作用・角変数
作用・角変数 (さよう・かくへんすう, action-angle variable) とは、解析力学において可積分な正準力学系に対して導入される、作用変数と角変数の組からなる正準変数のこと。
n自由度の自励正準力学系がLiouvilleの意味で可積分であるとは、n個の関数的に独立な孤立積分 F_i (i = 1, 2, \cdots, n) が存在し、互いにPoisson可換であること、すなわち
\left[ F_i , F_j \right] = 0
を満足することである。このとき、リウヴィル=アーノルドの定理は、各積分 F_i が値 f_i を取る超曲面 \bigcap_{i = 1}^n F_i^{-1} ( f_i ) が連結かつコンパクトであるならば、この曲面はトーラス \mathbb{T}^n と同相であること(Arnoldトーラスと呼ばれる)、そしてArnoldトーラスを含む近傍で定義された正準変数 ( \mathbf{J}, \boldsymbol{\theta} ) が存在しハミルトニアン H が \mathbf{J} だけの関数になることを主張する。この定理により保証される正準変数 ( \mathbf{J}, \boldsymbol{\theta} ) が作用・角変数である。
変数分離可能 (separable) な系に関しては、作用・角変数をより明示的に導入することができる。このような系では、適切な正準変数 ( \mathbf{p}, \mathbf{q} ) を用いると、ハミルトンの特性関数 S ( \mathbf{q}, \boldsymbol{\alpha} ) を S = S_1 ( q_1, \mathbf{\alpha} ) + S_2 ( q_2, \boldsymbol{\alpha} ) + \cdots + S_n ( q_n, \boldsymbol{\alpha} ) という形に書くことができる。積分定数 \boldsymbol{\alpha} = ( \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n ) の値が特定されると、各座標 q_i が周期運動をするならば、その運動のパターンは次の二通りが可能である。
ある有界な範囲を周期的に運動する秤動 (libration)
運動量が座標の周期関数となる回転 (rotaion)
このとき、定数 \mathbf{\alpha} により定まる解軌道に沿った一周期に関する次の積分
J_i := \frac{ 1 }{ 2 \pi } \oint p_i \, dq_i = \frac{ 1 }{ 2 \pi } \oint \frac{ \partial S_i }{ \partial q_i } ( q_i, \boldsymbol{\alpha} ) dq_i
により作用変数 (action variable) J_i = J_i ( \boldsymbol{\alpha} ) が定義できる。この定義のもとでハミルトンの特性関数は S = S ( \mathbf{q}, \mathbf{J} ) という関数に読み替えることができ、この特性関数を母関数とする正準変換 ( \mathbf{p}, \mathbf{q} ) \mapsto ( \mathbf{J}, \boldsymbol{\theta} ) により角変数 (angle variable)
\theta_i := \frac{ \partial S }{ \partial J_i }
が導入される。角変数 \theta_i は運動の一周期の間に 2 \pi 変化する。
作用・角変数 ( \mathbf{J}, \boldsymbol{\theta} ) を用いるとき、系のハミルトニアンは H = H ( \mathbf{J} ) であるため、正準方程式は
\frac{ d J_i }{ d t } = - \frac{ \partial H }{ \partial \theta_i } = 0 , \ \ \frac{ d \theta_i }{ d t } = \frac{ \partial H }{ \partial J_i } =: \omega_i ( \mathbf{J} )
となる。従ってその解はただちに
J_i = \mathrm{Const.}, \ \ \theta_i = \omega_i ( \mathbf{J} ) t + \beta_i
と求まる (\beta_i は定数)。従って \omega_i = \frac{ \partial H }{ \partial J_i } は運動の角振動数である。この解がArnoldトーラス上に描く軌道をKronecker軌道と呼ぶ。
