超現実数
適当な二進分数 y が L と R の(L の任意の元より大きく、R の任意の元よりも小さいという)「強い意味で間に」("strictly between") 存在する(この場合、x はこの条件を満たすもっとも古い二進分数 y に等しい);
L と R の強い意味での間には二進分数 y が存在しないが、(L の任意の元以上かつ R の任意の元以下という)弱い意味で間にある二進分数 y ∈ L は存在する(x = y + ε の場合);
L と R の強い意味での間には二進分数 y は存在しないが、L の任意の元以上かつ R の任意の元以下という)弱い意味で間にある二進分数 y ∈ R は存在する(x = y − ε の場合);
任意の二進分数が、R の適当な元より大きく、L の適当な元より小さい(この場合 x は二進分数として表せない何らかの実数に等しい)。
代数学的には、Sω は四則演算で閉じていないから、体ではない。例えば ω + 1 を形式 1, 2, 3, 4, …  + 0  = 1, 2, 3, 4, …, ω  で表せば、これは Sω に属するどのような超現実数とも一致しない。Sω の中で、四則演算(の有限回の繰り返し)で閉じているような極大部分集合は実数全体の成す体 ℝ であり、これには無限大超現実数 ±ω も無限小超現実数 ±ε も各非零二進分数 y の無限小近傍 y ± ε も含まれることはない。
このように実数全体を構成する方法が、標準解析学におけるデデキント切断を用いた構成法と異なるのは、一般の有理数からの構成ではなく二進分数から始めることであり、また Sω において各二進分数との自然な同一視は前世代における形式を用いて記述できることである(Sω の実数元を表す ω-完全形式と、デデキント切断で得られる実数との間に一対一対応が存在する。その対応のもと、デデキント実数はその切断点を左集合および右集合から取り除いた形式によって表される有理数に対応する)。超現実数の構成法では、有理数の全体 ℚ を同定することのできる帰納段階ははなく、ℚ とは単に Sω の部分集合として、S∗ の適当な元 a と同じく非零元 b を取って x⋅b = a とできる元 x 全体の成す集合という意味にしかならない。ℚ が超現実数の算術演算の繰り返しの各々で閉じていることを示すことにより、それが体を成していることが示せる。また ℚ の各元が S∗ から(乗法に関する反転を含む四則演算)の有限回(実際には二回以上は必要ない)の繰り返しで到達できることを示すことにより、Sω の部分集合として、ℚ が実数全体 ℝ より真に小さいことがわかる。
集合 Sω は実数全体 ℝ と同じ濃度を持つ。このことは、Sω から ℝ の単位閉区間 I への全射およびその逆向きの全射を実際に示すことで証明できる。Sω から I の上への写像は大したことは必要なく、−ω を含めた ε 以下の数を 0 に写し、1 − ε 以上の数は 1 に写し、ε と 1 − ε の間の数は I における同値の数に写す(二進分数 y の無限小近傍は y 自身がそうであるのと同じく y へ写す)ことで与えられる。I から Sω の上への写像は、I の真ん中三分の一の開区間 1/3, 2/3 を   = 0 へ写し、右三分の一区間のさらに真ん中三分の一開区間 7/9, 8/9 を 0  = 1 に写し、以下同様に繰り返すと、これは I の空でない開区間を S∗ の各元へ単調に写す。I の残りの部分はカントール集合 2ω で、その各点は中心三分の一区間を左集合 L および右集合 R に分割することによって一意に同定でき、それがちょうど Sω における形式 L  に対応する。これによってカントール集合は、誕生日が ω となる超現実数全体の成す集合に一対一対応するものと位置づけられる。
Sω を超えて超限帰納法を適用することを続ければ、より大きな順序数 α が α を誕生日とする最大の超現実数を表すものとして取り出せる(これは本質的に、超限帰納法から得られる順序数の定義である)。そのような順序数の最初のものは ω + 1 coloneqq ω  である。第 (ω + 1)-世代における正の無限大超現実数は他にも ω − 1 coloneqq 1, 2, 3, 4, …  がある。この w − 1 が順序数でないことを見るのは重要である—順序数 ω はどのような順序数の後継にもならない。これは誕生日 ω + 1 の超現実数であって、これを ω − 1 とラベル付けるのはそれが ω = 1, 2, 3, 4, …  と −1 =   との和に一致することに基づく。同様に、第 (ω + 1)-世代に属する二つの無限小超現実数 2ε coloneqq ε + ε = ε  および ε/2 coloneqq ε⋅½ = 0  が新たに生じる。
