text: Algèbre de Rees et Fibre spéciale Minh Lam Ha
  To cite this version: Minh Lam Ha. Algèbre de Rees et Fibre spéciale. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2006. Français. tel-00179342
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   Algèbre de Rees et Fibre spéciale HA Minh Lam 2 3
  Je dédie cette thèse à mon grand–père, M. NGUYEN Tai Can, à l'occasion de son 80ème anniversaire. 4 5
  Remerciements Tout d'abord, je veux remercier mon directeur de thèse, Marcel Morales, pour sa disponibilité, pour son aide scientifique et humaine qu'il a su m'offrir le long des cinq années que j'ai passé en France. Je remercie Charles Walter pour avoir accepté d'être rapporteur et membre du jury de cette thèse. Un merci particulier va à Ngô Viêt Trung pour avoir lu ce travail en détail et avoir accepté d'être rapporteur de cette thèse, et surtout pour ses leçons en Algèbre qu'il m'a donné à l'université. C'est aussi un honneur pour moi d'avoir dans les membres du jury Michel Brion et Chris Peters. Je les remercie et particulièrement à la lecture attentive de Michel Brion qui m'a permis d'améliorer la première version de cette thèse. Un grand merci au personnel de l'Institut Fourier qui est toujours très souriant et sympathique. Le dernier merci, le plus important va à ma famille : mon époux, ma mère et ma soeur pour ses soutiens illimités ; et mon père pour m'avoir transmis sa passion pour les mathématiques. 6 Table des matières 1 Introduction
  9
  2 Idéal de réseau, générateurs, codimension deux 2.1
  Nombres de Betti, syzygies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1
  2.2
  15
  Le cas d'un idéal de réseau de codimension 2 . . . . . . 18
  Graphe associé à un idéal de réseau de codimension 2 . . . . . 20 2.2.1
  Le graphe des syzygies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
  2.2.2
  Graphe des syzygies, point de vue algébrique . . . . . . 25
  3 Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  27
  3.1
  Anneau de Rees, fibre spéciale, relation de Plücker
  3.2
  Idéaux binômiaux à trois ou quatre générateurs . . . . . . . . 28
  3.3
  3.4
  3.2.1
  Idéaux binômiaux à trois générateurs . . . . . . . . . . 29
  3.2.2
  Idéaux binômiaux à quatre générateurs . . . . . . . . . 30
  3.2.3
  Algèbre symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
  Relations quadratiques dans l'anneau de Rees . . . . . . . . . 36 3.3.1
  Conditions pour que P = 1 ou Q = 1. . . . . . . . . . 36
  3.3.2
  Les relations quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . 45
  Relations dans la fibre spéciale
  4 Idéaux binômiaux simpliciaux 4.1
  . . . . . . 27
  . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 55
  Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8
  TABLE DES MATIÈRES 4.1.1
  Idéaux simpliciaux et binômiaux simpliciaux
  . . . . . 56
  4.2 Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3 Arbres, "Scrollers" ou "small variety" . . . . . . . . . . . . . . 60 4.4 Nombre de réduction 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Chapitre 1 Introduction L'éclatement d'un idéal dans un anneau quotient d'un anneau de polynômes est un outil très important en Géométrie Algébrique, principalement en Théorie des Singularités, où on éclate souvent des idéaux maximaux. En Algèbre Commutative, D.Rees a introduit l'algèbre de Rees d'un idéal, dont le Proj est l'éclatement de cet idéal. La fibre spéciale de cet idéal est la fibre de l'éclatement au dessus de l'origine. Il y a très peu de situations où l'algèbre de Rees et la fibre spéciale peuvent être données explicitement. Dans sa thèse, P. Gimenez a calculé la dimension de la fibre spéciale pour un idéal torique simplicial de codimension 2. Ce travail a ensuite été complété dans [GMS] et [BM2], où une présentation de la fibre spéciale est donnée. Le premier objectif de cette thèse a été d'étendre tous les résultats de [GMS] et [BM2] au cas d'un idéal de réseau de codimension 2. A cet effet, remarquons que les idéaux toriques sont les idéaux de réseaux premiers. Les méthodes développées dans [GMS] et [BM2] ne s'appliquent pas ici, et nous avons dû faire une preuve plus conceptuelle. Il en résulte que la fibre spéciale d'un idéal de réseau de codimension 2 est une variété projective Cohen– Macaulay de degré minimal. Les équations des variétés Cohen–Macaulay de degré minimal ont été étudiées par M. Barile et M. Morales dans [BM3], [BM4]. Ce qui nous a amené naturellement à étudier une classe d'idéaux binômiaux introduite par M. Morales, et appelée idéaux binômiaux simpliciaux. Il s'avère que les idéaux binômiaux simpliciaux correspondant à un arbre généralisé définissent ce que dans [BM4] est appelé un "scroller" et dans [EGHP] une "small variety", et qui ont des propriétés très intéressantes. Plus généralement, nous donnons une large classe d'idéaux binômiaux simpliciaux pour lesquels le nombre de 10
  Introduction
  réduction est 1. Nous somme persuadés que toutes les propriétés des idéaux de Stanley– Reisner s'étendent aux idéaux binômiaux simpliciaux. Par exemple, nous sommes en train d'étendre le résultat de [EGHP] sur la propriété N2,p des idéaux de Stanley–Reisner. La thèse est construite comme suit : Soit L un réseau positif dans Zn , i.e. tout vecteur non nul dans L a des coordonnées positives et négatives. Soit R = K[x1 , x2 , . . . , xn ] l'anneau de polynômes à n variables sur le corps K. L'idéal de réseau IL ⊂ R associé à L est l'idéal binômial :  IL = xa − xb | a, b ∈ Nn et a − b ∈ L , où xa = xa11 xa22 * * * xann pour a = (a1 , a2 , . . . , an ). Les idéaux toriques sont ceux associés à un réseau saturé, et ce sont des idéaux de réseau premiers. La résolution libre d'un anneau gradué R/I est toujours un outil important en Algèbre Commutative. C'est une suite exacte Φi+1
  Φ
  Φi−1
  i F : * * * −→ Fi+1 −→ Fi −→ Fi−1 −→ * * * −→ R/I
  de modules libres Fi gradués et d'applications Φi : Fi −→ Fi−1 homogènes. La résolution est linéaire si toutes les applications Φi sont linéaires, et elle est 2-linéaire si de plus I est engendré par des formes quadratiques. On dit que I satisfait la condition N2,p si I est engendré par des formes quadratiques, et Φi est linéaire pour i ≤ p. Campillo–Marijuan [CM] et Bruns–Herzog [BH] ont démontré que l'on peut décrire les modules de syzygies combinatoirement à partir du réseau L. Pour le cas des idéaux de réseau de codimension 2, I. Peeva et B. Sturmfels ont définit entièrement la résolution libre de R/IL de façon combinatoire. En particulier, les générateurs de IL sont en correspondance biunivoque avec un sous–ensemble de Z2 (la base de Hilbert de IL ). Dans le deuxième chapitre, nous rappelons quelques définitions et les résultats de [PS] pour les idéaux de réseau de codimension 2, et nous définissons le graphe de syzygies. C'est un graphe planaire, dont les sommets correspondent aux générateurs de IL , et les arrêts donnent des informations sur les syzygies. Le complexe simplicial de dimension 2 engendré par ce graphe est appelé le complexe de syzygies. C'est un complexe "shellable", dont les triangles donnent les premières syzygies, et deux triangles avec une arête commune donnent une seconde syzygie. 11 Dans le chapitre 3, nous allons étudier l'algèbre de Rees et la fibre spéciale d'un idéal de réseau de codimension deux. Soit I ⊂ R un idéal engendré minimalement par n éléments {fi }1≤i≤m . L'anneau de Rees de I est l'anneau gradué M R[It] = I k tk . k≥0
  La fibre spéciale F (I) de I est le quotient R[It]/mR[It], avec m l'idéal maximal irrélevant de R. La dimension de la fibre spéciale est appelée "l'analytic spread" de I. Introduisons m variables indépendantes sur R, appelées {Ti }1≤i≤m , et considérons l'idéal J = ker π, où π
  R[T] −→ R[It] −→ 0 . Ti −→ fi t On obtient une présentation R[It] ' R[T]/J de l'anneau de Rees. De la présentation de l'anneau de Rees on déduit une présentation de la fibre spéciale F (I) ' K[T]/Je, où Je est l'image de J modulo mR[T].
  Par conséquent, toute relation entre les générateurs {fi }1≤i≤m , de I à coefficients dans l'anneau K[x1 , x2 , . . . , xn ] donne un élément de J , et la même relation modulo m donne un élément de Je. Dans la section 3.2, nous étudions une classe d'idéaux binômiaux engendré par au plus quatre éléments, qui contient les idéaux de réseau ayant quatre générateurs. Les anneaux de Rees et les fibres spéciales sont décrits explicitement.
  Dans les sections 3.3 et 3.4, considerons un idéal de réseau I de codimension 2 ayant au moins cinq générateurs. A partir du graphe de syzygies, nous déterminons un ensemble d'éléments A dans l'idéal de présentation de e l'anneau de Rees R(I). Puis, nous étudions de façon combinatoire l'idéal (A) des images de ces éléments dans la fibre spéciale F (I). Nous démontrons Théorème 1.0.1 (Théorème 3.4.12, et Théorème 3.4.15). 2 ≤ dim(F (I)) ≤ 3. Dans le cas où K est infini et I est un idéal radical qui n'est pas une intersece est l'idéal de présentation tion complète, nous avons dim(F (I)) = 3, et (A) de F (I). Par conséquent, la fibre F (I) est Cohen–Macaulay, réduite, de degré minimal. 12
  Introduction Nous en déduisons aussi des propriétés pour l'anneau de Rees :
  Théorème 1.0.2 (Théorème 3.4.19). L'anneau R(I) est Cohen–Macaulay, et engendré par des formes de degré au plus deux. De plus, à partir du complexe de syzygies, nous pouvons décrire explicitement une réduction de F (I), et montrer que son nombre de réduction est 1. Nous rappelons la notion de réduction d'un anneau R/J. Soit J ⊂ R un ideal gradué homogène pour la graduation standard et d = dim R/J. Un ensemble de formes linéaires {g1 , g2 , . . . , gd } est une réduction de R/J, si (g1 , g2 , . . . , gd )mρ = mρ+1 ( mod J) où m est l'idéal maximal de l'anneau de polynômes R. Le plus petit nombre ρ lorsque l'on considère toutes les réductions possibles est appelé le nombre de réduction de R/J. Le théorème suivant de Eisenbud–Goto caractérise les variétés de degré minimal. Théorème 1.0.3. [EG] Soit R un anneau gradué standard réduit, définissant une variété algébrique projective. Alors nous avons la suite suivante d'implications : (1) R est un anneau de Cohen-Macaulay et e(R) = 1+codim R, où e(R) est la multiplicité de R et codim R sa codimension ; ⇒ (2) R a une résolution 2−linéaire ; ⇒ (3) r(R) = 1 ; ⇒ (4) e(R) ≤ 1 + codim R D'autre part, si R est un anneau de Cohen–Macaulay, alors les quatre implications sont des équivalences. Dans le quatrième chapitre, nous étendons les propriétés des anneaux Cohen–Macaulay de degré minimal apparaissant dans l'étude de la fibre spéciale. Plus précisement, à partir d'un complexe simplicial 4, nous définissons un idéal binômial simplicial B4 . Les idéaux binômiaux simpliciaux sont une généralisation des idéaux monômiaux de Stanley–Reisner. L'idéal de présentation de la fibre spéciale F (I) est un cas particulier. Pour les idéaux de Stanley–Reisner, Fröberg [Fr] a démontré les théorèmes suivants : 13 Théorème 1.0.4. L'anneau de Stanley–Reisner d'un complexe simplicial ∆ est un anneau Cohen-Macaulay de degré minimal si et seulement si 1. Le graphe G(∆) est un d−arbre, et 2. ∆ est le clique complex de G(∆), i.e. ∆ = ∆(G(∆)). Théorème 1.0.5. L'anneau de Stanley–Reisner d'un complexe simplicial ∆ a une résolution 2−linéaire si et seulement si 1. Le graphe G(∆) est un d−arbre généralisé, et 2. ∆ = ∆(G(∆)). Nous rappelons qu'un d−arbre généralisé sur un ensemble V de sommets est un graphe defini récursivement par les propriétés suivantes : (a) Un graphe complet de d + 1 elements of V est un d−arbre généralisé. (b) Soit G un graphe sur un ensemble V de sommets. Supposons qu'il existe un sommet v ∈ V tel que : 1. La restriction G0 de G à V 0 = V \ {v} est un d−arbre généralisé,
  2. Il y a un sous–ensemble V 00 ⊂ V 0 ayant exactement 1 ≤ j ≤ d sommets, telle que la restriction de G to V 00 soit un graphe complet, et 3. G est le graphe engendré par G0 et le graphe complet sur V 00 ∪{v}.
  Si j = d dans la définition ci-dessus, alors nous dirons que G est un d−arbre. Nous pouvons en partie étendre les résultats de Fröberg pour les idéaux binômiaux simpliciaux :
  Théorème 1.0.6 (Théorème 4.3.9, et Proposition 4.4.11). Si 4 est un arbre généralisé, alors B4 définit un "scroller" (ou une "small variety" selon [EGHP]), et une réduction de B4 est décrite explicitement. Une généralisation des "scrollers" est formée des variétés pour lesquelles le nombre de réduction est 1. La proposition 4.4.7 nous donne une classe de complexes simpliciaux 4, qui ne sont pas des arbres généralisés, pour lesquels le nombre de réduction de B4 est 1. 14
  Introduction Chapitre 2 Idéal de réseau, générateurs, codimension deux 2.1
  Nombres de Betti, syzygies
  Dans cette section, nous allons donner quelques résultats sur les syzygies et les nombres de Betti des idéaux de réseau. Ces résultats sont été démontrer pour les idéaux toriques dans [CM], [BH]. Pour les idéaux de réseaux ces résultats se trouvent dans [PS] et [ES]. Soit L un réseau positif dans Zn , i.e. tout vecteur non nul dans L a des coordonnées positives et négatives. Soit R = K[x1 , x2 , . . . , xn ] l'anneau de polynômes à n variables sur le corps K. L'idéal de réseau IL ⊂ R associé à L est l'idéal binômial :  IL = xa − xb | a, b ∈ Nn et a − b ∈ L , où xa = xa11 xa22 * * * xann pour a = (a1 , a2 , . . . , an ).
  Remarquons que la codimension de IL est égale au rang de L.
  Soit H = Zn /L. L'anneau R = K[x1 , x2 , . . . , xn ] ainsi que son quotient R / IL sont munis d'une H−graduation. La proposition suivante est bien connue, nous renvoyons le lecteur à [ES] : Proposition 2.1.1. R admet une structure naturelle de H–anneau gradué, de plus toute variable est non diviseur de zéro, et dimK (R/IL )h = 1 pour tout h ∈ H. Si M est un H-module gradué de type fini sur R, alors les résolutions libres de M sont H-graduées, et tout module de syzygies de M est H−gradué. Nous reprenons ci-dessous le résultat principal de [BH]. 16
  Idéal de réseau, générateurs, codimension deux
  Soit I un idéal monomial de R. On note B = I + IL . La résolution libre F de R/B admet L une structure H–graduée et le module Fi se décompose en somme directe h∈H R(−h)βih (ici, les βih sont les nombres de Betti de R/B). Alors, on a : M K(−h)βih . Tori (K, R/B) ∼ = h∈H
  De plus, la résolution libre minimale de K sur R est donnée par le complexe de Koszul K(x, R), et comme Tor peut être calculé à partir d'une résolution libre de K ou de R/B, le nombre de Betti βih est aussi déterminé par le complexe de Koszul. En effet, M K(−h)βih . Hi (K(x, R/B)h ) = h∈H
  Nous calculons le nombre de Betti βih en utilisant des complexes simpliciaux. Définition 2.1.2. Pour chaque degré h ∈ H, nous définissons un complexe simplicial 4h comme suit : un sous–ensemble F de {1, 2, . . . , n} est une face de 4h si et seulement s'il existe un élément non–négatif a dans la classe d'équivalence h tel que le support supp(a) := {i : ai 6= 0} contient F . Le complexe simplicial Γh est un sous–complexe de 4h défini comme suit : xa Γh = {F ∈ 4h tel que ∃a ∈ h, a ≥ 0, F ∈ I}. x Nous avons la proposition suivante : e h , K) (resp. C(Γ e h , K)) le complexe d'homologie Proposition 2.1.3. Soit C(4 e h , Γh ; K) l'homologie relative simpliciale réduite de 4h (resp. de Γh ), et H(4 du couple (4h , Γh ). Alors, nous avons :   ∼ e e 1. K(x, R/B)h = C(4h , K)/C(Γh , K) (−1). e i−1 (4h , Γh ; K). 2. βih = dimK H
  Remarquons que dans le cas des idéaux de réseau, I = (0), et le complexe Γh = ∅ pour tout h ∈ H. Donc, le nombre de Betti βih est βih = e i−1 (4h ; K). dimK H Corollaire 2.1.4. Le binôme xa −xb est un générateur de IL si et seulement si 4h n'est pas connexe pour h = [a] = [b]. 2.1 Nombres de Betti, syzygies
  17
  Définition 2.1.5. Le plus grand nombre i tel que βih 6= 0 pour un h ∈ H est appelé la dimension projective de R / IL , noté projdim(R / IL ). La proposition suivante nous donne une borne de la dimension projective de R / IL . Cette proposition est fait dans [PS] ; on a préféré reprendre ici la preuve. Proposition 2.1.6. projdim(R / IL ) ≤ 2codim(IL ) − 1. Preuve : Rappelons que L est de rang r. On a aussi que r = codim(IL ). Soit {v1 , v2 , . . . , vr } la base de L. Supposons que projdim(R / IL ) = l et h ∈ H tel que βlh 6= 0. Remarquons que la classe d'équivalence h est une translation du réseau L, donc pour tout élément a ∈ h, on peut écrire a comme : a = h + λ 1 v1 + * * * + λ r vr ,
  avec λi ∈ Z ∀i.
  Nous notons mod2 l'homomorphisme Zr −→ (Z/2Z)r .
  Soient F1 , F2 , . . . , Fs les facettes de 4h . Alors, il existe s éléments a1 , a2 , . . . , as dans h ∩ Nn tel que supp(ai ) = Fi pour tout i = 1, 2, . . . , s. Nous allons démontrer que s ≤ 2r . Supposons au contraire que s > 2r . Dans ce cas, il existe deux éléments ai et aj tels que ai = h + λ1i v1 + * * * + λri vr , aj = h + λ1j v1 + * * * + λrj vr ,
  avec mod2 (λui ) = mod2 (λuj ) pour tout u = 1, 2, . . . , r. Considerons le point b = 21 (ai + aj ). Comme 21 (λui + λuj ) ∈ Z pour tout u, on a aussi que b ∈ Nn . Il est évident que b ∈ h. Ceci implique que supp(b) est une face de 4h . De plus, le support de b est égal à la union du support de ai et le support de aj , i.e. supp(b) = Fi ∪ Fj . C'est une contradiction avec la fait que Fi et Fj sont des facettes de 4h .
  Nous avons donc que le complexe 4h a au plus 2r facettes. En utilisant e i (4h ; K) = 0 pour tout la suite exacte de Mayer–Vietoris, nous avons que H i ≥ 2r − 1. D'où la proposition. 2 Exemple 2.1.7. Considérons l'idéal IL de définition de la courbe (x = s4 , y = s3 t, z = st3 , w = t4 ) : IL = (yz − xw, z 3 − yw 2 , y 3 − x2 z, xz 2 − y 2 w). 18
  Idéal de réseau, générateurs, codimension deux
  Sa résolution libre est : 
  
  
  
  yw y 2 z 2     −x 0 −y       0 −z 0    −y z −x w x 0 −→ R −−−→ R4 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ R4 −→ IL −→ 0. −z 
     −y    w 
  xz
     0    −w 
  – Les monômes xyz 2 , y 3 w, x2 zw sont tous de même degré h = [(1, 1, 2, 0)] dans H. Donc 4h est le complexe simplicial : 4h = supp(xyz) ∪ supp(yw) ∪ supp(xzw), e 1 (4h , ∅; K) = 1. D'où β2,h = 1 qui coret il est immédiat que dimK H respond à la première colonne de la matrice des premières syzygies apparaissant ci-dessus. – Les monômes xyz 3 , xy 2 w 2 , y 3 zw, x2 z 2 w sont tous de même degré g = [(1, 1, 3, 0)] ∈ H. Donc 4g est le complexe simplicial : 4g = supp(xyz) ∪ supp(xyw) ∪ supp(yzw) ∪ supp(xzw) qui n'est autre que la sphère de sommets x, y, z, w, dont nous savons e 2 (4g , ∅; K) = 1. D'où β3g = 1 qui correspond exactement à que dimK H la dernière syzygie apparaissant ci-dessus.
