CIE 1931 色空間
CIE1931色空間(シーアイイー 1931 いろくうかん) あるいはCIE1931表色系(シーアイイー 1931 ひょうしょくけい) は、電磁波の可視スペクトル域における物理的な色(複数の波長から構成される) と、心理学的な人間の色覚における知覚色との間の関係を初めて定量的に定義した色空間である。これら色空間により定義される数学的な関係式は、カラーマネージメントに欠かせないツールであり、印刷用インキ・トナーやディスプレイ、デジタルカメラなどの記録装置を扱う場合において非常に重要な情報になっている。
CIE 1931 RGB色空間、及びCIE 1931 XYZ色空間の2つの色空間が、1931年に国際照明委員会 (CIE)により定義された。 これらの色空間は、1920年代後半に行われたウィリアム・デビッド-ライト とジョン・ギルド の複数の実験結果から導き出された。この実験結果を統合してCIE RGB色空間が定義され、そこからCIE XYZ色空間が派生して定義された。
CIE 1931 色空間は、1976年にCIE LUV色空間が定義された現在でも広く使用され続けている。
正常なヒトの目には3種類の錐体細胞があり、波長のピークの感度において、それぞれ短波長 (S, 420 nm–440 nm)、中波長 (M, 530 nm–540 nm)、長波長 (L, 560 nm–580 nm) を感知する錐体細胞に分類される。これらの錐体細胞によって、ヒトの中~高輝度の条件下に於ける色覚が知覚されている(非常に弱い光のもとでは色覚は感じられなくなり、替わって桿体細胞が働くことで、色は感じなくてもモノクロの視覚を感知できる)。この三刺激値はそれぞれ、3種類の異なる刺激レベルをもつ錐体細胞と対応し、原理的にはすべての色を感知することができる。 3種の錐体細胞スペクトル感度におけるスペクトルごとの総和をもとめることで、三刺激値が得られ、この三刺激値で物体の色のスペクトルを表現することができる。このS、M、L三つのパラメータによりLMS色空間と呼ばれる3次元空間を表現できる。LMS色空間はヒトの色覚を表現するために考案された複数の色空間の一つである。
色空間は、物理的に生成された色(混合光、顔料など)を、特に三刺激値のような、目の色覚を表す客観的な表現に置き換えるものである。LMS色空間のように常に錐体細胞のスペクトル感度を直接定義するようなものではない。三刺激値に基づく色空間は、3色による加法混色モデルにおける三原色の総和を概念化したものと関連づけられている。LMS色空間やXYZ色空間のような一部の色空間においては、各々の原色は現実の色としては存在せず、どんなスペクトルの光をつかっても実現させることはできない。
CIE XYZ色空間は、平均的なヒトが知覚することができるすべての色を包含している。 このため三刺激値によるCIE XYZ色空間はデバイス非依存の色表現である 。CIE XYZ色空間を標準として用いて、他の多くの色空間が定義されている。LMS色空間のスペクトル感度曲線のような等色関数を用いて(負の値を持つか持たないかに限らず)、物理的に生成された光のスペクトルを特定の三刺激値に関連付けている。
様々な異なる波長が混合された二つの光源について考える。そのような光源は同じ色として認識されることがある。これを条件等色(メタメリズム) という。そのような同じ色と知覚される光源同士においては、光源がそれぞれどんなスペクトル分布であっても、二つの光源ともに同じ三刺激値を持っている。
殆どの波長においては、錐体細胞のスペクトル感度においてS, M, Lそれぞれのカーブが相互に重なっているため、二種類あるいは三種類の錐体細胞が刺激される。このため、一つの三刺激値のみを表すことは物理的に不可能である(例として、LMS三刺激値におけるM成分がゼロでない時、L成分もS成分もゼロにはなり得ない)。さらには、LMS三刺激値において、三原色の加法混色の色空間(例えばRGB色空間)では、単波長の色は少なくとも三色のうち一色は負の値になる。これは、三原色により定義される三角形の外側に色度が位置しているためである。このような負の値をもつRGB値を避けるため、および一つの成分が知覚的明度と一致するために、このような仮想上の原色が定義され、対応する等色関数が定義されている。CIE 1931色空間において、この三刺激値がそれぞれX, Y および ZとしてXYZ色空間上に定義されている。XYZすべての組み合わせにおいては、正の値のみを持つ。X, Y, Zの単色に相当する位置である[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0,0,1]に対応するのは、LMS表色系に於いて表現できる色の外側に位置する架空の色であり、これら架空の単色はどの波長分布の色とも一致せず、物理的には存在しない色である。
