一様空間
一様空間(いちようくうかん、uniform space)とは、一様構造という構造を備えた集合である。一様構造は擬距離構造と位相構造の中間の強さを持ち、位相構造だけでは定義できないコーシー列、完備性、一様連続性、一様有界性、全有界性などが定義できる。
また擬距離空間のみならず位相群(とくに位相ベクトル空間)に関しても自然な一様構造が定まる事が知られている為、一様空間の概念は関数解析学において有益である。
位相空間との違いは、位相空間が収束性、すなわち点に「近づく」事を定義可能な概念であるのに対し、一様空間ではある点が別の点に「近い」事が定義できる。しかしこの「近さ」は擬距離構造のように実数値で全順序づけされておらず、近縁と呼ばれる部分集合に属するかどうかで判断する半順序的なものである。
一様空間は、集合Xと、一様構造と呼ばれるX×Xの部分集合の族\mathcal{U}の組として定義される。\mathcal{U}の元Uは近縁と呼ばれ、直観的には(x, y) ∈ Uとなる事はxとyが(Uに入る程度には)「近い」事を意味する。擬距離空間の近縁例えば擬距離空間の場合には2点間の距離がε以下になるX×Xの部分集合Uεを
U_{\varepsilon} = \{(x,y)\in X\times X : d(x,y)< \varepsilon\}
と定義し、
\exists \varepsilon>0 ~:~U_{\varepsilon} \subset U
を満たすU ⊂ X×Xを近縁とみなす事で自然に一様空間とみなせる事が知られている(詳細後述)。
一様空間やそれに関係する概念を定義するために、まず記号を定義する。
一様空間は厳密には、近縁全体の集合\mathcal{U}が下記の抽象的な公理を満たす事をもって定義される。前述した擬距離空間における近縁が下記の公理を満たす事を容易に確かめられる:
一様構造を一般化した概念として以下のものがある:
前一様構造の定義\mathcal{U}が条件2,3以外の3つを満たすとき、\mathcal{U}を前一様構造(preuniformity)という。
準一様構造の定義条件5以外の4つを満たすとき、\mathcal{U}は準一様構造(quasi-uniformity) であるという。
条件2,3は\mathcal{U}がフィルターである事を要求しており、前一様構造はフィルター基になっている。この事から前一様構造の事を一様構造基(uniformity base)ともいう。なお前述した擬距離空間における例では
\{U_{\varepsilon}\mid \varepsilon>0\}
が前一様構造になっている事を容易に確かめられる。
一方、準一様構造は一様構造の別の側面から一般化しており、擬距離から近縁を定義すれば一様構造が定まるのに対し、準擬距離(quasi-pseudometric)から近縁を定義すれば準一様構造が定まる。
距離構造が定める位相の定義を自然な一般化する事で、一様構造が定める位相を定義できる:
上で一様空間には必ず位相構造が入る事を見たが、逆に位相空間上にそれと両立する一様構造が入る条件は以下のとおりである:定理ここで位相空間の完全正則性は分離公理の一つであり、以下のように定義づけられる:定理完全正則でない位相空間は一様化可能ではないが、「準一様化」は可能である。なお下記の定理において「準一様構造の定める位相」は「一様構造が定める位相」と同様に定義する。定理
一様空間では一様連続性が定義可能である:定義後述するように、擬距離から定まる一様構造の場合は、上記の概念は擬距離空間における一様連続性の概念と一致する。
一様連続な関数は必ず連続である:定理
一様空間の具体例を出す前準備として、本節では一様空間の生成の概念とそれに関連する概念を定義する。これらの概念は位相空間の場合と同様に定義できる。
ここで「最小」とは包含関係を大小関係とみたときの最小を意味する。なお「最小のものが存在すれば」と断っているのは、位相空間の場合とは異なり、Xと\mathcal{S}の選び方によっては\mathcal{S}\subset \mathcal{U}となる最小の一様構造が存在しない場合があるからである。しかし\mathcal{S}が前一様構造であればこうした問題は起こらない:
定理前一様構造は以下の定理を満たす:定理以上の事実の系として次が従う:系上の系の特殊な場合として以下の一様構造を定義できる:定義
我々は近縁の概念を用いて一様空間を定義したが、被覆という概念を用いても一様空間を特徴づける事ができる。まずこの定義を行うために必要な概念を定義する。定義A =X
を満たすものの事をいう。
さらに\mathcal{A},\mathcal{B}をXの2つの被覆とするとき、\mathcal{A}が
\mathcal{B}の細分(refinement)であるとは、\mathcal{B}の任意の元Bに対し、\mathcal{A}の元Aが存在し、A\subset Bを満たす事をいう。
