量子力学の数学的定式化
以上の議論を踏まえ、より一般に位相の定義されたベクトル空間\mathcal{G}からヒルベルト空間\mathcal{H}への連続な単射
\iota ~:~\mathcal{G} \hookrightarrow \mathcal{H}
があるとき、\mathcal{G}の双対空間\mathcal{G}'を
\mathcal{G}':=\{T~:~\mathcal{G}\to\mathbf{C}、連続かつ線形\}
と定義すると、シュワルツ空間\mathcal{S}(\mathbf{R}^d)のときと同様の方法により、反線形写像
\iota^{\dagger} ~:~\mathcal{H}\hookrightarrow\mathcal{G}' 、
を定義できる。
定義{\hookrightarrow}\mathcal{G}'
を、(\mathcal{H},\mathcal{G},\iota)を\mathcal{G}に付随するゲルファントの三つ組もしくはrigged Hilbert spaceというM66BGF15。
|note=ゲルファントの三つ組}
\iota^{\dagger} ~:~\mathcal{H}\hookrightarrow\mathcal{G}'
は反線形な埋め込み写像なので、\mathcal{H}、\mathcal{G}'の共役線形空間をそれぞれ\mathcal{H}^*、\mathcal{G}'^*とすると、
\iota^{\dagger} ~:~\mathcal{H}^*\hookrightarrow\mathcal{G}'
\iota^{\dagger} ~:~\mathcal{H}\hookrightarrow\mathcal{G}'^*
はいずれも線形な埋め込みとなる。
物理学的に見た場合、\mathcal{H}、\mathcal{H}^*はそれぞれブラベクトル、ケットベクトルの空間であったので、それを含んでいる\mathcal{G}'、\mathcal{G}'^*もやはり(一般化された意味での)ブラベクトル、ケットベクトルの空間とみなすことにする。
既に述べたように、連続スペクトルに対応する「固有ベクトル」は\mathcal{H}や\mathcal{H}^*の中には存在しなかった。そこでブラベクトル、ケットベクトルの空間を\mathcal{H}や\mathcal{H}^*より広い空間である\mathcal{G}'や\mathcal{G}'^*へと拡張し、\mathcal{G}'や\mathcal{G}'^*から連続スペクトルに対応する「固有ベクトル」を探す、というのがゲルファントの三つ組の基本的なアイデアである。
とくに\mathcal{G}=\mathcal{S}(\mathbf{R}^d)である場合は、\mathcal{G}'は緩増加超関数の空間\mathcal{S}'(\mathbf{R}^d)に一致するので、「固有ベクトル」として\mathcal{G}'からデルタ超関数を選ぶ事ができる。したがってこの場合は、ゲルファントの三つ組のアイデアはディラックの元々のアイデアと合致する。
先に進む前にゲルファントの三つ組に関する諸概念を定義する。
φを\mathcal{H}の元とするとき、
\langle \iota^\dagger(\varphi),\psi\rangle =
\iota^\dagger(\varphi)(\psi)
=\langle \varphi,\iota(\psi)\rangle
=\langle \varphi,\iota(\psi)\rangle
となるので、上述した内積は\mathcal{H}上の内積と両立する。
言い換えるとこれは\mathcal{G}にはweak-*位相を入れたものを考えるという事である。
ディラックがデルタ関数を量子力学に導入したそもそもの動機は、デルタ関数を位置作用素に対する「固有ベクトル」とみなすというものであった。すなわち、第j方向の位置作用素
M_{x_j}(\psi)=x_j\psi(x)
\delta_a(x)=\delta(x-a)
を代入すると、この関数はa以外で0になる事から、
M_{x_j}(\delta_a)=x_j\delta(x-a) =a_j\delta(x-a)
であり、したがってδaはM_{x_j}の「固有値」ajに対応する「固有ベクトル」であるとみなせるのである。数学的に見た場合、ヒルベルト空間\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^d)において自己共役作用素M_{x_j}はそもそも固有値を持たないし、当然それに対応する固有ベクトルも存在しない。しかしこれはそもそもデルタ関数が\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^d)に属さない事に起因しており、ゲルファントの三つ組の概念を用いれば、こうしたデルタ関数による固有値・固有ベクトルの概念を正当化できる。本節ではまず、固有値概念の一般化であるスペクトルの概念を定式化し、ゲルファントの三つ組においてスペクトルに対応する固有ベクトル概念に相当する一般化固有ベクトルの概念を定式化する。
(\mathcal{H},\mathcal{G},\iota)をゲルファントの三つ組とし、Aを\mathcal{H}上の自己共役作用素とする。本節の目標は\mathcal{H}よりも広い空間である\mathcal{G}'からAの固有ベクトルを探す事にあるが、そもそもAは\mathcal{H}上でしか定義されていないので、\mathcal{G}'の元をAの固有ベクトルとみなすには、まずAの定義域を\mathcal{G}'上に拡張する必要がある。