CIE 1931モデルにおいて、Y成分は輝度、Z成分は近似的に(CIE RGBの)青の成分、X成分はCIE RGBの3成分を混合したものであって、負の値にならないように選択されている(を参照)。Y成分を輝度とすることにより、任意のYの値に対し、XZからなる平面はその輝度において表現可能な全ての色度を確認することができる。
X, Y, およびZの三刺激値の成分の単位はしばしば任意に選択されるため、Y = 1あるいはY = 100がカラーディスプレイが表現できる最も明るい白となる。この場合、Yの値は相対輝度となる。X, Zに対する白色点の値は標準光源から特定することができる。
1950年台に錐体細胞の特性が解明されるよりも遥か以前に、XYZの値が定義されたため、その生理学的な意味が解明されるのも20年以上後になってからであった。1980年台に定義されたHunt-Pointer-Estevez行列により、 XYZとLMSが関係づけられた。
\begin{bmatrix}
X\\Y\\Z
\end{bmatrix}
=
\left[\begin{aligned}
1&.910\,20 \!\!\!&\!\! -1&.112\,12 \!\!\!&\!\! 0&.201\,91 \\
0&.370\,95 \!\!\!&\!\!  0&.629\,05 \!\!\!&\!\! 0&         \\
0&         \!\!\!&\!\!  0&         \!\!\!&\!\! 1&.000\,00
\end{aligned}\right]
\begin{bmatrix}
L\\M\\S
\end{bmatrix}_{\rm HPE}
異なる定義としては、Zの値はS錐体の反応から定義されており、Yの値はLおよびM錐体の反応を混合したもので、Xの値はLMSの3つの錐体全ての混合であると言える。すなわち、XYZの値はヒトのLMS錐体細胞の感度に類似するよう定義されているが、LMS錐体細胞の感度と完全一致するものではない。
三刺激値は、目の中の錐体細胞の分布状況により、観察者の視野に依存し変動してしまう。この依存性を排除するため、CIEは測色標準観察者を定義し、中心窩から2度の視野角で得られるヒトの標準的な色覚を定義した。この2度という角度は、中心窩から2度以内の場所に、色を知覚する錐体細胞が分布していると考えられていることから定義されている。このCIE 1931 測色標準観察者はCIE 1931 2°測色標準観察者とも呼ばれている。また、より新しい測色標準観察者として、CIE 1964 10°測色標準観察者が、スタイルス、バーチ およびスペランスカヤ により定義されている。
この10°視野角での実験では、観察者は中央から2°の範囲内は無視することにより実験が行われた。このCIE 1964 測色補助標準観測者は、4度以上の視野角での利用に推奨される。これらの測色標準観察者は両方とも、380 nm ~ 780 nm の波長域で 5 nm の離散化で行った上でCIEから配布されている 。全て実験から得られたデータは補間されて計算されている。測色標準観察者は三つの等色関数により特徴づけられている。
CIE等色関数 \overline{x}(\lambda), \overline{y}(\lambda) および \overline{z}(\lambda)  は、観察者(上記)の色覚応答を数値で表したものである。これはCIE X, Y, Zの三刺激値のスペクトル感度とも考えることが出来る。あわせて、これら三つの関数はCIE測色標準観察者機能として知られている。
ルックアップテーブルを用いた出力値の特定は、時にテーブルが巨大になり、実装が難しくなる。このためCIE XYZ等色関数はガウス関数による下記のような近似が可能である。
g(x) を区分ガウス関数とすると、
g(x; \mu, \sigma_1, \sigma_2) = \begin{cases}
\exp \bigl({ -\tfrac12(x-\mu)^2 / \sigma_1^2 }\bigr), &x < \mu, \\[2mu]
\exp \bigl({ -\tfrac12(x-\mu)^2 / \sigma_2^2 }\bigr),  &x \geq \mu.
