普遍係数定理
普遍係数定理(ふへんけいすうていり、universal coefficient theorems)とは、単項イデアル整域R上定義されたホモロジーやコホモロジーから、R-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。
定理はR-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。
本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念であるTor関手、Ext関手を定義する。
Rを可換環とするとき、整数nを添え字として持つR-加群C_nと写像\partial_n~:~C_n \to C_{n-1}の組C_* := (C_n,\partial_n)_{n\in\mathbb{Z}で、
\partial_{n-1}\circ \partial_n =0
となるものR上のチェイン複体といい、
H_n(C_*):=\mathrm{Ker}(\partial_n)/\mathrm{Im}(\partial_{n+1})
をC_*のn次のホモロジー加群という。
可換環Rに対し、C^* = (C^n,\delta^n)_{n\in\mathbb{Z}でD_* := (C^{-n}, \delta^{-n})_{n\in\mathbb{Z}がR上のチェイン複体になるものをコチェイン複体といい、
H^n(C^*):=H_n(D_*)
をC^*のn次のコホモロジー加群という。
Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とする。さらに短完全系列
0 \longrightarrow A \overset{\iota}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} M \to 0
でA、Bが自由R-加群であるものを選び、
0 \longrightarrow A \otimes_R N\overset{\iota\otimes_R 1_N}{\longrightarrow}  B \otimes_R N \overset{p\otimes_R 1_N}{\longrightarrow} M \otimes_R N  \longrightarrow 0
を考えると必ずしも完全系列にならない。そこで
\mathrm{Tor}_R(M,N):=\mathrm{Ker}(\iota\otimes_R 1_N)
と定義する。\mathrm{Tor}_R(M,N)の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義した\mathrm{Tor}_R(M,N)と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。
\mathrm{Tor}_R(\cdot,\cdot)の事をTor関手という。
なお、Rが単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもTorが定義できるが本項では割愛する。また\mathrm{Tor}_R(M,N)の事を\mathrm{Tor}^1_R(M,N)と表記し、より一般に\mathrm{Tor}^n_R(M,N)(n≧0)を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手の項目を参照されたい。
Tor関手は以下の性質を満たす。
\mathrm{Ker}(\iota \otimes_R 1_N)=0である。
4.に関してはx倍する演算を「x \cdot 」と書くと、
0 \to R \overset{x\cdot}{\to} R \overset{p}{\to} R/(x) \to 0
という分解が可能であり、R\oplus_R N\approx Nなので、
N \overset{x\cdot \otimes_R 1_N}{\to} N \overset{p \otimes 1_N}{\to} R/(x)\otimes_R N \to 0
である。よって\mathrm{Tor}_R(M,N) = \mathrm{Ker}(x\cdot \otimes_R 1_N)=\{u\in N \mid xu=0\}である。
5.に関しては4.から直接従う。6.に関しては、Mが有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、RnとR/(xi)の直和で書ける。よって1.により、\mathrm{Tor}_R(M,N)は\mathrm{Tor}_R(R^n,N)と\mathrm{Tor}_R(R/(x_i),N)の直和で書けるが、前者は3.より0に等しく、後者も4.により0に等しい。
Rが単項イデアル整域であるので、M、Nが有限生成である場合、有限生成加群の基本定理から、MはRnと複数のR/(xi)の直和で書け、Nも同様である。上述の1., 2.からTorRは直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するTorRを容易に計算できる。
Ext関手Torのときと同様、Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とし、さらに短完全系列
0 \longrightarrow A \overset{\iota}{\longrightarrow} B \overset{p}{\longrightarrow} M \to 0
でA、Bが自由R-加群であるものを選ぶ。そして
0 \longrightarrow \mathrm{Hom}_R(M,N) \overset{p^*}{\longrightarrow} \mathrm{Hom}_R(B,N) \overset{\iota^*}{\longrightarrow} \mathrm{Hom}_R(A) \to 0
