エミー・ネーター
昇鎖条件や降鎖条件は、多くの種類の数学的対象に適用できるという意味で、一般的であり、一見すると、それほど強力には思われないかもしれない。しかしながら、ネーターはそのような条件を最大限に生かす方法を示した。例えば、それらを使って部分対象のすべての集合は極大/極小元を持つこととか複雑な対象が少ない個数の元によって生成できることとかを示す方法である。これらの結論はしばしば証明の重要なステップである。
抽象代数学の対象の多くの種類は鎖条件を満たすことができ、通常それらが昇鎖条件を満たすときそれらは彼女に敬意を表してネーター(的)と呼ばれる。定義により、ネーター環はその左と右イデアルに対し昇鎖条件を満たし、ネーター群は部分群の任意の真の昇鎖が有限である群である。ネーター加群は部分加群の任意の真の昇鎖が有限個のステップでとまる加群である。ネーター空間は開部分空間の任意の真の昇鎖が有限個のステップの後にとまる位相空間であり、この定義によりネーター環のスペクトルはネーター位相空間となる。
鎖条件はしばしば部分対象にも「引き継がれる」。例えば、ネーター空間のすべての部分空間はそれ自身ネーターであり、ネーター群のすべての部分群や商群もネーターであり、mutatis mutandis同じことがネーター加群の部分加群と商加群に対して成り立つ。ネーター環のすべての商環はネーターであるが、部分環は必ずしもそうでない。鎖条件はまたネーター的対象の組み合わせや拡大に対しても引き継がれることがある。例えば、ネーター環の有限直和はネーターであり、ネーター環上の形式冪級数環もネーターである。
そのような鎖条件の別の応用は、数学的帰納法の一般化であるネーター帰納法(整礎帰納法とも呼ばれる)にある。それはしばしば対象の集まりについての一般的なステートメントをその集まりの特定の対象についてのステートメントに帰着するために使われる。S を半順序集合としよう。S の対象についての主張を証明する1つの方法は反例の存在を仮定し矛盾を導くことによってもとの主張の対偶を証明することである。ネーター帰納法の基本的な前提は S の任意の空でない部分集合は極小元を持つことである。特に、すべての反例の集合は極小元、極小の反例を含む。したがって、もとの主張を証明するためには、表面上はるかに弱い何か:任意の反例に対してより小さい反例が存在することを証明すれば十分である。
ネーターの論文 Idealtheorie in Ringbereichen (Theory of Ideals in Ring Domains, 1921), は一般の可換環論の基礎であり、可換環の最初の一般的な定義の1つを与えている。彼女の論文以前は、可換代数のほとんどの結果は体上の多項式環や代数的整数の環のような可換環の特別な例に制限されていた。ネーターはイデアルの昇鎖条件を満たす環ではすべてのイデアルが有限生成であることを証明した。1943年、フランス人数学者クロード・シュヴァレー (Claude Chevalley) はこの性質を記述するためにネーター環という用語を提唱した。ネーターの1921年の主要な結果はラスカー・ネーターの定理である。これは多項式環のイデアルの準素分解に関するラスカーの定理をすべてのネーター環に拡張するものである。ラスカー・ネーターの定理は任意の正整数は素数の積として表すことができその分解は一意的であるという算術の基本定理の一般化と見ることができる。
ネーターの仕事 Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (代数的数におけるイデアル論の抽象的構造と関数体, 1927)は任意のイデアルが素イデアルへの一意的な分解を持つような環をデデキント整域、すなわちネーターかつ 0 または 1 次元かつ商体において整閉であるような整域として特徴づけた。この論文はまた今では同型定理と呼ばれるもの、これはある基本的な自然同型を記述するものである、やネーター加群やアルティン加群に関するいくつかの他の基本的な結果も含んでいる。
1923年から24年、ネーターは彼女のイデアル論を除去理論に適用し(彼女が彼女の学生 Kurt Hentzelt に帰した定式化において)、多項式の因数分解についての基本定理を直接持ち越すことができることを示した。伝統的に、除去理論は多項式方程式の系から1つあるいはそれ以上の変数を、通常は終結式の手法によって、除去することに関心がある。説明のため、方程式系はしばしば(変数 x を忘れた)行列 M 掛ける(x の異なる冪のみを持つ)ベクトル v イコール零ベクトル、M•v = 0, の形に書ける。したがって、行列 M の行列式は 0 でなければならず、変数 x が除去される新しい方程式を得る。
finite basis problem のヒルベルトのもともとの非構成的解法のようなテクニックは群作用の不変量についての量的な情報を得るために使うことは出来ず、さらに、それらはすべての群作用には適用しなかった。ネーターは1915年の論文において、標数 0 の体上の有限次元ベクトル空間に作用する有限変換群 G に対して finite basis problem の解法を見つけた。彼女の解法は不変式環は斉次不変式であってその次数が有限群の位数以下であるようなもの(の一部)によって生成されることを示している。これは Noether's bound(ネーターの上界)と呼ばれる。彼女の論文は Noether's bound の2つの証明を与え、どちらの証明も体の標数が !G!!, 群 G の位数 !G! の階乗、と互いに素なときにも有効である。生成元の次数は体の標数が !G! を割り切るときには Noether's bound を満たす必要はないが、ネーターはこの bound が体の標数が !G! ではなく !G!! を割り切るときに正しいかどうかを決定することはできなかった。長年の間この特定の場合に対するこの bound の真偽を決定することは "Noether's gap" と呼ばれる未解決問題であった。最終的に2000年に Fleischmann と 2001 年に Fogarty によって独立に解かれた。両者とも bound は正しいままであることを示した。
