量子力学の数学的定式化
デルタ関数は超関数であり、L2空間の元ではないので、デルタ関数をあたかも通常の状態ベクトルであるかのように扱う議論は必ずしも正当化できない。
関数ψの超関数としての微分が関数で書けるとき、その関数をψの弱微分という:
本節では、関数 f: R → C のフーリエ変換
\mathcal{F}(f)(\xi) := {1\over (2\pi)^{d/2}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{-  i x \xi}\,\mathrm{d}x
とその逆変換に当たるフーリエ逆変換
\mathcal{F}^*(g)(x) := {1\over (2\pi)^{d/2}\int_{-\infty}^{\infty} g(\xi)\ e^{ i x \xi}\,\mathrm{d}x
の厳密な定義を述べ、その性質を調べ、そして最後に位置作用素と運動量作用素が(換算プランク定数を除いて)フーリエ変換で移り合う関係にある事を見る。
フーリエ変換とその逆変換を定義する上で問題になるのは、fやgがどのようなクラスに属すればこれらの変換が定義でき、変換によってできあがる関数\mathcal{F}(f)、\mathcal{F}^*(g)がどのようなクラスに属するか、という事である。本節ではまずシュワルツ空間という関数空間のクラスを定義し、フーリエ変換がシュワルツ空間上の全単射になっている事を示す。次に本節では、シュワルツ空間上の線型汎函数である「緩増加超関数」に対してもフーリエ変換が定義可能なことを見る。そして最後にフーリエ変換がL2空間上の全単射になっている事を見る。
次が成立する事を簡単な計算で確かめることができる:
またこれらの変換は連続である:
\psi,\chi\in\mathcal{S}(\mathbf{R}^d)に対し、超関数の時と同様
T_{\psi}(\chi):=\int_{\mathbf{R}^d}\psi(x)\chi(x)\mathrm{d}x
と定義する事で、シュワルツ関数\psi\in\mathcal{S}(\mathbf{R}^d)に緩増加超関数Tψを対応させることができる。
\mathcal{S}(\mathbf{R}^d)の元ψ、χに対し、プランシュレルの定理
\int_{\mathbf{R}^d}\mathcal{F}(\psi)(\xi)\mathcal{F}^*(\chi)(\xi)\mathrm{d}\xi=\int_{\mathbf{R}^d}\psi(x)\chi(x)^*\mathrm{d}x
が成り立つので、\varphi(x) = \mathcal{F}(\chi)(x)とする事で、
\int_{\mathbf{R}^d}\mathcal{F}(\psi)(\xi)\varphi(\xi)\mathrm{d}\xi
=\int_{\mathbf{R}^d}\psi(x)\mathcal{F}(\varphi)(x)\mathrm{d}x
となる事が分かる。これを参考にして緩増加超関数Tのフーリエ変換を以下のように定義する:
これらの変換は緩増加超関数全体の集合\mathcal{S}'(\mathbf{R}^d)で逆写像の関係にある事を以下のように簡単に示すことができる:
\mathcal{F}(\mathcal{F}^*(T))(\psi):=T(\mathcal{F}(\mathcal{F}^*(\psi)))=T(\psi)
\mathcal{S}(\mathbf{R}^d)上のフーリエ変換が連続であることから、上に定義した\mathcal{S}'(\mathbf{R}^d)上のフーリエ変換も連続である事が従う。
T_{\psi}(\chi):=\int_{\mathbf{R}^d}\psi(x)\chi(x)\mathrm{d}x
を自然に対応させることで、L2空間を\mathcal{S}'(\mathbf{R}^d)の部分集合とみなせる。よって\mathcal{S}'(\mathbf{R}^d)上でフーリエ変換の定義域をL2空間に制限する事でL2空間にもフーリエ変換が定義できる。次の事実が成り立つことが知られている:
実はこのような性質を満たすフーリエ変換の拡張は一意である:
{1\over (2\pi)^{d/2}\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)\ e^{-  i x \xi}\,\mathrm{d}x
という形式で書くことがでるとは限らない。なぜならψがL2関数の場合は上述の積分は一般には定義できるとは限らないからである。しかし
