一般相対性理論の数学
リーマンテンソルの定式化のため、共変微分はランク 1 のテンソルに関しては二度とることとすると、方程式は次のようになる。
\begin{align}\nabla_{\sigma , \mu} V_\nu &= \nabla_\sigma[\nabla_\mu V_\nu] \\
&= \nabla_\sigma [\partial_\mu V_\nu - \Gamma^\rho{}_{\mu\nu} V_\rho] \end{align}
共変微分のもうひとつの性質のため、
\nabla_{\sigma , \mu} V_\nu = \nabla_\sigma [\partial_\mu V_\nu] - \nabla_\sigma [\Gamma^\rho{}_{\mu\nu} V_\rho]
となる。さらに、ランク 2 のテンソルに対する規則により、
\nabla_{\sigma , \mu} V_\nu
= (\partial_\sigma[\partial_\mu V_\nu] - \Gamma^\rho{}_{\mu\nu} \partial_\sigma V_\rho - \Gamma^\rho{}_{\sigma\nu}\partial_\mu V_\rho - \Gamma^\rho{}_{\sigma\mu}\partial_\rho V_\nu)
- (\partial_\sigma [\Gamma^\rho{}_{\mu\nu} V_\rho] - \Gamma^\alpha{}_{\sigma\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\mu}V_\rho - \Gamma^\alpha{}_{\sigma\mu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\nu}V_\rho)
である。ここで、添字の \sigma  と \mu  を入れ替えると、
\nabla_{\mu ;  \sigma}V_\nu
= (\partial_\mu[\partial_\sigma V_\nu] - \Gamma^\rho{}_{\sigma\nu} \partial_\mu V_\rho - \Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\partial_\mu V_\rho - \Gamma^\rho{}_{\mu\sigma}\partial_\rho V_\nu)
- (\partial_\mu [\Gamma^\rho{}_{\sigma\nu} V_\rho] - \Gamma^\alpha_{\mu\nu} \Gamma^\rho{}_{\alpha\sigma} V_\rho - \Gamma^\alpha_{\mu\sigma} \Gamma^\rho{}_{\alpha\nu} V_\rho)
を得る。
添字を入れ替える前の式から入れ替えた式を引き、クリストッフェル記号の対称性を思い起すと、
\nabla_{\sigma , \mu} V_\nu - \nabla_{\mu ;  \sigma}V_\nu
=\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\sigma\nu}V_\rho
- \partial_\sigma\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}V_\rho
+ \Gamma^\alpha{}_{\sigma\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\mu}V_\rho
- \Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\sigma}V_\rho
となる。これが求めている方程式で、この式に名前を付ける必要がある。
\nabla_\sigma \nabla_\mu V_\nu - \nabla_\mu \nabla_\sigma V_\nu = (\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\sigma\nu}
- \partial_\sigma\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}
+ \Gamma^\alpha{}_{\sigma\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\mu}
- \Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\sigma})V_\rho
上式の左辺は3つの、右辺は4つの添字を持つことに注意すると、添字のペアにわたって和をとる必要がある。
R^\rho_{\sigma\mu\nu}V_\rho = (\partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\sigma\nu}
- \partial_\sigma\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}
+ \Gamma^\alpha{}_{\sigma\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\mu}
- \Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\sigma})V_\rho
結局リーマン曲率テンソルは、
R^\rho_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho{}_{\sigma\nu}
- \partial_\sigma\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}
+ \Gamma^\alpha{}_{\sigma\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\mu}
- \Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}\Gamma^\rho{}_{\alpha\sigma}
となる。添字は行列を掛けることにより縮約することができ、テンソルを共変とすることができる。このことはアインシュタイン方程式
g_{\rho\lambda}R^\lambda_{\sigma\mu\nu} = R_{\rho\sigma\mu\nu}
において有益であり、さらに分解すると、
g^{\rho\mu}R_{\rho\sigma\mu\nu} = R_{\sigma\nu}
となる。このテンソルはリッチテンソルと呼ばれ、リーマンテンソルの中の添字 \rho と \mu を同じとしそれらの和を取ることにより導出することができる。曲率スカラーはさらに進めることで次のように得られる。
g^{\sigma\nu}R_{\sigma\nu} = R
従って、ここで、3つの異なる対象を得たこととなる。
リーマン曲率テンソル: R^\rho_{\sigma\mu\nu} or R_{\rho\sigma\mu\nu}
リッチテンソル: R_{\sigma\nu}
スカラー曲率: R
これらはすべてアインシュタインの場の方程式の解を計算する際に有益である。
相対性理論において重力場(物質とエネルギー)の源は、エネルギー・運動量テンソルと呼ばれる (0,2) 型の対称テンソルにより表現される。このテンソルはリッチテンソルと密接に関係する。エネルギー・運動量テンソルは4次元の2階テンソルであるので、4 × 4 の行列と見なすことができる。エネルギー・運動量テンソルはエネルギー条件(energy conditions) によりある形を満たすよう強制されるので、ジョルダン形式と呼ばれる様々な可能な行列のタイプは発生しない。
一般相対性理論には、エネルギー・運動量の局所的な保存則があり、テンソルの方程式により簡素に表現することができる。
T^{ab}{}_{;b} \, = 0\ .
