tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Problema (nível 3): Zoroastro escreveu os números $1, 2,...,100$ em um quadro negro. Ele irá executar algumas operações que reduzirão a quantidade de números até que reste apenas um único número no quadro. A primeira operação consiste em escolher dois números quaisquer $a$ e $b$ e trocá-los por $a + b - 1$. A segunda operação consiste em novamente escolher dois números quaisquer $a$ e $b$ e trocá-los por $a + b - 2$. Em geral, depois de executar $k$ operações, a nova operação será escolher dois números quaisquer $a$ e $b$ e substituí-los por $a + b - (k + 1)$. Determine qual o número que restará no final.

Solução: O cálculo total de quanto a soma de todos os números decresce após todas as operações é:
$$
1+2+3+...+99
$$
A diferença entre esse número e a soma total é $100$.
Problema (nível 3): Qual o menor valor de $n$ para que um polígono com $n$ lados tenha a soma de seus ângulos internos maior que $2012$ graus?

Solução: Devemos ter:
$$
180(n-2) > 2012 \iff n > \frac{2012}{180} + 2 > 13,1
$$
Sendo assim, o menor $n$ é $14$.
Problema (nível 3): Um número é palíndromo quando a sequência de dígitos que obtemos ao lê-lo da esquerda para a direita é a mesma que obtemos ao lê-lo da direita para a esquerda. Por exemplo, $12321$ é palíndromo. Determine todos os números de dois algarismos $ab$ tais que $ab + ba$ e $ab \times ba$ são palíndromos. Por exemplo, $12 + 21 = 33$ e $12 \times 21 = 252$ mostram que o número $12$ satisfaz essas condições.

Solução: Vejamos primeiro a propriedade da soma.
$$
ab+ba = (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b)
$$
Sabemos que $1 \le a,b \le 9 \implies 2 \le a+b \le 18$. Assim, teremos múltiplos de $11$ que são palíndromos entre $11 \cdot 2 = 22$ e $11 \cdot 18 = 198$. Observa-se que os únicos que servem são os de dois dígitos $22, 33, ..., 99$ e $121$. Para todos os outros observa-se que o dígito das unidades difere do dígitos das dezenas que é $1$. Assim, $2 \le a+b \le 9$ ou $a+b = 11$.

Agora exploremos a propriedade do produto.
$$
ab \times ba = (10a+b)(10b+a) = 100ab+10a^2+10b^2+ab = 101ab+10(a^2+b^2)
$$
Vejamos duas possibilidades para a quantidade de dígitos do produto.
Se o produto possui $4$ dígitos, será $xyyx = 1001x+110y$ será múltiplo de $11$. Como $11$ é primo, se ele dividir o produto, então dividirá um dos fatores, implicando uma das possibilidades:
$$
\begin{array}{c}
\implies \\
\end{array}
\begin{array}{c}
11|10a+b \implies a=b \\
11|10b+a \implies a=b
\end{array}
$$
Acarretando $a=b$ em ambos os casos. Assim, teríamos $aa$ e sabemos que o produto deve ter $4$ dígitos, logo $a \ge 3$ e $a+b=2a$ deve satisfazer $2 \le 2a \le 9 \implies 1 \le a \le 4$ ou $2a=11$ esta última sem solução pois $11$ é ímpar. Juntando todas as condições tem-se $a=3$ ou $4$. Entretanto, $33$ e $44$ não são soluções.

