論理学の歴史
ミルとフレーゲの著作の間で、論理学が広く記述科学として、あるいは推論の構造の経験的研究、また根本的には心理学の一分野として扱われた期間は半世紀に及んだ。例えばドイツの心理学者ヴィルヘルム・ヴントは「心理学的な思考法則から論理形式を」導き出すことを主張し、「心理学的思考は常によりわかりやすい形の思考である」と強弁した。この思想は当時のドイツの哲学者の間に広まった: テオドール・リップスは論理学を「心理学の内のある特定の規則」と評した; クリストフ・フォン・ジグヴァルトは論理的必然性を人間がある方法で考えようとする衝動に基礎づけられたものとして理解した; そしてベンノ・エルドマンは「論理的法則は我々の思考の範囲内にのみ存続する」と主張した。こういったものがミルの著作が発表されて以降の時期の支配的な見方であった。こういった論理学に対する心理的アプローチはゴットロープ・フレーゲによって否定された。同アプローチはエトムント・フッサールにも、その著書『論理学研究』(1900年)第一巻において包括的かつ破壊的な批判を成されてもいるが、この批判は「圧倒的」と評されている。論理学を心理学的考察によって基礎づけることは全ての論理学的真理を証明されていない状態にしてしまうことや懐疑主義・相対主義が不可避な結果であることを示唆しているとフッサールは強烈に主張した。
このような批判によっていわゆる「心理学主義」が即座に根絶されたわけではない。例えば、アメリカの哲学者ジョシア・ロイスはフッサールの批判の力は認めつつも、心理学の発展が論理学の発展を伴うものであり、逆もまた真であることを「疑いえない」と考え続けている。
14世紀から19世紀初めの間の期間は概して衰退と否定の時期であり、論理学史家によって一般に不毛期とみなされている。論理学の復活は、19世紀半ば、論理学が数学で用いられる正確な証明法を範とする厳密で形式的な学科へと発展する革命期に起こった。この時期の現代のいわゆる「記号」または「数理」論理学の発展は論理学2000年の歴史の中で最も顕著なものであり、人類の知性の歴史の中で最も重要で注目すべき出来事だと言える。
数多くの特徴によって現代論理学が旧来のアリストテレス論理学や伝統的論理学から区別されるが、中でもとくに重要なものは以下:  現代論理学は根本的には「計算」であって、この計算を遂行する規則は、用いられる記号の「意味」によってではなく、数学と同様に記号の「形式」によって決まる。現代論理学者は、真に数学的な結果に関して論争が長引くことがないという数学の「成功」に強く影響されている。ラプラスが定積分の計算を間違えたために月の軌道に関する誤りが起き、それが50年近く存続したとしても、誤りがひとたび見つけられると大きな論争を起こすことなく正されるとC・S・パースは述べている。パースはこれを伝統論理学にまつわる不確かさと、そして特に形而上学における推論と対比させているのである。真に「正確な」論理学は数学的な、つまり「図式的」・「記号的」な思考に基づくと彼は主張した。「こういった方法に則る者たちは[...]ひとたび疑われるとすぐに正されるものを除いてあらゆる誤りから免れるだろう。」 また、現代論理学は「抽象的」であるよりもむしろ「構成的」である; つまり、自然言語(あるいは妥当性に関する心理学的直観)から導き出した一般原理を抽象化・定式化するよりもむしろ、形式的な方法によって一般原理を構成し、その後に自然言語における解釈を模索するのである。これは完全に記号的である、つまり(中世論理学者が共義語と呼んだ)論理的に不変なものと自義語の両方が記号で表される。最終的に、現代論理学は心理的・認識論的・形而上学的な問いを堅く退ける。
現代論理学の発展は大きく五つの時期に分けられる:
ライプニッツから1847年までの胎動期、この時期には論理演算という発想が、特にライプニッツによって議論され発展したが学派が形成されることはなく、孤立した断続的な試みがなされては放棄され、あるいは無視された。
ブールの解析からシュレーダーの『講義集』(独:Vorlesungen)までの代数の時代。この時期には現代論理学の実践者が増加し、発展が大きく継続するようになった。
