CR多様体
数学において、CR多様体(CRたようたい、CR manifold)とは,微分可能多様体で,複素数空間の中の実超曲面の幾何構造をモデル化したものである.
CR は,コーシー・リーマン,あるいは,複素 (Complex)・実 (Real) の省略形である.
CR多様体のモデルは複素数空間 \mathbb{C}^{n} 内の領域の滑らかな境界である.
領域 \Omega \subset \mathbb{C}^{n} の滑らかな境界M について, 次で定義される複素化(complexified)された接束 \mathbb{C} T M = TM \otimes \mathbb{C} の部分ベクトル束 L を考えよう:
L := \mathbb{C} T M \, \cap \, T^{1,0}\mathbb{C}^{n}.
ここで, T^{1,0}\mathbb{C}^{n} は \mathbb{C}^{n} の正則接束を表すとする. このとき, L は次を満たす:
[L,L]\subset L,
L\cap\overline{L}=\{0\}.
ただし, \overline{L} は L の複素共役とする.
CR多様体とは,微分可能多様体 M とその上の複素化(complexified)された接束 \mathbb{C} T M = TM \otimes \mathbb{C} の部分ベクトル束 L で次の条件を満たすものの組 (M, L) のことである:
[L,L]\subset L  ( L は可積分(integrable)である ),
L\cap\bar{L}=\{0\}.
ここで, \overline{L} は L の複素共役とする. このとき,ベクトル束 L を多様体 M 上のCR構造という.
L の階数 {\rm rank}_{\mathbb{C} \, L をCR次元,   \dim M - 2 \; {\rm rank}_{\mathbb{C} \, L をCR余次元という.
CR余次元が1のとき, (M, L) は超曲面型(hypersurface type)であるという.
M を超曲面型のCR多様体とする.レヴィ形式 h は,直線束
V = \frac{TM\otimes{\mathbb C}{L\oplus\bar{L}
に値を持つ L 上で定義されたベクトル値形式(vector valued form)で,
h(v,w) := \frac{1}{2i}[v,\bar{w}] \mod L\oplus\bar{L},\quad v,w\in L
により与えられる.h は,可積分条件により,v と w が L  の切断へどのように拡張するかには依存せず,L 上の半双線型形式を定義する.この形式 h は,同じ形で束 L\oplus\bar{L} 上のエルミート形式へ拡張できる.この拡張された形式も,レヴィ形式と呼ばれることもある。
代わりに,レヴィ形式は双対性の言葉で特徴付けることもできる.V を消滅させる複素余接束の部分直線束を考えると,
H_0M = V^* = (L\oplus\bar{L})^\perp\sub T^*M\otimes{\mathbb C}
となる.各々の切断 α∈Γ(H0 M ) に対し,
h_\alpha(v,w) = d\alpha(v,\bar{w}) = -\alpha([v,\bar{w}]),\quad v,w\in L\oplus\bar{L}.
とする.形式 hα は α を伴う複素数値エルミート形式である.
多様体が超曲面型でない場合も,レヴィ形式の一般化が存在する.ただし,この場合,値は直線束でなく,ベクトル束となる.よって,レヴィ形式ではなく,構造のレヴィ形式の集まりという。
超曲面型の抽象的CR多様体について,レヴィ形式はその上に擬エルミート計量を与える.この計量は,正則接ベクトル上で定義されているだけでなく,退化している.
M が超曲面型の CR 多様体で単一の函数 F = 0 で定義されているとする.このとき,M のレヴィ形式(エフゲニオ・エリア・レヴィ(Eugenio Elia Levi)の名に因む)とは、エルミート 2-形式
h=i\partial\bar{\partial}F|_L
のことを指す.レヴィ形式は L 上の計量を定める.M は,h が正定値であるとき,強擬凸(strictly pseudoconvex)と呼ばれ,h が半正定値のときは擬凸(pseudoconvex)と呼ばれる.CR多様体の理論の解析的な存在性と一意性の結果の多くは,レヴィ形式の強擬凸性によるものである.
この命名は擬凸領域の研究から来ている: M が \mathbb{C}^{n} 内の(強)擬凸領域の境界であることと,CR多様体として(強)擬凸であることは同値である.
