ファブリ・ペロー干渉計
光学において、ファブリ・ペロー干渉計(ファブリ・ペローかんしょうけい、Fabry–Pérot interferometer)もしくはファブリ・ペローのエタロン (etalon) は、2つの部分反射面をもつ透明板や2つの平行な半透鏡からなる機器である。その透過波長スペクトルは共振波長に大きな透過率のピークを示す。シャルル・ファブリとアルフレッド・ペローに因み命名された。「エタロン」とは「測定器」や「標準」を意味するétalonから来ている。
エタロンは通信技術やレーザー技術、分光技術などにおいて光の波長を制御・測定するために広く応用されている。近年、技術の進歩により非常に精密に調整されたファブリ・ペロー干渉計の作成が可能となっている。が、混同されることが多い。
ファブリ・ペロー干渉計の心臓部は数マイクロメートルから数センチメートル離れて向いあう、部分的に光を反射する光学的平面ガラスのペアである(または、エタロンの場合は2つの平行な反射面を持つ1枚の板である)。干渉計に使われる平面ガラスは裏面が作る干渉縞を抑えるために楔形をしていることが多い。また、裏面に無反射コーティングを施すことも多い。
多くの干渉計では、散乱光源をコリメーターレンズの焦平面に置く。平面ガラスペアの後ろには、集束レンズを平面ガラスがなかったら光源の反転像が生じるように、つまり光源上のある点から発した全ての光がスクリーン上の一点に集まるように置く。右図には光源上のある点から発する光線を1つだけ赤線で示してある。光線は平面ガラスペアを通過する際に何度も反射されていくつもの光線に分かれ、これらの光線が集束レンズによりスクリーン上の点 A′ に集められる。完全な干渉パターンが生じた際には複数の同心円が現れる。同心円の太さは平面の反射率によって決まる。反射率が高ければQ値は高くなり、単色光の場合は細く明るい干渉環が暗い背景に現れる。Q値の高いファブリ・ペロー干渉計は、「フィネス」が高いと表現される。
通信分野では光波長多重通信用のアド・ドロップマルチプレクサとして石英ガラスまたはダイヤモンド製のエタロンが使われている。これらは 2 程度の玉虫色の立方体で、小さな高精度ラックに収められている。材質は温度が変化しても反射面間の距離を一定に維持し、周波数を一定に保つように選ばれる。このため、熱伝導率が高くかつ熱膨張率は小さいダイヤモンドが好まれる。2005年には、エタロンとして機能する光ファイバーを用いる通信機器会社も出てきている。これにより、設置時や冷却に関する手間が大きく削減される。
ダイクロイックフィルタは光学的平面上に真空蒸着を用いてエタロン層を積層して作られる。このような光学フィルターは吸収フィルターよりも反射帯域および通過帯域が正確であることが多い。カットすべき光を吸収フィルターと違って反射するため、適切に設計すれば温度が上りにくい。ダイクロイックフィルタは光源やカメラ、天体望遠鏡、レーザー系などの光学装置に広く用いられている。
光波長計や一部の光スペクトルアナライザは、光の波長を高い精度で決定するために様々な波長域用のファブリ・ペロー干渉計を用いている。
レーザー共振器はしばしばファブリ・ペロー共振器と呼ばれる。しかし多くの場合で片側の反射面の反射率はほぼ100%であり、ファブリ・ペロー干渉計よりはジル・トルノア干渉計に近い。半導体ダイオードレーザーには、チップの端面をコーティングすることが難しいために真のファブリ・ペロー構成が用いられることもある。量子カスケードレーザーでは活性領域のゲインが高いため、レーザー発振を維持するために端面をコーティングする必要がなく、ファブリ・ペロー共振器が用いられることが多い。
シングルモードレーザーを得るために、レーザー共振器の内部にエタロンを置くことも多い。エタロンが無い場合、一般的にはレーザーはファブリ・ペロー干渉計と似た複数のキャビティモードに対応する波長域にわたる光を発生させる。ここでレーザーキャビティに慎重に選んだフィネスとフリースペクトル領域のエタロンを挿入すると、一つを除いたキャビティモードを全て抑制することができ、マルチモードレーザーをシングルモードレーザーにすることができる。
ファブリ・ペローのエタロンは、レーザー吸収分光法、特にキャビティリングダウン分光法 において、相互作用長を引き伸ばす用途に用いることもある。
ファブリ・ペローのエタロンは通常の分光器では輝線が互いに近すぎて観測できないゼーマン効果をも観測できる分光器として用いられることがある。
天文学において、エタロンは単一の輝線を選んで撮像するために用いられる。最もよく用いられる対象は太陽のHα線である。太陽のCa-K線もエタロンを用いて撮像することが多い。