  2.1.1
  Le cas d'un idéal de réseau de codimension 2
  Dans cette partie, nous allons étudier plus en détails les syzygies d'un idéal de réseau de codimension 2. Soit L ⊂ Zn un réseau positif de dimension 2. Soit {v1 , v2 } ⊂ Zn une base de L. Soit B la matrice dont ses vecteurs colonnes sont v1 et v2 . Posons B = (v1 , v2 ) . Nous avons L = {Bu | u ∈ Z2 }. Un élément a ∈ Zn peut être écrit uniquement comme a+ − a− , où a+ et a− sont deux vecteurs dans Nn et supp(a+ ) ∩ supp(a− ) = ∅. Soit I = IL ⊂ R = K[x1 , x2 , . . ., xn ] l'idéal de réseau associé à L, nous avons I = x(Bu)+ − x(Bu)− | u ∈ Z2 . 2.1 Nombres de Betti, syzygies
  19
  Une conséquence directe de la proposition 2.1.6 est que βih = 0 pour tout i ≥ 4 et tout h ∈ Zn /L. De plus, si R/IL a une iième syzygie de degré h, alors la preuve de la proposition 2.1.6 implique aussi que le complexe 4h a deux, ou trois, ou quatre facettes. Pour avoir plus de propriétés de 4h , nous considerons d'abord l'ensemble des monômes de même degré h. Soit a ∈ h ∩ Nn . Considerons le polygône  Pa := conv {u ∈ Z2 | Bu ≤ a} .
  Grâce à l'application Pa −→ Nn , u 7→ a − Bu, chaque point u de Pa nous donne un monôme de degré a. Remarquons que si a et b sont deux éléments dans h, alors l'un de Pa et Pb est une translation de l'autre. Nous pouvons donc prendre Ph comme la classe d'équivalence de Pa par la translation. L'ensemble des monômes de degré a peut être identifié au polygône Ph . Nous avons la proposition suivante :
  Proposition 2.1.8. [PS] Supposons que R/IL ne soit pas une intersection complète, et qu'il a une ième syzygie de degré h. Alors, le complexe 4h est équivalent à la sphère Si−1 de dimension i − 1, et Ph est primitif (i.e. son intérieur ne contient pas de points entiers). Si i = 1 alors Ph est un segment ; si i = 2 alors Ph est un triangle ; si i = 3 alors Ph est un quadrilatère. Dans la proposition précédente, quand i = 2 nous appelons Ph un triangle de syzygies ; quand i = 3 nous appelons Ph un quadrilatère de syzygies. Dans la suite, nous allons donner une description des générateurs de l'idéal IL . Le cas où IL est simplicial est traité par Marcel Morales [M1] (ici, "simplicial" veut dire qu'il y a un ensemble des variables qui est un système de paramètres pour I). Dans [PS] est donnée une description dans le cas général. Définition 2.1.9. Soient b1 , , bn les vecteurs lignes de B. Pour un vecteur u = (x, y) ∈ Z2 , on pose u∗ = (−y, x). L'ensemble G∗L = {b∗1 , , b∗n } est appelé le diagramme dual de Gale. Après re-numérotation des ces vecteurs, nous pouvons supposer qu'on peut les placer dans un plan de façon cyclique, i.e. aucun des vecteurs de G∗L n'est dans l'intérieur du cône pos(b∗i , b∗i+1 ) = {λb∗i + μb∗i+1 : λ ≥ 0, μ ≥ 0},
  où nous avons posé b∗n+1 = b∗1 .
  Définition 2.1.10. Soit Hi la base de Hilbert (système de générateurs minimal) du monoı̈de pos(b∗i , b∗i+1 )∩Z2 . La base de Hilbert de GL ∗ est l'ensemble : HL = {u ∈ Z2 ; telle que u et − u ∈ H1 ∪  ∪ Hn }/ ∼ ,
  où ∼ est l'équivalence donnée par u ∼ −u. 20
  Idéal de réseau, générateurs, codimension deux
  Théorème 2.1.11. [PS] Pour un vecteur u ∈ Z2 , [u] est dans la base de Hilbert HL si et seulement si x(Bu)+ − x(Bu)− fait partie d'une base minimale de IL . De plus, si IL n'est pas une intersection complète, IL a un unique système minimal de générateurs (à signe près), qui se trouvent en correspondance biunivoque avec les éléments de HL . L'anneau R/IL n'est pas Cohen–Macaulay si et seulement si le nombre de générateurs de IL est au moins 4. Dans ce cas, un quadrilatère primitif [0, u, v, u + v] est un quadrilatère de syzygies si et seulement si u + v et u − v sont dans la base de Hilbert de IL . Ce quadrilatère est noté [u, v]. Dans l'ensemble des quadrilatère de syzygies [u, v], nous allons construire un arbre en définissant des arêtes orientées de [u, v] à [u, u + v] et de [u, v] à [u + v, v]. Cet arbre est appelé arbre d'homologie de IL , noté TL (voir [PS]). A partir de maintenant, nous allons supposer que R/IL n'est pas Cohen– Macaulay, donc I = IL admet un système minimal unique de générateurs binômiaux. Ces générateurs correspondent à la base de Hilbert HL de L.
  2.2
  2.2.1
  Graphe associé à un idéal de réseau de codimension 2 Le graphe des syzygies
  Dans la suite, nous allons introduire un graphe, noté G, associé à I. Rappelons que chaque classe dans la base de Hilbert de I a deux éléments u et −u dans Z2 . Par la suite, nous allons noter simplement, sans qu'il y ait d'ambiguı̈té, la classe de u par u, et cette classe sera vue de façon naturelle comme un vecteur dans Z2 . Soit {u1 , u2 , . . . , um } la base de Hilbert HL . Le graphe G est construit comme suit : – Pour chaque point u ∈ HL , nous aurons un sommet de G, appelé aussi u. – Soient u, v deux sommets de G. Le segment hu, vi est une arête de G si et seulement si les points u, v correspondants dans la base de Hilbert satisfont la condition |det(u, v)|= 1 (i.e. u et v forment une base de Z2 ). Si c'est le cas, nous dirons que u et v sont des voisins dans G. Définition 2.2.1. Le graphe G est appelé le graphe associé à I. 2.2 Graphe associé à un idéal de réseau de codimension 2
  21
  Par construction, le nombre des sommets de G est égal au nombre des générateurs m de l'idéal I, et il existe une correspondance naturelle biunivoque entre les sommets de G et les points dans la base de Hilbert HL . Donc, nous pouvons considérer la combinaison linéaire au + bv (a, b ∈ Z) de deux sommets u, v dans G comme la combinaison linéaire de deux points dans Z2 . Remarquons que G ne contient que des points primitifs, c.-à-d. des points dont les coordonnées sont premières entre elles. Remarque 2.2.2. Soient u, v deux voisins dans G. Alors il existe au plus deux points u + v et u − v qui peuvent être des voisins à la fois de u et de v. Dans le cas où les deux vecteurs u + v et u − v sont dans G, on notera par [u, v, u + v, u − v] le quadrilatère réunion de deux triangles [u, v, u − v] et [u, v, u + v]. Remarque 2.2.3. Pour un degré h ∈ H donné, on a vu que chaque syzygie de second ordre est représentée par un quadrilatère, noté [u, v], de l'arbre d'homologie TL tel que les points u, v, u + v, u − v sont dans la base de Hilbert de I ; et [PS, Corollary 4.7] montre que le nombre de quadrilatères de TL est m − 3. Donc, le nombre de quadrilatères [u, v, u + v, u − v] de G est au moins m − 3. Cependant, la remarque 2.2.2 implique que le nombre de quadrilatères [u, v, u + v, u − v] est au plus m − 3. Ainsi, le nombre de quadrilatères [u, v, u + v, u − v] est m − 3, et nous avons une correspondance biunivoque entre les quadrilatères [u, v, u − v, u + v] de G et les quadrilatères de syzygies [u, v]. Ceci implique que pour deux voisins u, et v dans G, au moins u + v ou u − v est dans G. Définition 2.2.4. Soient u et v deux voisins dans G. On dit que hu, vi est sur le bord de G si et seulement si seul l'un des deux points u + v et u − v est dans G, i.e. l'arête hu, vi n'appartient qu'à un triangle dans G.
  Exemple 2.2.5. Considérons l'idéal IL ⊂ k[a, b, c, d, e, f ] associé au réseau L = {v1 , v2 }, où t v1 = (−1, −5, −1, 2, 3, 2), et t v2 = (−3, 1, 4, 3, −2, −3). Le diagramme dual de Gale ainsi que la base de Hilbert sont présentés dans la figure suivante : 22
  Idéal de réseau, générateurs, codimension deux
  La base de Hilbert de I est donc {(1, 0), (0, 1), (1, 1), (−1, 1), (2, 1), (1, 2), (−2, 1)} . Donc, le graphe G est comme suit : u2 u6 @ @ @ @ @ @ u3 u7 u@ 1 @ @ u5 u4
  et l'arbre d'homologie est :
  
    
  
  
  Les générateurs de IL correspondants à la base de Hilbert sont : α1 = ab5 c − d2 e3 f 2 ,
  α2 = a3 e2 f 3 − bc4 d3 ,
  α3 = a4 b4 f − c3 d5 e,
  α4 = a2 e5 f 5 − b6 c5 d,
  α5 = a5 b9 − c2 d7 e4 f,
  α6 = a7 b3 ef 4 − c7 d8 ,
  α7 = ade8 f 7 − b11 c6 .
  Exemple 2.2.6. Considérons l'idéal IL ⊂ k[a, b, c, d, e, f ] associé au réseau L = {v1 , v2 }, où t v1 = (1, 2, 1, −1, −2, −1), et t v2 = (−2, −1, 2, 2, 1, −2). La base de Hilbert de I est aussi {(1, 0), (0, 1), (1, 1), (−1, 1), (2, 1), (1, 2), (−2, 1)} . 2.2 Graphe associé à un idéal de réseau de codimension 2
  23
  Donc, le graphe G est le même que dans l'exemple précédant. Les générateurs de IL correspondant à la base de Hilbert sont : α1 = ab2 c − de2 f,
  α2 = a2 bf 2 − c2 d2 e,
  α3 = aef 3 − bc3 d,
  α4 = a3 b3 f − cd3 e3 ,
  α5 = b 3 c 4 − e 3 f 4 ,
  α6 = a 3 f 5 − c 5 d 3 ,
  α7 = a 4 b 5 − d 4 e 5 .
  Ces deux exemples ont la même base de Hilbert, le même graphe des syzygies et le même arbre d'homologie, mais comme nous le verrons plus loin, leurs fibres spéciales sont non isomorphes. A partir de G, on construit un graphe T dont les sommets sont les triangles de G, et deux sommets de T sont liés si leurs triangles correspondants ont une arête commune. Remarquons que l'on peut construire T de l'arbre d'homologie TL en y ajoutant une feuille. Alors T est aussi un arbre. Ceci implique que |G| est contractible, et G n'a pas de circuit de triangles. Exemple 2.2.7. L'arbre T associé au graphe G dans les exemples 2.2.5 et 2.2.6 est :
  Le complexe simplicial associé à G, noté 4(G), dont les faces maximales sont les sous–ensembles F de l'ensemble des sommets de G tels que le graphe complet sur F est un sous-graphe de G, est appelé le complexe simplicial des syzygies de I. Il est facile de calculer le nombre des arêtes et le nombre des triangles de G, et nous avons que : Lemme 2.2.8. Le graphe G a 2m − 3 arêtes et m − 2 triangles, et 4(G) est "shellable". Donc, l'anneau de Stanley–Reisner de 4(G) est Cohen–Macaulay. Le chemin euclidien : Soient u et v deux voisins dans G. Comme G est une chaı̂ne contractible de triangles, pour tout point w ∈ G il existe une chaı̂ne qui lie hu, vi et w, et donc il existe un couple (a, b) ∈ Z2 tel que w = au + bv. 24
  Idéal de réseau, générateurs, codimension deux
  Puis, comme G n'a pas de circuit de triangles, cette chaı̂ne est unique. Nous pouvons l'obtenir en utilisant l'algorithme d'Euclide pour calculer le p.g.c.d de a et b. Dans le diagramme suivant, on donne un algorithme pour construire la chaı̂ne dans le cas où a, b ≥ 0. Les autre cas sont déduits de ce cas en changeant le signe de u ou de v, sans changer la géométrie de G. 
  Oui
  Début  - ? QQ   a>bQ Q  QQ
  ?
  u := u + v; v := v; a := a − b; b := b ?
  Non ? Q
  Oui  QQ Qa = b 
  Non
  QQ
  ?
  w := u + v
  Construire u
  ?
  v := u + v; u := u; a := a; b := b − a ?
  Construire v 
  ?
   Fin 
  Remarque 2.2.9. Le graphe planaire G est divisé en quatre parties comme dans la figure suivante : w = au + bv (ab < 0, |b|<|a|)
  w = au + bv (0 < b < a) u QQu + v u − v QQ v w = au + bv w = au + bv (ab < 0, |a|<|b|) (0 < a < b)
  Nous en déduisons que pour chaque arête hu, vi, s'il existe un point w = au + bv ∈ G avec ab > 0 (resp. ab < 0), alors le point u + v (resp. u − v) est dans G. Remarque 2.2.10. Le dessin dessus prouve également que T est un arbre. 2.2 Graphe associé à un idéal de réseau de codimension 2
  2.2.2
  25
  Graphe des syzygies, point de vue algébrique
  Maintenant, nous étudions algébriquement le graphe G. Soit hu, vi une arête dans G. Notons fu et fv générateurs correspondants à u et v. Nous avons : f u = x p xt xμ + − x r xs xμ − , (†) f v = x p xs xν + − x r xt xν − , avec
  xp le p.g.c.d du premier terme de fu et du premier terme de fv , xt le p.g.c.d du premier terme de fu et du deuxième terme de fv , xr le p.g.c.d du deuxième terme de fu et du deuxième terme de fv , xs le p.g.c.d du deuxième terme de fu et du premier terme de fv . Remarque 2.2.11. – Les monômes xp , xt , xr , xs sont premiers entre eux, et les supports de p, t, r, s sont disjoints. – Les monômes xμ+ , xμ− , xν+ , xν− sont premiers entre eux, et les supports de μ+ , μ− , ν+ , ν− sont disjoints. Notation 2.2.12. Pour éviter toute ambiguı̈té, utilisons les notations plus précises : T (u, v) := p.g.c.d(x(Bu)+ , x(Bv)− ) S(u, v) := p.g.c.d(x(Bu)− , x(Bv)+ ) P (u, v) := p.g.c.d(x(Bu)+ , x(Bv)+ ) R(u, v) := p.g.c.d(x(Bu)− , x(Bv)− ). Lemme 2.2.13. Soit u un point primitif dans Z2 . Si u n'est pas dans G, alors le binôme fu = xBu+ − xBu− correspondant à u est dans l'idéal mI, où m = (x1 , x2 , . . . , xn ) est l'idéal maximal irrelevant de R. Preuve : C'est une conséquence directe du fait que I est un idéal gradué et que I a un système minimal unique de générateurs binômiaux correspondant à la base de Hilbert HL . 2 Remarque 2.2.14. Avec les notations définies dans (†), nous avons des représentations des générateurs correspondant à u + v et à u − v comme suit : fu+v = x2p xμ+ xν+ − x2r xμ− xν− (††) fu−v = x2t xμ+ xν− − x2s xμ− xν+ 26
  Idéal de réseau, générateurs, codimension deux
  De plus, si [u, v, u + v, u − v] est un quadrilatère de G, i.e [u, v] est un quadrilatère de syzygies de I, alors la résolution libre minimale est (voir Construction 5.2 dans [PS]) : 
  
  
  
  xν+ xp xν− xr −xν− xt −xν+ xs  −xs     μ− r   t  x  x  x xμ + xp xμ − xs xμ + xt          t s r   −x  x  −x 0 0     p r p 0 0 x x −x (fu fv fu+v fu−v ) 0 −→ R −−−→ R4 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ R4 −−−−−−−−→ R. Lemme 2.2.15. Soient u et v deux voisins dans le graphe G. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes : 1. hu, vi n'est pas sur le bord de G.
  2. Dans (†), les termes xp , xt , xr , xs sont dans m, et les supports de p, t, r, s sont disjoints. Autrement dit, l'arête hu, vi est sur le bord de G si et seulement si xp = 1, ou xr = 1, ou xt = 1, ou xs = 1. Preuve : Remarquons que hu, vi n'est pas sur le bord de G si et seulement si u+v et u−v sont dans G. Donc le quadrilatère primitif Q = [u, v] ∈ Z2 est un quadrilatère de syzygies et l'implication (⇒) suit du Corollaire 4.3 de [PS]. En fait, les monômes m1 = xμ+ xν+ x2p xs xt , m2 = xμ− xν+ xp xr x2s , m3 = xμ+ xν− xp xr x2t , et m4 = xμ− xν− x2r xs xt sont de même degré C = m2 m3 μ+ + ν+ + 2p + s + t ∈ Zr /L. En effet, nous avons = −Bu, = m1 m1 m4 −Bv, = −B(u + v), et 4C est le complexe simplicial dont les facettes m1 (i.e. les faces maximales) sont les supports des monômes m1 , m2 , m3 , et m4 . (⇐) Selon l'exactitude du complexe présentée dans la remarque 2.2.14, si l'un des quatre monômes {xp , xr , xt , xs } est une unité, alors soit fu+v ou soit fu−v engendré par fu et fv . Donc, u + v ou u − v n'est pas dans la base de Hilbert de I, i.e. hu, vi est sur le bord de G. Le lemme est prouvé.
  2 Chapitre 3 Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux 3.1
  Anneau de Rees, fibre spéciale, relation de Plücker
  Dans cette section nous allons étudier l'algèbre de Rees et la fibre spéciale d'un idéal de réseau de codimension deux. Nous allons mettre en évidence quelques éléments de l'idéal de présentation de l'algèbre de Rees ; pour cela, nous aurons besoin des relations de Plücker. D'abord, nous considérerons le cas où l'idéal I est engendré par trois ou quatre éléments, dans lequel nous pouvons décrire l'algèbre de Rees et la fibre spéciale par générateurs et relations, ainsi que l'algèbre symétrique. Ensuite, nous traiterons le cas général ; nous décrirons la fibre spéciale par générateurs et relations, et trouverons des propriétés de l'algèbre de Rees. Soit R = K[x1 , x2 , . . . , xn ] l'anneau de polynômes sur le corps K. Soit I un idéal engendré minimalement par m éléments {fi }1≤i≤m . Définition 3.1.1. L'anneau de Rees de I est l'anneau gradué M R[It] = I k tk . k≥0
  La fibre spéciale F (I) de I est le quotient R[It]/mR[It], avec m l'idéal maximal irrélevant de R. La dimension de la fibre spéciale est appelée "l'analytic spread" de I. Introduisons m variables indépendantes sur R, appelées {Ti }1≤i≤m , et 28
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  considérons l'idéal J = ker π, où π
  R[T] −→ R[It] −→ 0 . Ti −→ fi t On obtient une présentation R[It] ' R[T]/J de l'anneau de Rees. De la présentation de l'anneau de Rees on déduit une présentation de la fibre spéciale F (I) ' K[T]/Je, où Je est l'image de J modulo mR[T].
  Par conséquent, toute relation entre les générateurs {fi }1≤i≤m , de I à coefficients dans l'anneau K[x1 , x2 , . . . , xn ] donne un élément de J , et la même relation modulo m donne un élément de Je.
  Notons J (1) l'ensemble des relations linéaires entre les générateurs {fi }1≤i≤m de I, i.e. les premières syzygies de I. L'algèbre symétrique de I est par définition Sym(I) = R[x, T]/J (1). Considérons une matrice 2 × 4 à coefficients dans un anneau commutatif quelconque et notons par ∆i,j le déterminant de la sous–matrice formée des colonnes i, j, alors nous avons la relation de Plücker : ∆1,2 ∆3,4 − ∆1,3 ∆2,4 + ∆1,4 ∆2,3 = 0.
