水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解
本項、水素原子におけるシュレーディンガー方程式の解(すいそげんしにおけるシュレーディンガーほうていしきのかい)では、ハミルトニアンがcellpadding
と書ける二粒子系の時間非依存なシュレーディンガー方程式の厳密解を解く(式中の記号の意味は後述)。
物理学的にはこれは、
質量m0の正の電荷をもつ粒子と質量がm1負の電荷を持つ粒子がクーロン力により結合している状況において
外力は働いておらず、
相対論的効果を考えない量子力学の範囲内で、
粒子の波動関数を決定する事を意味する。正の電荷をもつ粒子と負の電荷がそれぞれ陽子と電子だとすればこの系は水素原子に相当するが、一般の価数の原子核を持つ1電子系多価イオン(水素様原子)の系も同一の方程式から解を導ける。この方程式は様々な教科書で取り上げられている。
なお、微細構造、超微細構造、ラムシフトなどの効果は、いずれも相対論的な量子力学を必要とする為、本項の対象外である。
本項の目的は、時間非依存なシュレディンガー方程式cellpadding
と書ける場合の厳密解を求める事である。ここで
\boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0,z_0)
\boldsymbol{x}_1=(x_1,y_1,z_1)
はR3の元であり、m0、m1、Qは正の定数であり、
\Delta_j =
{\partial^2\over \partial x_j{}^2}
+{\partial^2\over \partial y_j{}^2}
+{\partial^2\over \partial z_j{}^2}、
であり、ℏは換算プランク定数である。
前述した物理的状況においては、2つの粒子の電荷をそれぞれe1, −e2とし、真空の誘電率をε0とすれば、
Q={e_1e_2\over 4\pi \varepsilon_0}
であるが、本項では一般の正の定数Qに対して解を導くので、必ずしもQが上述の形である事を仮定しない。
(X1)、(X2)により定義される方程式は、重心系に書き直す事により、より簡単な式に還元できる。2つの粒子の重心
\boldsymbol{c}={m_0\boldsymbol{x}_0+m_1\boldsymbol{x}_1\over m_0+m_1}
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_0
\mu=\frac{m_0m_1}{m_0+m_1}
を使うと、ハミルトニアン(X2)は
\hat{H}=
-{\hbar^2 \over 2 (m_0+m_1)}\Delta_{\boldsymbol{c}
-{\hbar^2 \over 2 \mu} \Delta_{\boldsymbol{x}
- {Q \over |\boldsymbol{x}〕
と書けるH13。
…(Y1)|border colour=|background colour=}
=
-
{\hbar^2 \over 2 \mu}\Delta_{\boldsymbol{x}
- {Q \over |\boldsymbol{x}〕
…(Y2)|border colour=|background colour=}
の和である。
(Y1)のハミルトニアンはよく知られた自由粒子のハミルトニアンであり、その連続スペクトルは
\sigma_c(\hat{H}_c)=[0,\infty)
であり、点スペクトルは
\sigma_c(\hat{H}_c)=\emptyset
であるH13。したがって後は非自明な部分である(Y2)のスペクトルを求めれば良いことになる新井。そこで以下(Y2)のみ焦点を当てる。
適切な値a0と定数Eaを選び、長さとエネルギーをそれぞれa0、Eaが1となるように座標変換
(x',y',z')= (x/a_0, y/a_0, z/a_0)
E'=E/E_a
してやると、(Y2)のハミルトニアンに関する時間非依存なシュレディンガー方程式はcellpadding
簡単な計算によりa0、Eaの具体的な値は
a_0={\hbar^2 \over \mu Q}、E_a={\mu Q^2\over \hbar^2}  …(A2)
である事が分かる。
特に、陽子の質量m0が電子の質量m1より遥かに重いと仮定した場合の水素原子の系におけるa0、Eaは
Q={e^2\over 4\pi \varepsilon_0}
\mu =m_1\left( 1+ {m_1\over m_0}\right)\approx m_1
より、
