クリフォード代数
数学において、クリフォード代数 (クリフォードだいすう、Clifford algebra) は結合多元環の一種である。K-代数として、それらは実数、複素数、四元数、そしていくつかの他の超複素数系を一般化する。クリフォード代数の理論は二次形式と直交変換の理論と密接な関係がある。クリフォード代数は幾何学、理論物理学、デジタル画像処理を含む種々の分野において重要な応用を持つ。イギリス人幾何学者ウィリアム・キングドン・クリフォードにちなんだ名称である。
最もよく知られたクリフォード代数、あるいは直交クリフォード代数 (ちょっこうクリフォードだいすう、orthogonal Clifford algebra) は、リーマンクリフォード代数 (リーマンクリフォードだいすう、Riemannian Clifford algebra) とも呼ばれる。
クリフォード代数は二次形式 Q を伴った体 K 上のベクトル空間 V を含み,それによって生成される単位的結合多元環である。クリフォード代数 Cℓ(V, Q) は次の条件を満たす V から生成される「最も自由な」代数である実クリフォード代数を扱い正定値二次形式を好む数学者(特に指数理論の研究者)は基本的なクリフォード恒等式 (the fundamental Clifford identity) において異なった符号の規約を用いることがある。つまり、彼らは v2  −Q(v) を取る。もう一方の規約へと移るときは、Q を −Q で置き換えなければならない。:
v^2 = Q(v)1\quad(\forall v\in V),
ただし左辺の積はクリフォード代数としての積であり、1 は乗法単位元である。
クリフォード代数の定義は「裸の」(bare) K-代数よりも多くの構造をそれに与える: 特にそれは V に同型な特定の、あるいは特別に選ばれた部分空間を持つ。そのような部分空間はクリフォード代数に同型な K-代数のみが与えられても一般には一意には決まらない。
基礎体 K の標数が 2 でなければ、この基本関係式を次の形に書き直すことができる:
uv + vu = 2\langle u, v\rangle1\quad (\forall u,v \in V),
\langle u, v\rangle = \frac{1}{2}(Q(u+v) - Q(u) - Q(v))
は極化恒等式(polarization identity)によって Q と結びついた対称双線型形式である。この関係式を満たす「最も自由な」 (freest) あるいは「最も一般」 (most general) な代数であることのアイデアは普遍性の概念を通じて下記でされるように正式に表現できる。
標数 2 の場合の二次形式とクリフォード代数は例外的な場合になる。特に、char(K)  2 であれば、二次形式が対称双線型形式を決定すること、あるいはすべての二次形式が直交基底を持つということは正しくない。この記事のステートメントの多くは標数が 2 でないという条件を含み、条件が除かれると誤りである。
クリフォード代数は外積代数と近い関係にある。実は、Q  0 であればクリフォード代数 Cℓ(V, Q) はちょうど外積代数 ⋀(V) になる。零ではない Q に対して基礎体 K の標数が 2 でないときにはいつでも ⋀(V) と Cℓ(V, Q) の間の自然な「線型」同型が存在する。つまり、それらはベクトル空間として自然に同型であるが、異なる乗法を与える(標数 2 の場合にはそれらはなおベクトル空間として同型であるが、自然にではない)。指定された部分空間とクリフォード乗法を合わせたものはその内容が外積代数にくらべるて真により豊かである、なぜならば Q がもたらす追加の情報を使うからである。
より正確には、ワイル代数が対称代数の量子化であるのと同じ方法で、クリフォード代数は外積代数の量子化(cf. 量子群)であると考えることができる。
ワイル代数とクリフォード代数ではさらに *-環という構造を持ち、CCR and CAR algebras において議論されているように、超代数の偶項と奇項として統一できる。
V を体 K 上のベクトル空間とし、Q: V → K を V 上の二次形式とする。興味のあるたいていのケースでは体 K は実数体 R か複素数体 C か有限体である。
クリフォード代数 Cℓ(V, Q) は次の普遍性によって定義されるすべての v ∈ V に対して i(v)2  Q(v)1 を満たす線型写像 i : V → Cℓ(V, Q) を伴った K 上の単位的結合多元環である: K 上の任意の結合代数 A と
(ただし 1A は A の乗法単位元を表す)なる任意の線型写像 j : V →  A が与えられると、次の図式が交換する一意的な多元環準同型 f : Cℓ(V, Q) → A (すなわち f ∘ i  j)が存在する:(標数≠2 において)Q の代わりに対称双線型形式 ·,· で考えると、j に対する要求は次のようになる。
j(v)j(w) + j(w)j(v) = 2 \langle v, w \rangle 1_A \quad (\forall v,w \in V).