  3.2
  Idéaux binômiaux à trois ou quatre générateurs
  Nous allons étudier dans cette section, l'anneau de Rees et l'algèbre symétrique pour une classe d'idéaux binômiaux engendrés par quatre éléments. Les idéaux de réseau feront partie de cette classe. Soit fu et fv deux binômes quelconques dans l'anneau de polynômes K[x1 , x2 , . . . , xn ], tels que le p.g.c.d des deux termes de chaque binôme est 1. Notons xp le p.g.c.d du premier terme de fu et du premier terme de fv ; xt le p.g.c.d du premier terme de fu et du deuxième terme de fv ; xr le p.g.c.d du deuxième terme de fu et du deuxième terme de fv ; xs le p.g.c.d du deuxième terme de fu et du premier terme de fv . Nous avons :
  f u = α 1 xp xt xμ + − β 1 xr xs xμ − , f v = α 2 xp xs xν + − β 2 xr xt xν −
  où α1 , α2 , β1 , β2 sont des éléments non nuls dans le corps K.
  (†) 3.2 Idéaux binômiaux à trois ou quatre générateurs
  29
  Remarque 3.2.1. La remarque 2.2.11 est valable aussi dans ce cas. Plus précisément, nous avons : – Les monômes xp , xt , xr , xs sont premiers entre eux, et les supports de p, t, r, s sont disjoints. – Les monômes xμ+ , xμ− , xν+ , xν− sont premiers entre eux, et les supports de μ+ , μ− , ν+ , ν− sont disjoints. – (xt , xμ− ) = (xt , xν+ ) = 1, et (xs , xμ+ ) = (xs , xν− ) = 1, et (xp , xμ− ) = (xp , xν− ) = 1, et (xr , xμ+ ) = (xr , xν+ ) = 1. Considérons deux nouveaux binômes, notés fu+v et fu−v , obtenus de fu et de fv comme suit : fu+v = α1 α2 x2p xμ+ xν+ − β1 β2 x2r xμ− xν− . fu−v = α1 β2 x2t xμ+ xν− − α2 β1 x2s xμ− xν+
  (††)
  Considérons l'idéal I = (fu , fv , fu+v , fu−v ). Dans la suite, nous allons décrire explicitement l'anneau de Rees et l'algère de symétrique de I.
  3.2.1
  Idéaux binômiaux à trois générateurs
  Proposition 3.2.2. Si l'un dans quatre termes xp , xt , xr , xs est une unité, alors I est de codimension 2, et soit I est une intersection complète (i.e. I est engendré par deux éléments) soit I est une intersection presque complète (i.e. I est engendré par trois éléments). Dans tous les cas, l'anneau de Rees et l'algèbre symétrique sont isomorphes. Preuve : Supposons que l'un des quatre termes xp , xt , xr , xs est une unité. Nous pouvons supposer, sans perte de généralité, que xp = 1. Dans ce cas, nous avons fu−v = β2 xν− xt fu − β1 xμ− xs fv , et I devient l'idéal engendré par les mineurs 2 × 2 de la matrice :   β2 xν− xr −α2 xν+  α1 xμ+ −β1 xμ− xr  . −xs xt Nous avons donc les relations suivantes : β2 xν− xr fu + α1 xμ+ fv − xs fu+v = 0, α2 xν+ fu + β1 xμ− xr fv − xt fu+v = 0. 30
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  Remarquons que si de plus xs = 1 ou xt = 1, alors I est une intersection complète, engendrée par fu et fv . D'où R(I) = Sym(I) = K[x, T]/(fu Tv − fv Tu ). Considérons le cas où xs et xt ne sont pas des unités. Dans ce cas, l'anneau R/I est Cohen-Macaulay de codimension deux par le théorème de Burch. Posons L1 = β2 xν− xr Tu + α1 xμ+ Tv − xs Tu+v , L2 = α2 xν+ Tu + β1 xμ− xr Tv − xt Tu+v .
  Nous avons que L1 et L2 sont les premières syzygies de I, d'où Sym(I) = K[x, T]/(L1 , L2 ) ; et L1 et L2 sont dans l'idéal de présentation J de l'anneau de Rees de I. Notons A l'idéal (L1 , L2 ). Remarquons de plus, que L1 , L2 est une suite régulière dans K[x, T], car s'il y avait une relation non triviale : P L1 + QL2 = 0, cela donnerait une seconde syzygie pour I, ce qui est impossible par le théorème de Burch. Donc codim(A) = codim(J ) = 2, et l'idéal A n'a pas de composantes primaires immergées.
  Nous allons prouver que A n'est pas contenu dans l'idéal (xt , xs ). Raisonnons par l'absurde. Supposons que A ⊂ (xt , xs ). Notons xt1 le p.g.c.d. de xt et de xν− , et notons xt2 le p.g.c.d. de xt et xμ+ . Comme xμ+ et xν− sont premiers entre eux, les termes xt1 et xt2 le sont aussi. Ecrivons xt xν − xμ + 0 0 xt3 = t1 t2 , xν− = t1 , xμ+ = t2 . Comme L1 ∈ (xt , xs ), nous avons : x x x x 0
  0
  β2 xν− xt1 xr Tu = −α1 xμ+ xt2 Tv + axs + bxt1 xt2 xt3 , avec certains a, b ∈ K[x, T]. Si xt1 6= 1, alors en annulant 0 toutes les variables 0 dans xt1 et toutes celles dans xs , nous avons −α1 xμ+ xt2 Tv = 0. C'est une contradiction. Donc xt1 = 1. De même, nous avons xt2 = 1. Ceci implique que xμ+ , xν− , xt sont premiers entre eux. De plus, en annulant toutes les variables dans le monôme xt et toutes celles dans xs , on obtient β2 xν− xr Tu = −α1 xμ+ Tv . Or les deux termes de ce binôme sont premiers entre eux ; nous avons une contradiction. D'où l'affirmation. Considérons un idéal premier minimal p de A. Nous avons p + (xt , xs ). Supposons que xs ∈ / p. Après localisé en p, xs devient une unité. Il est facile de vérifier que Ap = Jp . Ainsi, A = J . 2
  3.2.2
  Idéaux binômiaux à quatre générateurs
  Dès maintenant, nous supposons que xp , xr , xt , xs ne sont pas des unités, et donc I est minimalement engendré par quatre éléments (fu fv fu+v fu−v ). 3.2 Idéaux binômiaux à trois ou quatre générateurs
  31
  Considérons la suite suivante : 
  
  −xs   xt   r  x   −xp 0 −→ R −−−→ R4       
  
  α xν + xp  2   β1 xμ − xr    −xt 
  
  β2 xν− xr −β2 xν− xt −α2 xν+ xs   α 1 xμ + xp β1 xμ − xs α 1 xμ + xt    s  −x 0 0  p r 0 0 x x I −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ R4 −−→ R.
  Il est facile de vérifier que cette suite est exacte (voir par exemple [BE2]). Donc c'est une résolution libre minimale de I. La première matrice de syzygies nous donne les relations de l'idéal J : L1 := α2 xν+ xp Tu + β1 xμ− xr Tv − xt Tu+v , L2 := β2 xν− xr Tu + α1 xμ+ xp Tv − xs Tu+v , L3 := −β2 xν− xt Tu + β1 xμ− xs Tv + xp Tu−v ,
  L4 := −α2 xν+ xs Tu + α1 xμ+ xt Tv + xr Tu−v . De plus, en calculant la relation de Plücker de la matrice   p x β1 xs xμ − β2 xt xν − β1 β2 xr xμ − xν − , xr α 1 xt xμ + α 2 xs xν + α 1 α 2 xp xμ + xν + nous obtenons α2 β2 xν+ xν− fu2 − α1 β1 xμ+ xμ− fv2 − fu+v fu−v = 0. Ainsi, nous avons que Q := α2 β2 xν+ xν− Tu2 − α1 β1 xμ+ xμ− Tv2 − Tu+v Tu−v est aussi dans J . Théorème 3.2.3. L'anneau de Rees R(I) est égal à K[x, T]/(L1 , L2 , L3 , L4 , Q), i.e. J = (L1 , L2 , L3 , L4 , Q). Pour démontrer ce théorème, nous considerons d'abord l'idéal A = (L1 , L2 , L3 , L4 , Q). Nous allons trouver quelques propriétés de A, et puis nous démontrerons que A = J. Remarquons que xs L 1 − x t L 2 = x r L 3 − x p L 4 = f v T u − f u T v . Donc, le polynôme fv Tu − fu Tv est dans A. Posons L5 = fv Tu − fu Tv . 32
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  Lemme 3.2.4. L'ensemble {L1 , L2 , L3 , L4 , L5 , Q} est une base de Gröbner de A, par rapport à l'ordre lexicographique < : x1 < x2 < * * * < xn < Tu < Tv < Tu−v < Tu+v . Preuve : Avec cet ordre <, les termes dominants sont in(Q) = Tu+v Tu−v , in(L1 ) = xt Tu+v , in(L2 ) = xs Tu+v , in(L3 ) = xp Tu−v , in(L4 ) = xr Tu−v et in(L5 ) = in(fu )Tv . Il est facile de voir que F, G ∈ {L1 , L2 , L3 , L4 , L5 , Q}, et in(F )G − in(G)F est dans A = (L1 , L2 , L3 , L4 , L5 , Q). que le terme s(F, G) := p.g.c.d.(in(F ), in(G)) Selon l'algorithme de Buchberger, il découle que {L1 , L2 , L3 , L4 , L5 , Q} est une base de Gröbner de A. 2 Proposition 3.2.5. L'anneau K[x, T]/A est Gorenstein de codimension 3. Preuve : Rappelons que n est le nombre de variables de l'anneau de polynômes R. Comme l'anneau de Rees R(I) = K[x, T]/J est de dimension n + 1, nous avons : codim(K[x, T]/J ) = (n + 4) − (n + 1) = 3. Or, la suite 0 −→ J /A −→ K[x, T]/A −→ K[x, T]/J −→ 0 est exacte. On en déduit que codim(K[x, T]/A) ≤ 3.
  Cependant, in(L5 ) = in(fu )Tv est le terme dominant de α1 xp xt xμ+ Tv − β1 xr xs xμ− Tv . Supposons que in(L5 ) = xp xt xμ+ Tv . Les monômes xs Tu+v , xr Tu−v et xp xt xμ+ Tv forment une suite régulière de l'idéal initial in(A), car ce sont des monômes à support disjoints (c.f. 3.2.1). De même, si in(L5 ) = xr xs xμ− Tv , l'ensemble {xt Tu+v , xp Tu−v , xr xs xμ− Tv } forme une suite régulière de l'idéal initial in(A). Dans tous les cas nous avons que codim(K[x, T]/in(A)) ≥ 3, et la codimension de K[x, T]/A l'est aussi. Nous avons donc codim(K[x, T]/A) = 3. De plus, c'est facile de vérifier que A est engendré par les Pfaffians 4 × 4 de la matrice 5 × 5 suivante :   0 −Tu+v β1 xμ− Tv −β2 xν− Tu xp  Tu+v 0 α2 xν+ Tu −α1 xμ+ Tv −xr    μ ν − + 0 −Tu−v xt  M = .  −β1 xν Tv −α2 xμ Tu s  +  β2 x − T u Tu−v 0 −x α 1 x Tv p r t s −x x −x x 0 3.2 Idéaux binômiaux à trois ou quatre générateurs Dû à [BE1], nous avons K[x, T]/A est Gorenstein.
  33 2
  Par conséquent, nous avons : Corollaire 3.2.6. A n'a pas de composantes primaires immergées. Plus précisément, toute composante primaire q de A est de hauteur 3. Maintenant, nous allons prouver le théorème 3.2.3. Remarquons que la [EH, Proposition 2.9] ne s'applique pas ici . La démonstration du Théorème 3.2.3 : Le théorème sera prouvé si l'on peut démontrer que les localisations de A et de J en un idéal premier quelconque p coı̈ncident. Soit p un idéal premier associé à A. Il suffit de prouver que Ap = Jp . L'idéal (xp , xt , xr , xs ) est de hauteur 4 dans K[x, T] car xp , xt , xr , xs ne sont pas des unités et premiers entre eux. Rappelons que la hauteur de toute composante primaire p de A est 3. On en déduit que p + (xp , xt , xr , xs ). Le fait que ht(xp , xt , xr , xs ) = 4 implique ainsi que l'un de ces quatre monômes est un non zéro–diviseur dans K[x, T]/A. Supposons que xs l'est. On a donc xs ∈ / p. Après localisant à p, s le terme x devient une unité. Or on a les relations suivantes : xs L 1 = x t L 2 + x r L 3 − x p L 4 ,
  xs Q = Tu−v L2 − xμ+ Tv L3 − xν− Tu L4 .
  Ainsi, on a Ap = (L2 , L3 , L4 )p , et
  (K[x, T]/(L2 , L3 , L4 ))(xs ) ∼ = (K[x, Tu , Tv , Tu−v ]/(L3 , L4 ))(xs ) .
  (∗)
  Puis, considérons l'idéal I 0 := (fu , fv , fu−v ). Puisque I 0 est engendré par les mineurs 2 × 2 de la matrice   −α2 xν+ xs −β2 xν− xt  α 1 xμ + xt β1 xμ − xs  , xr xp
  on a I 0 est Cohen–Macaulay de codimension 2. D'après la proposition 3.2.2, l'anneau de Rees et l'algèbre symétrique sont isomorphes : Sym(I 0 ) ∼ = R(I 0 ) =: K[x, Tu , Tv , Tu−v ]/J 0 .
  Remarquons que Sym(I 0 ) = K[x, Tu , Tv , Tu−v ]/(L3 , L4 ). On obtient que (L3 , L4 ) = J 0 . Ainsi, l'idéal (L3 , L4 ) est premier dans K[x, Tu , Tv , Tu−v ]. Donc (∗) implique que Ap est premier. Comme Ap et Jp sont des idéaux premiers de même codimension, et Ap ⊂ Jp , ils coı̈ncident. 2 34
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  Corollaire 3.2.7. "L'analytic spread" de I est 3, et la fibre spéciale F (I) est e F (I) = K[Tu , Tv , Tu+v , Tu−v ]/(Q), e est l'image modulo m de Q. où Q
  Remarque 3.2.8. Des résultats similaires à la proposition suivante apparaissent dans [Va], et dans [HRZ], mais notre preuve est directe, sans aucune hypothèse sur K. Exemple 3.2.9. Dans Z4 , considérons le réseau   2 2 −2 −2 L= 4 0 −3 −1 engendré par deux vecteurs u = (2, 2, −2, −2), et v = (4, 0, −3, −1). L'idéal IL ⊂ K[x, y, z, w] associé à ce réseau est de codimension 2. Dans la section suivante, on étudie les idéaux radicaux de réseau de codimension 2 dans le cas où le corps K est infini, et on prouve que ses anneaux de Rees sont Cohen-Macaulay et engendrés par des formes de degré 2 au plus, et "l'analytic spread" est 3. Dans cet exemple, grâce au théorème 3.2.3, nous avons toujours que "l'analytic spread" de IL est 3 indépendemment de la caractéristique et du cardinal de K, et√même dans le cas où IL n'est pas radical. En fait, si char(K) = 2, alors IL = ILsat , où le dernier est l'idéal de réseau associé au réseau saturé Lsat de L :   1 1 −1 −1 Lsat = . 4 0 −3 −1 Plus précisement, l'idéal ILsat est l'idéal de définition de la courbe (s4 , s3 t, st3 , t4 ), et ILsat = (yz − xw, z 3 − yw 2 , y 3 − x2 z, xz 2 − y 2 w).
  IL = (xz 2 − y 2 w, y 2 z 2 − x2 w 2 , z 4 − xw 3 , y 4 − x3 w). En appliquant le théorème 3.2.3, on obtient en toute caractéristique et sans conditions sur le corps K que R(I) = K[x, y, z, t, T1 , T2 , T3 , T4 ]/J , où l'idéal J est engendré par z 2 T1 + wT2 + xT3 , y 2 T1 + xT2 + wT4 , 3.2 Idéaux binômiaux à trois ou quatre générateurs
  35
  xw 2 T1 + z 2 T2 + y 2 T3 , x2 wT1 + y 2 T2 + z 2 T4 , xwT12 + T22 + T3 T4 . Il découle que F (I) = K[T1 , T2 , T3 , T4 ]/(T22 + T3 T4 ).
  3.2.3
  Algèbre symétrique
  Nous savons que l'algèbre symétrique de I est Sym(I) = k[x, T]/(L1 , L2 , L3 , L4 ). Notons J (1) l'idéal de présentation (L1 , L2 , L3 , L4 ) de Sym(I). Remarquons que J (1) ⊂ J ∩(xp , xt , xr , xs ). Le but de cette section est de prouver l'égalité.
  Théorème 3.2.10. L'idéal de présentation de l'algèbre symétrique de I admet une décomposition primaire comme suit : J (1) = J ∩ (xp , xt , xr , xs ).
  En particulier, nous avons dim(Sym(I)) = n + 1 = dim(R(I)). Preuve : Il suffit de prouver que (xp , xt , xr , xs ) ∩ (Q) ⊂ (L1 , L2 , L3 , L4 ).
  Choisissons un élément quelconque a ∈ k[x, T] tel que aQ ∈ (xp , xt , xr , xs ). Nous avons aQ = ap xp + at xt + as xs + ar xr avec ap , at , ar , as ∈ k[x, T]. ⇐⇒
  aQ − ap xp − at xt − as xs − ar xr = 0.
  (∗)
  Considérons l'idéal a = (Q, xp , xt , xr , xs ). Il est facile de vérifier que {Q, xp , xt , xr , xs } est une base de Gröbner par rapport à l'ordre < défini dans la section 2 de a. Alors (∗) est un syzygies de a. Du fait que in(Q), xp , xt , xr et xs sont premiers entre eux et de l'algorithme de Buchberger, on déduit que a ∈ (xp , xt , xr , xs ). C'est à dire a = bp xp + bt xt + bs xs + br xr avec bp , bt , br , bs ∈ k[x, T]. Considérons le terme xp Q : xp Q = xp (α2 β2 xν+ xν− Tu2 − α1 β1 xμ+ xμ− Tv2 − Tu+v Tu−v ) = −Tu+v L3 − xμ− Tv L2 + xν− Tu L1
  Alors xp Q est dans (L1 , L2 , L3 , L4 ).
  Pour xr Q, xt Q, et xs Q, nous obtenons des situations similaires. Ainsi aQ ∈ (L1 , L2 , L3 , L4 ). Ceci implique que (xp , xt , xr , xs ) ∩ (Q) ⊂ (L1 , L2 , L3 , L4 ).
  2 36
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  3.3
  Relations quadratiques dans l'anneau de Rees
  Le cas où G n'a que quatre sommets a été traité dans la section précédente. Ici, nous allons traiter le cas général. Dans cette section, nous considérons une arête hu, vi qui n'est pas sur le bord de G, et w = au + bv un sommet de G. Nous allons construire des relations quadratiques entre fu , fv et fw . Remarquons qu'il suffit de considérer le cas où 0 < a ≤ b. Les autre cas sont déduits de ce cas en changeant le rôle de u par v ou en changeant le signe de u ou de v. A partir de maintenant, dans cette section, nous supposons que 0 < a ≤ b. Dans [GMS, Prop 4.1], il a été établie qu'il existe une matrice 2 × 4 telle que fu , fv , fw−u , fw apparaissent comme les mineurs 2 × 2 de cette matrice, puis en prennant la relation de Plücker, les auteurs obtiennent la proposition suivante : Proposition 3.3.1. [GMS, Prop 4.1] Il existe une relation quadratique : (3.1)
  G[u
  v (u−v) w]
  := Qfu fw−v − P fv fw−u − fu−v fw = 0,
  où P et Q sont des monômes dans S : P =
  p.g.c.d.(xaμ+ , x(b−a+1)t xμ+ ) p.g.c.d.(xaμ− , x(b−a+1)s xμ− ) × , p.g.c.d.(xaμ+ , x(b−a)t ) p.g.c.d.(xaμ− , x(b−a)s )
  et p.g.c.d.(xaμ+ xt , x(b−a)t ) p.g.c.d.(xaμ− xs , x(b−a)s ) × . p.g.c.d.(xaμ+ , x(b−a)t ) p.g.c.d.(xaμ− , x(b−a)s ) Remarque 3.3.2. Les relations G[u v (u−v) w] donnent des éléments dans Q = x ν + xν −
  l'idéal de présentation de l'anneau de Rees R(I), leurs images modulo m sont des éléments dans l'idéal de présentation de la fibre spéciale F(I). Notre but consiste à donner ces images exactes dans F(I). Les conditions (pour que P = 1 et pour que Q = 1) qui nous permettent de le faire sont présentées dans le théorème 3.3.15.
  3.3.1
  Conditions pour que P = 1 ou Q = 1.