F_R(\psi) := {1\over (2\pi)^{d/2}\int_〔x|\le R} \psi(x)\ e^{-  i x \xi}\,\mathrm{d}x
は定義でき新井、L2関数のフーリエ変換は以下を満たすことが知られている:
最後に、位置作用素と運動量作用素とがフーリエ変換で移り合う関係にある事を見る。
D=\sum_{\alpha~:~|\alpha|\le m}(-i)^a_{\alpha}\frac{\partial^{\alpha}{\partial^{\alpha_1}x_1\cdots\partial^{\alpha_d}x_d},   \forall \alpha~:~a_{\alpha}\in \mathbf{R}
(の閉包作用素)を考え、多項式Fを
F(x_1,\ldots,x_d)=\sum_{\alpha~:~|\alpha|\le m}a_{\alpha}x_1{}^{\alpha_1}\cdots x_d{}^{\alpha_d}
と定義すると、以下が成立することが知られている新井:
ここでMFはFを乗じる掛け算作用素である。よって特に運動量作用素
P_j=-i\hbar{\partial\over \partial x_j}
(の閉包作用素)は以下を満たす:
xj倍する掛け算作用素は位置作用素であったことから、上式は換算プランク定数を除いて位置作用素と運動量作用素が移り合うことを意味する。
スペクトルとは、有限次元における固有値・固有ベクトルの理論の「無限次元版」であり、量子力学では物理量を観測する時に得られる値の集合となる。本節の目標は、ヒルベルト空間上定義された自己共役作用素のスペクトルの概略を述べる。
無限次元におけるスペクトル理論について述べる前に、まず有限次元の固有値の性質を調べる。λがA~:~\mathcal{H}\to\mathcal{H}の固有値である事は明らかに
\ker(A-\lambda I)\neq \{0\}
を意味し、これはA-λIは単射ではない事を意味する。\mathcal{H}が有限次元であれば線形写像が単射である事は全射である事と同値なので、λがAの固有値である事はA-λIが全単射でない事と同値である。したがってλがAの固有値ではない場合、A-λIは全単射である為、
R_{\lambda}:=(A-\lambda I)^{-1}
が存在し、逆にRλが存在すればλはAの固有値ではない。
が存在するため、このような単純な関係は存在しない。スペクトル理論は、上述のような作用素の存在を考慮した上で、固有値・固有ベクトルの理論を適切に「無限次元化」したものである。
これまで同様\mathcal{H}をヒルベルト空間とし、A~:~\mathcal{H}\to\mathcal{H}を稠密に定義された(有界とは限らない)閉作用素とし、λを複素数とする。恒等写像Iは全域で定義されているので、A-λIもAと同一の定義域を持つ作用素として定義できる。
なお、本稿で述べているレゾルベント集合を狭義のレゾルベント集合と呼び、「レゾルベント集合」という語には別の意味を与えているテキストも存在するので注意されたい。
次の事実が知られている:
なお本稿ではAが閉作用素の場合に限定してレゾルベント集合を定義したが、Aが閉作用素でない場合にレゾルベント集合の定義を拡張する際は、A-λIが全単射になり、しかもRλが有界になるλの全体をレゾルベント集合と定義する新井。
スペクトルσ(A)の定義より、λがσ(A)に属する場合、A-λIは全単射でない。すなわちA-λIは「全射でない」かもしくは「単射でない」事を意味する。
λがσP(A)の元であれば明らかに
\ker(A-\lambda I)\neq \{0\}
であるので、
A\psi=\lambda\psi
となる0でない\psi\in\mathrm{Dom}(A)が存在する。すなわち点スペクトルσP(A)の元はAの固有値であるK12。σP(A)の元λに対し、\ker(A-\lambda I)の0でない元をAのλに対応する固有ベクトルといい、\dim\ker(A-\lambda I)をλの多重度というK12。
有限次元の場合と違い、A-λIが単射であるにも関わらず、全射ではない事が起こりうる。よって\sigma(A)\setminus \sigma_P(A)は一般には空集合ではない。\sigma(A)\setminus \sigma_P(A)の詳細については後述する。
スペクトルσ(A)に属するλのうち、A-λIが単射でないもの全体が点スペクトルσP(A)であった。それ以外のσ(A)の元、すなわちA-λIが単射ではあるが全射でないものは2つのタイプに分類できる。