を考えると必ずしも完全系列にはならない。そこで
\mathrm{Ext}_R(M,N):=\mathrm{Coker}_R(\iota^*)
と定義する。ここでCokerは余核である。すなわち、f~:~X \to Yに対し、\mathrm{Coker}(f)=Y/\mathrm{Im}(f)である。
\mathrm{Ext}_R(M,N)の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義した\mathrm{Ext}_R(M,N)と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。
\mathrm{Ext}_R(\cdot,\cdot)の事をExt関手という。
また\mathrm{Ext}_R(M,N)に関しても\mathrm{Tor}_R(M,N)と同様、Rが一般の環の場合に対しても定義できるし、\mathrm{Ext}^n_R(M,N)が定義できて\mathrm{Ext}_R(M,N)=\mathrm{Ext}^1_R(M,N)であるが、本項では説明を割愛する。詳細はExt関手の項目を参照されたい。
Ext関手は以下を満たす:
\mathrm{Coker}(\iota^*)=0である。
4.に関しては、x倍する演算を「x \cdot 」と書くと、
0 \to R \overset{x\cdot}{\to} R \overset{p}{\to} R/(x) \to 0
という分解が可能であり、
0 \to \mathrm{Hom}(R/(x),N) \overset{p^*}{\to} \mathrm{Hom}(R,N) \overset{(x\cdot)^*}{\to} \mathrm{Hom}(R,N)
である。
ここで\varphi\in \mathrm{Hom}(R,N)に対し、(x\cdot)^*(\varphi)(u)=\varphi(xu)=x\varphi(u)である。
しかも\varphi\in\mathrm{Hom}(R,N)は1\in Rの行き先により全てのu\in Rの行き先が決まるので、\mathrm{Hom}(R,N) \overset{\sim}{\to} N, \varphi\mapsto \varphi(1)である。よって\mathrm{Ext}_R(R/(x),N) =\mathrm{Coker}((x\cdot)^*)\approx N/(x)である。
5.は4.から直接従う。6.に関しては、Mが有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、RnとR/(xi)の直和で書ける。よって1.により、\mathrm{Ext}_R(M,K)は\mathrm{Ext}_R(R^n,K)と\mathrm{Ext}_R(R/(x_i),K)の直和で書けるが、前者は3.より0に等しく、後者も4.により0に等しい。
TorRの場合と同様、Mが有限生成R-加群であれば、これらの性質からExtRを具体的に計算できる。
次の定理が成立することが知られている:
定理をR上のチェイン複体で、各nに対しC_nがR-加群として自由なものとする。このとき
0 \to H_n(C_*) \otimes_R  M \overset{\alpha}{\to} H_n(C_*\otimes M) \overset{\beta}{\to} \operatorname{Tor}_R(H_{n-1}(C_*),M) \to 0
が短完全系列となるα、βが存在する。
しかもこの短完全系列はC_*およびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は(自然ではなく)分裂する。
|note=Torに関する普遍係数定理Torに関するホモロジーの普遍係数定理}
上記の定理でαは[c]\otimes_R m\in H_n(C_*) \otimes_R M \mapsto [c \otimes_R  m] \in H_n(C_* \otimes_R M)と具体的に書ける。
なお、係数環 Rが\mathbb{Z}でMが\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}の場合は、上記の定理はボックシュタイン・スペクトル系列の特別な場合に相当する。
R=\mathbb{Z}で各H_n(C_*)が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、H_n(C_*)は自由加群部分Fnと素数pに対するT_{n,p}=\{x\in H_n(C_*) \mid \exists m>0~:~ p^mx=0 \}の和で書ける。(有限個の素数pを除いてT_{n,p}=0である)。ここで前述したTorの性質を利用すると、以下がわかる:命題
チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う:
この短完全系列がC^*、Mに関して自然である事や分裂する事も前述の定理と同様である。
またR=\mathbb{Z}で各H^n(C_*)が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。
上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をMを係数に持つコホモロジー(例えばMを係数にもつ特異コホモロジー)に適用する場合は注意が必要である。
これまで同様Rが単項イデアル整域とし、MをR-加群する。R上のチェイン複体C_* := (C_n,\partial_n)_{n\in\mathbb{Z}に対し、
\partial_n{}^* ~:~\mathrm{Hom}_R(C_{n},M) \to \mathrm{Hom}_R(C_{n+1},M), ~~c \mapsto c \circ \partial_{n+1}
