球冠
球冠(英語ではspherical cap, spherical domeやspherical segment of one baseという)とは、平面により切断された球の一部のこと。平面が球の中心を通り、球冠の高さが球体の半径と等しいときには半球となる。
球冠の体積と曲面の面積は、次の値を組み合わせることで計算できる。
球の半径 r
球冠の底の半径 a
球冠の高さ h
球の中心から球冠の頂点(極)までの線と球冠の底を形作る円板の端との間の極角 \theta
\phi が地理座標における緯度を示す場合、\theta+\phi = \pi/2 = 90^\circ\,である。
h と r の関係は0\le h\le2rであれば問題ない。例えば、図の赤い部分はh > rの球冠である。
r と h を用いる式は、ピタゴラスの定理を用いてrの代わりに球冠の底面の半径aを用いる式に書き換えることができる。
r^2 = (r-h)^2 + a^2 = r^2 + h^2 - 2rh + a^2\,,
r= \frac{a^2 + h^2}{2h}\,.
となる。
V = \frac {\pi h^2}{3} \left(\frac{3a^2 + 3h^2}{2h}-h \right) = \frac{1}{6}\pi h (3a^2 + h^2)\,,
A = 2 \pi \frac{(a^2 + h^2)}{2h} h = \pi (a^2 + h^2)\,.
となる。
以下の議論ベースの計算とは別であるが、球冠の表面積は直感的な議論により球面扇形の体積 V_{sec} から導出することができる。
A = \frac{3}{r}V_{sec} = \frac{3}{r} \frac{2\pi r^2h}{3} = 2\pi rh\,.
直感的な議論は、総体積を無限小の三角錐の総体積を合計することに基づいている。角錐の体積の式V = \frac{1}{3} bh'(bは各角錐の底面(球体の表面にある)の無限面積で、h' は底面から頂点(球の中心)までの各角錐の高さ)を用いる。極限をとったときの各h'は定数であり、球の半径rと等しいため、無限小の角錐の底面積の合計は球冠の表面積に等しくなる。
V_{sec} = \sum{V} = \sum\frac{1}{3} bh' = \sum\frac{1}{3} br = \frac{r}{3} \sum b = \frac{r}{3} A
f(x)=\sqrt{r^2-(x-r)^2}=\sqrt{2rx-x^2} (x \in [0,h])
を調べ、表面積に対しては回転面の式、体積に対しては回転体の式を用いることで導出される。
A = 2\pi\int_0^h f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} \,dx
である。fの導関数は
f'(x) = \frac{r-x}{\sqrt{2rx-x^2}
1+f'(x)^2 = \frac{r^2}{2rx-x^2}
となる。よって表面積の式は
A = 2\pi\int_0^h \sqrt{2rx-x^2} \sqrt{\frac{r^2}{2rx-x^2} \,dx
= 2\pi \int_0^h r\,dx
= 2\pi r \left[x\right]_0^h
= 2 \pi r h
となる。体積は
V = \pi \int_0^h f(x)^2 \,dx
= \pi \int_0^h (2rx-x^2) \,dx
= \pi \left[rx^2-\frac13x^3\right]_0^h
= \frac{\pi h^2}{3} (3r - h)
となる。
半径r_1 と r_2の球が交差したときの和集合の体積は、
V = V^{(1)}-V^{(2)}\,,
V^{(1)} = \frac{4\pi}{3}r_1^3 +\frac{4\pi}{3}r_2^3
V^{(2)} = \frac{\pi h_1^2}{3}(3r_1-h_1)+\frac{\pi h_2^2}{3}(3r_2-h_2)
は交差を作り出す2つの球冠の体積の合計。d \le r_1+r_2 が2つの球の中心間の距離であるとき、変数h_1 と h_2を消すと
V^{(2)} = \frac{\pi}{12d}(r_1+r_2-d)^2 \left( d^2+2d(r_1+r_2)-3(r_1-r_2)^2 \right)\,.
となる。
2つの平行な平板で囲まれた球台の表面積は、それぞれの球冠の表面積の差である。半径rで高さがh_1 と h_2の球冠の場合、表面積は
A=2 \pi r |h_1 - h_2|\,,
であり、地理座標である緯度\phi_1 と \phi_2を用いると
A=2 \pi r^2 |\sin \phi_1 - \sin \phi_2|\,,
となる。例えば、地球を半径6371 kmの球と仮定すると、北極(2016年8月現在、北極圏である緯度66.56°より北)の表面積は、2pi·63712|sin 90° − sin 66.56°| = 2104万km2で、地球の総表面積の0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4.125%である。
この式を用いることで、地球の表面積の半分が南緯30°と北緯30°の間にあることを示すことができる。この範囲は熱帯を包含する。
回転楕円体のドーム(spheroidal dome)は、ドームが円対称(回転軸を持つ)になるように回転楕円体の一部を切り取ることで得られる。楕円体から楕円体のドームも同様に得られる。
一般的に、n次元ユークリッド空間における高さh で半径 rの超球冠のn次元の体積は
V = \frac{\pi ^ {\frac{n-1}{2}\, r^{n}{\,\Gamma \left ( \frac{n+1}{2} \right )} \int\limits_{0}^{\arccos\left(\frac{r-h}{r}\right)}\sin^n (t) \,\mathrm{d}t
で与えられる。ここで\Gamma(ガンマ関数)は \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t で与えられる。
Vの式は、n次元球体単位の体積C_{n}={\scriptstyle \pi^{n/2}/\Gamma[1+\frac{n}{2}]}や超幾何関数 {}_{2}F_{1} 、正規化不完全ベータ関数 I_x(a,b) を用いて
V = C_{n} \, r^{n} \left( \frac{1}{2}\, - \,\frac{r-h}{r} \,\frac{\Gamma[1+\frac{n}{2}]}{\sqrt{\pi}\,\Gamma[\frac{n+1}{2}]}
{\,\,}_{2}F_{1}\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1-n}{2};\tfrac{3}{2};\left(\tfrac{r-h}{r}\right)^{2}\right)\right)
=\frac{1}{2}C_{n} \, r^n I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2} \right)と表すことができ、
表面積の式Aは、n次元球体単位の表面積A_{n}={\scriptstyle 2\pi^{n/2}/\Gamma[\frac{n}{2}]}を用いて
A =\frac{1}{2}A_{n} \, r^{n-1} I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n-1}{2}, \frac{1}{2} \right)
と表すことができる。ここで0\le h\le r である。
それより前に (1986, USSR Academ. Press) 次の式が導出されていた。
A=A_n p_ { n-2 } (q), V=C_n p_n (q) , where
q= 1-h/r (0 \le q \le 1 ), p_n (q) =(1-G_n(q)/G_n(1))/2 ,
G _n(q)= \int \limits_{0}^{q} (1-t^2) ^ { (n-1) /2 } dt .
奇数 n=2k+1: に対しては
G_n(q) = \sum_{i=0}^k (-1) ^i \binom k i \frac {q^{2i+1} {2i+1} .
n \to \infty およびq\sqrt n = \text{const.}である場合、 p_n (q) \to 1- F({q \sqrt n}) ( F() は標準正規分布の積分)であることが示されている。
より定量的な方法でこれを書くと、境界
A/A_n = n^{\Theta(1)} \cdot [(2-h/r)h/r]^{n/2}が与えられる。
大きな球冠(n\to \inftyで(1-h/r)^4\cdot n = O(1))の場合、境界はn^{\Theta(1)} \cdot e^{-(1-h/r)^2n/2} と簡単にすることができる。