射爆理論
ただし、目標が2次元であるため、2次元目標の損傷関数は形状が複雑となり、矩形やだ円形のそれぞれの向きが射線方向に正対する場合と斜めになる場合で計算が分かれる。損傷関数の近似は複数あるので以下にそれぞれの場合での2次元目標に対する単発撃破確率P を示す。
クッキー・カッター型損傷関数による単発撃破確率
矩形目標の2辺x1 とx2 が射線方向とそれに直交する方向に平行な場合の損傷関数D (x1 , x2 ) は以下の式で与えられる。
D(x_1, x_2) =
\begin{cases}
1 & |x_1| \leqq a_1,\quad |x_2| \leqq a_2,\\
0 & otherwise
\end{cases}
L = 4a_1a_2:致命域
単発撃破確率P は、以下の式になる。
P = \Bigg[\boldsymbol{\phi}(\frac{\mu_1+a_1}{\sigma_1})-\boldsymbol{\phi}(\frac{\mu_1-a_1}{\sigma_1})\Bigg] \times \Bigg[\boldsymbol{\phi}(\frac{\mu_2+a_2}{\sigma_2})-\boldsymbol{\phi}(\frac{\mu_2-a_2}{\sigma_2})\Bigg]
長い矩形目標の2辺X1 とX2 が、射線方向x1 とそれに直交する方向x2 に対してθだけ傾いている場合は若干複雑になる。弾着中心と目標の損傷関数中心が一致する場合の、射爆の2軸と目標の2軸の関係は以下の式で与えられる。
x_1 = X_1\cos\theta + X_2\sin\theta, \quad x_2 = X_1\sin\theta + X_2\cos\theta
目標の中心線X2 から左右にa だけ幅を持った帯状の内側への弾着で目標が撃破される時、このように傾いた帯状の単発撃破確率P は、以下の式になる。
P = \int_{-a}^{a}\int_{-\infty}^{\infty}f(X_1, X_2)dX_1dX_2
= 2\boldsymbol{\phi}\left(\frac{a}{\sqrt{\sigma_1^2\cos^2\theta + \sigma_2^2\sin^2\theta}\right)-1
円形目標の場合には、さらに複雑となる。弾着の分布が円形正規分布となるか楕円正規分布となるかという違いや、目標中心と弾着中心とのずれの有無によって計算は4通りに分かれる。いずれの場合でも以下の損傷関数に従うものとする。
D(x_1, x_2) =
\begin{cases}
1 & |x_1|^2 + |x_2|^2 \leqq a^2,\\
0 & |x_1|^2 + |x_2|^2 > a^2
\end{cases}
L = \pi a^2:致命域
弾着点の確率密度関数は次の式で表される。
f(x_1, x_2) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2} \exp\left(-\frac{(x_1-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}-\frac{(x_2-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}\right)
μ1 , μ2 :目標中心と弾着中心のずれ
σ12 , σ22 :分散
弾着の分布が円形正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考えると、上の式での目標中心と弾着中心のずれ) と分散σ12 , σ22 はすべて 0 となる。これにより、単発撃破確率P は、以下の式になる。
P = \frac{1}{2\pi\sigma^2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\exp(-\frac{r^2}{2\sigma^2})rdrd\theta = 1-\exp(-\frac{a^2}{2\sigma^2})
このP はレーリー分布となる。
弾着の分布が円形正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがμだけある場合を考えると、分散についてはσ12 = σ22 = 0 で良いが、目標中心と弾着中心のずれ (μ, 0) とする。弾着の分布が円形分布なのでずれの方向にx1 軸を合わせることで計算式を単純にできる。単発撃破確率P は、以下の式になる。
\begin{align}
P & = \frac{1}{2\pi\sigma^2}\iint_{A}^{}\exp(-\frac{(x_1-\mu)^2+x_2^2}{2\sigma^2})dx_1dx_2 \quad \quad A:x_1^2+x_2^2 \leqq a^2\\
& = \frac{1}{2\pi\sigma^2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\exp(-\frac{r^2-2\mu\cos\theta+\mu^2}{2\sigma^2})rdrd\theta\\
& = \frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp(-\frac{\mu^2}{2\sigma^2})\int_{0}^{a}r\exp(-\frac{r^2}{2\sigma^2})\{\int_{0}^{2\pi}\exp(\frac{\mu r \cos\theta}{\sigma^2})d\theta\}dr\\
\end{align}
上の式の最後に出てくる\thetaの積分には、次の関係を用いる。
\exp(z\cos\theta) = \mathit{I}_0(z) + 2\sum_{n=1}^{\infty}\mathit{I}_n(z)\cos(n\theta)
区間 [0, 2π] の間で積分すれば右辺 cos(n θ)= 0 になるので次式が成り立つ。
\int_{0}^{2\pi}\exp(\frac{\mu r\cos\theta}{\sigma^2})d\theta = 2\pi\mathit{I}_0(\frac{\mu r}{\sigma^2})
これらの式のa とμ、r をσで割って単発撃破確率P (α, β) を表せば、以下の式になる。
P(\alpha, \beta) = \exp(-\frac{\beta^2}{2})\int_{0}^{a}t\exp(-\frac{t^2}{2})\mathit{I}_0(\beta t)dt, \quad \alpha = \frac{a}{\sigma}, \quad \beta = \frac{\mu}{\sigma}, \quad t = \frac{r}{\sigma}.
