tiagoteixeira03/MATH-PT huggingface dataset:
Sejam $\mathcal{M}(n,\mathbb{R})$, onde $n$ é um inteiro positivo, o conjunto das matrizes reais de ordem $n$ e $A,B \in \mathcal{M}(n,\mathbb{R})$ tais que $AB-BA=A$. Podemos afirmar que:
A) Todos os autovalores de $A$ são números complexos não reais
B) A possui pelo menos um autovalor igual a 0
C) Se $\lambda$ é um autovalor de $A$ então a matriz $A-\lambda I_n$ (onde $I_n$ é a matriz identidade de ordem $n$) é invertível
D) Todos os autovalores de $A$ são números complexos de módulo 1
E) $A$ é invertível
Resposta: B
Seja $C$ a curva plana real de equação $y^3-x^2y+x=0$. Se $(x,y)$ se aproxima da origem $(0,0)$ ao longo de $C$, de qual valor a expressão $$E=\frac{x^2-y^6}{x^4+y^{10}}$$ se aproxima?
A) 0
B) $-2$
C) 1
D) $-1$
E) $E$ não se aproxima de nenhum número real
Resposta: B
Seja $a_n$ a sequência dada por $a_n = \cos(2\pi\cdot(4+2\sqrt{3})^n)$ para $n \in \mathbb{N}$. Então $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n$ é
A) $-1$
B) $1$
C) $1/2$
D) $-\sqrt{3}/2$
E) não existe
Resposta: B
Considere a função $T:\mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z}^2$ dada por $T(x,y) = (7x+9y,2x+3y)$. Escolhendo-se aleatoriamente um ponto de $\mathbb{Z}^2$, qual a probabilidade de que ele pertença à imagem de $T$?
A) $1/2$
B) $3/7$
C) $1/9$
D) $1/3$
E) $7/9$
Resposta: D
Para todo inteiro $n > 0$, seja $p(n)$ o maior divisor ímpar de $n$. O valor da expressão $$p(2024)+p(2025)+p(2026)+\ldots+p(4048)$$ é igual a:
A) $2024 + 253$
B) $2024^2 + 253$
C) $2024^3 + 253$
D) $2024^4 + 253$
E) $2024^5 + 253$
Resposta: B
Seja $f : (a,b) \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma função contínua e diferenciável tal que 
$$f(x) \cdot f'(x) \geq x \sqrt{1 - (f(x))^4}, \forall x \in (a,b)$$
$$\lim_{x \rightarrow a^+} (f(x))^2 = 1 \text{ e } \lim_{x \rightarrow b^-} (f(x))^2 = \frac{1}{2}$$
O valor mínimo de $a^2 - b^2$ é
A) 1
B) $\frac{\pi}{3}$
C) $\frac{\pi}{6}$
D) $\frac{\pi}{2}$
E) $\pi$
Resposta: B
De quantas formas distintas 30 bolas de tênis idênticas podem ser distribuídas entre 6 tenistas, de modo que cada tenista receba pelo menos 3 bolas?
A) $1286$
B) $2894$
C) $4032$
D) $6188$
E) $8744$
Resposta: D
Um transmissor $E$ transmite informação binária (ou seja, assumindo apenas o valor 0 ou o valor 1), um receptor $R$ recebe esta informação que pode ou não estar em conformidade com a informação transmitida por $E$. Qualquer que seja a informação emitida por $E$ (0 ou 1), a probabilidade de a informação recebida por $R$ ser consistente com a informação emitida por $E$ é igual a $p$ com $0<p<1$ e a probabilidade de a informação recebida por $R$ não estar em conformidade com a informação transmitida é igual a $1 - p$. Supõe-se que a informação binária é transmitida ao longo de uma cadeia de $n+1$ transmissores eletrônicos $E_0, E_1,\ldots,E_n$, onde Cada elemento $E_k$ é sucessivamente receptor e depois transmissor, exceto o primeiro elemento $E_0$ que é apenas transmissor e o último elemento $E_n$ que é apenas receptor, que a informação transmitida por um transmissor é sempre idêntica à recebida e que para todo $k = 0,1,\ldots,n$ , a transmissão de informação do elemento $E_k$ para o próximo elemento $E_{k+1}$ segue a lei definida acima. Assumindo que
- A qualidade da transmissão de um elemento $E_k$ para o próximo elemento $E_{k+1}$ não depende do que aconteceu durante transmissões anteriores.
- $A_k(0 \le k \le n)$ é evento em que o valor recebido por $E_k$ é idêntico ao emitido por $E_0$, e designando sua probabilidade de ocorrência por $p_k$ e definindo $p_0=1$.
Podemos afirmar que:
A) $\lim_{k\to\infty} p_k = \frac{1}{2}$
B) $\lim_{k\to\infty} p_k = \frac{2}{3}$
C) $\lim_{k\to\infty} p_k = \frac{1}{3}$
D) $\lim_{k\to\infty} p_k = \frac{3}{8}$
E) $\lim_{k\to\infty} p_k = \frac{7}{9}$
Resposta: A
Se $m$ e $n$ são inteiros positivos tais que $m = 6^n - 7771$. Se $m$ é primo, podemos afirmar que:
A) $m=n$
B) $m=n+5$
C) $m=n+7$
D) $m=n+11$
E) $m=n+13$
Resposta: A
Qual o número de pares ordenados $(a,b)$ de inteiros positivos $a,b$ tais que as seguintes condições sejam simultaneamente satisfeitas?

