tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Numa palestra realizada no evento da segunda fase da OMIF 2019, um grupo de oito amigos resolveu se sentar na primeira fila do auditório, que tinha exatamente oito lugares vagos consecutivos. Entre estes amigos, estavam Pedro e Marineide. Motivados pelo ambiente em que se encontravam, resolveram calcular a quantidade de maneiras diferentes em que eles podiam se dispor de modo que, entre Pedro e Marineide, houvesse, exatamente, duas pessoas. Sabendo que eles calcularam este resultado corretamente, eles concluíram que esta quantidade é:
A) 720
B) 1440
C) 3600
D) 7200
E) 20160
Resposta: D
Sendo $a$, $b$ e $c$ algarismos do sistema de numeração decimal, tem-se que:

$$180 \times 44400=(2ab)^3-(18c)^3$$

Pode-se afirmar que:
A) a=b=c
B) a<b<c
C) c<b=a
D) b<a<c
E) b=c<a
Resposta: E
Sejam $M$ e $N$ dois números naturais, com $M<N$. O máximo divisor comum de $M$ e $N$ é $60$ e o mínimo múltiplo comum de $M$ e $N$ é $2079000$. Sabendo-se que $M$ é múltiplo de $35$, mas não de $25$, e que $N$ é divisível por $24$, mas não por $9$, qual é o valor de $M+N$?
A) 16340
B) 27900
C) 36780
D) 44580
E) 45200
Resposta: C
Durante uma de suas aulas, o professor Wagner encontrou, sobre sua mesa, uma caricatura dele. O professor riu da situação, mas queria saber quem tinha feito aquele desenho. Ele sabia que apenas quatro alunos daquela turma tinham habilidades suficientes para fazê-lo: Ana, Beto, Carlos e Daniela. O professor, então, fez a seguinte pergunta aos quatro estudantes: quem de vocês fez esta minha caricatura? Eles fizeram as seguintes afirmações:

\begin{itemize}
\item Ana: Não fui eu.
\item Beto: Foi a Daniela.
\item Carlos: Foi o Beto.
\item Daniela: O Carlos está mentindo.
\end{itemize}

Sabendo-se que realmente foi um desses quatro alunos que fez a caricatura e que exatamente dois alunos mentiram para o professor em suas afirmações, pode-se concluir que:
A) Daniela não fez a caricatura e Ana mentiu.
B) Ana mentiu e foi Daniela quem fez a caricatura.
C) Carlos mentiu e não foi Ana quem fez a caricatura.
D) Quem fez a caricatura foi Ana ou Daniela.
E) Beto mentiu e Ana não fez a caricatura.
Resposta: E
Seja $f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ uma função definida por:
$$\begin{cases}f(1)=1\\[4pt]f(n)=\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)\cdot f(n-1),\text{ se }n>1\end{cases}$$
O valor de $f(2021)$ é:
A) 12
B) 10112021
C) 20212022
D) 20212021^2-1
E) 1-12021^2
Resposta: B
Isabela deseja contar quantas sequências podem ser formadas, usando-se exatamente quatro das $26$ letras do alfabeto da língua portuguesa, com as características abaixo:

\begin{itemize}
  \item As quatro letras devem aparecer em ordem alfabética, da esquerda para a direita;
  \item As letras devem ser distintas e não podem ser consecutivas.
\end{itemize}

Ela começou a listar algumas das sequências: “aceg”, “amor”, “bjmw”, “jouz”, “nprv”. Isabela percebeu que existiam muitas e resolveu, então, realizar essa contagem utilizando seus conhecimentos de análise combinatória. Desta forma, ela pôde concluir corretamente que o total de sequências com as características expostas é:
A) 7315
B) 8855
C) 14950
D) 274560
E) 358800
Resposta: B
Esta prova é composta por $15$ questões, distribuídas igualmente em $3$ níveis, que pontuam o competidor segundo as seguintes regras:

\begin{itemize}
    \item Cada acerto em uma das $5$ questões do nível $1$ vale $3$ pontos;
    \item Cada acerto em uma das $5$ questões do nível $2$ vale $4$ pontos;
    \item Cada acerto em uma das $5$ questões do nível $3$ vale $5$ pontos;
    \item Cada erro em qualquer das $15$ questões da prova vale $0$ ponto, ou seja, o competidor não ganha e nem perde ponto com erros.
\end{itemize}

