メビウス変換
以下の図は、メビウス変換がリーマン球面の上への立体射影であることを示すものである。球面の上への射影をするとき、不動点が無限遠にある特別の場合には、任意の場所に不動点を持つ場合と何も違わないように見えることに特に注意。
メビウス変換 \mathfrak{H} が不動点 γ1, γ2 と特性定数 k を持つならば、同じ変換の反復合成変換
\mathfrak{H}' = \mathfrak{H}^n
は不動点 γ′1 = γ1, γ′2 = γ2 と特性定数 k′ = kn を持つ。このことは、反復合成を各段階に分けて図示するときにも利用できる。
メビウス変換 \mathfrak{H} によって無限遠点 ∞ へ移される点
z_\infty = - \frac{d}{c}
は変換 \mathfrak{H} の極 (pole) と呼ばれる。また、無限遠点 ∞ が \mathfrak{H} によって移る点
Z_\infty = \frac{a}{c}
をしばしば逆極 (inverse pole) と呼ぶ。メビウス変換がひとつ与えられると、この二種類の極の中点は必ずその変換のふたつの不動点の中点にもなっており、したがって
\gamma_1 + \gamma_2 = z_\infty + Z_\infty
なる関係式が成立する。これらよっつの点を頂点として平行四辺形が形成され、それをしばしばメビウス変換の特性平行四辺形 (characteristic parallelogram) などと呼び表す。
メビウス変換 \mathfrak{H} をそのふたつの不動点 γ1, γ2 と極 z∞ を指定することによって特定することもできる。実際、行列
\mathfrak{H} = \begin{pmatrix}
Z_\infty & - \gamma_1 \gamma_2 \\
1        & - z_\infty
\end{pmatrix}, \quad Z_\infty = \gamma_1 + \gamma_2 - z_\infty
で与えられる変換は、γ1, γ2 を不動点に持ち、z∞ を極とする変換になる。このようにすれば、不動点 γ1, γ2 が与えられたとき、乗数 k と極 z∞ の間の変換則として
z_\infty = \frac{k \gamma_1 - \gamma_2}{1 - k},
k = \frac{\gamma_2 - z_\infty}{\gamma_1 - z_\infty}
= \frac{Z_\infty - \gamma_1}{Z_\infty - \gamma_2}
= \frac {a - c \gamma_1}{a - c \gamma_2}
が得られる。これを成分を用いて書き下せば、
k = \frac{(a + d) + \sqrt {(a - d)^2 + 4 b c}{(a + d) - \sqrt {(a - d)^2 + 4 b c}
となるが、この最後の式はメビウス変換を表す行列
\mathfrak{H} = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
の固有値比 λ1/λ2(どちらの固有値を分母にするかで、それらの比は互いに逆数の関係にあるふたつを考えることができるが、そのうちのひとつ)に一致している(先の特性定数に関する節における議論と比較せよ)。実際、この行列の特性多項式は
\det(\lambda I_2 - \mathfrak{H}) = \lambda^2 - (\text{tr}\,\mathfrak{H})\lambda + \det\mathfrak{H} = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc)
となり、これは
\lambda_{i} = \frac{(a+d)\pm\sqrt{(a-d)^2 + 4bc}{2} = \frac{(a+d)\pm\sqrt{(a+d)^2 - 4(ad-bc)}{2} = c\gamma_i+d
を根に持つ。
実ミンコフスキー空間は、実数の順序四つ組 (x0, x1, x2, x3) 全体からなる四次元座標空間 R4 に二次形式
Q(x_0,x_1,x_2,x_3) = x_0^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2
をあわせて考えたものである。特殊相対論の用語を借りれば、Q > 0 となる点は時間的 (timelike) であると考えられ、さらに x0 > 0 となる点は未来方向 (future-pointing) であるという。また、Q < 0 となる点は空間的 (spacelike) であるという。零錐 (null cone) S は Q = 0 なる点全体の成す集合をいい、未来方向零錐 (future null cone) N+ は零錐の中でも x0 > 0 なる点全体から成る。したがって、天球は R4 の原点を始点とする N+ 内の半直線全体の成す集合と同一視される。行列式が正で二次形式 Q と時間方向を保つ R4 上の線型変換全体の成す集合は制限ローレンツ群 SO+(1, 3) を成す。
