tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema: Para um projeto da escola, a Vânia usou dois novelos de lã: um de cor vermelha e outro de cor preta. O novelo de lã preta tinha o triplo do comprimento do novelo de lã vermelha. A Vânia cortou toda a lã, de ambos os novelos, em pedaços de $20$ cm de comprimento. No novelo de lã vermelha, sobrou-lhe um pedaço de $14$ cm. Quantos centímetros sobraram no novelo de lã preta?

Opções:
A) $0$
B) $2$
C) $14$
D) $22$
E) $42$

Resolução: Opção B.(O pedaço de $42$ cm pode ser cortado em dois pedaços de $20$ cm e um pedaço de $2$ cm)

Resposta correta: B
Problema: A Vânia tem muitos novelos de lã. Hoje decidiu contá-los e o número total de novelos é tal que a soma dos seus algarismos é $7$ e o produto dos seus algarismos é $6$. Quantos números inteiros existem com ambas essas características?

Opções:
A) $2$
B) $4$
C) $6$
D) $14$
E) $26$

Resolução: Opção D. ($16$, $61$, $1123$, $1132$, $1213$, $1312$, $1231$, $1321$, $2113$, $3112$, $2131$, $3121$, $2311$, $3211$)

Resposta correta: D
Problema: A Vânia inscreveu-se no clube de croché e tricô da escola. O clube tem $9$ membros e a idade média dos membros é de $12$ anos. Seis dos membros preferem o tricô e a idade média desses $6$ membros é de $10$ anos. Qual é a idade média dos três membros que preferem o croché?

Opções:
A) $14$
B) $15$
C) $16$
D) $17$
E) $18$

Resolução: Opção C. (A soma das idades dos três membros é $9\times 12-6\times 10=48$, logo a média é $48/3=16$)

Resposta correta: C
Problema: A Vânia quer realizar um trabalho composto por um quadrado de lado $4$ cm, um retângulo pequeno com as dimensões de $3$ cm por $6$ cm e um retângulo maior com as dimensões de $5$ cm por $10$ cm. Os três quadriláteros ficam sobrepostos como se pode ver na figura. Quanto mede, em cm${}^2$, a área total do trabalho que a Vânia quer realizar? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,3)(0,3) \psline(6.,0.)(9.,4.) \psline(9.,4.)(1.,10.) \psline(1.,10.)(-2.,6.) \psline(-2.,6.)(6.,0.) \psline(-2.,6.)(-2.,2.) \psline(-2.,2.)(2.,2.) \psline(2.,2.)(2.,6.) \psline(2.,6.)(-2.,6.) \psline(6.,0.)(0.,0.) \psline(0.,0.)(0.,3.) \psline(0.,3.)(6.,3.) \psline(6.,3.)(6.,0.) \psline[arrows=<->](0.5,0.)(0.5,2.0) \rput(1.7,1){\small $2$ cm} \psline[arrows=<->](-2.,2.3)(0.,2.3) \rput(-1.05,2.75){\small $2$ cm} \end{pspicture}

Opções:
A) $70$
B) $72$
C) $76$
D) $78$
E) $82$

Resolução: Opção A. ($10\times 5+4\times 4+3\times 6-1\times 2-4\times 3=50+16+18-2-12=70$)

Resposta correta: A
Problema: A loja “Picos ao Quadrado” vende equipamentos para desportos radicais e o seu logotipo é composto por um quadrado e dois triângulos equiláteros, como se pode ver na figura. A soma dos perímetros dos triângulos é $18$ cm. Quanto mede, em cm${}^2$, a área do quadrado? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](0,0)(2.5,0)(2.5;60) \rput(2.5,0){\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=verdeescurologotipo](0,0)(1.5,0)(1.5;60)} \pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4) \end{pspicture}

Opções:
A) $4$
B) $16$
C) $25$
D) $36$
E) $49$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: Devido a um erro na impressora, os preços de três equipamentos foram impressos num pedaço de papel, sem espaços entre eles, da seguinte forma: $$2581953764$$ Sem saber quais eram os preços originais, o vendedor decidiu cortar o pedaço de papel em três, de forma a obter a menor soma possível para os três preços. Em quanto ficou a soma dos preços dos três equipamentos?

