ラグランジュの定理 (群論)
群論において、ラグランジュの定理(英語:Lagrange's theorem)とは、次のような定理である。
[G : H] に関しては#同値類による指数を参照。
群 G の要素 x, y に関して、群 G の部分群 H の要素 h を用いて、x  yh  となるとき、x ~ y と定義する。G の単位元を e とすると、H は部分群だから e ∈ H であり、x  xe となるので、x ~ x である。h ∈ H のとき、H は部分群だから h-1 ∈ H となるので、x ~ y のとき、x  yh ⇔ xh-1  y となり y ~ x である。x, y, z ∈ G に関して、x ~ y, y ~ z ならば x  yh1, y  zh2 (h1, h2 ∈ H) だから x  (zh2)h1  z(h2h1) となる。H は部分群なので、h2h1 ∈ H となるから x ~ z である。したがって、~ は同値関係になる。
部分群 H に関して、同値関係 ~ による同値類 x ∈ G は x ∈ G になるから、aH に等しくなる。これを a の H による左剰余類(left coset)という。同値関係 ~ による同値類 aH の集合 aH を G/H と書く。
部分群 H が有限群の場合は H  h1, h2, h3, …, hm と表すことができて、左剰余類 aH は aH  ah1, ah2, ah3, …, ahm となる。
部分群 H から同値類 aH への写像 φa : H → aH を φa(h)  ah と定義するとき、φa(h1)  φa(h2) とすると、ah1  ah2 となるから、左から a-1 を掛けて h1  h2 となるので、写像 φa は単射になる。写像 φa による部分群 H の像が aH だから写像 φa は全射になり、全単射になる。したがって、写像 φa の逆写像  φa-1: aH → H は φa-1(x)  a-1x となる。これより、同値類 aH から同値類 bH への写像 f : aH → bH を f (x)  (φb⚬φa-1)(x)  φb(φa-1(x))  ba-1x と定義すると写像 f は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類 aH と bH は同型となり、!aH!  !bH!  !H! となる。
左剰余類の集合 G/H の要素の個数(濃度)である !G/H! を G における H の指数(index of a subgroup H in a group G)と呼び、[G : H] または !G : H! または (G : H) と書く。
G/H が有限集合の場合は、G/H  a1H, a2H, a3H, …, akH と表すことができて、[G : H]  !G/H!  k となる。
G が有限群の場合は、以下のように書ける:
\begin{align}H &= \{h_{1}, h_{2}, h_{3}, \cdots, h_{m}\},\\
a_{1}H &= \{a_{1}h_{1}, a_{1}h_{2}, a_{1}h_{3}, \cdots, a_{1}h_{m}\},\\
a_{2}H &= \{a_{2}h_{1}, a_{2}h_{2}, a_{2}h_{3}, \cdots, a_{2}h_{m}\}, \\
a_{3}H &= \{a_{3}h_{1}, a_{3}h_{2}, a_{3}h_{3}, \cdots, a_{3}h_{m}\}, \\
\cdots \\
a_{k}H &= \{a_{k}h_{1}, a_{k}h_{2}, a_{k}h_{3}, \cdots, a_{k}h_{m}\}, \\
G/H &= \{a_{1}H, a_{2}H, a_{3}H, \cdots, a_{k}H\}, \\
G &= a_{1}H \cup a_{2}H \cup a_{3}H \cup \cdots \cup a_{k}H \ \ (i \neq j \Rightarrow a_{i}H \cap a_{j}H = \emptyset).
\end{align}
有限群 G の部分群 H を h1, h2, …, hm とすると、
H = \{h_{1}, h_{2}, h_{3}, \cdots, h_{m}\}.
左剰余類 aH は ah1, ah2, ah3, …, ahm に等しくなるので、
aH = \{ah_{1}, ah_{2}, ah_{3}, \cdots, ah_{m}\}.
このとき、H の要素 h に ah を対応させる写像を f:H → aH とすると、f(hi)  f(hj) ⇔ ahi  ahj のとき、左から a-1 を掛けて、hi  hj となるので、写像 f は単射になる。
写像 f は H を aH に写すから f は全射となるので、全単射になる。したがって、 H と aH とは同じ個数の要素を待つから、!H!  !aH!  m となる。
したがって、G の H による類別を考えると、以下のようになる。
\begin{align}a_{1}H &= \{a_{1}h_{1}, a_{1}h_{2}, a_{1}h_{3}, \cdots, a_{1}h_{m}\},\\
a_{2}H &= \{a_{2}h_{1}, a_{2}h_{2}, a_{2}h_{3}, \cdots, a_{2}h_{m}\}, \\
a_{3}H &= \{a_{3}h_{1}, a_{3}h_{2}, a_{3}h_{3}, \cdots, a_{3}h_{m}\}, \\
\cdots \\
a_{k}H &= \{a_{k}h_{1}, a_{k}h_{2}, a_{k}h_{3}, \cdots, a_{k}h_{m}\}, \\
G/H &= \{a_{1}H, a_{2}H, a_{3}H, \cdots, a_{k}H\}, \\
G &= a_{1}H \cup a_{2}H \cup a_{3}H \cup \cdots \cup a_{k}H \ \ (i \neq j \Rightarrow a_{i}H \cap a_{j}H = \emptyset).