天球の幾何学に関して、その変換群 SO+(1, 3) はスピノル上のスピン群の作用を見ることにより、メビウス変換の群 PSL(2, C) と同一視される 。各 (x0, x1, x2, x3) ∈ R4 に対して、エルミート行列
X=\begin{bmatrix} x_0+x_1 & x_2+ix_3\\ x_2-ix_3 & x_0-x_1 \end{bmatrix}
を対応させれば、この行列 X の行列式は二次形式 Q(x0, x1, x2, x3) に等しい。このような行列全体の成す空間には、特殊線型群 SL(2, C) がその各元 A に対して
X\mapsto AXA^*
となるものとして作用する。det A = 1 であるから、SL(2, C) のこの作用は X の行列式を保つ。ゆえに、X の行列式と二次形式 Q との同一視を通して、SL(2, C) の各元はローレンツ変換として作用している。次元的な理由で SL(2,C) は SO(1, 3) の近傍を被覆するが、SL(2, C) は連結ゆえ、制限ローレンツ群 SO+(1, 3) の全体を被覆する。さらにいえば、上で与えた作用の核が {±I} なる部分群ならば、商をとることで群の同型
\mathit{PSL}(2,\mathbb{C})\cong \mathit{SO}^+(1,3)
が得られる。(x0, x1, x2, x3) がヌル、つまり行列 X の行列式が 0 であり、したがって複素二次元のベクトル ξ とその複素共軛によって
X = \xi\bar{\xi}^T=\xi\xi^*
と直積に分解される場合に注意を向けよう。二次元ベクトル ξ には SL(2, C) が上で与えた作用と両立するような仕方で作用する。ここで、エルミート行列からなる空間における SL(2, C) の表現の核が {±I} となることは明らかである。
PSL(2, C) の天球への作用も立体射影を用いて幾何学的に記述することができる。まずは、x0 = 1 で与えられる R4 内の超平面を考え、その超平面と未来方向零錐 N+との交わりとして得られる球面 S+ と天球とを同一視する。この球面の北極 (1,0,0,1) から平面 x3 = 0 の上への立体射影は、x12 + x22 + x32 = 1 とするとき、
(1, x1, x2, x3)
\left(1, \frac{x_1}{1-x_3}, \frac{x_2}{1-x_3},0\right)
へ写す。
\zeta = \frac{x_1+ix_2}{1-x_3}
を導入すれば、この立体射影の逆変換は S+ 上の各点 (x1, x2, x3) に対して
\begin{align}
x_1 &= \frac{\zeta+\bar{\zeta}{\zeta\bar{\zeta}+1}\\
x_2 &= \frac{\zeta-\bar{\zeta}{i(\zeta\bar{\zeta}+1)}\\
x_3 &= \frac{\zeta\bar{\zeta}-1}{\zeta\bar{\zeta}+1}
\end{align}
なる式で与えられる。N+ への SO+(1,3) の作用は超平面 S+ を保たないが、S+ の各点について(N+ の点と思って)作用させたものを、その移動先が再び S+ に属するように再スケールしてやることで、SO+(1, 3) を複素変数 ζ への作用まで込めて球面 S+ に作用させることができる。天球のこの表現から調べるのは用意ではないが、実はこの作用は一次分数変換による作用になっている。逆に、複素変数 ζ に関する任意の一次分数変換を、適当な(一意的に決まる)再スケールを施すことになるかもしれないが、一意的に N+ 上のローレンス変換にすることができる。
立体射影の記述をなるべく変えずにより作用が見やすくなるようにするには、変数 ζ = z : w を複素射影直線 CP1 に対する斉次座標の対の比と考えることである。この立体射影は、C2 − {0} から N+ への実スケールに関して斉二次の変換
(z,w)\mapsto (x_0,x_1,x_2,x_3)=(z\bar{z}+w\bar{w}, z\bar{w}+w\bar{z}, i^{-1}(z\bar{w}-w\bar{z}), z\bar{z}-w\bar{w})
にすることができて、これは zz + ww = 1 なるスケールに制限すれば、上で述べた対応に一致する。この式の各成分はちょうど、直積