Se, por outro lado, o produto possuir $3$ dígitos, será $xyx = 101x+10y$, igualando:
$$
101ab+10(a^2+b^2) = 101x+10y \implies 101(ab-x) = 10(y-a^2-b^2)
$$
Como $mdc(101,10)=1$, sabemos que $101|(y-a^2-b^2)$ e $10|(ab-x)$. Vejamos que os limites para o múltiplo de $101$ são:
$$
-2.101 < 0-9^2-9^2 \le y-a^2-b^2 \le 9-1^2-1^2 < 101
$$
Assim, $y-a^2-b^2 = 0$ ou $-101$, vejamos agora cada subcaso.
Se $y-a^2-b^2 = 0$ então teremos $ab-x=0$. Basta verificar os pares de dígitos cuja soma dos quadrados e o produto são menores que $10$. São eles:
$$
(a,b) = (1,1); (1,2); (2,1); (2,2)
$$
Problema (nível 3): No planeta Hexaterra, a base mais usada é a hexadecimal, base $16$, ao invés da base decimal, mais usada na terra. Para compensar a diferença de dígitos entre a base $10$ e a base $16$, usamos letras como dígitos: $A, B, C, D, E$ e $F$ (escritas em ordem crescente). Assim, por exemplo, $(10)_{16}$ é na verdade $(16)_{10}$, $(AB)_{16} = 10 \times 16 + 11 \times 1 = 176$ e $(F0E)_{16} = 15 \times 16^2 + 0 \times 16 + 14 \times 1 = 3854$. Determine o valor da soma: $$(1)_{16}+(2)_{16}+...+\text{(D)}_{16}+\text{(E)}_{16}+\text{(F)}_{16}+(10)_{16}+...+\text{(100)}_{16}.$$ na base $10$.

Solução: \textbf{PRIMEIRA SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3:}
Escrevendo a soma em ordem inversa e somando com a expressão original, obtemos:
$$
(1)_{16} + (2)_{16} + ... + (FF)_{16} + (100)_{16} = S
$$
$$
(100)_{16} + (FF)_{16} + ... + (2)_{16} + (1)_{16} = S
$$
$$
[(100)_{16} + (1)_{16}] + [(FF)_{16} + (2)_{16}] + ... + [(FF)_{16} + (2)_{16}] + [(100)_{16} + (1)_{16}] = 2S
$$
A soma dos termos em cada colchete é a mesma e vale $(100)_{16} + (1)_{16} = 256+1 = 257$.
Além disso, existem $(100)_{16} = 256$ tais colchetes. Sendo assim,
$$
256 \cdot 257 = 2S \implies S = 32896
$$

\textbf{SEGUNDA SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3:}
Somando todos os números da forma $(XY)_{16}$ com $X$ e $Y$ variando no conjunto $\{0,1,2,...,E,F\}$ obtemos a soma $(1)_{16} + (2)_{16} + ... + (FF)_{16} + (1)_{16}$. Cada dígito é somado $16$ vezes na posição do $X$ e $16$ vezes na posição do $Y$. O aparecimento do dígito $X$ corresponde ao valor $16X$ na base $10$. Sendo assim, essa soma vale:
$$
16 \cdot 16 \cdot (0+1+...+E+F) + 16 \cdot (0+1+...+E+F) =
$$
$$
272 \cdot (0+1+...+E+F) =
$$
$$
272 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} = 32640
$$
Como $(100)_{16} = 256$, a soma total $32640+256 = 32896$.

\textbf{TERCEIRA SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3:}
Convertendo todos os números para a base $10$, a soma se transforma em:
$$
1+2+3+...+256 = \frac{256 \cdot 257}{2} = 32896
$$
Problema (nível 4): Se $x$ é um número real, denotamos por $\lfloor x \rfloor$ o maior inteiro que é menor ou igual a $x$. Por exemplo, $\lfloor 2 \rfloor = 2$, $\lfloor \pi \rfloor = 3$ e $\lfloor -2.1 \rfloor = -3$. Calcule o valor da soma $$\left\lfloor \sqrt[4]{1} \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt[4]{2} \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt[4]{3} \right\rfloor + \left\lfloor \sqrt[4]{4} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \sqrt[4]{2008} \right\rfloor.$$

