負性抵抗
同調回路の寄生損失抵抗を負性抵抗が完全には打ち消せない場合には( |R_\text{if}|<r_\text{loss} )発振は起きないが、負性抵抗により減衰比が減少し(極が虚軸に向けて動く)Q値の向上を招くため、帯域幅は狭く、周波数選択性は高くなる。Q値の向上は「再生」とも呼ばれており、エドウィン・アームストロングが1912年に発明した再生無線受信機で初めて使用された。後には「Q増倍器」に用いられた。この手法はアクティブフィルタで広く使用されている。たとえば、RF集積回路はスペースを節約するためチップ上にらせん状に形成した導体からなる集積インダクタを用いる。この素子は損失が大きくQ値が低いため、高Q値同調回路を作成するときは負性抵抗と組み合わせる。
カオス的な振る舞いを示す回路は準周期的もしくは非周期的な発振器と見なせるため、一般の発振器と同様に電力供給用の負性抵抗を組み込む必要がある。単純な非線形回路でカオス系の典型例として広く使われているチュア回路の場合、チュア・ダイオードなどと呼ばれる非線形能動抵抗素子を必要とする。通常これは負性インピーダンス変換回路を用いて構成される。
よく知られた能動抵抗回路に、図に示す負性インピーダンス変換器(NIC)がある。抵抗器 R_\text{1} 二つとオペアンプにより構成されたゲイン2の負帰還非反転増幅器である。オペアンプの出力電圧は以下で与えられる。
v_\text{o} = \frac{v(R_1 + R_1)}{R_1} = 2v
そのため入力に電圧 vを印加すると同じ電圧が Z の両端に逆向きに加わり、そこに流れた電流が入力から出ていく。電流の値は
i = \frac {v - v_\text{o}{Z} = \frac {v - 2v}{Z} = - \frac {v}{Z}
であり、したがって回路の入力インピーダンスは以下となる。
z_\text{in} = \frac {v}{i} = -Z \,
こうしてインピーダンス Z が -Z に変換される。Z が抵抗 R の抵抗器であれば、オペアンプの線形動作範囲 V_\text{S}/2 < v < -V_\text{S}/2 内で入力インピーダンスは -R の線形「負性抵抗器」としてふるまうことになる。この入力ポートを一つの素子であるかのように扱って別の回路に組み込む。負性インピーダンス変換器を用いると回路の不要な正抵抗を打ち消すことができる。たとえば、最初に開発されたのは電話線の抵抗を打ち消して中継器として機能させるためだった。
前述の回路の Z をコンデンサ (C) もしくはインダクタ (L) で置き換えれば負の静電容量やインダクタンスを作ることもできる。負の静電容量の I–V 特性、およびインピーダンス Z_\text{C}(j\omega) は以下のように表される。
i = -C {dv \over dt} \qquad\qquad Z_C = -\frac{1}{j\omega C}
ただし C>0 である。負性静電容量に正の電流を流すと放電が起き、電圧が低下する。同様に負性インダクタンスの I–V 特性とインピーダンス Z_{L}(j\omega) は以下である。
v = -L {di \over dt} \qquad\qquad Z_L = -j\omega L
負の静電容量またはインダクタンスは回路の不要な正の静電容量やインダクタンスを打ち消すために用いられる。負性インピーダンス変換回路は電話線のリアクタンスを打ち消すために用いられた。
別の観点から見ると、負性静電容量を流れる電流は正の静電容量の場合とは位相が180°反転しており、電流が電圧より90°先行する代わりにインダクタンスと同じく90°遅延する。したがって負性静電容量は、インピーダンスの周波数依存性が通常とは逆のインダクタンスであるかのように動作する。実際のインダクタンスであれば周波数 ω とともにインピーダンスが増加するが、負性静電容量では減少するのである。同様に負性インダクタンスは周波数とともにインピーダンスが増加する静電容量であるかのように動作する。負性静電容量と負性インダクタンスはフォスターのリアクタンス定理に反する「非フォスター的」回路である。研究段階の応用の一つに、現在の整合回路網のように単一の周波数だけでなく、広範囲の周波数にわたってアンテナと伝送線路をマッチングできる動的整合回路網がある。これによりチュー=ハリントンの限界を超えた広い帯域幅を持つ小型のアンテナを作成できると考えられる。
