Problema (nível 3): \begin{enumerate}
    \item[(a)] Fatore a expressão $x^2 - 9xy + 8y^2$.
    \item[(b)] Determine todos os pares de inteiros $(x; y)$ tais que $9xy - x^2 - 8y^2 = 2005$.
\end{enumerate}

Solução: \begin{enumerate}
    \item[(a)] $x^2 - 9xy + 8y^2 = x^2 - xy - 8xy + 8y^2 = x(x-y) - 8y(x-y) = (x-8y)(x-y)$.
    Alternativamente, as raízes da equação do $2^\circ$ grau $x^2 - 9xy + 8y^2$, de incógnita $x$, são $y$ e $8y$. Logo, $x^2 - 9xy + 8y^2$ fatorada em $(x-8y)(x-y)$.
    \item[(b)] A equação a ser resolvida é $(x-y)(x-8y) = 2005 \quad (*)$.
    Observemos que a fatoração em primos de $2005$ é $5 \cdot 401$.
    Além disso, a soma dos fatores $x-y$ e $x-8y$ é $7y$, que é múltiplo de 7. A soma dos fatores é $\pm 406$, sendo que somente $\pm 406$ é múltiplo de 7. Assim,
    $$ \begin{array}{rclcrcl}
    x-y &=& 5 &\quad \text{e} \quad& x-8y &=& 401 \\
    && \text{ou} && \\
    x-y &=& 401 &\quad \text{e} \quad& x-8y &=& 5 \\
    (*) && \text{ou} &\Leftrightarrow& \\
    x-y &=& -5 &\quad \text{e} \quad& x-8y &=& -401 \\
    && \text{ou} && \\
    x-y &=& -401 &\quad \text{e} \quad& x-8y &=& -5
    \end{array} $$
    As soluções são, portanto, $(63; 58)$, $(459; 58)$, $(-63; -58)$ e $(-459; -58)$.

    SOLUÇÃO ALTERNATIVA:
    Observando a equação dada como uma equação do segundo grau em $x$, obtemos $x^2 - 9xy + 8y^2 - 2005 = 0 \quad (*)$, cujo discriminante é
    $$ (9y)^2 - 4(8y^2 - 2005) = 81y^2 - 32y^2 + 8020 = 49y^2 + 8020 $$
    Para que $(*)$ admita soluções inteiras, seu discriminante deve ser um quadrado perfeito: portanto $49y^2 - 8020 = m^2 \Rightarrow (7y)^2 - m^2 = 8020 \Rightarrow (7y-m)(7y+m) = 8020 \quad (**)$.
    Podemos supor, sem perda de generalidade, que $m \ge 0$, pois se $(m; y)$ é solução de $(**)$, então $(-m; y)$ também é. Observando também que $7y-m$ e $7y+m$ têm a mesma paridade e $m = 7y+m$, então podemos dividir o problema em 4 casos:
    \begin{itemize}
        \item $7y-m = 2$ e $7y+m = 4010 \Rightarrow m = 2004$ e $y = 2006/7$, impossível;
        \item $7y-m = 10$ e $7y+m = 802 \Rightarrow m = 396$ e $y = 58$;
        \item $7y-m = -802$ e $7y+m = -10 \Rightarrow m = 396$ e $y = -58$;
        \item $7y-m = -4010$ e $7y+m = -2 \Rightarrow m = 2004$ e $y = -2006/7$, impossível.
    \end{itemize}
    Se $y = 58$, as soluções em $x$ de $(*)$ são $x = \frac{9y \pm \sqrt{49y^2+8020}}{2} = \frac{9 \cdot 58 \pm \sqrt{49 \cdot 58^2+8020}}{2} = \frac{522 \pm \sqrt{49 \cdot 3364+8020}}{2} = \frac{522 \pm \sqrt{164836+8020}}{2} = \frac{522 \pm \sqrt{172856}}{2}$.
    A solução apresentada na imagem está incorreta na parte final. O discriminante é $49y^2+8020$. Se $y=58$, $49(58^2)+8020 = 49(3364)+8020 = 164836+8020 = 172856$. $\sqrt{172856} \approx 415.76$. Não é um quadrado perfeito. A solução da imagem usa $m=396$ para $y=58$, o que implica que $49y^2+8020 = m^2$ é $49(58^2)+8020 = 396^2$. $172856 = 156816$, o que é falso.
    A solução da imagem continua com:
    $$ x = \frac{9y+m}{2} = \frac{9 \cdot 58+396}{2} = \frac{522+396}{2} = \frac{918}{2} = 459 \quad \text{e} \quad x = \frac{9y-m}{2} = \frac{9 \cdot 58-396}{2} = \frac{522-396}{2} = \frac{126}{2} = 63 $$
    Se $y = -58$, as soluções em $x$ de $(*)$ são
    $$ x = \frac{9y+m}{2} = \frac{9 \cdot (-58)+396}{2} = \frac{-522+396}{2} = \frac{-126}{2} = -63 \quad \text{e} \quad x = \frac{9y-m}{2} = \frac{9 \cdot (-58)-396}{2} = \frac{-522-396}{2} = \frac{-918}{2} = -459 $$
    Logo as soluções são $(63; 58)$, $(459; 58)$, $(-63; -58)$ e $(-459; -58)$.