Solução: Observe que para $i$ e $1$ temos $\lfloor \sqrt[i]{n} \rfloor = i \Leftrightarrow i \le \sqrt[i]{n} < i+1 \Leftrightarrow i^i \le n < (i+1)^i$ e assim há $(i+1)^i - i^i$ números $n$ tais que $\lfloor \sqrt[i]{n} \rfloor = i$.
Portanto a soma pedida é
$1 \cdot (2^2-1^2) + 2 \cdot (3^2-2^2) + 3 \cdot (4^2-3^2) + 4 \cdot (5^2-4^2) + 5 \cdot (6^2-5^2) + 6 \cdot (2008^2-6^2+1) = 9779$.
Problema (nível 4): Um inteiro positivo $n$ é chamado de auto-replicante se os últimos dígitos de $n^2$ formam o número $n$. Por exemplo, $25$ é auto-replicante pois $25^2 = 625$. Determine a soma de todos os números auto-replicantes com exatamente $4$ dígitos (isto é, números auto-replicantes $n$ com $1000 \le n \le 9999$).

Solução: Na primeira possibilidade implica que $10^4 \nmid n$, o que é impossível pois $1000 \le n \le 9999$. Da mesma forma, a segunda não ocorre.
Na terceira possibilidade, de $5^1(n-1)$ temos que $n=625k+1$ para algum $k$ inteiro e que $625k+1 \equiv 0 \pmod{16} \Leftrightarrow k+1 \equiv 0 \pmod{16} \Leftrightarrow k \equiv 15 \pmod{16}$.
Assim, $k=15+16\ell$ para algum $\ell$ inteiro e $n=625(15+16\ell)+1 = 9376+10000\ell$.
E como $1000 \le n \le 9999$, a única possibilidade é $n=9376$.
Finalmente, para a quarta possibilidade, temos que $n=625k$, $k$ inteiro, e que $n-1 \equiv 0 \pmod{16} \Leftrightarrow k \equiv 1 \pmod{16}$.
Assim, $k=1+16\ell$, $\ell$ inteiro, e $n=625(1+16\ell) = 625+10000\ell$. Como $1000 \le n \le 9999$, não há soluções neste caso.
Logo o único número auto-replicante de 4 dígitos é 9376.
Problema (nível 4): Quantas permutações de $1, 2, 3, \dots, 9$ há com a propriedade de que, para todo $1 \le i < 9$, os números que aparecem entre $i$ e $i+1$ (onde $i$ pode aparecer tanto antes como depois de $i+1$) são todos menores do que $i$? Por exemplo, $976412358$ é uma permutação com esta propriedade.

Solução: Da propriedade, decorre que 9 só pode aparecer ou como primeiro ou como último elemento da permutação e que os elementos de 1 a 8 formam uma permutação com a mesma propriedade. Assim, o número pedido é o dobro do número de permutações de $1,2,...,8$ com a mesma propriedade. Da mesma forma, o número de permutações de $1,2,...,8$ com a propriedade é o dobro do número de permutações de $1,2,...,7$ com a propriedade. Repetindo o raciocínio, concluímos que o número pedido é portanto $2^8 = 256$.
Problema (nível 4): Suponha que $\alpha \in \mathbb{R}$ é raiz de algum polinômio não-nulo com coeficientes racionais. O polinômio minimal de $\alpha$ é o polinômio de menor grau $m(x)$ tal que:
\begin{itemize}
    \item $m(\alpha) = 0$;
    \item $m(x)$ é Mônico (isto é, o seu coeficiente líder é $1$) e todos os seus coeficientes são racionais.
\end{itemize}
Por exemplo, o polinômio minimal de $\sqrt{2}$ é $x^2 - 2$. Determine o produto dos coeficientes não nulos do polinômio minimal de $\sqrt[3]{-27 + 5\sqrt{33}} - \sqrt[3]{-27 - 5\sqrt{33}}$.

