コーシー＝シュワルツの不等式
数学におけるコーシー=シュワルツの不等式(コーシーシュワルツのふとうしき、Cauchy–Schwarz inequality)、シュワルツの不等式、シュヴァルツの不等式あるいはコーシー=ブニャコフスキー=シュワルツの不等式 (Cauchy–Bunyakovski–Schwarz inequality) とは、内積空間における二つのベクトルの間の内積がとりうる値をそれぞれのベクトルのノルムによって評価する不等式である。線型代数学や関数解析学における有限次元および無限次元のベクトルに対するさまざまな内積や、確率論における分散や共分散に適用されるなど、様々な異なる状況で現れる有用な不等式である。
数列に対する不等式はオーギュスタン=ルイ・コーシーによって1821年に、積分系での不等式はまずヴィクトール・ブニャコフスキーによって1859年に発見された後ヘルマン・アマンドゥス・シュワルツによって1888年に再発見された。
x や y が実または複素内積空間 (X,\langle \cdot,\cdot\rangle) の元であるとき、シュワルツの不等式は次のように述べられる:
|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.
左辺は内積 \langle x,y\rangle の絶対値の平方である。ここに、等号は x と y が線型従属であるとき、つまり x, y のいずれか一方が 0 であるか、さもなくば一方が他方の適当なスカラー倍であるときであり、かつそのときに限る。内積の導くノルム \|x\|^2:=\langle x,x\rangle を用いればこれは
|\langle x, y \rangle| \leq \Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert
とも表せる。
コーシー・シュワルツの不等式の重要な帰結には、内積が2変数の関数と見て連続であるということ、従って特にひとつのベクトル x を決めるごとに内積が一つの連続汎関数 \langle x,\cdot\rangle あるいは \langle \cdot,x\rangle を定めるということである。さらに、ベクトル x に対して汎関数 x^* \colon y \mapsto \langle y,x\rangleを与える対応が等長作用素になっていることも従う。
また、この定理の系として内積ノルムに関する三角不等式
\Vert x+y \Vert \le \Vert x\Vert + \Vert y\Vert
が導かれる。ここで等号が成立するのは、x と y の一方が他方の非負実数倍であるとき、かつそのときに限る。
定理には数多くの証明が知られている。
実内積空間におけるシュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその判別式を用いるものがある。実際、t を実変数(あるいは任意の実定数)として
0 \le \langle \boldsymbol{x} + t\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x} + t\boldsymbol{y} \rangle = \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle + 2 \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle t + \langle \boldsymbol{y}, \boldsymbol{y} \rangle t^2
は(内積の加法性により)t の如何にかかわらず成立する t の二次の絶対不等式となる。ゆえに、二次の絶対不等式に関してよく知られた事実により、この t に関する二次式の判別式Δは半負定値(非正)でなければならない:
\Delta/4 = (\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle)^2 - \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle \langle \boldsymbol{y}, \boldsymbol{y} \rangle \le 0.
これを整理してコーシー–シュワルツの不等式を得る。
同じように複素内積空間における証明がある。この証明では、x なる内積を考えるとき、実数 t と絶対値 1 の複素数 λ について
\langle \boldsymbol{x} + \lambda t \boldsymbol{y} | \boldsymbol{x} + \lambda t \boldsymbol{y} \rangle
に対して同様の議論を行い、
\left(\operatorname{Re} \langle \boldsymbol{x} | \lambda \boldsymbol{y} \rangle\right)^2 - \langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{x} \rangle \langle \boldsymbol{y} | \boldsymbol{y} \rangle \le 0
が導かれる。特に \lambda = \frac{\langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{y} \rangle} について \operatorname{Re} \langle \boldsymbol{x} | \lambda \boldsymbol{y} \rangle = \bar{\lambda} \langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{y} \rangle = |\langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{y} \rangle| となっているので、定理の主張が得られる。
別の観点に立った証明として、直交射影の概念を用いる以下のものがある:y = 0 のときは、x と y との内積が 0 になり、問題の不等式は自明な形で等号として成立する。y > 0 のときは、
t=\frac{\langle x,y\rangle}{\|y\|^2}
に対して t y を x の y 方向への直交射影と見なすことができる。実際、この  t について  z := x - t y  は y に直交している。
\|z\|^2 = \frac{\|x\|^2\|y\|^2-|\langle x,y \rangle|^2}{\|y\|^2}
が非負であることよりコーシー=シュワルツの不等式が従う。さらに、x と y とが線型従属のときかつそのときに限り z = 0 であり、不等式において等号が成立することがわかる。
標準内積に関する内積空間と考えたときのユークリッド空間 Rn の場合に書き下すと、
\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)
となるが、この不等式は n に関する数学的帰納法で証明することができる。各 x_i,y_i が負でない場合を示せばよい。n = 1 のときは明らかに成立。n = 2 のときは、
(x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)-(x_1 y_1+x_2 y_2)^2=(x_1 y_2-x_2 y_1)^2\ge 0
より成り立つ。n = m で成立すると仮定する。n = m + 1 のとき、
\left(\sum_{i=1}^{m+1} x_i y_i\right)^2=\left( \sum_{i=1}^m x_i y_i+x_{m+1} y_{m+1}\right)^2
\leq\left(\left(\sum_{i=1}^m x_i^2 \right)^\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^m y_i^2 \right)^\frac{1}{2}+x_{m+1} y_{m+1} \right)^2                          (∵帰納法の仮定より)
\leq\left(\sum_{i=1}^m x_i^2+x_{m+1}^2\right)\left(\sum_{i=1}^m y_i^2+y_{m+1}^2 \right)             (∵n=2のときより)
=\left(\sum_{i=1}^{m+1}x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^{m+1}y_i^2\right)
となって成立する。
標準内積に関する内積空間と考えたときのユークリッド空間 Rn の場合に書き下すと、
\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right)
となる。特に n = 2, 3 のときには
(x_1y_1 + x_2y_2)^2 \leq (x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2)
(x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2 \leq (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2)
と書ける。これは有限次元の内積空間における例である。無限次元の内積空間の例として、二乗可積分関数の空間の場合には内積が積分の形で与えられ、2つの自乗可積分関数 f, g に対して
\left|\int f(x)g(x)^*\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx
というのがシュワルツの不等式を表している式である。これらはヘルダーの不等式に一般化される。