リー代数の表現
数学の一分野である表現論では、リー代数の表現(リーだいすうのひょうげん、representation of a Lie algebra)は、リー代数を行列の集合(ベクトル空間の準同型)として記述する方法である。この方法により、リーブラケットは交換子により与えられる。
考え方はリー群の表現の考え方と密接に関連する。大まかには、リー代数の表現は、リー群の表現の微分した形であり、一方、リー群の普遍被覆の表現は、リー代数の表現の積分した形である。
リー代数の表現の研究で、リー代数に付随する普遍包絡代数と呼ばれる特別な環は、決定的役割を果たす。この環の構成の普遍性は、リー代数の表現の圏が、この普遍包絡代数上の加群の圏と同じであることを言っている。
リー代数 \mathfrak g の表現は、\mathfrak g からベクトル空間 V 上の準同型のリー代数へのリー代数の準同型(Lie algebra homomorphism)
\rho\colon \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)
であり、交換子をリーブラケットとして持ち、\mathfrak g の元 x を \mathfrak{gl}(V) の元 ρx へ写像する。
明らかに、このことは、\mathfrak g の中のすべての x,y に対し、
\rho_{[x,y]} = [\rho_x,\rho_y] = \rho_x\rho_y - \rho_y\rho_x
であることを意味する。ベクトル空間 V は、表現 ρ とともに、\mathfrak g-加群と呼ばれる(用語を省略し、V を表現ということも多い)。
表現 \rho が単射のとき、忠実(faithful)と呼ばれる。
同値な定義であるが、\mathfrak g-加群をベクトル空間 V と双線型写像 \mathfrak g \times V\to V と定義し、\mathfrak g の中のすべての x,y と V のすべての v に対して、
[x,y]\cdot v = x\cdot(y\cdot v) - y\cdot(x\cdot v)
であるように定義することもできる。この定義は、x を v = ρx (v) と置くと上の定義に関係付く。
リー代数の表現の最も基本的な例は、リー代数 \mathfrak{g} の自分自身の上での随伴表現
\textrm{ad}:\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g}), \quad x \mapsto \operatorname{ad}_x, \quad \operatorname{ad}_x(y) = [x, y].
である。実際、ヤコビ恒等式により、\operatorname{ad} はリー代数の準同型である。
リー代数の表現は自然に発生する。φ: G → H を(実、もしくは、複素)リー群の準同型とし、\mathfrak g と \mathfrak h をそれぞれ G と H のリー代数とすると、恒等元上での接空間上のプッシュフォワード (微分幾何学)(differential) d \phi: \mathfrak g \to \mathfrak h はリー代数の準同型である。特に、有限次元ベクトル空間 V に対して、リー群の表現
\phi: G\to \mathrm{GL}(V)
は、\mathfrak g から一般線型群 GL(V) つまり、V の自己準同型の代数へのリー代数の準同型
d_e \phi: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)
を決定する。
たとえば、c_g(x) = gxg^{-1} とすると、c_g: G \to G の恒等元での微分は、\mathrm{GL}(\mathfrak{g}) の元である。これを \operatorname{Ad}(g) と表わすと、ベクトル空間 \mathfrak{g} 上の G の表現 \operatorname{Ad} を得る。先行して適用すると、リー代数の表現 d \operatorname{Ad} を得る。このことから d_e\operatorname{Ad} = \operatorname{ad} を示すことができる。
以上のステートメントの部分的な逆は、すべての有限次元(実、複素)リー代数の表現は、一意に随伴単連結なリー群の表現へ持ち上げることができることを意味している。従って、単連結なリー群の表現と、それらのリー代数の表現とは 1 対 1 に対応する。
\mathfrak{g} をリー代数、V, W を \mathfrak{g}-加群とすると、線型写像 f: V \to W が、\mathfrak{g}-同変であるとき、つまり、任意の x \in \mathfrak{g}, v \in V に対して、f(xv) = xf(v) であるとき、この線型写像は、\mathfrak{g}-線型である。f が全単射であれば、V, W は、同変であるという。同様に、加群の理論の多くのほかの抽象代数学の構成が、この設定から導き出される。部分加群、商、部分商、直和、ジョルダン・ホルダー系列、など、
V を \mathfrak{g}-加群とすると、V が次の同値な条件を満たすとき、V を半単純、もしくは完全可約という。(半単純加群を参照)
V は単純加群の直和
V は単純部分加群の和
V のすべての部分加群は、直和、V のすべての部分加群 W に対し、補完加群 P が存在し V = W ⊕ P となる。
