ワイエルシュトラスの因数分解定理
複素解析において、ワイエルシュトラスの因数分解定理(ワイエルシュトラスのいんすうぶんかいていり、Weierstrass factorization theorem)とは、整函数がその零点に関係する積で表すことができるという定理である。さらに、無限大へ向かう任意の数列に対し、ちょうどその数列の点を零点に持つ整函数が存在する。
この定理の名前はカール・ワイエルシュトラスに因んでいる。
混同の恐れのない限り、単にワイエルシュトラスの定理(ワイエルシュトラスのていり、Weierstrass theorem)とも呼ばれる。
定理は有理型函数へ拡張され、与えられた有理型函数を 3つの要素の積として考えることが可能になる。3つの要素とは、函数の極、函数の零点に依存するものと、これらに付帯する 0 でない正則函数である。
代数学の基本定理から 2つのことが分かる。
複素平面内の有限列 \{a_n\} に対し、正確にその数列の値に零点を持つ多項式 p(z) が存在する。p(z) = \,\prod_n (z-a_n)
複素平面内のすべての多項式函数 p(z) は、因数分解 p(z) = c\prod_n(z-a_n) を持つ。ここで、c は 0 でない定数で、an は p の零点である。
上記の方法を整函数へ拡張する方法を考える。一般の整函数の場合、数列 \{a_n\} が有限でない場合が有り得る。つまり、零点が可算無限個存在する場合もあり得る(例えば、sin\ z)。もし、無限数列 \{a_n\}_{n \in \mathbb{N} が有界であれば、必ず集積点を持つ(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理)ので、一致の定理により\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}を零点とする函数f(z)は、複素平面全体で恒等的に 0 である。
従って、函数f(z)が、\{a_n\}_{n \in \mathbb{N} の要素を零点とし、かつ複素平面全体で恒等的に 0 ではないためには、\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}は集積点を持ってならないことになる。これは任意の正数 R に対して自然数 N が決まり、 n > N であれば |a_n| > R となるという条件と同値である。
この場合、\{a_n\}_{n \in \mathbb{N} が有限集合の場合と同様に、函数f(z) = \,\textstyle \prod_{n = 1}^\infty (z-a_n)を考えても、nが一定値を超えれば、因子(z-a_n)の絶対値は全て 1 を超えるので、この無限積は収束しない。
発想を変えて、函数f(z) = \,\textstyle \prod_{n = 1}^\infty (1- \tfrac{z}{a_n})とすればどうであろうか(\{a_n\}は0を含まないものとする)。この無限積は、もし収束するのであれば、数列 \{a_n\}_{n \in \mathbb{N} の全ての要素を零点として持つ。また、因子 (1- \tfrac{z}{a_n}) は n\to\infty のとき 1 に漸近して行くので、収束する可能性はある。なお、無限積の収束の定義は「その対数値が定義域の各点の近傍で一様収束すること」
であり、無限積が z に関係なく恒等的に 0 に収束する場合(この場合は与えられた零点以外でも対数値が負の無限大に発散する)は、収束とはみなされないことに注意する必要がある。
実は、単純にこの形では無限積の収束は保証できないが、各因子(1- \tfrac{z}{a_n}\,)にある係数(zの函数)を掛けてから無限積を取ると収束することを示すのが、本定理「ワイエルシュトラスの因数分解定理」である。次に示す、ワイエルシュトラスの基本因子(elementary factors)E_p(z) を使えば、(1- \tfrac{z}{a_n})と係数を掛けた因子はE_p(\tfrac{z}{a_n})と表される。
主要因子(primary factors)とも呼ばれる。
n \in \mathbb{N}_0 に対し、基本因子を次のように定義する。
E_n(z) = (1-z)\exp \left( h_n(z) \right)
h_n(z) = \begin{cases} 0 & \text{if }n=0, \\ \frac{z^1}{1}+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^n}{n}& \text{otherwise}. \end{cases}\ .