λがAの剰余スペクトルもしくは連続スペクトルに属していれば、A-λIは単射であるので、A-λIの像(A-\lambda I)(\mathrm{Dom}(A))の上定義された逆写像(A-\lambda I)^{-1}を定義できる。この意味において、レゾルベント集合においてもA-λIの逆写像が定義できるので、この意味で剰余スペクトルや連続スペクトルはレゾルベント集合に類似しているが、違いは逆写像の定義域にある。レゾルベント集合においては(A-\lambda I)^{-1}は\mathcal{H}の全域で定義され、しかも(Aが閉作用素であれば)(A-\lambda I)^{-1}は必ず有界である。それに対し連続スペクトルの場合は(A-\lambda I)^{-1}の\mathcal{H}の稠密部分空間で定義されているに過ぎず、しかも(A-\lambda I)^{-1}は有界ではない新井。さらに剰余スペクトルにおいては(A-\lambda I)^{-1}の定義域は\mathcal{H}で稠密ですらない。
以上で定義した概念をまとめると次のようになる。
なお連続スペクトルは本稿で述べたのとは別の定義があり、その定義を採用した場合には連続スペクトルと剰余スペクトルは排他的になるとは限らないK12。
点スペクトルσP(A)以外ではA-λIが単射になるので、A-λIの像の上で逆写像(A-\lambda I)^{-1}が定義できるが、剰余スペクトルでは(A-\lambda I)^{-1}の定義域は有界ではなく、連続スペクトルでは稠密に定義されているが有界ではなく、レゾルベント集合では全域で定義されていてしかも有界である。
本節では以下、A~:~\mathcal{H}\to\mathcal{H}を(稠密に定義された有界とは限らない)自己共役作用素とする。このときσ(A)は実数体Rの閉部分集合である事が知られているH13。またσ(A)の元は必ずしも点スペクトルではないため、(A-\lambda I)\psiが0となるψ≠0が存在するとは限らないが、(A-\lambda I)\psiをいくらでも0に近く取る事ができるH13:
なお上の後半の性質を満たすλ全体の集合をσapp(A)と書き、近似スペクトルというS12。したがって上述の事実は、自己共役作用素のスペクトルは近似スペクトルと一致する事を意味する。さらに次が成立する事が知られている:
以上をまとめると、以下が成立する。
スペクトル分解とは、有限次元ベクトル空間における線形作用素の固有値分解を無限次元に拡張したものであるが、単純に有限次元の固有値分解を無限次元に拡張することはできない。これは無限次元の場合、有限次元と違って連続スペクトルが存在し、連続スペクトルには点スペクトル(=固有値)と違い、対応する固有ベクトルが存在しないことに起因する。
本稿では自己共役作用素をスペクトル分解する方法として、以下の3種類を紹介する:
これら3つのスペクトル分解のうちで、量子力学において通常用いられるスペクトル分解の定式化、すなわちデルタ関数を用いたスペクトル分解に最も近いのは最後にあげたゲルファントの三つ組によるものである。しかしこのゲルファントの三つ組によるスペクトル分解は、すべての自己共役作用素に対して適応できるわけではないという欠点を持つ上、この手法でスペクトル分解するには数学的な準備が必要となる。そこでこの手法によるスペクトル分解は後の節にまわし、本節では残り2つのスペクトル分解を紹介し、これらをもとに、量子状態の観測の概念を数学的に定式化する。
\mathcal{H}が有限次元の場合、\mathcal{H}を
\mathcal{H}=\bigoplus_{\lambda\in \sigma(A)}\mathcal{H}_\lambda
のように直和として表記可能である。ここでAは\mathcal{H}上の自己共役作用素であり、\mathcal{H}_\lambdaは固有値λに対応する固有空間である。さらに任意の\psi\in\mathcal{H}_\lambdaに対し、
A(\psi)=\lambda\psi
である。
一方\mathcal{H}が無限次元の場合には、Aは非可算無限個のスペクトル点を持ちうるので、単純に上式を無限次元に拡張する事はできない。しかしベクトル空間の「直和」の代わりに「直積分」という概念を用いる事で無限次元の場合も同種の公式が成立する事が知られており、これをAの直積分によるスペクトル分解と呼ぶ。本節では直積分の概念を数学的に定式化し、直積分を用いて上式を無限次元の場合に拡張する。
直積分の概念を定式化するため、「切断」の概念を導入する:
