タクシー数
n 番目のタクシー数(タクシーすう、taxicab number、Ta(n)もしくはTaxicab(n)と表記される)とは、2つの立方数の和として n 通りに表される最小の正の整数と定義される。1954年にゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとエドワード・メートランド・ライトが全ての正の整数 n に対し、Ta(n)が存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として n 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Ta(n)であるとは限らない。
「タクシー数」と言う名前はハーディが乗ったタクシーの番号1729についてそれがTa(2)であることをシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが指摘したエピソードから来ている(後述)。そのため、この数の問題とタクシーとの関連は全く無い。
なお、ここでの立方数は正の整数のみを考える。0と負の整数も含めるときは、名前の「taxicab」をひっくり返してキャブタクシー数と呼ばれる。
与えられた正の整数 N に対し、不定方程式
x^3+y^3=N
の整数解 y ≥ x > 0 の個数は明らかに有限個である(0 < y3 < N であるため)。これを s(N) とおく。Ta(n) は s(N) ≥ n となる最小の N である。
任意の n に対して s(N) ≥ n となる整数 N が存在することが知られており、したがって Ta(n) は存在する。実際 m を正の整数とすると
x^3+y^3=m
は楕円曲線なので、階数が正ならば無限個の有理点を持つ。さらに、このとき有理点の全体は実数点の中で稠密となる。よって、その中には無限個の正の有理点が存在する。それらから任意の個数の有理点 (x_i/d_i, y_i/d_i) (i=1, 2, \ldots, k) を選んで分母を払うことにより
(x_iD_i)^3+(y_iD_i)^3=md_1^3d_2^3\cdots d_k^3, D_i=(d_1d_2\cdots d_k)/d_i
が成り立つ。 N=md_1^3d_2^3\cdots d_k^3 ととれば s(N)\geq k が成り立つ。m = 7, 9 などに対して上記の曲線の階数は正なので、ここから s(N) がいくらでも大きなものを得ることができる。よって任意の正の整数に対して Ta(n) は確かに存在する。
一般に F が3次形式で
F(x, y)=m_0
が階数 r の楕円曲線を与えているとき、
F(x, y)=m, m=m_0 d^3
の解の個数が > c(log m)r/(r+2) となる m が無数に存在する(c> 0 は F と m0 のみに依存し d には依存しない)。
x^3+y^3=657
は階数3を持つことが知られている(実際 (17/2, -7/2), (163/19, 56/19), (3439/223, -3220/223) が生成元となる)。よって
s(N)>c\log^{3/5} N
となる N が無数に存在する。したがって
\text{Ta}(n)<\exp (cn^{5/3})
が無数の n に対して成り立つ。
現在までに以下の6つのタクシー数が知られている(A011541参照)。
\begin{align}
\operatorname{Ta}(1) = 2 & = 1^3 + 1^3
\end{align}
\begin{align}
\operatorname{Ta}(2) = 1729 & = 1^3 + 12^3 \\
& = 9^3 + 10^3
\end{align}
\begin{align}
\operatorname{Ta}(3) = 87539319 & = 167^3 + 436^3 \\
& = 228^3 + 423^3 \\
& = 255^3 + 414^3
\end{align}
\begin{align}
\operatorname{Ta}(4) = 6963472309248 & = 2421^3 + 19083^3 \\
& = 5436^3 + 18948^3 \\
& = 10200^3 + 18072^3 \\
& = 13322^3 + 16630^3
\end{align}
\begin{align}
\operatorname{Ta}(5) = 48988659276962496 & = 38787^3 + 365757^3 \\
& = 107839^3 + 362753^3 \\
& = 205292^3 + 342952^3 \\
& = 221424^3 + 336588^3 \\
& = 231518^3 + 331954^3
\end{align}
\begin{align}
\operatorname{Ta}(6) = 24153319581254312065344 & = 582162^3 + 28906206^3 \\
& = 3064173^3 + 28894803^3 \\
& = 8519281^3 + 28657487^3 \\
& = 16218068^3 + 27093208^3 \\
& = 17492496^3 + 26590452^3 \\
& = 18289922^3 + 26224366^3
\end{align}
以下の数字は7通り~12通りの2つの立方数の和で表せる数である。これらがタクシー数そのものである可能性はあるが、証明はされていない。つまり、Ta(7)からTa(12)の上限となる。
\begin{align}
\operatorname{Ta}(7) \le 24885189317885898975235988544 & = 2648660966^3 + 1847282122^3 \\
& = 2685635652^3 + 1766742096^3 \\
& = 2736414008^3 + 1638024868^3 \\
& = 2894406187^3 + 860447381^3 \\
& = 2915734948^3 + 459531128^3 \\
& = 2918375103^3 + 309481473^3 \\
& = 2919526806^3 + 58798362^3
\end{align}
\begin{align}
\operatorname{Ta}(8) \le 50974398750539071400590819921724352 & = 299512063576^3 + 288873662876^3 \\
& = 336379942682^3 + 234604829494^3 \\
& = 341075727804^3 + 224376246192^3 \\