超限帰納法も後のほうの段階では、任意の自然数 k に対する ω + k よりも大きな超現実数 2ω coloneqq ω + ω = ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4, …  が存在する。この数に ω + ω と付けることの正当性は、その誕生日が ω + ω(つまり、ω から後継をとる操作によって到達できない最小の順序数)であることと、超現実数としての ω と ω の超現実数の和に一致することの両方の理由からくる。これをまた 2ω と書くことも、それが超現実数 ω = 1, 2, 3, 4, …  と 2 = 1  との超現実数の積に一致することで正当化できる。これは二番目の極限順序数になる(ω から構成ステップを通じてこれに到達するには \bigcup_{k < \omega} S_{\omega + k} 上の超限帰納法が必要になる)。これには無限集合の無限合併が、ここまでに用いてきた超限帰納法で必要とされた集合演算「よりも強い」演算として、含まれることになる。
順序数に対する順序数の算術はそれらを超現実数として表したときの超現実数としての演算とは必ずしも一致しないことに注意すべきである。順序数の和としての 1 + ω は ω に等しいが、超現実数の和は可換であり 1 + ω = ω + 1 > ω が成り立つ。順序数の付随する超現実数の加法および乗法は、順序数の演算としては順序数の算術#自然演算に一致する。
2ω が任意の自然数 n に対する ω + n よりも大きいことと同じく、超現実数 ω/2 は無限大超現実数だが、任意の自然数 n に対する ω − n より小さい。つまり、ω/2 は ω/2 coloneqq S∗  によっても定義できる。ただし、右辺の記法 x − Y(x は数で、Y は集合)は x − y : y ∈ Y の意味で用いた。これは ω と ½ を表す形式 0  との積と同一視できる。ω/2 の誕生日は極限順序数 ω2 である。
超現実数の無限大および無限小の「度合」(order) の分類(アルキメデス類とも呼ばれる)のために、コンウェイは各 x に対して超現実数 \omega^x := \{0, r\omega^{x_L}\mid s\omega^{x_R}\} を対応させた。ただし、r, s は何れも正の実数すべてに亙るものとする。x < y ならば ωy は(どのような r に対する r⋅ωx よりも大きいという意味で)ωx よりも「無限に大きい」。この「ω の冪」は以下の指数法則
ωx⋅ωy = ωx+y,
を満足するから、これは冪として期待される性質のもとで振る舞っていると言ってよい。
ω の個々の冪は、そのアルキメデス類における「もっとも単純な」超現実数となるべきものとしての補完性質も持つ。逆に、各アルキメデス類は超現実数の中にもっとも単純な数を一意に含む。すなわち、任意の正超現実数 x に対し、常に適当な正実数 r と超現実数 y が存在して、x − r⋅ωy が x よりも「無限に小さい」ようにすることができる。このときの冪指数 y は「x の ω を底とする対数 logω(x)」であり、この対数函数は正の超現実数全体で定義される。logω が正の超現実数の全体を超現実数全体の上へ写すこと、および対数法則 logω(xy) = logω(x) + logω(y) の成立などを確かめることができる。
これを超限帰納法によって拡張することにより、任意の超現実数に対し(順序数に対する順序数の算術#カントール標準形の類似対応物となる)「標準形」を持つことがわかる。すなわち、任意の超現実数は x =: r_0\omega^{y_0} + r_1\omega^{y_1} + \dotsb なる形に一意的に書くことができる。ここに、各 rα は非零実数で yα は超現実数の狭義単調減少列である。しかし、この右辺の「和」は無限個の項(その長さは一般には任意の順序数となる)を持ち得る(もちろん 0 はこの係数列が空集合となる場合に相当し、最高次の冪を持たない唯一の超現実数である)。
さてこのような標準形に書いてしまえば、超現実数の全体はある種の冪級数体と見ることができる(通常の形式冪級数では冪の無限減少列は適当な順序数で長さが抑えられなければならず、順序数全体の成すクラスと同じ長さになることが許されない、という点には目をつぶることになるが)。これは超現実数をハーン級数として定式化するための基礎となる。