(i) $a \mid 6000$;

(ii) $1 \leq b \leq \frac{6000}{a}$;
A) 10600
B) 12400
C) 12000
D) 15800
E) 14400
Resposta: E
Seja $r(x)$ o polinômio que é o resto na divisão de $x^{2050}$ por $x^5 + x^2 + 1$. Quantos coeficientes ímpares possui $r(x)$?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Resposta: B
Considere a família de parábolas 

$\mathcal{F}_a:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y=x^2 + 2ax + a, a \in \mathbb{R}\}$

Com respeito às família $\mathcal{F}_a$, quando $a$ percorre o conjunto dos números reais, podemos afirmar que:
A) Não existe nenhum ponto que seja comum a todas as parábolas da família $\mathcal{F}_a$
B) Os vértices de todas as parábolas de $\mathcal{F}_a$ pertencem à parábola de equação $y = -x^2$
C) O ponto $P = \left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)$ é o único ponto comum à todas as parábolas da família $\mathcal{F}_a$
D) Para cada $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, $\mathcal{F}_{-a}$ é uma família parábolas que são simétricas em relação à origem das palábolas que compõem À família $\mathcal{F}_a$
E) Os vértices de todas as parábolas de $\mathcal{F}_a$ pertencem à parábola de equação $y = -x^2 - x$
Resposta: E
Seja $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função tal que $\lim_{x \to \infty} f(x)(2-f(x))= 1$, então $\lim_{x \to \infty} f(x)$ é igual a:
A) 1
B) 2
C) $\frac{1}{2}$
D) $\frac{3}{4}$
E) $\frac{1}{5}$
Resposta: A
Sejam $\alpha$ e $\beta$ são as raízes distintas da equação $ax^2 + bx + c = 0$. Então $\lim_{x\rightarrow\alpha} \frac{1-\cos (ax^2+bx+c)}{(x-\alpha)^2}$ é igual a:
A) $0$
B) $\frac{a^2}{2}(\alpha - \beta)^2$
C) $\frac{1}{2}(\alpha - \beta)^2$
D) $-\frac{a^2}{2}(\alpha - \beta)^2$
E) $1$
Resposta: D
O limite $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}[\log_3 2 - \log_3 (2+x)]$ é igual a:
A) $-\frac{1}{\ln 9}$
B) $1$
C) $0$
D) $\ln 3$
E) $-\frac{3}{4}$
Resposta: A
Com as letras $\text{E} , \text{L} , \text{O} , \text{N}$ vamos formar sequências de $2023$ letras de modo que não hajam duas letras $\text{E}$ consecutivas. A quantidade de dessas sequências é:
A) $\left(\frac{63-15\sqrt{21}}{126}\right) \left(\frac{3-\sqrt{21}}{2}\right)^{2023} + \left(\frac{63+15\sqrt{21}}{126}\right) \left(\frac{3+\sqrt{21}}{2}\right)^{2023}$
B) $\left(\frac{-63-15\sqrt{21}}{126}\right) \left(\frac{3-\sqrt{21}}{2}\right)^{2023} + \left(\frac{-63+15\sqrt{21}}{126}\right) \left(\frac{3+\sqrt{21}}{2}\right)^{2023}$
C) $\left(\frac{42-15\sqrt{21}}{126}\right) \left(\frac{3-\sqrt{21}}{2}\right)^{2023} + \left(\frac{42+15\sqrt{21}}{126}\right) \left(\frac{3+\sqrt{21}}{2}\right)^{2023}$
D) $\left(\frac{-31+5\sqrt{29}}{42}\right) (7-\sqrt{17})^{2023} + \left(\frac{31+5\sqrt{29}}{42}\right) (7+\sqrt{17})^{2023}$
E) $\left(\frac{-19+5\sqrt{23}}{21}\right) (5-\sqrt{19})^{2023} + \left(\frac{19+5\sqrt{23}}{21}\right) (5+\sqrt{19})^{2023}$
Resposta: A
Considera a recursão dada por 
$a_0=2, a_1=4, \quad a_{n+2}=4 a_{n+1}-a_n$ para $n \geq 0$ 
Então $a_n$ nunca é múltiplo de
A) $13$
B) $17$
C) $31$
D) $79$
E) $97$
Resposta: B
Seja $E = \mathbb{R}_n[X]$ o espaço vetorial dos polinômios na variável $X$, coeficientes reais e de grau menor do que ou igual a $n$. Definindo a aplicação