Opções:
A) $2675$
B) $2975$
C) $2978$
D) $4217$
E) $4298$

Resolução: Opção B.

Resposta correta: B
Problema: Na loja “Picos ao Quadrado” ficou decidido que a receita das vendas da véspera de Natal seria dividida pelos $15$ funcionários. Assim, no fim desse dia, dividiram a receita $1+6+11+16+\cdots+96+101$ por $15$. Cada funcionário recebeu um número inteiro de euros como prémio, e o resto da divisão foi entregue ao proprietário da loja. Quantos euros recebeu o proprietário?

Opções:
A) $0$
B) $1$
C) $3$
D) $5$
E) $6$

Resolução: Opção E.

Resposta correta: E
Problema: Nos quatro dias que antecederam o Ano Novo, a receita da loja, em euros, foram quatro números inteiros consecutivos. Qual dos seguintes números não pode ser a soma da receita desses quatro dias?

Opções:
A) $5398$
B) $6322$
C) $6534$
D) $7244$
E) $9562$

Resolução: Opção D.

Resposta correta: D
Problema: Na ida para a escola a Luísa reparou que o conta quilómetros do carro da mãe mostrava um número com cinco algarismos diferentes em que o primeiro algarismo (o das dezenas de miilhar) era igual à soma dos outros quatro. Quantos números existem com estas propriedades?

Opções:
A) $96 $
B) $ 100$
C) $ 120$
D) $144 $
E) $168 $

Resolução: Uma vez que a soma dos últimos quatro algarismos (todos diferentes) tem de ser igual ao algarismo das dezenas de milhar, a menor soma possível é $6$, utilizando os algarismos $0,1,2$ e $3$. Estes quatro algarismos podem ser distribuídos de qualquer maneira pelas casas das unidades, dezenas, centenas e milhares. Como o número de maneiras de o fazer é $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$, temos $24$ números com primeiro algarismo $6$. Agora só é preciso encontrar, quatro algarismos distintos cuja soma seja um número de $6$ a $9$. (table1) Para cada um destes $7$ conjuntos existem $24$ possibilidades, portanto existem $7 \times 24=168$ números com estas propriedades. Opção correta: E).


Conteúdo referenciado:
[table1]
\begin{tabular}{|cc|ccc|} \hline Soma & Algarismos & & Soma & Algarismos \\ \hline $6$ & $ 0+1+2+3$ & & $9$ & $0+1+3+5$ \\ $7$ & $0+1+2+4$ & & $9$ & $0+2+3+4$ \\ $8$ & $0+1+3+4$ & & $9$ & $0 +1 +2 + 6$ \\ $8$ & $0 + 1 + 2 + 5$ & & & \\ \hline \end{tabular}

Resposta correta: E
Problema: A Luísa conseguiu escrever o número $33^{33}$ como soma de $33$ números ímpares consecutivos. Qual foi o maior número que ela escreveu na soma?

Opções:
A) $33^{31}-32 $
B) $33^{31}+32 $
C) $33^{32}-32 $
D) $33^{32}+32 $
E) $33^{33}-33 $

Resolução: Observemos primeiro que qualquer potência de base $33$ é um número ímpar, e que se subtrairmos a um número ímpar um número par continuamos com um número ímpar. Uma vez que $33^{33}= 33 \times 33^{32}= 33^{32} + 33^{32} + 33^{32} + 33^{32} + \dots + 33^{32}+ 33^{32} = (33^{32}-32) + (33^{32}-30) + (33^{32}-28) + \dots + (33^{32}-2) + 33^{32} + (33^{32} +2) + (33^{32}+4) + \dots + (33^{32}+30) + (33^{32}+32)$, o maior número que se escreveu foi $33^{32} +32$. Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: A professora da Luísa colocou-lhe o seguinte desafio: Se $a$, $b$ e $c$ podem tomar qualquer valor inteiro de $1$ até $100$, qual é o maior valor possível de $\dfrac{a+b+c}{a-b-c}$? Ajuda a Luísa a encontrar a solução.

