エミー・ネーター
ネーターの同僚は1932年の彼女の50回目の誕生日を典型的な数学者の様式で祝った.ヘルムート・ハッセ (Helmut Hasse) は Mathematische Annalen で彼女に論文を捧げ,そこで彼は非可換相互法則を証明することによって非可換環論のある面は可換環論のそれよりも単純であるという彼女の感づきを立証した.これは彼女を非常に喜ばせた.彼はまた彼女に数学的なぞなぞ,"mμν-riddle of syllables", を送り,彼女はそれを直ちに解いたが,そのなぞなぞは失われている.
同じ年の11月,ネーターはチューリッヒでの国際数学者会議で「可換環論と数論への関係で見る超複素数系」についての plenary address (großer Vortrag) を行った.会議には800人が出席し,ネーターの同僚のヘルマン・ワイル (Hermann Weyl)、エトムント・ランダウ (Edmund Landau)、ヴォルフガング・クルル (Wolfgang Krull) もいた.420人の公式の参加者がいて,21の plenary addresses が行われた.明らかにネーターの目立つ演説順は彼女の数学への貢献の重要性の承認だった.1932年の会議は彼女のキャリアの頂点と記述されることもある.
アドルフ・ヒトラー (Adolf Hitler) が1933年1月にドイツの首相 (Reichskanzler) になった時,国の周りのナチの活動は劇的に増加した.ゲッチンゲン大学では the German Student Association はユダヤ人に帰せられる "un-German spirit" への攻撃を導きネーターの以前の学生の私講師 Werner Weber によって援助された.反ユダヤ主義的な考えはユダヤ人教授に過酷な状況をもたらした.一人の若い抗議する人は伝えられるところによれば次のように要求した:"Aryan students want Aryan mathematics and not Jewish mathematics."
ヒトラー政権の最初の行動の1つは,ユダヤ人を追い出し,第一次世界大戦で仕えて「ドイツへの忠誠を証明」していない限り(大学教授を含む)政府の被雇用者に彼らの仕事から嫌疑を掛けた the Law for the Restoration of the Professional Civil Service であった.1933年4月ネーターは the Prussian Ministry for Sciences, Art, and Public Education から次のような通知を受け取った:"On the basis of paragraph 3 of the Civil Service Code of 7 April 1933, I hereby withdraw from you the right to teach at the University of Göttingen"(1993年4月7日の Civil Service Code の第三段落に基づいて,私はこれによってゲッチンゲン大学で教える権利をあなたから取り上げる).ネーターの同僚の何人か,例えばマックス・ボルン (Max Born) やリヒャルト・クーラント (Richard Courant) もまた職を取り消された.ネーターは決定を冷静に受け入れ,この困難な時代に他の人の援助をした.ヘルマン・ヴァイル (Hermann Weyl) は後に次のように書いた:"Emmy Noether—her courage, her frankness, her unconcern about her own fate, her conciliatory spirit—was in the midst of all the hatred and meanness, despair and sorrow surrounding us, a moral solace."(エミー・ネーター――彼女の勇気,彼女の率直さ,彼女の彼女自身の運命への無関心,彼女の懐柔的精神――は,私たちを取り巻くすべての憎しみと卑しさ,絶望と悲しみの真っただ中で,道徳的慰めであった.)例によってネーターは数学に集中し続け,類体論を議論するために彼女のアパートに学生を集めた.彼女の学生の一人がナチの準軍事組織の突撃隊 (Sturmabteilung, SA) の制服で現れた時,彼女は全く動揺を見せず,伝えられるところによれば,後にそのことについて笑いさえした.