\end{align}
このとき、!H!  !a1H!  !a2H!  !a3H!  …   !akH!  m となるので、!G!  km となる。k  !G/H!  [G : H], m  !H! となるので、
|G| = [G : H] \cdot|H|.
ラグランジュの定理は群 G における3つの部分群の指数の間に成り立つ等式に拡張できる。
以下では、H が群 G の部分群であるとき、H ≤ G または G ≥ H と表し、H が群 G の部分群であり、かつ K が群 H の部分群であるとき、K ≤ H ≤ G または G ≥ H ≥ K と表す。
a_{1}H \cup a_{2}H \cup a_{3}H \cup \cdots \cup a_{m}H.
このとき、部分群 H の G における指数は [G:H]=m になる。
有限群 H が部分群 K によって以下のように類別されているとする:
H = b_{1}K \cup b_{2}K \cup b_{3}K \cup \cdots \cup b_{n}K.
このとき、部分群 K の H における指数は [H:K]=n になる。
よって、H を G に代入すると以下のように G が部分群 K によって類別される:
\begin{align}
G = &a_{1}b_{1}K \cup a_{1}b_{2}K \cup a_{1}b_{3}K \cup \cdots \cup a_{1}b_{n}K \cup \\
&a_{2}b_{1}K \cup a_{2}b_{2}K \cup a_{2}b_{3}K \cup \cdots \cup a_{2}b_{n}K \cup \\
&a_{3}b_{1}K \cup a_{3}b_{2}K \cup a_{3}b_{3}K \cup \cdots \cup a_{3}b_{n}K \cup \\
&\cdots \\
&a_{m}b_{1}K \cup a_{m}b_{2}K \cup a_{m}b_{3}K \cup \cdots \cup a_{m}b_{n}K.
\end{align}
したがって、部分群 K の G における指数は [G:K]=mn になる。
よって、
[G:K]=[G:H][H:K].
G ≥ H ≥ K のとき K  e (e は群 G の単位元)とおくと [G : e]  !G! および [H : e]  !H! が成り立つ。したがって、元々の等式 !G!  [G : H] !H! を得る。
ラグランジュの定理には、次のような系がある。
ラグランジュの定理の系(1)
証明:G が有限群の場合は、指数 [G : H](G における H の左剰余類の個数)が正の整数になるので、ラグランジュの定理から系が従う。
ラグランジュの定理の系(2)
証明:群 G の任意の元 g で生成される巡回群 ⟨g⟩を考えればよい。巡回群 ⟨g⟩は G の部分群になるので、その位数 |⟨g⟩| は群 G の位数 !G! を割り切ることになる。
証明:p ≧ 2 より、群 G の単位元 e 以外の元を x とすると、x が生成する巡回群 ⟨x⟩ は群 G の部分群になるから、その位数 !⟨x⟩! は素数 p の約数になる。したがって、!⟨x⟩!  1 または !⟨x⟩!  p になる。!⟨x⟩!  1 の場合は、x  e となり不適。!⟨x⟩!  p の場合は群 G の位数と等しくなるので、G  ⟨x⟩ となり題意は示された。
証明:位数 p の巡回群 (ℤ/pℤ) の乗法群 (ℤ/pℤ)×  1, 2, 3, … , p - 1 は位数 p - 1 の有限群になるから、(ℤ/pℤ)× の任意の元を a とすると、ラグランジュの定理の系(2) より、a p - 1  1 が成り立つ。したがって、a ∈ 1, 2, 3, …, p - 1 のとき a p - 1 - 1 が素数 p で割り切れるから、a p - 1 ≡ 1 (mod p) となる。よって、x ≡ a (mod p) のとき、x p - 1 ≡ a p - 1 (mod p) が成り立つので、x p - 1 ≡ 1 (mod p) を得る。
より一般に、合成数 n についても乗法群 (ℤ/nℤ)× を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。
ラグランジュの定理の逆が成立するか問うことができる。つまり、位数 n の有限群 G と n を割り切る自然数 d が与えられたとき「位数が d である G の部分群が存在するか」という問いである。よく知られているように、これは一般には存在しない。位数12である4次の交代群 G  A4 が位数6である部分群をもたないのでこの事実は1799年にはすでに知られていた。、(群 G の位数が最小の)反例を与えるからである。 一方、特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理である可解群に対してはホールの定理も参照のこと。。つまり位数 n を割り切る素数 p のべきで最大のもの d  np を考えると、位数 np の部分群(シロー部分群)が存在する。もうすこし一般に d が np を割り切るならば、位数 d の部分群が存在することもわかる。(コーシーの定理も参照のこと。)
ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。