球函数に対するプランシュレルの定理
数学における球函数に対するプランシュレルの定理(プランシュレンのていり、Plancherel theorem for spherical functions)は半単純リー群の表現論における重要な結果で、最終形はハリッシュ=チャンドラによる。この定理は、古典調和解析に属する実数の加法群の表現論におけるプランシュレルの公式およびフーリエ変転公式の、非可換調和解析における自然な一般化であり、微分方程式論とも同様に近しい相互関係を持つ。
「球函数に対するプランシュレルの定理」は、半単純リー群に対する一般のプランシュレルの定理(これもハリッシュ=チャンドラが示した)の、帯球函数に対する特別の場合である。プランシュレルの定理は、対応付けられた対称空間 X 上のラプラス作用素に対する球対称函数 (radial function) の固有函数展開を与えるものであり、また L2(X) 上の正則表現の、既約表現への直積分分解をも与えるものである。双曲空間の場合には、これらの展開はメーラー、ワイル、フォックによる既知の結果として知られていた。
主要な参考文献として、網羅的な教科書  にこの主題に関する話題がほとんど全て載っている。
単模な局所コンパクト群 G に対する抽象的なプランシュレルの公式の最初の版は、ジーゲルとモートナーによる。同じころ、ハリッシュ=チャンドラ、ゲルファントとナイマークは、実二次特殊線型群 SL(2 R) および複素半単純リー群、特にローレンツ群に対する明示公式を導いた。またモートナーは、極大コンパクト部分群 K に対応する「位相的」対称空間 G/K に対する、より単純な抽象公式を導いている。ゴドマンはより具体的で申し分のない形で、G/K 上の球函数のクラスである正定値帯球函数に対する公式を与えている。G が半単純リー群のとき、それら球函数 φλ は、ユークリッド空間の有限鏡映群の作用による商に値をとる径数 λ で添字付けられるから、問題はこの径数付けのもとでプランシュレル測度を明示的に決定することが中心課題となる。常微分方程式のスペクトル論からワイルの考え方を一般化して、ハリッシュ=チャンドラは、 彼に名高い c-函数 c(λ) を球函数 φλ の漸近挙動を記述するために導入して、c(λ)−2dλ をプランシュレル測度として提唱した。彼が示したのは、公式の G が複素または実階数 1 である特別の場合であり、これは特に G/K が双曲空間である場合をカバーしている。一般の場合については、c-函数およびいわゆる球フーリエ変換の性質に関する二つの予想に還元される。c-函数に対する明示公式は、後にバーニュ=マーシーが古典的半単純リー群の広範なクラスに対するものを得ている。それからこれらの公式に促されて Gindikin と Karpelevič は、c-函数に対する蹟公式を導出した。これは階数 1 の場合にはハリッシュ=チャンドラの公式の計算に帰着される。これらの仕事は、最終的にハリッシュ=チャンドラによってまとめられ、1966年に球函数に対するプランシュレルの定理の証明が完成した。
多くの特別の場合、例えば複素半単純群やローレンツ群において、その理論を直接的に推し進める単純な方法が存在する。これらの群のある種の部分群は、よく知られたアダマールの「降下法」を一般化した手法によって扱うことができる。特に  は、実半単純群に対する球変換の性質をその複素化から還元する一般手法を与えた。
球変換に対する主要な応用および動機の一つはセルバーグ蹟公式であった。古典的なポワソン和公式は、ベクトル群上のフーリエ反転公式を余コンパクト格子上の総和に結び付けるが、この和公式の類似物としてのセルバーグ蹟公式は、ベクトル群を G/K で、フーリエ変換を球変換で、格子を余コンパクト(あるいは補有限)離散部分群で、それぞれ取り替えたものである。セルバーグのオリジナルの論文  は球変換を暗黙の裡に用いており、球変換を前面に持ち出すのは  で、これには特にセルバーグのスケッチに沿ってSL(2,R) に対する初等的な取り扱いが示されている。
G を半単純リー群、K を G の極大コンパクト部分群とする。G 上のコンパクト台付き両側 K-不変函数からなるヘッケ環 Cc(K\G/K) はヒルベルト空間 H=L2(G / K) に畳み込みで作用する。G ⁄ K は対称空間ゆえ、この ∗-代数は可換である。その像の、作用素ノルムに関する閉包は、単位的でない可換 C∗-環 \mathfrak{A} であり、ゲルファント同型によってそのスペクトル X 上の連続函数で無限遠で消えているものの全体と同一することができる。このスペクトルの点は、\mathfrak{A} から C への連続 ∗-準同型、即ち \mathfrak{A} の指標で与えられる。
