ヘーグナー数
数論におけるヘーグナー数 (英: Heegner number)(コンウェイとガイによる命名)とは、虚二次体 \mathbb{Q}[\sqrt{-d}] の類数が 1 となる平方因子を持たない正の整数 d のことである。言い換えれば、その整数環は一意な分解を持つ。
このような数は類数問題の特別なケースから定まるとともに、数論におけるいくつかの注目すべき結果の根底にある。
(ベイカー・)スターク・ヘーグナーの定理によれば、ヘーグナー数は正確に9つ存在する。
1,2,3,7,11,19,43,67,163  A003173
この結果はガウスによって予想され、1952年にクルト・ヘーグナーによって軽微な誤りを含む証明がなされた。  アラン・ベイカーとハロルド・スターク (数学者)は1966年に結果を独立して証明し、スタークはさらにヘーグナーの証明の誤りは軽微であることを示した。
n = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーの素数生成多項式
n^2 - n + 41
は、ヘーグナー数 163 = 4・41 − 1 と対応している。
オイラーの式において n が 1, ..., 40 の値をとるとすると、 n が 1, ..., 39 の値をとる以下の式と等価である。
n^2 + n + 41
ゲルマノヴィッチ・ラビノヴィッチ は
n^2 + n + p \,
について、判別式 1-4p が負のヘーグナー数の場合、またそのときに限り、n=0,\dots,p-2 に対して素数を与えることを証明した。
(なお p-1 を代入すると p^2 となるため、p-2 が n の最大値となる。)
4p-1 = 1, 2, 3 を満たす p が存在しないため、機能するヘーグナー数は 7, 11, 19, 43, 67, 163 であり、これらはオイラーの形の素数生成式における p = 2,3,5,11,17,41 にそれぞれ対応する。特にこれらの p は、フランソワ・ル=リヨネによってオイラーの幸運数と呼ばれている。
ラマヌジャンの定数とは超越数 e^{\pi \sqrt{163} のことであり、整数に数学的偶然という点でほとんど整数である。
e^{\pi \sqrt{163} = 262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots   \approx 640\,320^3+744.
この数は、1859年に数学者シャルル・エルミートによって発見された。サイエンティフィック・アメリカン誌の1975年エイプリルフールの記事 「数学的ゲーム」のコラムニストであるマーティン・ガードナーは、「その数は実際に整数であり、インドの天才数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予測していた」という話をでっち上げたことから、この名前がついた。
この偶然性は、 虚数乗法とj-不変量のq-展開によって説明できる。
簡単に言えば、ヘーグナー数 d に対して j((1+\sqrt{-d})/2) は整数であり、e^{\pi \sqrt{d} \approx -j((1+\sqrt{-d})/2) + 744 が q -展開によって示される。
もし \tau が二次無理数とすると、j-不変量は次数 |\mbox{Cl}(\mathbf{Q}(\tau))| の代数的整数であり、\mathbf{Q}(\tau) の類数と\mathbf{Q}(\tau) が満たす最小(モニック整数)多項式は、「ヒルベルト類多項式 (Hilbert class polynomial)」と呼ばれる。 したがって、虚数の2次拡大体 \mathbf{Q}(\tau) の類数が 1 であれば(つまり d はヘーグナー数)、 j-不変量は整数となる。
フーリエ級数展開を q=\exp(2 \pi i \tau) のローラン級数として表した j の q-展開は、最初の3項は以下のとおりである:
j(\tau) = \frac{1}{q} + 744 + 196\,884 q + \cdots
ローラン級数の係数 c_n は漸近的に \ln(c_n) \sim 4\pi \sqrt{n} + O(\ln(n))  のように増大し、また低次の係数の増大が 200\,000^n よりも遅いため、 q \ll 1/200\,000 において、 j は最初の2つの項で非常によく近似される。\tau = (1+\sqrt{-163})/2 とすると q=-\exp(-\pi \sqrt{163}) つまり \frac{1}{q}=-\exp(\pi \sqrt{163}) となる。ここで j((1+\sqrt{-163})/2)=(-640\,320)^3 とすると、以下の式が得られる。
(-640\,320)^3=-e^{\pi \sqrt{163}+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}\right).
