進化的安定戦略
本節では以下の2種類のレプリケーター方程式を紹介する:
離散レプリケーター方程式(discrete replicator equation):無性生殖する個体群の戦略の頻度分布を(オーバーラップのない)「世代」という離散的な時間で記述できると仮定した場合の方程式
連続レプリケーター方程式(continuous replicator equation):個体数が十分大きいため世代がオーバーラップし、連続的な時間によって(無性生殖する)個体群の戦略の頻度分布を記述できると近似した場合における方程式
離散レプリケーター方程式を定式化するために、以下のような個体群を考える:
個体群の構成が世代1, 2, ...によって記述でき、各世代にはオーバーラップがない。すなわち世代tに生きた個体はt+1には全て死滅し、世代t+1は世代tに生まれた個体の子供のみから構成される。
個体群内の各個体は有限個の純粋戦略1, ..., nのいずれかを取り、混合戦略は取らない
この個体群において世代tで(純粋)戦略iを取る個体の割合をp_i(t)と表記すると、この個体群における戦略の分布
\mathbf{p}(t)=(p_1(t),\ldots,p_n(t))
と記述できる。
この個体群で戦略iを取る各個体の利得をf_i(\mathbf{p}(t))と表記し、f_i(\mathbf{p}(t))に関して以下の仮定を置く:
この個体群で世代tにおいて戦略iを取る個体が残す事ができる子供の数は利得f_i(\mathbf{p}(t))に等しい
このように仮定すると、個体群のうち割合p_i(t)の個体が、それぞれf_i(\mathbf{p}_i(t))の子供を残すのだから、世代t+1において戦略1, ..., nを取る個体の比率は
p_1(t)f_1(\mathbf{p}(t))~:~\cdots~:~p_n(t)f_n(\mathbf{p}(t))
となる。ここで我々は
仮定3.により、(突然変異を例外とすれば)子供は親と同じ遺伝子を持つため、親と同じ戦略を取り
仮定4.により突然変異が起こらない
事を利用した。以上より世代世代t+1において戦略iを取る個体の割合は、以下の離散レプリケーター方程式に従う:border
\bar{f}(\mathbf{p}(t))=\sum_jp_j(t)f_j(\mathbf{p}(t))
である。
分数は分母だと意味を持たないので、最後に離散レプリケーター方程式の分母について触れておく。離散レプリケーター方程式の直観的な意味から、利得の期待値f_i(\mathbf{p}(t))は
f_i(\mathbf{p}(t))\ge 0
を満たす必要がある。またp_i(t)は割合であったので1\ge p_i(0) \ge 0であり、数学的帰納法により、離散レプリケーター方程式の分母が0になる世代tの直前までは
1\ge p_i(t) \ge 0
が成立する事も示せる。したがって離散レプリケーター方程式の分母が0になる場合、すなわち
\bar{f}(\mathbf{p}(t))=\sum_jp_j(t)f_j(\mathbf{p}(t))=0
の場合は、正の数の和が0である事になるので、
p_1(t)f_1(\mathbf{p}(t))=\cdots=p_n(t)f_n(\mathbf{p}(t))=0
が成立する。これは各iに対し、p_i(t)かf_i(\mathbf{p}(t))
のいずれかが0である事を意味する。p_i(t)=0であれば、純粋戦略iを取る個体は絶滅した事になるので、任意のs>tに対し、p_i(s)=0である。またf_i(\mathbf{p}(t))=0
であれば、純粋戦略iを取る個体が世代tで残せた子供の数f_i(\mathbf{p}(t))
が0である事を意味するので、やはり任意のs>tに対し、p_i(s)=0である。結局、離散レプリケーター方程式の分母が0になるという事は個体群の全ての個体が絶滅した場合に相当する。
連続レプリケーター方程式を定式化する為、離散レプリケーター方程式の節の2~4の仮定と以下の1'の仮定を満たす個体群を考える:
1'. 個体数が十分大きいため世代がオーバーラップし、連続的な時間によって個体群の戦略の頻度分布を記述できる
前節同様、(純粋)戦略iを取る個体の割合をp_i(t)と表記し、\mathbf{p}(t)=(p_1(t),\ldots,p_n(t))
とし、この個体群で戦略iを取る各個体の利得をf_i(\mathbf{p}(t))と表記する。
利得f_i(\mathbf{p}(t))に関して前節のものと似た以下の仮定を置く:
この個体群で時刻tにおいて戦略iを取る個体の増加率は利得f_i(\mathbf{p}(t))に等しい
個体群に属する個体数が十分に大きいと仮定しているので、個体数N(t)はtに関して微分可能な連続量であるとみなして差し支えないので、N_i(t)=p_i(t)N(t)とすると、上述の仮定から、
{\mathrm{d}\over \mathrm{d} t}N_i(t)=f_i(\mathbf{p}(t))N_i(t)