\mathcal{A},\mathcal{B}をXの2つの被覆とするとき、
\mathcal{A}が
\mathcal{B}の星型細分(star refinement)であるとは、A\in\mathcal{A}に対し、
\mathrm{St}(A,\mathcal{A})=\bigcup_{C\in\mathcal{A},A\cap C\neq \emptyset}C
と定義するとき、任意のA\in\mathcal{A}に対し、あるB\in\mathcal{B}が存在し、
\mathrm{St}(A,\mathcal{A})\subset B
となる事をいう。|note=被覆、細分、星型細分}定義A\times A \mid \mathcal{A} \in \mathfrak{U}\}
とし、
\mathcal{U}:=\{U \subset X\times X \mid \exists B\in\mathcal{B}~:~B\subset U\}
とすると、\mathcal{U}は対角線によるX上の一様構造になる。
本項ではすでに一様構造の具体例として擬距離から定まる一様構造を見たが、本節ではさらに以下の具体例を見る:
位相群から定まる一様構造については、特に重要なのは位相ベクトル空間を加法に関して位相群とみなした場合である。任意の位相群に一様構造が定まるので、特に位相ベクトル空間に対して一様構造が定まる事になる。後述するように一様空間上では完備性のような解析学で必須となる性質が定義できるので、有益である。
残りの2つは位相構造における密着位相、離散位相にそれぞれ対応するもので、これらの一様構造が定める位相はそれぞれ密着位相、離散位相に一致する。
もっと重要な例として(1つの擬距離ではなく)複数の擬距離の集合から定まる一様構造が具体例として挙げられる。後述するように、擬距離の集合から一様構造が定まるだけでなく、逆に任意の一様構造は何らかの擬距離の集合から定まる事を示す事ができる。この具体例については節を改めて詳しく調べる。
本節では位相群に一様構造が入る事を見る。
定理・定義
これら3つの一様構造の定める位相構造はもとの位相構造と一致する:
定理特別な名称はないものの\mathcal{L}\cap\mathcal{R}によって生成される一様構造も考える事ができる。
\mathcal{L}、\mathcal{R}はそれぞれ左不変、右不変な擬距離の集合により特徴づける事ができるがこれについては後述する。
本節では位相空間における密着位相、離散位相と同様、一様空間でも密着一様構造、離散一様構造が定義できる事を見る。定義・定理定義・定理
密着一様構造はX × X上恒等的に0になる擬距離から定まる一様構造と一致し、離散一様構造は離散距離
d(x,y)=
\begin{cases}
0 & \text{if } x=y\\
1 & \text{otherwise}
\end{cases}
から定まる一様構造と一致する。しかし下記に示すように、X上に離散位相を定める距離dであっても、dから定まる一様構造が離散一様構造ではないケースが存在する:
1)を持つので、任意のε > 0に対し、
U_{\varepsilon}:=\{(x,y)\in\mathbb{Z}\mid d(x,y)<\varepsilon\}
は対角線\Delta=\{(x,x)\mid x \in \mathbb{Z}\}以外に無限個の元を持つ。よって、
\Delta \subsetneq U_{\varepsilon}
であるので、dにより定まる一様構造 \mathcal{U}_d は定義より、
\Delta \notin \mathcal{U}_{d}
であり、 \mathcal{U}_d は離散一様構造ではない。
集合X上の1つの擬距離から一様構造が定まる事をすでに見たが、本節ではより一般にX上の複数の擬距離の集合から一様構造を定める事ができる事を見る。後述するように、逆に任意の一様構造は何らかの擬距離の集合から定まる事を示す事ができるので、この一般化は非常に重要であり、本節の後半でその性質を詳しく調べる。
定義・定理擬距離の集合から定まる一様構造の具体的表記以上で定義された一様構造はより具体的に書き表す事ができる。d ∈ D、r\in \mathbb{R}_{>0}に対し、
U_{d,r}:=\{(x,y)\in X\times Y \mid d(x,y)<r\}
とすると、\mathcal{S}_d=\{U_{d,r}\mid r\in \mathbb{R}_{>0}\}はX上の前一様構造となっている。前一様構造の和集合は前一様構造だったので、\mathcal{S}=\{U_{d,r}\mid d\in D, r\in \mathbb{R}_{>0}\}も前一様構造であり、\mathcal{S}が生成する一様構造はDが定める一様構造と一致する。
