シュワルツ超函数
で与えられる函数である。このコンパクト台付き函数と超函数との畳み込みが滑らかな函数であることを示すことができる。超函数 S も同様にコンパクト台を持つならば、f ∗ S もコンパクトな台を持ち、ティッチマーシュの畳み込み定理  から
\operatorname{ch}(f*S) = \operatorname{ch}f + \operatorname{ch}S
が従う。ここで ch は凸包を表す。
Rn 上の二つの超函数 S と T との畳み込みも、いずれか一方がコンパクト台を持てば定義することができる。ざっと述べるに、畳み込み S ∗ T を定義するため、ここでは T がコンパクト台を持つものとして、結合律
S*(T*\varphi) = (S*T)*\varphi
が任意のテスト函数 φ に対しても引き続き成り立つように、畳み込み '∗' の定義を超函数上の線型演算まで拡張することを考える。 はこのような拡張の一意性を証明している。
超函数同士の畳み込みのより明示的な特徴付けを与えることもできる 。T はコンパクト台を持つものとして、任意のテスト函数 φ ∈ D(Rn) に対し、函数
\psi(x) = \langle T, \tau_{-x}\varphi\rangle
を考える。既に見たようにこれは x を変数とする滑らかな函数で、さらにコンパクト台を持つ。このとき S と T との畳み込みは
\langle S * T,\varphi\rangle = \langle S, \psi\rangle
で定義される。これは函数同士の古典的な畳み込みの概念を一般化するもので、微分とは
\partial^\alpha(S*T)=(\partial^\alpha S)*T=S*(\partial^\alpha T)
なる意味で両立する。この畳み込みの定義は S, T に対する制約条件をもう少し緩めてもなお有効である。たとえば  and  を参照。
シュワルツ超函数の厳密な定義は D(U) の(緩増加超函数の場合は S(Rd) の)代数的双対と呼ばれる非常に大きなベクトル空間の部分空間としてその全体を明示するものである。このような定義からは、このなかにどれほど奇妙な超函数が潜んでいるかといったようなことは、あまりはっきりとは窺い知れない。これに答えるには、連続函数の空間のようなより小さな空間から超函数を作り上げてみるというのが有益である。雑な言い方をすれば、任意の超函数は局所的に連続函数の(高階)導函数になっている。正確な内容は後で述べるとして、このことはコンパクト台付き超函数に対しても、緩増加超函数に対しても、もっと一般の超函数に対しても正しい。一般論として、超函数全体の成す空間のなかで、全ての連続函数を含み微分に関して閉じているような真の部分集合は存在しない。このことが示すのは、超函数の中に取り立てて奇妙な対象は含まれておらず、ただ必要に応じた複雑さを持っているだけであるということである。
緩増加超函数 f ∈ S′(Rn) に対し、定数 C > 0 と正の整数 M, N が存在して、任意のシュワルツ函数 φ ∈ S(Rn) に対して
\langle f, \varphi\rangle \le C\sum_〔\alpha|\le N, \atop |\beta|\le M}\sup_{x\in\mathbb{R}^n}|x^\alpha D^\beta \varphi(x)|=C\sum_〔\alpha|\le N, \atop |\beta|\le M}p_{\alpha,\beta}(\varphi)
となるようにできる。この評価に加え函数解析学の手法をいくつか用いることにより、緩増加連続函数 F と多重指数 α で f = Dα F となるようなものの存在を示すことができる。
U は開集合で K は U のコンパクト部分集合とする。f が K を台に持つ超函数とするとき、U 内に(K 自身よりも大きな集合の可能性もある)コンパクト台をもつ連続函数 F で適当な多重指数 α に対して f = Dα F を満たすようなものが存在する。これは局所化を考えることにより、すぐ上で緩増加超函数に対して述べた結果から従う。
超函数 f がただ一点 {P} を台に持つならば、実は f は点 P におけるディラックデルタ δ の超函数の意味の導函数の有限線型結合になっている。つまり、正の整数 m と |α| ≤ m なる多重指数 α に対する複素定数 aα の集まりが存在して、
f = \sum_〔\alpha|\le m}a_{\alpha}D^\alpha(\tau_P\delta)
と書ける。ここで τP は平行移動作用素である。
一般の場合にも、先に挙げた場合に成り立っていたようなことが以下に述べるような意味で局所的にはそのまま成り立っている 。S が U 上の超函数であるとき、任意の多重指数 α に対して連続函数 gα で
S = \sum_{\alpha} D^{\alpha} g_{\alpha}
かつ U の任意のコンパクト部分集合 K に対して、K と交わるような台を持つ gα は有限個となるようなものを求めることができる。そして、これは見かけ上無限和であるが、U にコンパクト台を持つ滑らかな函数 f が与えられたとき f に対する S の値を評価するために必要な gα は(台が交わる)有限個だけなので、実質的には有限和であり超函数として矛盾なく定まる。超函数が有限階数ならば、gα として有限個の例外を除いて全て 0 であるようなものを取ることができる。
シュワルツ超函数論の成功に刺激を受けて佐藤超函数 (hyperfunction) の概念が生み出された。テスト函数には正則函数の空間が用いられる。この精錬された理論は特に、層の理論や多変数複素解析を駆使する佐藤幹夫の代数解析学によって発展した。これにより、例えばファインマンの経路積分のような形式的な方法の範疇にあったものが、厳密な数学として扱えるようになった。
1950年代にローラン・シュヴァルツが生み出したところのシュワルツ超函数論は(あるいは佐藤超函数論も)純粋に線型な理論であって、一般に二つの超函数同士の積については、整合のとれた定義を与えることはできない。たとえば、p.v. 1/x はコーシーの主値によって与えられる超函数で、任意の φ ∈ S(R) に対して
\left(p.v.\frac{1}{x}\right)[\phi] = \lim_{\epsilon\to 0^+} \int_〔x|\ge\epsilon} \frac{\phi(x)}{x}\, dx
を満たすものとし、δ をディラックのデルタ超函数とすると
\left(\delta \times x \right) \times p.v. \frac{1}{x} = 0
\delta \times \left( x \times p.v. \frac{1}{x} \right) = \delta
となるので、(いつでもきちんと定義できる)滑らかな函数による超函数への積を拡張する方法では、超函数の空間における結合的な積を得ることはできない。
したがって、超函数論の中からは(積を含むような)非線型な問題は出てこないし、もちろん非線型な問題を超函数論の中だけで解決することもできない。しかし場の量子論の文脈では解を得ることができる。二以上の次元の時空では、この問題は発散の正則化に関係する。ここにヘンリ・エプスタインとウラジミール・グラセルが因果的摂動論を数学的に厳密に(しかし相当技巧的に)発展させた。他の状況における問題は解決されていない。他にも例えば流体力学におけるナヴィエ・ストークス方程式のような興味深い理論の多くが非線型である。
このような観点から、満足なものとはいえないながらも広義函数からなる多元環の理論がいくつか作られていて、中でも現在よく用いられているものとしてコロンボの(単純化)代数を挙げる事ができるだろう。
乗法の問題の単純解は量子力学の経路積分による定式化によって記述される。なぜならそれは、(経路積分と共有されるべきはずの性質であるところの)座標変換不変な量子力学のシュレーディンガー理論と同値であることが要請されるからである。これが超函数の全ての積を回復することが   に示されており、この結果は次元正則化から導かれるところのものと同値である 。