量子力学の数学的定式化
これまで我々はいわゆるシュレディンガー描像で時間発展を記述してきた。すなわち任意のオブザーバブルAは時間に関して不変であり、状態ベクトルψの方が
U_t=\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right)
\psi(t)=U_t(\psi)
と時間発展するとみなしてきた。一方同じ時間発展をハイゼンベルク描像で記述することも可能である。この場合状態ベクトルψは時間に対して不変であり、オブザーバブルAの方が
A_t=U_{-t}AU_t
と時間発展するとみなせる。
Hを\mathcal{H}上の自己共役作用素とし、Aを\mathcal{H}上の自己共役作用素で、
A(\mathrm{Dom}(H))\subset \mathrm{Dom}(H)
を満たすものとし、
\psi\in \mathrm{Dom}(H)
を取り、
A_t=U_{-t}AU_t 、ここでU_t=\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right)
とすると、これまでの議論から、A_t(\psi)\in \mathrm{Dom}(H) が任意のt\in\mathbf{R} に対して成立し、しかも
{\mathrm{d}A_t(\psi) \over \mathrm{d}t}=[H,A_t](\psi)
が成立する事が示せる新井。ここで上式左辺の時間微分は強微分である新井。
一般に自己共役作用素の族\{B_t\}_{t\in\mathbf{R} と、\mathcal{H}の元ψに対し、
{\mathrm{d}B_t(\psi) \over \mathrm{d}t}=[H,B_t](\psi)
という形の\{B_t\}_{t\in\mathbf{R} に関する方程式をハイゼンベルクの運動方程式という新井。上述したA_t に関する議論は、ハイゼンベルクの運動方程式の解が存在する十分条件を示した事になる。
\mathcal{H}を状態空間とし、\mathcal{H}上の(有界とは限らない)自己共役作用素Hをハミルトニアンとして固定し、
U_t=\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right)
とする。
\{V_s\}_{s\in\mathbf{R} を強連続1パラメータユニタリ変換群とし、Aをその無限小生成元とする。
このとき以下が成立する:
これは以下に述べる理由により量子力学におけるネーターの定理M16であるとみなせる。
まず最初の条件V_{-s}HV_s=H は、ハミルトニアンHが強連続1パラメータユニタリ変換群\{V_s\}_{s\in\mathbf{R} に対して不変である事を示している。すなわち、Hによって記述される系は対称性\{V_s\}_{s\in\mathbf{R} を持つ。
一方2番目の条件はU_{-t}AU_t=A の左辺はハイゼンベルク描像で見たときのAの時間発展であるので、この条件は対称性\{V_s\}_{s\in\mathbf{R} を定義する無限小生成元が運動の不変量である事を意味している。
解析力学におけるネーターの定理は系の対称性の無限小変換が運動の不変量になり、その逆も成り立つというものだったので、上述した2条件の同値性は量子力学におけるネーターの定理であると解釈できる。なお3番目の条件は、時間発展してから対称性V_s で系を動かす行為と、対称性V_s で系を動かしてから時間発展する事とが同一である事を意味している。
なお、ほとんどの物理の教科書では、上述した量子力学におけるネーターの定理を時間微分と交換子を用いて記述しているがM16、そのような記述方法は作用素の定義域に関する多くの問題点を含むM16。
\mathcal{H}上のユニタリ変換全体の集合を\mathcal{U}(\mathcal{H})と表記すると、強連続1パラメータユニタリ変換群\{V_s\}_{s\in\mathbf{R} は実数にユニタリ変換を対応させる準同型写像
s\in\mathbf{R} \mapsto V_s \in \mathcal{U}(\mathcal{H})
とみなす事ができる。解析力学におけるネーターの定理はこうした実数からの写像だけでなく、一般の有限次元リー群からの写像に対しても成立していた。そこで本節では量子力学における有限次元リー群のネーターの定理を見出す。有限次元リー群Gから\mathcal{U}(\mathcal{H})への写像
\Pi ~:~G \to \mathcal{U}(\mathcal{H})
\forall g,h\in G~:~\Pi(gh)=\Pi(g)\Pi(h)
と強連続性
\forall \{g_n\}_{n\in\mathbf{N} \subset G ~\forall g \in g~:~ \lim_{n\to \infty}g_n= g \Rightarrow \lim_{n\to\infty}\|\Pi(g_n)-\Pi(g)\|=0
とを満たすものをGの\mathcal{H}上のユニタリ表現というH13。なおここで「強」連続と呼ぶのは、弱位相における連続性と区別するためである。