実数全体の成す集合の場合と対照的に、超現実数からなる(真)部分集合は(それが極大元あるいは極小元を持つのでない限り)上限あるいは下限を持たない。 は間隙 (gap) を L  (L < R, L ∪ R = 𝐍𝐨) で定義する(この場合、L, R のどちらかは真のクラスにならないといけないから、これは超現実数を定めるものではないことに注意する)。この間隙はデデキントの切断に似ていて、とはいえ全く同じものと考えるわけにはいかないこの間隙の定義は、デデキント切断の条件から「L および R が空でなく、また L が最大元(存在すれば R の最小元とも一致する)を持たない」という条件が落ちている。のだけれども、それでもなお超現実数体の自然な順序に関する完備化 𝐍𝐨𝕯 について考えることができ、これは(真クラスサイズを持つ)線型連続体になる。
実例として、最小の無限大超現実数は存在しないが、間隙 ∞ coloneqq x: ∃n ∈ ℕ[x < n]  は任意の実数より大きく、任意の正の無限大超現実数より小さい。だからこれは、実数全体の成す集合の 𝐍𝐨𝕯 における上限である。同様に、間隙 𝐎𝐧 coloneqq 𝐍𝐨  は任意の超現実数よりも大きい(𝐎𝐧 は順序数全体の成すクラスの名前でもあるが、𝐎𝐧 は 𝐍𝐨 において共終 (数学)であるから、𝐎𝐧 coloneqq 𝐎𝐧  もそうで、これは順序数 α が α より小さい順序数全体の成す集合と同値であるという事実を拡張するものである)。
ちょっとした集合論的注意重要なことに、コーシー列全体の成す集まりがNBG集合論においてクラスを成すという主張は存在しない。を加えて、𝐍𝐨 にはその開集合全体の(真の集合で添字付けられた)合併が開区間となるような位相をいれることができ、その位相に関する連続函数を定義することができる。コーシー列の同値性も(コーシー列が順序数全体の成すクラスによって添字付けられる必要があるけれども)定義できる。これらコーシー列は常に収束するけれども、その極限は超現実数かもしれないし α∈𝐍𝐨rα⋅ωaα(ただし aα は単調減少で 𝐍𝐨 において下限を持たない)で表される間隙となるかもしれない(そのような間隙はコーシー列自身として理解することができるが、上で見た ∞ や 𝐎𝐧 のようなコーシー列の極限とは別の種類の間隙も存在する)。
Kruskal の未出版の研究に基づき、(超限帰納法による)構成で、(e を底とする)実変数の指数函数 exp(x) の超現実数を引数とする拡張が  によって与えられた。
上で述べたω の冪もある種の指数函数と思えるが、実数体上定義された指数函数の延長として望ましい性質を持つものではない。しかしこれも e を底とする指数函数を作るうえで必要であり、以下 ωx と書いたときには、この指数函数を意味するものとする。
y が二進分数であるとき、x ∈ 𝐍𝐨 を変数とする冪函数 x ↦ xy は、それぞれが帰納的に定義できる乗法・乗法逆元・平方根を使って、それらの合成によって得られる。この函数の値は、基本関係式 xy+z = xy⋅xz から完全に決定され、ただしそれは存在できるほかの任意の冪と必然的に一致するように定められる。
超現実数変数の指数函数を定めるための帰納ステップは、実指数函数の場合の級数展開 exp(x) = n≥0xn に基づく。より具体的には、展開を途中で切った部分和が(基本的な代数学的操作のみで)残りの項の和よりも小さい正の値となることが示せる事実を利用する。正の x については xn と書いて全ての部分和を含める。x が負の有限値のときは x2n+1 が初期値を実数成分が正の級数(常に存在する)としたときの奇数番目の部分和を表すものとする。負の無限大 x については、奇数番目の部分和だけ見れば狭義単調減少で x2n+1 は空集合となるが、これはこの帰納法においてこれらの元が必要ないということに対応するので問題ない。
利用する関係式は、x < y なる実数に対して exp(x)⋅y − xn < exp(y) および exp(y)⋅x − y2n+1 < exp(x) が成り立つこと、またこれは
\exp(z) := \{
0, \exp(z_L)\cdot[z - z_L]_n, \exp(z_R)\cdot[z - z_R]_{2n+1}
\mid \exp(z_R)/[z_R - z]_n, \exp(z_L) / [z_L - z]_{2n+1}
\} なる定義のもとで超現実数を引数とするものへ延長することができる。これは任意の超現実数引数に対して矛盾なく定義される(つまり、この右辺の値は超現実数として存在して、その値は zL, zR の選び方に依らない)。
