ビネ・コーシーの恒等式
代数学におけるビネ・コーシーの恒等式 (びね・こーしーのこうとうしき、Binet–Cauchy identity)とは、ジャック・フィリップ・マリー・ビネおよび オーギュスタン=ルイ・コーシーに由来する以下の恒等式
\begin{align}
\left(\sum_{i=1}^n a_i c_i\right)
\left(\sum_{j=1}^n b_j d_j\right)
&=
\left(\sum_{i=1}^n a_i d_i\right)
\left(\sum_{j=1}^n b_j c_j\right)
+ \sum_{1\le i < j \le n}
(a_i b_j - a_j b_i )
(c_i d_j - c_j d_i )\\
&(a_i, b_i, c_i, d_i (i=1,\cdots,n) \in \mathbb{K})
\end{align}
のことである。ここで、\mathbb{K}は実数や複素数(より一般的には可換環)を表す。
ci = ai および di = bi
とすれば、実数に対するラグランジュの恒等式が得られる。これはユークリッド空間 \mathbb{R}^n におけるコーシー=シュワルツの不等式を強化したものである。
\begin{align}
&\sum_{1\le i < j \le n} (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i )\\
&= \sum_{1\le i < j \le n} (a_i c_i b_j d_j + a_j c_j b_i d_i) + \sum_{i=1}^n a_i c_i b_i d_i
-  \sum_{1\le i < j \le n} (a_i d_i b_j c_j + a_j d_j b_i c_i) - \sum_{i=1}^n a_i d_i b_i c_i \\
&= \left(\sum_{1\le i < j \le n} + \sum_{1\le j < i \le n} + \sum_{1\le i = j \le n} \right) a_i c_i b_j d_j
-  \left(\sum_{1\le i < j \le n} + \sum_{1\le j < i \le n} + \sum_{1\le i = j \le n} \right) a_i d_i b_j c_j\\
&= \sum_{1\le i \le n \atop 1\le j \le n} a_i c_i b_j d_j
-  \sum_{1\le i \le n \atop 1\le j \le n} a_i d_i b_j c_j\\
&= \left(\sum_{i=1}^n a_i c_i \right) \left(\sum_{j=1}^n b_j d_j \right)
-  \left(\sum_{i=1}^n a_i d_i \right) \left(\sum_{j=1}^n b_j c_j \right)
\end{align}
となり、残りの項が導かれる。(第一式から第二式の導出に乗算の可換性を用いている。)
n = 3, \mathbb{K}=\mathbb{R} のとき
\begin{align}
\left(\sum_{i=1}^n a_i c_i\right)
\left(\sum_{j=1}^n b_j d_j\right)
-
\left(\sum_{i=1}^n a_i d_i\right)
\left(\sum_{j=1}^n b_j c_j\right)
&=
(a_1 b_2 - a_2 b_1 )
(c_1 d_2 - c_2 d_1 )\\
&+
(a_2 b_3 - a_3 b_2 )
(c_2 d_3 - c_3 d_2 )\\
&+
(a_1 b_3 - a_3 b_1 )
(c_1 d_3 - c_3 d_1 )\\
(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})
(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d})
-
(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{d})
(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})
&=
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_3
(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})_3\\
&+
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_1
(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})_1\\
&+
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_2
(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d})_2
\end{align}
すなわち、クロス積のスカラー四重積の公式
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{d})
=  (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{d})
-  (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{d})(\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c})
\quad (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{d} \in \mathbb{R}^3)
が得られる。(この式をビネ・コーシーの恒等式ということもある。)
\begin{align}
\{(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}\}\cdot\boldsymbol{d}
&= \left\{
(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}
- (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a}
\right\} \cdot\boldsymbol{d}
\\
\therefore~ (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}
&= (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a}
\end{align}
とベクトル三重積の公式が得られる。
また、c = a, d = b とおくと、
\|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\|^2
=  \|\boldsymbol{a}\|^2 \|\boldsymbol{b}\|^2
-  (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2
\quad (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^3)
と、ベクトル解析におけるラグランジュの恒等式が得られる。
以下の定理はコーシー・ビネの公式として知られている一般化である:
n を自然数とし、集合 {1,...,n } を [n ] と表記する。
m を非負整数として、A をm ×n の行列、B をn ×m の行列とする。
S を [n ] からm 個を選んだ部分集合とし、
AS をA のn 個の列からS に含まれる添字の列を取り出して得られたm ×m 行列、
BS をB のn 個の行からS に含まれる添字の行を取り出して得られたm ×m 行列とする。
m ×m 行列である積AB の行列式は
\det(AB) = \sum_{\scriptstyle S\subset[n]\atop\scriptstyle|S|=m} \det(A_S)\det(B^S)
で表せる。ただし、和において、S は{1,...,n } の要素数m の部分集合のすべてを取るとする。
特別な場合として、m =2として
A=\begin{pmatrix}a_1&\dots&a_n\\b_1&\dots& b_n\end{pmatrix},\quad
B=\begin{pmatrix}c_1&d_1\\\vdots&\vdots\\c_n&d_n\end{pmatrix}
\begin{vmatrix}
\displaystyle \sum_{i=1}^n a_ic_i & \displaystyle \sum_{i=1}^n a_id_i \\
\displaystyle \sum_{i=1}^n b_ic_i & \displaystyle \sum_{i=1}^n b_id_i
\end{vmatrix}
=
\sum_{1 \le i < j \le n}
\begin{vmatrix}a_{i}&a_{j}\\ b_{i}&b_{j}\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}c_{i}&d_{i}\\ c_{j}&d_{j}\end{vmatrix}
となり、ビネ・コーシーの恒等式が得られる。