スターリングの近似
&=\frac{1}{z} +\frac{1}{2z^2} +i\int_0^\infty \frac{(z+it)^{-2}-(z-it)^{-2}{e^{2\pi t}-1} dt \\
\end{align}
\frac{d}{dz} \log \Gamma (z)=C_1 +\log z-\frac{1}{2z} +i\int_0^\infty \frac{-(z+it)^{-1}+(z-it)^{-1}{e^{2\pi t}-1} dt
\begin{align}
\log \Gamma (z)
&=C_2 +C_1 z+z\log z-\frac{\log z}{2} +i\int_0^\infty \frac{-\log (z+it)+\log (z-it)}{e^{2\pi t} -1} dt\\
&=C_2 +C_1 z+\left( z-\frac{1}{2} \right) \log z+2\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t} -1} dt\\
\end{align}
\real z>0 なら|\tan (t/z)|<M は有界であるから
\begin{align}
\left| \int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t} -1} dt\right|
&\le \left| \int_0^〔z|^{1/2}\frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}dt\right|
+\left| \int_〔z|^{1/2}^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}dt\right| \\
&\le \int_0^〔z|^{1/2} \frac{\sum_{k=1}^\infty |t/z|^k dt}{2\pi t} +M\int_〔z|^{1/2}^\infty \frac{e^{2\pi} dt}{(e^{2\pi} -1)e^t e^{2\pi} \qquad (|z|>1) \\
&\le \int_0^〔z|^{1/2} \frac{dt}{2\pi(|z|-t)} +\frac{Me^{2\pi}{e^{2\pi}-1} \int_{t=|z|^{1/2}^\infty e^{-2\pi t} dt
\end{align}
\lim_{z\to \infty} \left| \int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1} dt\right| \le \lim_{z\to \infty} \frac{1}{2\pi} \Big[ \log \left( |z|-t\right) \Big]_0^〔z|^{1/2} +\lim_{z\to \infty} \frac{Me^{2\pi}{2\pi\left( e^{2\pi} -1\right)} \Big[-e^{-2\pi t} \Big]_〔z|^{1/2}^\infty =0
である。
\log \Gamma (z)=\frac{1}{2} \log 2\pi -z+\left( z-\frac{1}{2} \right) \log z+2\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t} -1} dt
\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\sqrt{2\pi z} \left( \frac{z}{e} \right)^z e^{\mu(z)} ,\quad
\mu (z)=2\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t} -1} dt,\quad (\real z>0)
を得る。なお、ビネーの公式を元にして部分積分を繰り返すとスターリングの級数が得られる。
トーマス・ベイズの John Canton への書簡が1763年に王立協会により公表されている。それによると、スターリングの公式は収束級数ではないとされていた。
スターリングの公式の収束級数形式を得るには以下を評価する。
\int_0^\infty \frac{2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1} \, dt=\ln \Gamma (z)-\left( z-\frac{1}{2} \right) \ln z+z-\frac{1}{2} \ln 2\pi
一つの方法として、階乗冪の逆数の収束級数を使う方法がある。z^{\overline n} =z(z+1)\cdots (z+n-1) としたとき、次のようになる。
\int_0^\infty \frac{2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1} \, dt=\sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{(z+1)^{\overline n}
c_n =\frac{1}{n} \int_0^1 x^{\overline n} \left( x-\frac{1}{2} \right) \, dx
である。以上から次のようなスターリング級数が得られる。
\begin{align}
\ln \Gamma (z) &=\left( z-\frac{1}{2} \right) \ln z-z+\frac{1}{2} \ln 2\pi \\
&\quad +\frac{1}{12(z+1)} +\frac{1}{12(z+1)(z+2)} +\frac{59}{360(z+1)(z+2)(z+3)} +\frac{29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)} +\cdots
\end{align}
これは、\Re z>0 のとき収束する。
ガンマ関数の(関数電卓などの)計算機向けの近似として次の式がある。
\Gamma (z)\sim \sqrt{\frac{2 \pi}{z} \left( \frac{z}{e} \sqrt{z\sinh \frac{1}{z} +\frac{1}{810z^6} \right)^z
これは、次と同等である。
2\ln \Gamma (z)\sim \ln 2\pi -\ln z+z\left\{ 2\ln z+\ln \left( z\sinh \frac{1}{z} +\frac{1}{810z^6} \right) -2\right\}
これらはスターリングの公式を組み替えて、その結果生じる冪級数と双曲線正弦関数のテイラー展開の間の合致を観察することで得られる。この近似は z の実数部が 8 以上のとき、小数点以下 8 桁を超える精度を持つ。2002年、Robert H. Windschitl がリソースの制限された計算機(電卓など)でのそれなりの正確性を持った近似としてこれを示した。
Gergő Nemes は 2007年にほぼ同程度の結果を与える近似式を提案した。こちらはより単純である。
\Gamma (z)\sim \sqrt{\frac{2\pi}{z} \left\{ \frac{1}{e} \left( z+\frac{1}{12z-\frac{1}{10z} \right) \right\}^z
これは、次と同等である。
\ln \Gamma (z) \sim \frac{1}{2} \left( \ln 2\pi -\ln z\right) +z\left\{ \ln \left( z+\frac{1}{12z-\frac{1}{10z} \right) -1\right\}
この公式は最初に次の形でアブラーム・ド・モアブルにより1730年に発見された。
n!\sim [{\rm constant}]\cdot n^{n+\tfrac{1}{2} e^{-n}
スターリングの貢献は定数が \sqrt{2\pi} であることを示したことである。より正確な形式はジャック・ビネが見出した。
スターリングの近似の「一次」バージョン n!=n^n は、マックス・プランクが1901年の黒体放射の論文で使用した。これは多量の光子や振動子についての黒体放射エネルギーの方程式にリンクしている。この近似は量子論でよく使われ、例えばピーター・デバイとルイ・ド・ブロイも使っている。アルベルト・アインシュタインとサティエンドラ・ボースは違う方式を採用した。非常に大きな n について確率分布をグラフに描画してみると、両者はほぼ平行になる。