h_n(z) = \tfrac{z^1}{1}+\tfrac{z^2}{2}+\tfrac{z^3}{3}+\cdots+\tfrac{z^n}{n} という級数について、注目すべき点をいくつか述べておく。 |z| < 1 の場合、
\tfrac{1}{1-z} = 1 + z^1 + z^2 + z^3 + \cdots
とテイラー展開可能である。この両辺を積分すると次のようになる。
\int \tfrac{1}{1-z}\, dz  = -\log(1-z) = \tfrac{z^1}{1}+\tfrac{z^2}{2}+\tfrac{z^3}{3}+\cdots
これは h_n(z) で n を無限大とした極限と考えられるので、 h_\infty(z) と表すことにする。言い換えれば、h_n(z) はh_\infty(z) を有限項で打ち切った形になっている。
(1-z) = \exp(\log(1-z)) = \exp \left( -h_\infty(z) \right)
\tfrac {1}{1-z} = \exp \left( h_\infty(z) \right)
である。
また、h_n(z) を微分すると、h'_n(z) = 1 + z^1 + z^2 + \cdots + z^{n-1} = \tfrac {1 - z^n}{1 - z}  となる。
r_n(z) = h_\infty(z) - h_n(z)
と定義すれば、
E_n(z) = (1-z)\exp ( h_n(z) ) = (1-z)\exp ( h_\infty(z) - r_n(z) )
= (1-z) \tfrac {1}{1-z} \exp \left( - r_n(z) \right) = \exp \left( - r_n(z) \right)
r_n(z) = \tfrac{z^{n+1}{n+1}+\tfrac{z^{n+2}{n+2}+\tfrac{z^{n+3}{n+3}+\cdots = \sum_{k=n+1}^\infty \tfrac{z^{n+1}{n+1} = \tfrac{z^{n+1}{n+1} \sum_{k=0}^\infty \tfrac{n+1}{n+1+k} z^k
|r_n(z)| \le \tfrac
従って、無限和部分の絶対値は有限確定値を取る。 R は任意に大きくできるので、任意のz に対して、無限和部分の絶対値は有限確定値を取る。従って、無限和 \sum_{n=1}^\infty \log E_{n}(z/a_n) は各零点 a_n で負の無限大になり、複素平面のそれ以外の点では有限確定値を取る。
以上から 無限積 f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{n}(z/a_n) は各零点 a_n でのみ 0 となり、複素平面のそれ以外の点では 0 以外の有限確定値を取る。つまり f(z) は整函数である。
次の定理は単にワイエルシュトラスの定理 (Weierstrass theorem) と呼ばれることがある。
定理: \{a_n\}_{n \in \mathbb{N} を 0 を含まず、集積点を持たない複素数の無限数列とする。整数の数列 \{p_n\} がすべての r>0 に対して、
\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{p_n+1} \left ( \frac {r} \right)^{p_n+1} < \infty,
であるとすると、函数
f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}(z/a_n)
は点 a_n にのみ零点を持つ整函数である。数 z_0 が数列 \{a_n\} の中にちょうど m 回あれば、函数 f は z=z_0 に多重度 m の零点を持つ。
定理の中で述べられている数列 \{p_n\} は常に存在することに注意せよ。たとえば、常に p_n=n とすると上の定理と一致し、収束が保証される。ただし収束する数列は一意ではない。この数列を有限回位置を変えて、他の数列 p'n ≥ pn をとっても、常に収束する。
定理は次のように一般化される。リーマン球面上の開集合の中の数列(したがって、領域)に対して、それらの部分集合の中で正則であり、数列の点で零点を持つ函数が存在する。
代数学の基本定理により与えられる場合も含まれることに注意せよ。もし数列 \{a_n\} が有限であれば、p_n = 0 として \, f(z) = c\,{\displaystyle\prod}_n (z-a_n) が得られる。
次の定理が一般にワイエルシュトラスの因数分解定理と呼ばれている完全形式である。ワイエルシュトラスの積/因子定理と呼ばれることもある。
定理(完全版): f を整函数とし、\{a_n\} を f の 0 以外の零点とする(多重度だけ繰り返すものとする)。f が z = 0 で位数 m ≥ 0 である零点を持つとする( z = 0 で位数 m = 0 の零点とは、ƒ(0) ≠ 0 を意味する)と、整函数 g と整数の数列 \{p_n\} が存在し、
f(z)=z^m e^{g(z)} \prod_{n=1}^\infty E_{p_n}\!\!\left(\frac{z}{a_n}\right)
となる。
\sin \pi z = \pi z \prod_{n\neq 0} \left(1-\frac{z}{n}\right)e^{z/n} = \pi z\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)
\cos \pi z = \prod_{q \in \mathbb{Z}, \, q \; \text{odd} } \left(1-\frac{2z}{q}\right)e^{2z/q} = \prod_{n=0}^\infty \left( 1 - \frac{4z^2}{(2n+1)^2} \right)
f が有限の位数の整函数は、因数分解
f(z) = z^m e^{g(z)} \displaystyle\prod_{n=1}^\infty E_p(z/a_n)
を持つ。ここに g(z) は次数 q の多項式であり、q ≤ ρ で p=[ρ] である。