超現実数
surreal number という名称は  が初めて用いたものだが、それ以前あるいは以後にもいくつか異なる構成法が生み出されている。
今日では超現実数の「符号展開」(sign-expansion) や「符号列」(sign-sequence) と呼ばれているやり方において、超現実数は定義域が適当な順序数で終域が −1, +1 であるような函数を言う。これはコンウェイのLR列と同値である。
この意味の超現実数の上で定義された二項述語「より単純」("simpler than") は、x が y より単純であるというのを、x が y の真部分集合となること、すなわち dom(x) ⊂ dom(y) かつ x(α) = y(α) (∀α ∈ dom(x)) となることと定められる。
超現実数に対して、二項関係 < を辞書式順序として(ただし、「定義されない値」("undefined value") は −1 より大きく 1 より小さいものと約束する)。すると x < y となるのは以下の何れかひとつが満足されるときである:
x が y より単純かつ y(dom(x)) = +1;
y が x より単純かつ x(dom(y)) = −1;
適当な数 z が存在して、z は x, y より簡単かつ x(dom(z)) = −1,  y(dom(z)) = +1.
あるいは同じことだが、δ(x,y) coloneqq min(dom(x), dom(y) ∪ α : α ⊂ dom(x) ∩ dom(y) ∧ x(α) ≠ y(α)) と置けば、x = y となるための必要十分条件は、δ(x,y) = dom(x) = dom(y) となるから、超現実数 x, y に対し、x < y となるための必要十分条件は以下の何れか一つが満足されることである:
δ(x,y) = dom(x) ∧ δ(x,y) ⊂ dom(y) ∧ y(δ(x,y)) = +1;
δ(x,y) ⊂ dom(x) ∧ δ(x,y) = dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = −1;
δ(x,y) ⊂ dom(x) ∧ δ(x,y) ⊂ dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = −1 ∧ y(δ(x,y)) = +1.
超現実数 x, y に対し、x ≤ y とは x < y ∨ x = y となることと定める。また x > y は y < x であること、および x ≥ y は y ≤ x が成り立つことを意味するものとする。
この関係 < は推移的であり、任意の超現実数 x, y に対して x < y, x = y, x > y のうちただ一つのみが成り立つ(三分法 (数学))。これは < が(真のクラスを成すことを除いて)全順序であることを意味する。
超現実数の集合 L, R が ∀x ∈ L, ∀y ∈ Rx < y を満たすとき、超現実数 z が一意に存在して
∀x ∈ Lx < z ∧ ∀y ∈ Rz < y かつ
超現実数 w が ∀x ∈ Lx < w ∧ ∀y ∈ Rw < y を満たすならば必ず w = z または z は w より単純
とできる。さらに言えば、z は L, R から超限帰納法によって構成可能である。z は L と R の間にあるもっとも単純な超現実数となる。この唯一の数 z を σ(L, R) で表す。
超現実数 x に対し、その左集合 L(x) および右集合 R(x) を
L(x) coloneqq x!α : α ∈ dom(x) ∧ x(α)  +1,
と定義すれば、σ(L(x), R(x)) = x が成り立つ。
このもう一つの実現法が優位である点は、等価性 (equality) が(帰納的に定義された関係ではなく)恒等関係 (identity) として書けることである。しかし、コンウェイによる超現実数の実現と異なり、この符号展開はあらかじめ順序数の全体が構成されている必要がある(コンウェイの実現では順序数も超現実数の特別の場合として一緒に構成されたのであった)。
それでも、順序数をあらかじめ構成する必要を除いた同様の構成法も作ることができる。実例として、定義域が超現実数の部分集合で推移律 ∀g ∈ dom(f)∀h ∈ dom(g)h ∈ dom(f) を満たし、値域が −, + であるような函数のクラスとして超現実数の全体を再帰的に定義する方法が挙げられる。この場合「より単純」という関係は非常に簡単に定義される—x が y より簡単とは x ∈ dom(y) を満たすときに言う。全順序付けは x, y を順序対の集合と見て(函数は通常の通り定義したものとして)定義される。x = y であるか、さもなくば超現実数 z coloneqq x ∩ y は x または y の定義域に属す(あるいは両方に属すこともあるが、この場合符号は不一致でなければならない)から、x < y となるのは x(z) = − または y(z) = + の何れかまたは両方が成り立つときである。これら函数を符号列に変換することは難しくない—dom(f) の元をその単純さの順(つまり、包含関係の順)に並べて、f に対して並べた元の順番に符号を書き下したものを割り当てればよい。そうすると、順序数の全体は値域が + であるような超現実数として自然に生じる。
二つの超現実数 x, y に対しその和 x + y は、dom(x) および dom(y) に関する帰納法により、x + y coloneqq σ(L, R) で定義される。ただし
L coloneqq u + y : u ∈ L(x)∪x + v : v ∈ L(y),
R coloneqq u + y : u ∈ R(x)∪x + v : v ∈ R(y).
