ヤコビの虚数変換式
ヤコビの虚数変換式(Jacobi's imaginary transformation)は、楕円テータ関数に関する以下のような恒等式である。
\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=e^{- \pi i /4}\tau^{1/2} e^ - i e^{- \pi i /4} \tau^{1/2} e^ e^{- \pi i /4} \tau^{1/2} e^ e^{- \pi i /4} \tau^{1/2} e^ \theta_{01}(z, \tau)\\
&:= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i\tau n^{2} + 2 \pi i n \left(z + \frac{1}{2}\right)}\\
&=1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n e^{\pi i \tau n^{2 \cos2n \pi z ,\\
\theta_{1}(z, \tau)
&:= - \theta_{11}(z, \tau)\\
&:= - \sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{\pi i\tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^2 + 2 \pi i \left(n + \frac{1}{2}\right) \left(z + \frac{1}{2}\right)\\
&=2 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} e^{\pi i \tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^{2 \sin(2n + 1) \pi z,\\
\theta_{2}(z, \tau)
&:= \theta_{10}(z, \tau)\\
&:= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i \tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^{2} + 2 \pi i \left(n + \frac{1}{2}\right) z}\\
&= 2 \sum_{n=0}^{\infty} e^{\pi i \tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^{2 \cos(2 n + 1) \pi z,\\
\theta_{3}(z, \tau)
&:= \theta_{00}(z, \tau)\\
&:= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i \tau n^{2} + 2 \pi i n z}\\
&= 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} e^\pi}i{\tau} n^{2 \cos2n \pi z.
\end{align}
「岩波数学公式集Ⅲ」p.48.では誤った式が書かれているので注意せよ。
ヤコビの楕円関数はテータ関数の比により表される。楕円関数の周期をK,iK'とすると
\tau=\frac{iK'}{K}
k=\left(\frac{\vartheta_2(0,\tau)}{\vartheta_3(0,\tau)}\right)^2
\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_1(u/2K,\tau)}{\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(u/2K,\tau)}
\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\vartheta_4(0,\tau)\vartheta_2(u/2K,\tau)}{\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(u/2K,\tau)}
\tau'=-\frac{1}{\tau}=\frac{iK}{K'}
k'=\left(\frac{\vartheta_2(0,\tau')}{\vartheta_3(0,\tau')}\right)^2
\operatorname{sn}(iu,k)=\frac{\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_1(iu/2K,\tau)}{\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(iu/2K,\tau)}=\frac{i\vartheta_3(0,\tau')\vartheta_1(u/2K',\tau')}{\vartheta_4(0,\tau')\vartheta_2(u/2K',\tau')}=i\frac{\operatorname{sn}(u,k')}{\operatorname{cn}(u,k')}
\operatorname{cn}(iu,k)=\frac{\vartheta_4(0,\tau)\vartheta_2(iu/2K,\tau)}{\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(iu/2K,\tau)}=\frac{\vartheta_2(0,\tau')\vartheta_4(u/2K',\tau')}{\vartheta_4(0,\tau')\vartheta_2(u/2K',\tau')}=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k')}
となり、楕円関数の虚数変数を得る。
\vartheta_3(v,\tau)の虚数変換式の両辺の比をf(v,\tau)して恒等的にf(v,\tau)=1であることを証明する。テータ関数の二重周期性により
f(v,\tau)
=\frac{\sqrt{-i\tau}e^\frac{\sqrt{-i\tau}e^\frac{\sqrt{-i\tau}e^\frac{\sqrt{-i\tau}e^\frac{\sqrt{-i\tau}e^f(v,\tau)
であるから、f(v,\tau)はvの関数として二重周期を持つ。また、テータ関数は極を持たず、零点は
\vartheta_3\left(\frac{1\pm{2m{2}+\frac{(1\pm{2n})\tau}{2},\tau\right)=0
\vartheta_3\left(\frac{1\pm{2m{2}-\frac{1\pm{2n{2\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=0
であるから、f(v,\tau)はvの関数として複素平面全体で有界である。したがって、リウヴィルの定理によりvには依存しない。
\begin{align}f\left(\frac{1}{2},\tau\right)
&=\frac{\sqrt{-i\tau}e^\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{n^2{\pi}i\tau+n{\pi}i}{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{n^2{-\pi}i/\tau+n{\pi}i/\tau}e^{-{\pi}i/4\tau}\\
&=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{-(2n-1)^2{\pi}i/4\tau}}\\
&=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}}{2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(2n-1)^2{\pi}i/4\tau}}\\
\end{align}
\begin{align}f\left(\frac{1}{4},\frac{\tau}{4}\right)
&=\frac{\sqrt{-i(\tau/4)}e^\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{n^2{\pi}i\tau/4+n{\pi}i/2}{2\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^}\\
&=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{i^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}/4}}{2\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{-(2n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}
=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{i^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}/4}}{2\left(\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(2n-1/2)^2{\pi}i/\tau}+\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(-2n+1-1/2)^2{\pi}i/\tau}\right)}\\
&=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{i^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}/4}}{2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}\\
\end{align}
分子のnが奇数の項は正負で打ち消しあうから偶数のnを2nに改める。
\begin{align}f\left(\frac{1}{4},\frac{\tau}{4}\right)
&=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{i^{2n}e^{(2n)^2{\pi}i{\tau}/4}}{2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}
=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}}{2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}
=f\left(\frac{1}{2},\tau\right)\\
\end{align}
先に示したようにf(v,\tau)はvに依存しないので
f\left(v,\tau\right)=f\left(v,\frac{\tau}{4}\right)=\lim_{n\to\infty}f\left(v,\frac{\tau}{4^n}\right)=\lim_{\tau'\to0}f\left(v,\tau'\right)=f(v,0)
であり、f(v,\tau)は\tauにも依存しない定数である。その値は
f(v,\tau)=f(0,i)=\frac{\vartheta_3\left(0,i\right)}{\vartheta_3\left(0,i\right)}=1
である。