複素数の偏角
数学において、複素数の偏角(へんかく、argument of complex)とは、複素数平面上で複素数が表す点の動径が表す一般角のことである。複素数 z の偏角は記号で arg z で表す。偏角はラジアンで表す。
複素数を極形式表示することで、絶対値と偏角が得られる。これにより、複素数の乗除が簡明に行うことができる。
複素数に対する偏角は、2π の任意の整数倍を足す分だけ表し方がある。つまり、多価関数である。そこで表示を一意にするには、主値を決め、区間 (−π, π] などに制限する。
2π の任意の整数倍の差を除いて次の等式が成り立つ:
(何れも mod 2π)
複素数 z  x + yi の偏角は、arg z と書かれ、正の実軸から動径 Oz までの角度を反時計回りに測った角度である。弧度法で表示する。時計回りに測ると負になる。
複素数に対する偏角の表示を一意にするために、主値を区間 (−π, π] に制限する。[0, 2π) にすることもある。
主値を (−π, π] にすると、逆正接関数 tan−1 を用いて次のように表せる:
\arg z = \begin{cases}
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} & (x > 0) \\[0.1em]
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \pi & (x < 0 \,\land\, y \geqq 0) \\[0.1em]
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} - \pi & (x < 0 \,\land\, y < 0) \\[0.1em]
\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y > 0) \\[0.1em]
-\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y < 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
上記の式には条件分岐が多数あるが、符号関数 sgn やヘヴィサイドの階段関数 H(x) を用いることで次のようにまとめることもできる:
\begin{align}
\arg z &= \begin{cases}
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \dfrac{1 - \operatorname{sgn} x}{2}( 1 + \operatorname{sgn} y - |\operatorname{sgn} y| )\pi & (x \neq 0) \\[0.1em]
(\operatorname{sgn} y)\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \{ 1 - H(x) \}\{ 2H_1(y) - 1 \}\pi & (x \neq 0) \\[0.1em]
(\operatorname{sgn} y)\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
\end{align}
0 × (0 除算を含む式)  0 と形式的に考えることで、更にまとめることもできる:
\begin{align}
\arg z &= \begin{cases}
|\operatorname{sgn} x| \tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \dfrac{1 - \operatorname{sgn} x}{2}( 1 + \operatorname{sgn} y - |\operatorname{sgn} y| )\pi & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
|\operatorname{sgn} x| \tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \{ 1 - H_{1/2}(x) \}\{ 2H_1(y) - 1 \}\pi & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
\end{align}
あるいは、逆余弦関数 cos−1 や逆正弦関数 sin−1 を用いて次のように表すこともできる:
\begin{align}
\arg z &= \begin{cases}
( 1 + \operatorname{sgn} y - |\operatorname{sgn} y| )\cos^{-1} \dfrac{x} & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
\{ 2H_1(y) - 1 \}\cos^{-1} \dfrac{x} & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
\end{align}
\begin{align}
\arg z &= \begin{cases}
( 1 + \operatorname{sgn} x - |\operatorname{sgn} x| )\sin^{-1} \dfrac{y} + \dfrac〔\operatorname{sgn} x| - \operatorname{sgn} x}{2}( 1 + \operatorname{sgn} y - |\operatorname{sgn} y| )\pi & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
\{ 2H_1(x) - 1 \}\sin^{-1} \dfrac{y} + \{ 1 - H_1(x) \}\{ 2H_1(y) - 1 \}\pi & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
\end{align}
ここで、z は複素数の絶対値で、z  x2 + y2 である。
主値を [0, 2π) にするには、上記の定義で、負となる偏角の値に対しては 2π を加えることにすればよい。
偏角を「位相」、振幅と呼んだりすることもある。
arg 0 は不定
主値 (−π, π] における偏角の値を、記号で Arg z(最初の文字を大文字)で表すことがある。表記には揺れがあり、arg と Arg が文献によって逆になることもあることに注意。
\arg z = \{ \operatorname{Arg} z + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}
\operatorname{Arg} z = \{ \arg z - 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z} \, \land \, (-\pi < \operatorname{Arg} z \leqq \pi) \}
複素数 z  x + yi の偏角は逆正接関数 arctan y で表せる。
x > 0 のとき、すなわち −π < Arg z < π のとき
が成り立つが、x > 0 以外の場合の偏角を逆正接関数で表すには、場合分けが必要である。x < 0 の場合はさらに y > 0 と y < 0 の場合に分ける。
\operatorname{Arg} (x + iy) = \begin{cases}
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} & (x > 0) \\[0.2em]
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \pi & (x < 0 \,\land\, y \geqq 0) \\[0.1em]
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} - \pi & (x < 0 \,\land\, y < 0) \\[0.1em]
\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y > 0) \\[0.1em]
-\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y < 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
上半平面、下半平面ごとに表示することもできる:
\operatorname{Arg} (x + iy) = \begin{cases}
\dfrac{\pi}{2} - \tan^{-1} \dfrac{x}{y} & (y > 0) \\[0.1em]
-\dfrac{\pi}{2} - \tan^{-1} \dfrac{x}{y} & (y < 0) \\[0.1em]
0 & (x > 0 \,\land\, y = 0) \\[0.1em]
\pi & (x < 0 \,\land\, y = 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
Arg の主値を区間 [0, 2π) とする変種では、値が負のときに値に 2π を足すことで得られる。
正接の半角公式 tan θ  sin θ を用いると、1つの計算式で表せる:
\operatorname{Arg}(x + iy) = \begin{cases}
2 \tan^{-1} \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x} & (x > 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\pi & (x < 0 \,\land\, y = 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
ただし、この表示は、計算の精度が上記より下がる。
この表示は、x < 0, y  0 の近くでは 不定形 0 に近づき、浮動小数点の計算において、計算が不安定となり、オーバーフローする可能性がある。この範囲でのオーバーフローを避けるには、もう1つの正接の半角公式 tan θ  1 − cos θ を用いて次の計算式が使われる:
\operatorname{Arg} (x + iy) = \begin{cases}
2 \tan^{-1} \dfrac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{y} & (y \neq 0) \\[0.1em]
0 & (x > 0 \,\land\, y = 0) \\[0.1em]
\pi & (x < 0 \,\land\, y = 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
主値 Arg は、プログラミング言語の数学ライブラリでは関数 atan2 あるいはその変種の言語を用いて多くの通常利用可能である。atan2(y, x) の主値は区間 (−π, π] である。
2つの複素数の乗除は、極形式表示することにより、簡明に行うことができる。複素数 z1, z2 の極形式表示を
とすると、
(何れも mod 2π)
z ≠ 0 で n が整数のとき、
\begin{align}
\arg (2+i) + \arg (3+i) &= \arg (2+i)(3+i) \\
&= \arg (5+5i) \\
&= \dfrac{\pi}{4} \pmod {2\pi} \quad //
\end{align}