a_0={4\pi \varepsilon_0\hbar^2 \over m_1e^2}、E_a={m_1e^4\over 16\pi^2 \varepsilon_0^2 \hbar^4}
である。ここでeは電気素量である。この場合のa0をボーア半径といい、Eaを基準としたエネルギーの単位をハートリーというSO96。
本節では(Y2)のハミルトニアンを無次元したcellpadding
のスペクトルを求める。なお、本節ではまず変数分離解を求めるが、後述するように実はこのハミルトニアンは変数分離解しか持たない。
(A1)を解く基本的アイデアは、無次元化した座標系(x′,y′,z′) = (x/a0, y/a0, z/a0)を球面座標(r′,θ,φ)に変換するというものだが、直接球面座標を用いると、計算が複雑になる。そこで計算を楽にするため、以下の事実に着目する。
(A1)のハミルトニアンは球対称なポテンシャルを持っており、しかもラプラシアンは回転不変である事が知られているので、(A1)のハミルトニアンは回転不変である。よって(A1)のハミルトニアンは軌道角運動量演算子(\hat{L}_x,\hat{L}_y,\hat{L}_z)と可換である:
[\hat{H}_{\boldsymbol{x}'},\hat{L}_x]
=[\hat{H}_{\boldsymbol{x}'},\hat{L}_y]
=[\hat{H}_{\boldsymbol{x}'},\hat{L}_z]
=0
よって特に、軌道角運動量演算子の自乗L2とも可換である:
[\hat{H}_{\boldsymbol{x}'},\hat{\boldsymbol{L}^2}]=0
よってHx′はL2と同時対角化できるはずである、さらに
[\hat{\boldsymbol{L}^2},\hat{L}_z]=0
である事から、Hx′, L2, Lzの3つを同時対角化できるはずである。
そこでまず、L2, Lzの同時固有関数を求め、これを利用してHx′の固有関数を求める。
L2とLzの同時固有関数の求め方は「軌道角運動量」の項目に書いてあるので、結論だけを言えば、ℓ = 0, 1, 2, …, m = 0, ±1, ±2, … ±ℓに対し、
\hat{\boldsymbol{L}^2}\psi =\hbar^2 \ell(\ell+1)\psi
\hat{L}_z\psi =m\hbar \psi
を満たす固有関数ψが存在し、ψは極座標で
\psi(r',\theta,\varphi)=
R(r')
P_\ell^(\cos \theta) \, e^{im\phi}
×(規格化定数) …(B1)
という形で書ける。ここでR(r)は任意の自乗可積分関数であり、Pℓm(z)はルジャンドルの陪多項式
P_\ell{}^m (z) = {1\over 2^\ell \ell!}(1-z^2)^{m\over 2}{\operatorname{d}^{m+\ell}\over \operatorname{d}z^{m+\ell}(z^2-1)^{\ell}
である新井。
後はR(r′)を決定するだけである。R(r′)を決定するには(B1)を(Y2)のハミルトニアンに入れてシュレディンガー方程式(Y1)を解けば良い。(A1)を式変形すると、
\left({1\over 2}\Delta_{\boldsymbol{x}'}+{1 \over |\boldsymbol{x}'〕+E'\right)\psi=0
…(W1)
である。ラプラシアンを球面座標(r′,θ,φ)で書き表し、動径方向と球面方向にわけると、
\Delta_{\boldsymbol{x}'}={1\over r'^2}(\Delta_{r'}+\Delta_S)    …(W2)
と書ける武藤11-15。ここで
\Delta_{r'}=\frac{\partial}{\partial r'}\left(r'^2\frac{\partial}{\partial r'}\right)  、\Delta_S=-{1\over \hbar^2}\hat{\boldsymbol{L}^2}   …(W3)
であり武藤11-15、L2は軌道角運動量演算子の自乗である。(W1)のラプラシアンを極座標表示した上で(W1)に(B1)の波動関数を代入すると、(B1)がL2/ℏ2の固有値ℓ(ℓ+1)に対応する固有関数であった事から、
{1\over 2r'^2}\left(\Delta_{r'}-\ell(\ell+1)
+2r+2r^2E'\right)
R(r')
P_\ell^(\cos \theta) \, e^{im\phi}=0
\left(\Delta_{r'}-\ell(\ell+1)
+2r'+2r'^2E'\right)
R(r)
=0
束縛状態ではEは負の値しか取らないので、記号を簡単にするため
