一般化双曲型分布
一般化双曲型分布 (generalized hyperbolic distribution, GH)は、一般化逆ガウス分布(GIG分布)による正規分散平均混合として定義される連続確率分布で、1977年にBarndoroff-Nielsenにより導入された。GH分布は金融市場のモデル化によく使われている。
一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。
\begin{align}
gh(x;\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu ) =
&a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )(\delta^2 +(x-\mu )^2)^{(\lambda -\frac{1}{2} )/2} \\
&\times K_{\lambda -1/2} (\alpha \sqrt{\delta^2 +(x-\mu )^2} )\exp (\beta (x-\mu))
\end{align}
ここで、
a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )=
\frac{(\alpha^2 - \beta^2)^{\lambda/2}{\sqrt{2\pi} \alpha^{\lambda -1/2} \delta^{\lambda} K_{\lambda} (\delta \sqrt{\alpha^2 -\beta^2})}
Kλ(x) は、第3種の変形ベッセル関数。
\mu 位置 (location) パラメータ(実数)
\lambda (実数)
\alpha (実数)
\beta 歪度 (skewness) /非対称性 (asymmetry) パラメータ(実数)
\delta 尺度 (scale) パラメータ(実数)
x \in (-\infty; +\infty)
λ > 0 のとき、\delta \ge 0,\; |\beta |<\alpha
λ  0 のとき、\delta >0,\; |\beta |<\alpha
λ < 0 のとき、\delta >0,\; |\beta | \le \alpha
本節では、以下
\begin{align}
\zeta_u &= \delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta +u)^2} \\
\zeta   &= \zeta_{u=0}
\end{align}
とする。
期待値は以下の式で与えられる。
\begin{align}
E(X) &=\mu +\frac{\delta \beta}{\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}
\frac{K_{\lambda+1} (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}{K_{\lambda}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} \\[0.5em]
&=\mu +\frac{\delta^2 \beta}{\zeta}
\frac{K_{\lambda+1} (\zeta )}{K_{\lambda} (\zeta )}
\end{align}
分散は以下の式で与えられる。
\begin{align}
\operatorname{Var} (X) &=
\frac{\delta}{\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}
\frac{K_{\lambda+1} (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2} )}{K_\lambda (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2} )} +\frac{\delta^2 \beta^2}{(\alpha^2 -\beta^2)}
\left[
\frac{K_{\lambda+2} (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
- \left(
\frac{K_{\lambda +1}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}{K_{\lambda} (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
\right)^2 \right]
\\
&=
\frac{\delta^2}{\zeta}
\frac{K_{\lambda+1}(\zeta )}{K_\lambda(\zeta)}
+ \frac{\delta^4 \beta^2}{\zeta^2}
\left[
\frac{K_{\lambda+2}(\zeta)}{K_{\lambda}(\zeta)}
- \left(
\frac{K_{\lambda+1}(\zeta)}{K_{\lambda}(\zeta)}
\right)^2
\right]
\end{align}
モーメント母関数は以下の式で与えられる。
\begin{align}
M_{GH} (u) &= \exp (u \mu) \left(
\frac{\alpha^2 - \beta^2}{(\alpha^2 -(\beta + u)^2)}
\right)^{\lambda/2}
\frac{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta + u)^2})}
{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} \\[0.5em]
&= \exp(u \mu ) \left(
\frac{\zeta}{\zeta_u}
\right)^{\lambda}
\frac{K_{\lambda}(\zeta_u )}
{K_{\lambda}(\zeta )}
\end{align}
特性関数は以下の式で与えられる。
\varphi (u)=\exp (i u \mu)
\left(
\frac{\alpha^2 - \beta^2}{(\alpha^2 -(\beta + iu)^2)}
\right)^{\lambda/2}
\frac{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta + iu)^2})}
{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
双曲型分布 (HYP) となる。導出には、ベッセル関数の性質を利用する。
\begin{align}
gh(x;1,\alpha,\beta,\delta,\mu)
&= \mathrm{hyp}(x; \alpha, \beta, \delta, \mu) \\
&= \frac{\sqrt{\alpha^2 -\beta^2}{2\delta \alpha K_1 (\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
\exp (-\alpha \sqrt{\delta^2 +(x-\mu)^2} +\beta (x-\mu))
\end{align}
λ=1, α=1, β=0, δ=0 の場合はラプラス分布 Laplace(μ, 1) となる。
正規逆ガウス分布 (NIG) となる。導出には、ベッセル関数の性質を利用する。
\begin{align}
gh(x;-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu)
&= \operatorname{nig} (x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu ) \\
&= \frac{\alpha \delta}{\pi}
\exp (\delta \sqrt{\alpha^2 -\beta^2} + \beta (x-\mu ))
\frac{K_1 (\alpha \sqrt{\delta^2 +(x-\mu)^2})}{\sqrt{\delta^2 +(x-\mu )^2}
\end{align}
正規逆ガウス分布 (NIG) の特別な場合として、コーシー分布となる。
自由度 ν の非対称なスチューデントのt分布となる。(β ≠ 0)
\begin{align}
gh(x;&\lambda=\frac{-\nu}{2},\alpha \to |\beta |,\beta ,\delta ,\mu ) \\
&= \frac{\delta^{\nu} |\beta |^{(\nu + 1)/2} K_{(v+1)/2}\left(\sqrt{(\delta^2 + (x - \mu )^2 )\beta^2} \right) \exp (\beta (x - \mu ))}
{2^{(v-1)/2} \Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi} \left( \sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2} \right)^{(\nu +1)/2}
\end{align}
自由度 ν の(対称な)スチューデントのt分布となる。
\begin{align}
gh(x; &\lambda =\frac{-\nu}{2} ,\alpha =0,\beta =0,\delta =\sqrt{\nu} ,\mu ) \\
&=\frac{\Gamma \left( \frac{\nu +1}{2} \right)}{\sqrt{\pi} \delta \Gamma\left( \frac{\nu}{2} \right)}
\left[ 1+\frac{(x-\mu )^2}{\delta^2} \right]^{-\frac{\nu +1}{2} \\
&=\frac{\Gamma \left( \frac{\nu +1}{2} \right)}
{\sqrt{\pi \nu} \Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right)}
\left( 1+\frac{(x-\mu)^2}{\nu} \right)^{-\frac{\nu +1}{2}
\end{align}
平均 μ + βσ2、分散 σ2 の正規分布となる。