多変数の微分
また、(4-5)から、直ちに「\textbf{f}が\textbf Dで、微分可能」ならば、「\textbf{f}が\textbf Dで、任意の\textbf{a}について偏微分可能」である。しかし、この逆は成り立たない。つまり、「\textbf{f}が\textbf Dで、任意の\textbf{a}について偏微分可能」であっても、「\textbf{f}が\textbf Dで、微分可能」とは限らない。
「\textbf{f}が\textbf Dで、連続微分可能である」とは、「\textbf{f}が\textbf Dで、\mathbf{e_{1},\ \cdots ,\ \mathbf{e_{j}\cdots ,\ \mathbf{e_{n}全てについて偏微分可能であり、かつ\mathbf{e_{1},\ \cdots ,\ \mathbf{e_{j}\cdots ,\ \mathbf{e_{n}についての偏導関数がすべて\textbf Dで、連続であること」を意味する。
一見、連続微分可能性は、全微分可能性よりも弱い性質のように見えるが、実は連続微分可能性のほうが強い条件である。つまり「\textbf{f}が\textbf Dで、連続微分可能」ならば「\textbf{f}が\textbf Dで、微分可能」であるものの、「\textbf{f}が\textbf Dで、微分可能」であっても、「\textbf{f}が\textbf Dで、連続微分可能」とは限らない。
但し、「\textbf{f}が\textbf Dで微分可能であり、導関数が\textbf Dで、連続」ならば、「\textbf{f}は\textbf Dで、連続微分可能」である。
\mathbb{R}^n に \langle \textit{x}_1, \cdots , \textit{x}_n \rangle 座標系が定まっているとする。
式 (1-14) の \textit{x}_1, \cdots, \textit{x}_n は全て \mathbb{R}^n から \mathbb{R} への線形写像であり、従って式 (3-5) と同様の方法で微分可能で、恒等的に
\textit{x}_i' (\mathbf{x}) = {}^{t} \mathbf{e}_i    (5-1)
である。ここで {}^{t} は転置を意味する。すなわち {}^{t}{\textbf{e}_{i} とは、第 i 成分のみが 1 で、それ以外が 0 の 1 行 n 列の行列(横ベクトル)である。
式 (4-4) より \mathbf{f}'(\mathbf{x}) は、
\mathbf{f}'(\mathbf{x})
= \left( \left( \frac{\partial \mathbf{f}{\partial x_1} \right)(\mathbf{x}),\cdots ,\left( \frac{\partial \mathbf{f}{\partial x_n} \right)(\mathbf{x}) \right)
(5-2)
で定まる行列値関数であるため、
\mathbf{f}'(\mathbf{x})
= \sum\limits_{i=1}^n \left( \left( \frac{\partial \mathbf{f}{\partial x_i} \right)(\mathbf{x}) \right){\ }^{t}\mathbf{e}_i    (5-3)
であり、
\mathbf{f}'(\mathbf{x})
= \sum\limits_{i=1}^n \left( \left( \frac{\partial \mathbf{f}{\partial x_i} \right)(\mathbf{x}) \right)
\left( r_i'(\mathbf{x}) \right)    (5-4)
がわかる。ここで、\mathbf{f}' を d\mathbf{f}、x_i' を d x_i と書くと、
d\mathbf{f}(\mathbf{x})
=\sum\limits_{i=1}^n \left( \left(
\frac{\partial \mathbf{f}{\partial x_i}
\right)(\mathbf{x}) \right)
\left( d x_i(\mathbf{x}) \right)    (5-5)
となる。式 (5-5) において、変数を省略すると、
d\mathbf{f} = \sum\limits_{i=1}^n \left( \frac{\partial \mathbf{f}{\partial x_i} \right)d x_i    (5-6)
となる。
\textbf Dを、{\mathbb{R}^{n}の開集合とし、
A=(a}_{11,\cdots ,a}_{1n)  (6-1-1)
を、\textbf D上で定義された1行n列の行列値関数とする。行列値関数とは、
各成分が関数である行列のことを意味する。
式(6-1-1)のAに対し、
{f}(x)=A  (6-1-2)
を充たす、一変数スカラー値関数{f}を求める問題を考える。(6-1-2)の条件をみたす一変数スカラー値関数のことを、Aのスカラーポテンシャルという。
以下、1行n列の行列値関数Aがあたえられたとき、Aのスカラーポテンシャルが存在する条件を調べ、スカラーポテンシャルの構成方法(所謂ポアンカレの補助定理)について述べる。
\textbf Dを、{\mathbb{R}^{n}の開集合とし、hを\textbf D上で定義された多変数スカラー値関数とする。
