要素内補間
要素内補間(ようそないほかん)とは、数値解析において要素の各節点の既知量から、要素内の値を補間して求めることをいう。この要素内補間は、内挿とも呼ばれることがある。要素内補間は、例えば地図の等高線、CAD、CAE、CGなど、要素が使用される図形処理において、要素内の任意の位置の値を計算する際にも使用される。
与えられた節点情報のみ(要素情報は使用しない)から補間する手法もあるが、これらは本説明に含まれない。
要素には、線分(2節点)、3角形(3節点)、4面体(4節点)などがある。
線分要素内の点p は、節点p0, p1 により
\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}_0+(\boldsymbol{p}_1-\boldsymbol{p}_0)u
と表せる。ここで局所座標u は 0 < u < 1 を満たす実数で、
u=\frac
である。直感的には、基点を p0 として、そこから p1 までの距離の比率 u で線分内の座標値 p を求めたことになる。
u = 0 の場合には点 p は p0 を示し、u = 1 の場合には p1 を示す。
前述の表現は、直線のパラメトリックまたは、媒介変数u による定義と呼ばれることもある。
全体座標系と局所座標系の関係と同様に、節点 p0, p1 での各値を C0, C1 とし線形補間すると、点 p での値 C は
C=C_0+(C_1-C_0)u
と表せる。
節点p0 (5, 5, 0), p1 (10, 10, 0) で各節点の値がそれぞれC0 = 10, C1 = 20 の場合に、線分の中点p (15/2, 15/2, 0) での値C は、
u=\frac=0.5
C=C_0+(C_1-C_0)u=15
になる。
点 p0 を原点とする、3角形で構成される局所座標系は、基底ベクトル
\begin{align}
\boldsymbol{e}_u &= \boldsymbol{p}_1 - \boldsymbol{p}_0 \\
\boldsymbol{e}_v &= \boldsymbol{p}_2 - \boldsymbol{p}_0 \\
\end{align}
から得られ、全体座標系への変換行列は、点 p の局所座標系の座標を up, vp 、全体座標系の座標を xp, yp, zp とすると以下の通りとなる。
\boldsymbol{p} =  \boldsymbol{p}_0 + u_p\boldsymbol{e}_u + v_p\boldsymbol{e}_v
または成分で表せば、
\left(
\begin{array}{c}
x_p \\
y_p \\
z_p \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
x_{p0} \\
y_{p0} \\
z_{p0}
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{ccc}
x_{eu} & x_{ev} \\
y_{eu} & y_{ev} \\
z_{eu} & z_{ev}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
u_p \\
\end{array}
\right)
節点p0, p1, p2 での各値をC0, C1, C2とすると、要素内の点p での値C は
C=C_0+u_p(C_1-C_0)+v_p(C_2-C_0)
と表せる。ここでup, vp は点p の局所座標系での座標である。
up = 0, vp = 0 の場合には、C = C0 (p0 の値)を示す。
up = 1, vp = 0 の場合には、C = C1 (p1 の値)を示す。
up = 0, vp = 1 の場合には、C = C2 (p2 の値)を示す。
up, vp ≥ 0 かつ up + vp ≤ 1 の場合には、点p は要素の内部に存在する。
節点座標がp0 (0, 0, 0), p1 (5, 0, 0), p2 (5, 5, 0) とし、各節点の既知量は、それぞれC0 = 10, C1 = 20,C2 = 30とすると、
重心位置pG の座標は (10/3, 5/3, 0) で、全体座標系から局所座標系での座標を求めると、(uG, vG ) = (1/3, 1/3) となる。これを補間式にあてはめると C G = 20 となる。重心位置のため、平均値 (C0 + C1 + C2 ) / 3と同じである。
p1 とp2 の中点位置座標での値
p1 とp2 の中点位置p12 の全体座標系での座標は (5, 5/2, 0) で、全体座標系から局所座標系での座標 (u12, v12 ) を求めると、(1/2, 1/2) となる。これを補間式にあてはめると C12 = 25 となる。
4面体で構成される局所座標系は、基底ベクトル (eu, ev, ew ) から得られ、全体座標系への変換行列は、局所座標系の座標をup, vp, wp と置くと以下の通りとなる。
\boldsymbol{p} = \boldsymbol{p}_0 + u_p\boldsymbol{e}_u + v_p\boldsymbol{e}_v + w_p\boldsymbol{e}_w
または成分で表せば、
\left(
\begin{array}{c}
x_p \\
y_p \\
z_p \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
x_{p0} \\
y_{p0} \\
z_{p0}
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{ccc}
x_{eu} & x_{ev} & x_{ew} \\
y_{eu} & y_{ev} & y_{ew} \\
z_{eu} & z_{ev} & z_{ew}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
u_p \\
v_p \\
\end{array}
\right)
\begin{align}
&\boldsymbol{e}_u = \boldsymbol{p}_1 - \boldsymbol{p}_0 \\
&\boldsymbol{e}_v = \boldsymbol{p}_2 - \boldsymbol{p}_0 \\
&\boldsymbol{e}_w = \boldsymbol{p}_3 - \boldsymbol{p}_0
\end{align}
である。
全体座標系から局所座標系への変換は、局所座標系から全体座標系への変換行列の逆行列を求めることで得られる。
\left(
\begin{array}{c}
u_p \\
v_p \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
x_{eu} & x_{ev} & x_{ew} \\
y_{eu} & y_{ev} & y_{ew} \\
z_{eu} & z_{ev} & z_{ew}
\end{array}
\right) ^{-1}
\left(
\left(
\begin{array}{c}
x_p \\
y_p \\
z_p \\
\end{array}
\right)
-
\left(
\begin{array}{c}
x_{p0} \\
y_{p0} \\
z_{p0}
\end{array}
\right)
\right)
節点p0, p1, p2, p3 での各値をC0, C1, C2, C3 とすると、点p の値C は
C=C_0+u_p(C_1-C_0)+v_p(C_2-C_0)+w_p(C_3-C_0)
と表せる。ここでup, vp, wp は点p の局所座標系での座標である。
u = 0, v = 0, w = 0 の場合には、C = C0 (p0 の値)を示す。
u = 1, v = 0, w = 0 の場合には、C = C1 (p1 の値)を示す。
u = 0, v = 1, w = 0 の場合には、C = C2 (p2 の値)を示す。
u = 0, v = 0, w = 1 の場合には、C = C3 (p3 の値)を示す。
u, v, w ≥ 0 かつ u + v + w ≤ 1 の場合には、点p は要素の内部に存在する。
節点座標がp0 (0, 0, 0), p1 (5, 0, 0), p2 (5, 5, 0), p3 (0, 0, 5)、各節点の既知量はそれぞれC0 = 10, C1 = 20, C2 = 30, C3 = 40 とする。
このとき、重心位置pG での座標は、(5/2, 5/4, 5/4) で、全体座標系から局所座標系での座標を求めると、 (uG, vG, wG ) = (1/4, 1/4, 1/4)となる。これを補間式にあてはめるとC = 25 となる。重心位置のため、平均値 (C0 + C1 + C2 + C3) / 4 と同じになる。