Opções:
A) $ 89$
B) $ 99$
C) $100 $
D) $199 $
E) $201$

Resolução: O maior valor de uma fração é obtido dividindo o maior valor possivel no numerador (que é sempre positivo neste caso) pelo menor valor possível (positivo) no denominador. No denominador, o menor valor positivo é $1$ obtido, por exemplo, fazendo $a=100$, $b=50$ e $c=49$, e neste caso a fração tem o valor $199$. Uma vez que $a$ tem de ser maior que $b+c$ para que o denominador não seja negativo, verificamos que o valor máximo do numerador é $199$, logo o maior valor possível da fração é $199$. Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: A Luísa inventou um problema de outro planeta. No planeta Cubouesfera há cubos e esferas, ou azuis ou verdes. No final de cada dia, $40\%$ dos cubos de cada cor transformam-se em esferas e $40\%$ das esferas de cada cor transformam-se em cubos. De seguida, $30\%$ dos cubos e $30\%$ das esferas, de cada cor, mudam de cor (os azuis passam a verdes e os verdes a azuis). No início de um determinado dia havia $1400$ cubos azuis, $1200$ cubos verdes, $800$ esferas azuis e $400$ esferas verdes. Quantos cubos verdes haverá no dia seguinte?

Opções:
A) $504 $
B) $848 $
C) $868 $
D) $964 $
E) $984$

Resolução: Após a primeira transformação, apenas de formas, relativamente ao número de cubos de cada cor, teremos o número inicial menos o número de cubos que se transformaram em esferas mais o número de esferas que se transformaram em cubos. Assim, o número de cubos verdes é $$ 1200-0,4\times 1200 + 0,4 \times 400 = 1200-480 + 160 = 880$$ e o número de cubos azuis é $$ 1400- 0,4 \times 1400 + 0,4 \times 800 = 1400 -560 + 320= 1160. $$ De seguida, vamos subtrair ao número de cubos verdes o número de cubos verdes que mudaram de cor e adicionar o número de cubos azuis que mudaram de cor, ou seja $$ 880- 0,3\times 880 + 0,3 \times 1160= 880 - 264+ 348 = 964. $$ Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: O João e a Rita foram ver o espetáculo do Grande Mágico Pedrágoras. O João reparou que o número do seu bilhete era o maior número possível com quatro algarismos ímpares todos distintos. Por sua vez, a Rita reparou que o número do seu bilhete era o menor número possível com quatro algarismos ímpares todos distintos. A primeira magia do Grande Pedrágoras foi adivinhar a diferença entre os números dos bilhetes do João e da Rita. Qual é o número que ele anunciou?

Opções:
A) $2222$
B) $6596$
C) $8396$
D) $8888$
E) $11110$

Resolução: Opção C. ($9753-1357=8396$)

Resposta correta: C
Problema: De seguida, o Grande Mágico Pedrágoras transformou dois lenços retangulares diferentes num novo lenço, como indicado na figura. Qual é a área total do novo lenço, em cm$^2$? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(19,0) \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=gray!25](0,2)(7,2)(7,0)(19,0)(19,4)(10,4)(10,8)(0,8) \pspolygon(7,2)(7,0)(19,0)(19,4)(10,4)(10,8)(0,8)(0,2) \pspolygon[linestyle=dashed](7,2)(10,2)(10,4)(7,4) \rput(-2,5){$6$ cm} \rput(5,9){$10$ cm} \rput(13,-1.1){$12$ cm} \rput(21,2){$4$ cm} \rput(5,1){$2$ cm} \rput(14.5,5){$9$ cm} \psline[arrows=<->](0,8.5)(10,8.5) \psline[arrows=<->](-0.5,2)(-0.5,8) \psline[arrows=<->](6.5,0)(6.5,2) \psline[arrows=<->](7,-0.5)(19,-0.5) \psline[arrows=<->](19.5,0)(19.5,4) \psline[arrows=<->](10,4.5)(19,4.5) \end{pspicture}

Opções:
A) $48$
B) $60$
C) $102$
D) $106$
E) $108$

Resolução: Opção C. ($10\times 6+12\times 4-3\times 2=60+48-6=102$)

Resposta correta: C
Problema: Durante o espetáculo, o Grande Mágico Pedrágoras distribuiu pelos seus admiradores todos os números cuja soma dos algarismos é $2018$ e o produto dos algarismos é $2$. Quantos números foram distribuídos?