n:={1\over \sqrt{-2E'}, \rho:={2r' \over n}   …(W4)
と定義し原94、Rをρの関数とみなすと、
\rho^2 \frac{\operatorname{d}^2R}{\operatorname{d}\rho^2} + 2\rho \frac{\operatorname{d}R}{\operatorname{d}\rho}
- \left\{ \frac{\rho^2}{4} - n \rho + \ell(\ell+1) \right\} R = 0
…(W5)
が成立する石川15。
この方程式を解くのは複雑な計算を必要とするので後の章にまわし、ここでは結論のみを述べる。
(W5)の方程式を解くことで各n = 0, 1, 2, …に対し、((A2)のEaを単位とした)エネルギー
E'_n= -\frac{1}{2n^2}                   ...(B2)
に対する解が見つかる新井。Enに対応する固有関数は、
\begin{cases}
0\le \ell \le n-1\\
|m|\le\ell
\end{cases}
…(B3)
に対してのみ存在し、そのときのR(r)はラゲールの陪関数
R_{n,\ell}(\rho)=
\exp \left( - \rho\right)
\rho^\ell L^{2\ell+1}_{n+\ell}\left(2\rho\right)
×規格化定数     …(B4)
に一致する。ここで
\rho={r'\over n}
、
L^m_k(\rho) = \frac{\operatorname{d}^m}{\operatorname{d}\rho^m} e^\rho \frac{\operatorname{d}^k}{\operatorname{d}\rho^k} (e^{-\rho} \rho^k)
である。
3次元空間における体積要素dV = dx′dy′dz′は動径方向の線素dr′と球面方向の面素dS = sinθdθdφを用いて
\operatorname{d}V
=
r'^2
\operatorname{d}r'
\operatorname{d}S
と書けるので、(B1)におけるψのノルム
\|\psi\|{}:=
\sqrt{\int_0^{\pi} |\psi(x',y',z')|^2\operatorname{d}V}
\|\psi\|{}:=\|R\|_r\|Y\|_S
…(M1)
と「変数分離」する。ここで
Y(\theta,\varphi)=P_\ell^(\cos \theta) \, e^{im\phi}
であり、
\|Y\|_S{}:=
\sqrt{\int_0^{\pi} |Y(\theta,\phi)|^2\operatorname{d}S}
…(M2)
\|R\|_r{}:=
\sqrt{\int_0^\infty |R(r)|^2r^2\operatorname{d}r}
…(M3)
(M2)のノルムを1にする規格化定数の値は「軌道角運動量」の項目に書いてあり、
(-1)^{(m+|m|)/2}
\sqrt{ \frac{2\ell+1}{4\pi} \frac{(\ell-|m|)!}{(\ell+|m|)!} \,}
である原94。
(M3)のノルムを1にする規格化定数の値の計算は後述するが、結論から言えば規格化定数は
\left({2\over n}\right)^{3/2}\sqrt{ \frac{(n-\ell-1)!}{2n(n+\ell)!} }     ...(M5)
である。
無次元化した(A1)をベースにしたこれまでの議論を通常の単位系に戻すことで以下の結論が得られる。
a_0={\hbar^2 \over \mu Q}
とし、n>0を自然数、ℓ, mを以下を満たす整数とする:
\begin{cases}
0\le \ell \le n-1\\
|m|\le\ell
\end{cases}
…(B3、再掲)
このとき(Y2)のハミルトニアンはエネルギー
E_n= -\frac{\mu Q^2}{2\hbar^2n^2}
に対し、
\hat{\boldsymbol{L}^2}\psi =\hbar^2 \ell(\ell+1)\psi
\hat{L}_z\psi =m\hbar \psi
\psi_{n,\ell,m}(r,\theta, \phi)
\exp ( - \rho_n )\rho_n{}^{\ell}
L^{2\ell+1}_{n+\ell}(2\rho_n)
P_\ell^(\cos \theta) \, e^{im\phi}
×(規格化定数)  …(B5)
を持つ。ここで
