クリフォード代数
ただし符号は以下の表によって与えられる:
標数が 2 でないとき、V 上の二次形式 Q は Cℓ(V, Q) のすべての上の二次形式に拡張することができる(これも Q によって表記する)。1 つのそのような拡張の基底に依存しない定義は
Q(x) = \langle {}^t\!x x\rangle
ただし \langle a \rangle は a のスカラー部分(Z-次数付けにおいて次数 0 の部分)を表記する。
Q(v_1v_2\cdots v_k) = Q(v_1)Q(v_2)\cdots Q(v_k)
を示すことができる、ただし vi は V の元である – この恒等式は Cℓ(V, Q) の任意の元に対しては正しく「ない」。
Cℓ(V, Q) 上の伴う対称双線型形式は
\langle x, y\rangle = \langle {}^t\!x y\rangle
によって与えられる。これは V に制限されたときにもとの双線型形式に戻ることを確認できる。 Cℓ(V, Q) のすべての上の双線型形式が非退化であることとそれが V 上非退化であることは同値である。
転置はこの内積に関して左/右クリフォード乗法の随伴であることを証明するのは難しくない。つまり、
\langle ax, y\rangle = \langle x, {}^t\!a y\rangle,
\langle xa, y\rangle = \langle x, y {}^t\!a\rangle.
この節ではベクトル空間 V の次元は有限であり Q の双線型形式は非特異であると仮定する。K 上の中心単純代数は中心が K の(有限次元)可除代数上の行列代数である。例えば、実数体上の中心単純代数は実数体あるいは四元数体上の行列代数である。
V の次元が偶数であれば Cℓ(V, Q) は K 上の中心単純代数である。
V の次元が偶数であれば Cℓ0(V, Q) は K の二次拡大上の中心単純代数であるかまたは K 上の 2 つの同型な中心単純代数の和である。
V の次元が奇数であれば Cℓ(V, Q) は K の二次拡大上の中心単純代数であるかまたは K 上の 2 つの同型な中心単純代数の和である。
V の次元が奇数であれば Cℓ0(V, Q) は K 上の中心単純代数である。
以下の結果を用いるとクリフォード代数の構造は明示的に解明される。U の次元は偶数で判別式 d の非特異双線型形式を持っているとし、V は二次形式を持つ別の空間とする。U + V のクリフォード代数は U と (−1)dim(U)/2dV のクリフォード代数のテンソル積に同型であり、後者はその二次形式に (−1)dim(U)/2d を掛けた空間 V である。これは実数体上では特に次のことを意味する
C\ell_{p+2,q}(\mathbf{R}) = M_2(\mathbf{R})\otimes C\ell_{q,p}(\mathbf{R})
C\ell_{p+1,q+1}(\mathbf{R}) = M_2(\mathbf{R})\otimes C\ell_{p,q}(\mathbf{R})
C\ell_{p,q+2}(\mathbf{R}) = \mathbf{H}\otimes C\ell_{q,p}(\mathbf{R}).
これらの公式を用いることで実と複素のすべてのクリフォード代数の構造が導かれる。クリフォード代数の分類を見よ。
とりわけ、クリフォード代数の森田同値類(その表現論: それ上の加群の圏の同値類)は符号 (p − q) mod 8 のみに依っている。これはボットの周期性の代数的な形である。
クリフォード群のクラスはルドルフ・リプシッツ (Rudolf Lipschitz) によって発見された。
このセクションにおいて V は有限次元で二次形式 Q は非退化であると仮定する。
クリフォード代数の元へのその可逆元の群による作用はひねられた共軛 (twisted conjugation) の言葉によって定義できる。x は y ↦ xyα(x)−1 と写す、ただし α は上で定義された main involution、による twisted conjugation。
クリフォード群 Γ はこの作用の下でベクトルを安定化する (stabilize vectors) 可逆元 x の集合として定義される。これが意味するのは V のすべての v に対して:
x v \alpha(x)^{-1}\in V.
この公式はまたノルム Q を保つベクトル空間 V 上のクリフォード群の作用を定義し、従ってクリフォード群から直交群への準同型を与える。クリフォード群はノルムが 0 でない V のすべての元 r を含み、これらは v を v − 2v,rr/Q(r) に持っていく対応する鏡映によって V 上作用する。(標数 2 においてこれらは鏡映ではなく「直交移換」(orthogonal transvection) と呼ばれる。)
クリフォード群 Γ は2 つの部分集合 Γ0 と Γ1 の非交和である、ただし Γi は次数 i の元の部分集合である。部分集合 Γ0 は Γ において指数 2 の部分群である。
V が正定値(あるいは負定値)二次形式を持った有限次元実ベクトル空間であればクリフォード群は(カルタン・デュドネの定理によって)その形式に関して V の直交群に全射し核は体 K の 0 でない元からなる。これは次の完全列を導く
1 \to K^* \to \Gamma \to \operatorname{O}_V(K) \to 1,
1 \to K^* \to\Gamma^0\to \operatorname{SO}_V(K)\to 1.
