デデキントゼータ関数
デデキントゼータ関数(-かんすう、Dedekind's zeta function)とは、
代数体 K に対して
\sum_{\mathfrak{a\frac{1}{(N\mathfrak{a})^s}
}
で表される関数のことをいう。但し、和は K の整イデアル全てを動き、\scriptstyle N\mathfrak{a} は整イデアル \mathfrak{a} のノルムである。従って、デデキントゼータ関数は、ヘッケのL関数の特別な場合である。
特に、K が有理数体のとき、リーマンゼータ関数になる。
与えられた整数 n に対して、ノルムが n である整イデアルは有限個しかなく、ノルムは正整数であるので、
デデキントゼータ関数は、
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{n^s}\ \ \ \ (F_n\in\mathbb{Z})
と、ディリクレ級数の形で表すことが出来る。
デデキントゼータ関数は、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>1 に対して、絶対かつ一様収束する。従って、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>1 で、\zeta_K(s) は正則関数である。
n 次代数体 K に対して、デデキントゼータ関数は次の関数等式を満たす:
但し、r_1,\ 2r_2 は K の実共役体、虚共役体の個数とする。
特に、K を有理数体にすれば、よく知られたリーマンゼータ関数の関数等式
2(2\pi)^{-s}\cos\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(s)\ \zeta(s)
が成立する。
さらに、\zeta_K(s) に対する、代数体 K の完全ゼータ関数を
とおけば、関数等式
Z_K(s)
を満たし、\scriptstyle\mathbb{C}\setminus\{1\} に解析接続できる。従って、\zeta_K(s) は \scriptstyle\mathbb{C}\setminus\{1\} まで解析接続できる。
解析接続できない s=1 では、デデキントゼータ関数は 1 位の極で、留数は
\frac{2^{r_1}(2\pi)^{r_2{w|D_K|^{1/2}h_KR
}
である。つまり、
\frac{\kappa}{s-1} + O(1)\ \ \ (s\to 1+0)
である。
ただし、r_1,\ 2r_2 は K の実共役体、虚共役体の個数、w は、K に含まれる 1 のベキ根の個数、h_K,\ R は、それぞれ K の類数、単数基準とする。
(1) 自明な零点
\zeta_K(s) と \zeta_K(1-s) との関係式から自明な零点を求めることができる。
K が総実体のとき
任意の正整数 k に対して、\zeta_K(-2k) = 0 。
K が総実体ではないとき
任意の正整数 k に対して、\zeta_K(-k) = 0 。
(2) 非自明な零点
s が、\scriptstyle\operatorname{Re}\ s > 0 である零点とすれば、\scriptstyle Rs\ s=1/2 であると予想されている。これを拡張されたリーマン予想という。リーマンゼータ関数に対するリーマン予想をその特別な場合として含む予想であり、現在でも未解決である。
任意の整イデアルは、素イデアルの積で表すことができるので、デデキントゼータ関数は、以下のオイラー積表示を持つ。
\scriptstyle\operatorname{Re}\ s>1 のとき、
\prod_{\mathfrak{p\frac{1}{1 - (N\mathfrak{p})^{-s}
。}
ただし、積は K の素イデアル全てを動くものとする。
デデキントゼータ関数のオイラー積表示により、素イデアルのノルムの値からデデキントゼータ関数を具体的に計算することができる。素イデアルのノルムは、有理素数の素イデアル分解の結果から求めることができるが、K が一般の代数体の場合、素イデアル分解が複雑であるので、具体的に計算することは大変難しい。
しかし、K が二次体または円分体であれば、素イデアル分解の様子がよく分かっているので、オイラー積を計算することができ、その結果、デデキントゼータ関数をディリクレのL関数を用いて表現することができることが知られている。
(1) K が二次体の場合
K の判別式を D とし、\chi_D を法 D に関するクロネッカー指標とすると、
\zeta(s)L(\chi_D,\ s)
が成立する。
(2) K が円分体の場合
\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\zeta_m) (m>2) とする。
\prod_{\chi}L(\chi, s) = \zeta(s)\!\!\prod_{\chi\ne\chi_0}\!\!L(\chi, s)
が成立する。ここで、最初の積は、法 m に関する原始的ディリクレ指標全てにわたる積とし、二番目の積は、法 m に関する原始的ディリクレ指標のうち、単位指標以外のもの全てにわたる積である。
さらに、任意の有理数体のアーベル拡大体 K は、ある円分体の部分体であるので(クロネッカー=ウェーバーの定理)、上のことから、\zeta_K(s) は、いくつかのディリクレL関数の積で表すことができる。
デデキントゼータ関数を用いた応用例として、2つの平方数の和で表す方法の数を求めてみることにする。
これはヤコビの二平方定理として知られ、いろいろな証明方法が知られているが(ヤコビの二平方定理の証明を参照)、ここでは、デデキントゼータ関数を使った方法で証明してみる。
\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1}) とおき、K 上のデデキントゼータ関数 \zeta_K(s) を二通りの方法で計算する。
まずは、ディリクレ級数の形でデデキントゼータ関数を表し、その係数を求めてみる。
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{n^s}\ \ \ \ (F_n\in\mathbb{Z})
とおくと、
F_n = \frac{1}{4}\#\{(a, b)| a^2 + b^2 = n,\ a,\ b \in\mathbb{Z} \}
が成立するので、F_n は、n を2つの平方数の和で表す方法の数の4倍に等しい。慣例に従って、2つの平方数の和で表す方法の数を r_2(n) と書くと、
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/4)r_2(n)}{n^s}
と表される。
さて、K は二次体であるので、\zeta_K(s) は、リーマンゼータ関数と、クロネッカー指標からなるディリクレL関数の積で表される。\scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1}) のクロネッカー指標を具体的に求めることにより、
\zeta(s)\!\!\!\!\!\!\!\prod_{p;\operatorname{odd}\ \operatorname{prime\!\!\!\!\!\!\!\left(1-(-1)^{(p-1)/2}p^{-s}\right)
}
が成立する。二通りに表された \zeta_K(s) を比較することにより、
4\sum_{2\nmid d
が成立する。これはヤコビの二平方定理に他ならない。
さらなる応用として、K を別の二次体 \scriptstyle(\mathbb{Q}(\sqrt{-2}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{-3}) にすることで、上と同じ方法で、\scriptstyle x^2+2y^2,\ x^2+3y^2 の形での表し方の数を求めることができる。