ゲージ理論
接続(ゲージ接続)は、主バンドルを定義するので、各々の随伴ベクトルバンドル(associated vector bundle)では共変微分 ∇ が存在する。局所座標(切断の局所基底)を選択すると、この共変微分は物理学ではゲージポテンシャルと呼ばれるリー代数に値を持つ 1-形式である接続形式 A により表現される。これは確かに本質的でないが座標に依存した量である。曲率形式 F はリー代数に値を持つ 2-形式である曲率形式から構成される本質的な量で、
\bold{F}=\mathrm{d}\bold{A}+\bold{A}\wedge\bold{A}
である。ここに d は外微分であり、\wedge はウェッジ積である。(\bold{A} は、生成子 T^{a} によってはられるベクトル空間の元であり、よって、\bold{A} の成分は互いに可換ではない。従って、ウェッジ積 \bold{A}\wedge\bold{A} は 0 とならない。)
無限小ゲージ変換はリー代数を形成し、スカラー ε に値を持つ滑らかなリー代数により特徴付けられる。そのような無限小ゲージ変換の下に、
\delta_\varepsilon \bold{A}=[\varepsilon,\bold{A}]-\mathrm{d}\varepsilon
となる。ここに [\cdot,\cdot] はリーブラケットである。
素晴らしいことがあり、\delta_\varepsilon X=\varepsilon X であれば、
\delta_\varepsilon DX=\varepsilon DX である。ここに D は共変微分
DX\ \stackrel{\mathrm{def}{=}\ \mathrm{d}X + \bold{A}X
である。
また、\delta_\varepsilon \bold{F} = \varepsilon \bold{F} である。このことは、\bold{F} が共変に変換することを意味する。
全てではないが、一般に、ゲージ変換は無限小ゲージ変換により生成される。例として、底空間が多様体からリー群への写像が非自明である写像のホモトピー類が非自明であるようなコンパクト多様体である。例えば、インスタントン(instanton)を参照。
ここで、ヤン・ミルズ作用(Yang–Mills action)は
\frac{1}{4g^2}\int \operatorname{Tr}[*F\wedge F]
により与えられる。ここに * はホッジ双対を表し、積分は微分形式を使い微分幾何学的に定義される。
ゲージ不変量(すなわち、ゲージ変換の下に不変である量)は、次の式のように、任意の閉じた経路 γ で定義されるウィルソンループである。
\chi^{(\rho)}\left(\mathcal{P}\left\{e^{\int_\gamma A}\right\}\right)
ここに χ は複素表現 ρ の指標であり、\mathcal{P} は経路の向きづけられた作用素を表す。
ゲージ理論は、場の量子論に適用される方法の特別化により量子化することが可能である。しかし、ゲージ固定(gauge constraint)による微妙な点があるので(上の数学的定式化のパラグラフを参照)、他の場の理論では発生し得ない問題の解決に多くの技術的な問題がある。と同時に、ゲージ理論の豊富な構造により、簡単に計算することができる量になることもあり、例えば、ウォード・高橋の恒等式は、もうひとつ別な繰り込み定数の定義に結び付いている。
最初に量子化されたゲージ理論は量子電磁力学(QED)であった。最初の方法は、ゲージ固定し、それから正準量子化へ適用するという方法であった。グプタ・ブロイラーの定式化(Gupta–Bleuler)の方法も、この問題を扱うために開発された。非可換ゲージ理論は、今では、多くの方法により扱われている。量子化の方法は、量子化の記事で記述されている。
量子化の主要な点は、理論で記述されている様々な過程の確率振幅(probability amplitude)を計算することを可能とすることである。テクニカルには、確率振幅は真空期待値のある相関函数の計算である。このことは理論の繰り込みを含んでいる。