Deste modo, a nota final de cada competidor desta olimpíada é um número inteiro de $0$ a $60$. Contudo, seguindo esta regra, há exatamente $4$ números inteiros neste intervalo que não podem ser a nota final de competidor algum. A soma destes números é:
A) 117
B) 118
C) 119
D) 120
E) 121
Resposta: D
O operador matemático $\oplus$ é tal que, aplicado a qualquer número natural par, retorna a sua metade e, aplicado a qualquer número natural ímpar, retorna o seu triplo adicionado de uma unidade. Por exemplo, $\oplus(14) = 7$ e $\oplus(15) = 46$.

Se aplicarmos este operador ao número $20$ e, ao seu resultado, aplicarmos este operador novamente, e assim sucessivamente, até concluir $2020$ aplicações do operador, que número obteremos?
A) 10
B) 5
C) 4
D) 2
E) 1
Resposta: E
A expressão numérica abaixo se refere a várias adições. Os números $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ e $5$ são somados diversas vezes, nesta ordem, até que se obtenha, como resultado, o número $2020$. Note que, para isso, foi necessário parar a expressão no $4$.

$$0+1+2+3+4+5+0+1+2+3+4+5+...$$$$...+0+1+2+3+4+5+0+1+2+3+4=2020$$

A quantidade de sinais de adição ($+$) que foram utilizados na expressão numérica acima é
A) 805
B) 806
C) 807
D) 808
E) 809
Resposta: D
Recentemente, um garoto nigeriano de $12$ anos, Chika Ofili, descobriu um critério matemático de divisibilidade por $7$. Ele percebeu que, para saber se um número é divisível por $7$, basta multiplicar o último algarismo deste número por $5$ e somar ao número que sobra ao se retirar este último dígito. Se esse resultado for divisível por $7$, então o número inicial é divisível por $7$ também. Se o resultado encontrado for um número “grande”, pode-se repetir o processo até que se consiga fazer esta verificação com mais facilidade.

Por exemplo, o número $658$ é divisível por $7$ se $5 \times 8 + 65 = 105$ também for. Repetindo o processo, $105$ é divisível por $7$ se $5 \times 5 + 10 = 35$ também for. Como $35$ é divisível por $7$, então, o número $658$ é divisível por $7$ também.