…(Eq-R1)
が成立する。記号を簡単にするため、時間微分を\dot{N}_i(t)
のようにドットで書くことにすると、(Eq-R1)とN_i(t)=p_i(t)N(t)より、
\dot{p}_i(t)={\mathrm{d}\over \mathrm{d} t}\left({N_i(t)\over N(t)}\right)
={\dot{N}_i(t)-p_i(t)\dot{N}(t)\over N(t)}
={f_i(\mathbf{p}(t))N_i(t)-p_i(t)\dot{N}(t)\over N(t)}
=p_i(t)\left(f_i(\mathbf{p}(t))-{\dot{N}(t)\over N(t)}\right)
が成立し、しかも(Eq-R1)から
{\dot{N}(t)\over N(t)}
=\sum_j{\dot{N}_j(t)\over N(t)}
=\sum_jf_j(\mathbf{p}(t))p_j(t)
でもあるので、以下の連続レプリケーター方程式が成立する:border
\bar{f}(\mathbf{p}(t))=\sum_jp_j(t)f_j(\mathbf{p}(t))
である。なお、適切な条件下では離散レプリケーター方程式の極限として連続レプリケーター方程式が得られる事が知られている。
本節の目標は、行列ゲームに対し、レプリケーター方程式の解が進化的安定な状態へと収束する条件を見る事である。なお、行列ゲーム以外のゲームに関してはこのような収束性は成り立つとは限らない。その理由の一端は、(後述するように)レプリケーター方程式が純粋戦略のみをとる個体群を想定しているのに対し、進化的安定性の定義では混合戦略をも考慮する事が多いからである。したがって単型-多型同値が成り立たない系では、レプリケーター方程式による解析と進化的安定性とが一致しない可能性がある。
まず行列ゲームに対する連続レプリケーター方程式を記述する。n×nの行列A=(a_{ij})_{i,j}
とn行の縦ベクトルpに対し、積Apの第i行を
(A\mathbf{p})_i
という記号で書くことにすると、利得関数が
E(i,j)=a_{ij}
と記述できる行列ゲームにおいて、純粋戦略iを取る個体の利得の期待値f_i(\mathbf{p}(t))は明らかに
f_i(\mathbf{p}(t))=(A\mathbf{p}(t))_i
なので、行列ゲームにおける連続レプリケーター方程式は
{\mathrm{d}p_i\over \mathrm{d}t}(t)=((A\mathbf{p}(t))_i-\mathbf{p}(t)^{T}A\mathbf{p}(t))p_i(t)~~~~~~\text{for }i=1,\ldots,n       …(Eq-R2)
と記述できる。ここで\mathbf{p}(t)^{T}は\mathbf{p}(t)を転置した横ベクトルである。
本節では(Eq-R2)と進化的安定性の関係性を調べるため、(Eq-R2)に関する性質を述べる。まずp_i(t)は純粋戦略iを取る個体の割合であったから、\mathbf{p}(t)の初期値\mathbf{p}(0)は
\Delta_n=\left\{(p_i)_{i=1,\ldots,n} \Bigg| 0\le p_1,\ldots,p_n \le 1,~ \sum_{i=1}^np_i=1 \right\}    ...(Eq-G1、再掲)
の元である。(Eq-R2)は行列によって記述できる常微分方程式であるので、(少なくとも初期値の近傍では)解が存在し、しかもその解は一意である(Picard–Lindelöf theorem)。
解の一意性から、(Eq-R2)における時間発展で2つの超平面
\{(p_i)_{i=1,\ldots,n} | \textstyle \sum_{i=1}^np_i=1 \}
\{(p_i)_{i=1,\ldots,n} | p_i=0 \}
が保存される事を簡単に示せるので、以下が明らかに従う:\left\{(p_i)_{i=1,\ldots,n} \Biggここから明らかに次の系が従う:\Delta_n\setminus\partial\Delta_n
に属していれば任意の時刻tに対し、\mathbf{p}(t)は{\Delta_n}^{\circ}に属している。\Delta_nはコンパクトであるので、以上の性質と前述の解の局所的存在性・一意性から次が従う:(Eq-R2)は任意の初期値\mathbf{p}(0)\in\Delta_nに対し、任意の時刻tにおいて解が一意に存在する。次の事実も知られている:写像
\{(p_1,\ldots,p_n)\in \Delta_n
(Eq-R2)と進化的安定性の関係を述べるため、以下の概念を定義する。なお以下で、\mathbf{p}(t)は初期値が\mathbf{p}(0)であるときの(Eq-R2)の(必ず存在する一意な)解である:\mathbf{p}_0を\Delta_nの元とする。このとき
