,\!90$

Resolução: Se o preço de cada caixa for $3$, então o supermercado vende $600$ caixas. Logo a receita é $3\times 600=1800$. Se o preço de cada caixa for $2,70=3-10\times 0,3$, então o supermercado vende $600+10\times 4=640$ caixas. Logo a receita é $2,70\times 640=1728$. Se o preço de cada caixa for $3,30=3+10\times 0,3$, então o supermercado vende $600-10\times 4=560$ caixas. Logo a receita é $3,30\times 560=1848$. Se o preço de cada caixa for $3,75=3+25\times 0,3$, então o supermercado vende $600-25\times 4=500$ caixas. Logo a receita é $3,75\times 500=1875$. Se o preço de cada caixa for $3,90=3+30\times 0,3$, então o supermercado vende $600-30\times 4=480$ caixas. Logo a receita é $3,90\times 480=1872$. Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: Numa prateleira deste supermercado há $30$ embalagens, algumas azuis e outras verdes. Qual dos números seguintes não pode ser o quociente entre o número de embalagens verdes e o número de embalagens azuis?

Opções:
A) $\dfrac23$
B) $\dfrac14$
C) $\dfrac15$
D) $\dfrac34$
E) $\dfrac37$

Resolução: Se o quociente fosse $\dfrac34$, então o número de embalagens verdes seria $\dfrac37$ do total, que não é um número inteiro. Os quocientes $\dfrac23$, $\dfrac14$, $\dfrac15$ e $\dfrac37$ são possíveis, respetivamente se houver $12$, $6$, $5$ e $9$ embalagens verdes. Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: Neste supermercado as embalagens são arrumadas, sempre que possível, num paralelepípedo com lados maiores que $1$. Por exemplo, quando há $12$ embalagens para arrumar, pode-se formar um paralelepípedo $2\times 2\times 3$, isto é, com $2$ filas, $2$ colunas e $3$ camadas. O supermercado quer arrumar quatro paletes, respetivamente com $2022$, $2023$, $2024$ e $2025$ embalagens. Quantas destas paletes é possível arrumar num paralelepípedo com lados maiores que $1$? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdelogotipo](0,0)(2,0)(3,1)(3,4)(1,4)(0,3) \psline(1,0)(1,3)(2,4) \psline(2,0)(2,3) \psline(0,1)(2,1)(3,2) \psline(0,2)(2,2)(3,3) \psline(0,3)(2,3)(3,4) \psline(0.5,3.5)(2.5,3.5)(2.5,0.5) \end{pspicture}

Opções:
A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $3$
E) $4$

Resolução: Como $2022=2\times3\times 337$, $2023=3\times 17\times 17$, $2024=2\times 2\times 506$ e $2025=5\times 5\times81$, então é possível arrumar todas as paletes em paralelepípedo com lados maiores que $1$. Opção correta: E).

Resposta correta: E
Problema: Na Cidade dos Números há casas numeradas de $1$ a $2023$. Numa das casas há um cofre. O detetive Cabreira apenas sabe que a soma dos algarismos do número da casa é par. Em quantas casas vai ter que procurar o cofre para ter a certeza que o encontra?

Opções:
A) $120$
B) $1010$
C) $1011$
D) $1012$
E) $2023$

Resolução: Em cada conjunto de números consecutivos em que o primeiro termina em $0$ e o último termina em $9$ há exatamente metade dos números cuja soma dos algarismos é par. Assim, entre $10$ e $2019$ há $1005$ números nestas condições. A estes há que juntar os números: $2$, $4$, $6$, $8$, $2020$ e $2022$. A resposta correta é $1005+6=1011$. Opção correta: C)

Resposta correta: C
Problema: O relógio da torre da igreja da Cidade dos Números está estragado, e ficou parado às $3$h$15$m. Qual é o ângulo formado pelos dois ponteiros do relógio?