新しく失業した数十人の教授がドイツの外で職を探し始めると、合衆国の彼らの同僚は支援と雇用の機会を彼らに提供しようとした。アルベルト・アインシュタイン (Albert Einstein) とヘルマン・ヴァイル (Hermann Weyl) はプリンストンの高級研究所によって任命され、他の人は法的な移民に必要な保証人を見つけるよう努めた。ネーターは2つの教育機関、アメリカのブリンマー大学とイギリスのオックスフォード大学のサマーヴィル・カレッジの代表者から連絡を受けた。ロックフェラー財団との一連の交渉の後、ブリンマーへの補助金はネーターのために承認され、彼女はそこで職を得、1933年おそくに始まった
ブリンマーでネーターは Anna Johnson Pell Wheeler (Anna Wheeler) と出会い友達になった。ホイーラーはネーターがゲッチンゲンに着く直前にそこで研究していた。大学での別の支援源はブリンマーの学長の Marion Edwards Park であった。彼は  "see Dr. Noether in action!" ためにその場所に数学者を情熱的に招いた。ネーターと、学生の小さいチームは、ファン・デル・ヴェルデンの1930年の本 Moderne Algebra I とエリッヒ・ヘッケ (Erich Hecke) の Theorie der algebraischen Zahlen(代数的数の理論)にすぐにとりくんだ。
1934年,ネーターは,エイブラハム・フレクスナー (Abraham Flexner) とオズワルド・ヴェブレン (Oswald Veblen) の招待により,プリンストン高級研究所で講義を始めた.彼女はまたエイブラハム・アドリアン・アルバート (Abraham Adrian Albert) とハリー・ヴァンディヴァー (Harry Vandiver) とともに研究し彼らを指導した.しかしながら,彼女はプリンストン大学について "men's university, where nothing female is admitted" では歓迎されなかったと述べた.
彼女のアメリカでの時間は,協力的な同僚に囲まれ,自分の好きな問題に没頭できたため,快適だった .1934年の夏,彼女はドイツに短い間帰り,トムスクに発つ前にエミール・アルティン (Emil Artin) や彼女の弟フリッツに会った.彼女の以前の同僚の多くは大学から締め出されていたが,ネーターは「外国人研究員」として図書館を使うことができた.
1935年4月、医者はネーターの骨盤に腫瘍を発見した。医者は手術の合併症を心配し、まず2日間ベッドで静養するよう言った。手術中に医者は「大きなカンタロープほどの大きさの」卵巣嚢腫を発見した。彼女の子宮の2つのより小さい腫瘍は良性であることが分かり手術が長引くのを避けるため除かれなかった。3日間彼女は順調に回復したように見え、4日目の循環虚脱からすぐに回復した。4月14日彼女は意識を失い、体温は 42.8 ℃ まで上がり、そして死んだ。「ネーター博士に何が起こったのか言うことは簡単ではない」と物理学者の一人は書いた。「ある種の異常な毒性の感染があって温熱中枢がある脳の基底部にダメージを与えたということもありうる。」
ネーターの死の数日後、彼女の友人とブリンマーの同僚は College President Park の家で小さな追悼式を行った。ヘルマン・ヴァイルとリチャード・ブラウアーはプリンストンから来て、ホイーラーとタウスキーとともに今はなき同僚について話した。その後数か月、世界中から賛辞の文書が送られ始めた。アルベルト・アインシュタインはヴァン・デル・ヴェルデン、ヴァイル、パヴェル・アレクサンドロフとともに敬意を表した。彼女は火葬され、遺灰は Bryn Mawr の M. Carey Thomas Library の回廊のまわりの歩道の下に埋葬された。
抽象代数学とトポロジーにおけるネーターの仕事は数学に大きな影響を与え、また物理においては、ネーターの定理が理論物理学と力学系を広範囲に渡る結果を持つ。彼女は抽象的思考に非常に長けており、数学の問題に新しく独自の方法で取り組むことができた。彼女の友人であり同僚であるヘルマン・ヴァイル (Hermann Weyl) は彼女の業績を次のように三つの時代に分けて記述した。
エミー・ネーターの科学的業績は次の3つの明確に異なる時代に分かれる。
(1) the period of relative dependence, 1907–1919;
(2) イデアルの一般論の周辺の研究 1920–1926;
(3) 非可換多元環、線型変換によるそれらの表現、可換数体やその数論の研究へのその応用、の研究。