さらに2つの切断s=(s(\lambda))_{\lambda\in X}、t=(t(\lambda))_{\lambda\in X}に対し、sとtの内積を
\langle s,t\rangle:=\int_X\langle s(\lambda),t(\lambda)\rangle \mathrm{d}\mu
により定義することができる。
直積分は前述した内積に関して完備であることが知られており、よって直積分はヒルベルト空間になるH13。
前節でペンディングしていたs=(s(\lambda))_{\lambda\in X}の可測性の定義を述べる。s=(s(\lambda))_{\lambda\in X}可測性を定義するには、(\mathcal{H}_\lambda)_{\lambda\in X}に技術的な付加構造を加える必要がある(よって直積分は(\mathcal{H}_\lambda)_{\lambda\in X}にこの付加構造を付け加えた場合のみ定義可能である)。まずその付加構造を定義する:
なお、写像\lambda\in X\mapsto \mathrm{dim}\mathcal{H}_\lambda \in[0,\infty]が可測であるときは、(\mathcal{H}_\lambda)_{\lambda\in X}は必ず同時正規直交基底を持つことが知られている。
以上の準備のもと、直積分によるスペクトル分解を定式化する:
上述の定理は\mathcal{H}が無限次元の場合も、\mathcal{H}をAの「固有空間」\mathcal{H}_\lambdaの直積分に分解でき、しかも直積分の元sのAUによる像AU(s)の「\mathcal{H}_\lambda成分」である(AU(s))(λ)はsの「\mathcal{H}_\lambda成分」s(λ)を「固有値」λ倍したものになっている事を意味するように見えるので、\mathcal{H}_\lambdaをλに対応するAの一般化した固有空間、\mathcal{H}_\lambdaの元をλに対応するAの一般化した固有ベクトルであるとみなし得るH13。実際、スペクトル点τ∈σ(A)においてμ({τ})>0であれば、sτ∈\mathcal{H}_\tauに対し切断を
s(\lambda)=
\begin{cases}
s_\tau&\text{if } \lambda=\tau\\
0&\text{otherwise}
\end{cases}
により定義すると、写像
m_\tau~:~s_\tau\in\mathcal{H}_\tau \mapsto s(\tau)\in \int^\oplus_{\sigma(A)}\mathcal{H}_\lambda\mathrm{d}\mu_A
\langle s,s\rangle=\int_{\sigma(A)}\langle s(\lambda),s(\lambda)\rangle_\lambda \mathrm{d}\mu_A \ge \langle s_\tau s_\tau\rangle\mu_A(\{\tau\})\gvertneqq 0\quad \text{if }s_\tau\neq 0
を満たすので、m_\tau(\mathcal{H}_\tau)の元はAUの0でない固有ベクトルになる。しかしμ({τ})=0の場合にはmτが恒等的に0である為、\mathcal{H}_\tauは通常の意味での固有空間にはならない。
直積分によるスペクトル定理は、前述した掛け算作用素によるスペクトル定理から容易に従う。実際、掛け算作用素によるスペクトル定理より、\mathcal{H}は何らかのL2空間L^2(X,\mu)と同型で、AはL^2(X,\mu)上で実数値関数h(x)を乗じる作用素として表現できるので、hの像である実数直線R上に測度h*(μ)を入れれば、
L^2(X,\mu)\simeq \int_\mathbf{R}^{\oplus} \mathcal{H}_\lambda \mathrm{d}h_*(\mu)、   ここで\mathcal{H}_\lambda = h^{-1}(\lambda)
と表記できる。\mathcal{H}_\lambda = h^{-1}(\lambda)が{0}でないλの集合がσ(A)と一致する事を容易に確認できるので、上記の積分をσ(A)に制限すれば、直積分によるスペクトル定理が従う。
本節の目標は、非有界作用素のもう一つのスペクトル分解方法であるスペクトル測度によるスペクトル分解を定式化する事である。まず、スペクトル測度の概念を定式化する動機を与える為に、有限次元における固有値分解を復習する。