上式は円形カバレッジ関数(circular coverage function)と呼ばれ、次の近似式がある。
P_a(\alpha, \beta) \approx \frac{\alpha^2}{2S^2}\bigg[1-\frac{\alpha^2}{4\sqrt{3S^2}(1-\frac{\beta^2}{2S^2})\bigg]\exp(-\frac{\beta^2}{2S^2}), \quad S^2 = \frac{1-1/\sqrt{3}{4}\alpha^2+1.
弾着の分布が楕円正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考える。弾着の分布が楕円形の分布なので、x1 とx2 の2軸を必要とし、分散については\sigma_1 \leqq \sigma_2 = \sigmaとする。目標中心と弾着中心 (0, 0) からのずれは (μ1 , μ2) として、ずれのより大きな方向をx1 軸とする。γ = σ2 / σ1 とすれば、単発撃破確率P は、以下の式になる。
\begin{align}
P & = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\iint_{A}^{}\exp(-\frac{x_1^2}{2\sigma_1^2}-\frac{x_2^2}{2\sigma_2^2})dx_1dx_2 \quad \quad A:x_1^2+x_2^2 \leqq a^2\\
& = \frac{1}{2\pi\gamma\sigma^2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}\exp(-\frac{r^2(\sin^2\theta+\gamma^2\cos^2\theta)}{2\gamma^2\sigma^2})rdrd\theta\\
& = \frac{1}{2\pi\gamma\sigma^2}\int_{0}^{a}r\exp(-\frac{r^2(1+\gamma^2)}{4\gamma^2\sigma^2}\int_{0}^{2\pi}\exp(\frac{r^2(1-\gamma^2)\cos(2\theta)}{4\gamma^2\sigma^2})d\theta dr\\
\end{align}
t = r /σ、η = 2θとすれば、以下のように展開できる。
\begin{align}
P & = \frac{1}{4\pi\gamma}\int_{0}^{a}t\exp(-\frac{(1+\gamma^2)t^2}{4\gamma^2}\int_{0}^{4\pi}\exp(-\frac{t^2(1-\gamma^2)\cos\eta}{4\gamma^2})d\eta dt\\
& = \frac{1}{\gamma}\int_{0}^{a}t\exp(-\frac{(1+\gamma^2)t^2}{4\gamma^2}\mathit{I}_0(\frac{(1-\gamma^2)t^2)}{4\gamma^2})dt \equiv PP(\alpha, \gamma),  \quad \quad \alpha=\frac{a}{\sigma}, \gamma=\frac{\sigma_2}{\sigma}, \sigma_1=\sigma\\
\end{align}
このPP (α, γ) は楕円カバレッジ関数(elliptic coverage function, generalized circular error function)と呼ばれる。
弾着の分布が楕円正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがある場合は、解析式が複雑で容易な近似式は得られていない。
楕円目標の場合には、さらに複雑となる。弾着の分布が円形正規分布となるか楕円正規分布となるかという違いや、目標中心と弾着中心とのずれの有無によって計算は4通りに分かれる。いずれの場合でも以下の損傷関数に従うものとする。
D(x_1, x_2) =
\begin{cases}
1, & \frac{x_1^2}{a_1^2} + \frac{x_2^2}{a_2^2} \leqq 1,\\
0, & \frac{x_1^2}{a_1^2} + \frac{x_2^2}{a_2^2} > 1
\end{cases}
L = \pi a_1a_2:致命域
以下では便宜上a1 > a2 とする。
弾着の分布が円形正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考える。
P = \frac{1}{2\pi\sigma^2}\iint_{A}^{}\exp(-\frac{x_1^2+x_2^2}{2\sigma^2})dx_1dx_2, \quad\quad A:\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2} \leqq 1 .
