円周率を含む数式
円周率を含む数式(えんしゅうりつをふくむすうしき)を分野別にまとめる。数式自体または円周率、円周率の近似のいずれかの記事において重要性が確立されているものだけを述べる。
円の外周(円周) C と直径 d の関係
C =\pi d
円の面積 A と半径 r の関係
A = \pi r^2
球の体積 V と半径 r の関係
V = \frac{4}{3}\pi r^3
球の表面積 S と半径 r の関係
S = 4\pi r^2
\Lambda = 8\pi G} \over {3c^2 \rho
\Delta x\, \Delta p \ge \frac h {4\pi}
R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}
F = \frac{4 \pi \varepsilon_0 r^2}
T \approx 2\pi \sqrt\frac L g
F =\frac{\pi^2EI}{L^2}
\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sech}(x) \, dx = \pi
\int_{-\infty}^\infty \int_t^\infty e^{-1/2t^2-x^2+xt} \, dx \, dt = \int_{-\infty}^\infty \int_t^\infty e^{-t^2-1/2x^2+xt} \, dx \, dt = \pi
\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac \pi 2
\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2} = \pi
\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2} = \pi (逆正接関数)
\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}  (ガウス積分)
\oint\frac{dz} z = 2\pi i (コーシーの積分定理)
\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x} x \,dx=\pi
\int_0^1 {x^4(1-x)^4 \over 1+x^2}\,dx = {22 \over 7} - \pi (円周率が22/7より小さいことの証明)
\sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(2k+1)!!} = \sum_{k=0}^\infty\frac{2^k k!^2}{(2k+1)!} = \frac \pi 2
12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}=\frac 1 \pi  (Chudnovsky algorithm)
\frac{2\sqrt{2}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}=\frac 1 \pi  (シュリニヴァーサ・ラマヌジャン)
\frac{12}{\sqrt{(1249638720+159999840\sqrt{61})^{3}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(6n)!(1657145277365+212175710912\sqrt{61}+(107578229802750+3773980892672\sqrt{61})n)}{(3n)!(n!)^{3}(1249638720+159999840\sqrt{61})^{n}=\frac{1}{\pi}(Borwein)
\frac{\sqrt{3}{6^5} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{((4k)!)^2(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!} \left( \frac{127169}{12k + 1} - \frac{1070}{12k + 5} - \frac{131}{12k + 7} + \frac{2}{12k + 11}\right)=\pi
以下は、円周率の任意の桁を2進数で求められる効率的な数式である。
\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)=\pi (ベイリー=ボールウェイン=プラウフの公式)
\frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac(-1)}^n}{2^{10n \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)=\pi
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} (バーゼルの問題、リーマンゼータ関数)
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
\zeta(2n) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2n}\, = \frac{1}{1^{2n} + \frac{1}{2^{2n} + \frac{1}{3^{2n} + \frac{1}{4^{2n} + \cdots = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}{2(2n)!} , ただし B2n は ベルヌーイ数)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n - 1}{4^n}\, \zeta(n+1) = \pi
\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}{2n+1} \right) }^1 = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \arctan{1} = \frac{\pi}{4} (ライプニッツ公式)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}{n^2}=\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots=\frac{\pi^2}{12}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{(2n)^2} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{8^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{24}
\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}{2n+1} \right) }^2 = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}
\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}{2n+1} \right) }^3 = \frac{1}{1^3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \cdots = \frac{\pi^3}{32}
\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}{2n+1} \right) }^4 = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \frac{1}{7^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{96}
\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}{2n+1} \right) }^5 = \frac{1}{1^5} - \frac{1}{3^5} + \frac{1}{5^5} - \frac{1}{7^5} + \cdots = \frac{5\pi^5}{1536}
\sum_{n=0}^{\infty} {\left( \frac{(-1)^{n}{2n+1} \right) }^6 = \frac{1}{1^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{5^6} + \frac{1}{7^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{960}
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(4n+1)(4n+3)} = \frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 7} +\frac{1}{9\cdot 11} +\cdots=\frac{\pi}{8}
\pi = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 - \frac15 + \frac16 + \frac17 + \frac18 + \frac19 - \frac110 + \frac111 + \frac112 - \frac113 + \cdots    (オイラー、1748年)
この式では、最初の2つの項の後、符号は次のように決定される。分母が4m - 1で表される素数である場合、符号は正であり。分母が4m + 1で表される素数である場合、符号は負である。 合成数の場合、符号はその素因数分解した素数の符号の積に等しい。
\sum_{n=1}^\infty \frac{F_{2n}{n^2 \binom{2n}{n}=\frac{4\pi^2}{25\sqrt5}
ただし F_n はn番目のフィボナッチ数。
\frac{\pi}{4} = \arctan 1
\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3}
\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{2} - \arctan\frac{1}{7}
\frac{\pi}{4} = 2 \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7}
\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}  (マチンの公式)
\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79}
\frac{\pi}{4} = 6 \arctan\frac{1}{8} + 2 \arctan\frac{1}{57} + \arctan\frac{1}{239}
\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}
\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}
\frac{\pi}{2} = \sum_{n=0}^\infty \arctan\frac{1}{F_{2n+1} = \arctan\frac{1}{1} + \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{5} + \arctan\frac{1}{13} + \cdots
ただし F_n はn番目のフィボナッチ数。
(x)_n  は階乗冪。Ramanujan–Sato seriesを参照
\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{19}{20} \cdot \frac{23}{24} \cdot \frac{29}{28} \cdot \frac{31}{32}  \cdot\,\cdots  (オイラー)
全ての奇素数を分子とし、それに最も近い4の倍数を分母とした分数の総乗。
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{4}{3} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{36}{35} \cdot \frac{64}{63} \cdot\,\cdots = \frac{\pi}{2}  (ウォリス積を参照)
Viète's formula:
\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot\, \cdots = \frac2\pi
\pi= {3 + \cfrac{1^2}{6 + \cfrac{3^2}{6 + \cfrac{5^2}{6 + \cfrac{7^2}{6 + \ddots\,}}}
\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{3 + \cfrac{2^2}{5 + \cfrac{3^2}{7 + \cfrac{4^2}{9 + \ddots}}}
\pi = \cfrac{4}{1 + \cfrac{1^2}{2 + \cfrac{3^2}{2 + \cfrac{5^2}{2 + \cfrac{7^2}{2 + \ddots}}}
2\pi = {6 + \cfrac{2^2}{12 + \cfrac{6^2}{12 + \cfrac{10^2}{12+ \cfrac{14^2}{12 + \cfrac{18^2}{12 + \ddots}}}
(連分数を参照)
n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n(スターリングの近似)
e^{i \pi} +1 = 0 (オイラーの等式)
\sum_{k=1}^{n} \varphi (k) \sim \frac{3n^2}{\pi^2} (オイラーのトーティエント関数)
\sum_{k=1}^{n} \frac {\varphi (k)} {k} \sim \frac{6n}{\pi^2} (オイラーのトーティエント関数)
\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi} (ガンマ関数)
\pi = \frac{\Gamma\left({1/4}\right)^{4/3} \operatorname{agm}(1, \sqrt{2})^{2/3}{2} (agmは算術幾何平均)
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (n\;\bmod\;k) = 1-\frac{\pi^2}{12} (mod は剰余演算)
\pi = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^n \sqrt{n^2 - k^2}  (単位円の面積とリーマン和を参照)
\pi = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{4n}{n {2n\choose n}^2}  (スターリングの近似)