メルテンスの定理
メルテンスの定理(メルテンスのていり、Mertens' theorems)は、1874年にフランツ・メルテンスにより証明された、素数を含んだ和や積の評価に関する一連の定理である。
素数定理より弱い評価を与えているが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。
p が素数を走るとき、次の評価が成り立つ。
\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}=\log n+O(1),
\sum_{p\leq n}\frac{1}{p}=\log\log n+b+o(1),
\prod_{p\leq n}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\frac{e^{-\gamma}+o(1)}{\log n}.
O, o はランダウの記号である。これらの不等式を順に、第一定理から第三定理と呼ぶ。
また第二定理に現れる定数 b をMeissel–Mertens定数という。
素数 p が n の階乗 n! を割り切る回数を e(p, n) とおくと
ルジャンドルの公式 より
e(n, p)=\sum_{i=1}^{\infty} \left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor
\frac{n}{p}-1\leq e(n, p)<\frac{n}{p-1}
が成り立つ。よって
\sum_{p\leq n}\log p\left(\frac{n}{p}-1\right)\leq \log n!=\sum_p e(n, p)\log p<\sum_{p\leq n}\frac{n\log p}{p-1}
\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}\leq \frac{1}{n} \left(\log n!+\sum_{p\leq n}\log p\right)
となるが、チェビシェフ関数の初等的な評価より
\sum_{p\leq n}\log p=\theta(n)<2n\log 2
が成り立ち、階乗の増大度について、
\log n!=\sum_{k=1}^n \log k=n\log n-n+O(\log n)
がすぐわかる(スターリングの公式はより強い近似を与えるが、上の近似はより容易に導かれる)から
\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}\leq \frac{1}{n} \log n!+2\log 2\leq \log n+C_1
となる定数 C_1が存在する。一方
\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p}\geq \sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p-1}-C_2>\frac{1}{n} \log n!-C_2 \geq \log n-C_3
となる定数 C_2, C_3 が存在することは
\sum_{p\leq n}\frac{\log p}{p(p-1)}<\sum_{k=1}^\infty \frac{\log k}{k(k-1)}<\sum_{k=1}^\infty \frac{2\log k}{k^2}
が収束することからわかる。
S(x)=\sum_{p\leq x}\frac{\log p}{p}, R(x)=S(x)-\log x とおく。第一定理より R(x)=O(1) である。よって積分
\int_{2}^{x} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}
はx\rightarrow\inftyのとき収束する。したがって、アーベルの総和公式より
\begin{align} \sum_{p\leq n}\frac{1}{p}
&= \frac{S(n)}{\log n}+\int_{2}^{n} \frac{S(t)}{t\log^2 t}dt\\
&= 1+\frac{R(n)}{\log n}+\int_{2}^{n} \frac{dt}{t\log t}+\int_{2}^{n} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}\\
&= \log\log n+1-\log\log 2+\frac{R(n)}{\log n}+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}-\int_{n}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t} \\
&= \log\log n+1-\log\log 2+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}+\frac{R(n)}{\log n}+O\left(\int_{n}^{\infty} \frac{dt}{t\log^2 t}\right)\\
&= \log\log n+1-\log\log 2+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}+O\left(\frac{1}{\log n}\right)
\end{align}
となるので、第二定理は
b=1-\log\log 2+\int_{2}^{\infty} \frac{R(t)dt}{t\log^2 t}
について成り立つ。
\sum_{p\leq n} -\log\left(1-\frac{1}{p}\right)=\sum_{p\leq n}\frac{1}{p}+\sum_{p\leq n}\sum_{m\geq 2}\frac{1}{mp^m}
\sum_{p>n}\sum_{m\geq 2}\frac{1}{mp^m}=O\left(\sum_{p>n}\frac{1}{p^2}\right)=O\left(\frac{1}{n}\right)
から、第二定理よりすぐに導かれる。
定数部分が e^{-\gamma} であることの証明は概略のみ述べる。
h(s)=\sum_p \frac{1}{p^s}, g(s)=h(s)+\log \zeta(s)=\sum_p \frac{1}{p^s}-\log\left(1-\frac{1}{p^s}\right), P(x)=\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}
とおく( g (s) についての等式はリーマンゼータ関数のオイラー積から得られる)。アーベルの総和公式を用いて
h(s)=(s-1)\int_{1}^{\infty}\frac{P(t)}{t^s}dt
が得られる。ここで t=e^{u/(s-1)} とおくとオイラーの定数の積分表示から
(s-1)\int_{1}^{\infty}\frac{\log\log t}{t^s}dt=\int_{1}^{\infty}e^{-u}\log\frac{u}{s-1}dt=-\gamma-\log (s-1)
となる。これと第二定理を用いて
h(s)+\log (s-1)+\gamma-b\rightarrow 0 (s\rightarrow 1+0)
が示せる。(s-1)\zeta(s)\rightarrow 1 (s\rightarrow 1+0) より
g(1)=\lim_{s\rightarrow 1+0} g(s)=\lim_{s\rightarrow 1+0} (h(s)+\log \zeta(s))=b-\gamma
\sum_{p\leq x}\log\left(1-\frac{1}{p}\right)=-\gamma+b-P(x)+o(1)
である。再び第二定理を用いて
\sum_{p\leq x}\log\left(1-\frac{1}{p}\right)=-\gamma-\log \log n+o(1)
が得られ、第三定理が示される。