text: Etude micromécanique du comportement thermomécanique des alliages à mémoire de forme Denis Entemeyer
  To cite this version: Denis Entemeyer. Etude micromécanique du comportement thermomécanique des alliages à mémoire de forme. Autre. Université Paul Verlaine - Metz, 1996. Français. NNT : 1996METZ035S. tel01777144
  HAL Id: tel-01777144 https://hal.univ-lorraine.fr/tel-01777144 Submitted on 24 Apr 2018
  
   AVERTISSEMENT
  Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie. Il est soumis à la propriété intellectuelle de l'auteur. Ceci implique une obligation de citation et de référencement lors de l'utilisation de ce document. D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction encourt une poursuite pénale.
  illicite
  Contact : ddoc-theses-contact@univ-lorraine.fr
  LIENS
  Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4 Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10 http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm b,roçhoï
  THESE présentéeà
  L'UNIVERSITÉ DE METZ
  BlBl-lOThEtrv e -,rr v cr(SITAIRE
  dsu[sç
  Pour I'obtentiondu titre de
  DOCTEUR EN SCIENCESDE L'INGÉNIEUR OPTIONSMÉCANIQUE ET MATÉRIAUX
  I
  par Denis ENTEMEYER
  DU Étuun MIcRovtÉc.l'NrQI/E c oMPoRrEMENI r IIERMOMECAryr_QU_E DnS ALLIAGES A MEMOIRE DE FORME
  SoutenueIe20 décembre1996devantla commissiond'examen: M. M. Berveiller,université de Metz, Directeurde thèse M. E. Patoor,Universitéde Metz, Directeurde thèse' dapporteur Palaiseau, M. Q. S. Nguyen.,ÉcolePolytechnique M. J. Van Humbeeck,Universitéde Leuven,Rapporteur Universitéde Montpellier M. A. Chrysochoos, M. J. C. Brachet,CEA de Saclay- CEREN{/SRMA M. A. Eberhardt,Universitéde Metz M. P. Lipinski,UniversitêdeMetz - Laboratoire de Physiqueet Mécanique des Matériaux -
  -iunn cNRSt2rs)- InstitutSupérieur et Productique deGénieMécanique École Nationale d'Ingénieursde Metz Ile du SaulcY,57045Metz Cedex0l I
  Remerciements Ce travail a été réalisé au Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux de I'Institut Supérieurde Génie Mécaniqueet Productique de l'Université de Metz au sein de l'équipe du Pr. M. Berveiller. Je remercie avant tout Monsieur M. Berveiller pour m'avoir témoigné sa confiance en m'accueillant au sein de son équipe et m'avoir donné ainsi I'occasion de vivre une expérienceenrichissante' Je remercieMonsieur E. Patoorpour son suivi, son aide et soutientout au long de ce travail. Je remercie également Monsieur A. Eberhardt qui m'a fait bénéficier de sa compétencedansle domaine expérimental. Je tiens à remercier MessieursQ. s. Nguyen et J. Van Humbeeck pour avoir acceptéde présiderce travail ainsi que MessieursA. Chrysochoos, J.C. Brachet et P. Lipinski pour leur participationau jury' Je tiens à remercier le personnel de I'Institut Supérieur de Génie Mécanique et Productique, celui de l'École Nationale d'Ingénieurs de Metzet les étudiant(e)s(Joel,Eric, Xavier, Anne, Isabelle,Seddiq,David, Patrick, Frédéric et LaurenQ que j'ai cotoyé tout au long de ces trois annéespour leur gentillesseet disponibitité. Je n'oublie pas ma famille ainsi que mes ami(e)s les plus proches qui ont participé directement ou indirectement à ce travail' Merci à vous, lecteur, qui témoignez d'un besoin ou'de I'intérêt à ce travail. Avant-Propos
  Certainspoints liés à la lecture de ce rapport sont ici développés: . Les référencesbibtiographiquessont placéesen fin de chaquechapitre: certainessont donc répétéessi elles sont utiliséesdansdeux chapitres différents. Elles sont référencéesentre crochetspar les initiales des trois premiers auteurs de I'article suivies de I'année de parution (ex:
  tABCl2l). . .
  Certainsrappelsou élémentsnécessairesà une lecture fluide sont placés (1)). en bas de page, référencéspar un chiffre entreparenthèse(ex: Les calculs longs et complexesou entièrementcalquésà partir de la littérature existantesont en annexe.On y faitréférence à partfudu texte d'une manièredirecte (ex: voir annexeX).
  -1- l.
  Sommaire
  Sommaire 6 Page
  CHAPITREI: Introduction
  I nÉnÉnnNcEsBIBLIocRAPHIQUES
  10 p4ge
  CHAPITRE II: Étudebibliographique
  12 Page
  II.1 - INTRODUCTION
  14 page
  DES rr.2 - cARacrÉnIsrrQunscÉNÉnaLES L4 page ALLIacnsÀ vtÉuorRpDEFoRME l.z.t
  - RAPPEL suR LEs omrÉnENTS
  15 p. COMPORTEMENTDES SOLIDES 15 simPles Il.2.I.l - ComPortements 15 complexes II.2.I.2 - Comportements II.2.|.3-Comportementliésauxtransformations t6 de phase 17 - LA TRANSFORMATON MARTENSITIQUE p. TT.2.2 18 I1.2.2.L- Classification 24 de déformation II.2.2.2- Mécanismes ,27 - Diagrammed'état 11.2.2.3 II.2.3 - COMPORTEMENTDES ALLIAGES À 28 p. IVTÉUONEDE FORME 28 Effet mémoiresimplesens 11.2.3.129 1I.2.3.2- Effet mémoiredoublesens 30 II.2.3.3- Effet caoutchoutique 3r II.2.3.4- Pouvoiramortissant 32 .5 - Superthermoélasticité 11.2.3 1T.2.4- DIFFÉRENTS TYPES D'ALLIAGE ET 37 p. DOMAINES D'APPLICATION II.3 - MODÉLISATION DU COMPORTEMENT DES ALLIAGES À IVTÉUOTNNDE FORME: LES 40 page DIFFÉRENTES APPROCHES . . . . . . . . . . . .4. .0p . II.3.1- OBJECTIF
  -2 - Sonmtaire
  rr.3.2_LES AppRocHESPHÉNOMÉNOLOGTQUE: LE MODÈLEBOURBON-LEXCELLENT . . . . . - . . . . . .4. l. p . II.3.3 - LES APPROCHESPAR TRANSITION D'ÉCHELLE --p.46 II.3.3.1- L'approche deSun 47 - L'approche 1I.3.3.2 utilisée 51 II.4 . CONCLUSION page 55 nÉrÉnnNcEsBrBLrocRApHreuES rr pâ$€ 57
  CHAPITRE III: Modélisariondu fluage anisothenne Page 65 -
  IIT.I INTRODUCTION TN,.z. LB COMPORTEMENTDU MONOCRISTAL TII.2.I CINÉMATIQUE DE LA TRANSFORMATTON - CNTTENE ITT.2.2 DE TRANSFORMATION
  page 67 page 6E
  .----.p. 69 . . . - . . . . . . . .7. .5p . IIL.2.2.1- poteiiticlthermoclynarnique i5 rrr.2.z-z- Lagrangienréactualisé et forcesmotrices 80 IILZ.Z.3- pseudo_porenriel dedissipation 82 - LOI DE COMPORTEMENT ITT.2.3 . . . . . . . . . . . .8. .4p . III.2.3.l - Loi d'évolution 84 III.2.3.2 - Modulestangentsthermoméc aniques .85 III.3 - LE COMPORTEMENTDU POLYCRISTAL page 87 IIT.3.I- DÉFINITIONDU PROBTÈUB . . . . . . . . . . . .8. .7p . III.3.2 - HOMOGÉTVÉTSETION ET LOCALISATION . . . . . . . . . . . .8. .9p . III.3.3 - APPROCHEAUTOCOUÉNNU-IE . . . . . . . . . . . .9. .1p . III.3.3.I - Équationintégralethermomécanique 91 lII.3.3.Z- Résolution formelle 98 III.3.3.3- Approximation autocohérente à un site 101 trr.3.4- REMARQUE . . . . . . " . " . .1. 0 p5 . ITI.4 - INFLUENCE DE LA VITESSE DE SOLLICITATION page 106 III.4.I - INTRODUCTION . . . . . . . . . . .1. p0.6
  -3- Sommaire
  IIT.4.2- ÉVOIUTION DE LA TEMPÉRATUREDU POLYCRISTAL AVEC LE TAUX DE .p. 108 MARTENSTTE 111 -page rrl.5. - CONCLUSION pgge113 nÉ,fÉnBNCES BIBLIOGRAPHIQIIES m
  CHAPITRE IV: Résultatsexpérimentaux Pagell7 pourun alliageCuAlBe IV.l - INTRODUCTION IV .2. DISPOSITIT DPÉRIMENTAL
  tv.2.r- verÉnml D'ESSAI
  IV .22-PNÉPENATIONDESÉPROUVETTES 1V.2.3- PMTÉNENTSTYPESD'ESSAI I V . 3 - S U P E R T H E R M O É L A S T I C I T É DES MONOCRITAIIX CuAlBe IV.3.I - INTRODUCTION IV .3.2- SUPERÉLASTICITÉ IV.3.3 . FLUAGE ANISOTHERME IV.3.4 - DIAGRAMME D'ÉTAT IV.4 . SUPERTHERMOÉLASTICITÉ D B S POLYCRISTAIX CuAlBe IV.4.1- INTRODUCTION TV.4.2- SUPERÉLASTICITÉ IV.4.3 . FLUAGE ANISOTHERME TV.4.4 - INFLUENCE DE LA VITESSE DE SOLLICITATION IV.5. CONCLUSION
  rv nÉrÉnnNcns BIBLToGRAPHIQUES
  1lE page 119 page 119 p. 122 p. 125 p. 126 page 126 p. t27 p.
  .p.r32 . . . . . . . . . . .1. p3.6
  139 page p.139 141 p. 145 p. 151 p. 152 page 154 page
  CHAPITRE V: Résultatsnumériquespour 156 Page desalliagesCuZnAl et CuAlBe 158 page
  V.l .INTRODUCTTON
  -4- Sommaire
  Y.2 .
  COMPORTEMBNT SUPERTHERMO. Ér,asrreuE page 159 V.2.1- CAS DESALLIAGES DE TYPECuZnAl p. 159 V.2.I.l Données utilisées 159 V.2.I.2 - Résultats l6l V.2.2 CAS DES ALLIAGES DE TYPE CuAlBe p. 165 ' V.2.2.1- Donnéesutilisées 165 V.2.2.2 Résultats 167 V.2.3 . INFLUENCE DE LA VITESSE DE SOLLICITATION V.2.3.1- Casdesalliagesde typeCuZnAl V.2.3.2- Casdesalliagesde typeCuAlBe V.2.3.3- Conclusion V3 - ÉTUNN MICROSTRUCTURALE V.3.I - INTRODUCTION v.3.2 - CINÉTTQUE ET OÉF'OnNAATTON DE TRANSFORMATION V.3.2.1-Cinétique Y.3.2.2- Déformationmoyennede transformation V.3.3 - COMPORTEMENTINTRAGRANTJLAIRE V.3.3.1- Répartitiondescontraintesinternes V.3.3.2- Déformationdesgrains V.3.4 - ÉVOITMON DE LA MICROSTRUCTURE V.3.4.1- Nombrede grainsactifs V.3.4.2- Nombrede variantesactives Y.3.4.3 - Évolution des variantespendantle chargement V.3.5 - INFLUENCE DE LA MATRICE D'INTERACTTON V.3.6. CONCLUSION
  p. r72 173 174 176 page177 p. 177 p. 178 178 181 p. 183 184 ' 192 p. 198 198 200
  206
  nÉrÉnnNcns BrBLrocRApHreuEs v
  p. 214 p.217 page 219
  CHAPITREVI: Conclusion
  Page22I
  ANNEXES
  Page224 -5- CHAPITREI : Introduction
  CHAPITREI: - Introduction-
  L'effet mémoirede forme est connudepuisles annéestrenteet si cette étonnantepropriétéfait depuisI'objetd'uneconstantecuriosité,I'usagedes alliagesà mémoirede forme (AMF) resteencorepeudéveloppé.En effet, il aurafallu attendrela fin desannéessoixantepour voir seconcrétiserles premièresapplicationsindustriellesde cet effet.Cesapplicationssontalors souventtrès pointues,entraînantune productionmarginale:manchonsde ou plots amortissants raccordementpour tubuluresdansI'aéronautique, sécuritésthermiquespour la surveillancede systèmede chauffagedansles centralesnucléaires,certainestechniquesmédicalesles emploient égalementpour desagrafesou desimplantsdentaires.Le développement industrielde cettetechnologieest assezlent et très peud'applicationsont débouchésur uneproductionde masse[B94]. pourtant, les AMF possèdentdes propriétéstrès particulièresqui leur permettraientd'occuperde nouvellesfonctionset ceodansde nombreux La plus médiatiquede ces propriétésest domainestSSSTltFST]tPBgQl. I'effet mémoire:les AMF sont en effet capablesde retrouverlew forme initiale après une déformation mécaniqueou thermique largement supérieureà la déforrrationéIastiqueou à la dilatationthermiqueclassique des métaux. Les alliages à mémoire de forme sont également c'est à dire qu'ils sont capablesde s'allongerde superthermoélastiques, jusqu'à107odansle casde monocristaux) manièreréversible(de3 à S%o,et sous I'effet d'une contraintemécaniqueou d'un refroidissementsous contrainte.L'effet caoutchoutiqueest une autre de leur propriété:pour lorsqu'unalliageà mémoirede forme certainesconditionsde température, une défonnationrésiduelle subit un étirement,il conserveau relâchement qui augmentesi le matériauest de nouveauétiré puis relâché.Les AMF
  -6- CHAPITRE I : Introduction
  présententégalementd'importantescapacitésd'amortissementdes chocs ou d'affénuationdes vibrations mécaniques. Toutes ces propriétéssont liées à une transformationde phaseàl'état solide lJcgzl au cours de laquelle une phasemère (austénite)donne naissancede manière cristallographiquementréversible à une phaseappeléemartensite tCOC79llO9OllBP94l.Les mécanismesélémentairesde déformationliés à cette transformation (responsablesdu comportementmacroscopique)ainsi que les propriétésqui en découlentsont rappelésau chapitre II. On constateque c'est pour I'essentiella superthermoélasticité qui est à la base des développementsindustriels liés à I'utilisation des alliages à mémoire de forme lDZ90l. L'orthodontie, I'habillement, la lunetterie, les articles de sport sont autant de secteursoù une ou plusieurs applications ont vu le jour. Pendant longtemps, le prix des alliages, des problèmes métallurgiqueset la méconnaissance de leur comportementont constitué des obstaclesà ce développement.De nombreuxprogrèsont été réalisés depuis le milieu des années80. L'élaborationet la transformationde ces alliages sont maintenantmieux connues,les prix ont baisséde manière significative et de nombreuxaspectsde leur comportementsont maintenant modélisésde façon satisfaisante.La complexité desphénomènesphysiques à I'origine de ce comportement et la diversité des échelles où ces phénomènesagissentjustifient I'emploi des méthodes modernes de transition d'échelle pour modéliser ce comportement.Ces méthodesont déjà connu de nombreux succèsdans la modélisationd'autresclassesde comportement et sont particulièrement bien adaptées aux matériaux macrohomogèneset microhétérogènestBZ84ltBZg3l. Le modèle autocohérents'est montré très bien adaptéà la modélisation des trajets de chargementisothermedansles alliages à mémoire de forme (modélisation du comportementsuperélastique[PEB941). Ce travail s'inscrit dans la poursuite de cette démarcheen simulant la réponseobtenueen fluage anisotherme(cycle thermique sous contrainte appliquée constante). Le chapitre III traite de la modélisation du comportementsuperthermoélastique desalliagesà mémoire de forme, et en
  7- CHAPûRE I : Introduction
  permet Une approchemicromécanique particulierdu fluageanisotherrne. du de rendrecomptedu comportementmonocristallin.Le comportement polycristal est obtenu à I'aide de la méthodede transition d'éche|le autocohérente.La prise en compte du caractère exothermique (rirartensite(endothermique)de la transformationausténite-martensite austénite)permet de prendre en compte I'influencede la vitesse de superélastique' déformationsur le comportement (CuZnAl) Jusqu'audébutdesannées90, lesalliagescuivre-zinc-aluminium fournissaientI'essentieldes applicationsindustriellespour les alliagesà basede Cuivre lflgzl.Actuellement,I'alliagele plus prometteurdanscette classede matériaux est I'alliage de type cuivre-aluminium-berylium mécaniques'sa stable,bonnescaractéristiques (CuAlBe): comportement déformationde transformationaffeint6Vopourle polycristal.Un alliagede au chapitreIV' Le Laboratoirede ce type est caractérisémécaniquement physiqueet MécaniquedesMatériauxde I'Universitéde Metz a développé une techniqueoriginale d'élaborationde fil monocristallin qui permet d'obtenir le même alliage à la fin sous forme de monocristauxet de mécaniqueplus polycristaux.Cettetechniquepermetune ca.ractérisation complètedu matériauqui est très bien adaptéeà la validation d'une approchemicro-macro. Les résultatsnumériqueset expérimentauxsont ensuiteconfrontéset confortentle choix de la modélisationcar ils sont en accord sur de nombreuxpoints. Cette comparaisonfait I'objet du chapitreV' Dans ce chapitre,d'autresrésultatsrelatifsà la cinétiquede la transformationou au comportementintragranulairesont égalementexploités,ce qui fait du schémade modélisationun outil puissantet très utile à la compréhension des mécanismesde la transformation,parallèlementà I'observation cristallograPhique. Le chapitreVI concluece travail.On y retrouveles thèmesimportantsdes décrits,les résultatsscientifiquess'y rapportant'les travauxprécédemment -8- CHAPITRE I : Introduction
  possibilitésd'évolutionet une vision future de la continuitédestravaux.En effet, si la modélisation du comportement superthermoélastiquedes alliages à mémoire de forme est une étape essentielle dans le développement de ces matériaux, on pense aussi au problème de I'adaptation des modèles de comportementà I'industrie, par I'introduction dans un code de calcul de structure par exemple tc95l. parallèlement, l'étude de matériaux tels que les TRIP-steelpassepar une connaissance approfondie du comportementdes alliagesà mémoire de forme tB96l. On trouve en annexesdes calculs qui ne sont pas développésdans le corps de ce mémoire et les thèmesliés directementà l'écriture inforniatique et à sesparticularités spécifiques.
  -9- CHAPITREI : Introduction
  - Références bibliograPhiques tB94l
  BordeY., "Lesalliagesà mémoiredeforme", dansIndustries no755(1994) et Techniques,
  tB96l tBP94l
  BumbielerF., Thèseencours,Universitéde MeTz(1996) des BerveillefM., Patoor8., "PropriétésThermomécaniques Alliagesà Mémoirede Forme",dansTechnologiedesalliages à mémoirede forme,Éd. HeT tès,Paris(Igg4)
  lBZ84l
  BerveillerM.,zaoui A., "Modettingof thePlasticBehaviorof Media,,,J.Eng.Mat. andTech.,106,pp.295Inhomogeneous 299(1984)
  tBzg3l
  tCOCTgl
  Berveiller M., Zaoui A., "Modélisationdu Comportement Ch. de,Formation MécaniquedesSolidesMicrohétérogènes", Cluny (1993) AvancéedeMéc.desPolymères, CohenM., OlsonG.B.,ClappP.C.,"On the Classiftcationof Displacive Phase Transformation",Proc. ICOMAT'7!, Cambridge(MA), MIT, PP.1-11 (1979)
  IDZg}l
  Duerig T.W., ZadnoG.R., "An Engineer'sPerspectiveof dansEngineeringaspectsof ShapeMemory Pseudoelasticity", Alloys, ButterworthHeinemannPub., Londres,pp.369-393
  (1eeO) ISBN0-750-61009-3 tF87l
  FremondM., "Matériauxà mémoiredeformel C.R. Acad' Paris,T304,SérielI,7,pp'239-2M(1987) Sciences,
  tc95l
  simplesen alliage ù d'éléments Gillet Y., "Dimensionnement mémoiredeforme",Thèse,UniversitédeMetz(1995)
  -t0- CHAPITRE I : Introduction
  lH92l
  HornbogenE., "Alloys with shapeMemory - New Materiars for the Technologyof the Future ?", dansprogressin shape memoryalloys,Éd. S. Eucken,Allemagne,pp.3-22 (lgg2) ISBN3-88355-178-3
  UC92l
  JenaA.K., chaturvediM.c., dansPhasetransformationsin Materials,Éd.PrenriceHall,U.S.A.(lgg})
  rsBN0-13-663055-3 to90l
  otsuka K., "crystallographyof Martensitic Transformations andInttice InvartantShears",dansMartensitictransformation II, Éd. by Muddle8.C., pp.393-404 (1990) rsBN 0-87849-610-6
  tPBgOl
  PatoorE., Berveiller M., dansLes alliagesà mémoire de forme,Éd.Hermès,Paris,65pp. (1990) rsBN 2-86601-236-4
  tPEB94l
  Patoor E., EberhardtA., Berveiller M., "Micromechanical Modelling of the ShapeMemory Behavior", procs ASME WAM'94,ChicagoI.L., AMD- 189/PVD-292,pp.22-37(1994)
  tSS87l
  Suzuki Y., SekiguchiY., "Applicationsof ShapeMemory Alloys", dans Shaoememory alloys, Gordonand Breach Science Publ.,1, pp.176-269 (1987) rsBN 2-88124-136-0
  - II - CHAPITRE II : Étudebibliographique
  CHAPITREII: - Étudebibliographique.
  II.1 - INTRODUCTION
  14 Page
  rr.2- c Aru\crÉTsrIQI JESCÉNÉnel-gS DES ALLIAGES À VIÉUOIREDE FORME Page14 rr.z.r - RAPPELsuR LEs pm'rÉnENTS 15 COMPORTEMENTDES SOLIDES l5 simples ll.2.l.l - Comportements r6 complexes I1.2.I.2- Comportements liés aux transformations ll.2.L3 - Comportement t6 de phase tr.2.2- LA TRANSFORMATIONMARTENSruQIJE 17 - Classification 18 11.2.2.1 - Mécanismes 24 de déformation 11.2.2.2 27 n.2.2.3- Diagrammed'état T1.2.3- COMPORTEMENT DES ALLIAGES À .28 VTÉIUONEDE FORME 28 f.2.3.1 - Effet mémoiresimplesens - Effet mémoiredoublesens 29 11.2.3.2 30 1I.2.3.3- Effet caoutchoutique 31 n.2.3.4- Pouvoiramortissant - Superthermoélasticité 32 11.2.3.5 1I.2.4 . DIFFÉRENTS TYPES D'ALLIAGES ET DOMAINES D'APPLICATION
  -12- CHAPITRE II : Étudebibliosraphique
  MOD ÉTISATION II.3 DU COMPORTEMENT DES ALLIAGES À DE MÉMOIRE FORME: LEs NNTÉNENTES APPROCI{ES Page 40
  É
  :,m
  II.3.I - OBJECTIF
  prmNOMeNOLOcrQr.IES: n3.2 - LESAppROCrmS LE MODÈTN BOURBON LEXCELLENT
  41
  II.3.3 - LES APPROCHES PAR TRANSITION
  o'Écrmtte II.3.3.1- L'approche de Sun 1I.3.3.2- L'approcheutilisée
  r,.4 - CONCLUSION
  46 47 51
  Page 55
  nÉTBnBNCESBTBLTOGRAPHTQTJES tr Page 57
  -13- II : Étudebibliographique CHAPITRE Dans ce chapitre, nous abordons en premiër lieu les caractéristiquesgénéralesdes alliages à mémoiredeforme et de Ia transform.ationmartensitique. En secondlieu, on discute des dffirentes approches tiées à l'élaboration de modèles de comportementpour ces mntértaux-
  ILl - INTRODUCTTON Les alliagesà mémoirede forme sontdesmatériauxà vocationindustrielleAinsi, unenonneAFNOR tA9ll définit le vocabulaireutilisé pour décrire les divers paramètresdécrivantla transformationmartensitiquedansles leur maîtrisepassepar la AMF. Commepour tousles matériauxmodernes, difficultés.Dansle casdesalliagesà mémoirede résolutionde nombreuses forme, la cristallographie,la métallurgie,la thermodynamiqueet la mécaniquesont autantde domainesque I'on doit pouvoirmaîtrisersi I'on veut entreprendrela mise en oeuvre de cette nouv.elletechnologie préalable à toute tH92ltPB90l. La première partie de ce chapitre, a pourbufi modélisationdu comportemento . de préciserles mécanismesqui sont à la basedu comportementdes alliagesà mémoirede forme. de ce comportement.On . de dégagerles principalescaractéristiques s'attarderaplus particulièrementsur la propriétéqui constitueI'objet de ce mémoire:la supertherrroélasticité.
  rr.2 - CARACTÉRISTIQUESCÉNÉRALES DES
  DE FORME ALLIAGES À TVTÉUOIRE
  Cette section commence par rappeler les différentes classes de comportementobservéesdansles solidestLCS2l. On abordeensuiteles
  -14- mécanismesde déformation liés à la transformation martensitique [N7g]. Les différents aspectsde ce comportementsont présentésen troisième partie [SS87]tBW4l.
  II.2.I - RAPPELSSUR LES DIFtr'ÉRENTS COMPORTEMENTSDES SOLIDES U2.1.1- Comportementssimples En phase solide, on distingue généralement. trois types de comportements simples:l'élasticité,la plasticitéet la viscosité.
  II Élasticité
  E]
  F
  z Éos
  z o
  U
  gP
  uÉnonuenoN Fig. II-1: courbe de traction érastoplastiqued,un matériau solide classique. l^a limite érastique o, sépare l,élasticité (a) de la plasticité (b). (a) Très souvent, l'élasticité se traduit par une relation linéaire entre la contrainte et la déformation. C'est une déformation réversible, après déchargecomplète aucunedéformationrésiduellene subsiste. (b) La plasticité apparaîtlorsque la contrainte dépasseun certain seuil o5 (limite élastique).La déformationqui en résulte n'est plus complètement
  -15- CHAPITREII: Énde bibliogran' :''
  ePlorsquela réversible,le matériauconserveunedéformationpermanente contrainte est relâchée(fig.Il- I ). (c) La viscosité est classiquementobservéequand le comportement du matériau dépendde la vitessede déformation è-
  on peut adjoindrela dilatationthermique. À ces trois comportements, Souvent,la relation entrela déformationthermiqueet la températureest linéaire. prochede la linéarité,on parlealorsde thermoélasticité U.2,1.2- Comportementscomplexes plusieursdes La courbede tractiond'un solideprésentegénéralement comportementssimples cités précédemment;on parle alors d'un comportement complexe tel l'élastoplasticité(fig.II-1) ou la Les problèmesde mise en forme des matériaux viscoélastoplasticité. de cescomportements (laminage,fluage)imposentunebonneconnaissance il faut garderà I'espritquela majoritédessystèmes complexes.Cependant, en servicedansI'industrien'utilisequele domaineélastique(l). mécaniques Cela ne permetpas de déformationréversiblesupérieureà O,2Vopour les métauxusuels.De même,la dilatationthermiquen'excèdepas0,0017ode plus complexesexistent déformationpar degré.D'autrescomportements de phasede cependantdansles matériaux:ils sontliés auxtransformations l'étatsolide. fr2.1.3- comportementsliés aux transformationsde phase On utilise depuis très longtemps les propriétés obtenues par transformationde phaselors de l'élaborationdes matériaux(traitement thermique par exemple) mais le mécanicien ne slintéresseà ces phénomènesque depuis peu. Ainsi, lorsqu'en 1936, des chercheurs découvrentun alliage capablede changerde forme puis de la retrouver sous I'effet d'une faible variation de température(20 à 30 degrés),on à s'intéresserde plus près à une transformationde phase (1) Exempled'unélémentautomobileQongeron, portière,capot)-.L'élémentestemboutid'unemanière plecise tout en conservantles propriétésmécaniques-(résistance, forme une lui donner de complexe^afin Ouretq. Une fois en servicesur le véhicule, une intrusion dans le domaineplastiquedu matériau ou saréparation. sonchangement l'élémentet nécessite inéversiblement endommage
  -t6- fut observéesur de nombreuxalliagesmétalliqueset on imâgina alors I'utilisationdespropriétésdestransformations de phasependantI'utilisation de systèmesmécaniques (et non plus seulementlors de l'élaborationdes matériaux).Même si cet "effet mémoire"est la plus spectaculairedes propriétésdesalliagesditsjustementà mémoirede forrne,il estrestrictifde ne considérer que cet aspect. La transformationmartensitiqueest responsable d'autrespropriétésqui rendentcesalliagesintéressants d'un point de vue industriel IB94llDZ90l: I'effet caoutchoutique,le pouvoir amortissantet la superthermoélasticité. À ce jour, la plupart des applicationsindustriellesutilise cettedernière,sur laquellenous allons nousattacherplus particulièrement dansce mémoire.
  I.2.2 - LA TRANSFORMATTON MARTENSTTIQT E
  .
  À I'origine, la transfonnationmartensitiquedésignela transformationde phaseayant lieu dansles alliagesfer-carbonelors d'un refroidissement rapide aprèsune phasede stabilisationà haute température.Dans ces aciers, on nomme "austénite"la phasestableà haute températureet "martensite"(en I'honneurdu métallurgisteallemandAdolf Martens) la phaseissuede I'austénitepar la transformation martensitique, stableà basse température. Parextension,la transformation martensitiqùe a plus étéreliée au mécanismequ'auproduitde la transformation lui-même.Ainsi, le terme de transformationmartensitiques'estgénéraliséà de nombreuxsystèmes dont les transitionsde phasepossèdent lescaractéristiques typiquesde celle des aciers.C'est le cas non seulementde certainsalliagesà basede fer (Fecr, FeNi,),à basede cuivre (cuzn, cuAl, cuzn*, cuAlBe) mais égalementde certainsmétauxpurs (Co, Ti, Cr,), de certaines céramiques(Zro) IK90l et de certains polymères.L'étude de cette transition de phase a permis de dégager un certain nombre de caractéristiques qui la distinguentdes autrestransformationsen phase solide des matériaux.Ces caractéristiques ont servi à établir une classification proposée parcohenet al. en 1979tcoc79](fig.ll-2). -t7- CHAPITREII: Euàe bibliograPhiouz
  Déformation de Bain etmorphologiecinertqae
  ondes de déplacement(shufflel Energie interfaciale
  Transfonlationdoninée Par-
  TransforrrationsPar shuffle
  Ençie
  de déformation
  TransformationsPardéformation homogènedu réseau
  Existenced'un plan invariant
  Pas de ligne invariante
  à Transformations dominantedéviatorique
  à Transformations dominantedilatométrique
  (vibrationdu réseau)
  Trnsfonrution _ dominézpar
  Energiede déformation (distorsiondu réseau)
  dephasedisplacives(sans Fig.II-2: Classiftcationdestransrormations propàséepar Cohen,olson et ClapptCoCTgl' Wl 1.2.2.1' Classification La transformationmartensitiqueest une transitionde phaseà l'état (également solide qui fait partie des transformationssans diffusion structuralpendant appeléesdisplacives).Elle conduità un changement -I8- lequel les atomes se déplacentsur de faibles distances,inférieures à la distanceinteratomique,et selon un modecoopératif.
  Les transformationsdisplacivessont décritescommeune combinaison d'une déformationhomogènedu réseau(ou déformationde Bain) et de shuffle, termeanglo-saxondésignantle résultatde I'action sur les atomes d'ondesde déplacement(fig.Il-3). Le premiermécanismesedéfinit par un changementde taille et de forme de la maille élémentaire,entraînantune augmentationde l'énergiede déformationélastique(fig.Il-3d). Dans le secondmécanisme,seulela distributiondesatomesà I'intérieurde la maille changeet altèrela structureet la symétriedu cristal (fig.Il-3b). Dans les deuxcas,uneinterfaceséparantles deuxphases(mèreet.produit)est créée et produituneénergieinterfaciale.
  t(
  I I
  { I
  ,r--
  Fig.II-3: Illustration schématique des deux mécanismes intervenqnt dans les transformations displacives: (a) Déformation de Bain, (b) Shffie.
  Les morphologies caractéristiquesde la martensite observée expérimentalementsont manifestementassociéesà l'énergie de -t9- CHAPïïRE II: Etudebibliographique
  .
  déformation[VDK74]tN78l et entraîneque la déformationde Bain est martensitique. associéeà la transformation Parmi ces transformationsdominéespar une déformationhomogènedu réseau,il faut distinguerle modede déformationprincipal.Dansle casoù la déformationest à dominantedilatométrique(fig.Il-4b), il nlest pas Au contraire; possiblede trouverun vecteurinchanEépae la transformation. le volume obtenu aprèsun cisaillementpur (déformationà dominante déviatorique,fig.Il-4a) intersectele volumeoriginel,impliquantI'existence pendantla transformation. de vecteursdontla normeresteinchangée Déformation à dominante
  Maille unité mère
  ^yN* V'=V
  b)oi VolumeV
  v'> v (ou V' < V)
  Fig.II-4: Représentationschématiqueles contributions diviatorique (a) et dilatométrique(b) d'unedéformation de Bain. pendant [a transformationmartensitique,la variation de volume est généralementfaible et il existeuneinterfacecommuneaux phasesmèreet IJC}?|. De ce fait, on martensitique(invarianteà l'échellemacroscopique) impliquant dansles transformations classela transformationmartensitique
  -20- CHAPIRE II: Étudebibliolraphiaue une déformation à dominante déviatorique, avec exi'stenced'un plan d'accolement(ou dhabitaQ entre les phasesmèreet produit.
  Parmi cestransformations, on peutencoredifférencierles transfonnations quasi-martensitiques dont I'amplitudedesdéplacements dueaux vibrations du réseauestgrandepar rapportà celleinduitepar la distorsiondu réseau. En résumé, les caractéristiquesessentiellesde la transformation martensitiquesontles suivantes: L' C'estune transformationsansdiffrrsion.Il n'y a pasde modification de la compositionchimiquedu matériauet elle progrebse d'unemanière indépendantedu temps(le mouvementde I'interfaceenhela phasemère et la phaseproduiteest simplementlimité par la vitessedu son dansle matériau) 2' Elle implique une déformationdu réseaucristallin qui conduit à un changement de formemacroscopique caractérisé par (fig.Il-5): - unefaible variationde volume(danslesAMF). - un cisaillementimportantselonun plan et unedirectionbien définis.
  I I t--_____
  '
  Phasemère
  Fig.II-S: Représentation sckématique du changrment .Jorm, macroscopique associéà l'apparitiond'unevariantede mnnensite. 3. La transformationest associéeà une diminutionde symétrie:en conséquence, différentesvariantesd'orientationéquivalentesontformés [vDK74]. un monocristalde phasemère se transformeen une ou plusieurs variantesséparéespar des interfaces(fig.Il-6). Afin de minimiserl'énergied'interactionentrela martensiteforméeet I'austénite -21 CHAPITREII: Énde bibliosraphique
  encore présente,ces variantesont généralementla forme de plaquettes aplatiesdont le plan principal est le plan d'habitatou plan d'accolement. Ce plan et le plan de cisaillement de la martensitesont généralement bien définispour une classed'alliage.
  Fig.ll-6: Micrographie et représentation schénnti Et e d'une transformationpolyvariantecwec MI, M2, M3 trois variantes de martensite et l'austéniteIP890].
  4. La transformationmartensitiquedémarreponctuellementpar desinterfacesqui a lieu par déplacement nucléation.La croissance d'interface convertitla phasemère en martensite.Ce déplacement produit des frictions avec le réseau cristallin qui entraînent une dissipationintrinsèque.Cette dissipationest à I'origine de la différence (directe) entre les températuresde transformationsausténite-martensite et martensite-austénite(inverse). La transformationmartensitique d'un phénomèned'hystérésis. s'accompagne
  les 5. C'estunetransitionde phasedu premierordre.En conséquence, accompagnées directeet inversesont respectivement transformations d'un dégagementde chaleur (transition exothermique)et d'une absorptionde chaleur(transitionendothermique)(fig.Il-7).
  -22- CHAPITRE I I : Etude bibliosraphique
  Clmleur dégagée
  Quantitéde chaleurÂQ
  Chaleur absorbée
  Fig.II-7: Quantité de chaleur AQ dégagëependant une transfonnation nnrtensitique lors d'un cycle thermique à contrainte nulle. Mesure par calorimétrie dffirentielle à balayage (DSC) obtenue par Hautcoeur A. - LPMM Université de Metz tH96l. 6' Comme pour tout changementd'état,la contrainteet la température agissentsur la transformationmartensitique.Ces deux quantitéssont les variables thermodynamiques extérieures qui transformation.
  contrôlent la
  Cependant,la transformation martensitiquene produit pas d'effet mémoire dans tous les matériaux. Pour ceci, il faut que la transformation soit thermoélastique,c'est à dire qu'elle ne mette en jeu que des phénomènes élastiqueset ne provoqueaucunedéformationplastiquede la phasemère. Dans ce cas,la transformationinversese déroulepar mouvemeritsinverses des interfaceset non paspar nucléationde I'austénitedans la marterlsite. Finalement,c'estune "transformationde phasedisplacive thermoélastique du premier ordre caractériséepar une déformationhomogène du réseau
  -23- à I'origine du comportementparticulierdesalliagesà mémoirede forme. desvariantes de déforrrationliés à la croissance L'analysedesmécanismes de martensitepermetd'en déduireun certainnombrede caractéristiques particulières. L.2.2.2 - Mécanismesde déformation La transformationmartensitiqueconstitueun mode de déformation du réseaucristallin.Ce changementde ayantpour origineun changement de contraintesinternes réseau,appelédéformationde Bain; s'accompagne très importantesdues à la coexistencedes deux phasespendant la transition.Pourrelaxercescontraintesinternes,on innoduitun mécanisme à réseauinvariant.Cettedernièredéformationpeut être d'accommodation un glissementpur, un maclageou une combinaisonde glissementset de maclespouvantseréalisersoit dansI'austénite,soit dansla martensite.En n'assuretoujours I'additionde cesdeuxdéformations grandesdéformations, par pasI'invariancedu plan d'habitat.Une transformationsupplémentaire rotation est donc nécessairepour décrire totalementla transformation globale(frg.tr-8). glissement
  Bain
  *
  maclage
  -+ Réseau
  invariant
  + Rotation
  A
  M
  AM
  Fig.II-\: Décompositionde la transformation-martensitique en Ecanismes de déformationsimples:déformationde Bain, déformation à réseauinvariantet rotation. -24- CHAPITRE II: Étude bibliosraphiq ue
  Finalement, la déformation macroscopiquequi en résulte se composed'un glissement parallèle au plan de I'interface et d'une extension perpendiculaireà ce plan (fig.Il-9).
  Plan dhabitat
  F ig. I I -9: Caractéristiquescristallographiques associées à laformntion d'une variante de mnrtensite. Ainsi, la théorie phénoménologiquede Weschler, Lieberman et Read [WLR53] permet de déterminer à partir des mesures cristallographiques effectuéessur les deux phaseset la donnéede la déformation à réseau invariant, les caractéristiquesde la transformationqui sont tSWTgO]: ' La normale n au plan d'accolementséparantI'austénitede la martensite .
  La direction de transformationm
  .
  L'amplitude de déplacementg suivant la direction m
  .
  Les relations d'orientationcristallographiqueentre les deux phases
  Ce mécanismeest à la basedes différents comportementsobservésdansles alliages à mémoire de forme. Selon le nombre,la natureet la séquencedes cycles de chargement thermomécaniques,on distingue des classesde -25- II: ÉtudebibliograPhiaue CHAPITRE mais comportementcorespondant à des mécanismesphysiquesdifférents faisant toujours intervenir la transformationmartensitique.De nombreuses cas de observationsexpérimentalesIDDATS]IGS6I ont montré que, dansle la plasticité de transformation pure (transformation martensitique en I'absencede plasticité classique),les mécanismesde déformation sont au nombre de trois: formation de martensiteorientée,formation de structures et réorientationdesvariantes(tab.Il- I 0)' autoaccommodantes
  n*H*fl
  Formation (réversible) de martensite orientée Par des (i)
  contraintesinternesou appliquées. â Transformation avecdéformation macroscoPique
  l*H*ffi
  (ii) Dans certains sYstèmes,les variantes s'arrangent de telle manière que les changements de
  forme s'accommodentmutuellement â Transformation sansdéformation (lors d'un refroidissement sans macroscoPique
  contrainteappliquéepar exemple).
  (iii) Réorientation Partielle et réversible des variantes Par applicationdescontraintesexternes.
  ffi*Ë*fl
  =à Déformation macroscopiquesans transformation
  Tab.II-10:Mécanismesde déformationélémentairesintervenantlors 7,u*t,onsformationmarteniitiq,,.AestI,austénite,MIetM2deux variantesde mnrtensite. -26- /\
  1r
  .2.3 - Diagrammed'état ï aspectintéressantdes transformationsmartensitiquesest le rôle joué par les contraintesexternes(hydrostatique ou uniaxialepar exemple). La thermodynamiqueet I'expériencemontrent que les températuresde transformationsont affectéespar I'applicationde tellescontraintes.Ainsi, un alliage à mémoire de forme monocristallinse caractérisepar un diagrammed'étatqui indique,selonles valeursde la contrainteet de la températu re,l' étatmicrostructuraldu matériau(fig.tr- I 1).
  E] F
  z ? ù
  zF o U
  Mf
  Ms
  As
  Af
  TEMPERATTIRE
  Fig.II-ll: Diogrammed'étatschémntique pour un AMF monocristallin.Ins lignesMSMS,6#5,) et MJM1 reprësententrespectivementIe début et la fin dè ia transformationdirecte austénite-martensite (inverse mnrtensit e austénite). Lors du chargementde I'alliagemonocristallin(2), la phasemartensitique apparaîtrasur la ligne MSMS'etla transformationseracomplèteau-delàde la ligne MrMr. Enhe cesdeuxlignes,il y a coexistence desdeuxphases.À la décharge,la transformationinverseseraeffectivede AsAs, à ArAr. La différenceentre les températuresde transformationdirecte et inverse représente I'hystérésis de la transformation ts93l.
  (z/ Le diagramme d'état pour un polycristal n'estpas aussi simple et évident: les températu.", d" début et de fin de transformation ne sont pas aussiclairement définies (voir ch.rv).
  -27 - transformation T dépend de I'entropie de déformation ÂS et de la déformation de transformationgT 1liée à la formation d'une variante) dans la direction de la contrainteappliquée[WBR79]
  do dT
  AS
  ;f
  Remarque: La relation entre dO et dT est constante expérimentalement, ce qui signffie que la quantité thermodynamique ^S est indépendante de la température et de Ia containte. Connaissantla déformation de transformation, les essaisde traction uniaxiale sont très utiles afin de déterminer I'entopie de transformntion.
  Selon le trajet de chargementdans I'espacedes contrainteset de la en déformationtout à fait différentes, on observedesréponses température, ou propriétésqueI'on peut regrouper traduisantdifférentscomportements en cinqclasses.
  - COMPORTEMENTDESALLIAGES À IUEUOIREDE FORME 11.2.3 Les alliages à mémoire de forme présententdifférents types de comportements: effets mémoire simple et double sens' effet Ils présententégalemêntun fort caoutchoutique,superthermoélasticité. pouvoiramortissant. fr23.1- Effet mémoiresimPlesens Cet effet est observélors d'un chargementséquentiel(fig.Il-l2). Un d'une manière matériauà l'état martensitique,déformémécaniquement irréversible,retrouvesaformeinitiale s'il estchauffédansle apparemment domaineausténitique.
  -28- CHAPITREII : Etudebibliosraphisue
  c)
  E
  A (f=0)
  B (f = 1) =
  ET=0 (yD (f = 1)
  f, n ETÉO
  E (f=0)
  En A, l'échantillon estentièrement austénitique, la fractionvolumiquede martensitef vaut 0. jusqu'enB provoquela Le refroidissement transformation complètede l'échantillonpar la formation de variantes et de groupes autoaccommodants, entraînantune déformation detransformation macroscopique ET nulle. L'application d'une contraintefavorise les variantesles mieux orientéeset entraîneune réorientation,déformantl'échantillond'uhe manièreapparemment irréversible. Le retouren phaseausténitique(point E) par réchauffage a pour effet d'annuler la déformationrésiduellepar la transformation -> austénite inversemartensite
  Fig.II-12: a) chargement thermomécanique peftnettentd'obtenir: b)
  I'effetmémoiresimplesens.c) descriptiondesmécanismes.