初期値が\mathbf{p}_0である(Eq-R2)の(必ず存在する一意な)解が時刻tに依存せず、常に\mathbf{p}_0に留まるとき、\mathbf{p}_0は(Eq-R2)の停留点(rest point)であるという。
停留点\mathbf{p}_0のある近傍U、Vが存在し、\mathbf{p}(0)\in Vであれば\mathbf{p}(t)\in Uが任意の\mathbf{p}(0)\in V、t>0に対して成立する時、\mathbf{p}_0は安定(stable)であるという。
停留点\mathbf{p}_0のある近傍Uが存在し、任意の\mathbf{p}(0)\in Uに対し、t\to\inftyのとき\mathbf{p}(t)\to\mathbf{p}_0が成立する時、\mathbf{p}_0はattractingであるという。
停留点\mathbf{p}_0が安定でかつattractingなとき漸近的に安定(asymptotically stable)もしくはアトラクター(attractor)であるという。
停留点\mathbf{p}_0が大域的に安定(grobally stable)であるとは、\mathbf{p}_0が安定であり、\Delta_n{}の内部\Delta_n{}^{\circ}に属する任意の\mathbf{p}(t)に対し、\mathbf{p}(t)\to\mathbf{p}_0であるときにいう。
なお大域的安定性の定義で\Delta_nの境界\partial \Delta_nの点に対して\mathbf{p}_0への収束性を求めないのは、定理R1で述べたように、\partial \Delta_nの点は(Eq-R2)における時間発展で\partial \Delta_nに留まり続ける為、\mathbf{p}_0に収束することはありえないからである。
このとき次が成立する。なおゲーム理論にも「フォーク定理」という名称の定理があるが、下のものはこれとは無関係の定理である。
(a_{ij})_{i,j}をn\times nの行列とし、利得関数が
E(i,j)=a_{ij}
で定義される行列ゲームを考え、さらにAを用いて(Eq-R2)のように定義される連続レプリケーター方程式を考え、さらに\mathbf{p}_0を\Delta_nの元とする。このとき
\mathbf{p}_0が行列ゲームのナッシュ均衡点であれば\mathbf{p}_0は停留点である
\mathbf{p}_0が行列ゲームの狭義ナッシュ均衡点であれば\mathbf{p}_0は漸近的安定点である
\mathbf{p}_0\in \Delta_n{}^{\circ}が(Eq-R2)の何らかの解\mathbf{p}(t)の極限\mathbf{p}(t)\to\mathbf{p}_0であれば、\mathbf{p}_0は行列ゲームのナッシュ均衡点である
\mathbf{p}_0が安定点であれば、\mathbf{p}_0は行列ゲームのナッシュ均衡点であるすでに述べたように行列ゲームにおいては
狭義ナッシュ均衡⇒進化的安定⇒ナッシュ均衡
という関係性が成立するので、上述の定理から連続レプリケーター方程式の解と進化的安定性との関係がある程度わかる事になる。
また以下も成立する:定理R6と同様の状況の元、
\mathbf{p}_0が進化的安定であれば、漸近的に安定である
\mathbf{p}_0が進化的安定でしかも\Delta_n{}^{\circ}に属していれば、\mathbf{p}_0は大域的に安定である
これまで我々は、着目している個体が純粋戦略を取る場合の連続レプリケーター方程式に関して考察してきたが、より一般に、有限個の混合戦略\mathbf{q}_1,\ldots,\mathbf{q}_m\in \Delta_nを取る個体がそれぞれ割合x_1(t),\ldots,x_m(t)で存在する個体群に対する連続レプリケーター方程式を考える事もできる:
{\mathrm{d}x_i\over \mathrm{d}t}(t)=\left(\mathbf{q}_i-\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t)\right)^{T}A\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))x_i(t)~~~~~~\text{for }i=1,\ldots,m       …(Eq-R3)
ここで\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t)は平均混合戦略
\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t)=\textstyle\sum_{j=1}^m x_j(t)\mathbf{q}_j       …
である。(Eq-R3)の導出は(Eq-R2)のそれと同様なので省略する。
