アフィン接続
P 上の GL(n) と aff(n) の作用に関して、η は同変である。
すべての n×n 行列のリー代数 の中の ξ について、η(Xξ) = ξ である。
η は、aff(n) を持つ P の各々の接空間の線型同型である。
最後の条件は、η が P での絶対平行性、すなわち、自明バンドル(この場合は、P × aff(n))の構造を持つ P での接バンドルと同一視できることを意味する。ペア (P,η) は、M 上のアフィン幾何学構造を定義する。
アフィンリー代数 aff(n) は、Rn と gl(n) の半直積へ分解し、従って、η はペア (θ,ω) として書くことができる。ここに θ は Rn に値を持ち、ω は gl(n) に値を持つ。条件 (1) と (2) は ω が主 GL(n)-接続であり、θ が水平な同変 1-形式であることと同値であり、これが TM から随伴バンドル P ×GL(n) Rn へのバンドル準同型を引き起す。条件 (3) は、このバンドル準同型が同型であるということと同値である(しかし、この分解はアフィン群の特別な構造の結果である)。P は P ×GL(n) Rn の標構バンドルであるので、θ が P と M の標構バンドル FM の同型を導き、これが FM 上の主 GL(n)-接続としてアフィン接続の定義を再現している。
平坦モデルからの 1-形式は、まさに、 θ と ω という成分である。
M 上のアフィン接続(affine connection)は、M 上の主 Aff(n)-バンドルであり、Q の主 GL(n)-部分バンドル P と主 Aff(n)-接続 α (aff(n) に値を持つ Q 上の 1-形式)を伴っていて、これらは次のカルタン条件を満す。α の P への引き戻しの Rn 成分は、水平な同変 1-形式であり、従って、TM から P ×GL(n) Rn へのバンドル準同型であり、この準同型が同型であることが要求される。
Aff(n) は A 上に作用するので、主バンドル Q に随伴するバンドル A = Q ×Aff(n) A が存在し、このバンドルは、M 上の x でのファイバーがアフィン空間 Ax であるような M 上のファイバーバンドルである。A の切断 a (各々の x ∈ M に対し Ax の中のマーク付の点 ax を定義している)は、Q の主 GL(n)-部分バンドル P を互いに決定する(これらのマーク付の点の安定子のバンドルとして)。主接続 α はこのバンドル上のエーレスマン接続、よって平行移動の概念を定義する。カルタンの条件は、問題にしている切断が常に平行移動の下で動くことを保証している。
曲率と捩れは、アフィン接続の主な不変量である。アフィン接続の概念を定義には同値な方法が多くあるので、曲率と捩れの定義も多くの異なる方法がある。
カルタン接続の観点から、曲率はモーレー・カルタン方程式
\mathrm d\eta + \tfrac12[\eta\wedge\eta] = 0,
を満たすアフィン接続 η の「失敗」の度合いを表す。ここに、左辺の第二項は aff(n) のリーブラケットを使うウェッジ積である.η をペア (θ,ω) に拡張し、リー代数 aff(n) の構造を使うと、左辺は次の 2つの式へ拡張できる。
\mathrm d\theta + \omega\wedge\theta
\mathrm d\omega + \omega\wedge\omega
ここに、ウェッジ積は行列の乗法を使うこととする。最初の式は、接続の捩れを定義し、第二の式は曲率を定義する。
これらの表現は標構バンドルの全空間の上での微分 2-形式である。これらは水平で同変であるので、テンソル的な対象を定義する。これらは直接 TM 上の共変微分 ∇ より次のようにして導くことができる。
捩れは、式
T^\nabla(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y].
