リー環の拡大
と定義する.e 上のリーブラケットは,導分との標準的な構成によれば,基底上次で与えられる:
\begin{align}
&\quad[\lambda^m \otimes G_1 + \mu C + \nu D, \lambda^n \otimes G_2 + \mu' C + \nu' D] \\
&= \lambda^{m+n} \otimes [G_1, G_2] + m\delta_{m+n,0}K(G_1, G_2)C
+ \nu D(\lambda^n \otimes G_1) - \nu'D(\lambda^m \otimes G_2)\\
&= \lambda^{m+n} \otimes [G_1, G_2] + m\delta_{m+n,0}K(G_1, G_2)C
+ \nu n\lambda^n \otimes G_1 - \nu'm \lambda^m \otimes G_2.\end{align}
便宜上,
G_i^m \leftrightarrow \lambda^m \otimes G_i
と定義する.さらに,台有限次元単純リー環の基底は構造係数がすべての添え字で反対称となるようとられ基底は適切に正規化されていると仮定する.このとき定義より直ちに次の交換関係が分かる:
\begin{align}{}[G_i^m,G_j^n] &= {C_{ij}^kG_k^{m+n} + m\delta_{ij}\delta^{m+n,0}C,\\
{}[C,G_i^m] &= 0, \quad 1 \le i, j, N,\quad m,n \in \mathbb Z\\
{}[D, G_i^m] &= mG_i^m\\
{}[D,C] &= 0.\end{align}
これらがちょうど untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数の簡略な記述である.要約するため,有限次元単純リー環からはじめる.係数がその有限次元単純リー環の形式ローラン多項式の空間を定義する.対称非退化交代双線型形式と導分の援助のうけ,2-コサイクルが定義され,続いて 2-コサイクルによる中心拡大の標準的な処方箋に用いられる.この新しい空間に導分を拡張し,導分による分裂拡大の標準的な処方箋を用い,untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数が得られる.
目的はミゲル・アンヘル・ヴィラソロによるヴィラソロ代数をヴィット代数 W(背景)の 2-コサイクル φ による中心拡大として構成することである.2-コサイクルのヤコビ律より次が成り立つ:
:
l  0 とし η の反対称性を用いて
(m+p)\eta_{mp}=(m-p)\eta_{m+p,0}
を得る.拡大において,元 d0 に対する交換関係は
[d_0 + \mu C, d_m + \nu C]_\varphi = -md_m + \eta_{0m}C = -m(d_m - \frac{\eta_{0m}{m}C)
である.右辺の中心電荷を取り除くことが望ましい.このために
f\colon W \to \mathbb C;\; d_m \to \frac{\varphi(d_0,d_m)}{m} = \frac{\eta_{0m}{m}
と定義する.そして,f を 1-コチェインとして用いて,
\eta'_{0n} = \varphi'(d_0, d_n) = \varphi(d_0, d_n) + \delta f([d_0, d_n])
= \varphi(d_0, d_n) -n \frac{\eta^{0n}{n}= 0
であるので,前のと同値なこの 2-コサイクルにより,
[d_0 + \mu C, d_m + \nu C]_{\varphi'} = -md_m
が成り立つ.この新しい 2-コサイクルにより(プライムは外して)条件は
(n+p)\eta_{mp} = (n-p)\eta_{m+p,0}=0
となり,したがって
\eta_{mp}=a(m)\delta_{m. -p}, \quad a(-m) = -a(m)
である,ただし最後の条件はリーブラケットの反対称性による.これと l + m + p  0(Z3 の「平面」を切り出す)により (V10) は
(2m+p)a(p) + (m-p)a(m+p) + (m+2p)a(m) = 0
となり,p  1(Z2 の「直線」を切り出す)として
(m-1)a(m+1) - (m+2)a(m) + (2m+1)a(1) = 0
となる.これは一般に
a(m) = \alpha m + \beta m^3
で解かれる差分方程式である.すると W の元の拡大における交換子は
[d_l, d_m] = (l-m)d_{l+m} + (\alpha m + \beta m^3)\delta_{l,-m}C
である.β  0 のとき基底を変換して(あるいは 2-コサイクルを 2-コバウンダリによって修正して)
[d'_l, d'_m] = (l-m)d_{l+m}
とでき,中心電荷が全く現れず,したがって拡大は自明である.(これは d0 のみがもともとの関係を得た前の修正の場合では(一般には)ない.)β ≠ 0 のとき基底の変換
d'_l = d_l + \delta_{0l}\frac{\alpha+\gamma}{2}C
[d'_l, d'_m] = (l-m)d'_{l+m} + (\gamma m + \beta m^3)\delta_{l,-m}C
の形で,m について線型な部分は自明である.それはまた H2(W, C) が 1 次元である(β の選択に対応)ことも示している.慣習的な選択は α  −β  1/12 と取り任意の対象 C に任意の因子を吸収することによって自由性をなお保持する.するとヴィラソロ代数 V は
\mathcal V = \mathcal W + \mathbb C C
であり,交換関係は
:
である.