重力波検出器においては、光子を光速で片道ミリ秒かかるような長いファブリ・ペローキャビティに貯めることがある。これにより重力波が光と相互作用する時間を長くとることができ、低周波における感度が向上する。この原理を用いて、LIGOやVirgo干渉計などの検出器ではマイケルソン干渉計の両腕を数キロメートルにわたるファブリ・ペローキャビティにより構成している。「クリーナ」と呼ばれるより小さなキャビティもメインレーザーの空間フィルタリングおよび周波数安定化のために使われる。
ファブリ・ペロー共振器のスペクトル応答は入射光と共振器内で反射を繰り返す光との干渉に基いている。これら二つの光の位相が一致した場合、強めあう干渉が起こり、共振器内の光は増強される。位相が一致していない場合、共振器内に蓄えられるのは入射光の一部のみである。この結果、透過光は入射光に比べてスペクトルが変化している。
幾何学的な距離 ℓ をおいて対向する二枚の鏡の間に、屈折率 n の均一な媒質が満たされているファブリ・ペロー共振器に光が直角に入射するものとする。共振器内の往復時間を tRT、真空中の光速を c0、媒質中の光速を c = c0/n とすると、自由スペクトル領域 ΔνFSR は以下のように求められる。
t_\text{RT} = \frac{1}{\Delta \nu_\text{FSR} = \frac{2 \ell}{c}
鏡 i における振幅反射率 ri および強度反射率 Ri の間には以下の関係式が成り立つ。
r_i^2 = R_i
その他の共振損失はないものとすると、共振器内における光子の減衰時定数 τc は次のように与えられる。
\frac{1}{\tau_\mathrm c} = \frac{-\ln{(R_1 R_2)}{t_{RT}
片道分の位相シフト量を ϕ(ν) とすると、周波数 ν の光において往復時間 tRT 中に蓄積する位相シフト量について次が成り立つ。
2 \phi (\nu) = 2 \pi \nu t_{RT}.
共鳴は一往復後の光が強め合う干渉を示す場合に起こる。共鳴モードの指数を正負の整数 q とすると、対応する共鳴周波数 νq および共鳴波数kq について次が成り立つ。
\nu_q = q \Delta \nu_\text{FSR} \Rightarrow k_q = \frac{2 \pi q \Delta \nu_\text{FSR}{c}
符号の反転したモード  \pm q  および  \pm k  は、周波数の絶対値 νq は同じであるが、光の進行方向が逆であることを示す。
周波数 νq の入射振幅を Eq, s とすると、減衰時定数 τc での減衰はフェーザ表示を用いて次のように表わされる
E_q(t) = E_{q,\mathrm s} e^{i 2 \pi \nu_q t} e^{-\frac{t}{2 \tau_c}
この電場振幅をフーリエ変換すると、周波数領域における振幅が次のように得られる。
\tilde E_q (\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} E_q(t) e^{-i 2 \pi \nu t}\,dt = E_{q,s} \frac{1}{(2 \tau_c )^{-1} + i 2 \pi (\nu - \nu_q)}
これを規格化して周波数積分が 1 となるように変換すると、次を得る。
\tilde \gamma_q (\nu) = \frac{1}{\tau_c} \left| {\frac{\tilde E_q (\nu)}{ E_{q,\mathrm s}} \right|^2 = \frac{1}{\tau_c} \frac{1}{(2 \tau_c )^{-2} + 4 \pi^2 (\nu - \nu_q)^2},
ローレンツィアンスペクトル形状の半値全幅 (FWHM) Δνc を用いると、以下のように書き直せる。
\Delta \nu_c = \frac{1}{2 \pi \tau_c} \Rightarrow \tilde \gamma_q (\nu) = \frac{1}{\pi} \frac{\Delta \nu_c / 2}{(\Delta \nu_c / 2)^2 + (\nu - \nu_q)^2}
ピーク高を 1 となるように規格化すると、次のローレンツィアン線を得る。
\gamma_{q,\mathrm L} (\nu) = \frac{\pi}{2} \Delta \nu_c \tilde \gamma_q (\nu) = \frac{(\Delta \nu_c / 2)^2}{(\Delta \nu_c / 2)^2 + 4 (\nu - \nu_q)^2}.