S′ で H 上の作用素の集合 S の交換団を表すならば、\mathfrak{A}' は H 上の G の正則表現の交換団と同一視することができる。そうして、\mathfrak{A} は H における K-不変ベクトル全体の成す部分空間 H0 を変えない。さらに言えば、それが H0 上で生成する可換フォンノイマン環は極大可換部分環である。スペクトル論により、局所コンパクト空間 X 上の測度 μ と、H0 と L2(X, μ) の間のユニタリ変換 U で \mathfrak{A} に属する作用素の全体を対応する乗算作用素の全体の上へ写すものとが、本質的にただ一つ存在する。
この変換 U を球フーリエ変換あるいは単に球変換と呼び、μ をプランシュレル測度と呼ぶ。ヒルベルト空間 H0 は G 上の両側 K-不変自乗可積分函数全体の成す空間 L2(K\G/K) と同一視することができる。
\mathfrak{A} の指標 χλ(即ち X の点)は、Cc(K\G/K) に属する f に対する等式
\chi_\lambda(\pi(f)) = \int_G f(g)\cdot \varphi_\lambda(g) \, dg
を通じて G 上の正定値球函数 φλ によって記述することができる。ただし、π(f) は \mathfrak{A} における畳み込み作用素であり、積分は G のハール測度に関するものである。
G 上の球函数 φλ はハリッシュ=チャンドラの公式
\varphi_\lambda(g) = \int_K \lambda'(gk)^{-1}\, dk
で与えられる。この式に関して:
積分は K 上のハール測度に関するものである。
λ は A* = Hom(A,T) の元である。ただし A は G の 岩澤分解 G = KAN における可換ベクトル部分群 A とする。
λ′ は以下のようにして G 上で定義される。まず λ を、A の上への群準同型を用いて可解部分群 AN の指標へ延長し、
\lambda'(kx) = \Delta_{AN}(x)^{1/2} \lambda(x)\quad (k\in K,\,x\in AN)
と定める。ただし、ΔAN は AN のモジュラスとする。
相異なる二つの指標 λ1, λ2 が同じ球函数を定める必要十分条件は、λ1 = λ2·s となることである。ただし s は A のワイル群 W = NK(A)/CK(A) の元とする。この剰余群は A の K における正規化群を同じく A の K における中心化群で割ったもので、有限鏡映群を成す。
ここから、
「X は商空間 A∗/W と同一視することができる」
ことがわかる。
球函数 φλ は G の球主系列の行列要素と同一視することができる。M が K における A の中心化群のとき、これは MAN の A の上への準同型と指標 λ との合成によって与えられる B = MAN の指標から誘導される G のユニタリ表現 πλ として定義される。この誘導表現は、G 上の函数 f で
f(gb)=\Delta(b)^{1/2} \lambda(b) f(g)\quad (b\in B)
を満たすものに対し、
\pi(g)f(x)=f(g^{-1}x)
で作用が定義されるものである。ただし、
\|f\|^2 = \int_K |f(k)|^2 \, dk < \infty
とする。このような函数 f は L2(K / M) に属する函数と同一視され、指標は
\chi_\lambda(g)=(\pi(g)1,1)
となる。
の示すところによれば、球主系列表現は既約で、そのような二つの表現 πλ, πμ がユニタリ同値となることと、A のワイル群の適当な元 σ に対して μ = σ(λ) となることとが同値になる。
複素特殊線型群 G = SL(2,C) は四元的上半平面
\mathfrak{H}^3=\{x + yi + tj\mid t>0\}
にメビウス変換として推移的に作用する。即ち、二次の複素正方行列が
g=\begin{pmatrix} a & b \\ c& d \end{pmatrix},\quad g(w)=(aw+b)(cw +d)^{-1}
として作用する。一点 j の固定部分群は極大コンパクト部分群 K = SU(2) であり、故に  \mathfrak{H}^3 = G/K が成り立つ。この上半平面には G-不変リーマン計量
ds^2 =r^{-2}(dx^2 + dy^2 + dr^2)
が入り、対応する体積要素 dV とラプラス作用素 Δ が