Opções:
A) $1$
B) $1009$
C) $2016$
D) $2017$
E) $2018$

Resolução: Opção D. (Os números são $111\cdots112,111\cdots121,\ldots,121\cdots111,211\cdots111$)

Resposta correta: D
Problema: Para festejar um dos truques do Pedrágoras, os seus admiradores lançaram $8 + 18 + 28 + 38 + \ldots + 1998 + 2008 + 2018$ confetis para o palco. O Pedrágoras disse imediatamente qual foi o algarismo das unidades do número total de confetis lançados. Que número disse o Pedrágoras?

Opções:
A) $6$
B) $7$
C) $8$
D) $9$
E) $0$

Resolução: Opção A. (O algarismo das unidades é o mesmo de $8+8+8+8+\ldots+8+8+8=202\times 8=1616$)

Resposta correta: A
Problema: O Grande Pedrágoras pegou numa corda, cortou-a em pedaços de $20$ cm, sobrando um pedaço com $14$ cm de comprimento. Depois de colocar todos os pedaços de corda dentro do seu chapéu, o mágico retirou uma só corda com o triplo do comprimento da corda original. Novamente, resolveu cortá-la em pedaços de $20$ cm. Desta vez, quanto media, em cm, o pedaço de corda que lhe sobrou?

Opções:
A) $0$
B) $2$
C) $14$
D) $22$
E) $42$

Resolução: Opção B. (O pedaço de $42$ cm pode ser cortado em dois pedaços de $20$ cm e um pedaço de $2$ cm)

Resposta correta: B
Problema: O João tem $23$ cubos brancos e $4$ coloridos, todos do mesmo tamanho, e decidiu usá-los para montar um cubo maior de dimensão $3\times 3\times 3$. Na figura está uma das montagem que o João fez, em que nenhuma face é totalmente branca. Qual é o número máximo de faces totalmente brancas que o João pode obter num destes cubos? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,0)(2,0)(2,1)(1,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](2,2)(3,2)(3.5,2.5)(3.5,3.5)(2.5,3.5)(2,3) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](1,4)(2,4)(2.5,4.5)(1.5,4.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo](3.5,1.5)(4,2)(4,3)(3.5,2.5) \multiput(0,0)(0,1){4}{\psline(0,0)(3,0)(4.5,1.5)} \multiput(0,0)(1,0){4}{\psline(0,0)(0,3)(1.5,4.5)} \multiput(0.5,3.5)(0.5,0.5){3}{\psline(0,0)(3,0)(3,-3)} \end{pspicture}

Opções:
A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $4$
E) $5$

Resolução: Opção D. (A montagem (image2), com o cubo interior colorido, tem $4$ faces brancas)

Resposta correta: D
Problema: O João quer escrever números nos seis círculos da figura, cumprindo a seguinte regra: o número de cada círculo é a soma dos números que estão nos dois círculos que lhe tocam. O João começou por escrever o número $2019$. Que número deve o João escrever no círculo oposto? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pscircle(1,0){0.5} \pscircle(1;60){0.5} \pscircle(1;120){0.5} \pscircle(1;180){0.5} \pscircle(1;240){0.5} \pscircle(1;300){0.5} \rput(-1,0){$2019$} \rput(1,0){$?$} \end{pspicture}

Opções:
A) $-2019$
B) $0$
C) $2019$
D) não é possível cumprir a regra com nenhum número
E) é possível cumprir a regra com qualquer número

Resolução: Opção A. (Colocando $n$ na $3^a$ casa, a sequência é $2019$, $2019+n$, $n$, $-2019$, $-2019-n$, $-n$)

Resposta correta: A
Problema: O João convidou alguns amigos para a sua festa de aniversário. Ele queria comprar um chocolate, que custava $2$ , para cada amigo. Apercebeu-se que não tinha dinheiro suficiente: faltavam-lhe $5,50$ . Por isso, comprou um gelado para cada um, que apenas custava $1,50$ cada, tendo sobrado $5,50$ . Quantos amigos convidou o João para a sua festa?

Opções:
A) $20$
B) $22$
C) $24$
D) $26$
E) $28$

Resolução: Opção B. (O João poupou $0,50$ por amigo, num total de $11$.)