この定義を用いて以下の性質が満足されることが示せるこれらの等式の最も自明に見えるものでさえ、その中に超限帰納法が隠されていることを思えば、これら一つ一つが別々の定理を成していると考えるに十分であろう。:
exp は狭義単調増大な正値函数である: すなわち x < y ⇒ 0 < exp(x) < exp(y) が成り立つ。
exp は指数法則 exp(x + y) = exp(x)⋅exp(y) を満足する。
exp は全射(𝐍𝐨+ の上への写像)であり、矛盾なく定義された逆写像 log coloneqq exp–1 を持つ。
exp は実数全体の成す集合上では通常の指数函数に一致する(したがって exp(0) = 1, exp(1) = e が成り立つ)。
x が無限小のとき、形式冪級数 n≥0xn の値は矛盾なく定義され、上記の帰納的定義によるものと一致する。
x がコンウェイ標準形で与えられるとき、計算結果における冪指数全体の成す集合は整列順序付けられ、係数列はどれも有限和となるから、この exp(x) の標準形(先頭係数は 1)は直截に与えられる。
同様に、x が 1 に無限に近いとき、log(x) は x − 1 に関する冪級数展開によって与えられる。
x が正の無限大ならば exp(x) は同じく無限大である。
x が ωα (α > 0) の形であるとき、exp(x) は β が α の狭義単調増大函数であるもとして ωωβ の形をしている。実は、全単射 g: 𝐍𝐨+ → 𝐍𝐨; α mapsto β が帰納的に定義され、その逆函数もまた帰納的に定義できる。
x が「純無限大」("pure infinite") で標準形 x coloneqq α<β rα⋅ωaα (∀aα > 0) を持つならば、\exp(x) = \omega^{\sum_{\alpha < \beta}r_\alpha\omega^{g(a_\alpha) が成り立つ。
同様に x := \omega^{\sum_{\alpha < \beta} r_\alpha \omega^{b_\alpha に対して逆写像は log(x) = α<β rα⋅ωg–1(bα) で定められる。
任意の超現実数は純無限大成分、実数成分、無限小成分の和として表されるから、指数函数は上で見た(純無限大、実数、無限小それぞれに対する)指数函数の積として与えられることがわかる。
特に標準形は、無限大成分(これはひとつの ω の冪として与えられる)と実指数函数を無限小に関する冪級数として書いたものとの積に書ける。
逆に、標準形の先頭項を分割して任意の超現実数を (\omega^{\sum_{\gamma < \delta} t_\gamma \omega_{b_\gamma)\cdot r(1 + \sum_{\alpha <\beta} s_\alpha \omega_{a_\alpha}) (aα < 0) の形に持ち込んでやれば、各因数は上で既に与えたやり方で対数が計算できる形になっているから、それら対数の和が一般の対数となる。
(exp の場合と異なり)一般の log の帰納的定義は存在しないが、部分的にはそのような帰納的定義も与えられる。この方法では、(対数が指数函数の逆函数であるという事実を参照することなしに)陽に計算することができる。
指数函数は任意の有限冪函数よりもずっと大きい。
任意の正の無限大 x と有限な n に対して exp(x)/xn は無限大である。
任意の整数 n と超現実数 x > n2 に対し exp(x) > xn が成り立つ。この強い制約条件は実指数体に対する Ressayre の公理の一つになっている。
exp は実指数体に対する Ressayre の公理系をすべて満足する。
この指数函数を備えた超現実数の全体は、実指数体の初等拡大になる。
順序イプシロン数 εβ に対し、εβ より小さい誕生日を持つ超現実数の全体は、指数について閉じた体を成し、同様に実指数体の初等拡大のひとつとなる。
超現実数の指数函数は、本質的には ω の正冪上での振る舞い(すなわち、上で見た函数 g(a))が分かれば(有限値に対してはよく知られた指数函数であるから、その振る舞いと合わせて)決定される。前者の例のみ以下に与えるが、加えてその変域の大部分において g(a) = a が満足される(例えば、実数成分が正と任意の有限数の場合や、適当な回数反復した ω の冪の塔 ωω⋰ω の場合はそうである)。
exp(ω) = ωω.
exp(ω1/ω) = ω および log(ω) = ω1/ω.
exp(ω⋅log(ω)) = exp(ω⋅ω1/ω) = ωω(1 + 1/ω).