\mathfrak{g}をGのリー環とし、Xを\mathfrak{g}の元とする時、
V_s:=\Pi(\mathrm{exp}(sX))
とすると(上式のexpはリー環の元にリー群の元を対応させる写像である)、\{V_s\}_{s\in\mathbf{R} は強連続1パラメータユニタリ変換群になるので、ストーンの定理より、
\Pi(\mathrm{exp}(sX))=\mathrm{exp}(itA_X)
を満たす自己共役作用素AXが存在する(ここで左辺のexpは前述の通りリー環の元にリー群の元を対応させる写像、右辺のexpは自己共役作用素に1パラメータ変換を対応させる写像)。よって\mathfrak{g}の元に自己共役作用素を対応させる写像
\pi ~:~ X\in\mathfrak{g} \mapsto A_X
が定義可能である。
\mathcal{H}上の自己共役作用素Hをハミルトニアンとして固定し、
U_t=\mathrm{exp}\left(-{it \over \hbar} H\right)
とすると、強連続1パラメータユニタリ変換群に関するネーターの定理から、以下の3つは同値である:
任意のs\in\mathbf{R} に対しV_{-s}HV_s=H
任意のt\in\mathbf{R} に対しU_{-t}\pi(X)U_t=\pi(X)
任意のs,t\in\mathbf{R} に対しU_tV_s=V_sU_t
これが一般のリー群に関するネーターの定理であるが、強連続1パラメータユニタリ変換群に関するネーターの定理と違い、さらに\mathfrak{g}のリー括弧に関しても、以下の性質が言える事であるH13:
なお、自己共役作用素の括弧積
[A,B]:=AB-BA
は\mathrm{Dom}(A)\cap \mathrm{Dom}(B) が\mathcal{H}の稠密部分集合になる場合にしか自己共役作用素ならないが、\mathcal{H}のユニタリ表現の場合には
\forall D\in\mathfrak{g}~:~ W \subset \mathrm{Dom}(\pi(X))
を満たす\mathcal{H}の稠密部分集合Dが必ず存在する事が知られているので、括弧積は必ず自己共役作用素となるH13。
位置作用素Q_j(\psi):=x_j \cdot \psiと運動量作用素P_j(\psi)=-i\hbar{\partial\over \partial x_j}(\psi) は、状態空間\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R}^d)の稠密部分集合\mathcal{S}(\mathbf{R}^d)で定義された作用素である。よってこれらの交換子も\mathcal{H}の稠密部分集合\mathcal{S}(\mathbf{R}^d)上で定義可能であり、以下の関係式(正準交換関係)を満たす。ここでIは単位行列であり、\delta_{j,k} はクロネッカーのデルタである:
\forall j,k=1,\ldots,d~:~[Q_j,P_k]=i\hbar\delta_{j,k}I, \quad [Q_j,Q_k]=0, \quad [P_j,P_k]=0
なおBLT定理より、これらの交換子は\mathcal{H}の全域に拡張可能であり、上式は\mathcal{H}の全域で成立する。
フォン・ノイマンの一意性定理新井'(「ストーン=フォン・ノイマンの定理」ともH13)は、正準交換関係のやや強いバージョンである「ヴァイルの関係式」を満たす有限個の「既約な」作用素の組は同型を除いて、位置作用素と運動量作用素に限られるというものである。
なお、フォン・ノイマンの一意性定理を示すには、「ヴァイルの関係式」をはじめとした正準交換関係よりも強い仮定を課す事が必須であり、正準交換関係を満たすにも関わらずフォン・ノイマンの一意性定理が成立しない反例で、物理的にも興味深い例が存在する新井'。
フォン・ノイマンの一意性定理を定式化するために必要な概念を定義する。
\mathcal{H}上の自己共役作用素A_j,B_k\quad j,k=1,\ldots,d
に対し、正準交換関係を指数関数の上に乗せた下記の式をヴァイルの関係式という新井'H13':
\forall j,k=1,\ldots,d,\forall s,t\in\mathbf{R}~:~
\mathrm{exp}(-is A_j)
\mathrm{exp}(-it B_k)
\mathrm{exp}(is A_j)
\mathrm{exp}(it B_j)
=\mathrm{exp}(i\hbar\delta_{j,k}),
\mathrm{exp}(-is A_j)
\mathrm{exp}(-it A_k)
\mathrm{exp}(is A_j)
\mathrm{exp}(it A_j)
=I,
\mathrm{exp}(-is B_j)
\mathrm{exp}(-it B_k)
\mathrm{exp}(is B_j)
\mathrm{exp}(it B_j)
=I.
