天体力学
天体力学(てんたいりきがく、celestial mechanics)は、万有引力の法則に従う天体の運動を古典力学に基づいて扱う学問である。ニュートン力学から成立した物理学の一分野であり、また位置天文学と並び古典天文学の一角を占める。
惑星の公転運動は主に太陽の重力によって支配されている(ケプラーの法則)ものの、他の惑星などが及ぼす重力が摂動として無視できない影響を及ぼすため、天体力学ではそのような摂動を解析的に取り扱う摂動論が発達した。その最も単純かつ非自明な問題が三体問題である。月の運動は暦の編纂(へんさん)や航海術への応用という実用的な目的のためにとりわけ精確な予測が求められる一方で、惑星の運動に比べ摂動が大きく影響するため、太陰運動論は何世代にも渡って改良されてきた。また天王星の観測データの異常から海王星の存在を予言しその位置を予測したことでも知られる。
天体力学は軌道共鳴、太陽系の安定性、自転軸の歳差と章動、惑星の平衡形状、自転と公転の同期といった問題をも扱う。20世紀には人工衛星・宇宙探査機の軌道設計および軌道制御を扱う軌道力学が派生し、また天体力学の適用対象も太陽系から惑星形成、ブラックホール、そして球状星団および銀河などへと拡大した。
中心天体(例えば太陽)からの重力(万有引力の法則)を受ける天体(例えば惑星)の運動はケプラー運動と呼ばれる。ケプラー運動では、天体の位置 \mathbf{r} はニュートンの運動方程式
を満足する。\mu は重力定数と中心天体の質量と問題の天体の質量の和の積である。なお天体力学では伝統的に質量の単位として太陽質量 M_\odot が、重力定数 \mathcal{G} の代わりにその平方根として定義されるガウス引力定数 k が採用される。この単位系では、問題の惑星の質量を m とすると
が成立する。また時刻の単位としては日(ユリウス日)が、距離の単位としては天文単位が使われる。
ケプラーの法則は惑星の軌道の最も基本的な性質を述べたものである(これは惑星のまわりを運動する衛星に関しても成立する)。
第1法則: 惑星は太陽をひとつの焦点とする楕円軌道を描く。
第2法則: 太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に掃く面積(面積速度)は一定である。
第3法則: 惑星の公転周期の二乗は軌道長半径の三乗に比例する。
第1法則が主張する楕円軌道の形状は長半径 (semi-major axis) a、離心率 (eccentricity) e によって特定される。中心天体との距離が最も小さくなる軌道上の点を近点 (pericenter) と呼ぶが、特に太陽のまわりを運動する天体の場合は近日点 (perihelion)、地球のまわりを運動する天体の場合は近地点 (perigee) などと呼ぶ。中心天体との距離が最も大きくなる軌道上の点が遠点 (apocenter) である。中心天体と問題の天体の距離(動径) r は、中心天体と近点を結ぶ線分(これはアプス線と呼ばれる)と動径がなす角 f を用いて
と表示される。角 f は真近点角または真近点離角 (true anomaly) と呼ばれる(#軌道要素節を参照)。なお p = a ( 1 - e^2 ) を半直弦 (semilatus rectum) と呼ぶ。
第2法則は角運動量の保存を意味する。第3法則に対応して、長半径 a は平均角速度を表す平均運動 (mean motion)
(T は軌道周期)と次の関係にある。
ケプラー運動には楕円軌道の他に放物線軌道、双曲線軌道が存在する。これらはいずれも円錐曲線である。
天体の軌道およびその上の位置を特定するために用いられるパラメータを軌道要素 (orbital element) と呼ぶ。上述の楕円軌道の形を特定するために用いられる長半径 a と離心率 e は軌道要素のひとつである。さらに、軌道面内における楕円軌道の向きを特定するために近点引数 (argument of pericenter) \omega が、軌道面を特定するために軌道傾斜角 (inclination) i と昇交点黄経 (longitude of ascending node) \Omega が用いられる。まず軌道傾斜角 i は天体の軌道面が基準面(多くの場合黄道面または不変面)となす角として定義される。天体の軌道上の点で軌道面と基準面の双方に乗る点が昇交点であり、昇交点が黄道面内の基準方向(春分点)となす角(黄経)が昇交点黄経 \Omega である。最後に近点引数 \omega は昇交点と近点がなす角である。近点引数 \omega の代わりに