第一の時代 (1907–19) には、ネーターは、不変式論を主に研究しており、これは Paul Gordan の下での学位論文に始まっていた。ゴルダンの後継であるエルンスト・シグムント・フィッシャーとの緊密なやりとりを通じて、ダフィット・ヒルベルトの功績に触れていくにつれて、彼女の数学的地平線は広がり、研究はより一般かつ抽象的になっていった。1915年にゲッティンゲンに移ってから、彼女は物理学に影響の大きい仕事、2つのネーターの定理を成し遂げた。
第二の時代 (1920–26) には、ネーターは数学の環の理論の発展に身を捧げた。
第三の時代 (1927–35) には、ネーターは非可換環論、線型変換、可換数体に焦点を当てた。
1832年から1935年のネーターの死までの時代、数学の分野、特に代数学、は格段に進歩し、その残響は今なお感じられる。その前の時代の数学は、特定の型の方程式、例えば三次、四次、五次方程式、を解くための実際的な手法や、それに関連した、コンパスと定規を用いて正多角形を作図する問題を研究していた。5 のような素数はガウスの整数で分解できるというカール・フリードリッヒ・ガウスの1832年の証明、エヴァリスト・ガロワの1832年の置換群の導入(彼の死のために彼の論文は1846年になってリューヴィルによって出版されたのであるが)、ウィリアム・ローワン・ハミルトンの1843年の四元数の発見、アーサー・ケイリーの1854年の群のより現代的な定義、に始まり、研究はより普遍的な規則によって定義されたより抽象的な対象の性質を決定するようになった。ネーターの数学への最も重要な貢献はこの新しい分野、抽象代数学の発展への貢献であった。
抽象代数学における最も基本的な対象のうちの2つは群と環である。
群は元の集合と1つの演算からなる。演算は第一の元と第二の元から第三の元を与える。演算は群となるためにある条件を満たさねばならない。その条件は、演算が閉じていること(集合の任意の2元に対し、それらから得られる元も集合の元でなければならない)、結合的であること、単位元(任意の元と演算したときにもとのままである(例えば数に 0 を足したり 1 を掛けたりしたときのように)ような元)を持つこと、そして、任意の元に対し逆元があること、である。
環は同様に元の集合と、今度は2つの演算からなる。1つめの演算により集合は群になり、2つ目の演算は結合的かつ1つ目の演算に対し分配的である。2つ目の可換であってもなくてもよい。可換であるとは、第一の元と第二の元に演算を施しても第二の元と第一の元に演算を施しても同じ結果になる、つまり元の順序が問題にならないということである。0 でないすべての元 a が乗法逆元(ax = xa = 1 なる元 x)をもつとき、環は可除環と呼ばれる。(可換)体は可換な可除環として定義される。
群はしばしば群の表現を通して研究される。最も一般的な形では、それは1つの群、1つの集合、そしてその群の集合への作用からなる。作用とは、群の元と集合の元から集合の元を得る演算である。ほとんどの場合、集合はベクトル空間で、群はベクトル空間の対称性を表す。例えば、空間の rigid な回転を表す群がある。これは空間の対称性の一種である、なぜならば空間は回転されたとき空間の中の物体の位置は変わるかもしれないが空間自身は変わらないからである。ネーターは物理学における不変量に関する彼女の研究においてこの種の対称性を用いた。
環を研究する強力な方法の1つはその加群を用いることである。加群は、1つの環と、1つの集合、これは環の台集合とは異なることが多く加群の台集合と呼ばれる、と、加群の台集合の元の対に対する演算と、環の元と加群の元から加群の元を得る演算からなる。加群の台集合とその演算は群をなす。加群は群の表現の環論版である:第二の環の演算と加群の元の対の演算を無視すれば群の表現が決定される。加群の真の有用性は存在する加群の種類と相互作用が環自身からは明白ではない方法で環の構造を明らかにすることにある。これの重要な特別な場合は多元環(代数)である。(代数という単語は数学の主題である代数学とその代数学で研究されるある対象の両方を意味する。)多元環は、2つの環と、各環の1つずつの元から第二の環の元を得る演算からなる。この演算により第二の環は第一の環上の加群となる。しばしば第一の環は体である。
