一般ディリクレ級数
一般ディリクレ級数(いっぱんでぃりくれきゅうすう、general Dirichlet series)とは、
複素数列 \scriptstyle\{a_n\}_{n\ge 0}、無限大に発散する狭義の単調増加列 \scriptstyle\{\lambda_n\}_{n\ge 0} および複素数 s に対して、
1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns}
で表される級数のことをいう。指数型のディリクレ級数または広義のディリクレ級数ともいう。
特に、\lambda_n = \log n のとき、
1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}
であり、(通常)ディリクレ級数となる。
また、\lambda_n = n、z = e^{-s} とすると、
1}^{\infty}a_n z^n
と、ベキ級数になる。
s を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的一般ディリクレ級数 (formal general Dirichlet series)という。
任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。
任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は収束する。
任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は発散する。
一般ディリクレ級数が \scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma_c を満たす複素数 s に対して収束し、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s < \sigma_c を満たす複素数 s に対して発散する様な実数 \scriptstyle\sigma_c が存在する。
この \scriptstyle\sigma_c を一般ディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。
収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは \scriptstyle-\infty、常に発散する場合は \scriptstyle+\infty と定める。
1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns}
の収束軸 \scriptstyle\sigma_c の値は、以下の様に求められる。
\textstyle s_n = \sum_{k=1}^na_k が発散する場合
\sigma_c = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log |s(n)〕{\lambda_n} 。
\textstyle s_n = \sum_{k=1}^na_k が収束する場合
\sigma_c = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log|a_n + a_{n+1} + \cdots〕{\lambda_n} 。
また、
\limsup_{x\to\infty}\frac{1}{x}\log\left
という式も知られている。
一般の級数のときと同じく、
1}^{\infty}
が収束するとき、一般ディリクレ級数
1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns}
は絶対収束するという。
絶対収束する複素数 s に対する、\operatorname{Re}\ s の下限を絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。
絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは \scriptstyle-\infty、常に絶対収束しない場合は \scriptstyle+\infty と定める。
ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。
1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{ne^{-s\log\log n}
}
は、すべての複素数 s に対して収束するが、絶対収束することはない。
一般に、収束軸が有限の値 \scriptstyle\sigma_c を持ち、
\limsup_{n\to\infty}\frac{\log n}{\lambda_n}
が有限の値 α をとるならば、絶対収束軸 \scriptstyle\sigma_a は有限の値を持ち、\scriptstyle 0\le\sigma_a - \sigma_a \le \alpha であることが知られている。
絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。
1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}
の絶対収束軸 \scriptstyle\sigma_a の値は、以下の様に求められる。
\textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k| が発散する場合
\sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log s(n)}{\log n} 。
\textstyle s_n = \sum_{k=1}^n|a_k| が収束する場合
\sigma_a = \limsup_{n\to\infty}\frac{\log(|a_n| + |a_{n+1}| + \cdots)}{\log n} 。
また、
\limsup_{x\to\infty}\frac{1}{x}\log\left(\sum_{[x]\le\lambda_n<x}\!\!\!\!
が成り立つ。
\sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}
として、s を変数とする関数とみなすと、f(s) の一様収束性が問題となる。
一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸 \scriptstyle\sigma_c および絶対収束軸 \scriptstyle\sigma_a が有限の値であるならば、
このとき、
\sigma_c\le\sigma_u\le\sigma_a
を満たす実数 \scriptstyle\sigma_u が存在して、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>\sigma_u を満たす複素数 s に対して、f(s) は一様収束するが、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s < \sigma_u を満たす複素数 s に対して、f(s) は一様収束しない。
この \scriptstyle\sigma_u を、一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。
一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは \scriptstyle-\infty、常に一様収束しない場合は \scriptstyle+\infty と定める。
一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。
1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}
の一様収束軸 \scriptstyle\sigma_u の値は、以下の様に求められる。
\limsup_{x\to\infty}\frac{\log T_x}{\log x}
。
ここで、
\!\!\!\!\sup_{-\infty<y<\infty}\left
\sum_{n=1}^{\infty}a_ne^{-\lambda_ns}
は、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma で収束するならば、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma で正則である。さらに、f(s) の微分は
(-1)^k\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_n^k a_ne^{-\lambda_ns}
で与えられる。
\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > \sigma で正則である様な σ の下限を \scriptstyle\sigma_r とおくと。
\sup_{-\infty < y < +\infty}\limsup_{x\to-\infty}(\log\log^{+}
但し、
\sum_{n=1}^{\infty}(a_ne^{-\lambda_nz}/\Gamma(1+\lambda_n)),\ \ \ \log^{+}z = \max(\log z,\ 0)
。
\sum_{n=1}^{\infty}a_n e^{-\lambda_ns},\ \ \ \ \ g(s) = \sum_{n=1}^{\infty}b_n e^{-\lambda_ns}
が、ある開領域内で収束し、そこで、f(s) = g(s) が成立するならば、すべての n に対して、a_n = b_n である。
収束軸 \scriptstyle\sigma_c が有限の値もしくは \scriptstyle-\inftyである、一般ディリクレ級数
\sum_{n\le x}a_n e^{-\lambda_ns}
に対して、ω を \scriptstyle\lambda_n < \omega < \lambda_{n+1} を満たす様にとり、\scriptstyle c>\max(\sigma_c,\ 0) とする。このとき
1}^na_k = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+\infty}a_n\frac{e^{\omega z{z}dz
}
が成立する。但し、積分路は、すべての \lambda_k を通らない様にとる。
さらに、\scriptstyle x > \sigma_c であるならば、
\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{x}^{x+T}\!\!f(x+ iy)e^{\lambda_n(x+iy)}dy
。
ε、 δ、T を任意の正数とする。
収束軸 \scriptstyle\sigma_c が有限の値である一般ディリクレ級数
\sum_{n\le x}a_n e^{-\lambda_ns}
に対して、\scriptstyle\sigma\ge \sigma_c+\varepsilon,\ T< t < T + 2\delta\log T を満たす複素数 s=\sigma+it のうち、f(s) = 0 を満たすものの個数を N(T) とおくと、
N(T) は有限の値であり、
\limsup_{T\to\infty}\frac{N(T)}{\log^2T}\le\frac{\delta}{\varepsilon}
が成立する。