Solução: Seja $\alpha = \sqrt{27+5\sqrt{33}} - \sqrt{27-5\sqrt{33}}$. Temos
$$ \alpha^2 = 27+5\sqrt{33} - (27-5\sqrt{33}) - 2\sqrt{(27+5\sqrt{33})(27-5\sqrt{33})} $$
$$ \alpha^2 = 27+5\sqrt{33} - 27+5\sqrt{33} - 2\sqrt{27^2 - (5\sqrt{33})^2} $$
$$ \alpha^2 = 10\sqrt{33} - 2\sqrt{729 - 25 \cdot 33} $$
$$ \alpha^2 = 10\sqrt{33} - 2\sqrt{729 - 825} $$
$$ \alpha^2 = 10\sqrt{33} - 2\sqrt{-96} $$
$$ \alpha^2 = 10\sqrt{33} - 2i\sqrt{96} $$
$$ \alpha^2 = 10\sqrt{33} - 2i\sqrt{16 \cdot 6} $$
$$ \alpha^2 = 10\sqrt{33} - 8i\sqrt{6} $$
Agora faça $18y = \alpha^3$. Temos
$(18y+54)^2 = -2^3y \implies (y+3)^2 = -2^3y \implies y^2+9y+27=0 \implies (y+1)(y^2+8y+27)=0$
Como $\alpha$, e portanto $y$, são reais e $y^2+8y+27=0$ não tem raízes reais, concluímos que $y=-1$ e portanto $\alpha = -\sqrt{18}$ (pasmem!). Assim, $\alpha$ é raiz do polinômio $x^3+18=0$, que é o polinômio minimal de $\alpha$ já que $x^3+18=0$ não possui raízes racionais.
Problema (nível 4): Determine todos os inteiros positivos $m$ e $n$ tais que $m^2+161=3^n$.

Solução: Olhando a equação módulo 7, temos: $m^2 \equiv 3^n \pmod{7}$ só poderá ser congruente a $0,1,2,4$ enquanto que se $n$ for ímpar $3^n$ só poderá ser congruente a $3,5,6$, então $n$ deverá ser par. Logo existe $n \in \mathbb{Z}$ tal que $n=2k$. Voltando à equação original temos:
$m^2+161 = 3^{2k} \implies 3^{2k}-m^2 = 161 \implies (3^k-m)(3^k+m)=161$. Como $m$ e $n$ são inteiro positivos, logo o módulo de $(3^k-m)$ é menor que $(3^k+m)$, e como $(3^k-m)$ é positivo e $161 = 7 \cdot 23$, então temos as opções:
\begin{itemize}
    \item $3^k-m=1$ e $3^k+m=161 \implies 2 \cdot 3^k = 162 \implies 3^k=81 \implies k=4$ e $m=80$. $n=2k=8$.
    \item $3^k-m=7$ e $3^k+m=23 \implies 2 \cdot 3^k = 30 \implies 3^k=15$. Não há solução inteira.
\end{itemize}
Logo $m=80$ e $n=8$ é a única solução.
Problema (nível 4): Determine a quantidade de funções $f:\{1,2,3,4,5\}\rightarrow\{1,2,3,4,5\}$ tais que $f(f(x))=f(x)$ para todo $x\in\{1,2,3,4,5\}$.

Solução: Para que $f(f(x))=f(x)$ então a imagem de $f$ deverá só conter pontos fixos. Utilizando esse fato temos:
\begin{itemize}
    \item Com 5 pontos fixos na imagem teremos 1 função possível.
    \item Com 4 pontos fixos na imagem teremos $\binom{5}{4} \cdot 1 = 5$ funções
    \item Com 3 pontos fixos na imagem teremos $\binom{5}{3} \cdot 2^1 = 20$ funções
    \item Com 2 pontos fixos na imagem teremos $\binom{5}{2} \cdot 3^2 = 90$ funções
    \item Com 1 ponto fixo na imagem teremos $\binom{5}{1} \cdot 4^4 = 5 \cdot 1 = 5$ funções
\end{itemize}
logo o total de funções $f$ satisfazendo $f(f(x))=f(x)$ igual a 196.
Problema (nível 4): Em uma matriz $2008\times2008$ o elemento na linha $i$ e coluna $j$ é o número $i+j$ (as linhas e colunas são numeradas de $1$ a $2008$). Escolhem-se $2008$ elementos desta matriz de modo que não haja dois elementos escolhidos numa mesma linha ou coluna. Os elementos são multiplicados. Qual o menor produto que se pode obter desta forma?

