余代数
余代数(よだいすう、coalgebra)とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。
K を体、C を K 上のベクトル空間とする。2つの線型写像 \Delta:C\to C\otimes C、\varepsilon:C\to K が存在して、これらが
(\mathrm{id}\otimes \Delta)\circ\Delta=(\Delta\otimes\mathrm{id})\circ\Delta\quad(余結合律)、
(\mathrm{id}\otimes\varepsilon)\circ\Delta=\mathrm{id}=(\varepsilon\otimes\mathrm{id})\circ\Delta\quad(余単位律)
を満たすとき、即ち図式
が可換であるとき、組 (C,\Delta,\varepsilon) を余代数という。また、\Delta を余積、\varepsilon を余単位という。
(C,\Delta,\varepsilon)、(D,\Delta',\varepsilon') を K-余代数とする。K-線型写像 f:C\to D が
\Delta'\circ f=(f\otimes f)\circ\Delta,
\varepsilon'\circ f =\varepsilon
を満たすとき f を余代数射(coalgebra morphism)という。これは以下の図式が可換であることと同値:
(C,\Delta,\varepsilon) を余代数、D\subset C とする。D が部分余代数であるとは、\Delta(D)\subseteq D\otimes D を満たすことをいう。このとき、 (D,\Delta|_{D},\varepsilon|_{D}) は余代数の構造を持つ。
I を余代数 (C,\Delta,\varepsilon) の部分ベクトル空間とする。I が余イデアル(coideal)であるとは
\Delta(I)\subseteq I\otimes C +C\otimes I,
\varepsilon(I)=0
を満たすことをいう。このとき商 C/I は余代数の構造を持つ。
写像 \mathrm{tw} を \mathrm{tw}:C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\otimes c'\mapsto c'\otimes c で定める。余代数 (C,\Delta,\varepsilon) が余可換であるとは、 \mathrm{tw}\circ\Delta=\Delta が成り立つことをいう。ここで新しい余積を \Delta_{\mathrm{tw}=\mathrm{tw}\circ\Delta:C\to C\otimes C\to C\otimes C,\quad c\mapsto\sum_{i}c^{(2)}_{i}\otimes c^{(1)}_{i} によって定めると、(C,\Delta_{\mathrm{tw},\varepsilon) は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと \Delta=\Delta_{\mathrm{tw} となることは同値である。
(C,\Delta,\varepsilon) を余代数とする。c\in C とすると、余積は
\Delta(c)=\sum_{i}c^{i}\otimes \tilde{c}^{i}\quad (c^{i},\tilde{c}^{i}\in C)
と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを
\Delta(c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}
と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:
\sum c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(3)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}\quad(余結合律)
\sum\varepsilon\left(c_{(1)}\right)c_{(2)}=\sum c_{(1)}\varepsilon\left(c_{(2)}\right)=c\quad(余単位律)
S を空でない任意の集合、kS を S の元を基底とした k-ベクトル空間とする。任意の s\in S に対して余積と余単位を
\Delta(s)=s\otimes s,\quad\varepsilon(s)=1
で定めると、(kS,\Delta,\varepsilon) は k-余代数の構造を持つ。
H を K-ベクトル空間、\{c_{n}\mid n\in\mathbb{N}\} をその基底とする。任意の n\in\mathbb{N} に対して余積と余単位を
\Delta(c_{i})=\sum_{i=0}^{n}c_{i}\otimes c_{n-i},\quad\varepsilon(c_{i})=\delta_{0,n}
で定めると、(H,\Delta,\varepsilon) は k-余代数の構造を持ち、これを devided power coalgebra という。
M_{n}(K) を n^{2} 次元 K-ベクトル空間、\{e_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n} をその基底とする。余積と余単位を
\Delta(e_{ij})=\sum_{k}e_{ik}\otimes e_{kj},\quad\varepsilon(e_{ij})=\delta_{i,j}
によって定めると (M_{n}(K),\Delta,\varepsilon) は余代数となっていて、これを matrix coalgebra という。
(P,\leq) を局所有限半順序集合とする。T=\{(x,y)\in P\times P\mid x\leq y\} として V を T の元全体を基底として持つ K-ベクトル空間とする。任意の (x,y)\in T に対して余積と余単位を
\Delta(x,y)=\sum_{x\leq z\leq y}(x,z)\otimes(z,y),\quad\varepsilon(x,y)=\delta_{x,y}
で定めると (P,\Delta,\varepsilon) は余代数となる。
C を K-ベクトル空間とし、その基底を \{s,c\} とする。余積と余単位を
\begin{alignat}{3}
\Delta(s)&=s\otimes c+c\otimes s,\quad& \Delta(c)&=c\otimes c-s\otimes s,\\
\varepsilon(s)&=0,\quad&\varepsilon(c)&=1
\end{alignat}
で定めると (C,\Delta,\varepsilon) は余代数となり、これを trigonometric coalgebra という。
C を K-余代数、A を K-代数、とする。ここでf,g\in\mathrm{Hom}_{K}(C,A) の積をf\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \Delta、即ち任意の c\in Cに対して
(f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right) g\left(c_{(2)}\right)
で定める。\Delta が余結合的であることから積 \ast は結合的であることがわかる。この積によって \mathrm{Hom}_{K}(A,C)=:C^{\ast} は K-代数となり、C の双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は
\varepsilon\circ u:C\to K\to A,\quad c\mapsto\varepsilon(c)1_{A}
で与えられる。またC が余可換であることと、全ての可換な A に対して \mathrm{Hom}_{K}(A,C) が可換であることは同値である。
逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。A を有限 K-次元代数とすると、準同型写像
A^{\ast}\otimes A^{\ast}\to (A\otimes A)^{\ast},\quad f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]
が存在して A^{\ast}\otimes A^{\ast}\simeq (A\otimes A)^{\ast} となる。積と単位の双対
\begin{align}
m^{\ast}&:a\to (A\otimes A)^{\ast}\simeq  A^{\ast}\otimes A^{\ast},\\
u^{\ast}&:A\to K,\quad f\mapsto f(1)
\end{align}
によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に A が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。