\end{cases}
ここで、g(x) は頂点がx  μのガウス分布曲線を近似しており、標準偏差σ1が頂点から左側の曲線の広がりを表し、σ2が右側の広がりを表す。ナノメートル単位で計測された波長λを用いて、CIE 1931等色関数は下記のように近似できる。
\begin{align}
\overline{x}(\lambda) &= 1.056 g(\lambda; 599.8, 37.9, 31.0) + 0.362 g(\lambda; 442.0, 16.0, 26.7) \\[2mu]
&\quad - 0.065 g(\lambda; 501.1, 20.4, 26.2), \\[5mu]
\overline{y}(\lambda) &= 0.821 g(\lambda; 568.8, 46.9, 40.5) + 0.286 g(\lambda; 530.9, 16.3, 31.1), \\[5mu]
\overline{z}(\lambda) &= 1.217 g(\lambda; 437.0, 11.8, 36.0) + 0.681 g(\lambda; 459.0, 26.0, 13.8).
\end{align}
頂点から左右に分割を行わず、一つのガウス関数で近似をすることも可能である。実際CIE 1964では一つのガウス関数を用いている。
CIE XYZ等色関数では正の値のみが使われ、全ての色は正のXYZ座標で表現される。その他の、例えばCIE RGB色空間やその他のRGB色空間のような測色標準観察者は、異なる三つの等色関数により定義され、それぞれの値は負の値も含む。よってそれぞれの色空間では負の座標を含む。
この三刺激値は、測色標準観察者における色の分光放射輝度 Le,Ω,λ を用いて:
\begin{align}
X &= \int_\lambda L_{\mathrm{e},\Omega,\lambda}(\lambda)\,\overline{x}(\lambda)\,d\lambda, \\[6mu]
Y &= \int_\lambda L_{\mathrm{e},\Omega,\lambda}(\lambda)\,\overline{y}(\lambda)\,d\lambda, \\[6mu]
Z &= \int_\lambda L_{\mathrm{e},\Omega,\lambda}(\lambda)\,\overline{z}(\lambda)\,d\lambda.
\end{align}
ここで、\lambdaは単色光 (単位: ナノメートル)である。通例的に、積分区間は\lambda\in[380, 780]である。
X, Y, Zの値は、分光放射輝度Le,Ω,λ で囲まれる域内に分布される。
色料の場合も色光と非常に似ているが、分光放射輝度Le,Ω,λは色料の反射率または透過率S(λ)と光源の分光分布I(λ)との積に置き換えられる。
\begin{align}
X &= \frac{K}{N}\int_\lambda S(\lambda)\,I(\lambda)\,\overline{x}(\lambda)\,d\lambda, \\[8mu]
Y &= \frac{K}{N}\int_\lambda S(\lambda)\,I(\lambda)\,\overline{y}(\lambda)\,d\lambda, \\[8mu]
Z &= \frac{K}{N}\int_\lambda S(\lambda)\,I(\lambda)\,\overline{z}(\lambda)\,d\lambda,
\end{align}
ここで、
N = \int_\lambda I(\lambda)\,\overline{y}(\lambda)\,d\lambda,
Kは換算係数であり、通常1から100の値を取る。\lambdaは単色光相当の光の波長 (単位: ナノメートル)である。 積分区間は\lambda\in[380, 780]である。
ヒトの目には、三種類の色を感知するセンサーがあり、異なる領域の波長を感知するため、視覚可能な色をプロットしていくと三次元の図となる。一方で色の概念は、輝度と色度に分類される。例えば、白色は明るい色として定義され、灰色は白色の輝度が低い色ということが出来る。言い換えれば、白色の色度と、灰色の色度は同じであるが、輝度のみが異なる、といえる。
CIE XYZ色空間は、意図的にY成分が輝度となるよう設計されている。色度はxおよびzで表され、三つのうちの二つの、三刺激値X, Y, Zを用いて正規化した値:
x = \frac{X}{X+Y+Z}
y = \frac{Y}{X+Y+Z}
z = \frac{Z}{X+Y+Z} = 1 - x - y
x, yとYを用いて定義されるのがCIE xyY色空間で、これも広く用いられている。
三刺激値のうちXおよびZは、色度値xおよびy,Yから下記のように計算される:
X = \frac{Y}{y}x,
Z = \frac{Y}{y}(1 - x - y).