負性微分抵抗素子は電子発振器の部品として広く用いられている。負性抵抗発振器ではIPMATTダイオード、ガンダイオード、マイクロ波真空管のような負性微分抵抗素子がLC回路、水晶振動子、誘電体共振器、マイクロ波空洞のような電気共振器の両端に接続されており、さらに素子を負性抵抗領域にバイアスするとともに電力を供給するための直流電源を備えている。LC回路のような共振器はほとんど発振器と差がなく、電気的な振動のエネルギーを蓄えることができる。しかし共振器には必ず内部抵抗などの損失があるため振動は減衰して消えてしまう。負性抵抗は正抵抗を打ち消すことで実質的に損失のない共振器を作り出す。そこでは共振器の共振周波数で自発的に連続的な振動が発生する。
負性抵抗発振器はフィードバック発振器が十分に機能しないマイクロ波以上の高周波で主に使われる。マイクロ波ダイオードはスピードガンや衛星放送受信用アンテナの局部発振器用に用いられる低出力から中出力の発振器に組み込まれる。マイクロ波エネルギー源としての用途は広く、ミリ波 およびテラヘルツ波領域では事実上唯一の固体エネルギー源である。マグネトロンなどの負性抵抗マイクロ波真空管は出力がより高く、レーダー送信機や電子レンジのような用途に用いられる。ユニジャンクショントランジスタをネオン灯などの気体放電灯と組み合わせると、より低周波で動作する弛張発振器を作ることができる。
負性抵抗発振器のモデルはダイオードのような1ポート素子に限定されるものではなく、トランジスタや真空管のような2ポート素子に基づくフィードバック発振回路にも適用できる。また近年の高周波発振器では、トランジスタがダイオードのような1ポート負性抵抗デバイスとして使用されることが多くなってきている。マイクロ波周波数ではトランジスタの一方のポートにある負荷を与えると内部フィードバックによって不安定になり、もう一方のポートに負性抵抗を示すことがある。そこで高周波トランジスタ発振器の設計では、トランジスタのポートの一つにリアクタンス性の負荷を与えて負性抵抗を持たせ、もう一方のポートを共振器の両端に接続して負性抵抗発振器となるように設計する(以下参照)。
一般的なガンダイオード発振器(右上回路図参照)は 負性抵抗発振器の機能を示す好例である。ダイオード D は電圧制御型(N型)の負性抵抗を持っており、電圧源 V_\text{b} のバイアスによって負性抵抗領域で動作している。微分抵抗は dv/di\;=\;-r である。チョークコイル RFC は交流電流がバイアス電源へ流れ込むのを防ぐ。R は直列同調回路 LC で起きる損失の等価抵抗に任意の負荷抵抗を加算したものである。この交流回路にキルヒホッフの電圧則を適用すると、交流電流 i(t) に関する以下の微分方程式が作れる。
\frac {d^2 i}{dt^2} + \frac {R - r}{L}\frac {di}{dt} + \frac {1}{LC}i = 0
これを解いて以下の形の解を得る。
i(t) = i_0 e^{\alpha t} \cos(\omega t + \phi)
\alpha = \frac{r - R}{2L}, \quad \omega = \sqrt{\frac {1}{LC} - \left(\frac {r - R}{2L}\right)^2}
である。
上式は回路を流れる電流 i(t) が直流バイアス点 I_\text{bias} の周りで時間変化することを示している。ゼロではない初期電流 i(0)=i_0 から開始すると電流はおおよそ同調回路の共振周波数 ω で正弦的に振動し、振幅は \alpha 次第で一定となるか、または指数関数的に増加もしくは減少する。回路が一定の発振を維持できるかどうかは正抵抗 R と負抵抗 r のバランスによって決まる。