$$\Phi : \mathbb{R}_n[X] \rightarrow \mathbb{R}_n[X]$$

$$P \mapsto \Phi(P) = (X - 1) \cdot P'(x)$$

onde $P'(X)$ representa da derivada do polinômio $P(X)$ em relação à variável $X$. Se $\alpha = \{1, X, X^2, ..., X^{n-1}\}$ é a base canônica do $\mathbb{R}$-espaço vetorial $E$, podemos afirmar que:
A) $\Phi$ é diagonalizável
B) Os autovalores de $\Phi$ pertencem ao conjunto $\{n+1, n+2, ..., 2n\}$
C) $\det(\Phi) = n^2$
D) $\{X, X-1, (X-1)^2, ..., (X-1)^n\}$ são autovetores de $\Phi$
E) A matriz do operador $\Phi$ em relação à base $\alpha$ é a matriz
Resposta: C
Denote por $R_\theta: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ a rotação do plano $\mathbb{R}^2$ no sentido anti-horário com centro na origem $(0,0)$ e ângulo $\theta$ e por $S: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ a reflexão com relação ao eixo $y$. Então a composição 

$$R_{30^\circ} \circ S \circ R_{60^\circ} \circ S \circ S \circ S \circ R_{15^\circ} \circ S \circ R_{45^\circ}$$
é uma
A) rotação $R_{45^\circ}$
B) reflexão com relação à reta $y = x$
C) reflexão com relação à reta $y = x\sqrt{3}$
D) rotação $R_{-45^\circ}$
E) reflexão com relação à reta $y = x + 1$
Resposta: A
Sejam $M (n \times n, \mathbb{R})$ o conjunto das matrizes de ordem $n$ com entradas reais e 
   
   $\mathbb{B} :=\{A \in M(n \times n, \mathbb{R}) ; a_{ij} \in\{-1,1\}, \forall 1 \leq i, j \leq n\}$.
   Se $S = \sum_{A\in \mathbb{B}} \det(A)$, podemos afirmar que:
A) $S = -1.$
B) $S = 1.$
C) $S = 0.$
D) $S = 2^n.$
E) $S = \frac{n}{2}.$
Resposta: C
Seja $V$ um subespaço vetorial de $\mathbb{R}^3$. Uma transformação linear $P: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ é uma projeção de $\mathbb{R}^3$ sobre $V$ se ela satisfaz $P^2=P$ e a imagem de $P$ é $V$. Se $T:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ é a transformação linear dada na base canônica pela matriz 