上で記述された性質をもつクリフォード代数はつねに存在して次のように構成できる: V を含む最も一般的な代数、すなわちテンソル代数 T(V) で始め、それから適切な商を取ることによって基本関係式が成り立つようにする。この場合
v\otimes v - Q(v)1\quad (\forall v\in V)
の形のすべての元によって生成された T(V) の両側イデアル IQ を取り除くために、Cℓ(V, Q) を商代数
として定義する。この商によって継承される環の積はときどきクリフォード積 (Clifford product) と呼ばれ 外積やスカラー積などとは別のものとして区別される。
すると Cℓ(V, Q) は V を含みかつ上の普遍性質を満たすことが直ちに示せてそのことから Cℓ は同型を除いて一意に決まる; われわれが "the" Clifford algebra Cℓ(V, Q) というときはそのような意味である。この構成から i が単射であることも従う。通常は V を Cℓ(V, Q) の部分線型空間であるように考えて i を書かずに省く。
上記のようなクリフォード代数の普遍的な特徴づけは Cℓ(V, Q) の構成が事実上関手的であることを示している。すなわち、Cℓ は二次形式を持ったベクトル空間の圏(射は二次形式を保つ線型写像)から結合代数への関手と考えることができる。普遍性は(二次形式を保つ)ベクトル空間の間の線型写像を結合クリフォード代数の間の代数準同型として一意に拡張できることを保証する。
ベクトル空間V の体 K 上の次元が n であり e1, …, en が (V, Q) の直交基底であれば、
クリフォード代数 Cℓ(V, Q) は K 上自由でその基底(の 1 つ)は以下で与えられる。
\{e_{i_1}e_{i_2}\cdots e_{i_k} \mid 1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\text{ and } 0\le k\le n\}.
空積 (k = 0) は代数の乗法の単位元として定義される。k の各値に対して {}_nC_k 個の基底元が存在する、したがってクリフォード代数の総次元は
\dim C\ell(V,Q) = \sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix} = 2^n.
V は二次形式を伴っているので、V の 特別な基底として直交基底を選べる。直交基底 は
\langle e_i, e_j \rangle = 0  for  i\neq j, and \langle e_i, e_i \rangle = Q(e_i) \,
であるような基底である。ただし -, - は Q に伴う対称双線型形式である。基本クリフォード関係式とはこの直交基底に対する積が
e_ie_j = -e_je_i \text{ for } i\neq j, \text{ and } e_i^2= Q(e_i) \,
であることを意味している。このことにより直交基底ベクトルの扱いは極めて簡単になる。V の相異なる直交基底ベクトルの積 e_{i_1}e_{i_2}\cdots e_{i_k} が与えられたとき、それを基底の添字が標準の順序になるように並べ替えることは、それに必要な二元ごとの入れ替えの回数により決まる符号(すなわち整列させるための置換の符号)を付ければできる。
最も重要なクリフォード代数は非退化2次形式を備えた実および複素ベクトル空間上のものである。
代数 Cℓp,q(R) と Cℓn(C) の各々は A あるいは A ⊕ A に同型である、ただし A は成分が R, C あるいは H から来る全行列環、ということが明らかになる。これらの代数の完全な分類はクリフォード代数の分類を見よ。
実クリフォード代数の幾何学的な解釈は幾何代数として知られている。
Q(v) = v_1^2 + \cdots + v_p^2 - v_{p+1}^2 - \cdots - v_{p+q}^2
に同値である、ただし n = p + q はベクトル空間の次元である。整数の組 (p, q) は二次形式の符号数と呼ばれる。この二次形式を持った実ベクトル空間はしばしば Rp,q と表記される。Rp,q 上のクリフォード代数は Cℓp,q(R) と表記される。記号 Cℓn(R) は著者が正定値と不定値の空間どちらを好むかによって Cℓn,0(R) あるいは Cℓ0,n(R) を意味する。
Rp,q の標準正規直交基底 (ei) は互いに直交する n = p + q 個のベクトルからなり、そのうち p 個はノルム +1 を持ち、q 個はノルム −1 を持つ。代数 Cℓp,q(R) は従って平方して +1 になる p 個のベクトルと平方して −1 になる q 個のベクトルを持つ。
Cℓ0,0(R) は自然に R に同型であることに注意する。0 でないベクトルはないからである。Cℓ0,1(R) は平方して −1 になるただ 1 つのベクトル e1 によって生成される 2 次元の代数なので複素数体 C に同型である。代数 Cℓ0,2(R) は 1, e1, e2, e1e2 によって張られる 4 次元の代数である。後ろ 3 つの元は平方して −1 になりすべて反交換するので、代数は四元数体 H に同型である。Cℓ0,3(R) は 分解型双四元数と呼ばれる直和 H ⊕ H に同型な 8 次元の代数である。
複素ベクトル空間上でもクリフォード代数を考えることができる。複素ベクトル空間上のすべての非退化二次形式は標準対角形式
Q(z) = z_1^2 + z_2^2 + \cdots + z_n^2
ただし n = dim V、に同型を除いて同値であり、したがって各次元 n に対してただ1つの非退化なクリフォード代数が存在する。標準二次形式を持った Cn 上のクリフォード代数を Cℓn(C) と表記しよう。
Cℓ0(C) ≅ C: 複素数体
Cℓ1(C) ≅ C ⊕ C: 双複素数環
Cℓ2(C) ≅ M(2, C): 双四元数環
であることがわかる、ただし M(n, C) は C 上 n×n 行列の代数を表す。
このセクションにおいて、ハミルトンの四元数がクリフォード代数 Cℓ0,3(R) の偶部分代数として構成される。
ベクトル空間 V を実 3 次元空間 R3 とし、二次形式 Q を通常のユークリッド計量から入れる。すると、二次形式あるいはスカラー積は v, w ∈ R3 に対して
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}= v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3.