色度図を右に示す。 外側の曲線の境界線は、スペクトル軌跡と呼ばれ、ナノメートルで定義される波長が併記されている。色度図は、あるスペクトルの光がヒトの目にどのように見えるかを表すために使われる。よって、物体(あるいは印刷インキ)の色度は光源に依存するため、これを色度図でを用いることは出来ない。
数学的には、色度図の色は射影平面の領域と一致する。
色度図には、CIE XYZ色空間において下記の注目すべき点が挙げられる:
色度図は平均的な観察者が色覚できるすべての色度を表している。これらの色覚できる色とその領域は、ヒトの視覚における色域と呼ばれている。色域の中のすべての色覚可能な色度は馬蹄形(あるいは舌のような形)に内包される。色域の端部のカーブをスペクトル軌跡とよび、スペクトル軌跡は単色光(各々の点は単一の波長と色相を持つ)と一致し、図中では波長(単位ナノメートル)が記載されている。色域の下端部を結ぶ直線は純紫軌跡と呼ばれる。純紫軌跡上の色は、色域の端部に位置するものの、対応する単色光は存在しない。白色点を中心として、色域の中心部に彩度の低い色が分布している。
可視であるすべての色度は、x, y, zの正の値を用いて表現することができる(従ってX, Y, Zも正の値を取る)。
色度図において二つの任意の点を選択する。これら2点の間の直線上の色は、これら2点における二つの色の混色となる。また、色域は凸形状となっている。色度図において、三原色を混色したすべての組み合わせの色は、三原色それぞれの点を頂点とする三角形に内包される(原色が3つ以上あるときは、その原色数の多角形内に内包される)。
二つの等しい明るさをもつ色を等量で混色させると、一般には混色させる2点間の中間点には位置しない。すなわち、CIE xy色度図では、距離が実際の色の差異とは一致しない。1940年代初頭、デビッド・マクアダムが色差と視覚感度の研究を行い、マクアダム楕円を提案した。マクアダムの業績に基づいて、知覚的均一性(色空間における距離が実際の色差と一致すること)を目指して、CIE 1960, CIE 1964, CIE 1976色空間が提案された。これらはCIE 1931色空間とは異なる手法による改善ではあったが、完全に知覚的な歪みを補正することは出来ていない。
実際に存在するの三つの光源において、ヒトの知覚できる色域を必ずしも包含出来ない場合がある。幾何学的には、3つの点からなる三角形が形成する色域は、全体の色域を内包することができない。より単純に言えば、ヒトの色域は三角形で表すことはできない。
波長(1ナノメートル間隔で等しい明るさを持つ)の尺度において、等しい明るさのスペクトルを持つ光は、(x, y) = (1/3, 1/3)の点と一致する。
CIE RGB色空間は、RGB色空間の一つであり、原色がそれぞれ単波長光である特徴を有する。
1920年代、ウィリアム・デイヴィッド・ライト とジョン・ギルド がそれぞれ別々に行った、ヒトの視覚に関する複数の実験結果を基にして、CIE XYZ色空間は定義されている。ライトの実験では、3色による等色実験が10人の被験者により行われ、ギルドの実験では7人の被験者により行われた。
これらの実験は、円形状のスクリーンを、ヒトの中心窩の角度と同じ角度である2度で分割したものを用いた。片側には試験色が投影され、もう一方には被験者が調整することの可能な色が投影できる。この調整可能な色は、3原色の混合色であり、3原色それぞれの色度は固定されていたが、輝度は調整する事ができるようになっている。
被験者は、双方の色が一致するまで、三原色の輝度を調節していく。しかしながらこの方式では、すべて試験色を混合色と一致させることができなかった。このような一致できないケース(主に緑)において、試験色側に単色光のうちの一つ(赤)を混色させることで、残り2つの単色光と一致させることができた。このように試験色側に単色光を混色させる場合は、負の値の単色光が混色されることとして扱われる。このように負の値を混色していくことで、ヒトの色覚できる範囲のすべての色を包含することが可能となった。試験色側が単波長光の場合、波長を横軸として、各々の単色光の光量をプロットすることができる。このようにして定義される、特定の実験における3つの関係式を等色関数と呼ぶ。