\begin{bmatrix} x_0+x_1 & x_2+ix_3\\ x_2-ix_3 & x_0-x_1 \end{bmatrix} = 2\begin{bmatrix} z\\ w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{z}& \bar{w}\end{bmatrix}
から得られる。まとめると、制限ローレンツ群 SO+(1,3) の作用はメビウス群 PSL(2, C) のそれと一致する。このことは、以下の定義の動機付けになっている。n ≥ 2 に対して、
n-次元メビウス群 Möb(n) とは、n-次元球面 Sn からそれ自身への向きを保つ共形等距変換全体の成す群のことである。
ミンコフスキー空間 R1,n+1 内の零錐の未来方向半直線全体の成す空間として共形球面を実現することにより、Möb(n) と、行列式が正で時間方向を保つローレンツ変換全体の成す制限ローレンツ変換群 SO+(1, n + 1) との間に同型が存在する。
既に見たように、メビウス群 PSL(2,C) はミンコフスキー空間に原点、空間の向き、時間方向を全て保存する等距変換全体の成す群として作用する。また、この作用を正光錐における Q = 1 なる点の全体(これは三次元双曲空間 H3 のモデルを為す)に制限することにより、メビウス群を各元が H3 に向きを保つ等距変換として作用する群として捉えることができる(実際には、メビウス群と三次元双曲空間上の向きを保つ等距変換全体の成す群とは一致する)。
ポアンカレ球体模型を用いて、R3 における単位球体と H3 とを同一視するならば、リーマン球面を H3 の「共形的境界」として考えることができる。これにより、どのような H3 の向きを保つ等距変換からでもリーマン球面上のメビウス変換がえられ、逆にメビウス変換から向きを保つ等距変換もまた同様に得られる。このことは、物理学におけるAdS/CFT対応予想へ至るまさにその最初の所見である。
メビウス変換の係数 a, b, c, d が ad − bc = 1 を満たす実数である場合を考えると、PSL(2, R)で表されるメビウス群の部分群が得られる。この群は、上半平面 H = {x + iy | y > 0} をそれ自身へ写すメビウス変換全体の成す群であり、また H から H への双正則(あるいは同じことだが、全単射等角かつ向きを保つ)変換全体の成す群である。上半平面に計量を導入して、双曲平面 H2 の模型(ポアンカレ平面模型と呼ばれるもの)にすることができるが、このとき PSL(2, R) はこの模型において H2 の向きを保つ等距変換全体の成す群に等しい。
開円板 D = {z | |z| < 1} をそれ自身に写すメビウス変換全体の成す部分群は、φ ∈ R, b ∈ C, |b| < 1 なる定数によって得られる
f(z) = e^{i\phi} \frac{z + b}{\bar{b} z + 1}
なる形の変換全体から成る。これはまた、D から D への双正則(あるいは同じことだが、全単射、等角かつ向きを保つ)変換全体の成す群にも等しい。適当な計量を入れることにより、D はポアンカレ円板模型と呼ばれる先程のものとは異なる双曲平面の模型にすることができるが、この群は、この模型における H2 の向きを保つ等距変換全体の成す群に一致する。
本節に述べたふたつの部分群は、何れも H2 の等距変換群としてえられるから、これらは互いに同型である。具体的な同型写像は、開円板を上半平面に全単射に写す変換
f(z)=\frac{z+i}{iz+1}
と共軛変換によって得られる。
メビウス群 \mathcal{M} の極大コンパクト部分群は
\mathcal{M}_0 := \left\{z \mapsto \frac{uz - \bar v}{vz + \bar u} : |u|^2 + |v|^2 = 1\right\}
で与えられる。この部分群は、同型
\mathcal{M} \cong \mathit{PSL}(2,\mathbb{C}) を通じて、射影特殊ユニタリ群 PSU(2, C) に同型で、この群は 3-次元における回転全体の成す群である特殊直交群 SO(3) にも同型なので、メビウス群の極大コンパクト部分群をリーマン球面における回転全体の成す群として解釈することができる。任意の有限部分群は共軛変換でこの極大コンパクト部分群の中に写され、それゆえそれらの群はちょうど多面体群、三次元における点群に対応する。
メビウス変換からなる正二十面体的対称性はクラインによって  において五次方程式の解析解を与えるために用いられた(現代的な解説が  にある)。
さて、メビウス変換の係数 a, b, c, d を ad − bc = 1 なる整数と仮定するならば、モジュラー群 PSL(2, Z) と呼ばれる PSL(2, R) の離散部分群で、ガウス平面上の格子および、楕円函数、楕円曲線の研究において重要な群を生じる。PSL(2, R) の離散部分群はフックス群として知られ、リーマン面の研究において重要である。