リー環の拡大
が分かる,ただしアインシュタインの和の規約を用いている.構造定数の添え字の配置(上か下か)は重要ではない.次の定理は有用である:
定理:構造定数がすべての添え字について反対称な基底がそんざいすることと,リー環が単純コンパクトリー環と u(1) リー環の直和であることは同値である.これは g 上の実正定値計量 g であって不変性条件
g_{\alpha\beta}{C^\beta}_{\gamma\delta}=-g_{\gamma\beta}{C^\beta}_{\alpha\delta}
を任意の基底について満たすものが存在することと同値である.この最後の条件は場の量子論において非可換ゲージ理論の物理的理由のため必要である.したがって,単純リー環のコンパクト形上の Cartan catalog(sl(n, C) → su(n) など)を用いて,可能なゲージ理論の無限リストを作ることができる.1つのそのようなゲージ理論は標準模型の U(1) × SU(2) × SU(3) ゲージ理論でありそのリー環は u(1) ⊕ su(2) ⊕ su(3) である.
キリング形式は次で定義される g 上の対称双線型形式である:
K(G_1, G_2) = \mathrm{trace} (\mathrm{ad}_{G_1}\mathrm{ad}_{G_2}).
ここで adG はベクトル空間 g に作用する行列と見なされる.必要な大事な性質は,g が半単純ならばカルタンの判定法により K は非退化であるということである.そのような場合 K は g と g∗ を同一視するのに使うことができる.λ ∈ g∗ ならば,ある ν(λ)  Gλ ∈ g が存在して,
\langle \lambda, G \rangle = K(G_\lambda, G) \quad \forall G \in \mathfrak g
となる.これはリースの表現定理に似ており,証明は実質的には同じである.キリング形式は性質
K([G_1, G_2], G_3) = K(G_1, [G_2, G_3])
を持ち,これは結合性と呼ばれる.gαβ  K[Gα,Gβ] と定義し中のブラケットを構造定数により展開することで,キリング形式は上の不変性条件を満たすことが分かる.
ループ群は単位円周 S1 からリー群 G への滑らかな写像の群に群構造を G 上の群構造によって定義したものとして取られる.するとループ群のリー環は S1 から G のリー環 g への写像のベクトル空間である.そのようなリー環の任意の部分環はループ代数と呼ばれる.ここでは注意は次の形の多項式ループ代数に当てられる:
\bigl\{h \colon S^1 \to \mathfrak g \mid h(\lambda)
= \sum \lambda^n G_n, n \in \mathbb Z, \lambda = e^{i\theta} \in S^1, G_n \in \mathfrak g\bigr\}.
リー環の導出
少し考えるとこれらは θ が 0 から 2π まで行くとき g 内のループであることが確かめられる.演算は g の演算によって点ごとに定義されるものである.この代数は代数
C[\lambda, \lambda^{-1}] \otimes \mathfrak g
に同型である,ただし C[λ, λ−1] はローラン多項式の代数であり,
\sum \lambda^k G_k \leftrightarrow \sum \lambda^k \otimes G_k
と対応する.リーブラケットは
[P(\lambda) \otimes G_1, Q(\lambda) \otimes G_2] = P(\lambda)Q(\lambda) \otimes [G_1, G_2]
である.この後者の視点により元は(定数!)係数が g の多項式と考えることができる.基底と構造定数のことばでは,
[\lambda^m \otimes G_i, \lambda^n \otimes G_j]
= {C_{ij}^k\lambda^{m+n} \otimes G_k
である.異なる表記
\lambda^m \otimes G_i \cong \lambda^mG_i \leftrightarrow T^m_i(\lambda) \equiv T^m_i
をすることも一般的である,ただし λ の省略は混乱を避けるため心に留めておくべきである;元は実際には関数 S1 → g である.するとリーブラケットは
^kT^{m+n}_k
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であり,これは以下で導入される untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数において中心項"なし"の交換関係の1つとして実現可能である.m  n  0 として,g に同型な部分代数が得られる.(定義をさかのぼることで分かるように)それは S1 から G への定数写像の集合を生成し,これは exp が全射のとき(たとえば G がコンパクトのとき)明らかに)G に同型である.G がコンパクトならば,g の基底 (Gk) を Gk が歪エルミートであるように選ぶことができる.結果として,
T_i^{n\dagger} = (\lambda^nG_i)^{\dagger} = -\lambda^{-n}G_i = -T_i^{-n}
である.そのような表現はユニタリと呼ばれる,なぜならば代表元
H(\lambda) = e^{\theta_{n}^k T_k^{-n} \in G
がユニタリだからである.ここで,T の下の添え字のマイナスは慣習であり,和の規約が使われ,λ は(定義により)右辺の T たちに埋もれている.