ネーターは1926年の論文においてヒルベルトの定理を任意の体上の有限群の表現に拡張した。ヒルベルトの仕事から従わない新しい場合は体の標数が群の位数を割り切るときである。ネーターの結果は後に William Haboush によってHaboush's theoremの彼の証明によってすべての簡約群へと拡張された。この論文においてネーターはネーターの正規化定理の導入もした。これは体 k 上の有限生成整域 A は代数的に独立な元の集合 x1, ... , xn であって A が k[x1, ... , xn] 上整であるものをもつというものである。
パヴェル・アレクサンドロフとヘルマン・ヴァイルが死亡記事に書いたように、ネーターの位相幾何学への貢献は彼女のアイデアの惜しみなさと彼女の洞察がいかに数学の全分野を変えたかを例証する。位相幾何学では数学者は変形のもとでも不変なままな対象の性質、例えば連結性、を研究する。よくあるジョークは、位相幾何学者はドーナツとコーヒーカップを区別できないというものである。互いに連続的に変形できるからである。
ネーターは初期の組合せ位相幾何学からの代数的位相幾何学の発展を導く基本的アイデア、特にホモロジー群の概念の草分けであるとされる。アレクサンドロフの記すところによれば、1926年と1927年の夏にネーターはハインツ・ホップとアレクサンドロフの開いた講義に出席し、そこで "she continually made observations which were often deep and subtle"(「彼女は続けざまにしばしば深くまた絶妙であった観察を成した」)という。またアレクサンドロフはこう続ける:
位相幾何学を代数的に研究するというネーターの示唆は、ホップやアレクサンドロフらによって直ちに受け入れられ、ゲッチンゲンの数学者たちの間の議題として頻繁に挙がるようになっていった。ネーターは、自身の考えたベッチ群の概念が、オイラー–ポワンカレの公式の理解をより容易にすることを見、ホップはこの主題についての自身の仕事を "bears the imprint of these remarks of Emmy Noether"(「エミー・ネーターのこれらの注意の刷り込みに負う」)としている。ネーターが自身の位相幾何学のアイデアについて言及したのは、1926年の出版物の中で余談として、群論の応用の一つとしてそれを引用したのみである。
位相幾何学に対するこの代数的アプローチはオーストリアにおいても独立に発展した。1926–27年にウィーンで開かれた講座において、レオポルト・ヴィートリスはホモロジー群を定義し、それをヴァルター・マイヤーが発展させて、1928年には公理的定義に到達した。
超複素数と群の表現の多くの研究は19世紀と20世紀初頭になされたが、共通点は無かった。ネーターはこれらの結果を統合し、群と多元環の初めての一般的な表現論を与えた。手短に言えば、ネーターは結合多元環の構造論と群の表現論を包摂して、昇鎖条件を満たす環の加群とイデアルの1つの数学的理論にした。ネーターのこの1つの仕事は現代代数学の発展に基本的で重要なものであった。
ネーターはまた代数学の分野の他のいくつかの進展にも貢献している。エミール・アルティン (Emil Artin)、リチャード・ブラウアー (Richard Brauer)、ヘルムート・ハッセ (Helmut Hasse) とともに、ネーターは中心的単純多元環の理論を構築した。
ネーター、ヘルムート・ハッセ、リチャード・ブラウアーによる影響力の大きい論文に、除法が可能な代数系である可除多元環を扱ったものがある。彼らは次の2つの重要な定理を証明した。局所大域定理――数体上の有限次元中心可除代数がいたるところ局所的に分解するならば大域的にも分解する(したがって自明である)――を証明し、これから次の Hauptsatz(「主定理」)を演繹した:代数体 F 上の任意の有限次元中心可除代数は巡回円分拡大上分解する。これらの定理によって与えられた数体上のすべての有限次元中心可除代数を分類することができる。それに続くネーターの論文は、より一般的な定理の特別な場合として、可除代数 D のすべての極大部分体は分解体であることを示した。この論文はスコレム・ネーターの定理も含んでいる。この定理は、体 k の拡大の k 上の有限次元中心単純代数への任意の2つの埋め込みは共役であるというものである。ブラウアー・ネーターの定理は体上の中心可除代数の分解体の特徴づけを与える。
ネーターの仕事は今でも理論物理学や数学の発展と関係していて、相変わらず20世紀最大の数学者の一人として位置づけられている。死亡記事で仲間の代数学者ファン・デル・ヴェルデンは彼女の数学的独創性は "absolute beyond comparison"(比較を超えて絶対的)だったと言っていて、ヘルマン・ヴァイル (Hermann Weyl) はネーターは "changed the face of algebra by her work"(彼女の仕事によって代数学の顔を変えた)と言った。彼女の生涯の間や今日でさえもネーターは歴史上最大の女性数学者として、パヴェル・アレクサンドロフ (Pavel Alexandrov)、ヘルマン・ヴァイル (Hermann Weyl)、ジャン・ディュドネ (Jean Dieudonné)といった数学者によってみなされている。
ニューヨーク・タイムズへの手紙で、アルベルト・アインシュタイン (Albert Einstein) は次のように書いた:
In the judgment of the most competent living mathematicians, Fräulein Noether was the most significant creative mathematical genius thus far produced since the higher education of women began. In the realm of algebra, in which the most gifted mathematicians have been busy for centuries, she discovered methods which have proved of enormous importance in the development of the present-day younger generation of mathematicians.
