可微分多様体
テンソル束は可微分多様体にはなれない、なぜならば無限次元だからである。しかしながらスカラー関数の環上の多元環ではある。各テンソルはどれだけの接因子と余接因子をそれが持っているかを示すその階数によって特徴づけられる。ときどきこれらの階数は共変および反変階数、それぞれ接階数と余接階数を表す、と呼ばれることがある。
枠(あるいはより正確には接枠 (tangent frame/接標構))は特定の接空間の順序付き基底である。同様に、接枠は Rn からこの接空間への線型同型写像である。動く接枠は定義域の各点での基底を与えるベクトル場の順序付きリストである。動く枠を枠束 F(M) 、M 上のすべての枠からなる集合からなる GL(n, R) 主束、の断面と見なすこともできる。M 上のテンソル場を F(M) 上の同変ベクトル値関数と見なすことができるので、枠束は有用である。
十分滑らかな多様体上様々な種類のジェット束を考えることができる。多様体の(1階の)接束は多様体の曲線を一次の接触なる同値関係で割った集合である。類似的に、k-階の接束は k-次の接触関係で割った曲線の集まりである。同様に、余接束は多様体上の関数の 1-jet の束であり、k-jet 束はそれらの k-jet の束である。ジェット束の一般的なアイデアのこれらおよび他の例は多様体上の微分作用素の研究において重要な役割を果たす。
枠の概念も高次ジェットの場合に一般化する。k 階の枠を Rn から M への微分同相写像の k-jet と定義する。すべての k 階の枠の集まり Fk(M) は M 上の主 Gk 束である、ただし Gk はジェット群である、すなわち原点を固定する Rn の微分同相の k-jet からなる群である。GL(n, R) は自然に G1, およびすべての k ≥ 2 に対する Gk の部分群に同型であることに注意する。とくに、F2(M) の断面は M 上の接続の枠成分を与える。したがって、商束 F2(M)/ GL(n, R) は M 上の線型接続全体からなる束である。
多変数の微分積分学のテクニックの多くもまた、自然な修正を加えて、可微分多様体に適用する。例えば多様体の接ベクトルに沿った微分可能関数の方向微分を定義でき、これは関数の全微分を一般化する手段、微分、に導く。微積分学の観点から、多様体上の関数の微分は少なくとも局所的な性質にはユークリッド空間上定義された関数の通常の微分と多くは同じように振る舞う。例えばそのような関数に対して陰関数定理や逆関数定理のバージョンが存在する。
しかしながら、ベクトル場(および一般にテンソル場)の微積分においては重要な違いがある。手短に言えば、ベクトル場の方向微分は well-defined でなく、あるいは少なくとも直截的な方法では定義されない。ベクトル場(やテンソル場)の微分のいくつかの一般化は確かに存在し、ユークリッド空間での微分のいくつかの形式的な性質を捉える。主なものは:
リー微分、これは微分構造によって一意的に定義されるが、方向微分の通常の性質のいくつかは満たされない。
アフィン接続、これは一意的には定義されないが、通常の方向微分の性質をより完全に一般化する。アフィン接続は一意でないので、それは多様体上特定されなければならない追加のデータである。
積分法からのアイデアも可微分多様体に持ちこされる。これらは外微分法 と微分形式のことばで自然に表現される。多変数の積分の基本的な定理 — すなわちグリーンの定理、発散定理、ストークスの定理 — は外微分と部分多様体上の積分を関連付ける定理(これもストークスの定理と呼ばれる)に一般化する。
2つの多様体の間の微分可能な関数は部分多様体の適切な概念や他の関連する概念を定式化するために必要である。f: M → N が m 次元の可微分多様体 M から n 次元の可微分多様体 N への微分可能な写像であれば、f の微分は写像 df: TM → TN である。これは Tf とも記され、接写像 (tangent map) と呼ばれる。M の各点においてこれは一方の接空間から他方への線型変換である:
df(p)\colon T_p M \to T_{f(p)} N.