フレーゲの『概念記法』からラッセルとホワイトヘッドの『プリンキピア・マテマティカ』までの 論理主義者の時代。この時期は、全ての数学的・科学的談話の論理を一つの統一された体系にまとめ上げることを狙いとし、全ての数学的真理が論理的であるということ根本的原理として非論理的な語法を認めない論理主義者によって支配されていた。主な論理主義者にはフレーゲ、ラッセル、初期のヴィトゲンシュタインがいる。この時代の頂点となるのは、初期の発展の障害となっていた二律背反の徹底的な考察が行われ、解決が試みられた『プリンキピア・マテマティカ』である。
1910年代から1930年代までのメタ数学の時代、ヒルベルトの有限主義体系や レオポルト・レーヴェンハイムおよびスコーレムの非有限主義的体系においてメタ論理学の発展がみられ、さらにゲーデルおよびタルスキの著作の中で論理学とメタ論理学が組み合わされた。1931年に発表されたゲーデルの不完全性定理は論理学の歴史における最大の業績の一つである。1930年代後半にはゲーデルは集合論的構成可能性の理論を発展させた。
戦後論理学の時代、数理論理学が相互に関係するが離れている4つの研究領域、モデル理論、証明論、計算可能性理論、そして集合論に分かれ、その概念・方法が哲学に影響し始めた。
推論が純粋に機械的な過程によって表せるという発想は、同心環の体系によって結論を導くという(幾分風変わりな)方法を提案したライムンドゥス・ルルスに早くも見出される。オックスフォード計算家と呼ばれる論理学者たちの作品によって、言葉で論理的計算(羅:calculationes)を書き下ろす代わりに省略して文字を使う方法が作られ、例えばヴェネツィアのパウルスの『大論理学』(羅:Logica magna)で使われた。ライムンドゥス・ルルスから300年の後に、あらゆる論理学・推論は加法と減法という数学的作業に還元できるとイギリスの哲学者・論理学者のトマス・ホッブズが主張した。同じ発想はライプニッツの著書にも見出されるが、彼はライムンドゥス・ルルスとホッブズの著作を読んでいて、論理は組み合わせ処理あるいは計算によって表せると主張した。しかし、ライムンドゥス・ルルスおよびホッブズと同様に、彼も詳細で包括的な体系を構築するのには失敗しており、この話題に関する彼の著作は死後長い間公刊されなかった。通常言語は「無数の曖昧なもの」に従わなければならず計算には適さない、というのも計算の役目は推論において語の形式・構造から生まれる誤りを暴き出すことだからである、とライプニッツは言う; それゆえ、彼は複雑な概念を表現するために構成され得る基本的な概念をすべて含む人間の思考のいろはを見極めることと、「私たちが一目で誤りを発見できるように、そして人々が論争を行っているときにただ『計算してみよう』とだけ言うために、数学者がやるのと同じだけ確実に」推論を行う「推論計算機」を作ることとを提唱した。
ジェルゴンヌ(1816年)は、推論はそれに対して完全に明確な観念を持っているところの対象に関するものである必要はない、というのは代数的な操作はそこで使われた記号の意味の観念を有さずとも実行できるからだと述べた。ボルツァーノは変数の用語において論理的帰結つまり「演繹可能性」の定義を行う際に現代の証明論の基本的な観念を予想した: i, j, ...という変数があるとき、命題の集合a, b, c ...が真になるような任意の値をi, j, ...に代入したとき同時に命題n, o, p ...も真になるならn, o, p ...は a, b, c ... から演繹できる。これは今日では意味論的妥当性として知られている。
現代論理学は、ブールを起源としパース、ジェヴォンズ、シュレーダー、ジョン・ヴェンを含むいわゆる「代数学派」に始まる。彼らの目的はクラス、命題、確率の領域で推論を形式的に表せるように計算を発達させることであった。この学派は、1847年に発表されとても強い影響力を及ぼしたブールの作品『論理学の数学的分析』(英:Mathematical Analysis of Logic)とともに始まったが、ごく近い先駆者としてド・モルガン(1847年)がある。ブールの体系の基本的な発想は、代数学数式は論理的関係を表すのに使えるというものであった。ブールはこれを10台の頃に思いつき、リンカンの私学校時代に露払いとして用いた。例えば、xとyにクラスを表させ、=にクラスが同じ成員を持つことを表させ、xyにxとyの全ての成員を、そしてxとyの成員だけを表させ、等々。ブールはこれらを「選択記号」すなわち考察するためにある対象を選択する記号、と呼んだ。選択的記号が用いられた表現は「選択函数」と呼ばれ、選択的函数を含む方程式は「選択方程式」である。選択函数の理論と選択函数の「発展」は、真理函数とその加法標準形による表現という本質的に現代的な観念である。
