漸近展開
漸近展開(ぜんきんてんかい、Asymptotic expansion)とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析や特殊関数に対する数値解析など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある。
関数 \scriptstyle f(x)\! を定義域が実数の領域で定義された関数とし、x_0 を  \scriptstyle f(x)\! の定義域内の点とする。
関数列 \scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0} が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。
\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_{n}(x))\ \ \ (x\to x_0)\ \ \ \ (n = 0,\ 1,\ 2,\ldots)
実数列 \scriptstyle\{ a_n \}_{n\ge 0} が存在して、任意の正整数 n に対し
0}^n a_k\varphi_k(x) = o(\varphi_n(x))\ \ \ \ \ (x\to x_0)
が成立するとき、
0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)
を \scriptstyle f(x)\! の漸近級数といい、
0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)
と表す。
さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という。
任意の正整数 n、\scriptstyle f(x)\! の定義域内の x に対して
\left|f(x) - \sum_{k=0}^n a_k\varphi_k(x)\right| < |a_{n+1}\varphi_{n+1}(x)|
が成立する。
漸近関数列が \scriptstyle\{ (x-x_0)^n \}_{n\ge 0} \scriptstyle(|x_0|<\infty) または  \scriptstyle\{ x^{-n} \}_{n\ge 0} \scriptstyle(|x_0|=\infty) の形の漸近級数を、漸近冪級数という。
与えられた漸近関数列を用いて、\scriptstyle f(x)\! の漸近級数を得ることを漸近展開といい、
\scriptstyle f(x)\! の漸近級数 \textstyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x) が存在する場合、
\scriptstyle f(x)\! は漸近展開
0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)
を持つという。
任意の関数 \scriptstyle f(x)\! に対して、\scriptstyle f(x)\! に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば
1/(x-1)\sim\sum_{k=1}^{\infty}x^{-k}\ \ \ \ (x\to\infty)
1/(x-1)\sim\sum_{k=1}^{\infty}(x^2+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to\infty)
しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯1つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。
さらに、漸近級数の各係数は
\lim_{x\to x_0} f(x),\ \ \ \ \ a_n = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - \sum_{k=0}^{n-1}a_k\varphi_k(x)}{\varphi_n(x)}\ \ \ (n\ge 1)
で与えられる。
点 x_0 の近傍で定義された関数 \scriptstyle f(x),\ g(x) は、漸近関数列 \scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0} に対する漸近展開
0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)\ \ \ \ \ g(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}b_k\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)
を持つとする。このとき、任意の α、β に対して
0}^{\infty}(\alpha a_k + \beta b_k)\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)
が成立する。
さらに、漸近関数列が \scriptstyle\{ \varphi(x)^n \}_{n\ge 0} \scriptstyle(\varphi(x)\to\infty\ (x\to x_0)) である場合、
0}^{\infty}c_n\varphi(x)^n\ \ \ (c_n = \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k})\ \ \ (x\to x_0)
が成立する。
一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。
項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。
漸近関数列 \scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0} は各 n に対して、x_0 の近傍で微分可能であり、関数列 \scriptstyle\{ \varphi'_n(x) \}_{n\ge 0} が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。
\scriptstyle f(x)\! は、x_0 の近傍で微分可能であり、
0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)
となる漸近展開を持ち、\scriptstyle f'(x)\! が漸近関数列 \scriptstyle\{ \varphi'_n(x) \}_{n\ge 0} を用いて漸近展開することができるのであれば
0}^{\infty}a_k\varphi'_k(x)\ \ \ (x\to x_0)
が成立する。
\scriptstyle|x_0|<\infty とし、\scriptstyle f(x)\! の漸近展開を
0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)
とする。定積分
\int_{x_0}^x\varphi_n(t)dt
が各 n に対して存在するならば、
\int_{x_0}^x f(t)dt
が存在して、
0}^{\infty}a_k\Phi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)
が成立する。
\scriptstyle x_0=\infty のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。
例えば、漸近級数が漸近冪級数
0}^{\infty}\frac{a_k}{x^{k\ \ \ (x\to\infty)
}
を持つ場合、
2}^{\infty}\frac{a_k}{(k-1)x^{k-1\ \ \ (x\to\infty)
}
とする必要がある。
\Gamma(x+1) \sim \sqrt{2\pi x}\left(\frac{x}{e}\right)^x \left(1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots\right)\ \ \ (x\to\infty)
という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている。
合流型超幾何関数 (confluent hypergeometric function):
_1F_1(\alpha;\gamma;z):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_n}{(\gamma)_n\;n!}z^n,\quad z\in\mathbb{C}
は次の漸近展開を持つ。
_1F_1(\alpha;\gamma;z)\sim\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma-\alpha)}(\exp(-\mathrm{i}\pi)z)^{-\alpha}\left[1+\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac{(\alpha)_k(\alpha-\gamma+1)_k}{k!}\frac{1}{z^k}\right]+\frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha)}\exp(z)z^{\alpha-\gamma}\left[1+\sum_{k=1}^\infty\frac{(\gamma-\alpha)_k(1-\alpha)_k}{k!}\frac{1}{z^k}\right],\quad-\frac{\pi}{2}<\arg(z)<\frac{3\pi}{2},\quad|z|\to\infty.
\argは複素数の偏角であり、(\alpha)_kはポッホハマー記号である。
\frac{2}{\sqrt{\pi\int_x^{\infty} e^{-t^2} dt
}
は、以下の様な漸近展開を持つ。
\operatorname{erfc}(x) \sim \frac{e^{-x^2{\sqrt{\pi}x}\left(\ 1 - \frac{1}{2x^2} + \frac{1\cdot 3}{2^2x^4} - \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2^3x^6} + \cdots\right)\ \ \ (x\to\infty)
}
\int_x^{\infty}\frac{e^{x-t{t}dt
}
の漸近展開は、
0}^{\infty}\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1\ \ \ \ (x\to\infty)
}
で与えられる。
\scriptstyle f(x)\! を何回でも微分可能な関数としたとき、\scriptstyle f(x)\! のラプラス変換
\int_0^{\infty}f(t)e^{-xt}dt
の漸近展開は、
0}^{\infty}f^{(n)}(0)\frac{1}{x^{n+1\ \ \ \ (x\to\infty)
}
で与えられる。
\!
\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t{1+xt}dt
}
で与えられ、
0}^{\infty}(-1)^n n! x^n\ \ \ \ (x\to 0)
。
という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の \scriptstyle x\ne 0 で収束しないが、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。
求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。
という漸近展開を持つ。ここで、\gammaはオイラー・マスケローニ定数、B_{k} はベルヌーイ数である。