「元」や「結合算法」などの術語は極めて一般なものなのであって、多くの現実世界や抽象的な状況に対して適用可能である。ひとつ(あるいはふたつ)の算法に対する上記の規則全てを満足するモノからなる任意の集合が、定義により、群(あるいは環)であって、群(あるいは環)に関する全ての定理を満足する。整数の全体、そして加法と乗法というふたつの算法は単に一つの例でしかない。例えば、元として計算機データ型の語を考え、第一の算法として排他的論理和、第二の算法として論理積をとることもできる。抽象代数学における定理は、一般に示され、多くの系を支配するものであるがゆえに、強力である。極めて少ない性質によって定義された対象について分かることは少ないのではないかと想像するかもしれないが、正確にはそこにはネーターのギフト「性質からなる集合が与えられたところから最大限のものを発見すること、あるいは逆に、特定の観測状況に対してそれを合理化する本質的な性質からなる最小限の集合を発見すること」が根底に存在していた。大半の数学者がそうであったのと異なり、ネーターは既知の例を一般化することによる抽象化を行うのでなく、それよりは、抽象化そのものに対して直接に取り組んだ。ファン・デル・ヴェルデンは自身の記したネーターの死亡記事において以下のように振り返る:
これがネータに特徴的であったところの begriffliche Mathematik(「純粋概念の数学」)である。この数学様式は、結果的にほかの(特に抽象代数学という新たな分野の)数学者たちにも受け入れられて行った。
整数の全体は可換環をなす。元は整数で、演算は通常の加法と乗法である。任意の2つの整数を足したり掛けたりでき、その結果は整数である。第一の演算、加法は、可換である、すなわち、環の任意の元 a, b に対し、a + b = b + a である。第二の演算、乗法も、可換である。しかしこれは他の環では正しい必要はない、つまり、a に b を掛けたものは b に a を掛けたものと異なるかもしれない。非可換環の例には行列や四元数がある。整数は可除環をなさない、なぜならば第二の演算は必ずしも逆にできないからであり、例えば、3 × a = 1 なる整数 a は存在しない。
整数の全体はすべての可換環では成り立たない性質を持っている。重要な例は算術の基本定理で、任意の正整数は素数の積に一意的に分解できる。一意的な分解は他の環では必ずしも存在しないが、ネーターは多くの環のイデアルに対して、今ではラスカー・ネーターの定理と呼ばれる一意分解の定理を発見した。ネーターの仕事の多くは、どの性質がすべての環に対しても成り立つかを決定し、古い整数の定理の新種の類似を考案し、環がある性質を持つために必要な最小の仮定を決定することにあった。
ネーターの経歴の第一の時代における研究の多くは不変式論、主に代数的不変式論、と関係している。不変式論は変換の群の下で変わらないままの(不変な)式に関心がある。日常的な例としては、固いものさしを回転すると、その端点の座標 (x1, y1, z1) と (x2, y2, z2) は変わるが、公式 L2 = Δx2 + Δy2 + Δz2 によって与えられるその長さ L は同じままである。不変式論は19世紀後半の研究の活発な領域であり、1つにはフェリックス・クライン (Felix Klein) のエルランゲン・プログラムによって駆り立てられた。それによると、異なるタイプの幾何学は変換の下での不変量、例えば射影幾何学の複比、によって特徴づけられるべきである。不変量のarchetypeな例は二変数に次形式 Ax2 + Bxy + Cy2 の判別式 B2 − 4AC である。これが不変量と呼ばれるのは、線型な置き換え x→ax + by, y→cx + dy で行列式 ad − bc が 1 であるものによって変わらないからである。このような変換の全体は特殊線型群 SL2 をなす。(すべての可逆な線型変換からなる一般線型群のもとで不変な量は(0 を除いて)存在しない、なぜならばこれらの変換はスケール因子を掛けることを含むからである。救済策として、古典的な不変式論はスケール因子の違いを除いて不変な形式である相対不変量も考えた。)SL2 の作用によって変わらない A, B, C のすべての多項式を求めることができる。これらは二変数二次形式の不変量と呼ばれ、判別式の多項式であることが分かる。より一般に、高次の斉次多項式 A0xry0 + ... + Arx0yr の不変量を求めることができる。それは A0, ..., Ar を係数とするある多項式である。さらに一般に、2つよりも多い変数の斉次多項式に対して同様の問いをたてることができる。
