遅延ポテンシャル
電磁気学における遅延ポテンシャル(ちえんぽてんしゃる、retarded potentials)は、真空におけるポテンシャル形式のマックスウェル方程式の解の一つで、与えられた電荷分布と電流分布によって作られる電磁場を表す。
は、真空におけるポテンシャル形式のマックスウェル方程式(後述の式(1-2-4))の解の一つで、以下の式(1-1-1)で与えられる。本節では、必要に応じたいくつかの数学的補足
をしながら、遅延ポテンシャルについて論じる。
\boldsymbol{A}_{\mathrm{ret}(\boldsymbol{r},t) =
\dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \dfrac{\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{ret})} \cdot\mathrm{d} \boldsymbol{s}
(1-1-1a)
\varphi_{\mathrm{ret}(\boldsymbol{r},t) =
\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0} \int \dfrac{\rho(\boldsymbol{s},{t}_{\mathrm{ret})} \mathrm{d} \boldsymbol{s}
(1-1-1b)
ここで、ds は、微小体積要素を表す。また、tretは、遅滞時間を表し、以下の式で与えられる。
t_{\mathrm{ret}:= t - \frac{c} (1-1-2)
電磁場は、光速
で伝播する。光速は有限な速度である。従って、過去に発生した原因(電流、電荷分布)と、それに起因して未来に起こる結果(電磁波の観測)との間には、時間遅れが生じる。遅滞時間は、この時間遅れを表現している。
遅延ポテンシャルに対して、
\boldsymbol{B}=\operatorname{rot}\boldsymbol{A}(1-1-3a)
\boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{A}{\partial t}-\operatorname{grad}[\phi] (1-1-3b)
とすると、ジェフィメンコ方程式 即ち
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}, t)
= \frac{\mu_0}{4 \pi}
{\int}_{\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^{3}
\left(
\frac{
\boldsymbol{i}(\boldsymbol{s}, {t}_{\mathrm{ret})}^{3
(S4-1-1b)
\frac{\partial }{\partial z}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{-z}\mathfrak{R}〕^{3
(S4-1-1c)
\operatorname{grad}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{-\mathfrak{R}\mathfrak{R}〕^{3
(S4-1-1d)
である。従って、式(S4-1-1)それぞれに、
{\mathfrak{R}=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}を代入すると
|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|\neq 0において、
\frac{\partial }{\partial {x}_{\boldsymbol{r}}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{
-({x}_{\boldsymbol{r}-{x}_{\boldsymbol{s})
}\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}〕^{3
(S4-1-2a)
\frac{\partial }{\partial {y}_{\boldsymbol{r}}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{
-({y}_{\boldsymbol{r}-{y}_{\boldsymbol{s})
}\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}〕^{3
(S4-1-2b)
\frac{\partial }{\partial {z}_{\boldsymbol{r}}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{
-({z}_{\boldsymbol{r}-{z}_{\boldsymbol{s})
}\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}〕^{3
(S4-1-2c)
\operatorname{grad}_{\boldsymbol{r}\left[\frac{1}\right]
=\frac{
-(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})
}\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}〕^{3
(S4-1-2d)
が得られる。同様に、式(S4-1-1)それぞれに、
{\mathfrak{R}=\boldsymbol{s}-\boldsymbol{r}を代入すると
|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|\neq 0において、
\frac{\partial }{\partial {x}_{\boldsymbol{s}}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{
({x}_{\boldsymbol{r}-{x}_{\boldsymbol{s})
}\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}〕^{3
(S4-1-3a)
\frac{\partial }{\partial {y}_{\boldsymbol{s}}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{
({y}_{\boldsymbol{r}-{y}_{\boldsymbol{s})
}\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}〕^{3
(S4-1-3b)