& = 347524579016^3 + 208029158236^3 \\
& = 367589585749^3 + 109276817387^3 \\
& = 370298338396^3 + 58360453256^3 \\
& = 370633638081^3 + 39304147071^3 \\
& = 370779904362^3 + 7467391974^3
\end{align}
\begin{align}
\operatorname{Ta}(9) \le 136897813798023990395783317207361432493888 & = 41632176837064^3 + 40153439139764^3 \\
& = 46756812032798^3 + 32610071299666^3 \\
& = 47409526164756^3 + 31188298220688^3 \\
& = 48305916483224^3 + 28916052994804^3 \\
& = 51094952419111^3 + 15189477616793^3 \\
& = 51471469037044^3 + 8112103002584^3 \\
& = 51518075693259^3 + 5463276442869^3 \\
& = 51530042142656^3 + 4076877805588^3 \\
& = 51538406706318^3 + 1037967484386^3
\end{align}
\begin{align}
\operatorname{Ta}(10) &\le 7335345315241855602572782233444632535674275447104 \\
& = 15695330667573128^3 + 15137846555691028^3 \\
& = 17627318136364846^3 + 12293996879974082^3 \\
& = 17873391364113012^3 + 11757988429199376^3 \\
& = 18211330514175448^3 + 10901351979041108^3 \\
& = 19262797062004847^3 + 5726433061530961^3 \\
& = 19404743826965588^3 + 3058262831974168^3 \\
& = 19422314536358643^3 + 2059655218961613^3 \\
& = 19426825887781312^3 + 1536982932706676^3 \\
& = 19429379778270560^3 + 904069333568884^3 \\
& = 19429979328281886^3 + 391313741613522^3
\end{align}
\begin{align}
\operatorname{Ta}(11) &\le 87039729655193781808322993393446581825405320183232000 \\
& = 381087194739069520^3 + 316469686016945240^3 \\
& = 385744811881975000^3 + 309479752750029680^3 \\
& = 390662458762053660^3 + 301539992238035460^3 \\
& = 392138457234189120^3 + 299032406381730840^3 \\
& = 426267111265435440^3 + 212424209933109720^3 \\
& = 426887616463852180^3 + 209891877907138700^3 \\
& = 428126038425768228^3 + 204623083640747772^3 \\
& = 438609133406051160^3 + 138573856797762960^3 \\
& = 439653507772479000^3 + 127174000598779680^3 \\
& = 443138459854855128^3 + 27089483598685872^3 \\
& = 443171971973855943^3 + 5134510178400057^3
\end{align}
\begin{align}
\operatorname{Ta}(12) &\le 16119148654034302034428760115512552827992287460693283776000 \\
& = 21721970100126962640^3 + 18038772102965878680^3 \\
& = 21987454277272575000^3 + 17640345906751691760^3 \\
& = 22267760149437058620^3 + 17187779557568021220^3 \\
& = 22351892062348779840^3 + 17044847163758657880^3 \\
& = 24297225342129820080^3 + 12108179966187254040^3 \\
& = 24332594138439574260^3 + 11963837040706905900^3 \\
& = 24403184190268788996^3 + 11663515767522623004^3 \\
& = 25000720604144916120^3 + 7898709837472488720^3 \\
& = 25060249943031303000^3 + 7248918034130441760^3 \\
& = 25258892211726742296^3 + 1544100565125094704^3 \\
& = 25260575914339118080^3 + 771180546485662040^3 \\
& = 25260802402509788751^3 + 292667080168803249^3
\end{align}
ハーディ・ラマヌジャン数として知られるTa(2)は1657年にバーナード・フラン・ベッシーによって他のいくつかの2つの立方数の和で2通りに表せる数とともに見出された。レオンハルト・オイラーは
X^3+Y^3=Z^3+W^3
の有理数解の一般解を与えており、その後アドルフ・フルヴィッツはそれを単純化した:
X=t(1-(a-3b)(a^2+3b^2)), Y=t((a+3b)(a^2+3b^2)-1), Z=t((a+3b)-(a^2+3b^2)^2), W=t((a^2+3b^2)^2-(a-3b)).