(Eq-R3)においてm=2であれば、x=x_1(t)、\mathbf{q}=\mathbf{q}_1、\hat{\mathbf{q}=\mathbf{q}_2と略記すると、x_2=1-xなので、(Eq-R3)に登場するm=2本の式はいずれも
\dot{x}
=x(1-x)\{x(\mathbf{q}-\hat{\mathbf{q})^{T}A\mathbf{q}+(1-x)(\mathbf{q}-\hat{\mathbf{q})^{T}A\hat{\mathbf{q})\}       …(Eq-R4)
に同値である事が簡単な計算から確かめられる。このとき、次が成立する事が知られている:行列Aに関する行列ゲームにおいて混合戦略\hat{\mathbf{qが混合戦略\mathbf{q}に対して進化的安定である必要十分条件は(Eq-R4)が漸近的に安定である事である。|name=定理R8}
混合戦略に関して考察する前に、まず本節では行列ゲームの純粋戦略に対する離散レプリケーターを導出する。純粋戦略iを取る個体の割合をp_i(t)と表記し、\mathbf{p}(t)=(p_1(t),\ldots,p_n(t))
とし、この個体群で戦略iを取る各個体の利得をf_i(\mathbf{p}(t))と表記する。
n×nの行列A=(a_{ij})_{i,j}
を用いて利得関数が
E(i,j)=a_{ij}
と書ける行列ゲームにおいて、純粋戦略iを取る個体の利得の期待値f_i(\mathbf{p}(t))は明らかに
f_i(\mathbf{p}(t))=(A\mathbf{p}(t))_i
なので、これを利用して離散レプリケーター方程式の具体的な形を書き下す事ができる。より一般に各個体が行列ゲームの利得以外に「背景利得」(background payoff)βを得られる場合、すなわち
f_i(\mathbf{p}(t))=(A\mathbf{p}(t))_i+\beta
の場合には、離散レプリケーター方程式の具体的な形は
p_i(t+1)={(A\mathbf{p}(t))_i +\beta \over \mathbf{p}(t)^TA\mathbf{p}(t) +\beta }p_i(t)~~~~~~\text{for }i=1,\ldots,n         …(Eq-R5)
である。
連続レプリケーター方程式の「純粋戦略版」である(Eq-R2)から「混合戦略版」の(Eq-R3)を導いたのと同様の方法で、離散レプリケーター方程式の「混合戦略版」を「純粋戦略版」である(Eq-R5)から導くことができる。
すなわち、有限個の混合戦略\mathbf{q}_1,\ldots,\mathbf{q}_m\in \Delta_nを取る個体が世代tにおいてそれぞれ割合x_1(t),\ldots,x_m(t)だけ存在する個体群を考え、\mathbf{x}(t)=(x_1(t),\ldots,x_m(t))^Tとするとき、混合戦略\mathbf{q}_iを取る個体の利得の期待値f_i(\mathbf{x}(t))は平均混合戦略
\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t)=\textstyle\sum_{j=1}^m x_j(t)\mathbf{q}_j       …
f_i(\mathbf{x}(t))
=\sum_jx_j(t)E(\mathbf{q}_i(t),\mathbf{q}_j(t)))+\beta
=\mathbf{q}_i(t)^TA\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t)+\beta
と表記できるので、
x_i(t+1)={\mathbf{q}_i^TA\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t)+\beta \over\mathbf{q}_{\mathbf{x}^TA\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t)+\beta}x_i(t)~~~~~~\text{for }i=1,\ldots,m         …(Eq-R6)
となる。なお(Eq-R6)より明らかに比の等式
{x_1(t+1)\over x_1(t)}
~:~\cdots~:~
{x_m(t+1)\over x_m(t)}
=
E(\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
~:~\cdots~:~
E(\mathbf{q}_m,\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))         …(Eq-R7)
が成立する。ここで
E(\mathbf{p},\mathbf{q})
=\mathbf{p}^TA\mathbf{q}+\beta
…(Eq-R8)