により与えられる。捩れが 0 であれば、接続は捩れのない、あるいは対称であると言う。
曲率は、
R^\nabla_{X,Y}Z = \nabla_X\nabla_Y Z - \nabla_Y\nabla_X Z - \nabla_{[X,Y]}Z
で与えられる。
曲率も捩れも 0 であれば、接続は接バンドル上の大域切断の空間の前リー代数を定義する。
(M,g) をリーマン多様体 とすると、一意に M 上のアフィン接続 ∇ が存在し、次の性質を持つ。
接続は捩れがない、つまり、T∇ が 0 である。
平行移動が等長である、つまり、接ベクトル間の内積 (g を使い) は保存される。
この接続をレヴィ・チヴィタ接続と呼ぶ。
第二の条件は、リーマン計量 g が平行 ∇g = 0 であるという意味で、接続が計量接続である。局所座標系では、接続形式の成分をクリストッフェル記号と呼ぶ。レヴィ・チヴィタ接続の一意性により、g の項としてこれらの成分を表す式が存在する。
直線はアフィン幾何学の概念であるので、アフィン接続はアフィン測地線と呼ばれる任意のアフィン多様体上の(パラメータ化された)直線の一般的な概念を定義する。抽象的に言うと、パラメータ化された曲線 γ : I → M は、接ベクトルが曲線 γ に沿って移動するときに自分自身と平行で向いている方向を等しくするときに直線である。この直線という観点より、アフィン接続 M は、次の方法でのアフィン測地線を識別する。滑らかな曲線 γ : I → M がアフィン測地線(affine geodesic)であるとは、\dot\gamma が γ に沿って平行移動する、つまり、
\tau_t^s\dot\gamma(s) = \dot\gamma(t)
であるときを言う。ここに τts : TγsM → TγtM は、接続を定義する平行移動写像である。
無限小接続 ∇ のことばでは、この方程式の微分の意味は、すべての t ∈ I に対し、
\nabla_{\dot\gamma(t)}\dot\gamma(t) = 0
という意味である。逆に、この微分方程式の任意の解は、曲線に沿って曲線の接ベクトルが平行移動していることを意味する。すべての x ∈ M とすべての X ∈ TxM に対し、一意的に γ(0) = x であるアフィン測地線 γ : I → M が存在し、\dot\gamma(0)=X である。ここに I は R の最大開区間であり、0 をその定義された測地線上に持っている。このことは、ピカール・リンデレフの定理に従い、アフィン接続に付随する指数写像 (リーマン幾何学)の定義を可能とする。
特に、M が(擬-)リーマン多様体であり、∇ がレヴィ・チヴィタ接続であれば、アフィン測地線はリーマン幾何学の通常の測地線であり、局所的に距離を極小化する。
ここで定義する測地線は、M の中の与えられた直線が a と b を定数としたときのアフィン再パラメータ化 γ(t) → γ(at+b), の選び方に依存しない直線を囎唹して、パラメータ化された曲線 γ を決定するので、アフィン的にパラメータ化されているという。アフィン測地線の接ベクトルは、それ自身に平行で向いている方向が同じである。パラメータ化されていない測地線、あるいは、単に自分自身に平行で向きが同じではない接ベクトルは、ある γ にそって定義されたある函数 k に対し、単に
\nabla_{\dot{\gamma}\dot{\gamma} = k\dot{\gamma}
となるのみである。パラメータ化されていない測地線は、射影接続の観点から、研究されていることもある。
アフィン接続は曲線の発展 (微分幾何学)(development)の考え方を定義する。直感的には発展は、M の中の xt をとると、x0 でのアフィン接空間は曲線に沿って「回る」という考え方である。そのようにすると、接空間と多様体の間のマークされた接触点は、このアフィン空間の中の曲線 Ct の軌跡、 xt の発展を描く。
定式化すると、τt0 : TxtM → Tx0M をアフィン接続に伴った線型平行移動写像とすると、発展 Ct は Tx0M の中の 0 を起点とし、xt の接線に平行で、すべての時間 t に対し
\dot{C}_t = \tau_t^0\dot{x}_t,\quad C_0 = 0
となる。
特に、xt が測地線であることと、その発展が Tx0M の中のアフィン的にパラメトライズされた直線であることとは同値である
M を R3 の中の曲面とすると、M は自然なアフィン接続を持っていることは容易に分かる。線型接続の観点より、ベクトル場の共変微分はベクトル場の微分により定義され、M から R3 への写像と見なされ、よって背後の M の接空間の上の直交する射影を結果する。このアフィン接続が捩れを持たないことは容易に分かる。さらに、R3 上の内積により引き起こされた M 上のリーマン接続の観点からは、この接続が計量接続であることも容易に分かる。従って、この計量のレヴィ・チヴィタ接続であることも分かる。
\langle, \rangle を R3 上の通常のスカラー積とし、S2 を単位球面とする。x での S2 への接空間は、自然に x で直交するベクトルすべてからなる R3 の部分ベクトル空間と同一視される。このことから、S2 上のベクトル場 Y は写像 Y : S2 → R3 と見なすことができ、この写像は、
\langle Y_x, x\rangle = 0, \quad \forall x\in \mathbf{S}^2.