  1I.2.3.2- Effet mémoiredouble sens Cet effet se manifestelors d'un cycle thermiquesanscontraintes appliquéesaprèsque le matériauait subi un traitementd'éducation.Cette éducationconsisteà modifierl'étatinternedu matériau(parpiégeagede la martensiteou augmentation de la densitéde dislocation[RG87]ISVD92]) -29- CHAPITRE II : Etudebibliographique
  On obtientainsi un champde au moyende traitementsthermomécaniques. contraintesinternesspécifiquequi oriente les varianteset entraîneune déformationmacroscopiquede transformationlors d'un refroidissement sanscontraintesappliquées(fig.Il- I 3).
  Fig.II-L3: Représentationschématiquede l'ffit mémoire dàuble sens. a) Exemplesde traitementsd'éducation(en pointillés gras) et chargement (en trait fin) permettant d'obtenirl'ffit mémoiredoublesens(b). Le matériaupeut alorsprendredeux étatsstablespar simplevariationde température. II.23.3 - Effet caoutchoutique estmoinstié à la transformationmartensitique L'effet caoutchoutique La phasemartensitiquese elle-mêmequ'auproduitde cettetransformation. caractérisepar I'existencede nombreusesinterfacesentre variantesde martensite.Si une contrainteinférieureà un certainseuilest appliquée,le un caractèreréversible.Ceci entraîne mouvementde cesinterfacespossède que pour une contraintedonnéeod, la déformationtotalee est nettement supérieureà la déformationélastiquere de la martensite(fig.Il-l4). Cet effet est désignépar effet caoutchoutiqueou, dans certains cas' par parréorientation. pseudoélasticité
  -30- CHAPITRE II: Ende bibliographique
  -Jr--->
  i-e3l- rreor-l
  E
  Fig.II-L4: Représentation schémntique de l'ffit caoutchoutique. a) Chargementmécaniqueet b) Résultat. n23.4 - Pouvoir amortissant Cet effet est directement relié au mouvement des interfaces austénite/martensite et martensite/martensite. En effet, un échantillon martensitiqueconsisteen un grand nombrede domaines(ou plaquettes) d'orientationscristallographiques différentesqui sontmobilessousI'action d'une contrainte. La friction associéeau mouvementréversibledes interfacesentraîneune transformationirréversibled'énergiemécaniqueen énergiethermiquedissipée.Ceci est la causedu fort pouvoir amortissant 6.s alliagesà mémoirede forme(fig.Il-l5). On observe,par exemplelors d'oscillationsmécaniqueslibres, une diminutionde I'amplitudedesoscillationsen fonctiondu temps(fig.Il-l5a). Si ^W est la perte d'énergiepar cycle et W l'énergieméianique du système,on définit le ffottementintemeF par: F_
  1 ^\ry 2n V/
  Le facteur de qualité Q (F=Q-1) prend des valeurs très différentesen fonction de l'état cristallographiquedu matériau:c'est pendant la transformationmartensitique qu'il estle plusimportantcar il estassociéau mouvementdesinterfacesentreausténiteet martensite(fig.Il-lsb).
  - 3t - CHAPITRE II : Etude bibliographique
  q-t a) Amplituded'une sollicitationmécanique
  r0-2 5.10-3
  Martensite
  104 de l'ffit amortissantdesalliagesà mémoire F\g.II-LS:Représentation deforme. II.2.3.5 - Superthermoélasticité est observé lorsque la Le comportementsuperthermoélastique transformationest assistéepar une contrainteappliquée.Lors d'un essai ou d'un cycle thermique (fluage mécanique(essai superélastique) anisotherme),la transformationmartensitiqueest responsablede déformationsde plusieursordresde grandeursupérieursà celles des et ce,d'unemanièrerecouvrable(fig.Il-13). alliagesclassiques, a) Superélasticité: La températurede I'essain'influe pas sur la déformationmaximaleeC OB,OC,ODet OE:plus la mais sur lescontraintesseuilsde transformation estélevée,plus cescontraintesle sontégalement. température du temps,la Bien que la transformationmartensitiquesoit indépendante vitessede déformationpossèdeune forte influencesur le comportement superélastique.Lorsque celle-ci augmente,la contrainte seuil de transformation(oB) et la pentede transformation(ligne BC) augmente également.Au contraire, I'hystérésisde la transformationdiminue tDDA78l. Cet effet est lié à la chaleur latente de transformation, (fig.Il- I a). d'uncouplagethermomécanique responsable
  -32- CHAPITRE il : É,tudebibliopraphiaue
  a) T=Ti
  t
  * De O à A et B: Thermoélasticité classiquede I'austénite. x De B à C: Créationet croissance desvariantesdemartensite. * De C à C' et D: Thermoelasticité classiquedela martensite. t De D à E: Retourpseudoélastique desvariantes. * De E à O: Retourthermoélastique deI'austénite.
  EjS.II-L3: Représentationde l'effet superthermoélastique dans lè cas d'un essai de superélasticitéisotherme(a) et d'un àssai de fluage
  anisotherme(b) sur un monocristal.
  Chargement imposé
  E
  Chargement réel:l'échantillon (transformation s'échauffe exothermique)
  MS 1i
  T
  Fig.II-14: Représentation schématique du couplage thermomécaniquedu à la chaleur lat ente de transformntion.
  -33- de l'échantillon.S'il s'agitd'un.monocristal,un naturecristallographique essai de traction occasionneI'apparitiond'une unique variante de martensite[DKT74] qui entraîneune déformationréversiblepouvant arteindrel0-l (fig.Il-15). Au contraire,dans un polycristal,plusieurs danschaquegrain, entraînantune déformation de variantesapparaîssent plus faible,pouvantatteindrejusqu'à6l0-2 (fig'Il-16)tsl' transformation
  Fig.ll-|5: Éprouvettemonocristallineavant et après transforntation ,n itartensitesousl'ffit d'unecontainte(d'aprèsDominiakS' ffi-tt, - LPMM - (JniversitédeMetz). des ($II.2.l.l) représente 6)Bupp91la rhermoélasricité linéairedesaciersou alliagesclassiques par (essai traction de isothermes pour chargements des d'environ1g-3 révcrsibles déformations exemple)ou de | Û5 K-l lorsde variationsde tempéralure'
  -34- CHAPITREII:
  500um Fig.ll-16: Micrographies montrant la croissance de Ia phase nmrtensitiquedans un polycristal de CuAIBe (d'après A. Eberhardt LPMM - Universitéde Metz). -15 CHAPITRE II: ûude btbl
  b) Fluageanisotherme: Les températuresde transition augmententlorsque la contrainte appliquéeaugmente.La déformationmaximale de transformationest égalementfonction de cettecontrainte.Pour descontraintesimportantes, on obtientune déformationsimilaireà celle obtenuelors d'essaisde Si les contraintessont faibles,on observeI'apparitionde superélasticité. (fig.Il-17) qui font chuterla varianteset de groupesautoaccommodants déformationde transformation.
  t+
  100um
  Fig.ll-17: Formation de groupes de variantes .contrainte iîtooaeonttnodantes l.ors d'un refroidissementSoLts nulle (cl,aprèsDominiak s. - LPMM - Universitéde Metz). Là aussi,le comportementdépendde la naturecristailographiquede I'échantillon(fig.II- I 8).
  - 36- CHAPITRE II : Étude bibliosraphiq ue
  l0-r Déformation maximale de transformation
  3à610-2
  Contrainteappliquée
  FiS.lI-18: Représentation schématique de Ia déforrnationmnximnlede transformationlors d'essais de fluage anisothermepour un mono et un polycristal. Les applicationsindustriellesde la superthermoélasticité sont multiples: branchesde lunettes,fils et prothèsesdentaires[894].'Cependant, elles recourent principalement à I'effet superélastiqueisotherme. Le comportementobservéen fluageanisotherme n'estpas encoreexploité,le manquede modèleset une certaineméconnaissance du comportementen sontles principauxresponsables.
  11.2.4 - DIFFERENTS TYPES D'ALLIAGES ET DOMAINES D'APPLICATION Historiquement,les alliagesde nickel et de titane(NiTi) sontlçs premiers alliages à mémoire de forme à avoir été utilisés dans I'industrie.La métallurgiede cesalliagesest complexeet leur coût restepar conséquent trèsélevé.Moins onéreux,les alliagescuivreuxsontégalementplus faciles ils résistentassezmal à des à fabriqueret à mettreen oeuvre.Cependant, -37- aluminium-nickel (CuAlNi) ont une meilleure tenue en température d'environ200"C) mais sont plus difficiles à (usqu'à des températures élaborerquelesCuZnAl (tab.Il-l9). TiNi Densitéfte/m3) Résistivité(10-6 Wm)
  Austénite
  CuAlNi CuZnAl
  6500
  72W
  7800
  I
  0.1
  0.07
  0.14
  o.l2
  Martensite 0.8
  470-620 400480
  Chaleurspécifique(J/lcg/K)-
  390
  Chaleur de transformation(J/ke)
  250ae
  8000
  80m
  Moduled'Young(GP4)
  70-98
  80-100
  70-100
  Limite élastique(MPa)
  Austénite 150-300 Martensite200-800 150-300 r50-3m -200/100 -zm,ll70 -2ae1r20
  To de transformation (oC)
  20-30
  20-30
  t0-20
  t5
  l0
  30
  Monocristal
  t0
  10
  l0
  Polycristal
  4
  2
  2
  ("C) Hvstérésis Amortissement(Vo) Déf. de transformation(%o)
  e,t de Tab.II-|9: Propriétés thermomécaniques principaw alliagesà mémoiredeforme tBPg4l'
  pansformationdes
  Les alliages de cuivre-aluminium-béryllium(cuAlBe) développés mécaniqueset une récemmentprésententde bonnescaractéristiques déformationde transformationsupérieureaux autresalliagescuivreux,il I'alliagele plus prometteurauniveauindustriel' estactuellement Les domainesd'applicationdes AMF peuventêtre classésen quatre et amortisseur' superélastique : actuateur,connecteur, classes . Les actuateursélectriquesou thermiquesserventà la productiond'un travail (forceet déPlacement).
  -38- ,CHAPITREII: Etudebibliograi,': .
  Domainesd'application desAMF
  Secteursindustriels
  Actuateurs: Changement de formeet production d'untravail (ressort, lames) - électriques - thermiques
  Contrôle du déglaçagedes
  lignesde hautetension Contrôle du fléchissement des lignes de hautetension
  Disjoncteur Fusiblesréarmables pour transformateur Valveanti-feu Systèmede détection AutomobilelTransport: Activateurs dans les Emboutspour cadrede
  Connecteurs: Maintien,serrage, positionnement de pièces,attachesde toutessortes
  Connecteursà grand nombred'entrées-sorties Relaisde sécurité
  Mécaniquedivens: Revêtement anti-cavitation Amortisseurmécanique Rondelles Embouts de tuyauterie
  Superélastiquae: Déformation importanteet reprise de la formeinitiale unefois la contrainte
  Branches de lunette
  superélastiques Fils superélastiques Amortisseurs: Diminutiondu niveaudebruit et desvibrations
  superélastiques Prothèsesdentaires
  Planche. I I -20: Principales
  tions des -39_
  iagesà mémoiredeforme tB94l. CHAPITREII : É,tudebibliosraphique
  Les connecteursutilisent I'effet mémoire double sens et le retour contraint. Le but est de produire une force (de serr4gepar exemple) importante. Les applications de la superélasticitésont liées aux importantes déformationsréversiblesqu'il estpossibled'obtenir. s'utilisentafin de diminuerles niveauxde vibrationet Les amortisseurs de bruit. peuventêtreutiliséesdanstousles Cesdifférentesclassesde comportement secteursindustriels(PlancheII-20). Les principauxsuccèsproviennentdes dansle secteurdu textile (armaturede applicationsde la superélasticité soutien-gorges [T90]), de la lunetterie(brancheset pont de lunette superélastiquestM92l) et du biomédical tF92bl (fils dentaires la bagued'étanchéité superélastiques tF88ltF92al).Pour les connecteurs, RaychemtR89l est I'applicationla plus importante.Les actuateurssont multiples(briseroches[T92], compteurde cycle,tA95l)et peuventêtre intégrés dans de nombreux mécanismes(thermomarqueur,cafetière électrique,friteuse,) tB94ltT90lU921.
  II.3 - MODÉI-ISNTIONDU COMPORTEMENTDES ALLIAGES À MÉMOIRE DE FORME: LES NMTÉNENTESAPPROCHES II.3.1- OBJECTIF Le but essentieldu présenttravail est de décrire le comportement d'un alliageà mémoirede forme.Ceffeprédiction,sous thermomécanique formed'unesimulationnumérique,doit permettrede déterminerla réponse (principalementla déformation)à un chargementdonné (contrainteset température)la plus proche possible de la réalité expérimentale. L'élaborationde modèlesde comportementdes alliagesà mémoirede difficile par le caractèrenon linéairede formeest rendueparticulièrement -40- CHAPITRE II : Étude biblio graphique
  la transformationmartensitique. Cependant, de nombreuxtravauxtelsceux de SaburiT. [SWT80],BerveillerM. lBZ84l, TanakaK. [TKS86], Sun fait avancerla Q.P. tSH94l, PatoorE. [PEB94]ont considérablement recherchedans ce domaine.L'élaborationde lois de comportementdu matériauamèneà envisagerplusieurstypesde démarches. Les deux plus globale connuedepuis courantessont I'approchephénoménologique longtempset I'approche"micro-macro"(microscopiqueavec transition d'échelle)qui sedéveloppefortementactuellement.
  . LE MOPÈI,E 11.3.2- LES APPROCFTES PTÉNOTr,TÉUOIOCIQI.JES BOURBONLEXCELLENT L'approchephénoménologique reposesur unedescriptionmacroscopique du phénomèneà modéliser.Cetteméthodepennetde traiterle milieu d'une manière homogèneà I'aide de lois standardsdans lesquellesles phénomènesphysiquessont représentés par des variables.Ces dernières sont identifiéesà partir d'essaismacroscopiques usuels.Les méthodes découlantde cette approchesont très utiliséescar elles donnentdes résultatsrapideset bien adaptésaux cas de chargementsmonotoneset proportionnels.Cesmodèless'intègrentaisémentdansun codede calculde structure.Cependant,dans le cas de chargements plus complexes,les paramètresdu modèle sont difficiles à obtenir par I'identification expérimentale. Ils manquentd'unebasephysiqueet ne tiennentpascompte explicitementde la microstructure.Par conséquent,il est difficile de prévoir dans quel sensjoue la microstructurevis à vis de telle ou telle propriété mécaniqueglobale. Ces modèlessouffrent d'un manquede caractèreprédictif, ils ne prédisentpas par exemplele comportement dissymétriquedes alliagesà mémoirede fonne observéen traction et en compression:la prise en compte phénoménologique de ce caractère (à identifier). nécessited'introduireunevariablesupplémentaire De nombreuses étudesphénoménologiques ont servisà la modélisation du comportementdes alliagesà mémoirede forme, pour les chargements -41- CHAPITREII: Énde bibliosraphique
  mécaniquesisothermesITKS861tF87l[PEB88a][RL94] ou anisothermes
  lBe2ltLBLe4lIBLLesl. On discute ici d'un modèle de superthermoélasticité qui, pour rendre comptedu comportementen fluageanisotherme, considèredeux typesde martensite:une martensite"autoaccommodée" (ou "thermique")et une martensite"orientée"possédantchacuneleur propre fraction volumique bien qu'il n'existeaucunedifférencecristallographique entre ces deux martensites. Le modèleBourbon-Lexcellent [895] s'inscritdansle cadrede la thermodynamique desprocessus irréversibles.L'énergielibre'spécifique du matériau permet, par l'écriture du second principe de la thermodynamique,de définir les critèresde débutde transformationdirecte et inverse. * Hypothèseset loh de comportement
  Le systèmeconsidéréestun systèmetriphasé: Phasel: austénite Phase 2: martensiteautoaccommodante. Thermiquement activée,cette martensitene génèrepasde déformationmacroscopique. Phqse 3: martensiteorientée.Induite par la contrainte,la totalité de la déformationde transformation lui estassociée.
  Soient to, el,
  ef et eff les déformationtotale,élastique,de
  transformation et thermique de la phasecr (c=1, 2 ou 3). Les constantes thermoélastiques sontconsidérées égalesdanslestroisphases.
  et tf=r? -ef =tr'
  tèl=,?=t3=t,
  (rr.1)
  Llhypothèsequi consisteà différencierdeuxmartensites permetd'écrire:
  rl =r?-o
  =)
  gt =g?
  -42-
  (rr.2) CHAPITRE II : Etude bibtiographiaue
  En notant f, f6 et fu les fractions volumiques totale (f=f6+f1), de martensiteorientée et de martensiteautoaccommodée,la loi d'éitolution de la déformation de transformationest donnéepar:
  (rr.3)
  êr = eTfo
  mesuréeà partir d'un avec eT la déformationmaximalede transformation, essai de traction. Une première imprécisiondu modèle provient de l'absencede loi d'évolution pour eT. Cette variab.leest supposée appliqué. du chargement indépendante La déformationtotalee du matériautriphasés'écrit:
  (rr.4)
  s - (l - fo - rr)rt + f7E2+ foe3 s'écriventalors: et les lois de comportement
  o=pfl=o.
  t=te fst
  *t1 et
  er = erfo (II.5)
  avecE le moduled'Young,p la massevolumiqueet Q l'énergielibre du système. x É,nergtetibre du système
  L'énergielibre spécifiquede chacunedes phasess est composéed'une énergiechimique,d'uneénergieélastiqueet de la chaleurspécifique.
  rI -rln -ri)' -efl -r,âo *cu[t-* . oâo Qo(r*,r)= ro) +(r" (rr.6)
  ,f,or én"tgie interneet entropiede la phaseu à I'équilibre "t thermodynamique Cv: chaleurspécifique deréférence et température T et Tg: température ufo
  a o
  L'énergie libre du systèmetriphaséest défini de la manièresuivante:
  -43- ue CHAPITRE II : Étudebibtiographia
  O- (l - fo - fr)Ol + fr 02+ fo 03+ ^O
  (rr.7)
  ÂQ est un termed'interactionentreles différentesphases,choisi comme étant donné par la relation:
  ÂQ= (fo * rrXr - f. - fr)Qi,+ fofl$1s
  (rr.8)
  l'énergied'interactionentreI'austénite(la,martensite Qit ( Q;1)représente orientée)et la martensite(la martensiteautoaccommodée). Le calculdonnepour l'énergielibre du système:
  -trn+l -rr)' fo - t +cfr-r0 v 3(,-rr 0(e,r,fo,fr)= tO) 2p\ \ +uôl- r *ôt- fr6(r) + f(l - f)qit t(.ât -'ôt ) avec:nf trl = (uôt"ât )-
  (rr.e) (r.10)
  * Inis d'évolation
  permetd'écrireles équationsd'étatet de L'inégalitéde Clausius-Duhem définir les critères de transitionde phase.Bourbon et Lexcellent. choisissentde sépareren deux partiescetteinégalité,ce qui revient à découplerla martensite"thermique"de la martensite"orientée".Sous elless'écrivent: forme incrémentale,
  nltrlt>o où II:
  et IIf
  et
  nftrlft>o
  (r.11)
  sont les forces motrices associéesà I'apparitiondes
  orientéeet thermique. martensites
  rl -
  - rrôi, +nfitrl #=+-(r-2r)oit
  (rr.12)
  ri =
  -foôi,+n6trl #=-(r-2r)Qit
  (rr.13)
  -44- CHAPITREII : Etudebibliosraphique
  Pour préciser les cinétiquesde transformation,Bourbon et al. définissent deux fonctions critères Yl et Y2 pour chacunedesdeux martensitesafin de caractériser les transformation directe et inverse: dYj=g
  définit la
  transformation directe et dYj=O h transformationinverse (a=o ou T).
  yJ - ill - t! tzc) et
  yA --rl *k?@ù
  Gr.r4)
  Les fonctionsk sontprisessousles formessuivantes: *
  - ô,,)r" r.ftro)=+m(l- ro)+(oOn ao
  - zlr"1r - rr)* (a0,, - ô,,)r, r.frrr)=+fo, "(-o*(t-tg)) UiL J
  - ô,,Xr" - r) r.3rr.): (+Q,, +h(ro)* u1 .
  t
  - ôi,)(rr - r) n?rrr): +(00,, +lr-or"(-o'(t-^9))lh11 .l "î l, Les critères(II.14) permettentd'obtenirles lois d'évolutionde f6 et fu. Cependant, ellesdoiventencoresatisfairelesexpressions suivantes: = -l:-fa)b'
  pour ra tansformntiondirecte:
  {1"
  PourIa transformntion inverse:
  Jil
  t
  Lrr=-(l -rri'i t = -fob? f
  tr; =-rr;1i
  (II'15)
  GI16)
  Les paramètres introduit, ("L ,,uzo,u'r,uT,b1,b2,b'-,b; sont à ) déterminer d'une manière phénoménologiquepar l'étude de résultats expérimentaux.Cette approchepermet d'obtenir un bon accord avec les courbes expérimentalesde superthermoélasticité(fig.Il-21). Ce modèle ignore cependantla réalité physique du mécanismede déformation associé à la transformation martensitique,en particulier la multiplicité des produits de la transformation(les variantes).Les paramètresde ce modèle n'ont,
  -45- CHAPITREII : Étudebibliosraphique
  pour certains,aucunerêalitéphysique:on leur assigneune valeur qui auxessais expérimentaux. permetauxrésultatsdecolrespondre l,t '
  u[ tfl") 3l
  zaf 26f
  l:10 l?0
  2.41 221
  t00
  IJ
  EO (fr 10
  Tccr
  0 Stnin (f,,)
  r0aes4050ae708090
  Fig. II-21: Confrontation des conrbesexpérimentales {Cineq phénonÉnologique par de l'approche et théoriques obterrues Bourbon-Lexcellent [895]. a) Essai superélastique à T=Ms+16"C. b) E'ssaidèfluage anisothennesolts80 MPa. On choisit dans ce travail une approchemicromécaniqueavec transition d'échelle qui nécessiteI'utilisation de variablesinternes représentantau mieux la microstructureet possédantun sensphysiqueprécis.
  PARTRANSITIOND'ÉCHELLE II.3.3- LES APPROCHES utilisentunetransition ou micro-macro, d'homogénéisation, Cesapproches microstructuraux d'échellequi prenden compteI'influencedesparamètres existent,chacuneétant global. Plusieursapproches sur le comportement optimalepourunecertainemicrostructure. périodique[8L76][P87]donnentde bons d'homogénéisation Les méthodes résultatspour des matériauxde typecompositeà fibres.La méthodedes un faible moduleseffectifs tP87l est optimalelorsquele milieu présente sont trèsperformantes désordretandisque les méthodesautocohérentes très désordonnées pour des milieux présentantdes microstructures tel queI'acieret sesalliages).Ellesvisentà (matériaumicrohétérogène
  -46- CHAPûRE II: É,ndebiblioeraphique
  déduire le comportementd'un milieu hétérogènede celui de ses constituants. L'utilisationdesméthodesautocohérentes nécessite au préalableunebonne descriptiondu comportementau niveaumicroscopique.À ce niveau,les approchespeuventêtre différentes.On discutedansun premiertemps I'approchemicromécanique utilisée par Sun tSH93l puis la méthode développéeprincipalementpar Berveiller et Zaoti lBZ84lIBZ93l qai serviraà rendrecomptedu comportement macroscopique à parth de l'étude du comportement monocristallin(ChapitreIII). II.33.1 - L'approchede Sun [SH93]tSH94l Pour déterminerle comportement superthermoélastique desalliagesà mémoire de forme, Sun Q.P. et Hwang K.C. utilisent une approche micromécaniquebaséesur la thermodynamique de la ffansfonnation.Le volumereprésentatifdu comportement globalest constituéd'un ensemble de grains pour lesquelsil n'existe que deux états microstructuraux possibles:austénitiqueset martensitiques.Les grains transformésse comportentcommeuneinclusionde fractionvolumiquef dansunematrice par lesgrainsnontransformés élastiquereprésentée (fig.A-2z). E i 3 ,E i i , T
  1)
  'lf-('i:)v, /
  %
  I'r, û'r 2.oy =-
  Echantillon
  Elément représentntif
  o-
  Graii
  Fig. II-22: Microstructure et modélisation micromécaniquede l' élément r epré sentatif.
  -47- Dans l'hypothèse des petites perturbationsola déformation totale macroscopiqueest donnéepar la moyenne volumique des défonnations locales élastiqueee et inélastiqueeP.
  E',=('i ), . ('l ),
  (rr.r7)
  de la,matriceet Si V, Vn,, VI sont les volumesde l'élémentreprésentatif, de I'inclusion(V=Vm+VÙet pour un matériauisotropeet homogène,la E estobtenuepar la relationsuivante: déformationmacroscopique
  Eij=n[ +ef = M,jnrn+ t(ti )n
  (tr.18)
  D'une manièreincrémentale,en supposantla vitessede déformation moyennemicroscopiquefaible devantla vitessede déformationtotale macroscopique,Sun obtient:
  = Mi3roin+ eff + f (rf ËI = Mi;r.rir.r )ou,
  (rr.re)
  localeePestdirigéesuivant La déformationinélastique(detransformation) la contraintemoyennedansla matricesM et est limitée par I'amplitudedu cisaillementg du réseau.
  ef
  'rt.-tlf
  =-ç:-
  (rr.20)
  avec: g =13elr
  (u.2r)
  'f 'f "n
  z "oy
  oY=;.Ff+ =3,F''ff ,3q
  (n.22)
  extérieures sM représenteI'effet combinédescontraintesmacroscopiques et descontraintesinternes.SelonEshelbyet Tanaka,ce tenseurs'écritpour uneinclusionsphérique: -48- CHAPffiREII: Étudebibliosraphique
  'f =(":)u,= S,j avec:
  fB1
  (r)(sl)v
  21t(rXsv-
  Br(r)
  (rr.23)
  7)
  (tr.24)
  ls(l - v)
  * Etude thermodynantique
  L'énergiecomplémentaire Y associéeà la transformationest fonction des variablesde contrôleE (contrainteappliquée)et T (température) et de deux variables internesf (fraction de martensite)et (rf ) (déformation ''J/VI
  moyenne de transformation).Pour un volume unitaire, on a: (,\
  y[ >,T,f,(eP\ l=-(u/,r +\i/z*wru,+ÂG.6-r,:EI) tn.zsy \ [t-'r/vr/
  . Wl+W2 représente l'énergiede déformationélastique. 1
  \Ml =:EiiMiinIn
  est reliée directement à la contrainte
  macroscopique et
  w2: -Irr(r)e2r *
  esrla cause des f,tr(rx2 (ril)u,(rf )",
  contraintesinternesproduitespar la transformation. 6(yrta- ye )f 'th{ et sontles . wru. = constituel'énergiesurfacique. ïn d6 énergiessurfaciques desphasesmartensiteet austéniteet do le diamètre du grain. ' ÂGch : ^GA+t (r)r estl'énergiechimique Sun et al. décriventles effets d'hystérésisen introduisantun pseudo potentielW6 qui représente l'énergiedissipéependantla transfoqmation. f
  V/d = Dgf"u
  t.
  avec: fcu = ldfl la fractionvolumiquecumulée J 0 de martensite et D6 une constantè du matériau.
  -49- CHAPITREt!; ÉtuAeUiUnolraph@
  Le comportementde la transformationest décrit par l'équilibre énergétique et le secondprincipe de la thermodynamique,à savoir:
  . âv. a\P /;p\ =wa _\ )o =Ët.ftrJ(êil/u, Y>,r
  '
  (rr.26)
  On obtient alors pour le critère de transformationFg
  - rB1 cs(r)=0 ,, (r,r,r,(ef)", rrr(efl )))=Ër(tu
  '
  (rr.27)
  avec: (
  /.p\ : - rB1 - rBltrl(ef )(rx fBr rrl(ef Jlsii )" ) )r,,11tu \-,i/vr)- \2 1.-,j \ -
  (rr.28)
  et: co(r)- Ds.
  ^GA+t(r)-;t tG)î2(rr.zs)
  ry+
  Sunet al. proposequeCo(T) dépendégalementde la fractionvolumiquef et pose:
  (rr.30)
  Co(T,f ) = Co(T) + a(T)f(T) où ct(T) est ajustéed'une manièrephénoménologique. * Loi de comportement
  L'accroissementde la transformationf en fonction des paramètres extérieuresimposésS et t est obtenueen utilisant la relation de Ëç=Q.Le résultatest: consistence
  r= l+rio'', [
  -.M
  [.^^ArM,-.
  [çL
  -50-
  .[+'#\'i)u, (
  E
  *V CHAPITREI I : É,tudebiblioeraphique
  _4ldBr(r)* oarr).li] 4) dr drJJ
  (tr.31)
  (+Br(r)+c(r)) La loi de comportement macroscopique est,en utilisant(II.19):
  I,
  - rB1 rrs[s,, cl(ril)u,
  ,r[r." - rB1 rrl(ril")u,
  u.32)
  Dans ce modèleprésenté,la déforrrationde transformationconserveune forme à priori et la réalitéphysiquedu mécanismede déformationassocié à la transformationmartensitiqueest toujoursignorée.Le nombredes variablesinternesestfaible:fractionde martensiteet déformationmoyenne de transformation.Sur un plan théorique,le choix d'unplus grandnombre de variablesinternes,commeles fractionsvolumiquesdes différentes variantesde martensite,se justifie plus facilement.L'échellelocale de descriptionest alorsla variantede martensite:cela nécessitela prise en comptedescontraintesphysiquesexercées surcesvariables. il,.33.2 - L'approcheutilisée Nous n'énoncerons ici que les principesgénérauxde la méthode.Ils seronttraduits sousforme mathématiquedansle chapitreIII consacréà l'élaborationde la solution.Le principede la méthodereposesur le fait qu'un matériauhétérogèneest constituéd'un nombreimportantde grains ayant un comportementspécifique.Il est donc permisde penserqu'en connaissantle comportementdes grains ainsi que les textures cristallographique et morphologique, cetteméthodeà transitiond'échelle permettrade calculerd'unemanièredéterministele comportementglobal du matériau.Cependant,la méthodene recourepas à une description statistiqueet systématique de la structurehétérogène du matériau.Elle est
  - 5t - CHAPITREII : Étudebibliographique
  fondéesurunehypothèseimplicitede distributionqui estcelledu désordre elle requiert,pour avoir un sens,une parfait tK78l. En conséquence, (fig.Ilet de microhétérogénéité double condition de macrohomogénêité 23).
  Fig.II-23: Représentationschématiquedes conditions de d<<l et l<<Let de microhétérogénéitémàcrohomogénéité Cetteméthodeest doncparticulièrementadaptéeà l'étudede l'a structure polycristallinede I'acier,desalliagescourantset desalliagesà mémoirede de déformationest lié élémentaire forme.Danscesalliages,le mécanisme à la formation des plaquettesde martensitedansles grains.On cherche donc à déterminerle comportementlocal (microscopique)à l'échelledu sontprisesen comptepar transition grain.Les interactionsintergranulaires global(macroscopique). d'échellepour déterminerle comportement Ainsi, on chercheà représenterun agrégathétérogèneque constitueun alliage polycristallinpar un matériauhomogènede mêmecomportement (inconnubien sur).Nous sommesalors amenésà traiter le problèmeréel d'unemanièresimplifiée(fig.il-zq. à un site(4),on assimileles Dans le cas de la méthodeautocohérente entrechaqueélémentde I'agrégatet I'ensemblede interactionsmécaniques tous les autresaux interactionsentre cet élémentet le milieu'homogène le milieu I on chercheà ivalent à n sitesdéveloppépar Fassi6)-4) une approcheplus précisetelle que le modèleautocohérent n "*irt" et avecles n grainsvoisins. équivalent le milieu Ës interactioniavec Fetni [F85].Il prenâ "n "o*pt"
  -52- CHAPITREII: Ende bibtiographique
  Matériau Homogène Equivalent
  Fig.II-24: Schématisationdu principe d'une méthode d'homogénéisation. En fait, on remplacele milieu granulaireentourantun certainélémentpar un milieu homogènede comportement inconnumaiséquivalentà celui du milieu initial (fig.Il-25). M.H.E.
  (+
  Interaction.d'un grain assimiléà lnteractiondu grain avecresaures gratns avecle M.H.E.
  Fig.II-2S: Fondementsde la méthodeautocohérenteù un site. Ce problème se ramènealors à celui de I'interaction entre une inclusion et une matrice infinie (le matériau homogèneéquivalent),bien connu des mécaniciens,Eshelby I'ayant traité en 1961 [861]. La solution, explicite -53- élément de I'agrégat. Il suffit, pour identifier le comportement du milieu homogèneéquivalent,de relier les variablesglobales(cellesde l'agrégat) aux variables locales (celles des éléments de I'agrégat) par le biais de relationsde localisation(fig.Il-26).
  + 
  + +
  Llpl
  tz pz
  + 
  appliquéeaux alliagesà mémoire Fis.II-26: Méthodeautocohérente des relationsde localisationqui Ll et L2 représentent aer*r. peimettent de déterminer la propriété.du milieu homogène -équivalent ù partir de cellede chaqueconstituant' On peut noter que le modèleautocohérentprend en comptela forme et maisla notion I'orientationdesgrainspa-rrapportau repèremacroscopique d'infini néglige la répartitionspatialedes grains.Cette.notion implique soit trèspetite représentatif égalementquela taille I du volumeélémentaire L de la pièce(fig.[-23). faceauxdimensions a permisde passerde modèles L'évolution des méthodesautocohérentes simples,commeceuxde Sachsts28l ou de Taylor [T38], à desmodèles par HersheytH54l et KrônertK58ltK6ll qui plus complexesdéveloppés appliquésà la ont été les premiersà formulerdes schémasautocohérents dansle casde comportementlinéaire. mécaniquedessolideshétérogènes Hi1 tH65l abordad'unemanièreplus généraleet rigoureuseles équations ce qui conduisitBerveiller et du schémaautocohérent, fondamentales Zaoui [8284], puis Lipinski [L889]tL92l a améliorécette méthodequi fournit actuellementde nombreux modèles satisfaisantspour des non linéaires.Le schémanumériqued'unetelle méthode comportements mais plus est plus lourd que celui des approchesphénoménologiques -54- CHAPITRE II: Etude
  fiables, il peut servir de basepour dévetopperun modèleanalytique destiné à être introduit dans un code de calcul de structure[G95]. Concernantles alliages à mémoire de forme, I'approchedonnede bonsrésultatsdansle cas de chargementisotherme[PEB88b][PEB94]en I'absencede cyclage.Une nouvelle génération de modèles autocohérentsdits à double transition d'échelle est développéedepuis peu [M94]tL95l. Ces modèlesont une approche plus fine à l'échelle microscopique et permettent de rendre compte plus physiquementdu comportementplastiqueet des phénomènes liés aux dislocations et à leur mouvement(formation des cellules de dislocation). La méthode autocohérentese caractérisepar son adaptabilitéà une grande variété de problèmes des mécaniquesdes matériaux hétérogènes.Sa principale limitation est liée à I'abandonde toute description de la répartition spatialedes grains, du au fait que I'on assimile I'environnement de chaqueinclusion (ou grain) à un milieu homogèneinfini.
  TI.4. CONCLUSION Dans ce chapitre à caractèrebibliographique, nous avons souligné les propriétés de la transformation martensitique: absence de diffusion, déformation caractériséepar une faible variation de volume et un fort cisaillement n'engendrantpas de plasticité,multiplicité des produits de la transformation. Les mécanismesde déformation impliqués dans le comportement des alliages à mémoire de forme ont également été étudiés: transformation mono et polyvariante, réorientation en phase martensitique, accommodationdesvariantes. Le caractère endo et exothermique de la transformation entraînant un dégagementet une absorptionde chaleurlors des transformationsdirecte et inverse est également souligné. Ce phénomène est responsablede I'influence de [a vitesse de déformation sur le comportement -55- les alliagesà mémoire de forme. Au niveau de la modélisation, I'approcheadoptéeprocèdeen deux étapes interagissantI'une avecI'autre.Il s'agit dansun premier tempsde préciser la forme des relations de comportementlocal puis d'effectuer la transition d'échelle permettantde relier les grandeursmacroscopiquesaux grandeurs microscopiques.Cela va nous permettre d'accéderau comportement superthermoélastiqueet notamment,par une meilleure prise en compte de la température, au comportement en fluage anisothermeet aux effets de vitesseen superélasticité.
  -56- CHAPITREII : Etudebibliosraphique
  - Référencesbibliographiques-
  lAell
  Norme FrançaiseNF A51-080, "Alliages à mémoire: (1991) vocabulaire et mesures"
  tAesl
  AMT, "AMT your partner for shapememorysolutions", Dépliantcommercial( 1995) A.M.T. n.v. / Industrieweg43 | B-3540 Herk-de-Stad (Belgique) Tél: +32(0) 131553513
  lBe2)
  BrinsonL.C., "Constitutive behaviorof ShapeMemoryAlloy: One dimensionalthermomechanicalderivation with nonconstantmaterialfunctionsand redefinedmartensiteinternal variable",MaterialsandDevices,pp.729-742 (1992)
  tBe4l
  BordeY., "Lesalliagesà mémoiredeforme", dansIndustries et Techniques, no755(1994)
  tBe5l
  Bourbon L.C., "Contribution à l'étude isotherme et anisothermedu comportement cycliquedesalliagesà mémoire deforme", Thèse,Universitéde Fanche-Comté (1994)
  [8L76]
  BourgatJ.F.,LauchonH., "Applicationof thehomogeneization methodto compositematerials with periodic structure", Rapportde recherche n"208,IRIA(1976)
  lBLLesl BourbonG., LexcellentC., Leclercq5., "Modellingof thenon isothermalcyclic behaviourof a polycrystallineCu Zn AI ShapeMemoryAlloy", ProcsICOMAT'95,Lausanne,Les Éditionrde Physique,pp.22I-226(1995)
  -57- CHAPITREII : É,tudebibliographique
  tBPe4l
  des Berveiller M., Patoor 8., "PropriétésThermomécaniques Alliages à Mémoire de Forme", dans Technologie des alliages à mémoire de forme, Éd. H".mès, Paris (1994)
  lBZ84l
  Berveiller M., Zaoui A., "Modelling of the Plastic Behnvior of InhomogeneousMedia", J. Eng. Mat. and Tech., 106, pp'295-
  29e(1984)
  IBZe3l
  BerveillerM., ZaourA., "Modélisationdu Cor4portement Mécaniquedes SolidesMicrohétérogènes';Ch. de Formation Cluny(1993) AvancéedeMéc.desPolymères,
  of tCOCTgl CohenM., OlsonG.8., ClappP.C.,"On the'Classification Displacive Phase Transformation",Proc. ICOMAT'79, Cambridge(MA), MIT, PP.l-l L (1979) tD82l
  cofficienfs", Symp. and homogenized Duvaut G., "EJTective on FunctionalAnalysisand Differential Equations,Lisboa, Portugal(1982)
  [DDATS] DelaeyL., DeVos J., AernoudtE., "ShapeMemory Effect, superelasticityand Damping in cuznAl Alloys", INCRA Report78R1,pp.55(1978) Projectno238, \ù/arlimont H., tDKTT4l Delaey L., Krishnan R.V., Tass H., and the memoryeffict pseudoelasticity "Thermoplasticity, J. Mater.Sci.,9, with martensitictransform.ations", associated
  s44(r974) pp.1536-1 IDZg}l
  Duerig T.W., ZadnoG.R., "An Engineer'sPerspectiveof dansEngineeringaspectspf ShapeMemory Pseudoelasticity", Alloys, ButterworthHeinemannPub., Londres,pp'369-393
  (1eeO) ISBN 0-750-61009-3
  -58- CHAPITRE II : Etude biblioeraphique
  tE6ll
  EshelbyJ.D., "Elastic inclusionsand inhomogenei,ties", Prog. in Solid Mech., 2, pp.89-140(1961)
  tF85l
  Fassi-Fehri O., "Le problème de Ia paire d'inclusions plastiques et hétérogènes dans une matrice isonope application à I'étude du comportement des matériaux compositeset de la plasticité", Thèse, Université de Metz
  (re85) lF87l
  FremondM., "Matériauxà mémoirede forme", C.R. Acad. Sciences, Paris,T304,SérieII,7, pp.239-244 (1987)
  tF88l
  FLEXMEDICS Co., "Precision Superelastic archwire products developedfor optimumresultsand accuracyin the corrective appliancesystem",Dépliantcommercial( I 988) FlexMedicsCorporation| 620Ford Center| 420North Fifth Street/ Minneapolis, Minnesota55401(U.S.A.) Tél: (612)338-8265
  IF92al
  FURUKAWA ELECTRIC Co., "Furukawa NT Alloys", Dépliantcommercial (1992) The FurukawaElectricCo.,LTD / 6-1 Mamnouchi2-chomeI Chiyoda-ku/ Tokyo (Japan) Tél: (03) 286-321113219
  tFe2bl
  FLEXMEDICS Co., "Nickel-Titanium MeniscalSutureNeedle Kit ", Dépliantcommercial(1992)tF88l
  tG86l
  GueninG., "Alliagesà mémoirede forme", Techniquesde I'Ingénieur, M530(1986)
  tcesl
  Gillet Y., "Dimensionnement d'éIéments simplesen alliage à mémoiredeforme",Thèse,UniversitédeMetz (1995)
  tHs4l
  HersheyA.V.,J. Appl.Mech.,21,pp.236(1954)
  -59- CHAPûRE II: ÉtudebibliosraPhique
  tH65l
  mechanicsof compositematerials", Hill R., "A self-consistent J. Mech.Phys.Solids",13,pp.2I3-222(1965)
  tHezl
  HornbogetrE., "Alloys with ShapeMemory- New Materials for the Technologyof the Future ?"0dansProgressin shape memoryalloys,Éd. S. Eucken,Allemagne,pp.3-22'(I992) rsBN 3-88355-178-3
  tHe6l
  HautcoeurA., Thèseen cours,LPMM, Universitéde Metz
  Irezl
  IMAGO, "Imago: la matière vive", Dépliant commercial
  (reez) tICezl
  in JenaA.K., ChaturvediM.c., dansPhasetransformations Materials,Éd. PrenticeHall, U.S.A.(1992)
  rsBN0-13-6630s5-3
  tKssI
  Krôner E., "KontinuumsTheorie das Versetzungenund gen", Z. Phys.,-151,pp.504( I 958) Eigenspannun
  tK6ll
  Krôner E., "Zur plastischenVerformungdes Vielfristalls", (1961) ActaMet.,9,pp.155-161
  tK78l
  KrônerE.,J. Phys.F.,MetalPhys.,8,pp.2261(1978)
  tKe0l
  in Ceromfcs",dans Kelly P.M., "MartensiticTransformntions I, Éd. by MuddleB.C., pp.335MartensiticTransformations
  346(r9e0) rsBN0-87849-610-6
  tLe2l
  Lipinski P., "Modélisationdu comportementdes métauxen transformationsélastoplastiques finies à partir des méthodes de transitiond'échelle",Mémoire d'habilitationà diriger des Universitéde Metz (1992) recherches,
  ll,esl
  de Ia formation des LemoineX., "Analysemicromécanique sur le comportemcnt cellulesde dislocationset conséquences desaciers",Thèse,Universitéde Metz (1995) CHAPITREI I : Étudebibliographique
  tLBse]
  Lipinski
  P.,
  Berveiller M.,
  "Ela'stoplasticityof
  metals at large strains", Int. J. of microinhomogeneous Plasticity,5, pp.149-172(1989)
  lLBLe4l
  LeclercqS.,BourbonG., LexcellentC., "Pldsticitylike model of MartensitePhase Transitionin ShapeMemory Alloys", ProcsESOMAT'94,Barcelone,Les Éditionsde Physique, (1994) pp.513-518
  tLC82l
  J. Lemaitre,J.L. Chaboche,dansMécaniquedes matériaux solides,BA.PUNOD,Paris(1982)
  lMezl
  MARCHON, "Flexon:TheMetal With a Memory",Dépliant commercial(1992) Marchon@/ 35 Hub Drive / Melville / New York L1747
  (u.s.A.) Tél:(516)755-2020
  tMe4l
  Muller D., "Influence de l'écrouissage non local et de l'hétérogénéisation inffagranulaire sur le comportement des acierspolycristallins",Thèse,Universitéde Metz (lgg4)
  tN78l
  Z. Nishiyama, dans Martensitic transformation, Academic Press,New York (1978)
  rsBN0.12.519850-7 lP87l
  Pideri C., "Matériaux compositesélastiques.Comparaison de quelquesméthod.es d'homogénéisation",Thèse, Université P. et M. Curie,ParisVI (1987)
  tPBeOl Patoor E., Berveiller M., dans Les alliages à mémoire de forme, Éd. Hrr.ès, Paris,(1990)
  isBN 2.86601.236-4
  -61- \
  CHAPITREII: Étude
  [PEB88a] PatoorE., EberhardtA., BerveillerM., "Thermomechanical behaviourof shapememoryalloys",Arch. Mech.,40, pp-775794(1e88) tPEBSSbl PatoorE., EberhardtA., BerveillerM., "An Integral Equation B,ehaviorof Shape for the PolycrystallineThermomechanical Memory Alloys"o Procs. MECAMAT, Besançon'France, (1988) pp.3r9-329 tPEBg4l
  Patoor E., EberhardtA., Berveiller M., "Micromechnnical Modelling of the ShapeMemory Behavior", Procs ASME WAM'94,ChicagoI.L., AMD-IP/PVD -292,pp- 22-37(1994)
  tR89l
  RAYCHEM, "TINEL@ Shape Memory Alloys", Dépliant commercial(1989) RaychemCorporation/ Metals Division / 300 Constitution Drive / MenloPark/ CA94025(U.S.A.) TéL (415)361-s895
  tRG87l
  and Origin Rios-JaraD., GueninG., "On the Characterization of the dislocationsassociatedwith the Two-WayMemory Alloys", Acta Met., 35, Effect in Cu-Zn-AlThermoelastic et pp.I2l-126(1987) pp.109-119 Raniecki8., LexcellentC., Eur.J. Mech.A/Solids,13,n"1,pp.