$$
\begin{pmatrix}
5 & 28 & -19 \\
0 & 7 & -2 \\
0 & 6 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
então qual das alternativas a seguir é uma projeção de $\mathbb{R}^3$ sobre o subespaço gerado pelo vetor $(1,2,3)$? Aqui $I$ denota a identidade.
A) $P = -15I + 8T - T^2$
B) $P = -11I + 7T - T^2$
C) $P = -10I + 6T - T^2$
D) $P = -4I + 5T - T^2$
E) $P = -I + 12T - T^2$
Resposta: A
A integral definida $\int_{0}^{1} \frac{x^e}{x} (e + x) dx$ é igual a:
A) $1.$
B) $\ln 2.$
C) $e.$
D) $\frac{1}{e}.$
E) $2^e.$
Resposta: C
Com respeito a série $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$, onde $a_n = \int_{n \pi}^{(n+1) \pi} e^{-x} \sen x dx$, podemos afirmar que:
A) É convergente e sua soma é $\frac{1}{2}$
B) É convergente e sua soma é $\frac{1}{4}$
C) É convergente e sua soma é $\frac{3}{2}$
D) É convergente e sua soma é $\frac{3}{5}$
E) É divergente
Resposta: A
Uma capivara se locomove às margens de um rio, que estão cobertas de lama. A lama fica mais pegajosa quanto mais próxima do rio, de modo que a cada instante a velocidade da capivara é diretamente proporcional à sua distância ao rio. Suponha que, num modelo no plano $\mathbb{R}^2$, o rio se encontra sobre o eixo $x$ e que a capivara quer ir do ponto $(0,2)$ ao ponto $(1,\sqrt{3})$ utilizando um de dois trajetos, o primeiro em linha reta $L$, e o segundo seguindo o arco $C$ de circunferência com centro na origem $(0,0)$ que liga os dois pontos. A razão entre os tempos gastos para percorrer os trajetos $L$ e $C$, nesta ordem, é
A) $\sqrt{3}$
B) $(\sqrt{2}+\sqrt{6}) \cdot \log_3(4/3)$
C) $2\sqrt{2}+\ln(3)$
D) $\ln(3)+\sqrt{3}$
E) $\sqrt{3} \cdot \ln(2)$
Resposta: B
Considere um polígono regular com $2023$ lados de comprimento $2$ e sejam $P_1,\ldots,P_{2023}$ seus vértices. Seja $Q$ um ponto que está a uma distância $1000$ do centro deste polígono. Então a soma $QP_1^2+QP_2^2+\cdots+QP_{2023}^2$ é igual a
A) depende da posição do ponto $Q$
B) $2023 \cdot (1000^2 + \csc^2 \frac{\pi}{2023})$
C) $2023 \cdot (1000^2 + \cos^2 \frac{\pi}{2023})$
D) $2023 \cdot (1000^2 + \cos \frac{2\pi}{2023})$
E) $2023 \cdot (1000^2 + \sec \frac{2\pi}{2023})$
Resposta: B
Considere duas moedas $A$ e $B$ tais que na moeda $A$ a probabilidade de sair cara é $\frac{1}{4}$, enquanto que na moeda $B$ a probabilidade de sair cara é $\frac{1}{2}$. Escolhe-se uma dessas duas moedas ao caso e a arremessa. Se sair cara essa mesma moeda será arremessada novamente, caso contrário será arremessada a outra moeda. Para cada inteiro positivo $n$, seja $p_n$ a probabilidade de que a moeda lançada no $n$-ésimo arremesso seja a moeda $A$. Podemos afirmar que:
A) $p_n = \frac{2}{5} - \frac{1}{10} \left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
B) $p_n = \frac{2}{5} + \frac{1}{10} \left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
C) $p_n = \frac{2}{5} + \frac{1}{10} \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
D) $p_n = \frac{1}{10} \left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
E) $p_n = -\frac{2}{5} + \frac{1}{10} \left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
Resposta: B
Seja $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & 1000 \\ 1001 & 1002 & \dots & 2000 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \\ 999001 & 999002 & \dots & 1000^2 \end{pmatrix}. $$ Escolha qualquer entrada e a denote por $x_1$. Em seguida, apague a linha e a coluna contendo $x_1$ para obtermos uma matriz $999\times999$. Então escolha qualquer entrada e a denote por $x_2$. Apague a linha e a coluna contendo $x_2$ para obter uma matriz $998\times998$. Realize essa operação 1000 vezes. Determine o valor da soma $$ x_1+x_2+\dots+x_{1000}. $$
A) 1000
B) $\frac{1000^3+1000}{2}$
C) $1000^2$
D) $\frac{1000^2+1000}{2}$
E) $\frac{1001}{2}$
Resposta: B
Quantos termos racionais aparecem na expansão binomial de $(\sqrt[4]{2}+\sqrt{6})^{100}$?
A) 16
B) 17
C) 66
D) 33