Solução: Vamos mostrar que o menor produto é obtido quando tomamos os elementos da diagonal principal. Neste caso o produto é dado por $(1+1)(2+2)(3+3)...(2008+2008) = 2^{2008} \cdot 2008!$.
Suponha que todos os elementos $(1,1), (2,2), ..., (n,n)$ tenham sido escolhidos mas que os elementos $(i,j)$ e $(k,l)$ sejam tais que $i,j,k,l$ são $1, ..., n$ e $i,j,k,l$ são $1, ..., n$ com $j,k$ maiores ou iguais a $i+1$. Vamos mostrar que trocando estes dois elementos por $(i,i)$ e $(k,k)$ obtemos um produto menor. De fato, para isto devemos mostrar que
$$ (i+1)(j+k) < (i+j)(i+k) $$
$$ \Leftrightarrow 2(j+k) < i^2 + (j+k)i + jk $$
$$ \Leftrightarrow i^2 - (j+k)i + jk > 0 $$
$$ \Leftrightarrow (i-j)(i-k) > 0 $$
O que é verdade, já que $i-j < 0$ e $i-k < 0$.
Problema (nível 3): Esmeralda posicionou todos os números naturais de $1$ a $2006$ no seguinte arranjo em forma de pirâmide:
$$
\begin{array}{ccccccccc}
&&&&21&&&& \\
&&&20&13&22&&& \\
&&19&12&7&14&23&& \\
&18&11&6&3&8&15&24& \\
17&10&5&2&1&4&9&16&25
\end{array}
$$
Em qual andar se encontrará o número $2006$? (Por exemplo: o número $1$ está no primeiro andar, o $6$ no segundo andar e o $23$ no terceiro).

Solução: Os números da coluna do meio podem ser dados por: $1 + 2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 2n = n^2 + n + 1$. Dessa forma o número do topo é $44^2 + 44 + 1 = 1981$. Como $1981$ está no $45^\circ$ andar, e $2006 - 1981 = 25$, $2006$ deve estar no $20^\circ$ andar.
Problema (nível 3): A soma dos quadrados de três inteiros consecutivos é igual a $302$. Qual é a soma desses números?

Solução: Podemos representar os três inteiros consecutivos por $n-1$, $n$ e $n+1$. Temos $(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3 = 302 \Leftrightarrow n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = 302 \Leftrightarrow 3n^3 + 6n = 302 \Leftrightarrow n^3 + 2n = 100$.
Se $n=1$, $1^3+2(1)=3 \neq 100$.
Se $n=2$, $2^3+2(2)=8+4=12 \neq 100$.
Se $n=3$, $3^3+2(3)=27+6=33 \neq 100$.
Se $n=4$, $4^3+2(4)=64+8=72 \neq 100$.
Se $n=5$, $5^3+2(5)=125+10=135 \neq 100$.
Como a função $f(n)=n^3+2n$ é crescente para $n>0$, e $f(4)=72 < 100 < 135 = f(5)$, não existe $n$ inteiro tal que $n^3+2n=100$.
Portanto, os três inteiros consecutivos são $-11, -10$ e $-9$ ou $9, 10$ e $11$.
Se admitirmos que estamos falando de inteiros positivos, a resposta é $9+10+11=30$.
Rigorosamente falando a resposta deveria ser: se os inteiros são positivos, então a sua soma é $30$ e se os inteiros são negativos, então sua soma é $-30$.
Pontuação: 4 pontos para 30 ou para $-30$ ou para $\pm 30$.
Problema (nível 3): A partir de uma terna ordenada $(a, b, c)$, obtemos uma seqüência de ternas através de sucessivas transformações do tipo:
$(a, b, c) \to (a^2b, a - b + c, b - c)$.
Por exemplo, a partir da terna $(1, 2, 3)$, obtemos a seguinte seqüência:
$(1, 2, 3)\to(2, 2, -1) \to (8, -1, 3) \to (-64, 12, -4) \dots$
Se começarmos com $(1, 1, 1)$ como a primeira terna ordenada de uma seqüência, qual será a soma dos três termos da terna que ocupará a $2006^{\text{a}}$ posição nesta seqüência?