e^{\pi \sqrt{163}=640\,320^3+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}\right)
であり、誤差の線形項は
-196\,884/e^{\pi \sqrt{163} \approx -196\,884/(640\,320^3+744)
\approx -0.000\,000\,000\,000\,75
となるため、e^{\pi \sqrt{163} が上記の範囲でほぼ整数である理由となる。
1987年、チュドノフスキー兄弟は以下の式を発見した。
\frac{1}{\pi} = \frac{12}{640\,320^{3/2} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (163 \cdot 3\,344\,418k + 13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^3 (-640\,320)^{3k}
これは、 j\left(\tfrac{1+\sqrt{-163}{2}\right) = -640\,320^3 という事実を用いている。同様の式については、ラマヌジャン・佐藤級数を参照せよ。
大きい方から4つのヘーグナー数について、以下の近似が得られる 。
\begin{align}
e^{\pi \sqrt{19} &\approx 96^3+744-0.22\\
e^{\pi \sqrt{43} &\approx 960^3+744-0.000\,22\\
e^{\pi \sqrt{67} &\approx 5\,280^3+744-0.000\,0013\\
e^{\pi \sqrt{163} &\approx 640\,320^3+744-0.000\,000\,000\,000\,75
\end{align}
あるいは、
\begin{align}
e^{\pi \sqrt{19} &\approx 12^3(3^2-1)^3+744-0.22\\
e^{\pi \sqrt{43} &\approx 12^3(9^2-1)^3+744-0.000\,22\\
e^{\pi \sqrt{67} &\approx 12^3(21^2-1)^3+744-0.000\,0013\\
e^{\pi \sqrt{163} &\approx 12^3(231^2-1)^3+744-0.000\,000\,000\,000\,75
\end{align}
ここで2乗の理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものである。d < 19 のヘーグナー数についてはほとんど整数となる近似を得られず、 d = 19 さえ注目に値しない。整数の j-不変量は細かく因数分解可能であるが、これは 12^3(n^2-1)^3=(2^2\cdot 3 \cdot (n-1) \cdot (n+1))^3 ということに従う。素因数は以下のとおりである。
\begin{align}
j((1+\sqrt{-19})/2) &= 96^3 =(2^5 \cdot 3)^3\\
j((1+\sqrt{-43})/2) &= 960^3=(2^6 \cdot 3 \cdot 5)^3\\
j((1+\sqrt{-67})/2) & =5\,280^3=(2^5 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11)^3\\
j((1+\sqrt{-163})/2) &=640\,320^3=(2^6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 29)^3.
\end{align}
これらの超越数は、(単に次数 1 の代数的数である)整数によるよい近似のほかに、次数 3 の代数的数によってもよく近似できる。
\begin{align}
e^{\pi \sqrt{19} &\approx x^{24}-24.000\,31 ;\ \ \qquad\qquad\qquad x^3-2x-2=0\\
e^{\pi \sqrt{43} &\approx x^{24}-24.000\,000\,31 ;\qquad\qquad\quad x^3-2x^2-2=0\\
e^{\pi \sqrt{67} &\approx x^{24}-24.000\,000\,001\,9  ;\qquad\qquad x^3-2x^2-2x-2=0\\
e^{\pi \sqrt{163} &\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011 ;\quad x^3-6x^2+4x-2=0
\end{align}
3次式の根は、24番目の根を含むモジュラー関数であるデデキントのイータ関数 η(τ)の商によって正確に与えられ、これが近似における数値 24 の理由となる。また、次数4の代数的数によっても近似できる。
\begin{align}
e^{\pi \sqrt{19} &\approx 3^5 \left(3-\sqrt{2(1- 96/24+1\sqrt{3\cdot19})} \right)^{-2}-12.000\,06\dots\\
e^{\pi \sqrt{43} &\approx 3^5 \left(9-\sqrt{2(1- 960/24+7\sqrt{3\cdot43})} \right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots\\
e^{\pi \sqrt{67} &\approx 3^5 \left(21-\sqrt{2(1- 5\,280/24 +31\sqrt{3\cdot67})} \right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots\\
e^{\pi \sqrt{163} &\approx 3^5 \left(231-\sqrt{2(1- 640\,320/24+2\,413\sqrt{3\cdot163})} \right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots
\end{align}