  zr-so(t9e4) ts28l
  Zeit. Der SachsA., "Zur Ableitungeiner Fliessbedingung", V.D.I.,72, pp.739-747 (1928)
  tse3l
  Stoiber J., "HysteresisEffects during Martensitic Phase in Cu-Zn-AlShapeMemoryAlloys", Thèse Transformations (1993) de Lausanne Fédérale n"l115, ÉcolePolytechnique
  -62- CHAPITREII : Étudebibliosraphique
  tSH93l
  Sun Q.P.,HwangK.C., "Micromechanics modellingfor the ConstitutiveBehavior of Pollycrystalline Shape Memory AlIoys",J.Mech.Phys.Solids,4l,pp.l-I7 (Igg3)
  [SH94]
  Sun Q.P., Hwang K.C., "Micromechanics Constitutive D escription of Thermoelastic Mart ensitic Transformations ", Advancesin AppliedMechanics,31, AcademicPress,New York, pp. 249-298(1994)
  tSS87l
  Suzuki Y., SekiguchiY., "Applicationsof ShapeMemory Alloys", dansShape memory alloys, Gordon and Breach (1987) Publ.,1,pp.176-269 Science rsBN 2-88124-136-0
  [SVD92]
  StalmansR., Van HumbeeckJ., DelaeyL., "The Two Way Memory Effect in Copper-BasedShapeMemory Alloys Thermodynamicsand Mechanisms",Acta Met. Mater.,40, nol.1, pp.292l-2931(1992)
  tSWTS0l SaburiT., WaymanC.M., TanakaK., NennoS., "Theshape memorymechanism in I&Rm.artensitic alloys",Acta Met., 28, pp.15-32( 1980) tT3Sl
  Taylor G.Y ., "Plasticsnain in metals",J. Inst. Mehls, 62, pp.307-324(1938)
  [T90]
  TOKIN, "ShapeMemoryAlloy", Dépliantcommercial(1990) Tokin Corporation HazamaBldg. / 5-8 Kita-Aoyama2-chome/ Minato-ku / Tokyo 107(Japon) Tél: (03) 402-6166
  IT92l
  TOKIN, "Silent Rock or ConcreteBreaker Using Shape MemoryAlloy", Dépliantcommercial(1992)
  -63- CHAPITREII : Étudebibliographique
  Tokin America lnc. I 155 Nicholson Lane / San Jose /
  cA9s134(U.S.A.) Tél:408-432-8020
  trKSs6l
  of Tanaka K., Kobayashi S., Sato Y., "Thermomechanics Transformation Pseudoelasticityand ShapeMemory Effect in Alloys ", Int. J. Plasticity,2, pp.59-72 (1986)
  lwBRTgl Wollants P., de Bonte M., Roos J.R., "A Thermodynamic Analysis of the Stess-InducedMartensitic Transformntion in a SingleCrystal",Z. Metallkde,&, pp.113-117(1979)
  lvDKT4l Warlimont H., Delaey L., Krishnan R.V., Tass H., "Thermoelasticity,pseudoelasticityand the Memory Effict Associated with Martensitic Transformations",J.' of Mater. Sci.,9,pp.1536(1974)
  D.S.,ReadT.A., "On the theory tWLR53l WeschlerM.S.,Liebermann of theformationof martensite",Trans.AIME, I97, pp.1503lsls (1953)
  -64- CHAPITRE I I I : M odéIisation duflua I e anisotherme
  CHAPITREIII: - Modélisationdu fluageanisothenne
  67 Page
  III.I - INTRODUCTION
  ITT.2 - LE COMPORTEMENT DU 68 Page MONOCRISTAL rrr.2.r
  -
  CINÉMATIQUE DE
  LA
  TRANSFORMATION
  rr.z.z-crurÈnnDETRANSFoRMATIoN Ill.2.2.l - Potentielthermodynamique - Lagrangienréactualisé et forcesmotrices 111.2.2.2 de dissipation II1.2.2.3- Pseudo-potentiel - LOI DE COMPORTEMENT TTI.2.3 II1.2.3.1- Loi d'évolution III.2.3.2 - Modulestangentsthermomécaniques
  69 75 75 80 82 84 84 85
  III.3 - LE COMPORTEMENT DU 87 Page POLYCRISTAL III.3.T . OÉTTNITIONDU PROBIÈUN 89 TII.3.2- HOMOGÉi'ÉISNNON ET LOCALISATION 91 III.3.3 - APPROCTIEAUTOCOHÉNENTE 9l III.3.3.1 - Équationintégralethermomécanique 98 - Résolutionformelle 111.3.3.2 101 à un site III.3.3.3- Approximationautocohérente 105 rrl.3.4- REMARQIJE
  -65- CHAPITREIII : Modélisationdufluage anisotherme
  TTI.4- INFLUENCE DE LA VITESSE DE SOLLICITATION Page106 III.4.I - INTRODUCTION r06 III.4.2 - ÉVOIUTION DE LA TEMPÉRATUREDU POLYCRISTAL AVEC LE TAUX DE MARTENSITE
  M.5 - CONCLUSION
  108
  Page 111
  nÉrnnsNCES BrBLrocRAPHreuES rrr Page113
  -66- CHAPITRE I I I : ModéIisationdufluage ani!gtherme
  Dans ce chapitre, on présente la modéIisation adoptée pour décrire le comportementlié aux transformations martensitiques thermoélastiquesassistéespar un champ de contrainte. On considère Ia contrainte et la températurecomme'variables de contrôle. Le grain est pris comme éIément du volume représentatifet on définit la loi de comportementpour ce volume assimilé à un monocristal. Les effits intergranulairessont pris en comptepar une méthodede transition d'échelle. Nousétablissons d'abord Ie formalisme nécessaire à la localisation et l'homogénéisationdans le cas où la températureest une variable. L'équation intégrale thermomécaniqueainsi obtenueest résolue en utilisant l'approximntion autocohérenteà un site.
  ru.l .INTRODUCTION desalliagesà mémoire Le présenttravail portesur la superthermoélasticité parla formationde plaquettesde secaractérise de forme.Ce comportement martensiteorientéesparun champde contrainteappliquée($II.2.2.2).Deux typesde chargementsimple sont possibles:soit la contrainteappliquée superélastique), soit imposéeconstante(comportement varie à température varie (fluage est imposéeet la température la contraintemacroscopique anisotherme). Cetteétudefait suiteà une sériede travauxsurla modélisationdesalliages à mémoirede formeréalisésau Laboratoirede Physiqueet Mécaniquedes Matériauxde I'Universitéde Metz au seinde l'équipedu Pr. M. Berveiller. Un premiermodèlesimplifiê a vu le jour en 1986tP86ltPEB87l.Il considéraitune seulevariantepargrainet permettaitd'obtenirdespremiers Suiteà ce premiersuccèset sur la basedu modèle résultatssatisfaisants. développéen plasticitépar Lipinski [L92], B€Hh tB92l établit un en modèlede comportementpour la transformationausténite-martensite utilisant une approximationde type t0 I 1l pour décrireI'orientationdes variantesde martensite.El Amrani tE94l utilise ensuiteune orientation -67- CHAPI TRE I I I : Modélisation dufl uage anisotherme
  justifiée par desobservations (de Wpe12 ll l2l), ce qui cristallographiques a permis d'expliquer I'origine de la dissymétrieen traction et en d'hystérésis compression.Patoor[P95] inclut entretempsles phénomènes et de décharge(transformationinverse),ce qui permetd'aboutir à un modèlede comportementtrès performantpour le caractèresuperélastique (isotherme)des alliages à mémoire de forme. Ces modèlesprennent égalementen compte les contraintescinématiquesliées aux différentes fractionsvolumiques(devarianteset globale). Faisantsuite à ces travaux,I'objet de cette étude est'de considérerla températurecommevariablede contrôleau mêmetitre que la contrainte. (à l'échelledu réseaucristalLin) En adoptantune approchemicromécanique physiquesqui sont qui prenden compteles mécanismes microscopiques responsablesde la transformationmartensitique,on caractérisele comportementd'un monocristal($ilI.2). Cetteétapenécessitede définir un qui permetde décrirel'équilibreet l'évolution potentielthermodynamique d'un volume d'austéniteet de martensiteen fonction de variablesde contrôle telles que la températureet la contrainte.Le comportementdu polycristal est ensuite obtenu par I'approcheautocohérente($III.3). L'écriture et la résolutiond'une nouvelleéquationintégrale,sont alors nécessaires: on obtient ainsi une descriptiondu fluage anisotherme.On réaliseensuiteune étudethermiquesimplifiée,baséesur les résultatsde la classiqueet les travauxde Chrysochoos[CPM93].Ceci thermodynamique permet de prendreen compteles variationsde températureliées aux transformations directeet inverseet de rendrecomptede I'effetde la vitesse de déformationsur le comportement.
  - LE COMPORTEMENTDU MONOCRISTAL TTT.2 Plusieurs solutions existent quant au choix de l'échelle locale de description. Le volume constituépar un ensemblede grains peut constituer l'élément représentatif[SH94]. Dans ces modèlesla fraction de martensite -68- CHAPIT RE I I I : M odélisation du fl uage anisotheftne
  dans les grains prend les valeurs 0 ou I sans possibilité d'obtenir des informations précisessur l'évolution de la microstructure.À L'inverse, les modèles à frontières mobiles décrivent très précisémentcette évolution mais sont très lourds numériquementsi I'on veut décrire le comportement d'un polycristal constituéde nombreuxgrains On choisit une échelle de description intermédiaire considérant les variantesde martensitedans les grains. Une étudecinématiquepermet une description précise des mécanismesde déformation. La définition d'un potentiel thermodynamique permet d'établir un critère de transformation pour chaquevariante de martensite[PEB88]. On aboutit finalement à la loi de comportementdu monocristal [EPE95].
  ru,.2.1- CINÉMATIQIIE DE LA TRANSFORMATION Considéronsun milieu soumis à I'application d'un chargement T. défini par unecontrainteE et unetempérature thermomécanique(s) participent à la En un point donnér du matériau,plusieursmécanismes déformationtotalelocalee(r): - l'élasticitéee(r), - la plasticitéeP(r), - la dilatationthermiqueeth(r), - la transformation eTlr;. martensitique Le comportementengendrépar I'ensemblede ces déformationsest inélastique,uneapprocheen vitessede déformationestdoncindispensable. on peutécrire: infinitésimales, desdéformations DansI'hypothèse
  =èi,(r)+ef(r)* èf (.)+e$tr) è1.;(r)
  (trI.1)
  (5) On négligelesdéfautsengendrés I'effetdu cyclagen'estdoncpasmodélisé. par le chargement:
  -69- CHAPITRE I I I : M odélisation du fl uage anisotherme
  . La déformation élastique est reliée en tout point r, du matériau à la contrainte locale o(r) par le module des compliancess(r) du milieu:
  (r) efi(r) - sijkl(r)ôr<r ô1(r) = cUkl(r)efu(r)
  (III.2a)
  (forme duale
  (rrr.2b)
  avec c(r) module élastique)
  . La déformationthermiqueest donnéepar le tenseurdesdilatations thermiquesa(r) du matériau.Si T(r) est la températureen chaque point:
  efftr)= crij(r)t(r)
  (rrr.3)
  . En présenced'une transformationmartensitiquethermoélastique(cas des alliages à mémoire de forme), les déformationsplastiquespeuvent
  êtrenégligées.
  (rrr.4)
  e[(r)=o
  Les quantitésglobalessontobtenuespar la moyennesur le volumeV des quantitéslocales correspondantes : . lF EU=VJ rU(r)dv
  (m.s)
  V .
  Eij=
  lr
  VJ
  (rrr.6)
  ot:(r)dv
  V
  On introduit I'expressionde la déformationlocale e(r)(Eq.III.1) dans l'équation(III.5).
  Ë,j: * Jrt(r)dv.* J'ii(r)dv.* J,gr,) av
  (rrr.7)
  Hvoothèses: . Le module de complaisanceélastiques(r) est uniforme et égal dans d'après(III.2a) et (III.6): les deux phases:s(r)=5=$.Par conséquent, -70- *Jq(r)
  dv= lrijnJon,(r)dv= Slnin
  (rrr.8)
  . Le modulethermiquecli3est de la forme uôii et la températureT est uniformedansle matériau: supposée
  ijrti(r) V
  dv- aî01;
  GII.e)
  Finalement,la déformationtotaleE du monocristal(III.7) s'écrit:
  Éi = Siinin
  É'j=nï:*nfh+e$avec
  Éfj'=aô1it Ëi=*Je[tr)ov
  (m.10)
  V
  Les contributions élastiqueet thermique sont obtenuesde façon'classiqueà partir des relations de thermoélasticité linéaire pour des matériaux homogènes.Le calcul de la déformation totale du monocristal requiert égalementla connaissancedu champ de déformation {e transformation associéau changementde phase.Pour cela, une étudecristallographiquede la transformationest nécessaire. La déformation de transformation est nulle dans I'austénite et on fait I'hypothèse d'une déformation uniforme par morceaux dans la martensite (fig.III-l). En notant V6 le volume d'austénite,VM le volume de martensite(Vn+Vu=V)
  et Vn les volumes des différentes variantes de
  martensite,on obtient:
  IJe$r,l dv=i l'$rrldv=I'if"
  (m.11)
  VVMn
  avec fn=Vn/V et en la fraction volumique et la déformation de transformationde la varianten. -71- CHAPITRE III : Modélisation du fluage anisotherme
  schématique du champde déformationde F|g.III-I: Représentation transformntion(uniforrnepar morceaux). La déformationen liée à la formationd'unevariantede martensiteest caractériséepar sa normale n, sa direction de transformationm et I'amplitudede glissementg (fig.I[-2). Cescaractéristiques sont fonction de maille desdeuxphaseset desrelationsd'orientationliant desparamètres celles-citWLR53l.
  Austénite
  Fig.III-2: Transformation d'un élément de volume d'austéniteen martensite(formation d'uneplaquette).
  -72- CHAPITRE I I I : ModéIisation duflua I e anisotherme
  D'après ce formalisme, les composantesdu vecteur déplacementu d'un point P de coordonnéesinitiales xi s'obtient,en utilisant la convention de I'indicemuet:
  (rrr.12)
  u1- $xin3mi
  La déformationintrinsèquetn associéeà la transformationde la varianten u. Dansle casdesdéformationsinfinitésimales,elle dérivedu déplacement estdéfinieparla partiesymétriquede ce gradient.
  ,l =jt(",-, * minl)- nis
  (rrr.13)
  Rn estappelétenseurd'orientationde la varianten. Cetteapprochecinématiquepermetde rendrecompted'unemanièresimple de la déformabilitédesalliagesà mémoirede forme.Dansun monocristal monovariant,une variation f ae la fraction volumique entraîneune variationeT de la déformationdéfiniepar: - gRlif èT
  (rrr.14)
  Dans le cas où plusieursvariantesse forment, chacuned'elles contribue à la déformation globale avec sa fraction volumique propre fn et son tenseur d'orientationRn. Par sommation,on obtient:
  èT: )enfff"
  (m.1s)
  n
  Cette formulationpermetde caractériseret de prendreen compteles ($II.2.2.2),à savoir: vrrsprécédemment différentsmécanismes . La formation de martensiteorientéeimpliquant une déformationde macroscopique: transformation Exemple:Transformationmonovariante(R=0,5) complète(f- I ) avecS=0,2(valeurcourantepour un alliagedecuivre). r)
  s--
  ,r 'rl .- "t \
  -73- CHAPITRE I I I : Modélisationdufluage anisothenne
  = ér=gRT +él=0,2 * 0,5 *I = 0,1 soit l}Vo .
  La formation de variantes autoaccommodantesentraînant une transformation sansdéformation macroscopique: Exemple: Transformation équi-volume ffI +=0,5) de 2 variantes avec des tenseursd'orientationopposés(RI=0,3 et R2--0,3)
  =tr=B gt yt + R2P) +{=0,2*(0,15-0,19=0 .
  La possibilité de réorientationen phasemartensitiquepermettantune déformation de transformationsanstransformation: Exemple:Au départ,2 variantesavecf|--f2=0,5, RI =0,3 et R2=0,2
  ={=B 81 7t*Pz7t, =éf--0,2 * 0,5* 0,5= o,o5soit5vo Unecontrainteappliquéeprivilégie Ia varianteI 6l = 11aux dépens de la variante2 (P=0). +eT=g RI fl +éI=0,2 * 0,3 * I = 0,06soit 6Vo Sans transformation(Ia fraction totale de martensiteest restée égaleà I), la déformntionde transformntionaugm.ente. Commeles paramètresg et Rn sont complètement définis par la nature de la transformation, cristallographique la relation(III.15) montreque les fractionsvolumiquesfn sontde bonsparamètres pour décrirel'évolutionde la microstructureet caractériser l'étatde déformationdu matériau. Remarque: . Des limitations physiques évidentessont imposéesaux fractions volumiquesdesdifférentesvariantesn,
  V n , f n> 0
  (m.16)
  . et la fractionvolumiquetotalede martensite f ne peutexcéderI'unité:
  f->fn<l
  Grr.17)
  n
  -74- CHAPITRE I I I : M odélisation du Jluage anisotherme -1n
  Finalement:
  .
  uu. +
  E,j = Siittln
  ih
  ttr
  +a13t+>eRûfn
  (rrr.18)
  n
  Cette expression nécessitela connaissancede l'évolution des fractions volumiques pendantIa transformation.Un potentiel thermodynamiqueva permettred'aboutirà ceslois d'évolution.
  '(lltt.)2 - cRITÈREDETRANSFoRMATIoN m.2.2.1- Potentielthermodynamique V soumisà un étatde un cristaldevolumederéférence Considérons déformation E à la températureT. L'énergie libre d'Helmholtz Q associéeà ce volume est composée de plusieurs contributions ayant différentes sont une énergieélastique significationsphysiquestE6ll. Cescomposantes Wél*, une énergiechimique ÂGç6et une énergieinterfacialeWint.
  O(EU,T, fn ) = AGcrr* Wélu,+ Wint
  (rrr.19)
  La transformation martensitiqueest provoquéesoit par I'accroissementdE de la contrainte,soit par un abaissementdT de la température.Les variables de contrôle étant la contrainte et la température, l'énergie libre complémentaireY est mieux adaptéeà la descriptiondu comportement thermomécaniquedes alliages à mémoire de forme:
  Y(Eij, T, fn ) = -(nCch * Wélas+ Wint- >,:E,i)
  (rrr.20)
  T et de Cetteénergiedépendde la contrainteappliquéeI, de la température variablesqui décriventl'état microstructuraldu matériau.Afin de prendre physiquesresponsables les du comportement, en compteles mécanismes fractionsvolumiquesdesdifférentesvariantesde martensitesont choisies commevariablesinternes. -75- CHAP ITRE I I I : M odélisation du fluage anisotherme
  - L'Énergiechimique L'énergie chimique est liée à la différence des énergiescristallographiques Gx des deux phases(x=A pour I'austénite,x=M pour la martensite),elle est fonction de la températureT.
  AG"6(T) =
  J [o*(r) cA1ry]av
  (rrr.21)
  v1a
  La transformation martensitique ne faisant pas intervenir de changement dans la composition chimique, les phasesmère et produit peuvent être traitéescomme un systèmea un seul composant. Pour les températures proches de la température d'équilibre thermodynamiqueTg, une approximation linéaire de GM(T)-6A(T) est courammentutilisée (fig.III-3).
  -B(T-ro)vrra ÂGcrr
  (rrr.22)
  o = d
  O
  aG.t - GM-GA
  I
  .o o) bo () r[.1
  Température
  Fig.III-3 : Représentation schématique desénergies Iibreschimiquesde I'austéniteet de Ia martensite. (III.22) le coefficientde proportionnalitéB et DansI'expressionprécédente la températureTg sontdesconstantes du matériau.Ellessontfonctionde la compositionchimiquede I'alliage. - L'Énergie interfaciale
  L'énergie interfaciale associéeà la formation d'un domainemartensitique -76- CHAPITRE I II : M odélisationdu fluage anisothenne
  est la sommation sur toutes les interfaces austénite-martensiteet martensite-martensitede la densitéd'énergieinterfacialeY(r).
  wint =
  (rrr.23)
  Jr(r)ds S
  Cette énergien'est pas directementreliée au volume de ce domaine mais simplementà son ratio volume/surface.La cinétiqueet la morphologie de la transformation de phase des alliages à mémoire de forme sont caractériséespar une déformation de Bain, qui implique une transformation dominéepar l'énergiede déformation.En effet, la martensitese crée sous forme de plaquettesallongéesqui font apparaîtred'importantessurfaces d'interfacesmais un très faible volume. Cette observationamèneà négliger l'énergie interfaciale.
  (rrI.24)
  Wint = 0 - L'Énergie élastique
  L'énergieélastiqueest le demiertermequi contribueau potentielY. Elle est associéeaux déformationsélastiquesqui sont liées au chargement imposéet auxcontraintesinternes: dV wélu,=ïloii(r)efi
  (rrr.2s)
  V
  Avec les hypothèsesadoptées(températureT et module thermique CI, uniformes) le champ de déformation thermique tth ne produit pas de contraintesinterneset est négligé.Dans I'expression(III.25), le champ de déformation élastiques'écrit:
  +
  efitr) = eii(r) - r$trl
  (rrr.26)
  -ltoi;(r)e$(r)dv =iloii(r)eii(r)dv v/éru,
  (rrr.27)
  VV
  -77- CHAP ITRE I I I : M odélisationdu flunge anisotherme
  . En intégrant la première intégrale par parties: lr
  (r)dv= ori(r)eU
  tJ
  VVS
  lr
  rJoii
  (r)ui,i(r)dv=
  lr
  ;Joii
  (r)ui(r)n;dS
  Or, surla frontièreS: oii (r) = IU lr
  l
  r
  I
  (r)njot (r)niot = (r)dv ;>U Jui )[ "tt(r)ui ;>tj Jul,i Finalement: lc
  iloii(r)e,j
  I (r) dv - :Y rij E,j
  (rrr.28)
  V
  . Pourle secondtermede l'équation(lll.27), on décompose le champde contraintelocal o(r) en un champde contrainteappliquéeZ et des fluctuationslocalest(r).
  (rrr.2e)
  o;i (r) = I,j + tii (r)
  t(r) définit un champà valeur moyennenulle. Il représentele champde contrainteinternelié aux incompatibilitésde déformationdesdifférentes variantesdansle volumereprésentatif considéré. L'énergieélastique(llI.27) seréécritalors:
  -ifl1(r)e$(r)dv = wér^ ,J-+w,iET iur,,r v (r)e[(r)dv wér^--! u>,,s,jkrrr.r itti; V
  (rrr.30)
  (Éqs.lll.22,lll.23 Les différentescontributionsénergétiques déterminées et III.30), l'énergielibre complémentaire par unité de volume (III.20) devientalors:
  -78- CHAPITRE III : M odélisationdufluage anisotherme
  Y(>rj,T,fn) - -B(T-ro )Ifn +!t,:t':"rn
  +c,rpÂT +
  n
  (r)dv *t,i Ieffrn +,)ç ltil(r)e$
  (rrr.3r)
  Misesà partlesvariablesde contrôle(contrainteappliquéeI et température T) et les variablesinternes(fractionsvolumiquesfn), les autres'paramètres dansce potentielsontconnus:S et cr sont les modules qui apparaissent thermoélastiquesdu matériau, T0 est la températured'équilibre thermodynamique,B est une constantechimique du matériau et les par déformationsde transformationtn sontdonnéescristallographiquement les tenseursd'orientationRn et I'amplitudede déformationg. Le dernier termede l'équation(III.31) resteà déterminer.Ce termedécrit l'énergie élastiqueassociéeaux contraintesinternesd'incompatibilitéde la transformation.Il est lié à la formationde la phasemartensitiqueet aux interactionsentre les variantesmais ne se réduit pas facilementà une fonction des variablesfn. Pour surmontercettedifficulté, une évaluation physiquessur la croissance réalisteest obtenueà partir de considérations desplaquettesde martensitependantla transformationmartensitique.Des et M.O. BenSalah par O. Fassi-Fehri réalisées analysesmicromécaniques la tFHBSTltBgZlpermettentd'écrirele terme d'énergieélasticiuesous forme d'unematriced'interactionHnm.Cettematriceinclueles facteursde forme et d'orientationde la microstructure,ce qui permet de décrire l'évolutionde l'état microstructuralpendantla transformationen utilisant les seulesvariablesinternesfn. Ces analysesreposentsur I'hypothèse croissancede quelquesvariantes suivante,bien vérifiéeen superélasticité: dans des domainesbien délimités du grain. L'annexe I détaille les hypothèsesqui permettentd'aboutirà I'expressionsuivantepour l'énergie d'interaction:
  -*{rtrlr$(r) dv= wint=t>11nmrn;m -Vtr'fl
  -79-
  (rrr.32) CHAp ITRE I I I : Modélisation dufl uage anisotherme
  La matrice obtenueest fortementanisotrope,elle comprenddeux types de termes. Un terme faible symbolise I'interaction entre les variantes autoaccommodantes, pour lesquellesil existe une interface commune compatible entre elles, c'est à dire ne nécessitantpas de déformation élastiqued'accommodation.Le terme fort relie les variantesincompatibles, l'interfacecommunes'orientantafin de minimiser (sansI'annuler)l'énergie élastiqueassociée(voir annexe1). Le potentiel thermodynamiques'écrit alors:
  Y(ru,T,fn)= -B(T-ro)Ifn +lpusiir<rrn +crp.ÂT+ n
  +>u>rfifn :>Hnmrnrm
  Grr.33)
  Cetteéquationdécrit l'étatdu systèmeausténite-martensite en I'absencede processusdissipatifs.L'optimisationde cette fonctionnellepermet de définir l'état d'équilibred'un mélangeausténite+martensite soumisà un chargementthermomécanique donnépar I et T. Les variablesinternesfn prennentla valeurqui minimisece potentiel.Toutefois,'ilfaut prendreen compteles limitationsphysiques(III.16) et (III.17) existantessur ces quantités.un lagrangienréactualiséL(r,ii,T,F) permetde résoudrecette difficulté. f11.2.2.2- Lagrangienréactualiséet forcesmotrices Le lagrangienréactualiséva permettrede réécrireles inégalités relativesaux contraintess'exerçant sur les variablesfir et f sodsformede relationsd'égalité,plus exploitables. ces variablesinternespossèdent un sensphysiqueclair: ' lesn fractionsvolumiques fn nepeuventêtrenégatives: conditionIII.16 ' la fractionvolumiquetotalene peutêtresupérieure à l: conditionIII.17
  Irn=o ( + I f <1
  Ai(fn)<Bi
  (III.34a)
  -80- CHAP ITREI I I : Modéli sation dufl uage anisother.me
  etBi=0 pouri=l àn avec {ot,t")=-fn I At(fn)-f etBl=l Pouri=0
  (rrr.34b)
  L'écrituredu lagrangiennécessiteI'utilisationde n+l multiplicateursde Lagrange1,1,qui ont la particularitéd'êtretoujourspositifsou nuls,ainsi:
  r,[o,(rn)- ]=o soit ,;i} ", {^;l11
  (rrr.3s)
  Le Lagrangienfonctionnel L est défini ainsi:
  t(tr:,r,fn)= *(tU,r,fn)- >rtlnttrnI - si]
  (rrr.36)
  L'état qui minimise cette fonction est obtenupar les conditionsoptimales de Kuhn-Tucker.Les contraintes(III.16) et (III.17) s'exprimentalors:
  À,lnt(fn)-B,]=o avec ]4 )o
  (rrr.37)
  La force motrice pn qui agit sur la variable interne fh est classiquement obtenuepar la dérivée du potentiel contraintpar rapportà F [R7'l]:
  Ftr=aL_aY->rtH dfn
  dfn
  r
  Fn= -B(T- To)+>,:rfi
  (rrr.38) m
  où Ig (resp.Àn)estle multiplicateurassociéà la contrainted'inégalitéf < I (resp.-fn<0). ne décrit pas entièrementle À ce stade,le potentielthermodynamique des alliagesà mémoirede forme, il est comportementthermomécanique Un effet d'hystérésisest montré par ces purementthermoélastique. dû à de la dissipationcauséepar matériaux[DOV88],vraisemblablement les frictions interfacialeset la production de défauts,durant la -8t - CHAP ITRE II I : M odélisation dufluase anisotherme
  transformation.On choisit d'introduire un secondpotentiel afin de rendre compte de ce phénomène.Ce pseudo-potentielde dissipation, noté Wd, prend en compte I'effet d'hystérésisd'unemanièrephénoménologique. 111.2.2.3- Pseudo-potentiel de dissipation Ce potentiel est généralementsupposéêtre proportionnel à la fraction volumique cumuléefçu de martensite[SH93].
  wd
  = = P. Jlar; F"f.u
  (rrr.39)
  où Fç estuneconstantepositivedu matériau. et l'équilibreénergétique La secondeloi de la thermodynamique détermine la loi d'évolutionde Wd.
  (rrr.40)
  vlr,r=Ûd>o
  La force motrice thermodynamiqueF exercéesur une variante n a besoin d'atteindre la valeur critique $ pour produire une croissancede cette variante. Cette valeur critique est liée à l'état microstructural du matériau, on suppose qu'elle peut être décrite uniquement par I'ensemble des variables fn. La condition (III.40) permet alors d'obtenir les conditions suivantes pour les transformations austénite->martensite et martensite+ austénite.
  A+M:
  I anfn= F"f
  (III.41a)
  M+A:
  -F"f I o"fn-
  (rrr.41b)
  n
  quela dissipation En supposant s'effectue sanscouplageentreles variantes, les conditions(III.41) peuvents'exprimerd'unemanièreindépendante sur chaquevariante,qui doit alorsvérifier le critèrede transformation local, martensitiques directe(+) êt inverse(-): définipourlestransformations
  -82- CHAPITRE III: ModéIisation dtt
  (rrr.42)
  -B(T- To)+>,iril m
  n+l relations (III.16)et (III.17)fournissent Les conditionscinématiques à satisfaire: supplémentaires
  l. I
  ^n = B(T- T0)- >ljsil+ )Hnmfm + ÀoI F,> 0 * -B(r-
  lh = tm
  h)+ r1.;efi
  GII.43)
  Finalement,la relation (lll.42) signifie que la variante n peut'être active lorsque la contrainterésolue sur cette varianteatteint une valeur critique dépendant de la température et de la fraction volumique des autres variantes déjà formées. Elle montre que si le début de la transformation n'est fonction que du mode de sollicitation et de paramètresintrinsèquesà la nature de la transition de phase,la fin de la transformationest fortement dépendantede l' étatmicrostructuralRem.arque: À l'état libre de contrainte, on peut définir les températures de transformationMg et Ay caractériséespar I'absencede martensite
  (fl=O Y n). -g(InI, - To)= F. ^. . [ : =
  t-"(or- h)=-F"
  [*,=Tr-+ 1o,=Tr.+
  (rrr.44)
  directe,la frontièreinitiale s'écrit: Ainsi, pourla transformation
  -B(T- Ms)+Iiiefi= o
  e
  r,:Ri= - M,) T(t
  (rrr.4s)
  -83- CHAP ITRE I I I : Modélisation du fluage anisotherme
  Cette équationgénéralisela relation de Patel et Cohen tPC53l qui relie la température de transformation à la contrainte appliquée. Lors d'un chargementmécaniqueà températureconstante,la première variante qui apparaît est celle pour laquelle la contrainterésolueI Rn est maximale. Aussi, lorsquela contrainteappliquéeest nulle, toutesles variantesdoivent se former à T=Ms. En définitive, tous les paramètresutilisés dans la description de la transformation (To , F", B, [ , lrl , g) peuvent être déterminés expérimentalement ou déduitsd'uneanalysemicromécanique(matriceH). On a vu les conditionsd'activationdes varianteset donc d'apparitionde la martensite,il faut maintenantrelier l'évolutiondesvariablesinternesfn aux paramètresdu chargement,à savoir la contrainteet la température.
  TII.2.3- LOI DE COMPORTEMENT III.2.3.1 - Loi d'évolution La démarchethermodynamique précédentenous fournit un critère local de transformationquechaquevariantede martensitedoit vérifier pour être susceptiblede s'activer.Pour cesvariantes,leur fractionvolumique peut progresserlorsque les paramètrescaractérisantle chargement évoluent.Il faut donc trouverune relationentrel'évolutiondesfractions volumiquedechaquevarianteetcesparamètres(contrainte> température T). La loi de consistance permetd'écrire:
  =#or.#dr+{6sn dFn Ce qui revientà écrire,d'après(III.38):
  rililii-BdT-IHnmdfm-o
  -84-
  -6
  (rrr.46) drn=I[""* ]-' ('il-û - Bdr)
  (rrr.47)
  m
  Cette équation indique que la progression d'une variante dépend non seulementde I'accroissementde la contrainte réduite sur cette variante, mais ausside la présencedes autresvariantes.Lors d'un refroidissementà contrainteconstante(fluageanisotherme),la matriced'interactionH influe sur les progressionsdes variantesen privilégiant les variantesà,interaction faible. 111.2.3.2- Modules tangents thermomécaniques Les modules tangents thermomécaniquesl(r) et m(r) relient la déformation totale locale à la contraintelocale et à la température:
  ô i 1( r ) = l i j u ( r ) è t t ( r ) - m l i ( r ) f
  (rrr.48)
  le comportement local, Afin de déterminercesmodulesqui représentent nousallonsétablirune relationdu mêmetype ô(r)=f(er.r(r),t) afin précédentes. d'identifierlesmodulesl(r) et m(r) auxexpressions Pourcela,on utilisela loi de Hooke:
  (r)- éili(r)- e[rf .l] GII.4e) (r)[ekr ô1i(r)= ciin(r)eir(r) - ci.;r.r : s contributions Rappeldesdifférente
  =crôst I e|li(r)
  j e[1t'l Ln
  puisqu'ildoit être vérifié pour toute Le critèreest égalementnécessaire, varianten:
  (ru.s0)
  =Bt+)Hnmfm tËqôpq m
  -85- CHAPITRE I I I : Modélisation du .fluage anisotherme
  La loi de comportement(III.49), introduitedansle critère (III.50) donne: ()
  tËqCpq.rl tr,(t) - crôrst \m)m
  (+
  I"ntft
  (+
  I
  -aôrrf) - Bt + efincpqrs>r[ft = rËqcpqrr(È.r(r)
  *"n*f* = - (t * rËqcpqrroô^)f efncnorrèrr(r)
  (I[.51a)
  m
  *Hn- = avec: Hnm+ efocnnrreil
  (III.srb)
  Soit, en inversantl'équation:
  - (n * fn = I(*rn'")-t[rËn"pq,,ê,,(r) 4ncpq.,oô,,)r]Grr.s2) m
  Cette expression, réintroduite dans la loi de Hooke (III.49), perïnet d'obtenir la contraintelocale en fonction des variablesdésirées. On a:
  t ôi1(r) - Ciikr O6O1 lrll
  ^ t* -*r-l -
  I
  l.n,.) lll
  -cii*1r)loôs I
  n't
  )
  (,,I.53) L'expressiondes modulesthermomécaniques locaux est ainsi déterminée, ils s'expriment:
  -86- CHAP ITREI I I : M odélisation du fluage anisothenne
  liir.l(r)= Ciin (r) -Ciirs(r)Irl,(.""*l' Irffi
  - crig(r) mu(r) = C1n(r)aô1p I
  r[,(
  .t"'f t
  (r) efioCoon (n + r6cpqrroôr,)
  o,ffi
  (rrr.s4)
  On a établi un critère de transformationpermettantde déterminerquelles sont les variantesqui s'activent.D'aprèsce critère et la connaissancedes variantes présentesdans le monocristal,on déterminp leurs fractions volumiquesen fonction desparamètresde contrôleque sont la contrainteet de l'évolutionde la transformationdansun la température.La connaissance monocristalest donc possible,et ce, pour un chargementthermomécanique quelconque(dI ou dT). Il est ensuitepossiblede déterminerles propriétés du monocristalqui est l'élémentconstitutifde I'agrégatpolycristallin.
  DU POLYCRISTAL III.3 - COMPORTEMENT III.3.I - DÉFINITIONDU PROBLEME intragranulairenous a permis Jusqu'àprésent,l'étudedu comportement du grain. La microstructureplus d'aboutirà la loi de comportement liées desdifficultéssupplémentaires, complexedu polycristalfait apparaître aux interactionsentre les différentsgrains. La méthodede transition résoutcettedifficulté en remplaçantle milieu d'échelleautocohérente entourantun grainpar un milieu homogènelBZ84IlBZ93l. Les hétérogène sont alors celles du grain avec ce milieu contraintesintergranulaires quela structurepolycristalline).On fait homogène(demêmecomportement T estuniformedansle polycristal. quela température l'hypothèse localpeutêtredéfinide la manièresuivante: Le comportement -87- CHAPITREI II : Modélisationdufluage anisotherme
  ôii (r) - liikt(r)ér.l(r) - m1(r)T
  (m.ss)
  ei;(r) = gijkl(r)ôn (r) + nii(r)f
  (rrr.s6)
  Remaraue: (III-56)+(III-55) +
  ' (r)=[li1u (r)] Biin I t = (r)] mn(r) Ini1(')[lr:*
  (rrr.57)
  o(r)e(rlT Comportementlocal: connu
  Comportement global:à déterminerI, E, T Fig.III-4: Position du problème et formalisme utilisé. Les variables en minuscules (majuscules) se rapportent au comportement microscop ique (mncroscopique). On supposeque le comportementglobal (ou effectifl)est défini de manière similaire par les relationssuivantes:
  - Mîjttt i,j = r,"i.;llEn
  (rrr.s8) -88- CHAP ITRE I I I : Modélisation dufl unge anisotherme
  (rrr.s9)
  +Nfirrî ËI =cfirfi>r.r Remarque: (III-59)+ (III-58)+
  =[t"',T']-' I"ru=
  (rrr.60)
  Milf l*ift [t",,ï,]-'
  du comportement Les modulgsfeff s1Çeff sontles modulesmécaniques macroscopique,ils suffisent pour rendre compte du cornportement isothermedesalliagesà mémoirede forme tPEB94l.Afin de modéliserle comportementanisothermede ces alliages,on introduit les modules thermiqueseffectifs14eff91i{eff.
  III.3.2 - HOMOGÉT'ÉISANON ET LOCALISATION L'objectif étant de décrire le comportementglobal à partir des relations de comportementlocal, on introduit deux relationsde localisation:
  ô1i(r) = Biig (r)Ir.r + b1i(r)T èii(r) = Ailn (t)Ër.r+ a1i(r)f
  (rrr.6l) (rrr.62)
  et L'intt'oduction de localisationmécaniques. A(r) et B(r) sontles tenseurs le calcul destenseursde localisationthermiquea(r) et b(r) sontnécessaires En effet, il en fluageanisotherme. si I'on veut modéliserle comportement entraîneune modificationdes est évidentqu'unevariationde température champslocauxde contrainteet de déformation. Le champde Les relationsde moyenneusuellesdoiventêtre satisfaites. contrainteest statiquementadmissible(divO- 0) et O.n=I.n sur le contour:
  -89- CHAPITRE III: Modélisation du fluage anisotherme .lF
  IU=
  (rrr.63)
  dv VJ "U(r) V
  adririssible(e(r) est Le champ de déformationest cinématiquement compatibleet dérive d'un champde déplacement u vérifiant u=E.n sur le contour): .
  lf
  (rrr.64)
  EU=VJtrj(r)dv v
  Remarque: On peut citer deux propriétés importantesdes tenseursde localisation:
  -*J"u(r)dv o
  VV
  (III.61)+(III.63)= (r) dv = Iiikr et + JnXn v
  l.r
  VJ
  br(r)dv=o
  V
  De plus, on peut éviter de déterminer tous ces tenseursde localisation, sachantqu'ils sont interdépendants.En ffit, (III.60)+(III.59) +(III.62) +
  = Ai3kr (rl[t?lt-n i-n *[o,:0,trl[rf,r-" è;1(r) ]-trill + uiirrl]t ]-t
  (rrr.6s) En introduisant ce résultat dans la loi de compoftementlocale (1il.55) puis en identifiant ù (III.6I), on obtient: (
  r ^rr
  r-l
  (r) = (r)Ar1r"(r)[Lffipq I B,:oo li3n ] (III'66) tM;tnt (r)[nor-"rrl[r;11n0 (r) * akr,r,]-m1i trl = l,1ru f {ox Les tenseurs de localisation étant interdépendants,nous choisissonsde calculer A(r) et a(r) uniquement. Ces considérationsfaites, on détermine les modules thermomécaniques apparaissantdans les lois de comportement globales. En introduisant (lll.62) dans(III.55), on obtient: -90- CHAPITRE I I I : M odélisation du fluage anisotherme
  ôi1(r) = liSkl(r)An*n (r)E*n + [ri;n(r)an(r) - miltr)]t En moyennantcette expressionsur tout le volume V et en identifiant le résultatà la relation(III.58), on aboutit à:
  (r)Amnn(r) dv l-ïfi,= Jti1n,,, * V
  (rrr.67)
  - liin(r)ag1r;] av *ïft = J[mi1(r) i V
  La déterminationdu comportementthermomécaniquemacroscopiquese ramène alors au calcul de ;eff s1 IVIeff à partir des modules locaux l(r) et m(r), des relationsde moyenne(III.63) et thermomécaniques (III.64) er des tenseursde localisation A(r) et a(r). La déterminationdes tenseursA(r) et a(r) s'obtientpar résolution d'une équation intégrale qui relie le comportementlocal (en I'occulrencele gradientde vitessedu milieu microhétérogène)aux conditions globalescinématiques(imposéessur la frontière du solide macrohomogène).Par rapport aux précédentstravaux, cette équation intégrale devient thermomécanique,elle prend en compte le terme températureainsi que les nouveauxtenseursde localisation introduits a(r) et b(r).