dV= r^{-3}\, dx\,dy\,dr,\quad \Delta = -r^2(\partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_r^2) + r\partial_r
と定まる。上辺平面 \mathfrak{H}^3 の各点は、SU(2) の元 k を用いて k(etj) と書くことができて、t は符号の違いを除いて決まる。またこのラプラス作用素 Δ は、SU(2)-不変函数の上で
\Delta= - \partial_t^2 - 2 \coth t \partial_t
なる形に書くことができて、実数値助変数 t の函数と見做すことができる。SU(2)-不変函数の積分は
\int f dV= \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\sinh^2 t \, dt
で与えられる。自乗可積分 SU(2)-不変函数の空間と L2(R) とを、ユニタリ変換 Uf(t) = f(t) sinh t で同一視すると、Δ は作用素
U^*\Delta U = -{d^2\over dt^2} + 1
に写される。ここで R に対するプランシュレルの定理およびフーリエ反転公式を用いれば、任意の SU(2)-不変函数 f は球函数
\Phi_\lambda(t)={\sin \lambda t\over \lambda \sinh t}
\tilde{f}(\lambda)=\int f \Phi_{-\lambda} \, dV,\quad
\text{and}\quad f(x)=\int \tilde{f}(\lambda)\Phi_\lambda(x) \lambda^2 \,d\lambda
によって表すことができる。
fi ∈ Cc(G/K) として f= f_2^*\star f_1 および  f^*(g)=\overline{f(g^{-1})} と置き、i での値を評価することにより、プランシュレルの公式
\int_G f_1\overline{f_2} \, dg = \int \tilde{f}_1(\lambda) \overline{\tilde{f}_2(\lambda)}\, \lambda^2 \, d\lambda
が導かれる。これを両側不変函数に対して用いれば、
球函数に対するプランシュレルの定理
写像
U\colon L^2(K\backslash G/K) \to L^2(\mathbb{R},\lambda^2\,d\lambda);\;
f \mapsto \tilde{f}
はユニタリで、f ∈ L1(K\G/K) による畳み込み作用素を \tilde{f} による乗算作用素へ写す。
球函数 Φλ はラプラス作用素
\Delta \Phi_\lambda= (\lambda^2 + 1) \Phi_\lambda
の固有函数であり、また R 上のシュヴァルツ函数はハリッシュ=チャンドラ・シュヴァルツ函数の空間
\mathcal{S} = \{f\mid \sup_t |(1+t^2)^N(I+\Delta)^M f(t)\sinh(t)|<\infty\}
に属する函数 f の球変換として表せられる。ペイリー・ウィーナーの定理により、コンパクト台付き滑らかな SU(2)-不変函数の球変換はちょうど、指数的増加条件
|F(\lambda)|\le C e^{ R \cdot |{\rm Im}\,\lambda〕
を満足する C 上の正則函数の制限であるような R 上の函数である。G 上の函数として Φλ は L2(C) において定義される球主系列の行列要素になっている。ただし、C は \mathfrak{H}^3 の境界と同一視するものとする。表現は等式
\pi_\lambda(g^{-1})\xi(z)=|cz + d|^{-2-i\lambda} \xi(g(z))
で与えられる。また函数
\xi_0(z)=\pi^{-1} (1+|z|^2)^{-2}
は SU(2) で固定され、
\Phi_\lambda(g)=(\pi_\lambda(g)\xi_0,\xi_0)
が成り立つ。この表現 πλ は既約であり、これとユニタリ同値なものは λ の符号を変えたものに限る。
Wf(\lambda,z)= \int_{G/K} f(g) \pi_\lambda(g)\xi_0(z) \, dg
で与えられる  L^2({\mathfrak H}^3) から L2([0,∞) × C)(最初の因子には測度 λ2dλ を入れる)の上への写像 W はユニタリであり、かつ  L^2({\mathfrak H}^3) の球主系列への直積分分解を与える。