ブールの体系はクラス論理学および命題論理学という二種類の解釈を許す。ブールは三段論法の理論で取り扱うような「一次命題」と命題論理学で取り扱う「二次命題」を区別し、異なる「解釈」の下で代数系が両者をどう表せるのかを示した。一次命題とは例えば「全住民がヨーロッパ系かアジア系である」である。二次命題とは例えば「全住民がヨーロッパ系であるか全住民がアジア系であるかのどちらかである」である。この二つは現代的な論理演算においては容易に区別でき、さらに後者は前者に包含されることも示せるが、ブールの体系ではこれを表すことができないのがブールの体系の大きな欠点である。
『記号論理学』(英:Symbolic Logic、1881年)において、ジョン・ヴェンは命題のクラスと真理値のBoolean relationを記述する上で領域の重なる図式を用いた。1869年にジェヴォンズはブールの方法が機械的に進められることを示し、「論理機械」を組み立てて翌年に王立協会に提出した。1885年にアラン・マーカンドが論理機械の電動版を作成しており、今も現存する()。
(存在命題を表すのにvという文字を使うなどの)ブールの体系の欠点は全て彼の追随者たちによって改善された。ジェヴォンズは1864年に『純粋論理学、または量とは別の質の論理学』(英:Pure Logic; or, the Logic of Quality apart from Quantity)を出版し、その中で非常に簡素化されたブールの体系に則って排他的論理和を表す記号を提案した。これは、シュレーダーの『講義集』(独:Vorlesungen、1890年–1905年)のなかでparallel columnに定理を適用する際に便利に利用された。パース(1880年)は、全てのブール選択関数を一つの原始的な二項演算「否定論理和」と、同頻度で「否定論理積」を利用して表す方法を示したが、他の多くのパースの業績と同様に、1913年にシェファーが再発見するまでは知られないままでいた。ブールの初期の著作も、パース(1867年)、シュレーダー(1877年)、ジェヴォンズ(1890年)に源を発する論理和の知識や、ジェルゴンヌ(1816年)が最初に提案しパース(1870年)が明確に表現した内含Inclusion (logic)という概念を欠いていた。
ブール代数系の成功により、あらゆる論理は代数的に表せると主張されるようになり、そういった形式で関係の論理を表そうという試みが生まれたが、その中でも最も野心的なものはシュレーダーの記念碑的作品『論理代数講義』(独:Vorlesungen über die Algebra der Logik、vol iii 1895)である。しかし基本的な考えはやはりパースによって予期されていた。
ブール以降、次の大きな発展はドイツの数学者ゴットロープ・フレーゲによってなされた。フレーゲの目的は論理主義の計画、つまり算術は論理と全く等しいと示すこと、にあった。論理学に対する厳密で形式的なアプローチにおいてフレーゲは先達の遥か先を行っており、また彼の計算法、いわゆる概念記法は重要である。フレーゲは数の概念が純粋に論理学的な手法で表されることを示そうと試み、その結果(彼が正しければ)計算や計算に還元できる全ての数学の分野は論理学に包含されるようになった。かれはこのことを提案した最初の著述家ではない。彼の先駆的作品『算術の基礎』(15章-17章)において、彼はライプニッツ、ミル、ジェヴォンズの業績を認めており、ジェヴォンズの「代数学は高度に発達した論理学、つまり論理的区別を欠いた数である」という主張を引いている。
フレーゲの処女作『概念記法』は命題論理を厳密に公理化した体系であり、たった二つの論理和(否定と論理包含)、二つの推論規則(モーダスポネンスと代入)、六つの公理のみで構築されている。フレーゲはこの体系の「完全性」に言及しているが、それを証明することはできなかった。しかし、最も顕著な革新は彼による、数学の関数の概念を使った量化子の説明であった。伝統的論理学では「カエサルは人間である」という文を「全ての人間は死すべきものである」と根本的には同じ形式のものだとして扱う。固有名詞を主語とする文はその固有名詞が普遍を表すものとして扱われ、「全てのカエサルは人間である」と解釈される。量化子による表現「全ての人間」は「全ての人間」と論理的・意味論的形式において異なり、普遍命題「全てのAはBである」は二つの「関数」、つまり「-はAである」と「-はBである」の、前者を満足する-は全て後者も満足するような合成命題であるとフレーゲは主張した。現代の記法では、これは以下のように表現される