  III.3.3. APPROCHEAUTOCOUÉNENTE III.3.3.I - Équation intégralethermomécanique local aux L'objectif est d'obtenirune relationliant le comportement conditionsglobalesafin d'identifierles tenseursde localisation(relation 11l.62).L'équationintégralereprésentele premierpasdu calcul qui nous mèneraaux coefficientseffectifs.Les résultatsobtenusdanscettepartie seront tout à fait généraux.C'est l'étape suivante,I'approximation
  -9t - CHAP ITRE I I I : M odélisation du fluage anisothenne
  autocohérenteà un site, qui nous mènera à la résolution complète et exploitabledu problème. A) Définitions L'écriture de l'équation intégrale repose sur trois équations fondamentaleset nécessiteune technique de résolution particulière, la méthodedu tenseurde Green. - Le tenseurde Green Dans un volume V et de frontière S, une force unitaire f appliquéeen r' induit un déplacementu de la particule située en r. On introduit alors le tenseurde GreenG(r,r') tel que (fig.III-5):
  (rrr.68)
  u i ( r ) : G , j( r , r ' ) f i ( r ' )
  û(r) V
  Fig.lII-S: Définition du tenseurde Green G
  Dans le cas ou tout un ensemblede forcess'exercedansle volume dV' entourantr', on écrit alors:
  ui(r)= J c,i{r,,' )fi (r' ) dV'
  (rrr.69)
  V
  Un milieu infini(6)est invariablepar translation.La variable représentative est alors l'écart r-r' et non plus les positions respectivesr et r'. D'où I'introduction d'un tenseurd. G.r"n G(t-r') uduptéà r. nquivaut à faire l'hypothèse d'un milieu dont le volume élémentaire (le grain) est caracléristique du milieu.
  -92- ui(r) = J OU(r - r' )fi (r' ) dv'
  (rrl.70)
  V
  Pour un milieu infini et homogènede module élastiqueL0, le tenseur de Green défini précédemmentse calcule comme étant la solution de l'équation de Navier: Ll1gGm,lj(t - r' ) + ôirô(r - r' ) = 0
  (rrr.71)
  avec ôim: le symbole de Kronecker, ô(r-r') la distribution de Dirac,
  de G(r). Elle est La résolutionde (III.7l) est connueet donneI'expression complexeet ne fait pasI'objetde ce travail (cetterésolutionestdétailléeen quepar identificationavecl'équationde annexe2). On remarquecependant de l'élastostatique tB93l Navierobtenuegràceaux lois classiques
  (rrr.72)
  *fi =g Loi3tour.,g
  Gkm désignele déplacementau point r dans la direction k provoqué par I'application au point r' du milieu infini de module L0 d'une force unité fi = ôipô(r-r') s'exerçantdans la direction m. Le tenseur de Green étant défini, nous pouvons, à partir des équations fondamentalesqui régissentle problème,construirel'équation intégrale qui lui est liée. - Relationsfondamentales Soit notre milieu infini macrohomogèneet microhétérogènesoumis sur sa frontière (de normale n) à un champde déplacementud tel que:
  (rrr.73)
  ul = Eijnj
  -93 - CHAPITRE I II : ModéIisation du fl uage anisothenne
  En premier lieu, l'équilibre d'un élémentde volume dV en I'absencede forcesde volume impose: og,j =0
  avec q symétrique
  (rrr.74)
  le champde déformationvérifie les Dansle casdespetitesperturbations, équationsde compatibilitéet dérivedoncd'unchampde déplacement u(r):
  eii(r) - ùi,j(r) = j (0,,,(r) + ù;,i(r))
  (rrr.75)
  Ces conditions s'appliquentau niveau local pour lequel la loi de comportement(III.55) doit être égalementvérifiée.En appliquantcette dernièredansla relationd'équilibre(III.74), celle-ciseréécrit:
  (t)ekl(r) - mii(r)t],. = 0 Ili1g
  (rrr.76)
  On tient comptede nouveauici de la température en utilisantI'expression (III.55) qui relie le champde contraintelocal au champde déformation local et à la température. Cetterelationd'équilibreestle point de départde l'écriturede l'équationintégralethermomécanique. B) Résolution Un des principes de base des méthodesà transition d'échelle est d'introduire un milieu homogène de référence(fig.III-6) de modules thermomécaniquesL0 et M0 et soumis à une déformation uniforme E0, ce qui permet d'exprimer les modules locaux en fonction de leurs parties déviatricesôl(r) et ôm(r):
  (r) liin(r)- L$u+ ôl;1n mu(r) = Mfl+ ômii(r)
  (rrr.77) (rrr.78)
  Ainsi, la condition(III.76) devient:
  -94- CHAPITRE I I I : Modéli sation du fl uageanisotherme
  + ôliin(')]êu(r) - [tB * ômi;trl]t],,= o {[I-Orir.r
  (rrr.79)
  l(r) ou m(r) ôl(r) ou ôm(r)
  des propriétés F ig.I II -6: Représentationschématique gène. déviatricesdu milieumicrohétéro dansle matériauconduità: L'hypothèsede I'uniformitéde la température
  (r)t],, = o (r)èr.r(r) - ôm1i (r) + [ôri3r<r L!jr.rèr.r,j
  (rrr.80)
  peutseréécrire: Au regarddessymétriesdu module10, cetteexpression
  (r)ùr,r(r) - ômi.;{r)t],j= O (r) + L01inùr,ri [ili1r<r
  (rrr.81)
  La résolutionde ce systèmed'équationsdont les inconnuessont les vitesses de déplacementsù(r) fait appel au tenseurde Green pour le milieu infini homogènede module Lo. On introduit le conceptde forces volumiquesfictives fi,
  f' = ôlijn(r)ùr,r(r) - ômii(r)T (III.81)sousla forme: deréécrire cequi permet
  -95-
  (rrr.82) CHAPITRE I I I : Modélisation dufluage anisotheime
  (rrr.83)
  (r) + fi,j = 0 L?jr.lùr,lj
  On reconnaît dans cette expression,la forme de l'équation qui définit le tenseur de Green (III.7|). Cette écriture va permettre de déterminer les déplacementsu(r) sousla forme d'une équationintégrale. Cette équation ne sera plus seulementmécaniquecar elle doit prendreen compte les effets de la température. Les propriétésdu tenseurde Krôneckerôim et de la distribution de Dirac ô (r-r') permettentd'écrirepour la vitessede déplacementù(r):
  - r' ) dV' ù* (r) = Or(r)ô1n,ô(r J
  (rrr.84)
  V
  peutseréécrire: D'après(III.71),ceffeexpression
  (r (r' ù* (r)- -I-Tr.r J onrn,U r' )u; ) dv'
  (rrr.8s)
  V
  En utilisant les deux propriétéssuivantes:
  et
  Gkr,lj (r - r' ) = [Gnr,(r-r,) (r - r' ),, ],j - -Gkm,I j Gk.,lj (r - r' ) = -Gkm,l'(r-r')(r - r' ),i = Gk-,t1
  (rrr.86) (ur.87)
  on résouten intégrant deux fois par parties.Ainsi, on a: Gk*,I,j, ùi (r' ) = [Gnn ,1,ùi (r' )],,, Gk n,l,ùi,J(r' )
  (rrr.88)
  (r')].,' - Gkrnùi,j,t'(r') ù1,1
  (rrr.89)
  et: Gkm,t'ùi,J(r') =
  [On-
  Finalement,le termedansI'intégralede I'expression(III.85) peut s'écrire: Gkr,lj ùi (r' ) = [Gorn,1ùi(r')],,
  ùi,J(r')],, * Gk* ùi,J1,(r') [On,o
  , (rrr.eo)
  -96- CHAPITRE I II : M odélisation du fluage anisotherme
  L'intégrationdes trois membresdonnele résultatsuivantpour la vitessede déplacementù(r) ù r n( r ) = I l * 1 2+ \ .
  GII.91)
  Calculde It:
  Il = - J t9,"[on*,1'ùi(r' )],,,dV' V
  It peutencores'écrire: d'Ostrogradslcy, Parle théorème ' = -Jf t O .j ùi (r')ni' dS' LijgGm,L Ir
  S
  Sur la frontière, cette intégrale est la solution relative à un milieu homogèneayant même géométrieet soumisaux mêmeconditions limites en surfaceque le solide considéré.Ainsi:
  Ir - ù3,(.)
  (trI.9la)
  . Calculde Iz. Pour 12,le résultatest nul car les conditionsaux limites appliquéesau imposé(III.73): volumeV sontuniquementdesconditionsde déplacement '
  O .1 ùi,1(r' )n1dS'= Gn,"Efi(r' )n1dS'= 0 lz = f rLijnGrrn J I
  (ilI.glb)
  . Calculde Il: D'après(III.87),Il seréécrit:
  13= -J tT*Gk* ùi,jr(r') dv' V
  (+ I3: -J tT* [on* ùi,j(r')],,av'-l tgrotokm,r ùi,i(r'),dv' VV
  (+
  ùi,i(r')dV' dS'-Jtfr*Okm,l ùi,i(r')n1 r, : -JL0i.lnGmn SV
  dV' dV'= <+ 13= -JGorn,,l9.i6ùi,i(r') JOo*,,f;
  -97-
  ([I.9lc) CHAPITRE I I I : M odélisation duflusge anisotherme
  En définitive, (III.9l) se simplifie de la manièresuivante:
  (r - r' l[ôfiir,l(r' )ùr(r' ) - ôm;;(r' )t] AV' ùm(r) - ù$ (r) + J Ono,,, V
  (rrr.92)
  Ou encore,aprèsdérivationet symétrisation:
  - ômii(r'lî] av' (r) - Ë9.,n * arnU(r- r' l[ôli1r.r(r' Ë,nn )en(r' ) J V
  avec:
  (rrr.e3)
  l,nn,j= j[o*,,in +cni,3m] le tenseurde Greensymétrisé.
  La relation obtenue (III.93) constitue une équation intégrale thermomécaniquereliant indireetementla vitesse de déformation loeale è(r) au chargementthermomécaniquecarzctêisépar É0 et f . Sa solution permet de calculer les tenseursde localisation A(r)'et a(r). Diverses méthodes existent, comme la méthode de Born par approximations successivesou encore I'approcheautocohérente.Cette dernière est utilisée car, bien que moins rigoureuse,elle ne nécessitepas de moyensde calcul trop complexesou trop performantset esttrès bien adaptéeà nos exigences.
  III3.3.2 - Résolutionformelle D'après IDZ73\, le tenseurde Green symétriséf(r-r') peut être locale1l1r)et une composante non locale en une composante décomposé ;nl(r_r').
  - r' ) + rilh(r- r' ) I-iin(r- r' ) = riJn(r)ô(r
  (rrr.e4)
  avecô(r-r') la fonctionde Dirac.aupointr'. On peutalorsréécme(III.93) sousla forme suivante:
  -98- CHAPITRE I II : Modélisat ion du fluage anisotherme
  (r)ekl(r) - ôm1i(r)t] e,nn(r) = E$n * rl""U1r;[ôli1g
  (r - r' l[ôrxn(r' )en(r' ) - ôm1(r'lf ] ov' (ttl.gs) * J aât"u V
  Cette expressionmontre effectivementque la déformationau point r résulte de la contribution de plusieursfacteurs,à savoir:
  a) Lesconditionslimites b) L'effet du point r surlui-même (effet local) c) L'effetdespointsr' surr (effet à distance)
  oel ,:)
  La difficulté majeure de cette équation est le calcul du terme non local. Dans le but de supprimer ce dernier, cherchons les conditions qui I'annulent,c'està dire:
  (r')î] av'= o (r' )èn(r' ) - ôm1 ( - r' l[ôri3n J t*t"t: r V
  (r') - m1i (r';t + rrafft] (r' (r' ov'= o J[rxr.r )en ) L01.;r.rer.r
  v
  = (r' (r' lf] av'-L?.in, Jrnt(r') dv'+vtrtflt o JIrr1n )èg ) mi3(r' v
  v
  Grr.96) Le premier terme intégréreprésentela contraintelocale ô(r) et en vertu des relationsde moyenne(III.63) et (III.64), cetteéquationest équivalente à:
  +vuflt =o vi,.i- vI-!1sep Soit i,j = L$nEn- Mlt
  (rrr.e7)
  On s'aperçoitque la condition qui permet d'annulerle terme non local de l'équation intégrale thermomécanique(III.95) est relative au choix du
  -99- CHAPITRE I II : Modélisation du fluage anisotherme
  milieu homogène de référence.La condition (III.97) est à la base de I'approximation autocohérente:par identification avec (III.58), on déduit que le milieu homogènede référencedoit être égal au milieu homogène équivalent que I'on chercheà déterminer,soit:
  =t-",fil, Jt9:nt
  (rrr.98)
  l*8 =tljtt
  Dans ces conditionsseulement, l'équationintégralethe'rmomécanique se simplifie:
  (r) = Ë$n+ *nU 1ry[ôlilrcr (r)en(r) - ôm11{r)t] é,nn
  Orr.ge)
  possible, I'inversion En supposant onpeutécrire: è,,,n(r) :
  {I*no,
  - r[r,:(r)ôli.;no f r)]
  Ë$,.,- *nr* (r)ômr.(r)t
  (rr.100)
  À ce stade,on voit apparaître la forme è(r)=t(Éo,f)
  Cui va nous
  permettreI'identificationdestenseursde localisationA(r) et a(r). En effet, (lll.62) nousautoriseà écrire: (
  J
  Ailn (r) -
  r-l I - I.i]n'n (r)ôl'"nkt (r)l _J_____ r___ [Ii1r<l L r
  r
  ,
  (III.l0l)
  (r){r*n (r)ômn,n (r) [a;1(r) Ai3H Un rappel des principauxrésultatspermetde définir le comportement généralde la manièresuivante: * Comportement macroscopique
  Iir,
  - *ïjttf -L"ii{rEr.r
  (rrr.A)
  +Nfirrt l",i =cfiflr>r.r * Modules thermomécaniqaes macro scopiqaes
  -t00- CHA PITRE I I I : M odéIi sat ion du fluag e ani sotherme
  t",:t[,=
  * J
  trjmn(r)An'ns(r) dv
  V
  (rrr.B)
  - tiin(r)an1r;]ov *îtt = J[mi1(r) i V
  * Tenseursde localisation
  (r)ôlrn11 (r)] Aip (r) - [ti1n- r1!,nn (r)ôm*n(r) a1i(r) - Aiikt(t)I.fu,on
  (m.c)
  * Modules thermomécaniques mieroscopiques
  (r) = Ciin(r) - Ciirs (r) I tl, li.;ru
  (."""';-'
  (r) efincnnr.r
  ll,IIl
  .tn')-t = ciSn(r)aôp- ciin (r) rt, ( m;.;(r) (t * ,Ëqcpq*oô,, I ) tr'ffi
  avec
  *Hn* =
  Hrm+ efincnorre$
  (rrr.D) (rrr.E)
  Jusqu'àprésent,les formulationssont encoreformelles et donc trop généralespour permettreune résolutionet un calcul siniple desdifférents macroscopique. En effet, le moduleset tenseursdécrivantle comportement milieu est considérécomme "continu".Pour simplifier ce problèmeet permettreune simulationnumérique,on supposedans la suite que les propriétésdu milieu sontcontinuesparmorceaux. [I.3.3.3 - Approximation autocohérenteà un site cristallographiques Un polycristalestconstituéde grainsd'orientations consisteà considérerle différentes.L'approximationautocohérente homogène. intragranulaire comportement le milieu granulairequ'estle polycristalpar On choisitdoncde représenter N inclusionsI de volumeVI, danslesquellesles champsde vitessesde déformationet de contraintesontuniformes(fig.III-7). Ainsi, si HI(r) estla
  -tu- CHAPITRE III: Modélisation du
  fonction indicatriced'Heaviside,les champsÈ(r), ô(r), ôl(r) et ôm(r) du polycristal sont des champs continus par morceaux et ont les formes particulières suivantes:
  (rrr.102)
  éi.;(r) I
  (rr.103)
  ô;1(r) I
  (r) = ) art,,n,Ht ôliir<t t.l
  (rrr.104)
  I
  (ru.10s)
  ô mi .;(r) I
  avec: rHr I \( r ')-= { t t i r e v l -
  1 0 s ir e v l
  Fig.III-7: Approximntionautocohérente: Lespropriétéssont unifurmesdanslesgrains. considérées A priori, cetteapproximationd'homogénéité intragranulaire peut paraître injustifiéepour l'étudedu comportement desalliagesà mémoirede forme. Les différentesvariantesde martensitequi peuventapparaîtredansle grain ont tendanceà s'opposerà cette hypothèse.Cependant,on estimeque I'approchemicromécaniqueantérieurepermettantla déterminationdu monocristallin(du grain)estsuffisamment comportement réalisted'unpoint de vue physiquepour justifier cetteapproximation réaliséeà l'échelle supérieure.
  -r02- CHAPITRE I II: Modélisation dufluage anisotherme
  Si I'on considèrealors une inclusionde volume VI et pour r€VI, on peut écrire:
  eii(r) = elli
  ôliin(r) - orllr.r et
  ômii(r) = ômlij
  L'équationintégrale(III. 100)devientalors:
  - ô*lî] ov (')lôrlinrL, * J.1,,,,: è*n(r)=Éfl,n
  (m.106)
  VI
  Le champ de déformationdansI'inclusion,en tenantcompte des relations de moyennese calculecommesuit:
  .r = I r (r) dv èt il' v rJ.eii
  (ur.r07)
  (III.106): C'està dire,d'après
  - ô,nlt[ =Elnn dvdv'(m.r08) * èlnn #[tt:n,'|, J.l*1(r) Posons:
  = L l.tl'",,(r) dvdv' ',Il",: # VI VI
  (rr.109)
  Le calcul analytiquede ce tenseurest assezcomplexe,il figure en annexe2. Il représenteet décrit les interactionsdu grain I sur lui-même. Les effets des autresgrains sur le grain I ne sont pas directementpris en compte du fait de I'annulation des termes à distancepar le choix du milieu homogène de référence.On parle alors d'une approximation autocohérenteà un site. Cependant,et c'est là un des atoutsde la méthodeautocohérente,ils sont tout de même pris en compte au traversde I'interactionentre le grain I et le milieu homogène équivalent (censé représenteraussi fidèlement que possiblele comportementdu milieu granulaire).
  -103- CHAPITRE I I I : M odélisation dufluage anisotherme
  Danscesconditions(III.108)devient:
  - 41"10.1t =E9'n +*l"r;orfinelkr èlnn
  (rrr.110)
  Ou bien encore:
  - rilnuorlno èLn=[rn,nnn ] rjtn.,o-[,t ]-tE$o lr*non rfi,,i1arfpq
  (rrr.1 11)
  On en déduit donc, par identificationavec (III.62); les tenseursde localisationAI et aI relatifsau grainI.
  - rfiI"uorfpq [r,nnoo ] Iol""* :
  (rr.112)
  l"l =nfr.rrill,,'nô-Ln
  nt^-->^ Lr alPrçù
  l^^ lçù
  -^l^+i^-^ lçrclLrurlù
  l^ rrs ur\rJçrurs
  ( l l l A 2 . \ ^ + ( l ] t f Â / , 1\ ^ : - ^ : çL \ur.v'Î/r 4lllùl \rrr.\rJ,,
  ^"^ Yue
  l^ JÂf?-i+i^rÉ \rçrll[Ll\Ir
  de la fonction d'Heaviside,la contraintemacroscopiques'écrit, en notant fI=!I/! la fraction volumique du grain I:
  iU=i{,u(r)dv=+Iul (+ iu =rI>(tl*'|, )- rtl(-lt) II
  (+ i,j =rI>(tl*A[,*nË,"")*rII(tl""ilt)-rI>(*iî) III
  -'n'',)t (ru.l13) (+ i,.;=Itt(tl*Al,,nn)","n+),rI(rl,,nr"L, paridentificationavec(III.58): Finalement,
  t",f,," I
  (rr.114)
  - *l tîjtt I tt (rlilor"Lr ) I
  -t04- CHA PITRE I I I : M odéIi sat i on duflua ge anisotherme
  Le seul point non résolu est relatif au tenseurd'interactionTII défini à partir du tenseur de Green G(r). Ceci est effectué en annexe2, d'une manière analytique d'abord puis à I'aide une méthodede résolution numérique élaborée par Lipinski [LCB87], incluse dans le modèle informatique développépour ce travail. Le point nouveauest le calcul des modules effectifs 14effs1i{eff qui permettentde relier une variation de températureà ses conséquencessur les champs de déformation et de'contrainte macroscopiques.
  rrr.3.4- REMARQUE À ce stade,le problème peut être considérécomme résolu, ou tout au moins partiellementdansla mesureou les résultatspossèdentune forme implicite. En effet, les tenseursde localisationdépendentdes modules effectifs (III.112) qui, eux même, sont fonction des tenseurs localisations (III.ll4). Cette difficulté est résoluenumériquementpar I'utilisation d'une formulation incrémentale.Lors d'un chargement,la détermination des propriétésdans une inclusion (un grain) se réalise en la supposantentourée du matériau homogèneéquivalent dont les propriétés ont été déterminéesau pas précédent.L'annexe 3 abordeces considérationsnumériques,on y trouve égalementles organigrammes,la notion de tempsde calcul et certainsproblèmesparticuliersà l'écriture du programmeinformatique. La températuren'est pas seulementune variable de contrôle pour la transformation martensitique: certains .effets thermiques sont intrinsèques à la transformation. En particulier, on observe un dégagementde chaleur lors de la transformation directe et une absorptionlors de la transformationinverse.L'étude suivante permet de prendre en compte ces phénomèneset d'apprécier I'influence de la vitessede sollicitationsur le comportementmécanique.
  -105- CHAPITRE I I I : Modélisation du.fluageanisotherme
  III.4 - INFLUENCE DE LA SOLLICITATION
  VITESSE DE
  III.4.1 - INTRODUCTION Le modèle présentéjusqu'ici permetde rendrecomptedes comportements en superélasticitéet fluage anisothermedesalliages à mémoire de forme en présencede variations de températureetlou de contraintesimposéesde I'extérieur. La transformation martensitiqueétant une transition du premier ordreo elle s'accompagned'un dégagementde chaleur lors du passage austénite+ martensite(transformationexothermique)et d'une absorptionde chaleur par la transformationinverse martensite-+austénite(transformation endothermique).Ces phénomènesmodifient localement la températurede I'alliageen fonction du sensde la transfonnation,de la vitessede fornnation de la martensiteet des conditions d'échangede chaleurdu matériauavec I'extérieur(conditionsaux limites imposéesà l'éprouvette)[VD81]. La prise en compte de ce phénomèneinterdit de considérerla températureT comme homogène dans l'échantillon et égale à la températureextérieure imposée dansl'équation (III.56). Une écriture correcteserait (en notant 0(r) le champ de températuredansl'échantillon): e(r) = g(r)o(r) + n(r)O(r) avecE et Textles conditionsaux limites imposéesau système. Ce phénomènea déjà été I'objet de plusieursmodélisations.Abeyaratneet Knowles [AKK94] ont étudié ce problèmedans un barreausoumis à une élongation. La température y est considéréecomme non uniforme et l'équation de la chaleur est résolueen considérantdifférentesconditions aux limites aux extrémités du bareau. Zanzotto et aL.lFZ9ll ont étudié le même problème en utilisant une loi de comportementdifférente pour le matériau. Plus récemment, Lexcellent et al. ILGS96] ont étudié ce t06 - CHAPITRE III : Modélisation du fluage anisotherme
  phénomène dans un monocristal monovariant. Dans I'approche par transition d'échelleque nous avonschoisie,la prise en compted'un champ de température variable rend impossible les opérations de localisation réaliséesau $III.3.3.l.: seulesdeuxsolutionssontpossibles.Soit le modèle est restreint aux sollicitations suffisamment lentes pour que l'équilibre thermique 0(r)=fext soit supposéconservé.Cette hypothèseest implicite dansle 9III.3.3.1.Une deuxièmesolutionconsisteà simplifierle problème Chrysochoos[CPM93] a montré à partir de considérationsexpérimentales. d'une part que la chaleurde transformationa une influence non négligeable sur la réponsemécaniquedu matériau(la températures'élèvede plusieurs degrésdans l'échantillon) et d'autrepart que l'élévationde températurese produit de façon assezuniforme dansles échantillonspolycristallins.Cette dernière constatationperrnet de simplifier suffisammentle problème pour rendre possibleI'utilisation de la méthodede transitiond'échelledu $III.3 tout en conservantle mécanismeà I'originede la modificationde la réponse mécanique(la variation de température). Dans la suite, on supposeque le champ de température0(r) dans le polycristal est uniforme et de valeur T différente de la température extérieureText. On supposedonc que le gradient de températureest nul dans le matériau. Cette hypothèseest justifiée d'une part par le fait que I'austéniteet la martensiteont des conductivitésthermiquestrès proches. D'autre part, dans un polycristal, la multitude des sites de transformation entraîneune répartition des sourcesde chaleurrelativementhomogènedans l'échantillon. Cette hypothèserevient à considérerun matériau à I'intérieur duquel la conductionde la chaleurest infinie ou tout au moins pour lequel les échangesde chaleurse produisentà desvitessessupérieuresd'au moins un ordre de grandeurà celles dessollicitations mécaniques. Dans ce cas,I'approchepar transitiond'échelleproposéedansce travail est d'établirla relationqui existeentrela inchangée.Il est seulementnécessaire formation de la martensite (ou sa disparition) et la températureT. Les conceptset résultatsde la thermodynamiquedes processusirréversibles constituentici le cadrethermodynamiquetB68l qui va permettreune prise en comptede cesphénomènes.
  -t07- CHAP ITRE I I I : Modélisation du fluage anisotherme
  111.4.2. ÉVOIUTION DE LA TEMPÉRATURE DU POLYCRISTAL AVEC LE TAUX DE MARTENSITE Dans ce paragraphe,on rechercheune relation globale liant le taux de martensite formée (ou résorbée)et la variation de températureobservée dans l'échantillon. On obtient cette relation en complétant I'analyse thermodynamiqueréaliséeau $III.2.2.1. On considèrecomme volume élémentairereprésentatifun cristal d'austénite. Le point de départ est l'écriture du secondprincipe de la thermodynamique. Soit aDl'énergie libre d'Helmholtz du système.Cette énergie dépend de la déformation totale E, de la températureT et des variables internes fn choisies pour décrire l'évolution des aspectsmicrostructuraux.L'écriture du secondprincipe conduit à I'inégalitéde Clausius-Duhem[G73]:
  D= oiiËii- p>$f" ntôfn
  - $sruotr) >o r-
  (m.1ls)
  Danscetteexpressionde la dissipationD, o estle tenseurdescontraintes,p la massevolumiqueet q le vecteurcourantde chaleur. Parhypothèse: grad(T)- g
  (rrr.116)
  Cette hypothèseentraîneégalementla nullité du vecteur courantde chaleur q. En effet, on supposeque la conductionde chaleurévolue suivantune loi linéaire isotropede type Fourrier, c'està dire: 9 = -k grad(T)
  (III.I l7)
  avec k la conductivité thermique du matériau (assimilée comme étant infinie puisque la températureest la même en tout point de l'échantillon à tout moment).Finalement,I'expression(III.115) se réduit à la dissipation intrinsèqueDl, qui doit êtrepositiveou nulle. -t08- CHAPITRE III: Modélisatiott du fluage anisotherme
  Dr=o,jEI-P>4f"
  i afn
  =o
  (rrlr18)
  Dans les conditionsexpérimentalesdes essaisréalisés(absencede sources volumiques de chaleur), on montre dans Chrysochoos [CD92] que l'équationde la chaleurse simplifie sousla forme: ^t
  -
  pcrt-k r-D1I +pr>+fn I
  =o
  (rrr.l19)
  f,ararn
  au pointconsidéré. t estla dérivéeparticulairede la température
  .
  ;aTt =;
  + î grad(T)=;
  aT
  d'après(III.116).De plus, î
  étantla vitesse
  . .
  de la particule,ce termeest négligeabledansle casde faiblesvitessesde sollicitations sur desmatériauxmétalliques. AT est le laplaciende la températureT. Par hypothèse:AT=0 Cf et k sont respectivementla chaleur spécifiqueà'fh constantset le
  .
  coefficient de conductionisotrope. Au secondmembre,on retrouvela dissipationintrinsèqueet les termes
  de couplagethermomécanique. Le gradientde températureest nul. ChrysochoostCPM93l a montré que la dissipationintrinsèqueD1 est très faible devant la chaleur latente de transformation de phase. Elle est donc négligée dans ce ,calcul. En l'équationde la chaleur(III.I19) seréduit à: conséquence,
  (rrr.120)
  pcrt=prl*t"
  ; dr afn
  À ce stade,il est nécessairede rappelerla forme du potentielO. Son expressionest déterminéeà partir de l'énergielibre d'Helmholtzpar unité d'unvolumesoumisà un champ de volumeOy qui décritla transformation ET). eT(r)(et macroscopique de transformationmicroscopique
  t09 - CHAPITREIII: Modélisationdu fluaReanisotherme
  *u (u,r,er) =
  - n[ ("*,- ) )ci3n i(",, "i, -*Jtri r'F[ (r)dv+B(r- rox
  (rrr.r2r)
  V
  Ce potentiel s'écritalors,pour les fractionsvolumiquesconsidéréescomme variablesinternes:
  ("n,- Ei,) i(ru ET)cry.r
  *u(",T,fn)-
  .;>Hnmf nfm+ B(r - ro )If n
  (rrr.r22)
  nn
  *-i*"
  (rrr.123)
  Par unité de masse:
  (III.120)seréécritalors: et I'expression
  =4f crt=TIEf" ' p io
  avecf=Ifn
  (rrr.r24)
  n
  on
  détermine une variation de température proportionnelle à I'accroissementde fraction volumique. On a fait I'hypothèse d'une transmission instantanéede la chaleur dans l'échantillon, on peut donc généraliserce résultatpour un polycristal,les quantitésCf, B, p et T étant supposéeshomogène.Il vient:
  (rrr.12s)
  t=T " f Pcr
  Cette équation de couplage est introduite dans le modèle et permet de rendrecompte de I'influencede la vitessede sollicitation sur des alliagesà basede Cuivre ($V.2.3). Deux casextrêmessontpossibles:le casisotherme pour une vitessede sollicitationlenteet le cas adiabatique(priseen compte de l'équationde couplageIII.l25) si la vitessede déformationest rapide. L'étude de vitessesde sollicitation intermédiairestelle que le processusne - II0- CHAPITREIII: Modélisationdu
  réalisée en introduisant un soit ni isotherme ni adiabatique peut être chaleur avec l'èxtérieur h paramètre phénoménologiqued'échange de (III.125) sousla forme suivante: tLGSg6l). on réécritalorsl'équation
  (rII.126)
  pcrt + n(r - lext)= rnf
  Si h est infini' on retrouve Si h=0, on est en présenced'un cas adiabatique' dansles cas intermédiaires' le cas isotherme.Les valeursde h sont à ajuster
  M.5 - CONCLUSION les équations littérales Le but de ce chapitre était en premier lieu d'établir des alliagesà mémoire de relatives au comportementsuperthermoélastique anisotherme'En second forme, en vue de modéliserdes essaisde fluage de chaleur pendant les lieu, une prise en considération des échanges compte de I'influence de la transformations a êtéeffectuée afin de rendre vitessede sollicitation en superélasticité' pelmet de prendreen compte: Le cadrethéoriquedévetoppéjusqu'àprésent . Le comportementlocal desconstituantset notammentla prise en compte savoir la formation des des mécanismesélémentairesde déformation, à ainsi aux modules différentes variantes de martensite.On a pu aboutir variantes activées thermomécaniqueslocaux en fonction des différentes monocristal' et de leur fraction volumique respectivedansle la . L'effet des paramètres de contrôle que sont la contrainte et et évolution) des température sur la transformation (activation présenteslors de la différentes variantes de martensitepouvant être transformationde phased'un volume monocristallin. du . Les interactions intergranulaires lors de la détermination thermomécaniques comportementpolycristallin à partir des modules monocristallinsquirégissentlecomportementdesgrains.
  -ill- CHAPITREIII: Modétisationdu
  '
  La texture cristallographiquedonnéepar les orientationscristallines des différents grains composant le polycristal par rapport au repère macroscopiquepar le biais desanglesd'Euler. La texture morphologique (forme et orientation des grains) prise en compte lors de la déterminationdu tenseurd'interaction. L'influence de la vitessede sollicitation par la prise en compte des échangesthermiquesaccompagnant la transformation.
  -t12- CHAPITRE III: Modélisation du fluape anisotherme
  - Référencesbibliographiques-
  [AKK94] AbeyaratneR., Kim s.J.,KnowlesJ.K.,"continuumModelling of Shape Memory Alloys", dans Mechanics of phase Transformation andShaoeMemoryAlloys, Éd.by BrinsonL.C andMoratrB., AMD, 189,PVP, ry,ASME (1994)
  tB68l
  Boccara N., dans Les principesde la Thermodynamique Classique, Éd. PUF,Coll.Sup.(1968)
  lBe2l
  BensalahM.O., "Contributionà l'étude des comportements thermomécaniques desmono et polycristauxen plasticité de transformation", Thèsed'Etat,UniversitéMohammedV, Rabat, Maroc(1992)
  tBe3l
  BerveillerM., "comportement mécaniquedesmatériauxsolides microhétérogènes", Coursde D.E.A.,Universitéde Metz(1993)
  [BZ84l
  BerveillerM., ZaouiA., "Modellingof the plastic Behaviorof Inhomogeneous Media",J. Eng. Mat. andTech.,106, pp.295299 (1984)
  tBZe3l BerveillerM., Zaoui A., "Modélisationdu Comportement Mécaniquedes SolidesMicrohétérogènes", Ch. de Formation Avancéede Méc.desPolymères, Cluny(1993)
  ICDezl ChrysochoosA., Dupré J.C., "An infra-red 'set-upfor Continuum Thermomecanics", Actes du colloqueeIRT, Eurotherm,Seminar27, Éa. Européennes Thermiqueset Industries(1992) [CPM93] ChrysochoosA., Pham H., MaisonneuveO., "(Jne analyse expérimentaledu comportementthermomécaniqued'un alliage
  -n3- CHA PIT RE I I I : M odéIi sati on du fl uage anisotherme
  à mémoiredeforme de typecu-zn-A|", c.R. Acad.Sci. Paris, 3I 6, SérieII, PP.I 031-1036 (1993) IDOV88] Delaey L., Ortin J., Van HumbeeckJ., Procs of Phase É0. C.W. Lorimes,The Instituteof Metals, transformations'87, @ (1e88) lDZ73l
  DederichsP.H.,7-ellerR., "VariationalTreatmentof the Elastic Constantsof DesorderedMaterials",Z. Phys',259, pp'103
  (re73) tE6ll
  Prog.in EshelbyJ.D., "Elasticinclusionsand inhomogeneities", (1961) SolidMech.,2,PP.89-140
  tE94l
  à l'étudemicromécanique El AmraniZinfiM., "Contributions s thermoélastiques ", Thèse, martensitique des transformations Universitéde Metz(1994)
  tEPEg5l EntemeyerD., Patoor E., EberhardtA., Berveiller M., "MicromechanicalModelling of the Superthermoelastic Behavior of Materials UndergoingThermoelasticPhase Les Éditionsde Transition",Procsof ICOMAT'95,Lausanne, ( 1988) Physique,pp.233-238 tFHB8Tl FassiFehri O., Hihi A., BerveillerM., "Elastic Interactions Single Crystals",Scripta BetweenVariantsin Pseudoelastic (1987) Met.,21,PP.771 Irug\
  Fedelich8., ZanzottoG., "One-DimensionalQuasistatic Evolutionof ShapeMemoryMaterial insidethe Nonisothermal HysteresisLoop", Cont.Mech.and Therm.,3, pp'25I-276
  (lee1) tG73l
  Germain P., dans "Cours de mécaniquedes milieux continus", Éd. Masson,1, Paris(1973)
  -il4- CHAPITRE I I I : Modélisation dufluage anisotherme
  tL92l
  des métauxen Lipinski P., "Modélisationdu comportement transformationsélastoplastiques finies à partir desméthodesde transition d'échelle",Thèsed'habilitation,LPMM, ISGMP, Universitéde Metz (1992)
  ILCBST] Lipinski P., Corvasce F., Berveiller M., "Effect of morphologicaltextureon the overall elasto-plasticbehaviorof (1987) 3thRISOInt. Symp.,pp.409-414 metallicpolycrystals", tLGSg6l Lexcellent C., Goo 8.C., Sun Q.P., Bernardini J., "Characterization,Thermomechanicalbehavior and ConstitutiveModel of ShapeMemory Micromechanical-based ActaMater.,44,no9,pp.3773-3780 Cu-Zn-AISingleCrystals",
  (ree6) tP86l
  Patoor 8., "Contribution à l'étude de la plasticité de transformation dans les mono et polycristaux métalliques", Thèse,Universitéde Metz (1986)
  tP95l
  Patoor 8., "Comportementthermomécaniquedes alliages à mémoiredeforme", Mémoire d'habilitation, Université de Metz,
  (1ees) tPC53l
  PatelJ.R.,CohenM., "CriterionfortheActionof AppliedStress Acta Met., 1, pp.531-538 in the MartensiticTransformation",
  (1es3) IPEBST] Patoor E., Eberhardt A., Berveillet M., " Potentiel pseudoélastiqueet plasticité de transformation martensitique dans les mono et polycristauxmétalliques",ActaMet., 35, nol l, (1987) pp.2779-2789 [PEB88] Patoor E., Eberhardt A., Berveillet M., "Thermomechanical behaviour of shapememoryalloys", Arch. Mech., 40, pp.775794 (1988) -I15- rme CHAPITREI I I : M odélisationdufl uageanisothe
  [PEB94] Patoor E., Eberhardt A., Berveiller M., "Micromechanical Modelling oï the ShapeMemory Behavior", Procs ASME V/AM'94,ChicagoI.L., AMD-l89/PVD-292,pp.22:37(1994) tR7ll
  RiceJ.R., "Inelasticconstitutiverelationsfor solids:an internal variabletheoryand itsapplicationto metalplasticity",J. Mech. (197I) Phys.Solids,19,pp.433-455
  tSH93l
  modellingfor the Sun Q.P., Hwang K.C., "Micromechanics ConstitutiveBehavior of PollycrystallineShapeMemory Alloys",J.Mech.Phys.Solids,4l,pp.I-17 (Igg3)
  [SH94]
  Sun Q.P., Hwang K.C., "Micromechanics Constitutive Descriptionof Thermoelastic Martensitic Transformations", Advancesin Applied Mechanics,31, AcademicPress,New York, pp. 249-298(1994)
  tVDSll
  Van HumbeekJ., DelaeyL., "The influenceof çtrain-rate, amplitudeand temperatureon the hysteresisof a pseudoelastic Cu-Zn-Alsinglecrystal",J. de Phys.,C5, noI0,42, pp.10071 0 1 1( 1 9 8 1 )
  D.S.,ReadT.A., "On the theoryof [WLR53] WeschlerM.S.,Liebermann theformationof martensite", Trans.AIME, 197, pp.l503-1515
  (1es3)
  - l16- CHAPITREIV: - Résultatsexpérimentaux pourun alliage CuAlBery.I - INTNODUCTION
  PageI 18
  rv.z- DrsposrrrF urpÉrunnENTAL
  Page 119
  tv.z.t- uarÉruEl.D'ESSAI rv.2.z- pnÉpenerroN onsÉpnouvETTES pm'rÉnsNTs tv.z.3 TypES D'ESSArs
  r19 r22 t25
  IV.3 . SUPERTHERMOÉLASTICITÉ NBS MONOCRISTAUXCuAlBe PageI 26 IV.3.1- INTRODUCTION
  rv.3.2- suppnÉresrrctrÉ IV.3.3- FLUAGEANISOTTIERME IV.3.4- DIAGRAMMB D'ÉTAT
  126 127
  r32 . . . . . . . . . . .I.3. .6. .
  IV.4 . SUPERTHERMOÉLASTICITÉ NBS POLYCRISTAUXCuAlBe Page139 IV.4.1.INTRODUCTTON
  rv.4.2- suppnÉr.esnctrÉ IV.4.3- FLUAGEANISOTHERME TV.4.4 - INFLUENCE DE LA VITESSE DE SOLLICITATION
  r39 t4l 145
  151
  ry.5 . CONCLUSION
  Page152
  nÉT"ERENCES BIBLIOGRAPHIQUES IV
  Page154
  -il7- CHAPITREIV: Résultats
  Ce chapitre décrit des essaisde traction isotherme et de fluage anisotherme réalisés sur un alliage à mémoire deforme de rype CuAtBe. Ces essais sont réalisés sur des éprouvettes monocristallines et polycristallines de même compos,ition. L'influence de la vitesse de sollicitation sur Ie comportement superéIastiquedespolycristaux est égalementétudiée.
  IV.l - INTRODUCTION Les atliagesà mémoirede forme de typeCuAlBe sontactuellementI'objet études,leurspropriétésen font desalliagestrèsintéressants de nombreuses pour les applicationsindustrielles.Ces alliagesprésententune stabilité thermiquebien supérieureaux CuZnAl et une mise en oeuvreplus facile que les CuAlNi (absencede précipité y fragilisant). Les propriétés à cellesdesCuZnAl tB90ltF93l. sontégalementsupérieures mécaniques faible, étantencore,très Le nombred'étudesportantsur leur comportement à cetteétude. cet alliageaétê choisicornmesupportexpérimental Au sein du Laboratoirede Physiqueet Mécaniquedes Matériaux de I'universitéde Metz, A. Hautcoeura mis au point uneméthodeindustrielle d'élaborationde fil monocristallinen alliage cuivreux tH96l. Cette méthodeprésentela particularitéde pouvoir réaliserdes monocristauxà monoet polycristallines partir de polycristauxet d'obtenirdeséprouveffes de même composition,ce qui permetd'effectuertout'un ensemblede à la validationd'uneapproche mesuresoriginalesparfaitementadaptées micro-macro.Rappelonsquele modèleutilisé dansce travail déterminele desgrainsqui le comportementd'un polycristalà partir du comportement commedesmonocristaux.Ces constituent,ces derniersétantconsidérés essaisvont ainsi permettrede valider le modèleet de caractériserle uniaxialeset à de I'alliageCuAlBesoumisà descontraintes comportement desvariationsde temPérature.
  I18- pour un alliaee CuAlBe CHAPITREIV: Résultatsexpérimentaux
  IY,2 - DISPOSITIFEXPERIMENTAL 1V.2.1- MATÉRIEL D'ESSAI
  l-c"".ig"""" rc-l
  l: MachinedetractionZWICK l00kN 2: Unité de commandeélectronique de la machinedetraction: programmenumériquement le pilotageet réaliseI'acquisitiondes données -l00oCà +200'C 3: Enceintethermostatée: 4: Unité de commandede I'enceintethermostatée 5: Micro-ordinateur PC:Entréedesdonnées liéesà I'essaiet stockage desÉsultats 6: Imprimante 7: Eprouvette 8: Extensomètre 9: Capteurdetempérature fixé sur l'échantillon
  Fig.N-I: Dispositifexpérimental utilisépour réaliserdesessais de tractionsuperéIastique à dffirentes températures et deflunge anisothermesousdffi rentes conffaintes appliquées.
  -ilg- CHAPITRE IV: Résultats expérimentauxpour un alliage CuAlBe
  mécaniques sontmisenoeuvre: Deuxtypesd'essais . Desessaisde tractionuniaxialeisotherme:essaisde superélasticité. . Des cyclesthermiquesà contrainteuniaxialeimposée'constante: essais de fluageanisotherme. Ces différentsessaissont réaliséssur une machinede tractionZWICK de la d'une capacitéde l00kN (PhotolY-z),la vitessede déplacement traverse mobile est imposée.La machineest pilotée par un microordinateurqui réaliseégalementI'acquisitiondesdonnées. programmablequi L'éprouvetteest placéedansune enceintethermostatée contrôlela températurede I'essai.Cetteenceintepermetde réaliserles cycles en températuredans la plage de -100 à 200"C. Les vitesses nominalesde refroidissementet de chauffagesontles suivantes:3lVmin. entre0 et 100'C.,lK/min entre-100et OoCet entre100et 200'C. Il n'est paspossiblede réglercesparamètres, seulesles températures de consigne peuventêtremodifiées. L'éprouvetteoune fois fixée dansles morsde la machinede traction, est pour la mesuredesdéformations. équipéeen sonmilieu d'un extensomètre Une sondefixée à l'éprouvettepermetde mesurerla températureen surface.Le systèmede serrageet de fixation des éprouvettespermet d'éviterla torsionde l'éprouvettelors de la miseen placeet pendantI'essai (PhotoIV-3). qui est imposéeindépendamment, Mise à part la température, I'essaiest piloté à partir d'un micro-ordinateur PC équipédu logiciel ZWICK1008 qui permetla commandede I'essai(via I'unitéde commandeélectronique) et I'acquisitiondesdonnées.PendantI'essai,cetteacquisitionsefait selon un incrémentimposép- I'utilisateuret concernecinq paramètres: . Le tempst (seconde) . Le déplacement x de la traverse(mm) . L'effort F appliquéà l'échantillon(N.) . L'allongementÂl mesurépar I'extensomètre (mm) . La température T mesuréeau contactde l'échantillon("C)
  t20 - e CuAIBe
  CHAPITREIV: Résultatse.
