力の平行四辺形
力の平行四辺形(ちからのへいこうしへんけい、parallelogram of force)は、物体に2つの力の加法によって得られる平行四辺形である。力の平行四辺形は、2つの力の合力を図示するためにしばしば用いられる。
2つより多くの力のなす図形はもはや平行四辺形ではなくなるが、それらの合力がなす図として同様に平行四辺形を作図できる。例えば、図1では、F2 の始点が F1 の終点と一致するように F2 を移動させるのと、F1 の始点と F2 の終点を結ぶベクトルを正味の力とするのとでは同じ結果になる。3つのベクトル F1, F2, G の合力の場合も同様に、Fnet = F1 + F2 と G のなす平行四辺形として作図できる(結果は和の順序に依存しない)。
与えられた時間(例えば1秒)で粒子がAからBへの線(図2)に沿って一定の速度で移動し、同時に線ABがABの位置からDCの位置に一様に移動し、終始元の方向と平行なままであるとする。両方の運動を考慮すると、粒子は線ACをたどる。与えられた時間内の変位は速度の尺度なので、ABの長さはABに沿った粒子の速度の尺度であり、ADの長さはADに沿った線の速度の尺度であり、ACの長さはACに沿った粒子の速度の尺度である。粒子の運動はACに沿って単一の速度で移動した場合と同じである。
図1の原点(ベクトルの「尾」)にある粒子に2つの力が作用したとする。ベクトルF1とF2の長さは2つの力がある時間作用することにより粒子に生じる速度を表し、それぞれの方向はそれが作用する方向を表している。それぞれの力は独立に作用し、他の力が作用するかしないかにかかわらず特定の速度を作り出す。与えられた時間の終わりでは、粒子は両方の速度を持っている。上記の証明により、これは1つの速度Fnetと等価である。ニュートンの第2法則により、このベクトルはその速度を生み出す力の尺度でもあり、したがって、2つの力は1つの力と等価である。
力をユークリッドベクトルもしくは \mathbb{R}^2 の要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。すなわち、任意の2つの力 \mathbf{F}, \mathbf{G} \in \mathbb{R}^2 に対して、 \mathbf{F} \oplus \mathbf{G} \in \mathbb{R}^2 が存在する。
最後の仮定は2つの力の合力が回転しても変化しないことである。 R: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2を任意の回転( \det R = 1である \mathbb{R}^2 の通常のベクトル空間構造の任意の直交写像)とすると、任意の力 \mathbf{F}, \mathbf{G}\in \mathbb{R}^2 に対しRは
R \left( \mathbf{F} \oplus \mathbf{G} \right) = R \left(\mathbf{F} \right) \oplus R \left(\mathbf{G} \right)
を満たす。2つの力 \mathbf{F}_1 と \mathbf{F}_2 は垂直で、 \mathbf{F}_1 の長さを a 、 \mathbf{F}_2 の長さを b 、および \mathbf{F}_1 \oplus \mathbf{F}_2 の長さを x と仮定する。
\mathbf{G}_1 := \tfrac{a^2}{x^2} \left( \mathbf{F}_1\oplus \mathbf{F}_2 \right)および \mathbf{G}_2 := \tfrac{a}{x} R(\mathbf{F}_2)として、 R を \mathbf{F}_1 と \mathbf{F}_1 \oplus \mathbf{F}_2 の間の回転とすると\mathbf{G_1} = \tfrac{a}{x} R \left(\mathbf{F}_1 \right) である。回転が不変の下では
\mathbf{F}_1=\frac{x}{a}R^{-1} \left(\mathbf{G}_1 \right) = \frac{a}{x}R^{-1} \left(\mathbf{F}_1\oplus\mathbf{F}_2 \right)=\frac{a}{x}R^{-1} \left(\mathbf{F}_1 \right)\oplus\frac{a}{x}R^{-1} \left(\mathbf{F}_2 \right)=\mathbf{G}_1 \oplus \mathbf{G}_2
