ABC予想
ABC予想(ABCよそう、abc conjecture, 別名:オステルレ–マッサー予想、Oesterlé–Masser conjecture)は、1985年にジョゼフ・オステルレとデイヴィッド・マッサーにより提起された数論の予想である。
これは多項式に関するメーソン・ストーサーズの定理の整数における類似であり、互いに素でありかつ a + b = c を満たすような3つの自然数(この予想に呼び方を合わせると)a, b, c の和と積の関係について述べている。
ABC予想は、この予想から数々の興味深い結果が得られることから有名になった。数論における数多の有名な予想や定理がABC予想から直ちに導かれる。
は、ABC予想を「ディオファントス解析で最も重要な未解決問題」であるとしている。
自然数 n に対して、n の互いに異なる素因数の積を n の根基 (radical) と呼び、rad n と書く。以下に例を挙げる。
p が素数ならば、rad(p)  p.
rad(8)  rad(23)  2.
rad(45)  rad(32 ⋅ 5)  3 ⋅ 5  15.
自然数の組 (a, b, c) で、a + b  c, a < b で、a と b は互いに素であるものを abc-triple と呼ぶ。大抵の場合は c < rad(abc) が成り立つが、ABC予想が主張するのはこれが成り立たない例(例えば、a  1, b  8 のとき c  9 であり、rad(abc)  6 である)の方である。ただし、c > rad(abc) が成り立つ例も無限に存在する"壱""弐"ため、rad(abc) を少しだけ大きくすることで例を有限個にできないかどうかを考える。すなわち、ABC予想は任意の ε > 0 に対して、次を満たすような自然数の組 (a, b, c) は高々有限個しか存在しないであろうと述べている:
c>\operatorname{rad} (abc)^{1+\varepsilon}.
これと同値な他の定式化(Oesterlé–Masser の ABC予想)として次のものがある。すなわち、任意の ε > 0 に対してある K(ε) > 0 が存在し、全ての abc-triple (a, b, c) について次が成り立つという:
c<K(\varepsilon ) \cdot \operatorname{rad} (abc)^{1+\varepsilon}
(K(ε) を ε に依らずに取ることはできない。)
三つ目の定式化は「質」(quality) と呼ばれる概念を導入して表現する。abc-triple (a, b, c) に対して、質 q(a, b, c) を次のように定義する:
q(a,b,c):=\frac{\log c}{\log ( \operatorname{rad} (abc))}.
このときABC予想は、任意の ε > 0 に対して、abc-triple (a, b, c) であって q(a, b, c) > 1 + ε を満たすものは高々有限個しか存在しないということを主張している。
現在、q(a, b, c) > 1.6 を満たす abc-triple は後述の通り3組しか知られていない。q(a, b, c) を 2 まで大きくすれば、そうした abc-triple は存在しないという予想もある。すなわち「全ての abc-triple (a, b, c) に対して、c < rad(abc)2 を満たすであろう」という主張だが、こちらも肯定も否定もされていない"参"。
1985年の予想の提起から、数々の数学者によりABC予想の証明が提案されてきた。しかし、現在、数学コミュニティの同意が得られたものはない。
望月新一"所属"は、自身の考案した宇宙際タイヒミュラー理論によるディオファントス的不等式(論文IUTT-IVの系2.3)の証明から、スピロ予想、ヴォイタ予想、ABC予想を証明したと主張している"PRIMS"。(なお、宇宙際タイヒミュラー理論のサーベイ論文についてはこちらを参照。)
上記の証明に対し、ペーター・ショルツェとジェイコブ・スティックスが、論文IUTT-IIIの系3.12の証明の反例となるレポートにて「提案された [望月のプレプリントの] 証明には深刻な問題があり、小さな修正で証明戦略を救うことはできず、証明になっていない」と指摘した(2018年5月公開、2018年9月一部修正)。望月は、反例において宇宙際タイヒミュラー理論にいくつかの簡略化がおこなわれており、それらの簡略化が悉く誤りであると主張するレポートを公表し反論した(2018年9月発表、2021年3月改訂)。(なお、指摘事項の詳細についてはこちらを参照。)
望月の証明論文は、2020年2月査読を通過し"記者会見"、翌年、2021年3月4日、雑誌"特別号"に掲載された。(なお、記者会見および論文掲載時のコメントについてはこちらを参照。)