まず,接コーシー・リーマン作用素 \overline{\partial}_{b} を定義しよう.複素多様体の境界として実現されるCR多様体について,この作用素は \overline{\partial} の境界制限とみなすことができる.また,一般のCR多様体について(複素多様体の境界として実現されない場合も含めて),定義することができる.これは Webster 接続を用いて記述される.作用素 \overline{\partial}_{b} は複体をなす,すなわち,\overline{\partial}_{b} \circ \overline{\partial}_{b} = 0 が成立する.この複体のことを接コーシー・リーマン複体,あるいは,コーン・ロッシ複体という.この複体とそのコホモロジー群についての基本的な文献として,Joseph. J. Kohn と Hugo Rossi によるものが挙げられる.
作用素 \overline{\partial}_{b} により消える関数をCR関数といい,正則関数のアナロジーになっている.また,CR関数の実部をCR多重調和関数という.
接コーシー・リーマン複体に付随して,CR幾何学と多変数複素解析学において基本的な対象となるコーンラプラシアン \Box_{b} が次で定義される:
\Box_{b} := \overline{\partial}_{b} \overline{\partial}_{b}^{*} + \overline{\partial}_{b}^{*} \overline{\partial}_{b}
ここで,\overline{\partial}_{b}^{*} は \overline{\partial}_{b} のL^{2}(M) についての形式的共役を表すとする(体積形式は,CR構造に付随する接触形式から誘導されるものとする).作用素 \Box_{b} は,非負自己共役である.コンパクトな強擬凸CR多様体について,作用素 \Box_{b} は正の離散固有値をもつ.その核空間は,CR関数から構成されるため,無限次元である.もし,作用素 \Box_{b} の正の固有値全体が正定数により下から抑えられていた場合,閉値域をもつ.
具体例として,ハイゼンベルク群(Heisenberg group)の作用素 \overline{\partial}_{b} を考察してみよう.通常のハイゼンベルク群 \mathbb{C}^{n} \times \mathbb{R} について,その上の左不変な正則ベクトル場
L_{j} := \frac{\partial}{\partial z_{j} + i \overline{z}_{j} \frac{\partial}{\partial t}
(j = 1,2,\dotsm,n)
を考える.ここで,(z_{1},z_{2},\dotsm,z_{n}) \in \mathbb{C}^{n}, t \in \mathbb{R} とする.このとき,関数 u について,
\overline{\partial}_{b} u = \sum_{j = 1}^{n} \overline{L}_{j} u \; d\overline{z}_{j}
が成立する.ここで,\overline{L}_{j} は L_{j} の複素共役を表すとする.関数については \overline{\partial}_{b}^{*} は 0 であるから,ハイゼンベルク群における関数についてのコーンラプラシアンは次で与えられる:
\Box_{b} = - \sum_{j = 1}^{n} L_{j} \overline{L}_{j}.
さて,次の交換子の計算に注意する:
[L_{j}, \overline{L}_{j}] = - 2iT.
ただし,T := \frac{\partial}{\partial t} とする. 上の等式を用いれば,簡単な計算によって,コーンラプラシアンが次のように書き換えられることがわかる:
\Box_{b} = - \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{n} (L_{j} \overline{L}_{j} + \overline{L}_{j} L_{j}) + i n T.
右辺の1番目の項は,実作用素である(実際に,コーンラプラシアンの実部となっている).これをサブラプラシアンといい,\Delta_{b} で表すことが多い.部分積分から,非負であることがすぐにわかる.このとき,\Box_{b} = \Delta_{b} + inT と表すこともできる.
CR幾何学の基本的な問題のひとつとして,与えられたCR多様体が,複素数空間の実部分多様体として実現できるかという問題(CR埋め込み問題)がある.
大域的なCR埋め込み問題について,実5次元以上のコンパクトな強擬凸CR多様体については,Louis Botet de Monvel により肯定的に解決された.
実3次元の場合は,反例が存在する: 3次元球面 S^{3} の自然なCR構造を摂動したものは大域的に埋め込むことができない.この例は,Rossi の例と呼ばれる(実際には, Hans Grauert により構成された).
局所的なCR埋め込み問題について,実3次元の場合には, Louis Nirenberg による反例が存在する.実7次元以上の場合は,倉西正武(実9次元以上の場合)と赤堀隆夫(実7次元の場合)により肯定的に解決された.
実5次元の場合の局所的なCR埋め込み問題は,未解決である.