他の体上あるいは不定値形式では、写像は一般には全射ではなく、失敗はスピノルノルムによってとらえられる。
任意の標数において、スピノルノルム Q はクリフォード群上
Q(x) = {}^t\!xx.\,
によって定義される。それはクリフォード群から K の非零元の群 K* への準同型である。それは V をクリフォード代数の部分空間と同一視したときに V の二次形式 Q と一致する。著者によってはスピノルノルムの定義が僅かに異なり、ここでのものとは Γ1 上 −1, 2, あるいは −2 の因子によって異なる。違いは標数が 2 でなければそれほど重要ではない。
K の 0 でない元は体 K の非零元の平方の群 K*2 にスピノルノルムを持つ。なので V が有限次元で非特異なとき V の直交群から群 K*/K*2 への誘導写像を得、これもまたスピノルノルムと呼ばれる。ベクトル r の鏡映のスピノルノルムは K*/K*2 において像 Q(r) を持ち、この性質は直交群上それを一意的に定義する。これは次の完全列を与える:
1 \to \{\pm 1\} \to \operatorname{Pin}_V(K)  \to \operatorname{O}_V(K)  \to K^*/K^{*2},
1 \to \{\pm 1\} \to \operatorname{Spin}_V(K) \to \operatorname{SO}_V(K) \to K^*/K^{*2}.
標数 2 においては群 {±1} はただ 1 つの元を持つことに注意せよ。
代数群のガロワコホモロジーの視点から、スピノルノルムはコホモロジーの連結準同型である。1 の平方根の代数群(標数が 2 でない体上それは大雑把には自明なガロワ作用を持った 2 元群と同じである)を μ2 と書くと、短完全列
1 \to \mu_2 \rightarrow \mathrm{Pin}_V \rightarrow \mathrm{O}_V \rightarrow 1\,
はコホモロジーの長完全列を生み出し、それは
1 \to H^0(\mu_2;K) \to H^0(\mathrm{Pin}_V;K) \to H^0(\mathrm{O}_V;K) \to H^1(\mu_2;K)\,
で始まる。K に係数を持つ代数群の 0 次ガロワコホモロジー群は単に K-値点の群である: H0(G; K) = G(K)、および H1(μ2; K) ≅ K*/K*2, よって前の列を復元する:
1 \to \{\pm 1\} \to \operatorname{Pin}_V(K) \to \operatorname{O}_V(K)  \to K^*/K^{*2},\,
ただしスピノルノルムは連結準同型 H0(OV; K) → H1(μ2; K) である。
本節において V は有限次元でありその双線型形式は非特異であると仮定する。(K が標数 2 であればこれは V の次元が偶数であることを含む。)
ピン群 PinV(K) はスピノルノルム ±1 の元のクリフォード群 Γ の部分群であり、同様にスピン群 SpinV(K) は PinV(K) においてディクソン不変量 0 の元の部分群である。標数が 2 でないとき、これらは行列式 1 の元である。スピン群は通常ピン群において指数 2 を持つ。
クリフォード群から直交群への全射準同型が存在することを直前のセクションから思い出そう。特殊直交群を Γ0 の像として定義する。K の標数が 2 でなければこれは単に直交群の行列式 1 の元の群である。K の標数が 2 であれば、直交群のすべての元は行列式 1 をもち、特殊直交群はディクソン不変量 0 の元の集合である。
ピン群から直交群への準同型が存在する。像はスピノルノルム 1 ∈ K*/K*2 の元からなる。核は元 +1 と −1 からなり、K の標数が 2 でなければ位数 2 をもつ。同様にスピン群から V の特殊直交群への準同型が存在する。
V が実数上正あるいは負定値空間である共通の場合において、スピン群は特殊直交群の上へと写り V の次元が少なくとも 3 であれば単連結である。さらにこの準同型の核は 1 と −1 からなる。なのでこの場合スピン群 Spin(n) は SO(n) の二重被覆である。しかしながら、スピン群の単連結性は一般には正しくないことに注意してください: V がともに 2 以上の p, q に対して Rp,q であればスピン群は単連結ではない。この場合代数群 Spinp,q は代数群として単連結である。その実数値点の群 Spinp,q(R) は単連結でないにもかかわらず。これはかなり微妙な点であり、少なくとも 1 冊のスピン群についての標準的な本の著者をすっかり混乱させた。
クリフォード代数 Cℓp,q(C) で p + q = 2n と偶数になるものは 2n 次元の複素表現を持つ行列代数である。群 Pinp,q(R) に制限することにより同じ次元の Pin 群の複素表現を得、これはスピン表現と呼ばれる。これをスピン群 Spinp,q(R) に制限すれば次元  2n−1 の 2 つの半スピン表現(あるいはワイル表現)の和として分解する。
p + q = 2n + 1 と奇数になればクリフォード代数 Cℓp,q(C) はそれぞれが 2n 次元の表現を持っているような 2 つの行列代数の和であり、これらもまた両方ともピン群 Pinp,q(R) の表現である。スピン群 Spinp,q(R) への制限上これらは同型になり、したがってスピン群は次元 2n の複素スピノル表現を持つ。
より一般に、任意の体上のスピノル群とピン群は正確な構造が対応するクリフォード代数の構造に依存する同様の表現を持つ:クリフォード代数がある可除代数上の行列代数である因子を持つときにはいつでもその可除代数上のピンとスピン群の対応する表現を得る。例えば実数体上の場合についてはスピノールの記事を見よ。
実スピン表現を記述するために、スピン群がクリフォード代数の中にどのようにあるかを知らなければならない。ピン群 Pinp,q は単位ベクトルの積として書ける Cℓp,q の可逆元の集合である:
\operatorname{Pin} \nolimits_{p,q} := \{v_1v_2\dots v_r \mid \forall i\, \|v_i\|=\pm 1\}.