上記論文に対し、ペーター・ショルツェは書評"zbMATH"にて「このシリーズの最初の3つのパートにおいて、読者は残念ながら実質的な数学的内容をほんの少ししか見出さないだろう。第2部と第3部では、肝心の系3.12に、数行以上の証明を見出さないだろう」と否定的にコメントした。一方、モハメド・サイディ (数学者)"サイディ氏所属"は書評"MR"で、宇宙際タイヒミュラー理論の系3.12に関連する論文IUTT-IIIの定理3.11を肯定するコメントを行った。
2022年7月、ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らの査読論文が雑誌"KodaiMath"に掲載された(受理は2021年11月)。この論文は、楕円曲線の 6 等分点を用いて、ディオファントス的不等式中の定数の数値を明示した形(非明示的な「定数」が現れない)に修正したとしている。2012年10月の、ヴェッセリン・ディミトロフとアクシェイ・ヴェンカテシュによる指摘により、望月の論文で証明される命題は「弱いABC予想」となっていたが、今回の結果により「強いABC予想」および「フェルマーの最終定理」の別証明を得たとしている。
ABC予想を真だと仮定すると、多数の系が得られる。その中には既に知られている結果もあれば、予想の提出後に予想とは独立に証明されたものもあり、部分的証明となるものもある。ABC予想がもし早期に証明されていたなら、得られる系という意味での影響はもっと大きかったが、ABC予想が成立した場合に解決される予想はまだ残っており、また数論の深い問題と数多くの結び付きがあるので、ABC予想は依然として「重要な問題」であり続けている。「有限個に限定される」ことが結論である命題(予想)の証明に役に立つ。
代数的数のディオファントス近似に関する定理。
ただし指数が十分大きい場合。どの程度大きければよいかは K(ε) に依存する。この定理自体は、ABC予想とは独立にワイルズが既に1995年に証明した。ある K(ε) が具体的に求まれば、有限個の例外を直接計算することにより、原理的にはすべての指数 ≥ 4 に対して証明が可能である。ε = 1 のとき K(1) = 1 という予想もあり、この仮定の下で、指数が 6 以上の場合は直ちに証明される "フェルマー"。
モーデル予想(ファルティングスの定理):
ただし有限個の反例を除く 。
非ヴィーフェリッヒ素数が無限個存在すること: 。
弱い形のマーシャル・ホール予想:平方数と立方数の間隔に関する予想 。
フェルマー=カタラン予想:フェルマーの最終定理の拡張であり、冪の和である冪を扱う 。
ルジャンドル記号を用いて記述したディリクレのL関数 L(s, (-d/.)) がジーゲル零点を持たないこと
正確には、このためには上で紹介している有理整数を扱うABC予想に加えて、代数体上の一様なABC予想を用いる。。
Schinzel–Tijdeman theorem
P を少なくとも3つ以上の単根を持つ多項式とすると、P(1),P(2),P(3), … の中には高々有限個しか累乗数が存在しない、という定理 (1976)。
ym = xn + k が持つ解の個数について。ティーデマンの定理は k = 1 の場合を述べている。また、Aym = Bxn + k が持つ解の個数に関するピライ予想 (1931)。
グランヴィル=ランジュバン予想と同値。
修正したスピロ予想。
これは境界として \scriptstyle \operatorname{rad}(abc)^{\frac{6}{5} +\varepsilon} を与える 。
任意の整数A について、n! + A = k2 が有限個の解しか持たないこと(一般化されたブロカールの問題)
と同値。
2006年、オランダのライデン大学数学研究所は、さらなる abc-triple を発見しようと、Kennislink科学協会と共に分散コンピューティングシステム「ABC@homeプロジェクト」を立ち上げた。たとえ演算によって発見された例または反例が ABC予想を解決することができなくとも、このプロジェクトによって発見される組み合わせが、予想と整数論についての洞察に繋がることが期待されている。
q は上記で定義した abc-triple (a, b, c) の質 q(a, b, c) である。このとき、c の上限によって、質 q は以下のような分布を取る。
2012、ABC@homeは2310万個の3つ組を発見しており、当面の目標を 1020 を超えない c についての全ての abc-triple (a, b, c) を見つけることとしている
2015年に、ABC@homeプロジェクトは合計2380万組の3つ組を見つけ、その直後にプロジェクトは終了した