実特殊線型群 G = SL(2,R) はポワンカレ上半平面
\mathfrak{H}^2=\{x + ri\mid r>0\}
にメビウス変換として推移的に作用する。即ち実行列は
g=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},\quad g(w)=(aw+b)(cw +d)^{-1}
なる変換を定める。一点 i の安定化部分群は極大コンパクト部分群 K = SO(2) であり、 \mathfrak{H}^2 = G/K が成立する。上半平面には G-不変リーマン計量
ds^2 =r^{-2}(dx^2 + dr^2)
が入り、対応する面素 dA とラプラス作用素 Δ がそれぞれ
dA= r^{-2}\, dx\,dr,\quad \Delta = -r^2(\partial_x^2  + \partial_r^2)
で与えられる。\mathfrak{H}^2 の各点は k ∈ SO(2) を用いて k(eti) の形に書くことができて、t は符号の違いを除いて決まる。ラプラス作用素は SO(2)-不変函数の上で
\Delta= - \partial_t^2 - \coth t \partial_t
の形に書くことができて、実径数 t の函数と見ることができる。SO(2)-不変函数の積分は
\int f \, dA= \int_{-\infty}^{\infty} f(t)|\sinh t|dt
で与えられる。この常微分方程式に対して、対応する固有函数展開を導出する方法はいくつかあるが、例えば:
古典的な常微分方程式のスペクトル論を超幾何方程式に適用する (Mehler, Weyl, Fock);
アダマールの降下法の一種で、二次元の双曲空間を、三次元の双曲空間の SL(2,C) の一径数部分群による自由作用で割った商として実現する;
セルバーグとゴドマンに従って、アーベルの積分方程式;
軌道積分 (Harish-Chandra, Gelfand & Naimark).
二つ目と三つ目の手法は後述する。降下法については二種類の異なるものを記述する。アダマールによる古典的な降下法は、双曲空間上の熱方程式および波動方程式の取り扱いに適している。また、フレンステッド-イェンゼンの降下法は双曲面 (hyperboloid) 上のものである。
f(x,r) が \mathfrak{H}^2 上の函数で
M_1f(x,y,r)=r^{1/2}\cdot f(x,r)
とすれば、{\mathfrak H}^n 上のラプラス作用素 Δn に関して
\Delta_3 M_1 f= M_1(\Delta_2 + {3\over 4})f
が成立する。SL(2,C) の作用は Δ3 と可換であるから、SO(2)-不変函数上の作用素 M0 が SU(2) の作用による M1f の平均化として得られて、
\Delta_3 M_0= M_0(\Delta_2 + {3\over 4})
を満足する。また、随伴作用素 M1∗ が
M_1^* F(x,r)=r^{1/2} \int_{-\infty}^\infty F(x,y,r)\, dy
\int_{\mathfrak{H}^3} (M_1f)\cdot F \,dV = \int_{\mathfrak{H}^2} f\cdot (M_1^*F) \,dA
を満足する。同じく随伴作用素 M0∗ が M∗f の SO(2) 上の平均化として定義されて、
\int_{\mathfrak{H}^3} (M_0f)\cdot F \,dV = \int_{\mathfrak{H}^2} f\cdot (M_0^*F) \,dA
が SU(2)-不変函数 F と SO(2)-不変函数 f に対して成立する。ここから
M_i^* \Delta_3=  (\Delta_2 + {3\over 4})M_i^*
となることがわかる。函数
f_\lambda= M_1^* \Phi_\lambda
は SO(2)-不変で
\Delta_2 f_\lambda= (\lambda^2 +{1\over 4})f_\lambda
を満足する。一方、
b(\lambda)=f_\lambda(i)=\int {\sin \lambda t \over \lambda \sinh t} \, dt= {\pi\over \lambda} \tanh{\pi\lambda\over 2},
は ±R, ±R + πi を頂点とする矩形の周りで e^{i\lambda t}/\sinh t を積分することによって計算できる。このとき固有函数
