射影多様体
次数 d の超曲面の数論的種数は \mathbf{P}^n において \binom{d-1}{n} である.特に,P2 内の次数 d の滑らかな曲線の数論的種数は (d − 1)(d − 2)/2 である.これが種数公式である.
X を滑らかな射影多様体ですべての既約成分が n 次元であるものとする.この状況において,標準層 ωX は,top degree のケーラー微分(すなわち代数的 n 形式)の層として定義され,直線束である.
セール双対性は,X 上の任意の局所自由層 \mathcal{F} に対して
H^i(X, \mathcal{F}) \simeq H^{n-i}(X, \mathcal{F}^\vee \otimes \omega_X)'
というものである,ただしプライムは双対空間を意味し,\mathcal{F}^\vee は
\mathcal{F} の双対層である.滑らかとは限らない射影スキームへの一般化はヴェルディエ双対性として知られている.
(滑らかな射影)曲線 X に対し,H2 および高次は次元の理由のため消え,構造層の大域切断の空間は 1 次元である.したがって X の数論的種数は H^1(X, \mathcal{O}_X) の次元である.定義により,X の幾何学的種数は H0(X, ωX) の次元である.セール双対性はしたがって数論的種数と幾何学的種数が一致することを意味する.それらは単に X の種数と呼ばれる.
セール双対性はリーマン・ロッホの定理の証明の重要な要素でもある.X は滑らかだから,ヴェイユ因子を主因子で割った群から直線束の同型類の群への群同型
\operatorname{Cl}(X) \to \operatorname{Pic}(X), D \mapsto \mathcal{O}(D)
が存在する.ωX に対応する因子は標準因子と呼ばれ,K と書かれる.l(D) を H^0(X, \mathcal{O}(D)) の次元とする.するとリーマン・ロッホの定理の主張は以下のようである.g が X の種数のとき,
l(D) -l(K - D) = \operatorname{deg} D + 1 - g
が X 上の任意の因子 D に対して成り立つ.セール双対性により,これは
\chi(\mathcal{O}(D)) = \operatorname{deg} D + 1 - g
と言っても同じであり,直ちに証明できる.リーマン・ロッホの定理の高次元への一般化はヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理や遠大なグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理である.
ヒルベルトスキームは,H の(関手的な意味での)点が射影スキーム X の閉部分スキームに対応するという意味で,X のすべての閉部分多様体をパラメトライズする.そのようなものとして,ヒルベルトスキームはモジュライ空間,すなわち点が他の幾何学的対象をパラメトライズする幾何学的対象の例である.より正確には,ヒルベルトスキームはヒルベルト多項式が所定の多項式 P に等しい閉部分多様体をパラメトライズする.グロタンディークによる深い定理によって,k 上のスキーム H_X^P であって,任意の k-スキーム T に対して全単射
{ 射 T → H } ↔ { T 上平坦な X ×k T の閉部分スキームで,Hilbert 多項式が P であるもの }
があるようなものが存在する.恒等写像 H_X^P \to H_X^P に対応する X \times H_X^P の閉部分スキームは universal family と呼ばれる.
P(z) = \binom{z+r}{r} に対して,ヒルベルトスキーム H_{\mathbf{P}^n}^P は
is called the Grassmannian of r-planes in \mathbf{P}^n and,
if X is a projective scheme, H_X^P is called the Fano scheme of r-planes on X.
この節では,すべての代数多様体は複素代数多様体である.複素射影多様体の理論の重要な特徴は,代数的な手法と解析的な手法の交錯である.これらの理論の間の移行は次のつながりによってもたらされる:任意の複素多項式は正則関数でもあるから,任意の複素代数多様体 X は複素解析空間 X(\mathbf C) を生み出す.さらに,X の幾何学的な性質は X(\mathbf C) のそれによって反映される.例えば,後者が複素多様体であることと X が滑らかであることは同値であり,コンパクトであることと X が C 上プロパーであることは同値である.
複素射影空間はケーラー多様体である.したがって,任意の射影代数多様体 X に対し,X(C) はコンパクトケーラー多様体である.逆は一般には正しくないが,小平の埋め込み定理はケーラー多様体が射影的であるための判定法を与える.
低次元では以下の結果がある.
(Riemann) コンパクトリーマン面(すなわち1次元のコンパクト複素多様体)は射影多様体である.トレリの定理により,それはそのヤコビ多様体によって一意的に決定される.
(Chow-Kodaira) 2つの代数独立な有理型関数を持つ2次元のコンパクト複素多様体は射影多様体である.
チャウの定理もう一方へ行く顕著な方法を提供する.それは複素射影空間の任意の解析的部分多様体は代数的であると述べている.定理は次のように解釈できる:ある増大条件を満たす正則関数は代数的でなければならない:「射影的」がこの増大条件を与える.定理から以下を結論できる:
複素射影空間上の有理型関数は有理関数である.
代数多様体の間の代数的写像が解析的同型ならば,(代数的)同型である(この部分は複素解析で基本的な事実である).特に,チャウの定理は射影多様体の間の正則 (holomorphic) 写像が代数的であることを意味している(そのような写像のグラフを考えよ).
射影多様体上の任意の正則ベクトル束は一意的な代数的ベクトル束から誘導される.
射影多様体上の任意の正則直線束は因子の直線束である.
チャウの定理はセールの GAGA 原理を用いて示すことができる.その主定理は以下である:
X を C 上の射影スキームとする.このとき,X 上の連接層を対応する複素解析空間 Xan 上の連接層に割り当てる関手は圏同値である.さらに,自然な写像
H^i(X, \mathcal{F}) \to H^i(X^\text{an}, \mathcal{F})
はすべての i と X 上のすべての連接層 \mathcal{F} に対して同型である.
C 上のアーベル多様体 A に付随する複素多様体はコンパクト複素リー群である.これらは
\mathbb{C}^g/L
の形であることを示すことができ,複素トーラスとも呼ばれる.ここで g はトーラスの次元であり L は格子である(周期格子とも呼ばれる).
上述の一意化定理により,任意の1次元トーラスは1次元アーベル多様体すなわち楕円曲線から生じる.実際,L に付随するワイエルシュトラスの楕円関数 \wp はある微分方程式を満たし,その結果それは closed immersion を定義する:
\mathbb{C}/L \to \mathbf{P}^2, L \mapsto (0:0:1), z \mapsto (1 : \wp(z) : \wp'(z)).
p 進類似,p-adic uniformization定理がある.
高次元に対しては,複素アーベル多様体と複素トーラスの概念は異なる:Polarization of an algebraic form 複素トーラスだけがアーベル多様体から来る.
基本的な小平の消滅定理の主張は以下のようである.標数 0 の体上の滑らかな射影多様体 X 上の豊富な直線束 \mathcal{L} に対して,
H^i(X, \mathcal{L}\otimes \omega_X) = 0
が i > 0 に対して成り立つ,あるいはセール双対性によって同じことだが,
H^i(X, \mathcal L^{-1}) = 0
が i < n に対して成り立つ.この定理の最初の証明はケーラー幾何学の解析的な手法を用いたが,純代数的な証明が後に発見された.小平の消滅定理は正標数の滑らかな射影多様体に対しては一般には成り立たない.小平の定理は様々な消滅定理の1つで,高次層コホモロジーが消える判定法を与える.層のオイラー標数(上記参照)はしばしば個々のコホモロジー群よりも扱いやすいから,これはしばしば射影多様体の幾何について重要な結果を持つ.
Closed subvarieties of weighted projective spaces are known as weighted projective varieties.