四重積 (ベクトル解析)
四重積(よんじゅうせき)とは3次元ユークリッド空間における4つのベクトルの積であり、ベクトル解析におけるスカラー四重積とベクトル四重積の総称である。
スカラー四重積は2つのクロス積のドット積である。
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})
ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には a, b で張られた面積ベクトルと c, d で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
\begin{align}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})
&= (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d})
- (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d}) (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}) \\
&= \det \begin{pmatrix}
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} & \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d}\\
\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} & \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d}
\end{pmatrix}
\end{align}
が成り立つ。
\begin{align}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})
&= ((\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{d}\\
&= ((\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{d}\\
&= (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d})
- (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d}) (\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})
\end{align}
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
\sum_{1\le i < j \le n} (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) =
\left(\sum_{i=1}^n a_i c_i \right) \left(\sum_{j=1}^n b_j d_j \right)
- \left(\sum_{i=1}^n a_i d_i \right) \left(\sum_{j=1}^n b_j c_j \right)
を既知とすれば、n=3の特別な場合として、上記の式が得られる。
また、特別な場合である
\|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\|^2 =
\|\boldsymbol{a}\|^2 \|\boldsymbol{b}\|^2
- (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2
も有用な公式でラグランジュの恒等式と呼ばれる。
ベクトル四重積は2つのクロス積のクロス積である。
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})
ここで a, b, c, d は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には a, b で張られた面と c, d で張られた面の交線に平行なベクトルを表す。
\begin{align}
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} ) \times (\boldsymbol{c}\times \boldsymbol{d})
&= [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{d}] \boldsymbol{c}
-  [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{d} \\
&= [\boldsymbol{a},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}] \boldsymbol{b}
-  [\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d}] \boldsymbol{a} \\
\end{align}
が得られる。ただし [a, b, c] = a・(b×c) である。
2つの異なる右辺が導かれるのは左辺を X×(c×d) とみて展開したか (a×b)×Y とみて展開したかで異なるからである。幾何学的には、交線はそれぞれの平面に含まれるので、点を表すパラメータ表示が2通りあることを意味する。
[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{r} =
[\boldsymbol{r},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{a}
+ [\boldsymbol{a},\boldsymbol{r},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{b}
+ [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{r}] \boldsymbol{c}
が得られる。
これは [a, b, c]≠0 の場合、基底 {a, b, c} (正規直交基底とは限らない)における r の成分表示が
\left(
{ [\boldsymbol{r},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \over [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] },
{ [\boldsymbol{a},\boldsymbol{r},\boldsymbol{c}] \over [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] },
{ [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{r}] \over [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] }
\right)
であること示す。
あるいは、(a b c)を縦ベクトルを並べてできる3×3行列としたときの連立方程式
(\boldsymbol{a}~ \boldsymbol{b}~ \boldsymbol{c}) \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \boldsymbol{r}
\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} =
{1 \over
\det (\boldsymbol{a}~ \boldsymbol{b}~ \boldsymbol{c})
}
\begin{pmatrix}
\det (\boldsymbol{r}~ \boldsymbol{b}~ \boldsymbol{c})\\
\det (\boldsymbol{a}~ \boldsymbol{r}~ \boldsymbol{c})\\
\det (\boldsymbol{a}~ \boldsymbol{b}~ \boldsymbol{r})
\end{pmatrix}
と同じである。
なお、
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} ) \times (\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{c})
= [\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}] \boldsymbol{a}
が先の公式の特別な場合として導かれるが、この等式は以下のように導くこともできる。
a と b で作られる平面と、 a と c で作られる平面との交線は a に平行であることは自明である。また、a と b と c が一次従属 ([a, b, c ]=0) すなわち共面であるとき、2つの平面は平行なので左辺は0になる。このことから、右辺は [a, b, c ]a の定数倍であることが導かれる。右手系の正規直交基底を代入することで比例定数が1であることがわかるので、等式が得られる。