(x) Ax -> Bx
日本語で書き下せば「全ての(任意の)xについて、AxならばBxである」となる。単称命題だけは主語-述語の形式をとり、還元できずに単称である、つまり一般命題に還元できない。対照的に普遍命題と特殊命題は単純な主語-述語の形式を決してとらない。「全ての哺乳類」が「全ての哺乳類は陸生である」という文の論理的主語であれば、文全体を否定するために述部を否定して「全ての哺乳類が陸生『というわけではない』」という文を与えるであろう。しかしこの場合はそうではない。このような通常言語文の関数的な分析は後に哲学と言語学に甚大な影響を与えた。
これはフレーゲの計算においては、ブールの「一次」命題が「二次」命題から異なった形で表せることを意味する。「全ての住民はヨーロッパ系かアジア系のどちらかである」は
(x) [ I(x) -> (E(x) v A(x)) ]
と表せるのに対して「全ての住民がヨーロッパ系であるか全ての住民がアジア系であるかのどちらかである」は
(x) (I(x) -> E(x)) v (x) (I(x) -> A(x))
フレーゲはブールの計算を否定して次のように述べている:
「真の違いは私が[ブールが行ったような]二つの部分への分割[...]と大量の同質な表現の提示を避けたことである。ブールにおいては二つの部分が並んでお互いに働き、結果一方が他方の鏡像ということになるが、まさにそのためにそれに対する何らの有機的な関係の代理を務めない。」
統一的・包括的な論理体系を提供しただけでなく、フレーゲの計算は古典的な多重普遍性問題をも解決した。「全ての女の子が男の子にキスをした」の曖昧さは伝統的論理学では表現困難だが、フレーゲの論理学ならばこれを量化子の射程の違いによって捉えることができる。そのため
(x) [ girl(x) -> E(y) (boy(y) & kissed(x,y)) ]
は、そこにいる全ての女の子に対応してキスをした相手である男の子(皆がそうする)が存在することを意味する。対して
E(x) [ boy(x) & (y) (girl(y) ->  kissed(y,x)) ]
は、何らかの特定の少年がいて彼に全ての女の子がキスをしたことを意味する。このような道具立てがなければ論理主義の計画はあやふやであったり不可能であっただろう。これを使うことでフレーゲは祖先関係、多対一関係、数学的帰納法の定義を与えた。
この時期はデーデキント、パシュ、ペアノ、ヒルベルト、ツェルメロ、ハンティントン、ヴェブレン、ハイティングらいわゆる数学派の著作刊行と重なっている。彼らの目的は幾何学、算術、解析、集合論のような数学の分野を公理化することであった。
論理主義計画は1901年のバートランド・ラッセルが示したパラドックスにより半致命的な頓挫を経験した。これによりフレーゲの素朴集合論から矛盾が導かれることが証明された。フレーゲの理論は、どんな形式的基準に対しても基準に適するもの全てを含む集合が存在するというものであった。それに対して、自身が自身の要素ではない集合を、それらだけを含む集合は自身の定義と矛盾する(それが自身の要素ではないならば自身の要素でないといけなくなるし、自身の要素であるならば自身の要素であってはいけないことになる)ということをラッセルが証明したのである。今日ではこの矛盾はラッセルのパラドックスとして知られている。このパラドックスを解決する重要な方法の一つはエルンスト・ツェルメロにより提案された。ツェルメロ集合論は最初の公理的集合論である。これが発展して今日標準的なものとなっているツェルメロ=フレンケル集合論(ZF)となった。
1910年-1913年に発表された数学基礎論において記念碑的なラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドによる三巻からなる作品『プリンキピア・マテマティカ』では階型理論を構築することでパラドックスを構築しようと試みられている: 要素の集合は互いが互いの要素であるよりもむしろ異なる型に属しており(集合は要素ではない; 要素は集合ではない)、「全ての集合の集合」なる概念について述べることはできない。『プリンキピア』は記号論理学においてよく定義された一連の公理と推論規則からすべての数学的真理を引き出そうという試みであった。