振動数 \boldsymbol{\omega} = ( \omega_1, \omega_2, \cdots, \omega_n ) がすべて互いに有理数比にある場合には、解軌道 \boldsymbol{\theta} = \boldsymbol{\omega} t + \boldsymbol{\beta} はArnoldトーラス上の周期軌道となる。一方、そうでない場合には、解軌道はArnoldトーラスを稠密に埋め尽くし、準周期軌道 (qusi-periodic orbit) または条件周期軌道 (conditionally periodic orbit) と呼ばれる。
可積分ハミルトニアン H_0 に摂動 \epsilon H_1 が加わったハミルトニアン
H = H_0 ( \mathbf{J} ) + \epsilon H_1 ( \mathbf{J}, \boldsymbol{\theta} )
を取り扱うことはしばしばある。このような近可積分系に対して適用される正準摂動論は作用・角変数に立脚して定式化される。これは、非摂動ハミルトニアン H_0 に関する作用・角変数 ( \mathbf{J}, \boldsymbol{\theta} ) から摂動後のハミルトニアンに関する作用・角変数 ( \mathbf{J}^*, \boldsymbol{\theta}^* ) への正準変換 S = S ( \boldsymbol{\theta}, \mathbf{J}^* ) を摂動的に決定するというアイデアに基づいている。
作用変数 J は、ハミルトニアンの断熱的な(運動の時間スケールに比べてゆっくりとした)変化に際して保存する断熱不変量になる。
1次元調和振動子は次のハミルトニアンにより記述される。
H = \frac{ p^2 }{ 2 m } + \frac{ 1 }{ 2 } m \omega_0^2 q^2
この系はエネルギー E が保存するため可積分であり、ハミルトンの特性関数 S はエネルギーを積分定数とする
S = \int \pm \sqrt{ 2 m E - m^2 \omega_0^2 q^2 } \, dq
という形に求まる。ここから調和振動子の作用・角変数は J = E / \omega_0, \theta = \arcsin \left( \sqrt{ \frac{ m \omega_0 }{ 2 J } } q \right) と計算できる。
q = \sqrt{ \frac{ 2 J  }{ m \omega_0 } } \, \sin \theta , \ \ p = \sqrt{ 2 m \omega_0 J } \, \cos \theta
H = \omega_0 J
3次元ケプラー問題のハミルトニアンは、球座標 ( r, \theta, \phi ) を用いるとき変数分離系となる。
H = \frac{ 1 }{ 2 } \left( p_r^2 + \frac{ 1 }{ r^2 } p_\theta^2 + \frac{ 1 }{ r^2 \sin^2 \theta } p_\phi^2 \right) - \frac{ \mu }{ r }
対応するハミルトンの特性関数は次式で与えられる。
S = \int \pm \sqrt{ 2 C + \frac{ 2 \mu }{ r } - \frac{ G^2 }{ r^2 } } dr + \int \pm \sqrt{ G^2 - \frac{ G_z^2 }{ \sin^2 \theta } } d\theta + G_z \phi
系のエネルギーが負であるときには運動は有界であり、作用・角変数 ( J_r, J_\theta, J_\phi , w_r, w_\theta, w_\phi ) は次のように求められる。
J_r = \sqrt{ \mu a } \left[ 1 - \sqrt{ 1 - e^2 } \right] , \ \ J_\theta = \sqrt{ \mu a ( 1 - e^2 ) } \, ( 1 - \cos I ) , \ \ J_\phi = \sqrt{ \mu a ( 1 - e^2 ) } \, \cos I
w_r = M , \ \ w_\theta = M + \omega , \ \ w_\phi = M + \omega + \Omega
ここに a は軌道長半径、e は軌道離心率、I は軌道傾斜角、M は平均近点離角、\omega は近点引数、\Omega は昇交点黄経である。このときハミルトニアンは H = - \frac{ \mu^2 }{ 2 ( J_r + J_\theta + J_\phi )^2 } と表示される。なお、天体力学において用いられるドローニー変数やポアンカレ変数は、この作用・角変数に対して接触変換を施すことで得られる正準変数である。