P_\ell{}^m (z) = {1\over 2^\ell \ell!}(1-z^2)^{m\over 2}{\operatorname{d}^{m+\ell}\over \operatorname{d}z^{m+\ell}(z^2-1)^{\ell}
、
L^m_k(\rho) = \frac{\operatorname{d}^m}{\operatorname{d}\rho^m} e^\rho \frac{\operatorname{d}^k}{\operatorname{d}\rho^k} (e^{-\rho} \rho^k)
\rho_n={r \over na_0}
であり、規格化定数は
(-1)^{(m+|m|)/2}
\sqrt{
\left({2\over na_0}\right)^{3}
\frac{2\ell+1}{4\pi} \frac{(\ell-|m|)!}{(\ell+|m|)!}
\frac{(n-\ell-1)!}{2n(n+\ell)!} }
である。
以上では変数分離により発見的に解を求めたため、(B3)、(B5)に書いたものが解である事は間違いないものの、それ以外に解があるかどうかは不明である。しかし実はこれ以外に解がない事が知られているH13。-\frac{\mu Q^2}{2\hbar^2n^2}
と定義とするとき、(Y2)のハミルトニアンは連続スペクトル
\sigma_c(\hat{H}_{\boldsymbol{x)=(0,\infty)
\sigma_p(\hat{H}_{\boldsymbol{x})=\left\{E_n \mid n=1,2,\ldots \right\}
を持ち、
E_nに対する固有関数は(B3)、(B5)で書かれた関数で貼られるn2次元空間である。|name=定理}連続スペクトルに相当する部分は、物理的にいえば水素原子がイオン化している状態であり、したがって電子が陽子から逃れていってしまっているH13。なお、固有関数の和
\sum_{n,\ell,m} a_{n,\ell,m}\psi_{n,\ell,m}(r,\theta, \phi)
s.t.
\sum_{n,\ell,m} a_{n,\ell,m}{}^2 <\infty
の形に書けるのは、Hxの負のスペクトルに対応するベクトルだけで、正のスペクトルに対応するベクトルはこの方法では表記できないH13。
ハミルトニアン(Y2)の固有関数(B5)に登場する2つの変数は以下のように呼ばれる:
nは主量子数と呼ばれ、Hxのエネルギー固有値の大きさを司っている。
ℓは軌道角運動量量子数(方位量子数)と呼ばれ、L2の固有値の大きさを司っている。
mは磁気量子数(軌道磁気量子数)と呼ばれ、Lzの固有値の大きさを司っている。
なお、n−ℓ−1は、動径方向の波動関数の節の数を表している。
3つの量子数のうち、n, ℓには以下のような化学的意味がある:
主量子数 n は電子殻の K殻、L殻、M殻、…に対応している。
方位量子数 ℓ はs軌道、p軌道、d軌道、f軌道、g軌道…に対応している。
水素原子において、s軌道,p軌道,d軌道,f軌道…のエネルギー準位は縮退している。これはエネルギー固有値が、E = −Eh / 2n2となり、ℓやmに依存しないためである。なお、水素原子に磁場をかけると、これらのエネルギー準位は、スピン部分を無視して考えた場合、磁気量子数mの違いにより分裂する(→ゼーマン効果)。電場をかけた場合も、シュタルク効果によって分裂する。このとき、異なるℓの軌道同士の線形結合をとった混成軌道がハミルトニアンの固有状態となる。
エネルギー準位がEnにある電子がエネルギー準位がEn′に落ちると、
E_{n}-E_{n'}= \frac{\mu Q^2}{2\hbar^2}\left({1\over n'^2}-{1\over n^2}\right)
E_{n}-E_{n'}= {\hbar c \over \lambda}
を満たす波長λの光となって放出される。したがって
{1\over \lambda}= \frac{\mu Q^2}{2\hbar^3c}\left({1\over n'^2}-{1\over n^2}\right)
水素原子の場合、すなわち
Q={e^2\over 4\pi \varepsilon_0}
の場合の上式右辺の定数、もしくはその定数に対して近似
\mu =m_1\left( 1+ {m_1\over m_0}\right)\approx m_1
を行ったときの値をリュードベリ定数という。
本節の目的は、微分方程式(W5)を解き、(B3)、(B4)を導出することである。
本節では式(W5)をさらに式変形することで、(W5)をラゲールの陪方程式(詳細後述)で書き表せる事を示す。ラゲールの陪方程式の解は特殊関数で書けることが知られているので、これにより式(W5)が解けることになる。この目標に達するため、以下の3ステップを踏む。
