球函数に対するプランシュレルの定理
が示される。K1 は SO(2) と可換であるから、F が SO(2)-不変ならば QF もそうである、特に F SU(2)-不変ならばそうなり、この場合 QF は r または t の函数で、故に M∗F は
M^*F(t)=QF(t/2)
で定義することができる。従って、上記積分公式から
\int_{H^3} F \, dV = \int_{H^2} M^*F \, dA
を得、それから SO(2)-不変な f に対して
M^*((Mf)\cdot F) =f \cdot (M^*F)
\int_{H^3} (Mf)\cdot F \, dV =\int_{H^2} f\cdot (M*F)\, dV
が得られる。この帰結として
M^*\Delta_3=4\Delta_2M^*
が成り立つ。従って
b(\lambda)=M^*\Phi_{2\lambda}(0)=\pi \tanh \pi \lambda,\quad \Phi_{2\lambda}=M\varphi_\lambda
とすれば、アダマールの降下法と同様に
M^*\Phi_{2\lambda} =b(\lambda) \varphi_\lambda
が成り立ち、
(M^* F)^\sim(\lambda) = \tilde{F}(2\lambda)
が従う。f = M∗F と取って、F に対する SL(2,C)-反転公式から直ちに
f(x)=\int_{-\infty}^\infty \varphi_\lambda(x) \tilde{f}(\lambda)\,{\lambda \pi\over 2} \tanh({\pi\lambda\over 2})\, d\lambda
を得る。
球函数 φλ は
\varphi_\lambda(g)=\int_K \alpha'(kg)\,dk
で与えられるから、球変換
\tilde{f}(\lambda)=\int_S f(s) \alpha'(s)\, ds
\tilde{f}(\lambda)=\int_{-\infty}^\infty \int_0^\infty f((a^2 + a^{-2} +b^2)/2)a^{-i\lambda/2} \, da\,db
と書くことができて、ここで F を
F(u)=\int_{-\infty}^\infty f(u +{t^2\over 2})\,dt
と定めれば、球変換は
\tilde{f}(\lambda)=\int_0^\infty F({a^2+a^{-2}\over 2}) a^{-i\lambda}\, da=  \int_0^\infty F(\cosh t)e^{-it\lambda} \, dt
なる形に書くことができる。F と f との間の関係性をアーベルの積分等式
f(x)={-1\over 2\pi}\int_{-\infty}^\infty F'(x +{t^2\over 2})\, dt
によって入れ替えるのは古典的である。実は
\int_{-\infty}^\infty F^\prime(x+{t^2\over 2})\, dt = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f^\prime(x +{t^2  + u^2\over 2}) \, dt\,du
={2\pi} \int_0^\infty f^\prime(x+{r^2\over 2}) r\, dr= 2\pi f(x)
が成り立つ。F と \tilde{f} との間の関係性はフーリエ反転公式:
F(\cosh t)={2\over \pi} \int_0^\infty\tilde{f}(i\lambda)\cos(\lambda t) \, d\lambda
によって逆転するから、結果として点 i に対する球反転
f(i)={1\over 2\pi^2} \int_0^\infty \tilde{f}(\lambda) \lambda\, d\lambda \int_{-\infty}^\infty {\sin \lambda t/2\over \sinh t} \cosh {t\over 2} \, dt ={1\over 2\pi^2} \int_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\lambda) {\lambda\pi\over 2} \tanh({\pi\lambda\over 2})\, d\lambda
が得られる。いま、g ∈ SL(2,R) を固定して考えれば、新たに \mathfrak{H}^2 上回転不変で f1(i) = f(g(i)) を満たす函数
