半直積
群論において、群の半直積(はんちょくせき、semidirect product)とは、ふたつの群から新たな群を作り出す方法の一種。
群の直積の一般化であり、通常の直積をその特別な場合として含む。
ふたつの群 N, H に対して N の H による内部半直積とは、次の性質を満たす群 G のことで、 G  N ⋊ H と表す。
N は群 G の正規部分群かつ H は群 G の部分群であって、G  NH を満たす
G を群とし、H をその部分群、N を正規部分群 (N ◁ G) とすると、以下は同値である。
G = NH かつ N ∩ H = 1.
G のすべての元は積 nh (n ∈ N, h ∈ H) として一意的に書ける。
G のすべての元は積 hn (h ∈ H, n ∈ N) として一意的に書ける。
自然な埋め込み H → G を自然な射影 G → G / N と合成すると、H と商群 G / N の間の同型写像となる。
H 上恒等写像で核が N の群準同型 G → H が存在する。
G を正規部分群 N と部分群 H の(内部)半直積であるとする。Aut(N) を N のすべての自己同型からなる群とする。次で定義される写像 φ: H → Aut(N) は群準同型である。φ(h)  φh, ただしすべての h ∈ H と n ∈ N に対し、φh(n)  hnh−1.(N は G の正規部分群であるから hnh−1∈N であることに注意。)N, H, φ の三つ組は以下で示すように G を同型の違いを除いて決定する。
2つの群 N と H(与えられた群の部分群である必要はない)と群準同型 φ: H → Aut(N) が与えられると、次のように定義される、φ に関する N と H の(外部)半直積と呼ばれる新しい群 N\rtimes_{\varphi}H を構成することができる。
集合としては、N\rtimes_{\varphi}H はデカルト積 N × H である。
N\rtimes_{\varphi}H の元の乗法は、準同型 \varphi によって決定される。演算は n1, n2 ∈ N と h1, h2 ∈ H に対して
(n_1, h_1)*(n_2, h_2) = (n_1\varphi_{h_1}(n_2), h_1h_2)
*\colon (N\times H)\times(N\times H)\to N\rtimes_{\varphi} H
である。
これは群を定め、単位元は (1N, 1H) で、(n, h) の逆元は (φh−1(n−1), h−1) である。対 (n, 1H) 全体は N と同型な正規部分群をなし、対 (1N, h) 全体は H に同型な部分群をなす。群全体はこれら2つの部分群の内部半直積になっている。
逆に、群 G と正規部分群 N と部分群 H が与えられていて、G のすべての元 g が一意的に g  nh, ただし n ∈ N, h ∈ H, の形に書けるとしよう。φ : H → Aut(N) を φ(h)  φh、ただしすべての n ∈ N,h ∈ H に対して
\varphi_h(n) = hnh^{-1},
によって与えられる準同型とする。すると G は半直積 N\rtimes_{\varphi}H に同型である。同型写像は積 nh を対 (n,h) に送る。G において次が成り立ち
(n_1h_1)(n_2h_2) = n_1 h_1 n_2 h_1^{-1}h_1h_2 = (n_1\varphi_{h_1}(n_2))(h_1h_2)
これは上の写像が確かに同型であることを示しておりまた N\rtimes_{\varphi}H の乗法の規則の定義の説明もしている。
直積は半直積の特別な場合である。これを見るためには、φ を自明な準同型、すなわち H のすべての元を N の恒等自己同型に送るものとしよう。すると N\rtimes_{\varphi}H は直積  N \times H である。
群 N の 群 H による半直積とは、分裂する短完全列
1 \to N \to G \to H \to 1
を持つような群 G のことである。ここで、短完全列が分裂するとは切断 s : H → G が存在することである。(つまり半直積 G とは群 N の群 H による群の拡大のなかで「もっとも単純なもの」である。)
定義は直観的にやや分かりにくく、奇妙に見えるかもしれないが、分かりやすい例として、n次元ユークリッド空間におけるアフィン変換群 をあげることができる。n 次元アフィン変換
(A,b)\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n;\; (A,b)x =  Ax + b
は n 次元一般線型変換 A \in  \mathit{GL}(n, \mathbb{R})  と n次元の並進変換 b \in \mathbb{R}^n  を合成したものであり、この変換の全体は群を成し、これを \operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n) で表し、n 次元アフィン変換群と呼ぶ。2つのアフィン変換 (A_1, b_1) と (A_2, b_2) の合成変換を考えると、
(A_1, b_1)(A_2, b_2)x = (A_1, b_1) (A_2 x + b_2) = A_1 A_2 x + A_1 b_2 + b_1
である。従って、アフィン変換群 \operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n) の群演算は、
(A_1, b_1)(A_2, b_2) = (A_1 A_2,  A_1 b_2 + b_1)
となり、\mathit{GL}(n, \mathbb{R}) と \mathbb{R}^n  の単純な直積群ではないことが分かる。しかし \mathit{GL}(n, \mathbb{R}) と \mathbb{R}^n  は共に \operatorname{Aff}(\mathbb{R}^n) の部分群を成し、とくに \mathbb{R}^n  は正規部分群になる。
このような関係をさらに一般化したものが半直積である。
直積群は半直積群でもある。
位数 2n の二面体群 D2n は位数 n の巡回的正規部分群 Cn の位数 2 の巡回群 C2 による半直積である。
D_{2n} = \langle\, r, s \mid r^n = s^2 = 1,~s^{-1}rs = r^{-1} \,\rangle
C_n := \langle r \rangle,~C_2 := \langle s \rangle,~D_{2n} = C_n \rtimes C_2
一般線型群の上三角行列からなる部分群 B を取る。
U を対角成分がすべて 1 からなる群 B の部分群とし、
T を対角行列からなる群 B の部分群とする。このとき次が成り立つ。
B = U \rtimes T
正則アフィン変換からなる群 GA(V)  V ⋊ GL(V) も半直積の例である。
位数 8 の四元数群 Q8  ⟨ i, j, k ! i2  j2  k2  ijk ⟩ は自身より小さなふたつの群の半直積で表すことはできない。
位数はそれぞれの積である。
\vert N \rtimes H \vert = \vert N \vert \vert H \vert
もとの群は半直積群に埋め込まれる。
つまり、ふたつの単射準同型写像 N → N ⋊ H と H → N ⋊ H がある。
さらに N の単射準同型像は N ⋊ H の正規部分群で、その剰余群は H と同型である。
一般に、ふたつの異なる群作用 φ, ψ : H → Aut(N) が非同型な半直積群を定めるとは限らない。
もし H が巡回群で作用 φ, ψ が単射かつ φ(H)  ψ(H) を満たすならば N ⋊φ H ≅ N ⋊ψ H である。