Considere o menor número de seis algarismos distintos do tipo $AB3456$ que é divisível por $7$. Neste caso, o valor de $A+B$ é:
A) 2
B) 6
C) 9
D) 13
E) 14
Resposta: C
O coordenador da Comissão de Elaboração de Provas da OMIF deseja criar uma senha para acessar a pasta que contém as questões que serão selecionadas para compor a prova da primeira fase. O coordenador definiu que a senha será composta pelos caracteres de OMIF2020, não necessariamente nesta ordem, de modo que os zeros não estejam juntos, ressaltando que a letra O é diferente do número $0$ (zero). Quantas são as senhas com essa configuração?
A) 7580
B) 7560
C) 7540
D) 7520
E) 7500
Resposta: B
Em uma sala do campus Betim, do Instituto Federal, estão alocados exatamente $50$ alunos para resolver a prova da primeira fase da OMIF 2020. A faixa etária desses alunos varia de $14$ a $20$ anos. Apenas com estas informações hipotéticas, pode-se afirmar, com certeza, que, nessa sala:
A) não existe aluno que faça aniversário em dezembro.
B) sete alunos têm 14 anos.
C) pelo menos um aluno tem 18 anos.
D) pelo menos seis alunos fazem aniversário no mesmo mês.
E) pelo menos oito alunos têm a mesma idade.
Resposta: E
Para comemorar seu aniversário, Gabriela convidou $32$ pessoas para uma festinha em sua casa e resolveu preparar alguns brigadeiros para servi-las. Contudo, com tantas tarefas na arrumação da festa, ela se enganou na cozinha e preparou apenas uma receita, que é o suficiente para preparar somente $54$ brigadeiros do tamanho normal, que ela está acostumada a fazer. Por isso ela pretende enrolar os brigadeiros num tamanho menor do que o normal, para conseguir fazer exatamente $4$ para cada convidado (ela não vai comer). Considerando que os brigadeiros tenham forma esférica e sabendo que o volume de uma esfera de raio $R$ pode ser calculado pela relação $$V_{esf}=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot R^{3}\,, $$ em que porcentagem Gabriela deve reduzir o raio do brigadeiro normal, para que consiga esse feito?
A) 25%
B) 42%
C) 50%
D) 58%
E) 75%
Resposta: A
O número de ouro, representado pela letra $\varphi$, é um número irracional, muito estudado por alguns matemáticos e considerado, por algumas pessoas, como o número que aparece nas coisas mais belas da natureza. Também chamado de razão áurea ou de proporção divina, seu valor pode ser encontrado calculando-se a raiz positiva da equação quadrática $x^{2}-x-1=0$. O valor de $\varphi^{6}$, em função de $\varphi$, é:
A) φ+2
B) 4φ+2
C) 6φ+6
D) 8φ+5
E) 12φ+23
Resposta: D
Em uma caixa, foram colocados $8$ cartões de mesmo tamanho, peso e aspecto, cada um com uma letra ou número escrito, de modo que era possível escrever OMIF2020, se fossem colocados um cartão ao lado do outro, observando que a letra O é diferente do número 0 (zero). De uma única vez, quatro desses cartões são sorteados ao acaso. Desta forma, a probabilidade de serem sorteados os cartões com as letras da palavra OMIF, em qualquer ordem, é:
A) 170
B) 1420
C) 11024
D) 11680
E) 14096
Resposta: A
Em Três Corações/MG, foram construídas duas avenidas paralelas, descritas pelas equações $f(x)=x$ e $g(x)=x-4$. Para interligar as duas avenidas, foi construída uma rua coplanar descrita pela curva $h(x)=x^{2}-x-3$. Os pontos de acesso (intersecções) da rua com as avenidas formam os vértices de um triângulo, em cuja área se planeja fazer uma praça. Qual é a área dessa praça?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Resposta: C
Um octógono não regular tem todos os seus ângulos internos de mesma medida e $7$ dos seus lados medem, nessa ordem, $2\sqrt{2}$, $7$, $3\sqrt{2}$, $3$, $6\sqrt{2}$, $2$ e $4\sqrt{2}$. Qual é o comprimento do oitavo lado?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Resposta: E
O futebol é considerado uma das paixões nacionais e por alguns até mundiais. O Brasil é um país onde muitos jogadores são considerados craques. Por exemplo, o Rei Pelé fez $1286$ gols em sua carreira, tendo jogado profissionalmente entre $1957$ e $1983$. Atualmente, um dos jogadores considerado craque é o atacante Neymar, que começou a jogar profissionalmente em $2009$, com $17$ anos, e até o ano passado ($2017$) tinha feito $311$ gols. Sendo assim, pode-se afirmar que se a média anual de gols do Neymar continuar a mesma:
(Dados retirados de www.futdados.com – acesso $09$ mar. $2018$)
A) Ele precisará jogar no máximo até os 55 anos para se igualar ao Pelé.
B) Ele precisará jogar no máximo até os 50 anos para se igualar ao Pelé.
C) Ele precisará jogar no máximo até os 45 anos para se igualar ao Pelé.
D) Ele precisará jogar no máximo até os 40 anos para se igualar ao Pelé.
E) Ele precisará jogar no máximo até os 35 anos para se igualar ao Pelé.
Resposta: A
Quais são os valores que as letras O, M, I e F assumem, respectivamente, na subtração abaixo:

$$
\begin{array}{cccc}
  & O & M & 1 & 9 \\
- & 1 & 8 & I & F \\
\hline
  & 4 & 1 & 4 & 1
\end{array}
$$