により定義される近点黄経 (longitude of pericenter) を採用してもよい。
楕円軌道上の天体の位置を表す角度として真近点角 f 以外に離心近点角 (離心近点離角, eccentric anomaly) E、平均近点角 (平均近点離角, mean anomaly) M、平均黄経 (mean longitude) \lambda がある。離心近点角 E は
を満足し、真近点角 f と
という関係にある。平均近点角 M は近点通過時刻を t_0 として M = n ( t - t_0 ) により定義され、離心近点角 E とケプラー方程式
によって結ばれる。平均黄経 \lambda は
により定義される。これらの角 f, E, M, \lambda は時間的に変化する量であるが、近点通過時刻 t_0 または元期 (epoch) での平均黄経 \epsilon を与えればどの角も現在時刻 t から計算できるため、例えば近点通過時刻 t_0 を軌道要素として用いれば十分である。軌道要素の組 \{ a, e, i, t_0, \omega, \Omega \} はケプラーの軌道要素または軌道6要素と呼ばれ、これによって天体の運動状態を完全に特定できる(異なる軌道要素の組を用いる場合もある)。
具体的な太陽系惑星の軌道要素の値は#太陽系惑星の軌道要素節および#月の軌道要素節を参照。
ある瞬間における天体の座標 ( x, y, z ) および速度 ( v_x, v_y, v_z ) が与えられたならば、その天体の軌道要素は一意に定まりそれを計算することができる。しかし実際には1回の観測で得られるのは2つの角度(赤道座標では赤緯 \alpha と赤経 \delta)だけであり、天体の軌道要素を決定するためには最低3回の観測を行う必要がある。観測データから軌道要素を決定する方法論は軌道決定として知られている。
惑星の公転軌道は第一に太陽の重力によって支配されており、0次近似としては太陽-惑星の二体問題とみなすことができる。この近似では惑星の軌道要素は一定であり、時間変化しない。しかし実際には惑星の軌道は他の惑星の摂動 (perturbation) によって変化する。そこである瞬間の惑星の軌道について、その瞬間に運動状態が一致するような仮想的なケプラー軌道を考え、その軌道要素を惑星のその時刻の接触軌道要素 (osculating orbital elements) と呼ぶ。接触軌道要素は他の惑星の摂動によって時間変化するため、それを計算することができれば惑星の軌道が求まることになる。このような摂動手法が定数変化法 (variation of arbitrary constants) である。
摂動として働く力が重力などの保存力である場合、天体の運動方程式は摂動関数または擾乱関数 (disturbing function または perturbation function) として知られる関数 R を用いて
と書くことができる。例えば太陽系惑星の場合、i 番目の惑星の太陽を中心とする座標 (heliocentric coordinate system) での位置 \mathbf{r}_i は、運動方程式
を満足する。ここに m_i は惑星 i の質量であり、摂動関数の第1項を直接項 (direct term)、第2項を間接項 (indirect term) と呼ぶ。
摂動関数 R による接触軌道要素 \sigma_j の時間変化はラグランジュの惑星方程式
によって記述される。ここに [ c_j, c_k ] はラグランジュ括弧である。接触軌道要素として \sigma_j = \{ a, e, i, \epsilon, \varpi, \Omega \} を取るとき、ラグランジュの惑星方程式は次のように書き下される。
摂動関数 R が与えられたならば、それを摂動展開し惑星方程式を逐次的に解くことにより軌道要素の時間変化が計算できる。
カール・フリードリヒ・ガウスによる方法は摂動関数ではなく天体に働く力を陽に扱うものであり、非保存力を扱うことができる。この場合、運動方程式を
と書くとき、I = I ( \mathbf{r}, \dot{\mathbf{r} ) を軌道要素として摂動方程式は
により与えられる。摂動 \mathbf{F} の成分としては以下の2通りの与え方がある。
動径成分 R'、軌道面内の R' の法線成分 S'、軌道面の法線成分 W'。
軌道の接成分 T'、軌道面内の T' の法線成分 N'、軌道面の法線成分 W'。
