凸共役性
数学において凸共役(とつきょうやく、convex conjugation)とは、ルジャンドル変換の一般化である。ルジャンドル=フェンシェル変換あるいはフェンシェル変換としても知られる(アドリアン=マリ・ルジャンドルとウェルナー・フェンシェルの名にちなむ)。
X を実ノルム線型空間とし、X^{*} を X の双対空間とする。双対組を次で表す。
\langle \cdot , \cdot \rangle : X^{*} \times X \to \mathbb{R}.
f : X \to \mathbb{R} \cup \{ + \infty \}
に対する凸共役
f^\star : X^{*} \to \mathbb{R} \cup \{ + \infty \}
は、上限を用いて次のように定義される。
f^{\star} \left( x^{*} \right) := \sup \left \{ \langle x^{*} , x \rangle - f(x) \mid x \in X \right\}.
あるいは、同値であるが、下限を用いて次のように定義される。
f^{\star} \left( x^{*} \right) := - \inf \left \{ f(x) - \langle x^{*} , x \rangle \mid x \in X \right\}.
この定義は、函数のエピグラフの凸包の、支持超平面に関する符合化と解釈することが出来る
。
f(x) = \left\langle a,x \right\rangle - b,\,
a \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}
f^\star\left(x^{*} \right)
= \begin{cases} b,      & x^{*}   =  a
\\ +\infty, & x^{*}  \ne a.
\end{cases}
である。冪函数
f(x) = \frac{1}{p}|x|^p,\,1<p<\infty
f^\star\left(x^{*} \right)
= \frac{1}{q}|x^{*}|^q,\,1<q<\infty
である。ここで \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1 である。
f(x) = \left| x \right|
f^\star\left(x^{*} \right)
= \begin{cases} 0,      & \left|x^{*} \right| \le 1
\\ \infty, & \left|x^{*} \right|  >  1
\end{cases}
である。指数函数 f(x)=\,\! e^x の凸共役は
f^\star\left(x^{*} \right)
= \begin{cases} x^{*} \ln x^{*} - x^{*}      , & x^{*}  > 0
\\ 0                            , & x^{*}  = 0
\\ \infty                       , & x^{*}  < 0
\end{cases}
である。指数函数の凸共役とルジャンドル変換は、凸共役の定義域が厳密に大きいことを除いて一致する。ルジャンドル変換は正の実数に対してのみ定義されるためである。
F を確率変数 X の累積分布函数とする。このとき、部分積分により
f(x):= \int_{-\infty}^x F(u)\,du = \operatorname{E}\left[\max(0,x-X)\right] = x-\operatorname{E} \left[\min(x,X)\right]
は次の凸共役を持つ。
f^\star(p)=\int_0^p F^{-1}(q) \, dq = (p-1)F^{-1}(p)+\operatorname{E}\left[\min(F^{-1}(p),X)\right]
= p F^{-1}(p)-\operatorname{E}\left[\max(0,F^{-1}(p)-X)\right].
特別な解釈により次の変換が考えられる。
f^\text{inc}(x):= \arg \sup_t \,t\cdot x-\int_0^1 \max\{t-f(u),0\} \, \mathrm d u,
これは初期函数 f の非減少な書き換えである。特に、f に対する f^\text{inc}= f は非減少である。
閉凸函数の凸共役は再び閉凸函数である。多面体的凸函数(多面体的エピグラフを持つ凸函数)の凸共役は、再び多面体的凸函数である。
凸共役は、順序を反転させる。すなわち、f \le g ならば f^* \ge g^* である。ここで
(f \le g ) :\iff (\forall x, f(x) \le g(x))
である。函数の族 \left(f_\alpha\right)_\alpha に対し、上限は交換されうるという事実により、次が従う。
\left(\inf_\alpha f_\alpha\right)^*(x)= \sup_\alpha f_\alpha^*(x).
さらに最大最小不等式により、次が従う。
\left(\sup_\alpha f_\alpha\right)^*(x)\le \inf_\alpha f_\alpha^*(x).
函数の凸共役は常に下半連続である。二重共役 f^{**}(凸共役の凸共役)は閉凸包、すなわち、f^{**}\le f を満たす最大の下半連続凸函数でもある。真凸函数 f に対し、次が成り立つ。
f = f^{**}  であるための必要十分条件は、f が凸かつ下半連続であることである(フェンシェル=モローの定理)
任意の函数 f とその凸共役 f * に対し、次のフェンシェルの不等式(フェンシェル=ヤングの不等式としても知られる)は、すべての x ∈  X と p ∈ X * に対して成立する:
\left\langle p,x \right\rangle \le f(x) + f^*(p).
