疫学における区画モデル
伝染病が発生している状況において、主要な課題の1つは、予防策を講じ、可能であれば、集団予防接種体制の確立によって、伝染病を根絶することである。新生児に接種率P \in (0,1)で(生涯免疫を与えるワクチンを)予防接種した場合を考えてみる。
\begin{align}
\frac{dS}{dt} & = \nu N (1-P) - \mu S - \beta \frac{I}{N} S \\[8pt]
\frac{dI}{dt} & = \beta \frac{I}{N} S - (\mu+\gamma)  I \\[8pt]
\frac{dV}{dt} & = \nu N P - \mu V
\end{align}
上式において、Vは予防接種を受けた個人のクラスである。
\lim_{t \to +\infty} V(t)= N P
であることはすぐに分かる、したがってSとI,の長期的な振る舞いを扱うことにする。これらは
R_0 (1-P) \le 1 \Rightarrow  \lim_{t \to +\infty} \left(S(t),I(t)\right) = DFE = \left(N \left(1-P\right),0\right)
R_0 (1-P) > 1 , \quad I(0)> 0 \Rightarrow  \lim_{t \to +\infty} \left(S(t),I(t)\right) = EE = \left(\frac{N}{R_0(1-P)},N \left(R_0 (1-P)-1\right)\right)
を満たす。
P < P^{*}= 1-\frac{1}{R_0}
ならば、予防接種計画は病気の根絶には成功せず、それどころか、ワクチン接種をしなかった場合よりは低いレベルではあるが、流行し続けることになる。つまり、この数理モデルは、基本再生産数が18ほど高い病気を根絶するためには、少なくとも94.4%の新生児にワクチンを接種する必要があることを示唆している。
現代社会は、「合理的な」免除、すなわち、感染からの知覚されるリスクとワクチンから損害を受けることによるリスクを「合理的」に比較した結果として、子供に予防接種受けさせないという家族の決断に直面している。この行動が本当に合理的であるかどうか、すなわち、それが等しく病気の根絶をもたらすことができるかどうかを評価するため、単に予防接種率が感染者数の増加関数
P=P(I), \quad P'(I)>0
であると仮定することができる。
このような場合、根絶条件は
P(0) \ge P^{*}
となる。すなわち、ベースライン予防接種率は、免除の場合は満たされない、「強制接種」の閾値以上でなければならない。このように、「合理的」な免除は、ワクチン接種率が高いために発生率が低い現状のみに基づいており、接種率の低下による将来の感染症再燃を考慮していないため、近視眼的である可能性がある。
新生児以外にも率ρで予防接種を行う場合、感受性保持者と予防接種済みの人についての方程式は
\begin{align}
\frac{dS}{dt} & = \mu N (1-P) - \mu S - \rho S - \beta \frac{I}{N} S \\[8pt]
\frac{dV}{dt} & = \mu N P + \rho S - \mu V
\end{align}
と修正されなければならず、ここから次のような根絶条件が得られる。
P \ge 1- \left(1+\frac{\rho}{\mu}\right)\frac{1}{R_0}
パルス予防接種戦略では、特定の年齢集団(幼児や高齢者など)にワクチンを接種することを繰り返す。この方法を用いると、感受性個体の集団は直ちに除去され、集団全体から(麻疹といった)感染症を排除することが可能となる。T時間単位毎に、感受性保持者の一定の割合pが(病気の動態に対して)比較的短い時間内に接種を受ける。これにより、感受性保持者と予防接種済みの集団について、次のようなインパルス微分方程式が導かれる。
\begin{align}
\frac{dS}{dt} & = \mu N  - \mu S - \beta \frac{I}{N} S, \quad S(n T^+) = (1-p) S(n T^-), & & n=0,1,2,\ldots \\[8pt]
\frac{dV}{dt} & = - \mu V, \quad V(n T^+) = V(n T^-) + p S(n T^-), & & n=0,1,2,\ldots
\end{align}
I = 0と設定することで、感受性保持者の動態が
S^*(t) = 1- \frac{p}{1-(1-p)E^{-\mu T} E^{-\mu MOD(t,T)}