f_1(w)=\int_K f(gkw)\, dk
を定義することができる。他方、両側不変函数 f に対して
\pi_\lambda(f)\xi_0 =\tilde{f}(\lambda) \xi_0,
従って、w = g(i) として
\tilde{f}_1(\lambda)=\tilde{f}(\lambda)\cdot \varphi_\lambda(w)
が成立する。これと上の f1 に対する反転公式とを組み合わせれば、一般の球反転公式
f(w) ={1\over \pi^2} \int_0^\infty \tilde{f}(\lambda) \varphi_\lambda(w) {\lambda\pi\over 2} \tanh({\pi\lambda\over 2})\, d\lambda
が導かれる。
任意の複素半単純リー群あるいは奇数 N に対するローレンツ群 SO0(N, 1) は通常のフーリエ変換に帰着して直接的に扱うことができる。それ以外の実ローレンツ群は、フレンステッド-イェンゼンの降下法により、他の実階数 1 の半単純リー群と同様に演繹することができる。フレンステッド-イェンゼンの降下法は、実半単純リー環が複素半単純リー環の正規実型である場合を扱う際にも適用できる。SL(N,  C) の正規実型でもある SL(N, R) に対する特別の場合は  が詳しく扱っている。
のやり方は、勝手な実階数を持つ実半単純リー群の広汎なクラスに対して適用できて、\mathfrak{a}^* 上のプランシュレル測度の明示的な積公式を、後述するようなハリッシュ=チャンドラの c-函数による球函数 φλ の展開を用いることなしに導出することができる。
これは一般性という点では(ハリッシュ=チャンドラよりは)弱いけれども、このクラスの群に対するプランシュレルの定理へのより簡明な手法を与えてくれる。
G が複素半単純リー群で、それがコンパクト半単純リー群である極大コンパクト部分群 U の複素化に一致するとする。G および U のリー環をそれぞれ {\mathfrak
g} および \mathfrak{u} とすれば
\mathfrak{g} = \mathfrak{u} \oplus i\mathfrak{u}
が成り立つ。U の極大トーラスを T, そのリー環を \mathfrak{t} とするとき、
A= \exp i \mathfrak{t},\quad P= \exp i \mathfrak{u}
と置けば、カルタン分解
G=P\cdot U = UAU
が得られる。U の有限次元既約表現 πλ は適当な λ ∈ \mathfrak{t}^* 添字付けられる。対応する指標公式とワイルの次元公式から、明示的に
\chi_\lambda(e^X)={\rm Tr}\, \pi_\lambda(e^X)\quad (X\in \mathfrak{t}),\qquad d(\lambda)=\dim\pi_\lambda
が与えられる。これらの公式は、もともと \mathfrak{t}^*\times \mathfrak{t} および \mathfrak{t}^* の上で定義され、それをその複素化まで正則に拡張したものである。さらに言えば、
\chi_\lambda(e^X)={\sum_{\sigma \in W} {\rm sign}(\sigma) e^{i\lambda(\sigma X)}\over \delta(e^X)}
が成り立つ。ただし、W はワイル群 W = NU(T)/T で δ(eX) は \mathfrak{t} の複素化へ正則に拡張した積公式(ワイルの分母公式)で与えられる。同様の積公式が λ に関する多項式である d(λ) にも存在する。
複素群 G 上で両側 U-不変函数 F の積分は、\mathfrak{a}=i\mathfrak{t} として
\int_G F(g) \, dg = {1\over |W〕 \int_{\mathfrak{a} F(e^X)\, |\delta(e^X)|^2 \,dX
で評価することができる。G の球函数は \mathfrak{a}=i\mathfrak{t}^* に属する λ でラベル付けられ、ハリッシュ=チャンドラ-ベレツィンの公式
\Phi_\lambda(e^X) = {\chi_\lambda(e^X)\over d(\lambda)}
で与えられる。これは λ に対応する G のボレル部分群の指標から誘導される G の既約球主系列表現の行列要素である。このような表現は既約であり、かつ何れも L2(U / T) 上で実現することができる。
