多変数の微分
\mathbf{f}(\mathbf{x}) \simeq \mathbf{f}(\mathbf{p})+(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}](\mathbf{p})(\mathbf{x}-\mathbf{p})    (2-17)
とみなせることが分かる。
式 (2-8) から、\textbf{f} が \textbf{p} で微分可能であるとき、\textbf{f} は \textbf{p} において \mathbb{R}^n の任意のベクトル \textbf{a}, \textbf{b} と、任意の実数 \lambda , \mu に対して、
{\left. \partial_{\left[ \lambda \mathbf{a} + \mu \mathbf{b} \right]} \textbf{f} \right〕_{[\mathbf{x}]}
=\lambda \left( {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \textbf{f} \right〕_{[\mathbf{x}]} \right) + \mu \left( {\left. \partial_{[\mathbf{b}]} \textbf{f} \right〕_{[\mathbf{x}]} \right)    (3-1)
が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、
\begin{align}
&{\left. \partial_{[\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}]} \textbf{f} \right〕_{[\mathbf{p}]}={(J\textbf{f})}_{[\mathbf{p}]}(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})
&=\lambda {(J\textbf{f})}_{[\mathbf{p}]}(\mathbf{a}) + \mu {(J\textbf{f})}_{[\mathbf{p}]}(\mathbf{b})
&=\lambda \left( {\left. \partial_{[\mathbf{a}]} \textbf{f} \right〕_{[\mathbf{p}]} \right) + \mu \left( {\left. \partial_{[\mathbf{b}]} \textbf{f} \right〕_{[\mathbf{p}]} \right)
\end{align}
(3-2)
である。
また、(2-8) から、\textbf{f} が \textbf{p} で微分可能であるとき、\textbf{f} は \textbf{p} で {\mathbb{R}^{n} の任意のベクトル \textbf{a} に対して、
\begin{align}
&{\left. \partial_{[\mathbf{a}]}\textbf{f} \right〕_{[\mathbf{p}]} = {(J\textbf{f})}_{[\mathbf{p}]} \mathbf{a}
=\left( \begin{matrix}
{\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_1} \right〕_{[\mathbf{p}]}
& \cdots
& {\left. \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \right〕_{[\mathbf{p}]}  \\
& \ddots  & \\
{\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_1} \right〕_{[\mathbf{p}]}
& \cdots
& {\left. \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \right〕_{[\mathbf{p}]}
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
a_1  \\
\vdots   \\
a_n  \\
\end{matrix} \right)\\
&=\sum\limits_{j=1}^n a_i \left( {\left. \frac{\partial \textbf{f}{\partial x_j} \right〕_{\mathbf{p} \right)
\end{align}
(3-3)
が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。
次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な m×n 行列 A と、n 次元代数数ベクトル b を用いて
T(\textbf{x})=\textbf{A}\textbf{x}+\textbf{b}  (3-4)
の形で具体的な数式として書ける、{\mathbb{R}^{n}から{\mathbb{R}^{m}への写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点({\mathbb{R}^{n}の点)\textbf{p}で微分可能で、任意の点({\mathbb{R}^{n}の点)\textbf{p}において、
(JT)}_{[\mathbf{p}]=\textbf{A}  (3-5)
である。逆に、任意の点\textbf{p}において  (3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。
次に、合成写像の微分について説明する。\textbf{E}を{\mathbb{R}^{m}の開集合とし、\textbf{E}は、\textbf{f}の値域を含む(つまり、\textbf{f}(\textbf{D})\subset\textbf{E}、特に\textbf{f}(\textbf{p})\in\textbf{E}とする)とする。多変数ベクトル値関数
\mathbf{g}(\mathbf{y})=\left( \begin{matrix}
g}_{1(\mathbf{y})  \\
\vdots   \\
g}_{m(\mathbf{y})  \\
\end{matrix} \right)    (3-6)
は、\textbf{E}で定義され、\mathbb{R^{l}に値をとるとする。このとき、\mathbf{g}と\textbf{f}との合成写像\mathbf{g}\circ \textbf{f}は、\textbf{D}で定義され、\mathbb{R^{l}に値をとる多変数ベクトル値関数である。
\textbf{f}が点\textbf{p}で微分可能で、\mathbf{g}が、点\mathbf{f}(\mathbf{p})で微分可能であるとき、\mathbf{g}\circ \textbf{f}も\textbf{p}で微分可能で、
\left( J\left( \textbf{g}\circ \mathbf{f} \right) \right)}_{[\textbf{p}]=\left( J\mathbf{g} \right)}_{[\textbf{f}(\mathbf{p})]\cdot{(J\textbf{f})}_\textbf{p}    (3-7)
ここで“\cdot"とは、行列としての積である。
■証明
\textbf{f}を点\textbf{p}で一次展開し、
\textbf{g}を点\mathbf{f}(\mathbf{p})で(2-16)同様に一次展開すると、
\mathbf{f}(\mathbf{x})=(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{f}(\mathbf{p})+\mathbf{o_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}(\mathbf{x})    (3-8)
\mathbf{g}(\mathbf{y})=(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]\cdot (\mathbf{y}-\mathbf{f}(\mathbf{p}))+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+\mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\textbf{f}(\mathbf{p}))    (3-9)
となるので、
\mathbf{g}\circ \textbf{f}(\textbf{x})
=\mathbf{g}(\textbf{f}(\textbf{x}))
=(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]\cdot (\mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}))+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+\mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\textbf{f}(\mathbf{p}))