f の p での階数 (rank) はこの線型変換の階数である。
通常関数のランクは点ごとの性質である。しかしながら、関数が最大のランクを持てば、ランクは点の近傍で定数のままである。微分可能な関数は"通常"最大のランクを持つ。その正確な意味はサード (Sard) の定理によって与えられる。ある点で最大ランクの関数ははめ込みや沈めこみと呼ばれる:
m ≤ n で、f: M → N が p ∈ M においてランク m を持てば、f は p でのはめ込み (immersion) と呼ばれる。f が M のすべての点ではめ込みであり像の上への同相写像であれば、f は埋め込みである。埋め込みは M が N の部分多様体であるという概念を定式化する。一般に、埋め込みは自己交叉や他の局所的でない位相的特異性を持たないはめ込みである。
m ≥ n で、f: M → N が p ∈ M でランク n を持てば、f は p での沈めこみ (submersion) と呼ばれる。陰関数の定理は f が p での沈めこみであれば M は p の近くで局所的に N と Rm−n の積であると述べている。正式に言えば、f(p) ∈ N の近傍における座標 (y1, ..., yn) と、p ∈ M の近傍において定義された m−n 個の関数 x1, ..., xm−n であって
(y_1\circ f,\dotsc,y_n\circ f, x_1, \dotsc, x_{m-n})
が p の近傍における M の局所座標系であるようなものが存在する。沈めこみはファイブレーションとファイバー束の理論の基礎をなす。
ソフス・リー (Sophus Lie) に因んだリー微分は多様体 M 上のテンソル場の多元環上の微分 (抽象代数学)である。M 上のすべてのリー微分からなるベクトル空間は
[A,B] := \mathcal{L}_A B  = - \mathcal{L}_B A
で定義されるベクトル場のリーブラケットに関して無限次元リー環をなす。
リー微分は M 上のフロー(active transformation微分同相写像)の無限小生成子としてベクトル場によって表現される。逆にみると、M の微分同相の群はリー群論の直接の類似の方法でリー微分の付随するリー環の構造を持つ。
外微分法によって勾配、発散、回転作用素の一般化ができる。
各点における微分形式の束はその点における接空間上のすべての反対称多重線型写像からなる。それは自然に多様体の次元以下の各 n に対し n 形式に分割される。n 形式は n 変数の形式で、n 次の形式とも呼ばれる。1 形式は余接ベクトルであり、0 形式は単にスカラー関数である。一般に、n 形式は余接ランク n で接ランク 0 のテンソルである。しかしすべてのそのようなテンソルが形式であるわけではない。形式は反対称でなければならないからである。
\mathrm{d} \colon \mathcal{C}(M) \to \mathrm{T}^*(M) : f \mapsto \mathrm{d}f
\mathrm{d}f \colon \mathrm{T}(M) \to \mathcal{C}(M) : V \mapsto V(f)
なるものが存在する。
この写像は上でのべたように余ベクトルを無限小変位に関連づける写像である。いくつかの余ベクトルはスカラー関数の外微分である。n 形式から (n + 1) 形式の上への写像に一般化することができる。この微分を 2 回適用すると 0 になる。微分が 0 の形式は閉形式と呼ばれ、それ自身外微分であるような形式は完全形式と呼ばれる。
ある点での微分形式の空間は外積代数の原型的な例である。したがって k 形式と l 形式を (k + l) 形式に写すウェッジ積を持つ。外微分はこの代数に拡張し、積の法則の1つのバージョンを満たす:
\mathrm{d}(\omega \wedge \eta) = \mathrm{d} \omega \wedge \eta+(-1)^{\rm deg\,}\omega}(\omega \wedge \mathrm{d} \eta).
微分形式と外微分から、多様体のド・ラームコホモロジーを定義することができる。n 次コホモロジー群は閉形式全体を完全形式全体で割った群である。
1, 2, 3次元のすべての位相多様体は(微分同相の違いを除いて)一意的な微分構造を持つ。したがって位相多様体と可微分多様体の概念は高次元でしか区別がない。各高次元で滑らかな構造を持たない位相多様体や複数の微分同相でない構造を持つ位相多様体が存在することが知られている。
滑らかにできない多様体の存在は  によって証明され、Kervaire多様体参照、後にドナルドソンの定理の文脈で説明された(ヒルベルトの第五問題と比較せよ); 滑らかにできない多様体の良い例は E8多様体である。
複数の両立不能な構造を持つ多様体の古典的な例はジョン・ミルナー (John Milnor) の異種球面である。
リーマン多様体とは接空間に微分可能なような内積を入れた可微分多様体である。内積構造はリーマン計量と呼ばれる対称2階テンソルの形式で与えられる。この計量はベクトルと余ベクトルを相互変換するために、そして階数4のリーマン曲率テンソルを定義するために、使うことができる。リーマン多様体には、長さ、体積、角度の概念がある。任意の可微分多様体にはリーマン構造を与えることができる。
擬リーマン多様体はリーマン多様体の変種で、計量テンソルが(正定値とは対照的に)不定値符号を持つことも許したものである。符号 (3, 1) の擬リーマン多様体は一般相対論において重要である。すべての可微分多様体に擬リーマン構造を与えられるわけではない。位相幾何学的な制限があるのである。
フィンスラー多様体はリーマン多様体の一般化で、内積をベクトルノルムに置き換えたものである。長さは定義できるが、角度は定義できない。
シンプレクティック多様体とは閉非退化2形式を伴った多様体である。この条件からシンプレクティック多様体の次元は偶数でなければならない。ハミルトン力学において相空間として生じる余接束は動機づけとなる例であるが、多くのコンパクト多様体もまたシンプレクティック構造を持つ。ユークリッド空間に埋め込まれたすべての向き付け可能な曲面はシンプレクティック構造、ユークリッド内積に誘導された各接空間上の符号付き面積形式、を持つ。すべてのリーマン面はそのような曲面の例であり、したがって、実多様体と考えてシンプレクティック多様体の例である。
リー群は C∞ 多様体であって群でもあり積と逆元を取る演算が多様体の写像として滑らかであるようなものである。これらの対象は対称性の記述において自然に生じる。
滑らかな写像と滑らかな多様体の圏は望まれる性質をいくらか欠いており、人々はこれを修正するために滑らかな多様体を一般化しようとしてきた。微分空間は "plot" と呼ばれるチャートの異なる概念を用いる。他の試みに Frölicher space や軌道体 (orbifold) がある。
修正可能集合 (rectifiable set) は区分的に滑らかあるいは求長可能な曲線の概念を高次元に一般化する。しかしながら、修正可能集合は一般の多様体にない。