である。上の比の等式は左辺に登場する分母x_i(t)が0である場合は意味を持たないが、前節でも述べたのと同様の議論により、x_i(t)が0になるのは混合戦略\mathbf{q}_iを取る個体が個体群から絶滅した事を意味するので、以降のsに関しては常にx_i(s)=0であるものと解釈する。
離散レプリケーター方程式と進化的安定性との関係を見るため、(Eq-R7)でm=2であるケースを考え、x(t)=x_1(t)、\mathbf{q}=\mathbf{q}_1、\hat{\mathbf{q}=\mathbf{q}_2と略記すると、x_2(t)=1-x(t)なので
{x(t+1)\over x(t)}
~:~
{1-x(t+1)\over 1-x(t)}
=
E(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
~:~E(\hat{\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))        …(Eq-R9)
である。ここでEは(Eq-R7)のように定義されており、
\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t)
=x(t)\mathbf{q}
+(1-x(t))\hat{\mathbf{q}       …
であり、(Eq-R9)の左辺の分母が0である場合の解釈は前節と同様であるものとする。また離散レプリケーター方程式の利得は子供の数を示していたので、
E(\mathbf{q},\mathbf{q}), ~\hat{E(\mathbf{q},\hat{\mathbf{q})
\ge 0
が成立する事を仮定する。このとき、次が成立する:行列Aによって定義される行列ゲームにおいて混合戦略\hat{\mathbf{qが進化的安定であり、\hat{\mathbf{q}の \mathbf{q}\neq\hat{\mathbf{q}に対する侵入障壁 \varepsilon_0 と初期値 x(0)とが
x(0)<\varepsilon_0
を満たせば、漸化式(Eq-R9)を満たすx(t)はt\to\inftyのとき0に収束する。|name=定理R9}
上述の定理は、個体群において\mathbf{q}\neq\hat{\mathbf{q}を取る個体の割合が進化的安定戦略\hat{\mathbf{q}の侵入障壁よりも小さい時は、世代を重ねる事で\mathbf{q}を取る個体の割合が0に収束していく事を意味する。
0が成立する場合を考える。(Eq-R9)の左辺の分母が0になったという事であり、この場合はt_0以上の全てのtに対しx(t)=0であるとしていたので、明らかに目的の収束性x(t)\to 0が従う。よって以下、x(t) \neq 0が全てのtに対して成立する場合のみを議論する。(Eq-R9)を変形すると、(Eq-R6)と同様の式
x(t+1)
={E(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathbf{x(t)) \over E(\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t),\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))}\cdot x(t)
…(Eq-RP1)
が従う。これをさらに変形して
x(t)-x(t+1)
={E(\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t),\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
- E(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
\over E(\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t),\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))}\cdot x(t)
…(Eq-RP2)
を得る。(Eq-RP2)の分母は
E(\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t),\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
=x(t)^2E(\mathbf{q},\mathbf{q})
+x(t)(1-x(t))E(\mathbf{q},\hat{\mathbf{q})
+x(t)(1-x(t))E(\hat{\mathbf{q},\mathbf{q})
+(1-x(t))^2E(\hat{\mathbf{q},\hat{\mathbf{q}) \ge 0
を満たし、 E(\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t),\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