カレント代数は場の量子論において大域的ゲージ対称性の結果として生じる.
Conserved currents occur in classical field theories
whenever the Lagrangian respects a continuous symmetry.
This is the content of Noether's theorem. Most (perhaps all) modern quantum field theories
can be formulated in terns of classical Lagrangians (prior to quantization),
so Noether's theorem applies in the quantum case as well.
Upon quantization, the conserved currents are promoted to position dependent operators on Hilbert space.
These operators are subject to commutation relations, generally forming an infinite-dimensional Lie algebra.
A model illustrating this is presented below.
To enhance the flavor of physics, factors of i will appear here and there
as opposed to in the mathematical conventions.
Consider a column vector Φ of scalar fields
(Φ1, Φ2, ..., ΦN).
Let the Lagrangian density be
\mathcal L = \partial_\mu \phi^\dagger\partial^\mu\phi - m^2\phi^\dagger\phi.
This Lagrangian is invariant under the transformation
\phi \mapsto e^{-i\sum_{a=1}^r\alpha^aF_a}\phi,
where {F1, F1, ..., Fr}
are generators of either U(N) or a closed subgroup thereof, satisfying
[F_a, F_b] = i{C_{ab}^cF_c.
Noether's theorem asserts the existence of r conserved currents,
J_a^\mu = -\pi^\mu iF_a\phi, \quad \pi^{k\mu}
= \frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu \phi_k)},
where πk0 ≡ πk is the momentum
canonically conjugate to Φk.
The reason these currents are said to be conserved is because
\partial_\mu J^\mu_a = 0,
and consequently
Q_a(t) = \int J^0_a d^3x = \mathrm{const} \equiv Q_a,
the charge associated to the charge density Ja0
is constant in time.
This (so far classical) theory is quantized promoting the fields
and their conjugates to operators on Hilbert space and by postulating (bosonic quantization)
the commutation relations
\begin{align}{}[\phi_k(t, x), \pi^l(t, x)] &= i\delta(x-y)\delta_k^l,\\
{}[\phi_k(t, x), \phi_l(t, x)]&= [\pi^k(t, x), \pi^l(t, x)] = 0.\end{align}
The currents accordingly become operators They satisfy, using the above postulated relations,
the definitions and integration over space, the commutation relations
\begin{align}{}[J_a^0(t, \mathbf x),J_b^0(t, \mathbf y)]
&=  i\delta(\mathbf x - \mathbf y){C_{ab}^cJ_c^0(ct, \mathbf x)\\
{}[Q_a, Q_b] &= i{Q_{ab}^cQ_c\\
{}[Q_a, J_b^\mu(t, \mathbf x)] &= i{C_{ab}^cJ_c^\mu(t, \mathbf x),\end{align}
where the speed of light and the reduced Planck's constant have been set to unity.
The last commutation relation does not follow from the postulated commutation relations
(these are fixed only for πk0,
not for πk1, πk2, πk3),
except for μ  0
For μ  1, 2, 3 the Lorentz transformation behavior
is used to deduce the conclusion. The next commutator to consider is
[J_a^0(t, \mathbf x), J_b^i(t, \mathbf y)]
= i{C_{ab}^cJ_c^i(t, \mathbf x)\delta(\mathbf x - \mathbf y)
+ S_{ab}^{ij}\partial_j\delta(\mathbf x - \mathbf y) + \dotsb .
The presence of the delta functions and their derivatives is explained
by the requirement of microcausality that implies
that the commutator vanishes when x ≠ y.
Thus the commutator must be a distribution supported
at x  y.
The first term is fixed due to the requirement that the equation should,
when integrated over X, reduce to the last equation before it.
The following terms are the Schwinger terms.
They integrate to zero, but it can be shown quite generally
that they must be nonzero.
Existence of Schwinger terms|0\rangle
&= \langle 0|[J^0(t,\mathbf x),\frac{\partial J^i(t,\mathbf y)}{\partial_{y^i}]|0\rangle\\
&= -\langle 0|[J^0(t,\mathbf x),\frac{\partial J^0(t,\mathbf y)}{\partial_{t}]|0\rangle
= i\langle 0|[J^0(t,\mathbf x),[J^0(t,\mathbf y),H]|0\rangle\\
&= -i\langle 0|J^0(t,\mathbf x)HJ^0(t,\mathbf y)
+J^0(t,\mathbf x)HJ^0(t,\mathbf x)|0\rangle,\end{align}
where S10 and Heisenberg's equation of motion have been used
as well as H!0⟩  0 and its conjugate.