不変式論の主な目標の1つは "finite basis problem" を解くことだった。任意の2つの不変量の和や積は不変量であり、finite basis problem はすべての不変量は生成元と呼ばれる有限個の不変量のリストから始めて得ることができるかどうかを問うた。例えば、判別式は二元二次形式の不変量の(1つの元からなる) finite basis を与える。ネーターの指導教官パウル・ゴルダン (Paul Gordan) は「不変式論の王」("king of invariant theory") として知られていて、彼の数学への主要な貢献は1870年に2変数の斉次多項式の不変式に対して finite basis problem を解いたことだった。彼はこれをすべての不変式とそれらの生成元を見つける構成的な方法を与えることによって証明したが、3変数あるいはそれより多い変数のときにこの構成的なアプローチを遂行することは出来なかった。1890年、ダフィット・ヒルベルト (David Hilbert) は任意個の変数の斉次多項式の不変式に対する同様の主張を証明した。さらに、彼の手法は、特殊線型群だけでなく、特殊直交群のような部分群のいくつかに対しても有効なものであった。彼の最初の証明はいくらか論争を引き起こした、なぜならば生成元を構成する手法を与えていなかったからである、しかしながら後の研究によって彼は彼の手法を構成的にした。ネーターは学位論文でゴルダンの計算的証明を3変数の斉次多項式に拡張した。ネーターの構成的なアプローチにより不変式の間の関係を研究することができるようになった。後に、彼女がより抽象的な手法に転換した後、ネーターは彼女の論文を Mist (がらくた) and Formelngestrüpp (方程式のジャングル) と呼んだ。
ガロワ理論は方程式の根を置換する数体の変換と関係する。変数 x の n 次の多項式方程式を考えよう。係数はある基礎体からとられる。例えば、実数体とか、有理数体、7 を法とした整数、など。この多項式の値が 0 になるような x はあるかもしれないしないかもしれない。もし存在すれば、それは根と呼ばれる。多項式が x2 + 1 で体が実数体ならば、多項式は根を持たない、なぜならば x をどのようにとっても多項式の値は 1 以上になるからである。しかしながら、体が拡大されると、多項式は根を持ち得、十分に拡大されれば、必ず次数に等しい個数の根を持つ。前の例を続ければ、体が複素数体に拡大されれば、多項式は 2 つの根 i と −i を得る。ここに i は虚数単位、すなわち、i 2 = −1 を満たす数である。より一般に、多項式が根に分解するような拡大体を多項式の分解体と呼ぶ。
多項式のガロワ群は分解体の変換であって基礎体と多項式の根を保つようなものすべてからなる集合である。(数学用語ではこれらの変換は自己同型と呼ばれる。)x2 + 1 のガロワ群は2つの元からなる。すべての複素数を自分自身に送る恒等変換と、i を −i に送る複素共役写像である。ガロワ群は基礎体を変えないから、多項式の係数は変わらないままであり、したがってすべての根の集合も変わらないままである。しかしながら各根が別の根に動くことは出来、したがって変換は n 個の根のその中での入れ替わりを決定する。ガロワ理論の重要性はガロワ理論の基本定理から生ずる。これは基礎体と分解体の間にある体たちはガロワ群の部分群たちと一対一に対応しているというものである。
1918年、ネーターは逆ガロワ問題に関する影響力の大きい論文を出版した。与えられた体とその拡大の変換のガロワ群を決定する代わりに、ネーターは、体と群が与えられたとき、その体の拡大であって与えられた群をガロワ群として持つものを見つけることが常に可能かどうかを問うた。彼女はこれを「ネーターの問題」に帰着した。これは体 k(x1, ... , xn) に作用する置換群 Sn の部分群 G の固定体が常に体 k の純超越拡大になるかを問うものである。(彼女は1913年の論文で最初にこの問題を述べた。彼女はその問題を同僚のErnst Sigismund Fischerによるものとしている。)彼女はこれが n = 2, 3, 4 に対し正しいことを示した。1969年、R. G. Swan は n = 47 と G が位数 47 の巡回群のときにネーターの問題の反例を見つけた(この群は他の方法で有理数体上のガロワ群として実現できるのであるが)。逆ガロワ問題は今なお解かれていない。
ネーターはダフィット・ヒルベルトとフェリックス・クラインによりゲッチンゲンに招聘された。主にアルベルト・アインシュタインが発展させた重力の幾何学的理論である一般相対論を理解する助けとなるために彼らは彼女の不変式論の知識を欲していた。ヒルベルトは一般相対論ではエネルギー保存則は成り立たないようだと観察していた、なぜならば重力エネルギーはそれ自身重力に引かれるからである。ネーターはこのパラドックスの解決法と現代理論物理学の基本的な道具を1915年に証明したが1918年まで出版しなかったネーターの第一定理とともに提案した。彼女は一般相対論の問題を解いただけでなく連続対称性を有する物理法則のすべての系に対する保存量の決定もした。