Resposta correta: B
Problema: A figura ao lado é composta por seis triângulos equiláteros e um hexágono regular, que está pintado. Sabendo que o comprimento dos lados de cada um dos triângulos é $2$ cm e o comprimento dos lados do hexágono é $1$ cm, qual é a fração da figura que está pintada? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \def\tria{\psline(0,0)(2,0)(1,1.73205)(0,0)} \def\triainv{\psline(0,0)(2,0)(1,-1.73205)(0,0)} \pspolygon[fillcolor=azullogotipo,fillstyle=solid,linestyle=none](1;0)(1;60)(1;120)(1;180)(1;240)(1;300) \rput(-1.5,0.86603){\tria} \rput(-2,-1.73205){\tria} \rput(0.5,-0.86603){\tria} \rput(0,1.73205){\triainv} \rput(-2.5,0.86603){\triainv} \rput(-0.5,-0.86603){\triainv} \end{pspicture}

Opções:
A) $1/2$
B) $1/3$
C) $1/4$
D) $1/5$
E) $1/6$

Resolução: Opção D. (A área do hexágono é igual a $1,5$ vezes a área de cada triângulo)

Resposta correta: D
Problema: Ao passear no jardim com o seu irmão Rui, a Luísa descobre, inscrito numa árvore, o quadrado indicado na figura. Imediatamente a Luísa preenche os espaços vazios, de modo que a soma dos números em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal seja sempre a mesma. Qual é essa soma? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,3) \multiput(0,0)(0,1){4}{\psline(0,0)(3,0)} \multiput(0,0)(1,0){4}{\psline(0,0)(0,3)} \rput(0.5,2.5){$6$} \rput(1.5,2.5){$\frac43$} \rput(1.5,1.5){$4$} \rput(2.5,1.5){$\frac{16}{3}$} \end{pspicture}

Opções:
A) $0$
B) $22/3$
C) $26/3$
D) $12$
E) $43/3$

Resolução: Opção D. (Os números que faltam são $\dfrac{14}{3},\dfrac{8}{3},\dfrac{10}{3},\dfrac{20}{3},2$.) Devido a uma gralha no enunciado, esta alínea deve ser ignorada.

Resposta correta: D
Problema: Mais à frente encontram um senhor que dispunha os algarismos $3$, $-8$, e $5$ em triângulo, como indicado na figura. O senhor precisava saber qual é a soma de todos os números quando terminasse de escrever $2020$ linhas continuando a seguir o mesmo padrão. A Luísa explica-lhe que não é necessário escrever todos os números para descobrir a resposta. Qual é a resposta à dúvida do senhor? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,-3)(0,0) \multiput(0,0)(-1,-1){4}{\rput(0,0){$3$}} \multiput(1,-1)(-1,-1){3}{\rput(0,0){$-8$}} \multiput(2,-2)(-1,-1){2}{\rput(0,0){$5$}} \multiput(3,-3)(-1,-1){1}{\rput(0,0){$3$}} \rput(0,-4){$\cdots$} \end{pspicture}

Opções:
A) $-2692$
B) $-2689$
C) $-1343$
D) $0$
E) $3$

Resolução: Opção C. (Somando por linhas, observa-se que a soma total é $3-5+0+3-5+0+\cdots+3=-1343$.)

Resposta correta: C
Problema: Desenhado no chão, os dois irmãos encontram um retângulo $[ABCD]$ de lados $\overline{AD}=6$ cm e $\overline{AB}=8$ cm, dividido por segmentos de reta em várias regiões. Ao reparar que a área da região $[AEFD]$ media $3/4$ da área do retângulo $[AEGD]$, o Rui conseguiu descobrir quanto media a área da região pintada. Quanto media a área da região pintada? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(0,0) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](0,3)(2,3)(2,1.5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](2,1.5)(2,0)(2.66,1) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](4,0)(4,3)(2.66,1) \pspolygon[linewidth=0.4pt](0,0)(4,0)(4,3)(0,3) \psline[linewidth=0.4pt](2,0)(2,3) \psline[linewidth=0.4pt](2,0)(4,3) \psline[linewidth=0.4pt](0,3)(4,0) \rput(0,-0.3){$A$} \rput(2,-0.3){$E$} \rput(4,-0.3){$B$} \rput(2.3,1.8){$F$} \rput(2,3.3){$G$} \rput(-0.3,3.3){$D$} \rput(4,3.3){$C$} \end{pspicture}

Opções:
A) $12$ cm$^2$
B) $16$ cm$^2$
C) $18$ cm$^2$
D) $32$ cm$^2$
E) $36$ cm$^2$

Resolução: Opção B. (As áreas dos três triângulos são $6$ cm$^2$, $2$ cm$^2$, $8$ cm$^2$.)