そこでAとして以下の2性質を満たすものを考えるF15。なおこの2性質を満たすとき、Aは(\mathcal{H},\mathcal{G},\iota)に付随するゲルファントの三つ組と両立するという:
\mathcal{G}\subset \mathrm{Dom}(A)
A(\mathcal{G})\subset \mathcal{G}
Aが上述の性質を満たす時、T\in\mathcal{G}'に対し、写像A(T)を
A'(T)~:~ \psi\in\mathcal{G}\mapsto \langle T,A(\psi)\rangle \in\mathbf{C}
により定義すると、前述の2性質からこの定義はwell-definedであり、A'(T)\in\mathcal{G}'となる事を確かめられる。よって\mathcal{G}'上の線形写像
A'~:~ T\in\mathcal{G}'\mapsto A'(T)\in\mathcal{G}'
が定義できる。
上述のように定義したA'は埋め込み写像ι†と
A=A'\circ \iota^\dagger
という関係を満たすという意味でAの拡張になっている。実際、任意の\varphi\in\mathcal{H},\psi\in\mathcal{G}に対し、Aの対称性から
\langle A'\circ \iota^\dagger(\varphi),\psi \rangle
=\langle \varphi,\iota(A(\psi)) \rangle
=\langle \varphi,A(\psi) \rangle
=\langle A(\varphi),\psi \rangle
であるので、φ、ψの任意性から上述の事実が従う。
そこで一般化固有値・固有ベクトルを以下のように定義する:
なお、T\in\mathcal{G}'なので、ここでいう「一般化固有ベクトル」はブラベクトルであるが、共役線形空間を考えることで、ケットベクトルの空間\mathcal{G}'^*上にも同様に一般化固有ベクトルの概念を考える事ができる。A=A'\circ \iota^\dagger であったので、Aの通常の意味での固有ベクトルは一般化固有ベクトルでもある。
定義から明らかなように、一般化固有ベクトルの定義は(\mathcal{H},\mathcal{G},\iota)に依存している。Aと両立する(\mathcal{H},\mathcal{G},\iota)は複数考えられるので、(\mathcal{H},\mathcal{G},\iota)の取り方に依存して異なる一般化固有ベクトルの概念が存在する事になる。
有限次元のベクトル空間の場合、自己共役作用素の固有値分解を行うと、ベクトル空間上の任意のベクトルは、固有ベクトルの線形和として書き表す事ができる事が知られている。この性質を満たす時、自己共役作用素は固有ベクトルの完全系を持つというが、一般化固有ベクトルの場合も類似した完全系の概念を考える事ができる。
実数λ∈Rに対し、一般化固有値λに属する一般化固有ベクトル全体の集合(すなわちλの(一般化)固有空間)
E(\lambda):=\mathrm{Ker}(\lambda\mathrm{id}-A')\subset \mathcal{G}'
を考える。\psi\in\mathcal{G}に対し、ψとの内積
T\in \mathcal{G}'\mapsto \langle T,\psi \rangle \in \mathbf{C}
のE(λ)への制限写像
\hat{\psi}_\lambda~:~ T\in E(\lambda)\mapsto \langle T,\psi \rangle \in \mathbf{C}
はE(λ)の双対空間E(λ)'の元である:
\hat{\psi}_\lambda\in E(\lambda)'
有限次元空間の場合であれば\hat{\psi}_\lambda は「ψのE(λ)方向成分」に相当するものであるので、完全系の概念を以下のように定義する:
定義
\hat{~}~:~\mathcal{G}\to\prod_{\lambda\in\mathbf{R}E(\lambda)',~~~ \psi\mapsto \hat{\psi}
が単射になる時、Aは(\mathcal{H},\mathcal{G},\iota)に関して一般化固有ベクトルの完全系を持つというF15。
}
なお、Aが運動量作用素である場合は、上述した写像\psi\mapsto \hat{\psi} は、フーリエ変換と自然に同一視できる事が知られている(詳細後述)。そこで上述した写像のことを一般化フーリエ変換というF15。
完全形の概念はweak-*位相の言葉を用いても定式化できることが知られている:
定理E(\lambda)\right) がweak-*位相に関して\mathcal{G}'で稠密である事であるF15
}
\mathcal{G}=\mathcal{S}(\mathbf{R})の場合に対し、運動量作用素と位置作用素の一般化固有ベクトルを調べる。
P=-i\hbar{\mathrm{d}\over \mathrm{d} x}
が\mathcal{S}(\mathbf{R})と両立する事は既に述べた。T\in\mathcal{S}'(\mathbf{R})に対し、
P{}'(T)~:~ \psi\in\mathcal{S}(\mathbf{R})\mapsto \langle T,P(\psi)\rangle \in\mathbf{C}
とすると、一般化固有値λ対するP' の一般化固有ベクトルT_{\lambda} は