ライトとギルドの等色実験においては、複数の種類の原色が用いられ、複数の被験者により行われたが、これら実験結果はすべて、700 nm(赤)、 546.1& nm(緑)および 435.8 nm(青)の原色により得られたCIE RGB 等色関数 \overline{r}(\lambda), \overline{g}(\lambda), および \overline{b}(\lambda) (CIE 1931) により正しく定義される。ここで、 \overline{r}(\lambda) および \overline{g}(\lambda) は 435.8 nm でゼロ、 \overline{r}(\lambda) および \overline{b}(\lambda) は 546.1 nm でゼロ、 \overline{g}(\lambda) および \overline{b}(\lambda) は 700 nmでゼロとなる。これは、これらの波長の点では、原色光が定義されているため、混色されないためである。単色光 546.1 nm と 435.8 nm は、水銀蒸気の放電現象により容易に再現させることができたため、選択された。700 nm の単色光は、1931年時点では容易に再現させることは難しかったが、ヒトの目の色覚において差異を殆ど知覚できず、波長の少しの差異が全体に及ぼす影響が少ないため、選択された。
この等色関数および単色光は、審議を経てCIEの特別委員会により承認された 。単波長光および長波長光の限界の値は、ヒトの目の色覚が 810 nm 程度までしか知覚できず、緑の光に比べればその感度は1000分の1程度しか無いため、ある意味適当に選択された。これら等色関数は、"1931 CIE測色標準観察者"としても定義されている。 各々の単色光の輝度を定義するのではなく、それら単色光の結果得られる不変の領域を表す曲線を定義している。この領域は、下記で与えられた特定の値になる
\int_0^\infty \overline{r}(\lambda)\,d\lambda = \int_0^\infty \overline{g}(\lambda)\,d\lambda = \int_0^\infty \overline{b}(\lambda)\,d\lambda.
この標準化された等色関数は、光源の輝度においてr:g:bの比が1:4.5907:0.0601、真の等色関数を再現する放射輝度において 72.0962:1.3791:1となる。このように単色光を提案することで、CIEは客観色の表記法を確立した。
このような数値化された等色関数により、ある色のRGBの三刺激値は、スペクトル分布 S(\lambda) を用いて下記のように求められる:
R = \int_0^\infty S(\lambda)\,\overline{r}(\lambda)\,d\lambda,
G = \int_0^\infty S(\lambda)\,\overline{g}(\lambda)\,d\lambda,
B = \int_0^\infty S(\lambda)\,\overline{b}(\lambda)\,d\lambda.
これらはすべて内積であり、無限の次元のスペクトルを三次元色に投影していると考えることが出来る。
ではなぜライトとギルドの実験結果が、異なる意図に基づく異なる原色光においても成立するのか?また、試験色が単波長光と一致しない場合はどうなる?という疑問が生じる。これら疑問への回答は、ヒトの色覚の線形性(近似的にほぼ線形性)に関係している。この線形性を表すのがグラスマンの法則である。
CIE RGB色空間は通常、色度を表すのに利用される。ここで色度座標におけるr, gおよび b は:
\begin{align}
r &= \frac{R}{R + G + B}, \\[5mu]
g &= \frac{G}{R + G + B}, \\[5mu]
b &= \frac{B}{R + G + B}.