=(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]\cdot ((J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})+\mathbf{o_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}(\mathbf{x}))
+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+\mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))
=(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]\cdot (J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})+(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]\cdot \mathbf{o_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}(\mathbf{x})+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+\mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))
=(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]\cdot (J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}]\cdot (\mathbf{x}-\mathbf{p})
+\mathbf{g}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))
+\mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]\cdot \mathbf{o_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}(\mathbf{x})
(3-10)
である。従って
\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}{\mathop{\lim }\,\,\,\frac{\left( \mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p}))+(J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]\cdot \mathbf{o_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}(\mathbf{x}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\〕\,=0    (3-11)
を示すを示せば終証である。
以下(3-11)を示す。
\frac{\left( \mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\〕
=\,\frac{\left( \mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\〕\left( \frac{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\〕{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\〕 \right)
\,=\frac{\left( \mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\〕\left( \frac{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\〕{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\〕 \right)\,
(3-12)
より、
\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}{\mathop{\lim }\,\frac{\left( \mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\〕\,=\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}{\mathop{\lim }\,\frac{\left( \mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\〕\left( \frac{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\〕{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\〕 \right)\,    (3-13)
一方、
\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}{\mathop{\lim }\,\,\frac{\left( \mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\〕=\underset{\mathbf{f}(\mathbf{x})\to \mathbf{f}(\mathbf{p})}{\mathop{\lim }\,\,\frac{\left( \mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\〕    (3-14)
は、
\underset{\mathbf{y}\to \mathbf{f}(\mathbf{p})}{\mathop{\lim }\,\,\,\frac{\left( \mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{y}-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\〕    (3-15)
の特殊なケースに過ぎないので、
\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}{\mathop{\lim }\,\,\frac{\left( \mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\〕=0    (3-16)
さらに、
\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}{\mathop{\lim }\,\left( \frac{\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{p}) \right\〕{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\〕 \right)\,    (3-17)
は有限の値であることから、
\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}{\mathop{\lim }\,\,\frac{\left( \mathbf{o_{[\mathbf{g},\mathbf{f}(\mathbf{p})]}(\mathbf{f}(\mathbf{p})) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\〕=0    (3-18)
また、
\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}{\mathop{\lim }\,\,\,\,\frac{\left( (J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]\cdot \mathbf{o_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}(\mathbf{x}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\〕=0   (3-19)
は、
\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}{\mathop{\lim }\,\,\,\frac{\left( (J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]\cdot \mathbf{o_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}(\mathbf{x}) \right)}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\〕=\underset{\mathbf{x}\to \mathbf{p}{\mathop{\lim }\,\,\,\left( (J\mathbf{g})}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]\left( \frac{\mathbf{o_{[\mathbf{f},\mathbf{p}]}(\mathbf{x})}{\left\| \mathbf{x}-\mathbf{p} \right\〕 \right)\, \right)