Opções:
A) $0^\circ$
B) $2^\circ$
C) $3^\circ\,15'$
D) $5^\circ\,45'$
E) $7^\circ\,30'$

Resolução: O ponteiro dos minutos está exatamente em cima do número $3$, ou seja, no mesmo sítio onde o ponteiro das horas estava $\frac{1}{4}$ de hora antes de parar. Portanto basta calcular qual o ângulo que o ponteiro das horas se deslocou nesse tempo. Em doze horas ele desloca-se $360^\circ$. Usando uma regra de três simples deduzimos que ele se deslocou, em graus, $\frac{360}{12}\times\frac{1}{4}=7+\frac{1}{2}$, que é igual a $7^\circ 30'$. Opção correta: E)

Resposta correta: E
Problema: Num dos bairros da cidade as casas estão numeradas de $100$ a $999$. Neste bairro há dez ruas, e em cada rua, o número de todas as casas termina no mesmo algarismo. Se somarmos todos os números de cada uma das dez ruas, qual é diferença entre a maior e a menor soma?

Opções:
A) $90$
B) $180$
C) $540$
D) $810$
E) $900$

Resolução: Os números apenas diferem no algarismo das unidades. Por isso, basta calcular a diferença da soma dos algarismos unidades de cada uma das ruas. Cada rua tem $90$ casas e na rua com maior soma o algarismo das unidades de todas as casas é o $9$, enquanto na rua com menor soma o algarismo das unidades de todas as casas é o $0$. Podemos então concluir que a diferença pretendida é $9\times 90=810$. Opção correta D).

Resposta correta: D
Problema: O detetive Cabreira finalmente encontrou o cofre. O código do cofre é uma capicua com quatro algarismos, maior do que $1000$, cujo dobro também é uma capicua. Quantas possibilidades existem para o código do cofre?

Opções:
A) $10$
B) $20$
C) $30$
D) $45$
E) $90$

Resolução: Seja $n=abba$ o código do cofre onde $a$ e $b$ são dois algarismos. Se $a\geq 5$, então o dobro é um número de cinco algarismos que começa por $1$ e portanto tem de acabar em $1$, o que é impossível porque $2n$ é um número par. Portanto, $a$ é um algarismo entre $1$ e $4$. Se $b$ for um algarismo menor do que $5$, é fácil verificar que $2n$ também é uma capicua com os algarismos $2a$ e $2b$. Se $b$ for maior do que $4$, então o algarismo das unidades de $2n$ é $2a$, mas o algarismo dos milhares é $2a+1$, uma vez que $2b\geq 10$. Podemos então concluir que há quatro escolhas possíveis para $a$ e cinco escolhas possíveis para $b$, ou seja, há $4\times 5=20$ códigos possíveis. Opção correta B).

Resposta correta: B
Problema: De cada vez que o Pinóquio mente, o seu nariz aumenta para o dobro do comprimento. Num belo dia de sol, o Pinóquio acordou e reparou que o seu nariz media $5$ cm. Pela hora do lanche, ele tinha mentido quatro vezes. Qual era o comprimento do seu nariz à hora do lanche?

Opções:
A) $2$ dm
B) $4$ dm
C) $8$ dm
D) $20$ dm
E) $80$ dm

Resolução: Opção C. (Pela hora do lanche, o nariz do Pinóquio mede $5 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 80$ cm$=8$ dm.)

Resposta correta: C
Problema: Vendo o Pinóquio aborrecido por estar com o nariz tão grande, o Geppetto mostrou-lhe a figura ao lado e prometeu-lhe esculpir o seu nariz se ele descobrisse o valor correto de $\square$. O que teve que responder o Pinóquio para ter o seu nariz de volta? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,-1)(0,0) \rput(0,0){ $\bigstar + 4 = 7$} \rput(0,-1){ $\square + \bigstar = 9$} \end{pspicture}

Opções:
A) $3$
B) $4$
C) $5$
D) $6$
E) $11$

Resolução: Opção D. (Da primeira igualdade sabemos que $\bigstar=3$ e, da segunda, concluimos que $\square=6$.)