両側 U-不変函数 F の球変換は
\tilde{F}(\lambda)=\int_G F(g) \Phi_{-\lambda}(g)\, dg
で与えられ、球反転公式は
F(g) ={1\over |W〕\int_{\mathfrak{a}^*} \tilde{F}(\lambda)\Phi_\lambda(g) |d(\lambda)|^2\, d\lambda=
\int_{\mathfrak{a}^*_+} \tilde{F}(\lambda)\Phi_\lambda(g) |d(\lambda)|^2\,d\lambda
となる。ただし、{\mathfrak a}^*_+ はワイルの小部屋である。実はこの結果は \mathfrak{a} 上のフーリエ反転公式から従う。というのも、
d(\lambda)\delta(e^X)\Phi_\lambda(e^X)=\sum_{\sigma\in W} {\rm sign}(\sigma) e^{i\lambda(X)}
だから \overline{d(\lambda)}\tilde{F}(\lambda) は F(e^X)\delta(e^X) のフーリエ変換に他ならないからである。
注意すべきは、対角部分群 U に対して対称空間 G/U はコンパクト双対としてコンパクト対称空間 U &rimes; U ⁄ U を持つことである。後者の空間(これを U 自身と同一視することができる)に対する球函数は、\mathfrak{a}^*_+ の内部に含まれる格子点で添字付けられた、正規化された指標 χλ/d(λ) で、A の役割を T が果たす。U 上の類函数 f の球変換は
\tilde{f}(\lambda)=\int_U f(u){\overline{\chi_\lambda(u)}\over d(\lambda)} \,du
で与えられ。今の場合、球反転公式は、T 上のフーリエ級数論から
f(u)=\sum_{\lambda} \tilde{f}(\lambda) {\chi_\lambda(u)\over d(\lambda)}  d(\lambda)^2
となることがわかる。これらの公式と非コンパクト双対における同等の公式の間には明白な双対性が存在する。
G0 を複素半単純リー群 G の正規実型で、G のリー環上で共軛線型な対合 &sigmma; の不動点全体に一致するものとする。また τ を G0 のカルタン対合を G の対合へ拡張したもので、G のリー環上複素線型かつ、σ と可換となるように選ぶ。τσ の不動点全体の成す部分群は G のコンパクト実型 U of G であり、その G0 との交わりは極大コンパクト部分群 K0 になる。また τ の不動点部分群 K は K0 の複素化である。G0 = K0P0 を対応する G0 のカルタン分解とし、A を P0 の極大可換部分群とする。 は
G= KA_+U
が成り立つことを示した。ここで A+ は、ワイルの小部屋の \mathfrak{a} における閉包の指数写像による像である。さらに言えば
K\backslash G/U = A_+
が成り立つ。
K_0\backslash G_0/K_0 = A_+
であるから、これにより K\G/U と K0\G0/K0 および A+ の間に標準的な同一視が存在することが従う。従って G0 上の両側 K0-不変函数は、G 上の左 K-不変かつ右 U-不変函数ともども、A+ 上の函数と同一視することができる。
C^\infty_c(K_0\backslash G_0 /K_0) に属する函数 f に対し
C^\infty_c(U\backslash G /U) の元 Mf を
Mf(a)=\int_U f(ua^2) \,du
で定義する。ここで、第三のカルタン分解 G = UAU は U\G/U を A+ と同一視するのに用いられた。
Δ を G0/K0 上のラプラス作用素、Δc を G/U のラプラス作用素とすると、
4M\Delta = \Delta_c M
が成り立つ。C^\infty_c(U\backslash G /U) の元 F に対し、C^\infty_c(K_0\backslash G_0 /K_0) に属する函数 M∗F を
M^*F(a^2)=\int_K F(ga) \, dg
で定義すれば、M と M∗ とは
\int_{G/U} (Mf) \cdot F = \int_{G_0/K_0} f\cdot (M^*F)
なる双対関係を満たす。特に
M^*\Delta_c= 4\Delta M^*