  Lemme 3.3.3. P = 1 si et seulement si w satisfait les conditions suivantes :  p.g.c.d.(xaμ+ , x(b−a)t ) = xaμ+ . (∗) p.g.c.d.(xaμ− , x(b−a)s ) = xaμ− 3.3 Relations quadratiques dans l'anneau de Rees
  37
  Preuve : (⇐) est claire. (⇒) Si P = 1 alors  p.g.c.d(xaμ+ , x(b−a+1)t xμ+ ) = p.g.c.d.(xaμ+ , x(b−a)t ), p.g.c.d(xaμ− , x(b−a+1)s xμ− ) = p.g.c.d.(xaμ− , x(b−a)s ).
  (i) (ii)
  De (i) nous avons que ∀ xi ∈ supp μ+ : xi | xμ+ | p.g.c.d.(xaμ+ , x(b−a+1)t xμ+ ) = p.g.c.d.(xaμ+ , x(b−a)t ) | x(b−a)t . Or xi ∈ supp t. Ceci implique que supp μ+ ⊂ supp t. Alors p.g.c.d.(xaμ+ , x(b−a+1)t xμ+ ) =
  Q
  min{a deg μ+ xi , (b−a+1) degt xi +deg μ+ xi }
  xi ∈supp μ+
  xi
  Q min{a deg μ+ xi , divisible par xi ∈supp μ+ xi = p.g.c.d.(xaμ+ , x(b−a)t ).
  (b−a) deg t xi }
  Nous avons l'égalité si et seulement si pour tout xi ∈ supp μ+ , min{a degμ+ xi , (b−a+1) degt xi +degμ+ xi } = min{a degμ+ xi , (b−a) degt xi }, i.e min{a degμ+ xi , (b − a) degt xi } = a degμ+ xi pour tout xi ∈ supp μ+ . C'est-à-dire que xaμ+ | x(b−a)t , i.e p.g.c.d.(xaμ+ , x(b−a)t ) = xaμ+ . De la même façon, nous avons (ii). Le lemme est prouvé.
  2
  Lemme 3.3.4. Q = 1 si et seulement si xν+ = xν− = 1 et w satisfait les conditions suivantes :  p.g.c.d.(xaμ+ , x(b−a)t ) = x(b−a)t . (∗∗) p.g.c.d.(xaμ− , x(b−a)s ) = x(b−a)s Preuve : C'est pratiquement la même que la preuve du lemma 3.3.3. 2 Lemme 3.3.5. Si xν+ = xν− = 1 alors le point u a exactement trois voisins : u − v, et v, et u + v. Preuve : Avec les mêmes notations dans (†) et dans (††), si xν+ = xν− = 1 alors les binômes correspondant aux u, v, u − v et u + v deviennent fu = x p xt xμ + − x r xs xμ − , fu−v = x2t xμ+ − x2s xμ− ,
  fv = x p xs − x r xt , fu+v = x2p xμ+ − x2r xμ− .
  Alors, nous avons T (u, u − v) = p.g.c.d.(xp xt xμ+ , x2s xμ− ) = 1, 38
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux S(u, u − v) = p.g.c.d.(xr xs xμ− , x2t xμ+ ) = 1.
  Nous déduisons du lemma 2.2.15 que hu, u − vi est sur le bord de G, donc u − 2v n'est pas dans G. De même pour u + v, nous avons aussi que hu, u + vi est sur le bord de G, et u + 2v ∈ / G. Donc, u a exactement trois voisins : u − v, v, u + v. 2 Lemme 3.3.6. Nous avons les affirmations suivantes : 1. T (u, v), S(u, v), P (u, v), R(u, v) 6= 1 si et seulement si hu, vi n'est pas sur le bord de G.
  2. Conditions (∗) implique que T (v, w) = S(v, w) = 1 et supp w± ⊂ supp v± .
  3. Si xν+ = xν− = 1 alors (∗∗) implique que T (u, w) = S(u, w) = 1 et supp w± ⊂ supp u± . Preuve : La première affirmation est déduite directement de 2.2.15. Pour démontrer la deuxième, remarquons d'abord que les conditions (∗) impliquent que : fw =
  x(a+b)p xbν+ x(b−a)s x(a+b)r xbν− x(b−a)t − . xaμ− xaμ+
  Alors supp w± ⊂ supp v± , et donc T (v, w) = S(v, w) = 1. Il est similaire pour les conditions (∗∗).
  2
  Maintenant considérons la relation G[u,v,(u−v),w] dans la proposition 3.3.1. Lemme 3.3.7. Dans le cas a = b, la relation G[u,v,(u−v),w] est un trinôme aves P = Q = 1 seulement si card(G) = 4. En particulier, si G contient au moins 5 sommets alors soit P 6= 1, ou soit Q 6= 1. Preuve : Comme G ne contient que des points primitifs, la condition a = b implique que a = b = 1, et on a alors : G[u,v,w] = G[u,v,u−v,u+v] = xν+ xν− fu fw−v − xμ+ xμ− fv fw−u − fu−v fw . • Q = x ν + xν − = 1 ⇔ x ν + = x ν − = 1 u − v, v, u + v.
  Lem3.3.5
  =⇒
  u a exactement trois voisins
  Lem3.3.5
  v a exactement trois voisins
  • P = xμ+ xμ− = 1 ⇔ xμ+ = xμ− = 1 =⇒ u − v, u, u + v. 3.3 Relations quadratiques dans l'anneau de Rees
  39
  Donc, si G[u,v,u−v,u+v] est un trinôme avec P = Q = 1 alors le graphe G contient exactement quatre sommets u, v, u − v, u + v ; et si G contient au moins cinq sommets alors soit P 6= 1 soit Q 6= 1. Remarquons que le premier cas est traité complètement dans la section précédente. 2 Dès maintenant supposons toujours qu'il y a au moins cinq sommets dans G. Définition 3.3.8. Soient u, v et w trois sommets dans G. On dit que w est engendré par u et v s'il existe deux nombres entiers a et b (a ≥ 0, b ≥ 0) tels que w = au + bv. Considérons un point w = au + bv ∈ G, avec b > a > 0 : w = au + bv = a(u + v) + (b − a)v  . = a(u + pv) + (b − pa)v = |{z} r (u + (p + 1)v) + (a − r)(u + pv), | {z } >0
  >0
  où p, r sont entiers tels que b = pa + r (0 < r < a).
  Ainsi, en suivant le chemin euclidien pour aller à w dans G, nous devons passer les points : u, v, u + v, . . . , u + pv et u + (p + 1)v. Nous avons de plus que le point w est engendré par u+pv et u+(p+1)v. Ceci implique qu'il existe une présentation de w : w = w1 +w2 , où w1 et w2 sont deux voisins de w dans G tels que w 0 = a1 u + b1 v (0 ≤ a1 ≤ b1 ) et w 00 = a2 u + b2 v (0 ≤ a2 ≤ b2 ), avec a1 + a2 = a, et b1 + b2 = b. A) Conditions sur w quand P = 1. Lemme 3.3.9. Si P = 1 alors nous pouvons choisir une chaı̂ne de points dans G C : w = w 0 , w1 , * * * , wk = v telle que – L'arête hwi , wi+1 i est sur le bord de G, ∀ i = 0, 1, * * * , k − 1. – wi satisfait les conditions (∗), ∀ i = 0, 1, * * * , k − 1. Preuve : Nous avons deux cas : 40
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  Cas 1 : w est dans l'éventail d'origine v. Dans ce cas w = u + bv, et les conditions (∗) deviennent :  μ x + | x(b−1)t . xμ− | x(b−1)s D'après le lemme 3.3.6, nous avons T (v, w) = S(v, w) = 1, alors [v, w] est sur le bord de G. Choisissons la chaı̂ne C comme suit : w0 = w, w1 = v. 2 Cas 2 : w n'est pas dans l'éventail d'origine v. Dans ce cas nous avons a > 1, et w 0 , w 00 6= v. Donc a1 , a2 > 0. Nous avons besoin du lemme suivant : Lemme 3.3.10. Si w satisfait les conditions (∗), alors soit w 0 ou soit w 00 satisfait les conditions (∗). Preuve : Comme a = a1 + a2 , et b = b1 + b2 , nous avons b − a = b1 − a 1 (b1 − a1 ) + (b2 − a2 ). Parce que a1 > 0, a2 > 0, deux quotients a1 b2 − a 2 et sont bien-définis. Quand w 0 et w 00 sont dans la base de Hilbert a2 b2 b1 − a 1 b2 − a 2 b1 6= . Alors 6= . Supposons que de I, nous avons que a1 a2 a1 a2 b1 − a 1 b2 − a 2 > . On en déduit que a2 b1 > a1 b2 . Ainsi, a1 a2 (b1 − a1 ) + (b2 − a2 ) b−a b2 − a 2 b1 − a 1 > = > . a1 a1 + a 2 a a2 ⇒ a(b1 − a1 ) > (b − a)a1 .
  ⇒ x(b−a)a1 t | x(b1 −a1 )at .
  De plus, le premier ligne de (∗) implique que xaa1 μ+ | x(b−a)a1 t . Or, xa1 μ+ | x(b1 −a1 )t . De même, du deuxième ligne de (∗), on déduit que xa1 μ− | x(b1 −a1 )s .
  0 Ainsi, nous avons supp w+ ⊂ supp v+ , et supp w 0 − ⊂ supp v− , et w 0 satisfait les conditions (∗). D'où le lemme. 2
  Pour prouver le lemme 3.3.9, nous utilisons le lemme 3.3.10. Nous supposons que w 0 satisfasse les conditions (∗). Comme w et w 0 satisfont les conditions supp w± ⊂ supp v± , et supp w 0 ± ⊂ supp v± , nous avons que supp w± ∩ supp w 0 ∓ = ∅. Alors T (w, w 0 ) = S(w, w 0 ) = 1. D'après le lemme 2.2.15, l'arête hw 0 , wi est sur le bord de G. 3.3 Relations quadratiques dans l'anneau de Rees
  41
  La chaı̂ne C est construit par récurrence : w0 = w, w1 = w 0 , * * * , wk = v. 2 B) Conditions sur w quand Q = 1. Maintenant, nous étudions les conditions (∗∗). Les arguments développés dans A) sont aussi utilisés pour ce cas. Lemme 3.3.11. Si w satisfait les conditions (∗∗), alors soit w 0 soit w 00 satisfait les conditions (∗∗). Nous pouvons supposer que ce soit w 0 . De plus, si xν+ = xν− = 1, alors l'arête hw, w 0 i est sur le bord de G. Preuve : La preuve est presque identique à celle du lemme 3.3.10.
  2
  Ce lemme implique facilement le résultat suivant : Lemme 3.3.12. Si Q = 1 alors 1. xν+ = xν− = 1, et donc u a exactement trois voisins : u − v, v, u + v. 2. Il existe une chaı̂ne dans G
  C : w = w 0 , w1 , * * * , wk = u telle que : – L'arête hwi , wi+1 i est sur le bord de G, ∀ i = 0, 1, * * * , k − 1. – wi satisfait les conditions (∗∗), ∀ i = 0, 1, * * * , k − 1. Preuve : La première assertion découle du lemme 3.3.5. La deuxième est similaire au lemme 3.3.9. 2 Puis, étudions la propriété de la forme quadratique G[u,v,w] correspondant à une arête hu, vi qui n'est pas sur le bord de G et un point w = au + bv (b ≥ a > 0). Dans le cas où a = b nous avons a = b = 1 et G[u,v,w] = G[u,
  v, u−v, u+v]
  = Qfu2 − P fv2 − fu−v fu+v
  où soit P fv ∈ mI soit Qfu ∈ mI. Nous allons démontrer que l'assertion similaire est aussi valide pour le cas où b > a. Considérons G[u, v, u−v, w] . Proposition 3.3.13. Avec les mêmes notations que dans la proposition 3.3.1, nous avons P fw−u ∈ mI. 42
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  Preuve : Remarquons d'abord que, d'après le lemme 2.2.13, le binôme fw−u est dans mI si et seulement si w − u ∈ G. Alors P fw−u ∈ / mI si et seulement si P = 1 et w − u ∈ / G. Séparons le problème en trois cas. Cas 1 : a = 1 i.e. w = u + bv est dans l'éventail d'origine v. Dans cette situation, nous avons w − u = bv. Comme G ne contient que de points dans la base de Hilbert de I, le point bv est dans G si et seulement si b = 1 = a. Ceci contredit l'hypothèse que a < b. Alors w − u ∈ / G. Donc fw−u ∈ mI, et P fw−u l'est aussi. Cas 2 : a ≥ 2. Supposons l'opposition. Comme fw−u ∈ mI si et seulement si w−u∈ / G (selon la remarque 2.2.13), nous avons que P = 1 et w − u ∈ G. Grâce au lemme 3.3.9, il existe une chaı̂ne C1 , qui est une partie du bord de G C1 : w01 = w, w11 , . . . , wk11 −1 = ξ1 , wk11 = v. On a vu que w est engendré par u + pv et u + (p + 1)v, où b = pa + r avec 0 < r < a. Rappelons une représentation de fw x(a+b)p xbν+ x(b−a)s x(a+b)r xbν− x(b−a)t − xaμ− xaμ+ et les conditions (∗) pour w  p.g.c.d.(xaμ+ , x(b−a)t ) = xaμ+ . p.g.c.d.(xaμ− , x(b−a)s ) = xaμ− fw =
  x(pa+r−a)t = x[(p−1)a+r]t selon (∗), Comme xaμ+ | x(b−a)t = et x[(p−1)a+r]t | xpat car (p − 1)a + r < pa, nous avons xaμ+ | xpat . Alors on a xμ+ | xpt . De même, nous avons xμ− | xps . Donc u + (p + 1)v satisfait les conditions (∗). Ceci implique que hu+(p+1)v, vi est sur le bord de G (voir le 1 cas 1 de A). Ainsi u+(p+2)v ∈ / G. On conclut que w(k = ξ1 = u+(p+1)v. 1 −1) Puis, considérons w − u. w − u = (a − 1)u + bv = (a − 1)(u + v) + (b − a + 1)v  . = (a − 1)(u + pv) + (b − pa + p)v = (a − 1)(u + pv) + (r + p)v  (r + p − a + 1)(u + (p + 1)v) + (a − 1)(u + pv), si a − 1 < r + p   | | {z } {z }    >0 >0   (r + p)(u + (p + 1)v) + (a − 1 − r − p)(u + pv), si a − 1 > r + p | {z } = | {z }  >0 >0    (r + p)(u + (p + 1)v), si a − 1 = r + p    | {z } >0 3.3 Relations quadratiques dans l'anneau de Rees
  43
  Dans les deux premiers cas, le point w − u est engendré par u + (p + 1)v et u + pv. Dans le dernier cas, nous avons que a − 1 = r + p. Donc w − u = (a − 1)[(u + pv) + v]. De plus, parce que G ne contient que de points dans la base de Hilbert de I, le point w − u ∈ G si et seulement si a − 1 = 1, i.e. a = 2. Ceci implique que r = 1, p = 0 et alors b = 1 < 2 = a. Contradiction à l'hypothèse que a < b. Les conditions (∗) impliquent aussi que : xμ+ | x(b−a)t | x(b−a+1)t , et xμ− | x(b−a)s | x(b−a+1)s , i.e. w − u satisfait les conditions (∗) aussi. D'après la proposition 3.3.9, il existe une autre chaı̂ne : w02 = w − u, w12 , . . . , wk22 −1 = ξ2 , wk22 = v,
  C2 :
  sur le bord de G. Parce que hv, ξ1 i et hv, ξ2 i sont sur le bord de G, et de plus, dans la même direction de v aux points avec coordonnées positives par rapport à (u, v), ils doivent coı̈ncider et coı̈ncident à u + (p + 1)v. Et les deux points suivants dans les deux chaı̂nes coı̈ncident aussi. On en déduit que soit C1 ⊂ C2 ou soit C2 ⊂ C1 . On conclut que w − u et w sont dans la même chaı̂ne commençant de v et passant u + (p + 1)v. Parce que (a − 1, b) ≺lex (a, b), le point w − u doit être dans le chemin de v à w. Alors il existe un voisin w 0 = cu + dv (c, d ≥ 0) de w − u tel que w = α(w − u) + βw 0 avec α, β > 0. w0 @ @d   u + v ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ w − u  d i ̇ w ̇ ̇  TT u ̇ ̇  " b T " ̇ ̇ ̇ ̇ b ̇ ̇ ̇ ̇ d i  b " B u +pv  i  b Td " B  u−v @ vbb  b i i bd  @d  u + (p + 1)v i Chaı̂ne C1
  d
  Chaı̂ne C2
  Il découle que 
  a = α(a − 1) + βc = αa − α + βc . b = αb + βd ≥ b
  On a l'égalité dans le deuxième ligne si et seulement si α = 1 et βd = 0. On conclut que a = a − 1 + βc. Donc, β = 1 et c = 1, d = 0, i.e. w 0 = u. 44
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  Alors w et w − u sont dans l'éventail d'origine u. Ainsi, il existe un nombre entier a ≥ 1 tel que w = au+v. C'est une contradiction. D'où la proposition.2 Pour le terme Qfw−v nous avons une proposition similaire. Proposition 3.3.14. Si Qfw−v ∈ I \ mI, alors Q = 1 et il existe w − v ∈ G. De plus, les points u, u − v, w, w − v sont dans l'éventail d'origine v, et tout le point dans cet éventail entre u et w − v a exactement trois voisins. Preuve : De même à la démonstration de la proposition 3.3.13, l'égalité Q = 1 implique que w et w − v satisfont les conditions (∗∗). Grâce à la proposition 3.3.12, nous pouvons construire deux chaı̂nes : C1 : C2 :
  w01 = w, w11 , . . . , wk11 −1 = ξ1 , wk11 = u, w02 = w − u, w12 , . . . , wk22 −1 = ξ2 , wk22 = u,
  qui sont sur le bord de G, dont les points ξ1 et ξ2 sont des voisins de u et satisfont (∗∗). Remarquons que u + v satisfait (∗∗) aussi, car  1 = x(1−1)t = p.g.c.d.(xμ+ , x(1−1)t ) . 1 = x(1−1)s = p.g.c.d.(xμ− , x(1−1)s ) Alors [u + v, u] est sur le bord de G. Nous avons donc ξ1 = ξ2 = u + v. Ainsi, C1 et C2 ont les mêmes deux premiers points. On conclut que w et w − v sont dans la même chaı̂ne. w0 @ @d  u + v ̇ ̇ ̇  w−v d d i iw  . ̇ ̇ ̇ . .  ud . d i i TT  "B b T " ̇  ̇ b ̇ u +pv i  ̇ ̇ ̇ ̇ ̇d b " i   T" Bd b b  u−v @ v b b b @ u + (p + 1)v i Chaı̂ne C 1
  d Chaı̂ne C2
  Nous pouvons déduire qu'ils sont dans le même éventail d'origine v avec u et u − v. Une conséquence est que la chaı̂ne C1 est celle contenant des points de cet éventail : u, u + v, . . . , w − u, w. Comme celle-ci est une partie du bord de G, tout point u, u + v, . . . , w − u a exactement trois voisins. 2 3.3 Relations quadratiques dans l'anneau de Rees
  3.3.2
  45
  Les relations quadratiques
  Nous allons résumer les résultats techniques que nous venons de démontrer. D'après la proposition 3.3.13 et la proposition 3.3.14, nous obtenons : Proposition 3.3.15. Soit [u, v, u − v] un triangle de G, et w = au + bv (0 < a ≤ b) un point quelconque de G. Alors il existe une relation G[u,v,w] = Qfu fw−v + P fv fw−u − fu−v fw = 0,
  u+v .     w − v u B .