ρが十分小さいという条件下(W5)の近似解を求める。
ρが十分大きいという条件下(W5)の近似解を求める。
上記2ステップの結論を参考にして、(W5)の厳密解を変数変換し、(W5)をラゲールの陪方程式に(近似なしで)変形する。
(W5)におけるRの係数はρが十分小さいところではℓ(ℓ+1)と近似できるので、(W5)は
\rho^2 \frac{\operatorname{d}^2R}{\operatorname{d}\rho^2} + 2\rho \frac{\operatorname{d}R}{\operatorname{d}\rho}
- \ell(\ell+1) R = 0
と近似できる石川15。
この形の方程式はオイラーの微分方程式の解法に準ずる方法で解ける。その解は
の形で書ける。
(W5)式をρ2で割った上でρ → ∞の極限をとることで、ρが十分大きいところでは(W5)は
となる事がわかる。簡単な計算から上記の方程式の一般解は
R(\rho)=\mathrm{e}^{\rho\over 2}、\mathrm{e}^{-\rho\over 2}
もしくはこれらの線形和である。eρは発散する不適切な解となるので、
である。
(C1)、(C2)を参考に、(W5)の厳密解R(ρ)を
の形に変数変換する。一般に3つの関数の積の微分は公式
\begin{align}
(fgh)' &= f'gh + fg^'h + fgh' \\
(fgh) &= (fgh + fgh + fgh)
+ 2 (f'g'h + fg'h' + f'gh')
\end{align}
を満たすので、(W5)の第一項、および第二項は、
\begin{array}{lccl}
\displaystyle
\rho^2 \frac{\operatorname{d}^2R}{\operatorname{d}\rho^2} &=& \frac{\operatorname{d}{\operatorname{d}\rho}\left\{\rho^\ell u(\rho) \mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2}\right\}
& = & \ell\rho^{\ell-1}u(\rho)\mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2}
+ \rho^{\ell}\rho' \mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2}
- \frac{1}{2}\rho^\ell u(\rho) \mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2} \\
\displaystyle \rho \frac{\operatorname{d}R}{\operatorname{d}\rho} &=& \frac{\operatorname{d}^2}{\operatorname{d}\rho^2}\left\{\rho^\ell u(\rho) \mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2}\right\}
& = & \displaystyle \ell(\ell-1)\rho^{\ell-2} u(\rho) \mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2}
+ \rho^\ell \rho\mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2}
+\frac{1}{4}\rho^\ell u(\rho)\mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2}\\
&&         & + & \displaystyle 2 \left\{ \ell\rho^{\ell-1}\rho'\mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2}
- \frac{1}{2}\rho^{\ell}\rho'\mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2}
- \frac{1}{2}\ell\rho^{\ell-1}u(\rho)\mathrm{e}^{-\frac{\rho}{2}\right\}
\end{array}
である。上式を(W5)に代入すると、すべての項にe−ρが掛かっていることがわかる。よって各項をe−ρで割った上で式を整理して、