The relativistic classical open string (background) is subject to quantization. This roughly amounts to taking the position and the momentum of the string and promoting them to operators on the space of states of open strings. Since strings are extended objects, this results in a continuum of operators depending on the parameter σ. The following commutation relations are postulated in the Heisenberg picture.
\begin{align}{}[X^I(\tau, \sigma), \mathcal P^{\tau J}(\tau, \sigma)] &= i\eta^{IJ}\delta(\sigma-\sigma'),\\
{}[x_0^-(\tau),p^+(\tau)] &= -i.\end{align}
All other commutators vanish.
Because of the continuum of operators, and because of the delta functions, it is desirable to express these relations instead in terms of the quantized versions of the Virasoro modes, the Virasoro operators. These are calculated to satisfy
[\alpha_m^I, \alpha_n^J] = m\eta^{IJ}\delta_{m+n,0}
They are interpreted as creation and annihilation operators acting on Hilbert space, increasing or decreasing the quantum of their respective modes. If the index is negative, the operator is a creation operator, otherwise it is an annihilation operator. (If it is zero, it is proportional to the total momentum operator.) In view of the fact that the light cone plus and minus modes were expressed in terms of the transverse Virasoro modes, one must consider the commutation relations between the Virasoro operators. These were classically defined (then modes) as
L_n = \frac{1}{2}\sum_{p \in \mathbb Z}\alpha_{n-p}^I\alpha_p^I.
Since, in the quantized theory, the alphas are operators, the ordering of the factors matter. In view of the commutation relation between the mode operators, it will only matter for the operator L0 (for which m + n  0). L0 is chosen normal ordered,
L_0 = \frac{1}{2}\alpha_0^I\alpha_0^I + \sum_{p=1}^\infty \alpha_{-p}^I\alpha_p^I,
= \alpha' p^Ip^I + \sum_{p=1}^\infty p \alpha_{p}^{I\dagger}\alpha_p^I + c
where c is a possible ordering constant. One obtains after a somewhat lengthy calculation the relations
[L_m, L_n] = (m-n)L_{m+n}, \quad m+n\ne 0.
If one would allow for m + n  0 above, then one has precisely the commutation relations of the Witt algebra. Instead one has
[L_m, L_n] = (m-n)L_{m+n} + \frac{D-2}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0},\quad \forall m,n \in \mathbb Z.
upon identification of the generic central term as (D − 2) times the identity operator, this is the Virasoro algebra, the universal central extension of the Witt algebra.
The operator L0 enters the theory as the Hamiltonian, modulo an additive constant. Moreover, the Virasoro operators enter into the definition of the Lorentz generators of the theory. It is perhaps the most important algebra in string theory. The consistency of the Lorentz generators, by the way, fixes the spacetime dimensionality to 26. While this theory presented here (for relative simplicity of exposition) is unphysical, or at the very least incomplete (it has, for instance, no fermions) the Virasoro algebra arises in the same way in the more viable superstring theory and M-theory.
リー群 G の射影表現 Π(G)(背景)は,いわゆる群拡大 Gex を定義するのに使うことができる.