特殊相対性理論でこの式に対応する局所的なエネルギー保存則は、
T^{ab}{}_{,b} \, = 0
である。この説明は、「偏微分が共変微分へ至る」という経験則を表している。
アインシュタイン場の方程式 (Einsterin Field Equation、EFE) は一般相対性理論の中心部分である。EFE はどのように(エネルギー・運動量テンソルの中に表現される)質量とエネルギーが、(アインシュタインテンソルの中に表現される)時空の曲率と関係するかを記述する。抽象添字記法において、EFE は次のように表される。
G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\tfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
ここで、左辺の Gμν はアインシュタインテンソル、Λ は宇宙定数で、右辺の c は真空中の光速、 π は円周率、G は重力定数である。この式はニュートンの万有引力の法則から出てくる。
EFE の解は計量テンソルである。EFEは、計量に関する非線型微分方程式であり、解くことが容易でないことが多い。そのため、それを解くために用いられる多くの戦略がある。たとえば、戦略のひとつに、最終的な計量の仮説 (ansatz)(もしくは教育的な推測)から始め、解くことができる未知数をもつ連立微分方程式を得るくらいにはまだ一般的だが、座標系を持つのに充分に具体的になるまで精密化していく方法がある。物理的に合理性をもつエネルギー・運動量テンソルの分布に対して正確に解が求まる場合、その結果となる計量テンソルは、完全可解系と呼ばれる。重要な完全可解系の例としては、シュヴァルツシルトの解やフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量がある。
EIH (Einstein–Infeld–Hoffman) 近似や他のことに関しては、Geroch and Jang, 1975 - 'Motion of a body in general relativity', JMP, Vol. 16 Issue 1) を参照。
計量を得るために一旦アインシュタイン場の方程式が解かれたならば、慣性をもつ物体の時空内の運動を決定することが残された問題となる。一般相対性理論では、固有時間によりパラメータ表示される時間的または光的測地線に沿って慣性運動が発生することを仮定する。測地線は、測地線自身の接ベクトル \scriptstyle \vec U つまり \scriptstyle \nabla_{\vec U} \vec U \;=\; 0 に沿って平行移動する曲線である。この条件(測地線方程式、geodesic equation)は、接ベクトル \scriptstyle U^a = {dx^a}/{d \tau} を持つ座標系を用いて書くことができる。
\ddot{x}^a + {\Gamma^a}_{bc} \, \dot{x}^b \, \dot{x}^c = 0
ここに x は x の 曲線に沿った固有時間 τ による微分 dx/dτ を表す。この等式によりクリストッフェル記号の意義が明確となる。
一般相対性理論の主たる特徴は、粒子の経路や重力場の輻射を決定することにある。これは測地線方程式の解法(solving the geodesic equations) ことにより達成される。
アインシュタイン場の方程式は、全物質(エネルギー)の分布と時空の曲率と関連付ける。その非線型性により、結果として現れる時空の中の物質の正確な運動を決定するときに問題が起こる。例えば、恒星の周りを回る惑星から成る系において、惑星の運動は惑星と恒星の運動の和であるエネルギー・運動量テンソルについての場の方程式を解くことにより決定される。惑星の重力場は全体の時空の幾何学に影響を与える、従って、対象の運動に影響を与えることになる。それ故、場の方程式は測地線を導出することに使うことができるという主張は合理的である。
系のエネルギー・運動量テンソルが完全流体であるとき、エネルギー運動量テンソルの局所保存法則を使うことで、測地線の運動方程式が完全に満たされることを示すことができる。
すべての物理学の理論において運動方程式、または場の方程式の導出における核心は、多くの研究者により強調すべきものであると見なされている。これらの導出を行う全く普遍的な方法は変分法を使うことであり、ここで使われる主要な対象はラグランジアンである。
このアプローチは理論を構成するエレガントな方法であると見なされるのが普通だが、単に理論を表現している方法にすぎないと見なされることもある(通常、ラグラジアンの構成は理論が発展した後で行われる)。