\mathfrak{g} が標数 0 の体上の有限次元半単純リー代数であれば、V は半単純である(ワイルの完全可約定理(Weyl's complete reducibility theorem)。 リー代数は、随伴表現が半単純であるとき、可約リー代数(reductive)と呼ぶ。このように、半単純リー代数は可約である。V の元 v は、すべての x \in \mathfrak{g} に対し xv = 0 となるときに、\mathfrak{g}-不変と呼ぶ。すべての不変な元の集合は、V^\mathfrak{g} と書かれる。V \mapsto V^\mathfrak{g} は左完全函手である。
基礎となるベクトル空間を、V1 と V2 とし、表現を ·[·]1 と ·[·]2 とした 2つの表現とすると、これらの表現の積は V1 ⊗ V2 を基礎となるベクトル空間で、表現は
x[v_1\otimes v_2]=x[v_1]\otimes v_2+v_1\otimes x[v_2]
である。L を実リー群、ρ: L × V → V を L の複素上限とすると、次のようにしてその双対表現と呼ばれる L の別のもうひとつの表現を構成することができる。
V∗ を V の双対ベクトル空間とする。言い換えると、V∗ はV から C へのすべての線型写像の集合で、普通の方法で定義されているが、スカラー倍の定義は、C の任意の z と V∗ の元  ω と V の元 X に対し、(z\omega)[X]=\bar{z}\omega[X] である。これは通常、半双線型形式 ⟨·,·⟩ つまり、ω[X] として定義された ⟨ω,X⟩ で書き換えられる。
\bar{\rho} は次のように定義される。L の任意の A、V∗ の ω、V の中の X に対し
(\bar{\rho}(A)[\omega],X) + (\omega, \rho A[X]) = 0
とする。これは \bar{\rho} を一意に定義する。
V, W を \mathfrak{g}-加群、\mathfrak{g} リー代数とすると、\operatorname{Hom}(V, W) は (x \cdot f)(v) = x f(v) - f (x v) と置くことにより、\mathfrak{g}-加群となる。特に、\operatorname{Hom}_\mathfrak{g}(V, W) = \operatorname{Hom}(V, W)^\mathfrak{g} である。任意の体は自明な作用により \mathfrak{g}-加群となるので、W を基礎体とすると、双対ベクトル空間 V^* は \mathfrak{g}-加群となる。
体 k 上の任意のリー代数 \mathfrak{g} に対し、\mathfrak{g} の普遍包絡代数と呼ばれるある環を関連させることができる。(PBW定理に従うと、)構成は普遍的で結論的には、\mathfrak{g} の表現は、\mathfrak{g} の普遍包絡代数の代数表現(algebra representation)と 1 対 1 に対応する。この構成は次のようになる。 T をベクトル空間 \mathfrak{g} のテンソル代数とする。定義により、T = \oplus_{n=0}^\infty \otimes_1^n \mathfrak{g} とこの積は、\otimes で与えられる。U(\mathfrak{g}) を元 [x, y] - x \otimes y + y \otimes x により生成されるイデアルで割った商環 とする。U(\mathfrak{g}) は体 k 上の結合代数であるので、交換子 [x, y] = x y - yx (\otimes を省略して記載した)を通してリー代数とすることができる。リー代数には T \to U(\mathfrak{g}) をひとつのピースの次数を制限することにより標準的な射 \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g}) が存在する。PBW定理(PBW theorem)は、標準的な射は実際、単射であることを意味している。\mathfrak{g} がアーベル的ならば、U(\mathfrak{g}) はベクトル空間 \mathfrak{g} の対称代数となる。
\mathfrak{g} は随伴表現を通して自分自身の上の加群であるので、包絡代数 U(\mathfrak{g}) は随伴表現を拡張することで、\mathfrak{g}-加群となる。しかし、左と右の正則表現を使い、包絡代数を\mathfrak{g}-加群とすることができる。つまり、記法 l_x(y) = xy, x \in \mathfrak{g}, y \in U(\mathfrak{g}) により、写像 x \mapsto l_x は U(\mathfrak{g}) の上の \mathfrak{g} の表現を定義する。右正則表現も同様に定義される。
\mathfrak{g} を標数 0 の体上の有限次元リー代数とし、\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g} を部分代数とする。U(\mathfrak{h}) は U(\mathfrak{g}) 上へ右から作用しているとすると、任意の \mathfrak{h}-加群 W に対し、左 U(\mathfrak{g})-加群 U(\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{h})} W を構成することができ、\mathfrak{g}-加群として \operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} W と書かれ、W により誘導された \mathfrak{g}-加群という。この表現は、以下のような普遍的な性質を持ち、実際、この普遍的性質により特徴付けることもできる。任意の \mathfrak{g}-加群 E に対し、
