ARCHモデル
ARCHモデル(アーチモデル、autoregressive conditional heteroscedasticity model, ARCH model)とは、金融経済学、統計学、計量経済学などにおいて分散不均一性を示す時系列データに適用されるモデル。日本語では、「分散自己回帰モデル」「分散不均一モデル」等と称される。1982年にロバート・エングルによって提案された。特に金融時系列データへの適用事例が多い。
株式の収益率をプロットすると、ある時期(景気が安定して拡大している時期など)には変動の程度(ボラティリティ)が平均して小さく、別の時期(不況の直前など)にはボラティリティが平均して大きくなる傾向が観察される。このようなボラティリティが時期によって異なった水準を示すことをボラティリティ・クラスタリング(volatility clustering)、または分散不均一性(heteroscedasticity)と呼ぶ。分散不均一性は金融時系列データをはじめ幅広く見られる現象である。
時刻 t における時系列データ  y_{t}  の時刻 t-1 までの情報による条件付き期待値を \mu_{t} とする。 y_{t}  と \mu_{t} の差を u_t = y_{t} - \mu_{t} とする。さらに
u_t=\sigma_t \varepsilon_t
と分解できるとする。ただし \varepsilon_{t} は平均が0、分散が1の確率変数で、\sigma_{t} はボラティリティであり、時刻 t-1 までの情報で確定していると考える。すなわち、時刻 t-1 の時点で、時刻 t におけるこの時系列データのボラティリティは予測できる、と考えるのである。他方、u_t そのものは実際に時刻 t になり確率変数 \varepsilon_t の値が確定するまでは確定しない。よって  y_{t}  自体は
y_{t} = \mu_{t} + u_{t} = \mu_{t} + \sigma_t \varepsilon_t
と表せる。ARCH(q)モデルの下で条件付ボラティリティ \sigma_t は以下の式で決定される。
\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1 u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_q u_{t-q}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_{i} u_{t-i}^2
つまりARCH(q)モデルでは、q 期前までの平均からの乖離部分 u_{t-i} の2乗が条件付きボラティリティに影響を与えている。仮定から v_{t} = u_{t}^2 - E_{t-1}[u_{t}^2] = u_{t}^2 - \sigma_{t}^2 であるのでARCHモデルの決定式は
u_{t}^2 = \alpha_{0} + \sum_{i=1}^q \alpha_{i} u_{t-i}^2 + v_{t}
と書き直すことが出来る。さらに v_{t} は E[u_{t-i}^2v_{t}] = 0,\;i=1,\dots であることも分かる。つまり  u_{t}^2  から見ると q 次の自己回帰モデルと見なせる。よって u_{t}^2 について自己回帰(autoregressive)であり、条件付き(conditional)ボラティリティ \sigma_{t} が分散不均一性(heteroscedasticity)を示すことから頭文字を取りARCHモデルと名付けられている。u_{t}^2 についての定常性条件から次の z についての方程式
1 - \sum_{i=1}^q \alpha_{i}z^i = 0
の全ての解の絶対値が1より大きくなるように係数 \alpha_{i},\;i=1,\dots,q に条件が課される場合が多い。
1986年にロバート・エングルの弟子Tim BollerslevはARCHモデルを一般化したGARCHモデル(がーちモデル、Generalized ARCH model, GARCH model)を提案した。GARCHモデルでは、条件付ボラティリティ \sigma_t は以下のように決定される。
\sigma_t^2=\alpha_0 + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \cdots + \alpha_q u_{t-q}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \cdots + \beta_p\sigma_{t-p}^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i u_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^p \beta_i \sigma_{t-i}^2 .
すなわち、現在の条件付ボラティリティは p 期前までの条件付ボラティリティと q 期前までの平均からの乖離部分の2乗により決定される。Bollerslev も当該論文中の実証分析の節で述べているが、ARCHモデルを金融時系列データに適用すると分散の長期記憶性を再現する為に次数 q が大きくなる傾向があったが、GARCHモデルは比較的小さい次数(p = 1, q = 1)でも十分に分散の長期記憶性が再現されるので、ARCHモデルに比べると倹約的なモデルとなる。GARCHモデルにおいては u_{t}^2 は自己回帰移動平均モデルとして表され、その定常条件は
1 - \sum_{i=1}^{\max\{p,q\}(\alpha_{i} + \beta_{i})z^i = 0
の全ての解の絶対値が1より大きくなることである。ただし \alpha_{i} = 0,\;i>q かつ \beta_{i} = 0,\;i>p である。
GARCHモデルは様々な拡張がなされている。以下で代表的なものを述べる。
Daniel B. Nelson が1991年に提案したExponential GARCH(p,q)モデル(EGRACH(p,q)モデル)は以下のようにボラティリティが決定する。
\log \sigma_{t}^2 = \omega + \sum_{i=1}^p\beta_{i}\log\sigma_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^q\Big(\alpha_{i}\varepsilon_{t-i} + \gamma_{i}\Big(|\varepsilon_{t-i}| - E[|\varepsilon_{t-i}|]\Big)\Big)
EGARCHモデルにおいては通常のGARCHモデルと異なり、u_{t-i} ではなく、それを \sigma_{t-i}  で割った \varepsilon_{t-i} がボラティリティに影響を与える。条件付き分散の対数に対してモデル化が行われているため、通常のGARCHモデルに比べると非負性や定常性のための制約が緩くなるという利点がある。
Lawrence R. Glosten, Ravi Jagannathan, David E. Runkle によって1993年に提案されたGJR GARCHモデルは以下のようにボラティリティが決定する。
\sigma_{t}^2 = \omega + \alpha u_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2 + \gamma u_{t-1}^2I_{t-1}
ただし、I_{t-1} は u_{t-1} が負ならば1、正ならば0を取る変数である。株価収益率などが持つ、下落局面でボラティリティがより増加するレバレッジ効果を捉えるためのモデルである。
Steven L. Heston, Saikat Nandi により2000年に提案されたHeston-Nandi GARCH(p,q)モデルは以下のようにボラティリティが決定する。
\sigma_{t}^2 = \omega + \sum_{i=1}^p\beta_{i} \sigma_{t-i}^2 + \sum_{i=1}^q\alpha_{i}\Big(\varepsilon_{t-i} - \gamma_{i}\sigma_{t-i}\Big)^2
Heston-Nandi GARCHモデルもEGARCHモデルと同様に u_{t-i} ではなく \varepsilon_{t-i} がボラティリティに影響を与える。また、このモデルもGJR GARCHモデルと同様にレバレッジ効果を捉えることができる。さらにデリバティブのオプションと親和性が高く、Heston-Nandi GARCHモデルに従う株式のオプションについて、その無裁定価格が導出されている。しかし、Heston-Nandi GARCHモデルはモデルが過適合を起こしやすいという欠点もある。
ここまで述べてきたGARCHモデルはいずれも単一変数の時系列データに対して適用されるものであったが、多変数の時系列データに対してその相関構造を内包しつつ適用可能なGARCHモデルも存在する。例としてBEKKモデルやCCC-GARCHモデル、DCC-GARCHモデルなどがある。