である。G0 の普遍包絡環の中心に属する他の作用素に対しても同様の両立性条件が存在する。これは G0 上で M^*\Phi_{2\lambda} が φλ に比例するという球函数の固有函数による特徴付けから従う。比例定数は
b(\lambda)=M^*\Phi_{2\lambda}(1)=\int_K \Phi_{2\lambda}(k)\, dk
で与えられる。さらに今の場合には
(M^* F)^\sim(\lambda)= \tilde{F}(2\lambda)
である。f = M∗F が成り立つならば、G 上の F の球反転公式は G0 上の f に対して
f(g)= \int_{\mathfrak{a}^*_+} \tilde{f}(\lambda) \varphi_\lambda(g) \,\, 2^b(\lambda) - \sum_{\alpha>0} A_\alpha)
となるから、L を定数係数作用素 L0 の摂動と見做すことができる。
いま、球函数 φλ はラプラス作用素
\Delta\varphi_\lambda=(\|\lambda\|^2 + \|\rho\|^2)\varphi_\lambda
の固有函数、従って \mathfrak{a} 上の W-不変函数と見るとき L の固有函数である。
eiλ–ρ およびその W による変換は L0 の同じ固有値に属する固有函数であるから、φλ に対する公式は、正ルートの非負整数係数線型結合全体の成す錐 Λ に関する摂動級数
f_\lambda=e^{i\lambda -\rho}\sum_{\mu\in \Lambda} a_\mu(\lambda) e^{-\mu},
を用いて自然に見ることができ、fλ の W による変換として書ける。表式
\coth x-1 =2 \sum_{m>0} e^{-2mx}
から係数 aμ(λ) に対する漸化式が導かれる。特に係数は一意的に決まり、級数及びその導函数は W の基本領域 \mathfrak{a}_+ 上で絶対収斂する。注目すべきは、fλ が G/K 上の別の G-不変微分作用素の固有函数でもあり、何れも \mathfrak{a} 上の W-不変微分作用素を導くことがわかることである。
ここから、φλ が fλ とその W による変換との線型結合
\varphi_\lambda=\sum_{s\in W} c(s\lambda) f_{s\lambda}
として表すことができることが従う。ここで c(λ) はハリッシュ=チャンドラの c-函数である。これは、\mathfrak{a}_+ の元 X と十分大きな t < 0 に対して
\varphi_\lambda(e^tX) \sim c(\lambda) e^{(i\lambda -\rho)Xt}
なる形で φλ の \mathfrak{a}_+ における漸近挙動を記述する。ハリッシュ=チャンドラは G のブリュア分解
G = \bigcup_{s\in W} B s B
を用いて φλ に、従って c(λ) に、対する二次の積分公式を得た。ただし、B = MAN で合併は非交和である。W のコクセター元、即ち \mathfrak{a}_+ を -\mathfrak{a}_+ の上へ写す唯一の元 s0 を取ると、σ(N) が稠密開軌道 G/B = K/M でその成分が次元が真に小さく従って測度零であるような胞体の和となるようなものを持つことがわかる。これにより、もともと K/M 上で定義される φλ の積分公式
\varphi_\lambda(g) = \int_{K/M} \lambda'(gk)^{-1}\, dk
を σ(N) 上の積分公式
\varphi_\lambda(e^X)=e^{i\lambda -\rho} \int_{\sigma(N)} {\overline{\lambda'(n)} \over \lambda'(e^Xne^{-X})} \, dn,\quad (X\in\mathfrak{a})
に引き移すことができる。
\mathfrak{a}_+ の元 X に対して
\lim_{t\to \infty} e^{tX}ne^{-tX}= 1
が成り立つから、φλ の漸近挙動はこの積分から読み取ることができて、公式
c(\lambda)=\int_{\sigma(N)} \overline{\lambda^\prime(n)}\, dn
が導かれる。
