天体力学
上述のように、アイザック・ニュートンはプリンキピアにおいて惑星軌道が円錐曲線であるならば逆二乗則に従う中心力が作用していることを示したものの、逆に逆二乗則の重力を受けて運動する物体の軌道がどのようなものかという問題に対しては十分な回答を著述しなかった。この問題は1710年の Jakob Hermann の研究、そしてそれに続くヨハン・ベルヌーイの研究によって解決された。
1730年代にピエール・ルイ・モーペルテュイ (1698-1759) 率いる観測隊は地球が赤道付近で膨らんでいる扁球であることを証明した(フランス科学アカデミーによる測地遠征)。これにより地球の形状に関するジャック・カッシーニ (1677-1756) の測量が棄却され、それと対立していたニュートンの理論の正しさが明らかになった。この観測に参加していたアレクシス・クレローは地球の形状に関する1743年の著書 Théorie de la figure de la terre を出版した後に天体力学の研究を始め、1747年11月にパリで三体問題に関する口頭発表を行い、月の近地点移動を説明するためには万有引力の法則に逆三乗則に従う付加項が必要であると主張した(逆二乗則に補正を加えるというアイデアは John Keill にまで遡る)。この主張は激しい拒否反応を引き起こし、短距離側ではなく遠距離側で万有引力の法則を修正する必要があると考えていたレオンハルト・オイラーとの間で論戦となった。ダランベールもこの問題に興味を示し、独自のアイデアで研究に参入した。1714年に英国が定めた経度法の懸賞金に繋がる可能性から月の近地点移動はこの三者による研究競争となったものの、1749年にクレローは当初の主張を撤回し当時は無視されていた太陽による高次摂動を考慮することによって月の近地点移動を説明できることを示し、この成果によって帝国サンクトペテルブルク科学アカデミーの賞を1750年に獲得した(受賞論文 Théorie de la lune は1753年に出版された)。その後クレローはハレー彗星の軌道の摂動計算などの研究を行っている。
1748年にパリの科学アカデミーは木星と土星の相互摂動に関するコンテストを開催し、レオンハルト・オイラーが優勝した(受賞論文は1749年に出版された)。彼は木星と土星の運動のケプラー軌道からの逸脱を完全に説明することはできなかったものの、その後の天体力学の研究において極めて重要な役割を果たす三角級数の方法を導入した。またオイラーの研究には観測データからのパラメータ推定に関する先駆的な業績が含まれている(当時最小二乗法は考案されていなかった)。
トビアス・マイヤー (1723-1762) はオイラーの木星と土星の理論を発展させ太陽-地球-月系に応用することにより、月の天文表を作成し1753年に出版した。その正確さは1760年までにジェームズ・ブラッドリー (1693-1762) の観測によって裏付けられ、1767年に創刊された航海年鑑の基礎となった。
レオンハルト・オイラーは三体問題を求積するために運動の積分を探し求めたものの、必要な数の積分を得ることはできなかった。そこで三体が同一直線に乗る配位の特殊解に目を向け、1766年に三体問題に関する論文 Considerationes de motu corporum coelestium の中で制限三体問題の平衡点であるラグランジュ点のうち直線解と呼ばれる L1, L2 を発見した。ラグランジュは1772年にすべての平衡点、特に正三角形解を発見した。ラグランジュはまた一般三体問題の18本の方程式を7本の方程式に帰着できることを示している。
円制限三体問題におけるヤコビ積分は1836年にカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ (1804-1851) によって導入された。
摂動論の基本的な道具立てはジョゼフ=ルイ・ラグランジュによって整備され、ピエール=シモン・ラプラス (1749-1827) によって発展した。接触軌道要素はレオンハルト・オイラーによって厳密に定義された。ラグランジュは月の秤動に関する研究を行い、1764年にフランス科学アカデミーの賞を獲得した。またラグランジュは1779年に摂動関数を導入した。
ピエール=シモン・ラプラスは1773年頃から天体力学の研究を始め、天体の運動および地球の形状・海の潮汐に取り組んだ。ラプラスは1776年に永年摂動の1次の範囲では惑星の軌道長半径は時間変化しないことを示した。また1787年に木星および金星の摂動によって地球軌道の離心率が変化することにより月の永年加速が説明できると主張した(なお半世紀以上が経った1854年にアダムズがラプラスの計算に誤りを発見し、この効果は観測を説明するのに必要な値の半分しかないことを指摘している)。1789年のフランス革命に伴う環境の激変もありながら、ラプラスは1796年に Exposition du système du monde を、1799年から1827年にかけて5巻からなる『天体力学論』 (Traité de mécanique céleste) を出版した。この著作は以下の内容を取り扱っている。