Resposta correta: D
Problema: Todo contente por ter o seu nariz de volta, o Pinóquio encontrou o Grilo Falante, que tentava contar quantos retângulos tinha o tabuleiro da figura. Entusiasmado com o desafio, resolveu ajudá-lo. A que valor chegaram? (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \multiput(0,0)(1,0){4}{\psline(0,0)(0,3)} \multiput(0,0)(0,1){4}{\psline(0,0)(3,0)} \end{pspicture}

Opções:
A) $6$
B) $9$
C) $12$
D) $27$
E) $36$

Resolução: Opção E. (Há $14$ quadrados e $22$ retângulos que não são quadrados.)

Resposta correta: E
Problema: Resolvido o desafio, o Pinóquio encontrou-se com o João Honesto. Matreiro como sempre, ele disse-lhe: “Vi um tabuleiro igual a esse a ser vendido por $25$ moedas de ouro. Como bem sabes, cada moeda de ouro vale $3$ de prata, e cada moeda de prata vale $36$ de bronze. Dás-me esse tabuleiro em troca de $25$ moedas de bronze?”. Prontamente, o Pinóquio respondeu-lhe que isso estaria fora de questão! Quantas moedas de bronze deve o Pinóquio aceitar para não ficar a perder?

Opções:
A) $36$
B) $64$
C) $900$
D) $2570$
E) $2700$

Resolução: Opção E. ($25$ moedas de ouro valem $25 \times 3 \times 36 = 2700$ moedas de bronze.)

Resposta correta: E
Problema: Já de regresso a casa, o Pinóquio encontrou a Fada Azul, que adora fazer contas. Sempre que lhe dão três números, ela multiplica cada número por si próprio e, com os resultados obtidos, subtrai os dois menores números ao maior. Por exemplo, com os números $8$, $10$ e $4$, obtém os números $64 = 8 \times 8$, $100 = 10 \times 10$ e $16 = 4 \times 4$, e depois faz $100- 64 - 16$, ou seja, obtém $20$. Ela fica muito feliz quando o resultado dá zero. Pediu então ao Pinóquio que lhe sugerisse quatro conjuntos de três números. O Pinóquio apresentou-lhe os conjuntos $\{9,4,8\}$, $\{3, 4, 5\}$, $\{13, 12, 5\}$, e $\{9, 12, 15\}$. Para quantos o resultado é zero?

Opções:
A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $3$
E) $4$

Resolução: Opção D. (A Fada Azul apenas não obtém zero com o conjunto $\{9, 4, 8\}$.)

Resposta correta: D
Problema: A Ana, no degrau de uma escada, reparou que o número de degraus acima dela é o dobro do número de degraus que tem abaixo (sem contar o degrau onde ela está). Após subir mais $5$ degraus, tem tantos degraus acima como abaixo. Quantos degraus terá a Ana de subir para que o número de degraus abaixo dela seja igual a $4$ vezes o número de degraus que tem acima?

Opções:
A) $5$
B) $6$
C) $7$
D) $8$
E) $9$

Resolução: Opção E. (No início há $10$ degraus abaixo e $20$ acima. Subindo $9$, fica com $24$ abaixo e $6$ acima.)

Resposta correta: E
Problema: No triângulo $[LMN]$ os ângulos internos com vértices em $L$ e $N$ têm amplitudes $42^{\circ}$ e $80^{\circ}$, respetivamente. Seja $P$ um ponto no lado $[LN]$ tal que os ângulos $LMP$ e $PMN$ têm a mesma amplitude. A reta $r$, que é perpendicular à reta $MP$ e passa em $M$, interseta a reta $LN$ no ponto $O$. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $MON$? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,-1.5)(12.47867,4.10815) \scriptsize \pspolygon(0,0)(14.79245,0) \psline(3.45195,3.10815)(0,0) \psline(0.67957,4.06276)(14.69283,-0.7624) \psline(3.45195,3.10815)(2.38173,0) \psline(3.45195,3.10815)(4,0) \uput[270](0,0){$L$} \uput[90](3.45195,3.10815){$M$} \uput[270](4,0){$N$} \uput[90](12.47867,0){$O$} \uput[270](2.38173,0){$P$} \uput[225](14.69283,-0.7624){$r$} \end{pspicture}

Opções:
A) $17$
B) $19$
C) $21$
D) $23$
E) $29$

Resolução: Opção B. ($L\widehat{M}N=58^{\circ}$, $P\widehat{M}N=29^{\circ}$, $M\widehat{P}N=71^{\circ}$, $M\widehat{O}N=180-(90+71)=19^{\circ}$.)