  Photo.lV-2: Machine de traction utilisée pour les essais de superéIasticttéet defluage anisothernte.
  Plutto.lV-3: Di,spositifde serrageet de ntontagede l'éprouvette.Il pennet d'éviter la torsiottdeséprouvettesoLtttlotttogeet en Coursd'eSsai. I2I CHAPITRE IV: RésultatsexpérimentauxWur un alliage CuAlBe
  Au cours des essais,on négligela variation de sectionde l'éprouvette.Les déformations e et contrainteso sont calculées d'après les relations suivantes: f,:-
  ^l
  le
  et
  $=-
  F
  Ss
  avecl0 et Sg la longueuret sectioninitiale.
  desfichiersobtenuspermetde tracerles courbeso-e Un post-traitement (superélasticité) Il permetégalementde suivre et t-T (fluageanisotherme). imposés(paramètres supposés les dériveséventuellesdes paramètres ou contrainteo, en fluage constants):températureT en superélasticité anisotherme.
  1V.2.2- PNÉPNRATIONDESÉPROWETTES Les essaisont été effectuéssur un alliageCuAlBede composition(en Vo massique):lI,6VoAl et 0,57oBe. Les polycristauxsont fournispar la sociétéTréfimétauxsousforme de fil de section circulaire d'environ 1,5 mm de diamètre.À partir de ces polycristaux,desmonocristauxsontélaborésau Laboratoirede Physiqueet MécaniquedesMatériauxtH96l. On obtientainsidesmonocristaux d'une longueurde I mètreet de sectionidentiqueà celle des polycristaux.La méthodeutiliséepermetde conserverla compositionde I'alliage. Les éprouvettesutiliséessont coupéesà partir des différents'fTls,leurs principalescaractéristiques sontdonnéesdansle tableauIV-4. Longueurutile moyenne (mm)
  Diamètre moyen (mm)
  To Ms
  ("c)
  Monocristal
  100
  1,5
  =S
  Polvcr.brut
  r00
  1.46
  =-40
  Tableau IV-4: Caractéristiques des éprouvettes monocristallines et p olycristallines brutes de livraison.
  -t22- CHAPITREIV: Résultutsex
  Les échantillonsdisponiblesétantsousforme de fils, la réalisationd'essais est impossible. de compression On choisit la phaseausténitiquecomme étatinitial et on rechercheun état de départ le plus uniforme possiblepour toutes les cristallographique à éprouvettes.Pour ces raisons,on effectueun recuit à 690"C commun I'ensembledeséchantillonspolycristallins.On réalisele traitementsuivant: . Préchauffagedu four à 690"C . Introductiondeséprouvettes et maintienà 690'C pendant5 min' .
  à I'air libreRefroidissement d'augmenterla taille des grains [896]' Ce traitementa pour conséquence pm' Sur les échantillonsbruts, le diamètremoyen des grainsest de 100 Après traitement,ce diamètreest multiplié par trois environ (fig.IV-5)' Un tel résultat est égalementresponsablede modifications au niveau des températuresde transformationtH96l.
  Fig. IV-5: Micrographies de I'état initial et de l'état recuit (d'après *5' Hiiro,rnr A. - LPMM - IJniversitéde Metz tH96l): Grossissement
  - t23- CHAPITRE IV: Résultatsexpérimentauxpour un alliage CuAlBe
  Pour les monocristaux,aucun traitementthermiquen'est nécessaire.Seul une immersion pendantcinq minutesdansde I'acide nitrique dilué à 60Vo permet de détecterles joints de grain indésirableset de sélectionnerles éprouvettesentièrementmonocristallines. On supposeque le comportementde I'alliagemonocristallinétudié s'inscrit dans le même type de diagramme de phase métastable que celui précédement déterminé pour un alliage CuAlBe de composition légèrementdifférente (fig.IV-6): Il,6Vo Al et 0,52VoBe en 7o massique lHEP94l. 350
  F"+ cl'
  p'(8")
  À o
  tr
  Ë rso E
  (Y-> F")
  U
  cr'-->B'
  -70 -50 -30 -l MS Af
  50 T.i
  70
  90 I l0
  (oC) Température
  130 T.a
  Fig.N-6: Diagramme d'état métastableobtenupour un alliage CuAlBe monocristallin(Ms=- I 0"C) [ HEP94]. Comme pour les alliagesde type CuAlNi [SSo85], on observequatre types de martensite:t', F', F" et G'. La phase 0' r" forme à partir de
  -t24- pour un alliage CuAlBe CHAPITREIV: Résultatsexpérimentaux
  I'austénitep et la phaseB" à partir de la martensitef. Le diagrammelaisse : apparaîtrequatretempératurescaractéristiques - MS, la températurede début de la transformationausténite-martensite, - Af, la températurede fin de la transfonnationmartensite-austénite, - Tci est la températurecritique à laquelleles transformationsinverses c['+ F' et B'+ B ont lieu simultanément. - Tca est la températurecritique à laquelle les transformatio,nsdirectes p'+ F
  "t
  F'-) c[' ont lieu simultanément.
  On s'attacherapendantnos essaisà ne caractériserque le comportementlié à la transformation martensitique B + B'. Au-delà de 250 MPa et de 130oC,le diagrammeindiqueI'apparitionde nouvellesphases.On se limite donc au niveau de la contrainte maximale et de la températuremaximale pour éviter I'apparitionde cette secondetransformationde phase.Pour tenir compte de la composition légèrementdifférente de I'alliage utilisé ici, les contraintessont limitées à 200 MPa et la températureà 100"C.
  LV.2.3- DIFFÉRENTSTYPESD'ESSAIS pour caractériser le cornportement Trois sériesd'essaisont étéeffectuées de I'alliageCuAlBe. . Dans un premiertemps,des essaisisothermes(tractionuniaxiale+ décharge)à T>Ms permettentd'apprécierI'influencede la température Ils permettentégalementde sur le comportementsuperélastique. physiquesou mécaniques indispensables à mesurercertainsparamètres la modélisation. . Dans un secondtemps,des essaisde fluage anisothermeont été effectués.Ces essaispermettentde caractériserd'une manièreplus Pour les complèteI'alliagedansle diagrammecontrainte-température. on s'aperçoitque le rôle joué par la contrainte essaisanisothermes, appliquéeest nettementplus importantquecelui de la températurelors desessaisisothermes. -r25- CHAPITRE IV: Résultatsexpérimentauxpour an alliage CuAlBe
  Ces deux sériessont réaliséesà la fois sur les éprouvettesmonocristallines et polycristallines. ' L'influence de la vitesse de sollicitation sur le comportement superélastiqueest égalementétudiéepour le polycristal. Remaroue: L'extensomètreest calibré à la longueur initiale lo=Q,94mm. (environ I}Vo de la longueur utile des éprouvettes),de façon à éviter les effets de bord dans la zone de mesure.Il est toujours placé au centre de l'éprouvette.
  IV.3 - SUPERTHERMOÉIASTICITÉ MONOCRISTAUXCuAlBe
  DES
  IV.3.I - INTRODUCTION La réponse mécanique d'un monocristal dépend fortement de son orientation cristallographique[HIM88]. Dans le but de s'affranchirde cet effet, tous les essaissont effectuéssur un seul et unique échantillon.Ceci (-tù l
  \
  'a^l
  3 \i À
  r
  \J
  \
  I
  N,b ) \\ v
  est permis de part le caractère réversible du comportement superthermoélastique. Cependant,des étudesont montré que la fatigue affectele comportement du monocristal. On observe une diminution de la contrainte seuil de transformation ainsi qu'une augmentationde la pente de transformation [MS94]. Un tel comportementest relié à la productionde défautspendant la transformation martensitiqueet à I'interaction entre ces défauts et la transformationelle-même [SRA85I. Pour limiter ces effets, on choisit de ne pas effectuerde cyclagepour chaqueconditiond'essai;de plus, un flash thermique à 200'C permet de restaurerl'échantillon aprèschaque essai
  lHEPe4l.
  126- CHAPITREIV: Résultatse
  Les différentsessaissont effectuésdansI'ordredonnéen fig. IV-7. En premier lieu on réalise des essaisisothermesà des températures croissantes: chaqueessaiestsuivid'unflashthermique. Unepremièresérie d'essaisanisothermeest ensuiteréaliséepour des niveauxde contrainte décroissants. Cette séquenceéduquel'échantillon,une déformationde transformationde 47oest obtenuepour un refroidissement sanscontrainte. Une secondeséried'essaisde mêmetype est effectuéeen réalisantcette fois ci un flashthermiqueaprèschaquesollicitation.Seulsles résultatsde cettedeuxièmesériesontexploitésdansIa suite. T ("C) Rq:. 5;gnlfie que l'éprouvette a subi un flash thermique
  8
  ",4:^
  E (MPa)
  Fig.IV-7: séquencerécapitulativedes essaiseXectuéssur le monocristal.
  TV.3.2- SUPERÉLASTICITÉ on choisit la vitessede traversesuffisamment faible.(lmm/min)pour
  -t27- CHAPITREN: Résultatse
  quasi-statique [E96]. supposerdesconditionsde chargement Afin de ne pas engendrerde plasticitéou une transformationF'+ cr' de la chargeà la déchargeest de 87ode (fig.Iv-6), le critèrede passage déformation mesuréepar I'extensomètre.L'arrêt de I'essai intervient lorsquela contraintes'annulelors de la décharge. croissantes Cinq essaisde tractionsont effectuéspour des températures comprisesentre7 et 80"C (fig. IV-8).
  â 100 È
  Ë80 E É
  U
  60
  4)6 Déformation(Vo)
  1
  Ftg.N.8t Courbesde traction superëlastiquepour le monocristal CuAlBe à
  dffi rentestempératures. donne:E=2104 MPa. Le moduled'Young,mesurésurlescourbes,
  - t28- pourunalliaSecuAlBe e.rpérimentau.r 1HAPITREIV: Résultats On obtient comme prévu des décalagesentre les différentes courbes (fig.Iv-8). La températurede I'essai détermine la contrainte seuil de transformation:la dépendanceainsi obtenueest linéaire.
  a)
  b)
  t--r
  du début de la transformation @hotographie *50) *"4r^Wue dansw, ittrr,rrtristalCuAlBe(Grossissement: et
  b) Schémàtisationd'après observationsexpérimentalesde la fonnation de la martensitedcutsun,nonocristaltB96l.
  -129- CHAPITREIV: Résultats
  r un alliase CtAIBe
  En traction uniaxiale,Ia martensiteforméeest normalementconstituée d'uneseulevariante[DKT74](fig.IV-9);ra mieux orientéepar rapportau repèredu chargement. La transformation de phasese réaliseà contrainte quasi-constante. Le plateaude la transformation esthorizontalpour 80oC, il est moins marquépour les températures prusfaibles:40o, 20" et 7"c. Deuxphénomènes distinctspeuventexpliquercettelégèrepente. ' D'une part, il est possibleque les contraintes localesassociéesà I'apparitionde la premièrevariantesont supérieuresà la contrainte externeet entraînentainsiI'apparitiond'unesecondevariante. ' D'autrepart, il est égalementpossibleque l'échantillon se transforme d'unemanièreplus homogèneà bassecontraintequ'auxcontraintesplus élevées.Dansce cas,plusieurssitesde transformation sontprésentset la transformationa lieu pour une part plus ou moins importanteen dehorsde la zonede mesurede I'extensomètre. par rapport à une transformationhétérogène où unevariantecroît dansla zone.demesure (et pour unemêmecontrainteappliquée), la déformationmesuréesera plusfaible. L'hystérésis augmentesensiblement pourles essaisà 60oet 80"C.Elle est d'environ25 MPa pour les essaisà 20 et 40oc (mesuréeà 4vo de déformation), ce qui correspondà celle obtenue par d'autres expérimentateurs sur des alliages CuAlBe de compositiondifférente tHEP94l. L'augmentationde I'hystérésisaux essaiseffectuésà 60 (36 MPa) et 80"C (58 MPa) provientsûrementd'unesecondetransformation martensitique (B'+a') qui se produità hautescontraintes.La contrainte seuil de la transformation inverseo'-+Ê' de cettesecondemartensite(o') étantinférieureà cellede la première(B'),celaexpliqueI'augmentation de I'hystérésis. Ces essaissont réalisésà vitessede traverseimposée.Les vitessesde déformationcorrespondantes sontdéduitesdescourbesde déformationen fonctiondu temps(fig.IV-10). La vitessede déformationpour la partie élastiqueest égaleà 3 l0-4 s-l. Les vitessesde déformationdans le -t30- domainede transformationvarient suivantla températurede I'essai(tab.Iv1l). Cependantcettevariation ne peut pas être responsabledes différences de penteobservéeslors des essais.En effet, il est connu que I'influence est inverse: plus la vitesse de déformation est impoftante, plu's la pente s'accroît[DDA78].
  ôrôî 1o
  8 4
  s6q
  ;6
  'Ë fil
  € \o,L
  4\o
  100 150 Temps(seconde)
  F|g.IV-IO: Courbesde déformationenfonctio@ superélastiques à dffirentes températures pour le monocristal. L'irrégularité des courbes(notammentà 80'C) provient de déformations ayant lieu en dehors de la zone de mesure de I'ektensomètre.La déformation obtenue est alors à caractère plus homogène à travers l'échantillon To de I'essai(oC)
  Vit. dedéf.êr 1s-11
  7
  20
  40
  60
  80
  1,6l0-3 1,6l0-3 2,1 l0-3 2,1 l0-3 3,2 l0-3
  Tab-IV-Il: Vitessesde déformation mesuréespour les essaisisothermes sur monocristauxà vitessede traverseimposéeconstante.
  -I3I- )HAPITRE IV: Résultatsexpérimentauxpour un hlliaSe cuAlBe
  pour une même vitesse de déplacementde la traverse, on obtient des vitesses de déformation différentes suivant la température de I'essai. pendant un même incrément de temps et par conséquent'unmême taux de déformation globale de l'éprouvette, la déformation mesuréeà 7oC est deux fois plus faible qu'à 80"c. Aux températuresplus faibles, la déformation est moins localisée, il se peut que deux plaquettes de martensiteapparaissentet progressent:une dans la zone de mesureet la secondeen dehorsde cette zone.
  IV.3.3- FLUAGE ANISOTHERME Une fois l'éprouvettemiseen place,I'essaidémarreparliapplicationd'une contraintequi resteensuiteconstantependanttout I'essai.Une température commandele refroidissement de consigne(dansle domainemartensitique) de l'étuve et de l'éprouvette.Le dispositifexpérimentalne pennetpas et de chauffageet par d'intervenirau niveaudesvitessesde refroidissement conséquent,sur les vitessesde déformation(fig.Iv-l2). La courbe permet de mesurerpour le refroidissementles température(temps) suivants: gradientsde température o -$ lUminutedansle domainede température [60",-5"C]et o -J trUminute [-5',-60'C]. dansle domainede température La vitessede chauffageestde 12trUminute Les vitessesde déformationsontau maximumde eT = I,65.10-4 pour à ta vitesseminimalelors des I'essaià l,imp = 60 MPa, ce qui correspond essaisisothermes.Nous pouvons donc dire que les conditions de pourcesessais. sontquasi-statiques chargement entreI comprises croissantes Lesessaissonteffectuéspourdescontraintes et 60 MPa. Les courbesobtenuessont typiquesdU comportement d'unalliageà mémoiredeforme(fig'IV-l3)' anisotherme
  t32 - GHAPITRE IVt Rétultottt*- "''
  "'
  - n - - un oiliog, crrArB"
  60 40 U
  20
  Ia E \(l)
  0
  o
  A.
  ,(.)
  -20 -40
  I
  -60 i
  0 12t
  \e E
  o crl
  tr \l)
  â
  I 'ol 8l t 6[ I'
  4l I
  2l t
  ol 0
  (seconde)
  3000
  Fig.IV- 12: Evolution de Ia températur, @ (b) enfonction du tempslors des essaisdefluage anisàthermedu monocristal CuAlBe.
  Les températures de transformation sontfonctionde la contrainteappliquée (fig.Iv-13). Il faut noterque la déformationmaximalede transformation obtenuedépendégalementdu niveaude contrainte(fig.IV -14). Ce phénomèneest en accordavec le mécanismed'accommodation des variantesde martensite.En I'absence de contraintesou lorsquecelles-ci sont très faibles,les variantesforméesne sont pas orientées(favorisées mécaniquement), elles ont alors tendanceà s'accommoderafin de minimiserl'énergieélastique.
  -t33- CHAPITREN: Résultats
  2 À o,i
  0
  o 4ù 40"-b ?J-2o:tt Temffrature('C) Essaisde fluage anisothermepour un monocristal CuAlBe à
  fiS.IWS,
  s. dffi rentescontraintes imposées constante l0
  oa
  8
  Eèe
  o'
  '<=
  ËË 6 Ëtr
  È.o =(,
  EF 4
  ,9b )Qo QË
  2 .a 0102030
  40 Contrainte
  50 MPa)
  60
  éformationmaximalede transformationenfonction de 2 fiiirà li: appUquAelors d'essaisde fluage anisothermepour le monocristal CuAlBe. -134- CHAPITRE IV: Résultatsexpérimentawcpour un alliage CuAlBe
  On peut scinderla courbeIV-14 en trois parties: . Au-dessus de 20 MPa, la courbe tend à se saturer pour une valeur proche de IÙVo,valeur obtenuepour une transformationmonovariante et pour un chargementsuperélastique.Ce résultat s'interprètecomme I'effet de la contrainte qui oriente et favorise la variante la mieux orientée par rapport au repère du chargement: dans ce cas, la transformationest monovariante. '
  Une partie à bassecontrainte(< 20 MPa) pour laquellela déformation décroît fortement avec la contrainte appliquée. Celle-ci, plus assez importante, ne favorise plus une seule variante et permet à plusieurs variantes de s'accommoderen faisant chuter la déformation de transformationglobale.
  .
  Pour les très faibles contraintes (< 5 MPa), l'éprouvette semble légèrementéduquée.Idéalement,un fluage anisothermesanscontrainte devrait aboutir à une transformation complète sans déformation macroscopiquede transformation.
  La courbeIV-14 peut être représentésur un mêmegraphiqueque les essais (fig.IV-15). On note une très bonne correspondanceavec superélastiques I'essai superélastiqueà 7'C. Ce type de résultat est attendu par Waram [W90]: pour un essai superélastiqueà une températureégale à M5, la courbe de comportement(et principalementla pente de transformation) doit correspondreà la partie linéaire à faible contraintede la courbe de déformation maximale de transformationobtenuelors d'essaisde fluage anisotherme.Le fait que la correspondance soit bonne pour I'essaià 7"C oC, (Ms + quelques voir tab.IV-I7) montre que notre échantillon s'est légèrementéduquélors des essaisde fluage anisotherme
  -135- CHAPITRE IV: Résultatsexpérimentauxpour un alliage CUAIBe
  70 60 50 À
  ë40 O
  tr
  Ë30 U 20 l0 0 46 Déformation(Vo)
  à 7"C et la Figure IV-15: Comparaisonentre Ia courbesuperélastique ,*rb, d, déf"rmationmaximalede transformafiàneT*ae'obtriu, à parrir desessaisdefluage anisotherme.
  IV.3.4 - DIAGRAMME D'ÉTAT et fluagesanisothermes),on À partir des essaisprécédents(superélastiques déduit le diagramme de phase contrainte-températurequi permet de I'alliage. caractérisercristallographiquementet thermomécaniquement C'est une donnéeimportantepour I'utilisation des alliages à mémoire de forme car il permet de différencier les domainesde stabilité des différentes phases.Par exemple,la droite de débutde transformationdirecte (MsMs') représentele départ de la transformationausténite-martensitelors d'un chargement(application d'unecontrainteou refroidissement). Plusieurstechniquesexistentquant à sa déterminationexpérimentale.On utilise une méthode d'intersection des tangentes schématiquement
  -136- CHAPITREIV: Résultats
  représentéesur la figure IV-16. La même méthodea été utilisée pour déterminerles lignesMMr, AsAs'. ArAr. ContrainteI
  Déformation
  Température T
  Déformation
  11
  ,72
  Fig.IV-16: Reprêsentationschématiquede la méthode de détermination par intersection des tangentesde la ligne de départ de la transformation directe (MSIUIS,).
  Les différentspointsreprésentant chaqueessai(isothermeet anisotherme) sont portés dans le diagrammecontrainte-température. Les lignes de transformation sontobtenuespar interpolationlinéaire(fig.IV-lg). On en déduitles caractéristiques dela transformation (tab.IV-17). Lignede
  PenteO'Â,
  Equationobtenuepar
  Température de
  interpolation linéaire
  transformation ("C)
  (MPaK-l)
  Sup:I = -11,2+2,OT Flu:I=-8,7+2,07
  5,5 4,4
  2 2
  E=-9,6+2,07
  4.8
  2
  MrMr
  E=14,5+1,6T
  -9,3
  1,6
  ASAS'
  I=-15,4+1,67
  9,4
  1,6
  ArAr
  S u p :I = -17,2+1,37 Flu:E = -25,6+1,'17
  l3 14,7 12.6
  1,3
  transformation
  MSMS'
  E = - 1 7 , 3+ 1 . 4T
  1,7
  T,4
  TableauN-17: Caractéristiques de la transformationde I'alliage CuAlBe monocristallin. On dffirencie les résultats obtenuspar les essais (Sud et ceuxobtenusparflunge anisothèrme superélastiques (Flu). -137- t20 crl
  =
  100
  o)
  Ê
  Ë 80 E U 60
  40 Temffrature("C)
  -fig.IV-I8t
  Diagramme d'état expérimental pour I'alliage CuAlBe monocristallin.
  Les pentesdes droites de transformationreprésententdes valeurs courantes pour un alliage à base de Cuivre: les valeurs prochesde 2iV4PalK sont similaires à celles obtenues par Hautcoeur [HEP94] pour un alliage CuAlBe de compositionlégèrementdifférente(1,9 MPa/K).
  t 3 8- pour Lutalliage CuAlBe CHAPITRE IV: Résultatsexpérintentau.tc
  IV.4 - SUPERTHERMOÉINSTICITÉ POLYCRISTAUXCUAIBE
  DES
  IV.4.1- INTRODUCTION à sontplus,difficiles Iesessaissurpolycristaux Parrapportau monocristal, plus complexeet naturepolyvariantede la microstructure interpréter: (fig.lV-19),interaction dejoints entrelesgrains,présence transformation sontmoinsmarquées. de grainfont quelestransitions
  Fig.lV-19: Micrographie représentantles variantes dans un grain d'un polycristal CuAIBe. L'effet du cyclageest beaucoupplus importantque sur les monocristaux: forte évolution du comportementdès les premierscycleset restauration incomplètepar flash thermique.L'utilisationd'uneéprouvetteuniqueest donc impossible:chaqueessaiestréalisésur une éprouvettedifférente.Un
  t 3 9- CHAPITRE N: Résultatsexpérimentaurpour un qlliage CuAlBe
  léger cyclage (entre cinq et dix cycles) permetd'obtenir une stabilisationdu comportement(fi g.IV-20). 300 250 (ll
  =2w
  !'ç
  Ë lsO o U
  100
  2,5 2 1,5 Déformation(7o) 7 6
  s
  5
  É
  €al4 Ê L
  qY? \(l)
  n 2 I 0
  -100
  -50
  0
  100 50 ('C) Température
  150
  200
  (T=60'C)et b) Fluagesanisothermes FtgJV-2Ua) Cyclessuperélastiques rz--no up;a) sur l'alliage cuAtBepolycristallin: au-delàde quelques cycles,le comportementeststable.
  -t40- CHAPITRE N: Résultats expérimentauxpour un alliage CuAlBe
  IV .4.2- SUPERÉLASTICITE au premieret aucinquièmecycle. principalement On s'intéresse Le critère de fin de chargement(décharge)est de 3Voen déformation Ce choix résulted'un compromis:éviter mesuréepar I'extensomètre. I'apparitionde déformationsplastiqueset faire apparaîtreclairementles martensitique. pentesde transformation de la traverseest Commepour le monocristal,la vitessede déplacement Lesessaisont étéeffectués imposéeet égaleà I mm/min(quasi-statique). suivantes:20, 40, 60,80 et 100'C.L'évolutionde la aux températures en fig.IV-21,les vitesses déformationen fonctiondu tempsestreprésentée calculéessontindiquéesdansletab.lY-ZZ. de déformationcorrespondantes 3,5 3
  s o Cll
  2,5 2
  É
  1,5
  \()
  1 0,5 0
  100 2w 300 400 Temps(seconde)
  100 2w 300 400 Temps(seconde)
  Fig.IV-2L: Graphes déformation-tempspour un polycristal CuAlBe: a) Premiers cycles; b) Cinquièmescycles(rapportésà la mêmeorigine). La vitessede déformationmoyenneest d'environ2lga (tab.IV-}z). Pour une même vitesse de déplacementde la traverse, les vitesses étaient d'environ 2 I0-3 pour le monocristal. La transformationdu monocristal se déroule par I'apparition et la propagation d'une variante dans tout l'échantillon. Quand I'extensomètremesureune déformation, on est a peu
  -t4t- CHAPITREN: Résultatse.
  un alliase CuAlBe
  près certain qu'en dehors de la zone de mesure, il n'y a pas de transformation.À I'inuerse,pour le polycristal,la transformationn'est pas Iocaliséemais se déroule "uniformément"danstoute l'éprouvette.La zone de mesure de I'extensomètrecorrespondantau dixième de la longueur utile de l'éprouvette,pour un même accroissementde temps et donç un même déplacementde traverse,on mesureenviron dix fois moins de déformation pour le polycristalque pour le monocristal. Températurede I'essai
  Vitessede déformarionè (s-l) ler cycle 5èmecycle
  20"c 40'c
  2,I 104
  2,5 104
  1,7r04
  l,g4 r0-4
  60'c 80'c 100'c
  1,65104 1,65104
  1,75104
  r,62r04
  r,75r0-4
  1 , 81 0 4
  Fig.IV-22: Vitessesde déformation lors des essaisisothermespour un polycristal CuAlBe. Le module d'Young E, d'après les courbes de traction, est'd'environ 60 GPa. Si nous choisissonsun coefficientde Poissonv=0,3, le module de cisaillementp vaut 23 GPa. Contrairement au monocristal pour lequel la transformationa lieu pour une contrainte quasimentconstante(plateaude transformation),on observeune pente de transformationsur les courbesde superélasticitédu polycristal (fig.IV-23). Cette pente est due à la multitude des variantesqui apparaît pendant la transformation et aux interactions intergranulaires.Elles entraînentune déformation moindre qu'une transformationmonovariante pour un mêmeaccroissement de contrainte. La déformation qui subsiste lorsque le matériau n'est plus sollicité mécaniquement(frg.IY-23b) est attribuéeà une déformationplastiquequi se produit localementdans l'échantillon [PS84] (notammentaux joints de grain) et à de la martensitepiégéedansI'austénitetcggl.
  -t42- CHAPITRE IV: Résultatsexpérimentauxpour un alliage CuAlBe
  400 350 300
  g zso à ;
  2oo .E g Ë
  E l5o 100 50 0 400 350 300 È ;
  Ë
  250 200
  ! É
  E lso 100 50 0 1,5 2 Déformation(7o)
  2,5
  Fig.IV-23: Courbes de comportementisothermepour plusieurs températures de l'alliage CuAlBepolycristallin:a) Premierscycles.b) cycles. Cinquièmes
  -t43- CHAPITREIV: Résultatsexpirjmentauxpour un alliage CuAlBe
  L'hystérésismesuréeà 1,5 7o de déformation (Âo), la'pente de transformation(0o) et la contrainte seuil de transformation (Mso) sont relevéespourlescyclesI et 5 dansle tableauIV-24. Température(oC)
  Âo (MPa) 0o (MPa) Mso ('C)
  20
  40
  60
  80
  100
  Cycle I
  83
  67
  59
  55
  78
  Cvcle 5
  67
  55
  46
  42
  50
  CycleI
  2085 3285 2657 2543 2228
  Cvcle5
  3943 4É.28 4000 3828 417|
  Cycle I
  133
  170
  207
  252
  322
  Cvcle 5
  85
  r42
  174 226
  278
  Tab.N-24: Évolution des caractéristiques de la transformation martensitique avec la températureen traction uniaxiale pour un alliage CuAlBe p oly c ristallin.
  cd
  À
  b
  t00
  5000
  80
  4000
  60
  6. 30@
  O. ë
  40
  b 2000 <D
  20
  1000
  0
  0
  0
  20 40 60 80 100 120 ('C) Temperature
  0
  20 40 60 80 100 120 Température fC)
  F\S.IV-2S:Évolutionde l'hystérésisAo (a) et de la pente eo ft) en pour ,l'alliage fonction de la températurede l'essai superélastique CuAlBe poIycri stallin. Il existeun intervallede température [60-80oC]pour laquelleI'hystérésis de la transformation estminimale,quelquesoitIe cycle(fig.IV-25a).pour des essaisréalisésà des températuresinférieures,I'accroissement de I'hystérésis estdu principalement à de la martensite piégée,visiblesur les -r44- CHAPITREIV: Résultats
  courbesde comportementlV-23. Pour I'essaià 100"C,I'accroissementde Ao est attribué à la présenced'une secondetransformationmartensitique (0'+a') lors du chargement.La contrainte seuil de retour à la phase austénitique de cf,' étant inférieure à celle de F', elle provoque de Ao. I'accroissement La pentede transformation0o est quasimentconstanteau cinquièmecycle. Un léger cyclagepermetdonc de stabilisercettevaleurà 4100 +350 MPa.
  IV.4.3- FLUAGEANISOTHERME Les essaisde fluage anisothermeont été réaliséspour les contraintes suivantes25, 50,75,100,150et 200MPa(fig-lV-27).Aprèsla imposées I'essaiestprogrammépar la donnéede misesouscontraintede l'éprouvette, deux températuresde consignede part et d'autre du domaine de permettreà de consignesontsupposées Cestempératures transformation. directeet inversecomplètes. l'échantillonde subirdestransformations de la modificationde la contrainteappliquéesont Les conséquences AT (mesuréeà mimultiples:tout d'abord,au niveaude I'hystérésis et dela pente0T (ld€ / dTl) (tab.IV-26). transformation) AT (K) Contrainteappliquée (MPa) Cvcle5 CvcleI 42 52.5 200 150 100
  75 50 25
  39 31,5 24
  30.7 34.5 24
  19,5
  19.5
  t2
  n.7
  er (K-1) Cycle 1
  Cvcle5
  9,2I04
  6,9 r04
  10-3
  8,2 L0-4
  g,g l0-4
  7,5 r0-4 7.9 r0-4 7.2 r0-4
  8,9 104
  7,5 r04 5.2 r04
  6.3 10-4
  Tab.IV-26:Propriétésde la transformationlors des essaisde fluage anisothermepour l' alliage CuAIBe p olyc ristallin.
  -t45- CHAPITREIV: Résultatsexpérimentaux pour un alliage cuArBe
  6
  5
  S4 tr '5 (rl
  E3
  \()
  2
  1
  0 _100 7 6 5 N
  E4 cl tr
  63 2 I 0
  Fig.lv-27: courbes de fluage anisothermede l'alliage cuAlBe polycristallin.a) Premierscycles;b) Cinquièmes cycles.
  - t46- pour un alliageCuAlBe CHAPITREN: Résultatsexpérimentaux
  Pour I'hystérésisde la transformation,la contrainteappliquéejoue le même rôle que la température lors des essais isothermes (fig.IV-28): augmentationde I'hystérésispour une contrainteappliquéeplus importante. L'influence du nombre de cycles est cependantmoins marquéepour ces essais anisothermes.La pente de transformationse stabilise après cinq cycles:elle estde 7,0 104 + I,2104.
  U
  60
  1,2
  50
  I
  40
  - 'v 0.8 (1
  '9
  -30
  0,6
  '<D 20
  0,4
  l0
  0,2
  0
  0
  fiS.IV-28:- Evolution de l'hystérésis(a) et de la pente (b) enfonction de la contrainte appliquéependant l'essaidefluage anisotherme. L'évolution de la déformationen fonction du temps (fig.IV-29) permet le calcul des vitesses de déformations. La vitesse de variation de la températuredans l'étuve pour I'essaià 25 MPa conduit à une vitesse de déformation de 10-5.Les autres essaiscorrespondentà des vitessesde déformation encoreplus faibles. La déformation maximale de transformationdépendégalementfortement de la contrainteappliquée(fig.IV-30). Deux stadessont toujours présents: évolution linéaire puis saturation(comme pour le monocristal), mais la courbe est quantitativement différente. La partie linéaire aux plus faibles contraintes(< 150MPa)possèdeune pentenettementplus faible, tandis que la saturationintervient plus tardivementet pour une valeur plus faible de la déformation: 6Vo.Cette valeur est la valeur maximale de transformation obtenue pour des essaisde superélasticité.Cela montre que,'lorsque la
  -t47-
  \ I
  CHAPITRE IV: Résultats expérimentauxpour un alliase CuAlBe
  contrainte appliquée est importante lors d'essaisde fluage anisotherme,le comportementdoit être similaire au comportementsuperélastique. 7 6 BeJ
  E4 GI
  E3 \d)
  â2 I 0
  7 6 èR E
  5 4
  crl
  tr ,9
  3
  \(D
  a 2 1,
  oo
  t40 l0 3seconde
  FiS.IV-29: Déformation en fonction du temps lors d'essaisde fluage anisothermepour l'alliage CuAlBepolycristallin: a) lers cycles; b) Jèmescycles(ramenésà la mêmeorigine). La différence de comportement au niveau de la contrainte maximale de transformation est importante suivant la nature cristallographique de I'alliage (fig.Iv-30). Pour le monocristal, de très faibles contraintes suffisent à privilégier la variante la mieux orientée, conduisant à une déformation de transformationimportante.Pour le polycristal, bien qu'il existe égalementdes variantesbien orientéesdanschaquegrain, celles-ci -t48- pour un alliage CuAlBe CHAPITREN: Résultatsexpérimentaux
  ne réussissentpas à transformercomplètementl'échantillon.Gêné par sa structuregranulaire,la transformationdu polycristal engendreun champ de contrainte interne que d'autres variantes (moins bien orientées) tentent d'accommoder. Cette légère accommodation,interne aux'grains du polycristal, réduit la déformation maximale de transformation du polycristal.
  t0
  6 ,Tmax
  ii,/.4
  i:lti i:./.4:
  :
  4
  0
  ,
  0
  50
  'i"""""'2""'2""""'; i.a.ai i.a,/i lt
  t
  I
  150 100 (MPa) Contrainte
  200
  250
  Fig.IV-31:Evolutionde la déformntionmaximalede transformationen fonction de la contrainte appliquéepour l'alliage CUAIBe polycristallin. Le diagrammed'état(ligneMSMS',MfMf, ASAS'et ArAr) esttracépour le polycristal. On différencie les points obtenus par les essais à partir desessaisde fluageahisotherme et ceuxdéterminés superélastiques sontrelatives (fig.IV-31).Les courbesutiliséespourobtenirce diagramme
  -t49- CHAPITRE N: Résultats expérùnentauxpour un alliase CuAIBe
  aux premiers cycles. Les pentesdes lignes de transition sont proches de 2Mpa ç-l (tab.IV-32).
  250 GI
  o{
  ëzffi (u
  E rsO E
  U
  -40
  -20
  FiS.lV-3I: Diagramme d'état expérimental de l'alliage CuAlBe polycristallin.
  (MrMs' et A5A5')sont bien Les lignes de départdes transformations définies quel que soit le type de chargement.L'erreur obtenueen approximantceslignesde transitionpar desdroitesest faible.Les lignes MfMf et AtAf ne sontpasaussinettementdéfinies.
  - t50- CHAPITRE IV : Résultatsexpérimentaux
  Ligne de
  Équationobtenuepar
  Température de
  dYa, Pente
  transformation
  interpolationlinéaire
  transformation ('C)
  (MPaK-l)
  MSMS'
  S u p :I =78,7+ 2,37 F l u :I =72,3+2,27
  -34,5 -33
  Z.-- 73,2+ 2,3 T E - 226,8+ 5,9 T 2=75, 9+2,87
  2,3 2,2
  -31.5 -38,3 -26.9
  2,3
  Sup:I = -15,7+2,27 F l u :I ' = 3 3 , 0 + 1 , 5 7
  7,2 - 21,4
  2=20,5+I,7 T
  -12.1
  MrMr ASAS.
  ArAr
  5,9
  2.8 2,2 1,5 1,7
  TableauN-32: Caractéristiquesde la transformationde l'alliage CuAlBe polycristallin. On dffirencie les résultats obtenus par les essais superélastiques(SuD et ceuxobtenusparfluage anisotherme(Flu).
  1V.4.4- INFLUENCE DE LA VITESSE DE SOLLICITATION L'effet de la vitessede sollicitationa étéréalisésur un polycristal CuAlBe à la températurede 60"C (fig.IV-33). Les essaisont été réaliséspour des vitessesd'avancesde traverse(et vitessede déformationcorrespondante) de 0,1 (2,3 l}-s r-1)et 100mm/min.(1,4 10-2s-1). La pente de transformationaugmenteavec la vitessede déformation. Ceci semblejustifié si I'on considèreque plus la vitesse de déformation est importante, plus les échangesde chaleur de l'éprouvettevers,l'extérieur sont réduits. En effet la transformationmartensitiqueest accompagnéed'un dégagementde chaleur (effet exothermique)qui est dissipé aisémentdans le cas de vitesses faibles. À I'inverse, une vitesse de déformation importante entraîneun accroissementde températuredans l'éprouvette,ce qui se représentedans le diagramme d'état contrainte-températurepar un trajet de chargementdifférent (fig.IV-34). Ainsi, pour un même niveau de contrainte,la déformationobtenuelors d'un essaià vitessede sollicitation rapide seraplus faible que pour un essaià vitessede sollicitation lente. On note égalementune augmentationde 27 MPa de la contrainte seuil de transformation pour I'essai à vitesse de déformation importante. Cette - I5I - CHAPITRE IV: Résultatse
  augmentation est supérieureà l'élévation attenduede températuredans l'éprouvette(10 degrésau maximum,ce qui correspondà 20 MPa).
  ctl
  300
  o 'ËF2 0 AE |r
  tr r'l
  v
  too
  0
  0,5 I
  1,5 2
  2,5 3
  0
  3,5
  0,5 I
  1,5 2
  2,5 3
  3,5
  Déformation (Vo)
  Déformation (Vo)
  fiS.IV-33t l"ftuence de la vitessede sollicitation sur l'alliage CuAlBe potycristallin pour un essai àT=60"C. a) Cyclel, b) Cycle 15-
  M5
  a)
  T
  b)
  Fig. IV-34: Représentationschématiquede l'influence de Ia iitesse di solticitation sur les courbesde comportementsuperélastiques.
  IV.5 - CONCLUSION L'alliage CuAlBe étudié sous sa forme monocristallineet polycristalline permet d'apprécier une partie des propriétésqui font de cet alliage un -152- CHAPITRE IV: Résultatsexpérimentauxpour un alliage CuAlBe
  produit intéressantpour des applicationsindustrielles.Au niveau de son comportement superthermoélastique, il est capable de subir des déformationsréversiblesd'environ5Vo.ll peut en subir de plus importantes mais il est nécessairealors d'étudier plus précisément la seconde
  transformationde phase B' déformations. Les résultatsprésentés dansce chapitrepermettentde caractériser certaines donnéesdu matériau,qui vontêtreintroduitesdansle modèle.Les résultats présentés expérimentaux dansce chapitrevont êtreconfrontésaux résultats de la simulationnumériquepar transitiond'échelleappliquéeà un tel alliage.
  -153- pour un alliage CuAlBe CHAPITRE N: Résultatsexpérimentaluc
  - Référencesbibliographiques-
  tBeOl
  Belkahla S., "Élaborationet caractérisationde nouveaux alliagesà mémoiredefonne bassetempératuretype CuAIBe", Thèse no90 ISAL 0095, Institut National des sciences de Lyon (1990) appliquées
  tBe6l
  Buathier.,"Étudede la fatigue mécaniqued'un monocristal CuAIBe- É,tudede la transformationmartensitiquedans un polycristal",Rapportde Stage,LPMM, Universitéde Metz
  (1ee6) tc88l
  Contardo L., "Étude des traitements d'éducation, de la stabilité et de I'origine de l'ffit mémoiredoublesensdans un alliage Cu Zn Al", Thèse no88ISAL0048, I.N.S.A. Lyon
  (1e88) IDDAT8l DelaeyL., DeVosJ., AernoudtE., "ShapeMemory Effict, Superelasticityand Damping in CuZnAl Alloys", INCRA Projectn"238,Report78R1,pp.55(1978)
  lDKfi4l
  Delaey L., Krishnan R.V., Tass H., Warlimont H., pseudoelasticityand the memoryeffect "Thermoplasticity, J. Mater.Sci.,9, with mnrtensitictransformations", associated pp.1536-15M (1974)
  tEe6l tFe3l
  interne(1996) EberhardtA., Communication Flores ZunîgaH., "stabititéthermiquede la phaseB et de l'effetmémoiredoublesensd'un alliage à mémoiredeforme de type Cu-AI-Ùe",Thèsen'93 ISAL 0107,Institut National de Lyon (1993) appliquées dessciences - 154- CHAPITREIV: Résultats
  A., Thèseen cours,Universitéde Metz Hautcoeur lHEPe4l HautcoeurA., EberhardtA., Patoor E., Berveiller M', Behaviorof MonocrystallineCu-Al-Be "Thermomecanical
  tHe6l
  ShapeMemoryAltoy and Determinationof the Metastable (1994) PhaseDiagram",Procsof ESOMAT'94,pp.459-464
  lHrMssl HorikawaH., IchinoseS., Morii K., MyazakiS., OtsukaK', (1988) Metalt.Trans.,l9A, pp.915-923
  lMS94l
  Malarria J., Sade M., "The effect of temperature on cyclingof CuZnAlsinglecrystals",ScriptaMet. pseudoelastic (1994) andMater.,30, PP.24l-246
  lPs84l
  PerkinsJ., SponholzR., "stress-induced martensite transformationscycling and two way shapememorytraining 154. pp'313in CuZnAlAlloys",MetallurgicalTransactions, 32r (t984)
  tsRA85l
  SadeM., RapacioliR., AhlersM., "Fatigue in cu-zn-Al (1985) SingleCrystals"'ActaMet.,33.no3,pp'487-497
  H., ShimizuK., OtsukaK., Trans.Jpn.Met., 26. tSSOSsl Sakamoto pp.638(198s) tV/901
  WaramT., "DesignPrinciplesfor NiTi Actuators",dans Engineeringaspectsof ShapeMemory Alloys, Butterworth Pub.,Londres,pp.234(1990) Heinemann ISBN0-750-61009-3
  -t55- CHAPITREV: Résultatsnumériques
  CHAPITREV: - Résultatsnumériquespour desalliages CuZnAlet CuAlBe V.l - INTRODUCTION
  Page 158
  V.2 - COMPORTEMENT SUPER. Page159 THERMOÉI-aSTIQUE V.2.1- CAS DESALLIAGESDE TYPECuZnAl utilisées V.2.Ll - Données V.2.L2- Résultats V.2.2- CAS DESALLIAGES DE TYPECuAlBe utilisées V.2.2.1- Données Y .2.2.2- Résultats V.2.3 - INFLUENCE DE LA VITESSE DE SOLLICITATION V.2.3.1- CasdesalliagesdetypeCuZnAl V.2.3.2- CasdesalliagesdetypeCuAlBe V.2.3.3- Conclusion
  V.3 - ETUDEMICROSTRUCTURALE
  159
  r59
  r6r r65 r65 167 172 173 174 176
  Page177
  r77 V.3.1- INTRODUCTION v.3.2 - CrNÉTTQUEET DÉF'ORUATTONDE TRANSFORMATION 178 178 V.3.2.1- Cinétique 181 Y.3.2.2- Déformationmoyennede transformation 183 V.3.3 - COMPORTEMENTINTRAGRANT]LAIRE internes 184 V.3.3.1- Répartitiondescontraintes V.3.3.2- Déformation desgrains 192 V.3.4- ÉVOT-UTIONDE LA MICROSTRUCTURE 198 V.3.4.1- Nombrede grainsactifs 198 actives Y.3.4.2- Nombrede variantes 200
  - 156- CHAPITREV: Résultatsnumériques
  V.3.4.3 - Évolution des variantes pendant le 206 chargement V.3.5 - INFLUENCE DE LA MATRICE 214 D'INTERACTION ENTRE LES VARIANTES
  V.3.6- CONCLUSION
  217
  V ngruneNCES BIBLIOGRAPHIQUES
  -157-
  Page219 CHAPITREV: Résultatsnumériques
  L'objet de ce chapitre est de présenter les résultats numériques obtenus en appliquant le modèle autocohérentà des alliages CuZnAl et CuAIBe. Ces résultatsportent sur le comportement macroscopique, la cinétique de la transformation et sur des aspectsmicrostructuraux.L'influence du mode de chargement sur cesparamètres est mis en évidence.