を得る。同様に、さらに2つの力 \mathbf{H}_1 := -\mathbf{G}_2,\quad \mathbf{H}_2 := \tfrac{b^2}{x^2} \left( \mathbf{F}_1 \oplus \mathbf{F}_2 \right) を考える。 T を \mathbf{F}_1 から \mathbf{H}_1 への回転とすると \mathbf{H}_1 = \tfrac{b}{x} T\left(\mathbf{F}_1\right) であり、これにより \mathbf{H}_2 =\tfrac{b}{x} T\left(\mathbf{F}_2\right) となる。
\mathbf{F}_2 = \frac{x}{b}T^{-1}\left(\mathbf{H}_2\right) = \frac{b}{x}T^{-1}\left(\mathbf{F}_1\oplus\mathbf{F}_2\right)=\frac{b}{x}T^{-1}\left(\mathbf{F}_1\right)\oplus\frac{b}{x}T^{-1}\left(\mathbf{F}_2\right)=\mathbf{H}_1\oplus\mathbf{H_2}
\mathbf{F}_1\oplus \mathbf{F}_2 = \left(\mathbf{G}_1 \oplus \mathbf{G}_2 \right) \oplus \left(\mathbf{H}_1\oplus \mathbf{H_2} \right) = \left(\mathbf{G}_1 \oplus \mathbf{G}_2 \right) \oplus \left(-\mathbf{G}_2\oplus \mathbf{H}_2 \right) = \mathbf{G}_1 \oplus \mathbf{H}_2
を得る。 \mathbf{G}_1 と \mathbf{H}_2 はどちらも \mathbf{F}_1 \oplus \mathbf{F}_2 に沿っているため、長さ xは\left|\mathbf{F}_1 \oplus \mathbf{F}_2 \right| = \left|\mathbf{G}_1 \oplus \mathbf{H}_2 \right|= \tfrac{a^2}{x}+\tfrac{b^2}{x} に等しく、
x = \sqrt{a^2+b^2}
である。このことは \mathbf{F}_1 \oplus \mathbf{F}_2 = a \mathbf{e}_1 \oplus b \mathbf{e}_2 が長さ \sqrt{a^2+b^2} を持ち、これは a \mathbf{e}_1 + b \mathbf{e}_2 の長さであることを示している。したがって、 \mathbf{F}_1 と \mathbf{F}_2 が垂直である場合、 \mathbf{F}_1 \oplus \mathbf{F}_2 = \mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 である。ここで、2つの補助の力を組み合わせるとき、 \oplus の結合性を用いた。以下の証明にもこの追加の仮定を使用する
。
力をユークリッドベクトルもしくは \mathbb{R}^2 の要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。そのため、2つの力 \mathbf{F}, \mathbf{G} \in \mathbb{R}^2 には、別の力 \mathbf{F} \oplus \mathbf{G} \in \mathbb{R}^2 が存在する。可換性を仮定する。これらは同時に加えられる力なので、順序は重要ではなく、 \mathbf{F} \oplus \mathbf{G} = \mathbf{G} \oplus \mathbf{F}  である。
(a,b) = a \mathbf{e}_1 + b \mathbf{e}_2 \mapsto a \mathbf{e}_1 \oplus b \mathbf{e}_2
を考える。
\oplus が結合的であるならば、この写像は線形である。 \mathbf{e}_1 を \mathbf{e}_1 に、 \mathbf{e}_2 を \mathbf{e}_2 に写すため、恒等写像である必要もある。よって \oplus は通常のベクトル加算演算子と同等でなければならない。
力の平行四辺形の数学的証明は、数学的に妥当であると一般に認められていない。さまざまな証明が開発され(主にDuchaylaとポアソンのもの)、これらも反論を引き起こした。力の平行四辺形が真実であるかどうかは疑問視されなかったが、なぜ真実であったのであろうか。今日、力の平行四辺形は経験的事実として受け入れられており、ニュートンの第1原理に還元することはできない。