全ての q について上記のフーリエ変換を行えば、共振器の完全なモードスペクトルが得られる。
線幅 Δνc と自由スペクトル領域 ΔνFSR は周波数に依存しないことから、波長空間では線幅が適切に定義できず、自由スペクトル領域は波長に依存してしまうことから、ファブリ・ペロー共振器の解析は周波数空間で行うのが自然である。
ファブリ・ペロー共振器の応答を導出するのに最も簡単な方法は循環場アプローチである。このアプローチでは定常状態を仮定し、様々な電場の間の関係式をたてる(右図参照)。
共振器中を循環する電場 Ecirc と共振器内へ入射する電場 Ecirc との間には次のような関係式が成り立つ。
E_\text{circ} = E_\text{laun} + E_\text{RT} = E_\text{laun} + r_1 r_2 e^{-i 2 \phi} E_\text{circ} \Rightarrow \frac{E_\text{circ}{E_\text{laun} = \frac{1}{1 - r_1 r_2 e^{-i 2 \phi}
共振器内の光による物理過程のみを考えると、入射光強度と循環光強度との比は一般エアリー分布として次のように導出される。
A_\text{circ} = \frac{I_\text{circ}{I_\text{laun} = \frac{\left| E_\text{circ} \right|^2}{\left| E_\text{laun} \right|^2} = \frac{1}{\left| 1 - r_1 r_2 e^{-i 2 \phi} \right|^2} = \frac{1}{\left( {1 - \sqrt{R_1 R_2} \right)^2 + 4 \sqrt{R_1 R_2} \sin^2(\phi)}
Acirc は入射光に対する共振器による周波数の関数としての内部共鳴増強因子を表わす(右図参照)。共鳴周波数 νq においては sin(ϕ) = 0 となり、内部共鳴増強因子は次のようになる。
A_\text{circ}(\nu_q) = \frac{1}{\left( 1 - \sqrt{R_1 R_2} \right)^2}
内部共鳴増強因子、一般エアリー分布が導かれれば、その他のエアリー分布は単純にスケーリング因子により導かれる。共振器への透過光強度は鏡 1 への入射光強度の透過分であるから、次のように書ける。
I_\text{laun} = \left(1 - R_1 \right) I_\text{inc}
そして、鏡 2 の透過光と反射光、および鏡 1 の透過光は共振器内部で循環する光の透過・反射成分であるから、それぞれ次のように書ける。
I_\text{trans} = \left(1 - R_2 \right) I_\text{circ},
I_\text{b-circ} = R_2 I_\text{circ},
I_\text{back} = \left(1 - R_1 \right) I_\text{b-circ}
したがって、共振器内への透過光 Ilaun に対するその他のエアリー分布 A および入射光 Iinc に対するエアリー分布 A′ は次のように書ける。
A_\text{circ} = \frac{1}{R_2} A_\text{b-circ} = \frac{1}{R_1 R_2} A_\text{RT} = \frac{1}{1 - R_2} A_\text{trans} = \frac{1}{1 - R_1} A_\text{back} = \frac{1}{1 - R_1 R_2} A_\text{emit},
A_\text{circ}^{\prime} = \frac{1}{R_2} A_\text{b-circ}^{\prime} = \frac{1}{R_1 R_2} A_\text{RT}^{\prime} = \frac{1}{1 - R_2} A_\text{trans}^{\prime} = \frac{1}{1 - R_1} A_\text{back}^{\prime} = \frac{1}{1 - R_1 R_2} A_\text{emit}^{\prime},
A_\text{circ}^{\prime} = (1 - R_1) A_\text{circ}
下付きの“emit"は共振器の両側から放射される総和強度を考慮したエアリー分布であることを表わす。