\phi_\lambda=b(\lambda)^{-1} M_1\Phi_\lambda
は正規化条件 φλ(i) = 1 を満足する。このような解は、常微分方程式のロンスキ行列式が消えるか、さもなくば sinh r を不定元とする冪級数に展開されるかの何れかでなければならない。これにより、
\varphi_\lambda(e^t i)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi} (\cosh t - \sinh t \cos \theta)^{-1-i\lambda} \, d\theta
がわかる。同様にして
\Phi_\lambda = M_1 \phi_\lambda
が得られる。\mathfrak{H}^2 上の SO(2)-不変函数の球変換が
\tilde{f}(\lambda)=\int f \varphi_{-\lambda} \,dA
で定義されるならば、
{(M_1^* F)}^\sim(\lambda) = \tilde{F}(\lambda)
が成り立つ。f = M1∗F と取れば、F に対する SL(2,C)-反転公式から直ちに、\mathfrak{H}^2 上の SO(2)-不変函数に対する球反転公式
f(x)=\int_{-\infty}^\infty \varphi_\lambda(x) \tilde{f}(\lambda)\,{\lambda \pi\over 2} \tanh({\pi\lambda\over 2})\, d\lambda
が導かれる。
SL(2,C) の場合と同じく、ここから直ちに Cc(SL(2,R)/SO(2)) に属する fi に対するプランシュレルの公式
\int_{\mathfrak{H}^2} f_1\overline{f_2} \,dA = \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}_1 \overline{\tilde{f}_2}
\,{\lambda \pi\over 2} \tanh({\pi\lambda\over 2})\, d\lambda
が得られる。球函数 φλ はラプラス作用素
\Delta_2 \varphi_\lambda= (\lambda^2 + {1\over 4}) \varphi_\lambda
の固有函数である。R 上のシュヴァルツ函数はハリッシュ=チャンドラ・シュヴァルツ函数の空間
\mathcal{S} =\{f\mid \sup_t |(1+t^2)^N(I+\Delta)^M f(t)\varphi_0(t)|<\infty\}
に属する函数 f の球変換である。コンパクト台付きの滑らかな SO(2)-不変函数の球変換は、ちょうど R 上の函数で指数的増加条件
|F(\lambda)|\le C e^{ R \cdot |{\rm Im}\,\lambda〕
を満足する  C 上の正則函数の制限となっているものになる。これらの結果はともに、球函数がこの増加条件を満足することを直接確かめることと、関係式 (M_1^* F)^\sim = \tilde{F} を用いることにより、SL(2,C) における対応する結果から降下法によって演繹することができる。
G 上の函数として φλ は、\mathfrak{H}^2 の境界を R と同一視すれば、L2(R) 上で定義される球主系列表現の行列要素に一致する。この表現は公式
\pi_\lambda(g^{-1})\xi(x)=|cx + d|^{-1-i\lambda} \xi(g(x))
で与えられる。函数
\xi_0(x)=\pi^{-1} (1+|x|^2)^{-1}
は SO(2) で固定され、
\Phi_\lambda(g)=(\pi_\lambda(g)\xi_0,\xi_0)
を満たす。表現 πλ は既約であり、また λ の符号を変えて得られる表現のみがこれとユニタリ同値になる。L^2({\mathfrak H}^2) を
{\pi\lambda/2}\cdot \tanh(\pi\lambda/2) d\lambda
で定めた L2([0,∞) × R) の上へ写す写像
Wf(\lambda,x)= \int_{G/K} f(g) \pi_\lambda(g)\xi_0(x) \, dg
はユニタリであり、L^2({\mathfrak H}^2) の球主系列への直積分分解を与える。
アダマールの降下法は \mathfrak{H}^3 における径数 y に関する平行移動全体の成す一径数部分群の作用のもと不変な函数に依拠するものである。フレンステッド-イェンゼンの方法は、SO(2) の SL(2,C) における中心化群を用いるもので、これは SL(2.C) を SO(2) と
