tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema: Na última semana de aulas, a Escola Divertida organizou diversas atividades para os alunos. Na corrida de obstáculos, o corredor que chegou três lugares à frente do penúltimo, chegou dois lugares à frente do sétimo. Quantos corredores participaram?

Opções:
A) $8 $
B) $9 $
C) $10 $
D) $11 $
E) $ 12$

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: Na última semana de aulas, a Escola Divertida organizou diversas atividades para os alunos. No torneio de xadrez, em cada ronda, cada participante jogava contra outro e quem perdia o jogo era eliminado. Se houvesse um número ímpar de jogadores numa ronda, escolhia-se à sorte o jogador que passava diretamente à ronda seguinte. No torneio houve $100$ jogos. Quantos jogadores participaram?

Opções:
A) $50 $
B) $51 $
C) $ 99$
D) $100 $
E) $101$

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: Na última semana de aulas, a Escola Divertida organizou diversas atividades para os alunos. Um quebra-cabeças com a forma de paralelepípedo era formado por $3$ peças com $4$ cubinhos cada uma, como se representa na figura. Qual é a forma da peça branca? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0.0)(0,1.0)    \pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,0)(2,0)(2,1)(1,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,0)(2.5,0.5)(2.5,1.5)(2,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2.5,0.5)(3,1)(3,2)(2.5,1.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,1)(2,1)(2,2)(1,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,1)(2.5,1.5)(2.5,2.5)(2,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,1)(1,1)(1,2)(0,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,2)(1,2)(1.5,2.5)(0.5,2.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,2)(2,2)(2.5,2.5)(1.5,2.5) \pspolygon(0.5,2.5)(1.5,2.5)(2,3)(1,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeclarologotipo](1.5,2.5)(2.5,2.5)(3,3)(2,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeclarologotipo](2,3)(3,3)(3.5,3.5)(2.5,3.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeclarologotipo](1,3)(2,3)(2.5,3.5)(1.5,3.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeclarologotipo](3,1)(3.5,1.5)(3.5,2.5)(3,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeclarologotipo](3,2)(3.5,2.5)(3.5,3.5)(3,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeclarologotipo](2.5,1.5)(3,2)(3,3)(2.5,2.5) \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \pspolygon(0,0)(2,0)(3,1)(3,3)(2,3)(1.5,2.5)(1.5,1.5)(0.5,1.5)(0,1) \psline(1,0)(1,1)(1.5,1.5) \psline(2,0)(2,1)(3,2) \psline(0,1)(2,1) \psline(1.5,1.5)(2.5,1.5)(2.5,0.5) \psline(3,3)(2.5,2.5)(1.5,2.5) \psline(2.5,2.5)(2.5,1.5) \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(0,0)(4,3) \pspolygon(0,0)(2,0)(2.5,0.5)(3.5,0.5)(4,1)(4,2)(2,2)(1.5,1.5)(0.5,1.5)(0,1) \psline(1,0)(1,1)(1.5,1.5) \psline(2,0)(2,1)(3,2) \psline(2.5,0.5)(2.5,1.5) \psline(0,1)(2,1) \psline(1.5,1.5)(3.5,1.5)(3.5,0.5) \psline(3.5,1.5)(4,2) \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(0,0)(4,3) \pspolygon(0,0)(1,0)(2.5,1.5)(2.5,2.5)(0.5,2.5)(0,2) \psline(1,0)(1,2)(0,2) \psline(1.5,0.5)(1.5,2.5) \psline(2,1)(2,2)(1.5,2) \psline(0,1)(1,1)(2.5,2.5) \psline(1,2)(1.5,2.5) \end{pspicture}
[image5]
\begin{pspicture}(0,0)(4,3) \pspolygon(0,0)(3,0)(3.5,0.5)(3.5,1.5)(2.5,1.5)(2.5,2.5)(1.5,2.5)(1,2)(1,1.5)(0.5,1.5)(0,1) \psline(1,0)(1,1.5) \psline(2,0)(2,2)(2.5,2.5) \psline(0,1)(3,1) \psline(1,2)(2,2) \psline(3,0)(3,1)(3.5,1.5) \psline(2,1)(2.5,1.5) \end{pspicture}
[image6]
\begin{pspicture}(0,0)(4,3) \pspolygon(0,0)(2,0)(3,1)(3,2)(2.5,2)(2.5,2.5)(1.5,2.5)(1,2)(1,1.5)(0.5,1.5)(0,1) \psline(1,0)(1,1.5) \psline(2,0)(2,2)(2.5,2.5) \psline(2.5,0.5)(2.5,2) \psline(0,1)(2,1)(3,2) \psline(1,2)(2,2) \end{pspicture}