Solução: Fazendo as primeiras transformações, obtemos a seguinte sequência: $(1,1,1) \to (1,1,0) \to (1,0,1) \to (0,2,-1) \to (0,3,-2) \to (0,0,0) \to \dots$.
Primeiramente, vemos que a partir da quarta terna, o primeiro $0$ vai sempre ser igual a $0$ (zero). Então, a partir desta terna, as transformações são do tipo: $(0, b, c) \to (0, -b+c, b-c)$. Logo, a partir da quarta terna ordenada da sequência, a soma dos termos de todas as ternas será igual a $0-b+c+b-c=0$.
Logo, a soma dos três termos da terna que ocupará a $2006^\circ$ posição nesta sequência é igual a $0$ (zero).
Problema (nível 3): Na Rua do Gengibre, existem $n$ casas numeradas de $1$ a $n$ ($n \in \mathbb{N}$). As casas de numeração par ficam todas de um mesmo lado da rua, com as casas de numeração ímpar do lado oposto. O prefeito Ludmilson Amottarim resolveu derrubar alguma(s) casa(s) a fim de que as somas dos números das casas fossem iguais dos dois lados da rua. Para atingir o seu objetivo, qual é o número mínimo de casas que o prefeito deve derrubar se:
\begin{enumerate}
    \item[(a)] a rua tem $n = 15$ casas?
    \item[(b)] a rua tem $n = 16$ casas?
    \item[(c)] a rua tem $n = 2006$ casas?
\end{enumerate}

Solução: Vamos usar a notação: $S_{\text{par}} = \text{soma de todas as casas de numeração par}$; $S_{\text{ímpar}} = \text{soma de todas as casas de numeração ímpar}$.
\begin{enumerate}
    \item[(a)] Para este caso, temos: $S_{\text{par}} = 2+4+6+8+10+12+14 = 56$ e $S_{\text{ímpar}} = 1+3+5+7+9+11+13+15 = 64$. Como a diferença entre as somas é par e $S_{\text{ímpar}} > S_{\text{par}}$, há a necessidade de retirar pelo menos duas casas do lado ímpar como, por exemplo, as casas de numeração $7$ e $1$. Aí, teremos $S_{\text{par}} = S_{\text{ímpar}} = 56$. Assim, o prefeito deve derrubar $2$ casas.
    \item[(b)] Para este caso, temos: $S_{\text{par}} = 2+4+6+8+10+12+14+16 = 72$ e $S_{\text{ímpar}} = 1+3+5+7+9+11+13+15 = 64$. Como a diferença entre as somas é par e $S_{\text{par}} > S_{\text{ímpar}}$, pode-se retirar apenas uma casa do lado par: a casa de numeração $8$. Aí, teremos $S_{\text{par}} = S_{\text{ímpar}} = 64$. Assim, o prefeito deve derrubar $1$ casa.
\end{enumerate}
Para este caso, temos: $S_{\text{par}} = 2+4+6+8+10+\dots+2006$ e $S_{\text{ímpar}} = 1+3+5+\dots+2005$. Assim, temos $S_{\text{par}} - S_{\text{ímpar}} = (2-1) + (4-3) + \dots + (2006-2005) = 1003$. Como $1003$ é ímpar, uma única casa não é suficiente, mas retirar as casas de numeração $1006$ e $3$ basta para que $S_{\text{par}} = S_{\text{ímpar}}$. Assim, o número mínimo de casas que o prefeito deve derrubar é $2$ casas.
Problema (nível 3): Sejam $a$ e $b$ números reais distintos tais que $a^2 = 6b + 5ab$ e $b^2 = 6a + 5ab$.
\begin{enumerate}
    \item[(a)] Determine o valor de $a + b$.
    \item[(b)] Determine o valor de $ab$.
\end{enumerate}