(3-20)
であることと、線形写像の連続性から明らかである。
■
(3-7)を行列として具体的に表記すると
\left( J\left( \textbf{g}\circ \mathbf{f} \right) \right)}_{[\textbf{p}]=\left( \begin{matrix}
\left. \frac{\partial g}_{1}{\partial x}_{1} \right〕_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})] & \cdots  & \left. \frac{\partial g}_{1}{\partial x}_{m} \right〕_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]  \\
\vdots  & \vdots  & \vdots   \\
\left. \frac{\partial g}_{l}{\partial x}_{1} \right〕_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})] & \cdots  & \left. \frac{\partial g}_{l}{\partial x}_{m} \right〕_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]  \\
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}
\left. \frac{\partial f}_{1}{\partial x}_{1} \right〕_{[\mathbf{p}] & \cdots  & \left. \frac{\partial f}_{1}{\partial x}_{n} \right〕_{[\mathbf{p}]  \\
\vdots  & \vdots  & \vdots   \\
\left. \frac{\partial f}_{m}{\partial x}_{1} \right〕_{[\mathbf{p}] & \cdots  & \left. \frac{\partial f}_{m}{\partial x}_{n} \right〕_{[\mathbf{p}]  \\
\end{matrix} \right)(3-21)
となる。これから、
\left. \frac{\partial (\mathbf{f}\circ \mathbf{g})}_{i}{\partial x}_{j} \right〕_{[\textbf{p}]=_{[\textbf{f}(\textbf{p})]}\left. \frac{\partial g}_{k}{\partial x}_{j} \right〕_{[\textbf{p}](3-22)
が分かる。
次に(3-7)の合成写像の微分法を用いて、(1-8)式の計算をさらにすすめる。(1-8)式のうち、本議論に用いるものを(3-23)にて再掲する。
\left. \partial }_{[\mathbf{a}]f}_{i \right〕_{[\mathbf{p}]=0
(3-23)
(3-23)式の右辺に式(3-21)を適用すると、
s=(Jf}_{i)}_{l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]\left( l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}] \right)}_{s
=\left( \left. \frac{\partial f}_{i}{\partial x}_{1} \right〕_{[l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]],\cdots ,\left. \frac{\partial f}_{i}{\partial x}_{n} \right〕_{[l}_{[\mathbf{a},\mathbf{p}]] \right)
s\textbf{a}
=_{[s\mathbf{a}+\mathbf{b}]}   (3-24)
以上より、
\left. \partial }_{[\mathbf{a}]f}_{i \right〕_{[\mathbf{p}]=_{[s\mathbf{a}+\mathbf{b}]}      (3-25)
次に、(弱いほうの)逆写像定理(逆関数定理)を示す。\textbf{E}を{\mathbb{R}^{m}の開集合とし、\textbf{E}は、\textbf{f}の値域を含む(つまり、\textbf{f}(\textbf{D})\subset\textbf{E}、特に\textbf{f}(\textbf{p})\in\textbf{E}とする)とする。多変数ベクトル値関数
\mathbf{g}(\mathbf{x})=\left( \begin{matrix}
g}_{1(\mathbf{x})  \\
\vdots   \\
g}_{m(\mathbf{x})  \\
\end{matrix} \right) (3-26)
は、\textbf{E}で定義され、\mathbb{R^{m}に値をとるとする。さらに、\textbf{g}が\textbf{f}の逆写像、つまり
\mathbf{g}=\mathbf{f^{-1} (3-27)
とする。このとき、
(J\mathbf{f^{-1)}_{[\mathbf{f}(\mathbf{p})]}=\left( (J\mathbf{f})}_{[\mathbf{p}] \right)}^{-1 (3-28)
が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。
これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。
これまでの議論では、一点\textbf{p}を固定して、この点での微分可能性について議論してきた。本節では、領域全体での微分可能性について説明し、導関数を定義する。
\textbf Dを、{\mathbb{R}^{n}の開集合とし、
\mathbf{f}(x}_{1,,x}_{n)=\left( \begin{matrix}
f}_{1(x}_{1,,x}_{n)  \\
{\vdots}  \\
f}_{m(x}_{1,,x}_{n)  \\
\end{matrix} \right)    (4-1)
を、\textbf D上で定義され、{\mathbb{R}^{m}に値を取る多変数ベクトル値関数とする。
\textbf{a}を、{\mathbb{R}^{n}の固定されたベクトルとする。(\textbf{a}\notin\textbf Dでもよい。)このとき、「\textbf{f}が\textbf Dで、\textbf{a}について偏微分可能である」とは\textbf D内の全ての点において、(4-1)の意味で\textbf{f}が\textbf{a}について偏微分可能であることを意味する。このとき「\textbf{f}の\textbf{a}についての偏導関数\partial }_{[\mathbf{a}]\mathbf{f}」とは、「\textbf Dの点\textbf{x}と\textbf{x}における偏微分商\left. \partial }_{[\mathbf{a}]\mathbf{f} \right〕_{\textbf{x}を対応させる多変数ベクトル値関数」のことである。つまり、
\partial }_{[\mathbf{a}]\mathbf{f}(\textbf{x})=
\left. \partial }_{[\mathbf{a}]\mathbf{f} \right〕_{\textbf{x}    (4-2)
である。特に
\partial }_{[\mathbf{e}_{j}]\mathbf{f}(\textbf{x})=\left( \frac{\partial \mathbf{f}{\partial x}_{j} \right)(\textbf{x})    (4-3)
とする。
「\textbf{f}が\textbf Dで、微分可能である」とは、「\textbf D内の全ての点において、(2-2)の意味で\textbf{f}が微分可能」であることを意味する。
このとき「\textbf{f}の\textbf Dにおける導関数\mathbf{f^{'}」とは、「\textbf Dの点\textbf{x}と\textbf{x}における微分(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{x}]を対応させる行列値の関数」である。つまり、
{\mathbf{f}'(\mathbf{x})=(J\mathbf{f})}_{[\mathbf{x}]    (4-4)
である。\mathbf{f'}のことをJ\mathbf{f}や、T\mathbf{f}と書くこともある。
尚、「dfとヤコビ行列」で後述するように、d\textbf{f}は、文脈によっては、(4-4)と同じ意味で使われる場合がある。