r < R \Rightarrow \alpha < 0 :(極は左半平面)ダイオードの負性抵抗が同調回路の正抵抗よりも小さければ正の減衰が起きる。回路内で起きるあらゆる振動は抵抗器 R の発熱でエネルギーを奪われ、単なる同調回路の場合と同じように指数関数的に弱まって消える。すなわち回路は発振しない。
r = R \Rightarrow \alpha = 0 :(極は虚軸上)正負の抵抗が等しい場合、正味の抵抗がゼロなので減衰はない。同調回路と負荷での損失をちょうど補償するだけのエネルギーをダイオードが供給するため、回路でいったん発振が始まると一定の振幅で継続する。発振器が定常的に動作している状態にあたる。
r > R \Rightarrow \alpha > 0 :(極は右半平面)負性抵抗が正抵抗より大きい場合、減衰が負となるため、振動のエネルギーと振幅は指数関数的に増加する。発振器が起動している最中の状態である。
実用的な発振器は、発振を始めさせるため正味の抵抗を負として上記の領域 (3) で設計されている。経験則として R=r/3 とされることが多い。電源がオンになると、回路中の電気的ノイズが発振開始に必要な信号 i_0 を供給し、指数関数的に振動が成長していく。ただし無限に成長することはなく、振幅はやがてダイオードの非線形性によって制限される。
信号振幅が大きいと回路が非線形になるため、上述の線形解析は厳密には成り立たず、微分抵抗は不確定になる。しかし、1周期にわたる「平均」抵抗が r だと考えれば理解は可能である。正弦波の振幅が負性抵抗領域の幅を超え、I–V 曲線の微分抵抗が正となる領域にまで電圧変動がはみ出すと、平均の負性微分抵抗 r が小さくなって全抵抗 R-r と減衰定数 \alpha が負からゼロに近づき、最終的に正に転じる。したがって振動は減衰がゼロになる r=R で安定する。
ガンダイオードの負性抵抗は −5〜−25 Ωの範囲である。R が r に近く、発振開始に最低限必要な程度である場合、電圧振幅は I–V 曲線の線形部分を大きく超えず、出力波形はほぼ正弦波となって周波数も非常に安定する。R が r よりはるかに小さい回路では I–V 曲線の非線形部分にまで振動が広がるため出力正弦波のクリッピング歪みが問題になり、周波数は電源電圧にますます依存するようになる。
負性抵抗発振回路には電圧制御型(VCNR)と電流制御型(CCNR)の二種類がある。
電圧制御型負性抵抗発振器: 電圧制御型(N型)素子は低インピーダンスのバイアスを必要とし、r より小さい負荷インピーダンスに対して安定する。よって発振回路は右上図のように電圧源 V_\text{bias} によって素子をバイアスし、負荷として並列共振回路を用いるのが理想になる。共振回路のインピーダンスはその共振周波数でのみ高くなるため、その周波数でのみ回路は不安定になり発振する。
電流制御型負性コンダクタンス発振器:対照的に、電流制御型(S型)素子は高インピーダンスのバイアスを必要とし、r より大きい負荷インピーダンスに対して安定する。理想的な発振回路は右図のようにバイアスとして電流源 I_\text{bias} を用い(電圧源を大きい抵抗と直列にして用いることもある)、直列共振回路を負荷とする。直列LC回路のインピーダンスは共振周波数でのみ低くなるため、その周波数だけで発振が起きる。
ほとんどの発振器は能動素子と負荷の両者が抵抗(R)に加えてリアクタンス(X)を持ちうるため、ガンダイオードの例より複雑になる。現在の負性抵抗発振器は黒川兼行による周波数領域の手法を用いて設計される。回路図は仮想的な「基準面」(赤)によって能動素子を含む負性抵抗部分と共振回路と外部負荷からなる正抵抗部分に分割される。負性抵抗部分の複素インピーダンス
Z_\text{N} = R_\text{N}(I, \omega) + jX_\text{N}(I, \omega)
は周波数 ω に依存するだけでなく非線形でもあり、一般に交流発振電流 I の振幅が増えると減少する。一方、共振器部分のインピーダンス
Z_\text{L} = R_\text{L}(\omega) + jX_\text{L}(\omega)
は線形であり周波数にしか依存しない。回路方程式は
(Z_\text{N} + Z_\text{L})I = 0