Resposta correta: B
Problema: Antes de regressarem a casa, a Luísa propõe o seguinte desafio ao Rui: “Com dois algarismos distintos $a$ e $b$, ambos diferentes de $0$, podes formar dois números $ab$ e $ba$ e calcular o quociente $\displaystyle \frac{ab}{ba}$. Repara que, por exemplo, os quocientes $\displaystyle\frac{12}{21}$ e $\displaystyle\frac{36}{63}$ são iguais. Quantos quocientes diferentes podes obter desta maneira?”

Opções:
A) $52$
B) $54$
C) $55$
D) $72$
E) $81$

Resolução: Opção B. (Há $54$ pares $(a,b)$ em que $a$ e $b$ são diferentes e primos entre si.)

Resposta correta: B
Problema: Distribuem-se oito fichas numeradas de $1$ a $8$ por dois montes de modo que nenhuma ficha seja a média de duas outras fichas do mesmo monte. Qual dos seguintes conjuntos não pode estar no mesmo monte?

Opções:
A) $\{1, 2\}$
B) $\{1, 7\}$
C) $\{2, 4\}$
D) $\{3, 8\}$
E) $\{5, 8\}$

Resolução: Se as fichas numeradas com $1$ e $7$ estiverem no primeiro monte, então a ficha $4$ está no segundo monte. Notemos que as fichas $4$ e $6$ não estão juntas, pois isso implica que as fichas $2$, $5$ e $8$ estejam no outro monte, e $5$ é a média de $2$ e $8$. Logo a ficha $6$ está no mesmo monte que as fichas $1$ e $7$. Como as fichas $6$ e $7$ estão no primeiro monte, as fichas $5$ e $8$ estão no segundo monte, o que por sua vez implica que a ficha $2$ esteja no primeiro monte com as fichas $1$, $6$ e $7$. Só falta colocar a ficha $3$, que não pode ir para o primeiro monte por estarem lá as fichas $1$ e $2$, nem para o segundo monte por estarem lá as fichas $4$ e $5$. Logo as fichas $1$ e $7$ não podem estar juntas. As distribuições de fichas $1256/3478$, $1458/2367$ e $1368/2457$ mostram que os restantes pares podem estar juntos. Opção correta: B).

Resposta correta: B
Problema: Numa fila de pinheiros, o Gonçalo estava ao lado de um dos pinheiros e disse: "Tenho à minha frente o dobro dos pinheiros que tenho atrás." Depois, o Gonçalo avançou $15$ pinheiros e disse: "Agora tenho à minha frente um terço dos pinheiros que tenho atrás." Quantos pinheiros há nesta fila?

Opções:
A) $36$
B) $37$
C) $90$
D) $180$
E) $181$

Resolução: Seja $x$ o número de pinheiros atrás do Gonçalo no momento inicial e $y$ o número de pinheiros à frente do Gonçalo, após este andar 15 pinheiros para a frente. Então temos que $x+15=3y$ e $2x-15=y$. Duplicando a primeira equação e subtraindo à segunda, temos $2x-15-2(x+15)=y-2\times 3y$, o que dá $y=9$. O número total de pinheiros é a soma do número de pinheiros atrás do Gonçalo com o número de pinheiros à frente do Gonçalo com o pinheiro ao lado dele, ou seja, $3y+y+1=37$. Opção correta: B).

Resposta correta: B
Problema: O Gonçalo pediu à sua irmã Maria que escolhesse pelo menos dois algarismos entre $1$ e $9$, distintos, cujo produto fosse múltiplo de 4 mas não de 8. De quantas maneiras diferentes a Maria pode fazer essa escolha?