Resposta correta: B
Problema: Um quadrado perfeito é um inteiro que pode ser escrito como o quadrado de outro número inteiro. Por exemplo, $25$ e $36$ são quadrados perfeitos, uma vez que $25=5^2$ e $36=6^2$. Quantos múltiplos de $7$ entre $1$ e $5000$ são quadrados perfeitos?

Opções:
A) $7$
B) $8$
C) $9$
D) $10$
E) $11$

Resolução: Opção D. (Há $10$ quadrados perfeitos $7^2$, $2^2\times 7^2$, $3^2 \times 7^2, \dots, 10^2\times 7^2=4900$.)

Resposta correta: D
Problema: Na figura dividiu-se um retângulo em $7$ quadrados. O quadrado mais pequeno tem $1$ cm$^2$ de área. Qual é a área, em cm$^2$, do retângulo? [origin=c]90(image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(19,21) \pspolygon(0,0)(19,0)(19,21)(0,21) \psline(4,0)(4,4) \psline(0,4)(8,4) \psline(8,0)(8,12)(0,12) \psline(8,11)(19,11) \psline(9,11)(9,21) \psline(8,12)(9,12) \end{pspicture}

Opções:
A) $289$
B) $299$
C) $360$
D) $380$
E) $399$

Resolução: Opção E. (Os lados dos quadrados são $1$, $4$, $8$, $9$, $10$ e $11$; o retângulo tem área $19\times 21=399$.)

Resposta correta: E
Problema: Na escola do Delfim realizou-se uma festa de dia de Reis. Na entrada da festa estava uma torre composta por dois paralelepípedos empilhados, cada um com volume $128$ cm$^3$. Duas das faces de um paralelepípedo têm áreas iguais a $4$ cm$^2$ e a $32$ cm$^2$. Duas das faces do outro paralelepípedo têm área igual a $16$ cm$^2$ e a $64$ cm$^2$. A torre era a mais alta possível construída com estes dois sólidos, e, entre as torres com esta altura, a área da superfície exposta da torre era a menor possível. Quanto mede, em cm$^2$, a área da superfície exposta desta torre?

Opções:
A) $172$
B) $256$
C) $384$
D) $496$
E) $520$

Resolução: Opção D. (As dimensões dos paralelepípedos são $1,4,32$ e $2,8,8$, respetivamente, logo a área da superfície exposta é $2\times(128+32+4+64+16+16)-16-2\times 4=496$.)

Resposta correta: D
Problema: Um dos bolos que foi servido na festa tinha a forma de um pentágono. O Delfim reparou que não era possível construir um pentágono com mais ângulos retos do que os que tinha o pentágono do bolo. Quantos ângulos retos tinha esse pentágono?

Opções:
A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $4$
E) $5$

Resolução: Opção C. (Se um pentágono tivesse quatro ângulos retos (consecutivos), então o primeiro e o quinto lado seriam paralelos. É fácil construir um pentágono com três ângulos retos.)

Resposta correta: C
Problema: Num dos jogos que foram feitos na festa, a Beatriz teve que andar para a frente e para trás de olhos vendados. Primeiro deu um passo para a frente, e saltou para cima. Depois deu dois passos para trás e saltou para cima. Depois deu três passos para a frente, saltou, deu quatro passos para trás, saltou e assim sucessivamente até que ficou $30$ metros afastada do ponto de partida e saltou. Cada passo da Beatriz mede $60$ cm. Quantos saltos deu a Beatriz?