非可換調和解析においてハリッシュ=チャンドラの c-函数が果たすことになる多くの役割は  にまとめられている。もともとは、前節に述べたとおりハリッシュ=チャンドラが球函数の漸近展開を行うために導入したものであったけれども、すぐに誘導表現の間の経絡作用素(表現の準同型)とも緊密な関係にあることが理解されるようになった。そのような意味でこれを研究するのは  が最初である。ここでいう経絡作用素は、ワイル群の元 s に対して πλ と πsλ とがユニタリ同値であることを示すもので、そのような作用素にc-函数 cs(λ) を割り当てることができる。具体的には、経絡作用素を定数函数 1 である ξ0 ∈ L2(K/M) に施したものの 1 における値である。あるいは同じことだが、ξ0 はスカラー倍を除いて K の固定する唯一のベクトルであるから、これは経絡作用素の固有値 cs(λ) に属する固有ベクトルである。これらの経絡作用素は全て同じ空間 L2(K/M) に作用し、この空間は MAN 上の λ が定める一次元表現からの誘導表現と同一視することができる。A を一つ決めたならば、コンパクト部分群 M は A の K における中心化群として一意的に決定されるが、冪零部分群 N は \mathfrak{a}^* におけるワイルの小部屋の選び方に依存し、その選び方はワイル群 W = M′/ M による置換の分だけある。ただし、M′ は A の K における正規化群とする。対 (s, λ) に対応する標準経絡作用素とは、
A(s,\lambda)F(k)=\int_{\sigma(N)\cap s^{-1}Ns} F(ksn)\, dn
によって誘導表現上で定義されるものをいう。ここに、σ はカルタン対合である。これは経絡関係式(準同型性)
A(s,\lambda)\pi_\lambda(g) =\pi_{s\lambda}(g) A(s,\lambda)
を満足する。このような経絡作用素およびそこに現れる積分の重要な性質は、ワイルの小部屋の選び方に付随するワイル群上の長さ函数 ℓ について
\ell(s_1s_2)=\ell(s_1)+\ell(s_2)
が成り立つ限りにおいて、乗法的なコサイクル条件
A(s_1s_2,\lambda)=A(s_1,s_2\lambda)A(s_2,\lambda)
を満たすことである。これは s ∈ W に対して、小部屋の内部にある各点 X について X と sX とを結ぶ線分が交叉する小部屋の総数である。正の制限ルートの総数に等しい長さを持つ唯一の最長元 s0 は、ワイルの小部屋 \mathfrak{a}_+^* を -\mathfrak{a}_+^* の上へ写す唯一の元である。ハリッシュ=チャンドラの積分公式により、これはハリッシュ=チャンドラの c-函数
c(\lambda)=c_{s_0}(\lambda)
に対応する。一般に c 函数は、ξ0 を L2(K/M) における定数函数 1 として、等式
A(s,\lambda)\xi_0 =c_s(\lambda)\xi_0
によって定義される。経絡作用素の満たすコサイクル条件から、c-函数の同様の乗法的性質
c_{s_1s_2}(\lambda) =c_{s_1}(s_2 \lambda)c_{s_2}(\lambda)
が \ell(s_1s_2)=\ell(s_1)+\ell(s_2) なる仮定のもとで得られる。
この性質は cs の計算を s = sα, 即ち単純ルート α に関する鏡映の場合に帰着させる。いわゆる  の「階数 1 還元」である。
実は積分は Σ0+ に載るような α に対する \mathfrak{g}_{\pm \alpha} が生成する部分リー環に対応する閉連結部分群 Gα のみが関係する 。そうして、Gα は実階数 1, 即ち dim Aα = 1 の実半単純リー群であり、cs はちょうど Gα のハリッシュ=チャンドラ c-函数になる。この場合 c-函数は様々な意味で直接的に計算することができる:
φλ が(超幾何方程式の接続係数に対するガウスの古典的な公式から)漸近展開の知られている超幾何函数を使って表せることに注意することによって。
直截に積分(これは二変数の積分として、従って二つのベータ函数の積として、表すことができる)を計算することによって。
c_{s_\alpha}(\lambda)=c_0{2^{-i(\lambda,\alpha_0)}\Gamma(i(\lambda,\alpha_0))\over\Gamma({1\over 2} ({1\over 2}m_\alpha + 1+ i(\lambda,\alpha_0)) \Gamma({1\over 2} ({1\over 2}m_\alpha + m_{2\alpha} + i(\lambda,\alpha_0))}