E) 50
Resposta: B
Seja $f :\{1,2,...\} \to \mathbb{R}$ uma função tal que $f(n) - f(n + 1) = f(n) f(n+1)$ para todo $n \geq 1$. Sabendo que $f(2020) = \frac{1}{4040}$, o valor de $f(1)$ é:
A) $\frac{1}{2}$
B) $\frac{1}{4040}$
C) $\frac{1}{2021}$
D) $1$
E) $\frac{1}{2020}$
Resposta: C
Considere a sequência $a_n$ definida por $a_1 = 2$ e para todo $n \in \mathbb{N}$ 
$a_{n+1} =(a_n)^2 +6a_n +6$.
Determine o resto de $a_{100}$ na divisão por $7$.
A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $3$
E) $4$
Resposta: B
Considere o número real, escrito em notação decimal,
$r = 0,235831 \ldots$ 
em que, a partir da terceira casa decimal após a vírgula, todo dígito é igual ao resto na divisão por 10 da soma dos dois dígitos anteriores. Podemos afirmar que
A) $(10^{60} - 1) \cdot r$ é inteiro
B) $(10^{25} - 1) \cdot r$ é inteiro
C) $(10^{17} - 1) \cdot r$ é inteiro
D) $r$ é irracional algébrico
E) $r$ é irracional não algébrico (Lembre que um número complexo é dito algébrico se ele é raiz de um polinômio não nulo com coeficientes inteiros)
Resposta: A
Considere a sequência $a_n$ definida por $a_1 = 337$ e, para $n > 1$,
$a_n = \frac{n^2}{n^2+n-2} a_{n-1}$.
Determine $\lim_{n\to\infty}(2020+n)a_n$.
A) $337$
B) $674$
C) $1011$
D) $2022$
E) $4044$
Resposta: D
Encontre o valor de 
\[ \int_{0}^{1} \left( \sum_{k=0}^{\infty} (x^{3k+1} - x^{3k+2}) \right) dx. \]
A) 1
B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C) $\frac{\ln 2}{2}$
D) $\frac{\ln 3}{2}$
E) $\frac{\ln 3}{2} - \frac{\sqrt{3} \pi}{18}$
Resposta: E
Calcule $\lim_{x\to\infty} (\sen(\sqrt{x+1}) - \sen(\sqrt{x}))$.
A) $+\infty$
B) $-\infty$
C) $0$
D) $1/2$
E) $1$
Resposta: C
Em uma moeda viciada, a probabilidade de se obter cara é $1/5$. Um jogador lança sucessivamente esta moeda até obter duas caras consecutivas. Qual é o número esperado de tais lançamentos?
A) $10$
B) $25$
C) $30$
D) $40$
E) $64$
Resposta: C
Seja $f_1(x) = x^2+4x+2$, e para $n \geq 2$, seja $f_n(x)$ a $n$-ésima composição do polinômio $f_1(x)$ consigo mesmo. Por exemplo, $f_2(x) = f_1(f_1(x))= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 14$. Seja $s_n$ a soma dos coeficientes dos termos de grau par de $f_n(x)$. Por exemplo, $s_2=1+24+14 = 39$. Encontre o valor de $s_{2020}$
A) $0$
B) $12357$
C) $2^{3^{2019}}$
D) $3^{2021}+3\cdot2^{2020}$
E) $\frac{3^{2020}-3}{2}$
Resposta: E
Considere a curva plana $E$ de equação $y^2=4x^3-4x^2+1$ e a função $T:E \rightarrow E$ a seguir. Dado um ponto $P \in E$, seja $r$ a reta tangente a $E$ no ponto $P$; se $r$ intercepta $E$ em dois pontos, defina $T(P) \in E$ como sendo o ponto de interseção distinto de $P$, caso contrário defina $T(P) = P$. Sendo $P_0 = (0,1)$ e $P_{n+1}=T(P_n)$ para $n \geq 0$, então
A) $P_{2021}=(0,-1)$
B) $P_{2021}=(0,1)$
C) $P_{2021}=(1,1)$
D) $P_{2021}=(1/2,\sqrt{2}/2)$
E) $P_{2021}=(1,-1)$
Resposta: C
Encontre o número de inteiros positivos $n$ menores que $2020$ tais que o polinômio $(x^4-1)^n + (x^2-x)^n$ seja divisível por $x^5 - 1$.
A) $202$
B) $201$
C) $1010$
D) $2020$
E) $20$
Resposta: A
Seja $Q_8=\{\pm1,\pm i, \pm j, \pm k\}$ o grupo dos quatérnios, cujo produto (não comutativo) é determinado pelas equações: $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$. Escolhendo-se aleatoriamente e independentemente dois elementos $a,b \in Q_8$ (não necessariamente distintos), qual é a probabilidade de que $ab=ba$?
A) $5/16$
B) $3/8$
C) $1/2$
D) $5/8$
E) $3/4$
Resposta: D
Sobre o número $\theta = \cos(2\pi/11)$, podemos afirmar que
A) é raiz do polinômio $8x^3+4x^2-4x-1$
B) é raiz do polinômio $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$
C) é raiz do polinômio $32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1$
D) $\theta$ não é algébrico
E) é raiz do polinômio $32x^5-26x^4+11x^3+6x^2-1$
Resposta: C
