リー代数
数学において、リー代数 (リーだいすう、Lie algebra)、もしくはリー環(リーかん)は、「リー括弧積」(リーブラケット、Lie bracket)と呼ばれる非結合的な乗法 [x, y] を備えたベクトル空間である。無限小変換 (infinitesimal transformation) の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。
リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算が滑らかであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群が被覆群による違いを除いて一意的に存在する(リーの第三定理)。このリー群とリー環の対応によってリー群をリー代数によって研究することができる。
リー代数は、ある体 \,\mathbb{F} 上のベクトル空間 \,\mathfrak{g} であって、リーブラケット (Lie bracket)、あるいは括弧積と呼ばれる、次の公理を満たす二項演算 [\cdot,\cdot] \colon \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g} が与えられている場合を言う。
\,\mathbb{F} の全ての元(スカラー)a, b と \mathfrak{g} の全ての元 x, y, z に対して、
[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad  [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]\ .
\mathfrak{g} の全ての元 x に対し、
[x,x]=0\ .
\mathfrak{g} の全ての元 x, y, z に対し、
[x,[y,z] + [z,[x,y] + [y,[z,x] = 0\ .
双線型性と交代性により、反交換関係、すなわち、\mathfrak{g} の全ての元 x, y に対し、[x, y]  −[y, x] が成り立つ。逆に、反交換関係は、体の標数が 2 ではないとき、交代性があることを意味する。
\mathfrak{g} のように、普通、リー代数はフラクトゥールの小文字で表される。リー代数がリー群に付随していると、リー代数のスペルはリー群と同じにする(書体は異なる)。例えば、特殊ユニタリ群の SU(n) のリー代数は \mathfrak{su}(n) と書かれる。
リー代数 \mathfrak{g} の元からなる集合が生成子であるとは、その集合を含む \mathfrak{g} の最小のリー部分代数が全体 \mathfrak{g} と一致することである。リー代数の 次元は、\,\mathbb{F} 上のベクトル空間としての次元で定める。リー代数の生成集合の最小個数は、常に次元以下である。
必ずしも x,y],z] と [x,[y,z とが等しいとは限らないので、一般にはリーブラケットは結合法則を満たさない。しかし、結合的な環や結合多元環の理論での用語の多くは、リー代数でも共通して使われる。リーブラケットで閉じている部分空間 \mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g} をリー部分代数 (Lie subalgebra) と呼ぶ。部分空間 I\subseteq\mathfrak{g} がより強い条件
[\mathfrak{g},I]\subseteq I
を満たすとき、I をリー代数 \mathfrak{g} のイデアルと言う 。(同じ係数体の上の)リー代数の間の準同型とは、\mathfrak{g} の全ての元 x, y に対し、交換関係が
f \colon \mathfrak{g}\to\mathfrak{g'}, \quad f([x,y])=[f(x),f(y)]
と整合している線型写像を言う。リー代数 \mathfrak{g} とイデアル I が与えられると、環の理論のように、イデアルはちょうど準同型の核であり、商代数 (factor algebra) \mathfrak{g}/I を構成することができ、リー代数に対しても同型定理が成り立つ。
S を \mathfrak{g} の部分集合とする。S の全ての元 s に対し [x, s] = 0 となるような元 x 全体の集合は、S の中心化部分代数 (centralizer) を構成する。\mathfrak{g} 自身の中心化代数は、\mathfrak{g} の中心と呼ばれる。中心化と同様に、S の全ての元 s に対し [x, s] が S の元となるような x の集合は、S の部分代数を構成する。この部分代数は S の正規化部分代数 (normalizer of S) と呼ばれる。
2 つのリー代数 \mathfrak{g} と \mathfrak{g'} が与えられると、それらの直和は、x\in\mathfrak{g} と x'\in\mathfrak{g'} の対 (x,x') からなるベクトル空間 \mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'} であり、リーブラケットは
[(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']), \quad x,y\in\mathfrak{g},\, x',y'\in\mathfrak{g'}
で定める。
乗法 * を持つ任意の結合代数 A に対し、リー代数 L(A) を構成できる。ベクトル空間としては、L(A) は A と同じである。L(A) の 2 つの元のリーブラケットは、A における交換子として定義される。すなわち
[a,b]=a * b-b * a.