\textbf{p}を、\textbf D内の点とする。(つまり、\textbf{p}\in\textbf{D})\textbf{a}を、{\mathbb{R}^{n}のベクトルとする。(\textbf{a}\notin\textbf Dでもよい。)
このとき、
\int_{s=0}^{s=1}{\left( \left( \partial }_{[\mathbf{a}]h \right)(s\mathbf{a}+\mathbf{p}) \right)ds}=h(\mathbf{a}+\mathbf{p})-h(\mathbf{p})  (6-2-1)
が成立する。但し、0\le s \le 1を充たす全てのsに対して、
(s\mathbf{a}+\mathbf{p})\in \textbf{D}  (6-2-2)
が成り立っているものとする。
以下、(6-2-1)を示す。まず、
h\circ l_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]}(s)=h(s\mathbf{a}+\mathbf{p})      (6-2-3)
で、
\partial }_{[\mathbf{a}]h(\mathbf{x})=\left( \frac{d(h{}^\circ l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}])}{ds} \right)      (6-2-4)
である。但し、l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]は、(1-9)同様、
l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}](s)=s\mathbf{a}+\mathbf{p}  (6-2-5)
である。
(6-2-4)の右辺を、sについて(一変数関数の意味で)積分すると、
\int_{s=0}^{s=1}{\left( \frac{d(h{}^\circ l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}])}{ds} \right)ds}=
\left[ h(s\mathbf{a}+\mathbf{p}) \right]_{s=0}^{s=1}  (6-2-5)
従って、(6-2-1)が分かる。
(6-1-1)のAに対し、作用積分U}_{[A,\mathbf{p}]を定義する。
\mathbf{p}=\left( \begin{matrix}
p}_{1  \\
\vdots   \\
p}_{n  \\
\end{matrix} \right)  (6-3-1)
を{\mathbb{R}^{n}の点とする。また、\textbf Dを、{\mathbb{R}^{n}の開集合とし、さらに\textbf Dが\textbf{p}を中心に星型とする。
\textbf Dが\textbf{p}を中心に星型とは、任意の\textbf Dの点\textbf{x}と、任意のs\in[0,1]に対し、
s(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{p}\in \textbf{D}  (6-3-2)
であることを意味する。
\textbf{p}は固定されているものとする。また、
\textbf{x}=\left( \begin{matrix}
x}_{1  \\
\vdots   \\
x}_{n  \\
\end{matrix} \right)  (6-3-3)
も固定されていると考える。
式(6-1-1)の、\textbf D上で定義された1行n列の行列値関数Aに対し、\left. U}_{[A,\mathbf{p}] \right〕_{\mathbf{x}を
\left. U}_{[A,\mathbf{p}] \right〕_{\mathbf{x}=\int_{s=0}^{s=1}{\left( A(s(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{p})\centerdot \left( \begin{matrix}
x}_{1-p}_{1  \\
\vdots   \\
x}_{n-p}_{n  \\
\end{matrix} \right) \right)ds}  (6-3-4 )
と定義する。(6-3-4)の右辺の被積分関数
A(s(\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{p})\centerdot \left( \begin{matrix}
x}_{1-p}_{1  \\
\vdots   \\
x}_{n-p}_{n  \\
\end{matrix} \right)  (6-3-5)
は、sについての一変数スカラー値関数である。そして、右辺の積分は、(6-3-5)の「sについての一変数スカラー値関数」を(一変数関数の意味で)定積分したものである。また、 U}_{[A,\mathbf{p}]を、点\textbf{x}と、
実数\left. U}_{[A,\mathbf{p}] \right〕_{\mathbf{x}を対応させる多変数スカラー値関数
U}_{[A,\mathbf{p}](\mathbf{x})U}_{[A,\mathbf{p}] \right〕_{\mathbf{x}  (6-3-6)
とする。以降、点\textbf{x}は、変数とみなす。