ゲーデルとタルスキの名前が1930年代、メタ数学-数学的手法を用いてメタ理論、つまり他の数学的理論に関する数学的理論、を作り出す数学-の発展において決定的な時代を支配した。メタ数学に対する初期の研究はヒルベルト・プログラムによって駆り立てられた。ヒルベルト・プログラムは、有限個の公理で全ての数学を基礎づけることで数学の基礎付けにおいて進行中の危機を解決しようとするもので、「有限主義」的な手法によって数学に無矛盾性を与え、全ての数学的言明の真偽を判断する手続きを提供する。メタ数学の研究が頂点に達したのは、一階述語論理による任意の文は論理的に妥当であるときに、そしてそのときのみ-すなわち、その文がその言語におけるいかなる構造においても真であるとき-導出可能である。これはゲーデルの完全性定理として知られる。その後、彼は二つの重要な定理を証明しており、ヒルベルト・プログラムはその元々の形では達成不可能であることがそれによって示された。二つのうちの一つ目は、アルゴリズムやコンピュータ・プログラムのような効果的方法によってその定理を並べ挙げることができるような無矛盾な公理系で自然数に関する全ての事実を与えられるようなものはないという定理である。そのような全ての系に対して、真であるがその系から証明できない自然数に関する命題が常に存在する。二つ目は、そうした系が自然数に関する基本的な事実を証明できるならば、その系は自身の無矛盾性を証明できないというものである。この二つの結果はゲーデルの不完全性定理、あるいは単に「ゲーデルの定理」と呼ばれる。後に、ゲーデルは選択公理および連続体仮説がツェルメロ=フレンケル集合論と無矛盾であることの証明の一環として集合論的構成可能性の概念を発達させた。
証明論においては、ゲルハルト・ゲンツェンが自然演繹とシークエント計算という概念を発達させた。自然演繹とは論理的推論を、それが実践の中で「自然に」起き、直観論理に最も容易に適用できるものであるように造形しようとする試みであり、シークエント計算は任意の形式的体系において論理的証明の導出を定式化するために構築される。ゲンツェンの著作以降、自然演繹とシークエント計算は証明論、数学的論理学、計算機科学といった分野に広く適用されてきた。また、ゲンツェンは正規化定理とカット除去定理を証明したが、これは論理的証明を正規の形式に還元するのに使われるもので直観論理及び古典論理に呈してなされた。
ウカシェヴィチの弟子アルフレト・タルスキは真理と論理的帰結の定義、論理的充足という意味論的概念によって最もよく知られている。1933年に、彼は(ポーランド語で)『形式言語における真理の概念』を発表し、その中で自身の真理の意味論を提案した: 「雪は白い」のような文は雪が白いときに、そしてそのときにのみ真である。タルスキの理論はメタ言語、つまり言明を真にするもの、と対象言語、つまり真であると主張される文を包含するもの、とを区別して、対象言語の語句と解釈の要素との間に一致(Tスキーマ)を与えた。真理を説明するという困難な課題に対するタルスキのアプローチは論理学と哲学に、特にモデル理論の発展に永続的に影響を与えている。タルスキは演繹系の方法論や完全性、決定可能性、無矛盾性、構造といった重要な諸原理に関する重要な研究も行っている。Anita Fefermanによれば、タルスキは「20世紀の論理学の相貌を一変させた。」
アロンゾ・チャーチとアラン・チューリングは計算可能性の形式的なモデルを提議し、1936年および1937年にそれぞれ独自にヒルベルトの「決定問題」を否定的に解決した。「決定問題」とは、任意の形式的・数学的言明が与えられたときにその言明の真偽をアルゴリズム的に決定できる手順を探求するものである。チャーチとチューリングはそのような手順が存在しないことを証明した; チューリングの論文ではアルゴリズム的な解決が存在しない数学的問題の重要な例として停止性問題が挙げられている。