ここからわかるように、先に見た「ω の冪」を函数とみたものは exp とは両立しない。両立するのであれば、exp(ω⋅log(ω)) の値は ωω となることが要求される(次項も参照)。
exp(ε0) = ωωε0+1.
log(ε0) = ε0/ω.
一般の冪は xy coloneqq exp(y⋅log x) として定義することができ、2ω = exp(ω⋅log(2)) = ωlog(2)⋅ω のような式の解釈が与えられる。この場合でもやはり(特に ω を底とするときには)この定義と「ω の冪」として与えられるものとは絶対に区別をつけるべきものである。
超現複素数 (surcomplex number) は、二つの超現実数 a, b に対して a + bi(i は虚数単位)の形をした数を言う。超現実数の全体は(それが真のクラスとなることを除いて)代数閉体を成す。それは有理数体に代数独立な超越元の成す適当な真クラスを添加して生成される体の代数閉包に同型である。この事実は、任意に固定した集合論の中で、体の同型を除いて超現複素数を特徴付けるものである。
超現実数の定義には一つの制約条件「L の各元は R の各元よりも真に小さい」があった。この制限を落とせばより一般のクラスとしてゲーム (game) を生成することができる。任意のゲームは以下の規則に従って構成される:
ゲームの構成規則: L, R がともにゲームから成す集合であるとき、L  はゲームである。.
加法、減法および大小比較は、すべて超現実数とゲームの両方に共通の仕方で定義される。
任意の超現実数はゲームとなるが、任意のゲームは超現実数であるとは限らない(例えばゲーム star (ゲーム理論) は超現実数ではない)。ゲーム全体の成すクラスは超現実数全体よりも一般であり、より簡素な定義を持つ代わりに、超現実数の持つよい性質のいくつかは抜け落ちてしまう。例えば、超現実数全体の成すクラスは体を成すが、ゲーム全体の成すクラスはそうでない。あるいは超現実数の全体は全順序(任意の二つの超現実数は、等しいかさもなくば一方が他方より大きい)を持つが、ゲームの全体には半順序(ゲームの対で相等しくも何れか一方が他方よりも大きいということもないものが存在する)しか入らない。各超現実数は正または負さもなくば零の何れかになるが、各ゲームは正・負・零ゲームのほかにファジーゲーム(1  のように零と比較不能なもの)が生じる。
ゲームにおける一手 (move) はその手番においてプレイヤーが L(先手; left player の場合)または R(後手; right player の場合)から利用できるゲームを選び、その選んだゲームを相手プレイヤーに渡すという形で作用する。選択できるものが空となり手を打てないプレイヤーは負け (lost) である。正のゲームは先手の勝利を、負のゲームは後手の勝利をそれぞれ表し、零ゲームは後手の手番をファジーゲームは先手の手番を意味する。
x, y, z が超現実数であるとき、x = y ならば必ず x⋅z = y⋅z が成り立つが、x, y, z がゲームのときには x = y でも必ずしも x⋅z = y⋅z であるとは言えない。ここでの等号 "" は「値が等しい」(equality) という意味であって、「同一」(identity) という意味ではないことに注意。
超現実数はそもそも囲碁の研究に動機づけられたものであり、定番ゲームと超現実数の間には様々な関連性がある。この節では便宜のために、数学的対象 L  のことはゲーム (Game)、チェスや囲碁のような遊興のことは遊技 (game) と呼び分けることにする。
ここで考えたい遊技は以下のような性質を持つものである:
プレイヤー(試技者)は二人(便宜上 Left と Right とする)
決定論的(ゲームの各手番はランダム要素なしにプレイヤーのメイクする選択で完全に決まる)
(プレイヤーの隠し札や隠しマスのような)秘匿された情報はない
プレイヤーには交互に手番 (turn) が回ってくる(遊技によって、一回の手番に複数手 (move) を許すものも許さないものもある)
遊技の各取組(一番)は有限回の手数で終了しなければならない
大抵の遊技にとって、初期盤面配置はどちらかのプレイヤーに大きな有利となることはないが、試技の進行の過程で一方のプレイヤーが勝利に近づくにつれて、盤面はそのプレイヤーに明らかに有利となっていく。遊技の分析のためには、ゲームを任意の盤面に結び付けるのが有効である。与えられた盤面の値がゲーム L  であるとは、L は Left の単一手で達成可能な盤面の値全体の成す集合、R は Right の単一手で達成可能な盤面の値全体のなす集合となるように与えるものとする。