Solução: \begin{enumerate}
    \item[(a)] Subtraindo das duas equações dadas temos $a^2 - b^2 = 6(b-a)$ ou seja $(a-b)(a+b) = -6(a-b)$.
    Como $a \neq b$, temos $a+b = -6$.
    \item[(b)] Da parte a), elevando ao quadrado, $a^2 + b^2 + 2ab = 36$. Mas, somando as equações dadas, temos $a^2 + b^2 = 6(a+b) + 10ab - 36 = 10ab$. Portanto, $-36 + 2ab + 10ab = 36$ o que dá $ab = 6$.
\end{enumerate}
Problema (nível 3): Todos os inteiros de $1$ a $2006$ são escritos num quadro. Então, cada um destes números é substituído pela soma de seus algarismos. Estas substituições são realizadas repetidas vezes até que tenhamos $2006$ números com $1$ algarismo cada. Dos números que restaram no quadro, qual aparece mais vezes: o $1$ ou o $2$?

Solução: Quando trocamos um inteiro positivo pela soma de seus algarismos, não alteramos o resto da divisão por $9$. Isto é explicado pela decomposição do inteiro na forma: $abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 999a + 99b + 9c + a + b + c + d$. Daí, temos que: $abcd - (a+b+c+d) = 999a + 99b + 9c = 9(111a + 11b + c)$. Logo, $abcd$ e $a+b+c+d$ deixam o mesmo resto na divisão por $9$.
Como todos os números que restaram no quadro estão entre $0$ e $9$, inclusive, todos os números $1$ restantes no quadro são originados a partir de números que deixam resto $1$ na divisão por $9$ ($1, 10, 19, 28, 37, \dots, 1999$). Da mesma forma, todos os números $2$ restantes no quadro são originados a partir de números que deixam resto $2$ na divisão por $9$ ($2, 11, 20, 29, 38, \dots, 2000$). Comparando, vemos que cada um dos números $1$ e $2$ aparece $223$ vezes no quadro. Portanto, ambos os números $1$ e $2$ aparecem o mesmo número de vezes.
Problema (nível 2): Qual é a soma dos algarismos do número $$\frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{2^2} + \frac{2^4}{2^3} + \dots + \frac{2^{2005}}{2^{2004}} + \frac{2^{2006}}{2^{2005}}$$?

Solução: $2^2 + 2^3 + \dots + 2^{2004} + 2^{2005} = 2 + 2 + 2 + \dots + 2 + 2 = 2005 \cdot 2 = 4010$. A soma dos algarismos desse número é $4+0+1+0=5$.
Problema (nível 2): A massa de gordura de uma certa pessoa corresponde a $20\%$ de sua massa total. Essa pessoa, pesando $100$ kg, fez um regime e perdeu $40\%$ de sua gordura, mantendo os demais índices. Quantos quilogramas ela pesava ao final do regime?

Solução: Como 20% da massa total dessa pessoa correspondem à massa de gordura, ela tem $20\% \cdot 100 = 20$ kg de gordura. Ela perdeu 40% da sua gordura, ou seja, perdeu $40\% \cdot 20 = 8$ kg de gordura, e como manteve os demais índices, ela pesava ao final do regime $100 - 8 = 92$ kg.
Problema (nível 2): Quantos os números de dois algarismos têm a soma desses algarismos igual a um quadrado perfeito? Lembre-se que, por exemplo, $09$ é um número de um algarismo.