となる。いま次式で与えられるベクトル v と w のクリフォード積を導入する
\mathbf{v}\mathbf{w} + \mathbf{w}\mathbf{v} = -2 (\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}).\!
この定式化は負の符号を用いることで四元数との対応を示すことを容易にしている。
R3 の直交単位ベクトルの集合を e1, e2, e3 として表記すると、クリフォード積は関係
\mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 = -\mathbf{e}_3 \mathbf{e}_2, \,\,\,  \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_1 = -\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_3,\,\,\,  \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 = -\mathbf{e}_2 \mathbf{e}_1,\!
\mathbf{e}_1 ^2 = \mathbf{e}_2^2 =\mathbf{e}_3^2 = -1 \!
を生み出す。クリフォード代数 Cℓ0,3(R) の一般の元は
A = a_0 + a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + a_3 \mathbf{e}_3 + a_4 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 + a_5 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_1 + a_6 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 + a_7 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3\!
によって与えられる。
Cℓ0,3(R) の偶次数元の線型結合は一般元
Q = q_0 + q_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 + q_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_1 + q_3 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \!
とともに Cℓ(R) の偶部分代数を定義する。基底元は四元数基底元 i, j, k と
i=  \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3, j=  \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_1, k =  \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2
として同一視することができ、これは偶部分代数 Cℓ(R) はハミルトンの実四元数代数であることを示している。
これを見るには、
i^2 = (\mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3)^2 = \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 = - \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_3 = -1,\!
ij = \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_1 = -\mathbf{e}_2 \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 = k\!
を計算する。最後に、
ijk = \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 = -1.\!
このセクションにおいて、双対四元数が退化二次形式を持った実四次元空間の偶クリフォード代数として構成される。
ベクトル空間 V を実四次元空間 R4 とし、二次形式 Q を R3 上のユークリッド距離から入る退化形式とする。v, w ∈ R4 に対して、退化双線型形式
d(\mathbf{v}, \mathbf{w})= v_1w_1 + v_2w_2 + v_3w_3.
を導入する。この退化スカラー積は R4 における距離測定を R3 の超平面に全射で射影する。
ベクトル v と w のクリフォード積は
\mathbf{v}\mathbf{w} + \mathbf{w}\mathbf{v} = -2 \,d(\mathbf{v}, \mathbf{w})\!
によって与えられる。負号は四元数との対応を簡単にするために導入していることに注意しよう。
R4 の直交単位ベクトルの集合を e1, e2,  e3, e4 として表記すると、クリフォード積は関係
\mathbf{e}_m \mathbf{e}_n = -\mathbf{e}_n \mathbf{e}_m, \,\,\,  m \ne n,\!
\mathbf{e}_1 ^2 = \mathbf{e}_2^2 =\mathbf{e}_3^2 = -1, \,\, \mathbf{e}_4^2 =0\!
を生み出す。
クリフォード代数 Cℓ(R4,d) の一般元は 16 個の成分を持つ。偶次数付けられた元の線型結合は次の形の一般元を持った偶部分代数 Cℓ0(R4,d)  を定義する
H = h_0 + h_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 + h_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_1 + h_3 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 + h_4 \mathbf{e}_4 \mathbf{e}_1 + h_5 \mathbf{e}_4 \mathbf{e}_2 + h_6 \mathbf{e}_4 \mathbf{e}_3 + h_7 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2\mathbf{e}_3 \mathbf{e}_4. \!