零ゲーム 0) は L, R がともに空集合となるゲームであるから、次の手を打つプレイヤーが即座に負けである。二つのゲーム G coloneqq L1 , H coloneqq L2  の和は、G + H coloneqq L1 + H, G + L2  というゲームとして定義され、これは各プレイヤーが手番ごとに試技 (play) を行うゲームを選べることに対応するが、正規の手が打てなくなったプレイヤーが負けとなることは変わらない。例えば、二人のプレイヤーがチェス盤を二面使って指す場面を想像しよう、プレイヤーは交互に手を指すけれども、各手番においてどちらの盤面で指すかは完全にプレイヤーの自由にゆだねられる(どちらを選んでも選んだ方に一手を打てるだけで、選ばなかった盤面には何も干渉できない)というのがゲームの和の解釈である。ゲーム G = L  に対して、−G とは −R  なるゲームのことで、これは二人のプレイヤーがその役割を入れ替えたものになっている。任意のゲーム G に対して G − G = 0 となることは容易にわかる(ここで、ゲームの差 G − H は G + (−H) で定義する)。
このようにゲームを実際の遊技に結び付ける単純な方法でも、非常に興味深い結果が得られる。二人の完璧なプレイヤーがひとつの遊技を与えられた盤面から始めるとき、その初期盤面に付随するゲームが x であるとすると、任意のゲームを以下の四種に分類できる:
x > 0 ならば Left が勝つ(どちらが先手・後手かに関わらず)
x < 0 ならば Right が勝つ(どちらが先手・後手かに関わらず)
x = 0 ならば後手が勝つ
x ‖ 0 ならば先手が勝つ
より一般に、G > H とは G - H > 0 となることと定義する、<, , ‖ についても同様。ここに、記法 G ‖ H とは G と H が比較不能という意味で、G > H, G < H, G = H の何れも不成立ということと等価である。比較不能な遊技は、加えられた手によってどちらのプレイヤーが優勢となるかが変わるため、互いに混迷している (confused) ということもある。零ゲームと混迷しているゲームはファジーゲームと言い、正・負・零とは対立する。ファジーゲームの例には、スター (ゲーム理論) が挙げられる。
遊技の終盤近くはときどき、相互に干渉しない複数の小さな遊技に分解する(その中の一つにしかプレイヤーの打てる手がないという場合を除いて)。例えば、囲碁において、盤面は徐々に碁石で埋まっていき、プレイヤーが手を指せる空所はいくつかの小さな島に分けられていくだろう。各島は、それ自体が区分けされた小さな盤面上の一つの囲碁のように見える。これらの小さな遊技のそれぞれを分析することができたなら、そのような分解は有効であって、そしてそれらの分析結果を繋ぎ合わせて遊技全体に対する分析を得る。しかし、そうやって分析することができると安易には言えないようにも思われる。例えば、先手必勝の二つの小さな遊技があったとして、しかしそれらを組み合わせて一つの大きな遊技としたとき、それが先手必勝の遊技であるかはもはや分からない。幸運にも、これを分析する方法がある。それには次の注目すべき定理を用いる:
定理: 一つの大きな遊技をふたつのより小さな遊技に分解するとき、その小さな遊技に付随するゲームを x および y とすれば、もとの大きな遊技に付随するゲームは x + y である。
小さな遊技の組み合わせとなる遊技は、それら小さい遊技の選言和と呼ばれ、定理はここで定義したゲームの加法が、それら遊技の選言和をとることに等価であることを述べている。
歴史的なことを言えば、コンウェイは本項とは逆順に超現実数の理論を発展させたのであった。コンウェイは、囲碁の寄せを分析し、相互干渉しない小遊技の分析を繋ぎ合わせてそれらの選言和の分析とする何らかの方法があれば有用であるという実感を得ていた。そうしたことからコンウェイはゲームの概念とそれらに対する加法演算を発明した。そこからさらに符号反転および大小比較の定義へと開発は動いて行き、ゲームからなるある種のクラスが興味深い性質を持つことをコンウェイは指摘している。それが超現実数全体の成すクラスである。最終的に乗法演算を開発するに至って、超現実数の全体が実際にひとつの体を成すことおよびそれが実数の全体と順序数の全体をともに含む体系となることが証明された。