= 0
の場合は既に述べたようにs>tに対しx(s)=0であるので、以下
E(\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t),\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
>0
であるとしてよい。
次に我々は(Eq-RP2)式を利用する事で、x(t)が狭義単調減少であるための条件を調べる。[0,1]区間に属するx(t)が単調減少であればx(t)は何らかの非負の実数に収束するので、我々が知りたかったx(t)の収束性に関する情報が得られるからである。
解析を簡単にするため、しばらくの間x(t)\neq 1を仮定する。
狭義単調減少性x(t+1)<x(t)を満たす必要十分条件は、(Eq-RP2)式の右辺がtによらず正になる事である。我々は(Eq-RP2)式の分母 E(\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t),\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
が正である事をすでに示した。したがって(Eq-RP2)式の右辺が正であるのは、(E(\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t),\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
- E(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
) x(t)
の場合である。割合x(t)は0\le x(t)\le 1を満たしており、我々はx(t)\neq 0のケースを考えていたので、結局x(t+1)<x(t)となる必要十分条件は
E(\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t),\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
- E(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
>0
…(Eq-RP3)  …
となる事である。\tau_tの定義より、(Eq-RP3)式の左辺は
(1-x(t))(E(\hat{\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
- E(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t)))
>0
に等しい。前述のように0\le x(t)\le 1で、x(t)\neq 1を仮定していたので、(Eq-RP3)が成立する必要十分条件は
E(\hat{\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
- E(\mathbf{q},\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t))
>0
となる事である。再び\mathbf{q}_{\mathbf{x}(t)
の定義より、上式が成り立つ必要十分条件は
E(\hat{\mathbf{q},(1-x(t))\hat{\mathbf{q}+x(t)\mathbf{q})>E(\mathbf{q},(1-x(t))\hat{\mathbf{q}+x(t) \mathbf{q})
…(Eq-RP4)
が成立する事である。
以上の議論からx(t)\neq 1であれば、x(t+1)<x(t)である必要十分条件は(Eq-RP4)が成立する事である事がわかった。
よって特に、
「x(t)\neq 1かつ(Eq-RP4)が成立」⇒「x(t+1)<x(t)が成立」   …(Eq-RP5)
が結論づけられる。
さて、仮定より、x(0)は進化的安定戦略\hat{\mathbf{q}
の\mathbf{q}\neq \hat{\mathbf{q}に対する参入障壁\varepsilon_0に対して0\le x(0)< \varepsilon_0を満たしていた。これはすなわちt=0
に対し(Eq-RP4)が成立する事を意味し、当然x(t)\neq 1でもあるので、(Eq-RP5)より、x(1) < x(0)< \varepsilon_0が成立する。よって再び進化的安定性より(Eq-RP4)が成立し、x(1)\neq 1も成立するので(Eq-RP5)より、x(2)<x(1)<x(0)<\varepsilon_0も成立する。以下同様に考える事で数学的帰納法により、x(t+1)<x(t)が任意のtに対して成立する事がわかる。すなわちx(t)は狭義単調減少である。
非負の単調減少列は収束するので、x(t)はt→∞の極限x_\inftyを持ち、0\le x_\infty<\varepsilonである。