メリン変換
数学におけるメリン変換(メリンへんかん、Mellin transform)とは、両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換である。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論や漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数や特殊関数の理論と関係している。
この変換の名はフィンランドの数学者ハジャルマー・メリンの名にちなむ。
局所可積分な関数 f のメリン変換は
\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx
により定義される。
任意の小さな正の数 \epsilon に対して、 x\to +0 のとき f(x)=O(x^{-a-\epsilon}) 、 x\to +\infty のとき f(x)=O(x^{-b+\epsilon}) と評価できるならば、上の積分は絶対収束する。さらに、 \left\{\mathcal{M}f\right\}(s) は a<\Re (s)<b で解析的な関数となる。
また、メリン逆変換は
\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds
により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。ここで、 c は a<c<b を満たす任意の実数である。
このような逆が存在するための条件は、メリン逆定理で与えられている。
両側ラプラス変換は、メリン変換を用いて
\left\{\mathcal{B} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{M} f(-\ln x) \right\}(s)
と表すことが出来る。反対に、メリン変換は両側ラプラス変換により
\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f(e^{-x})\right\}(s)
と表される。
メリン変換は、積分核 xs を用いた、乗法的ハール測度 \frac{dx}{x} についての積分と考えることが出来る。ここで \frac{dx}{x} は拡張 x \mapsto ax について不変であり、したがって \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x} が成り立つ。一方、両側ラプラス変換は加法的ハール測度 dx についての積分と考えられる。ここで dx は移動不変であり、したがって d(x+a) = dx が成り立つ。
同様にフーリエ変換もメリン変換を用いて表すことが出来、またその逆も出来る。もし両側ラプラス変換を上述のように定義するなら、
\left\{\mathcal{F} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B} f\right\}(is)
= \left\{\mathcal{M} f(-\ln x)\right\}(is)
が成立する。反対に
\left\{\mathcal{M} f\right\}(s) = \left\{\mathcal{B}
f(e^{-x})\right\}(s) = \left\{\mathcal{F} f(e^{-x})\right\}(-is)
も成立する。メリン変換はまた、ニュートン級数や二項変換を、ポアソン-メリン-ニュートン・サイクルの意味におけるポアソン母関数と結び付ける。
c>0、\Re(y)>0 および主枝 (数学)上の y^{-s} に対して、
e^{-y}= \frac{1}{2\pi i}
\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \Gamma(s) y^{-s}\;ds
が成立する。ここで \Gamma(s) はガンマ関数である。この積分はカヘン-メリン積分として知られている。
数論における重要な応用例として、単関数 f(x)=\begin{cases} 0  & x < 1, \\ x^{a}  & x > 1 \end{cases}
\mathcal M f (s)= \frac 1 {s+a}
が成立する、ということが挙げられる。
メリン変換を用いることで、リーマンゼータ関数 \zeta(s
) についての公式を得ることができる。f(x) = \frac{1}{e^x-1}としたとき\mathcal M f (s) = \int_0^\infty \frac{x^{s-1}{e^x-1}dx = \int_0^\infty \frac{x^{s-1}e^{-x}{1-e^{-x}dx = \int_0^\infty x^{s-1}\sum_{n=1}^\infty e^{-nx}dx  = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty x^{s-1}e^{-nx} dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \int_0^\infty x^{s-1} e^{-x} dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{\Gamma(s)}{n^s} = \Gamma(s) \zeta(s) よって
\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}{e^x-1}dx
ヒルベルト空間の研究において、メリン変換は少し異なった方法で定められる。L^2(0,\infty) (Lp空間を参照されたい)の関数に対して、基本帯(fundamental strip)は常に \tfrac{1}{2}+i\mathbb{R} を含む。そのため、線形作用素 \tilde{\mathcal{M} を
\tilde{\mathcal{M}\colon L^2(0,\infty)\to L^2(-\infty,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}f\}(s) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}\int_0^{\infty} x^{-\frac{1}{2}+is} f(x)\,dx
によって定義することが出来る。言い換えると、集合
\{\tilde{\mathcal{M}f\}(s):=\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}\{\mathcal{M}f\}(\tfrac{1}{2}-is)
を定義することが出来る。この作用素は通常 \mathcal{M} とシンプルに記述され、「メリン変換」と呼ばれる。しかしここでは、上での記述と区別するために \tilde{\mathcal{M} を記号として用いる。このときメリン逆定理により、\tilde{\mathcal{M} は可逆であって、その逆は
\tilde{\mathcal{M}^{-1}\colon L^2(-\infty,\infty) \to L^2(0,\infty), \{\tilde{\mathcal{M}^{-1}\varphi\}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} x^{-\frac{1}{2}-is} \varphi(s)\,ds
と得られることが分かる。さらにこの作用素は等長であること、すなわち \|\tilde{\mathcal{M} f\|_{L^2(-\infty,\infty)}=\|f\|_{L^2(0,\infty)} がすべてのf\in L^2(0,\infty) に対して成立することが分かる(この性質のために係数 1/\sqrt{2\pi} が用いられている)。したがって、\tilde{\mathcal{M} はユニタリ作用素である。
確率論におけるメリン変換は、確率変数の積の分布の研究によく用いられる。X を確率変数とし、X+  max{X,0} をその正の部分、X −  max{−X,0} をその負の部分としたとき、X のメリン変換は
\mathcal{M}_X(s) = \int_0^\infty  x^s dF_{X^+}(x) + \gamma\int_0^\infty x^s dF_{X^-}(x),
として定義される。ここで γ は、γ2  1 を満たすもの(formal indeterminate)である。この変換は、複素帯領域 D  {s: a ≤ Re(s) ≤ b}(ただしa ≤ 0 ≤ b)内のすべての s に対して存在する。
確率変数 X のメリン変換 \scriptstyle\mathcal{M}_X(it) は、その分布関数 FX を一意に定める。確率論におけるメリン変換が持つ重要な性質として、次が挙げられる: X および Y を二つの独立な確率変数としたとき、それらの積のメリン変換は、それぞれのメリン変換の積と等しい。すなわち、
\mathcal{M}_{XY}(s) = \mathcal{M}_X(s)\mathcal{M}_Y(s)
が成立する。
メリン変換は、そのスケール不変性のため、計算機科学の分野で広く用いられている。あるスケール変換を施された関数のメリン変換の絶対値は、もとの関数の絶対値と等しい。このスケール不変性は、フーリエ変換のシフト不変性とも同様である。時間に関してシフトされた関数のフーリエ変換の絶対値は、もとの関数のそれと等しい。
この性質は、画像認識を行う際に役に立つ。物体の画像は、その物体がカメラに近づいたり離れたりするだけで簡単にスケールが変わってしまうからである。
ディリクレ級数へのメリン逆変換の応用について述べたものに、ペロンの公式がある。
メリン変換は素数計数関数の解析に用いられる。またリーマンゼータ関数の議論にも現れる。
メリン逆変換は主にリース平均に現れる。
メリン変換はオーディオ・タイムスケール-ピッチ調整に使うことが出来る。