P'(T_{\lambda})=\lambda T_{\lambda}
を満たすので、任意の\psi\in\mathcal{S}(\mathbf{R}) に対し、
\lambda \langle T_{\lambda},\psi\rangle
=\langle P'(T_{\lambda}),\psi\rangle
=\langle T_{\lambda},P(\psi)\rangle
=-i\hbar \langle T_{\lambda},{\mathrm{d}\over \mathrm{d} x}(\psi)\rangle
=i\hbar \langle {\mathrm{d}\over \mathrm{d} x} T_\lambda, \psi\rangle
となる。よって
\lambda T_{\lambda} = i\hbar{\mathrm{d}\over \mathrm{d} x} T_{\lambda}
という微分方程式の解がT_{\lambda} となる。したがって
T_{\lambda} = c\mathrm{e}^{-i\lambda x_j/\hbar}  for some c\in \mathbf{C}
という形のものは全て解となる。ここで上式右辺はc\mathrm{e}^{-i\lambda x_j/\hbar} を乗じて積分する超関数を表す。またこれ以外に解がない事も知られているF15。
以上の議論からP の一般化固有値λに対応する一般化固有空間E(λ)は
E(\lambda) = \{c\mathrm{e}^{-i\lambda x/\hbar}\mid c\in \mathbf{C}\}
である。これは一次元空間なので、E(\lambda)\simeq \mathbf{C} である。したがって\psi\in\mathcal{S}(\mathbf{R})に対し、
\hat{\psi}_\lambda~:~ T\in E(\lambda)\mapsto \langle T,\psi \rangle \in \mathbf{C}
は、
\hat{\psi}_\lambda(c\mathrm{e}^{-i\lambda x/\hbar})=\int_{\mathbf{R}c\mathrm{e}^{-i\lambda x_/\hbar}\psi(x)\mathrm{d}x
である。すなわちc\in \mathbf{C} \overset{\sim}{\to} c \mathrm{e}^{-i\lambda x/\hbar} を\int_{\mathbf{R}\mathrm{e}^{-i\lambda x/\hbar}\psi(x)\mathrm{d}x 倍する写像である。したがってP に関する\psi\in\mathcal{S}(\mathbf{R})の一般化フーリエ変換
\hat{\psi}=\{\hat{\psi}_\lambda\}_{\lambda\in\mathbf{R}
\left\{\int_{\mathbf{R}\mathrm{e}^{-i\lambda x/\hbar}\psi(x)\mathrm{d}x\right\}_{\lambda\in\mathbf{R}
と同一視できる。これは\psi\in\mathcal{S}(\mathbf{R})をフーリエ変換したものに相当する。これが\hat{\psi}=\{\hat{\psi}_\lambda\}_{\lambda\in\mathbf{R} を一般化フーリエ変換と呼ぶ理由であるF15。
X=x
とT\in\mathcal{S}'(\mathbf{R})に対し、
X'(T)~:~ \psi\in\mathcal{S}(\mathbf{R})\mapsto \langle T,X(\psi)\rangle \in\mathbf{C}
とすると、X' の一般化固有値λ対する一般化固有ベクトルT_{\lambda} は
\lambda \langle T_{\lambda},\psi\rangle
=\langle X'(T_{\lambda}),\psi\rangle
=\langle T_{\lambda},X(\psi)\rangle
=\langle T_{\lambda},x\psi\rangle
=\langle xT_{\lambda},\psi\rangle
を満たすので、
\lambda T_{\lambda} =xT_{\lambda}
T_{\lambda} =c\delta(x-\lambda)
がこの解になる事を簡単に確認でき、しかもこれ以外に解がない事も知られているF15。
以上の議論からX_j の一般化固有値λに対応する一般化固有空間E(λ)は
E(\lambda) = \{c\delta(x-\lambda)\mid c\in \mathbf{C}\}
である。これは一次元空間なので、E(\lambda)\simeq \mathbf{C} である。したがって\psi\in\mathcal{S}(\mathbf{R})に対し、
\hat{\psi}_\lambda~:~ T\in E(\lambda)\mapsto \langle T,\psi \rangle \in \mathbf{C}
は、
\hat{\psi}_\lambda(c\delta(x-\lambda))=\int_{\mathbf{R}c\delta(x-\lambda)\psi(x)\mathrm{d}x = c\psi(\lambda)
である。すなわちc\in \mathbf{C} \overset{\sim}{\to} c \delta(x-\lambda) を\psi(\lambda) 倍する写像である。したがってX に関する\psi\in\mathcal{S}(\mathbf{R})の一般化フーリエ変換
