ハウスドルフのパラドックス
ハウスドルフのパラドックス(英: Hausdorff paradox)とは、選択公理の仮定のもと、球面の逆説的な分解が存在することを主張した定理(疑似パラドックス)である。
つまり、選択公理を仮定すると、球面 K の分割 K = Q ∪ A ∪ B ∪ C であって、A, B, C, B ∪ C は互いに合同であり、Q は可算集合となるようなものが存在する。
いま、合同な図形に対して値が等しいような有限加法的測度が存在し、K の有限加法的測度が 1 であるとすると、A の測度は 1/2 にも 1/3 にもなり、矛盾が生じる。
この定理は、フェリックス・ハウスドルフにより、1914年に選択公理を使って証明され、『集合論基礎』(Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914) の巻末に採録された。フランスの数学者エミール・ボレルは、この結果を見て、選択公理に疑念を深めた。
また、1924年、ポーランドの数学者ステファン・バナッハ(バナフ)とアルフレト・タルスキは、ハウスドルフのパラドックスを援用して、バナッハ=タルスキーのパラドックスを証明した。
\varphiをある軸の180度の回転、z軸の周りの120度の回転を\psiとする。
これらによって生成された群をGとする。
回転軸を適当に選べば、\varphi,\psiは非可換であり、その積は1とならないことを示すことができる。
\varphi,\psi,\psi^{2}の2つ以上からなる積は、以下の\alpha,\beta,\gamma,\deltaのタイプに分類される。ただし, m_{1},m_{2},\dots,m_{n}は1または2である.
\begin{array}{ccc}
\alpha & = & \psi^{m_{1}\varphi\psi^{m_{2}\cdots\varphi\psi^{m_{n}\varphi\\
\beta & = & \varphi\psi^{m_{1}\varphi\psi^{m_{2}\cdots\varphi\psi^{m_{n}\\
\gamma & = & \varphi\psi^{m_{1}\varphi\psi^{m_{2}\cdots\varphi\psi^{m_{n}\varphi\\
\delta & = & \psi^{m_{1}\varphi\psi^{m_{2}\cdots\varphi\psi^{m_{n}
\end{array}
\alpha\ne 1であることが示されれば、\beta,\gamma,\delta \ne 1であることが分かる。
\lambda=\cos\frac{2}{3}\pi=-\frac{1}{2},\;\;\;\mu=\sin\frac{2}{3}\pi=\frac{\sqrt{3}{2},
とすると、
\begin{array}{lcc}
(\psi) &  & \left\{ \begin{array}{l}
x'=x\lambda-y\mu\\
y'=x\mu+y\lambda\\
z'=z
\end{array}.\right.\\
(\varphi) &  & \left\{ \begin{array}{l}
x'=-x\cos\vartheta+z\sin\vartheta\\
y'=-y\\
z'=x\sin\vartheta+z\cos\vartheta
\end{array}\right.\\
(\psi\varphi) &  & \left\{ \begin{array}{l}
x'=-x\lambda\cos\vartheta+y\mu+x\lambda\sin\vartheta\\
y'=-x\mu\cos\vartheta-y\lambda+z\mu\sin\vartheta\\
z'=x\sin\vartheta+z\cos\vartheta
\end{array}\right.
\end{array}
であり、(\psi^{2}\varphi)は、(\psi\varphi)の式の\muを -\muで置き換えたものである。
(\psi^{2}\varphi)または(\psi\varphi)のn個の積を ^t(0, 0, 1) に作用させると、
\begin{array}{ccc}
x & = & \sin\vartheta(a\cos\vartheta^{n-1}+\ldots)\\
y & = & \sin\vartheta(b\cos\vartheta^{n-1}+\ldots)\\
z & = & c\cos\vartheta^{n}+\ldots
\end{array}
であることが分かる.
\alphaによる ^t(0, 0, 1) の変換結果のz座標は
z=\left({\frac{3}{2}\right)^{n-1}\cos\vartheta^{n}+\cdots
である。右辺は\cos\varthetaの多項式であり、係数は代数的数である。\varthetaを選んで、\cos\varthetaが超越数なるようにすれば、任意の n > 0 に対して、z ≠ 1 とすることができる。
回転 (G) を3つの集合A, B, Cに分割することができる。
Aが単位元1を持つ。
\rhoがAに属するとき、\varphi\rhoはA + Bに属する。
\rhoがAに属するとき、\psi\rho,\psi^{2}\rhoはそれぞれB, Cに属する。
1は、Aに属するものとする。\varphi,\psiはBに属するものとする。\psi^{2}はCに属するものとする。
\psi_{n}を先頭が\psi又は\psi^{2}であるような、\varphi,\psi,\psi^{2}のn個の積とする。
\varphi_{n}を先頭が\varphiであるような、\varphi,\psi,\psi^{2}のn個の積とする。
\psi_{n}がA, B, Cに属するならば、\varphi\psi_{n}はB, A, Aに属するようにする。
\varphi_{n}がA, B, Cに属するならば、\psi\varphi_{n}はB, C, Aに属するようにする。\psi^{2}\varphi_{n}はC, A, Bに属するようにする。
このような手続きにより、Gは3つの集合に分けることが可能である(下図参照)。
\begin{array}{c|c|ccc|ccccc|ccccc|l}
A & 1 &  &  &  & \varphi\psi & , & \varphi\psi^{2} & , & \psi^{2}\varphi & \varphi\psi\varphi &  &  &  &  & \cdots\\
B &  & \varphi & , & \psi &  &  &  &  &  & \varphi\psi^{2}\varphi & , & \psi\varphi\psi & , & \psi\varphi\psi^{2} & \cdots\\
C &  &  &  & \psi^{2} &  &  &  &  & \psi\varphi &  &  & \psi^{2}\varphi\psi & , & \psi^{2}\varphi\psi^{2} & \cdots
\end{array}
1と異なるGの要素のKでの固定点をQとする。Qは可算集合である。P = K - Qと置く。xの軌道をP_xとすると、P_x = P_yか、P_x \cap P_y=\emptysetのいずれか1つが成り立つ。
そして
G=\bigcup_{x\in  M} P_x
である.
選択公理により、それぞれの軌道から代表元を選ぶことができる。これをMとする。
\begin{array}{lcc}
A' & = & \{gx\,|\, g\in A,\, x\in M\}\\
B' & = & \{gx\,|\, g\in B,\, x\in M\}\\
C' & = & \{gx\,|\, g\in C,\, x\in M\}
\end{array}
A', B', C'をA, B, Cと書き直すとP = A\cup B\cup Cであり、
\varphi A=B\cup C\;,\psi A=B,\;\psi^{2}A=C
であるから、A,B,C,B\cup Cは合同となる。よって定理は証明された。