Para um inteiro positivo $n$, considere todas as funções não crescentes $f: \{1,2,...,n\} \rightarrow \{1,2,...,n\}$. Algumas delas possuem pontos fixos, i.e., admitem $c$ tal que $f(c) = c$, enquanto algumas outras não possuem tal propriedade. Determine a diferença entre os tamanhos desses dois conjuntos de funções.
A) $\binom{2n-2}{n-2}$
B) $\binom{2n-1}{n-2}$
C) $\binom{2n}{n}$
D) $\frac{1}{n} \cdot \binom{2n-1}{n-1}$
E) $n^2$
Resposta: A
Tardigrados, também conhecidos como ursos d'água, são os únicos animais nativos do planeta Terra capazes de sobreviver às condições do espaço extraterrestre sem a ajuda de equipamentos de que se tem conhecimento (para saber mais, veja por exemplo o artigo na Wikipedia). Neste exercício, um tardigrado anda no plano $\mathbb{R}^2$, saindo da origem $(0,0)$ e andando $1$ unidade até $(1,0)$; em seguida, ele vira para a esquerda $80^{\circ}$ e anda mais $1/2$ unidade até $\left(1 + \frac{\cos 80^{\circ}}{2}, \frac{\sin 80^{\circ}}{2}\right)$; em seguida, vira novamente para a esquerda $80^{\circ}$ e anda mais $1/4$ unidade; em seguida, vira para a esquerda $80^{\circ}$ novamente e anda mais $1/8$ unidade e assim por diante, sempre virando à esquerda $80^{\circ}$ e andando metade da distância que andou na vez anterior. Eventualmente ele convergirá a um ponto. Qual?
A) $\left(\frac{4 + \cos 80^{\circ}}{3 - 2 \cos 80^{\circ}}, \frac{\sin 80^{\circ}}{3 - 2 \cos 80^{\circ}}\right)$
B) $\left(\frac{2 \cos 80^{\circ}}{5 - 4 \cos 80^{\circ}}, \frac{\sin 80^{\circ}}{5 - 4 \cos 80^{\circ}}\right)$
C) $\left(\frac{1 - \sin 80^{\circ}}{1 - \sin 80^{\circ}}, \frac{\cos 80^{\circ}}{1 - \sin 80^{\circ}}\right)$
D) $\left(\frac{4 - 2 \cos 80^{\circ}}{5 - 4 \cos 80^{\circ}}, \frac{2 \sin 80^{\circ}}{5 - 4 \cos 80^{\circ}}\right)$
E) $\left(\frac{4 - 2 \sin 80^{\circ}}{5 - 4 \sin 80^{\circ}}, \frac{2 \cos 80^{\circ}}{5 - 4 \sin 80^{\circ}}\right)$
Resposta: B
O limite 
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{1/k}}\right)}{n}$$
é dado por:
A) $1$
B) $2$
C) $\pi$
D) $\pi^2/6$
E) $e$
Resposta: A
Para cada inteiro positivo $n$, seja 
$$I_n = \frac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin(2nx) \tan(x) dx.$$
Se $I_1 = A$ e $I_2 = B$, então $I_{2020}$ vale
A) $A + B$
B) $A$
C) $B$
D) $A - B$
E) $2B$
Resposta: C
Uma cônica é uma curva em $\mathbb{R}^2$ da forma $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\}$, onde $a,b,c,d,e,f$ não são todos nulos (alguns de seus exemplos são elipses, hipérboles e parábolas). São fixados três pontos distintos no plano e duas retas não coincidentes. Quantas cônicas, no máximo, contêm os três pontos e são tangentes às duas retas?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Resposta: C
Qual é o menor grau de um polinômio $p(x)$, mônico e de coeficientes inteiros, de modo que $p(n)$ seja múltiplo de 2021 para todo inteiro positivo $n$?
A) 43
B) 44
C) 45
D) 46
E) 47
Resposta: E
A quantidade de soluções da equação $y^2 = x^3$ (uma curva elíptica singular) em $\mathbb{Z}/57\mathbb{Z}$ é igual a:
A) 1
B) 3
C) 19
D) 36
E) 57
Resposta: E
Considere a transformação linear $T: \mathbb{C}^3 \rightarrow \mathbb{C}^3$ dada na base standard pela matriz
$$
\left(\begin{array}{ccc}
1/10 & 71/10 & -29/10 \\
3/2 & -1/2 & 3/2 \\
7/5 & -18/5 & 22/5
\end{array}\right)
$$
cujo polinômio característico é $p(x) = (x-3)^2(x+2)$. Seja $V = \{\mathbf{v} \in \mathbb{C}^3 | T\mathbf{v}=-2\mathbf{v}\}$ o autoespaço associado ao autovalor $-2$. Qual das seguintes transformações lineares $\pi: \mathbb{C}^3 \rightarrow \mathbb{C}^3$ é uma projeção sobre $V$ (ou seja, $\pi(\mathbb{C}^3) = V$ e formações lineares $\pi = \pi^2$)? Aqui, $I: \mathbb{C}^3 \rightarrow \mathbb{C}^3$ denota a identidade.
A) $\pi = \frac{1}{25}(T^2 - 6T + 9I)$
B) $\pi = \frac{1}{25}(-T^2 + 6T + 16I)$
C) $\pi = T^2 - T - 6I$
D) $\pi = \frac{1}{3}(T^2 + 6T + 16I)$
E) $\pi = \frac{1}{3}(-T^2 - 5T + 2I)$
Resposta: A
A soma das raízes da equação em $\mathbb{C}$, $z^8 -17z^4 + 16 = 0$, tais que $z -|z| = 0$, é