前者の立場では、軌道要素 \{ a, e, i, \Omega, \omega, t_0 \} に関するガウスの摂動方程式は次により与えられる。ここに p は半直弦である。
離心率 e や軌道傾斜角 i が小さいときの摂動関数 R の展開は literal expansion として知られる。これは摂動関数を角度座標(平均近点離角 M や近点黄経 \lambda など)の三角関数の和に分解するものであり、具体的な計算方法がラグランジュ、ラプラス、ルヴェリエ、ニューカムら多くの人の手によって研究されてきた。例えば中心天体のまわりを公転する2天体について考えるとき、その一方の摂動関数は
(プライムなしが注目天体の軌道要素、プライムありがもう一方の天体の軌道要素)という形に展開される。軌道要素の時間変化は、周期摂動とそれより長い時間スケールでの時間変化を引き起こす(secular perturbation)に分解できるが、太陽系天体では周期摂動より永年摂動の方が重要である。そのため摂動関数から周期摂動(j_1 または j_1' がゼロでない項)を落としたものをラグランジュの惑星方程式と用いることにより永年摂動の計算が可能となる。例えば近点黄経には時間に比例して増大する項(永年項, secular term)が存在し近点移動が生じる。一方で、離心率と軌道傾斜角には永年項が存在せず非常に長い周期で時間変化する。
天体力学のいくつかの問題(ラグランジュの惑星方程式の導出、軌道共鳴の議論など)にはケプラーの軌道要素ではなく正準共役量を基本変数として用いるハミルトン力学が適している。例えばドロネー変数 ( l, g, h, L, G, H ) は
により定義され、( l, L ), ( g, G ), ( h, H ) が正準共役な組となっている。このときハミルトニアンは
により与えられる。なおこれらの変数はケプラー問題の作用・角変数と関係している。
正準形式の摂動論は摂動後のハミルトニアンから角変数を消去するような正準変換を構築することによって実現される。このような正準変換を施すと、変換後の作用変数が時間変化しなくなり、問題を自明に解くことができる。このような変換は摂動の任意の次数まで続けることができるものの、この摂動級数は収束せず、級数を途中で打ち切る必要がある(この事情は定数変化法により得られる摂動級数でも同じである)。
月の満ち欠け(月相)は太陰暦および太陰太陽暦の基礎であり、月の運動は古くから記録されてきた。月の軌道は等速円運動ではなく、そこからのずれ(不等, inequality)が存在する。月の軌道が楕円軌道であることによる不等が中心差 (equation of the center) であるが、これ以外に例えば太陽の摂動によって次のような不等が存在する。
出差 (evection): 遠地点または近地点が太陽の向きにあるとき、相対的に強い摂動を受ける効果。
二均差 (variation): 1朔望月の間に太陽の摂動によって地球の重力が実効的に変化する効果。
年差 (annual equation): 地球の離心率のために一年の間に太陽の摂動の強さが変化する効果。
これらの不等を説明し、精度よく月の運動を予測することは太陰運動論または月運動論 (lunar theory) として古くから調べられてきた。これには純粋な天文学上の興味に加えて、航海術(経度の測定)への応用という実用的な目的があった。月の理論は最も一般には他の惑星の摂動や地球や月が球形でないことの効果を考慮する必要があるが、アーネスト・ウィリアム・ブラウンは太陽、地球、月の三体を質点として扱う場合論を太陰運動論の main problem と呼んだ。月の運動は惑星の運動に比べて顕著に大きな摂動を受けており、主な摂動の原因である太陽と月の距離がほとんど変化しないものの太陽が地球と月に及ぼす引力の差異によって主要な摂動が生じるという点で惑星の問題とは大きく異なっている。19世紀末から20世紀初頭にかけて完成したヒル-ブラウンの理論は最も精緻な月の運動論であると評価されている。
またエドモンド・ハレーによって指摘された、古代から続く月食の記録を比較すると月の平均運動が徐々に増大しているように見えるという永年加速の問題がある。ラプラス、アダムズを含む数世代にわたる長い論争を経て、潮汐摩擦によって地球の自転が減速し時刻の定義自体が変化している効果を考慮することによって永年加速の問題は解決された。
同一の中心天体のまわりの2つの公転軌道について、その平均運動が簡単な整数比にあるとき尽数関係 (commensurable) にあるという。このような軌道は安定化または不安定化し、平均運動共鳴と呼ばれる。より正確には、2つの軌道 A, B が平均運動共鳴にあるとは、p, q を整数として