括弧内の式を x とおくと(例: x=3-\sqrt{2(1- 96/24+1\sqrt{3\cdot19})} )、x はそれぞれ四次方程式を満たす。
\begin{align}
&x^4 - 4\cdot 3 x^3 + \tfrac23( 96 +3) x^2 \qquad\quad- \tfrac23\cdot3(96-6)x - 3=0\\
&x^4 - 4\cdot 9x^3 + \tfrac23( 960 +3) x^2\ \ \quad\quad- \tfrac23\cdot9(960-6)x - 3=0\\
&x^4 - 4\cdot 21x^3 + \tfrac23( 5\,280 +3) x^2\quad\ \;- \tfrac23\cdot21(5\,280-6)x - 3=0\\
&x^4 - 4\cdot 231x^3 + \tfrac23( 640\,320 +3) x^2 - \tfrac23\cdot231(640\,320-6)x - 3=0\\
\end{align}
整数 n = 3, 9, 21, 231 の再出現と、以下の事実に注意せよ。
\begin{align}
&2^6 \cdot 3(-(1- 96/24)^2+ 1^2 \cdot3\cdot 19 ) = 96^2\\
&2^6 \cdot 3(-(1- 960/24)^2+ 7^2\cdot3 \cdot 43 ) = 960^2\\
&2^6 \cdot 3(-(1- 5\,280/24 )^2+ 31^2 \cdot 3\cdot67 ) = 5\,280^2\\
&2^6 \cdot 3(-(1- 640\,320/24)^2+ 2413^2\cdot 3 \cdot163 ) = 640\,320^2
\end{align}
これは、適切な分数累乗を与えれば、正確に j-不変量である。
同様に、次数 6 の代数的数では以下のようになる。
\begin{align}
e^{\pi \sqrt{19} &\approx (5x)^3-6.000\,010\dots\\
e^{\pi \sqrt{43} &\approx (5x)^3-6.000\,000\,010\dots\\
e^{\pi \sqrt{67} &\approx (5x)^3-6.000\,000\,000\,061\dots\\
e^{\pi \sqrt{163} &\approx (5x)^3-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots
\end{align}
ここで、x はそれぞれ六次方程式の適切な根によって与えられる。
\begin{align}
&5x^6-96x^5-10x^3+1=0\\
&5x^6-960x^5-10x^3+1=0\\
&5x^6-5\,280x^5-10x^3+1=0\\
&5x^6-640\,320x^5-10x^3+1=0
\end{align}
ここで j-不変量が再び現れる。これらの六次方程式は代数的であるだけでなく、拡大体 \mathbb{Q}(\sqrt{5}) の上で2つの三次式に因数分解される(最初の因数はさらに2つの二次式に分解できる)ので、冪根によって解ける。これらの代数的近似は、デデキント・イータ商で正確に表現できる。例として、 \tau = (1+\sqrt{-163})/2 とすると、
\begin{align}
e^{\pi \sqrt{163} &= \left( \frac{e^{\pi i/24} \eta(\tau)}{\eta(2\tau)} \right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots\\
e^{\pi \sqrt{163} &= \left( \frac{e^{\pi i/12} \eta(\tau)}{\eta(3\tau)} \right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots\\
e^{\pi \sqrt{163} &= \left( \frac{e^{\pi i/6} \eta(\tau)}{\eta(5\tau)} \right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots
\end{align}
ここで、イータ商は上記の代数的数である。
類数 2 を持つ虚二次体 \mathbb{Q}[\sqrt{-d}] を与える3つの数字 88, 148, 232 は、ヘーグナー数とは見なされないが、 ほとんど整数という点で同様の特性を有する。たとえば、
\begin{align}
e^{\pi \sqrt{88} +8\,744 \approx\quad\quad 2\,508\,952^2&-.077\dots\\
e^{\pi \sqrt{148} +8\,744 \approx\quad 199\,148\,648^2&-.000\,97\dots\\
\ e^{\pi \sqrt{232} +8\,744 \approx 24\,591\,257\,752^2&-.000\,0078\dots\\
\end{align}
\begin{align}
e^{\pi \sqrt{22} -24 &\approx (6+4\sqrt{2})^{6}\quad +.000\,11\dots\\
e^{\pi \sqrt{37} {\color{red}+}\,24 &\approx (12+ 2 \sqrt{37})^6 -.000\,0014\dots\\
e^{\pi \sqrt{58} -24 &\approx (27 + 5 \sqrt{29})^6 -.000\,000\,0011\dots\\
\end{align}
p を奇素数として、k=0,1,\dots,(p-1)/2 に対して  k^2 \pmod{p} を計算すると((p-k)^2\equiv k^2 \pmod{p} なので、k の範囲はこれで十分である)、 p がヘーグナー数である場合、またそのときに限り、連続する素数のに続いて連続する合成数が得られる。
詳細については、リチャード・モリン(Richard Mollin)の "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" を参照せよ。