量子力学において,ウィグナーの定理は,G が対称変換群であるとき,それはユニタリあるいは反ユニタリ作用素によってヒルベルト空間上射影的に表現されるということを述べている.これはしばしば,G の普遍被覆群にうつりそれを対称変換群ととることで扱われる.これは回転群 SO(3) やローレンツ群 O(3, 1) に対してはうまくいくが,対称変換群がガリレイ群のときはうまくいかない.この場合その中心拡大であるバーグマン群にうつらなければならない.これはシュレディンガー方程式の対称変換群である.同様に,G  R2n, 位置と運動量の空間の平行移動の群のとき,その中心拡大であるハイゼンベルク群にうつらなければならない.
ω を Π から誘導される G 上の 2-コサイクルとする.集合として
G_{\mathrm {ex} = \mathbb C^* \times G
= \{(\lambda,g)\mid\lambda \in \mathbb C,\, g \in G\}
と定義し,乗法を
(\lambda_1,g_1)(\lambda_2,g_2) = (\lambda_1\lambda_2\omega(g_1,g_2),g_1g_2)
で定義する.結合性は ω が G 上の 2-コサイクルだから成り立つ.単位元については
(1,e)(\lambda,g) = (\lambda\omega(e,g),g) = (\lambda,g) = (\lambda,g)(1,e)
が成り立ち,逆元は
(\lambda,g)^{-1} = \left(\frac{1}{\lambda \omega(g, g^{-1})}, g^{-1}\right)
である.集合 (C*, e) は Gex の可換部分群である.これは Gex が半単純でないことを意味する.G の中心 Z(G)  {z ∈ G!zg  gz ∀g ∈ G} はこの部分群を含む.中心はより大きいかもしれない.
リー環のレベルでは,Gex のリー環 gex はベクトル空間としては
\mathfrak{g}_{\mathrm{ex} = \mathbb CC \oplus \mathfrak g
[\mu C + G_1,\nu C + G_2] = [G_1, G_2] + \eta(G_1, G_2)C
であることを示すことができる.ここで η は g 上の 2-コサイクルである.この 2-コサイクルはおおいに非自明な方法ではあるが ω から得ることができる
さて射影表現 Π を用いて写像 Πex を
\Pi_{\mathrm{ex}((\lambda,g)) = \lambda\Pi(g)
で定義できる.それは次の性質を持つ:
\begin{align}
\Pi_{\mathrm{ex}((\lambda_1,g_1))\Pi_{\mathrm{ex}((\lambda_2,g_2)) \\
&=\lambda_1\lambda_2\Pi(g_1)\Pi(g_2)=\lambda_1\lambda_2\omega(g_1,g_2)\Pi(g_1g_2) \\
&=\Pi_{\mathrm{ex}(\lambda_1\lambda_2\omega(g_1,g_2),g_1g_2)
= \Pi_{\mathrm{ex}((\lambda_1, g_1)(\lambda_2,g_2)).
\end{align}
なので Πex(Gex) は Gex の本物の表現である.
ウィグナーの定理の文脈では,状況をそのようなものとして描写できる(C* を U(1) でおきかえる);SH でヒルベルト空間 H における単位球面を表し,(·, ·) をその内積とする.PH で ray space を表し,[·, ·] で ray product を表す.さらに波矢印で群作用を表す.すると図式
は可換である,すなわち
\pi_2 \circ \Pi_{\mathrm{ex}((\lambda, g))(\psi)
= \Pi \circ \pi(g)(\pi_1(\psi)), \quad \psi \in S\mathcal H
である.さらに,G が [·,·] を保つ PH の対称性であるのと同様に,Gex は (·,·) を保つ SH の対称性である.π2 のファイバーはすべて円である.これらの円は U(1) の作用で不変である.これらのファイバーへの U(1) の作用は推移的で固定点がない.結論は,SH は PH 上の主ファイバー束で,構造群は U(1) である.
拡大を適切に議論するためには,リー環の定義性質を超えた構造が必要である.これらについての基本的な事実がクイック・リファレンスのためここに集められている.
リー環 g 上の導分(微分)δ とは,写像
\delta \colon \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g
であって,ライプニッツ則
\delta[G_1, G_2] = [\delta G_1, G_2] + [G_1, \delta G_2]
が成り立つもののことである.リー環 g 上の導分全体の集合は der g と書かれる.それはそれ自身リーブラケット
[\delta_1, \delta_2] = \delta_1 \circ \delta_2 - \delta_2 \circ \delta_1
のもとでリー環である.それは g の自己同型の群 Aut g のリー環である.