Opções:
A) (image2)
B) (image3)
C) (image4)
D) (image5)
E) (image6)

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: Na última semana de aulas, a Escola Divertida organizou diversas atividades para os alunos. Na figura apresenta-se a forma de um puzzle geométrico. Os alunos calcularam a soma dos perímetros de todas as peças e obtiveram $126$ cm. Qual é a área, em cm$^2$, do quadrado original? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0.5)(4,1.5) \pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4) \psline(1,0)(1,1)(1.5,1)(1.5,2.5)(0.8,2.5)(0.8,2.8)(0.5,2.8)(0.5,4) \psline(0,3.2)(0.5,3.2) \psline(0,0.8)(1,0.8) \psline(1.5,2)(2.4,2) \psline(2.8,2)(3.5,2)(3.5,3) \psline(2.4,0.5)(2.8,0.5) \psline(3.5,2)(4,2) \psline(2.4,2)(2.4,0) \psline(2.8,2)(2.8,0) \psline(2,2)(2,2.5) \psline(1.5,2.5)(2.5,2.5)(2.5,3.5)(3,3.5)(3,3)(4,3) \psline(2.5,3.5)(2.5,4) \psline(3,3.5)(3,4) \end{pspicture}

Opções:
A) $81 $
B) $100 $
C) $126$
D) $144$
E) $196$

Resolução: Opção A.

Resposta correta: A
Problema: A Laura tinha $100$ rebuçados, numerados de $1$ a $100$. A Laura deu ao Pedro todos os rebuçados cujo número é múltiplo de $5$ e de seguida distribuíu pela família todos os rebuçados restantes cujo número era par. Com quantos rebuçados ficou a Laura?

Opções:
A) $10$
B) $20$
C) $30$
D) $40$
E) $50$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: A Laura tem sete palitos diferentes de $2,4,6,7,8,9$ e $10$ cm de comprimento. De todos os retângulos que ela pode formar usando os sete palitos, qual é a maior área, em cm$^2$, que ela pode obter?

Opções:
A) $102$
B) $126$
C) $130$
D) $140$
E) $152$

Resolução: Opção C.

Resposta correta: C
Problema: O Pedro e a Laura foram jantar a uma pizzaria com os amigos. Vieram para a mesa cinco pizzas iguais e as primeiras cinco fatias foram cortadas, com cinco cortes unindo os centros das pizzas, da forma indicada na figura. As fatias indicadas correspondem, no total, a quantas pizzas? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-7.5,-2)(5.5,-2) \begin{psclip}{\pspolygon(-6,0)(-2,4)(2,4)(4,1)(0,-2)} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](-6,0){1.5} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](-6,0){1.5} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](-2,4){1.5} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,4){1.5} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](4,1){1.5} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,-2){1.5} \end{psclip} \pspolygon(-6,0)(-2,4)(2,4)(4,1)(0,-2) \pscircle(-6,0){1.5} \pscircle(-2,4){1.5} \pscircle(2,4){1.5} \pscircle(4,1){1.5} \pscircle(0,-2){1.5} \end{pspicture}

Opções:
A) $1,25$
B) $1,5$
C) $1,75$
D) $2$
E) $2,25$

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: Na pastelaria "Só mais um... bolo", a primeira quarta-feira depois da primeira terça-feira de cada mês é o "Dia dos bolos e mais bolos". Em que dias do mês pode decorrer este Dia?