彼女の仕事を受けてアインシュタインはヒルベルトに書いた:"Yesterday I received from Miss Noether a very interesting paper on invariants. I'm impressed that such things can be understood in such a general way. The old guard at Göttingen should take some lessons from Miss Noether! She seems to know her stuff."(訳:昨日私はネーター氏から不変量に関する非常に興味深い論文を受け取りました。私はそのようなことがそのように一般的な方法で理解できるということに感銘を受けています。ゲッチンゲンの保守派はネーター氏の講義を受けるべきです! 彼女は自分の素質を分かっているようです。)
説明のため、ある物理系が、空間にどのように入っているかによらずに同じように振る舞うならば、それを統制する物理法則は回転対称性を持つ。この対称性から、ネーターの定理は形の角運動量が保存されなければならないことを示している。物理系自身は対称である必要はない。宇宙を漂っているぎざぎざの小惑星はその非対称性にもかかわらず角運動量を保存する。むしろ、系を統制する物理法則の対称性は保存則の原因である。別の例として、ある物理実験がどんな場所でもどんな時間でも同じ結果になるならば、その法則は空間と時間の連続変換の下で対称性を持つ。ネーターの定理により、これらの対称性はこの系においてそれぞれ線型運動量とエネルギーの保存則を説明する。
ネーターの定理は現代理論物理学の基本的な道具となっている。それはそれが保存則に与える洞察のためでもあるし、また実際的な計算の道具としてでもある彼女の定理によって研究者は物理系の観察された対称性から保存量を決定することができる。逆に、それは仮説的物理法則のクラスに基づいた物理系の記述を容易にする。説明のため、新しい物理現象が発見されたとしよう。ネーターの定理は現象の理論的モデルの判定法を提供する。理論が連続的対称性を持つならば、ネーターの定理は保存量を持つことを保証する。そして理論が正しいためには、この保存が実験で観測できなければならない。
ネーターの第一の時代の結果は印象的かつ有用ではあるものの、彼女の数学者としての名声は、ヘルマン・ヴァイルとファン・デル・ヴェルデンによって彼女の obituary において書かれているように、彼女の第二・第三時代に彼女がしたパイオニア的仕事により基づいている。
これらの時代において、彼女は単にそれ以前の数学者のアイデアや手法を適用しただけではない。むしろ、彼女は将来の数学者によって使われる新しい数学の定義を作っていた。特に、彼女は先のリヒャルト・デデキント (Ricahrd Dedekind) の仕事を一般化して、環のイデアルの全く新しい理論を展開した。彼女はまた昇鎖条件を展開したことでも名高い。これは単純な有限性の条件で、彼女の手により強力な結果が得られた。そのような条件とイデアルの理論によってネーターは多くの以前の結果を一般化し、彼女の父によって研究されていた除去理論や代数多様体のような、古い問題を新しい観点から扱うことができた。
この時代、ネーターは昇鎖条件 (Teilerkettensatz) や降鎖条件 (Vielfachenkettensatz) を巧みに用いたことで有名になった。集合 S の空でない部分集合の列 A1, A2, A3, ... は、各部分集合が次の部分集合の部分集合になっている
A_{1} \subset A_{2} \subset A_{3} \subset \cdots
ときに通常 ascending と言われる。
逆に、S の部分集合の列が descending とは、各部分集合が次の部分集合を含む
A_{1} \supset A_{2} \supset A_{3} \supset \cdots
ことをいう。
鎖はある n が存在してすべての m ≥ n に対して An = Am となるようなとき有限個のステップの後停留的になるという。与えられた集合の部分集合の集まりが昇鎖条件を満たすとは、任意の昇鎖列が有限個のステップの後停留的になることをいう。降鎖条件を満たすとは任意の降鎖列が有限個のステップの後停留的になることをいう。