  où P, Q sont des monômes dans R tels que : @ B J Jw – P fw−u ∈ mI. X X@ B    u − v X@ X  B – Qfw−v ∈ I. v – Si Qfw−v ∈ I \ mI, alors Q = 1 et le point w − v est dans G. De plus, les points u − v, u, w − v, w sont dans un éventail d'origine v, et tout point entre u et w − v a exactement trois voisins. Pour le cas général, en changeant le signe de v 7→ −v ou de u 7→ −u, s'il est nécessaire, nous pouvons nous ramener au cas où 0 < a ≤ b. On obtient que : Théorème 3.3.16. Soit hu, vi une arête qui n'est pas sur le bord de G, et w = au + bv un point quelconque de G, (w 6= u, w 6= v). Alors – Si |a|=|b|, alors |a|=|b|= 1 et il existe une relation G[u,v,w] = G[u,v,u−v,u+v] = xμ+ xμ− fu2 − xν+ xν− fv2 − fu−v fu+v , où soit xμ+ xμ− soit xν+ xν− est dans m. – Si |a|6=|b|, alors il existe une relation G[u,v,w] = Qfu fw∗v + P fv fw∗u + fu∗v fw = 0, où u ∗ v = u − v si ab > 0, et u ∗ v = u + v si ab < 0 ; et w ∗ u = w − sign(a)u, w ∗ v = w − sign(b)v. De plus, soit Qfw∗v ou soit P fw∗u est dans mI, et – Si Qfw∗v ∈ / mI, alors |a| < |b| et |Q|= 1 ; et w ∗ v est dans G tel que u ∗ v, u, w ∗ v, w sont dans l'éventail d'origine v, dont tout point entre u et w ∗ v a exactement trois voisins. – Si P fw∗u ∈ / mI, alors |b| < |a| et |P |= 1 ; w ∗ u est dans G tel que u ∗ v, v, w ∗ u, w sont dans l'éventail d'origine u, dont tout point entre v et w ∗ u a exactement trois voisins. 46
  3.4
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  Relations dans la fibre spéciale
  Soit R = K[x1 , x2 , . . . , xn ] l'anneau de polynômes sur le corps K. Soit I un idéal engendré minimalement par L m éléments {fi }1≤i≤m . L'anneau de Rees de I est l'anneau gradué R[It] = k≥0 I k tk . La fibre spéciale de I est le quotient R[It]/mR[It], où m = (x1 , x2 , . . . , xn ) est l'idéal maximal irrélevant de R. Introduisons m variables indépendantes sur R, appelées T = {Ti }1≤i≤m , et considérons l'idéal J = ker π, où π
  R[T] −→ R[It] −→ 0 . Ti −→ fi t On obtient une présentation R[It] ' R[T]/J de l'anneau de Rees. D'où, on déduit une présentation de la fibre spéciale R[It]/mR[It] ' K[T]/Je, où Je est l'image de J modulo mR[T]. Dans notre cas où I est un idéal de réseau de codimension 2, les m elements fi correspondent à m points, dits {ui }1≤i≤m , du graphe G. Rappelons que toute relation G[u,v,w] = Qfu fw∗v +P fv fw∗u +fu∗v fw deduite du théorème e [u,v,w] modulo 3.3.16 nous donne un élément dans l'idéal J , et son image G mR[T] est dans l'idéal Je. On obtient donc le résultat suivant :
  Théorème 3.4.1. Soit hu, vi un arête qui n'est pas sur le bord de G, et soit w = au + bv un point quelconque de G (w 6= u, w 6= v). Alors la relation suivante est dans l'idéal de présentation Je de la fibre spéciale F (I) de I : e [u,v,w] = εu Tu Tw∗v + εv Tv Tw∗u − Tu∗v Tw , G
  εi ∈ {0, 1}
  où εu εv = 0, et de plus – si εu 6= 0, alors u ∗ v, u, w ∗ v, w est dans l'éventail d'origine v, dont tout point entre u et w ∗ v a exactement trois voisins. – si εv 6= 0, alors u ∗ v, v, w ∗ u, w est dans l'éventail d'origine u, dont tout point entre v et w ∗ u a exactement trois voisins. e [u,v,w] précédentes. Remarquons que tout élément Notons S l'ensemble des G dans S soit de type Tu Tv avec u, v non–voisins dans G, soit de type Tu Tw−v − Tu−v Tw avec u − v, u, w − v, w = au + bv (a, b ∈ Z2>0 ) dans le même éventail d'origine v (après un changement des signes de u, de v et de w, s'il est nécessaire). Lemme 3.4.2. Si u − v, u, w − v et w = u + bv sont dans le même éventail F d'origine v de G tels que : e [u,v,u−v,w] = Tu Tw−v − Tu−v Tw , G 3.4 Relations dans la fibre spéciale
  47
  alors pour tout point P = u + cv ∈ F , et Q = u + dv (b ≥ d > c ≥ 0) ∈ F , nous avons : e [P,v,P −v,Q] = TP TQ−v − TP −v TQ ∈ S. G Preuve : On a vu que pour tout point P = u + αv ∈ F , le binôme fP correspondant à P est fP =
  x(α+1)p xμ+ xαν+ x(α−1)s − x(α+1)r xμ− xαν− x(α−1)t . p.g.c.d.(xμ+ , x(α−1)t )p.g.c.d.(xμ− , x(α−1)s )
  e [u,v,u−v,w] = Tu Tw−v − Tu−v Tw , nous avons Pour le point w = u + bv, car G ν− x = x = 1 et  p.g.c.d.(xμ+ , x(b−1)t ) = x(b−1)t . p.g.c.d.(xμ− , x(b−1)s ) = x(b−1)s ν+
  Alors pour 0 < α ≤ b, 
  p.g.c.d.(xμ+ , x(α−1)t ) = x(α−1)t . p.g.c.d.(xμ− , x(α−1)s ) = x(α−1)s
  x(α+1)r xμ− x(α+1)p xμ+ − pour tout P = u + αv (0 ≤ α ≤ b). x(α−1)t x(α−1)s Considérons le point P = u + cv et le point Q = u + dv (0 ≤ c < d ≤ b). Nous étudions la matrice 2 × 4 suivante :   cr μ− xdr xμ− t p x x  x x(c−1)s x x(d−1)s     .  cp μ+ dp μ+  x x x x xr xs (c−1)t x x(d−1)t
  Donc fu+αv =
  Calculons tous ses mineurs 2 × 2, nous avons 41,2 = fu+cv = fP , et 41,3 = fv , et 41,4 = fu+dv = fQ , et 42,3 = fu+(c−1)v = fP −v , et xμ + xμ − f ∈ mI, et 43,4 = fu+(d−1)v = fQ−v . La relation 42,4 = xcp xcr x(d−1)s x(d−1)t dv e de Plücker nous donne G[P,v,P −v,Q] = TP TQ−v − TP −v TQ ∈ S. 2 Lemme 3.4.3. Soient u − v, u, w − v et w = u + bv quatre points dans le même éventail F de G satisfont la même condition comme dans le lemme 3.4.2. Supposons aussi qu'il existe une relation quadratique T w2 −Tw− Tw+ ∈ S, où w− et w+ sont deux voisins de w dans G. Alors w− = w−v, et w+ = w+v, e [u,v,u−v,w+v] = Tu Tw − Tu−v Tw+v ∈ S. et la relation G 48
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  e [w,V,w−V,w+V ] = T 2 − Tw− Tw+ ∈ S, nous pouvons Preuve : Comme G w supposer que w− = w − V et w+ = w + V , avec un voisin V de w. Le lemme 3.3.4 et le lemme 3.3.5 impliquent que w a exactement trois voisins. Comme w − v et v sont aussi des voisins de w, et w − v n'a que trois voisins : w − 2v, v et w, on conclut que v = V . Ainsi, w− = w − v et w+ = w + v = u + (b + 1)v. Nous avons alors : fw+v =
  x(b+2)r xμ− x(b+2)p xμ+ − . xbt xbs
  Considérons la matrice 2 × 4 suivante :  x(b+1)r xμ− p s μ− t x x x x  xbs    x(b+1)p xμ+ xr xt xμ + xs xbt
  
    . 
  e [u,v,u−v,w+v] = Tu Tw − Tu−v Tw+v ∈ S. 2 La relation de Plücker nous donne G Remarque 3.4.4. Après le changement de signe v 7→ −v, nous avons ce qui suit :
  2 S'il existe une relation quadratique Tu−v − T(u−v)− T(u−v)+ ∈ S, où (u − v)− et (u − v)+ sont deux voisins de u − v dans G, alors (u − v)− = u − 2v, et e [u−v,v,u−2v,w] = Tu−v Tw−v − Tu−2v Tw est (u − v)+ = u. De plus, la relation G dans S.
  Définition 3.4.5. Une chaı̂ne u − v, u, u + v, . . . , u + bv de longeur plus grande que possible telle que la relation quadratique Tu Tu+(b−1)v − Tu−v Tu+bv est dans S est appelée un éventail binômial d'origine v de G.
  Exemple 3.4.6. Pour les exemples 2.2.5 et 2.2.6, le seul sommêt de G est e [u ,u ,u ,u ] dans les u4 = (−1, 1). Donc, nous devons considerer la relation G 4 1 2 7 deux exemples. Les autres relations n'engendrent que des monômes. – Pour l'exemple 2.2.5, nous avons : α1 = ab5 c − d2 e3 f 2 ,
  α2 = a3 e2 f 3 − bc4 d3 ,
  α7 = ade8 f 7 − b11 c6 ,
  α4 = a2 e5 f 5 − b6 c5 d.
  Donc, la matrice associée à ces binômes est   a de3 f 2 b6 c5 bc4 d2 . d b5 c ae5 f 5 a2 e2 f 3 3.4 Relations dans la fibre spéciale
  49
  La relation de Plücker nous donne : abc4 e2 f 3 α12 − dα42 + α2 α7 = 0. D'où, la relation T2 T7 est dans l'idéal de la fibre spéciale, et S1 = {T1 T6 , T2 T5 , T3 T4 , T3 T7 , T4 T5 , T4 T6 , T5 T6 , T5 T7 , T6 T7 , T2 T7 }. – Pour l'exemple 2.2.6, nous avons : α1 = ab2 c − de2 f,
  α2 = a2 bf 2 − c2 d2 e,
  α7 = a 4 b 5 − d 4 e 5 ,
  α4 = a3 b3 f − cd3 e3 .
  Donc, la matrice associée à ces binômes est   2 ab f cd2 e d3 e3 . de2 c a2 bf a3 b3
  La relation de Plücker nous donne : a2 bd2 eα12 − α42 + α2 α7 = 0. D'où, la relation −T42 + T2 T7 est dans l'idéal de la fibre spéciale, et S2 = {T1 T6 , T2 T5 , T3 T4 , T3 T7 , T4 T5 , T4 T6 , T5 T6 , T5 T7 , T6 T7 , T2 T7 − T42 }. Donc les fibres spéciales de deux exemples sont non isomorphes. Remarque 3.4.7. Remarquons que l'ensemble complet des relations quadratiques concernant Tu−v , Tu , Tu+v , . . . , Tu+bv = Tw sont données par les mineurs 2 × 2 de la matrice suivante :   Tu−v Tu Tu+v . . . Tu+(b−1)v . Tu Tu+v Tu+2v . . . Tu+bv 2 De plus, il n'existe pas de relation de type Tu−v − T(u−v)− T(u−v)+ ou de type 2 Tw − Tw− Tw+ dans S.
  En fait, comme on va voir dans la suite, chaque éventail binômial est caractérisé par son origine et ses deux extrêmes. e qui est obtenu de G en remplaçant chaque Définition 3.4.8. Le graphe G, éventail binômial de G par un triangle construit par son origine et ses deux extrêmes, est appelé le graphe reduit de G. u6 ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ T B ̇  T @ B J u2  J u1 X @ B T u5  XX@  D@ XB B u3 C  D @ C  B  D @ BB C @ u7 D  u4 @   D @ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇
  Graphe G
  -
  u6  TT u2 u1 T u5 AA A T  A  TT A  ! A  ! u7 A A!  u4 u3 Graphe G 50
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  Remarque 3.4.9. 1. Pour chaque couple de deux non–voisins u, v dans e on a Tu Tv est un monôme dans S. G, 2. Nous pouvons colorer Ge par trois couleurs comme suit : e et colorons chaque som– Choissisons un triangle T quelconque de G, met de ce triangle par une couleur. e – Deux non–voisins u et v, qui sont dans le même quadrilatère de G, ont la même couleur. Ainsi, les sommets de chaque triangle de Ge ont des couleurs différentes. e et prenons Notons Γi l'ensemble des sommets de couleur i dans G, X gi = Tu , i = 1, 2, 3. u∈Γi
  On remarque que g1 , g2 , et g3 sont indépendantes algébriquement sur K.
  Considérons l'idéal Ae engendré par S. Comme dans le théorème 3.4.1, nous avons Ae ⊂ Je. Le but de cette section est de prouver l'égalité. Afin de démontrer que K[T]/Ae = F (I), nous allons indiquer d'abord qu'ils ont la même normalisation de Noether.
  Théorème 3.4.10. Prenons J = (g1 , g2 , g3 ), et soit mT l'idéal maximal de e Alors K[T]/A. (mT )2 = JmT . Preuve : Remarquons que c'est une conséquence de la proposition 4.4.7. En fait, la coloration précédente est bonne, et que le graphe Ge fabrique un arbre généralisé. 2
  Théorème 3.4.11. Soit A := K[g1 , g2 , g3 ]. Alors A est la normalisation de e Noether de K[T]/A.
  Preuve : Il découle directement du théorème 3.4.10 que K[T]/Ae est intégralement clôs sur A. Alors l'application A ,→ K[T]/Ae satisfait le théorème e = dim(A) ≤ 3. (Vois [Ma, Theorem 20] pour Going-up. Donc, dim(K[T]/A) les détails.) En fait, comme nous verrons dans le chapitre suivant, nous pouvons démontrer que : \ Ae = AeT , T un triangle dans Ge
  où AeT est l'idéal engendré par les mineurs 2 × 2 de la matrice suivante : 3.4 Relations dans la fibre spéciale 
  51
  Tu−v Tu Tu+v . . . Tu+(b−1)v Tu Tu+v Tu+2v . . . Tu+bv
  
  ,
  et par les variables Tu avec u ∈ G\T , si le triangle T = [u − v, v, u + bv] avec  {u − v, u, . . . , u + bv} est un éventail binômial de G, et AeT = Tu | u ∈ G\T sinon (c'est une conséquence de la proposition 4.2.1). Il est connu que AeT est un idéal premier de dimension trois pour tout T . e = 3. On en déduit que g1 , g2 , g3 sont algébriquement Ainsi, dim(K[T]/A) e indépendants sur K[T]/A. De plus, K[T]/Ae est un A−module de type fini, et engendré par 1, et par les Tu où u ∈ G \ T avec un triangle T quelconque de G. 2 Considérons la composition des applications : A ,→ K[T]/Ae → F (I),
  où le dernier est un épimorphisme canonique. Alors, F (I) est le quotient de e et dim(F (I)) ≤ dim(K[T]/A) e = 3. Par suite, c'est connu qu'en K[T]/A, général on a dim F (I) ≥ codim(I) = 2. Dans le cas où le corps K est infini et I est radical, on a l'égalité si et seulement si I est une intersection complète (voir [CN]). Théorème 3.4.12. 2 ≤ dim(F (I)) ≤ 3.
  Dans le cas où K est infini et I est un idéal radical qui n'est pas une intere = dim(F (I)) = 3. section complète, nous avons dim(K[T]/A)
  Dans la suite, nous allons considérer en détail le dernier cas, c.-à-d. le cas où l'idéal I est radical, et I n'est pas une intersection complète, et K est infini. Nous rappelons d'abord la définition du nombre de réduction d'un anneau. Définition 3.4.13. Soit R un anneau de polynômes en n variables sur un corps k. Soit I ⊂ R un ideal gradué homogène pour la graduation standard et d = dim R/I. Un ensemble de formes linéaires {g1 , g2 , . . . , gd } est une réduction de R/I, si (g1 , g2 , . . . , gd )mρ = mρ+1 (
  mod I)
  où m est l'idéal maximal de l'anneau de polynômes R. Le plus petit nombre ρ lorsque l'on considère toutes les réductions possibles est appelé le nombre de réduction de R/I. 52
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  Remarquons que l'égalité entre les dimensions ainsi que le lemme 3.2 [BM2] impliquent que A est la normalisation de Noether de F (I) par rapport à la composition. Parce que K[T]/Ae est engendré par des formes linéaires comme un A−module, son quotient F (I) l'est aussi. Ceci implique que le nombre de réduction r (F (I)) = 1. Puis, considérons le resultat suivant de Cortadellas et Zarzuela : Lemme 3.4.14. [CZ] Soit (R, m) est un anneau noetherian local, et soit I un idéal engendré minimalement par m éléments de R. Supposons que I est une intersection complète générique(i.e. Ip est une intersection complète pour tout p idéal premier minimal associé à I), et l'analytique spread est l := dim F (I) = hauteur(I) + 1. Si r (F (I)) = 1, alors F (I) est Cohen – Macaulay. De plus, la fonction de Hilbert de F (I) est HF (I) (t) =
  1 + (m − l)t . (1 − t)l
  On conclut que : Théorème 3.4.15. Soit R = K[x1 , x1 , x2 , . . . , xn ] l'anneau de polynômes sur K. Soit I un idéal de réseau de codimension 2. Supposons que I n'est pas une intersection complète. Alors e F (I) = K[T]/A.
  Preuve : Le théorème 3.4.12 implique que l := dim F (I) = 3. Soit m le nombre de générateurs de I. En utilisant le lemme 3.4.14, nous avons 1 + (m − 3)t = HF (I) (t) ≤ HK[T]/Ae(t). (1 − t)3
  Choissisons un triangle T := [Tm−2 , Tm−1 , Tm ] de G. Grâce au théorème 3.4.11, l'application suivante est un épimorphisme : A
  M m−3 M i=1
  e0
  A[−1] −→ K[T]/Ae −→ 0 ei
  7→ 7 →
  1 Ti
  Alors HK[T]/Ae(t) ≤ HA L Lm−3 A[−1] (t) = i=1
  1 + (m − 3)t . (1 − t)3
  Donc, les anneaux F (I) et K[T]/Ae ont la même fonction de Hilbert. Or F (I) e on en déduit que F (I) = K[T]/A. e est un quotient de K[T]/A, 2 3.4 Relations dans la fibre spéciale
  53
  Corollaire 3.4.16. – mI est intégralement clôs. – I (2) ⊂ mI, où I (2) est la deuxième puissance symbolique de I. Preuve : La première assertion découle facilement de la démonstration de la proposition 3.11 [Hü], car la fibre spéciale F (I) est réduite, et l'idéal I est radical. Pour la deuxième, remarquons d'abord que dans K[x1 , x2 , . . . , xn ], la démonstration de [Hü, Théorème 1.2, (iii) ⇒ (i)] est aussi valable indépendamment du caractère de K. Puis, la démonstration de la proposition 3.11 dans cet article est aussi applicable. 2 P (i = 1, 2, 3), et soit Q = Corollaire 3.4.17. Posons qi = u∈Γi fu , (q1 , q2 , q3 ) un sous-idéal de I. Alors (QI)m = Im2 . Ceci implique que Im = Q m = et ara(Im ) ≤ 3.
  p (q1 , q2 , q3 ),
  Pour le cas où I est l'idéal de définition d'une variété monômiale de codimension 2, Barile et Morales [BM2] ont prouvé que l'idéal de presentation de l'anneau de Rees R(It) est engendré par des formes de degré 2 au plus. En appliquant le théorème précédent, nous obtenons le même résultat pour un cas plus général. Le résultat crucial est dû à Huckaba et Huneke : Lemme 3.4.18. [HH, Theorem 2.9 et 4.5] Soit R un anneau Cohen -Macaulay local, et soit I un idéal de hauteur d ≥ 1, et "analytic spread" l(I) = d + 1. Supposons que les idéaux premiers de R/I sont tous de même hauteur, et que les idéaux premiers associés de R/I sont de hauteur au plus d + 1. De plus, supposons que I est une intersection complète générique, et qu'il existe une réduction minimale J de I telle que rJ (IQ ) ≤ 1 pour tout idéal premier (I ⊆)Q avec codim(Q/I) = 1. Finalement, supposons que depth(R/ I) ≥ dim(R/I) − 1. Alors, l'idéal de présentation de l'anneau de Rees R(It) de I est Cohen–Macaulay, et défini par des éléments de degré au plus deux. En outre, il est prouvé dans la proposition 2.1.6 que pour tout idéal de réseau I nous avons : projdim(R/I) ≤ 2codimI − 1. En particulier, si I est un idéal de réseau de codimension 2, alors : depth(R/I) = dim R − projdim(R/I) ≥ dim R − 3 = dim(R/I) − 1. 54
  Fibre spéciale d'idéal de réseau de codimension deux
  Ainsi l'idéal de réseau I remplit tous les hypothèses du lemme 3.4.18 si I n'est pas une intersection complète de codimension 2. Ceci implique que : Théorème 3.4.19. Soit I un idéal de réseau radical, de codimension 2, et I n'est pas une intersection complète dans R = K[x1 , x2 , . . . , xr ], où le corps K est infini. Alors, l'idéal de présentation de l'anneau de Rees R[It] de I est Cohen–Macaulay, et engendré par des formes de degré deux au plus. Cependant, nous n'avons pas répondu aux questions suivantes : Question 3.4.1. Est-ce que l'idéal de présentation de l'algèbre de Rees est engendré par les relations linéaires et les relations quadratiques introduites dans ce chapitre ? Dans tous les exemples que nous avons calculé, la réponse à cette question est positive. Question 3.4.2. Si K est un corps fini, pour tout I idéal de réseau radical de codimension 2, a-t-on que "l'analytic spread" l(I) est toujours 3 ? Chapitre 4 Idéaux binômiaux simpliciaux 4.1
  Définitions et notations
  Dans ce chapitre, G signifie un graphe simple fini. On note respectivement VG et EG l'ensemble des sommets, et des arêtes de G. Le graphe est complet si EG = (hu, vi | u 6= v ∈ VG ), où hu, vi est l'arête des sommets u, v. Soit S un sous–ensemble de VG . Notons G \ S le sous-graphe de G obtenu de G en effaçant les sommets de S et les arêtes incidentes. De même, on note GS le graphe induit de G sur S. Un sous–graphe C induit de G est appelé un cycle si l'ensemble des sommets peut être ordonné, VC := {x1 , x2 , . . . , xl } et xi xi+1 ∈ EG pour tout i = 1, 2, . . . , l (où xl+1 = x1 ), il sera noté C = (x1 x2 . . . xl x1 ). Le nombre l est la longueur de C. Le cycle C a une corde s'il existe un nombre j 6= i+1(mod l) tel que xi xj ∈ EG . Appelons C un cycle minimal si C est de longueur au moins 4 et C n'a pas de cordes. Un complexe simplicial 4 sur un ensemble des sommets V4 = {x1 , x2 , . . . , xn } est une collection de sous-ensembles de V4 telle que : – Pour tout i, l'ensemble {xi } est dans 4, – Si F ∈ 4 et G ⊂ F, alors G ∈ 4. Un élément d'un complexe simplicial 4 est appelé une face de 4. La dimension d'une face F de 4, noté par dim F, est définie par |F| −1, où |F| signifie le nombre des sommets de F. La dimension de 4, noté dim 4, est définie par la dimension maximale des faces de 4. Les faces maximales, pour l'inclusion, dans 4 sont appelées les facettes de 4. Remarquons qu'en prenant toutes les faces de dimension 0 et 1 de 4, i.e. les sommets et les arêtes, on associe à 4 un graphe simple G4 . Une 56
  Idéaux binômiaux simpliciaux
  facette F de 4 devient un sous–graphe complet de G4 , et est appelée aussi un |F|–clique de G4 .
