体球調和関数
物理学と数学において、体球調和関数(たいきゅうちょうわかんすう、solid harmonics)は球面座標系でのラプラス方程式の解を指す。原点で0になる正則な(regular)体球調和関数 R^m_\ell(\mathbf{r}) と、原点が特異点となる非正則な(irregular)体球調和関数 I^m_{\ell}(\mathbf{r}) の2種がある。いずれの関数集合もポテンシャル論で重要な役割を演じ、また適当にスケーリングすることで球面調和関数が得られる。
R^m_{\ell}(\mathbf{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}\; r^\ell Y^m_{\ell}(\theta,\varphi)
I^m_{\ell}(\mathbf{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1} \; \frac{ Y^m_{\ell}(\theta,\varphi)}{r^{\ell+1}
空間ベクトル r の球面極座標として r, θ, φ を導入すると、ラプラス方程式は以下の形になる。
\nabla^2\Phi(\mathbf{r}) =  \left(\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2}r - \frac{\hat l^2}{r^2}\right)\Phi(\mathbf{r}) = 0 , \qquad \mathbf{r} \ne \mathbf{0},
ここで l2 は無次元化した角運動量演算子
\mathbf{\hat l} = -i\, (\mathbf{r} \times \mathbf{\nabla})
の2乗である。
知られているように、球面調和関数 Yml は演算子 l2 の固有関数である。
\hat l^2 Y^m_{\ell}\equiv \left[ {\hat l_x}^2 +\hat l^2_y+\hat l^2_z\right]Y^m_{\ell}  = \ell(\ell+1) Y^m_{\ell}.
Φ(r) = F(r) Yml をラプラス方程式に代入し、両辺を球面調和関数で割ると、以下の動径方向の方程式とその一般解が得られる。
\frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2}r F(r) = \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} F(r)
\Longrightarrow F(r) = A r^\ell + B r^{-\ell-1}.
R^m_{\ell}(\mathbf{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}\; r^\ell Y^m_{\ell}(\theta,\varphi),
であり、また一部が非正則な体球調和関数
I^m_{\ell}(\mathbf{r}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1} \; \frac{ Y^m_{\ell}(\theta,\varphi)}{r^{\ell+1} .
である。
ジュリオ・ラカーの正規化(Racah's normalization、またはシュミットの準正規化(Schmidt's semi-normalization))はいずれの関数にも適用でき、単位("1")への正規化の代わりに
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\, d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi\; R^m_{\ell}(\mathbf{r})^*\; R^m_{\ell}(\mathbf{r})
=  \frac{4\pi}{2\ell+1} r^{2\ell}
とするものである(非正則な体球調和関数についても同様)。応用上多くの場合、ラカーの正規化因子は微分の下で形を変えないため便利である。
正則な体球調和関数を平行移動したものは、次のように有限項に展開される。
R^m_\ell(\mathbf{r}+\mathbf{a}) = \sum_{\lambda=0}^\ell\binom{2\ell}{2\lambda}^{1/2} \sum_{\mu=-\lambda}^\lambda R^\mu_{\lambda}(\mathbf{r}) R^{m-\mu}_{\ell-\lambda}(\mathbf{a})\;
\langle \lambda, \mu; \ell-\lambda, m-\mu| \ell m \rangle,
ここでクレブシュ–ゴルダン係数は次式で与えられる。
\langle \lambda, \mu; \ell-\lambda, m-\mu| \ell m \rangle
= \binom{\ell+m}{\lambda+\mu}^{1/2} \binom{\ell-m}{\lambda-\mu}^{1/2} \binom{2\ell}{2\lambda}^{-1/2}.
類似の展開が非正則な体球調和関数に対しても行え、無限級数に展開される。
I^m_\ell(\mathbf{r}+\mathbf{a}) = \sum_{\lambda=0}^\infty\binom{2\ell+2\lambda+1}{2\lambda}^{1/2} \sum_{\mu=-\lambda}^\lambda R^\mu_{\lambda}(\mathbf{r}) I^{m-\mu}_{\ell+\lambda}(\mathbf{a})\;
\langle \lambda, \mu; \ell+\lambda, m-\mu| \ell m \rangle
ここで  |r| \le |a| とする。ブラケットで囲まれた因子は再びクレブシュ–ゴルダン係数である。
\langle \lambda, \mu; \ell+\lambda, m-\mu| \ell m \rangle
= (-1)^{\lambda+\mu}\binom{\ell+\lambda-m+\mu}{\lambda+\mu}^{1/2} \binom{\ell+\lambda+m-\mu}{\lambda-\mu}^{1/2}
\binom{2\ell+2\lambda+1}{2\lambda}^{-1/2}.