\end{align}
CIE RGB等色関数を使ったヒトの視覚のRGBモデルの確立の過程で、CIE特別委員会のメンバーはCIE RGB色空間と関連しつつも異なる別の色空間を定義しようと考えた。その色空間はグラスマンの法則を踏襲しつつ、CIE RGB色空間を線形変換することが検討された。この新たな色空間は、上記記載の3つの新たな等色関数
\overline{x}(\lambda), \overline{y}(\lambda), および \overline{z}(\lambda) を導入することになった。この新たな色空間は下記の必要条件を考慮に検討が重ねられた:
新たな等色関数はすべての点で負の値を取らない。1931年当時においては、手計算あるいは計算尺が使われていたため、計算を簡略化するためには正の値が望まれる。
等色関数における\overline{y}(\lambda)は、"CIE測色標準観察者"における比視感度 V(λ) と正確に一致する。比視感度は波長ごとの輝度の知覚の揺れを定義している。比視感度は実際にRGB等色関数の線形組み合わせで表現できるという事実は、どんな手法であっても保証されていないが、ヒトの視覚の近似的線形性により、ほぼ正しいと期待できる。この必要条件の主な理由は計算の簡略化にある。
すべての光の強さが等しい白色点では、 x = y = z = 1/3 を満たす。
色度とx および yが正の値をとることにより、色域内のすべての色が三角形[1, 0], [0, 0], [0, 1]に内包される。実際に色域はこの三角形の領域に完全に内包される。
等色関数における\overline{z}(\lambda)は、650 nm以上においてゼロに設定でき、その精度は実験誤差の範囲にとどまる。これは計算簡略化のための必要条件である。
幾何学的観点においては、この新たな色空間を定義することは、rg色度座標上に新たな三角形の領域を定義することと等価である。右上の図で、rg色度座標はCIE 1931測色標準観察者の色域にそった2つの黒線の軸で描かれている。赤色の線はCIE xy 色度軸であり、上記必要条件を満たすように決められた。上記必要条件のXYZ座標値が負の値を取らないという条件については、Cr, Cg, Cbが標準観察者の色域すべてを包含することと等価である。Cr と Cb を結ぶ直線は、\overline{y}(\lambda)が輝度と一致するという条件を満たす。この直線は輝度がゼロの直線であり、無輝面と呼ばれる。\overline{z}(\lambda)が650 nm以上においてゼロであるという条件の意味は、Cg と Crを結ぶ直線が、 色域内のKrの領域と接していることを表す。これは Cr の位置を表す。すべての光の強さが等しい点で x = y = 1/3 となる条件は、Cb とCgの交差する点を制限する。最後に、条件の一つである色域が三角形領域に内包されるについては、緑色の領域の色域に近接するCg と Cbを結ぶ直線に第二の制限を与える。
これらの変換は、CIE RGB色空間からXYZ色空間への線形変換として定義できる。こうしてCIE特別委員会で定義された変換式は下記である:
変換行列内の数値および小数点の数については、CIE の標準が定義する数値そのものである。
\begin{bmatrix}
X \\
Y \\
\end{bmatrix}
= \frac{1}{b_{21}
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
R \\
G \\
\end{bmatrix}
= \frac{1}{0.176\,97}
\begin{bmatrix}
0.490\,00 & 0.310\,00 & 0.200\,00 \\
0.176\,97 & 0.812\,40 & 0.010\,630 \\
0.000\,0 & 0.010\,000 & 0.990\,00
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
R \\
G \\
\end{bmatrix}
上記行列の逆行列はCIEでは定義されていないものの、以下のように近似できる:
\begin{bmatrix}
R \\
G \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0.418\,47 & -0.158\,66 & -0.082\,835 \\
-0.091\,169 & 0.252\,43 & 0.015\,708 \\
0.000\,920\,90 & -0.002\,549\,8 & 0.178\,60
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
X \\
Y \\
\end{bmatrix}