ただしこの公式から、すべての整数解を与える公式が導かれるわけではない。t, a, b が整数ならばこの公式は整数解を与えるが、それがすべての整数解を与えるわけではないからである。たとえば Ta(2) は (a, b, t) = (10/19, −7/19, −361/42) に対応しており t, a, b が整数であるものからは与えられない(もちろん t, a, b をうまく与えることでどの整数解も得られるが、整数解に対応する t, a, b がどのようなものかは明らかではない)。またオイラーは
(9t^4)^3+(9t^3+1)^3=(9t^4+3t)^3+1
を発見している(t = 1 とおくとタクシー数を得る)。
Ta(2) は後にハーディとラマヌジャンのエピソードによって不滅のものとなった。ハーディによれば
(6A^2-4AB+4B^2)^3+(-3A^2-5AB+5B^2)^3=(4A^2-4AB+6B^2)^3+(5A^2-5AB-3B^2)^3
を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。またラマヌジャンの遺稿には
X^3+Y^3=Z^3\pm 1
の無限個の整数解を得る(オイラーとは別の)方法が述べられている。
ラマヌジャンやハーディー・ライトがタクシー数の解法を示して以降は、コンピュータによる発見が常となった。ジョン・リーチは1957年にTa(3)を発見した。1991年にはE・ローゼンスティール、J・A・ダーディス、C・R・ローゼンスティールがTa(4)を発見。J・A・ダーディスは1994年にTa(5)を発見し、1999年にデービッド・W・ウィルソンによって確認された。Ta(6)はウーヴェ・ホラーバッハによって2008年3月9日にメーリングリストNMBRTHRYに発見が報告されたが、これは2003年に Claude et al. によって99%の確率でTa(6)であろうとされていたものだった。2006年にはクリスチャン・ボワイエによってTa(7)からTa(12)までの上限が与えられた。2008年にはクリスチャン・ボワイエとJaroslaw WroblewskiによってTa(11)からTa(22)までの上限が更新された。
より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数がcubefreeである、つまり13以外の立方数で割り切れない場合である。 cubefreeなタクシー数 T が T = x3+y3と書かれるとき、全ての組 (x, y) に対して x, y は互いに素である。先述したタクシー数の中では、Ta(1)とTa(2)だけがcubefreeなタクシー数である。3通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、1981年に大学院生だったポール・ボイタによって発見された(未発表)。これは以下の通りである。
= 5173 + 24683
= 7093 + 24563
= 17333 + 21523.
4通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、2003年にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。以下の通り。
= 922273 + 12165003
= 1366353 + 12161023
= 3419953 + 12076023
= 6002593 + 11658843.
(A080642参照)
上記の通り制限のない場合には s(N) はいくらでも大きくできるが、N が立方因子をもたないとき、
x^3+y^3=N
の解の個数をどこまで大きくできるかは未だわかっていない。この方程式のあらわす楕円曲線の階数を r(N) とすると
s(N)<c^{r(N)}
となる絶対定数 c が存在する。 N が大きいときは
s(N)<9(15^{r(N)}+1)
が成り立つ。