後方放射 Iback は、実際には最初の反射光と後方透過光とが干渉するため測定することができない。これらの干渉の結果、観測可能な光のエアリー分布は以下のように書ける。
A_\text{refl}^{\prime} = \frac{I_\text{refl}{I_\text{inc} = \frac{\left| E_\text{refl} \right|^2}{\left| E_{inc} \right|^2} = \frac{\left( {\sqrt{R_1} - \sqrt{R_2} \right)^2 + 4 \sqrt{R_1 R_2} \sin^2(\phi)}{\left( {1 - \sqrt{R_1 R_2} \right)^2 + 4 \sqrt{R_1 R_2} \sin^2(\phi)}
いかなる周波数に対しても、どんな干渉があったとしてもエネルギーが保存することはすぐに示すことができる。
A_\text{trans}^{\prime} + A_\text{refl}^{\prime} = \frac{I_\text{trans} + I_\text{refl}{I_\text{inc} = 1
外部共鳴増強因子(右図参照)は以下のようになる
A_\text{circ}^{\prime} = \frac{I_\text{circ}{I_{inc} = (1 - R_1) A_\text{circ} = \frac{1 - R_1}{\left( {1 - \sqrt{R_1 R_2} \right)^2 + 4 \sqrt{R_1 R_2} \sin^2(\phi)}
共鳴周波数 νq においては sin(ϕ) = 0 が成り立つので、以下のように書ける。
A_\text{circ}^{\prime}(\nu_q) = \frac{1 - R_1}{\left( 1 - \sqrt{R_1 R_2} \right)^2}
通常、光はファブリ・ペロー共振器を透過する。したがって、よく適用されるエアリー分布は以下のものである。
A_\text{trans}^{\prime} = \frac{I_\text{trans}{I_\text{inc} = (1 - R_1) (1 - R_2) A_\text{circ} = \frac{(1 - R_1) (1 - R_2)}{\left( {1 - \sqrt{R_1 R_2} \right)^2 + 4 \sqrt{R_1 R_2} \sin^2(\phi)}
これは光源から鏡 1 に入射する光の強度 Iinc に対する鏡 2 の透過光の強度 Itrans の比を表わす(右図参照)。この関数の νq におけるピーク値は
A_\text{trans}^{\prime} (\nu_q) = \frac{(1 - R_1) (1 - R_2)}{\left( {1 - \sqrt{R_1 R_2} \right)^2}
であり、R1 = R2 のときピーク値は 1 となる。
A′trans を循環場アプローチにより導出する場合、鏡を透過する光が eiπ/2 だけ位相シフトを受けることを考慮して以下のように導出される。
E_\text{circ} = it_1E_\text{inc} + r_1 r_2 e^{-i 2 \phi}E_\text{circ} \Rightarrow \frac{E_\text{circ}{E_\text{inc} = \frac{it_1}{1 - r_1 r_2 e^{-i 2 \phi},
E_\text{trans} = it_2E_\text{circ} e^{-i \phi} \Rightarrow \frac{E_\text{trans}{E_\text{inc} = \frac{- t_1 t_2 e^{-i \phi}{1 - r_1 r_2 e^{-i 2 \phi}
A_\text{trans}^{\prime} = \frac{I_\text{trans}{I_\text{inc} = \frac{\left| E_\text{trans} \right|^2}{\left| E_\text{inc} \right|^2} = \frac{\left| - t_1 t_2 e^{-i \phi} \right|^2}{\left| 1 - r_1 r_2 e^{-i 2 \phi} \right|^2} = \frac{(1 - R_1) (1 - R_2)}{\left( {1 - \sqrt{R_1 R_2} \right)^2 + 4 \sqrt{R_1 R_2} \sin^2(\phi)}