A ( ) 1.

B ( ) 2.

C ( ) 3.

D ( ) 4.

E ( ) 5.
A) $
B) $
C) $
D) $
E) $
Resposta: C
Considere a equação em $\mathbb{C}$, $(z - 5 + 3i)^4 = 1$. Se $z_0$ é a solução que apresenta o menor argumento principal dentre as quatro soluções, então o valor de $|z_0|$ é

A ( ) $\sqrt{29}$.

B ( ) $\sqrt{41}$.

C ( ) $3\sqrt{5}$.

D ( ) $4\sqrt{3}$.

E ( ) $3\sqrt{6}$.
A) $\sqrt{29}$
B) $\sqrt{41}$
C) $3\sqrt{5}$
D) $4\sqrt{3}$
E) $3\sqrt{6}$
Resposta: B
A soma de todos os números reais $x$ que satisfazem a equação

$8^{\sqrt{x+1}} + 44 \left(2^{\sqrt{x+1}}\right) + 64 = 19 \left(4^{\sqrt{x+1}}\right)$

é igual a

A ( ) 8.

B ( ) 12.

C ( ) 16.

D ( ) 18.

E ( ) 20.
A) $
B) 1$
C) 1$
D) 1$
E) 2$
Resposta: D
Se os números reais $a$ e $b$ satisfazem, simultaneamente, as equações

$\sqrt{a \sqrt{b}} = \frac{1}{2} \quad \text{e} \quad \ln(a^2+b) + \ln 8 = \ln 5,$

um possível valor de $\frac{a}{b}$ é

A ( ) $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

B ( ) 1.

C ( ) $\sqrt{2}$.

D ( ) 2.