なお、集合X上の擬距離の集合Dの事をゲージ(gauge)と呼び、XとゲージDの組(X, D)の事をゲージ空間(gauge space)と呼ぶことがあるが、書籍によってこの言葉の意味が異なるので注意が必要である。Schechterでは上述したように集合X上の任意の擬距離の集合をゲージと呼んでいるが、Kellyではより狭い意味で用いており、KellyにおけるゲージとはX上の何らかの一様構造\mathcal{U}で一様連続となる全ての擬距離の集合の事である。
任意の一様構造は必ず擬距離の集合から定まる:定理とすると、\mathcal{U}はD_{\mathcal{U}によって定まるX上の一様構造と一致する。|note=一様構造は必ず擬距離の集合から定まる擬距離の集合から一様構造}
なお同様の事はが準一様構造についても成り立つ。すなわち集合X上の任意の準一様構造\mathcal{Q}に対し、準擬距離(quasi-pseudometric)の集合Dが存在し、\mathcal{Q}はDから定まる準一様構造に一致する。
上述の定理の系として、以下の事実も従う:系与えられた擬距離がD_{\mathcal{U}に属するか否かは以下のように判別できる:定理
以上で示したように、集合X上の擬距離の集合は一様構造を定め、逆に一様構造から擬距離の集合が定まる。しかし擬距離の集合と一様構造との対応は「単射」ではなく、相異なる2つの擬距離の集合D、Eが同一の一様構造\mathcal{U}を定める事もある。しかしこうした集合D、Eは必ず最大の擬距離の集合D_{\mathcal{U}の部分集合になる事が、前述の定理から明らかに従う:系を\mathcal{U}に関して一様連続な擬距離全体の集合とする。
このとき、X上の擬距離の集合Eで、Eが定める一様構造が\mathcal{U}に一致するものとすると、EはD_{\mathcal{U}の部分集合である。}
より直接的に、擬距離の集合D、Eが同一の一様構造を定める為の必要十分条件をネットの収束性に着目する事で定式化できる。そのためにまず記号を定義する:記号の定義上の記号において、収束の速度がd ∈ D毎に異なる事を許容している事に注意されたい。すなわちあるd ∈ Dに対してはd(x_{\lambda},x'_{\lambda})<\varepsilonであっても別のd ∈ Dに対してはd(x_{\lambda},x'_{\lambda})\ge\varepsilonとなる事も起こりうる。よって特に\sup_{d\in D}d(x_{\lambda},x'_{\lambda})は(仮にsupが有限値であっても)0に収束するとは限らない。定理定理擬距離の集合D、Eが同一の一様構造を定めるとき、D、Eは一様同値(uniformly equivalent)であるといういう。
擬距離の任意の集合Dは一様有界な擬距離の集合と必ず同値になる:定理
これまで擬距離の集合により定まる一様構造について述べてきたが、一様構造がただ一つの(擬)距離から定まる条件を特徴づける事もできる:定義・定理
なお、一様構造自身の距離化可能性と一様構造が定める位相の距離化可能性は必ずしも一致せず、一様構造自身が距離化可能ではないのに、一様構造が定める位相の距離化可能な場合がある'。
(具体例)
Xを非可算濃度の任意の整列集合とし、さらに各α ∈ Xに対し、
U_{\alpha}:=\{(\beta,\gamma)\in X\times X \mid \beta=\gamma \text{ or } \beta,\gamma \ge \alpha \}
とするとU_{\alpha}{}^{-1}=U_{\alpha}、U_{\alpha}\circ U_{\alpha}=U_{\alpha}が容易に示せるので、\mathcal{S}:=(U_{\alpha})_{\alpha \in X}は前一様構造である。\mathcal{S}の
生成する一様構造を\mathcal{U}とする。
(\mathcal{U}が定める位相が距離化可能な事)
\beta\ge \alphaを満たすα, β ∈ Xに対し、
U_{\alpha}[\beta]=\{\gamma\in X \mid (\beta,\gamma)\in U_{\alpha}\}=\{\beta\}
であるので、\mathcal{U}はXに離散位相を定め、離散位相は離散距離により距離化可能である。
(\mathcal{U}自身は擬距離化不能な事)
\mathcal{U}が擬距離化可能であれば\mathcal{U}の可算部分集合\mathcal{B}=\{B_k\mid i\in \mathbb{N}\}が存在し、
\forall U\in\mathcal{U}\exists k\in\mathbb{N}~:~B_k\subset U  ...(1)
を満たす。