Opções:
A) $10$
B) $59$
C) $60$
D) $99$
E) $100$

Resolução: Opção D. (Para estar afastada $30m$, ela tem que estar a $50$ passos da partida. Ela salta pela primeira vez quando está afastada um passo, e depois salta duas vezes por cada passo que se afasta mais, $99=1+2\times 49$.)

Resposta correta: D
Problema: A Alice, a Beatriz, a Carla, o Delfim e o Eurico fizeram uma troca de prendas. Cada um colocou uma prenda num saco e depois cada um deles tirou uma prenda. No final, dois deles ficaram com a prenda que tinham levado, e os outros três com prendas diferentes. De quantas maneiras é possível as prendas terem sido distribuídas?

Opções:
A) $10$
B) $20$
C) $30$
D) $60$
E) $120$

Resolução: Opção B. (Há $10$ maneiras de escolher as duas crianças que recebem as próprias prendas, e duas maneiras de trocar as prendas entre as outras três.)

Resposta correta: B
Problema: O príncipe da Luzilândia convidou os amigos para um passeio no jardim real. Os seus empregados levaram $30$ pizzas para as crianças comerem. Ao almoço repartiram uma pizza para cada grupo de duas crianças. No final de mais uma brincadeira, foram comer as pizzas que sobraram, e cada grupo de três crianças comeu uma pizza. Sabendo que no final não sobrou nenhuma pizza, quantas crianças eram?

Opções:
A) $24$
B) $25$
C) $30$
D) $36$
E) $45$

Resolução: Cada criança comeu $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$ de pizza. Portanto, o número de crianças é $30/\frac56=30\times \frac{6}{5}=36$. Opção correta: D)

Resposta correta: D
Problema: Ao almoço, as crianças comeram em duas mesas que existiam no jardim. Uma das mesas tem a forma de um hexágono regular e a outra de um triângulo equilátero. Um dos amigos do príncipe reparou que as mesas têm exatamente o mesmo perímetro. Qual é a razão entre as áreas do hexágono e do triângulo?

Opções:
A) $\frac{1}{1}$
B) $\frac{4}{3}$
C) $\frac{3}{2}$
D) $\frac{5}{3}$
E) $\frac{2}{1}$

Resolução: O comprimento de cada lado do triângulo equilátero é um terço do seu perímetro, e o comprimento de cada lado do hexágono regular é um sexto do seu perímetro e portanto mede metade do comprimento do lado do triângulo. Um hexágono regular é composto por seis triângulos equiláteros. Cada um desses triângulos tem um lado de comprimento igual a metade do lado da mesa triangular, e portanto a sua área é igual a um quarto da área da mesa triangular. Como a mesa hexagonal tem seis vezes a área de cada um dos seis triângulos que a compõem, deduzimos que a mesa hexagonal tem uma área $6\times\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$ maior do que a mesa triangular. Opção correta: C) (image1)


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[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(4,4) \pspolygon(1;0)(1;60)(1;120)(1;180)(1;240)(1;300) \psline(1;0)(1;180) \psline(1;60)(1;240) \psline(1;120)(1;300) \rput(0,-2.31){\pspolygon(1.155;-30)(1.155;90)(1.155;210) \psline(0.577;30)(0.577;150) \psline(0.577;150)(0.577;270) \psline(0.577;270)(0.577;30)} \end{pspicture}

Resposta correta: C
Problema: O jardineiro real fez um canteiro em frente ao poste onde se hasteia a bandeira real. O canteiro $[ABCD]$ tem forma quadrangular e foi colocado de tal modo que a posição do poste fosse o ponto simétrico de $A$ relativamente a $B$. O protocolo real impõe que a distância do poste ao ponto mais distante do canteiro seja de $90$ dm. Qual é a área, em dm$^2$, do canteiro?