  V.l - INTRODUCTION La modélisation du fluage anisothermeélaborée au chapitre III est à I'origine de l'écriture d'un programme informatique FORTRAN 77. Le programmedéveloppépour le comportementsuperélastiqueisotherme a servi de baseà ce travail. En annexe3, on trouve certainescaractéristiques propres à ce programme et les principales difficultés rencontrées.Ce chapitre présenteles résultatsnumériquesobtenus. de deux alliages aété éttrdié: Le comportementsuperthermoélastique . Un alliage de type CuZnAl, dont le comportement superélastique isotherme a fait I'objet de plusieurs études et dont les résultats expérimentauxproviennentde la littérature. .
  Un alliage de type CuAlBe, dont la caractérisationdu comportement thermomécaniquea été présentéeau chapitreprécédent.
  Les résultatsobtenusconcernentplusieurséchellesde description.Tout d'abord,à l'échellede l'échantillon,les courbescontrainte-déformationet déformation-températuresont définies pour les deux types d'alliages. Les résultats ainsi obtenus sont confrontés aux mesuresexpérimentales. L'influence de la vitessede déformationest égalementétudiée. À une échelleplus fine, l'évolution de paramètresutilisés comme variables internesdansles approchesphénoménologiquesest étudiée. La méthode de modélisation employée permet égalementd'obtenir des informations microstructurales.On peut ainsi obtenir l'évolution de la contrainte interne, de la déformation, de la fraction de martensite et
  -158- CHAPITREV: Résultatsnumériques
  l'évolution des différentes variantes dans chaque grain au cours du chargement.
  Y .2 -COMPORTEMENTSUPERTHERMOELASTIQUE V.2.1- CAS DESALLIAGESCuZnAl Pour ce type d'alliage, de nombreuxrésultatsexpérimentauxsont disponiblesdansla littérature.Les premiersdéveloppements du modèle autocohérentappliquéaux alliagesà mémoirede forme ont été appliqués avecsuccèsà ce typed'alliage[E94]. V.2.l.l - Donnéesutilisées Les modules thermoélastiques sont le module de cisaillement F=30 GPa,le coefficientde Poissonv=0,3 et le coefficientde dilatation thermiques=15 10-6K-1. La structurepolycristallineestdécritepar 100grainssphériqueso de même volume, dont les orientationscristallographiques sont choisies (afin de ne pasinduired'effetde texture). aléatoirement Danscesalliagesla normalen au pland'habitatainsi quela directionde m des variantessont de type 12 Il 121(tab.V-l). Ces transformation de quatre'variantes. variantesforment six groupesautoaccommodants L'amplitude de déplacementg est de 0,23. Ces caractêristiques sontdonnésparDeVoset al. [DAD78]. cristallographiques Le coefficientB estégalà 0,2 MPa/K tDKT74l. La matrice d'interactionHnm est constituéde deux typesde termes: ElAmrani a déterminéles valeursgl=p/1000 pour les variantes compatibleset 112=pl20}pourles autres[894]. Les résultatsobtenussontcomparésà desessaisexpérimentaux réaliséspar VachertV9ll en superélasticité et parLeclercq[LBL94] et Bourbon[894] la compositionsuivante(en L'alliagetestépossède en fluageanisotherme.
  -r59- CHAPITREV: Résultatsnwnériques
  7-net 4,097oAl. Sestempératures 7omassique):25,57Vo de transformation, obtenuespar mesurede résistivité,sontles suivantes: M5=40"C,Ap52"C (soit,d'aprèsla relationIlI.44:Fc=1,2MPa) n2
  n3
  m1
  I
  -0,182
  o,669
  0,721
  -0.165
  m2 -o.737
  2
  -0 ,1 8 2
  o,721
  0,669
  -0.165
  0,655
  -0,737
  3
  0.182
  o.669
  0,721
  0.165
  -o,737
  0,655
  4
  0 .1 8 2
  0,165
  0,655
  -0,737
  5
  -o,669
  o.721 0,669 -0.182 0,721
  0,737
  -0,165
  0,655
  6
  -o.721 -0.182
  0,669
  -0,655
  -0,165
  -o.737
  7
  -o.669
  o.t82
  0.721
  0,737
  0,165
  0,655
  8
  -o.721
  0 ,1 8 2
  0,669
  -0,655
  0,165
  -0,737
  9
  -0.182 -0,669
  o.721
  -0,165
  0,737
  0,655
  10
  -0.182
  -0.721
  0,669
  -0,165
  -0,655
  -o,737
  lt
  0 .1 8 2
  -0,669
  0.721
  0,165
  o,737
  0.655
  T2
  0,192
  -0,72r
  0,669
  0,165
  -0,655
  -0.737
  13
  o,721
  -0,182
  o,669
  0.655
  -0,16s -o,737
  t4
  o,669
  -o,182
  o,721
  -o.737 -0.165
  0,655
  l5
  o,721
  0,182
  0,669
  0.655
  -0,737
  l6
  0,669
  0 ,1 8 2
  0.72r
  -0.737 0.165
  0,655
  T7
  o,669
  -o,721
  0,182
  -0.737
  -0,655
  0,165
  l8
  -0,669
  0.182
  0.65s
  o,737
  0.165
  t9
  o,721 -o,669
  o,721
  0,182
  0.737
  0,655
  0,165
  20
  -o,721
  o,669
  0,182
  -0.655
  -o.737
  0,165
  2l
  -o,721
  -0,669
  0.182
  -0,655
  0.165
  22
  -o,669
  -o,721
  0.182
  0,737
  o.737 -0,655
  23
  o,721
  0,669
  0,182
  0.655
  -o,737 0.165
  24
  0,669
  0.721
  0.182
  -0,737
  0,655
  Variante
  n1
  0,165
  m3 0,655
  0.165
  0.165
  Tableau V-I: Déftnition des normales aux plans d'habitat et des directions de transformations utilisées pour décrire la cristallographie de Ia transformation martensitique dans les alliages à mémoiredeforme de type CuZnAl \DADTS| - 160- CHAPITREV: Résultatsnumériques
  Y.2.1.2- Résultats (plancheV-2) un essaien superélasticité On comparesuccessivement à 56oC,des essaisde fluage anisothermeà 48, 65, 80, 100 et 124 MPa aux modélisationsnumériquescorrespondantes. On constateque le modèle décrit à la fois la superélasticitéet le fluage anisothérme.Les pentes de transformation, seuils de transformation et hystérésissont décrits correctementpour les deux modesde chargement, sansintroduire de paramètrenouveau. Les résultats superélastiquesayant déjà été largement commentés lors d'études précédentes[E94], on examine plus en détail les résultats de fluage anisotherme. On détermine expérimentalement et numériquement plusieurs desessaisde fluageanisotherme(tab.V-3): caractéristiques - Lapente de transformationldeTafl (0T) mesuréepour la partie linéaire .
  (entre I et27o de transformation)pour la transformationdirecte. L'hystérésisen températureÂT mesuréeàI,SVode déformation.
  .
  Latempérature de transition M$.
  .
  Ladéformation maximale de transformation6Tmax
  Les températures de transition Mg de chaque essai obtenues numériquementsont conforrnesà celle déterminéesexpérimentalemenfiles erreursen valeur absoluene dépassentpas IUVo. La valeur absoluede la pentede/dT est tracéefig.V-4a. On remarqueque la valeur obtenuepour I'essaiexpérimentalà 65 MPa ne s'inscritpas dans la relation décroissantequi apparaîtpour les autresessais.Hormis pour cette valeur de 65 MPa, la correspondancenumérique est bonne, bien ne soit observée. qu'aucunedécroissance
  - 1 6 1- CHAPITREV: Résultatsnumériques 3,5 3 2,5
  ô: too
  èar
  () tr
  F qJ
  L
  Ëso
  1,5 I
  O
  0,5 0
  3,5
  3,5
  3
  3
  2,5
  2,5
  èa ,)
  2
  F q)
  1,5
  1,5
  I
  I
  0,5
  0,5
  0
  20
  40
  60
  80
  100 r20
  20
  40
  60
  80
  lm
  0 60
  80
  100 120
  3,5
  3,5
  3
  3
  2,5
  2,5
  èer
  no
  2
  F 1,5 (^)
  1,5
  l
  I
  0,5
  0,5
  0
  0
  20
  40 60 80 100 120 Temffrature (oC)
  0
  20
  40 60 80 100 r20 Temperature(oC)
  Planche V-2: ConfrontationExpérience-Modélisation pour un alliage CuZnAlpolycristallin. a) Tractionsuperélastique à T=56oC.et de b à f) Essaisdefluage anisotherme à 49, 65, 80,100 et 124MPa.
  -t62- CHAPITREV: Résultatsnumériques 4EMPa
  Mg
  Exp:
  ("C)
  Num:
  Erreur relative (Vo)
  80 MPa
  65 MPa
  38,5 40,8
  49,4 45,8
  55,6 54,6
  +6
  -7
  -2
  lfi) MPa 12/MPa
  70 72,9
  61,2 62,8 +3
  +4
  er
  Exp: 1,510-3 2,1 l0-3 1,4l0-3 1;310-3 l , l l 0 - 3
  (K-l)
  Num: 1,3l0-3 1,310-3 1,310-3 1,310-3 1,3l0-3
  -38
  -7
  10,8 17,3
  18,6 21,7
  24,4 20,9
  .25,9 22,4
  28,8 21,2
  +60
  +17
  -15
  -t3
  -26
  2,08 2,,57
  2,M 2,69
  2,89 2,78
  3,33 2,84
  3,32 2,94
  +23,6
  +10,2
  -3,6
  -14,5
  -I1,6
  -t3
  Erreur relative (Vo)
  Exp: Num:
  ^T (K) Erreur relative (7o)
  gTmax
  Exp:
  (Vo)
  Num:
  Erreur relative (7o)
  +18
  Tableau V-3: Confrontation Expérience-Modélisation et erreur relative pour les caractéritiques de la transformation de l'alliag,e CUZnAI polycristallin. 30
  2,5
  25
  2
  20
  !É r's
  3rs
  (.1 a
  Er
  Frl F
  (D 5F
  F E 0! 60
  80
  100
  120
  t40
  40
  60
  80
  100
  120
  140
  Contrainte(MPa)
  Contrainte (MPa)
  Fig. V-4: Évolutions expérimentaleet numérique de a) Ia pente de transformation et de b) l'hystérésisde la transformation pour un alliage CuZnAl polycristallin lors d'essaisdefluage anisotherme.
  -163- CHAPITRE V: Résultatsnumériques
  L'hystérésismesuréeà l%ode déformationcroît expérimentalement avec la contrainte appliquée lors du fluage anisotherme (fig.V-ab). Numériquement,cet effet n'est pas très bien modélisé,la tendanceétant plutôt une hystérésisconstanteet donc indépendantede la'contrainte appliquée. Cette erreur est très certainementliée à la valeur de la déformation maximale de transformation, elle-même incorrectement modélisée(fig.V-5). Pour cettevaleurds gTmax,la tendanceexpérimentale est analogue à celle déterminée au chapitre précédent sur un alliage
  CuAlBe, à savoir: une premièrephaselinéaire (pour les contraintes inférieures à 100 MPa) et une saturationds sTmaxpour les contraintesplus importantes. Numériquement,la saturationintervient à une valeur plus
  faible de la déformationet correspond à desvaleursd'hystérésis inférieures aux valeursexpérimentales. Aux Taiblesniveauxde contrainte(k7OMPa), I'hystérésismesuréeà partir descourbesexpérimentales est inférieureà celle obtenuesur lescourbesnumériques, la déformationde transformation expérimentale estégalementplusfaible. 3,5 3 2,5 ),Tmax
  1,5 I 0 ,5 0
  20
  40
  60 80 100 Contrainteappliquée(MPa)
  t20
  140
  Fig. V-5: Evolution expérimentale et numérique de la dèformation maximale de transformation avec la contrainte appliquée en fluage anisothermepour un alliage CuZnAlpolycrtstallin. -t64- CHAPITREV: Résultatsnumériques
  Les écarts entre les valeurs expérimentaleet numérique restentnéanmoins raisonnablesdans I'intervalle de contrainteétudié. La modélisationadoptée représente de façon satisfaisante les grandes tendances du fluage anisotherme.Le même modèle est capablede décrire la superélasticitéet le fluage anisothermesansintroduire de variablesinternessupplémentaires.
  V.2.2 - CAS DES ALLIAGES CuAlBe L'alliageCuAlBe est un alliagequi sedéveloppefortementactuellement lF93l. Plus stable que I'alliage CuZnAl.,il peut développerà l'état de transformationplus polycristallin, une déformationmacroscopique importante(usqu'à6Voau lieu de 2 à 37opourles CuZnAl).Les données utilisées proviennentde deux sources:les résultatsexpérimentauxdu déterminéesau chapitre précédentet des donnéescristallographiques Laboratoired'EtudedesTexturesAppliquéesaux Matériaux(LETAM) de I'Universitéde Metz par F. MoreautM96l. V .2.2.\ - Donnéesutilisées de I'alliageCuAlBeutilisé dans thermomécanique Le comportement cette étude a étê caractériséau chapitre précédent.Les modules le coefficientde sontle modulede cisaillementF=3OGPa, thermoélastiques Poissonv=0,3et le coefficientde dilatationthermiquea=15 19-6oç-1.Les à partir du de transformationobtenuesexpérimentalement températures Ap-12oC.La forcecritique diagrammed'état(fig.IV-31)sont MS=-3O.C, Fs est êgaleà 1,8MPa (Eq.III.44).D'aprèsMoreau[MTB94][M96],dans ces alliages la normale n au plan d'habitatet la direction de transformation m des variantessont de type [1 4 4](tab.V-6).Comme pour les alliages CuZnAl, les variantes observéesdans ces alliages forment six groupes de quatrevariantes.L'amplitude de déplacementg est autoaccommodants de 0,22. Le coefficient B est égal à 4,2 MPalK. La matrice d'interaction Hnm est constituéde deux types de termes:Hl=!r/350 pour les variantes
  165- compatibles et 112=p170pour les autres.La structure polycristalline est
  décritecommepour I'alliageprécédent par 100grainssphériques, de même volume et dont les orientationscristallographiquessont choisies (matériaunon texturé). aléatoirement Variante
  nl -0 .1 6 8
  n2
  n3
  0,688
  0.705
  ml m2 - 0 , 1 5 1 -0.9M
  2
  -0 .1 6 8
  0.705
  0.688
  -0.151
  3
  0 .1 6 8
  0.688
  0.705
  0.151
  4
  0.705
  0.688
  0.151
  5
  0 .1 6 8 -0.688
  -0.168
  0.705
  o.9M
  0.846 -0.151
  6
  -0.705
  -0.168
  0.688
  -0.846
  - 0.151
  -0.9a
  7
  -0.688
  0"168
  0.705
  0.904
  0.151
  8
  -0.705
  0,689
  -0.846
  0,151
  9
  -0.168
  0 .1 6 8 -0.688
  0.846 -0.9M
  0.705
  - 0.151
  o.9M
  0.846
  10
  -0 .1 6 8
  -0.705
  0.688
  - 0,151 -0.846
  -o.9u
  ll
  0 .1 6 8
  -0,688
  0.705
  0,151
  I2
  0 .1 6 8
  -0,705
  0.688
  0.15r
  0.904 -0.846
  0.846 -0.904
  t3
  0.705
  -0.168
  0.688
  0,846
  - 0.151
  -0.904
  t4
  0.688
  -0,168
  0.705
  -0.9@
  -0.151
  0.846
  l5
  0.705
  0 .1 6 8
  0.688
  0.846
  0.151
  -0.904
  t6
  0,699
  0.70s
  -0.904
  0,688
  0.168
  -0.904
  0,151 -0,846
  0.846
  t7
  0 .1 6 8 -0"705
  0.168
  0.846
  0.904
  0.151
  t9
  0.705 -0.688
  -0.688
  0,705
  0.168
  20
  0.168
  2l
  -0.705
  0.688 -0.688
  0.846 -0.904
  0.151
  -0.705
  0.904 -0.846
  0.168
  -0.846
  22
  -0.688
  -0,705
  0.168
  0.904
  0.904 -0.846
  0.151
  23
  0.705
  0,699
  0.168
  -0.904
  0.151
  24
  0.688
  0.705
  0.168
  0.846 -0,904
  0.846
  0.151
  l8
  0,846 -0.9M
  m3 0.M6 -0.9M 0.846 -0.904 0.846
  0.151
  0,151 0.151
  Tableau v-6: Définition des normales aux plans d'habitat et des directions de transformations utilisées pour décrire la cristallographie de la tansformation martensitique dans les alliages à mémoiredeforme de type CuAlBetMg6]. - 166- ffrr--------_
  CHAPITREV: Résultats
  V .2.2.2- Résultats Aucuneétudesimilaireà I'alliageCuZnAl IE94l n'aété faite sur I'alliage CuAlBe. En conséquence,les résultatsobtenusseront détaillés. isotherme:la planche Tout d'abord, pour le comportementsuperélastique V-8 reprend les premiers cycles des essaissuperélastiquesisothermes réalisés pour des températures de 20, 40, 60, 80 et 100"C. Les caractéristiquesde la transformation (expérimentaleset numériques) sont comparéesdans le tableauV-7.
  Pente0E (MPa)
  100'c
  EOOC
  60'c
  40"c
  20"c
  2330 3100
  2803 2980
  29r0 2867
  3203 2400
  2200 2483
  +20,2
  +6,3
  - 1,5
  -25,t
  +12.9
  78 50
  55 52,7
  59
  5r,2
  67 53,8
  83 53,2
  -35,9
  -4,2
  -13,2
  - 19,7
  -35,9
  322 Num: 300
  252 253
  207 207
  r33
  -0,4
  0
  170 161 -5,3
  Exp: Num:
  Erreur relative (7o)
  Âo Hystérésis (MPa)
  ExP: Num:
  Erreur relative (Vo)
  Contrainteseuil ExP:
  u$ Wtra) Erreur relative (Vo)
  -8
  109 -18
  et erreur relative TableauV-7: ConfrontationExpérience-Modélisation -pory trois caractéritiquesde la transformationlors d'essais de super éIasti cité de l' alliage CuAlBe polycristallinLes contraintesseuils de transformationsont les caractéristiquesles mieux représentéesnumériquement.On s'attarderapar la suite sur la possibilité de représenter numériquement un diagramme d'état fidèle à la réalité expérimentale. On représenteles évolutions expérimentaleet numériquede la pente et de I'hystérésis (fig.V-9) avec la températurede I'essai superélastique.Les écartssont faibles au niveau de la pente(fig.V-9a) qui, de plus, tend à se stabiliseravecles cycleslors desessaisexpérimentaux(fig.Iv-25)-
  -167- CHAPITREV: Résultatsnumériques 400
  400
  300
  300
  2W
  2W
  100
  100
  0
  0 11,522,53
  00,5
  1,5
  zt00
  400
  300
  300
  200
  240
  100
  100
  0
  0 00,5
  11,522,53
  00,5
  2
  2,5
  3
  11,522,53
  {9") 400
  300
  Lêgende: 200
  -
  Expérience Modélisation
  100
  0
  0,5
  I
  1,5
  2
  2,5
  3
  {9") pour un alliage Planche V-8: ConfrontationExpérience-Modélisation à 100,80,60,40 CuAIBepolycristallin.De a) à e) EssaissuperéIastiques et 20"C.
  - 168- CHAPITREV: Résultatsnumértques 90 80 ,^7O GI
  A ct
  -60 N
  À
  N CD
  50 40 30 20
  40 60 80 100 t20 Temprature ("C)
  20
  40 60 80 lm Temprature fC)
  no
  Fig. V-9: Evolutions expérimentaleet numériqr, ,t, o1 to prnte de transformationet de b) l'hystérésisde la transformationpour un alliage CuAlBepolycristallin lors d'essaisde superélasticité. (fig.V-9b)I'erreurla plusimportanteestobtenuepourles PourI'hystérésis essaisextrêmes(20 et 100'C).À cestempératures, desphénomènes non pris en comptedansle modèlepeuventintervenir:plasticitéet seconde transformationde phaseà 100oC,martensitepiégêeet réorientationà
  20"c. De plus, il existedesmargesd'erreur(numériqueet expérimentale) non prisesen compteici, qui engloberaitprobablement les.erreursrelatives obtenuesici. En effet, on observevisuellementun trèsbon accordentreles courbesde comportement expérimentales et numériques(PlancheV-8). On confronteaussi les résultatsexpérimentauxet les simulationspar I'approcheautocohérente des essaisde fluage anisothermepour un intervalle de contrainteplus importantque dans le cas CuZnAl. Les contraintesuniaxialesappliquées sontde 50,75, 100, 150et 200 Mpa (PlancheV-10). La courbede déformationglobalede transformation (fig.V-l0f) montre qu'à nouveau,les résultatsde modélisationsont inférieursaux résultatsexpérimentaux pourles plus faiblescontrainteset supérieursà hautescontraintes.
  - 169- CHAPITREV: Résultatsnwnériques 61
  II
  sl
  I
  s 4lI É o cl
  tr
  3
  Lr q:
  \o)
  o
  2 I 0 -50 - 100 1
  0Lr
  0
  50
  -100 -50
  -t
  100 150 2w
  3,5
  3
  3
  2,5
  s
  2,5
  2
  É
  2
  '.5 cll
  0
  50
  lm
  150
  1,5
  1,5 I
  \O
  o
  I 0,5
  0,5
  0
  0 -20 0
  4
  20
  40
  60
  -60
  80 100
  3l r r
  t 6i r r-
  t 5 t-2,5
  -f )F-
  F
  s É
  I T
  5
  F T
  I
  2-
  s
  F F GI 1s , 5t-tr tr F
  .9 \()
  o
  É
  F, t
  E
  2 'q)
  Il F
  F
  F I
  I
  t 33 l -
  Il l -
  t r
  F
  I
  I
  40
  0L
  -20
  20 0 Temperature('C)
  i
  if)i
  :
  i^rii_4 j--.---i-:--t-----.---i--.iiJ! i
  i
  .'i
  !:,1.-!--:
  '9 - i i .o': """""i".''-r:r""'i;'""""""i"""""""'f """ " : i ' i l À :
  : ,
  ^ . . a
  i ^.' " .Ç i iJi 22 l """ "" !" "r'"""" 1'-'-'-"-""'i"
  F tr
  sr0,5 -60
  F 4+ F
  F r
  F
  0u
  t
  r'0-20020406080
  vtii:
  :
  i i " """'-"1""'""'
  rffi- - - .j- - Exfr ience
  ll --o-i| Modélisation
  250 100 150 2w 50 (MPa) appliquée Contrainte
  Planche V-10: Comportement en fluage anisotherme: conÏrontation Expérience-Modélisation pour un alliage CuAIBe polycristallin. a) 200MPa. b) IShMPa. c) I\ùMPa. d) 75 MPa. e) 50MPa-170- 50 MPa
  To de transition Exp:
  rra$t"cl
  Num:
  Erreur ( "C)
  Pente0T 1ç_t) Erreur relative(Vo)
  lfi) MPa 150MPa 2fi) MPa
  -10,9 -TI,3
  -3,1 -5,8
  8,,7 2,9
  36,2 28,6
  59,8 43,6
  -0,4
  -2,7
  -5,8
  -7,6
  -16,2
  l0-3 l0-3
  9,2 104 9,9 l0-4 +37,6
  Exp: 7,5 104 8,9104 8,9 l0-4 Num: 10-3 10-3 10-3 +33,3 +12,4 +12,4
  Hystérésis ÂT Exp: (K) Num: Erreur relative(Vo)
  gTmax
  Exp:
  (7o)
  Num:
  Erreur relative(Vo)
  75 MPa
  lg,5 2l,g +12,3
  24 26,2
  31,5 27,5
  39 30,1
  52,5 30,8
  +9,2
  -12,7
  -22,9
  -41,3
  1,33 2,57
  2,2r 2,9
  2,75 3,23
  4,79 3,41
  5,25 3,65
  +93,2
  +31,2
  +17,4
  -28,6
  -30,5
  Tableau V-I I : Confrontation Expérience-ModéIisationet erreur relative pour les caractéristiques de la transformntion par fluage anisotherme de I'allia ge CUZnAIp olyc ristallin.
  ^
  ir I
  1,2
  60
  I
  50
  0.8
  40
  0,6
  3ro Er
  Er 0,4 (D
  4zo
  0,2
  l0
  0
  0
  50 100 150 2w Conrrainte(MPa)
  250
  Fig. V-12: Evolutions expérimentale et numérique de a) la pente de transformation et de b) l'hystérésis de Ia transformation d'un alliage CuAlBe p oly cri stall in p ar flua ge anisotherme.
  I7t - CHAPITREV: Résultatsnumé
  dansle tableauV-11 de la transformation On compareles caractéristiques fig.V-12. Les résultats et on traceles évolutionsde penteet d'hystérésis par rapport aux sont globalementcorrectssansI'ajout de paramètres Les seuilsde transitionet les pentes isotherme. résultatsen superélasticité sontbien définis,I'erreurla plus importanteest réalisée de transformation au niveau de I'hystérésiset de la déformationobtenueen fin de transformation,et cela, pour des niveaux de contraintesfaibles ou importants.Pour cesderniers,il estcertainquela plasticitéet la seconde desécarts.Pourla sonten partieresponsables transformationmartensitique simulationnumérique,la déformationmaximalede transformationobtenue est toujoursinférieureà 4Vo,or elle peutatteindre57oexpérimentalement. On remarque(plancheV-10, fig.a et b) que dansce cas' I'hystérésis à celleobtenueparmodélisationalorsquedans expérimentalest supérieure les autrescas, I'accordest correct.Ce résultatsembleindiquer que la transformationF'+cr' joue un rôle importantdans ces alliages.Cette qui se produit à descontraintesélevéespermet secondetransformation, d'accroîtrefortementla déformationdesmonocristaux(iusqu'à207o)mais du $V.3 permet accroîtI'hystérésiségalement.L'étudemicrostructurale d'expliquerI'originedesécartsobservésà bassecontrainte.
  V.2.3- INFLUENCEDE LA VITESSEDE SOLLICITATION On peutfacilementétudierles deuxcasextrêmes.Si on considèrequela transformationse produit suffisammentlentementpour que la chaleur latentede transformationdiffuse hors du matériau,la transformationest isothermeet l'équationde couplage(III.125)n'intervientpas.Les résultats si on ont étéétudiésjusqu'àprésent.À I'inrrerse, liés à ce typed'hypothèse considèreun processussuffisamentrapidepour qu'aucunéchangede est adiabatiqueet chaleuravecI'extérieurpuisseseproduire,le processus l'élévationde températurequi en résulteest donnéepar l'équationde (III.125). couplage
  -172- CHAPITREV: Résultatsnmné
  V.2.3.1- CasdesalliagesCuZnAl Une premièrevalidationconsisteen la comparaison du modèleavec des expériencesréaliséessur un alliage CuZnAl par Chrysochoos [CPM93].Le dispositifainsique les techniques numériques de traitement desdonnéessont présentés danslCD9Zl: un dispositifde thermographie infrarougepermettantune mesureprécisedu champde températurede l'éprouvette estcoupléà unemachinedetraction. L'alliageutiliséestcaractérisé par lestempératures de transitionsuivantes: Ms=l5oCet Apl9,5oC. La pentedesdroitesdetransitionestde I'ordrede 2 MPaJK.Les caractéristiques thermoélastiques sont:E=70 Gpa,v=0,33, s=18.10-6K-1,p=7700kglm3,Cr=393JlkglK.La température ambiante Tg estde 30'C. Les courbesexpérimèntales de comporrement et diévolutionde la température de l'éprouvette sontprésentés surla figure(V-13).On intègre dansle modèlel'équationde couplage(III.126) quipermetde déterminer les évolutionsde température avecI'accroissement de fractionvolumique. En ajustant le paramètrephénoménologique h afin d'obtenir une correspondance entre les courbesde comportementnumériqueet expérimentale, on obtientuneévolutionde température en bonaccordavec I'expérimentation (V-14).Danscecas,h=50000Jlm3tK. 5.0 80
  J.0
  60 c? v, qt Ir 10 t4
  t.0
  -r.0
  20 -3.0
  -5.O
  Fig. V-13: a) Courbe de comportementet b) Réponseen tentpératurepour un essaisuperélastiquesur un alliage CuznAIpolycristallin.
  173- CHAPITREV: Résultatsnumériques
  100
  5
  80
  3
  Oi
  I
  e-60 () É Ë40
  -l
  U
  -3
  20
  -5 0,5
  I
  o
  1,5
  0,2 0,4 0,6 0,8
  I
  1,2
  Déformation (7o)
  pour en température et b) Réponse Fig. V-14:a) Courbede comportement sur un alliageCuZnAlpolycristallin. unesimulationd'essaisuperélastique Y.2.3.2- Cas desalliagesCuAlBe Une deuxièmevalidationde ce type d'essaia êtêréâliséeen utilisant les résultatsexpérimentauxdu paragrapheIV.3. Les caractéristiques à introduiresontla massevolumiqueP=7700kg/m3et la supplémentaires chaleurlatentede transformationCr=400J/kg/K (valeursmoyennespour desalliagesbasecuivre).Aucunemesurede températuren'aêté effectuée mais I'utilisationde deux vitessesde sollicitationdifférentespermetde de l'éprouvettesurles de température visualiserleseffetsde I'augmentation de traction.On retrouvefig.V-l5a lors d'essais courbesde comportement à 60"C (cycle 1) superélastiques les résultatsd'essaisexpérimentaux réaliséspour des vitessesd'avancede la traversede 0,1 et 100mm/min. sontde 2,3 I0-5et I,410-2s-1. colrespondantes Lesvitessesdedéformation on simuledeuxessais(fig.V-l5b): Numériquement, . (Jn essaipour lequella températurede l'échantillonresteconstante. Dans ce cas, on considèreque toute la chaleurest dissipéevers I'extérieur.La sollicitationest isothermeet correspondau cas d'une vitessede sollicitationtrèslente. . Un secondessaidanslequel on considèreque les dégagements et directe et les transformations absorptionsde chaleuraccompagnant -t74- CHAPITREV: Résultatsnumériques
  inverse restent confinés dans le matériau. La température de l'échantillon évolue en conséquence.on est alors en présenced'une sollicitation adiabatique,c'est le cas d'un test à vitessede sollicitation très rapide où la chaleurn'a pas la possibilitéde se dissiper. 350 300 250 CIl
  À
  è2U-J. o) É
  lso Ë É U 100 50
  0 3,5 350
  72
  300
  70
  250
  68
  e 200
  66
  GI
  Pr
  c;, Ê
  -l o 5 E(Dr A'
  Ê
  15 0 Ë É
  @
  U 100
  62
  50
  60
  0
  6
  5
  58 1,5 2 2,5 Déformation(7o\
  3,5
  Fig. V-L5: a) Influence de la vitessede sollicitation (expértmentale)et b) Résultatsde simulation pour un alliage CuAlBepolycrtstallin à T-60"C. -175- CHAPITREV: Résultatsnumériques
  Expérimentalement,la contrainte de transformationaugmentede I47o, cet effet n'est pas représenténumériquement(elle est la même pour les deux simulations). De même, l'évolution de la valeur de I'hystérésisn'est pas obtenue: +57Voexpérimentalement,alors que numériquement celle-ci diminue de 6Vo. Ce résultat numérique rejoint cependant les travaux réaliséspar Delaey et al. [DDA78] qui note (sur un plus grand nombre d'expérienceet sur un alliage de CuZnAl) une diminution de I'hystérésis quandla vitessede déformationaugmente. La pente de transformation évolue dans le bon sens De plus, quantitativementl'évolution est très proche: +24,7 7o expéimentalementet +28,4 7o potJrla simulation numérique.L'augmentationde températurede 5oC dans l'échantillon déterminéenumériquementest en accord avec les mesures effectuées sur des alliages CuZnAl. Les caractéristiquesdes différentescourbessont reprisesdansle tableauV-16. Modélisation
  Expérience
  2.3 10-ss-l
  1.410-2s-l
  Isotherme
  Adiabatique
  go (Mpa)
  2286
  3086 G35vo)
  2571
  3657 G42vo)
  Âo (MPa)
  62
  96 (+s+Eo)
  52.3
  5I,9 (-o,8Eo)
  Mso (MPa)
  2r0
  240
  210
  207
  Tableau V-16: ConfrontationExpérience-Modélisationet erreur relative pour les caractéritiquesde la transformation lors d'essaisà dffirentes vitessesde sollicitation.
  V.2.3.3- Conclusion Les grandestendancesde I'influence de la vitessede déformation sont prises en compte sans paramètressupplémentaires.La description des mécanismestelle qu'elle a été effectuée et modélisée suffit à décrire correctementl'évolution des courbes de comportementisotherme et adiabatique.Pour un cas de sollicitation ni isotherme,ni adiabatique,des vitesses de déformation intermédiaires peuvent être modélisés en - 176- CHAPITREV: Résultatsnumiriques
  introduisant un paramètrephénoménologiqued'échangethermique avec I'extérieurdansle modèle.
  V.3 - ETUDE MICROSTRUCTURALE
  V.3.I - INTRODUCTION Jusqu'à présent, seuls des résultats concernant le comportement macroscopiqueont été présentés.L'atout du modèledéveloppéest que pour obtenir ce comportement, il est nécessairede déterminer celui de ses constituants,à savoir les grains. Ainsi, tout au long du chargement,il est possible d'enregistrercertainesde leurs caractéristiqueset d'avoir alors accèsà ce que I'on peut nommer le comportementmicroscopique. Dans cettepartie,nousétudionsseptchargements différents(fig.V-17): . Trois simulations d'essaissuperélastiquespour des températuresde M5+1", M5+40o et M5+100'C. Le chargements'arrêtelorsque la fraction volumiquetotale de martensiteatteind757o. .
  Quatre simulations d'essaisde fluage anisothennepour des contraintes appliquéesvariant de 10 MPa à 500 MPa (valeursintermédiaires:100 et 250 MPa). La simulationstoppeà90Vode martensiteformée.
  Ils sont appliqués à I'alliage CuZnAl pour lequel le comportement superthermoélastiquemacroscopiquea été,éudié (V.2. 1. I ). Ces simulationsont pour buts: . de montrer toutesles capacitésdu modèleet d'analyserles informations obtenues sur: les contraintes internes, la déformation des grains, l'évolution de la microstructure(nombrede variantesactives) .
  de comparer ces résultats pour des trajets de chargementdifférents (isotherme et anisotherme)et pour des niveaux de températureet de contrainte différents.
  -t77- CHAPITREV: Résultatsnumé,
  de mettre en évidenceles mécanismesde déformation en oeuvre lors de ces différents ffajets de chargement. On s'intéressedans cette étude uniquement à la transformation directe
  .
  (austénite-martensite).
  800 cd
  g 600 à () É
  crl
  E 4oo U
  2N
  50
  100 Temt'rature("C)
  150
  fE.V-tZ: Représentationschématiquedes dffirents traiets de chargement
  simulés.
  DE TRANSFORMATION ET DÉFORMATION v.3.2- CrNÉTIe{JE L'approche micromécaniqueutilisée permet d'étudier la cinétique de la transformation. Ceci nous donne des informations supplémentairessur le comportementet notammentsur des paramètresmacroscopiquescomme la fraction volumique de martensite et la déformation mdyenne de transformationutilisés dansdesapprochesphénoménologiques.
  Y.3.2.1-Cinétique L'évolution de la fraction globale de martensite au cours de la transformationlaisseapparaîtretrois stadeslors du chargement(fig.V-l8): -t78- I
  I
  q)
  .n
  tr
  I
  crl
  o,g 4toc.
  0,8
  Ê 6)
  € 0,6 c) =
  0,6
  5 0,4 E tr
  0,4
  .E
  .9 o,z
  0,2
  a
  cl
  0
  0 200
  400
  600
  800
  1000
  Contrainte(MPa)
  Fig.V-18: Evolution de Iafraction volumiquetotale de mnrteisite au cours du chargement.a) Essaissuperélastiques;b) EssaisdeJluage anisotherme. Au départ de la transformation, on observeune croissanceprogressive des pentes df/dl' et df/dT: on parle d'initiation de la transformation, phase pendant laquelle les grains commencent successivementà se transformer. Ce phénomènen'est pas visible pour I'essai isotherme à 4l"C et pour I'essaianisothermesous 10MPa, signifiant qu'epour ces essais,tous les grains démarrentleur transformationdès le début du chargement. La phaselinéaire suivante correspondà la pente de transformation: elle colrespond à des pentes sur les courbesde comportementcontraintedéformation et déformation-température aux valeurs moyennes suivantes:dI/dET=35OOMPaet dT/dET=-750K. Enfin, pour des niveaux de transformationplus importants, un effet de durcissementest observé.Cette dernièreobservationest reliée à des conditions cinématiques particulières: quelques grains sont alors entièrement transformés et ne participent plus qu'élastiquementà la déformation. Cet effet de saturation intervient aux environs de 807o de martensite,cette valeur ayant tendanceà diminuer lorsque la contrainte macroscopiqueaugmente.Ce résultatprédit que pour des contraintes
  - r79- associéesà macroscoplquesimportantes,la contrainteet la température et que la la fin de la transformation (Mç, soit f=1) sont incorrectes mécanisme de transformation martensitique n'est plus le seul déformationinélastiqueàceniveaudecontrainte. de transformation à la Il est égalementintéressantde relier la déformation à nouveauapparaître fraction volumique de martensite(fig.v-19). On voit les étapesde la transformation'
  1l ./i . .
  4
  80"c i
  - -- -- -. -r i- -. - -.
  É3 o
  ^l
  o'/.1
  i
  i
  Lia
  \c) €L
  i
  : I
  o
  o,2 0,4 0,6 0,8 I o Fractionvolumiquede martensite
  0,2
  Fractionvol
  0,4
  0,6
  0,8
  I
  de martensite
  enfonction de la transformation'
  7=
  ffi,olumiqieglobaleâ,*o,t,,site:a)Essaisdesuperélasticité;b) Essaisdefluages anisotherrnes'
  pour tous les La phased'initiation de la transformationest identique des chargements.De pente de/df=10-1,elle colrespondà I'activation Plus la variantes les mieux orientées par rapport au chargement' phaseest longue' contraintemacroscopiqueest importante,plus cette L'évolution ultérieureest différente suivant le type de chargement' (fig.V-l9a), une seconde Pour les simulationsd'essaissuperélastiques phaselinéaire poursuit la transformation:c'est donc une transformation qui terminent la homogène, avec des variantes bien établies la pente transformation. Pour les simulations de fluages anisothermes' transformation' La diminue progressivement tout au long de la 180- CHAPITREV: RésultatsnunÉ,
  contrainte macroscopiquen'évoluant pas, I'effet [hermique (refroidissement)est de permettreà des variantesd'apparaître tout au long de la transformationen accornmodant la transformation. v .3.2.2' Déformationmoyennede transformation ces courbes sont plus représentatives de la cinétique de la transformation.Le rapportmoyende la déformationde transformation sur la fraction volumique de martensite(déformationmoyenne de transformation)est une variablemacroscopique utile pour élaborerdes modèlesphénoménologiques tP95l. Sa valeur,en I'absencede résultats expérimentauxpermettantde la définir, est souventconsidérée comme constante.Nous voyonsqu'il n'en est rien et que cette variable est au contrairetrèssensibleà la naturedu chargement thermomécanique imposé (fie.V-20). cette variablemacroscopique, notéeET, est définie par ra relation suivante: 1 gT= 1';av Vy Jrr VM
  où V1,4est le volume global de martensite.
  t4
  t4
  l2
  t2
  l0
  l0
  8 eT (qo) 6
  8 6
  4
  4
  2
  2
  0 0
  0,2
  0,4
  Fraction volu
  0,6
  0,8
  0 _0
  I
  de martensite
  F|S.V-2}:Evolution.de lq aaform
  .0,2
  0,4
  0,6
  Essaisde superélasticité;b) Essaisdefluage'anisotherme.
  -r\t-
  0,g
  I
  Fractionvolumiquedemartensite CHAPITREV: Résultatsn
  On note une diminution rapide de sa valeur en début de transformation pour finalement obtenir un niveau de saturationplus ou moins marqué qui dépend de la contrainte macroscopiqueet de la température.Ce type d'évolution, attendupar Raniecki et al. [RLT92], est très importantepour qui ne peuventla négliger. les approchesphénoménologiques La valeur eT=1 lVo obtenuepour les fractions volumiquesde'martensite proches de 0 équivaut à un tenseur d'orientation moyen des variantes activéesn égal à 0,48. Ceci montrebien qu'audépartde la transformation, ce sont les variantesles mieux orientéesqui se transforment.La chute de cette valeur au cours de la transformation indique que d'autres variantes La valeur eT =8,75Voest particulière, moins bien orientéesapparaîssent. elle indique la fin de la phased'initiation et le départ de la transformation des derniersgrains dont les variantessont très mal orientées,entraînantune nouvelle chute brutale de la déformationmoyennede transformation.Cette valeur de 8,75Voest prochede celle obtenueen utilisant un modèle statique (contrainteuniforme) pour la transition d'échelle[E94]. Les simulations d'essaissuperélastiques(fig.V-20a) font ressortir une valeur de saturation fonction de la température.Cette saturation indique que la valeur moyennedu tenseurd'orientationn'évolueplus et qu'il n'y a pas d'apparition tardive de nouvelles variantes.La situation est différente pour les simulations d'essaide fluage anisotherme(fig.V-20b)' pour lesquels les courbes diminuent sans se saturer,prouvant qu'il y a bien accommodationdes variantesjusqu'à la fin de la transformation. Cet effet est directement visible sur les courbes d'évolution de la déformation moyenne de transformation en fonction de la contrainte appliquéepour différents taux de transformation(résultatsdes simulations de fluage anisothermeuniquement:fig.V-z|). On s'aperçoitque pour un même taux de transformation, la déformation moyenne de transformation diminue avec la contrainte appliquée. Cette évolution montre que la formation de structures autoaccommodantesest très importante lors des essaisde fluage anisothermesousfaible contrainte.Cette évolution dépend -182- CHAPITREV: Résultatsnumé,
  égalementdu taux global de martensite.Les courbespour lvo et 907ode fraction volumique de martensite sont qualitativement similaires aux courbesde déformations maximalesde transformationgTmaxobtenueslors des essais expérimentaux sur les alliages mono et polycristallins de CuAlBe (fig.IV-30). En fin de chargemenr,la déformation moyenne de transformationse rapprochede la courbe sTmaxdu polycristal. À lVo de transformation,l'évolution se rapprochede la courbedu monocristal.Pour ce taux de transformation,I'ensembledes grains du polycristal a tendanceà se comporter comme des monocristauxen ne présentantqu'une variante de martensiteen transformation.
  l0 8 'n
  t'
  (Vo) 6
  100 2N 300 4m 500 Contrainte appliquée aurefroidissement (MPa)
  600
  Fig.V-2L: Evolution de Ia déformation moyenn, de transJornation en fonction de la contrainte appliquée et du taux de martensite pour les simulations defluage anisotherune.
