ミンコフスキーの定理
ミンコフスキーの定理は凸体の中の格子点の存在に関する定理で、原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。ヘルマン・ミンコフスキーによって証明され、二次形式の研究に用いられた。
凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学へと発展し、二次形式のほか、代数体の単数やイデアル類群の性質の研究、ディオファントス近似など数論の様々な領域に応用されている。
L を R n 上の格子とし、 d (L) を L に対応する行列の行列式とする。
Rn 内の、原点に関して対称で体積が 2^n d(L) より大きい凸集合は、その内部に原点とは異なる L 上の点を有する。
特に体積が 2n より大きい、原点に関して対称な Rn 内の凸集合は必ず原点とは異なる整数点を有する。
R n の部分集合 S に対して V (S) を S の体積とする。
まず、次のBlichfeldtの定理から証明する。
S を体積が d (L) より大きな凸集合とすると、S は L を法として互いに合同な2点をもつ。つまり
\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2\in L\backslash\{0\}
となる \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in S がとれる。これは次のように証明できる。
L の基底 \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \ldots, \mathbf{u}_n をとり
F=\{a_1 \mathbf{u}_1+a_2 \mathbf{u}_2+\cdots +a_n \mathbf{u}_n, 0\leq a_i<1\}
をこの基底に対する L の基本領域とすると
V(F)=d(L)
が成り立つ。
\mathbf{v}=b_1 \mathbf{u}_1+b_2 \mathbf{u}_2+\cdots +b_n \mathbf{u}_n
f(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^n (b_i-\lfloor b_i \rfloor)\mathbf{u}_i
を対応させる。
f は R n から F への写像で、
f(\mathbf{v})-\mathbf{v}=\sum_{i=1}^n \lfloor b_i \rfloor \mathbf{u}_i\in L
が成り立つ。さらに f は平行移動の貼り合わせであらわされるから、
f が S 上で単射ならば V(f(S))=V(S) となるはずである。しかし
f の像は F に含まれるから
V(S)>d(L)=V(F)\geq V(f(S))
となる。よって f は S 上単射ではないので
f(\mathbf{v}_1)=f(\mathbf{v}_2)
となる点 \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in S がとれる。
f(\mathbf{v_1})-\mathbf{v_1}, f(\mathbf{v_2})-\mathbf{v_2}\in L
\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}\in S, \mathbf{v_2}-\mathbf{v_1}=\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}\in L
である。
S を Rn 内の、原点に関して対称で体積が 2^n d(L) より大きい凸集合とする。
T=\frac{1}{2}S=\{\frac{1}{2}\mathbf{v}: \mathbf{v}\in S\}
とおく。V(S)>2^n d(L) だから V(T)=V(S)/2^n>d(L) なので
\mathbf{w}_1-\mathbf{w}_2\in L\backslash\{0\}
となる2点 \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2\in T がとれる。
\mathbf{v}_1=2\mathbf{w}_1, \mathbf{u}=2\mathbf{w}_2\in S が成り立ち、
S は原点に関して対称だから \mathbf{v}_2=-\mathbf{u}=-2\mathbf{w}_2\in S も成り立つ。
S は凸集合なので \mathbf{v}=\frac{1}{2}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)\in S である。一方で
\frac{1}{2}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\mathbf{w}_1-\mathbf{w}_2\in L\backslash\{0\}
であるから S は原点とは異なる L 上の点 \mathbf{v} を有する。
ミンコフスキーの定理の系として、一次形式に関する次の定理が導かれる。
l_i=\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j (i=1, 2, \ldots, n)
を n =r +2s 個の一次形式とし、そのうち l1, l2, ..., lr は実係数を持ち、 l r +j と l r +s +j ( j = 1, 2, ..., s ) は互いに共役なものとする。さらに係数の行列式 Δ ≠ 0 とする。
ここで k1, k2, ..., kr +s  が実数で
k_1 k_2 \cdots k_r (k_{r+1} k_{r+2} \cdots k_{r+s})^2\geq \left(\frac{2}{\pi}\right)^s |\Delta|
を満たすならば、
|l_i|\leq k_i (i=1, 2, \ldots, r+s)
となる整数 x1, x2, ..., xn が存在する。
また k1, k2, ..., kr +s  が実数で
k_1 k_2 \cdots k_r (k_{r+1} k_{r+2} \cdots k_{r+s})^2\geq \left(\frac{4}{\pi}\right)^s\frac{n!}{n^n} |\Delta|
を満たすならば、
\prod_{i=1}^n |l_i|\leq |\Delta|
となる整数 x1, x2, ..., xn が存在する。
ミンコフスキーはこの定理を二次形式の簡約化に用いた。さらに、整数を二次形式によって現す問題にも応用されている。
たとえばフェルマーの二平方定理は円盤内のある格子上の点の問題に、ラグランジュの四平方定理は4次元空間の超球体内のある格子上の点の存在に帰着させることで、ミンコフスキーの定理を用いて証明することができる。
ミンコフスキーの定理の系から、r 個の実共役と 2s 個の(つまり s 対の共役対からなる)複素共役をもつ n =r +2s 次の、判別式 Δ をもつ代数体の イデアル類群のそれぞれの類はノルムが
\left(\frac{4}{\pi}\right)^s\frac{n!}{n^n} |\Delta|
を超えない(整)イデアルを含むことが従う。これをミンコフスキー限界という。
上記のようにミンコフスキーの定理からフェルマーの二平方和定理を証明することができる。
実際 p を 4n+1 の形の素数とすると
t^2+1\equiv 0\pmod{p}
となる t がとれる(p を法として位数4の剰余類から数をひとつ選べばよい)。
y\equiv tx\pmod{p}
となる点 (x, y) 全体は
(1, t), (0, p) を基底とする格子 L と一致し、d(L)=p が成り立つ。
原点を中心とする半径 \sqrt{2p} の開円盤は面積 2\pi p>4p の、原点に関して対称な凸集合であるからミンコフスキーの定理より、原点とは異なる L の格子点 (a, b) を含む。
b\equiv ta\pmod{p}
a^2+b^2\equiv a^2(1+t^2)\equiv 0\pmod{p}
である。一方 (a, b) は原点ではなく、かつ原点からの距離は \sqrt{2p} より小さいから
0<a^2+b^2<2p
である。よって
p=a^2+b^2
が成り立ち、 p は2つの平方数の和であらわされる。