\delta[G_1, G_1] = [\delta G_1, G_2] + [G_1, \delta G_2]
\iff e^{t\delta}[G_1,G_2] = [e^{t\delta}G_1, e^{t\delta}G_2],
\quad \forall t \in \mathbb R
を示さなければならない.右側が成り立てば,微分して t  0 とおけば左側が成り立つ.左側 (A) が成り立てば,右側を
[G_1,G_2]\; \overset{?}{=}\; e^{-t\delta}[e^{t\delta}G_1, e^{t\delta}G_2]
と書き,この式の右辺を微分する.それは,(A) を用いて,恒等的に 0 である.したがってこの式の右辺は t に依らず,t  0 に対するその値に等しく,これはこの式の左辺である.
G ∈ g ならば,adG1(G2)  [G1, G2] によって作用する adG は導分である.集合 adG : G ∈ g は g 上の内部微分全体の集合である.有限次元単純リー環に対して,すべての微分は内部微分である.
2つのリー群 G, H と,H の自己同型群 Aut H を考える.後者は H の同型の群である.リー群の準同型 Φ: G → Aut H があれば,各 g ∈ G に対して,ある Φ(g) ≡ Φg ∈ Aut H が存在して,性質 Φgg  ΦgΦg, g,g ∈ G を持つ.E で"集合" H × G を表し,乗法を次で定義する:
このとき E は単位元 (eH, eG) を持つ群であり,逆元は (h, g)−1  (Φg−1(h−1), g−1) によって与えられる.逆元の式と式 (4) を用いて,H は E において正規であることが分かる.この半直積による群を E  H ⊗S G と書く.
逆に,E  H ⊗S G が群 E の与えられた半直積表示ならば,定義により H は E において正規であり,各 g ∈ G に対して Cg(h) ∈ Aut H, ただし Cg(h) ≡ ghg−1, であり,写像 Φ: g ↦ Cg は準同型である.
さてリー対応を利用しよう.写像 Φg: H → H, g ∈ G はそれぞれ,リー環のレベルで,写像 Ψg: h → h を誘導する.この写像は
:
によって計算される.例えば,G と H がともに大きい群 E の部分群であり,Φg  ghg−1 であるとき,
:
であり,Ψ を E の h 上の随伴作用 Ad を G に制限したものと認識する.さて Ψ: G → Aut h [ ⊂ GL(h) if h is finite-dimensional] は準同型であり,もう1度リー対応に訴え,一意的なリー環準同型 ψ: g → Lie(Aut h)  Der h ⊂ gl(h) が存在する.この写像は(形式的には)
:\right|_{t=0},
\quad G \in \mathfrak g|6}
で与えられ,例えば,Ψ  Ad ならば,(形式的には)
:\right|_{t=0}
= \left .\frac{d}{dt}e^{\mathrm{ad}_{tG}\right|_{t=0} = \mathrm{ad}_G|6'}
である,ただし Ad と随伴作用 ad とのベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式#重要な補題で厳密に証明されている関係が使われている.
リー環は,ベクトル空間として,e  h ⊕ g である.これは GH が E を生成し G ∩ H  (eH, eG) だから明らかである.リーブラケットは次で与えられる:
[H_1 + G_1,H_2 + G_2]_\mathfrak e
= [H_1, H_2]_\mathfrak h + \psi_{G_1}(H_2) -\psi_{G_2}(H_1) + [G_1, G_2]_\mathfrak g.
yess\overline{H}e^{-t\overline{G}}
&= e^{t\overline{G}e^{s\overline{H}e^{-t\overline{G}=(1,e^{tG})(e^{sH},1)(1,e^{-tG})\\
&=(\phi_{e^{tG}(e^{sH}), e^{tG})(1,e^{-tG}) = (\phi_{e^{tG}(e^{sH})\phi_{e^{tG}(1),1)\\
&= (\phi_{e^{tG}(e^{sH}),1)
\end{align}
である.