u = x_1, v = a_1x_2/a_2, \sigma_u = \sigma, \sigma_v = \sigma a_1/a_2とすれば、以下のように変換できる。
P = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\iint_{A}^{}\exp(-\frac{u^2}{2\sigma_u^2}-\frac{v^2}{2\sigma_v^2})dudv = PP(\frac{a_1}{\sigma}, \frac{a_1}{a_2}), \quad \quad A':u^2+v^2 \leqq a_1^2 .
弾着の分布が楕円正規分布で目標中心と弾着中心とのずれがない場合を考える。
P = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\iint_{A}^{}\exp(-\frac{x_1^2}{2\sigma_1^2}-\frac{x_2^2}{2\sigma_2^2})dx_1dx_2, \quad\quad A:\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2} \leqq 1 .
u = x_1, v = a_1x_2/a_2, \sigma_u = \sigma_1, \sigma_v = \sigma a_1/a_2とすれば、以下のように変換できる。
P = \frac{1}{2\pi\sigma_u\sigma_v}\iint_{A}^{}\exp(-\frac{u^2}{2\sigma_u^2}-\frac{v^2}{2\sigma_v^2})dudv = PP(\frac{a_1}{\sigma_1}, \frac{a_1\sigma_2}{a_2\sigma_1}), \quad \quad A':\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2} \leqq 1 .
矩形目標の2辺x1 とx2 が射線方向とそれに直交する方向に平行な場合の損傷関数D (x1 , x2 ) と致命域L は以下の式で与えられる。
D(x_1, x_2) = \exp(-\frac{x_1^2+x_2^2}{2\alpha^2})
L = 2\pi \alpha^2
単発撃破確率P は、以下の式になる。
P = \frac{\alpha^2}{\sqrt{(\alpha^2+\sigma_1^2)(\alpha^2+\sigma_2^2)}\exp{\bigg(-\frac{\mu_1^2}{2(\alpha^2+\sigma_1^2)}-\frac{\mu_2^2}{2(\alpha^2+\sigma_2^2)}\bigg)}
\mu_1, \mu_2:目標中心と弾着中心のずれ
\sigma_1^2, \sigma_2^2:分散
特に弾着中心のずれがなく、つまり\mu_1 = \mu_2 = 0の場合には、単発撃破確率P は、以下の式になる。
P = \frac{\alpha^2}{\sqrt{(\alpha^2+\sigma_1^2)(\alpha^2+\sigma_2^2)}
クッキー・カッター型損傷関数よりもカールトン型損傷関数による単発撃破確率の近似関数の方が単純で扱いやすいため、適用が勧められる。
目標の中心線X1 から左右にαだけ幅を持った帯状の内側への弾着で目標が撃破される時、このように傾いた帯状の損傷関数D (x1 , x2 ) は、以下の式になる。
D(x_1, x_2) = \exp\left(-\frac{X_1^2}{2\alpha^2}\right)
= \exp\left(-\frac{(x_1\cos\theta-x_2\sin\theta)^2}{2\alpha^2}\right)
単発撃破確率P は、以下の式になる。
P = \frac{\alpha}{\sqrt{(\alpha^2+\sigma_1^2\cos^2\theta+\sigma_2^2\sin^2\theta)}
2次元での楕円型正規分布に従う場合の損傷関数D (x1 , x2 ) と単発撃破確率P は、以下の式で与えられる。
D(x_1, x_2) = \frac{L}{2\pi S_1S_2}\exp(-\frac{x_1^2}{2S_1^2}-\frac{x_2^2}{2S_2^2}))
P = \frac{L}{2\pi\sqrt{(S_1^2+\sigma_1^2)(S_2^2+\sigma_2^2)}\exp{\bigg(-\frac{\mu_1^2}{2(S_1^2+\sigma_1^2)}-\frac{\mu_2^2}{2(S_2^2+\sigma_2^2)}\bigg)}