また、A′ は往復減衰アプローチを適用して、Einc が共振器に入射したのち無限回往復するうち、毎往復ごとに透過する電場を蓄積して Etrans となると考えて導出することもできる。最初に透過してきた電場は段々と減衰し、共振器中の各回目の透過電場は次の漸化式で表わせる。
E_{\text{trans},1} = E_\text{inc}it_1it_2e^{-i \phi} = - E_\text{inc} t_1 t_2 e^{-i \phi},
E_{\text{trans},m+1} = E_{\text{trans},m}r_1r_2e^{-i 2 \phi}
これを足し合わせるとこのようになる。
\sum_{m=0}^\infty x^m = \frac{1}{1 - x} \Rightarrow E_\text{trans} = \sum_{m=1}^\infty E_{\text{trans},m} = E_{inc} \frac{- t_1 t_2 e^{-i \phi}{1 - r_1 r_2 e^{-i 2 \phi}
したがって Etrans / Einc は先述のアプローチによるものと同一となり、A′ も同一となる。
物理的には、エアリー分布は共振器の縦モードの和である。共振器内を循環する電場Ecirc から始めて、この電場が共振器の鏡の間で時間に対して指数関数的に減衰するようすをフーリエ変換して正規化するとスペクトル線形 γq(ν) が得られる。これを往復時間 tRT で割ると循環電場の総和の縦分布と単位時間あたりの出力光のモードが得られる。
\gamma_{q,\text{emit}(\nu) = \frac{1}{t_\text{RT} \tilde \gamma_q (\nu)
これを全ての縦モードについて総和をとると、
\sum_{q=-\infty}^\infty \gamma_{q,\text{emit}(\nu) = \frac{1 - R_1 R_2}{\left( {1 - \sqrt{R_1 R_2} \right)^2 + 4 \sqrt{R_1 R_2} \sin^2(\phi)} = A_\text{emit}
となり、エアリー分布 Aemit と一致する。
単純なスケーリング因子により、個々のエアリー分布と γq, emit 他のモードプロファイルとの関係式が得られる。
\gamma_{q,\text{circ} = \frac{1}{R_2} \gamma_{q,\text{b-circ} = \frac{1}{R_1 R_2} \gamma_{q,\text{RT} = \frac{1}{1 - R_2} \gamma_{q,\text{trans} = \frac{1}{1 - R_1} \gamma_{q,\text{back} = \frac{1}{1 - R_1 R_2} \gamma_{q,\text{emit},
\gamma_{q,\text{circ}^{\prime} = \frac{1}{R_2} \gamma_{q,\text{b-circ}^{\prime} = \frac{1}{R_1 R_2} \gamma_{q,\text{RT}^{\prime} = \frac{1}{1 - R_2} \gamma_{q,\text{trans}^{\prime} = \frac{1}{1 - R_1} \gamma_{q,\text{back}^{\prime} = \frac{1}{1 - R_1 R_2} \gamma_{q,\text{emit}^{\prime},
\gamma_{q,\text{circ}^{\prime} = (1 - R_1) \gamma_{q,\text{circ}
スペクトル分解能に関するテイラーの基準では、個々のピークが半値において交われば分解能があるとする。光がファブリ・ペロー共振器内へ透過するとき、エアリー分布を計測するとファブリ・ペロー共振器の総損失をローレンツィアン線幅 Δνc(下図青線)と自由スペクトル領域との比を再計算することにより計算することができる。
ローレンツィアンピークがテイラーの基準に従えば分解能がある(右図参照)。したがって、ファブリ・ペロー共振器のローレンツィアンフィネスは次のように定義される。
\mathcal{F}_c = \frac{\Delta \nu_\text{FSR}{\Delta \nu_c} = \frac{2 \pi}{- \ln(R_1 R_2)}.