が成立することを言う(通常第3項は小さな値であり落としてよい)。例えば小惑星帯のカークウッドの空隙と呼ばれる小惑星の数が少ない領域は木星と平均運動共鳴にあり不安定化したものだと考えられている。逆に太陽系外縁部には共鳴外縁天体と呼ばれる海王星と平均運動共鳴にある天体群が存在することが知られており、その代表的なものが2:3の平均運動共鳴にある冥王星である。また2つの1:2平均運動共鳴が同時に成立するとき(すなわち1:2:4の平均運動共鳴にあるとき)ラプラス共鳴と呼び、太陽系では木星系のイオ-エウロパ-ガニメデが唯一の例である。
一方、平均運動共鳴とは異なり、永年摂動による近点移動の振動数が摂動天体の固有振動数と尽数関係にあるときは永年共鳴 (secular resonance) として知られている。これは軌道周期に比べ非常に長い時間スケールでの軌道の不安定化を導く。
太陽系惑星の軌道が長期的に安定して保たれるかという太陽系の安定性の問題はアイザック・ニュートン以来研究されてきた。ニュートンは太陽系は不安定であると考えていた。
ラグランジュらによる摂動論の研究を経て、ラプラスは1776年に永年摂動の1次の範囲では惑星の軌道長半径は時間変化せず安定であることを示した。シメオン・ドニ・ポアソンはラプラスの結果を拡張し、1808年に2次摂動の範囲でも軌道長半径は永年不変量であることを示した。しかしユルバン・ルヴェリエは1840年から41年にかけて、長期間の軌道進化では高次の摂動が重要であり、摂動の低次の項だけに基づくラプラスらによる安定性の証明は信頼できないと指摘した(同時に小分母の問題にも言及している)。アンリ・ポアンカレはルヴェリエの問題提起を受けて、1880年代に惑星系の軌道は解析的な解の表示が存在しないこと(ポアンカレの定理)、そして問題の摂動級数は一般に発散することを証明した。1960年代のコルモゴロフらによるKAM理論は近可積分系の大部分の軌道は摂動が十分に小さければトーラス上の準周期解となることを示しており、太陽系の安定性をこの路線で証明する研究が行われた。
一方で、1950年頃からは電子計算機による太陽系の長時間高精度シミュレーションが行われるようになった。初期のものとしては1951年の W. J. Eckert らによる5惑星シミュレーションがある。Laskar は1989年の論文でシミュレーションの結果リャプノフ時間500万年で不安定化すると主張した。しかしリャプノフの意味での不安定性にもかかわらず、伊藤孝士と谷川清隆は±40億年のシミュレーションでは惑星軌道は安定に存在し続けたと報告している。太陽系の安定性に関する一般的な理論は2009年現在未だ存在しない。
多くの天体は公転に加えて自転しており、自転運動はオイラーの運動方程式によって記述される。測地学では地球の自転を地球に対して固定された座標系で議論することが多いものの、天文学分野では慣性系を用いて議論することが好まれる。惑星の自転はある軸(自転軸)まわりの回転として表現でき、その軸を \mathbf{n}、自転角速度を \omega とするとき自転は角速度ベクトル \boldsymbol{\omega} = \omega \mathbf{n} により記述される。角速度ベクトルは自転角運動量 \mathbf{L} と \mathbf{L} = \mathbf{I} \boldsymbol{\omega} という関係にある。ここに \mathbf{I} は慣性モーメントテンソル
である。しばしば座標系として慣性主軸を取り、そのとき慣性モーメントテンソルは主慣性モーメント A, B, C を固有値とする対角行列となる。
地球の自転軸は月と太陽および他の惑星による摂動を受け、複雑に変化する。このうち長周期での軸の移動を歳差 (precession)、より短周期での振動を章動 (nutation) と呼ぶ。歳差の周期は約2万6000年であり、春分点の移動をもたらす。章動のうちもっとも振幅の大きな成分は周期18.6年であり、月の昇交点がこの周期で移動していることによる。歳差および章動は木下宙によって1977年に精密な理論が構築された。
潮汐力 (tidal force)は重力の非一様性のために生じる非一様な重力の作用であり、月および太陽による潮汐力は海の潮汐の原因として知られている。潮汐力はまた天体の潮汐変形、潮汐トルク、潮汐加熱といった現象を引き起こす。例えば地球の表面における月による潮汐力は、ポテンシャル