Opções:
A) $2 $
B) $2, 3, 4 $
C) $2,3,4,5$
D) $1,2,3,4,5,6,7$
E) $2,3,4,5,6,7,8$

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: O pasteleiro esteve a fazer um bolo de aniversário. Ao procurar velas numeradas para colocar no bolo, reparou que não tinha velas com o número $1$ nem com o número $3$. O pasteleiro observou que o número que queria colocar no bolo era o décimo quinto número possível de escrever com as velas que tinha. Quantos anos festejava o aniversariante?

Opções:
A) $26 $
B) $ 27$
C) $ 29$
D) $40 $
E) $42 $

Resolução: Opção C.

Resposta correta: C
Problema: Nestes dias especiais, a pastelaria faz um concurso de sabores. Cada concorrente começa com $10$ pontos e tem de adivinhar o ingrediente especial de cada um dos $10$ bolos que prova de olhos vendados. Se o David terminou com $14$ pontos, quantas respostas errou?

Opções:
A) $2 $
B) $ 3$
C) $ 5$
D) $6 $
E) $7 $

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: O último bolo que a pastelaria fez, representado na figura, era constituído por $3$ partes de sabores diferentes, cada uma com $4$ cubinhos. Qual é a forma da parte branca? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,-0.5)(0,1)    \pspolygon(0,0)(1,0)(1,1)(0,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,0)(2,0)(2,1)(1,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,0)(2.5,0.5)(2.5,1.5)(2,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2.5,0.5)(3,1)(3,2)(2.5,1.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,1)(2,1)(2,2)(1,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,1)(2.5,1.5)(2.5,2.5)(2,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,1)(1,1)(1,2)(0,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,2)(1,2)(1.5,2.5)(0.5,2.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,2)(2,2)(2.5,2.5)(1.5,2.5) \pspolygon(0.5,2.5)(1.5,2.5)(2,3)(1,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeclarologotipo](1.5,2.5)(2.5,2.5)(3,3)(2,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeclarologotipo](2,3)(3,3)(3.5,3.5)(2.5,3.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeclarologotipo](1,3)(2,3)(2.5,3.5)(1.5,3.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeclarologotipo](3,1)(3.5,1.5)(3.5,2.5)(3,2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeclarologotipo](3,2)(3.5,2.5)(3.5,3.5)(3,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeclarologotipo](2.5,1.5)(3,2)(3,3)(2.5,2.5) \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(3,3) \pspolygon(0,0)(2,0)(3,1)(3,3)(2,3)(1.5,2.5)(1.5,1.5)(0.5,1.5)(0,1) \psline(1,0)(1,1)(1.5,1.5) \psline(2,0)(2,1)(3,2) \psline(0,1)(2,1) \psline(1.5,1.5)(2.5,1.5)(2.5,0.5) \psline(3,3)(2.5,2.5)(1.5,2.5) \psline(2.5,2.5)(2.5,1.5) \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(0,0)(4,3) \pspolygon(0,0)(2,0)(2.5,0.5)(3.5,0.5)(4,1)(4,2)(2,2)(1.5,1.5)(0.5,1.5)(0,1) \psline(1,0)(1,1)(1.5,1.5) \psline(2,0)(2,1)(3,2) \psline(2.5,0.5)(2.5,1.5) \psline(0,1)(2,1) \psline(1.5,1.5)(3.5,1.5)(3.5,0.5) \psline(3.5,1.5)(4,2) \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(0,0)(4,3) \pspolygon(0,0)(1,0)(2.5,1.5)(2.5,2.5)(0.5,2.5)(0,2) \psline(1,0)(1,2)(0,2) \psline(1.5,0.5)(1.5,2.5) \psline(2,1)(2,2)(1.5,2) \psline(0,1)(1,1)(2.5,2.5) \psline(1,2)(1.5,2.5) \end{pspicture}
[image5]
\begin{pspicture}(0,0)(4,3) \pspolygon(0,0)(3,0)(3.5,0.5)(3.5,1.5)(2.5,1.5)(2.5,2.5)(1.5,2.5)(1,2)(1,1.5)(0.5,1.5)(0,1) \psline(1,0)(1,1.5) \psline(2,0)(2,2)(2.5,2.5) \psline(0,1)(3,1) \psline(1,2)(2,2) \psline(3,0)(3,1)(3.5,1.5) \psline(2,1)(2.5,1.5) \end{pspicture}
[image6]
\begin{pspicture}(0,0)(4,3) \pspolygon(0,0)(2,0)(3,1)(3,2)(2.5,2)(2.5,2.5)(1.5,2.5)(1,2)(1,1.5)(0.5,1.5)(0,1) \psline(1,0)(1,1.5) \psline(2,0)(2,2)(2.5,2.5) \psline(2.5,0.5)(2.5,2) \psline(0,1)(2,1)(3,2) \psline(1,2)(2,2) \end{pspicture}