A の乗法 * の結合性は、L(A) の交換子のヤコビ恒等式を意味する。例えば、体 F 上の n × n 行列の結合代数から、一般線型リー代数 \mathfrak{gl}_n(F) が生じる。結合代数 A をリー代数 L(A) の包絡代数 (enveloping algebra) と呼ぶ。全てのリー代数はこのようにして結合代数から作られたリー代数へ埋め込むことができる。普遍包絡代数を参照。
ベクトル空間 V が与えられたとして、\mathfrak{gl}(V) で V の全ての線型自己準同型からなる結合代数から生じるリー代数を表すとする。リー代数 \mathfrak{g} の V 上の表現 (representation) とは、リー代数の準同型
\pi \colon \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)
である。
表現は、核が自明のときに、忠実 (faithful) であるという。全ての有限次元リー代数はある有限次元ベクトル空間上の忠実な表現を持っている(アドの定理)。
例えば、\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y] により与えられる
\operatorname{ad}\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})
は、随伴表現と呼ばれる、ベクトル空間 \mathfrak{g} 上の \mathfrak{g} の表現である。リー代数 \mathfrak{g} (実は任意の非結合的代数でもよい)の上の微分 (代数学)とは、ライプニッツ則、すなわち、\mathfrak{g} のすべての元 x, y に対して
\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]
が成り立つような線型写像 \delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g} のことである。ヤコビ恒等式より、任意の x に対し、\operatorname{ad}(x) は微分である。従って、\operatorname{ad} の像は、\mathfrak{g} 上の微分からなる \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}) の部分代数 \operatorname{Der}(\mathfrak{g}) に含まれる。\operatorname{ad} の像に属する微分は、内部微分 (inner derivation) と呼ばれる。\mathfrak{g} が半単純であれば、\mathfrak{g} 上の全て微分は内部微分である。
任意のベクトル空間 V にリーブラケットを恒等的に 0 として定めたものはリー代数となる。そのようなリー代数は可換と呼ばれる(以下を参照)。体上の任意の 1 次元リー代数は、リーブラケットの反対称性により、可換である。
全ての n × n 歪エルミート行列からなる実ベクトル空間は、交換子の下に閉じているので、実リー代数をなし、\mathfrak{u}(n) で表される。これはユニタリ群 U(n) のリー代数である。
一般線型リー代数 \mathfrak{gl}_n(F) のトレース 0 の行列全体からなる部分空間は部分リー代数であり、特殊線型リー代数と呼ばれ、\mathfrak{sl}_n(F) と記す。
任意のリー群 G から、付随する実リー代数 \mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G) が定義される。一般の定義はいくらか技術的であるが、実行列群の場合には、指数写像、すなわち行列の指数関数を通じて構成することができる。リー代数 \mathfrak{g} は、全ての実数 t に対して exp(tX) ∈ G となるような行列 X 全体からなる。
\mathfrak{g} のリーブラケットは行列の交換子により与えられる。具体的な例として、成分が実数で行列式が 1 の n × n 行列からなる特殊線型群 SL(n, R) を考える。これは行列リー群であり、そのリー代数は、実数を成分とするトレースが 0 の n × n 行列全体からなる。
ベクトルのクロス積により与えられるリーブラケットを持つ 3次元ユークリッド空間 R3 は、3次元リー代数である。
ハイゼンベルク代数 H3(R) は、次の関係式を満たすリーブラケットを持つ要素 x, y, z によって生成される3次元リー代数である:
[x,y]=z,\quad [x,z]=0, \quad [y,z]=0
この代数は、3×3 の狭義上三角行列全体からなる空間に、リーブラケットを行列の交換子によって与えたものとして、明示的に構成される。
x = \left[ \begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right],\quad
y = \left[ \begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right],\quad
z = \left[ \begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right] ~ \quad
したがって、ハイゼンベルク群の任意の元は、群の生成元、すなわちリー代数のこれらの生成元の、行列指数関数の積
\left[ \begin{array}{ccc}
1&a&c\\
0&1&b\\
0&0&1
\end{array}\right] = e^{by} e^{cz} e^{ax}~
として表現可能である。
量子力学における角運動量演算子の x, y, z 成分の間の交換関係は、\mathfrak{su}(2) と \mathfrak{so}(3) のそれと同じである:
[L_x, L_y] = i \hbar L_z,
[L_y, L_z] = i \hbar L_x,
[L_z, L_x] = i \hbar L_y.
但し、物理学の慣例により、リー代数の元に因子 i-1 を乗じた関係式を用いている。角運動量演算子の問題は、このリー代数の全ての有限次元表現を求めることに帰着する。
無限次元実リー代数の重要なクラスは、微分トポロジーで生じる。可微分多様体 M 上の滑らかなベクトル場の空間はリー代数をなす。ここでリーブラケットはベクトル場の交換子として定義される。リーブラケットを表現する1つの方法は、リー微分の形式化によるものである。ベクトル場 X を滑らかな関数上に作用する一階の偏微分作用素 LX と次のようにして同一視する、すなわち LX(f) を関数 f の X の方向の方向微分とする。2つのベクトル場のリーブラケット [X, Y] は次の式による関数へのその作用を通じて定義されるベクトル場である:
L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,
カッツ・ムーディ代数は無限次元リー代数の例である。
モーヤルブラケットは、すべての古典型リー群#双線型形式との関係を部分代数として含む無限次元リー代数である。