  4.1.1
  Idéaux simpliciaux et binômiaux simpliciaux
  La notion d'idéal simplicial a été introduite par Marcel Morales. Elle consiste à associer un idéal à un complexe simplicial et à une famille d'idéaux indexée par l'ensemble des facettes. La notion d'idéal simplicial généralise celle d'idéal de Stanley–Reisner. Dans ce chapitre, nous allons considérer quelques cas particuliers et étudier quelques propriétés de ces idéaux simpliciaux. A chaque ensemble des sommets V4 = {x1 , x2 , . . . , xn }, on associe un anneau de polynômes R = K[x1 , x2 , . . . , xn ] (ici, par abus de notation, xi désigne un sommet dans V4 et aussi une variable dans l'anneau de polynômes). Il est connu que à chaque complexe 4 sur cet ensemble des sommets, on associe un idéal, appelé idéal de Stanley – Reisner, défini comme suit : / 4) . I4 = (xi1 xi2 * * * xir | i1 < i2 < * * * < ir , {xi1 , xi2 , . . . , xir } ∈ Cet idéal est engendré par des monômes. Maintenant, nous allons présenter la définition d'un p–complexe et d'idéal simplicial. (l)
  Définition 4.1.1. A chaque facette Fl de 4, ajoutons quelques points {yij }, (l) avec i, j dans un ensemble El . Les points yij sont appelés points marqués, et (l) le simplexe sur l'ensembles Fl ∪ {yij , (i, j) ∈ El } est une p–facette. Par abus de notation et par ce qu'il n'y aura pas de confusion, nous appelerons Fl la p–facette obtenue à partir de Fl . Un p–complexe 4 associé à 4 est le complexe simplicial dont les facettes sont les p–facettes ou les facettes de 4 n'ayant pas de points marqués. On associe à un p–complexe 4 un graphe, noté G4 . Pour chaque facette F , on note F ◦ l'ensemble des points de 4, qui appartienent uniquement à la facette F de 4. Soit 4 un p–complexe construit par 4 et par un ensemble des points (l) marqués. On associe à 4 l'anneau de polynômes R = K[x, y] (ici, x, yij désigne un sommet dans 4 et aussi une variable dans l'anneau de polynômes). Notation 4.1.2. Nous noterons (E) (resp. K[E]) l'idéal engendré par E (resp. l'anneau des polynômes dont les variables sont les éléments de E). 4.1 Définitions et notations
  57
  Définition 4.1.3. Pour chaque p–facette Fl , on se donne un idéal premier Il ⊂ (Fl ) de l'anneau K[V4 ] tel que Il ⊂ (V4 \ Fi ) pour toute p–facette Fi de 4 distincte de Fl . L'idéal simplicial P4 associé au p–complexe 4 est défini comme suit :   X P4 =  Il , I4  , Fl p−facette de 4
  où I4 est l'idéal de Stanley – Reisner du complexe simplicial 4. (l)
  x0
  (l)
  y i1 1
  (l)
  y i2 1
  (l) k1
  yi
  (l)
  (l)
  y i1 2
  x1
  (l)
  y i2 2 (l)
  xd
  (l)
  y i1 j i
  (l) y i ji k
  1
  l
  k
  (l) y i2 j i 2 (l)
  (l)
  xi
  xi 1
  k
  (l)
  xi 2
  La pfacette Fl Nous allons considérer une classe particulière d'idéaux simpliciaux engendrés par des binômes : Une facette F de dimension d de 4 est dite propre si F contient q arêtes hx0 , x1 i, hx0 , x2 i, . . . , hx0 , xq i appartenant uniquement à la facette F . Dans ce cas, ces arêtes sont appelées les arêtes propres de F . Définition 4.1.4. Considérons un p–complexe 4. Soit Il l'idéal engendré par les mineurs 2 × 2 de la matrice : ! (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) y . . . y y i2 1 . . . y i2 j i x0 y i 1 1 . . . y i 1 j i ikl 1 ikl j i k  2 1 l . Ml := (l) (l) (l) (l) (l) (l) (l) . . . y i 2 2 . . . xi 2 y i 1 1 y i 1 2 . . . xi 1 y i k 2 . . . xi k l
  l 58
  Idéaux binômiaux simpliciaux
  Nous appelerons idéal binômial simplicial B4 l'idéal simplicial associé à 4 et aux idéaux Il correspondant aux p–facettes Fl . Nous avons que Il ⊂ (V4 \ Fi ) pour toute p–facette Fi de 4 distincte de Fl . En effet, tout d'abord remarquons que (Fl◦ ) ⊂ (V4 \ Fi ) et ensuite (l) (l) (l) (l) x0 xis ∈ (V4 \ Fi ), parce que nous avons que x0 ∈ V4 \ Fi ou xis ∈ V4 \ Fi , (l) (l) car dans le cas contraire x0 et xis sont dans Fi , ce qui impliquerait que (l) (l) l'arête hx0 , xis i ∈ Fi , en contradiction avec la définition d'arête propre. On va démontrer dans la suite que la classe des idéaux est une extension de la classe des idéaux de Stanley – Reisner associé à un complexe simplicial.
  4.2
  Décomposition primaire
  Il est connu que l'idéal de Stanley – Reisner d'un complexe simplicial admet une décomposition en idéaux premiers correspondant aux facettes du complexe, où chaque idéal est engendré par des variables qui ne sont pas dans la facette correspondante. Dans cette section, on va prouver la même propriété pour l'idéal P4 . Soit P4 l'idéal associé au p–complexe 4. On définit d'abord les idéaux premiers associés aux facettes de 4. Considérons une facette Fl de 4. On associe à Fl un idéal premier Jl comme suit :  – Jl = V4 \ Fl , si Fl n'a pas de point marqués (en fait dans ce cas Il = 0).  – Jl = Il , (V4 \ Fl ) , sinon. Notons que V4 \ Fl désigne l'ensemble des sommets de 4 qui ne sont pas dans Fl . Nous avons la proposition suivante : Proposition 4.2.1. P4 =
  Fl
  \
  facette de
  4
  Jl .
  Preuve : Tout d'abord, rappelons le fait bien connu que si I, J sont des ensembles des variables disjoints et I = (I) , J = (J) alors I ∩ J = (pq | p ∈ I, q ∈ J ) . On va prouver la proposition par récurrence sur le nombre l des facettes de 4. Notons 40 le p–complexe construit par les l − 1 premières facettes du 4.2 Décomposition primaire
  59
  p–complexe 4 et P40 l'idéal associé au p–complexe 40 , et Ji0 l'idéal premier associé à la ième facette de 40 . Remarquons que Ji = (Ji0 , x | T x ∈ Fl◦ ) pour tout (i = 1, 2, . . . , l − 1). Par récurrence, nous avons P40 = Ji0 . Soit Fl la lème facette, si Fl n'a pas de points marqués nous poserons Il = 0. Nous avons que Jl = Il , V4 \ Fl , et P4 0 =
  X
  1≤k≤l−1
  Ik , I40
  !
  , et P4 =
  X
  1≤k≤l
  Ik + I l , I 4
  !
  .
  Pour l'idéal monomial de Stanley–Reisner I4 , nous savons que : I40 , Fl◦
  \
   V4 \ Fl = I4 .
   D'autre part, parce que Ik ⊂ V4 \ Fl pour tout k 6= l, nous avons : X
  1≤k≤l−1
   Ik ⊂ V4 \ Fl .
  (α)
  (β)
   De plus, parce que Il ⊂ V4 \ Fl0 pour toute facette Fl0 6= Fl dans 4, on a : Il ⊂
  \
  l0 6=l
    V4 \ Fl0 = I40 , Fl◦ .
  (γ)
  On en déduit que : P4 ⊂ P40 , Fl◦ On va démontrer l'autre inclusion :
  \
  soit r ∈ P40 , Fl◦
   Il , V4 \ Fl .
  \
   Il , V4 \ Fl ,
   P alors r = u + v = p + q, avec u ∈ 1≤k≤l−1 Ik , v ∈ I40 , Fl◦ , p ∈ Il , et  q ∈ V4 \ Fl . D'après (β) et (γ), on a Donc
    (α) v − p = q − u ∈ V4 \ Fl ∩ I40 , Fl◦ = I4 .
  r = u + (v − p) + p ∈
  X
  I k + I4 + I l = P 4 .
  \
   Il , V4 \ Fl .
  1≤k≤l−1
  D'où, on a : P4 = P40 , Fl◦ 60
  Idéaux binômiaux simpliciaux
  De l'hypothèse de récurrence on déduit que ! l−1 l−1 l−1 \ \ \ \ \ \ 0 ◦ 0 ◦ P4 = J i , Fl Jl = (Ji , Fl ) Jl = Ji Jl . i=1
  i=1
  i=1
  La proposition est prouvée.
  2
  Corollaire 4.2.2. Pour l'idéal binômial simplicial B4 associé au p–complexe 4 nous avons : – Jl = (V4 \ Fl ) si Fl n'a de points marqués.  – Jl = 2 × 2 mineurs de la matrice Ml ; (V4 \ Fl ) , sinon. La décomposition primaire de B4 est B4 =
  Fl
  \
  facette de
  4
  Jl .
  Remarque 4.2.3. Pour toute facette Fl , l'idéal Jl est premier et de dimension 1 + dl , où dl est la dimension de Fl . On en déduit un corollaire sur la dimension de B4 comme suit : Corollaire 4.2.4. dim(B4 ) = 1 + dim(4) = dim(I4 ).
  4.3
  Arbres, "Scrollers" ou "small variety"
  Dans cette section, nous allons étudier quelques propriétés géométriques des idéaux simpliciaux selon le point de vue abordé dans plusieurs articles récents par Barile–Morales, Eisenbud–Green–Hulek–Popescu, et M. Morales. D'abord, nous rappelons le théorème suivant de [EG] : Théorème 4.3.1. Soit R un anneau gradué standard réduit, définissant une variété algébrique projective. Alors nous avons la suite suivante d'implications : (1) R est un anneau de Cohen-Macaulay et e(R) = 1+codim R, où e(R) est la multiplicité de R et codim R sa codimension ; ⇒ (2) R a une résolution 2−linéaire ;
  ⇒ (3) r(R) = 1 ;
  ⇒ (4) e(R) ≤ 1 + codim R 4.3 Arbres, "Scrollers" ou "small variety"
  61
  D'autre part, si R est un anneau de Cohen–Macaulay, alors les quatre implications sont des équivalences. La définition suivante a été considérée par [BM3] et [EGHP] : Définition 4.3.2. Une suite (ordonnée) X1 , , Xl ⊂ Pr de sous variétés projectives irréductibles est linéairement jointe si pour tout i = 1, , l − 1 nous avons : Xi+1 ∩ (X1 ∪  ∪ Xi ) = span(Xi+1 ) ∩ span(X1 ∪  ∪ Xi ) où span(X) est le plus petit sous–espace linéaire de Pr contenant X. Cette notion a été considérée dans [BM3] de façon algébrique et dans le cadre suivant : Dans l'anneau de polynômes K[x(m) , y(m) , m = 1, , l] muni de la graduation standard, soit Im l'idéal engendré par les mineurs 2 × 2 de la matrice ! (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) x0 y i1 1 . . . y i1 j i y i2 1 . . . y i2 j i . . . y ikm 1 . . . y ikm j i k 1 2 m . Mm := (m) (m) (m) (m) (m) (m) . . . yi(m)2 . . . y i 1 1 y i 1 2 . . . xi 1 y i 2 2 . . . xi 2 x ikm km 0 Soit Xm la variété projective (non dégénérée) définie par l'idéal Im dans l'anneau des polynômes, dont les variables sont les entrées de la matrice Mm ; 0 et soit Xm la variété projective Xm plongée dans l'espace projectif associé à (m) (m) l'anneau de polynômes K[x , y , m = 1, , l]. L'idéal de définition Jm de Xm peut s'écrire Jm = (Im , Qm ). Remarquons que Qm est l'idéal définissant la variété linéaire span(Xm ).
  Notation 4.3.3. Dans cette section, pour un ensemble Q ⊂ K[x(l) , y(l) ], la notation hQi signifie le K–espace vectoriel de K[x(l) , y(l) ] engendré par Q, et (Q) est l'idéal engendré par Q. Pour établir que la suite X1 , , Xl ⊂ Pr de sous–variétés projectives irréductibles est linéairement jointe, d'après [BM3, page 163], il suffit d'établir que pour tout k = 1, , l : k−1 k−1 hQi i). Ji = (Qk ) + (∩i=1 Jk + ∩i=1
  Dans cette situation, nous dirons que les idéaux J1 , , Jl sont linéairement joints. Exemple 4.3.4. Considérons les complexes simpliciaux 4 suivants, nous allons démontrer que les idéaux premiers associés à B4 sont linéairement joints. 62
  Idéaux binômiaux simpliciaux b
  d
  b
  d a
  a
  c (4,1)
  a
  c
  b
  d
  c (4,2)
  (4,3)
  – Dans les deux cas (4, 1) et (4, 2), nous avons deux facettes F1 , F2 et V4 \ F1 = F2◦ , V4 \ F2 = F1◦ . Selon 4.2.2, l'idéal B4 a deux composantes irréductibles : B4 = (I1 , F2◦ ) ∩ (I2 , F1◦ ). Donc avec les notations ci–dessus, nous avons Q1 = F2◦ , et Q2 = F1◦ . D'autre part, par définition de I1 et I2 , nous avons que I1 ⊂ (F1◦ ), et I2 ⊂ (F2◦ ). Il en suit que (I1 , F2◦ ) + (I2 , F1◦ ) = (F2◦ ) + (F1◦ ) = (Q1 ) + (Q2 ). – Dans le cas (4, 3), nous avons trois facettes F1 , F2 , F3 , et V4 \ F1 = F2◦ ∪ F3◦ ∪ {c}, V4 \ F2 = F1◦ ∪ F3◦ ,
  V4 \ F3 = F1◦ ∪ F2◦ ∪ {b}.
  Soient I1 , I2 , I3 , les idéaux engendré par les mineurs 2×2 des matrices :       b y1  yt c z1  zu a x1  xs , , , x1 x2  b y1 y2  c z1 z2  d La proposition 4.2.2 implique que B4 a trois composantes irréductibles : B4 = (I1 , F2◦ , F3◦ , c) ∩ (I2 , F1◦ , F3◦ ) ∩ (I3 , F1◦ , F2◦ , b). Donc avec les notations ci-dessus, nous avons Q1 = F2◦ ∪ F3◦ ∪ {c}, Q2 = F1◦ ∪ F3◦ , Q3 = F1◦ ∪ F2◦ ∪ {b}. D'autre part, par définition de I1 , I2 , I3 nous avons que I1 ⊂ (F1◦ ), I2 ⊂ (F2◦ ) + (b), I2 ⊂ (F2◦ ) + (c), I3 ⊂ (F3◦ ), il en suit que (I1 , F2◦ , F3◦ , c) + (I2 , F1◦ , F3◦ ) = (F2◦ ) + (F1◦ ) + (c) + (F3◦ ) = (Q1 ) + (Q2 ), 4.3 Arbres, "Scrollers" ou "small variety"
  63
  et (I3 , F1◦ , F2◦ , b) + (I1 , F2◦ , F3◦ , c) ∩ (I2 , F1◦ , F3◦ ) = = (I3 , F1◦ , F2◦ , b) + (I1 , I2 , F3◦ , (F1◦ ) ∩ (F2◦ , c)) = (F1◦ , F2◦ , b, F3◦ ).
  D'autre part, (Q3 ) + (hQ1 i ∩ hQ2 i) = (F1◦ ∪ F2◦ ∪ {b}) + (F3◦ ) D'où, finalement on a (I1 , F2◦ , F3◦ , c) + (I2 , F1◦ ) = (Q3 ) + (hQ1 i ∩ hQ2 i) ce qui complète la preuve. Il est à remarquer que le cas (4,3) avait été traité par [BM2]. Définition 4.3.5. Un d−arbre généralisé sur un ensemble V de sommets est un graphe defini récursivement par les propriétés suivantes : (a) Un graphe complet de d + 1 elements of V est un d−arbre généralisé. (b) Soit G un graphe sur un ensemble V de sommets. Supposons qu'il existe un sommet v ∈ V tel que : 1. La restriction G0 de G à V 0 = V \ {v} est un d−arbre généralisé,
  2. Il y a un sous–ensemble V 00 ⊂ V 0 ayant exactement 1 ≤ j ≤ d sommets tel que la restriction de G to V 00 soit un graphe complet, et 3. G est le graphe engendré par G0 et le graphe complet sur V 00 ∪{v}.
  Le sommet v dans la définition ci–dessus sera appelé extremal.
  Si j = d dans la définition ci-dessus, alors nous dirons que G est un d−arbre. Remarque 4.3.6. Soit ∆(G) le "clique complex" de G, i.e. le complexe simplicial dont les sommets sont les sommets de G et les facettes sont les simplexes à support les sous–graphes complets de G. Dans [M2], M. Morales associe à ∆(G) un graphe H(G) dont les sommets sont les facettes de ∆(G) et deux facettes sont liées par une arête si et seulement si leur intersection est non vide. Il démontre que G est un d−arbre généralisé si et seulement si H(G) est un arbre. Nous pouvons énoncer les théorèmes suivants du à Fröberg [Fr] : 64
  Idéaux binômiaux simpliciaux
  Théorème 4.3.7. L'anneau de Stanley–Reisner d'un complexe simplicial ∆ est un anneau Cohen-Macaulay de degré minimal si et seulement si 1. Le graphe G(∆) est un d−arbre, et 2. ∆ est le clique complex de G(∆), i.e. ∆ = ∆(G(∆)). Théorème 4.3.8. L'anneau de Stanley–Reisner d'un complexe simplicial ∆ a une résolution 2−linéaire si et seulement si 1. Le graphe G(∆) est un d−arbre généralisé, et 2. ∆ = ∆(G(∆)). Nous pouvons en partie étendre ces résultats pour les idéaux binômiaux simpliciaux : Théorème 4.3.9. Supposons que G4 soit un d−arbre généralisé, ayant l (m) (m) facettes. Pour chaque p–facette Fm ayant des arêtes propres hx0 , xi1 i, . . . , (m) (m) hx0 , xikm i, on se donne l'idéal premier Im dans l'anneau K[Fm ], engendré par les mineurs 2 × 2 de la matrice Mm . Soit B4 l'idéal de K[4] associé au p–complexe 4. Alors il y a un ordre dans les idéaux premiers associés de B4 de sorte qu'ils sont linéairement joints. De plus, l'idéal B4 admet une résolution 2−linéaire. Preuve : D'après la proposition 4.2.1, les idéaux premiers associés à  B4 sont Jm = Im , V4 \ Fm , pour m = 1, , l. Nous allons démontrer qu'il existe un ordre dans les facettes de 4, de sorte que la suite des idéaux J1 , , Jl soit linéairement jointe. La preuve est fortement inspirée de [M2], elle se fera par récurrence sur le nombre n de sommets de G4 . Nous allons également démontrer par récurrence la proprieté suivante qui sera utile dans la démonstration : ∩li=1 hV4 \ Fi i = 0. (∗4 ) Les premiers cas non triviaux sont pour n = 4 b
  d
  b
  d a
  a
  c (4,1)
  a
  c
  b
  d
  c (4,2)
  (4,3)
  Dans ces cas, nous avons vérifié le théorème cas par cas dans l'exemple 4.3.4. Cependant, il nous reste à vérifier dans chacun des cas la condition (∗4 ). 4.3 Arbres, "Scrollers" ou "small variety"
  65
  – Dans les deux cas (4, 1) et (4, 2), nous avons deux facettes F1 , F2 et hV4 \ F1 i ∩ hV4 \ F2 i = hF2◦ i ∩ hF1◦ i = 0. – Dans le cas (4, 3), nous avons trois facettes F1 , F2 , F3 et hV4 \ F1 i ∩ hV4 \ F2 i ∩ hV4 \ F3 i = hF2◦ ∪ F3 i ∩ hF1◦ ∪ F3◦ i ∩ hF1 ∪ F2◦ i = hF3◦ i ∩ hF1 ∪ F2◦ i = 0.