Opções:
A) (image2)
B) (image3)
C) (image4)
D) (image5)
E) (image6)

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: O Miguel quer dividir o topo do bolo em seis triângulos iguais para depois o cortar em fatias. Na figura apresentam-se duas formas de o fazer. De quantas formas pode o Miguel fazer esta divisão? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0.2)(0,0.2) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,2)(0,2) \psline(0,2)(1,0) \psline(1,0)(1,2) \psline(1,1)(3,1) \psline(1,1)(3,2) \psline(1,0)(3,1) \pspolygon(4,0)(7,0)(7,2)(4,2) \psline(5,0)(4,2) \psline(5,0)(5,2) \psline(6,0)(5,2) \psline(6,0)(6,2) \psline(6,0)(7,2) \rput(1.5,1.5){\scriptsize $\cal PARAB\' ENS$} \rput(1.5,0.5){\scriptsize $\cal MIGUEL$} \rput(5.5,1.5){\scriptsize $\cal PARAB\' ENS$} \rput(5.5,0.5){\scriptsize $\cal MIGUEL$} \end{pspicture}

Opções:
A) $3 $
B) $ 6$
C) $16 $
D) $18 $
E) $24 $

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: O Leonardo nasceu em Avintes no dia $10/02/2001$. Se pensar na sua data de nascimento como o número $10022001$, ela não se altera quando lida ao contrário: é uma capicua. Outros exemplos de capicuas são $22, 707$ ou $154451$. O Leonardo fez uma lista, por ordem crescente, de todas as capicuas com cinco algarismos (não começadas por $0$). Qual é o $12^\circ$ número dessa lista?

Opções:
A) $11111$
B) $11211$
C) $12121$
D) $12221$
E) $12321$

Resolução: Opção A.

Resposta correta: A
Problema: O Leonardo de Avintes, como lhe chamam os seus colegas, gosta muito de invenções. Na figura está o modelo de uma hélice do último helicóptero que criou. É composta por quatro triângulos com um vértice em comum, no interior de um quadrado de lado $5$cm. Cada um dos quatro triângulos tem um lado, de comprimento $1$cm, sobre um dos lados do quadrado. Qual é a proporção da área do quadrado usada para construir a hélice? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,-0.5)(3,3)     \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,0)(1.8,1.8)(0.6,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](3,0)(1.8,1.8)(3,0.6) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](3,3)(1.8,1.8)(2.4,3) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,3)(1.8,1.8)(0,2.4) \psline(0,0)(1.8,1.8) \psline(0.6,0)(1.8,1.8) \psline(3,0)(1.8,1.8) \psline(3,0.6)(1.8,1.8) \psline(3,3)(1.8,1.8) \psline(2.4,3)(1.8,1.8) \psline(0,3)(1.8,1.8) \psline(0,2.4)(1.8,1.8) \psline(0.6,0)(0.6,3) \psline(1.2,0)(1.2,3) \psline(1.8,0)(1.8,3) \psline(2.4,0)(2.4,3) \psline(0,0.6)(3,0.6) \psline(0,1.2)(3,1.2) \psline(0,2.4)(3,2.4) \psline(0,1.8)(3,1.8) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \rput(0.3,-0.3){$1$} \rput(3.3,0.3){$1$} \rput(2.7,3.3){$1$} \rput(-0.3,2.7){$1$} \end{pspicture}