±m についての簡単な線形結合によって、体球調和関数は実数値関数の集合に変換される。デカルト座標系で表示された実の正則体球調和関数は、x, y, z についての l 次斉次多項式である。これらの明示的に書かれた多項式は、例えば(球面座標で書かれた)原子軌道や実数値の多重極展開に現れ、重要である。以下でその導出を行う。
先述と同じ定義で、
R_\ell^m(r,\theta,\varphi) = (-1)^{(m+|m|)/2}\; r^\ell \;\Theta_{\ell}^ (\cos\theta)
e^{im\varphi}, \qquad -\ell \le m \le \ell,
\Theta_{\ell}^m (\cos\theta) \equiv \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \,\sin^m\theta\, \frac{d^m P_\ell(\cos\theta)}{d\cos^m\theta}, \qquad m\ge 0,
ここで  P_\ell(\cos\theta) は l 次のルジャンドル多項式である。
この m に依存した位相はコンドン・ショートレー位相(Condon-Shortley phase)として知られている。
実の正則体球調和関数は次のように定義される。
\begin{pmatrix}
C_\ell^{m} \\
S_\ell^{m}
\end{pmatrix}
\equiv \sqrt{2} \; r^\ell \; \Theta^{m}_\ell
\begin{pmatrix}
\cos m\varphi\\ \sin m\varphi
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{\sqrt{2}
\begin{pmatrix}
(-1)^m  & \quad 1 \\
-(-1)^m i & \quad i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
R_\ell^{m} \\
R_\ell^{-m}
\end{pmatrix},
\qquad m > 0.
また m = 0 に対しては
C_\ell^{0} \equiv R_\ell^{0} .
線形変換はユニタリ行列によるものなので、正規化因子は実数値の場合も複素数値の場合も同じになる。
u = cos θ と書くと、ルジャンドル多項式の m 階導関数は次のような u の多項式で書ける。
\frac{d^m P_\ell(u)}{du^m} =
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} \gamma^{(m)}_{\ell k}\; u^{\ell-2k-m}
\gamma^{(m)}_{\ell k} = (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!}.
z = r cosθ だから、この導関数には適当な r の冪乗を掛ければ z のシンプルな多項式になる。
\Pi^m_\ell(z)\equiv
r^{\ell-m} \frac{d^m P_\ell(u)}{du^m} =
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} \gamma^{(m)}_{\ell k}\; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.
次に、x = r sinθcosφ と y = r sinθsinφ に注意すると
r^m \sin^m\theta \cos m\varphi = \frac{1}{2} \left[  (r \sin\theta e^{i\varphi})^m
+ (r \sin\theta e^{-i\varphi})^m \right] =
\frac{1}{2} \left[  (x+iy)^m + (x-iy)^m \right]
r^m \sin^m\theta \sin m\varphi = \frac{1}{2i} \left[  (r \sin\theta e^{i\varphi})^m
- (r \sin\theta e^{-i\varphi})^m \right] =
\frac{1}{2i} \left[  (x+iy)^m - (x-iy)^m \right].
これらより、次のように定義する。
A_m(x,y) \equiv
\frac{1}{2} \left[  (x+iy)^m + (x-iy)^m \right]= \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos (m-p) \frac{\pi}{2}
B_m(x,y) \equiv
\frac{1}{2i} \left[  (x+iy)^m - (x-iy)^m \right]= \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin (m-p) \frac{\pi}{2}.
C^m_\ell(x,y,z) = \left[\frac{(2-\delta_{m0}) (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z)\;A_m(x,y),\qquad m=0,1, \ldots,\ell
S^m_\ell(x,y,z) = \left[\frac{2 (\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \Pi^m_{\ell}(z)\;B_m(x,y)
,\qquad m=1,2,\ldots,\ell.