運動量演算子
量子力学における運動量とは、波動関数 ψ(x, t) を別の関数に対応させる演算子である。
もし新しい関数が元々の波動関数 ψ の定数 p 倍であったとき、
p は運動量演算子の固有値で、ψ は運動量演算子の固有関数である。
量子力学では、演算子の固有値はその演算子の観測値になりうる値である。
運動量演算子は微分演算子の1つである。1次元の粒子の場合、次のように定義される。
\hat{p} = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x}
ここで hbar はディラック定数、i は虚数単位、また波動関数は時間についての関数でもあるため全微分 d/dx の代わりに偏微分 \partial が用いられる。
ハット記号は演算子を表す。
運動量演算子は波動関数に対して次のように作用する。
\hat{p}\psi = - i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial x}
運動量演算子は関数に掛け算をすると思われることもあるが、これは実際には正しくなく、関数の偏微分をとっている。
運動量演算子は量子力学が発展した1920年代に、ニールス・ボーア、アルノルト・ゾンマーフェルト、エルヴィン・シュレーディンガー、ユージン・ウィグナーなど多くの理論物理学者によって見いだされた。
運動量演算子とエネルギー演算子は次のように構築できる。
1次元から出発し、シュレーディンガー方程式に平面波解を用いる。
\psi = e^{i(kx-\omega t)}
空間についての1階偏微分は、
\frac{\partial \psi}{\partial x} = i k e^{i(kx-\omega t)} = i k \psi
ド・ブロイの関係式 p  hbark より k を表すと、ψ の微分公式は次のようになる。
\frac{\partial \psi}{\partial x} = i \frac{p}{\hbar} \psi
このことは演算子の等価性を示している。
\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial }{\partial x}
よって運動量 p はスカラー値で、測定される粒子の運動量は演算子の固有値である。
偏微分は線形演算子であり、運動量演算子も線形である。いかなる波動関数も他の状態の重ね合わせとして表すことができるため
この運動量演算子は重ね合わせられた波全体に作用するとき、それぞれの平面波成分に対して運動量の固有値を与え、運動量が重ね合わせられた波の全運動量に加えられる。
3次元での導出は、1階偏微分の代わりにナブラが用いられることを除いて、1次元と同じようにできる。
3次元のシュレーディンガー方程式の平面波解は次のように書ける。
\psi = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}
\begin{align} \nabla \psi &= \mathbf{e}_x\frac{\partial \psi}{\partial x} + \mathbf{e}_y\frac{\partial \psi}{\partial y} + \mathbf{e}_z\frac{\partial \psi}{\partial z} \\
& = i k_x\psi\mathbf{e}_x + i k_y\psi\mathbf{e}_y+ i k_z\psi\mathbf{e}_z \\
& = \frac{i}{\hbar} \left ( p_x\mathbf{e}_x + p_y\mathbf{e}_y+ p_z\mathbf{e}_z \right)\psi \\
& = \frac{i}{\hbar} \mathbf{\hat{p}\psi
\end{align}
ここで ex, ey と ez は3次元空間での単位ベクトルであり、
\mathbf{\hat{p} = -i \hbar \nabla
この運動量演算子は位置空間に存在する。なぜなら偏微分は空間変数に対して行われるからである。
電荷とスピンを持たない1つの粒子では、運動量演算子は位置基底で表すことができる。
\mathbf{\hat{p}=-i\hbar\nabla
ここで ∇ は勾配の演算子、hbar はディラック定数、i は虚数単位である。
\hat{p}=\hat{p}_x=-i\hbar{\partial \over \partial x}.
これは一般的によく見かける運動量演算子の形であるが、最も一般的な形ではない。
スカラーポテンシャル φ とベクトルポテンシャル A で記述される電磁場中の荷電粒子 q では、運動量演算子は次のように置き換えなければならない。
\mathbf{\hat{p} = -i\hbar\nabla - q\mathbf{A}
ここで正準運動量演算子は、
\mathbf{\hat{P} = -i\hbar\nabla
これは電気的中性な粒子でも成り立ち、q  0とすれば第二項が消えて元々の演算子が得られる。
物理的な量子状態に作用する運動量演算子は、(特に量子状態が正規化できるときは、)常にエルミート演算子である。
(半無限区間 0, ∞ 上の量子状態のような、ある特定の人工的な状況では、エルミートな運動量演算子を作ることはできない。このことは半無限区間が並進対称性を持つことができない、より具体的に言えばユニタリーな並進演算子を持たないという事実と密接に関係している)
運動量基底と位置基底を適切に用いると、次の関係が簡単に示せる。
\left [ \hat{ x }, \hat{ p } \right ] = \hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} = i \hbar.
ハイゼンベルクの不確定性原理は、どれだけ正確に1粒子の運動量と位置を同時に知ることができるかという限界点を定義する。
量子力学では、位置と運動量は共役変数となる。
量子力学における運動量のフーリエ変換は、位置演算子であることを示すことができる。
フーリエ変換は運動量基底を位置基底に変える。
以下の議論ではブラ-ケット記法を用いる。
ψ  ψ(x) を ψ  1 である波束とし、ψ′ を ψ のフーリエ変換とすると、
\langle  \psi | \hat{p} |   \psi    \rangle =  h  \langle  \psi'   | \hat{x}  |  \psi'  \rangle
よって運動量はプランク定数 h と 空間周波数との積で表される。これはエネルギーが h と時間周波数との積で表されることと類似している。
\langle  x | \hat{p} | \psi \rangle = - i \hbar \frac{d}{dx} \psi ( x )
運動量基底における位置演算子の作用も同様に、
\langle  p | \hat{x} | \psi \rangle =  i \hbar \frac{d}{dp} \psi ( p )
またその他の便利な関係として、
\langle p | \hat{x} | p' \rangle = i \hbar \frac{d}{dp} \delta (p - p')
\langle x | \hat{p} | x' \rangle = -i \hbar \frac{d}{dx} \delta (x - x')
ここで δ はディラックのデルタ関数を表す。
並進演算子を T(ε) とする。ここで ε は並進の長さを表す。この並進演算子は次の恒等式を満足する。
T(\varepsilon) | \psi \rangle =  \int dx T(\varepsilon) | x \rangle \langle x | \psi \rangle
これは次のようになる。
\int dx | x + \varepsilon \rangle \langle x |\psi \rangle = \int dx | x \rangle \langle x - \varepsilon | \psi \rangle = \int dx | x \rangle  \psi(x - \varepsilon)
関数ψが解析的(すなわち複素平面のある領域で微分可能)であると仮定すると、x についてテイラー級数に展開できる。
\psi(x-\varepsilon) = \psi(x) - \varepsilon \frac{d \psi}{dx}
よって無限小量 ε について、
T(\varepsilon) = 1 - \varepsilon {d \over dx}  = 1 - {i \over \hbar} \varepsilon \left ( - i \hbar { d \over dx} \right )
古典力学から分かるように、運動量は並進の生成子である。
よって並進と運動量演算子との間の関係は、
T(\varepsilon) =  1 - {i \over \hbar} \varepsilon \hat{p}
ここで、
\hat{p} = - i \hbar { d \over dx }.