Opções:
A) $31$
B) $32$
C) $48$
D) $63$
E) $64$

Resolução: Notemos que a existência ou não de números ímpares no subconjunto não afeta a divisibilidade por $4$ ou $8$. Olhando para os números pares, $8$ não pode existir no subconjunto, se $4$ existir num conjunto então é o único par, e $2$ e $6$ ou estão simultaneamente no subconjunto ou não estão de todo. Se $2$ e $6$ existirem no subconjunto, qualquer subconjunto de ímpares pode também existir no subconjunto. Como existem $5$ ímpares no conjunto $\{1, \dots 9\}$, existem $2^5=32$ subconjuntos nestas condições. Se $4$ existir no subconjunto, tem que também existir no subconjunto um subconjunto não vazio de ímpares, para este ter no mínimo dois elementos. Como existem $5$ ímpares no conjunto $\{1, \dots 9\}$, existem $2^5-1=31$ subconjuntos nestas condições. O número de subconjuntos nas condições do enunciado é $32+31=63$. Opção correta: D).

Resposta correta: D
Problema: Na figura ao lado, a área do triângulo azul é $16$ cm$^2$ e a área do retângulo azul é $8$ cm$^2$. Qual é a área do retângulo maior, em cm$^2$? (image1)


Conteúdo referenciado:
[image1]
\begin{pspicture}(0,0)(10,5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](0,0)(8,4)(0,4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](8,0)(10,0)(10,4)(8,4) \pspolygon(0,0)(10,0)(10,5)(0,5) \psline(0,0)(10,5) \psline(8,0)(8,5) \psline(0,4)(10,4) \end{pspicture}

Opções:
A) $50$
B) $52$
C) $54$
D) $56$
E) $58$

Resolução: Seja $R_1$ o retângulo que completa o triângulo azul. $R_1$ tem área $32$ e como $R_1$ tem a mesma altura que o retângulo azul ($R_2$), tem que ter o quádruplo da largura. Logo, os triângulos pequenos em cima de $R_2$ são semelhantes ao triângulo azul com razão $1/4$. Logo a área destes é de $1$ cada. Os triângulos pequenos têm $1/4$ da altura de $R_1$, logo o rectângulo $R_3$ da figura tem um quarto da área de $R_1$, $8$, pois tem a mesmo largura. Logo a área do rectângulo grande é $16+16+8+8+1+1=50$. Opção correta: A). (image2)


Conteúdo referenciado:
[image2]
\begin{pspicture}(0,0)(10,5) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](0,0)(8,4)(0,4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=azullogotipo,linestyle=none](8,0)(10,0)(10,4)(8,4) \pspolygon(0,0)(10,0)(10,5)(0,5) \psline(0,0)(10,5) \psline(8,0)(8,5) \psline(0,4)(10,4) \rput(4,2){\huge $R_1$} \rput(9,2){$R_2$} \rput(4,4.5){$R_3$} \end{pspicture}

Resposta correta: A
Problema: O Manuel foi à mercearia comprar maçãs e peras. Com o dinheiro que tinha, poderia ter comprado $2$Kg de maçãs ou $3$Kg de peras. Ele decidiu comprar a mesma quantidade de cada uma das frutas e gastou todo o dinheiro. Quantos gramas de cada uma delas comprou?

Opções:
A) $1000$
B) $1100$
C) $1200$
D) $1400$
E) $1800$

Resolução: Opção C. (O Manuel gastou $2/5$ do dinheiro em peras e $3/5$ do dinheiro em maçãs)

Resposta correta: C
Problema: Uma família de quatro pessoas vai fazer uma viagem de avião. O avião tem $30$ filas com quatro lugares em cada fila ($A$, $B$, $C$ e $D$). A família pediu para que se sentassem todos na mesma fila, ou em duas filas consecutivas. Por exemplo, a família poderia ter ficado com os lugares $18C$, $18D$, $19A$ e $19C$. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os quatro lugares para a família?

Opções:
A) $59$
B) $117$
C) $515$
D) $1074$
E) $2002$

Resolução: Opção E. (Há $30$ formas de ficarem numa fila e $29\times (4^2+6^2+4^2)=1972$ de ficarem em duas)

Resposta correta: E