Opções:
A) $\displaystyle\frac1{10}$
B) $\displaystyle\frac17$
C) $\displaystyle\frac16$
D) $\displaystyle\frac15$
E) $\displaystyle\frac14$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: Noutra das suas invenções, o Leonardo construiu uma roda com a forma de um eneágono regular. Para reforçar a estrutura da roda, decidiu ligar todos os vértices, de todas as formas possíveis, usando varas metálicas, tal como se vê na figura. Quantos triângulos isósceles ou equiláteros, cujos vértices são vértices do eneágono, aparecem na roda? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \pspolygon(2;0)(2;40)(2;80)(2;120)(2;160)(2;200)(2;240)(2;280)(2;320) \pspolygon(2;0)(2;80)(2;160)(2;240)(2;320)(2;40)(2;120)(2;200)(2;280) \pspolygon(2;0)(2;160)(2;320)(2;120)(2;280)(2;80)(2;240)(2;40)(2;200) \pspolygon(2;0)(2;120)(2;240) \pspolygon(2;80)(2;200)(2;320) \pspolygon(2;160)(2;280)(2;40) \end{pspicture}

Opções:
A) $27$
B) $30$
C) $33$
D) $36$
E) $39$

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: Entre as $2013$ invenções do Leonardo, um terço são voadoras: helicópteros, aviões e foguetões. O número de helicópteros que o Leonardo criou é o dobro do número de aviões e o triplo do número de foguetões. Quantos aviões inventou o Leonardo?

Opções:
A) $122$
B) $183$
C) $224$
D) $366$
E) $671$

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: Para evitar que o seu irmão descubra o que escreve no seu diário, a Margarida inventou um código secreto em que cada letra corresponde a um número com um ou dois algarismos. Infelizmente o seu irmão António descobriu que a frase O dia estava de sol tinha sido codificada para $$ 52\quad 85567 \quad 534437467 \quad 855 \quad 34526\quad \quad $$ Qual é o código que corresponde à letra $T$?

Opções:
A) $3$
B) $4$
C) $37$
D) $43$
E) $44$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: A figura ao lado representa o emblema do clube de futebol do António. O emblema é de duas cores e está dividido em $16$ quadrados com $1$ cm de lado, onde estão traçadas algumas semicircunferências. Qual é a área, em cm$^2$, da região colorida? (image1) (image2) (image3) (image4)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(4,4) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,2)(2,2)(2,4)(0,4) \begin{psclip}{\pspolygon[linestyle=none](0,2)(2,2)(2,4)(0,4)} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,2){1} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,3.5){0.5} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1.5,2){0.5} \end{psclip} \pspolygon(0,2)(2,2)(2,4)(0,4) \psline(0,2)(2,2) \psline(0,3)(2,3) \psline(1,2)(1,4) \psline(2,2)(2,4) \end{pspicture}
[image2]
\begin{pspicture}(2.19,0)(6.19,4) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,2)(2,2)(2,4)(0,4) \begin{psclip}{\pspolygon[linestyle=none](0,2)(2,2)(2,4)(0,4)} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,3){1} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.5,2){0.5} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,2.5){0.5} \end{psclip} \pspolygon(0,2)(2,2)(2,4)(0,4) \psline(0,2)(2,2) \psline(0,3)(2,3) \psline(1,2)(1,4) \psline(2,2)(2,4) \end{pspicture}
[image3]
\begin{pspicture}(8.3,2.02)(12.3,6.02) \begin{psclip}{\pspolygon[linestyle=none](0,2)(2,2)(2,4)(0,4)} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,4){2} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,3){1} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0.5,4){0.5} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,3.5){0.5} \end{psclip} \pspolygon(0,2)(2,2)(2,4)(0,4) \psline(0,2)(2,2) \psline(0,3)(2,3) \psline(1,2)(1,4) \psline(2,2)(2,4) \end{pspicture}
[image4]
\begin{pspicture}(10.47,2.02)(14.47,6.02) \begin{psclip}{\pspolygon[linestyle=none](0,2)(2,2)(2,4)(0,4)} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,4){2} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,4){1} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,2.5){0.5} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0.5,4){0.5} \end{psclip} \pspolygon(0,2)(2,2)(2,4)(0,4) \psline(0,2)(2,2) \psline(0,3)(2,3) \psline(1,2)(1,4) \psline(2,2)(2,4) \end{pspicture}