を得る。この式の両辺をρℓ−1で割ると、
となる石川15。こうして得た式(6.12)は下記の式(6.13)に示したラゲールの陪方程式(ラゲール陪関数)の形になっている。
\rho\frac{\operatorname{d}^2u(\rho)}{\operatorname{d}\rho^2}+(m+1-\rho)\frac{\operatorname{d}u(\rho)}{\operatorname{d}\rho}+(k-m)u(\rho) = 0
…(C4)
ラゲールの陪方程式の解u(ρ)はラゲールの陪多項式(ラゲール陪関数)と呼ばれる形の定数倍になることが知られている。ラゲールの陪多項式(ラゲール陪関数)Lm(ρ)は下記のように定義される。
L^m_k(\rho) = \frac{\operatorname{d}^m}{\operatorname{d}\rho^m} e^\rho \frac{\operatorname{d}^k}{\operatorname{d}\rho^k} (e^{-\rho} \rho^k) \quad \rho={2r\over n}
ここで、kは
0\le k \le m
…(C5)
を満たす整数である。
よって(C4)の解は
u(\rho) = L^{2\ell+1}_{n+\ell}(\rho)
×(規格化定数)
となる。これを変数変換の式(C3)に代入して
R(\rho) = \rho^\ell L^{2\ell+1}_{n+\ell}(\rho) \exp\left(-\frac{\rho}{2}\right)        ×(規格化定数)   …(C6)
を得る。
ラゲール陪多項式の係数の条件式(C4)から、hoge\ellは
0\le \ell \le n-1
…(C7)
を満たす整数でなければならない。
規格化定数をC′とすると、規格化条件
\int_{0}^{\infty} |R(r')|^2 r'^2 \operatorname{d}r' = 1
は、(W2)、(W4)より、
\begin{array}{lcl}
\displaystyle 1=\int_{0}^{\infty} |R(r')|^2 r'^2 \operatorname{d}r
& = &\displaystyle  {n^3\over 8}\int_{0}^{\infty} R(\rho)^2 \rho^2 \operatorname{d}\rho\\
& = & \displaystyle  {n^3C'\over 8} \int_{0}^{\infty} \rho^{2\ell+2} \{L^{2\ell+1}_{n+\ell}(\rho)\}^2 \exp\left(-\rho\right) \operatorname{d}\rho\\
\\
\end{array}
…(D1)
ラゲールの陪多項式(ラゲール陪関数)は下記の直交性を満たすことが知られている
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} z^m \exp(-z) L_{k}^{m}(z) L_{\ell}^{m}(z) \operatorname{d}z &= \frac{(k!)^3}{(k-m)!} \delta_{k\ell} \\
\int_{0}^{\infty} z^{m+1} \exp(-z) \{ L_{k}^{m}(z) \}^2 \operatorname{d}z &= (2k+1-m) \frac{(k!)^3}{(k-m)!}
\end{align}
ので、後者の式を(D1)に対して用いる事で、
\displaystyle \int_{0}^{\infty} \rho^{2\ell+2} \{L^{2\ell+1}_{n+\ell}(\rho)\}^2 \exp\left(-\rho\right) \operatorname{d}\rho
=\displaystyle (2n) \frac{[(n+\ell)!]^3}{(n-\ell-1)!}
これが(D1)の左辺である1と等しいことから、規格化定数C′について解く事で
C' = \left({2\over n}\right)^{3/2}\sqrt{ \frac{(n-\ell-1)!}{2n[(n+\ell)!]^3} }  …(D2)
が得られる。
なお、無次元化する前のハミルトニアン(Y2)に対する規格化定数は、変数変換
\int_{0}^{\infty} |R(r)|^2 r^2 \operatorname{d}r={1\over a_0}^3\int_{0}^{\infty} |R(r')|^2 r'^2 \operatorname{d}r'
の分だけ(D2)のものとはずれるので、(Y2)に対する規格化定数は、