チャーチの計算のシステムは発展してラムダ計算となり、一方チューリングマシンは多目的計算装置の標準的なモデルとなった。他にも数多くの計算モデルが提起されたが、それらは皆チャーチやチューリングが提案したものと同等の能力を持っていた。この結果から、人間が実行できる任意の確定的アルゴリズムはチューリングマシンも実行できるというチャーチ=チューリングのテーゼが導かれた。チャーチは補足的な決定不可能の結果を証明し、ペアノ計算も一階述語論理も決定不可能であることを示した。その後、1940年代にエミール・ポストとスティーヴン・コール・クリーネが計算可能性理論の射程を拡張し、チューリング次数の概念を導入した。
20世紀最初の十年の成果は分析哲学や哲学的論理学に、特に1950年以降の様相論理、時相論理、義務論理、適切さの論理といった分野に影響を及ぼした。
第二次世界大戦後、数理論理学は4つの互いに関連するが離れあった領域、つまりモデル理論、証明論、計算可能性理論、そして集合論に分かれた。
集合論においては、強制法がモデルを構築して独立した結果を得るための方法を提供して革命が起きた。1962年にポール・コーエンがこの方法を導入して連続体仮説と選択公理がツェルメロ=フレンケル集合論から独立であることを証明した。彼の技巧は導入してすぐに簡素化および拡張されたものであり、これ以降数理論理学のあらゆる分野で他の様々な問題に導入されてきた。
計算可能性理論の起源は1930年代-1940年代のチューリング、チャーチ、クリーネ、そしてポストにある。計算可能性理論は抽象的計算可能性の研究へと発展し、再帰理論として知られているものになった。優先度法は1950年代にAlbert MuchnikとRichard Friedbergにそれぞれ独立に発見され、チューリング次数と関連する構造の理解に大きな進展をもたらした。高次計算可能性理論の研究により計算可能性理論と集合論との結びつきが証明された。構成的解析学および計算可能性解析学といった分野は古典数学の定理の有効な内容を研究するために発展した; これらは代わる代わる逆数学の計画を引き起こした。計算可能性理論から別れた分野である計算複雑性理論もまた記述計算量の研究の結果として論理学的な術語を使用するという特徴を持つ。
モデル理論は数理論理学の手法を利用して特定の数学理論のモデルを研究する分野である。アルフレト・タルスキはこの分野の先駆的な著作を多く発表しており、この分野の名前も彼が発表した一連の著作の題名『モデル理論への貢献』に因んでいる。1960年代に、アブラハム・ロビンソンはモデル理論の技法を用いて無限小、つまり最初にライプニッツが提議した問題に基づいた計算・解析を発展させた。
証明論では、古典数学と直観的数学との関係がゲオルク・クライゼルの発明した実現可能性の手法やゲーデルの弁証法解釈といった道具を用いて解明される。この研究によってproof miningという同時代の領域が励起された。カリー=ハワード同型対応が、自然演繹と計算機科学で用いられる型付きラムダ計算論理との一致を含む、論理と計算との深い類似として起こった。結果として、この形式的体系のクラスが論理学的な面と計算機的な面との両方を説明するようになった; この研究領域は現代型理論として知られるようになった。順序解析や、パリス・ハリントンの定理のような算術における独立した結果の研究によっても進展が起きた。
この時期は、特に1950年代とそれ以降は、数理論理学の概念が哲学的思考に影響を与え始めた時期でもある。例えば、時制論理は時間で修飾された文を表現し、推理するために形式化された体系である。哲学者アーサー・プライアーは1960年代においてこの分野の発展に大きな役割を果たした。様相論理は形式論理学の射程を拡張してモダリティの要素(例えば、論理的可能性や必要性)を包含するようにした。ソール・クリプキの思想、特に可能世界に関する思想と今日クリプキ意味論と呼ばれている形式的体系は分析哲学に重大な影響を及ぼした。彼の最もよく知られ最も影響力を持った著作は『名指しと必然性』(1980年)である。義務論理は様相論理と緊密に関係している: 義務論理は義務、許可、その他関連する概念の論理的特徴を把握しようとする。アレクシウス・マイノングの弟子エルンスト・マリーはホワイトヘッドとラッセルの命題計算の統語論に基づいて『義務の基本法則』(独:Grundgesetze des Sollens)で初めて形式的な義務体系を提議した。第二次世界大戦後に創始された他の論理体系としてイランの数学者ロトフィ・ザデーが1965年に始めたファジィ論理がある。