Solução: A soma dos algarismos dos números de dois algarismos varia de 1 a 18. Dessas somas, as que são quadrados perfeitos são 1, 4, 9 e 16. Temos então
\begin{itemize}
\item Soma 1: número 10
\item Soma 4: números 13, 22, 31 e 40
\item Soma 9: números 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 e 90
\item Soma 16: números 79, 88 e 97
\end{itemize}
Portanto, nas condições propostas, há 17 números.
Problema (nível 2): Os números de $1$ a $99$ são escritos lado a lado: $123456789101112\dots9899$. Então aplicamos a seguinte operação: apagamos os algarismos que aparecem nas posições pares, obtendo $13579012\dots89$. Repetindo essa operação mais $4$ vezes, quantos algarismos irão sobrar?

Solução: A quantidade inicial de algarismos é $9 + 2 \times 90 = 189$, dos quais 94 aparecem nas posições pares e 95 nas posições ímpares. Apagando os algarismos que aparecem nas posições pares, sobram 95 algarismos, desses 47 estão em posições pares e 48 nas posições ímpares. Repetindo a operação, restam 48 algarismos, sendo 24 algarismos em posições pares e 24 em posições ímpares. Na terceira aplicação da operação restam 12 algarismos e, na quarta, sobram 6 algarismos.
Problema (nível 2): Na tabela a seguir, escreva os números de $1$ a $9$ em cada coluna, de modo que a soma dos números escritos nas $9$ linhas seja a mesma, igual a $Y$. Seja $X$ a soma dos números de cada coluna. Calcule $X + Y$.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 & & & Y \\
\hline
 & & & Y \\
\hline
 & & & Y \\
\hline
 & & & Y \\
\hline
 & & & Y \\
\hline
 & & & Y \\
\hline
 & & & Y \\
\hline
 & & & Y \\
\hline
 & & & Y \\
\hline
X & X & X & \\
\hline
\end{tabular}

Solução: A soma dos 27 números escritos na tabela é igual a 3 vezes X e 9 vezes o Y. Como X é a soma dos números de cada coluna, temos $X = 1+2+3+\dots+9 = 45$. Portanto $3 \cdot (1+2+3+\dots+9) = 9 \cdot X \Rightarrow 3 \cdot 45 = 9 \cdot Y \Rightarrow Y = 15$. Logo $X+Y = 45+15 = 60$. O desenho ao lado mostra uma forma de escrever os números na tabela.
$$
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
1 & 5 & 9 \\
\hline
2 & 6 & 7 \\
\hline
3 & 4 & 8 \\
\hline
4 & 9 & 2 \\
\hline
5 & 7 & 3 \\
\hline
6 & 8 & 1 \\
\hline
7 & 2 & 6 \\
\hline
8 & 3 & 4 \\
\hline
9 & 1 & 5 \\
\hline
X & X & X \\
\hline
\end{tabular}
$$
Problema (nível 2): Jade escreveu todos os números de $3$ algarismos em cartões amarelos, um por cartão e escreveu todos os números de $4$ algarismos em cartões azuis, um por cartão. Os cartões são todos do mesmo tamanho.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Ao todo, quantos cartões foram utilizados? Lembre-se que, por exemplo, $037$ é um número de dois algarismos, bem como $0853$ é um número de três algarismos.
\item[(b)] Todos os cartões são então colocados numa mesma urna e embaralhados. Depois Jade retira os cartões, um a um, sem olhar o que está pegando. Quantos cartões Jade deverá retirar para ter certeza de que há dois cartões azuis entre os retirados?
\end{enumerate}

Solução: \begin{enumerate}
\item[(a)] Há $999 - 100 + 1 = 900$ números de três algarismos, escritos em cartões amarelos, e $9999 - 1000 + 1 = 9000$ números de quatro algarismos, escritos em cartões azuis. Ao todo, foram utilizados $900 + 9000 = 9900$ cartões.
\item[(b)] Como existe a possibilidade de serem retirados todos os cartões amarelos antes de aparecer algum azul, para Jade ter certeza de que há dois cartões azuis entre os retirados ela deverá retirar $900 + 2 = 902$ cartões.
\end{enumerate}