A) 2, 4, 7 e 1
B) 3, 0, 3 e 8
C) 4, 9, 7 e 8
D) 5, 9, 0 e 8
E) 6, 0, 7 e 8
Resposta: E
Quantos anagramas é possível formar com as letras O, M, I e F, de forma que as vogais apareçam juntas?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 24
Resposta: D
Uma aluna do Instituto Federal foi aprovada para fazer a segunda etapa da prova da OMIF. Sabendo que a segunda etapa da prova de 2018 será realizada na cidade de Muzambinho–MG, a discente teve a curiosidade de saber quantos eram os possíveis trajetos para se chegar a Muzambinho. Para isso, ela fez uma pesquisa e observou que para ir da cidade de Araguatins-TO, onde mora, para a cidade de Imperatriz-MA, ela teria $4$ trajetos diferentes. Para ir da cidade Imperatriz-MA para a cidade de Belo Horizonte-MG, ela teria $3$ trajetos diferentes. E para ir da cidade de Belo Horizonte-MG até a cidade de Muzambinho, a discente teria $6$ trajetos diferentes. Desta forma, quantos são os possíveis trajetos para sair da cidade de Araguatins-TO e ir até Muzambinho, passando obrigatoriamente por Imperatriz-MA e Belo Horizonte-MG nessa ordem?
A) 13
B) 18
C) 22
D) 72
E) 93
Resposta: D
Um arquiteto pretende instalar um parklet com formato de um triângulo retângulo em uma avenida bem movimentada da cidade de São Paulo. Para a sua construção, um dos catetos mede $2\sqrt{3}$ metros e a hipotenusa $4$ metros. Qual deve ser a medida do outro cateto e a medida do ângulo oposto ao lado que mede $2\sqrt{3}$ metros?
A) 2√(3) metros e 30^∘.
B) √(3) metros e 45^∘.
C) 2 metros e 60^∘.
D) 3√(3) metros e 30^∘.
E) 2 metros e 30^∘.
Resposta: C
Outro projeto para a instalação do parklet seria com o formato de um triângulo obtusângulo de lados medindo $4$ metros e $5$ metros. Qual seria, então, um possível valor para o terceiro lado?
A) 3 metros.
B) 5 metros.
C) 6 metros.
D) 7 metros.
E) 9 metros.
Resposta: D
Em relação a 2017, o número total de alunos de um determinado campus do Instituto Federal aumentou em $13\%$ em 2018. Se o percentual de alunos do sexo masculino aumentou em $5\%$ e o percentual de alunos do sexo feminino aumentou em $25\%$, qual era o percentual de alunos do sexo feminino neste campus, em 2017?
A) 25%
B) 38%
C) 40%
D) 60%
E) 66%
Resposta: C
O ato de dividir um número natural por $n$ recebe a designação de tirar os $n$ fora. O mais conhecido é o caso quando $n=9$, ou seja, tirar os $9$ fora.