\mu_1, \mu_2:目標中心と弾着中心のずれ
\sigma_1^2, \sigma_2^2:分散
特に弾着中心のずれがなく、つまり\mu_1 = \mu_2 = 0の場合には、単発撃破確率P は、以下の式になる。
P = \frac{L}{2\pi\sqrt{(S_1^2+\sigma_1^2)(S_2^2+\sigma_2^2)}
逐次修正射撃は、目標中心と弾着点とのずれが遠近、左右といった有無でしか認識出来ず、ずれの距離は得られない状況で行われる挟叉修正射撃と、遠近左右の情報に加えてずれの距離情報(ミス・ディスタンス)まで得られ、それに基いて修正を行う偏差修正射撃の2つがある。
目標中心と弾着点とのずれZ_jは、兵器目盛り上での縮尺係数h × 兵器の照準点と目標中心との誤差x_jと、射撃ごとのランダムな弾道誤差
\xi_jとの和で表される。
Z_j = hx_j + \xi_j
以下では簡単のために遠近方向の1次元についてのみ考察を行う。
挟叉では外れた場合に遠い「遠弾」か近い「近弾」かのいずれかしか情報が得られないため、次弾弾着を早期に目標中心に近づけるための修正量には確実な正解が存在せず、確率に頼る推定によって修正が行われる。
f(y_j) = \frac{1}{\sqrt{s\pi\sigma}\exp(-\frac{(y_j-y_0-hx_j)^2}{2\sigma^2})
遠弾であった場合、指示確率変数を\zeta=1、近弾であった場合を\zeta=0とすると、j発目の確率p(\zeta_j)は次の式で表される。
p(\zeta_j=1) = \int_{y_o}^{\infty}f(y_j)dy_j
p(\zeta_j=0) = \int_{-\infty}^{y_o}f(y_j)dy_j
j発の射撃により、j個の 1 と 0 の羅列である弾着点の遠近情報が得られる確率L(y_o, \zeta)は次の式で表される。
L(y_o, \zeta) = \boldsymbol{\Pi}_i=1^jp(\zeta_i)
L(y_o, \zeta)を最大にするy_oをy_{oj}^*とする。
L(y_{oj}^*) = arg.y_o\Pi_i=1^jp(\zeta_i)
J+1発目のy_jを上式のy_oj^*とするのが最尤法である。
偏差修正射撃では、目標中心と弾着点とのずれの距離情報(ミス・ディスタンス)が得られるため、次弾の距離にはこの情報に基づいて修正を加える。
単純に考えれば、発射ごとのミス・ディスタンス全量を逆向きに前回の距離に修正を加えると良いように思える。つまり、j発目の外れた距離z_jに対して、j+1発目の射撃距離x_{j+1}は次の関係で表される。
x_{j+1} - x_j = -z_j/h
ただし、このような修正方法では兵器の照準に起因する誤差hx_jは 0 に向けて収束できるが、射撃ごとのランダムな弾道誤差\xi_jは前回の誤差をすべて含んでしまって収束出来ず、正しくない。
正しい偏差修正射撃とは、j+1発目の射撃距離はj発目のミス・ディスタンス量の1/jを前回の距離にたいして逆向きに修正するものである。これを次に式で示す。
x_{j+1} - x_j = -\frac{1}{jh}z_j
この場合のn+1発目のミス・ディスタンス量の期待値hx_{n+1}を次に示す。
hx_{n+1} = -\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n\xi_j
射爆撃においては、着弾点に近ければ近いほど被害を受ける公算が高まる。射爆撃目標に味方地上部隊が近接している場合、これは特に重要な特性である。このことから、下記のように、近迫距離(味方地上部隊と着弾点の距離)と負傷公算の関係表が作成されている。
以下に損傷区分の例を示す。
M-kill:戦車の運動が制御不能で乗員による修復が不可能
F-kill:主要武器が制御不能で乗員による修復が不可能
K-kill:修理不可能な破壊
K-kill:瞬間的に制御不能となり通常は30秒以内に墜落するもの
A-kill:5分以内に墜落するもの
B-damage:直ちに任務を中断して不時着を要するもの
C-damage:任務の遂行能力が減退するもの
Overkill(撃沈):瞬時沈没
Critical Damage(沈没)100%沈没
Moderate Damage(大破)50%沈没、100%浮上
Light Damage(中破)50%浮上、100%基地回航
Minor Damage(小破)50%基地回航
Negligible Damage(軽微)0%基地回航