クリフォード代数の上の具体的な実現と比べて、ピン群は任意にたくさんの鏡映の積に対応する: それは全直交群 O(p, q) の被覆である。スピン群は単位ベクトルの偶数個の積であるような Pinp,q の元からなる。したがってカルタン・デュドネの定理によって Spin は固有回転の群 SO(p, q) の被覆である。
α: Cℓ → Cℓ を pure ベクトルに作用する写像 v ↦ −v によって与えられる自己同型とする。すると特に Spinp,q は元が α によって固定される Pinp,q の部分群である。
C\ell_{p,q}^0 = \{ x\in C\ell_{p,q} \mid \alpha(x)=x\}
とする。(これらは Cℓp,q においてちょうど偶数次の元である。)するとスピン群は Cℓ の中にある。
Cℓp,q の既約表現はピン群の表現を与えるために制限する。逆に、ピン群は単位ベクトルで生成されるから、その既約表現のすべてはこのようにして誘導される。したがって 2 つの表現は一致する。同じ理由のため、スピンの既約表現は Cℓ の既約表現と一致する。
ピン表現を分類するためには、クリフォード代数の分類にアピールするだけでよい。(偶部分代数の表現である)スピン表現を見つけるためには、まず次の同型のいずれかを利用できる(上記参照)
Cℓ ≈ Cℓp,q−1 (for q > 0);
Cℓ ≈ Cℓq,p−1 (for p > 0).
そして符号 (p, q − 1) あるいは (q, p − 1) におけるピン表現として符号 (p, q) におけるスピン表現を実現できる。
外積代数の主要な応用の一つは微分幾何学にありそこではそれが滑らかな多様体上の微分形式のファイバー束を定義するために使われる。(擬)リーマン多様体の場合には、接空間は計量によって誘導される自然な二次形式を持つ。したがって、外束とのアナロジーでクリフォード束を定義できる。これはリーマン幾何学においてたくさんの重要な応用を持つ。おそらくより重要なのはスピン多様体、その付随するスピノル束そして spinc 多様体へのつながりであろう。
クリフォード代数は物理学においてたくさんの重要な応用を持つ。物理学者は通常クリフォード代数を次の性質を持つディラック行列と呼ばれる行列 γ0, …, γ3 によって生成された基底を持つ代数と考える。
\gamma_i\gamma_j + \gamma_j\gamma_i = 2\eta_{ij}
ただし η は符号 (1, 3) の二次形式の行列である。これらはちょうど(重要でない因子 2 を除いて)クリフォード代数 Cℓ1,3(R) の定義関係式であり、その複素化は Cℓ1,3(R)C でありこれはクリフォード代数の分類によって複素 4次行列の代数に同型である。
ディラック行列は最初ポール・ディラックによって、電子に対する相対論の一階波動方程式を書き、クリフォード代数から複素行列への明示的な同型を与えようとしていた時に、書き下された。結果はディラック方程式を定義しディラック作用素を導入するために用いられた。クリフォード代数全体はディラック場双線型の形式の場の量子論において現れる。
量子論を記述するためのクリフォード代数の使用は中でも Mario Schönbergによって、geometric calculus の言葉では David Hestenes と Basil Hiley と hierarchy of Clifford algebras の共同研究者によって、そして Elio Conte et al.によって進められてきた。
最近、クリフォード代数はコンピュータビジョンにおける action recognition と分類の問題において応用されている。Rodriguez et al. は伝統的な MACH ﬁlters を video (3D spatiotemporal volume) とオプティカルフローのようなベクトル値データに一般化するクリフォード埋め込みを提案する。ベクトル値データは Clifford Fourier Transform を用いて解析される。これらのベクトルに基づいてアクションフィルターはクリフォードフーリエドメインにおいてシンセサイズされアクションの認識は Clifford Correlation を用いて実行される。著者は古典的特徴フィルムとスポーツ報道テレビにおいて典型的に実行されるアクションを認識することによってクリフォード埋め込みの有効性を説明する。