g_t=\begin{pmatrix} \cosh t & i\sinh t \\ -i\sinh t& \cosh t\end{pmatrix}
なる形の行列全体の成す一径数部分群 K1 との直積に分解する。対称空間 SL(2,C)/SU(2) は、行列式の値が 1 の正値な二次正方行列 A 全体の成す空間 H3 と同一視することができる。そのような行列
A=\begin{pmatrix} a+b & x+iy \\ x-iy & a -b\end{pmatrix}
g\cdot A = gAg^*
で与えられる。従って
g_t\cdot A=\begin{pmatrix} a \cosh 2t +y \sinh 2t +b & x+i(y\cosh 2t + a\sinh 2t) \\ x-i(y\cosh 2t + a\sinh 2t) & a\cosh 2t +y \sinh 2t -b\end{pmatrix}
が成り立つ。故に双曲面 a^2=1+b^2 +x^2 +y^2  の上で gt は y-座標および a しか動かさない。同様に、SO(2) の作用を、a と y を変えずに座標 (b, x) の上の回転として入れる。y = 0 の正値実行列全体の成す空間 H2 は単位行列の SL(2,R)-軌道と同一視することができる。座標 (b,x,y) ∈ H3 および (b,x) ∈ H2 を取れば、体積要素および面素がそれぞれ
dV =(1+r^2)^{-1/2} \,db\,dx\,dy,\quad dA= (1+r^2)^{-1/2} \,db\,dx
で与えられる。ただし各式の r2 はそれぞれ b2 + x2 + y2 あるいは b2 + x2 と等しいものとする。この r は r = sinh t と置くことにより、原点からの双曲距離と関係する。
また、ラプラス作用素は
\Delta_n=-L_n - R_n^2 -(n-1)R_n
によって与えられる。ただし、
L_2 = \partial_b^2 +\partial_x^2,\quad R_2 = b\partial_b + x\partial_x
L_3 = \partial_b^2 +\partial_x^2  +\partial_y^2,\quad R_3 = b\partial_b + x\partial_x + y\partial_y
とする。H3 上の SU(2)-不変函数および H2 上の SO(2)-不変函数は r または t の函数
\int_{H^3} F \,dV =4\pi \int_{-\infty}^\infty F(t) \sinh^2 t \, dt,\quad
\int_{H^2} f \,dV =2\pi\int_{-\infty}^\infty f(t) \sinh t \, dt
と見做すことができる。f(b,x) が H2 上の函数で、Ef が
Ef(b,x,y)=f(b,x)
で定義されるものとすると、
\Delta_3 Ef = E(\Delta_2  - R_2)f
が成り立つ。f が SO(2)-不変ならば、f を r または t の函数と見做して
(-\Delta_2 +R_2)f= \partial_t^2 f + \coth t \partial _t f + r\partial_r f =\partial_t^2 f + (\coth t + \tanh t)\partial_t f
が成り立つ。他方、
\partial_t^2 + (\coth t + \tanh t)\partial_t =\partial_t^2 + 2 \coth(2t) \partial_t.
であるから、Sf(t) = f(2t) と置いて
(\Delta_2 -R_2)Sf=4S\Delta_2f
であり、M0 = ES に対するフレンステッド-イェンゼンの基本降下関係式
\Delta_3 M_0 f=4M_0\Delta_2 f
が導かれる。Mf が M0f の SU(2) 上の平均化で得られるとすると、同じ関係式が M0 を M に代えて成立する。
拡大 Ef は変数 y に関して定数で、従って変換 gs で不変である。一方 H3 上の適当な函数 F に対して、
QF = \int_{K_1}F\circ g_s \, ds
で定義される函数 QF は変数 y に依存しない。変数変換によって直截に
\int_{H^3}F \, dV = \int_{H^2} (1+b^2 +x^2)^{1/2} QF \, dA