Problema (nível 2): Colocando sinais de $+$ ou $-$ ou $\times$ ou $\div$ entre os algarismos de 2014 e calculando o valor da expressão, podemos obter muitos resultados diferentes. Por exemplo, $2+0-1\times4= -2$, $2-0\div1\times4=2$ e $2 +0+1\times4= 6$.
Observação: lembre-se de que não existe divisão por zero, por isso não é permitido formar expressões que tenham esta operação.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Quantos desses resultados não são números inteiros?
\item[(b)] De quantas maneiras podemos colocar os sinais entre os algarismos?
\item[(c)] Quantos resultados diferentes são possíveis?
\end{enumerate}

Solução: \begin{enumerate}
\item[(a)] Não podemos dividir por $(+)$, logo o primeiro sinal só pode ser $\{+,-,\times\}$. Note que o resultado não será inteiro quando o terceiro sinal for $\div$ e o segundo não for $\times$ nem $+$, para esses dois sinais a divisão seria $\frac{1}{4} = 0$. Então temos:
Se o primeiro sinal for $+$:
$$ 2+0+1+4 = 2+\frac{1}{4} = \frac{9}{4} $$
$$ 2+0-1+4 = 2-\frac{1}{4} = \frac{7}{4} $$
Se o primeiro sinal for $-$, o caso é análogo.
Se o primeiro sinal for $\times$, temos:
$$ 0+1+4 = \frac{1}{4} $$
$$ 0-1+4 = -\frac{1}{4} $$
Concluímos, portanto, que 4 resultados não são inteiros.
\item[(b)] Basta contar que temos 3 maneiras de escolher o primeiro sinal, 4 maneiras de colocar o segundo e 4 maneiras de escolher o terceiro, ou seja, $3 \cdot 4 \cdot 4 = 48$ maneiras.
\item[(c)] Vamos analisar casos para organizar os resultados.
Se o primeiro sinal for $\times$:
\begin{itemize}
    \item Se o segundo sinal for $\div$ ou $\times$:
    \begin{itemize}
        \item Se o terceiro sinal for $\div$ ou $\times$, resulta em 0.
        \item Se o terceiro sinal for $+$, resulta em 4.
        \item Se o terceiro sinal for $-$, resulta em $-4$.
    \end{itemize}
    \item Se o segundo sinal for $+$:
    \begin{itemize}
        \item Se o terceiro for $+$ temos $2 \times 0 + 1 + 4 = 5$.
        \item Se o terceiro for $-$ temos $2 \times 0 + 1 - 4 = -3$.
        \item Se o terceiro for $\times$ temos $2 \times 0 + 1 \times 4 = 4$.
        \item Se o terceiro for $\div$ temos $2 \times 0 + 1 \div 4 = \frac{1}{4}$.
    \end{itemize}
    \item Se o segundo sinal for $-$:
    \begin{itemize}
        \item Se o terceiro for $+$ temos $2 \times 0 - 1 + 4 = 3$.
        \item Se o terceiro for $-$ temos $2 \times 0 - 1 - 4 = -5$.
        \item Se o terceiro for $\times$ temos $2 \times 0 - 1 \times 4 = -4$.
        \item Se o terceiro for $\div$ temos $2 \times 0 - 1 \div 4 = -\frac{1}{4}$.
    \end{itemize}
\end{itemize}
Se o primeiro sinal for $+$:
\begin{itemize}
    \item Se o segundo sinal for $\div$ ou $\times$:
    \begin{itemize}
        \item Se o terceiro sinal for $\div$ ou $\times$, resulta em 2.
        \item Se o terceiro sinal for $+$, resulta em 6.
        \item Se o terceiro sinal for $-$, resulta em $-2$.
    \end{itemize}
    \item Se o segundo sinal for $+$:
    \begin{itemize}
        \item Se o terceiro for $+$ temos $2 + 0 + 1 + 4 = 7$.
        \item Se o terceiro for $-$ temos $2 + 0 + 1 - 4 = -1$.
        \item Se o terceiro for $\times$ temos $2 + 0 + 1 \times 4 = 2 + 4 = 6$.
        \item Se o terceiro for $\div$ temos $2 + 0 + 1 \div 4 = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
    \end{itemize}
    \item Se o segundo sinal for $-$:
    \begin{itemize}
        \item Se o terceiro for $+$ temos $2 + 0 - 1 + 4 = 5$.
        \item Se o terceiro for $-$ temos $2 + 0 - 1 - 4 = -3$.
        \item Se o terceiro for $\times$ temos $2 + 0 - 1 \times 4 = 2 - 4 = -2$.
        \item Se o terceiro for $\div$ temos $2 + 0 - 1 \div 4 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.
    \end{itemize}
\end{itemize}
Se o primeiro sinal for $-$, temos exatamente os mesmos resultados que tivemos com $+$, pois sabemos que $2+0\_1\_4$ e $2-0\_1\_4$ têm as mesmas possibilidades de resultados.
Então os resultados são: $\{-5, -4, -3, -2, -1, -\frac{1}{4}, 0, \frac{1}{4}, \frac{7}{4}, \frac{9}{4}, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. Vemos um total de 16 resultados diferentes possíveis.
\end{enumerate}