により与えられる。ここに R_\mathrm{p} は地球の半径、m_\mathrm{p}, m_\mathrm{s} は地球と月の質量、a は地球と月の距離、g = \frac{ \mathcal{G} m_\mathrm{p} }{ R_\mathrm{p}^2 } は地球の表面重力、\psi は月の公転面を基準に計った地球上の点の緯度、P_2 はルジャンドル多項式である。
潮汐による海水の移動が生じる摩擦(潮汐摩擦、tidal friction)は地球の自転を減速させる。この結果、全角運動量の保存により月は地球から遠ざかる。
惑星は厳密には球形ではなく、自転による変形および潮汐力による潮汐変形を被る。このような変形は軸対称であり、近似的に中心軸から計った角度 \psi の関数として P_2 ( \cos \psi ) という形に表現できる。また潮汐変形の程度はラブ数によって定量化される。
主慣性モーメント A, B, C を持つ天体がその外部につくる重力ポテンシャル \Phi の表式
はマッカラーの公式と呼ばれる。ここに I は天体の重心とポテンシャルの評価点を結ぶ軸まわりの慣性モーメントであり、評価点の座標を ( x, y, z ) とするとき
により与えられる。
月は(秤動 (libration) を除き)常に同じ面を地球に向けているが、これは月の自転周期と公転周期が同期しているためである。これは地球の重力による月の潮汐変形が原因であり、潮汐ロックと呼ばれる。
重力相互作用する3天体の運動を求める問題は三体問題として知られる。第三体の質量が他の二体に比べて極めて小さく、二体に及ぼす重力が無視できるとき制限三体問題と呼び、特に二体が円運動するときを円制限三体問題と呼ぶ。この問題は多くの人の手によって調べられてきており、三体問題は求積法により解くことはできないものの、特殊解のひとつであるラグランジュ点はよく知られている。
土星や天王星に存在する環は衛星と相互に重力を及ぼし合う。環の構造や安定性、羊飼い衛星といった問題が取り扱われる。
彗星は大きな離心率を持ち、特に極端なものはサングレーザーと呼ばれる。しばしば彗星は木星との近接散乱により大きな摂動を受けるが、これは円制限三体問題とみなすことができ、ティスランの判定式によって彗星の同一性を判定できる。また彗星が大きな離心率を獲得する機構として古在メカニズムが提案されている。
小惑星などの太陽系小天体の軌道はカオスを示すことでも注目される。小惑星帯の小惑星の多くは小惑星-木星系の、または小惑星-木星-土星系の平均運動共鳴に由来するカオス軌道を持つ。これは軌道要素のカオス拡散といった効果を生じる。
また宇宙塵などの小天体の場合、輻射圧などの重力以外の摂動が軌道進化において重要である場合がある。
厳密には天体は球形ではなく、それに対応して天体の重力ポテンシャルには単極子項への補正が存在する(多重極展開)。これは特に地球を周回する人工衛星の軌道に最も大きな摂動として寄与するため、軌道力学では重力ポテンシャルの補正を考慮する必要がある。軸対称な天体の場合には、重力ポテンシャル \Phi は、M を天体の質量、R を天体の半径、J_l を質量分布に関する定数として、ルジャンドル多項式 P_l を用いて
\Phi ( r, \theta, \varphi ) = - \frac{ \mathcal{G} M }{ r } \left\{ 1 - \sum_{l = 2}^\infty J_l \left( \frac{ R }{ r } \right)^l P_l ( \cos \theta ) \right\}
と書ける。
強重力場のもとでは一般相対性理論によるニュートン重力からの補正が必要となる。これは水星の近日点移動の要因のひとつとして有名である。例えばシュワルツシルト時空におけるハミルトン–ヤコビ方程式は
と書ける。一般相対論効果はブラックホールなどのコンパクト天体で顕著であり、銀河中心の恒星の運動は超大質量ブラックホールの一般相対論効果を強く受ける。また連星パルサーを代表とするコンパクト星連星では重力波放出により軌道が収縮する。
惑星形成理論は微惑星の集積として惑星が形成される過程を議論するものであり、微惑星の合体成長過程は天体力学と関係している。
恒星系力学は多数の重力相互作用する恒星からなる系を取り扱う理論であり、球状星団や銀河の力学的な性質の基礎となる。この理論は天体力学と顕著な繋がりがある他、統計力学およびプラズマ物理学とも関係している。