\operatorname{Hom}_\mathfrak{g}(\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} W, E) \simeq \operatorname{Hom}_\mathfrak{h}(W, \operatorname{Res}^\mathfrak{g}_\mathfrak{h} E)
である。さらに、\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} が \mathfrak{h}-加群の圏から \mathfrak{g}-加群の圏への完全函手である。これらは U(\mathfrak{g}) が U(\mathfrak{h}) 上の自由右加群である。特に、\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} W が単純であれば(絶対単純であれば)、W はそれぞれ、単純(絶対単純)である。ここで、\mathfrak{g}-加群 V が絶対単純とは、V \otimes_k F が任意の体の拡大 F/k に対し単純である場合をいう。
誘導が推移的である場合、任意のリー部分代数 \mathfrak{h'} \subset \mathfrak{g} と任意のリー代数 \mathfrak{h} \subset \mathfrak{h}' に対し、\operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{g} \simeq \operatorname{Ind}_\mathfrak{h'}^\mathfrak{g} \circ \operatorname{Ind}_\mathfrak{h}^\mathfrak{h'} である。誘導表現は、制限と可換である。\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g} を部分代数、\mathfrak{n} を \mathfrak{h} に含まれる \mathfrak{g} のイデアルとする。\mathfrak{g}_1 = \mathfrak{g}/\mathfrak{n} とし、\mathfrak{h}_1 = \mathfrak{h}/\mathfrak{n} とすると、\operatorname{Ind}^\mathfrak{g}_\mathfrak{h} \circ \operatorname{Res}_\mathfrak{h} \simeq \operatorname{Res}_\mathfrak{g} \circ \operatorname{Ind}^\mathfrak{g_1}_\mathfrak{h_1} である。
リー代数の表現の最も重要な応用のひとつは、実簡約リー群の表現論である。\pi を連結な実半単純線型リー群 G のヒルベルト空間上の表現とすると、2つの自然な作用をもつ。ひとつは、複素化された \mathfrak{g} であり、もうひとつは、連結極大コンパクト部分群(maximal compact subgroup) K である。\pi の \mathfrak{g}-加群構造は、代数的なホモロジカルな方法を適用することができ、特に、K-加群構造は調和解析を適用でき、そこで連結コンパクト半単純リー群と同じ方法を使うことができる。
L を超代数とすると、L の代数上の表現は、(結合的である必要はない)Z2 次数付き代数 A である。A はZ2 次数付きベクトル空間(graded vector space)上の L の表現であり、加えて、L の元は A 上に 微分 (微分代数)(derivation)/微分 (微分代数)(antiderivation) として作用する。
さらに、特に H が L の純粋元であり、x と y が A の純粋元であれば、
H[xy] = (H[x])y + (-1)^{xH}x(H[y])
である。また、A が単位的であれば、
H[1] = 0
である。
ところで、リー代数の表現に対し、単純に次数を (−1) を同じべきの因子へ写し、なくすることができる。
(超)リー代数はリー代数であり、それ自身の随伴表現を持っているので、随伴表現は代数の上の表現である。(反)微分の性質は、超リー代数(super)ヤコビ恒等式である。
ベクトル空間が双方とも結合代数であり、リー代数であり、リー代数自身の上への随伴表現が代数上の表現(つまり結合代数上の微分が作用していると)であれば、このリー代数はポアソン代数(Poisson algebra)である。超リー代数での類似の事実が、ポアソン超代数(Poisson superalgebra)の考えをもたらす。
キレンの補題(Quillen's lemma) - シューアの補題の類似で、体 k 上の有限次元リー代数の包絡環上の単純加群の自己準同型は k 上代数的であることを言っているのが、キレン(Quillen)の補題である。
ヴァルマ加群(Verma module)
幾何学的量子化(Geometric quantization)
超リー代数の表現(Representation of a Lie superalgebra)
ホワイトヘッドの補題 (リー代数)(Whitehead's lemma)