アトキンソン・スティグリッツの定理
アトキンソン・スティグリッツの定理(En:Atkinson-Stiglitz theorem)は、最適な税制を達成するためには間接税は必要であることを示した定理である。アンソニー・アトキンソンとジョセフ・スティグリッツの名を冠したこの定理は公共経済学における最重要定理の一つである。
ここに二つの集団があるとする。グループ1とグループ2とする。後者が能力的弱者とする。その場合政府が税制度のパレート最適性を達成するために、
まずグループ2の効用が所与の水準もしくはそれより大であるという条件を課す。
\overline{U}_{1}  \le  V_{1} (C_{1}, Y_{1} ) \quad
さらに政府は税収の最大値を設定し、税収がその最大税収と等しいかそれよりも多くなるような条件を課す。
R = -(C_{1} - Y_{1}) N_{1}  - (C_{2} - Y_{2} ) N_{2} \;
\overline{R} \le R  \;
これらの条件の下で政府はグループ1の効用を最小化する必要がある。
最適値を調べるための基本関数の形式は以下のように与えられ、
\mathcal{L} = V_{2}(C_{2},Y_{2}) + \mu V_{1}(C_{1},Y_{1}) +  \lambda_{2 } ( V_{2} (C_{2}, Y_{2}) - V_{2} (C_{1},Y_{1} )   )
+ \lambda_{1 } ( V_{1} (C_{1}, Y_{1}) - V_{1} (C_{2},Y_{2 } )   ) +
\gamma \left( - (C_{1} - Y_{1}) N_{1} - (C_{2} - Y_{2} ) N_{2} -  \overline{R}   \right) \; ,
\mu \frac{\partial V_{1}{\partial C_{1}  - \lambda_{2} \frac{\partial V_{2} }{\partial C_{1} }  + \lambda_{1} \frac{\partial V_{1} }{\partial C_{1} }
-  \gamma N_{1} = 0 \; ,
\mu \frac{\partial V_{1}{\partial Y_{1}  - \lambda_{2} \frac{\partial V_{2} }{\partial Y_{1} }  + \lambda_{1} \frac{\partial V_{1} }{\partial Y_{1} }
+  \gamma N_{1} = 0 \; ,
\frac{\partial V_{2}{\partial C_{2}  + \lambda_{2} \frac{\partial V_{2} }{\partial C_{2} }  - \lambda_{1} \frac{\partial V_{1} }{\partial C_{2} }
-  \gamma N_{2} = 0 \; ,
\frac{\partial V_{2}{\partial Y_{2}  + \lambda_{2} \frac{\partial V_{2} }{\partial Y_{2} }  - \lambda_{1} \frac{\partial V_{1} }{\partial Y_{2} }
+  \gamma N_{2} = 0 \;
となる。
\lambda_{1}=0  かつ  \lambda_{2}=0 となるケースでは、
\frac{\partial V_{i} / \partial Y_{i} }{\partial V_{i} / \partial C_{i}  } + 1 = 0 \; ,
(i=1,2) となり政府は一括徴税できる。
\lambda_{1}=0  かつ  \lambda_{2}>0 となるケースでは、
\frac{\partial V_{2} / \partial Y_{2} }{\partial V_{2} / \partial C_{2}  } + 1 = 0 \; ,
グループ2への限界税率はゼロとなる。グループ1に関しては、
\frac{\partial V_{1} / \partial Y_{2} }{ \partial V_{1} / \partial C_{1} } = -
\frac{1 - \lambda_{2} (\partial V_{2} / \partial Y_{1}) / N_{1} \gamma }{1 + \lambda_{2} (\partial V_{2} / \partial C_{1} ) / N_{1} \gamma }  \;
もし \delta_{i} = \frac{\partial V_{i} / \partial Y_{1}{\partial V_{i} / \partial C_{1} \; , \quad (i=1,2)  であれば、グループ1への限界税率は \delta_{1} + 1 となる。さらには、
\delta_{1} = - \left( \frac{1 - \nu \delta_{2} }{1 + \nu}  \right)  \;
であり、ここで \nu  を以下のように定義する。
\nu = \frac{ \lambda_{2} (\partial V_{2} / \partial C_{1}) }{ N_{1} \gamma }   \;
条件から \delta_{1} < \delta_{2} であり、 -1 <  \delta_{1} < \delta_{2} となることがわかる。よってグループ1への限界税率は正となる。
\lambda_{1}>0  and  \lambda_{2} = 0  のケースではグループ2への限界税率が負となる。一括徴税すると能力的弱者への徴税が強者よりも多くなってしまう。
\textbf{C}_{1} = \sum_{j} C_{1j} \textbf{e}_{j}
\textbf{C}_{2} = \sum_{j} C_{2j} \textbf{e}_{j}  \;
と書く。この場合政府の財政に関する不等式は、
R \leq  \sum^{2}_{k=1} ( Y_{k} N_{k} )  -  N_{1} \sum_{j} C_{1j}  - N_{2} \sum_{j} C_{2j}   \;
となる。
従って最適解の条件は以下のようになり、
\mu \frac{\partial V_{1}{\partial C_{1j}  - \lambda_{2} \frac{\partial V_{2} }{\partial C_{1j} }  + \lambda_{1} \frac{\partial V_{1} }{\partial C_{1j} }  -  \gamma N_{1} = 0 \; ,
\mu \frac{\partial V_{1}{\partial Y_{1}  - \lambda_{2} \frac{\partial V_{2} }{\partial Y_{1} }  + \lambda_{1} \frac{\partial V_{1} }{\partial Y_{1} }  +  \gamma N_{1} = 0 \; ,
\frac{\partial V_{2}{\partial C_{2j}  + \lambda_{2} \frac{\partial V_{2}  }{\partial C_{2j} }  - \lambda_{1} \frac{\partial V_{1} }{\partial C_{2j} } -  \gamma N_{2} = 0 \; ,
\frac{\partial V_{2}{\partial Y_{2}  + \lambda_{2} \frac{\partial V_{2} }{\partial Y_{2} }  - \lambda_{1} \frac{\partial V_{1} }{\partial Y_{2} }
+  \gamma N_{2} = 0 \;
ここで \lambda_{1}=0  and  \lambda_{2} > 0 の場合を考えると、
\frac{ \frac{\partial V_{2}{\partial C_{2j} } }{ \frac{\partial V_{2}{\partial C_{2n} }   } = 1 \; , \quad
\frac{ \frac{\partial V_{2}{\partial C_{2j} } }{ \frac{\partial V_{2}{\partial  Y_{2}   } = 1  \;
となる。そして、
\frac{\partial V_{1}{\partial C_{1j} = \frac{\partial V_{2}{\partial C_{1j}  \;
となるために、以下のような結論を得る。
\frac{ \frac{\partial V_{1}{\partial C_{1j} } }{ \frac{\partial V_{1}{\partial C_{1n} }   } = 1  \;
すなわちパレート最適な税制を達成するためには、コモディティへの課税が必要であることがわかる。