1576年から1601年にかけて、ティコ・ブラーエ (1546-1601) はデンマーク(ウラニボリ)、次いでチェコのプラハにおいて太陽と惑星を観測し、望遠鏡がない当時としては最高精度の誤差1 - 2分角でその位置をした。ヨハネス・ケプラー (1571-1630) はブラーエの観測結果をもとにケプラーの法則に到達し、1609年の『新天文学』 (Astronomia nova)、1619年の『宇宙の調和』 (Harmonice Mundi) においてこれらの法則を公刊した。
エドモンド・ハレー (1656-1742) の勧めもあり、1687年にアイザック・ニュートン (1642-1727) は『自然哲学の数学的諸原理』(プリンキピア、Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica)を出版し、ニュートン力学および天体力学の基礎を築いた。なおニュートンがプリンキピアを書き上げるにあたって、ロバート・フック (1635-1703) やジョン・フラムスティード (1646-1719) ら同時代の研究者の業績に大きく影響を受けている。
まず第1巻でニュートンは質量 (quantity of matter) および運動量 (quantity of motion) を定義し、力 (force) について論じている。続いて運動の法則を定式化し、中心力場のもとでは面積速度が一定であること(そして逆に面積速度が一定であるならば中心力が働いていること)、円錐曲線を描いて運動する物体には距離の二乗に反比例する中心力が作用していること、その場合に楕円軌道を描く物体の周期は楕円の長半径の1.5乗に比例することを示した。
さらにニュートンは互いに引力を及ぼす二体問題についても論じ、その重心まわりの運動に帰着できることを示し、逆二乗則の場合には重心まわりの軌道は円錐曲線となることを主張した(ただし逆二乗則から楕円軌道が導かれることの証明をプリンキピアの初版では与えず、後の版では証明の概略のみを著述している)。また、ニュートンはその理論を月の運動に適用し三体問題の一般解を求めようとしたものの見出すことができず、プリンキピアでは近似解についてのみ記述している。
プリンキピアの第2巻は空気抵抗などの抵抗力のもとでの物体の運動を扱っている。The System of the World と題された第3巻は前2巻とは異なり自然哲学を扱ったもので、ニュートンはそれまでの巻で展開した数学理論を天界の物体の運動に適用した。木星の衛星、土星の衛星、そして惑星がいずれもケプラーの法則(第2法則と第3法則)を満たすことから、天体間には逆二乗則の引力が働いていること、そして地球-月間に働くこの引力は地球上の物体が地球の中心に向かって落下しようとする力(重力)と同じものであると論じている。そしてこのことからすべての物体間に重力が作用すること(万有引力の法則)を主張した。さらに第3巻では自転する球体(すなわち地球)は扁平な形に変形すること、潮汐が月の引力によるものであること、月の運動(ただしこの議論は成功しているとは言い難い)、月と太陽の重力による地球の歳差の計算、彗星の軌道といった内容が扱われている。
1693年にハレーは古代バビロニアおよび中世アラブ界の月食の記録を当時の記録と比較し、月の永年加速を指摘した。1749年に Richard Dunthorne は永年加速の大きさを1平方世紀あたり10秒と求めた。
ニュートンのプリンキピアは当時考案されたばかりの微分法および積分法の使用を避け幾何学的な考察に基づくものであり極めて難解なものであった。プリンキピアの出版後18世紀初頭にかけてピエール・ヴァリニョン (1654-1722)、ヨハン・ベルヌーイ (1667-1748)、Jakob Hermann (1678-1733) らはプリンキピアの内容をゴットフリート・ライプニッツ (1646-1716) らによる微積分学の言葉を用いて理解するようになった。1730年頃からはダニエル・ベルヌーイ (1700-1782)、レオンハルト・オイラー (1707-1783)、アレクシス・クレロー (1713-1765)、ジャン・ル・ロン・ダランベール (1717-1783)らによって保存則やポテンシャルの概念などが導入され、1760年頃までには現在の力学に近い形にまで整備された。ダランベールは1743年に Traité de dynamique を出版した。オイラーは1749年にニュートンの運動方程式を初めて現在知られている形で書き下している。ジョゼフ=ルイ・ラグランジュ (1736-1813) は1750年代から統一的な原理に基づく力学の再構築に取り組み、現在解析力学(特にラグランジュ力学)として知られる体系を1788年の著書 Mécanique analytique にまとめ上げた。