Opções:
A) $324$
B) $1620$
C) $1800$
D) $2025$
E) $2700$

Resolução: Seja $P$ o ponto onde está colocado o poste. Seja $\ell$ a medida do lado do quadrado. Temos $\overline{AD}=\ell$ e por simetria $\overline{AP}=2\overline{AB}=2\ell$. Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que $\overline{AP}^2+\overline{AD}^2=\overline{DP}^2$. Logo, $$ \left(2\ell\right)^2+\ell^2=90^2 \Leftrightarrow 4\ell^2+\ell^2=8100 \Leftrightarrow \ell^2=1620\,.$$ Podemos assim concluir que área do quadrado $[ABCD]$ é $1620$ dm$^2$. Opção correta: B) (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(4,4) \small \pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \psline(1,0)(2,0)(0,1) \uput[270](0,0){$A$} \uput[270](1,0){$B$} \uput[90](1,1){$C$} \uput[90](0,1){$D$} \uput[270](2,0){$P$} \end{pspicture}

Resposta correta: B
Problema: O parlamento da Luzilândia tem $230$ lugares e estão representados $7$ grupos diferentes que têm $75$, $70$, $40$, $16$, $13$, $11$ e $5$ representantes. Para uma lei ser aprovada é preciso que se forme uma maioria, ou seja, que mais de metade dos representantes vote a favor dessa lei. Na Luzilândia, em cada votação, cada um dos grupos vota todo a favor ou vota todo contra. De quantas maneiras diferentes se pode formar uma maioria?

Opções:
A) $8$
B) $24$
C) $61$
D) $62$
E) $64$

Resolução: Se dividirmos os sete grupos em dois conjuntos disjuntos, então um deles forma uma maioria ou então há um empate. Comecemos por fixar a votação de um dos grupos, por exemplo o maior. A divisão que pretendemos depende de cada um dos outros seis grupos decidir se vota no mesmo sentido ou sentido contrário. Se não houvesse empates, então haveria $2^6=64$ maiorias possíveis. Falta-nos apenas contar quantos empates podem existir, ou seja contar de quantas maneiras se pode dividir os números $75$, $70$, $40$, $16$, $13$, $11$ e $5$ em dois conjuntos de modo que a soma de cada conjunto dê $115$. Há duas possibilidades $75+40=115=70+16+13+11+5$ e $75+16+13+11=115=70+40+5$. O número de maneiras de formar uma maioria é igual a $64-2=62$. Opção correta: D)

Resposta correta: D
Problema: Uma tartaruga demora $11$ segundos a nadar $100$ metros, e o João demora $1$ minuto e $50$ segundos a nadar a mesma distância. Os dois querem partir do mesmo local, nadar $10$ quilómetros, e chegar ao mesmo tempo às Ilhas Berlengas. Que distância deve a tartaruga deixar o João avançar antes de iniciar o trajeto?

Opções:
A) $1$ km
B) $3$ km
C) $5$ km
D) $7$ km
E) $9$ km

Resolução: Opção E. (A tartaruga nada $10$ km no mesmo tempo que o João nada $1$ km.)

Resposta correta: E
Problema: Qual é o algarismo das unidades de $2023^{2023}$?

Opções:
A) $1$
B) $3$
C) $5$
D) $7$
E) $9$

Resolução: Opção D. ($2023^{2023}=(2023^4)^{505}\times 2023^3$; $2023^4$ termina em $1$ e $2023^3$ termina em $7$.)

Resposta correta: D
Problema: Um retângulo está dividido em sete quadrados, como na figura ao lado. A área do quadrado mais pequeno é $1$. Qual é a área do retângulo? [origin=c]90(image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(19,21) \pspolygon(0,0)(19,0)(19,21)(0,21) \psline(4,0)(4,4) \psline(0,4)(8,4) \psline(8,0)(8,12)(0,12) \psline(8,11)(19,11) \psline(9,11)(9,21) \psline(8,12)(9,12) \end{pspicture}

Opções:
A) $255$
B) $288$
C) $323$
D) $360$
E) $399$

Resolução: Opção E. (Os lados dos quadrados são $1$, $4$, $8$, $9$, $10$ e $11$, logo o retângulo tem área $19\times 21=399$.)

Resposta correta: E