加法単位元は 0 coloneqq  で与えられる(つまり、超現実数 0 は定義域が順序数の 0 である唯一の函数である)。また、超現実数 x の加法逆元は dom(−x) coloneqq dom(x) かつ α ∈ dom(x) に対して  (-x)(\alpha) := \begin{cases} -1 & (x(\alpha) = +1)\\ +1 & (x(\alpha) = -1)\end{cases} で与えられる超現実数 −x である。
これにより、超現実数 x が正であるための必要十分条件は、0 ∈ dom(x) かつ x(0) = +1 となることであり、同様に x が負であるための必要十分条件は 0 ∈ dom(x) かつ x(0) = −1 となることであるとわかる。
二つの超現実数 x, y の積 xy は、dom(x) および dom(y) に関する帰納法により、xy coloneqq σ(L, R) で定義される。ただし
L coloneqq uy + xv − uv : u ∈ L(x), v ∈ L(y)∪uy + xv − uv : u ∈ R(x), v ∈ R(y),
R coloneqq uy + xv − uv : u ∈ L(x), v ∈ R(y)∪uy + xv − uv : u ∈ R(x), v ∈ L(y).
乗法単位元は 1 coloneqq (0, +1) で与えられる(つまり、超現実数 1 は定義域が順序数の 1 で 1(0) = +1 を満たす函数を言う)。
コンウェイの実現を符号展開へ写す写像は f(L ) coloneqq σ(M, S) で与えられる。ただし、M coloneqq f(x) : x ∈ L,  S coloneqq f(x) : x ∈ R とする。
その逆写像として、符号展開による実現をコンウェイの実現へ写すには g(x) coloneqq L  を L coloneqq g(y) : y ∈ L(x), R coloneqq g(y) : y ∈ R(x) と与えればよい。
具体的な構成から完全に離れて、超現実数に対する別なアプローチが  によって与えられた。これは構成法ではなく、超現実数を実現するどのような構成法もが満足する公理系の集合を与えるものである。実数の公理的構成と極めて同様に、この公理系は同型を除いて一意な存在を保証するものである。
三つ組 𝐍𝐨, <, b が超現実数系 (surreal number system) であるとは、以下の公理をすべて満足するときに言う:
< は 𝐍𝐨 上の全順序である;
b は 𝐍𝐨 から順序数全体の成すクラスの上への写像である(この写像 b を 𝐍𝐨 上の「誕生日函数」と呼ぶ);
𝐍𝐨 の部分クラス A, B が任意の x ∈ A, y ∈ B に対して x < y を満たす(このとき、アリングの語法で A, B は 𝐍𝐨 に関する「コンウェイ切断」("Conway cut") と呼ばれる)ならば、z ∈ 𝐍𝐨 が一意に存在して、b(z) が極小かつ任意の x ∈ A, y ∈ B に対して x < z < y とできる。(この公理はしばしば「コンウェイの単純性定理」("Conway's Simplicity Theorem") と呼ばれる)
これらに加えて、
順序数 α が b(x) (∀x ∈ A, B よりも大きいならば、b(z) ≤ α である(アリングはこの公理まで満足する系を「完全超現実数系」("full surreal number system") と呼んでいる)。
コンウェイのオリジナルの構成も、符号展開による構成も、ともにこれら公理系を満足する。
与えられたこれら公理系から  はコンウェイによるオリジナルの ≤ の定義を導き、超現実数の算術を展開した。
超現実数を、単純さ (simplicity) を先祖 (ancestor) のラベルに持つ極大二分擬木 (pseudo-tree) およびその順序関係によって構成する方法は  による。通常の木の定義と異なるのは、各頂点の先祖は整列集合を成すが、極大元(直前の先祖)は持たないかもしれないことである。すなわち、先祖集合の順序型は自然数だけではなく一般順序数となりうる。この構成もまたアリングの公理系を満足し、符号列表現に容易に引き写せる。
もまた超現実数体が実係数ハーン級数体(各級数の和の値は超現実数として解釈する)に順序体として同型となることを証明した(この級数表現は、上述した超現実数の標準形に対応するものである)。これにより、超現実数をより従来的な順序体論的アプローチに結び付けることができる。
この同型により超現実数が写された先の体は、コンウェイ標準形における最高次項の冪指数の加法逆元を付値とする付値体である(例えば ν(ω) = −1)。したがって、この体の付値環は有限超現実数(実数または実数に無限小成分を加えたもの)すべてからなる。ここで付値として冪指数の符号を反転させるのは、コンウェイ標準形における冪指数が逆整列集合を成していることと、それに対しハーン級数が値群における(正順の)整列部分集合によって定式化されていることによるものである。
はコンウェイの極大超現実数体とNBGにおける極大超実体との間に同型を構成した。