\hat{\psi}=\{\hat{\psi}_\lambda\}_{\lambda\in\mathbf{R}
\{\psi(\lambda)\}_{\lambda\in\mathbf{R}
と同一視でき、これは\psiそれ自身と同一視できる。よってX に関する\psi\in\mathcal{S}(\mathbf{R})の一般化フーリエ変換は\psiそれ自身である。
本節では(\mathcal{H},\mathcal{G},\iota)に付随するゲルファントの三つ組に対するスペクトル定理について述べる。このスペクトル定理は、\mathcal{G}が核型フレシェ空間、もしくはより一般に核型局所凸空間の場合に対して成立するF15。核型局所凸空間の定義はテクニカルなものなので、本項ではその定義について述べるのは避けるが、重要なのは以下の集合がいずれも核型局所凸空間になるという事である:
C^{\infty}_0(\Omega)、ここでΩはRdの開集合F15
\mathcal{S}(\mathbf{R}^d)  F15
定理\langle T_{k}(\lambda),\psi\rangle T_{k}(\lambda)\mathrm{d} \mu_k(\lambda)、
A \psi=\sum_{k\in K}\int_{\mathbf{R}\lambda \langle T_{k}(\lambda),\psi\rangle T_{k}(\lambda)\mathrm{d} \mu_k(\lambda)
である。さらに以下が成立する:
\|\psi\|=\sum_{k\in K}\int_{\mathbf{R}|\langle T_{k}(\lambda),\psi\rangle|^2\mathrm{d} \mu_k(\lambda)
|note=ゲルファントの三つ組によるスペクトル定理F15}
既に述べたように完全系は一般化フーリエ変換であるとみなせるが、このようにみなした場合最後の式はプランシュレルの定理に対応しているF15。
なお、スペクトル分解が固有値分解の「無限次元版」であったことを考えると、上述したスペクトル定理における積分区間をR全体ではなくσ(A)に置き換えたほうが自然である。しかし\mathcal{G}'におけるAのスペクトルは\mathcal{H}におけるAのスペクトルより大きくなる事があるのでA97、積分区間のRをσ(A)に置き換えられない。Rをσ(A)に置き換えられるとき、(\mathcal{H},\mathcal{G},\iota)はAにtightly riggingしているというA97。
本節では、ポテンシャルが時間に依存しない場合に対する系の時間発展について述べる。
\mathcal{H}を状態空間とし、\mathcal{H}上の自己共役作用素Hを任意に固定し、ハミルトニアンと呼ぶことにする。量子力学ではHが-\sum_{j=1}^n{\hbar \over 2m_j}\Delta_j + V(x)という形で書き表せる場合を扱うが、本節の議論はHが必ずしもこの形でなくとも成立する。
ここで微分は強微分の意味で考える。すなわち
\lim_{t\to t_0}\left\|{\psi(t)-\psi(t_0) \over t-t_0}- \chi \right\|=0
を満たす\chi\in\mathcal{H}が存在する時、\chiをt=t0における\psi(t)の強微分といい、
\left.{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}\psi(t)\right|_{t=t_0} = \chi
と書き表す。量子力学では、\psi\in\mathcal{H}の時間発展がシュレディンガー方程式に従う事を仮定する。
Hが有界作用素であれば、シュレディンガー方程式を以下のように解くことができる。まず
\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right) := \sum_{n=0}^\infty {1\over n!}\cdot (-{i t\over \hbar})^nH^n
と定義すると、右辺が一様作用素位相で収束する事をHの有界性から示すことができるM16。そこで
\psi(t):=\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right) (\psi)
と定義する。これを形式的に微分すると、
i\hbar{\mathrm{d}\over \mathrm{d} t}\psi(t)=i\hbar{\mathrm{d}\over \mathrm{d} t}\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right)\psi
=H{\mathrm{d}\over \mathrm{d} t}\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right)\psi
=H\psi(t)
となり、シュレディンガー方程式を満たす事になる。詳細は省略するが、この形式的な議論は数学的にも正当化可能である。
\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right) := \sum_{n=0}^\infty {1\over n!}\cdot (-{i t\over \hbar})^nH^n