定義から\mathcal{U}の任意の元は\mathcal{S}=(U_{\alpha})_{\alpha \in X}の有限個の元U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}の和集合を部分集合として含むが、\cap_iU_{\alpha_i}=U_{\min_i\alpha_i}なので、\mathcal{U}の任意の元UにはU_{\alpha}\subset Uを満たす\alpha(=\min_i\alpha_i)が存在する事になる。
よって各B_k\in\mathcal{B}\subset \mathcal{U}に対し、
U_{\alpha_{k\subset B_k
を満たすU_{\alpha_{k}が存在する。
定義からXは非可算集合なので、
可算個の元(\alpha_{k})_{k\in\mathbb{N}のいずれよりも大きい順序数\etaが存在する。
定義から任意のk\in\mathbb{N}に対し(\alpha_k,\eta)\in U_{\alpha_k}\subset B_kであるが、(\alpha_k,\eta)\notin U_{\eta}である。
よって(\alpha_k,\eta)\in B_k\setminus U_{\eta}である。したがってU_{\eta}は(1)を満たさない事になり矛盾するので、\mathcal{U}が擬距離化不能な事を示された。|drop=yes|title=具体例}
可算個の擬距離の集合から定まる一様構造は擬距離化可能である:定理2^{-i}\arctan(d_i(x,y))
と定義すると、\mathcal{U}_Dはdにより定まる一様構造と一致する}上記の定理は特に可算個の擬距離空間の直積を考える場合に重要である。直積P=\prod_{i\in\mathbb{N}X_iには直積一様構造が定まるが、上の定理からこの一様構造が擬距離から定まる事がわかる。実際、Xi上の擬距離diとXiへの射影πiの合成によりP上の擬距離d'_i(x,y):=d_i(\pi_i(x),\pi_i(x))を定義して、これら可算個の擬距離から上の定理のように1つの擬距離dを定めると、P上の直積一様構造がdの定める一様構造と一致することがわかる。
一様連続性を擬距離の集合を使う事で特徴づける事もできる。この特徴づけにより、上述の一様連続性の定義は義距離空間における一様連続性の定義の自然な一般化になっている事が確認できる。
位相群G上の左一様構造\mathcal{L}および右一様構造\mathcal{R}は以下のようにも特徴づけられる:定理上記の定理は位相群の一様構造が左不変もしくは右不変な擬距離で定まる事を示しているが、特に位相ベクトル空間の場合はこれらの擬距離がセミノルムから定まるものなのかが重要となり、これについては以下の定理が知られている。定理位相ベクトル空間(V,\mathcal{O})の位相\mathcal{O}がセミノルムから定まっていれば、(V,\mathcal{O})の一様構造も同じセミノルムの族から定まる事を容易に示せる。なお、局所凸でない場合もF-ノルムは定義可能である。
本節ではまず、位相空間における点列概念の2つの一般化であるネットとフィルターに対し、コーシー列の概念の一般化であるコーシーネットの概念とコーシーフィルターの概念を定義し、これらをベースにして一様空間の完備性を定義し、最後の一様空間の完備化を扱う。
定理・定義定理・定義
定理・定義上で「少なくとも1つ極限を持つ」という言い方をしているのは、\mathcal{U}が定める位相構造がハウスドルフでない限り、ネットやフィルターの収束の一意性は保証されないからである。なお擬距離空間においては完備性は「コーシー列(=点列でコーシーなもの)は少なくとも1つ極限を持つ」という事と同値であるが、一般の一様空間の場合は必ずしも同値ではない。定理・定義)と単射\iota~:~X\to \bar{X}が存在し、単射\iotaによりXを\bar{X}の部分集合とみなすと、\mathcal{U}が\bar{\mathcal{U}の部分一様構造になっているものが存在する。この\bar{X}(と\iotaの組)をXの完備化(completion)という。
さらに\bar{D}を\bar{X}上の擬距離の集合で\bar{D}が定める一様構造が\bar{\mathcal{U}と一致するものとするとし、Dを\bar{D}に属する擬距離をXに制限したものの集合とするとき、Dの定める一様構造は\mathcal{U}に一致する。|note=一様空間の完備化}上記の定理の条件を満たす\bar{X}は必ずしも一意ではない。しかしXが定める位相がハウスドルフであれば一意である事が保証される。
定理・定義{math theorem|定理|f~:~X\to Yを一様空間Xから一様空間Yへの写像とするとき、以下が成立する:
fは一様連続⇒fはコーシー連続⇒fは連続
Xが完備であればfのコーシー連続性とfは連続性は同値である。