第1巻: (Book 1) 平衡と運動に関する一般論、(Book 2) 重力と物体の運動。
第2巻: (Book 3) 天体の形状、(Book 4) 海洋と大気の運動、(Book 5) 天体の重心まわりの運動。
第3巻: (Book 6) 惑星の運動、(Book 7) 月の運動。
第4巻: (Book 8) 木星、土星、天王星の衛星、(Book 9) 彗星、(Book 10) 世界観について。
第5巻: (Book 11) 地球の自転と形状、(Book 12) 弾性流体の運動、(Book 13) 惑星を覆う流体運動、(Book 14) 歳差と秤動、(Book 15) 惑星と彗星の運動、(Book 16) 衛星の運動
ラグランジュは1814年に出版した Mécanique analytique の第2版の中で摂動関数およびラグランジュの惑星方程式といった天体力学の基本的な道具立てをまとめ、高次摂動の系統的な計算が可能であることを示した。
ティティウス・ボーデの法則は1766年にヨハン・ティティウス (1729-1796) によって発見され、1772年にヨハン・ボーデ (1747-1826) によって紹介されたことで知られるようになった。これは、太陽系惑星の軌道長半径が簡単な数列
により与えらえるというものである。1781年のウィリアム・ハーシェル (1738-1822) による天王星の発見が n = 6 の予測に一致したため、この法則は一層興味を集めるようになった。
1801年1月にジュゼッペ・ピアッツィ (1746-1826) は n = 3 に対応するケレスを発見し(これは最初の小惑星の発見であった)2月上旬まで観測を続けたものの、見失った。そこでカール・フリードリヒ・ガウス (1777-1855) は同年9月からケレスの軌道計算に取り組み、11月にケレスの軌道計算に成功した。ガウスはフランツ・フォン・ツァハ (1754-1832) へ計算結果を送り、ツァハとヴィルヘルム・オルバース (1758-1840) はガウスの予測通りの位置にケレスを再発見した。さらに翌年に発見された小惑星パラスの軌道計算にも成功し、ガウスはゲッティンゲン大学の天文台のポストを得た。ガウスはさらに天体力学の研究を進め、その成果を1809年に『天体運行論』 (Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum) として出版した。軌道決定に関するガウスの方法はラグランジュやラプラスによるものよりコンパクトである。なお『天体運行論』は最小二乗法に関する解説が含まれていることでも知られる。
ウィリアム・ローワン・ハミルトン (1805-1865) は自身の光学に関する研究から着想を得て1834年から35年にかけての一連の論文においてハミルトン力学を創始した。1836年に円制限三体問題に新しい運動の積分を発見したヤコビはこの論文を書き上げた後にハミルトンの論文を読んだと考えられており、彼は力が時間に依存する場合へとハミルトンの理論を拡張し1837年に現在ハミルトン–ヤコビ方程式として知られる単一の偏微分方程式を書き下した。ハミルトンの方程式はヤコビによって「正準」 (canonique) と命名された。
1821年にアレクシス・ブヴァール (1767-1843) は天王星の天文表を出版したが、その後の観測はブヴァールの計算と食い違った。これは未知の惑星の摂動によるものであると考え、ジョン・クーチ・アダムズ (1819-1892) とユルバン・ルヴェリエ (1811-1877) は独立にこの未知の惑星の軌道を計算し、ルヴェリエの予測をもとにヨハン・ゴットフリート・ガレ (1812-1910) が1846年に海王星を発見した(アダムスの計算結果を受け取ったジェームズ・チャリス (1803-1882) とジョージ・ビドル・エアリー (1801-1892) も探索を試み、ガレによる発見の後に海王星を見出したが彼らは発見者とは認められていない)。
1833年にシメオン・ドニ・ポアソン (1781-1840) は独立変数として真近点角 f ではなく時刻 t を取ることを提案し、Philippe Gustave le Doulcetはこの方法を発展させた。
ルヴェリエは摂動関数の7次までの literal expansion を遂行し、1855年に出版した。ルヴェリエの計算結果は最も広く用いられてきたものである。Felix Boquet は1889年にルヴェリエの結果を8次に拡張したほか、サイモン・ニューカム (1835-1909) らはさらに理論を発展させた。ペーター・ハンゼン (1795-1874) も摂動論に多くの貢献を行った。
1856年にジェームズ・クラーク・マクスウェル (1831-1879) は土星の環が固体であるならば不安定であることを証明し、無数の粒子からできているであろうことを指摘した。
1889年にフェリックス・ティスラン (1845-1896) は彗星の同一性に関するティスランの判定式を提案した。ティスランはまた4巻からなる『天体力学概論』 (Traité de mécanique céleste) を出版した。