\frac{d}{ds} \left. e^{Ad_{e^{t\overline{G}}s\overline{H}\right|_{s=0} = Ad_{e^{t\overline{G}}\overline{H}
であり 5 により
\frac{d}{ds} \left. (\phi_{e^{tG}(e^{sH}),1)\right|_{s = 0} = (\Psi_{e^{tG}(H), 0)
Ad_{e^{t\overline{G}}\overline{H} = (\Psi_{e^{tG}(H), 0)
である.さてこの関係式を t について微分し t  0 で評価する:
\frac{d}{dt} \left .e^{t\overline{G}\overline{H}e^{-t\overline{G}\right|_{t=0} = [\overline{G}, \overline{H}]
であり 6 により
\frac{d}{dt} \left .(\Psi_{e^{tG}(H), 0)\right|_{t=0} = (\psi_G(H), 0)
\begin{align}
[H_1 + G_1,H_2 + G_2]_\mathfrak e
&= [H_1, H_2]_\mathfrak h + [G_1, H_2] + [H_1, G_2] + [G_1, G_2]_\mathfrak g \\
&= [H_1, H_2]_\mathfrak h + \psi_{G_1}(H_2) -\psi_{G_2}(H_1) + [G_1, G_2]_\mathfrak g
\end{align}
である.}
現在の目的,理論の限られた部分の考察には,リー環のコホモロジーが十分である.定義は最も可能な一般的なものではなく,最もよく使われるものでさえないが,それらの言い及ぶ対象はより一般の定義の真正の例である.
2-コサイクル
主な興味の対象は g 上の 2-コサイクルであり,双線型交代関数
\phi\colon\mathfrak g \times \mathfrak g \rightarrow F
であって,ヤコビ律に似た 2-コサイクルのヤコビ律と呼ばれる性質
\phi(G_1, [G_2, G_3]) + \phi(G_2, [G_3, G_1]) + \phi(G_3, [G_1, G_2]) = 0
を持つものとして定義される.
g 上のすべての 2-コサイクルの集合は Z2(g, F) と書かれる.
1-コチェインからくる 2-コサイクル
ある 2-コサイクルは 1-コチェインから得ることができる.g 上の 1-コチェインは単に線型写像 f: g → F である.すべてのそのような写像の集合は C1(g, F) と書かれ,もちろん(少なくとも有限次元の場合には)C1(g, F) ≅ g* である.1-コチェイン f を用いて,2-コサイクル δf が
\delta f(G_1, G_2) = f([G_1, G_2])
によって定義できる.交代性は直ちに分かり,2-コサイクルのヤコビ律は(通常どおり)それを書き出して材料の定義と性質(ここでは g 上のヤコビ律と f の線型性)を用いて示される.線型写像
は(ここでは C1(g, F) に制限されているが)コバウンダリ作用素と呼ばれる.
C1(g, F) の δ による像を B2(g, F) と書く.商
H^2(\mathfrak g, \mathbb F) = Z^2(\mathfrak g, \mathbb F)/B^2(\mathfrak g, \mathbb F)
は g の第二コホモロジー群と呼ばれる.H2(g, F) の元は 2-コサイクルの同値類であり,二つの 2-コサイクル φ1, φ2 が同値なコサイクルであるとは,それらの差が 2-コバウンダリであること,すなわち φ1  φ2 + δf となる f ∈ C1(g, F) があることをいう.同値な 2-コサイクルはコホモロガス (cohomologous) と呼ばれる.φ ∈ Z2(g, F) の同値類は [φ] ∈ H2 と書かれる.
これらの概念はいくつかの方向に一般化される.各記事を参照.
B を g のハメル基底とする.このとき各 G ∈ g は適切な大きさのある添え字集合 A に対して
G = \sum_{\alpha \in A}c_\alpha G_\alpha, \quad c_\alpha \in F, G_\alpha \in B
と一意的に書ける.この表示において,有限個の cα だけが 0 でない.以下では(簡単のため)基底は可算であり,添え字にはラテン文字が使われ,添え字集合は ℕ∗  1, 2, ... にとれると仮定する.ただちに基底元に対して
[G_i, G_j] = {C_{ij}^k G_k