本節では集合Xから一様空間(Y,\mathcal{U})への写像全体の集合F(X,Y)に一様構造が入る事を見る。この一様構造がF(X,Y)に定める位相におけるネットの収束をネットの一様収束という。本節では一様収束のいくつかの関連概念をまとめて扱うため、Xの部分集合の集合\mathcal{S}を考え、「\mathcal{S}の元に関する一様収束」という概念を導入する。具体的には\mathcal{S}として以下の3種類を考える:
\mathcal{S}=\{X\}
\mathcal{S}=\{Xの一点集合\}
\mathcal{S}=\{Xのコンパクトな部分集合\}
最後のものに関してはXに位相構造が入っている事を仮定している。通常の一様収束は最初のものであり、2番目は各点収束、3番目はコンパクト収束である。定義・定理特に、\mathcal{S}の元に関する一様収束(の一様構造、位相構造)において、
\mathcal{S}=\{X\}のとき、単に一様収束(の一様構造、位相構造)という。
\mathcal{S}=\{Xの一点集合\}のとき、各点収束(の一様構造、位相構造)という。
\mathcal{S}=\{Xのコンパクトな部分集合\}のときコンパクト収束(の一様構造、位相構造)という。
\mathcal{S}の元に関する一様収束の一様構造は以下のように擬距離により特徴づける事が可能である。よって特に擬距離空間においては我々の考えている一様収束音概念が通常の一様収束の概念と一致する事がわかる:定理
コンパクト収束に関しては以下が成立する:
一様収束の一様構造は以下の性質を満たす:
アスコリ=アルツェラの定理定義
上の2における一様連続性は、ΦにはF(X,Y)に一様収束の一様構造を入れたものをΦに制限した一様構造を入れ、F(Φ,Y)にはΦからYへの写像全体の集合に入る一様収束に関する一様構造を入れたときのものである。
コンパクトな距離空間から距離空間への連続写像は必ず一様連続になる事が知られているが、この事実は一様空間に一般化できる:定理上の定理から以下の重要な帰結が従う:系なお(位相空間(X,\mathcal{O})がコンパクトであっても)\mathcal{O}を定める一様構造は常に存在するとは限らない。前述のようにそのような一様構造が存在する必要十分条件は(X,\mathcal{O})が完全正則である事である。しかし(X,\mathcal{O})がコンパクトな場合は正則ハウスドルフ性を満たせば完全正則である(ウリゾーンの補題)ので、(X,\mathcal{O})が正則ハウスドルフかつコンパクトであれば\mathcal{O}を定める一様構造が存在する。
距離空間においてはコンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事が知られているが、これは一様空間においても成立する。
これを見るためにまず一様空間における全有界性を定義する:定義・定理全有界を使うとコンパクト性は以下のように特徴づけられる。定理
アンドレ・ヴェイユが1937年に一様構造の明示的な定義を与える以前は、一様概念は完備性同様に距離空間に付随するものとして扱われていた。ブルバキの著書『Topologie Générale』では近縁系を用いた一様構造の定義が与えられ、またジョン・テューキーは一様被覆での定義を与えた。ヴェイユはまた、擬距離の族を用いた一様空間の特徴づけも与えている。
Kindle版:ASIN : B06XGRCCJ3
翻訳版:和書
※下記文献の無料公開部分:https://catalogue.library.cern/literature/8fejw-x5m52
Nicolas Bourbaki, General Topology (Topologie Générale), ISBN 0-387-19374-X (Ch. 1-4), ISBN 0-387-19372-3 (Ch. 5-10): Chapter II is a comprehensive reference of uniform structures, Chapter IX § 1 covers pseudometrics, and Chapter III § 3 covers uniform structures on topological groups
John R. Isbell, Uniform Spaces ISBN 0-8218-1512-1
I. M. James, Introduction to Uniform Spaces ISBN 0-521-38620-9
I. M. James, Topological and Uniform Spaces ISBN 0-387-96466-5
John Tukey, Convergence and Uniformity in Topology; ISBN 0-691-09568-X
André Weil, Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale, Act. Sci. Ind. 551, Paris, 1937