を満たす。dY によりそのような写像の微分を表すと、
補題:
(\nabla_X Y)_x = \mathrm dY_x(X) + \langle X_x,Y_x\rangle x\,
は捩れが 0 である S2 上のアフィン接続を定義する。
証明: ∇ がライプニッツの恒等式を満たし、第一の変数について C∞(S2) 線型であることを証明するは容易である。従って、ここで証明すべきことのすべては、この写像が実際に接ベクトル場を定義することである。すなわち、S2 の中の x に対して、
\langle(\nabla_X Y)_x,x\rangle = 0\qquad (1)
が成り立つことを証明する。
\begin{cases}
f: \mathbf{S}^2\to \mathbf{R}\\
x \longmapsto \langle Y_x, x\rangle.
\end{cases}
を考える。
写像 f は定数であるので、その微分は 0 である。特に
\mathrm df_x(X) = \langle (\mathrm d Y)_x(X),x\rangle + \langle Y_x, X_x\rangle = 0.\,
である。
上の式 (1) が従う。\Box
相対論の研究に動機をもつカルタンのアフィン接続の扱い。基準座標系の物理とどのように世界線に沿う移動の物理的な考え方へ接続が影響するかに関する詳細な議論を含んでいる。
アフィン接続のさらなる数学的な動機について.
Élie .
リーマン幾何学の観点からのアフィン接続。ロバート・ヘルマン(Robert Hermann)の appendixには、Koszulの現代的な意味のアフィン接続の考え方と同様に、曲面論からの動機が議論されている。彼は、微分作用素 ∇ の基本的な性質を開発し、それらをカルタンの意味での古典的なアフィン接続と関連づけた。
Kobayashi.
この文献は、微分幾何学の方法のテクニカルな詳細に関する主要な文献である.Volume 1, chapter III では、多様体上の主バンドル、飛行移動、測地線、随伴微分作用素の観点からアフィン接続の詳細な考察が述べられている。Volume 1 chapter VI では、アフィン変換、捩れ、アフィン測地線の一般論が述べられている。Volume 2 では、各種のトピックスとともに等質空間や複素多様体へのアフィン接続の数多くの応用が述べられている。
Ülo .
Ülo .
ルミステ(Lumiste)による 2つの論文は、アフィン接続を定義するために平行移動写像の条件が詳細に述べられている。そこでは、古典的(非主バンドル)の観点から曲率、捩れやそのほかの標準的なトピックスも扱われている。
R.W. .
この解説は歴史的なことが詳しく述べられている。また、一般的なカルタン接続の読者向けの基本的な考え方が述べられている。Appendix A では主接続と全体並行性の観点の間の関係が説明されている。Appendix B では、古典的なアフィン接続の「回転」モデルと主バンドルや微分作用素に基く現代的なアフィン接続とのギャップを埋めることが記述されている。