射影作用素
線型代数学および函数解析学における射影作用素あるいは単に射影(しゃえい、projection)とは、いわゆる射影(投影)を一般化した概念である。有限次元ベクトル空間 V の場合は、V 上の線型変換 P: V → V であって、冪等律 P2 = P を満たすものを言う。ベクトル v の像 Pv を v の射影という。射影作用素はベクトル空間 V を U⊕W と直和分解したときに、V の元 v = u + w (u ∈ U, w ∈ W) を u に写すような変換である。ベクトル空間の次元が無限次元の場合には、連続性を考慮しなければならない。例えばヒルベルト空間 \mathcal{H} における射影作用素とは、\mathcal{H} 上の有界線型作用素 P \in \mathcal{L}(\mathcal{H}) であって、冪等律 P2 = P を満たすものを言う。このときさらに自己共役性 P∗ = P を持つときには直交射影(ちょっこうしゃえい、orthogonal projection)という。直交射影のことを単に射影と呼ぶこともある。
この定義は抽象的ではあるが、投影図法の考え方を一般化し、定式化したものになっている。 幾何学的対象上の射影の影響は、その対象の各点における射影の影響を調べることでわかる。
例えば、三次元空間 R3 の点 (x, y, z) を点 (x, y, 0) へ写す写像は xy-平面の上への射影である。この写像は行列
P =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}
によって表現される。実際、この行列 P の任意のベクトルへの作用は
P\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
x\\ y\\ 0\end{bmatrix}
となり、これが射影を定めること(つまり P = P2 を満たすこと)は
P^2\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\end{bmatrix} = P\begin{bmatrix} x\\ y\\ 0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x\\ y\\ 0\end{bmatrix}
なる計算によって確かめられる。
(定義は後述するが)直交でない(斜交)射影の簡単な例として
P =\begin{bmatrix} 0 & 0\\\alpha & 1\end{bmatrix}
を挙げることができる。行列の積の定義に従って計算すれば
P^2 =\begin{bmatrix} 0 & 0\\\alpha & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 0\\\alpha & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0\\\alpha & 1\end{bmatrix} = P
故に P が実際に射影となることが分かる。
この射影 P が直交射影となるのは α = 0 のときであり、かつそのときに限る。
体上の d-次元ベクトル空間上の射影 P = P2 は、その最小多項式が x2 − x で相異なる一次因子の積に分解されるから、対角化可能である。従って、適当な基底を選べば P は、r を P の階数として
P = I_r\oplus 0_{d-r}
なる形に表すことができる。ここで、Ir は r-次単位行列、0d−r は次数 d − r の零行列である。複素ベクトル空間で内積を持つ場合には、適当な正規直交基底を選んで、P の表現行列を
P = \begin{bmatrix}1&\sigma_1 \\ 0&0\end{bmatrix} \oplus \cdots \oplus \begin{bmatrix}1&\sigma_k \\ 0&0\end{bmatrix} \oplus I_m \oplus 0_s
なる形にすることができる。ただし、σ1 ≥ σ2 ≥ … ≥ σk > 0 とする。また、k, s, m は整数で、実数 σi は一意に定まる。2k + s + m = d であることに注意せよ。このときの、Im ⊕ 0s なる因子は、その上に P が直交射影として作用する最大の不変空間に対応しており(故に P 自体が直交射影となるのは k = 0 のとき、かつそのときに限る)、かつ σi-ブロックが P の斜交成分に対応している。
考えるベクトル空間 X が(有限次元とは限らない)ノルム空間のとき、(有限次元の場合には関係ないが)解析学的なことも考えないといけないので、ここでは X はバナッハ空間であることを仮定する。