(日本語訳)最も有能な生きている数学者たちの判断では、フロイライン・ネーター (Fräulein Noether) は女性の高度な教育が始まって以来こんなにもたくさん生産した最も重要な創造的数学の天才であった。代数学という分野は、最も天賦の才のある数学者が数世紀の間忙しいであるが、そこで彼女は、今日の若い数学者世代の発展において莫大な重要性を証明した手法を発見した。
1935年1月2日、ネーターの死の数か月前、数学者ノーバート・ウィーナー (Norbert Wiener) は次のように書いた:
Miss Noether is... the greatest woman mathematician who has ever lived; and the greatest woman scientist of any sort now living, and a scholar at least on the plane of Madame Curie.
(日本語訳)ネーター氏は……これまで生存していた最大の女性数学者である。そして現命のいかなる種類の最大の女性科学者であり、少なくともキュリー夫人の水準の学者である。
Mathematica: A World of Numbers... and Beyondに専念した1964年の国際博覧会のある展覧会で、ネーターは現代世界の著名な数学者の中で表された唯一の女性だった。
ネーターはいくつかの記念物に栄誉を受けている。
Association for Women in Mathematics は毎年数学において女性に栄誉を授けるために Noether Lecture を開催している。この催しの2005年のパンフレットにおいて、協会はネーターを "one of the great mathematicians of her time, someone who worked and struggled for what she loved and believed in. Her life and work remain a tremendous inspiration"(彼女の時代の偉大な数学者の一人であり、愛し信念を持ったもののために働き取り組んだ人である。彼女の人生と仕事はとてつもない刺激のまま残っている)と述べている。
彼女の生徒への一貫した献身により、ジーゲン大学は数学と物理の学科を the Emmy Noether Campus の建物においている。
ドイツ研究振興協会 (Deutsche Forschungsgemeinschaft) は Emmy Noether Programme を運営し、駆け出しの研究者に独立した若手の研究グループを先導することによって科学と研究の先導的職を急速に得るために資金を調達している
彼女の生まれ故郷エルランゲンのある通りはエミー・ネーターと彼女の父マックス・ネーターに因んで名づけられている。
彼女がエルランゲンで出席した中等学校の successor は the Emmy Noether School と改名された.
高校の一連のワークショップやコンテストが彼女に敬意を表して2001年以来毎年5月に開催されている.初めはゲッチンゲン大学の後続の女性の数学私講師によって主催された.
理論物理学ペリメーター研究所は毎年傑出した女性理論物理学者に Emmy Noether Visiting Fellowships を与えている.ペリメーター研究所はまた Emmy Noether Council のホームでもある.これは国際的なコミュニティからなるボランティアのグループで,企業と慈善のリーダーたちがペリメーター研究所の物理学と数理物理学の女性の数を増やすよう協力している.
The Emmy Noether Mathematics Institute in Algebra, Geometry and Function Theory in the Department of Mathematics and Computer Science, Bar-Ilan University, Ramat Gan, Israel は、1992年に共同で、大学とドイツ政府とミネルヴァ基金によって、上記分野の研究を刺激しドイツとの協力を奨励する目的で、設立された。その主なトピックは代数幾何、群論、複素関数論である。その活動には地方の研究プロジェクト、カンファレンス、短期のヴィジター、ポスドク、エミー・ネーターの講義(すぐれた講義の年次叢書)などがある。ENI は ERCOM: "European Research Centers of Mathematics" のメンバーである。
フィクションでは、Ransom Stephens による "The God Patent" における物理学教授であるエミー・ナッター (Emmy Nutter) はエミー・ネーターに基づいている。
Farther from home,
月の裏側にあるクレーター Nöther (crater) は彼女に因んで名づけられている。
7001 ネーター小惑星もまたエミー・ネーターから名を取っている。
グーグルは2015年3月23日に多くの国でグーグルのホームページに記念ドゥードゥルをエミー・ネーターの133回目の誕生日を祝うためにおいた。