二次体
二次体 (にじたい、quadratic field) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d}) と表現される。もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d < 0 の場合、虚二次体 (imaginary quadratic field) という。
任意の二次体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は巡回群となる。
その整数環がノルムユークリッド整域となる二次体 \mathbb{Q}(\sqrt{d}) は、d = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 だけである。
その整数環が一意分解整域となる虚二次体 \mathbb{Q}(\sqrt{d}) は、d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 だけである。
任意の二次体 K に対して、有理素数 p は、以下のいずれかを満たす。
(p) = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2 (\mathfrak{p}_1,\ \mathfrak{p}_2 は、相異なる K の素イデアル)。 (このとき、p は、K で完全分解であるという。)
(p) = \mathfrak{p}^2 (\mathfrak{p} は、K の素イデアル)。 (このとき、p は、K で不分解であるという。)
(p) は、K の素イデアルである。 (このとき、p は、K で不分岐であるという。)
二次体 \scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d}) の判別式を D としたとき、
D = \begin{cases}d & (d\equiv 1 \mod 4),\\ 4d & (d\equiv 2, 3 \mod 4).\end{cases}
従って、d ≡ 1 (mod 4) のときは、\scriptstyle\{1,\ (1+\sqrt{D})/2 \}、それ以外のときは、\scriptstyle\{1,\ \sqrt{D}\} が、\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d}) の整基底となる。
EK を、二次体 \scriptstyle K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}) の単数群としたとき、
d = − 1 のとき:EK = { ± 1, ± i } 。
d = −3 のとき:EK = { ± 1, ± ω, ± ω2 }  (ω = (− 1 + √− 3)/2) 。
d < 0 かつ、d ≠ − 1, − 3 のとき:EK = { ± 1 } 。
d > 0 のとき:\scriptstyle E_K = \{\pm\varepsilon_0^n | n = 0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \ldots \}  (ε0 は基本単数)。
D を、二次体 \scriptstyle K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}) の判別式とし、自然数 x*, y* を、
x2 − Dy2 = ± 4の最小の有理整数解としたとき、(x* + y*√D)/2 は、K の基本単数である。
\scriptstyle d\le 14 に対する基本単数
任意の二次体 K に対して、ある整数 n が存在して、 \scriptstyle K\sub\mathbb{Q}(\zeta_n) 。ここで、\zeta_n は、1 の原始 n 乗根である。
特に、n = 2q (q ≥ 3) とすれば、円分体 \scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_n) には、\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{-1}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{2}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{-2}) が含まれる。
上記のことは、クロネッカー=ウェーバーの定理の特別な場合である。さらに、基礎体を有理数体ではなく、虚二次体にしたときに同様なことが言えるかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢(の特別な場合)である。
二次体と初等整数論との関係を述べる。
\left(\frac{a}{p}\right) をルジャンドル記号とすると、次が成立する。
平方因子を持たない素数 a と、2a と互いに素な素数 p に対して、
\left(\frac{a}{p}\right) = 1 \Longleftrightarrow (p) は、\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{a}) 上で、相異なる2つの素イデアルの積で表される。
このことから、二次体上で、どの様な素数が2つの素イデアルで分解されるかを考察することで、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示すことができる。
有理整数係数の二元二次形式の類数を H(D) (D は、二次形式の判別式) とし、
二次体 \scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{D}) の(代数体としての)類数を、hK とすると、H(D) = hK である。つまり、有理整数係数の二元二次形式の類と、二次形式の判別式で作られる二次体のイデアル類とは、一対一の対応を付けることができる。
二次体 K の判別式を D とし、χ を \scriptstyle (\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^{\times} に対するクロネッカーの指標とする。K に対する ディリクレの L 関数を用いて、K の類数 hK は
h_K = \frac{1}{\kappa}L(1, \chi)
で与えられる。但し、κ は、
\kappa = \begin{cases} \frac{2\log\varepsilon_0}{\sqrt{D} & (D > 0),\\ \frac{2\pi}{w\sqrt{-D} & (D < 0),\end{cases}
で与えられる 0 でない実数である。ここで、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数、ε0 は、K の基本単数とする。
さらに上式は、以下の形で有限和の形で表現することが可能である。
K が実二次体のとき
h_K = -\frac{1}{2\log\varepsilon_0}\sum_{a=1}^{d-1}\chi(a)\log\sin\frac{a\pi}{d}.
K が虚二次体のとき
h_K = -\frac{w}{2d}\sum_{a=1}^{d-1}\chi(a)a.
但し、ε0 は、K の基本単数、d = |D|、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数とする。
これらの式を総称してディリクレの類数公式という。
類数を表す式は、他にも、デデキントのゼータ関数の s = 1 での留数で表現するものも知られている。
\zeta_K(s) を、二次体 K のデデキントのゼータ関数とすると、以下の式が成立する。
\kappa h_K = \operatorname{Res}_{s=1}\zeta_K(s)。
但し、κ は、上記、ディリクレの類数公式で与えられた κ である。
ガウスは、二元二次形式の研究により、二次形式の類数について、いくつかの予想を残している。今日、これらを総称して、類数に関するガウスの予想という。特に、予想4 のことをガウスの予想とすることも多い。
ここでは、ガウスが挙げた予想について、二次体での言葉に翻訳して述べる。
K を二次体とし、DK, hK を K の判別式、類数としたとき、\scriptstyle |D_K|\to\infty ならば、\scriptstyle h_K\to\infty である。
類数が 1 である実二次体は、無限に存在する。
与えられた自然数 k に対して、類数が k である虚二次体は有限個しか存在しない。
類数が 1 である虚二次体 \scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{-d}) は、d が以下の場合に限る。
1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.
予想 1 について。
予想が成立することは、1934年にハイルブロン (H. Heilbronn) が証明し、ジーゲル (C. L. Siegel) により、類数の増大度について、以下の様な結果が得られた。
\lim_〔D_K|\to\infty}\frac{\log h_K}{\log\sqrt〔D_K|} = 1。
予想 2 について。
現在でも、この予想が成立するか否かは不明である。もっと一般に、類数が 1 である代数体が無限に存在するかも分かっていない。
予想 3 について。
1973年に、ザギエ (D. Zagier) とグロス (B. Gross) によって、予想が成り立つことが証明された。
予想 4 について。
この予想は、まず、ヘーグナー (K. Heegner) によって、この予想が成立することが証明されたが、彼の証明には、不備があり、その誤りが訂正されたのは1968年である。そのため、この予想を最初に証明したのは、ベイカー (A. Baker) とスターク (H. M. Stark) であるとされる。(1966年の証明)
その後、類数が 2 である虚二次体 がベイカーとスタークにより解決され、現在までに、類数が100以下の虚二次体が決定している。