先に述べた代数的な概念の多くはこの文脈においても有効である。例えば、互いに補空間となるような部分空間への X の直和分解が与えられればやはり射影が定まるし、逆に射影からそのような直和分解が得られる。実際、X が直和分解 X = U ⊕ V を持つとき、P(u + v) = u で定義される作用素はやはり値域 U および核 V の射影である(P2 = P は明らかである)。一方 P が X 上の射影、即ち P2 = P を満たすならば (I − P)2 = (I − P) は容易に確かめられ、即ち (I − P) もまた射影となる。関係式 I = P + (I − P) から X が Ran(P) ⊕ Ran(I − P) なる直和に分解されることが従う。
しかし、有限次元の場合とは対照的に、射影は一般に連続とは限らない。実際、X の部分空間 U がノルムの定める位相に関して閉でないときは U の上への射影は連続でない。同じことだが、連続な射影 P の値域は必ず閉部分空間でなければならない。更には、連続射影の(実は一般の連続線型作用素の)核は閉部分空間である。従って、連続射影 P は X の互いに補空間となる閉部分空間の直和への分解 X = Ran(P) ⊕ Ker(P) = Ran(P) ⊕ Ran(I − P) を与える。
逆は、適当な仮定を追加すれば成り立つ。U を X の閉部分空間とすると、X = U ⊕ V となる閉部分空間 V が存在する場合に限り、値域が U, 核が V となる射影 P は連続である。これは閉グラフ定理から従う。即ち、xn → x かつ Pxn → y とするとき、Px = y が示されればよい。U が閉で、{Pxn} ⊂ U だから y は U に属し、Py = y が成り立つ。また、xn − Pxn = (I − P)xn → x − y である。このとき、V は閉で {(I − P)xn} ⊂ V だったから、x − y ∈ V 即ち P(x − y) = Px − Py = Px − y = 0 を得て、主張が示される。
今の議論では U, V がともに閉であるという仮定が効いているが、閉部分空間 U が与えられたときにその閉補空間 V の存在は一般には保証されない。ただし、ヒルベルト空間では直交補空間をとることで常にそれができる。バナッハ空間の場合には、一次元部分空間が常に閉補空間を持つことが、ハーン・バナッハの定理から直ちに従う。実際、U を u が張る一次元部分空間とすると、ハーン・バナッハから、有界線型汎函数 φ で φ(u) = 1 なるものがとれる。このとき、作用素 P(x) := φ(x)u は P2 = P を満足し、射影となる。φ の有界性から P の連続性が出るから、従って Ker(P) = Ran(I − P) が U の閉補空間となる。
そうは言うものの、開写像定理により、バナッハ空間上の任意の連続射影は開写像であることが言える。
射影(直交射影とその他)は、線形代数の問題でのいくつかの計算アルゴリズムにおいて、重要な役割を果たす。
QR分解 (ハウスホルダー変換とグラム・シュミットの正規直交化法を参照)
ヘッセンベルク形式 への変換 (多くの固有値計算アルゴリズムでの最初の処理)
上で述べたように、射影というのは冪等作用素の特別なものであり、解析学的には直交射影は特性函数の非可換な一般化になっている。可測集合の特性函数を考えることから測度論が始まったように、冪等作用素は(例えば半単純多元環などの)分類にも用いられ、それゆえ想像のつくとおり、射影作用素も作用素環論の文脈で極めて頻繁に用いられる。特に、フォン・ノイマン環はその射影の成す完備束によって生成される。
量子論では,ある条件を満たす状態の全体は状態空間の部分空間と考えることができるので,量子力学的な命題と部分空間,すなわち射影演算子とを対応させることができる(量子論理).
統計力学では、運動の粗視化を射影演算子を使って定式化する方法(射影演算子の方法)がある.
分子対称性、分子振動、格子振動、結晶の波動関数では、任意の関数からある対称性に従う関数のみを作りたい時に、射影演算子が用いられる。たとえば射影演算子を用いれば、既約表現の表現行列からその基底関数(基準振動、基準モードなど)を求めることができる。
より一般に、ノルム空間の間の写像 T: V → W が与えられたとき、同じようにこれが核の直交補空間上の等距写像となることを要求することができる。その (\ker T)^\perp \to W は等距であり、特に全射でなければならない。直交射影の場合というのは W が V の部分空間であるときである。リーマン幾何学においてこのことはリーマン沈め込みの定義に使われている。