二つの函数 f_0 と f_1 および数 0\le \lambda\le 1 に対し、次の凸関係が成立する。
\left((1-\lambda)f_0+\lambda f_1\right)^\star\le (1-\lambda)f_0^\star+ \lambda f_1^\star
この演算 \star はそれ自身が凸写像である。
二つの函数 f と g の極小畳み込み(infimal convolution)は、次で定義される(epi-sum とも呼ばれる):
\left(f \Box  g\right)(x) = \inf \left \{ f(x-y) + g(y) \mid y \in \mathbb{R}^n \right \}.
f1, …, fm は Rn 上の真凸かつ下半連続な函数とする。このとき、これらの極小畳み込みは凸かつ下半連続である(が、必ずしも真凸ではない)。さらに次が成立する。
\left( f_1 \Box \cdots \Box f_m \right)^\star = f_1^\star + \cdots + f_m^\star.
二つの函数の極小畳み込みは、次のような幾何学的解釈がある:二つの函数の極小畳み込みの(厳密な)エピグラフは、それらの函数の(厳密な)エピグラフのミンコフスキー和である。
函数 f が微分可能であるなら、その導函数は凸共役の計算における最大化引数(maximizing argument)である。すなわち、
f^\prime(x) = x^*(x):= \arg\sup_{x^\star} {\langle x, x^\star\rangle} -f^\star(x^\star) と
f^{\star\prime}(x^\star) = x(x^\star):= \arg\sup_x {\langle x, x^\star\rangle}-f(x);
が成り立つ。したがって
x= \nabla f^{\star}(\nabla f(x)),
x^\star= \nabla f(\nabla f^{\star}(x^\star)),
であり、さらに次が成立する。
f^{\prime\prime}(x) \cdot f^{\star\prime\prime} (x^\star(x))=1,
f^{\star\prime\prime}(x^\star)\cdot f^{\prime\prime}(x(x^\star))=1.
ある \gamma>0 に対し、\,g(x)=\alpha+ \beta x +\gamma \cdot f(\lambda x+\delta) であるなら、次が成り立つ。
g^\star(x^\star)= -\alpha- \delta\frac{x^\star-\beta}\lambda +\gamma \cdot f^\star \left(\frac {x^\star-\beta}{\lambda \gamma}\right).
さらにパラメータ α が追加される場合は、次が成り立つ。
f_\alpha(x)=-f_\alpha(\tilde x).
ここで \tilde x  は最大化引数であるように選ばれる。
A を X から Y への有界線型作用素とする。X 上の任意の凸函数 f に対して、次が成り立つ。
\left(A f\right)^\star = f^\star A^\star
(A f)(y) = \inf\{ f(x) : x \in X , A x = y \}
は f の A に関する原像であり、A* は A の共役作用素である。
閉凸函数 f は、ある与えられた直交線型変換の集合 G に関して対称である、すなわち
f\left(A x\right) = f(x), \; \forall x, \; \forall A \in G
であるための必要十分条件は、凸共役 f* が G に関して対称であることである。
次の表では、多くの有名な函数のルジャンドル変換で、有用な性質を持つものが示されている。
〔 class="wikitable"
|-
!g(x) !! \operatorname{dom}(g) !! g^*(x^*) !! \operatorname{dom}(g^*)
|- bgcolor=""
| f(ax) (where a \neq 0) || X || f^*\left(\frac{x^*}{a}\right) || X^*
|- bgcolor=""
| f(x + b) || X || f^*(x^*) - \langle b,x^* \rangle || X^*
|- bgcolor=""
| a f(x) (where a > 0) || X || a f^*\left(\frac{x^*}{a}\right) || X^*
|- bgcolor=""
| \alpha+ \beta x+ \gamma \cdot f(\lambda x+\delta) || X ||-\alpha- \delta\frac{x^*-\beta}\lambda+ \gamma \cdot f^* \left(\frac {x^*-\beta}{\gamma \lambda}\right)\quad (\gamma>0) || X^*
|- bgcolor=""
| \frac〔x|^p}{p} (where p > 1) || \mathbb{R} || \frac