Multiply this equation by f(x)f(y) and integrate
with respect to x and y over all space,
using integration by parts, and one finds
-i \iint d\mathbf x d\mathbf y\langle 0|C^i(\mathbf x, \mathbf y)|0\rangle
f(\mathbf x)\frac{\partial f}{\partial y^i}f(\mathbf x)
= 2\langle 0|FHF|\rangle, \quad F = \int J^0(\mathbf x)f(\mathbf x).
Now insert a complete set of states, !n⟩
\begin{align}
\langle 0|FHF|\rangle &= \sum_{mn}\langle 0|F|m\rangle\langle m|H|n\rangle\langle n|F|0\rangle \\
&=\sum_{mn}\langle 0|F|m\rangle E_n\delta_{mn}\langle n|F|0\rangle )
\sum_{n \ne 0}|\langle 0|F|n\rangle|^2E_n > 0
&\implies C^i(\mathbf x, \mathbf y) \ne 0.
\end{align}
Here hermiticity of F and the fact that not all matrix elements of F
between the vacuum state and the states from a complete set can be zero.
}
g を N 次元複素単純リー環で次のような正規化された基底をもつものとする:構造定数はすべての添え字について反対称であり,交換関係は
[G_i,G_j] = {C_{ij}^kG_k, \quad 1 \le i, j, N
である.untwisted アファイン・カッツ・ムーディ代数 g は次のようにして得られる.各 n ∈ Z に対して基底をコピーし(コピーたちを相異なると見て),ベクトル空間として
\overline{\mathfrak g} = FC \oplus FD \oplus \bigoplus_{1 \le i \le \N,m \in \mathbb Z} FG^i_m
とおき,交換関係を
\begin{align}{}[G_i^m,G_j^n] &= {C_{ij}^kG_k^{m+n} + m\delta_{ij}\delta^{m+n,0}C,\\
{}[C,G_i^m] &= 0, \quad 1 \le i, j, N,\quad m,n \in \mathbb Z\\
{}[D, G_i^m] &= mG_i^m\\
{}[D,C] &= 0\end{align}
と定める.C  D  0 ならば,Gmi で張られる部分代数は明らかに上の多項式ループ代数と同一である.
ヴィット代数は,エルンスト・ヴィットに因んで名づけられており,円周 S1 上の滑らかなベクトル場のリー環 VectS1 の複素化である.座標では,そのようなベクトル場は
X = f(\varphi)\frac{d}{d\varphi}
と書け,リーブラケットはベクトル場のリーブラケットで,S1 上単に次で与えられる:
[X, Y] = \left[f\frac{d}{d\varphi}, g\frac{d}{d\varphi}\right]
= \left(f\frac{dg}{d\varphi} - g\frac{df}{d\varphi}\right)\frac{d}{d\varphi}.
代数は W  VectS1 + iVectS1 と書かれる.W の基底は次の集合で与えられる:
\{d_n, n \in \mathbb Z\} = \left\{\left .ie^{in\varphi}\frac{d}{d\varphi}
= -z^{n+1}\frac{d}{dz}\;\right|\;n \in \mathbb Z \right\}.
この基底は次を満たす:
^nd_n = (l-m)\delta_{l+m}^nd_n,\quad l,m,n \in \mathbb Z.
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このリー環は有用な中心拡大,ヴィラソロ代数をもつ.それは su(1, 1) と sl(2, R) に同型な 3 次元部分代数を持つ.各 n ≠ 0 に対し,集合 {d0, d−n, dn} は su(1, 1) ≅ sl(2, R) に同型な部分代数を張る.
G が行列リー群のとき,リー環の元 G は
G = \frac{d}{dt}\left .(g(t))\right|_{t=0}
によって与えることができる,ただし α は t  0 で単位元を通る G 内の微分可能な道である.リー環の元の交換子は2つの道 g1, g2 と群の交換子を用いて計算できる:
[G_1, G_2] = \frac{d}{dt} \left .g_1(t)g_2(t)g_1(t)^{-1}g_2(t)^{-1}\right|_{t = 0},
\quad G_1 = g_1'(0), G_2 = g_2'(0).
同様に,群の表現 U(G) が与えられると,そのリー環 u(g) は次で計算される:
\begin{align}[] [U_1, U_2]
&= \frac{d}{dt} \left .U(g_1(t))U(g_2(t))U(g_1(t))^{-1}U(g_2(t))^{-1}\right|_{t = 0}\\
&= \frac{d}{dt} \left .U(g_1(t)g_2(t)g_1(t)^{-1}g_2(t)^{-1})\right|_{t = 0},
\quad G_1 = g_1'(0), G_2 = g_2'(0).\end{align}
すると g と u(g) の間の基底を基底に送りしたがって u が g の忠実表現であるようなリー環の同型が存在する.