Opções:
A) $12\pi$
B) $8\pi+2$
C) $12$
D) $8$
E) Nenhuma das anteriores

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: A Margarida tem muitas contas rosas e azuis e quer construir a pulseira com $6$ contas representada na figura. De quantas maneiras diferentes pode construir a pulseira, de modo que nenhuma conta rosa fique entre duas azuis? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(4,5) \small \psline(0,0)(13,0) \pscircle[fillcolor=white,fillstyle=solid](1.5,0){0.5} \pscircle[fillcolor=white,fillstyle=solid](3.5,0){0.5} \pscircle[fillcolor=white,fillstyle=solid](5.5,0){0.5} \pscircle[fillcolor=white,fillstyle=solid](7.5,0){0.5} \pscircle[fillcolor=white,fillstyle=solid](9.5,0){0.5} \pscircle[fillcolor=white,fillstyle=solid](11.5,0){0.5} \end{pspicture}

Opções:
A) $6$
B) $20$
C) $10$
D) $17$
E) $22$

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: A Margarida tem mais $10$ anos do que o João, o seu irmão mais novo . A idade do João é igual ao último algarismo do número $1^{23}+2^{34}+3^{45}+4^{56}+5^{67}+6^{78}$. Qual é a idade da Margarida?

Opções:
A) $11$
B) $12$
C) $13$
D) $14$
E) $15$

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: O Mário foi almoçar com os pais a um restaurante. No restaurante, cada pessoa tinha de escolher um prato da mesa das entradas e um outro da mesa dos pratos principais. Ele observou que, com as opções disponiveis, havia $60$ maneiras distintas de escolher o almoço. Na semana seguinte, o dono do restaurante mudou dois dos pratos que estavam na mesa dos pratos principais para a mesa das entradas. Com esta troca, passou a haver $78$ maneiras diferentes de escolher o almoço. Quantos pratos principais havia no dia em que o Mário almoçou no restaurante?

Opções:
A) $6$
B) $10$
C) $15$
D) $18$
E) $20$

Resolução: Se $x$ for o número de pratos na mesa das entradas e $y$ o número de pratos na mesa dos pratos principais, no dia em que o Mário foi ao restaurante, há $x \times y=60$ maneiras diferentes de escolher o almoço. Tem-se também que $78=(x+2)(y-2)$. Os divisores de $60$ são $ 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$; os divisores de $78$ são $1,2,3,6,13,26,39,78$. Pretende-se encontrar um divisor de $60$, o $y$, e um divisor de $78$, cuja diferença seja $2$. Os pares possíveis são $(3,1)$, $(4,2)$, $(5,3)$ e $(15,13)$. Se $y=3$ então $x=20$ e $(20+2) \times 1 \neq 78$; se $y=4$ então $x=15$ e $(15+2) \times 2 \neq 78$; se $y=5$ então $x=12$ e $(12+2) \times 3 \neq 78$; portanto $y=15$. Opção correta: C).

Resposta correta: C
Problema: Uma linha de comboio tem as estações numeradas de $1$ a $3000$. De cada estação partem comboios que param de duas em duas estações, outros que param de três em três e outros que param de cinco em cinco estações. O Mário está numa estação e observou que todos os comboios que partem daquela estação no sentido ascendente param na estação $2014$. Em quantas das primeiras $1000$ estações isto acontece?

Opções:
A) $31$
B) $32$
C) $33$
D) $34$
E) $35$

Resolução: Havendo comboios que param de $2$ em $2$ estações, outros de $3$ em $3$ estações e outros que param de $5$ em $5$ estações, todos os comboios param na mesma estação de $30$ em $30$ estações, uma vez que $30$ é o mínimo múltiplo comum de $2$, $3$ e $5$. O resto da divisão de $2014$ por $30$ é $4$, ou seja, todos os comboios que partem da estação $4$ param na estação $2014$. A partir da estação $4$, de $30$ em $30$ estações temos a mesma propriedade. Uma vez que $1000=30 \times 33 + 10$ então, além da estação $4$, há mais $33$ estações com a propriedade pretendida, ou seja, $34$ no total. Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: O Mário tem $20$ cartas na mão: oito são de copas, sete são de espadas e cinco são de paus. Após baralhar as cartas, vai dar algumas delas à irmã, sem as ver. Qual é o número máximo de cartas que o Mário pode dar para ter a certeza que ainda fica com, pelo menos, quatro cartas de um naipe e três de outro?

