シュール分解
数学の線型代数学の分野におけるシューア分解(シューアぶんかい、Schur decomposition)あるいはシューア三角化 (Schur triangulation) とは、イサイ・シュールの名にちなむ行列の分解の一種である。
シュール分解とは、次のようなものである: A を成分が複素数であるような n × n 正方行列とする。このとき、A は次のように表現することが出来る。
A = Q U Q^{-1}
ここで Q はあるユニタリ行列(したがって、その逆 Q−1 は Q の共役転置 Q* でもある)であり、U は A のシューア標準形 (Schur form) と呼ばれる上三角行列である。U は A と相似であるため、それらは等しい固有値の多重集合を持つ。また U は三角行列であるため、そのような固有値は U の対角成分で与えられる。
シュール分解は、A-不変部分空間からなる包含列 {0} = V0 ⊂ V1 ⊂ ... ⊂ Vn = Cn が存在することを意味する。また各 i に対し、初めの i 個の基底ベクトルがその入れ子型の列の Vi を張るようなある順序付けられた(Cn の標準的なエルミート形式に対する)正規直交基底が存在する。また違った言い方をすれば、初めの部分はある複素有限次元ベクトル空間上の線型作用素が、完全旗 (線型代数学) (V1,...,Vn) を安定化することを意味する。
シュール分解の証明は次のようになる。複素有限次元ベクトル空間上のすべての作用素 A は固有値 λ と対応する固有空間 Vλ を持つ。Vλ⊥ をその固有空間の直交補空間とする。このとき、その直交分解に関して、A には次のような行列表現が存在することが明らかである(ここで Vλ および Vλ⊥ を張るような任意の正規直交基底 Z1 および Z2 をそれぞれ選ぶことが出来る)。
\begin{bmatrix} Z_1 & Z_2 \end{bmatrix}^{*} A \begin{bmatrix}Z_1 & Z_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda \, I_{\lambda} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}\colon
\begin{matrix}
V_{\lambda} \\[-1pt]
\!\oplus \\[1pt]
\,V_{\lambda}^{\perp}
\end{matrix} \to \begin{matrix}
V_{\lambda} \\[-1pt]
\!\oplus \\[1pt]
\,V_{\lambda}^{\perp}
\end{matrix}
但し Iλ は Vλ 上の恒等作用素である。この行列は、ブロック行列 A22 を除いて上三角である。しかしその A22 も Vλ⊥ 上の作用素と見なすことで、同様の手順を行ってその部分行列を得ることが出来る。以下、空間 Cn に対してこの方法を n 回繰り返せば、求める結果が得られる。
上述の内容はまた、次のように述べることも出来る。λ を A の固有値とし、対応する固有空間を Vλ とする。A は、Vλ を法とする商空間 Cn 上のある作用素 T を導く。この作用素はまさしく上述のブロック行列 A22 である。上述と同様に、T は Vλ を法とするある固有空間 Wμ ⊂ Cn を持つ。その商写像の下での Wμ の原像は、Vλ を含むような A の不変部分空間であることに注意されたい。この手順を、結果として得られる商空間の次元が 0 になるまで続ける。すると、各手順で見つけられる固有空間の原像の集まりが、A を安定化する旗を構成する。
次の行列を三角化する。三角化の方法は一意ではないので、ここに示すものはあくまで一例である。
A=\begin{bmatrix}
4 & -8  & 1 \\
1 & -5  & 1 \\
-9 & 8 & -6 \end{bmatrix}
A の固有値を \lambda とすると、固有方程式は  \det(A - \lambda I_3)=0 , (\lambda +5)^2(\lambda -3)=0 。固有ベクトルをどれでもよいので1つとる。ここでは \lambda_1 = -5 に対応した
\begin{bmatrix}
1, &
1, &
-1\end{bmatrix}^{\intercal}
を選ぶものとする。これ(のスカラー倍)を含むような正規直交基底を、どれでもよいので1つとる。ここでは、
\boldsymbol{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{3} \begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
-1\end{bmatrix},
\boldsymbol{u} = \frac{1}{\sqrt{2} \begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
0  \end{bmatrix},
\boldsymbol{w} = \frac{1}{\sqrt{6} \begin{bmatrix}