理論の結合定数が充分に小さいとき、求めるべき量の全ては摂動論により計算することができる。量子化のスキームはそのような計算(正準量子化)の単純化を意図していて、摂動量子化スキームと言われることもある。現在は、これらの方法のからゲージ理論の詳細な実験検証の大半が導かれる。
しかしながら、ほとんどのゲージ理論では、多くの興味のある量は非摂動的である。この問題に適合する(格子ゲージ理論のような)量子化スキームは、非摂動的量子化スキームと呼ばれる。このスキームの詳細な計算は、スーパーコンピュータを必要とし、他のスキームよりもうまく開発されているとは言えない。
古典理論の対称性のうちのいくつかは、量子理論では保たれないことが分かる。この現象をアノマリと言う。知られているもの列挙すると、
スケールアノマリ(scale anomaly)、このアノマリは結合定数をもたらす。量子電磁力学(QED)では、ランダウの極(Landau pole)の現象をもたらす。量子色力学(QCD)では、漸近自由性をもたらす。
カイラルアノマリ(chiral anomaly)、フェルミオンのあるカイラル場やベクトル場でのアノマリである。このアノマリはインスタントン(instanton)の考え方を通して、トポロジーと密接な関係を持っている。量子電磁力学では、このアノマリはパイ中間子の 2個の光子への崩壊を引き起す。
ゲージアノマリ(gauge anomaly)、全ての整合性のある物理理論でキャンセルされるべきアノマリである。電弱理論では、このキャンセルは、クォークとレプトンの数が等しいことを要求する。
物理学で、大域対称性(global symmetry)とは、点から点への移動により変換する局所対称性とは対照的に、時空の全ての点で保たれる対称性である。
大域対称性は、力ではなく、保存則を要求する。
大域対称性の例としては、(\theta を定数としたときに、大域的変換となる)ディラックのラグランジアン:
\mathcal{L}_D = \bar{\psi}\left(i\gamma^\mu \partial_\mu-m\right)\psi
への群 U(1)=e^{iq\theta} の作用がある。
この変換の下では波動函数は、\psi\rightarrow e^{iq\theta}\psi and \bar{\psi}\rightarrow e^{-iq\theta}\bar{\psi} として変換し、
\mathcal{L}\rightarrow\bar{\mathcal{L}=e^{-iq\theta}\bar{\psi}\left(i\gamma^\mu \partial_\mu-m\right)e^{iq\theta}\psi=e^{-iq\theta}e^{iq\theta}\bar{\psi}\left(i\gamma^\mu \partial_\mu-m\right)\psi=\mathcal{L}
となる。
物理学では、局所対称性(local symmetry)とは、滑らかな基礎多様体上の点によって、何らかの物理量の対称性を持つことである。そのような量の例は、理論の観測可能量、テンソル、ラグランジアンである。この意味で対称性が局所的ならば、局所ゲージ変換を適用することができる。局所ゲージ変換は、対称群の表現が多様体上の函数であり、従って時空の異なる点では異なって作用するように取ることができることを意味する。
微分同相群は、定義により局所対称性であり、全ての幾何学的、より一般には共変な理論(すなわち、一般相対論のように、理論の方程式がテンソル方程式となる)は局所対称性を持つ。
局所対称性という言葉は、特にヤン・ミルズ理論では局所ゲージ対称性と結び付いている(標準模型も参照)。そこでは、ラグランジアンがあるコンパクトリー群の下に局所的に対称である。局所ゲージ対称性は光子やグルオンのようなボゾンのゲージ場を持っている。局所対称性は、常に保存則に加えて、力を導く。
一般相対論は重力を生成すると考えられる局所対称性を持っている(一般共変性(general covariance)、微分同相。 特殊相対論は大域対称性しかもたない(ローレンツ対称性、あるいはより一般的にポアンカレ対称性)。
素粒子物理学では、多くの大域対称性(例:アイソスピンの対称性のSU(2))と、局所対称性(例:弱い相互作用のSU(2))がある。素粒子物理学の標準模型はヤン・ミルズ理論から構成される。
超重力理論の対称群は局所対称性であり、一方、超対称性は大域対称性である。