Opções:
A) $5$
B) $6$
C) $7$
D) $8$
E) $9$

Resolução: Se o Mário der $8$ cartas à irmã, poderá ter $8$ de um naipe (copas), $2$ de outro e $2$ do outro e não satisfaz o que pretendia. Se o Mário entregar $7$ cartas à irmã, na pior das hipóteses ele retiraria as cartas dos naipes que têm menos, espadas e paus. Destes dois naipes ele tem $12$ cartas, retirando $7$, ficaria com $5$ cartas, logo ele fica com mais de $2$ cartas num destes naipes (porque se ambos tivessem $2$ cartas ele só teria $4$). Portanto, o Mário consegue sempre $4$ cartas de um naipe (copas) e três de um destes dois naipes. Opção correta: C).

Resposta correta: C
Problema: O João quer pavimentar o chão da sua cozinha com azulejos, com a forma de hexágonos regulares, como na figura. De quantas maneiras diferentes ele pode pavimentar o chão, usando apenas azulejos azuis, vermelhos ou brancos, e de modo que não fiquem dois azulejos hexagonais da mesma cor com um lado em comum? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,-1)(8,3) \newcommand{\hexagono}{\pspolygon(1;0)(1;60)(1;120)(1;180)(1;240)(1;300)} \rput{0,0}{\hexagono} \rput(0,1.732){\hexagono} \rput(1.5,0.866){\hexagono} \rput(1.5,-0.866){\hexagono} \rput(1.5,2.598){\hexagono} \rput(3,0){\hexagono} \rput(3,1.732){\hexagono} \rput(4.5,0.866){\hexagono} \rput(4.5,-0.866){\hexagono} \rput(4.5,2.598){\hexagono} \rput(6,0){\hexagono} \rput(6,1.732){\hexagono} \end{pspicture}

Opções:
A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $6$
E) $27$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: Uma capicua é um número que não se altera quando é lido ao contrário. Por exemplo, $707$ e $15451$ são capicuas. O Leonardo fez uma lista de todas as capicuas com cinco algarismos (os números não podem começar pelo algarismo $0$) por ordem crescente. Qual é o décimo segundo número da sua lista?

Opções:
A) $11111$
B) $11211$
C) $12121$
D) $12221$
E) $12321$

Resolução: Opção A.

Resposta correta: A
Problema: O Daniel, o Rui e o Jaime compraram três presentes para a sua mãe. Ao decidirem dar os presentes em conjunto, dividiram a despesa igualmente pelos três. O Daniel recebeu então $1$ euro e o Rui teve de pagar $3$ euros. Sabendo que o presente do Jaime custou $20$ euros, qual foi o preço total dos presentes?

Opções:
A) $48$
B) $54$
C) $57$
D) $60$
E) $66$

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: Considera todos os triângulos cujos vértices são três vértices do eneágono regular. Quantos desses triângulos são isósceles ou equiláteros? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) \pspolygon(2;0)(2;40)(2;80)(2;120)(2;160)(2;200)(2;240)(2;280)(2;320) \pspolygon(2;0)(2;80)(2;160)(2;240)(2;320)(2;40)(2;120)(2;200)(2;280) \pspolygon(2;0)(2;160)(2;320)(2;120)(2;280)(2;80)(2;240)(2;40)(2;200) \pspolygon(2;0)(2;120)(2;240) \pspolygon(2;80)(2;200)(2;320) \pspolygon(2;160)(2;280)(2;40) \end{pspicture}

Opções:
A) $27$
B) $30$
C) $33$
D) $36$
E) $39$

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: O Francisco pretende pintar a superfície de um cubo de modo que duas faces com a mesma aresta tenham cores diferentes. Qual é o número mínimo de cores que o Francisco precisa para pintar o cubo?

Opções:
A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $4$
E) $5$

Resolução: Opção C.

Resposta correta: C