しかしながら U(G) が射影表現,すなわち位相因子を除いた表現ならば,群の表現から計算されるリー環は,g に同型ではない.射影表現において乗法の規則は
U(g_1)U(g_2) = \omega(g_1, g_2)U(g_1g_2) = e^{i\xi(g_1, g_2)}U(g_1g_2)
である.関数 ω は,しばしば滑らかと仮定されるが,次を満たす:
\begin{align}\omega(g,e)      &= \omega(e,g) = 1,\\
\omega(g_1, g_2g_3)\,\omega(g_2,g_3) &= \omega(g_1,g_2)\,\omega(g_1g_2,g_3)\\
\omega(g,g^{-1})                     &=\omega(g^{-1},g).\end{align}
それは G じょうの 2-コサイクルと呼ばれる.
次が成り立つ:
\begin{align}[] [U_1, U_2]
&= \frac{d}{dt} \left .U(g_1(t))U(g_2(t))U(g_1(t))^{-1}U(g_2(t))^{-1}\right|_{t = 0}\\
&= \frac{d}{dt} \left .e^{i\xi(g_1,g_2)\xi(g_1^{-1}, g_2^{-1})\xi(g_1g_2, g_1^{-1}g_2^{-1})}
U(g_1(t)g_2(t)g_1(t)^{-1}g_2(t)^{-1})\right|_{t = 0}\\
&\equiv \frac{d}{dt} \left .\Omega(g_1,g_2)U(g_1(t)g_2(t)g_1(t)^{-1}g_2(t)^{-1})\right|_{t = 0}\\
&= \left .\frac{dU(g_1(t)g_2(t)g_1(t)^{-1}g_2(t)^{-1})}{dt}\right|_{t = 0}
+ \left .\frac{d\Omega(g_1,g_2)}{dt}\right|_{t=0}I,
\quad G_1 = g_1'(0), G_2 = g_2'(0),\end{align}
なぜならば Ω と U はともに t  0 において単位元になるからである.位相因子 ξ の説明は,ウィグナーの定理を参照.g における基底に対する交換関係
[G_i,G_j] = {C_{ij}^k}G_k
は u において
[U_i,U_j] = {C_{ij}^k}U_k + D_{ij}I
となるので, u がブラケットで閉じている(したがって実際にリー環である可能性を持つ)ためには,中心電荷 I が含まれていなければならない.
A classical relativistic string traces out a world sheet in spacetime, just like a point particle traces out a world line. This world sheet can locally be parametrized using two parameters σ and τ. Points xμ in spacetime can, in the range of the parametrization, be written xμ  xμ(σ, τ). One uses a capital X to denote points in spacetime actually being on the world sheet of the string. Thus the string parametrization is given by (σ, τ) ↦(X0(σ, τ), X1(σ, τ), X2(σ, τ), X3(σ, τ)). The inverse of the parametrization provides a local coordinate system on the world sheet in the sense of manifolds.
The equations of motion of a classical relativistic string derived in the Lagrangian formalism from the Nambu–Goto action are
\begin{align}
\frac{\partial \mathcal P_\mu^\tau}{\partial \tau}
+ \frac{\partial \mathcal P_\mu^\sigma}{\partial \sigma} = 0, \quad
\mathcal P_\mu^\tau &= -\frac{T_0}{c}\frac{(\dot X \cdot X')X'_\mu
- (X')^2\dot X_\mu}{\sqrt{(\dot X \cdot X')^2 - (\dot X)^2(X')^2},\\
\mathcal P_\mu^\sigma &= -\frac{T_0}{c}\frac{(\dot X \cdot X')X'_\mu
- (\dot X)^2 X'_\mu}{\sqrt{(\dot X \cdot X')^2 - (\dot X)^2(X')^2}.
\end{align}
A dot over a quantity denotes differentiation with respect to τ and a prime differentiation with respect to σ. A dot between quantities denotes the relativistic inner product.
These rather formidable equations simplify considerably with a clever choice of parametrization called the light cone gauge. In this gauge, the equations of motion become
\ddot X^\mu - {X^\mu} = 0,
the ordinary wave equation. The price to be paid is that the light cone gauge imposes constraints,
\dot X^\mu \cdot {X^\mu}' = 0, \quad (\dot X)^2 + (X')^2 = 0,