で与えられ、根絶条件が
R_0 \int_0^T S^*(t) \, dt < 1
であることが容易にわかる。
年齢は集団における疾病伝播率、特に接触率に深く影響する。この接触率は、感受性保持者と感染者の接触の有効性を要約する。
S(t)=\int_0^{a_M} s(t,a)\,da
I(t)=\int_0^{a_M} i(t,a)\,da
R(t)=\int_0^{a_M} r(t,a)\,da
(a_M \le +\inftyは最大許容年齢)のように伝染病クラスs(t,a),i(t,a),r(t,a)の年齢を考慮に入れる(感受性-感染性-隔離スキームに限定するため)。それらの動態は「単純な」偏微分方程式によって記述されず、以下の積分微分方程式で記述される。
\partial_t s(t,a) + \partial_a s(t,a) = -\mu(a) s(a,t) - s(a,t)\int_0^{a_M} k(a,a_1;t)i(a_1,t)\,da_1
\partial_t i(t,a) + \partial_a i(t,a) =  s(a,t)\int_{0}^{a_M}{k(a,a_1;t)i(a_1,t)da_1}  -\mu(a) i(a,t) - \gamma(a)i(a,t)
\partial_t r(t,a) + \partial_a r(t,a) =   -\mu(a) r(a,t) + \gamma(a)i(a,t)
上式において、
F(a,t,i(\cdot,\cdot))=\int_0^{a_M} k(a,a_1;t)i(a_1,t) \, da_1
は感染力であり、これは、当然、年齢間の相互作用に依存する。
新生児の初期条件(すなわち、a=0の場合)によって複雑さが付加される。この初期条件は感染区分および隔離区分については
i(t,0)=r(t,0)=0
と明快であるが、感受性を持つ新生児の密度については非局所的である。
s(t,0)= \int_0^{a_M} \left(\varphi_s(a) s(a,t)+\varphi_i(a) i(a,t)+\varphi_r(a) r(a,t)\right) \, da
上式において、\varphi_j(a), j=s,i,rは大人の出生率である。
さらに、現在の総人口n(t,a)=s(t,a)+i(t,a)+r(t,a)の密度を定義すると、
\partial_t n(t,a) + \partial_a n(t,a) = -\mu(a) n(a,t)
が得られる。
3つの伝染病クラスにおいて出生率が等しい最も単純な場合において、人口均衡を保つためには、出生率\varphi(.)と死亡率\mu(a)を結び付ける以下の必要十分条件
1 = \int_0^{a_M} \varphi(a) \exp\left(- \int_0^a{\mu(q)dq} \right) \, da
n^*(a)=C \exp\left(- \int_0^a \mu(q) \, dq \right),
が満たされなけばならず、これによって自動的に感染症の無い解
DFS(a)= (n^*(a),0,0).
の存在が保証される。
基本再生産数は、適切な関数演算子のスペクトル半径として計算することができる。
AIDSやB型肝炎といった一部の病気の場合、感染した両親の子どもが感染した状態で生まれることがある。このような母親からの伝染は垂直感染と呼ばれる。 感染区画への追加メンバーの流入は、感染区画に新生児の一部を含めることで、モデル内で考慮することができる。
ヒトからヒトへ間接的に伝染する病気(例えば、マラリアは蚊が媒介する)は媒介生物を介して伝播される。これらの場合、感染はヒトから昆虫へと移行し、伝染モデルは両方の種を含まなければならず、一般的には直接感染のモデルよりも多くの区画を必要とする。
伝染病をモデル化する際に考慮する必要があるその他の事象としては、以下のようなものがある。
ここで提示された決定論的モデルは、十分に大きな母集団の場合にのみ有効であることを強調することが重要でありJune 2020、そのようなものとして慎重に使用されるべきである。
より正確には、これらのモデルは熱力学的極限においてのみ有効であり、ここでは母集団は実質的に無限大である。確率モデルでは、システム内で感染者の数が1人以下になる確率が有限であるため、上述した長期的なエンデミックな平衡解は成り立たない。真のシステムでは、感染する宿主がいないので、病原体は伝播しないかもしれない。しかし、決定論的平均場モデルでは、感染者数は実数、すなわち、感染した宿主の非整数値を取ることができ、モデル内の宿主の数は1以下であっても、0以上であってもよく、それによってモデル内の病原体が伝播することが可能となる。