通常の正準交換関係の場合には、A_j,B_k
の定義域の共通部分が\mathcal{H}で稠密でないとそもそも交換子が定義できないという問題を抱えていたが、ヴァイルの関係式の場合、A_j,B_k
を指数関数の上に乗せた結果出来上がるユニタリ変換を取り扱っており、しかもBLT定理よりこれらのユニタリ変換の定義域は\mathcal{H}全体であるので、こうした定義域の問題は起こらない。
正準交換関係をヴァイル関係式で表す事を、正準交換関係のヴァイル表現という。なお、一般には通常の正準交換関係よりもヴァイルの関係式の方が強い制約条件であり、両者は同値ではない。
\mathcal{H}上の自己共役作用素A_j,B_k\quad j,k=1,\ldots,d
がヴァイル表現として規約であるとは、\mathrm{exp}(isA_j),\mathrm{exp}(itB_k)\quad j,k=1,\ldots,d,~s,t\in\mathbf{R}
の共通の不変真部分閉空間が\{0\} のみである事をいう。すなわち閉部分空間\mathcal{K}\subsetneq \mathcal{H}が
\forall j,k=1,\ldots,d~\forall s,t\in\mathbf{R}~:~\mathrm{exp}(is A_j)(\mathcal{K})\subset\mathcal{K}, \quad \mathrm{exp}(it B_k)(\mathcal{K})\subset\mathcal{K}
\mathcal{K}=\{0\}
である事をいう。
次の事実をフォン・ノイマンの一意性定理という:
フォン・ノイマンの一意性定理は、量子力学に重要なリー群であるハイゼンベルク群を用いる事でより簡潔に表現できる。
d次のハイゼンベルク群とは、
\mathbf{H}_d=\mathbf{R}^d\times \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}
に以下のような積を入れる事で定義されるリー群であるW':
(\mathbf{p},\mathbf{q},c)\cdot(\mathbf{p}',\mathbf{q}',c'):=(\mathbf{p}+\mathbf{p}',\mathbf{q}+\mathbf{q}',c+c'+{1\over 2}(\mathbf{p}\mathbf{q}'-\mathbf{q}\mathbf{p}'))
ここで\mathbf{p}\mathbf{q}'、\mathbf{q}\mathbf{p}'は\mathbf{R}^d上の内積である。
ハイゼンベルク群が量子力学で重要なのは、対応するリー環(ハイゼンベルクリー環)が正準交換関係(で\hbar=1にしたもの)を満たすからである。すなわち、d次のハイゼンベルクリー環は、
\mathfrak{h}_d=\mathbf{R}^d\times \mathbf{R}^d\times \mathbf{R}
と表記でき、j=1,…,dのとき、j=d+1,…,2dのとき、j=2d+1のときそれぞれ、座標軸(0,\ldots,0,\overset{j}{\check{1},0,\ldots,0)の事を\vec{P}_j、\vec{Q}_j、\vec{I}と書くと、これらのリー・ブラケットは
\forall j,k=1,\ldots,d~:~[\vec{Q}_j,\vec{P}_k]=\delta_{j,k}\vec{I}, \quad [\vec{Q}_j,\vec{Q}_k]=0, \quad [\vec{P}_j,\vec{P}_k]=0
を満たすW'。
まずフォン・ノイマンの一意性定理の仮定をハイゼンベルク群を用いて表現する。\mathcal{H} をヒルベルト空間とし、\mathcal{U}(\mathcal{H}) を\mathcal{H} 上のユニタリ作用素全体の集合とする。
\Pi ~:~\mathbf{H}_d \to \mathcal{U}(\mathcal{H})
\Pi(\vec{I})=i\hbar I
を満たす強連続な写像とし、さらに
A_j:=\Pi(\vec{Q}_j),\quad B_j:=\Pi(\vec{P}_j)
とする。するとフォン・ノイマンの一意性定理の条件であるヴァイルの関係式は、Πが準同型である事を意味している。すなわちヴァイルの関係式を満たすΠはハイゼンベルク群の強連続なユニタリ表現である。このように見た時、ヴァイル表現に関する規約性の条件は、このヴァイル表現が規約である事と同値である。なお、ハイゼンベルク群のニタリ表現の事をシュレディンガー表現というZ13'。
一方、フォン・ノイマンの一意性定理の結論部分は、このユニタリ表現が同型を除いて一意であり、その唯一のユニタリ表現による\vec{Q}_j,~\vec{P}_k の像がそれぞれ
まとめると、以下の結論が得られるW':
Mackeyはより弱い条件のもとフォン・ノイマンの一意性定理を示しているM16:
[新井97] 新井朝雄
[A97] http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.47.6573appearing in Irreversibility and Causality, Semigroups and Rigged Hilbert Spaces, Arno Bohm, Heinz-Dietrich Doebner, Piotr Kielanowski, eds., Springer-Verlag.
[BG] https://www.univie.ac.at/physikwiki/images/4/43/Handout_HS.pdf
[F15] https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.020/fackler/SS15/qm/lnotes_mathematical_found_qm_temp.pdf
[H13] H13
[K12] K12
[L04]http://www.math.kun.nl/~landsman/HSQM2006.pdf
[M07]http://math.mit.edu/~rbm/iml/Chapter1.pdf
[M66] http://streaming.ictp.trieste.it/preprints/P/66/012.pdf
[M16] https://arxiv.org/abs/1508.06951
[P01] http://www.math.nsysu.edu.tw/~amen/posters/preprints.html
[S12] http://www.math.kit.edu/iana3/~schnaubelt/media/st-skript.pdf
[W]http://www.math.columbia.edu/~woit/notes20.pdf
[Z13] https://pcmi.ias.edu/2013GSSLectNotes