\frac{\partial }{\partial {z}_{\boldsymbol{s}}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{
({z}_{\boldsymbol{r}-{z}_{\boldsymbol{s})
}\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}〕^{3
(S4-1-3c)
\operatorname{grad}_{\boldsymbol{s}\left[\frac{1}\right]
=\frac{(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})}\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}〕^{3
(S4-1-3d)
も判る((S4-1-2) と符号が逆転していることに注意)。
\mathbb{R}^{3}上の点
\mathfrak{R}=(x,y,z)
\boldsymbol{r}=({x}_{\boldsymbol{r},{y}_{\boldsymbol{r},{z}_{\boldsymbol{r}),
\boldsymbol{s}=({x}_{\boldsymbol{s},{y}_{\boldsymbol{s},{z}_{\boldsymbol{s})
を考える。
|{\mathfrak{R}|\neq 0において、
\frac{\partial}{\partial {x}_{\boldsymbol{r}}
\left[\frac{1}{
^{2}
}\right]
=\frac{\partial}{\partial {x}
\left[
{
({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})^{-1}
}
\right]
=(-2{x})
{
({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})
}^{-2}
=\frac{-2({x})}{
^{4}
} (S4-2-1a)
が成り立つ。同様に、
\frac{\partial }{\partial y}
\left[\frac{1}^{4
(S4-2-1b)
\frac{\partial }{\partial z}
\left[\frac{1}\right]
=\frac{-2z}\mathfrak{R}〕^{4
(S4-2-1c)
\operatorname{grad}\left[
\frac{1}
\right]
=\frac{-2\mathfrak{R}
(S4-2-1d)
である。従って、式(S4-1-1)それぞれに、
{\mathfrak{R}=\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}を代入すると
|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|\neq 0において、
\operatorname{grad}_{\boldsymbol{r}\left[\frac{1}\right]
=\frac{
-2(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})
}\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}〕^{4
(S4-2-2)
が得られる。同様に、式(S4-1-1)それぞれに、
{\mathfrak{R}=\boldsymbol{s}-\boldsymbol{r}を代入すると
|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}|\neq 0において、
\operatorname{grad}_{\boldsymbol{s}\left[\frac{1}\right]
=\frac{2(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})}\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s}〕^{4
(S4-2-3)
も判る((S4-2-2) と符号が逆転していることに注意)。
本節では、特に本編の式(2-4-18) 即ち、以下の式(S4-3-1)を得るために必要な式変形を解説する。ここでは、|{\mathfrak{R}|\neq 0での挙動についてのみ扱う。|{\mathfrak{R}|= 0での挙動を含めた議論は、後述の式(S5-2-5)にて扱う。
\Delta\left[\frac{-1}{4\pi |\mathfrak{R}〕\right]=\delta(|\mathfrak{R}|) (S4-3-1)
\mathbb{R}^{3}上の点\mathfrak{R}=(x,y,z)を考える。
式(S2-4-2)(以下の式(S4-3-2))及び、式(S4-1-1d) (以下の式(S4-3-3))を考え合わせると、
\Delta=\nabla\cdot\nabla=\text{div}\,\text{grad} (S4-3-2)
\operatorname{grad}\left[\frac{1}\right]=\frac{-\mathfrak{R}\mathfrak{R}〕^{3  (S4-3-3)
\Delta\left[\frac{-1}\right]=
\operatorname{div} \left[\frac{-\mathfrak{R}\mathfrak{R}〕^{3\right]
=\frac{\partial }{\partial {x}\left[\frac{x}\right]
+\frac{\partial }{\partial {y}\left[\frac{y}\right]
+\frac{\partial }{\partial {z}\left[\frac{z}\right]
(S4-3-4)
が判る。式(S4-3-4)の右辺をさらに計算することを考える。
|{\mathfrak{R}|\neq 0において、積の微分及び、後述の式(S4-3-6)を考えると、
\frac{\partial }{\partial {x}
\left[\frac{x}〔\mathfrak{R}|^{3}\right]
=\frac{1}〔\mathfrak{R}|^{3}+x\frac{\partial }{\partial {x}
\left[\frac{1}〔\mathfrak{R}|^{3}\right]
=\frac{1}〔\mathfrak{R}|^{3}-
\frac{3{x}^{2}\mathfrak{R}} (S4-3-5a)
何となれば、
\frac{\partial }{\partial {x}
\left[\frac{1}^{3\right]=4\pi\delta(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{s})  (S5-2-5)
であることが判る。