\partial_{n+1}{}^*\circ\partial_n{}^*=0
であるので\mathrm{Hom}_R(C_*,M):=(\mathrm{Hom}_R(C_*,M),\partial_n{}^*)_{n\in\mathbb{Z}はコチェイン複体である。\mathrm{Hom}_R(C_*,M)をMに関するC_* の双対コチェイン複体(dual cochain complex)という。
Mに係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、
H_n(C_*;M)=H_n(C_*\otimes_R M)
H_n(C_*;R)=H_n(C_*\otimes_R R)=H_n(C_*)
なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理のH_n(C_*\otimes_R M)、H_n(C_*)を単純に置き換える事で、以下の系が従う:系
一方、Mを係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要である。実際、C^*:=\mathrm{Hom}_R(C_*,R)としてやると、
H^n(C_*;R)=H^n(\mathrm{Hom}(C_*,R))=H^n(C^*)
であるが、H^n(C_*;M)の方は
H^n(C^*;M)=H^n(\mathrm{Hom}(C_*,M))
であり、コホモロジーの普遍係数定理における
H^n(C^*\otimes_R M)=H^n(\mathrm{Hom}(C_*,R)\otimes_R M)
とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら2つが等しくなり、Mを係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる:
定理をR上のチェイン複体で各nに対し、C_nがR-加群として自由なものとする。
このときMがR上有限生成であるかもしくは全てのnに対してH_n(C_*;R)がR上有限生成であれば、任意のnに対して以下が完全系列になるα、βが存在する:
0 \to H^n(C_*;R)\otimes_R  M \overset{\alpha}{\to} H^n(C_*;M) \overset{\beta}{\to} \mathrm{Tor}_R(H^{n+1}(C_*;R),M)\to 0.
}
Ext関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。
前に述べたように、チェイン複体C_* の双対コチェイン複体\mathrm{Hom}_R(C_*,M):=(\mathrm{Hom}_R(C_*,M),\partial_n{}^*)_{n\in\mathbb{Z}に対し、Mを係数に持つコホモロジー加群を H^n(C_*;M)=H^n(\mathrm{Hom}_R(C_*;M))により定義する。
このとき以下の定理がしたがう:
定理をR上のチェイン複体で各nに対し、C_nがR-加群として自由なものする。このとき、
0 \to \operatorname{Ext}_R(H_{n-1}(C_*),M) \overset{\beta}{\to} H^n(C_*; M) \overset{\alpha}{\to} \operatorname{Hom}_R(H_n(C_*), M)\to 0
が短完全系列となるα、βが存在する。
しかもこの短完全系列はC_*およびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は(Mに関して自然だがC_*に関しては自然ではなく)分裂する。
|note=Extに関する普遍係数定理Extに関する普遍係数定理}
上述の定理においてαは[\varphi]\in H^n(C_*;M)=H^n(\textrm{Hom}_R(C_*,M))に対し、[c] \in H^n(C_*) \mapsto \varphi(c)\in Mという\operatorname{Hom}_R(H_n(C_*), M)の元を対応させる写像である。
R=\mathbb{Z}で各H_n(C_*)が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、H_n(C_*)は自由加群部分Fnと捩れ部分群部分T_nの和で書ける。この事実とExtの性質を利用すると、以下がわかる:命題
上記により\mathbb{Z}-係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はTorに関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。
H_n(C_*)が有限生成であれば、上述の普遍係数定理でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する:
定理をR上のチェイン複体で各nに対し、C_nがR-加群として自由で、しかもH_n(C_*)が有限生成R-加群であるものとする。
このとき、
0 \to \operatorname{Ext}_R(H^{n+1}(C_*),M) \overset{\beta}{\to} H_n(C_*; M) \overset{\alpha}{\to} \operatorname{Hom}_R(H^n(C_*), M)\to 0
が短完全系列となるα、βが存在し、この短完全系列は分裂する。
|note=}
上述の定理において、αは[z]\otimes m \in H_n(C_*\otimes_R M)=H_n(C_*;M)に対し、[f]\in H^n(C_*)\mapsto f(z) m\in Mという\mathrm{Hom}(H^n(C_*),M)の元を対応させる写像である。