  V.3.3 - COMPORTEMENTINTRAGRANULAIRE L'étude a étê réalisé pour 100 grains dont les orientations cristallographiques ontétéchoisiesaléatoirement. -r83- On étudie tout d'abord les contraintesintergranulaireset la déformation des grains. La représentationde ces donnéesdans le triangle standarddes orientations cristallographiquespermet de donner une image globale de I'hétérogénêitédes champsde contrainteet de déformation à l'échelle de l'échantillon. Quelques grains significatifs sont ensuite choisis afin d'étudier leur comportementspécifique en liaison avec leur orientation cristallographique.Dans ce cas, afin de ne pas alourdir les graphiques, seulsles quatreschargementsextrêmessont considérés.On note dans la suite: . Sl I'essaisuperélastiqueàT=140'C . 52 I'essaisuperélastique à T = 4l"C . .
  Fl I'essaide fluage anisothermeavecI = 500 MPa F2l'essai de fluage anisothermeavec I = 10 MPa V.3.3.1 - Répartition des contraintes internes On distingue classiquementplusieursniveaux de contraintesinternes: Les contraintesd'ordre I correspondentaux fluctuations de la contrainte globale à l'échelle de l'échantillon. Dans notre cas, la contrainte macroscopiqueimposée I est homogène. En conséquence,les contraintesd'ordre I sont nulles. Les contraintesd'ordre II correspondentaux contrainteset interactions entre les grains (intergranulaires).Le modèle à transition d'échelle utilisé permetde les déterminer(équationsIII.29 et III.53). Ce sont ces contraintesque nous étudionspar la suite. Enfin, les contraintesd'ordreIII correspondentaux interactionsentre les différentes variantesà I'intérieur d'un même grain (intragranulaires). Elles sont prises en compte dans la déterminationdu Comportementdu grain($III.2). Pour toutes nos simulations, la contrainte imposée .est une traction uniaxialed'axe(Ox). On choisitde relier la composante(1,1) du tenseurde contrainte interne à la fraction volumique du grain. L'étude des autres composantesne fournit pas d'informations intéressantes.Ceci permet t84- d'obtenir une vue d'ensemblede l'évolution de l'état de contrainte avec l'évolution de la transformation (PlancheV-22). On réalise ceci pour trois taux de fraction volumique globale: 10, 50 et 75vo. La légende est identique pour tous les graphes. Dans cette partie, on privilégie I'aspectcomparatif des Ésultats. Ainsi, la même échelle est utilisée pour graduer chaque graphe au détriment de certainsrésultatsquantitatifs. 500
  250
  ttt
  o
  r) I
  i -250
  :
  8i, @ d
  q o
  i I
  -500 0
  0,2
  0,4
  0,6 0,9
  o
  500
  0,2 0,4 0,6 0,9
  500
  d) F2 250
  250
  tt,
  t1
  o
  -250
  -250
  -500
  0
  ----t-
  o,2 0,4 0,6 0,9 I Fractionde martensite
  -5m
  o
  PlancheV-22:
  0,2 0,4 0,6 0,9 I Fraction de martensite
  de contrainte internepour tous les grains constitunnt le polycristal en fonction de Ia fraction volumique de martensite dans le grain: a) Essai SI, b) Essai 52,c) EssaiFI, d) EssaiF2. -185- numériques V: Résultats CHAPITRE
  macroscopique S I et Fl sont des simulationspour lesquellesla contrainte globale)' Dans ce cas' la est importante (500 MPa ù I07o de martensite (fig.V-18) et implique phased,initiationde la transformationest importante avec des grains qui se la coexistencede grainsplus ou moins transformés forte hétérogénéitéde la déforment élastiquement.On observealors une contrainte interne des différents grains' dans tous les grains pour Au contraire,la transformationapparaîttrès tôt internes sont les simulations 52 et F2. En conséquence,les contraintes chargement)' homogènesdansles grains (et faibles au débutdu produit souscontrainte On remarqueégalementque si la transformationse Fl et F2, cela n'estpas macroscopiqueconstantepour les essaisde fluage évolue fortement en le cas pour les différents grains. La contrainteinterne cours de transformation. S1) On peut classerles grainsen trois catégories: - Les grains qui possèdentune contrainte interne de traction en début de chargement importante (>150 MPa). Ils se transformentpeu pour lesquels Ia puis cette tendance s'inverse et ils sont les premiers 75Vode martensite fraction volumique de martensiteatteint IOTVo'Pour d'environ 300 MPa globale, la contrainteinterne maximaleen traction est rapport 7D = ll3 semble et la contraintemacroscopiquede 900 MPa. Le placésautour du pôle tl l ll réalistepour un tel chargement.Ces grains sont grainsmal orientéspar dansle triangle standard(fig.v-23) et sont donc des rapport au rePèredu chargement' - À l'inverse, les grains possédantles contraintes internes de rapidementau départ compressionles plus importantesse transforment (alors que la fraction mais ne dépassentpas 60vo en fin de chargement orientéset proches globalede martensiteest de|Sfto)-Ces grainssontbien
  dupôlet00U. (ltl = 100MPa) ont descomportements - Lesgrainsintermédiaires très différents les unspar rapportaux autres,leur
  -186-
  transformationvarie de t.
  tAE estd'environ0,12. s2) Les contraintes internes développéesdans les grains sont plus homogènes, le rapport rl; moyen est de 0,2 fois la contrainte macroscopique(pour f=75Vo). Fl) Le comportementest similaire à I'essaiSl. Des grains se transforment beaucoupen développantdes contraintesintemes de traction importantes et des grains se transforment peu pour des contraintes internes de compression. F2) comportement nettement plus homogène pour les grains. seuls quelques grains développent une contrainte de compression très importante: -425 Mpa pour re grain 12,ce qui représenteplus de 40 fois la contrainte macroscopique.Dans ce cas, il sembleque la contrainte interne soit largement surestimée.Mis à part querquesgrains particuliers, le rapport 1AE moyen en fin de chargement est de 5 fois la contrainte macroscopique. Afin d'approfondir les remarquesprécédentes,on représentel'évolution
  de la contrainte interne en fonction de la fraction de martensitedans le grain pour quatre grains dont le comportementest particulièrement significatif. Leur orientationest définie par les trois anglesd'Euler gl,gma,r,g2. Ils sont donnésdans le tableauV-24 et représentésdansle triangle standard (fig.V-23).
  Grain 12 Grain76 Tableau V-24: Valeurs des trois angles d'Euler définissant l,orientation des quatre grains dont on étudie I'évôIutionde la càntainte interne.
  r87- rô
  rt.l O\v
  o\q
  88o88
  -
  t.t-
  CnÉÊ(r)
  .R.F
  té
  r t'= +a+ ttt
  |l
  t
  +1. +l .
  t'
  !
  t
  t
  .
  ll a r
  r
  -r r r r
  t -l rl
  + lt
  be ro f-
  tl
  ca-r
  x'F
  ââ
  =q
  l
  r
  i
  i
  ;
  t
  *
  'l
  +
  I
  .*
  a u
  rt +
  + ta.
  *-t!
  ,,
  + I
  t
  {r+ |
  +
  *o+ t
  r .ll
  +
  *-
  * +
  '
  ,
  I
  l!'n "i *
  l{ r
  ++
  +tf
  { rf +t+
  ttt
  +trf tt
  CHAPITREV: Résulnts nwmé ri cpres
  t
  +
  rn*t, *f "-
  r.+o ;Ot
  * .J'.' d.*
  \e cri
  ll (H
  1Sl
  %
  L ôO
  È
  a % qù
  È
  rs L
  i
  'S - ù b-e ô 5a tt*
  S*
  G\l
  .P = -o È,tl
  .Èr
  \S
  .xÈ
  t. --rl
  %R Ë:J
  Ët
  sh
  \,
  ^v
  qs' CHAPITRE V: Résultatsnumériques 40
  4t 20
  iiir; iil
  -20
  o
  0,2 0,4
  0
  0,6 0,8
  0,2
  0,4
  0,6 0,8
  200
  300
  100
  2W
  0 ^cl
  100
  -100
  -2c0
  e0 - -lm
  P
  -200 -300
  o
  o,2 0,4 0,6 0,8 I Fraction de martensite
  o
  1 0,2 0,4 0,6 0,8 Fraction de martensite
  de la contrainte interneau cours du chargement @on pour les grains 12, 14, 20 et 76. a) Essai SI, b) Essai 52, c) Essai Fl, d) Essai F2. .
  Le grain 76 est celui qui développela plus importante contrainte interne de ffaction dans I'essaiS1. Prochedu pôle [111], il est très mal orienté et les variantes apparaissentdonc tardivement lors du chargement. Cette apparition tardive s'accompagnenéanmoinsd'une relaxation de la contrainte interne lors des chargementsS1 et Fl (fig.V-25a etY-25c). Cette contrainte interne élevée provoque une trausformation rapide du grain: il est le premier à atteindre I00Vode martensite.Sa contrainteinterne augmente alors de façon importante suite aux interactions avec les autres grains qui continuent de se transformeret de se déformer.
  -189- Le grain 20: son comportementest à I'opposédu précédent.Bien orienté (prochedu pôle [001]), il démarrerapidementsa transformation. L'interaction avec le milieu environnant(les autresgrains non transformés) .
  bloque sa transformation et génèreune contrainte interne de compression très importante (figs.V-2la,Y-25b etY-Z1c). Les propriétésde ce grain étant directement reliées à son orientation favorable par rapport à la contrainte appliquée,les particularitésde ce grain disparaissentlors de' I'essai52 où il développeune contrainteinternede traction(fig.V-25d). . Le grain 14 développeune contrainte interne de traction pour les trois premiers chargementset de compressionpour I'essai F2. Son comportementest intermédiaireaux deux grainsprécédents; . Le grain 12 développe une contrainte interne de compression moyennependantles essaisde superélasticité.Ce grain génèrepar contre la plus importante contrainte interne de compressionlors des essaisde fluage anisotherme(fig.V-25d).
  On s'aperçoità la vue des résultatsprécédentsque l'évolution de la contrainteinterneestrelativementsimilaired'unemanièrequalitativepour et pour le fluage anisothermeà haute les chargementssuperélastiques contrainte.Pourcesessais,I'orientationdu grainsembleprimordialedans le comportement(fig.V-23 eTV-26). Ces résultatssont à r9'li9r d'une parHorikawaet al. [HIM88],surdes manièrequalitativeauxessaisréalisés monocristaux.Les résultatsmontrentque la courbede comportementest de I'orientationcristallinedu monocristal(fig.V-z7). fortementdépendante Pouruneorientationprochede [111],on observele seuildetransformation 1eplus élevéet la,déformationde transformation!a plus faiblei ce résultat s'appliqueégalementau grain76 constituantnotrepolycristal.À liinverse, les orientationsprochesde t0011entraînentune transformalionplus importantepour un niveau de contraintgplus faible.'Le grain 20 du polycristalest.dansce cas.Les grains12 et 14 sontdescasintermédiaires: la contrainte est cependantplUs.importantepour le grain L4, dont confînnéepar les I'orientationest prochede [O11],ce qui eStégalement résultatsexPérimentaux.
  -teÔ- CHAPITREV: RésultatsrumÉ,
  1200 t000
  ë 'a
  8oo
  L
  èo
  a
  600
  C)
  g
  4oo
  U
  0,01
  0,o2
  0,03
  0,04
  0,05
  0,06
  0,07
  Déformation du grain
  Fig. V-26: Evolution de la contrainte en fonction de la déformation du grain poltr les qttatresgrains choisis.
  E l o n g o l i o nË J
  Fig. V-27: Influence de l'orientatiort cristalline sur le comportement superélastiqueI HIM88].
  -t9t- numé CHAPITREV: Résultats
  L'étude de la déformation dansles grainspermet de compléterces résultats en montrant les différents mécanismesen oeuvre dans les différents grains en fonction de leur orientation cristallographique. V.3.3.2 - Déformation des grains On relie pour les 100 grains, la déformation et la fraction de martensitedu grain. Ceci est réalisé pour les trois valeurs de'la fraction volumique globale précédentes(10, 50 et 75Vo).On étudie la composante (1,1) du tenseurdes déformations(fig.V-28). Les comportementssont à nouveautrès homogènespour les simulations n'engendrantpas d'importantescontraintesmacroscopiques(S2 et F2). Pour les essaisSl et Fl en début de chargement,des grains se déforment jusqu'à dix fois plus que d'autres.En fin de chargementet pour la simulation Fl (Contrainte macroscopiqueégale à 900 MPa), on trouve encoreun rapportde deuxpour les grainsles plus et les moins déformés. 51) On retrouve pour I'essai isotherme à 140oC les deux types de comportementextrêmes: - Des grains qui tardent à se transformeret qui finalement sont les premiers à être complètementtransformés.Ces grains (avec d'ir-nportantes contraintesinternesde traction) sont ceux qui se déformentle moins. Ils sontprochesdu pôle [ 11]. - Les grainsavec d'importantescontraintesinternesde compression sont ceux qui se déforment le plus. Ils s'alignent selon une pente bien précise qui correspondà la relation déformation-fractionde martensitede la transformationd'un monocristalmonovariant.Ils sont prochesdu pôle
  t00u. 52) Le comportementde ces grainsest intermédiaire:nettementplus homogèneen déformation,les grainsdiffèrent principalementpar leur plus le toujourscettecaractéristique: On notecependant transformation. grainsetransforme,moinsil sedéforme. -t92- CHAPITREV: Résultatsnumé,
  e 1t
  0,07
  0,07
  0,06
  0,06
  0,05
  0,05
  0,04
  0,04
  0,03
  0,03
  o,o2
  0,02
  i b)i ls2 I
  i-l : ii . . . . . . . . -i-__._ . . . """t"'-""':' :;
  :
  0,01
  v v :
  0,01
  0
  0 o
  0
  0,2 0,4 0,6 0,9
  o,o7
  o,2 0,4 0,6 0,9
  0,07 !
  i o)!lrz
  i vrilrzl
  i
  0,06
  0,06
  '-.--+.---.--.-+-.--,t.-.---r-----.t-, t:ii ;::ii
  0,05
  0,05
  '--i------1--.--'.1----t-----i---,
  :tii:
  ii;: i:i:
  i::: :::il
  0,04
  0,04
  ttt 0,03
  0,03
  o,o2
  0,02
  0,01
  0,01
  iti:: ;:i:: ii::: --.-'-i-'.-.---.-.--i-,-----i-----i------.-t--
  i
  i
  i
  orjl$
  :.
  i
  i ffisF;
  --i----.---l_.-,:.--_-,-,:---_--.--.
  iii; ii::
  0 o
  0,2
  0,4
  0,6 0,9
  0 I
  Fractiondemartensite
  o
  0,2
  0,4
  0,6 0,9
  I
  Fractiondemartensite
  Planche V-28: Etats de déformation pour tous les grains constituant le polycristal en fonction de Ia fraction volumique de martensite dans Ie grain.
  Fl) Comportementsimilaire à I'essaisuperélastique à 140"C avec cependantdes niveauxde déformationinférieurspour unemêmefraction volumiquede martensite globale.
  r93- qu'il n'y a pas de fluage anisothermesous 10 MPa. On remarqueà nouveau I'orientation du grain' relation marquéeentre la déformationobtenueet peut être établie' Les À partir de ces résultats, une remarquegénérale C1cône est grainss'inscriventtoujoursà I'intérieurd'un cône représentatif mais il évoluelors des essais identiquepour tous les essaissuperélastiques appliquée(fig'V-29)' de fluage anisothermeen fonction de la contrainte
  gIIlâX
  t: ào € tr ctt
  E
  Ea_
  eb gmin
  ti
  \o)
  Fraction de marten si te dans le grain
  Essais à supeÉlastiques T température gmin s1 glnax
  tb et ta
  -ffi"-fraction
  Essaisde fluage sous anisotherme contrainteE
  deT indépendants
  diminuentlorsque I diminue
  tendentverseminet gmax lorsque T diminue
  tendentvers edn sl gmaxlorsque E diminue
  -ci dans lequel les relations de martensitedesgrains s'inscrivent.
  -r94- CHAPITREV: Résultats
  La branchesupérieure du cônereprésente le comportement desgrainsqui se déformentbeaucoupet se transformentpeu (zonea). Ils représentent environl/3 desgrainspour sl. Lors desessaissl, s2 et Fl, cesgrains présentent un comportement typiquementmonocristallinmonovariant,ce sont des grains bien orientés.La brancheinférieuredu cône (zone b) représente les grainsmal orientés(l/3 des grainspour Fl):,apparition tardivede la martensite, accroissement de Ia contrainteinterne(égaleà la contraintemacroscopique jusqu'àI'apparitionde la premièrevariante) et finalementtransformationrapideproduisantpeude déformation. On trace l'évolution de la déformationen fonction de la fraction de martensitedans le grain pour quatregrainsparticuliers. On choisit les grainsles moinset plus transformés (40 et 100Vo) lors de l,essaiSl (grain 9l et 26). Cesdeuxgrainspossèdent la mêmedéformati on (4vo) pour75vo de martensiteglobale.on choisitégalementles grainsles moins et plus transformés(50 et 96vo)à 75vode martensitepour I'essai de fluage anisotherme 52 (grain89 et 90).Les anglesqui définissent I'orientationde cesgrainssontdonnésdansle tableauV_30. Ql
  Grain26 Grain89 Grain90
  19ffiâX
  @
  24,37
  54.62
  113,6
  40,33 7,04
  75.13
  302,49
  73.6s
  259,79
  Grain 9l
  236,91 79,13 339,09 v-30: Tableau valeurs des troisanglesd'Euler définissantyorientation desquatregrainsdont on étudiel'évâlutionde la iayormatton. Les grains89 et 90 sont atypiques:respectivement très mal et très bien orientés,ils conserventleur particularitéquel que soit le chargement (déformationmini et maxi). Les grains 26 et 91, de comportement relativementdifférentlors de I'essaiSl, ont desévolutions en déformation et transformationsimilairespourlestrois autreschargements.
  -t95- fi
  t
  tô
  rJ)
  t
  +
  t--
  tt*
  t++
  t
  t
  I
  Èe B-o èe È-. Èa Èe
  an
  ÀaÀa H -
  a'l *. ,.t 0 0 'o ôi
  xF
  àà
  Nxl o.+ ''o_ ô
  x'7
  t
  lr
  + ++
  +
  j
  +t
  rt
  + qL
  I
  +
  a
  !
  fi
  a
  + +
  t
  aa t* t
  \e lo f-
  tl €H
  oo
  4à
  xF
  tsE
  O,Â 'lct ocj
  xÈ^
  CHLPITRE V: Réswltatsnumériques
  4
  o\
  +l
  't
  +! +
  .-t
  \a v H
  tl eH
  r{
  F5
  t+
  È èO
  a %
  L
  s
  N
  F
  ô.
  sË, ut\ sq)
  ss
  \r\
  È5 kË È.:
  r-H
  sss L
  ss È\
  SR CHAPITREV: Résultats 0,04
  0,07 0,06
  0,03
  0,05 ç'"- -
  0,04
  o,oz
  o,ot o,o2
  0,01
  0,01 0
  0 o,2
  0,4
  0,6 0,8
  0,4
  0,6 0,8
  0,2 0,4
  0,6
  0,8
  0,05 0,04 0,03
  ttl 0,02 0,01 0
  0,2
  1 0,2 0,4 0,6 0,8 Fraction de martensite
  1
  Fractiondemartensite
  tion de la déformationdansles grains 20, 89,90et 91 des chargements:a) 51,b) 52, c) FI et d) F2'
  PlancheV-31: ," t""^
  En définitive, nous pouvonsdresser|e bilan suivant: Pour les essaisde superélasticitéà températureconstante,on différencie trois types de grains: . Les grainsbien orientés,prochedu pôle t0011.Ils sontles premiersà se transformer et développent une contrainte interne de compression importante. Elle est due à I'environnement qui tend à limiter la transformation de ces grains. En fin de chargement, ces grains présententla plus importante déformation de transformation mais ne sont pas totalementtransformés.
  -197- Les grains mal orientés,proche du pôle [111], développentune contrainte interne de traction importante.Ils se transformenttotalement mais avecune faible déformation de transformation. Un troisième type de grains présenteun comportementintermédiaire (zone c sur fig.Y-29). À ta vue des représentationsdans le triaqgle standard(fig.V-33), on observecependantune relation certaine entre I'orientation et la contrainte:oula déformationdu grain. Pour les essais de fluage anisotherme à contrainte' constante, l"q conclusions sont plus modérées,surtout à bassecontrainte. Lorsque la contrainte appliquée est importante, la relation entre transformation et orientation est identique. Le comportementse rapproche alors d'un comportementsuperélastique.Lorsque la contrainteappliquée'est faible, I'influence de I'orientation des grains n'est plus prépondérante.L^ contrainte interne et la déformation deviennentplus homogènessur I'ensemble des grains. L'analyse de l'évolution de la microstructure intragranulairepermetde mettre en évidencecertainsmécanismes.
  V.3.4- ÉVOIUTION DE LA MICROSTRUCTURE tels que le nombr; de On abordeici les paramètresplus microstructuraux grainsactifs,de variantesactivesainsiquel'évolutionde cesvariantesdans les grainspendantle chargement. ; V.3.4.1- Nombre de grains actifs (NGA) Les courbesd'évolutiondu nombrede grainsagtifsNGA (fig.V-33) ' permettentd'apprécierlestrois stadesde la trahsformation: a. Initiation de la transformation:le nombrede gràinsactifs crgit jusqu'à la sa valeur maximalede 100.Cetteph.1sea est très rapide"lorsque .:;:
  températureou la contraintediminue. Théoriquement,sanscontrainteet pour une températureégaleà MS, toutesles variantes(et tous les grains) doivent s'activer.À d"s températureset des contraintesplus élevées, I'orientation du grain par rapport au repère du chargement est le
  -.r98- CHAPITREV: Résultatsnumëriques
  paramètre qui définit le moment du départ de la transformation du grain. b'Transformation homogène:NGA=100. Elle correspondà une faible évolution de la microstructure:les variantesapparueslors de la phasea) croissentsansapparition de nouvellesvariantes. c' Durcissement(NGA<100): des grains ne sont plus actifs parce qu'ils sont entièrementmartensitiques.
  100 80 60 40 20
  0
  500MPa - 250MPa lffi MPa I"" l0 MPa r234 Déformation(7o)
  Fig.V-33:Evolution du nombrede grains en transformationaw cours di' chargement:a) Essaisisothermes, b) Essaisanisotherunes. Pour les essaisisothermesà 80 et 140oC,on noteun renversement de la tendance en fin de transformation.Numériquement,seules deux possibilitéssontenvisageables: soit unedesvariantessatisfaitle critèrede transformationinverseet le grain redevientactif par transformation martensite-austénite, soit une solutionénergétiquement plus faible est apparue et une variante accroît sa fraction volumique aux dépendsd'une autre variante (dans ce cas, la fraction volumique de martensitedans le grain resteégaleà 1). Les courbessuivantesprouventque cettedernièrehypothèseest justifiée. Alors que la fraction volumique de martensitedansle grain 19 est égale à 1 (fig.V-34a), les variantes 7 et l0 de ce grain, après une phase de
  -r99- (fig'V-34b)' Cette prolongent la transformationen réactivant le grain par réorientation activité est très limitée cependant,la transformation de la transformationtotale' représente2Vo o,096
  0 . 37 :i: i.
  ta)i ) i
  i
  :!i . . - . - . . . - . . . . r . - . . . . . . . . ' . - - . - . . - r - - . . . ' - . -.  '-i i".""' " - '
  iii
  èo
  (.) ; 0.8
  ii l / :
  (u
  !9
  t-'
  I
  i :
  ê
  7
  tl
  0 , 09 4
  0,37
  //i
  il/
  o
  () c)
  E 0,6
  0'092
  0.3
  Ê B Ê ô É!i (!
  I
  !9
  (;)
  ï o.+
  19 l|
  O
  O
  0 , 09
  0,36
  lo It
  IL
  t!
  o,2 0,3 0
  0.7
  0'8 0,6 0,4 Fractionglobaledemartensite 0,2
  0,'12 0,'14
  0,0tE 0,76
  Fraction globale de martensite
  'mique de martensitedans le W,t'uÉiotutiondesfiactions,'o.t!yi1y''des,uariantes7et]0du 'giro,in (Essai SI). à 140"C 19 pour l'essaisuperélastique
  V.3.4.2- Nombre de variantesactives(NVA) dont On distinguevariantesactiveset variantesactivées:unevariante mais la fraction volumiqueest différentede zéroest unevarianteactivée la fig'Velle n'estpasforcémentactive(exempledesvariantes7 et l0 de et0'72)' 34b quandla fractionglobalede martensiteestcompriseentre0'7 évolue Une varianteactiveest une variantedont la fractionvolumique étudié' pendantI'incrémentde chargement du En fonction du chargement,on observedes évolutionsdifférentes (fig.V-35)' nombremoyende variantesactivespal grainactif
  -200- CHAPITRE V: Résultatsnumé
  Pour les essaisisothermes(fig.v-35a): plus la températuredé I'essaiest importante (et donc la contrainte macroscopique),plus le nombre de variantesactivespar grain est faible. Cet effet est directementrelié au pouvoir d'orientationde la contraintemacroscopiquequi privilégie les variantes les mieux orientées.pour les essaisà 140 et 4!"C, la diminution de NVA par grain en fin de chargementcorrespondà I'augmentationdu nombrede grainsactifs (fig.V-33). En fluage anisotherme (fig.v-35b), la transformation du grain s'accompagnent de la formationde nombreuses variantes. 4
  8
  3,5
  1
  É3 .E bo
  \
  z
  6
  2.5
  )
  2
  4
  1,5
  3
  I
  2
  1234
  1234 Déformation(Vo)
  Déformation (Vo)
  Fig.V-35: Cinématiquede la transformation. volution du nombre moyen de variantes actives par grain au cours du chargement:a) Essais isothermes,b) Essaisanisotherrnes.
  Une représentationdans le triangle standardpermetde compléterces observations (fig.V-36).À chaqueorientation(grain),on associele nombre de variantesformées.Le résultatobtenuesttotalement différenisuivantle type de simulation.Lors de I'essaisuperélastique à T=Ms+100.c (s1) et pour une fractionglobalede martensitede 75vo,aucungrain n'a produit plusde six variantes. PourI'essaide fluageanisotherme sousl0 Mpa (F2), aucungrainn'ena produitmoinsde5.
  -20r - vl
  c)
  c.t d \o -! cn rô
  c.rs\o r(arô
  +
  + +ti
  rt
  lt
  +
  le
  +
  'l 0 to - t +
  tl
  r
  t
  l
  T
  t.dl
  t-tr
  r
  aù r!
  t
  t++
  +
  ilt
  + |
  tt**r
  l.
  I
  +
  arlo. r
  ri.
  t*t
  i rf.
  è+a
  i
  \oco=SiP ,âÉa.icÀ,4
  tal
  É il' =4
  9oe=S:
  'rlËo,Jc.)
  'R'É
  ÉF
  ., I HC =H
  s
  .R .F
  -
  CHAPITREV: Résultatsnumériques
  s
  ro f:.
  tl cai
  \e ct-{
  tl CH
  2û.
  4
  È OO
  ë qi L
  \
  Èâ .s TS fâ
  qi
  Si tt-
  ÈH Ë
  ss -o \) xr Lrr
  ËS
  (Èq
  !È
  r.r
  .sË iù \)
  tËE s-u S-ô' '.< A CHAP ITRE-Vi Résultatsnumériques
  Le nombre moyen de variantes activées par grain pour les quatre chargementsest de: . Sl (MS+100.C): 3,51 variantes/grain. . 52 (MS+l"C): 4,3variantes/grain. . .
  F1 (500 MPa):5,25 variantes/grain. F2 (10 MPa):8,97 variantes/grain.
  On remarque que c'est la nature des chargementsqui détermine le nombre de variantes activées dans les grains (plutôt 9ue la contrainte macroscopique).Pour les essaisde superélasticité,il existe toujours une relation gntre le nombre de variantesdans le grain et son orientation. Si on rapprochecesrésultatsde lr-fig.Y-Z3, il sembleque pour les grainsbien et mal orientés (grains dont la valeur absolue de la contrainte interne est importante), le nombre de variantesactivéesaugmente.Pour les essaisde fluage, anisotherme,la tendance est imprécise, il semble toutefois que le nombre de variantes activées soit plus faible pour les grains proches de 11111(mal orientés). Cette analyseest affinée en élaborantun critère permettantde discernerles variantesmajoritaires.En effet, pour certainsgrainsqui génèrentplus d'une dizaine de variantes, il arrive que la fraction de certaines soient négligeablesdevant la fraction des variantesles plus importantes.Ainsi, pour un même nombre de variantesactivées,il se peut que deux grains aient une évolution de microstructuretotalementdifférente. L'évolution des variantes dans deux grains possédant le même nombre de variantes activées (dix) lors d'un essai de fluage anisothermesous 10 MPa est représentéefig.V-37. En fin de chargement,le grain 11 (fig.V-37a) a générêquatre variantesprincipales (2.,10, 3 et 19) tandis que le grain4 (fig.V-37b) n'en a gênérêque deux (6 et7).
  -203= E nwmérlqae V: Réswltats 1HAPETRE
  g 0,3 IE .EI
  g
  -8 €
  0,2
  ,E E
  ,F o'1 FI
  0
  0
  0r2
  or4
  0,6
  0'E
  demarenslae Fraetlon -ffie
  ng-U-32-
  0,2 0,4 0,6 0'E Fraetlondemalaenclre
  wv.vw gr@lns wwreùde.wx dans ëttwYtYY dgS VAWAWeS@e m@reelaËave EVOLW|IOry
  deflwase ess@t torsd'wn yàfJylfXg',!:é,^ Tuu*t tt *êiiîry*b4t MPa:a) Graln11,b) Gratn4' ââxàiné*eà 10
  qui ne volumiques dc plusfaiblecfrastions variantcs Afin dc négligcrlcs eritèr€deehoix on êtabhtun àla mierostruetur€, faiblement pwtleipentque Ceer{êrecst|e euivant: majodtaires. quelesvariantes quineeonserve Dansun grain qui possèden variantesaetivées(D1)' Soit fn h fractionvolumiquede la nièmevariante,avecfn>fn+l' Le minimun de n tel que fn>3(fn+t; est |e nombre de variantes majoritairesdanscegrain.
  51 pourlesehaegcments eenombredansle trianglestandard Onrepréscnte dang majoritaires quele nombredc variantes On s'aperçoit etF2.(fiCV-38). lorsdesesseisdefluageanisotlrermc' lesgrains,s'il csttoujourssupérieur la minimise tout de même lc nombrede variantesqui dominent de eRvuedeI'amélioration Cerésultataurasonimportanec transfomration. ($V.5). les essaisanisothemcs pendant dela microstructure la description l'évolutiondesvariantes à déerireet eomparer nousmaintenant Attaehons imposé' danslesgrainssuivantle typedechargement demartensite
  -204 -. t 6.1
  EE 'R'â
  ôlsf\oae-
  23
  xÉ
  HF
  -!é,4ÉcÀ-!
  CHAPITREV: RésalntsnumÉrisues
  Bq la
  rtl
  Èe ll ({d\OOOS -lcôôF!o\
  :t
  ?-
  r
  +ar +
  OôT
  :r
  ,''
  ', +
  ri
  '
  tt t
  t.
  *
  e
  c
  a s 4
  L
  s 4 q)
  rS L
  $Ê
  \SO
  S4 %(J
  JS'q) ooR
  s$ \u
  4È,
  sÈ \3 \) \3* êS
  's 'É V.3.4.3 - Évolution des variantes pendant le chargemeni Il n'estpaspossiblede représentercesévolutionspour tous les grains. À partir des observationsprécédentes,on déterminetrois famille de grains: les grains dont I'orientationest bonne,mauvaiseet moyenne.On étudie un grain dans chaque famille. Pour ces grains, on représentela fraction volumique des variantesde martensitequi apparaissentlors des différents chargements.Cela permet de visualiserles différents mécanismesqui entrent en jeu suivant la température ou le niveau de contrainte du chargement.
  A) Grain 20 Le grain 20, placéprèsdu pôle [001] dansle trianglestandard(fig.V23), fait partiedes grainsbien orientés,qui sont les premiersà démarrer ou de fluage leur transformationlors des essaissuperélastiques soushautecontrainte.Ce grain a étê choisi car il génèrela anisotherme plus forte contrainteinterne de compressionet la plus importante déformationde transformationdurantces essais.Il fait partie également en fin de chargement. desgrainslesmoinstransformés Sl et 52 et pendantles essaisde superélasticité Les évolutionsobservées de fluage Fl sont relativementsimilaires.Il y a formation de quatre variantes(9, 16,5 et3) dont deuxqui prédominent(9 et 16). Ce type d'évolution entraîneune transformationdu grain de 60Vopour une (essaiSl). de 6,5Voen fin de chargement déformation parlestroisvariantes PourI'essaidefluageF},lavariante 16estremplacée de la variante9 (10, 1l et 12)qui complètentle groupeautoaccommodant ce grainpossèdealorsune de 8OVo, (groupeIII). Pourunetransformation déformationfaible prochedeZVo.On voit que I'apparitiondu'groupeIII (qui occupeprès de 90Vodu volumede martensiteformée)entraîneune de la déformation. importanteaccornmodation On peut noterégalementque pour chaqueessai,les variantesles mieux orientées9 et 16 sontlespremièresà s'activer.Malgrécetteprédisposition, -206- CHAPITREV: RésuJtats numériques
  la variante 16 évolue très peu lors de I'essai F2. Elle tend même à disparaitreen fin de chargement.
  o,2
  0,4
  0,6
  0,8
  0,25
  0,3
  0,2
  0,25
  0,4
  0,6
  0,9
  0,4
  0,6
  0.8
  0,2
  0,15
  0,15
  fn 0,1
  0,I 0,05 0
  o
  0,05 0,2
  0,4
  0,6
  0
  0,9
  0
  Fraction de martensite
  0,2
  Fraction de martensite
  Planche V-39: Evolution des variantesde martensitedans le grain 20 pour quatres chargements a) Essai superéIastiqueù Mg+ 100"C, b) Essai superélastiqueà M|+I"C, c) Essai de fluage anisothermesous500MPa, d) Essaidefluage anisothermesousI)MPa. B) Grain 76 À I'inverse du grain 20, le grain 76 possède une orientation défavorable.
  -207- 0,6
  0,5
  0,5
  0,4
  0,4 0,3 0,3
  f' 0,2
  0,2
  0,I
  0,I 0
  0 0,2
  0,4
  0,6
  0.2
  0,5
  0,5
  0,4
  0,4
  0,3
  0,3
  0,2
  0,2
  0, I
  0,1
  0,4
  0,6
  0,8
  0,6
  0,8
  fn
  0
  0
  0,2 0,4
  0,6 0,8
  0,2 0,4
  Fractionde martensite
  Fractionde martensite
  WEvolutiondeIafractionvolumiquedesvariantesde martensite dans le grain 76 pour quatres chargements a) Essai superélastiqueà MS+l00oc, b) Essai superélastiqueù IUIS+IoC,c) Essai defluage anisothermesous500MPa, d) Essaidefluage anisothermesous I0MPa. Pour I'essai superélastiqueà 140oC,ce grain démarresa transformation tardivementpar I'apparitionde la variante 19,la mieux orientéedu grain. Cependant,cette variante cèderapidementsa place à deux autresvariantes (6 et 7) qui font partie d'un même groupeet qui permettentà la contrainte
  -208- CHAPITREV: Résultatsnumériques
  interne importante de se relaxer (fig.V-4Oa).En fin de chargement,ce grain est entièrementtransforméavecune déformation de 3Vo. Lors de I'essai de fluage anisotherme à faible contrainte, le groupe autoaccommodantII est complété par les variantes5 et 8, il représente alors plus de 957o de la martensiteformée dans le grain (le grain s'est égalemententièrementtransformé).La déformationest réduite à ZVo.On peut noter que pour cet essai,la transformationapparaîtdès le début du chargement,prouvant que I'orientationdu grain a peu d'importancesur le est faible. comportementlorsquela contraintemacroscopique C) Grain 14 La contrainte interne de ce grain est moyenne lors des différents chargements.Son orientationestprochede t0111. Comme pour les deux grainsprécédents,quatrevariantesapparaissentlors de I'essai isotherme à 140"C. La déformation est de 3,5Vo et la transformationde 50Voen fin de chargement.Les contraintesétant plus faibles dans ce grain, elles ne favorisent pas particulièrementles deux variantesbien orientéesde ce grain (5 et22). Ce grain développetout de même une importantecontrainteinterne pour 52 et setransformealors à80Vo. Même remarque pour F2, où on voit apparaître deux groupes autoaccommodantsincomplets,entraînantla présencede nombreuses variantesmajoritaires, qui ne sont pas toutes compatiblesentre elles. Le groupeVI (variantes21, 22 et 23) représente83Tode la transformation,le complémentse partageentreles deux variantesdu groupeIV (14 et 15). Ces courbesconfirmentI'effet de la contrainteappliquéelors de l'évolution des variantes dans les grains. Elle privilégient plus ou moins selon ainsi que leur évolution. I'orientationdu grain les variantesqui apparaissent Cet effet est ressentipour les essaisS1, 52 et F1. La simulationF2 amène une remarqueattendueexpérimentalement:lorsque la contrainte appliquée est faible, le nombre de variantes dans les grains est important et ces variantesont tendanceà former des groupesautoaccommodants. -209- CHAPITREV: Résultatsnumériques
  o,25
  0,5
  0,2
  0,4
  0,l5
  0,3
  0, I
  0,2
  0,05
  0,1
  fn
  0
  0
  0,35 0,3 0,25 fn
  0,2 0,15 0, I 0,05 0 0,2
  0,4
  0,6
  0,2
  0,8
  0,4
  0,6
  0,8
  Fractiondemartensite
  Fractiondemartensite
  dansle grain 14pour PlancheV-41:Evolutiondesvariantesdemartensite à Mg+100"C,b) Essai a) Essaisuperélastique quatreschargements sous500MPa, à Ms+I"C, c) Essaidefluageanisotherme superéIastique sousl0MPa. d) Essaidefluage anisotherme
  D) Autresrésultats Dl) Groupesautoaccommodants
  Parmi les simulationseffectuées,seuleF2 est génératricede majoritaires).On complets(parmilesvariantes' groupesautoaccommodants dansle trianglestandardles grainsqui génèrentde tels groupes représente -2t0- CHAPITRE V: Résultats numériques
  et les fractions de ces groupes par rapport au taux de transformation du
  grain(fre.V-aD. FZ Fractionglobalede martensite=90Vo
  Apparitiond'un groupe autoaccommodant
  I
  oui
  L_j Non 242
  54:79.l%o
  9tzt4.7 xzv%o -\ 2Oz / Numéro du grain
  l7z 67.57o
  Proportion du groupe
  011
  001 64246.27o
  45zE73Vo
  79286.6Vo
  Fig. V-42: Représentation des grains et de Ia proportion du groupe autoaccommodantqui apparaît lors de l'essai F2. Les groupes autoaccommodantscomplets apparaissentdans neuf grains plutôt bien orientés.Pour ceux qui sont vraiment très prochesdu pôle t0011 (grains l7 et 64), leur proportion diminue du fait de I'apparition d'un secondgroupe incomplet. Pour les neuf grains, on relie la proportion du groupe autoaccommodantà la déformation et à la transformation du grain (fig.V-43). Pour huit grainssur neuf, la déformationgrains est inférieure à la déformationmacroscopique(fig.V-43b). L'écartest faible car il ne suffit pas de la présence d'un groupe complet pour accommoder la transformation,il faut égalementque les proportionsdes quatre variantes dans ce groupe soient similaires. Le grain 64, malgré la présenced'un groupe autoaccommodantcomplet parmi ses variantes majoritaires, se transforme peu et se déforme beaucoup.Dans ce grain, un secondgroupe incomplet et d'autres variantes apparaissent$tg.V-44), entraînant de
  -2tr - CHAPITRE V: Résultats numériques
  nombreusesincompatibilités de transformationet une contrainte interne importante(r - -135 MPa). 2,4 â 100 'E 95
  i ia)i | i, .a .-.-.-.i.,.,-.-.1------i-.----l--i
  i
  i
  i'
  :
  i
  !
  i
  i l
  i
  I
  !
  i,'
  i
  iiiir
  Be
  OÇ -uur id" tiansfoimati.i" ji tu pbtycri{tat (p} i
  €90
  E8s k
  Ê80
  bt)
  -
  -'a i i i r'|
  I
  -
  it r'
  ii
  ii
  ! :
  2.r € \o
  :
  i:
  ,,,,
  t
  î ;;i": i ,';;t i j,.,-i + i i
  €7s Ê70
  k
  iiii.,i j.-----i-.-.1-:--i---.---+--i----.-
  tr
  '<
  ,,4
  ,j--------.--i-------.i----.-i---.----i.r""'
  H
  bt)
  i
  iiiii "";'ï-"""""1"""'-""1""'-"'-'l'-""---"i""'
  di 6 s Ë s0
  i
  i
  '40
  ,,,r""'r""'f''
  60 70 80 90 dugrouPe Proportion
  100
  autoaccommodant(Vo)
  50
  60 70 80 90 hoportion du groupe autoaccommdant(7o)
  100
  h ffansformation et de la déformation avec la @ae {opo,tio,dugroupeautoaccommodantcompletquiapparqitlorsde l'essaiF2. o,25
  0 ,2 ct)
  () L
  d
  0,15
  (t)
  () () Ë r1 .
  0,1
  0,05
  0 0,2
  0,8 0,6 0,4 Fractionglobaledemartensite
  des variantes dans Ie grain 64 pour @ion l'essai defluage anisothermesousI0 MPq.
  -212- CHAPITRE
  I l L I I N CI ' I Résultats
  activée variante D2)Première La premièrevarianteactivéeest toujotlrsla mieux orientéepar rapportau repèredr-rchargement(quel que soit le type de chargernent). elle 1'estpas toujourscelle qui possèdela plus irnportante Cependant, Elle peuttnêtnedanscertainscas fractiol voluniqueen fin de chargellent. (exen-rple de la variattte19 dr-r de la microstructure totaleruent disparaître grain76 sur la fig.V-40d). Soit ft la fraction volunique globalede tnartensitepour laquellela variantemoinsbien parLlneseconde premièrevarianteactivéeestdépassée en fonction de f1 pour les quatresch.lrgements orientée.01 représente du grain(fig.V-a5) I'orientation
  fl < 257o > 257o eL <757o )
  lJ':/o
  'f l Fraction dc globak: rnartcu"site
  pour t le.,qLtalr eschar genr enlsSl,52, FI et F 2 F i g . V -4 5 : R e p ré .re ntatior pour lequel.la prentière varictttte cle,sgrctinç àri nr,., cle tian,t.frtrntation tlart'sIe gruin' ocrivéen'estpltr.sla pltr,sitnprtrtctrtfe
  2t3 CHAPITREV: Résultatsnumériques
  Sl) Dans plus de 20Vodes grains, la première variante'activéen'est pas celle qui possède la plus importante fraction volumique en fin de chargement.C'est le cas principalementpour les grains mal orientés qui génèrentdes contraintesinternesde traction importantes. Fl) Même remarquepour I'essaide fluage anisothermesous500 MPa. Le nombre plus important de grains dans lesquels la variante majoritaire changeest du au rapport conffainte interne/contraintemacroscopiqueplus important 52 et F2) Les niveaux de contraintesinternessont plus faibles, il n'y a plus de relation entre f1 et I'orientationdu grain.
  V.3.5 - INFLUENCE DE LA MATRICE D'INTERACTION ENTRE LES VARIANTES On a vu au $V.2 que la déformation maximale de transformation était fonction de la contrainte appliquée lors d'un essaide fluage anisotherme. Idéalement, pour une contrainte appliquée qui tend vers 0 MPa, la déformation globale de transformation tend vers 0 également. Cette propriété est due à I'apparition de groupes autoaccommodantspour lesquelsles variantesprogressent,mais ne génèrentpas de déformation macroscopique.Au cours de la simulation numérique, l'écait avec les résultats expérimentaux s'accroît lorsque la contrainte appliquée diminue (fig.V-S et V-100. On a vu au $V.3.3 que le comportementintragranulaire respecte les observations métallurgiques, en montrant I'apparition de à faible nombreusesvarianteset I'apparitionde groupesautoaccommodants contrainte: l'étude micromécaniquen'est donc pas mise en cause. Au contraire, elle est consolidéedans sa raison d'être par ces résultats. La principale source d'erreurs se situe au niveau de la matrice d'interaction entre les variantes. Lors de la déterminationde la matrice d'interaction,deux hypothèsesfortes ont été réalisées(annexe1):
  -214- CHAPITREV: Résultatsnumériques
  .
