アインシュタインテンソル
微分幾何学において、アインシュタインテンソル(Einstein tensor)(アルベルト・アインシュタインの名前に因んでいて、逆トレースリッチテンソルとしても知られている)は、擬リーマン多様体の曲率を表現することに使われる。アインシュタインテンソルは一般相対論において基本的な物理量であり、その基礎方程式であるアインシュタイン方程式に現れる。これは、エネルギー・運動量の保存則と整合するように時空の曲率を用いて重力を記述するものである。
アインシュタインテンソル \mathbf{G} は、擬リーマン多様体上に定義されたランク 2 のテンソルであり、添字のない記法では、
\mathbf{G}=\mathbf{R}-\frac{1}{2}\mathbf{g}R,
として定義される。ここに \mathbf{R} はリッチテンソルであり、\mathbf{g} は計量テンソルであり、R はスカラー曲率である。成分を持つ形で表すと、上記方程式は、
G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {1\over2} g_{\mu\nu}R.
のようになる。
アインシュタインテンソルは、ストレス・エネルギーテンソルと同じ性質を持っている。つまり、
G_{\mu\nu} = G_{\nu\mu}\,
と対称テンソルであって、さらに
G^{\mu\nu}{}_{; \nu} = 0
と共変な意味での発散がない。
リッチテンソルは計量テンソルのみにより与えられるので、アインシュタインテンソルは計量テンソルから直接的に定義することができる。しかしながら、この表現は煩雑で、教科書でも具体的に与えられることは稀である。まずは、クリストッフェル記号を用いて表すと、
\begin{align}
G_{\alpha\beta} &= R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} R \\
&= R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} g^{\gamma\zeta} R_{\gamma\zeta} \\
&= (\delta^\gamma_\alpha \delta^\zeta_\beta - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}g^{\gamma\zeta}) R_{\gamma\zeta} \\
&= (\delta^\gamma_\alpha \delta^\zeta_\beta - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}g^{\gamma\zeta})(\Gamma^\epsilon_{\gamma\zeta,\epsilon} - \Gamma^\epsilon_{\gamma\epsilon,\zeta} + \Gamma^\epsilon_{\epsilon\sigma} \Gamma^\sigma_{\gamma\zeta} - \Gamma^\epsilon_{\zeta\sigma} \Gamma^\sigma_{\epsilon\gamma})
\end{align}
となる。ここで、\delta^\alpha_\beta はクロネッカーのデルタでクリスとフェル記号 \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} は計量を用いて、
\Gamma^\alpha_{\beta\gamma} = \frac{1}{2} g^{\alpha\epsilon}(g_{\beta\epsilon,\gamma} + g_{\gamma\epsilon,\beta} - g_{\beta\gamma,\epsilon})
と定義される。
キャンセレーションの前に、この公式は、2 \times (6+6+9+9) = 60 個の個別な項となる。キャンセレーションはこの数をいくらかは小さくする。
一点の近くの局所慣性座標系の特殊な場合には、計量テンソルの一階微分が 0 となり、アインシュタインテンソルの成分による表示はかなり単純化される。
\begin{align}G_{\alpha\beta} & = g^{\gamma\mu}\bigl[ g_{\gamma[\beta,\mu]\alpha} + g_{\alpha[\mu,\beta]\gamma} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} g^{\epsilon\sigma} (g_{\epsilon[\mu,\sigma]\gamma} + g_{\gamma[\sigma,\mu]\epsilon})\bigr] \\ & = g^{\gamma\mu} (\delta^\epsilon_\alpha \delta^\sigma_\beta - \frac{1}{2} g^{\epsilon\sigma}g_{\alpha\beta})(g_{\epsilon[\mu,\sigma]\gamma} + g_{\gamma[\sigma,\mu]\epsilon}),\end{align}
ここに、鍵括弧は伝統的に括弧付き添字上で反対称性を表す。つまり
g_{\alpha[\beta,\gamma]\epsilon} \, = \frac{1}{2} (g_{\alpha\beta,\gamma\epsilon} - g_{\alpha\gamma,\beta\epsilon})
である。
アインシュタインテンソルのトレースは、計量テンソル g^{\mu\nu} をその定義の中に持つ方程式を縮約(contract)することにより計算される。(任意符号の) n 次元では、
\begin{align}g^{\mu\nu}G_{\mu\nu} &= g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - {1\over2} g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R \\ G &= R - {1\over2} (nR) \\ G &= {2-n}\over2}R\end{align}
である。
物理学での 4次元(3空間次元、1時間次元)の特別な場合はアインシュタインテンソルのトレース G\, は、R\, の負の部分、リッチテンソルのトレースとして与えられる。このようにアインシュタインテンソルのもうひとつの別の名前は、逆トレースリッチテンソル(trace-reversed Ricci tensor)である。
アインシュタインテンソルは、(宇宙項のない)アインシュタイン方程式を次の正確な形に書き表すことを可能とする。
G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}.
ここに幾何単位系で(つまり、c = G = 1 とする)、
G_{\mu\nu} = 8 \pi \, T_{\mu\nu}
である。
アインシュタインテンソルの明示的な形により、アインシュタインテンソルは、計量テンソルの非線型函数であるが、計量の 2階の偏微分では線型である。対称なランク 2 のテンソルとして、アインシュタインテンソルは 4次元空間内の10 個の独立成分を持つ。このことから、アインシュタイン場の方程式は、計量テンソルの 10 個変数の微分方程式のタイプ(quasilinear)の 2階の偏微分方程式である。
ビアンキ恒等式は、アインシュタインテンソルの助けで容易に次のようにも表現できる。
\nabla_{\mu} G^{\mu\nu} = 0.
ビアンキ恒等式は、自動的に曲がった時空の中のストレス・エネルギーテンソルの共変に保存することを保証する。つまり、
\nabla_{\mu} T^{\mu\nu} = 0.
アインシュタイテンソルの物理学的な意味は、この等式により非常に重要であることがわかる。キリングベクトル \xi^\mu 上で縮約された密度化ストレステンソルの項では、通常の保存則は、
\partial_{\mu}(\sqrt{-g} T^\mu{}_\nu \xi^\nu) = 0
である。
デーヴィッド・ラヴロック(David Lovelock)は、4次元微分可能多様体では、アインシュタイテンソルは単にテンソル的で g_{\mu\nu} の発散のない函数であり、高々、一階か二階の偏微分であることを示した。
しかしながら、
ガウスの重力法則(Newton-Poisson gravitational equation)と似ていて、一般化した方程式である。
すべての座標系へ適用でき、
任意の計量テンソルに対しエネルギー運動量テンソルの局所共変性が保存されることを保証する。
の 3つの条件を満たすからといって、その基礎方程式がアインシュタイン方程式であるとは限らない。アインシュタイン・カルタン理論(Einstein–Cartan theory)などのように、上の条件をすべて満たす別の理論が多く提案されている。
一般相対論のリソース(General relativity resources)