が導かれる。ただし
c_0=2^{m_\alpha/2 + m_{2\alpha}\Gamma({1\over 2} (m_\alpha+m_{2\alpha} +1))
とする。c(λ) に対する一般のギンディキン-カルペレヴィッチの公式は、この公式と cs(λ) の乗法性の帰結として、直ちに得られる。
ここでいうペイリー-ウィーナーの定理は、群 G 上でコンパクト台付きの滑らかな K-双変函数の球変換を特徴づけることによって通常のペイリー-ウィーナーの定理を一般化するものである。その必要十分な条件は、球変換が W-不変であること、あるいはまた、適当な R > 0 が存在して、各 N に対して
|\tilde{f}(\lambda)|\le C_N (1+|\lambda|)^{-N} e^{R|{\rm Im}\, \lambda〕
なる評価を持つようにできることである。この場合 f は G/K の原点を中心とする半径 R の閉球体の内部に台を持つ。
このことはヘルガソンとガンゴリが示した ( pg. 37)。
この定理は後に  が、球反転定理とは独立に、彼の複素係数の場合への還元法の修正版を用いて証明している。
は、先の証明を大いに簡略化する技法によって、ペイリー-ウィーナーの定理と球反転定理が同時に証明されることを注意している。
ローゼンバーグの証明の第一段階は、ハリッシュ=チャンドラ c-函数を用いて定義される逆変換が、ペイリー-ウィーナーの評価を満足するとき、原点中心の半径 R の閉球体の中に台を持つ函数を定めることを、直截に示すことからなる。これにより、逆変換を定義する非積分函数が \mathfrak{a}^* の複素化上の有理型函数に延長できるから、積分を \mathfrak{a}^*_+ の元 μ と t > 0 に対する \mathfrak{a}^* + i\mu t にシフトすることができる。ハリッシュ=チャンドラによる φλ の展開とガンマ函数を用いた c(λ) の公式を用いると、積分を十分大きな t で抑えることができて、従って原点中心・半径 R の閉球体の外側で積分が消えることが示せる。
この部分で、ペイリー-ウィーナーの定理からは
T(f)=\int_{\mathfrak{a}_+^*} \tilde{f}(\lambda) |c(\lambda)|^{-2} \, d\lambda
が原点 o に台を持つ G/K 上のシュヴァルツ超函数を定めることがわかる。積分のさらなる評価によって、実はこれが測度によって与えられること、またそれにより定数 C で
T(f)=Cf(o)
を満たすものが存在することが示される。この結果を
f_1(g)=\int_K f(x^{-1}kg)\, dk
に適用すれば、
Cf=\int_{\mathfrak{a}_+^*} \tilde{f}(\lambda) \varphi_\lambda |c(\lambda)|^{-2} \, d\lambda
が従う。さらに適当な拡大縮小を施すことにより、評価不等式における C を 1 としてよいことが、\mathfrak{a} 上のペイリー-ウィーナーの定理およびプランシュレルの定理から演繹される。
ハリッシュ=チャンドラ・シュヴァルツ空間は
\mathcal{S}(K\backslash G/K)=\{f\in C^\infty(G/K)^K:\sup_{x} |(1+d(x,o))^m (\Delta + I)^n f(x)|<\infty\}
で定義される。球変換によってこれは、\mathfrak{a}^* 上の W-不変シュヴァルツ函数の空間 \mathcal{S}(\mathfrak{a}^*)^W の上へ写る。
ハリッシュ=チャンドラのもともとの証明は帰納法を用いた長いものであったが、  はペイリー-ウィーナーの定理の一種と反転公式を用いて直接的に簡略化した短く単純な証明を発見した。アンカーは、ハリッシュ=チャンドラ・シュヴァルツ函数の球変換が通常のシュヴァルツ函数となることを示した。そして彼の重要な着眼点は、古典的な評価を用いて、通常のシュヴァルツ空間の半ノルムを備えたペイリー-ウィーナー空間上で逆変換が連続であると示すことであった。
Flensted-Jensen
Victor, Appendix to Chapter VI, The Plancherel Formula for Complex Semisimple Lie Groups.
Harish-Chandra, section 21.
Helgason (a general introduction for physicists)