  L'augmentationde la fraction volumique pour une variante donnéese fait essentiellementpar un accroissementdu nombre de plaquettesde cette variante dans une région limitée du grain. Ces considérations permettent de représenterla microstructurepar une description de type "cluster" dans laquelle le volume occupé par une variante est un
  .
  domainebien défini du grain. Le nombre de variantes en transformation lors d'un chargementest limité (<5).
  Ces hypothèsessont justifiées dans le cas d'essaissuperélastiqueou de fluage anisothermesous haute contrainte.Elles ne le sont plus en fluage bassecontrainte. La formation de groupes autoaccommodantset I'absenced'orientation mécaniquement privilégiée par la contrainte laisse apparaître de nombreusesvariantes(expérimentalementet numériquement).Dant ce cas, I'utilisation de la matrice conduit à une surestimation importante de l'énergie associéeà cette configuration. La réorientation, qui permettrait à des variantes d'un même groupe de s'accommoder(en évoluant vers la même fraction volumique), est mal décrite: on a vu que seulesdes infimes réorganisationsétaientpermises(fig.V-34). Deux nouvelles matricesd'interactionont été testées.Elles sont toujours constituées de deux termes, faible et fort (variantes compatibles et incompatible). La première matrice testée(matriceHl) ne considèrecomme compatibles que les variantes faisant partie d'un même groupe autoaccommodant. Ainsi, chaque variante est compatible aux trois autres qui constituentle groupecomplet et incompatibleà toutesles autres. La secondematrice (matrice H2) proposeune solution intermédiaire.II pour lesquelsles incompatibilitésde existedes groupesautoaccommodants déformation sont inférieures aux autres deux à deux (voir tab.Al.5 en
  annexe1). Par exemple,entrele groupeI et III, il y a plus de variantes compatibles qu'entre le groupe I et II. On considèrealors que les deux groupesI et III sont compatiblesentre eux. Ainsi, dansla matrice,chaque
  -215- CHAPITREV: Résultatsnumé
  est compatible à sePt autres (les trois de son groupe et les quatres du groupecomPatible). 6 5 Oa
  ËÀe 4 F.v
  x6 trctl tÉ
  .
  J
  .9H =(,]
  EF .L
  ,9!
  P^9 1 0 3,5
  Oa
  ÉN
  xx .t1È ,li9 >
  .t)
  tsç
  ,g tj llJq) QE
  120 100 80 Contrainteappliquée(MPa)
  de Ia déformation moximale de transformation avec @on T7*rtrointe appliquée et le type de matrice d'interaction H lors d'essais defluage anisôtherme.a) Apptication à l'alliage CuAlBe.b) Application à l'alliage CuZnAl. -216- CHAPITREV: Résultats
  On simule des essaisde fluage anisothermeà différentes contraintes pour les trois matrices (fig.V-46). Les donnéesd'entrée sont identiques, y compris les valeurs des termes faible et fort de la matrice. Le seul changement intervient au niveau de la construction de la matrice d'interaction. La matrice d'interaction Hl fournit le meilleur résultat. Elle permet à la déformation globale de transformationde diminuer plus rapidementlors d'essaisde fluage anisothermeà bassecontrainte.Ce résultat est logique puisque cette matrice privilégie fortement les variantesd'un même groupe autoaccommodant.Les grains ne développentplus d'autresvariantesqui ont pour effet d'augmenterla déformation. À haute contrainte, le résultat est meilleur également (fig.v-46a), en effet, la déformation de transformation est supérieureà celle obtenuepar I'utilisation de la matrice classiqueH. Pour ces niveaux de contrainte,les grains qui se déforment peu sont ceux qui se transforment beaucoup et qui développent une contrainte interne de traction importante.En permettantde diminuer celleci (en privilégiant les variantesd'un mêmegroupe), on représentemieux le comportementdu fluage à hautecontrainteégalement.
  V.3.6 - CONCLUSION Les résultats relatifs à l'évolution de la microstructurenous donnent de nombreusesinformations sur le comportementmicroscopique. ' En premier lieu, on a vu que l'évolution de la microstructuredans les grains est très différente suivantle type de chargement:3 à 5 variantes par grain en moyenne en superélasticité,plus de 8 en fluage anisotherme. .
  Les simulations de fluage anisotherme montrent également un comportementdifférent suivant la contrainteappliquée:si celle-ci est importante, le comportement se rapproche de celui d'un essai superélastique.
  -2t7- CHAPITRE V: Résultatsnumériques
  On a vu égalementque les grainsse comportentdifféremmentsuivant leur orientation par rapport au repèredu chargement. . Les grains bien orientés développent une contrainte interne de compressionimportante, ils se transforment peu mais se déforment beaucoup. .
  Au contraire, les grains mal orientés se déforment peu pour une transformation importante et génèrent des contraintes internes de traction.
  Cet effet de I'orientationest très faible pour les essaisanisothermessous faible contrainte appliquée.Le comportementdes grains est alors plus homogène,il devient difficile d'établirles raisonsqui font que certainsse transforment peu ou beaucoup, se déforment ou non L'évolution microstructurale devient le principal paramètre responsable du comportement.Les contraintesdansles grains sont plus homogènes,seules les interactionsentre les différentesvarianteset leur nombre infiuent sur le taux de transformation et, en moindre partie, sur la déformation. Si un
  groupeautoaccommodant apparaîtet occupeplus de 60Vodu volume de martensitedans un grain, la déformations'entrouveraaccommodéeet le grain se transformera aisément (dans ce cas, le nombre de variantes majoritaires serafaible). Au contraire,la présencesignificative d'un second groupe ou de variantes isolées (extérieuresau groupe dominant) entraîne des incompatibilitésimportantesentre les variantes,une énergieélastique importanteet une faible transformation. Ces derniersgrains qui développentbeaucoupde variantespendant leur transformation, sont à I'origine des limites d'application du modèle au fluage anisothermeà faible contrainte.En effet, dansce cas,les hypothèses
  qui ont serviesà la détermination de la matriced'interactionne sontplus vérifiées.
  -218- CHAPITRE V: Résultatsnumériques
  - Références bibliographiques-
  tBe4l
  Bourbon G., "Contributionà I'étudeisothermeet anisotherrne du comportementcycliquedes alliages à mémoire'deforme", Thèse,Universitéde Franche-Comté(1994)
  ICDg2l
  Chrysochoos A., Dupré J.C., "An infra-red set-up for Continuum Thermomecenics",Actes du colloque QIRT, Eurotherm, Seminar 2'7, Éd. EuropéennesThermiques et Industries(1992)
  lcPM93l ChrysochoosA., Pham H., MaisonneuveO., " Une analyse expérimentale du comportement thermomécanique d'un alliage à mémoire de forme de type Cu-Zn-A|", C.R. Acad. (1993) Sci.Paris,M, SérieII, pp.1031-1036
  [DADTsl DeVos J., Aernoudt E., Delaey L., "The Crystallography of the Martensitic Transformation of B.C.C. into 9R a GeneralizedMathematical Model" , Z. Metallkde, 69, H7,, pp.438-444(1978)
  [DDATsl Delaey L., DeVos J., Aernoudt E., "ShapeMemory Effect, Superelasticityand Damping in CuZnAI Alloys", INCRA Projectn"238,Report78R1,pp.55(1978)
  lDKTT4l Delaey L., Krishnan R.V., Tass H., Warlimont H., "Thermoplasticity, pseudoelasticity and the memory effect associatedwith martensitictransformations",J. Mater. Sci., 9,
  (r974) pp.1536-rs44
  -2t9- CHAPITREV: Résultatsnumériques
  tB94l
  El AmranizinfiM., "Contributionsà l'étudemicromêcanique des transformationsmartensitiques thermoélastiques ", Thèse, Université de Metz (1994)
  tF93l
  Flores ZunigaH., "stabilitéthermiquede la phaseB et de l'effetmémoiredoublesensd'un alliageà mémoiredeforme de type Cu-Al-ùe",Thèseno93ISAL 0107,InstitutNational deLyon (1993) appliquées dessciences
  tHIMS8l
  HorikawaH., IchinoseS.,Morii K., MyazakiS., OtsukaK., Metall.Trans.,19A,pp.9l5-923(1988)
  tLBLg4l
  LeclercqS.,BourbonG.,LexcellentC.,"PlasticityLikeModel of MartensitePhaseTransitionin ShapeMemoryAlloys", Les Éditionsde Physiques, ProcsESOMAT'94,Barcelone, France,pp.5l3-518 (1994)
  tM96l
  Moreau F., LETAM, Universitéde Metz, Comrhunication interne(1996)
  tMTBg4l MoreauF., Tidu A., BarbeP., EberhardtA., HeizmanJ.J., "Studyof CuAlBeShapeMemoryAlloy by X-Raydffiaction", (1994) Procsof ESOMAT'94,pp.269-274
  tPesl
  des alliages à thermomécanique Patoor8., "Comportement mémoirede forme", Mémoired'habilitation,Universitéde Metz,ISGMP,LPMM, Metz(1995)
  lRLTe2l Raniecki 8., LexcellentC., TanakaK., "Thermodynamic Behaviourof ShapeMemoryAlloys",, Modelsof Pseudoelastic Arch.of Mech.,3Q992)
  tveu
  Vacher P., "Etude du comportementpseudçélastique d'alliagesà mémoiredeforme CuZnAlpolycristallins",Thèse, (1991) Besançon UniversitédeFranche-Comté,
  -220- CHAPITREVI: Conclusion
  CHAPITREVI: - Conclusion-
  Ce mémoirecomprendune étudeà la fois théoriqueet expérimentaledu des alliagesà mémoirede forme. comportementsuperthermoélastique adoptéepermetd'obtenirà la fois des L'approchemicrothermomécanique sur la réponsedu matériauà une sollicitation résultatsmacroscopiques donnée (courbes >-E et E-T) et des informationsà caractère microstructural(formationdes variantesde martensitedansles grains). Dans ce travail, de nombreux résultats nouveaux concernantla ont étéobtenus. modélisationdu fluageanisotherme Les propriétésthermomécaniqueslocales d'un volume monocristallin soumis à une transformationde phasemartensitiquesont déterminéesen fonction des variablesqui contrôlent la transformationet d'un ensemble de variablesinternesdécrivantla microstructure.L'apport de cette étude est la considérationde la températureen tant que variable de contrôle au même titre que la contrainte macroscopique.La microstructure est décrite par les fractions volumiques des différentes variantes de martensite. Les tenseursde localisationrelient les quantitéslocales aux quantités Deux nouveaux tenseursde localisation globales correspondantes. thermique sont introduits. Ils relient la contrainte et la déformation locales à la températureimposée. Le comportementmacroscopiqueest obtenu à partir de la résolution d'une nouvelle équation intégrale. Cette équation thermomécaniqueest résolue en introduisant les hypothèsessimplificatrices appropriées: approximation autocohérenteà un site et uniformité de la température dans l'échantillon. Dans l'état, elle peut servir pour toute modélisation du comportementthermomécaniquedes matériauxmicrohétérogèneset
  -221 - CHAPITREVI: Conclusion
  macrohomogènes.Elle généralisedansI'espacecontrainte-température l'équation obtenuepour les cas de chargementsmécaniquesisothermes. IJn schémade résolution numérique est mis en oeuvre. Il permet de
  .
  traiter des édifices polycristallins pour les cas de chargementisotherme et anisotherrnesansvariable supplémentaire.Les variables d'entÉe sont obtenuesà partir d'observationscristallographiquesou déduites d'étude micromécanique. .
  Une étude simplifiée basée sur la thermodynamiquedes processus irréversibles permet une prise en compte des dégagements et absorptions de chaleur accompagnantles transformationsdirecte et inverse.
  Parallèlementà ce travail théoriqueet numérique,une étude expérimentale permet de caractériserthermomécaniquementun alliage particulier de cuivre-aluminium-bérylium. L'originalité de cettecaractérisationest qu'elle aété réaliséeavec des monocristauxet polycristaux de même composition. . Des essais de traction superélastiqueisotherme à partir du domaine austénitiquefont apparaîtrele mécanismede déformationprincipal de la transformation martensitique:transformationinduite par la contrainte. .
  .
  Des essais de fluage anisotherme à contrainte imposée constante montrent I'influence du niveau de contrainte macroscopique.Pour des valeurs faibles de la contrainte, la transformation est nettement influencée par le mécanismed'autoaccommodationdes variantes. L'influence des paramètresde contrôle (températureen supbrélasticité isotherme et contrainte en fluage anisotherme)permet de caractériser Le cristallographiquementI'alliage dansI'espacecontrainte-température.
  .
  diagrammed'état est alors tracépour le monocrist*t le polycristal. Deux essaisà vitessede déformation lente et rapide (censésreprésenter des transformationspurementisothermeet adiabatique)sont également comparés
  La confrontation des prévisions théoriquesaux mesuresexpérimentales fournit des résultatssatisfaisants. . Les résultats de modélisation du comportementisotherme confirment les bons résultatsobtenuspour d'autresalliages. -222- CHAPITREVI: Conclusion
  Les résultats de modélisation du comportement anisoth'ermesont corrects, en laissant toutefois apparaître une limitation quant à la description du phénomèned'autoaccommodationà basse contrainte.
  .
  Cette limitation est liée à la descriptionmicromécaniqueemployée lors du calcul de l'énergied'interactiondue aux contraintesinternes. Laprise en compte des échangesthermiquespendantla transformation
  .
  est très satisfaisante.Elle rend compte de I'influence de la vitesse de isothermes. sollicitation(de déformation)lors d'essaissuperélastiques L'approche utilisée permet également d'obtenir des résultats microstructurauxintéressants:évolution au cours du chargementdes contraintes internes d'ordre II, de la déformation et des fractions volumiques dans les grains qui constituentle polycristal. En fonction de I'orientation des grains, les propriétés de ceux-ci diffèrent comparativement.Ce résultat permet d'espérerobtenir des comportements
  du polycristal. "à la carte"suivantla texturecristallographique Cette étude s'inscrit dans une suite de différents travaux visant à un développementindustriel des alliagesà mémoire de forme. D'autresétapes
  pour une meilleureprédictiondu comportement sontencorenécessaires des alliages à mémoire de forme. . Une meilleure prise en comptedu mécanismed'autoaccommodationdes
  .
  variantesde martensitecompléterala descriptiondu fl.uageanisotherme et permettrade modéliserI'effet mémoiresimple sens. L'effet du cyclage avec apparition de plasticité par création de défauts est envisageable.On pourra alors espérerla modélisation de I'effet
  mémoiredoublesenset deseffetsde fatigue. L'étudedesalliagesà mémoirede formeouvredespistespour celle des Trip-Steel,alliagespour lesquelsle couplageentre la plasticité et la transformation de phase conduit à des propriétés remarquables: déformation irréversible très importanteavant striction.
  -223 - ^ - Annexes
  ANNEXE 1: Calculde l'énergied'interaction V/int intervenant dans le potentiel de Page225 du monocristal transformation AI.1 - RAPPEL AI.2 - ASPECTS MICROSTRUCTURAUX ET CALCUL DE L'ÉNERGIED'INTERACTION A1.3 - nÉpensNCES BIBLIocRAPHIQUES
  226 232
  ANNEXE 2: Déterminationdu tenseurTII et Page233 du tenseurde GreenG(r) 233 A2.I - RAPPEL A2.z- nÉrenuINATIoN DU TENSEURDE GREEN 233 A2.3 - oÉTSRMINATIoN DU TENSEUR 235 D'INTERACTIONTtr
  Az.4- nÉsolurloN NuuÉruQLJE A2.5- ngrnnrNcEsBIBLIOGRAPHIQUES ANNEXE 3: Résolutionnumérique A3.I - INTRODUCTIONET FORMALISME A3.2- VARIANTES ACTIVES A3.3 - TEMPSDE CALCUL A3.4- nÉrBnsNCES BIBLIocRAPHIQUES
  -224-
  236 237
  238 Page .238
  .24r 243
  24 ANNEXE 1: - Calcul de l'énergied'interactiorWint intervenantdansle potentielde transformationdu monocristal-
  A1.1- RAPPEL associéà la transformationde phased'un Le potentiel thermodynamique La décompositiondu monocristala été déterminéau chapitre111.2.2.1. champ de contraintelocal o(r) en deux champs(champde contrainte I et champde contrainteinternet(r)) a permisd'établirla macroscopique relationsuivante(III.3l):
  y(>rj,T,fn)-
  -B(T-ro)Ifn
  +1>USilrcrrru +aÂTr1.1 +
  n
  (r)e$(r)dv *r,:Ieftrn+ *yii
  (Al.l)
  B et Tg sont des constantesdu matériau. S et a sont les modules thermoélastiqueset tn est la déformationde la varianten. Les différentes contributions ont été réduites à des fonctions des paramètresde contrôle (contrainte I et températureT) et des variables internes fn (fractions volumiques des variantes n) mis à part le dernier terme de la relation. Ce terme symbolise l'énergie d'interaction ygint associéeà I'apparitionde la phasemartensitique.Son évaluationnécessite la connaissanceprécise de la microstructure,c'est à dire la forme et la répartition spatialedes variantes.
  vgint= -*J
  ti3r'le[ (r)dv V
  -22s-
  (41.2) Annexes
  AT.2 - ASPECTS MICROSTRUCTURAUX ET CALCUL DE L'ÉNERGIED'INTERACTION un matériaupolycristaltinà un stadeavancé La figure A1-1 représente peuventêtrefaites: Deux observations martensitique. d'unetransformation le nombrede variantesforméesestlimité (3 à 4 pargrain sur24 possibles) d'ellecroîtdansun domainebien définidu grain. et chacune
  Fig.Al-I: Micrographie représentantles variqntes dans un grain d'un polycristal CUAIBe[BUA96]
  F"=+ f'n-v -5.
  ET,V
  en, vn, fn
  e"=r
  Fig. AI-2: Aspectsmicrostructurauxde Ia transfonnation et définition des paramètres utilisés pour caractériser la microstructure.
  -226 - Annexes
  Les sources de contraintes internes proviennent majoritairement des interactions martensite/martensite.En conséquence,pour déterminer l'énergie d'interaction,on utilise une descriptionde type "cluster". La figure AI-2 schématisecette structureen faisant apparaîtreles paramètres microstructurauxcaractéristiques,à savoir: . ET et V: La déformation de transformationet le volume du grain (monocristal). . En, yn, Fn: La déformationde transformationmoyenne,le volume et la fraction volumique du domainedélimité par la variante n ( la variante est considéréecomme I'ensembledesplaquettes). . tn, vn, fn: La déformation de transformation,le volume et la fraction volumique de la plaquettede martensiten. . gnt Le taux de la plaquetten dansle domaineassocié. La valeur moyenne du champ de déformation de transformation dans le domaine n est défini comme suit: ;'tjD - -
  1 V"
  Je[rr)av el l='lqn
  (A1.3)
  vn
  Ces hypothèsespermettentde simplifier I'intégrale(A1.2) par une sommationsur les différentsdomainesn.
  wint= -*f v
  ,11 tr)r[ tr)av= Zy L "U"U'n
  i>tfic,jv
  (41.4)
  où Tn estla valeurmoyennede la contrainteinternesur le volumeVn. Or, la valeurmoyennede la contrainteinternedansun monocristalestnulle,ce qui permetd'écrirela propriétésuivante:
  =!Ioief,vn =o (r)e$av * vJ.ii n
  -227-
  (41.6) l Annexes
  L'addition des deux dernières relations permet d'exprimer l'énergie d'interaction sousla forme:
  =wint *>ril'ilvn* +>t,je[v" nn
  =;>til (ti -.il )t' (â wint
  (41.7)
  n
  En considérantle domainen comme une inclusion ellipsoïdalecaractérisée par un tenseurd'Eshelby5n [E6U, la contrainteuniforme Tn'dans cette inclusions'exprimeainsi:
  tl --ci3s(tno,- silr,, X"I E[)
  (A1.8)
  L'énergie d'interactions'exprimealors:
  -stmXrl,-E[F" -e[)cr1r.r(t*^ = wint ;>(q n
  (Ar.e)
  En superélasticitéou en fluage anisothermeà haute contrainte, le nombre de variantes (domaines)reste timité. Cette énergiepeut donc être évaluée en limitant le calcul de l'énergie d'interaction pour des paires de variantes. Dans le cas de deux domaines p et 9, la déformation globale de transformationdevient:
  ET=ril on+Cfiru avecFP+Fe=1
  (A1.10)
  aplatis:SP=S9=SP9 commedesellipsoïdes sontconsidérés Si cesdomaines et l'énergied'interactiondevientalors:
  - sll,, - E:!) tnr.rrl - cfi (tno. wint= (ri X.l, )cr1r.r ]nnrr
  -228- Annexes
  La déformation moyenne de transformation en et la fraction volumique F du domaine n peuvent s'exprimer à partir des paramètres fn et t n intrinsèquesà la transformation.
  €il- tilqn
  et
  Fn = t/r"
  (Ar.r2)
  L'énergied'interactions'écritalors: f9 t ^ ^ ^\ | n, -- I'I f'IP :-(eeef - sfl,, - rnrl -,porl, w. (tn,,, "rn[ Z )ciig )(*nrl, ) çp gq
  (41.13) de la transformation est identiquepour Si I'on supposeque I'avancement alorsgP=gQet W1n1s'écrit: touslesdomaines, | ^ ^t ^ ^\ r nn \l wint=lrrvrt(ri - rfi)ci3n (to,^- sll,,Xrl,- e,q, )
  rA1.14)
  Cette équationdonne la valeur de l'énergied'interactionWint en fonction des variables internes fn mais égalementen fonction de la forme et de I'orientation du domaine (par I'intermédiaire des tn et Spq). La minimisation de cettecontribution(tab.Al-3) conduit à définir une matrice d'interaction Hnm (tab.A1-4) qui décrit les interactionsélastiquesentre variantes tE94]. En accord avec les observationsexpérimentales,elle comporte des termestrès faibles dansle casde variantesautoaccomodantes tandis que des termes importants sont associésaux incompatibilités de transformation de certainesvariantes,dites incompatibles.La minimisation conduit à écrire l'énergied'interactionsousla forme:
  wint=
  (A1.1s)
  i>Hnmfnfm n.m
  -229- Annexes
  - sflfl"" dét(^eil ) aefqciir.,(In,,"n )orlfi
  Type d'interaction
  n
  m
  I
  I
  0
  0
  1
  2 3
  0
  3.810-2
  Compatible
  0
  0.2 r0-2
  Compatible
  4
  0
  Compatible
  I
  5
  0.01
  3.7 t0-2 1 . 41 02
  I
  0.22
  I
  6 7
  I
  8
  I
  9
  I
  10
  I I
  11
  0.22 0 0.03 0
  I I
  0
  -0.03
  I
  t2 t3
  1
  I4
  I I
  15 t6 T7
  0 0.2t
  1 I 1
  0.21
  Compattble
  Incompatible
  0.21 1.3rc-2 0.20
  Incompatible
  4.4r04
  Compatible
  3.810-2 0.3 10-2
  Incompatible
  3.810-2 0.18 1 . 11 0 - 2
  Incompatible
  Compatible Incompatible
  Compatible
  Incompatible Compatible
  0.20
  lncompatible
  -0.01
  r.4 t0-2
  Incompatible
  -0.21
  0.20
  Incompatible
  18
  t3 10-6
  1.010-2
  lncompatible
  19
  -0.22
  0.20
  Incompatible
  20
  0
  I
  2l
  0
  0.8 10-2 0.8 10-2
  1
  22 23 24
  I
  I I
  Compatible Compatible
  -0.2r
  0.19
  Incompatible
  -13 t0-6 -0.22
  1.010-2
  lncompatible
  0.21
  Incompatible
  w,interactionentrelavarianten=]etl,esautres *iiontrt pour un alliage CuZnAI. Déterminationde la condition d'existencàd'un plan invariant (AEpq) et minimisation de I'équation
  (At.8).
  -230- Annexes
  I
  3 4
  3 2
  4
  5
  6
  7
  I
  3
  2
  X
  X
  t0 X 6
  X 4
  x x
  2
  3
  X
  X
  x
  t5 X
  6
  X
  4
  l3 X
  X
  x
  4
  X
  6
  x x
  X
  x
  X
  x
  4
  x
  6
  3
  2
  l0 X
  X
  X
  2
  3
  X
  l5 X
  2 3
  l
  I
  t6
  5 6
  8
  12 t 3 l 4 l 5 l 6 t 7 l 8 t 9 20 2 l 22 23 24
  3
  I
  I z
  t0
  2
  I
  8
  9
  il
  X
  x x x x l0
  X
  x
  l5 X
  l3 X
  x
  6
  X
  4
  t5 X
  X 4
  X
  X
  t3 X
  t6 X
  X 6
  X
  X
  X
  l5 l6 X
  X
  X
  X
  X
  l0 X
  x
  l3
  x
  X
  l6 X
  X
  x
  X
  X
  l5
  x
  X
  X
  X X
  X
  l0
  X
  X
  X
  X
  l0 X
  X
  6
  X
  x
  t6 X
  X
  x x
  l3 X X
  X
  X
  t6 l5
  l3 X
  3
  2
  X
  X
  t3 X x 4
  2
  3
  X
  X
  X
  t6 4
  X 6
  x
  I
  3
  2
  X
  x
  l3 X
  2
  3
  X X
  9
  l0
  I
  tl
  3
  2
  X
  t2
  2
  3
  l5 X I
  l3
  X
  l6 X
  X
  l3 X
  x
  X
  X X
  X
  t5
  x
  t0 X X
  X
  t0 X
  X
  l6 X
  X
  x
  X
  l5 X
  X
  X
  x x
  l0
  x x
  X
  3
  2
  x
  13 X
  X
  2
  3
  t6
  x
  X
  x l0 x x l0 X
  X
  l3 X
  l0 X
  X
  l6
  x
  X
  l3
  X
  X
  l5 X
  X
  x x x X
  t4
  I
  t5
  3
  2
  X X
  X
  I6
  2
  J
  X
  X
  l5 X
  X
  X
  x
  l6
  I
  3
  2
  X
  4
  X
  6
  2
  3
  4
  X
  6
  x
  x
  6
  x
  4
  6
  X 4
  x
  3
  2
  2
  3
  t7 l8
  I
  t9
  3
  2
  20
  2
  3
  I
  2l
  22
  I
  23
  3
  2
  24
  2
  3
  I
  TableauAI-5: Matrice d'interaction H déterminépour un alliage CuZnAl [ElA,94]. I, 2 et 3: Variantesd'un mêmegroupe autoaccommodpnt;4, 6, 10, 13, I5 et 16: Variantes compatibles;X: Variantes incompatibles.Its groupes en gras ont de nombreusescompatibilitésavec Ie groupe entouré d'une double ligneplacé sur la mêmeligne (justificatifde H2, $y.3.5). En définitive, le potentiel thermodynamiqueassociéà la transformation martensitiqued'un monocristal est décrit par les seulesvariablesfh, comme le montre le résultatsuivant:
  Y(tU,T,fn)- -B(T-Ts)It"
  +j>i:s1kllkt+sATIn +
  n
  *>,ilefftn+ i>Hnmrnrm fl'ffi
  - 23t -
  (A1.10) Annexes
  A1.3- nerensNcEs BIBLIOGRAPHIQUES lq94l
  El AmrantZirifi M., "Contributionsà l'étudemicromécanique des transformationsmartensit iques thermoélastiques ", Thèse, Universitéde Metz (1994)
  tE6U
  Eshelby J.D., "Elastic inclusionsand inhomogeneities",Prog. (1961) in SolidMech.,2, PP.89-140
  tF85l
  Fassi-FehriO., "Leproblèm,ede la paire d'inclusionsplastiques et hétérogènesdans une matrice isotrope - application à l'étude du comportementdesmatériaux compositeset de Ia plasticité", Thèsed'État,Universitéde Metz (1985)
  -232-
  -,/ ANNEXE2: - Déterminationdu tenseurTII et du tenseur de GreenG(r) -
  A.2.1- RAPPEL Le tenseurd'interactionTII est indispensableà la déterminationdes tenseursde localisation.Son expressiona été définie en $III.3.3.3 @q.III.109),elleestfonctiondu tenseurde Greensymétriséf(r): .,.II = r;in
  I
  c f-
  (r) dvdv' ç1 J. JUo' VI VI
  = (r)+Grj,ri 1r;lovav' #J Jt"-',ri
  (42.1)
  Le tenseurde Green G(r) est la solution de l'équation de Navier obtenue par les lois classiquesde l'élastostatique. Si L0 est le module du milieu et fi=ôimô(r-r') une force volumique, l'équation qui définit G(r) est la suivante:
  (, - r' ) + ôirnô(r- r' ) = Q L?jr.rGm,U
  (A2.2)
  A2.2- NÉTERMINATIONDU TENSEURDE GREEN La méthode de calcul est basée sur les techniques de transformée de Fourier du tenseur de Green. Cette méthode a étê proposéepar Kneer lK65l et développéepar Mura [MK71].
  -233 - Annexes
  La transforméede Fourierde G(r), notée ôttl
  si k est le vecteurconjugué
  de r, est donnéepar:
  ônrn(k) = on. 1r;e+iki'idv, J
  (A2.3)
  Vt
  de Fourierinverseestalors: Satransformée
  Gk, (r) = *
  u'u
  ôrrn1k;e-ikiridvn
  I
  (A2-4)
  vp
  En dérivantdeux fois cette expressionpar rapport à la position r, on obtient:
  Gk.,rj(r) =
  #
  dvn 1k;e-ikiri
  (A2.s)
  {--rkjôm
  En faisant de même pour la distribution de Dirac ô(r), on a:
  1 puisô1r;-# t"-ik'''dvk 51r.;= 'v
  (A2.6)
  Vç
  (A2-2),cette En reportantles résultats(A2.5) et (A2.6) dansI'expression dernièrepeutse réêcire(d'aprèsle théorèmede I'intégralenulle): (A2.7)
  Loi1.rôm(k)klkj= ôim
  À c" stadeintervientla forme de I'inclusion.En effet,I'inclusionpossède un repèreprincipal d'inertie (ou repèremorphologique),généralement différent du repèrecristallographiqueet danslequel le vecteurk a pour : (dansI'hypothèse d'inclusionssphériques) coordonnées
  -234- = sin0 cosg lXt - sin0sinI avec: ki : kIi 1X, l1t - cos0 du vecteurk sphériques k,0 et g sontlescoordonnées L'équation(AII-7) devientalors:
  (A2.8)
  (k) = ôi. Lljr.rk'XrXjGr. qui définitô(t ), à savoir:
  t k2ôr*(k)=[r.},:r.rxrx:J
  A2.3 . DÉTERMINATION D'INTERACTIONTII
  (Az.s)
  DU
  TENSEUR
  La transformée de Fourier de G(r) étant définie, on remplabe dans la définition du tenseut 1II (A2.1), le tenseurde Green par sa transforméede Fourier inverse(A2.5), ce qui donne:
  -ri) (r;] dvdv' dvl (k) eitit'i + k1k1ôpi r,11, .,--. +I6n' | | [[r,r1ôni ,i, ri, u*. (A2.10) l'élémentdevolumedVp estdonnépar: sphériques, En coordonnées (A2.11)
  dvk - k2 sin0 d0 dtpdk Dansce nouveaurepère,(A2.10)s'écritdonc: rII. 'ljkl -
  (k)+ uzxtxicn, ,* ,'flo'*r,rjôr.i \-wr^Yr- rLJtn>]jrt *f JO rcTcl 0
  Ë
  -235- Annexes
  [ [ JJ vI vI
  -ri) "it'r''
  dv dv, dk dg d0
  (A2.rz)
  En choisissant13suivantk, on a (si a estle rayon de la sphère):
  dVdv, dk-Qry)3 Ïu, I Jritit.i-ri) 3 o
  (A2.r3)
  vIvI
  Finalement,on obtient PourTII; -riikr II : u3
  n
  2n i , . (k) rur + - v u2xfli1rilrc;] 2*--.â oqae
  ?J"nt Jlu"rrjôni
  (A2.r4)
  00
  aveck2ô(k) donnépar(A2.9).
  A2.4- nÉSOLUTIONNUMÉruQUe Le tenseurTII donné par l'expression(A2.14) ne peut être calculé dansun que dansles cassimplesd'inclusionssphériques analytiquement milieu isotrope.Pour toute autreconfiguration,une méthodenumérique élaboréepar Lipinski IL93l est employéeet intégréedansle processus numérique.Cette intégrationnumériqueest basée sur la méthode de Gauss. d'intégration soit unefonctionf(0,rp):Sonintégralepour -1< 0 < 1 et -1< I < I peut par la doublesommesuivante: êtreapprochée II
  NM
  r= [[r(e,e)ded9->If(Oi,9i)wiw; j,jt
  (A2.1s)
  i=l j=l
  avec: N et M: Le nombre de points d'intégrationselon0 et rp 01et g.1:Les positionsdes points d'intégration(dépendde N et M)
  -236- Annexes
  wi et w3:Les poids d'intégration (égalementdépendantde N et M) Les valeurs des poids ainsi que les positionsdes points d'intégrationsont prédéfinis ([R65] par exemple).Deux changementsde variablepermettent de ramenerle calcul de TII (A2.14) au cas décrit précédemment(A2.15)
  tl-e3l.
  BIBLIOGRAPHIQUES A2.5- REFERENCES tK6sl
  Kneer G., "(Jber die Berechnungder Elastizitritsmoduln VielkristallinerAggregatemit Texture",Phys.StatusSolidi,9, (196s) pp.825838
  tl.e3l
  des métauxen Lipinski P., "Modélisationdu comportement transformationsélastoplastiques finies, à partir deisméthodes de transition d'échelle",Mémoire d'habilitation,ISGMP, LPMM, UniversitédeMetz (1993)
  tMK7ll
  Mura T., Kinoshita N., "Green'sfunctionsfor anisotropic elasticity",Phys.StatusSolidi(b),47, pp.607-618(1971)
  tResl
  RalstonA., A First Coursein NumericalAnalysis,McGrawHill (196s)
  -237- Annexes
  ANNEXE 3: - Résolutionnumérique-
  A3.1 - INTRODUCTIONET FORMALISME On considèrele comportementdu matériaucomme indépendantdu temps (pas de viscosité) même s'il existe un effet de vitesse ayant une autre origine ($III.4). Dès lors, même si le caractère non linéaire de la transformation martensitiquedes alliages à mémoire de forme impose une écriture des lois de comportementsousforme de vitesses,la variable temps est ici utilisée pour repérerles états successifsdu matériau au cours du chargement.Par conséquent,la notion de dérivée temporelled'une variable corïespond à la variation de celle-ci entre deux événementssuccessifs (infiniment rapprochés).Ceci justifie dans un premier temps I'utilisation d'une formulation incrémentale pour l'écriture du schémanumérique. De plus, les équations(III.Il2) et (III.l14) permettantle calcul des modules effectifs possèdentune forme implicite, ce qui constitue la principale difficulté de résolution. Lipinski et al. [L889] ont proposé une approximationnumériquequi consisteà choisir commemilieu dê référence celui dont le comportementa été déterminéau pas de calcul précédent (ceci est possiblede par la formulationnumériqueincrémentale). L'incrément macroscopiqueimposé (numériquement)peut être de deux types: "mécanique" (en contrainte dI ou en déformation dE) lors d'un chargementisotherme ou "thermique" (incrément de températuredT) lors d'un essai anisotherme.Dans ce deuxième cas, le niveau de contrainte appliqué doit être égalementcontrôlé pendantla simulation. Pour ces deux types de chargement, la vérification du niveau de contrainte (à une tolérance ( admise) est le critère qui permet le passageà I'incrément suivant. À ce stade, on peut présenterI'organigrammeprincipal de la
  -238- /f,
  simulation numérique, qui est principalement relié au comportement macroscopique(plancheA3- I ).
  Données d'entrée:
  - liées au matériau: rMs,B, Fs, Af,Rrj,Hflffi, Ciikl, a rNombre de grainset orientationde chacun r Forme des grains+ Ttr
  - liéesauchargement: dl1i, dT
  Au départ, les modules thermomécaniquessont L"ff= C égaux aux modules il élastiquesdu matériau: GtE
  N"ff=
  û,
  M"ff= ccr
  dE = Geff d> + Neffdr
  d
  Calcul des nouvelles propriétés(lI et mI) et des fractions volumiquesdes variantesdu grain C>eTI)t
  ont été testés
  Nouveau modules effectifs
  -t ,eff=I M"q
  -I
  t
  I I(
  fr trRr lI ur - -
  Oeff= fff I)
  N"ff= çeff 14eff
  I
   et déformation de transformation macroscopique: f = fmax o E =Emax 7 a_
  l=lmax-
  Nouvelincrément I=I+
  dI
  T-Tmin
  tlt+at
  PlancheA3-I: Organigrammedu schémade résolutionnumériquepour la superthermoéIasticitédes alliages à mémoiredeforme. -239- Annexes
  Calcul des tenseurs de localisation:
  ôlI=
  lI - ,eft TIIôllfl
  d=[l-
  Calculde la déformationet de la contraintedansle grainI:
  et
  ô mI= -I-
  M"ff
  et
  aI=AITIIômI
  del=dog+dar doI=rIoJ--Idr
  r toutesles variantes Recherchedes variantes potentiellement actives:
  golRn = B (T - Ts) +"I""-f*
  i F"- l.n+ î,0
  e t f n l > 0 ( I " > 0 ) e r f I < 1( l o > 0 ) quand toutes les variantes ont été testées
  Parmi toutesles variantespotentiellement actives,recherchede la combinaisonqui minimisel'énergie: ( >ijttj)
  Calcul de I'incrément de fraction volumique et des nouvelles propriétésdu grain:
  tf*roJt-rYr*R"c .,)dd >[H"ARncR'] sdfnl=
  mI= c a- cIRo > t d""f Rnc R-l-l[ Yr-Rnc cil nm f*I= f
  nI+
  dfnl
  et
  dJI= IgRndf
  nI
  Quand tous les grains ont été testés
  PlancheA3-2: Organigrammede calcul despropriétés des grains.
  -240- Annexes
  La partie concernant le comportement local est représenté par I'organigramme de la planche A3-2, il est relatif à l'évolution du comportementet au calcul des propriétésdansun grain.
  A3.2- VARIANTES ACTIVES La transformation ou la déformation dansun grain résulte de I'activation et de l'évolution de une ou plusieurs variantesde martensite.Pour cela, au moins une condition doit être satisfaitepour activer la transformation: cette condition se traduit par la vérification du critère local définit par l'équationlll.42. Parmi ces variantes potentiellementactives, les équations (III.43) et (IIl.47) définissentcellesqui le sont réellementmais dans la pratique,ces relations sont utilisées uniquement pour déterminer les vitesses de déformation de transformationpour une combinaisonde varianteschoisies. Avant cela, il faut choisir parmi toutes les variantes potentiellement actives,la combinaisonqui I'est effectivementet qui corresponddonc à la solution. Ce choix est basésur un critère énergétiquequi correspondà la minimisation de la solutiondu théorèmedes travauxvirtuels exprimé sous forme incrémentale. Finalement, le choix de la combinaison active impose de suivre le cheminementsuivant: . Choix d'unecombinaisonparmi toutescellespossibles . . . .
  lI et mI de la combinaison Calcul des modulesthermomécaniques Déterminationdu tenseurde localisationAI Calcul des déformationset contraintesdansle grain Détermination des taux de déformationdesdifférentesvariantesavec
  rejet de la solution si une de ces valeursest négatives . Calcul de eldol et mise en mémoirede la combinaisonqui minimise cette forme. -24t - Annexes
  Ces opérationssont effectuéespour toutesles combinaisonspossibles,la solutionchoisieest celle qui minimisel'énergiede déformation' Un tel algorithmeest très consommateuren calculs (et par conséquenten temps): Pour un nombrex de variantespotentiellementactives,le nombre de combinaisonsNç à testerest donné,par: x
  Nc=I"l
  nX
  où:
  Ct* =
  i=0
  x! i! (x-i)!
  (43.1)
  pour x=0 (aucunevariante potentiellementactive), Nc=1 colrespondà la solution élastique.En conditions isothermesou lorsque la contrainte appliquéeest importante,le nombre moyen de variantespotentiellement actives généralementconstatéest de 5; le nombre de combinaisonsest alors de32, ce qui resteraisonnable. À I'inverse,lors d'un cycle thermiquependantlequel la contrainteimposée est faible, le nombre de variantes potentiellementactives peut être beaucoupplus important. Pour x=10, le nombrede combinaisonsà tester est Ns=1Q24.Ce chiffre est multiplié par 16384dans le cas extrême où toutesles variantessont potentiellementactives(24 vartantespossiblelors d'un refroidissementà l'état libre de contraintepour un alliage à basede Cuivre). Nous aborderonsles tempsde calcul ultérieurement. Un autre problème subsiste lors de la résolution numérique (relatif à I'incrémentation de charge). La déterminationdes variantes actives est effective dans la configuration du début de I'incrémentationde charge.En fonction de la valeur de cet incrément,il n'estpas évident que la solution soit encorevalable en fin d'incrémentation.Il est nécessairealori de définir des étapesintermédiaires de calcul qui vont permettre la prise en compte de modifications des variantes actives, comme I'activation ou la désactivationdes variantespendantI'incrémentimposé.
  -242- a Annexes
  La relation (A3.2) permetde définir un "temps" t sansdimensionpendant lequel la solution reste valable. En scindantle critère en deux membres dont I'un représenteraitla cission résolue (fonction de la contrainte), et I'autre la cission critique (fonction de la températureet des autresvariantes actives), on peut prédire I'instant ou le critère sera satisfait pour une nouvellevariante(fig.A3-3). +-
  xc-xr dt, - dt"
  a v e c :s i t > 1 : si t<1:
  (A3.2) La solutionestvalableduranttoutela totalitéde macroscopique. I'incrément Un incrémentintermédiaireestnécessaire.
  Le système n'estpasactif ./ .-
  ./
  Tr+ôTr Tc+ôTc
  Fig. A3-3: Détermination des pas de calcul intermédiairespar calcul de la "durée" de validit é d'une combinaison.
  A3.3 - TEMPSDE CALCUL Les calculs se font sur une station de travail Hewlett-Packard7351125 autonomeou sur la stationHewlett-Packard700/RX relié à un réseau. -243- Annexes
  Le temps de calcul est principalementdépendantdu trajet de chargement, et non de I'incrémentde chargementimposé.Une simulation quelconque Ce nombre peut représenteen moyenne300 incrémentsmacroscopiques. être multiplié par 3 afin de prendre en compte les incréments intermédiaires.À chaquefois, et pour chaquegrain (100 dansnotre cas),le test relatif aux combinaisonspotentiellementactives(2x si x est le nombre de variantespotentiellementactives)est effectuéainsi que tous les calculs qui lui sont associés.Ceci représentefinalement le chiffre de 90000*2x combinaisonstestéesquel que soit le chargementavec x le nombre de variantespotentiellementactivesen moyenne(1<x324). . Pour un chargementisotherme, le temps moyen pour charger et .
  déchargerà 37ode déformationde transformationest de 20 rninutes. Pour un chargementanisotherme,le temps dépend de la contrainte appliquée. Pour de très faibles contraintes (10 à 25 MPa), le temps moyen est d'une dizained'heures(fonctionde I'occupationdu réseau).
  On note toutefois que, si le temps d'un essaiexpérimentalen superélasticité isothermen'estque de quelquesminutespour un cycle, les essaisen fluage anisothermepeuventprendre8 à 20 heures(fig.Iv-29).
  BIBLIOGRAPHIQIJES A3.4 - REFERENCES lLB8el
  Lipinski P., Berveiller M., "Elastoplasticityof micrometalsat largestrains",Int.J. of Plasticity,5, inhomogeneous pp.r49-172(1989)
  -244- 
meta: {'path': '19/hal.univ-lorraine.fr-tel-01777144-document.txt'}