は一般には意味を持たない。実際、たとえHが\mathcal{H}で稠密に定義されていたとしても\mathrm{Dom}(H^2) は\mathcal{H}で稠密になるとは限らない為、上述のテイラー展開が意味を持つ集合は非常に小さくなってしまうかもしれない。またたとえψが\bigcap_n\mathrm{Dom}(H^n) に入っていたとしても、\sum_{n=0}^\infty {1\over n!}\cdot (-{i t\over \hbar})^nH^n\psi が収束するとは限らないM16。
そこで本節ではテイラー展開に頼らず\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right) を定義する作用素解析という手法を導入し、\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right) に関するストーンの定理を導入する事で上述の問題を解決する。
\mathcal{H}を状態空間とし、Hを\mathcal{H}上の(有界とは限らない)自己共役作用素とする。スペクトル測度によるスペクトル定理より、スペクトル測度μが一意に存在し、H=\int_{\sigma(H)} \lambda \mathrm{d}\mu が成立する。
そこで有界可測関数f~:~\sigma(A)\to\mathbf{C} に対し、線形作用素f(A)を
f(H):=\int_{\sigma(H)} f(\lambda) \mathrm{d}\mu
により定義する事ができるH13新井。この手法により線形作用素f(A)を定義する手法を作用素解析新井(operational calculus)という。特に関数fとして指数関数を選ぶことで、
\mathrm{exp}(H):=\int_{\sigma(H)} \mathrm{exp}(\lambda) \mathrm{d}\mu
を定義できる。
作用素解析により、
U_t:=\mathrm{exp}(itH)
と定義すると、Utはユニタリ変換であり、しかも準同型性を満たす。すなわち任意のs,t\in\mathbf{R}に対し、
U_tU_s=U_{t+s}
が成立する事が知られているH13。さらにUtはtに関して強連続である。すなわち任意の\psi\in\mathcal{H}と任意のt\in\mathbf{R}に対し、
\lim_{s\to t}\|U_s(\psi) - U_t(\psi)\|=0
であるH13。
一般に\mathcal{H}上のユニタリ変換の族\{U_t\}_{t\in\mathbf{R} で準同型性と強連続性とを満たすものを強連続1パラメータユニタリ群というH13。
実は強連続1パラメータ変換は、上述した指数関数のものに限られる事が知られている:
定理 を\mathcal{H}上の強連続1パラメータユニタリ群とする。このとき、\{U_t\}_{t\in\mathbf{R} の無限小生成元(infinitesimal generator)を
A(\psi):=\lim_{t\to 0}{1\over i}{U_t(\psi)-\psi\over t}
により定義すると、\mathcal{H}の稠密部分集合上で上式右辺はノルム位相に関して収束する。しかも無限小生成元Aは自己共役作用素であり、任意のt\in\mathbf{R}に対し、
U_t:=\mathrm{exp}(itA)
が成立する。
|note=一径数ユニタリ群に関するストーンの定理H13}
以上の事から、写像A\mapsto\{\mathrm{exp}(itA)\}_{t\in\mathbf{R} により、\mathcal{H}上の自己共役作用素に強連続1パラメータ変換を対応させる事ができ、逆に\{U_t\}_{t\in\mathbf{R} に対してその無限小生成元対応させる事で、強連続1パラメータ変換に自己共役作用素を対応させる事ができる。両者は逆写像の関係になっており、自己共役作用素と強連続1パラメータ変換は1対1に対応するH13:
A(\psi)=\lim_{t\to 0}{1\over i}{\mathrm{exp}(itA)(\psi)-\psi\over t}
\mathcal{H}を状態空間とし、Hを\mathcal{H}上の(有界とは限らない)自己共役作用素とする。このとき\mathrm{exp}(tH) を作用素解析の手法により定義し、
\psi(t):=\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right) (\psi)
とすると次が成立する:
実際、前節で述べた事と強微分の定義から、
i\hbar{\mathrm{d}\over \mathrm{d}t}\psi(t)
=i\hbar\lim_{t\to 0}{\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right) (\psi)-\psi\over t} =H(\psi)
が成立する。さらに作用素解析の定義より、
\mathrm{exp}\left(0 H\right)  =\int_{\sigma(H)} \mathrm{exp}(0\lambda) \mathrm{d}\mu (\psi)=\int_{\sigma(H)}  \mathrm{d}\mu (\psi)=\mathrm{id}
である。最後の等号は作用素値積分の定義より従う。よって
\psi(0)=\mathrm{exp}\left(0 H\right) (\psi)=\psi
となり、ψ(t)はシュレディンガー方程式の解となる。