基底元は四元数基底元 i, j, k と双対単位 ε と
i=\mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3, j=\mathbf{e}_3 \mathbf{e}_1, k = \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2, \,\, \varepsilon = \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2\mathbf{e}_3 \mathbf{e}_4 \!
として同一視できる。これは Cℓ(R) の双対四元数代数との対応を提供する。
これを見るには、次式を計算する
\varepsilon ^2 = (\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_4)^2 =  \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2\mathbf{e}_3 \mathbf{e}_4 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_4 = -\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2\mathbf{e}_3 (\mathbf{e}_4 \mathbf{e}_4 ) \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2\mathbf{e}_3 = 0,\!
\varepsilon i = (\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_4) \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3  = \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_4 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 =  \mathbf{e}_2\mathbf{e}_3 (\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_4) = i\varepsilon.\!
e1 と e4 の交換は偶数回符号を交代し、双対単位 ε が四元数基底元 i, j, k と交換することを示す。
ベクトル空間 V が与えられると外積代数 ⋀(V) を構成でき、その次元は V 上のどんな二次形式からも独立である。K が標数 2 でなければ ⋀(V) と Cℓ(V, Q) の間にベクトル空間として考えて自然な同型が存在する(そして標数が 2 でない場合には自然でないかもしれない同型が存在する)ということが判明する。これが代数同型であることと Q = 0 は同値である。したがってクリフォード代数 Cℓ(V, Q) を Q に依存した積で V 上の外積代数を豊かにしたもの(あるいはより正確には、量子化、 cf. 導入)と考えることができる(外積はなお Q とは独立に定義できる)。
同型を確立する最も易しい方法は V の直交基底 {ei} をとりそれを上で述べられたように Cℓ(V, Q) の基底に拡張することである。写像 Cℓ(V, Q) → ⋀(V) は
e_{i_1}e_{i_2}\cdots e_{i_k} \mapsto e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge \cdots \wedge e_{i_k}
によって決定される。これは基底 ei が直交しているときにのみうまくいくことに注意しよう。この写像は直交基底の選択とは独立であり従って自然同型を与えることを示すことができる。
K の標数が 0 であれば、反対称化によっても同型を確立できる。関数 fk: V × ⋯ × V → Cℓ(V, Q) を
f_k(v_1, \cdots, v_k) = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}{\rm sgn}(\sigma)\, v_{\sigma(1)}\cdots v_{\sigma(k)}
によって定義する、ただし和は k 個の元の上の置換群を渡って取られる。fk は交代形式なのでそれは一意的な線型写像 ⋀k(V) → Cℓ(V, Q) を誘導する。これらの写像の直和は ⋀(V) と Cℓ(V, Q) の間の線型写像を与える。この写像は線型同型であることを示すことができ、それは自然である。
関係を見るより洗練された方法は Cℓ(V, Q) 上フィルトレーション (抽象代数学)を構成することである。テンソル代数 T(V) は自然なフィルトレーションを持つことを思い出そう: F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ ⋯、ただし Fk は k-階以下のテンソルの和を含む。これをクリフォード代数に射影することで Cℓ(V, Q) 上のフィルトレーションが得られる。伴う次数代数
\operatorname{Gr}\nolimits_F C\ell(V,Q) = \bigoplus_k F^k/F^{k-1}
は自然に外積代数 ⋀(V) に同型である。フィルター代数の伴う次数代数は(すべての k に対してFk のコンポーネントを Fk+1 の中に選ぶことによって)つねにフィルターベクトル空間としてフィルター代数に同型であるから、これは任意の標数において、2 でさえも、(自然なものではないが)同型を提供する。