となるため、発振が起きる(非ゼロの I を持つ)のは Z_\text{N} + Z_\text{L} がゼロとなる周波数 \omega と振幅 I においてのみである。すなわち正負の抵抗の大きさが等しく、リアクタンスが複素共役でなければならない。
R_N \le -R_L かつ X_N = -X_L
定常的な発振が続いているときには上式の等号が成立する。起動時に発振を始めるには抵抗が負側に傾いていなければならないため、上式の不等号が成り立つ。
発振条件は反射係数を用いて表すこともできる。基準面での電圧波形は、負性抵抗素子に向かって伝播する成分 V_1 と、逆に共振器に向かって伝播する成分 V_2 に分けられる。能動素子の反射係数 \Gamma_\text{N} = V_2/V_1  は1より大きいが、共振器側の \Gamma_\text{L} = V_1/V_2  は1未満となる。動作中、波は両側で何度も反射されるため、回路が発振するのは以下の場合だけである。
|\Gamma_\text{N} \Gamma_\text{L}| \ge 1
先ほどと同様、上式の等号は定常的な発振の条件を与え、不等号は起動時に負性抵抗が過剰となるために要求される。この条件はフィードバック発振器でいうバルクハウゼンの安定条件にあたり、必要条件だが十分条件ではないため、上式を満たしても振動しない回路もある。黒川はより複雑な十分条件も導いており、そちらが代わりに用いられることも多い。
ガンダイオードやIMPATTダイオードのような負性微分抵抗素子は増幅器(特にマイクロ波領域のもの)にも利用されるが、発振器ほど一般的ではない。トランジスタのような2ポート素子と異なり負性抵抗素子にはポートが1つしかないため、増幅された出力信号は入力と同じ端子から出ていく必要がある。何らかの方法で2つの信号を分離しなければ負性抵抗増幅器は二方向性となり、負荷インピーダンス依存性やフィードバックの発生が問題となる。多くの負性抵抗増幅器は入力信号と出力信号を分離するためにアイソレータ (マイクロ波)や電力分配器と方向性結合器のような相反性 (電気回路)を使用している。
広く使用されている回路の1つに、サーキュレータによって信号を分離する反射増幅器がある。サーキュレータは3つのポートを持つ不可逆固体回路素子で、あるポートに入射した信号を隣のポートの片方に送る。つまりポート1に入射した信号をポート2へ、ポート2からの信号をポート3へ、ポート3から1へと送る。右図に示す反射増幅器ではポート1に信号が入力され、ポート2にはバイアスを含む電圧制御型負性抵抗ダイオード N がフィルター F を介して接続されており、出力回路はポート3に置かれている。入力信号はポート1からポート2のダイオードに送られるが、ダイオードから「反射」された増幅信号はポート3に流されるため出力から入力への結合はほとんどない。入出力の伝送線路の特性インピーダンス Z_0(通常は50 Ω)はサーキュレータのポートとインピーダンス整合が取られている。フィルタ F は適切なインピーダンスを与えてダイオードのゲインを調節するためにある。高周波において負性抵抗ダイオードは純粋な抵抗性負荷ではなくリアクタンスを持つため、フィルタにはこれを共役リアクタンスで打ち消して定在波を防ぐ役割もある。
フィルタはリアクタンス成分しか持たずそれ自体では電力を吸収しないため、電力はダイオードとポートの間を無損失で通過する。ダイオードへ入力される信号の電力は
P_\text{in} = V_I^2 / R_1
P_\text{out} = V_R^2 / R_1
したがって増幅器のパワーゲインG_P は反射係数の自乗で与えられる。
G_\text{P} = {P_\text{out} \over P_\text{in} = {V_R^2 \over V_I^2} = |\Gamma|^2
|\Gamma|^2 = \Bigg|{Z_\text{N} - Z_1 \over Z_\text{N} + Z_1}\Bigg|^2
|\Gamma|^2 = \Bigg|{R_\text{N} + jX_\text{N} - (R_1 + jX_1)\over R_\text{N} + jX_\text{N} + R_1 + jX_1}\Bigg|^2