  Maintenant, supposons que le théorème et la condition (∗4 ) soient vrais pour n, nous montrons les pour n + 1. Parce que c'est un d−arbre généralisé il existe un sommet extremal z0 . Soit F la facette de G4 , contenant z0 . Soit l le nombre de facette de 4, notons les F1 , , Fl−1 , Fl avec Fl = F. Soit 40 le complexe simplicial dont les facettes sont F1 , , Fl−1 , et 40 le p–complexe correspondant. Par hypothèse de récurrence, il y a un ordre dans les facettes F1 , , Fl−1 de 40 tel que la suite des idéaux premiers associés à 40 soit linéairement jointe. Nous allons conclure en reprenant la démonstration de 4.2.1. Pour toute facette  (ou p–facette) Fm de 4, l'idéal correspondant Jm est Jm = Im , V4 \ Fm , et pour toute facette (ou p–facette) Fm de 40 , l'idéal correspondant Jm0 est  Jm0 = Im , V40 \ Fm . D'où, pour m = 1, , l − 1 on a :
  Jm = (Jm0 , Fl◦ ) . Nous rappelons que, par convention, Im = 0 si Fm n'a pas des points marqués. Par hypothèse de récurrence, pour tout k = 1, , l − 1 : k−1 0 k−1 Jk0 + ∩i=1 Ji = (Q0k ) + (∩i=1 hQ0i i)
  avec Q0k = V40 \ Fk . Or Qk = V4 \ Fk = V40 \ Fk ∪ Fl◦ , donc il en suit immédiatement que pour tout k = 1, , l − 1 : k−1 k−1 hQi i). Ji = (Qk ) + (∩i=1 Jk + ∩i=1
  Il nous reste à démontrer que l−1 Jl + ∩l−1 i=1 Ji = (Ql ) + (∩i=1 hQi i).
  Mais
   l−1 0 ◦ Jl + ∩l−1 i=1 Ji = Il + V4 \ Fl + ∩i=1 (Ji , (Fl )) , 66
  Idéaux binômiaux simpliciaux
   V et par hypothèse Il ⊂ ∩l−1 \ F ⊂ ∩l−1 i i=1 i=1 Ji , donc 4
   l−1 0 ◦ Jl + ∩l−1 i=1 Ji = V4 \ Fl + ∩i=1 (Ji , (Fl )) .
  0 ◦ Or B40 +(Fl◦ ) = ∩l−1 i=1 (Ji , (Fl )) , par la décomposition. De plus, par définition  Pl−1 P B40 = i=1 Ii + I40 . D'abord, par hypothèse l−1 Ii ⊂ V4 \ Fl , ensuite i=1  l'idéal monomial I40 est inclus dans V4 \ Fl , car autrement il y aurait un monôme générateur M de I40 dont le support H serait inclus dans Fl ∩ V40 et par définition d'un arbre le simplexe de support H est une face aussi bien de Fl que de 40 , ce qui contrédit le fait que M est un générateur de I40 .
  D'où D'autre part,
   ◦ Jl + ∩l−1 i=1 Ji = V40 \ Fl + (Fl )
  Ql = V4 \ Fl = V40 \ Fl et pour i = 1, , l − 1, Qi = V40 \ Fi ∪ Fl◦ . D'où l−1 ◦ ∩l−1 i=1 hQi i = ∩i=1 h V40 \ Fi ∪ Fl i l−1 ◦ hQi i = ∩l−1 ∩i=1 i=1 hV40 \ Fi i + hFl i.
  Comme la condition (∗40 ) est vraie, nous avons ∩l−1 i=1 hV40 \ Fi i = 0. D'où l−1 ∩i=1 hQi i = hFl◦ i
  et finalement ◦ hQl i ∩ ∩l−1 i=1 hQi i = hV40 \ Fl i ∩ hFl i = 0,
  qui est la propriété (∗4 ) pour le p–complexe 4. Puis, on a  l−1 (Ql ) + (∩i=1 hQi i) = V40 \ Fl + (Fl◦ ) .
  Nous pouvons conclure que
   l−1 ◦ Jl + ∩l−1 i=1 Ji = (Ql ) + (∩i=1 hQi i) = V40 \ Fl + (Fl ) ,
  ce qui termine la preuve de la récurrence et du théoréme.
  En particulier, la variété algébrique définie par l'idéal binômial simplicial B4 est un "scroller" (selon Barile-Morales [BM3] ) ou "small" (selon Eisenbud et als. [EGHP]), et a une résolution 2−linéaire. 4.4 Nombre de réduction 1
  4.4
  67
  Nombre de réduction 1
  Définition 4.4.1. Soit R un anneau de polynômes en n variables sur un corps K. Soit I ⊂ R un ideal gradué homogène pour la graduation standard et d = dim R/I. Un ensemble de formes linéaires {g1 , g2 , . . . , gd } est une réduction de R/I, si (g1 , g2 , . . . , gd )mρ = mρ+1 (
  mod I)
  où m est l'idéal maximal de l'anneau de polynômes R. Le plus petit nombre ρ lorsque l'on considère toutes les réductions possibles est appelé le nombre de réduction de R/I. Dans [BM1], Barile et Morales ont décrit une classe des complexes simpliciaux dont l'idéal de Stanley–Reisner a le nombre de réduction 1. Rappelons d'abord quelques définitions. Définition 4.4.2. Une (d + 1)-coloration d'un graphe G est une partition de l'ensemble des sommets VG en d + 1 sous-ensembles, appelés classes de couleurs, telle que deux voisins dans G appartiennent à deux classes de couleurs différentes. Pour chaque sommet x ∈ G, notons C(x) la classe contenant x. Une (d + 1)-coloration de G est bonne si les sommets de chaque cycle appartiennent à au moins trois classes de couleurs différentes. Remarquons que cette définition a du sens uniquement pour d ≥ 2. Proposition 4.4.3. [BM1, Theorem 1.1] Soit 4 un complexe simplicial de dimension d. Notons R4 son anneau de Stanley–Reisner. Supposons que 4 admet une bonne (d + 1)–coloration. Notons C1 , C2 , . . . , Cd+1 les classes de couleurs et pour chaque i = 1, 2, . . . d + 1, posons X gi = x. xi ∈Ci
  Alors g1 , g2 , . . . , gd+1 est un système de paramètres de R4 . En particulier, le nombre de réduction de R4 est 1. Dans cette section, nous allons généraliser ce résultat pour les idéaux binômiaux simpliciaux. n o (l) (l) (l) (l) Notation 4.4.4. Soit Fl = x0 , xi1 , . . . , , xik , , xid une p–facette de 4. l l o n (l) (l) (l) (l) Notons hx0 , xi1 i, . . . , hx0 , xik i l'ensemble des arêtes propres avec des n l o (l) (l) (l) points marqués de Fl , et Il = x0 , xi1 , . . . , , xik . l 68
  Idéaux binômiaux simpliciaux
  Pour les idéaux binômiaux simpliciaux, on n'a pas besoin de colorer tout G4 . En effet, pour chaque p–facette Fl , il suffit de colorer des points extremaux dans chaque bloc de la matrice associé à Fl . On construit un nouveau graphe Définition 4.4.5. Le graphe réduit, noté Ge4 , de G4 est donné par : – L'ensemble des sommets VGe se compose des points de 4 et des points 4
  (l)
  marqués yij 1 (avec j ≥ 2) pour toute p–facette Fl . – L'ensemble des arêtes EGe se compose des arêtes sans points marqués 4
  (l)
  (l)
  (l)
  (l)
  (l)
  (l)
  de 4 et des arêtes hx0 , xi1 i, hyij 1 , x0 i, et hyij 1 , xi2 i (avec j = 2, kl ) pour toute p–facette Fl .
  Exemple 4.4.6. Considerons le p–complexe suivant :
  a
  a e
  e
  z
  x
  z y
  y b
  f
  b
  d c pfacette
  f
  d c
  graphe réduit
  La p–facette F = [a, b, c, d] a des arêtes propres ha, bi, ha, ci, et ha, di. La matrice associé à F est   a x y z M= . x b c d Alors, le graphe réduit associé à cette p–facette est comme dans la figure. Nous avons la propositon suivante : Proposition 4.4.7. Supposons que G4 admette une bonne (d+1)–coloration. (l) (l) (l) (l) Si pour chaque p–facette Fl avec des arêtes propres hx0 , x1 i, hx0 , x2 i, . . . , (l) (l) (l) hx0 , xkl i, le point x0 n'appartient qu'à la facette Fl de 4, alors Ge4 admet une (d + 1)-coloration telle qu'il n'y a pas de cycle de deux couleurs (en fait, pas de cycle colorié par deux couleurs dans EGe ∩ E4 ), et pour chaque 4 p–facette Fl on ait : (l)
  (l)
  (l)
  (l)
  1. C(x0 ) = C(xi2 ), 2. C(yij 1 ) = C(xij+1 ) pour tout (j = 2, kl − 1) 4.4 Nombre de réduction 1
  69
  (l)
  3. card(C(yik 1 ) ∩ Fl ) = 1. l
  Soit C1 , C2 , . . . , Cd+1 les classes des couleurs. Posons X gi = x. xi ∈Ci
  Alors, on a : 2 , (g1 , g2 , . . . , gd+1 )m4 + B4 = m4
  où m4 = (x, y) est l'idéal maximal de l'anneau de polynômes R := K[x, y]. En particulier, le nombre de réduction de R/B est 1. Avant de démontrer la proposition, on considère un exemple. Exemple 4.4.8. Le graphe réduit du p–complexe dans l'exemple 4.4.6 admet une bonne 4−coloration comme suit :
  a e
  rouge
  z
  vert
  y b
  d
  jaune bleu
  f
  c Une bonne 4 − coloration
  Les formes linéaires sont g1 = a + c, g2 = b + e, g3 = d + y, et g4 = f + z. Pour le monôme ab dans m2 , on a : ab = ag2 − ae ≡ ae = eg1 − ec. Comme ec ∈ B, on a ae ∈ (g1 , g2 , g3 , g4 )m + B. D'où, le monôme ab est dans (g1 , g2 , g3 , g4 )m + B aussi. Preuve de la proposition 4.4.7 : Pour avoir une (d + 1)–coloration pour (l) (l) (l) 4, il suffit de colorer x0 par la couleur de xi2 et colorer yij 1 par la couleur (l)
  (l)
  de xij+1 . Comme le point x0 n'appartient qu'à une facette Fl , ce changement ne touche pas l'hypothèse sur les couleurs des cycles dans EGe ∩ E4 . 4
  Considérons un monôme xy ∈ m24 . On doit démontrer que : xy ∈ (g1 , g2 , . . . , gd+1 )m4 + B4 .
  (∗)
  La démonstration est divisée en plusieurs cas, n qui couvriront tous o les (m) (m) (m) cas. Nous noterons la mième p–facette par Fm = x0 , x1 , . . . , xdm ; et 70
  Idéaux binômiaux simpliciaux
  rappelons que Im est l'idéal engendré par les mineurs 2 × 2 de la matrice : ! (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) x0 y i1 1 . . . y i1 j i y i2 1 . . . y i2 j i . . . y ikm 1 . . . y ikm j i k m . 2 1 Mm:= (m) (m) (m) (m) (m) (m) . . . y (m) . . . x y i 2 2 . . . xi 2 y i 1 1 y i 1 2 . . . xi 1 ikm 2 ikm Pour un point x, nous notons gx la somme des variables dans la même classe de couleur de x. 0-a) Si x et y ne sont pas dans une même p–facette alors xy ∈ B4 . 0-b) Si cardC(x) = 1 et y ∈ F ◦ , alors xy ≡ gx y ( mod B4 ). Donc, le monôme xy vérifie (∗). Ainsi, pour toute p–facette Fl , et pour tout (l) (l) (l) p ∈ Fl◦ et 0 6= j ∈ / Il , les monômes xi1 p et xj p et yik 1 p vérifient (∗). l
  I) Fl est une p–facette quelconque, et x = 6 y apparaı̂ssent dans la matrice Ml associé à Fl et xy 6= xil xim pour 1 ≤ l < m ≤ kl . II) x 6= y sont deux points coloriés dans Ge4 tels que hx, yi ∈ EGe ∩ E4 . i.e. 4 xy est l'un des monômes xl xm pour 1 ≤ l < m ≤ dl . III) Pour une variable quelconque x = y, . Le cas I : Dans ce cas, puisque xy n'est pas l'un des monômes xil xim avec (l) (l) 1 ≤ l < m ≤ kl , on peut supposer que x est un point sur l'arête hx0 , xim i et (l) (l) y est un point sur l'arête hx0 , xin i avec 1 ≤ m ≤ n ≤ k. On va démontrer (∗) par une récurrence descendante sur m et n. I-a) Si m = 1 et n = k, alors en utilisant les relations binomiales de la matrice Ml , on se ramène aux cas : (l) – xy ≡ xi1 p, avec p un point marqué dans Fl◦ ; ce cas a été traité dans 0 − b), (l) – xy ≡ pyik 1 , avec p un point marqué dans Fl◦ ; ce cas a été traité dans 0 − b), (l) (l) (l) (l) – xy = x0 yik 1 , on remplace yik 1 par gy(l) . Comme x0 n'appartient l
  l
  ik 1 l
  (l)
  qu'à Fl et par la coloration, Cy(l) ∩ Fl = {yik 1 }, on a : l
  ik 1 l
  (l) (l)
  (l)
  xy = x0 yik 1 = x0 gy(l) + B4 . l
  ik 1 l
  Donc (∗) est vraie pour le cas m = 1 et n = k. I-b) Supposons qu'il existe un couple m < n tel que (∗) soit vraie pour tous les couples (m0 , n0 ) où 1 ≤ m0 ≤ m < n ≤ n0 ≤ k, nous allons prouver que (∗) est vraie pour (m + 1, n) et pour (m, n − 1). I-b1) On va traiter d'abord, le cas (m + 1, n). En utilisant les relations binômiales de la matrice Ml , on se ramène aux cas : 4.4 Nombre de réduction 1
  71
  (l)
  (l)
  (l)
  – xy = xi(m+1) p avec p ∈ Fl◦ un point sur l'arête hx0 , xin i. (l)
  (l)
  (l)
  Dans ce cas, on a C(xi(m+1) ) ∩ Fl = {yim 1 , xim+1 }. Alors : (l)
  xi(m+1) p = gx(l)
  (l)
  i(m+1)
  p − yim 1 p + B4 .
  Par récurrence, (∗) est vraie pour le couple (m, n). D'où, le monôme (l) (l) yim 1 p est dans (g1 , g2 , . . . , gd+1 )m4 + B4 , donc xi(m+1) p l'est aussi. (l)
  (l)
  (l)
  – xy = qyin 1 avec q un point non colorié sur hx0 , xim+1 i, (l)
  (l)
  – xy = yim+1 1 yin 1 , qui ne peut pas être réduit par les relations binômiales . Nous traitons ces deux cas en même temps, dans le deuxième cas (l) (l) (l) nous posons q = yim+1 1 . Nous avons qyin 1 = qgy(l) − qxi(n+1) + B4 . in 1 Puis à nouveau en utilisant les relations binomiales de la matrice (l) (l) Ml , le monôme qxi(n+1) est équivalent à xi(m+1) p0 où p0 est un point (l)
  (l)
  (l)
  marqué sur hx0 , xi(n+1) i, ou à q 0 yi( n+1)1 avec q 0 un point marqué sur (l)
  (l)
  (l)
  hx0 , xi(m+1) i. Le monôme xi(m+1) p0 modulo (g1 , g2 , . . . , gd+1 )m4 +B4 , (l)
  devient yim 1 p0 , qui vérifie (∗) (parce que, par récurrence, (∗) est vraie (l) pour la couple (m, n + 1)). Il nous reste à traiter le cas q 0 yi( n+1)1 avec (l)
  (l)
  q 0 un point marqué sur hx0 , xi(m+1) i, qui après le même argument se (l)
  (l)
  (l)
  ramenera au cas q 0 yi( n+2)1 avec q 0 un point marqué sur hx0 , xi(m+1) i, (l)
  et ainsi de suite, comme le cas qyik 1 a été traité dans 0-b), on en déduit que xy vérifie (∗). Ainsi, (∗) est vraie pour (m + 1, n). I-b2) C'est pratiquement la même démonstration pour le couple (m, n − 1). En utilisant les relations binomiales de la matrice Ml , on se ramène au (l) (l) (l) cas : xy = xim p avec p ∈ Fl◦ un point sur l'arête hx0 , xi(n−1) i, ou xy = (l)
  (l)
  (l)
  (l)
  (l)
  qyi(n−1) 1 avec q un point non colorié sur hx0 , xim i, ou xy = yim 1 yin−1 1 , (l) (l)
  ou xy = x0 yin−1 1 si m = 1. Avec les arguments presque identiques au cas du couple (m + 1, n), on peut vérifier aussi que les trois premiers (l) (l) (l) monômes satisfont (∗). Pour le monôme xy = x0 yin−1 1 , comme x0 (l)
  n'appartient qu'à Fl , en remplaçant yin−1 1 par gy(l)
  in−1 1
  (l) (l)
  (l) (l)
  xy = x0 yin−1 1 ≡ x0 xin 1 (
  , on a :
  mod B4 ). (l) (l)
  Par récurrence, (∗) est vraie pour le couple (1, n), donc x0 xin 1 vérifie (l) (l) (∗). D'où, le monôme x0 yin−1 1 vérifie (∗) aussi. Ainsi, (∗) est vraie pour (m, n − 1). 72
  Idéaux binômiaux simpliciaux
  Le cas II : xy est l'un des monômes xl xm pour 1 ≤ l < m ≤ dl . On remplace x par gx X xy = gx y − zy mod ((g1 , g2 , . . . , gd+1 )m4 + B4 ) z∈C(x), zy∈B / 4
  D'après les cas 0) et I) seuls restent dans la somme les monômes yz, avec y et z dans une même p–facette Fm , pour lesquels hy, zi ∈ EGe ∩E4 . On va conti4 nuer de remplacer tous les termes yz par gy z en modulo (g1 , g2 , . . . , gd+1 )m4 + B4 : xy =
  X
  z ∈ C(x) yz ∈ / B4 = ***
  X
  y1 ∈ C(y) zy1 ∈ / B4
  y1 z
  mod ((g1 , g2 , . . . , gd+1 )m4 + B4 )
  Où à nouveau, d'après les cas 0) et I) seuls restent dans la somme les monômes y1 z, avec y1 , z dans une même p–facette Ft , pour lesquels hz, yi1 ∈ EGe ∩E4 . 4 S'il existe encore de monômes dans la somme, on va continuer de développer. On va démontrer que l'algorithme se termine après quelques étapes. Supposons au contraire que l'algorithme ne se termine jamais. Alors, il existe une chaı̂ne infinie de monômes xy, yz, zy1 , y1 z1 , . . . . Comme le nombre de variables est finie, il faut avoir un cycle dans cette chaı̂ne, c.-à-d. on a un cycle dans EGe ∩ E4 . De plus, chaque point de ce cycle est colorié par la 4 couleur de x ou par la couleur de y (ici, on a C(x) 6= C(y) parce que x et y forment une arête de Ge4 ), donc on obtient un cycle colorié par deux couleurs dans EGe ∩ E4 . C'est une contradiction avec le fait que Ge4 admet une bonne 4 coloration. D'où, l'algorithme se termine, c.-à-d. :
  xy ∈ (g1 , g2 , . . . , gd+1 )m4 + B4 . Le cas III) : Pour terminer la démonstration, on considère le cas x = y. (l)
  • Le cas III-a) : x est un point marqué yij m avec m ≥ 2. (l)
  En utilisant les relations binômiales, on se ramène au cas yij 1 p, ou au (l)
  (l)
  (l)
  cas pxij avec p un point marqué sur hx0 , xij i. Donc on revient sur les cas précédants. (l)
  • Le cas III-b) : x = yij 1 pour un j ∈ Il . 4.4 Nombre de réduction 1 On a :
  73
  (l)
  (l)
  (l)
  (l)
  (yij 1 )2 = gy(l) yij 1 − xij+1 yij 1 + B4 . ij 1
  (l)
  (l)
  (l)
  De nouveau, le cas I) implique que xij+1 yij 1 vérifie (∗), donc (yij 1 )2 vérifie (∗) aussi. • Le cas III-c) : x = xj . On remplace xj par gxj : x2 = x j g x j −
  X
  p∈C(xj ), xj p∈B / 4
  xj p + B4 .
