シャピロの不等式
数学におけるシャピロの不等式(シャピロのふとうしき、Shapiro inequality)、またはシャピロの巡回不等式とは、ハロルド・S・シャピロによって1954年に提案された不等式である。
n を自然数、 x_1, x_2, \dots, x_n を非負の実数で、
x_i + x_{i+1} > 0 \quad (i=1,2, \dots, n)
であるとする。ただし、 x_{n+1}=x_1, x_{n+2}=x_2 とする。このとき、
n が 12 以下の偶数
n が 23 以下の奇数
のいずれかであれば、次の不等式が成り立つ。
\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2} \geq \frac{n}{2}
より大きな n に対しては不等式は成り立たないが、厳密な下限 \gamma \frac{n}{2} が存在する。ここで \gamma \approx 0.9891\dots 。
重要なケース n=12 の最初の証明は Godunova と Levin によって1976年に、もう一方の n=23 の最初の証明は Troesch によって1989年に、それぞれ数値計算に依った方法で与えられた。2002年、P.J. Bushell と J.B. McLeod は n=12 のときの解析的な証明を発表した。
\gamma の値は1971年にウラジーミル・ドリンフェルト(1990年のフィールズ賞受賞者)によって求められた。特に、ドリンフェルトは下限となる \gamma が \psi(0) で与えられることを示した。ここで \psi は関数 f(x)=e^{-x} と g(x) = \frac{2}{e^x+e^{\frac{x}{2}} の関数的凸包である。(つまり、 \psi のグラフの上側の部分は、 f と g のグラフの上側部分の合併の凸包になっている)。
左辺の、内部での極小値は常に \ge\frac{n}2 となることが1968年 Pedro Nowosad により証明された。
最初の反例は、Lighthill によって1956年に発見された、 n=20 に対するものである:
\begin{align}
x_{20} = ( &1+5\epsilon,\ 6\epsilon,\ 1+4\epsilon,\ 5\epsilon,\ 1+3\epsilon,\ 4\epsilon,\ 1+2\epsilon,\ 3\epsilon,\ 1+\epsilon,\ 2\epsilon,\ \\
& 1+2\epsilon,\ \epsilon,\ 1+3\epsilon,\ 2\epsilon,\ 1+4\epsilon,\ 3\epsilon,\ 1+5\epsilon,\ 4\epsilon,\ 1+6\epsilon,\ 5\epsilon)
\end{align}
(ここで \epsilon は 0 に極めて近いとする。)
このとき不等式の左辺は 10 - \epsilon^2 + O(\epsilon^3) となり、 \epsilon が十分小さければ 10 より小さくなる。
次の反例は n=14 に対するもので、1985年 Troesch により与えられた:
x_{14} = (0, 42, 2, 42, 4, 41, 5, 39, 4, 38, 2, 38, 0, 40)
また、 n=25 に対して次の反例がある:
\begin{align}
x_{25} = ( & 32, 0, 37, 0, 43, 0, 50, 0, 59, 8, 62, 21, 55, \\
& 29, 44, 32, 33, 31, 24, 30, 16, 29, 10, 29, 4)
\end{align}
n=2
\frac{x_1}{x_2+x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2}=1 \ge \frac{2}{2}
より自明である。
n=3
この場合をネスビットの不等式といい、様々な証明が知られている。
正の数 a に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、
a + \frac{1}{a} \ge 2 \sqrt{a \sdot \frac{1}{a} = 2
よって、S_{3} := \frac{x_1}{x_2 + x_3} + \frac{x_2}{x_3 + x_1} + \frac{x_3}{x_1 + x_2} とおくと
\begin{align}
2S_{3} & =  \frac{x_3 + x_1}{x_2 + x_3} + \frac{x_1 + x_2}{x_2 + x_3}+ \frac{x_1 + x_2}{x_3 + x_1} \\
&+ \frac{x_2 + x_3}{x_3 + x_1}+ \frac{x_2 + x_3}{x_1 + x_2} + \frac{x_3 + x_1}{x_1 + x_2}
-3  \\
& \ge  2+2+2-3  = 3
\end{align}
ゆえに S_{3} \ge \frac{3}{2} 。
n=4
正の数 a, b に対して、相加平均と調和平均の不等式から、
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}
また、正の数 a, b, c, d に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、
\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{d}{c}+ \frac{a}{d}
\ge 4 \sqrt[4]{\frac{b}{a}  \frac{c}{b}  \frac{d}{c} \frac{a}{d}=4
ここで S_{4} := \frac{x_1}{x_2 + x_3} + \frac{x_2}{x_3 + x_4} + \frac{x_3}{x_4 + x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2} とおくと
\begin{align}
2S_{4} & =   \frac{x_1+x_2}{x_2 + x_3} + \frac{x_2+x_3}{x_3 + x_4} + \frac{x_3+x_4}{x_4 + x_1}+\frac{x_4+x_1}{x_1+x_2}  \\
& + \frac{x_3}{x_2 + x_3} + \frac{x_4}{x_3 + x_4} + \frac{x_1}{x_4 + x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2} -4 +S_{4} \\
& \ge 4 + \frac{x_3}{x_2 + x_3} + \frac{x_4}{x_3 + x_4} + \frac{x_1}{x_4 + x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2} -4 +S_{4}\\
& = \frac{x_3}{x_2 + x_3} + \frac{x_4}{x_3 + x_4} + \frac{x_1}{x_4 + x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2} \\
& + \frac{x_1}{x_2 + x_3} + \frac{x_2}{x_3 + x_4} + \frac{x_3}{x_4 + x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2} \\
& = (x_1+x_3)\left(\frac{1}{x_2+x_3} + \frac{1}{x_4+x_1}\right) + (x_2+x_4)\left(\frac{1}{x_3+x_4} + \frac{1}{x_1+x_2}\right) \\
& \ge \frac{4(x_1+x_3)}{x_1+x_2+x_3+x_4} + \frac{4(x_2+x_4)}{x_1+x_2+x_3+x_4} \\
& = 4
\end{align}
ゆえに S_{4} \ge \frac{4}{2} 。