以降では標数は 2 でないとするしたがって群環 K'Z/2 は半単純でありクリフォード代数は主対合の固有空間に分解する。。
クリフォード代数は Z2-次数代数(超代数としても知られている)である。実際、v ↦ −v によって定義される V 上の線型写像(原点を通る反射)は二次形式 Q を保存ししたがってクリフォード代数の普遍性によって代数自己同型
に拡張する。α は対合(すなわち自乗すると恒等関数になる)であるから、Cℓ(V, Q) を α の正と負の固有空間に分解できる
C\ell(V,Q) = C\ell^0(V,Q) \oplus C\ell^1(V,Q)
ただし Cℓi(V, Q) coloneqq x ∈ Cℓ(V, Q) 。α は自己同型であるから
C\ell^{\,i}(V,Q)C\ell^{\,j}(V,Q) = C\ell^{\,i+j}(V,Q)
が従う、ただし右上の添え字は modulo 2 で読まれる。これは Cℓ(V, Q) に Z2-次数代数の構造を与える。部分空間 Cℓ0(V, Q) は Cℓ(V, Q) の部分代数をなし、偶部分代数 (even subalgebra) と呼ばれる。部分空間 Cℓ1(V, Q) は Cℓ(V, Q) の奇成分 (odd part) と呼ばれる(部分代数ではない)。この Z2-次数付けはクリフォード代数の解析と応用において重要な役割を果たす。自己同型 α は主対合 (main involution) あるいは次数付き対合 (grade involution) と呼ばれる。この Z2-次数付けにおいて pure な元は単に even あるいは odd と呼ばれる。
注意: 標数が 2 でなければ Cℓ(V, Q) の基礎ベクトル空間は N-次数付けと Z-次数付けを外積代数 ⋀(V) の基礎ベクトル空間との自然な同型から受け継ぐZ-次数付けは N 次数付けから負の整数で添え字づけられた零部分空間のコピーを追加することによって得られる。。しかしながら、これはベクトル空間の次数付けでしかないことに注意することは重要である。つまり、クリフォード乗法は N-次数付けや Z-次数付けをリスペクトせず、Z2-次数付けだけなのである: 例えば Q(v) ≠ 0 であれば v ∈ Cℓ1(V, Q) だが v2 ∈ Cℓ0(V, Q) であって Cℓ2(V, Q) に入らない。幸運なことに、次数付けは自然な方法で関係している: Z2 ≅N/2N≅ Z/2Z。さらに、クリフォード代数は Z-フィルター代数である: Cℓ≤i(V, Q) ⋅ Cℓ≤j(V, Q) ⊂ Cℓ≤i+j(V, Q)。クリフォード数の次数 (degree) は通常 N-次数付けにおける次数のことである。
クリフォード代数の偶部分代数 Cℓ0(V, Q) はそれある自身クリフォード代数に同型である技術的には、指定されたベクトル部分空間なしにはそれはクリフォード代数の完全な構造を持たない。なお標数は 2 でないことを仮定している。V がノルム Q(a) の部分空間 U のベクトル a の直交直和であれば、Cℓ0(V, Q) は Cℓ(U, −Q(a)Q) に同型である、ただし −Q(a)Q は U に制限され −Q(a) を掛けた形式 Q である。特に実数体上これは次を意味する
C\ell_{p,q}^0(\mathbf{R}) \cong C\ell_{p,q-1}(\mathbf{R})\quad(q > 0),
C\ell_{p,q}^0(\mathbf{R}) \cong C\ell_{q,p-1}(\mathbf{R})\quad(p > 0)
負定値の場合にはこれは包含 Cℓ0,n−1(R) ⊂ Cℓ0,n(R) を与え、列を拡張する
R ⊂ C ⊂ H ⊂ H ⊕ H ⊂ ⋯;
同様に、複素の場合には、Cℓn(C) の偶部分代数は Cℓn−1(C) に同型であることを示せる。
自己同型 α に加えて、クリフォード代数の解析において重要な役割を果たす 2 つの反自己同型が存在する。テンソル代数 T(V) はすべての積の順序を逆にする反自己同型とともに来ることを思い出そう:
v_1\otimes v_2\otimes \cdots \otimes v_k \mapsto v_k\otimes \cdots \otimes v_2\otimes v_1.
イデアル IQ はこの反転の下で不変なので、この演算は Cℓ(V, Q) の反自己同型に降り、転置 (transpose) あるいは反転 (reversal) 演算と呼ばれ、tx によって表記される。この反転は反自己同型である: t(xy) = ty tx。転置演算は Z2-次数付けを全く使わないので2つ目の反自己同型を α と転置を合成することによって定義する。この演算をクリフォード共役 (Clifford conjugation) と呼び x と表記する
\bar x = \alpha(^t\!x) = {}^t\!(\alpha(x)).
2 つの反自己同型のうち転置はより基本的である vt / Q(v) によって与えられ、一方 (−) 規約 では v−1 = v / Q(v) によって与えられる。。
これらの演算は全て対合であることに注意しよう。それらは Z-次数付けにおいて pure な元上 ±1 として作用することを示すことができる。実際、すべての 3 つの演算は次数 modulo 4 にしか依らない。つまり、x が pure で次数 k であれば、
\alpha(x) = \pm x \qquad {}^t\!x = \pm x \qquad \bar x = \pm x