数論的関数
数論的関数(すうろんてきかんすう、arithmetic function, arithmetical function, number-theoretical function)とは、定義域が正整数である複素数を値に持つ関数のことである。
複素数の無限数列 \{ a_n \}_{n\ge 1} は n\mapsto a_n という対応で、数論的関数とみなすことができる。
正整数 n に対して
n = \prod_{p\ \text{prime} p^{\nu_p(n)}\quad (\nu_p(n)\ge 0)
と素因数分解する。
この項では、a(n) が \{ a(p^k) | k\ge 0,\ p\ \text{prime}\} によって得られる数論的関数について述べる。
互いに素である正整数 m と n に対して、a(mn) = a(m)+a(n) が成立するとき、加法的関数(additive function)という。
つまり、
a(n) = \sum_{p;\operatorname{prime} a(p^{\nu_p(n)})
が成立する関数である。
特に、任意の正整数 m と n に対して、f(mn) = f(m)+f(n) が成立するとき、完全加法的関数(completely additive function)という。つまり完全加法的関数とは
a(n) = \sum_{p\ \text{prime} \nu_p(n)a(p)
が成立する数論的関数である。
対数関数: \log n
n の相異なる素因数の個数を表す \omega(n)
\omega(n) = \#\{ p| \nu_p(n)\ne 0 \}
n の重複度を数えた素因数の個数を表す \Omega(n)
\Omega(n) = \sum_{p;\operatorname{prime}\nu_p(n)
素数 p に対して、n を割る最大指数を表す、\nu_p(n)
互いに素である正整数 m と n に対して、f(mn) = f(m)f(n) が成立するとき、乗法的関数 (multiplicative function)という。
つまり、
\prod_{p;\operatorname{prime a(p^{\nu_p(n)})
}
が成立する関数である。
特に、任意の正整数 m と n に対して、f(mn) = f(m)f(n) が成立するとき、完全乗法的関数 (completely multiplicative function)という。つまり、完全乗法的関数とは
\prod_{p;\operatorname{prime a(p)^{\nu_p(n)}
}
が成立する数論的関数である。
約数関数 σx(n) は乗法的関数であるが、完全乗法的関数ではない。
q を 2以上の正整数とする。
このとき、任意の正整数 n に対して
\sum_{j\ge 0}b_j(n)q^j\ \ \ \ \ (b_j(n) = 0,\ 1,\ldots,\ q-1)
と q 進展開する。
この項では、a(n) が \scriptstyle\{ a(bq^j) | j\ge 0,\ b = 0,\ 1,\ldots,\ q-1\} によって得られる数論的関数について述べる。
\scriptstyle a(n)=\sum_{j\ge 0}a(b_j(n)q^j) を満たすとき、q加法的関数 (q-additive function)という。
特に、q加法的関数 a(n) が \scriptstyle a(bq^j)=a(b) \scriptstyle(j\ge 0,\ b = 0,\ 1,\ldots,\ q-1) を満たすとき、強q加法的関数 (strongly q-additive function)という。
sum of digits 関数 \textstyle s_q(n) = \sum_{j\ge 0}b_j(n)
digit counting 関数 e_q(b;n) = \#\{ j | b_j(n) = b \} 但し、b は \scriptstyle 1,2,\ldots,q-1 のいずれか。
\scriptstyle a(n)=\prod_{j\ge 0}a(b_j(n)q^j) を満たすとき、q乗法的関数 (q-multiplicative function)という。
特に、q乗法的関数 a(n) が \scriptstyle a(bq^j)=a(b) \scriptstyle(j\ge 0,\ b = 0,\ 1,\ldots,\ q-1) を満たすとき、強q乗法的関数 (strongly q-multiplicative function)という。
トゥエ=モース数列 a(n) = (-1)^{e_2(1;n)}
product of digits 関数 \textstyle p_q(n) = \prod_{j=0}^rb_j(n)\ \ \ \ \ (b_r(n)\ne 0,\ b_j(n) = 0\  (j>r))
(1) 素数に関係する関数
素数計数関数: \pi(n)
フォン・マンゴルト関数: \Lambda(n)
\Lambda(n) = \begin{cases}\log p & (n=p^m,\ m\ge 1,\ p;\operatorname{prime}) \\ 0 & (n\ne p^m) \end{cases}
\textstyle\vartheta(n) = \sum_{p\le n,\ p;\operatorname{prime}\log p
\textstyle\psi(n) = \sum_{p^m\le n,\ p;\operatorname{prime}\log p
(2) 数の表現・分割
n を2つの平方数の和で表す表し方の数を与える r_2(n)
n を正整数の和で表す表し方の数を与える p(n)
全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値 g(k)
十分大きな全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値 G(k)
数論的関数 \scriptstyle f(n),\ g(n) に対して、ディリクレ積 f*g を
\!\!\!\sum_{d\ge 1,\ d
と定めると、f*g は数論的関数となる。従って、数論的関数全体集合は多元環となる。
乗法的関数 \scriptstyle f(n),\ g(n) に対して、ディリクレ積 f*g で得られた数論的関数は乗法的関数となる。
数論的関数 f(n) が、ある正数 C と、数論的関数 g(n) が存在して、\scriptstyle f(n)= C^{g(n)} と表されるとする。すると、f(n) が(完全)乗法的関数である必要十分条件は、g(n) は(完全)加法的関数である。
(1) 最大位数
数論的関数 a(n) に対して、ある単純な形をした n の関数 \psi(n) が存在して
が成立するとき、a(n) の最大位数は \psi(n) であるという。
(2) 平均位数
数論的関数 a(n) に対して、ある単純な形をした n の関数 \psi(n) が存在して
1}^n a(k)}{\sum_{k=1}^n \psi(k)} = 1
が成立するとき、a(n) の平均位数は \psi(n) であるという。
従って、a(n) は、だいたい \psi(n) であると思われるが、数論的関数の多くは、値の振る舞いが複雑であり、a(n) がほぼ \psi(n) である様な n は正整数のなかで少数であることも珍しいことではない。
(3) 正規位数
任意の正数 ϵ とほとんど全ての正整数 n に対して
(1-\varepsilon)\psi(n) < a(n) < (1+\varepsilon)\psi(n)
\!
が成立するとき、a(n) の正規位数は \psi(n) であるという。
平均位数と正規位数は、常に存在する訳ではない。
平均位数は持つが正規位数はもたない、その逆で、平均位数は持たないが正規位数を持つ数論的関数が存在する。
(1) 約数関数 d(n)
最大位数は、
2^{\log n/\log\log n}
\!
であり、平均位数は \log n である。
さらに \log d(n) の正規位数は log2\log\log n である。
従って、任意の正数 ε とほとんど全ての正整数 n に対して
(\log n)^{(1-\epsilon)\log 2} < d(n) < (\log n)^{(1+\epsilon)\log 2}
\!
が成立する。
つまり、ほとんど全ての正整数に対して、d(n) の値は、平均位数よりも小さい。
(2) 約数和関数 \sigma(n)
e^{\gamma}n\log\log n
\!
であり、平均位数は \pi^2n/6 である。
(3) オイラー関数 \varphi(n)
最大位数は n-1 であり、平均位数は 6n/\pi^2 である。
(4) n の相異なる素因数の個数を表す関数 \omega(n)
平均位数および正規位数は共に \log\log n である。
(5) n の重複を込めた素因数の個数を表す関数 \Omega(n)
平均位数および正規位数は共に \log\log n である。
(6) 素数の個数を表す \pi(n)
正規位数は、n/\log n である。