Tirar os $9$ fora é razoavelmente simples, pois, quando dividimos um número natural por $9$, obtém-se o mesmo resto do que quando dividimos a soma de seus algarismos por $9$.
Por exemplo, dividir $456$ por $9$ deixa resto $6$. A soma de seus algarismos $4+5+6=15$, e quando dividimos $15$ por $9$, o resto obtido é $6$.
Chamemos agora de excesso de um número o resto obtido ao se dividir esse número por $9$.
Sabendo que o excesso do produto de dois números é igual ao excesso do produto dos excessos dos dois números, calcule o excesso do produto $123454321 \times 90817263541$.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 5
E) 7
Resposta: E
Um professor de matemática do Instituto Federal elaborou $5$ questões sobre Função Afim e $3$ questões sobre Função Quadrática para uma prova que aplicará a uma turma de alunos do primeiro ano. Agora, ele só precisa ordenar estas questões para terminar a diagramação de sua prova. De quantas maneiras ele pode fazer esta ordenação de maneira que duas questões sobre Função Quadrática não se sucedam?
A) 20
B) 720
C) 14400
D) 36000
E) 40320
Resposta: C
Sabendo-se que os senos de ângulos consecutivos (em graus) diferem por menos de dois centésimos e que $\text{sen}38^{\circ}\approx0{,}62$; então, $\text{sen}2^{\circ}+\text{sen}20^{\circ}+\text{sen}201^{\circ}+\text{sen}2018^{\circ}$ é um valor entre:
A) -1,5 e -1
B) -1 e -0,5
C) -0,5 e 0
D) 0 e 0,5
E) 0,5 e 1
Resposta: B
Quantos divisores ímpares o número $80640$ possui?
A) 7
B) 8
C) 12
D) 14
E) 15
Resposta: C
Numa fila de banco estavam $5$ pessoas das quais $3$ são clientes que devem ter atendimento prioritário e, por isso, ocupavam os primeiros lugares. A fila se desorganizou completamente e o vigia do banco, sem estar atento, reposicionou as $5$ pessoas de uma forma completamente aleatória, garantindo, apenas, que as três pessoas com atendimento prioritário ocupassem as $3$ primeiras posições.
A chance de que, ao final do reposicionamento, as pessoas estejam exatamente na mesma ordem em que estavam antes da desorganização é de:
A) 1/4
B) 1/5
C) 1/6
D) 1/12
E) 1/24
Resposta: D
João escreveu os números naturais de $1$ a $100$, seguidamente, como representado abaixo:

$12345678910111213141516 ... 9899100$

A soma de todos os dígitos escritos por João é:
A) 350
B) 450
C) 451
D) 900
E) 901
Resposta: E
Seja $n$ um número natural e $\otimes$ um operador matemático que aplicado a qualquer número natural, soma os seus algarismos e eleva esse resultado ao quadrado. Por exemplo, $\otimes(32)=(3+2)^2=25$. Se aplicarmos este operador ao número $2018$ e, ao seu resultado, aplicarmos este operador novamente, e assim sucessivamente, por $2018$ vezes, no total, que número obteremos?
A) 16
B) 121
C) 169
D) 256
E) 2018
Resposta: C
As avaliações da magnitude dos terremotos e abalos sísmicos são realizadas por geólogos. As informações e os dados coletados do fenômeno sísmico não evitam a sua manifestação e, muito menos, se obtém a previsão de seu acontecimento, mas são essenciais para a Engenharia. O desenvolvimento de novas tecnologias nas construções de edificações com melhor resistência sísmica visa minimizar os transtornos causados pelos tremores. Os estudos sismológicos, em geral, são fundamentados em uma escala logarítmica absoluta, na base $10$, utilizada para quantificar a intensidade das ondas mecânicas e as vibrações provocadas pelo movimento das placas tectônicas. Uma das equações que estrutura essa escala, proposta pelo sismólogo americano Charles Francis Richter para determinar a magnitude local $(M)$, ou seja, o grau de intensidade do abalo sísmico e a sua quantidade de energia $(E)$ liberada (em Joules) é dada por:

$$M = 0{,}67 \times \log(E) - 3{,}25$$

Um dos abalos sísmicos de grande repercussão na mídia internacional no ano de $2018$ aconteceu na costa leste da ilha de Taiwan. Esta ilha localiza-se a cerca de $180$ quilômetros da costa sudeste da China, perto do Círculo de fogo do Pacífico. Esta região é extremamente propensa às atividades sísmicas de grande magnitude, devido à intensa movimentação das placas tectônicas. O valor da magnitude detectada pelo Serviço Geológico dos Estados Unidos foi de $M = 6{,}4$ na escala Richter. Então, a energia liberada pelo tremor na região citada (superior a energia liberada pela explosão da bomba atômica em Hiroshima, no Japão em $1945$), corresponde ao valor de: (Utilize $10^{0{,}40} \approx 2{,}5$).
A) 2,0 × 10^11 J
B) 2,5 × 10^12 J
C) 2,0 × 10^13 J
D) 2,5 × 10^14 J
E) 2,0 × 10^15 J
Resposta: D
Na etiqueta da camiseta de João, há uma informação não muito comum em peças de vestuário: a sua massa, em gramas. Após lavar sua camiseta em uma lavadora, João, por curiosidade, a coloca em uma balança e verifica que $60\%$ da massa indicada é por causa da água que ainda resta na camiseta após a lavagem. Ele, então, coloca sua camiseta para secar no varal e, após uma hora, a pesa novamente, verificando, agora, que $20\%$ da massa indicada é por causa da água, pois ela ainda não secou completamente. De posse dessas informações, qual foi o percentual aproximado de água que evaporou da camiseta de João durante este tempo no varal?
A) 33%
B) 40%
C) 67%
D) 75%
E) 83%
Resposta: E
Natainá está pensando em um número inteiro positivo e pergunta para sua amiga Letícia qual é o resto de sua divisão por $7$. Para isso, Natainá dá as seguintes informações a respeito do número pensado:

\begin{enumerate}
  \item Se subtrairmos $4$ deste número, obteremos um número cujo resto da divisão por $14$ é $1$.
  \item Se triplicarmos esse número e somarmos $6$ ao resultado, obteremos um múltiplo de $21$.
\end{enumerate}

Letícia, que é muito inteligente, deve saber que:
A) A informação 1 sozinha é o suficiente para responder à pergunta, mas a informação 2 sozinha não é o suficiente.
B) A informação 2 sozinha é o suficiente para responder à pergunta, mas a informação 1 sozinha não é o suficiente.
C) As duas informações juntas são suficientes para responder à pergunta, mas nenhuma delas sozinha é o suficiente.
D) Tanto a informação 1 quanto a informação 2 são, sozinhas, suficientes para responder à pergunta.
E) A pergunta não pode ser respondida só com as informações fornecidas.
Resposta: D
Dois alunos da rede federal pretendem jogar um jogo com a seguinte regra: um deles escolhe um número natural e cada jogada deve ser realizada da seguinte maneira: soma-se $1$ se o número for ímpar ou divide-se por $2$ se o número for par. Os jogadores vão realizando estas operações até que se obtenha como resultado uma potência de $2$. Se, numa edição desse jogo, após $8$ jogadas, obteve-se o número $128$, qual o menor número que pode ter sido escolhido inicialmente?
A) 1009
B) 1015
C) 2018
D) 2019
E) 2021
Resposta: C
João vai para uma pizzaria e pede uma pizza pequena. O garçom lhe oferece quatro das seis fatias iguais de uma pizza média pelo mesmo valor da pizza pequena. Sabendo que todas as pizzas têm formato de cilindro com $1\,\text{cm}$ de altura, que a densidade das pizzas é de $0{,}096\,\mathrm{g/cm^{3}}$, além de que a pizza pequena tem $25\,\text{cm}$ de raio e a pizza média tem $30\,\text{cm}$ de raio, é correto afirmar que: (Use $\pi=3$)
A) a oferta é vantajosa, pois as 4 fatias oferecidas têm 7,2 g a mais que a pizza pequena.
B) a oferta é vantajosa, pois as 4 fatias oferecidas têm 8,2 g a mais que a pizza pequena.
C) a oferta não é vantajosa, pois as 4 fatias oferecidas têm 7,2 g a menos que a pizza pequena.
D) a oferta não é vantajosa, pois as 4 fatias oferecidas têm 8,2 g a menos que a pizza pequena.
E) a oferta é indiferente, pois as 4 fatias oferecidas têm a mesma massa que a pizza pequena.
Resposta: C
Em 1999, o fator previdenciário foi criado com o objetivo de desestimular aposentadorias precoces. O índice, na prática, reduz o benefício previdenciário de quem se aposenta cedo e, ainda, penaliza quando há ganhos na sobrevida dos brasileiros. O cálculo da aposentadoria é um produto entre as médias das contribuições previdenciárias e o fator previdenciário $\(F\)$, que leva em consideração a idade $\(Id\)$, o tempo de contribuição $\(Tc\)$ e a expectativa de sobrevida $\(Es\)$ no momento da aposentadoria, conforme a fórmula seguinte:
\[F = \frac{Tc \times a}{Es} \times \left[1 + \frac{Id + Tc \times a}{100}\right]\]
onde $\(a\)$ é a alíquota de contribuição correspondente a $\(0,31\)$ (fixa). Sabendo que a sobrevida de um indivíduo foi, erroneamente, calculada $25\%$ maior do que é na realidade, o reajuste devido na aposentadoria será de:
A) 20%
B) 33%
C) 75%
D) 25%
E) 8%
Resposta: D
Mateus deseja pintar as casas de um tabuleiro $7 \times 7$ de vermelho, de azul e de amarelo, da seguinte maneira:

\begin{enumerate}
\item Em cada linha, o número de casas vermelhas não pode ser menor que o número de casas com cada uma das outras cores.

\item Em cada coluna, o número de casas azuis não pode ser menor que o número de casas com cada uma das outras cores.

\item Todas as linhas e colunas devem conter casas das três cores.
\end{enumerate}

A quantidade de casas que serão pintadas de vermelho e quantidade de casas que serão pintadas de amarelo, são respectivamente:
A) 21 e 7
B) 21 e 21
C) 10 e 21
D) 7 e 10
E) 7 e 7
Resposta: A
Seja $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ uma função definida por 
$f(n) = \begin{cases} 1, & \text{se } n \text{ é par} \\ 2, & \text{se } n \text{ é ímpar} \end{cases}$ 
Definindo $S(x) = \sum_{n \le x} f(n)$, podemos afirmar que $\lim_{x \to \infty} \frac{S(x)}{x}$ é igual a:
A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{2}{3}$
C) $\frac{3}{2}$
D) $\frac{3}{4}$
E) $\frac{4}{3}$
Resposta: C
A parte inteira do número real $x$ é o maior inteiro que não é maior que $x$ e é denotado por $\lfloor x \rfloor$. A parte fracionária do número real $x$ é o valor $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$. Podemos afirmar que o limite 
\[ \lim_{x \to \infty} \left\{ (e^x + \pi^x)^{\frac{1}{x}} \right\} \]
é igual a:
A) $e - 2$
B) $\frac{\ln 2}{3}$
C) $\frac{\ln 3}{2}$
D) $\pi - 3$
E) $\frac{\pi - e}{2}$
Resposta: D
A cada número natural com 4 algarismos $n = (abcd)_{10}$ escrito na base 10, associamos o seguinte determinante 
\[ A_n = \begin{vmatrix} a^2 & b^2 \\ c^2 & d^2 \end{vmatrix}. \]
Seja $A$ a soma de todos os determinantes associados a todos os números com 4 algarismos. Qual das alternativas abaixo é igual ao resto da divisão de $A$ por 7:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resposta: E
Considerando a sequência de Fibonacci 
$$f_1=1, f_2 = 1, \text{ e } f_n = f_{n-1} + f_{n-2}, \forall n \geq 3$$
e o operador linear $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ definido por $T((x,y) = (y,x+y)$, podemos afirmar que:
A) $T^n(0,1) = (f_n, f_{n+1}), \forall n \in \mathbb{N}$
B) $T^n(0,1) = (f_{n+1}, f_n), \forall n \in \mathbb{N}$
C) $T^n(0,1) = (f_n^2, f_{n+1}^2), \forall n \in \mathbb{N}$
D) $T^n(0,1) = (f_{n+1}^2, f_{n}^2), \forall n \in \mathbb{N}$
E) $T^n(0,1) = (f_{n+1}, f_{n+2}), \forall n \in \mathbb{N}$
Resposta: A
Seja $A=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$ e considere a sua 2024-ésima potência $B=A^{2024}$, uma matriz $2 \times 2$ com entradas inteiras. O resto na divisão por 5 do traço de $B$ é (lembre que o traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal):
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resposta: C