シャルル=ウジェーヌ・ドロネー (1816-1872) は1860年および1867年に二巻からなる La Théorie du mouvement de la lune を出版し、月の運動について論じた。その中でドロネーは Jacques Binet (1786-1856) が1841年に導入した変数をもとにドロネー変数として知られる正準変数を定義している。ただしドロネーの理論は級数の収束が遅く十分な精度を得るためには多大な計算を要するという難点があった。
を全面的に採用した。アーネスト・ウィリアム・ブラウン (1866-1938) は1896年に An Introductory Treatise on the Lunar Theory を出版した後も月の理論についての研究を続け、1919年に月の天文表を完成させた。
19世紀末に三体問題の求積不可能性が Heinrich Bruns (1848-1919) によるブルンスの定理、そしてアンリ・ポアンカレ (1854-1912) によるポアンカレの定理によって明らかになった。ポアンカレはこの定理および関連する彼の研究成果を1892年から1899年にかけて出版された3巻からなる著書『天体力学の新しい方法』 (Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste) にまとめている。その後ポアンカレは微分方程式の解を解析的に求めるのではなく、その定性的な性質を明らかにする力学系の理論を創始した。なお、先行する1880年代にはアレクサンドル・リャプノフ (1857-1918) が力学系の先駆的な研究を行っている。ポアンカレの力学系の理論はジョージ・デビット・バーコフ (1884-1944) らによって受け継がれ20世紀に大きく発展した。バーコフは1927年に Dynamical Systems を出版している。
20世紀に入ってからもエードヴァルド・ヒューゴ・フォン・ツァイペル (1873-1959) は伝統的な摂動論の研究を行い、リンドステッド (Anders Lindstedt)-ポアンカレの方法を発展させた。またトゥーリオ・レヴィ=チヴィタ (1873-1941)、カール・スンドマン (1873-1949) らは三体問題の数学的な研究を継続した。
アルベルト・アインシュタイン (1879-1955) は1915年に一般相対性理論を完成させた。この理論は強重力場中でニュートン理論への補正項を生じ、アインシュタインはこれによって水星の近日点移動の予測値と観測値の不一致(これはルヴェリエによって発見された)が説明できることを示した。後に5巻からなる Celestial mechanics を出版したことで知られる萩原雄祐 (1897-1979) は1930年代に一般相対論的天体力学の研究を行った。アインシュタインは1938年にレオポルト・インフェルト、バーネッシュ・ホフマン とともにポスト・ニュートン展開による補正項を含むN体系の運動方程式であるアインシュタイン・インフェルト・ホフマンの方程式を導出した。
20世紀には観測技術の進展によって太陽系天体が多く発見され、またその理論も進展した。平山清次 (1874-1943) は1918年に小惑星の族の概念を導入した。クライド・トンボー (1906-1997) は1930年に冥王星を発見した(冥王星は2006年のIAU決議によって惑星から準惑星へと分類が変更された)。Mikhail Lidov (1926-1993) と古在由秀 (1928-2018) は1961年から62年に彗星が大きな離心率を獲得する機構を説明し得る古在メカニズムを提案した。ピーター・ゴールドレイク (1939-) とScott Tremaine (1950-) は1979年に環における羊飼い衛星の存在を理論的に予想した。
ソ連のスプートニク計画による1957年に世界初の人工衛星スプートニク1号の打ち上げ以降、宇宙空間における人工物の軌道制御を扱う軌道力学が急速に進展した。また同時期に電子計算機が実用化されたことにより数値シミュレーションによる軌道計算が可能となった。一方で理論的研究も続けられ、アンドレイ・コルモゴロフ (1903-1987) らによるKAM理論、堀源一郎 (1930-) らによるリー変換摂動論の開発などの進展があった。特にKAM理論は摂動論の有効性を一般的に示すものとみなされ、20世紀天体力学最大の成果と評されている。また数値計算に関して1980年代から90年代に開発された吉田春夫らによるシンプレクティック数値積分法、そして杉本大一郎らによるGRAPEなどの特筆に値する発展がある。
理科年表2021年版による、太陽系惑星の質量および元期2021年7月5.0日TT=JD2 459 400.5TTの平均軌道要素。黄道と平均春分点は2001年1月1.5日TT=JD2 451 545.0TTの値による。
国立天文台による月の平均軌道要素(J2000.0の平均春分点および黄道による)。T はユリウス世紀数で、J をユリウス日として T = (J -  2451545) / 36525 により与えられる。