\mathcal{H}を有限次元のヒルベルト空間とし、Aを\mathcal{H}上の自己共役作用素とする。有限次元の場合、自己共役作用素は必ず固有値分解可能な事が知られている。すなわちAの固有値をλ1、…、λnとし、これらの固有値に対応する固有空間をV1、…、Vnとすると、\mathcal{H}の元ψは必ず
ψ=ψ1+…+ψn、  ψ1∈V1、…、ψn∈Vn
と表現でき、
Aψ=λ1ψ1+…+λnψn
が成立する。そこで\mathcal{H}の元のVjへの射影変換をPjとすると、明らかに
A=\sum_{j=1}^n\lambda_jP_j
が成立する。
スペクトル測度μは、以上の考察を無限次元に拡張する事を可能にする概念であり、Rのボレル可測部分集合Bに対し、\mathcal{H}の閉部分線形空間への正射影変換μ(B)を対応させる。スペクトル測度μの概念を直観的に説明するため、再び有限次元の場合を考えると、Bとスペクトルσ(A)={λ1,…,λn}の共通部分が\{\lambda_{j_1},\ldots, \lambda_{j_m} \}であるとき、スペクトル測度μによるBの像μ(B)は、\mathcal{H}の元を\mathcal{H}の部分空間
V_{\lambda_{j_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_{j_m}
に射影する射影変換である。
スペクトル測度の概念を厳密に定式化する。なお、スペクトル測度の概念それ自身は、Aのスペクトルとは無関係に定義する。スペクトル測度の概念がAのスペクトルと結びつくのは、後述するスペクトル定理においてである。\mathcal{P}(\mathcal{H})を\mathcal{H}の元を\mathcal{H}の閉部分線形空間に対応させる正射影作用素全体の集合とする。すなわち
P\in\mathcal{P}(\mathcal{H}) \iff \exist V\subset\mathcal{H} (閉部分線形空間)  s.t. P~:~\phi=\phi_V+\phi_V^{\bot} \in V \oplus V^{\bot} =\mathcal{H} \mapsto \phi_V \in V \subset \mathcal{H}
さらに\mathcal{B}(\mathbf{R}) をR上のボレル加法族とする。直観的にはこのRは、自己共役作用素のスペクトルやレゾルベントの取りうる値の集合である。
\mu~:~\mathcal{B}(\mathbf{R}^d)\to \mathcal{P}(\mathcal{H}) をスペクトル測度とするとき、次の事実が成り立つことが知られているH13新井。ここで\langle\cdot,\cdot\rangle は\mathcal{H} の内積である:
ψを\mathcal{H} の元とする。この時、写像B\in\mathcal{B}(\mathbf{R}^d)\mapsto \langle \psi,\mu(B)\psi\rangle はRd上の複素数値の測度である。
上述のように定義される測度を\mu_{\psi}(B)=\langle \psi,\mu(B)\psi\rangle と書くとき、次が成立する事が知られている:
定理・定義 f(\lambda) \mathrm{d}\mu_\psi =\langle \psi,F_{f}\psi\rangle    for \forall \psi\in\mathrm{Dom}(F_f) 、
\mathrm{Dom}(F_f)=\{\psi\in\mathcal{H} ~:~\int_{\mathbf{R}|f(\lambda)|^2\mathrm{d}\mu_\psi <\infty \}
と書けるH13。
F_{f}=\int_{\mathbf{R} f(\lambda) \mathrm{d}\mu
と表記し、スペクトル測度μによるfの作用素値積分(operator-valued integral)というH13。
|note=作用素値積分}
なお任意の可測関数fに対しDom(Ff)は\mathcal{H} で稠密であることが知られているのでH13、作用素値積分は\mathcal{H} 上稠密に定義された線形作用素である。またfが実数値可測関数の場合は作用素値積分は必ず自己共役作用素になる事も知られているH13。
以上の準備のもと、スペクトル定理を定式化する:
定理 \lambda \mathrm{d}\mu
|note=スペクトル測度によるスペクトル分解定理H13}
なお、μはAのレゾルベント集合上で0になる事が知られているのでH13、上述の積分を