R_\text{N} はダイオードの負性抵抗 -r にあたる。フィルタとダイオードの整合が取れている、すなわち X_1 = -X_\text{N} だと仮定すると、ゲインは以下のようになる。
G_\text{P} = |\Gamma|^2 = {(r + R_1)^2 + 4X_\text{N}^2 \over (r - R_1)^2}
ここまでに述べた電圧制御型反射増幅器は R_1<r において安定する。電流制御型であれば安定条件は R_1>r となる。上式によるとゲインに上限はなく、R_\text{1} が振動点 r に近づくにつれて無限大に発散する。これは負性抵抗増幅器に共通する特性であり、ゲインに上限があるが無条件で安定することが多い一般的な2ポート増幅器とは対照をなしている。ただし実地ではサーキュレータの逆方向ポート間にはたらく「リーク」結合によってゲインは制限される。
メーザーとパラメトリック増幅器は非常に低ノイズの負性抵抗増幅器であり、電波望遠鏡のような用途の反射増幅器に組み込まれている。
負性微分抵抗素子はスイッチング回路理論においても用いられ、ある状態から別の状態に敏速に変化するヒステリシス性を持った非線形素子として機能する。その利点は、弛張発振器やフリップフロップならびにメモリセルの機能を実現する標準的な論理回路である双安定マルチバイブレータには能動素子(トランジスタ)が二つ必要なのに対して、負性抵抗素子を用いれば単一の能動素子で済むところにある。スイッチング回路には3種類ある。
非安定マルチバイブレータ:二つの不安定な状態を持つ回路で、出力は状態間を周期的に移り変わる。片方の状態に留まる時間は付属するRC回路の時定数で決まる。すなわち弛張発振器の一種であり、方形波か三角波を発生することができる。
単安定マルチバイブレータ:不安定状態と安定状態を一つずつ持つ回路。安定状態にあるときにパルスが入力されると出力がもう一方の状態に切り替わり、RC回路の時定数に応じて一定時間その状態を維持してから安定状態に戻る。これによりタイマーもしくは遅れ要素として用いることができる。
双安定マルチバイブレータもしくはフリップフロップ:二つの安定状態を持つ回路。状態は入力パルスにより切り替わる。メモリ回路やデジタルカウンタとして用いることができる。
いくつかのニューロンが I–V 特性に負勾配コンダクタンス領域(RNSC)を持つことが電位固定法によって明らかにされている。RNSCは哺乳類の脊髄ニューロンにおけるリズミカルな運動パターンの形成に関与している可能性がある。
負性抵抗は19世紀に照明とされていたアーク放電の研究を通じて初めて認識された。Alfred Niaudetは1881年に アーク電流が増加するにつれてアーク電極間の電圧が一時的に低下することを見出したが、多くの研究者は温度による二次的な効果だとみなした。この効果に "negative resistance" という言葉を当てる者もいたが、受動素子が負の抵抗を持ちえないことはよく知られていたため異論も呼んだ。ハータ・エアトンは1895年から夫ウィリアムの研究を受け継いでアーク放電の I–V 曲線を綿密に測定し、負の勾配を持つ領域を発見して論争を引き起こした。フリスとロジャーズは1896年に エアトン夫婦の援助を受けて微分抵抗 dv/di の概念を導入し、やがてアーク放電が負の微分抵抗を持つことが徐々に受け入れられていった。これらの研究が認められたハータ・エアトンは投票によって女性として初めて英国電気学会への入会が許された。
