リース函数
数学においてリース函数(リースかんすう、Riesz function)とは、リーマン予想との関係でリース・マルツェルによって定義された、次の冪級数で与えられる整函数のことを言う:
{\rm Riesz}(x) = -\sum_{k=1}^\infty \frac{(-x)^k}{(k-1)! \zeta(2k)}.
F(x) = \frac12 {\rm Riesz}(4 \pi^2 x) とすれば、双曲余接のゼロを中心としたローラン級数展開の係数としてそれは定義される。もし
\frac{x}{2} \coth \frac{x}{2} = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n = 1 + \frac{1}{12} x^2 - \frac{1}{720}x^4 + \cdots
であるなら、F は次で定義される。
F(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{c_{2k}(k-1)!} = 12x - 720x^2 + 15120x^3 - \cdots
ζ(2k) の値は k が増加するにつれて 1 に近付き、リース函数に対する級数を x\ \exp(-x) に対する級数と比較することで、それは整函数を定義することが分かる。また F は
F(x) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^{\overline{k+1}x^{k}{B_{2k} \
で定義されることもある。
n^{\overline{k} はドナルド・クヌースの記法における上昇階乗であり、Bn はベルヌーイ数である。この級数は代替的な項の一つであり、函数は x が負の方向に増大するにつれて負の無限大へと発散する。正の x についてはより興味深く、繊細な問題となる。
1/2 より大きい任意の冪乗 e に対して、次が成立する。
\operatorname{Riesz}(x) = O(x^e)\qquad (\text{as }x\to\infty)
ただしこの右辺はランダウの記号であり、値は正および負のいずれの方向についても考えられている。リースは、上の式が 1/4 より大きい任意の e について成り立つことはリーマン予想と同値であることを示した。ただしその同じ論文においては、やや悲観的な次の注釈も見られる «Je ne sais pas encore decider si cette condition facilitera la vérification de l'hypothèse»。
リース函数は、メリン変換を介してリーマンゼータ函数と関連付けられる。今
{\mathbf M}({\rm Riesz}(z)) = \int_0^\infty {\rm Riesz(z)} z^s \frac{dz}{z}
とすれば、\Re(s)>-1 のときに
\int_0^1 {\rm Riesz}(z) z^s \frac{dz}{z}
は収束し、一方 \Re(s) < -\frac{1}{2}  であれば成長条件により
\int_1^\infty {\rm Riesz}(z) z^s \frac{dz}{z}
は収束することが分かる。これを組み合わせることで、リース函数のメリン変換は帯状領域 -1 < \Re(s) < -\frac12 の上で定義されることが分かる。この領域上では、\frac{\Gamma(s+1)}{\zeta(-2s)} = {\mathbf M}({\rm Riesz}(z))  が成り立つ。
するとメリン逆変換により、リース函数を式
{\rm Riesz}(z) = \int_{c - i \infty}^{c+i \infty} \frac{\Gamma(s+1)}{\zeta(-2s)} z^{-s} ds
で表すことが出来る。ここで c は -1 と -1/2 の間の値である。リーマン予想が真であるなら、この積分の直線を -1/4 よりも小さい任意の値へと移動することが出来る。したがってリース函数の成長率の 4 乗根と、リーマン予想との同値性が分かる。
J. garcia(脚注を参照)は、ボレル和を使うことで f(x) に関する次の積分表現を得た。
\exp(-x)-1= \int_{0}^{\infty} \frac{f(t)}{t}\rho ( \sqrt{x/t}) dt
ここで  \rho (x) =x-\lfloor x\rfloor  は 'x' の小数部分である。
F のマクローリン級数の係数の絶対値は、40番目の項 -1.75317 において最大値を取るまで増加である。一方、109番目の項において絶対値は 1 よりも小さくなる。はじめの 1000 個の項を取ることで、|z| < 9 に対する F(z) の非常に精確な値を得ることが出来る。しかしこの計算を行う際には、次数 1000 の多項式を、大きな分子あるいは分母の係数に対する有理数演算か、100 位を超える浮動小数点計算によって求める必要が生じうる。いずれの方法も、数値計算的に簡単なものではない。
その他の計算手法として、収束加速法(acceleration of convergence)が挙げられる。今
{\rm Riesz}(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{(k-1)! \zeta(2k)}
である。ζ(2k) は k が増大するにつれて 1 に近付くため、この級数は
\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{(k-1)!} = x \exp(-x)
に近付く。実際、リースは次の式を示していた:\ {\sum_{n=1}^\infty \rm Riesz(x/n^2) = x \exp(-x)}。
収束加速法に対するクンマーの方法を使うことで、収束率の改善された
{\rm Riesz}(x) = x \exp(-x) - \sum_{k=1}^\infty \left(\zeta(2k) -1\right) \left(\frac{(-1)^{k+1}
{(k-1)! \zeta(2k)}\right)x^k
が得られる。
この手順を続けることで、収束に関するより良い性質を備える、リース函数に対する新たな級数を得ることが出来る:
{\rm Riesz}(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{(k-1)! \zeta(2k)}
= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{(k-1)!} \left(\sum_{n=1}^\infty \mu(n)n^{-2k}\right)
\sum_{k=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}\left(x/n^2\right)^k}{(k-1)!}= x \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^2} \exp\left(-\frac{x}{n^2}\right).
ここで μ はメビウス函数であり、項の再構成は絶対収束によって正当化される。再びクンマーの方法を適用することで、
{\rm Riesz}(x) = x \left(\frac{6}{\pi^2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^2}\left(\exp\left(-\frac{x}{n^2}\right) - 1\right)\right)
と表すことが出来る。この項は終局的には、n の 1/4 乗によって減少となる。
上述の級数は至る所で絶対収束し、したがって項毎に微分可能であるため、導関数に関する次の式が得られる:
{\rm Riesz}'(x) = \frac\rm Riesz(x){x} - x\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^4} \exp\left(-\frac{x}{n^2}\right)\right).
この式は次のように整理できる:
{\rm Riesz}'(x) = \frac\rm Riesz(x){x} + x\left(-\frac{90}{\pi^4} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^4} \left(1-\exp\left(-\frac{x}{n^2}\right)\right)\right).
マレク・ウォルフは  において、リーマン予想を想定しながら、十分大きな x に対して次の式を示している:
{\rm Riesz}(x) =  const\times x^{1/4} \sin\left(\phi-\frac{1}{2}\gamma_1\log(x)\right).
ここで \gamma_1=14.13472514... はゼータ函数のはじめの非自明なゼロ点の虚部である。また  const=
7.7750627...\times 10^{-5} および \phi=-0.54916...= (-31,46447^{\circ}) である。これは Herbert Wilf によって 1964 年に証明された  リース函数のゼロ点と一致する。