-1 \\
-1 \\
-2 \end{bmatrix}
と選ぶことにする。これらを横に並べて Q_1 = \begin{bmatrix}\vec{\mathbf v}_1} & \vec{\mathbf u} & \vec{\mathbf w}\end{bmatrix} と3次正方行列を作ると、これはユニタリである。
ここで {Q_1}^{-1} A Q_1 の1列目は (1,1) 成分を除いて0である。なぜなら、この行列を単位ベクトル \vec{\mathbf e}_1} = \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0  \end{bmatrix} に(左から)掛けることで1列目だけを取り出すと、
{Q_1}^{-1} A Q_1 \vec{\mathbf e}_1} = {Q_1}^{-1} A \vec  \lambda_1 {Q_1}^{-1} \vec \lambda_1 {Q_1}^{-1} Q_1 \vec \begin{bmatrix}
\lambda_1 \\
0 \\
0  \end{bmatrix}
実際計算してみると、
{Q_1}^{-1} A Q_1 = \begin{bmatrix}
-5 & 35/\sqrt{6} & -3/\sqrt{2} \\
0 & 3  & 0 \\
0 & 8/\sqrt{3} & -5 \end{bmatrix}
次に、右下の2×2の小行列 \tilde{A} =\begin{bmatrix}
3 & 0 \\
8/\sqrt{3} & -5 \end{bmatrix} を全く同様の方法で「1列目が (1,1) 成分を除いて0」にする。例えば、 \tilde{Q_2} = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \end{bmatrix} のように2次ユニタリ行列がとれる。これを3次行列に「拡大」して、
Q_2 = \begin{bmatrix}
1 & \begin{matrix}
0 & 0 \end{matrix} \\
\begin{matrix}
0 \\
0 \end{matrix} & \tilde{Q_2} \end{bmatrix} ,
{Q_2}^{-1} = \begin{bmatrix}
1 & \begin{matrix}
0 & 0 \end{matrix} \\
\begin{matrix}
0 \\
0 \end{matrix} & {\tilde{Q_2^{-1} \end{bmatrix}
とすれば、
{Q_2}^{-1} {Q_1}^{-1} A Q_1 Q_2
\begin{align}
&=\begin{bmatrix}
1 & \begin{matrix}
0 & 0 \end{matrix} \\
\begin{matrix}
0 \\
0 \end{matrix} & {\tilde{Q_2^{-1} \end{bmatrix}
{Q_1}^{-1} A Q_1
\begin{bmatrix}
1 & \begin{matrix}
0 & 0 \end{matrix} \\
\begin{matrix}
0 \\
0 \end{matrix} & \tilde{Q_2} \end{bmatrix} \\
&=\begin{bmatrix}
-5 & \begin{matrix}
-3/\sqrt{2} & 35/\sqrt{6} \end{matrix} \\
\begin{matrix}
0 \\
0 \end{matrix} & {\tilde{Q_2^{-1} \tilde{A} \tilde{Q_2} \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
-5 & -3/\sqrt{2} & 35/\sqrt{6} \\
0 & -5  & 8/\sqrt{3} \\
0 & 0 & 3 \end{bmatrix}
\end{align}
最後の上三角化行列を U とすれば、ユニタリ行列 Q:=Q_1 Q_2 により Q^{-1} A Q = U, A = Q U Q^{-1}
リー理論における応用は、次を含む:
すべての可逆な作用素はあるボレル部分群に含まれる。
すべての作用素は一般化旗多様性のある点を固定する。
与えられた正方行列 A と B に対し、一般化シュール分解(generalized Schur decomposition)はそれらを A=QSZ^* および B=QTZ^* のように分解するものである。ここで Q と Z はユニタリ行列であり、S と T は上三角行列である。一般化シュール分解はしばしば QZ 分解とも呼ばれる。
一般化固有値問題 Ax=\lambda Bx(x はゼロでない未知のベクトル)の解である一般化固有値 \lambda は、T の対角成分に対する S の対角成分の割合として計算される。すなわち、行列の対角成分を下付き添え字を使って表せば、第 i 番目の固有値 \lambda_i は \lambda_i=S_{ii}/T_{ii} として得られる。