E ( ) $3\sqrt{2}$.
A) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B) $
C) $\sqrt{2}$
D) $
E) $3\sqrt{2}$
Resposta: A
Considere as funções $f$ e $g$, da variável real $x$, definidas, respectivamente, por

$f(x) = e^{x^2 + ax + b} \quad \text{e} \quad g(x) = \ln \left(\frac{ax}{3b}\right)$,

em que $a$ e $b$ são números reais. Se $f(-1) = 1 = f(-2)$, então pode-se afirmar sobre a função composta $g \circ f$ que

A ( ) $g \circ f(1) = \ln 3$.

B ( ) $\nexists g \circ f(0)$.

C ( ) $g \circ f$ nunca se anula.

D ( ) $g \circ f$ está definida apenas em $\{x \in \mathbb{R}: x > 0\}$.

E ( ) $g \circ f$ admite dois zeros reais distintos.
A) $g \circ f(1) = \ln 3$
B) $\nexists g \circ f(0)$
C) $g \circ f$ nunca se anul$
D) $g \circ f$ está definida apenas em $\{x \in \mathbb{R}: x > 0\}$
E) $g \circ f$ admite dois zeros reais distinto$
Resposta: E
Considere funções $f, g, f + g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Das afirmações:

I. Se $f$ e $g$ são injetoras, $f + g$ é injetora;

II. Se $f$ e $g$ são sobrejetoras, $f + g$ é sobrejetora;

III. Se $f$ e $g$ não são injetoras, $f + g$ não é injetora;

IV. Se $f$ e $g$ não são sobrejetoras, $f + g$ não é sobrejetora,

é (são) verdadeira(s)

A ( ) nenhuma.

B ( ) apenas I e II.

C ( ) apenas I e III.

D ( ) apenas III e IV.

E ( ) todas.
A) nenhum$
B) apenas I e I$
C) apenas I e II$
D) apenas III e I$
E) toda$
Resposta: A
Seja $n > 6$ um inteiro positivo não divisível por 6. Se, na divisão de $n^2$ por 6, o quociente é um número ímpar, então o resto da divisão de $n$ por 6 é

A ( ) 1.

B ( ) 2.

C ( ) 3.

D ( ) 4.

E ( ) 5.
A) $
B) $
C) $
D) $
E) $
Resposta: C
Considere a equação $\sum_{n=0}^{5} a_n x^n = 0$ em que a soma das raízes é igual a  $-2$ e os coeficientes $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4$ e $a_5$ formam, nesta ordem, uma progressão geométrica com $a_0 = 1$. Então $\sum_{n=0}^{5} a_n$ é igual a

A ( ) $-21$.

B ( ) $-\frac{2}{3}$.

C ( ) $\frac{21}{32}$.

D ( ) $\frac{63}{32}$.

E ( ) $63$.
A) $-21$
B) $-\frac{2}{3}$
C) $\frac{21}{32}$
D) $\frac{63}{32}$
E) $63$
Resposta: D
Seja $\lambda$ solução real da equação $\sqrt{\lambda+9} + \sqrt{2\lambda+17} = 12$. Então a soma das soluções $z$, com $\mathrm{Re} z > 0$, da equação $z^4 = \lambda - 32$, é

A ( ) $\sqrt{2}$.

B ( ) $2\sqrt{2}$.

C ( ) $4\sqrt{2}$.

D ( ) $4$.

E ( ) $16$.
A) $\sqrt{2}$
B) $2\sqrt{2}$
C) $4\sqrt{2}$
D) $4$
E) $16$
Resposta: B
Seja $p$ uma probabilidade sobre um espaço amostral finito $\Omega$. Se $A$ e $B$ são eventos de $\Omega$ tais que $p(A) = \frac{1}{2}$, $p(B) = \frac{1}{3}$ e $p(A \cap B) = \frac{1}{4}$, as probabilidades dos eventos $A \cap B$, $A \cup B$ e $A^C \cup B^C$ são, respectivamente
A) $\frac{1}{4}$; $\frac{5}{6}$ e $\frac{1}{4}$
B) $\frac{1}{6}$; $\frac{5}{6}$ e $\frac{1}{4}$
C) $\frac{1}{6}$; $\frac{7}{12}$ e $\frac{3}{4}$
D) $\frac{1}{3}$; $\frac{5}{6}$ e $\frac{1}{3}$
E) $\frac{1}{4}$; $\frac{7}{12}$ e $\frac{3}{4}$
Resposta: E