  Parce que p et xj sont de même couleur et se trouvent dans une même p– facette, ils ne forment pas une arête de Ge4 . Donc pxj a été considéré dans le cas I). Ainsi, on a x2 vérifie (∗). La proposition est donc prouvée.
  2
  Remarque 4.4.9. La démonstration précédente étend au cas des idéaux binômiaux simpliciaux le principal résultat de [BM2]. Le problème rencontré dans cette extension consiste dans la compatibilité entre la coloration d'un complexe simplicial et les matrices Ml . (l)
  Exemple 4.4.10. Sans l'hypothèse que x0 n'appartient pas qu'à Fl , la proposition précédente n'est plus valable. Considérons le p–complexe suivant : e y
  a
  b
  t f
  z
  x
  d
  b
  q
  j r
  j
  b
  u
  p
  h
  v
  v c
  g
  b v
  Les matrices associées aux p–facettes sont :   a y x M1 := y h d associée à la p–facette [o, a, h, d] avec des point marqués x, y ;   b t z M2 := t e a
  j 74
  Idéaux binômiaux simpliciaux
  associée à la p–facette [o, b, e, a] avec des point marqués z, t ;   c v u M3 := v f b associée à la p–facette [o, c, f, b] avec des point marqués u, v ; et   d q p M4 := q g c associée à la p–facette [o, d, g, c] avec des point marqués p, q. Il est facile de vérifier que la coloration de 4 par 4 couleurs : rouge (r), vert (v), bleu (b), et jaune (j) précédent est bonne. Cependant, s'il existe une coloration pour Γ qui satisfait l'hypothèse de la proposition 4.4.7, alors les points a, b, c, d sont forcement de même couleur, et la classe de couleur de o ne contient qu'un point unique : o. Donc, nous disposons seulement de deux couleurs pour colorer les points e, f , g, h, x, z, u, et p. D'où, entre ces huit points il existe au moins quatre points de même couleur, notons les α1 , α2 , α3 , α4 . De plus, il faut noter que les couleurs de e et z sont différentes. Ainsi que les couleurs de f et u, de g et p, de h et x. Cela implique que α1 , α2 , α3 , α4 appartiennent à quatre p–facettes différentes. Alors, les points α1 , α2 , α3 , α4 , et a, b, c, d fabriquent un cycle qui est colorié par deux couleurs. On a une contradiction avec la définition de bonne coloration. C'est-à-dire, il n'existe pas une bonne 4–coloration pour Γ. 2 Dans la section précédente, on a vu que si G4 est un d–arbre généralisé, alors B4 admet une résolution 2–linéaire, et donc le nombre de réduction de R/B est 1. Le but de la proposition suivante est de donner une expression explicite de la réduction. Proposition 4.4.11. Supposons que G4 soit un d–arbre généralisé. Alors Ge4 admet une bonne (d + 1)–coloration telle que pour chaque p–facette F l de 4, on ait : (l)
  (l)
  (l)
  (l)
  1. C(x0 ) = C(xi2 ),
  2. C(yij 1 ) = C(xij+1 ) pour tout (j = 2, kl − 1) (l)
  3. card(C(yik 1 ) ∩ Fl ) = 1. l
  Soit C1 , C2 , . . . , Cd+1 les classes des couleurs. Posons X gi = x. xi ∈Ci 4.4 Nombre de réduction 1
  75
  De plus, on a : 2 (g1 , g2 , . . . , gd+1 )m4 + B4 = m4 ,
  où m4 = (x, y) est l'idéal maximal de l'anneau de polynômes R := K[x, y]. Preuve : On va démontrer la proposition par récurrence sur le nombre l de facettes de 4. • l = 1 : La proposition est évidente si la facette n'a pas de points marqués. Supposons que c'est une p–facette F = {x0 , x1 , . . . , xd } avec les points marqués yjm sur les arêtes hx0 , xj i (j = 1, k avec 1 ≤ k ≤ d). Dans ce cas, les classes de couleurs sont : C1
  = {x1 },
  Cj
  = {y(j−1)1 , xj }, pour tout j = 3, k,
  Cn
  = {xn−1 }, pour tout n = k + 2, d + 1.
  C2
  = {x0 , x2 },
  Ck+1 = {yk1 },
  Ce cas a été traité dans [BM2]. D'où, la proposition est vraie pour l = 1. • Supposons que la proposition soit vraie pour l ≥ 1, montrons la pour l + 1. Comme G4 est un d–arbre généralisé, il possède un sommet extremal, notons le u. Soit F la facette de 4 contenant u. Considerons 40 le p–complexe construit par les l facettes différentes de F dans 4. On pose U = F ∩ V40 . D'après la remarque 4.3.6, le graphe G40 est aussi un d–arbre généralisé. Par g récurrence, le graphe G 40 admet une bonne (d + 1)–coloration comme dans 2 la proposition, et pour tout xy ∈ m4 0 , on a : 0 xy ∈ (g10 , g20 , . . . , gd+1 )m40 + B40 ,
  où Ci0 , gi0 sont la ième classe de couleur et la somme correspondante. Nous avons deux cas : 1. F est une facette sans points marqués de 4.
  2. F est une p–facette de 4 et les points marqués sont sur les arêtes liés à x0 , notons-les hx0 , x1 i, . . . , hx0 , xl i (1 ≤ l ≤ d).
  Pour chaque cas, on va colorier u ainsi que les points dans F ◦ (si F est une p–facette), et on va définir les sommes gi . Premier cas : On peut supposer que F = {u, x1 , x2 , . . . , xk }, et U = {x1 , x2 , . . . , xn } (1 ≤ n ≤ k ≤ d), et xi ∈ Ci0 pour tout i = 1, n. Pour obtenir une (d+1)–coloration vérifiant la proposition, il suffit de colorier u et les points xi ∈ / U par des couleurs quelconques Cj0 avec j > n. Par 76
  Idéaux binômiaux simpliciaux exemple, on peut colorier xi par la ième couleur (∀i = n + 1, k), et u par la (d + 1)ème couleur. Donc, on a : Ci = Ci0 et gi = gi0 pour tout i = 1, n ou i = k + 1, d, Cj = Cj0 ∪ {xj } et gj = gj0 + xj , j = n + 1, k, 0 0 Cd+1 = Cd+1 ∪ {u} et gd+1 = gd+1 + u.
  Remarquons que pour tout j le support de gj − gj0 est inclus dans F ◦ . 2 . Il faut démontrer que Considerons un monôme xy ∈ m4 xy ∈ (g1 , g2 , . . . , gd+1 )m4 + B4 .
  (∗)
  Traitons précisement toutes les situations. – x, y ∈ F ◦ := {u, xn+1 , . . . , xk }. Alors, C(x) ∩ F ne contient que x. Donc on a yp ∈ B4 pour tout p ∈ C(x) et p 6= x. Ceci implique que xy = ygx + B4 . C'est-à-dire xy vérifie (∗). – x ∈ F ◦ et y ∈ / F ◦ : Dans ce cas xy ∈ B4 sauf si y = xi ∈ U. Si c'est le cas, parce que Ci ∩ F = {xi } et x ∈ F ◦ , on a aussi que xy = xxi = xgi + B4 . – x, y ∈ / F ◦ : Alors x et y sont dans Ge40 . Par récurrence, on a : xy =
  d+1 X i=1
  avec mi ∈ m40 . Mais
  d+1 X i=1
  mi gi0
  =
  mi gi0 ( mod B40 ),
  d+1 X i=1
  mi g i −
  d+1 X i=1
  mi (gi − gi0 ).
  Or mj ∈ m40 , et d'après le cas précédent nous avons yz vérifie (∗) pour tout y ∈ V40 , z ∈ F ◦ . Ainsi, le monôme xy aussi vérifie (∗). On termine donc le cas où F n'est pas une p–facette. Deuxième cas : On peut supposer que F ∩ V4 = {x0 , x1 , x2 , . . . , xk } (1 ≤ l ≤ k ≤ d). D'abord, il faut remarquer que les arêtes propres de F n'appartiennent pas à 40 , c.à-d. soit x0 ∈ F ◦ , soit xi ∈ F ◦ pour tout i = 1, l. La matrice associée à F est de la forme   x0 y11 . . . y1j1 y21 . . . y2j2 . . . yl1 . . . yljl . M := y11 y12 . . . x1 y22 . . . x2 . . . yl2 . . . xl a) x0 ∈ F ◦ , i.e x0 ∈ / U : Pour colorier Ge4 , on donne à chaque point x dans V4 \ {U, x0 } une couleur qui n'est pas utilisée pour U , et on donne : 4.4 Nombre de réduction 1
  77
  – à x0 la couleur de x2 ; – à y(j−1)1 la couleur de xj pour tout j = 3, l. – à yl1 la (k + 1)ième couleur. On peut supposer que xi ∈ Ci0 pour tout i = 1, k. Alors, on a g2 g2 gj gj gn gi gk+1
  = = = = = = =
  g20 + x0 , si x2 ∈ U, g20 + x2 + x0 , si x2 ∈ / U; gj0 + y(j−1)1 pour tout j = 3, l et xj ∈ U ; gj0 + xj + y(j−1)1 pour tout j = 3, l et xj ∈ / U; 0 gn + xn pour tout n = 1, n = l + 1, k et xn ∈ / U; 0 gi pour les autres couleurs ; 0 gk+1 + yl1 .
  Remarquons que pour tout j le support de gj − gj0 est inclus dans F ◦. Comme dans le cas précédent, on va vérifier (∗) pour tout monôme xy ∈ m24 . Nous avons les cas suivants :
  • x 6= y, x et y apparaı̂ssent dans M et xy 6= xm xn : Remarquons que l'on a x0 ∈ F ◦ , donc les arguments utilisés dans la démonstration de la proposition précédente sont applicables ici. Alors, ce cas est vérifié.
  • x 6= y, x ∈ F ◦ , et y n'apparaı̂t pas dans M : Il suffit de vérifier le cas où y = xj avec k ≥ j ≥ l + 1, car sinon on a y ∈ / F, donc xy ∈ B4 . Soit y = xj , alors la classe de couleur Cj de xj ne contient pas d'autre point de F autre que xj , alors, on a : xy = xgj + B4 . Ceci implique que xy vérifie (∗). • x, y ∈ V40 : Par récurrence, on a : xy =
  d+1 X
  mi gi0 ( mod B40 ),
  d+1 X
  mi gi0 ( mod B40 ),
  i=1
  avec mi ∈ m40 . D'où, Par récurrence, on a : xy =
  i=1
  avec mi ∈ m40 . 78
  Idéaux binômiaux simpliciaux Mais
  d+1 X i=1
  mi gi0 =
  d+1 X i=1
  mi g i −
  d+1 X i=1
  mi (gi − gi0 ).
  Or mj ∈ m40 , et d'après le cas précédent nous avons yz vérifie (∗) pour tout y ∈ V40 , z ∈ F ◦ . Ainsi, le monôme xy aussi vérifie (∗). • x = y ∈ F ◦ : Dans ce cas, si de plus x n'est pas colorié, en utilisant les relations binômiales de M , on se ramène aux cas précédents. Si x est colorié, on remplace x par la somme gx de toutes les variables dans la classe P de couleurs de x, on se ramène au cas x 6= y : xy = gx y − p∈C(x),p6=x py. On en déduit que xy vérifie (∗).
  b) x0 ∈ / F ◦ : Alors, xi ∈ F ◦ pour tout i = 1, l. On peut supposer que U = {x0 , xm , . . . , xk } avec l < m ≤ k, et que xj ∈ Cj pour tout j = m, k, et x0 ∈ C2 . On pose : C1 C2 Ci Cn Cj Ck+1
  = = = = = =
  C10 ∪ {x1 }; C20 ∪ {x2 }; Ci0 ∪ {xi , y(i−1)1 } pour tout i = 3, l; Cn0 ∪ {xn } pour tout n = l + 1, m − 1; Cj0 pour tout j ≥ m; 0 ∪ {yl1 }. Ck+1
  Alors, on a g1 g2 gi gn gj gk+1
  = = = = = =
  g10 + x1 ; g20 + x2 ; gi0 + xi + y(i−1)1 pour tout i = 3, l; gn0 + xn pour tout n = l + 1, m − 1; gj0 pour tout j ≥ m et j 6= k + 1; 0 gk+1 + yl1 .
  Maintenant, on va vérifier (∗) pour tout monôme xy ∈ m24 . Comme dans le cas a), nous avons les cas suivants : • x 6= y, x et y apparaı̂ssent dans M : Supposons que x est dans le mème bloc, et que y est dans le nème bloc (1 ≤ m ≤ n ≤ l) de la matrice M. On va démontrer (∗) par récurrence sur m et n. – Si m = 1 et n = k, alors en utilisant les relations binomiales de la matrice M, on a – soit xy ≡ x1 p, 4.4 Nombre de réduction 1
  79
  soit xy ≡ pyl1 avec p est un point marqué dans F ◦ ; ou xy = x0 yl1 , ou xy = x1 xl . Dans le premier cas, comme C1 ∩F = {x1 } et que p ∈ F ◦ , on a : qp ∈ B4 ∀q ∈ C1 et q 6= x1 . Donc x1 p ≡ g1 p mod(B4 ). – De même pour le deuxième cas, comme Ck+1 ∩ F = {yl1 }, on a aussi que pyl1 ≡ pgk+1 mod(B4 ). – Pour le monôme xy = x0 yl1 , on remplace x0 par g2 . Car yl1 ∈ F ◦ et par a coloration, C2 ∩ F = {x0 , x2 }, on a :
  – – – –
  xy = g2 yl1 − x2 yl1 + B4 . Mais on a aussi que x2 ∈ F ◦ , donc x2 yl1 ≡ x2 gk+1 (mod B4 ). Ainsi, le monôme x0 yl1 vérifie (∗). – Pour le monôme x1 xl . Parce que xl ∈ F ◦ et C1 ∩F = {x1 }, on a x1 xl ≡ g1 xl (mod B4 ). D'où (∗) est vraie pour le cas m = 1 et n = k. – Supposons que (∗) soit vraie pour le couple (1, m) (1 < m ≤ l), nous allons prouver que (∗) est vraie pour (1, m − 1). En utilisant les relations binômiales de la matrice M, on se ramène aux cas : – xy = x1 p avec p ∈ F ◦ un point marqué dans le bloc m−1, – ou xy = qy(m−1)1 avec q ∈ F ◦ un point non colorié dans le premier bloc, – ou xy = x0 y(m−1)1 , – ou xy = x1 xm−1 . – Pour le premier et le dernier cas où x = x1 , comme p et xm−1 sont dans F ◦ , et que C1 ∩ F = {x1 } on a : xy = x1 y ≡ g1 y (mod B4 ). – Pour le deuxième cas, en remplaçant y(m−1)1 par gm , comme q ∈ F ◦ , on a : qy(m−1)1 ≡ qgm − qxm (mod B4 ), tandis que qxm vérifie (∗) par récurrence. – Pour le troisième monôme, parce que y(m−1)1 ∈ F ◦ , on a : x0 y(m−1)1 ≡ g2 y(m−1)1 − x2 y(m−1)1 . Puis, parce que x2 ∈ F ◦ , on a : x2 y(m−1)1 ≡ x2 gm − x2 xm . Mais on a aussi que xm ∈ F ◦ , donc x2 xm ≡ xm g2 − x0 xm . Par récurrence, on a que x0 xm vérifie (∗). Ainsi, le monôme x0 y(m−1)1 vérifie (∗) aussi. 80
  Idéaux binômiaux simpliciaux Remarquons que le cas m − 1 = 1 néccessite quelques notations adéquates, mais se traite de la même façon. D'où (∗) est vraie pour (1, m − 1). – Supposons qu'il existe un couple (m, n) avec m < n tel que (∗) est vraie pour (m, n), nous allons prouver que (∗) est vraie pour (m + 1, n). En utilisant les relations binomiales de la matrice M, on se ramène aux cas : xy = x(m+1) p avec p ∈ F ◦ est un point dans le nème bloc,
  ou xy = qyn1 avec q ∈ F ◦ est un point marqué dans le (m + 1)ème bloc, ou xy = xm+1 xn .
  – Dans le premier cas, on a Cm+1 ∩ F = {ym1 , x(m+1) }. Alors : x(m+1) p = gm+1 p − ym1 p + B4 . Par récurrence, (∗) est vraie pour le couple (m, n). D'où, le monôme ym1 p est dans (g1 , g2 , . . . , gd+1 )m4 +B4 , donc (l) xi(m+1) p vérifie (∗) aussi. – Dans le deuxième cas, on remarque que qyn1 = qgn−1 − qx(n+1) +B4 . Puis à nouveau après modulo B4 , le monôme qx(n+1) est équivalent à x(m+1) p0 avec p0 un point marqué dans le (n + 1)ème , ou à q 0 y(n+1)1 avec q 0 un point marqué dans le (m + 1)ème bloc. Après modulo (g1 , g2 , . . . , gd+1 ) m4 + B4 , le monôme x(m+1) p0 devient ym1 p0 , qui vérifie (∗) (parce que, par récurrence, (∗) est vraie pour la couple (m, n + 1)). Comme qyl1 = qyk+1 (mod B4 ), on en déduit que xy vérifie (∗). – Dans le dernier cas, parce que xn ∈ F ◦ , après remplaçant xm+1 par gm+1 , on a : xm+1 xn = gm+1 xn − ym1 xn (mod B4 ). Par récurrence, le monôme ym1 xn vérifie (∗). On déduit que xm+1 xn vérifie aussi (∗). Ainsi, (∗) est vraie pour (m + 1, n). • x 6= y, x ∈ F ◦ et y n'apparaı̂t pas dans M : Il suffit de considerer le cas y = xi avec i > l. On a alors Ci ∩ F = {xi }. Donc, en remplaçant xi par gi , on obtient xy ≡ xgi (mod B4 ). • x = x0 et y = xi avec l + 1 ≤ i ≤ m − 1 : Dans ce cas y ∈ F ◦ , donc xy ≡ g2 y − x2 y. On revient sur le cas précédent où x ∈ F ◦ et y n'apparaı̂t pas dans M . 4.4 Nombre de réduction 1
  81
  • x, y ∈ V40 : Par récurrence, on a : xy =
  d+1 X
  mi gi0 ( mod B40 ),
  d+1 X
  mi gi0 ( mod B40 ),
  i=1
  avec mi ∈ m40 . D'où, Par récurrence, on a : xy =
  i=1
  avec mi ∈ m40 . Mais d+1 X i=1
  mi gi0
  =
  d+1 X i=1
  mi g i −
  d+1 X i=1
  mi (gi − gi0 ).
  Or mj ∈ m40 , et d'après le cas précédent nous avons yz vérifie (∗) pour tout y ∈ V40 , z ∈ F ◦ . Ainsi, le monôme xy aussi vérifie (∗). • x = y ∈ F ◦ : Dans ce cas, si de plus x n'est pas colorié, en utilisant les relations binômiales de M , on se ramène aux cas précédents. Si x est colorié, on remplace x par la somme gx de toutes les variables dans la classe P de couleurs de x, on se ramène au cas x 6= y : xy = gx y − p∈C(x),p6=x py. On en déduit que xy vérifie (∗).
  D'où la proposition.
  2 82
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