これは上図の青線にあたる。ローレンツィアンフィネス ℱc は、エアリー分布を構成するローレンツィアンピークがどれほどの分解能を持つかという物理的に重要な意味を持つ。式
\Delta \nu_c = \Delta \nu_{FSR} \Rightarrow R_1 R_2 = e^{-2 \pi} \approx 0.001867
が成り立つ点において ℱc = 1 が成り立ち、単純エアリー分布のスペクトル分解能に関するテイラーの基準が限界に達する。二つの鏡の反射率が同一であれば、この点は R1 = R2 ≈ 4.32% の時に相当する。したがって、この点まではファブリ・ペロー共振器のエアリー分布を構成するローレンツィアンピークの幅を、測定されたエアリー分布から求めることができる。
ファブリ・ペロー共振器を掃引干渉計として用いる場合、つまり共振器の長さ(もしくは入射角)を掃引しつつ用いるとき、ある自由スペクトル領域内のいくつかのピークを光学上見わけることができる。複数の周波数に対応するそれぞれのエアリー分布 A′trans(ν) を分解する必要がある。したがって、この場合はエアリー分布が構成関数となり、観測されるのはいくつものエアリー分布の総和となる。この状況を適切に定量するために用いられるべきパラメータはエアリー線幅 ΔνAiry とエアリーフィネス ℱAiry である。エアリー分布 A′trans(ν) の半値全幅 ΔνAiry は以下のように計算される。
\Delta \nu_\text{Airy} = \Delta \nu_\text{FSR} \frac{2}{\pi} \left( \frac{1 - \sqrt{R_1 R_2}{2 \sqrt[4]{R_1 R_2} \right)
エアリー線幅 ΔνAiry は、線幅とフィネスに関する上図においては緑線で表わされている。
ΔνAiry = ΔνFSR のとき(エアリー分布 A′trans の図における赤実線)よりも反射率 R1R2 が低い場合、エアリー分布のピークに半値全幅を定義できなくなる。限界点は次が成り立つときである。
\Delta \nu_{Airy} = \Delta \nu_{FSR} \Rightarrow \frac{1 - \sqrt{R_1 R_2}{2 \sqrt[4]{R_1 R_2} = 1 \Rightarrow R_1 R_2 \approx 0.02944
二つの鏡の反射率が等しい場合、これは R1 = R2 ≈ 17.2% のときに相当する(エアリー分布 A′trans の図における赤実線)。
ファブリ・ペロー共振器のエアリー分布のフィネスは線幅とフィネスに関する上図においては右のグラフに緑線で、青線のローレンツィアンフィネス ℱc と共に表わされている。これは次のように定義される。
\mathcal{F}_{Airy} = \frac{\Delta \nu_{FSR}{\Delta \nu_{Airy} = \frac{\pi}{2} \left[ \arcsin \left( \frac{1 - \sqrt{R_1 R_2}{2 \sqrt[4]{R_1 R_2} \right) \right]^{-1}
ファブリ・ペロー共振器の長さ(もしくは入射角)を掃引する際、エアリーフィネスは自由スペクトル領域内に個々の周波数 νm に対応するエアリー分布が、隣同士の半値全幅が重ならず、分光学上曖昧さなく区別できるようにいくつ入れるかの最大数を表わす(エアリーフィネスの意味に関する右図を参照)。この定義は分光器の分解能に関するテイラーの基準と整合する。半値全幅は  \Delta \nu_{Airy} = \Delta \nu_{FSR}  において定義できなくなるので、エアリーフィネスは  \mathcal{F}_{Airy} = 1  までしか定義できない(上図参照)。
A′trans からエアリー線幅 ΔνAiry を導く際、sin(φ) ≈ φ とする不必要な近似がよく用いられる。先述の厳密解とは異なり、この近似式は以下のようになる。
\Delta \nu_{Airy} \approx \Delta \nu_{FSR} \frac{1}{\pi} \frac{1 - \sqrt {R_1 R_2}{\sqrt[4]{R_1 R_2} \Rightarrow \mathcal{F}_{Airy} = \frac{\Delta \nu_{FSR}{\Delta \nu_{Airy} \approx \pi \frac{\sqrt[4]{R_1 R_2}{1 - \sqrt {R_1 R_2}.
上図では赤線で表わしたこの近似式は、低反射率領域において正しい曲線と解離し、  \Delta \nu_{Airy} > \Delta \nu_{FSR}  においても破綻しない。この近似はエアリーフィネスを計算する場合にも用いられることが多い。