1892年にジョージ・フィッツジェラルドは共振回路の減衰抵抗をゼロまたは負にすれば連続的な発振を起こせることに初めて気づいた。同年、エリフ・トムソンはLC回路をアーク電極に接続して負性抵抗発振器を作成した。おそらくこれが最初に作られた電子発振器である。ロンドン中央工科大学でウィリアム・エアトンの学生だったウィリアム・ダッデルはトムソンのアーク発振器に一般の関心を向けさせた。アークを流れる電流は負性抵抗のため不安定であり、そのためアーク灯はヒス音やハム音、さらにはハウリング音を立てるのが常だったが、この効果を研究していたダッデルは1899年にアークの両端にLC回路を接続し、負性抵抗により発振を起こして楽音を発生させてみせたのである。この発明のデモンストレーションでは複数の同調回路がアークにつながれて楽曲を演奏した。ダッデルの「シンギング・アーク」発振器は可聴周波数でしか動作しなかったが、1903年にデンマーク人のエンジニア、ヴォルデマール・ポールセンとP・O・ペダーソンが水素雰囲気中で磁場をかけた状態でアークを起こすことで周波数範囲をラジオ波にまで拡大してアーク変換器を発明した。この装置は1920年代まで広く使用されていた。
20世紀初頭にはまだ負性抵抗の物理的原因は理解されていなかったが、工学者はそれを使えば発振を起こせることは知っており、応用を行い始めた。ハインリッヒ・バルクハウゼンは1907年に発振器が負性抵抗を持たなければならないことを示した。エルンスト・ルーマーとアドルフ・ピーパーは水銀灯が発振を起こせることを発見し、1912年にはAT&Tがこれを利用して電話線用の増幅中継器を製造した。
1918年、ゼネラル・エレクトリックのアルバート・ハルは真空管が二次電子放出と呼ばれる現象により動作範囲の一部で負性抵抗を持ちうることを発見した。真空管中のプレート電極は正バイアスによって電子を引き寄せるが、電位が高すぎると加速された電子がプレート表面から別の電子をたたき出すことがある。これにより、条件によってはプレート電圧を増加させると実質的にプレート電流が減少する。ハルは真空管にLC回路を接続することでダイナトロン発振器という一種の発振器を作成した。その後もジョン・スコット=タガートによる1919年のバイオトロン やハルによる1920年のマグネトロンのように負性抵抗を利用した真空管発振器の発明が続いた。
負性インピーダンス変換機はマリウス・ラトゥールが1920年ごろに行った研究に端を発する。ラトゥールは負性静電容量と負性インダクタンスを最初に報告した一人でもある。その10年後、ベル研究所でジョージ・クリソンらによって負性インピーダンス変換器が電話線中継器として開発され、大陸横断通話実現の道を開いた。1953年にリンヴィルがいち早くトランジスタを導入したことで負性インピーダンス変換器への関心は高まり、新しい回路やアプリケーションが次々と開発されていった。
半導体における負性微分抵抗は、1909年ごろにウィリアム・エクルズ やG・W・ピカード  などによって最初の点接触型ダイオードである「ネコのひげ型」検波器で見つかっていた。エクルズらは無線検出器としての感度を向上させるために接合を直流電圧でバイアスすると自発的な発振が起きることに気づいていたが、この効果は深く追求されなかった。
負性抵抗ダイオードを実用に供した最初の人物はロシア人の無線研究者オレク・ロシェフである。ロシェフは1922年にバイアスをかけた紅亜鉛鉱(酸化亜鉛)の点接触接合が負性微分抵抗を持つことを見出し、これを利用して増幅器や発振器、また再生増幅機能を備えた無線受信機を固体デバイスで作成した。トランジスタが発明される25年前のことである。後にはスーパーヘテロダイン受信機を構築しさえした。しかしこれらの業績は真空管技術の興隆に覆い隠された。ロシェフは10年のうちに研究を放棄し、この技術(ヒューゴー・ガーンズバックによって「クリストダイン」と名付けられた)は忘れられた。
最初に広く使用されるようになった固体負性抵抗デバイスは、1957年に日本人の物理学者江崎玲劣奈が発明したトンネルダイオードである。この種のダイオードは接合サイズが小さいことから寄生容量が低く、そのためより高い周波数で動作し、通常の真空管発振器の限界を超えるマイクロ波周波数で電力を発生できるものだった。トンネルダイオードの登場によりマイクロ波発振器に用いるための負性抵抗半導体デバイスが探求され始め、IMPATTダイオード、ガンダイオード、TRAPATTダイオードなどが生み出されていった。1969年、黒川兼行は負性抵抗回路の安定性に関する条件を導出した。現在マイクロ波エネルギーの発生源としては負性微分抵抗ダイオード発振器が最も広く利用されており、ここ数十年でも多くの新しい負性抵抗素子が見つかっている。