A=\int_{\sigma(A)} \lambda \mathrm{d}\mu
と書き表す事もできる。
A=\sum_{j=1}^n\lambda_jP_j
の無限次元版である。実際、ディラック測度δx(B)を
\delta _{x}(B)={\begin{cases}0,&x\not \in B;\\1,&x\in B\end{cases}
により定義し、スペクトル測度μを
\mu(B)=\sum_{j=1}^n \delta _{\lambda_j}(B)P_j
とすれば、両者が一致する事を確認できる。
スペクトル測度によるスペクトル分解定理は直積分によるスペクトル定理から容易に従う。実際、直積分によるスペクトル定理から\mathcal{H}は直積分\int_{\sigma(A)}^\oplus \mathcal{H}_\lambda \mathrm{d}\mu_A として表現できるので、B⊂σ(A)に対してμ(B)を\int_{\sigma(A)}^\oplus \mathcal{H}_\lambda \mathrm{d}\mu_A\to\int_{B}^\oplus \mathcal{H}_\lambda \mathrm{d}\mu_A,~~s(\lambda)\mapsto \chi_B(\lambda)s(\lambda) とすればよい。ここでχBはBの特性関数である。
Aを何らかの物理量を表す自己共役作用素とし、μをAのスペクトル測度とする。量子力学では以下を仮定する:
直積分を使うと、上の仮定をより直観的に表現できる。状態空間\mathcal{H} をAのスペクトルでスペクトル分解して
\mathcal{H} \simeq \int_{\sigma(A)}^\oplus \mathcal{H}_\lambda \mathrm{d}\mu_A
と直積分で書き表し、ψを直積分の切断として
\psi \simeq \{\psi(\lambda)\}_{\lambda\in\sigma(A)}
と書き表すと、直積分とスペクトル測度の関係により、状態ψにある系でAを観測した観測値λがボレル集合B\subset\mathbf{R} に属している確率は
\int_{\sigma(A)\cap B}\|\psi(\lambda)\|^2 \mathrm{d}\mu_A
に一致する。
また簡単な計算により、Aを観測した観測値の期待値が
\langle \psi,A(\psi)\rangle
となる事を確かめられる新井。
量子力学では以下を仮定する:
上述の仮定では観測値が固有値、すなわち点スペクトルに属していた場合の事を述べているが、観測値が連続スペクトルに属していた場合については何も規定していない事に注意されたい。
前節までで見たように、状態空間\mathcal{H} が無限次元である場合のスペクトル分解においては連続スペクトルが生じるため、全てのスペクトル点に対して対応する「固有関数」が存在するわけではないという困難を抱える。そこでディラックは、状態空間\mathcal{H} にデルタ関数のような超関数を添加し、これら超関数を一種の固有関数だとみなす事でこの困難を解消する道筋を建てた。
本節では、このディラックのアイデアを拡張することで得られるゲルファントの三つ組の概念を用いて、自己共役作用素をスペクトル分解する方法を説明する。
ゲルファントの三つ組の定義の基本的な雛形は、(緩増加)超関数の概念である。そこで、まず、緩増加超関数の定義を振り返る。今シュワルツ空間\mathcal{S}(\mathbf{R}^d)からヒルベルト空間\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^d)へは自然な単射
\iota ~:~\mathcal{S}(\mathbf{R}^d) \hookrightarrow \mathcal{H}
が存在する。\psi\in\mathcal{H}に対し、写像ι†(ψ)を
\iota^{\dagger}(\psi) ~:~\mathcal{S}(\mathbf{R}^d) \to \mathbf{C},~~ \varphi\mapsto \langle \psi,\iota(\varphi)\rangle
と定義すると、
\iota^{\dagger}(\psi) \in\mathcal{S}'(\mathbf{R}^d)
なので、写像
\iota^{\dagger} ~:~\mathcal{H}\hookrightarrow\mathcal{S}'(\mathbf{R}^d) ,~~ \psi\mapsto \iota^\dagger(\psi)
を定義する事ができ、ι†は反線形写像となる。